칸토어-베른슈타인 정리

섬네일|칸토어-베른슈타인 정리의 최초의 서술
집합론에서, **칸토어-베른슈타인 정리**() 또는 **슈뢰더-베른슈타인 정리**()는 두 집합 사이에 두 방향으로 모두 단사 함수가 존재한다면, 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재한다는 정리이다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리를 사용하지 않고 증명할 수 있다. 칸토어-베른슈타인 정리에 따라, 기수의 표준적인 순서는 부분 순서이다. 선택 공리를 추가로 가정하면, 기수의 순서가 전순서임을 보일 수 있다.

## 정의
**칸토어-베른슈타인 정리**는 다음과 같다.
* 두 집합 X와 Y 사이에 단사 함수 f\colon X\to Y와 g\colon Y\to X가 존재한다면, 전단사 함수 h\colon X\to Y가 존재한다.
이는 선택 공리 없이 증명할 수 있다.

기수는 같은 수의 원소를 포함하는 집합들을 묶은 동치류로 여길 수 있다. 구체적으로, 만약 전단사 함수 X\to Y가 존재한다면, |X|=|Y|라고 정의한다 (|X|는 X의 크기를 나타내는 기수). 만약 단사 함수 X\to Y가 존재한다면, |X|\le|Y|라고 정의한다. 물론, 기수의 순서 \le의 정의는 기수를 크기로 하는 집합의 선택과 무관하다. 이 순서는 반사 관계이며 (항등 함수는 단사 함수), 추이적 관계이다 (단사 함수의 합성은 단사 함수). 칸토어-베른슈타인 정리는 다음과 같이 적을 수 있다.
* 만약 |X|\le|Y|이며 |Y|\le|X|라면, |X|=|Y|이다.
즉, 기수의 순서는 반대칭 관계이며, 따라서 부분 순서이다.

정렬 집합들 사이에서는 항상 크기를 비교할 수 있다. 선택 공리를 가정하면, 모든 집합은 정렬 집합과 크기가 같으므로, 모든 집합들의 크기는 비교 가능하다. 즉, 기수의 순서는 전순서이다.

## 증명
같은 맥락의 여러 증명들이 존재한다.

### 표준적인 증명
다음과 같이 정의하자.
:X_0=X
:Y_0=g(Y)
:X_{n+1}=g(f(X_n))
:Y_{n+1}=g(f(Y_n))
그러면 일련의 X의 부분 집합들
:X_0\supseteq Y_0\supseteq X_1\supseteq Y_1\supseteq X_2\supseteq Y_2\supseteq\cdots
을 얻는다. (자명하게 X_0\supseteq Y_0이다. Y\supseteq f(X)이므로 Y_0\supseteq X_1이다. X_n\supseteq Y_n\supseteq X_{n+1}에 g\circ f에 대한 상을 씌우면 X_{n+1}\supseteq Y_{n+1}\supseteq X_{n+2}를 얻는다.) 이제, 함수 h\colon X\to Y를 다음과 같이 정의하자.
:h(x)=\begin{cases}
f(x)&\exists n=0,1,\dots\colon x\in X_n\setminus Y_n\\
g^{-1}(x)&\not\exists n=0,1,\dots\colon x\in X_n\setminus Y_n
\end{cases}

(g는 전단사 함수일 필요가 없으므로 역함수를 가질 필요가 없지만, 공역을 제한하여 부분적인 역함수 g^{-1}\colon g(Y)\to Y를 정의할 수 있다.) 이제 h가 단사 함수이자 전사 함수임을 보이면 충분하다.
* h는 단사 함수
** h는 (X_0\setminus Y_0)\cup(X_1\setminus Y_1)\cup\cdots로 제한되었을 때 f이며, 그 여집합 (Y_0\setminus X_1)\cup(Y_1\setminus X_2)\cup\cdots로 제한하면 g^{-1}이다. f와 g^{-1}은 단사 함수이다. 따라서, (X_0\setminus Y_0)\cup(X_1\setminus Y_1)\cup\cdots의 서로 다른 원소 또는 (Y_0\setminus X_1)\cup(Y_1\setminus X_2)\cup\cdots의 서로 다른 원소의, h에 대한 상은 서로 다르다. g\circ h는 X_n\setminus Y_n의 원소를 X_{n+1}\setminus Y_{n+1}의 원소로 보내고, Y_n\setminus X_{n+1}의 원소를 (스스로로 보내므로) Y_n\setminus X_{n+1}로 보낸다. X_{n+1}\setminus Y_{n+1}와 Y_n\setminus X_{n+1}는 서로 만나지 않는다. 따라서, (X_0\setminus Y_0)\cup(X_1\setminus Y_1)\cup\cdots의 원소와 (Y_0\setminus X_1)\cup(Y_1\setminus X_2)\cup\cdots원소의, h에 대한 상은 서로 다르다.
* h는 전사 함수
** y\in Y라고 하자. g(y)\in X_n\setminus Y_n이라면, n>0이다 (\because g(y)\in g(Y)=Y_0). 즉, X_n=g(f(X_{n-1})), Y_n=g(f(Y_{n-1}))이다. g가 단사 함수이므로, y=f(x)=h(x)인 x\in X_{n-1}\setminus Y_{n-1}이 존재한다. g(y)\in Y_n\setminus X_{n+1}이라면, h(g(y))=g^{-1}(g(y))=y이다.

### 쾨니그의 증명
편의상 X\cap Y=\varnothing이라고 가정하자 (가정이 참이 아니라면, 두 집합을 크기가 같은 두 서로소 집합 \tilde X=\{(0,x)\colon x\in X\}와 \tilde Y=\{(1,y)\colon y\in Y\}로 대체한다). 단사 함수 f\colon X\to Y와 g\colon Y\to X의 부분적 역함수
:f^{-1}\colon f(X)\to X
:g^{-1}\colon g(Y)\to Y
를 정의하자. 임의의 x\in X에 대하여, X\sqcup Y 위의 열
:\dots,f^{-1}(g^{-1}(x)),g^{-1}(x),x,f(x),g(f(x)),\dots
을 구성할 수 있다. 마찬가지로, 임의의 y\in Y에 대하여, X\cup Y 위의 열
:\dots,g^{-1}(f^{-1}(y)),f^{-1}(y),y,g(y),f(g(y)),\dots
을 구성할 수 있다. 이러한 열은 X와 Y의 원소가 번갈아 가며 나타나며, 오른쪽으로는 끝없이 이어지고, 왼쪽은 끝이 없거나 (f^{-1}나 g^{-1}가 정의되지 않는) 어떤 X 또는 Y의 원소에서 끝이 난다. 임의의 항은 열을 완전하게 결정하므로, 두 열이 어떤 항을 공유한다면, 두 열은 서로 같다. 즉, 위와 같은 꼴의 열들은 X\sqcup Y을 분할한다. 따라서, 각 열에 등장하는 X의 원소와 Y의 원소 사이의 전단사 함수를 찾으면 충분하다. 임의의 항은 열을 결정하므로, 특히 바로 다음 항을 결정한다. 즉, 임의의 항을 오른쪽의 이웃하는 항으로 대응시키는 함수는 항상 잘 정의된다. 이는 열 속 X의 원소에서 열 속 Y의 원소로 가는 전단사 함수이거나, 반대 방향의 전단사 함수이다.

### 타르스키 고정점 정리를 통한 증명
X의 멱집합 격자 (\mathcal P(X),\subseteq)는 완비 격자를 이룬다. 함수
:\mathcal P(X)\to\mathcal P(X)
:S\mapsto X\setminus g(Y\setminus f(S))
는 순서 보존 함수이므로, 타르스키 고정점 정리에 따라 고정점 S\subseteq X를 갖는다. 즉,
:X\setminus S=g(Y\setminus f(S))
이다. 따라서, 전단사 함수
:X\to Y
:x\mapsto\begin{cases}
f(x)&x\in S\\
g^{-1}(x)&x\in X\setminus S
\end{cases}

가 존재한다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:수학기초론 정리
분류:기수 (수학)