푸비니 정리

해석학에서 **푸비니 정리**(-定理, ) 또는 **푸비니-토넬리 정리**(-定理, )는 이중 적분은 두 번의 일변수 적분을 통해 구할 수 있고, 이는 두 변수에 대한 적분의 순서와 무관하다는 정리이다.

## 정의
### 추이 측도로 유도된 측도의 경우
다음이 주어졌다고 하자.
* 시그마 유한 측도 공간 (X,\mathcal F,\mu)
* 가측 공간 (Y,\mathcal G)
* 시그마 유한 추이 측도 \nu\colon X\times\mathcal G\to[0,\infty]
그렇다면, 곱 가측 공간 (X\times Y,\mathcal F\times\mathcal G) 위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도 \mu\times\nu가 존재하며, 이는 시그마 유한 측도를 이룬다.
:(\mu\times\nu)(A\times B)=\int_A\nu(x,B)\mathrm d\mu(x)\qquad(\forall A\in\mathcal F,\;B\in\mathcal G)
구체적으로 이 측도는 다음과 같다.
:(\mu\times\nu)(S)=\int_X\nu(x,\{y\in Y\colon(x,y)\in S\})\mathrm d\mu(x)\qquad(\forall S\in\mathcal F\times\mathcal G)
또한, **일반화 푸비니 정리**(一般化-定理, )에 따르면, 다음이 성립한다.
* 임의의 음이 아닌 가측 함수 f\colon X\times Y\to([0,\infty),\mathcal B([0,\infty)))에 대하여, 다음 함수는 가측 함수이다.
*:(X,\mathcal F)\to([0,\infty],\mathcal B([0,\infty]))
*:x\mapsto\int_Yf(x,y)\mathrm d\nu(x,\cdot)(y)
* 임의의 가측 함수 f\colon X\times Y\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))에 대하여, 만약 f의 적분이 확장된 실수로서 존재한다면, 다음이 성립한다. (특히, 만약 f가 (\mu\times\nu)-적분 가능하다면, 거의 모든 x\in X에 대하여, y\mapsto f(x,y)는 \nu(x,\cdot)-적분 가능하다.)
*:\int_{X\times Y}f\mathrm d(\mu\times\nu)=\int_X\mathrm d\mu(x)\int_Yf(x,y)\mathrm d\nu(x,\cdot)(y)

### 곱측도의 경우
두 시그마 유한 측도 공간 (X,\mathcal F,\mu)와 (Y,\mathcal G,\nu)가 주어졌다고 하자. 또한 (X\times Y,\mathcal F\times\mathcal G,\mu\times\nu)가 곱측도 공간이라고 하자. **푸비니 정리**에 따르면, 다음이 성립한다.
* 임의의 음이 아닌 가측 함수 f\colon X\times Y\to([0,\infty),\mathcal B([0,\infty)))에 대하여, 다음 두 함수는 가측 함수이다.
*:(X,\mathcal F)\to([0,\infty],\mathcal B([0,\infty]))
*:x\mapsto\int_Yf(x,y)\mathrm d\nu(y)
*:(Y,\mathcal G)\to([0,\infty],\mathcal B([0,\infty]))
*:y\mapsto\int_Xf(x,y)\mathrm d\mu(x)
* 임의의 가측 함수 f\colon X\times Y\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))에 대하여, 만약 f의 적분이 확장된 실수로서 존재한다면, 다음이 성립한다.  (특히, 만약 f가 (\mu\times\nu)-적분 가능하다면, 거의 모든 x\in X에 대하여 y\mapsto f(x,y)는 \nu-적분 가능하며, 거의 모든 y\in Y에 대하여 x\mapsto f(x,y)는 \mu-적분 가능하다.)
*:\int_{X\times Y}f\mathrm d(\mu\times\nu)
=\int_X\mathrm d\mu(x)\int_Yf(x,y)\mathrm d\nu(y)
=\int_Y\mathrm d\nu(y)\int_Xf(x,y)\mathrm d\mu(x)

이는 추이 측도에 대한 결과에서 다음 두 추이 측도를 취하여 얻는 특수한 경우이다.
:X\times\mathcal G\to[0,\infty]
:(x,B)\mapsto\nu(B)
:Y\times \mathcal F\to[0,\infty]
:(y,A)\mapsto\mu(A)

### 리만 적분

직사각형 [a,b]\times[c,d]\subseteq\mathbb R 위에 정의된 함수 f\colon[a,b]\times[c,d]\to\mathbb R가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* f는 [a,b]\times[c,d] 위에서 리만 적분 가능하다.
* 임의의 x\in[a,b]에 대하여, y\mapsto f(x,y)는 [c,d] 위에서 리만 적분 가능하다.
* 임의의 y\in[a,b]에 대하여, x\mapsto f(x,y)는 [a,b] 위에서 리만 적분 가능하다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
* x\mapsto\int_c^df(x,y)\mathrm dy와 y\mapsto\int_a^bf(x,y)\mathrm dx는 [a,b] 위에서 리만 적분 가능하다.
* \iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy=\int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y)\mathrm dy=\int_c^d\mathrm dy\int_a^bf(x,y)\mathrm dx

다르부 적분의 정의에 따라, 임의의 x\in[a,b]에 대하여 리만 적분
:\int_c^df(x,y)\mathrm dy
가 존재한다는 가정 아래 다음 부등식이 성립함을 보일 수 있다.
:\operatorname L\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy
\le\operatorname L\int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y)\mathrm dy
\le\operatorname U\int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y)\mathrm dy
\le\operatorname U\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy

여기서 \operatorname U와 \operatorname L은 각각 다르부 상적분과 다르부 하적분을 나타낸다. 따라서 만약 추가로 f가 [a,b]\times[c,d]에서 리만 적분 가능할 경우 위 네 식이 모두 같아지므로 리만 적분
:\int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y)\mathrm dy
가 존재하며
:\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy=\int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y)\mathrm dy
이다. 남은 절반의 증명은 유사하다.

#### 이상 적분

확장된 실수 a 및 실수 c 및 함수 f\colon(a,b)\times[c,d]\to\mathbb R가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* f는 연속 함수이다.
* 이상 적분 \int_a^bf(x,y)\mathrm dx는 y\in[c,d] 위에서 균등 수렴한다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
* 이상 적분 \int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y)\mathrm dy가 존재한다.
* \int_c^d\mathrm dy\int_a^bf(x,y)\mathrm dx=\int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y)\mathrm dy
그 밖에도 다양한 꼴의 이상 적분에 대하여 유사한 결론이 성립한다.

## 역사
이탈리아의 수학자 귀도 푸비니의 이름이 붙어 있다.

## 같이 보기
* 카발리에리의 원리
* 쿠라토프스키-울람 정리

## 각주

## 외부 링크
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