모멘트 문제

해석학에서, **모멘트 문제**(moment問題, )는 어떤 값들이 분포의 모멘트가 될 수 있는지 및 모멘트로부터 분포를 재구성할 수 있는지 여부에 대한 문제이다.

## 정의
어떤 측도 공간 X 위에, 일련의 적분 가능 함수들의 집합 \{u_i\}_{i\in I}\in L^1(X)이 주어졌다고 하자. 그렇다면 **모멘트 문제**는 다음과 같은 일련의 문제들이다.
* (존재 문제) 임의의 수열 \{m_i\}_{i\in I}에 대하여, \int_Xu_if=m_i\,\forall i\in I인 f가 존재하는가?
* (유일성 문제) 임의의 수열 \{m_i\}_{i\in I}에 대하여, \int_Xu_if=m_i\,\forall i\in I인 f가 유일한가? 아니면, 이러한 f의 공간이 어떤 모양인가?

## 고전적 모멘트 문제
다음과 같은 특별한 모멘트 문제들은 이름이 붙어 있다.
* **함부르거 모멘트 문제**()는 X=\mathbb R이며 u_i=x^i\qquad(i=0,1,2,\dots)인 경우이다.
* **스틸티어스 모멘트 문제**()는 X=[0,\infty)이며 u_i=x^i\qquad(i=0,1,2,\dots)인 경우이다.
* **하우스도르프 모멘트 문제**()는 X=[0,1]이며 u_i=x^i\qquad(i=0,1,2,\dots)인 경우이다.

### 함부르거 문제
함부르거 모멘트 문제의 해는 다음과 같다.

존재 문제의 경우, 수열 m_i가 모멘트를 이룰 필요충분조건은 항켈 행렬의 열
:(H_n)_{ij}=m_{i+j}\qquad(0\le i,j\le n-1)
가 모든 n에 대하여 양의 준정부호이어야 한다는 것이다.

유일성 문제의 경우는 복잡하며, **칼레만 조건**() 및 **크레인 조건**()이라는 충분 조건이 알려져 있다.

**칼레만 조건**에 따르면, 만약 모멘트 m_i가
:\sum_{i=1}^\infty m_{2i}^{-1/2i}=+\infty
라면, 모멘트 m_i에 대응하는 측도는 유일하다. 특히, 만약 짝수 차수 모멘트가
:m_{2i}\in\mathcal O((2i)!)
이라면, 모멘트에 대응하는 측도는 유일하다.

**크레인 조건**에 따르면, 만약 모멘트 m_i를 갖는 함수 f가
:\int_{-\infty}^\infty -\frac{\ln f(x)}{1 + x^2} \, dx 
를 만족시킨다면, 모멘트 m_i에 대응하는 측도는 유일하지 않다.

### 스틸티어스 문제
스틸티어스 모멘트 문제에서, 수열 m_i가 주어졌을 때 행렬
:\Delta_n=\begin{pmatrix} m_0 & m_1 & m_2 & \cdots & m_{n} \\ m_1 & m_2 & m_3 & \cdots & m_{n+1} \\ m_2& m_3 & m_4 & \cdots & m_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n} & m_{n+1} & m_{n+2} & \cdots & m_{2n} \end{pmatrix}
:\Delta_n^{(1)}=\begin{pmatrix} m_1 & m_2 & m_3 & \cdots & m_{n+1} \\ m_2 & m_3 & m_4 & \cdots & m_{n+2} \\ m_3 & m_4 & m_5 & \cdots & m_{n+3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n+1} & m_{n+2} & m_{n+3} & \cdots & m_{2n+1} \end{pmatrix}
을 정의하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* m_n이 어떤 분포의 모멘트를 이룰 필요충분조건은 모든 n에 대하여 \det\Delta_n>0이며 \det\Delta_n^{(1)}>0인 것이다.

유일성에 대하여, 여러 충분 조건이 존재한다. 함부르거 문제와 마찬가지로, **칼레만 조건**에 따르면, 만약 모멘트 m_i가
:\sum_{i=1}^\infty m_i^{-1/2i}=+\infty
라면, 모멘트 m_i에 대응하는 측도는 유일하다.

**크레인 조건**에 따르면, 만약 모멘트 m_i를 갖는 함수 f가
:\int_0^\infty -\frac{\sqrt x\ln f(x)}{1 + x} \, dx 
를 만족시킨다면, 모멘트 m_i에 대응하는 측도는 유일하지 않다.

### 하우스도르프 문제
하우스도르프 모멘트 문제의 경우, 존재와 유일성은 다음과 같다.

수열 m_i가 어떤 측도의 모멘트일 필요충분조건은 모든 n,k\ge0에 대하여
:(-1)^k(\Delta^k m)_n \ge 0
인 것이다. 여기서 \Delta는 수열의 차 연산자
:(\Delta m)_i=m_{i+1}-m_i
이다.

모멘트가 주어지면 스톤-바이어슈트라스 정리에 의하여 이에 대응하는 분포는 유일하다.

## 체비쇼프-마르코프-크레인 부등식
**체비쇼프-마르코프-크레인 부등식**()은 모멘트가 알려져 있는 함수 또는 측도의 적분의 최솟값 및 최댓값을 제시하는 정리이다.

X가 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하고, \mu가 K 위의 측도이며, \mu(x)라고 하자. U\subset\mathcal C(K;\mathbb R)가 임의의 유한 차원 실수 벡터 공간이라고 하자. 또한, U가 모든 x\in X에 대하여 f(x)>0인 함수 f를 적어도 한 개 포함한다고 하자.

V(U,\mu)가
:\int_Xu\,d\mu=\int_Xu\,d\nu\qquad\forall u\in U
:\nu(X)
인 측도 \nu들의 집합이라고 하자.

임의의 f\in L^1(X,\mu;\mathbb R)에 대하여, **체비쇼프-마르코프-크레인 부등식**은
:\left\{\nu\in V(U,\mu)\colon \int_Xf\,d\nu\right\}
의 상한과 하한에 대한 부등식이다.

이 경우, 다음이 성립한다.
:\inf_{\nu\in V(U,\mu)}\int_Xf\,d\nu=\sup_{u\in U,\,u\le f}\int_Xu\,d\mu
따라서, \{\nu\in V(U,\mu)\colon \int_Xf\,d\nu\}의 상한·하한을 찾는 문제는
:\{\|u-f\|_1\colon u\in U\}
의 최솟값을 찾는 문제와 동치이다. 임의의 u_0\in U에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* u_0는 위 최솟값을 포화시키며, 모든 x\in X에 대하여 u_0(x)\le f(x)이다.
* 다음 두 조건을 만족시키는 x_1,\dots,x_k\in X 및 양의 실수 \lambda_1,\dots,\lambda_k\in\mathbb R^+가 존재한다 (1\le k\le \dim U).
** f(x_i)=u_0(x_i)\qquad\forall i=1,\dots,k
** \textstyle\int_Xu\,d\mu=\sum_{i=1}^k\lambda_iu(x_i)\qquad\forall u\in U
이러한 \{(x_i,\lambda_i)\}_{i=1,\dots,k}를 찾았을 때, 다음이 성립한다.
:\inf_{v\in V(U,\mu)}\int_Xf\,d\nu=\sum_{i=1}^k\lambda_if(x_i)
또한, 이 하한을 포화시키는 측도 \nu는 다음과 같다.
:\nu_{\min}=\sum_{i=1}^k\lambda_i\delta_{x_i}
여기서 \delta_x는 x\in X에서의 디랙 델타 측도이다. 즉,
:\delta_x(A)=\begin{cases}1&x\in A\\0&x\not\in A\end{cases}
이다.

마찬가지로, 상한을 찾으려면 \int_X-f\,d\nu의 하한을 찾으면 된다.

## 구간 위의 모멘트 문제
닫힌구간 [a,b] 위의 모멘트 문제를 생각하자. 만약 유한 차원 벡터 부분 공간 T\subset\mathcal C^0([a,b];\mathbb R)에 대하여, 임의의 u\in T\setminus\{0\}에 대하여 u가 n개 미만의 영점들을 갖는다면, T를 **체비쇼프 공간**(, )이라고 하며, 그 기저를 **체비쇼프 계**(, )라고 한다.

[a,b] 위의 체비쇼프 공간 T가 주어졌다고 하자. [a,b] 위의 유한 측도 \mu가, 임의의 u\in T\setminus\{0\}에 대하여 만약 u(x)\ge0\forall x\in[a,b]이면 \int u\,d\mu>0이라고 하자. 그렇다면, \mu에 대하여,
:\int_a^bu\,d\mu=\int_a^b u\,d\nu\qquad\forall u\in T
이며
:\nu=\sum_{i=1}^n a_i\delta(x_i)\qquad(a\le x_1
인 꼴의 측도 \nu가 정확히 두 개 존재하며, 두 개 가운데 하나는 x_n=b를 갖는다. 이를 \mu_\pm이라고 하며, \mu의 상·하 **주표현**()이라고 한다. 임의의 [a,b] 위의 유한 측도 \nu\in V(U,\mu)에 대하여, 항상 다음과 같은 부등식이 성립한다.
:\int_a^bf\,d\mu_-\le\int_a^bf\,d\mu\le\int_a^bf\,d\mu_+
즉, 상·하 주표현들은 체비쇼프 공간에 대한 모멘트 문제의 상·하한을 이룬다.

## 예
실수선 위의 함수
:f(x)=\exp(-(\ln x)^2)
를 생각하자. 이 함수의 모멘트는 모두 유한하다.
:\int_{-\infty}^\infty x^nf(x)\,dx=\begin{cases}2e^{(n+1)^2/4}\sqrt{\pi}&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}
그러나 크레인 조건에 따라
:\int_{-\infty}^\infty\frac{-\ln f(x)}{1+x^2}\,dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{(\ln x)^2}{1+x^2}\,dx=\pi^3/4
이므로, 이 함부르거 모멘트 문제는 유일하지 않다. 반대로, 칼레만 조건을 적용한다면, 짝수 차수 모멘트들은
:m_{2n}\sim \exp(n^2)\gg(2n)!\sim\exp\left(2n\ln n+\cdots\right)
이므로, 칼레만 조건을 통해 유일성을 보일 수 없다.

## 같이 보기
* 한켈 행렬
* 모멘트 (수학)
## 참고 문헌
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## 외부 링크
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분류:확률론
분류:힐베르트 공간
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