컴퍼스와 자 작도

섬네일|정육각형의 작도
[섬네일|작도를 할 때 사용되는 [컴퍼스의 모습]]
컴퍼스와 자를 이용한 **작도**(作圖, )는 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용해 여러 가지 도형을 그리는 고전 기하학의 여러 가지 문제들을 가리킨다. 이때 자는 직선을 긋는 용도로만 사용되고, 컴퍼스는 원을 그리고,  선분의 길이를 옮기는 데에 사용된다.

## 정다각형의 작도
정다각형을 작도하다 보면 작도가 될 때도 있고 안 될 때도 있다. 이 사실은 '어떤 정다각형이 작도가 가능하고 어떤 정다각형이 작도가 불가능하냐'라는 문제로 이어졌다. 작도 가능한 정다각형의 판정방법은 다음과 같다.

:만약 n이 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수들의 곱들로 이루어져 있을 때, 정n각형은 작도 가능하다.

좀 더 풀어 쓰면, 작도 가능한 정다각형은 다음 조건들로 나타내어진다.
# n이 페르마 소수라면, 즉 2^{2^a}+1의 꼴의 수 중에서 소수라면 정n각형은 작도 가능하다.
# n이 서로 다른 페르마 소수들의 곱일 경우 정n각형은 작도 가능하다.
# 정n각형이 작도 가능할 경우 정2n각형도 작도 가능하다.

## 작도 가능한 각
정삼각형의 작도가 가능하므로 정삼각형의 한 내각의 크기인 60°는 작도가 가능하고, 정오각형의 작도가 가능하므로 정오각형의 한 외각의 크기인 72°는 작도가 가능하다. 또한, 60°를 4등분 해 15°, 30°, 45°의 작도가 가능하고, 72°를 4등분 해 18°, 36°, 54°의 작도가 가능하다.

따라서 18°에서 15°를 뺀 3°가 작도 가능하므로, 작도 가능한 각은 3의 배수이다. 또한 22.5°, 78.75° 같은 1.5의 배수, 0.75의 배수인 각 또한 작도 가능하다.

정십칠각형, 정이백오십칠각형의 작도가 가능하므로 \frac {360^\circ}{17}인 각과 \frac {360^\circ}{17}의 배수인 각 또한 작도가 가능하며, \frac {360^\circ}{257}인 각과 \frac {360^\circ}{257}의 배수인 각 또한 작도할 수 있다.

## 기본적인 작도
### 각의 이등분선
섬네일|각의 이등분선

이등분할 각은 임의의 세 점인 점 X, 점 O, 점 Y가 이루는 각 XOY이다.
# 점 O를 중심으로 하는 적당한 크기의 원을 그려 반직선 OX, 반직선 OY와의 교점을 각각 A, B라고 한다.
# 점 A, B를 중심으로 하고 반지름 길이가 같은 두 원을 그려, 그 교점 중 하나를 P라고 한다.
# 반직선 OP를 그린다.
# 두 이등분각은 각 XOP와 각POY이다.

#### 증명
선분 OA=선분 OB, 선분 AP=선분 BP, 선분 OP는 공통 (SSS합동)
각 AOP와 각 BOP가 서로 대응각이므로 선분 OP는 각의 이등분선이다.

### 선분의 수직이등분선
섬네일|선분의 수직이등분선

# 선분의 양 끝점을 중심으로, 반지름이 선분의 반보다 적당히 큰 원을 둘 그린다.
# 두 원이 만나서 생기는 교점끼리 잇는다.

#### 증명
위와 같이 해서 마름모를 그릴 수 있다. 마름모의 대각선의 성질은 서로 수직 이등분한다는 것이다. 따라서, 수직이등분하려는 위의 선분은 수직이등분된다. 또한, 마름모의 네 변의 길이는 모두 같으므로 작도 과정에서 생긴 두 원의 교점을 각각 P, Q라고 하고 선분의 양 끝점을 각각 A, B라고 할 때 점 A, B에서 점 P, Q와의 거리는 모두 같다.

### 크기가 같은 각
섬네일|500px|크기가 같은 각

# 점 O를 중심으로 하는 적당한 크기의 원을 그려 반직선 OX, 반직선 OY와의 교점을 각각 A, B라고 한다.
# 컴퍼스 크기를 그대로 하여 점 P를 중심으로 하는 원을 그려 반직선 PQ와의 교점을 D라고 한다.
# 점 D를 중심으로 하고 선분 AB를 반지름으로 하는 원을 그려 위 원과의 교점을 C라고 한다.

### 수선 (평각의 이등분)
수선(평각의 이등분선)
# 점 P를 중심으로 적당한 크기의 원을 그려서 직선 *l*과 만나는 교점을 각각 A, B라고 한다. (점P는 직선*l*위에 있지 않다.)
# 점 A를 중심으로 적당한 원을 그린다.
# 점 B를 중심으로 반지름 길이가 위와 같은 원을 그린다. 그리고 위 원과의 교점을 Q라고 한다.
# 직선 PQ를 그린다.

### 선분의 등분
선분의 3등분
만약 어떤 선분을 a등분하고 싶다고 할 때의 등분법은 다음과 같다.
# 등분하고자 하는 선분에서 임의의 각도로 반직선을 하나 긋는다.
# 반직선의 시작점에서 일정한 길이씩 떨어진 a개의 점을 만든다.
# 가장 끝의 점과 선분의 반직선과 접하지 않은 끝을 잇는다.
# 3번의 선분과 평행하고 두 번째 점과 접하는 직선을 그린다.
# 점이 끝날 때까지 평행한 선을 계속 그린다.

### 정삼각형
정삼각형
# 선분의 양 끝 점에서 반지름이 선분과 같은 두 원을 그린다.
# 이때 생기는 교점과 선분 양 끝점을 잇는다.

### 평행선
# 점 P를 지나면서 직선 *l*과 만나는 직선을 그어 그 교점을 점 A라고 한다.
# 점 A를 중심으로 적당한 크기의 원을 그려 직선 PA, 직선 *l*과의 교점을 각각 B, C라고 한다.
# 점 P를 중심으로 반지름의 길이가 위와 같은 원을 그려 직선 PA와의 교점을 점 Q라고 한다.
# 점 B를 중심으로 반지름의 길이가 선분 BC와 같은 원을 그린다.
# 점 Q를 중심으로 반지름의 길이가 4번과 같은 원을 그려 3번 원과의 교점을 점 R이라고 한다.
# 직선 PR을 그린다.

### 직각의 3등분
임의의 각을 3등분 하는 작도는 '3대 작도 불가능 문제' 중 하나지만, 정삼각형을 이용하면 30도를 작도할 수 있으므로 직각은 3등분할 수 있다. 직각의 삼등분 순서는 다음과 같다.
# 직각에서 임의의 반지름을 가지는 호 AB를 그린다. (이하 호의 중심은 O)
# A를 중심으로 1번과 같은 반지름을 가지는 호 OD를 그린다. (이때 D는 호 AB와 원 A 의 교점)
# B를 중심으로 1번과 같은 반지름을 가지는 호 OE를 그린다. (이때 E는 호 AB와 원 B 의 교점)
# O 와 D,E를 이으면 직각이 삼등분된 것이다.

## 자 없이 컴퍼스만으로 하는 작도

이탈리아의 수학자인 로렌초 마스케로니에 의하면 자 없이 컴퍼스만으로 작도할 수 있다는 것이 증명되었다. 단, 이 때에 두 점이 주어지면 직선은 그어진 것이라고 본다. 즉, 원과 원의 교점을 이용하여 작도할 수 있지만 직선과 직선, 직선과 원의 교점은 이용할 수 없는 것과 같다.

이 증명은 모르-마스케로니 정리라고도 불리며, 이 정리의 내용이 담긴 논문은, 평소 수학을 좋아하던 나폴레옹 1세에게 헌정되기도 했다.

## 3대 작도 불가능 문제
**3대 작도 불가능 문제**(３大作圖不可能問題)는 고대 그리스 시대부터 내려온 세 가지 작도 문제이다. 2000년 이상의 오랜 시간 동안 많은 사람들이 풀이를 구하려고 했으나 성공하지 못했고, 19세기에 들어와서 세 가지 문제 모두 작도가 불가능하다는 것이 증명되었다. 세 가지 문제는 다음과 같다.

# 주어진 각을 삼등분하는 문제-각의 3등분 문제
# 주어진 정육면체의 2배 부피를 가지는 정육면체를 작도하는 문제-입방 배적 문제
# 주어진 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하는 문제 -원적 문제

### 주어진 각을 삼등분하는 문제

### 주어진 정육면체의 2배 부피를 가지는 정육면체를 작도하는 문제

이 문제는 흔히 **델로스의 문제**라고도 부른다. 전설에 따르면 기원전 430년, 아테네 시민들이 전염병을 없애려면 어떻게 해야 하냐고 델로스의 아폴로 신탁에 물었을 때, '제단을 두 배로 만들라'는 답을 들었다고 한다. 이에 아테네 시민들이 제단의 각 변을 두 배로 늘려서 만들었는데도, 전염병이 수그러들지 않았다. 왜냐하면 신탁의 답변은 제단의 길이를 두 배로 늘리는 것이 아니라 제단의 부피를 두 배로 늘리라는 것이었기 때문이다. 제단의 길이를 두 배로 늘리면, 제단의 부피는 여덟 배(23)가 된다.

원래 정육면체의 부피를 V라고 한다면, 2V의 부피를 가지는 정육면체는 원래 정육면체보다 변의 길이가 \sqrt[3]{2}배가 되어야 한다. \sqrt[3]{2}는 작도 가능한 수가 아니므로, 이 문제는 눈금없는 자와 컴퍼스로는 해결할 수 없다.

(여기서의 "제단의 길이"는 제단의 모든 길이(가로,세로,높이)를 말한다. 만약 가로길이만을 2배로 한다면 부피는 2배가 된다.)

### 주어진 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하는 문제

눈금없는 자와 컴퍼스를 이용해서는 1:\sqrt{\pi}와 같은 비율을 만들 수 없기 때문에 이 문제는 해결이 불가능하다.

### 삼등분가
위와 같이 3대 작도 불가능 문제는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한 번 사용하는 것으로는 모두 해결이 불가능함이 증명되었다. 그런데 그 중 임의의 각의 삼등분 문제를 해결할 수 있다고 주장하는 사람들을 **삼등분가**(trisector)라고 한다. 이러한 삼등분가들은 자신의 방법으로는 작도가 가능한데, 권위있는 수학자들이 이해를 거부한다는 주장을 펼친다. 또한 이들은 임의의 각의 삼등분이 작도 할 수 없다는 이유를 이해하지 않고, 그들의 주장의 오류를 찾아줘도 인정하지 않기 일쑤이다. 그러나 “**불가능함이 증명되었다.**”는 말은 이 문제에 대하여서는 앞으로 아무리 획기적이고 새로운 논리나 방법론이 등장한다고 하여도 바뀌지 않는 것으로, “**절대로 불가능하다.**”는 의미이므로 이들의 주장은 검토할 가치조차 없는 것이다. 따라서 전 세계의 대부분의 수학계에서는 삼등분가의 주장을 담은 논문은 전혀 인정하지 않는다.
하지만 예외로 고대 그리스의 히피아스라는 수학자가 원적 곡선을 이용해 삼등분각 문제에 성공했지만 원적 곡선이라는 특수한 곡선을 이용했다는 점에서 논란이 있다.

## 같이 보기
* 작도 가능한 수

## 각주

## 외부 링크
* 네이버캐스트 오늘의 과학-삼대 작도 불능 문제


분류:유클리드 기하학