보렐-칸텔리 보조정리

확률론에서, **보렐-칸텔리 보조정리**()는 일련의 사건들 가운데 무한 개가 일어날 확률이 0일 충분 조건과 1일 충분 조건을 제시하는 정리이다.

## 정의
보렐-칸텔리 보조정리는 **(제1) 보렐-칸텔리 보조정리**()와 **제2 보렐-칸텔리 보조정리**()로 구성된다.

확률 공간 (\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr}) 속 사건의 열 (A_i)_{i=1}^\infty\subset\mathcal F에 대하여, 다음이 성립한다.
* (제1 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 \sum_{i=1}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)라면, \operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)=0이다.
* (제2 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 \sum_{i=1}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)=\infty이며 (A_i)_{i=1}^\infty가 독립이라면, \operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)=1이다.

증명 1: 가정 및 확률 측도의 성질에 따라
:0
=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=n}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)
\ge\lim_{n\to\infty}\operatorname{Pr}\left(\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)
=\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)

이다. 따라서
:\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)=0
이다.

증명 2: 다음과 같은, 확장된 실수 값의 확률 변수를 정의하자.
:N=\sum_{i=1}^\infty 1_{A_i}
그렇다면 단조 수렴 정리에 따라 다음이 성립한다.
:\infty
>\sum_{i=1}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)
=\operatorname E(N)
\ge\infty\cdot\operatorname{Pr}(N=\infty)
=\infty\cdot\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)

따라서
:\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)=0
이다.

미적분학을 사용하여 다음 부등식을 보일 수 있다.
:1-x\le\exp(-x)
이 부등식과 (A_i)_{i=1}^\infty의 독립성에 따라, 임의의 n=1,2,\dots에 대하여 다음이 성립한다.
:\begin{align}
\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{i=n}^\infty(\Omega\setminus A_i)\right)
&=\lim_{m\to\infty}\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{i=n}^m(\Omega\setminus A_i)\right)\\
&=\lim_{m\to\infty}\prod_{i=n}^m(1-\operatorname{Pr}(A_i))\\
&\le\lim_{m\to\infty}\prod_{i=n}^m\exp(-\operatorname{Pr}(A_i))\\
&=\lim_{m\to\infty}\exp\left(-\sum_{i=n}^m\operatorname{Pr}(A_i)\right)\\
&=0
\end{align}

따라서 다음이 성립한다.
:\begin{align}
\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)
&=1-\operatorname{Pr}\left(\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{i=n}^\infty(\Omega\setminus A_i)\right)\\
&=1-\lim_{n\to\infty}\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{i=n}^\infty(\Omega\setminus A_i)\right)\\
&=1
\end{align}


## 일반화
제2 보렐-칸텔리 보조정리는 다음과 같이 일반화할 수 있다.

### 코첸-스톤 부등식
확률 공간 (\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr}) 속 사건의 열 (A_i)_{i=1}^\infty\subset\mathcal F에 대하여,
:L=\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{i,j=1}^n\operatorname{Pr}(A_i\cap A_j)}{\left(\sum_{i=1}^n\operatorname{Pr}(A_i)\right)^2}
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* L\ge 1
* 만약 \sum_{i=1}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)=\infty라면, \operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)\ge 1/L이다.
** 특히, 만약 L라면 위 확률은 0보다 크다.
** 특히, 만약 L=1이라면 위 확률은 1이다.
* 만약 \sum_{i=1}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)=\infty이며 (A_i)_{i=1}^\infty가 쌍마다 독립이라면, L=1이다. 따라서 코첸-스톤 부등식은 제2 보렐-칸텔리 보조정리를 일반화한다.

### 페트로프의 일반화
확률 공간 (\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr}) 속 사건의 열 (A_i)_{i=1}^\infty\subset\mathcal F 및 임의의 실수 H\in\mathbb R에 대하여,
:\alpha_H=\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{1\le i
라고 하자. 그렇다면, 만약
:\sum_{i=1}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)=\infty
라면,
:\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)\ge 1/(H+2\alpha_H)
이다.

특히, 코첸-스톤 부등식은 H=0인 특수한 경우이다.

## 역사
에밀 보렐과 프란체스코 파올로 칸텔리()가 제시하였다.

사이먼 버나드 코첸()과 찰스 졸 스톤()이 한 가지 일반화를 제시하였다. 발렌틴 블라디미로비치 페트로프()는 보다 더 일반적인 결과를 내놓았다.

## 같이 보기
* 무한 원숭이 정리
## 참고 문헌

## 외부 링크
* 

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