결합 대수

추상대수학에서 **결합 대수**(結合代數, )는 결합 법칙을 만족시키는 대수이다. 즉, 가군과 유사환의 구조를 동시에 갖춘 대수 구조이다. 가군이 아벨 군을 일반화하는 것처럼, 단위 결합 대수는 환을 일반화한다.

## 정의
### 유사 결합 대수
가환 유사환 R 위의 **유사 결합 대수**() (M,0,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.
* (M,0,+,\{r\cdot\}_{r\in R})는 R의 가군을 이룬다.
* (M,0,+,*)은 유사환을 이룬다.
이는 다음과 같은 추가 공리를 만족시켜야 한다.
* 모든 r\in R 및 m,n\in M에 대하여, r\cdot(m*n)=(r\cdot m)*n=m*(r\cdot n)
이는 유사환의 준동형 R\to Z(M)과 같다. 여기서 Z(M)=\{z\in M\colon m*z=z*m\}은 M의 중심이다.

유사 결합 대수의 **[[준동형]]**은 (0,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 유사환의 준동형을 이루는 함수이다. 유사 결합 대수와 유사 대수 준동형의 범주를 R\text{-nuAssoc}이라고 하자.

### 결합 대수
가환환 R 위의 **(단위) 결합 대수**(單位結合代數, ) (M,0,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*,1)는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.
* (M,0,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)는 R 위의 유사 결합 대수를 이룬다.
* (M,0,1,+,*)은 환을 이룬다.
이는 환 준동형 R\to Z(M)과 같다. 여기서 Z(M)=\{z\in M\colon m*z=z*m\}은 M의 중심이다.

결합 대수의 **[[준동형]]**은 (0,1,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 환 준동형을 이루는 함수이다. 이들은 유사 결합 대수의 준동형 가운데, 단위원을 추가로 보존하는 것들이다. 결합 대수와 결합 대수 준동형의 범주를 R\text{-Assoc}이라고 하자.

### 가환 대수
가환환 R 위의 결합 대수 가운데, 가환환인 것을 **가환 대수**()라고 한다. R 위의 단위 가환 대수 M은 가환환 준동형 R\to M과 같다.

## 성질
결합 대수의 모임과 유사 결합 대수의 모임 둘 다 대수 구조 다양체를 이루며, 이에 따라 곱 · 쌍대곱 · 시작 대상 · 끝 대상의 존재를 알 수 있다.

즉, 유사 결합 대수의 범주는 영 대상을 가지지만, 결합 대수의 경우는 시작 대상과 끝 대상이 서로 다르다. 두 범주에서 곱은 서로 같으며, 곱집합과 호환되지만, 쌍대곱은 서로 다르다.

또한, (유사) 결합 대수의 범주에는 **텐서곱** \otimes_R이 존재하며, 이는 R 위의 가군의 텐서곱과 같다. 이에 따라 결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

### 망각 함자
유사 결합 대수의 범주에서 유사환의 범주로 가는 망각 함자
:R\text{-nuAssoc}\to\operatorname{Rng}
및 결합 대수의 범주에서 환의 범주로 가는 망각 함자
:R\text{-Assoc}\to\operatorname{Ring}
가 존재한다. 후자의 왼쪽 수반 함자는 S\mapsto R\otimes_{\mathbb Z}S이다.

또한, 결합 대수의 범주에서 유사 결합 대수의 범주로 가는 망각 함자
:R\text{-Assoc}\to R\text{-nuAssoc}
가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는
단위원이 없는 유사 결합 대수 A를
:A\mapsto R\oplus A
로 대응시킨다 (\oplus는 아벨 군의 직합). 이 경우, R\oplus A 위의 연산은 다음과 같다.
:s\cdot(r,a)=(sr,s\cdot a)
:(r,a)*(s,b)=(rs,s\cdot a,r\cdot b,a*b)

## 분류
복소수체 위의 5차원 이하의 (유사) 결합 대수는 모두 완전히 분류되었다.

### 3차원 이하 복소수 결합 대수
\mathbb C 위의 1차원 결합 대수는 \mathbb C 자체 밖에 없다. \mathbb C 위의 2차원 단위 결합 대수는 두 개가 있으며, 다음과 같다.
:\mathbb C[x]/(x^2-1)
:\mathbb C[x]/(x^2)
둘 다 가환 대수이므로, 대수기하학적으로 해석할 수 있다. 대수기하학적으로, 전자는 두 개의 닫힌 점 \pm1으로 구성되어 있으며, 후자는 (축소환이 아니므로) 원점을 닫힌 점으로 하는 비축소 스킴이다. 이 둘은 각각 1차원 복소수 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식 · 퇴화 이차 형식에 대한 클리퍼드 대수이다.

\mathbb C 위의 3차원 결합 대수는 다섯 개가 있으며, 다음과 같다.
:\mathbb C[x,y]/(x^2-x,y^2-y,xy)
:\mathbb C[x,y]/(x^2-x,y^2,xy)
:\mathbb C[x,y]/(x^2,y^2,xy)
:\mathbb C[x]/(x^4)
:\mathbb C\langle x,y\rangle/\left(x^2-1,y^2,(x-1)y,y(x-1)\right)
이 가운데 처음 네 개는 가환 대수이며, 마지막 하나는 비가환 대수이다.

## 예
### 환론
특별한 가환환 위의 (유사) 결합 대수는 다음과 같은 특별한 이름이 있다.

모든 환 S는 스스로의 중심 Z(S)\{r\in S\colon rs=sr\forall s\in S\}에 대한 결합 대수를 이룬다. 또한, 임의의 가환환 R에 대하여 환 준동형 R\to Z(S)가 주어졌다면, S는 R 위의 결합 대수를 이룬다. 특히, 가환환의 준동형 R\to S가 주어졌다면, S는 R 위의 가환 결합 대수를 이룬다.

### 추가 구조를 갖는 대수
리 대수의 보편 포락 대수는 결합 대수이다. 마찬가지로, 클리퍼드 대수나 외대수는 결합 대수이다.

복소수체 \mathbb C와 사원수 대수 \mathbb H는 실수 위의 결합 대수이다. 복소수체에서 사원수 대수로 가는 포함 관계 a+bi\subseteq\{a+bi+cj+dk\}를 잡으면, 사원수 대수는 복소수체 위의 결합 대수를 이룬다.

### 함수 대수
R가 위상환이라고 하자. 위상 공간 X 위의 연속 함수 \mathcal C(X;R)의 집합은 자연스럽게 R 위의 결합 대수의 구조가 존재한다.
:r\cdot f\colon x\mapsto r\cdot f(x)
:f*g\colon x\mapsto f(x)\cdot g(x)
:0\colon x\mapsto 0_R
:1\colon x\mapsto 1_R

마찬가지로, 매끄러운 다양체 M 위의 매끄러운 함수의 집합 \mathcal C^\infty(M;\mathbb R)은 실수체 위의 결합 대수의 구조를 가진다.

## 각주

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## 외부 링크
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## 같이 보기
* 자유 단위 결합 대수
* 리 대수

분류:대수
분류:대수기하학