대수적으로 닫힌 체

추상대수학에서 **대수적으로 닫힌 체**(代數的으로 닫힌 體, )는 모든 다항식을 1차 다항식으로 인수 분해할 수 있는 체이다.

## 정의
체 K에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 **대수적으로 닫힌 체**라고 한다.
* 다항식환 K[t]의 임의의 원소 p(t)\in K[t]에 대하여, p(t_0)=0인 t_0\in K가 항상 적어도 하나가 존재한다.
* K[x]의 기약 다항식이 모두 일차식이다.
* K의 대수적 확대가 K 자신밖에 존재하지 않는다.
* 임의의 K^n에 대해, K^n \to K^n인 선형 변환은 항상 어떠한 고윳값을 가진다. (이것은 해당 선형 변환의 특성 다항식이 어떠한 근을 가진다는 것과 동치이기 때문에 성립한다.)

체 K의 **대수적 폐포**(代數的閉包, ) \bar K는 K를 포함하는, 대수적으로 닫힌 대수적 확대 \bar K/K이다. 대수적 폐포는 항상 존재한다. 주어진 체 K의 대수적 폐포들은 모두 서로 동형이지만, 이러한 동형은 표준적()이지 않다. 엄밀하게 말하면, 대수적 폐포는 체의 범주에서 체의 범주로 가는 함자를 이루지 않는다.

대수적 폐포의 존재는 초른 보조정리를 사용하여 보일 수 있다. 임의의 체 K가 주어졌다고 하자. 집합론적 문제를 피하기 위해,
:|X|>\max\{|K|,\aleph_0\}
인 집합 X를 잡고, \operatorname{AlgExt}(X;K)가 다음 조건들을 만족시키는 대수적 확대 L/K들의 집합이라고 하자.
* K\subseteq L\subseteq X
* 체의 매장 K\hookrightarrow L은 포함 함수로 주어진다.
이제, L/K,L'/K\in\operatorname{AlgExt}(X;K)에 대하여, 만약 포함 함수 L\to L'이 체의 매장이라면, L\le L'이라고 정의하자. 그렇다면 \operatorname{AlgExt}(X;K)는 이 이항 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 임의의 사슬 (L_i)_{i\in I}에 대하여,
:L=\bigcup_{i\in I}L_i
는 체를 이루며, K의 대수적 확대이며, 사슬 (L_i)_{i\in I}의 상계를 이룬다. 초른 보조정리에 따라, 극대 원소 \bar K/K가 존재한다. \bar K는 그 정의에 따라 K의 대수적 확대를 이룬다. L/\bar K가 대수적 확대이며, 편의상 체의 매장 \bar K\hookrightarrow L이 포함 함수로 주어진다고 가정하자. 그렇다면,
:|L|\le\max\{|K|,\aleph_0\}
이다. (왜냐하면, 임의의 대수적 원소에 최소 다항식을 대응시킬 수 있고, 같은 다항식에 대응하는 원소의 수는 다항식의 차수를 넘지 않기 때문이다.) 따라서,
:\begin{align}
|L\setminus\bar K|
 & \le|L| \\
 & \le\max\{|K|,\aleph_0\} \\
 & 
이다. (마지막 등식은 |\bar K| 때문이다.) 이에 따라, 체의 확대의 동형
:L/\bar K\xrightarrow{\cong}\tilde L/\bar K
이 존재하는 \tilde L/K\in\operatorname{AlgExt}(X;K)가 존재한다. 그렇다면, \tilde L/\bar K는 대수적 확대이며, 체의 매장 \bar K\hookrightarrow L은 (포함 함수 \bar K\hookrightarrow L과 \bar K의 확대의 동형 L/\bar K\xrightarrow{\cong}\tilde L/\bar K의 합성이므로) 포함 함수이다. 즉, \bar K\le\tilde L이다. \bar K는 극대 원소이므로, \tilde L=\bar K이며, 따라서 L=\bar K이다. 즉, \bar K는 대수적으로 닫힌 체이며, K의 대수적 폐포를 이룬다.

만약 L/K가 대수적 확대이며, K[x] 속 모든 다항식이 L 속에서 근을 갖는다면, L은 K의 대수적 폐포이다. 실제로, 만약 M/L이 대수적 확대라면, M/K 역시 대수적 확대이다. 따라서, M의 임의의 원소는 K[x] 속 어떤 다항식의 근이며, 가정에 따라 L에 속한다.

대수적 폐포는 다항식의 근을 주어진 체에 거듭 추가하여 구성할 수 있다. 임의의 체 K 및 기약 다항식 p\in K[x]에 대하여, 몫환
:K[x]/(p(x))
는 체이며, 환 준동형
:K\to K[x]/(p(x))
:a\mapsto a\bmod(p(x))
은 체의 확대를 이룬다. 또한, x\in K[x]의 상은 p의 상의 근이며, 체를 생성한다.

이제, 무한 개의 K-대수의 텐서곱
:\bigotimes_{p\in\operatorname{irr}(K[x])}K[x]/(p(x))=\varinjlim_}\bigotimes_{p\in S}K[x]/(p(x))
을 생각하자. 이는 유한 개의 K-대수의 텐서곱들의 귀납적 극한으로 주어지며, 여기에 사용된 K-대수 준동형들은 다음과 같다.
:\bigotimes_{p\in S}K[x]/(p(x))\to\bigotimes_{p\in T}K[x]/(p(x))
:\bigotimes_{p\in S}a_p\mapsto\bigotimes_{p\in S}a_p\otimes\bigotimes_{p\in T\setminus S}1
자연스러운 K-대수 준동형
:K[x]/(p(x))\to\bigotimes_{q\in\operatorname{irr}(K[x])}K[x]/(q(x))
:a_p\mapsto a_p\otimes\bigotimes_{q\ne p}1
들이 존재하며, 그 상들은 무한 텐서곱을 생성한다. B_p=\{1,\alpha_p,\dots,\alpha_p^{\deg p-1}\}가 K-대수 K[x]/(p(x))의 기저라고 하자. 그렇다면, 무한 텐서곱은 다음과 같은 기저를 갖는다.
:B=\left\{\bigotimes_{p\in\operatorname{irr}(K[x])}\alpha_p^{i_p}\colon 0\le i_p\le\deg p-1,\;|\{p\colon i_p\ne0\}|
특히, K[x]/(p(x))\ne0이므로, 무한 텐서곱은 0이 아니다. 선택 공리에 따라, 무한 텐서곱의 극대 아이디얼 \mathfrak m이 존재한다. 이 경우,
:\bar K=\left(\bigotimes_{p\in\operatorname{irr}(K[x])}K[x]/(p(x))\right)/\mathfrak m
는 체를 이루며, 자연스러운 체의 확대 K[x]/(p(x))\hookrightarrow\bar K들이 존재하며, 그 상들은 체 \bar K를 생성한다. 두 체의 확대의 합성
:K\hookrightarrow K[x]/(p(x))\hookrightarrow\bar K
로 주어지는 체의 확대는 p의 선택과 무관하게 같다. 두 체의 확대가 대수적 확대이므로, \bar K/K도 대수적 확대이다. 임의의 기약 다항식 p\in K[x]는 K[x]/(p(x))에서 근을 가지므로, \bar K에서 근을 갖는다. 즉, \bar K는 대수적으로 닫힌 체이며, K의 대수적 폐포이다.

같은 체의 두 대수적 폐포
:\bar K/K
:\bar K'/K
가 주어졌다고 하자. \operatorname{PartIsom}(\bar K/K,\bar K'/K)가 다음과 같은 데이터로 이루어진 순서쌍 (L,\iota)들의 집합이라고 하자.
* L/K는 \bar K/K의 부분 확대이다.
* \iota\colon L/K\to\bar K'/K는 체의 확대의 매장(즉, K-대수 준동형)이다.
이제, (L,\iota),(L',\iota')\in\operatorname{PartIsom}(\bar K/K,\bar K'/K)에 대하여, 만약
:\iota_{LL'}\circ\iota=\iota'
인 체의 확대의 매장 \iota_{LL'}\colon L/K\hookrightarrow L'/K가 존재한다면, (L,\iota)\le(L',\iota')이라고 정의하자. 그렇다면, \operatorname{PartIsom}(\bar K/K,\bar K'/K)는 부분 순서 집합을 이룬다. 임의의 사슬 ((L_i,\iota_i))_{i\in I}에 대하여, 이러한 체의 확대의 매장
:\iota_{ij}\colon L_i/K\hookrightarrow L_j/K
들을 고르면, 귀납적 극한
:L=\varinjlim_{i\in I}L_i
:\phi_i\colon L_i/K\hookrightarrow L/K\qquad(i\in I)
을 정의할 수 있다. (체의 확대의 매장을 포함 함수로 여기는 경우, 이는 단순히 사슬에 속하는 체들의 합집합이다.) 체의 확대의 매장 \iota_i\colon L_i/K\hookrightarrow\bar K'/K들은 \iota\circ\phi_i=\iota_i인 L의 매장 \iota\colon L/K\to\bar K'/K을 유도한다. \le의 정의에 따라 (L_i,\iota_i)\le(L,\iota)이다. 즉, (L,\iota)는 사슬의 상계이다. 초른 보조정리에 따라, 극대 원소 (L,\iota)가 존재한다. 이제, 다음 두 가지를 보이면 충분하다.
* L=\bar K
** 만약 \alpha\in\bar K\setminus L이라면, \alpha의 최소 다항식 p_a\in K[x]는 \bar K'에서도 근 \alpha'\in\bar K'을 갖는다. 따라서, \iota\colon L/K\hookrightarrow\bar K'/K를 확장하는, \alpha\mapsto\alpha'인 유일한 매장 L(\alpha)/K\hookrightarrow\bar K'/K가 존재한다. 그런데 (L,\iota)가 극대 원소이므로, 이는 불가능하다.
* \iota(\bar K)=\bar K'
** \bar K가 대수적으로 닫힌 체이므로, \iota(\bar K)도 대수적으로 닫힌 체이다. \bar K'/K가 대수적 확대이므로, \bar K'/\iota(\bar K)도 대수적 확대이다. 따라서, \iota(\bar K)=\bar K'이다.

## 분류
두 대수적으로 닫힌 체 K와 K'에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* K와 K'은 체로서 서로 동형이다.
* K와 K'은 같은 표수를 가지며, 또한 같은 절대 초월 차수(대수 독립 집합의 최대 크기)를 갖는다.
따라서, 대수적으로 닫힌 체들은 표수 p와 초월 차수 \kappa로 완전히 분류된다. 즉, 모든 대수적으로 닫힌 체들은
:\overline{\mathbb F_p(\{x_i\}_{i\in I})}
또는
:\overline{\mathbb Q(\{x_i\}_{i\in I})}
의 꼴로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 복소수체는 초월 차수가 2^{\aleph_0}인 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이므로,
:\mathbb C\cong\overline{\mathbb Q(\{x_i\}_{i\in 2^{\aleph_0}})}
이다.

## 성질
절대 초월 차수가 기수 \kappa인 대수적으로 닫힌 체 K의 집합의 크기는 다음과 같다.
:|K|=\max\{\kappa,\aleph_0\}
즉, 모든 대수적으로 닫힌 체는 무한 집합이다. 이는 \kappa>\aleph_0이면 절대 초월 차수와 같으므로, 비가산 대수적으로 닫힌 체들은 집합의 크기와 체의 표수에 따라 분류된다. (물론, 이는 가산 대수적으로 닫힌 체에 대해서는 성립하지 않는다.)

## 예
### 표수 0
* 복소수체는 대수적으로 닫혀 있다. 즉, 복소수 계수로 이루어진 임의의 다항방정식에는 복소수 해가 존재한다. 이것은 대수학의 기본 정리로 알려져 있다.
* 실수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 예를 들어, 변수 x에 대한 다항방정식 x^2+1 = 0은 실수근을 갖지 않는다. 실수체의 대수적 폐포는 복소수체다. (대수학의 기본 정리)
* 유리수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 그 대수적 폐포는 대수적 수의 체이다.

### 양의 표수
모든 유한체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 체의 원소가 a_1, a_2, \cdots, a_n인 경우, 다항식 (x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1은 해를 갖지 않는다. 소수 p의 크기를 가진 유한체 \mathbb F_p의 대수적 폐포 \bar{\mathbb F}_p는 귀납적 극한
:\bar{\mathbb F}_p=\varinjlim \mathbb F_{p^n}
이다. 즉, 만약 체의 확대
:\mathbb F_{p^n}\hookrightarrow\mathbb F_{p^{kn}}
을 집합론적 부분집합으로 간주하여
:\mathbb F_{p^n}\subset\mathbb F_{p^{kn}}
로 쓴다면,
:\bar{\mathbb F}_p=\bigcup_{n=1}^\infty\mathbb F_{p^n}
이다.

## 참고 문헌
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## 외부 링크
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## 같이 보기
* 분해 가능 폐포

분류:체론