프레셰 공간

함수해석학에서 **프레셰 공간**(Fréchet空間, )은 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간이다. 바나흐 공간의 일반화이다.

## 정의
프레셰 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
* 프레셰 공간은 특별한 완비 거리 공간의 구조를 가질 수 있는 국소 볼록 공간이다.
* 프레셰 공간은 그 위상이 특별한 반노름들이 족으로 유도될 수 있는 위상 벡터 공간이다.
첫 정의는 더 간단하며 직관적이지만, 실제 정리들을 증명하기 위해서는 둘째 정의가 더 유용하다.

### 거리 함수를 통한 정의
다음 조건을 만족시키는 국소 볼록 공간 X를 **프레셰 공간**이라고 한다.
* X의 위상은 평행 이동 불변(translation-invariant) 거리 함수로부터 유도될 수 있다. 또한, 이 거리 함수에 대하여 X는 완비 거리 공간이다.
이 정의에서, 거리 함수 자체는 프레셰 공간을 정의하는 데이터에 포함되지 않는다.

### 반노름을 통한 정의
실수 벡터 공간 X 위에, 반노름들의 집합
:\|\cdot\|_i\colon X \to [0,\infty)\qquad(i\in I)
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 기저 \mathcal B로서 X를 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다.
:\mathcal B = \left\{ \bigcap A \colon A \subseteq \mathcal S,\; |A| 
:\mathcal S = \left\{ \{x\in X\colon \|x-y\|_i 
이 반노름 집합에 대하여 다음과 같은 세 조건들을 고려할 수 있다.
* ㈎ I로 유도되는 위상 공간은 하우스도르프 공간이다. 즉, 임의의 x\in X에 대하여, 만약 \forall i\in I\colon \|x\|_i = 0이라면, x = 0이다.
* ㈏ I는 가산 집합이다.
* ㈐ I로 유도되는 위상에서, 모든 코시 열이 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 (x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X에 대하여, 만약 \forall\epsilon>0\forall i\in I\exists N\in\mathbb N\forall m,n\ge N\colon \|x_m-x_n\|_i 이라면, \exists x\in X\forall \epsilon>0\forall i\in I\exists N\in\mathbb N\forall n\ge N\colon \|x_n-x\|_i이다.

만약 위상 벡터 공간 X의 위상이 ㈎를 만족시키는 반노름 집합으로 유도될 수 있다면, X는 하우스도르프 국소 볼록 공간이다. 만약 X의 위상이 ㈎·㈏·㈐를 모두 만족시키는 반노름 집합으로 유도될 수 있다면, X를 **프레셰 공간**이라고 한다.

프레셰 공간은 오직 위상 벡터 공간의 구조만 갖추고 있고, 반노름을 정의하는 데이터를 갖지 않는다. 즉, 프레셰 공간은 그 위상이 일련의 반노름들로 유도될 수 있는 위상 벡터 공간이지만, 일련의 반노름을 갖추지는 않는다.

### 정의 사이의 관계
프레셰 공간 X의 위상을 정의하는 가산 개의 반노름의 열 \|-\|_{k\in\mathbb N}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, X 위에 다음과 같은 평행 이동 불변 완비 거리 함수를 줄 수 있다.
:d(x,y) = \sum_{k=0}^\infty 2^{-k}\frac{\|x-y\|_k}{1+\|x-y\|_k} \qquad (\forall x, y \in X)
이는 원래 반노름의 열과 같은 위상을 유도하며, 정의에 따라 자명하게 평행 이동 불변이다. 위 공식은 다음과 같은 단계로 유도되었다.
# 함수 a \mapsto a/(1+a)는 구간 [0,\infty)를 [0,1)에 전단사로 대응시키며, 순서를 보존한다.
# 따라서, 각 반노름들에 위 연산을 취하여, d_k(x,y) = \|x-y\|_k / (1+\|x-y\|_k) \in [0,1)을 정의한다.
# 이 반노름들을 모두 더하면, 반노름 집합과 같은 위상을 유도하는 거리 함수를 구성할 수 있다. 이 경우, 합이 항상 수렴하게 하기 위하여, 계수 2^{-k}를 삽입한다.

## 성질
프레셰 공간은 바나흐 공간의 일반화이다. 바나흐 공간은 노름을 갖추지만, 프레셰 공간은 반면 거리 공간 또는 반노름의 구조를 줄 수 있으나 노름을 갖출 필요는 없다. 모든 바나흐 공간은 프레셰 공간이지만 그 역은 성립하지 않는다.

프레셰 공간의 경우 함수해석학의 주요 정리들이 성립한다. 예를 들어, 한-바나흐 정리, 열린 사상 정리, 균등 유계성 원리 등이 성립한다. 다만, 프레셰 공간에서는 (바나흐 공간과 달리) 역함수 정리가 일반적으로 성립하지 않는다.

## 예
모든 바나흐 공간은 (자명하게) 프레셰 공간이다. 즉, 이 경우 하나의 (반)노름으로 위상이 정의된다.

### 매끄러운 함수 공간
다음이 주어졌다고 하자.
* 매끄러운 다양체 M
* M 위의 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M
또한, M 속에 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 (K_i)_{i\in\mathbb N}이 존재한다고 하자.
:M = K_0 \cup K_1 \cup K_2 \cup \dotsb
그렇다면, l\in\{0,1,\dotsc,\infty\}에 대하여, l번 미분 가능한 매끄러운 단면의 집합
:\Gamma^l(E)
은 실수 프레셰 공간을 이룬다.

구체적으로, 다음의 데이터를 임의로 고르자.
* E의 벡터 다발 접속 \nabla
* M의 리만 계량 g
* E의 양의 정부호 계량 \eta
그렇다면, \Gamma^\infty(E) 위에 다음과 같은 반노름들을 줄 수 있다.
:\left(\|s\|_{n,k}\right)^2 = \sup_{y\in K_n} \eta_{ab} g^{i_1j_1}g^{i_2j_2} \dotsm g^{i_kj_k}(\nabla_{i_1}\nabla_{i_2} \dotsm \nabla_{i_n}s^a)(\nabla_{j_1}\nabla_{j_2} \dotsm \nabla_{j_n}s^b)\qquad\forall n\in\mathbb N,\;k\in\mathbb N
이를 통해 \Gamma^l(E)는 프레셰 공간을 이룬다. 또한, 그 프레셰 공간 구조는 위에서 임의로 고른 데이터에 의존하지 않는다.

특히, 만약 (M,g)이 완비 리만 다양체일 경우, 임의의 점 x\in M에 대하여 다음과 같이 콤팩트 집합의 열을 고를 수 있다.
:K(x,n) = \{y\in M\colon d_g(x,y) \le n\} \qquad(n\in\mathbb N)
여기서 d_g \colon M \times M \to [0,\infty)는 리만 계량 g로 유도되는 거리 함수이다.

특히, 만약 E가 자명한 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면, 매끄러운 함수의 공간 \mathcal C^\infty(M, \mathbb R^n)은 프레셰 공간이다.

### 정칙 함수 공간
복소평면 위의 정칙 함수 f \colon \mathbb C \to \mathbb C의 집합 위에 다음과 같은 반노름을 부여하자.
:\|f\|_n = \sup_{|z|\le n} |f(z)|
그렇다면, 이는 프레셰 공간을 이룬다.

### 수열 공간
B가 바나흐 공간이라고 하자. 모든 B 값의 수열의 공간
:B^{\mathbb N}
위에 다음과 같은 반노름들을 부여하면, 이는 프레셰 공간을 이룬다.
:\|a\|_n = \|a_n\|_B
이 위상 벡터 공간에서, 수렴은 성분별 수렴이다.

### 역함수 정리의 실패
매끄러운 함수들의 프레셰 공간
:X = \mathbb C^\infty(\mathbb R,\mathbb R)
을 생각하자. 이 경우, 다음과 같은 함수를 생각할 수 있다.
:T \colon X \to X
:T \colon f \mapsto \exp \circ f
이 경우, 임의의 f\in X에서,
:\mathrm DT|_f \colon X \to X
:\mathrm DT|_f \colon g \mapsto \lim_{\epsilon\to0}\frac{\exp(f+\epsilon g)-\exp(f)}\epsilon = \exp(f)g
이다. 임의의 f\in X 및 x\in\mathbb R에 대하여 \exp(f(x)) \ne 0이므로, T는 모든 f\in X에서 미분 가능 함수이며, 그 미분은 가역 선형 변환이다.

T의 치역은 다음과 같이, 치역이 양의 실수로만 구성되는 매끄러운 함수들의 집합이다.
:\operatorname{im}T = \{f\in X\colon \forall x\in \mathbb R\colon f(x)>0\}
그런데 X의 기저는
:B_{f,n,N,\epsilon} = \left\{g\in X\colon \max_{k\le N}\max_{-n\le x\le n} |f^{(k)}(x)-g^{(k)}(x)| 
와 같은 꼴의 집합들로 구성되므로, X의 열린집합 가운데 T의 치역의 부분 집합인 것은 공집합 밖에 없다.

## 역사
모리스 르네 프레셰의 이름을 땄다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:F-공간
분류:위상 벡터 공간