파인먼-카츠 공식

확률론에서 **파인먼-카츠 공식**(Feynman-Kac公式, )은 확률 미분 방정식과 편미분 방정식이 어떤 관계를 맺고 있는지를 나타낸 공식이다. 이 공식을 통해 특정 확률 미분 방정식을 만족시키는 확률 과정을 찾기 위해서 어떤 편미분 방정식을 풀어야 하는지를 알 수 있으며, 따라서 이 공식은 금융공학에서 어떤 자산이 이토 확률 과정을 따르는 것으로 가정했을 때 이 자산을 기초자산으로 하는 파생상품의 가격을 어떻게 구해야 하는지에 대한 해답을 찾기 위한 도구로 유용하게 쓰이고 있다.

파인먼-카츠 공식의 기본적인 근거는 어떤 함수 g(x,t)가 마팅게일일 경우 미분 계수 \mathrm dg(x,t)에서 시간 t에 대한 변화율을 나타내는 항인 \mathrm dt가 반드시 0이라는 데 있다. 따라서 만약 \mathrm dg/\mathrm dt를 0으로 만들 수 있는 편미분 방정식을 찾을 수 있다면 이를 풀이함으로써 g를 발견할 수 있다는 것이 파인먼-카츠 공식의 핵심적인 내용이다. 이 공식은 초기 조건 X(t)=x가 주어진 이토 확률 과정 X(u)에 대한 보렐 가측 함수 f(X(u))가 시점 T에 갖는 값에 대한 시점 t의 기댓값 g(X(t),t)가 마팅게일임을 이용하여 g를 찾아내기 위해서 풀어야 할 편미분 방정식과 풀이에 필요한 최종 조건을 밝혀낸다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 확률 공간 \Omega
* 유클리드 공간 \mathbb R^n. 그 벡터 지표를 (-)^i로 나타내자 (i\in\{1,2,\dotsc,n\}).
* \Omega 위의 위너 확률 과정 W^j\colon\Omega\times[0,T] \to \mathbb R^n
* W에 대한 이토 확률 과정 \mathrm dX^i(t) = \mu^i(X(t),t)\,\mathrm dt + \sigma^i{}_j(X(t),t)\,\mathrm dW^j(t)
* 보렐 가측 함수 f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R
* 보렐 가측 함수 h\colon \mathbb R^n \times[0,T] \to \mathbb R
* 보렐 가측 함수 V\colon \mathbb R^n \times[0,T] \to \mathbb R. 이는 퍼텐셜에 해당한다.

이제, 다음과 같은 확률 과정을 정의하자.
:G \colon \Omega\times[0,T] \to \mathbb R
:G(t) = f(X(T))\exp\left(-\int_t^TV(X(s),s)\,\mathrm ds\right) + \int_t^T\mathrm ds\,h(X(s),s)\exp\left(
-\int_t^s\mathrm dr\,V(X(r),r)
\right)
특히,
:G(T) = f(X(T))
이다.

이제, 그 조건부 기댓값을 정의하자.
:g(x,t) = \mathbb E\left[G(t)|X(t) = x\right]
이 함수가 유계 함수라고 하자. 특히,
:g(x,T) = \mathbb E[f(X(T))|X(T) = x] = f(x)
이다.

그렇다면, 이는 다음 2차 선형 비동차 편미분 방정식을 만족시킨다.
:\left(\frac\partial{\partial t}+\sum_j\mu^j(x,t)\frac\partial{\partial x^j} + \frac12\sum_{i,j,k}\sigma^i{}_k(x,t)\sigma^j{}_k(x,t)\frac{\partial^2}{\partial x^i\partial x^j}-V(x,t)\right)g(x,t) + h(x,t) = 0 
아인슈타인 표기법으로 합 기호를 생략하면, 이는 다음과 같다.
:\left(\frac\partial{\partial t}+\mu^j(x,t)\partial_j + \frac12\delta^{kl}\sigma^i{}_k(x,t)\sigma^j{}_l(x,t)\partial_i\partial_j-V(x,t)\right)g(x,t) + h(x,t) = 0 

특히, 만약 h = V = 0인 경우 G는 시간에 의존하지 않는 확률 과정, 즉 확률 변수가 된다.
:G_t = f(X(T))
이 경우
:g(x,t) = \mathbb E\left[f(X(T))|X(t) = x\right]
이다.

### 리만 다양체의 경우
리만 다양체의 경우, 다음과 같은 파인먼-카츠 공식이 존재한다. 다음이 주어졌다고 하자.
* n차원 연결 리만 다양체 (M,g). 그 벡터 지표를 (-)^i로 나타내자 (i\in\{1,2,\dotsc,n\})
* 점 x_0 \in M (초기 조건)
* 양의 실수 T > 0 (최종 시각)
그렇다면, 초기 조건이 x_0인 연속 함수로 구성된 바나흐 공간
:\mathcal C_{x_0}^0([0,T],M) = \{f\in\mathcal C_0^0([0,T],M)\colon f(0) = x_0 \}
을 생각하자. 그 속에 소볼레프 공간인 캐머런-마틴 공간
:\operatorname W^{1,2}_{x_0}([0,T],M,g) = 
\left\{
f\in\mathcal C^0_{x_0}([0,T],M)
\colon
\int_0^T g_{f(t)}(\dot f(t), \dot f(t)) \,\mathrm dt 
을 부여하면, 이는 위너 공간을 이룬다. 즉, \mathcal C_{x_0}^0([0,T],M) 위에, 열핵으로 유도되는 위너 확률 측도 \mathrm dW_{x_0}가 존재한다.

또한, 임의의 x_T \in M (최종 조건)에 대하여, 마찬가지로
:\mathcal C_{x_0,x_T}^0([0,T],M) = \{f\in\mathcal C_0^0([0,T],M)\colon f(0) = x_0, f(T) = x_T \}
를 생각하자. 이 경우도 마찬가지로 캐머런-마틴 공간
:\operatorname W^{1,2}_{x_0,x_T}([0,T],M,g) = \operatorname W^{1,2}_{x_0}([0,T],M,g) \cap \operatorname C^0{x_0,x_T}([0,T],M)
을 통하여 위너 공간을 이루며, 이는 \mathcal C_{x_0}^0([0,T],M) 위의 확률 측도의 조건부 확률이다.

이제, 다음이 주어졌다고 하자.
* V \in \operatorname L^\infty(M;\mathbb R) (퍼텐셜 함수)
* \psi_0 \in \operatorname L^2(M;\mathbb R) (초기 조건)
그렇다면, 실수 힐베르트 공간
:\mathcal H = \operatorname L^2(M;\mathbb R)
위에 자기 수반 작용소인 해밀토니언 연산자
:H = \nabla + V = -g^{ij}\nabla_i \nabla_j + V
를 정의할 수 있다. (라플라스-벨트라미 연산자 \nabla는 음이 아닌 스펙트럼을 가지므로, \mathcal H 전체로 유일한 프리드릭스 확장()을 갖는다.)

이제, 이에 대한 열 방정식
:\partial_t \psi(t,x) = - H \psi(t,x)
:\psi(0,x) = \psi_0(x)
을 생각할 수 있다. (해석학적 이유로 인하여, 복소수 힐베르트 공간 대신 실수 힐베르트 공간, 슈뢰딩거 방정식 대신 열 방정식을 사용하였다. 물리학에서 이는 시간의 윅 회전에 해당한다.) 힐베르트 공간의 이론으로 인하여, 이는 항상 유일한 해
:\psi(t,x) = \exp(-tH) \psi_0(x)
를 갖는다. 브라-켓 표기법으로 이는
:|\psi\rangle(t) = \exp(-tH) |\psi_0\rangle
:\langle x|\psi\rangle(t) = \langle x|\exp(-tH)|\psi_0\rangle
이다.

**파인먼-카츠 공식**에 따르면, 이 방정식의 해는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.
:\psi(T,x_0) = \int_{\mathcal C^0_{x_0}([0,T],M)} \psi_0(x_0) \exp
\left(
-\int_0^T V(f(t))\,\mathrm dt
\right)\,\mathrm dW_{x_0}(f)

## 증명
편의상 h=V = 0, n=1인 경우만을 생각하자.

### <math>g(X(t),t)</math>의 마팅게일 특성
만약 시점 0\le s\le t\le T가 주어졌을 경우, 시점 s와 t에 f(X(T))가 갖는 기댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:\mathbb{E}[f(X(T))\vert \mathcal{F}(s)]=g(X(s),s),
:\mathbb{E}[f(X(T))\vert \mathcal{F}(t)]=g(X(t),t)

이 두 식과 반복 조건(iterated condition)의 법칙을 활용해 시점 s에 g(t,X(t))가 갖는 기댓값을 다음과 같이 정리할 수 있다.

:
\begin{align}
\mathbb{E}[g(X(T),t))\vert \mathcal{F}(s)] & =\mathbb{E}[\,\mathbb{E}[f(X(T))\vert\mathcal{F}(t)]\,\vert\mathcal{F}(s)] \\
& =\mathbb{E}[f(X(T))\vert\mathcal{F}(s)]=g(X(s),s)
\end{align}


따라서 g(X(t),t)는 마팅게일이다.

### 편미분 방정식의 도출
이토 확률 과정 X(u)에 대한 확률 미분 방정식의 해를 X(t)라고 하자. g(X(t),t)가 마팅게일이므로 미분 계수 \mathrm dg(X(t),t)에서 시간 t에 대한 변화율을 나타내는 항인 \mathrm dt는 반드시 0이다. 미분 계수 \mathrm dg(X(t),t)를 정리하면 다음과 같다.
:
\begin{align}
\mathrm dg(X(t),t) & = \frac\partial{\partial t}g(X(t),t)dt+\frac\partial{\partial x}g(X(t),t)dX+\frac12\frac{\partial^2}{\partial x^2}g(X(t),t)\mathrm dX\,\mathrm dX  \\
& = \frac\partial{\partial t}g(X(t),t)\,\mathrm dt+\mu\frac{\partial}{\partial x}g(X(t),t)\,\mathrm dt+\sigma\frac\partial{\partial X}g(X(t),t)\,\mathrm dW(t)+\frac12\sigma^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}g(X(t),t)\,\mathrm dt \\
& = \left[\frac\partial{\partial t}g(X(t),t)+\mu\frac\partial{\partial x}g(X(t),t)+\frac12\sigma^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}g(X(t),t)\right]\,\mathrm dt+\sigma\frac{\partial}{\partial x}g(X(t),t)\,\mathrm dW(t)
\end{align}


따라서 항 \mathrm dt의 계수를 분리해 내면 다음과 같이 모든 x에 대해 g(X(t),t)가 만족시키는 편미분 방정식을 구할 수 있다.
:\frac\partial{\partial t}g(x,t)+\mu\frac\partial{\partial x}g(x,t)+\frac12\sigma^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}g(x,t)=0

## 역사
리처드 파인먼과 마레크 카츠(, , 1914〜1984)의 이름을 땄다.

Feynman at Los Alamos.jpg|리처드 파인먼
Mark_Kac.jpg|마레크 카츠

파인먼은 이 공식을 양자역학의 경로 적분을 정의하기 위하여 유도하였으나, 엄밀하게 증명하지 않았다. 마레크 카츠가 이 공식의 엄밀한 증명을 1949년에 출판하였다.

## 같이 보기
* 이토의 보조정리
* 기르사노프 정리
## 각주

## 외부 링크
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