삼각형

**삼각형**(三角形, )은 세 개의 모퉁이와 세 개의 모서리로 이루어진 다각형이다. 모퉁이는 0차원 점으로서 꼭짓점이라고 부르며, 꼭짓점을 잇는 모서리는 1차원 선분으로서 변이라고 부른다. 두 변이 이루는 각을 내각이라고 하며, 삼각형은 세 개의 내각을 가진다. 삼각형에서 세 내각의 합은 항상 180º(또는 π 라디안)이다. 삼각형은 평면인 내부 영역을 가지는 평면도형이다. 삼각형의 넓이는 밑변과 높이의 곱의 절반이다.

## 종류

## 넓이
삼각형의 넓이는 여러 가지 공식으로 구할 수 있다. 아래에서 S는 삼각형의 넓이이다.
### 밑변의 길이와 높이를 알 때
밑변의 길이가 a이고, 높이가 h인 삼각형의 넓이는 다음과 같다. (기본 공식)
: S = \frac {a h} {2} 

### [[삼각함수]] 공식
#### 세 변의 길이를 알 때
세 변의 길이가 각각  a, b, c 이고, k=\frac{a+b+c}{2} 일 때 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다. (헤론의 공식)
: S = \sqrt{k(k-a)(k-b)(k-c)} 

#### 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때
세 변의 길이가 각각  a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
: S = \frac {bc \sin A} {2}= \frac {ca \sin B} {2}= \frac {ab \sin C} {2} 

#### 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때
세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
: S = \frac {a^2 \sin B \sin C} {2 \sin (B+C)} = \frac {b^2 \sin C \sin A} {2 \sin (C+A)} = \frac {c^2 \sin A \sin B} {2 \sin (A+B)} 

### 세 변의 길이와 [[내접원]]의 반지름의 길이를 알 때
세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 내접원의 반지름이 r이며, s=\frac{a+b+c}{2}인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
: \ S = rs 

### 세 변의 길이와 [[외접원]]의 반지름의 길이를 알 때
세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 외접원의 반지름이 R인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
: S = \frac {abc} {4R} 

### 세 변의 길이와 [[방접원]]의 반지름 중 하나의 길이를 알 때
세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 r_a, r_b, r_c이며, s=\frac{a+b+c}{2}인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
: \ S =(s-a) r_a = (s-b) r_b = (s-c) r_c 

### 세 각의 크기와 [[내접원]]의 반지름의 길이를 알 때
세 각의 크기가 각각 A, B, C이고, 내접원의 반지름이 r인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
: S = r^2 \left( \cot \frac {A} {2}+ \cot \frac {B} {2}+ \cot \frac {C} {2} \right) 

### 세 각의 크기와 [[외접원]]의 반지름의 길이를 알 때
세 각의 크기가 각각 A, B, C이고, 외접원의 반지름이 R인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
: S = 2R^2 \cdot \sin A \sin B \sin C 

### [[내접원]]과 모든 [[방접원]]의 반지름의 길이를 알 때
내접원의 반지름이 r이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 r_a, r_b, r_c인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
: S = \sqrt{r r_a r_b r_c} 

### 2차원 직교좌표
2차원 직교좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(*x*1,*y*1),(*x*2,*y*2)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.
: S = \frac{2} 

### 2차원 극좌표
2차원 극좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(*r*1,*θ*1),(*r*2,*θ*2)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.
: S = \frac{2}= \frac{r_1 r_2 \sin (|\theta_1 - \theta_2|)}{2} 

### n차원 좌표 공간
한 점을 두 벡터의 시점으로 하고 각각 다른 벡터를 종점으로 하는 두 벡터를  \vec{X}, \vec{Y}  라 하자. 2보다 크거나 같은 *n*차원 유클리드 공간에서 표현된 삼각형의 넓이를  S_{n} 라 하면

: S_{n} = \frac{1}{2} \sqrt{( \left| \vec{X} \right| \left| \vec{Y} \right| )^{2} - ( \vec{X} \cdot \vec{Y} )^{2} } 

이 표현을 성분으로 바꾸어서 표현하여  \vec{X} = ( x_{1}\, , x_{2}\, , x_{3}\, , ... \, , x_{n} ),\ \vec{Y} = ( y_{1}\, , y_{2}\, , y_{3}\, , ... \, , y_{n} )  라 하면 다음과 같은 표현이 가능하다.

: S_{n} = \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} \\ x_{j} & y_{j} \end{vmatrix} ^{2} } 

벡터의 증명은 사인을 이용한 삼각형 넓이 공식과 벡터의 내적을, 성분의 증명은 귀납법을 통해서 증명 가능하다.

성분의 증명에서  n=2  인 경우가 #2차원 직교좌표가 된다.

### [[정삼각형]]
한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는 다음과 같다.
: S = \frac {\sqrt {3} } {4} a^2 

## 성질
### 유클리드 기하학
다음의 성질은 유클리드 기하학에서 성립한다.

* 세 내각의 합은 180도이다. 단, 쌍곡면, 구면, 타원면 등에서는 이 법칙이 적용되지 않는다.비유클리드 기하학 문서 참고.
* 삼각형의 어떤 각의 외각은 그 각을 제외한 다른 두 각의 합과 같다.
* 그 어떤 삼각형도 어느 한 변의 길이가 나머지 두 변의 길이를 합한 것보다 길거나 같을 수 없다. 예를 들어, 각 변의 길이가 2cm, 3cm, 5cm인 삼각형이나 각 변의 길이가 3cm, 4cm, 10cm인 삼각형 등은 성립할 수 없다.
* 중점연결정리
* 피타고라스의 정리
* 사인 법칙
* 코사인 법칙
* 체바 정리/메넬라오스 정리

### 비유클리드 기하학
섬네일|지구 위에 그려진 직각삼각형의 예
비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180도가 되지 않는다. 오른쪽 그림은 지구 위에 직각삼각형을 그릴 경우 내각의 합이 180도를 초과함을 보여준다.

### 기타 성질
## 삼각형의 합동 조건
삼각형의 합동 조건에는 대표적인 4가지가 있다.

* SSS 합동: 모든 변의 길이가 같을 때, 삼각형은 서로 합동이다. 변의 길이만으로 모양이 확정되는 다각형은 오직 삼각형밖에 없다.
* SAS 합동: 두 변과 한 끼인각을 아는 경우. (두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각을 알 경우 두 가지 경우가 생기기 때문에 합동이 아닐 수 있다. 이 때, 둘 다 예각삼각형, 또는 직각삼각형, 또는 둔각삼각형이면 합동이다.)
* ASA 합동: 두 각과 그 사이의 변의 길이를 아는 경우.
* AAS 합동: 두 각과 이웃한 변의 길이를 아는 경우. 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것과 ASA 합동으로부터 나온다.

* RHS 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 변의 길이가 같은 경우.
* RHA 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 각의 크기가 같은 경우.

## 같이 보기

* 삼각형의 오심
* 역삼각형
* 삼각법