분배 격자

순서론에서 **분배 격자**(分配格子, )는 만남과 이음이 서로 분배 법칙을 따르는 격자이다. 모든 분배 격자는 항상 집합들의 포함 관계에 따른 격자로 나타낼 수 있다.

## 정의
**오각형 격자**()는 다음과 같은 유계 격자이다.
:N_5=\{\bot,a,b,c,\top\}
:\bot\le a\le b\le\top
:\bot\le c\le\top
**다이아몬드 격자**()는 다음과 같은 유계 격자이다.
:M_5=\{\bot,a,b,c,\top\}
:\bot\le a,b,c\le\top
임의의 격자 (L,\wedge,\vee)에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 격자를 **분배 격자**라고 한다.
* (A) 모든 a,b,c\in L에 대하여, a\wedge(b\vee c)=(a\wedge b)\vee(a\wedge c)
* (A’) 모든 a,b,c\in L에 대하여, a\vee(b\wedge c)=(a\vee b)\wedge(a\vee c)
* (B) 모든 a,b,c\in L에 대하여, (a\wedge b)\vee(b\wedge c)\vee(c\wedge a)=(a\vee b)\wedge(b\vee c)\wedge(c\vee a)
* (C) 모든 a,b,c\in L에 대하여, 만약 a\wedge c=b\wedge c이며 a\vee c=b\vee c라면 a=b이다.
* (D) 오각형 격자를 부분 격자로 하지 않으며, 다이아몬드 격자를 부분 격자로 하지 않는다.

조건 (A) ⇒ 조건 (A’). 임의의 a,b,c\in L에 대하여,
:\begin{align}
(a\vee b)\wedge(a\vee c)
&=((a\vee b)\wedge a)\vee((a\vee b)\wedge c)\\
&=a\vee((a\wedge c)\vee(b\wedge c))\\
&=(a\vee(a\wedge c))\vee(b\wedge c)\\
&=a\vee(b\wedge c)
\end{align}
(두 번째 등호는 흡수 법칙 (a\vee b)\wedge a=a를 사용한다.)

조건 (A’) ⇒ 조건 (A). 위 증명과 유사하다.

조건 (A) ⇒ 조건 (B). 임의의 a,b,c\in L에 대하여,
:\begin{align}
(a\wedge b)\vee(b\wedge c)\vee(c\wedge a)
&=((a\vee(b\wedge c))\wedge(b\vee(b\wedge c)))\vee(c\wedge a)\\
&=((a\vee b)\wedge(a\vee c)\wedge b)\vee(c\wedge a)\\
&=((a\vee c)\wedge b)\vee(c\wedge a)\\
&=((a\vee c)\vee(c\wedge a))\wedge(b\vee(c\wedge a))\\
&=(a\vee c)\wedge(b\vee c)\wedge(b\vee a)
\end{align}

조건 (B) ⇒ 조건 (A). 임의의 a,b,c\in L에 대하여, 만약 a\le c라면,
:\begin{align}
a\vee(b\wedge c)
&=(c\wedge a)\vee((b\wedge c)\vee(a\wedge b))\\
&=(a\wedge b)\vee(b\wedge c)\vee(c\wedge a)\\
&=(a\vee b)\wedge(b\vee c)\wedge(c\vee a)\\
&=((a\vee b)\wedge(b\vee c))\wedge(c\vee a)\\
&=(a\vee b)\wedge c
\end{align}
이다. 따라서 L은 모듈러 격자이다. 이제, 임의의 a,b,c\in L에 대하여,
:\begin{align}
a\wedge(b\vee c)
&=a\wedge((a\vee b)\wedge(b\vee c)\wedge(c\vee a))\\
&=a\wedge((a\wedge b)\vee(b\wedge c)\vee(c\wedge a))\\
&=(a\wedge b)\vee(c\wedge a)\vee(a\wedge(b\wedge c))\\
&=(a\wedge b)\vee(a\wedge c)
\end{align}
이다. (세 번째 등호는 모듈러 법칙을 사용한다.)

조건 (A) ⇒ 조건 (D). 임의의 a,b,c\in L에 대하여, 만약 a\le c라면,
:a\vee(b\wedge c)=(a\wedge c)\vee(b\wedge c)=(a\vee b)\wedge c
이다. 따라서 L은 모듈러 격자이다. 즉, L은 오각형 격자를 부분 격자로 하지 않는다. 다이아몬드 격자 \{\bot,a,b,c,\top\}에서, a\wedge(b\vee c)=a\wedge\top=a이지만, (a\wedge b)\vee(a\wedge c)=\bot\vee\bot=\bot이다. 따라서, L은 다이아몬드 격자를 부분 격자로 가질 수 없다.

조건 (D) ⇒ 조건 (B). L이 오각형 격자를 부분 격자로 하지 않으며, 어떤 a,b,c\in L 및 d=(a\wedge b)\vee(b\wedge c)\vee(c\wedge a), e=(a\vee b)\wedge(b\vee c)\wedge(c\vee a)에 대하여 d라고 가정하였을 때, L의 다이아몬드 부분 격자를 찾는 것으로 족하다.
:a'=(a\vee d)\wedge e=(a\wedge e)\vee d
:b'=(b\vee d)\wedge e=(b\wedge e)\vee d
:c'=(c\vee d)\wedge e=(c\wedge e)\vee d
라고 하자. (각 식의 두 번째 등호는 모듈러 법칙에 따른다.) \{d,a',b',c',e\}가 다이아몬드 부분 격자임을 증명하자. 즉,
:a'\wedge b'=b'\wedge c'=c'\wedge a'=d
:a'\vee b'=b'\vee c'=c'\vee a'=e
를 보여야 한다. 쌍대성 및 대칭성에 따라, a'\wedge b'=d만을 보여도 좋다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다.
:\begin{align}a'\wedge b'
&=((a\wedge e)\vee d)\wedge((b\wedge e)\vee d)\\
&=((a\wedge e)\wedge((b\wedge e)\vee d))\vee d\\
&=((a\wedge e)\wedge((b\vee d)\wedge e))\vee d\\
&=((a\wedge e)\wedge(b\vee d))\vee d\\
&=((a\wedge(a\vee b)\wedge(b\vee c)\wedge(c\vee a))\wedge(b\vee(a\vee b)\wedge(b\vee c)\wedge(c\vee a)))\vee d\\
&=(a\wedge(b\vee c)\wedge(b\vee(c\wedge a)))\vee d\\
&=(a\wedge(b\vee((b\vee c)\wedge(c\wedge a))))\vee d\\
&=(a\wedge(b\vee(c\wedge a))\vee d\\
&=((a\wedge b)\vee(c\wedge a))\vee d\\
&=d
\end{align}

## 성질
임의의 집합 S에 대하여, 그 멱집합의 격자 (\mathcal P(S),\subseteq)는 분배 격자이며, 이 격자의 모든 부분 격자도 분배 격자이다. 반대로, 선택 공리를 가정한다면, 모든 분배 격자는 멱집합 격자의 부분 격자와 동형이다.

### 함의 관계
모든 분배 격자는 모듈러 격자이다.

모든 헤이팅 대수는 분배 격자이다. 불 대수는 헤이팅 대수의 특수한 경우이므로 역시 분배 격자이다. 모든 전순서 집합 (T,\le)은 분배 격자이며, 이와 동형인 집합 격자는 \{\{s\le t|s\in S\}|t\in T\}\subset\mathcal P(T)이다.

### 보편 대수학적 성질
분배 격자의 부분 격자 위의 합동 관계는 전체 격자 위의 합동 관계로 확대될 수 있다. 즉, 분배 격자 L의 부분 격자 M\subseteq L 위의 합동 관계 \sim에 대하여, 항상
:\forall a,b\in M\colon a\sim'b\iff a\sim b
인 L 위의 합동 관계 \sim'를 찾을 수 있다.

## 예
양의 정수의 약수 관계에 대한 격자 (\mathbb Z^+,\mid)는 분배 격자이다. 이 경우, 각 자연수
:n=\prod_{p\in\mathbb P}p^{n_p}
를
:\{p^i\colon p\in\mathbb P,\;i=0,1,\dots,n_p\}
로 대응시키면, 이 격자와 동형인 집합 격자를 얻는다.

임의의 격자 L의 합동 관계들의 격자 \operatorname{Cong}(L)는 분배 격자이다. 일반적인 대수 구조의 합동 관계 격자는 분배 격자일 필요가 없다.

### 반례

파일:Smallest nonmodular lattice 1.svg|오각형 격자의 하세 도형
파일:Diamond lattice.svg|다이아몬드 격자의 하세 도형

오각형 격자는 모듈러 격자가 아닌 가장 작은 격자이다. 특히, 오각형 격자는 분배 격자가 아니다. 다이아몬드 격자는 모듈러 격자이지만 분배 격자는 아닌 가장 작은 격자이다. 분배 격자는 이 두 격자를 부분 격자로 포함할 수 없지만, 부분 순서 집합으로 포함할 수는 있다.

### 자유 분배 격자
섬네일|right|400px|생성원의 크기가 0, 1, 2, 3인 자유 유계 분배 격자. 자유 분배 격자의 경우 0과 1을 포함하지 않는다.
(유계) 분배 격자들은 대수 구조 다양체를 이루므로, 이에 대한 자유 대수를 정의할 수 있다. 즉, **자유 분배 격자**() 및 **자유 유계 분배 격자**()의 개념이 존재하며, 이는 자유 격자와 다르다. 일반적으로, 자유 격자는 구체적으로 묘사하기 힘들지만, 자유 분배 격자는 간단히 묘사할 수 있다.

생성원들의 집합 A=a_i가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이들로부터 생성되는 **자유 분배 격자** \langle A\rangle는 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성된다.
:\{M_1,M_2,\dots,M_n\}
여기서
* 모든 i에 대하여 M_i\subset A는 유한 집합이다.
* 모든 i,j=1,\dots, n에 대하여 만약 M_i\subset M_j라면 i=j이다.
* n>0이며, M_i\ne\varnothing인 i가 존재한다.
이러한 원소는
:\bigvee_i\left(\bigwedge M_i\right)
로 해석된다. n개의 원소로 생성되는 자유 분배 격자의 크기는 **데데킨트 수**()라고 하며, 다음과 같다 (n=0,1,2,\dots).
:0, 1, 4, 18, 166, 7579, 7828352, 2414682040996, 56130437228687557907786, … 

**자유 유계 분배 격자**의 경우, 원소들은 위와 마찬가지이지만, 마지막 조건이 적용되지 않는다. 즉,
:\varnothing=\bigvee\varnothing=\bot
과
:\{\varnothing\}=\bigwedge\varnothing=\top
이 존재한다. 즉, 같은 수의 생성원들을 갖는 자유 분배 격자보다 원소가 두 개 더 많다. 따라서 이들의 크기는 다음과 같다.
:2, 3, 6, 20, 168, 7581, 7828354, 2414682040998, 56130437228687557907788, … 

## 각주

## 외부 링크
* 
* 
* 

분류:격자 이론