기하 불변량 이론 몫

대수기하학에서 **기하 불변량 이론 몫**(幾何不變量理論몫, )은 대수군이 작용하는 대수다양체가 주어졌을 때, 이에 대한 몫을 정의하는 방법이다. 이 경우, 일부 ‘매우 나쁜’ 점들(준안정점이 아닌 점)을 버리게 되며, 또한 일부 ‘조금 나쁜’ 점(안정점이 아닌 준안정점)의 경우 해당 상의 원상이 궤도 전체가 아닐 수 있다.

## 정의
### 아핀 스킴의 경우
다음이 주어졌다고 하자.
* 체 k
* k 위의 아핀 스킴 X/\operatorname{Spec}k = \operatorname{Spec}A
* k 위의 대수군 G/\operatorname{Spec} k
* 작용 G \times_k X \to X
그렇다면, A 위에는 군의 작용
:G \times A \to A
:(g.a)(x) = a(g^{-1}.x)
이 주어진다. 그렇다면, 불변량의 대수
:A^G = \{a\in A \colon\forall g\in G\colon g.a = a\}
를 정의할 수 있다. 이 역시 k 위의 가환 결합 대수이다.

그렇다면, S의 **기하 불변량 이론 몫**은 다음과 같다.
:A /\!/ G = \operatorname{Spec}(A^G)

만약 A가 k 위의 유한 생성 가환 결합 대수이며, G가 가약군이라면, A^G 역시 k 위의 유한 생성 가환 결합 대수이다 (**나가타 정리** ).

### 일반 스킴의 경우
다음이 주어졌다고 하자.
* 체 k
* k 위의 유한형 스킴 X / \operatorname{Spec}k
* 대수적 선다발 L \twoheadrightarrow X
* k 위의 대수군 G / \operatorname{Spec}k
* 작용 G \times_k X \to X
그렇다면, 이 데이터의 **선형화**는 L 위의 G의 다음과 같은 조건을 만족시키는 작용이다.
* 임의의 l\in L에 대하여, \pi(g. l) = g.\pi(y). 즉, 이는 각 올 L_x에 대하여 사상 L_x \to L_x를 정의한다.
* 또한, 임의의 x\in X에 대하여, G\times_k L_x\to L_x는 k-선형 변환이다.

이 경우, 대수적 선다발 L에 대하여 X의 기하점(대수적으로 닫힌 체 계수의 유리점)
:\operatorname{Spec}\bar K \to X
에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, x를 **준안정점**이라고 한다.
* 어떤 양의 정수 n 및 G-불변 단면 s\in \Gamma(X,\mathcal L^{\otimes n})에 대하여, s(x)\ne 0이며 \{y\in X\colon s(y) \ne 0\}이 아핀 열린 부분 스킴이다.
만약 위 정의에 추가로 \{y\in X\colon s(y)\ne 0\}에서 모든 기하점의 궤도가 자리스키 닫힌집합이라는 조건이 추가로 성립하면 x를 **[[안정점]]**이라고 한다.

준안정점들은 열린 부분 스킴
:X^{\operatorname{ss}} \subseteq X
을 구성한다. 정의에 따라서, 충분히 큰 N\in\mathbb N 및 G-불변 단면
:s_1,\dotsc,s_n \in \Gamma(\mathcal L^{\otimes N})
에 대하여
:\{x\in X\colon s_i(x)\ne0\} \cong \operatorname{Spec}R_i
:\bigcup_{i=1}^n\operatorname{Spec}R_i = X^{\operatorname{ss}}
가 된다. 따라서 각 아핀 열린 스킴에 대하여 기하 불변량 이론 몫
:V_i = \operatorname{Spec}R_i^G
를 정의할 수 있으며, 이들을 짜깁기하여 k 위의 유한형 스킴
:X /\!/ G
를 정의할 수 있다. 이를 X의 **기하 불변량 이론 몫**이라고 한다. 이 개념은 사용한 선형화에 의존한다.

## 성질
체 k 위의 유한형 스킴 X 및 그 위에 작용하는 대수군 G 및 선다발 L 및 선형화가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 안정점으로 구성된 열린 부분 스킴 X^{\operatorname{s}} 및 준안정점으로 구성된 열린 부분 스킴 X^{\operatorname{ss}}이 존재한다. 이 경우 X^{\operatorname{s}}의 경우 몫공간인 스킴 X^{\operatorname{s}}/G를 정의할 수 있다. 이 경우 다음과 같은 사상들이 존재한다.
:\begin{matrix}
X^{\operatorname{s}} & \hookrightarrow & X^{\operatorname{ss}} & \hookrightarrow & X \\
\downarrow && \downarrow \\
X^{\operatorname{s}} / G & \hookrightarrow & X /\!/ G
\end{matrix}

## 예
### 오비폴드
아핀 스킴 \mathbb A^2_K = K[x,y] 위의, 이산군 \operatorname{Cyc}(2)(2차 순환군)의 작용
:(x,y)\mapsto (-x,-y)
을 생각하자. 또한, \operatorname{char}K \ne 2라고 하자. 그렇다면,
:\frac{[K[a,b,c]}{(ac-b^2)} \cong K[x,y]^G
:(a,b,c) \mapsto (x^2,xy,y^2)
가 된다. 따라서
:\mathbb A^2_K /\!/ \operatorname{Cyc}(2) = \operatorname{Spec}\frac{[K[a,b,c]}{(ac-b^2)}
는 3차원 아핀 공간 속의 이차 초곡면이다.

### 사영 공간
체 k가 주어졌다고 하자.  곱셈군 K^\times이 사영 공간 X = \mathbb P^n_k 위에 다음과 같이 작용한다고 하자.
:\lambda . [x_0:x_1:\dotsb:x_n] = [\lambda^{-n}x_0:\lambda x_1:\dotsb:\lambda x_n]
그렇다면, 닫힌 점 x=[x_0:\dotsb:x_n]는 힐베르트-멈퍼드 수치 조건에 의하여 다음과 같이 분류된다.
* 만약 x_0 \ne 0이며 (x_1,\dotsc,x_n) \ne (0,\dotsc,0)이라면, x는 안정점이다.
* 만약 x = [1:0:\dotsb:0]이라면, x는 안정점도, 준안정점도 아니다.
* 만약 x_0 = 0이라면, x는 안정점도, 준안정점도 아니다.
(이 경우 모든 준안정점은 안정점이다.)

즉, 이 경우 준안정점의 부분 공간은
:X^{\operatorname{ss}} \cong \mathbb A^n_K \setminus \{0\}
이며, 그 위의 k^\times의 작용은
:\lambda . (x_1,\dotsc,x_n) = (\lambda x_1,\dotsc,\lambda x_n)
이다. 따라서 그 기하 불변량 이론 몫은
:X /\!/ k^\times = \mathbb P^{n-1}_k
이다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:대수기하학