바나흐 대수

함수해석학에서 **바나흐 대수**(Banach代數, )는 바나흐 공간과 결합 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 집합이다. 대표적인 예로 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 연속 함수 공간이나 바나흐 공간 위의 유계 작용소 공간이 있다.

## 정의
\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. **<math>\mathbb K</math>-노름 대수**() (A,+,0,\cdot,1,\|\|)는 다음과 같은 구조가 주어진 집합이다.
* (A,+,0,\|\|)는 \mathbb K-노름 공간이다.
* (A,+,0,\cdot,1)는 \mathbb K-결합 대수이다.
또한, 노름 공간 구조와 결합 대수 구조 사이에 다음과 같은 두 호환 조건이 주어져야 한다.
* (노름 부등식) \Vert a\cdot b\Vert\le\Vert a\Vert\Vert b\Vert\qquad\forall a,b\in A
* (항등원의 노름) \|1\|=1
(일부 문헌에서는 곱셈 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다.)

만약 X가 사실 바나흐 공간이라면 (즉, 완비 거리 공간이라면), **<math>\mathbb K</math>-바나흐 대수**()라고 한다.

### 유니터리 원소
\mathbb K-노름 대수 A가 주어졌다고 하자. 이는 환을 이루므로, 가역원의 개념을 정의할 수 있다. 가역원 a\in\operatorname{Unit}(A) 가운데 노름이 1인 것을 **유니터리 원소**(unitary元素, )라고 한다.

## 연산
### 반대 대수
\mathbb K-노름 대수 (A,\cdot,\|\|)에 대하여, 그 반대환 A^{\operatorname{op}}=(A,\cdot^{\operatorname{op}}), 즉
:a\cdot^{\operatorname{op}}b=b\cdot a\qquad(a,b\in A)
에 같은 노름을 부여하면, A^{\operatorname{op}} 역시 \mathbb K-노름 대수를 이룬다. 또한, 환 연산은 노름 공간 구조와 상관이 없으므로, 만약 A가 바나흐 대수라면 A^{\operatorname{op}} 역시 바나흐 대수이다.

### 직합
유한 또는 무한 개의 \mathbb K-바나흐 대수들 (A_i)_{i\in I}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 직접곱의 부분 공간
:A=\widehat\bigoplus_{i\in I}A_i=\left\{
(a_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}A_i
\colon \sup_{i\in I}\|a_i\|
위에 L1 노름
:\|(a_i)_{i\in I}\|=\sup_{i=1}^n\|a_i\|_{A_i}\qquad(a\in A)
및 성분별 곱
:(a_i)_{i\in I}\cdot(b_i)_{i\in I}=(a_ib_i)_{i\in I}\qquad(a,b\in A)
을 부여하면, 이 역시 \mathbb K-바나흐 대수를 이룬다. 이 경우 A의 항등원은
:1_A=(1_{A_1},1_{A_2},\dotsc,1_{A_n})
이다.

### 몫
\mathbb K-바나흐 대수 A의 양쪽 아이디얼 \mathfrak I\subseteq A가 주어졌으며, \mathfrak I가 닫힌집합이며, \mathfrak I\ne A라고 하자. 그렇다면, 몫환 A/\mathfrak I 위에는 자연스러운 노름
:\|a+\mathfrak I\|=\inf_{i\in\mathfrak I}\|a+i\|
을 줄 수 있다. 그렇다면, A/\mathfrak I 역시 \mathbb K-바나흐 대수를 이루며, 그 항등원은 1_A+\mathfrak I이다.

### 복소화
실수 바나흐 대수 A가 주어졌을 때, 그 복소화
:A\otimes_{\mathbb R}\mathbb C
위에 노름
:\|a\otimes_{\mathbb R}z\|=\|a\||z|
과 곱셈
:(a\otimes_{\mathbb R}z)\cdot(b\otimes_{\mathbb R}w)=ab\otimes_{\mathbb R}zw
을 부여하면, 이는 복소수 바나흐 대수를 이룬다.

### 완비화
\mathbb K-노름 대수 A가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 완비화 \bar A는 다음과 같이 자연스럽게 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다.
:\|\bar a\|_{\bar A}=\lim_{i\to\infty}\|a_i\|_A\qquad(\bar a\in\bar A)
(여기서 (a_i)_{i\in\mathbb N}\subseteq A는 \bar a\in\bar A로 수렴하는, A 속의 임의의 코시 열이다.) 그 위에 곱셈
:\bar a\bar b=\lim_{i\to\infty}a_ib_i\qquad(\bar a,\bar b\in\bar A)
을 정의하면, \bar A는 \mathbb K-바나흐 대수를 이룬다. (여기서 (a_i)_{i\in\mathbb N}\subseteq A와 (b_i)_{i\in\mathbb N}\subseteq A는 각각 \bar a,\bar b\in\bar A로 수렴하는, A 속의 임의의 두 코시 열이다.) 이를 A의 **완비화**(完備化, )라고 한다.

### 무게 부여
\mathbb K-바나흐 대수 A의 원소 w\in A가 주어졌으며, \|w\|\le1이라고 하자. 또한, w가 가역원이며, 중심에 속한다고 하자.
:w\in\operatorname Z(A)\cap\operatorname{Unit}(A)

이 경우, A 위에 새 이항 연산 \star_w를 다음과 같이 부여하자.
:a\star_wb=wab\qquad\forall a,b\in A
그렇다면 (A,\star_w,w^{-1}) 역시 \mathbb K-바나흐 대수를 이루며, \star_w에 대한 항등원은 w^{-1}이다.

### 아렌스 곱
\mathbb K-노름 대수 A의 이중 연속 쌍대 공간 A*</math> 위에 (이중) [[쌍대 노름]] 및 곱셈
:<math>\phi\chi\colon f\mapsto
\phi(a\mapsto G(f(a)))
\qquad(\phi,\chi\in A*,\;f\in A',\;a\in A)
을 정의하자. 그렇다면, A*</math>는 항상 <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수를 이룬다. (만약 <math>A</math>가 바나흐 대수가 아닌 노름 대수이더라도 <math>A*은 항상 바나흐 대수이다.) 이 연산을 **아렌스 곱**()이라고 한다.

## 성질
### 환론적 성질
**겔판트-마주르 정리**(Гельфанд-Mazur定理, )에 따르면, 실수 바나흐 대수에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 나눗셈환이다.
* 영역이며, 모든 주 아이디얼이 닫힌집합이다.
* \mathbb R (실수체) · \mathbb C (복소수체) · \mathbb H (사원수 대수) 가운데 하나이다.
또한, 복소수 바나흐 대수 가운데 나눗셈환인 것은 \mathbb C밖에 없다.

**증명 (복소수 바나흐 대수 가운데 [[나눗셈환]]인 것은 <math>\mathbb C</math>밖에 없다)**:

단위원을 갖는 복소수 바나흐 대수의 모든 원소는 공집합이 아닌 스펙트럼을 가진다. (이는 실수 바나흐 대수에 대해서는 성립하지 않는다.) A가 복소수 바나흐 대수라고 하고, A의 0이 아닌 모든 원소가 가역원이라고 하자. 임의의 원소 a\in A에 대하여, \lambda_a\in\mathbb C가 a의 스펙트럼의 원소라고 하자. 즉, \lambda_a-a는 가역원이 아니다. 가정에 따라서 a=\lambda_a이다. 즉, a의 스펙트럼은 하나의 원소만을 가진다. 이에 따라 a\mapsto\lambda_a는 동형 사상 A\cong\mathbb C를 이룬다.


실수 바나흐 대수 가운데 뇌터 가환환인 것은 유한 차원이다. 특히, 실수 바나흐 대수 가운데 뇌터 가환환이며 정역인 것은 \mathbb R와 \mathbb C 밖에 없다.

복소수 바나흐 대수 B의 임의의 두 원소 a,b\in B에 대하여, ab-ba\ne1이다. (이는 ab와 ba의 스펙트럼이 0을 제외하고 서로 같기 때문이다.)

### 위상수학적 성질
\mathbb K-바나흐 대수는 위상환을 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈은 연속 함수를 이룬다.

\mathbb K-바나흐 대수의 가역원군은 위상군을 이룬다. 구체적으로, \mathbb K-바나흐 대수 B의 가역원군 \operatorname{Unit}(B)\subseteq B는 B의 열린집합이며, 역원 함수
:(-)^{-1}\colon\operatorname{Unit}(B)\to\operatorname{Unit}(B)
는 연속 함수이다.

### 스펙트럼

임의의 \mathbb K-바나흐 대수 B의 원소 b\in B의 **[[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]**은 다음과 같다.
:\sigma(b)=\left\{\lambda\in\mathbb K\colon\nexists (\lambda-b)^{-1}\right\}
이는 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼의 개념의 일반화이다.

### 겔판트 표현
가환 복소수 바나흐 대수 B가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
* B의 극대 아이디얼의 집합 \operatorname{Max}(B)
* (항등원을 보존하는) 결합 대수 준동형 B\to\mathbb C의 집합 \Delta(B). (이는 물론 전단사 함수이어야 한다.)
구체적으로, 이는 다음과 같이 정의된다.
:극대 아이디얼 \mathfrak m\in\operatorname{Max}(B)에 대하여, B/\mathfrak m은 체인 복소수 바나흐 대수이므로, B/\mathfrak m\cong\mathbb C이다. 따라서, 몫 준동형 (/\mathbb m)\colon B\twoheadrightarrow B/\mathfrak m\cong\mathbb C이 존재한다.
이 때문에, B의 극대 아이디얼은 **지표**(指標, )라고도 한다.

임의의 지표 \chi\in\Delta(B)는 항상 연속 함수이다. (이는 그 핵 \mathfrak m\in\operatorname{Max}(B)는 항상 닫힌집합이기 때문이다.) 또한, 그 작용소 노름은 항상 1이다. 이에 따라, \Delta(B) 위에 점별 수렴 위상을 부여하면, \Delta(B)는 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 특히, 복소수 바나흐 대수 \mathcal C^0(\Delta(B),\mathbb C)를 정의할 수 있다.

이 경우, B의 **겔판트 표현**(Гельфанд表現, )은 다음과 같다.
:\hat\;\colon B\to\mathcal C^0(\Delta(B),\mathbb C)
:\hat b\colon\chi\mapsto\chi(b)\qquad(b\in B,\;\chi\in\Delta(B))
이는 결합 대수 준동형을 이루며, 또한 스펙트럼을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.
:\sigma(b)=\sigma(\hat b)=\{\chi(b)\colon\chi\in\Delta(B)\}\subseteq\mathbb C\qquad\forall b\in B
여기서 우변은 복소수 바나흐 대수 \mathcal C^0(\Delta(B),\mathbb C)에서 취한 스펙트럼이다.

## 예
### 연속 함수 공간
공집합이 아닌 콤팩트 하우스도르프 공간 X 위에 정의된 연속 함수의 공간 \mathcal C^0(X,\mathbb K)은 (균등 노름 및 점별 합과 곱에 대하여) \mathbb K-바나흐 대수를 이룬다.

### 나눗셈 대수
실수체 \mathbb R · 복소수체 \mathbb C · 사원수 대수 \mathbb H는 모두 실수 바나흐 대수를 이룬다. 이 가운데 \mathbb C는 추가로 복소수 바나흐 대수를 이룬다. (\mathbb R와 \mathbb H는 복소수 바나흐 대수를 이루지 못한다.)

### 유클리드 공간
자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 유한 차원 \mathbb K-벡터 공간 V=\mathbb K^n 위에 1-노름
:\|(a_1,\dotsc,a_n)\|=\max\{a_1,\dotsc,a_n\}
및 성분별 곱
:(a_1,\dotsc,a_n)\cdot(b_1,\dotsc,b_n)=(a_1b_1,\dotsc,a_nb_n)
을 부여하면, 이는 가환 \mathbb K-바나흐 대수를 이룬다. 그 가역원군은
:\operatorname{Unit}(V)=(\mathbb K^\times)^n
이다.

### 유계 작용소
1차원 이상의 \mathbb K-노름 공간 V 위의 V\to V 유계 작용소들의 집합 \operatorname B(V,V)는 작용소 노름과 함수의 합성에 의하여 \mathbb K-노름 대수를 이룬다. 만약 V가 \mathbb K-바나흐 공간이라면, \operatorname B(V,V)는 \mathbb K-바나흐 대수를 이룬다.

### C* 대수

모든 C* 대수는 복소수 바나흐 대수를 이룬다. 구체적으로, C* 대수 (A,^*)가 주어졌을 때, 그 위에 노름
:\|a\|=\sup\left\{\sqrt\colon \lambda\in\mathbb C,\;\lambda-a^*a\not\in\operatorname{Unit}(A)\right\}
을 부여하면 이는 바나흐 대수를 이룬다.

### 위상군 위의 함수
콤팩트 하우스도르프 위상군 G 위의 (왼쪽 하르 측도에 대한) 르베그 공간 \operatorname L^1(G;\mathbb K)은 \mathbb K-바나흐 대수이다. 그 위에 합성곱
:(f*g)(x)=\int_Gf(y)g(y^{-1}x)\;\mathrm dy\qquad(f,g\in\operatorname L^1(G;\mathbb K))
을 부여하면, 이는 \mathbb K-바나흐 대수를 이룬다.

## 역사
‘바나흐 대수’라는 이름은 스테판 바나흐를 딴 것이다. 그러나 바나흐 대수의 이론은 스테판 바나흐와 큰 관계가 없으며, 다만 바나흐가 연구한 바나흐 공간을 이루기 때문에 이러한 이름이 붙었다.

바나흐 대수의 개념은 나구모 미치오(, 1905~1995)가 1936년에 ‘선형 계량환’()이라는 이름으로 도입하였다. 이후 이즈라일 겔판트가 이를 ‘노름환’()이라는 이름으로 재도입하였고, 이에 대하여 자세히 연구하였다. 1945년에 워런 앰브로즈(, 1914~1995)가 ‘바나흐 대수’()라는 용어를 도입하였다.

아렌스 곱은 리하르트 프리드리히 아렌스(, 1919~2000)가 1951년에 도입하였다.

겔판트-마주르 정리는 이즈라일 겔판트와 스타니스와프 마주르의 이름을 땄다. 마주르가 1938년에 증명하였는데, 저널에 페이지가 모자라 증명을 싣지 못하고 정리 자체만 출판하였다. 1941년에 이즈라일 겔판트가 독자적으로 증명하였다.

## 각주

## 외부 링크
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