코니폴드

기하학에서 **코니폴드**()는 다양체의 한 일반화로, 다양체와는 다르게 뿔 꼴의 특이점을 가진다. 즉, 어떤 점의 열린 이웃이 뿔처럼 생길 수 있다. 끈 이론에서 코니폴드가 중요한 역할을 한다. 특이점을 가지고 있음에도 불구하고, 이러한 공간 위에서 끈 이론을 정의할 수 있다. 끈 이론에서는 이러한 특이점에 D-막이 감겨 있는 것으로 해석하고, 코니폴드 특이점을 통해 위상 수학적으로 서로 다른 두 공간 사이를 매끄럽게 전이할 수 있다.

## 정의
**코니폴드**는 국소적으로 뿔 모양의 특이점을 가질 수 있는 칼라비-야우 대수다양체이다. 이 대수 다양체의 특이점은 두 가지의 방법으로 해소할 수 있다. 하나는 이 대수다양체의 복소 모듈러스를 바꾸는 것으로, 이를 **변형**()이라고 한다. 다른 하나는 대수 다양체의 특이점을 부풀리는 것이다. 이를 **분해**()라고 한다. 6차원 코니폴드의 경우, 코니폴드를 변형시키면 대개 꼭짓점이 3차원 부분공간으로 부풀려지고, 코니폴드를 분해시키면 꼭짓점이 2차원 부분공간으로 부풀려진다.

코니폴드의 변형과 분해는 끈 이론으로 해석할 수 있다. 끈 이론은 특이점에도 불구하고 6차원의 코니폴드에 축소화할 수 있다. 끈 이론에서, 특이점 주위에 D-막이 감겨 있음을 알 수 있다. IIA종 끈 이론의 관점에서는 분해된 코니폴드의 2차원 꼭짓점에 D2-막이 감긴 것으로 해석하고, IIB종 끈 이론의 관점에서는 변형된 코니폴드의 3차원 꼭짓점에 D3-막이 감긴 것으로 해석한다.

이와 같이, 변형된 코니폴드에서 꼭짓점의 크기를 0으로 보내고, 이를 분해하여 위상수학적으로 다른 칼라비-야우 다양체를 얻을 수 있다. 이로써 알려진 대부분의 3차원 칼라비-야우 다양체들을 연관지을 수 있다.

**코니폴드**는 다음과 같은 3차원 복소수 아핀 대수다양체이다.
:X = \operatorname{Spec} \frac{\mathbb C[z_1,z_2,z_3,z_4]}{(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2)}
이는 칼라비-야우 다양체이며, z_1=z_2=z_3=z_4=0에서 2차 특이점()을 가진다.

대신
:M = \begin{pmatrix}
z_1+\mathrm iz_2 & \mathrm iz_3+z_4 \\
\mathrm iz_3-z_4 & z_1 - \mathrm iz_2
\end{pmatrix}
를 정의하면, 코니폴드를 정의하는 식은
:\det M = z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2 = 0
인 것이 된다.

## 성질
### 뿔 구조
이 특이점 근처에서 다음과 같은 국소 좌표계를 도입하자.
:z_i=x_i+iy_i
:\mathbf x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4
:\mathbf y=(y_1,y_2,y_3,y_4)\in\mathbb R^4
이 좌표로 쓰면 대수다양체를 정의하는 식 \sum_iz_i^2=0은 다음과 같다.
:\Vert\mathbf x\Vert^2-\Vert\mathbf y\Vert^2=\operatorname{Re}\psi
:\mathbf x\cdot\mathbf y=\operatorname{Im}\psi
따라서, \psi=0일 경우, 2r=\sqrt{\Vert\mathbf x\Vert^2+\Vert\mathbf y\Vert^2}에 대하여
:\Vert\mathbf x\Vert^2=r^2
:\Vert\mathbf y\Vert^2=r^2
:\mathbf x\perp\mathbf y
주어진 r에 대하여, \Vert\mathbf x\Vert^2=r^2는 반지름이 r인 3차원 초구 S3를 정의하고, 주어진 \rho와 \mathbf x에 대하여 \Vert\mathbf y\Vert^2=r^2은 (\mathbf y는 \mathbf x에 수직이므로) 2차원 구 S2를 정의한다. S3와 S2의 반지름은 둘 다 r이므로, 이는 (위상수학적으로) 밑()이 S3×S2인 뿔을 정의한다. (정확히 말하면, 이는 S3 위의 접다발 TS3의 사영화()이지만, S3의 접다발은 자명하므로 이는 S3×S2로 간주할 수 있다.)

### 대칭
이 (실수6차원) 코니폴드는 실수5차원 사사키-아인슈타인 다양체에 대한 뿔이다. 이 사사키-아인슈타인 다양체는
:T^{1,1} = \frac{\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)}{\operatorname U(1)}
이며, 여기서 U(1)은 두 SU(2)의 카르탕 부분군 \operatorname U(1)\times\operatorname U(1)의 대각 부분군이다. 이는 위상수학적으로 S^3\times S^2이다. 그 등거리변환군은 SU(2)×SU(2)×U(1)이다.

구체적으로, 코니폴드를 정의하는 다항식
:\det M = 0
의 일반해는 다음과 같은 꼴이다.
:M = \begin{pmatrix}A_1&A_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}B_1\\B_2\end{pmatrix}
이러한 좌표에서, \operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\times\operatorname U(1)의 작용은
:(g_{\text{L}},g_{\text{R}},\exp(\mathrm i\theta)) \colon \left(\begin{pmatrix}A_1\\A_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}B_1\\B_2\end{pmatrix}\right)
\mapsto \left(
\exp(\mathrm i\theta)g_{\text{L}}\begin{pmatrix}A_1\\A_2\end{pmatrix},
\exp(\mathrm i\theta)g_{\text{L}}\begin{pmatrix}B_1\\B_2\end{pmatrix}\right)
이다.

### 특이점의 해소
이 코니폴드의 특이점은 변형을 통해 S^3로, 또는 분해를 통해 S^2로 해소된다.
:600px

#### 코니폴드의 변형
코니폴드의 특이점을 해소하기 위해, 대수다양체를 다음과 같이 변형시키자.
:z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2=\psi
여기서 \psi는 복소수인 모듈러스다. 이제, \psi\ne0인 경우를 생각하자. z_i를 재정의하여 \psi가 양의 실수이게 놓을 수 있다. 이제 \psi=2r_0^2라고 놓으면
:\Vert\mathbf x\Vert^2=r^2+r_0^2
:\Vert\mathbf y\Vert^2=r^2-r_0^2
:\mathbf x\perp\mathbf y
이다. 따라서 r\ge r_0임을 알 수 있다. r=r_0에서는 \mathbf y=0이고, \lVert\mathbf x\rVert=\sqrt 2r_0이므로, 특이점이 S3로 부풀려진 것을 알 수 있다. 이를 코니폴드의 **변형**(變形, )이라고 한다.

#### 코니폴드의 분해
특이점을 다른 방법으로 없앨 수도 있다. 대수다양체의 정의식을 다음과 같이 쓰자.
:\det\begin{pmatrix}
z_1+z_2&i(z_3+z_4)\\
i(z_3-z_4)&z_1-z_2
\end{pmatrix}=0
여기에 하나의 좌표 (w_1,w_2)\in\mathbb CP^2를 추가하자. 여기서 (w_1,w_2)는 \mathbb CP^2의 동차좌표이다.
:
\begin{pmatrix}
z_1+z_2&i(z_3+z_4)\\
i(z_3-z_4)&z_1-z_2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}=0
특이점 z_i=0 밖에서는 행렬
:\begin{pmatrix}
z_1+z_2&i(z_3+z_4)\\
i(z_3-z_4)&z_1-z_2
\end{pmatrix}
가 하나의 교윳값 0의 고유벡터를 가지므로 (w_1,w_2)\in\mathbb CP^2는 완전히 결정되고, 이 대수다양체는 원래 코니폴드와 같다. 하지만 원래 특이점 z_i=0에서는 (w_1,w_2)\in\mathbb CP^2는 임의의 값을 가질 수 있다. 따라서 특이점이 매끄러운 \mathbb CP^2로 대체되고, 특이점이 해소된 것을 알 수 있다. 이러한 과정을 코니폴드의 **분해**(分解, )라고 한다.

## 응용
코니폴드 위에 ⅡB 초끈 이론을 축소화한 뒤, 코니폴드의 꼭짓점에 N개의 D3-막을 추가하자. 그렇다면, D3-막의 세계부피 위에는 3+1차원 \mathcal N=1 초대칭 게이지 이론이 존재한다. AdS/CFT 대응성에 의하여, 적절한 극한을 취하면, 이 초끈 이론과 동치인 \mathcal N=1 초등각 장론을 찾을 수 있다. 이를 **클레바노프-위튼 모형**()이라고 한다.

구체적으로, 이에 대응하는 4차원 \mathcal N=1 장론은 다음과 같은 초장을 갖는다.
:
이 경우, 초퍼텐셜은 다음과 같은 꼴이다.
:W = \frac12\lambda \epsilon^{ij}\epsilon^{kl} \operatorname{tr} (A_i B_k A_j B_l )
여기서
* \lambda는 고전적으로 [질량]&minus;1의 단위를 갖는 결합 상수이다.
* \operatorname{tr}은 *N*×*N* 정사각 행렬의 대각합이다.
* \epsilon^{ij}는 2차원 레비치비타 기호이며, SU(2)의 표현 \mathbf{2}\otimes\mathbf{2}=\mathbf{3}\oplus\mathbf{1}에서 자명한 표현을 고른다.
이는 음의 단위의 결합 상수를 가지므로 고전적으로 재규격화될 수 없지만, 양자역학적으로 이 항은 비정상 차원으로 인하여 사실 경계 연산자()를 이룬다. 즉, 이 항을 켜는 것은 등각 장론의 모듈라이 공간 속을 이동하는 것에 해당한다.

특히, 만약 N=1인 경우를 생각하자. 그렇다면, 페예-일리오풀로스 항을 켤 수 있으며, 그 *D* 보조장은 다음과 같다.
:|A_1|^2+|A_2|^2-|B_1|^2-|B_2|^2 - \zeta
여기서 \zeta는 페예-일리오풀로스 항의 결합 상수이다. 페예-일리오풀로스 항을 켜지 않으면, 그 모듈라이 공간은 코니폴드가 됨을 알 수 있다. 페예-일리오풀로스 항을 켜는 것은 코니폴드의 변형에 해당한다.

## 역사
위상수학적으로 서로 다른 복소수 3차원 칼라비-야우 다양체들의 모듈러스 공간이 사실 연결되어 있을 수 있다는 가실은 마일스 리드()가 1987년에 제안하였다. 이후 1988년에 필립 칸델라스() 등이 코니폴드에 의한 위상 변환의 가능성을 발견하였다. 곧 당시 알려진 거의 모든 복소3차원 칼라비-야우 다양체들의 모듈러스 공간들이 코니폴드 변환을 통해 연결되어 있다는 사실이 발견되었다.

‘코니폴드’()라는 이름은 (뿔)과 (다양체)를 합성한 단어이며, 1990년에 최초로 사용되었다. 앤드루 스트로민저 등이 1995년에 이를 D-막을 통해 해석하였다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:끈 이론
분류:특이점 이론