들리뉴-베일린손 코호몰로지

기하학에서 **들리뉴-베일린손 코호몰로지**(Deligne-Бе́йлинсон cohomology, ) 또는 **들리뉴 코호몰로지**는 접속을 갖는 원군 n-주다발을 나타내는, 미분 형식으로 구성된 공사슬 복합체로서 정의되는 코호몰로지 이론이다. 복소다양체와 매끄러운 다양체에 적용될 수 있다.

## 정의
매끄러운 다양체 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 아벨 군 사슬 복합체를 정의할 수 있다.
:\mathcal C^\infty(X,\operatorname U(1)) \xrightarrow{\frac{\mathrm d\ln}{2\pi\mathrm i}}\Omega^1(X) \xrightarrow{\mathrm d} \Omega^2(M) \xrightarrow{\mathrm d}\Omega^2(M) \xrightarrow{\mathrm d}\dotsb\xrightarrow{\mathrm d}\Omega^n(X)
여기서
* n은 임의의 자연수이다. (특히, X의 차원과는 관련이 없다.)
* \mathcal C^\infty(X,\operatorname U(1))는 X를 정의역으로, 원군 U(1)을 공역으로 하는 매끄러운 함수의 점별 곱셈군이다.
* \Omega^k(X)는 X의 k차 (실수) 미분 형식의 실수 벡터 공간이다.
* \mathrm d\colon\Omega^\bullet(X)\to\Omega^{\bullet+1}(X)는 X 위의 미분 형식의 외미분이다.
* (1/2\pi\mathrm i)\mathrm d\ln\colon\mathcal C^\infty(X,\operatorname U(1))\to\Omega^1(X)는 다음과 같다. 우선, 원군을 \operatorname U(1)=\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}으로 여기면, 충분히 작은 열린집합 U\subseteq X에서, 함수 f\restriction U\colon U\to\operatorname U(1)의 자연 로그 \ln f는 분지 절단 없이 매끄럽게 정의될 수 있다. 이 분지에 대하여, (1/2\pi\mathrm i)\log f\colon U\to\mathbb R는 실수 값의 매끄러운 함수이다. 물론, 이는 선택된 분지에 의존하며, 분지를 바꾸면 그 값은 상수 2\pi씩 바뀌게 된다. 그러나 그 미분 -\mathrm i\mathrm d\log f\in\Omega^1(X)은 분지에 의존하지 않는다. 따라서, 이들을 짜깁기하여 1차 미분 형식 (1/2\pi\mathrm i)\mathrm d\ln f \in \Omega^1(X)을 정의할 수 있다.

이 공사슬 복합체를 **들리뉴-베일린손 공사슬 복합체**()라고 하며, 그 코호몰로지를 n차 **들리뉴-베일린손 코호몰로지**라고 한다.

위 묘사는 (실수) 매끄러운 다양체에 대한 경우이다. 이 밖에도, 복소다양체에 대한 경우가 존재한다. 이 경우, k차 미분 형식 대신 (k,0)차 복소 미분 형식을 사용하며, 외미분 \mathrm d 대신 정칙 외미분 \partial\colon\Omega^{\bullet,\bullet}(-)\to\Omega^{\bullet+1,\bullet}(-)을 사용하며, 첫째 항은 복소다양체 X 위의, \mathbb C^\times=\mathbb C\setminus\{0\} 값의 정칙 함수들의 곱셈군이다. (이는 구조층 \mathcal O_X의 가역원층 \mathcal O_X^\times의 단면에 해당한다.)
:\Gamma(\mathcal O_X^\times;X) \xrightarrow{\mathrm d\ln} \Omega^{1,0}(X)\xrightarrow\partial\Omega^{2,0}(X)\xrightarrow\partial\dotsb

## 성질
매끄러운 다양체 X 위의 n차 들리뉴-베일린손 코호몰로지 \operatorname H^n_{\operatorname{conn}}(X)는 X 위의, 접속을 갖는 원군 (n-1)-주다발을 나타낸다.
:\operatorname H^n_{\operatorname{conn}}(X) \cong [X,\mathrm B^n\operatorname U(1)]

### 다른 코호모로지 코호몰로지와의 관계
들리뉴-베일린손 공사슬 복합체는 드람 복합체와 유사하지만, 첫째 항이 다르다. 이는 매우 중요한 역할을 한다.

마찬가지로, 표준적인 망각 함자
:\operatorname H_{\operatorname{conn}}^n(X) \to \operatorname H_{\operatorname{sing}}^n(X;\mathbb Z)
가 존재한다. (여기서 공역은 특이 코호몰로지이다.)

보다 일반적으로, 완전열
:0\to\Omega_{\text{int}}^{n-1}(X)\to \Omega^{n-1}(X)\to \operatorname H_{\operatorname{conn}}^n(X)\to\operatorname H_{\text{sing}}^n(X;\mathbb Z)\to0
이 존재한다. 여기서, 사상 \Omega^{n-1}(X)\to\operatorname H_{\operatorname{conn}}^n(X)은 원군 n-주다발 위의 접속이 (n-1)차 미분 형식으로 정의됨을 뜻하며, 사상 \Omega_{\operatorname{int}}^{n-1}(X)\to\Omega^{n-1}(X)은 같은 접속을 나타내는 두 (n-1)차 미분 형식의 차이는 정수 주기()의 미분 형식임을 뜻한다.

또한, 완전열
:\operatorname H^n(X;\operatorname U(1)) \to \operatorname H^n_{\operatorname{conn}}(X) \to \Omega^n(X)
이 존재한다. 여기서
* \operatorname H^n_{\operatorname{conn}}(X) \to \Omega^n(X)은 접속을 갖는 n-주다발의 곡률이 n차 미분 형식임을 뜻한다.
* \operatorname H^n(X;\operatorname U(1)) \to \operatorname H^n_{\operatorname{conn}}(X)은 같은 곡률을 갖는 두 n-주다발의 차는 평탄한 n-주다발임을 뜻한다.

## 역사
피에르 들리뉴가 1971년에 복소다양체에 대하여 도입하였다. 이후 1993년에 장뤼크 브릴린스키()가 이 이론이 매끄러운 다양체에 대해서도 잘 작동한다는 것을 밝혔다.

## 같이 보기
* 다발 제르브
* 모티브 코호몰로지
* 호지 구조
## 각주

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## 외부 링크
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분류:호몰로지 이론
분류:대수기하학
분류:미분기하학