안정 벡터 다발

대수기하학과 미분기하학에서 **안정 벡터 다발**(安定vector다발, )은 정칙 벡터 다발 가운데, 모듈라이 공간을 잘 정의할 수 있는 것들이다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 콤팩트 복소다양체 M
* 고차원 복소수 사영 공간으로의 단사 정칙 함수 M \hookrightarrow \operatorname{\mathbb CP}^N. 이에 따라, M 위에는 표준적인 켈러 다양체 구조가 주어지며, 켈러 형식의 코호몰로지류 [\omega]\in\operatorname H^2(M;\mathbb R)는 정수 계수 코호몰로지로 주어진다는 정수 계수이다. (고다이라 매장 정리에 의하여, 그 역 또한 성립한다.)
* M 위의 정칙 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M

### 다발의 기울기
E \ne 0이라고 할 때, E의 **기울기**()는 다음과 같은 유리수이다.
:\mu(E) = \frac{
\int_M [\omega]^{\dim_{\mathbb C} M -1 } \smile \operatorname c_1(E)
}{\dim_M E}\in\mathbb Q
이 식에서, 분자가 정수인 것은 M이 사영 대수다양체이기 때문이다.

### 에르미트-아인슈타인 접속
콤팩트 리 군
:\operatorname U(1)_{\operatorname{diag}} \le G \le \operatorname{GL}(n;\mathbb C)
이 주어졌으며, E \twoheadrightarrow M가 M 위의, G 구조의 정칙 벡터 다발이라고 하고, 이에 대응되는 G-주다발이
:P\twoheadrightarrow M
이라고 하자.

그렇다면, E 위의 어떤 벡터 다발 접속 \nabla의 곡률
:F_{i\bar\jmath}^a \in \Omega^{1,1}(M;\mathfrak{ad}(P))
을 정의할 수 있다. 이는 (1,1)차 벡터 값 복소수 미분 형식이며, 이것이 값을 갖는 벡터 다발은 딸림표현 연관 벡터 다발
:\mathfrak{ad}(P) = P \times_G \mathfrak{lie}(G)
이다. 표현에 따라서
:\mathfrak{ad}(P) \subseteq \operatorname{End}E
이다. \operatorname{End}E에서, 스칼라에 대한 곱셈으로 구성된 부분 선다발
:\mathbb C\operatorname{id}_E \subseteq \operatorname{End}E
을 생각하자. 이는 표준적 대역적 단면을 가지므로, 표준적으로 자명한 벡터 다발을 이룬다. 이 포함 사상을
:m \colon M \times \mathbb C \hookrightarrow \operatorname{End}(E)
이라고 하자. 이제, 만약
:F \in \mathrm i\mathbb Rm(\omega) \subseteq \Omega^{1,1}(M;\operatorname{End}E)
라면, \nabla를 **에르미트-아인슈타인 접속**이라고 한다. \mathrm i\lambda는 허수이므로, 이 경우 E 위에 임의의 에르미트 계량을 부여한다면, \nabla는 자명하게 유니터리 접속을 이룬다 (모든 모노드로미가 에르미트 계량에 대하여 유니터리 행렬이다).

### 안정 벡터 다발
E \ne 0일 때, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정칙 벡터 다발을 **안정 벡터 다발**이라고 한다.
* E의 임의의 부분 정칙 벡터 다발 0\subsetneq F\subsetneq E에 대하여, \mu(F) 이다.
* E는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 (G = \operatorname{GL}(\mathbb C^{\operatorname{rk}E})에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 (하나 이상) 존재한다.
* E는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 (G = \operatorname{GL}(\mathbb C^{\operatorname{rk}E})에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 유일하게 존재한다.

안정 벡터 다발의 첫 정의에서, \mu(F) 를 \mu(F) \le \mu(E)로 약화시키면, **준안정 벡터 다발**()의 개념을 얻는다.

### 리만 곡면의 경우
다음이 주어졌다고 하자.
* 콤팩트 리만 곡면 \Sigma
* 정칙 벡터 다발 E \twoheadrightarrow \Sigma
이 경우, \operatorname H^2(\Sigma)가 1차원이므로, \Sigma 위에 임의의 켈러 다양체 구조를 부여하더라도, 그 스칼라배를 취하여 이것이 사영 다양체가 되게 만들 수 있다. 구체적으로, 이 경우 항상 \Sigma의 넓이가 1이 되게 규격화할 수 있다.

이 경우, E의 기울기는 켈러 구조에 의존하지 않으며, 따라서 안정성 여부 역시 켈러 구조에 의존하지 않는다.

## 성질
다음이 주어졌다고 하자.
* 복소수 1차원 콤팩트 켈러 다양체 \Sigma
* 정칙 벡터 다발 E \twoheadrightarrow \Sigma
* E 위의 에르미트 구조 \eta \in \Gamma_\Sigma(E^*\otimes \bar E^*)

만약 E 위에 벡터 다발 접속 \nabla가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 폐곡선
:\gamma\colon [0,1]\to\Sigma
:\gamma(0) = \gamma(1) \in \Sigma
에 대하여, 모노드로미
:T_\gamma \in \operatorname{GL}(E_{\gamma(0)};\mathbb C)
를 정의할 수 있다. 만약 이러한 모노드로미가 모두 유니터리 군
:\operatorname U(E_{\gamma(0)}) \le \operatorname{GL}(E_{\gamma(0)};\mathbb C)
에 속한다면, 이러한 접속을 **유니터리 접속**()이라고 하자. 유니터리 접속 \nabla이 주어졌을 때, 그 곡률
:F_\nabla \in \Omega^2(\Sigma;\operatorname u(E))
를 생각하자. (\operatorname u(E)는 E 위의 유니터리 리 대수들의 벡터 다발이다.) 이제, 부피 형식을 통한 호지 쌍대
:*F_\nabla \in \Gamma(\operatorname u(E))
를 생각하자.

**나라심한-세샤드리 정리**(நரசிம்மன்-சேஷாத்ரி定理, )에 따르면, E가 두 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없다고 가정하였을 때, (E,\eta)가 안정 벡터 다발일 필요 충분 조건은 *F_\nabla = -2\pi \mathrm i \mu(E)인 유니터리 접속을 갖는 것이다. 이 경우, 곡률이 상수이므로, 모노드로미를 통하여 임의의 점 z\in\Sigma에 대하여 군 준동형
:\pi_1(\Sigma,z) \to \operatorname{PU}(E_z) = \frac{\operatorname U(E_z)}{\mathbb C^\times}
이 존재한다.

### 리만 곡면 위의 안정 벡터 다발의 모듈러스 공간
다음이 주어졌다고 하자.
* 종수 g의 리만 곡면 \Sigma
* 자연수 r\in\mathbb N (정칙 벡터 다발의 차원)
* 정수 d \in \mathbb Z (정칙 벡터 다발의 차수)
그렇다면, \Sigma 위의 r차원 d차 안정 정칙 벡터 다발들의 모듈라이 공간
:\mathcal M(\Sigma,r,d)
을 정의할 수 있다. 이는 연결 공간인 복소수 사영 대수다양체이다. E\twoheadrightarrow \Sigma에서, 그 접공간은 다음과 같다.
:\mathrm T_E\mathcal M = \operatorname H^1(\Sigma,\operatorname{End}(E))

**증명 개략**:

어떤 매개 변수 t\in\mathbb R 및 열린 덮개 (U_i)_{i\in I}에 대하여 전이 함수가 \phi_{ij}(t)\colon U_i\cap U_j \to \operatorname{Aut}(E\restriction U_i\cap U_j)라면,
:\partial_t\ln\phi_{ij} \colon U_i\cap U_j \to \operatorname{End}(E)
이며, 이러한 함수들의 족은 (t=0에서) 층 코호몰로지 \operatorname H^1(\Sigma,\operatorname{End}(E))의 원소를 정의한다. 여기서 \operatorname{End}E = E^* \otimes_{\mathbb C} E이다.

그 복소수 차원은 다음과 같다.
: \mathcal M(\Sigma, r, d)  \ne \varnothing \implies \dim_{\mathbb C} \mathcal M(\Sigma, r, d) = 
r^2 (g-1) + 1 
여기서 \mathcal M(\Sigma, r, d)  \ne \varnothing일 필요 충분 조건은 g \ge 2이거나, g = 1이며 \gcd\{r,d\} = 1이거나, g = 0이며 r =1인 것이다.
여기서 정칙 벡터 다발 E\twoheadrightarrow\Sigma의 차수는 \deg E = \textstyle\int_\Sigma \operatorname c_1(E) \in \mathbb Z이며, \operatorname c_1은 1차 천 특성류이다.

**증명:**

\mathcal M의 차원은 물론 어떤 임의의 E\in\mathcal M에서의 접공간의 차원과 같다.

리만-로흐 정리에 따라서,
:\dim \operatorname H^0(\Sigma,\operatorname{End}E)
-\dim\operatorname H^1(\Sigma,\operatorname{End}E)
= \deg (\operatorname{End}E) + (1-g)\dim(\operatorname{End}E)
이다. 그런데 \det (E^* \otimes E)는 대역적 단면을 가지므로
:\deg (\operatorname{End}E) = 0
이며, E가 안정 벡터 다발이므로
:\dim \operatorname H^0(\Sigma,\operatorname{End}E) = 1
이다. (이는 올별 항등 함수의 스칼라배로 구성된다.)
물론
:\dim(\operatorname{End}E) = r^2
이다. 따라서
:\dim\operatorname H^1(\Sigma,\operatorname{End}E) = r^2(g-1) + 1
이다.


만약 g = 0일 경우 (\Sigma \cong \operatorname{\mathbb CP}^1), 리만 구 위의 모든 정칙 벡터 다발은 다음과 같은 꼴이다.
:\bigoplus_i\mathcal O(d_i)
여기서 \mathcal O(d)는 보편 선다발의 -d차 텐서곱이다. 이 가운데 안정 벡터 다발인 것은 선다발 \mathcal O(d) 밖에 없으며, 준안정 벡터 다발인 것은 모든 i에 대하여 d_1 = d_2 = \dotsb인 것이다 (즉, \dim E \mid \deg E ). 즉,
:\mathcal M(\operatorname{\mathbb CP}^1, r, d) = \begin{cases}
\{\bullet\} & r \mid d \\
\varnothing & r \nmid d
\end{cases}
이다.

만약 g = 1일 경우, 타원 곡선 위의 정칙 벡터 다발 E가 안정 벡터 다발일 필요 충분 조건은 그 차수와 그 차원이 서로소인 것이다.
:\gcd\{\deg E,\dim E\} = 1
이 경우,
:\mathcal M(\Sigma,r,d) \cong \Sigma \qquad(\gcd\{r,d\}=1)
이다.

### 하더-나라삼한 여과
리만 곡면 \Sigma 위의 임의의 정칙 벡터 다발 E에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 여과
:0 = E_0 \subseteq E_1 \subseteq \dotsb \subseteq E_k = E
가 존재한다.
* 임의의 i \in \{0,1,\dotsc, k-1\}에 대하여, E_{i+1}/E_i는 \Sigma 위의 준안정 벡터 다발이다.
이를 **하더-나라심한 여과**()라고 한다.

## 역사
데이비드 멈퍼드가 1963년에 도입하였다.

나라심한-세샤드리 정리는 무두바이 세샤차를루 나라심한(, )과 칸지바람 스리랑가차리 세샤드리(, )가 1965에 최초로 대수기하학을 사용하여 증명하였으며, 이후 1983년에 사이먼 도널드슨이 미분기하학을 사용하여 다른 정의를 발표하였으며, 1985년에 이 정리를 임의의 차원의 사영 켈러 다양체에 대하여 일반화하였다.

## 예
모든 정칙 선다발(1차원 정칙 벡터 다발)은 (자명하게) 안정 벡터 다발이다.

양의 차원의 두 정칙 선다발 E, F의 직합 E\oplus F은 안정 벡터 다발이 될 수 없다. 이 경우,
:\operatorname c_1(E\oplus F) = \operatorname c_1(E) + \operatorname c_1(F)
:\dim (E\oplus F) = \dim E + \dim F
이므로,
:\min\{\mu(E),\mu(F)\} \le \mu(E\oplus F) \le \max\{\mu(E),\mu(F)\}
이기 때문이다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:대수기하학
분류:미분기하학