사유한군

수학에서 **사유한군**(射有限群, )은 유한군의 사영 극한으로 얻어지는 위상군이다.

## 정의
위상군 G에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상군을 **사유한군**이라고 한다.
* 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 공간이다. 즉, 스톤 공간이다.
* 하우스도르프 콤팩트 공간이며, 열린 부분군들로 구성된 1\in G의 국소 기저가 존재한다.
* 하우스도르프 콤팩트 공간이며, 열린 정규 부분군들로 구성된 1\in G의 국소 기저가 존재한다.
* 이산 유한군들의 사영 극한과 동형이다.

위상군 G가 이산 유한군들의 사영 극한이라고 하자. 그렇다면 G는 이 이산 유한군들의 (곱위상이 주어진) 직접곱의 (부분공간 위상이 주어진) 부분군이다. 이산 유한군들은 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 공간이므로, G는 하우스도르프 완전 분리 공간이다. 이 이산 유한군들의 직접곱은 콤팩트 공간이며, G는 (연속 함수들에 대한 일련의 등식들로 정의되므로) 그 닫힌집합이다. 따라서, G는 콤팩트 공간이다.

위상군 G가 하우스도르프 공간이며, 콤팩트 공간이며, 완전 분리 공간이라고 하자. 임의의 열린 근방 O\ni1에 대하여, H\subseteq O인 열린 부분군 H를 찾으면 충분하다. 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 공간의 작은 귀납적 차원은 0이므로, G는 열린닫힌집합들로 구성된 기저를 가지며, 1\in U\subseteq O인 열린닫힌집합 U가 존재한다. 이제,
:H=\{g\in G\colon Ug=U\}
라고 하자. 자명하게 H\subseteq U이며 H\le G이므로, H가 열린집합임을 보이면 충분하다.
:H=V\cap V^{-1}
:V=\{g\in G\colon Ug\subseteq U\}
이므로, V가 열린집합임을 보이면 충분하다. V의 정의에 따라, 임의의 u\in U 및 v\in V에 대하여, uv\in U이므로, U_{uv}V_{uv}\subseteq U인 열린 근방 U_{uv}\ni u 및 V_{uv}\ni v가 존재한다. \{U_{uv}\colon u\in U\}는 U의 X에서의 열린 덮개이며, U는 콤팩트 공간의 닫힌집합이므로 콤팩트 공간이다. 따라서, 유한 부분 덮개 \{U_{u_1v},\dots,U_{u_{n_v}v}\}가 존재한다. 그렇다면,
:V_v=V_{u_1v}\cap\cdots\cap V_{u_{n_v}v}
는 열린집합이며, v\in V_v\subseteq V이다. 즉, V는 열린집합이다.

임의의 열린 부분군 H\le G에 대하여,
:G=\bigsqcup_{gH\in G/H}gH
이며, G가 콤팩트 위상군이므로, H의 지표는 유한하다. H의 켤레 부분군들의 수는 H의 정규화 부분군의 지표 [G:\operatorname N_G(H)]이므로, 역시 유한하다. 이제,
:N=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}
라고 하자. N은 G의 정규 부분군이며, N\subseteq H이다. 또한, 유한한 수의 열린집합의 교집합이므로, 열린집합이다.

\operatorname O_\vartriangleleft(G)가 G의 열린 정규 부분군들의 집합이라고 하자. 이 위에 다음과 같은 부분 순서를 주자.
:N\le N'\iff N'\subseteq N
이에 따라 \operatorname O_\vartriangleleft(G)는 부분 순서 집합을 이루며, 또한 이는 상향 원순서 집합이다.

이제, 다음과 같은 함자
:\operatorname O_\vartriangleleft(G)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{TopGrp}
를 생각하자.
* 임의의 열린 정규 부분군 N\vartriangleleft G의 상은 (몫위상을 준) 위상군 G/N이다. (임의의 위상군의 몫군은 몫위상에 대하여 위상군을 이룬다.)
* N'\subseteq N인 열린 정규 부분군 N,N'\vartriangleleft G의 순서쌍의 상은 표준적인 전사 연속 군 준동형 \phi_{NN'}\colon G/N'\to G/N이다.
G/N은 콤팩트 공간 G의 연속 함수에 대한 상이므로 콤팩트 공간이며, N\in G/N이 열린집합이므로 이산 공간이다. 즉, G/N은 이산 유한군이다.

이제,
:\varprojlim_{N\in\operatorname O_\vartriangleleft(G)}G/N
가 이 함자의 사영 극한이라고 하자. 표준적인 전사 연속 군 준동형
:\phi_N\colon G\to G/N
들을 생각하자. 사영 극한의 보편 성질에 따라, 연속 군 준동형
:\phi\colon G\to\varprojlim_{N\in\operatorname O_\vartriangleleft(G)}G/N
:\pi_N\circ\phi=\phi_N\qquad\forall N\in\operatorname O_\vartriangleleft(G)
이 존재한다. \phi가 위상군의 동형임을 보이면 충분하다. 그런데 G와 \varprojlim_{N\in\operatorname O_\vartriangleleft(G)}G/N 모두 콤팩트 하우스도르프 공간이므로, \phi가 전단사 함수임을 보이면 충분하다.
* \phi는 단사 함수
** \ker\phi=\bigcap_{N\in\operatorname O_\vartriangleleft(G)}N이다. \operatorname O_\vartriangleleft(G)이 1의 국소 기저이며, G가 하우스도르프 공간이므로, \ker\phi=\{1\}이다.
* \phi는 전사 함수
** 임의의 x=(x_N)_{N\in\operatorname O_\vartriangleleft(G)}\in\varprojlim_{N\in\operatorname O_\vartriangleleft(G)}G/N에 대하여, \phi^{-1}(x)=\bigcap_{N\in\operatorname O_\vartriangleleft(G)}\phi_N^{-1}(x_N)이다. 모든 \phi_N^{-1}(x_N)은 콤팩트 공간 G의 닫힌집합이다. 임의의 유한 집합 \{N_1,\dots,N_n\}\subseteq\operatorname O_\vartriangleleft(G)에 대하여, N=N_1\cap\cdots\cap N_n이며 x_N=\phi_N(g)이라고 하자. 그렇다면, 임의의 i=1,\dots,n에 대하여, \phi_{N_i}(g)=\phi_{N_iN}(\phi_N(g))=\phi_{N_iN}(x_N)=x_{N_i}이다. 즉, \phi_{N_1}^{-1}(x_{N_1})\cap\cdots\cap\phi_{N_n}^{-1}(x_{N_n})\ne\varnothing이며, \phi_N^{-1}(x_N)들은 유한 교집합 성질을 만족시킨다. 따라서, \phi^{-1}(x)\ne\varnothing이다.

## 성질
다음 성질들이 성립한다.
* (무한할 수도 있는 개수의) 사유한군들의 (곱위상이 주어진) 직접곱은 사유한군이다. 사유한군의 닫힌 부분군은 사유한군이다.
* 사유한군의 부분군이 열린집합일 필요충분조건은 이 부분군이 유한 지표의 닫힌집합이라는 것이다.

콤팩트 공간의 곱공간 및 닫힌집합은 콤팩트 공간이다. 하우스도르프 공간이나 완전 분리 공간의 곱공간 및 임의의 부분 집합은 하우스도르프 공간이나 완전 분리 공간이다. 따라서, 사유한군들의 직접곱 및 닫힌 부분군은 사유한군이다.

콤팩트 위상군에서, 열린 부분군은 유한 지표 닫힌 부분군과 동치이다. 특히, 이는 사유한군에서도 성립한다.

### 사유한 완비화
임의의 군 G의 **사유한 완비화**(射有限完備化, ) \widehat G는 다음과 같다.
:\widehat G=\varprojlim_G/N
즉, G의 모든 유한 지표 정규 부분군 N에 대한 몫군들의 사영 극한이다. \widehat G는 자연스럽게 사유한군을 이룬다. 또한, 자연스러운 군 준동형 G\to\widehat G가 존재하며, 이 준동형의 상은 \widehat G의 조밀 집합이다. 일반적으로 이는 단사 함수가 아니다.

또한, 일반적으로 사유한 완비화 연산은 멱등이 아니다. 즉, \widehat{\widehat G}\not\cong\widehat G일 수 있다.

사유한 완비화는 사유한군의 범주 \widehat\operatorname{Grp}와 군의 범주 \operatorname{Grp} 사이의 망각 함자
:F\colon\widehat\operatorname{Grp}\to\operatorname{Grp}
의 왼쪽 수반 함자
:\widehat{\phantom G}\colon\operatorname{Grp}\to\widehat\operatorname{Grp}
:\widehat{\phantom G}\vdash F
를 이룬다.

사유한 완비화 \widehat G는 다음 조건을 만족시키는 원소
:(g_NN)_N\in\prod_G/N
들로 구성된 (이산 위상의 곱위상의 부분공간 위상을 부여한) 위상군으로 여길 수 있다.
* 임의의 유한 지표 정규 부분군 N\subset N'\subset G에 대하여, g_NN'=g_{N'}N'
그렇다면, 사유한 완비화 함자에서, 군 준동형
:\phi\colon G\to H
의 상은 다음과 같은 위상군의 사상이다.
:\widehat\phi\colon\widehat G\to\widehat H
:\widehat\phi\colon(g_NN)_N\mapsto(\phi(g_{\phi^{-1}(N')})N')_{N'}

## 예
모든 이산 유한군은 사유한군이다.

p진 정수 \mathbb Z_p는 사유한군을 이룬다. 이는 순환군 \mathbb Z/p^n들의 사영 극한으로 정의된다. 정수군 \mathbb Z의 사유한 완비화는 모든 p진 정수군의 직접곱과 동형이다.
:\widehat\mathbb Z=\varprojlim_{n\in\mathbb N}\mathbb Z/n\mathbb Z\cong\prod_p\mathbb Z_p

사유한군은 갈루아 이론에서 등장한다. 구체적으로, 갈루아 확대 L/K가 주어지면 K를 고정시키는 체 자기 동형 사상들의 군 \operatorname{Gal}(L/K)는 사유한군이다. 이는 유한 갈루아 확대 F/K들의 사영 극한이다. 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이다.

대수기하학의 에탈 기본군은 사유한군이다. (그러나 대수적 위상수학의 기본군들은 일반적으로 사유한군이 아니다.)

## 참고 문헌

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## 외부 링크
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분류:위상군
분류:대수적 수론