G₂

[섬네일|G<sub>2</sub>의 [딘킨 도표]]
리 군론에서 **G<sub>2</sub>**는 가장 작은 복소수 예외적 단순 리 군이다. 14차원이고, 두 개의 단순근을 지니고, 두 개의 실수 형식(콤팩트, 갈린)을 지닌다. 7차원 표현을 지닌다. 그 콤팩트 실수 형식은 팔원수의 자기 동형군이다.

## 정의
G2는 여러 가지로 정의할 수 있다.

### 팔원수를 통한 정의
G2의 콤팩트 실수 형식은 팔원수의 자기 동형군이다. 팔원수 대수 \mathbb O의 자기 동형은 다음을 만족하는 \mathbb R-선형 변환 \phi\colon\mathbb O\to\mathbb O를 말한다.
:\phi(a)\phi(b)=\phi(ab)
팔원수 자기 동형군 \operatorname{Aut}(\mathbb O)는 G2의 컴팩트 실수 형식과 동형이라는 사실을 보일 수 있다. 이로부터, (\phi(1)=1이고, 팔원수 노름을 보존하므로) G2의 컴팩트 형식은 SO(7)의 부분군임을 알 수 있고, 이에 따라 7차원 기본표현이 존재함을 알 수 있다.

### SO(7) 스피너를 통한 정의
7차원 공간 \mathbb R^7 위의 8차원 마요라나 스피너를 생각하자. 이 경우, 0이 아닌 임의의 마요라나 스피너에 대한, Spin(7)의 안정자군은 G2와 동형이다.

이 경우, 7차원에서 마요라나 스피너가 존재하는 계량 부호수는 (7,0), (4,3) 두 개 밖에 없다. 이들은 각각 G2의 콤팩트 형식 및 분할 형식을 정의한다.

### 구를 통한 정의
반지름의 비가 1:3인 두 구가 주어졌고, 더 작은 구가 더 큰 구 위에서 미끄러짐 또는 회전 없이 구른다고 하자. 이 경우, 두 구로 구성된 계의 무한소 대칭은 실수 리 대수 \mathfrak g_{2(2)}를 이룬다.

### 실수 형식
G2는 두 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 (중심이 없는 형태).

## 성질
### 군론적 성질
콤팩트 실수 형식 G_2의 중심은 자명하다.

#### G<sub>2</sub>를 포함하는 군
콤팩트 실수 형식 G_2는 \operatorname{Spin}(7)의 부분군이다. 이에 대한 동차 공간은 7차원 초구이다.
:\operatorname{Spin}(7)/G_2\cong\mathbb S^7

딘킨 도표로서, 이는 다음과 같이 Spin(7)=C3 딘킨 도표를 접어서 얻을 수 있다.
:{\bullet \Rightarrow \bullet \atop {\smallsetminus\atop\color{White}\bullet}\,\bullet}\qquad\to\qquad\bullet\Rrightarrow\bullet

G2는 SO(7)의 부분군이 아니지만, G2는 SO(8)의 부분군이다. SO(8)의 딘킨 도표는 \mathbb Z/3 대칭을 가지는데, 이를 대칭에 따라서 접으면 G2 딘킨 도표를 얻는다.
:\bullet\in\overset{\displaystyle\bullet}{\underset{\displaystyle\bullet}\bullet}\qquad\to\qquad{\bullet \Rightarrow \bullet \atop {\smallsetminus\atop\color{White}\bullet}\,\bullet}\qquad\to\qquad\bullet\Rrightarrow\bullet

#### G<sub>2</sub>의 부분군
G_2는 SU(3)와 SO(4)를 부분군으로 갖는다. SU(3)에 대한 동차 공간은 6차원 초구이다.
:G_2/\operatorname{SU}(3)\cong\mathbb S^6

\operatorname{SU}(3)\le G_2는 팔원수로서 다음과 같이 이해할 수 있다. 팔원수 대수 \mathbb O의 기저가 \{1,e_1,e_2,\dots,e_7\}이라고 하자. 자기 동형 f\colon\mathbb O\to\mathbb O가 주어졌을 때, 단위 허수 원소 e_1의 상 f(e_1)은 \operatorname{Span}_{\mathbb R}\{e_1,\dots,e_7\} 속의 6차원 초구 \mathbb S^6의 원소이다. 이 원소를 고르게 되면, 이는 \mathbb O\cong\mathbb R^8 위의 복소수 구조를 정의한다. 따라서, 나머지 6차원 공간 (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1,e_1\})^\perp의 자기 동형군은 \mathbb R^6\cong\mathbb C^3의 자기 동형군 \operatorname{SU}(3)가 된다. 즉, 다음과 같은 올다발을 얻는다.
:\mathbb S^6\hookrightarrow G_2\twoheadrightarrow \operatorname{SU}(3)
이는 딘킨 도표로도 이해할 수 있다. G2의 딘킨 도표에 꼭짓점 \scriptstyle\otimes을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, \circ로 표시한 꼭짓점을 제거하면 SU(3) 딘킨 도표를 얻는다.
:\bullet\Rrightarrow\circ\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet\Rrightarrow\circ\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet

마찬가지로, G2의 SO(4) 부분군은 딘킨 도표로 이해할 수 있다. G2의 딘킨 도표에 꼭짓점 \scriptstyle\otimes을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, \circ로 표시한 꼭짓점을 제거하면 \operatorname{SO}(4) 딘킨 도표를 얻는다.
:\circ\Rrightarrow\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\circ\Rrightarrow\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}\qquad\bullet

갈린 실수 형식 G_{2(2)}의 극대 콤팩트 부분군은 \operatorname{SO}(4)\cong(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2)이다. 그 2겹 범피복군은 행렬군으로 나타낼 수 없다.

### 위상수학적 성질
콤팩트 실수 형식 G_2는 14차원 콤팩트 연결 단일 연결 매끄러운 다양체이다.

갈린 실수 형식 G_{2(2)}은 14차원 비콤팩트 연결 매끄러운 다양체이며, 기본군은 2차 순환군이다.
:\pi_1(G_{2(2)})\cong\mathbb Z/2

콤팩트 형식의 15차 이하의 고차 호모토피 군은 다음과 같다.
:\pi_3(G_2) = \operatorname{Cyc}(\infty)
:\pi_6(G_2) = \operatorname{Cyc}(3)
:\pi_8(G_2) = \operatorname{Cyc}(2)
:\pi_9(G_2) = \operatorname{Cyc}(6)
:\pi_{11}(G_2) = \operatorname{Cyc}(\infty)\oplus\operatorname{Cyc}(2)
:\pi_{14}(G_2) = \operatorname{Cyc}(168)\oplus\operatorname{Cyc}(2)
:\pi_{15}(G_2) = \operatorname{Cyc}(2)
위에 수록되지 않은 15 이하의 차수의 호모토피 군은 자명군이다. 여기서 \operatorname{Cyc}(k)는 k차 순환군이다.

콤팩트 형식의 특이 코호몰로지 환은 다음과 같다.
:\operatorname H^\bullet(G_2;\mathbb Z) \cong \frac{\mathbb Z\langle x_3,x_{11}\rangle}{(x_3x_{11}+x_{11}x_3,x_3^4,x_{11}^2,x_3^2x_{11},2x_3^2)}
:\deg x_i = i
여기서 \mathbb Z\langle\dotso\rangle은 비가환 다항식환을 뜻한다.
즉, 각 등급별로 코호몰로지 군은 다음과 같다. (호몰로지 군은 푸앵카레 쌍대성으로 주어진다.)
:\operatorname H^i(G_2;\mathbb Z)
\cong \begin{cases}
\operatorname{Cyc}(\infty) & i\in\{0,3, 11,14\}\\
\operatorname{Cyc}(2) & i \in \{6,9\} \\
0 & i \in \{1, 2, 4,5,7,8,10,12,13\}
\end{cases}

리 대수 \mathfrak g_2의 두 불변 다항식의 차수는 2와 6이다. 이들은 리 군의 코호몰로지 환의 생성원 x_3과 x_{11}에 대응된다. 2차 불변 다항식은 킬링 형식이며, 6차 불변 다항식 역시 구체적으로 알려져 있다.

### 근계
[섬네일|G<sub>2</sub>의 [근계.]]
G_2의 근계는 6개의 긴 근과 6개의 짧은 근으로 구성된다. 긴 근의 길이는 (통상적으로) \sqrt2이며, 짧은 근의 길이는 \sqrt{2/3}이다. 근계를 2차원 벡터로 쓰면 다음과 같다.
* 긴 근: \sqrt2(\cos(2n\pi/6),\sin(2n\pi/6)), n=0,1,\dots,5
* 짧은 근: \sqrt{2/3}(\cos(2(n+1/2)\pi/6),\sin(2(n+1/2)\pi/6), n=0,1,\dots,5
G_2는 B_3=\operatorname{Spin}(7)의 부분군이므로, B_3의 3차원 근계의 부분 근계로도 나타낼 수 있다. 이 경우, 근은 다음과 같다.

이 가운데 단순근은 여러가지로 잡을 수 있다. 한 가지 방법은 다음과 같다.
:(0,1,&minus;1), (1,&minus;2,1)

그 바일 군은 정이면체군 D6이다. 그 카르탕 행렬은 다음과 같다.
:
\begin{pmatrix}
2&-3\\
-1&2
\end{pmatrix}


G2의 딘킨 도표는 아래와 같이 두 개의 꼭짓점으로 구성되며, 그 사이에 3겹 변이 존재한다.
:\bullet\Rrightarrow\bullet
G2의 아핀 딘킨 도표의 경우, 짧은 단순근 쪽에 새 근 \scriptstyle\otimes이 추가된다.
:{\scriptstyle\otimes}-\bullet\Rrightarrow\bullet

### 표현론
G2의 기약 표현의 차원은 다음과 같다 .
:1, 7, 14, 27, 64, 77 (두 개), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (두 개), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (두 개), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090&hellip;.
이 가운데 기본 표현은 **7**과 **14**이다. **7**은 G2의 허수 팔원수 위의 작용과 같으며, **14**는 딸림표현이다. 기본 표현들은 딘킨 도표의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.
:\underset{\mathbf{14}}\bullet\Rrightarrow\underset{\mathbf7}\bullet

**7**과 **14**는 둘 다 실수 표현이다. 보다 일반적으로, G2의 바일 군은 원소 v\mapsto-v를 포함하며, 따라서 모든 표현은 스스로의 켤레와 동형이다. (위 목록에서 77, 2079 따위가 중복되는 것은 복소수 켤레와 상관없다.) G_2는 사원수 표현을 갖지 않으며, 모든 표현은 실수 표현이다.

Spin(7)의 기본 표현 **7** 및 스피너 표현 **8** 및 딸림표현 **21**은 G2의 표현으로 분해하였을 때, 다음과 같다.
:\mathbf7_{\operatorname{Spin}(7)}\to\mathbf7_{G_2}
:\mathbf8_{\operatorname{Spin}(7)}\to\mathbf7_{G_2}\oplus\mathbf1_{G_2}
:\mathbf{21}_{\operatorname{Spin}(7)}\to\mathbf{14}_{G_2}\oplus\mathbf7_{G_2}
G2의 표현을 부분군의 표현으로 분해하였을 때, 다음과 같다.
:\mathbf7_{G_2}\to\mathbf3_{\operatorname{SU}(3)}\oplus\bar{\mathbf3}_{\operatorname{SU}(3)}\oplus\mathbf1_{\operatorname{SU}(3)}
:\mathbf{14}_{G_2}\to\mathbf8_{\operatorname{SU}(3)}\oplus\mathbf3_{\operatorname{SU}(3)}\oplus\bar{\mathbf3}_{\operatorname{SU}(3)}
:\mathbf7_{G_2}\to(\mathbf2,\mathbf2)_{\operatorname{SO}(4)}\oplus(\mathbf3,\mathbf1)_{\operatorname{SO}(4)}
:\mathbf{14}_{G_2}\to(\mathbf3,\mathbf1)_{\operatorname{SO}(4)}\oplus
(\mathbf1,\mathbf3)_{\operatorname{SO}(4)}\oplus(\mathbf4,\mathbf2)_{\operatorname{SO}(4)}

### 대수기하학적 성질
슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수 \mathfrak g_2(\mathbb Z) 및 군 G_2(\mathbb Z)을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 가환환 R에 대하여 대수군으로 정의할 수 있다.

특히, 유한체 \mathbb F_q에 대한 계수의 슈발레 군 G_2(\mathbb F_q)의 크기는 다음과 같다.
:|G_2(\mathbb F_q)|=q^6(q^6-1)(q^2-1)
이는 q\ne2일 경우 유한 단순군을 이룬다. q=2일 경우, G_2(\mathbb F_2)는 단순군이 아니지만, 그 교환자 부분군은 지표 2의 정규 부분군이자 단순군이다.
:G_2(\mathbb F_2)'\cong\operatorname{SU}(3;\mathbb F_3)
:|G_2(\mathbb F_2):G_2(\mathbb F_2)'|=2
유한체 위의 G2 슈발레 군은 발견자 레너드 유진 딕슨 의 이름을 따 **딕슨 군**(Dickson群, )이라고 불리기도 한다.

처음 몇 개의 G2 슈발레 군들의 크기는 다음과 같다. 
:|G_2(\mathbb F_2)|=12\,096
:|G_2(\mathbb F_3)|=4\,245\,696
:|G_2(\mathbb F_4)|\approx2.52\times10^8

이 밖에도, G2는 표수 3의 체 위에서 추가 대칭을 갖는다. G2 딘킨 도표
:\bullet\Rrightarrow\bullet
는 3겹 변에 화살표가 붙어 있어 대칭이 없지만, 표수 3의 체 위에서는 화살표의 방향이 사라져
:\bullet\equiv\bullet
가 되어, 딘킨 도표가 추가 \mathbb Z/2 대칭을 갖기 때문이다. 특히 체의 크기가 3^{2n+1}의 꼴인 경우, 이 대칭을 체의 프로베니우스 자기 동형으로 뒤틀어 대수군 {}^2G_2(\mathbb F_{3^{2n+1}})을 정의할 수 있다. 이 군들은 발견자 이임학 의 이름을 따 **이임학 군**(李林學群, )이라고 한다. 이 군들의 크기는 다음과 같다.
:|{}^2G_2(\mathbb F_q)|= q^3(q^3+1)(q-1)\qquad(q=3^{2n+1})
이들은 q=3인 경우를 제외하면 모두 유한 단순군을 이룬다. q=3일 경우 이는 단순군이 아니며, 다음과 같다.
:{}^2G_2(\mathbb F_3)\cong\operatorname{Aut}(\operatorname{SL}(2;\mathbb F_8))
그 교환자 부분군은 다음과 같은 지표 3의 단순 부분군이다.
:{}^2G_2(\mathbb F_3)'\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_8)
:|{}^2G_2(\mathbb F_3):{}^2G_2(\mathbb F_3)'|=3

## 응용
G2는 리만 다양체의 홀로노미의 분류에 등장한다. 즉, G2를 홀로노미 군으로 가지는, 대칭 공간이 아닌 7차원 리만 다양체가 존대한다. 이는 위와 같이 G2가 SO(7)의 부분군인 사실과 관련이 있다.

## 역사
리 대수 \mathfrak g_2는 빌헬름 킬링이 복소수 단순 리 대수를 분류하면서 1887년 5월에 발견하였다. G_2의 콤팩트 형태는 프리드리히 엥겔()이 1900년 6월 11일 발표하였다.

유한체 위의 G2는 레너드 유진 딕슨이 1905년에 발견하였다. 표수가 3인 체 위의 뒤틀린 형태 2G2는 이임학이 1960년에 발견하였다.

## 각주

## 같이 보기
* 팔원수
* F<sub>4</sub>
* E<sub>6</sub>
* E<sub>7</sub>
* E<sub>8</sub>

## 외부 링크
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분류:리 군