화살집 표현

**화살집 표현**(-表現, )은 환론에서 화살집의 각 꼭짓점에 가군을 대응시키며 각 변에 가군 준동형을 대응시키는 수학 구조이다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 가환환 K
* 화살집 Q

### 추상적 정의
Q의 K 계수 **화살집 표현** R는 다음과 같은 함자이다.
:R\colon \operatorname{Free}(Q)\to \operatorname{Mod}_K
여기서 \operatorname{Free}(Q)는 Q로 생성되는 자유 범주이며, \operatorname{Mod}_K는 K-가군의 범주이다.

두 화살집 표현 R, S 사이의 **사상** \phi \colon R\to S은 함자 사이의 자연 변환이다.

### 구체적 정의
Q의 K 계수 **화살집 표현** R은 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 꼭짓점 v\in\operatorname V(Q)에 대하여, K-가군 R_v
* 각 변 e\colon u\to v에 대하여, K-가군 준동형 R_e\colon R_u\to R_v

두 화살집 표현 R, S 사이의 **사상** \phi \colon R\to S은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 꼭짓점 v\in \operatorname V(Q)에 대하여, K-가군 준동형 \phi_v\colon R_v\to S_v
이는 다음 가환 그림을 만족시켜야 한다. 임의의 변 e\colon u\to v에 대하여,
:\begin{matrix}
R_u & \overset{\phi_u}\to & S_u \\
{\scriptstyle R_e}\downarrow{\color{White}\scriptstyle R_e} && {\color{White}\scriptstyle S_e}\downarrow\scriptstyle S_e \\
R_v & \underset{\phi_v}\to & S_v
\end{matrix}

### 환론적 정의
화살집 Q 속의, 길이 n\in\mathbb N의 **보행**()은 다음 조건을 만족시키는 유한 개의 꼭짓점과 변들의 열
:v_n, e_{n-1},\dotsc,e_1,v_1, e_0, v_0
이다.
:s(e_i)= v_i \forall i\in\{0,\dotsc,n-1\}
:t(e_i)= v_{i+1} \forall i\in\{0,\dotsc,n-1\}
(보행 속에서 같은 꼭짓점 또는 변이 중복되어 등장할 수 있으며, 길이 0의 보행 역시 가능하다. 길이 0의 보행들의 집합은 꼭짓점 집합과 일대일 대응한다.)

Q의 보행들을 기저로 갖는 K-자유 가군 위에 다음과 같은 곱을 정의하자.
* 임의의 두 보행 \alpha=(v_n,e_{n-1},\dotsc,e_0,v_0), \beta=(v'_{n'},e'_{n'-1},\dotsc,e'_0,v'_0)에 대하여,
** 만약 v_0=v'_{n'}이라면, \alpha\beta = (v_n,e_{n-1},\dotsc,e_0,v_0,e'_{n'-1},\dotsc,v'_0)
** 만약 v_0\ne v'_{n'}이라면, \alpha\beta=0
이는 유사환을 이루며, 만약 Q가 유한 개의 꼭짓점을 갖는다면, 이는 항등원
:1=\sum_{v\in\operatorname V(Q)}(v)
을 가져 환을 이룬다. 이를 Q 위의 **보행 대수**() K[Q]라고 한다.

이제, 만약 Q의 꼭짓점 집합이 유한 집합일 경우, Q의 **<math>K</math>-표현**은 보행 대수 K[Q]의 왼쪽 가군 R이다.

이 정의들은 다음과 같이 대응한다.

## 연산
### 분리합
화살집들의 집합 (Q_i)_{i\in I} 및 각 i\in I에 대하여 Q_i의 표현 R^{(i)}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 \textstyle\bigsqcup_{i\in I}Q_i의 K-표현 \textstyle\bigsqcup_{i\in I}R^{(i)}이 자연스럽게 존재한다.

반대로, \textstyle\bigsqcup_{i\in I}Q_i의 모든 K-표현은 Q_i들의 표현들의 족 (R^{(i)})_{i\in I}의 분리합으로 유일하게 나타내어진다.

(이는 화살집의 분리합집합이 대응되는 범주의 쌍대곱에 대응하기 때문이다.)

### 직합
화살집 Q의 K-표현들의 집합 (R^{(i)})_{i\in I}의 **[[직합]]**은 다음과 같은 화살집 표현이다.
:R_v = \bigoplus_{i\in i}R^{(i)}_v\qquad(v\in\operatorname V(Q))
:R_e = \bigoplus_{i\in i}R^{(i)}_e\qquad(e\in\operatorname E(Q))

직합의 항등원은 모든 성분이 영가군인 **영 표현**(零表現, )이다. 하나 이상의 영 표현이 아닌 화살집 표현들의 직합으로 표현될 수 없는 화살집 표현을 **분해 불가능 표현**(分解不可能表現, )이라고 한다.

## 성질
임의의 가환환 K 및 화살집 Q에 대하여, Q의 K-표현들의 범주는 (작은 범주에서 아벨 범주로 가는 함자 범주이므로) 아벨 범주이다.

### 가브리엘 정리
[섬네일|오른쪽|<math>\mathsf A_n</math> · <math>\mathsf D_n</math> · <math>\mathsf E_n</math> 꼴의 [근계의 딘킨 도표]]
**가브리엘 정리**(Gabriel定理, )에 따르면, 화살집 Q에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 분해 불가능 복소수 표현의 동형류의 수가 유한하다.
* 유한 개의 연결 성분을 가지며, 각 연결 성분은 (변의 방향을 망각하면) \mathsf A_n · \mathsf D_n · \mathsf E_6 · \mathsf E_7 · \mathsf E_8 꼴의 딘킨 도표를 이룬다. (특히, 다중 그래프일 수 없다.)
또한, 위와 같은 꼴의 연결 화살집의 분해 불가능 K-표현의 동형류는 이에 대응되는 (A/D/E 꼴의) 근계의 양근과 일대일 대응한다.

## 예
임의의 가환환 K가 주어졌다고 하자.

공집합(즉, 0개의 꼭짓점을 갖는 화살집)은 유일한 (자명한) K-표현을 갖는다.

### A₁
하나의 꼭짓점을 갖는 화살집 \mathsf A_1의 표현들은 K-가군이다. 특히, 만약 K가 체일 때, \mathsf A_1의 분해 불가능 K-표현은 1차원 표현 K 밖에 없다. (이는 \mathsf A_1 근계의 유일한 양근에 대응한다.)

### A₂
[섬네일|오른쪽|<math>\mathsf A_2</math> [근계는 세 개의 양근 \alpha, \beta, \alpha+\beta를 갖는다.]]
두 개의 꼭짓점을 갖는 화살집 \mathsf A_2의 표현들은 두 K-가군 사이의 가군 준동형이다. 특히, 만약 K가 체일 때,
:\mathsf A_2=\underset u\bullet\overset e-\underset v\bullet
의 분해 불가능 K-표현은 다음 세 개이다. (이는 \mathsf A_2 근계의 세 양근에 대응한다.)
* R_u = K, R_v = 0, R_e는 값이 0인 상수 함수
* R_u = 0, R_v = K, R_e는 값이 0인 상수 함수
* R_u = R_v = K, R_e는 항등 함수

## 역사
가브리엘 정리는 피에르 가브리엘(, 1933~2015)이 1972년에 증명하였다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:표현론
분류:표현론 정리