정규화 사슬 복합체

호몰로지 대수학에서 **정규화 사슬 복합체**(正規化사슬複合體, )는 아벨 범주의 단체 대상에 대하여 정의되는 사슬 복합체이다. 이는 아벨 범주의 단체 대상의 범주와 자연수 등급 사슬 복합체의 범주 사이의 동치를 정의하며, 이 동치를 **돌트-칸 대응**(Dold–Kan對應, )이라고 한다.

## 정의
### 무어 복합체
다음이 주어졌다고 하자.
* 아벨 범주 \mathcal A
* 준단체 대상 M_\bullet \colon \triangle_{\operatorname{pre}}^{\operatorname{op}}\to \mathcal A
이제, 다음을 정의하자.
:\operatorname C_n(M) = M_n \qquad (n\in\mathbb N)
:\partial_n = \sum_{i=0}^n (-)^i \partial_{n,i} M_i \qquad (n\in\mathbb N)
그렇다면, (\operatorname C_\bullet(M),\partial_\bullet)은  사슬 복합체를 이루며, 이를 준단체 대상 M_\bullet의 **무어 사슬 복합체**()라고 한다.

**증명**:

편의상 집합
:S=\{0,\dotsc,n-1\} \times \{0,\dotsc, n\}
및
:S_+ = \{(i,j)\in S\colon i 
:S_- = \{(i,j)\in S\colon i \ge j \}
을 정의하자. 이 사이에는 전단사 함수
:S_+ \to S_-
:(j,i+1) \mapsto (i,j) 
가 존재한다.

그렇다면, 단체 항등식을 사용하면 다음과 같다.
:
\begin{aligned}
\partial_{n-1} \circ \partial_n &=
\sum_{(i,j)\in S} \partial_{n-1,i}\circ\partial_{n,j} \\
&=\sum_{(i,j)\in  S_+} (-)^{i+j} \partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j}+\sum_{(i,j)\in  S_-} (-)^{i+j} \partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j} \\
&=\sum_{(i,j)\in  S_-}
\left(
(-)^{j+i-1} \partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j}
+
(-)^{i+j} \partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j}
\right)=0
\end{aligned}



### 사슬 복합체에 대응하는 준단체 대상
다음이 주어졌다고 하자.
* 아벨 범주 \mathcal A
* \mathcal A 속의 자연수 등급 사슬 복합체
*:\dotsb \to C_2 \xrightarrow{\partial_2} C_1 \xrightarrow{\partial_1} C_0 \to 0
이제, C_\bullet에 다음과 같은 준단체 대상의 구조를 줄 수 있다.
:M(n) = C_n
:M(\partial_{n,i}) \colon C_n \to C_{n-1}
:M(\partial_{n,i}) = \begin{cases}
0 & 0 \le i \le n-1 \\
(-)^n \partial_n & i = n
\end{cases}

### 퇴화 복합체와 정규화 복합체
다음이 주어졌다고 하자.
* 아벨 범주 \mathcal A
* 단체 대상 M_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op}}\to \mathcal A
이제, 다음을 생각하자.
:f_n \colon \coprod_{i=0}^{n-1} s_{n,i} \colon M_{n-1}^{\oplus n} \to M_n 
:g_n \colon \prod_{i=0}^{n-1} \partial_{n,i} \colon M_n \to M_{n+1}^{\oplus n}
(※ g_n에서, 합이 i=n을 포함하지 않는다.)

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
:\operatorname D_\bullet(M) = \operatorname{im} f_n 
:\operatorname N_\bullet(M) = \ker g_n 

그렇다면, (\operatorname D_\bullet(M),\partial_\bullet)와 (\operatorname N_\bullet(M),\partial_\bullet) 둘 다 역시 사슬 복합체를 이룬다. \operatorname D_\bullet(M)을 **퇴화 사슬 복합체**(退化사슬複合體, )라고 하며, \operatorname N_\bullet(M)을 **정규화 사슬 복합체**(正規化사슬複合體, )라고 한다.

**퇴화 사슬 복합체의 존재의 증명:**

퇴화 사슬의 경계가 퇴화 사슬임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.
:\partial_{n+1} \circ s_{n,i} = \sum_{j=0}^n s_{n,j}\circ \phi_{i,j} 
여기서 \phi_{i,j}는 임의의 사상이다.

그런데
:
\begin{aligned}
\partial_{n+1}\circ \circ s_{n,i}
& = \sum_{j=0}^{n+1}(-)^j \partial_{n+1,j} \circ s_{n,i} \\
& = \sum_{j=0}^{i-1}(-)^j \partial_{n+1,j} \circ s_{n,i} + \sum_{j=i}^{i+1}(-)^j \partial_{n+1,j} \circ s_{n,i} + \sum_{j=i+1}^{n+1}(-)^j \partial_{n+1,j} \circ s_{n,i} \\
&= \sum_{j=0}^{i-1}(-)^j s_{n-1,i-1} \circ \partial_{n,j} + \sum_{j=i}^{i+1}(-)^j + \sum_{j=i+1}^{n+1}(-)^j s_{n-1,i}  \circ \partial_{n,j-1} \\
&= s_{n-1,i-1} \circ \left(\sum_{j=0}^{i-1} (-)^j  \partial_{n,j}\right) - s_{n-1,i}  \circ \left(\sum_{j=i}^n(-)^j \partial_{n,j}\right) \\
\end{aligned}

이다.


**정규화 사슬 복합체의 존재의 증명:**

g_{n+1}의 핵의 경계가 g_n의 핵임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.
:\partial_{n,i}\circ\partial_{n+1} = 
\sum_{j=1}^n \phi_{i,j} \circ \partial_{n+1,j}
\qquad(j 
여기서 \phi_{i,j}는 임의의 사상이다.

그런데
:
\begin{aligned}
\partial_{n,i}\circ\partial_{n+1}
&= \sum_{j=0}^{n+1} \partial_{n,i} \circ\partial_{n+1,j} \\
&= \left(\sum_{j=0}^n \partial_{n,i} \circ\partial_{n+1,j} \right)
+ (-)^{n+1} \partial_{n,i} \circ \partial_{n+1,n+1} \\
&= \left(\sum_{j=0}^n \partial_{n,i} \circ\partial_{n+1,j} \right)
+ (-)^{n+1} \partial_{n,n} \circ \partial_{n+1,i} \\
\end{aligned}

이다.


### 준단체 대상에 대응하는 단체 대상
우선, 다음 기호를 정의하자.
* \operatorname{Surj}(n,m)\subseteq\hom_\triangle(n,m)은 모든 전사 증가 함수 \{0,1,\dotsc,n\} \twoheadrightarrow \{0,1,\dotsc,m\} (0 \le m \le n)들의 집합이다.

아벨 범주 \mathcal A 속의 준단체 대상
:C \colon \triangle_{\operatorname{pre}}^{\operatorname{op}} \to \mathcal A
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 \mathcal A 위의 단체 대상을 정의할 수 있다.
:\sigma(C_n) = \bigoplus_{m=0}^n \bigoplus_{\operatorname{Surj}(n,m)} C_m
즉, 각 \phi\in\operatorname{Surj}(n,m)에 대하여 포함 사상
:\beta_\phi \colon C_m \hookrightarrow \sigma(C_n)
이 있다.

그 위의 단체 대상 구조는 다음과 같다. 단체 범주 \triangle 속의 임의의 사상(증가 함수)은 전사 증가 함수와 단사 증가 함수의 합성으로 유일하게 표현된다.

임의의 단체 범주 사상
:f\in \hom_\triangle(m,n)
에 대하여,
:\sigma(f) \colon \sigma(C_n) \to \sigma(C_m)
은 다음과 같다.
:\sigma(f) = \coprod_{
\scriptstyle
g\in \operatorname{Surj}(n,k) \atop \scriptstyle \iota\circ\phi = g\circ f }
\beta_\phi \circ C(\iota)

여기서,
* \iota\circ\phi = g\circ f은 (\iota,\phi)가 g\circ f\in \hom_\triangle(m, k)의, 단사 함수(\iota\colon\{0,\dotsc, n'\}\hookrightarrow \{0,\dotsc, k\})와 전사 함수(\phi\colon\{0,\dotsc, m\}\twoheadrightarrow\{0,\dotsc, n'\})로의 (유일한) 분해임을 뜻한다.
* C(\iota) \colon C_k \to C_{n'}은 함자 C\colon\triangle_{\operatorname{pre}}^{\operatorname{op}} \to \mathcal A 아래의, \iota\in\hom_{\triangle_{\operatorname{pre}}}(n',k)의 상이다.

## 성질
### 짧은 완전열
아벨 범주 \mathcal A 속의 단체 대상 M_\bullet에 대하여, 다음과 같은 사슬 복합체의 짧은 완전열이 존재한다.
:0 \to \operatorname D_\bullet(M) \to \operatorname C_\bullet(M) \to \operatorname N_\bullet(M) \to 0
즉,
:\operatorname N_\bullet (M) \cong \frac{\operatorname C_\bullet(M)}{\operatorname D_\bullet(M)}
이다.

### 정규 사슬 복합체의 표준 분해
아벨 범주 \mathcal A 속의 단체 대상 M_\bullet에 대하여, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.
:i_n \colon \bigoplus_{m=0}^n \bigoplus_{\operatorname{Surj}(n,m)} \operatorname N_k(M) \cong \operatorname C_n(M)

이 동형 사상은 다음과 같이 주어진다.
:i_n = \coprod_{m=0}^n \coprod_{f\in\operatorname{Surj}(n,m)} M(f^{\operatorname{op}}) 
여기서
:M(f^{\operatorname{op}}) \colon \operatorname N_m(M) \to M_n
은 함자 M \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to \mathcal A 아래 f^{\operatorname{op}}\in\hom_{\triangle^{\operatorname{op}}}(m^{\operatorname{op}},n^{\operatorname{op}})의 상이다.

### 돌트-칸 대응
아벨 범주 \mathcal A 위에서, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.
:\operatorname s(\mathcal A) \leftrightarrows \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)
여기서
* \operatorname s(\mathcal A)는 \mathcal A 위의 단체 대상의 범주이다.
* \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)는 \mathcal A 위의, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급의 사슬 복합체들의 범주이다.

이 동치를 정의하는 함자는 다음과 같다.
* \operatorname N\colon \operatorname s(\mathcal A) \to \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)는 단체 대상에 대응되는 정규화 사슬 복합체이다.
* \Gamma \colon \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A) \to \operatorname s(\mathcal A)는 자연수 등급 사슬 복합체에 대응되는 준단체 대상에 대응되는 단체 대상이다.

또한, 이 범주의 동치는 자연 동형으로부터 유도된다. 즉, 자연 동형
:\operatorname N \circ \operatorname \Gamma \Rightarrow 1_{\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)}
: \operatorname \Gamma \circ \operatorname N \Rightarrow 1_{\operatorname s(\mathcal A) }
가 존재한다. 이에 따라, 이들은 두 가지 방향으로 수반 함자를 이룬다.
:\operatorname N\dashv \operatorname \Gamma
:\operatorname\Gamma\dashv \operatorname N

### 모형 구조
돌트-칸 대응을 사용하여, \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A) 위의 모형 범주 구조를 \operatorname s(\mathcal A)에 부여할 수 있다. 이에 따라, 돌트-칸 대응은 \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)와 \operatorname s(\mathcal A) 사이의 퀼런 동치를 이룬다.

이 경우, \operatorname s(\mathcal A)의 약한 동치는 단체 대상의 사상 가운데, (단체 집합으로서) 모든 차수의 단체 호모토피 군의 동형을 유도하는 것이다.

## 역사
돌트-칸 대응은 알브레히트 돌트와 다니얼 칸이 1958년에 독자적으로 발견하였다. (칸은 이 논문에서 칸 확대의 개념을 같이 도입하였다.) 돌트의 첫 논문은 가군의 범주에 국한되었으나, 이후 돌트와 디터 푸페는 곧 이를 임의의 아벨 범주에 대하여 일반화하였다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:호몰로지 대수학
분류:호모토피 이론