대응 정리

추상대수학에서, **대응 정리**()는 또는 **제4 [[동형 정리]]**() 또는 **격자 정리**()는 몫 대수 구조의 합동 관계들을 묘사하는 정리이다.

## 정의
대수 구조 A와 그 위의 합동 관계 {\sim}\in\operatorname{Cong}(A)가 주어졌다고 하자. **대응 정리**에 따르면, 다음 두 격자는 동형이다.
* 몫 대수 위의 합동 관계들의 격자 \operatorname{Cong}(A/{\sim})
* A의 합동 관계들 가운데, {\sim}에 의하여 함의되는 것들의 격자 \mathop\uparrow{\sim}=\{{\sim}'\in\operatorname{Cong}(A)\colon\forall a,b\in A\colon a\sim b\implies a\sim'b\}. 이는 A의 합동 관계 격자 \operatorname{Cong}(A)의 부분 격자를 이룬다.
두 격자 사이의 동형 사상은 구체적으로 다음과 같이 주어진다.
:\mathop\uparrow{\sim}\to\operatorname{Cong}(A/{\sim})
:{\sim}'\mapsto{\sim}'/{\sim}
여기서 {\sim}'/{\sim}은 다음과 같은 A/{\sim} 위의 이항 관계다.
:[a]_\sim\mathrel[b]_\sim\iff a\sim'b
즉, 대응 정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.
* 만약 {\sim}'이 {\sim}을 포함하는 A 위의 합동 관계라면, {\sim}'/{\sim}은 A/{\sim} 위의 합동 관계이다.
* A/{\sim} 위의 모든 합동 관계는 어떤 {\sim}을 포함하는 A 위의 합동 관계 {\sim}'에 대하여 {\sim}'/{\sim}의 꼴로 나타낼 수 있다.
* {\sim}을 포함하는 A 위의 합동 관계 {\sim}_1,{\sim}_2\in\mathop\uparrow{\sim}에 대하여, 다음이 성립한다.
** a\sim_1b가 a\sim_2b를 함의하는 것과 a\mathrelb는 a\mathrelb를 함의하는 것은 서로 필요충분조건이다.
** ({\sim}_1\vee{\sim}_2)/{\sim}={\sim}_1/{\sim}\vee{\sim}_2/{\sim}. 여기서 {\sim}_1\vee{\sim}_2는 \sim_1과 \sim_2로 생성되는 합동 관계이다.
** ({\sim}_1\cap{\sim}_2)/{\sim}={\sim}_1/{\sim}\cap{\sim}_2/{\sim}. 여기서 {\sim}_1\cap{\sim}_2는 a\mathrel{{\sim}_1\cap{\sim}_2}b\iff a\sim_1b\land a\sim_2b로 정의된다.

## 예
대응 정리는 모든 종류의 대수 구조에 적용할 수 있다. 군, 환, 가군 등 일부 대수 구조의 경우, 합동 관계가 특별한 부분 대수와 일대일 대응하며, 대응 정리에 등장하는 동형 사상을 몫 대수의 부분 대수에 대하여 확장할 수 있다.

### 군
군 G 및 정규 부분군 N\vartriangleleft G에 대하여, N을 포함하는 G의 부분군의 격자와 몫군의 부분군들의 격자 사이의 함수
:\mathop\uparrow N=\{H\le G\colon N\subseteq H\}\to\operatorname{Sub}(G/N)
:H\mapsto H/N=\{hN\colon h\in H\}
를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* H\mapsto H/N은 격자의 동형 사상이다. 즉,
** 임의의 N\le H\le G에 대하여, H/N\le G/N
** 임의의 K\le G/N에 대하여, K=H/N인 N\le H\le G가 존재한다.
** 임의의 N\le H,K\le G에 대하여,
*** H\le K일 필요충분조건은 H/N\le K/N이다.
*** \langle H\cup K\rangle/N=\langle H/N\cup K/N\rangle. 여기서 \langle H\cup K\rangle는 H\cup K로 생성된 부분군이다.
*** (H\cap K)/N=H/N\cap K/N
* H\vartriangleleft G일 필요충분조건은 H/N\vartriangleleft G/N이다.

### 환
환 R 및 아이디얼 \mathfrak a\subset R에 대하여, \mathfrak a를 포함하는 부분군의 격자와 몫환의 부분환 격자 사이의 함수
:\mathop\uparrow\mathfrak a=\{S\in\operatorname{Sub}(R)\colon\mathfrak a\subset S\}\to\operatorname{Sub}(R/\mathfrak a)
:S\mapsto S/\mathfrak a=\{s+\mathfrak a\colon s\in S\}
를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* S\mapsto S+\mathfrak a는 격자의 동형 사상이다. 즉,
** 임의의 부분환 \mathfrak a\subset S\subset R에 대하여, S/\mathfrak a는 R/\mathfrak a의 부분환이다.
** 임의의 부분환 T\subset R/\mathfrak a에 대하여, T=S/\mathfrak a인 부분환 \mathfrak a\subset S\subset R가 존재한다.
** 임의의 부분환 \mathfrak a\subset S,T\subset R에 대하여,
*** S\subset T일 필요충분조건은 S/\mathfrak a\subset T/\mathfrak a이다.
*** \langle S\cup T\rangle/\mathfrak a=\langle S/\mathfrak a\cup T/\mathfrak b\rangle. 여기서 \langle S\cup T\rangle는 S\cup T로 생성된 부분환이다.
*** (S\cap T)/\mathfrak a=S/\mathfrak a\cap T/\mathfrak a
* S가 R의 아이디얼일 필요충분조건은 S/\mathfrak a가 R/\mathfrak a의 아이디얼인 것이다.

### 가군
환 R 위의 왼쪽 가군 M 및 부분 가군 N\subset M에 대하여, N을 포함하는 부분 가군의 격자와 몫 가군의 부분 가군 격자 사이의 함수
:\mathop\uparrow N=\{N'\in\operatorname{Sub}(M)\colon N\subset N'\}\to\operatorname{Sub}(M/N)
:N'\mapsto N'/N=\{m+N\colon m\in N'\}
는 격자의 동형 사상이다. 즉, 다음이 성립한다.
* 임의의 부분 가군 N\subset N'\subset M에 대하여, N'/N는 M/N의 부분 가군이다.
* 임의의 부분 가군 N*\subset M/N</math>에 대하여, <math>N*=N'/N인 부분 가군 N\subset N'\subset M가 존재한다.
* 임의의 부분 가군 N\subset N',N*\subset M</math>에 대하여,
** <math>N'\subset N*일 필요충분조건은 N'/N\subset N*/N</math>이다.
** <math>(N'+N*)/N=N'/N+N*/N</math>
** <math>(N'\cap N*)/N=N'/N\cap N''/N

## 같이 보기
* 모듈러 격자

## 참고 문헌

분류:추상대수학 정리