음함수 정리

섬네일

다변수 미적분학에서 **음함수 정리**(陰函數定理, )는 변수들에 대한 방정식이 국소적으로 충분히 매끄러운 함수 관계를 나타낼 충분 조건을 제시하는 정리이다.

## 도입
2차원 유클리드 공간 \mathbb R^2 위에서 원점 (0,0)을 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 원의 방정식
:x^2+y^2-1=0
을 생각하자. 이 방정식은 [-1,1]\times[0,\infty)에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다.
:y=\sqrt{1-x^2}\qquad\forall x\in[-1,1]
또한 이 방정식은 [-1,1]\times(-\infty,0]에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다.
:y=-\sqrt{1-x^2}\qquad\forall x\in[-1,1]
이 방정식을 만족시키는 연속 함수는 [-1,1]\times\mathbb R에서 위와 같은 두 가지가 있으므로 유일하지 않다. 그러나 (0,1)을 지나는 연속 함수는 첫 번째 함수로 유일하다. 이 사실에 대한 기하학적 의미를 알아보기 위해, 다음과 같은 함수를 정의하자.
:z=x^2+y^2-1\qquad\forall x,y\in\mathbb R
이렇게 정의한 F의 그래프는 \mathbb R^3에 놓인 곡면이며, 위와 같은 원은 이 곡면과 평면 z=0의 교선이다. (0,1) 주변에서 x'^2+y'^2-1=0인 점 (x',y')을 임의로 취하자. 여기에는 특히 (x',y')=(0,1) 역시 포함된다. x=x'가 고정되었을 때, z={x'}^2+y^2-1는 y=y' 주변에서 y에 대한 순증가 함수이기 때문에, 국소적으로 y에 대하여 z이 성립하며, y>y'에 대하여 z>0이 성립한다. 따라서 z=x^2+y^2-1의 영점 집합은 (0,1)에서 국소적으로 어떤 함수 y=y(x)의 그래프와 일치한다. z가 y에 대한 순단조 함수가 되기 위한 한 가지 충분 조건은 \partial z/\partial y\ne 0이다. 이를 만족시키지 않는 점을 지나는 연속 함수는 국소적으로 유일할 필요가 없다. 예를 들어, 방정식을 만족시키며 (1,0)을 지나는 연속 함수는 대역적으로나 국소적으로나 유일하지 않다. 음함수 정리에서는 이 조건을 가정으로 삼아 국소적으로 유일한 음함수의 존재를 결론으로 제시한다. 사실 \partial z/\partial y\ne 0은 비퇴화 조건의 가장 간단한 경우이다. 여러 개의 방정식의 연립
:z_1(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)=0
:\vdots
:z_m(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)=0
에서 (y_1,\dots,y_m)가 국소적으로 (x_1,\dots,x_n)의 함수인지를 다루려면 다음과 같은 비퇴화 조건을 사용하여야 한다.
:\det\frac{\partial(z_1,\dots,z_m)}{\partial(y_1,\dots,y_m)}\ne 0
이 부등식의 좌변은 함수 z_1,\dots,z_m의 변수 y_1,\dots,y_m에 대한 야코비 행렬식이다. 특히, 만약
:z_1=a_{11}x_1+\cdots a_{1n}x_n+b_{11}y_1+\cdots+b_{1m}y_m
:\vdots
:z_m=a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n+b_{m1}y_1+\cdots+b_{mm}y_m
일 경우, 위에서 정의한 야코비 행렬식은 x_1,\dots,x_n을 상수로 간주하여 얻는 연립 일차 방정식의 계수 행렬의 행렬식 \det(b_{ij})_{m\times m}이다.

## 정의
열린 근방 \mathbf a\in U\subseteq\mathbb R^n와 \mathbf b\in V\subseteq\mathbb R^m 및 연속 함수 \mathbf f\colon U\times V\to\mathbb R^m, (\mathbf x,\mathbf y)\mapsto\mathbf f(\mathbf x,\mathbf y) (\mathbf x\in U, \mathbf y\in V)가 다음을 만족시킨다고 하자.
*\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f 역시 연속 함수이다. 여기서 (\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f)_{ij}=\partial f_i/\partial y_j이다.
*\mathbf f(\mathbf a,\mathbf b)=\mathbf 0
*\det\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf a,\mathbf b)\ne 0
그렇다면, 다음을 만족시키는 열린 근방 \mathbf a\in W\subseteq U 및 유일한 연속 함수 \mathbf g\colon W\to\mathbb R^m가 존재한다.
*\mathbf g(W)\subseteq V
*\mathbf b=\mathbf g(\mathbf a)
* 임의의 \mathbf x\in W에 대하여, \mathbf f(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=\mathbf 0
또한, k\in\{1,2,\dots\}에 대하여, 만약 \mathbf f가 \mathcal C^k 함수라면, \mathbf g 역시 \mathcal C^k 함수이며, \mathbf g의 도함수 \mathrm D\mathbf g는 다음과 같다.
:\mathrm D\mathbf g(\mathbf x)=-
(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x)))^{-1}
\mathrm D_{\mathbf x}\mathbf f(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))\qquad\forall\mathbf x\in W
여기서 (\mathrm D_{\mathbf x}\mathbf f)_{ij}=\partial f_i/\partial x_j이다. 이를 **음함수 정리**라고 한다. \mathbf f가 \mathcal C^k 함수임을 가정하지 않을 경우, \mathbf g의 미분 가능성은 일반적으로 성립하지 않는다.

### 가장 간단한 경우
두 열린구간 a\in U\subseteq\mathbb R와 b\in V\subseteq\mathbb R 및 연속 함수 f\colon U\times V\to\mathbb R가 다음을 만족시킨다고 하자.
*\partial f/\partial y 역시 연속 함수이다.
*f(a,b)=0
*(\partial f/\partial y)(a,b)\ne 0
그렇다면, 다음을 만족시키는 열린구간 a\in W\subseteq U 및 유일한 연속 함수 g\colon W\to\mathbb R가 존재한다.
*g(W)\subseteq V
*b=g(a)
* 임의의 x\in W에 대하여, f(x,g(x))=0
또한, k\in\{1,2,\dots\}에 대하여, 만약 f가 \mathcal C^k 함수라면, g 역시 \mathcal C^k 함수이며, g의 도함수 g'는 다음과 같다.
:g'(x)=-\frac{(\partial f/\partial x)(x,g(x))}{(\partial f/\partial y)(x,g(x))}\qquad\forall x\in W
이는 음함수 정리에서 n=m=1을 취한 가장 간단한 경우이다.

## 증명
### 수학적 귀납법을 통한 증명
수학적 귀납법을 사용하자.

#### m=1
먼저 m=1일 경우를 증명하자. 편의상 (\partial f/\partial y)(a,b)>0라고 가정하자. 그러면 \partial f/\partial y에 연속성에 의하여, 다음을 만족시키는 \delta_1>0가 존재한다.
* \operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\subseteq U
* \operatorname B(b,\delta_1)\subseteq V
* 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_1) 및 y\in\operatorname B(b,\delta_1)에 대하여, (\partial f/\partial y)(\mathbf x,y)>0
이에 따라 f(\mathbf a,y)가 \operatorname B(b,\delta_1)에서 순증가 함수이며, 또한 f(\mathbf a,b)=0이므로, f(\mathbf a,b-\delta_1)이다. 따라서 다음을 만족시키는 0가 존재한다.
* 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)에 대하여, f(\mathbf x,b-\delta_1)
따라서, 임의의 \mathbf x'\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)에 대하여, f(\mathbf x',y)는 \operatorname B(b,\delta_1)에서 순증가 함수이자 연속 함수이므로, 중간값 정리에 따라 f(\mathbf x',g(\mathbf x'))=0인 유일한 g(\mathbf x')\in\operatorname B(b,\delta_1)가 존재한다. 이렇게 정의한 함수 g\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R는 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)에 대하여 f(\mathbf x,g(\mathbf x))=0를 만족시키며, 특히 b=g(\mathbf a)이다. 이제 g의 연속성을 증명하자. 임의의 \mathbf x'\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2) 및 충분히 작은 \epsilon>0에 대하여, f(\mathbf x',g(\mathbf x')-\epsilon)이므로, 다음을 만족시키는 \delta_3>0가 존재한다.
* \operatorname B(\mathbf x',\delta_3)\subseteq\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)
* 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta_3)에 대하여, f(\mathbf x,g(\mathbf x')-\epsilon)
따라서, 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta)에 대하여, g(\mathbf x)\in\operatorname B(g(\mathbf x'),\epsilon)이다. 이제 g의 유일성을 증명하자. 연속 함수 h\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R가 다음을 만족시킨다고 가정하자.
* h(\operatorname B(\mathbf a,\delta_2))\subseteq V
* b=h(\mathbf a)
* 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)에 대하여, f(\mathbf x,h(\mathbf x))=0
그렇다면, 다음과 같은 집합이 \operatorname B(\mathbf a,\delta_2)의 열린닫힌집합임을 보이는 것으로 족하다.
:A=\{\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\colon g(\mathbf x)=h(\mathbf x)\}
우선 임의의 \mathbf x'\in A에 대하여, 다음을 만족시키는 \delta_4>0가 존재한다.
* \operatorname B(\mathbf x',\delta_4)\subseteq\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)
* 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta_4)에 대하여, h(\mathbf x)\in\operatorname B(b,\delta_1)
따라서, 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta_4)에 대하여, h(\mathbf x)=g(\mathbf x)이다. 즉, A는 \operatorname B(\mathbf a,\delta_2)의 열린집합이다. 또한 임의의 \mathbf x'\in A'\cap\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)에 대하여, g,h의 연속성에 의하여 \mathbf x'\in A이다. 즉, A는 \operatorname B(\mathbf a,\delta_2)의 닫힌집합이다. \operatorname B(\mathbf a,\delta_2)는 연결 집합이며, 또한 A\ne\varnothing이므로, A=\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)이다. 즉, 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)에 대하여, g(\mathbf x)=h(\mathbf x)이다. 이제 f가 \mathcal C^k 함수일 때 g의 \mathcal C^k성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의 j\in\{1,\dots,n\} 및 \mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)에 대하여, 다음과 같이 표기하자.
:\Delta y(\mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)=g(\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)-g(\mathbf x')
그러면 평균값 정리에 따라 다음을 만족시키는 0가 존재한다.
:\begin{align}0
&=f(\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j,g(\mathbf x')+\Delta y)-f(\mathbf x',g(\mathbf x'))\\
&=
\frac{\partial f}{\partial x_j}(\mathbf x'+\theta\Delta x_j\mathbf e_j,\mathbf g(\mathbf x')+\theta\Delta y)\Delta x_j+
\frac{\partial f}{\partial y}(\mathbf x'+\theta\Delta x_j\mathbf e_j,\mathbf g(\mathbf x')+\theta\Delta y)\Delta y
\end{align}
따라서, 다음이 성립한다.
:\begin{align}\frac{\partial g}{\partial x_j}(\mathbf x')
&=\lim_{\Delta x_j\to\mathbf 0}\frac{\Delta y}{\Delta x_j}\\
&=\lim_{\Delta x_j\to\mathbf 0}\left(
-\frac{(\partial f/\partial x_j)(\mathbf x'+\theta\Delta x_j\mathbf e_j,\mathbf g(\mathbf x')+\theta\Delta y)}{
(\partial f/\partial y)(\mathbf x'+\theta\Delta x_j\mathbf e_j,\mathbf g(\mathbf x')+\theta\Delta y)}\right)
\\
&=-
\frac{(\partial f/\partial x_j)(\mathbf x',g(\mathbf x'))}{
(\partial f/\partial y)(\mathbf x',g(\mathbf x'))}
\end{align}
또한 (\partial f/\partial x_j)(\mathbf x',g(\mathbf x'))와 (\partial f/\partial y)(\mathbf x',g(\mathbf x'))가 연속 함수이므로, g는 연속 미분 가능 함수이다.

#### m>1
이제 m>1일 경우를 증명하자. V의 원소를 \mathbf y=(y_1,\tilde\mathbf y)로 쓰고, \mathbf f=(f_1,\tilde\mathbf f)와 같이 표기하자. 또한 편의상 \det(\mathrm D_{\tilde\mathbf y}\tilde\mathbf f\!(\mathbf a,\mathbf b))\ne 0이라고 가정하자. 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 \tilde\mathbf g\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1)\to\mathbb R^{m-1}가 존재하게 되는 \delta_1>0가 존재한다.
*\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\subseteq U
*\operatorname B(b_1,\delta_1)\times\tilde\mathbf g(\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1))\subseteq V
*\mathbf b'=\tilde\mathbf g(\mathbf a,b_1)
* 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_1) 및 y_1\in\operatorname B(b_1,\delta_1) 및 i\in\{2,\dots,m\}에 대하여, f_i(\mathbf x,y_1,\tilde\mathbf g(\mathbf x,y_1))=0
다음과 같은 함수 F\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1)\to\mathbb R^m를 정의하자.
:F(\mathbf x,y_1)=f_1(\mathbf x,y_1,\tilde\mathbf g(\mathbf x,y_1))
\qquad\forall\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_1),\;y_1\in\operatorname B(b_1,\delta_1)
그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_1) 및 y_1\in\operatorname B(b_1,\delta_1)에 대하여 다음이 성립한다.
:\begin{align}\frac{\partial F}{\partial y_1}
&=\frac{\partial f_1}{\partial y_1}+\sum_{j=2}^m\frac{\partial f_1}{\partial y_j}\frac{\partial h_{j-1}}{\partial y_1}\\
&=\frac{\partial f_1}{\partial y_1}+
\mathrm D_{\tilde\mathrm y}f_1
(\mathrm D_{\tilde\mathrm y}\tilde f)^{-1}
\mathrm D_{y_1}\tilde f\\
&=\frac{\partial f_1}{\partial y_1}+
\sum_{i=2}^m\sum_{j=2}^m(-1)^{i+j}
\frac 1{\det\mathrm D_{\tilde\mathbf y}\tilde\mathbf f}
\frac{\partial f_i}{\partial y_1}
\frac{\partial f_1}{\partial y_j}
\det\mathrm D_{(y_2,\dots,y_{j-1},y_{j+1},\dots,y_m)}(f_2,\dots,f_{i-1},f_{i+1},\dots,f_m)
\\
&=\frac{\det\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f}{\det\mathrm D_{\tilde\mathbf y}\tilde\mathbf f}
\end{align}

따라서 (\partial F/\partial y_1)(\mathbf a,b_1)\ne 0이다. 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 g_1\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R가 존재하게 되는 0가 존재한다.
*g_1(\operatorname B(\mathbf a,\delta_2))\subseteq\operatorname B(b_1,\delta_1)
*b_1=g_1(\mathbf a)
* 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)에 대하여, F(\mathbf x,g_1(\mathbf x))=0
이제 \mathbf g\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R^m를 다음과 같이 정의하자.
:\mathbf g(\mathbf x)=(g_1(\mathbf x),\tilde\mathbf g(\mathbf x,g_1(\mathbf x)))\qquad\forall\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)
그렇다면, \mathbf g는 연속 함수이며, 다음이 성립한다.
:\mathbf g(\operatorname B(\mathbf a,\delta_2))\subseteq V
:f_1(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=F(\mathbf x,g_1(\mathbf x))=0\qquad\forall\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)
:f_i(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=f_i(\mathbf x,g_1(\mathbf x),\tilde\mathbf g(\mathbf x,g_1(\mathbf x)))=0\qquad\forall\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2),\;i\in\{2,\dots,m\}
:\mathbf g(\mathbf a)=(g_1(\mathbf a),\tilde\mathbf g(\mathbf a,b_1))=\mathbf b
이러한 \mathbf g의 유일성은 m=1의 경우와 똑같은 방법으로 보일 수 있다. 만약 \mathbf f가 \mathcal C^k 함수라면, 각 i\in\{1,\dots,m\} 및 j\in\{1,\dots,n\}에 대하여, f_i(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=0의 양변에 \partial/\partial x_j를 취하면, 연쇄 법칙에 따라 다음을 얻는다.
:\frac{\partial f_i}{\partial x_j}+\sum_{k=1}^m\frac{\partial f_i}{\partial y_k}\frac{\partial g_k}{\partial y_j}=0
이를 행렬로 표기하면 \mathrm D\mathbf g의 공식을 얻으며, 따라서 \mathbf g 역시 \mathcal C^k 함수이다.

### 바나흐 고정점 정리를 통한 증명
다음과 같은 함수 \mathbf F\colon U\times V\to\mathbb R^m를 정의하자.
:\mathbf F(\mathbf x,\mathbf y)=\mathbf y-
(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf a,\mathbf b))^{-1}
\mathbf f(\mathbf x,\mathbf y)
\qquad\forall\mathbf x\in U,\;\mathbf y\in V
그러면 다음이 성립한다.
:\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf F(\mathbf x,\mathbf y)=1_{m\times m}-
(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf a,\mathbf b))^{-1}
\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x,\mathbf y)
\qquad\forall\mathbf x\in U,\;\mathbf y\in V
따라서 \mathrm D_{\mathbf y}\mathbf F(\mathbf a,\mathbf b)=0_{m\times m}이다. 또한 \det\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf a,\mathbf b)\ne 0이므로, 0를 취하였을 때, 다음을 만족시키는 \delta_1>0가 존재한다.
* \bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\subseteq U
* \bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)\subseteq V
* 임의의 \mathbf x\in\bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_1) 및 \mathbf y\in\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)에 대하여, \mathrm D_{\mathbf y}\mathbf F(\mathbf x,\mathbf y)이며 \det\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x,\mathbf y)\ne 0
또한, \mathbf F(\mathbf a,\mathbf b)=\mathbf b이므로, 다음을 만족시키는 0가 존재한다.
* 임의의 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)에 대하여, \Vert\mathbf F(\mathbf x,\mathbf b)-\mathbf b\Vert
이제 임의의 \mathbf x'\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)에 대하여, \mathbf F(\mathbf x',\cdot)가 \bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1) 위의 c-립시츠 연속 함수임을 증명하자. 우선 임의의 \mathbf y\in\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)에 대하여, 다음을 만족시키는 0가 존재한다.
:\begin{align}\Vert\mathbf F(\mathbf x',\mathbf y)-\mathbf b\Vert
&\le\Vert\mathbf F(\mathbf x',\mathbf y)-\mathbf F(\mathbf x',\mathbf b)\Vert
+\Vert\mathbf F(\mathbf x',\mathbf b)-\mathbf b\Vert\\
&\le\Vert\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf F(\mathbf x',\mathbf b+\theta(\mathbf y-\mathbf b))\Vert\Vert\mathbf y-\mathbf b\Vert+
\Vert\mathbf F(\mathbf x',\mathbf b)-\mathbf b\Vert\\
&
따라서 \mathbf F(\mathbf x',\mathbf y)\in\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)\subseteq\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)이다. 또한, 임의의 \mathbf y,\mathbf z\in\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)에 대하여, 다음을 만족시키는 0가 존재한다.
:\begin{align}\Vert\mathbf F(\mathbf x',\mathbf y)-\mathbf F(\mathbf x',\mathbf z)\Vert
&\le\Vert\mathrm D_{\mathrm y}\mathbf F(\mathbf x',\mathbf z+\theta(\mathbf y-\mathbf z)\Vert\Vert\mathbf y-\mathbf z\Vert\\
&\le c\Vert\mathbf y-\mathbf z\Vert
\end{align}
즉, \mathbf F(\mathbf x',\cdot)는 \bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1) 위의 c-립시츠 연속 함수이다. 또한 (\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1),\Vert\cdot\Vert)는 완비 거리 공간이므로, 바나흐 고정점 정리에 따라 \mathbf F(\mathbf x',\cdot)는 \bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)에서 유일한 고정점 \mathbf g(\mathbf x')\in\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)를 가진다. 즉, 다음이 성립한다.
:\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x'))=\mathbf 0
이제 이렇게 정의한 \mathbf g\colon\bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R^m가 연속 함수임을 증명하자. 임의의 \mathbf x',\mathbf x'+\Delta\mathbf x\in\bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)에 대하여, 다음이 성립한다.
:\begin{align}\Vert\mathbf g(\mathbf x'+\Delta\mathbf x)-\mathbf g(\mathbf x')\Vert
&=\Vert\mathbf F(\mathbf x'+\Delta\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x'+\Delta\mathbf x))-\mathbf F(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x'))\Vert\\
&\le\Vert
\mathbf F(\mathbf x'+\Delta\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x'+\Delta\mathbf x))-
\mathbf F(\mathbf x'+\Delta\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x'))\Vert+\Vert
\mathbf F(\mathbf x'+\Delta\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x'))-
\mathbf F(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x'))\Vert\\
&\le c\Vert\mathbf g(\mathbf x'+\Delta\mathbf x)-\mathbf g(\mathbf x')\Vert+c'\Vert\Delta\mathbf x\Vert
\end{align}
:c'=\sup_{\mathbf x\in\bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_2),\;\mathbf y\in\bar\operatorname B(\mathbf b,\delta_1)}
\Vert\mathrm D_{\mathbf x}\mathbf F(\mathbf x,\mathbf y)\Vert
즉, 다음이 성립한다.
:\Vert\mathbf g(\mathbf x'+\Delta\mathbf x)-\mathbf g(\mathbf x')\Vert\le\frac{c'}{1-c}\Vert\Delta\mathbf x\Vert
따라서 \mathbf g는 연속 함수가 맞다. \mathbf g의 유일성은 고정점의 유일성에 따라 성립한다. 이제 \mathbf f가 \mathcal C^k 함수일 때 \mathbf g의 \mathcal C^k성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의 \mathbf x',\mathbf x'+\Delta\mathbf x\in\bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)에 대하여, 다음과 같이 표기하자.
:\Delta\mathbf y(\mathbf x',\mathbf x'+\Delta\mathbf x)=\mathbf g(\mathbf x+\Delta\mathbf x)-\mathbf g(\mathbf x)
그러면 다음이 성립한다.
:\begin{align}\Vert\Delta\mathbf y+
(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x')))^{-1}
\mathrm D_{\mathbf x}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x'))\Delta\mathbf x\Vert
&\le\Vert
(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x')))^{-1}\Vert\Vert
(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x')))\Delta\mathbf y+
\mathrm D_{\mathbf x}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x'))\Delta\mathbf x\Vert\\
&=\Vert
(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x')))^{-1}\Vert\Vert
\mathbf f(\mathbf x'+\Delta\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x')+\Delta\mathbf y)-\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x'))-
(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x')))\Delta\mathbf y-
\mathrm D_{\mathbf x}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x'))\Delta\mathbf x\Vert\\
&=o(\Vert\Delta\mathbf x\Vert)\qquad(\Delta\mathbf x\to\mathbf 0)
\end{align}
마지막 등호는 \Vert\Delta\mathbf y\Vert\le(c'/(1-c))\Vert\Delta\mathbf x\Vert 때문이다. 즉,
:\mathrm D\mathbf g(\mathbf x')=-(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x')))^{-1}
\mathrm D_{\mathbf x}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x'))
가 성립하며, \mathbf g는 \mathcal C^k 함수이다.

## 예
### 닫힌 형식으로 나타낼 수 없는 함수
어떤 0에 대하여, 케플러 방정식
:x=y-\epsilon\sin y
을 생각하자. 다음과 같은 함수 f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R를 정의하자.
:f(x,y)=y-x-\epsilon\sin y\qquad\forall x,y\in\mathbb R
그렇다면, 임의의 x\in\mathbb R에 대하여,
:\lim_{y\to-\infty}f(x,y)=-\infty,\;\lim_{y\to\infty}f(x,y)=\infty
:f_y(x,y)=1-\epsilon\cos y>0\qquad\forall y\in\mathbb R
이므로, f(x,g(x))=0인 유일한 g(x)\in\mathbb R가 존재한다. 음함수 정리에 따라, 이러한 함수 g\colon\mathbb R\to\mathbb R는 \mathcal C^\infty 함수이다. 다시 말해, 케플러 방정식은 어떤 유일한 (\mathcal C^\infty) 함수를 정의한다. 그러나 이러한 함수 g는 닫힌 형식으로 나타낼 수 없다.

### 충분 조건의 비필요성
다음과 같은 연속 함수 f,g\colon\mathbb R^2\to\mathbb R 및 h\colon\mathbb R\to\mathbb R를 생각하자.
:f(x,y)=|y|\qquad\forall x,y\in\mathbb R
:g(x,y)=y^3\qquad\forall x,y\in\mathbb R
:h(x)=0\qquad\forall x\in\mathbb R
그러면 x,y\in\mathbb R에 대하여 다음 세 가지가 동치이다.
* f(x,y)=0
* g(x,y)=0
* y=h(x)
즉, h는 f 또는 g가 유도하는 음함수이다. 그러나 f_y(0,0)는 존재하지 않으며, g_y(0,0)=0이다.

## 같이 보기
* 역함수 정리

분류:미적분학 정리
분류:실해석학 정리