영 타블로

조합론과 표현론에서, **영 타블로**(, 복수 )는 대칭군과 일반선형군, 특수선형군, 특수 유니터리 군 등의 표현을 나타내는 조합론적인 대상이다.

## 정의
**페러스 그림**()은 일련의 행들로 이루어진 도형이다. 열들은 왼쪽에 정렬돼 있으며, 아래로 내려갈수록 그 길이들이 같거나 더 짧다.
섬네일|center|페러스 그림의 예. 열의 길이는 5, 4, 1이다.

**영 타블로**()는 페러스 그림에, 각각의 칸에 숫자를 기입한 도형이다.
섬네일|center|영 타블로의 예.

**표준 영 타블로**()는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.
* 각 행에서 오른쪽으로 갈수록 숫자가 항상 증가한다.
* 각 열에서 밑으로 갈수록 숫자가 항상 증가한다.
**준표준 영 타블로**()는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.
* 각 행에서 오른쪽으로 갈수록 숫자가 항상 감소하지 않는다.
* 각 열에서 밑으로 갈수록 숫자가 항상 증가한다.

주어진 페러스 그림에서, (i,j)번째 칸의 **고리 길이**() \operatorname{hook}(i,j)는 i'\ge i,j=j' 또는 i'=i,j'\ge j인 칸 (i',j')들 (즉, 주어진 칸의 오른쪽 또는 밑에 있는 칸들, 주어진 칸 자체도 포함) 의 개수이다.
섬네일|center|페러스 그림의 각 칸의 고리 길이들

## 표현론에서의 응용
### 대칭군
대칭군 S_n의 복소수 기약 표현은 총 n개의 칸을 가지는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 표준 영 타블로의 수와 같다.
* 각 칸의 숫자는 1,\dots,n 가운데 하나이고, 숫자가 중복되지 않는다.
이 경우, S_n 기약 표현의 차원은 다음과 같다.
:\dim r=\frac{n!}{\prod_{i,j}\operatorname{hook}(i,j)}

예를 들어, S_4의 기약 표현들은 다음과 같다.

### 선형군과 유니터리 군
일반선형군 \operatorname{GL}(n,\mathbb C)의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.
* 각 열의 길이는 n 이하다.
이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 준표준 영 타블로의 수와 같다.
* 각 칸의 숫자는 1,\dots,n 가운데 하나다.
이 경우, 차원은 다음과 같이 계산할 수 있다.
:\dim r=\prod_{(i,j)}\frac{n-i+j}{\operatorname{hook}(i,j)}

특수선형군 \operatorname{SL}(n,\mathbb C)의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.
* 각 열의 길이는 n 미만이다.
주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 일반선형군의 경우와 같다.

특수 유니터리 군 \operatorname{SU}(n)의 복소화는 특수선형군 \operatorname{SL}(n,\mathbb C)이다. 따라서 특수 유니터리 군의 복소수 기약 표현도 특수선형군과 마찬가지로 분류할 수 있다.

이들 표현들은 *N*차원 기본 표현의 적절한 (반)대칭 곱들로 만들 수 있다. 이를 *N*차원 기본 표현의 지표(index)로 나타내면
* 같은 행에 속한 지수들은 모두 완전 대칭화한다.
* 같은 열에 속한 지수들은 모두 완전 반대칭화한다.
예를 들어,
:i&#8414; j&#8414; k&#8414;l&#8414; m&#8414;
의 꼴의 영 타블로는
:T^{ijklm}
꼴의 텐서에 대응한다. 이는
:T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]}
의 꼴의 (반)대칭성을 가진다.

### 직교군
\operatorname{SO}(n)의 경우, \operatorname{SO}(n)\subset\operatorname{SU}(n)을 사용해 표현을 분류할 수 있다. 이 경우, \operatorname{SO}(n)의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.
* 각 열의 길이가 \lfloor n/2\rfloor
만약 n이 짝수이고, 길이가 n/2인 열이 존재한다면, 같은 영 타블로에 두 개의 기약 표현이 대응한다. 이는 각각 자기쌍대(, SD) 및 반자기쌍대(, ASD)로 일컬어진다.

주어진 페러스 그림에 대응하는 \operatorname{SO}(n) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다. i번째 열의 길이를 r_i, i번째 행의 길이를 c_i라고 하자 (i\ge1). 만약 해당하는 행·열이 없으면 길이는 0으로 정의한다. 다음과 같은 **내용 함수**()을 정의하자.
:C(i,j)=\begin{cases}r_i+r_j-i-j&i\ge j\\-c_i-c_j+i+j-2&i
그렇다면 \operatorname{SO}(n) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다.
:\dim r=\sum_{(i,j)}\frac{n+C(i,j)}{\operatorname{hook}(i,j)}
만약 n이 짝수이며 길이가 n/2인 행이 있다면, (반)자기쌍대 조건을 가하면 차원은 위 공식의 ½이다.

영 타블로의 각 칸은 n차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우
* 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화하며, 같은 행에 속한 임의의 한 쌍의 지표에 대하여 대각합이 0이다.
* 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화한다.
예를 들어,
:i&#8414; j&#8414; k&#8414;l&#8414; m&#8414;
의 꼴의 영 타블로는
:T^{ijklm}
꼴의 텐서에 대응하며,
:T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]}
:0=\delta_{ij}T^{ijklm}=\delta_{ik}T^{ijklm}=\delta_{jk}T^{ijklm}=\delta_{lm}T^{ijklm}
꼴의 (반)대칭성을 가진다.

\operatorname{SO}(n)의 경우, \operatorname{SU}(n)과는 달리 스피너 표현들이 존재한다. 스피너 표현의 경우 모든 가능한 감마 행렬 축약이 0이어야 한다. 스피너 표현은 간혹 텐서 표현의 영 타블로의 한 칸에 점을 찍어 표기된다. 여기서는 스피너 표현을 (s)로 표기하자.

예를 들어, \operatorname{SU}(2) = \operatorname{Spin}(3)의 기약 표현들은 \operatorname{SU}(2) 영 타블로 또는 \operatorname{SO}(3) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

마찬가지로, \operatorname{SU}(4) = \operatorname{Spin}(6)의 기약 표현들은 \operatorname{SU}(4) 영 타블로 또는 \operatorname{SO}(6) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

마찬가지로, \operatorname{SU}(2) \times \operatorname{SU}(2) = \operatorname{Spin}(4)의 기약 표현들은 다음과 같다.

### 심플렉틱 군
짝수 n에 대하여, \operatorname{USp}(n)의 경우에도 영 타블로를 사용하여 표현을 분류할 수 있다. 이 경우
:\operatorname{USp}(n)\subset\operatorname{SU}(n)
을 사용해, 특수 유니터리 군의 경우와 마찬가지로 표현들을 분류할 수 있다. 이 경우, \operatorname{USp}(n)의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.
* 각 열의 길이가 n/2 이하이다.
이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 \operatorname{USp}(n) 표현의 차원은 다음과 같다. 페러스 그림 \lambda의 행의 길이가 r_1,r_2,\dots이며, 열의 길이가 c_1,c_2,\dots라고 하자. 우선, 다음과 같은 **내용 함수**()를 정의하자.
:C(i,j)=\begin{cases}
r_i+r_j-i-j+2&i>j\\
-c_i-c_j+i+j&i\le j
\end{cases}
그렇다면 \operatorname{USp}(n) 표현의 차원은 다음과 같다.
:\dim r=\prod_{(i,j)}\frac{n+C(i,j)}{\operatorname{hook}(i,j)}

영 타블로의 각 칸은 n차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우
* 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화한다.
* 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화하며, \omega_{\mu\nu}에 의한 축약이 모두 0이다.
예를 들어,
:i&#8414; j&#8414; k&#8414;l&#8414; m&#8414;
의 꼴의 영 타블로는
:T^{ijklm}
꼴의 텐서에 대응하며,
:T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]}
:0=\omega_{il}T^{ijklm}=\omega_{jm}T^{ijklm}=0
꼴의 (반)대칭성을 가진다.

예를 들어, \operatorname{SO}(5) = \operatorname{USp}(4)의 표현들은 다음과 같다.

## 역사
영국의 수학자 앨프리드 영()이 1900년에 도입하였다.

## 참고 문헌

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분류:조합론
분류:표현론
분류:대칭함수