사슬 복합체

섬네일
호몰로지 대수학에서 **사슬 복합체**(-複合體, )는 일련의 멱영 사상들을 갖춘, 아벨 범주의 대상들의 열이다. 이를 사용하여 호몰로지 대수학 및 호몰로지 · 코호몰로지의 개념을 추상적으로 정의할 수 있다.

## 정의
아벨 범주 \mathcal A가 주어졌다고 하자. (예를 들어, 아벨 군이나 가군, 또는 아벨 군 값을 갖는 층 등이 있다.)

\mathcal A 속의 **사슬 복합체** (C_\bullet, \partial_\bullet)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 각 정수 i\in\mathbb Z에 대하여, \mathcal A의 대상 C_i\in\mathcal A
* 각 정수 i\in\mathbb Z에 대하여, \mathcal A의 사상 \partial_i\colon C_i\to C_{i-1}
*:\cdots \to
C_{i+1}\xrightarrow{\partial_{i+1}}
C_i \xrightarrow{\partial_i}
C_{i-1} \xrightarrow{\partial_{i-1}}
C_{i-2} \to \cdots

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 모든 정수 i\in\mathbb Z에 대하여, \partial_{i-1}\circ\partial_i=0
이 경우,  사상 \partial_\bullet은 **경계 사상**(境界寫像, )라고 하고, C_i의 원소는 *i*차 **사슬**()이라고 한다. \partial_i\alpha=0인 *i*차 사슬 \alpha\in C_i을 **<math>i</math>차 순환**(i次循環, )이라고 한다.

**공사슬 복합체**(共사슬複合體, }) (C^\bullet,\mathrm d^\bullet)는 유사하지만, 첨자의 위치와 화살표의 방향이 반대이다.
:\cdots \to
C^{i-2}\xrightarrow{\mathrm d_C^{i-2}}
C^{i-1}\xrightarrow{\mathrm d_C^{i-1}}
C^i \xrightarrow{\mathrm d_C^i}
C^{i+1} \to \cdots

이 경우,  사상 \mathrm d^\bullet은 **공경계 사상**(共境界寫像, )라고 하고, C^i의 원소는 *i*차 **공사슬**(i次共사슬, )이라고 한다. \mathrm d^i\alpha=0인 *i*차 공사슬 \alpha\in C^i을 **<math>i</math>차 공순환**(i次共循環, )이라고 한다.

\mathcal A 속의 사슬 복합체들과 이들 사이의 사슬 사상들의 범주는 \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)라고 한다. 마찬가지로, 공사슬 복합체들과 공사슬 사상들의 범주는 \operatorname{Ch}^\bullet(\mathcal A)라고 한다. 물론, 이 둘은 (차수를 A_i \mapsto A^{-i}로 대응시킬 때) 같은 범주를 표기하는 서로 다른 두 방법일 뿐이지만, 용도에 따라 두 표기법 가운데 하나가 더 선호되는 경우가 많다.

### 사슬 사상
아벨 범주 \mathcal A 속의 두 사슬 복합체 (C_\bullet,\partial^C_\bullet), (D_\bullet,\partial^D_\bullet) 사이의 **사슬 사상**(사슬寫像, ) f_\bullet\colon C_\bullet\to D_\bullet은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 정수 i\in\mathbb Z에 대하여, \mathcal A 속의 사상 f_i\colon C_i\to D_i
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 각 정수 i\in\mathbb Z에 대하여, \partial^D_i\circ f_i=f_{i-1}\circ\partial^C_i. 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.
*:\begin{matrix}
\cdots \to &C_{i+1}&\overset{\partial^C_{i+1}}\to&C_i&\overset{\partial^C_i}\to&C_{i-1}&\to \cdots \\
&\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f_{i+1}}\downarrow{\scriptstyle f_{i+1}}\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f_i}\downarrow{\scriptstyle f_i}\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f_{i-1}}\downarrow{\scriptstyle f_{i-1}}\!\!\!\!\!\!\\
\cdots \to &D_{i+1}&\underset{\partial^D_{i+1}}\to&D_i&\underset{\partial^D_i}\to&D_{i-1}&\to \cdots \\
\end{matrix}

마찬가지로, 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 또한 같은 방식으로 정의된다. 아벨 범주 \mathcal A 속의 두 공사슬 복합체 (C^\bullet,\mathrm d_C^\bullet), (D^\bullet,\mathrm d_D^\bullet) 사이의 **공사슬 사상**() f^\bullet\colon C^\bullet\to D^\bullet은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 정수 i\in\mathbb Z에 대하여, \mathcal A 속의 사상 f^i\colon C^i\to D^i
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 각 정수 i\in\mathbb Z에 대하여, \mathrm d_D^i\circ f^i=f^{i+1}\circ\mathrm d_C^i. 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.
*:\begin{matrix}
\cdots \to &C^{i-1}&\overset{\mathrm d_C^{i-1}}\to&C^i&\overset{\mathrm d_C^i}\to&C^{i+1}&\to \cdots \\
&\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f^{i-1}}\downarrow{\scriptstyle f^{i-1}}\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f^i}\downarrow{\scriptstyle f^i}\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f^{i+1}}\downarrow{\scriptstyle f^{i+1}}\!\!\!\!\!\!\\
\cdots \to &D^{i-1}&\underset{\mathrm d_D^{i-1}}\to&D^i&\underset{\mathrm d_D^i}\to&D^{i+1}&\to \cdots \\
\end{matrix}

사슬 복합체와 사슬 사상의 범주는 \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A) 또는 \operatorname{Kom}_\bullet(\mathcal A)로 표기된다. 이는 사슬을 뜻하는  또는 복합체를 뜻하는 를 딴 것이다.

### 사슬 호모토피

임의의 두 사슬 복합체 C_\bullet, D_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)에 대하여, 그 사이의 사슬 사상의 집합
:\hom_{\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)}(C_\bullet, D_\bullet)
위에는 **[[사슬 호모토피]]**라는 동치 관계가 존재한다. 사슬 사상의 호모토피류는 유도 범주의 사상을 이룬다.

### 유계 사슬 복합체
\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)의 다음과 같은 부분 범주들이 흔히 사용된다.
* \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)는 음의 차수 성분들이 모두 0인 사슬 복합체들의 범주이다.
*:\dotsb\to A_2\to A_1\to A_0\to 0\to 0\to\dotsb
* 마찬가지로, \operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)는 음의 차수 성분들이 모두 0인 공사슬 복합체들의 범주이다. (이는 양의 차수 성분들이 모두 0인 사슬 복합체로 여겨질 수 있다.)
*:\dotsb\to0\to 0\to A_0 \to A_1\to A_2\to\dotsb
* \operatorname{Ch}_{\le \bullet\le }는 **유계 사슬 복합체**(有界사슬複合體, ), 즉 유한 개의 차수를 제외한 나머지 성분들이 모두 0인 사슬 복합체들의 범주이다.
*:\dotsb\to 0\to 0\to A_n \to A_{n-1} \to \dotsb \to A_{m+1}\to A_m \to 0 \to 0 \to \dotsb

## 연산
### 현수
아벨 범주 \mathcal A 속의 사슬 복합체
:A_k\in\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)
와 정수 k\in\mathbb Z가 주어졌다고 하자. 그렇다면, A_\bullet의 **<math>k</math>차 현수**(k次懸垂, ) A[k]_\bullet는 다음과 같은 사슬 복합체이다.
:A[k]_n = A_{n-k} \qquad\forall n\in\mathbb N
:\partial_n^{A[k]} = (-)^k \partial_{n-k}
즉, 각 성분의 차수를 k만큼 추가하고, 만약 k가 홀수라면 경계 사상에 음부호를 붙인 것이다.

### 직합 · 핵 · 여핵 · 상 · 여상
사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 따라서, 아벨 범주에서 정의되는 모든 연산들이 정의될 수 있다.

예를 들어, 두 사슬 복합체 A_\bullet,B_\bullet 의 **[[직합]]** (A\oplus B)_\bullet은 다음과 같다.
* (A\oplus B)_n = A_n \oplus_{\mathcal A} B_n (n\in\mathbb Z)
* \partial_n \colon (A\oplus B)_n \to (A\oplus B)_{n-1}
* \partial_n = \partial^A_n \oplus \partial^B_n

마찬가지로, 사슬 복합체 사상
:f_\bullet \colon A_\bullet \to B_\bullet
의 **[[핵 (수학)|핵]]**
:(\ker f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)
:(\ker f)_n = \ker (f_n)
및 **[[여핵]]**
:(\operatorname{coker} f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)
:(\operatorname{coker} f)_n = \operatorname{coker} (f_n)
및 **[[상 (수학)|상]]**
:(\operatorname{im} f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)
:(\operatorname{im} f)_n = \operatorname{im} (f_n)
및 **[[여상]]**
:(\operatorname{coim} f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)
:(\operatorname{coim} f)_n = \operatorname{coim} (f_n)
이 성분별로 정의된다.

### 호몰로지

사슬 복합체 A_\bullet \in\operatorname{Ch}(\mathcal A)의 경우, **[[호몰로지]]**
:\operatorname H_\bullet(A) = \frac{\ker_\bullet}{\operatorname{im}_\bullet} \in\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)
를 정의할 수 있다. 이 경우, 모든 경계 사상을 0으로 잡으면 이는 사슬 복합체를 이룬다. 만약 사슬 복합체 대신 공사슬 복합체를 사용하는 경우, 이 연산은 **[[코호몰로지]]**라고 불린다.

두 사슬 복합체 C_\bullet, D_\bullet 사이의 **유사동형**(類似同型, )은 다음과 같은 사슬 사상 q\colon C\to D이다.
* q로부터 유도되는 호몰로지 사상 q_*\colon\operatorname H_\bullet(C)\to\operatorname H_\bullet(D)는 각 성분마다 동형 사상이다.

서로 동형인 두 사슬 복합체는 유사동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

### 텐서곱과 내적 사상 대상

가환환 K 위의 결합 대수 A 위의 (A,A)-쌍가군들의 아벨 범주 \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)
를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체
:C_\bullet, D_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)
가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 각 성분별 텐서곱을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 E_{\bullet,\bullet}를 정의할 수 있다.
:E_{m,n} = C_m \otimes_A D_n
:\partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \colon \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \to \partial^{\operatorname h,E}_{m-1,n}
: \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} = \partial^C_m \otimes\operatorname{id}_{D_n}
:\partial^{\operatorname v,E}_{m,n} \colon \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \to \partial^{\operatorname h,E}_{m,n-1}
: \partial^{\operatorname v,E}_{m,n} = \operatorname{id}_{C_m} \otimes\partial^D_n
이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체 (C\otimes D)_\bullet = \operatorname{Tot}_\bullet(E)를 C_\bullet와 D_\bullet의 **텐서곱**이라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
:(C\otimes D)_\bullet \in\operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)
:(C\otimes D)_n = \bigoplus_{p+q=n} C_p \otimes_A D_q
:\partial_n \colon (C\otimes D)_n \to (C\otimes D)_{n-1}
:\partial_n \colon \bigoplus_{p+q=n} \left(\partial^C_p \otimes_A \operatorname{id}_{D_q} + (-)^p \operatorname{id}_{C_p} \otimes \partial^D_p\right)

이 텐서곱의 항등원은 다음과 같은, 하나만의 성분을 갖는 사슬 복합체이다.
:1_\bullet \in \operatorname{Ch}(\mathcal A)
:1_n = \begin{cases}
0 & n \ne 0 \\
A & n = 0
\end{cases}
그렇다면, (\operatorname{Ch}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1_\bullet)은 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 마찬가지로,
* (\operatorname{Ch}_{\ge0}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1^\bullet)
* (\operatorname{Ch}^{\ge0}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1_\bullet)
* (\operatorname{Ch}_{\le\bullet\le}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1_\bullet)
역시 각각 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

특히, (\operatorname{Ch}^{\ge0}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1^\bullet) 속의 모노이드 대상을 **[[미분 등급 대수]]**라고 한다.

또한, \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)의 두 사슬 복합체 C_\bullet, D_\bullet에 대하여,  다음과 같은 **내적 사상 대상**(內的寫像對象, )
:\hom_\bullet(C,D) \in \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)
을 정의할 수 있다.
:\hom_n(C,D) =\prod_{i\in\mathbb Z} \hom_{_A\operatorname{Mod}_A}(C_i,D_{i+n})
:\partial^{\hom(C,D)}_n f = \prod_{i\in\mathbb Z}
(\partial_{i+n}^D\circ f - (-)^n f\circ \partial_i^X) 
이에 따라, 쌍가군 범주 위의 사슬 복합체 범주 (\operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,\hom_\bullet)는 닫힌 모노이드 범주를 이룬다.

### 유도 범주

사슬 복합체의 범주 \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)에서, 유사동형들을 동형 사상이 되게 국소화하면, **[[유도 범주]]** \operatorname D(\mathcal A)를 얻으며, 표준적 함자
:\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)\to\operatorname D(\mathcal A)
가 존재한다.

## 성질
사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 사슬 복합체의 호모토피 범주 및 유도 범주는 가법 범주이지만 일반적으로 아벨 범주가 아니다.

### 모형 범주 구조
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A 위의, 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A 위의, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 \operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

이 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주는 유도 범주이다.

## 예
### 돌트-칸 대응

아벨 범주 위의 단체 대상 X_\bullet에 대하여, 항상 **[[정규화 사슬 복합체]]** \operatorname N_\bullet(X)라는 사슬 복합체를 대응시킬 수 있다. 이는 함자를 이루며, 사실 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)와 단체 대상의 범주 \mathcal A^{\triangle^{\operatorname{op}}} 사이의 동치 및 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다.
:\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)\simeq \mathcal A^{\triangle^{\operatorname{op}}}
이를 **[[돌트-칸 대응]]**이라고 한다.

마찬가지로, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 \operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)는 쌍대 단체 대상의 범주 \mathcal A^{\triangle}와 동치이며, 또한 이는 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다.
:\operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)\simeq \mathcal A^\triangle

### 이중 사슬 복합체

아벨 범주 \mathcal A 위의 사슬 복합체의 범주 \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A) 역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 **이중 사슬 복합체**(二重사슬複合體, )라고 한다.

## 역사
(공)사슬 복합체의 개념은 대수적 위상수학에서 호몰로지·코호몰로지를 정의하기 위하여 개발되었다. 대수적 위상수학에서는 위상 공간의 특이 호몰로지를 정의하기 위하여 특이 사슬 복합체라는 사슬 복합체를 정의한다. 이후 사슬 복합체의 개념은 층 코호몰로지 · 군 코호몰로지 등 다른 코호몰로지 이론의 발달로 더 중요해졌으며, 호몰로지 대수학의 발달로 추상적으로 정의되었다.

## 같이 보기
* 미분 등급 대수
* 미분 등급 리 대수
* 정규화 사슬 복합체
## 참고 문헌
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## 외부 링크
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분류:호몰로지 대수학