분해 가능 공간

일반위상수학에서 **분해 가능 공간**(分解可能空間, )은 가산 집합이 조밀 집합일 수 있을 정도로 작은 위상 공간이다.

## 정의
위상 공간 X의 **밀도**(密度, ) d(X)는 X 속의 조밀 집합의 최소 크기인 기수이다. (기수 위의 순서는 정렬 순서이므로 이는 항상 존재한다.)

밀도가 \aleph_0 이하인 위상 공간을 **분해 가능 공간**이라고 한다. 즉, 분해 가능 공간은 가산 조밀 집합을 갖는 공간이다.

## 성질
### 제2 가산성과의 관계
모든 제2 가산 공간은 분해 가능 공간이다.

제1 가산 공간인 위상군에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 분해 가능 공간이다.
* 제2 가산 공간이다.

거리화 가능성을 가정한다면, 다음이 성립한다.
:콤팩트 공간 \subsetneq 제2 가산 공간 = 분해 가능 공간 = 린델뢰프 공간

### 분해 가능성을 보존하는 연산
두 위상 공간 X, Y 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y 및 조밀 집합 D\subseteq X이 주어졌을 때, 그 상 f(D)\subseteq f(X)는 치역 f(X) 속의 조밀 집합이다. 따라서
:d(f(X))\le d(X)
이다. 특히, 분해 가능 공간의 연속적 상은 분해 가능 공간이다.

위상 공간 X의 열린집합 U\subseteq X 및 조밀 집합 D\subseteq X가 주어졌을 때, U\cap D는 U의 조밀 집합이다. 따라서 다음이 성립한다.
:d(U)\le d(X)
특히, 분해 가능 공간의 열린집합은 분해 가능 공간이다. 분해 가능 공간의 열린집합이 아닌 부분 집합은 분해 가능 공간이 아닐 수 있다. 다만, 분해 가능 거리화 가능 공간의 모든 부분 집합은 분해 가능 공간이다.

곱공간
:X=\prod_{i\in I}X_i
및 무한 기수 \kappa가 주어졌다고 하자. **휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리**()에 따르면, 만약
:d(X_i)\le\kappa\qquad(\forall i\in I)
:|I|\le 2^\kappa
라면,
:d(X)\le\kappa
이다. 특히, 2^{\aleph_0}개 이하의 분해 가능 공간들의 곱공간은 분해 가능 공간이다. 곱위상 대신 상자 위상을 사용하는 경우 이 명제들은 더 이상 성립하지 않는다.

편의상 |I|=2^\kappa라고 하자. (나머지 경우는 이 경우에서 연속적 상을 취한다.) 크기가 \kappa 이하인 조밀 집합 D_i\subseteq X_i들의 곱집합 \textstyle D=\prod_{i\in I}D_i\subseteq X는 조밀 집합이다. 따라서, D의 크기 \kappa 이하의 조밀 집합을 찾으면 족하다. 이제, Y가 크기 2의 이산 공간이라고 하고, Z^{Y^\kappa}가 2^\kappa개의 크기 \kappa의 이산 공간 Z들의 곱공간이라고 하자. 그렇다면 전사 연속 함수
:Z^{Y^\kappa}\to D
가 존재한다. 따라서 Z^{Y^\kappa}에서 크기 \kappa 이하의 조밀 집합을 찾으면 족하다. 곱공간 Y^\kappa는 크기 \kappa 이하의 기저 \mathcal B를 가진다 (예를 들어, 표준적인 기저의 크기는 \kappa이다). 이제,
:A\subseteq Z^{Y^\kappa}
가 다음 두 조건을 만족시키는 유한 개의 서로소 집합들의 집합 \{B_1,\dots,B_n\}\subset\mathcal B가 존재하는 원소
:f\in Z^{Y^\kappa}
들의 집합이라고 하자.
* 각 f|_{B_i}\colon B_i\to Z는 상수 함수이다.
* f|_{Y^\kappa\setminus(B_1\cup\cdots\cup B_n)}\colon Y^\kappa\setminus(B_1\cup\cdots\cup B_n)\to Z는 상수 함수이다.
그렇다면, A\subseteq Z^{Y^\kappa}가 조밀 집합이며, |\mathcal B|\le\kappa이므로 |A|\le\kappa이다.

### 크기 관련 성질
모든 비이산 공간은 분해 가능 공간이므로, 분해 가능성은 집합의 크기에 상한을 가하지 않는다. 그러나 추가 조건을 가한다면 다음과 같은 상한을 얻을 수 있다.
* 제1 가산 하우스도르프 분해 가능 공간의 크기는 2^{\aleph_0} 이하이다.
* 하우스도르프 분해 가능 공간의 크기는 2^{2^{\aleph_0}} 이하이다.

또한, 분해 가능성은 다음과 같은 다양한 크기 관련 상한들을 함의한다.
* 분해 가능 공간 속의 서로소 열린집합들로 구성된 집합족은 항상 가산 집합이다.
* 분해 가능 공간 X가 주어졌을 때, X 위의 실수 값 연속 함수의 집합의 크기는 2^{\aleph_0} 이하이다.
*:\mathcal C(X,\mathbb R)\le2^{\aleph_0}
이는 실수 값 연속 함수는 이를 조밀 집합에 국한한 함수로부터 결정되기 때문이다. 이에 따라, 정규 분해 가능 공간 속의 닫힌집합이 이산 공간을 이룬다면, 이는 항상 가산 집합이다.

임의의 위상 공간 X에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 분해 가능 공간 \tilde X 및 단사 함수 \iota\colon X\hookrightarrow\tilde X를 찾을 수 있다.
* |X|=|\tilde X|이며, \tilde X\setminus\iota(X)는 가산 집합이다.
* X는 그 상 \iota(X)와 위상 동형이다.
* 만약 X가 하우스도르프 공간이라면, \tilde X역시 하우스도르프 공간이다.

### 힐베르트 공간

(실수 또는 복소수) 힐베르트 공간 \mathcal H에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \mathcal H의 힐베르트 차원이 \aleph_0 이하이다. (힐베르트 차원은 벡터 공간의 하멜 차원과 일반적으로 다르다.)
* \mathcal H는 분해 가능 공간이다.

특히, 모든 유클리드 공간 \mathbb R^n 및 L<sup>2</sup> 공간 L^2(\mathbb R)는 분해 가능 공간이다. 유클리드 공간의 경우 \mathbb Q^n\subsetneq\mathbb R^n은 가산 조밀 집합을 이룬다. 힐베르트 공간은 힐베르트 차원에 의하여 완전히 분류되므로, 이는 분해 가능 힐베르트 공간의 목록이다.

## 예
임의의 위상 공간 X에 대하여 다음이 자명하게 성립한다.
:d(X)\le|X|
따라서, 가산 개의 점을 갖는 위상 공간은 분해 가능 공간이다.

이산 공간 속의 조밀 집합은 전체밖에 없으므로, 이산 공간 X의 밀도는 그 집합의 크기와 같다.
:|X|=d(X)
특히, 가산 이산 공간은 분해 가능 공간이지만, 비가산 이산 공간은 분해 가능 공간이 아니다.
비이산 공간에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합은 조밀 집합이다. 따라서, 비이산 공간 X의 밀도는 다음과 같다.
:d(X)=\min\{1,|X|\}
따라서, 모든 비이산 공간은 자명하게 분해 가능 공간이다.

## 역사
휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리는 랠프 필립 보애스 주니어(, 1912~1992), 에드윈 휴잇(, 1920~1999), 에드바르트 마르체프스키(, 1907~1976, \kappa=\aleph_0)가 독자적으로 증명하였다. E. S. 폰디체리()는 보애스가 이 논문에서 사용한 필명이며, 인도의 지명 퐁디셰리에서 유래한다.

## 각주

## 외부 링크
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## 같이 보기
* 제1 가산 공간
* 제2 가산 공간

분류:위상 공간의 성질