모노이드 범주

범주론에서 **모노이드 범주**(monoid範疇, )는 동형 사상 아래 결합 법칙이 성립하고  동형 사상 아래 왼쪽·오른쪽 항등원이 존재하는 이항 연산을 갖는 범주이다. 모노이드 범주 속에는 모노이드 대상의 개념을 정의할 수 있다.

## 정의
**모노이드 범주** (\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 범주 \mathcal C
* 함자 \otimes\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C
* 대상 I\in\mathcal C. 이를 **항등원**(恒等元, )이라고 한다.
* 함자 (-\otimes-)\otimes-\colon\mathcal C\times\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C, -\otimes(-\otimes-)\colon\mathcal C\times\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C 사이의 자연 동형 \alpha\colon(-\otimes-)\otimes-\Rightarrow-\otimes(-\otimes-). 그 성분을 \alpha_{XYZ}\colon(X\otimes Y)\otimes Z\to X\otimes(Y\otimes Z)로 쓰자. 이를 **결합자**(結合子, )라고 한다.
* 함자 I\otimes\colon\mathcal C\to\mathcal C, \operatorname{Id}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\mathcal C 사이의 자연 동형 \lambda\colon I\otimes\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal C}. 그 성분을 \lambda_X\colon I\otimes X\to X로 쓰자. 이를 **왼쪽 항등자**(왼쪽恒等子, )라고 한다.
* 함자 \otimes I\colon\mathcal C\to\mathcal C, \operatorname{Id}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\mathcal C 사이의 자연 동형 \rho\colon \otimes I\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal C}. 그 성분을 \rho_X\colon X\otimes I\to X로 쓰자. 이를 **오른쪽 항등자**(오른쪽恒等子, )라고 한다.
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* (결합자의 일관성) 임의의 대상 X,Y,Z,W\in\mathcal C에 대하여, \alpha_{X,Y,Z\otimes W}\circ\alpha_{X\otimes Y,Z,W}=\operatorname{id}_X\otimes\alpha_{Y,Z,W}\circ\alpha_{X,Y\otimes Z,W}\circ\alpha_{X,Y,Z}\otimes\operatorname{id}_W. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
*:\begin{matrix}
((X\otimes Y)\otimes Z)\otimes W
&\xrightarrow\alpha
&(X\otimes(Y\otimes Z))\otimes W
&\xrightarrow\alpha
&X\otimes((Y\otimes Z)\otimes W)\\
&{\scriptstyle\alpha}\searrow&&&\downarrow\scriptstyle\alpha\\
&&(X\otimes Y)\otimes(Z\otimes W)
&\xrightarrow[\alpha]{}
&X\otimes(Y\otimes(Z\otimes W))
\end{matrix}
* (항등원의 일관성) 임의의 대상 X,Y\in\mathcal C에 대하여, \alpha_{X,I,Y}\circ\operatorname{id}_X\otimes\lambda_Y=\rho_X\otimes\operatorname{id}_Y. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
*:\begin{matrix}
(X\otimes I)\otimes Y&\xrightarrow \alpha&X\otimes(I\otimes Y)\\
&{\scriptstyle\rho}\searrow&\downarrow\scriptstyle\lambda\\
&&X\otimes Y
\end{matrix}

### 모노이드 함자
두 모노이드 범주 (\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)와 (\mathcal C',\otimes',I',\alpha',\lambda',\rho') 사이의 **(강한) 모노이드 함자**(monoid函子, ) (F,\xi,\xi_0)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal C'
* 자연 동형 \xi\colon F(-)\otimes'F(-)\to F(-\otimes -). 그 성분을 \xi_{X,Y}\colon F(X)\otimes'F(Y)\to F(X\otimes Y)로 쓰자.
* 동형 사상 \xi_0\colon I' \to F(I)
이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* (결합자의 보존) 임의의 대상 X,Y,Z\in\mathcal C에 대하여, F\alpha_{X,Y,Z}\circ\xi_{X\otimes Y,Z}\circ(\xi_{X,Y}\otimes\operatorname{id}_{F(Z)})=\xi_{X,Y\otimes Z}\circ(\operatorname{id}_{F(X)}\otimes\xi_{Y,Z})\circ\alpha'_{F(X),F(Y),F(Z)}. 즉, 다음 그림이 가환 그림이다.
*:\begin{matrix}
(F(X)\otimes' F(Y))\otimes' F(Z)
&\xrightarrow{\xi\otimes\operatorname{id}}
&F(X\otimes Y)\otimes' F(Z)
&\xrightarrow{\xi}
&F((X\otimes Y)\otimes Z)\\
\downarrow\scriptstyle\alpha'&&&&\downarrow\scriptstyle F\alpha\\
F(X)\otimes'(F(Y)\otimes' F(Z))
&\xrightarrow[\operatorname{id}\otimes\xi]{}
&F(X)\otimes'F(Y\otimes Z)
&\xrightarrow[\xi]{}
&F(X\otimes(Y\otimes Z))
\end{matrix}
* (왼쪽 항등자의 보존) 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여, \lambda'_{F(X)}=F\lambda_X\circ\xi_{I,X}\circ(\xi_0\otimes\operatorname{id}_{F(X)}). 즉, 다음 그림이 가환 그림이다.
*:\begin{matrix}
I'\otimes' F(X)
&\xrightarrow{\xi_0\otimes\operatorname{id}}
&F(I)\otimes' F(X)\\
{\scriptstyle\lambda'}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle \xi\\
F(X)&\xleftarrow{F\lambda}&F(I\otimes X)
\end{matrix}

* (오른쪽 항등자의 보존) 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여, \rho'_{F(X)}=F\rho_X\circ\xi_{X,I}\circ(\operatorname{id}_{F(X)}\otimes\xi_0). 즉, 다음 그림이 가환 그림이다.
*:\begin{matrix}
F(X)\otimes' I'
&\xrightarrow{\operatorname{id}\otimes\xi_0}
&F(X)\otimes' F(I)\\
{\scriptstyle\rho'}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle \xi\\
F(X)&\xleftarrow{F\rho}&F(X\otimes I)
\end{matrix}

자연 동형 \xi를 자연 변환으로 약화시키고, 동형 사상 \xi_0을 사상으로 약화시키면 **약한 모노이드 함자**()의 정의를 얻는다.

### 모노이드 자연 변환
두 모노이드 범주 (\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)와 (\mathcal C',\otimes',I',\alpha',\lambda',\rho') 사이의 두 모노이드 함자 (F,\xi,\xi_0)와 (G,\phi,\phi_0) 사이의 **모노이드 자연 변환**(monoid自然變換, )은 다음 두 조건을 만족시키는 자연 변환 \eta\colon F\Rightarrow G이다.
* (모노이드 함자 구조의 보존) 임의의 대상 X,Y\in\mathcal C에 대하여, \eta_{X\otimes Y}\circ\xi_{X,Y}=\phi_{X,Y}\circ(\eta_X\otimes\eta_Y). 즉, 다음 그림이 가환한다.
*:\begin{matrix}
F(X)\otimes F(Y)
&\xrightarrow{\xi}
&F(X\otimes Y)\\
{\scriptstyle\eta\otimes\eta}\downarrow
&&\downarrow{\scriptstyle\eta}\\
G(X)\otimes G(Y)
&\xrightarrow[\phi]{}
&G(X\otimes Y)
\end{matrix}

* (모노이드 함자 구조의 보존) \phi_0=\eta_I\circ\xi_0. 즉, 다음 그림이 가환한다.
*:\begin{matrix}
I' & \xrightarrow{\xi_0} & F(I) \\
& {\scriptstyle\phi_0}\searrow & \downarrow{\scriptstyle\eta_I} \\
&& G(I)
\end{matrix}


## 추가 구조와 종류
### 대칭 모노이드 범주

모노이드 범주에서, 이항 연산은 일반적으로 교환 법칙을 만족시키지 않는다. 즉, 임의의 두 대상 X,Y에 대하여, X\otimes Y\cong Y\otimes X일 필요가 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, **[[대칭 모노이드 범주]]**의 개념을 얻는다.

### 닫힌 모노이드 범주

모노이드 범주에서, 모노이드 연산과 호환되는 일종의 지수 대상의 존재에 대한 조건을 추가하면, **[[닫힌 모노이드 범주]]**의 개념을 얻는다.

## 예
(끝 대상을 포함한) 유한 곱이 존재하는 범주는 곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 모노이드 범주를 **데카르트 모노이드 범주**()라고 한다. 마찬가지로, (시작 대상을 포함한) 유한 쌍대곱이 존재하는 범주는 쌍대곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이루며, 이러한 모노이드 범주를 **쌍대 데카르트 모노이드 범주**()라고 한다.

## 역사
손더스 매클레인이 1963년에 모노이드 범주 및 대칭 모노이드 범주의 개념을 정의하였고, 모노이드 범주가 만족시켜야 하는 (무한한 수의) 항등식 가환 그림들이 오직 5개의 가환 그림만으로 함의된다는 **매클레인 일관성 정리**(Mac Lane一貫性定理, )를 증명하였다. 조금 더 정확히 말하면, 모든 모노이드 범주는 결합자와 두 항등자가 모두 항등 자연 변환인 모노이드 범주와 (모노이드 범주로서) 동치이다. 이후 그레고리 맥스웰 켈리(, 1930~2007)가 매클레인의 5개의 가환 그림이 2개(오각형과 삼각형)의 가환 그림만으로 함의된다는 것을 보였다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:범주론