곱집합

대체글=집합 {x, y, z}와 집합 {1, 2, 3}의 곱집합의 원소를 나열한 표|섬네일|집합 ''A'' = {''x'', ''y'', ''z''}와 ''B'' = {1, 2, 3}의 곱집합 ''A'' × ''B''.
대체글=52장의 포커 패를 모양에 따라 한 줄에 13장씩 숫자가 커지는 순으로 나열한 것|섬네일|52장의 포커 패의 집합은 모양의 집합 과 숫자의 집합 의 곱집합이라 생각할 수 있다.

집합론에서 **곱집합**(곱集合, ) 또는 **데카르트 곱**(Descartes곱, )은 각 집합의 원소를 각 성분으로 하는 튜플들의 집합이다. 예를 들어, 두 집합 A,B의 곱집합 A\times B는 \{(a,b)|a\in A,b\in B\}이다. 곱집합은 집합의 다양체에서의 직접곱이며, 집합의 범주에서의 곱이다.

## 정의
첨수족 \{A_i\}_{i\in I}의 곱집합 \textstyle\prod_{i\in I}A_i는 다음과 같다.
:\prod_{i\in I}A_i=\{(a_i)_{i\in I}|a_i\in A_i\}
특히, 유한 개의 집합 A_1,A_2,\dotsc,A_n의 곱집합 A_1\times A_2\times\cdots\times A_n은 다음과 같다.
:A_1\times A_2\times\cdots\times A_n=\{(a_1,a_2,\dotsc,a_n)|a_i\in A_i\}
집합 A,I에 대하여, A의 I번 곱집합 A^I는 다음과 같다.
:A^I=\{(a_i)_{i\in I}|a_i\in A\}
특히, 집합 A와 순서수 \alpha에 대하여, A의 \alpha번 곱집합 A^{\times\alpha}는 다음과 같다.
:A^{\times\alpha}=\{(a_\beta)_{\beta
특히, 집합 A 및 음이 아닌 정수 n에 대하여, A의 n번 곱집합 A^{\times n}은 다음과 같다.
:A^{\times n}=\{(a_1,a_2,\dotsc,a_n)|a_i\in A\}

## 성질
[대체글=y축에 A = [1, 4]를 표시하고, x축에 B = [2, 5], C = [4, 7]을 표시한 뒤, 데카르트 좌표 평면에 A와 B ∪ C 및 B ∩ C 및 B \ C의 곱집합을 표시한 것|섬네일|분배 법칙을 설명한 그림. 여기서 ''A'' = [1, 4], ''B'' = [2, 5], ''C'' = [4, 7].|223x223픽셀](https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:CartDistr_svg.svg)
[대체글=x축에 A = [2, 5], B = [3, 7]을 표시하고, y축에 C = [1, 3], D = [2, 4]를 표시한 뒤, 데카르트 좌표 평면에 (A ∪ B) × (C ∪ D), (A × C) ∪ (B × D)를 표시한 것|섬네일|(''A'' ∪ ''B'') × (''C'' ∪ ''D'') ⊋  (''A'' × ''C'') ∪ (''B'' × ''D''). 여기서 ''A'' = [2, 5], ''B'' = [3, 7], ''C'' = [1, 3], ''D'' = [2, 4].](https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:CartUnion_svg.svg)
[대체글=x축에 A = [2, 5], B = [3, 7]을 표시하고, y축에 C = [1, 3], D = [2, 4]를 표시한 뒤, 데카르트 좌표 평면에 (A ∩ B) × (C ∩ D), (A × C) ∩ (B × D)를 표시한 것|섬네일|(''A'' ∩ ''B'') × (''C'' ∩ ''D'') =  (''A'' × ''C'') ∩ (''B'' × ''D''). 여기서 ''A'' = [2, 5], ''B'' = [3, 7], ''C'' = [1, 3], ''D'' = [2, 4].](https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:CartInts_svg.svg)

* (기수의 곱의 정의) |A\times B|=|A||B|
* (기수의 거듭제곱의 정의) |A^B|=|A|^
* \varnothing\times A=A\times\varnothing=\varnothing
* (교환 법칙의 실패) A\times B\ne B\times A\qquad(A,B\ne\varnothing,\;A\ne B)
** 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 (a,b)\mapsto(b,a)가 존재한다.
* (결합 법칙의 실패) (A\times B)\times C\ne A\times(B\times C)\qquad(A,B,C\ne\varnothing)
** 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 ((a,b),c)\mapsto(a,(b,c))가 존재한다.
* (분배 법칙) A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)
* (분배 법칙) A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)
* (분배 법칙) A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus(A\times C)
* \prod_{i\in I}\bigcup_{j\in J}A_{ij}\supseteq\bigcup_{j\in J}\prod_{i\in I}A_{ij}
* \prod_{i\in I}\bigcap_{j\in J}A_{ij}=\bigcap_{j\in J}\prod_{i\in I}A_{ij}
* 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
** \prod_{i\in I}A_i\subseteq\prod_{i\in I}B_i
** A_i=\varnothing인 i\in I가 존재하거나, 임의의 i\in I에 대하여 A_i\subseteq B_i이다.
* 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
** \prod_{i\in I}A_i=\varnothing
** A_i=\varnothing인 i\in I가 존재한다.
* 곱집합과 이를 이루는 각 집합 사이에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 사영 함수라고 한다.
*:\pi_i\colon\prod_{i\in I}A_i\to A
*:\pi_i\colon(a_i)_{i\in I}\mapsto a_i
* (보편 성질) 임의의 첨수된 함수족 \{f_i\colon B\to A_i\}_{i\in I}에 대하여, f_i=\pi_i\circ f (i\in I)를 만족시키는 유일한 함수 f\colon B\to\prod_{i\in I}A_i가 존재한다.

## 예
[대체글=|섬네일|[데카르트 좌표 평면 \mathbb R^2은 실수선 \mathbb R과 자기 자신의 곱집합이다.]]
* \{1,2\}\times\{3,4,5\}=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}
* \mathbb R^2=\mathbb R\times\mathbb R=\{(x,y)|x,y\in\mathbb R\}
* \mathbb R^3=\mathbb R\times\mathbb R\times\mathbb R=\{(x,y,z)|x,y,z\in\mathbb R\}

## 역사
르네 데카르트의 이름을 땄다.

## 같이 보기
* 멱집합 공리
* 직접곱
* 관계 (수학)
* Join (SQL)
* 전순서 집합
* 외적
* 곱 (범주론)
* 곱위상

## 외부 링크
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분류:집합론의 기본 개념
분류:이항연산
분류:선택 공리