폰트랴긴 특성류

위상수학에서 **폰트랴긴 특성류**(Понтрягин特性類, )는 실수 벡터 다발의 특성류의 하나다. 그 복소화의 천 특성류로 정의할 수 있다.

## 정의
E가 매끄러운 다양체 M 위의 n차원 실수 벡터 다발이라고 하자. 실수 벡터 다발 E가 \operatorname{SO}(n)-주다발인 틀다발 P\twoheadrightarrow M의 연관 벡터 다발이라고 하자.

### 구체적 정의
P의 주곡률 F를 정의할 수 있다. 이는 리 대수 <math>\mathfrak{so}(\dim E)</math>의 값을 갖는 2차 미분 형식이다.

그렇다면 다음과 같은 생성 함수를 생각할 수 있다.
:\det(I+tF/2\pi)=\sum_{k=0}^\infty t^{2k}p_k(E).
우변에서 k가 홀수인 항들은 F의 반대칭성에 의하여 사라진다. p_k는 미분 형식으로 간주하면 E의 틀다발에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지는 천-베유 이론()에 따라서 틀다발에 의존하지 않는다는 사실을 보일 수 있다. 즉, 코호몰로지 원소 p_k\in H^{4k}(M,\mathbb Q)는 실수 벡터 다발 E의 위상수학적 불변량이다. 이를 k차 **폰트랴긴 특성류**라고 한다.

**총 폰트랴긴 특성류**() p는 모든 차수들의 폰트랴긴 특성류의 합이다. 즉
:p=\sum_{k=0}^\infty p_k(E)=\det(I+F/2\pi)\in H^\bullet(M,\mathbb Q)
이다.

### 추상적 정의
\operatorname O(n)-주다발 P는 분류 공간 \operatorname{BO}(n)으로 가는 연속 함수
:f \colon M \to \operatorname{BO}(n)
의 호모토피류로 분류된다. 그런데 직교군은 유니터리 군의 부분군이다.
:\iota\colon\operatorname O(n) \hookrightarrow \operatorname U(n)
따라서 이에 대응되는 분류 공간 사이의 함수가 존재한다.
:\mathrm B\iota\colon\operatorname{BO}(n) \to \operatorname{BU}(n)
(이는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.) \operatorname{BU}(n) 위에는 천 특성류에 해당하는 코호몰로지류
:c_k \in \operatorname H^{2k}(\operatorname{BU}(n))
가 존재한다. 이를 당김으로서 \operatorname{BO}(n) 위에 정의할 수 있는데, 이 경우
:(\mathrm B\iota)^*c_{2k+1} = 0 \in \operatorname H^{4k+2}(\operatorname{BO}(n))
이다. 즉, 짝수 차수 천 특성류만이 살아남으며, 이를 (역사적인 이유로 부호를 붙이면) **폰트랴긴 특성류**라고 한다.
:p_k = (-)^k (\mathrm B\iota)^*c_{2k} \in \operatorname H^{4k}(\operatorname{BO}(n))
이 경우, E의 폰트랴긴 특성류는 분류 공간 위의 폰트랴긴 특성류의 당김
:p_k(E) = f^*p_k \in \operatorname H^{4k}(M)
이다.

## 성질
서로 위상 동형인 다양체는 같은 유리수 폰트랴긴 특성류를 갖는다. 즉, 폰트랴긴 특성류는 매끄러움 구조에 의존하지 않는다.

### 천 특성류와의 관계
폰트랴긴 특성류는 실수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이고, 천 특성류는 복소수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이다. 이 사이에는 일련의 관계가 존재한다.

직교군과 유니터리 군 사이에는 다음과 같은 표준적인 포함 관계가 존재한다.
:\operatorname O(n) \,\overset\iota\hookrightarrow\, \operatorname U(n) \,\overset{\iota'}\hookrightarrow\, \operatorname O(2n)
이는 분류 공간 사이의 연속 함수(의 호모토피류)
:\operatorname{BO}(n) \,\overset{\mathrm B\iota}\hookrightarrow\, \operatorname{BU}(n) \,\overset{\mathrm B\iota'}\hookrightarrow\, \operatorname{BO}(2n)
를 정의한다. 이에 대하여, 천 특성류와 폰트랴긴 특성류 사이의 관계는 다음과 같다.
:\operatorname p_k = (-) (\mathrm B\iota)^* \operatorname c_k \in \operatorname H^{4k}(\operatorname{BO}(n))
:(-)^k(\mathrm B\iota')^*\operatorname p_k = \sum_{i+j=2k} (-)^i \operatorname c_i \operatorname c_j \in \operatorname H^{4k}(\operatorname{BU}(n))

이를 벡터 다발의 언어로 번역하면 다음과 같다.
* 사상 \mathrm B\iota\colon \operatorname{BO}(n)\to\operatorname{BU}(n)는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.
* 사상 \mathrm B\iota'\colon \operatorname{BU}(n)\to\operatorname{BO}(2n)은 복소수 벡터 다발에서 복소구조를 잊는 것에 해당한다.
즉, 실수 벡터 다발 E의 폰트랴긴 특성류는 그 다발의 복소화 E\otimes\mathbb C의 천 특성류로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:\operatorname p_k(E)=(-)^k\operatorname c_{2k}(E\otimes\mathbb C)\in\operatorname H^{4k}(M)
천 특성류 c_k는 2k차 코호몰로지 원소이므로, 폰트랴긴 특성류 p_k는 4k차 코호몰로지 원소이다. (E\otimes\mathbb C의 홀수차 천 특성류는 슈티펠-휘트니 특성류으로 나타낼 수 있다.)

반대로, 복소수 벡터 다발 E의 (복소구조를 잊었을 때) 폰트랴긴 특성류는 그 천 특성류로부터 다음과 같이 주어진다.
:\operatorname p_k(E) = (-)^k \sum_{i+j=2k}(-)^i\operatorname c_i(E)\operatorname c_j(E) \in \operatorname H^{4k}(M)

### 분수 폰트랴긴 특성류
M 위의 n차원 유향 실수 벡터 다발 E의 **[[스핀 구조]]**는 그 구조군을 특수 직교군에서 스핀 군으로 올리는 것이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림에 해당한다.
:\begin{matrix}
&& \operatorname{BSpin}(n) \\ 
& \nearrow & \scriptstyle{\!\!\!\!\!\color{White}\mathrm Bq\;}\downarrow \scriptstyle{\;\mathrm Bq\!\!\!\!\!}\\
M & \to & \operatorname{BSO}(n) \\
\end{matrix}
여기서 \mathrm Bq는 몫사상
:q \colon \operatorname{Spin}(n) \twoheadrightarrow \operatorname{SO}(n)
에 대응하는, 분류 공간 사이의 사상
:\mathrm Bq\colon \operatorname{BSpin}(n) \to \operatorname{BSO}(n)
이다.

이 경우, 스핀 군은 단일 연결 단순 리 군이므로
:\pi_i(\operatorname{Spin}(n)) = 0\qquad(i
:\pi_3(\operatorname{Spin}(n)) = \mathbb Z
이다. 따라서, 스핀 군의 분류 공간의 호모토피 군은
:\pi_i(\operatorname{BSpin}(n)) = 0 \qquad(i
:\pi_4(\operatorname{Spin}(n)) = \mathbb Z
이므로, 후레비치 준동형이 동형이며,
:\operatorname H^4(\operatorname{BSpin}(n)) = \mathbb Z
이다. 따라서, 그 생성원을 \alpha라고 하자. 그렇다면,
:(\mathrm Bq)^*\operatorname p_1 = 2\alpha \in \operatorname H^4(\operatorname{BSpin}(n))
임을 보일 수 있다. 따라서, 이를 사용하여,
:\operatorname p_1(E) = 2 \cdot (\tfrac12\operatorname p_1(E)) \in 2\operatorname H^4(M)
가 되는 특성류
:\tfrac12\operatorname p_1(E) \in \operatorname H^4(M)
를 정의할 수 있다. 이를 **1차 분수 폰트랴긴 특성류**(一次分數Понтрягин特性類, )라고 한다.

마찬가지로, 만약 E가 **끈 구조**()를 갖는다면, 즉 만약 가환 그림
:\begin{matrix}
&& \operatorname{BString}(n) \\ 
& \nearrow & \scriptstyle{\!\!\!\!\!\color{White}\mathrm Bq\;}\downarrow \scriptstyle{\;\mathrm Bq\!\!\!\!\!}\\
M & \to & \operatorname{BSO}(n) \\
\end{matrix}
이 존재한다면, **2차 분수 폰트랴긴 특성류**(二次分數Понтрягин特性類, )
:\tfrac16\operatorname p_2(E) \in \operatorname H^8(E)
가 존재한다. 여기서 \operatorname{String}(n)은 끈 군이다.

## 예
낮은 차수의 폰트랴긴 특성류는 다음과 같다.
:\operatorname p_0=1
:\operatorname p_1=-\frac1{2(2\pi)^2}\operatorname{tr} F^2
:\operatorname p_2=\frac1{8(2\pi)^4}\left((\operatorname{tr} F^2)^2-2\operatorname{tr} F^4\right)

## 역사
러시아의 수학자 레프 폰트랴긴이 1947년에 정의하였다. 세르게이 노비코프가 1966년에 폰트랴긴 특성류가 위상수학적 불변량이라는 사실을 증명하였다.

## 같이 보기
* 천-사이먼스 형식
## 각주

## 외부 링크
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분류:미분위상수학
분류:특성류