산술-기하 평균 부등식

[섬네일|산술-기하 평균 부등식의 시각적인 증명. ''PR''은 중심이 ''O''인 원의 지름이며, 반지름 AO의 길이는 ''a''와 ''b''의 [산술 평균이다. 삼각형의 닯음을 쓰면, 삼각형 PGR에서 밑변 PR에 대한 높이 GQ는 *a*와 *b*의 기하 평균이다. *a*와 *b*의 비와 상관 없이, AO ≥ GQ이다.]]
[섬네일|(''x'' + ''y'')<sup>2</sup> ≥ 4''xy''의 시각적인 증명. 양변에 [제곱근을 취하고 2로 나누면 산술-기하 평균 부등식이 된다.]]
수학에서, **산술-기하 평균 부등식**(算術幾何平均不等式, )은 산술 평균과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식이다. 이에 따르면, 음이 아닌 실수들의 산술 평균은 항상 기하 평균보다 크거나 같다. 또한, 두 평균이 같을 필요충분조건은 모든 수가 같은 것이다.

산술-기하 평균 부등식의 증명은 대부분 수학적 귀납법을 사용한다. 코시의 증명은 음이 아닌 실수들의 수가 2의 거듭제곱인 경우를 먼저 증명한다. 산술-기하 평균 부등식은 로그 함수의 오목성과 동치이다.

가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 산술-기하 평균 부등식과 유사한 부등식이 성립한다. 산술-기하 평균 부등식은 소위 제곱-산술-기하-조화 평균 부등식의 일부이다.

## 정의
유한 개의 음이 아닌 실수들 x_1, x_2, \ldots, x_n \ge 0이 주어졌다고 하자. 다음과 같은 부등식이 성립하며, 이를 **산술-기하 평균 부등식**이라고 한다.
:\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
또한, 등호가 성립할 필요충분조건은, 모든 수들이 같은 것이다.
:\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \iff x_1 = x_2 = \cdots = x_n

## 증명
### 귀납적 증명
수학적 귀납법을 사용하자. 우선, n=1인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, n개 수에 대한 산술-기하 평균 부등식이 성립한다는 가정 아래, n + 1개 수 x_1,\dots,x_{n+1}\ge0에 대한 산술-기하 평균 부등식을 보이자. 산술 평균을
:x = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{n+1}}{n+1}
로 적으면, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같다.
:x^{n+1} \ge x_1x_2\cdots x_{n+1}
:x^{n+1} = x_1x_2\cdots x_{n+1} \iff x_1 = x_2 = \cdots = x_{n+1}

만약 x_1 = x_2 = \cdots = x_{n+1}라면, 자명하게 등식이 성립한다. 만약 그렇지 않다면, x보다 큰 수와 x보다 작은 수의 쌍이 적어도 하나 존재하며, x_n > x > x_{n+1}라고 하여도 무방하다. 그렇다면,

:(x_n - x)(x - x_{n+1}) > 0

이다. 또한, 양의 실수

:y = x_{n} + x_{n+1} - x \ge x_n - x > 0

를 정의하면,

:\begin{align}
nx &= (n+1)x - x\\
   &= x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} + x_n + x_{n+1} - x\\
   &= x_1 + x_2 + \cdots+ x_{n-1} + y
\end{align}

이므로, x는 n개의 음이 아닌 실수 x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, y의 산술 평균이기도 하다. 귀납 가정에 따라

:x^{n+1} = x^nx \ge x_1x_2\cdots x_{n-1}yx

이다. 또한,

:yx - x_nx_{n+1} = (x_n + x_{n+1} - x)x  - x_nx_{n+1} = (x_n - x)(x - x_{n+1}) > 0

이므로

:yx > x_nx_{n+1}

이다. 따라서, 다음이 성립한다.

:x^{n+1} = x^nx \ge x_1x_2\cdots x_{n-1}yx \ge x_1x_2\cdots x_{n-1}x_nx_{n+1}

이 경우, x > 0이므로, 만약 x_1, x_2, \ldots, x_{n-1} 가운데 0이 있다면, 첫번째 부등호는 등호일 수 없다. 만약에 x_1, x_2, \ldots, x_{n-1} \ne 0이라면, 두번째 부등호는 등호일 수 없다. 즉, 어떤 경우에도

:x^{n+1} > x_1x_2\cdots x_{n-1}x_nx_{n+1}

이다. 수학적 귀납법에 따라, 임의의 n에 대하여, n개 수에 대한 산술-기하 평균 부등식이 성립한다.

### 코시의 증명
만약

:x_1 = x_2 = \cdots = x_n

이라면, 산술 평균과 기하 평균은 x_1로 같다. 만약 서로 다른 두 수가 존재한다면, 당연히 n > 1이다. 만약 n=2이며, 서로 다른 두 수 x_1, x_2가 주어지면,

:\begin{align}
\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2-x_1x_2
&=\frac14(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-x_1x_2\\
&=\frac14(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2)\\
&=\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2>0
\end{align}

이므로,

:\frac{x_1 + x_2}{2} > \sqrt{x_1x_2}

이다.

n=2^k이 2의 거듭제곱인 경우, k에 대한 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다. k = 1인 경우, n = 2이며, 이 경우는 이미 증명되었다. k - 1에 대한 부등식을 가정한 채, k에 대한 부등식을 다음과 같이 보일 수 있다.

:\begin{align}
\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^k}}{2^k}
&{} = \frac{\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}} + \frac{x_{2^{k-1} + 1} + x_{2^{k-1} + 2} + \cdots + x_{2^k}}{2^{k-1}}}{2}\\[7pt]
&\ge \frac{\sqrt[2^{k-1}]{x_1 x_2 \cdots x_{2^{k-1}}} + \sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1} + 1} x_{2^{k-1} + 2} \cdots x_{2^k}}}{2}\\[7pt]
&\ge \sqrt{\sqrt[2^{k-1}]{x_1 x_2 \cdots x_{2^{k-1}}} \sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1} + 1} x_{2^{k-1} + 2} \cdots x_{2^k}}}\\[7pt]
&= \sqrt[2^k]{x_1 x_2 \cdots x_{2^k}}
\end{align}

여기서 첫번째 부등식이 등식이 되려면, 그 양변에 걸친 두 쌍의 산술 및 기하 평균이 각각 같아야 하므로

:x_1 = x_2 = \cdots = x_{2^{k-1}}
:x_{2^k+1} = x_{2^k+2} = \cdots = x_{2^k}

이어야 한다. 두번째 부등식이 추가로 등식이 되려면, 그 양변에 걸친 한 쌍의 산술 및 기하 평균이 같아야 한다. 즉, 앞의 절반 및 뒤의 절반의 수들의 기하 평균이 서로 같아야 한다. 따라서, 둘 다 등식이려면

:x_1 = x_2 = \cdots = x_{2^k}

이어야 한다. 그러나 서로 다른 수이므로, 둘 다 등식이 될 수는 없다. 따라서,

:\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^k}}{2^k} > \sqrt[2^k]{x_1 x_2 \cdots x_{2^k}}

이다.

n이 2의 거듭제곱 꼴이 아닌 경우, n보다 큰, 2의 거듭제곱 m=2^k>n을 고를 수 있다. (이를테면, k=n인 경우 2^n>n이다.) 음이 아닌 실수 x_1, x_2, \cdots, x_n 및 그 산술 평균 x가 주어졌다고 하고, n개의 수를 다음과 같이 m개로 확장하자.

:x_{n+1} = x_{n+2} = \cdots = x_m = x

그렇다면, 이미 증명한 m에 대한 부등식에 따라, 다음이 성립한다.

:\begin{align}
x & = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \\[6pt]
&= \frac{\frac{m}{n} (x_1 + x_2 + \cdots + x_n)}{m} \\[6pt]
&= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + \frac{m-n}{n}(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)}{m} \\[6pt]
&= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + (m-n) x}{m} \\[6pt]
&= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + x_{n+1} + \cdots + x_m}{m} \\[6pt]
&> \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n x_{n+1} \cdots x_m} \\[6pt]
&= \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n x^{m-n}}
\end{align}

따라서

:x^m > x_1 x_2 \cdots x_n x^{m-n}

이다. 즉,

:x > \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}

이다.

### 미분을 통한 증명
우선, n=1,2인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, n>1에 대한 부등식을 가정한 채, n+1>2에 대한 부등식을 보이자. 모든 수가 같은 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 서로 다른 두 수가 존재하는 경우, 당연히 x_1 \ne x_2이라고 전제하여도 무방하다. 이 경우, 다음 식을 증명하여야 한다.

:\frac{x_1 + \cdots + x_n + x_{n+1}}{n+1} - (x_1 \cdots x_n x_{n+1})^{\frac{1}{n+1}} > 0

이는 음이 아닌 실수 x_1, \dots, x_n \ge 0을 고정하고, 함수

:f(t)=\frac{x_1 + \cdots + x_n + t}{n+1} - (x_1 \cdots x_n t)^{\frac{1}{n+1}} \qquad (t \ge 0)

를 정의하였을 때, 다음을 증명하여야 한다는 것과 같다.

:f(x_{n+1}) > 0

극값을 구하기 위해, f의 미분을 취하자.

:f'(t) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+1}(x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n+1}}t^{-\frac{n}{n+1}}

따라서, f는 다음과 같은 임계점을 갖는다.

:f'(t_0)=0 \iff t_0 = (x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n}}

따라서, f의 가능한 극값은 다음과 같다.

:f(0) = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} > 0
:
\begin{align}
f(t_0) & = \frac{x_1 + \cdots + x_n + ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n}}}{n+1} - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n+1}}(x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n(n+1)}} \\
        & = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} + \frac{1}{n+1}({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} \\
        & = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} - \frac{n}{n+1}({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} \\
        & = \frac{n}{n+1}\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}n - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n}\right) \\
        & > 0
\end{align}

:\lim_{t\to\infty}f(t)=\infty>0

여기서, f(t_0) = 0일 수 없는 이유는, 이미 x_1 \ne x_2이라고 전제하였기 때문이다. 모든 극값이 0보다 크므로, 임의의 t
 \ge 0에 대하여,

:f(t)>0

이다. 특히, t=x_{n+1}일 경우,

:f(x_{n+1})>0

이다. 이렇게 n+1에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

### 볼록성을 통한 증명
산술-기하 평균 부등식은 양의 실수들 x_1,x_2\dots,x_n>0에 대한 다음과 같은 항등식과 동치이다.

:\ln\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n>\frac1n(\ln x_1+\ln x_2+\cdots+\ln x_n)\qquad(\lnot x_1=x_2=\cdots=x_n)

이는 로그 함수의 옌센 부등식이므로, 로그 함수가 엄격 오목 함수임을 보이기만 하면 된다. 이는 이계 도함수 판정법

:(\ln x)*=\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}<0\qquad(x>0)</math>

에 따라 성립한다.

== 관련 정리 ==
=== 가중 산술-기하 평균 부등식 ===
[[가중 산술 평균]]과 [[가중 기하 평균]] 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. *n*개의 음수가 아닌 실수들 *x*<sub>1</sub>, *x*<sub>2</sub>, …, *x*<sub>*n*</sub>과 그에 대응하는 가중치 &alpha;<sub>1</sub>, &alpha;<sub>2</sub>, …, &alpha;<sub>*n*</sub>가 있을 때, 가중치의 합 <math>\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n</math>이라 하면 다음이 성립한다.
: <math>\frac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n}{\alpha} \geq \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}</math>
마찬가지로 이 부등식은 모든 *x*<sub>*k''들이 같을 때 등식이 된다.

### 가중 산술-기하 평균 부등식의 증명
\alpha_k=0(k=0, 1, \cdots, n)를 가중치로 갖는 x_k은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든 \alpha_k는 양수라고 가정할 수 있다.

f(x)=lnx에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

x>0일 때 f(x)=lnx는 오목함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로
:\begin{align}
\ln\Bigl(\frac{\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n}\alpha\Bigr) & >\frac{\alpha_1}\alpha\ln x_1+\cdots+\frac{\alpha_n}\alpha\ln x_n \\
& =\ln \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}.
\end{align}

이다. f(x)=lnx는 단조증가함수이므로

: \frac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n}{\alpha} \geq \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}

가 성립함이 증명된다.

### 제곱-산술-기하-조화 평균 부등식
산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균과 조화 평균에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수 x_1, x_2, \dots, x_n \ge 0에 대하여, 다음이 성립한다.

:\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}
\le \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
\le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
\le \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2}{n}}

특히, 각각의 부등호가 등호가 될 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다.

:\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}

:\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}
= \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
= \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2}{n}}
\qquad (x_1 = x_2 = \cdots = x_n)

### 기타
이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식과 일반화된 평균 부등식이 있다.

## 같이 보기
* 영의 부등식

## 참고 문헌

## 외부 링크
* 
* 
* 

분류:부등식
분류:평균