지수 함수

오른쪽|200px|섬네일|지수 함수 <math>y=\exp x</math>의 그래프
**지수 함수**(指數函數, )란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이다.

## 정의
### 거듭제곱을 통한 정의
지수 함수는 거듭제곱을 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 거듭제곱 a^b를 다음과 같이 정의하자.
* b가 음이 아닌 정수일 때,
*:a^b=\underbrace{a\times\cdots\times a}_b
* b가 음의 정수일 때,
*:a^b=\frac1{a^{-b}}
* b=m/n가 유리수이며, m과 n이 서로소이며, a>0일 때,
*:a^b=\sqrt[n]{a^m}
* b가 실수이며, a>0일 때,
*:a^b=\sup_a^c
이제 지수 함수를 정의하자. 1이 아닌 양의 실수
:a>0
:a\ne1
를 밑으로 하는 **지수 함수** f_a\colon\mathbb R\to\mathbb R^+는 다음과 같다.
:f_a(x)=a^x\qquad(x\in\mathbb R)
여기서 우변은 밑이 a, 지수가 x인 거듭제곱이다. 즉, 지수 함수는 밑이 고정된 채 변화하는 지수에 대한 거듭제곱을 구하는 함수이다.

함수
:\exp\colon\mathbb R\to\mathbb R^+
는 자연로그의 밑
:\mathrm e=2.71828\cdots
을 밑으로 하는 지수 함수
:\exp x=\mathrm e^x
를 나타낸다. **지수 함수**는 흔히 이 특수한 지수 함수만을 일컫는다. 또한, 이를 사용하여 일반적인 밑의 지수 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:a^x={\mathrm e}^{x\ln a}
여기서 \ln은 자연로그이다. 물론, 다른 특수한 밑부터 시작하여 일반적인 지수 함수에 이를 수도 있다. 하지만 다른 밑에 대한 지수 함수의 직접적인 정의는 상대적으로 더 복잡하다.

### 극한을 통한 정의
**지수 함수** \exp\colon\mathbb R\to\mathbb R^+는 다음과 같다.
:\exp x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n
우변은 수열의 극한이다. 수열
:\left(1+\frac xn\right)^n
은 유계 수열이며, x>0인 경우 순증가, x인 경우 순감소한다. 이는 보통 이항 정리를 사용하여 증명하며, 산술-기하 부등식을 통한 증명도 존재한다. 단조 수렴 정리에 따라, 이 수열은 수렴한다.

일반적인 밑
:a>0
:a\ne1
에 대한 **지수 함수**는 다음과 같다.
:a^x=\exp(x\ln a)
특히,
:\mathrm e^x=\exp(x\ln\mathrm e)=\exp x
이다.

### 멱급수를 통한 정의
**지수 함수** \exp\colon\mathbb R\to\mathbb R^+는 다음과 같다.
:\begin{align}
\exp x
 & =\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} \\
 & =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots
\end{align}

우변은 지수 함수의 테일러 급수이다. 이 급수가 모든 x에 대하여 수렴함은 이를테면 비 판정법 또는 코시-아다마르 정리를 사용하여 보일 수 있다. 다른 정의를 사용하는 경우, 우변의 멱급수가 테일러 급수임은 이를테면 라그랑주 나머지 항에 대한 테일러 정리를 사용하여 보일 수 있다.

일반적인 밑
:a>0
:a\ne1
에 대한 **지수 함수**는 다음과 같다.
:a^x=\exp(x\ln a)
특히,
:\mathrm e^x=\exp(x\ln\mathrm e)=\exp x
이다.

### 로그 함수의 역함수로서의 정의
로그 함수를 정적분을 이용하여 정의할 경우, 지수 함수를 로그 함수의 역함수로 정의할 수 있다.

자연로그를 다음과 같이 정의하자.
:\ln x=\int_{1}^{x} {1 \over t}\, dt

이때 y= \ln x는 강한 증가 함수이며 치역이 실수 전체이므로 역함수가 존재한다. 이때의 역함수를 y=\exp (x)라고 표기한다.

이 함수의 도함수는 역함수의 미분에 의하여

{dy \over dx}={1 \over {dx \over dy}}={1 \over {1 \over y}}=y

즉, {d \over dx} \exp (x)= \exp (x)이다. 또한, \ln 1=0 이므로, \exp (0)=1이다.

그리고 로그함수와의 역함수 관계를 이용하여 다음 등식이 성립함을 간단히 보일 수 있다.

\exp (a+b)=\exp (a)\cdot \exp (b)

:\exp (a)=p, \exp (b)=q로 놓으면
:a=\ln p, b=\ln q이므로 로그의 성질에 의하여 a+b=\ln p+\ln q=\ln pq
:따라서 \exp (a+b)=pq=\exp (a)\cdot\exp (b)가 성립한다.

로그함수 y=\ln x는 정의역 전체에서 연속 함수이므로 중간값 정리에 의하여 방정식 \ln x=1를 만족하는 해 x가 존재하며, 단사함수이므로 실수 x는 단 한개만 존재한다. 방정식 \ln x=1의 해를 x=e라 하자.

\therefore \ln e=1, \exp (1)=e

이제 \exp (x)=e^x로 놓고 이것을 **지수함수**로 정의한다.

수학적 귀납법을 이용하면 x가 자연수일 때 \exp (x)=\underbrace{e\times e\times e\times\cdots e}_x임을 보일 수 있다.

이제 일반적인 밑을 가진 지수를 a^x=e^{x\ln a} (a>0)로 정의하자.

마찬가지로 수학적 귀납법을 이용하여 자연수 x에 대하여 a^x=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots a}_x임을 보일 수 있다.

증명은 다음과 같다.
;1에 대하여 성립
:a^1=e^{\ln a}=a
;n에 대하여 성립한다는 가정 아래, n+1에 대하여 성립
::a^n=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots a}_n
:양변에 a를 곱하면
::a^n\cdot a=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots a}_{n+1}
:위 식의 좌변은 다음과 같이 정리된다.
::a^n\cdot a=a^n\cdot a^1=e^{n\ln a}\cdot e^{\ln a}=e^{n\ln a+\ln a}=e^{(n+1)\ln a}=a^{n+1}
::\therefore a^{n+1}=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots a}_{n+1}
:따라서 수학적 귀납법에 의하여 자연수 x에 대하여 e^{x\ln a}로 정의된 a^x는 a를 x번 곱한 것과 같다.

## 성질
지수 함수의 정의역은 실수 전체이다. 지수 함수의 치역은 양의 실수의 집합 \mathbb R^+이다.

### 단조성
지수 함수는 단조함수이다. 만약 a>1이라면, 지수 함수 f(x)=a^x는 증가함수이다. 만약 0이라면, 지수 함수 f(x)=a^x는 감소함수이다.

### 극한
a>1일 때, 지수 함수의 양과 음의 무한대에서의 극한은 다음과 같다.
:\lim_{x \to \infty}a^x=\infty
:\lim_{x \to -\infty}a^x=0

0일 때, 지수 함수의 양과 음의 무한대에서의 극한은 다음과 같다.
:\lim_{x \to \infty}a^x=0
:\lim_{x \to -\infty}a^x=\infty

따라서, 지수 함수는 x축을 점근선으로 갖는다.

지수 함수의 유한한 점에서의 극한은 함수의 값과 같다. 즉, 지수 함수는 연속 함수이다.
:\lim_{x\to x_0}a^x=a^{x_0}

### 미분
밑이 자연로그의 밑인 지수 함수 \mathrm e^x의 도함수는 스스로와 같다.
:\frac d{dx}\mathrm e^x=\mathrm e^x

a^x=\mathrm e^{x\ln a}이므로, 일반적인 지수 함수의 도함수는
:\frac d{dx}a^x=a^x\ln a
가 된다.

연쇄 법칙에 따라,
:\frac d{dx}a^x=\frac d{dx}\mathrm e^{x\ln a}=\frac{d\mathrm e^{x\ln a}}{dx\ln a}\frac{d x\ln a}{dx}=\mathrm e^{x\ln a}\ln a=a^x\ln a

y=a^x 양변에 로그를 취하면 다음을 얻는다.
:\ln y=x\ln a
양변을 x에 대하여 미분하면 다음을 얻는다.
:\frac1y\frac{dy}{dx}=\ln a
정리하면 다음과 같다.
:\frac{dy}{dx}=y\ln a=a^x\ln a

지수 함수 y=\mathrm e^x는 미분 방정식
:dy/dx = y
:y(0)=1
의 유일한 해이다. 이는 지수 함수의 정의로 삼을 수 있다.

### 체론적 성질
다음과 같은 유리수 계수 다항식을 생각하자.
:\begin{align}
f_n(x)
 & =\sum_{i=0}^nx^i/i! \\
 & =((\exp x)/\Gamma(n+1))\int_x^\infty t^n\exp(-t)\,dt \\
 & \in\mathbb Q[x]
\end{align}

즉, 이는 지수 함수 \exp의 테일러 급수의 부분합이다. 이 다항식은 유리수 계수 다항식이며, n\ne0인 경우 기약 다항식이다. 또한, 이 다항식의 분해체의 갈루아 군은 다음과 같다.
:\operatorname{Gal}(f_n)\cong\begin{cases}
\operatorname{Sym}(n) & 4\nmid n \\
\operatorname{Alt}(n) & 4\mid n
\end{cases}


## 같이 보기
* 자연로그의 밑
* 행렬 지수 함수
* 지수열

## 참고 문헌

## 외부 링크

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분류:함수와 사상
분류:초등 특수 함수
분류:해석 함수
분류:특수 초기하함수
분류:거듭제곱