콥-더글러스 생산함수

[300px|thumb|[등량곡선이 있는 콥-더글러스 생산 곡면을 그린 그래프]]
300px|thumb|right|두 가지 입력이 있는 등량곡선 콥-더글러스 생산 함수의 모습

경제학과 계량경제학에서 **콥-더글러스 생산 함수**(Cobb–Douglas production function)는 생산함수의 특정 함수 형태로, 두 개 이상의 투입물(특히 물리적 자본과 노동)의 양과 이 투입물로 생산할 수 있는 산출량 간의 기술적 관계를 나타내는 데 널리 사용된다. 콥-더글러스 함수는 1927년과 1947년 사이에 찰스 콥과 폴 더글러스이 통계적 증거와 대조하여 개발하고 시험했다. 더글러스에 따르면, 이 함수 형태 자체는 필립 윅스티드가 더 일찍 개발했다.

## 공식
두 가지 요인으로 단일한 재화를 생산하는 가장 표준적인 형태에서 이 함수는 다음과 같이 주어진다.
: Y(L,K)=AL^\beta K^\alpha

여기서:
* Y = 총생산량 (1년 또는 365.25일 동안 생산된 모든 재화의 실제 가치)
* L = 노동 투입량 (1년 또는 365.25일 동안 일한 인시)
* K = 자본 투입량 (모든 기계, 장비 및 건물 등을 합친 자본 투입량의 가치를 자본 가격으로 나눈 값)
* A = 총요소생산성
* 0 및 0는 각각 자본 및 노동의 산출 탄력성이다. 이 값들은 가용 기술로 결정되는 상수이다.

자본과 노동은 콥-더글러스 생산 함수의 두 가지 "생산 요소"이다.

## 역사
폴 더글러스는 콥-더글러스 생산 함수의 첫 번째 공식이 1927년에 개발되었다고 설명했다. 그가 노동자와 자본에 대해 계산한 추정치를 관련시킬 함수 형태를 찾던 중, 수학자이자 동료인 찰스 콥과 이야기했고, 콥은 이전에 크누트 빅셀, 필립 윅스티드, 레옹 발라스가 사용했던 형태인  함수를 제안했지만, 더글러스는 윅스티드와 발라스의 기여만을 인정했다. 크누트 빅셀이 1926년 사망한 직후, 폴 더글러스와 찰스 콥은 생산자 이론 분야를 다루는 그들의 연구에서 콥-더글러스 함수를 처음으로 적용했다. 최소제곱법을 사용하여 이를 추정했을 때, 그는 노동 지수에 대해 0.75라는 결과를 얻었는데, 이는 후에 전미경제연구소에서 0.741로 확인되었다. 1940년대의 후속 연구에서는 K와 L의 지수가 변동하도록 허용했으며, 그 결과 당시 개발된 생산성 개선 측정치와 매우 유사한 추정치가 나왔다.

당시 주요 비판은 생산 함수의 추정치가 겉보기에는 정확하지만 너무 희박한 데이터에 기반을 두고 있어서 신뢰하기 어렵다는 것이었다. 더글러스는 "이 비판에 낙담하여 노력을 포기할까 생각했지만, 무언가 나를 붙잡아야 한다고 말해주는 것이 있었다는 것을 인정해야 한다"고 말했다. 돌파구는 미국 인구 조사 데이터를 사용하는 것이었는데, 이는 횡단면 데이터였고 많은 관측치를 제공했다. 더글러스는 1947년 미국경제학회 회장 연설에서 이러한 발견의 결과와 다른 국가의 결과를 발표했다. 얼마 후, 더글러스는 정치에 입문했고 건강이 나빠져 더 이상의 발전은 거의 없었다. 그러나 20년 후 그의 생산 함수는 폴 새뮤얼슨과 로버트 솔로와 같은 경제학자가 채택하면서 널리 사용되었다. 콥-더글러스 생산 함수는 집계 또는 경제 전반의 생산 함수가 개발되고, 추정되고, 분석을 위해 전문가에게 제시된 첫 사례라는 점에서 특히 주목할 만하다. 이는 경제학자들이 미시경제학적 관점에서 거시경제학에 접근하는 방식에 획기적인 변화를 가져왔다.

## 자본 및 노동 탄력성
생산 요소의 산출 탄력성은 다른 모든 생산 요소와 총 요소 생산성을 일정하게 유지했을 때 해당 생산 요소가 1% 변화함에 따라 발생하는 산출량의 백분율 변화이다.

콥-더글러스 생산 함수에서 자본의 산출 탄력성은 \alpha이고, 노동의 산출 탄력성은 \beta이다.

## 한계생산물
자본의 한계 생산물은 MPK=\frac{\partial Y}{\partial K}=\alpha \frac{Y}{K}>0이다.

노동의 한계 생산물은 MPL=\frac{\partial Y}{\partial L}=\beta \frac{Y}{L}>0이다.

즉, 자본 증가는 항상 산출량 증가로 이어지고, 노동 증가는 항상 산출량 증가로 이어지며, 총 요소 생산성 A의 증가는 자본의 한계 생산물과 노동의 한계 생산물을 증가시킨다.

## 수확 체감의 법칙
콥-더글러스 생산 함수는 수확 체감의 법칙을 따른다. 즉, 자본의 한계 생산물은 항상 양수이지만 감소한다. 자본이 증가하면(노동 및 총 요소 생산성은 일정하게 유지), 산출량은 증가하지만 감소하는 비율로 증가한다. 노동에 대해서도 유사한 결과가 적용된다.

공식으로는 다음과 같다.

: \frac{\partial MPK}{\partial K} = \frac{\partial^2 Y}{\partial K^2} 
: \frac{\partial MPL}{\partial L} = \frac{\partial^2 Y}{\partial L^2} 

## 기술적 한계 대체율
한계기술대체율은 다음과 같다.

: MRTS(K,L) = \dfrac{MPK}{MPL} = \dfrac{\alpha}{\beta} \dfrac{L}{K}

## 대체 탄력성
대체 탄력성은 상수이며 1과 같다.

{\dfrac{d\ln(MRTS)}{dMRTS}} = \dfrac{1}{MRTS \frac{\beta}{\alpha}} \cdot \frac{\beta}{\alpha} \cdot MRTS = 1

}}

## 곱의 미분
노동 증가는 자본의 한계 생산물을 증가시키고, 자본 증가는 노동의 한계 생산물을 증가시킨다.

공식으로는 \dfrac{\partial MPK}{\partial L}>0; \dfrac{\partial MPL}{\partial K}>0이다.

## 규모에 대한 수익
\alpha+\beta=1이면 규모에 대한 수익은 불변이며, 이는 자본 K와 노동 L이 k배 증가하면 산출 Y도 k배 증가한다는 의미이다. 즉, Y(kL,kK)=kY(L,K)이다.

\alpha+\beta이면 규모에 대한 수익은 감소하며, 이는 자본 K와 노동 L이 k배 증가하면 산출 Y는 k배보다 적게 증가한다는 의미이다. 즉, Y(kL,kK)이다.

\alpha+\beta>1이면 규모에 대한 수익은 증가하며, 이는 자본 K와 노동 L이 k배 증가하면 산출 Y는 k배보다 많이 증가한다는 의미이다. 즉, Y(kL,kK)>kY(L,K)이다.

## 완전 경쟁하에서의 보수
완전 경쟁 하에서 생산 요소는 총 한계 생산물에 따라 보상받는다.

Y=F(L,K) = L^\alpha K^{1-\alpha}  여기서 0이라고 가정하자. 이 경우

MP_L=\alpha L^ {\alpha-1} K^ {1-\alpha} = \alpha (\frac{K}{L}) ^ {1-\alpha}  이고 MP_K=(1-\alpha) L^{\alpha} K^ {-\alpha} = (1-\alpha) (\frac{K}{L}) ^  {-\alpha}이다.

따라서, Y=L\cdot MP_L + K\cdot MP_K = \alpha L^\alpha K^{1-\alpha} + (1-\alpha)L^\alpha K^{1-\alpha} 이다. 양변을 Y=F(L,K) = L^\alpha K^{1-\alpha}로 나누면 노동의 보수는 생산의 \alpha이고 자본의 보수는 생산의 (1-\alpha)임을 얻는다.

Y의 가격을 1로 정규화하자. 경쟁 균형에서 생산 요소의 한계 생산물 가치는 그 가격과 같거나 P_Y\cdot MP_K = MP_K=w 이고 유사하게 MP_K= r 이다. 여기서 w 는 임금률이고 r은 자본의 가격, 즉 실질이자율이다 (자본이 한 기간 후에 완전히 감가상각된다고 가정할 경우, 그렇지 않으면 자본 가격은 r+\delta이며 여기서 \delta는 자본의 감가상각률이다).

총 생산량은 다음과 같이 쓸 수 있다. Y=L\cdot w + K\cdot r . 즉, 생산 가치는 노동 보수와 자본 보수 사이에 분배된다.

## 일반화된 형태
일반화된 형태에서 콥-더글러스 함수는 두 개 이상의 재화를 모델링한다. 콥-더글러스 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:f(x)=A \prod_{i=1}^n x_i^{\lambda_i}, \qquad x = (x_1, \ldots, x_n).

여기서
* A는 효율성 매개변수
* n은 총 입력 변수(재화)의 수
* 은 소비, 생산 등의 (음이 아닌) 재화의 양
* \lambda_i는 재화 i에 대한 탄력성 매개변수

## 비판
이 함수는 기초 부족으로 비판을 받아왔다. 콥과 더글러스는 선진국에서 총 생산량에 대한 노동과 자본의 몫이 시간이 지남에 따라 일정하다는 통계적 증거에 영향을 받았다. 그들은 자신의 생산 함수에 최소제곱 회귀를 통계적으로 적합시킴으로써 이를 설명했다. 이제는 산업화된 경제에서 노동 몫이 감소하고 있다는 것이 널리 받아들여지고 있다. 생산 함수는 한 국가의 생산 능력과 공급 측면 효율성을 항상 가장 정확하게 나타내지 않을 수 있는 주요 가정을 포함한다. 이 가정은 "산출물에서 노동의 일정 비율"인데, 노동 시장이 상당한 속도로 성장하는 국가의 경우 이 가정이 맞지 않을 수 있다. 콥-더글러스 생산 함수의 근본적인 구성 내의 또 다른 문제는 동시 방정식 편향의 존재이다. 경쟁이 가정될 때, 동시 방정식 편향은 본 방정식을 포함한 기업 결정을 포함하는 모든 함수 유형에 영향을 미친다. 일부 경우에는 이 동시 방정식 편향이 나타나지 않는다. 그러나 최소제곱 점근적 근사를 사용할 때 명확하다.

그러나 많은 현대 저자는 많은 새케인스학파 모델을 포함하여 미시경제학적 기반의 콥-더글러스 생산 함수 모델을 개발했다. 그러나 콥-더글러스 함수가 미시경제 수준에 적용된다고 해서 거시경제 수준에도 항상 적용된다고 가정하는 것은 수학적으로 잘못된 것이다. 마찬가지로, 거시 콥-더글러스가 비집계 수준에 적용될 필요는 없다. 선형 활동을 기반으로 한 집계 콥-더글러스 기술의 초기 미시적 기초는 Houthakker (1955)에서 도출되었다. 콥-더글러스 생산 함수는 자본과 노동 간의 대체 탄력성에 대한 현대의 실증적 추정치와 일치하지 않는다. 이 추정치는 자본과 노동이 총보완재임을 시사한다. 3186개의 추정치에 대한 2021년 메타 분석은 "경험적 문헌에 축적된 증거는 콥-더글러스 명세를 단호히 거부한다"고 결론짓는다.

## 콥-더글러스 효용
콥-더글러스 함수는 종종 효용함수로 사용된다. 효용 \tilde{u}은 소비되는 n개의 재화의 수량 x_i의 함수이다.

: \tilde{u}(x)= \prod_{i=1}^n x_i^{\lambda_i} 

효용 함수는 생산 함수와 달리 서수적 선호를 나타내며 자연 단위가 없다. 결과적으로 효용 함수의 단조 변환은 동일한 선호를 나타낸다. 콥-더글러스 생산 함수에서 지수의 합이 규모의 경제 정도를 결정하는 것과는 달리, 효용 함수는 정규화가 원래 효용 함수의 단조 변환이므로 지수의 합을 1로 정규화할 수 있다. 따라서  \lambda = \sum_{i=1}^n \lambda_i 와  \alpha_i = \frac{\lambda_i}{ \lambda}를 정의하여  \sum_{i=1}^n \alpha_i = 1이 되게 하고, 효용 함수를 다음과 같이 쓸 수 있다.

:u(x) = \prod_{i =1}^n x_i^{\alpha_i} 

소비자는 재화의 비용이 그녀의 부 w보다 작다는 예산 제약하에서 효용을 극대화한다. p_i를 재화의 가격이라고 하면, 그녀는 다음을 해결한다.

: \max_{x_i} \prod_{i=1}^n x_i^{\alpha_i} \quad \text{ 제약 조건 하에 } \quad \sum_{i=1}^n p_i x_i= w 
:각 두 재화 간의 한계대체율은 다음과 같다.
:MRS_{i,j}=\frac{\alpha_i}{\alpha_j}{x_j \over x_i}={p_i \over p_j}\Rightarrow
p_j x_j={p_i \alpha_j\over \alpha_i}x_i
:예산 제약에 대입하면 다음을 얻는다.
:
:p_i x_i + \textstyle \sum_{j\neq i}^n \displaystyle p_j x_j \frac{\alpha_j}{\alpha_i} = w
:\Rightarrow p_i x_i(1+\sum_{j\neq i}^n \frac{\alpha_j}{\alpha_i})=w
\Rightarrow p_i x_i\frac{(\alpha_i +\sum_{j\neq i}^n \alpha_j)} {\alpha_i}=w
\Rightarrow p_i x_i\frac{1} {\alpha_i}=w


:\Rightarrow x_i^*=\frac{\alpha_i w }{p_i} \forall i
:

 p_i x^*_i = \alpha_i w 임을 주목하자. 소비자는 재화 에 그녀의 부의 \alpha_i 부분을 지출한다.

또한 각 재화는 오직 자신의 가격에만 영향을 받는다. 즉, 어떤 두 재화도 대체재도 보완재도 아니다. 다시 말해, 그들의 교차탄력성은 0과 같고 어떤 재화의 교차 수요 함수는 수직선으로 묘사된다.

마지막으로, 소득이 특정 퍼센트 증가할 때 재화에 대한 수요도 같은 퍼센트 증가한다. 즉, 소득에 대한 수요의 탄력성은 1과 같고 따라서 엥겔 곡선은 원점에서 시작하는 직선이다.

이것은 u(x) 또는 \tilde{u}(x) 모두에 대한 해답임을 주목하자. 동일한 선호는 동일한 수요를 생성하기 때문이다.

간접 효용 함수는 수요 x_i를 효용 함수에 대입하여 계산할 수 있다. 상수 K= \prod_{i =1}^n \alpha_i^{\alpha_i}를 정의하면 다음을 얻는다.

: v(p,w) = \prod_{i =1}^n \left( \frac{w \alpha_i}{p_i} \right)^{\alpha_i}
=
\frac{ \prod_{i =1}^n w^{\alpha_i}\cdot \prod_{i =1}^n \alpha_i^{\alpha_i} }{ \prod_{i =1}^n p_i ^{\alpha_i}} =K \left(\frac{ w}{\prod_{i =1}^n p_i ^{\alpha_i}} \right)

이는 고먼 극형식의 특수한 경우이다.

:e(p, u) = (1/K)\prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i} u
:콥-더글러스 효용 함수의 마셜 수요 함수

## 생산 함수의 다양한 표현
콥-더글러스 함수 형태는 다음 표현을 사용하여 선형 관계로 추정할 수 있다.

: \ln(Y) = a_0 + \sum_i a_i \ln(I_i) 
여기서
*  Y = \text{산출량}
*  I_i = \text{투입량}
*  a_i = \text{모델 계수}

이 모델은 다음과 같이 쓸 수도 있다.
: Y = e^{a_0} (I_1)^{a_1} \cdot (I_2)^{a_2} \cdots 

앞서 언급했듯이, 거시경제 모델링에 사용되는 일반적인 콥-더글러스 함수는 다음과 같다.
: Y = K^\alpha L^\beta 

여기서 K는 자본이고 L은 노동이다. 모델 지수의 합이 1이면 생산 함수는 1차 동차함수이며, 이는 규모에 대한 불변 수익을 의미한다. 즉, 모든 투입물이 0보다 큰 공통 인수에 의해 확장되면 산출량도 동일한 인수에 의해 확장된다.

## CES 생산 함수와의 관계
상수 대체 탄력성 (CES) 생산 함수(두 가지 요소의 경우)는 다음과 같다.

: Y = A \left ( \alpha K^\gamma + (1-\alpha) L^\gamma \right )^{1/\gamma},

여기서 극한값 은 규모에 대한 불변 수익을 가진 콥-더글러스 함수, Y=AK^\alpha L^{1-\alpha},에 해당한다.

이를 확인하기 위해, CES 함수의 로그를 취하면 다음과 같다.

:  \ln(Y) = \ln(A) + \frac{1}{\gamma} \ln \left (\alpha K^\gamma + (1-\alpha) L^\gamma \right )

로피탈의 정리를 적용하여 극한을 취할 수 있다.

: \lim_{\gamma\to 0} \ln(Y) = \ln(A) + \alpha \ln(K) + (1-\alpha) \ln(L).

따라서 Y=AK^\alpha L^{1-\alpha}이다.

### 트랜스로그 생산 함수
트랜스로그 생산 함수는 변수 \gamma에 대한 \gamma = 0(즉, 콥-더글러스 경우)에서의 2차 테일러 다항식에 의한 CES 함수의 근사치이다. 트랜스로그라는 이름은 "초월 로그(transcendental logarithmic)"를 의미한다. 이는 매개변수에 대해 선형이라는 사실 때문에 계량경제학에서 자주 사용된다. 이는 투입물을 외생으로 가정할 수 있다면 정규방정식을 사용할 수 있음을 의미한다.

위의 두 가지 요소의 경우 트랜스로그 생산 함수는 다음과 같다.
: \begin{align}
\ln(Y) &= \ln(A) + \alpha \ln(K) + (1-\alpha) \ln(L) + \frac{1}{2} \gamma \alpha (1 - \alpha) \left[ \ln(K) - \ln(L) \right]^2 \\
&= \ln(A) + a_K \ln(K) + a_L \ln(L) + b_{KK} \ln^2(K) + b_{LL} \ln^{2}(L) + b_{KL} \ln(K) \ln(L)
\end{align}

여기서 a_K, a_L, b_{KK}, b_{LL}, b_{KL}은 적절하게 정의된다. 세 가지 요소의 경우 트랜스로그 생산 함수는 다음과 같다.
:\begin{align}
\ln(Y) & = \ln(A) + a_L\ln(L) + a_K\ln(K) + a_M\ln(M) + b_{LL}\ln^2(L) +b_{KK}\ln^2(K) + b_{MM}\ln^2(M) \\
& {} \qquad \qquad + b_{LK}\ln(L)\ln(K) + b_{LM}\ln(L)\ln(M) + b_{KM}\ln(K)\ln(M) \\
& = f(L,K,M).
\end{align}
여기서 A = 총요소생산성, L = 노동, K = 자본, M = 재료 및 소모품, Y = 산출량이다.

## 같이 보기
* 레온티예프 생산 함수
* 생산 가능 곡선
* 생산 이론

## 각주

## 참고 문헌
* 

## 외부 링크

* 3D 콥-더글러스 유형 생산 함수의 해부
* 효용 함수로서의 콥-더글러스 분석 
* N개 투입 생산 함수를 가진 기업을 위한 폐쇄형 해법

분류:1947년 경제
분류:생산경제학