체흐 신경

[섬네일|right|원 <math>\mathbb S^1</math>은 세 개의 원소를 갖는 [열린 덮개를 갖는다. 각 열린집합은 체흐 신경의 꼭짓점(0차 단체)에 대응하며, 두 열린집합의 교집합은 체흐 신경의 변(1차 단체)에 대응한다. 이 예에서 세 개의 열린집합의 교집합(즉, 2차 단체)은 존재하지 않는다.]]
범주론과 대수적 위상수학에서 **체흐 신경**(Čech神經, )은 (충분한 올곱을 갖는) 범주에서, 어떤 사상을 통해 정의되는 단체 대상이다. 기하학적으로, 이 사상은 대략 어떤 “덮개”로 해석된다. 체흐 코호몰로지를 구성하는 데 사용된다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 범주 \mathcal C
* \mathcal C 속의 사상 f\colon U\to X
그렇다면, (만약 모든 올곱들이 존재한다면) 다음과 같은 단체 대상
:\operatorname{\check C}(f) \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to \mathcal C
을 정의할 수 있다.
* 자연수 n\in\mathbb N에 대하여,
*:\operatorname{\check C}(f)_n = U^{\times_X (n+1)} = \overbrace{U\times_XU\times_X\dotsb\times_XU}^{n+1} 
* 면 사상은 다음과 같다. (즉, i번째 성분만을 제외한, 올곱의 표준적 사영 사상이다.)
*:\partial_i^n \colon U^{\times_X (n+1)} \to U^{\times_X n} \qquad(0\le i\le n)
*:\partial_i^n = \operatorname{proj}_{0,1,2,\dotsc,\hat\imath,\dotsc,n} = 
\underbrace{\operatorname{id}_U \times_X \dotsb \times_X \operatorname{id}_U}_i \times_X f \times_X \underbrace{\operatorname{id}_U \times_X \dotsb\times_X \operatorname{id}_U}_{n-i}

* 퇴화 단체 사상은 다음과 같다.
*:s_i^n \colon U^{\times_X (n+1)} \to U^{\times_X(n+2)} \qquad(0\le i\le n)
*:s^n = \underbrace{\operatorname{id}_U \times_X \dotsb \times_X \operatorname{id}_U}_i \times_X \operatorname{diag}_U \times_X \underbrace{\operatorname{id}_U \times_X \dotsb\times_X \operatorname{id}_U}_{n-i}
이를 U\to X의 **체흐 신경**이라고 한다.

## 예
### 열린 덮개
매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주 \operatorname{Diff}에서, 매끄러운 다양체 M의 열린 덮개 \mathcal U = \{U_i\}_{i\in I}가 주어졌다고 하자. (대신 위상 공간의 범주를 사용할 수도 있다.) 그렇다면,
:\tilde X = \bigsqcup_{i\in I}U_i
를 정의하면, 표준적인 사영 사상
:f\colon\tilde X \to X
이 존재하며, 이에 대한 체흐 신경을 구성할 수 있다. 즉, 이 경우 구체적으로
* 0차 단체는 x\in U_i인 순서쌍 (x,i)이다. 0차 단체의 공간은 \tilde X=\textstyle\bigsqcup_{i\in I}U_i이다.
* 1차 단체는 x\in U_i \cap U_j인 순서쌍 (x,i,j)이다. 2차 단체의 공간은 \textstyle\tilde X\times_X\tilde X = \bigsqcup_{i,j\in I} U_i\cap U_j이다.
** 1차 단체 (x,i,j)의 두 면(끝점)은 \partial_0^1(x,i,j) = (x,j) 및 \partial_1^1(x,i,j) = (x,i)이다.
** 0차 단체 (x,i)에 대응하는 퇴화 1차 단체는 s_0^0(x,i) = (x,i,i)이다.
* 2차 단체는 x\in U_i \cap U_j\cap U_k인 순서쌍 (x,i,j,k)이다. 2차 단체의 공간은 \textstyle\tilde X\times_X\tilde X\times_X\tilde X = \bigsqcup_{i,j,k\in I} U_i\cap U_j\cap U_k이다.
** 2차 단체 (x,i,j,k)의 세 면(변)은 \partial_0^2(x,i,j,k) = (x,j,k), \partial_1^2(x,i,j,k) = (x,i,k), \partial_2^2(x,i,j,k) = (x,i,j)이다.
** 1차 단체 (x,i,j)에 대응하는 퇴화 2차 단체는 s_0^1(x,i,j) = (x,i,i,j), s_1^1(x,i,j) = (x,i,j,j)이다.

체흐 코호몰로지는 이 단체 대상에 대한 코호몰로지 이론이다.

### 분류 공간

위상군 G가 주어졌다고 하자. 이제, 자명군으로 가는 (유일한) 군 준동형
:G\to 1
을 생각하자. 이에 대한 체흐 신경은 다음과 같다.
* 0차 단체는 g\in G이다. 0차 단체의 공간은 G이다.
* 1차 단체는 (g,h)\in G^2이다. 1차 단체의 공간은 G^2이다.
** 0차 단체의 퇴화 단체는 (g,g)의 꼴이다.
** 1차 단체의 면은 \partial_0^1(g,h) = h, \partial_1^1(g,h) = g이다.
* 2차 단체는 (g,h,k)\in G^3이다. 2차 단체의 공간은 G^3이다.

이와 같이, 단체군 \mathrm EG를 정의할 수 있다. 이 위에는 다음과 같은 G의 오른쪽 군 작용이 존재한다.
:g \colon (h_0,h_1,h_2,\dots,h_n) \mapsto  (h_0g,h_1g,h_2g,\dots,h_ng)
이 오른쪽 군 작용은 추이적 작용이며, 기하학적 실현을 취하면 이는 G-주다발
:G\hookrightarrow\mathrm EG \twoheadrightarrow \mathrm BG = \frac{\mathrm EG}G
을 이룬다. 이는 위상군 G의 분류 공간이며, 만약 G가 이산군이라면 에일렌베르크-매클레인 공간 \operatorname K(G,1)을 이룬다.

## 역사
이러한 “단체”는 위상 공간의 범주에서 에두아르트 체흐가 도입하였다.

## 참고 문헌
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* Samuel Eilenberg and Norman Steenrod: *Foundations of Algebraic Topology*, Princeton University Press, 1952, p.&nbsp;234.

## 외부 링크
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분류:대수적 위상수학
분류:범주론