무조건 수렴

함수해석학에서 **무조건 수렴**(無條件收斂, )은 급수가 더하는 순서와 무관하게 수렴하는 성질이다. 실수항 또는 복소수항 급수의 경우 무조건 수렴은 절대 수렴과 동치이다.

## 정의
위상체 K 및 하우스도르프 K-위상 벡터 공간 V이 주어졌다고 하자. 점렬 (v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 경우 급수 \textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i가 **무조건 수렴**한다고 한다.
* 임의의 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(\mathbb N)에 대하여, \textstyle\sum_{i=0}^\infty v_{\sigma(i)}는 수렴한다.
* 다음 조건을 만족시키는 s\in V가 존재한다.
** 임의의 0의 근방 U에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N_U\in\mathbb N가 존재한다.
무조건 수렴 급수는 자명하게 수렴한다. 무조건 수렴하지 않는 수렴 급수를 **조건 수렴**(條件收斂, )한다고 한다.

무조건 수렴 급수 \textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i의 합이 순열과 무관하게 같음을 보이는 것으로 충분하다. 귀류법을 사용하여, \textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i=s, \textstyle\sum_{i=0}^\infty v_{\sigma(i)}=s', s\ne s'인 s,s'\in V 및 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(\mathbb N)이 존재한다고 가정하자. 그렇다면, f(s)\ne f(s')인 연속 쌍대 공간 원소 f\in V^*를 취할 수 있다. 그렇다면, 실수항 급수 \textstyle\sum_{i=0}^\infty f(v_i)는 절대 수렴하지 않는다 (이는 순열 \sigma을 가하였을 때 다른 합으로 수렴하기 때문이다). 리만 재배열 정리에 따라, \textstyle\sum_{i=0}^\infty f(v_{\tau(i)})가 발산하게 되는 순열 \tau\in\operatorname{Sym}(\mathbb N)이 존재하며, 이 경우 \textstyle\sum_{i=0}^\infty v_{\tau(i)} 역시 발산하게 된다. 이는 모순이다.

실수체 또는 복소수체 K\in\{\mathbb R,\mathbb C\} 및 하우스도르프 K-국소 볼록 공간 V의 경우, 점렬 (v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i는 무조건 수렴한다.
* 다음 조건을 만족시키는 s\in V가 존재한다.
** 임의의 연속 반노름 \nu\colon V\to[0,\infty) 및 양의 실수 \epsilon\in\mathbb R^+에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N_{\epsilon,\nu}\in\mathbb N가 존재한다.

실수체 또는 복소수체 K\in\{\mathbb R,\mathbb C\} 및 K-바나흐 공간 (V,\Vert\cdot\Vert)의 경우, 점렬 (v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* \textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i는 무조건 수렴한다.
* 임의의 순증가 자연수열 i_0에 대하여, \textstyle\sum_{j=0}^\infty v_{i_j}는 수렴한다.
* (완전 수렴, ) 임의의 \lambda_0,\lambda_1,\dots\in\mathbb\-v_{i_j}\Vert
이므로, \textstyle\sum_{j=0}^\infty\Vert v_{i_{j+1}}-v_{i_j}\Vert이다. 가정에 따라, \textstyle\sum_{j=0}^\infty(v_{i_{j+1}}-v_{i_j})는 수렴한다. (v_i)_{i=0}^\infty은 수렴 부분 점렬 (v_{i_j})_{j=0}^\infty을 갖는 코시 점렬이므로, 자기 자신 역시 수렴한다.

바나흐 공간에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다 (**드보레츠키-로저스 정리**, ).
* 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.
* 유한 차원이다.
이에 따라, 임의의 무한 차원 바나흐 공간은 절대 수렴하지 않는 무조건 수렴 급수를 가진다.

### 실수항 또는 복소수항 급수의 무조건 수렴
(실수체와 복소수체는 유한 차원 바나흐 공간이므로,) 실수항 또는 복소수항 급수에 대하여, 무조건 수렴은 절대 수렴과 동치이다. 이에 따라 실수항 또는 복소수항 조건 수렴 급수는 적절한 순열을 가하여 발산 급수로 만들 수 있다. **[[리만 재배열 정리]]**에 따르면, 모든 실수항 조건 수렴 급수는 적절한 순열을 가하여 임의의 확장된 실수로 수렴하도록 만들 수 있다. 이는 복소수항 급수에 대해서는 성립하지 않는다.

임의의 자연수 집합 A\subseteq\mathbb N에 대하여,
:N(A)=\min\left\{|J|\colon
A=\bigcup_{(i,j)\in J}\{i,i+1,\dots,j-1,j\},\;J\subseteq\mathbb N^2\right\}\in\mathbb N\cup\{\infty\}
라고 하자.

임의의 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(\mathbb N)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다 (이 조건을 ㈀이라고 하자).
* \textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i가 수렴하며, \textstyle\sum_{i=0}^\infty v_{\sigma(i)}는 발산하게 되는 실수열 (v_i)_{i=0}^\infty\subseteq\mathbb R이 존재한다.
* \textstyle\sup_{i,j\in\mathbb N}N(\sigma^{-1}(\{i,i+1,\dots,j-1,j\}))=\infty

임의의 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(\mathbb N)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다 (이 조건을 ㈁이라고 하자).
* \textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i와 \textstyle\sum_{i=0}^\infty v_{\sigma(i)}가 수렴하며, \textstyle\sum_{i=0}^\infty v_{\sigma(i)}\ne\sum_{i=0}^\infty v_i이게 되는 실수열 (v_i)_{i=0}^\infty\subseteq\mathbb R이 존재한다.
* \textstyle\lim_{i\to\infty}N(\sigma^{-1}(\{0,1,\dots,i\})=\infty

특히, ㈁ 조건은 ㈀ 조건을 함의한다.

## 예
르베그 공간 V=\ell^2(\mathbb R) 위의 다음과 같은 점렬 (v_i)_{i=1}^\infty을 생각하자.
:v_i=(\underbrace{0,\dots,0,i^{-1}}_i,0,\dots)\in\ell^2(\mathbb K)
그렇다면, 급수 \textstyle\sum_{i=1}^\infty v_i는
:s=(1,2^{-1},3^{-1},\dots)\in\ell^2(\mathbb K)
로 무조건 수렴하지만,
:\sum_{i=1}^\infty\Vert v_i\Vert_2=\sum_{i=1}^\infty i^{-1}=\infty
이므로 절대 수렴하지 않는다.

## 각주

## 외부 링크
* 

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