불연속점의 분류

연속 함수의 이론에서, 함수의 **불연속점**(不連續點, )은 연속점이 아닌, 정의역 속의 점이다. 함수의 불연속점의 집합은 이산 집합이거나 조밀 집합일 수 있으며, 함수의 정의역 전체일 수 있다. 불연속점을 연속이 실패하는 원인이 무엇인지에 따라 분류할 수 있다. 일부 종류의 불연속점은 자연스럽게 연속점이 되게 메워줄 수 있으며, 일부는 그럴 수 없다.

## 정의
실수 함수의 경우를 생각하자. 대략, 불연속점은 좌극한과 우극한의 존재 여부에 따라 **제1종 불연속점**(第一種不連續點, )과 **제2종 불연속점**(第二種不連續點, )으로 분류된다. 제1종 불연속점은 좌극한과 우극한이 일치하는지에 따라 **제거 가능 불연속점**(除去可能不連續點, )과 **비약 불연속점**(飛躍不連續點, )으로 분류되며, 제2종 불연속점은 무한대인 좌극한이나 우극한이 있는지에 따라 **무한 불연속점**(無限不連續點, )과 **진동 불연속점**(震動不連續點, )으로 분류된다.

구체적으로, 정의역이 실수 열린구간 I\subseteq\mathbb R, 공역이 실수 집합 \mathbb R인 함수 f\colon I\to\mathbb R가 주어졌다고 하자.

### 제1종 불연속점
불연속점 a\in I가 다음 조건을 만족시키면, **제1종 불연속점**이라고 한다.
* (좌·우극한 존재) \lim_{x\to a^-}f(x)와 \lim_{x\to a^+}f(x)가 둘 다 존재한다.

#### 제거 가능 불연속점
대체글=함수의 그래프. x < 1일 때 f(x) = x^2, x = 1일 때 f(x) = 0, x > 1일 때 f(x) = 2 - x.|섬네일|오른쪽|없앨 수 있는 불연속점
제1종 불연속점 a\in I가 동치인 다음 두 조건 중 적어도 하나를 만족하면 a를 **제거 가능 불연속점** 또는 **없앨 수 있는 불연속점**이라고 한다.
* (좌·우극한 일치) \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)
* (극한 존재) \lim_{x\to a}f(x)가 존재한다.
* (제거 가능) f|_{I\setminus\{a\}}=g|_{I\setminus\{a\}}인 연속 함수 g\colon I\to\mathbb R가 존재한다.
예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 제거 가능 불연속점이다.
:f(x)=\begin{cases}
x^2&x1
\end{cases}
제거 가능 불연속점은 함수의 재정의를 통해 연속점으로 만들 수 있다. 예를 들어, 위 함수를 다음과 같이 재정의하자.
:f(1)=1
그렇다면, 1은 새로운 함수의 연속점이 된다.

#### 비약 불연속점
대체글=함수의 그래프. x < 1일 때 f(x) = x^2, x = 1일 때 f(x) = 0, x > 1일 때 f(x) = 2 - (x - 1)^2.|섬네일|오른쪽|비약 불연속성
제1종 불연속점 a\in I가 동치인 다음 두 조건 중 적어도 하나를 만족하면 a를 **비약 불연속점** 또는 **뜀 불연속점**이라고 한다.
* (좌·우극한 불일치) \lim_{x\to a^-}f(x)\ne\lim_{x\to a^+}f(x)
* (극한 부재) \lim_{x\to a}f(x)가 존재하지 않는다.
예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 비약 불연속점이다.
:f(x)=\begin{cases}
x^2&x1
\end{cases}

### 제2종 불연속점
불연속점 a\in I가 다음 조건을 만족시키면, **제2종 불연속점**이라고 한다.
* (좌/우극한 부재) \lim_{x\to a^-}f(x)와 \lim_{x\to a^+}f(x) 가운데 적어도 하나가 존재하지 않는다.

#### 무한 불연속점
대체글=함수의 그래프. x < 1일 때 f(x) = sin(5/(x - 1)), x = 1일 때 f(x) = 0, x > 1일 때 f(x) = 1/(x - 1).|섬네일|오른쪽|무한 불연속점
제2종 불연속점 a\in I가 다음 조건을 만족시키면, **무한 불연속점**이라고 한다.
* (좌/우극한 무한대) \lim_{x\to a^-}f(x)와 \lim_{x\to a^+}f(x) 가운데 적어도 하나가 사영 무한대 \hat\infty이다.
예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 무한 불연속점이다.
:f(x)=\begin{cases}
\sin\frac5{x-1}&x1
\end{cases}

#### 진동 불연속점
제2종 불연속점 a\in I가 다음 조건을 만족시키면, **진동 불연속점**이라고 한다.
* (좌·우극한 무한대 아님) \lim_{x\to a^-}f(x)가 사영 무한대 \hat\infty가 아니며, \lim_{x\to a^+}f(x)가 사영 무한대 \hat\infty가 아니다.
예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 진동 불연속점이다.
:f(x)=\begin{cases}
\sin\frac5{x-1}&x\ne1\\0&x=1
\end{cases}

## 성질
함수의 연속점의 집합은 항상 G<sub>δ</sub> 집합이다. 함수의 불연속점의 집합은 항상 F<sub>σ</sub> 집합이다.

실변수 실숫값 함수의 제1종 불연속점의 집합은 가산 집합이다.

편의상, 실수 구간 I\subseteq\mathbb R에 정의된 실숫값 함수 f\colon I\to\mathbb R만을 생각하자. f의 불연속점 집합을 E\subseteq I라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:E=\bigcup_{n=1}^\infty E_n
:E_n=\left\{a\in I\colon w_f(a)>\frac1n\right\}
:w_f(a)=\limsup_{x\to a}f(x)-\liminf_{x\to a}f(x)
이제 각 E_n이 고립점의 집합임을 증명하자. 임의의 a\in E_n에 대하여, a에서 좌극한과 우극한이 존재한다. 따라서, 다음을 만족시키는 \delta>0이 존재한다.
:\left|f(x)-\lim_{x\to a^-}f(x)\right|
:\left|f(x)-\lim_{x\to a^+}f(x)\right|
따라서
:w_f(x)\le\sup_{s,t\in(a-\delta,a)}|f(s)-f(t)|\le\frac1n\qquad\forall x\in(a-\delta,a)
:w_f(x)\le\sup_{s,t\in(a,a+\delta)}|f(s)-f(t)|\le\frac1n\qquad\forall x\in(a,a+\delta)
즉, 각 E_n은 고립점의 집합이므로 가산 집합이다. 즉, E는 가산 집합이다.

특히, 실변수 실숫값 단조함수의 불연속점은 항상 제1종 불연속점이므로, 단조함수의 불연속점 집합은 커야 가산 집합이다. 이를 **프로다의 정리**()라고 한다.

편의상, 실수 구간 I\subseteq\mathbb R에 정의된 실숫값 단조함수 f\colon I\to\mathbb R만을 생각하자. 임의의 a\in I에 대하여, 상한 공리에 따라, 다음과 같은 상한이 존재한다.
:\sup_{x\in I\colon x
또한, 상한의 정의에 따라, 이는 a에서의 좌극한이다.
:\lim_{x\to a^-}f(x)=\sup_{x\in I\colon x
비슷하게, 임의의 점에서의 우극한의 존재 역시 보일 수 있다.

## 예
### 불연속점 집합이 실수 집합인 함수
디리클레 함수
:f(x)=\begin{cases}
1&x\in\mathbb Q\\0&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q
\end{cases}
의 불연속점 집합은 실수 집합이다. 이들 불연속점은 모두 진동 불연속점이다.

### 불연속점 집합이 유리수 집합인 함수
토메 함수
:f(x)=\begin{cases}
\frac1q&x=\frac pq;p,q\in\mathbb Z;q>0;\gcd\{p,q\}=1\\0&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q
\end{cases}
불연속점 집합은 유리수 집합이다. 이들 불연속점은 모두 제거 가능 불연속점이다.

### 불연속점 집합이 유리수 집합인 단조함수
전체 유리수를 나열한 수열 (r_n)_{n=0}^\infty에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.
:f(x)=\sum_{n\in\mathbb N\colon r_n
그렇다면, f는 불연속점 집합이 유리수 집합인 증가함수이다. 이들 불연속점은 모두 제거 가능 불연속점이다.

## 같이 보기
* 특이점 (해석학)

## 외부 링크
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

분류:해석학 (수학)