위상 함자

범주론과 일반위상수학에서 **위상 함자**(位相函子, )는 위상 공간의 범주에서 집합 범주로 가는 망각 함자와 여러 유사한 성질을 보이는 함자이다. 구체적으로, 주어진 집합을 정의역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 엉성한 구조" 및 주어진 집합을 공역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 섬세한 구조"가 유일하게 존재한다. 올범주의 개념에서, 사상을 임의의 원천으로 일반화하여 강화시킨 개념이다.

## 정의
### 원천과 흡입
범주 \mathcal E의 **원천**(源泉, ) (X,(Y_i)_{i\in I},(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I})은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* X\in\mathcal E는 대상이다.
* (Y_i)_{i\in I}\subseteq\mathcal E는 \mathcal E의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
* (f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}는 \mathcal E의 사상들의 모임이다.
마찬가지로, \mathcal E의 **흡입**(吸入, ) (X,(Y_i)_{i\in I},(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I})은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* X\in\mathcal E는 대상이다.
* (Y_i)_{i\in I}\subseteq\mathcal E는 \mathcal E의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
* (f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}는 \mathcal E의 사상들의 모임이다.

만약 I가 공집합이라면, 원천 (f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}은 단순히 대상 X이며, 만약 I가 한원소 집합이라면 원천은 단순히 사상 X\to Y이다.

### 시작 원천과 끝 흡입
범주 \mathcal E의 원천 (f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I} 및 함자 \Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B가 주어졌다고 하자. 만약 (f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}가 다음 보편 성질을 만족시킨다면, (f_i)_{i\in I}를 **<math>\Pi</math>-시작 원천**(始作源泉, )이라고 한다.
* 임의의 대상 X'\in\mathcal E 및 사상 \hat g\colon \Pi(X')\to\Pi(X) 및 사상족 (f'_i\colon X'\to Y_i)_{i\in I}에 대하여, \forall i\in I\colon\Pi(f_i)\circ\hat g=\Pi(f'_i)라면, \hat g=\Pi(g)이자 \forall i\in I\colon f_i\circ g=f'_i인 g\colon X'\to X가 유일하게 존재한다.
*:
\begin{matrix}
\mathcal E&\qquad\overset\Pi\to\qquad&\mathcal B\\
\hline
\begin{matrix}
X'\\
{\scriptstyle\exists!g}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\exists!g}&\searrow\!\!^{f'_i}\!\!\!\!\!\!\\
X&\underset{f_i}\to&Y_i
\end{matrix}&\qquad\overset\Pi\mapsto\qquad&\begin{matrix}
\Pi X'\\
{\scriptstyle\hat g}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\hat g}&\searrow\!\!^{\Pi f'_i}\!\!\!\!\!\!\\
\Pi X&\underset{\Pi f_i}\to&\Pi Y_i
\end{matrix}
\end{matrix}

마찬가지로, 그 쌍대 개념인 **<math>\Pi</math>-끝 흡입**(-吸入, )을 정의할 수 있다.

만약 I가 한원소 집합이라면, 시작 원천은 **[[데카르트 사상]]**이라고 한다.

### 올림
두 범주 \mathcal E, \mathcal B 사이의 함자 \Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B가 주어졌다고 하자. \mathcal B의 원천 (\hat f_i\colon\hat X\to\hat Y_i)_{i\in I}에서, 만약 \hat Y_i=\Pi(Y_i)인 Y_i\in\mathcal E가 존재한다면, 원천 (\hat f_i\colon\hat X\to\hat Y_i)_{i\in I}를 **<math>\Pi</math>-구조 원천**(構造源泉, )이라고 한다. 마찬가지로 **<math>\Pi</math>-구조 흡입**(構造吸入, )을 정의한다.

\Pi-구조 원천 (\hat f_i\colon\hat X\to \Pi(Y_i))_{i\in I}의 **[[올림]]**은 \Pi(X)=\hat X이자 \forall i\in I\colon\Pi(f_i)=\hat f_i인  \mathcal E-원천 (f_i\colon\hat X\to Y_i)_{i\in I}이다.
:
\begin{matrix}
\mathcal E&\qquad\overset\Pi\to\qquad&\mathcal B\\
\hline
\begin{matrix}
\exists X\\
{\scriptstyle\exists f_i}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\exists f_i}\\
Y_i
\end{matrix}&\qquad\overset\Pi\mapsto\qquad&\begin{matrix}
\hat X\\
{\scriptstyle\hat f_i}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\hat f_i}\\
\Pi Y_i
\end{matrix}
\end{matrix}

\Pi-구조 흡입의 **올림** 역시 마찬가지로 정의된다.
시작 올림 또는 끝 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.

임의의 \Pi-구조 원천 (\hat X\to\Pi(Y_i))_{i\in I}이 만약 시작 원천 (X\to Y_i)_{i\in I}을 갖는다면, X를 원천 (\hat X\to\Pi(Y_i))_{i\in I}에 대한 \hat X의 **시작 <math>\mathcal E</math>-구조**(始作構造, )라고 한다. 마찬가지로, \Pi-구조 흡입에 대한 **끝 <math>\mathcal E</math>-구조**(-構造, )를 정의할 수 있다.

### 위상 함자
함자 \Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 **위상 함자**()라고 한다.
* 모든 \Pi-구조 원천이 시작 올림을 갖는다. 즉, 시작 구조가 항상 존재한다.
* 모든 \Pi-구조 흡입이 끝 올림을 갖는다. 즉, 끝 구조가 항상 존재한다.

위와 같은 원천의 올림 대신, 풍성한 범주 이론을 사용하여 위상 함자의 개념을 다르게 정의할 수도 있다.

구체적 범주 (\mathcal E,F)에서, 만약 F\colon\mathcal E\to\operatorname{Set}가 위상 함자라면, 이를 **위상 구체적 범주**(位相具體的範疇, )라고 하며, 흔히 **위상 범주**(位相範疇, )로 줄여 부른다.

## 성질
모든 위상 함자는 충실한 함자이다.

위상 함자 \Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 모든 구조 원천이 유일한 시작 올림을 갖는다.
* 모든 구조 흡입이 유일한 끝 올림을 갖는다.
* 모든 엉성함 원순서들은 부분 순서들이다. 즉, 만약 f\colon X\to Y와 g\colon Y\to X가 \mathcal E의 사상이며, \Pi(X)=\Pi(Y)=\hat X이며 \Pi(f)=\Pi(g)=\operatorname{id}_{\hat X}라면, X=Y이다.
(이 조건은 범주의 동치에 의하여 보존되지 않는 성질이다.)

\mathsf P가 다음 네 성질 가운데 하나라고 하자.
* 완비 범주
* 쌍대 완비 범주
* 정멱 범주
* 쌍대 정멱 범주
위상 함자 \Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B에 대하여, 만약 \mathcal B가 \mathsf P라면, \mathcal E 역시 \mathsf P이다.

임의의 범주 \mathcal E에 대하여, 위상 함자 \mathcal E\to\operatorname{Set}들은 자연 동형 아래 유일하다.

## 예
다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자이다.
* 집합과 함수의 범주 \operatorname{Set}
* 위상 공간과 연속 함수의 범주 \operatorname{Top}
* 콜모고로프 공간과 연속 함수의 범주 \operatorname{KolmTop}
* T1 공간과 연속 함수의 범주 \operatorname{T_1Top}
* 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 \operatorname{HausTop}
* 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 \operatorname{CompHausTop}
* 균등 공간과 균등 연속 함수의 범주 \operatorname{Unif}
* 가측 공간과 가측 함수의 범주 \operatorname{Measble}
* 원순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 \operatorname{Proset}
* 부분 순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 \operatorname{Poset}
* 확장 유사 거리 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 \operatorname{\infty pMet}
* 로비어 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 \operatorname{\infty qpMet}

다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자가 아니다.
* 차분한 공간과 연속 함수의 범주 \operatorname{SoberTop}
* 정규 공간과 연속 함수의 범주 \operatorname{NormTop}
* 정규 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 \operatorname{NormHausTop}
* 장소와 장소 사상의 범주 \operatorname{Loc}
* 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주 \operatorname{Diff}

### 위상 공간
위상 공간의 경우, 시작 구조와 끝 구조는 각각 **시작 위상**(始作位相, )과 **끝 위상**(-位相, )이라고 불린다.

즉, 집합 X와 위상 공간들의 족 (Y_i)_{i\in I} 및 함수족 (f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}가 주어졌다고 하자. (I는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면, X 위의 **시작 위상**은 f_i들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 구체적으로, X의 시작 위상은 다음과 같은 부분 기저로 정의된다.
:\bigcup_{i\in I}\{f_i^{-1}(U)\mid U\in\operatorname{Open}(Y_i)\}
여기서 \operatorname{Open}(Y_i)는 Y_i의 위상(열린집합들의 족)이다.

마찬가지로,  집합 X와 위상 공간들의 족 (Y_i)_{i\in I} 및 함수족 (f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}가 주어졌다고 하자. (I는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면, X 위의 **끝 위상**은 f_i들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 구체적으로, X의 끝 위상은 다음과 같다.
:U\in\operatorname{Open}(X)\iff\forall i\in I\colon f^{-1}(U)\in\operatorname{Open}(Y_i)

### 가측 공간
집합 X와 가측 공간들의 족 (Y_i,\Sigma_i)_{i\in I} 및 함수족 (f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}가 주어졌다고 하자. (I는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 X 위의 **시작 [[시그마 대수]]**()는 f_i들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 엉성한 시그마 대수이다. 구체적으로, X의 시작 시그마 대수는
:\bigcup_{i\in I}\{f_i^{-1}(S)\mid S\in\Sigma_i\}
로 생성된다.

마찬가지로, 집합 X와 가측 공간들의 족 (Y_i,\Sigma_i)_{i\in I} 및 함수족 (f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}가 주어졌다고 하자. (I는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 X 위의 **끝 [[시그마 대수]]**()는 f_i들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 섬세한 시그마 대수이다. 구체적으로, X의 끝 시그마 대수 \Sigma는 다음과 같다.
:S\in\Sigma\iff\forall i\in I\colon f^{-1}(S)\in\Sigma_i

### 균등 공간
집합 X와 균등 공간들의 족 (Y_i,\mathcal E_i)_{i\in I} 및 함수족 (f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}가 주어졌다고 하자. (I는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 X 위의 **시작 균등 구조**()는 f_i들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, X의 시작 균등 구조는
:\bigcup_{i\in I}\{f_i^{-1}(E)\mid E\in\mathcal E_i\}
로 생성된다.

마찬가지로, 집합 X와 균등 공간들의 족 (Y_i,\mathcal E_i)_{i\in I} 및 함수족 (f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}가 주어졌다고 하자. (I는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 X 위의 **끝 균등 구조**()는 f_i들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, X의 끝 균등 구조 \mathcal E는 다음과 같다.
:E\in\mathcal E\iff\forall i\in I\colon f_i^{-1}(E)\in\mathcal E_i

### 유계형 집합
집합 X와 유계형 집합들의 족 (Y_i,\mathcal B_i)_{i\in I} 및 함수족 (f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}가 주어졌다고 하자. (I는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 X 위의 **시작 유계형**()은 f_i들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 엉성한 유계형이다. 구체적으로, X의 시작 유계형은 다음과 같다.
:B\in\mathcal B\iff\forall i\in I\colon f_i(B)\in\mathcal B_i

마찬가지로, 집합 X와 유계형 집합들의 족 (Y_i,\mathcal B_i)_{i\in I} 및 함수족 (f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}가 주어졌다고 하자. (I는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 X 위의 **끝 유계형**()은 f_i들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 섬세한 유계형이다. 구체적으로, X의 끝 유계형은
:\bigcup_{i\in I}\{f_i(B)\colon B\in\mathcal B_i\}
로 생성된다.

### 원순서 집합
집합 X와 원순서 집합들의 족 (Y_i,\lesssim_i)_{i\in I} 및 함수족 (f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}가 주어졌다고 하자. (I는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 X 위의 **시작 원순서**()는 f_i들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 엉성한 원순서이다. 구체적으로, X의 시작 원순서는 다음과 같다.
:a\lesssim b\iff\forall i\in I\colon f_i(a)\lesssim_if_i(b)

마찬가지로, 집합 X와 원순서 집합들의 족 (Y_i,\lesssim_i)_{i\in I} 및 함수족 (f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}가 주어졌다고 하자. (I는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 X 위의 **끝 원순서**()는 f_i들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 섬세한 원순서이다. 구체적으로, X의 끝 원순서 \lesssim는
:\bigcup_{i\in I}\{(f_i(a),f_i(b))\colon a\lesssim_ib,\;a,b\in Y_i\}
로 생성된다.

## 역사
1974년에 호르스트 헤를리히(, 1937~2015)가 도입하였다.

## 각주

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## 외부 링크
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