엡실론-델타 논법

해석학에서 **엡실론-델타 논법**(έψιλον-δέλτα論法, )은 함수의 극한을 수학적으로 명확하게 정의하는 방법이다.

## 개요
### 직관적인 방식으로 정의한 극한의 한계
가 로 갈 때 함수 의 극한이 임을 아래처럼 표현한다.

: \lim_{x\to c}f(x)=L

이는 직관적으로 말하면, 가 에 한없이 가까워질 때 도 에 한없이 가까워진다는 의미이다. 그런데 '한없이 가까워진다'라는 서술은 수학적으로 엄밀한 서술이 아니다.

섬네일|그림 1. 앞의 서술처럼 극한을 정의하게 되면 위와 같은 그래프는 0으로 갈 때 극한의 정의가 불분명해진다.
예를 들어 구간 [-1, 1] 위에서 \mathbf 1_\Q(x) = \begin{cases}
1 & x \in \Q \\
0 & x \notin \Q
\end{cases}로 정의된 디리클레 함수는 그림 1의 그래프와 같은 모양을 가진다. 그런데 극한을 가 0으로 갈 때의 극한을 "가 0에 한없이 가까워질 때의 함숫값"으로 정의한다면 그래프에서 볼 수 있듯이 함숫값 는 가 0에 가까워짐에 따라 0과 1을 동시에 끊임없이 반복해서 가지므로, 극한이 존재한다고 봐야할지, 아니면 0과 1 모두 극한값이라고 봐야할지, 아니면 극한이 존재하지 않는다고 봐야할지 불분명해진다. 따라서 극한을 서술하기 위해서는 다른 엄밀한 방법으로 정의해야 하는데, 이때 사용되는 것이 바로 엡실론-델타 논법이다.

### 엡실론 델타 논법의 아이디어
엡실론-델타 논법을 설명하기 위해 다음의 예시를 보자.
섬네일|그림 2. 가 로 갈 때 함수 의 극한값이 인 예시
그림 2의 그래프처럼 정의된 함수 에 대해 \lim_{x\to a}f(x)를 생각해 보자. 직관적으로 보면, 가 로 갈 때 함숫값 는 에 가까워지므로 극한값은 라고 할 수 있을 것이다. 이 말인즉슨 가 에 충분히 가까워질수록 함숫값 도 에 원하는 만큼 가까워질 수 있다는 의미이다. 반대로 말하면, 함숫값 가 에 원하는 만큼 가까워지게 하려면 가 에 충분히 가까운 거리 안에 있도록 해주면 된다. 즉, 임의의 작은 양의 실수 이 주어져서 가 와 보다는 가깝게 하고 싶다면, 가 와 어떤 충분히 작은 양의 실수 만큼의 거리 내에 있도록 해주면 된다. 이는 임의의 에 대해 **'가 되도록 하려면, 충분히 작은 실수 를 잡아서 가 **'를 만족하게 하면 된다는 뜻이다.

위의 서술은 가 로 갈 때 함수 의 극한이 라는 것을 엄밀한 서술 없이 직관적인 방식으로 이해했을 때 자연스럽게 유도되는 성질이었다. 반대로 함수의 극한을 위의 성질을 만족하도록 하는 방식으로 엄밀하게 정의할 수 있다. 즉 아래처럼 정의할 수 있다.

• *가 로 갈 때 함수 의 극한값이 라는 것은, 임의의 양의 실수 이 주어졌을 때 조건을 만족하는 어떤 양의 실수 를 항상 찾을 수 있다는 것이다. 이때의 조건이란 인 모든 가 를 만족하는 것이다.*

이러한 방식으로 극한을 정의하는 것을 **엡실론-델타 논법**이라고 한다.

참고로 가 에 가까워지는 상황을 고려하고 있으므로 극한값은 가 에서 어떤 값을 가지는지와는 무관하다. 이 사실은 인 모든 에 대해서가 아니라 인 모든 에 대해서만 조건을 만족하면 된다는 앞의 서술에 잘 나타난다.(즉, 일 때는 어떤 조건을 만족할 필요가 없다.) 앞의 엡실론-델타 논법에서 조건을 인 모든 에 대해서 만족하는 것으로 바꾸면, 이는 연속 실함수에 대한 엡실론-델타 논법을 이용한 정의가 된다.

## 정의
### 실함수의 경우
섬네일|<math>x</math>가 <math>c</math>와 <math>\delta</math>만큼 가까울 때, <math>f(x)</math>는 <math>L</math>과 <math>\epsilon</math> 이내 만큼 가깝다.
실수의 부분 집합 E\subseteq\mathbb R에 정의된 실함수 f:E\to\mathbb{R}가 E의 극한점 a\in E'에서 가지는 극한
:\lim_{E\ni x\to a}f(x)=L
을 **엡실론-델타 논법**을 통해 다음과 같이 정의를 할 수 있다.
* 임의의 \epsilon>0에 대하여, 어떤 \delta>0가 존재하여, 임의의 x\in E에 대하여, 0는 |f(x)-L|을 함의한다.
이를 기호로 표기하면 다음과 같다.
* \forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in E\colon\;0
즉, 임의의 오차 범위를 시험하였을 때, 독립 변수가 일정 값과 어떤 작은 거리 이내인 값에 대한 함숫값과 극한값이 그 오차 범위 이내인 것을 보장한다는 뜻이다.

### 거리 공간의 경우
거리 공간 (X,d_X)에서 거리 공간 (Y,d_Y)로 가는 함수 f\colon X\to Y가 X의 극한점 a\in X'에서 가지는 극한
:\lim_{x\to a}f(x)=L
의 **엡실론-델타 논법**을 통한 정의는 다음과 같다.
* 임의의 \epsilon>0에 대하여, 어떤 \delta>0가 존재하여, 임의의 x\in X에 대하여, d_X(x,a)는 d_Y(f(x),L)을 함의한다.
이를 기호로 표기하면 다음과 같다.

•\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in E\colon\;0

## 예
엡실론-델타 논법을 이용해 다음을 증명해보자.
:\lim_{x \to 2}(4x+1)=9
임의의 \epsilon>0에 대해, \delta=\epsilon/4를 고려하자. 그러면 0이면 |4x-8|을 만족한다. 따라서 |(4x+1)-9|이 성립하므로 함수의 극한값은 9이다.

한편 개요 문단에서 소개한 디리클레 함수 f(x)=\mathbf 1_\Q(x)는 모든 점에서 극한이 존재하지 않음을 엡실론-델타 논법으로 증명해보자. 귀류법으로 보이기 위해 어떤 점 
a\in\mathbb{R}에서 극한값이 L라 하자.
이때 \epsilon=\frac{1}{3}을 고려하자. 그런데 어떤 \delta>0 값을 잡든지간에 상관없이 0을 만족하는 유리수 또는 무리수 x가 항상 존재한다. 즉 f(x)가 0 또는 1인 x가 범위 안에 항상 존재하므로 |f(x)-L|을 만족할 수 없다. 모든 L에 대해 이를 만족하지 않으므로 a에서 극한은 존재하지 않는다.

## 응용
함수의 극한 외의 여러 해석학적 개념을 엡실론-델타 논법을 통해 정의할 수 있다. 특히, 실수 함수에 대해서는 다음과 같다.

### 거리 공간의 경우
두 거리 공간 사이의 함수에 대한 여러 가지 개념의 엡실론-델타 정의는 다음과 같다.

## 역사
1817년 베른하르트 볼차노가 기본적인 개념을 세웠고, 19세기 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 최초 (*ε*, *δ*) 표기를 사용해 좀 더 엄밀하게 정의하였고, 후에 카를 바이어슈트라스가 이것을 논리적으로 더욱 엄밀하게 하여 정식화하였다.

## 같이 보기
* 함수의 극한
* 수열의 극한
* 미적분학
* 해석학 (수학)

## 외부 링크
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