비교 판정법

미적분학에서 **비교 판정법**(比較判定法, )은 음이 아닌 실수 항의 급수의 수렴 여부를 판단하는 방법의 하나다. 이에 따르면, 만약 어떤 양항 급수가 어떤 수렴하는 양항 급수보다 작은 항들로 이루어졌다면, 이 급수 역시 수렴한다.

## 정의와 증명
### 급수
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* n_0\in\{0,1\}
* 두 실수 항 급수 \sum_{n=n_0}^\infty a_n와 \sum_{n=n_0}^\infty b_n
또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.
* 충분히 큰 n에 대하여, 0\le a_n\le b_n (즉, 어떤 N\ge n_0 및 모든 n>N에 대하여, 0\le a_n\le b_n)
그렇다면, 다음 두 가지가 성립한다.
* 만약 \sum_{n=n_0}^\infty b_n이 수렴한다면, \sum_{n=n_0}^\infty a_n 역시 수렴한다.
* 만약 \sum_{n=n_0}^\infty a_n이 발산한다면, \sum_{n=n_0}^\infty b_n 역시 발산한다.
이를 **비교 판정법**이라고 한다.

두 명제는 서로 대우다. 따라서 첫 번째를 증명하면 충분하다. 급수의 유한 개의 항을 변경하는 것은 급수의 수렴 여부에 영향을 미치지 않으므로, 편의상 모든 n\ge n_0에 대하여 0\le a_n\le b_n이라고 가정할 수 있다. 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴할 필요충분조건은 부분합 수열이 유계 수열인 것이다. 즉,
:S_n=a_{n_0}+a_{n_0+1}+\cdots+a_n
이라고 하였을 때, 어떤 M 및 임의의 n\ge n_0에 대하여
:S_n\le M
이어야 한다. (이는 실수의 완비성을 필요로 한다.) 이제, 마찬가지로
:T_n=b_{n_0}+b_{n_0+1}+\cdots+b_n
이라고 하자. 만약 급수 \sum_{n=n_0}^\infty b_n이 수렴한다면, 어떤 M 및 임의의 n\ge n_0에 대하여
:T_n\le M
이다. 그런데 항상 a_n\le b_n이므로
:S_n\le T_n\le M
이다. 따라서 \sum_{n=n_0}^\infty a_n 역시 수렴한다.

비교 판정법은 절대 수렴의 개념을 사용하여 서술할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* \mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}
* \mathbb K-바나흐 공간 (V,\|{\cdot}\|)
* n_0\in\{0,1\}
* V 항의 급수 \sum_{n=n_0}^\infty a_n와 \sum_{n=n_0}^\infty b_n
** 만약 V=(\mathbb K,|{\cdot}|)라면, 이는 두 실수 또는 복소수 항 급수다.
또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.
* 충분히 큰 n에 대하여, \|a_n\|\le\|b_n\| (즉, 어떤 N\ge n_0 및 모든 n>N에 대하여, \|a_n\|\le\|b_n\|)
** 만약 V=(\mathbb K,|{\cdot}|)라면, 노름은 절댓값이며, \|a_n\|\le\|b_n\|은 |a_n|\le|b_n|이 된다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
* 만약 \sum_{n=n_0}^\infty b_n이 절대 수렴한다면, \sum_{n=n_0}^\infty a_n 역시 절대 수렴한다.
* 만약 \sum_{n=n_0}^\infty a_n이 절대 수렴하지 않는다면, \sum_{n=n_0}^\infty b_n 역시 절대 수렴하지 않는다.
두 번째 명제에서, \sum_{n=n_0}^\infty b_n이 수렴하지 않는다고 결론 내릴 수 없다. 예를 들어, a_n=b_n=\frac{(-1)^{n-1}}n에 대응하는 급수는 조건 수렴한다. 비교 판정법은 노름 값을 취하는 실수선의 완비성에만 의존하므로, 바나흐 공간이 아닌 노름 공간에서도 성립한다. 하지만 이 경우, 절대 수렴하는 급수는 수렴할 필요가 없다.

비교 판정법의 이전 형태에서, \sum_{n=n_0}^\infty a_n와 \sum_{n=n_0}^\infty b_n을 \sum_{n=n_0}^\infty\|a_n\|와 \sum_{n=n_0}^\infty\|b_n\|으로 대체한다.

### 이상 적분
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* a\in\mathbb R
* 두 실수 값 함수 f,g\colon[a,\infty)\to\mathbb R
또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
* 임의의 b>a에 대하여, f와 g는 [a,b]에서 리만 적분 가능하다.
* 어떤 X\ge a 및 임의의 x\ge X에 대하여, 0\le f(x)\le g(x)
그렇다면, 다음 두 가지가 성립한다.
* 만약 이상 적분 \int_a^\infty g(x)\,dx가 수렴한다면, 이상 적분 \int_a^\infty f(x)\,dx 역시 수렴한다.
* 만약 이상 적분 \int_a^\infty f(x)\,dx가 발산한다면, 이상 적분 \int_a^\infty g(x)\,dx 역시 발산한다.

## 따름정리
### 극한 비교 판정법

다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* n_0\in\{0,1\}
* 두 실수 항 급수 \sum_{n=n_0}^\infty a_n와 \sum_{n=n_0}^\infty b_n
또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
* 충분히 큰 n에 대하여, a_n,b_n\ne0
* 0
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.
* 급수 \sum_{n=n_0}^\infty a_n이 수렴한다.
* 급수 \sum_{n=n_0}^\infty b_n이 수렴한다.

### 기타
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* n_0\in\{0,1\}
* 두 실수 항 급수 \sum_{n=n_0}^\infty a_n와 \sum_{n=n_0}^\infty b_n
또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
* 충분히 큰 n에 대하여, a_n,b_n>0
* 충분히 큰 n에 대하여, \frac{a_{n+1}}{a_n}\le\frac{b_{n+1}}{b_n}
그렇다면, 어떤 N\ge n_0 및 임의의 n\ge N에 대하여,
:\begin{align}a_n
&=a_N\cdot\frac{a_{N+1}}{a_N}\cdot\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\cdot\cdots\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}\\
&\le a_N\cdot\frac{b_{N+1}}{b_N}\cdot\frac{b_{N+2}}{b_{N+1}}\cdot\cdots\cdot\frac{b_n}{b_{n-1}}\\
&=\frac{a_N}{b_N}\cdot b_n
\end{align}
이다. 만약 \sum_{n=n_0}^\infty b_n이 수렴한다면, \sum_{n=n_0}^\infty\frac{a_N}{b_N}\cdot b_n 역시 수렴하며, 비교 판정법에 따라 \sum_{n=n_0}^\infty a_n도 수렴한다. 그 대우로서, 만약 \sum_{n=n_0}^\infty a_n이 발산한다면, \sum_{n=n_0}^\infty b_n도 발산한다.

## 예
급수
:\sum_{n=1}^\infty\frac{n^{n-2}}{\mathrm e^nn!}
를 생각하자. a_n=\frac{n^{n-2}}{\mathrm e^nn!}라고 하였을 때,
:\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(1+1/n)^{n-2}}{\mathrm e}
이다. 급수 \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}는 수렴하므로, #기타에 의하여 원래 급수는 수렴한다.

## 같이 보기
* 수렴판정법
* 수렴
* 지배 수렴 정리
* 적분판정법
* 단조 수렴 정리

## 각주

## 참고 문헌
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분류:수렴판정법