시그마 모형

양자장론에서 **시그마 모형**(σ模型, )은 두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수를 장으로 삼는 양자장론의 한 종류다. 끈 이론에서 쓰인다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 유사 리만 다양체 (M, g_{\mu\nu}) (시공간)
* 리만 다양체 (T, \eta_{ab}) (**과녁 공간** )
그렇다면, 임의의 매끄러운 함수 \phi \colon M\to T에 대한 **시그마 모형 작용**()은 다음과 같다.
:S[\phi] = \int_M \sqrt\,g_{\mu\nu}\eta^{ab}(\partial_\mu\phi)^a(\partial_\nu\phi)^b
(이것이 유한하기 위해서는 물론 \phi가 적절한 경계 조건을 만족시켜야 한다.)

이를 작용으로 하는 고전 장론 또는 그 양자화를 **시그마 모형**이라고 한다.

여기서 T가 유클리드 공간 \mathbb R^n이나 원 \mathbb S^1과 같은 단순한 공간일 경우에는 이를 **선형 시그마 모형**()이라고 하고, 그렇지 않을 경우에는 **비선형 시그마 모형**()이라고 한다.

### 대칭 공간 위의 시그마 모형
과녁 공간이 리만 대칭 공간 G/H인 경우를 생각하자. 이 경우, G의 리 대수는
:\mathfrak g = \mathfrak h + \mathfrak m
:[\mathfrak h,\mathfrak m] \subseteq \mathfrak m
:[\mathfrak m,\mathfrak m] \subseteq \mathfrak h
와 같이 분해되며, \mathfrak m 위에는 \operatorname{Ad}(H)-불변 내적
:\eta(x,y) = \eta(\operatorname{Ad}(h)x,\operatorname{Ad}(h)y)\qquad(x,y\in\mathfrak m,\;h\in H)
이 주어진다. 이 내적은 G/H 위의 리만 계량을 정의한다.

이러한 대칭 공간 위의 시그마 모형은 H에 대한 게이지 대칭을 도입하여 더 깔끔하게 서술될 수 있다. 구체적으로, 대역적 대칭 G 및 게이지 대칭 \mathcal C^\infty(M,H)에 대하여 변환하는 스칼라장
:\Phi \colon M \to G
:\Phi \mapsto g\Phi(x)h(x)^{-1}\qquad(g\in G,\;h\in\mathcal C^\infty(M,H))
를 생각하자.

이제, 스칼라장의 미분
:\Phi(x)^{-1}\partial_\mu\Phi \in \Omega^1(M;\mathfrak g)
을 생각하자. 대칭 공간의 경우 표준적인 분해
:\mathfrak g = \mathfrak m \oplus \mathfrak h
가 주어지므로, 이를 다음과 같은 두 조각으로 분해할 수 있다.
:\Phi(x)^{-1}\partial_\mu\Phi(x) = \nabla_\mu\phi(x) + B_\mu(x)
:\nabla_\mu\phi \in \Omega^1(M;\mathfrak m)
:B_\mu\in\Omega^1(M;\mathfrak h)
(첫째 항의 기호 \nabla_\mu\phi는 단순히 표기에 불과하다.)

그렇다면, 이는 다음과 같이 변환한다.
:\Phi^{-1}\partial_\mu\Phi
\mapsto h\Phi \partial_\mu(\Phi h^{-1})
= h(\Phi^{-1}\partial_\mu\Phi)h^{-1}
+ h\partial_\mu (h^{-1})
:\nabla_\mu\phi \mapsto h(\nabla_\mu\phi)h^{-1}
:B_\mu(\Phi) \mapsto h(B_\mu)h^{-1} + h\partial_\mu (h^{-1}) = 
h(B_\mu)h^{-1} - (\partial h)h^{-1}

따라서, 스칼라장의 운동항
:\operatorname{tr}\left(\eta_{ab}\nabla_\mu\phi^a\nabla^\mu\phi^b\right)
를 적을 수 있다. (여기서 \eta는 \mathfrak m 위의 내적이다.)

이 작용에는 페르미온 항을 다음과 같이 추가할 수 있다. 우선, 스피너장 \psi가 H의 유니터리 표현을 따른다고 하자.
:\psi(x) \mapsto h(x)\psi(x)
:\bar\psi(x) \mapsto \psi(x) h^{-1}(x)
그렇다면, 다음과 같은 공변 미분을 정의한다.
:D_\mu\psi = \partial_\mu\psi + B_\mu\psi
이는 대칭에 대하여
:D_\mu\phi \mapsto hD_\mu\psi
와 같이 변환한다. 따라서, 게이지 변환에 대하여 불변인 페르미온 운동항
:\bar\psi\gamma^\mu D_\mu\psi
을 적을 수 있다.

B_\mu의 성분들은 \psi에 대하여 일종의 주접속(게이지장)으로 작용한다. 이는 궁극적으로 \Phi의 성분의 일부에서 유래하며, 이들은 운동항을 갖지 않아 보조장의 역할을 한다.

이러한 구성은 일반 상대성 이론에서 페르미온을 도입하기 위해 필바인을 잡는 것과 동치이다. 중력의 경우, 장은 리만 계량 g이며, d(d+1)/2개의 성분을 갖는다. 이 리만 계량을 필바인으로 표기하자.
:g_{\mu\nu}=e^a_\mu e^b_\nu\eta_{ab}
필바인 e^a_\mu \in\operatorname{GL}(d;\mathbb R)은 임의의 n\times n 가역 행렬이다. 그러나, 이는
:\eta^a_\mu \mapsto M_a{}^b\eta_\mu{}^a \qquad(M\in\operatorname O(p,q))
에 의하여 불변이다. 즉, 리만 계량은 동차 공간
:\operatorname{GL}(d;\mathbb R)/\operatorname O(p,q)\qquad(p+q=d)
의 원소 [e]에 의하여 주어지며, 이 몫공간은 올바른 수의 d(d+1)/2개의 성분을 가짐을 알 수 있다.

### 초대칭 시그마 모형
(비선형) 시그마 모형에 페르미온을 추가하여, **[[초대칭]] 시그마 모형**()을 만들 수 있다. 이 경우, 가능한 과녁 공간의 모양은 초대칭의 개수에 따라 제한된다.
* 2개의 초전하 (2차원 <math>\mathcal N=(1,1)</math>)인 경우, 과녁 공간은 (일반적인) 리만 다양체이다.
* 4개의 초전하(2차원 <math>\mathcal N=(2,2)</math>, 4차원 \mathcal N=1)인 경우, 과녁 공간은 켈러 다양체이다.
* 8개의 초전하(2차원 <math>\mathcal N=(4,4)</math>, 4차원 \mathcal N=1)인 경우, 과녁 공간은 초켈러 다양체이다.

초대칭 시그마 모형의 양자화에 따라, 시그마 모형의 초대칭 바닥 상태들은 켈러 다양체인 과녁 공간의 조화형식과 일대일 대응한다.

가장 간단한 예로, 과녁 공간이 콤팩트 리만 다양체 (M,g)인 초대칭 시그마 양자역학을 생각하자. 즉, "시공간"이 1차원(시간)인 경우다. 이 경우, 힐베르트 공간은 M 위의 (복소) 미분 형식들의 공간과 동형이다.
:\mathcal H\cong\Omega(M)\otimes\mathbb C
이 경우, 미분 형식의 차수는 상태의 페르미온 수 연산자가 된다. 국소좌표계를 \{x^i\}로 잡으면, 다음과 같은 정준 교환 관계(canonical commutation relation)을 잡을 수 있다.
:[x^i,-i\nabla_j]=i\delta^i_j
:\{dx^i\wedge,i\,\iota_{\partial_j}\}=ig^{ij}
이들을 각각 보손 및 페르미온 위치 및 운동량 연산자로 해석한다.

이 경우, 초대칭 연산자는 외미분 d\colon\Omega^n(M)\otimes\mathbb{C}\to\Omega^{n+1}(M)\otimes\mathbb{C}이고, 해밀토니언 연산자는 라플라스-벨트라미 연산자
:H=\{d,d^\dagger\}=\Delta
가 된다. 즉, 바닥 상태는 조화형식에 대응하고, 드람 코호몰로지는 초대칭 코호몰로지에, 오일러 지표는 위튼 지표에 대응한다.

과녁 공간이 켈러 다양체인 경우, 4개의 초대칭은 각각 \partial, \bar\partial, \partial^\dagger, \bar\partial^\dagger이 되고, 초대칭 코호몰로지는 돌보 코호몰로지가 된다. 과녁 공간이 초켈러 다양체인 경우, 복소 구조가 여러 개 있으므로 서로 다른 두 복소구조를 사용해 그 초대칭이 총 8개가 된다.

### 게이지 선형 시그마 모형
**게이지 선형 시그마 모형**(, 약자 GLSM)은 선형 시그마 모형에 게이지장을 추가한 것이다. 이 경우 특정한 극한을 취하면, 이는 게이지 선형 시그마 모형의 진공 다양체를 과녁 공간으로 하는 비선형 시그마 모형으로 수렴하게 된다. 이와 같은 과정으로 원환 다양체를 과녁 공간으로 하는 비선형 시그마 모형들을 작도할 수 있다. 이는 에드워드 위튼이 도입하였다.

## 성질
고전적으로, 시그마 모형의 오일러-라그랑주 방정식은
:g^{\mu\nu}\nabla_\mu (\partial_\nu \phi)^a = 0
이다. 여기서 \nabla는 g에 대한 레비치비타 접속이다.

### 재규격화
비선형 시그마 모형은 M이 3차원 이상일 경우에는 재규격화할 수 없다.

시그마 모형의 장 \Sigma\colon M\to T는 M을 T 속에 매장()하는 것으로 해석할 수 있다. 즉 T 속에 \dim M 차원의 브레인()의 움직임을 나타낸다. 끈 이론에서는 끈은 2차원 브레인이므로 M은 끈 세계면을 나타내는 2차원 다양체다. T는 시공간으로, 끈 이론의 종류에 따라 26차원이거나 10차원이다. 끈 이론에서 다루는 2차원 시그마 모형은 재규격화할 수 있다. 이는 대니얼 프리댄이 1980년에 증명하였다. 비선형 시그마 모형의 베타 함수는 (1개 고리 차수만 고려하면) 과녁 공간의 리치 흐름과 같다.
:\frac{dg_{\mu\nu}}{d\ln(\lambda)}=R_{\mu\nu}+\cdots
(여기서 g_{\mu\nu}는 과녁 공간의 계량, R_{\mu\nu}는 리치 곡률 텐서다.) 이 사실은 끈 이론에서 핵심적인 역할을 한다. 끈 이론에서, 등각 대칭은 게이지 대칭이므로, 끈의 세계면에 존재하는 이론은 항상 등각 장론이어야 한다. 즉, 베타 함수가 0이어야 한다. 이에 따라서, 그 과녁 공간 (끈 이론에서의 시공간)의 리치 곡률이 0이어야 한다. 이는 진공에서의 아인슈타인 방정식이다. 즉, 끈 이론이 일반 상대성 이론을 재현함을 알 수 있다.

비상대론적 양자역학은 함수 \psi(t)\colon\mathbb R\to\mathbb R에 대한 경로 적분으로 정의된다. 따라서 비상대론적 양자역학은M=\mathbb R, T=\mathbb R인 (선형) 시그마 모형이다.

## 역사
머리 겔만과 모리스 레비()가 베타 붕괴를 설명하기 위해 1960년에 이 종류의 모형을 최초로 고안하였다. 여기서 시그마(σ)는 겔만-레비 모형에서 스칼라 중간자장의 하나였다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:양자장론
분류:끈 이론