순환 범주

호몰로지 대수학에서 **순환 범주**(循環範疇, )는 단체 범주를 부분 범주로 갖지만 꼭짓점들을 순환시키는 사상이 추가된 작은 범주이다. 순환 범주의 반대 범주를 정의역으로 갖는 함자를 **순환 대상**(循環對象, )이라고 한다. 가군 범주 속의 순환 대상에 대하여 순환 호몰로지를 정의할 수 있다.

## 정의
### 순환 범주
**순환 범주**(循環範疇, ) \operatorname{Cyc}는 다음과 같은 작은 범주이다.
* \operatorname{Cyc}의 대상은 자연수 (음이 아닌 정수) n\in\mathbb N이다.
* \operatorname{Cyc}의 사상들은 다음과 같은 사상들로 생성된다.
*:\delta^i_n\colon n-1\to n \qquad(0\le i\le n) (**면 사상**)
*:\sigma^i_n\colon n+1\to n \qquad(0\le i\le n) (**퇴화 사상**)
*:\tau_n \colon n\to n (**순환 사상**)
* 이 사상들은 다음과 같은 관계를 갖는다. (이 가운데, \tau를 포함하지 않는 것들은 단체 범주 \triangle의 정의에 등장하는 것과 같다.)
*:\delta^j_{n-1}\circ\delta^i_n = \delta^i_{n-1}\circ\delta^{j-1}_n\qquad(0\le i
*:\sigma^j_{n+1}\circ\sigma^i_n = \sigma^i_{n+1} \circ \sigma^{j+1}_n\qquad(0\le i\le j)
*:\sigma^j_n\circ\delta^i_{n+1} = \begin{cases}
\delta^i_n\circ\sigma^{j-1}_{n-1}&i  j+1
\end{cases}
*:\overbrace{\tau_n\circ\dotsb\circ\tau_n}^{n+1} = \operatorname{id}_n
*:\tau_n \circ \delta^i_n = \delta^{i-1}_n \circ \tau_{n-1} \qquad(1\le i\le n)
*:\tau_n\circ\sigma^i_n = \sigma^{i-1}_n\circ\tau_{n+1} \qquad(1\le i\le n)

이제, 임의의 범주 \mathcal C 위의 **순환 대상**은 순환 범주의 반대 범주에서 \mathcal C로 가는 함자
:\operatorname{Cyc}^{\operatorname{op}}\to\mathcal C
이다.

### 순환 대상의 구체적 정의
구체적으로, 범주 \mathcal C 속의 **순환 대상**은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 단체 대상 (X_\bullet,\partial_\bullet^i,d_\bullet^i). 여기서 \partial_\bullet^i\colon X_\bullet\to X_{\bullet-1}는 면(面)이며, s_\bullet^i\colon X_\bullet\to X_{\bullet-1}는 퇴화 단체이다.
* 일련의 동형 사상들 t_n\colon X_n\to X_n, n\in\mathbb N
이들은 다음 호환 조건들을 만족시켜야 한다.
* (순환의 순환성) \overbrace{t_n\circ\dotsb\circ t_n}^{n+1} = \operatorname{id}_{X_n}. 특히, t_0 = \operatorname{id}_{X_0}이다.
* (순환과 면의 호환) \partial^i_n\circ t_n = t_{n-1} \circ \partial^{i-1}_n\qquad(1\le i\le n)
* (순환과 퇴화 단체의 호환) s^i_n \circ t_n = t_{n+1}\circ s^{i-1}_n \qquad (1\le i\le n)

### 일반적 정의
순환 대상의 개념은 순환군 말고도 정이면체군이나 대칭군 등으로 일반화될 수 있다.

**교차단체군**(交叉單體群, )은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 단체 집합 G_\bullet\colon \triangle^{\operatorname{op}} \to \operatorname{Set}
* 임의의 n\in\mathbb N에 대하여, G_n 위의 군 구조
* 임의의 m,n\in\mathbb N에 대하여, \hom_\triangle(m,n) 위의, G_n의 오른쪽 군 작용 \hom_\triangle(m,n)\times G_n \to \hom_\triangle(m,n)
이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* 임의의 \phi\in \hom_\triangle(m,n) 및 \chi\in\hom_\triangle(n,p) 및 g\in G_p에 대하여,
*: (\chi \circ \phi)\cdot g = (\chi\cdot g) \circ \left(\phi \cdot G(\chi^{\operatorname{op}})(g) \right)  \in \hom_\triangle(m,p)
* 임의의 g,h\in G_n 및 \phi\in\hom_\triangle(m,n)에 대하여,
*:G(\phi^{\operatorname{op}})(gh) = 
G(\phi\cdot h)^{\operatorname{op}}(g) G(\phi^{\operatorname{op}})(h) \in G_m 

교차단체군의 예는 다음이 있다.
* 모든 단체군은 교차단체군이다. (그러나 단체군이 아닌 교차단체군이 존재한다.)
* 순환군 G_n=\operatorname{Cyc}(n+1)
* 정이면체군 G_n = \operatorname{Dih}(n+1)
* 쌍순환군 G_n=\operatorname{Dic}(n+1)
* 대칭군 G_n = \operatorname{Sym}(n+1)

교차단체군 G_\bullet이 주어졌을 때, 임의의 \phi\in\hom_\triangle(m,n) 및 g\in G_n에 대하여 편의상
:g\cdot\phi = G(\phi^{\operatorname{op}})(g) \in G_m
로 표기하자. 이는
:g\cdot(\phi\circ\chi) = (g\cdot\phi)\cdot\chi
를 만족시킨다.

교차단체군 G_\bullet가 주어졌을 때, 다음과 같은 작은 범주 \triangle_{G_\bullet}를 정의할 수 있다.
* \triangle_{G_\bullet}의 대상은 자연수이다. 즉, 단체 범주 \triangle의 대상과 같다.
* \triangle_{G_\bullet}의 사상들은 다음과 같은 꼴의 순서쌍이다.
*:\hom_{\triangle_{G_\bullet}}(m, n) = \hom_\triangle(m,n) \times G
* 사상의 합성은 다음과 같다. 여기서, g\in G_n에 대하여 \tau_g\colon \hom_{\triangle_{G_\bullet}}(n,n)은 (\operatorname{id}_n,g)에 대응하는 사상이며, \phi\in\hom_\triangle(m,n)이다.
*:\phi \circ \tau_g = (\phi,g) \qquad(\phi\in\hom_\triangle(m,n),\;g\in G_m))
*:\tau_g \circ \phi = (\phi\cdot g) \circ \tau_{g\cdot\phi} \qquad(\phi\in\hom_\triangle(m,n),\;g\in G_n))

그렇다면, 범주 \mathcal C 속의 **<math>G_\bullet</math>-대상**은 함자
:\triangle_{G_\bullet}^{\operatorname{op}}\to\mathcal C
이다.

특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.
:G_n=\operatorname{Cyc}(n+1) = \langle t_n| t_n^{n+1} = 1\rangle
:\delta^i \cdot g = \begin{cases}
\delta^{i-1} & 1\le i \le n \\
\delta^n & i = 0
\end{cases} 
:\sigma^i \cdot g = \begin{cases}
\sigma^{i-1} & 1\le i \le n \\
\sigma^n & i = 0
\end{cases} 
:t_n\cdot\delta^i_n = \begin{cases}
t_{n-1} & i \ge 1 \\
1 & i=0
\end{cases}

:t_n\cdot\sigma^i_n = \begin{cases}
t_{n+1} & i \ge 1\\
t_{n+1}^2 & i = 0
\end{cases}

그렇다면 이는 교차단체군을 정의하며, 이에 대한 G_\bullet-대상은 **순환 대상**이라고 한다.

## 성질
순환 범주 \operatorname{Cyc}는 스스로의 반대 범주와 동형이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 함자에 의하여 주어진다.
:\operatorname{Cyc}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Cyc}
:n^{\operatorname{op}}\mapsto n
:(\delta_n^i)^{\operatorname{op}} \mapsto\begin{cases}
\sigma_{n-1}^i &  i 
:(\sigma_n^i)^{\operatorname{op}} \mapsto \delta^{i+1}_{n+1}

### 사상
순환 범주 \triangle_{\operatorname{Cyc}}에서, 모든 사상 f\colon m\to n는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.
: f'\circ \overbrace{t_m\circ\dotsb\circ t_m}^k\qquad(f'\in\hom_\triangle(m,n),\;k\in \{0,1,\dotsc,n\})

보다 일반적으로, 임의의 교차단체군 G_\bullet에 대하여, 범주 \triangle_{G_\bullet}에서, 모든 사상은 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.
:\phi \circ \tau_g \colon \phi\in\hom_\triangle(m,n),\;g\in G_m 

순환 범주 \triangle_{\operatorname{Cyc}}에서, 다음이 성립한다.
* \tau_n\circ \delta^0_n = \delta^n_n

**증명:**


\begin{aligned}
\tau_n\circ\delta^0_n  &= \tau_n\circ\delta^0_n\circ
\overbrace{\tau_{n-1}\circ\dotsb\circ\tau_{n-1}}^n \\
&= \tau_n\circ\tau_n\circ \delta^1_n\circ
\overbrace{\tau_{n-1}\circ\dotsb\circ\tau_{n-1}}^{n-1} \\
&= \tau_n\circ\tau_n\circ\tau_n\circ \delta^2_n\circ
\overbrace{\tau_{n-1}\circ\dotsb\circ\tau_{n-1}}^{n-2} \\
&\qquad\vdots \\
&= \overbrace{\tau_n\circ\dotsb\circ\tau_n}^{n+1}\circ \delta^n_n \\
&= \delta_n
\end{aligned}

* \tau_n\circ\sigma^0_n = \sigma^n_n\circ\tau_{n+1}\circ\tau_{n+1}

**증명:**


\begin{aligned}
\tau_n\circ\sigma^0_n  &= \tau_n\circ\sigma^0_n\circ
\overbrace{\tau_{n+1}\circ\dotsb\circ\tau_{n+1}}^{n+2} \\
&= \tau_n\circ\tau_n\circ\sigma^1_n\circ
\overbrace{\tau_{n+1}\circ\dotsb\circ\tau_{n+1}}^{n+1} \\
&= \tau_n\circ\tau_n\circ\tau_n\circ\sigma^1_n\circ
\overbrace{\tau_{n+1}\circ\dotsb\circ\tau_{n+1}}^n \\
&\qquad\vdots\\
&= \overbrace{\tau_n\circ\dotsb\circ\tau_n}^{n+1}\circ\sigma^1_n\circ\tau_{n+1}\circ\tau_{n+1} \\
&= \sigma^1_n\circ\tau_{n+1}\circ\tau_{n+1}
\end{aligned}



### 단체와의 관계
단체 범주 \triangle에서 순환 범주로 가는 포함 함자
:\triangle\hookrightarrow\triangle_{\operatorname{Cyc}}
가 존재한다. 이는 충실한 함자이며, 대상 집합에 제한하면 전단사 함수이지만, 충만한 함자가 아니다 (즉, \triangle_{\operatorname{Cyc}}에는 t_n으로 정의되는 추가 사상들이 존재한다).

이에 따라, 임의의 범주 \mathcal C에 대하여, \mathcal C-순환 대상의 범주에서 \mathcal C-단체 대상의 범주로 가는 망각 함자
:\hom(\operatorname{Cyc}^{\operatorname{op}},\mathcal C) \to\hom(\triangle^{\operatorname{op}},\mathcal C)
가 존재하며, 이는 충실한 함자이지만 일반적으로 충만한 함자가 아닐 수 있다.

## 예
모든 성분이 자명군인 교차단체군 1을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 \triangle_1은 단체 범주 \triangle와 같다.

각 성분이 대칭군인 교차단체군
:G_n = \operatorname{Sym}(n+1)
을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 \triangle_{\operatorname{Sym}}는 유한 집합과 함수의 작은 범주 \operatorname{finSet}와 동치이다.

### 결합 대수의 순환 가군
가환환 K 위의 결합 대수 A가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.
:C\colon n\mapsto A^{\otimes_K(n+1)}
:C({\delta^i_n}^{\operatorname{op}}) \colon C_n \to C_{n-1}
:C({\delta^i_n}^{\operatorname{op}}) \colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n \mapsto
\begin{cases}
a_0\otimes_K\dotsb \otimes_K a_{i-1} \otimes_K a_ia_{i+1} \otimes_K a_{i+2}\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n & 0 \le i 
:C({\sigma^i_n}^{\operatorname{op}}) \colon C_n \to C_{n+1}
:C({\sigma^i_n}^{\operatorname{op}}) \colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n \mapsto a_0\otimes_K\dotsb\otimes_K a_i\otimes_K 1\otimes_K a_{i+1}\otimes_K a_n 
:C(\tau_n^{\operatorname{op}}) \colon C_n \to C_n
:C(\tau_n^{\operatorname{op}})\colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n \mapsto (-)^n a_n\otimes_K a_0 \otimes_K\dotsb\otimes_K a_{n-1}
즉, 이는 K-가군 범주 \operatorname{Mod}_K 속의 순환 가군을 이룬다. 이를 **<math>A</math>에 대응되는 순환 가군**()이라고 한다.

이 구성은 결합 대수의 순환 호몰로지 및 호흐실트 호몰로지를 정의할 때 사용된다.

## 역사
알랭 콘이 1983년에 도입하였다. 이 논문에서 콘은 순환 범주를 “\Lambda”라고 표기하였다.

교차순환군의 개념은 즈비크니에프 피에도로비치()와 장루이 로데가 1991년에 도입하였다.

## 같이 보기
* 순환 호몰로지
* 단체 범주
## 각주

## 외부 링크
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분류:호몰로지 대수학