아벨 판정법

미적분학에서 **아벨 판정법**()은 급수의 수렴 판정법의 하나다. 이에 따르면, 수렴급수에 단조 유계 수열을 이루는 계수를 붙여도 수렴한다.

## 정의
### 실수 항 급수
두 실수 수열 (a_n)_{n=0}^\infty, (b_n)_{n=0}^\infty이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n은 수렴한다.
* (b_n)_{n=0}^\infty은 단조수열이자 유계 수열이다.
**아벨 판정법**에 따르면, 급수
:\sum_{n=0}^\infty a_nb_n
역시 수렴한다.

(b_n)_{n=0}^\infty은 단조수열 유계 수열이므로, 어떤 실수로 수렴한다.
:b=\lim_{n\to\infty}b_n\in\mathbb R
라고 하자. (b_n-b)_{n=0}^\infty는 단조수열이며, 0으로 수렴한다. 또한, 급수
:\sum_{n=0}^\infty a_n
이 수렴하므로, 부분합이 유계 수열이다. 디리클레 판정법에 의하여, 급수
:\sum_{n=0}^\infty a_n(b_n-b)
는 수렴한다. 따라서, 급수
:\sum_{n=0}^\infty a_nb_n=\sum_{n=0}^\infty a_n(b_n-b)+b\sum_{n=0}^\infty a_n
역시 수렴한다.

:S_n=\sum_{k=0}^na_k\qquad(\forall n\in\mathbb N)
:b=\lim_{n\to\infty}b_n\in\mathbb R
라고 하자. 임의의 \epsilon>0에 대하여,
:|b_n|\le2|b|\qquad(\forall n>N(\epsilon))
:|S_m-S_n|N(\epsilon))
인 자연수 N(\epsilon)\in\mathbb N이 존재한다. 아벨 변환에 의하여, 임의의 n\ge N(\epsilon) 및 임의의 p\in\mathbb Z^+에 대하여, 다음이 성립한다.
:\begin{align}
\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_kb_k\right|
&=\left|b_{n+p}(S_{n+p}-S_n)+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_k-b_{k+1})(S_k-S_n)\right|\\
&\le|b_{n+p}||S_{n+p}-S_n|+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}|b_k-b_{k+1}||S_k-S_n|\\
&\le\frac\epsilon{6|b|+1}\left(|b_{n+p}|+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}|b_k-b_{k+1}|\right)\\
&=\frac\epsilon{6|b|+1}\left(|b_{n+p}|+\left|\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_k-b_{k+1})\right|\right)\\
&=\frac\epsilon{6|b|+1}(|b_{n+p}|+|b_{n+1}-b_{n+p}|)\\
&\le\frac\epsilon{6|b|+1}(2|b_{n+p}|+|b_{n+1}|)\\
&\le\frac\epsilon{6|b|+1}\cdot3\cdot2|b|\\
&
즉, 급수
:\sum_{n=0}^\infty a_nb_n
의 부분합은 코시 수열이다. 따라서 이 급수는 수렴한다.

### 이상 적분
실수 값 함수 f\colon[a,\infty)\to\mathbb R가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* f는 임의의 [a,b]\subseteq[a,\infty)에서 리만 적분 가능하며, 또한 이상 적분 \int_a^\infty f(x)\,dx는 수렴한다.
* g는 단조함수이자 유계 함수이다.
그렇다면, 이상 적분
:\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx
는 수렴한다.

g\colon[a,\infty)\to\mathbb R가 단조 유계 함수이므로, 극한
:g(\infty)=\lim_{x\to\infty}g(x)\in\mathbb R
가 존재한다. 함수 x\mapsto g(x)-g(\infty)는 단조함수이며, 0으로 수렴한다. 이상 적분
:\int_a^\infty f(x)\,dx
가 수렴하므로,
:x\mapsto\int_a^xf(t)\,dt
는 유계 함수이다. 이상 적분에 대한 디리클레 판정법에 의하여, 이상 적분
:\int_a^\infty f(x)(g(x)-g(\infty))\,dx
는 수렴한다. 따라서, 이상 적분
:\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx=\int_a^\infty f(x)(g(x)-g(\infty))\,dx+g(\infty)\int_a^\infty f(x)\,dx
역시 수렴한다.

:g(\infty)=\lim_{x\to\infty}g(x)\in\mathbb R
이라고 하자. 임의의 \epsilon>0에 대하여,
:|g(x)|N(\epsilon))
:\left|\int_x^yf(t)\,dt\right|x>N(\epsilon))
인 N(\epsilon)>a가 존재한다. 제2 적분 평균값 정리에 따라, 임의의 y>x>N(\epsilon)에 대하여, 어떤 c(x,y)\in[x,y]가 존재하며, 다음이 성립한다.
:\begin{align}
\left|\int_x^yf(t)g(t)\,dt\right|
&=\left|g(x)\int_x^{c(x,y)}f(t)\,dt+g(y)\int_{c(x,y)}^yf(t)\,dt\right|\\
&\le2|g(\infty)|\left(\left|\int_x^{c(x,y)}f(t)\,dt\right|+\left|\int_{c(x,y)}^yf(t)\,dt\right|\right)\\
&\le2|g(\infty)|\cdot2\cdot\frac\epsilon{4|g(\infty)|+1}\\
&
따라서, 이상 적분
:\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx
은 수렴한다.

### 균등 수렴
집합 X 및 두 실수 값 함수의 열 (f_n,g_n\colon X\to\mathbb R)_{n=0}^\infty이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* 함수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty f_n는 균등 수렴한다.
* (g_n)_{n=0}^\infty은 균등 유계 함수열이다. 또한, 임의의 x\in X에 대하여, (g_n(x))_{n=0}^\infty는 단조수열이다.
그렇다면, 함수 항 급수
:\sum_{n=0}^\infty f_ng_n
역시 균등 수렴한다. 이에 대한 증명은 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법의 직접적 증명을 조금 고치면 된다. 디리클레 판정법을 통한 증명은 더 이상 유효하지 않다. 구체적으로, (g_n)_{n=0}^\infty은 점별 극한 g\colon X\to\mathbb R을 갖지만, g로 균등 수렴할 필요가 없다. 만약 X가 한원소 집합이라면, 이는 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법이다.

## 예
아벨 판정법에 따라, 임의의 수렴급수
:\sum_{n=1}^\infty a_n
에 대하여, 다음 급수들 역시 수렴한다.
:\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}na_n
:\sum_{n=1}^\infty\sqrt[n]na_n
:\sum_{n=1}^\infty\left(1+\frac1n\right)^na_n

## 참고 문헌

## 외부 링크
* 
* 
* 
* 

분류:수렴판정법