선형 푸아송 다양체

리 군론에서 **선형 푸아송 다양체**(線型Poisson多樣體, )는 성분이 선형인 푸아송 다양체의 구조를 갖춘 벡터 공간이다. 이는 항상 유한 차원 실수 리 대수의 쌍대 공간의 꼴이다. 그 심플렉틱 잎들은 **쌍대딸림표현 궤도**(雙對딸림表現軌道, )라고 하는데, 일부 경우 리 대수의 기약 유니터리 표현에 대응하며, 이러한 표현들은 심플렉틱 잎의 기하학적 양자화로 얻어진다. 이 경우, **키릴로프 지표 공식**(Кириллов指標公式, )에 따라서, 군 표현의 지표는 심플렉틱 잎의 부피를 나타내는 분포의 푸리에 변환으로 주어진다.

## 정의
유한 차원 실수 벡터 공간 V 위에 푸아송 다양체 구조 \{-,-\}가 주어졌으며, 다음과 같은 꼴이라고 하자.
:\{f,g\}(x) = x^if_i{}^{jk}\partial_jf\partial_kf
그렇다면, 쌍대 공간 V^* 위에 다음과 같은 리 대수 구조를 부여할 수 있다.
:[t^j,t^k] = \sum_i f_i{}^{jk} t^i
반대로, 유한 차원 실수 리 대수 (\mathfrak g,[,])가 주어졌을 때, 그 쌍대 공간 \mathfrak g^* 위에 다음과 같은 푸아송 다양체 구조를 정의하자. 임의의 f,g\in\mathcal C^\infty(\mathfrak g^*;\mathbb R) 및 x\in\mathfrak g^*에 대하여,
:\{f,g\}(x)=x([\mathrm df(x),\mathrm dg(x)])
여기서
:\mathrm df(x),\mathrm dg(x)\in\mathrm T_x^*\mathfrak g^*\cong\mathfrak g
이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다.

즉, 선형 푸아송 구조가 주어진 벡터 공간의 개념은 유한 차원 실수 리 대수(의 쌍대 공간)와 일대일 대응한다. 이러한 꼴의 푸아송 다양체를 **선형 푸아송 다양체**라고 한다.

## 성질
### 심플렉틱 잎 (쌍대딸림표현 궤도)
리 지수 사상에 따라 \mathfrak g=\mathfrak{lie}(G)가 되는 단일 연결 리 군 G를 정의할 수 있다. 그렇다면, \mathfrak g^*는 물론 리 군 G의 표현
:\operatorname{Ad}^*_G \colon G \to \operatorname{GL}(\mathfrak g^*)
을 갖춘다. 구체적으로, 임의의 g\in G 및 x\in\mathfrak g^*에 대하여,
:\operatorname{Ad}^*_G(g)x \colon \mathfrak g \to \mathbb R
:\operatorname{Ad}^*_G(g)x \colon \xi \mapsto x(\operatorname{Ad}_G(g^{-1})\xi)
이다. 여기서 \operatorname{Ad}_G \colon G \to \operatorname{GL}(\mathfrak g)는 딸림표현이다.

\mathfrak g^*의 심플렉틱 잎들은 \mathfrak g^* 속의, G의 작용에 대한 궤도에 해당한다. 이를 **쌍대딸림표현 궤도**()라고 한다.

### 멱영군의 경우
G가 연결 단일 연결 멱영 리 군이라고 하자. 그렇다면, G의 유니터리 기약 표현들의 집합은 \mathfrak{lie}(G)^*의 쌍대딸림궤도들의 집합과 표준적으로 일대일 대응을 갖는다. 구체적으로, 어떤 쌍대딸림궤도 X가 주어졌다고 하자. 이는 심플렉틱 다양체이며, 기하학적 양자화를 통해 G의 유니터리 표현을 갖는 복소수 힐베르트 공간을 구성할 수 있는데, 이것이 쌍대딸림궤도에 대응하는 유니터리 기약 표현이다.

또한, 이 경우 표현 \rho의 지표는 X의 부피 형식의 (분포로서의) 푸리에 변환으로 주어진다.

### 콤팩트 군의 경우
G가 연결 단일 연결 콤팩트 리 군이라고 하자. 그렇다면, G의 쌍대딸림표현 궤도들은 G의 바일 방의 점과 일대일 대응한다.

콤팩트 리 군의 경우, 다음과 같은 지표 공식이 존재한다. 다음이 주어졌다고 하자.
* 콤팩트 리 대수 (반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합) \mathfrak g
* \mathfrak g의 카르탕 부분 대수 \mathfrak h
* \mathfrak h의 양근 집합 \{\alpha^1,\dotsc,\alpha^{\dim\mathfrak g/2}\} \subseteq \mathfrak h^*
* 기약 표현 \pi\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)
* \pi의 최고 무게 \lambda \in \mathfrak h^*
그렇다면,
:\rho = \frac12\sum_{i=1}^{\dim\mathfrak g/2} \alpha^i
가 모든 양근의 합의 절반이라고 하자. 궤도
:\operatorname{Orbit}(\lambda+\rho) \subseteq \mathfrak g^*
는 심플렉틱 다양체를 이루며, 따라서 그 위에 심플렉틱 형식의 거듭제곱인 부피 형식 \mu_{\lambda+\rho}가 존재한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.
:(\det(\mathrm D\exp|_\xi))^{1/2} \operatorname{tr}_V\pi(\exp\xi) = \int_{\operatorname{Orbit}(\lambda+\rho)} \exp(\mathrm i\langle x|\xi\rangle) \mu_{\lambda+\rho}
여기서
* \det(\mathrm D\exp|_\xi) = \operatorname{sinh}(\operatorname{ad}(\xi/2))/\operatorname{ad}(\xi/2)는 리 지수 사상 \mathfrak g \to G의, \xi\in\mathfrak g에서의 야코비 행렬 \mathrm D\exp|_\xi \in \mathfrak g^* \otimes \mathrm T_{\exp\xi}G의 행렬식이다.

### 고리 리 대수
단일 연결 반단순 리 군 G의 리 대수 \mathfrak g를 생각하자. 그렇다면, 매끄러운 함수로 구성된 고리 공간
:\mathrm LG = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,G)
은 표준적인 프레셰 다양체 구조를 갖는다. 이에 대응되는 프레셰 공간인 리 대수
:\mathrm L\mathfrak g = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,\mathfrak g)
를 생각하자. (그 위의 리 괄호는 점별로 리 괄호를 취한 것이다.) 푸리에 변환을 통하여
:\mathfrak g \otimes \mathbb C[z,z^{-1}] \subseteq \mathrm L\mathfrak g
이며, 우변은 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 간주할 수 있다.

원 \mathbb S^1은 평행화 가능 다양체이므로, 그 방향을 골라
:\mathrm L\mathfrak g \cong \Omega^1(\mathbb S^1;\mathfrak g^*)
으로 놓을 수 있다. 또한, \mathfrak g의 킬링 형식을 사용하여 \mathfrak g^* \cong \mathfrak g이므로
:(\mathrm L\mathfrak g)^* \cong \Omega^1(\mathbb S^1;\mathfrak g)
이다. 이 공간
: (\mathrm L\mathfrak g)^* = \Omega^1(\mathbb S^1;\mathfrak g)
은 원 위의 자명한 G-주다발의 주접속의 공간으로 해석할 수 있다. 이 경우, \mathrm LG는 원 위의 게이지 변환군으로 해석할 수 있으며, 선형 푸아송 다양체 \mathrm L\mathfrak g^* 위의 작용은 게이지 변환에 해당한다. 즉, 그 심플렉틱 잎들은 원 위의 자명한 주다발의 주접속의 게이지 변환 동치류들의 공간 G/\!/G이다.

## 예
### 아벨 리 군
아벨 리 대수 \mathfrak g를 생각하자. 그렇다면, \mathfrak g^* 위의 푸아송 다양체 구조는 상수 함수 0이며, 그 심플렉틱 잎은 모두 한원소 공간이다.

구체적으로,
:\mathfrak g = \mathbb R^n
이라고 하자. 이에 대응하는 단일 연결 리 군 G = \mathbb R^n은 (자명하게) 멱영 리 군이다. 이는 아벨 군이므로, 그 유니터리 기약 표현은 모두 1차원이며, 다음과 같은 꼴이다.
:(t^1,\dotsc,t^n) \cdot z \mapsto \exp(\mathrm i\alpha_1t^1+\mathrm i\alpha_2t^2+\dotsb+\mathrm i\alpha_nt^n) z
이 기약 표현은 점 (\alpha_1,\alpha_2,\dotsc,\alpha_n) \in \mathfrak g^*으로 구성된 한원소 공간인 심플렉틱 잎에 대응된다. 그 지표
:\chi_{(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)}(t_1,\dotsc,t_n) = \exp(\mathrm i\alpha_1t^1 + \dotsb + \mathrm i\alpha_nt^n)
는 부피 형식((\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)에서의 디랙 델타)의 푸리에 변환이다.

### SU(2)
\mathfrak g = \mathfrak o(3)(3차원 직교군의 리 대수)라고 하자. 이는 3차원 벡터 공간이다. (\mathfrak g가 반단순 리 대수이므로, 킬링 형식 B(-,-)에 의하여 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재한다.) 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같은 꼴이다.
:\mathbb S^2_r = \{v \in \mathfrak g \colon |B(v,v)| = r^2 \} \qquad (r\in[0,\infty))
즉, 이는 음이 아닌 실수 반지름 r의 구이다. 이는 \operatorname{SU}(2)의 바일 방인 반직선과 일대일 대응한다.

r>0일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며, r=0일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다. 2차원 심플렉틱 잎의 심플렉틱 형식은 구면 좌표계 (r,\theta,\phi)에서
:\omega_r = \frac r{2\pi}\sin\theta\,\mathrm d\phi\wedge\mathrm d\theta
이다. 즉, 구면의 넓이 원소에 비례한다.

이 경우, 최고차 무게는 스핀이며, 양의 정수 × ½의 꼴이다. 유일한 양근은 1\in\mathbb R에 해당하며, \rho = 1/2이다.

이 경우, 스핀 \lambda\in\{1/2,1,3/2,2,\dotsc\}에 대하여,
:\operatorname{Orbit}(\lambda+\rho) = \{x\in\mathbb R^3\colon \|x\|= \lambda+1/2\}
이며,
:\int_{\|x\|=2\lambda+1/2} \exp(\mathrm i\langle x,\xi\rangle) \omega_{\lambda+1/2} 
=\frac{\lambda+1/2}{2\pi}\int_0^2\pi\mathrm d\phi\int_0^\pi\mathrm d\theta\,\sin\theta
\exp(2\mathrm i\xi(\lambda+1/2)\cos\theta)
=\frac{\sin((2\lambda+1)\xi)}{\xi}
이다.

여기서 정적분
:\int_0^\pi \sin\theta \exp(\mathrm ir\cos\theta) = \frac{2\sin r}r
을 사용하였다.

이 경우, 야코비안은
:\det \mathrm D\exp|_{\operatorname{diag}(\mathrm i\xi,-\mathrm i\xi)} = \frac{\sin\xi}\xi
이다.

즉, 스핀 \lambda에 대응하는 군 표현의 지표는 다음과 같다.
:\operatorname{tr} \lambda
(\operatorname{diag}(\exp(\mathrm i\xi),\exp(-\mathrm i\xi)))
= \frac{\sin((2\lambda+1)\xi)}{\sin\xi}
사실, 스핀 \lambda의 차원의 경우, 표현의 대각선의 성분은 구체적으로
:\operatorname{tr} \lambda
(\operatorname{diag}(\exp(\mathrm i\xi),\exp(-\mathrm i\xi)))
= \exp(2\mathrm i\lambda)\xi)
+ \exp(2\mathrm i(\lambda-1)\xi)
+ \dotsb + \exp(-2\mathrm i\lambda\xi)
가 된다. 이 경우, 기하 급수의 합을 취하면 키릴로프 지표 공식이 성립하는 것을 확인할 수 있다.

### 하이젠베르크 군
단일 연결 멱영 리 군인 하이젠베르크 군
:\operatorname{Heis}(3;\mathbb R) = \left\{
\begin{pmatrix}
1&a&c\\
0&1&b\\
0&0&1
\end{pmatrix}\colon a,b,c\in\mathbb R
\right\}
을 생각하자. 그 실수 리 대수는 다음과 같은 꼴의 행렬로 구성된다.
:\mathfrak{heis}(3;\mathbb R) = \left\{
\begin{pmatrix}
0&a&c\\
0&0&b\\
0&0&0
\end{pmatrix}\colon a,b,c\in\mathbb R
\right\}
3×3 실수 행렬의 공간 위에 내적
:\langle X|Y\rangle = \operatorname{tr}(XY)
을 사용한다면, \mathfrak{heis}(3;\mathbb R)의 쌍대 공간은 3×3 실수 행렬의 내적 공간 \operatorname{Mat}(3;\mathbb R) 속에서 다음과 같은 직교 여공간으로 표현된다.
:\mathfrak{heis}(3;\mathbb R)^\perp = \left\{
\begin{pmatrix}
0&x&y\\
0&0&z\\
0&0&0
\end{pmatrix}\colon x,y,z\in\mathbb R
\right\} = \{M\in\operatorname{Mat}(3;\mathbb R)\colon \operatorname{tr}(
이 위의 쌍대딸림표현은 다음과 같다.
:
\operatorname{ad}^*\left(\begin{pmatrix}
1&a&c\\
0&1&b\\
0&0&1
\end{pmatrix}\right) \colon \begin{pmatrix}
0&x&y\\
0&0&z\\
0&0&0
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
0&x-ay&y\\
0&0&z+by\\
0&0&0
\end{pmatrix}

따라서, 그 궤도(심플렉틱 잎)는 다음 두 종류가 있다.
* y = 0인 점은 군의 작용의 고정점이다. 이 경우, 심플렉틱 잎은 0차원이다. 이는 \operatorname{Heis}(3;\mathbb R)의 표현 가운데, 아벨 몫군 \mathbb R \times\mathbb R의 표현으로 유도되는 것에 해당한다.
* y \ne 0일 때, 궤도는 (\mathbb R,y,\mathbb R)의 꼴이다. 즉, 심플렉틱 잎은 2차원이며, 그 위의 심플렉틱 형식 \mathrm dx\wedge\mathrm dz / y은 2차원 유클리드 부피 형식에 비례한다. 이는 \operatorname{Heis}(3;\mathbb R)의 표현 가운데, 메타플렉틱 표현에 해당한다. 이 경우, y는 메타플렉틱 표현을 결정하는 중심 원소의 값에 대응한다.

## 역사
선형 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎과 기약 표현 사이의 관계는 알렉산드르 알렉산드로비치 키릴로프(, 1936〜)가 1961년에 발견하였다.

## 각주

## 외부 링크
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