주파수 변조

[섬네일|right|250px|신호는 [진폭 변조|AM 또는 FM 라디오 전파를 통해 전송될 수 있다.|alt=오디오, AM 및 FM 신호의 애니메이션]]
[섬네일|upright=1.5|1940년 [제너럴 일렉트릭이 뉴욕에서 진행한 시연에서 보여주듯, FM은 AM보다 잡음(RFI) 억제 능력이 우수하다. 이 라디오에는 AM과 FM 수신기가 모두 들어 있다. 100만 볼트의 전기 아크를 간섭원으로 뒤에 두었을 때, AM 수신기는 정전기 굉음만을 냈으나 FM 수신기는 뉴저지에 있는 에드윈 하워드 암스트롱의 실험용 FM 송신기 W2XMN의 음악 프로그램을 선명하게 재생했다.]]
**주파수 변조**(周波數變調, Frequency Modulation, FM)는 전자 통신에서 전파를 이용해 메시지를 전송하기 위해 원래 고안된 변조 방식이다. 주파수 변조에서는 오디오 신호와 같은 메시지 신호의 속성(주로 순시 진폭)에 비례하여 반송파의 순시 주파수를 변화시킨다. 이 기술은 전기 통신, 라디오 방송, 신호 처리 및 컴퓨팅 분야에서 사용된다.

음성이나 음악의 라디오 방송과 같은 아날로그 주파수 변조에서, 순시 주파수 편이(즉, 반송파의 주파수와 중심 주파수 사이의 차이)는 변조 신호의 진폭과 함수 관계를 갖는다.

디지털 데이터는 반송파의 순시 주파수를 일련의 주파수들 사이에서 전환하는 주파수 편이 변조(FSK)라는 유형의 주파수 변조로 인코딩되어 전송될 수 있다. 각 주파수는 0과 1 같은 숫자를 나타낼 수 있다. FSK는 팩스 모뎀과 같은 컴퓨터 모뎀, 전화 발신자 ID 시스템, 차고 문 개폐 장치 및 기타 저주파 전송에 널리 사용된다. 무선 전신타자기 또한 FSK를 사용한다.

주파수 변조는 FM 방송에 널리 쓰인다. 또한 원격 측정법, 레이더, 지진 탐사, EEG를 통한 신생아 발작 감시, 양방향 무선 시스템, 음향 합성, 자기 테이프 기록 시스템 및 일부 비디오 전송 시스템에도 사용된다. 라디오 전송에서 주파수 변조의 장점은 동일한 전력의 진폭 변조(AM) 신호보다 신호 대 잡음비가 크기 때문에 무선 주파수 간섭을 더 잘 억제한다는 것이다. 이러한 이유로 대부분의 음악은 FM 라디오로 방송된다.

주파수 변조와 위상 변조는 각 변조의 상호 보완적인 두 가지 주요 방식이다. 위상 변조는 주파수 변조를 구현하기 위한 중간 단계로 자주 사용된다. 이 방식들은 주파수와 위상은 일정하게 유지되면서 반송파의 진폭이 변하는 진폭 변조와 대조된다.

## FM 신호
폴 J. 나인에 따르면, "마이크 출력의 기저 대역 신호를 송신기 안테나에 직접 가하는 것은 작동하지 않는다. 왜냐하면... 오디오 주파수에서 4분의 1 파장 안테나는 물리적으로 거대하기 때문이다. 합리적인 크기의 안테나를 가지려면 대역폭 스펙트럼의 주파수보다 훨씬 높은 주파수의 송신기 신호가 필요하다. 즉, 기저 대역 스펙트럼이 무선 주파수로 상향 변환되어야 한다." 이를 변조라고 한다. 론 버트런드에 따르면, "주파수 변조는 변조 오디오가 반송파의 순시 주파수를 변화시키게 하는 반송파 변조 방법이다. 변조가 없으면 FM 송신기는 단일 반송파 주파수를 생성한다."

주파수 ωc인 사인파 반송파를 진폭 A, 주파수 ωa인 오디오 톤으로 변조하여 생성된 FM 신호는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:\begin{align}
  e(t) &= \sin \left(\omega_c t + kA \sin\left(\omega_at\right)\right) \\
\end{align}

반송파 주파수 위아래로 오디오 톤 주파수에 맞춰 변하는 주파수를 설명하는 순시 주파수가 필요하며, 이는 존 렌쇼 카슨의 시간 미분법을 사용하여 유도한다.

:\begin{align}
  \frac{d}{dt}\left(\omega_c t + kA \sin\left(\omega_at\right)\right) &= \omega_c + kA \omega_a\cos\left(\omega_at\right) \\
\end{align}

진폭 계수 kAωa는 ωc 주변의 최대 주파수 편이를 정의한다. 이를 ωa로 나누면 변조 지수 kA를 얻게 되며, 이는 "오디오 변조 주파수에 대한 주파수 편이량의 비율"이다.

신호 에너지의 대부분은 fc ± fΔ 내에 포함되지만, 푸리에 해석학을 통해 FM 신호를 정확하게 표현하려면 더 넓은 범위의 주파수가 필요함을 보일 수 있다. 실제 FM 신호의 주파수 스펙트럼은 무한히 확장되는 성분을 갖지만, 그 진폭이 감소하므로 실제 설계 문제에서는 고차 성분은 종종 무시된다.

## 사인파 기저 대역 신호
수학적으로 기저 대역 변조 신호는 주파수 fm을 갖는 사인파 연속파 신호로 근사될 수 있다. 이 방법은 단일 톤 변조라고도 불린다. 그러한 신호 x_m(t) = cos(2\pi f_m t)의 적분은 다음과 같다.

:\int_0^t x_m(\tau)d\tau = \frac{\sin\left(2\pi f_m t\right)}{2\pi f_m}\,

이 경우 위 y(t)의 식은 다음과 같이 단순화된다.

:y(t) = A_c \cos\left(2\pi f_c t + \frac{f_\Delta}{f_m} \sin\left(2\pi f_m t\right)\right)\,

여기서 변조 사인파의 진폭 A_m\,은 최대 편이 f_\Delta = K_f A_m으로 표현된다(주파수 편이 참조).

그러한 사인파 신호에 의해 변조된 사인파 반송파의 고조파 분포는 베셀 함수로 나타낼 수 있으며, 이는 주파수 영역에서 주파수 변조를 수학적으로 이해하는 기초를 제공한다.

## 변조 지수
다른 변조 시스템에서와 마찬가지로, 변조 지수는 변조된 변수가 변조되지 않은 수준 주변에서 얼마나 변하는지를 나타낸다. 이는 반송파 주파수의 변화와 관련이 있다.

:h = \frac{\Delta{}f}{f_m} = \frac{f_\Delta \left|x_m(t)\right|}{f_m}

여기서 f_m\,은 변조 신호 xm(t)에 존재하는 가장 높은 주파수 성분이고, \Delta{}f\,는 최대 주파수 편이, 즉 반송파 주파수로부터의 순시 주파수의 최대 편차이다. 사인파 변조의 경우, 변조 지수는 반송파의 최대 주파수 편이와 변조 사인파 주파수의 비율로 간주된다.

만약 h \ll 1이면, 이 변조를 **협대역 FM**(NFM)이라 부르며, 그 대역폭은 대략 2f_m\,이다. 때때로 변조 지수 h 인 경우를 NFM으로 간주하고, 그 외의 변조 지수는 광대역 FM(WFM 또는 FM)으로 간주한다.

이진 신호가 반송파를 변조하는 이진 주파수 편이 변조(BFSK)와 같은 디지털 변조 시스템의 경우, 변조 지수는 다음과 같이 주어진다.

:h = \frac{\Delta{}f}{f_m} = \frac{\Delta{}f}{\frac{1}{2T_s}} = 2\Delta{}fT_s \ 

여기서 T_s\,는 심볼 주기이며, 관례상 f_m = \frac{1}{2T_s}\,가 변조 이진 파형의 가장 높은 주파수로 사용된다. 디지털 변조의 경우 반송파 f_c\,는 전송되지 않는다. 대신 변조 신호의 이진 상태 0 또는 1에 따라 f_c + \Delta f 또는 f_c - \Delta f 중 하나의 주파수가 전송된다.

만약 h \gg 1이면, 이 변조를 광대역 FM이라 부르며 대역폭은 대략 2f_\Delta\,이다. 광대역 FM은 더 많은 대역폭을 사용하지만 신호 대 잡음비를 크게 개선할 수 있다. 예를 들어, f_m을 일정하게 유지하면서 \Delta{}f\,의 값을 두 배로 늘리면 신호 대 잡음비가 8배 개선된다.

톤 변조된 FM파에서 변조 주파수를 일정하게 유지하고 변조 지수를 높이면 FM 신호의 (무시할 수 없는) 대역폭은 증가하지만 스펙트럼 사이의 간격은 동일하게 유지된다. 주파수 편이를 일정하게 유지하고 변조 주파수를 높이면 스펙트럼 사이의 간격이 증가한다.

주파수 변조는 반송파 주파수의 변화가 신호 주파수와 거의 같으면 협대역으로, 반송파 주파수의 변화가 신호 주파수보다 훨씬 높으면(변조 지수 > 1) 광대역으로 분류할 수 있다. 예를 들어, 협대역 FM(NFM)은 패밀리 라디오 서비스(Family Radio Service)와 같은 양방향 무선 시스템에 사용된다. 광대역 FM은 FM 방송에 사용된다.

## 베셀 함수
[섬네일|1,000Hz 사인파에 의해 주파수 변조된 146.52MHz 반송파의 주파수 스펙트럼 및 [워터폴 플롯. 변조 지수가 약 2.4로 조정되어 반송파 주파수의 진폭이 작다. 여러 강한 측파대가 뚜렷하게 보이며, 원칙적으로 FM에서는 무한한 수의 측파대가 생성되지만 고차 측파대는 크기가 무시할 수 있는 수준이다.]]

1922년 FM 논문에서 카슨은 반송파 주파수가 신호 주파수에 의해 변조될 때 무한한 수의 측파대 주파수가 생성되며, 그 진폭은 베셀 함수로 표현된다는 점을 지적했다. 간격은 변조 신호의 주파수에 의해 결정되고, 진폭은 변조 지수에 따라 달라진다. 측파대 진폭을 결정하기 위해 제1종 베셀 함수 표가 사용된다.

단일 사인파에 의해 변조된 반송파의 경우, 결과적인 주파수 스펙트럼은 측파대 번호와 변조 지수의 함수로서 제1종 베셀 함수를 사용하여 계산할 수 있다. 변조 지수의 특정 값에서 반송파 진폭은 0이 되고 모든 신호 전력은 측파대에 있게 된다.

측파대는 반송파의 양쪽에 있으므로 그 수에 2를 곱한 다음 변조 주파수를 곱하여 대역폭을 구한다. 예를 들어, 2.2kHz 오디오 톤으로 변조된 3kHz 편이는 1.36의 변조 지수를 생성한다. 상대 진폭이 최소 0.01 이상인 측파대만 고려한다면, 차트를 검토했을 때 이 변조 지수는 3개의 측파대를 생성함을 알 수 있다. 이 3개의 측파대를 두 배로 하면 (6 × 2.2kHz), 즉 13.2kHz의 필요한 대역폭을 얻는다.

## 카슨의 법칙

경험칙인 카슨의 법칙에 따르면, 주파수 변조된 신호의 대역폭  B_T\, 는 다음과 같다.

:B_T = 2\left(\Delta f + f_m\right) = 2f_m(h + 1)

여기서 \Delta f\,는 중심 반송파 주파수 f_c로부터의 순시 주파수 f(t)\,의 최대 편이이고, h는 변조 지수, f_m\,은 변조 신호의 최고 주파수이다.
카슨의 법칙은 사인파 신호에만 적용될 수 있다. 비사인파 신호의 경우:

:B_T = 2(\Delta f + W) = 2W(D + 1)

여기서 W는 변조 신호의 최고 주파수(비사인파)이며, D는 변조 지수이다.

## 노이즈 감소
FM은 AM과 비교하여 개선된 신호 대 잡음비(SNR)를 제공한다. 최적의 AM 방식과 비교했을 때, FM은 일반적으로 노이즈 임계값이라 불리는 특정 신호 수준 이하에서는 SNR이 더 낮지만, 개선 임계값 이상의 수준에서는 AM보다 훨씬 개선된 SNR을 갖는다. FM 신호는 진폭이 일정하기 때문에 FM 수신기는 일반적으로 AM 잡음을 제거하는 리미터를 사용하여 SNR을 더욱 향상시킨다.

## 구현

### 변조
FM 신호는 직접 또는 간접 주파수 변조를 사용하여 생성할 수 있다.
* 직접 FM 변조는 변조 오디오 전압을 전압 제어 발진기에 직접 입력하여 수행할 수 있다.
* 간접 FM 변조의 경우, 메시지 신호를 적분하여 위상 변조된 신호를 생성한다. 이것을 사용하여 결정 진동자를 변조하고, 그 결과를 주파수 체배기에 통과시켜 FM 신호를 생성한다.

### 복조

섬네일|FM 변조
많은 FM 검파 회로가 존재한다. 정보 신호를 복구하는 일반적인 방법은 포스터-실리 변별기 또는 비 검파기를 통하는 것이다. 위상동기회로(PLL)를 FM 복조기로 사용할 수 있다. 슬로프 검파는 반송파에서 공진 주파수가 약간 어긋나도록 조정된 회로를 사용하여 FM 신호를 복조한다.

소프트웨어 정의 라디오 구현에서 복조는 힐베르트 변환을 사용하여 순시 위상을 복구한 다음, 이 위상을 미분하여 순시 주파수를 복구함으로써 수행될 수 있다. 샘플링된 신호의 경우, IQ(복소) 샘플을 가져와 이전 IQ 샘플의 복소 공액 x[n]\cdot \overline{x[n-1]}과 곱함으로써 주파수 변조 검출을 근사화할 수 있다.

## 응용
### 도플러 효과
1968년, 슈니츨러(Schnitzler)는 특정 박쥐가 자신의 움직임으로 인한 도플러 시프트를 보상하기 위해 반향 위치 측정 방출 주파수를 13~16kHz만큼 낮춘다는 점에 주목했다. 동적 주파수 변조인 도플러 시프트 보상은 돌아오는 에코 주파수가 박쥐의 청각 중심에 최적으로 조정되도록 보장한다.

### 자기 테이프 저장
FM은 또한 VHS를 포함한 아날로그 VCR 시스템에서 비디오 신호의 휘도(흑백) 부분을 기록하기 위해 중간 주파수에서 사용된다. 일반적으로 색차 성분은 고주파 FM 신호를 바이어스로 사용하여 일반적인 AM 신호로 기록된다. FM은 왜곡 없이 비디오의 휘도 성분을 자기 테이프에 기록하고 읽어올 수 있는 유일한 실행 가능한 방법이다. 비디오 신호는 몇 헤르츠에서 수 메가헤르츠까지 매우 넓은 범위의 주파수 성분을 가지고 있어 전자 노이즈 때문에 이퀄라이저가 작동하기에 너무 넓기 때문이다.

### 음향
FM은 또한 소리를 합성하기 위해 오디오 주파수에서 사용된다. FM 합성으로 알려진 이 기술은 초기 디지털 신시사이저에 의해 대중화되었으며 여러 세대의 개인용 컴퓨터 사운드 카드에서 표준 기능이 되었다.

### 라디오

[섬네일|뉴욕주 버펄로 [WEDG에 있는 미국 FM 라디오 송신기]]
에드윈 하워드 암스트롱(1890~1954)은 광대역 주파수 변조(FM) 라디오를 발명한 미국의 전기 공학자이다.
암스트롱은 1935년 11월 6일 라디오 엔지니어 협회(IRE) 뉴욕 지부에서 FM 라디오를 처음으로 설명한 논문을 발표했다. 논문은 1936년에 출판되었다. 최초의 실험국인 W2XMN은 1937년에 방송을 시작했다.

이름에서 알 수 있듯이 광대역 FM(WFM)은 동일한 변조 신호를 사용하는 진폭 변조보다 더 넓은 신호 대역폭을 필요로 하지만, 이는 또한 신호를 잡음과 간섭에 더 강하게 만든다. 주파수 변조는 신호 진폭 페이딩 현상에 대해서도 더 강하다. 그 결과, FM은 고주파 하이파이 라디오 방송의 변조 표준으로 선택되었다.

광대역 FM 신호는 스테레오 신호를 전달하는 데에도 사용될 수 있다. 이는 FM 프로세스 전후에 다중화 및 역다중화를 통해 수행된다.

FM은 일반적으로 음악 및 음성의 하이파이 방송을 위한 VHF 무선 주파수에서 사용된다. 아날로그 TV 음향도 FM을 사용하여 방송된다. 협대역 FM은 상업 및 아마추어 무선 설정에서 음성 통신에 사용된다. 양방향 무선에서 협대역 FM(NBFM)은 육상 이동, 해상 이동 및 기타 무선 서비스를 위한 대역폭을 절약하는 데 사용된다.

### 보조 공학 기술
주파수 변조 시스템은 사용자의 귀에서 신호 대 잡음비를 개선하여 음성을 더 이해하기 쉽게 만드는 널리 보급된 보조과학기술이다. 이것들은 보청기로 분류되지 않는 모든 소리 증폭 시스템을 지칭하는 용어인 청능 훈련기(auditory trainers)라고도 불린다. FM 시스템은 감각 신경성 난청이 있는 사람들뿐만 아니라 ADHD와 같은 질환으로 인해 청취에 영향을 받는 아이들에 의해 사용된다.

## 각주

## 같이 보기
* 진폭 변조
* 위상 변조

## 외부 링크
*  Frequency Modulation
*  Frequency Modulation 

분류:라디오 변조 모드
분류:무선 변조 방식