합성 대수

추상대수학에서 **합성 대수**(合成代數, )는 대략 “절댓값의 제곱이 잘 정의되는” 대수 구조이다. 구체적으로, 이는 (결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않을 수 있는) 쌍선형 이항 연산이 주어져 있으며, 이와 호환되는 (양의 정부호가 아닐 수 있는) 비퇴화 쌍선형 형식 또는 비퇴화 이차 형식이 주어진 벡터 공간으로 구성된다.

## 정의
가환환 K 위의 **합성 대수**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* K-가군 A
* K-선형 변환 A\otimes_KA \to A,  a\otimes_K b \mapsto a\star b. (이는 결합 법칙이나 교환 법칙을 따를 필요가 없다.)
* \star에 대한 양쪽 항등원 1_A \in A
* A 위의 비퇴화 이차 형식 Q\colon A\to K. (즉, \operatorname{rad}Q = \{a\in A\colon Q(a,A) = 0\} = \{0\}이다.) 또한, 이는 Q(1_A) = 1_K 및 Q(a\star b) = Q(a)Q(b)\qquad\forall a,b\in A를 만족시킨다. (그러나 이 이차 형식이 양의 정부호일 필요는 없다.)

(일부 문헌에서는 합성 대수의 정의에서 항등원의 존재를 요구하지 않는다.)

## 연산
합성 대수는 다음과 같은 자연스러운 추가 구조들을 갖는다.

### 내적
합성 대수 A 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.
:\langle -,-\rangle \colon A\otimes A \to K
:\langle a,b\rangle = Q(a+b)-Q(a)-Q(b)

만약 가환환 K에서 2가 가역원이라면, 비퇴화 이차 형식의 개념은 비퇴화 대칭 쌍선형 형식의 개념과 동치이며, 이 경우 Q를 쌍선형 형식으로부터 다음과 같이 재구성할 수 있다.
:Q(a) = \frac12 \langle a,a\rangle
즉, 대신 비퇴화 대칭 쌍선형 형식을 사용하여 위와 동치인 정의를 적을 수 있다.

### 대각합과 켤레
K-합성 대수 A 위에는 다음과 같은 **대각합**이 존재한다.
:\operatorname{tr}a = Q(a+1) - Q(a) - 1 \qquad\forall a\in A
이는 K-선형 변환
:\operatorname{tr}\colon A \to K
을 정의하며, 또한 정의에 따라
:\operatorname{tr}1_A = 2
이다.

대각합으로부터, 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다.
:a^* = \operatorname{tr}(a)1_A - a
이는 물론 K-선형 변환
:(-)^* \colon A \to A
를 정의한다.

### 리 대수

합성 대수 A로부터, **[[미분 리 대수]]** \mathfrak{der}(A) 및 이를 포함하는 **[[삼중성 리 대수]]** \mathfrak{tri}(A)를 구성할 수 있다. 또한, 합성 대수와 요르단 대수로부터 **[[프로이덴탈 마방진]]**이라는 구성을 통해 예외적 단순 리 대수를 포함한 여러 리 대수들을 구성할 수 있다.

## 성질
K-합성 대수 A는 다음과 같은 항등식들을 따른다.
:\operatorname{tr}(a^*) = \operatorname{tr}a
:1_A^* = 1_A
:Q(a^*) = Q(a)
:a^{**} = a
:a^*\star(a\star b) = a\star(a^*\star b) =(b\star a)\star a^* = (b\star a^*)\star a = Q(a) b
:a\star a - \operatorname{tr}(a)a + Q(a) = 0
:\langle ab,c\rangle = \langle b,a^*c\rangle
=\langle a,cb^*\rangle

## 분류
일반적으로, 표수가 2가 아닌 임의의 체 K 위에서, 합성 대수의 차원은 1, 2, 4, 또는 8 가운데 하나이며, 이들은 모두 K 위에 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다.

### 실수체 위의 합성 대수
실수체 \mathbb R 위의 합성 대수는 정확히 7개가 있으며, 이들은 다음과 같다.
* 실수체 \mathbb R
* 복소수체 \mathbb C
* 사원수 대수 \mathbb H
* 팔원수 대수 \mathbb O
* 분할복소수 대수 \tilde{\mathbb C} = \mathbb R[x]/(x^2 - 1) \cong \mathbb R\oplus\mathbb R
* **분할 사원수**() 대수 \tilde{\mathbb H}. 이는 \operatorname{Mat}(2;\mathbb R)와 동형이며, 그 제곱 노름은 2×2 행렬의 행렬식과 같다.
* **분할 팔원수**() 대수 \tilde{\mathbb O}=\operatorname{Zorn}(\mathbb R)

### 이차 폐체 위의 합성 대수
체 K 위의 케일리-딕슨 구성은 제곱 유군에 의하여 분류된다. 따라서, 만약 K가 이차 폐체일 경우, 각 단계에서 케일리-딕슨 구성은 유일하다.

따라서, 만약 K가 표수가 2가 아닌 이차 폐체일 경우, 그 위의 합성 대수는 정확하게 네 개가 있다.
* K
* K\oplus K. 만약 K=\mathbb C일 경우, 이는 \mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C로 여겨질 수 있다.
* \operatorname{Mat}(K;2) 만약 K=\mathbb C일 경우, 이는 \mathbb H\otimes_{\mathbb R} \mathbb C로 여겨질 수 있다.
* \operatorname{Zorn}(K). 만약 K=\mathbb C일 경우, 이는 \mathbb O\otimes_{\mathbb R}\mathbb C로 여겨질 수 있다.

## 예
임의의 체 K에 대하여, (K, a\mapsto a^2)는 스스로 위의 1차원 합성 대수를 이룬다. 이는 교환 법칙과 결합 법칙을 따른다.

### 2차원 벡터 공간
임의의 체 K에 대하여, 가환 K-결합 대수 K\oplus K를 생각하자. 즉, 그 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 성분별로 정의된다.
:(a,b)+(a',b') = (a+a',b+b')
:(a,b)(a',b') = (aa',bb')
이 위에 비퇴화 이차 형식
:Q(a,b) = ab
을 정의하면, 이는 2차원 K-합성 대수를 이룬다. 이 경우 대각합은
:\operatorname{tr}(a,b) = a+b
이며, 대칭 쌍선형 형식은
:\langle (a,b), (a',b')\rangle = ab' + a'b
이다. 대합은 다음과 같이 두 성분의 순서를 바꾸는 것이다.
:(a,b)^* = (b,a)

### 2×2 행렬 대수
임의의 체 K에 대하여, 2×2 행렬 대수 \operatorname{Mat}(2;K)를 생각하자. 여기서 Q = \det (행렬식)을 잡으면, (\operatorname{Mat}(2;K),\det)은 결합 법칙을 따르는 4차원 합성 대수를 이룬다. 그러나 이는 교환 법칙을 따르지 않는다.

이 경우 합성 대수 대각합은 2×2 행렬의 대각합과 같다. 쌍선형 형식은 다음과 같다.
:
\left\langle \begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
a'&b'\\c'&d'
\end{pmatrix}\right\rangle
= ad' + a'd - bc' - b'c

대합은 다음과 같다.
:\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix}
d&-b\\-c&a
\end{pmatrix}

\operatorname{Mat}(2;K)는 K-합성 대수 K\oplus K를 대각 행렬로서 포함한다.

### 초른 대수
임의의 체 K가 주어졌을 때, 8차원 벡터 공간 \operatorname{Zorn}(K) = K^8의 원소를 다음과 같은 형식적 2×2 행렬로 적자.
:\operatorname{Zorn}(K) = \left\{
\begin{bmatrix}
a&\mathbf u\\
\mathbf v&b
\end{bmatrix} \colon a,b\in K,\;\mathbf u,\mathbf v\in K^3
\right\}
이 위에, 다음과 같은 “곱셈”을 정의하자. 이는 행렬의 곱셈과 유사하나, 3차원 벡터의 벡터곱에 해당하는 추가 항들이 등장한다.
:
\begin{bmatrix}
a&\mathbf u\\
\mathbf v&b
\end{bmatrix}\star
\begin{bmatrix}
a'&\mathbf u'\\
\mathbf v'&b'
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
aa' + \mathbf u\cdot\mathbf v' & a\mathbf u' + \mathbf ub' + \mathbf v\times\mathbf v' \\
\mathbf va' + b\mathbf v' - \mathbf u \times \mathbf u' & \mathbf v\cdot\mathbf u' + bb'
\end{bmatrix}
그 위의 이차 형식은 다음과 같은 “행렬식”이다.
:Q\left(\begin{bmatrix}
a&\mathbf u\\
\mathbf v&b\end{bmatrix}\right)
=\det\begin{bmatrix}
a&\mathbf u\\
\mathbf v&b\end{bmatrix} =  ab - \mathbf u\cdot\mathbf v
그렇다면, 이는 K 위의 합성 대수를 이루지만, 일반적으로 결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않는다. 이를 K의 **초른 대수**()라고 한다.

**합성 대수를 이룸의 증명:**

:
\begin{aligned}
\det\left(\begin{bmatrix}
a&\mathbf u\\
\mathbf v&b
\end{bmatrix}\star
\begin{bmatrix}
a'&\mathbf u'\\
\mathbf v'&b'
\end{bmatrix}\right)
&=\det\begin{bmatrix}
aa' + \mathbf u\cdot\mathbf v' & a\mathbf u' + \mathbf ub' + \mathbf v\times\mathbf v' \\
\mathbf va' + b\mathbf v' - \mathbf u \times \mathbf u' & \mathbf v\cdot\mathbf u' + bb'
\end{bmatrix} \\
& = 
(aa'+\mathbf u\cdot\mathbf v')(\mathbf v\cdot\mathbf u' + bb')
- (a\mathbf u' + \mathbf ub' + \mathbf v\times\mathbf v') \cdot (\mathbf va' + b\mathbf v' - \mathbf u \times \mathbf u') \\
&= 
(aa'+\mathbf u\cdot\mathbf v')(\mathbf v\cdot\mathbf u' + bb')
- (a\mathbf u' + \mathbf ub')\cdot(\mathbf va' + b\mathbf v')
+ (\mathbf u\times\mathbf u') \cdot (\mathbf v\times\mathbf v') \\
&= aa'bb'- ab\mathbf u'\cdot \mathbf v'- a'b' \mathbf u\cdot\mathbf v
+ (\mathbf u\cdot\mathbf v)(\mathbf u'\cdot\mathbf v') \\
&= (ab - \mathbf u\cdot\mathbf v)(a'b' - \mathbf u'\cdot\mathbf v') \\
&= \left(\det \begin{bmatrix}
a&\mathbf u\\
\mathbf v&b
\end{bmatrix}\right)
\left(\det \begin{bmatrix}
a'&\mathbf u'\\
\mathbf v'&b'
\end{bmatrix}\right)
\end{aligned}

여기서 항등식
:(\mathbf u\times\mathbf u')\cdot(\mathbf v\times\mathbf v')
=(\mathbf u\cdot\mathbf v)(\mathbf u'\cdot\mathbf v')
-(\mathbf u\cdot\mathbf v')(\mathbf v\cdot\mathbf u')

을 사용하였다.

그 항등원은 다음과 같은 “단위 행렬”이다.
:1_{\operatorname{Zorn}(K)} = \begin{bmatrix}
1_K& \mathbf 0\\
\mathbf 0 & 1_K
\end{bmatrix}
또한, 그 대각합은 마찬가지로 “2×2 행렬”의 “대각합”이다.
:\operatorname{tr}
\begin{bmatrix}
a&\mathbf u\\
\mathbf v&b\end{bmatrix}
=a+b
그 위의 대합은 다음과 같다.
:\begin{bmatrix}
a&\mathbf u\\
\mathbf v&b\end{bmatrix}^* = \begin{bmatrix}
b&-\mathbf u\\
-\mathbf v&a
\end{bmatrix}
\operatorname{Zorn}(K)는 K-합성 대수 K\oplus K를 “대각 행렬”로서 포함하며, 또 3차원 벡터 공간 속의 임의의 방향을 고르면 K-합성 대수 \operatorname{Mat}(2;K)를 포함한다.

## 역사
“합성 대수”라는 이름은 이러한 대수 구조에서 노름이 곱셈과 호환된다는 조건이 제곱들의 합 두 개의 곱을 제곱들의 합으로 나타내는 항등식을 정의하기 때문이다. 예를 들어, 복소수 z=a+b\mathrm i의 경우, 노름이 곱셈과 호환된다는 조건은 항등식
:(aa'-bb')^2 + (ab'+a'b)^2 = (a^2+b^2)(a'^2+b'^2)
을 정의하며, 마찬가지로 분할복소수 z=a+b\mathrm j (\mathrm j^2=1)의 경우는 항등식
:(aa'+bb')^2 - (ab'+a'b)^2 = (a^2-b^2)(a'^2-b'^2)
을 정의한다. 즉, 이러한 항등식은 제곱들의 합 두 개의의 곱을 또다른 제곱들의 합으로 “합성”한다.

복소수체의 노름에 해당하는 항등식은 이미 기원후 3세기에 디오판토스에게 알려져 있었다.

브라마굽타는 628년에 디오판토스의 항등식을 일반화하였으며, 특히 이 항등식은 분할복소수에 대응하는 항등식을 특별한 경우로 포함한다.

1748년에 레온하르트 오일러는 사원수의 노름에 대응하는 항등식을 발견하였으며, 1818년에 덴마크의 페르디난드 데겐()은 팔원수의 노름에 해당하는 항등식을 발견하였다.

1843년에 윌리엄 로언 해밀턴은 오일러의 항등식을 사용하여 사원수의 대수를 구성하였다. 같은 해에 존 토머스 그레이브스(, 1806~1870)는 팔원수의 대수를 구성하였으며, 이듬해에 아서 케일리는 팔원수의 대수를 독자적으로 재발견하였다. 1848년에는 합성 대수 \mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C에 해당하는 대수를 제임스 코클(, 1819~1895)이 “테사린”()이라는 이름으로 발견하였다.

1919년에 레너드 유진 딕슨이 케일리-딕슨 구성을 도입하였으며, 이를 사용하여 양의 정부호 노름을 갖는, 실수체 위의 합성 대수들을 체계적으로 구성하였다. 1923년에는 아돌프 후르비츠가 양의 정부호 노름을 갖는, 실수체 위의 합성 대수는 총 네 개(\mathbb R, \mathbb C, \mathbb H, \mathbb O)가 있다는 사실을 증명하였다.

1931년에 막스 초른은 케일리-딕슨 구성을 일반화하여, 분할 팔원수 \tilde{\mathbb O}의 합성 대수를 구성하였다. 이후 1958년에 네이선 제이컵슨이 합성 대수의 자기 동형군을 묘사하였다.

## 같이 보기
* 프로이덴탈 마방진
* 삼중성 리 대수
## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:비결합대수
분류:이차 형식