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적분표

적분은 미적분학의 두 기본연산 중의 하나이다. 적분은 미분처럼 복잡한 함수를 보다 간단한 함수들로 분해하여 계산할 수는 없기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 **적분표**(lists of integrals)는 유용하게 사용된다.

아래의 식들에서 *C*는 적분 상수이다.

## 일반적인 적분 규칙
:\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ constant)}\,\!
:\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
:\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx
:\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(for } n\neq -1\mbox{)}\,\! 
:\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C 
:\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C 

## 적분표
아래 문서들에서 다양한 적분 공식들을 찾아볼 수 있다.
* 유리함수 적분표
* 무리함수 적분표
* 삼각함수 적분표
* 역삼각함수 적분표
* 쌍곡선함수 적분표
* 역쌍곡선함수 적분표
* 지수함수 적분표
* 로그함수 적분표
* 가우스함수 적분표

## 간단한 함수의 적분
### [[유리함수]]
*\int a\,dx = ax + C
*\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1
*\int (ax + b)^n \, dx= \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \qquad\text{(for } n\neq -1\text{)}
*\int {1 \over x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C
*\int\frac{c}{ax + b} \, dx= \frac{c}{a}\ln\left|ax + b\right| +C
*\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan{x} + C

### 무리함수
*\int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin {x} + C
*\int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arccos {x} + C
*\int {1 \over |x|\sqrt{x^2-1}} \, dx = \mbox{arcsec}\,{x} + C

### [[로그함수]]
*\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C
*\int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C

### [[지수함수]]
*\int e^x\,dx = e^x + C
*\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

### [[삼각함수]]
*\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C
*\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C
*\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C
*\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C
*\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C
*\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C

*\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
*\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
*\int \sin^2 mx \, dx = {\frac{1}{2m} (mx - \sin mx \cos mx)} + C
*\int \cos^2 mx \, dx = {\frac{1}{2m} (mx + \sin mx \cos mx)} + C

* \int \sin^n x \, dx = {-\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x \, dx} + C
* \int \cos^n x \, dx = {\frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \, dx} + C 
* \int \sec^n x \, dx = {\frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2} x \, dx} + C 
* \int \csc^n x \, dx = {\frac{\csc^{n-2} x \cot x}{-(n-1)} + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2} x \, dx} + C 

### [[쌍곡선함수]]
*\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
*\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
*\int \tanh x \, dx = \ln (\cosh x) + C
*\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C
*\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C
*\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C

## 정적분
어떤 함수의 적분은 원시 함수로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다. 다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다.

*\int_0^\infty{\sqrt {x}e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi
*\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi

## 외부 링크
* Paul's Online Math Notes
* A. Dieckmann, Table of Integrals: Indefinite Integrals Definite Integrals
* Math Major: A Table of Integrals
* 
* Rule-based Integration
* 
* Victor Hugo Moll, The Integrals in Gradshteyn and Ryzhik
* 울프럼 알파의 적분 예시


분류:적분
소수

**소수**에는 다음과 같은 뜻이 있다.

## 수학
* **[[소수 (수론)|소수]]**(素數, [소쑤]): 수학에서 1과 그수 자신 이외의 자연수로는 나눌 수 없는, 1보다 큰 자연수.
* **[[소수 (기수법)|소수]]**(小數, [소수]): 수학에서 소수점을 찍어 나타낸 실수.
* **[[작은 수|소수]]**(小數): 수학에서 0보다 크고 1보다 작은 수.

## 제도
* **[[소수 (관직)|소수]]**(少守): 신라의 관직.

## 지리
* **[[샤오수이강|소수]]**(瀟水): 중국의 강.

## 인물
* **[[소수 (전한)|소수]]**(疏受, ?~?): 전한 후기의 관료·유학자.
* **[[소수 (양)|소수]]**(蕭秀, 475~518): 양나라의 황족.
* **[[소수 (조선)|소수]]**(蘇遂, 1517~1592): 조선 중기의 문신.

## 같이 보기
*
르장드르 다항식

**르장드르 다항식**() P_n(x)는 **르장드르 미분 방정식**()이라고 불리는 다음 미분 방정식의 해가 되는 함수들이다.
:(1-x^2) {d^2 \over dx^2} P(x) - 2x {d \over dx}P(x) + n(n+1)P(x) = 0
스튀름-리우빌 형식으로 쓰면,
:{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + n(n+1)P(x) = 0
이다. 이 함수와 미분 방정식의 이름은 프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르의 이름을 따 명명되었다. 이 상미분 방정식은 물리와 공학의 여러 분야에서 자주 등장한다. 특히, 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 때 등장한다.

## 르장드르 다항식
구체적인 몇몇 르장드르 다항식의 형태는 다음과 같다.

n = 1,2,3,4,5인 경우의 구간 [-1,1]사이에서의 르장드르 다항식의 그래프는 다음과 같다.

700px|가운데

## 성질
### 간단한 성질
르장드르 다항식에는 다음과 같은 몇몇 간단한 성질이 있다.
* P_n(-x) = (-1)^n P_n(x)
* P_n(1) = 1 
* P_n(-1) = (-1)^n
* P'_n(1) = \frac{n(n+1)}{2}
* n이 홀수이면 P_n(0) = 0
* n이 짝수이면 P'_n(0) = 0

### 수직 관계
르장드르 다항식 끼리 구간 [-1,1]에서 L^2 내적을 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
:\left( P_n , P_m \right) = \int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = \frac 2{2n + 1} \delta_{mn}.
여기서 \delta_{mn}은 크로네커 델타를 의미한다. 따라서, 르장드르 다항식은 구간 [-1,1]에서 서로 수직함을 알 수 있다. 이는 르장드르 방정식이 스튀름-리우빌 문제에 속하기 때문이다. 즉, 르장드르 미분 방정식을 다음과 같이 스튀름-리우빌 형식으로 놓을 수 있다.
:{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + \lambda P(x) = 0
여기서 고윳값 \lambda = n(n+1)이다. 스튀름-리우빌 문제의 해의 집합은 일반적으로 함수 공간의 정규 직교 기저를 이루므로, 르장드르 다항식도 마찬가지로 직교 기저를 이룬다. (다만, 통상적으로 그 노름이 1이 아니게 정의한다.)

## 르장드르 다항식의 계산 및 표현
르장드르 다항식은 점화식이나 선적분, 생성 함수 등 여러 방법으로 표현할 수 있다.

### 로드리게스 공식
**로드리게스 공식**()은 르장드르 다항식의 일반식이며, 다음과 같다.
:P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]. 

### 점화식
르장드르 다항식은 다음과 같은 점화식을 만족한다.
:(k+1)P_{k+1} (x) - (2k+1) x P_k (x) - k P_{k-1} (x) = 0 \;

### 생성 함수
르장드르 다항식은 다음과 같은 생성 함수를 가진다.
:\frac1{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{n=0}^\infty P_n(x)t^n.

### 선적분을 통한 표현
르장드르 다항식은 유수적분을 통해 다음과 같은 적분 형태로 표현될 수 있다.
:P_n(z)={1 \over2\pi i} \oint (1-2tz+t^2)^{-1\over 2}t^{-(n+1)}dt 
여기서 적분 경로는 원점을 중심으로 하는 임의의 반시계방향의 폐곡선이다.

## 같이 보기
* 가우스 구적법

## 외부 링크

* 

분류:직교 다항식
분류:다항식
분류:특수 초기하함수
깊은 생각

**깊은 생각**()은 더글러스 애덤스의 과학소설 《은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서》에 등장하는 상상의 컴퓨터이다.

## 줄거리
소설 속에서 깊은 생각은 '삶과 우주, 그리고 모든 것에 대한 궁극적인 답'을 찾기 위해 만들어졌다. 결국 컴퓨터는 750만 년 동안 계산을 한 결과 42라는 답을 계산해 내지만, 깊은 생각의 제작자들은 정작 이 답에 대한 질문이 무엇인지 모르고 있었다는 것을 깨닫는다. 깊은 생각 자신도 궁극의 질문이 무엇인지에 대한 대답은 내놓지 못한 채, 결국 42라는 답에 대한 질문이 무엇인지를 계산하기 위해 더욱 강력한 컴퓨터(지구)를 제작할 것을 제안한다. 천만 년 동안 계산을 하고 결과를 내어 놓기 5분을 남겨놓고 지구는 보곤 공병함대에 의해 파괴된다.

원작 라디오 시리즈에선, Geoffrey McGivern이 그 목소리를 담당했고, 후의 LP 녹음과 TV 시리즈에선 Valentine Dyall가 목소리를 연기했다.

체스 세계 챔피언 개리 카스파로프를 꺾었던 컴퓨터 딥 블루의 이전 모델도 이 소설 속의 컴퓨터의 이름을 따라 딥 소트(Deep Thought)라 명명되었다. 이후 세대 체스 컴퓨터들의 이름은 딥 프리츠, 딥 주니어 등으로 이어진다.

분류:은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서
쿼크

섬네일
**쿼크**()는 경입자와 더불어 물질을 이루는 가장 근본적인 입자다. 경입자가 아닌, 색전하를 띤 기본 페르미 입자이다. 중입자와 중간자를 이룬다. 이론 물리학자 머리 겔만은 자신이 발견한 우주의 기본 미립자를 '쿼크'(quark)로 명명했는데 이것은 제임스 조이스의 소설 《피네간의 경야》 12장 '신부선(新婦船)과 갈매기'에서 갈매기가 외치는 무의미한 조롱의 울음소리에서 따온 것이다. 우연의 일치로, 우주 속의 입자들을 구성하는 쿼크는 세 개씩 같이 다닌다.

## 종류
쿼크는 총 6가지의 종류가 있으며, 다음과 같다.
:

각 쿼크에는 이에 대응되는 반입자인 **반쿼크**()가 존재한다. 반쿼크는 대응하는 쿼크와 질량이 같지만 전하와 색전하가 반대다. 각 쿼크는 빨강, 초록, 파랑 세 개의 색깔을 가질 수 있다. 쿼크는 3세대가 있는데 1세대는 위·아래(up·down) 쿼크, 2세대에 맵시·기묘(charm·strange) 쿼크, 3세대에 꼭대기·바닥(top·bottom) 쿼크로 나눈다.

## 성질
쿼크는 기본 전하의 −⅓ 또는 +⅔의 전하를 갖는다. 기본 전하의 정수배가 아닌 전하를 가진 입자는 쿼크가 유일하다. 전하량 외에도 쿼크는 색전하(色電荷, )란 물리량을 갖는데, 이 양은 '빨강', '초록', 혹은 '파랑'으로 나타낸다. 이 물리량에 대한 보존법칙은 합쳐진 입자는 언제나 '무색'이어야 한다고 말한다. 반쿼크는 '반빨강', '반초록', '반파랑'의 색전하를 갖는다.(색전하는 가시광선의 색과는 아무런 관련이 없고, 단지 양자 색역학의 대칭군인 SU(3)의 3차원 표현의 기저를 나타내는 통상적인 용어일 뿐이다.)

양자 색역학의 색가둠 현상에 의하여, 일상적인 에너지에서 쿼크는 홀로 존재하지 않고 언제나 중간자나 중입자를 이룬다. 중간자는 쿼크와 반쿼크로 이루어진 입자이고, 중입자는 세 개의 쿼크로 이루어진 입자다. 중간자와 중입자를 통틀어 강입자라고 부른다. 이에 따라, 홑 쿼크는 관측할 수 없으며, 관측 가능한 강입자는 항상 기본 전하의 정수배의 전하를 가지고, 항상 무색이다. 쿼크를 따로 관측할 수 없으므로, 위 표의 쿼크 질량은 정확한 값이 아니라 참값이 놓여 있을 것으로 여겨지는 범위다.

## 어원
"쿼크"라는 이름은 제임스 조이스의 소설 《피네간의 경야()》에 나오는 다음 구절에서 인용한 것이다.
:
여기서 "쿼크"()는 액체의 단위인 쿼트를 변형한 것으로, 등장 인물인 마크에게 술을 권하는 대목이다.

## 같이 보기
* 고이데 공식
* 앞선입자
* 쿼크별

## 각주

## 외부 링크
* 
* 쿼크란 무엇인가? - 입자물리학자 이강영 교수. YTN 사이언스. 2014년 7월 2일.
* CosmicVoyage 초은하단에서 쿼크까지. 2015년 7월 2일.
* 빛의 물리학 6부 빛과 끈 #003 쿼크와 랩톤 그리고 끈이론. 2015년 6월 10일.


분류:기본 입자
분류:페르미온
분류:양자색역학
분류:피네간의 경야
중력 상수

**중력 상수**(重力常數, , 기호 *G*), **만유인력 상수** 또는 **뉴턴 상수**는 중력의 세기를 나타내는 기초 물리 상수다. 중력을 다루는 모든 이론, 예를 들어 뉴턴의 만유인력의 법칙과 아인슈타인의 일반 상대성 이론에 등장한다. 과학 기술 데이터 위원회 2010년 자료
에 따르면, 국제단위계에서의 값은 다음과 같다.
:
그 밖에 국제 천문 연맹에서 제공하는 자료도 권위가 있다.

## 정의
right|300px
만유인력의 법칙에 따르면, 두 물체 사이의 중력적 인력은 그 두 질량의 곱에 비례하며 거리의 제곱에 반비례한다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
: F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} 
이 식에서 비례 상수 G를 **중력 상수**라고 일컫는다.

중력은 자연의 다른 세 상호작용보다 상대적으로 약하다. 예를 들어 두 대의 3000 kg의 자동차가 각각의 질량 중심에 대해 3 m 떨어져 있을 때 두 자동차에 작용하는 중력은 약 67 µN밖에 되지 않는다. 이는 모래 알갱이의 무게 정도의 힘에 해당한다.

## 중력 상수의 측정
중력 상수는 헨리 캐번디시가 캐번디시 실험을 통해 정교하게 처음으로 측정하였다. 실험을 위해 막대의 양 끝에 납으로 된 공을 매달고 이를 줄에 매달아 수평 방향으로만 회전하게 한다. 막대의 관성 모멘트는 막대가 복원력에 의해 진동하는 주기를 측정하여 알아낼 수 있다. 막대의 한쪽 끝에 다른 공을 가까이 대면 중력에 의해 서로 끌어당기게 되고 막대가 회전한 각도를 측정하여 이 힘을 알아낼 수 있다. (캐번디시의 실험의 본 목적은 중력 상수의 측정이 아니라, 지구의 질량을 측정하는 것이었다. 지구 표면의 중력장은 쉽게 측정할 수 있기 때문에, 지구의 크기와 중력 상수를 알면 지구의 질량을 계산할 수 있다.)

중력 상수의 측정은 캐번디시의 실험 이후로 점차 정확도가 향상되어 왔다. 중력이 다른 기본 상호 작용에 대해 매우 약하고, 다른 물체의 영향을 없애기 어렵기 때문에 중력 상수  {G} \ 를 측정하는 것은 여러 모로 어렵다. 게다가 중력과 다른 상호 작용 사이에 알려진 상관 관계가 없기 때문에 간접적으로 이를 측정할 수 없다. 최근의 리뷰(Gilles, 1997)에 따르면, 중력 상수의 측정값은 크게 변해 왔고, 최근의 몇몇 측정값은 실제로는 서로 배타적이라고 한다.

## "GM" 곱

 GM  곱 또는 표준 중력 변수는 여러 가지 중력과 관계된 수식을 간단히 표현하는 데 자주 활용된다. 특히 태양계에 대해 중력 법칙을 이용할 때 매우 높은 정확도로 측정할 수 있기 때문에 빈번하게 사용된다. 중력 상수의 정확도가 높지 않은 데 반해 행성의 위치나 중력 가속도와 같은 양은 매우 정확하게 측정할 수 있다. 따라서 중력 상수와 질량의 곱은 매우 정확하게 알아낼 수 있다(따라서 지구나 태양의 질량의 측정값의 정확도는 중력 상수의 정확도에 의존한다.). 태양계에서의 중력을 계산할 때 거의 대부분의 계산에서 GM 값이 함께 붙어서 나오며, 대부분의 계산에서 이 둘을 따로 대입할 필요가 없어 정확도를 높일 수 있다. 표준 중력 변수의 값은  \mu 로도 표시하며 국제단위계에서 다음과 같은 값을 갖는다.

:  \mu = GM = 398,600.4418 \pm 0.0008 \ \mathrm{km ^ {3} \cdot s ^{-2}}

천체 역학에서는 주로 국제단위계의 킬로그램보다 태양 질량을 기준으로 한 단위계를 사용하는 것이 계산에 편하다. 이 단위계로 쓴 중력 상수를 **가우스 중력 상수**() k^2라 부르며,그 값은 다음과 같다.
: {k = 0.01720209895 \ A^{\frac{3}{2}} \ D^{-1} \ S^{-\frac{1}{2}} } 
여기서  A 는 천문 단위,  D 는 평균 태양일, 그리고  S 는 태양의 질량이다.

## 플랑크 단위계

중력 상수를 플랑크 상수와 광속을 이용하여, 임의적인 기본 단위가 전혀 없는 단위계를 만들 수 있다. 이를 막스 플랑크의 이름을 따 플랑크 단위계라고 부른다. 플랑크 단위계에서 중력 상수는 플랑크 상수와 진공에서의 빛의 속도와 함께 모두 1로 맞추어진다.

## 같이 보기
* 중력 가속도

## 각주

분류:중력
분류:물리 상수
변형력

오른쪽|섬네일|450px|응력의 일반적인 개념을 그림으로 나타낸 것. 오른쪽 직육면체는 응력 텐서를 표현한다.
**변형력**(變形力) 또는 **스트레스**() 또는 **응력**(應力)은 역학에서 단위면적당 작용하는 힘을 뜻한다. 오귀스탱 루이 코시가 1822년 처음 고안했다.

사실상 응력의 개념은 연속체(continuum)라는 가정 아래 성립할 수 있다. 물체 내부의 경우, 가상의 단위부피를 설정해서 그 가상의 표면 바깥에 작용하는 힘을 계산하기 때문이다. 여기서 '가상의 힘'은 크게 두 종류가 있는데, 표면힘(Surface Force)과 몸체힘(Body Force)이다. 표면힘은 표면에 평행한 힘이며, 몸체힘은 표면에 대하여 수직 방향인 힘이다.

응력의 SI단위는 파스칼(Pa)이다. 압력과 같은 단위지만, 압력과 응력은 전혀 다른 개념이다.

일반적인 단면봉(Prismatic Bar)의 경우, 수직응력(Normal Stress)은 바깥쪽(Tension) 또는 안쪽(Compression)으로 작용한다. 변형률(Strain)과의 연관성 때문에, 보통 바깥쪽 응력을 양으로, 안쪽 응력을 음으로 본다. 이 경우, 보통은 계산의 편리성을 위해 *모든 단면적에 고르게 힘이 작용한다*라고 가정하고 평균값을 사용하는 경우가 많다. 즉,

:\sigma_\mathrm{avg} = \frac{F_\mathrm n}{A}\approx\sigma\,\!

실제로는 모든 지점마다 작용하는 응력의 값이 다르다. 때문에 코시는 이를 표현하기 위해 텐서를 사용했다.
:\sigma_{ij}=
\left[{\begin{matrix}
\sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\
\sigma _{21} & \sigma _{22} & \sigma _{23} \\
\sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33} \\
\end{matrix}}\right]

\equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _{xx} & \sigma _{xy} & \sigma _{xz} \\
\sigma _{yx} & \sigma _{yy} & \sigma _{yz} \\
\sigma _{zx} & \sigma _{zy} & \sigma _{zz} \\
\end{matrix}}\right]
\equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _x & \tau _{xy} & \tau _{xz} \\
\tau _{yx} & \sigma _y & \tau _{yz} \\
\tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\
\end{matrix}}\right]
\,\!

이 방식은 축이 변할 경우 값이 어떻게 바뀌는지 계산하는 것이 힘들다는 단점을 가지고 있다. 이를 보완하기 위해 Mohr's Circle을 사용한다. 또한 코시 텐서는 작은 변형에 맞는 방식이기 때문에, 큰 변형의 경우 다른 방식을 사용한다.

## 변형력
변형력(stress, 응력(應力))은 물체가 외부 힘의 작용에 저항하여 원형을 지키려는 힘을 말하며 층밀림 변형력(shear stress, 전단응력)과 깊은 관계를 가지있으며 고체역학, 유체역학과도 연관있다. 한편 응집력(cohesion, 응력(凝力))은 원자, 분자 또는 이온 사이에 작용하여 고체나 액체 따위의 물체를 이루게 하는 서로 끌어당기는 힘을 통틀어 이르는 말로 변형력과 연관있다.

## 정의
### 수직 및 층밀림

## 같이 보기
* 연속체 역학
* 층밀림(shearing, 전단)
* 층밀림 변형력(shear stress, 전단 응력)
* 층밀림 힘(shear force, 전단력)
* 층밀림 비율(shear rate, 전단율)
* 변형 (역학)
* 일그러짐 (물리학)

## 각주

## 외부 링크
* 

분류:연속체역학
분류:고전역학
분류:텐서
대수학

섬네일
**대수학**(代數學, )은 일련의 공리들을 만족하는 수학적 구조들의 일반적인 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 숫자 대신 숫자를 대체하는 문자를 사용해 수의 성질, 관계, 계산법칙 등을 연구하는 학문이다. 이렇게 일련의 추상적인 성질들로 정의되는 구조들을 대수 구조라고 하며, 그 예시로 반군, 군, 환, 가군, 체, 벡터 공간, 격자 등이 있다. 대수학은 취급하는 구조에 따라서 반군론, 군론, 환론, 선형대수학, 격자론, 정수론 등으로 분류된다.

기하학, 해석학, 정수론과 함께 대수학은 수학의 대분야 중 하나로 볼 수 있다. 대수학이란 용어는 단순한 산술적 수학을 가리키기도 하나, 수학자들은 군, 환, 불변량 이론과 같이 수 체계 및 그 체계 내에서의 연산에 대한 추상적 연구에 대해서 "대수학"이라는 용어를 자주 사용한다.

## 어원

algebra라는 명칭은 페르시아의 저명한 수학자인 콰리즈미(783~850)가 쓴 《》()에서 비롯되었다. 책의 원 제목에 있는 ‘자브르()’는 (흩어진 것을) 묶는다는 뜻으로, 이 책에서는 방정식에서 항들을 묶어서 소거하는 것을 부르는 말로 쓰였다.

‘대수(代數)’라는 말은 수를 대신한다는 뜻으로, 수 대신 문자를 쓴다는 점에 착안한 번역어이다. ‘대수’라는 번역어는 드 모르간의 《Elements of Algebra》(1835)를 1859년 와 이선란이 번역한 《대수학》에서 처음 쓰였다.

## 역사

고대의 대수학에 대한 주요 저서로는 에우클레이데스의 원론(기원전 3세기)이나 구장산술(3세기), 디오판토스의 (3세기) 등이 있다. 9세기에 페르시아의 수학자 콰리즈미는 《》(820년)를 통해 대수학을 하나의 독립적인 분야로 정립했다. 이 책은 1145년 가 《알게브라와 알무카발라의 서(書)》()란 제목으로 라틴어로 번역한 뒤 다섯 세기에 걸쳐서 유럽의 대학에서 사용되었다. 여기서 "알게브라"()와 "알무카발라"()는 해당하는 아랍어 단어를 음역한 것이다. 또한 콰리즈미의 저서인 "인도 수의 계산법"이 라틴어로 번역되면서 2차 방정식, 사칙연산, 십진법, 0 등의 개념이 소개되었다.

19세기 이후에는 에바리스트 갈루아가 대수 방정식을 연구하기 위해서 군이라는 대수적 구조를 도입하였고, 조지 불은 논리학을 연구하기 위해서 불 대수라는 대수적 구조를 정의하였다. 이후 현대 수학에서는 다비트 힐베르트의 공리 주의나 니콜라 부르바키 스타일에서 찾아볼 수 있듯이, 고전적인 대수학에서 상당히 거리가 추상화되어 있으며, 방정식의 해법은 "방정식론"(대수방정식론)이라는 대수학의 일부분에 불과하다.

## 대수학의 연구 분야
* 군론
* 환론
* 체론
* 정수론
* 대수기하학
* 추상대수학
* 선형대수학

## 같이 보기

* 대수 구조
* 대수학의 기본 정리
* 수학

## 각주


## 외부 링크
* 

*
군론

[섬네일|유명한 퍼즐인 [루빅스 큐브는 순열군 개념을 이용해 해결할 수 있다.]]

수학에서 **군론**(群論, )은 군에 대해 연구하는 추상대수학의 한 분야이다. 군은 추상대수학에서 중요하게 다루는 대수 구조로, 군에 특정 연산이나 공리를 추가하면 환, 체, 또는 벡터 공간이 된다. 군은 수학의 여러 분야에서 사용되며, 군론에서 사용하는 방법들은 대수학의 여러 분야에 영향을 주었다.

결정이나 수소 원자, 표준 모형에서의 세 가지 기본 상호작용과 같은 다양한 물리계를 군론에서 대칭군을 이용해 연구할 수 있다. 따라서 군론, 그리고 이와 밀접하게 연관된 표현론은 물리학과 화학, 재료과학, 공개 키 암호 방식 등의 응용 분야에서 중요하게 쓰인다.

군론은 약 19세기쯤부터 연구되었다. 20세기에는 1만 페이지 이상의 저널 논문에 걸쳐 유한 단순군의 분류에 대한 증명을 완성했는데, 이는 20세기의 가장 위대한 수학 업적 중 하나로 꼽힌다.

## 발전 배경
18세기까지 4차 방정식까지는 대수적인 풀이, 즉 근의 공식이 존재한다는 것이 알려져 있었지만(카르다노, 페라리), 5차 이상의 방정식의 근의 공식이 있는지는 밝혀지지 않고 있었다. 5차 방정식의 근의 공식이 존재하지 않는다는 것은 아벨에 의해 증명되었으나, 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지고 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지지 않는지를 일반적으로 연구하는 것은 극히 어려운 문제였다. 군론은 이 물음에 대한 답을 하려는 과정에서 갈루아(Galois)에 의해 도입된 접근방식이었다. 갈루아는 군론을 이용해서, 다항 방정식의 대수적 해법에 대한 일반적인 관계를 증명하였다. 갈루아 이론으로 불리는 이 이론은 수학의 여러 분야 가운데에서도 극히 아름다운 이론으로 손꼽힌다.

## 군의 종류
유한 순열군과 일반선형군, 그리고 생성원과 관계식으로 표현되는 추상군까지 다양한 종류의 군들이 연구되었다.

### 순열군
가장 먼저 체계적으로 연구된 군은 순열군이다. 임의의 집합 *X*와, *X*에서 *X*로 가는 전단사 함수들의 모임 *G*가 주어졌을 때(이때 *G*는 함수들의 합성에 대해 닫혀 있어야 하고 임의의 함수에 대해 역함수가 존재해야 한다.), *G*는 *X*에 작용하는 군이 된다. 만약 *X*가 *n*개의 원소로 이루어져 있고 *G*는 *X*에서 *X*로 가는 모든 전단사 함수들, 즉 *n*에 대한 모든 순열을 포함할 때, *G*는 대칭군이 되며 이를 *S<sub>n</sub>*이라 쓴다. 일반적으로 임의의 순열군 *G*는 *X*에 대한 대칭군의 부분군이다. 케일리의 정리에 의해 모든 군은 대칭군의 부분군과 동형인데, 초창기에는 임의의 군을 자기 자신에 작용하는(즉 *X*=*G*인) 왼쪽 정칙표현으로 나타냈다.

### 일반선형군
몇몇 군은 일반선형군에 속한다. 일반선형군 *G*는 체 *K* 위에서 행렬곱과 역원에 대해 닫혀 있는 *n*×*n* 가역행렬들의 집합이다. 일반선형군은 *n*차원 벡터 공간 *K**n*에 대해 선형 변환으로서 작용한다.

### 변환군
변환군이란 어떤 공간 *X*에 작용했을 때 그 고유 구조를 보존하는 군이다. 순열군과 일반선형군은 변환군의 특수한 예로, 순열군의 경우 *X*는 집합, 일반선형군의 경우 *X*는 벡터 공간이다.
변환군은 미분기하학에도 적용되는데, 다양체에의 군의 작용을 위상동형사상이나 미분동형사상으로 볼 수 있다. 이때 군은 이산적일 수도, 연속적일 수도 있다.

### 추상군
군론이 발전하기 시작할 무렵, 대부분의 군은 수나 순열, 행렬 등을 통해 명시적으로 표현되는 개념이었다. 19세기 말 이후부터는 추상군이라는 개념이 자리잡았는데, 여기서 '추상'이라는 말은 동형인 두 군은 같은 군으로 여기는 것에서 나타나듯이 군의 원소의 특성은 무시한다는 의미이다. 일반적으로 추상군은 *생성원*과 *관계식*을 이용해 표현된다.
:  G = \langle S|R\rangle. 
많은 종류의 추상군은 몫군으로부터 구성된다. 군 *H*가 군 *G*의 정규 부분군일 때, *H*의 잉여류들이 이루는 군을 몫군이라 하며 *G/H*로 쓴다. 대수적 수체가 몫군의 대표적인 예시이며, 정수론에서 주요하게 쓰인다.

### 기타 군의 종류
* 아벨 군
* 리 군
** 로런츠 군
* 공간군
* 갈루아 군

## 같이 보기
* 군 (수학)
* 환론
* 체론
* 벡터 공간

## 각주

## 외부 링크
*
파동 방정식

섬네일|양 끝이 고정된 줄을 따라 전달되는 파동
섬네일|한 점으로 이루어진 파동원에서 퍼져나오는 파동

물리학과 수학에서 **파동 방정식**(波動方程式, )은 일반적인 파동을 다루는 2차 편미분 방정식이다. 음파와 전자기파, 수면파 등을 다루기 위하여 음향학, 전자기학, 유체역학 등 물리학의 여러 분야에 등장한다. 양자역학에서 위치 에너지가 없는 경우 파동 함수는 파동 방정식을 따른다.

## 개요
파동 방정식은 u(\mathbf x,t)에 대한 선형 쌍곡 편미분 방정식으로, 다음과 같다.
:{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2u 
여기서 c는 파동의 속도를 나타내는 매개변수다. 공기중을 진행하는 음파의 경우에는 대략 300 m/s이고, 이 속도를 음속(音速)이라 부른다. 현의 진동의 경우 c는 다양한 값을 가질 수 있다.
u(\mathbf x,t)는 시각 t, 위치 \mathbf x에서의 파동의 진폭을 나타내는 함수다. 음파의 경우 진폭은 그곳에서의 공기의 압력이며, 진동하는 현의 경우엔 기준 위치에서부터의 변위를 나타낸다. 파동의 종류에 따라 u는 스칼라 또는 벡터일 수 있다. \nabla^2는 위치 x에 대한 라플라스 연산자이다.

기본적인 파동 방정식은 선형 미분 방정식이다. 따라서 서로 다른 두 파동의 결합은 단순히 두 파의 더한 것과 같다. 또한 파동을 분석하기 위해 파를 성분별로 나누어도 된다. 푸리에 변환을 이용해 파동은 사인함수들로 쪼개어질 수 있고, 이 방법은 파동방정식을 분석하는 데 유용하다.

x축 방향으로 늘어선 1차원 (현)의 경우, 위 식은 다음과 같다.
:{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 { \partial^2 u \over \partial x^2 } 

2차원에선 다음과 같다.
:{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \left ({ \partial^2 u \over \partial x^2 } + { \partial^2 u \over \partial y^2 } \right ) 

식의 상수를 주파수에 따른 변수로 생각해 더 복잡하고 실제적인 파동방정식을 만들 수 있다. 이때의 방정식은 비선형이 된다.

## 역사
현악기의 떨리는 현의 파동의 문제를 연구하기 위해 장 르 롱 달랑베르, 레온하르트 오일러, 다니엘 베르누이, 조제프루이 라그랑주 등이 연구하였다.

## 같이 보기
* 헬름홀츠 방정식
* 라플라스 연산자
* 맥스웰 방정식
* 슈뢰딩거 방정식
* 정상파

분류:편미분 방정식
분류:파동
분류:물리학 개념
비오-사바르 법칙

**비오-사바르 법칙**(Biot-Savart法則, )은 전자기학에서 주어진 전류가 생성하는 자기장이 전류에 수직이고 전류에서의 거리의 역제곱에 비례한다는 물리 법칙이다. 또한 자기장이 전류의 세기, 방향, 길이에 연관이 있음을 알려준다. 비오-사바르 법칙은 전자기학에서 유효하며 앙페르 회로 법칙과 가우스 자기 법칙과 일맥상통한다. 이 법칙의 이름은 이 법칙을 발견한 장바티스트 비오와 펠릭스 사바르()의 이름을 땄다.

## 정의
원점 \mathbf r=\mathbf{0}에 전류 I가 무한소의 길이의 전선 d\mathbf l을 따라 흐른다고 하자. 그렇다면 이 무한소의 전선에 흐르는 전류에 의하여 발생하는 무한소의 자기장 d\mathbf B(\mathbf r)은 다음과 같다.
:d\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\mathrm\pi}\frac{I\,d\mathbf l\times\hat{\mathbf r}}{r^2}.
여기서 \hat{\mathbf r}=\mathbf r/r은 \mathbf r의 방향의 단위벡터이고, \mu_0은 진공의 투자율이다.

유한한 길이의 전선을 따라 흐르는 전류의 경우, 양변을 적분하면 전류로 인하여 발생하는 총 자기장을 알 수 있다.

## 활용
직선 전류에 의한 자기장과 솔레노이드 내부의 자기장은 앙페르 법칙을 이용해 구할 수 있고, 비오-사바르 법칙은 원형 전류 중심에서의 자기장의 세기를 구하는 데 이용된다.

원형 도선 중심에서의 자기장
453x453픽셀

원형 도선이 있을 때, 전류 요소 Idl은 지면 앞으로 나오는 방향이고, r에 수직이다. 또 dB의 방향도 r에 수직인 방향이 된다.

r2=x2+R2이므로 비오-사바르 법칙에서 다음과 같다.

파일:비오사바르 1번.PNG
원형 전류의 각 전류 요소 Idl에 의한 자기장 dB를 그 회로에 따라 모두 합하면 회로축에 수직인 dB의 y성분은 상쇄되므로 dB의 x성분만 계산하면 된다.
dB_x=dB\sin{\theta}=dB\frac{R}{r}=dB\frac{R}{\sqrt{x^2+R^2} }=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{RIdl}{(x^2+R^2)^{\frac{3}{2} } }

파일:비오사바르 3번.PNG이므로 x=0일 때 B_x=\frac{\mu_0I}{2R} 가 된다.

## 같이 보기
* 쿨롱 법칙
* 앙페르 회로 법칙
* 자기
* 소용돌이도

## 외부 링크
* 
* Science World - Biot-Savart Law
* 

분류:공기역학
분류:전자기학
분류:사람 이름을 딴 낱말
플랑크 상수

섬네일
**플랑크 상수**(Planck常數, , 기호 *h*)는 입자의 에너지와 드브로이 진동수의 비 (h=E/f)이다. 양자역학의 기본 상수 중 하나다. 이 상수를 도입한 물리학자 막스 플랑크의 이름을 땄다. 기호는 라틴 문자 "h"이다. 유니코드 기호 ()가 있다.

2018년 11월 16일 제26차 국제도량형총회(CGPM)에서 아래의 값으로 정의되었다.

:h=6.626\,070\,15 \times 10^{-34} \ \mathrm{J \cdot s}

새로운 정의는 2019년 5월 20일 세계 측정의 날부터 발효되었다.

양자역학에서는 h 대신에 다음과 같이 정의되는 \hbar가 더 자주 쓰이기도 한다.

:\hbar = \frac{h}{2\pi}= 1.054\ 571\ 800(13)\times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}

식에서 \pi는 원주율을 나타낸다. 이 기호는 영어에서는 '( 에이치 바)', 독일어에서는 *)(하 크베어)로 읽는다. 이 상수 <math>\hbar</math>는 [[폴 디랙]]의 이름을 따 *'디랙 상수**(Dirac's constant) 또는 **환산 플랑크 상수**라고도 한다. 유니코드 기호로는 에이치바()로 표기한다.

<math>\hbar</math>는 [[각운동량]]의 [[양자 (에너지)|양자]]이다. 계의 임의의 축에 대한 각운동량은 언제나 <math>\hbar/2</math>의 정수배의 값으로 양자화한다.

<math>\hbar</math>는 또 [[불확정성 원리]]를 기술하는 식에도 등장한다.

그래서 <math>\hbar</math>가 <math>h</math>보다 더 기본적이라고 주장한다.

그 밖에 <math>\hbar</math>는 [[플랑크 단위]]의 정의에 사용된다.

== 역사 ==
처음에 고전물리는 뉴턴의 역학 이론에서 시작되었지만 재능있는 수많은 학자들이 물리에 뛰어들어 그 영역을 전자기까지 확장을 시켜 모든 영역에서 승승장구하였었다. 막스 플랑크가 물리를 하던 19세기 후반, 물리는 더 이상 발전이 없을 것이며 소소한 몇몇 문제만 해결되면 완벽한 학문이 될 것이라는 의견이 매우 팽배하였다. 하지만 고전물리는 [[흑체]] 복사와 관련된 부분에서 문제에 부딪히게 되었다. 그것은 고전물리가 예측하는 결과와 흑체 복사의 실험 결과가 일치하지 않는 문제가 발생한 것이다. 긴 파장에서는 잘 일치하지만 짧은 파장에서는 일치하지 않는 문제가 생긴 것이다. 이에 대한 [[사고 실험]]은 다음과 같다.

아주 잘 밀폐된(외부와 에너지 교류가 없는) 한 용기 안에 흑체와 한 줄기 빛을 집어넣고 용기를 다시 밀폐한다고 하자. 이 경우 흑체는 빛을 흡수하여 파장의 형태로 다시 방출을 하게 되는데 고전물리의 등분배법칙에 의하면 흑체가 방출하는 에너지는 모든 파장에 골고루 나뉘어야 한다. 이 말은 아주 작은 빛을 넣게 되더라도 상자를 열게 되면 [[엑스선]]이나 [[감마선]]이 나오게 되는 현실에서는 불가능한 모순이 생기게 된다.

이러한 문제를 해결하기 위해 몇몇의 물리학자들이 매달리게 되었다. [[막스 플랑크]]는 이러한 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 혁명적인 착상을 하였다. 그것은 '에너지는 주파수에 비례한다'라는 가정이었다. 즉 에너지가 양자화되어 있다는 것이었다. 이 가정에서 에너지와 주파수를 연결해주는 비례상수가 <math>\hbar</math> 인 것이다. 물론 플랑크는 가정을 통해서 흑체 복사에 관한 문제를 정리하였고 그 식은 실험과 잘 일치하는 결과를 가지고 왔다. 하지만 플랑크는 저 식에 대해서 큰 의미를 두기보다는 실험결과와 일치시키기 위해 어쩔 수 없이 도입시킨 것이라는 입장을 취하였다.

== 상수 개정 ==
역사적으로, [[CODATA]] 플랑크 상수 권장값은 지수부를 제외하고 다음과 같다. CODATA 권장값은 새로운 측정 결과를 반영하여 몇 년마다 개정된다.
* 2002년에 6.626 069 3(11)로 발표되었다.
* 2006년에 6.626 068 96(33)로 정정되었다.
* 2010년에 6.626 069 57(29)로 정정되었다.
* 2014년에 6.626 070 040(81)로 정정되었다.
* 2018년에 6.626 070 15로 **정의'''되었다.

## 같이 보기
* 슈뢰딩거 방정식
* 불확정성 원리
* 플랑크 단위

## 각주

분류:양자역학
분류:물리 상수
분류:막스 플랑크
분류:플랑크 단위계
분류:1900년 과학
무리수

[섬네일|220px|[제곱근 2는 무리수이다.]]
**무리수**(無理數, irrational number)는 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말한다. 즉 분수로 나타낼 수 없는 소수이다.

이에 반해 두 정수의 비에 의해 나타낼 수 있는 수를 유리수(분수)라 한다. 이것도 소수이다.

유리수의 집합은 \mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}로 정의하고,
무리수의 집합은 \mathbb{I} = \mathbb{R} - \mathbb{Q}로 정의한다.

무리수는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다.

무리수는 다시 \sqrt{2}와 같은 대수적 수와 \pi 등의 초월수로 나뉜다.

## 역사와 어원

무리수가 존재한다는 것을 처음 증명한 것은 고대 그리스 피타고라스 학파로 전해진다. 히파소스는 이등변 직각삼각형의 밑변과 빗변의 비는 정수의 비율로 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 이는 우주가 완벽하여 모든 것이 정수의 비로 표현될 수 있다고 믿었던 피타고라스 학파에 충격을 주었다. 전설에 따르면 피타고라스 학파의 동료들이 ‘우주의 섭리에 거스르는 요소를 만들어낸’ 히파소스를 살해했다고 하며, 죽이진 않고 추방했다는 이야기도 있다.

에우클레이데스의 원론 10권을 포함한 고대 그리스 수학책에서는 유리수를 비로 나타낼 수 있는 길이를 ‘말할 수 있는()’ 길이, 그렇지 못한 것을 ‘말할 수 없는()’ 길이라고 불렀다. 알로고스는 글자 그대로 로고스가 없다는 뜻의 단어로, 말 없음·이성 없음 등을 뜻한다. 이것이 라틴어 로 번역되어 지금에 이른다.

## 몇 가지 무리수의 증명
### 특수한 로그 꼴의 수
가장 간단히 무리수임이 증명되는 수는 \log_2 3과 같은 꼴의 수일 것이다. 증명은 귀류법을 사용하며, 다음과 같다:
* \log_2 3을 유리수라 하자. 그러면 어떤 자연수 m, n에 대해, \log_2 3 = \frac m n을 만족한다.
* 따라서 2^{\frac m n} = 3이 되고.
* 변형하면 2^m = 3^n이다.
* 그런데 2^m은 짝수이고, 3^n은 홀수이므로 위 등식은 성립할 수 없다.
* 따라서 가정이 틀렸다. 즉 \log_2 3은 무리수이다.

### 2의 제곱근

무리수를 최초로 발견한 것은 일반적으로, 2의 제곱근이 유리수가 아님을 발견한 피타고라스와 그 제자들로 알려져 있다.

이에 대한 증명의 한 가지 방법은 다음처럼 귀류법을 사용하는 것이다.
# \sqrt{2}가 유리수라 하자.
# 그러면, \sqrt{2}는 기약분수 \frac a b로 쓸 수 있다. 다시 말해, 서로소인 정수 a, b에 대해, \left(\frac a b \right)^2 = 2.
# 위 식을 풀면
#: \frac {a^2} {b^2} = 2
#: a^2 = 2 b^2이다.
# 따라서, a^2은 짝수이다.
# 짝수가 아닌 수, 즉 홀수의 제곱은 홀수이므로, a는 짝수여야 한다.
# 따라서, a^2는 4의 배수이다.(이것은 a가 k값에 상관없이 항상 (2k)^2=4k^2가 되기 때문이다.)
# 즉, \frac {a^2} 2는 짝수이다.
# (3)에서, \frac {a^2} 2 = b^2이다.
# (7)과 (8)로부터, b^2가 짝수임을 알 수 있다.
# (4), (5)과 같은 방법으로, b는 짝수이다.
# (5)와 (10)에 의해, a와 b는 모두 짝수. 이는 \frac a b가 기약분수라는 (2)의 가정에 위배된다. 모순에 의해 (1)의 \sqrt{2}가 유리수라는 가정이 틀렸다는 걸 알 수 있다.

이 방법을 일반화하여, 제곱수가 아닌 자연수의 제곱근은 무리수임을 증명할 수 있다.

### [[원주율]]

1761년 요한 람베르트는 탄젠트 함수를 다음과 같은 연분수로 나타낼 수 있음을 증명했다.
:\tan(x) = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - {}\ddots}}}}.

또한 x가 0이 아닌 유리수일 때, 위 연분수는 무리수가 된다는 것도 증명했다. 그런데 tan(&pi;/4)&nbsp;=&nbsp;1 이므로, &pi;/4는 무리수가 된다. 따라서 &pi;는 무리수라는 것이 증명된다.
다른 수학자들의 증명은 이 문서에 나와 있다.

### 무리수+유리수
# \sqrt {2}+3을 유리수라 가정하자.
# 위의 식이 유리수라면 \sqrt{2}+3=c를 만족하는 유리수 c가 있을 것이다.
# 두 번째 식에서 3을 이항시키면 \sqrt {2}=c-3이 된다.
# 그런데 유리수는 뺄셈에 대하여 닫혀 있으므로 유리수 c에서 3을 뺀 값은 유리수이다.
# 위의 소제목에서 \sqrt{2}가 유리수가 아니라는 것이 증명되었다. 이는 \sqrt {2}+3이 유리수라는 가정과 위배된다.
# 모순에 의해 \sqrt {2}+3이 유리수가 아니라는 것이 증명되었다.
# 따라서, 무리수와 유리수의 합은 무리수이다.

## 같이 보기
* 소수점 표기
* 분수 (수학)
* 유리수
* 실수

## 각주


분류:실수 집합
미세 구조 상수

**미세 구조 상수**(微細構造常數, , 기호 *α*) 또는 **조머펠트 미세 구조 상수**(Sommerfeld -)는 전자기력의 세기를 나타내는 물리상수다. 원자물리학과 입자물리학에서 자주 나타난다. 1916년 아르놀트 조머펠트가 발견하였다. 원래 조머펠트가 원자 방출 스펙트럼의 미세 구조를 연구할 때 발견하였으므로 이런 이름이 붙었다.

2020년 4월에, 130억 광년 떨어진 곳에서 미세구조상수가 다른 곳이 관측되었다는 논문이 발표되었다. 이는 전자기법칙이 전 우주에서 같지는 않을 수 있다는 점을 시사한다.

## 정의
미세 구조 상수 \alpha는 국제단위계에서는 다음과 같이 정의한다.
: \alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c}
여기서 e는 기본 전하, \pi는 원주율, \hbar=h/{2\pi}는 디랙 상수, c는 빛의 속도, \epsilon_0은 진공의 유전율이다. 이 값은 두 전자가 \hbar / m_e c(전자의 컴프턴 파장)의 거리를 두고 떨어져 있을 때, 그 전기적 위치 에너지와 전자의 정지 에너지 m_e c^2의 비로 해석할 수 있다.

## 유도
CGS 단위계에서는 4\pi\epsilon_0 인자가 전하량에 포함되므로 식이 다음과 같이 바뀐다.
: \alpha = \frac{e^2}{\hbar c}

\alpha는 차원이 없는 상수이기 때문에, 그 값은 단위계에 상관없이 같다. 여기에 들어가는 기본 상수값을 대입해보면
: \alpha =0.00729231
: \frac {1}{\alpha}=137.131
이 나온다. 이 값은 실제 측정값과는 차이가 있다. 여기에 양자 전기역학에서 예견하는 전자들의 상호작용을 통한 보정을 고려할 수 있다. 이는 전자의 자기 모멘트와 미세 구조 상수와의 관계를 통해 구해진 것으로, 다음과 같다.
: \alpha =0.0072973525698(24)
: \frac {1}{\alpha}=137.035999074(44)

## 같이 보기
* 무차원 물리 상수
## 각주

## 외부 링크
*  CODATA 미세 구조 상수 권장값
*  Eric Weisstein's World of Physics — Fine Structure Constant

분류:물리 상수
분류:물리학 개념
포인팅 벡터

섬네일
**포인팅 벡터**()는 전자기장이 가진 에너지와 운동량을 나타내는 벡터로, 전기장과 자기장의 벡터곱이다.

## 역사
영국의 존 헨리 포인팅()이 1883년에 유도하였다.

## 정의
포인팅 벡터 **S**는 국제단위계에서 다음과 같다.
:\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}
CGS 단위계에서는 1/\mu_0 대신 c/4\pi를 쓴다.

## 성질
포인팅 벡터의 크기는 전자기장의 에너지 선속 밀도(, 단위 시간 및 단위 면적 당 에너지)의 크기와 같다. 포인팅 벡터의 방향은 에너지가 전달되는 방향과 같으며 항상 전기장 및 자기장과 수직이다.

### 전자기장의 운동량과 각운동량
포인팅 벡터는 전자기장의 에너지뿐만 아니라 운동량 \mathbf p와 각운동량 \mathbf L과도 다음과 같이 연관되어 있다.
:\mathbf p = \mu_0 \epsilon_0 \int_V \mathbf{S}d\tau
:\mathbf L = \mathbf{r} \times \mathbf p = \mu_0 \epsilon_0 \int_V (\mathbf{r} \times \mathbf{S})d\tau

## 포인팅 정리
**포인팅 정리**()는 전자기장을 포함한 계에서의 에너지 보존 법칙이다. 즉, 전자기장이 한 일의 양은 전자기장이 잃게 되는 에너지의 양과 같다는 정리다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
:\frac{dW}{dt} = - \frac{d}{dt}\int_V \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0}B^2) d\tau - \frac{1}{\mu_0}\oint_S (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{a}
우변의 첫 번째 적분은 부피 안에 저장된 전자기장의 에너지이며, 두 번째 적분은 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지다. 즉, 포인팅 정리에 따르면, 전자기력에 의하여 전하가 받은 일의 양은 전자기장에 저장된 에너지의 양의 감소량과 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지량과 같다.

:\frac{dW}{dt} = \frac{d}{dt}\int_V u_{mech} d\tau
:u_{em} = \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0}B^2)

역학적 에너지 밀도, 전자기장의 에너지 밀도 식을 이용하여 포인팅 정리 식과 발산정리를 이용하면 포인팅 정리의 미분형을 얻을 수 있다.
:\frac{\partial}{\partial t}(u_{mech} + u_{em}) = - \nabla \cdot \mathbf{S}

## 같이 보기
* 파수 벡터

## 각주

분류:전자기학
분류:벡터
분류:광학
좌표계

[섬네일|300px|right|[구면좌표계는 물리학에서 흔히 사용된다.]]
**좌표계**(座標系, coordinate system) 혹은 **자리표계**는 유클리드 공간과 같은 다양체의 점이나 기타 기하학적 요소를 고유하게 결정하기 위해 하나 이상의 숫자인 **좌표**를 사용하는 체계이다. 스칼라 튜플을 이용해 n차원 공간의 각 지점을 표현하는 방법을 말한다. 여기서 **스칼라**는 보통 실수, 경우에 따라서는 복소수나 다른 일반적인 환(ring)의 원소를 말하기도 한다. 복잡한 우주에서 스칼라는 우주 전체에 대해 효과적인 좌표계를 산출하지 못하기도 한다. 좌표를 나타내는 방법 중 하나인 데카르트 좌표계는 프랑스의 철학자이자 수학자인 르네 데카르트가 발명했다. 그는 천장에 붙어 있는 파리의 위치를 나타내는 방법에 대해 고민하다가 데카르트 좌표계를 발명해 냈다고 한다.

## 대표적인 좌표계
* 수직선
* 데카르트 좌표계
* 복소평면
* 극좌표
** 원통 좌표계
** 구면 좌표계
*** 지리 좌표계
* 천구 좌표계
** 지평 좌표계
** 은하 좌표계
** 적도 좌표계
** 황도 좌표계
* 관성 좌표계

## 기하학적 객체의 좌표
좌표계는 점의 위치를 지정하는 데 자주 사용되지만 선, 평면, 원 또는 구와 같은 더 복잡한 도형의 위치를 지정하는 데에도 사용될 수 있다. 예를 들어, 플러커 좌표는 공간에서 선의 위치를 결정하는 데 사용된다. 필요한 경우 설명되는 그림의 유형은 좌표계의 유형을 구별하는 데 사용된다. 예를 들어 선 좌표라는 용어는 선의 위치를 지정하는 모든 좌표계에 사용된다.

두 개의 서로 다른 기하학적 도형 세트에 대한 좌표계가 분석 측면에서 동일할 수 있다. 이에 대한 예는 투영 평면의 점과 선에 대한 동차 좌표계이다. 이와 같은 경우의 두 시스템은 이원적이라고 한다. 이원론적 시스템은 한 시스템의 결과가 다른 시스템으로 전달될 수 있는 특성을 가지고 있다. 왜냐하면 이러한 결과는 동일한 분석 결과에 대한 서로 다른 해석일 뿐이기 때문이다. 이것이 쌍대성의 원리로 알려져 있다.

## 같이 보기
* 갈릴레이 변환
* 기준틀
* 갈릴레이 군

## 참고 문헌
* 

## 각주

## 외부 링크
* 
*  Hexagonal Coordinate Systems


분류:해석기하학
양자역학의 수학 공식화

**양자역학의 수학적 공식화**()는 양자역학에 등장하는 개념들과 공식을 수학적으로 엄밀하게 서술하는 것이다. C* 대수 이론, 스튀름-리우빌 이론 등이 쓰일 수 있지만, 보통은 힐베르트 공간중 하나인 L2 공간에 작용하는 선형 연산자를 통해 기술한다. 이는 존 폰 노이만이 1930년대에 완성한 것으로, 20세기 이전에 개발된 물리학의 수학적 모형들과는 큰 차이를 보인다.

여기에 나타나는 구조들 중 상당수는 함수해석학에서 나온 것이다. 에너지와 운동량 등의 물리적 관측량은 더 이상 위상 공간(phase space)상의 함수의 값이 아닌 선형 연산자의 고윳값으로 다루어진다.

## 전개
편의상 브라-켓 표기법과 슈뢰딩거 묘사를 쓰자. 양자역학의 공준은 다음과 같다.

# 계의 상태는 분해가능 복소 힐베르트 공간 \mathcal H의 1차원 부분공간 V\subset\mathcal H으로 나타낸다. 이 부분공간은 힐베르트 공간의 단위벡터 |\psi\rangle\in V(정확하게 말하면, 단위벡터의 위상을 무시한 동치류)로 나타낼 수 있는데, 이를 계의 **상태 벡터**()라고 한다. 좀 더 일반적으로, 일련의 계의 앙상블은 양준정치이고, 대각합류 작용소이며, 대각합이 1인 에르미트 연산자 \rho로 나타낸다. 이 연산자를 밀도 연산자라고 부른다.
# 관측가능량은 그 힐베르트 공간의 자기수반() 선형 연산자 A\colon\operatorname{dom}(A)\to\operatorname{dom}(A)로 나타낸다. 여기서 \operatorname{dom}(A) (A의 정의역)는 힐베르트 공간 \mathcal H의 조밀 선형 부분공간이다.
# 계 |\psi\rangle와 관측가능량 A가 주어지면, 그 기댓값은 \langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle이다. 대신 밀도 연산자 \rho로는 \langle A\rangle=\operatorname{Tr}(\rho A)이다.
# 계의 시간 변화를 나타내는 특별한 관측가능량 H가 있다. 이를 해밀토니언이라고 부른다. 상태 벡터의 시간 변화는 다음과 같다.
:i\hbar \frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = H(t)|\psi(t)\rangle
여기서 \hbar는 플랑크 상수다. 이를 슈뢰딩거 방정식이라고 부른다. 대신 밀도 연산자 \rho를 쓰면, 그 시간 변화는 다음과 같다.
:i\hbar \frac{d}{dt}\rho(t)=[H(t),\rho(t)]

이 수학적 틀에서 베르너 하이젠베르크의 불확정성 원리는 비가환 연산자에 대한 정리가 된다.

## 각주

## 참고 문헌
* 

분류:양자역학
분류:수리물리학
분류:물리학사
힐베르트 공간

함수해석학에서 **힐베르트 공간**(Hilbert空間, )은 완비 내적 공간이다. 유클리드 공간을 일반화한 개념이다.

## 정의
K가 \mathbb R 또는 \mathbb C라고 하자. K-**힐베르트 공간** (\mathcal H,\langle\cdot,\cdot\rangle)은 완비 거리 공간을 이루는 K-내적 공간이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 위상 공간 및 거리 공간 및 벡터 공간 및 노름 공간의 구조를 갖는다.

이와 동치로, K-힐베르트 공간을 다음과 같은 **평행사변형 항등식**(平行四邊形恒等式, )을 만족시키는 K-바나흐 공간 (\mathcal H,\|\cdot\|)으로 정의할 수 있다.
:\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2(\|u\|^2+\|v\|^2)\qquad\forall u,v\in\mathcal H
이 경우, 내적 구조는
:\langle u,v\rangle=\begin{cases}
\frac14\left(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2\right)&K=\mathbb R\\
\frac14\left(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2+i\|u+iv\|^2-i\|u-iv\|^2\right)&K=\mathbb C\\
\end{cases}
가 된다.

## 분류
힐베르트 공간 \mathcal H의 **[[정규 직교 기저]]** B\subset\mathcal H는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다.
* 모든 e,e'\in B에 대하여,
* 다음 집합은 \mathcal H 속의 조밀 집합이다.
초른 보조정리에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 \mathcal H의 모든 정규 직교 기저의 크기는 항상 같은 기수임을 보일 수 있으며, 이 기수를 힐베르트 공간의 **차원** \dim\mathcal H이라고 한다.

일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 벡터 공간의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 \operatorname{Span}B=\mathcal H를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 \operatorname{Span}B가 오직 조밀 집합임이 족하기 때문이다.

두 K-힐베르트 공간 \mathcal H, \mathcal H' 사이에 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \dim\mathcal H=\dim\mathcal H'
* \mathcal H와 \mathcal H' 사이에 유니터리 변환 U\colon\mathcal H\to\mathcal H'이 존재한다. 즉, 두 힐베르트 공간은 서로 동형이다.
따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, K-힐베르트 공간 \mathcal H에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \mathcal H는 분해 가능 공간이다.
* \dim\mathcal H\le\aleph_0이다.
즉, 분해 가능 힐베르트 공간의 차원은 음이 아닌 정수이거나 아니면 가산 무한 \aleph_0이다.

## 성질
리스 표현 정리에 따라서, 힐베르트 공간 \mathcal H는 스스로의 연속 쌍대 공간 \mathcal H^*와 동형이며, 만약 K=\mathbb R일 경우 이는 표준적() 동형이다.

## 예
K가 \mathbb R 또는 \mathbb C라고 하고, (X,\mathcal F,\mu)가 측도 공간이라고 하자. 그렇다면 그렇다면 L<sup>2</sup> 공간 L^2(X,K)는 K-힐베르트 공간을 이룬다.

만약 X가 셈측도가 부여된 집합이라면
:\dim L^2(X,K)=|X|
이며, 함수
:f_x\colon X\to K\qquad(x\in X)
:f_x(y)=\begin{cases}1&x=y\\0&x\ne y\end{cases}
는 L^2(X,K)의 정규 직교 기저를 이룬다.

만약 \mathcal F가 분해가능 시그마 대수(d(A,B)=\mu(A\setminus B\cup B\setminus A)로 정의한 거리 공간이 분해 가능 공간인 경우)이며, 또한 X가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, L^2(X,K)는 분해 가능 공간이다.

## 응용
힐베르트 공간은 해석학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 편미분 방정식 이론에서 널리 쓰인다. 힐베르트 공간 중 하나인 소볼레프 공간이 편미분 방정식을 다룰 때 주로 등장한다.

푸리에 해석이 힐베르트 공간에서 이뤄진다.

양자역학에서, 양자계의 상태 공간은 분해 가능 사영 힐베르트 공간으로 나타내어진다.

## 역사
1907년에 리스 프리제시와 에른스트 지그스문트 피셔가 독립적으로 힐베르트 공간 중 하나인 가 완비 거리 공간임을 증명하였다. 1907년에 힐베르트 공간론에서 핵심적 정리 중 하나인 리스 표현 정리가 증명되었다.
1908년에 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트가 발표한 적분방정식에 대한 논문에서 제곱 적분 가능한 두 함수의 내적 (f,g):=\int_a^b f(x)g(x)dx이 등장한다. 이 공간은 힐베르트 공간인 L^2공간이 된다.
다비트 힐베르트가 1912년에 힐베르트 공간 \ell^2(\mathbb N)을 정의하였다. 이는 유클리드 공간이 아닌 최초의 힐베르트 공간으로 여겨진다. 이후 1929년에 존 폰 노이만 이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.

## 각주

## 참고 문헌
* 
* 
* 
* 

## 외부 링크
* 
* 
* 
* 


분류:선형대수학
분류:함수해석학
분류:양자역학
분류:연산자 이론
분류:다비트 힐베르트
가속도

{dt} = \frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2}
| dimension = wikidata
}}

**가속도**(加速度, )는 시간의 경과에 따른 '속도의 변화율'을 나타내는 물리량이다. 일반적으로 물체는 속력이나 운동방향이 바뀌면서 속도가 변하는데, 이와 같이 속도가 시간에 따라 변할 때는 가속도가 있다고 한다. 속도와 마찬가지로, 가속도는 크기와 방향을 갖는 벡터량으로 나타낸다. SI 단위로는 m/s2를 사용하며, 주로 **a**라는 문자를 사용하여 가속도를 표기한다

고전 물리학에서, 일정한 질량을 가지고 있는 물체는 뉴턴의 운동법칙에 의해 다음 식을 만족하게 된다.
:\mathbf{F} = m\mathbf{a}~\rm [ N ] \it\quad \to \quad \mathbf{a} = \mathbf{F}/m~\rm [ N/kg ] \it 
여기서 **F**는 물체에 주어지는 힘을, **m**은 물체의 질량을, **a**는 물체의 가속도를 나타낸다.

## 정의
속도와 마찬가지로 가속도는 시간간격 \Delta t = t_2 -t_1동안 속도가 변한 정도 \Delta \mathbf{v} = \mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1 의 비로 정의할 수 있다. 이렇게 정의한 가속도를 **평균가속도** \mathbf{a}_{\textrm{av}}라 한다.
:\mathbf{a}_{\textrm{av}} = \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} 
어떠한 순간의 가속도는 이 시간간격을 0으로 보내는 극한으로 생각할 수 있다. 이렇게 정의하는 가속도를 **순간가속도** \mathbf{a}라 한다. 이렇게 정의한 가속도는 어느 순간의 속도를 시간으로 미분한 것으로도 정의된다.
:\mathbf{a} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} =  \frac{d \mathbf{v}}{d t}

## 가속운동
### 등속운동
**등속운동**은 속도 혹은 속력이 일정한 운동을 말한다. 등속운동에서 변위(거리)는 시간에 비례한다. 이에 반하여 속도 혹은 속력이 시간에 따라 일정하게 증가하는 **[[등가속운동]]**에서는 변위(거리)는 시간의 제곱에 비례한다.

### 가속운동
**가속운동**은 어떤 물체의 속도 혹은 속력이 증가하는 운동을 의미한다. 이때 속도 혹은 속력이 일정하게 증가하는 운동을 등가속도운동 또는 등가속운동이라 한다.

### 등가속운동
**등가속운동** 또는 **등가속도운동**은 시간에 따른 속도의 변화 즉 가속도가 일정한 운동을 말한다. 등속운동에서 변위(거리)는 시간에 비례하지만 등가속운동에서 변위(거리)는 시간의 제곱에 비례한다.

뉴턴역학에서 힘은 질량과 가속도의 곱이므로, 힘과 질량이 일정하다면 물체는 가속도가 일정한 등가속운동을 한다. 지구 표면에서 물체는 일정한 가속도로 운동하며 이를 지구의 중력가속도라고 한다.

### 감속 운동
**감속운동**은 어떤 물체의 속도 혹은 속력이 감소하는 운동을 말한다. 속도 혹은 속력이 일정하게 증가하는 운동을 **[[등가속도운동]]** 혹은 **[[등가속운동]]**이라고 하는데, 속도 혹은 속력이 일정하게 감속하는 운동을 의미하는 용어로 **등감속운동**의 용어는 사용하지는 않고 음(&minus;)의 **등가속운동**으로 취급하는 것이 일반적이다.

## 같이 보기
* 변위
* 미분
* 가가속도
* 가가가속도
* 각가속도
* 중력 가속도

## 외부 링크
*
도모나가 신이치로

**도모나가 신이치로**(, 1906년 3월 31일 ~ 1979년 7월 8일)는 일본의 물리학자이다. 양자전기역학의 발전에 큰 영향을 끼쳤으며 그 공로로 1965년 리처드 파인먼과 줄리언 슈윙거와 노벨 물리학상을 수상했다.

## 생애
1906년 그는 도쿄도에서 도모나가 산주로(朝永三十郎)의 아들로 태어났다. 어릴 때는 병약하였으며 1913년 부친이 교토제국대학 교수로 취임하면서 교토로 이사갔다. 1937부터 1939년까지 독일 라이프치히에서 베르너 하이젠베르크 아래에서 연구 활동을 하였다. 제2차 세계 대전 이후 프린스턴 고등연구소 등에서 연구하였다. 니시나 요시오의 제자이다.

유카와 히데키와는 제삼고등학교, 교토제국대학 동창으로, 평생의 동료이자 라이벌로 지냈다. 권위적인 유카와 히데키와 달리 도모나가는 소탈한 성품이었으며, 유카와는 직관을 중시함에 비해 도모나가는 논리적인 전개를 선호했다. 학창 시절에는 도모나가 신이치로가 성적이 더 좋았으나, 정작 노벨 물리학상을 유카와 히데키가 먼저 받게 되자 그는 큰 충격을 받았다고 한다.

## 저서
* 
* 
* 
* 
*  한국어판: 

## 참조


## 외부 링크

* 노벨상 전기
* 양자역학적 세계상
* 

분류:1906년 출생
분류:1979년 사망
분류:일본의 물리학자
분류:이론물리학자
분류:노벨 물리학상 수상자
분류:일본의 노벨상 수상자
분류:교토 대학 동문
분류:도쿄도 출신
분류:교토부 출신
분류:이화학연구소 사람
분류:훈1등 욱일대수장 수훈자
분류:도쿄 교육대학 교수
분류:교토시 출신
분류:도쿄도 구부 출신
분류:일본 학사원상 수상자
운동량

섬네일
**운동량** (運動量, )은 물리학 특히, 뉴턴 역학에서 물체의 질량과 속도의 곱으로 나타내는 물리량이다. 운동량의 국제 단위는 뉴턴 초 (N · s) 또는 킬로그램 미터 매 초 (kg · m/s)이고, 통상적인 기호는 라틴 소문자 *[[p]]*이다. **선형 운동량**() 혹은 **병진 운동량**()이라고도 부른다.

예를 들어 빠르게 움직이는 무거운 트럭 같은 물체는 운동량이 크다. 무거운 트럭을 빠른 속도까지 가속시키기 위해서는 큰 힘을 한참 동안 가해야 하고, 반대로 그 트럭을 정지시키기 위해서도 큰 힘을 오랫동안 가해야 한다. 트럭이 더 가볍다거나 더 느리게 움직인다면 그만큼 운동량도 작아질 것이다. 또한 트럭을 정지시키는 값이 일정할때, 시간을 많이줘서 힘의 크기를 작게주거나 힘의 크기를 크게해서 시간을 짧게주거나 한다.

선형 운동량은 보존되는 양으로, 외부에서 가해지는 힘에 의한 영향이 없는 닫힌계의 선형 운동량의 총합은 바뀌지 않는다. 고전역학에서는 선형 운동량 보존법칙이 뉴턴의 운동 법칙에 포함되어 있다. 하지만 특수 상대성 이론에서도 공식을 약간 수정한 형태로 선형 운동량 보존 법칙을 충족시킬 수 있으며, (일반화된) 선형 운동량 보존 법칙은 적절한 정의를 이용하면 전자기학, 양자역학, 양자장론, 일반 상대성 이론에도 적용할 수 있는 보존 법칙이다.

## 고전역학에서의 운동량
고전역학에서, 운동량은 질량과 속도의 곱으로, 크기와 방향을 모두 갖는 벡터다. 즉, 운동량을 **p**, 질량을 *m*, 속도를 ***v***라고 하면, 운동량은 다음과 같다.
:\mathbf{p}= m \mathbf{v}

### 운동량 보존 법칙
만약 어떤 계에 외부에서 힘이 가해지지 않는다면, 뉴턴의 운동법칙에 따라 계의 총 운동량은 바뀌지 않는다.

두 물체가 충돌할 때도, 두 물체의 운동량의 합은 일정하다. 즉, 두 물체의 질량을 m_1, m_2, 충돌 전의 속도를 \mathbf v_{1,i}, \mathbf v_{2,i}, 충돌 후의 속도를 \mathbf v_{1,f}, \mathbf v_{2,f}라고 하면 다음의 식이 성립한다.
:m_1 \mathbf v_{1,i} + m_2 \mathbf v_{2,i} = m_1 \mathbf v_{1,f} + m_2 \mathbf v_{2,f} \,

이 때 e = \frac{\mathbf{v}_{1,f} - \mathbf{v}_{2,f}}{\mathbf{v}_{2,i} - \mathbf{v}_{1,i}}를 **반발 계수**라고 부르고, 0 이상 1 이하의 값을 가진다. 만약 e = 1인 경우의 충돌은 탄성 충돌이라고 부르고, 이 때에는 운동 에너지 보존 법칙, 즉
:\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1  v_{1,i}^2
      + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2,i}^2
      = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1  v_{1,f}^2
      + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2,f}^2 \,
이 성립한다.

1차원 공간의 탄성 충돌에서, 두 물체의 속도는 다음과 같다.
: v_{1,f} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} + \left( \frac{2 m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{2,i} \,

: v_{2,f} = \left( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} + \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right)  v_{2,i} \,

반면, e \mathbf{I} = \int \mathbf{F}\, dt 
이다. 만약 힘의 세기나 방향이 시간에 따라 바뀌지 않으면, 다음과 같이 쓸 수 있다.
:\mathbf{I} = \mathbf{F} \cdot \Delta t

힘의 정의를 이 식에 다시 사용하면, 다음 식을 유도할 수 있다.
:\mathbf{I} = \int \frac{d\mathbf{p}}{dt}\, dt 
:\mathbf{I} = \int d\mathbf{p} 
:\mathbf{I} = \Delta \mathbf{p} 

## 상대론적 운동량

특수 상대성 이론에서, 3차원의 운동량은 에너지와 함께 사차원 벡터를 이루는데, 이를 사차원 운동량이라고 부른다. 즉, 그 정의는 다음과 같다.
:p^\mu=(E/c,\mathbf p).
여기서 E는 계의 총 에너지이며, **p**는 계의 상대론적 (3차원) 운동량이다.
:E = γmc2.
상대론적 3차원 운동량은 정지 질량 m_0과 로런츠 인자 \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}, 속도 v의 곱이다. 즉,
:**p** = *γm*0**v** = *m*0**u** .
여기서 \mathbf u=\gamma\mathbf v는 신속도이다.

광자등과 같이 정지 질량이 0인 입자도 운동량을 가진다. 정지 질량이 0인 입자의 경우, 에너지 E와 운동량 \mathbf p는 서로 비례한다. 즉
:E/c=\lVert\mathbf p\rVert.

## 일반화
### 라그랑주 역학

### 해밀턴 역학

### 대칭과 보존

## 전자기
### 필드의 입자

### 보존
#### 진공

#### 매질

## 양자역학의 운동량
양자역학에서, 운동량은 파동함수에 대한 연산자이다. 불확정성 원리에 의하여, 입자의 운동량은 (입자의 위치에 대한 정보가 어느 정도 있는 한) 항상 어느 정도의 불확정성을 갖는다.

전하와 스핀이 없는 입자의 운동량 연산자는 다음과 같다.
:\mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla.
여기서,
* \nabla는 기울기 연산자이다.
* \hbar는 디랙 상수이다.
*  i = \sqrt{-1} 은 허수 단위이다

## 변형 가능한 몸체와 유체에서

## 개념의 역사

## 같이 보기
* 각운동량

## 외부 링크
*
* Conservation of momentum  – A chapter from an online textbook


분류:물리량
분류:물리학 개념
분류:역학
분류:운동 (물리학)
분류:보존 법칙
분류:모멘트 (물리학)
속도

**속도**(速度, )는 어떠한 물체의 위치 변화를 뜻하는 변위를 변화가 일어난 시간 간격을 나눈 값이다. 변위는 방향과 크기를 갖는 벡터이기 때문에 속도 역시 벡터이다. 단위 시간당 변위의 비로 나타낼 수 있다. 국제단위계에서는 미터 매 초(m/s, 초속 미터)를 사용하며, 일상에서는 킬로미터 매 시간(km/h, 시속 킬로미터)도 자주 쓰인다. 기호로는 주로 **v**를 사용한다.

## 정의
속도란 움직이는 물체의 위치가 변하는 정도를 나타내는 물리량이므로, 시간간격 \Delta t = t_2 -t_1동안 위치가 변한 정도 \Delta \mathbf{x} = \mathbf{x}_2 - \mathbf{x}_1 의 비로 정의할 수 있다. 이렇게 정의한 속도를 **평균속도**라고 한다. 평균속도 v_{\textrm{av}}는 다음과 같이 수식으로 표현할 수 있다.
:v_{\textrm{av}}=\frac{\Delta \mathbf{x}}{\Delta t} 

물리학에서 일반적으로 다루는 속도는 물체가 갖는 어떠한 순간의 속도, 즉 **순간속도**이다. 순간속도는 평균속도를 측정하는 시간간격을 매우 짧게 하여 0에 접근시킨 극한값이라고 생각할 수 있다. 순간속도를 v_\mathbf{x}라고 하면 다음과 같이 수식으로 나타낼 수 있다.
:v_\mathbf{x} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{x}}{\Delta t} =  \frac{d \mathbf{x}}{d t}

위와 같이 순간속도는 변위를 시간에 대하여 미분한 것으로 이해할 수 있다. 물리학에서 일반적으로 속도라고 할 때는 순간속도를 의미한다.

## 속도와 속력

속도가 방향과 크기를 갖는 벡터량인 반면, 속력은 크기만을 갖는 스칼라량이다. 속력은 물체가 움직인 경로의 전체 거리에 대하여 변화가 일어난 시간 간격으로 나눈 값이다. 예를 들어 자동차가 50초 동안 앞으로 30m 전진한 다음 80m를 후진하였다고 하자. 전진할 때의 위치 변화를 양으로 후진할 때의 위치 변화를 음으로 나타내면 변위는  30 m - 80 m = -50 m가 되지만, 움직인 경로의 전체 거리는 30 m + 80 m = 110 m가 된다. 따라서 이 자동차의 평균속도와 평균 속력은 다음과 같이 계산 할 수 있다.
:평균 속도 v_{\textrm{av}}=\frac{\Delta \mathbf{x}}{\Delta t} =\frac{-50 \mathrm m}{50 \mathrm s}=-1 \mathrm m/ \mathrm s
:평균 속력 v=\frac{110 \mathrm m}{50 \mathrm s}=2.2 \mathrm m/ \mathrm s

순간속도는 변화가 일어나는 시간 변화가 0에 접근하기 때문에 변위와 전체 경로의 차이가 없다. 따라서 순간속도를 나타내는 벡터의 크기는 순간속력과 같다. 그러나 보다 큰 시간 간격을 고려하는 평균속도의 크기는 일반적으로 평균속력과 다르다.

## 상대속도

상대속도는 한 좌표계 안의 두 물체의 속도를 비교한 것이다. 두 물체 A, B의 속도를 각각 \vec{v}_\mathrm{A}, \vec{v}_\mathrm{B}라고 하면, 고전물리학에서는 A에 대한 B의 상대 속도를 다음과 같이 계산 한다.
:A에 대한 B의 상대속도 \vec{v}_\mathrm{B|A} = \vec{v}_\mathrm{B} - \vec{v}_\mathrm{A}

예를 들어 두 자동차 A, B가 직선 상에서 마주 보며 달리고 있을 때 A의 속도가 3m/s 이고 B의 속도가 -5m/s 라면 A에 대한 B의 상대속도는 -8m/s 이고 B에 대한 A의 상대속도는 8m/s 가 된다. 일차원 운동만을 고려한다면 상대속도는 스칼라값을 갖는다고 생각할 수 있다.

한편 특수 상대성 이론에서는 물체의 속도가 매우 빠를 때 상대속도가 고전물리학과는 다른 양상을 보인다고 설명한다. 관성계가 다르더라도 빛의 속도는 일정하므로 특수 상대성 이론에서 매우 빠르게 움직이는 두 물체의 속도 관계는 다음과 같이 계산된다.
:A에 대한 B의 상대속도 \vec{v}_\mathrm{B|A}=\frac{\vec{v}_\mathrm{B}-\vec{v}_\mathrm{A}}{1-\frac{\vec{v}_\mathrm{A}\vec{v}_\mathrm{B}}{c^2}}

위 식에서 빛의 속도 c는 매우 큰 값이기 때문에 A와 B의 속도가 충분히 느릴 경우 \frac{\vec{v}_\mathrm{A}\vec{v}_\mathrm{B}}{c^2}는 0에 접근하게 되고 그 결과 상대속도는 고전물리학의 계산과 같아지게 된다.

## 같이 보기
* 미터 매 초
* 킬로미터 매 시간
* 변위
* 가속도
* 가가속도
* 가가가속도

## 각주
; 내용주


; 참조주

## 외부 링크
* 


분류:운동 (물리학)
분류:운동학
일리야 프리고진

**일리야 로마노비치 프리고진**(, , 1917년 1월 25일~2003년 5월 28일)은 러시아 모스크바 태생의 벨기에의 화학자이다.

벨기에 브뤼셀의 브뤼셀 자유대학(Université Libre de Bruxelles)에서 화학을 전공했으며 산일구조(散逸構造), 복잡계, 비가역성에 대한 연구로 유명하다. 1977년 비평형 열역학, 특히 소산 구조론의 연구에 공헌한 점을 인정받아 노벨 화학상을 수상했다. 1989년에는 벨기에의 보두앵 1세 국왕으로부터 자작 작위를 받았다.

## 저서
* 《확실성의 종말》(*The End of Certainty*) 

## 같이 보기
* 체계 이론
* 과정철학

## 외부 링크
* 
*  including the Nobel Lecture, 8 December 1977 *Time, Structure and Fluctuations*
* 

분류:1917년 출생
분류:2003년 사망
분류:러시아의 화학자
분류:벨기에의 화학자
분류:노벨 화학상 수상자
분류:벨기에의 노벨상 수상자
분류:유대인 노벨상 수상자
분류:브뤼셀 자유 대학교 (1834년~1969년) 동문
분류:텍사스 대학교
분류:이론화학자
분류:모스크바 출신
분류:열역학자
분류:소련의 노벨상 수상자
분류:텍사스 대학교 오스틴 교수
분류:러시아의 망명자
분류:유대계 러시아인
분류:벨기에 유대인
분류:계산화학자
분류:브뤼셀 자유 대학교 (1834년~1969년) 교수
분류:소련에서 독일로 이민간 사람
분류:독일에서 벨기에로 이민간 사람
다양체

섬네일|원은 모든 점에 대해서 국소적으로 직선과 같은 구조를 가지고 있다. 따라서, 원은 1차원 다양체이다.

위상수학과 기하학에서 **다양체**(多樣體, )는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 위상 공간이다. 즉, 국소적으로는 유클리드 공간과 구별할 수 없으나, 대역적으로 독특한 위상수학적 구조를 가질 수 있다.

## 정의
음이 아닌 정수 n\in\mathbb N에 대하여, n차원 **국소 유클리드 공간**(局所Euclid空間, ) X는 다음 성질을 만족시키는 위상 공간이다.
* 임의의 점 x\in X에 대하여, \mathbb R^n과 위상동형인 근방 N\ni x이 존재한다.

하우스도르프 국소 유클리드 공간 X에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 하우스도르프 국소 유클리드 공간을 **다양체**라고 한다.
* X는 파라콤팩트 공간이다.
* X는 거리화 가능 공간이다.
* X의 각 연결 성분은 제2 가산 공간이다.
* X의 각 연결 성분은 시그마 콤팩트 공간이다.

## 성질
만약 어떤 위상 공간 X가 m차원 다양체이자 n차원 다양체이며, m\ne n이라면 X는 공집합이다.

모든 국소 유클리드 공간은 다음 성질을 만족시킨다.
* 국소 콤팩트 공간이다.
* 제1 가산 공간이다.
* 국소 연결 공간이다.

모든 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 다음 성질을 만족시킨다.
* 티호노프 공간이다.

모든 콤팩트 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 다양체이다.

국소 유클리드 공간 M에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* M은 시그마 콤팩트 공간이다.
* M은 제2 가산 공간이다.
* M은 린델뢰프 공간이다.

모든 제2 가산 다양체는 다음 성질을 만족시킨다.
* 분해 가능 공간이다.

모든 파라콤팩트 분해 가능 국소 유클리드 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
* 시그마 콤팩트 공간이다.
* 린델뢰프 공간이다.
* 제2 가산 공간이다.

## 낮은 차원의 다양체의 분류
위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* X는 이산 공간이다.
* X는 0차원 다양체이다.

위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* X의 모든 연결 성분은 원 S^1 또는 실수선 \mathbb R와 위상동형이다.
* X는 1차원 다양체이다.

## 예
다양체의 대표적인 예로는 다음을 들 수 있다.
* 유클리드 공간 \mathbb R^n
* 초구 S^n
* 열린 공 B^n=\{v\in\mathbb R^n\colon|\|v\|
* 실수 사영 공간 \mathbb{RP}^n
* 이산 공간
* 공집합

다양체가 아닌 국소 유클리드 공간으로는 다음을 들 수 있다.
* 긴 직선()은 연결 하우스도르프 국소 유클리드 공간이지만, 파라콤팩트 공간이 아니다.
* **두 개의 원점을 갖는 직선**(): \mathbb R\times\{0,1\}에, 다음과 같은 동치 관계를 주자.이에 대한 몫공간은 연결 제2 가산 국소 유클리드 공간이지만, 하우스도르프 공간이 아니다.

비가산 개의 연결 성분을 갖는 다양체는 (정의에 따라 파라콤팩트 공간이지만) 제2 가산 공간이 아니다. 보다 일반적으로, 다양체에 대하여 제2 가산 공간인 것은 가산 개의 연결 성분을 갖는 것과 동치이다.

## 참고 문헌

* 

## 외부 링크
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## 같이 보기
* 매끄러운 다양체
* 조각적 선형 다양체
* 리만 다양체


분류:미분위상수학
분류:기하학적 위상수학
분류:미분기하학
마틴 가드너

**마틴 가드너**(, 1914년 10월 21일 ~ 2010년 5월 22일)는 미국의 과학 저술가이다. 특히 유희수학(recreational mathematics) 분야의 저술로 이름이 높다.

## 생애
오클라호마주 털사 태생으로 시카고 대학에서 철학을 전공하였다. 그는 유희수학(recreational mathematics) 분야를 집대성하고 대중에게 널리 알려 수많은 과학자들에게 큰 영향을 끼쳤다. 수학을 비롯한 과학뿐 아니라 마술, 문학(그는 루이스 캐럴의 전문가이다), 유사과학, 종교 등 다방면에 걸쳐 관심을 가져 60권이 넘는 책을 저술하였으며, 제임스 랜디와 함께 회의주의 운동을 주창하기도 하였다. 미국 노스캐럴라이나 주의 헨더슨빌(Hendersonville)에 만년을 보내다가 2010년 5월 22일 미국 오클라호마주의 노먼(Norman)에서 95세를 일기로 사망하였다.

### 《사이언티픽 아메리칸》
그는 미국의 대중 과학 잡지 사이언티픽 아메리칸지에 1956년부터 1981년까지 수학 게임(Mathematical Games) 컬럼을 연재하였다. 그가 연재를 그만둔 후 더글러스 호프스태터가 컬럼을 물려받았는데, 마틴 가드너에 대한 존경의 뜻에서 '수학 게임'의 애너그램인 *Metamagical Themas*를 자신의 컬럼 제목으로 정하였다. 1993년이래 그의 유희수학에 대해 관심을 같이하는 사람들이 부정기적으로 모여 *Gathering for Gardner*(G4G)란 콘퍼런스를 열기도 한다.

## 저술
그는 자신의 컬럼을 통하여 다음과 같은 흥미있는 주제들을 대중에 소개하였다.
* 플렉사곤(Flexagon): 마틴 가드너가 사이언티픽 어메리칸에 처음 쓴 글이다. (1956년 12월호)
* 존 호턴 콘웨이의 라이프 게임
* 폴리오미노
* 소마 큐브
* 에셔의 작품
* 프랙털

65권의 책을 썼으며, 초정상주장의 과학적 연구를 위한 위원회(Committee for the Scientific Investigation of Claims of the Paranormal)의 일원으로 활동하며 사이비과학을 반박하는 책과 글을 다수 발표했다.

### 책
* *Mathematical Games*
* *The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems* (2001; W.W. Norton & Company; )
* 〈양손잡이 자연세계〉, 과학세대 옮김, 까치
* 〈이야기 파라독스〉, 사계절
* 〈아하〉, 사계절
* *[[더 애너테이티드 앨리스]],* 루이스 캐럴이 지은 이상한 나라의 앨리스와 거울 나라의 앨리스의 주석판
* *The Last Recreations*
* 〈아담과 이브에게는 배꼽이 있었을까?〉(원제 Did Adam and Eve Have Navels?: Debunking Pseudoscience)
* *SCIENCE GOOD, BAD AND BOGUS*
* *Fads and Fallacies in the Name of Science*
* *Relativity Simply Explained*

### [[사이언티픽 아메리칸]]의 컬럼 모음집
* *Mathematical Puzzles and Diversions* (1959; Pelican, UK )
* *More Mathematical Puzzles and Diversions* (1961; Pelican, UK )
* *Further Mathematical Diversions* (1969; Pelican, UK )
* *Mathematical Carnival* (1975; Pelican, UK )
* *Mathematical Circus* (1979; Pelican, UK )
* many others... please add them here...

## 같이 보기
* 피에트 하인
* 더글러스 호프스태터
* 지구공동설
* 제임스 랜디
* 초정상주장의 과학적 연구를 위한 위원회(Committee for the Scientific Investigation of Claims of the Paranormal)

## 각주

## 외부 링크

*  Notes on Martin Gardner
*  An Interview with Martin Gardner
*  Short Martin Gardner Bio
*  About Gathering for Gardner

분류:1914년 출생
분류:2010년 사망
분류:미국의 수학자
분류:미국의 과학 저술가
분류:미국의 문학 평론가
분류:미국의 언론인
분류:미국의 마술사
분류:게임 이론가
분류:퍼즐 디자이너
분류:대체의학 비판자
분류:이신론자
분류:미국 해군 군인
분류:오클라호마주 출신
분류:시카고 대학교 동문
분류:미국 예술과학 아카데미 석학회원
분류:미국의 제2차 세계 대전 참전 군인
분류:20세기 수학자
분류:21세기 수학자
분류:필명
분류:노먼 (오클라호마주) 출신
분류:20세기 미국 사람
분류:21세기 미국 사람
분류:오클라호마주의 수학자
프리먼 다이슨

**프리먼 존 다이슨**(, 1923년 12월 15일 ~ 2020년 2월 28일)은 영국 태생의 미국의 물리학자이다. 양자전기역학의 이론적 기반을 닦은 인물 중 하나이다. 또한 저명한 물리학자들 중 거의 유일하게 평생 박사 학위를 취득하지 않았다.

## 생애 및 업적
프리먼 다이슨은 1923년 12월 15일 영국 버크셔주 크로손()에서 태어났다. 1936년에서 1941년까지 윈체스터 칼리지를 다녔다. 18살이던 1940년에는 케임브리지 대학교에서 고드프리 해럴드 하디 아래에서 수학을 공부하기도 했다. 제2차 세계 대전이 발발하자 영국군에 입대하여 20살의 나이에 영국 공군 폭격기 사령부에서 분석가로 일했다. 전쟁이 끝나자 케임브리지 대학교 트리니티 칼리지에서 수학으로 학사 학위를 취득했다. 1947년에는 두 개의 정수론 논문을 출판했다.

그리고 미국으로 건너가 1947년부터 코넬 대학교 박사과정에 등록하여 한스 베테의 지도 아래 물리학을 연구하기 시작했다. 그러나 바로 연구에 뛰어들면서 이후 평생 동안 박사 학위를 취득하지 않았다.

프리먼 다이슨의 가장 널리 알려진 학문적 업적은 양자장론의 이론적 기반을 닦은 작업들이다. 그는 1949년에 양자전기역학을 기술하는 두 가지 방법, 즉 리차드 파인만의 파인만 도표를 이용한 경로적분과 줄리안 슈윙거, 도모나가 신이치로가 제안한 연산자 계산이 동치라는 것을 증명했다. 그리고 파인만 도표를 가지고 재규격화 계산을 구현한 논문을 최초로 썼다. 또한 다이슨 급수라는 기법을 발명했으며, 이것은 워드-다카하시 항등식으로 확장되는 기반이 되었다.

1957년부터 1961년까지는 핵추진기를 이용한 우주비행 계획인 에 참여하였다. 시험 기종은 보통의 폭발물을 사용했으나, 우주에서의 핵무기 사용 금지 조약에 의해 계획은 중도에 파기됐다. 이후 제러드 오닐()이 설립한 우주학 연구소()에서 소장을 역임하기도 했다.

생애의 후기에, 다이슨은 기술적으로 진보한 문명은 자신이 살고 있는 항성계의 태양을 완벽히 둘러싸 항성에서 나오는 복사 에너지를 완전히 사용하고 바깥쪽으로는 적외선을 복사할 것이라는 주장을 폈다. 이에 따르면 밤하늘에서 적외선을 복사하는 거대한 물체를 찾아보는 것이 외계 문명체를 탐사하는 SETI 계획의 한 방법이 된다. 다이슨은 복사 차폐물로 자그마한 운석들의 구름을 생각했지만, 과학 소설에선 이어진 고체 구조물이 선호되어 왔다. 이러한 상상 속의 구조를 다이슨 구라고 부른다. 또한 그는 다이슨 나무라는 것도 제안했는데, 이는 유전자 조작으로 혜성에서도 자랄 수 있는 식물을 말한다. 다이슨은 혜성을 조작하여 내부에 생물이 숨쉴 수 있는 대기를 만들어 내는 것이 가능하며, 태양계 밖으로 인간을 보낼 수 있는 서식지를 조성할 수 있다고 했다.

프리먼 다이슨은 2020년 2월 28일, 98세의 나이로 뉴저지주 프린스턴에서 생을 마감하였다.
딸 에스더 다이슨은 기업가이자 투자자이다. 아들 조지 다이슨은 역사가로, 과학사를 연구한다.

## 저서
* 《상상의 세계》 (Imagined Worlds)
* 《에로스에서 가이아까지》 (From Eros to Gaia)
*  (원제 )

## 각주


## 외부 링크

* 프리먼 다이슨의 홈페이지
* 우주 연구 재단 (Space Studies Institute)
* 와이어드 매거진과의 인터뷰
* 


분류:1923년 출생
분류:2020년 사망
분류:미국의 물리학자
분류:잉글랜드의 물리학자
분류:미국의 회고록 작가
분류:잉글랜드의 회고록 작가
분류:미국의 반핵무기 운동가
분류:영국의 반핵무기 운동가
분류:이론물리학자
분류:핵물리학자
분류:반국민주의자
분류:케임브리지 대학교 트리니티 칼리지 동문
분류:코넬 대학교 동문
분류:듀크 대학교 교수
분류:울프 물리학상 수상자
분류:프랑스 과학 아카데미의 회원
분류:미국 과학 아카데미의 회원
분류:왕립학회 석학회원
분류:20세기 영국 사람
분류:20세기 미국 사람
분류:21세기 영국 사람
분류:21세기 미국 사람
분류:막스 플랑크 메달 수상자
분류:잉글랜드에서 미국으로 이민간 사람
분류:미국철학학회 회원
만프레트 아이겐

**만프레트 아이겐**(, 1927년 5월 9일 ~ 2019년 2월 6일)은 독일의 생물리학자이다.

## 인물
괴팅겐 대학교에서 화학 박사 학위를 받았으며 독일 괴팅겐의 막스 플랑크 생물리학 연구소의 소장을 지냈다. 1967년에는 매우 짧은 간격의 에너지 펄스로 유도된 극히 빠른 화학 반응에 대한 연구에 대한 공로를 인정받아 로널드 조지 레이퍼드 노리시, 조지 포터와 함께 노벨 화학상을 수상했다. 1973년에는 영국 왕립학회 외국인 회원으로 선출되었다.

## 각주

## 외부 링크
* 
*  The Nobel Prize in Chemistry 1967 - Manfred Eigen - 노벨 재단

분류:1927년 출생
분류:2019년 사망
분류:독일의 화학자
분류:노벨 화학상 수상자
분류:독일의 노벨상 수상자
분류:괴팅겐 대학교 동문
분류:물리화학자
분류:생물물리학자
분류:프랑스 과학 아카데미의 회원
분류:미국 과학 아카데미의 회원
분류:교황청 과학원의 회원
분류:보훔 출신
분류:푸르 르 메리트 민사훈장 수훈자
분류:독일의 무신론자
분류:왕립학회 외국인 회원
분류:막스 플랑크 협회 인물
분류:미국철학학회 회원
린 마굴리스

**린 마굴리스**(Lynn Margulis, 1938년 3월 5일 ~ 2011년 11월 22일)는 미국의 생물학자로서 매사추세츠 대학 앰허스트(University of Massachusetts Amherst) 대학교의 지구과학과 교수이다. 세포 생물학과 미생물의 진화 연구, 지구 시스템 과학의 발전에 많은 기여를 한 것으로 평가 받는다. 마굴리스는 미국항공우주국(NASA) 우주과학국의 지구생물학과 화학 진화에 관한 상임위원회의 의장을 역임했으며, NASA의 지구생물학에 관한 실험들을 지도하였다.

마굴리스의 가장 중요한 과학적 업적은 세포 내 미토콘드리아의 기원을 진핵세포로 들어간 외부 조직 공생적 관계를 이루다 정착했다고 보는 이론이다. 이러한 세포 내 공생설은 당시 충격적인 가설로 생물학계를 놀라게 했을 뿐 아니라 100여 종의 논문과 더불어 10여권의 책을 펴냈다.

그는 영국 대기과학자 제임스 러브록이 주창한 가이아 이론을 지지하며, 가설을 공고히 하는데 기여했다는 평가를 받는다.

그는 또한 칼 세이건의 첫 번째 부인이었으며, 도리언 세이건의 어머니이기도 하다.

## 번역된 저서
* 공생자 행성 (SYMBIOTIC PLANET : A New Look At Evolution) 사이언스북스, 사이언스 마스터 시리즈 15, 
* 생명이란 무엇인가? (What is Life?) 지호, 
* 섹스란 무엇인가? (What is Sex?) 지호, 

분류:1938년 출생
분류:2011년 사망
분류:시카고 대학교 동문
분류:미국의 생물학자
분류:캘리포니아 대학교 버클리 동문
분류:위스콘신 대학교 매디슨 동문
분류:보스턴 대학교 교수
분류:매사추세츠 대학교 애머스트 교수
분류:미국 과학 아카데미의 회원
분류:공생
분류:유대계 미국인
분류:진화생물학자
분류:이론생물학자
분류:20세기 동물학자
분류:21세기 동물학자
분류:20세기 생물학자
분류:21세기 생물학자
분류:칼 세이건
분류:여자 생물학자
분류:미국의 여자 과학자
분류:국가 과학 메달 수상자
GNU 자유 문서 사용 허가서

**GNU 자유 문서 사용 허가서**(-自由文書使用許可書, GNU Free Documentation License, **GNU FDL**, **GFDL**)는 일종의 자유문서를 위한 저작권 라이선스의 한 형태로서 자유 소프트웨어 재단(FSF, *Free Software Foundation*)에서 GNU의 프로젝트를 위해서 착안되었다. GFDL에 따라 만든 문서는 자유롭게 복사, 수정, 재배포가 가능하며, 2차 저작물 역시 GFDL을 따라야 한다. GFDL을 따르는 문서는 기본적으로 무료로 배포되지만, 대량으로 제작된 경우 유료로 판매될 수도 있다. 현재 ‘GNU 자유 문서 사용 허가서’에 따라 추진 중인 프로젝트들 가운데 가장 큰 프로젝트로 손꼽히고 있는 것이 바로 위키백과다. 위키백과는 크리에이티브 커먼즈(CCL)와 GNU 자유 문서(GFDL)의 2중 라이선스를 따른다.

## 개요
사용 허가서는 소프트웨어의 문서와 다른 이와 유사한 지침서를 대상으로 한다. 이 허가서에 따르는 모든 문서의 복사 및 변경은 역시 이 사용 허가서의 규준에 따르는 것을 원칙으로 한다. 복사 및 변경된 소프트웨어나 자료는 다시 변경되거나 배포 및 판매될 수 있다.

## 역사
자유 문서 사용 허가서는 1999년 말 의견 수렴을 위한 초안이 발표되었으며, 검토와 수정을 거쳐 1.1 버전이 2000년 3월에, 1.2 버전이 2002년 11월에, 1.3 버전이 2008년 11월 3일에 공표되었다. 현재의 최종 버전은 1.3이다.

## 다른 라이선스와의 호환성
여기서의 '호환'이라는 의미는 다른 라이선스의 저작물을 GNU 자유 문서 사용 허가서를 사용하는 저작물과 섞어 쓸 수 있는지를 의미한다.

### CC-BY-SA와의 호환성
두 허가서가 비슷한 저작권 방침을 가지고 있지만 GFDL은 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 라이선스와 호환되지 않는다. 하지만 1.3판에서는 GNU 자유 문서 사용 허가서를 사용하고 있는 특정 웹 사이트의 저작권을 CC-BY-SA로 변경할 수 있도록 하는 조항을 추가하였다.

이 예외 조항은 다음의 몇 가지 조건을 충족한다면 GFDL 기반의 다중 저자 협력 프로젝트 사이트 (Massive Multiauthor Collaboration Site)에서 CC-BY-SA-3.0으로 변경할 수 있도록 허가하고 있다.
* 저작물은 위키와 같은 대규모 다중 저자 협력 프로젝트에서 생성되어야 한다.
* 다중 저자 협력 프로젝트에 출판된 외부 저작물은 반드시 GNU 자유 문서 사용 허가서 1.3으로 배포되거나 이전 버전으로 배포되고 (이후의 어떠한 버전으로도 배포됩니다) 라는 표시가 있어야 한다. 또한 어떠한 외부 표지나 변경 불가 부분이 없어야 한다. 외부 저작물의 경우 2008년 11월 1일 이전에 프로젝트에 올라온 부분만 라이선스가 변경될 수 있다.

라이선스의 재허용을 허가하는 11장의 조항은 2009년 8월 1일 이후에는 효력이 상실된다.

### GPL과의 비호환성
GNU 자유 문서 사용 허가서는 GNU 일반 공중 사용 허가서와 호환되지 않는다.

## 같이 보기
* GNU 일반 공중 사용 허가서 (GNU GPL)
* 자유문서 (Free Contents)
* 퍼블릭 도메인 (Public Domain)
* 공정 이용 (Fair Use)
### 또 다른 자유 콘텐츠 사용 허가 유형
아래 목록들 중 몇 가지는 GNU FDL과는 별개로 발전해 온 것들이다. 그리고 몇 가지는 GNU FDL의 결함에 대응하기 위한 목적으로 만들어졌다.
* 크리에이티브 커먼즈 (Creative Commons) "CC BY-SA" 라이선스
* 디자인 사이언스 라이선스
* 프리 아트 라이선스
* FreeBSD 문서 라이선스
* 오픈 콘텐츠 라이선스
* 오픈 게이밍 라이선스
* Open Publication License
* WTFPL
### GFDL을 사용하는 프로젝트들
* 위키백과(위키여행, 위키뉴스는 제외)를 포함하는 위키미디어 재단의 프로젝트 대부분 - 2009년 6월 15일, 제11절에 따라 크리에이티브 커먼즈 CC-BY-SA 라이센스와 GFDL 아래 위키 콘텐츠를 이중 라이선스(dual-license)한다.
* Anarchist FAQ
* Citizendium - 출처가 위키피디아인 기사는 GFDL을 사용한다.
* 자유 온라인 컴퓨팅 사전
* Last.fm - 음악가 기술정보는 GFDL로 기술됨.
* Marxists Internet Archive
* PlanetMath
* 로제타 코드
* 소스워치
* 기업 아키텍처 프리임워크 TRAK를 정의하는 사양서로 GFDL로 배포.
* 버지니아 코먼웰스 대학교 수학과 Thomas W. Judson 교수가 저술한 *Abstract Algebra*를 포함한 수학 교과서는 GFDL로 배포됨.
* Baseball-Reference BR 불펜, 공개 사용자 기여 야구 위키.

## 각주


## 외부 링크.
* GNU FDL 원문
** GNU FDL 한국어 번역문

분류:GNU 프로젝트
분류:카피레프트
분류:자유 저작물 사용권
분류:소프트웨어 문서화
분류:카피레프트 소프트웨어 사용권