등차수열

섬네일
수학에서 **등차수열**(等差數列, , )은 연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열을 뜻한다. 예를 들어 1, 3, 5, 7, 9, ...은 등차수열이다. 이때 두 항의 차이는 이 수열의 모든 연속하는 두 항들에 대해서 **공**통으로 나타나는 **차**이므로, **공차**()라고 한다. 예를 들어, 앞의 수열의 공차는 2이다.

수열의 첫항을 a_1, 공차를 d라고 할 때, 일반항을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:a_n = a_1 + (n-1)d 

## 등차수열 구하기
### 등차수열의 항과 공차 이용
x번째 항을 a_x, 공차를 d라 하면
등차수열의 일반항은 다음과 같다.
:a_n = a_x + (n-x)d 

물론 여기에 x=1을 대입하면 잘 알려진 일반항으로 다음을 얻는다.
:a_n = a_1 + (n-1)d 

이를테면 제5번째 항이 9이고, 공차가 2라면
:a_n = a_5 + (n-5)d 
:a_n = 9 + 2(n-5) 
:a_n = 2n-1 

## 공차
등차수열에서 연속하는 두 수의 차이를 공차(公差)라고 한다. 보통 d로 표시한다.

예시를 들면 다음과 같다.
* 1, 2, 3, 4,…으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 d는 1이다.
* 1, 1, 1, 1, 1, … 이런 수열이 있을 때, 공차d는 0이다.(특히, 이런 수열을 상수수열이라고 한다)
* 2, 10, 18, 26, …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 d는 8이다.
* 342, 345, 348, 351 …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차d는 3이다.
* 0, -1, -2, -3, -4 …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 d는 -1이다.

d는 a_(n+1) - a_n (단, n은 >= 2)로 구할 수 있다. 또는 a_x - a_y / x - y 로 구할 수 있다.

## 등차중항
세 수 a, b, c가 이 순서로 등차수열을 이룰때, b를 a와 c의 등차중항 혹은 산술평균(arithmetic mean)이라고 한다.
세 수 a, b, c에 대하여 b가 a와 c의 등차중항이면 등차수열의 정의에 의해서 b-a = c-b 이므로 다음이 성립한다.

:b=\frac{a+c}{2}
등차중항은 두 수를 1:1로 내분하는 등분점이라고 생각하면 쉽다. 세 수 a, b, c가 이 순서로 등차수열을 이룰때, b는 a와 c의 이등분점이다. 네 수 a, b, c d가 이 순서로 등차수열을 이룰때, b는 a와 d의 1:2 내분점이고 c는 a와 d의 2:1 내분점이다. 즉, b와 c는 삼등분점이 된다.

수열의 정의상 함수처럼 생각하면 이를 내분점, 혹은 외분점의 의미로 받아 들일 수 있다. 항의 비로 표현이 가능하다.

근데 항상 (가장 작은 수)와 (가장 큰 수)만으로 중앙값을 구할 때만 있지 않습니다.
그래서 일부만 가지고 등차수열이라면 중앙값을 구할 수 있는 식이 필요합니다.
그 일부는 2개면 충분하다면?

일단 2개 중에서 비교상으로 더 큰 값을 ɤ, 비교상으로 작은 값을 ɮ이라고 합시다
그리고 순서 숫자(예 〈2,5,8,11,14,17,20,23〉에서 2은 첫번째니 1로, 5는 두번째니 2로, 8은 세번째니 3로, 17은 6번째니 6으로)
는 더 큰 값을 ᚴ, 더 작은 값을 ᛟ이라고 합시다.
마지막으로 숫자 개수와 간격을 각각
그 식은

           ᚴ x ɤ  -  ᛟ x  ɮ
 -----------------------------------------   +  {[{숫자 개수+1}/2]- ᚴ - ᛟ }x간격
                ɽ  -  ɻ

   을 구하면 중앙 값을 구할 수 있습니다.

예시를 보여드릴겠습니다.
간격이 +7이고 시작 수가 6인 숫자부터 시작해서 모든 숫자개수가 11개 인 등차수열을 나타내면
〈6,13,20,27,34,41,48,55,62,69,76〉

두 번째인 숫자(13)와 네 번째의 숫자(27)의 숫자와 숫자 개수(11개)와 간격(+7)을 가지고 중앙값을 구하겠습니다.

               4 x 27 - 2 x 13
  + {{(11+1)/2}-4-2} x (+7) = {(108 - 26)/ 2 } + 0x7 =42            .                  4 - 2

## 등차급수
등차급수()는 다음과 같은 공식으로 나타난다. 초항부터 n번째 항까지의 합 S_n은
:S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}

이것은 다음과 같은 방법으로 증명할 수 있다.

:S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n 은, 즉
: = a_1 + (a_1 + d) + \dots + \{a_1 + (n-2)d\} + \{a_1 + (n-1)d\} 
:S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1 은, 즉
: = \{a_1 + (n-1)d\} + \{a_1 + (n-2)d\} + \dots + (a_1 + d) + a_1 
:2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)
:2S_n = [2a_1 + (n-1)d] + [2a_1 + (n-1)d] + \dots + [2a_1 + (n-1)d] + [2a_1 + (n-1)d]
:2S_n = n[2a_1 + (n-1)d]
:S_n = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}

결론적으로 등차급수는 **<math>\{a_n\}</math>의 평균값 x <math>\{a_n\}</math>의 항의 개수**로 정리할 수 있다.(단, \{a_n\}은 유한수열)

등차급수의 공식은 실생활에서는 도형의 넓이(ex-사다리꼴의 넓이)를 구하는데 주로 사용된다.

### 또 다른 방법
사람들은 다음과 같은 형태의 합을 쉽게 계산 할 수 있다.

:S = -5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5

S = 0임을 쉽게 알 수 있다.

등차수열의 합도 이와같은 방법을 이용할 수 있다. 즉, 양 끝의 합이 0이 되도록 양 끝의 합의 평균을 구해 항의 개수만큼 빼주는 것이다.

그 평균값을 m이라 하면

:S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{n-2} + a_{n-1} + a_n 

양변 m을 n개 빼주면 우변은 위와 같은 형태로 쉽게 0이 되어버린다.

:S_n - m * n = 0
:S_n = m * n
:S_n = \{\frac{(a_1 + a_n)}{2}\} \cdot n
:S_n = \frac{n(a_1 +a_n)}{2}
**또 다른 방법**

위에서 등차수열에서 두 수만 가지고 중앙값을 구하는 식에서 숫자 개수를 곱하는 식으로 나타낼 수 있습니다.

### 등차급수의 무한합
첫항과 공차가 동시에 0이 아닌 어떤 등차수열 a_n에 대하여, 이 수열의 무한합  \sum_{n=1}^\infty a_n 은 항상 발산한다.

## 각주


## 같이 보기
* 등비수열
* 소수로 이루어진 등차수열
* 수열 슬라이드 자료 (위키버시티)

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