계승 (수학)

수학에서, 자연수의 **계승**(階乘, ) 또는 **팩토리얼**()은 그 수보다 작거나 같은 모든 양의 정수의 곱이다. n이 하나의 자연수일 때, 1에서 n까지의 모든 자연수의 곱을 n에 상대하여 이르는 말이다. 기호는 느낌표(**!**)를 쓰며 **팩토리얼**이라고 읽는다.

## 정의
음이 아닌 정수 n의 계승 n!은 다음과 같이 정의된다.
:n!=\prod_{k=1}^nk=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdots\cdot3\cdot2\cdot1
특히, 0의 계승은 1이다.
:0!=1
처음 몇 계승은 다음과 같다.
:1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, ... 
:쉽게 정리하면 5! = 1×2×3×4×5이다.

### 복소수의 계승

감마 함수를 통해 계승의 정의역을 음의 정수를 제외한 복소수까지 확장할 수 있다. 감마 함수 \Gamma의 정의역은 \mathbb C\setminus\{0,-1,-2,\dots\}이며, 양의 실수부에서의 값은 다음과 같다.
:\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\mathrm dt\qquad(\operatorname{Re}z>0)
감마 함수와 계승의 관계는 다음과 같다.
:n!=\Gamma(n+1)\qquad(n\in\mathbb N)
이에 따라, 음의 정수가 아닌 복소수 z의 계승을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:z!=\Gamma(z+1)\qquad(z\in\mathbb C\setminus\{-1,-2,\dots\})
특히, 반정수의 계승은 다음과 같다.
:(n-1/2)!=\sqrt\pi(2n-1)!!/2^n=\sqrt\pi\prod_{k=1}^n(k-1/2)\qquad(n\in\mathbb N)

### 기수의 계승
계승이 대칭군의 크기와 같다는 사실을 통해 계승을 임의의 기수까지 확장할 수 있다. 즉, 기수 \kappa의 계승 \kappa!는 다음과 같다.
:\kappa!=|\operatorname{Sym}(\kappa)|=
\begin{cases}
\kappa(\kappa-1)(\kappa-2)\cdots3\cdot2\cdot1&\kappa

### 다중 계승
계승의 정의에서 연속된 자연수들을 곱하는 대신 법에 대하여 합동인 자연수들만 곱하면, **다중 계승**(多重階乘, )의 정의를 얻는다. 즉, 양의 정수 k과 정수 n>-k가 주어졌을 때, n의 k중 계승은 다음과 같다. (이는 k번의 계승과 다른 개념이다.)
:n!_k=\prod_{m=0}^{\lfloor(n-1)/k\rfloor}(n-mk)=n(n-k)(n-2k)\cdots
특히, -k일 경우 다음과 같다.
:1=0!_k=(-1)!_k=(-2)!_k=\cdots=(-(k-1))!_k
예를 들어, 일중 계승은 계승이다. 또한, **이중 계승**(二重階乘, )은 다음과 같다. 임의의 n\in\mathbb N에 대하여,
:(2n)!!=2^nn!=\prod_{k=1}^n2k=(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots6\cdot4\cdot2
:(2n-1)!!=(2n)!/(2^nn!)=\prod_{k=1}^n(2k-1)=(2n-1)(2n-3)(2n-5)\cdots5\cdot3\cdot1
특히, 1=0!!=(-1)!!이다.

처음 몇 이중·삼중·사중 계승은 각각 다음과 같다.
:1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, ... 
:1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280, 880, ... 
:1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, ... 

### 지수 계승
계승의 정의에서 곱셈 대신 덧셈을 사용하면, **[[삼각수]]**의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 n의 삼각수 T_n은 다음과 같다.
:T_n=n(n+1)/2=\sum_{k=1}^nk=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1
계승의 정의에서 곱셈 대신 거듭제곱을 사용하면, **지수 계승**(指數階乘, )의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 n의 지수 계승 a_n은 다음과 같다.
:a_n=n^{(n-1)^{(n-2)^{\cdots^{2^1}}}}
처음 몇 지수 계승은 다음과 같다.
: 1, 1, 2, 9, 262144, ... 

## 성질
### 항등식
계승·k중 계승·지수 계승의 점화식은 각각 다음과 같다.
:n!=n(n-1)!
:n!_k=n(n-k)!_k
:a_n=n^{a_{n-1}}

### 점근 공식

또한, 임의의 n\in\mathbb Z^+에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.
:\sqrt{2\pi n}(n/e)^n
특히, 큰 n\in\mathbb N에 대하여, 계승에 대한 스털링 근사는 다음과 같다.
:n!\approx\sqrt{2\pi n}(n/e)^n

### 수론적 성질
#### 윌슨 정리

2 이상의 정수 p에 대해 다음이 성립한다
* p가 소수이면 (p-1)!을 p로 나눈 나머지가 p-1이다.
* (p-1)!를 p로 나눈 나머지가 p-1이면 p가 소수이다.

#### 르장드르 공식
임의의 n\in\mathbb Z^+ 및 소수 p에 대하여, p\mid n!은 p\le n과 동치이다. 또한, **르장드르 공식**(Legendre公式, )에 따르면, n!의 소인수 분해에서 p의 지수 v_p(n!)는 다음과 같다. (충분히 뒤에 있는 항들이 모두 0이므로 이는 유한 급수이다.)
:v_p(n!)=\sum_{k=1}^\infty\left\lfloor\frac n{p^k}\right\rfloor=\frac{n-\alpha_p(n)}{p-1}
여기서
* \lfloor-\rfloor는 바닥 함수이다.
* \alpha_p(n)은 n의 *p*진법 전개의 자릿수의 합이다.

## 응용
### 계승 소수

## 관련 개념
### 소수 계승

음이 아닌 정수 n의 소수 계승은 n 이하의 모든 소수의 곱이다.

### 상승 계승과 하강 계승

## 역사
계승의 기본적인 개념은 *n*개의 원소의 순열의 개수로서 이미 12세기 인도 수학에 알려져 있었다.

이라는 이름은 프랑스의 루이 프랑수아 앙투안 아르보가()가 사용하였다. 느낌표 표기법은 1808년 수학자 크리스티앙 크랑()이 저서 《보편 산술 원론》()에서 처음으로 사용하였다. 크랑은 원래 계승을 )라고 불렀으나, 이후 아르보가를 따라 "팩토리얼"을 대신 사용하였다.

## 같이 보기
* 큐-팩토리얼
* 리우빌 상수

## 각주

## 참고 문헌
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## 외부 링크
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분류:조합론
분류:수론
분류:계승과 이항식 주제
분류:단항 연산
분류:감마 함수 및 관련 함수