모레라 정리

복소해석학에서, **모레라 정리**(-定理, )는 복소평면의 연결 열린집합 위에 정의된 연속 함수에 대하여, 경로 무관성이 정칙성을 함의한다는 정리이다.

## 정의
**모레라 정리**에 따르면, 연결 열린집합 D\subseteq\mathbb C 위에 정의된 연속 함수 f\colon D\to\mathbb C에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* f는 정칙 함수이다.
* 임의의 유계 연결 열린집합 \Omega\subseteq D에 대하여, 만약 \partial\Omega\subseteq D라면, \int_{\partial\Omega}f(z)\mathrm dz=0
* 임의의 삼각형 열린집합 \Omega\subseteq D에 대하여, 만약 \partial\Omega\subseteq D라면, \int_{\partial\Omega}f(z)\mathrm dz=0
특히, 단일 연결 열린집합 D\subseteq\mathbb C 위에 정의된 연속 함수 f\colon D\to\mathbb C에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* f는 정칙 함수이다.
* 임의의 조각마다 \mathcal C^1 닫힌 곡선 \gamma\colon[a,b]\to D에 대하여, \int_\gamma f(z)\mathrm dz=0. 즉, f의 경로 적분은 경로와 무관하다. 즉, f는 부정적분을 갖는다.
* 임의의 삼각형 닫힌 곡선 \gamma\colon[a,b]\to D에 대하여, \int_\gamma f(z)\mathrm dz=0

## 증명
모든 정칙 함수의 유계 연결 열린집합의 경계 위의 경로 적분이 0인 것은 코시 적분 정리이다. 모든 삼각형 열린집합은 유계 연결 열린집합이다.

이제, 연결 열린집합 D\subseteq\mathbb C 위의 연속 함수 f\colon D\to\mathbb C의, D 속 삼각형 열린집합의 경계를 따른 경로 적분이 0이라고 가정하고, f가 정칙 함수임을 보이자. 임의의 z\in D가 주어졌다고 하고, 그 볼록 열린 근방 \operatorname{ball}(z,\epsilon)\subseteq D을 잡자. f가 \operatorname{ball}(z,\epsilon) 위에서 정칙 함수임을 보이면 족하다.

함수 F\colon\operatorname{ball}(z,\epsilon)\to\mathbb C를
:F(z')=\int_{[z,z']}f(w)\mathrm dw\qquad\forall z'\in\operatorname{ball}(z,\epsilon)
와 같이 정의하자. 여기서 [z,z']는 z와 z' 사이의 닫힌 선분이다. 가정에 따라, 임의의 z',z*\in\operatorname{ball}(z,\epsilon)</math>에 대하여
:<math>F(z*)-F(z')=\int_{[z',z*]}f(w)\mathrm dw</math>
이다. 따라서,
:<math>\begin{align}
\lim_{z*\to z'}\frac{F(z*)-F(z')}{z*-z'}
&=\lim_{z*\to z'}\int_{[z',z*]}\frac{f(w)}{z*-z'}\mathrm dw\\
&=\lim_{z*\to z'}\int_0^1f(z'+t(z''-z'))\mathrm dt\\
&=f(z')
\end{align}
이다. 즉, 임의의 z'\in\operatorname{ball}(z,\epsilon)에 대하여 F'(z')=f(z')이다. 즉, F는 \operatorname{ball}(z,\epsilon) 위에서 정칙 함수이며, 모든 점에서 국소적으로 멱급수이다. 따라서 그 도함수 f 역시 \operatorname{ball}(z,\epsilon)의 모든 점에서 국소적으로 멱급수이다. 즉, f는 \operatorname{ball}(z,\epsilon) 위에서 정칙 함수이다.

## 따름정리
모레라 정리는 일부 함수들이 정칙 함수라는 것을 증명하는 데 사용된다.

### 콤팩트 수렴 정칙 함수열의 극한의 정칙성
연결 열린집합 D\subseteq\mathbb C에 정의된 정칙 함수열 f_n\colon D\to\mathbb C가 함수 f\colon D\to\mathbb C로 콤팩트 수렴한다고 하자. 그렇다면, f 역시 정칙 함수이다.

임의의 z_0\in D를 취하고, 0를 취하자. 그렇다면, \bar\operatorname B(z_0,r)\subseteq D이며, 이는 콤팩트 집합이므로, f_n은 \bar\operatorname B(z_0,r)에서 f로 균등 수렴한다. 따라서, f는 \bar\operatorname B(z_0,r)에서 연속 함수이며, 임의의 조각마다 \mathcal C^1 닫힌 곡선 \gamma\colon[a,b]\to\bar\operatorname B(z_0,r)에 대하여,
:\int_\gamma f(z)\mathrm dz=\lim_{n\to\infty}\int_\gamma f_n(z)\mathrm dz=0
이다. 모든 삼각형은 조각마다 \mathcal C^1 닫힌 곡선이므로, 모레라 정리에 의하여, f는 \bar\operatorname B(z_0,r)에서 정칙 함수이다.

### 리만 제타 함수의 정칙성
리만 제타 함수 \zeta는
:D=\{s\in\mathbb C\colon\operatorname{Re}s>1\}
에서 다음과 같이 정의된다.
:\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac 1{n^s}\qquad\forall s\in D
이 급수는 바이어슈트라스 M-판정법에 따라 D에서 콤팩트 수렴하며, 각 s\mapsto 1/n^s는 정칙 함수이므로, 임의의 조각마다 \mathcal C^1 곡선 \gamma\colon[a,b]\to D에 대하여,
:\int_\gamma\zeta(s)\mathrm ds=\sum_{n=1}^\infty\int_\gamma\frac 1{n^s}\mathrm ds=0
이다. 모레라 정리에 의하여, \zeta는 D에서 정칙 함수이다.

### 감마 함수의 정칙성
감마 함수 \Gamma는
:D=\{s\in\mathbb C\colon\operatorname{Re}s>0\}
에서 다음과 같이 정의된다.
:\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\mathrm dx
각 s\mapsto x^{s-1}는 정칙 함수이다. 따라서, 푸비니 정리에 의하여, 임의의 조각마다 \mathcal C^1 곡선 \gamma\colon[a,b]\to D에 대하여,
:\int_\gamma\Gamma(s)\mathrm ds=\int_0^\infty e^{-x}\mathrm dx\int_\gamma x^{s-1}\mathrm ds=0
이다. 모레라 정리에 의하여, \Gamma는 D에서 정칙 함수이다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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## 같이 보기
* 코시-리만 방정식
* 유수 (복소해석학)
* 미타그레플레르 정리

분류:복소해석학 정리