오퍼라드

대수학과 대수적 위상수학에서 **오퍼라드**()는 이항 연산을 많은 항을 가진 연산자들의 모음으로 일반화·추상화한 개념이다. 대수적 대상의 (반)가환성과 결합성 등의 여러 성질을 한꺼번에 기술하고 일반화한다.

## 정의
자연수를 음이 아닌 정수로 정의하자. 모노이드 범주 (\mathcal C,\otimes,1_\otimes)에서, 대상 C\in\mathcal C의 원소는 사상 1_\otimes\to C로 정의하자.

대칭 모노이드 범주 (\mathcal C,\otimes,1_\otimes)에서의 **오퍼라드** (P,\circ,1_P)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* (연산 집합) 모든 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, \mathcal C의 대상 P(n)\in\mathcal C. P(n)의 원소를 각각 **<math>n</math>-항 연산**()이라고 한다.
* (항등 연산) P(1)의 원소 1_P\in P(1). 이를 **항등 연산**()이라고 한다.
* (변수의 치환) 각 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 군 준동형 *\colon \operatorname{Sym}(n)\to\operatorname{Aut}_{\mathcal C}(P(n)). 여기서 \operatorname{Sym}(n)은 대칭군이다.
* (연산의 합성) 자연수 n,n_1,n_2,\dots,n_n\in\mathbb N에 대해, 함수들
::\begin{matrix}
P(n)\otimes P(n_1)\otimes\cdots\otimes P(n_n)&\to&P(n_1+\cdots+n_n)\\
(\theta,\theta_1,\ldots,\theta_n)&\mapsto&\theta\circ(\theta_1,\ldots,\theta_n)
\end{matrix}
이 데이터는 다음의 성질들을 만족시켜야 한다.
* (결합법칙)  모든 \theta\in P(n), \theta_i\in P(n_i), \theta_{i,j(i)}\in P(n_{i,j(i)})에 대하여 (i=1,\dots,n, j(i)=1,\dots,n_i),
::\theta\circ(\theta_1\circ(\theta_{1,1},\ldots,\theta_{1,n_1}),\ldots,\theta_n\circ(\theta_{n,1},\ldots,\theta_{n,n_n}))
=(\theta\circ(\theta_1,\ldots,\theta_n))\circ(\theta_{1,1},\ldots,\theta_{1,n_1},\ldots,\theta_{n,1},\ldots,\theta_{n,n_n})

* (항등원의 성질) 모든 \theta\in P(n)에 대하여,
::\theta\circ(\overbrace{1,\ldots,1}^n)=\theta=1\circ\theta
* (치환의 작용) 모든 \theta\in P(n) 및 \theta_i\in P(n_i) (i=1,\dots,n) 및 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(n)에 대하여,
::\sigma*(\theta\circ(\theta_1,\dots,\theta_n))=\theta\circ(\theta_{\sigma^{-1}(1)},\dots,\theta_{\sigma^{-1}(n)})
* (치환의 작용) 모든 \theta\in P(n) 및 \theta_i\in P(n_i) 및 순열 \sigma_i\in\operatorname{Sym}(n_i) (i=1,\dots,n)에 대하여,
::(\theta\circ(\sigma_1*\theta_1,\dots,\sigma_n*\theta_n))=\iota(\sigma_1,\dots,\sigma_n)*\left(\theta\circ(\theta_1,\dots,\theta_n)\right)
:여기서 \iota\colon\prod_{i=1}^n\operatorname{Sym}(n_i)\hookrightarrow\operatorname{Sym}\left(\sum_{i=1}^nn_i\right)는 군의 자연스러운 포함 관계이다.

같은 대칭 모노이드 범주 \mathcal C 속의 두 오퍼라드 (P,\circ_P,1_P), (Q,\circ_Q,1_Q) 사이의 **사상** f\colon P\to Q은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 사상 f(n)\colon P(n)\to Q(n).
이는 다음 성질들을 만족시켜야 한다.
* (연산 합성의 보존) 모든 (\theta,\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n)\in P(n)\times P(n_1)\times P(n_2)\times\cdots\times P(n_n)에 대하여,
::f(\theta\circ_P(\theta_1,\ldots,\theta_n))=f(\theta)\circ_Q(f(\theta_1),\ldots,f(\theta_n))
* (항등원의 보존) f(1_P)=1_Q
* (대칭군의 작용의 보존) 모든 \theta\in P(n) 및 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(n)에 대하여,
::f(\sigma*\theta)=\sigma*f(\theta)

이에 따라, \mathcal C에서의 오퍼라드들은 범주 \mathcal C\operatorname{-Operad}를 이룬다.

### 오퍼라드의 모나드
집합의 데카르트 닫힌 범주 \operatorname{Set} 속의 오퍼라드 (P,\circ_P,1_P)가 주어지면, 이로부터 \operatorname{Set} 위의 모나드 \hat P\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Set}를 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합 S는 항상 0항 연산의 집합으로 취급할 수 있는데, \hat P(S)는 P와 S를 합성하여 정의할 수 있는 0항 연산들의 집합이다. 이 경우, 자연 변환 \hat P\hat P\implies\hat P는 P의 연산의 합성으로서 자연스럽게 정의된다.

### 오퍼라드 대수

오퍼라드는 어떤 대수 구조가 만족시킬 수 있는 일련의 공리들을 정의한다. 이에 따라, 주어진 대칭 모노이드 범주 속에서, 어떤 오퍼라드가 나타내는 공리들을 만족시키는 구조의 개념을 정의할 수 있으며, 이를 **[[오퍼라드 대수]]**라고 한다.

## 예
### 자기준동형 오퍼라드
(\mathcal C,\otimes,1)가 국소적으로 작은 대칭 모노이드 범주라고 하고, 그 속에 대상 X\in\mathcal C가 주어졌다고 하자. 그렇다면 **자기준동형 오퍼라드**() \operatorname{End}_{\mathcal C}(X)는 다음과 같은 (집합 값을 갖는) 오퍼라드이다.
* 각 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, \operatorname{End}_{\mathcal C}(X)(n)=\hom_{\mathcal C}(X^n,X)
* 1_{\operatorname{End}_{\mathcal C}(X)}=\operatorname{id}_X
* 각 \theta,\theta_1,\dots,\theta_n에 대하여,
::\theta\circ(\theta_1,\dots,\theta_n)=\theta\circ\otimes_{i=1}^n\theta_i

### 초입방체 오퍼라드
양의 정수 k에 대하여, **<math>k</math>차원 초입방체 오퍼라드**() C_k는 다음과 같다.
* C_k(n)은 n개의 k차원 초입방체 \square_1,\dots,\square_n를 하나의 k차원 초입방체 \square에 서로 겹치지 않고, \square_i의 면들이 \square의 면들과 서로 평행하게 매장하는 방법들이다.
* C_k의 항등원은 초입방체 \square 위의 항등 함수이다.
* C_k에서, \theta\colon\square_1\sqcup\cdots\sqcup\square_n\hookrightarrow\square와 \theta_i\colon\square_{i,1}\sqcup\cdots\sqcup\square_{i,n_i}\hookrightarrow\square_i (i=1,\dots,n)의 합성은 매장을 합성하여, \square_{i,j}를 \square 속에 겹치지 않고, 면들이 평행하게 매장시키는 사상이다.

### 결합법칙 오퍼라드
벡터 공간의 닫힌 대칭 모노이드 범주 \operatorname{Vect}_K 위에서 다음과 같은 오퍼라드 \operatorname{Assoc}_K를 정의하자.
* \operatorname{Assoc}_K의 n항 연산은 n!차원 K-벡터 공간 \operatorname{Span}_K\operatorname{Sym}(n)이다. 여기서 \operatorname{Sym}(n)은 크기가 n!인 대칭군이다.
* \operatorname{Sym}(n)의 작용은 군 \operatorname{Sym}(n)의 왼쪽 곱셈의 선형 확장이다.
* \operatorname{Assoc}_K의 연산의 합성은 함수
::\operatorname{Sym}(n)\times\operatorname{Sym}(n_1)\times\cdots\times\operatorname{Sym}(n_n)\to\operatorname{Sym}(n_1+\cdots+n_n)
::(\sigma,\sigma_1,\dots,\sigma_n)\mapsto\iota(\sigma_{\sigma^{-1}(1)},\dots,\sigma_{\sigma^{-1}(n)})
:의 선형 확장이다.
이 경우, \operatorname{Assoc}_K 위의 대수는 결합 <math>K</math>-대수이다. 마찬가지로, 교환법칙 따위를 오퍼라드로 나타낼 수 있다.

## 역사와 어원
존 피터 메이()와 마이클 보드먼(), 라이너 폭트() 가 호모토피 이론에서 도입하였다. "오퍼라드"라는 이름은 메이가 작명하였고, 이 이름을 고르는 데 일주일을 소비했다고 한다. 메이에 따르면, "오퍼라드"()는 (연산)과 (모나드)의 합성어이다.

이후 막심 콘체비치가 오퍼라드의 개념을 이론물리학 등에 응용하였다.

## 응용
수학에서, 오퍼라드의 개념은 결합 대수, 가환 결합 대수, 리 대수, 거스틴해버 대수, 강한 호모토피 대수(strong homotopy algebra) 등 많은 대수적 대상들을 공통적으로 기술하는 편리한 용어로 쓰인다.

이론물리학에서, 오퍼라드의 개념은 양자장론 · 끈 이론 등을 다룰 때에도 쓰인다.

## 참고 문헌

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## 외부 링크
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## 같이 보기
* A∞-오퍼라드

분류:추상대수학
분류:범주론