초실수

섬네일|400px|right|초실수선은 실수선보다 더 조밀하다. 실수선 위의 각 점은 이에 무한히 가까운 무한한 수의 초실수들에 대응한다. 반대로, 표준 부분 함수는 유한 초실수를 가장 가까운 실수로 대응시킨다.
비표준 해석학에서 **초실수**(超實數, )는 실수에 무한대 원소들과 무한소 원소들을 포함하는 체이며, 실수에 대한 모든 1차 논리 명제가 그대로 성립하는 수 체계이다. 1800년대에, 이른바, 입실론-델타 방법은, 무한대와 무한소의 문제를 돌아갔다고 할 수 있는 반면, 초실수는 무한대와 무한소에 대한 직관을 현실화했다고 볼 수 있다.

## 정의
실수 \mathbb R의 수열 \mathbb R^{\mathbb N}의 가환환을 생각하자. 이는 크룰 정리에 따라 극대 아이디얼 \mathfrak u\subset\mathbb R^{\mathbb N}을 가진다. (크룰 정리는 선택 공리와 동치이다.) 그 몫환
\mathbb R^{\mathbb N}/\mathfrak u={}^*\mathbb R
는 체를 이루는데, 이를 **초실수체**(超實數體, )라고 하고, 그 원소를 **초실수**라고 한다. 각 실수를 상수열의 동치류로 대응시키면, 실수체는 다음과 같이 초실수체로 표준적으로 매장된다.
:r\in\mathbb R\mapsto[(r,r,r,\dots)]\in{}^*\mathbb R

이러한 극대 아이디얼 \mathfrak u는 자유 극대 필터 \mathcal U\subset\mathcal P(\mathbb N)에 의하여 주어진다. 즉,
:(s_i)_{i\in\mathbb N}\in\mathfrak u\iff\{i\in\mathbb N\colon s_i=0\}\in\mathcal U
이다. 이 경우, {}^*\mathbb R 위에 다음과 같은 이항 관계를 정의할 수 있다.
:[s]\le[t]\iff\{i\in\mathbb N\colon s_i\le t_i\}\in\mathcal U
이는 전순서를 이룬다는 것을 보일 수 있다. 따라서 초실수체는 실수체를 확대하는 순서체이다.

초실수체는 선택하는 자유 극대 필터에 따라 달라진다. 만약 연속체 가설을 가정한다면, 모든 초실수체는 순서체로서 서로 동형임을 보일 수 있다. 반면, 연속체 가설을 부정한다면 서로 동형이지 않는 초실수체가 존재한다.

### 실수 집합의 확대
실수 집합 S\subset\mathbb R가 주어졌다고 하자. 그렇다면, S의 **초실수 확대**() ^*S는 다음과 같다.
:{}^*S=\left\{[s]\in{}^*\mathbb R\colon\{i\in\mathbb N\colon s_i\in S\}\in\mathcal U\right\}
자연수 집합 \mathbb N\subset\mathbb R의 초실수 확대를 **초자연수**(超自然數, )라고 한다. 정수 집합 \mathbb Z\subset\mathbb R의 초실수 확대를 **초정수**(超整體, )라고 한다. 초정수의 집합은 초실수체의 부분환을 이룬다. 유한 초정수는 정수이며, 모든 비표준 초정수는 무한 초실수이다.

## 성질
:2^{\aleph_0}=|\mathbb R|\le|^*\mathbb R|\le|\mathbb R|^{|\mathbb N}=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}
이므로, 초실수 집합의 크기는 실수 집합의 크기와 같다.
:|{}^*\mathbb R|=2^{\aleph_0}=|\mathbb R|
전달 원리에 따라, 1차 논리로 기술할 수 있는 실수의 성질은 초실수에 대해서도 성립한다.

초실수체는 실수체와 달리 아르키메데스 체가 아니다. 이는 아르키메데스 성질을 1차 논리로 기술할 수 없기 때문이다.

### 전달 원리
\phi가 기호 +,-,\times,{}^{-1},\le 및 \forall x_i\in\mathbb R, \exists x_i\in\mathbb R를 사용하는 1차 논리 명제라고 하자. 그렇다면, 이 명제에서 모든 변수를 실수 대신 초실수로 바꾼 1차 논리 명제 \phi^*를 정의할 수 있다. 그렇다면 다음이 성립한다.
* \phi와 \phi^*는 서로 동치이다. 즉, \phi가 참이라면 \phi^* 역시 참이며, 반면 \phi가 거짓이라면 \phi^* 역시 거짓이다.
이를 **전달 원리**()라고 한다.

전달 원리는 고차 논리에서는 성립하지 않는다. 예를 들어,
:\exists\omega\forall n\in\mathbb N\colon\overbrace{1+1+\cdots+1}^n\le\omega
와 같은 명제는 \mathbb R에서 거짓이지만 \mathbb R^*에서는 참이다. 그러나 이 명제는 1차 논리 명제로 쓸 수 없다.

### 위상수학적 성질
초실수의 전순서 집합은 순서 위상을 부여하여 위상 공간으로 만들 수 있다. 순서 위상의 성질에 따라, 초실수 공간은 완비 정규 하우스도르프 공간 (즉, T<sub>5</sub> 공간)이다.

초실수의 위상 공간은 연결 공간이 아니며, 완전 분리 공간이다. 초실수 공간은 국소 콤팩트 공간이 아니며, 분해 가능 공간이 아니며, 제1 가산 공간이 아니다. 따라서, 초실수 공간은 거리화 가능 공간이 아니다.

## 분류
초실수 가운데 실수가 아닌 것을 **비표준 초실수**()라고 한다.

**무한대 초실수**()는 다음을 만족시키는 초실수 r^*이다.
:\forall r\in\mathbb R\colon r
**무한소 초실수**()는 무한대 초실수의 역수이다. 즉, 다음을 만족시키는, 0이 아닌 초실수 r^*이다.
:\forall r\in\mathbb R\colon r
무한대가 아닌 초실수를 **유한 초실수**()라고 한다. 유한 초실수의 집합 {}^*\mathbb F\subset{}^*\mathbb R은 값매김환을 이루며, 유한 초실수환의 유일한 극대 아이디얼은 무한소 초실수의 유사환 \mathfrak i\subset{}^*\mathbb F이다. 이에 대한 몫환은 실수체와 표준적으로 동형이다.
:{}^*\mathbb F/\mathfrak i\cong\mathbb R
즉, 모든 유한 초실수 {}^*r는 실수 r와 무한소 초실수 \epsilon의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. 여기서 r를 {}^*r의 **표준 부분**이라고 하며, \operatorname{st}({}^*r)라고 쓴다.

초실수에 대하여, 다음과 같은 자연스러운 동치 관계가 존재한다.
:a\approx b\iff\operatorname{st}(a)=\operatorname{st}(b)
이에 대한 동치류를 **모나드**()라고 한다.

## 예
실수 r는 상수열의 동치류
[(r,r,r,\dots)]
로 대응된다.

초실수
:\omega=[(0,1,2,3,4,\dots)]
의 동치류는 무한대 초자연수이다. 그 역수
:\omega^{-1}=[(1,1,1/2,1/3,1/4,\dots)]
는 무한소 초실수이다.

## 역사
초실수(hyperreal)라는 용어는 1948년에 에드윈 휴잇()이 최초로 사용하였다.  표준 부분은 에이브러햄 로빈슨이 처음 정의하였고, 로빈슨은 초실수 x에 대하여 {}^{\circ}x라는 표기법을 사용하였다. 비표준해석학에서는 이 개념이 미적분학에서 미분과 적분 등의 개념을 정립하는데 중요한 역할을 한다. 나중에 이 개념이 엄격히 형식화되어 무한소 이론으로 발전한다. 초실수를 사용하여, 피에르 드 페르마의 직관적인 아다이콸리타스(, "거의 같음") 개념을 "같은 표준 부분을 갖는 두 초실수"로 형식화할 수 있다.

## 각주

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## 외부 링크
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분류:해석학 (수학)
분류:체론
분류:실폐체
분류:무한