전순서 집합

순서론에서 **전순서 집합**(全順序集合, )는 임의의 두 원소를 비교할 수 있는 부분 순서 집합이다. 실수에서는 순서를 줄 수 있지만 허수와 복소수에서는 순서를 줄 수 없다.

## 정의
원순서 집합 (X,\lesssim)이 다음 조건을 만족시킨다면, **원전순서 집합**(原全順序集合, , , )이라고 한다.
* 임의의 x,y\in X에 대하여, x\lesssim y이거나 y\lesssim x이다.
즉, 두 원소가 항상 비교 가능한 원순서 집합이다.

**전순서 집합**(全順序集合, , )은 원전순서 집합인 부분 순서 집합 (X,\le)이다. 즉, 이항 관계 \le는 다음 세 조건을 만족시킨다.
* (추이성) 만약 x\le y\le z라면 x\le z
* (반대칭성)  임의의 x,y\in X에 대하여, 만약 x\le y이며 y\le x라면 x=y
* (완전성) 항상 x\le y이거나 y\le x

### 도약
전순서 집합 (X,\le)의 **도약**(跳躍, ) (a,b)\in X^2은 다음 두 조건을 만족시키는 순서쌍이다.
* a이다.
* a인 c\in X가 존재하지 않는다.
도약이 없는 전순서를 조밀 순서라고 한다.

## 성질
### 함의 관계
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:

### 연산
원순서 집합들의 족 \{(X_i,\lesssim_i)\}_{i\in I}가 주어졌으며, I에 역시 원순서 \lesssim_I가 부여되었다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 X=\textstyle\bigsqcup_{i\in I}X_i 위에 다음과 같은 원순서를 정의할 수 있다.
:x_i\lesssim y_j\iff \left((i\prec_Ij)\lor\left(i=j\land x_i\lesssim_iy_j\right)\right)\qquad(x_i\in X_i,\;y_j\in X_j)
이를 \{(X_i,\lesssim_i)\}_{i\in I}들의 **순서합**()이라고 한다. (여기서 i\prec_Ij는 i\lesssim_Ij\not\lesssim_Ii를 뜻하며, i\sim_Ij는 i\lesssim j\lesssim i를 뜻한다.)

이에 대하여 다음이 성립한다.
* 만약 (I,\lesssim_I)가 전순서 집합이며, 모든 (X_i,\lesssim_i)가 원전순서 집합이라면, 그 순서합 X 역시 원전순서 집합이다.
* 만약 (I,\lesssim_I)가 전순서 집합이며, 모든 (X_i,\lesssim_i)가 전순서 집합이라면, 그 순서합 X 역시 전순서 집합이다.
* 만약 모든 (X_i,\lesssim_i)가 부분 순서 집합이라면, 그 순서합 X 역시 부분 순서 집합이다.

#### 사전식 순서

전순서 집합들의 족 (X_i,\le_i)_{i\in I}이 주어졌으며, I 위에 정렬 순서가 주어졌을 때, 곱집합 \prod_{i\in I}X_i 위에 **[[사전식 순서]]**라는 전순서를 부여할 수 있다.

### 위상수학적 성질

원전순서 집합에는 순서 위상을 부여하여 위상 공간으로 취급할 수 있다.

모든 원전순서 집합은 (순서 위상 아래) 완비 정규 공간이며, 모든 전순서 집합은 하우스도르프 완비 정규 공간이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 선형 연속체이다.
* 순서 위상을 가했을 때, 연결 공간이다.

완비 전순서 집합은 항상 콤팩트 공간이다.

전순서 집합의 부분 공간은 항상 직교 콤팩트 공간이자 가산 파라콤팩트 공간이다. 전순서 집합이 메타콤팩트 공간이라면, 파라콤팩트 공간이다.

모든 분해 가능 전순서 집합은 항상 사전식 순서를 준 \mathbb R\times2의 부분 집합과 순서 동형이다.

### 범주론적 성질
전순서 집합과 증가 함수는 구체적 범주 \operatorname{Toset}를 이룬다. 이는 작은 범주의 범주 \operatorname{Cat}의 충만한 부분 범주이다.

공집합이 아닌 유한 전순서 집합들의 범주 \triangle는 **단체 범주**(單體範疇, )라고 하며, 그 위의 준층 범주 \operatorname{PSh}(\triangle)는 **[[단체 집합]]**이라고 한다. 이는 호모토피 이론에서 매우 중요하게 사용된다.

## 분류
모든 전순서 집합의 분류는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론 속에서는 불가능하다. 예를 들어, 비교적 간단한 분류 문제인 수슬린 가설조차 증명하거나 반증할 수 없다. 그러나 특수한 경우에는 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.

### 가산 조밀 전순서 집합
조밀 가산 전순서 집합 (X,\le)은 다음 여섯 전순서 집합 가운데 정확히 하나와 순서 동형이다.
* 공집합
* 한원소 집합
* \mathbb Q (유리수의 전순서 집합)
* \{-\infty\}\sqcup\mathbb Q. 이는 \mathbb Q_{\ge0}과 순서 동형이다.
* \mathbb Q\sqcup\{+\infty\}. 이는 \mathbb Q_{\le0}과 순서 동형이다.
* \mathbb Q\sqcup\{-\infty,+\infty\}. 이는 \mathbb Q\cap[0,1]과 순서 동형이다.

특히, 최대 원소와 최소 원소를 갖지 않는 조밀 가산 무한 전순서 집합 (X,\le)은 항상 \mathbb Q와 순서 동형이다.

자명하게, 조밀 가산 전순서 집합은 항상 공집합이거나, 한원소 집합이거나, 가산 무한 집합이다. 자명하게, 조밀 가산 전순서 집합의 최대 원소와 최소 원소를 제거하여도 조밀 가산 전순서 집합이다. 따라서, 최대 원소와 최소 원소를 갖지 않는 조밀 가산 무한 전순서 집합이 서로 순서 동형임을 보이는 것으로 족하다.

최대 원소와 최소 원소를 갖지 않는 두 조밀 가산 무한 전순서 집합
:X=\{x_0,x_1,x_2,\dots\}
:Y=\{y_0,y_1,y_2,\dots\}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면 순서 동형 f\colon X\to Y을 다음과 같이 정의할 수 있다. 먼저 f\colon\varnothing\to\varnothing로 놓자. 이제 X의 유한 부분 집합 A와 Y의 유한 부분 집합 B 사이의 순서 동형 f\colon A\to B가 주어졌다고 하자. x가 X\setminus A의 원소 가운데 지표가 가장 작은 하나라고 하자. 그렇다면, Y의 조밀성에 따라 f(x)를 다음을 만족시키는 Y\setminus B의 원소 가운데 지표가 가장 작은 하나로 놓을 수 있다.
* 각 a\in A에 대하여, 만약 x라면 f(x)
* 각 a\in A에 대하여, 만약 x>a라면 f(x)>f(a)
이는 f를 순서 동형 f\colon A\cup\{x\}\to B\cup\{f(x)\}으로 확장한다. 이 방법을 f^{-1}\colon B\cup\{f(x)\}\to A\cup\{x\}에 적용하면, 이 순서 동형을 다시 순서 동형 f\colon A\cup\{x,f^{-1}(y)\}\to B\cup\{f(x),y\}로 확장할 수 있다. 이를 반복하면 결국 X와 Y 사이의 순서 동형을 얻는다.

### 완비 분해 가능 조밀 전순서 집합
전순서 집합 (X,\le)가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.
* X는 조밀 순서이다.
* X에 순서 위상을 가하면, X는 분해 가능 공간이다.
* (완비성) 상계와 하계를 갖는 임의의 부분 집합 A\subseteq X는 (만약 A\ne\varnothing이라면) 상한과 하한을 갖는다.
그렇다면, X는 다음 여섯 전순서 집합 가운데 정확히 하나와 순서 동형이다.
* 공집합
* 한원소 집합
* \mathbb R (실수의 전순서 집합). 이는 (0,1)과 순서 동형이다.
* \mathbb R\sqcup\{+\infty\}. 이는 (0,1]과 순서 동형이다.
* \mathbb R\sqcup\{-\infty\}. 이는 [0,1)과 순서 동형이다.
* \bar{\mathbb R}=\mathbb R\sqcup\{+\infty,-\infty\} (확장된 실수). 이는 [0,1]과 순서 동형이다.
특히, 완비 분해 가능 조밀 무한 전순서 집합은 (순서 동형 아래) 확장된 실수의 전순서 집합 (\overline{\mathbb R},\le) 밖에 없다.

**증명:**

X가 위 성질들을 만족시킨다고 하자. 분해 가능 공간의 정의에 의하여, 가산 조밀 집합 D\subseteq X을 찾을 수 있으며, D 위의 순서는 조밀 순서임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 D는 위와 같이 6개의 순서형 가운데 하나와 동형이며, X는 D의 데데킨트 완비화와 순서 동형이다.


마지막 조건을 약화시킬 경우, 이들의 분류는 수슬린 가설에 의하여 좌우되는데, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적인 명제이다.

어떤 전순서 집합 (X,\le)에 대하여, 다음 네 조건이 동치이다.
* X는 분해 가능 공간이며, 가산 개의 도약을 갖는다.
* 다음 조건을 만족시키는 가산 집합 D\subseteq X가 존재한다.
** 임의의 x\in X에 대하여, x=\sup\{d\in D\colon d\le x\}
* 다음 조건을 만족시키는 가산 집합 D\subseteq X가 존재한다.
** 임의의 x\in X에 대하여, x=\inf\{d\in D\colon d\ge x\}
* X는 \mathbb R의 부분 집합과 순서 동형이다. 즉, 단사 단조 함수 f\colon X\to\mathbb R가 존재한다.

### 유한 집합 위의 (원)전순서
[섬네일|right|크기 3의 집합 <math>\{a,b,c\}</math> 위에 존재할 수 있는 13개의 원전순서. 여기서 <math>a<b</math>는 <math>a\lesssim b\not\lesssim a</math>를 뜻한다. 이 가운데 맨 밖의, 검은 색 글씨의 6개는 전순서이다. 중간의, 푸른 색 글씨의 6개는 2개의 [동치류들을 갖는 원전순서이다. 가운데의, 붉은 색 글씨의 1개는 1개의 동치류를 갖는 비이산 원순서이다.]]
유한 전순서 집합은 항상 정렬 집합이며, 따라서 그 크기에 따라 완전히 분류된다.

크기 n의 유한 집합 위의 원전순서들의 수는 **푸비니 수**() F_n이라고 한다. 크기 n의 유한 집합 위의 전순서들의 수는 계승 n!이다. 이들의 값은 다음과 같다. (, ).

## 예
모든 순서체는 전순서 집합이다. 예를 들어, 실수체 \mathbb R, 유리수체 \mathbb Q 등은 표준적인 순서를 부여하면 전순서 집합을 이룬다. 정수환 \mathbb Z나 자연수의 모노이드 \mathbb N 역시 전순서 집합이다. 이들 집합 가운데, 자연수의 집합을 제외한 나머지는 정렬 집합이 아니다.

### 아론샤인 직선
**아론샤인 직선**()은 다음 조건들을 만족시키는 전순서 집합이다.
* 크기가 \aleph_1이다.
* \omega_1 (최소 비가산 순서수)과 순서 동형인 부분 집합을 갖지 않는다.
* \omega_1^{\operatorname{op}} (\omega_1의 반대 순서)와 순서 동형인 부분 집합을 갖지 않는다.
* \mathbb R의 비가산 부분 집합과 순서 동형인 부분 집합을 갖지 않는다.
아론샤인 직선의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론만으로 보일 수 있다. 아론샤인 직선은 나흐만 아론샤인(, 1907~1980)이 도입하였다.

### 컨트리먼 직선
원순서 집합들의 족 (X,\lesssim)_{i\in I}이 주어졌을 때, 곱집합 \textstyle\prod_{i\in I}X_i 위에 원순서
:x\lesssim y\iff\forall i\in I\colon x_i\lesssim y_i
를 줄 수 있다. 마찬가지로, 분리합집합 \textstyle\bigsqcup_{i\in I}X_I 위에 원순서
:x\lesssim y\iff\exists i\in I\colon x\in X_i\ni y\land x\lesssim_iy
를 줄 수 있다.

**컨트리먼 직선**()은 다음 조건을 만족시키는 전순서 집합 (X,\le)이다.
* X의 집합의 크기는 \aleph_1이다.
* 임의의 양의 정수 n에 대하여, X^n은 \aleph_0개의 전순서 집합들의 분리합집합과 순서 동형이다.
컨트리먼 직선의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론만으로 보일 수 있으며, 이는 사하론 셸라흐가 증명하였다.

## 역사
가산 조밀 전순서 집합의 분류 정리
와 분해 가능 완비 전순서 집합의 분류 정리는 게오르크 칸토어가 1895년에 증명하였다.

## 각주

## 외부 링크

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분류:순서론