유카와 퍼텐셜

입자, 원자 및 응집물질물리학에서 **유카와 퍼텐셜**(, **가리운 [[전자기학|쿨롱 퍼텐셜]]**이라고도 함)은 일본의 물리학자 유카와 히데키의 이름을 딴 퍼텐셜이다. 이 퍼텐셜의 형태는 다음과 같다.

:V_\text{Yukawa}(r)= -g^2\frac{e^{-\alpha m r}}{r},

여기서 g는 크기 조정 상수(즉, 퍼텐셜의 진폭)이고, 은 입자의 질량, 은 입자까지의 방사 거리, 는 또 다른 조정 상수로 r \approx \tfrac{1}{\alpha m}이 대략적인 범위가 된다. 이 퍼텐셜은 에 대해 단조 증가하며 음수인데, 이는 힘이 인력임을 의미한다. SI 단위계에서 유카와 퍼텐셜의 단위는 역 미터(m−1)이다.

전자기학의 쿨롱 퍼텐셜은 모든 곳에서 e^{-\alpha mr} 인자가 1인 유카와 퍼텐셜의 한 예이다. 이는 광자의 질량 이 0인 것으로 해석할 수 있다. 광자는 상호작용하는 전하를 띤 입자 사이의 매개 입자이다.

중간자장과 페르미온장 사이의 상호작용에서 상수 g는 해당 장 사이의 게이지 결합 상수와 같다. 핵력의 경우, 페르미온은 양성자와 또 다른 양성자 또는 중성자가 된다.

## 역사
유카와 히데키의 1935년 논문 이전까지, 물리학자들은 반지름이 10−14 미터 정도인 작은 핵 안에 양전하를 띤 양성자와 중성자가 밀집되어 있다는 제임스 채드윅의 원자 모델 결과를 설명하는 데 어려움을 겪었다. 물리학자들은 이 정도 거리에서 전자기력이 양성자들 사이에 척력을 일으켜 핵이 붕괴될 것이라는 점을 알고 있었다. 이에 따라 기본 입자 간의 상호작용을 더 자세히 설명하려는 동기가 생겼다. 1932년, 베르너 하이젠베르크는 핵 내부의 중성자와 양성자 사이의 "Platzwechsel"(이동) 상호작용을 제안했는데, 여기서 중성자는 양성자와 전자의 복합 입자였다. 이 복합 중성자가 전자를 방출하여 양성자와 인력을 형성한 다음 스스로 양성자로 변한다는 것이다. 1933년 솔베이 회의에서 하이젠베르크가 이 상호작용을 제안했을 때, 물리학자들은 그것이 짧은 사거리를 가졌다는 점 때문에 다음과 같은 두 가지 형태 중 하나일 것으로 추측했다.

:J(r) = ae^{-br} \quad \textrm{or}\quad J(r) = ae^{-br^2}

 그러나 그의 이론에는 많은 문제가 있었다. 우선 스핀이 인 전자와 스핀이 인 양성자가 합쳐져 중성자의 스핀인 가 되는 것은 불가능했다. 하이젠베르크가 이 문제를 다룬 방식은 나중에 아이소스핀 개념을 형성하게 된다.

핵 내부 입자 사이의 (쿨롱 힘이 아닌) 교환 상호작용에 대한 하이젠베르크의 아이디어는 1934년 엔리코 페르미가 베타 붕괴에 관한 아이디어를 공식화하는 계기가 되었다. 페르미의 중성자-양성자 상호작용은 중성자와 양성자 사이의 "이동"에 기반하지 않았다. 대신 페르미는 (하이젠베르크의 이론처럼) 전자만 방출하는 것이 아니라 중성미자와 전자라는 두 개의 가벼운 입자를 방출하고 흡수할 것을 제안했다. 페르미 상호작용은 선운동량과 각운동량 보존 문제를 해결했지만, 소련의 물리학자 이고리 탐과 드미트리 이바넨코는 중성미자와 전자 방출과 관련된 힘이 핵 안의 양성자와 중성자를 묶어둘 만큼 강하지 않다는 것을 증명했다.

1935년 2월 논문에서 유카와 히데키는 하이젠베르크의 단거리력 상호작용 아이디어와 페르미의 교환 입자 아이디어를 결합하여 중성자-양성자 상호작용 문제를 해결했다. 그는 지수적 감쇠 항(e^{-\alpha mr})과 전자기 항(1/r)을 포함하는 퍼텐셜을 연역해 냈다. 양자장론과의 유사성을 통해 유카와는 퍼텐셜과 그에 대응하는 장이 교환 입자의 결과여야 함을 알고 있었다. 양자 전기역학의 경우, 이 교환 입자는 질량이 0인 광자였다. 유카와의 경우 교환 입자는 상호작용의 범위(\tfrac{1}{\alpha m}로 주어짐)와 관련된 질량을 가지고 있었다. 핵력의 범위를 알고 있었기 때문에 유카와는 자신의 방정식을 사용하여 매개 입자의 질량을 전자 질량의 약 200배로 예측했다. 물리학자들은 이 입자의 질량이 양성자와 전자의 중간 정도였기 때문에 "중간자"라고 불렀다. 유카와의 중간자는 1947년에 발견되었으며 파이 중간자로 알려지게 되었다.

## 쿨롱 퍼텐셜과의 관계
섬네일|'''그림 1:''' <math>g = 1</math>이고 의 값이 다양할 때 유카와 퍼텐셜의 비교.
섬네일|'''그림 2:''' <math>g = 1</math>일 때 유카와 퍼텐셜과 쿨롱 퍼텐셜 세기의 "장거리" 비교.

입자의 질량이 없다면(즉, ), 유카와 퍼텐셜은 쿨롱 퍼텐셜로 환원되며 사거리는 무한대가 된다. 실제로 다음과 같다.

:m=0  \Rightarrow e^{-\alpha m r}= e^0 = 1.
따라서 다음 방정식은
:V_{\text{Yukawa}}(r)= -g^2 \;\frac{e^{-\alpha mr}}{r}
쿨롱 퍼텐셜의 형태로 단순화된다.
:V_{\text{Coulomb}}(r)= -g^2 \;\frac{1}{r}.

여기서 조정 상수는 다음과 같이 설정된다.

:g^2 = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0}

그림 2에는 유카와와 쿨롱의 장거리 퍼텐셜 세기 비교가 나타나 있다. 쿨롱 퍼텐셜은 더 먼 거리까지 영향을 미치는 반면, 유카와 퍼텐셜은 상당히 빠르게 0에 수렴하는 것을 볼 수 있다. 그러나 유카와 퍼텐셜이나 쿨롱 퍼텐셜 모두 큰  값에 대해 0은 아니다.

## 파동 방정식과의 관계
유카와 퍼텐셜은 질량이 0이 아닌 입자를 설명하기 위해 전자기파 방정식을 수정함으로써 발생하는 것으로 생각할 수 있다.

전자기파 방정식은 다음과 같다.
: \ \Box\;\! A^\mu = \mathsf{source\ terms}\ ,
여기서 \ A^\mu\ 는 전자기 4차원 퍼텐셜이고 \ \Box \equiv \tfrac{ 1 }{\ c^2 } \partial_t^2 - \nabla^2\ 는 다람베르시안이라 불리는 라플라스 연산자의 4차원 시공간 버전이다. 점원(point source)에 대해 퍼텐셜은 \ \tfrac{\;\! 1 \;\!}{ r }\ 과 같이 변한다.

이 파동 방정식은 광자를 설명한다. 핵력에 대해서는 파이 중간자를 설명하고자 한다. 파이 중간자는 벡터가 아닌 스칼라 장으로 설명될 수 있으며, (상대론적 불변성에 영향을 주지 않는) 장의 배수를 추가하여 파동 방정식을 수정한다.
: \ \Box\;\!\phi\ +\ \mu^2 \phi = 0\ 

만약 \ \phi\ 가 구면 좌표 에만 의존하고 시간과 무관하다면, 방정식을 재배열하여 \ \nabla^2 \phi = \mu^2 \phi ~.를 얻을 수 있다.

구면 좌표계에서의 라플라시안 표현식 \ \nabla^2 \phi = \frac{\;\! 1 \;\!}{ r }\ \partial_r^2 \bigl(\;\! r\;\!\phi \;\!\bigr)\ 을 사용하면 다음을 얻는다.
: \ \partial_r^2 \bigl(\ r\ \phi\ \bigr) = \mu^2\ \bigl(\ r\ \phi\ \bigr)\ 

이것은 \ r\ \phi(\;\! r \;\!) = K\ e^{ -\mu\;\! r }\  형태의 해를 가지므로 다음과 같다.
: \ \phi(\;\! r \;\!)\ =\ K\ \frac{\;\! e^{ -\mu\;\! r} }{ r }\ ,
이것이 바로 유카와 퍼텐셜이다.

광자의 경우 파동 해는 \ e^{ i \left( k x - \omega t \right) } ~.와 같을 것이다. 이를 동차 전자기파 방정식에 대입하면 다음을 얻는다.
: \ \left ( \frac{\ \omega }{\ c} \right )^2 = k^2\ ,

플랑크 관계식 \ E = \hbar\;\!\omega\ 와 드브로이 관계식 \ p = \hbar\;\! k ~.를 사용하면 다음을 얻는다.
: \ \left ( \frac{\ E}{\ c} \right )^2 = p^2 ~.

질량-에너지 등가 원리는 \ \left ( \frac{\ E}{\ c} \right )^2 = p^2 + m^2 c^2\ ,임을 알려주며, 이는 광자의 질량이 없음을 말해준다.

파이 중간자에 대해 이 분석을 반복하면 다음과 같다.
: \ \left( \frac{\ E}{\ c} \right )^2 = k^2 + \mu^2 \hbar^2\ , 이는 중간자의 질량이 \ m = \frac{\;\!\mu\;\!\hbar\;\!}{ c } ~.임을 의미한다. 즉,  \mu = \frac{m c}{\hbar} = \lambda\!\!\!\bar{} ^{-1} 이며 여기서  \lambda\!\!\!\bar{} 는 중간자의 축약 컴프턴 파장이다.

\ \mu\ 는 관측된 핵력의 사거리로부터 추정할 수 있다. 핵력은 펨토미터(\ 10^{-15} \mathsf{m}\ ) 정도의 범위를 가지며  \hbar c \approx 200 \text{ MeV fm} 이므로 파이 중간자의 질량은 약 170 MeV여야 하며, 이는 실제 값인 약 140 MeV에 가깝다.

## 푸리에 변환
유카와 퍼텐셜이 질량이 있는 장과 관련되어 있음을 이해하는 가장 쉬운 방법은 그것의 푸리에 변환을 살펴보는 것이다. 다음과 같다.

:V(\mathbf{r}) =
\frac{-g^2}{(2\pi)^3}
\int e^{i\mathbf{k \cdot r}}
\frac {4\pi}{k^2+(\alpha m)^2} \,\mathrm{d}^3 k

여기서 적분은 3차원 벡터 운동량 의 가능한 모든 값에 대해 수행된다. 이 형태에서 비례 인자를 1로 설정하면(\alpha = 1), 분수 \frac{4 \pi}{k^2 + m^2}은 클라인-고든 방정식의 전파자 또는 그린 함수임을 알 수 있다.

## 파인만 진폭
섬네일|단일 입자 교환.
유카와 퍼텐셜은 한 쌍의 페르미온 상호작용의 최저차 진폭으로 유도될 수 있다. 유카와 상호작용은 페르미온 장 \psi(x)를 중간자 장 \phi(x)에 다음과 같은 결합 항으로 결합시킨다.

:\mathcal{L}_\mathrm{int}(x) = g~\overline{\psi}(x)~\phi(x)~\psi(x)~.

초기 운동량이 각각 p_1과 p_2인 두 페르미온이 운동량 인 중간자를 교환하는 산란 진폭은 오른쪽의 파인만 도형으로 주어진다.

각 정점(vertex)에 대한 파인만 규칙은 진폭에 g 인자를 연관시킨다. 이 도표에는 두 개의 정점이 있으므로 전체 진폭에는 g^2 인자가 붙는다. 두 페르미온 선을 연결하는 가운데 선은 중간자의 교환을 나타낸다. 입자 교환에 대한 파인만 규칙은 전파자를 사용하는 것이다. 질량이 있는 중간자의 전파자는 \frac{-4\pi}{~k^2+m^2~}이다. 따라서 이 그래프에 대한 파인만 진폭은 다름 아닌 다음과 같음을 알 수 있다.

:V(\mathbf{k})=-g^2\frac{4\pi}{k^2+m^2}~.

이전 섹션에서 보았듯이, 이것은 유카와 퍼텐셜의 푸리에 변환이다.

## 슈뢰딩거 방정식의 고윳값
유카와 퍼텐셜을 포함하는 구형 슈뢰딩거 방정식은 섭동 이론으로 풀 수 있다. 구형 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같은 형태로 사용하고
:\left[\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2} + k^2 - \frac{\ell(\ell + 1)}{r^2} - V(r)\right] \Psi\left(\ell,k;\,r\right) = 0,
유카와 퍼텐셜을 거듭제곱 전개 형태로 나타내며
:V(r) = \sum_{j = -1}^{\infty} M_{j + 1} \, (-r)^j,
K = jk로 설정하면, 각운동량 \ell에 대해 다음 식을 얻는다.
:\ell + n + 1 = -\frac{\,\Delta_n(K)\,}{2K}
이는 |K| \to \infty일 때 성립하며, 여기서
:\begin{align}
&\Delta_n(K) = M_0  - \frac{1}{\,2K^2\,}\Bigl[\,n(n + 1)\,M_2 + M_0\,M_1\,\Bigr] - \frac{\,2n + 1\,}{4K^3}\,M_0\,M_2 ~+ \\
&\qquad\qquad\quad + \frac{1}{\,8K^4\,}\,\Bigl[\,3(n-1)n(n+1)(n+2)\,M_4 + 2 (3n^2 + 3n - 1)\,M_3\,M_0 ~+ \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad ~+~ 6n(n + 1)\,M_2\,M_1 + 2\,M_2\,M_0^2 + 3M_1^2\,M_0\,\Bigr] ~+ \\
&\qquad\qquad\quad + \frac{\,2n + 1\,}{\,8K^5\,}\,\Bigl[\,3(n^2 + n - 1)\,M_4\,M_0 + 3\,M_3\,M_0^2 + n(n + 1)\,M_2^2 + 4\,M_2\,M_1\,M_0\,\Bigr]~+ \\
&\qquad\qquad\quad +~ \operatorname{\mathcal O}\Bigl(\,\frac{1}{\,K^7\,}\,\Bigr) ~.
\end{align}

M_0을 제외한 모든 계수 M_j를 0으로 설정하면 쿨롱 퍼텐셜에 대한 슈뢰딩거 고윳값의 잘 알려진 식을 얻게 되며, 반경 양자수 \,n\,은 쿨롱 퍼텐셜의 파동 함수가 만족해야 하는 경계 조건의 결과로 0 또는 양의 정수가 된다. 유카와 퍼텐셜의 경우 경계 조건을 적용하는 것이 더 복잡하다. 따라서 유카와 사례에서 \nu = n은 근사치일 뿐이며, 정수 을 대체하는 매개변수 \nu는 실제로는 위와 같은 점근적 전개이며 첫 번째 근사치가 해당 쿨롱 사례의 정수 값이 된다.
궤도 각운동량 또는 레제 궤적(Regge trajectory) \ell(K)에 대한 위 전개를 반전시켜 에너지 고윳값 또는 그에 상응하는 \bigl|K\bigr|^2를 얻을 수 있다. 다음과 같다.
:\begin{align}
&\bigl|K\bigr|^2 ~=~ - M_1 ~+~ \frac{1}{\,4(\ell+n+1)^2\,}\,\biggl\{\; M_0^2 - 4n(n+1)(\ell+n+1)^2 \,M_2\, M_0 + 4(2n+1)(\ell+n+1)^2\frac{M_2}{\;M_0\,} ~+ \\
&\quad +~4\frac{\;(\ell+n+1)^4\,}{M_0^3}\,\Bigl[\,3(n-1)n(n+1)(n+2+3)\,M_4\,M_0 ~+ \\
& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - ~ 3 n^2(n+1)^2\,M_2^2 + 2(3n^2+3n-1)\,M_3\,M_0^2 + 2\,M_2\,M_0^3\,\Bigr] ~+ \\
&\quad - ~ 24\frac{\,(2n+1)(\ell+n+1)^5\,}{M_0^4}\,\Bigl[\,(n^2 + n - 1)\,M_0\,M_4  + M_0^3\,M_3 -  n(n+1)\,M_2^2\,\Bigr] ~+ \\
&\quad - ~ 4\,\frac{\,(\ell + n + 1)^6\,}{M_0^7}\,\Bigl[~10(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)\,M_6\,M_0^2 ~+ \\
&\qquad \qquad \qquad \qquad + ~ 4\,M_3\,M_0^5 + 2\Bigl(\,5n(n+1)(3 n^2 + 3n - 10) + 12\,\Bigr)\,M_5\,M_0^3 ~+\\
&\qquad \qquad \qquad \qquad + ~ 2 (6 n^2 + 6n - 11)\, M_4\,M_0^4 + 2(9 n^2 + 9n - 1)\,M_2^2\,M_0^3 ~+ \\
&\qquad \qquad \qquad \qquad - ~ 10 n(n+1)(3 n^2 + 3n + 2)\, M_3\,M_2\,M_0^2 + 20 n^3(n+1)^3\, M_2^3 ~+ \\
&\qquad \qquad \qquad \qquad - ~ 30 (n-1)n^2(n+1)^2(n+2)\,M_4\,M_2\,M_0\,\Bigr] \quad + \quad \cdots \biggr\} \quad .
\end{align}

K의 내림차순 거듭제곱에 대한 각운동량 \ell(K)의 위 점근 전개는 WKB 방법으로도 유도할 수 있다. 그러나 이 경우 쿨롱 퍼텐셜의 사례와 마찬가지로 슈뢰딩거 방정식의 원심력 항에 있는 \ell(\ell+1) 표현을 랑거(Langer)가 원래 주장한 대로 \left(\ell+\tfrac{1}{2}\right)^2로 대체해야 한다. 그 이유는 WKB 방법을 그대로 적용하기에는 특이점이 너무 강하기 때문이다. 이러한 추론이 옳다는 것은 쿨롱 사례에서 (랑거 수정을 포함한) 올바른 결과의 WKB 유도와, 고차 WKB 근사를 사용한 유카와 사례의 위 전개로부터 알 수 있다.

## 산란 단면적
유카와 퍼텐셜을 이용하여 양성자나 중성자와 파이 중간자 사이의 미분 산란 단면적을 계산할 수 있다. 구형 대칭 퍼텐셜에서 나가는 산란 파동 함수를 들어오는 평면파 함수와 작은 섭동의 합으로 근사할 수 있다는 보른 근사를 사용한다.

:\psi(\vec{r}) \approx A \left[(e^{ipr}) + \frac{e^{ipr}}{r} f(\theta) \right]

여기서 \vec{p} = p \hat{z}는 입자의 입사 운동량이다. 함수 f(\theta)는 다음과 같이 주어진다.

:f(\theta) = \frac{-2\mu}{\hbar^2 \left|\vec{p}-\vec{p}' \right|} \, \int_{0}^{\infty} r \, V(r) \, \sin\left(\left|\vec{p}-\vec{p}'\right| r \right) ~ \mathrm{d}r

여기서 \vec p' = p \hat r은 입자의 산란 후 운동량이고 \mu는 입사 입자의 질량이다(파이 중간자의 질량인 m과 혼동하지 말 것). V_\text{Yukawa}를 대입하여 f(\theta)를 계산한다.

:f(\theta) = \frac{2\mu}{\hbar^2 \left|\vec{p}-\vec{p}'\right|} \, g^2 \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha m r} \, \sin \left(\left|\vec{p} - \vec{p}'\right| \, r \right) \, \mathrm{d}r

적분을 계산하면 다음과 같다.

:f(\theta) = \frac{2 \mu g^2}{\hbar^2\,\left[(\alpha m)^2 + \left| \vec{p} - \vec{p}' \right|^2\right]}

에너지 보존 법칙에 의해 다음과 같다.

:\bigl|\vec p\bigr| = \bigl|\vec p'\bigr| = p~

따라서 다음과 같다.

:\left|\vec p - \vec p'\right| = 2\,p\,\sin\left(\tfrac{1}{2}\theta\right)~

대입하면 다음을 얻는다.

:f(\theta) = \frac{2 \mu g^2}{\hbar^2 \left[(\alpha m)^2  + 4\,p^2\,\sin^2\left({\frac{1}{2}\theta}\right)\right]}

따라서 다음과 같은 미분 산란 단면적을 얻는다.

:\frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d \Omega} = \left|f(\theta)\right|^2 = \frac{4 \mu^2 g^4}{\hbar^4\ \left[ (\alpha m)^2 + 4 p^2 \sin^2\left(\frac{1}{2}\theta\right) \right]^2}

적분하면 총 산란 단면적은 다음과 같다.
: \sigma = \int \frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} \Omega} \mathrm{d}\Omega
= \frac{4 \mu^2 g^4}{\hbar^4} \int_0^\pi \frac{2\pi \sin(\theta) \mathrm{d}\theta}{\left[(\alpha m)^2  + 4 p^2 \sin^2\left(\frac{1}{2}\theta\right) \right]^2}
= \frac{4 \mu^2 g^4}{\hbar^4} \frac{4\pi}{(\alpha m)^2 \left[(\alpha m)^2 + 4p^2 \right]}

## 구각
총 비례 상수 G와 반지름 R을 가진 무한히 얇고 균일한 구각(spherical shell) 외부의 퍼텐셜 또한 유카와 퍼텐셜이지만, 일반적으로 등가의 점원에 대한 비례 상수는 구각의 경우보다 크다. 구체적으로, 구각 외부의 비례 상수 g를 가진 한 점의 퍼텐셜은 다음과 같다.
:V(r > R) = G g \frac{e^{-\alpha m r}}{r} \frac{\sinh \alpha mR}{\alpha mR}.
이는 구각을 크기가 G \frac{\sinh \alpha mR}{\alpha mR}인 점원으로 대체하는 것과 같다. 내부 퍼텐셜은 다음과 같다.
:V(r 
만약 m = 0이면 역제곱 퍼텐셜에 대한 구각 정리를 회복한다.

이것의 결과로 중력자가 0이 아닌 질량을 갖는 변형 중력 이론에서는 약한 등가원리가 위배되며 자유 낙하하는 물체의 중력 가속도는 그 조성에 따라 달라지게 된다.

## 같이 보기
* 유카와 상호작용
* 차폐된 푸아송 방정식
* 베셀 퍼텐셜

## 각주

## 외부 링크
* 

분류:게이지 이론
분류:산란 이론
분류:양자역학 퍼텐셜