아인슈타인-힐베르트 작용

일반 상대성 이론에서 **아인슈타인-힐베르트 작용**(Einstein-Hilbert作用, )은 아인슈타인 방정식을 오일러-라그랑주 방정식으로 가지는 작용이다. 스칼라 곡률의 시공간에 대한 적분이다. 알베르트 아인슈타인과 다비트 힐베르트가 발견하였다.

## 정의
**아인슈타인-힐베르트 작용** S는 다음과 같다.
:S =\frac1{2\kappa}\int R \sqrt{-g} \, d^4x.
여기서 R은 스칼라 곡률이고, \kappa=8\pi G/c^4이다. 여기서 G는 중력 상수다.

필요하면 우주 상수를 더하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
:S =\frac1{2\kappa}\int(R-2\Lambda)\sqrt{-g} \, d^4x.

## 장 방정식 유도
이론의 완전한 작용이  아인슈타인–힐베르트 항에 물질장을 묘사하는 다음 항이 더해진 것으로 주어졌다고 하자: \mathcal{L}_\mathrm{M}.

그러면 최소 작용 원리는 물리법칙을 유지하기 위해선 이 작용의 역 계량에 대한 변분이 영이 되어야 함을 시사한다.
:\begin{align}
0 &= \delta S \\
  &= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}
 \right] \delta g^{\mu\nu} \, \mathrm{d}^4x \\
  &= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} }
 \right) + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x
\end{align}.

이 방정식은 임의의 변분 \delta g^{\mu\nu}에 대해 성립해야 하므로, 이는

 + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}} = -2\kappa \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}|}}

가 운동 방정식임을 보여준다.
오른쪽 항은 에너지 스트레스 텐서에 비례한다.,

:T_{\mu\nu} := \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}.

왼쪽 항을 계산하기 위해 우리는 리치 스칼라 R의 변분과 계량의 행렬식이 필요하다. 이는 다음과 같은 교재에 잘 나와 있다..

### 리만 텐서, 리치 텐서, 리치 스칼라의 변분
리치 스칼라의 변분을 계산하기 위해 먼저 리만 곡률 텐서와 리치 텐서의 변분을 계산한다. 리만 곡률 텐서는 다음과 같다:

:{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}- \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.

리만 곡률 텐서는 오직 레비치비타 접속 \Gamma^\lambda_{\mu\nu}에 대해서만 달라지므로, 리만 텐서의 변분은 다음과 같이 계산된다:

:\delta{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\delta\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \delta \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \delta\Gamma^\rho_{\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma} -\Gamma^\rho_{\nu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.

이제,  \delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma}가 두 접속의 차이이므로, 이는 텐서이며 이의 공변미분은
:\nabla_\mu \left( \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma} \right ) = \partial_\mu (\delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma}) + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \delta \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} -\Gamma^\lambda_{\mu\nu} \delta \Gamma^\rho_{\lambda\sigma} - \Gamma^\lambda_{\mu\sigma} \delta \Gamma^\rho_{\nu\lambda}.

이제, 리만 곡률 텐서의 변분의 표현은 다음 두 항의 차이와 같음을 볼 수 있다:

:\delta{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \nabla_\mu \left( \delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} \right) -\nabla_\nu \left( \delta\Gamma^\rho_{\mu\sigma} \right).

리치 텐서에 대해서는 간단히 두 리만 텐서의 변분의 인덱스를 빼고 팔라티니 항등식을 얻는다:

:\delta R_{\sigma\nu} \equiv \delta {R^\rho}_{\sigma\rho\nu} = \nabla_\rho \left( \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma} \right) - \nabla_\nu \left( \delta \Gamma^\rho_{\rho\sigma} \right).

리치 스칼라는 다음과 같이 정의된다:

:R = g^{\sigma\nu} R_{\sigma\nu}.

그러므로, 이의 역 계량에 대한 변분 g^{\sigma\nu}은
:\begin{align}
\delta R &= R_{\sigma\nu} \delta g^{\sigma\nu} + g^{\sigma\nu} \delta R_{\sigma\nu}\\
         &= R_{\sigma\nu} \delta g^{\sigma\nu} + \nabla_\rho \left( g^{\sigma\nu} \delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - g^{\sigma\rho} \delta \Gamma^\mu_{\mu\sigma} \right)
\end{align}
으로 주어진다.

두번째 줄에서 the metric compatibility of the covariant derivative, \nabla_\sigma g^{\mu\nu} = 0과,  리치 곡률에 대해 앞서 얻었던 결과를 썼다.

## 같이 보기
* 브랜스-딕 이론
* 아인슈타인-카르탕 이론
* 기번스-호킹-요크 항
* 칼루차–클레인 이론
## 참고 문헌
* 
* Hilbert, D. (1915) Die Grundlagen der Physik'' (German original for free) (English translation for $25), Konigl. Gesell. d. Wiss. Göttingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395-407

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