천-베유 준동형

미분기하학에서 **천-베유 준동형**([陳]-Weil準同型, )은 리 군의 작용에 대하여 불변인 리 대수 변수 다항식을 드람 코호몰로지 동치류에 대응시키는 환 준동형이다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 연결 콤팩트 리 군의 복소화인 복소수 리 군 G
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
* G의 복소수 리 대수 \mathfrak g=\operatorname{Lie}(G)
* \mathfrak g 위의 다항식환 \mathbb C[\mathfrak g]
* \mathbb C[\mathfrak g] 위의 G의 딸림표현 작용. 이에 따라 \mathbb C[\mathfrak g]는 군환 \mathbb C[G]의 왼쪽 가군을 이룬다.
*:(g\cdot p)(x) = p(\operatorname{Ad}_gx)\qquad(g\in G,\;p\in\mathbb C[\mathfrak g],\;x\in\mathfrak g)
* G의 작용에 대한 불변량 부분 대수 \mathbb C[\mathfrak g]^G.
*:\mathbb C[\mathfrak g]^G = \left\{p\in\mathbb C[\mathfrak g]\colon p=g\cdot p\right\}
* G의 불변량 부분 대수는 동차 다항식 부분 공간들의 합으로 다음과 같이 분해된다.
*:\mathbb C[\mathfrak g]^G = \bigoplus_{k=0}^\infty \mathbb C_k[\mathfrak g]^G
*:p\in \mathbb C_k[\mathfrak g]^G \iff\forall \lambda\in\mathbb C,\;x\in\mathfrak g\colon p(\lambda x)=\lambda^kp(x)
* 동차 다항식 p\in \mathbb C_k[\mathfrak g]^G에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 k개의 변수를 갖는 함수 \bar p\colon\mathfrak g^{\oplus k}\to\mathbb C가 존재한다.
*:\bar p(x,\dotsc,x)=p(x)\qquad\forall x\in\mathfrak g
*:\bar p(x_1,\dotsc,x_k) = \bar p(x_{\sigma(1)},\dotsc,x_{\sigma(k)})\qquad\forall\sigma \in \operatorname{Sym}(k),\;(x_i)_{1\le i\le k}\in\mathfrak g^{\oplus k}

또한, 다음이 주어졌다고 하자.
* 매끄러운 다양체 M
* G-매끄러운 주다발 \pi\colon P\twoheadrightarrow M
그렇다면, **천-베유 준동형**은 다음과 같은 \mathbb C-결합 대수 준동형이다.
:\mathbb C[\mathfrak g]^G \to \operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)

### 추상적 정의
리 군 G에 대하여, 분류 공간 \mathrm EG\twoheadrightarrow\mathrm BG를 생각하자. (G의 기본군은 상관이 없다.) 그렇다면, 리 대수 코호몰로지를 통해 다음이 성립함을 보일 수 있다.
:\operatorname H^\bullet(\mathrm BG;\mathbb C) \cong \mathbb C[\mathfrak g]^G
(복소수 계수이므로, 좌변은 G의 기본군에 더 이상 의존하지 않는다.) 이 동형에서, 우변의 등급(동차 다항식의 차수)은 좌변의 등급(코호몰로지류의 차수)의 절반이다.

이에 따라, G-주다발 P는 어떤 연속 함수
:f\colon M\to\mathrm BG
에 의하여
:P = f^*\mathrm EB
로서 주어진다. 또한, 이 f는 코호몰로지 환의 등급환 준동형
:f^*\colon \mathrm H^\bullet(\mathrm BG;\mathbb Z)\to\operatorname H^\bullet(M;\mathbb Z)
을 정의한다. 이를 정수 계수 대신 복소수 계수로 취하면, f^*는 등급환 준동형
:\mathbb C[\mathfrak g]^G \to \operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)
을 정의한다. 이를 **천-베유 준동형**이라고 한다.

콤팩트 실수 리 군 G은 그 복소화와 호모토피 동치이므로, 복소수 리 군 대신 콤팩트 실수 리 군을 사용해도 좋다.

### 구체적 정의
천-베유 준동형은 구체적으로 다음과 같이 주어진다. 우선, P 위의 임의의 주접속을 고르고, 그 곡률이
:F\in\Omega^2(P;\mathfrak g)
라고 하자. 그렇다면, p\in\mathbb C_k[\mathfrak g]^G에 대하여 다음을 정의하자.
:p(F) \in \Omega^{2k}(P;\mathfrak g)
:p(F)(v_1,\dotsc,v_{2k}) = \frac1{(2k)!} \sum_{\sigma\in\operatorname{Sym}(2k)} (-)^\sigma \bar p\left(F(v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)}),\dotsc,F(v_{\sigma(2k-1)},v_{\sigma(2k)})\right)
여기서 사용된 기호는 다음과 같다.
* s\in P는 주다발 전체 공간의 점
* v_1,\dotsc,v_{2k} \in \mathrm T_sP는 주다발의 한 접공간의 2k 개의 벡터들
* (-)^\sigma는 순열의 부호수
* \operatorname{Sym}(2k)는 크기 (2k)!의 대칭군
그렇다면, 다음을 보일 수 있다.
* p의 G-불변성에 의하여, p(F)는 P 위의 닫힌 미분 형식이다. 즉, \mathrm dp(F) = 0이다.
* p(\Omega) = \pi^*\alpha_F가 되는 유일한 미분 형식 \alpha_F\in\Omega^{2k}(M;\mathbb C)가 존재하며, 이 또한 닫힌 미분 형식이다.
* 또한, \alpha_F는 사용된 주접속에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지 동치류 [\alpha_F]\in\operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)는 주접속에 의존하지 않는다.
이에 따라, **천-베유 준동형**은 다음과 같다.
:\mathbb C[\mathfrak g]^G \to \operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)
:p \mapsto [\alpha_F]

## 예
### 1차 천 특성류

\operatorname{GL}(1;\mathbb C) = \mathbb C^\times (또는 이에 대응하는 콤팩트 군 \operatorname U(1))을 생각하자. 그 분류 공간은 무한 차원 복소수 사영 공간
:\mathrm B\operatorname U(1)\simeq\operatorname{\mathbb CP}^\infty
이며, 그 유리수 계수 코호몰로지는 설리번 대수
:\operatorname H^\bullet(\operatorname{\mathbb CP}^\infty;\mathbb C) = \operatorname{Span}_{\mathbb C}\{1,x,x^2,\dotsc\}
:\deg x=2
:\mathrm dx=0
이다.

\mathbb C^\times는 아벨 군이므로, 모든 다항식이 불변량이다. 즉, 이 경우
:\mathbb C[x] \cong \operatorname H^\bullet(\operatorname{\mathbb CP}^\infty;\mathbb C)
이다.

\mathbb C^\times-주다발은 연관 벡터 다발 구성을 통하여 복소수 선다발과 동치이며, 이 경우 천-베유 특성류는 1차 천 특성류
:p(x) \mapsto p(\operatorname c_1(F))
로서 주어진다.

### 천 특성류

보다 일반적으로, G=\operatorname{GL}(n;\mathbb C)-매끄러운 주다발을 생각하자. 그렇다면, 다음을 생각하자.
:p(x) = \det\left(1-\frac x{2\pi\mathrm i}\right)\qquad(x\in\mathfrak{gl}(n;\mathbb C)) 
:p\in \mathbb C[\mathfrak{gl}(n;\mathbb C)]^{\operatorname{GL}(n;\mathbb C)}
그렇다면, 이에 대응하는 특성류는 **총 [[천 특성류]]**
:\operatorname c(P) \in \operatorname H^\bullet(M;\mathbb Z)
이다. 물론, 이를 차수별로 분해하여
:\sum_{k=0}^nt^kp_k(x) = \det\left(1-\frac{tx}{2\pi\mathrm i}\right)\qquad(t\in\mathbb C,\;x\in\mathfrak{gl}(n;\mathbb C))
:p_k \in \mathbb C_k[\mathfrak{gl}(n;\mathbb C)]^{\operatorname{GL}(n;\mathbb C)}
k차 **[[천 특성류]]**
:\operatorname c_k(P) \in \operatorname H^{2k}(M;\mathbb Z)
를 정의할 수 있다.

이 경우, \operatorname{GL}(n;\mathbb C)-주다발 P 대신, 이에 대한 (정의 표현에 대한) 연관 다발
:E = P\times_{\operatorname{GL}(n;\mathbb C)}\mathbb C^n
을 사용하여
:\operatorname c_k(E)=\operatorname c_k(P) \in \operatorname H^{2k}(M;\mathbb Z)
로 적을 수 있다.

## 역사
1940년대 말에 천싱선과 앙드레 베유가 도입하였다. 이 내용은 천싱선의 1951년 프린스턴 고등연구소 강의록에서 최초로 출판되었으며, 이 강의록의 서문에서 천싱선은 베유의 공헌을 다음과 같이 인정하였다.

## 각주

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* Shiing-Shen Chern, *Complex Manifolds Without Potential Theory* (Springer-Verlag Press, 1995) , .
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## 외부 링크
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분류:특성류