이차 형식 종수

이차 형식 이론에서, **종수**(種數, )는 대역체의 대수적 정수환 계수의 이차 형식 위에 정의되는 동치 관계이다. 이는 이차 형식의 동치보다 더 엉성하다.

## 정의
대역체 K의 대수적 정수환 \mathcal O_K 위의 유한 생성 자유 가군 \mathcal O_K^n 위의 두 이차 형식 Q, Q'이 다음 조건을 만족시킨다면, 같은 **종수**에 속한다고 한다.
* K의 모든 (유한 또는 무한) 자리 \mathfrak p에서, Q\otimes_{\mathcal O_K}\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}는 Q'\otimes_{\mathcal O_K}\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}와 동치이다. (여기서 K_{\mathfrak p}는 \mathfrak p에서의 국소체를 뜻하며, \mathcal O_{K_{\mathfrak p}}는 그 대수적 정수환이다. 만약 \mathfrak p가 아르키메데스 자리라면, \mathcal O_{K_{\mathfrak p}}=K_{\mathfrak p}이다.)
이는 \mathcal O_K^n 위의 이차 형식들의 동치류들의 집합 위의 동치 관계를 정의한다.

즉, 이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.

즉, V=K^n 위의 이차 형식 Q 및 V 속의 두 \mathcal O_K-자유 가군 L,L'\subset V가 주어졌을 때, (L,Q|_L)와  (L',Q|_{L'})이 같은 종수에 속한다는 것은 각 자리 \mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)에 대하여
:L\otimes_KK_{\mathfrak p}=f_{\mathfrak p}(L'\otimes_KK_{\mathfrak p})\subset V\otimes_KK_{\mathfrak p}
가 되는
:f_{\mathfrak p}\in\operatorname O(V\otimes_KK_{\mathfrak p},Q;K_{\mathfrak p})
가 존재한다는 것과 같다.

### 질량
대역체 K의 대수적 정수환 \mathcal O_K 위의 n차원 자유 가군 \mathcal O_K^n 위의 이차 형식 종수 \mathcal G의 **질량**()은 다음과 같다.
:m(\mathcal G)=\sum_{Q\in\mathcal G}\frac1
여기서
* \textstyle\sum_{Q\in\mathcal G}는 종수 g에 속한 모든 이차 형식의 동치류 Q에 대한 합이다.
* \operatorname O(n,Q;\mathbb O_K)=\{f\in\operatorname{GL}(n;\mathcal O_K)\colon Q\circ f=Q\}는 Q에 대한 직교군이다. 즉, (\mathcal O_K^n,Q)의 자기 동형군이다.
* |\cdots|는 집합의 크기이다.
즉, 질량은 종수에 속한 이차 형식의 수를 대칭군의 크기를 고려하여 센 것이다.

### 스피너 종수
대역체 K가 주어졌다고 하자. \mathcal O_K^n 위의 두 이차 형식
:Q,Q'\colon\mathcal O_K^n\to\mathcal O_K
및
:g\in\operatorname O(n,Q;K)
:f_{\mathfrak p}\in\operatorname{\Omega}(n,Q;K)\qquad(\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K))
에 대하여,
:Q(v)=Q'\left(g(f_{\mathfrak p}(v))\right)\qquad\forall v\in K_{\mathfrak p}^n
가 성립한다면, Q와 Q'이 같은 **스피너 종수**에 속한다고 한다.  여기서 \operatorname{\Omega}(V,Q;K)=\ker\operatorname{sn}\subseteq\operatorname O(V,Q;K)는 스피너 노름
:\operatorname{sn}\colon\operatorname O(V,Q;K)\to K^\times/(K^\times)^2
의 핵이다.

## 성질
\mathcal O_K 계수의 이차 형식들에 대하여 정의되는 동치 관계들은 다음과 같다. 왼쪽으로 갈 수록 더 섬세한 동치 관계이며, 오른쪽으로 갈 수록 더 엉성한 동치 관계이다.
:\mathcal O_K-동치 → 같은 스피너 종수에 속함 → 같은 종수에 속함 → K-동치 (= 모든 자리에 대하여 K_{\mathfrak p}-동치)
이차 형식을 이차 형식 Q\colon V\to K가 주어진 벡터 공간 V=\mathcal O_K^n 속의 격자들로 생각한다면, 이들의 정의에 등장하는 대칭군은 다음과 같다.
:\operatorname O(n,Q;K) → \operatorname O(n,Q;K)\times\prod_{\mathfrak p}'\operatorname\Omega(n,Q;K_{\mathfrak p}) → \prod_{\mathfrak p}'\operatorname O(n,Q;K_{\mathfrak p}) → \operatorname{GL}(n;K)

사실, 종수를 정의하는 동치 관계는 아델 이론을 사용하여 아델 직교군
:\operatorname O(V_{\mathbb A},Q)=\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}'\operatorname O(V\otimes_KK_{\mathfrak p},Q;K_{\mathfrak p})
로 생각할 수 있다. (여기서 \textstyle\prod'은 여유한 개의 원소가 1임을 뜻한다.) \operatorname O(V_{\mathbb A})는 V 위에 다음과 같이 작용한다. 우선, 하세-민코프스키 정리에 의하여 다음 두 집합 사이에 자연스러운 전단사 함수가 존재한다.
* K^n 속의 \mathcal O_K-격자 L\subset K^n
* 각 자리에 대한 격자들의 열 (L_{\mathfrak p}\subseteq K_{\mathfrak p}^n)_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)} 가운데, 여유한 개의 \mathfrak p에 대하여 L_{\mathfrak p}=\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}^n\subset K_{\mathfrak p}^n인 것.
따라서, (g_{\mathfrak p})_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}\in \operatorname O(V_{\mathbb A},Q)는 L\mapsto(L_{\mathfrak p})_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)} 위에 다음과 같이 성분별로 작용한다.
:(L_{\mathfrak p})_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}\mapsto\left(g_{\mathfrak p}(L_{\mathfrak p})\right)_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}

같은 종수에 속한 이차 형식들은 같은 판별식을 갖는다. 따라서, 주어진 종수에 속하는 이차 형식의 동치류의 수는 유한하다.

주어진 종수에 속하는 스피너 종수의 수는 항상 2의 거듭제곱이다.

### 질량 공식
주어진 종수의 질량은 **스미스-민코프스키-지겔 질량 공식**(Smith-Minkowski-Siegel質量公式, )으로 구체적으로 계산할 수 있다.

구체적으로, n\ge2일 때, \mathbb Q^n 속의 \mathbb Z-격자 \Lambda가 속하는 종수의 질량은 다음과 같다.
:m(\Lambda)=2\pi^{-n(n+1)/4}\prod_{j=1}^n\Gamma(j/2)\prod_p2m_p(\Lambda)
:m_p(\Lambda)=\frac{p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}}{N(p^r)}\qquad(r\gg1)
:N(p^r)=\operatorname{Aut}_{\mathbb F_{p^r}}(Q\otimes_{\mathbb Z}\mathbb F_{p^r})=\{M\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb F_{p^r})\colon M^\top AM\}
여기서
* \textstyle\prod_p는 모든 소수에 대한 곱이다. (이는 항상 유한하다.)
* (r\gg1)은 충분히 큰 r에 대하여 등식이 성립함을 뜻한다.
* A는 격자 \Lambda의 그람 행렬이다.
이 공식은 자명한 경우인 n=0,1일 때 성립하지 않을 수 있다. 이는 다음과 같은 점에서 기인한다.
* m(\Lambda)의 공식 맨 앞의 2는 특수 직교군 \operatorname{SO}(n)의 다마가와 수()인데, 이는 n일 때 1이다.
* m_p(\Lambda)의 공식 맨 앞의 2는 지표 [\operatorname O(n):\operatorname{SO}(n)]를 뜻한다. 이는 n=0일 때 1이다.

## 역사
2항 이차 형식의 종수의 개념 및 용어(, 복수 )는 카를 프리드리히 가우스가 1801년에 《산술 연구》()에서 도입하였다.

1867년에 헨리 존 스티븐 스미스는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다. 1885년에 헤르만 민코프스키는 박사 학위 논문에서 임의의 이차 형식의 종수의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.

카를 루트비히 지겔(1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였다.

마르틴 아이클러(, 1912~1992)는 스피너 종수를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였다.

## 각주

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## 외부 링크
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분류:이차 형식
분류:대수적 수론