근축

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기하학에서 **근축**(根軸, )은 평면에서 동심원이 아닌 두 원에 대한 방멱이 같은 점들의 자취이다. 근축은 두 원의 중심을 잇는 직선의 수선을 이룬다. 서로 다른 두 점에서 만나는 두 원의 근축은 두 교점을 지나는 공통 할선이고, 서로 접하는 두 원의 근축은 접점을 지나는 공통 접선이며, 서로 만나지 않는 두 원의 근축은 두 원의 외부에 있다. 근축의 두 원의 외부에 놓인 부분은 두 원에 대한 접선의 길이가 같은 점들의 자취이자, 두 원 모두에 직교하는 원의 중심들의 자취이다. 어떤 점이 근축의 두 원의 내부에 놓인 부분에 속하는 것은 이 점을 지나는 두 원의 현의 최소 길이가 같은 것과 동치이다. 서로 다른 두 동심원의 근축을 두 원이 놓인 평면 위의 무한원 직선으로 정의하기도 하며, 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.

중심이 공선점이 아닌 세 원에 의한 세 근축은 유일한 교점을 가지며, 이를 **근심**(根心, )이라고 한다. 중심이 서로 다른 공선점인 세 원에 의한 세 근축은 서로 평행하는데, 이 경우 세 근축이 지나는 유일한 무한원점을 근심으로 삼으면 편리하다. 임의의 두 원의 근축이 같은 원들의 집합을 **[[동축원 다발]]**이라고 한다. 동축원 다발 속 원의 중심들은 공선점을 이루며, 임의의 두 원의 교점은 같다. 즉, 동축원 다발 속에서 어떤 두 원이 두 점에서 만날 경우 모든 두 원은 같은 두 점에서 만나며, 어떤 두 원이 접할 경우 모든 두 원은 같은 점에서 접하며, 어떤 두 원이 만나지 않을 경우 모든 두 원은 만나지 않는다.

근축을 고차원으로 일반화하면 3차원 구의 **근평면**(根平面, )의 개념과 n차원 초구의 **근초평면**(根超平面, )의 개념을 얻는다.

## 정의
평면 위에서, 중심이 서로 다른 두 점 (a,b),(a',b')인 두 원 C,C'의 방정식이
:x^2+y^2-2ax-2by+c=0
:x^2+y^2-2a'x-2b'y+c'=0
라고 하자. 그렇다면, C,C'에 대한 점 (x,y)의 방멱은 각각 두 방정식의 좌변에 이 점을 대입한 결과와 같다. 따라서, C,C'에 대한 방멱이 같은 점의 자취 l의 방정식은
:2(a'-a)x+2(b'-b)y-(c'-c)=0
이다. 이는 중심 (a,b),(a',b')을 잇는 직선의 수선이다. 이 직선 l을 두 원 C,C'의 **근축**이라고 한다.

한 중심 (a',b')이 다른 중심 (a,b)에 무한히 가까워질 때, 근축 l은 C,C'이 놓인 평면 위의 무한원 직선에 수렴한다. 따라서 서로 다른 두 동심원의 근축은 무한원 직선으로 정의된다. 즉, 근축은 사영 직선으로서 모든 서로 다른 두 원에 대하여 정의된다. 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.

위 정의는 C,C' 가운데 적어도 하나가 점원이거나 허원인 경우에도 적용된다. 즉, 반지름의 제곱 a^2-c이 0이거나 음수이더라도 근축은 정의된다.

### 근심
평면 위에서, 중심이 공선점이 아닌 세 점 O,O',O*</math>인 세 원 <math>C,C',C*을 생각하자. 그렇다면, 총 세 쌍의 원의 근축 l_{C,C'},l_{C',C*},l_{C,C*}은 각각 삼각형을 이루는 중심선 OO',O'O*,OO*의 수선이므로, 서로 평행하지 않는다. 다시 말해 임의의 두 근축은 유일한 교점을 갖는다. 또한 근축 l_{C,C'},l_{C',C*}</math>의 교점 <math>P</math>는 <math>C,C',C*에 대하여 같은 방멱을 가지므로, 근축 l_{C,C*}</math> 위의 점이다. 따라서 세 근축 <math>l_{C,C'},l_{C',C*},l_{C,C*}</math>은 [[공점선]]을 이룬다. 이들의 공통점 <math>P</math>를 세 원 <math>C,C',C*의 **근심**이라고 한다.

세 원의 중심 O,O',O*</math>이 공선점이고, 세 쌍의 원의 근축 <math>l_{C,C'},l_{C',C*},l_{C,C*}</math> 가운데 적어도 한 쌍이 서로 다르다고 하자. 그렇다면, 이들은 모두 직선 <math>OO'O*의 수선이므로 서로 평행한다. 즉, 세 근축은 이들 직선의 방향에 대한 무한원점에서 만난다. 이 경우 이 무한원점을 세 원 C,C',C*</math>의 근심으로 삼을 수 있다. 특히, 세 원 가운데 둘이 동심원일 경우, 편의상 <math>C,C'</math>이 동심원이고 <math>C*은 이들과 동심원이 아니라고 하자. 그렇다면, l_{C,C'}은 무한원 직선이고 l_{C',C*},l_{C,C*}은 평행하므로, 세 근축은 l_{C',C*},l_{C,C*}의 방향에 대한 무한원점에서 만난다. 이 경우 마찬가지로 이 무한원점을 세 원 C,C',C*</math>의 근심으로 삼을 수 있다. 즉, 근심은 [[사영 평면]] 위의 점으로서 [[동축원]]이 아닌 모든 세 원에 대하여 정의된다.

위와 같은 정의는 <math>C,C',C* 가운데 적어도 하나가 점원이나 허원인 경우에도 적용된다.

## 성질
동심원이 아닌 두 원의 근축은 두 원의 중심선의 수선이다. 두 원 C,C'이 서로 다른 두 점 P,Q에서 만날 경우, C,C'의 근축은 공통 할선 PQ이다. 또한, 두 원 C,C'이 점 T에서 접할 경우, C,C'의 근축은 T를 지나는 공통 접선이다.

### 원의 중심과의 거리
중심이 O,O'이고 반지름이 r,r'인 동심원이 아닌 두 원 C,C'의 중심 O,O'과 근축 l 사이의 거리는
:d(O,l)=\frac
:d(O',l)=\frac
이다.

### 직교원과의 관계
동심원이 아닌 두 원 C,C'의 공통 직교원의 중심은 C,C'의 근축 위의 점이다. 원 C의 직교원의 중심이 두 원 C,C'의 근축 위의 점이라면, 이는 C'의 직교원이다. 점 P가 동심원이 아닌 두 원 C,C'의 근축 위의 점이고, C,C'의 외부점이라면, 중심이 P인 C,C'의 공통 직교원은 (유일하게) 존재한다. 점 P가 동심원이 아닌 두 원 C,C'의 근축 위의 점이고, C,C'의 내부점이라면, 중심이 P이고 C와의 공통 할선과 C'와의 공통 할선을 두 지름으로 갖는 원은 (유일하게) 존재한다.

중심이 공선점이 아닌 세 원 C,C',C*</math>의 근심이 <math>C,C',C*의 외부점이라면,  C,C',C*</math>의 공통 직교원은 (유일하게) 존재하며, 이 원의 중심은 <math>C,C',C*의 근심이다. 중심이 공선점이 아닌 세 원 C,C',C*</math>의 근심이 <math>C,C',C*의 내부점이라면, C와의 공통 할선과 C'와의 공통 할선 그리고 C*</math>와의 공통 할선을 세 지름으로 갖는 원은 (유일하게) 존재하며, 이 원의 중심은 <math>C,C',C*의 근심이다.

### 동축원 다발

평면 위에서, 서로 다른 두 점 (a,b),(a',b')을 중심으로 갖는 두 원 C,C'의 방정식이
:x^2+y^2-2ax-2by+c=0
:x^2+y^2-2a'x-2b'y+c'=0
이고, C,C'의 근축이 l이라고 하자. 그렇다면, 임의의 원 C*</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>C*=C이거나, C*</math>와 <math>C</math>의 근축은 <math>l</math>이다.
* <math>C*=C'이거나, C*</math>와 <math>C'</math>의 근축은 <math>l</math>이다.
* <math>C*는 C와 C'으로 생성되는 동축원 다발의 원소이다. 즉, C*</math>는 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는다.여기서 <math>\lambda,\lambda'</math>은 실수이며, <math>\lambda^2+{\lambda'}^2\ne 0</math>과 <math>\lambda+\lambda'\ne 0</math>을 만족시킨다.
'동축원 다발'이라는 이름은 이러한 사실 때문이다. 동축원 다발 속의 원의 중심들은 공선점이다. 동심원이 아닌 두 원 <math>C,C'</math>으로 생성된 동축원 다발을 <math>\mathcal C</math>라고 하면, <math>\mathcal C</math> 속의 임의의 서로 다른 두 원 <math>C*,C**\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>C'',C**으로 생성되는 동축원 다발 역시 \mathcal C이다.

#### 분류

동심원이 아닌 두 원으로 생성된 공축 원다발 \mathcal C가 주어졌다고 하자. \mathcal C의 근축은 \mathcal C의 유일한 직선 원소이다. 적절한 데카르트 좌표계를 취하여 \mathcal C의 중심선을 x축으로 삼고 근축을 y축으로 삼았을 때, \mathcal C의 원소는 (근축인 y축을 제외하면) 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 구성된다.
:x^2+y^2-2ax+c=0
여기서 c\in\mathbb R는 고정된 상수이며, a\in\mathbb R는 매개변수이다. 만약 c이라면 \mathcal C를 **[[타원형 동축원 다발]]**이라고 하고, 만약 c=0이라면 \mathcal C를 **[[포물형 동축원 다발]]**이라고 하며, 만약 c>0이라면 \mathcal C를 **[[쌍곡형 동축원 다발]]**이라고 한다.

#### 직교 동축원 다발

동심원이 아닌 두 원 C,C'의 공통 직교원은 C,C'으로 생성된 동축원 다발 속 모든 원의 공통 직교원이다. 동심원이 아닌 두 원으로 생성된 동축원 다발 \mathcal C의 모든 원의 공통 직교원은 중심선이 \mathcal C의 근축이고 근축이 \mathcal C의 중심선인 동축원 다발을 이룬다. 이를 동축원 다발 \mathcal C의 **[[직교 동축원 다발]]** \mathcal C^\perp이라고 한다. 동축원 다발의 직교는 대칭 관계이다. 즉, \mathcal C^{\perp\perp}=\mathcal C가 성립한다. 위와 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 이루어진 동축원 다발의 직교 동축원 다발은 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 이루어진다.
:x^2+y^2-2by-c=0
여기서 b\in\mathbb R는 매개변수이다. 특히, 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발의 직교 동축원 다발은 각각 쌍곡형·포물형·타원형 동축원 다발이다.

## 작도
적어도 하나의 교점을 갖는 동심원이 아닌 두 원의 근축의 작도는 자명하다.

중심이 서로 다른 두 점 O,O'인 교점 없는 두 원 C,C'이 주어졌다고 하자. 중심이 직선 OO' 위의 점이 아니고, 원 C와 두 점 A,B에서 만나고, 원 C'과 두 점 A',B'에서 만나는 원 C*</math>을 작도하자. 그렇다면, 직선 <math>AB</math>와 <math>A'B'</math>은 평행하지 않는다. 직선 <math>AB</math>와 <math>A'B'</math>의 교점을 <math>P</math>라고 하자. 그렇다면, <math>P</math>는 <math>C,C'</math>의 근축 위의 점이다. 점 <math>P</math>를 지나는 직선 <math>OO'</math>의 수선 <math>l</math>을 작도하자. 그렇다면, 직선 <math>l</math>은 두 원 <math>C,C'</math>의 근축이다.

== 고차원의 경우 ==
=== 근초평면 ===
<math>n</math>차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 위에서, 서로 다른 두 [[점 (기하학)|점]] <math>a,a'\in\mathbb R^n</math>을 [[중심 (기하학)|중심]]으로 하고, <math>r,r'>0</math>을 [[반지름]]으로 갖는 두 [[초구]] <math>S,S'</math>를 생각하자. 그렇다면, [[집합]]
:<math>\{x\in\mathbb R^n\colon\Vert x-a\Vert^2-r^2=\Vert x-a'\Vert^2-{r'}^2\}</math>
은 중심 <math>a,a'</math>를 잇는 [[직선]]에 [[직교]]하는 [[초평면]]을 이룬다. (여기서 [[등식]]의 좌변과 우변은 각각 <math>x</math>의 <math>S,S'</math>에 대한 [[방멱]]에 대응하며, <math>\Vert\cdot\Vert</math>는 <math>\mathbb R^n</math>의 표준적인 [[노름]]을 나타낸다.) 이를 두 초구 <math>S,S'</math>의 *'근초평면**이라고 한다. 특히 <math>n=2,3</math>일 경우 각각 두 [[원 (기하학)|원]]의 **근축** 또는 두 [[구 (기하학)|구]]의 **근평면**이라고 부른다.

<math>n</math>차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 위에서, 같은 초평면 위에 있지 않은 점 <math>a_1,\dots,a_{n+1}\in\mathbb R^n</math>을 중심으로 하는 <math>n+1</math>개의 초구 <math>S_1,\dots,S_{n+1}</math>을 생각하자. 그렇다면, 각 쌍의 초구의 근초평면은 유일한 교점을 가진다. 이를 <math>n+1</math>개의 <math>n</math>차원 초구 <math>S_1,\dots,S_{n+1}</math>의 **근심'''이라고 한다.

## 참고 문헌


## 외부 링크
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분류:원 (기하학)
분류:해석기하학