퍼펙토이드

**퍼펙토이드**(perfectoid)란 독일인 수학자 페터 숄체(Peter Scholze)가 도입한 개념이다.

## 정의
K가 표수 p의 완전 비아르키메데스적 체라고 하자. 그리고 다음을 정의하자.
K^{\circ}:=\{x\in K|\nu(x)\le 1\}
그렇다면 K가 **퍼펙토이드 체**란 것은 K^{\circ}가 이산 국소환이 아니고 프로베니우스 사상이 K^{\circ}/p에서 전사인 것을 뜻한다.

K가 퍼펙토이드 체라고 하자. 그러면 바나흐 K-대수 R가 퍼펙토이드 K-대수란 것은 R의 원소들

 R^{\circ}:=\{x\in R|\{x^n|n\in \mathbb{N}\} \text{ is bounded set }\}

들이 열린 집합이고 유계인 데다가 적당한 위상수학적 멱영원 \pi\in R가 있어서\Phi:R/\pi\longrightarrow R/\pi가 전사인 것이다.

이 정의에서 이산 국소환이 아니라는 조건은 안 좋은 것 같지만 정말로 중요한 역할을 하는데, 퍼펙토이드 체에서 거의 수학을 할 수 있게끔 만들어주기 때문이다.
perfectoid field란 많이 대충 말해서 그 위에 분기 확장체가 거의 없는 체라고 보면 된다. 예를 들면 \mathbb{Q}_p(\zeta^{\frac{1}{p^{\infty}}})의 완전화를 들 수 있는데, 이 체 위의 모든 확장은 그 켈러 미분들이 거의 수학으로 0이 된다. (Tate)

## 젖히기(tilting)
다음을 생각하자.

K^{\flat}:=\left(\lim_{\overset{\longleftarrow}{\Phi}}K^{\circ}/\pi\right)[(\pi^{\flat})^{-1}]
여기에서 \pi^{\flat}\in \lim_{\overset{\longleftarrow}{\Phi}}K^{\circ}/\pi는 |\pi^{\flat}|=|\pi|를 만족하는 어떤 한 원소다. 이는 |\pi_1|^p=|\pi|를 만족하도록 \pi_1를 잡고

 \pi^{\flat}:=(0,\pi_1,\cdots )\in \lim_{\overset{\longleftarrow}{\Phi}}K^{\circ}

로 선택하면 된다. 그렇다면 다음 곱셈적 준동형사상이 존재한다.

K^{\flat}\longrightarrow \lim_{\overset{\longleftarrow}{x\mapsto x^p}}K

이는 (x_1,x_2,\cdots)\in K^{\flat}를 x^{\sharp}:=x_n^{p^n}로 정의하는 걸로 (이는 잘 정의된다.) 먼저

K^{\flat}\longrightarrow K^{\circ}

를 정의할 수 있고, 이것으로 사상을 확장할 수 있다.

K^{\flat}의 의미는 K의 표수를 0에서 p로 바꾸었다는 것이다. 그리고 perfectoid field에서 표수 바꾸기는 정말로 잘 작동한다.
K,K^{\flat} 둘은  K/\pi에선 완전히 같다.

다음은 퍼펙토이드 체에 대한 가장 중요한 성질들 중 하나다.

**Theorem.** 두 perfectoid K-algebra R\to R'가 있을 때 이 둘 사이의 cotangent complex는 \mathbb{L}_{R'/R}\otimes^{L}_{\mathbb{Z}}\mathbb{F}_p=0이 된다.

이것의 증명은 cotangent complex의 base change theorem을 이용하는데, 이 과정에서 perfect \mathbb{F}_p-algebra의 cotangent complex는 0란 사실을 이용히게 된다.

이것하고 almost mathematics의 deformation theory를 이용해서 다음을 증명할 수 있다.

\mathrm{Perf}(K^{\circ})^a\cong \mathrm{Perf}(K^{\circ}/\pi)^a

여기에서 \!^a표시는 almost sense를 말하는 것이고 \mathrm{Perf}는 그 위의 perfectoid algebra를 모아놨다는 것이다. 좀 더 정확하겐 이렇게 정의한다.

**Definition.** perfectoid K^{\circ a}-algera란 \pi-adically complete flat K^{\circ a}-algebra A에다가 Frobenius가 A/\pi^{\frac{1}{p}}\cong A/\pi를 만드는 것이다.

**Definition** perfectoid K^{\circ a}/\pi-algebra란 flat K^{\circ a}/\pi-algebra \overline{A}에 Frobenius가 \overline{A}/\pi^{\frac{1}{p}}\cong \overline{A}를 만드는 것을 말한다.

그렇다면 K^{\circ a}/\pi\cong K^{\flat \circ a}/\pi^{\flat}를 생각하면 다음을 얻을 수 있다.

**Theorem.** perfectoid K-algebra들과 perfectoid K^{\flat}-algebra들의 category는 서로 동치가 된다.

여기에서 이 동치가 되게 만드는 functor는 R를 하나 잡으면

R^{\flat}=\left(\lim_{\overset{\longleftarrow}{\Phi}}(R^a/\pi)^{\flat}\right)_*[(\pi^{\flat})^{-1}]

으로 구성할 수 있다. 이는

\mathrm{Perf}(K)\cong \mathrm{Perf}(K)^a\cong \mathrm{Perf}(K/\pi)^a\cong \mathrm{Perf}((K/\pi)^{\flat})^a\cong \mathrm{Perf}(K^{\flat})^a \cong \mathrm{Perf}(K^{\flat})

를 따라서 구성한 것이다. 그렇다면 다음이 성립한다.

R^{\flat}=\lim_{\overset{\longleftarrow}{x\mapsto x^p}}R

이렇게, R^{\flat}를 R의 tilt라고 한다.

## 폰테인-윈텐버저(Fontaine-Wintenberger)
다음이 성립한다.

\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}_p(\zeta_p^{\frac{1}{p^{\infty}}}})/\mathbb{Q}_p(\zeta_p^{\frac{1}{p^{\infty}}}))\cong \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{F}_p((t))}/\mathbb{F}_p((t)))

이는 좀 더 분석해보자면 \mathbb{Q}_p(\zeta_p^{\frac{1}{p^{\infty}}}의 completion을 K라고 한다고 할 때 K^{\flat}는 \mathbb{F}_p((t))의 completion이 되며, 저 갈루아 군의 동형사상을 구성하는 것은 다음을 증명하는 것이 된다.

 K_{\mathrm{fet}}\cong K^{\flat}_{\text{fet}}

그리고 이것 역시 tilt를 구성할 때 증명했던 것과 거의 같은 방법으로 구성한다. R을 perfectoid K-algebra라고 할 때

 R_{\text{fet}}\cong (R^a)_{\text{fet}}\cong (R^a/\pi)_{\text{fet}}\cong ((R^a)^{\flat}/\pi)_{\text{fet}}\cong ((R^a)^{\flat})_{\text{fet}}\cong
R^{\flat}_{\text{fet}}

를 생각한다. 여기에서 가장 중앙에 있는 것은 당연하고, 바로 주위에 있는 둘은 tilt 정의할 때 소개했던 cotangent complex를 쓰면 된다. 그러면 가장 문제는 가장 바깥쪽에 있는 둘인데, 이 둘도 equivalence다. 다만 이 둘의 증명은 어렵다.

가장 왼쪽에서 R가 field일 때만 증명하자면 다음을 증명하자.

**Proposition.** perfectoid field K^{\flat}이 algebraically closed라면 K는 algebralically closed다.

**Proof** monic irreducible polynomial P(X)=X^d+a_{d-1}X^{d-1}+\cdots+a_0을 하나 잡자. 그러면 이것이 zero가 있음을 증명해야 하는데 P의 Newton polygon은 line이고 이제  K^{\circ}/\pi에서 보자. Q(X)를 K^{\circ}/\pi에서 봤을 때 P하고 모든 계수가 같은 다항식이라고 하고 그 zero를 y_1라고 하자. 그러면 다항식 P(X+y^{\sharp})를 생각하고 이것의 상수항이 \pi에 의해서 나누어지므로, 그러니까 y_1^{\sharp}가 대충 P의 근사해가 되므로 |c_1|^d=|P(y_1^{\sharp})|\le |\pi|인 c_1에 대해서 P_1(X)=c_1^{-d}P(c_1X+y_1^{\sharp}) 또한 Newton polygon이 line이고 irreducible이다. 이걸 반복하면

y=y_1^{\sharp}+c_1y_2^{\sharp}+c_1c_2y_3^{\sharp}+\cdots

라고 정의하면 P(y)=0가 된다.

이 성질을 이용해서 젖히기의 반대인 untilt를 하는데, 그 젖히기의 반대를 K^{\sharp}라고 쓰자. 그러면 K^{\sharp}의 대수적 폐포의 completion을 M라고 한다면 M^{\sharp}는 위의 proposition으로 algebraically closed field에 적당한 norm을 주는 것으로 perfectoid K-algebra라고 할 수 있다. 따라서 모든 perfectoid K^{\sharp}-algebra L에 대해서 L^{\sharp}는 M^{\sharp}의 subfield가 되고,  \bigcup L^{\sharp}는  M^{\sharp}에서 dense이므로 Krasner's lemma로 그 union을 N라고 하면 N도 algebraically closed field고 따라서 모든 finite extension F에 대해서 F는 적당한 K^{\flat}의 finite field extension L가 있어서 L^{\sharp}는 F를 포함하고, 체일 때의 증명이 끝난다.

## 퍼펙토이드 공간(perfectoid space)
먼저 아피노이드 대수(affinoid algebra)를 정의하자. k가 체일 때 R가 테이트 k-대수(Tate k-algebra)란 것은 어떤 부분환 R_0\subseteq R가 있어서 aR_0가 a\in k^{\times}들에 대해서 0의 열린 근방들의 기저를 이룰 때를 말한다. 그리고 쌍 (R,R^+)가 아피노이드 k-대수란 것은 그 자체의 환과 정폐정역 R^+\subseteq R의 쌍이다.

K가 퍼펙토이드 체라고 하자. 그러면 아피노이드 K-대수 (R,R^+)가 퍼펙토이드 아피노이드 K-대수란 것은  R이 퍼펙토이드 K-대수인 것을 뜻한다.

퍼펙토이드 아피노이드 K-대수 (R,R^+)가 있을 때 다음을 정의할 수 있다.

X=\mathrm{Spa}(R,R^+):=\{|\cdot|:R\to \Gamma \cup \{0\} \text{ continuous valuation }|\text{ There exists }f\in R^+\text{ s.t. }|f|\le 1\}

그리고 여기에 위상을 하나 주는데, f_1,f_2,\cdots,f_n,g\in R를 주고, f_1,\cdots,f_n가 R를 생성한다고 할 때

U\left(\frac{f_1,\cdots,f_n}{g}\right):=\{x\in X|\text{There exists }i \text{ s.t. }|f_i(x)\le |g(x)\}

를 기저로 하는 것으로 준다. 그리고 이런 꼴 열린 집합을 유리형 집합이라고 하자. 이는 환의 스펙트럼과 거기에 주는 D(f)라는 열린 집합들을 따라한 것이다.

(R,R^+)가 아피노이드 k-대수라고 하자. 그리고 여기에 \mathrm{Spa}(R,R^+)의 열린 집합 U=U\left(\frac{f_1,\cdots,f_n}{g}\right)를 주자. 그러면

aR_0\left[\frac{f_1}{g},\cdots,\frac{f_n}{g}\right]

꼴들을 0의 기저로 가지는 다음 아피노이드 k-대수를 생각하자.

U=\mathrm{Spa}\left(R\left[\frac{f_1}{g},\cdots,\frac{f_n}{g}\right],B\right)

여기에서 B는 R\left[\frac{f_1}{g},\cdots,\frac{f_n}{g}\right] 안에서 R^+\left[\frac{f_1}{g},\cdots,\frac{f_n}{g}\right]의 정수적 폐포다. 그러면 이것의 완전화를 (\mathcal{O}_X(U),\mathcal{O}^+_X(U))라고 하자. 이는 시프를 정의하기 위해서다. 그렇다면 일반적으로 열린 집합 W\subseteq X에 대해서

 \mathcal{O}_X(W)=\lim_{\overset{\longleftarrow}{U\subseteq W \text{ rational }}}\mathcal{O}_X(U)

라고 정의하자. 그렇다면 X 위의 준시프 \mathcal{O}_X,\mathcal{O}^+_X를 정의할 수 있다.

다시 퍼펙토이드 아피노이드 K-대수 (R,R^+)로 돌아오면 \mathcal{O}_X가 시프라는 결과가 있다. (퍼펙토이드가 아니면 일반적으로 준시프만 되고 시프가 되지 않을 수도 있다.)

## 팔팅스의 거의 순수성 정리(Faltings' '''almost purity theorem)'''
유한 에탈 덮개  S/R에 대해서 R가 퍼펙토이드 K-대수라면 S^{\circ a}는 R^{\circ a}위의 유한 에탈 대수가 된다. 특히 S^{\circ a}는 R^{\circ a} 위의 균등 거의 유한표현 R^{\circ a}-모듈이 된다.

## 같이 보기
* 완전체
## 참고 문헌
* 

분류:대수적 수론