덮개 (위상수학)

수학에서 **덮개**() 혹은 **피복**(被覆)은 합집합이 전체 집합인 부분 집합들의 집합족이다.

## 정의
집합 X의 **덮개**는 다음 조건을 만족시키는 집합족 \mathcal C\subseteq\mathcal P(X)이다.
:X=\bigcup\mathcal C=\bigcup_{C\in\mathcal C}C
X의 덮개들의 집합을
:\operatorname{Cover}(X)=\{\mathcal C\subseteq\mathcal P(X)\colon\bigcup\mathcal C=X\}
로 표기하자.

집합 X의 덮개 \mathcal C의 **부분 덮개**() \mathcal D는 \mathcal D\subseteq\mathcal C인 X의 덮개이다.

**유한 덮개**는 유한 집합인 덮개이다. **가산 덮개**는 가산 집합인 덮개이다.

집합 X의 덮개 \mathcal C\in\operatorname{Cover}(X)가 다음 조건을 만족시킨다면, **점별 유한 덮개**(點別有限-, )라고 한다.
* 임의의 x\in X에 대하여, \{C\in\mathcal C\colon C\ni x\}는 유한 집합이다.

### 세분
두 덮개 \mathcal C, \mathcal C'가 주어졌을 때, 만약 임의의 C'\in\mathcal C'에 대하여 C'\subseteq C\in\mathcal C가 존재한다면, \mathcal C'을 \mathcal C의 **세분**() 이라고 하고, \mathcal C'\lesssim\mathcal C으로 표기한다. 이는 X의 덮개들의 집합 위의 원순서를 이룬다.

### 성형 세분
X의 덮개 \mathcal C가 주어졌을 때, 부분 집합 S\subseteq X의 \mathcal C-**별**()은 다음과 같다.
:\operatorname{star}(S,\mathcal C)=\bigcup\{C\in\mathcal C\colon C\cap S\ne\varnothing\}

덮개 \mathcal C가 주어졌을 때, \mathcal C의 **성형 폐포**()
:\mathcal C^\star=\left\{\operatorname{star}(C,\mathcal C)\colon C\in\mathcal C\right\}
를 정의하자. 이 역시 X의 덮개를 이룬다. 두 덮개 \mathcal C, \mathcal C'가 주어졌을 때, 만약 \mathcal C'^\star\lesssim\mathcal C라면, \mathcal C'을 \mathcal C의 **성형 세분**(星形細分, )이라고 한다.

덮개 \mathcal C가 주어졌을 때, \mathcal C의 **무게 중심 폐포**()
:\mathcal C^{\operatorname{b}}=\left\{\operatorname{star}(\{x\},\mathcal C)\colon x\in X\right\}
를 정의하자. 이 역시 X의 덮개를 이룬다. 두 덮개 \mathcal C, \mathcal C'가 주어졌을 때, 만약 \mathcal C'^{\operatorname{b}}\lesssim\mathcal C라면, \mathcal C'을 \mathcal C의 **무게 중심 세분**(-中心細分, )이라고 한다.

## 성질
### 함자성
임의의 덮개 \mathcal C, \mathcal C'에 대하여,
:\mathcal C\lesssim\mathcal C'
이라면
:\mathcal C^{\operatorname{b}}\lesssim\mathcal C'^{\operatorname{b}}
:\mathcal C^\star\lesssim\mathcal C'^\star
이다. 즉, 원순서 집합 (\operatorname{Cover}(X),\lesssim)을 작은 범주로 간주하였을 때,
:^{\operatorname{b}}\colon\operatorname{Cover}(X)\to\operatorname{Cover}(X)
:^\star\colon\operatorname{Cover}(X)\to\operatorname{Cover}(X)
는 함자를 이룬다.

### 함의 관계
집합 X 위의 덮개 \mathcal C에 대하여, 다음이 성립한다.
:\mathcal C\lesssim\mathcal C^{\operatorname{b}}\lesssim\mathcal C^\star\lesssim\mathcal C^{\operatorname{b}\operatorname{b}}
따라서, 같은 집합 위의 두 덮개 \mathcal C, \mathcal C'에 대하여,
* 만약 \mathcal C'이 \mathcal C의 부분 덮개라면 \mathcal C'은 \mathcal C의 세분이다.
* 만약 \mathcal C'이 \mathcal C의 성형 세분이라면 \mathcal C'은 \mathcal C의 무게 중심 세분이다.
* 만약 \mathcal C'이 \mathcal C의 무게 중심 세분이라면 \mathcal C'은 \mathcal C의 세분이다.
* 만약 \mathcal C'이 \mathcal C의 무게 중심 세분의 무게 중심 세분이라면 \mathcal C'은 \mathcal C의 성형 세분이다.
즉, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:

### 반사성
부분 덮개 관계는 부분 순서를 이룬다. 세분 관계는 일반적으로 부분 순서가 아니지만 항상 원순서를 이룬다. 그러나 성형 세분 관계와 무게 중심 세분 관계는 일반적으로 반사 관계가 아니므로 원순서가 아니다.

집합 X 위의 임의의 덮개 \mathcal C\in\operatorname{Cover}(X)에 대하여
:\mathcal C\lesssim\mathcal C^\star
:\mathcal C\lesssim\mathcal C^{\operatorname{b}}
이다.

집합 X 위의 덮개 \mathcal C에 대하여 다음 네 조건이 동치이다.
* \mathcal C^\star\lesssim\mathcal C이다.
* \mathcal C^\star는 서로소이다. 즉, 임의의 C,D\in\mathcal C에 대하여 \operatorname{star}(C,\mathcal C)\ne\operatorname{star}(D,\mathcal C)라면 \operatorname{star}(C,\mathcal C)\cap\operatorname{star}(D,\mathcal C)=\varnothing이다.
* \operatorname{star}(-,\mathcal C)는 멱등 연산이다. 즉, 임의의 C\in\mathcal C에 대하여, \operatorname{star}(\operatorname{star}(C,\mathcal C),\mathcal C)=\operatorname{star}(C,\mathcal C)이다.
* \mathcal C\lesssim\mathcal P\lesssim\mathcal C인 집합의 분할 \mathcal P가 존재한다.

집합 X 위의 덮개 \mathcal C에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.
* \mathcal C^{\operatorname{b}}\lesssim\mathcal C이다.
* 임의의 부분 집합 \mathcal D\subseteq\mathcal C에 대하여, 만약 \bigcap\mathcal D\ne\varnothing이라면, \mathcal D는 상계 \mathcal C\ni\bar D\supseteq\bigcup\mathcal D를 갖는다.

### 유한 집합의 덮개
크기 n의 유한 집합의 덮개의 수는 다음과 같다. 
:|\operatorname{Cover}(\{1,2,\dots,n\})|=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom nk2^{2^{n-k}}
이는 항상 짝수인데, 이는 항상 공집합을 추가하거나 제거할 수 있기 때문이다.

덮개들의 집합 \operatorname{Cover}(X)은 부분 덮개 관계에 대하여 부분 순서 집합 (\operatorname{Cover}(X),\subseteq)을 이룬다. 그 극소 원소 가운데, 크기가 k인 것들의 수는 다음과 같다. 
:
\begin{align}
\left|\{\mathcal C\in \min\left(\operatorname{Cover}(\{1,2,\dots,n\}),\subseteq\right)\colon|\mathcal C|=k\}\right|
&=\sum_{i=k}^{\min\{n,2^k-1\}}\binom{2^k-k-1}{i-k}\frac{i!}{k!}\left\{{n\atop i}\right\}\\
&=\sum_{i=k}^n\binom ni(2^k-k-1)^{n-i}\left\{{i\atop k}\right\}
\end{align}

여기서 \textstyle\binom nk는 이항 계수이며, \textstyle\\lesssim\mathcal C_{\epsilon'}\qquad\forall\epsilon'\ge2\epsilon
:\mathcal C_\epsilon^\star\lesssim\mathcal C_{\epsilon'}\qquad\forall\epsilon'\ge3\epsilon
이에 대하여 알렉산드르 블라디미로비치 아르한겔스키()는 다음과 같이 적었다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:일반위상수학
분류:조합론