단순 리 초대수

리 초대수 이론에서, **단순 리 초대수**(單純Lie超代數, )는 자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수이다.

## 정의
가환환 K 위의 리 초대수 \mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1의 **아이디얼**은 \mathfrak g의 부분 리 초대수 \mathfrak i\subseteq\mathfrak g 가운데
:[\mathfrak g,\mathfrak i\} \subseteq\mathfrak i
인 것이다.

표수 0의 체 위의 리 초대수 \mathfrak g가 정확히 두 개의 리 초대수 아이디얼을 가질 경우, 이를 **단순 리 초대수**라고 한다. (이 경우, 아이디얼은 \{0\}과 \mathfrak g 전체이다. \mathfrak g=\{0\}인 경우는 아이디얼이 1개이므로 해당되지 않으며, 이는 1을 소수로 간주하지 않는 것과 마찬가지다.)

표수 0의 체 위의 단순 리 초대수 \mathfrak g가 다음 조건을 만족시킬 경우, **고전 리 초대수**(古典Lie超代數, )라고 한다.
* \mathfrak g_0의, \mathfrak g_1 위의  리 대수의 표현이 완전 분해 가능 표현이다.

고전 리 초대수가 아닌 단순 리 초대수를 **카르탕형 대수**(Cartan型代數, ) 또는 **초고전적 대수**(超古典的代數, )라고 하며, \mathfrak w(n), \mathfrak s(n), \tilde{\mathfrak s}(n), \mathfrak h(n)이 있다.

## 분류
### 복소수 단순 리 초대수
표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수들은 모두 분류되었으며, 그 목록은 다음과 같다.

위 표에서 \mathbf r^{\text{sym}\otimes2}는 \mathbf r\otimes\mathbf r의 대칭 성분이고, \mathbf r^{\wedge2}는 \mathbf r\otimes\mathbf r의 반대칭 성분이다.

이들 가운데 다음과 같은 동형이 존재한다.
:\mathfrak{sl}(2|1)=\mathfrak{osp}(2|2)
:\mathfrak{osp}(4|2;1)=\mathfrak{osp}(4|2;-2)=\mathfrak{osp}(4|2;-1/2)=\mathfrak{osp}(4|2)
:\mathfrak{osp}(4|2;\alpha)=\mathfrak{osp}(4|2;\alpha^{-1})=\mathfrak{osp}(4|2;-\alpha-1)
:\mathfrak w(2) = \mathfrak{sl}(2|1)
:\mathfrak s(3) = \mathfrak p(3)
:\mathfrak h(4) = \mathfrak{sl}(2|2)
이 밖에 단순 리 초대수 사이의 다른 동형은 없다.

### 실수체 위의 고전 단순 리 초대수
실수체 위의 고전 리 초대수 역시 분류되었다.

## 예
### 일반·특수 선형 초대수
(m|n)\times(m|n) **[[초행렬]]**은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.
:\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}
여기서 A는 m\times m이고, B는 n\times n이다. (m|n)\times(m|n) 초행렬의 모임을 **일반 선형 리 초대수**(一般線型Lie超代數, ) \mathfrak{gl}(m|n)이라고 쓰자. 초행렬의 **초대각합**(超對角合, )은 다음과 같다.
:\operatorname{str}\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\operatorname{tr}A-\operatorname{tr}D

**특수 선형 리 초대수**(特殊線型Lie超代數, ) \mathfrak{sl}(m|n)는 초대각합이 0인 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.
:\mathfrak{sl}(m|n)=\{M\in\mathfrak{gl}(m|n)\colon\operatorname{str}(m|n)=0\}
단위 행렬 1_{m|n}의 경우 \operatorname{str}1_{m|n}=m-n이므로, 1_{m|n}\in\mathfrak{sl}(m|n)일 필요 충분 조건은 m=n이다. 이 경우, **사영 특수 선형 리 초대수**(射影特殊線型Lie超代數, ) \mathfrak{psl}(m|m)는 다음과 같은, 중심에 대한 몫이다.
:\mathfrak{psl}(m|m)=\left\{[M]_\sim\colon M\in\mathfrak{sl}(m|m),\;M\sim M+1_{m|m}\right\}

### 직교-심플렉틱 초대수
**직교-심플렉틱 리 초대수**(直交symplectic Lie超代數, ) \mathfrak{osp}(m|2n)는 다음과 같은 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.
:\mathfrak{osp}(m|2n)=\left\{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in\mathfrak{gl}(m|n)\colon
A^\top=-A,\;D^\top\Omega=-\Omega D,\;B=C^\top\Omega\right\}
여기서
:\Omega=\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}
이다.

### 페리플렉틱 초대수와 이상한 초대수
**페리플렉틱 리 초대수**(periplectic Lie超代數, ) \mathfrak p(n)는 다음과 같다.
:\mathfrak p(n)=\left\{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in\mathfrak{gl}(n|n)\colon A^\top=-D,\;B^\top=B,\;C^\top=-C,\;\operatorname{tr}A=0\right\}

\tilde{\mathfrak q}(n)를 다음과 같이 정의하자.
:\tilde{\mathfrak q}(n)=\left\{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in\mathfrak{gl}(n|n)\colon A=D,\;B=C,\;\operatorname{tr}B=0\right\}
이 리 초대수는 단위 행렬로 생성되는 중심을 갖는데, 이에 대한 몫을 **이상한 리 초대수**(異常한Lie超代數, ) \mathfrak q(n)이라고 한다.
:\mathfrak q(n)=\{[M]_\sim\colon M\in\tilde{\mathfrak q}(n),\;M\sim M+1_{n|n}\}

### 𝔬𝔰𝔭(4|2;''α'')
\mathfrak{osp}(4|2;\alpha) 또는 \mathfrak{d}(2,1;\alpha)는 구체적으로 다음과 같다. 이 리 초대수의 보손 리 대수는 \mathfrak{sl}(2)^{\oplus3}이며, 이에 대한 페르미온 표현은 (\mathbf2,\mathbf2,\mathbf2)이다. 이에 따라, 지표
*a,b\in\{1,2,3\}\in\mathbb Z/(3) (\operatorname{Sym}(3)의 정의 표현의 지표)
*i\in\{1,2,3\} (\mathfrak{sl}(2) 지표)
*\alpha,\beta\in\{1,2\} (\mathfrak{sl}(2)의 정의 표현의 지표)
를 사용하면, 보손 생성원 t^a 및 페르미온 생성원 F_{\alpha_1\alpha_2\alpha_3}에 대한 리 초괄호는 다음과 같다.
:[t_i^a,t_j^b] = \mathrm i\delta^{ab}\epsilon_{ijk}t^a_k
:[t^a_i,F_{\alpha_1\alpha_2\alpha_3}] = 
\frac12\sigma^i_{\alpha_a'\alpha_a}F_{\alpha_1\dotso\alpha_a'\dotso\alpha_3}
:\{F_{\alpha_1\alpha_2\alpha_3},F_{\beta_1\beta_2\beta_3}\}
=
\sum_{a=1}^3
s_a
(C\sigma^i)_{\alpha_a\beta_a}
C_{\alpha_{a+1}\beta_{a+1}}
C_{\alpha_{a+2}\beta_{a+2}}
t_i^a\qquad(s_1,s_2,s_3\in\mathbb C)

이다. 여기서 \sigma^i는 파울리 행렬이며,
:C = \mathrm i\sigma^2
는 3차원 스피너의 전하 켤레 행렬이다.

페르미온-페르미온 리 초괄호에 등장하는 세 개의 복소수 계수 (s_1,s_2,s_3)는 야코비 항등식에 의하여
:s_1+s_2+s_3=0
을 만족시켜야 하며, 또한
:(s_1,s_2,s_3) \sim (s_{\sigma(1)},s_{\sigma(2)},s_{\sigma(3)}) \sim (\lambda s_1,\lambda s_2,\lambda s_3)\qquad(\lambda\in\mathbb C^\times,\;\sigma\in\operatorname{Sym}(3))
이다. 즉, [s_1:s_2:s_3]은 3차원 복소수 사영 평면 \mathbb{CP}^2의 동차 좌표를 이루며, 그 속에서 가능한 값은
:s_1 + s_2 + s_3 = 0
으로 정의되는 사영 직선의 \operatorname{Sym}(3)에 대한 몫 오비폴드이다.

이에 따라,
:\alpha = s_2 / s_1 \in \mathbb{CP}^1
로 좌표를 잡으면, 그 위의 대칭군 \operatorname{Sym}(3)의 작용은 다음과 같다.
:\alpha \sim \alpha^{-1} \sim -(\alpha+1) \sim
-\frac1{\alpha+1}
\sim
-\frac\alpha{\alpha+1}
\sim
-1-\frac1\alpha


이 경우, \alpha \sim 1 \sim -2 \sim -1/2인 점은 \mathfrak{osp}(4|2)에 해당한다.

실수 계수의 경우, 가능한 보손 리 대수는 다음과 같다.
:

이 경우, 복소수 계수 \alpha의 가능한 값은 실수 조건을 통해 제한되며, 그 \operatorname{Sym}(3) 대칭 또한 위와 같이 깨지게 된다. 이 경우, 가능한 \alpha의 동치 관계는 위 표와 같으며, 이 동치 관계의 동치류들은 위 표준 영역의 원소와 일대일 대응한다.

### 카르탕형 리 초대수
체 K 위의 벡터 공간 V 위의 외대수 \textstyle\bigwedge V 위의 \mathbb Z/2-등급 미분들, 즉 K-선형 변환
:d\colon \bigwedge(V)\to\bigwedge(V)
가운데
:d(a\vee b) = (da)\wedge b + (-)^{\deg a}a \wedge db\qquad\left(b\in \bigwedge(V),\;a\in\bigwedge_{2\bullet+1}(V)
\cup \bigwedge_{2\bullet}(V)
\right)
를 만족시키는 것들의 벡터 공간을 \operatorname W(V)라고 하자. V의 기저 (v_i)_{i\in I}를 잡았을 때, d\in \operatorname W(V)는 다음과 같이 표현될 수 있다.
:d = \sum_{i\in I} a_i \frac\partial{\partial v_i}\qquad\left(a_i\in \bigwedge(V)\;\forall i\in I\right)
\textstyle\bigwedge(V)의 \mathbb Z-등급으로부터, 이는 \operatorname W(V) 위에 \mathbb Z-등급을 정의한다. 그 위의 리 초괄호는 단순히
:[d,d'] = d\circ d' \pm d'\circ d
이며, 여기서 ± 부호는 \mathbb Z/2 등급에 의하여 결정된다.

만약 V가 2 이상의 유한 차원 벡터 공간이라면, 이는 단순 리 초대수를 이룬다. 이를 \mathfrak w(\dim V)로 표기한다.

**특수 카르탕형 리 초대수**() \mathfrak s(n)과 \mathfrak s(n) 및 **해밀턴형 리 초대수**() \mathfrak h(n)은 모두 \mathfrak w(n)의 부분 리 초대수이다.

## 역사
단순 리 초대수의 분류는 빅토르 카츠가 1975년에 완성하였다.

## 각주

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## 외부 링크
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분류:초대칭
분류:리 대수