쿠라토프스키 모노이드

일반위상수학에서 **쿠라토프스키 모노이드**()는 주어진 위상 공간의 부분 집합 위의 폐포 · 내부 · 여집합 연산들로 구성된 모노이드이다.

## 정의
위상 공간 X가 주어졌다고 하자. 이제, 문자 \{\mathsf k,\mathsf c\}로 생성되는 자유 모노이드(클레이니 스타) \{\mathsf k,\mathsf c\}^*가 멱집합 \operatorname{Pow}(X) 위에 다음과 같이 작용한다고 하자.
:\mathsf k\colon S\mapsto\operatorname{cl}(S)
:\mathsf c\colon S\mapsto X\setminus S
즉, \mathsf k는 폐포 연산이며, \mathsf c는 여집합 연산이다.

이제, \operatorname{Pow}(X) 위에 똑같이 작용하는 연산들을 서로 동치로 간주하자.
:s\sim t\iff\forall S\subseteq X\colon s(S)=t(S)\qquad(s,t\in\{\mathsf k,\mathsf c\}^*)
이는 합동 관계를 이루며, 이에 대한 몫 모노이드 \{\mathsf k,\mathsf c\}^*/\sim를 X의 **쿠라토프스키 모노이드**()라고 한다.

## 분류
### 가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드
가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드는 14개의 원소를 가지며, 다음과 같은 세 항등식으로 정의된다. (\epsilon은 길이 0의 문자열이다.)
* (폐포의 멱등성) \mathsf{kk}=\mathsf k
* (여집합의 대합성) \mathsf{cc}=\epsilon
* (폐포의 내부의 정칙성) \mathsf{kckckck}=\mathsf{kck}
** 편의상, 내부 연산 \mathsf i=\mathsf{ckc}를 정의하면, 이는 \mathsf{ikik}=\mathsf{ik}와 나머지 두 항등식으로부터 함의된다. 즉, 이는 폐포의 내부가 항상 정칙 열린집합임을 나타낸다.
이 사실을 **쿠라토프스키 14개 집합 정리**(Kuratowski十四個集合定理, )라고 한다. 이 모노이드를 M_\text{K}라고 표기하자. 즉, 쿠라토프스키 14개 집합 정리에 등장하는 14개의 집합들은 다음과 같다.

그렇다면, 임의의 위상 공간의 임의의 부분 집합의 쿠라토프스키 모노이드는 M_\text{K}의 몫 모노이드이다.

이들 사이의 포함 관계는 다음과 같다.
:
\begin{matrix}
\operatorname{int}(\operatorname{cl}S)&\subset&\operatorname{cl}(\operatorname{int}(\operatorname{cl}S))&\subset&\operatorname{cl}S\\
\cup&&\cup\\
\operatorname{int}(\operatorname{cl}(\operatorname{int}S))&\subset&\operatorname{cl}(\operatorname{int}S)&&\cup\\
\cup\\
\operatorname{int}S&&\subset&&S
\end{matrix}

### 위상 공간의 가능한 쿠라토프스키 모노이드
임의의 위상 공간의 쿠라토프스키 모노이드는 다음 7가지 가운데 하나이다.
* ㈎ M_{\text{K}} (가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드)
* ㈏ 크기 10의 모노이드. 이는 \mathsf{kckck}=\mathsf{kckc}로 생성되는 합동 관계에 대한 M_{\text{K}}의 몫 모노이드이다.
* ㈐ 크기 10의 모노이드. 이는 \mathsf{kckck}=\mathsf{ckck}로 생성되는 합동 관계에 대한 M_{\text{K}}의 몫 모노이드이다.
* ㈑ 크기 8의 모노이드. 이는 \mathsf{ckck}=\mathsf{kckc}로 생성되는 합동 관계에 대한 M_{\text{K}}의 몫 모노이드이다.
* ㈒ 크기 6의 모노이드. 이는 \mathsf{kck}=\mathsf{ck}로 생성되는 합동 관계에 대한 M_{\text{K}}의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 모든 열린집합이 열린닫힌집합이지만 이산 공간이 아닌 것이다.
* ㈓ 크기 2의 모노이드 (2차 순환군). 이는 \mathsf k=\epsilon로 생성되는 합동 관계에 대한 M_{\text{K}}의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 공집합이 아닌 이산 공간인 것이다.
* ㈔ 크기 1의 모노이드 (자명군). 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가지는 위상 공간은 공집합 밖에 없다.

## 성질
### 조밀 집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합
M_\text{K}의 원소 s\in M_\text{K}에 대하여, s(S)=\varnothing이 되는 특별한 부분 집합 S\subseteq X을 생각할 수 있다. 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 6개가 있으며, 다음과 같다.

즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립함을 알 수 있다.
:조밀 집합의 여집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 공집합
:조밀 집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 공집합의 여집합

### 열린집합·닫힌집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합
마찬가지로, M_\text{K}의 원소 s\in M_\text{K}에 대하여, s(S)=S가 되는 특별한 부분 집합 S\subseteq X을 생각할 수 있다. s가 \mathsf c를 짝수 개 포함한다고 가정하면, 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 5개가 있으며, 다음과 같다.

즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:
만약 s가 \mathsf c를 홀수 개 포함한다면, s(S)=S인 것은 S=X=\varnothing인 경우 밖에는 불가능하다.

**증명:**

X\ne\varnothing이라고 가정하자. 다음과 같은 7개 경우가 있다.
* (0) \mathsf c
*:당연히 불가능하다.
* (1) \mathsf{kc}=\mathsf{ci}
*:이 경우, \varnothing=S\setminus S=S\setminus\mathsf{ci}(S)=\mathsf{i}(S)이다. 따라서 S=\mathsf{ci}(S)=\mathsf{c}(\varnothing)=X이어야 한다. 그런데 X=S=\mathsf{ci}(X)=\varnothing이므로 이는 불가능하다.
* (1′) \mathsf{kck}=\mathsf{kic}=\mathsf{cik}
*:이 경우, S는 정칙 닫힌집합이므로 S=\mathsf{cik}(S)=\mathsf{ci}(S)인데, 이는 경우 (1)이다.
* (1″) \mathsf{kckckc}=\mathsf{kikc}=\mathsf{ciki}
*:이 경우, S는 정칙 닫힌집합이므로 S=\mathsf{ciki}(S)=\mathsf{ci}(S)인데, 이는 경우 (1)이다.
* (2) \mathsf{ck}
*:당연히 불가능하다.
* (2′) \mathsf{ckckc}=\mathsf{ikc}=\mathsf{cki}
*:이 경우 S는 정칙 열린집합이므로, S=\mathsf{cki}(S)=\mathsf{ck}(S)인데, 이는 경우 (2)이다.
* (2″) \mathsf{ckckck}=\mathsf{ikic}=\mathsf{ckik}
*:이 경우 S는 정칙 열린집합이므로, S=\mathsf{ckik}(S)=\mathsf{ck}(S)인데, 이는 경우 (2)이다.


## 예
실수선의 쿠라토프스키 모노이드는 M_{\text{K}}이다. 구체적으로, 실수선의 다음과 같은 부분 집합을 생각하자.
:S=(0,1)\cup(1,2)\cup\{3\}\cup\left([4,5]\cap\mathbb Q\right)\subseteq\mathbb R
그렇다면, M_{\text{K}}는 S 위에 서로 다르게 작용한다.

## 역사
쿠라토프스키 14개 집합 정리는 카지미에시 쿠라토프스키가 1922년에 증명하였다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:일반위상수학
분류:반군론