데카르트 닫힌 범주

범주론에서 **데카르트 닫힌 범주**(Descartes닫힌範疇, , 약자 CCC)는 사상 집합을 대상으로 간주할 수 있어, 정의역이 곱 대상인 사상을, 사상 집합을 공역으로 갖는 사상으로 치환할 수 있는 범주이다.

## 정의
### 지수 대상
모노이드 범주 (\mathcal C,\otimes)에서, 두 대상 Y, Z\in\mathcal C의 **지수 대상**() (Z^Y\in\mathcal C,\operatorname{eval}\colon Z^Y\otimes Y\to Z)은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 대상이다. 임의의 대상 X\in\mathcal C 및 사상 g\colon X\otimes Y\to Z에 대하여, 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상 \lambda g\colon X\to Z^Y이 존재한다.
:
\begin{matrix}
X\otimes Y\\
{\scriptstyle\lambda g\otimes \operatorname{id}_Y}\downarrow&\searrow\scriptstyle g\\
Z^Y\otimes Y&\xrightarrow[\operatorname{eval}]{}&Z
\end{matrix}


### 데카르트 닫힌 범주
모노이드 범주 (\mathcal C,\otimes)에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 모노이드 범주를 **닫힌 모노이드 범주**()라고 한다.
* 임의의 두 대상 X,Y\in\mathcal C에 대하여, 지수 대상 Y^X가 존재한다.
* 모든 대상 X\in\mathcal C에 대하여 다음과 같은 수반 함자가 존재한다.
*: (-\otimes X)\dashv(-)^X

곱 \times에 대한 닫힌 모노이드 범주를 **데카르트 닫힌 범주**라고 한다.

### 국소 데카르트 닫힌 범주
범주 \mathcal C 위의 사상 f\colon X\to Y에 대하여, 두 조각 범주 사이에 자연스러운 함자
:f_!\colon\mathcal C/X\to\mathcal C/Y
:f_!\colon g\mapsto f\circ g
가 존재한다. 만약 \mathcal C가 유한 완비 범주라면 밑 변환() 함자
:f^*\colon\mathcal C/Y\to\mathcal C/X
:f^*\colon (g\colon A\to Y)\mapsto (g_X\colon A\times_YX\to X)
의 왼쪽 수반 함자 f_!가 존재한다. f_! 함자를 **의존합**(依存合, )이라고 부른다.

유한 완비 범주 \mathcal C에서 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유한 완비 범주를 **국소 데카르트 닫힌 범주**()라고 한다.
* 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여, 조각 범주 \mathcal C/X는 데카르트 닫힌 범주이다.
* 임의의 사상 f\colon X\to Y에 대하여, 조각 범주 사이의 함자 f^*\colon\mathcal C/Y\to\mathcal C/X는 또한 오른쪽 수반 함자 f_*\colon\mathcal C/X\to\mathcal C/Y를 갖는다.
끝 대상 1\in\mathcal C에 대한 조각 범주 \mathcal C/1은 \mathcal C와 동형이므로, 모든 (유한 완비) 국소 데카르트 닫힌 범주는 데카르트 닫힌 범주이다.

국소 데카르트 닫힌 범주에서, 사상 f\colon X\to Y에 대하여 존재하는 오른쪽 수반 함자 f_*\colon\mathcal C/X\to\mathcal C/Y는 **의존곱**(依存-, )이라고 한다. 대략, 사상 \pi \colon E\to X이 주어졌을 때 이를 X 위의 "다발"로 해석하고, "밑공간" X 위의 Y-점에 대하여 그 "올" E_x을 정의할 수 있다. 그렇다면, 의존곱은 이를 다발 E\to X의 "단면"들의 모임으로 대응시킨다. 이러한 해석은 물론 임의의 범주에서 적용되지 않지만, 집합의 범주나 다른 토포스 속에서 성립한다.

## 예
### 데카르트 닫힌 범주
데카르트 닫힌 범주의 예는 다음과 같다.

일반적인 위상 공간의 범주 \operatorname{Top}에서는 곱 (=곱위상을 갖춘 곱공간) 및 끝 대상 (=한원소 공간)이 존재하지만, 지수 대상은 일반적으로 존재하지 않는다. (그러나 이 위에는 독특한 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조가 존재한다.)

### 닫힌 모노이드 범주
체 K 위의 벡터 공간의 범주 K\text{-Vect}에서는 곱 (=직합 V\oplus W) 및 끝 대상 (=0차원 벡터 공간)이 존재하지만, 지수 대상은 존재하지 않는다. 그러나 텐서곱(V\otimes W)에 대해서는 지수 대상과 유사한 대상 (선형 변환의 집합 \mathcal L(V,W))이 존재한다. 즉, 이는 닫힌 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

아벨 군의 범주 \operatorname{Ab}는 아벨 군의 텐서곱에 대하여 닫힌 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 두 아벨 군 사이의 군 준동형들의 집합은 점별 합에 대하여 자연스럽게 아벨 군을 이룬다.

모든 위상 공간의 범주 \operatorname{Top} 위에는 유일한 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조가 존재한다. 이 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조에서,
* 대칭 이항 연산은 집합으로서 곱집합이지만, 이 위에는 곱공간과 현저히 다른 위상이 주어진다. (이는 지수 대상의 위상으로부터 유일하게 결정된다.)
* 항등원은 한원소 공간이다.
* 지수 대상은 집합으로서 연속 함수의 집합이지만, 이 위에는 콤팩트-열린 집합 위상 대신 점별 수렴 위상이 주어진다.
이 때문에 이 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조는 위상수학에서 그리 유용하지 않다.

### 국소 데카르트 닫힌 범주
모든 토포스와 모든 준토포스는 국소 데카르트 닫힌 범주이다. 토포스의 조각 범주 역시 토포스이며, 토포스 \mathcal T 속의 사상 f\colon X\to Y에 의하여 수반 함자
:f_!\dashv f^*\dashv f_*
가 유도된다. 이는 토포스의 본질적 기하학적 사상을 이룬다.

특히, 집합과 함수의 토포스 \operatorname{Set}는 국소 데카르트 범주이다. 집합의 범주에서, 함수 f\colon X\to I에 대한 의존곱은 함수 \pi\colon E\to X를
:\bigsqcup_{i\in I} \Gamma_{X_i}(E_i)
로 대응시킨다. 여기서
:X_i=f^{-1}(i)
:E_i=(f\circ\pi)^{-1}(i)
이며,
:\Gamma_{X_i}(E_i)=\left\{f\in E^{X_i}\colon\forall x\in X_i\colon \pi(f(x))=x\right\}
는 "단면 집합"이다.

특히, 만약 I가 끝 대상인 한원소 집합이라면, f\colon X\to\{\bullet\}에 대한 의존곱은 \pi\colon E\to X를 단면 집합 \Gamma_X(E)으로 대응시킨다.

## 같이 보기
* 커링

## 참고 문헌

* 

## 외부 링크
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

분류:범주론
분류:람다 대수