뇌터 정리

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수리물리학에서 **뇌터의 정리**(-定理, )란 어떤 미분가능한 한 물리계의 작용의 대칭성이 하나의 보존법칙에 대응된다는 것이다. 독일의 수학자 에미 뇌터가 1915년에 증명하고, 1918년 출판하였다. 여기서 한 물리계의 작용이란 최소 작용의 원리에 의해 결정되는 계의 행동으로부터 유도되는 한 라그랑지안 함수의 시간적분(또는 라그랑지안 밀도 함수의 공간적분)이다. 뇌터 정리는 그동안 실험적 근거만을 가지던 여러 보존 법칙들을 더욱 간단한 물리학 이론의 대칭성들로부터 이끌어 내었다는 근본적인 의미를 갖는다. 이 정리는 현대 이론물리학의 기본적인 도구이며, 현대 이론물리학의 연구 방식에 지대한 영향을 끼쳤다. 이 정리는 라그랑주 역학, 양자장론 등 라그랑지안으로 다룰 수 있는 모든 계에 적용된다. 다만, 순수 라그랑주 역학으로 다룰 수 없는 계들도 존재한다. 예를 들어, 마찰이나 점성이 있는 계의 경우 레일리 발산 함수()를 사용하여야 한다. 이 경우, 연속적인 대칭이 존재하지만 이에 대응되는 보존 법칙이 존재하지 않을 수도 있다.

## 장론에서의 뇌터 정리
어떤 대칭에 의하여 장과 시공 좌표가 무한소의 대칭 변환에 대하여 다음과 같이 변환한다고 하자.
:x'^\mu=x^\mu+\delta_\epsilon x^\mu
:\phi'(x')=\phi(x)+\delta_\epsilon\phi(x)=\phi(x')+\delta_\epsilon\phi(x')-\partial_\mu\phi(x')\delta_\epsilon x^\mu(x')
만약 작용이 라그랑지언에 대하여 불변이라면, 라그랑지언의 변환은 어떤 벡터장의 발산이어야만 한다.
:\mathcal L(\phi'(x),\phi'(x),x)-\mathcal L(\phi(x),\phi(x),x)=\partial_\mu(\epsilon J^\mu(x)-\delta_\epsilon x^\mu\mathcal L(x))
(만약 라그랑지언이 정확히 불변이라면 J=0이 된다.) 이제
:\mathcal L(\phi'(x),\phi'(x),x)-\mathcal L(\phi(x),\phi(x),x)=\left(\frac{\partial L}{\partial\phi}+\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu
+\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}\partial_\mu\partial_\nu
+\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\partial_\rho\phi)}\partial_\mu\partial_\nu\partial_\rho
+\cdots
\right)\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)
::=\frac{\delta\mathcal L}{\delta\phi}\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)
+\partial_\mu\left(\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\right)
+\partial_\mu\left(\partial_\nu\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}\right)
-\partial_\mu\left(\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}\right)
+\cdots

이다. 여기서
:\frac{\delta\mathcal L}{\delta\phi}=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi}-\partial_\mu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}
+\partial_\mu\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
-\partial_\mu\partial_\nu\partial_\rho\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\partial_\rho\phi)}
+\cdots
는 변분이다. 따라서,
:\epsilon j^\mu=
J^\mu-\delta_\epsilon x^\mu\mathcal L
-\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)
-\partial_\nu\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
+\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
+\cdots
::=J^\mu-\delta_\epsilon x^\mu\mathcal L
-\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon x^\mu\partial_\mu\phi\right)
-\partial_\nu\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon x^\mu\partial_\mu\phi\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
+\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon x^\mu\partial_\mu\phi\right)\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
+\cdots
로 정의한다면
:\epsilon\partial\cdot j=-\frac{\delta\mathcal L}{\delta\phi}\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)
이 된다. 오일러-라그랑주 방정식을 따르는 경로의 경우 \delta\mathcal L/\delta\phi=0이므로, 이러한 경로에서는 j^\mu가 보존류를 이루며, 다음과 같은 보존량이 존재한다.
:Q=\int j^0(x)\;d^3x

## 역학에서의 뇌터 정리
고전역학은 1차원 시공간 (=시간) 위의 고전장론으로 여길 수 있다. 이에 따라 역학에서의 뇌터 정리는 장론에서의 뇌터 정리의 특수한 경우이며,
:\partial_\mu\mapsto\frac d{dt}
:x^\mu\to t
로 치환하여 얻을 수 있다. 즉, 변환
:q'(t')=q(t)+\delta_\epsilon q(t)
:t'=t+\delta_\epsilon  t
에 대하여, 라그랑지언 L(q,\dot q,\ddot q,\dots,t)가
:L[q'(t),t]-L[q,t]=-\dot L\delta t+\epsilon\dot J
를 만족시킨다고 하자. 그렇다면 보존량
:Q=J-\delta_\epsilon t\mathcal L
-\frac{\partial L}{\partial\dot q}\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon t\dot q\right)
-\frac d{dt}\left(\delta_\epsilon q-\delta_\epsilon t\dot q\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial\ddot q}
+\left(\delta_\epsilon q-\delta_\epsilon t\dot q\right)\frac d{dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\ddot q}
+\cdots
은
:\dot Q=-\frac{\delta L}{\delta q}\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon t\dot q\right)
이므로, 운동 방정식을 따르는 경로 q(t)에 대하여 보존된다.

## 뇌터 보존량의 예
흔히 쓰이는 대칭과 이에 대응하는 보존량은 다음과 같다.

## 각주

## 참고 문헌
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## 같이 보기
* 라그랑주 역학
* 워드-다카하시 항등식
* 해밀턴-야코비 방정식

## 외부 링크
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