모리타 문맥

환론에서 **모리타 문맥**([森田]文脈, )은 두 개의 쌍가군으로 정의되는 수학적 구조이며, 이를 사용하여 **모리타 환**([森田]環, )이라는, 2×2 행렬들로 구성된 환을 정의할 수 있다. 만약 두 쌍가군 가운데 하나가 0이라면, 이에 대응되는 환은 **삼각환**(三角環, )이라고 하며, 이는 2×2 상삼각행렬들로 구성된다.

## 정의
### 행렬을 통한 정의
환 R와 S 사이의 **모리타 문맥**은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* (R,S)-쌍가군 {}_RM_S
* (S,R)-쌍가군 {}_SN_R
* (R,R)-쌍가군 준동형 \phi\colon {}_R(M\otimes_SN)_R\to {}_RR_R
* (S,S)-쌍가군 준동형 \psi\colon {}_S(N\otimes_RM)_S\to {}_SS_S
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* \operatorname{id}_M\otimes_S\psi=\phi\otimes_R\operatorname{id}_N
* \psi\otimes_S\operatorname{id}_N=\operatorname{id}_M\otimes_RN
모리타 문맥 (R,S,M,N,\phi,\psi)이 주어졌을 때, 아벨 군
:R\oplus M\oplus N\oplus S
위에 다음과 같은 이항 연산을 부여하면 이는 환을 이루며, 이를 **모리타 환**()이라고 한다.
:(r,m,n,s)(r',m',n',s')=\left(rr'+\phi(m\otimes_Sn'),rm'+ms',nr'+sn',ss'+\psi(n\otimes_Rm')\right)
R\oplus M\oplus N\oplus S의 원소를 다음과 같은 2×2 행렬
:\begin{pmatrix}
r&m\\
n&s
\end{pmatrix}\qquad(r\in R,\;m\in M,\;n\in N,\;s\in S)
로 나타내며 \phi와 \psi를 생략한다면, 모리타 환의 곱은 행렬의 곱셈으로 생각할 수 있다. 따라서, 모리타 환은 기호로
:\begin{pmatrix}
R&M\\
N&S
\end{pmatrix}
로 표기한다.

특수한 경우로, N=0이며  \phi, \psi는 영 쌍가군을 정의역으로 하는 유일한 쌍가군 준동형이라고 하자. 이 경우 모리타 환 (\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})은 상삼각행렬로 구성되며, 이를 **삼각환**이라고 한다. 즉, 이는 아벨 군으로서 직합 R\oplus M\oplus S이며, 그 위의 환 구조는 다음과 같다.
:(r,m,s)(r',m',s')=(rr',rm'+ms',ss')\qquad(r,r'\in R,\;m,m'\in M,\;s,s'\in S)

### 멱등원을 통한 정의
삼각환은 다음과 같이 다르게 정의할 수도 있다. **모리타 문맥** (T,e)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* T는 환이다.
* e\in T는 멱등원이다. 즉, e^2=e를 만족시킨다.
이 정의는 쌍가군을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, (T,e)가 주어졌을 때,
:R=eTe
:S=(1-e)T(1-e)
:M=eT(1-e)
:N=(1-e)Te
:\phi\colon \left(eT(1-e)\otimes_R(1-e)Te\right)\to eTe
:\phi\colon \left(et(1-e)\otimes_R(1-e)t'e\right)\mapsto et(1-e)t'e
:\psi\colon \left((1-e)Te\otimes_SeT(1-e)\right)\to(1-e)T(1-e)
:\psi\colon \left((1-e)te\otimes_S et'(1-e)\right)\mapsto (1-e)tet'(1-e)
로 놓으면, (R,S,M,N,\phi,\psi)는 모리타 문맥을 이룬다. 반대로, 모리타 문맥 (R,S,M,N,\phi,\psi)이 주어졌을 때,
:T=\begin{pmatrix}R&M\\N&S\end{pmatrix}
:e=\begin{pmatrix}1_R&0_M\\0_N&0_S\end{pmatrix}
로 놓으면, 이는 위 정의를 만족시킨다.

특히, 만약 N=(1-e)Te=0일 경우, (T,e)는 삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})을 정의한다.

### 준가법 범주를 통한 정의
모리타 문맥의 개념은 범주론적으로 간단히 정의할 수 있다.

**모리타 문맥**은 2개의 대상을 갖는 준가법 범주(즉, 아벨 군의 범주 \operatorname{Ab} 위의 풍성한 범주)이다. 이러한 준가법 범주 \mathcal C가 주어졌으며, 그 두 대상이 X와 Y라고 하자. 그렇다면
:R=\operatorname{End}_{\mathcal C}(X)=\hom_{\mathcal C}(X,X)
:S=\operatorname{End}_{\mathcal C}(Y)=\hom_{\mathcal C}(Y,Y)
:M=\hom_{\mathcal C}(X,Y)
:N=\hom_{\mathcal C}(Y,X)
로 놓으면, (준가법 범주에서의 자기 사상 모노이드는 환을 이루므로) R와 S는 자연스럽게 환의 구조를 가지며, 사상의 합성을 통해 M은 (R,S)-쌍가군, N은 (S,R)-쌍가군을 이룬다. 또한, 사상의 합성을 통하여 자연스럽게 사상
:\phi\colon M\otimes_SN\to R
:\psi\colon N\otimes_SM\to S
이 존재한다. 만약 N=0일 경우 이는 삼각환을 정의한다.

### 2-범주를 통한 정의
2-범주 이론을 통해, 모리타 문맥의 개념을 일반화할 수 있다. 구체적으로, 2-범주 \mathcal C 속의 **모리타 문맥** (R,S,M,N,\phi,\psi)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* R와 S는 \mathcal C의 대상(=0-사상)이다.
* M\colon R\to S와 N\colon S\to R는 \mathcal C의 1-사상이다.
* \phi\colon N\circ M\Rightarrow\operatorname{id}_R와 \psi\colon M\circ N\to\operatorname{id}_S는 \mathcal C의 2-사상이다.

다음과 같은 쌍가군 2-범주 \operatorname{Bimod}를 생각하자.
* \operatorname{Bimod}의 대상(=0-사상)은 환이다.
* \operatorname{Bimod}의 두 대상 R, S 사이의 1-사상은 (R,S)-쌍가군이다. 1-사상의 합성은 쌍가군의 텐서곱 (_SN_T)\circ(_RM_S)={}_R(M\otimes_SN)_T으로 주어진다.
* \operatorname{Bimod}의 두 대상 R, S 사이의 두 1-사상 _RM_S, _RN_S 사이의 2-사상은 (R,S)-쌍가군 준동형 \phi\colon M\to N이다.
그렇다면, 2-범주 \operatorname{Bimod} 속의 모리타 문맥은 위의 다른 정의들과 동치이다.

## 성질
삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* (\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})은 가환환이다.
* R와 S는 가환환이며, M=0이다.

### 아이디얼
환 R와 S 및 (R,S)-쌍가군 _RM_S이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})의 왼쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.
:N\oplus\mathfrak S
여기서
* \mathfrak S\subseteq S는 S의 왼쪽 아이디얼이다.
* N\subseteq R\oplus M은 _RR\oplus{}_RM의 R-부분 가군이며, M\mathfrak S\subseteq N\cap M이다.

마찬가지로, 삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})의 오른쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.
:\mathfrak R\oplus N
여기서
* \mathfrak R\subseteq R는 R의 오른쪽 아이디얼이다.
* N\subseteq M\oplus S은 M_S\oplus S_S의 S-부분 가군이며, \mathfrak RM\subseteq N\cap M이다.

마찬가지로, 삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})의 양쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.
:\mathfrak r\oplus N\oplus\mathfrak s
여기서
* \mathfrak r\subseteq R는 R의 양쪽 아이디얼이다.
* \mathfrak s\subseteq S는 S의 양쪽 아이디얼이다.
* _RN_S\subseteq {}_RM{}_S은 _RM_S의 (R,S)-부분 쌍가군이며, \mathfrak rM\subseteq N이자 M\mathfrak s\subseteq N이다.

### 뇌터·아르틴 조건
삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
*  (\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})은 왼쪽 뇌터 환이다.
* R와 S는 왼쪽 뇌터 환이며, _RM은 R-뇌터 가군이다.

삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
*  (\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})은 오른쪽 뇌터 환이다.
* R와 S는 오른쪽 뇌터 환이며, M_S은 S-뇌터 가군이다.

삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
*  (\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})은 왼쪽 아르틴 환이다.
* R와 S는 왼쪽 아르틴 환이며, _RM은 R-아르틴 가군이다.

삼각환 (\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
*  (\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})은 오른쪽 아르틴 환이다.
* R와 S는 오른쪽 아르틴 환이며, M_S은 S-아르틴 가군이다.

## 예
### 자명한 경우
만약 M=N=0이라면, 모리타 환은 다음과 같이 단순히 환의 직접곱과 같다.
:\begin{pmatrix}
R&0\\
0&S
\end{pmatrix}\cong R\times S

만약 R=S이며, M=\mathfrak m\subseteq R과 N=\mathfrak n\subseteq R이 R의 양쪽 아이디얼이라면, 모리타 환
:\begin{pmatrix}
R&\mathfrak m\\
\mathfrak n&R
\end{pmatrix}\subseteq\operatorname{Mat}(2;R)
은 R 계수 2×2 행렬환의 부분환이다.

### 오른쪽 가군에 대응되는 모리타 문맥
환 R 위의 오른쪽 가군 M_R가 주어졌을 때, 다음과 같은 모리타 문맥을 정의할 수 있다.
* S=\hom(M_R,M_R)
* {}_RN_S=\hom({}_SM_R,{}_RR_R)
* \phi\colon M\otimes_RN\to S, (m\otimes_R n)\mapsto (m'\mapsto mn(m'))
* \psi\colon N\otimes_SM\to R, (n\otimes_R m)\mapsto n(m)
이러한 모리타 문맥은 모리타 동치의 정의에 사용된다. 구체적으로, 만약 M_R가 유한 생성 사영 가군이며 오른쪽 가군 범주 \operatorname{Mod}_R의 생성 대상이라면, 이는 R와 S 사이의 모리타 동치를 정의한다.

## 역사
모리타 문맥과 모리타 환은 모리타 기이치가 모리타 동치 이론을 전개하기 위하여 도입하였다. "모리타 문맥"()이라는 용어는 하이먼 배스가 도입하였다.

## 참고 문헌

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## 외부 링크
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분류:환론