남 방정식

이론물리학에서 **남 방정식**(Nahm方程式, )은 SU(2) 자기 홀극을 나타내는 연립 1차 상미분 방정식이다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 실수 리 대수 \mathfrak g
* 1차원 리만 다양체 (즉, 부피 형식이 주어진 선분 또는 원) C. 보통 C = (0,2) (길이 2의 열린 선분) 또 는C = \mathbb R / \ell \mathbb Z (길이 \ell의 원)으로 잡는다.

그렇다면, **남 방정식**의 변수는 C 위의 3개의 함수
:\vec T \in\mathcal C^\infty(C,\mathfrak g \otimes \mathbb R^3)
및 C 위의 (자명한) \operatorname U(n)-주다발의 주접속
:T_0 \in \mathcal C^\infty(C,\mathfrak u(n))
이다. 즉, 이를 통하여 C 위의 공변 미분
:D = \frac{\mathrm d}{\mathrm dz} + [T_0,-]
을 정의할 수 있다.

**남 방정식**은 다음과 같다.
:DT_i=\frac12\epsilon_{ijk}[T_j,T_k]
여기서
* \epsilon_{ijk}는 레비치비타 기호이다.
* [-,-]는 \mathfrak g의 리 괄호이다.
즉, 이를 풀어 쓰면 다음과 같다.
:\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}T_1 + [T_0,T_1] = [T_2,T_3]
:\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}T_2 + [T_0,T_2] = [T_3,T_1]
:\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}T_3 + [T_0,T_3] = [T_1,T_2]

이 방정식은 4차원 양-밀스 순간자의 방정식을 1차원으로 차원 축소를 가한 것이다.

### 자기 홀극의 경계 조건
\mathbb R^3 위의 보고몰니 방정식의 자기 홀극 해를 구성하기 위해서는 다음과 같은 경계 조건을 사용한다.
* \mathfrak g = \mathfrak u(n)은 n\times n 반(反)에르미트 행렬의 리 대수이며, 그 리 괄호는 n\times n 행렬의 교환자이다.
* C = (0,2)는 길이 2의 열린구간이다.
* T는 해석 함수이다.
* z\to 0 또는 z\to 2에서, T_i는 1차 극을 가지며, 그 유수는 리 대수 \mathfrak{su}(2)의 n차원 표현을 이룬다. 즉, 로랑 급수
::T_i(z) = T_i^{(-1)}z^{-1} + T_i^{(0)} + T_i^{(1)}z+\dotsb=T_i^{\prime(-1)}(z-2)^{-1} + T_i^{\prime(0)} + T_i^{\prime(1)}(z-2)+\dotsb
:에서,
::[T_i^{(-1)},T_j^{(-1)}]=\frac12\epsilon_{ijk}T_k^{(-1)}
::[T_i^{\prime(-1)},T_j^{\prime(-1)}]=\frac12\epsilon_{ijk}T_k^{\prime(-1)}
:이다.

### 칼로론의 경계 조건
남 방정식을 통하여 칼로론을 구성할 수도 있다. 이 경우 다음과 같은 경계 조건을 사용한다.
* C = \mathbb R / \ell \mathbb Z는 둘레 \ell의 원이다.
* C에는 특별한 점 z_1,z_2,\dotsc,z_p \in C이 주어진다.
* [z_a,z_{a+1}]에서, \mathfrak g = \mathfrak u(n_i)이다.
* T_i들이 작용하는 복소수 n차원 에르미트 벡터 다발 E는 따라서 각 구간마다 차원이 다르다. [z_a,z_{a+1}]에서의 다발을 E^a라고 하자. 특별한 점 k_a에서, E^{a-1}과 E^a의 올을 잇는 다음과 같은, 에르미트 구조를 보존하는 선형 사상이 존재한다.
** 만약 n_{a-1} 라면, 단사 사상 E^{a-1}|_{z_a} \to E^a|_{z_a}
** 만약 n_{a-1} > n_a라면, 단사 사상 E^a|_{z_a} \to E^{a-1}|_{z_a}
** 만약 n_{a-1} > n_a라면, 전단사 사상 E^{a-1}|_{z_a} \to E^a|_{z_a}
* T^a_i는 해석 함수이며, 각 특별한 점 z_a에서 T_i는 다음과 같은 경계 조건을 따른다.
** n_{a-1} 일 때: z \approx z_a에서 다음이 성립한다.
**:T^a(z) = \begin{pmatrix}
T^{a-1}(z) & \mathcal O((z-z_i)^{(n_a-n_{a-1}-1)/2})\\
\mathcal O((z-z_a)^{(n_a-n_{a-1}-1)/2}) & (z-z_a)^{-1}R_i + \mathcal O(1)
\end{pmatrix}

***여기서 유수 R^a는 \mathfrak{su}(2)의 기약 표현을 이룬다.
** n_{a-1} > n_a일 때: 위와 마찬가지로 정의한다.
** n_{a-1} = n_a일 때: 좀 더 복잡한 경계 조건이 필요하다.

## 성질
### 게이지 대칭
\mathfrak g의 리 군이 G라면, 남 방정식과 그 경계 조건은 \mathcal C^\infty(C,G)의 게이지 변환을 갖는다.

만약 C가 선분인 경우, 게이지 대칭을 사용하여, T_0 = 0으로 놓을 수 있다. 그렇다면, 이 게이지 변환에서 \operatorname O(n)만이 남는다. 즉, 게이지 변환 동치류들은 켤레 작용
:T(z) \mapsto OT(z)O^{-1}\qquad(O\in\operatorname O(n))
에 대하여 불변이다.

T_0=0 게이지에서, 남 방정식의 해의 공간의 차원은 4n+n(n-1)/2이며, 남은 게이지 변환 \operatorname O(n)에 대한 몫공간의 차원은 4n이다. 이는 *n*개의 자기 홀극을 포함하는 해들의 집합과 동형이다.

### 럭스 쌍
남 방정식은 럭스 쌍으로 표현될 수 있다. 즉,
:A_0=-\mathrm iT_1+T_2, \quad A_1=-2T_3, \quad A_2=-\mathrm iT_1-T_2
:A(t)=A_0+t A_1+t^2 A_2
:B(t)=\frac12\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac12A_1+t A_2 \equiv B_0 + tB_1
로 놓자. 여기서 t는 어떤 형식적 변수이다. 그렇다면, 남 방정식은 다음과 같은 럭스 방정식과 동치이다.
:\frac{\partial A(t)}{\partial z} = [A(t),B(t)]
즉, 양변을 t에 대한 멱급수로 전개하고 차수별로 비교하면,
:\frac{\partial}{\partial z}A_0 = [A_0,B_0] = \frac12[A_0,A_1]
:\frac{\partial}{\partial z}A_1 = [A_1,B_0]+[A_0,B_1]=[A_0,A_2]
:\frac{\partial}{\partial z}A_2 = [A_1,B_1] + [A_2,B_0]=[A_1,A_2]+\frac12[A_2,A_0]
:0 = [A_2,B_1]
가 된다.

이에 따라, 방정식
:\det(x-A(t,z)) = 0
으로 정의되는 스펙트럼 곡선은 \partial/\partial z에 대하여 불변이다. 이 방정식은 x에 대한 n차 방정식이다. 여기서, t는 자연스럽게 사영 직선 \mathbb P^1의 좌표로 생각할 수 있으며, (x,t)는 그 접공간 \mathrm T\mathbb P^1 위의 좌표를 이룬다. 이는 미니트위스터 공간과 같다. 즉, 남 방정식의 스펙트럼 곡선은 미니트위스터 공간 속의 대수 곡선이다. 3차원 자기 홀극 방정식은 미니트위스터 공간을 통해서도 작도할 수 있으며, 스펙트럼 곡선은 남 방정식을 통한 작도와 트위스터를 통한 작도 사이의 관계를 나타낸다.

### 자기 홀극과의 관계
유클리드 3차원 SU(2) 게이지 이론이 다음과 같은 장들을 가진다고 하자.
* SU(2) 게이지장 A
* 딸림표현의 실수 스칼라장 \phi. 이는 퍼텐셜을 갖지 않는다.
(이러한 계는 4차원 순수 양-밀스 이론에서 차원 축소를 하여 얻을 수 있다.) 이 경우, \phi의 퍼텐셜이 0이므로 임의의 진공 기댓값 \langle\phi\rangle\in\mathfrak{su}(2)를 줄 수 있다 (힉스 가지). 이에 따라서 게이지 군은 그 카르탕 부분군 U(1)으로 깨지고, 이에 따라 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극들이 존재하게 된다. n\in\mathbb Z개의 자기 홀극을 포함하는 상태들은 남 방정식을 통해 작도할 수 있다. 이러한 상태들의 모듈라이 공간의 차원은 아티야-싱어 지표 정리를 통해 계산할 수 있고, 4n이다.

여기서 지수를 i,j,\dots=1,2,3이고, a=1,\dots,n이라고 하자.

남 방정식의 해 T^i(z)가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 디랙 연산자를 정의할 수 있다.
:\Delta=\frac{d}{dz}-(T^i-x^i)\otimes\sigma_i
이는 (z,\mathbf x)를 매개 변수로 갖는 (n,1)\otimes(2\times 2)=2n\times n 행렬 U^a{}_i{}^j(z,\mathbf x)에 작용한다. 즉,
:U\colon(0,2)\times\mathbb R^3\to\mathbb R^n\otimes\operatorname{Mat}_{n\times n}(\mathbb C)
이다.

U가 \Delta의 여핵에 속한다고 하자. 즉, 그 수반 작용소 \Delta^\dagger는
:\Delta^\dagger=-\frac{d}{dz}-(T^i-x^i)\sigma_i
이므로,
:\Delta^\dagger U=0
인 U를 생각하자. 이러한 U를 찾으면, \phi와 A는 다음과 같다.
:\phi(\mathbf x)=\int_0^2z(U^a)^\dagger(z;\mathbf x)U^a(z;\mathbf x)\,dz
:\mathrm iA_i(\mathbf x)=\int_0^2z(U^a)^\dagger(z;\mathbf x)\partial_\mu U^a(z;\mathbf x)\,dz

### 끈 이론을 통한 해석
남 방정식은 초끈 이론을 통해 해석될 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 다음과 같은 D-막의 배열을 생각하자.

여기서 D1-막은 D3-막에 붙어 있다. 또한, D3-막의 수가 k, D1-막의 수가 n이라고 하고, 이 상태가 시간에 의존하지 않는다고 하자. 그렇다면, 이 상태는 다음과 같이 묘사될 수 있다.
* D3-막 위의 이론은 \operatorname{SU}(k) 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론이며, 모든 장이 시간 불변이라면 이는 보고몰니 방정식이다. D1-막은 그 위의 n개의 자기 홀극이다.
* D1-막 위의 이론은 (모든 장이 시간 불변이라면) 남 방정식이다. (이 경우, 1차원 공간에서 게이지장을 0이 되게 게이지 고정할 수 있다.)
** 남 방정식의 \mathfrak{su}(2) 지표는 1,2,3 방향의 O(3) 대칭에 해당한다.
** 남 방정식의 장 (T_1,T_2,T_3)는 D1-막의 1,2,3 방향의 위치에 해당한다. 만약 각 T_i가 대각 행렬이라면, 그 n개의 대각 성분은 n개의 D1-막의 위치에 해당한다. 일반적으로 좌표가 대각 행렬이 아닌 것은 D-막이 겹쳐졌을 때 발생하는 비가환 기하학에 의한 효과이다.
따라서, 남 방정식과 보고몰니 방정식 사이의 관계는 10차원 초끈 이론의 한 상태를 서로 다르게 표현한 것이다.

### 아벨 리 대수의 경우
\mathfrak g가 (\mathfrak u(1)과 같은) 아벨 리 대수일 경우, 남 방정식은 선형 상미분 방정식이다. 즉,
:\frac{\mathrm dT_i}{\mathrm dz} = 0
이므로, 그 해는 상수 함수이다.

## 역사
베르너 남()이 1981년 도입하였다. 이후 사이먼 도널드슨과 나이절 히친 등이 이를 연구하였다.

## 각주

* 
* 
* 
* 

## 외부 링크
* 

분류:상미분 방정식
분류:수리물리학
분류:적분가능계
분류:물리학 방정식