Z변환

**Z 변환**(Z-transform)은 수학이나 신호 처리에서 실 수열 또는 복소 수열로 나타나는 시간 영역의 신호를 복소 주파수 영역의 표현으로 변환한다.

Z 변환은 연속 시간 신호에 대한 라플라스 변환에 대응하는 이산 시간 영역에서의 변환으로 볼 수 있다.

## 역사
Z 변환에 대한 기본적인 생각은 라플라스도 알고 있었고, 1947년에 W. Hurewicz에 의해 선형 상수 계수 차분 방정식을 푸는 유용한 수단으로 다시 알려졌다. Z 변환이라는 이름은 1952년에 콜롬비아 대학의 sampled-data control group에 속한 Ragazzini와 Zadeh로부터 유래되었다.

고등 Z 변환은 후에 Jury에 의해 개발되고 대중화되었다.

## 정의
다른 적분 변환들과 마찬가지로 Z 변환은 단방향 또는 양방향 변환으로 정의될 수 있다.

### 양방향 Z 변환
연속시간 신호 x[n]의 양방향 Z 변환은 X(z)로 표현되는 formal power series로, 다음과 같이 정의된다.

:X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}. 

여기서 n은 정수이고 z는 일반적으로 복소수이다. 즉, z는 복소수의 크기 A와 허수 단위 j, 그리고 편각 \phi를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

:z = A e^{j\phi} = A(\cos{\phi}+j\sin{\phi})\,

### 단방향 Z 변환
만약 x[n]이 n \ge 0에 대해서만 정의되어 있다면 단방향 Z 변환은 다음과 같이 정의된다.

:X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}.

이러한 정의는 신호 처리에서 이산 시간 causal system의 단위 펄스 응답의 Z 변환을 구하는데 사용될 수 있다. 여기서부터는 별도의 언급이 없는 한 단방향 Z 변환을 고려하기로 한다.

#### 예제
* 단위 계단 신호
다음과 같은 신호를 생각해 보자.

:x[n] = 1,\quad n = 0,1,2,\ldots.

그러면 x[n]의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.

:X(z) = 1 + z^{-1} + z^{-2} + \cdots = \frac{z}{z - 1},\quad 1

* 등비수열
다음과 같은 신호를 생각해 보자.

:x[n] = a^{n},\quad n = 0,1,2,\ldots.

그러면 x[n]의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.

:X(z) = 1 + (z/a)^{-1} + (z/a)^{-2} + \cdots = \frac{z}{z - a},\quad a

## 성질
### 선형성 (Linearity)
두 이산 시간 신호 x_{1}[n], x_{2}[n]의 Z 변환을 각각 X_{1}(z), X_{2}(z)라 두면, 상수 a_{1}, a_{2}에 대해 x[n] = a_{1}x_{1}[n] + a_{2}x_{2}[n]의 Z 변환은 다음과 같다

:
\begin{align}
X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (a_1x_1[n]+a_2x_2[n])z^{-n} \\
 &= a_1\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]z^{-n} + a_2\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_2[n]z^{-n} \\
 &= a_1X_1(z) + a_2X_2(z).
\end{align}


### 시간에 대한 평행 이동 (Time shifting)
#### 양방향 Z 변환의 경우
이산 시간 신호 x[n]의 Z 변환을 Z\{x[n]\}라 두면 정수 k에 대해 x[n-k]의 Z 변환은 다음과 같다.

:
\begin{align}
\mathcal{Z}\{x[n-k]\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]z^{-(m+k)},\quad m = n-k \\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]z^{-m}z^{-k} \\
&= z^{-k}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]z^{-m}\\
&= z^{-k}X(z).
\end{align}


#### 단방향 Z 변환의 경우
단방향 Z 변환의 경우 조금 다르다. 만약 k \ge 1인 경우

:
\begin{align}
\mathcal{Z}\{x[n-k]\} &= \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\
&= \sum_{m=-k}^{\infty} x[m]z^{-(m+k)},\quad m = n-k \\
&= \sum_{m=-k}^{\infty} x[m]z^{-m}z^{-k} \\
&= \sum_{m=-k}^{-1} x[m]z^{-m}z^{-k} + z^{-k}\sum_{m=0}^{\infty} x[m]z^{-m} \\
&= \sum_{m=-k}^{-1} x[m]z^{-(m+k)} + z^{-k}X(z),
\end{align}


k \le -1인 경우

:
\begin{align}
\mathcal{Z}\{x[n-k]\} &= \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\
&= \sum_{m=-k}^{\infty} x[m]z^{-(m+k)},\quad m = n-k \\
&= \sum_{m=-k}^{\infty} x[m]z^{-m}z^{-k} \\
&= -\sum_{m=0}^{-k-1} x[m]z^{-m}z^{-k} + z^{-k}\sum_{m=0}^{\infty} x[m]z^{-m} \\
&= -\sum_{m=0}^{-k-1} x[m]z^{-(m+k)} + z^{-k}X(z).
\end{align}


## Z 역변환
Z 역변환은 다음과 같이 구해진다.

: x[n] = \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz,

여기서 C는 원점을 반시계방향으로 둘러 싸면서 수렴 반경 안에 있는 닫힌 경로이다.

하지만 라플라스 역변환의 경우와 유사하게 대부분의 경우 Z 역변환은 부분분수 분해를 통해 구해진다. 예를 들어 다음과 같은 Z 변환을 생각하자.

:
X(z) = \frac{3z^{2} - 7z}{z^{2} - 5z + 6}.


부분분수 분해를 통해 X(z)/z는 다음과 같이 표현된다.

:
\frac{X(z)}{z} = \frac{1}{z-2} + \frac{2}{z-3}.


따라서, X(z) = z/(z-2) + 2z/(z-3)이고 Z 변환의 선형성으로부터 x[n]은 다음과 같이 구해진다.

:
x[n] = 2^{n} + 2 \cdot 3^{n},\quad n = 0,1,\ldots.


## 수렴 반경

## 응용
### 차분방정식의 풀이
다음과 같이 주어진 상수 계수를 갖는 선형 차분방정식을 생각하자.

:
x[n-2] - 5x[n-1] + 6x[n] = 0,\quad x[-1] = 1,\; x[-2] = 0.


양변에 Z 변환을 취하면 다음을 얻는다.

:
\begin{align}
&z^{-2}X(z) + x[-2] + z^{-1}x[-1] - 5z^{-1}X(z) - 5x[-1] + 6X(z) = 0,\\
&\frac{X(z)}{z} = \frac{5z-1}{(3z-1)(2z-1)},\\
&X(z) = -\frac{2}{3}\frac{z}{z - \frac{1}{3}} + \frac{3}{2}\frac{z}{z - \frac{1}{2}}.
\end{align}


따라서, x[n] = -\frac{2}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^{n} + \frac{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n}이다.

## Z 변환 표

## 각주

## 같이 보기
* 라플라스 변환
* 푸리에 변환
* 이산 시간 푸리에 변환
* 이산 푸리에 변환

# Kamen, E.; Heck, B. (2000), *Fundamentals of Signals and Systems: With MATLAB Examples* (2nd ed.); Prentice Hall; , 9780130172938.
# Ingle, V. K.; Proakis, J. G. (2007), *Digital Signal Processing Using Matlab* (2nd ed., Int. Stud. Ed.); Thomson.
# Nekoogar, F. and Moriarty, G. (1999), *Digital control using digital signal processing*; Prentice Hall.

분류:해석학 (수학)
분류:신호 처리
분류:변환 (수학)