슈티펠-휘트니 특성류

대수적 위상수학에서 **슈티펠-휘트니 특성류**(Stiefel-Whitney特性類, )는 실수 벡터 다발을 분류하는 유한체 \mathbb F_2 계수 특성류이다. 이는 복소수 벡터 다발이 천 특성류에 의하여 분류되는 것과 마찬가지다.

## 정의
위상 공간 X 위의 실수 유한 차원 벡터 다발 E의 **슈티펠-휘트니 특성류**
:w(E)\in\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_2)
는 다음 네 조건을 만족시키는 유일한 특성류이다.
* (직합의 분해) 임의의 벡터 다발 E, E'\twoheadrightarrow X에 대하여, w(E\oplus E')=w(E)\smile w(E')
* (당김) 임의의 연속 함수 X\to Y에 대하여, w(f^*E)=f^*w(E)
* (계수) w(E)\in\operatorname H^{\le\dim_{\mathbb R}E}(X)이며, w_0(E)=1이다.
* (규격화) 실수 사영 직선 \mathbb{RP}^1의 자명 선다발 \mathcal O_{\mathbb{RP}^1}(-1)의 슈티펠-휘트니 특성류는 자명하지 않다. 즉, \mathbb{RP}^1의 코호몰로지 환이 \operatorname H^\bullet(\mathbb{RP}^1;\mathbb F_2)\cong\mathbb F_2[x]/(x^2), \deg x=1이라면 w(\mathcal O_{\mathbb{RP}^1}(-1))=1+x이다.
이 네 조건들을 모두 만족시키는 특성류는 유일하게 존재한다는 것을 보일 수 있다.

### 정수 슈티펠-휘트니 특성류
아벨 군의 짧은 완전열
:0\to\mathbb Z\to\mathbb Z\to\mathbb Z/2\to0
에 대한 복시테인 준동형
:\beta\colon\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_2)\to\operatorname H^{\bullet+1}(X;\mathbb Z)
를 생각하자. 유한 차원 실수 벡터 다발 E\twoheadrightarrow X의 **정수 슈티펠-휘트니 특성류** \beta w는 슈티펠-휘트니 특성류의, 이 복시테인 준동형에 대한 상이다.
:\beta w(E)\in \operatorname H^{\le\dim_{\mathbb R}E+1}(X;\mathbb Z)

### 우 특성류
유한 차원 실수 벡터 다발 E\twoheadrightarrow X의 **우 특성류**([吳]特性類, ) W(E)는 그 총 스틴로드 제곱이 슈티펠-휘트니 특성류가 되는 코호몰로지류이다.
:W(E)\in\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_2)
:w(E)=\operatorname{Sq}(W(E))=\sum_i\operatorname{Sq}^i(W(E))

## 구성
슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같이 여러 방법으로 구성할 수 있다.

### 톰 동형을 통한 구성

슈티펠-휘트니 특성류는 톰 동형을 사용하여 다음과 같이 구성할 수 있다.

n차원 실수 벡터 다발 \pi\colon E\twoheadrightarrow X이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
:\operatorname H^i(E,E\setminus X;\mathbb F_2)=\begin{cases}
0&i
또한, \operatorname H^n(E,E\setminus X;\mathbb F_2) 속에 다음 조건을 만족시키는 유일한 코호몰로지류 \Phi\in\operatorname H^n(E,E\setminus X;\mathbb F_2)가 존재한다.
* 모든 x\in X에 대하여, 올 \pi^{-1}(x)에 국한한 코호몰로지류 \Phi|_{(\pi^{-1}(x),\pi^{-1}(x)\setminus\{x\})}\in\operatorname H^n(\pi^{-1}(x),\pi^{-1}(x)\setminus\{x\};\mathbb F_2)\cong\operatorname H^n(\mathbb R^n,\mathbb R^n\setminus\{0\};\mathbb F_2)\cong\operatorname H^n(\mathbb S^n;\mathbb F_2)\cong\mathbb F_2는 0이 아니다.
이를 **[[톰 특성류]]**라고 한다.

그렇다면, 각종 코호몰로지 공간 사이에 다음과 같은 사상들을 정의할 수 있다.
:\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_2)\xrightarrow{\pi^*}\operatorname H^\bullet(E;\mathbb F_2)\xrightarrow{\smile\Phi}\operatorname H^{\bullet+n}(E,E\setminus X;\mathbb F_2)
이 경우, (\smile\Phi)\circ\pi^*는 \mathbb F_2 벡터 공간의 동형 사상이다. 이를 **[[톰 동형]]**이라고 한다.

기본 코호몰로지류 \Phi의 총 스틴로드 제곱
:\operatorname{Sq}\Phi=\sum_i\operatorname{Sq}^i\Phi\in\operatorname H^{\ge n}(E,E\setminus X;\mathbb F_2)
를 생각하자. 그렇다면, 슈티펠-휘트니 특성류는 톰 특성류의 총 스틴로드 제곱의 톰 동형에 대한 원상이다.
:w(E)=\left((\smile\Phi)\circ\pi^*\right)^{-1}(\operatorname{Sq}\Phi)

### 무한 사영 공간을 통한 구성
선다발의 슈티펠-휘트니 특성류는 무한 사영 공간을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다.

n차원 실수 벡터 다발은 무한 그라스만 다양체 \operatorname{Gr}_n(\mathbb R^\infty)에 의하여 분류된다. 특히, 실수 선다발은 무한 사영 공간 \operatorname{Gr}_1(\mathbb R^\infty)=\operatorname{RP}^\infty에 의하여 분류된다. 무한 사영 공간은 에일렌베르크-매클레인 공간
:\operatorname{RP}^\infty=K(\mathbb Z/2,1)
이다.

실수 선다발 L\twoheadrightarrow X에 대응하는 연속 함수
:f\colon X\to\operatorname{RP}^\infty
를 생각하자. 에일렌베르크-매클레인 공간의 성질에 따라,
:\hom_{\operatorname{hTop}_\bullet}\left(X,\operatorname{RP}^\infty\right)\cong\operatorname H^1(X;\mathbb F_2)
이다. 그렇다면, 실수 선다발 L의 **슈티펠-휘트니 특성류** w(L)=1+w_1(L)는 다음과 같다.
:w_1(L)=[f]\in \operatorname H^1(X;\mathbb F_2)
여기서 [f]는 f의 호모토피류를 뜻한다.

## 성질
일반적으로 특성류는 매끄러움 구조 또는 복소구조에 의존한다. 유리수 계수 폰트랴긴 특성류는 (위상) 다양체의 불변량이다. 즉, 매끄러움 구조에 의존하지 않는다. 그러나 이는 호모토피 동치에 대한 불변량이 아니다. **우 정리**([吳]定理, )에 따르면, 슈티펠-휘트니 특성류는 호모토피 동치에 대한 불변량이다.

### 방해물 이론
처음 몇 개의 슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같은 구조의 존재에 대한 방해물을 이룬다.

매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.
* 가향 벡터 다발이다.
* 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이다.
특히, 다양체 M이 가향 다양체일 필요충분조건은 그 접다발의 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.
* 스핀 구조를 갖는다.
* 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이다.
특히, 다양체 M이 스핀 다양체가 될 수 있는 필요충분조건은 그 접다발의 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

매끄러운 다양체 M위의 유한 차원 실수 벡터 다발 E에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.
* 스핀C 구조를 갖는다.
* 1차 슈티펠-휘트니 특성류 w_1(E)\in\operatorname H(M;\mathbb F_2)가 0이고, 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류 \beta w_2(E)\in\operatorname H^3(X;\mathbb Z)가 0이다.
특히, 다양체 M이 스핀C 다양체가 될 수 있는 필요충분조건은 가향 다양체이며 접다발의 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

## 역사
에두아르트 슈티펠()과 해슬러 휘트니가 발견하였다.

우 특성류는 우원쥔()이 도입하였다.

## 같이 보기
* 특성류
## 각주

## 외부 링크
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분류:특성류