긴즈부르크-란다우 이론

**긴즈부르크-란다우 이론**()은 물리학에서 초전도체를 다루는 현상론적인 모형으로, BCS 이론의 미시적 유효 이론이다.

## 정의
**긴즈부르크-란다우 이론**은 대전된 복소 스칼라장 \phi와 이와 상호작용하는 자기장 B_i=\epsilon_{ijk}F_{jk}/2을 포함하는 이론이다. 그 자유 에너지는 다음과 같다. (편의상 \hbar=c=\mu_0=1인 자연단위계를 사용하였다.)
:E=\frac14(F_{ij})^2+\frac12\left|(\partial+iqA)\phi\right|^2+V(\phi)
여기서 V(\phi)는 멕시코 모자 퍼텐셜로, 다음과 같은 꼴이다.
:V(\phi)=\lambda(|\phi|^2-\mu^2)^2
=-2\lambda\mu^2|\phi|^2+\lambda|\phi|^4+\text{const.}
-\mu^2이라면 전자기장의 U(1) 게이지 대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪게 되고, 이에 따라 힉스 메커니즘에 의하여 광자가 질량을 얻게 된다.

## 초전도체의 성질
긴즈부르크-란다우 모형은 초전도체의 여러 현상들을 다음과 같이 설명한다.

### 초전도 상전이
멕시코 모자 퍼텐셜에 따라서, 충분이 높은 온도에서는 \langle\phi\rangle=0이며 이에 따라서 대칭 깨짐이 발생하지 않는다. 반면, 매우 낮은 온도에서는 진공이 멕시코 모자 퍼텐셜의 의 한 귀퉁이로 가라앉으면서 초전도상으로 상전이가 일어난다.

### 마이스너 효과
힉스 메커니즘에 따라, 광자는 질량
:m_A=\sqrt2|q|\mu
을 갖는다. 이에 따라서 자기장은 초전도체를 대략 길이
:\lambda=1/2m_A=\frac1{2\sqrt2|q|\mu}
이상 침투하지 못하고, 지수함수적으로 사라진다. 이 현상을 마이스너 효과라고 하고, 그 길이 \lambda를 **런던 침투 길이**()라고 한다.

### 결맞음 길이
**결맞음 길이**()는 스칼라장의 질량에 반비례하는 길이이다. 만약 -\mu^2>0이라면 (비초전도상), 질량은 단순히
:m_\phi=\sqrt{-2\lambda\mu^2}
이다. 따라서, 비초전도상에서의 결맞음 길이는
:\xi=1/m_\phi=1/\sqrt{-2\lambda\mu^2}
이다.

반면, -\mu^2이라면 (초전도상), 힉스 메커니즘에 의하여 복소 스칼라장 \phi는 하나의 유질량 실수 스칼라장으로 바뀌게 되며, 그 질량은
:m_\phi'=2\mu\sqrt\lambda
이다. 따라서, 초전도상에서의 결맞음 길이는
:\xi'=1/m_\phi'=1/(2\mu\sqrt\lambda)
이다.

### 1종과 2종 초전도체
**긴즈부르크-란다우 매개변수**()는 런던 침투 길이와 결맞음 길이의 비이다.
:\kappa=\lambda/\xi'=m_\phi/2m_A=q^{-1}\sqrt{\lambda/2}
스칼라 퍼텐셜은 서로 같은 전하에 대하여 인력을, 전자기력은 척력을 나타낸다. 인력에 대한 결합 상수는 \lambda, 척력에 대한 결합 상수는 q^2이다. 따라서
:\lambda>q^2 (즉, \kappa>1/\sqrt2)
라면 같은 전하는 서로 끌어당기고, 반대로
:\lambda (즉, \kappa)
라면 같은 전하는 서로 밀어낸다. 후자를 **1종 초전도체**(), 전자를 **2종 초전도체**()라고 한다.

1·2종 초전도체는 각각 1·2종 상전이를 겪는다. 이는 1종 초전도체에서는 \phi의 응축(진공기댓값)이, 전자기력이 힉스 상에서 쿨롱 상으로 갈 때 양의 에너지를 가지게 되므로, 두 개의 퍼텐셜 국소(|\phi|=0, |\phi|=\mu)가 생기기 때문이다. 이 경우, 상전이에 의한 잠열은 진공기댓값이 쿨롱 상에서 가지는 양의 에너지이다. 반면 2종 초전도체에서는 전자기력이 (어떤 상에 있든) 항상 스칼라장 사승 상호작용보다 약하므로, 일반 멕시코 모자 퍼텐셜과 마찬가지로 2차 상전이가 나타난다.

### 자기 선속의 양자화
만약 초전도체가 단일 연결 공간이 아닌 모양을 하고 있다고 하자. 그렇다면, 초전도체 속의 임의의 축약불가능한 폐곡선에 따라서, 자기 선속은 항상 2\pi의 정수배로 양자화된다. 이는 다음과 같이 해석할 수 있다.
:\phi=|\phi|\exp(i\theta)
라고 놓자. 힉스 메커니즘에 따라서, |\phi| 성분은 질량 m_\phi'=1/\xi의 실수 스칼라장이 되고, 나머지 각 \theta는 게이지장에 흡수된다. 온도가 m_\phi'보다 매우 낮다면 |\phi|는 매우 무거워, |\phi|=\mu로 놓을 수 있다 (이 극한은 슈튀켈베르크 메커니즘에 해당한다). 그렇다면 \phi운동 방정식에 따라서
:-iqA_\mu\phi=\partial_\mu\phi=i\mu\partial_\mu\theta
이고,
:-qA_\mu=\partial_\mu\theta
이다. 그러나 \theta는 2\pi주기의 변수(즉, 각도)이므로, 다음이 성립한다. 임의의 초전도체 속의 폐곡선 \gamma에 대하여,
:\Phi/(-q)=\oint_\gamma dx\cdot A=\oint_\gamma d\theta=2\pi n(\theta|_\gamma)
이다. 여기서 n(\theta|_\gamma)\in\mathbb Z는 원을 정의역과 공역으로 갖는 연속함수 \theta|_\gamma\colon S^1\to S^1의 감음수(winding number)이다. 따라서
:\Phi\in\frac{2\pi}\mathbb Z
이다. 실제 세계에서, \phi는 두 전자의 쿠퍼 쌍이므로, q=-2e이다. 즉 초전도체에서 자기 선속의 양자는
:\Phi_0=2\pi/e=\frac{\pi\hbar}e=2.068\;\text{Wb}
이다.

### 저항의 부재
초전도체의 경우 전기 저항이 0이다. 이는 대전된 스칼라장 \phi이 초유체를 이루기 때문이다. \phi의 위상 성분 \phi=|\phi|\exp(i\theta)은 힉스 메커니즘에 의하여 유질량 광자의 종파 모드가 되며, 질량 m_A를 가진다. 즉, 대전된 성분 \theta는 질량 간극을 가진다. 만약 온도가 T이라면, \theta의 에너지가 포논으로 방출될 수 없으므로, \theta는 대전된 초유체를 이루고, 이에 따라서 저항이 0이 된다.

## 역사
비탈리 긴즈부르크와 레프 란다우가 1950년에 도입하였다. 알렉세이 아브리코소프는 긴즈부르크-란다우 모형에 따라서, 2종 초전도체의 소용돌이(vortex)가 육각형 격자 모양을 이룬다는 것을 보였고, 이는 실험으로 확인되었다. 1959년에는 레프 고리코프()가 긴즈부르크-란다우 이론을 BCS 이론으로부터 유도하였다.

이 공로로 긴즈부르크와 아브리코소프는 2003년 노벨 물리학상을 수상하였다.

## 각주

## 참고 문헌
* D. Saint-James, G. Sarma and E. J. Thomas, *Type II Superconductivity* Pergamon (Oxford 1969)
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## 같이 보기
* 란다우 이론

## 외부 링크
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분류:초전도