비트 벡터

가환대수학에서 **비트 벡터 환**(Witt vector環, )은 주어진 가환환 속의 열들의 집합 위에 줄 수 있는 특별한 가환환 구조이다. ''p''진 정수환의 일반화이다.

## 정의
**비트 다항식**()들은 다음과 같은 다항식열이다.
:W_n(x_1,\dots,x_n)=\sum_{d\mid n}dx_d^{n/d}\in\mathbb Z[x_1,x_2,\dots,x_n]\qquad\forall n\in\mathbb Z^+

가환환 R가 주어졌을 때, R 속의 열의 집합 R^{\mathbb Z^+} 위에 다음과 같은 자기 함수를 정의할 수 있다.
:W_{n,R}\colon R^{\mathbb Z^+}\to R^{\mathbb Z^+}
:W_R\colon(r_1,r_2,\dots)\mapsto\left(W_1(r_1),W_2(r_1,r_2),W_3(r_1,r_2,r_3),\dots\right)
그렇다면, 다음 두 조건을 만족시키는 다항식들
:p^{(i)}\in\mathbb Z[x_1,\dots,y_1,y_2,\dots]\qquad\forall i\in\mathbb Z^+
:s^{(i)}\in\mathbb Z[x_1,\dots,y_1,y_2,\dots]\qquad\forall i\in\mathbb Z^+
이 유일하게 존재한다.
* \vec w+\vec w'=(s^{(1)}(\vec w,\vec w'),s^{(2)}(\vec w,\vec w'),\dots) 및 (\vec w)(\vec w')=(p^{(1)}(\vec w,\vec w'),p^{(2)}(\vec w,\vec w'),\dots)를 정의하였을 때, R^{\mathbb Z^+}은 환을 이룬다. 이 환을 \operatorname{WittVector}(R)이라고 하자.
* W\colon\operatorname{WittVector}(R)\to R^{\mathbb Z^+}는 환 준동형을 이룬다. 여기서 정의역은 위에서 정의한 환 구조이며, 공역 R^{\mathbb Z^+}은 가환환 R의 가산 무한 개 직접곱이다.
이 가환환을  **<math>R</math> 계수의 비트 벡터 환**()이라고 한다.

비트 벡터 환은 가환환의 범주 위의 자기 함자를 이룬다.
:\operatorname{WittVector}\colon\operatorname{CRing}\to\operatorname{CRing}

### ''p''-비트 벡터
가환환 R와 집합
:1\in S\subseteq\mathbb Z^+
이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
:d\mid n,\;n\in S\implies d\in S
(즉, S는 약수에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 그렇다면, 비트 벡터 환의 환 준동형
:W\colon\operatorname{WittVector}(R)\to R^{\mathbb Z^+}
에서, 아이디얼
:R^S\subseteq R^{\mathbb Z^+}
의 원상
:W^{-1}(R^S)=\operatorname{WittVector}_p(R)\subseteq\operatorname{WittVector}(R)
을 생각하자. 이 역시 곱셈에 대하여 가환환을 이루며, 이를 **<math>R</math> 계수의 <math>S</math>-비트 벡터 환**()이라고 한다. (그러나 이는 \operatorname{WittVector}(R)의 항등원을 포함하지 않으므로, \operatorname{WittVector}(R)의 부분환이 아니다.) 그 위에는 마찬가지로 환 준동형
:(W_i)_{i\in S}\colon\operatorname{WittVector}_S(R)\to R^S\cong R^{\mathbb Z^+}
이 존재한다. 이들 역시 다음과 같은 자기 함자를 정의한다.
:\operatorname{WittVector}_S\colon\operatorname{CRing}\to\operatorname{CRing}
특히, 소수 p에 대하여, S=\{1,p,p^2,p^3,\dots\}일 경우를 **<math>R</math> 계수의 <math>p</math>-비트 벡터 환**()이라고 한다. 또한, 소수 p 및 양의 정수 n에 대하여, S=\{1,p,p^2,\dots,p^n\}일 경우를 **<math>R</math> 계수의 길이 <math>n</math>의 <math>p</math>-비트 벡터 환**()이라고 한다.

구체적으로, *p*-비트 벡터의 연산은 다음과 같다.
:\vec r+\vec s=\left(r_0+s_0,r_1+s_1+(r_0^p+s_0^p-(r_0+s_0)^p)/p,\dots\right)
:\vec r\vec s=\left(r_0s_0,r_0^ps_1+s_1r_0^p+pr_1s_1,\dots\right)

## 성질
S-비트 벡터 환 위의 표준적 환 준동형
:W_S\colon\operatorname{WittVector}_S(R)\to R^S
및 유일한 환 준동형
:\iota\colon\mathbb Z\to R
을 생각하자.
* 만약 \iota(S)\subseteq R^\times이라면 (즉, S의 모든 원소들이 R에서 가역원이라면), W_S는 전단사 함수이다.
* 만약 \iota(S)\subseteq R가 모두 영인자가 아니라면, W_S는 단사 함수이다.

가환환 R 위의 비트 벡터 \operatorname{WittVector}(R)=\operatorname{WittVector}_{\mathbb Z^+}(R)는 표준적으로 람다 환의 구조를 갖는다.

## 예
만약 S=\{1\}일 경우, \operatorname{WittVector}_{\{1\}}(R)\cong R이다.

### p진 정수
소수 p에 대하여, 유한체 \mathbb F_p 위의 p-비트 벡터 환은
<math>p</math>진 정수환 \mathbb Z_p과 동형이다.

구체적으로,
<math>p</math>진 정수환 \mathbb Z_p의 **타이히뮐러 대표원**의 집합은 0 및 \mathbb Z_p 속의 1의 <math>p</math>제곱근 가운데 1이 아닌 것들로 구성된다.
:\{0\}\cup\{x\in\mathbb Z_p\colon x^p=x\ne1\}
(이들은 헨젤 보조정리에 의하여 항상 존재한다.) 몫환 사영 사상
:f\colon\mathbb Z_p\to\mathbb Z_p/(p)\cong\mathbb F_p
아래
:f|_{\{0\}\cup\{x\in\mathbb Z_p\colon x^p=x\ne1\}}\colon\{0\}\cup\{x\in\mathbb Z_p\colon x^p=x\ne1\}\to\mathbb F_p
는 전단사 함수를 이루며, 따라서 타이히뮐러 대표원들의 집합은 유한체 \mathbb F_p로 여길 수 있다. 타이히뮐러 대표원들을 사용하여, 모든 <math>p</math>진 정수는 다음과 같은 형식적 멱급수로 나타낼 수 있다.
:a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots\qquad(a_i\in\{0\}\cup\{x\in\mathbb Z_p\colon x^p=x\ne1\}\forall i\in\mathbb N)
그렇다면, <math>p</math>진 정수의 합과 곱은 비트 벡터의 합과 곱으로 주어진다.

## 역사
에른스트 비트가 1936년에 아르틴-슈라이어-비트 이론(표수 p>0의 체 위의 p^n차 순환 확대의 이론)을 전개하기 위하여 도입하였다.

## 각주

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## 외부 링크
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분류:가환대수학