에일렌베르크-질버 사상

호몰로지 대수학에서 **에일렌베르크-질버 사상**(Eilenberg-Zilber寫像, )과 **알렉산더-휘트니 사상**(Alexander-Whitney寫像, )은 아벨 범주 위의 단체 대상의 텐서곱과 사슬 복합체의 텐서곱을 비교하는, 서로 반대 방향의 두 사슬 복합체 사상이다. 이들의 합성은 사슬 복합체의 호모토피를 이루어, 호몰로지 군의 동형을 유도한다. 즉, 단체 대상의 텐서곱과 사슬 복합체의 텐서곱은 같은 호몰로지 군을 정의한다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 아벨 범주 \mathcal A
* \mathcal A 위의 두 단체 대상 A_\bullet, B_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to\mathcal A
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
* \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)는 \mathcal A 위의, 자연수 등급의 사슬 복합체의 범주이다.
* 단체 대상 A_\bullet\in\operatorname s(\mathcal A)에 대하여, 무어 사슬 복합체 \operatorname C_\bullet(A) \in \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A) 및 정규화 사슬 복합체 \operatorname N_\bullet(A) \in\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)를 정의할 수 있다. 후자는 전자의 몫 사슬 복합체이다.

### 에일렌베르크-질버 사상
아벨 범주 \mathcal A 위의 두 단체 대상 A_\bullet, B_\bullet에 대한 **에일렌베르크-질버 사상**은 다음과 같은 사슬 복합체 사상이다.
:\operatorname C(A_\bullet) \otimes \operatorname C(B_\bullet) \to\operatorname C(A\otimes B)
: a\otimes b \mapsto \sum_{(\mu,\nu)\in\operatorname{Shuffle}(m,n)} (-)^{(\mu,\nu)} s_{m,\nu}(a) \otimes s_{n,\mu}(b) \qquad a\in A_m, \;b\in B_n

여기서
* \operatorname{Shuffle}(m,n)은 모든 (m,n)-셔플 순열 \{0,1,\dotsc,m+n-1\}\to \{0,1,\dotsc,m+n-1\}들의 집합이다. 셔플 순열 (\mu,\nu)의 성분은 (\mu_{m-1},\dotsc,\mu_1,\mu_0) 및 (\nu_{n-1},\dotsc,\nu_1,\nu_0)이다.
* s_{n,\mu} = s_{n+m-1\mu_{m-1}} \circ \dotsb \circ s_{n+1,\mu_1} \circ s_{n,\mu_0} \colon B_n \to B_{m+n}이며 s_{m,\nu}\colon A_m \to A_{m+n}  역시 마찬가지로 정의된다.
* (-)^{(\mu,\nu})는 순열의 부호 \operatorname{Sym}(n)\twoheadrightarrow\{\pm1\}를 셔플 순열 \operatorname{Shuffle}(m,n) \le \operatorname{Sym}(m+n)에 적용한 것이다.

이 사상은 무어 사슬 복합체에 대하여 정의되지만, 그 몫인 정규화 사슬 복합체 위에서도 잘 정의된다. 즉, 다음과 같은 에일렌베르크-질버 사상이 존재한다.
:\operatorname N_\bullet(A) \otimes \operatorname N_\bullet(B) \to \operatorname N_\bullet(A \otimes B)

### 알렉산더-휘트니 사상
아벨 범주 \mathcal A 위의 두 단체 대상 A_\bullet, B_\bullet에 대한 **알렉산더-휘트니 사상**은 다음과 같은 사슬 복합체 사상이다.
:\operatorname C(A_\bullet) \otimes \operatorname C(B_\bullet) \to\operatorname C(A\otimes B)
:a \otimes b \mapsto \bigoplus_{p+q = n}
(\partial_{\leftarrow} a) \otimes (\partial_{\rightarrow} b)
\qquad n\in\mathbb N,\;a\in A_n,\;b\in B_n
여기서
* \partial_\leftarrow \colon A_{p+q} \to A_p 는 **앞면 사상**(, )이라고 하며, 단체 범주의 다음과 같은 사상 \in\hom_\triangle(p,p+q)에서 유도된 것이다.
*: \{0,1,\dotsc,p\} \hookrightarrow \{0,1,\dotsc,p+q\} 
*: i \mapsto i
* \partial_\leftarrow \colon B_{p+q} \to B_q 는 **뒷면 사상**(, )이라고 하며, 단체 범주의 다음과 같은 사상 \in\hom_\triangle(q,p+q)에서 유도된 것이다.
*: \{0,1,\dotsc,q\} \hookrightarrow \{0,1,\dotsc,p+q\} 
*: i \mapsto i+p

## 성질
### 호모토피
에일렌베르크-질버 사상은 알렉산더-휘트니 사상의 오른쪽 역사상이지만, 일반적으로 왼쪽 역사상이 아니다. 즉, 다음과 같은 합성은 항등 사상이다.
:\operatorname N(A)\otimes \operatorname N(B)\to \operatorname N(A\otimes B) \to \operatorname N(A)\otimes \operatorname N(B)

그 반대 합성은 항등 사상이 아닐 수 있지만, 항상 사슬 호모토피이다. 즉, 모형 범주 \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)의 약한 동치이며, 특히 같은 호몰로지를 정의한다.
:\operatorname N(A\otimes B) \to \operatorname N(A)\otimes \operatorname N(B)\to \operatorname N(A)\otimes \operatorname N(B)

이 사실을 **에일렌베르크-질버 정리**()라고 한다.

### 대칭성
에일렌베르크-질버 사상은 (텐서곱의 순서를 뒤바꾸었을 때) 대칭 사상이지만, 알렉산더-휘트니 사상은 그렇지 않다.

### 모노이드 돌트-칸 대응
가환환 K가 주어졌을 때, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다.
* K-결합 대수들의 범주 \operatorname{Alg}/K (즉, 가환환의 범주의 조각 범주)의 단체 대상의 범주 \operatorname s(\operatorname{Alg}_K). 이는 (\operatorname s(\operatorname{Mod}_K),\otimes_K) 속의 모노이드 대상들의 범주이다.
* K-미분 등급 대수의 범주 \operatorname{dgAlg}_K. 이는 K-사슬 복합체의 모노이드 범주 (\operatorname{Ch}^+_K,\otimes_K) 속의 모노이드 대상이다.
그렇다면, 돌트-칸 대응으로부터, 이 두 범주 사이에 서로 다른 두 쌍의 수반 함자들이 존재한다. 이들은 각각 퀼런 동치를 정의하며, 이를 **모노이드 돌트-칸 대응**()이라고 한다. (그러나 일반 돌트-칸 대응과 달리, 이는 범주의 동치가 아니다.)

구체적으로, 돌트-칸 대응의 함자
:\Gamma \colon \operatorname{Ch}^+_K \leftrightarrows \operatorname s(\operatorname{Mod}_K)\colon \operatorname N
에서, 둘 중 하나를 취하면, 다음과 같은 두 수반 함자를 얻는다.
:\Gamma \colon \operatorname{dgAlg}_K \leftrightarrows \operatorname s(\operatorname{Alg}_K)\colon \operatorname N'
:\operatorname N' \dashv \operatorname\Gamma
:\Gamma' \colon \operatorname{dgAlg}_K \leftrightarrows \operatorname s(\operatorname{Alg}_K)\colon \operatorname N
:\operatorname \Gamma' \dashv \operatorname N
여기서 등장하는 자연 변환의 성분은 각각 알렉산더-휘트니 사상
:\operatorname N(A\otimes B) \to\operatorname N(A)\otimes \operatorname N(B)
과 에일렌베르크-질버 사상
:\operatorname N(A)\otimes \operatorname N(B) \to \operatorname N(A\otimes B)
이다.

### 가환 모노이드 돌트-칸 대응
다음이 주어졌다고 하자.
* 표수 0의 체 K
그렇다면, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다.
* K 위의 가환 결합 대수들의 범주 K\backslash\mathrm{CRing} (즉, 가환환의 범주의 쌍대 조각 범주)
* K-가환 미분 등급 대수의 모형 범주 \operatorname{cdgAlg}_K
그렇다면, 다음 두 모형 범주 사이에 퀼런 동치가 존재하며, 이를 **가환 모노이드 돌트-칸 대응**()이라고 한다.
:\operatorname N\colon\operatorname s(K\backslash\mathrm{CRing}) \leftrightarrows \operatorname{cdgAlg}_K\colon\Gamma'
이는 에일렌베르크-질버 사상에 의하여 정의된다 (알렉산더-휘트니 사상은 비대칭이어서 사용될 수 없다).

(여기서, K를 표수 0의 체로 가정하는 것은, 아닐 경우 \operatorname{CDGA}_K에 모형 범주 구조가 자연스럽게 주어지지 못하기 때문이다.)

## 역사
에일렌베르크-질버 사상은 사무엘 에일렌베르크와 조지프 에이브러햄 질버(, 1923~2009)의 이름을 땄다. 알렉산더-휘트니 사상은 제임스 워델 알렉산더와 해슬러 휘트니의 이름을 땄다.

## 각주

## 외부 링크
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