멱급수

수학에서 **멱급수**(冪級數, ) 또는 **거듭제곱 급수**는 주어진 변수를 거듭제곱한 항들의 무한급수(무한차 다항식)이자 중심이 같은 일련의 멱함수들을 항으로 하는 무한 급수이다.

## 정의
체 \mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}가 실수체 또는 복소수체라고 하자.
 
주어진 x_0\in\mathbb K에 대하여, **중심 <math>x_0</math>의 멱급수**(中心-冪級數, )는 다음과 같은 꼴의 급수로 정의된다.
:\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots
여기서
:a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K
이다. 특히, 중심이 0인 멱급수
:\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots
는 자주 사용된다. 이 멱급수가 수렴하게 만드는 x\in\mathbb K의 집합
:\left\{x\in\mathbb K\colon\exists\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\right\}
을 이 멱급수의 **수렴 영역**(收斂領域, )이라고 한다. 실수 멱급수의 경우 **수렴 구간**(收斂區間, )이라고 하기도 하고, 복소수 멱급수의 경우 **수렴 원판**(收斂圓板, )이라고 하기도 한다.
:r=\sup\left\{|x-x_0|\colon x\in\mathbb K\land\exists\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\right\}\in[0,\infty]
를 이 멱급수의 **수렴 반지름**(收斂半-, )이라고 한다.
 
## 연산
### 사칙연산
중심이 같은 두 멱급수
:\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\qquad(x_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K)
:\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n\qquad(b_0,b_1,b_2,\dots\in\mathbb K)
의 수렴 반지름이 0라고 하자. 그렇다면, 형식적 멱급수로서의 합, 차, 곱
:\sum_{n=0}^\infty(a_n+b_n)(x-x_0)^n
:\sum_{n=0}^\infty(a_n-b_n)(x-x_0)^n
:\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^na_{n-k}b_k\right)(x-x_0)^n
의 수렴 반지름은 모두
:\left[\min\{r,r'\},\infty\right]
에 속하며, r\ne r'일 경우 합과 차의 수렴 반지름은 정확히 \min\{r,r'\}이다. 또한, 이들은 원래 두 멱급수의 수렴 영역의 교집합에서 각각 원래 두 멱급수의 합, 차, 곱으로 수렴한다. 만약 b_0\ne 0일 경우, 형식적 멱급수로서의 몫
:\sum_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n\qquad\left(c_0=\frac{a_0}{b_0},\;c_1=\frac{a_0-b_1c_0}{b_0},\;c_2=\frac{a_0-b_1c_1-b_2c_0}{b_0},\;\dots\right)
의 수렴 반지름은
:[r*,\infty]</math>
에 속한다. 여기서
:<math>r*=\inf\left(\{r,r'\}\cup\left\{|x-x_0|\colon|x-x_0|
이다. 특히, 0이므로 수렴 반지름은 0보다 크다. 또한 이는 원래 두 멱급수의 수렴 영역과 스스로의 수렴 영역의 교집합으로부터 원래 둘째 멱급수의 영점을 제외한 집합에서 원래 두 멱급수의 몫으로 수렴한다.

### 합성
두 멱급수
:\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\qquad(x_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K)
:\sum_{n=0}^\infty b_n(x-a_0)^n\qquad(b_0,b_1,b_2,\dots\in\mathbb K)
의 수렴 반지름이 0라고 하자. 그렇다면, 형식적 멱급수로서의 합성
:\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^\infty a_k\sum_{j_1,j_2,\dotsc,j_k\ge 1}^{j_1+j_2+\cdots+j_k=n}b_{j_1}b_{j_2}\cdots b_{j_k}\right)(x-x_0)^n
의 수렴 반지름은
:[r*,\infty]</math>
에 속한다. 여기서
:<math>r*=\sup\left\{0
이다. 또한 이는 자신의 수렴 영역에서 원래 두 멱급수의 합성으로 수렴한다.
 
### 미분
멱급수
:\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\qquad(x_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K)
의 수렴 반지름이 0라고 하자. 그렇다면, 형식적 멱급수로서의 도함수
:\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}
의 수렴 반지름은 역시 r이다. 또한, 이는 수렴 영역의 내부 \operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)에서 원래 멱급수의 도함수로 수렴한다. 만약 도함수 멱급수가 수렴 영역의 어떤 경계점 \xi\in\partial\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)에서 수렴한다면, 원래 멱급수 역시 \xi에서 수렴한다. 그러나 이에 대한 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

### 중심의 변경
멱급수
:\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\qquad(x_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K)
의 수렴 반지름이 0라고 하자. 그렇다면, 임의의 수렴 영역 내부의 점 x_1\in\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)에 대하여, 중심 x_1의 멱급수
:\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=n}^\infty\binom kna_k(x_1-x_0)^{k-n}\right)(x-x_1)^n
의 수렴 반지름은
:[r-|x_1-x_0|,r+|x_1-x_0|]
에 속하며, 새로운 멱급수는 원래 멱급수와 스스로의 수렴 영역의 교집합에서 원래 멱급수로 수렴한다.

## 성질
### 수렴 반지름
멱급수
:\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\qquad(x_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K)
의 수렴 반지름을 r라고 하자. 그렇다면, 이 멱급수는 열린 공
:\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)=\{x\in\mathbb K\colon|x-x_0|
에서 절대 수렴하고 콤팩트 수렴하며,
:\{x\in\mathbb K\colon|x-x_0|>r\}
의 모든 점에서 발산한다. 특히, 만약 r=0일 경우 수렴 영역은 \{x_0\}이고, 만약 r=\infty일 경우 수렴 영역은 \mathbb K 전체이다. 만약 0일 경우, 수렴 영역의 경계
:\partial\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)=\{x\in\mathbb K\colon|x-x_0|=r\}
의 점에서 멱급수는 수렴할 수도, 발산할 수도 있다. 또한, 만약 멱급수가 수렴 영역의 경계점 \xi\in\partial\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)에서 수렴한다면, 멱급수는 선분
:\{(1-t)x_0+t\xi\colon t\in[0,1]\}
에서 균등 수렴한다. 특히, 실수 멱급수는 전체 수렴 영역에서 콤팩트 수렴한다.
 
**[[코시-아다마르 정리]]**에 따르면, 수렴 반지름 r는 구체적으로 다음과 같다.
:\frac 1r=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]
 
### 아벨 극한 정리

멱급수
:\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\qquad(x_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K)
의 수렴 반지름이 0이고, 이 멱급수가 수렴 영역의 경계점 \xi\in\partial\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)에서 수렴한다고 하자. **[[아벨 극한 정리]]**에 따르면, 임의의 0에 대하여,
:\lim_{{x\to\xi}\atop}\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty a_n(\xi-x_0)^n
이다.
 특히,
:\lim_{t\to 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n(t(\xi-x_0))^n=\sum_{n=0}^\infty a_n(\xi-x_0)^n
이 성립한다. 이에 따라, 실수 멱급수는 (수렴하는 경계점을 포함한) 수렴 영역 전체에서 연속 함수이며, 복소수 멱급수는 수렴하는 경계점 수렴 영역 내부의 다른 두 점을 꼭짓점으로 하는 임의의 닫힌 삼각형에서 연속 함수이다.
 
### 해석 함수와의 관계
열린집합의 모든 열린원판에서 중심이 열린원판의 중심인 수렴하는 멱급수로 전개되는 함수를 해석 함수라고 한다. 특히, 모든 멱급수는 수렴 영역의 내부에서 해석 함수이다. 만약 \mathbb K=\mathbb C일 경우, 해석 함수와 미분 가능 함수의 개념은 일치하며, 이를 다른 말로 정칙 함수라고도 한다. 그러나 만약 \mathbb K=\mathbb R일 경우, 모든 계의 도함수를 갖는 함수는 해석 함수보다 약한 개념이다.
 
연결 열린집합 D\subseteq\mathbb K에 정의된 해석 함수 f\colon D\to\mathbb K의 열린원판 \operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)\subseteq D에서의 멱급수 전개는 테일러 급수
:f(x)=\sum_{n=0}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\qquad(x\in\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r))
로 유일하다. 만약 이 테일러 급수의 실제 수렴 반지름 r'이
:\inf_{x\in\partial D}|x-x_0|
를 만족시키고, D\cap\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r*)</math>이 연결 열린집합이 되는
:<math>\inf_{x\in\partial D}|x-x_0|<r*
이 존재한다면, f는 x_0에서의 멱급수 전개를 통해 D를 포함하는 더 큰 연결 열린집합 D\cup\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r*)</math> 위의 해석 함수로 [[해석적 연속|확장]]될 수 있다. 즉, <math>D\cup\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r*) 위에서 f의 해석적 연속이 존재한다. 주어진 해석 함수가 주어진 더 큰 정의역 위에서 해석적 연속을 갖는다면 이는 유일하다. 그러나 만약 \mathbb K=\mathbb C일 경우, 위와 같은 확장 과정을 어떤 닫힌 곡선을 따라 반복하면 일반적으로 다가 함수를 얻는다. (이 과정을 닫힌 곡선을 따라 반복하려면, D\cup\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r*)</math>에 정의된 함수를 확장하는 것이 아니라, <math>\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r*)에 정의된 함수를 확장하여야 하며, 다음 단계들도 마찬가지다.) 일가 함수를 얻을 한 가지 충분 조건은 모노드로미 정리에서 제시된다.
 
### 특이점
복소수 멱급수
:\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n\qquad(z_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb C)
의 수렴 반지름이 0이라고 하자. 그렇다면, 이 멱급수는 특이 경계점을 갖는다. 즉, \operatorname{ball}_{\mathbb C}(z_0,r)\cup\{\zeta\}의 근방 위에서 이 멱급수의 해석적 연속이 존재하지 않는 \zeta\in\partial\operatorname{ball}_{\mathbb C}(z_0,r)가 존재한다.

## 응용
### 상미분 방정식의 풀이

위의 식을 이용해 다음의 미분 방정식을 풀 수 있다.
:y''+p\left( x \right)y'+q\left( x \right)y=r\left( x \right)
를 만족시키는 y를 거듭제곱 급수 형태로 가정하고 풀어낸다. 단, p\left( x \right),q\left( x \right),r\left( x \right)가 x=x_{o}에서 해석적(analytic)이어야 한다.

## 참고 문헌

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## 외부 링크
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분류:실해석학
분류:복소해석학
분류:급수