근계

[섬네일|right|예외 [리 군 G<sub>2</sub>의 근계. \alpha와 \beta는 단순근이다.]]

리 군 이론에서, **근계**(根系, )는 일련의 기하학적 성질을 만족하는 유한 차원 벡터의 집합이다. 근계의 원소인 벡터는 **근**(根, )이라고 부른다. 주어진 근계에 대하여 특정 성질을 만족하는 부분집합인 **단순근**(單純根, )의 집합을 고를 수 있고, 이를 **딘킨 도표**()로 나타내어 분류할 수 있다. 반단순 리 군에 근계를 대응시킬 수 있으며, 이를 통해 반단순 리 군들을 분류할 수 있다.

모든 근계는 **기약 근계**(旣約根系, )의 합으로 나타낼 수 있다. 기약 근계(의 동형류)는 복소수체 위의 단순 리 대수(의 동형류)와 일대일로 대응한다.

## 정의
유한 차원 실수 내적 공간 (V,(\cdot,\cdot)) 속의 부분 집합 \Phi\subseteq V가 다음 다섯 조건들을 모두 만족시킨다면, **근계**라고 한다.
* (선형 생성) V=\operatorname{Span}_{\mathbb R}\Phi. 즉, V의 모든 원소는 \Phi의 원소들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. (이는 유일하지 않을 수 있다.)
* (스칼라배의 제한) \alpha\in\Phi라면, -\alpha\in\Phi이고, 그 밖의 다른 스칼라배 t\Phi (t\in\mathbb R)는 \Phi의 원소가 아니다.
* (반사에 대한 닫힘) 임의의 \alpha,\beta\in\Phi에 대하여, \alpha에 대하여 수직인 초평면에 대한 \beta의 반사\beta-2\alpha(\alpha,\beta)/(\alpha,\alpha)도 \Phi의 원소다. 즉, 근들은 다른 근에 대한 반사에 대하여 닫혀 있다.
* (정수성) 0\not\in\Phi이며, \forall \alpha,\beta\in\Phi\colon 2(\alpha,\beta)/(\alpha,\alpha)\in\mathbb Z
* 유한 집합이다.
근계의 원소는 **근**이라고 부른다. 근계의 **계수**(階數, )는 V의 차원이다.

두 실수 내적 공간 V, V' 및 그 속의 근계 \Phi\subseteq V, \Phi'\subseteq V'에 대하여, 만약 f(\Phi)=\Phi'가 되는 전단사 실수 선형 변환 f\colon V\to V'이 존재하며, 또한
:\frac{(f(\alpha),f(\beta))_{V'}}{(f(\alpha),f(\alpha))_{V'}}=\frac{(\alpha,\beta)_V}{(\alpha,\alpha)_V}\qquad\forall\alpha,\beta\in \Phi
라면, (V,\Phi)와 (V',\Phi')를 서로 **[[동형]]**이라고 한다.

특히, 동형이 등거리 변환일 필요는 없다. 예를 들어, 항등 함수 (V,(-,-))\to(V,2(-,-)) 역시 허용된다. 이 때문에, 통상적으로, 근계에서 가장 긴 근의 노름을 \sqrt2로 놓는다. (이에 따라, 더 짧은 근의 노름은 1 또는 \sqrt{2/3}이다.)

통상적으로, 다음과 같은 표기를 사용한다.
:\langle\alpha,\beta\rangle=\frac{2(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)}
(이는 물론 쌍선형 형식을 이루지 못한다.)

### 양근과 단순근
근계 \Phi의 **양근의 집합**(陽根의 集合, ) \Phi^+\subset\Phi는 다음을 만족하는 부분집합이다.
* 임의의 \alpha\in\Phi에 대하여, \alpha\in\Phi^+이거나 -\alpha\in\Phi^+이지만, \{\alpha,-\alpha\}\subset\Phi^+는 아니다.
* \alpha,\beta\in\Phi^+이고, \alpha+\beta\in\Phi이면 \alpha+\beta\in\Phi^+이다.
양근의 집합의 원소를 **양근**(陽根, )이라고 한다. 양근의 집합 \Phi^+\subseteq\Phi이 주어졌을 때, 격자
:\{v\in V\colon \forall\alpha\in\Phi\colon
\alpha^\vee(v)\in\mathbb Z\}
위에 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.
:u\le v\iff \forall\alpha\in\Phi^+\colon \alpha^\vee(v-u)\ge0
이 구성은 리 대수의 표현론에 등장하며, 이 경우 위의 격자는 정수 무게의 격자에 해당한다.

### 단순근
어떤 양근의 집합이 주어졌을 때, **단순근**(單純根, )은 두 양근의 합으로 나타낼 수 없는 근이다. 단순근들의 집합은 V의 기저를 이룬다.

### 카르탕 행렬
근계 \Phi와 그 위의 순서를 매긴 단순근의 열 \alpha_1,\dots,\alpha_r이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응하는 **카르탕 행렬**() M은 다음과 같은 r\times r 정사각 행렬이다.
:M=(M_{ij})_{i,j=1,\dots,r}
:M_{ij}=2\frac{(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_i,\alpha_i)}
정의에 따라, 카르탕 행렬의 대각선 성분의 값은 모두 2이다.

카르탕 행렬이 주어지면, 이에 대응하는 근계 (및 복소수 반단순 리 대수)를 재구성할 수 있다.

### 딘킨 도표
480px|섬네일|기약근계의 딘킨 도표
각 근계 (V,\Phi)에 대하여, **딘킨 도표**(Дынкин圖表, )라는, 일종의 유향 그래프를 대응시킬 수 있다. 우선, 임의로 (V,\Phi)의 양근의 집합 \Phi^+\subseteq\Phi를 고르자.
* 딘킨 도표는 각 단순근에 대응하는 꼭짓점을 갖는다.
* 두 꼭짓점 사이에는 0개, 1개, 2개, 또는 3개의 변(邊)이 존재할 수 있다. 변이 2개 또는 3개인 경우, 변은 방향을 가지며, 이 방향은 항상 더 짧은 단순근을 가리킨다. (이 경우 두 단순근의 길이는 항상 다르다.)
* 두 꼭짓점 사이의 변의 수는 두 단순근 사이의 각도에 대응하며, 다음 표를 따른다.
:
딘킨 도표는 단순근의 선택에 관계없이 동일하다.

기약 근계의 딘킨 도표는 연결되어 있다. 딘킨 도표의 연결 성분 분해는 근계의 (기약 근계들로의) 직합 분해와 같다.

## 성질
섬네일|500px|right|정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각은 <math>\pi/2</math>, <math>\pi/3</math>, <math>\pi/4</math>, <math>\pi/6</math> 또는 이들의 여각이다.
근계의 정수성은 두 근 사이의 각들을 제한한다. 정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각의 코사인은 정수의 제곱근의 반이어야 한다.
: \mathbb Z\ni 2 \frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)} \cdot 2 \frac{(\alpha,\beta)}{(\beta,\beta)} = 4 \frac{(\alpha,\beta)^2}{\vert \alpha \vert^2 \vert \beta \vert^2} = 4 \cos^2(\theta) = (2\cos(\theta))^2.
2\cos(\theta) \in [-2,2]이므로,
:\cos\theta=0, \pm \tfrac12, \pm\tfrac{\sqrt2}2, \pm\tfrac{\sqrt3}2, \pm1
이다. 즉, \theta는 90°, 60° 또는 120°, 45° 또는 135°, 30° 또는 150°, 0° 또는 180°이다.

## 연산
### 스칼라배
근계 (V,\Phi) 및 임의의 실수 t\in\mathbb R\setminus\{0\} 및 임의의 직교 행렬 M\in\operatorname O(V;\mathbb R)에 대하여, (V,tM\Phi) 역시 근계를 이루며, 이는 원래 근계 (V,\Phi)와 동형이다.

### 직합
두 근계 (V,\Phi), (V',\Phi')가 주어졌을 때, 그 **[[직합]]** \Phi\oplus\Phi'은 다음과 같은 근계이다.
:\Phi\oplus\Phi'=\iota(\Phi)\cup\iota'(\Phi')
:V\xrightarrow\iota V\oplus V'\xleftarrow{\iota'}V'
여기서 \iota와 \iota'은 직합의 정의에 등장하는 표준 포함 사상이다.

**기약 근계**(旣約根系, )는 두 (자명하지 않은) 근계의 합이 아닌, 자명하지 않은 근계다. 모든 근계는 기약 근계의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

기약 근계의 근은 모두 길이가 같거나, 길이가 두 가지가 있다. 길이가 두 가지가 있을 경우는 긴 것은 **긴 근**(), 짧은 것은 **짧은 근**()으로 분류한다. (만약 길이가 모두 같다면, 모든 근이 긴 근이다.) 이 경우, 긴 근과 짧은 근의 노름의 비는 \sqrt2이다. (통상적으로, 긴 근의 노름은 \sqrt2로, 짧은 근의 노름은 (만약 존재한다면) 1로 잡는다.)

### 쌍대 근계
근계 (V,\Phi)의 **쌍대 근계**(雙對根系, )는 다음과 같다.
* V^\vee는 V의 (대수적) 쌍대 공간이다. 물론, 내적을 사용하여 표준적인 동형 사상 V\to V^\vee이 존재한다.
* \Phi^\vee=\{\alpha^\vee\colon\alpha\in\Phi\}
* 임의의 u,v\in V에 대하여, u^\vee\in V^*, u^\vee(v)=\langle u,v\rangle=2(u,v)/(u,u)
그렇다면 (V^\vee,\Phi^\vee) 역시 근계를 이룬다.

임의의 근계 (V,\Phi)는 그 이중 쌍대 근계 (V^{\vee\vee},\Phi^{\vee\vee})와 표준적으로 동형이다.

단순 근계 가운데, B_n의 쌍대 근계는 C_n이다. 다른 단순 근계들(A_n, D_n, E_6,E_7,E_8,F_4,G_2)은 스스로의 쌍대 근계이다.

## 분류
### 기약 근계의 목록
기약 근계는 다음과 같이 분류한다. **고전 근계**()는 네 개의 족 A_n, B_n, C_n, D_n으로 나뉘고, 나머지로 다섯 개의 **예외 근계**() G_2, F_4, E_6, E_7, E_8이 있다. 그 아래첨자는 근계의 계수다. 고전 근계는 고전군(직교군, 특수 유니터리 군, 심플렉틱 군)의 리 대수(의 복소화)의 근계이나, 예외 근계는 그렇지 않다. 아래 표에서는 관례를 따라 긴 근의 길이가 \sqrt2가 되도록 정규화하였다.

### 고전적 기약 근계
A_n형 근계의 단순근은 다음과 같다. (편의상 \mathbb R^{n+1}의 원소로 표기하였다.)
:\alpha^1=(1,-1,0,\dots,0,0)
:\alpha^2=(0,1,-1,\dots,0,0)
:\vdots
:\alpha^n=(0,0,\dots,1,-1)

B_n형 근계의 단순근은 다음과 같다.
:\alpha^1=(1,-1,0,\dots,0,0)
:\alpha^2=(0,1,-1,\dots,0,0)
:\vdots
:\alpha^{n-1}=(0,0,\dots,1,-1)
:\alpha^n=(0,0,\dots,0,1)

C_n형 근계의 단순근은 다음과 같다.
:\alpha^1=(1,-1,0,\dots,0,0)
:\alpha^2=(0,1,-1,\dots,0,0)
:\vdots
:\alpha^{n-1}=(0,0,\dots,1,-1)
:\alpha^n=(0,0,\dots,0,2)

D_n형 근계의 단순근은 다음과 같다.
:\alpha^1=(1,-1,0,\dots,0,0)
:\alpha^2=(0,1,-1,\dots,0,0)
:\vdots
:\alpha^{n-1}=(0,0,\dots,1,-1)
:\alpha^n=(0,0,\dots,1,1)

### 예외적 기약 근계
예외적 기약 근계는 E₆, E₇, E₈, F₄, G₂ 총 5개가 있다. 이들의 단순근들은 다음과 같다.

## 예
### 낮은 차원의 근계
0차원 근계는 (자명하게) 하나밖에 없다.

1차원 근계는 하나밖에 없으며, \{-\sqrt2,\sqrt2\}\subset\mathbb R이다.

2차원 근계는 총 4개가 있으며, 이들 가운데 3개는 기약 근계이다. (아래 표에서, B_2와 C_2는 서로 동형이며, A_1\times A_1과 D_2 역시 서로 동형이다.)

3차원 기약 근계는 세 가지가 있으며, 이들은 정육면체·정팔면체의 모양을 가진다.
:파일:Root vectors b3 c3-d3.png

### 반단순 리 대수에 대응되는 근계

복소수체 위의 반단순 리 대수 \mathfrak g 및 그 카르탕 부분 대수 \mathfrak h\subseteq\mathfrak g가 주어졌다고 하자. \mathfrak h는 \mathfrak g의 킬링 형식을 통해 자연스럽게 유한 차원 실수 내적 공간을 이룬다.

그렇다면, \mathfrak g의 딸림표현에 대응하는 \mathfrak h-무게들
:\Phi=\{\alpha\in \mathfrak h^\vee\colon \mathfrak g_\alpha\ne0\}\subseteq\mathfrak h^\vee
을 생각하자. 그렇다면, (\mathfrak h^\vee,\Phi)는 근계를 이룬다. 또한, 다음이 성립한다.
* \mathfrak g의 단순 리 대수들로의 직합 분해는 (\mathfrak h^\vee,\Phi)의 기약 근계들로의 직합 분해와 대응한다.
* 특히, 단순 리 대수에 대응하는 근계는 기약 근계이다.
* 두 반단순 리 대수가 서로 동형일 필요 충분 조건은 그 대응하는 근계가 서로 동형인 것이다.

## 역사
근계의 이론은 복소수 반단순 리 대수의 표현론에서 비롯하였다. 각 반단순 리 대수에는 근계를 대응시킬 수 있으며, 단순 리 대수에 대응되는 근계는 기약 근계이다.

카르탕 행렬의 개념은 엘리 카르탕이 도입하였다. 딘킨 도표의 개념은 예브게니 딘킨이 도입하였다.

## 각주

* Dynkin, E. B. *The structure of semi-simple algebras.* Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59&ndash;127.

## 외부 링크
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## 같이 보기

* 무게 (표현론)
* 콕서터 군

분류:리 군
분류:리 대수
분류:유클리드 기하학