토브-너트 공간

일반 상대성 이론에서 **토브-너트 공간**(-空間,  )은 아인슈타인 방정식의 4차원 진공해이며, 특히 4차원 초켈러 다양체이자 점근 국소 평탄 공간이다. 이 해는 여러 매우 특이한 성질들을 가진다.

## 정의
토브-너트 공간은 4차원 비콤팩트 초켈러 다양체이며, \mathbb R^4와 미분 동형이다. 이는 다양한 방법으로 구성할 수 있다.

### 기번스-호킹 가설 풀이를 통한 구성
그 위의 계량은 기번스-호킹 가설 풀이로 다음과 같이 주어진다. 우선, 좌표
:\tau\in\mathbb R / (4\pi\mathbb Z)
:\vec r \in \mathbb R^3
를 정의하자. 그렇다면, 토브-너트 공간의 계량은 다음과 같다.
:\mathrm ds^2 = V(|\vec r|) \mathrm d\vec r^2 + \frac1{V(|\vec r|)} (\mathrm d\tau+\omega)^2
:V(|\vec r|) = L + \frac1{2|\vec r|}
여기서
:\omega = \vec\omega \cdot \mathrm d\vec r \in \Omega^1(\mathbb R^3)
는 \mathbb R^3 위의 1차 미분 형식 가운데
:\mathrm d\omega = \star \mathrm dV
인 것이다. 이는 사실 \mathbb S^3 위의 1차 미분 형식으로 확장될 수 있다. L과 M은 상수이다. 여기서 L은 무한대에서 호프 원다발의 올의 크기 4\pi/\sqrt L를 결정하는 상수이다.

일반 상대성 이론에서는 이 해를 로런츠 계량 부호수 &minus;+++로 해석적 연속을 취할 수 있다. 이는 \tau \mapsto \mathrm it의 치환에 해당한다.

보다 일반적으로, V를
:V(\vec r) = L + \sum_{i=1}^N \frac1{2|\vec r-\vec R_i|}
로 치환한다면, 여러 개의 토브-너트들이 공존하는 **다중 토브-너트 공간**()을 얻는다. 이는 A형 점근 국소 평탄 공간에 해당한다.

### 초켈러 축소를 통한 구성
토브-너트 공간은 심플렉틱 몫공간 연산을 통해 정의할 수 있다.

구체적으로, 초켈러 공간
:\mathbb R^4 \times \mathbb R^3 \times \frac{\mathbb R}{\beta\mathbb Z}
위에서 U(1)의 작용을 생각하자. 구체적으로, 평탄한 유클리드 공간 \mathbb R^4 위의 적절한 좌표계 (\vec r=(r_1,r_2,r_3),\,\psi)에서 평탄한 리만 계량은 기번스-호킹 가설 풀이로 다음과 같다.
:\mathrm ds^2 = \frac1 \mathrm d\vec r^2 + |\vec r|\left(\mathrm d\psi + \vec\omega\cdot\vec\mathrm dr\right)
여기서 \psi\sim\psi+4\pi이며,
:\vec\omega = (\omega_1,\omega_2,\omega_3)
은
:\epsilon_i{}^{jk}\partial_j \omega_k = \partial_i \frac1
을 따른다. 즉, 미분 형식 표기법으로는
:\omega = \omega_i \mathrm dr^i
:\star\mathrm d\omega = \mathrm d\frac1
이다. 마찬가지로, \mathbb R^3 \times \mathbb S^1 위의 좌표를 (\vec x=(x_1,x_2,x_3),\,\theta)라고 하자. 그 위의 리만 계량은
:\mathrm ds^2 = L\mathrm d\vec x^2 + L^{-1} \mathrm d\theta^2
:\beta = 4\pi L^{-1/2} 
이며, \theta \sim \theta + 4\pi이다. 이 위에 U(1)의 작용은
:\exp(\mathrm it)\colon (\psi,\theta) \mapsto (\psi+t,\theta+t)
이며, 초켈러 운동량 사상은
:\vec\mu = \vec r + \vec x
이다.

초켈러 운동량 사상에 대한 0의 원상은 \vec r = -\vec x에 해당한다. 즉, 게이지 불변 좌표 \chi = \psi-\theta를 정의하며 원상의 좌표는
:\mathrm ds^2 = V(\vec r) \mathrm d\vec r^2 + V(\vec r)^{-1} (\mathrm d\chi + \vec\omega\cdot\mathrm d\vec r)^2+ (r+\lambda^2)
\left(\mathrm d\theta + \frac {|\vec r|+L^{-1}} \left(\mathrm d\chi + \vec\omega\cdot\mathrm d\vec r\right)\right)^2

:V(\vec r) = \frac1 + L
이다. U(1) 게이지 변환에 대한 동치류를 취하려면, 킬링 벡터장 \partial/\partial\theta에 대한 직교 성분을 취해야 하므로, 마지막 항을 생략하는 것에 해당한다. 즉, 구체적 계량
:\mathrm ds^2 = V(\vec r) \mathrm d\vec r^2 + V(\vec r)^{-1} (\mathrm d\chi + \vec\omega\cdot\mathrm d\vec r)^2+ (r+\lambda^2)
을 얻는다.

### 남 방정식을 통한 구성
섬네일|right|토브-너트 공간을 정의하는 활 그림()
토브-너트 공간은 활 그림()으로 구성할 수 있다. 구체적으로, 이에 대응되는 활은 다음과 같다.
* 하나의 구간과 하나의 변으로 구성된다.
* 구간의 길이는 L (기번스-호킹 가설 풀이에서 퍼텐셜의 상수항)이다.
* 구간 위의 벡터 다발의 차원은 1이다. (즉, 선다발이다.)

즉, 그 해는 남 방정식
:T_0,T_1,T_2,T_3\colon[-L/2,L/2] \to \mathbb R
:\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm ds} - \mathrm iT_0\right) \vec T(s) = 0
및 복소수
:B_0,B_1 \in \mathbb C
로 정의된다. B_0,B_1은 선다발의, 구간 양끝의 올 사이의 (쌍방향의) 선형 변환에 해당한다.

이 위에는 게이지 군
:\mathcal C^\infty([-L/2,L/2], \operatorname U(1))
이 작용한다. 게이지 군의 원소
:g\colon [-L/2,L/2] \to \operatorname U(1)
는 다음과 같이 작용한다.
:T_0 \mapsto g^{-1}T_0g + \mathrm ig^{-1}\dot g
:T_i \mapsto g^{-1}T_ig
:B_0 \mapsto g^{-1}(-L/2)B_0g(l/2)
:B_1 \mapsto g^{-1}(L/2)B_0g(-l/2)
이를 사용하여, 게이지 퍼텐셜 T_0을 상수 함수로 놓을 수 있다. 그렇다면, 남 방정식에 따라서 T_1,T_2,T_3 역시 상수 함수가 된다.
:\underbrace{\mathbb S^1 \times \mathbb R^3}_{(T_0,T_1,T_2,T_3)} \times \underbrace{\mathbb R^4}_{B_0,B_1} /\!/\!/ \operatorname U(1)
즉, 이는 \mathbb R^4 \times \mathbb R^3 \times \mathbb S^1의 초켈러 축소로 귀결된다.

## 성질
### 점근적 형태
토브-너트 계량은 점근 국소 평탄 공간이다. 즉, |\vec r|\to\infty 극한에서, 토브-너트 계량은 \mathbb S^1 \times \mathbb R^3의 꼴을 가진다. \mathbb R^3의 무한인 \mathbb S^2 위에서, \mathbb S^1은 호프 올뭉치의 꼴을 하며, 따라서 등각 무한의 위상은 사실 \mathbb S^3가 된다. 이 경우, \mathbb S^1은 무한대에서 유한한 크기를 갖는다.

다중 토브-너트 공간도 마찬가지로 점근 국소 평탄 공간을 이루며, 이 경우 일반적으로 등각 무한은
:\mathbb S^3 / \operatorname{Cyc}(n)
= \frac{\{(z,w)\in\mathbb C^2 \colon |z|^2+|w|^2= 1 \}}{(z,w)\sim(tz,tw)\quad(t^n = 1)}

의 꼴이다. 이들은 역시 올다발
:\mathbb S^1 \hookrightarrow \mathbb S^3 / \operatorname{Cyc}(n) \twoheadrightarrow \mathbb S^2
:[(z,w)] \mapsto (|z|^2-|w|^2,2z\bar w)
를 구성한다.

### 극한
L \to 0 극한을 취하면, 이 해들은 점근 국소 유클리드 공간을 이룬다. 이 경우 마찬가지로 ALE 분류가 존재하며, 가장 간단한 경우는 에구치-핸슨 공간이다.

### 대칭
토브-너트 공간의 등거리 대칭군은
:\operatorname U(2) \cong \frac{\operatorname U(1) \times \operatorname{SU}(2)}{\operatorname{Cyc}(2)}
이다. 여기서 \operatorname{SU}(2)는
:\operatorname{SO}(4) = \frac{\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)}{\operatorname{Cyc}(2)}
의 한 부분군이며, 구체적으로 \mathbb S^3의 SO(4) 회전 가운데 \omega를 보존하는 것들이다. 즉, 토브-너트 공간은 4개의 킬링 벡터장을 갖는다.

이 대칭군은 토브-너트 공간 위에 추이적 작용을 가지므로, 토브-너트 공간은 동질 공간()이다. 즉, 모든 점이 다 똑같이 보인다. 그러나 토브-너트 공간은 등방적()이지 못하다. 즉, 주어진 점에서부터 서로 다른 방향들이 다르게 보인다.

SO(2) 대칭 아래서, 토브-너트 공간은 하나의 고정점을 가지며, 이는 고정점의 분류에서 (1,1)차 너트에 해당한다. 반대로, 볼트는 존재하지 않는다.

일반적 다중 토브-너트 공간의 대칭군은 N\ge3일 때 O(2)이며, 이에 대한 고정점들은 모두 너트이다. 이는 기번스-호킹 가설 풀이의 퍼텐셜의 N개의 특이점들에 해당한다. N=2일 때는 대칭군은 U(1)×U(1)이며, 둘째 U(1)은 두 너트를 통과하는 축을 중심으로 하는 회전이다.

## 역사
섬네일|right|에이브러햄 토브 (1968년 사진)
에이브러햄 해스켈 토브(, 1911〜1999)가 1951년에 발견하였다. 에즈라 시어도어 뉴먼(, 1929〜)과 루이스 탐부리노(), 시어도어 운티()가 1963년에 토브의 해를 특이점을 넘겨 연장시켰다.

로런츠 부호수의 토브-너트 공간은 여러 기묘한 성질을 보이며, 이 때문에 찰스 미스너(, 1932〜)는 “토브-너트 공간은 거의 모든 명제에 대한 예외”라는 제목의 논문을 쓰기도 했다.

다중 토브-너트 공간은 스티븐 호킹이 1977년에 발견하였다.

## 응용
토브-너트 공간은 초켈러 다양체이므로, 끈 이론에서 매우 중요한 역할을 한다. 특히, M이론에서 D6-막은 토브-너트 공간으로 표현된다. 구체적으로, ⅡA종 초끈 이론에서, 어떤 7차원 준 리만 다양체 M이 주어졌을 때, M\times\mathbb R^3에서 M에 1개의 D6-막을 감은 상태는 M이론을 M \times \operatorname{TN} 위에 축소화한 것에 해당한다. (여기서 TN은 토브-너트 공간을 뜻한다.) 여러 개의 D6-막을 감은 상태는 다중 토브-너트 공간에 해당한다.

로런츠 계량 부호수의 토브-너트 공간은 일반 상대성 이론의 해로 간주할 수 있다. 이 경우, 이 해는 여러 기묘한 성질을 가진다.

## 각주

## 외부 링크
* 

분류:일반 상대성 이론의 엄밀해