4차원 회전군

리 군론에서 **4차원 회전군**(四次元回轉群, )은 4차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(4) 또는 이와 관련된 군들을 말한다.

## 정의
4차원 특수 직교군 \operatorname{SO}(4;\mathbb R) 및 이를 2겹 몫군으로 갖는 스핀 군 \operatorname{Spin}(4)이 있다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준
:\operatorname{SO}(1,3) (4차원 로런츠 군)
:\operatorname{SO}(2,2)
및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

이 군에 대응하는 딘킨 도표는
:\bullet\qquad\bullet
이다. 딘킨 도표가 연결 그래프가 아닌 것은 이 군이 반단순 리 군이지만 단순 리 군이 아니기 때문이다.

이들은 다음과 같이 대응된다.
:

## 성질
### 콤팩트 형태
Spin(4)의 최소 스피너는 복소수 2차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 \operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현
:\mathbf2\otimes\mathbf1
:\mathbf1\otimes\mathbf2
에 해당한다.

마찬가지로, \operatorname{SO}(4)의 4차원 실수 정의(定義) 표현은 \operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)의 쌍벡터 표현
:\mathbf2\otimes\mathbf2
에 해당한다.

부호수 (4,0)에서, 2차 미분 형식의 호지 쌍대는 대합을 이루며, 따라서 2차원 반대칭 텐서(2차 미분 형식)에 대하여 호지 쌍대에 대한 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 있다. 이들은 \operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다.

4차원 유클리드 공간을 사원수의 공간
:\mathbb H
으로 생각하자. 그 위에는 양의 정부호 쌍선형 형식
:\langle x,y\rangle = \frac12\operatorname{tr}(xy^*)
가 주어져 있다. 여기서 우변의 y^*는 사원수의 켤레이다.

사원수 공간 위에는 사원수 대수가 양쪽에서 다음과 같이 작용한다.
:v \mapsto avb^*\qquad(a,b\in \mathbb H)
즉, 이는 \mathbb H 위의, 가역 사원수의 리 군 \operatorname{Unit}(\mathbb H) = \mathbb H\setminus\{0\}의 2차 직접곱
:\operatorname{Unit}(\mathbb H)\times\operatorname{Unit}(\mathbb H)
의 표현을 정의한다. 이는 일반적으로 쌍선형 형식 \langle-,-\rangle을 보존하지 않지만, 노름 1의 순허수 사원수로 구성된 부분군
:\operatorname{SU}(2;\mathbb C)\times\operatorname{SU}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{SL}(1;\mathbb H)\times\operatorname{SL}(1;\mathbb H)\le \operatorname{Unit}(\mathbb H)\times\operatorname{Unit}(\mathbb H)
은 이 쌍선형 형식을 보존한다. 즉, 이는 군 준동형
:\operatorname{SU}(2;\mathbb C)\times\operatorname{SU}(2;\mathbb C)\to \operatorname{SO}(4;\mathbb R)
를 정의하며, 그 핵은 다음과 같은 2차 순환군이다.
:\{(+1,+1),(-1,-1)\} \subsetneq\mathbb H\times\mathbb H

### 분할 형태
Spin(2,2)은 (1,1)차원 민코프스키 공간의 (대역적) 등각군이다. (국소적 등각군은 비트 대수로 주어진다.) \operatorname{Spin}(2,2)의 최소 스피너는 실수 2차원의 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 \operatorname{SL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{SL}(2;\mathbb R)의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현
:\mathbf2\otimes\mathbf1
:\mathbf1\otimes\mathbf2
에 해당한다.

부호수 (2,2)에서도, 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 대합을 이루어, 자기 (반)쌍대 조건을 정의할 수 있다. 이들은 마찬가지로 \operatorname{SL}(2;\mathbb R)^2의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다.

이 군의 중심은 크기 4의 아벨 군
:\operatorname Z(\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{SL}(2;\mathbb R)) = \operatorname Z(\operatorname{SL}(2;\mathbb R))\times\operatorname Z(\operatorname{SL}(2;\mathbb R)) \cong \operatorname{Cyc}(2)\times\operatorname{Cyc}(2)
이다. 이는 \operatorname{SL}(2;\mathbb R)^2에서
:\{(\sigma 1_{2\times2},\sigma'1_{2\times 2})\colon \sigma,\sigma'\in \{\pm1\}\}
에 해당하며, \operatorname{SO}(2,2)에서 이 중심 부분군은 몫군
:\operatorname Z(\operatorname{SO}(2,2))=\{\pm1_{4\times4}\}
에 해당한다. 중심에 대한 몫군은
:\operatorname{PSO}(2,2) \cong \operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)
이다.

구체적으로, 실수 2×2 행렬의 공간 \operatorname{Mat}(2,2;\mathbb R) 위에, 행렬식
:\det\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}=ad-bc
은 실수 이차 형식을 이루며, 이에 대응하는 실수 쌍선형 형식
:\left\langle
\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
a'&b'\\c'&d'
\end{pmatrix}
\right\rangle = \frac12
\left(ad'-bc'+da'-cb'\right)

을 계산할 수 있다. 이는 부호수 (2,2)를 가지며, 그 정규 직교 기저는 다음과 같다.
:

\operatorname{Mat}(2,2;\mathbb R) 위에는 \operatorname{GL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{GL}(2;\mathbb R)가 다음과 같이 작용한다.
:(g,h)\cdot v = gvh^{-1}
이는 일반적으로 쌍선형 형식 \langle,\rangle을 보존하지 않으나, 그 \operatorname{SL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{SL}(2;\mathbb R) 부분군은 이를 보존한다. 즉, 이는 군 준동형
:\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\to\operatorname{SO}(2,2)
을 정의한다. 이는 전사 함수이며, 그 핵은 2차 순환군
:\left\{
\left(+1_{2\times2},+1_{2\times2}\right),
\left(-1_{2\times2},-1_{2\times2}\right)
\right\}
이다.

### 로런츠 형태

\operatorname{Spin}(1,3)은 2차원 유클리드 공간의 (대역적) 등각군이다. 즉, 이는 사실 리만 구의 자기 동형군(뫼비우스 변환들의 군)
:\operatorname{Spin}(1,3) \cong \operatorname{SL}(2;\mathbb C) \cong \operatorname{Aut}(\mathbb{CP}^1)
이다.

\operatorname{Spin}(1,3)의 최소 스피너는 복소수 2차원의 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 \operatorname{SL}(2;\mathbb C)의 정의 표현 \mathbb2 및 그 복소수 켤레 \bar{\mathbf2}에 대응한다. \operatorname{SO}(1,3)의 4차원 실수 정의 표현 \mathbf4는 \operatorname{SL}(2;\mathbb C)의 표현
:\mathbf2\otimes\bar{\mathbf2}
에 대응한다.

이 부호수에서, 호지 쌍대는 2차 미분 형식의 대합이 되지 못한다. 즉, 2차 미분 형식 F에 대하여
:**F = -F
이다. 이에 따라 2차 미분 형식의 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 없다. 이는 \operatorname{Spin}(1,3)이 두 군의 직접곱으로 분해되지 못하여, 그 딸림표현이 기약 표현이기 때문이다.

구체적으로, 다음과 같은 꼴의 2×2 행렬들의 4차원 실수 벡터 공간을 생각하자.
:
V=\left\{
\begin{pmatrix}
z&\mathrm ix\\
\mathrm iy&\bar z
\end{pmatrix}
\colon z\in\mathbb C,\;x,y\in\mathbb R
\right\}
V 위에는 다음과 같은 실수 쌍선형 형식이 존재한다.
:\langle u,v\rangle = \frac12\operatorname{Re}(\operatorname{tr}(u\bar v))
이 쌍선형 형식의 부호수는 (3,1)이며, 이에 대한 정규 직교 기저는 다음과 같다.
:
즉, V를 민코프스키 공간 \mathbb R^{1,3}으로 여길 수 있다.

이 위에는 다음과 같은 꼴의 \operatorname{SL}(2;\mathbb C)의 작용이 존재한다.
:v \mapsto Gv\bar G^{-1}\qquad(G\in \operatorname{SL}(2;\mathbb C),\;v\in V)
이 작용은 위의 쌍선형 형식을 보존하며, 따라서 군 준동형
:\operatorname{SL}(2;\mathbb C)\to\operatorname{SO}(1,3)
을 정의한다. 그 핵은 물론
:\left\{
\pm1_{2\times2}
\right\} = \operatorname Z(\operatorname{SL}(2;\mathbb C))
이다.

### SO*(4)
SO(4)는 SO*(4)라는 또다른 실수 형식을 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 군 준동형들을 생각하자.
:\operatorname{SO}(4;\mathbb C)\hookrightarrow\operatorname{SL}(4;\mathbb C)\,\overset\phi\twoheadrightarrow\,\operatorname{SO}(6;\mathbb C)
여기서 첫째 화살표는 자명한 부분군 관계이며, 둘째 화살표 \phi는 2겹 몫군 관계이다. 여기에 다음과 같은 실수 조건을 가할 수 있다.
:\operatorname{SO}(4;\mathbb R)\hookrightarrow\operatorname{SU}(4)\cong\operatorname{Spin}(6)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(6;\mathbb R)
:\operatorname{SO}(2,2)\hookrightarrow\operatorname{SU}(2,2)\cong\operatorname{Spin}(4,2)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(4,2)
:\operatorname{SO}(3,1)\hookrightarrow\operatorname{SU}(3,1)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}^*(6)
:\operatorname{SO}(4;\mathbb R)\hookrightarrow\operatorname{SL}(4;\mathbb R)\cong\operatorname{Spin}(3,3)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(3,3)
:\operatorname{SO}^*(4)\hookrightarrow\operatorname{SU}^*(4)\cong\operatorname{Spin}(5,1)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(5,1)
즉, SO*(4)는 이에 따라 다음과 같이 표현될 수 있다.
:\operatorname{SO}^*(4) = \operatorname{SU}^*(4)\cap\operatorname{SL}(4;\mathbb R) = \phi^{-1}(\operatorname{SO}(5,1)) \cap \operatorname{SL}(4;\mathbb R)
다시 말해, 이는 (5,1)차원 민코프스키 공간의 4차원 (왼쪽 또는 오른쪽) 바일 스피너의 실수 선형 변환 가운데, (5,1)차원 로런츠 변환에 속하는 것들이다.

## 같이 보기
* 라플라스-룽게-렌츠 벡터
* 로런츠 군
* 직교군
* 직교행렬
* 푸앵카레 군
* 사원수와 회전
## 참고 문헌
* 

## 외부 링크
* 

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분류:4차원 기하학
분류:사원수