K이론

수학에서 **K이론**(K理論, )은 위상 공간 또는 스킴 위에 존재하는 벡터 다발 또는 연접층을 다루는 분야다. 공간에 존재하는 이러한 다발 또는 층의 성질들로부터, 위상 공간 또는 스킴의 구조를 알 수 있다. 기하학과 위상수학, 대수학, 수론과 관련 있다.

K이론은 위상 공간 또는 스킴에서 관련 환으로 사상하는 *K*함자 계열의 구성을 포함한다. 이 환은 원래 공간이나 스킴의 구조의 일부 측면을 반영한다. 대수적 위상수학에서 군에 대한 함자와 마찬가지로 이 함자 사상의 이유는 원래 공간이나 스킴보다 사상된 환에서 일부 위상 성질을 계산하는 것이 더 쉽기 때문이다. K-이론 접근법에서 얻은 결과의 예로는 그로텐디크-리만-로흐 정리, 보트 주기성, 아티야-싱어 지표 정리 및 애덤스 연산이 있다.

수학 분야 분류(MSC 2010) 코드는 19.

## 그로텐디크 완비화
아벨 모노이드의 그로텐디크 완비화는 K이론을 정의하는 데 필수적인 과정이다. K이론의 모든 정의가 적절한 범주에서 아벨 모노이드를 구성하고 이 보편적인 구성을 통해 이를 아벨 군으로 바꾸는 것으로 시작하기 때문이다. 주어진 아벨 모노이드 (A,+')에 대해 a_1 +' b_2 +' c = a_2 +' b_1 +' c인 c\in A가 존재하는 경우, \sim 를 A^2 = A \times A에서 정의된 관계

: (a_1,a_2) \sim (b_1,b_2)

라 하자. 그렇게 그런 다음 집합 G(A) = A^2/\sim는 군 구조 (G(A),+)를 가지고 있다. 여기서,

:  [(a_1,a_2)] + [(b_1,b_2)] = [(a_1+' b_1,a_2+' b_2)].

이 군의 동치류는 아벨 모노이드 원소의 형식적 차(差)로 생각해야 한다. 이 군 (G(A),+)은 또한 a \mapsto [(a, 0)]로 주어진 모노이드 준동형사상 i : A \to G(A)과 관련이 있다. 이는 보편 성질을 가지고 있다.

이 군을 더 잘 이해하려면 아벨 모노이드 (A,+)의 몇 가지 동치류를 고려하면 된다.  여기서 A의 항등원을 0으로 적어서[(0,0)]가  (G(A),+)의 항등원이도록 한다. 첫 번째로, c = 0으로 설정할 수 있고 동치 관계에서 방정식을 적용하여 n = n를 얻을 수 있기 때문에  \forall n\in A, (0,0) \sim (n,n)이다. 이것은

: [(a,b)] + [(b,a)] = [(a+b,a+b)] = [(0,0)]

를 의미한다. 따라서 G(A)의 각 원소에 대한 덧셈 역원을 가지고 있다. 이것은 동치류 [(a,b)]를 형식적 차 a-b로 생각해야 한다는 힌트를 제공 한다.  또 다른 유용한 관찰은 스케일링에서 동치류의 불변성이다.

: (a,b) \sim (a+k,b+k) \forall k \in A.

그로텐디크 완비화는 함자 G:\mathbf{AbMon}\to\mathbf{AbGrp}로 볼 수 있다.  해당 망각 함자 U:\mathbf{AbGrp}\to\mathbf{AbMon}에 인접하게 남겨지는 성질이 있다. 즉, 아벨 모노이드 A에서 아벨 군 B의 기저 아벨 모노이드로 가는 사상 \phi:A \to U(B)가 주어졌을 때, 유일한 아벨 군 사상 G(A) \to B이 존재한다.

### 자연수 구조의 예시
살펴볼 예가 되는 예는 \N의 그로텐디크 완비화이다.  G((\N,+)) = (\Z,+)을 볼 수 있다. 모든 쌍 (a,b)에 대해 스케일링에서 불변성을 사용하여 극소 대표원 (a',b')을 찾을 수 있다. 예를 들어 스케일링 불변성에서 다음을 확인할 수 있다.

: (4,6) \sim (3,5) \sim (2,4) \sim (1,3) \sim (0,2)

일반적으로 k := \min\{a,b\}이다. 그러면,

: (a,b) \sim (a-k,b-k) 형식인 것 (c,0) 또는 (0,d).

이것은 (a,0)를 양의 정수로 (0,b)를 음의 정수로 생각해야 함을 보여준다.

## 정의
K이론은 여러 가지가 있으나, 모두 어떤 기하학적 대상 위에, 그 위에 존재할 수 있는 벡터다발과 같은 구조들을 다룬다. 이러한 구조들은 (그로텐디크 군을 취하면) 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 군들을 **K군**(K群, )이라고 하고, K_n(M)과 같이 쓴다. 여기서 M은 다루는 기하학적 대상이고, n은 대략 "다발의 차원"에 해당하는 정수인 지수다. K_n은 아벨 군의 범주로의 함자를 이룬다.

K이론에는 위상 K이론, 대수적 K이론, 작용소 K이론 등이 있다. 위상 K이론은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 위에 존재하는 벡터 다발들을 다룬다. 대수적 K이론은 환 위에 존재하는 특정한 호모토피 이론적 구조들을 다룬다. (이는 스킴 이론을 통해, 스킴 위에 존재하는 연접층으로 생각할 수 있다.) 작용소 K이론은 C* 대수 위에 존재하는 특정한 대수적 구조들을 다룬다. 이는 비가환 기하학을 통해, 비가환 공간 위에 존재하는 "벡터 다발"들로 생각할 수 있다.

K이론은 에일렌베르크-스틴로드 공리에 따라, 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. 즉, 차원 공리를 제외하고, 보통 코호몰로지의 성질들을 만족시킨다.

### 콤팩트 하우스도르프 공간에 대한 그로텐디크 군
주어진 콤팩트 하우스도르프 공간 X에 대해 X 위의 유한 차원 선형 다발의 동치류 집합 \text{Vect}(X)을 고려하자. 선형 다발 \pi:E \to X의 동형사상 동치류 [E]를 보자. 선형 다발의 동치류에 대해 직합이 잘 정의되므로 동치류에 다음과 같이 연산을 작성할 수 있다.

: [E]\oplus[E'] =[E\oplus E'] 

(\text{Vect}(X),\oplus)는 자명한 선형 다발 \R^0\times X \to X에 의해 단위가 주어지는 아벨 모노이드이다. 그런 다음 그로텐디크 완비화을 적용하여 이 아벨 모노이드에서 아벨 군 을 얻을 수 있다. 이를 X의 K-이론이라하고 K^0(X)로 적는다.

세르-스완 정리와 어떤 대수를 사용하여 연속 복소 함수 환 C^0(X;\Complex)에 대한 선형 다발의 사영 가군 설명을 얻을 수 있다. 그런 다음 이들은 어떤 행렬환 M_{n\times n}(C^0(X;\Complex))에서 멱등 행렬로 식별될 수 있다.   멱등 행렬의 동치류를 정의하고 아벨 모노이드 \textbf{Idem}(X)를 형성할 수 있다. 이의 그로텐디크 완비화도 K^0(X)라고 한다. 위상 공간에 대한 그로텐디크 군을 계산하는 주요 기술 중 하나는 아티야–히르체부르흐 스펙트럼 열에서 가져오므로 아주 쉽게 접근할 수 있다. 이 스펙트럼 열를 이해하는 데 필요한 유일한 계산은 구 S^n에 대해 군 K^0을 계산하는 것이다. 페이지 51-110

### 대수 기하학에서 선형 다발의 그로텐디크 군
대수 기하학에서 선형 다발을 고려하여 유사한 구성이 있다. 뇌터 스킴 X에 대해, X 위의 대수적 선형 다발의 모든 동치류 집합 \text{Vect}(X)가 있다. 그런 다음 이전과 같이 직합 \oplus이 선형 다발의 동형사상 동치류는 잘 정의되어 있으며, 아벨 모노이드 (\text{Vect}(X),\oplus)를 제공한다. 그런 다음 아벨 모노이드에 그로텐디크 구성을 적용하여 그로텐디크 군 K^0(X)이 정의된다.

### 대수기하학에서 연접층의 그로텐디크 군
대수기하학에서는 동일한 구성을 매끄러운 스킴를 통해 대수 선형 다발에 적용할 수 있다. 그러나 모든 뇌터 스킴 X에 대한 대안적 구성이 있다. 연접층 \operatorname{Coh}(X)의 동치류를 보면, 짧은 완전열

: 0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}* \to 0.</math>

이 있는 경우 관계 <math>[\mathcal{E}] = [\mathcal{E}'] + [\mathcal{E}*]에 의해 수정할 수 있다. 이것은 그로텐디크 군 K_0(X)을 제공한다.  만약에 X가 매끄러우면 이는 K^0(X)과 동형이다. 군 K_0(X)에는 환 구조도 있기 때문에 특별하다. 그것을 다음과 같이 정의한다.

: [\mathcal{E}]\cdot[\mathcal{E}'] = \sum(-1)^k \left [\operatorname{Tor}_k^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}, \mathcal{E}') \right ].

그로텐디크-리만-로흐 정리를 사용하면

: \operatorname{ch} : K_0(X)\otimes \Q \to A(X)\otimes \Q

는 환 동형사상이다. 따라서 교차 이론에 대해 K_0(X)를 사용할 수 있다.

## 역사
K이론은 알렉산더 그로텐디크가 1957년에 리만-로흐 정리와 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 확장한 그로텐디크-히르체브루흐-리만-로흐 정리를 발표하면서 도입한 것으로 여길 수 있다. "K"는 의 약자로, 특성류를 뜻한다. 그로텐디크가 창시한 이론은 대수적 K이론에서의 K_0에 해당한다.

그로텐디크는 대수적 다형체 X에서 연접층으로 작업해야 했다. 층으로 직접 작업하는 대신, 그는 층의 동치류를 군의 생성원으로 사용하여 군을 정의했으며, 두 층의 확장을 그들의 합으로 식별하는 관계에 따라 달라졌다. 결과로 나온 군은 국소 자유 층만 사용되는 경우 K(X)로, 모두 연접층인 경우 G(X)로 불린다. 이 두 구성 중 하나를 그로텐디크 군이라고 한다. K(X)는 코호몰로지적 행동을 하고 G(X)는 호몰로지적 행동을 한다.

*<math>X</math>*가 매끄러운 다형체인 경우 두 군은 동일하다. *<math>X</math>*가 매끄러운 아핀 다형체이라면, 국소적으로 자유 층의 모든 확장이 분할되므로 군은 대체적 정의를 갖는다.

위상수학에서는 선형 다발에 동일한 구성을 적용하여 1959년에 마이클 아티야 와 프리드리히 히르체브루흐가 위상 공간 X에 대해 K(X)를 정의하고 보트 주기성 정리를 사용하여 이를 놀라운 코호몰로지 이론의 기초로 삼았다. 그것은 아티야-싱어 지표 정리 (1962년경)의 두 번째 증명에서 중요한 역할을 했다. 게다가 이 접근법은 C*-대수에 대한 비가환 K-이론으로 이어졌다.

이미 1955년에 장피에르 세르는 사영 가군이 있는 선형 다발의 유추를 사용하여 다항식 환 위에 유한하게 생성된 모든 사영 가군이 자유 가군이라는 세르 추측을 공식화했다. 이 주장은 맞지만 20년이 지나도록 해결되지 않았다. (스완 정리는 이 비유의 또 다른 측면이다.)

대수적 K이론의 다른 역사적 기원은 나중에 화이트헤드 비틀림으로 알려지게 된 화이트헤드와 다른 사람들의 작업이다.

고차 K이론 함자에 대한 다양한 부분적 정의가 있었던 기간이 뒤따랐다. 마지막으로 1969년과 1972년에 호모토피 이론을 사용하여 대니얼 퀼런이 두 가지 유용하고 동등한 정의를 제공했다. pseudo-isotopies 연구와 관련된 공간의 대수적 K이론을 연구하기 위해 프리드헬름 발트하우젠이 변형을 제공했다. 더 높은 K이론에 대한 많은 현대 연구는 대수 기하학 및 동기 코호몰로지 연구와 관련이 있다. 1973년에 대니얼 퀼런이 고차 대수적 K군(K_3, K_4, …)을 정의하였다.

보조 이차 형식을 포함하는 해당 구성은 L-이론으로 불린다. 그것은 수술 이론의 주요 도구이다.

끈 이론에서 라몬드-라몬드 장 강도와 안정적인 D-막의 전하의 K-이론 분류는 1997년에 처음 제안되었다. 끈 이론의 D-막들이 시공간의 위상 K이론으로 분류된다는 사실이 밝혀졌다.

## 예 및 성질
### 체의 K<sub>0</sub>
그로텐디크 군의 가장 쉬운 예는 체 \mathbb{F}에 대한 점 \text{Spec}(\mathbb{F})의 그로텐디크 군이다. 이 공간 위의 선형 다발은 유한 차원 선형 공간이며, 이는 연접층 범주의 자유 대상이므로 사영이므로 동치류의 모노이드는 \N과 같고  선형 공간의 차원에 해당한다. 이 그로텐디크 군이 \Z이라는 것을 보이는 것은 쉬운 연습이다.

### 체에 대한 아틴 대수의 K<sub>0</sub>
뇌터 스킴 X의 그로텐디크 군의 중요한 성질 중 하나는 그것은 축소 하에서 불변이라는 것이다. 즉, K(X) = K(X_{\text{red}}). 따라서 아틴 \mathbb{F}-대수의 그로텐디크 군은 \Z들의 직합이다. 이때 \Z는 스펙트럼의 연결성분 당 하나씩이다. 예를 들어,K_0 \left(\text{Spec}\left(\frac{\mathbb{F}[x]}{(x^9)}\times\mathbb{F}\right)\right) = \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}

### 사영 공간의 K<sub>0</sub>
그로텐디크 군의 가장 일반적으로 사용되는 계산 중 하나는 체 위의 사영 공간 K(\mathbb{P}^n)에 대한 계산이다. 이것은 사영 공간 X의 교차수를 매장 i:X \hookrightarrow \mathbb{P}^n 과 밂 당김 공식 i^*([i_*\mathcal{E}]\cdot [i_*\mathcal{F}])을 사용하여 계산할 수 있기 때문이다. 이렇게 하면 K(X)의 원소를 사용하여 구체적인 계산을 수행할 수 있다. 왜냐하면K(\mathbb{P}^n) = \frac{\mathbb{Z}[T]}{(T^{n+1})}이므로 구조를 명시적으로 알 필요 없기 때문이다. \mathbb{P}^n의 그로텐디크 군을 결정하는 한 가지 기법은  다음과 같은 계층화에서 비롯된다.\mathbb{P}^n = \mathbb{A}^n \coprod \mathbb{A}^{n-1} \coprod \cdots \coprod \mathbb{A}^0아핀 공간에 대한 연접층의 그로텐디크 군은 \mathbb{Z}와 동형이기 때문에  \mathbb{A}^{n-k_1},\mathbb{A}^{n-k_2}의 교집합은  일반적으로 k_1 + k_2 \leq n에 대해\mathbb{A}^{n-k_1} \cap \mathbb{A}^{n-k_2} = \mathbb{A}^{n-k_1-k_2} 

### 사영 다발의 K<sub>0</sub>
그로텐디크 군에 대한 또 다른 중요한 공식은 사영 다발 공식이다. 주어진 랭크 r 선형 다발 \mathcal{E} 뇌터 스킴 X을 통해, 사영 다발의 그로텐디크 군 \mathbb{P}(\mathcal{E})=\operatorname{Proj}(\operatorname{Sym}^\bullet(\mathcal{E}^\vee))는 기저가1,\xi,\dots,\xi^{n-1}인 랭크 *<math>r</math>* 자유 K(X)-가군이다. 이 공식을 사용하면 \mathbb{P}^n_\mathbb{F}의 그로텐디크 군을 계산할 수 있다. 이렇게 하면 K_0 또는 히르체부르흐 곡면을 계산할 수 있다. 또한 이것이 체 \mathbb{F} 위의 사영 다발임을 관찰함으로써 그로텐디크 군 K(\mathbb{P}^n)을 계산하는 데 사용할 수 있다.

### 특이 공간의 K<sub>0</sub>와 분리된 몫 특이점이 있는 공간
K^0(X)와  K_0(X)의 차이를 계산하는데서 오는 사소한 특이점을 가진 공간의 그로텐디크 군을 계산하는 최근 기법 중 하나는, 이는 모든 선형 다발이 연접층으로 동등하게 설명될 수 있다는 사실에서 비롯된다. 이것은 유도된 비가환 대수 기하학 에서 Singularity 범주 D_{sg}(X)의 그로텐디크 군을 사용하여 수행된다.. 다음으로 시작하는 긴 완전열을 제공한다.\cdots \to K^0(X) \to K_0(X) \to K_{sg}(X) \to 0 여기서 고차 항은 고차 K-이론에서 나온다. 매끄러운 영점 X_{sm} \hookrightarrow X들 위의 선형 다발 E \to X_{sm}로 제공된 특이한 X의 선형 다발에 유의하자. 이것은 일반적으로 분리된 몫 특이점을 가지기 때문에 가중 사영 공간에서 그로텐디크 군을 계산하는 것을 가능하게 한다. 특히 이러한 특이점에 등방 군 G_i들이 있는 경우, 사상K^0(X) \to K_0(X) 는 단사이고 여핵은 n = \dim X인 \text{lcm}(|G_1|,\ldots, |G_k|)^{n-1}에 의해 소멸된다. 3페이지

### 매끄러운 사영 곡선의 K <sub>0</sub>
매끄러운 사영 곡선 C에 대해, C의 피카르 군의 그로텐디크 군은K_0(C) = \mathbb{Z}\oplus\text{Pic}(C) 이는 대수적 K-이론의 브라운-게르스텐-퀼런 스펙트럼 열 72쪽에서 유래한다. 체에 대한 유한 유형의 정규 스킴의 경우, 여차원 p인 부분 스킴 x: Y \to X들의 집합을 의미하는 여차원 p인 점들의 집합 X^{(p)}에 대해 수렴 스펙트럼 열이 있다.E_1^{p,q} = \coprod_{x \in X^{(p)}}K^{-p-q}(k(x)) \Rightarrow K_{-p-q}(X)여기서 k(x)는 부분 스킴의 대수적 함수체이다. 이 스펙트럼 열은 성질 pg 80E_2^{p,-p} \cong \text{CH}^p(X)을 가진다. X의 저우 환의 경우, 본질적으로 K_0(C)의 계산을 제공한다. 왜냐하면 C가 여차원 2인 점을 갖지 않기 때문에, 스펙트럼 열의 유일한 중요하지 않은 부분은 E_1^{0,q},E_1^{1,q}이다. 따라서\begin{align}
E_\infty^{1,-1}\cong E_2^{1,-1} &\cong \text{CH}^1(C) \\
E_\infty^{0,0} \cong E_2^{0,0} &\cong \text{CH}^0(C)
\end{align} 그런 다음 coniveau 여과를 사용하여 K_0(C)을 완전열0 \to F^1(K_0(X)) \to K_0(X) \to K_0(X)/F^1(K_0(X)) \to 0 을 제공하므로 원하는 명시적 직합으로 결정할 수 있다. 여기서 왼쪽 항은  \text{CH}^1 (C) \cong \text{Pic}(C)과 동형이다. 오른쪽 항은 CH^0(C) \cong \mathbb{Z}과 동형이다.  \text{Ext}^1_{\text{Ab}}(\mathbb{Z},G) = 0이므로, 동형사상을 제공하는 분리 위의 아벨 군의 열를 가진다. 만약 C가 \mathbb{C} 위의 종수 g의 매끄러운 사영 곡선이면,K_0(C) \cong \mathbb{Z}\oplus(\mathbb{C}^g/\mathbb{Z}^{2g}). 또한, 고립된 특이점에 대해 유도된 특이점 범주를 사용하는 위의 기술은 고립된 코언-매콜리 특이점으로 확장되어 모든 특이 대수 곡선의 그로텐디크 군을 계산하는 기술을 제공한다. 축소는 일반적으로 매끄러운 곡선을 제공하고 모든 특이점은 코언-매콜리이기 때문이다.

## 응용
### 가상 다발
그로텐디크 군의 유용한 응용 중 하나는 가상 선형 다발을 정의하는 것이다. 예를 들어 매끄러운 공간을 삽입한 경우 Y \hookrightarrow X 짧은 완전열이 있다.

:  0 \to \Omega_Y \to \Omega_X|_Y \to C_{Y/X} \to 0

여기서 C_{Y/X}는 X에서 Y의 여법 다발이다. 특이 공간 Y이 있다면  매끄러운 공간 X에 묻힌 가상 여법 다발을 다음과 같이 정의한다.

: [\Omega_X|_Y] - [\Omega_Y]

가상 다발의 또 다른 유용한 적용은 공간 교차점의 가상 접다발의 정의이다. Y_1,Y_2\subset X를 매끄러운 사영 다형체의 사영 부분 다형체이라 하자. 그런 다음 교집합 Z = Y_1\cap Y_2의 가상 접다발을 정의할 수 있다.

:  [T_Z]^{vir} = [T_{Y_1}]|_Z + [T_{Y_2}]|_Z - [T_{X}]|_Z.

콘세비치는 그의 논문 중 하나에서 이 구성을 사용한다.

### 천 특성
천 특성류는 공간의 위상 K-이론에서 유리 코호몰로지(의 완비)로 가는 환의 동형사상을 구성하는 데 사용할 수 있다. 선다발 L의 경우 천 특성 ch는 다음과 같이 정의된다.

: \operatorname{ch}(L) = \exp(c_{1}(L)) := \sum_{m=0}^\infty \frac{c_1(L)^m}{m!}.

더 일반적으로, 만약 V = L_1 \oplus \dots \oplus L_n 첫 번째 천 특성류 x_i = c_1(L_i)가 있는 선다발의 직합이다.  천 특성은 가법적으로 정의된다.

:  \operatorname{ch}(V) = e^{x_1} + \dots + e^{x_n} :=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!}(x_1^m + \dots + x_n^m). 

천 특성은 텐서 곱의 천 특성류 계산을 용이하게 하기 때문에 부분적으로 유용하다. 천 특성는 히르체부르흐-리만-로흐 정리에서 사용된다.

## 등변 K-이론
등변 대수적 K-이론은 범주와 관련된 대수적 K-이론이다. \operatorname{Coh}^G(X) 대수적 스킴에서 등변 연접층 X 선형 대수 군 G의 작용으로, 퀼런의 Q-구성을 통해; 따라서 정의에 따라

: K_i^G(X) = \pi_i(B^+ \operatorname{Coh}^G(X)).

특히, K_0^G(C)는 \operatorname{Coh}^G(X)의 그로텐디크 군이다. 이 이론은 1980년대에 토마슨에 의해 개발되었다. 구체적으로 그는 국소화 정리와 같은 기본 정리의 등변적으로 유사한 명제를 증명했다.

## 같이 보기
* 그로텐디크-리만-로흐 정리
* 보트 주기성
* KK 이론
* KR-이론
* 코호몰로지 이론 목록
* 대수적 K-이론
* 위상 K-이론
* 연산자 K 이론
* 물리학에서 K이론

## 참고 문헌

* 
* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 

## 외부 링크
*