나카지마 화살집 다양체

대수기하학과 그래프 이론에서 **나카지마 화살집 다양체**([中島]화살집多樣體, )는 화살집에 대응되는 특별한 초켈러 다양체이다. 카츠-무디 대수의 표현론과 관련되어 있다.

## 정의
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 화살집 \Gamma
* 각 꼭짓점 i\in \operatorname V(\Gamma)에 대하여, 두 유한 차원 복소수 벡터 공간 V_i, W_i
그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간을 정의할 수 있다.
:E = \bigoplus_{i\in\operatorname V(\Gamma)} (\hom(V_i,W_i)) \oplus \bigoplus_{i,j\in\operatorname V(\Gamma),\;e\in\hom_\Gamma(i,j)}\hom(V_i,V_j)
그 차원은
:\dim V_i = v_i
:\dim W_i = w_i
로 놓고, \mathbb C^{\operatorname V(\Gamma)} 위의 브라-켓 표기법을 사용하면
:\dim_{\mathbb C}E = \langle v|\mathsf A(\Gamma)|v\rangle + \langle v|w\rangle
이다. 여기서 \mathsf A(\Gamma)는 \Gamma의 인접 행렬이다. 만약 (V_i,W_i)_{i\in\operatorname V(\Gamma)}에 각각 복소수 내적 공간의 구조를 부여하면, E 역시 복소수 내적 공간이 된다. 또한,
:\mathrm T^*E \cong E \oplus E^*
= \bigoplus_{i\in\operatorname V(\Gamma)} (\hom(V_i,W_i)\oplus\hom(W_i,V_i)) \oplus \bigoplus_{i,j\in\operatorname V(\Gamma),\;e\in\hom_\Gamma(i,j)} (\hom(V_i,V_j)\oplus\hom(V_j,V_i))
위에는 자연스럽게 사원수 벡터 공간의 구조가 주어진다.

이 위에는 대수군
:G = \prod_{i\in\operatorname V(\Gamma)} \operatorname{GL}(V_i;\mathbb C)
이 작용하며, 이는 \mathrm T^*E의 초켈러 다양체 구조와 호환된다. G의 작용의 운동량 사상
:\mu \colon \mathrm T^*E \to \mathfrak{lie}(G)^*
의 정귯값 \zeta\in\mathfrak{lie}(G)^*에 대하여 초켈러 몫
:E /\!/\!/ G
를 취할 수 있다. 이는 특이점을 가질 수 있으며, 기하 불변량 이론 몫을 취하여 준안정점이 아닌 점들을 버릴 수 있다. 이렇게 하여 얻는 복소수 대수다양체를 (\Gamma,(V_i,W_i)_{i\in\operatorname V(\Gamma)})의 **나카지마 화살집 다양체**라고 한다. 이는 흔히 \mathcal M(\Gamma,v,w)로 표기된다. 그 복소수 차원은
:\dim_{\mathbb C}\mathcal M(\Gamma,v,w)
=2(\langle v|(\mathsf A(\Gamma)-1)|v\rangle + \langle v|w\rangle)
이다. 여기서
:1-\mathsf A(\Gamma)
는 **일반화 카르탕 행렬**이라고 한다. (만약 \Gamma가 SU(2)의 유한 부분군의 매케이 화살집이라면, 이는 해당 ADE형 아핀 리 대수의 카르탕 행렬과 같다.)

## 성질
나카지마 화살집 다양체는 정의에 따라 항상 비(非)콤팩트 초켈러 다양체를 이룬다.

## 예
### ALE 공간
\Gamma가 SU(2)의 유한 부분군의 매케이 화살집(즉, 해당 ADE형의 확장 딘킨 도표)라고 하자. (여기서, 자명한 표현에 해당하는 꼭짓점을 버리지 않는다. 즉, 일반 딘킨 도표 대신 확장 딘킨 도표를 사용한다.) 이 경우, 인접 행렬 \mathsf A(\Gamma)는 대각 성분이 0인 정수 계수 대칭 행렬이다.

이제,
:|v\rangle\in(1-\mathsf A(\Gamma))=|1\rangle
:\langle1|v\rangle = 1
인 |v\rangle\in\mathbb C^{\operatorname V(\Gamma)}를 고를 수 있다. 여기서 |1\rangle\in\mathbb C^{\operatorname V(\Gamma)}은 자명한 표현에 대응되는 매케이 화살집 꼭짓점에 대한 단위 벡터이다. 확장 카르탕 행렬의 핵은 항상 1차원이므로, 이는 |v\rangle를 유일하게 결정한다. 그렇다면
:\mathcal M(|v\rangle,|1\rangle)
은 해당 유한 부분군에 대한 4차원 점근 국소 유클리드 공간()이다. 즉, 이 경우
:\dim_{\mathbb C}\mathcal M(\Gamma,|v\rangle,|1\rangle) = 2
이다.

이 경우, 초켈러 축소에 등장하는 매개 변수 \zeta \in \mathbb R^3는 ALE공간의 크기를 결정한다. \zeta\to0 극한은 ALE 공간이 오비폴드 \mathbb R^4/G로 가는 극한에 해당한다.

### ADHM 작도

\Gamma가 하나의 꼭짓점과 하나의 변을 갖는 화살집이라고 하자. 그렇다면,
:E = \hom(V,V) \oplus \hom(V,W) 
:\mathrm T^*E = \hom(V,V) \oplus \hom(V,V) \oplus \hom(V,W) \oplus \hom(W,V)
이다. 이 경우
:\dim_{\mathbb R}\mathcal M(v,w) = 4vw
인 초켈러 다양체를 얻는다. 이는 순간자수가 k인 \operatorname{SU}(w) 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간이며, 이는 ADHM 작도와 같다.

이 밖에도, ALE 공간 위의 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간도 위와 마찬가지로 주어진다. 이 경우 \Gamma는 SU(2) 유한 부분군 G 매케이 화살집이며, |v\rangle와 |w\rangle는 순간자의 각종 성질을 나타낸다. 구체적으로, w는 순간자가 기본군 \pi_1(\mathbb R^4/G) \cong G를 돌았을 때의 홀로노미를 묘사하며, v는 마찬가지로 각 홀로노미에 대한 순간자수를 묘사한다. 이 경우, 꼭짓점 기저는 G의 성분들의 “비아벨 푸리에 변환”에 해당한다.

### 원환 다양체
만약 모든 i\in\operatorname V(\Gamma)에 대하여 \langle i|v\rangle = 1이라면 (즉, 모든 V_i의 차원이 1이라면) 몫을 취하는 군은 원환면
:G = \operatorname U(1)^
이며, 이 경우 나카지마 화살집 다양체는 원환 다양체의 특수한 경우이다.

## 역사
나카지마 화살집 다양체들은 피터 크론하이머()와 나카지마 히라쿠(, 1962〜)가 1990년에 ALE 공간 위로 양-밀스 순간자의 ADHM 작도를 일반화하는 동안 최초로 등장하였다.
이후 1994년에 나카지마는 이 구성을 일반적 화살집에 대하여 일반화하였다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:대수다양체
분류:이론물리학
분류:그래프 이론