프로베니우스 사상

가환대수학과 체론에서 **프로베니우스 사상**(Frobenius寫像, )은 양의 소수 표수에서 정의되는 가환환 또는 체의 자기 사상이다.

## 정의
가환환 R의 환의 표수가 p>0이며, p가 소수라고 하자. 그렇다면 R의 **프로베니우스 사상** \operatorname{Frob}_R\colon R\to R은 다음과 같다.
:\operatorname{Frob}_R\colon r\mapsto r^p
이는 환 준동형을 이룬다. 이는
:(r+s)^p=\sum_{i=0}^p \binom{p}{i} r^is^{p-i}=r^p+s^p\qquad\forall r,s\in R\qquad\left(\because p\mid \binom pi\qquad\forall 1\le i\le p-1\right)
이기 때문이다. 위 항등식은 **신입생의 꿈**(新入生-, ) 또는 **1학년의 꿈**이라고 한다. 이름과 같이 이 항등식은 복소수체 위에서 성립하지 않는다 (예를 들어, (1+1)^p=2^p\ne 2=1^p+1^p이다).

### 스킴의 프로베니우스 사상
소수 p가 주어졌을 때, 유한체 \mathbb F_p 위의 스킴 X/\operatorname{Spec}\mathbb F_p가 주어졌다고 하자. X의 임의 아핀 부분 스킴 U에 대하여, \Gamma(U,\mathcal O_X)는 K-단위 결합 대수이며, 따라서 프로베니우스 사상을 갖는다. 프로베니우스 사상은 자연 변환이므로, 이 아핀 부분 스킴들의 프로베니우스 사상들을 서로 짜깁기할 수 있다. 이 \mathbb F_p-스킴 사상 \operatorname{Frob}_X\colon X\to X을 X의 **절대 프로베니우스 사상**이라고 한다. 절대 프로베니우스 사상은 다음과 같은 자연 변환을 이룬다.
:\operatorname{Frob}_{/\mathbb F_p}\colon\operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}\mathbb F_p}\Rightarrow \operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}\mathbb F_p}
여기서 \operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}\mathbb F_p}는 \mathbb F_p-스킴의 범주 \operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}\mathbb F_p의 항등 함자이다.

#### 산술·기하 프로베니우스 사상
\mathbb F_p-스킴 S 위의 스킴 f\colon X\to S가 주어졌다고 하자. 그렇다면, S의 절대 프로베니우스 사상 \operatorname{Frob}_S\colon S\to S와의 올곱을 취하면
:X^{(p/S)}=X\times_S\operatorname{Frob}_S
를 정의할 수 있다. 이는 함자
:\operatorname{Sch}/S\to\operatorname{Sch}/S
를 이루며, **프로베니우스 스칼라 확대**()라고 한다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상
:\operatorname{Frob}_{\operatorname a,X/S}\colon X^{(p/S)}\to X
을 **산술 프로베니우스 사상**()이라고 한다.
:\begin{matrix}
X^{(p/S)}&\overset{\operatorname{Frob_a}}\to&X\\
\downarrow&&\downarrow\\
S&\underset{\operatorname{Frob}}\to&S
\end{matrix}

만약 S의 절대 프로베니우스 사상 \operatorname{Frob}_S\colon S\to S이 자기 동형 사상이라면 (예를 들어, S가 완전체의 스펙트럼이라면), 역사상 \operatorname{Frob}_S^{-1}에 대한 올곱
:X^{(p^{-1}/S)}=X\times_S\operatorname{Frob}_S
을 생각할 수 있다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상
:\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/S}\colon X^{(p^{-1}/S)}\to X
을 **기하 프로베니우스 사상**()이라고 한다.
:\begin{matrix}
X^{(p^{-1}/S)}&\overset{\operatorname{Frob_g}}\to&X\\
\downarrow&&\downarrow\\
S&\underset{\operatorname{Frob}^{-1}}\to&S
\end{matrix}

#### 상대 프로베니우스 사상
\mathbb F_p-스킴 S 위의 스킴 f\colon X\to S가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올곱의 보편 성질에 의하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 유일한 스킴 사상 \operatorname{Frob}_{/S}\colon X\to X^{(p/S)}이 존재한다.
:\begin{matrix}
&&X\\
&{\scriptstyle f}\swarrow&\downarrow\scriptstyle\exists!&\searrow\scriptstyle{\operatorname{Frob}}\\
S&\leftarrow&X^{(p/S)}&\underset{\operatorname{Frob_a}}\to&X\\
&\scriptstyle{\operatorname{Frob}}\searrow&&\swarrow\scriptstyle f\\
&&S
\end{matrix}
이를 **상대 프로베니우스 사상**()이라고 한다. 이는 자연 변환
:\operatorname{Frob}_{/S}\colon\operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/S}\to\operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/S}
을 이룬다.

물론, S=\operatorname{Spec}\mathbb F_p라면 (또는 보다 일반적으로 \operatorname{Frob}_S=\operatorname{id}_S라면) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.

## 성질
소수 표수의 가환환 R 위의 프로베니우스 사상이 단사 함수일 필요충분조건은 R가 축소환인 것이다. 특히, 양의 표수의 체 위의 프로베니우스 사상은 단사 함수이다.

양의 표수의 체 K에 대하여 프로베니우스 사상이 전단사 함수(즉, 자기 동형)가 될 필요충분조건은 K가 완전체인 것이다.

### 고정점
유한체 \mathbb F_p 위의 프로베니우스 사상은 항등 함수이다 (페르마 소정리).
:a^p=a\qquad\forall a\in\mathbb F_p
양의 표수 p>0의 체 K/\mathbb F_p 위의 프로베니우스 사상의 고정점은 다항식 x^p-x\in K[x]의 근을 이룬다. 대수학의 기본 정리에 따라 p차 다항식의 근의 수는 p개 이하이며, \mathbb F_p\subseteq K는 이미 p개의 근을 이루므로, K 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합은 \mathbb F_p이다.
보다 일반적으로, 양의 표수 p>0의 정역 D에 대해서, 항상 분수체 \operatorname{Frac}D\supseteq D\supseteq\mathbb F_p를 취할 수 있으므로, 표수 p의 정역 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합 역시 \mathbb F_p이다.
:\{a\in D\colon a^p=a\}=\mathbb F_p

### 갈루아 군
유한체 \mathbb F_p의 유한 확대 \mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p의 갈루아 군은 순환군이다.
:\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)\cong\mathbb Z/n
프로베니우스 자기 동형
:\operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^n}}\in\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)
은 이 갈루아 군의 생성원을 이룬다.

마찬가지로, 유한체 \mathbb F_{p^m}의 유한 확대 \mathbb F_{p^{mn}}/\mathbb F_{p^m}의 갈루아 군은 순환군
:\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^{mn}}/\mathbb F_{p^m})\cong\mathbb Z/n
이며, 프로베니우스 자기 동형의 m제곱
:\overbrace{
\operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^m}}
\circ
\cdots
\circ
\operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^m}}}^m\in\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^{mn}}/\mathbb F_m)
은 그 생성원을 이룬다.

\mathbb F_{p^{mn}}의 곱셈군 F_{p^{mn}}^\times은 p^{mn}-1차 순환군이므로, 임의의 a\in\mathbb F_{p^{mn}}^\times에 대하여 a^{p^{mn}-1}=1이며, 따라서 임의의 a\in\mathbb F_{p^{mn}}에 대하여 a^{p^{mn}}=a이다. 임의의 0에 대하여, x^{p^mi}=x의 근의 수는 p^{mi} 이하이므로, a^{p^{mi}}\ne a인 a\in\mathbb F_{p^{mn}}이 존재한다. 즉,
:\phi=\overbrace{
\operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^m}}
\circ
\cdots
\circ
\operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^m}}}^m
를 생성원으로 하는 순환군은 n차 순환군이다. \phi가 갈루아 군의 원소이므로, 이 순환군의 n개의 원소 역시 갈루아 군의 원소들이다. 그런데 갈루아 군의 원소의 수는 확대의 차수
:[\mathbb F_{p^{mn}}:\mathbb F_{p^m}]=n
이하여야 한다. 따라서 이 순환군은 갈루아 군 전체와 같다.

### 스킴 위의 갈루아 군의 작용
유한체 \mathbb F_{p^n} 위의 스킴 X/\mathbb F_{p^n}가 주어졌다고 하자.
유한체 \mathbb F_{p^n}은 완전체이므로 \mathbb F_{p^n}의 프로베니우스 사상은 자기 동형 사상이며, X^{(p/\mathbb F_{p^n})} 및 X^{(p^{-1}/\mathbb F_{p^n})}은 X와 동형이다. 즉, 산술·기하 프로베니우스 사상은 X 위의 자기 사상으로 생각할 수 있다.

이제, X의 \mathbb F_{p^n}-점들의 집합 X(\mathbb F_{p^n}) 위에는 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)\cong\mathbb Z/n(의 생성원인 프로베니우스 자기 동형)이 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.
:(\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow x X)\mapsto (\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow{\operatorname{Frob}}\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow x X)
또한, X(\mathbb F_{p^n}) 위에는 산술 프로베니우스 사상으로 생성되는 순환군이 자연스럽게 작용한다.
:(\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow x X)\mapsto (\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow x X\xrightarrow{\operatorname{Frob_a}}X)
이 두 작용은 서로 일치한다.

따라서, 산술 프로베니우스 사상 \operatorname{Frob}_{\operatorname a,X/\mathbb F_{p^n}}\colon (X^{(p/\mathbb F_{p^n})}\cong X)\to X은 \mathbb F_{p^n}-점의 집합 위의 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}\mathbb F_p)\cong\mathbb Z/n의 작용을 나타낸다.

### 에탈 코호몰로지 위의 프로베니우스 사상
유한체 \mathbb F_p 위의 스킴 X/\mathbb F_p가 주어졌다고 하자. \bar X=X\otimes_{\mathbb F_p}\operatorname{Spec}\bar{\mathbb F}_p 위의 작은 에탈 위치 \bar X_{\operatorname{\acute et}}를 생각하자. 그렇다면, X 위의 상대 프로베니우스 사상
:\operatorname{Frob}_{X/\bar{\mathbb F}_p}\colon \bar X\to\bar X
과 기하 프로베니우스 사상
:\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/\bar{\mathbb F}_p}X\colon \bar X\to\bar X
은 토포스 \bar X_{\operatorname{\acute et}} 위의 같은 기하학적 사상
:f\colon\operatorname{Frob}_{X/\bar{\mathbb F}_p}=\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/\bar{\mathbb F}_p}\colon
\bar X_{\operatorname{\acute et}}\to \bar X_{\operatorname{\acute et}}을 유도한다.

특히, \bar X_{\operatorname{\acute et}} 위의 아벨 군 값의 층 \mathcal F이 주어졌다고 하면, 상대 프로베니우스 사상과 기하 프로베니우스 사상은 \mathcal F의 에탈 코호몰로지 위에 똑같이 작용한다.
:\operatorname{Frob}_{X/\bar{\mathbb F}_p}^*
=\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/\bar{\mathbb F}_p}^*
\colon\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^\bullet(\bar X;\mathcal F)
\to\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^\bullet(\bar X;f^*\mathcal F)

### 수론적 성질
대수적 수론에서, 국소체 또는 대역체의 비분기 확대에 대하여 **프로베니우스 원소**()라는, 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소를 정의할 수 있다. 이는 유체론에서 아르틴 기호를 정의하는 데 사용된다.

#### 국소체
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 두 비아르키메데스 국소체 L, K 사이의 비분기 유한 갈루아 확대 L/K
대수적 정수환 \mathcal O_L의 유일한 극대 아이디얼을 \mathfrak P\in\operatorname{Spec}\mathcal O_L라고 하고, \mathcal O_K의 유일한 극대 아이디얼을 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}\mathcal O_K라고 하자.

그렇다면, 잉여류체 \mathcal O_L/\mathfrak P와 \mathcal O_K/\mathfrak p는 둘 다 유한체이며,
:[\mathcal O_L/\mathfrak P:\mathcal O_K/\mathfrak p]=[L:K]
이다. (여기서 [:]는 체의 확대의 차수이다.) 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 원소
:\operatorname{Frob}_{L/K}\in\operatorname{Gal}\left(\frac{\mathcal O_L/\mathfrak P}{\mathcal O_K/\mathfrak p}\right)
가 존재하며, 이를 L/K의 **프로베니우스 원소**라고 한다.
:\operatorname{Frob}_{L/K}(x)\equiv x^\pmod{\mathfrak P}\qquad\forall x\in\mathcal O_L

#### 대역체
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* K/\mathbb Q가 갈루아 확대인 대수적 수체 K
* 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}(\mathcal O_K) (\mathcal O_K는 대수적 정수환). 소수 p에 대하여 \mathfrak p\mid p이며, \mathfrak p\mid p가 비분기라고 하자.
\mathfrak p가 비분기 자리이므로, 갈루아 군 \operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)은 \mathfrak p를 고정시킨다. 즉, \mathfrak p에서의 분해군()
:G_{\mathfrak p}=\{g\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)\colon g\cdot\mathfrak p=\mathfrak p\}
은 갈루아 군 \operatorname{Gal}(K/\mathbb Q) 전체이다.

이 경우,
:g(x)\equiv x^p\pmod{\mathfrak p}\qquad\forall x\in\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}
를 만족시키는 유일한 원소
:g\in\operatorname{Gal}(K_{\mathfrak p}/\mathbb F_p)
가 존재한다. (여기서 K_{\mathfrak p}는 \mathfrak p진 자리에 대한 완비체이며, 이는 잉여류체가 \mathbb F_p인 이산 값매김환의 분수체이다.) 이를 \mathfrak p의 **프로베니우스 원소** \operatorname{Frob}_{\mathfrak p}\in\operatorname{Gal}(K_{\mathfrak p}/\mathbb F_p)라고 한다.

## 예
유한체 계수의 유리 함수체 \mathbb F_p(t)의 프로베니우스 사상은 전사 함수가 아니다. 예를 들어, t는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다. 따라서 \mathbb F_p(t)는 완전체가 아니다.

## 역사
페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 도입하였다.

## 같이 보기
* 완전체
## 각주

## 외부 링크
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