모듈러 산술

섬네일|시계 속 시간은 법 12에 대한 모듈러 산술을 사용한다. 9시 정각에 4시간을 더하면 1시 정각을 얻는다. 왜냐면 13은 법 12에 대하여 1과 합동이기 때문이다.
수론에서 **모듈러 산술**() 또는 **합동 산술**(合同算術)은 정수의 합과 곱을 어떤 주어진 수의 나머지에 대하여 정의하는 방법이다. 정수환의 몫환 \mathbb Z/(n)의 환 구조로 생각할 수 있다.

## 정의
n\in\mathbb Z이 2 이상의 정수라고 하자. 정수환 \mathbb Z의 주 아이디얼 (n)에 대한 몫환 \mathbb Z/(n)의 원소들은 \{0,1,\dots,n-1\}과 일대일 대응하며, 이는 정수를 n으로 나눈 나머지로 생각할 수 있다. 즉, 환 준동형
:\phi_n\colon\mathbb Z\to\mathbb Z/(n)
을, 정수를 n에 대한 나머지로 대응시키는 함수로 여길 수 있다.

임의의 두 정수 a,b\in\mathbb Z에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립하면 a와 b가 **법 <math>n</math>에 대하여 합동**(法n에 對하여 合同, )이라고 한다.
* a=b+kn인 정수 k\in\mathbb Z가 존재한다.
* \phi_n(a)=\phi_n(b)\in\mathbb Z/(n)이다. 즉, a와 b는 \mathbb Z/(n)의 같은 동치류에 속한다.
이는 기호로는
:a\equiv b\pmod n
이라고 한다. 정수의 합동은 동치 관계를 이룬다.

## 성질
### 덧셈 · 뺄셈 · 곱셈
\mathbb Z/(n)은 가환환이므로, 임의의 가환환에서와 마찬가지로 덧셈 · 뺄셈 · 곱셈을 정의할 수 있으며, 덧셈과 곱셈은 결합 법칙 · 교환 법칙을 따르고, 또한 분배 법칙이 성립한다. \phi_n\colon\mathbb Z\to \mathbb Z/(n)이 환 준동형이므로, 임의의 a,b,c\in\mathbb Z에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* ab\equiv c\pmod n
* \phi_n(a)\phi_n(b)=\phi_n(c)
마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* a+b\equiv c\pmod n
* \phi_n(a)+\phi_n(b)=\phi_n(c)
마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* a\equiv-b\pmod n
* \phi_n(a)=-\phi_n(b)

### 중국인의 나머지 정리

n의 소인수 분해가
:n=\prod_pp^{n_p}
라고 하자. 그렇다면 **[[중국인의 나머지 정리]]**에 따르면 다음과 같은 가환환의 동형이 존재한다.
:\mathbb Z/(n)\cong\prod_p\mathbb Z/(p^{n_p})
즉, 두 개 이상의 소인수를 갖는 수에 대한 모듈러 산술은 그 소인수들(의 거듭제곱)에 대한 합동류들을 성분별로 취급하는 것과 같다.

### 나눗셈
일반적으로, \mathbb Z/(n)은 체가 아니므로, 모듈러 산술에서 나눗셈은 일반적으로 정의되지 않는다. 다만, 만약 n이 소수라면 \mathbb Z/(n)은 체를 이루며, 이 경우 0이 아닌 모든 수의 역수가 존재한다.

합성수 n에 대한 모듈러 산술의 경우, 오직 n과 서로소인 수만이 가역원이다 (역수를 정의할 수 있다). 이는 오일러의 정리에 따라
:a^{\phi(n)}\equiv1\pmod n
이기 때문이다 (\phi는 오일러 피 함수). 즉, n개의 합동류 가운데 오직 \phi(n)개만이 가역원이며, 가역원 a의 역원은 a^{\phi(n)-1}이다.

#### 홀수 소수의 거듭제곱
2가 아닌 소수 p에 대하여, \mathbb Z/(p^k)의 가역원들은 총
:\phi(p^k)=p^{k-1}(p-1)
개가 있으며 (\phi는 오일러 피 함수), 그 가역원군은 순환군이다.
:(\mathbb Z/(p^k))^\times\cong Z_{\phi(p^k)}

#### 2의 거듭제곱
k>1에 대하여, \mathbb Z/(2^k)의 가역원군은 다음과 같다.
:(\mathbb Z/(2^k))^\times\cong Z_2\times Z_{2^{k-2}}

#### 일반적 합성수
일반적 합성수의 경우, 가역원군은 중국인의 나머지 정리에 따라서
:\left(\mathbb Z/\left(\prod_pp^{n_p}\right)\right)^\times\cong\prod_p(\mathbb Z/(p^{n_p}))^\times
이다.

### 아이디얼
\mathbb Z/(n)에서도 정수환의 경우와 마찬가지로 아이디얼과 소 아이디얼 및 극대 아이디얼의 개념을 정의할 수 있다.
\mathbb Z/(n)의 아이디얼은 모두 n의 약수에 의하여 생성되는 주 아이디얼이다. 즉, (d) (d\mid n)의 꼴이다.

이 아이디얼들 가운데, 소 아이디얼인 것은 d가 소수인 경우이다. 즉, \mathbb Z/(n)의 소 아이디얼은 n의 소인수들의 주 아이디얼들이다. \mathbb Z/(n)에서 극대 아이디얼의 개념과 소 아이디얼의 개념은 서로 일치한다. 즉, 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이며, 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다.

따라서, \mathbb Z/(n)의 크룰 차원은 다음과 같다.
:\dim\mathbb Z/(n)=\begin{cases}1&n=0\\-\infty&n=1\\0&n\ne0,1\end{cases}
이는 대수기하학적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. n의 소인수 분해가
:n=\prod_{i=1}^kp_i^{n_i}
라면, 중국인의 나머지 정리에 따라서
\mathbb Z/(n)\cong\prod_{i=1}^k\mathbb Z/(p_i^{n_i})
이다. 이는 가환환의 범주에서의 곱이므로, 아핀 스킴의 범주에서의 쌍대곱이 된다. 즉,
:\operatorname{Spec}\mathbb Z/(n)=\bigsqcup_{i=1}^k\operatorname{Spec}\mathbb Z/(p_i^{n_i})
가 된다. 각 \mathbb Z/(p_i^{n_i})는 하나의 소 아이디얼 (p_i)을 갖는 국소환이며, 따라서 위상 공간으로서는 한원소 집합이다. 즉, 아핀 스킴 \operatorname{Spec}\mathbb Z/(n)은 위상 공간으로서 n의 각 소인수에 대응하는 k개의 점들로 구성된 공간이다.

(만약 n=0일 경우, 이는 정수환의 스펙트럼이므로, 1차원이다. n=1일 경우, 자명환의 스펙트럼은 공집합이다.)

## 예
14와 20 그리고 −4는 법 6에 대하여 합동이다. 이를 식으로 나타내면
:14 \equiv 20 \equiv -4 \pmod{6}
이다.

## 같이 보기
* 중국인의 나머지 정리

## 외부 링크
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분류:수론
분류:가환대수학
분류:유한환