가측 기수

집합론에서 **가측 기수**(可測基數, )는 기본 매장으로 정의될 수 있는 기수이다. 큰 기수의 하나이다.

## 정의
### 필터와 측도
음이 아닌 확장된 실수의 집합 S\subseteq[0,\infty]에 대하여, 다음을 정의하자.
:\sum S=\sup_\sum S'\in[0,\infty]

임의의 기수 \kappa와 \kappa-완비 불 대수 B 및 S\subseteq[0,\infty]에 대하여, 함수 \mu\colon B\to S가 다음 조건들을 모두 만족시키면, \mu가 \mathsf{Meas}(\kappa;B,S) 조건을 만족시킨다고 하자.
* \mu(\bot)=0이다.
* (단조성) a\le b라면 \mu(a)\le\mu(b)이다.
* (\kappa-가법성) 임의의 S\subseteq B에 대하여, 만약 |S|이며 임의의 s,t\in S에 대하여 s\land t=\bot_B라면, \textstyle\mu\left(\bigvee S\right)=\sum\mu[S]이다.
이 조건을 만족시키는 함수 \mu를 **<math>B</math> 위의, <math>S</math> 값의 <math>\kappa</math>-가법 측도**()라고 하자.

이 개념은 다음 개념들을 일반화한다.
* 측도: 시그마 대수 \Sigma 위의 측도 \mu\colon\Sigma\to[0,\infty]는 \mathsf{Meas}(\aleph_1;\Sigma,[0,\infty])를 만족시키는 함수이다.
* 극대 필터: B 위의 극대 필터 U\subseteq B에 대하여, 함수 \mu\colon B\to\{0,1\}, \textstyle \mu\colon b\mapsto\begin{cases}1&b\in U\\0&b\not\in U\end{cases}를 정의하면, \mu는 \mathsf{Meas}(\aleph_0;B,\{0,1\})를 만족시킨다.

### 가측 기수
기수 \kappa에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 **가측 기수**라고 한다.
* 크기가 \kappa인 집합 위에, 주 필터가 아닌 \kappa-완비 극대 필터가 존재한다.
* 멱집합 \operatorname{Pow}(\kappa) 위에, \mathsf{Meas}(\kappa;\operatorname{Pow}(\kappa),\{0,1\})를 만족시키는 함수 \mu\colon\operatorname{Pow}(\kappa)\to\{0,1\}가 존재하며, 또한 임의의 \alpha\in\kappa에 대하여 \mu(\{\alpha\})=0이다. (이는 위 조건과 자명하게 동치이다.)
* \kappa는 폰 노이만 전체 V로부터 ZFC의 표준 추이적 모형 M으로 가는 기본 매장의 임계점이다.

임의의 기수 \kappa에 대하여, 만약 \mathsf{Meas}(\kappa;\operatorname{Pow}(\kappa),[0,1])를 만족시키는 확률 측도 \mu\colon\operatorname{Pow}(\kappa)\to[0,1]가 존재하며, 또한 다음 두 조건이 추가로 성립한다고 하자.
* 만약 \mu가 한원소 집합을 0으로 대응시킨다. (즉, 임의의 a\in\kappa에 대하여 \mu(\{a\})=0이다.)
그렇다면 \kappa를 **실가 가측 기수**(實價可測基數, )라고 한다.

## 성질
### 함의 관계
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 모든 가측 기수는 도달 불가능한 기수이며 또한 약콤팩트 기수이다. (그러나 선택 공리를 가정하지 않으면, 가측 기수가 따름기수일 수 있다.) 모든 강콤팩트 기수는 가측 기수이다. 즉, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:초콤팩트 기수 ⇒ 강콤팩트 기수 ⇒ 가측 기수 ⇒ 약콤팩트 기수 ⇒ 말로 기수 ⇒ 도달 불가능한 기수 ⇒ 정칙 기수 ⇒ 기수 ⇒ 순서수

모든 가측 기수는 실가 가측 기수이다. 가측 기수가 아닌 임의의 실가 가측 기수는 2^{\aleph_0} 이하이다.

### 논리적 성질
가측 기수 \kappa에 대하여, V_\kappa (크기가 \kappa 미만인 집합들로 구성된 폰 노이만 전체의 부분 집합)는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 모형이다. 따라서, ZFC가 무모순적이라면 ZFC에서는 가측 기수의 존재를 증명할 수 없다. 또한, V_\kappa에서는 가측 기수가 존재하지 않으므로, 적어도 하나의 가측 기수가 존재한다면 ZFC + "가측 기수의 부재"는 무모순적이다.

만약 적어도 하나 이상의 비가산 가측 기수가 존재한다면, 구성 가능성 공리 V=L은 거짓이다.

### 울람 행렬
임의의 두 기수 \kappa,\lambda가 주어졌다고 하자.

(\lambda,\kappa)-**울람 행렬**은 다음 두 성질을 만족시키는 함수
:A\colon \lambda\times\kappa\to \operatorname{Pow}(\lambda)
:A\colon (\alpha,\beta)\mapsto A_{\alpha,\beta}
이다.
* 각 열의 성분들은 서로소이다. 즉, 만약 \alpha\ne\alpha'라면, 임의의 \beta에 대하여 A_{\alpha,\beta}\cap A_{\alpha',\beta}=\varnothing
* 각 행의 성분들의 합집합의 여집합의 크기는 \kappa 이하이다. 즉, 임의의 \alpha에 대하여, \textstyle|\lambda\setminus\bigcup_{\beta이다.
만약 (\kappa,\lambda)가 주어지지 않았다면, (\kappa,\lambda)=(\aleph_1,\aleph_0)을 뜻한다.

#### 존재
임의의 기수 \kappa에 대하여, (\kappa^+,\kappa)-울람 행렬이 존재한다.

**증명:**

각 \xi\in\kappa^+에 대하여, 전사 함수
:f_\xi\colon\kappa\to\xi
를 고르자. 그렇다면, 행렬 A_{\alpha,\beta}를 다음과 같이 정의하자.
:\xi\in A_{\alpha,\beta}\iff f_\xi(\beta)=\alpha
그렇다면, A는 (\kappa^+,\kappa)-울람 행렬을 이룬다.
* 임의의 \xi\in\kappa^+ 및 \beta\in\kappa에 대하여, \xi\in A_{\alpha,\beta}가 되는 유일한 \alpha는 \alpha=f_\xi(\beta)이다.
* 각 \alpha\in\kappa^+에 대하여, \textstyle\kappa\setminus\bigcup_{\beta이다.


#### 측도와의 관계
측도 \mu\colon\Sigma\to[0,\infty]의 **원자**()는 \mu(S)>0이지만 임의의 S'에 대하여 \mu(S')=0이 되는 원소 S\in\Sigma이다.

임의의 기수 \lambda>\kappa\ge\aleph_0가 주어졌다고 하자.

(\lambda,\kappa)-울람 행렬이 존재한다면, \operatorname{Pow}(\lambda) 위의 임의의 \kappa^+-가법 확률 측도 \Pr는 항상 공집합이 아닌 원자를 갖는다. 즉,
:\Pr(\{\alpha\})>0
인 \alpha\in\lambda가 존재한다.

**증명:**

A가 울람 행렬이라고 하고, \Pr가 \operatorname{Pow}(\lambda) 위의 \kappa^+-가법 확률 측도라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 \alpha\in\lambda에 대하여 \Pr(\{\alpha\})=0라고 하자.

그렇다면, 울람 행렬의 정의에 따라, 각 \alpha에 대하여,
:\Pr\left(\lambda\setminus\bigcup_{\beta
:\Pr\left(\bigcup_{\beta
이다. 따라서, \Pr(A_{\alpha,f(\alpha)})>0인 f(\alpha)가 존재한다. 이제, 각 \beta\in\kappa에 대하여
:f^{-1}(\beta)=\{\alpha\in\lambda\colon f(\alpha)=\beta\}
를 생각하자. \lambda>\kappa\ge\aleph_0이므로, f^{-1}(\beta_0)=\lambda인 \beta_0\in\kappa가 존재한다.

이제,
:\mathcal U=(A_{\alpha,\beta_0})_{\alpha\in f^{-1}(\beta_0)}
는 \lambda 개의, 양의 측도의 서로소 집합들의 족이다. 이제, 다음 부분 집합들을 정의하자.
:\forall m1/(m+1)\}
그렇다면,
:\bigcup_{m
이므로, 이 가운데 |\mathcal U_{m_0}|=\lambda인 m_0\in\omega가 존재한다. 따라서,
:\Pr\left(\bigcup\mathcal U_m\right)=\infty
인데, 이는 확률 측도 조건과 모순이다.


특히, \operatorname{Pow}(\omega_1) 위의 임의의 (\sigma-가법) 확률 측도는 원자를 갖는다. 따라서, 만약 연속체 가설이 성립한다면, 실수선 \mathbb R 위에, 모든 집합이 가측 집합이며, 원자가 존재하지 않는 확률 공간 구조는 존재하지 않는다.

## 역사
가측 기수는 스타니스와프 울람이 1930년에 도입하였고, 가장 작은 가측 기수가 (만약 존재한다면) 도달 불가능한 기수임을 증명하였다.

실가 가측 기수는 스테판 바나흐가 1930년에 도입하였다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:측도론