시프트 행렬

선형대수학에서 **시프트 행렬**()은 초대각선 또는 준대각선의 모든 원소가 1이며 이를 제외한 모든 원소가 0인 정사각 행렬이다.

## 정의
체 K 위의 n\times n **상시프트 행렬**() U_n\in\operatorname{Mat}(n;K) 및 **하시프트 행렬** L_n\in\operatorname{Mat}(n;K)은 다음과 같이 정의된다.
:(U_n)_{ij}=\delta_{i+1,j}=
\begin{cases}
1&j=i+1\\
0&j\ne i+1
\end{cases}
\qquad\forall i,j\in\{1,\dots,n\}
:(L_n)_{ij}=\delta_{i,j+1}=
\begin{cases}
1&i=j+1\\
0&i\ne j+1
\end{cases}
\qquad\forall i,j\in\{1,\dots,n\}
여기서 \delta_{ij}는 크로네커 델타이다. 예를 들어, 5\times 5 상시프트 행렬 U_5 및 하시프트 행렬 L_5는 다음과 같다.
:U_5=
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix},\;L_5=
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0
\end{pmatrix}


## 성질
체 K 위의 m\times m 상·하시프트 행렬 U_m,L_m\in\operatorname{Mat}(m;K)의 왼쪽 곱셈은 다음과 같다.
:U_m\cdot\colon\operatorname{Mat}(m,n;K)\to\operatorname{Mat}(m,n;K)
:U_m\cdot\colon
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}x_2\\x_3\\\vdots\\x_n\\0_{1\times n}\end{pmatrix}
\qquad\forall x_1,\dots,x_n\in\operatorname{Mat}(1,n;K)
:L_m\cdot\colon\operatorname{Mat}(m,n;K)\to\operatorname{Mat}(m,n;K)
:L_m\cdot\colon
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}0_{1\times n}\\x_1\\\vdots\\x_{n-2}\\x_{n-1}\end{pmatrix}
\qquad\forall x_1,\dots,x_n\in\operatorname{Mat}(1,n;K)
체 K 위의 n\times n 상·하시프트 행렬 U_n,L_n\in\operatorname{Mat}(n;K)의 오른쪽 곱셈은 다음과 같다.
:\cdot U_n\colon\operatorname{Mat}(m,n;K)\to\operatorname{Mat}(m,n;K)
:\cdot U_n\colon
\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_{n-1}&x_n\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}0_{m\times 1}&x_1&\cdots&x_{n-2}&x_{n-1}\end{pmatrix}
\qquad\forall x_1,\dots,x_n\in\operatorname{Mat}(m,1;K)
:\cdot L_n\colon\operatorname{Mat}(m,n;K)\to\operatorname{Mat}(m,n;K)
:\cdot L_n\colon
\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_{n-1}&x_n\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}x_2&x_3&\cdots&x_n&0_{m\times 1}\end{pmatrix}
\qquad\forall x_1,\dots,x_n\in\operatorname{Mat}(m,1;K)

체 K 위의 n\times n 상시프트 행렬 및 하시프트 행렬 U_n,L_n\in\operatorname{Mat}(n;K)은 n을 멱영 지수로 하는 멱영 행렬이다.
:U_n^n=0_{n\times n}
:L_n^n=0_{n\times n}
:U_n^{n-1}=E_{1n}=(\delta_{i,1}\delta_{j,n})_{i,j=1}^n
:L_n^{n-1}=E_{n1}=(\delta_{i,n}\delta_{j,1})_{i,j=1}^n

## 예
행렬
:M=
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1
\end{pmatrix}

이 주어졌다면,
:U_5M=\begin{pmatrix}
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}

:L_5M=
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0\\
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1
\end{pmatrix}

:MU_5=
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&1&1&1&1\\
0&1&2&2&2\\
0&1&2&3&2\\
0&1&2&2&2\\
0&1&1&1&1
\end{pmatrix}

:ML_5=
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&0\\
2&2&2&1&0\\
2&3&2&1&0\\
2&2&2&1&0\\
1&1&1&1&0
\end{pmatrix}

이다.

## 같이 보기
* 밴드 행렬

## 각주

분류:성긴 행렬