횔더 부등식

해석학에서 **횔더 부등식**()은 르베그 적분과 L<sup>''p''</sup> 공간을 연구하기 위해 사용하는 매우 중요한 부등식이다. 부등식의 이름은 오토 횔더의 이름을 따서 지은 것이다.

## 정의
*S*,*Σ*,*μ*가 측도 공간이고, *p*, *q* ∈ **R**가 1 ≤ *p*, *q* ≤ ∞ 이고 1/*p* + 1/*q* = 1 을 만족한다고 하자. 이때 모든 실함수, 복소함수 가운데 *S*에서 가측 함수 *f*, *g*에 대하여 다음과 같은 관계가 성립한다.

:\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.

부등식은 ||*fg*||1의 값이 무한일 때에도 성립하며, 우변의 값이 무한인 경우에도 성립한다. 또, 만약 *f* ∈ L*p*(*μ*) , *g* ∈ L*q*(*μ*)일 때, *fg* ∈ L1(*μ*)가 성립한다.

1 *p*(*μ*) and *g* ∈ L*q*(*μ*)일 때, 횔더 부등식의 등호가 성립할 필요충분조건은 |*f*|*p* 과 |*g*|*q*이 L1에서 일차 종속일 때 만족한다. 즉, *α*,&nbsp;*β*&nbsp;≥&nbsp;0 인 *α*,&nbsp;*β*&nbsp;가 존재하여, 측도가 0인 집합을 제외한 모든 점에서 *α*|*f*|*p* = *β*|*g*|*q*가 성립할 때 필요충분조건이 성립한다.

(||*f*||*p* = 0 인 경우, *β*&nbsp;=&nbsp;0이다.||*g*||*q*&nbsp;=&nbsp;0 인 경우,*α*&nbsp;=&nbsp;0이다.)

이때 *p*와 *q*는 **횔더 켤레**(**Hölder conjugates**)이다. *p* = *q* = 2인 경우, 이 부등식은 코시-슈바르츠 부등식이 된다.

횔더 부등식은 L*p*(*μ*)에서 삼각 부등식과 민코프스키 부등식을 증명하기 위해 사용하며, L*p*(*μ*)의 쌍대공간 L*q*(*μ*)를 구성하기 위해 사용한다. (1&nbsp;≤&nbsp;*q*&nbsp;*p* , ||*g*||*q*는 다음과 같이 정의한다.

::\biggl(\int_S |f|^p\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{1/p}&nbsp;&nbsp;&nbsp;and&nbsp;&nbsp;&nbsp;\biggl(\int_S |g|^q\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{1/q}.

* 만약 *p* = ∞ 이면, ||*f*||∞는 |*f*|의 본질적 상한으로 정의한다. 같은 방식으로 ||*g*||∞도 정의한다.
* 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ 과 ∞ 곱하기 0는 0으로 약속한다.

### 일반화 횔더 부등식
*r* ∈ (0,∞) 이고 *p*1, …, *p<sub>n</sub>* ∈ (0,∞이고 다음의 부등식을 만족한다고 가정하자.

:\sum_{k=1}^n \frac1{p_k}=\frac1r.

이때, *S*에서 정의된 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 *f*1, …, *f<sub>n</sub>*에 대하여,

:\biggl\|\prod_{k=1}^n f_k\biggr\|_r\le \prod_{k=1}^n\|f_k\|_{p_k}.

가 성립한다.

또한, 다음도 성립한다.

:f_k\in L^{p_k}(\mu)\;\;\forall k\in\{1,\ldots,n\}\implies\prod_{k=1}^n f_k \in L^r(\mu).

**주의:** *r* ∈ (0,1)에 대해, ||.||*r*는 일반적으로 삼각 부등식이 성립하지 않기 때문에 노름이 아니다.

### 역 횔더 부등식
*p* ∈ (1,∞)이고, 측도 공간 (*S*,*Σ*,*μ*)이 *μ*(*S*)&nbsp;>&nbsp;0를 만족한다고 가정하자. 이때, *S*에서 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 *f*, *g* (이때, *g*(*s*)&nbsp;≠&nbsp;0 측도 *μ*값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 *s*&nbsp;∈&nbsp;*S*)에 대하여 다음이 성립한다.

:\|fg\|_1\ge\|f\|_{1/p}\,\|g\|_{-1/(p-1)}.

만약, ||*fg*||1 −1/(*p*−1) > 0 이면, 역 횔더 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 *α*&nbsp;≥&nbsp;0 에 대해

:|f| = \alpha|g|^{-p/(p-1)}\,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

이 측도 *μ*값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 집합에서 성립할 때이다.

**주의:** ||*f*||1/*p* 와 ||*g*||−1/(*p*−1)는 노름이 아니고, 다음의 식을 간단히 나타낸다.

:\biggl(\int_S|f|^{1/p}\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{\!p}&nbsp;&nbsp;&nbsp;,&nbsp;&nbsp;&nbsp;\biggl(\int_S|g|^{-1/(p-1)}\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{-(p-1)}.

### 조건부 횔더 부등식
(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})를 확률 공간이라 하고, \mathcal{G}\subset\mathcal{F}를 부분 시그마 대수라 하고, 횔더 켤레 *p*, *q* ∈ (1,∞)라 하면, 모든 실수, 복소수 값을 갖는 Ω에서의 확률 변수 *X*, *Y*에 대하여 다음이 성립한다.

:\operatorname{E}\bigl[|XY|\big|\,\mathcal{G}\bigr]
\le
\bigl(\operatorname{E}\bigl[|X|^p\big|\,\mathcal{G}\bigr]\bigr)^{1/p}
\,\bigl(\operatorname{E}\bigl[|Y|^q\big|\,\mathcal{G}\bigr]\bigr)^{1/q}

\qquad\mathbb{P}\text{-almost surely.}

**특이 사항:**
* 만약 음이 아닌 확률변수 *Z*가 기댓값이 무한이라면, 이때 *Z*의 조건부 평균은 다음과 같이 정의한다.

::\operatorname{E}[Z|\mathcal{G}]=\sup_{n\in\mathbb{N}}\,\operatorname{E}[\min\{Z,n\}|\mathcal{G}]\quad\text{a.s.}

* 조건부 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ , ∞ 곱하기 0 은&nbsp;0으로 생각한다. *a*&nbsp;>&nbsp;0 에 ∞를 곱해도 &nbsp;∞으로 생각한다.

## 예
*p*와 *q*가 (1,∞) 열린구간에 속한다고 가정하자.

* *n*차원 유클리드 공간의 집합 *S* = {1,&nbsp;…,&nbsp;*n*} 가 셈측도를 측도로 가질 때, 다음 부등식이 성립한다.
::\sum_{k=1}^n |x_k\,y_k| \le \biggl( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \biggr)^{\!1/p\;} \biggl( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \biggr)^{\!1/q}
\text{ for all }(x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots.y_n)\in\mathbb{R}^n\text{ or }\mathbb{C}^n.

* 만약 S=\mathbb N이 셈측도를 측도로 가질 때, 수열 공간에서의 횔더 부등식을 얻을 수 있다.

:: \sum\limits_{k=1}^{\infty} |x_k\,y_k| \le \biggl( \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^p \biggr)^{\!1/p\;} \biggl( \sum_{k=1}^{\infty} |y_k|^q \biggr)^{\!1/q}
\text{ for all }(x_k)_{k\in\mathbb N}, (y_k)_{k\in\mathbb N}\in\mathbb{R}^{\mathbb N}\text{ or }\mathbb{C}^{\mathbb N}.

* 만약 *S*가 르베그 측도를 측도로 갖는 **R***n*의 가측 집합일 때, **f**, **g**는 **S**에서 가측 실함수, 복소함수이다. 이때, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다.

::\int_S \bigl| f(x)g(x)\bigr| \,\mathrm{d}x \le\biggl(\int_S |f(x)|^p\,\mathrm{d}x \biggr)^{\!1/p\;} \biggl(\int_S |g(x)|^q\,\mathrm{d}x\biggr)^{\!1/q}.

* 확률 공간 (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})에서 , \operatorname{E}를 기댓값 연산으로 정의하자. Ω에서 실수, 복소수값을 갖는 확률 변수 *X*와 *Y*에 대해, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다.

:: \operatorname{E}|XY| \le \bigl(\operatorname{E}|X|^p\bigr)^{1/p}\; \bigl( \operatorname{E}|Y|^q\bigr)^{1/q}.

:0 *r* 과 1Ω에 대해 적용하면 다음식을 얻을 수 있다.

::\operatorname{E}|X|^r\le\bigl(\operatorname{E}|X|^s\bigr)^{r/s}.

:*s*의 절대 모멘트가 유한할 때, *r*의 절대 모멘트도 유한하다. (이 결과는 옌센 부등식을 통해서도 얻을 수 있다.)

## 증명
### 횔더 부등식의 증명
횔더 부등식을 증명하는 방법에는 여러 개가 있으나, 영 부등식을 사용하여 증명하겠다.

만약 ||*f*||*p* = 0 이라면, *f*는 측도 *μ*값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이고, 따라서 *fg*도 *μ*값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이다. 즉, 횔더 부등식의 좌변의 값이 0이다. ||*g*||*q*&nbsp;=&nbsp;0일 때도 같은 결론을 얻을 수 있다. 따라서, ||*f*||*p*&nbsp;>&nbsp;0 , ||*g*||*q*&nbsp;>&nbsp;0 이라고 가정할 수 있다.

만약 ||*f*||*p* = ∞ 또는 ||*g*||*q*&nbsp;=&nbsp;∞ 일 때, 횔더 부등식의 우변은 무한대가 된다. 따라서 ||*f*||*p* , ||*g*||*q* 이 (0,∞) 사이의 값을 갖는다고 생각할 수 있다.

만약 *p* = ∞ , *q* = 1이면, 거의 모든 점에서 |*fg*| ≤ ||*f*||∞ |g| 가 성립한다. 르베그 적분의 단조성에 의해 횔더 부등식을 증명할 수 있다. 마찬가지로, *p*&nbsp;=&nbsp;1 and *q*&nbsp;=&nbsp;∞ 일 때도 이 방법으로 증명할 수 있다. 따라서 *p*, *q* ∈ (1,∞)라고 가정할 수 있다.

아래의 영 부등식을 사용한다. 이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 모든 음이 아닌 수 *a*, *b*에 대하여 *a<sup>p</sup>* = *b<sup>q</sup>*일 때이다.

:a b \le \frac{a^p}p + \frac{b^q}q,

이를 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

a=\frac{\left\vert f(s) \right\vert}{\lVert f(s) \rVert_p}, b=\frac{\left\vert g(s) \right\vert}{\lVert g(s) \rVert_q}를 대입하면

:\frac{\|f\|_p}\frac{\|g\|_q} \le \frac{(\frac{\|f\|_p})^p}p + \frac{(\frac{\|g\|_q})^q}q,\qquad s\in S.

주어진 양변을 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 이때 ||*f*||*p* 와 ||*g*||*q*는 상수 취급을 받는다.

:\frac{\|fg\|_1}{\lVert f \rVert_p\lVert g \rVert_q} \le \frac{1}{p(\|f\|_p)^p}\int_{S}^{} |f|^p+\frac{1}{q(\|g\|_q)^q}\int_{S}^{} |g|^q

이때, 가정에서 *p* ,*q*∈ (1,∞) 이라 가정했으므로 , ||*f*||*p* and ||*g*||*q* 의 정의에 의해,

(\lVert f \rVert_p)^p=\int_{S}^{} |f|^p  ,\quad  (\lVert g \rVert_q)^q=\int_{S}^{} |g|^q이므로,

\frac{\lVert fg \rVert_1}{\lVert f \rVert_p\lVert g \rVert_q}\le\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1

그리고, 양변에 ||*f*||*p*||*g*||*q* 을 곱하면 증명이 끝난다.

등호가 성립할 필요충분조건은 거의 모든 점에서 \frac{\left\vert f \right\vert}{\lVert f \rVert_p}=\frac{\left\vert g \right\vert}{\lVert g \rVert_q}가 성립할 때이다.

### 일반화된 횔더 부등식의 증명
횔더 부등식과 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다. *n* = 1일 때 성립한다는 사실을 쉽게 알 수 있다. *n*&nbsp;−&nbsp;1에서 성립한다고 가정하자. 이때, 일반성을 잃지 않게 *p*1&nbsp;≤ …&nbsp;≤ *p<sub>n</sub>라 가정할 수 있다.

1 : *pn* = ∞ 일 때,

:<math>\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{p_k}=\frac1r.</math>

가정과 |*fn*|의 본질적 상한을 사용하면,

:<math>\begin{align} \|f_1\cdots f_n\|_r &\le \|f_1\cdots f_{n-1}\|_r \|f_n\|_\infty\\
&\le\|f_1\|_{p_1}\cdots\|f_{n-1}\|_{p_{n-1}}\|f_n\|_\infty.\end{align}</math>

을 얻을 수 있다.

2 : *pn* < ∞ 일 때,

:<math>p:=\frac{p_n}{p_n-r}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;and&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>q:=\frac{p_n}r</math>

는 (1,∞)사이의 값을 갖는 횔더 켤레이다. 이에 대해 횔더 부등식을 적용하면,

:<math>\bigl\||f_1\cdots f_{n-1}|^r\,|f_n|^r\bigr\|_1
\le\bigl\||f_1\cdots f_{n-1}|^r\bigr\|_p\,\bigl\||f_n|^r\bigr\|_q.</math>

이를 다시 쓰면, 다음 식이 성립한다.

:<math>\|f_1\cdots f_n\|_r \le \|f_1\cdots f_{n-1}\|_{pr}\|f_n\|_{qr}.</math>

*qr* = *pn*이고,

:<math>\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{p_k} = \frac1r-\frac1{p_n} = \frac{p_n-r}{rp_n} = \frac1{pr}\,,</math>

이므로, 가정을 사용하면 원하는 부등식을 얻어낼 수 있다.

=== 역 횔더 부등식의 증명 ===

*p*와

:<math>q:=\frac{p}{p-1}\in(1,\infty)</math>

가 횔더 켤레라 하자. 횔더 부등식을 적용하면,

:<math>\begin{align} \bigl\||f|^{1/p}\bigr\|_1 &= \bigl\||fg|^{1/p}\,|g|^{-1/p}\bigr\|_1\\
&\le \bigl\||fg|^{1/p}\bigr\|_p\,\bigl\||g|^{-1/p}\bigr\|_q
=\|fg\|_1^{1/p}\,\bigl\||g|^{-1/(1-p)}\bigr\|_1^{(p-1)/p}.\end{align}</math>

양변을 *p*제곱하여, ||*fg*||<sub>1</sub>에 대해 식을 쓰면 역 횔더 부등식을 얻을 수 있다.

*g*가 거의 모든 점에서 0이 아니므로, 거의 모든 점에서 |*fg*|&nbsp;= *α*|*g*|<sup>−*q*/*p*</sup>를 만족하는 상수 *α*&nbsp;≥&nbsp;0가 존재할 때 등호가 성립하고 그 역도 성립한다.

=== 조건부 횔더 부등식의 증명 ===
확률변수를 다음과 같이 정의하자.

:<math>U=\bigl(\operatorname{E}\bigl[|X|^p\big|\,\mathcal{G}\bigr]\bigr)^{1/p},\qquad V=\bigl(\operatorname{E}\bigl[|Y|^q\big|\,\mathcal{G}\bigr]\bigr)^{1/q}</math>

이때, 이들은 부분 [[시그마 대수]]에서 측정 가능하다. 이때

:<math>\operatorname{E}\bigl[|X|^p1_{\{U=0\}}\bigr]
= \operatorname{E}\bigl[1_{\{U=0\}}\underbrace{\operatorname{E}\bigl[|X|^p\big|\,\mathcal{G}\bigr]}_{=\,U^p}\bigr]=0,</math>

집합 {*U* = 0}에서, 거의 확실하게(Almost Surely) |*X*| = 0이다. 마찬가지로, 집합 {*V* = 0}에서 거의 확실하게 |*Y*| = 0이다. 따라서,

:<math>\operatorname{E}\bigl[|XY|\big|\,\mathcal{G}\bigr]=0\qquad\text{a.s. on }\{U=0\}\cup\{V=0\}</math>

이고, 조건부 횔더 부등식은 이 집합에서 성립한다.

:<math>\{U=\infty, V>0\}\cup\{U>0, V=\infty\}</math>

우변이 무한대라도 조건부 횔더 부등식은 성립한다. 양변을 우변의 값으로 나누면, 다음과 같이 된다.

:<math>\frac{\operatorname{E}\bigl[|XY|\big|\,\mathcal{G}\bigr]}{UV}\le1
\qquad</math> 집합 <math>H:=\{0<U<\infty,\,0<V<\infty\}</math>에서 거의 확실하게 성립.

이제 임의의 집합

:<math>G\in\mathcal{G},\quad G\subset H.</math>

에서 적분을 한 후에도 부등식이 성립하는지를 확인하면 된다.

*U*, *V*, 1<sub>*G''가 부분 시그마 대수에서 측정 가능하므로, 조건부평균의 성질과 횔더 부등식을 이용하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

:\begin{align}
\operatorname{E}\biggl[\frac{\operatorname{E}\bigl[|XY|\big|\,\mathcal{G}\bigr]}{UV}1_G\biggr]
&=\operatorname{E}\biggl[\operatorname{E}\biggl[\frac{UV}1_G\bigg|\,\mathcal{G}\biggr]\biggr]\\
&=\operatorname{E}\biggl[\frac{U}1_G\cdot\frac{V}1_G\biggr]\\
&\le\biggl(\operatorname{E}\biggl[\frac{|X|^p}{U^p}1_G\biggr]\biggr)^{\!1/p\;}
\biggl(\operatorname{E}\biggl[\frac{|Y|^q}{V^q}1_G\biggr]\biggr)^{\!1/q}\\
&=\biggl(\operatorname{E}\biggl[\underbrace{\frac{\operatorname{E}\bigl[|X|^p\big|\,\mathcal{G}\bigr]}{U^p}}_{=\,1\text{ a.s. on }G}1_G\biggr]\biggr)^{\!1/p\;}
\biggl(\operatorname{E}\biggl[\underbrace{\frac{\operatorname{E}\bigl[|Y|^q\big|\,\mathcal{G}\bigr]}{V^p}}_{=\,1\text{ a.s. on }G}1_G\biggr]\biggr)^{\!1/q}\\
&=\operatorname{E}\bigl[1_G\bigr].
\end{align}

## 역사
횔더 부등식은 L.J 로저스가 1888년에 처음 찾아내었고, 이와는 독립적으로 횔더가 1889년에 발견하였다.

## 같이 보기
* 코시-슈바르츠 부등식
* 민코프스키 부등식
* 옌센 부등식
* 영의 부등식
## 참고 문헌
* 
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## 외부 링크
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