순환군

군론에서, **순환군**(循環群, )은 한 원소로 생성될 수 있는 군이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정된 원소의 거듭제곱이다. (군의 연산이 곱셈이 아닌 덧셈일 경우, 모든 원소는 고정 원소의 정수배이다.)

## 정의
군의 원소 g\in G가 생성하는 **순환군** \langle g\rangle은 다음과 같다.
:\langle g\rangle=\{g^n\colon n\in\mathbb Z\}=\{\dots,g^{-2},g^{-1},1,g,g^2,\dots\}\le G

### 차수
군 G의 **차수**(次數, ,ord) 또는 **위수**(位數)는 집합으로서의 크기 |G|를 뜻한다.

군의 원소 g\in G의 **차수** \operatorname{ord}g는 그 원소가 생성하는 순환군의 차수이다. 즉, 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
:\operatorname{ord}g=|\langle g\rangle|=
\begin{cases}
\infty&\not\exists n\in\mathbb Z^+\colon g^n=1\\
\min\{n\in\mathbb Z^+\colon g^n=1\}&\exists n\in\mathbb Z^+\colon g^n=1
\end{cases}
\in\mathbb Z^+\cup\{\infty\}

### 지수
군 G의 **지수**(指數, ) \exp G는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
:\exp G=
\begin{cases}
\infty&\not\exists n\in\mathbb Z^+\forall g\in G\colon g^n=1\\
\operatorname{lcm}_{g\in G}\operatorname{ord}g=
\min\{n\in\mathbb Z^+\colon\forall g\in G\colon g^n=1\}&
\exists n\in\mathbb Z^+\forall g\in G\colon g^n=1
\end{cases}
\in\mathbb Z^+\cup\{\infty\}

## 분류
순환군은 정수군 또는 그 몫군과 동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다.
:\langle g\rangle\cong
\begin{cases}
Z&\operatorname{ord}g=\infty\\
Z_{\operatorname{ord}g}&\operatorname{ord}g

## 성질
### 약수 관계
군의 유한 차수 원소 g\in G 및 정수 n\in\mathbb Z에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* g^n=1
* \operatorname{ord}g\mid n

**(2) ⇒ (1)** \operatorname{ord}g\mid n이라면, n=n'\operatorname{ord}g인 n'\in\mathbb Z가 존재하므로, g^n=(g^{\operatorname{ord}g})^{n'}=1^{n'}=1이다.

**(1) ⇒ (2)** g^n=1이라면, n과 \operatorname{ord}g의 나머지 있는 나눗셈을 n=q\operatorname{ord}g+r라고 하면, g^r=g^ng^{-\operatorname{ord}g}=1이므로, 차수의 정의에 따라 r=0이다. 즉, \operatorname{ord}g\mid n이다.

지수가 유한한 군 G 및 정수 n\in\mathbb Z에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 임의의 g\in\mathbb G에 대하여, g^n=1
* \exp G\mid n

**(2) ⇒ (1)** \exp G\mid n이라면, n=n'\exp G인 n'\in\mathbb Z가 존재하므로, 임의의 g\in G에 대하여, g^n=(g^{\exp G})^{n'}=1^{n'}=1이다.

**(1) ⇒ (2)** 임의의 g\in G에 대하여 g^n=1이라면, 임의의 g\in G에 대하여 \operatorname{ord}g\mid n이므로, 지수의 정의에 따라 \exp G\mid n이다.

유한군 G에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
:\operatorname{ord}g\mid\exp G\mid|G|
군의 유한 차수 원소 g\in G 및 정규 부분군 N\triangleleft G에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
:\operatorname{ord}(gN)\mid\operatorname{ord}g

:(gN)^{\operatorname{ord}g}=g^{\operatorname{ord}g}N=N

### 항등식
군의 유한 차수 원소 g\in G 및 정수 n\in\mathbb Z에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:\operatorname{ord}g^n=\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
* \operatorname{ord}g^n\mid\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}
** 증명: (g^n)^\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}=(g^{\operatorname{ord}g})^\frac n{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}=1^\frac n{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}=1
* \frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}\mid\operatorname{ord}g^n
** 증명: 1=(g^n)^{\operatorname{ord}g^n}=g^{n\operatorname{ord}g^n}이므로, \operatorname{ord}g\mid n\operatorname{ord}g^n이므로, \frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}\mid\frac n{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}\operatorname{ord}g^n이므로, \frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}\mid\operatorname{ord}g^n

군의 원소 g,h\in G가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* gh=hg
* \gcd\{\operatorname{ord}g,\operatorname{ord}h\}=1
그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:\operatorname{ord}(gh)=\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
* \operatorname{ord}(gh)\mid\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h
** 증명: (gh)^{\operatorname{ord}(gh)}=(g^{\operatorname{ord}g})^{\operatorname{ord}h}(h^{\operatorname{ord}h})^{\operatorname{ord}g}=1^{\operatorname{ord}h}1^{\operatorname{ord}g}=1
* \operatorname{ord}g\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}(gh)
** 증명: 1=(gh)^{\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)}=h^{\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)}이므로, \operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)이므로, \operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}(gh)이다. 비슷하게, \operatorname{ord}g\mid\operatorname{ord}h\operatorname{ord}(gh)이다. 따라서, \operatorname{ord}g\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}(gh)이다.

반대로, 군의 원소 x\in G의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.
:\operatorname{ord}x=mn\qquad(\gcd\{m,n\}=1)
그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 g,h\in G가 존재한다.
* x=gh=hg
* \operatorname{ord}g=m
* \operatorname{ord}h=n

베주 항등식에 따라, 다음 조건을 만족시키는 u,v\in\mathbb Z가 존재한다.
:1=mu+nv
조건을 만족시키는 g,h\in G를 다음과 같이 취할 수 있다.
:g=x^{nv}
:g=x^{mu}
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
* \operatorname{ord}g\mid m, \operatorname{ord}h\mid n
** 증명: g^m=(x^{nv})^m=(x^{mn})^v=1^v=1
* m\mid\operatorname{ord}g, n\mid\operatorname{ord}h
** 증명: mn=\operatorname{ord}(gh)=\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h

유한 아벨 군 G에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 g\in G가 존재한다.
* 임의의 h\in G에 대하여, \operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}g
즉, 다음이 성립한다.
:\max_{g\in G}\operatorname{ord}g=\exp G

최대 차수 원소 g\in G를 취하자. 임의의 h\in G에 대하여,
:\operatorname{ord}h\nmid\operatorname{ord}g
라고 가정하자. 그렇다면,
:v_p(\operatorname{ord}g)
를 만족시키는 소인수 p\mid\operatorname{ord}h가 존재한다. 이 경우,
:\operatorname{ord}g^{p^{v_p(\operatorname{ord}g)}}=\frac{\operatorname{ord}g}{p^{v_p(\operatorname{ord}g)}}
:\operatorname{ord}h^\frac{\operatorname{ord}h}{p^{v_p(\operatorname{ord}h)}}=p^{v_p(\operatorname{ord}h)}
이므로,
:\operatorname{ord}\left(g^{p^{v_p(\operatorname{ord}g)}}h^\frac{\operatorname{ord}h}{p^{v_p(\operatorname{ord}h)}}\right)=p^{v_p(\operatorname{ord}h)-v_p(\operatorname{ord}g)}\operatorname{ord}g>\operatorname{ord}g
이며, 이는 모순이다.

### 순환군
모든 순환군은 자명하게 유한 생성 아벨 군이다.

군 G에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* G의 크기는 소수이다.
* G는 순환군이며, 단순군이다.
* G는 아벨 군이며, 단순군이다.

**(1) ⇒ (2):** |G|가 소수라면, 라그랑주 정리에 따라, 그 부분군은 \{1_G\},G밖에 없으므로, G는 단순군이다. 1_G\ne g\in G를 취하자. 그렇다면, |\langle g\rangle|=p이므로, \langle g\rangle=G이다. 즉, G는 순환군이다.

**(2) ⇒ (3):** 모든 순환군은 아벨 군이다.

**(3) ⇒ (1):** |G|가 소수가 아니라고 가정하자. G가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로, G는 단순군이 아니며, 이는 모순이다. G가 순환군이 아닌 경우, 임의의 1_G\ne g\in G를 취하자. 그렇다면, \langle g\rangle\triangleleft G이며, \langle g\rangle\ne1,G이므로, G는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다.

순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로, \langle g\rangle의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
:\langle g^n\rangle\qquad
\begin{cases}
n\in\mathbb Z&\operatorname{ord}g=\infty\\
n\mid\operatorname{ord}g&\operatorname{ord}g
순환군의 몫군 역시 순환군이다.

유한군 G에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* G는 순환군이다.
* 임의의, |G|의 양의 약수 d에 대하여, \{H\le G\colon|H|=d\}\le1이다.
* 임의의 n\in\mathbb Z^+에 대하여, |\{g\in G\colon g^n=1\}|\le n이다.

**(1) ⇒ (2):** 순환군 \langle g\rangle의, 크기 d의 부분군은 \langle g^\frac{\operatorname{ord}g}d\rangle가 유일하다.

**(1) ⇐ (2):** 임의의 d\mid|G|에 대하여, |\{g\in G\colon\operatorname{ord}g=d\}|=\phi(d)임을 증명하자. (여기서 \phi는 오일러 피 함수이다.) 그렇다면, 특히 \operatorname{ord}g=|G|인 g\in G가 존재하므로, G는 순환군이다.
:\operatorname{ord}g=\operatorname{ord}h=d
인 g,h\in G를 취하자. 그렇다면, (2)에 의하여 \langle g\rangle=\langle h\rangle이므로, h=g^n인 n\in\mathbb Z가 존재한다. 차수 공식을 사용하면 \gcd\{n,d\}=1를 얻는다. 즉, |\{g\in G\colon\operatorname{ord}g=d\}|는 0이거나 \phi(d)이다. 그런데
:n=\sum_{d\mid|G|}\phi(d)
이므로, |\{g\in G\colon\operatorname{ord}g=d\}|=\phi(d)이다.

**(1) ⇒ (3):** n'=\gcd\{|G|,n\}으로 놓자. 만약 g^n=1이라면, \operatorname{ord}g\mid n'이다. \langle g\rangle은 크기 \operatorname{ord}g의 유일한 부분군이며, 이는 크기 n'의 유일한 부분군에 포함된다. 특히, g는 크기 n'의 유일한 부분군의 원소다. 즉, g^n=1인 g는 n'개 이하만 존재한다.

**(3) ⇒ (1):** 임의의 소수 p 및 p-쉴로브 부분군 P\le G가 주어졌다고 하자. 임의의 g\in P에 대하여 g^=1이다. 그런데 가정에 따라 이 방정식의 해는 |P|개 밖에 없으므로, P는 전체 해의 집합이다. 따라서, P는 G의 유일한 p-쉴로브 부분군이며, P는 G의 정규 부분군이다. 서로 다른 소수에 대한 쉴로브 부분군들의 크기는 서로소이므로, G는 쉴로브 부분군들의 직접곱이다.

이제, 크기가 서로소인 순환군들의 직접곱은 순환군이므로, 모든 쉴로브 부분군이 순환군임을 보이면 충분하다. 제1 쉴로브 정리에 따라, P는 지표 p의 부분군 P'을 가지며, 가정에 따라 이는 방정식 g^{|P|/p}=1의 해의 집합이다. 따라서, 임의의 g\in P\setminus P'에 대하여, g^=1이며, g^{|P|/p}\ne1이다. 즉, g는 P를 생성하며, P는 순환군이다.

순환군 Z_m,Z_n에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* Z_m\oplus Z_n\cong Z_{mn}
* \gcd\{m,n\}=1

**(2) ⇒ (1)** \operatorname{ord}(1\oplus1)=\operatorname{ord}(1\oplus0)\operatorname{ord}(0\oplus1)=mn

**(1) ⇒ (2)** 만약 \gcd\{m,n\}\ne1이라면, |\{a\oplus b\in Z_m\oplus Z_n\colon(a\oplus b)^\frac{mn}{\gcd\{m,n\}}=1\}|=|Z_m\oplus Z_n|=mn>\frac{mn}{\gcd\{m,n\}}이므로, Z_m\oplus Z_n\not\cong Z_{mn}이다.

코시 정리에 따르면, 임의의 소인수 p\mid|G|에 대하여, \operatorname{ord}g_p=p인 g_p\in G가 존재한다.

## 응용
### 유한 아벨 군의 분해

유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. G가 아벨 유한 p-군, a\in G가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면, G=\langle a\rangle\times B인 B\le G가 존재한다.

귀류법을 사용하여, G가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, |G|\ge2이며, G\ne\langle a\rangle이므로, 최소 차수 원소 b\in G\setminus\langle a\rangle를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.
* \operatorname{ord}b=p
** 증명: 그렇지 않다면, \operatorname{ord}b=p^e (e\ge2)이며, \operatorname{ord}b^p=p^{e-1}이므로, b^p\in\langle a\rangle이다. b^p=a^n (n\in\mathbb Z)이라고 하자. 그렇다면, \frac{\operatorname{ord}a}{\gcd\{\operatorname{ord}a,n\}}=\operatorname{ord}b^p이므로, p\mid n이다. 따라서, (ba^{-\frac np})^p=1_G이며, ba^{-\frac np}\in G\setminus\langle a\rangle인데, 이는 b의 선택과 모순이다.
* \langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1
** 증명: 1_G\ne a^m=b^n\in\langle a\rangle\cap\langle b\rangle (0\le n)라고 하자. 그렇다면, 1=nu+pv인 u,v\in\mathbb Z가 존재하며, b=b^{nu}b^{pv}=a^{mu}\in\langle a\rangle이다. 이는 모순이다.
* a\langle b\rangle\in G/\langle b\rangle은 최대 차수 원소이다.
** 증명: 우선 \operatorname{ord}(a\langle b\rangle)\mid\operatorname{ord}a이다. \operatorname{ord}(a\langle b\rangle)라고 가정하면, (a\langle b\rangle)^\frac{\operatorname{ord}a}p=1이므로, a^\frac{\operatorname{ord}a}p\in\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1이다. 이는 모순이다. 따라서 \operatorname{ord}(a\langle b\rangle)=\operatorname{ord}a이며, a\langle b\rangle\in G/\langle b\rangle은 최대 차수 원소이다.
* G/\langle b\rangle=\langle a\langle b\rangle\rangle\times(B/\langle b\rangle)인 \langle b\rangle\subseteq B\le G/\langle b\rangle가 존재한다.
** 증명: |G/\langle b\rangle|=|G|/p
* G=\langle a\rangle\times B
** 증명: 우선, G/\langle b\rangle=\langle a\langle b\rangle\rangle\times(B/\langle b\rangle)=(\langle a\rangle/\langle b\rangle)\times(B/\langle b\rangle)=(\langle a\rangle B)/\langle b\rangle이므로, G=\langle a\rangle B이다. 또한, (\langle a\rangle\cap B)/\langle b\rangle\subseteq(\langle a\rangle/\langle b\rangle)\cap(B/\langle b\rangle)=\{\langle b\rangle\}이므로, \langle a\rangle\cap B\subseteq\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1이며, G=\langle a\rangle\times B이다.

## 같이 보기
* 프뤼퍼 군
* 원군

## 외부 링크
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분류:아벨 군론