적분 판정법

[섬네일|오른쪽|300픽셀|[조화급수에 적용한 적분판정법. 곡선 ,  아래쪽의 면적이 무한하므로 직사각형들의 총면적 역시 무한하다.]]

미적분학에서 **적분 판정법**(積分判別法, )은 음이 아닌 실수 항 급수와 음이 아닌 실수 값 함수의 이상 적분의 수렴성 사이의 관계를 나타내는 수렴 판정법이다.

## 정의와 증명
음이 아닌 실수 값 감소함수
:f\colon[0,\infty)\to[0,\infty)
:\forall x,y\in[0,\infty)\colon x\le y\implies f(x)\ge f(y)
가 주어졌다고 하자. (특히, f는 임의의 [0,a]\subseteq[0,\infty)에서 리만 적분 가능하다.) **적분 판정법**에 따르면,  다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 급수 \sum_{n=0}^\infty f(n)는 수렴한다.
* 이상 적분 \int_0^\infty f(x)\,dx은 수렴한다.
또한, (수렴 여부와 관계 없이) 다음 부등식이 성립한다.
:\int_0^\infty f(x)\,dx\le\sum_{n=0}^\infty f(n)\le f(0)+\int_0^\infty f(x)\,dx

음이 아닌 실수 항 급수의 합과 음이 아닌 실수 값 리만 적분 가능 함수의 이상 적분의 값은 음이 아닌 확장된 실수로서 항상 존재하며, 이들의 수렴 여부는 합이나 적분 값의 유한한지 여부와 동치이다. 임의의 n\in\{0,1,2,\dots\} 및 n\le x\le n+1에 대하여,
:f(n+1)\le f(x)\le f(n)
이다. [n,n+1] 위의 리만 적분을 취하면
:f(n+1)\le\int_n^{n+1}f(x)\,dx\le f(n)
이 된다. n\in\{0,1,2,\dots\}에 대한 급수를 취하면
:\sum_{n=1}^\infty f(n)\le\int_0^\infty f(x)\,dx\le\sum_{n=0}^\infty f(n)
이 된다. 이는
:\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty\int_n^{n+1}f(x)\,dx
&=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\int_i^{i+1}f(x)\,dx\\
&=\lim_{n\to\infty}\int_0^{n+1}f(x)\,dx\\
&=\int_0^\infty f(x)\,dx
\end{align}

임에 따른다. 따라서, 만약
:\sum_{n=0}^\infty f(n)
라면
:\int_0^\infty f(x)\,dx\le\sum_{n=0}^\infty f(n)
이며, 만약
:\int_0^\infty f(x)\,dx
라면
:\sum_{n=0}^\infty f(n)=f(0)+\sum_{n=1}^\infty f(n)\le a_0+\int_0^\infty f(x)\,dx
이다. 즉, 수렴 여부가 동치다.

## 예
급수
:\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^p}\qquad(p\in\mathbb R)
를 생각하자. (혹자는 이를 **p-급수**()라고 부른다.) 만약 p\le0이라면, 이 급수는 자명하게 발산한다. 이제, p>0이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 이 급수의 수렴 여부는 다음 이상 적분이 수렴하는지 여부와 동치이다.
:\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}
만약 p=1이라면,
:\int_1^\infty\frac{dx}x=\lim_{x\to\infty}\int_1^x\frac{dt}t=\lim_{x\to\infty}(\ln x-\ln1)=\infty
이다. 만약 p\ne 1이라면,
:\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}=\lim_{x\to\infty}\int_1^x\frac{dt}{t^p}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^{1-p}}{1-p}-\frac1{1-p}\right)=\begin{cases}
\infty&p1
\end{cases}

이다. 따라서, 이 급수는 p>1일 때 수렴하며, p\le1일 때 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 라베 판정법의 증명은 이 급수의 p에 따른 수렴 여부에 기반한다.

보다 일반적으로, 급수
:\sum_{n=2}^\infty\frac1{n^p\ln^qn}\qquad(p,q\in\mathbb R)
를 생각하자. 이전 예 및 비교 판정법에 의하여, 이 급수는 p>1일 때 수렴하며, p일 때 발산한다. 이제 p=1이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 급수의 수렴 여부는 이상 적분
:\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln^qx}
의 수렴 여부와 같다. 이는
:(x^{-1}\ln^{-q}x)'=-x^{-2}\ln^{-q}x+x^{-1}(-q)\ln^{-q-1}x\cdot x^{-1}=-x^{-2}\ln^{-q-1}x(\ln x+q)
임에 따른다. 만약 q=1이라면,
:\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln x}=\lim_{x\to\infty}\int_2^x\frac{dt}{t\ln t}=\lim_{x\to\infty}(\ln\ln x-\ln\ln2)=\infty
이다. 만약 q\ne1이라면,
:\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln^qx}=\lim_{x\to\infty}\int_2^x\frac{dt}{t\ln^qt}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\ln^{1-q}x}{1-q}-\frac{\ln^{1-q}2}{1-q}\right)=\begin{cases}
\infty&q1
\end{cases}

이다. 따라서, 이 급수는 p>1이거나 p=1, q>1일 때 수렴하며, p=1, q\le1이거나 p일 때 발산한다. 비 판정법·근 판정법·라베 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 베르트랑 판정법의 증명은 이 급수의 (p,q)에 따른 수렴 여부에 기반한다.

마찬가지로, 급수
:\sum_{n=\underbrace^\infty\frac1{n^{p_0}(\ln n)^{p_1}\cdots(\underbrace{\ln\cdots\ln}_k\,n)^{p_k}}
의 수렴 여부 또한 적분 판정법을 통하여 구할 수 있다. \mathbb R^{k+1} 위의 사전식 순서를 \preceq로 적을 때, 이 급수는 (p_0,\dots,p_k)\succ(1,\dots,1)일 때 수렴하며, (p_0,\dots,p_k)\preceq(1,\dots,1)일 때 발산한다.

## 같이 보기
* 수렴판정법
* 비교 판정법
* 지배 수렴 정리
* 극한 비교 판정법
* 단조 수렴 정리

## 각주

## 외부 링크
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분류:수렴판정법
분류:적분학