적분의 점화식

적분 미적분학에서 **적분의 점화식**은 점화식의 형태로 된 적분 공식이다. 주로 초등함수의 거듭제곱, 초월함수와 n차다항식의 곱의 형태 같은 정수 매개변수를 포함하는 수식을 직접 적분하기 어려울 때 쓰인다.

이러한 점화식과 다른 적분법을 이용하면 피적분함수를 정수 매개변수의 값이 더 작은 동일하거나 유사한 형태의 식으로 바꾸어 쉽게 적분이 가능하도록 단순화 할 수 있다. 이 방식은 가장 초기에 사용된 적분법 중 하나이다.

## 적분의 점화식을 유도하는 원리
적분의 점화식은 치환 적분, 부분 적분, 삼각 치환, 부분 분수에 의한 적분 등과 같은 일반적인 적분법을 이용하여 유도할 수 있다. 핵심은 정수 매개 변수를 이용하여 나타낼 수 있는 함수 I_n (예 : 거듭 제곱)를 더 낮은 값의 매개 변수(더 낮은 거듭 제곱)를 포함하는 함수(예 : I_{n-1}  또는 I_{n-2} )에 대하여 나타내는 것이다. 즉 원래의 적분을 점화식의 형태로 나타내는 것이다. 결론적으로 적분의 점화식은 다음과 같이 적분

I_n =\int f(x,n) \,\text{d}x, 

을 k인 정수 k 에 대하여

: I_k = \int f(x,k) \,\text{d}x, 

의 형태로 나타내는 것이다.

:

## 적분의 점화식을 이용한 함수의 적분
점화식을 이용하여 함수를 적분하기 위해서 I_n 의 적분을 점화식을 사용하여  I_{n-1}  또는 I_{n-2}  에 대한 적분으로 나타내야 한다. I_n 이 쉽게 적분될 때까지 (주로 n=1 또는 n=0일 때까지) 점화식을 반복적으로 사용하여, 결과를 적분하고, 다시 대입하여 I_n 을 계산한다.

### 예시
아래는 점화식을 이용한 적분 과정의 예시이다.

**코사인함수의 적분**

일반적으로

: \int \cos^n x \,\text{d}x, \,\!

와 같은 적분은 적분의 점화식을 이용하여 적분할 수 있다.
섬네일|  ''n'' = 1, 2 ... 30인 경우의<math>\int \cos^n (x) \,\text{d}x\!</math>

: I_n = \int \cos^n x\,\text{d}x . \,\!

라고 하자.

: I_n = \int \cos^ {n-1} x \cos x \,\text{d}x, \,\!

: \cos x \,\text{d}x = \text{d} ( \sin x) , \,\!

라고 치환하면

: I_n = \int \cos^{n-1} x \,\text{d}(\sin x) . \!

부분 적분을 이용하면

:  \begin{align} \int \cos^n x \,\text{d}x & = \cos^{n-1} x \sin x - \int \sin x \,\text{d}(\cos^{n-1} x) \\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \sin x \cos^{n-2} x\sin x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \sin^2 x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x (1-\cos^2 x )\,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x - (n-1)\int \cos^n x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n ,
\end{align} \,

: I_n \ + (n-1) I_n\ = \cos^{n-1} x \sin x\ + \ (n-1) I_{n-2}, \,

: n I_n\ = \cos^{n-1} (x) \sin x\ + (n-1) I_{n-2}, \,

: I_n \ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x\ + \frac{n-1}{n} I_{n-2}, \,

따라서 적분의 점화식은 다음과 같다.

: \int \cos^n x \,\text{d}x\ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x . \!

이 예시를 보충하기 위해 *n* = 5를 대입해 보면.

:  I_5 = \int \cos^5 x \,\text{d}x . \,\!

n=5, n=3을 대입하면

: n=5, \quad I_5 = \tfrac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \tfrac{4}{5} I_3, \,

: n=3, \quad I_3 = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3} I_1, \,

결과를 대입하면

: \because I_1\ = \int \cos x \,\text{d}x = \sin x + C_1,\,

: \therefore I_3\ = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3}\sin x + C_2, \quad C_2\ = \tfrac{2}{3} C_1,\,

: I_5\ = \frac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \frac{4}{5}\left[\frac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \frac{2}{3} \sin x\right] + C,\,

여기서 *C*는 적분상수이다.

**지수함수의 적분**

또 다른 전형적인 예는 다음과 같다.

: \int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\!

: I_n = \int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\!

라고 하자.

치환 적분을 하면

:  x^n \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( x^{n+1})}{n+1} , \,\!

로 치환하면

: I_n = \frac{1}{n+1} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}) , \!

부분 적분을 하면

: \begin{align} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}) & = x^{n+1}e^{ax} - \int x^{n+1} \,\text{d}(e^{ax}) \\
& = x^{n+1}e^{ax} - a \int x^{n+1} e^{ax}\,\text{d}x ,
\end{align} \!

: (n+1) I_n = x^{n+1}e^{ax} - a I_{n+1} , \!

*n + 1* → *n*, *n* → *n* – 1으로 바꾸면

: n I_{n-1} = x^ne^{ax} - a I_n , \!

:  I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ) , \,\!

따라서 적분의 점화식은 다음과 같다.

:  \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ). \!

e^{ax}를 치환하여 이 공식을 유도하는 다른 방법도 있다.

 e^{ax} \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( e^{ax})}{a} , \,\!

I_n = \frac{1}{a} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}) , \!

\begin{align} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}) & = x^{n}e^{ax} - \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n}) \\
& = x^{n}e^{ax} - n \int e^{ax} x^{n-1}\,\text{d}x ,
\end{align} \!

결과를 다시 대입하면 점화식을 구할 수 있다.

 I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ), \,\!

즉

:  \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ). \!

## 적분의 점화식의 표

### 유리함수
다음의 적분 은 아래를 포함한다:

* 선형 라디칼 \sqrt{ax+b}\,\!
* 선형 인수 {px+q}\,\!  또는 선형 라디칼 \sqrt{ax+b}\,\!
* 이차식 x^2+a^2\,\!
* 이차식 x^2-a^2\,\! (x>a\,\!)
* 이차식 a^2-x^2\,\! (x)
* (기약 다항식) ax^2+bx+c\,\!
* 기약 다항식\sqrt{ax^2+bx+c}\,\!의 라디칼

지수법칙에 따라:

: I_{n+\frac{1}{2}} = I_{\frac{2n+1}{2}} =\int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^{\frac{2n+1}{2}}}\,\text{d}x = \int \frac{1}{\sqrt{(ax^2+bx+c)^{2n+1}}}\,\text{d}x\,\!

### 초월함수
다음의 적분 은 아래의 함수들을 포함하는 함수들이다:

* 사인
* 코사인
* 사인 및 코사인의 곱 또는 나누었을 때의 몫
* *x*의 거듭 제곱과 지수함수의 곱
* 사인 / 코사인과 지수함수의 곱

## 각주

## 서지

* Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition.

분류:적분학