라그랑주 다항식

수치해석에서 **라그랑주 다항식**은 **라그랑주 형식**에서 데이터 포인트의 주어진 집합으로부터 다항식을 보간하는 방법으로, 조제프루이 라그랑주의 이름에서 왔다. 이것은 1779년 에드워드 웨어링에 의해 처음으로 발견되었고, 1783년에 레온하르트 오일러에 의해 마지막으로 재발견되었다.

섬네일|이 그림은 네개의 점(<span style="color:#b30000;">(&minus;9,&nbsp;5)</span>, <span style="color:#0000b3;">(&minus;4,&nbsp;2)</span>, <span style="color:#00b300;">(&minus;1,&nbsp;&minus;2)</span>, <span style="color:#b3b300;">(7,&nbsp;9)</span>)에 대하여 (입방체의) 보간 다항식 <span style="color:#000000;">''L''(''x'')</span> (검정)을 보여준다. 이것은 ''크기가 변형''된 기초 다항식 (<span style="color:#b30000;">y<sub>0</sub>''L''<sub>0</sub>(''x'')</span>, <span style="color:#0000b3;">y<sub>1</sub>''L''<sub>1</sub>(''x'')</span>, <span style="color:#00b300;">y<sub>2</sub>''L''<sub>2</sub>(''x'')</span> 그리고 <span style="color:#b3b300;">y<sub>3</sub>''L''<sub>3</sub>(''x'')</span>)의 합이다. 보간 다항식은 4개의 모든 컨트롤 포인트를 지나고, 각각 ''크기가 변형된'' 기초 다항식은 그것들 각각의 컨트롤 포인트를 지나고 ''x''가 다른 세개의 컨트롤 포인트에 부합되는 곳에서 0이다.

## 정의
*k*&nbsp;+&nbsp;1 데이터 포인트의 주어진 집합

:(x_0, y_0),\ldots,(x_j, y_j),\ldots,(x_k, y_k)

여기서 *x**j*는 두 개의 같은 값이 존재하지 않고, **라그랑주 형식의 보간 다항식**은 선형 결합

:L(x): = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x)

이다. 이것의 라그랑주 기초 다항식은 다음과 같다.

:\ell_j(x): = \prod_{f=0,\, f\neq j}^{k} \frac{x-x_f}{x_j-x_f} = \frac{(x-x_0)}{(x_j-x_0)} \cdots \frac{(x-x_{j-1})}{(x_j-x_{j-1})} \frac{(x-x_{j+1})}{(x_j-x_{j+1})} \cdots \frac{(x-x_{k})}{(x_j-x_{k})}.

x_i는 두 개의 같은 값이 존재하지 않기 때문에(그리고 존재할 수도 없다, 그렇지 않으면 데이터 집합의 의미가 모순된다), x_j - x_f \neq 0.이 표현이 잘 정의 된다.

## 증명
*L*(*x*)가 적절히 데이터를 보간 하기 위하여,
우리가 관찰하는 함수는 각 데이터 포인트 *j*에 해당하는 *k* 보다 적거나 같은 차수의 다항식 *L*(*x*)이어야 한다.

:L(x_j) = y_j \qquad j=0,\ldots,k

만약 이 문항이 모든 *j*를 쥐고 있다면, 우리는 그 다항식이 보간 문제의 솔루션이라 말한다.

증명:
# 곱에서 *k* 항을 포함하고 있고 각 항마다 x 하나를 포함하고 있는 \ell_j(x)에서, *L*(*x*)(이것은 *k*차 다항식의 합이다.)는 *k*차 다항식이어야 한다.
# \ell_j(x_i)
= \prod_{f=0,\, f\neq j}^{k} \frac{x_i-x_f}{x_j-x_f}


이 곱셈을 확장한다면 무엇이 일어날지를 보라. 곱이 f = j을 스킵하기 때문에, 만약 i = j라면 모든 항이 \frac{x_j-x_f}{x_j-x_f} = 1 이다(x_j = x_f인 경우는 제외한다).

## 주요 아이디어

## 사용예
### 예1
섬네일|565x565px|탄젠트 함수와 그것의 보간
값이 잘 알려진 주어진 집합 *ƒ*(*x*)&nbsp;=&nbsp;tan(*x*)를 이용하여 보간 수식을 찾아라:
: 
\begin{align}
x_0 & = -1.5 & & & & & f(x_0) & = -14.1014 \\
x_1 & = -0.75 & & & & & f(x_1) & = -0.931596 \\
x_2 & = 0 & & & & & f(x_2) & = 0 \\
x_3 & = 0.75 & & & & & f(x_3) & = 0.931596 \\
x_4 & = 1.5 & & & & & f(x_4) & = 14.1014
\end{align}


기초 다항식:
:\ell_0(x)={x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_0 - x_4}
 ={1\over 243} x (2x-3)(4x-3)(4x+3)

:\ell_1(x) = {x - x_0 \over x_1 - x_0}\cdot{x - x_2 \over x_1 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_1 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_1 - x_4}
 = {} -{8\over 243} x (2x-3)(2x+3)(4x-3)

:\ell_2(x)={x - x_0 \over x_2 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_2 - x_1}\cdot{x - x_3 \over x_2 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_2 - x_4}
 ={3\over 243} (2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3) 

:\ell_3(x)={x - x_0 \over x_3 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_3 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_3 - x_2}\cdot{x - x_4 \over x_3 - x_4}
 =-{8\over 243} x (2x-3)(2x+3)(4x+3)

:\ell_4(x)={x - x_0 \over x_4 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_4 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_4 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_4 - x_3}
 ={1\over 243} x (2x+3)(4x-3)(4x+3)

결론, 보간된 다항식
: \begin{align}L(x) &= {1\over 243}\Big(f(x_0)x (2x-3)(4x-3)(4x+3) \\
& {} \qquad {} - 8f(x_1)x (2x-3)(2x+3)(4x-3) \\
& {} \qquad {} + 3f(x_2)(2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3) \\
& {} \qquad {} - 8f(x_3)x (2x-3)(2x+3)(4x+3) \\
& {} \qquad {} + f(x_4)x (2x+3)(4x-3)(4x+3)\Big)\\
& = 4.834848x^3 - 1.477474x
\end{align} 

### 예2

### 예3

## 같이 보기
* 에르미트 보간법

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