BF 모형

이론물리학에서 **BF 모형**(BF模型, )은 시바르츠형 위상 양자장론의 간단한 예이다. 게이지 이론의 매우 간단한 형태이다.

## 정의
M이 d차원 매끄러운 다양체이고, 그 위에 올이 리 군 G인 주다발 P\twoheadrightarrow M이 주어졌다고 하자. 또한, G의 리 대수 \mathfrak g 위에 비퇴화 쌍선형 형식 K\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to\mathbb R이 존재한다고 하자. (보통 킬링 형식의 스칼라배를 사용한다.)

**BF 모형**은 다음과 같은 두 장으로 구성되는 양자장론이다.
* A는 P의 주접속이다. 즉, 게이지 보손에 해당한다.
* B\in\Omega^{d-2}(M;\mathfrak g)는 M 위에 정의된, 리 대수 \mathfrak g에 값을 갖는 (d-2)차 미분 형식이다.
두 장 모두 게이지 대칭을 가진다.
:A\mapsto A+\mathrm d\alpha + [A,\alpha]
:B\mapsto B+[B,\alpha] + \mathrm d\Lambda+[A,\Lambda]
여기서 \alpha\in\Omega^1(M;\mathfrak g)이며, \Lambda\in\Omega^{d-3}(M;\mathfrak g)이다. 즉, B는 미분 형식 전기역학에서의 퍼텐셜과 유사한 게이지 대칭을 가진다.

BF 모형의 작용은 다음과 같다.
:S=\int_MK(B\wedge F)
여기서 F=d_AA는 A의 곡률 (장세기)이다.

만약 d=3,4일 경우, 특별히 다음과 같은 “우주 상수” \lambda 항을 추가할 수 있다.
:S=\int_MK(B\wedge F + \lambda B\wedge B)\qquad(d=4)
:S=\int_MK(B\wedge F + \lambda B\wedge B\wedge B)\qquad(d=3)

## 성질
### 장방정식
우주 상수 항이 없을 때, BF 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.
* F=0
* d_AB=0
따라서, 고전적으로 A는 평탄 주접속이고, B는 닫힌 미분 형식이다.

우주 상수 항을 추가하면, d=4에서 오일러-라그랑주 방정식은 대신 다음과 같다.
:F+2\lambda B = 0
:d_AB = 0

### 양자화
편의상, 시공간
:M=\mathbb R\times\Sigma
:\dim\Sigma=d-1
을 생각하자. 그렇다면, M은 \Sigma와 호모토피 동치이므로, 사실 \Sigma 위에 G-주다발 P\twoheadrightarrow\Sigma이 주어졌다고 가정할 수 있다.

이 위에서 BF 모형의 양자화를 생각하자. 이 경우, 위상 공간 \mathcal M_\Sigma은 다음과 같다.
:\mathcal M_\Sigma = \mathrm T^*\mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma
여기서
* \mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma는 P\twoheadrightarrow\Sigma의 평탄 주접속들의 공간이다.
이 경우, 주접속 A_\mu^a에 대응하는 일반화 운동량은 B^a_{\mu_1\dotsb\mu_{d-2}}이다. 즉, 정준 교환 관계는 다음과 같다.
:\{
B^a_{\mu_1\dotso\mu_{d-2}}(x),A_{b\mu_{d-1}}(y)
\} = \delta^a_b \operatorname{vol}^\Sigma_{\mu_1\dotso\mu_{d-1}} \delta(x,y)
여기서
* \operatorname{vol}^\Sigma_{\mu_1\dotso\mu_{d-1}}는 \Sigma의 부피 형식이다.

따라서, 그 힐베르트 공간은 단순히
:\mathcal H=\operatorname L^2(\mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma)
이다.

천-사이먼스 이론과 비교했을 때, 천-사이먼스 이론의 경우 3차원에서 \Sigma가 리만 곡면의 구조를 가지므로, \mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma는 이미 켈러 다양체의 구조를 가지며, \mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma 자체가 위상 공간이며, A는 스스로의 일반화 운동량이 된다. 그러나 BF 이론에서는 \mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma는 위상 공간이 아니라 배위 공간이다.

### 우주 상수 항이 있는 경우의 양자화
우주 상수 항이 있을 경우, 양자화는 다음과 같이 달라진다. 우선, 더 이상 F=0이 아니게 된다. 우선, (평탄하거나 평탄하지 않을 수 있는) 주접속의 (무한 차원) 공간을 \mathcal A_\Sigma라고 하자. 그렇다면, 위상 공간은 \mathrm T^*\mathcal A_\Sigma 속에서,
:F+2\lambda B = 0
을 만족시키는 점들의 공간이다. 즉, 파동 함수는 G에 대한 게이지 변환에 대하여 불변인, \mathcal A_\Sigma 위의 함수 \psi 가운데,
:
0=\left(F_{\mu\nu}^a - 2\mathrm i\lambda\operatorname{vol}_{\mu\nu\rho}^\Sigma \frac\delta{\delta A_{\rho a}}\right)\psi

을 만족시키는 것이다. 만약 \Sigma 위의 G-주다발이 (위상수학적으로) 자명한 올다발이라면, 이 편미분 방정식은 하나의 일차 독립 해를 가지며, 이는 구체적으로
:\psi(A) = \exp\left(-\mathrm iS_{\text{CS}}(A)/4\lambda\right)
이다. 여기서
:S_{\text{CS}}(A)=\int_\Sigma \operatorname{tr}\left(A\wedge\mathrm dA+\frac23A\wedge A\wedge A\right)
는 \Sigma 위의 천-사이먼스 이론의 작용(천-사이먼스 형식)이다. 이는
:
\frac{\delta S_{\text{CS}}}{\delta A_{\rho a}} = \operatorname{vol}_\Sigma^{\mu\nu\rho}F_{\mu\nu}^a

이기 때문이다.

## 성질
### 양-밀스 이론과의 관계
BF 모형은 부피가 0인 다양체 위의 양-밀스 이론으로 생각할 수 있다.

양-밀스 이론의 작용은
:S_\text{YM}=\int_M\frac1{g^2}K(F\wedge*F)
이다. 여기서 g^2는 결합 상수이고, *는 호지 쌍대이다. 여기에 보조장 B를 도입하자. 그렇다면, 양-밀스 이론은 다음과 같이 동등하게 나타낼 수 있다.
:S_\text{YM}'=\int_M(K(B\wedge F)+\frac12g^2K(B\wedge*B))
이제, 결합 상수를 0으로 보내자.
:g^2\to0
그렇다면
:\lim_{g^2\to0}S_\text{YM}'=\int_MK(B\wedge F)=S_{BF}
가 되어, BF 모형이 됨을 알 수 있다.

호지 쌍대 *를 대신 부피 형식 \omega와 내적
:\langle X,Y\rangle\omega=K(X\wedge*Y)
로 쓰자. 그렇다면
:S_\text{YM}'=\int_M(K(B\wedge F)+\frac12g^2\omega\langle B,B\rangle)
이 된다. 이는
:\omega'=g^2\omega
에만 의존하게 된다. 이는 다양체 M의 "부피"
:\operatorname{vol}(M)=\int_M\omega'=\int_Mg^2\omega
로 생각할 수 있다. 그렇다면 BF 모형의 극한은 \omega'로 측정한 부피가 0으로 가는 극한으로 생각할 수 있다.

### 초대칭 BF 모형
BF 모형에 초대칭을 추가하여 **초대칭 BF 모형**()을 정의할 수 있다. 이는 더 이상 시바르츠형 위상 양자장론이 아니며, 대신 위튼형 위상 양자장론이다. 이 경우, 장들은 다음과 같다. 모든 장은 G의 딸림표현을 따른다.
* 게이지 초장 (A,\psi). 여기서 A는 U(1) 게이지 보손이며, \psi는 벡터 페르미온이다. 이 경우 QA=\psi이다.
* 라그랑주 승수 초장 (\chi,B). 여기서 B는 (d-2)차 미분 형식인 보손이며, \chi 역시 (d-2)차 미분 형식인 페르미온이다. 이 경우 Q\chi=B이다.
* 유령 초장 (\bar\phi,\eta). Q\bar\phi=\eta이며 Q\eta=[\bar\phi,\phi]이다.
이에 따라, 작용은 다음과 같다.
:S=Q\int(\chi F+\bar\phi d*\psi)=\int \left(BF+(-1)^d\chi d\psi+\eta d*\psi+\bar\phi[\psi,*\psi]-\bar\phi d*d\phi\right)
초대칭이 없는 경우와 마찬가지로, 이 경우 이론은 M 위의 G-평탄 주접속들의 모듈라이 공간의 특성을 계산한다.

만약 시공간이 3차원일 경우 (d=3), 이 이론은 추가로 \mathcal N_T=2 위상 초대칭을 갖는다. 즉, 두 개의 스칼라 초전하(BRST 연산자)를 가지며, 이 둘을 섞는 SU(2) R대칭이 존재하며, 이 아래 (\chi,\psi)는 SU(2)의 2차원 기본 표현을 따른다. 이 이론은 3차원 \mathcal N=4 게이지 이론의 A-뒤틂과 같으며, 이는 도널드슨 이론을 3차원으로 축소화한 것과 같다.

## 같이 보기
* 스핀 거품
## 각주

## 외부 링크
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분류:양자장론