거듭제곱

오른쪽|섬네일|300px|위에서 아래로: ''x''<sup>1/8</sup>, ''x''<sup>1/4</sup>, ''x''<sup>1/2</sup>, ''x''<sup>1</sup>, ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>4</sup>, ''x''<sup>8</sup>.
수학에서 **거듭제곱**() 또는 **승멱**(乘冪) 또는 **멱**(冪)은 같은 수를 주어진 횟수만큼 여러 번 곱하는 이항 연산이다. 여러 번 곱하는 수를 **밑**()이라고 하고, 곱하는 횟수를 **지수**(指數, , )라고 한다. 밑이 a, 지수가 n인 거듭제곱을 **<math>a</math>의 <math>n</math>제곱**이라고 하고, 그 기호는 a^n이다. 때로는 거듭제곱의 밑을 기저로 부르기도 한다.

## [[정의]]
### 정수 제곱
실수 a 및 자연수 n에 대하여, a의 n제곱은 다음과 같다.
:a^n=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots a}_n
즉, a를 n번 반복하여 곱한 결과이다. 이는 다음의 재귀적 정의와 동치이다.
:a^1=a
:a^{k+1}=a^k\times a\qquad(k\in\mathbb N)

0이 아닌 실수 a에 대하여, a의 0제곱은 다음과 같다.
:a^0=1
즉, 0이 아닌 실수의 0제곱은 항상 1이다. 0의 0제곱 00은 정의하지 않는다.

0이 아닌 실수 a 및 음의 정수 -n(즉, n은 양의 정수)에 대하여, a의 -n제곱은 다음과 같다.
:a^{-n}=\frac1{a^n}
즉, 0이 아닌 실수의 음의 정수 제곱은, 우선 그 음의 정수의 절댓값인 양의 정수를 지수로 하여 거듭제곱을 구한 뒤, 다시 역수를 취한 결과이다. 0의 음의 정수 제곱은 정의하지 않는다.

### 유리수 제곱
지수가 유리수인 거듭제곱을 거듭제곱근을 사용하여 정의할 수 있다. 우선, 실수 a 및 양의 정수 n에 대하여 \sqrt[n]a를 정의하자. 이를 위해 방정식 x^n=a의 근을 생각하자. 자명하게, a가 0일 경우 복소수 범위에서의 근이 x=0뿐이며, 그 중복도는 n이다. a가 0이 아닌 실수일 경우 서로 다른 복소근이 n개 존재한다. n이 홀수일 경우나, n이 짝수이며 a가 음이 아닌 실수일 경우, 서로 반수인 실근이 한 쌍 존재하며, 여기서 양의 실수인 근을 \sqrt[n]a라 정의한다. n이 짝수이며 a가 음의 실수일 경우, 실근이 존재하지 않으므로, \sqrt[n]a를 정의하지 않는다.

이제 지수가 유리수인 거듭제곱을 정의하자. 유리수는 분모가 양의 정수인 기약 분수의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있으므로, 우선 유리수 지수를
:\frac mn\qquad(m,n\in\mathbb Z;\;n>0;\;\gcd\{m,n\}=1)
라 하자. 그렇다면 이 거듭제곱은 다음과 같이 정의된다.
:a^\frac mn=\sqrt[n]{a^m}
즉, 양의 유리수 제곱은 기약 분수 꼴의 분자를 지수로 하여 거듭제곱을 취한 뒤, 분모만큼 거듭제곱근을 취한 결과이다. 분모 n이 홀수일 경우 이 거듭제곱은 임의의 실수 밑 a에 대하여 정의된다. 짝수일 경우, 이 거듭제곱은 임의의 음이 아닌 실수 밑 a에 대하여 정의되며, 음의 실수 밑의 경우 정의되지 않는다. 물론 모든 정수는 유리수이므로 정수 제곱의 앞선 두 정의가 일치하는지 검증하여야 하며, 이는 쉽게 검증된다.

다만, 이는 실숫값 이항 연산으로서의 정의이다. 즉, a^\frac mn은 단지 방정식 x^n=a^m의 여러 개의 복소근 가운데 양의 실수인 하나이다. 만약 방정식 x^n=a^m의 모든 복소근을 찾는 다가 함수로서 정의한다면, 이 거듭제곱은 모든 실수를 비롯한 모든 복소수 밑 a에 대하여 정의되며, 중근을 포함하여 n개의 (실수 또는 복소수 값의) '함숫값'을 갖는다.

### 실수 제곱
거듭제곱의 지수를 무리수의 범위까지 확장하는 방법은 다음과 같은 두 가지가 있다. 어느 정의를 사용하든 지수가 유리수일 경우에 유리수 제곱으로서의 정의와 실수 제곱으로서의 정의가 일치하는지 살펴야 하며, 이는 쉽게 검증된다.

#### 유리수 제곱 근사를 통한 정의
양의 실수 a와 x에 대하여, a의 x제곱을 다음과 같이 유리수 제곱의 근사를 통해 정의할 수 있다.
:a^x=\lim_{\mathbb Q\ni q\to x}a^q
즉, 양의 실수의 실수 제곱은 유리수 지수가 실수 지수에 다다를 때 거듭제곱이 갖는 극한이다. 이는 다음 정의와 동치이다.
:a^x=\sup_{q\in\mathbb Q\colon q
즉, 이는 실수 지수보다 작은 유리수를 지수로 하여 만든 거듭제곱들의 집합의 상한이다.

#### 로그를 통한 정의
양의 실수의 실수 제곱을 지수 함수와 로그 함수를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 실수 지수 함수
:\mathbb R\to(0,+\infty)
:x\mapsto e^x
는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 이는 서로 동치이다.
:(수열의 극한) e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n
:(거듭제곱 급수) e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
또한 실수 로그 함수는 지수 함수의 역함수이다.
:\ln=\exp^{-1}
이제 양의 실수의 실수 제곱을 정의하자. 양의 실수 a와 실수 x에 대하여, a의 x제곱은 다음과 같다.
:a^x=e^{x\ln a}

### 복소수 제곱
거듭제곱 연산은 복소수에 대하여 확장할 수 있다. 확장한 뒤의 연산은 실수의 경우와 달리 연산 결과가 여러 값이며, 밑이 음의 실수인 경우에도 정의 가능하다. 실수와 마찬가지로, 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱은 지수와 로그를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 복소수 지수 함수
:\mathbb C\to\mathbb C\setminus\{0\}
:z\mapsto e^z
는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 이는 서로 동치이다.
:(수열의 극한) e^z=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac zn\right)^n
:(거듭제곱 급수) e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}
실수의 경우 이는 실수 지수 함수와 일치한다. 오일러의 공식
:e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\qquad(\theta\in\mathbb R)
과 지수 함수 법칙에 따라 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:e^z=e^{\operatorname{Re}z}(\cos\operatorname{Im}z+i\sin\operatorname{Im}z)\qquad(z\in\mathbb C)
또한 복소수 로그 함수는 복소수 지수 함수의 '역함수'이다.
:\operatorname{Ln}=\exp^{-1}
그러나 이는 복소수 지수 함수가 가역 함수가 아니므로 다가 함수이다. 이를 복소수에 복소수 집합을 대응시키는 함수라 여기자. 그러면 이는 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:\operatorname{Ln}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z\qquad(z\in\mathbb C\setminus\{0\})
이제 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱을 정의하자. 0이 아닌 복소수 z와 복소수 w에 대하여, z의 w제곱은 다음과 같다.
:z^w=e^{w\operatorname{Ln}z}
복소수 로그 함수가 다가 함수이므로, 이 거듭제곱 역시 다가 함수이다. (자세히...)

## 성질
### 연산 법칙
자연수 n에 대해, 거듭제곱 a^n(a는 실수)은 다음과 같이 정의된다.
:  \atop n}
이것은 곱셈 연산이 덧셈을 반복하는 것과 유사하다. 또한 정의에 따라, 다음의 식이 성립한다.
* a^1 = a
* {a^b}{a^c} = a^{b+c}
* (a^n)^m = a^{nm}
* (a^b)^c = (a^c)^b
* {a^c}{b^c} = (ab)^c
* a^m \div a^n = a^{m-n}
: {{a^5} } ={a \times a\times a\times a\times a }=({a \times a\times a })\times({a \times a})=a^3 \times a^2 =a^{3+2}=a^5=({a \times a}) \times ({a \times a\times a })=a^{2+3}=a^5
:  = =  }={1 \over 1}=1
:  = a^{5-5}=a^0 =1 
* (-a)^1 = -a
* (-a)^2 = -a \cdot -a = +a^2
* (-a)^3 = -a \cdot -a \cdot -a= -a^3
* (-a)^0 ={ -a \over -a} = +1

다음과 같은 귀납적 정의도 가능하다.
* a^1 = a

* a^{n+1} = a \times a^n,\ n=1, 2, 3, \cdots

### 다가성

## 응용

### 기수법
거듭제곱의 성질은 기수법과 진수의 체계를 이룬다.
:\;\;a^n = x 일때,
:a^n의 밑은 a이고, 지수는 n, 진수는 x이다.

## 같이 보기
* 커누스 윗화살표 표기법
* 지수함수
* 로그
* 진수

## 외부 링크
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분류:이항연산
분류:단항 연산