킬링 형식

리 군 이론에서, **킬링 형식**(Killing形式, )은 리 대수 위에 자연스럽게 존재하는 대칭 쌍선형 형식이다. 리 대수의 딸림표현의 곱의 대각합이다.

## 정의
### 추상적 정의
가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g가 주어졌다고 하고, 또한 \mathfrak g가 유한 차원 K-자유 가군이라고 하자. 이제, \mathfrak g의 딸림표현
:\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\operatorname{GL}(\mathfrak g;k)
:\operatorname{ad}(x)\colon y\mapsto[x,y]
를 생각하자. 그렇다면, \mathfrak g의 **킬링 형식**
:B\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to K
는 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식이다.
:B(a,b)=\operatorname{tr}\left(\operatorname{ad}(a)\operatorname{ad}(b)\right)
여기서 대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

#### 리 초대수의 경우
보다 일반적으로, 체 K 위의  리 초대수 \mathfrak g가 주어졌다고 하고, 또한 \mathfrak g가 유한 차원 K-초벡터 공간이라고 하자. 이제, \mathfrak g의 딸림표현
:\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\operatorname{End}(\mathfrak g;K)
:\operatorname{ad}(x)\colon y\mapsto[x,y\}
를 생각하자. 그렇다면, \mathfrak g의 **킬링 형식**
:B\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to K
는 다음과 같은 쌍선형 형식이다.
:B(a,b)=\operatorname{str}\left(\operatorname{ad}(a)\operatorname{ad}(b)\right)
여기서 초대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

### 성분을 통한 정의
체 위의 유한 차원 리 대수 \mathfrak g의 기저 (x_i)_{i\in I}를 잡고, 이에 대한 구조 상수가
:[x_i,x_j] = f_{ij}{}^kx_k
라고 하자. 그렇다면, \mathfrak g의 **킬링 형식**은 다음과 같다.
:B(x_i,x_j) = B_{ij} = \sum_k\sum_l f_{ik}{}^lf_{jl}{}^k

## 성질
킬링 형식은 대각합의 순환성(\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX))에 의하여 대칭 쌍선형 형식을 이룬다.

킬링 형식은 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.
:B([x,y],z)=B(x,[y,z])

### 리 초대수의 킬링 형식
체 K 위의 유한 차원 리 초대수 \mathfrak g의 킬링 형식 B는 다음과 같은 성질을 갖는다.
:B(\mathfrak g_0,\mathfrak g_1) = 0
:B(x,y) = (-)^{\deg x\deg y}B(y,x)\qquad \forall x,y\in \mathfrak g_0 \cup\mathfrak g_1
:B([x,y\},z) = B(x,[y,z\}) \qquad\forall x,y,z\in\mathfrak g

단순 리 대수의 경우와 달리, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수는 킬링 형식이 0일 수 있다. 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수 가운데, 킬링 형식이 0인 것은 다음과 같다.
* \mathfrak{sl}(n|n)
* \mathfrak{osp}(4|2;\alpha)
* \mathfrak{osp}(2n+2|2n)
* \mathfrak p(n)
* \mathfrak q(n)
나머지 단순 리 초대수는 모두 0이 아닌 킬링 형식을 갖는다.

### 직합
체 K 위의 두 유한 차원 리 (초)대수 \mathfrak g, \mathfrak g'에 대하여, 그 직합 \mathfrak g\oplus\mathfrak g'의 킬링 형식은 다음과 같다.
:B_{\mathfrak g\oplus\mathfrak g'}(x\oplus x',y\oplus y') = B_{\mathfrak g}(x,y) + B_{\mathfrak h}(x',y')\qquad(x,y\in\mathfrak g,\;x',y'\in\mathfrak g')

### 실수체 위의 리 대수
만약 \mathfrak g가 단순 리 대수라면 위 항등식을 만족하는 모든 형식은 킬링 형식의 스칼라배이다.

리 대수가 반단순 리 대수인 필요 충분 조건은 그 킬링 형식이 비퇴화 쌍선형 형식인 것이다. 이를 **카르탕 조건**(Cartan條件, )이라고 한다.

실수체 위의 콤팩트 리 대수의 킬링 형식은 항상 음의 정부호 쌍선형 형식이다.

## 예
### 아벨 리 대수
임의의 체 K 위의 유한 차원 아벨 리 대수 \mathfrak g의 킬링 형식은 항상 0이다.

### 행렬 리 대수
임의의 체 K 및 자연수 n에 대하여, 일반 선형 리 대수 \operatorname{\mathfrak{gl}}(n;K)의 킬링 형식은 다음과 같다.
:B_{\mathfrak{gl}(n)}(X,Y) = 2n\operatorname{tr}(XY) - 2\operatorname{tr}(X)\operatorname{tr}(Y)
또한, 특수 선형 리 대수 \operatorname{\mathfrak{sl}}(n;K)의 킬링 형식은 다음과 같다.
:B_{\mathfrak{sl}(n)}(X,Y) = 2n\operatorname{tr}(XY)

**증명:**

편의상, \mathfrak{gl}(n;K)의 기저 (e_{ij})_{1\le i,j\le n}가 (i,j)번째 성분만이 1이며, 나머지 성분이 모두 0인 행렬이라고 하자. 그렇다면,
:[M,e_{ij}]_{ab} = \delta_{jb} M_{ai} - \delta_{ia}M_{jb}
이다. 이제, 야코비 항등식에 의하여,
:[M,[N,e_{ij}]] + [e_{ij},[M,N]] + [N,[e_{ij},M]] = 0
이다. 따라서,
:c_{ij} = ([M,[N,e_{ij}])_{ij}
:B(M,N) = \sum_{ij} c_{ij}
라고 놓으면,
:c_{ij} = 
\left(\sum_{a=1}^nM_{ia}N_{ai}\right)
- M_{ii}N_{jj}
- N_{ii}M_{jj}
+ \left(\sum_{a=1}^nN_{ja}M_{aj}\right)

가 된다. 따라서,
:B(M,N) = \sum_{i,j=1}^n \left( \left(\sum_{a=1}^nM_{ia}N_{ai}\right)
- M_{ii}N_{jj}
- N_{ii}M_{jj}
+ \left(\sum_{a=1}^nN_{ja}M_{aj}\right)\right)
= 2n \operatorname{tr}(MN) - 2\operatorname{tr}M\operatorname{tr}N

이다.

특수 선형 리 대수의 경우, 표준적인 분해
:\mathfrak{sl}(n;K) \oplus K \cong \mathfrak{gl}(n;K)
아래, 아벨 리 대수 K의 킬링 형식이 0이므로, 이는 일반 선형 리 대수의 경우의 표현을 그대로 사용할 수 있다. (물론, 이 경우 둘째 항이 0이 된다.)


행렬 리 대수의 경우, 킬링 형식은 다음과 같다.

### 리 대수의 계량과 이중 콕서터 수
단순 리 대수의 경우, 통상적으로 계량을 긴 근의 길이가 \sqrt2가 되게 규격화한다. 이 경우 짧은 근의 길이는 B*n*, C*n*, F<sub>4</sub>인 경우 1 또는 G<sub>2</sub>의 경우 \sqrt{2/3}이다. 이렇게 규격화할 경우, 계량 형식은 다음과 같다.

이렇게 계량 형식을 규격화하면, 3차원 초구로부터의 임의의 연속 함수 f\colon\mathbb S^3\to G에 대하여 항상
:
\frac1{48\pi}\int_G\langle g^{-1}dg,[g^{-1}dg,g^{-1}dg]\rangle\in\mathbb Z

이다.

이렇게 규격화한 계량 형식을 \langle\cdot,\cdot\rangle로 놓으면,
:K=-2h^\vee\langle\cdot,\cdot\rangle
이다. 여기서 h^\vee는 단순 리 대수의 **이중 콕서터 수**()이다. (이는 빅토르 카츠가 도입하였고, 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터의 이름을 땄다.) 이는 다음 표와 같다.

## 역사
엘리 카르탕이 1894년에 도입하였다. 독일 수학자 빌헬름 킬링의 이름을 땄다.

## 같이 보기
* 킬링 벡터장
## 각주

## 외부 링크
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분류:리 대수
분류:이차 형식