외미분

미분 다양체에서 **외미분**(exterior derivative)은 함수의 미분 개념을 더 높은 차수의 미분 형식으로 확장한다. 외미분은 엘리 카르탕이 1899년에 현재의 형태로 처음 기술했다. 외미분학으로 알려진 결과 미적분학은 스토크스의 정리, 발산 정리, 그린 정리의 벡터 미적분학으로부터 자연적이고 계량 독립적인 일반화를 허용한다.

미분 -형식이 다양체의 각 점에서 무한소 -평행다포체를 통한 선속을 측정하는 것으로 생각되면, 그 외미분은 각 점에서 -평행다포체의 경계를 통한 순 선속을 측정하는 것으로 생각할 수 있다.

## 정의
차수  미분 형식(이하 간단히 -형식)의 외미분은 차수  미분 형식이다.

가 매끄러운 함수(-형식)이면, 의 외미분은 의 미분이다. 즉, 는 모든 매끄러운 벡터장 에 대해 를 만족하는 유일한 -형식이며, 여기서 는  방향으로의 의 방향도함수이다.

미분 형식의 외적(동일한 기호 로 표기)은 그들의 점별 외적으로 정의된다.

일반적인 -형식의 외미분에는 다양한 등가 정의가 있다.

### 공리적 정의
외미분 d는 -형식에서 -형식으로의 유일한 -선형 사상으로 다음 속성을 가진다.

*0-형식 f에 적용된 연산자 d는 f의 미분 df이다.
*\alpha와 \beta가 두 k-형식이면, 모든 장의 원소 a,b에 대해 d(a\alpha+b\beta)=ad\alpha+bd\beta이다.
*\alpha가 k-형식이고 \beta가 l-형식이면, d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge d\beta(계량 곱 규칙)이다.
*\alpha가 k-형식이면, d(d\alpha)=0 (푸앵카레 보조정리)이다.

f와 g가 두 0-형식(함수)이면, 세 번째 속성에서 d(f\wedge g)의 양에 대해 d(fg)가 되며, 익숙한 곱 규칙 d(fg)=g\,df+f\,dg가 복구된다. 세 번째 속성은 예를 들어, \alpha가 k-형식, \beta가 l-형식, \gamma가 m-형식인 경우 다음과 같이 일반화될 수 있다.

:d(\alpha\wedge\beta\wedge\gamma)=d\alpha\wedge\beta\wedge\gamma+(-1)^k\alpha\wedge d\beta\wedge\gamma+(-1)^{k+l}\alpha\wedge\beta\wedge d\gamma.

### 국소 좌표계로 표현
또는, 국소 좌표계 에서 전적으로 작업할 수 있다. 좌표 미분 은 각 좌표와 관련된 1차 형식 공간의 기저를 형성한다. 에 대해  다중 지표(및 를 로 표기)가 주어지면,
: \varphi = g\,dx^I = g\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}
 위의 (단순) -형식의 외미분은 다음과 같이 정의된다.
: d{\varphi} =  dg\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} = \frac{\partial g}{\partial x^j} \, dx^j \wedge \,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}
(아인슈타인 표기법 사용). 외미분 정의는 일반적인 -형식(기본 단순 k-형식의 선형 조합으로 표현 가능)으로 선형적으로 확장된다.
: \omega = f_I \, dx^I,
여기서 다중 지표 의 각 구성 요소는 의 모든 값을 가진다. 가 다중 지표 의 구성 요소 중 하나와 같을 때마다 임을 유의하라 (외적 참조).

국소 좌표에서의 외미분 정의는 이전 공리적 정의에서 파생된다. 실제로 위에서 정의된 -형식 를 사용하면 다음과 같다.
: \begin{align}
  d{\varphi} &= d\left (g\,dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} \right ) \\
             &= dg \wedge \left (dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} \right ) +
                  g\,d\left (dx^{i_1}\wedge \cdots \wedge dx^{i_k} \right ) \\
             &= dg \wedge dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} + g \sum_{p=1}^k (-1)^{p-1} \, dx^{i_1}
                   \wedge \cdots \wedge dx^{i_{p-1}} \wedge d^2x^{i_p} \wedge dx^{i_{p+1}} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} \\
             &= dg \wedge dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} \\
             &= \frac{\partial g}{\partial x^i} \, dx^i \wedge dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} \\
\end{align}

여기서 우리는 를 -형식으로 해석하고 외미분의 속성을 적용했다.

이 결과는 일반적인 -형식 로 직접 확장되어 다음과 같다.
: d\omega = \frac{\partial f_I}{\partial x^i} \, dx^i \wedge dx^I .

특히, -형식 의 경우, 국소 좌표계에서의 의 구성 요소는 다음과 같다.
: (d\omega)_{ij} = \partial_i \omega_j - \partial_j \omega_i. 

주의: dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k}의 의미에 관한 두 가지 관례가 있다. 대부분의 현재 저자는 다음 관례를 따른다.
: \left(dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k}\right) \left( \frac{\partial}{\partial x^{i_1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^{i_k}} \right) = 1 .
반면 Kobayashi와 Nomizu 또는 Helgason과 같은 옛 문헌에서는 다음 관례를 따른다.
: \left(dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k}\right) \left( \frac{\partial}{\partial x^{i_1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^{i_k}} \right) = \frac{1}{k!} .

### 불변 공식
또는, -형식 의 외미분에 대한 명시적 공식이 주어질 수 있다. 이 공식은 개의 임의의 매끄러운 벡터장 와 쌍을 이룬다.
: d\omega(V_0, \ldots, V_k) = \sum_i(-1)^{i} V_i ( \omega  (V_0, \ldots, \widehat V_i, \ldots,V_k )) + \sum_{i

여기서 는 리 괄호를 나타내고, 윗기호는 해당 요소의 생략을 나타낸다.
: \omega (V_0, \ldots, \widehat V_i, \ldots, V_k ) = \omega(V_0, \ldots, V_{i-1}, V_{i+1}, \ldots, V_k ).

특히, 가 -형식일 때 이다.

**참고:** Kobayashi–Nomizu 및 Helgason과 같은 관례에 따르면 공식은  계수만큼 다르다.
:\begin{align}
  d\omega(V_0, \ldots, V_k) ={}
    & {1 \over k+1} \sum_i(-1)^i \, V_i ( \omega (V_0, \ldots, \widehat V_i, \ldots,V_k  )) \\
    & {}+ {1 \over k+1}  \sum_{i

## 예시
**예시 1.** 스칼라장 에 대해 -형식 기저 에서 를 고려하자. 외미분은 다음과 같다.
: \begin{align}
  d\sigma &= du \wedge dx^1 \wedge dx^2 \\
                    &= \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x^i} \, dx^i\right) \wedge dx^1 \wedge dx^2 \\
                    &= \sum_{i=3}^n \left( \frac{\partial u}{\partial x^i} \, dx^i \wedge dx^1 \wedge dx^2 \right )
\end{align}

합이 에서 시작하는 마지막 공식은 외적의 속성에서 쉽게 유도된다. 즉, 이다.

**예시 2.** 에 정의된 -형식 라고 하자. 각 항에 위 공식을 적용하여(여기서  및 로 간주) 다음 합을 얻는다.
: \begin{align}
d\sigma
    &= \left( \sum_{i=1}^2 \frac{\partial u}{\partial x^i} dx^i \wedge dx \right) + \left( \sum_{i=1}^2 \frac{\partial v}{\partial x^i} \, dx^i \wedge dy \right) \\
    &= \left(\frac{\partial{u}}{\partial{x}} \, dx \wedge dx + \frac{\partial{u}}{\partial{y}} \, dy \wedge dx\right) + \left(\frac{\partial{v}}{\partial{x}} \, dx \wedge dy + \frac{\partial{v}}{\partial{y}} \, dy \wedge dy\right) \\
    &= 0 - \frac{\partial{u}}{\partial{y}} \, dx \wedge dy + \frac{\partial{v}}{\partial{x}} \, dx \wedge dy + 0 \\
    &= \left(\frac{\partial{v}}{\partial{x}} - \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\right) \, dx \wedge dy
\end{align}

## 다양체에서의 스토크스의 정리

이 경계가 있는 콤팩트하고 매끄러운 유향 -차원 다양체이고, 가  위의 -형식이라면, 스토크스의 정리의 일반화된 형태는 다음을 나타낸다.
: \int_M d\omega = \int_{\partial{M}} \omega

직관적으로, 을 무한소 영역으로 나누고 모든 영역의 경계를 통한 선속을 합산하면 내부 경계는 모두 상쇄되고 의 경계를 통한 총 선속만 남게 된다.

## 추가 속성

### 닫힌 형식과 완전 형식

-형식 는 이면 닫힌 형식이라고 불린다. 닫힌 형식은 의 핵이다. 는 어떤 -형식 에 대해 이면 완전 형식이라고 불린다. 완전 형식은 의 상이다. 이므로 모든 완전 형식은 닫힌 형식이다. 푸앵카레 보조정리는 수축 가능한 영역에서 그 역도 성립한다고 말한다.

### 드람 코호몰로지
외미분 가  속성을 가지므로, 다양체 위의 드람 코호몰로지를 정의하기 위한 미분 (코경계)으로 사용될 수 있다. -번째 드람 코호몰로지 (군)는 닫힌 -형식의 벡터 공간을 완전 -형식으로 나눈 것이다. 이전 섹션에서 언급했듯이, 푸앵카레 보조정리는 이들 벡터 공간이 수축 가능한 영역에서 에 대해 자명하다는 것을 나타낸다. 매끄러운 다양체의 경우, 형식의 적분은 드람 코호몰로지에서  위의 단일 코호몰로지로의 자연스러운 준동형 사상을 제공한다. 드람의 정리는 이 사상이 실제로는 동형 사상이며, 푸앵카레 보조정리의 광범위한 일반화임을 보여준다. 일반화된 스토크스의 정리에서 제안된 바와 같이, 외미분은 단일 심플렉스에서의 경계 사상의 "이중"이다.

### 자연성
외미분은 기술적인 의미에서 자연스럽다. 만약 가 매끄러운 사상이고 가 각 다양체에 다양체 위의 -형식 공간을 할당하는 반변 매끄러운 함자라면, 다음 다이어그램이 교환한다.
: none
따라서 이며, 여기서 는 의 당김을 나타낸다. 이는 가 정의에 따라 이기 때문이며, 여기서 는 의 푸쉬포워드이다. 따라서 는 에서 로의 자연 변환이다.

## 벡터 미적분학에서의 외미분
대부분의 벡터 미적분학 연산자는 외미분 개념의 특수한 경우이거나 밀접한 관계를 가진다.

### 기울기
실수 미분 다양체  위의 매끄러운 함수 는 -형식이다. 이 -형식의 외미분은 -형식 이다.

내적 이 정의될 때, 함수 의 기울기 는 의 어떤 요소와의 내적이 벡터를 따른 의 방향도함수와 같도록 하는 의 유일한 벡터로 정의된다. 즉,
: \langle \nabla f, \cdot \rangle = df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}\, dx^i .

즉,
: \nabla f = (df)^\sharp = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}\, \left(dx^i\right)^\sharp ,
여기서 은 내적으로 유도된 이전에 언급된 음악 동형 를 나타낸다.

-형식 는 공변접다발의 한 단면이며, 각 점에서 공변접공간에서 에 대한 국소 선형 근사를 제공한다.

### 발산
 위의 벡터장 은 해당 -형식을 가진다.
: \begin{align}
  \omega_V &= v_1 \left (dx^2 \wedge \cdots \wedge dx^n \right) - v_2 \left (dx^1 \wedge dx^3 \wedge \cdots \wedge dx^n \right ) + \cdots + (-1)^{n-1}v_n \left (dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^{n-1} \right) \\
           &= \sum_{i=1}^n (-1)^{(i-1)}v_i \left (dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^{i-1} \wedge \widehat{dx^{i}} \wedge dx^{i+1} \wedge \cdots \wedge dx^n \right )
\end{align}
여기서 \widehat{dx^{i}}는 해당 요소의 생략을 나타낸다.

(예를 들어, , 즉 3차원 공간에서 -형식 는 국소적으로 와의 스칼라 삼중곱이다.) 초표면 위의 의 적분은 해당 초표면 위의 의 선속이다.

이 -형식의 외미분은 -형식이다.
: d\omega _V = \operatorname{div} V \left (dx^1 \wedge dx^2 \wedge \cdots \wedge dx^n \right ).

### 회전
 위의 벡터장 는 해당 -형식도 가진다.
: \eta_V = v_1 \, dx^1 + v_2 \, dx^2 + \cdots + v_n \, dx^n.

국소적으로 는 와의 스칼라곱이다. 경로를 따른 의 적분은 해당 경로를 따른 에 대해 수행된 일이다.

일 때, 3차원 공간에서 -형식 의 외미분은 -형식이다.
: d\eta_V = \omega_{\operatorname{curl} V}.

### 벡터 미적분학 연산자의 불변 공식화
표준 벡터 미적분학 연산자는 모든 준 리만 다양체에 대해 일반화될 수 있으며, 좌표 없는 표기법으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
: \begin{array}{rcccl}
  \operatorname{grad} f &\equiv& \nabla f        &=& \left( d f \right)^\sharp \\
  \operatorname{div} F  &\equiv& \nabla \cdot F  &=& {\star d {\star} \mathord{\left( F^\flat \right)}} \\
  \operatorname{curl} F &\equiv& \nabla \times F &=& \left( {\star} d \mathord{\left( F^\flat \right)} \right)^\sharp \\
  \Delta f              &\equiv& \nabla^2 f      &=& {\star} d {\star} d f \\
                        &      & \nabla^2 F      &=& \left(d{\star}d{\star}\mathord{\left(F^{\flat}\right)} - {\star}d{\star}d\mathord{\left(F^{\flat}\right)}\right)^{\sharp} , \\
\end{array}
여기서 는 호지 별 연산자, 과 은 음악 동형이며, 는 스칼라장이고 는 벡터장이다.

에 대한 표현은 이 차수  형식인 에 작용해야 한다는 것을 유의해야 한다. 임의 차수의 -형식으로 을 자연스럽게 일반화하면 이 표현이 모든 에 대해 의미를 가질 수 있다.

## 같이 보기

* 외공변미분
* 드람 복합체
* 유한 요소 외미분학
* 이산 외미분학
* 그린 정리
* 리 미분
* 스토크스의 정리
* 프랙탈 미분

## 내용주

## 각주
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## 외부 링크
* Ghostarchive 및 Wayback Machine에 보관됨: 

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