플라스마 가림효과

**플라스마 가림효과**(Plasma screening)란 이온화 된 전자 즉, 플라스마가 들뜨게 되면 전자 간의 상호작용했던 쿨롱 퍼텐셜이 서로 가림을 받는 현상이 일어나게 되는데 이러한 현상을 가리켜 플라즈마 가림효과라 일컫는다. **플라즈마 가림현상**으로 나타나는 대표적인 특징은 물질의 유전상수 변화이다. 주어진 퍼텐셜에서 플라즈마 가림현상으로 일어나게 되는 유전상수의 변화를 나타내는 식이 **린드하드 식**이다. 1954년 린드하드가 알아낸 이 유전함수는 흔히 RPA (Random Phase Approximation)이라고 많이 불린다. 이는 동적상태인 \epsilon(q,\omega) \,\! 와 정적상태인 \epsilon(q) \,\!로 나누어 모델링 한 것인데 특히, 전자 가스와 같은 플라즈몬에 대해서 잘 예측하게 해준다. 그 린드하드식은 아래와 같다.

:::::::::::

여기서, \epsilon \,\! 은 동적 유전상수(Dynamic Dielectric Funtion)이고 f_k \,\! 는 페르미-디락 분포를 따르는 캐리어 분포 함수를 V_q \,\! 는 V(r) \,\! 을 푸리에 변환한 함수이다.

## Random Phase Approximation
어떤 시스템의 Dynamic Electronic Response를 보기 위한 방법으로 주로 사용되는 것이 Random Phase Approximation이다. RPA에서 전자는 외부 퍼텐셜 V_{ext}(r) \,\!  과 가림효과를 받은 가림 퍼텐셜 V_{sub}(r) \,\! 을 합친 V(r) \,\! 에 의해서만 반응을 하고 외부 퍼텐셜V_{ext}(r) \,\! 이 특정한 단일 주파수  \omega \,\! 로 진동한다고 가정을 한 방법이다. 따라서, 전체 퍼텐셜 V(r) \,\! 이 동적 유전상수에 대한 기여는 평균화되어 특정한 Wave Vector   k \,\!  만이 기여를 하게 된다.

## 린드하드 식의 유도
전자 플라즈자에서 다체계 상호작용의 대표적인 특징이 플라즈마 가림효과이다. 플라즈마 가림효과는 양자역학적으로 접근을 해야한다. 단일 입자에 관한 해밀토니안을 아래와 같이 표현 할 수 있다. 여기에서  V_{e f f}(r)=V(r)+V_{ind}(r) \,\!이다.  V(r) \,\!  은 쿨롱 퍼텐셜이고,  V_{ind}(r) \,\! 는 가림을 받는 입자들에 의해 유도된 퍼텐셜이다.

:
H= \int d^3 r \,\psi^\dagger( \vec{r}) \, \left (-\frac {\nabla^2 \hbar ^2}{2m} \right ) \psi( \vec{r})+\int d^3 r\, V_{eff}(r) \, \psi^\dagger(\vec{r}) \, \psi(\vec{r})\,


위에 있는 해밀토니안을 푸리에 변환을 하면 아래와 같은 식이 된다. (일반적으로 전자 플라즈마에 대해서 분석하기 위해서 Charge Density Fluctuation을 계산해야 한다. 그런데 Second Quantization Formalism을 이용하면 Charge Density Operatior의 기대값을 구할 수 있다. 따라서  a^\dagger  \,\! 나 a \,\!와 같은 Operator가 수식에 나오게 되는 것이다.)

:
H=\sum_k E_{k}a^\dagger_{k}a_k+\sum_p V_{eff} (p) \sum_k a^\dagger_{k+p}a_k \,


이제, 하이젠버그 운동방정식을 이용하면  a^\dagger_{k-q}a_k \,\! * *의 운동에 대해 기술 할 수 있게 된다.

:\frac{d}{dt}a^\dagger_{k-q}a_k={i \over \hbar}[H,a^\dagger_{k-q}a_k]
:::: =i (E_{k-q}-E_{k})a^\dagger_{k-q}a_k-{i \over \hbar}\sum_p V_{eff}(p)(a^\dagger_{k-q}a_{k-p}-a^\dagger_{k+p-q}a_k)

앞의 결과와 Random Phase Approximation을 한다면,  a^\dagger_{k-q}a_k \,\! * *에 대한 기대값을 구할 수 있게 되고,

:\frac{d}{dt}  = i (E_{k-q}-E_{k}) -{i \over \hbar} V_{eff}(p)(f_{k-q}-f_{k})


또한 전자가 * *e^{-i(\omega+i\delta)t} \,\! * *에 비례해서 움직인다고 가정을 하면 즉, *  *   \, \propto \, e^{\,\!-i(\omega+i\delta)t} \,\! *  * 이라고 생각 할 수 있다. 따라서 앞의 식을 바탕으로 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

: \hbar(\omega\delta+E_{k-q}-E_{k})  = V_{eff}(q)(f_{k-q}-f_k)

결국,  \,\! 에 대해서 정리하면 아래와 같게 된다.

:=V_{eff}(q){ {f_{k-q}-f_{k}}\over \ {\hbar(\omega+i\delta+E_{k-q}-E_k)}}
 \,\! 

더 나아가기 이전에, 두 가지 함수를 정의해 보도록 하겠다.
먼저 Polarization Function으로 P^1(q, \omega) \,\! 으로 표현을 하며, 그 꼴을 아래와 같다.

:P^1(q, \omega)\equiv \sum_k{\frac{f_{k-q}-f_k}{\hbar(\omega+i\delta+E_{k-q}-E_k)}} 

다음으로 Electron Charge Denisty Operator이다.

:  \equiv - \frac {L^3} \sum_k { a^\dagger_{k-q}a_k }   

따라서 위에서 정의한 두 식과 앞의 유도한 식을 이용하면 Electron Charge Denisty Operator은 아래와 같이 새롭게 정의가 된다.

:  = - \frac {L^3} V_{eff}(q) P^1(q, \omega)   

가림효과를 받은 입자의 퍼텐셜은 포아송 방정식을 만족하므로 다음과 같이 쓰여 질 수 있다.

:
\nabla^2 V_{ind}(r)= \frac {4\pi |e| \rho (r) }{ \epsilon_o}


위 식을 푸리에 변환을 하고, 앞서 구한 Electron Charge Denisty Operator을 대입하면,

:
V_{ind}(q)=-\frac {4\pi |e|}{\epsilon q^2}\rho_q = \frac{4\pi |e|^2}{\epsilon_o q^2 L^3} V_{eff}(q)P^1(q, \omega)=V_q V_{eff}(q)P^1(q, \omega)


맨 처음에  V_{e f f}(r)=V(r)+V_{ind}(r) \,\! 이라고 했으므로, 위의 결과 들을 이용하면  V_{e f f} \,\! 를 가림을 받게되는 실질적인 퍼텐셜(Dynamically Screened Coulomb Potential)인  V_{s} \,\! 으로 새로 정의할 수 있다.

:
V_{e f f}(q)= V(q)[ 1 + V_{eff}(q)P^1(q, \omega)] = \frac {V_q}{1-V_q P^1(q, \omega)} = \frac {V_q}{\epsilon (q, \omega)}\equiv V_s(q, \omega)


이 때,

\epsilon (q, \omega) = 1- V_q P^1 (q, \omega) \,\!

으로  \epsilon \,\!   이 동적 유전상수(Dynamic Dielectric Funtion)로 정의 된다.

그러므로, 우리는 Polarization Function P^1(q, \omega) \,\! 의 꼴을 알고 있으므로 린드하드식을 다음과 같이 유도할 수 있게 되는 것이다.

:\epsilon(q,\omega) = 1 - V_q \sum_k{\frac{f_{k-q}-f_k}{\hbar(\omega+i\delta+E_{k-q}-E_k)}}.

## 린드하드 식의 적용범위
여기에 언급한 린드하드 식은 3차원과 2차원에 한 해서 적용이 가능하다. 그리고  q \,\!* *와  \omega \,\!* *에 대한 의존성이 있기 때문에 공간과 시간에 대한 분포를 포함한 식이라고 볼 수 있다. 식에서 사용된 입자의 밀도 함수 * *f_{k} \,\!* *는 플라즈마의 경우에는 페르미-디락 함수* *f \,\!* *와 같다. 바로 아래에서 차원에 따라서, 또 공간과 시간의 극한영역에서는 린드하드식이 어떻게 되는지 알아보도록 하겠다.

### 3차원
#### 긴파장 영역
긴파장 영역은 q\to0 \,\!으로 가능 영역이다. 왜냐하면, q \,\!는 파수이기 때문에 \lambda \,\!가 커지면 0으로 가기 때문이다.

린드하드 식의 분모를 보면,

: E_{k-q} - E_k = \frac{\hbar^2}{2m}(k^2-2\vec{k}\cdot\vec{q}+q^2) - \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \simeq -\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m},

린드하드 식의 분자를 보면,

: f_{k-q} - f_k = f_k - \vec{q}\cdot\nabla_k f_k + \cdots - k_k \simeq - \vec{q}\cdot\nabla_k f_k.

위 식을 린드하드 식에 대입을 하고 \delta \to 0으로 가는 경우를 취하면,

: 
\begin{alignat}{2}
\epsilon(0,\omega) & \simeq 1 + V_q \sum_{k,i}{ \frac{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}{\hbar \omega_0 - \frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m}} }\\
& \simeq 1 + \frac{V_q}{\hbar \omega_0} \sum_{k,i}{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}(1+\frac{\hbar \vec{k}\cdot\vec{q}}{m \omega_0})\\
& \simeq 1 + \frac{V_q}{\hbar \omega_0} \sum_{k,i}{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}\frac{\hbar \vec{k}\cdot\vec{q}}{m \omega_0}\\
& = 1 - V_q \frac{q^2}{m \omega_0^2} \sum_k{f_k}\\
& = 1 - V_q \frac{q^2 N}{m \omega_0^2} \\
& = 1 - \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 q^2 L^3} \frac{q^2 N}{m \omega_0^2} \\
& = 1 - \frac{\omega_{pl}^2}{\omega_0^2}
\end{alignat}
,

여기서 E_k = \hbar \epsilon_k, V_q = \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 q^2 L^3}, \omega_{pl}^2 = \frac{4 \pi e^2 N}{\epsilon_0 L^3 m}이다. 이는 고전적인 유전상수 모델(즉, Drude 모델)과 같은 결과이다.

#### 정적 상태
정적인 상태는 \omega + i\delta \to 0 일 때 이므로, 린드하드 식은 다음과 같이 된다.
: \epsilon(q,0) = 1 - V_q \sum_k{\frac{f_{k-q}-f_k}{E_{k-q}-E_k}} = 1 - V_q \sum_{k,i}{\frac{-q_i \frac{\partial f}{\partial k_i} }{ -\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m} }} = 1 - V_q \sum_{k,i}{\frac{q_i \frac{\partial f}{\partial k_i} }{\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m} }}
평형상태의 페르미-디락 분포상태를 가정하면,
: \sum_{i}{ q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i} } = -\sum_{i}{ q_i \frac{\partial f_k}{\partial \mu} \frac{\partial \epsilon_k}{\partial k_i} } = -\sum_{i}{ q_i k_i \frac{\hbar^2}{m} \frac{\partial f_k}{\partial \mu}}

여기서 \epsilon_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}, \frac{\partial \epsilon_k}{\partial k_i} = \frac{\hbar^2 k_i}{m} 이다.

그러므로, 정적 상태인 3차원 린드하드식은 아래와 같이 유도된다.
: 
\begin{alignat}{2}
\epsilon(q,0) & = 
1 + V_q \sum_{k,i}{\frac{ q_i k_i \frac{\hbar^2}{m} \frac{\partial f_k}{\partial \mu} }{\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m} }} = 
1 + V_q\sum_k{\frac{\partial f_k}{\partial \mu}} = 
1 + \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 q^2} \frac{\partial}{\partial \mu} \frac{1}{L^3} \sum_k{f_k} \\
& = 1 + \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 q^2} \frac{\partial}{\partial \mu} \frac{N}{L^3} =
1 + \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 q^2} \frac{\partial n}{\partial \mu} \equiv
1 + \frac{\kappa^2}{q^2}.
\end{alignat}


여기서 \kappa \,\!를 새롭게 정의 했는데 이를 3D Screening Wave Number라고 한다.

 \kappa = \sqrt{ \frac{4\pi e^2}{\epsilon_0} \frac{\partial n}{\partial \mu} }


또한, 앞의 결과를 이용하여 3차원 일 때 가림효과를 고려한 새로운 쿨롱 포텐션을 구할 수 있다.

:V_s(q,\omega=0)  = \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 L^3} \frac{1}{q^2 + \kappa^2} = \frac{V_q}{\epsilon(q,\omega=0)}

이 퍼텐셜은 주파수 도메인으로 표현되었으므로, 푸리에 변환을 해 공간 상에서 어떤 함수를 갖는지 알아보도록 하면,

:V_s(r) = \sum_q{ \frac{4\pi e^2}{\epsilon_0 L^3 (q^2+\kappa^2)} e^{i \vec{q} \cdot \vec{r}} } = \frac{e^2}{\epsilon_0 r} e^{-\kappa r}
이 되어 우리가 흔히 보았던 유카와 퍼텐셜이 됨을 알 수 있다. 두가지 퍼텐셜을 비교하면, 아래 그래프와 같다.

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3D Screening Wave Number를 축퇴 상태와 비축퇴 상태 두 가지 경우에 대해서 생각해 볼 수 있다. 먼저 축퇴상태를 생각해보면, 온도가 0이 상태이므로 종종 이러한 상태의 가림을 Thomas-Fermi Screening이라고 한다. 축퇴상태의 전자기체는 다음과 같은 밀도함수를 가진다.

: n = \frac{1}{2\pi^2}  (\frac{2m}{\hbar^2} \frac{2}{3} E_f)^{\frac{3}{2}} .

이 상태에서 페르미 에너지는 \mu \,\!와 같아 지므로,

:\frac{\partial n}{\partial \mu} = \frac{3}{2}\frac{n}{E_f}

을 얻을 수 있다.
따라서 축퇴상태의 3D Screening Wave Number는 아래와 같이 된다. 이와 같은 상태를 Thomas-Fermi Screening이라고 하므로 3D Thomas-Fermi Screening Wave Number라고 부른다.

:\kappa = \sqrt{ \frac{4\pi e^2}{\epsilon} \frac{\partial n}{\partial \mu} } = \sqrt{ \frac{6\pi e^2 n}{\epsilon_0 E_f} }

다음으로 비축퇴 상태를 생각해 보면, 페르미 분포로부터 다음 식을 유도할 수 있다.

:\frac{\partial \mu}{\partial n} = \frac{3}{2}\frac{n}{E_f}

따라서 아래와 같이 비축퇴 상태의 3D Screening Wave Number를 구할 수 있고, 이를 Debye-Hückel Screening Wave Number라고 부른다.

:\kappa = \sqrt{ \frac{4\pi e^2 n \beta}{\epsilon_0} }

### 2차원
#### 긴파장 영역
긴파장 영역은 q\to0으로 가능 영역이다. 왜냐하면, q는 파수이기 때문에 \lambda 가 커지면 0으로 가기 때문이다.

린드하드 식의 분모를 보면,

: E_{k-q} - E_k = \frac{\hbar^2}{2m}(k^2-2\vec{k}\cdot\vec{q}+q^2) - \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \simeq -\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m},

린드하드 식의 분자를 보면,

: f_{k-q} - f_k = f_k - \vec{q}\cdot\nabla_k f_k + \cdots - k_k \simeq - \vec{q}\cdot\nabla_k f_k.

위 식을 린드하드 식에 대입을 하고 \delta \to 0으로 가는 경우를 취하면 원하는 결과를 얻을 수 있다.

: 
\begin{alignat}{2}
\epsilon(0,\omega) & \simeq 1 + V_q \sum_{k,i}{ \frac{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}{\hbar \omega_0 - \frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m}} }\\
& \simeq 1 + \frac{V_q}{\hbar \omega_0} \sum_{k,i}{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}(1+\frac{\hbar \vec{k}\cdot\vec{q}}{m \omega_0})\\
& \simeq 1 + \frac{V_q}{\hbar \omega_0} \sum_{k,i}{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}\frac{\hbar \vec{k}\cdot\vec{q}}{m \omega_0}\\
& = 1 + \frac{V_q}{\hbar \omega_0} 2 \int d^2 k (\frac{L}{2 \pi})^2 \sum_{i,j}{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}\frac{\hbar k_j q_j}{m \omega_0}\\
& = 1 + \frac{V_q L^2}{m \omega_0^2} 2 \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2}  \sum_{i,j}{q_i q_j k_j \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}\\
& = 1 + \frac{V_q L^2}{m \omega_0^2} \sum_{i,j}{ q_i q_j 2 \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} k_j \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}\\
& = 1 - \frac{V_q L^2}{m \omega_0^2} \sum_{i,j}{ q_i q_j 2 \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} k_k \frac{\partial f_j}{\partial k_i}}\\
& = 1 - \frac{V_q L^2}{m \omega_0^2} \sum_{i,j}{ q_i q_j n \delta_{ij}}\\
& = 1 - \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 q L^2} \frac{L^2}{m \omega_0^2} q^2 n\\
& = 1 - \frac{\omega_{pl}^2(q)}{\omega_0^2},
\end{alignat}

여기서 E_k = \hbar \epsilon_k, V_q = \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 q L^2}이고, 특히 2D plasma frequency를 \omega_{pl}(q) = \sqrt { \frac{2 \pi e^2 n q}{\epsilon_0 m}}  와 같이 정의하였다.

#### 정적 상태
정적인 상태는 \omega + i\delta \to 0 일 때 이므로, 린드하드 식은 다음과 같이 된다.
: \epsilon(q,0) = 1 - V_q \sum_k{\frac{f_{k-q}-f_k}{E_{k-q}-E_k}}= 1 - V_q \sum_{k,i}{\frac{-q_i \frac{\partial f}{\partial k_i} }{ -\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m} }}
 = 1 - V_q \sum_{k,i}{\frac{q_i \frac{\partial f}{\partial k_i} }{\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m} }}.
평형상태의 페르미-디락 분포상태를 가정하면,
: \sum_{i}{ q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i} } = -\sum_{i}{ q_i \frac{\partial f_k}{\partial \mu} \frac{\partial \epsilon_k}{\partial k_i} } = -\sum_{i}{ q_i k_i \frac{\hbar^2}{m} \frac{\partial f_k}{\partial \mu}}

여기서 \epsilon_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}, \frac{\partial \epsilon_k}{\partial k_i} = \frac{\hbar^2 k_i}{m} 이다.

따라서, 2D 유전상수를 구할 수 있다.
: 
\begin{alignat}{2}
\epsilon(q,0) & = 
1 + V_q \sum_{k,i}{\frac{ q_i k_i \frac{\hbar^2}{m} \frac{\partial f_k}{\partial \mu} }{\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m} }} = 
1 + V_q\sum_k{\frac{\partial f_k}{\partial \mu}} = 
1 + \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 q L^2} \frac{\partial}{\partial \mu} \sum_k{f_k} \\
& = 1 + \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 q} \frac{\partial}{\partial \mu} \frac{N}{L^2} =
1 + \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 q} \frac{\partial n}{\partial \mu} \equiv
1 + \frac{\kappa}{q}.
\end{alignat}


여기서 \kappa = \frac{2\pi e^2}{\epsilon_0} \frac{\partial n}{\partial \mu} 로 정의를 했다. 3차원일 때와 마찬가지로 \kappa \,\!를 알면 가림효과를 고려한 쿨롱 퍼텐셜을 쉽게 유도 할 수 있다. 그 결과는 아래와 같다.

: V_s(q,\omega=0) = \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 L^2} \frac{1}{q + \kappa}

2차원 페르미 기체의 Chemical Potenital은 \mu (n,T) = \frac{1}{\beta} \ln{(e^{\hbar^2 \beta \pi n/m}-1)} 이므로  \frac{\partial \mu}{\partial n} = \frac{\hbar^2 \pi}{m} \frac{1}{1-e^{-\hbar^2 \beta \pi n / m}} 가 된다.

따라서 \kappa = \frac{2\pi e^2}{\epsilon_0} \frac{\partial n}{\partial \mu} = \frac{2\pi e^2}{\epsilon_0} \frac{m}
{\hbar^2 \pi} (1-e^{-\hbar^2 \beta \pi n / m}) = \frac{2 m e^2}{\epsilon_0 \hbar^2} f_{k=0} 가 됨을 알 수 있다. 수식을 보면 2차원 Screening Wave Number는 3차원이 밀도에 의존하는데 반해, 그렇지 않다는 것을 확인할 수 있다.

## 참고 문헌
* Hartmut Hang, "Quantum Theory of the optical and electronic Properties of Semiconductors", World Scientific (2004)
* Gerald D. Mahan, "Many-particle physics", New York : Kluwer Academic/Plenum Publishers (2000)
* Lindhard, J. K. Dan. Vidensk. Selsk. Mat. Fys. Medd. 28, (8) (1984)

## 같이 보기
* 플라즈마
* 퍼텐셜
* 페르미-디락 함수

분류:응집물질물리학