11차원 초중력

이론물리학에서 **11차원 초중력**(十一次元超重力, )은 (10,1)차원에 정의되는 초중력 이론이다. 이 이상의 차원에서는 초대칭이 존재할 수 없으며, 11차원 초중력은 M이론의 무질량 입자 유효 이론이다.

## 정의
11차원은 초대칭이 존재할 수 있는 (로런츠 계량 부호수) 최다(最多) 차원이다. 이는 12차원 이상인 경우에는 스핀이 2를 초과하는 입자들이 존재하게 되어, 상호작용하는 양자장론을 정의할 수 없기 때문이다. 11차원에서의 초대칭 이론은 (3차 이상 도함수항을 제외하면) 유일하며, 이 이론을 **11차원 초중력**이라고 한다.

## 성질
### 대칭
이 이론은 32개의 초전하()를 가지며, 이는 \mathcal N=1 초대칭에 해당한다. 그 초대칭은 리 초대수
:\mathfrak{osp}(1|32)
에 의하여 주어진다. 그 가환 성분, 즉 R대칭군은 리 대수
:\mathfrak o(32)
이다. 11차원에서, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 갖는데, R대칭은 이 위에 회전군으로 작용한다.

특히, 이 경우 그래비티노 초대칭 변환은
:\delta_\epsilon\psi_M = D_M \epsilon - \frac1{12\cdot 4!} F_{NPQR}(\Gamma^{NPQR}{}_M - 8\delta^N_M\Gamma^{PQR}) \epsilon
의 꼴이다. 여기서
:D_\mu \epsilon = \partial_\mu + \omega_\mu
는 스핀 접속을 포함하는, 스피너 공변 미분이다.

\delta_\epsilon = 0은 일종의 킬링 스피너 방정식에 해당하며, 이 조건을 만족시키는 스피너장의 수는 초중력 배경이 보존하는 초대칭의 양이다.

### 장
11차원 초중력은 중력장 G_{MN}과 마요라나 그래비티노 \psi_M, 또 3차 미분형식 게이지장 C_{MNP}를 포함한다. 이들은 다음과 같다.

### 작용
11차원 초중력의 작용은 다음과 같다.
: 
\begin{array}{rcl}
\mathcal L &=& +\frac{1}{2\kappa^2}eR-\frac12e\overline{\psi}_M\Gamma^{MNP}D_N[\frac12(\omega-\overline{\omega})]\psi_P\\
&&+\frac1{2\cdot4!}eF^2_{MNPQ}+\frac{\sqrt{2}\kappa}{16\cdot4!}e(\overline{\psi}_M\Gamma^{MNPQRS}\psi_S+12\overline{\psi}^N\Gamma^{PQ}\psi^R)(F+\overline{F})_{NPQR}\\
&&+\frac{\sqrt{2}\kappa}{4!\cdot4!\cdot3!}\varepsilon^{M_1\dots M_{11}}F_{M_1\dots M_4}F_{M_5\dots M_8}C_{M_9 M_{10} M_{11}}
\end{array}

여기서
* M,N,\dotsc는 11차원 굽은 공간 지표이다.
* A,B,\dotsc는 필바인(11차원 민코프스키 공간) 지표이다.
* R는 리치 스칼라이다.
* e^A_M은 필바인이며, \eta_{AB}e^A_Me^B_N = G_{MN}이 11차원 계량 텐서이다.
** e = |\det(e^A_M)| =\sqrt은 부피 형식이다.
** \omega는 필바인으로 정의되는 스핀 접속이다.
* F_{MNPQ} = \partial_{[M}C_{NPQ]}는 C의 4차 미분 형식 장세기이다.
* \epsilon^{M_1\dotsc M_{11}}은 (천-사이먼스 꼴의 항을 적기 위한) 11차원 레비치비타 기호이다.
* \kappa =8\pi G는 중력 상수의 8π배이다.

### L∞-대수를 통한 구성
다음과 같은 슈발레-에일렌베르크 대수를 갖는, \mathbb N\oplus\mathbb Z/2 등급의 (즉, 초벡터 공간 범주에서 정의된) L∞-대수를 생각하자.

이 L∞-대수 \mathfrak{sugra}를 **초중력 L∞-대수**라고 한다. 이 가운데, \psi와 C_3, C_6를 생략하면, 푸앵카레 리 대수 \mathfrak{io}(10,1)을 얻는다.

이제, 그 베유 대수
:\operatorname W(\mathfrak{sugra}) = \bigvee(\mathfrak g^*\oplus \mathfrak g[1])
를 정의할 수 있다. 이는 \mathbb N\oplus\mathbb Z/2-등급 미분 등급 대수이다.

시공간이 매끄러운 다양체 M이라고 할 때, 그 위의 초중력 장들은 다음과 같다.
:\operatorname W(\mathfrak{sugra})\to \Omega(M)

이제, 베유 대수에서 다음과 같은 장세기들을 정의할 수 있다.
:\mathrm d_{\mathrm W}e^a  (비틀림 텐서)
:\mathrm d_{\mathrm W}C_3 
:\mathrm d_{\mathrm W}C_6 + 15 (\mathrm d_{\mathrm W}C_3)\wedge C_3
:\mathrm d_{\mathrm W}\psi 
:\mathrm d_{\mathrm W}\omega^{ab}  (리치 곡률 텐서의 일반화)

11차원 초중력의 (고전적) 장방정식들이 만족시켜질 필요 충분 조건은
# 이 대상들이 e^a와 \psi로 생성되는 아이디얼에 속하며,
# \psi를 포함하는 항들의 (미분 형식) 계수는 e만을 포함하는 항의 계수의 (쐐기곱에 대한) 다항식이어야 한다.
즉, 예를 들어, C_3의 경우, 다음과 같은 4차 미분 형식 G_4 \in \Omega^4(M;\mathbb R)이 존재하여야 한다.
:\mathrm d_{\mathrm W}C_3 = (G_4)_{abcd}e^a\wedge e^b\wedge e^c\wedge e^d
이러한 꼴의 조건을 **리오노미**()라고 한다.

### 차원 축소
11차원 초중력을 낮은 차원으로 차원 축소를 가하면, 다음과 같은 이론들을 얻는다.

### E₇과의 관계
11차원 초중력을
:\mathbb R^{10,1} = \mathbb R^{3,1}\times\mathbb R^7
:z^M = (x^\mu, y^m)
위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장 (계량 텐서 G와 게이지 장 C)은 다음과 같이 분해된다.
:G_{MN} = \begin{pmatrix}
G_{\mu\nu} & G_{m\mu} \\
G_{m\mu} & G_{mn}
\end{pmatrix}
:A_{MNP} = \left(
A_{mnp}, A_{\mu mn}, A_{\mu\nu m}, A_{\mu\nu\rho}
\right)
이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.

이제, 위 장들 가운데, 38+35개의 스칼라장 (G_{mn},C_{mnp}) 및
:\partial_\mu\phi_m = \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\nu C_{\rho\sigma m}
에 의하여 정의되는 7개의 스칼라장 \phi_m을 생각하자. 이들은 총 70개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간
:\operatorname E_{7(7)} / \operatorname{SU}(8)
의 좌표를 이룬다. 여기서 \operatorname E_{7(7)}은 리 군 E₇의 분할 형태이며, SU(8)은 특수 유니터리 군이다.

#### 스칼라장과 유사스칼라장
28개의 스칼라장 (G_{m,n})_{1\le m,n\le 7}과 C_{mn\mu}를 쌍대화하여 얻는 7개의 스칼라장 \phi_m을 생각하자.

이제, 다음과 같은 8×8 정사각 행렬을 정의하자.
:S = \Delta^{-3/4}\begin{pmatrix}
\Delta G^{mn} - \phi^mi \phi^n & \phi^n \\
\phi^m & -1
\end{pmatrix}_{}\qquad(i,j\in\{1,2,\dotsc,7\})
\in\operatorname{SL}(8;\mathbb R)

:\Delta = |\det (g_{mn})_{1\le m,n\le 7}|
이는 동차 공간 \operatorname{SL}(8;\mathbb R) / \operatorname{SO}(8;\mathbb R)의 원소로 간주된다. (이 동차 공간은 63 - 28 = 35차원이므로, 올바른 수의 성분을 갖는다.) 즉, 이는 게이지 변환
:S \mapsto MSM^{-1}\qquad(M\in\operatorname{SO}(8;\mathbb R))
을 겪는다. 게이지 변환 가운데 \operatorname{SO}(7;\mathbb R) 부분은 7개의 내부 차원의 회전군이다.

이 35개의 스칼라장 말고도, 35개의 유사스칼라 C_{mnp}가 존재한다. 군론에서, 다음과 같은 가환 그림이 주어진다.
:\begin{matrix}
\operatorname{SL}(8;\mathbb R)&\to&\operatorname E_{7(7)}\\
\uparrow & & \uparrow\\
\operatorname{SO}(8) & \to & \operatorname{SU}(8)
\end{matrix}

:\operatorname{SU}(8) \cap \operatorname{SL}(8;\mathbb R) = \operatorname{SO}(8)
이에 따라, S에 35개의 유사스칼라장 성분을 추가하여, \operatorname E_{7(7)}의 원소로 확장할 수 있다. 다만, \operatorname E_{7(7)}의 가장 작은 충실한 표현이 54차원이므로, 그 구체적 표기는 복잡하다.

#### 벡터장
이 이론은 28개의 게이지 보손을 갖는다. 우선, 스칼라장의 \operatorname{SL}(8;\mathbb R)/\operatorname{SO}(8) 대칭에 대하여, 이 보손들은 \operatorname{SL}(8;\mathbb R) 및 \operatorname{SO}(8)의 28차원 표현으로 변환한다. (이 표현은 8×8 반대칭 행렬로 구성된다.) 즉, 이는 8차원 실수 내적 공간 위의 쌍선형 형식을 이룬다.

4차원에서는 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 2차 미분 형식이다. 이에 따라, 28개의 게이지 보손 장세기와 그 28개의 쌍대 장세기들을 생각하자. 이들은 \operatorname E_{7(7)}의 56차원 실수 기본 표현을 이룬다. 이는 \operatorname E_{7(7)}의 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.
:
\begin{matrix}
\mathbf{28}_{\mathbb R}\oplus\mathbf{28}_{\mathbb R}&\to&\mathbf{56}_{\mathbb R}\\
\uparrow & & \uparrow\\
\mathbf{28}_{\mathbb R}\oplus\mathbf{28}_{\mathbb R} & \to & \mathbf{28}_{\mathbb C}
\end{matrix}\qquad
\begin{matrix}
\operatorname{SL}(8;\mathbb R)&\to&\operatorname E_{7(7)}\\
\uparrow & & \uparrow\\
\operatorname{SO}(8) & \to & \operatorname{SU}(8)
\end{matrix}

여기서 \operatorname{SU}(8)의 표현은 8×8 복소수 반대칭 행렬로 구성된다.

#### 페르미온
11차원 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이는 4차원에서 4개의 디랙 스피너를 이룬다. 11차원 마요라나 그래비티노는 10×32 =320개의 실수 성분을 갖는다.

4차원에서, 이는 28개의 디랙 스피너 및 8개의 마요라나 그래비티노(즉, 4개의 디랙 그래비티노)를 이룬다.
:\mathbf{320} \to 28 \times \left((0,\tfrac12)  \oplus (\tfrac12,0)\right) \oplus 4 \times \left((1,\tfrac12)\oplus(\tfrac12,1)\right)
:320 = 28 \times 8 + 4 \times 24

28개의 디랙 스피너는 게이지 군 SU(8)의 복소수 28차원 (실수 56차원) 표현을 이룬다 (8×8 반대칭 행렬). 8개의 마요라나 그래비티노는 SU(8)의 8차원 복소수 표현을 이룬다.

페르미온들은 대역적 대칭 \operatorname E_{7(7)}에 대하여 변환하지 않는다. 이는 일반 상대성 이론에서 페르미온이 필바인의 대칭 \operatorname{Spin}(1,3)의 표현을 이루지만 \operatorname{GL}(4)의 표현을 이루지 않는 것과 마찬가지다.

### E₆과의 관계
11차원 초중력을
:\mathbb R^{10,1} = \mathbb R^{5,1}\times\mathbb R^6
:z^M = (x^\mu, y^m)
위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장(계량 텐서 G와 게이지 장 C)은 다음과 같이 분해된다.
:G_{MN} = \begin{pmatrix}
G_{\mu\nu} & G_{m\mu} \\
G_{m\mu} & G_{mn}
\end{pmatrix}
:A_{MNP} = \left(
A_{mnp}, A_{\mu mn}, A_{\mu\nu m}, A_{\mu\nu\rho}
\right)
이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.

이제, 위 장들 가운데, 21+20개의 스칼라장 (G_{mn},C_{mnp}) 및
:\partial_\mu\phi = \epsilon_\mu{}^{\nu\rho\sigma\tau}\partial_\nu C_{\rho\sigma\tau}
에 의하여 정의되는 스칼라장 \phi를 생각하자. 이들은 총 42개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간
:\operatorname E_{6(6)} / \operatorname{USp}(8)
의 좌표를 이룬다. 여기서 \operatorname E_{6(6)}은 단순 리 군 E₆의 분할 형태이며, USp(8)은 콤팩트 심플렉틱 군이다.

마찬가지로, 27개의 벡터장들은 E6의 27차원 기본 표현을 이룬다.

## 응용
끈 이론에서, 11차원 초중력은 M이론의 낮은 에너지 눈금 유효 이론이다.

## 역사
11차원 초중력의 존재는 1978년에 외젠 크레메르()와 베르나르 쥘리아(), 조엘 셰르크가 증명하였다.

## 각주

## 외부 링크
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