상의 일그러짐

기하 광학에서 **상의 일그러짐**(distortion) 또는 **상의 왜곡**, **디스토션**은 장면의 직선이 이미지에서도 직선으로 유지되는 투영법인 선형 투영으로부터의 일탈을 의미한다. 이는 구면수차, 혜성형 수차(coma), 색수차, 상면만곡 및 비점수차와 같은 다른 수차들과 구별되는 광학 수차의 한 형태이다. 앞서 언급한 수차들은 이미지에서 물체의 모양이나 구조를 바꾸지 않고 이미지의 선명도에 영향을 주지만(예: 언급된 수차들로 인해 이미지 선명도가 떨어질 수는 있어도 물체의 직선은 여전히 이미지에서 직선으로 나타남), 디스토션은 이미지 내 물체의 구조를 변화시킬 수 있다(그래서 '일그러짐'이라 불린다).

## 방사 왜곡

왜곡은 불규칙하거나 여러 패턴을 따를 수 있지만, 가장 흔히 접하는 왜곡은 사진 렌즈의 대칭성에서 기인하는 방사 대칭(radially symmetric) 또는 그에 가까운 형태이다. 이러한 방사 왜곡은 보통 통형 왜곡(barrel distortion)이나 바늘겨레형 왜곡(pincushion distortion)으로 분류할 수 있다.

수학적으로 통형 및 바늘겨레형 왜곡은 이차적이다. 즉, 중심으로부터의 거리의 제곱에 비례하여 증가한다. 수염형 왜곡에서는 사차(4도) 항이 중요하다. 중심에서는 2도 통형 왜곡이 지배적이며, 가장자리에서는 바늘겨레 방향의 4도 왜곡이 지배적이다. 원칙적으로 다른 왜곡도 가능하다(중심부 바늘겨레 및 가장자리 통형, 또는 6도, 8도 등 고차 왜곡). 하지만 실제 렌즈에서는 일반적으로 발생하지 않으며, 고차 왜곡은 주요 통형 및 바늘겨레 효과에 비해 미미하다.

### 용어의 기원
이러한 왜곡의 명칭은 시각적으로 유사한 친숙한 사물에서 유래했다.

파일:Barrel (PSF).png|통형 왜곡에서는 직선이 통처럼 중앙에서 바깥쪽으로 불룩하게 튀어나온다.
파일:Cushion.jpg|바늘겨레형 왜곡에서는 사각형의 모서리가 쿠션처럼 길쭉한 점을 형성한다.
파일:Handlebar-moustache.svg|수염형 왜곡에서는 수평선이 중앙에서 위로 솟았다가 프레임 가장자리에 가까워지면서 반대 방향으로 휜다(프레임 상단 기준). 이는 말려 올라간 핸들바 수염과 비슷하다.


### 발생
섬네일|단순 팬(왼쪽)과 비교한 글로브 효과(오른쪽)의 시뮬레이션 애니메이션
사진에서 왜곡은 특히 줌렌즈, 특히 고배율 줌렌즈와 밀접한 관련이 있지만 단렌즈에서도 발견될 수 있으며 초점 거리에 따라 달라진다. 예를 들어 캐논 EF 50mm f/1.4는 극도로 짧은 초점 거리에서 통형 왜곡을 나타낸다. 통형 왜곡은 광각 렌즈에서 발견될 수 있으며 줌렌즈의 광각단에서 자주 보이는 반면, 바늘겨레형 왜곡은 오래되었거나 저가형인 망원 렌즈에서 흔히 나타난다. 수염형 왜곡은 특히 줌의 광각단, 특정 레트로포커스 렌즈, 그리고 최근에는 니콘 18–200mm와 같은 고배율 줌렌즈에서 관찰된다.

어느 정도의 바늘겨레형 왜곡은 쌍안경과 같은 시각 광학 기기에서 종종 발견되는데, 이는 글로브 효과(globe effect)에 대응하는 역할을 한다.

섬네일|방사 왜곡은 양궁 과녁과 같은 동심원에 미치는 영향을 통해 이해할 수 있다.
이러한 왜곡을 이해하려면 이것들이 방사형 결함임을 기억해야 한다. 해당 광학계는 회전대칭을 가지므로(비방사형 결함 제외), 교육적으로 올바른 테스트 이미지는 사격장 과녁처럼 일정한 간격을 가진 동심원 세트가 될 것이다. 그러면 이러한 일반적인 왜곡이 실제로는 물체에서 이미지로의 비선형 반지름 매핑을 의미한다는 것을 관찰할 수 있다. 바늘겨레형 왜곡으로 보이는 것은 실제로는 작은 반지름에 비해 큰 반지름에 대해 과장된 반지름 매핑이 일어난 것에 불과하다. 반지름 변환(물체에서 이미지로)을 보여주는 그래프는 상단(오른쪽 끝)에서 더 가파를 것이다. 반대로, 통형 왜곡은 실제로는 작은 반지름에 비해 큰 반지름에 대해 축소된 반지름 매핑이 일어난 것이다. 반지름 변환 그래프는 상단에서 덜 가파를 것이다.

### 색수차

파장에 따라 달라지는 방사 왜곡을 "배율 색수차"(lateral chromatic aberration)라고 한다. 방사형이므로 "배율(lateral)"이라 하고, 색(파장)에 의존하므로 "색(chromatic)"이라 한다. 이로 인해 이미지 바깥쪽의 대비가 높은 영역에서 유색 테두리가 생길 수 있다. 이는 시야 전체에 걸쳐 수차를 일으키는 축상(종방향) 색수차, 특히 자색 테두리 현상(purple fringing)과 혼동해서는 안 된다.

## 소프트웨어 보정

right|섬네일|보정되지 않은 통형 왜곡이 있는 상태 (26mm에서)
[right|섬네일|소프트웨어로 보정된 통형 왜곡 (사진은 [에니악 컴퓨터)]]

방사 왜곡은 주로 저차 방사 성분이 지배적이지만, 콘라디(Conrady)의 초기 연구를 바탕으로 한 브라운-콘라디(Brown–Conrady) 모델로 알려진 브라운의 왜곡 모델을 사용하여 보정할 수 있다. 브라운-콘라디 모델은 방사 왜곡과 렌즈의 물리적 요소가 완벽하게 정렬되지 않아 발생하는 접선 왜곡(tangential distortion)을 모두 보정한다. 후자는 편심 왜곡(decentering distortion)이라고도 한다. 방사 왜곡에 대한 추가 논의는 장정유(Zhang)의 문헌을 참조하라. 브라운-콘라디 왜곡 모델은 다음과 같다.

\begin{alignat}{3}
x_\mathrm{u} = x_\mathrm{d} & + (x_\mathrm{d} - x_\mathrm{c})(K_1r^2 + K_2r^4 + \cdots) +
(P_1(r^2 + 2(x_\mathrm{d} - x_\mathrm{c})^2) \\
& + 2P_2(x_\mathrm{d} - x_\mathrm{c})(y_\mathrm{d} - y_\mathrm{c}))(1 + P_3r^2 + P_4r^4 \cdots) \\
y_\mathrm{u} = y_\mathrm{d} & + (y_\mathrm{d} - y_\mathrm{c})(K_1r^2 + K_2r^4 + \cdots) +
(2P_1(x_\mathrm{d} - x_\mathrm{c})(y_\mathrm{d} - y_\mathrm{c}) \\
& + P_2(r^2 + 2(y_\mathrm{d} - y_\mathrm{c})^2))(1 + P_3r^2 + P_4r^4 \cdots),
\end{alignat}


여기서

*(x_\mathrm{d},\ y_\mathrm{d})는 지정된 렌즈를 사용하여 이미지 평면에 투영된 왜곡된 이미지 점이다.
*(x_\mathrm{u},\ y_\mathrm{u})는 이상적인 바늘구멍 사진기에 의해 투영된 왜곡되지 않은 이미지 점이다.
*(x_\mathrm{c},\ y_\mathrm{c})는 왜곡 중심이다.
*K_n은 n번째 방사 왜곡 계수이다.
*P_n은 n번째 접선 왜곡 계수이다.
*r = \sqrt{(x_\mathrm{d}-x_\mathrm{c})^2 + (y_\mathrm{d}-y_\mathrm{c})^2}는 왜곡된 이미지 점과 왜곡 중심 사이의 유클리드 거리이다.

통형 왜곡은 일반적으로 K_1에 대해 음수 값을 갖는 반면, 바늘겨레형 왜곡은 양수 값을 갖는다. 수염형 왜곡은 일부 r에 대해 부호가 바뀌는 비단조 방사 등비급수를 갖는다.

방사 왜곡을 모델링할 때, 일반적으로 나눗셈 모델(division model)이 브라운-콘라디의 짝수차 다항식 모델보다 더 정확한 근사치를 제공한다.

\begin{align}
x_\mathrm{u} & = x_\mathrm{c} + \frac{x_\mathrm{d} - x_\mathrm{c}}{1 + K_1r^2 + K_2r^4 + \cdots} \\
y_\mathrm{u} & = y_\mathrm{c} + \frac{y_\mathrm{d} - y_\mathrm{c}}{1 + K_1r^2 + K_2r^4 + \cdots},
\end{align}


이전에 정의된 것과 동일한 매개변수를 사용한다. 방사 왜곡의 경우, 이 나눗셈 모델은 심한 왜곡을 더 정확하게 설명하는 데 더 적은 항이 필요하기 때문에 브라운-콘라디 모델보다 종종 선호된다. 이 모델을 사용하면 일반적으로 대부분의 카메라를 모델링하는 데 단일 항으로 충분하다.

소프트웨어는 역왜곡(reverse distortion)으로 이미지를 워핑함으로써 이러한 왜곡을 보정할 수 있다. 여기에는 왜곡되지 않은 각 픽셀에 해당하는 왜곡된 픽셀을 결정하는 작업이 포함되는데, 왜곡 방정식의 비선형성 때문에 이는 간단하지 않다. 배율 색수차(자색/녹색 테두리)는 빨간색, 녹색, 파란색에 대해 각각 이러한 워핑을 적용함으로써 크게 줄일 수 있다.

왜곡을 주거나 제거하려면 두 계수 세트가 모두 필요하거나 비선형 문제를 반전시켜야 하는데, 일반적으로 분석적 해가 부족하다. 근사치 계산, 국소 선형화 및 반복 솔버(iterative solver)와 같은 표준 접근 방식이 모두 적용된다. 어떤 솔버가 바람직한지는 필요한 정확도와 가용 계산 리소스에 따라 달라진다.

언급했듯이 대부분의 카메라를 모델링하는 데 보통 충분한 것 외에도, 단일 항 나눗셈 모델은 역왜곡 문제에 대한 분석적 해를 가지고 있다. 이 경우 왜곡된 픽셀은 다음과 같이 주어진다.

\begin{align}
x_\mathrm{d} & = x_\mathrm{c} + \frac{x_\mathrm{u} - x_\mathrm{c}}{2K_1r_u^2} (1 - \sqrt{1 - 4K_1r_u^2}) \\
y_\mathrm{d} & = y_\mathrm{c} + \frac{y_\mathrm{u} - y_\mathrm{c}}{2K_1r_u^2} (1 - \sqrt{1 - 4K_1r_u^2}),
\end{align}


여기서 는 왜곡되지 않은 이미지 점과 왜곡 제거/왜곡 중심 사이의 유클리드 거리이다.

### 보정된 소프트웨어
보정된 소프트웨어는 렌즈/카메라 전달 함수의 표를 기반으로 작동한다.
* 어도비 포토샵 라이트룸과 포토샵 CS5는 복합 왜곡을 보정할 수 있다.
* PTLens는 복합 왜곡을 보정하는 포토샵 플러그인 또는 독립 실행형 애플리케이션이다. 이는 선형 왜곡뿐만 아니라 2차 이상의 비선형 성분도 보정한다.
* Lensfun은 렌즈 왜곡 보정을 위한 무료 데이터베이스 및 라이브러리이다.
* OpenCV는 컴퓨터 비전을 위한 오픈 소스 BSD 라이선스 라이브러리(다중 언어, 다중 OS 지원)이다. 카메라 보정을 위한 모듈을 포함하고 있다.
* DxO의 PhotoLab 소프트웨어는 복합 왜곡을 보정할 수 있으며 초점 거리를 고려한다.
* proDAD Defishr에는 언워프(Unwarp) 도구와 캘리브레이터(Calibrator) 도구가 포함되어 있다. 체커보드 패턴의 왜곡을 통해 필요한 언워프를 계산한다.
* 마이크로 포서즈 시스템 카메라와 렌즈는 각 렌즈의 펌웨어에 저장된 보정 매개변수를 사용하여 자동 왜곡 보정을 수행하며, 카메라와 raw 변환 소프트웨어에 의해 자동으로 적용된다. 이러한 렌즈 대부분의 광학계는 자동 보정을 제공하지 않는 시스템의 대응 제품보다 실질적으로 더 많은 왜곡을 보이지만, 소프트웨어로 보정된 최종 이미지는 경쟁 설계보다 눈에 띄게 적은 왜곡을 보여준다.

### 수동 보정
수동 소프트웨어를 사용하면 왜곡 매개변수를 수동으로 조정할 수 있다.
* 이미지매직은 여러 왜곡을 보정할 수 있다. 예를 들어 인기 있는 GoPro Hero3+ Silver 카메라의 어안 왜곡은 다음 명령으로 보정할 수 있다.`convert distorted_image.jpg -distort barrel "0.06335 -0.18432 -0.13009" corrected_image.jpg`
* 포토샵 CS2와 포토샵 엘리먼트(버전 5부터)는 단순(바늘겨레/통형) 왜곡을 위한 수동 렌즈 보정 필터를 포함한다.
* 코렐 페인트샵 프로는 단순(통형, 어안, 구형 어안 및 바늘겨레) 왜곡을 위한 수동 렌즈 왜곡 효과를 포함한다.
* 김프는 수동 렌즈 왜곡 보정 기능을 포함한다(버전 2.4부터).
* PhotoPerfect는 일반적인 바늘겨레 조정 및 테두리(빨간색, 녹색, 파란색 이미지 부분의 크기 조정)를 위한 대화형 기능을 제공한다.
* 후긴은 주된 용도는 아니지만 왜곡 보정에 사용될 수 있다.
이미지를 다루는 이러한 시스템 외에도 비디오의 왜곡 매개변수를 조정하는 시스템도 있다.
* "lenscorrection" 비디오 필터를 사용하는 FFmpeg.
* 입력 노드와 출력 노드 사이에 "Distort/Lens Distortion" 노드를 삽입하기 위해 노드 편집기를 사용하는 블렌더.

## 지각된 왜곡 (원근 왜곡)
방사 왜곡은 렌즈가 선형 렌즈가 되지 못한 것, 즉 선을 선으로 이미지화하지 못한 실패이다. 사진을 정면에서 찍지 않으면 완벽한 선형 렌즈를 사용하더라도 직사각형이 사다리꼴로 나타나게 된다. 선은 선으로 이미지화되지만 그 사이의 각도는 보존되지 않는다(기울기는 등각 사상이 아니다). 이 효과는 원근 조절 렌즈를 사용하거나 후처리에서 보정할 수 있다.

원근 때문에 카메라는 입방체를 사각형 절두체(옆면이 사다리꼴인 잘린 피라미드)로 이미지화한다. 먼 끝이 가까운 끝보다 작게 보이기 때문이다. 이것이 원근감을 만들며, 이러한 스케일링이 일어나는 속도(먼 물체가 얼마나 빨리 작아지는지)가 장면이 깊거나 얕다는 느낌을 만든다. 이것은 결과 이미지의 단순한 변환으로 변경하거나 보정할 수 없는데, 장면 내 물체의 깊이와 같은 3D 정보가 필요하기 때문이다. 이 효과는 원근 왜곡으로 알려져 있다. 이미지 자체는 왜곡되지 않았지만 일반적인 보기 거리에서 볼 때 왜곡된 것으로 지각된다.

이미지의 중심이 가장자리보다 더 가까운 경우(예: 얼굴 정면 촬영), 통형 왜곡과 광각 왜곡(가까이서 촬영)은 모두 중심의 크기를 키우는 반면, 바늘겨레형 왜곡과 망원 왜곡(멀리서 촬영)은 모두 중심의 크기를 줄인다. 그러나 방사 왜곡은 직선을 (안팎으로) 구부리는 반면, 원근 왜곡은 선을 구부리지 않으며 이 둘은 뚜렷이 다른 현상이다. 어안 렌즈는 심한 통형 왜곡을 가진 광각 렌즈이므로 이 두 현상을 모두 나타낸다. 따라서 이미지 중앙에 있는 물체(짧은 거리에서 촬영할 경우)는 특히 확대된다. 설령 통형 왜곡이 보정되더라도 결과 이미지는 여전히 광각 렌즈로 찍은 것이므로 광각 원근을 그대로 유지하게 된다.

## 같이 보기
* 화각 (사진술)
* 디스토션
* 비네팅

## 각주

## 외부 링크
* Lens distortion estimation and correction with source code and online demonstration
* Lens distortion correction on post-processing
* 3D modeling Lens distortion and camera field of view in CCTV design

분류:기하광학