이차 방정식

[섬네일|right|200px|[이차함수 y = x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)의 그래프.**x축**과 그래프가 만나는 점의 **x**좌표인 x = -1과 x = 2는 x^2 - x - 2 = 0이라는 이차방정식의 해가 된다.]]
**이차방정식**(二次方程式, )은 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식이다. 이차방정식은 미지수가 포함된 방정식 중에서 그 미지수가 두 번째 거듭제곱, 즉 제곱으로 나타나는 방정식을 의미한다.
: ax^2 + bx + c = 0 , \quad a \ne 0
와 같고, 여기서 x는 변수, a와 b는 각각 x^2 , x의 계수라고 하며, c는 상수항이라고 부른다. 일반적으로 인수분해를 이용해 풀이한다. 여기에서 ax^2에서 a의 값이 -이면 아래로 내려가고 +이면 위로 올라간다. 그리고 |a|의값이 커질수록 폭은 좁아진다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 실수인 근 실근과 허수인 근 허근을 갖는다. 이차방정식의 두 근은 서로 중복될 수 있고, 이 때 중복되는 두 근이 실근인지 허근인지는 관계없이  **중근**이라고 한다.

## 이차 방정식의 근의 공식
다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.

:ax^2 + bx + c = 0, 단, a, b, c는 실수이고 a\neq0일 때, 이 방정식의 두 해 x_1, x_2는
:x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}이고,
:b=2p일 때는  x_{1,2}=\frac{-p \pm \sqrt {b^2-ac\ }}{a}이다.

이차 방정식의 근의 공식의 다른 형태는 다음과 같다.
:x_{1,2}=\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}, 단  c \ne 0일 경우에만 성립한다.

여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 b^2 - 4ac를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 주로 D로 나타낸다.

판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

* 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
* 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 **중근**이라고 한다.
* 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

따라서, 제곱근 기호 \sqrt{\;\;}안의 수, 즉 b^2 - 4ac는 이 이차방정식의 판별식이 된다.
제곱근 루트의 성질에 의해서 루트의 내부가 양수이면 근의 공식은 \pm\sqrt{\;\;}가 살아있는 2개의 값이 되고, 루트의 내부가 0이면 루트는 없어짐으로  1개의 중복된 실수근을 갖게되고,
루트 내부에 음수가 존재하면 허수 \sqrt{ -1 \;}의 i가 생겨나므로 실수범위를 넘어서는 복소수체계에서 허수근을 갖게되겠다.

또한, 루트의 내부가 0이면 루트는 없어짐으로  1개의 중복된 실수근을 갖게 될때는,
:{   } \over  {2a} }= { { {-b}\cancel{\pm \sqrt{0}}  } \over  {2a} }=-

따라서, 축의 방정식은 이와같이 유도되고,
따라서, 이차함수의 꼭지점과 대칭 축은   -{ {b} \over {2a} } 가 된다.

### 근의 공식의 유도
이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같다.
좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다.

ax^2+bx+c=0에서, a는 0이 아니므로 양변을 a로 나눌 수 있다.
이렇게 이차항 x^2의 계수를 1로 만든다.
:\textstyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0
가 얻어지고,  상수항만 우변으로 이항하면
:\textstyle x^2 + \frac{b}{a} x= - \frac{c}{a}
일차항 x의 계수를 2 로 나누고 제곱한 상수항을 만들어 양변에 더해준다. 
:\textstyle x^2 + \frac{b}{a} x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2  = - \frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2
: \left(\textstyle x+ \frac{b}{2a} \right)^2 = - \frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}= {-{4a^2c} + {ab^2} \over {4a^3}}= {-{4ac} + {b^2} \over {4a^2}}
제곱근을 취하면
:\ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}
:x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a} (단, a\neq0)
가 얻어진다.

이차방정식 근의공식의 유도과정 아이디어는 고차방정식의 응용면에서도 중요하게 이용된다. 또한 판별식  D= b^2 -4ac가 0일때, 즉 
b^2 -4ac =0  은 방정식이 중근을 갖는, 완전제곱식이 되는 조건을 만족함을 의미한다.

D=\left( {b \over a} \right)^2 -4 \left( {b  \over 2a} \right)^2 =0 

### 짝수 공식
이차 방정식에서 일차항의 계수  b 가 짝수인 경우 \scriptstyle b' = \frac{b}{2} 를 대입하면,
위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.

: x = \frac{-b' \pm \sqrt {b'^2-ac\ }}{a} 

##### 근의 공식을 이용한 이차 방정식의 풀이
이차 방정식  x^2+x-1=0  을 근의 공식을 이용하여 풀어보자.
근의 공식 x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} 에 각각 이차항, 일차항 그리고 상수항의 계수들을 대입하면
x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt {1^2+4\ }}{2} x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt {5\ }}{2}이다.

### 차 고차항 압축 정리([[취른하우스 변형]])에 의한  근의 공식 유도
다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의  최고차항( n차항)의 x의 계수, a로 나눈 다음 \textstyle x=y- {b \over \mathbf{n} a}의 형태로 치환해서 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있는데 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라고 가정했을때,

이차 방정식
:ax^2 + bx + c = 0은 다음의 꼴로 정리되고,
:x^2+{b \over a}x+{c \over a}=0
그리고
:y^2+p=0의 꼴로 정리해서,
:x= y- {b \over \mathbf{n} a}로 다시 정리하면 되겠다.
따라서,
:x^2+{b \over a}x+{c \over a}=0,\qquad x= y- {b \over \mathbf{2} a} 
: \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2 + {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0 
우선,  \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2= \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)=\left(y^2-{b \over 2a}y-{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)
:=\left(y^2-2{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)=\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right) 
따라서,
:\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0  
:\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ \left({b \over a}y- {b \over a}{b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0  
:\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ \left({b \over a}y- {b^2 \over \mathbf{2} a^2} \right)+{c \over a}=0  
:y^2 \cancel{-{b \over a}y}+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \cancel{+ {b \over a}y}- {b^2 \over \mathbf{2} a^2} +{c \over a}=0  
:y^2 + \left( {1 \over 4}\left({b \over  a} \right)^2 - {1 \over 2}\left({b \over a} \right)^2 \right)+{c \over a}=0  
:y^2 - {1 \over 4}\left({b \over  a} \right)^2 +{c \over a}=0  
:y^2 - \left({b^2 \over  4a^2} \right) +{c \over a}=0  
:y^2 ={b^2 \over  4a^2}  -{c \over a}  
:y^2 ={2a}

\alpha + \beta = \frac {-2b}{2a}

\therefore \alpha + \beta =-\frac {b}{a}

*\alpha \beta =\frac {b^2-(\sqrt {b^2-4ac\ })^2}{(2a)^2}

\alpha \beta =\frac {b^2-b^2+4ac}{4a^2}

\alpha \beta =\frac {4ac}{4a^2}

\therefore \alpha \beta =\frac {c}{a}

*\left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }+b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \right| 

\left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac {2\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \right| 

\therefore \left| \alpha - \beta \right| = \frac {\sqrt{b^2-4ac\ }}{\left| a \right|} 

단, a는 0이 반드시 아니어야 한다.(0으로 나누기에 따르면 분모가 0일 때 값을 정의할 수 없기 때문이다.)

### 이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2

ax^2+bx+c=0의 두근 을 각 \alpha, \beta라고 정의하고

\alpha, \beta을 근으로 갖는 이차방정식을 (x-\alpha)(x-\beta)=0이라 한 후

이 이차방정식 앞에 계수 a(단,a는 0이 아니다)를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)

ax^2+bx+c=0 \iff a(x-\alpha)(x-\beta)=0

(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)

먼저 두 번째 이차방정식인 a(x- \alpha)(x- \beta)=0의 계수를 나누고 전개해주면

x^2+(- \alpha - \beta)x+\alpha \beta - ⓐ

또한, 첫 번째 이차방정식인 ax^2+bx+c=0 또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로

최고차항 ax^2의 계수 a로 나눠주면

x^2+\frac {b}{a}x+\frac {c}{a}=0 - ⓑ

ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서

-\alpha - \beta=\frac {b}{a}, -(\alpha + \beta)=\frac {b}{a}

\therefore \alpha + \beta = -\frac {b}{a}

\therefore \alpha \beta = \frac {c}{a}

참고로 이 차방정식은 브라마굽타에 이어 알콰리즈미에 의해 공식이 구해졌다.

## 같이 보기
* 일차 방정식
* 삼차 방정식
* 사차 방정식
* 오차 방정식
* 육차 방정식
* 칠차 방정식
* 방정식
* 비에트 정리
* 일차 함수
* 이차 함수
* 황금비

## 각주

## 외부 링크

* 

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