몰리 삼등분 정리

섬네일|6개의 선분이 큰 삼각형의 세 각을 삼등분한다면 가운데에 위치한 삼각형의 세 변의 길이는 같다.
기하학에서 **몰리 삼등분 정리**(三等分定理, )는 삼각형의 한 가지 경이로운 성질에 대한 정리이다. 이에 따르면, 임의의 삼각형의 각의 삼등분선의 이웃하는 것들끼리의 교점은 정삼각형의 꼭짓점을 이룬다.
 
## 정의
삼각형 \triangle ABC의 각 \angle B와 \angle C의 변 BC와 더 가까운 삼등분선의 교점이 X라고 하자. 마찬가지로 각 \angle A와 \angle C의 변 AC와 더 가까운 삼등분선의 교점이 Y라고 하고, 각 \angle A와 \angle B의 변 AB와 가까운 삼등분선의 교점이 Z라고 하자. **몰리 삼등분 정리**에 따르면, 삼각형 \triangle XYZ는 정삼각형이다. 삼각형 \triangle XYZ를 삼각형 \triangle ABC의 **몰리 삼각형**(三角形, )이라고 한다. 즉, 몰리 삼등분 정리는 임의의 삼각형의 몰리 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.
 
## 증명
### 초등적 증명
정삼각형 \triangle XYZ를 고정하자. 임의의 삼각형 \triangle A'B'C'에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 삼각형 \triangle ABC를 찾는 것으로 족하다.
* 삼각형 \triangle ABC와 \triangle A'B'C'은 서로 닮음이다.
* 삼각형 \triangle ABC의 몰리 삼각형은 삼각형 \triangle XYZ이다.
우선
:\angle A'=3\alpha,\;\angle B'=3\beta,\;\angle C'=3\gamma
이라고 하자. 그렇다면
:\alpha+\beta+\gamma=60^\circ
이다. 삼각형 \triangle XYZ 외부의 세 점 A,B,C를 다음과 같이 정의하자.
:\angle BZX=\angle CYX=60^\circ+\alpha
:\angle CXY=\angle AZY=60^\circ+\beta
:\angle AYZ=\angle BXZ=60^\circ+\gamma
그렇다면
:\angle YAZ=\alpha,\;\angle XBZ=\beta,\;\angle XCY=\gamma
이다. 이제 AY와 AZ, BX와 BZ, CX와 CY가 삼각형 \triangle ABC의 세 각의 삼등분선이라는 사실을 증명하자. 직선 BZ와 CY의 교점이 U라고 하고, 직선 AZ와 CX의 교점이 V라고 하고, 직선 AY와 BX의 교점을 W라고 하자. 그렇다면
:\angle UYZ=\angle UZY=60^\circ-\alpha
이므로 UY=UZ이며, 삼각형 \triangle UYX와 \triangle UZX는 서로 합동이다. 특히, 반직선 UX는 각 \angle U의 이등분선이다. 또한,
:\angle BUC=180^\circ-\angle UYZ-\angle UZY=60^\circ+2\alpha
:\angle BXC=180^\circ-\angle CXW=120^\circ+\alpha
이므로,
:\angle BXC=90^\circ+\frac 12\angle BUC
이다. 즉, X는 삼각형 \triangle BCU의 내심이며, 반직선 BX와 CX는 각 \angle CBU와 \angle BCU의 이등분선이다. 마찬가지로, 반직선 AY와 CY는 삼각형 \triangle ACV의 두 각의 이등분선이며, 반직선 AZ와 BZ는 삼각형 \triangle ABW의 두 각의 이등분선이다. 즉, 이 6개의 반직선은 모두 삼각형 \triangle ABC의 세 각의 삼등분선이며, 삼각형 \triangle XYZ는 삼각형 \triangle ABC의 몰리 삼각형이다. 또한,
:\angle BAC=3\alpha=\angle A'
:\angle ABC=3\beta=\angle B'
:\angle ACB=3\gamma=\angle C'
이므로, 삼각형 \triangle ABC와 \triangle A'B'C'은 서로 닮음이다. 닮음은 직선을 보존하고 두 직선 사이의 각의 크기를 보존하며, 특히 각의 삼등분선을 각의 삼등분선으로, 정삼각형을 정삼각형으로 변환한다. 이에 의하여 원래 삼각형 \triangle A'B'C'의 몰리 삼각형 역시 정삼각형이다.

### 삼각법을 통한 증명
몰리 삼각형의 세 변의 길이를 직접 구하여 증명할 수 있다. 삼각형 \triangle ABC의 외접원의 반지름이 R라고 하고,
:\angle BAC=3\alpha,\;\angle ABC=3\beta,\;\angle ACB=3\gamma
라고 하자. 그렇다면
:\alpha+\beta+\gamma=60^\circ
이다. 삼각형 \triangle BCX에 사인 법칙을 적용하면
:\begin{align}CX
&=\frac{BC\cdot\sin\beta}{\sin(180^\circ-\beta-\gamma)}\\
&=\frac{2R\sin 3\alpha\sin\beta}{\sin(60^\circ-\alpha)}\\
&=8R\sin\alpha\sin\beta\sin(60^\circ+\alpha)
\end{align}
를 얻는다. 마지막 등호는 항등식
:\begin{align}\sin 3\alpha
&=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\\
&=4\sin\alpha\left(\left(\frac{\sqrt 3}2\right)^2-\sin^2\alpha\right)\\
&=4\sin\alpha(\sin 60^\circ+\sin\alpha)(\sin 60^\circ-\sin\alpha)\\
&=4\sin\alpha
\cdot 2\sin\frac{60^\circ+\alpha}2\cos\frac{60^\circ-\alpha}2
\cdot 2\sin\frac{60^\circ-\alpha}2\cos\frac{60^\circ+\alpha}2\\
&=4\sin\alpha\sin(60^\circ+\alpha)\sin(60^\circ-\alpha)
\end{align}
때문이다. 마찬가지로,
:CY=8R\sin\alpha\sin\beta\sin(60^\circ+\beta)
가 성립한다. 삼각형 \triangle CXY에 코사인 법칙을 적용하면
:\begin{align}XY^2
&=CX^2+CY^2-2CX\cdot CY\cdot\cos\gamma\\
&=64R^2\sin^2\alpha\sin^2\beta(
\sin^2(60^\circ+\alpha)+\sin^2(60^\circ+\beta)-2\sin(60^\circ+\alpha)\sin(60^\circ+\beta)\cos\gamma)\\
&=64R^2\sin^2\alpha\sin^2\beta\sin^2\gamma
\end{align}
를 얻는다. 마지막 등호는 세 각의 크기가 60^\circ+\alpha와 60^\circ+\beta 및 \gamma인 삼각형에 코사인 법칙을 적용한 결과이다. 즉,
:XY=8R\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma
이다. 이는 \alpha,\beta,\gamma에 대하여 대칭적이므로,
:XY=XZ=YZ
가 성립한다.
 
## 역사
미국의 수학자 프랭크 몰리가 1900년에 제시하였다.
 
## 같이 보기
* 나폴레옹 정리
 
## 각주

 
## 외부 링크
* 

분류:삼각형에 대한 정리