변분법

**변분법**(變分法, )이란 미적분학의 한 분야로, 일반 미적분학과는 달리 범함수를 다룬다. 이런 미적분학은 알려지지 않은 함수와 이 함수의 도함수를 다루는데, 주로, 어떠한 값을 최대화 하거나, 최소화하는 함수 모양이 어떻게 되는가를 다룬다.

## 정류값
변분법은 범함수의 극댓값, 극솟값을 연구하는데, 이를 합쳐서 **정류값**이라 한다. 함수가 변수에 의존하듯이, 범함수는 함수에 의존하므로 흔히 함수의 함수로 설명한다. 범함수는 정의역의 원소인 y에 대해 정류값을 갖는다. 범함수 J[y]가 함수 f에서 정류값을 갖는다는 것은 \Delta J = J[y]-J[f]이 f의 미소근방에서 같은 부호를 갖는다는 것이다. 함수 f은 ‘’정류‘’함수 또는 정류점이라 한다. 정류값 J[f]은 f의 미소근방에서 \Delta J \le 0이면 극댓값이라 하고 \Delta J \ge 0이면 극솟값이라 한다.

## 오일러-라그랑주 방정식

오일러-라그랑주 방정식은 함수 q의 함수인 범함수 S를 최소나 최대로 하는 함수 q\left(t\right)를 찾기 위한 것이다. 여기서 S는

:\displaystyle S(q) = \int_a^b L(t,q(t),q'(t))\, \mathrm{d}t

이다. 여기서:
* q는 구하고자 하는 함수이며, 다음과 같은 성질을 만족한다:
*: \begin{align}
q \colon [a, b] \subset \mathbb{R} & \to     X \\
                                 t & \mapsto x = q(t)
\end{align}
:여기서 q는 미분 가능한 함수고, q\left(a\right) = x_a, q\left(b\right) = x_b로 정해져 있다.
* q'는 q를 미분한 함수이다.

### 오일러-라그랑주 방정식의 증명.
함수 f 가, 경계값 조건 f\left(a\right) = c, f\left(b\right) = d를 만족하고, 다음과 같이 주어지는 범함수 J를 최대 또는 최소로 만든다고 하자.

:  J[f] = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx. \,\!

여기서 F가 연속적인 편미분값을 가진다고 가정한다.

만일 f가 범함수J를 최대, 최소로 한다고 하면, f에 매우 작은 변화를 가했을 때,

J의 값이 늘거나(f가 J를 최소화할때) , J의 값이 줄 수 있다(f가 J를 최대화할때).

여기서 f에 매우 작은 변화를 준 함수 g_\epsilon\left(x\right) = f\left(x\right)+\epsilon\eta\left(x\right)를 도입하자.
여기서 \eta\left(x\right)는 \eta\left(a\right) = \eta\left(b\right) = 0를 만족하는 미분가능한 함수이다.
이제, y 대신 g_\epsilon(x)를 넣은 J는 다음과 같은 함수가 된다.

:  J(g_\epsilon(x)) = \int_a^b F(x,g_\epsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx. \,\!

이제 J를 \epsilon에 대해 미분한 전미분을 구하면,

:  \frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} \varepsilon} = \int_a^b \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon}(x,g_\varepsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx. 

전미분의 정의에서 다음과 같은 식이 나오며,

: \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon} = \frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon}\frac{\partial g_\varepsilon}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial F}{\partial g'_\varepsilon}\frac{\partial g'_\varepsilon}{\partial \varepsilon} = \eta(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon'}. 

그러므로

:  \frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} \epsilon} = \int_a^b \left[\eta(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon'} \, \right]\,dx. 

만약 \epsilon = 0이 되면 g_\epsilon = f이고, f 가 J를 극값으로 만드는 함수이므로, J'(0)=J'(g_\epsilon)_{\epsilon=0} = J'(f)= 0 이고,

:  J'(0) = \int_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \,\right]\,dx = 0.

좀 더 정리하기 위해, 두 번째 항에 부분적분을 한다. 그러면 다음과 같은 식을 얻는다.

:  0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b. 

\eta(a)=\eta(b)=0 이므로,

:  0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx. \,\!

변분법의 기본정리를 적용하면, 다음과 같은 오일러-라그랑주 방정식을 얻는다.  0 = \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}. 

( \because (a,b)에서의 모든 컴팩트이면서 매끄러운 함수 \eta(t)
에 대해  \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}=0 )

## 오일러-라그랑주 방정식의 응용
### 두 점을 지나는 가장 짧은 곡선

2차원 좌표평면상에 두 점 \left(a, y_a\right)와 \left(b, y_b\right)가 있다고 하자. 그렇다면 이 두 점을 연결하는 가장 짧은 곡선은 다음과 같은 범함수 L를 최소로 만드는 곡선이다.

:  L\left[f\right] = \int_a^b \sqrt{1 + f'\left(x\right)^2}\, dx

여기서 f의 경우 두 점을 지나야 하므로 f\left(a\right) = y_a, f\left(b\right)=y_b를 만족하는 함수이다.

위에서 증명한 오일러-라그랑주 방정식을 적용하게 되면, 함수 f는

:  0 = -\frac{d}{dx}\frac{\partial }{\partial f'}\sqrt{1 + f'\left(x\right)^2} 

를 만족하여야 한다. 식을 조금 정리해보면,

:  \begin{matrix}
 0 &=& \frac{d}{dx}\frac{\partial }{\partial f'}\sqrt{1 + f'\left(x\right)^2} \\
&=& \frac{d}{dx}\frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1 + f'\left(x\right)^2}}
\end{matrix}

평균값 정리에 의해 미분해서 0이되는 함수는 그 구간에선 상수함수이므로,

:\frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1 + f'\left(x\right)^2}} = k

가 되고, 좌변의 분모를 양변에 곱한 후 양변을 제곱하여 정리하면 f'\left(x\right)에 대한 이차방정식이므로 다음과 같은 해를 얻을 수 있다.

:f'\left(x\right) = C

따라서 두 점 사이의 곡선중 길이가 최소인 곡선은 f\left(x\right)=Cx + D를 만족하는 직선이다.

### 페르마의 원리
페르마의 원리는 빛이 광로를 극소로 하는 경로를 따라 진행한다고 말한다. *x*좌표가 경로 y=f(x)의 매개변수일 때 광로는
: A[f] = \int_{x=x_0}^{x_1} n(x,f(x)) \sqrt{1 + f'(x)^2} dx, \,
으로 주어진다. 굴절률 n(x,y)는 매질에 따라 달라진다.

 f(x) = f_0 (x) + \varepsilon f_1 (x)을 이용하면 *A*의 일계 변분(*A*의 ε에 대한 일계 도함수)는
: \delta A[f_0,f_1] = \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{ n(x,f_0) f_0'(x) f_1'(x)}{\sqrt{1 + f_0'(x)^2}} + n_y (x,f_0) f_1 \sqrt{1 + f_0'(x)^2} \right] dx.
이다. 첫째항에 대해 부분적분을 하면 오일러-라그랑주 공식을 얻게된다.
: -\frac{d}{dx} \left[\frac{ n(x,f_0) f_0'}{\sqrt{1 + f_0'^2}} \right] + n_y (x,f_0) \sqrt{1 + f_0'(x)^2} =0. \,

빛의 경로는 위 식을 적분함으로써 결정된다. 이 유도는 라그랑주 광학, 해밀턴 광학에 이용된다.

#### 스넬의 법칙
빛이 렌즈를 들어가거나 나갈때 굴절률은 불연속이다.

: n(x,y) = n_- \quad \hbox{if} \quad x
: n(x,y) = n_+ \quad \hbox{if} \quad x>0,\,

이라 하자. (여기서 n_-, n_+은 상수이다.) 오일러 라그랑주 공식은 *x*0인 구간에서 성립하며 굴절률이 상수이므로 경로는 일직선이 된다. *x*=0,에서 *f*가 연속이어야 하지만 *f' *는 불연속일 수도 있다. 각 범위에서 오일러-라그랑주 방정식에서 부분적분을 하면 일계 변분은
: \delta A[f_0,f_1] = f_1(0)\left[ n_-\frac{f_0'(0_-)}{\sqrt{1 + f_0'(0_-)^2}} -n_+\frac{f_0'(0_+)}{\sqrt{1 + f_0'(0_+)^2}} \right].\,
이 된다.

n_-에 곱해진 항은 입사각의 sine값이며 n_+에 곱해진 항은 굴절각의 sine이다. 굴절의 스넬의 법칙은 이 두항이 같아야 한다는 것이다. 즉, 스넬의 법칙은 광로의 일계 변분이 사라지는 것과 동치이다.

### 작용 원리

고전역학에서 작용 *S*는 라그랑지안 *L*의 시간에 대한 적분으로 정의된다. 라그랑지안은 에너지의 차이이다.
: L = T - U, \,
*T*는 역학계의 운동에너지이고 *U*는 퍼텐셜 에너지이다. 해밀턴의 원리 (또는 작용 원리)는 보존계는 작용 적분
: S  = \int_{t=t_0}^{t_1} L(x, \dot x, t) dt \,
이 경로 *x(t)*에 대해 정류값을 갖도록 운동한다는 것이다.
이런 역학계의 오일러-라그랑주 방정식은 라그랑주 방정식이라 불린다.
: \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x} = \frac{\partial L}{\partial x}, \,
이는 뉴턴의 운동 방정식과 동치이다.

운동량 *P*는 다음과 같이 정의된다.
: p = \frac{\partial L}{\partial \dot x}. \,
예로
: T = \frac{1}{2} m \dot x^2, \,
이면
: p = m \dot x. \,
해밀턴 역학은 \dot x대신 운동량이 도입되고, 라그랑지안 *L*이 다음과 같이 정의된 해밀토니안 *H*으로 대채될 때 유도된다.
: H(x, p, t) = p \,\dot x - L(x,\dot x, t).\,
해밀토니안은 계의 역학적 에너지이다 : *H* = *T* + *U*.

## 참고 문헌

* Chapter 8: Calculus of Variations, from ''Optimization for Engineering Systems'', by Ralph W. Pike, Louisiana State University.

## 같이 보기
* 오일러-라그랑주 방정식

## 각주


분류:물리학 개념
분류:해석학 (수학)
분류:수학적 최적화