점렬 콤팩트 공간

일반위상수학에서 **점렬 콤팩트 공간**(點列compact空間, )은 모든 점렬이 수렴하는 부분 점렬을 갖는 위상 공간이다.

## 정의
위상 공간 X가 다음 조건을 만족시키면, **점렬 콤팩트 공간**이라고 한다.
* 모든 점렬이 수렴 부분 점렬을 갖는다. 즉, 임의의 점렬 (x_n)_{n=0}^\infty\subseteq X에 대하여, x_{n_i}\to x인 x\in X 및 n_0가 존재한다.

## 성질
가산 개의 점렬 콤팩트 공간들의 곱공간은 점렬 콤팩트 공간이다. \aleph_1개 이하의 점렬 콤팩트 공간들의 곱공간은 가산 콤팩트 공간이다.

점렬 콤팩트 공간의 닫힌집합은 점렬 콤팩트 공간이다.

점렬 콤팩트 공간의 연속적 상은 점렬 콤팩트 공간이다.

### 함의 관계
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:
콤팩트성과 점렬 콤팩트성 사이에는 함의 관계가 존재하지 않는다.

위상 공간 X가 가산 콤팩트 공간이 아니라고 하자. 즉, 유한 부분 덮개를 갖지 않는, X의 가산 열린 덮개 \{U_0,U_1,\dots\}가 존재한다. 따라서, 임의의 자연수 n\in\mathbb N에 대하여,
:x_n\in X\setminus(U_0\cup\cdots\cup U_n)
을 고를 수 있다. 임의의 x\in X에 대하여, x\in U_n인 자연수 n\in\mathbb N이 존재한다. 그런데, 임의의 i\ge n에 대하여 x_i\in U_n이다. 즉, (x_n)_{n=0}^\infty의 어떤 부분 점렬도 x로 수렴할 수 없다. 이는 임의의 x에 대한 것이므로, (x_n)_{n=0}^\infty의 수렴 부분 점렬은 존재하지 않는다. 즉, X는 점렬 콤팩트 공간이 아니다.

제1 가산 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 점렬 콤팩트 공간이다.
* 가산 콤팩트 공간이다.

모든 제1 가산 가산 콤팩트 공간 X가 점렬 콤팩트 공간임을 보이는 것으로 충분하다. 임의의 점렬 (x_n)_{n=0}^\infty이 주어졌다고 하자. 만약 \{x_0,x_1,\dots\}이 유한 집합이라면,
:x=x_{n_0}=x_{n_1}=\cdots
인 x\in X 및 n_0이 존재하며, 이 경우 부분 점렬 (x_{n_i})_{i=0}^\infty은 x로 수렴한다. 만약 \{x_0,x_1,\dots\}이 무한 집합이라면, \{x_0,x_1,\dots\}의 \aleph_0-집적점 x\in X가 존재한다. x의 가산 국소 기저
:U_0\supseteq U_1\supseteq\cdots
를 잡자. 그렇다면, 임의의 i\in\mathbb N에 대하여, U_i\cap\{x_0,x_1,\dots\}은 무한 집합이다. 따라서,
:x_{n_i}\in U_i\qquad(\forall i\in\mathbb N)
인
:n_0
이 존재한다. 이 경우, (x_{n_i})_{i=0}^\infty는 (x_n)_{n=0}^\infty의 부분 점렬이며, x로 수렴한다. 즉, X는 점렬 콤팩트 공간이다.

제2 가산 공간에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 콤팩트 공간이다.
* 점렬 콤팩트 공간이다.
* 가산 콤팩트 공간이다.

모든 제2 가산 공간은 제1 가산 공간이므로, 모든 제2 가산 가산 콤팩트 공간이 콤팩트 공간임을 보이는 것으로 족하다. 이는 다음 두 사실로부터 바로 따라나온다.
* 모든 린델뢰프 가산 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
* 모든 제2 가산 공간은 린델뢰프 공간이다.
직접적인 증명은 다음과 같다. 위상 공간 X의 기저 \mathcal B가 주어졌을 때, 다음 두 조건이 동치임을 쉽게 보일 수 있다.
* X는 콤팩트 공간이다.
* \mathcal B의 임의의 부분 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다.
마찬가지로, 다음 두 조건이 동치임을 쉽게 보일 수 있다.
* X는 가산 콤팩트 공간이다.
* \mathcal B의 임의의 가산 부분 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다.
제2 가산 공간의 경우, 가산 기저 \mathcal B가 존재하므로, 위 두 쌍의 조건은 동치가 된다.

거리화 가능 공간에 대하여, 다음 조건들이 모두 서로 동치이다.
* 콤팩트 공간이다.
* 점렬 콤팩트 공간이다.
* 가산 콤팩트 공간이다.
* 극한점 콤팩트 공간이다.
* 희박 콤팩트 공간이다.
* 유사 콤팩트 공간이다.

다음 사실들로부터 따라나온다.
* 정규 하우스도르프 공간에 대하여, 가산 콤팩트 공간·극한점 콤팩트 공간·희박 콤팩트 공간·유사 콤팩트 공간의 개념은 서로 동치이다.
* 모든 콤팩트 공간 및 모든 점렬 콤팩트 공간은 가산 콤팩트 공간이다.
* 제1 가산 가산 콤팩트 공간은 점렬 콤팩트 공간이다.
* 파라콤팩트 가산 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
* 모든 거리화 가능 공간은 제1 가산 파라콤팩트 정규 하우스도르프 공간이다.
모든 점렬 콤팩트 거리 공간이 콤팩트 거리 공간임에 대한 한 가지 직접적인 증명은 다음과 같은 세 단계로 구성된다.
* 점렬 콤팩트 거리 공간 (X,d)의 열린 덮개 \mathcal U는 항상 르베그 수를 갖는다.
** 귀류법을 사용하여, \mathcal U가 르베그 수를 갖지 않는다고 가정하자. 임의의 n\in\mathbb Z^+에 대하여, 1/n이 \mathcal U의 르베그 수가 아니므로, \operatorname{diam}Y_n이며 Y_n\not\subseteq U\forall U\in\mathcal U인 Y_n\subseteq X가 존재한다. y_n\in Y_n을 고르자. 그렇다면, (y_n)_{n=0}^\infty의 어떤 부분 점렬 (y_{n_i})_{i=0}^\infty은 어떤 점 y\in X로 수렴한다. B(y,\epsilon)\subseteq U\in\mathcal U라고 하자. 그렇다면, 충분히 큰 i\in\mathbb N에 대하여, 1/n_i이며 d(y_{n_i},y)이다. 따라서 Y_{n_i}\subseteq U이며, 이는 모순이다.
* 점렬 콤팩트 거리 공간 (X,d)은 완전 유계 공간이다.
** (X,d)가 완전 유계 공간이 아니라고 하자. 즉, 유한 개의 \epsilon-열린 공들로 구성된 덮개가 존재하지 않게 되는 양의 실수 \epsilon>0이 존재한다. 그렇다면 x_i\in X\setminus(B(x_0,\epsilon)\cup\cdots\cup B(x_{i-1},\epsilon))인 점렬 (x_i)_{i=0}^\infty\subseteq X을 재귀적으로 구성할 수 있다. 이 경우, 임의의 i\ne j에 대하여 d(x_i,x_j)\ge\epsilon이므로, (x_i)_{i=0}^\infty는 수렴 부분 점렬을 갖지 않는다. 즉, X는 점렬 콤팩트 공간이 아니다.
* 거리 공간 (X,d)의 모든 열린 덮개가 르베그 수를 가지며, 완전 유계 공간이라면, 콤팩트 공간이다.
** 임의의 열린 덮개 \mathcal U가 주어졌다고 하자. 가정에 따라 \mathcal U의 르베그 수 \delta>0이 존재한다. 완전 유계성에 따라, X=B(x_1,\delta)\cup\cdots\cup B(x_n,\delta)인 유한 집합 \{x_1,\dots,x_n\}\subseteq X가 존재한다. 임의의 i\in\{1,\dots,n\}에 대하여, B(x_i,\delta)\subseteq U_i인 U_i\in\mathcal U를 고르자. 그렇다면, \{U_1,\dots,U_n\}은 \mathcal U의 유한 부분 덮개이다. 즉, (X,d)는 콤팩트 공간이다.

특히, 노름 위상을 갖춘 바나흐 공간의 부분 집합에 대하여 위 동치가 성립한다. 약한 위상에서도 위 동치의 일부가 성립한다. 구체적으로, 에벌라인-시물리얀 정리에 따르면, \mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\} 및 \mathbb K-바나흐 공간 (V,\lVert\cdot\rVert) 및 부분 집합 S\subseteq V에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이다.
* 약한 위상에 대하여 콤팩트 공간이다.
* 약한 위상에 대하여 점렬 콤팩트 공간이다.
* 약한 위상에 대하여 가산 콤팩트 공간이다.
* 약한 위상에 대하여 극한점 콤팩트 공간이다.

## 예
### 콤팩트 공간이 아닌 점렬 콤팩트 공간
최소 비가산 순서수 \omega_1는 (순서 위상에 대하여) 점렬 콤팩트 공간이지만, 콤팩트 공간이 아니다.

### 점렬 콤팩트 공간이 아닌 콤팩트 공간
두 점 이산 공간의 2^{\aleph_0}개 곱공간 2^{\times2^{\aleph_0}}은 (티호노프 정리에 따라) 콤팩트 공간이지만, 점렬 콤팩트 공간이 아니다.

가산 무한 이산 공간의 스톤-체흐 콤팩트화 \beta\mathbb N은 콤팩트 공간이지만, 점렬 콤팩트 공간이 아니다.

### 콤팩트 공간도 점렬 콤팩트 공간도 아닌 가산 콤팩트 공간
가산 콤팩트 공간이지만 콤팩트 공간이 아니며 점렬 콤팩트 공간도 아닌 예로
:\omega_1\times2^{\times2^{\aleph_0}}
을 들 수 있다. 이는 가산 콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 곱은 가산 콤팩트 공간이며, \omega_1과 2^{\times2^{\aleph_0}}이 \omega_1\times2^{\times2^{\aleph_0}}의 닫힌집합(또는 연속적 상)이기 때문이다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:위상 공간의 성질