헤론 공식

섬네일|삼각형<math>ABC</math>의 세 각 <math>A,B,C</math> 및 이들이 마주하는 변 <math>a,b,c</math>
**헤론 공식**(Heron's formula)은 삼각형의 세 변의 길이를 통해 넓이를 구하는 공식이다. 직선으로 둘러싸인 도형은 아무리 복잡한 형태를 하고 있다고 해도 반드시 삼각형으로 쪼갤 수 있다. 또, 이 공식을 사용하면 높이를 따로 구할 필요가 없기 때문에, 토지의 면적을 구하는 데 편리한 공식으로써도 알려져 있다.

## 공식
길이가 각 a, b, c 인 선분으로 이루어진 삼각형이 있을 때, 면적을 S 라 하면,
:S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
가 성립한다. 여기서,
:s=\frac{a+b+c}{2}
이다.

또 다르게 적는다면
:S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
:S=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}
:S=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}
:S=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}
이렇게 된다.

## 역사
이 공식은 알렉산드리아의 헤론이 그의 저서 《Metrica》에서 증명을 써 놓았기 때문에 헤론의 공식이란 이름이 붙여졌다. 하지만 현재에는 공식이 아르키메데스에게서 비롯한 것이거나, 훨씬 이전부터 알고 있었을 수도 있었으리라 여겨지고 있다.

## 증명
### 일반적인 방법
삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c라고 하면, 이 삼각형의 넓이 S는
: S = \frac{1}{2} ab\sin C \cdots (1)
에서, 코사인 법칙을 이용하면
:\cos C = \frac{a^2+b^2- c^2}{2ab}
:\sin C  = \sqrt{1-\cos^2 C } = \sqrt{\frac{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 - c^2)^2 }{4a^2 b^2}}.
여기서 얻어진 \sin C의 값을 (1)에 대입하면,
:S = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}

### 다른 방법
300px|오른쪽
그림과 같이 삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c 로 하고, A로부터 BC 또는 그 연장에 내린 수선 AH의 길이를 h, 선분 CH의 길이를 x라 한다. 이때 각ACB가 둔각이면 x는 음의 값을 갖는다.

피타고라스 정리에 의해 수선 AH에 의해 나뉜 삼각형AHC에 대해 다음의 식이 성립한다.
: x^2+h^2=b^2
:: 이제 h^2를 좌변으로 정리하면,
: h^2 =b^2 -x^2 \cdots (2)
:: 같은 방법으로 삼각형 AHB에 대해 다음과 같이 정리할 수 있다.
: h^2 =a^2 -(c-x)^2 
::이제 h^2를 소거하면 다음의 등식이 성립한다.
: b^2 -x^2 =a^2 -(c-x)^2 
::위의 등식을 간단히 정리하여 x에 대해 정리하면 다음과 같다.
:x=\frac{1}{2c} (c^2 +b^2 -a^2)

이를 (2)에 대입하면,
: h^2=b^2-(\frac{1}{2c} ( -a^2 +b^2 +c^2))^2
위의 등식을 h에 대해 정리하면,
: h^2=\frac{1}{4c^2 } (4b^2 c^2 -(c^2 +b^2 - a^2 )^2 )
: \therefore h=\sqrt {\frac{1}{4c^2 }}\sqrt {(4b^2 c^2 -(c^2 +b^2 -a^2 )^2 )}=\frac{1} {2c} \sqrt {(4b^2 c^2 -(c^2 +b^2 -a^2 )^2 )}

삼각형ABC의 넓이 S는 다음과 같이 계산된다.

:S=\frac{ch}{2}= \frac {c} {2} \frac{1} {2c} \sqrt {4b^2 c^2 -(c^2 +b^2 -a^2 )^2}
: \therefore S=\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}
::단,  s= \frac{a+b+c} {2}
::

#### 좌표평면을 이용한 증명
:섬네일| 좌표상의 삼각형 ABC삼각형 ABC의 세변 BC,CA,AB를 a,b,c라고 놓자.
:그리고 오른쪽 삼각형처럼 B를 원점으로 하고 한변을 X축에 놓게 좌표평면에 그릴 수 있다. 이 때 점 C는 (Z,0) 점 A는 (X,Y)라 가정할 수 있다. 먼저 a=Z,b=\sqrt{(X-Z)^2+Y^2},c=\sqrt{X^2+Y^2} 라고 할 수 있다.
:이때 s=\frac{Z+\sqrt{(X-Z)^2+Y^2}+\sqrt{X^2+Y^2}}{2}, (s=\frac{a+b+c}{2})
:s-a=\frac{-Z+\sqrt{(X-Z)^2+Y^2}+\sqrt{X^2+Y^2}}{2}
:s-b=\frac{Z-\sqrt{(X-Z)^2+Y^2}+\sqrt{X^2+Y^2}}{2}
:s-c=\frac{Z+\sqrt{(X-Z)^2+Y^2}-\sqrt{X^2+Y^2}}{2}
:\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} =\sqrt{\frac{(-Z^2+(\sqrt{(X-Z)^2+Y^2}+\sqrt{X^2+Y^2} )^2)^2}{4}}x\sqrt{\frac{(Z^2-(\sqrt{(X-Z)^2+Y^2}-\sqrt{X^2+Y^2} )^2)^2}{4}}
:=\sqrt{\frac{(2X^2+2Y^2-2XZ+2\sqrt{((X-Z)^2+Y^2)(X^2+Y^2)})}{4}} x \sqrt{\frac{(2X^2+2Y^2-2XZ-2\sqrt{((X-Z)^2+Y^2)(X^2+Y^2)})}{4}}
:=\frac{\sqrt{(YZ)(YZ)}}{2}=\frac{YZ}{2}
:
:삼각형 ABC의 넓이는 밑변인 BC 와 높이를 가지고 구할 수 있다.
:S=\frac{1}{2}BC\times h =\frac{1}{2}Z\times Y=\frac{YZ}{2}
:=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
::
:: 증명들 중에서는 일부 창의적인 방식을 통해 증명해 나가는 경우가 있다. 보조선을 사용하는 것이 그 예이다. 이때 좌표평면을 사용하면 어려운 증명이라도 계산만 복잡할 뿐 많은 것을 증명할 수 가 있다. 이제 한번 좌표평면으로 헤론의 공식을 증명해보아 별다른 방식 없이도 가능하다는 것을 보일 수 있었다.
:

## 일반화
헤론의 공식은 원에 내접하는 사각형의 넓이를 구하는 브라마굽타 공식의 특별한 경우로 생각할 수 있다.

헤론의 공식과 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 사변형에 대한 특별한 경우이다

헤론의 공식은 브라마굽타 공식 또는 브레치나이더 공식에서 사변형의 변 중 하나를 0으로 설정하여 얻을 수 있다.

또한, 헤론의 공식을 행렬식으로 표현하면 다음과 같다.
: S =  \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix}
  0 & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0   & c^2 & 1 \\
b^2 & c^2 & 0   & 1 \\
  1 &   1 &   1 & 0
\end{vmatrix} } 

사면체의 부피를 케일리-멩거 행렬식을 통해 나타낸 공식은 헤론의 공식의 일반화이다. 이를 전개한 공식은 15세기에 피에로 델라 프란체스카가 발견한 공식과 일치한다.

## 같이 보기
* 삼각함수
* 삼각행렬

## 각주


분류:삼각형에 대한 정리
분류:넓이