오일러 치환

미적분학에서 **오일러 치환**(-置換, )은 x와 \sqrt{ax^2+bx+c}에 대한 유리 함수의 적분을 구할 때 사용되는 치환 적분이다.

## 정의
**오일러 치환**은 다음과 같은 적분을 구할 때 사용된다.
:\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\mathrm dx
여기서 R(u,v)는 2변수 유리 함수이며, a\ne 0이다. 오일러 치환은 이 적분을 유리 함수의 적분으로 만들며, 이는 다음과 같은 세 가지 경우로 나뉜다. 같은 함수가 여러 가지 경우에 속할 수 있음에 주의하자.

### 제1 오일러 치환
만약 a > 0일 경우, 다음과 같이 치환한다.
:\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm x\sqrt a+t
이를 **제1 오일러 치환**(第一-置換, )이라고 한다. 이 경우 원래의 적분은 다음과 같이 새 변수 t에 대한 유리 함수의 적분으로 귀결된다.
:x=\frac{t^2-c}{\pm 2t\sqrt a+b}
:\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm\frac{t^2-c}{\pm 2t\sqrt a+b}\sqrt a+t

### 제2 오일러 치환
만약 c>0일 경우, 다음과 같이 치환한다.
:\sqrt{ax^2+bx+c}=xt\pm\sqrt c
이를 **제2 오일러 치환**(第二-置換, )이라고 한다. 마찬가지로 원래의 적분은 t에 대한 유리 함수의 적분으로 귀결된다.
:x=\frac{\pm 2t\sqrt c-b}{a-t^2}
:\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{\pm 2t\sqrt c-b}{a-t^2}t\pm\sqrt c
사실, 제1 및 제2 오일러 치환의 조건을 만족시키는 꼴의 적분은 다음과 같은 변환을 통해 각각 제2 및 제1 오일러 치환을 적용할 수 있다.
:\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac 1\sqrt{a+bu+cu^2}\qquad\left(x=\frac 1u\right)

### 제3 오일러 치환
만약 ax^2+bx+c의 두 근 \alpha,\beta가 실수일 경우, 다음과 같이 치환한다.
:\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-\alpha)(x-\beta)}=\pm(x-\alpha)t
이를 **제3 오일러 치환**(第三-置換, )이라고 한다. 이 경우 역시 t의 유리 함수의 적분이 된다.
:x=\frac{a\beta-\alpha t^2}{a-t^2}
:\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm\left(\frac{a\beta-\alpha t^2}{a-t^2}-\alpha\right)t
사실, 제1 및 제3 오일러 치환은 모든 경우를 포함한다. 이는 만약 a이며 b^2-4ac일 경우 \sqrt{ax^2+bx+c}가 모든 곳에서 실수가 아니기 때문이다.

### 팁
오일러 치환이 처리하는 꼴의 적분을 구하는 데에는 계산량을 줄여주는 요령과 보다 더 간편할 수 있는 대안적인 방법이 존재한다. 예를 들어, 다음과 같은 공식은 특수한 꼴의 함수의 적분의 계산을 단순화한다.
:\int\frac{p(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mathrm dx=q(x)\sqrt{ax^2+bx+c}+\lambda\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}
여기서 p,q\in\mathbb R[x]는 각각 n차 다항식 및 (n-1)차 이하 다항식이며 \lambda\in\mathbb R는 상수이다. 각 p에 대하여 이러한 조건을 만족시키는 q 및 \lambda는 위 식 양변에 도함수를 취한 뒤 다시 양변에 \sqrt{ax^2+bx+c}을 곱하여 양변의 다항식의 계수를 비교하면 구할 수 있다. 다음과 같은 꼴의 적분은 x-\alpha=1/t와 같이 치환하면 위와 같은 꼴의 적분으로 귀결된다.
:\int\frac{\mathrm dx}{(x-\alpha)^n\sqrt{ax^2+bx+c}}
=\int\frac{t^{n-1}}{\sqrt{(a\alpha^2+b\alpha+c)t^2+(2a\alpha+b)t+a}}\mathrm dt
다음과 같은 꼴의 적분은 치환 x^2+px+q=s 및 \textstyle(\sqrt{x^2+px+q})'=t을 통해 구할 수 있다.
:\int\frac{(ex+f)}{(x^2+px+q)^{(2n+1)/2}}\mathrm dx
=\lambda\int\frac{2x+p}{(x^2+px+q)^{(2n+1)/2}}\mathrm dx+\mu\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+px+q)^{(2n+1)/2}}
=\lambda\int\frac{\mathrm ds}{s^{(2n+1)/2}}+\mu\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+px+q)^{(2n+1)/2}}
다음과 같은 꼴의 적분에서 p\ne b/a일 경우, 적절한 치환 x=(gs+h)/(s+1)를 통해 1차항을 없앤 뒤, 부분 분수 분해의 각 항에 치환 a's^2=b'=t 및 \textstyle(\sqrt{a's^2+b'})'=u을 사용하여 구할 수 있다.
:\int\frac{(ex+f)}{(x^2+px+q)^n\sqrt{ax^2+bx+c}}\mathrm dx
=\int\frac{p(s)}{(s^2+c')^n\sqrt{a's^2+b'}}\mathrm ds
=\sum_k\lambda_k\int\frac s{(s^2+c')^{n'_k}\sqrt{a's^2+b'}}\mathrm ds+\sum_k\mu_k\int\frac{\mathrm ds}{(s^2+c')^{n''_k}\sqrt{a's^2+b'}}
오일러 치환이 처리하는 꼴의 적분은 완전 제곱꼴을 만든 뒤 삼각 치환 또는 쌍곡 치환을 통해 구할 수도 있다. 정리된 루트 부분이 \sqrt{a^2-x^2}일 경우 x=a\sin t 또는 x=a\cos t와 같이 치환하며, \sqrt{x^2-a^2}일 경우 x=a\cosh t 또는 x=a\sec t와 같이 치환하며, \sqrt{x^2+a^2}일 경우 x=\sinh t 또는 x=a\tan t와 같이 치환한다. 그러면 적분하려는 함수는 삼각 함수 또는 쌍곡선 함수에 대한 유리 함수로 변하며, 이는 바이어슈트라스 치환 등을 통해 구할 수 있다.

## 예
다음과 같은 적분들을 생각하자.
:\int\frac{\sqrt{x^2+2x+3}}x\mathrm dx,\; \int\frac{1-\sqrt{1+x+x^2}}{x\sqrt{1+x+x^2}}\mathrm dx,\; \int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+3x-4}},\;
\int\frac{\mathrm dx}{(x-\alpha)\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)}}

### 제1 오일러 치환의 예
첫 번째 적분에 다음과 같은 제1 오일러 치환을 사용하자.
:\sqrt{x^2+2x+3}=t-x
:x=\frac{t^2-3}{2(1+t)},\; \mathrm dx=\frac{t^2+2t+3}{2(t+1)^2}\mathrm dt,\; \sqrt{x^2+2x+3}=\frac{t^2+2t+3}{2(t+1)}
이를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:\begin{align}\int\frac{\sqrt{x^2+2x+3}}x\mathrm dx
&=\int\frac{(t^2+2t+3)^2}{2(t^2-3)(t+1)^2}\mathrm dt=\int\left(\frac 12+\frac 1{t+1}-\frac 1{(t+1)^2}+\frac 6{t^2-3}\right)\mathrm dt\\
&=\frac t2+\ln|t+1|+\frac 1{t+1}+\sqrt 3\ln\left|\frac{t-\sqrt 3}{t+\sqrt 3}\right|+C\\
&=\frac{\sqrt{x^2+2x+3}+x}2+\frac 1{\sqrt{x^2+2x+3}+x+1}+\ln(\sqrt{x^2+2x+3}+x+1)+\sqrt 3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+2x+3}+x-\sqrt 3}{\sqrt{x^2+2x+3}+x+\sqrt 3}\right|+C
\end{align}

### 제2 오일러 치환의 예
두 번째 적분에 다음과 같은 제2 오일러 치환을 사용하자.
:\sqrt{1+x+x^2}=tx+1
:x=\frac{2t-1}{1-t^2},\; \mathrm dx=\frac{2(1-t+t^2)}{(1-t^2)^2}\mathrm dt,\; \sqrt{1+x+x^2}=\frac{1-t+t^2}{1-t^2}
이를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:\int\frac{1-\sqrt{1+x+x^2}}{x\sqrt{1+x+x^2}}\mathrm dx
=\int\frac{-2t}{1-t^2}\mathrm dt=\ln|1-t^2|+C=\ln\left|1-\left(\frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}x\right)^2\right|+C

### 제3 오일러 치환의 예
세 번째 적분에 다음과 같은 제3 오일러 치환을 사용하자.
:\sqrt{x^2+3x-4}=(x+4)t
:x=\frac{1+4t^2}{1-t^2},\; \mathrm dx=\frac{10t}{(1-t^2)^2}\mathrm dt,\; \sqrt{x^2+3x-4}=\frac{5t}{1-t^2}
이를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+3x-4}}=\int\frac 2{1-t^2}\mathrm dt=\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C
=\ln\left|\frac{\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}}\right|+C

### 다른 방법의 예
네 번째 적분에서는 x-\alpha=1/t와 같은 치환이 더 편리하다.
:\int\frac{\mathrm dx}{(x-\alpha)\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)}}
=-\int \frac{\mathrm dt}{\sqrt{1+(\alpha-\beta)t}}
=\frac 2{\beta-\alpha}\sqrt{1+(\alpha-\beta)t}+C
=\frac 2{\beta-\alpha}\sqrt{\frac{x-\beta}{x-\alpha}}+C

## 같이 보기
* 치환 적분
* 삼각 치환
## 각주

## 외부 링크
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분류:적분학