유한 생성 가군

환론에서 **유한 생성 가군**(有限生成加群, )은 유한 계수의 자유 가군의 몫가군이다. 즉, 유한 개의 생성원과 (유한 또는 무한 개의) 관계로 나타내어지는 가군이다.

## 정의
모든 환은 1을 가지며, 모든 가군은 1을 보존한다고 하자.

### 유한 생성 가군
환 R 위의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 **유한 생성 왼쪽 가군**(有限生成-加群, )이라고 한다.
* (A) _RM\cong {}_RR^{\oplus n}/{}_RN이 되는 자연수 n\in\mathbb N과 자유 가군의 부분 가군 _RN\subseteq {}_RR^{\oplus n}이 존재한다. 즉, 충분히 큰 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, R-왼쪽 가군의 완전열 R^{\oplus n}\to M\to0이 존재한다.
* (B) _RM의 임의의 부분 가군들의 집합 \{{}_RN_i\}_{i\in I}, {}_RN_i\subseteq {}_RM에 대하여, 만약 \textstyle\sum_{i\in I}{}_RN_i={}_RM이라면, \textstyle\sum_{i\in I'}{}_RN_i={}_RM이 되는 유한 집합 I'\subseteq I가 존재한다.
* (C) 임의의 부분 가군의 오름 사슬 {}_RN_0\subseteq {}_RN_1\subseteq\cdots \subseteq {}_RM에 대하여, 만약 \textstyle\bigcup_{i=0}^\infty {}_RN_i={}_RM이라면, N_i=M이 되는 i\in\mathbb N가 존재한다.
* (D) 임의의 집합 I 및 전사 사상 \phi\colon {}_RR^{\oplus I}\to {}_RM에 대하여, \phi|_\colon {}_RR^{\oplus I'}\to {}_RM 역시 전사 사상이 되게 하는 유한 집합 I'\subseteq I이 존재한다. (가군의 범주에서 전사 사상은 전사 함수인 가군 준동형과 일치한다.)

환 R 위의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 **유한 쌍대 생성 왼쪽 가군**(有限雙對生成-加群, )이라고 한다.
* (B′) _RM의 임의의 부분 가군들의 집합 \{{}_RN_i\}_{i\in I}, {}_RN_i\subseteq {}_RM에 대하여, 만약 \textstyle\bigcap_{i\in I}{}_RN_i={}_R0이라면, \textstyle\sum_{i\in I'}{}_RN_i={}_R0이 되는 유한 집합 I'\subseteq I가 존재한다.
* (C′) 임의의 부분 가군의 내림 사슬 {}_RM\supseteq {}_RN_0\supseteq {}_RN_1\supseteq\cdots 에 대하여, 만약 \textstyle\bigcap_{i=0}^\infty {}_RN_i=0이라면, _RN_i=0이 되는 i\in\mathbb N가 존재한다.
* (D′) 임의의 집합 I 및 단사 사상 \phi\colon {}_RM\to {}_RR^{\times I}에 대하여, \phi|_\colon {}_RM\to {}_RR^{\times I'} 역시 단사 사상이 되게 하는 유한 집합 I'\subseteq I이 존재한다. (가군의 범주에서 단사 사상은 단사 함수인 가군 준동형과 일치한다.)

오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 **유한 생성 오른쪽 가군**과 **유한 쌍대 생성 오른쪽 가군**을 정의할 수 있다.

조건 (B) 및 (C) 및 (B′) 및 (C′)은 환 R에 의존하지 않으므로, 유한 생성성 및 유한 쌍대 생성성은 모리타 동치 불변 성질이다. 특히, 정의 (B) 및 (B′)은 일반위상수학의 콤팩트 공간의 정의와 유사하다. (C) 및 (C′)은 각각 특정 사슬 (즉, 합이 전체 가군이 되는 오름 사슬 · 교집합이 영가군이 되는 내림 사슬)에 대한 오름 사슬 조건 · 내림 사슬 조건이며, 이를 모든 사슬에 대하여 일반화한다면 뇌터 가군 · 아르틴 가군의 개념을 얻는다.

환 R 위의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 **유한 표시 왼쪽 가군**(有限表示-加群, )이라고 한다.
* _RM\cong\operatorname{coker}\phi가 되는 자연수 m,n\in\mathbb N 및 R-가군 준동형 \phi\colon{}_RR^{\oplus m}\to {}_RR^{\oplus n}이 존재한다. 즉, 충분히 큰 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, R-왼쪽 가군의 완전열 R^{\oplus m}\to R^{\oplus n}\to M\to0이 존재한다.
*  _RR^{\oplus n}\to {}_RM이 전사 사상이 되는 자연수 n\in\mathbb N이 존재하며, \phi\colon{}_RR^{\oplus m}\to {}_RM이 전사 사상이 되는 모든 자연수 m\in\mathbb N에 대하여, \ker\phi은 유한 생성 가군이다.
(이 두 조건이 서로 동치라는 것은 섀뉴얼 보조정리를 사용하여 쉽게 보일 수 있다.)

### 유한 생성 가군층
유한 생성 가군과 유한 표시 가군의 개념은 가군층으로 일반화할 수 있다.

유한 생성 가군의 일반화는 **유한 생성 가군층**(有限生成加群層, ) 또는 **유한형 가군층**(有限型加群層, , )이라고 한다. 구체적으로, 환 달린 공간 (X,\mathcal O_X)가 주어졌다고 하자. \mathcal O_X-가군층 \mathcal F가 다음 조건을 만족시킨다면 **유한 생성 가군층**이라고 한다.
* 임의의 x\in X에 대하여, 층의 완전열 \mathcal O_X^{\oplus n}|_U\to\mathcal F|_U\to0이 존재하게 되는 열린 근방 U\ni x와 자연수 n이 존재한다.

유한 표시 가군의 일반화는 **유한 표시 가군층**(有限表示加群層, , )이라고 한다. 구체적으로, 환 달린 공간 (X,\mathcal O_X) 위의 \mathcal O_X-가군층 \mathcal F가 다음 조건을 만족시킨다면 **유한 표시 가군층**이라고 한다.
* 임의의 x\in X에 대하여, 층의 완전열 \mathcal O_X^{\oplus m}|_U\to\mathcal O_X^{\oplus n}|_U\to\mathcal F|_U\to0이 존재하게 되는 열린 근방 U\ni x와 자연수 m,n가 존재한다.

유한 생성 가군/유한 표시 가군의 정의에 등장하는 자연수 m,n을 임의의 기수로 일반화한다면, 각각 **국소 단면 생성 가군층**()/**[[준연접층]]**의 개념을 얻는다. (물론, 모든 가군은 이렇게 정의된 개념들을 자동적으로 만족시킨다. 즉, 모든 가군은 준연접층을 정의한다.)

### 아벨 범주에서의 유한 생성 대상
보다 일반적으로, 아벨 범주 \mathcal A의 대상 M\in\mathcal A이 다음 조건을 만족시킨다면, **유한 생성 대상**(有限生成對象, )이라고 한다.
* M의 부분 대상 부분 순서 집합 \operatorname{Sub}(M) 속의 상향 부분 집합 \{M_i\}_{i\in I}\subseteq\operatorname{Sub}(M)에 대하여, 만약 \textstyle M=\sup_{i\in I}M_i이라면, M=M_i인 i\in I가 존재한다.

아벨 범주 \mathcal A의 유한 생성 대상 M\in\mathcal A가 다음 조건을 만족시킨다면, **유한 표시 대상**(有限表示對象, )이라고 한다.
* 임의의 유한 생성 대상 N\in\mathcal A 및 전사 사상 f\colon N\to M에 대하여, 핵 \ker f는 유한 생성 대상이다.

### 유한 스킴 사상
대수기하학에서, 유한 생성 가군의 개념은 다음과 같은 형태로 사용된다.

두 가환환 사이의 환 준동형 f\colon R\to S가 주어졌을 때, S는 f를 통해 R-가군을 이룬다. 만약 S가 R-유한 생성 가군이라면, f를 **유한 준동형**(有限準同型, )이라고 한다.

이 개념은 스킴에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 스킴 사상 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 임의의 y\in Y에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 y\in\operatorname{Spec}S\subseteq Y가 존재한다면, f를 **유한 사상**(有限寫像, , )이라고 한다.
* 원상 f^{-1}(\operatorname{Spec}S)는 아핀 스킴 \operatorname{Spec}R이며, R는 S 위의 유한 생성 가군을 이룬다.

두 가환환 사이의 환 준동형 f\colon R\to S가 유한 생성 가군이 되는 것은 유한 생성 가환 결합 대수가 되는 것보다 매우 강한 조건이며, 따라서 유한 사상은 유한형 사상보다 매우 더 강한 조건이다.

## 성질
가군 M의 **[[극대 부분 가군]]**은 M 전체가 아닌 부분 가군 가운데 극대 원소인 것이다. 마찬가지로, M의 **극소 부분 가군**은 0이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소인 것이다 (즉, 단순 가군인 부분 가군이다). 초른 보조정리에 의하여, 다음이 성립한다.
* 0이 아닌 모든 유한 생성 가군은 극대 부분 가군을 갖는다.
* 0이 아닌 모든 유한 쌍대 생성 가군은 극소 부분 가군을 갖는다.

반단순 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 유한 생성 가군이다.
* 유한 쌍대 생성 가군이다.

유한 생성 가군의 모든 몫가군은 유한 생성 가군이다. 유한 쌍대 생성 가군의 모든 부분 가군은 유한 쌍대 생성 가군이다.

왼쪽 가군의 짧은 완전열
:0\to N\to M\to M/N\to0
에 대하여, 다음이 성립한다.
* 만약 N과 M/N이 유한 생성 가군이라면 M 역시 유한 생성 가군이다.
* 만약 N과 M/N이 유한 쌍대 생성 가군이라면 M 역시 유한 쌍대 생성 가군이다.

### 가군 성질의 필요 충분 조건
환 R 위의 왼쪽 가군 {}_RM에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 뇌터 가군이다.
* 모든 부분 가군이 유한 생성 가군이다.

환 R 위의 왼쪽 가군 {}_RM에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 아르틴 가군이다.
* 모든 몫가군이 유한 생성 가군이다.

임의의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* _RM이 유한 생성 가군이다.
* _RM의 근기 \operatorname{rad}(_RM)\subseteq M가 잉여적 부분 가군이며, M/\operatorname{rad}(_RM)은 유한 생성 가군이다.
임의의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* _RM이 유한 쌍대 생성 가군이다.
* _RM의 주각 \operatorname{soc}(_RM)\subseteq M이 본질적 부분 가군이자 유한 생성 가군이다.

## 예
정수환 \mathbb Z 위의 유한 생성 가군은 유한 생성 아벨 군과 같은 개념이다.

임의의 체 K에 대하여, 환 준동형
:K[x]\to K[x,y]/(y^2-x^3-x)
을 생각하자. 그렇다면 k[x,y]/(y^2-x^3-x)는 k[x] 위의 유한 생성 가군을 이룬다. 즉, 이로부터 유도되는 아핀 스킴 사상
:\operatorname{Spec}K[x,y]/(y^2-x^3-x)\to\mathbb A^1_K
는 유한 사상이다.

## 같이 보기
* 정수적 원소

## 각주

## 외부 링크
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분류:가군론