유클리드 정역

**유클리드 정역**(Euclid整域, ), 또는 **유클리드 환**(-環, )은 특수한 구조를 가지고 있어서 유클리드 호제법과 비슷한 과정이 가능한 정역이다.

## 정의
정역 R 위의 **유클리드 함수**() f\colon R \setminus \{0\} \to \mathbb N는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.
* 임의의 a\in R 및 b\in R\setminus\{0\}에 대하여, a=bq+r이며 r=0 또는 f(r)인 q,r\in R가 존재한다.
**유클리드 정역**은 유클리드 함수가 적어도 하나가 존재하는 정역이다.

일부 문헌에서는 유클리드 함수의 정의에 다음 조건을 추가하기도 한다.
* 임의의 a,b\in R\setminus\{0\}에 대하여, f(a)\le f(ab)
그러나 이 조건을 추가해도 유클리드 정역의 정의는 바뀌지 않는다. 즉, (더 약한 정의에 대한) 유클리드 함수를 갖춘 정역은 항상 더 강한 정의에 대한 유클리드 함수를 갖춘다.

반면, 다음 조건을 생각하자.
* 임의의 a,b\in R\setminus\{0\}에 대하여, f(ab)=f(a)f(b)
이 조건을 만족시키는 유클리드 함수를 갖지 않는 유클리드 정역은 존재하며, 이는 최근에야 증명되었다.

#### 초한 유클리드 정역
정역 R 위의 **초한 유클리드 함수**() f\colon R \setminus \{0\} \to \operatorname{Ord}는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.
* 임의의 a\in R 및 b\in R\setminus\{0\}에 대하여, a=bq+r이며 r=0 또는 f(r)인 q,r\in R가 존재한다.

정역 R에 대하여, 그 부분 집합의 초한 열 (R_\alpha)_{\alpha\in\operatorname{Ord}}을 다음과 같이 재귀적으로 정의하자.
:R_\alpha=\left\{b\in R\colon\forall a\in R\exists r\in\{0\}\cup\bigcup_{\beta

정역 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 **초한 유클리드 정역**이라고 한다.
* R 위에 초한 유클리드 함수가 적어도 하나 존재한다.
* R_\alpha=R인 순서수 \alpha가 존재한다.

초한 유클리드 정역 R 위에는 항상 ‘최소의’ 초한 유클리드 함수 g\colon R\setminus\{0\}\to\operatorname{Ord}가 존재한다. 즉, 임의의 초한 유클리드 함수 f\colon R\setminus\{0\}\to\operatorname{Ord} 및 r\in R\setminus\{0\}에 대하여 g(r)\le f(r)이다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
:g(r)=\min\{\alpha\colon r\in R_\alpha\}
g(r)=0인 원소는 R의 가역원이다. g(r)=1인 원소는 R의 **보편 옆 약원**()이라고 한다.

초한 유클리드 정역 R에 대하여 다음 다섯 순서수는 일치한다.
* R 위의 초한 유클리드 함수의 상의 최소 순서형
* g(R\setminus\{0\})
* R_\alpha=R인 최소의 \alpha
* R_\alpha=R_{\alpha+1}인 최소의 \alpha
* 0\in R_\alpha인 최소의 \alpha

(일반적인 정역의 경우, R_\alpha=R_{\alpha+1}인 최소의 \alpha가 존재하지만, R_\alpha\ne R일 수 있다.)

정역 R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 유클리드 정역이다.
* R_\omega=R

## 성질
모든 체는 자명하게 유클리드 정역을 이루며, 모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이다. 일반적으로, 다음 포함 관계가 성립한다.
:가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

### 초한 유클리드 정역
보다 일반적으로, 모든 초한 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이다.

체가 아닌 초한 유클리드 정역은 보편 옆 약원을 갖는다.

가능한 g(R\setminus\{0\})의 모임은
:\{\omega^\alpha\colon\alpha\in\operatorname{Ord}\}
이다. 특히,
* 유클리드 정역 R의 경우, (체의 경우) g(R\setminus\{0\})=1이거나 (체가 아닌 경우) g(R\setminus\{0\})=\omega이다.
* 유클리드 정역이 아닌 초한 유클리드 정역이 존재한다.

대수적 수체의 대수적 정수환의 경우, 유클리드 정역인 것과 초한 유클리드 정역인 것은 동치이다.

## 예
* 정수환 \mathbb{Z}는 유클리드 정역을 이루며, 이 경우 유클리드 함수를 절댓값 |\cdot|으로 잡을 수 있다. 절댓값이 유클리드 함수라는 것은 나눗셈 정리의 따름정리다.
* 체 K 위의 다항식환 K[x]는 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 다항식의 차수 \deg p\in\mathbb N이다.
* 체 K 위의 형식적 거듭제곱 급수의 환 Kx 역시 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 형식적 거듭제곱 급의 차수 \deg p\in\mathbb Z이다.
* 가우스 정수의 환 \mathbb Z[i]은 유클리드 정역이다. 이 경우 유클리드 함수는와 같이 정의할 수 있다.

### 다항식환의 유클리드 함수
다항식환 K[x]에서, 차수 \deg가 유클리드 함수를 이룬다는 사실은 다음과 같이 보일 수 있다. f,g\in K[x]이며, g\ne0이라고 하자. 이 경우,
:f=gq+r
이며 \deg r인 q,r\in K[x]의 존재를 보이면 된다.

집합 S\subset K[x]를
:S=\{f-gh\colon h\in K[x]\}
와 같이 정의하자. 자명하게, S가 공집합일 수는 없다. r를 S의 원소 중 차수가 제일 작은 다항식이라 하자. 그렇다면
:f=gq+r
를 만족시키는 q\in K[x]가 존재한다. 이제, \deg r이거나 \deg r\ge\deg g이다. 귀류법을 사용해, \deg r\ge\deg g라고 가정하자.
:r=ax^{\deg r}+\cdots
:g=bx^{\deg g}+\cdots
라면,
:\tilde r=r-(a/b)x^{\deg r-\deg g}g\in S
이지만
:\deg\tilde r
이므로 모순이다.

### 유클리드 이차 정수환
허수 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt{d})의 대수적 정수환 \mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{d})}이 유클리드 정역인 경우는 5개뿐이다.
:d\in\{-1,-2,-3,-7,-11\}
이 경우, 유클리드 함수는 항상 체 노름
:f(a+b\sqrt{d})=a^2-b^2d
으로 잡을 수 있다.

체 노름의 절댓값
:f(a+b\sqrt d)=|a^2-b^2d|
이 실수 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt d)의 대수적 정수환 \mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)} 위의 유클리드 함수인 경우는 다음 16개뿐이다. 
:d\in\{2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73\}

이는 \mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}가 유클리드 정역인 것보다 강한 조건이다. 예를 들어,
:\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{14})}=\mathbb Z[\sqrt{14}]
와
:\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{69})}=\mathbb Z[(1+\sqrt{69})/2]
위에도 (체 노름의 절댓값이 아닌) 유클리드 함수가 존재한다.

## 참고 문헌


## 외부 링크
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## 같이 보기
* 나눗셈 정리

분류:가환대수학
분류:에우클레이데스