연속체 가설

집합론에서 **연속체 가설**(連續體假說, , 약자 CH)은 실수 집합의 모든 부분 집합은 가산 집합이거나 아니면 실수 집합과 크기가 같다는 명제이다. 집합론의 표준적 공리계로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

## 정의
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자.

다음 명제들이 서로 동치이며, 이를 **연속체 가설**이라고 한다.
* \aleph_1=2^{\aleph_0}=\beth_1. 즉, \aleph_0(가산 무한 집합의 크기)과 2^{\aleph_0} (실수 집합의 크기) 사이에는 다른 기수가 존재하지 않는다.
* 임의의 실수의 집합 S\subseteq\mathbb R에 대하여, S가 가산 집합이 아니라면, |S|=\mathbb R이다.
* 다항식환 \mathbb C[x,y,z] 위의 유리 함수 가군 \mathbb C(x,y,z)의 사영 차원이 2이다. (반대로, 연속체 가설이 거짓이라면 이 가군의 사영 차원은 3이다.)
* 가산 개의 체들의 직접곱의 대역 차원은 항상 2이다.
* (웨첼 문제 ) 다음 두 조건을 만족시키는 전해석 함수들의 족 \{f_i\colon\mathbb C\to\mathbb C\}_{i\in I}이 존재한다.
** 임의의 z\in\mathbb C에 대하여, \{f_i(z)\}_{i\in I}는 가산 집합이다.
** \{f_i\}_{i\in I}는 비가산 집합이다.

다음 명제들이 서로 동치이며, 이를 **일반화 연속체 가설**(一般化連續體假說, , 약자 GCH)이라고 한다.
* 임의의 순서수 \alpha\in\operatorname{Ord}에 대하여, \aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha}. 여기서 \aleph는 알레프 수이다.
* 임의의 순서수 \alpha\in\operatorname{Ord}에 대하여, \aleph_\alpha=\beth_\alpha. 여기서 \beth는 베트 수이다.
* 임의의 무한 기수 \kappa에 대하여, \kappa인 기수 \lambda가 존재하지 않는다.
* 임의의 기수 \kappa에 대하여, |\{A\subseteq\kappa\colon |A|\in S\}|=\kappa^+가 되는 기수 집합 S\subset\operatorname{Card}가 존재한다. (이 조건은 위와 달리 유한 기수에 대해서도 적용된다.) 여기서 \kappa^+=\min\{\lambda\in\operatorname{Card}\colon\kappa이다.

### 프라일링 대칭 공리
집합 X와 기수 \kappa에 대하여, 다음과 같은 명제 \mathsf{AX}(X,\kappa)를 생각하자.
:임의의 함수 f\colon X\to\mathcal P_{\le\kappa}(X)에 대하여, x\not\in f(y)이자 y\not\in f(x)가 성립하는 x,y\in X가 존재한다.
여기서 \mathcal P_{\le\kappa}(X)=\{S\subseteq X\colon |S|\le\kappa\}는 크기가 \kappa 이하의 X의 부분 집합들로 구성된 집합족이다. 그렇다면, \mathsf{ZFC} 아래 다음이 성립한다.
:\mathsf{AX}(2^\kappa,\kappa)\iff 2^\kappa\ne\kappa^+
즉, \lnot\mathsf{CH}\iff\mathsf{AX}(2^{\aleph_0},\aleph_0)이며, \lnot\mathsf{GCH}\iff\forall\kappa\in\operatorname{Card}\colon\mathsf{AX}(2^\kappa,\kappa)이다. 특히, \mathsf{AX}(2^{\aleph_0},\aleph_0)를 **프라일링 대칭 공리**()라고 한다. 이는 크리스토퍼 프랜시스 프라일링()이 도입하였다. 프라일링은 대칭 공리가 확률론적으로 직관적이라고 주장하였으나, 이는 오늘날 논란이 되고 있다.

## 성질
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)이 무모순적이라면, 일반화 연속체 가설은 ZFC와 독립적이다. 즉, ZFC로 일반화 연속체 가설을 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에 알려진 모든 큰 기수 공리를 추가하여도, (일반화) 연속체 가설은 여전히 독립적이다.

### 연속체 가설을 함의하는 명제
ZFC에 구성 가능성 공리(V=L)를 추가하면, 일반화 연속체 가설이 참이다.

### 연속체 가설의 부정을 함의하는 명제
윌리엄 휴 우딘은 소위 **오메가 논리**()를 도입하여, 연속체 가설이 거짓이며, 사실
:\aleph_2=2^{\aleph_0}
이라는 논의를 폈다. 물론, 이는 수학적인 증명이 아니다. 우딘의 논의는 오늘날에도 계속 논란이 되고 있다.

고유 강제법 공리()를 가정하면,
:2^{\aleph_0}=\aleph_2
이므로, 역시 연속체 가설이 부정된다.

### (일반화) 연속체 가설이 함의하는 명제
연속체 가설은 마틴 공리를 자명하게 함의한다.

체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 추가하면, 선택 공리를 증명할 수 있다.

일반화 연속체 가설은 기수의 산술을 완전히 결정한다. 체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 가정하면, 다음이 성립한다.
:\aleph_\alpha^{\aleph_\beta}=\begin{cases}
\aleph_{\beta+1}&\alpha\le\beta+1\\
\aleph_\alpha&\beta+1
여기서 \operatorname{cf}는 기수의 공종도이다.

체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 가정하면,  모든 기수 \kappa에 대하여, 기멜 함수는 다음과 같다.
:\gimel(\kappa)=\kappa^+
또한, 특이 기수 가설이 (자명하게) 성립하게 된다.

**커플랜스키 추측**()은 다음과 같은 명제이다.
* 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 X 위의, 복소수 값의 연속 함수들의 복소수 바나흐 대수 \mathcal C^0(X,\mathbb C)를 생각하자. 임의의 복소수 바나흐 대수 B 및 임의의 복소수 대수 준동형 f\colon \mathcal C^0(X,\mathbb C)\to B은 복소수 바나흐 대수 사상이다 (즉, 연속 함수이다).
이는 어빙 커플랜스키가 제시하였다. 만약 ZFC가 무모순적이라면 이 명제는 ZFC와 독립적이다. 연속체 가설은 커플랜스키 추측의 부정을 함의한다.

## 역사
[섬네일|[게오르크 칸토어]]

연속체 가설은 게오르크 칸토어가 처음 제기하였다. 칸토어는 연속체 가설이 참이라고 믿고 여러 해 동안 그 증명을 위해 노력했다.  다비트 힐베르트는 1900년 세계 수학자 대회에서 연속체 가설을 힐베르트의 문제들의 1번 문제로 선정하였다. 1905년에 영국의 수학자 필립 조던()이 일반화 연속체 가설을 제기하였다.

연속체 가설에 대하여 는 다음과 같이 적었다.

[섬네일|[쿠르트 괴델]]

쿠르트 괴델은 1938년에 일반화 연속체 가설을 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 반증할 수 없다는 것을 보였다. 구체적으로, 괴델은 구성 가능 전체가 ZFC의 모형이며, 이 모형에서는 일반화 연속체 가설이 성립함을 보였다.
폴 코언은 1963년에 강제법을 도입하여, 연속체 가설을 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 증명할 수 없다는 것을 보였다. 이 공로로 코언은 1966년 필즈상을 수상하였다.

1980년대의 집합론자들의 의견에 대하여 는 1988년에 다음과 같이 적었다.

2006년에 얀 미치엘스키는 다음과 같이 적었다.

## 같이 보기
* 절대적 무한
* 베트 수
* 집합의 크기

## 각주

## 외부 링크
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분류:기수 (수학)
분류:힐베르트 문제