으뜸 아이디얼

가환대수학에서 **으뜸 아이디얼**()은 소 아이디얼의 개념의 일반화이다. 이를 통해 **으뜸 분해**()라는, 소인수 분해의 일반화를 정의할 수 있다.

## 정의
### 으뜸 부분 가군
환 R의 왼쪽 가군 _RM이 다음 성질을 만족시킨다면, _RM을 **여으뜸 왼쪽 가군**(餘-加群, )이라고 한다.
* 임의의 r\in R 및 m\in M\setminus\{0\}에 대하여, 만약 rRm=\{0\}이라면, r\in\sqrt{\operatorname{Ann}(_RM)}이다.
여기서 \operatorname{Ann}은 소멸자이며, \sqrt{}은 소근기(즉, 이를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합)이다. 만약 R가 가환환이라면, 이는 다음 조건과 동치이다.
:모든 r\in R 및 m\in M에 대하여, 만약 rm=0이라면, m=0이거나 아니면 충분히 큰 n\in\mathbb Z^+에 대하여 r^nM=\{0\}이다.

R의 왼쪽 가군 _RM의 **으뜸 부분 가군**() N\subseteq M은 M/N이 공으뜸 왼쪽 가군인 부분 가군이다. 오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.

_RR의 으뜸 부분 가군을 **으뜸 왼쪽 아이디얼**()이라고 한다.

### 삼종 아이디얼
환 R의 왼쪽 가군 _RM이 주어졌을 때, \operatorname{ter}_RM\subseteq R을 다음과 같이 정의하자.
:\operatorname{ter}_RM=\{r\in R\colon\forall m\in M\setminus\{0\}\exists s\in R\colon rRsm=\{0\},\;sm\ne0\}
환 R 위의 왼쪽 가군 _RM이 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 **여삼종 가군**(餘三種加群, )이라고 한다.
* 임의의 r\in R 및 m\in M\setminus\{0\}에 대하여, 만약 rRm=\{0\}이라면, r\in\operatorname{ter}_RM이다.
소 아이디얼 \mathfrak p이 주어졌을 때, \operatorname{Ass}(_RM)=\{\mathfrak p\}인 왼쪽 가군 _RM을 **<math>\mathfrak p</math>-여삼종 가군**()이라고 한다.

왼쪽 뇌터 환 R위의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 여삼종 가군이다.
* 정확히 1개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

환 M의 가군 M의 부분 가군 N에 대하여, 만약 몫가군 M/N이 여삼종 가군이라면, N을 **삼종 부분 가군**()이라고 한다.

환 R 위의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 항상
:\sqrt{\operatorname{Ann}_RM}\subseteq\operatorname{ter}_RM
이며, 따라서 모든 으뜸 부분 가군은 삼종 부분 가군이다. 만약 R가 가환환이라면
:\sqrt{\operatorname{Ann}_RM}=\operatorname{ter}_RM
이며, 따라서 가환환의 경우 으뜸 부분 가군의 개념은 삼종 부분 가군의 개념과 동치이다.

### 가환환의 경우
가환환 R의 아이디얼 \mathfrak q에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아이디얼을 R의 **으뜸 아이디얼**이라고 한다.
* R의 으뜸 부분 가군이다.
* R의 삼종 부분 가군이다.
* 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 rs\in\mathfrak q라면 r\in\mathfrak q이거나, s^n\in\mathfrak q인 양의 정수 n\in\mathbb Z^+이 존재한다.
* 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 rs\in\mathfrak q라면 r\in\mathfrak q이거나, s\in\mathfrak q이거나, 아니면 r,s\in\sqrt{\mathfrak q}이다. 여기서 \sqrt{}는 소근기이다.
* R/\mathfrak q의 모든 영인자는 멱영원이다.

## 성질
가환환의 경우 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼  ∪  으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼
특히, 소 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. 가환환 R의 전체 아이디얼 (1)=R 역시 으뜸 아이디얼이다.

으뜸 아이디얼의 소근기는 항상 소 아이디얼이다. 으뜸 아이디얼 \mathfrak q의 소근기가 소 아이디얼 \mathfrak p이면, \mathfrak q를 **<math>\mathfrak p</math>-으뜸 아이디얼**()이라고 한다. 반대로, 소근기가 극대 아이디얼인 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. (그러나 으뜸 아이디얼이 아니지만 소근기가 소 아이디얼인 아이디얼이 존재한다.)

### 공으뜸 가군
뇌터 가환환 위의, 영가군이 아닌 유한 생성 가군 M에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 공으뜸 가군이다.
* 정확히 1개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

### 으뜸 분해
왼쪽 뇌터 환 위의 유한 생성 왼쪽 가군은 유일한 삼종 분해를 갖는다. 즉, 왼쪽 뇌터 환 R 위의 유한 생성 왼쪽 가군 _RM의 부분 가군 _RN에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 유한 개의 서로 다른 삼종 부분 가군 N_1,\dots,N_k\subseteq M 및 소 아이디얼 \{\mathfrak p_i\}=\operatorname{Ass}(_RM/N_i)들이 존재한다.
* N=N_1\cap N_2\cap\cdots\cap N_k
* 임의의 i=1,\dots,k에 대하여, N\ne N_1\cap N_2\cap N_{i-1}\cap N_{i+1}\cap\cdots\cap N_k
* \operatorname{Ass}(_RN)은 유한 집합이며, 그 크기는 k이며, 또한 \operatorname{Ass}_k(N_i)=\{\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_k\}이다.
* 임의의 1\le i,j\le k에 대하여, i\ne j라면 \mathfrak p_i\ne\mathfrak p_j이며 N_i\ne N_j이다.
이를 N의 **삼종 분해**()라고 한다. 또한, 삼종 분해는 다음과 같은 의미에서 유일하다.
* N의 두 삼종 분해 \{(N_i,\mathfrak p_i)\}_{1\le i\le k}, \{(N_j',\mathfrak p_j')\}_{1\le j\le k'}가 주어졌을 때, k=k'이며, \mathfrak p_i=\mathfrak p'_{\sigma(i)}가 되는 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}\{1,\dots,k\}이 존재한다. (그러나 N_i=N'_{\sigma(i)}일 필요는 없다.)

만약 R가 뇌터 가환환일 경우, 삼중 부분 가군의 개념은 으뜸 부분 가군의 개념과 일치하며, 이 경우를 **으뜸 분해**라고 한다. 뇌터 가환환 위의 유한 생성 가군이 으뜸 분해를 갖는다는 사실은  **라스커-뇌터 정리**()라고 한다.

구체적으로, 뇌터 가환환 R의 아이디얼 \mathfrak a의 으뜸 분해는 다음과 같은 알고리즘으로 찾을 수 있다.
# 만약 \mathfrak a가 으뜸 아이디얼이라면, \{\mathfrak a\}는 으뜸 분해를 이룬다. 아니라면, rs\in\mathfrak a인 r,s \in R\setminus\sqrt{\mathfrak a}를 찾을 수 있다.
# \mathfrak a:r^\infty=\mathfrak a:r^n이 되는 충분히 큰 자연수 n\in\mathbb N을 찾는다.
# 그렇다면, \mathfrak a=(\mathfrak a+r^nR)\cap(\mathfrak a:r^n)이므로, \mathfrak a+r^nR 및 \mathfrak a:r^n의 으뜸 분해를 찾으면 \mathfrak a의 으뜸 분해를 찾을 수 있다. (\mathfrak a+r^nR와 \mathfrak a:r^n는 \mathfrak a보다 더 큰 아이디얼이므로, 뇌터 환 조건에 의하여 무한 반복이 일어나지 않는다.)
여기서
:\mathfrak a:r^\infty=\bigcup_{n=0}^\infty(\mathfrak a:r^n)
:\mathfrak a:r^n=\{s\in R\colon sr^n\in\mathfrak a\}
이다.

## 예
정수환 \mathbb Z은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼이 주 아이디얼이다. 정수환에서 소 아이디얼은 소수 p로 생성되는 주 아이디얼 (p)이며, 으뜸 아이디얼은 소수의 거듭제곱 p^n (n\in\mathbb Z^+)으로 생성되는 주 아이디얼 (p^n)이다.

### 소근기가 소 아이디얼인 비(非)으뜸 아이디얼
대수적으로 닫힌 체 K에 대하여, K[x,y,z]/(xy-z^2)를 생각하자. 이 경우,
:\mathfrak p=(x,z)
라고 하자. 이는 소 아이디얼이다. 즉, \mathfrak p^2=(x^2,z^2,xz)의 소근기 \sqrt{\mathfrak p^2}=\mathfrak p는 소 아이디얼이다. 그러나 \mathfrak p^2는 으뜸 아이디얼이 아니다.
:xy=z^2\in\mathfrak p^2
이지만,
:x\not\in\mathfrak p^2
:y^n\not\in\mathfrak p^2\forall n\in\mathbb Z^+
이기 때문이다. \mathfrak p^2의 으뜸 분해는
:\mathfrak p^2=(x)\cap(x^2,xz,y)
이다.

## 역사
소인수 분해를 정수환에서 보다 일반적인 환으로 일반화하는 것은 환론의 오래된 문제이다. 일부 대수적 수체의 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역이 아니지만 (즉, 환의 원소가 기약원으로의 유일 인수 분해를 갖지 않을 수 있지만), 데데킨트 정역이라는 것(즉, 아이디얼이 소 아이디얼로의 유일한 분해를 갖는 것)이 밝혀지면서 환의 원소의 분해 대신 아이디얼의 분해가 대두되었다. 그러나 데데킨트 정역이 아닌 환들의 경우, 소 아이디얼로의 분해 역시 실패한다.

이를 해결하기 위하여, 에마누엘 라스커가 라스커-뇌터 정리를 다항식환에 대하여 증명하였고, 그 뒤 에미 뇌터가 라스커-뇌터 정리를 일반적 뇌터 가환환에 대하여 증명하였다. 이에 따라 임의의 뇌터 가환환에 대하여 소인수 분해가 일반화되었다.

비가환환의 경우, 레옹스 르시외르()와 로베르 크루아조()가 삼종 아이디얼의 개념을 도입하여, 왼쪽 뇌터 환의 경우 삼종 분해가 성립함을 보였다.

## 각주

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## 외부 링크
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