바이어슈트라스 치환

미적분학에서 **바이어슈트라스 치환**(-置換, ) 또는 **탄젠트 반각 치환**(-半角置換, ) 또는 **t-치환**(-置換, )은 반각의 탄젠트를 새로운 변수로 대신하는 치환 적분이다. 삼각 함수의 유리 함수를 적분하는 데 사용된다.

## 정의
모든 삼각 함수의 유리 함수는 어떤 2변수 유리 함수 R(u,v)에 대하여 R(\sin x,\cos x)와 같은 꼴로 나타낼 수 있다. **바이어슈트라스 치환**은 이러한 함수를 적분하는 데 사용되는 다음과 같은 치환 적분 기법이다.
:\tan\frac x2=t
이 경우 다음이 성립한다.
:\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\;\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\;x=2\arctan t,\;\mathrm dx=\frac 2{1+t^2}\mathrm dt
따라서 R(\sin x,\cos x)의 적분은 다음과 같은 유리 함수 적분으로 변한다.
:\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac 2{1+t^2}\mathrm dt
모든 유리 함수의 원함수는 초등 함수이므로, 모든 삼각 함수의 유리 함수의 원함수 역시 초등 함수이다.

### 다른 방법
바이어슈트라스 치환은 때로 복잡한 계산을 가져온다. 다음과 같은 몇 가지 특수한 꼴의 경우에는 보다 더 간편한 기법이 존재한다.
* 만약 R(-u,v)=-R(u,v)라면, 이는 항상 R(u,v)=uR_1(u^2,v) 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 \cos x=t와 같이 치환하는 것이 좋다.
*:\int R(\sin x,\cos x)dx=\int\sin xR_1(\sin^2x,\cos x)dx=-\int R_1(1-t^2,t)dt
* 만약 R(u,-v)=-R(u,v)라면, 이는 R(u,v)=vR_1(u,v^2) 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 \sin x=t와 같이 치환하는 것이 좋다.
*:\int R(\sin x,\cos x)dx=\int\cos xR_1(\sin x,\cos^2x)dx=\int R_1(t,1-t^2)dt
* 만약 R(-u,-v)=R(u,v)라면, R(u,v)=R_1(u/v,v^2) 꼴이므로, 이 경우 \tan x=t와 같이 치환하는 것이 좋다.
*:\int R(\sin x,\cos x)dx=\int R_1(\tan x,\cos^2x)dx=\int R_1\left(t,\frac 1{1+t^2}\right)\frac 1{1+t^2}dt
사실 모든 유리 함수는 각각 위와 같은 성질을 만족시키는 세 유리 함수의 합으로 나타낼 수 있다.
:R(u,v)=\frac{R(u,v)-R(-u,v)}2+\frac{R(-u,v)-R(-u,-v)}2+\frac{R(-u,-v)+R(u,v)}2

### 쌍곡선 함수의 경우
바이어슈트라스 치환의 쌍곡선 함수 버전인 **쌍곡 탄젠트 반변수 치환**(雙曲-半變數置換,  또는 **쌍곡 t-치환**(雙曲-置換, )은 쌍곡선 함수의 유리 함수 R(\sinh x,\cosh x)를 적분하는 데 사용되며, 이는 다음과 같다.
:\tanh\frac x2=t
이 경우 다음이 성립한다.
:\sinh x=\frac{2t}{1-t^2},\;\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2},\;
x=2\tanh^{-1}t,\;\mathrm dx=\frac 2{1-t^2}\mathrm dt
따라서 R(\sinh x,\cosh x)의 적분은 다음과 같은 유리 함수 적분으로 변한다.
:\int R(\sinh x,\cosh x)\mathrm dx=\int R\left(\frac{2t}{1-t^2},\frac{1+t^2}{1-t^2}\right)\frac 2{1-t^2}\mathrm dt
따라서 모든 쌍곡선 함수의 유리 함수의 원함수는 초등 함수이다.

## 예
다음과 같은 적분들을 생각하자.
:\int\frac{\sin x}{1+\sin x}\mathrm dx,\;\int\frac{\mathrm dx}{5+3\sin x+4\cos x},\;\int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}\mathrm dx
첫째 적분은 바이어슈트라스 치환 \tan(x/2)=t을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:\begin{align}\int\frac{\sin x}{1+\sin x}\mathrm dx
&=\int\frac{4t}{(1+t)^2(1+t^2)}\mathrm dt\\
&=\int\left(-\frac 2{(1+t)^2}+\frac 2{1+t^2}\right)\mathrm dt\\
&=\frac 2{1+t}+2\arctan t+C\\
&=\frac 2{1+\tan(x/2)}+x+C
\end{align}
둘째 적분 역시 바이어슈트라스 치환 \tan(x/2)=t을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{5+3\sin x+4\cos x}
&=\int\frac 2{5(1+t^2)+6t+4(1-t^2)}\mathrm dt\\
&=\int\frac 2{(3+t)^2}\mathrm dt\\
&=-\frac 2{3+t}+C=-\frac 2{3+\tan(x/2)}+C
\end{align}
셋째 적분은 R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)를 만족시키므로, 바이어슈트라스 치환을 사용할 필요가 없다. 이는 치환 \sin x=t을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:\begin{align}\int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}\mathrm dx
&=\int\frac{1-t^2}{1+t^2}\mathrm dt\\
&=\int\left(\frac 2{1+t^2}-1\right)\mathrm dt\\
&=2\arctan t-t+C\\
&=2\arctan\sin x-\sin x+C
\end{align}

### 쌍곡선 함수의 경우의 예
다음과 같은 적분을 생각하자.
:\int\frac{\mathrm dx}{1+2\cosh x}
이는 쌍곡 탄젠트 반변수 치환 \tanh(x/2)=t를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{1+2\cosh x}
&=\int\frac 2{1-t^2+2(1+t^2)}\mathrm dt\\
&=\int\frac 2{3+t^2}\mathrm dt\\
&=\frac 2{\sqrt 3}\arctan\frac t{\sqrt 3}+C\\
&=\frac 2{\sqrt 3}\arctan\frac{\tanh(x/2)}{\sqrt 3}+C
\end{align}

## 같이 보기
* 삼각 치환
* 오일러 치환
## 각주

## 외부 링크
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분류:적분학