고전 전자기학

**고전 전자기학**은 이론물리학 분야 중 하나로, 고전역학을 확장하여 전하와 전류간의 상호작용을 연구하는 학문이다. 고전 전자기학은 전자기적 현상 중 길이 규모와 장의 강도가 충분히 커서 양자역학적인 효과들을 무시할 수 있는 현상들을 설명할 수 있는 이론이다. 작은 길이 규모와 낮은 장의 강도에서 벌어지는 현상들은 양자 전기역학에 의해 설명할 수 있다.

고전 전자기학이 물리학의 근간에 끼친 영향은 파인만, 레이턴과 샌즈, 그리피스, 파노프스키와 필립스, 잭슨 등의 책에서 잘 표현되어 있다.

## 역사
전자기학이 설명하는 물리적 현상들은 고대부터 개별적인 분야로 다루어졌다. 예를 들어, 광학은 빛이 전자기장으로 이해되기 몇 세기 이전에도 수많은 발전을 이루었다. 그러나, 전자기학 이론은 마이클 패러데이의 실험에 의한 전자기장의 존재성의 유추에 이어서 제임스 클러크 맥스웰이 *[[전기와 자기에 관한 논문집]]*에서 미분방정식을 이용하여 전자기장을 설명함에 따라 현대의 모습으로 발전하였다. 자세한 역사적 설명에 대해서는 Pauli, Whittaker, Pais, and Hunt의 저서를 참조할 수 있다.

## 로렌츠 힘
전자기장은 대전된 입자에게 로렌츠 힘이라고 부르는, 다음과 같은 힘을 가한다.

: 
\mathbf{F} = q\mathbf{E} + q\mathbf{v} \times \mathbf{B}


이때 굵게 표시된 모든 값은 벡터이며, 는 전하 q를 가진 입자가 받는 힘이며, 는 입자의 위치에서 전기장, 는 입자의 속도, 는 입자의 위치에서 자기장이다.

위 식은 로렌츠 힘이 곧 두 벡터의 합이라는 사실을 묘사한다. 그 중 하나는 속도와 자기장의 외적으로 표현되며, 나머지 하나는 전기장과 같은 방향으로 있다.

이 식은 전기장과 자기장이 서로 독립적임을 보여주는 듯 하지만, 상대론적으로 이 식은 사차원 전류 <math>J^{\beta}</math>와 전자기장 텐서 F^{\mu \nu}로 다시 쓰여진다.

: f_{\alpha} = F_{\alpha\beta}J^{\beta} .\!

## 전기장
전기장 **E**는 정적인 전하에 대해 다음과 같이 정의된다.

: 
\mathbf{F} = q_0 \mathbf{E}


이때 *q*0는 시험 전하로 알려져 있으며, **F**는 정전하가 받는 힘이다. 전하의 크기는 식에 영향을 주지 못한다. 또한, 전기장 **E**의 단위는 단위 N/C(뉴턴/쿨롬)이며, 이는 V/m(볼트/미터)와 같다.

전하가 움직이지 않는 정전기학에서 점전하 분포 주위에 의한 전기장은 쿨롱 법칙에 의해 다음과 같다.

: \mathbf{E(r)} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \sum_{i=1}^{n} \frac{q_i \left( \mathbf{r} - \mathbf{r}_i \right)} {\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_i \right|^3}

이때 n은 전하의 갯수이며, *q<sub>i</sub>*는 i번째 하전입자의 전하, **r***i*는 i번째 하전입자의 위치, **r**은 전기장을 관측하는 위치, 그리고 *ε*0는 유전율이다.

만약 전기장이 연속적인 전하 분포에 의해 발생한다면, 각 전하에 대한 합은 전하 분포에 대한 적분으로 바뀐다.

: \mathbf{E(r)} = \frac{1}{ 4 \pi \varepsilon_0 } \int \frac{\rho(\mathbf{r'}) \left( \mathbf{r} - \mathbf{r'} \right)} {\left| \mathbf{r} - \mathbf{r'} \right|^3} \mathrm{d^3}\mathbf{r'}

이때 \rho(\mathbf{r'})는 전하 분포이며, \mathbf{r}-\mathbf{r'}은 전하 분포의 미소 체적 \mathrm{d^3}\mathbf{r'}에서 전기장을 관측하는 위치 \mathbf{r}를 바라보는 방향의 위치 벡터이다.

위 두 식을 이용하여 전기장을 구하는 방법은 상황에 따라 거추장스러운 계산으로 이어진다. 이는 전기 포텐셜을 이용하면 해결할 수 있다. 전기 포텐셜은 정전기장의 선적분으로 정의된다.

: 
\varphi \mathbf{(r)} = - \int_C \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}


여기서 *φ(r)*는 전기 포텐셜이며, *C*는 선적분이 가해지는 경로이다.

전기 포텐셜에 대한 다음의 정의는 이론이 정적일 때만 가능하다. 만약 전하의 움직임과 가속에 의해 \nabla\times E가 0이 아니게 되면 위 식은 다음과 같다.

: 
\varphi \mathbf{(r)} = - \int_C \left(\mathbf{E}-\frac{d\mathbf{A}}{dt}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}


전하의 정의에 의해, 점전하에 의한 전기 포텐셜은 다음과 같이 정의될 수 있다.

: 
\varphi \mathbf{(r)} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 }
\sum_{i=1}^{n} \frac{q_i} {\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_i \right|}


여기서 *q*는 점전하의 전하이며, **r**은 전기 포텐셜을 관측하는 위치, **r***i*는 각 점전하의 위치이다.

연속적인 전하 분포에 의한 전기 포텐셜의 경우는 다음과 같다.

: 
\varphi \mathbf{(r)} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}
\int \frac{\rho(\mathbf{r'})}\, \mathrm{d^3}\mathbf{r'}


이때 \rho(\mathbf{r'})는 전하 분포이며, \mathbf{r}-\mathbf{r'}은 전하 분포의 미소 체적 \mathrm{d^3}\mathbf{r'}에서 전기 포텐셜을 관측하는 위치 \mathbf{r}를 바라보는 방향의 위치 벡터이다.

*φ*는 스칼라장이므로, 상당히 복잡한 문제를 간단한 상황들로 나눈 후 각자의 포텐셜을 더하는 방법으로 접근할 수 있다. *φ* 의 정의를 반대로 적용하면 전기장을 구할 수 있다.

:  \mathbf{E(r)} = -\nabla \varphi \mathbf{(r)} .

이 식을 통해 **E**의 단위가 V/m임을 손쉽게 파악할 수 있다.

## 전자기파
전자기장의 변화는 파동의 형태로 원점에서 방사하게 된다. 이 파동은 진공에서 빛의 속도로 움직이며, 다양한 파장의 스펙트럼으로 존재한다. 이러한 전자기 복사에 대한 예시로는 파장이 긴 순서대로 전파, 마이크로파, 적외선, 빛(가시광선), 자외선, X선, 감마선이 있다.

## 일반적인 장에 대한 공식
쿨롱 법칙은 법칙의 간결함만큼, 고전 전자기학에서 완벽한 법칙이 아니다. 특수 상대성이론의 인과율에 의해 전하가 전하 분포의 존재를 느끼기 위해서는 0 이상의 시간이 필요하기 때문이다.

일반적인, 동적인 전하 분포에 대한 장의 경우, 예피멘코 방정식에 의해 뒤처진 퍼텐셜을 구하고, 미분할 수 있다.

뒤처진 퍼텐셜은 점전하에 의해서도 유도될 수 있으며, 이는 리에나르-비헤르트 퍼텐셜로 알려져 있다. 스칼라 퍼텐셜는 다음과 같다.

: 
\varphi = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t_{\rm ret}) \right|-\frac{\mathbf{v}_q(t_{\rm ret})}{c} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t_{\rm ret}))}


이때 *q*는 점전하의 전하이며, **r**은 위치이고, **r***q*와 **v***q*는 뒤처진 시간에 따른 점전하의 위치와 속도이다. 벡터 퍼텐셜도 이와 비슷하다.

: 
\mathbf{A} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{q\mathbf{v}_q(t_{\rm ret})}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t_{\rm ret}) \right|-\frac{\mathbf{v}_q(t_{\rm ret})}{c} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t_{\rm ret}))}.


위 퍼텐셜들을 미분하면 움직이는 전하에 대한 전자기장을 구할 수 있다.

## 하위 이론
고전 전자기학에서 파생된 광학, 전자공학, 전기공학은 비슷한 수학적 모델들로 이루어져 있으며, 특수한 전자기적 현상을 이해하기 위해 간략화, 이상화되었다. 전자기적 현상은 장의 형태와 전하 분포 및 전류, 그리고 매질에 따라 분류된다. 이러한 분류는 무한대로 많은 모델을 만들어낼 수 있으므로, 다음과 같은 전형적인 분류가 존재한다.

: (a) 전하 및 전류: 동적인 전전하, 전기적, 자기적 쌍극자, 도체에서 전류, 등
: (b) 전자기장: 전압, 리에나르-비헤르트 퍼텐셜, monochromatic plane waves, 전파, 마이크로파, 적외선, 빛(가시광선), 자외선, X선, 감마선, 등
: (c) 매질: 전자기적 성분, 안테나, 전기적 도파관, 전자기적 도파관, 평면 거울, 곡면 거울, 렌즈, 저항, 인덕터, 축전기, 스위치, 등

## 참고 문서

* 전자기학
* 맥스웰 방정식
* 베버 전기역학
* Wheeler–Feynman absorber theory
* Leontovich boundary condition

## 출처