단체 준군

호모토피 이론에서 **단체 준군**(單體準群, )은  단체 집합의 모노이드 범주에 대하여 풍성한 범주를 이루는 준군이다.

## 정의
**단체 준군**은 단체 집합의 모노이드 범주에 대하여 풍성한 범주를 이루는 준군이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 집합 \operatorname{Ob}(G). 그 원소를 **대상**이라고 한다.
* 임의의 두 x, y\in \operatorname{Ob}(G)에 대하여, 단체 집합 \hom_G(x,y). 이를 x\to y 사상들의 단체 집합이라고 한다.
이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* 각 n\in\mathbb N에 대하여, G_n = (\operatorname{Ob}(G),(\hom_G(x,y))_n)는 준군을 이룬다.
* 단체 범주 \triangle의 사상 (즉, 증가 함수) f\colon \{0,1,\dotsc, n\} \to \{0,1,\dotsc,m\}에 대하여, f^* \colon G_m \to G_n는 준군 준동형(즉, 함자)을 이룬다. (이들은 대상 집합 \operatorname{Ob}(G_n) = \operatorname{Ob}(G)에 대하여 항등 함수이다.)
단체 준군의 **사상**은 준군 준동형(즉, 함자)을 이루는 단체 집합 사상(즉, 단체 범주 위의 준층의 자연 변환)이다. 단체 준군의 범주를 \operatorname{sGpd}로 표기하자.

## 성질
단체 준군의 정의에 따라, 준군의 범주 및 단체 집합의 범주로 가는 망각 함자
:\operatorname{sGpd} \to \operatorname{Gpd}
:\operatorname{sGpd} \to \operatorname{sSet}
가 존재한다.

모든 단체 준군으ᇿ 준군 범주의 단체 대상을 이루지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 준군 범주의 단체 대상 가운데 그 대상 단체 집합이 이산 공간인 경우 이는 단체 준군을 이룬다. 특히, 군은 하나의 대상만을 갖는 준군이므로, 군의 범주의 단체 대상은 항상 단체 준군이다. 군의 범주의 단체 대상을 **단체군**(單體群, )이라고 한다.

모든 단체군은 자동적으로 칸 복합체이며, 따라서 그 호모토피 군을 정의할 수 있다.

### 고리 준군
단체 집합 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 화살집
:X_{n+1} \underset t{\overset s\rightrightarrows} X_0
:s = (\partial_1)^{n+1} \colon X_{n+1} \to X_0
:t = \partial_0 \circ (\partial_2)^n \colon X_{n+1} \to X_0
을 생각하자. (s는 화살의 머리, t는 화살의 꼬리를 뜻한다.) 이 화살집으로 생성되는 자유 준군을 (\mathrm GX)_n이라고 표기하자.

이제, 이 위에 다음과 같은 단체 대상 구조를 줄 수 있다. 자유 준군의 사상의 생성원 (즉, 화살집의 화살) e\in X_{n+1}에 대하여,
:s_i^{\mathrm GX}(e) = s_{i+1}^X(e) \qquad\forall e\in X_{n+1}
:\partial_i^{\mathrm GX}(e) = 
\begin{cases}
\partial_{i+1}^X(e) & 1\le i\le n \\
\partial_0^{\mathrm GX}(e) = (\partial_0^X(e))^{-1} \partial_1^X(e) & i = 0
\end{cases}\qquad\forall e\in X_{n+1}

그렇다면, \mathrm GX는 준군 범주의 단체 대상을 이루며, 면 \partial_i^{\mathrm GX} 및 퇴화 단체 s_i^{\mathrm GX} 사상들이 준군 대상에 대하여 상수 함수이므로, 이는 단체 준군을 이룬다.

이는 단체 집합의 범주에서 단체 준군의 범주로 가는 함자
:\operatorname{sSet} \to \operatorname{sGpd}
를 이룬다. 이를 **드와이어-칸 고리 준군 함자**(Dwyer-Kan고리準群函子, )라고 한다. 대략, 단체 집합 X의 고리 준군 \mathrm GX는 다음과 같다.
* \mathrm GX의 대상의 집합 (\mathrm GX)_0은 X의 꼭짓점 집합 X_0과 같다.
* \mathrm GX의 두 대상 사이의 사상들의 단체 집합은 X의 1차원 이상 단체들로 구성된 “경로”들의 집합이다. 여기서 X의 1차원 이상 단체에서, 0번째 꼭짓점을 (경로를 구성하는) 변의 “머리”로, 1번째 꼭짓점을 변의 “꼬리”로 여긴다.
이 개념은 고리 공간의 개념의, 단체 집합에 대한 공식화이다.

드와이어-칸 고리 준군 함자는 다음과 같이 제한될 수 있다.
:G \colon \operatorname{sSet_{red}} \to \operatorname{simp}(\operatorname{Grp})
여기서
* \operatorname{sSet_{red}}는 단체 집합 가운데 하나의 꼭짓점만을 갖는 것(**축소 단체 집합** 縮小單體集合 )들의 범주이다.
* \operatorname{simp}(\operatorname{Grp})은 단체군의 범주이다.

### 단체 분류 공간
드와이어-칸 고리 준군 함자는 또한 오른쪽 수반 함자
:\mathrm B \colon \operatorname{sGpd} \to\operatorname{sSet}
를 가지며, 이를 **단체 [[분류 공간]] 함자**(單體分類空間函子, )라고 한다. 즉, 수반 함자의 쌍
:\mathrm G \colon \operatorname{sSet} \leftrightarrows \operatorname{sGpd} \colon \mathrm B
이 존재한다.

단체군의 단체 분류 공간은 축소 단체 집합이다. 이를 통해, 수반 함자의 쌍
:\mathrm G \colon \operatorname{sSet_{red}} \leftrightarrows \operatorname{Grp}^{\triangle^{\operatorname{op}}} \colon \mathrm B
이 존재한다.

구체적으로, 단체 준군 (G_n)_{n\in\mathbb N}가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
* (\mathrm BG)_0 = \operatorname{Ob}(G)
* (\mathrm BG)_1 = \operatorname{Mor}(G_0) 
* (\mathrm BG)_n = \{(h_{n-1},h_{n-2},\dotsc,h_1,h_0) \colon h_i \in G_i,\;\mathsf s_{G_n}(h_i) = \mathsf t_{G_n}(h_{i-1}) \;\forall 0
** 여기서 \mathsf s_{G_n},\mathsf t_{G_n} \colon \operatorname{Mor}(G_n) \to \operatorname{Ob}(G)은 준군 G_n의 사상의 머리 및 꼬리 함수이다.
* 면 사상은 다음과 같다.
** \partial_0^n(h_{n-1},\dotsc,h_0) = (h_{n-2},\dotsc,h_0)
** \partial_i^n(h_{n-1},\dotsc,h_0) = (\partial_{i-1}^{G_{n-1}}h_{n-1},\partial_{i-2}^{G_{n-2}}h_{n-2},\dotsc,\partial_1^{G_{n-i+1}}h_{n-i+1},(\partial_0^{G_{n-i}}h_{n-i})h_{n-i-1},h_{n-i-2},\dotsc,h_0)\qquad(0
** \partial_n^n(h_{n-1},\dotsc,h_0) = (\partial_{n-1}^{G_{n-1}}h_{n-1},\dotsc,\partial_1^{G_1}h_1)
* 퇴화 사상은 다음과 같다.
** s_0^n(h_{n-1},\dotsc,h_0) = (\operatorname{id}_{\mathsf s(h_{n-1})},h_{n-1},\dotsc,h_0)
** s_i^n(h_{n-1},\dotsc,h_0) = (s_{i-1}h_{n-1},\dotsc,s_0h_{n-i},\operatorname{id}_{\mathsf t(h_{n-i})},h_{n-i-1},\dotsc,h_0)\qquad(0

### 모형 범주 구조
단체 준군의 범주는 모형 범주의 구조를 가지며, 이는 단체 범주의 (표준적) 모형 범주 구조와 퀼런 동치이다. 즉, 그 호모토피 범주는 단체 범주의 호모토피 범주와 동치이다.

이 모형 범주 구조에서, 사상 f\colon G\to H가 올뭉치일 필요 충분 조건은 다음 두 조건이 동시에 성립하는 것이다.
* (올림의 존재) 임의의 G의 대상 x\in \operatorname{Ob}(G) 및 H의 사상 \alpha \in\hom_H(f(x), y)에 대하여, f(\bar\alpha)=\alpha이며 f(\bar y)=y인 G의 사상 \bar\alpha\in\hom_G (x,\bar y)이 존재한다.
* 각 대상 x\in\operatorname{Ob}(G)에 대하여, 단체 집합 사상 \hom_G(x,x) \to \hom_H(f(x),f(x))는 칸 올뭉치이다.

이 모형 범주 구조에서, 사상 f\colon G\to H가 약한 동치일 필요 충분 조건은 다음 두 조건이 동시에 성립하는 것이다.
* f는 연결 성분 집합 \pi_0(G), \pi_0(H) 사이의 전단사 함수를 정의한다.
* 임의의 x\in \operatorname{Ob}(G)에 대하여, (f \restriction\hom_G(x,x))\colon \hom_G(x,x) \to \hom_H(f(x),f(x))는 단체 집합의 약한 동치를 이룬다.

이에 따라, 단체 준군을 위상 공간의 호모토피 유형의 모형으로 간주할 수 있다. 이러한 관점에서, 단체군은 연결 공간에 해당한다.

### 무어 복합체
단체군 G가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이로부터 **무어 복합체**라는 군들의 열을 정의할 수 있다.
:(\mathrm NG)_0 \xleftarrow{\partial_1} (\mathrm NG)_1 \xleftarrow{\partial_2} (\mathrm NG)_2 \xleftarrow{\partial_3} \dotsb 
이 사이의 사상 \partial_i \colon (\mathrm NG)_i \to (\mathrm NG)_{i-1}은 군 준동형이며, 또한 \partial_i \circ \partial_{i+1} = 1 (상수 함수)이다. 즉, 이는 군의 “사슬 복합체”를 이룬다. 또한, 각 경계 사상의 상은 정규 부분군을 이룬다. (즉, 이 “사슬 복합체”의 “호몰로지”를 취할 수 있다.) 이러한 구조 (\mathrm NG)_\bullet를 단체군 G의 **무어 복합체**(Moore複合體, )라고 한다.

구체적으로,
:(\mathrm NG)_n = \bigcap_{i=1}^n \ker\partial_i^{G_n} \le G_n
:\partial_n = \left(\partial_i^{G_n} \restriction (\mathrm NG)_n\right) \colon (\mathrm NG)_n \to (\mathrm NG)_{n-1}
이다. 여기서 \partial_i^{G_n}\colon G_n \to G_{n-1}은 단체 대상의 면 사상이다. (※ \partial_0^{G_n}은 교집합에서 사용되지 않는다.) 다시 말해,
* 무어 복합체의 항 (\mathrm NG)_n은 G의 n차원 단체 가운데, 1번째〜n번째 면들이 모두 자명한 것들로 구성된 부분군이다. 그러나 0번째 면은 자명하지 않을 수 있다. (특히, (\mathrm NG)_0 = G_0이다.)
* 무어 복합체의 경계 준동형은 0번째 면을 취하는 연산이다.
이러한 무어 복합체는 **초교차 복합체**(超交叉複合體, )라는 대수 구조를 이루며, 무어 복합체 구성을 통해 단체군의 범주는 초교차 복합체의 범주와 동치이다.

특히, 무어 복합체에서 (\mathrm NG)_2 = 1이라고 하고, 처음 두 항
:(\mathrm NG)_0 \xleftarrow\partial (\mathrm NG)_1
을 생각하자. (\mathrm NG)_0=G_0은 (\mathrm NG)_1  위에 다음과 같이 작용한다.
:g \cdot h = s_0^{G_0}(g) h (s_0^{G_0}(g))^{-1} \in  (\mathrm NG)_1 \qquad (g\in G_0,\;h \in (\mathrm NG)_1)
그렇다면, 이 데이터는 교차 가군을 정의한다.

## 역사
축소 단체 집합의 고리 군은 다니얼 칸이 1958년에 도입하였다. 이 구성을 윌리엄 제러드 드와이어(, 1947〜)와 다니얼 칸이 1984년에 임의의 단체 집합의 고리 준군으로 일반화하였다.

## 같이 보기
* 준군
## 각주

## 외부 링크
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