2차원 𝒩=2 초등각 장론

양자장론에서, **2차원 <math>\mathcal N=2</math> 초등각 장론**(二次元\mathcal N=2超等角場論, )은 두 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다. 끈 이론 및 거울 대칭에서 중요한 역할을 한다.

## 𝒩=2 초등각 대수
2차원 \mathcal N=2 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.

통상적으로, \hat c를 다음과 같이 정의한다.
:\hat c=c/3
이는 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형의 경우, 칼라비-야우 다양체의 복소수 차원에 해당한다.

이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다. 여기서 \cdots는 z\to0에서 비특이항을 뜻한다.
:T(z)T(0)=\frac32\hat cz^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots
:T(z)G^\pm(0)=\frac32z^{-2}G^\pm(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots
:T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots
:J(z)J(0)=\hat cz^{-2}+\cdots
:J(z)G^\pm(0)=\pm z^{-1}G^\pm(0)+\cdots
:G^\pm(z)G^\pm(0)=\cdots
:G^\pm(z)G^\mp(0)=\hat cz^{-3}\pm z^{-2}J(0)+z^{-1}\left(T(0)\pm\frac12\partial J(0)\right)+\cdots

### 모드 전개
\mathcal N=2 대수의 생성원은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.
:T(z)=\sum_nz^{n-2}L_{-n}
:G^\pm(z)=\sum_{r\in\mathbb Z\pm\eta}z^{r-3/2}G_{-r}^\pm
:J(z)=\sum_nz^{n-1}J_{-n}
여기서 NS 경계 조건의 경우 \eta=0이며 R 경계 조건의 경우 \eta=1/2이다.

이들은 다음과 같은 교환자를 갖는다.
:*c*는 모든 원소와 가환
:[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n} +\frac14\hat c(m^3-m) \delta_{m+n,0}
:[L_m,J_n]=-nJ_{m+n}
:[J_m,J_n]=\hat cm\delta_{m+n,0}
:\{G_r^+,G_s^-\}=L_{r+s} +\frac12(r-s)J_{r+s} +\frac12\hat c(r^2-{1\over 4}) \delta_{r+s,0}
:\{G_r^+,G_s^+\}=0=\{G_r^-,G_s^-\}
:[L_m,G_r^{\pm}]=(m/2-r) G^\pm_{r+m}
:[J_m,G_r^\pm]= \pm G_{m+r}^\pm

### 대역적 대수
NS 대수에서, L_0, L_{\pm1}, J_0, G^\pm_{1/2}, G^\pm_{-1/2}는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭 \mathfrak{osp}(2|2)이다. 이 리 초대수의 보손 성분 \mathfrak{so}(2)\oplus\mathfrak{usp}(2)\cong\mathfrak u(1)\oplus\mathfrak{so}(3)는 각각 R대칭 및 (정칙) 등각 대칭에 대응한다.

R 대수에서, L_0, J_0, G^\pm_0, c는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다.
:\{G^+_0,G^-_0\}=L_0-c/24
:[J_0,G^\pm_0]=\pm G^\pm_0
:[L_0,G^\pm_0]=[L_0,L_0]=[L_0,J_0]=\{G^\pm_0,G^\pm_0\}=[J_0,J_0]=0
이는 콤팩트 리만 다양체에서 \Delta, d, d^\dagger가 이루는 대수와 같다.

## 표현
### 베르마 가군
비라소로 대수의 경우와 마찬가지로, \mathcal N=2 초등각 대수의 기약 표현은 **초1차장**(超一次場, ) 위에 사다리 연산자들의 작용으로 구성된다. 초1차장 |\phi\rangle은 다음 조건을 만족시킨다.
:L_n|\phi\rangle=G_r|\phi\rangle=0\qquad\forall n,r>0
초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.
:L_{-n_1}L_{-n_2}\cdots L_{-n_k}G_{-r_1}^+G^+_{-r_2}\cdots G^+_{-r_p}G_{-s_1}^-G^-_{-s_2}\cdots G^-_{-s_q}|\phi\rangle\qquad(0
여기서 r_i 및 s_i인 것은
:(G_r^+)^2+=(G_s^-)^2=0
이기 때문이다. 또한, 0인 것은 라몽 대역 초등각 대수 (G_0^+,G_0^-,L_0,J_0,c)의 작용을 대각화시켜, 초1차장 |h,q\rangle에 대하여 항상 다음이 성립하도록 잡을 수 있기 때문이다.
:G_0^+|h,q\rangle=0

### 유니터리 초1차장의 범위
thumb|right|<math>c=6</math> <math>\mathcal N=2</math> NS 초등각 대수의 유니터리 초1차장들의 가능한 범위는 회색으로 칠해진 범위 및 굵은 실선이다. 굵은 실선과 그 점선 연장은 <math>g_r^{\operatorname{NS}}=0</math>으로 정의되며, 가는 실선 포물선은 <math>f_{1,2}^{\operatorname{NS}}=0</math>에 의하여 정의된다.
thumb|right|<math>c=6</math> <math>\mathcal N=2</math> R 초등각 대수의 유니터리 초1차장들의 가능한 범위는 회색으로 칠해진 범위 및 굵은 실선이다. 굵은 실선과 그 점선 연장은 <math>g_r^{\operatorname{R}}=0</math>으로 정의되며, 가는 실선 포물선은 <math>f_{1,2}^{\operatorname{R}}=0</math>에 의하여 정의된다.

다음과 같은 함수들을 정의하자.
:g_r^{\text{NS}}(c,h,q)=2(h-rq)+(c/3-1)(r^2-1/4)\quad(r\in\mathbb Z+1/2)
:g_r^{\text{R}}(c,h,q)=2(h-rq)+(c/3-1)(r^2-1/4)-1/4\quad(r\in\mathbb Z)
:f_{1,2}^{\text{NS}}(c,h,q)=2(c/3-1)h-q^2+\frac14(c/3+1)^2-\frac14(c/3-1)^2
:f_{1,2}^{\text{R}}(c,h,q)=2(c/3-1)(h-c/24)-q^2+\frac14(c/3+1)^2
:q_{k,l,m}^{\text{NS}}=-\frac m{k+2}
:q_{k,l,m}^{\text{R}}=-\frac m{k+2}+\frac12
:h_{k,l,m}^{\text{NS}}=\frac{l(l+2)-m^2}{4(k+2)}
:h_{k,l,m}^{\text{R}}=\frac{l(l+2)-m^2}{4(k+2)}+\frac18
g_r=0은 (q,h) 반평면에 직선을 정의하며, f_{1,2}=0은 (q,h) 반평면에 포물선을 정의한다.

그렇다면, \mathcal N=2 대수의 유니터리 표현은 다음과 같은 세 가지가 있다.

c\ge3일 경우, 유질량 · 무질량 유니터리 표현이 존재한다. 유질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 양수이며, 따라서 유니터리 표현이다. 무질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 0이다. c일 경우, 가능한 유니터리 표현들은 \mathcal N=2 최소 모형에 등장하는 것들이다.

특히, G^+_r에서 r\in\mathbb Z+\epsilon이라고 한다면,
:0\le\langle h,q|G^\pm_{\epsilon}G^\mp_{-\epsilon}|h,q\rangle+\langle h,q|G^\mp_{-\epsilon}G^\pm_{+\epsilon}|h,q\rangle
=\langle h,q|\{G^\pm_{\epsilon},G^\mp_{-\epsilon}\}|h,q\rangle
=\langle h,q|(L_0\pm \epsilon J_0+c(\epsilon^2-1/4)/6)|h,q\rangle=h\pm \epsilon q+c\frac{4\epsilon^2-1}{24}
이므로, 항상
:h+c\frac{4\epsilon^2-1}{24}\ge|\epsilon q|
가 성립한다. 즉, NS 경계 조건에서는
:h\ge 2|q|
이며 (g_{\pm1/2}^{\text{NS}}\ge0), R 경계 조건에서는
:h\ge c/24
이다 (g_0^{\text{R}}\ge0). NS (반)손지기장 또는 R 바닥 상태는 위 부등식을 포화시킨다.

g_r=g_{r+\operatorname{sgn}r}=0이 되는 점들은 다음과 같은 포물선 위에 위치한다.
:\frac{q^2}{2(c/3-1)}=\begin{cases}h&\text{NS}\\h-1/8&\text{R}\end{cases}
즉, 유질량 초1차장들은 이 포물선의 상부 h\ge q^2/(2(c/3)-1)+\{0,1/8\}에만 존재할 수 있다.

### ''c''=3인 경우
유니터리 표현의 분류는 c=3인 경우에 단순해진다. 이 중심 전하는 자유 보손 · 페르미온 이론의 중심 전하와 같다. 이 경우,
:g_r^{\text{NS}}(c,h,q)=2(h-rq)\quad(r\in\mathbb Z+1/2)
:g_r^{\text{R}}(c,h,q)=2(h-rq)-1/4\quad(r\in\mathbb Z)
:f_{1,2}^{\text{NS}}(c,h,q)=f_{1,2}^{\text{R}}(c,h,q)=1-q^2
이므로, 유질량 표현은 존재하지 않으며, 무질량 표현들은 다음과 같다.
:|q|\le1
:h=\begin{cases}|q|/2,3|q|/2,5|q|/2,\dots&\text{NS}\\
1/8,|q|+1/8,2|q|+1/8,\dots&\text{R}\end{cases}

### BPS 상태
NS 초1차장 가운데 만약
:q=\pm 2h
인 상태 |h,\pm2h\rangle가 있다면,
:G^{\pm}_{-1/2}|h,\pm2h\rangle=0
이 된다. 이는 BPS 상태의 일종이며, + 부호일 경우 **손지기장**(), &minus; 부호일 경우 **반손지기장**()이라고 한다. 유니터리 NS (반)손지기장의 경우 f_{1,2}^{\text{NS}}\ge0 조건에 의하여
:2h=|q|\le c/3
이다.

특별한 경우로, 진공 h=q=0일 경우에는
:L_{-1}|0,0\rangle=G^\pm_{-1/2}|0,0\rangle=0
이다.

라몽 초1차장 가운데, 만약 h=c/24일 경우,
:G_0^\pm|c/24,q\rangle=0
이 성립한다. 이는 g_0^{\text{R}}=0과 같은 조건이다. 이 역시 BPS 상태의 일종이며, 이러한 상태를 **라몽 바닥 상태**()라고 한다.
유니터리 라몽 초1차장의 경우 f_{1,2}^{\text{R}}\ge0 조건에 의하여
:|q|\le c/6+1/2
이다.

### 초공간
2차원 \mathcal N=(2,2) 초대칭은 초공간 \mathbb R^{2|4}를 사용하여 나타낼 수 있다. 이 경우, 보손 좌표 \mathbb R^2는 복소평면 \mathbb C로 여겨, 복소수 좌표 (z,\bar z)로 적을 수 있으며, 페르미온 좌표도 두 개의 반가환 복소수 (\theta^\pm,\bar\theta^\mp)로 나타낼 수 있다. 이 때
:(\theta^\pm)^*=\bar\theta^\mp
이다. 이 경우, \theta^\pm 및 \bar\theta^\pm은 각각 스핀 \pm1/2를 갖는다. 즉, 이는 국소적으로 복소수 외대수
:\mathcal C^\omega(\mathbb C)\otimes_{\mathbb C}\bigwedge(\mathbb C^2)
의 층을 갖는 환 달린 공간이다.

일반적 초장은
:\Phi(z,\bar z,\theta^\pm,\bar\theta^\mp)=\phi(z,\bar z)+\theta^+f_+(z,\bar z)+\theta^-f_-(z,\bar z)+\bar\theta^+g_+(z,\bar z)+\bar\theta^-g_-(z,\bar z)+\theta^+\theta^-h(z,\bar z)
와 같이, 총 6개의 장으로 구성된다. 여기에 공변 초미분 D^\pm, \bar D^\pm을 정의하면 **손지기 초장**()
:\bar D_\pm\Phi=0
및 **반손지기 초장**(
:\bar D_\pm\Phi=0
및 **뒤틀린 손지기 초장**()
:\bar D_+\Phi=D_-\Phi=0
및 **뒤틀린 반손지기 초장**()
:D_+\Phi=\bar D_-\Phi=0
이 존재한다. 이들은 \mathcal N=(2,2) 초등각 대칭에서, 정칙 초등각 대수에 대하여 (반)손지기장이자 반정칙 초등각 대수에 대하여 손지기장인 초등각 대수 기약 표현을 나타낸다.

## 성질
### 위상 뒤틀림
정칙 \mathcal N=2 초등각 장론이 주어졌을 때, 그 힐베르트 공간 \mathcal H 위에
:Q^2=(G^\pm_{-1/2})^2=0
이므로, 이를 사용하여 코호몰로지를 정의할 수 있다. 즉, G^\pm_{-1/2}를 BRST 연산자로 간주할 수 있다. 이렇게 하면 위상 양자장론을 얻게 되고, 이 경우 살아남는 상태들은
:h=\pm q/2
인 것들, 즉 (Q=G^+_{-1/2}인 경우) 손지기장 또는 (Q=G^-_{-1/2}인 경우) 반손지기장이다. 이들은 BPS 상태이며, 각각 손지기환() 및 반손지기환()이라는 등급 가환환을 이룬다.

비정칙 \mathcal N=(2,2) 초등각 장론이 주어졌을 때에는 서로 동치이지 않는 두 개의 위상 뒤틀림이 존재하며, 다음과 같다.
:Q_A=\bar G^+_{-1/2}+G^-_{-1/2}
:Q_B=\bar G^+_{-1/2}+G^+_{-1/2}
이 경우, A-뒤틀림은
:(h,\bar h)=(-q/2,\bar q/2)
인 것들을 남기고 (ac환 ), B-뒤틀림은
:(h,\bar h)=(q/2,\bar q/2)
인 것들을 남긴다 (cc환 ). 여기서 ‘a’와 ‘c’는 (반)손지기()의 영어 머릿글자이다. aa환과 cc환이 서로 동형이며, ac환과 ca환이 서로 동형이다.

### 스펙트럼 흐름
\mathcal N=2 NS 대수 및 R 대수는 사실 서로 동형이며, 이 동형을 **스펙트럼 흐름**()이라고 한다.

스펙트럼 흐름은 어떤 연속 매개변수 \eta\in\mathbb R에 대한 유니터리 변환으로 구현되며, \eta=1/2라면 이는 NS 경계 조건에서 R 경계 조건으로 가는 변환이며, \eta=1이라면 이는 NS 또는 R 경계 조건에서의 자기 동형을 이룬다. 이에 따라, 등각 무게와 R대칭 전하는 다음과 같이 변환한다.
:h\mapsto h-\eta q+c\eta^2/6
:q\mapsto q-c\eta/3
스펙트럼 흐름 아래
:h-\frac 3{2c}q^2
는 불변량이다. 즉, 다음과 같이 로런츠 변환과 유사하게 작용한다.
:\binom{\sqrt{2ch/3}}q\mapsto\begin{pmatrix}
\cosh\theta&\sinh\theta\\
\sinh\theta&\cosh\theta
\end{pmatrix}\binom{\sqrt{2ch/3}}q
여기서
:\sqrt{2ch/3}\,d\theta=\frac c3\,d\eta
이므로,
:\eta=\sqrt{6h/c}(\sinh\theta)+\frac{3q}c(\cosh\theta-1)
이다.

이에 따라, \eta=1/2일 때 손지기장 h=q/2은 (h',q')=(c/24,q-c/6)인 R 바닥 상태로 대응된다. 마찬가지로, \eta=1인 경우, 손지기장 h=q/2는 반손지기장 (h',q')=(c/6-q/2,q-c/3)으로 대응된다.

### 모듈러 불변성
\mathcal N=(2,2) 초등각 장론이 주어졌을 때, R대칭에 대한 퓨가시티
:y=\exp(2\pi iz)
:\bar y=\exp(-2\pi i\bar z)
:q=\exp(2\pi i\tau)
:\bar q=\exp(-2\pi i\bar \tau)
를 삽입하여, 다음과 같은 분배 함수를 정의할 수 있다.
:Z(q,\bar q,y,\bar y)=\operatorname{tr}_{\operatorname{NS}}\left(q^{L_0-c/24}\bar q^{\bar L_0-c/24}y^{J_0}\bar y^{\bar J_0}\right)=
\sum_{(h,\bar h,q,\bar q)}q^{h-c/24}\bar q^{\bar h-c/24}y^j\bar y^{\bar j}
이는 모듈러 군의 S변환
:S\colon(\tau,z)\mapsto(\tau',z')=(-1/\tau,z/\tau)
아래 다음과 같이 변환한다.
:Z(\tau,z)=\exp(-\pi icz^2/3\tau)\exp(\pi ic\bar z^2/3\bar\tau)Z(\tau',z')
즉, S변환에 대하여 복소수 위상을 얻는다.

이와 유사하게, R 경계 조건에서 페르미온 수 (-1)^F=\exp(i\pi(J_0-\bar J_0))를 삽입하여, 다음과 같은 **타원 종수**(楕圓種數, )를 정의할 수 있다.
:Z(\tau,z)=\operatorname{tr}_{\operatorname{R}}\left((-1)^Fq^{L_0-c/24}\bar q^{\bar L_0-c/24}y^{J_0}\right)
이는 위튼 지표의 일반화이며, \tau 및 z에 대하여 정칙 함수이다. 이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.
:Z(\tau,z)=Z(\tau,-z)=Z(\tau+1,z)
:Z(\tau,z)=\exp(-\pi icz^2/3\tau)Z(-1/\tau,z/\tau)
따라서, 타원 종수는 무게 0, 지표 \hat c/2의 약한 야코비 형식을 이룬다.

## 예
### 자유 이론
2차원 \mathcal N=2 초등각 장론의 가장 간단한 예는 자유 입자로 구성된 이론이다. 이 이론은 c=3을 가지며, 정칙 이론의 경우, 존재하는 비라소로 1차장은 다음과 같다.

이 이론은 진공 밖에, 하나의 손지기 초1차장 \psi^+과 하나의 반손지기 초1차장 \psi^-를 갖는다. 즉, 손지기환은 \mathbb Z/(2)와 동형이다.

이들로부터 정의되는 \mathcal N=2 대수는 구체적으로 다음과 같다. 복소수 보손 \phi의 실수 · 허수 성분의 모드 전개를 각각 a_n, b_n이라고 하고, 복소수 페르미온 \psi의 모드 전개를 e_r라고 하자. 이들은 다음과 같은 교환 관계를 만족시킨다.
: \displaystyle{[a_m,a_n]={m\over 2}\delta_{m+n,0},\,\,\,\, [b_m,b_n]={m\over 2}\delta_{m+n,0}},\,\,\,\, a_n^*=a_{-n},\,\,\,\, b_n^*=b_{-n}
: \displaystyle{\{e_r,e^*_s\}=\delta_{r,s},\,\,\,\, \{e_r,e_s\}=0.}
그렇다면 다음과 같이 \hat c=1 \mathcal N=2 초등각 대수를 구성할 수 있다.
:L_n = \sum_m : a_{-m+n} a_m  : + \sum_m : b_{-m+n} b_m : + \sum_r (r+{n\over 2}): e^*_{r}e_{n+r} :
:J_n = \sum_r : e_r^*e_{n+r} : 
: G^+_r=\sum (a_{-m} + i b_{-m}) \cdot e_{r+m}
:G_r^-=\sum (a_{r+m} - ib_{r+m}) \cdot e^*_{m}

### 최소 모형

\hat c인 일련의 \mathcal N=2 최소 모형들이 존재한다. 이들은 정칙 이론들이며, 비정칙 \mathcal N=2 모듈러 불변 최소 모형들은 일종의 ADE 분류에 따라 분류된다.

### 잉여류 모형
단순 리 군 G 및 닫힌 부분군 H\le G가 주어졌으며, \operatorname{rank}G=\operatorname{rank}H이며, H의 중심의 차원이 양수일 때, 잉여류 공간 G/H는 콤팩트 켈러 다양체이며, 그 위에 **가자마-스즈키 모형**()이라는 \mathcal N=2 등각 장론을 정의할 수 있다. 이는 가자마 요이치()와 스즈키 히사오()가 도입하였다.

### 시그마 모형
복소수 d차원 칼라비-야우 다양체 위에 정의된 2차원 시그마 모형은 \hat c=c/3=d인 \mathcal N=(2,2) 초등각 장론을 이룬다.

임의의 초다중항은 왼쪽 손지기인지 여부와 오른쪽 손지기인지의 여부에 따라서, 다음과 같이 세 가지로 분류된다.
* 0-BPS 상태. 즉, 왼쪽 손지기도, 오른쪽 손지기도 아니다. 이는 칼라비-야우 다양체의 기하학적 (비(非)위상수학적) 성질로부터 결정된다.
* ¼-BPS 상태. 왼쪽 손지기이지만 오른쪽 손지기가 아니거나, 그 반대이다. 이는 타원 종수로부터 결정된다.
* ½-BPS 상태. 왼쪽 · 오른쪽 손지기이다. 이는 위상 뒤틂으로 얻어지는 (c,c) 또는 (a,c) 환에 속하며, 이러한 상태의 수는 칼라비-야우 다양체의 호지 수에 의하여 결정된다.
타원 종수는 야코비 형식을 이루는데, 낮은 차원 (d\le3)의 경우 이러한 야코비 형식의 벡터 공간은 1차원이며, 따라서 호지 수로부터 완전히 결졍된다.

## 응용
\mathcal N=2 초등각 장론은 초끈 이론에서 4차원 \mathcal N=1 진공해를 얻기 위하여 사용된다.

## 역사
1976년에 초끈 이론에서 최초로 발견되었고, 1977년에 빅토르 카츠가 같은 대수를 독자적으로 재발견하였다.
그 유니터리 표현들은 1986년에 분류되었다. 이후 1988년에 NS 대수와 R 대수가 스펙트럼 흐름으로 서로 동형임이 밝혀졌다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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## 같이 보기
* 2차원 등각 장론
* 2차원 𝒩=1 초등각 장론
* 2차원 𝒩=4 초등각 장론
* 끈 이론
* 초대칭
* 최소 모형 (등각 장론)
* 야코비 형식

분류:끈 이론
분류:등각 장론
분류:리 대수
분류:표현론
분류:초대칭