에일렌베르크-매클레인 공간

대수적 위상수학에서 **에일렌베르크-매클레인 공간**(-空間, )은 주어진 특정 차수의 호모토피 군을 제외하고 다른 호모토피 군이 모두 자명군인 위상 공간이다.

## 정의
군 G 및 양의 정수 n\in\mathbb Z^+에 대하여, **에일렌베르크-매클레인 공간** K(G,n)은 다음과 같은 호모토피 군을 갖는 위상 공간이다.
:\pi_k(K(G,n))=\begin{cases}G&k=n\\1&k\ne n\end{cases}
만약 n>1이라면, G는 아벨 군이어야만 한다. 이러한 성질을 갖는 공간은 항상 존재하며, 항상 CW 복합체로 잡을 수 있으며, 약한 호모토피 동치를 무시하면 유일하다.

주어진 아벨 군 G에 대하여, 고리 공간 함자 L을 통해
:\cdots\xrightarrow LK(G,2)\xrightarrow LK(G,1)\xrightarrow K(G,0)
을 정의할 수 있다. 이는 스펙트럼을 이루며, **에일린베르크-매클레인 스펙트럼**이라고 한다. 이는 G 계수의 코호몰로지를 나타내는 스펙트럼이다.

## 구성
임의의 군 G 및 양의 정수 n이 주어졌으며, 만약 n>1이라면 G가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면
K(G,n)는 다음과 같이 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.

### CW 복합체를 통한 구성
K(G,n)을 이루는 CW 복합체를 다음과 같이 구성할 수 있다.

우선, n차원 초구들의 쐐기합의 n차 호모토피 군은 n=1일 경우 자유군이고, n>1일 경우 자유 아벨 군이다.
:\pi_1\left(\bigvee_I\mathbb S^1\right)\cong\langle I\rangle
:\pi_n\left(\bigvee_I\mathbb S^n\right)\cong\mathbb Z^{\oplus I}

군 G의 표시
:G\cong \langle I| (R_j)_{j\in J}\rangle\qquad(R_j\in F(I)
를 임의로 고르자. 여기서 F(I)는 n=1일 경우 집합 I 위의 자유군이며 n>1일 경우 집합 I 위의 자유 아벨 군이다. 그렇다면, n차원 초구들의 쐐기합
:X_n=\bigvee_{i\in I}\mathbb S^n
을 생각하자. 각 j\in J에 대하여, R_j\in F(I)\cong \pi_n(X_1)에 대응하는 사상
:f_j\colon\mathbb S^n\to\pi_n(X_1)
을 고르자. 이 사상을 따라, n+1차원 세포들을 붙여 CW 복합체 X_{n+1}을 만들 수 있다. 그렇다면
:\pi_i(X_{n+1})=0\qquad\forall i
:\pi_n(X_{n+1})\cong G
이다. 그러나 X_{n+1}은 자명하지 않은 고차 호모토피 군을 가질 수 있다.

이를 차례로 다음과 같이 없앨 수 있다.
* \pi_{n+1}(X_{n+1})의 생성원들을 골라, 그 수만큼 n+2차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 X_{n+2}라고 하자.
* \pi_{n+2}(X_{n+2})의 생성원들을 골라, 그 수만큼 n+3차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 X_{n+3}라고 하자.
* ⋮
이와 같이 계속하여 모든 n에 대하여 X_n을 정의한 뒤, 그 귀납적 극한
:X_\infty=\varinjlim_{n\to\infty}X_n
을 취하자. 그렇다면 X_n은 K(G,n)을 이룬다.

### 분류 공간을 통한 구성
군 G에 이산 위상을 주자. 그렇다면, 분류 공간 \operatorname BG는 1차 에일렌베르크-매클레인 공간
:\operatorname BG\simeq K(G,1)
을 이룬다.  이러한 분류 공간은 다음과 같이 단체 복합체로 구성할 수 있다. 우선, \operatorname EG가 다음과 같은 무한 차원 단체 복합체라고 하자.
* \operatorname EG의 n차원 단체의 집합은 G^{n+1}이다.
* [g_0,\dots,g_n]\in G^{n+1}은 각 i에 대하여 면 [g_0,\dots,\hat g_i,\dots,g_n]\in G^n과 붙여져 있다.
이는 축약 가능 공간이다. \operatorname EG 위에는 다음과 같은 G의 작용이 존재한다.
:g\colon \operatorname EG\to\operatorname EG
:g\colon (g_0,\dots,g_n)\mapsto (gg_0,\dots,gg_n)
이에 따라 몫공간 \operatorname BG=\operatorname EG/G를 정의할 수 있다. 정의에 따라 이는 \pi_1(\operatorname BG)\cong G이며 고차 호모토피 군을 갖지 않는다.

마찬가지로 고차 에일렌베르크-매클레인 공간도 유사한 방법으로 정의할 수 있다.

## 성질
다음이 성립한다.
:K(G,n)\times K(H,n)\simeq K(G\times H,n)
:K(G,n-1)\simeq \Omega K(G,n)
여기서 \Omega X는 X 위의 고리 공간()이다.

에크먼-힐튼 쌍대성() 및 브라운 표현 정리에 따라, 코호몰로지는 에일렌베르크-매클레인 스펙트럼에 의하여 표현된다.
:\operatorname{H}^n(X;G)\cong\hom_{\operatorname{hTop}_\bullet}\left(X,K(G,n)\right)
특히,
:\operatorname H^1(X;\mathbb Z)\cong\hom_{\operatorname{hTop}_\bullet}\left(X,\mathbb S^1\right)
:\operatorname H^2(X;\mathbb Z)\cong\hom_{\operatorname{hTop}_\bullet}\left(X,\mathbb{CP}^\infty\right)
이다.
* 첫 등식은 \operatorname S^1이 무한 순환군의 분류 공간 \operatorname B\mathbb Z이므로, \mathbb Z-주다발은 1차 코호몰로지류에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, f\colon X\to\mathbb S^1에 대응하는 코호몰로지류는 \mathbb S^1의 유일한 1차 코호몰로지류의 당김이다.
* 둘째 등식은 \mathbb{CP}^1이 원군의 분류 공간 \operatorname B\operatorname U(1)이므로, U(1)-주다발 (복소수 선다발)은 2차 코호몰로지류 (천 특성류)에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, f\colon X\to\mathbb{CP}^\infty에 대응하는 코호몰로지류는 \mathbb{CP}^\infty의 2차 코호몰로지 \operatorname H^2(\mathbb{CP}^\infty)\cong\mathbb Z의 생성원의 당김이다.

## 예
대표적인 에일렌베르크-매클레인 공간으로는 다음이 있다.

유한 차수 원소를 갖는 군 G에 대하여, K(G,1)은 유한 차원 CW 복합체가 될 수 없다.

## 역사
사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 도입하였다.

## 같이 보기
* 포스트니코프 탑
* 무어 공간 (대수적 위상수학)

## 각주

## 외부 링크
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분류:호모토피 이론