천-사이먼스 이론

이론물리학에서 **천-사이먼스 이론**([陳]-Simons理論, )은 3차 천-사이먼스 형식을 작용으로 갖는 3차원 시바르츠형 위상 양자장론이다. 끈 이론과 응집물질물리학, 매듭 이론에서 쓰인다. 물리학자 알베르트 시바르츠가 처음 제안 하였으며, 천-사이먼스 이론이란 명명은 미분기하학에서 천-사이먼스 형식을 도입한 두 수학자 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스의 이름에서 유래했다.

## 천-사이먼스 범함수
다음이 주어졌다고 하자.
* 유향 콤팩트 3차원 매끄러운 다양체 M
* 연결 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 G. 그 실수 리 대수를 \mathfrak{lie}(G) = \mathfrak g라고 하자.
* G-매끄러운 주다발 P. M이 3차원 이하이며, G가 연결 단일 연결이므로, P는 항상 자명한 올다발이다. (그러나 P의 자명화는 일반적으로 표준적으로 주어지지 않는다.)

P 위의 주접속의 공간을
:\operatorname{Conn}(P)
라고 하자. 이는 \mathfrak g\otimes\Omega^1(M)과 동형인 아핀 공간이다. (P의 단면을 고른다면 이는 벡터 공간이 된다.) 이 위에는 게이지 변환군 \mathcal G = \mathcal C^\infty(M,G)이 다음과 같은 오른쪽 작용을 갖는다.
:A \cdot g = \operatorname{Ad}(g^{-1})A + g^{-1} \mathrm dg
이에 대한 몫공간
:\mathcal A(M,G) = \frac{\Omega^1(M;\mathfrak g)}{\mathcal C^\infty(M,G)}
을 정의할 수 있다.

**천-사이먼스 범함수**(-汎函數, )는 다음과 같은 함수이다.
:\exp(2\pi\mathrm iS) \colon \mathcal A(M,G) \to \operatorname U(1)
이는 구체적으로 다음과 같이 정의된다. 우선,
:A \in \operatorname{Conn}(P)
가 주어졌을 때, 다음을 고르자.
* M에서 공집합으로 가는 보충 경계 \tilde M. 즉, \tilde M은 유향 4차원 경계다양체이며, \partial\tilde M = M이다. (이러한 \tilde M은 항상 존재한다.)
* \partial\tilde M의 근방 U 및 미분 동형 U \cong M \times [0,1)
* 매끄러운 단면 s\in\Gamma(P). 이는 표준적으로 동형 사상 \operatorname{Conn}(P) \cong \Omega^1(M;\mathfrak g)를 정의한다. 즉, 아핀 공간의 원점을 정의하여 벡터 공간으로 만든다. 따라서 A \in \Omega^1(M;\mathfrak g)로 간주할 수 있다.
* 표준적 사영 함수 \pi\colon U \cong M\times[0,1) \to M에 대하여, \tilde A \restriction U = \pi^*A \in \Omega^1(U;\mathfrak g)가 되는 \tilde A \in \Omega^1(\tilde M;\mathfrak g)
그렇다면, 다음을 정의하자.
:S(A) = \frac12\int_{\tilde M} \operatorname{tr}\left(\frac F{2\pi}\wedge \frac F{2\pi}\right)
이 값은 (\tilde M,U,\tilde A)의 선택에 대하여 불변이다.

**증명:**

우선, (\tilde M',U',\tilde A')와 (\tilde M',U',\tilde A')를 골랐을 때, 이들을 이어붙여 4차원 콤팩트 매끄러운 다양체 \bar M = \tilde M \cup_M \tilde M'를 정의할 수 있으며, 그 위에 \tilde A와 \tilde A'을 짜깁기하여 \bar A \in \Omega^1(\bar M;\mathfrak g)를 정의할 수 있다. 이 경우
:S(A;\tilde M,U,\tilde A) - S(A;\tilde M',U',\tilde A') = \int_{\bar M} F_{\bar A}\wedge F_{\bar A}
가 된다. 만약 \mathfrak g의 충실한 표현을 골랐을 때, 이는 \bar M 위의, 자명한 주다발에 대응되는 연관 벡터 다발의 2차 천 특성류에 비례한다. 자명한 벡터 다발의 천 특성류는 0이므로, 위 적분은 항상 0이다.

사실, 구체적으로
:F^2 = \mathrm d\operatorname{CS}[\tilde A]
가 되는 3차 미분 형식 \operatorname{CS}[\tilde A]\in\Omega^1(\tilde M;\mathfrak g)가 존재하며, 이를 **[[천-사이먼스 형식]]**이라고 한다. \mathfrak g의 임의의 충실한 행렬 표현에서 이는 다음과 같다.
:\operatorname{CS}[A] = \operatorname{tr}\left(F\wedge A - \frac13 A\wedge A\wedge A\right)
스토크스 정리에 따라서
:S = \frac1{2(2\pi)^2}\int_M \operatorname{CS}[A]
이다.

S는 일반적으로 주다발 매끄러운 단면 s \in \Gamma(P)의 선택에 의존한다. 주다발의 정의에 의하여, \Gamma(P)는 게이지 변환군 \mathcal C^\infty(M,G)의 주동차 공간()이다. 즉, 임의의
:s,s'\in \Gamma(P)
에 대하여 항상
:s' = sg
인 게이지 변환 g \in \mathcal C^\infty(M,G)가 존재한다. s에 게이지 변환을 가하는 것은 A \in \Omega^1(M;\mathfrak g)에 게이지 변환을 가하는 것과 동치이다.

이 경우, S는 다음과 같이 변환한다.
:S[A\cdot g] = S[A] + \deg g
여기서 \deg g \in\mathbb Z는 다음과 같다. 우선,
:\operatorname H^3(G;\mathbb Z) \cong \mathbb Z
이다. 그 생성원의 하나를 \alpha라고 하자. 그렇다면
:\deg g = \int_M g^*\alpha \in \mathbb Z
가 된다. (\pm\alpha 가운데 하나의 생성원의 선택은 표준적으로 주어진다. 단순 리 군의 경우 원점에서 구조 상수로 주어지는 왼쪽 불변 3차 미분 형식이 존재하며, 이 미분 형식의 양수배로 주어지는 생성원을 고르면 된다.)

따라서, S는 \mathcal A=\Omega^1(M;\mathfrak g) / \mathcal C^\infty(M,G) 위에 잘 정의되지 않는다. 그러나
:\exp(2\pi\mathrm iS) \colon \mathcal A \to \operatorname U(1)
은 잘 정의된다. 사실, \mathcal A의 범피복 공간
:\tilde{\mathcal A} \cong \frac{\Omega^1(M;\mathfrak g)}{ \mathcal C^\infty(M,G)_1}
:\mathcal A \cong \tilde{\mathcal A} / \mathbb Z
를 취하자. 여기서 \mathcal C^\infty(M,G)_1 \le \mathcal C^\infty(M,G)은 상수 함수와 호모토픽한 원소들로 구성된 부분군(즉, 항등원을 포함하는 연결 성분)이다. 그렇다면 S는 \tilde{\mathcal A} 위에 잘 정의된다.

## 고전적 천-사이먼스 이론
천-사이먼스 범함수를 작용으로 하는 고전 장론을 **고전적 천-사이먼스 이론**()이라고 한다. 이 경우, 오일러-라그랑주 방정식의 해는 천-사이먼스 범함수의 변분이 0이 되게 하는 주접속이다. 즉, 아핀 공간 위의 범함수
:S \colon \Omega^1(M;\mathfrak g) \to \mathbb R
의 임계점
:\frac{\delta S[A]}{\delta A} = 0
인 것이다. 이 경우
:\frac{\delta S[A]}{\delta A} \propto \int_M F[A]\wedge\delta A
이므로, 이 조건은 F[A] = 0인 것과 동치이다. 즉, 고전적 천-사이먼스 이론의 해는 평탄 주접속이다. (이 조건은 게이지 변환의 작용에 대하여 불변이다.)

### 해밀턴 역학
천-사이먼스 이론은 해밀턴 역학으로도 묘사할 수 있으며, 이는 이후 기하학적 양자화에 용이하다. 이를 위하여, 시공간 M이 시간과 공간의 곱공간, 즉
:M = \Sigma \times \mathbb R
의 꼴이라고 하자. 여기서 \Sigma는 유향 콤팩트 곡면이다. (아직 여기에 복소구조 등은 존재하지 않는다.)

M의 꼴로 인하여, A=(A_0,A_1,A_2)에 대하여 다음과 같은 게이지 고정 조건(**바일 게이지** )을 가할 수 있다.
:A_0=0
천-사이먼스 형식의 두 항
:\operatorname{tr}(A\wedge\mathrm dA)
:\operatorname{tr}(A \wedge A \wedge A) \propto f_{abc} A_0^a A_1^b A_2^c
가운데, 둘째 항은 항상 A_0을 포함하므로 0이 되며, 첫 항의 경우 오직
:A_1 \partial_0 A_2 - A_2 \partial_0 A_1
만이 살아남는다. 즉, 이 게이지에서 작용은 다음과 같다.
:S=\frac k{8\pi}\int_0^1\mathrm dt\int_\Sigma\mathrm d^2x\,\epsilon^{ij}\operatorname{Tr}A_i\dot A_j
여기서 i,j=1,2이며, \Sigma 위의 부피 형식 \epsilon^{ij}을 임의로 골랐다. \Sigma가 2차원이므로, 이는 심플렉틱 다양체의 구조와 같다.

이 게이지에서 운동 방정식은 자명하다.
:\dot A_i=0
또한, 게이지 고정 조건에 의한 다음과 같은 제약 조건이 존재한다.
:F_{ij}=0
따라서, 고전적으로 위상 공간은 \Sigma 위의 G-평탄 주접속들(의 게이지 변환에 대한 동치류들)의 모듈라이 공간 \mathcal M(\Sigma,G)이다.

평탄 주접속은 홀로노미
:\pi_1(\Sigma) \to G
에 의하여 완전히 분류된다. 여기서 \pi_1(-)은 (임의의 밑점에 대한) 곡면의 기본군이다. 이 위에는 G가 게이지 변환으로 작용하므로, 모듈라이 공간은
:\mathcal M = \frac{\hom_{\operatorname{Grp}}(\pi_1(\Sigma),G)}G
이다. 이는 일반적으로 오비폴드를 이룬다. \Sigma의 심플렉틱 다양체 구조(부피 형식)로부터, \mathcal M은 (오비폴드 특이점을 무시하면) 심플렉틱 다양체 구조를 갖는다.

특히, 만약 \Sigma =\mathbb S^2가 2차원 구일 경우, \pi_1(\mathbb S^2) = 1(자명군)이므로 \mathcal M  역시 한원소 공간이다. 반면, 만약 M = \mathbb T^2(원환면)인 경우,
:\pi_1(\mathbb T^2) = \mathbb Z \times \mathbb Z
이므로
:\mathcal M(\mathbb T^2,G) = \frac{T \times T}{\operatorname{Weyl}(G)}
이다. 여기서 T는 G의 임의의 극대 원환면이며, \operatorname{Weyl}(G)는 그 위에 작용하는 바일 군이다.

## 양자 천-사이먼스 이론
천-사이먼스 이론은 기하학적 양자화를 통해 양자화할 수 있다. 양자장론은 일반적으로 경로 적분으로 정의되는데, 이 경우 다음과 같은 꼴이 된다.
:Z = \int_{\operatorname{Conn}P}\mathrm DA \exp(2\pi \mathrm ikS[A])
여기서 경로 적분이 잘 정의되기 위하여 k는 정수이어야 하며, 이를 (양자) 천-사이먼스 이론의 **준위**()라고 한다. 이 경우, k = 0인 경우는 자명한 이론을 얻으며, k \mapsto -k는 매끄러운 다양체 M의 방향을 뒤집는 것에 해당한다. 즉, 일반성을 잃지 않고 k를 양의 정수로 놓을 수 있다.

3차원 다양체 \Sigma\times[0,1]을 생각하자. 위상 양자장론의 공리계에 따라서, \Sigma에 대응하는 복소수 힐베르트 공간 \mathcal H(\Sigma)이 존재하여야 한다. 기하학적 양자화를 가하려면, \mathcal M 위에 켈러 다양체의 구조가 존재해야 한다.

평탄 주접속의 모듈라이 공간 \mathcal M은 자연스럽게 심플렉틱 구조를 가진다. 만약 \Sigma에 임의의 복소구조 J를 가하면, 이에 따라 \mathcal M은 켈러 구조를 가지게 된다. 따라서, 켈러 구조의 기하학적 양자화를 사용할 수 있다. \mathcal M에 준양자 구조 L을 가하면, 그 힐베르트 공간은
:\mathcal H_J=H^0(M;L)
이다. 보다 일반적으로, 준위가 k인 경우, 힐베르트 공간은
:\mathcal H_J(\Sigma)=H^0(\mathcal M(\Sigma);L^{\otimes k})
가 된다.

힐베르트 공간 \mathcal H_J는 \Sigma의 복소구조 J에 의존하며, 따라서 \Sigma의 복소구조의 모듈라이 공간(타이히뮐러 공간 T_\Sigma) 위의 벡터 다발을 이룬다.

천-사이먼스 이론이 위상 양자장론을 이루려면 상태 공간은 복소구조에 의존할 수 없다. 그러나 벡터 다발 \mathcal H은 사영적으로 평탄한 주접속(projectively flat connection)을 지녀서, 사영 힐베르트 공간 P(\mathcal H)는 복소구조에 의존하지 않는 것을 보일 수 있다.

천-사이먼스 이론의 힐베르트 공간은 같은 리 군의 베스-추미노-위튼 모형의 등각 블록의 공간과 표준적으로 동형이다. 예를 들어, 만약 \Sigma가 리만 구라면, 천-사이먼스 이론의 힐베르트 공간은 (한원소 공간의 양자화이므로) 1차원이다. 종수 0의 타이히뮐러 공간은 자명하므로 이 경우 복소구조에 의존하지 않음은 자명하다.

만약 \Sigma가 원환면이라면, 천-사이먼스 이론의 힐베르트 공간은 아핀 리 대수의, 무게 k의 적분 가능 표현들의 공간이다. 천-사이먼스 이론에서, 윌슨 고리를 삽입한 경우의 힐베르트 공간은 베스-추미노-위튼 모형에서 중간에 진공(항등 함수)이 아닌 자명하지 않은 상태를 삽입한 등각 블록에 대응한다.

### 준위의 재규격화
양자화를 가하면, 천-사이먼스 이론의 준위 k가 바뀌게 된다. 즉, 게이지 군이 G이고, 고전적으로 준위가 k인 천-사이먼스 이론을 양자화하면, 측도의 게이지 변환 성질에 의하여 유효 천-사이먼스 준위가
:k'=k+h^\vee(G)
가 된다. 여기서 h^\vee(G)는 G의 이중 콕서터 수이다.

다음과 같은 이론들을 생각하자.
* 게이지 군이 G인 3차원 \mathcal N=0,1,2,3 양-밀스 이론에, 준위 k의 (초대칭) 천-사이먼스 항을 추가
이는 물론 위상 양자장론이 아니며, 오직 \mathcal N\le3만이 가능하다. 이 경우, 초대칭의 수 \mathcal N에 따라 준위의 재규격화가 달라진다. \mathcal N=1 (두 개의 초전하, 하나의 마요라나 페르미온)인 경우, 준위의 재규격화는 이중 콕서터 수의 절반이다. 이 경우 양자화 조건은 재규격화된 준위가 정수라는 것이다.
:k'=k+h^\vee(G)/2\in\mathbb Z
따라서, 이중 콕서터 수가 홀수인 경우에는 고전적 준위 k가 반정수가 된다. \mathcal N=2,3인 경우 재규격화가 없다.

## 초대칭 천-사이먼스 이론
순수 천-사이먼스 이론에 마요라나 페르미온을 추가하여,  **초대칭 천-사이먼스 이론**()을 만들 수 있다. 이 경우 페르미온은 운동 에너지 항이 없어 국소적 자유도를 갖지 않는다. 이렇게 하여 \mathcal N=1,2,4 초대칭 천-사이먼스 이론을 정의할 수 있다.

예를 들어, \mathcal N=1 초대칭 천-사이먼스 이론의 경우, 게이지 보손 A에 대응하는 마요라나 게이지노 \lambda를 추가하면 작용은 다음과 같다.
:S=\frac k{4\pi}\int_M\operatorname{tr}\left(A\wedge\mathrm dA-\frac23iA\wedge A\wedge A-\bar\lambda\lambda\,\operatorname{vol}_M\right)
여기서
* \lambda는 3차원 마요라나 스피너 장이다. 굽은 공간에서, 이는 필바인을 통해 정의된다.
* \operatorname{vol}_M은 M의 (3차) 부피 형식이다.
게이지노 장 \lambda의 작용은 리만 계량에 의존한다. 그러나 이는 운동항이 없어 보조장이므로, 페르미온의 경로 적분을 계산할 수 있고, 이렇게 페르미온을 적분해 없애면 원래 천-사이먼스 이론만이 남는다.

이 작용의 초대칭은 다음과 같다.
:\delta A_i = \mathrm i\bar\epsilon \gamma_\mu\lambda
:\delta\chi = \frac12\gamma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\epsilon
여기서 \epsilon은 초대칭 매개 변수이다.

이는 물론 위상 양자장론으로서 (비초대칭) 천-사이먼스 이론과 같지만, 만약 천-사이먼스 항을 3차원 초대칭 게이지 이론에 추가할 경우 위와 같이 적절히 초대칭화된 천-사이먼스 항을 사용해야 한다.

## 응용
### 3차원 양자 중력
3차원 양자 중력은 천-사이먼스 이론의 일종이다. 이는 3차원에는 중력자가 국소적 질량껍질 위 자유도를 갖지 않기 때문에 가능하다.

### 매듭 이론
천-사이먼스 이론은 매듭 이론에서 핵심적인 역할을 한다. 존스 다항식과 홈플리 다항식은 천-사이먼스 이론의 윌슨 고리로 해석할 수 있다.

### 분수 양자 홀 효과
응집물질물리학에서, 천-사이먼스 이론은 분수 양자 홀 효과를 설명하는 데 쓰인다.

### 끈 이론
초대칭 천-사이먼스 이론은 끈 이론에서 자주 등장한다. D-막의 세계부피 이론의 작용은  천-사이먼스 형 항들을 포함하며, 겹친 M2-막 위에 존재하는 이론(ABJM 이론) 또한 천-사이먼스 이론의 일종이다. 또한, 천-사이먼스 이론은 등각 장론의 하나인 베스-추미노-위튼 모형과도 관련되어 있다.

## 역사
1978년에 알베르트 시바르츠가 아벨 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론을 최초로 고전적으로 다루었다.

1981년에 조너선 숀펠드()가 3차원 양-밀스 이론에 천-사이먼스 항을 추가한 모형을 도입하였다. 1982년에 스탠리 데저()와 로만 야츠키프(), 스티븐 템플턴()이 비아벨 천-사이먼스 항이 존재한다면 레벨이 양자화됨을 지적하였다. 1986년에 그레그 저커먼()이 반단순 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론(즉, 양-밀스 항을 포함하지 않고, 오직 천-사이먼스 항만을 포함하는 이론)을 고전적으로 다루었다.

에드워드 위튼이 1989년에 반단순 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론을 양자화하였으며, 존스 다항식 및 베스-추미노-위튼 모형과의 관계를 밝혔다.

“천-사이먼스”라는 이름은 이 이론의 작용이 수학적으로 3차 천-사이먼스 형식이기 때문이다. 이는 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 정의하였다.

## 같이 보기
* 게이지 이론 (수학)
* 천-사이먼스 형식
* 위상 양자장론
* 알렉산더 다항식
* 존스 다항식
* 스커미온
## 각주

## 외부 링크
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분류:양자장론
분류:매듭 이론