스털링 근사

[섬네일|400px|오른쪽|ln ''x''! 과 ''x'' ln ''x'' − ''x''의 그래프. ''x''가 커질수록 두 함수의 비가 빠르게 [1로 수렴한다.]]

수학에서 **스털링 근사**() 또는 **스털링 공식**()은 큰 계승 (수학)을 구하는 근사법이다.

## 정의
매우 큰 n에 대하여, 다음과 같은 공식이 성립한다.
:n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n
:\ln n!\sim n(\ln n-1)+\frac12\ln(2\pi n)
이는 구체적으로 다음을 말한다.
:\lim_{n\to\infty}\frac1{n!}\sqrt{2\pi n}(n/e)^n=1
구체적으로, 모든 양의 정수 n에 대하여 다음과 같은 상계와 하계가 존재한다.
:\sqrt{2\pi}n^{n+1/2}\exp(-n) \le n! \le e\ n^{n+1/2}\exp(-n)

### 스털링 급수
스털링 근사를 일반화시켜, 다음과 같은 **스털링 급수**()를 정의할 수 있다.
:n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +\frac1{12n}+\frac1{288n^2} + \cdots \right) 
이 급수에 등장하는 계수는 다음과 같다. , 
:1, 1/12, 1/288, −139/51840, −571/2488320, 163879/209018880, 5246819/75246796800, −534703531/902961561600, …
로그로 쓰면 다음과 같다.
:\ln(n!)\sim n\ln(n) - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n)   +\frac1{12n}-\frac1{360n^3}+\cdots\cdots
이 급수에 등장하는 계수는 다음과 같다. , 
:1/12, −1/360, 1/1260, −1/1680, 1/1188, −691/360360, 1/156, −3617/122400, 43867/244188, …
스털링 급수는 수렴하지 않는다. 즉, 이는 점근 전개(asymptotic expansion)에 불과하다. 스털링 급수를 주어진 차수에서 절단한다면, 충분히 큰 *n*에 대하여 이는 유효한 근사가 되지만, 주어진 *n*에 대해서는 비교적 낮은 차수에서 유효하나 매우 높은 차수에서는 유효하지 않게 된다.

## 역사
아브라암 드무아브르는 《해석학 잡론》(, 1판 1730년, 2판 1733년)의 2판에 추가된 부록에서 정규 분포를 다루기 위하여 계승 (수학)을
:n!\sim Bn^{n+1/2} e^{-n}
과 같은 꼴로 근사하였고, 또 비례 상수 B를
:\ln B\approx1-1/12+1/360-1/1260+1/1680
로 근사하였다. 이는
:B^2/2\approx 3.1435\cdots
이다. 드무아브르의 근사는 《확률론》(, 1판 1718년, 2판 1738년, 3판 1756년) 제2판에서도 등장한다.

제임스 스털링은 상수 B가 B^2/2=\pi임을 보였다. 이후 자크 비네()가 스털링 근사의 추가항들을 도입하였다.

## 증명
### 개략적인 증명
먼저 \ln n!을 로그의 성질에 의해 전개하자.
:\ln n! = \ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \cdots + \ln n = \sum^{n}_{k=1} \ln k
n이 크다면, 리만 합과 유사한 논리에 의해 합을 적분으로 근사할 수 있다.
:\sum^{n}_{k=1} \ln k \approx \int^n_1 \ln x dx
이제 적분을 계산하면 다음과 같다.
:\int^n_1 \ln x dx = \left[x \ln x - x \right]^n_1 = (n \ln n - n) - (1 \cdot 0 - 1) = n \ln n - n +1 
을 얻고, n \gg 1이므로 맨 끝의 1을 떼어버리면 가장 간단한 형태의 스털링 근사를 얻는다.
:\ln n! \approx n \ln n - n

### 더 엄밀한 증명
증명을 하기 위해, 계승의 좀 더 일반적인 표현인 감마 함수를 사용하자. n이 자연수일 때, 다음이 성립한다.
:n! = \Gamma (n+1) = \int^\infty_0 x^n e^{-x} dx
피적분 함수의 형태를 보면, 감마분포를 따르고 있음을 알 수 있는데, 감마 분포의 경우 n이 매우 클 경우, 중심 극한 정리에 의해 정규 분포로 근사할 수 있다. 따라서, 위를 정규 분포의 형태로 근사시켜 보자. 먼저 피적분 함수의 형태를 조금 바꾸면
:x^n e^{-x} = e^{n \ln x -x} 
가 된다. 이제 y \,\equiv\, x - n 이라 하고 계속 식을 전개해 나가면,
:
\begin{align}
n \ln x - x &= n \ln (n + y) -n -y\\
&= n \ln \left[ n \left( 1 + {y \over n} \right) \right] - n -y\\
&= n \ln n - n + n \ln \left( 1 + {y \over n} \right) -y
\end{align}

정규분포의 확률 밀도 함수의 형태를 얻기 위해 로그를 테일러 전개를 해서 2차항까지만 취하면 (최댓값 근처에서 y \ll n 이므로 가능 )
:\ln \left( 1 + {y \over n} \right) \approx {y \over n} - {1 \over 2 } \left({y \over n} \right)^2
이 되고 이를 다시 원래 피적분 함수에 대입하면, 정규 분포의 확률 밀도 함수와 유사한 형태의 함수를 얻는다.
:x^n e^{-x} \approx n^n e^{-n} e^{-y^2 \over 2n} 
감마 분포를 정규 분포로 근사하였므로, y가 음수인 영역은 거의 0에 가깝다. 따라서 전 y에 대해서 모두 적분하면, 아래의 스털링 근사를 얻는다.
:n! = \int^\infty_0 x^n e^{-x} dx \approx n^n e^{-n} \int^\infty_{-\infty} e^{-y^2 \over 2n } dy = n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}  

## 응용
스털링 근사는 통계역학에서 흔히 등장하는 매우 큰 계승 (수학)을 근사할 때 쓰인다. 거시적인 크기의 계에서의 입자 수는 보통 아보가드로 수(≈6)에 견줄 만하므로, 스털링 근사가 효과적이다.

## 각주

* Abramowitz, M. and Stegun, I., *Handbook of Mathematical Functions*, http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm 
* Paris, R. B., and Kaminsky, D., *Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals*, Cambridge University Press, 2001
* Whittaker, E. T., and Watson, G. N., *A Course in Modern Analysis*, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. 

## 외부 링크
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