벡터 공간

선형대수학에서 **벡터 공간**(vector空間, , ) 또는 **선형 공간**(線型空間, )은 원소를 서로 더하거나 주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다. 체에 대한, 가군의 특수한 경우다. 벡터 공간의 원소를 **벡터**(, )라고 하며, 이는 직관적으로 방향 및 길이의 비가 정의된 대상을 나타낸다. 그러나 노름이 주어지지 않은 일반적인 벡터 공간에서는 벡터의 길이 자체는 정의되지 않는다.

## 정의
체 K 위의 **벡터 공간** (V,+,\cdot)은 K에 대한 가군이다. 즉, 다음과 같은 튜플이다.
* V는 집합이다. 이 집합의 원소를 **벡터**라고 한다.
* +\colon V\times V\to V는 함수이다. 이 연산을 **벡터 덧셈**이라고 한다.
* \cdot\colon K\times V\to V는 함수이다. 이 연산을 **스칼라 곱셈**이라고 한다.
이 데이터는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.
* (V,+)는 아벨 군을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
** (벡터 덧셈의 결합 법칙) 임의의 u,v,w\in V에 대하여, (u+v)+w=u+(v+w)
** (벡터 덧셈의 교환 법칙) 임의의 u,v\in V에 대하여, u+v=v+u
** (벡터 덧셈의 항등원) 임의의 u\in V에 대하여 u+0=u인 원소 0\in V가 존재한다.
** (역원의 존재) 임의의 u\in V에 대하여, -u+u=0인 원소 -u\in V가 존재한다.
* (V,+,\cdot)는 K의 가군을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
** 임의의 a,b\in K 및 v\in V에 대하여, a\cdot(b\cdot v)=(ab)\cdot v
** 임의의 v\in V에 대하여, 1\cdot v=v. 여기서 1\in K는 K의 곱셈 항등원이다.
** (분배 법칙) 임의의 a,b\in K 및 u,v\in V에 대하여, (a+b)\cdot(u+v)=a\cdot u+b\cdot u+a\cdot v+b\cdot v

실수체 \mathbb R에 대한 벡터 공간을 **실수 벡터 공간**(實數vector空間, )이라고 하며, 복소수체 \mathbb C에 대한 벡터 공간을 **복소수 벡터 공간**(複素數vector空間, )이라고 한다.

### 부분 공간과 기저
체 K 위의 벡터 공간 V의 부분 집합 W\subseteq V가 다음 조건을 만족시키면, W가 V의 **부분 벡터 공간**(部分vector空間, )이라고 한다.
* 0_V\in W
* 임의의 u,v\in W에 대하여, u+v\in W
* 임의의 a\in K 및 u\in W에 대하여, a\cdot u\in W
즉, 부분 벡터 공간은 V의 연산들을 제한시켜 새로운 더 작은 벡터 공간을 이룰 수 있는 부분 집합이다.

벡터 공간 V의 부분 집합 S에 대하여, S의 **생성**() \operatorname{Span}S는 S를 포함하는 모든 부분 공간들의 교집합이다. 만약 S에서, s\in\operatorname{Span}(S\setminus\{s\})인 원소 s\in S가 존재하지 않는다면, S가 **[[선형 독립 집합]]**이라고 한다. 생성이 벡터 공간 전체인 선형 독립 집합을 **[[기저 (선형대수학)|기저]]**라고 한다.

선택 공리를 가정하면, 모든 벡터 공간은 하나 이상의 기저를 가지며, 모든 기저들은 항상 같은 크기를 갖는다. 벡터 공간 V의 기저의 크기를 벡터 공간의 **차원**(次元, ) \dim V\in\operatorname{Card}이라고 한다.

### 선형 변환

두 벡터 공간 사이의 **[[선형 변환]]**은 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존하는 사상이다. 만약 두 벡터 공간 사이에 가역 선형 변환이 존재한다면, 그 두 벡터 공간이 서로 **동형**이라고 한다. 주어진 두 벡터 공간 사이의 선형 변환의 집합은 점별 벡터 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 의하여 벡터 공간을 이룬다. 두 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환은 주어진 기저에 대한 행렬로 나타낼 수 있다.

## 분류
선택 공리를 가정하자. 체 K에 대한 벡터 공간 V에 대하여 다음이 성립한다.
:V\cong K^{\oplus\dim V}
즉, 주어진 체에 대한 벡터 공간은 그 차원에 따라서 완전히 분류된다. 이는 선택 공리를 필요로 하며, 선택 공리가 없으면 모든 벡터 공간이 차원을 갖는다는 것을 보일 수 없다. 여기서 K^{\oplus\dim V}는 K의 \dim V개의 직합이며, \dim V\ge\aleph_0인 경우 이는 곱집합과 다르다.

## 연산
같은 체 K 위의 벡터 공간들이 주어졌을 때, 다음과 같은 연산들을 정의할 수 있다.
섬네일|300px|선분과 벡터 공간

### 몫공간
체 K 위의 벡터 공간 V와 그 임의의 부분 공간 W가 주어졌다고 하자. 그렇다면 V 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.
:v\sim w\iff v-w\in W
이 동치 관계에 대한 동치류는 다음과 같다.
:[v]_\sim=v+W=\{v+w\colon w\in W\}\qquad(v\in V)
**몫공간**(몫空間, ) V/W는 집합으로서 이 동치 관계에 대한 몫집합(=동치류들의 집합)이다.
:V/W=\{v+W\colon v\in V\}
그 위의 벡터 공간 연산은 다음과 같다.
:(v+W)+(w+W)=(v+w)+W
:a\cdot(v+W)=a\cdot v+W
이 정의는 동치류의 대표원을 선택하는 방식과 무관하다. 또한, 이들 연산은 집합으로서의 연산과 일치하지 않는다.

### 직접곱

K 위의 벡터 공간들의 집합 \{V_i\}_{i\in I}이 주어졌을 때, 이들의 **[[직접곱]]**
:\prod_{i\in I}V_i
은 집합으로서 V_i들의 곱집합이다. 이 위에는 자연스러운 K-벡터 공간의 구조가 존재한다. 즉,
:(a_i)_{i\in I}+(b_i)_{i\in I}=(a_i+b_i)_{i\in I}
:c\cdot(a_i)_{i\in I}=(c\cdot a_i)_{i\in I}
이는 벡터 공간의 범주에서의 곱이며, 대수 구조로서의 직접곱이다. 즉, 자연스러운 사영 사상
:\pi_i\colon\prod_{i\in I}V_i\to V_i
이 존재하며, 이는 선형 변환을 이룬다.

### 직합

K 위의 벡터 공간들의 집합 \{V_i\}_{i\in I}이 주어졌을 때, 이들의 **[[직합]]**은 다음과 같다.
:\bigoplus_{i\in I}V_i=\left\{a\in \prod_{i\in I}V_i\colon|\{i\in I\colon a_i\ne0\}|
즉, 직접곱에서, 오직 유한 개의 성분만 0이 아닌 원소들로 구성된 부분 집합이다. 이는 벡터 공간의 범주에서의 쌍대곱이며, 가군의 직합의 특수한 경우이다. 즉, 자연스러운 포함 사상
:\iota_i\colon V_i\hookrightarrow\bigoplus_{i\in I}V_i
가 존재하며, 따라서 각 V_i는 \bigoplus_{i\in I}V_i의 부분 공간을 이룬다.

유한 직합은 직접곱과 같으나, 무한 직합은 일반적으로 직접곱의 부분 공간이다. 만약 S_i\subset V_i가 V_i의 기저라면,
:\bigcup_{i\in I}\iota_i(S_i)\subset\bigoplus_{i\in I}V_i
는 \bigoplus_{i\in I}V_i의 기저를 이룬다. 따라서,
:\dim\bigoplus_{i\in I}V_i=\sum_{i\in I}\dim V_i
이다. 여기서 우변은 기수의 합이다.

### 텐서곱
K 위의 벡터 공간들의 집합 \{V_i\}_{i\in I}이 주어졌을 때, 이들의 **텐서곱**
:\bigotimes_{i\in I}V_i=\operatorname{Free}\left(\prod_{i\in I}V_i\right)/\sim
이 존재한다. 이는 자연스러운 다중 선형 사상
:\phi\colon\prod_{i\in I}V_i\to \bigotimes_{i\in I}V_i
을 가지며, 또한 임의의 다른 다중 선형 사상
:\chi=\prod_{i\in I}V_i\to W
이 주어졌을 때, 유일한 선형 사상
:\tilde\chi\colon \bigotimes_{i\in I}V_i\to W
:\tilde\chi\circ\phi=\chi
가 존재한다. 텐서곱은 이 보편 성질로부터 유일하게 정의되며, 또 항상 존재한다. 그러나 무한 개의 벡터 공간들의 텐서곱은 직접 정의하기 힘들다.

임의의 두 벡터 공간 V, W에 대하여, 다음이 성립한다.
:\dim(V\otimes W)=\dim V\cdot\dim W
여기서 \cdot은 기수의 곱셈이다.

## 성질
체 K 위의 벡터 공간 K는 다음 성질들을 만족시킨다.
* 사영 가군이다.
* 평탄 가군이다.
* 자유 가군이다.
즉, 체 위에서는 모든 가군이 자유 가군이 된다.

### 집합론적 성질
체 K 위의 벡터 공간 V의 집합의 크기는 다음과 같다.
:|V|=\begin{cases}|K|^{\dim_KV}&\kappa과 동형이다.
* 체 K에 대하여, 다항식환 K[x] 및 형식적 거듭제곱 급수환 Fx는 K 위의 벡터 공간이다.
* 임의의 체의 확대 L/K의 경우, L은 K 위의 벡터 공간을 이루며, 벡터 공간으로서의 차원은 체의 확대의 차수이다.
** 유한체 \mathbb F_{p^n}은 \mathbb F_p 위의 n차원 벡터 공간이다.
** \mathbb C는 \mathbb R 위의 2차원 벡터 공간이다.
** \mathbb R는 \mathbb Q 위의 2^{\aleph_0}차원 벡터 공간이다.
** 모든 대수적 수체는 \mathbb Q 위의 벡터 공간이다.

## 관련 개념
벡터 공간에 성질을 추가하여 만든 구조로는 거리의 개념을 준 **[[노름 공간]]** · **[[바나흐 공간]]**, 각의 개념을 준 **[[내적 공간]]** · **[[힐베르트 공간]]**, 위상적 성질을 가진 **[[위상 벡터 공간]]** · **[[국소 볼록 공간]]** · **[[프레셰 공간]]**, 벡터 곱을 준 **[[대수 (환론)|체 위의 대수]]** 등이 있다.

벡터 공간은 임의의 환 위의 **[[가군]]**의 개념의 특수한 경우이다. 그러나 일반적인 환 위의 일반적인 가군은 벡터 공간과 매우 다른 성질을 보인다. 벡터 공간과 비슷한 성질을 보이는 가군을 **[[자유 가군]]**이라고 한다.

## 같이 보기
* 사원수
* 행렬식

## 각주

## 참고 문헌
* 
* 

## 외부 링크
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 


분류:대수 구조
분류:벡터
분류:물리학 개념