아티야-싱어 지표 정리

미분기하학에서 **아티야-싱어 지표 정리**(-指標定理, )는 타원 복합체의 지표를 위상학적인 데이터로 계산할 수 있다는 정리다. 히르체브루흐-리만-로흐 정리와 가우스-보네 정리 등을 일반화한다.

## 정의
M이 m차원 콤팩트 매끄러운 다양체이고, E^i가 M 위의 매끄러운 벡터 다발들이라고 하자. M 위의 타원 복합체
:\cdots\stackrel{D_{i-2}}{\longrightarrow}\Gamma(E_{i-1}) \stackrel{D_{i-1}}{\longrightarrow} \Gamma(E_i) \stackrel{D_i}{\longrightarrow}\Gamma(E_{i+1})\stackrel{D_{i+1}}{\longrightarrow} \cdots
의 **해석적 지표**()는 다음과 같다.
:\operatorname{ind}(D_{\bullet})=\sum_i(-1)^i\dim(\ker D_i/\operatorname{im}D_{i-1})
이는 순수하게 해석적인 데이터로 정의된 값이다. 여기서 \operatorname{ind}는 프레드홀름 지표이다.

타원 복합체의 **위상 지표**()는 다음과 같다.
:\operatorname{ind}(D_{\bullet})=(-)^{m(m+1)/2}\int_M
\operatorname{ch}\left(\bigoplus_i(-1)^iE_i\right)
\frac{\operatorname{Td}(\mathrm TM\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)}{\mathrm e(\mathrm TM)}
여기서
* \operatorname{ch}는 매끄러운 벡터 다발의 천 지표이다.
* \operatorname{Td}(\mathrm TM\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)는 M의 접다발 \mathrm TM의 복소화의 토드 특성류이다.
* \operatorname e(\mathrm TM)은 접다발 \mathrm TM의 오일러 특성류이다.
이 지표는 순수하게 위상수학적인 데이터로 정의된 값이다.

**아티야-싱어 지표 정리**에 따르면, 타원 복합체의 해석적 지표와 위상 지표는 같다.

여기서, m=\dim M이 홀수인 경우 (미분 연산자에 대하여) 양변 모두 0이다. (다만, 유사 미분 연산자에 대한 경우 홀수 차원에서도 자명하지 않은 결과를 도출할 수 있다.)

특히, 하나의 프레드홀름 미분 연산자
:D \colon \Gamma(E) \to \Gamma(F)
에 대하여, 이를 타원 복합체
:0 \to \Gamma(E) \,\overset D\to\,\Gamma(F)\to0
로 간주하면, 다음을 얻는다.
:\dim\ker D - \dim\ker D^\dagger = (-)^{m(m+1)/2}\int_M (\operatorname{ch}E - \operatorname{ch}F) \frac{\operatorname{Td}(\mathrm TM^{\mathbb C})}{\operatorname e(\mathrm TM)}

## 예
수많은 유명한 정리들을 아티야-싱어 지표 정리의 특수한 경우로 얻을 수 있다.

### 오일러 지표
M이 콤팩트 유향 다양체라고 하고, 지표 정리를 (복소화한) 드람 복합체
:0\to\Omega^0(M)\otimes\mathbb C\xrightarrow d\Omega^1(M)\otimes\mathbb C\xrightarrow d\Omega^2(M)\otimes\mathbb C\xrightarrow d\dotsb
에 적용시키자. 드람 복합체의 해석적 지표는 다양체의 오일러 지표 \chi(M)이다. 그 위상 지표는 오일러 특성류 e(M)의 적분이다. 즉, 이에 따라 천-가우스-보네 정리()
:\chi(M)=\int_Me(M)
를 얻는다.


**계산:**

미분 형식 벡터 다발의 천 지표는 분할 원리를 사용하여 계산하면 다음과 같다.
:\operatorname{ch}\bigwedge^k (\mathrm T^*M \otimes\mathbb C)
= \sum_{1\le i_1
여기서 x_i는 \mathrm T^*M \otimes \mathbb C를 분할 원리로 m개의 복소수 선다발들의 직합이라고 가정할 때 i번째 복소수 선다발의 1차 천 특성류이다. 이는 실수 벡터 다발의 복소화이므로
:x_{i+m/2} = -x_i
로 놓을 수 있다.

즉
:\sum_{k=0}^m(-)^k\operatorname{ch}\bigwedge^k (\mathrm T^*M \otimes\mathbb C)
= \prod_{i=1}^k (1-\exp(-x_i))

이다. 토드 특성류와 오일러 특성류는 각각
:\operatorname{Td} = \prod_{i=1}^m \frac{x_i}{1-\exp(-x_i)}
:\operatorname e = \prod_{i=1}^{m/2} x_i
이므로, 지표 밀도는
:(-)^{m(m+1)/2}\left(\sum_{k=0}^m(-)^k\operatorname{ch}\bigwedge^k (\mathrm T^*M \otimes\mathbb C)\right)
\frac{\operatorname{Td}}{\operatorname e}
=(-)^{m(m+1)/2}
\prod_{i=m/2+1}^m
x_i
=
(-)^{m(m+2)/2}
\prod_{i=1}^{m/2}
x_i
=\operatorname e(\mathrm TM)

이다.


### 히르체브루흐-리만-로흐 정리

아티야-싱어 지표 정리를 돌보 복합체에 적용시키면 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 얻게 된다.
M이 복소다양체라고 하고, 그 위에 해석적 벡터 다발 E가 주어졌다고 하자. 지표 정리를 돌보 복합체
:\Omega^{p,0}(E)\xrightarrow{\bar\partial}\Omega^{p,1}(E)\xrightarrow{\bar\partial}\dotsb
에 적용시키자. 돌보 복합체의 해석적 지표는 E의 코호몰로지의 오일러 지표
:\chi(M,E)=h^0(M,E)-h^1(M,E)+h^2(M,E)-\dotsb
이고, 그 위상 지표는
:\int_M\operatorname{ch}(E)\operatorname{Td}(TM)
이다. 따라서 이는 히르체브루흐-리만-로흐 정리가 된다.

**계산:**

복소수 차원이 n=m/2라고 하자.
분할 원리에 따라, 복소수 접다발이 복소수 선다발의 직합이라고 하자.
:\mathrm T^+M = L_1 \oplus \dotsb \oplus L_n
또한
:\operatorname c_1(L_i) = x_i
라고 하자. 그렇다면
:\operatorname{ch}\left(\bigwedge^p\mathrm T^{-*}M
\right)
= \sum_{1\le i_1
이며, 따라서
:
\sum_{p=0}^n
(-)^p
\operatorname{ch}
\left(
E \otimes
\bigwedge^p\mathrm T^{-*}M
\right)
= \operatorname{ch}(E) \prod_{i=1}^p(1-\exp x_i)
이다.

이제
:\operatorname{Td}(\mathrm TM \otimes \mathbb C)
= 
\operatorname{Td}(\mathrm T^+M)
\operatorname{Td}(\mathrm T^-M)
=
\prod_{i=1}^m \frac{x_i(-x_i)}{(1-\exp(-x_i))(1-\exp x_i)}
:\operatorname e(\mathrm TM) = x_1x_2\dotsm x_n
이므로, 지표 밀도는
:
(-)^{n(2n+1)}\operatorname{ch}(E)\operatorname{Td}(\mathrm T^+M)
\prod_{i=1}^n \frac{(-x_i)(1-\exp x_i)}{x_i (1-\exp x_i)}
= \operatorname{ch}(E) \operatorname{Td}(\mathrm T^+M)
이다.

E가 0차원 벡터 다발인 경우, 그 오일러 지표는 복소다양체의 산술 종수 \operatorname{ind}\bar\partial이다. 따라서, 복소다양체의 산술 종수는 복소 접다발의 토드 특성류의 적분에 의하여 주어진다.
:\operatorname{ind}\bar\partial=\int_M\operatorname{Td}(TM)

### 디랙 연산자
M이 짝수 차원의 스핀 다양체라고 하고, 그 위에 스피너 다발
:\mathrm S(M)=\mathrm S^+(M)\oplus\mathrm S^-(M)
을 생각하자. 그렇다면 **[[디랙 연산자]]**
:i\gamma^\mu\nabla_\mu=\begin{pmatrix}
0&D\\D^\dagger&0
\end{pmatrix}
는 다음과 같이 작용한다.
:S^+(M)\xrightarrow DS^-(M)
:S^+(M)\xleftarrow{D^\dagger}S^-(M)
이에 따라, 디랙 연산자 D의 지표는 아티야-싱어 지표 정리에 따라 다음과 같다.
:\operatorname{ind}(D)=\ker D-\ker D^\dagger=\int_M\hat A
여기서 \hat A는 **디랙 종수**() 또는 **Â 종수**()라고 불리는 특성류로,
:\hat A=\prod_{i=1}^{\dim M}\frac{x_i/2}{\sinh(x_i/2)}=1-\frac1{24}p_1+\frac1{5760}(-4p_2+7p_1^2)+\dotsb\in\operatorname H^{2\bullet}(M;\mathbb Q)
이다. 여기서 p_i는 폰트랴긴 특성류이고, x_i는 2차 미분 형식들의 행렬인 곡률 R의 고윳값들
:-R/2\pi=\begin{pmatrix}
0&x_1\\
-x_1&0\\
&&0&x_2\\
&&-x_2&0\\
&&&&0&x_3\\
&&&&-x_3&0\\
&&&&&&\ddots
\end{pmatrix}
이다. 일반적으로, 디랙 종수는 스핀 다양체가 아닌 다른 다양체의 경우 정수가 아닐 수 있다.

## 역사
마이클 아티야와 이자도어 싱어가 1963년에 발표하였다. 부분적으로 이 공로로 마이클 아티야는 1966년 필즈상을 수상하였다. 이 공로로 마이클 아티야와 이자도어 싱어는 2004년 아벨상을 수상하였다.

1983년에 루이스 알바레스가우메()가 아티야-싱어 지표 정리가 초대칭 양자역학과 깊은 관계가 있다는 사실을 밝혔고, 이를 이용하여 아티야-싱어 정리를 새롭게 증명하였다. 이 증명은 그 뒤 에즈라 게츨러()가 수학적으로 엄밀하게 제시하였다. 즉, 디랙 연산자의 경우, 그 해석적 지표는 단순히 위튼 지표에 불과하여, 초대칭 양자역학을 사용해 계산할 수 있다.

## 각주

## 외부 링크
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