톰 공간

대수적 위상수학에서 **톰 공간**(Thom空間, )은 실수 벡터 다발에 하나의 “무한대” 점을 추가하여 얻는 위상 공간이다. 이를 사용하여 미분위상수학의 일부 대상들을 호모토피 이론의 기법으로 다룰 수 있다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 파라콤팩트 공간 X
* n차원 실수 벡터 다발 \mathbb R^n\hookrightarrow E\,\overset\pi\twoheadrightarrow\,X
그렇다면, 각 올의 알렉산드로프 콤팩트화를 취하여, 초구 \mathbb S^n=\mathbb R^n\sqcup\{\infty\}를 올로 하는 올다발 \operatorname{Sph}(E)\twoheadrightarrow X을 정의할 수 있다. 이제, 각 올의 콤팩트화 아래 추가된 점들을 한 점으로 붙인 것을 **톰 공간** \operatorname{Th}(E)이라고 한다.
:\operatorname{Th}(E):=\frac{\operatorname{Sph}(E)}{\{(x,\infty_x)\colon x\in X\}}

### 내적을 통한 정의
E 위에, 올별 임의의 연속 양의 정부호 내적
:\eta \in \Gamma(E^* \otimes E^*)
을 임의로 고르자. 이를 통하여, 임의의 x\in X에 대하여 올 E_x의 닫힌 공
:\operatorname{Ball}(\pi) := \{e \in E_x \colon \eta(e,e) \le 1\}
및 초구
:\operatorname{Sph}(\pi) := \{e \in E_x \colon \eta(e,e) = 1\}
을 정의할 수 있다. 이 둘은 X 위의 올다발을 이루며, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
:\operatorname{Sph}(\pi)\subseteq \operatorname{Ball}(\pi) \subseteq E
**톰 공간**은 다음과 같은 몫공간이다.
:\operatorname{Th}(\pi) = \frac {\operatorname{Ball}(\pi)}{\operatorname{Sph}(\pi)}
이는 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 밑점은 \operatorname{Sph}(\pi)의 동치류이다.

## 성질
### 연산에 대한 호환
두 파라콤팩트 공간 X, Y과 그 위의 두 유한 차원 벡터 다발
:\pi\colon E\twoheadrightarrow X
:\varpi\colon F\twoheadrightarrow Y
가 주어졌다고 하자. 곱공간 X\times Y으로부터의 사영 사상
:\operatorname{proj}_X\colon X\times Y\twoheadrightarrow X
:\operatorname{proj}_Y\colon X\times Y\twoheadrightarrow Y
을 잡고, 각 벡터 다발의 사상과의 당김
:\operatorname{proj}_X^*\pi\colon E \twoheadrightarrow X\times Y
:\operatorname{proj}_X^*\varpi\colon F \twoheadrightarrow X\times Y
을 구한다. 이들의 직합을 \pi\boxtimes\varpi로 표기하겠다.
: \pi\boxtimes\varpi \colon \operatorname{proj}_X^* E \oplus \operatorname{proj}_X^* F \twoheadrightarrow X\times Y
이 때 위 사상으로 정의되는 올다발의 톰 공간 \operatorname{Th}(\pi\boxtimes\varpi)는 각각의 톰 공간에 서로 분쇄곱을 취한 것과 위상 동형이다.
:\operatorname{Th}(\pi\boxtimes\varpi) = \operatorname{Th}(\pi)\wedge \operatorname{Th}(\varpi)
특히, 만약 \varpi가 한원소 공간 위의 (자명한) 벡터 다발이라고 하자.
:Y = \{\bullet\}
:F = Y \times\mathbb R^n
그렇다면, \varpi의 톰 공간은 초구이므로, (\operatorname{Th}(\varpi) = \mathbb S^n) 다음을 얻는다.
:\operatorname{Th}(E \oplus \mathbb R^n) = \operatorname{Th}(E) \wedge \mathbb S^n = \operatorname\Sigma^n(\operatorname{Th}(E))
여기서 \operatorname\Sigma^n은 축소 현수를 n번 취한 것이다.

### 함자성
두 파라콤팩트 공간 위의 유한 차원 벡터 다발
:\pi\colon E\twoheadrightarrow X
:\varpi\colon F\twoheadrightarrow Y
및 연속 함수
:f\colon X\to Y
위의 벡터 다발 사상
:\phi\colon E \to F
가 주어졌을 때, 자연스러운, 밑점을 보존하는 연속 함수
:\operatorname{Th}(f,\phi) \colon \operatorname{Th}(\pi) \to \operatorname{Th}(\varpi)
:\operatorname{Th}(f,\phi) \colon(x,e) \mapsto (f(x),\phi(e))\qquad(e\in E_x)
:\operatorname{Th}(f,\phi) \colon \infty \mapsto \infty
가 존재한다. 즉, 이는 유한 차원 벡터 다발의 범주에서 점을 가진 공간의 범주로 가는 함자
:\operatorname{VectBun_{fin}} \to \operatorname{Top}_\bullet
를 정의한다.

### 호몰로지
초구 다발 \operatorname{Sph}(E)의 무한대 단면을 s_\infty\colon B\to\operatorname{Sph}(E), 영단면을 s_0\colon B\to E\subsetneq\operatorname{Sph}(E)라고 적자.

톰 공간의 축소 코호몰로지는 다음과 같은 상대 호몰로지와 같다.
:\operatorname{\tilde H}^\bullet(\operatorname{Th}(E))=\operatorname H^\bullet\left(\operatorname{Sph}(E),s_\infty(B)\right)\cong\operatorname H^\bullet\left(\operatorname{Sph}(E),s_0(B)\right)\cong
\operatorname H^\bullet\left(\operatorname{Sph}(E),\operatorname{Sph}(E)\setminus s_0(B)\right)
\cong
\operatorname H^\bullet\left(E,E\setminus s_0(B)\right)


### 톰 동형
유한 차원 실수 벡터 다발 E\twoheadrightarrow B 및 음이 아닌 정수 k\in\mathbb N에 대하여, 다음과 같은 \mathbb F_2-벡터 공간의 표준적인 동형 사상이 존재한다.
:\operatorname H^k(B; \mathbb F_2)\cong\operatorname{\tilde H}^{k+n}(\operatorname{Th}(E); \mathbb F_2)
여기서 우변은 축소 코호몰로지이다. 이를 **톰 동형**()이라고 한다.

톰 동형은 구체적으로 어떤 원소
:\Phi\in\operatorname H^n(E,E\setminus s_0(B);\mathbb F_2)
에 의한 합곱으로 주어진다.
:\Phi\smile\colon\operatorname H^k(E;\mathbb F_2)\to\operatorname H^{k+n}(E,E\setminus s_0(B);\mathbb F_2)
만약 E\twoheadrightarrow B가 유향 벡터 다발이라면, 이는 임의의 가환환 R 계수에 대하여 존재한다.
:\Phi\smile\pi^*(-)\colon\operatorname H^k(B;R)\to\operatorname H^{k+n}(E,E\setminus s_0(B);R)

## 예
### 자명한 벡터 다발
파라콤팩트 공간 X 위의 자명한 벡터 다발 \pi\colon X\times\mathbb R^n의 톰 공간을 생각하자. 이 경우
:\operatorname{Ball}(\pi) = X\times \mathbb B^n
:\operatorname{Sph}(\pi) = X\times \mathbb S^{n-1}
이며,
:\operatorname{Th}(\pi) = X \times\mathbb S^n / (X \times \{\bullet_{\mathbb S^n}\})
이다. 여기서 \bullet_{\mathbb S^n} \in \mathbb S^n은 초구 \mathbb S^n에 부여한 임의의 밑점으로, 공 \mathbb B^n의 경계에 속한다.

만약 X_+ = X \sqcup \{\bullet_X\}가 X에 분리된 밑점을 추가한 점을 가진 공간이라면, 이는
:\operatorname{Th}(\pi) \cong X_+ \wedge \mathbb S^n
가 된다. 여기서 \cong은 위상 동형이며, \wedge는 점을 가진 공간끼리의 분쇄곱이다.

특히, 만약 n = 0일 경우 (0차원 벡터 다발), 톰 공간은
:\operatorname{Th}(\pi) \cong X_+ \wedge \mathbb S^0 \cong X_+
이다.

### 콤팩트 공간 위의 벡터 다발
콤팩트 공간 X 위의 벡터 다발 \pi\colon E\twoheadrightarrow X의 톰 공간 \operatorname{Th}(\pi)은 E의 알렉산드로프 콤팩트화와 위상 동형이다.
:\operatorname{Th}(\pi) \cong E^+

### 톰 스펙트럼

분류 공간
:\operatorname O(n)\hookrightarrow \operatorname{EO}(n) \twoheadrightarrow \operatorname{BO}(n)
위의 연관 벡터 다발
:\mathbb R^n \hookrightarrow (\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)} \mathbb R^n) \twoheadrightarrow\operatorname{BO}(n)
의 톰 공간을 다음과 같이 표기하자.
:\operatorname{MO}(n) := \operatorname{Th}(\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)}\mathbb R^n)
이들 사이에는 자연스러운 사상
:\Sigma\operatorname{MO}(n) \to \operatorname{MO}(n+1)
이 존재하여, 스펙트럼 \operatorname{MO}를 정의하는데, 이를 **[[톰 스펙트럼]]**이라고 한다.

## 역사
르네 톰이 1954년에 도입하였다.

## 같이 보기
* 보충 경계
* 코호몰로지 연산
## 각주

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## 외부 링크
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분류:대수적 위상수학