베셀 함수

수학에서 **베셀 함수**()는 헬름홀츠 방정식을 원통좌표계에서 변수분리할 때 등장하는 특수 함수다. 물리학에서 맥스웰 방정식이나 열 방정식, 슈뢰딩거 방정식 등 다양한 문제를 풀 때 쓰인다.

## 정의
베셀 함수는 다음과 같은 상미분 방정식을 통해 기술되는 해 y(x)에 해당하는 함수 무리를 일컫는 말이다.
:x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0
여기서 \alpha는 임의의 복소수다. 이 상미분 방정식을 \alpha차수의 **베셀 방정식**()이라고 한다.

베셀 방정식은 2차 상미분 방정식이므로, 베셀 방정식은 서로 선형 독립인 두 가지 해를 가진다. \alpha가 정수일 경우, 두 해  가운데 하나는 x\to 0에서 발산하고, 다른 하나는 발산하지 않는다. 발산하지 않는 경우를 **제1종 베셀 함수**() J_\alpha(x)라고 하고, 발산하는 경우를 **제2종 베셀 함수**() Y_\alpha(x)라고 한다. (\alpha가 정수가 아닐 경우에도 J_\alpha(x)와 Y_\alpha(x)는 베셀 방정식을 통해 기술되는 선형 독립된 두 종류 해를 이룬다.) 즉, 베셀 방정식을 통해 얻어지는 일반해는 다음과 같다.
:y(x) = c_1 J_\alpha (x) + c_2 Y_\alpha (x)
여기서 c1, c2는 임의의 상수다.

### 베셀 방정식 유도
베셀 방정식은 2차원 헬름홀츠 방정식
:(\Delta+k^2)f=0
을 극좌표계에서 변수분리하면서 등장한다.

먼저 헬름홀츠 방정식은 선형이므로 f(r,\theta)를 극좌표 r,\theta에 대해
:f(r,\theta)=R(kr)\Theta(\theta)
와 같이 변수분리할 수 있는데, \theta는 극좌표계 상에서 각도를 나타내므로 \Theta는 360° 회전변환에 불변하는 형태인
:\Theta(\theta)=\cos n\theta 또는 \sin n\theta (n\in\mathbb Z)
가 되고, 이를 헬름홀츠 방정식에 대입할 시 라플라스 연산자가 극좌표계에서
:\Delta=\frac1r\frac\partial{\partial r}\left(r\frac\partial{\partial r}\right)+\frac1{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}
로 나타남에 따라 다음과 같은 베셀 방정식을 얻는다.
:(kr)^2R*+(kr)R'+\left((kr)^2-n^2\right)R=0</math>

=== 제1종 베셀 함수 ===
[[파일:BesselJ plot.svg|섬네일|350px|오른쪽|α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑) 일 때 J<sub>α</sub>(x)의 그래프]]

α가 임의의 [[복소수]]일 때, 베셀 방정식을 통해 나타나는 가장 기본적인 해를 *'제1종 베셀 함수** J<sub>α</sub>(x)라고 하며 다음과 같이 정의한다.
:<math> J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! (m+\alpha)!} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha} </math>
여기서 임의의 복소수에 대한 계승 <math>z!=\Gamma(z+1)</math>를 의미한다. (<math>\Gamma(z)</math>는 [[감마 함수]]이다.)

이 때 만약 α가 [[정수]]가 아니라면, J<sub>α</sub>(x)와 J<sub>-α</sub>(x)는 선형 독립이면서 베셀 방정식의 해가 된다. 따라서
:<math>y(x) = c_1 J_\alpha (x) + c_2 J_{-\alpha} (x)</math>
(여기서 c<sub>1</sub>,c<sub>2</sub>는 상수)는 α가 정수가 아닐 때의 베셀 방정식의 일반해가 된다.

==== 성질 ====
:<math>J_{-\alpha} (x) = (-1)^\alpha J_\alpha (x)</math>(α가 정수일때만 정의 된다)
:<math>J_{-1/2} (x) = \sqrt \cos x</math>
:<math>J_{1/2} (x) = \sqrt \sin x</math>
:<math>{d \over dx } \left( x^\alpha J_\alpha (x) \right) = x^\alpha J_{\alpha-1} </math>
:<math>\int_0 ^x x' J_0 (x') dx' = x J_1(x)</math>
:<math>\sum_{k=-\infty} ^\infty J_k (x) = 1</math>

==== 베셀의 적분 ====
n이 정수인 베셀 함수에 대해선 다음과 같이 적분 표현을 사용해서 베셀 함수의 표현이 가능하다.
:<math>J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (n \tau - x \sin \tau) d\tau.</math>
이 형태는 [[프리드리히 베셀]]이 사용했던 접근법이다. 그리고 여기서 다른 몇몇 성질들을 유도해냈다.

또 다른 적분 형태의 정의로는 다음이 있다.
:<math>J_n (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{-i(n \tau - x \sin \tau)} d\tau</math>

==== 경로적분법을 통한 표현 ====
[[경로적분법]]을 사용하여 베셀 함수를 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math>J_n(z) = {1 \over 2\pi i}  \oint e^{(z/2)(t-1/t)}t^{-n-1}dt</math>
여기서 적분 경로는 원점을 주변으로 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다.

=== 제2종 베셀 함수 ===
[[파일:BesselY plot.svg|섬네일|350px|오른쪽|α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑)일 때 Y<sub>α</sub>(x)의 그래프]]

만약 베셀 방정식의 계수 <math>\alpha</math>가 정수이면 <math>J_{-\alpha}(x)=(-1)^\alpha J_\alpha(x)</math>이므로 두 함수는 독립이 아니게 된다. 이 경우 나머지 한 해를 **제2종 베셀 함수** Y<sub>α</sub>(x)라고 하고, 다음과 같다.
:<math>Y_\alpha(x) = \lim_{m \rightarrow \alpha} \frac{J_m (x) \cos m\pi - J_{-m}(x)}{\sin m\pi}</math>.
<math>\alpha</math>가 정수가 아닐 경우에는 위 공식은 극한 없이 바로 사용할 수 있지만, <math>\alpha</math>가 정수일 경우에는 극한을 취하여야만 한다.

== 변형 베셀 함수 ==
다음과 같은 2차 [[상미분 방정식]]을 **변형 베셀 방정식**()이라고 한다.
:<math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - (x^2 + \alpha^2)y = 0</math>
변형 베셀 방정식의 해는 **제1종 변형 베셀 함수** <math>I_\alpha(x)</math>와 **제2종 변형 베셀 함수** <math>K_\alpha(x)</math>이다. 즉, 변형 베셀 방정식의 일반해는 다음과 같다.
:<math>y(x) = c_1 I_\alpha(x) + c_2 K_\alpha(x)</math>

방정식의 특징 때문에 변형 베셀 함수는 **쌍곡 베셀 함수**라고도 불린다.
=== 제1종 변형 베셀 함수 ===
[[파일:BesselI Functions (1st Kind, n=0,1,2,3).svg|섬네일|350px|오른쪽|α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑), 3(검정)일 때 I<sub>α</sub>(x)의 그래프]]
변형 베셀 방정식의 기본적인 해를 **제1종 변형 베셀 함수** I<sub>α</sub>(x)라 하고, 자세한 형태는 다음과 같다.
:<math> I_\alpha (x) = i^{-\alpha} J_\alpha (ix) \;</math>

==== 급수 형태 ====
제1종 변형 베셀 함수도 다음과 같은 급수 형태를 갖는다.

:<math>I_\alpha (z)= \left(\frac{1}{2}z \right)^\alpha \sum_{k=0}^\infty {\left({1\over4}z^2 \right)^k \over k! \Gamma(\alpha+k+1) }</math>

==== 적분을 통한 표현 ====
선적분을 통한 제1종 변형베셀함수의 표현은 다음과 같다.

:<math>I_n(z) = {1 \over 2\pi i} \oint e^{(z/2)(t+1/t)}t^{-n-1}dt</math>

여기서 적분경로는 원점을 주변으로 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다.

조금 복잡하지만 다음과 같은 적분 표현법도 있다.
:<math>I_\alpha(z)={1\over \pi} \int_0^\pi e^{z \cos \theta} \cos (\alpha\theta) d\theta -{\sin (\alpha\pi) \over \pi } \int_0^\infty e^{-z \cosh t - \alpha t}dt</math>

만약, α가 정수이면 위 식은 다음과 같이 간단해진다.
:<math>I_n(z)={1\over \pi} \int_0^\pi e^{z \cos \theta} \cos (n\theta) d\theta</math>

==== 미분과 관련된 성질 ====
n = 0 에서의 제1종 변형 베셀 함수를 미분하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

:<math>I_n(x)=T_n{d\over dx}I_0(x)</math>

여기서 T<sub>n</sub>은 [[제1종 체비세프 다항식]]이다.

=== 제2종 변형 베셀 함수 ===
[[파일:BesselK Functions (n=0,1,2,3).svg|섬네일|350px|오른쪽|α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑), 3(검정)일 때 K<sub>α</sub>(x)의 그래프]]
마찬가지로, 변형 베셀 방정식에 대한 **제2종 변형 베셀 함수** K<sub>α</sub>(x)를 정의 할 수 있는데 그 자세한 형태는 다음과 같다.
:<math>K_\alpha (x) = {\pi \over 2} { I_{-\alpha}(x) - I_\alpha (x) \over \sin \alpha \pi }</math>
변형 베셀 함수와 마찬가지로 α가 정수일 때 잘 정의가 되지 않으므로, 좀 더 엄밀히 정의하면,
:<math>K_\alpha (x) = \lim_{m \rightarrow \alpha} {\pi \over 2} { I_{-m}(x) - I_m (x) \over \sin \alpha \pi }</math>

또한 제2종 변형 베셀 함수는 다음과 같은 함수로 불리기도 했다.

* 배셋 함수
* 맥도날드 함수

== 다른 표현 ==
베셀 함수는 다음과 같이 [[생성함수 (수학)|생성 함수]]로 표현할 수 있다. 이 공식을 [[야코비-앙거 전개]]()라고 한다.
:<math>\exp(ir\cos\theta)=\sum_ni^nJ_n(r)\exp(in\theta)=J_0(r)+\sum_n2i^nJ_n(r)\cos n\theta</math>.
이는 [[카를 구스타프 야코프 야코비]]와 카를 테오도어 앙거()의 이름을 딴 것이다.

마찬가지로, 구면 베셀 함수도 다음과 같이 [[생성함수 (수학)|생성 함수]]로 표현할 수 있다. 이 공식을 **레일리 전개'''()라고 한다.
:\exp(ir\cos\theta)=\sum_ni^n(2n+1)j_n(r)P_n(\cos\theta).
여기서 P_n은 르장드르 다항식이다.

## 역사
다니엘 베르누이가 최초로 정의하였다. 프리드리히 베셀이 연구하고, 일반화하였다.

## 같이 보기

* 헬름홀츠 방정식
* 구면 조화 함수
* 프로베니우스 방법

## 각주

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분류:특수 함수
분류:푸리에 해석학
분류:특수 초기하함수