그물 (수학)

위상수학에서 **그물**() 또는 **무어-스미스 열**(Moore-Smith列, )은 점렬의 일반화이다. 점렬과 달리, 그 지수가 자연수 대신 임의의 상향 원순서 집합일 수 있다.

## 정의
집합 X 위의 **그물**은 어떤 상향 원순서 집합 I에 대하여 I에서 X로 가는 함수 x_\bullet\colon I\to X이다. 이는 흔히 점렬과 유사하게 첨자로 (x_i)_{i\in I}와 같이 표기한다.

점렬은 전순서 집합 (\mathbb N,\le)에서 어떤 집합으로 가는 함수이므로, 그물은 점렬의 일반화이다.

상향 원순서 집합 I와 집합 X 및 X 속의 그물 (x_i)_{i\in I} 및 X의 부분 집합 S\subseteq X가 주어졌다고 하자.
* 만약 \{x_i\colon i\gtrsim i_0\}\subseteq S가 성립하는 i_0\in I가 존재한다면, (x_i)_{i\in I}가 **최종적으로 <math>S</math>에 속한다**()고 한다.
* 만약 임의의 i\in I에 대하여 x_j\in S인 j\gtrsim i가 존재한다면, (x_i)_{i\in I}가  **빈번히 <math>S</math>에 속한다**고 한다.

(x_i)_{i\in I}가 **극대 그물**(極大-, ultranet, universal net)일 필요충분조건은, X의 임의의 부분 집합 S\subseteq X에 대하여 (x_i)_{i\in I}가 최종적으로 S에 속하거나 최종적으로 여집합 X\setminus S에 속하는 것이다. 이는 극대 필터에 대응되는 개념이다.

### 극한
상향 원순서 집합 I와 위상 공간 X 및 X 속의 그물 (x_i)_{i\in I} 및 점 x\in X가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, (x_i)_{i\in I}가 **<math>x</math>로 수렴한다**() 또는 **극한 <math>x</math>를 갖는다**()고 한다.
* x의 임의의 근방 U\ni x에 대하여 (x_i)_{i\in I}는 최종적으로 U에 속한다.
그물 (x_i)_{i\in I}가 x로 수렴할 경우, 점렬의 경우처럼 다음과 같이 쓴다.
: \lim_{i\in I}x_i=x

만약 X에 기저가 주어져 있을 경우, 그물이 x로 수렴하는 것을 보이기 위해서는 그물이 최종적으로 x를 포함하는 기저의 원소들에 속한다는 것만 보이면 된다.

### 상극한과 하극한
상향 원순서 집합 (I,\lesssim)에서 실수로 가는 그물의 경우, 상극한·하극한을 점렬의 경우와 유사하게 다음과 같이 정의할 수 있다.
:\limsup_{i\in I}x_i=\lim_{i\in I}\sup_{i\lesssim j}x_j=\inf_{i\in I}\sup_{i\lesssim j} x_j
:\liminf_{i\in I}x_i=\lim_{i\in I}\inf_{i\lesssim j}x_j=\sup_{i\in I}\inf_{i\lesssim j} x_j
그물의 상극한과 하극한은 점렬에서와 비슷한 성질을 갖는다. 예를 들어, 다음이 항상 성립한다.
: \limsup (x_\alpha+y_\alpha) \le \limsup x_\alpha+\limsup y_\alpha,
이 부등식에서 두 그물 중 하나가 수렴하면 등호가 성립한다.

## 성질
### 연속 함수
점렬은 위상 공간의 각종 특성을 정의하는 데 자연스럽지 못한 경우가 많다. 이는 점렬이 자연수를 정의역으로 갖는데, 자연수 집합은 가산 집합이므로 지나치게 작기 때문이다. 예를 들어, 일반적인 두 위상 공간 X, Y 사이의 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 두 조건이 동치가 아니다.
* 연속 함수이다.
* 임의의 점렬 (x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X이 만약 x\in X에 수렴한다면, (f(x_n))_{n\in\mathbb N} 역시 f(x)로 수렴한다.
전자는 후자를 항상 함의하며, X, Y가 제1 가산 공간일 경우에는 후자가 전자를 함의하지만, 일반적 위상 공간에 대해서는 후자가 전자를 함의하지 못할 수 있다.

그물을 사용하면 이러한 문제가 발생하지 않는다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 X, Y 및 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 연속 함수이다.
* 임의의 그물 (x_i)_{i\in I}\subseteq X이 만약 x\in X에 수렴한다면, 그물 (f(x_i))_{i\in I} 역시 f(x)로 수렴한다.

### 닫힌집합 · 콤팩트 집합
위상 공간 X의 부분 집합 S\subseteq X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 닫힌집합이다.
* S 속의 임의의 그물의 임의의 (X 속에서 취한) 극한은 S의 원소이다. 즉, 그물 극한은 S를 벗어나지 않는다.
위상 공간 X의 부분 집합 S\subseteq X 및 점 x\in X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* x\in\operatorname{cl}(S). 여기서 \operatorname{cl}은 폐포이다.
* x로 수렴하는 S 속의 그물이 존재한다.

**[[볼차노-바이어슈트라스 정리]]**에 따르면, 위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 콤팩트 공간이다.
* X 속의 임의의 그물은 수렴하는 부분 그물을 갖는다.

### 극한의 존재·유일성
일반적인 위상 공간에서 임의의 그물은 극한을 0개·1개·2개 이상 가질 수 있다. 그러나 하우스도르프 공간 속의 그물의 극한은 0개 또는 1개이다.

위상 공간 X 속의 그물 (x_i)_{i\in I}이 극한을 가질 필요충분조건은 모든 부분그물이 극한을 갖는 것이다. 이때 (x_i)_{i\in I}의 모든 극한은 모든 부분그물의 극한이 된다.

곱위상이 주어진 곱공간의 그물이 극한을 가질 필요충분조건은 그물의 각 사영(projection, 정확히 말해 어떤 공간들의 곱공간에서 원래의 공간 중 하나로 내리는 사영사상과 원래 그물의 합성함수로 이루어지는 그물)이 극한을 갖는 것이다. 이 성질과 볼차노-바이어슈트라스 정리를 이용하면 티호노프 정리를 쉽게 증명할 수 있다.

위상 공간 X 속의 그물 (x_i)_{i\in I} 및 점 y\in X이 다음 조건을 만족시킨다면 y가 (x_i)_{i\in I}의  **[[집적점]]**이라고 한다.
* y의 임의의 근방 U\ni y에 대하여 (x_i)_{i\in I}가 빈번히 U에 속한다.
그물 (x_i)_{i\in I}의 집적점의 집합은 (x_i)_{i\in I}의 부분그물의 극한들을 모두 모은 집합과 같다.

## 역사
미국 수학자 일라이어킴 헤이스팅스 무어와 허먼 라일 스미스()가 1922년 처음 도입하였다.

유사한 목적으로 개발된 개념으로 필터가 있다.

## 각주

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* Schechter, Eric (1997). *Handbook of Analysis and its Foundations*. San Diego: Academic Press. ISBN 126227608.
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## 외부 링크
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분류:일반위상수학