위상 K이론

대수적 위상수학에서 **위상 K이론**(位相K理論, )은 위상 공간 위의 벡터 다발을 연구하는 분야이다. 보다 일반적인 K이론의 특수한 경우다.

## 정의
### 벡터 다발을 통한 정의
#### 0차 K군
다음이 주어졌다고 하자.
* 콤팩트 하우스도르프 공간 X
* 기호 G \in \{\operatorname O,\operatorname U,\operatorname{Sp}\}. 이에 대하여,
** \operatorname O-벡터 다발은 X 위의 (유한 차원, 연속) 실수 벡터 다발이다. (O는 직교군을 뜻한다.)
** \operatorname U-벡터 다발은 X 위의 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발이다. (U는 유니터리 군을 뜻한다.)
** \operatorname{Sp}-벡터 다발은 X 위의 (유한 차원, 연속) 실수 짝수 차원 벡터 다발 가운데, (만약 2n차원이라면) \operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)--주다발의 연관 벡터 다발로 표현되는 것이다. (Sp는 심플렉틱 군을 뜻한다.)
그렇다면, X 위의 G-벡터 다발
:E \twoheadrightarrow X
들의 동형류들의 집합을 생각할 수 있다. 이는 직합을 통하여 가환 모노이드를 이루며, G \in \{\operatorname O,\operatorname U\}인 경우 텐서곱을 통하여 가환 반환을 이룬다. (직합에 대한 항등원은 자명한 0차원 벡터 다발이며, 텐서곱에 대한 항등원은 자명한 1차원 실수 또는 복소수 벡터 다발이다.)

X의 G에 대한 **K군**() \mathrm KG^0(X)는 X 위의 G-벡터 다발들의 그로텐디크 군이다. 만약 G \in \{\operatorname O,\operatorname U\}라면, 이는 가환환을 이룬다.

흔히, 만약 G를 생략하였다면, G = \operatorname U를 뜻한다.

#### 축소 K군
(X,x_0)가 점을 가진 공간이라고 하자. 그렇다면 **축소 K군**(縮小K群, ) \operatorname{\tilde K}^0(X,x_0)는 다음과 같다. 다음과 같은 준동형이 존재한다.
:\phi\colon\operatorname K^0(X)\to\operatorname  K^0(\{x_0\})
그렇다면
:\operatorname {\tilde K}^0(X,x_0)=\ker\phi=\operatorname K^0(X)/\operatorname K^0(\{x_0\})
이다.

벡터 다발의 차원에 해당하는, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.
:\dim\colon\operatorname  K^0(X)\to\operatorname{\check H}^0(X,\mathbb Z)
여기서 \check H^0(X,\mathbb Z)는 정수 계수를 가지는 체흐 코호몰로지다. 만약 X가 연결 공간이라면 \check H^0(X,\mathbb Z)=\mathbb Z이다. 이 경우 \dim\colon K^0(X)\to\mathbb Z이며, 벡터 공간 K_n^0(X)=\dim^{-1}(n)은 n차원 벡터 다발들이 이루는 그로텐디크 군이다.

**상대 K군**()은 상대 호몰로지와 유사한 개념으로, 다음과 같다. A\subseteq X가 부분 공간이라고 하자. 그렇다면 X의 A에 대한 **상대 K군** \operatorname K^0(X,A)는 다음과 같다.
:\operatorname K^0(X,A)=\operatorname{\tilde K}^0(X/A)
여기서 X/A의 점은 물론 A/A\in X/A이다.

X가 (콤팩트하지 않을 수 있는) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, **[[콤팩트 지지]] K군**() \operatorname K_{\text{c}}^0(X)는 그 알렉산드로프 콤팩트화 X^+의 축소 K군이다.
:\operatorname K_{\text{c}}^0(X)=\operatorname {\tilde K}^0(X^+)
물론, 만약 X가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면,
:\operatorname K_{\text{c}}^0(X)=\operatorname {\tilde K}^0(X^+)=\operatorname {\tilde K}^0(X\sqcup\{\bullet\})=\operatorname K^0(X)
이다.

#### 고차 K군
**&minus;n차 축소 K군** \operatorname K^{-n}(X)는 다음과 같다.
:\operatorname{\tilde K}^{-n}(X)=\operatorname{\tilde K}(\mathbb S^n\wedge X)
여기서 \wedge는 위상 공간의 분쇄곱이고, \mathbb S^n은 n차원 초구다. 여기서 S^0\wedge X\cong X이므로, \operatorname {\tilde K}^0(X)의 정의는 일관적이다. 또한 \mathbb S^m\wedge\mathbb S^n\cong\mathbb S^{m+n}이므로, \tilde K^{-m-n}(X)=\tilde K^{-m}(S^n\wedge X)이다.

**&minus;n차 (비축소) K군** \operatorname K^{-n}(X)는 그 알렉산드로프 콤팩트화 X^+=X\sqcup\{\infty\}의 축소 K군이다.
:\operatorname K^{-n}(X)=\operatorname{\tilde K}^{-n}(X^+)

고차 축소 K군들은 주기적이다. 즉, 다음이 성립한다.
* \operatorname {\tilde KU}^{-n-2}(X)=\operatorname{\tilde KU}^{-n}(X)
* \operatorname {\tilde KO}^{-n-8}(X)=\operatorname{\tilde KO}^{-n}(X).
이를 보트 주기성()이라고 한다. 보트 주기성을 사용하여 양의 정수차 K군 K^1, K^2 등을 정의할 수 있다.

### 안정 벡터 다발을 통한 정의
콤팩트 하우스도르프 공간 X가 주어졌다고 하자. X 위의 두 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발 E, F 사이에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.
:E \sim F \iff \exists n \in\mathbb N\colon E\oplus\mathbb C^n \cong F\oplus\mathbb C^n
여기서 \mathbb C^n은 n차원 자명한 복소수 벡터 다발이며, 우변의 \cong은 연속 복소수 벡터 다발의 동형이다.

이 동치 관계에 대한 동치류를 **안정 벡터 다발**(安定vector다발, )이라고 한다. 안정 벡터 다발들은 직합에 대하여 가환 모노이드를 이루며, 이는 사실 아벨 군이다. 이를 X의 0차 **축소 K군** \operatorname{\widetilde{KU}}^0(X)이라고 한다.

### 분류 공간을 통한 정의
기호 G \in \{\operatorname O,\operatorname U,\operatorname{Sp}\}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리 군의 포함 관계
:G(0) \hookrightarrow G(1) \hookrightarrow \dotsb
에 대한 분류 공간의 포함 관계
:\mathrm BG(0) \to \mathrm BG(1) \to \mathrm BG(2) \to \dotsb
가 존재한다. 구체적으로, 이는 어떤 위상 공간 X 위의 G(n)-벡터 다발 E\twoheadrightarrow X가 주어졌을 때, \operatorname G(n+1)-벡터 다발 E\oplus\mathbb K를 취하는 것이다 (\mathbb K는 자명한 1차원 또는 2차원 벡터 다발). 이에 따라서, 귀납적 극한
:\varinjlim \mathrm BG(\infty)
를 취할 수 있다.

이들은 구체적으로 다음과 같이 표현된다. 직교군 \operatorname O(n)의 분류 공간 \operatorname{BO}(n)은 무한 차원 실수 벡터 공간에서 원점을 지나는 n차원 부분 공간들의 공간(그라스만 다양체)이며, 유니터리 군 \operatorname U(n)의 분류 공간 \operatorname{BU}(n)은 무한 차원 복소수 벡터 공간에서 원점을 지나는 복소수 n차원 부분 공간들의 공간이다.

X가 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이라고 하자. 그렇다면, X의 **K군**은 다음과 같다.
:\mathrm KG(X) = [X,\mathbb Z\times\mathrm BG(\infty)]
여기서 [X,Y]는 X\to Y 호모토피류들의 집합이다.

만약, X가 n차원 연결 공간이고 k>n/2일 때,
:\operatorname{\widetilde{KO}}(X)\cong[X,\operatorname{BO}(k)]
:\operatorname{\widetilde{KU}}(X)\cong[X,\operatorname{BU}(k)]
이 성립한다.

## 성질
### 함자성
\mathcal C가 적절한 위상 공간의 범주(예를 들어, 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주)라고 하자. 그렇다면, 위상 K이론은 다음과 같은 함자를 정의한다.
:\operatorname{KO}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C) \to \operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}
:\operatorname{KU}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C) \to \operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}
:\operatorname{KSp}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C) \to \operatorname{Ab}^{\operatorname{op}}
여기서
* \operatorname{ho}(\mathcal C)는 위상 공간의 호모토피 범주이다.
* \operatorname{CRing}은 가환환의 범주이다.
* \operatorname{Ab}은 가환군의 범주이다.
* (-)^{\operatorname{op}}은 반대 범주이다.

즉, 연속 함수 X\to Y가 주어지면, 이에 따라 환 준동형 K(Y)\to K(X)가 존재한다.

또한, 축소 위상 K이론은 다음과 같이 점을 가진 공간의 범주 위의 함자를 정의한다.
:\operatorname{\widetilde{KO}}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C/\bullet) \to \operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}
:\operatorname{\widetilde{KU}}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C/\bullet) \to \operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}
:\operatorname{\widetilde{KSp}}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C/\bullet) \to \operatorname{Ab}^{\operatorname{op}}

특히, 위상 K이론은 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 공간들의 K군들은 동형이다.

### 보트 주기성
다음이 성립한다.
:\operatorname{\widetilde{KU}}^{\bullet+2}(X) \cong \operatorname{\widetilde{KU}}^\bullet(X)
:\operatorname{\widetilde{KO}}^{\bullet+8}(X) \cong \operatorname{\widetilde{KO}}^\bullet(X)
:\operatorname{\widetilde{KSp}}^{\bullet+8}(X) \cong \operatorname{\widetilde{KSp}}^\bullet(X)

분류 공간으로서, 이는 다음과 같은 호모토피 동치에서 기인한다.
:\Omega^8\mathrm{BO}(\infty) \simeq \mathbb Z \times \mathrm{BO}(\infty)
:\Omega^2\mathrm{BU}(\infty) \simeq \mathbb Z \times \mathrm{BU}(\infty)
:\Omega^8\mathrm{Sp}(\infty) \simeq \mathbb Z \times \mathrm{BSp}(\infty)

### 코호몰로지
위상 K이론은 코호몰로지에 대한 에일렌베르크-스틴로드 공리들을 차원 공리를 제외하고 모두 만족시킨다. 따라서, 위상 K이론은 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. (차원 공리에 따르면 H^n(\{\bullet\})=0\forall n>0이어야 하지만, K이론에서는 \operatorname{KU}^{2n}(\{\bullet\})=\mathbb Z이다.)

### 천 지표
천 지표 \operatorname{ch}\colon\operatorname{Vect}(X)\to\operatorname H^\bullet(X)는 X 위의 벡터 다발들의 가환 모노이드 \operatorname{Vect}(X)로부터 짝수 차수 유리수 코호몰로지 \operatorname H^0(X)\oplus\operatorname H^2(X)\oplus\dotsb\subset\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)로 가는 모노이드 준동형이다. 이는 그로텐디크 군 연산을 통해, 다음과 같은 환 준동형 \operatorname{ch}\colon K^0(X)\to H^\bullet(X;\mathbb Q)로 확장된다. 즉, [E],[F]\in K^0(X)라고 하면,
:\operatorname{ch}([E]\oplus[F])=\operatorname{ch}([E])+\operatorname{ch}([F])
:\operatorname{ch}([E]\otimes[F])=\operatorname{ch}([E])\smile\operatorname{ch}([F])
:\operatorname{ch}(-[E])=-\operatorname{ch}([E])
:\operatorname{ch}([\mathbb C^{\oplus k}])=k
이다. 다시 말해, 천 지표는 K이론에서 코호몰로지로 가는 준동형이다. 마찬가지로, 축소 K이론에서 축소 코호몰로지로 가는 준동형 \operatorname{ch}\colon\tilde K^0(X)\to\tilde H^\bullet(X;\mathbb Q) 또한 존재한다.

고차 K이론의 경우에도 천 지표를 정의할 수 있다.
:\operatorname{\widetilde{KU}}^1(X)=\operatorname{KU}^0(\mathbb S^1\wedge X)
:\operatorname{\tilde H}^{2k}(X;\mathbb Q)\cong\operatorname H^{2k+1}(\mathbb S^1\wedge X;\mathbb Q)
이므로, 이를 사용하여 천 지표를
:\operatorname K^\bullet(X)\to\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)
로 확장시킬 수 있다. 대부분(유한 CW 복합체)의 경우, 천 지표는 K^\bullet(X)\otimes\mathbb Q와 H^\bullet(X;\mathbb Q) 사이의 동형 사상이다. 즉, 다음과 같은 동형 사상이 성립한다.
:\operatorname{KU}^0(X)\otimes\mathbb Q=\bigoplus_k\operatorname H^{2k}(X;\mathbb Q)
:\operatorname{KU}^1(X)\otimes\mathbb Q=\bigoplus_k\operatorname H^{2k+1}(X;\mathbb Q)
마찬가지로, 실수 K군의 경우 다음이 성립한다.
:\operatorname{KO}^0(X)\otimes\mathbb Q=\bigoplus_k\operatorname H^{4k}(X;\mathbb Q)

## 예
### 축약 가능 공간
하나의 점을 포함하는 공간 \{\bullet\}의 K군들은 다음과 같다.
:K^0(\{\bullet\})=\mathbb Z
:\tilde K^0(\{\bullet\})=0
:K^1(\{\bullet\})=\tilde K^1(\{\bullet\})=0
K이론은 호모토피 불변량이므로, 모든 콤팩트 하우스도르프 축약 가능 공간의 K군은 1점 공간 \{\bullet\}의 K군과 같다.

이에 따라, 축소 K군의 경우
:K^0(X)\cong\tilde K^0(X)\oplus\mathbb Z
:K^1(X)\cong\tilde K^1(X)
임을 알 수 있다.

### 초구
초구 S^n의 (비축소) 복소수 K군들은 다음과 같다.
:\operatorname{KU}^0(\mathbb S^{2n})=\mathbb Z^2
:\operatorname{KU}^1(\mathbb S^{2n})=0
:\operatorname{KU}^0(\mathbb S^{2n+1})=\mathbb Z
:\operatorname{KU}^1(\mathbb S^{2n+1})=\mathbb Z
초구의 축소 복소수 K군들은 다음과 같다.
:\operatorname{\widetilde{KU}}^0(\mathbb S^{2n})=\operatorname{\widetilde{KU}}^1(\mathbb S^{2n+1})=\mathbb Z
:\operatorname{\widetilde{KU}}^1(\mathbb S^{2n})=\operatorname{\widetilde{KU}}^0(\mathbb S^{2n+1})=0
초구의 축소 실수 K군들은 다음과 같다.
:\operatorname{\widetilde{KO}}^m(\mathbb S^n) = 
\begin{cases}
\mathbb Z&n-m\equiv 0,4\pmod8\\
\mathbb Z/(2)&n-m\equiv 1,2\pmod8\\
0&n-m\equiv 3,5,6,7\pmod8
\end{cases}

### 기타 공간
복소수 사영 공간 \mathbb{CP}^n의 K군들은 다음과 같다.
:K^0(\mathbb{CP}^n)=\mathbb Z^{n+1}
:K^1(\mathbb{CP}^n)=0
원환면 \mathbb T^n의 K군들은 다음과 같다.
:K^0(\mathbb T^n)=\mathbb Z^{2^{n-1}}
:K^1(\mathbb T^n)=\mathbb Z^{2^{n-1}}

## 역사
마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐가 1950년대 말에 창시하였다.

## 같이 보기
* KR이론
* 아티야-싱어 지표 정리
* 대수적 K이론
## 참고 문헌

* 

분류:대수적 위상수학
분류:K이론