극한

해석학 및 위상수학에서 **극한**(極限, ) 또는 **극한값**(極限-)은 수열이나 함수 따위가 한없이 가까워지는 값이다. 기호는 \lim. **수렴**(收斂, )은 수열이나 함수가 극한을 갖는 성질이다. **발산**(發散, )은 수렴에 반대되는 성질이다. 수열의 극한은 그물의 극한으로 자연스럽게 일반화되며, 함수의 극한은 필터의 극한의 특수한 경우다. 필터와 그물 사이의 대응 관계에 따라, 필터와 그물의 수렴 이론은 사실상 동치다.

## 정의
### 필터

다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 위상 공간 X
* X의 부분 집합들의 필터 기저 \mathcal B\subset\mathcal P(X)
* x\in X
만약 다음 조건이 성립한다면 **필터 기저 <math>\mathcal B</math>가 점 <math>x</math>로 수렴한다**()고 하며, x를 \mathcal B의 **극한**이라고 한다. 이를 \mathcal B\to x라고 쓴다.
* \mathcal N_x\subset\mathop\uparrow\mathcal B. 즉, 임의의 근방 U\ni x에 대하여, B\subset U인 B\in\mathcal B가 존재한다. (여기서 \mathcal N_x는 x의 근방 필터이며, \mathop\uparrow\mathcal B는 \mathcal B의 상폐포다.)
다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 x가 \mathcal B의 **집적점**(集積點, )이라고 한다.
* \textstyle x\in\bigcap_{B\in\mathcal B}\operatorname{cl}B. (여기서 \operatorname{cl}B는 B의 폐포다.)
* \mathcal B'\to x이며 \mathop\uparrow\mathcal B\subset\mathop\uparrow\mathcal B'인 필터 기저 \mathcal B'\subset\mathcal P(X)가 존재한다.
모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

필터 기저 \mathcal B의 극한·집적점은 이로부터 유도되는 그물
:\{(b,B)\colon b\in B\in\mathcal B\}\to X
:(b,B)\mapsto b
의 극한·집적점과 일치한다. 이 그물의 정의역 위에 주어지는 상향 부분 순서는 다음과 같다.
:(b,B)\lesssim(b',B')\iff B\supset B'

### 그물과 점렬

다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 위상 공간 X
* 그물 (x_i)_{i\in(I,\lesssim_I)}\subset X
* x\in X
만약 다음 조건이 성립한다면, **그물 <math>(x_i)_{i\in I}</math>가 점 <math>x</math>로 수렴한다**()고 하며, x를 (x_i)_{i\in I}의 **극한**이라고 한다. 이를 x_i\to x라고 쓴다.
* 임의의 근방 U\ni x에 대하여, \forall i\gtrsim_Ii_0\colon x_i\in U인 i_0\in I가 존재한다.
특히, 실수열 (x_n)_{n\in\mathbb N}\subset\mathbb R의 경우 이 조건은 다음과 같다.
* 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, \forall n\ge n_0\colon|x_n-x|인 자연수 n_0\in\mathbb N이 존재한다.
다음 세 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 x가 (x_i)_{i\in I}의 **집적점**이라고 한다.
* 임의의 근방 U\ni x에 대하여, \{i\in I\colon x_i\in U\}는 공종 집합이다.
* x_{i(j)}\to x인 상향 원순서 집합 (J,\lesssim_J) 및 단조 공종 함수 i\colon J\to I가 존재한다.
* x_{i(j)}\to x이며 \forall i_0\in I\exists j_0\in J\forall j\in j_0\colon i(j)\gtrsim i_0인 상향 원순서 집합 (J,\lesssim_J) 및 함수 i\colon J\to I가 존재한다.
모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

그물 (x_i)_{i\in I}의 극한·집적점은 그물로부터 유도되는 필터 기저
:\{\{x_i\colon i\gtrsim i_0\}\colon i_0\in I\}
의 극한·집적점과 일치한다.

그물의 극한은 함수의 극한의 특수한 경우다. 구체적으로, 그물 (x_i)_{i\in(I,\lesssim_I)}은 I\to X 꼴의 함수다. I에 한 점을 추가한 집합 I\cup\{\infty\} 위에 다음과 같은 위상을 부여하자. 모든 i\in I는 고립점이며, \infty의 열린 근방은 (\infty와) \{i\in I\colon i\gtrsim_I i_0\} 꼴의 집합을 포함하는 집합들이다. 이 경우,
:\mathcal D_\infty=\mathop\uparrow\{\{i\in I\colon i\gtrsim_I i_0\}\colon i_0\in I\}
이며, 그 그물에 대한 상
:\{\{x_i\colon i\in D\}\colon D\in\mathcal D_\infty\}
은 그물로 유도되는 필터 기저와 같은 필터를 생성한다. 따라서, (x_i)_{i\in I}의 \infty에서의 함수 극한은 그물 극한과 일치한다.

\mathbb N 위의 전순서에 의하여, 점렬은 그물의 특수한 경우다. 위상 공간 속 점렬의 **극한**·**집적점**은 그물로서의 극한·집적점이다. 점렬의 경우, 부분 점렬의 극한은 항상 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

### 함수

다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 위상 공간 X, Y
* x_0\in X
* 함수 f\colon X\setminus\{x_0\}\to Y
* y_0\in Y
그렇다면, x_0의 빠진 근방들의 집합족
:\mathcal D_{x_0}=\{U\setminus\{x_0\}\colon U\in\mathcal N_{x_0}\}
은 X\setminus\{x_0\}의 부분 집합들의 필터를 이루며, 따라서 그 상 f(\mathcal D_{x_0})은 Y의 부분 집합들의 필터 기저를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, **함수 <math>f</math>가 점 <math>x_0</math>에서 점 <math>y_0</math>로 수렴한다**()고 하며, y_0을 f의 x_0에서의 **극한**이라고 한다. 이는
:f(x)\to y_0\qquad(x\to x_0)
라고 쓴다.
* f(\mathcal D_{x_0})는 y_0으로 수렴한다. 즉, 임의의 근방 V\ni y_0에 대하여, f(U\setminus\{x_0\})\subset V인 근방 U\ni x_0이 존재한다.
특히, 실함수 f\colon\mathbb R\setminus\{x_0\}\to\mathbb R의 경우, 이 조건은 다음과 같다.
* 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, f((x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta))\subset(y_0-\epsilon,y_0+\epsilon)인 양의 실수 \delta>0이 존재한다.
X=\mathbb R가 실수선일 때, \mathcal D_{x_0} 대신
:\mathcal D_{x_0}^-=\{U\cap(-\infty,x_0)\colon U\in\mathcal N_{x_0}\}
:\mathcal D_{x_0}^+=\{U\cap(x_0,\infty)\colon U\in\mathcal N_{x_0}\}
을 사용하면 f의 x_0에서의 **좌극한**(左極限, )·**우극한**(右極限, )의 개념을 얻는다.

## 성질
### 존재와 유일성
필터는 극한을 가지지 않을 수 있으며, 여러 개의 극한을 가질 수도 있다. 예를 들어, 무한 이산 공간 속 쌍대 유한 집합들의 필터는 집적점을 가지지 않는다. 비이산 공간의 모든 필터는 모든 점으로 수렴한다. 주어진 위상 공간의 모든 부분 집합들은 자명하게 필터를 이루며, 이는 위상 공간 속 모든 점으로 수렴한다.

위상 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다.
* 모든 필터는 집적점을 갖는다.
* 콤팩트 공간이다.
특히, 콤팩트 공간의 모든 그물은 수렴 부분 그물을 갖는다. 하지만 콤팩트 공간의 모든 점렬이 수렴 부분 점렬을 가질 필요는 없다. 이 조건은 점렬 콤팩트 공간이라고 불리며, 어느 한 조건도 다른 한 조건을 함의하지 않는다.

위상 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다.
* 모든 (자명하지 않은) 수렴 필터의 극한은 유일하다.
* 하우스도르프 공간이다.
특히, 하우스도르프 공간 속 수렴 점렬의 극한은 유일하며, 이는 하우스도르프 조건보다 약한 조건이다. 이에 따라, 하우스도르프 공간 속 극한은 연산자의 꼴로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:\lim\mathcal F=x
:\lim_{x\in I}x_i=x
:\lim_{n\to\infty}x_n=x
:\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0
(일부 저자는 극한이 유일하지 않은 경우에도 위와 같은 표기를 사용한다.)

### 시작 위상
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 집합 X
* 위상 공간들의 족 (Y_i)_{i\in I}
* 함수족 (f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}
* X의 부분 집합들의 필터 기저 \mathcal B\subset\mathcal P(X)
* x\in X
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다.
* X 위에 모든 f_i들을 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 시작 위상을 부여하였을 때, \mathcal B\to x
* 임의의 i\in I에 대하여, f_i(\mathcal B)\to f_i(x)
특수한 경우들은 다음과 같다.

#### 부분 공간
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 위상 공간 X
* 부분 집합 Y\subset X
* Y의 부분 집합들의 필터 기저 \mathcal B\subset\mathcal P(Y)
* y\in Y
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다.
* \mathcal B\to y
* X에서 \mathcal B\to y
즉, 부분 집합에서의 수렴은 모공간에서의 수렴과 일치한다.

#### 곱공간
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 위상 공간들의 집합 (X_i)_{i\in I}. \textstyle X=\prod_{i\in I}X_i가 그 곱공간, \pi_i\colon X\to X_i가 사영 함수들이라고 하자.
* X의 부분 집합들의 필터 기저 \mathcal B\subset\mathcal P(X)
* x\in X
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다.
* \mathcal B\to x
* 임의의 i\in I에 대하여, \pi_i(\mathcal B)\to x_i
즉, 곱공간에서의 수렴은 성분별 수렴이다.

### 이중 극한
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 위상 공간 X_1, X_2
* 정칙 하우스도르프 공간 Y
* 함수 f\colon X_1\times X_2\to Y
* a_i\in X_i (i=1,2)
이들이 다음 두 조건 만족시킨다고 하자.
* 극한 \lim_{(x_1,x_2)\to(a_1,a_2)}f(x_1,x_2)이 존재한다.
* 임의의 x_1\in X_1에 대하여, 극한 \lim_{x_2\to a_2}f(x_1,x_2)이 존재한다.
그렇다면, 이중 극한
:\lim_{x_1\to a_1}\lim_{x_2\to a_2}f(x_1,x_2)
이 존재하며,
:\lim_{x_1\to a_1}\lim_{x_2\to a_2}f(x_1,x_2)=\lim_{(x_1,x_2)\to(a_1,a_2)}f(x_1,x_2)
이다.

:b=\lim_{(x_1,x_2)\to(a_1,a_2)}f(x_1,x_2)\in Y
:\forall x_1\in X\colon g(x_1)=\lim_{x_2\to a_2}f(x_1,x_2)
이라고 하자. 임의의 근방 V\ni b에 대하여, 근방 U_1\ni a_1 및 U_2\ni a_2이 존재하며,
:\forall x_1\in U_1\forall x_2\in U_2\colon f(x_1,x_2)\in V
가 성립한다. 여기에 x_2\to a_2를 취하면
:\forall x_1\in U_1\colon g(x_1)\in\operatorname{cl}V
를 얻는다. 정칙성에 따라, b의 닫힌 근방들은 국소 기저를 이룬다. 따라서,
:\lim_{x_1\to a_1}g(x_1)=b
이다.

## 같이 보기
* 확률 변수의 수렴
* 극한 (범주론)
* 함수의 극한

## 참고 문헌
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## 외부 링크
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분류:수렴
분류:미적분학
분류:일반위상수학