보편 포락 대수

리 대수 이론에서, **보편 포락 대수**(普遍包絡代數, )는 주어진 리 대수의 리 괄호를, 결합법칙을 만족시키는 곱셈에 대한 교환자로 나타내는 대수이다.

## 정의
보편 포락 대수의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
* 구체적으로, 텐서 대수의 특정한 양쪽 아이디얼에 대한 몫으로 정의될 수 있다.
* 추상적으로, 결합 대수를 리 대수로 여기는 망각 함자의 왼쪽 수반 함자로 정의될 수 있다.
이 두 정의는 서로 동치이다.

### 구체적 정의
가환환 K에 대한 리 대수 \mathfrak g가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서 대수
:\operatorname T(\mathfrak g)=\bigoplus_{n=0}^\infty\mathfrak g^{\otimes_Kn}
=K\oplus\mathfrak g\oplus\mathfrak g\otimes_K\mathfrak g\oplus\dotsb

에 다음과 같은 원소들로 생성되는 양쪽 아이디얼 \mathfrak I를 생각하자.
:a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\qquad\forall a,b\in\mathfrak g\subset T(\mathfrak g)
이 양쪽 아이디얼에 대한 몫대수
:\operatorname U(\mathfrak g)=\frac{\operatorname T(\mathfrak g)}{\mathfrak I}
를 \mathfrak g의 **보편 포락 대수** \operatorname U(\mathfrak g)라고 한다. 이는 K-결합 대수를 이룬다.
\mathfrak g\subset\operatorname T(\mathfrak g)이므로, 자연스러운 K-선형 변환
:\mathfrak g\to U(\mathfrak g)
이 존재한다.

보편 포락 대수 \operatorname U(\mathfrak g)는 텐서 대수 T(\mathfrak g)로부터 자연스럽게 호프 대수의 구조를 물려받는다. 즉, 모든 a,b\in\mathfrak g에 대하여, 호프 대수의 연산은 다음과 같다.
* 곱셈: ab
* 단위원: 1
* 쌍대곱: \Delta(a)=a\otimes1+1\otimes a
* 쌍대단위원: \epsilon(a)=0
* 앤티포드: S(a)=-a

### 범주론적 정의
가환환 K가 주어졌을 때, K-리 대수의 범주 \operatorname{LieAlg}_K와 K-결합 대수의 범주 \operatorname{Assoc}_K를 생각하자. 이 두 범주는 둘 다 대수 구조 다양체의 범주이다. 따라서, 망각 함자
:\operatorname{Forget}\colon\operatorname{Assoc}_K\to\operatorname{LieAlg}_K
:(A,\cdot)\mapsto (A,[-,-]\colon (a,b)\mapsto a\cdot b-b\cdot a)
는 왼쪽 수반 함자
:\operatorname U\dashv \operatorname{Forget}
:\operatorname U\colon \operatorname{LieAlg}_K\to\operatorname{Assoc}_K
를 갖는다. 리 대수의, 이 함자에 대한 상을 그 **보편 포락 대수**라고 한다.

### 보편 포락 대수의 쌍대 대수
보편 포락 대수는 쌍대 가환 호프 대수이므로, 그 쌍대 공간은 가환환을 이룬다. 이는 직접적으로 정의할 수 있다. \mathfrak g가 체 K 위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면, 보편 포락 대수를 정의하는 K-벡터 공간의 짧은 완전열
:0\mathfrak I \to \operatorname T(\mathfrak g) \to \operatorname U(\mathfrak g) \to 0
은 다음과 같이 쌍대화된다. (이 경우 ‘쌍대 공간’은 등급별 쌍대 공간들로 구성된 등급 벡터 공간이다.)
:0\operatorname U(\mathfrak g)^* \to \operatorname T(\mathfrak g)^* \to \mathfrak I^* \to 0
여기서
:\operatorname T(\mathfrak g)^* = \operatorname T(\mathfrak g^*)
이며, 보편 포락 대수의 쌍대는 이러한 텐서 대수의 부분 대수이다. 구체적으로, 보편 포락 대수의 쌍대의 원소
:p = \sum_{i=0}p_i \in \operatorname U(\mathfrak g)^*
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 각 자연수 i\in\mathbb N에 대하여, 선형 변환 p_i \colon \mathfrak g^{\otimes i} \to K
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:\sup \{ i\in\mathbb N \colon p_i \ne 0 \} 
:p_{2+m+n}(x_1,\dotsc,x_m,y,z,w_1,\dotsc,w_n) - p_{2+m+n}(x_1,\dotsc,x_m,z,y,w_1,\dotsc,w_n)
= p_{1+m+n}(x_1,\dotsc,x_m,[y,z],w_1,\dotsc,w_n)
\qquad\forall m,n\in\mathbb N,\;x_1,\dotsc,x_m,y,z,w_1,\dotsc,w_n\in\mathfrak g

예를 들어
:p_2(x,y)-p_2(y,x) = p_1([x,y])
:p_3(x,y,z) - p_3(x,z,y) = p_2(x,[y,z])
:p_3(x,y,z) - p_3(y,x,z) = p_2([x,y],z)
이다. (p_0\in K는 항등식에 등장하지 않는다.)

이 위의 가환환 구조는 다음과 같다.
:(pq)_0() = p_0()q_0()
:(pq)_1(x) = p_0()q_1(x) + p_1(x)q_0()
:(pq)_2(x,y) = p_0()q_2(x,y) + p_1(x)q_2(y) + p_1(y)q_1(x) + p_2(x,y)q_0()
:(pq)_3(x,y,z) = p_0()q_3(x,y,z) + p_1(x)q_2(y,z) + p_1(y)q_2(x,z) + p_1(z)q_2(x,y) + p_2(x,y)q_1(z) + p_2(x,z)q_2(y) + p_2(y,z)q_2(x) + p_3(x,y,z)q_0()
:\vdots
일반적으로 (pq)_i의 표현은 2^i개의 항을 갖는다. 그 항등원은
:e_0() = 1
:e_i = 0\qquad\forall i>0
이다.

## 성질
### 환론적 성질
임의의 가환환 K 위의 아벨 리 대수의 보편 포락 대수는 가환환이다.

임의의 체 K 위의 리 대수의 보편 포락 대수는 영역이며, 만약 추가로 비아벨 리 대수라면 \operatorname U(\mathfrak g)는 비가환환이다 (즉, 정역이 아니다).

### 연산과의 호환
체 K 위의 두 리 대수 \mathfrak g, \mathfrak h의 직합 \mathfrak g\oplus\mathfrak h의 보편 포락 대수는 각 성분의 보편 포락 대수들의 (결합 대수로서의) 텐서곱이다.
:\operatorname U(\mathfrak g\oplus\mathfrak h) = \operatorname U(\mathfrak g)\otimes_K \operatorname U(\mathfrak h)

### 푸앵카레-버코프-비트 정리
**푸앵카레-버코프-비트 정리**(-定理, )에 따라, 리 대수에서 그 보편 포락 대수로 가는 선형 변환은 단사 함수이다.
:\iota_{\mathfrak g}\colon\mathfrak g\hookrightarrow U(\mathfrak g)
또한, U(\mathfrak g)는 항상 \mathfrak g로부터 생성된다.

구체적으로, 임의의 가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g가 주어졌다고 하고, \mathfrak g가 K-자유 가군이라고 하자. \mathfrak g의 (하멜) 기저 B\subseteq \mathfrak g를 고르자. 또한, B 위에 임의의 전순서를 부여하자.

그렇다면, U(\mathfrak g) 역시 K-자유 가군이며, 집합
:\left\{
\iota_{\mathfrak g}(b_1)\iota_{\mathfrak g}(b_2)\dotsm\iota_{\mathfrak g}(b_n)
\colon n\in\mathbb N,\;b_1,b_2,\dotsc,b_n\in B
\right\}
은 U(\mathfrak g)의 (하멜) 기저를 이룬다. 여기서 \mathbb N=\{0,1,2,\dotsc\}은 자연수의 집합이며, 특히 n=0일 경우 0개 항의 곱은 1이다.

### 하리시찬드라 동형 정리
복소수체 위의 가약 리 대수() \mathfrak g의 보편 포락 대수 \operatorname U(\mathfrak g)의 중심 \operatorname Z(\operatorname U(\mathfrak g))을 생각하자. 이 경우, 바일 군 \operatorname{Weyl}(\mathfrak g)을 정의할 수 있다. 또한, \mathfrak g의 카르탕 부분 대수 \mathfrak h를 고른다면, \operatorname{Weyl}(\mathfrak g)는 \mathfrak h 위에 자연스럽게 작용하며, 나아가 \mathfrak h 위의 다항식환 (대칭 대수) \operatorname{Sym}\mathfrak h 위에도 자연스럽게 작용한다.

**하리시찬드라 동형 정리**(हरीश चन्द्र同型定理, )에 따르면, 다음과 같은 표준적인 결합 대수 동형이 존재한다.
:\operatorname Z(\operatorname U\mathfrak g))=(\operatorname{Sym}\mathfrak h)^{\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)}
여기서 (\operatorname{Sym}\mathfrak h)^{\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)}는 바일 군의 작용에 불변인 원소들로 구성된 불변 부분 대수를 뜻한다.

### 카시미르 불변량
n차원 복소수 단순 리 대수 \mathfrak g가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 킬링 형식
:B\in\operatorname{Sym}^2\mathfrak g^*
이 존재한다. 그렇다면, 임의의 B-정규 직교 기저
:\mathfrak g=\operatorname{Span}\{X^1,\dots,X^n\}
:B(X^i,X^j)=\delta^{ij}
가 주어졌을 때, \mathfrak g의 **카시미르 불변량**(Casimir不變量, )은 다음과 같은 보편 포락 대수 \operatorname U(\mathfrak g)의 원소이다.
:C=\sum_{i=1}^nB(X^i,X^j)\in U(\mathfrak g)

보다 일반적으로, 체 K 위의 유한 차원 리 대수 \mathfrak g 위의 대칭 쌍선형 형식
:B\in\operatorname{Sym}^2\mathfrak g^*
가 딸림표현 아래 불변이라고 하자. 즉, 다음 항등식이 성립한다고 하자.
:B([X,Y],Z)+B(Y,[X,Z])=0\qquad\forall X,Y,Z\in\mathfrak g
그렇다면, 마찬가지로 **카시미르 불변량** C(B)\in U(\mathfrak g)를 정의할 수 있다.

카시미르 불변량은 항상 보편 포락 대수의 중심에 속한다. K=\mathbb R일 경우, 단일 연결 리 군 G의 리 대수 \operatorname{Lie}(G) 위의 불변 대칭 쌍선형 형식 B는 G 위의 리만 계량을 정의하며, 이에 대한 카시미르 불변량은 G 위의 라플라스-벨트라미 연산자 \Delta_B와 같다.

## 역사
1880년대에 알프레도 카펠리()가 리 대수 \mathfrak{gl}(n;K)에 대한 푸앵카레-버코프-비트 정리를 증명하였다. 그러나 그의 업적은 오랫동안 알려지지 않았다. 1900년에 앙리 푸앵카레가 푸앵카레-버코프-비트 정리를 임의의 리 대수에 대하여 증명하였다. 그러나 푸앵카레의 논문 역시 한동안 잘 알려지지 못했다.

이후 1937년에 개릿 버코프와 에른스트 비트가 독자적으로 푸앵카레-버코프-비트 정리를 재발견하였다. (버코프와 비트 둘 다 카펠리 및 푸앵카레의 업적을 인용하지 않았다.) 이후 이 정리는 “버코프-비트 정리”로 불리다가, 1960년에 니콜라 부르바키가 이를 “푸앵카레-버코프-비트 정리”()로 일컫기 시작하였다.

하리시찬드라 동형 정리는 하리시찬드라가 증명하였다.

## 각주

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## 외부 링크
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