유한환

환론에서 **유한환**(有限環, )은 유한 집합인 환이다.

## 정의
환 · 유사환 · 가환환 · 가환 유사환 가운데, 유한 집합인 것을 각각 **유한환** · **유한 유사환** · **유한 가환환** · **유한 가환 유사환**이라고 한다. 이 문서에서, 환 · 가환환은 항상 곱셈 항등원을 가지며, (가환) 유사환은 곱셈 항등원을 가지지 않을 수 있다.

## 성질
모든 유한환은 자명하게 좌·우 뇌터 환이자 아르틴 환이다. 가환 유한환의 크룰 차원은 0차원이며, 그 스펙트럼은 유한 개의 점으로 구성된 이산 공간이다.

모든 유한환 R에서, 모든 원소 r\in R는 영인자이거나 아니면 가역원이다. 구체적으로, 만약 r\cdot\colon R\to R가 전단사 함수라면 이는 가역원이며, 아니라면 영인자이다. 이에 따라, 모든 유한환은 0이 아닌 영인자를 갖거나 아니면 유한체이다 (웨더번 정리).

모든 유한 단순환은 유한체 위의 행렬환과 동형이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
:\operatorname{Mat}(n;\mathbb F_{p^k})

## 분류
유한 유사환 (R,+,0,\cdot)의 크기의 소인수 분해가 다음과 같다고 하자.
:|R|=\prod_ip_i^{n_i}
그렇다면 R는 다음과 같은 유사환 직합으로 나타낼 수 있다.
:R=\bigoplus_iR_i
:|R_i|=p_i^{n_i}
즉, 유한 유사환을 분류하려면, 크기가 소수의 거듭제곱인 것만을 분류하면 족하다.

크기가 p^n인 유한 유사환 (R,+,0,\cdot)을 생각하자. 이는 아벨 군 (R,+,0)에 따라 일차적으로 분류된다. (유한 아벨 군은 모두 완전히 분류되었다.) 또한, 이 아벨 군이 순환군인 경우, 해당하는 모든 유사환을 분류할 수 있다. 따라서, 순환군이 아닌 소수 거듭제곱 크기의 아벨 군 위의 유한 유사환만을 분류하면 된다.

추가로, 만약 R가 가환환인 경우, R는 (크기가 소수의 거듭제곱인) 유한 국소환의 직합으로 나타낼 수 있다.

### 순환군 위의 유사환
덧셈 아벨 군이 순환군 \operatorname{Cyc}(n)인 유사환 R는 다음과 같이 간단히 분류된다. 덧셈 아벨 군의 생성원을 a라고 하자. 즉,
:\{0,a,2a,3a,\dots,(n-1)a\}
의 꼴이다. 이러한 유사환의 곱셈 구조는
:a^2=ka
인 k\in\mathbb Z/n에 의하여 완전히 결정된다. 이러한 유사환은
:\langle a|na,a^2-ka\rangle
와 같이 적을 수 있다. 또한, 이러한 두 유사환이 서로 동형일 필요충분조건은
:\langle a|na,a^2-ka\rangle\cong\langle a|na,a^2-k'a\rangle\iff \gcd\{k,n\}=\gcd\{k',n\}
이다. 따라서, 순환군 \operatorname{Cyc}(n) 위의 유사환들은 n의 약수들과 일대일 대응한다. 이 가운데, 약수 k\equiv n\equiv 0\pmod n인 경우는 영유사환이며, k\equiv 1\pmod n인 경우는 정수환의 몫환 \mathbb Z/(n)이다. k\not\equiv1\pmod n인 경우는 곱셈 항등원이 없어 환을 이루지 않는다.

### Cyc(''p'')<sup>⊕2</sup> 위의 유사환
\mathbb Z/p\oplus\mathbb Z/p 위의 유사환은 총 8개이며, 다음과 같다.
* 가환환 3개:
** 유한체 \mathbb F_{p^2}
** \mathbb F_p\oplus\mathbb F_p
** \mathbb F_p[x]/(x^2) (에서는 G로 수록)
* 가환환이 아닌 가환 유사환 3개:
** \operatorname{Cyc}(p)\oplus\operatorname{Cyc}(p) 위의 영유사환
** \mathbb F_p\oplus\operatorname{Cyc}(p). 여기서 \operatorname{Cyc}(p)는 동명의 순환군 위의 영유사환이다.
** (x)\subset\mathbb F_p[x]/(x^3) (에서는 I로 수록)
* 비가환 유사환 2개
** \left\{\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}\colon a,b\in\mathbb F_p\right\}\subset\operatorname{Mat}(2;\mathbb F_p) (에서는 E로 수록)
** 위 행렬 유사환의 반대유사환 (에서는 F로 수록)

### Cyc(''p''<sup>2</sup>) ⊕ Cyc(''p'') 위의 유사환
아벨 군 \operatorname{Cyc}(p^2)\oplus\operatorname{Cyc}(p) 위의 유사환은 p=2일 경우 총 20개, p\ne2일 경우 총 2p+19개가 있다. 이는 다음과 같다.
* 가환환 3개 (p=2일 경우 4개)
** \mathbb Z/(p^2)\oplus\mathbb F_p
** (\mathbb Z/(p^2))[x]/(px,x^2)
** (\mathbb Z/(p^2))[x]/(px,x^2-p)
** (\mathbb Z/(p^2))[x]/(px,x^2-mp), m\in\mathbb Z/(p)은 제곱잉여가 아닌 정수. (p=2일 경우 이는 불가능하다.)
* 나머지는 모두 단위원을 갖지 않는 유사환이다.

### Cyc(''p'')<sup>⊕3</sup> 위의 유사환
아벨 군 \operatorname{Cyc}(p)^{\oplus3} 위의 유사환은 28개 (p=2인 경우) 또는 p+27개 (p\ne2인 경우)이다.

이 가운데, (곱셈 단위원을 갖춘) 환은 7개이다. 이 가운데 가환환이 아닌 것은 하나밖에 없으며, 유한체 위의 삼각행렬의 환
:\operatorname{Upper}(2;\mathbb F_p)=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\colon a,b,c\in\mathbb F_p\right\}
이다 (이 환은 스스로의 반대환과 동형이다).

아벨 군 \operatorname{Cyc}(p)^{\oplus3} 위의 6개의 가환환은 다음과 같다.
* \mathbb F_p^{\oplus3}
* \mathbb F_{p^2}\oplus\mathbb Z/(p)
* \mathbb F_p[x]/(x^2)\oplus\mathbb Z/(p)
* 유한체 \mathbb F_{p^3}
* \mathbb F_p[x]/(x^3)
* \mathbb F_p[x,y]/(x^2,xy,y^2)

### 주어진 크기의 유사환의 수
크기가 n인 유한 유사환의 동형류의 수는 다음과 같다 (n=1,2,\dots).
:1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2, … 
크기가 n인 유한 가환 유사환의 동형류의 수는 다음과 같다 (n=1,2,\dots).
:1, 2, 2, 9, 2, 4, 2, 34, 9, 4, 2, 18, 2, 4, 4, 162, 2, 18, 2, 18, 4, 4, 2, 68, 9, 4, 36, 18, 2, 8, 2, … 
크기가 n인 유한환의 동형류의 수는 다음과 같다 (n=1,2,\dots).
:1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 50, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 12, 4, 1, 1, 1, 208, 1, 1, 1, 16, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 50, 4, 4, 1, 4, 1, 11, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 4, … 
크기가 n인 유한 가환환의 동형류의 수는 다음과 같다 (n=1,2,\dots).
:1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 10, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 37, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 10, 4, 1, 11, 4, 1, 1, 1, … 

## 각주

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## 외부 링크
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분류:환론
분류:대수적 조합론