일반화 페테르센 그래프

그래프 이론에서 **일반화 페테르센 그래프**(一般化Petersen graph, )는 같은 수의 꼭짓점을 갖는 정다각형과 별 모양에서 대응하는 꼭짓점들을 이어 얻는 그래프이다. 특히, 오각형과 오각 별을 이어 얻는 그래프를 **페테르센 그래프**()라고 한다.

## 정의
3 이상의 정수 n\ge3과, n의 배수가 아닌 정수 k\in\mathbb Z, n\nmid k가 주어졌다고 하자. 또한, 만약 n이 짝수라면 n/2\nmid k라고 하자.

**일반화 페테르센 그래프** \operatorname{GPG}(n,k)는 다음과 같은 그래프이다.
:\operatorname V(\operatorname{GPG}(n,k))=\{u_i,v_i\colon i\in\mathbb Z/n\}
:\operatorname E(\operatorname{GPG}(n,k))=\{u_i u_{i+1}, u_i v_i, v_i v_{i+k}\colon i\in\mathbb Z/n\}
여기서 첨자는 법 n으로 계산한다. 즉, u_{n+i}=u_i 및 v_{n+i}=u_i로 간주한다.
일반화 페테르센 그래프의 변 가운데, u_iv_i 꼴의 변을 **바큇살**()이라고 한다.

당연히
:\operatorname{GPG}(n,k)=\operatorname{GPG}(n,k+n)=\operatorname{GPG}(n,-k)
이므로, 보통
:1\le k
를 가정한다.

## 성질
### 기초적 성질
[섬네일|오른쪽|페테르센 그래프 <math>\operatorname{GPG}(5,2)</math> 속의 [완벽 부합]]
일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(n,k)는 2n개의 꼭짓점과 3n개의 변을 가지는 삼차 그래프이며, 완벽 부합을 갖는다. 구체적으로, 위와 같은 표기에서, \{u_iv_i\}_{i\in\mathbb Z/n}은 완벽 부합을 이룬다.

### 동형
임의의 정수 n\ge3 및 정수 1\le k,k'에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \operatorname{GPG}(n,k)\cong\operatorname{GPG}(n,k')
*  kk' \equiv \pm1 \pmod n 
예를 들어, \operatorname{GPG}(7,2)\cong\operatorname{GPG}(7,3)이다.

### 안둘레
일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(n,k)의 안둘레는 항상 \min\{8,k+3,n/\gcd\{n,k\}\} 이하이다.

**증명:**

일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은
:\operatorname V(\operatorname{GPG}(n,k))=\{u_i,v_i\colon i\in\mathbb Z/n\}
:\operatorname E(\operatorname{GPG}(n,k))=\{u_i u_{i+1}, u_i v_i, v_i v_{i+k}\colon i\in\mathbb Z/n\}
이다. 그 속에서
:u_0 - v_0 - v_k - u_k - u_{k+1} - v_{k+1} - v_1 - u_1 - u_0
는 길이 8의 순환이며,
:u_0 - v_0 - v_k - u_k - u_{k-1} - \dotsb - u_1 - u_0
는 길이 k+3의 순환이며,
:v_0 - v_k - v_{2k} - \dotsb - v_0
는 길이 n/\gcd\{n,k\}의 순환이다.



또한, 다음이 성립한다.
:\operatorname{girth}(\operatorname{GPG}(ak\pm b,k))
\le a+b+2


**증명:**

일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은
:\operatorname V(\operatorname{GPG}(n,k))=\{u_i,v_i\colon i\in\mathbb Z/n\}
:\operatorname E(\operatorname{GPG}(n,k))=\{u_i u_{i+1}, u_i v_i, v_i v_{i+k}\colon i\in\mathbb Z/n\}
이다. 그 속에서
:u_0-v_0-v_k-\dotsb-v_{ak\equiv\pm b}-u_{\pm b}-u_{\pm(b-1)}-\dotsb-u_{\pm1}-u_0
은 길이 a+b+2의 순환이다 (복부호 동순).


위 상계 가운데 적어도 하나가 포화된다. 즉, 만약 1\le k이며,
:k=\min\left\{1\le k'
일 때, 일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(n,k)의 안둘레는 다음 표에서, 위에서부터 가장 먼저 해당하는 행에 의해 주어진다.
:

**증명:**

일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은
:\operatorname V(\operatorname{GPG}(n,k))=\{u_i,v_i\colon i\in\mathbb Z/n\}
:\operatorname E(\operatorname{GPG}(n,k))=\{u_i u_{i+1}, u_i v_i, v_i v_{i+k}\colon i\in\mathbb Z/n\}
이다. 일반화 페테르센 그래프 속의 모든 순환은 당연히 짝수 개의 바큇살 u_iv_i을 포함한다.

모든 일반화 페테르센 그래프는 4개의 바큇살을 갖는 길이 8의 순환
:u_0 - v_0 - v_k - u_k - u_{k+1} - v_{k+1} - v_1 - u_1 - u_0
을 가지며, 바큇살 6개 이상의 순환의 길이는 항상 12 이상이다. 따라서, 2개의 바큇살 및 0개의 바큇살을 갖는 순환들만 고려하면 된다.

2개의 바큇살을 갖는 순환은 (편의상 첫 변을 u_0-u_1로 잡으면) 항상 다음과 같은 꼴이다.
:u_0-u_1-\dotsb-u_b-v_b-v_{b\pm k}-v_{b\pm 2k}-\dotsb-v_{b\pm ak}-u_0
이것이 존재하기 위해서는 ak\pm b\mid n이어야 하며, 이 경우 순환의 길이는 a+b+2이다.
* k가 최솟값이어야 하므로, ak+b=n 및 ak+b=0인 경우만 고려해도 된다.
** ak+b=0인 경우: (a,b)=(1,-k)인 경우가 최적이며, 이 경우 순환의 길이는 k+3이다.
** ak+b=n인 경우:
*** 만약 n=ak\pm1인 경우, \operatorname{GPG}(n,k)\cong\operatorname{GPG}(n,a)이다. 따라서, 이 경우 k는 최솟값을 갖지 못한다.
*** 만약 n=ak일 경우, 이 경우 0개의 바큇살을 갖는 길이 a의 순환이 더 짧다.
*** 만약 n=2k-b일 경우, k\ge n/2이다.
*** 위 경우를 제외하면, 이러한 순환의 길이가 8 미만인 경우는 남는 것은 (a,b)=(2,2), (2,3), (3,2), (3,-2)이다.

0개의 바큇살을 갖는 순환은 u_i 또는 v_i로만 구성된다. u_i만으로 구성되는 유일한 순환의 길이는 n이며, v_i만으로 구성되는 순환의 길이는 n/\gcd\{n,k\}이다.
* 후자의 길이가 7 이하가 되려면, 가능한 경우는 n/k\in\{3/1, 4/1, 5/1, 5/2, 6/1, 7/1, 7/2, 7/3\}이다.


### 케일리 그래프
[섬네일|오른쪽|나우루 그래프 <math>\operatorname{GPG}(12,5)</math>는 [대칭군 (군론)|대칭군 \operatorname{Sym}(4)의 케일리 그래프이다.]]
일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(n,k)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 어떤 유한군의 케일리 그래프와 동형이다.
* k^2\equiv1\pmod n
예를 들어, 나우루 그래프 \operatorname{GPG}(12,5)의 경우 5^2\equiv 1\pmod{12}이며, 이는 대칭군 \operatorname{Sym}(4)의 케일리 그래프이다. 마찬가지로, 각기둥 그래프 \operatorname{GPG}(n,1)는 크기 2n의 정이면체군 \operatorname{Dih}(n)의 케일리 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(5,2)는 케일리 그래프가 아니다.

### 꼭짓점 색칠
일반화 페테르센 그래프는 삼차 그래프이므로, 브룩스 정리()에 의하여 그 색칠수는 2 또는 3이다.
일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(n,k)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 이분 그래프이다. (즉, 색칠수가 2이다.)
* n이 짝수이며, k는 홀수이다.
다시 말해, 일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(n,k)의 색칠수는 다음과 같다.
:\chi(\operatorname{GPG}(n,k))=\begin{cases}
2&2\mid n \land 2\nmid k\\
3&2\nmid n \lor 2\mid k
\end{cases}
여기서 \land는 논리곱(AND), \lor는 논리합(OR)이다. 예를 들어, 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(5,2)의 색칠수는 3이다.

Petersen_graph_3-coloring.svg|페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(5,2)의 3색 그래프 색칠
Desargues graph 2COL.svg|데자르그 그래프 \operatorname{GPG}(10,3)의 2색 그래프 색칠
Dürer graph 3COL.svg|뒤러 그래프 \operatorname{GPG}(6,2)의 3색 그래프 색칠


### 변 색칠
페테르센 그래프의 변 색칠수는 4이다. 페테르센 그래프는 변 색칠수가 4 이상인 가장 작은 삼차 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프가 아닌 다른 모든 일반화 페테르센 그래프의 변 색칠수는 3이다.

일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(9,2)는 (색들의 순열을 무시하면) 유일한 3색 변 색칠을 갖는다.


PetersenBarveniHran.svg|페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(5,2)의 4색 변 색칠
Dürer graph 3color edge.svg|뒤러 그래프 \operatorname{GPG}(6,2)의 3색 변 색칠
3-colored dodecahedron.svg|정십이면체 그래프 \operatorname{GPG}(10,2)의 3색 변 색칠
Desargues graph 3color edge.svg|데자르그 그래프 \operatorname{GPG}(10,3)의 3색 변 색칠
Symmetric group 4; Cayley graph 1,5,21 (Nauru Petersen); matrices.svg|나우루 그래프 \operatorname{GPG}(12,5)의 3색 변 색칠


### 해밀턴 경로
임의의 일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(n,k) (3\le n, 1\le k)에 대하여, 다음 두 가지 가운데 정확히 하나가 성립한다.
* (가) 해밀턴 순환을 갖는다.
* (나) n\equiv5\pmod6이며, k\in\{2,(n-1)/2\}이다.
또한, (나)의 경우, 임의의 꼭짓점을 제거하면 이는 해밀턴 순환을 갖는다. (특히, 모든 일반화 페테르센 그래프는 항상 해밀턴 경로를 갖는다.)

예를 들어, 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(5,2)는 해밀턴 경로를 가지지만, (나)의 경우에 해당하므로 해밀턴 순환을 가지지 못한다.


Dürer graph hamiltonicity.svg|뒤러 그래프 \operatorname{GPG}(6,2) 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.
Möbius-kantor Graph hamiltonian.png|일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(8,3) 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.
Generalized_Petersen_9_2_Hamiltonicity.svg|일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(9,2) 속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 굵게 칠해졌다.
Hamiltonian path.svg|정십이면체 그래프 \operatorname{GPG}(10,2) 속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 붉은 색으로 굵게 칠해졌다.
Nauru graph.svg|나우루 그래프 \operatorname{GPG}(12,5) 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.


### 교차수
각기둥 그래프인 일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(n,1)은 평면 그래프이다. 즉, 그래프 교차수가 0이다.

페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(5,2)의 그래프 교차수는 2이다. 나우루 그래프 \operatorname{GPG}(12,5)의 그래프 교차수는 8이다. 특히, 이 두 그래프 둘 다 평면 그래프가 아니다.

평면 그래프가 아닌 모든 그래프는 완전 그래프 K_5 또는 완전 이분 그래프 K_{3,3}를 그래프 마이너로 가지는데, 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(5,2)는 이 둘 다를 그래프 마이너로 갖는다.

Pentagonal prismatic graph.svg|오각기둥 그래프 \operatorname{GPG}(5,1)의 교차수는 0이다.
Petersen graph, two crossings.svg|페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(5,2)의 교차수는 2이다.
Nauru 1-planar 8-crossing.svg|나우루 그래프 \operatorname{GPG}(12,5)의 교차수는 8이다.


## 예
일부 일반화 페테르센 그래프는 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.
* **페테르센 그래프**는 일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(5, 2)이다. 이는 완전 그래프 K_5의 선 그래프의 여 그래프와 동형이다.
* **뒤러 그래프**()는 일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(6,2)이다.
* 일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(10,2)는 정십이면체의 꼭짓점 및 변들로 구성된 그래프와 같다.
* **데자르그 그래프**()는 일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(10, 3)이다.
* 일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(n,1)는 n각형 각기둥의 꼭짓점 및 변들로 구성된 그래프와 같다.

Triangular prismatic graph.svg|일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(3, 1)
Cubical graph.svg|일반화 페테르센 그래프 (정육면체 그래프) \operatorname{GPG}(4, 1)
Pentagonal prismatic graph.svg|일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(5, 1)
Petersen graph.svg|페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(5, 2)
Hexagonal prismatic graph.svg|일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(6, 1)
Dürer_graph.svg|뒤러 그래프 \operatorname{GPG}(6,2)
Heptagonal prismatic graph.svg|일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(7, 1)
Octagonal prismatic graph.svg|일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(8, 1)
Dodecahedral graph.neato.svg|정십이면체 그래프 \operatorname{GPG}(10,2)
DesarguesGraph.svg|데자르그 그래프 \operatorname{GPG}(10,3)
Independent set graph.svg|일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(12,4)
파일:Symmetric group 4; Cayley graph 1,5,21 (Nauru Petersen); numbers.svg|나우루 그래프 \operatorname{GPG}(12,5)


## 역사
[섬네일|오른쪽|[알브레히트 뒤러의 판화 《멜란콜리아 1》]]
섬네일|오른쪽|데자르그의 정리에 등장하는 작도. 10개의 점 <math>(A,B,C,A',B',C',P,Q,R,S)</math>와 10개의 직선 <math>(a,b,c,a',b',c',p,q,r,s)</math>에 각각 어떤 그래프의 꼭짓점을 대응시키고, 인접하는 점과 직선에 대응하는 두 꼭짓점 사이를 변으로 이으면, 데자르그 그래프 <Math>\operatorname{GPG}(10,3)</math>를 얻는다.
[섬네일|오른쪽|[나우루의 국기]]
독일의 판화가 알브레히트 뒤러의 1514년 판화 《멜란콜리아 1》()에는 다면체가 등장하는데, 그 꼭짓점과 변으로 구성된 그래프는 뒤러 그래프이다.

1898년에 덴마크의 수학자 율리우스 페테르센이 이 그래프를 다룬 3쪽의 논문을 출판하였으며, 이로부터 명명되었다. 페테르센은 이 그래프를 다음과 같은 (잘못된) 추측에 대한 반례로 제시하였다.
:연결 삼차 그래프 가운데, 임의의 변을 제거하더라도 연결 그래프로 남는 것들의 경우, 모두 변 색칠수가 3 이하이다.

“데자르그 그래프”라는 이름은 프랑스의 수학자 지라르 데자르그의 이름을 딴 것이다. 데자르그가 연구한 사영기하학의 한 정리에서 등장하는 작도에서, 각 직선과 각 점에 그래프 꼭짓점을 대응시키며, 서로 인접하는 점과 직선(에 대응하는 두 꼭짓점) 사이를 변으로 이으면, 이는 데자르그 그래프가 된다.

해럴드 스콧 맥도널드 콕서터는 1950년에 일반화 페테르센 그래프를 도입하였다. 콕서터는 일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(n,k)를 \{n\}+\{n/k\}로 표기하였으며, 이에 특별한 이름을 부여하지 않았다.

1969년에 마크 왓킨스()가 이 그래프 족을 “일반화 페테르센 그래프”()라고 명명하였다.

“나우루 그래프”()라는 이름은 데이비드 아서 엡스타인()이 도입하였으며, 이 그래프의 구성에 등장하는 12각 별 모양이 나우루의 국기에 등장하는 별과 흡사하기 때문에 붙여졌다.

## 각주

## 외부 링크

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

분류:그래프
분류:정규 그래프