킬링 벡터장

리만 기하학에서 **킬링 벡터장**(Killing vector場, )은 주어진 리만 다양체의 등거리 변환의 무한소 생성원인 벡터장이다. 즉, 리만 다양체의 대칭을 나타낸다. 킬링 벡터들은 리 대수를 이루며, 이는 다양체의 등거리 변환군의 리 대수로 생각할 수 있다.

## 정의
### 킬링 벡터장
일반화 리만 다양체 (M,g)이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 벡터장 X\in\Gamma(\mathrm TM)에 대하여, 리 미분
:\mathcal L_Xg
을 정의할 수 있다. 이는 (0,2)-텐서장들의 벡터 공간 위의 선형 변환을 정의한다.

만약
:\mathcal L_Xg=0
이 성립한다면, X를 (M,g)의 **킬링 벡터장** X\in\Gamma(\mathrm TM)이라고 한다. 보다 추상적으로, 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 선형 변환
:X\mapsto \mathcal L_Xg
의 핵이다. 즉, 두 킬링 벡터장들의 합은 킬링 벡터장이며, 킬링 벡터장들의 상수 스칼라와의 곱 역시 킬링 벡터장이다.

\mathcal L_Xg=0을 국소 좌표계로 쓰면 다음과 같다.
:\nabla_{(\mu}X_{\nu)}=0
여기서 \nabla는 공변 미분이다. 즉, 킬링 벡터장의 조건은 공변 상수 벡터장의 조건(\nabla_\mu X_\nu=0)을 약화시킨 것이다.

(M,g)의 등거리 변환들은 (유한 차원) 리 군
:\operatorname{Isom}(M,g)=\{f\in\mathcal C^\infty(M;M)\colon f^*g=g\}
을 이루며, 킬링 벡터장들은 등거리 변환군의 리 대수 \mathfrak{isom}(M,g)를 이룬다.

### 킬링 지평선
일반화 리만 다양체 (M,g)의 킬링 벡터장 X가 주어졌을 때, 부분 집합 \{x\in M\colon g(X,X)|_x=0\}을 X의 **킬링 지평선**(Killing地平線, )이라고 한다. 이는 일반적으로 특이점을 가져 다양체가 아닐 수 있다.

## 성질
정의에 따라, 모든 킬링 벡터장은 등각 벡터장이다.

### 리 대수 구조
일반화 리만 다양체 (M,g)의 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 리 대수를 이룬다. 즉, 두 킬링 벡터장의 리 괄호 역시 킬링 벡터장이다. 같은 차원과 부호수를 갖는 두 일반화 리만 다양체 (M,g), (M',g')에 대하여, 표준적으로
:\mathfrak{isom}(M\sqcup M',g\sqcup g')\cong\mathfrak{isom}(M,g)\oplus\mathfrak{isom}(M',g')
이다.

k개의 연결 성분을 갖는, n차원의 일반화 리만 다양체의 킬링 리 대수의 차원은 kn(n+1)/2 이하이다. (이 상한은 예를 들어 유클리드 공간·초구·쌍곡 공간·민코프스키 공간·더 시터르 공간·반 더 시터르 공간 및 이들의 분리합집합에 의하여 포화된다.)

### 위상 수학적 성질
콤팩트 리만 다양체 (M,g)에 대하여, 다음이 성립한다.
* 만약 M의 리치 곡률 텐서가 음의 정부호 이차 형식이라면, 킬링 벡터장은 0 밖에 없다.
* 만약 모든 단면 곡률이 양수이며, M의 차원이 짝수라면, 모든 킬링 벡터장은 항상 0을 갖는다. (즉, 임의의 킬링 벡터장 X에 대하여, X|_x=0\in\mathrm T_xM인 x\in M이 존재한다.

### 조화 함수와의 관계
일반화 리만 다양체 (M,g)의 킬링 벡터장 X의 발산은 0이다.
:\nabla\cdot X=0

**유도:**

\nabla\cdot X=g^{\mu\nu}\nabla_\mu X_\nu=\frac12g^{\mu\nu}(\nabla_\mu X_\nu-\nabla_\nu X_\mu)=\frac12(g^{\mu\nu}-g^{\nu\mu})\nabla_\mu X_\nu=0


X의 2차 공변 미분은 다음과 같이 리만 곡률 텐서에 비례한다.
:\nabla_\mu\nabla_\nu X_\rho=R_{\rho\nu\mu\sigma}X^\sigma

**유도:**

리만 곡률 텐서의 정의에 따라
:[\nabla_\mu,\nabla_\nu]X_\rho=R_{\mu\nu\rho}{}^\sigma X_\sigma
이다. 킬링 벡터장의 정의에 따라
:\nabla_\mu\nabla_\nu X_\rho+\nabla_\nu\nabla_\rho X_\mu=R_{\mu\nu\rho}{}^\sigma X_\sigma
이다. 이제, 양변에 (\mu,\nu,\rho)에 대한 순환에 대하여 대칭화하면,
:
2(\nabla_\mu\nabla_\nu X_\rho+\nabla_\nu\nabla_\rho X_\mu+\nabla_\rho\nabla_\mu X_\nu)
=
(R_{\mu\nu\rho}{}^\sigma
+R_{\nu\rho\mu}{}^\sigma
+R_{\rho\mu\mu}{}^\sigma
)X_\sigma=0
이다. 따라서,
:
\nabla_\mu\nabla_\nu X_\rho
=-(\nabla_\nu\nabla_\rho X_\mu+\nabla_\rho\nabla_\mu X_\nu)
=-\nabla_\nu\nabla_\rho X_\mu+\nabla_\rho\nabla_\nu X_\mu
=R_{\rho\nu\mu\sigma}X^\sigma

이다.

특히, X의 라플라스-벨트라미 연산자는 다음과 같이 리치 곡률 텐서에 비례한다.
:\nabla^2 X_\mu=-R_{\mu\nu}X^\nu
특히, 아인슈타인 방정식의 진공해의 경우 R_{\mu\nu}=0이며, X_\mu의 라플라스-벨트라미 연산자는 0이다. 물리학적으로, 이는 X_\mu가 진공 맥스웰 방정식을 만족시키는 것을 의미하며, 또한 X_\mu는 로렌츠 게이지 조건 \nabla\cdot X=0 역시 자동적으로 만족시킨다. 이 사실을 통해 아인슈타인-맥스웰 계의 일부 해를 구할 수 있다.

### 측지선에 대한 물리량의 보존
일반화 리만 다양체 (M,g)의 킬링 벡터장 X와 측지선
:\gamma\colon\mathbb R\to M
:\gamma\colon t\mapsto \gamma(t)
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}g(X|_{\gamma(t)},\dot\gamma(t))=0\qquad\forall t\in\mathbb R
즉, 킬링 벡터장 X가 주어졌을 때, 속력과 킬링 벡터장의 내적 g(X,\dot\gamma)는 측지선을 따라 변하지 않는 물리량이다.


**유도:**

벡터장 Y가
:Y|_{\gamma(t)}=\dot\gamma(t)\in\mathrm T_{\gamma(t)}M\qquad\forall t\in\mathbb R
인 임의의 벡터장이라고 하자. (만약 \gamma가 단사 함수가 아니라면, 이는 조각별로 정의하면 된다.)

측지선은 측지선 방정식
:(Y^\mu\nabla_\mu Y^\nu)|_{\gamma(t)}=0\qquad\forall t\in\mathbb R
을 만족시키므로, 킬링 벡터장의 정의에 의하여
:
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}g(X|_{\gamma(t)},\dot\gamma(t))
=
\left.Y^\mu\nabla_\mu(X_\nu Y^\nu)\right|_{\gamma(t)}
=
\left.Y^\mu\left((\nabla_\mu X_\nu)Y^\nu+X_\nu \nabla_\mu Y^\nu
\right)\right|_{\gamma(t)}=0

이다.


마찬가지로, 일반 상대성 이론에서는 뇌터 정리에 따라 각 킬링 벡터장에 대응하는 보존 법칙이 존재한다. 구체적으로, 에너지-운동량 텐서 T_{\mu\nu}=(R_{\mu\nu}-Rg_{\mu\nu}/2)/(8\pi G)를 생각할 때,
:\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0
:T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}
이므로, 임의의 벡터장 X^\mu에 대하여
:\nabla_\mu(T^{\mu\nu}X_\nu)=T^{\mu\nu}\nabla_\mu X_\nu
=\frac12T^{\mu\nu}\left(\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\nu X_\mu\right)

이다. 따라서, 만약 X^\mu가 킬링 벡터장이라면 T^{\mu\nu}X_\nu는 공변 보존류이다.

### 표면 중력

킬링 지평선의 경우, 대응하는 표면 중력을 정의할 수 있다.

구체적으로, 일반화 리만 다양체 (M,g)의 킬링 벡터장 X가 주어졌을 때, 항상 다음 조건을 만족시키는 함수
:\kappa\colon\{x\in M\colon g(X,X)|_x=0\}\to\mathbb R
가 존재하며, 이 \kappa를 킬링 지평선 \{x\in M\colon g(X,X)|_x=0\}의 **[[표면 중력]]**이라고 한다.
:\partial_\mu\left(g(X,X)\right)=-2\kappa g_{\mu\nu}X^\nu
이 등식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.
:X^\mu \nabla_\mu X^\nu=\kappa X^\nu
위 등식의 좌변은 일종의 "가속도"이므로, \kappa를 일종의 "중력장"으로 해석할 수 있다.

일부 경우, \kappa는 사실 킬링 지평선 위의 상수 함수임을 보일 수 있다.
* 킬링 지평선이 (민코프스키 공간의 x\partial_t+t\partial_x와 같이) 서로 교차하는 두 잎으로 구성되어 있을 때
* 우세 에너지 조건이 성립할 경우

### 킬링 지평선 근처의 기하
d+1차원 로런츠 다양체 (M,g)의 킬링 벡터장 X가 주어졌다고 하자. 또한, X가 U\subseteq M에서 시간꼴 벡터장이라고 하자 (즉, g(X,X)|_x). 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 국소 좌표계 (t,x^i)를 정의할 수 있다.
:\mathrm ds^2=-f(x)^2(\mathrm dt+\theta_i(x)\mathrm dx^i)^2+h_{ij}(x)\,\mathrm dx^i\,\mathrm dx^j
여기서 h_{ij}는 양의 정부호 이차 형식이며, i,j\in\{1,2,\dots,d\}이며, 또한 f와 \theta_i와 h_{ij}는 (x^1,\dots,x^d)에만 의존하고, t에 의존하지 않는다. 이 경우, h_{ij}를 **궤도 공간 계량**(軌道空間計量, )이라고 한다.

## 일반화
킬링 벡터장의 개념을, 접다발 대신 다른 벡터 다발의 단면에 대하여 일반화할 수 있다.

### 킬링 텐서장과 킬링 스피너장
유사하게 킬링 텐서 및 킬링 스피너장을 정의할 수 있다. 예를 들어, 킬링 2-텐서장 T는 다음을 만족한다.
:\mathcal L_XT=0
:\nabla_{(\mu}T_{\nu\rho)}=0

### 정칙 킬링 벡터장
켈러 다양체는 리만 구조와 더불어 복소 구조를 갖춘다. 따라서, 켈러 다양체의 대칭은 복소 구조를 보존시키는 특수한 킬링 벡터장에 의하여 주어진다. 이를 **정칙 킬링 벡터장**(正則Killing vector場, )라고 한다. 켈러 다양체의 접다발 TM^{\mathbb C}은 정칙적 부분 T^+M과 반정칙적 부분 T^-M으로 나뉜다. 정칙 킬링 벡터장은 T^+M의 단면이다.

X^i가 켈러 다양체 (M,g_{i\bar\jmath}) 위의 정칙 킬링 벡터장이라고 하자. 그렇다면 킬링 방정식은 다음과 같다.
:\nabla_iX^kg_{k\bar\jmath}+\bar\nabla_{\bar\jmath}\bar X^{\bar k}g_{\bar ki}=0
이에 따라, X는 국소적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:X^i=-ig^{i\bar\jmath}\bar\partial_{\bar\jmath}D(z,\bar z)
:\bar X^{\bar\imath}=ig^{j\bar\imath}\partial_jD(z,\bar z)
여기서 D(z,\bar z)는 **킬링 퍼텐셜**()이라고 불리는, 국소적으로 정의된 실수 함수다. 이는 운동량 사상의 한 예로 볼 수 있다.

## 예
공변 상수 벡터장 (즉, \nabla_\mu X^\nu=0인 벡터장 X)은 정의에 따라 킬링 벡터장이다.

일반화 리만 다양체 (M,g)의 킬링 벡터장 X 및 국소 좌표계 (x^1,\dots,x^n)이 주어졌으며, 계량 텐서 g_{\mu\nu}의 성분이 x^1에 의존하지 않는다고 하자.
:\frac\partial{\partial x^1}g_{\mu\nu}=0\qquad\forall \mu,\nu\in\{1,\dots,n\}
그렇다면, 벡터장
:\frac\partial{\partial x^1}
은 킬링 벡터장이다.

**유도:**

벡터장
:X^\mu=\delta^\mu_1
이 주어졌을 때,
:X_\mu=g_{\mu\nu}X^\nu=g_{\mu1}
이다. 그렇다면,
:\nabla_\nu X_\mu+\nabla_\mu X_\nu=\partial_\nu X_\mu+\partial_\mu X_\nu-2\Gamma^\rho_{\mu\nu}X_\rho
=\partial_\nu g_{\mu1}+\partial_\mu g_{\nu1} - (\partial_\nu g_{1\mu}+\partial_\mu g_{1\nu}-\partial_1g_{\mu\nu} ) = \partial_1g_{\mu\nu}
이다.


### 슈바르츠실트 계량

D차원 시공간의 슈바르츠실트 계량
:\mathrm ds^2=-\left(1-(r_0/r)^{D-3}\right)dt^2+\left(1-(r_0/r)^{D-3}\right)^{-1}\,\mathrm dr^2+r^2\,\mathrm d\Omega_{D-2}^2
에서, \partial/\partial t는 킬링 벡터이며, 이는 시간 변화에 대한 대칭에 대응한다. 이에 대한 킬링 벡터는
:g_{tt}=-1+(r_0/r)^{D-3}=0
이 되는 곳, 즉 r=r_0이며, 이는 (일반) 사건 지평선과 일치한다.

이 밖에도, 슈바르츠실트 계량은 \mathrm{SO}(D-1) 대칭에 대응하는 킬링 벡터들을 갖는다.

### 커 계량

마찬가지로, 3+1차원 커 계량
:\mathrm ds^2 = -\left( 1 - \frac{r_0r}{\rho^2} \right) \mathrm dt^2 + \frac{\rho^2\,\mathrm dr^2}{r^2-r_0r+\alpha^2} + \rho^2\,\mathrm d\theta^2 + \left( r^2+ \alpha^2+ \frac{r_0r \alpha^2}{\rho^2} \sin^2\theta \right) \sin^2\theta\,\mathrm d\phi^2 + \frac{2r_0r\alpha \sin^2\theta }{\rho^2}\,\mathrm dt\,\mathrm d\phi
:\rho^2=r^2+\alpha^2\cos^2\theta
은 두 킬링 벡터
:\frac\partial{\partial t}
:\frac\partial{\partial\phi}
를 가지며, 이는 각각 시간 변화에 대한 대칭과 블랙홀의 회전에 대한 대칭에 대응한다.

전자에 대응하는 킬링 지평선은
:rr_0=\rho^2
의 두 해에 위치한다. 이는 2차 방정식이므로 두 해를 갖는데, 더 안쪽의 킬링 지평선은 사건 지평선이며, 더 바깥쪽의 킬링 지평선은 작용권의 경계이다.

### 민코프스키 공간
2차원 민코프스키 공간
:\mathbb R^{1,1}=\{(t,x)\}
:\mathrm ds^2=-\mathrm dt^2+\mathrm dx^2
에서, 킬링 벡터장
:X=x\partial_t+t\partial_x
를 생각하자. 이는
:\nabla_iX_j=
\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{pmatrix}
이므로 킬링 벡터장을 이룬다. 이 경우, 킬링 지평선은
:\{(t,x)\in\mathbb R^2\colon x=\pm t\}
인데, 이는 x=t=0에서 매끄럽지 않다.

## 역사
빌헬름 킬링이 1892년에 도입하였다.

킬링은 킬링 벡터장의 조건에 대하여 특별한 이름을 붙이지 않았으나, 이후 1926년 저서에서 루서 팔러 아이전하트(, 1876~1965)가 이 조건을 "킬링 방정식"()이라고 지칭하였다.

## 각주

## 같이 보기
* 킬링 형식

## 외부 링크
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분류:리만 기하학