크라메르 법칙

선형대수학에서 **크래머 법칙**(Cramer法則, ) 또는 **크래머 공식**은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크래머 법칙에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.

## 정의
연립 일차 방정식
:Ax=B
에서, A가 정사각 행렬이며, 행렬식이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 **크라메르 법칙**이라고 한다.
:x_j=\frac{\det A_j}{\det A}=\frac{\begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&b_1&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&\cdots&b_2&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&b_n&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&\cdots&a_{2j}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}}\qquad(j=1,\dots,n)
여기서 A_j는 A의 j번째 열을 B로 대신하여 얻는 행렬이다.

## 증명
연립 일차 방정식
:a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1
:a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2
:\vdots
:a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n
의 계수 행렬 A의 (i,j)-여인자를 C_{ij}라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다.
:a_{1k}C_{1j}+a_{2k}C_{2j}+\cdots+a_{nk}C_{nj}=\begin{cases}\det A&k=j\\0&k\ne j\end{cases}
:b_1C_{1j}+b_2C_{2j}+\cdots+b_nC_{nj}=\det A_j
이에 따라, 각 i번째 방정식에 C_{ij}을 곱한 뒤 모두 합하면
:\det A\cdot x_j=\det A_j
를 얻는다. \det A\ne0이므로, 양변을 \det A로 나누면
:x_j=\frac{\det A_j}{\det A}
를 얻는다.

## 예
### 2개의 방정식의 경우
연립 일차 방정식
:ax+by=e
:cx+dy=f
이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.
:x=\frac{\begin{vmatrix}e&b\\f&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=\frac{ed-bf}{ad-bc},\;y=\frac{\begin{vmatrix}a&e\\c&f\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=\frac{af-ec}{ad-bc}

### 3개의 방정식의 경우
연립 일차 방정식
:ax+by+cz=j
:dx+ey+fz=k
:gx+hy+iz=l
이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.
:x=\frac{\begin{vmatrix}j&b&c\\k&e&f\\l&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}},\;y=\frac{\begin{vmatrix}a&j&c\\d&k&f\\g&l&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}},\;z=\frac{\begin{vmatrix}a&b&j\\d&e&k\\g&h&l\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}

## 응용
### 미분기하학
크라메르 법칙은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 F(x, y, u, v) = 0\,, G(x, y, u, v) = 0\,이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, x = X(u, v), y = Y(u, v)라 정의한다.

여기서 \partial x/\partial u의 방정식을 찾는 것은 크라메르 법칙으로 해결할 수 있다.

먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다.
:dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0
:dG = \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0
:dx = \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dv
:dy = \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dv

dF, dG에 dx와 dy를 대입하면
:dF = \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0
:dG = \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0

u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
:\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial F}{\partial u}
:\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial G}{\partial u}
:\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial F}{\partial v}
:\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial G}{\partial v}

따라서, 크라메르 법칙을 적용하면 다음과 같다.
:
\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\begin{vmatrix} -\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ -\frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}


이것은 두 개의 야코비안 항이다.
:\frac{\partial x}{\partial u} = - \frac{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(y, u\right)}\right)}{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(x, y\right)}\right)}

유사하게 \frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial v}의 공식들도 유도할 수 있다.

## 역사
스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다.

## 같이 보기
* 가우스 소거법

## 외부 링크
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분류:선형대수학 정리
분류:행렬식
분류:대수학 정리
분류:1750년 과학