보른-인펠트 이론

이론물리학에서 **보른-인펠트 이론**(Born-Infeld異論, )은 비선형 전자기 이론의 하나다. 약한 장 극한에서 맥스웰 이론으로 수렴하지만, 점전하의 근처에서 장세기가 발산하지 않는다. 끈 이론에 등장한다.

## 정의
편의상 c=\epsilon_0=1로 놓자. 그렇다면, 보른-인펠트 이론의 작용은 다음과 같다.
:S=\int\left(-\sqrt{-\det\left(\eta+{F\over b}\right)}\right)\,\mathrm{d}x^4
여기서 \eta는 민코프스키 계량 텐서이며, *F*는 패러데이 텐서다. *b*는 척도 매개 변수다. 사실, b는 [길이]2의 단위를 가지므로, 장세기 F를 재정의하여 없앨 수 있으며, 따라서 이 이론은 사실 (단위 없는) 매개 변수를 갖지 않는다.

3차원 벡터로 쓰면 작용은 다음과 같다.
:S=\int\left(-\sqrt{1-\frac{E^2-B^2}{b^2}-\frac{(\mathbf E\cdot\mathbf B)^2}{b^4}}\right)\,\mathrm{d}x^4
여기서 \mathbf E는 전기장, \mathbf B는 자기장이다.

### 유도
보른-인펠트 이론은 다음 5가지 조건을 만족시키는 유일한 고전 장론이다.
# 푸앵카레 변환에 대하여 불변이다.
# 약한 장세기 극한에서 맥스웰 이론에 수렴한다.
# 바일 게이지 변환에 대하여 불변이다.
# 점입자의 전자기 에너지는 유한하다.
# 전자기파의 속력이 편광 방향에 관계 없이 일정하다.

## 성질
보른-인펠트 이론에서는 전자기장의 크기가 제약을 받는다. 정확히 말하면, 전기장 \mathbf E과 자기장 \mathbf B는 다음을 만족한다.
:E^2-B^2+(\mathbf E\cdot\mathbf B)^2/b^2\le b^2.
즉, 만약 자기장이 없으면 (\mathbf B=\mathbf 0) 전기장의 최댓값은 b이다.
:E\le b.
또한, 만약 전자기장의 크기가 b보다 현저히 작다면 (E,B\ll b) 보른-인펠트 이론은 맥스웰 이론으로 수렴한다.

구체적으로, 유클리드 부호수의 4차원 보른-인펠트 이론을 생각하자. 이 경우
:\begin{aligned}\det(\eta+F/b) &= 1 + \frac12b^{-2}F_{ij}F^{ij} + \frac1{16}b^{-4}\left(F_{ij}(\star F)^{ij}\right)^2 \\
&= \left(1+\frac1{4b^2}F_{ij}(\star F)^{ij}\right)^2 + \frac1{4b^2}(F-\star F)_{ij}(F-\star F)^{ij}
\end{aligned}
:(\star F)_{ij} = \frac12\epsilon_{ijkl}F^{kl}
이므로,
:\sqrt{\det(\eta+F/b)}-1 \ge \frac14b^{-2}F_{ij}(\star F)^{ij}
이며, 이는 천 특성류이다. 즉, 자기 쌍대 장세기(아벨 양-밀스 순간자)는 BPS 조건을 만족시켜, 자동적으로 보른-인펠트 이론의 해를 이룬다. F \ll b 극한에서는
:\sqrt{\det(\eta+F/b)} - 1 = \frac1{4b^2} F_{ij}F^{ij} + \mathcal O(b^{-4})
이므로 그 작용은 맥스웰 작용으로 근사된다. 반면, F가 크다면 작용은 위와 같이 천 특성류 항으로 근사된다. 또한, 4차원 보른-인펠트 작용은 전기-자기 이중성
:F \leftrightarrow \star F
에 대하여 (맥스웰 작용과 마찬가지로) 불변이다.

### 점전하의 자체 에너지
맥스웰 이론에서는 점전하의 자체 에너지가 발산한다. 역사적으로 보른과 인펠트는 전자의 자체 에너지가 맥스웰 이론에서 발산하는 문제를 풀기 위하여 보른-인펠트 이론을 도입하였다. 보른-인펠트 이론에서는 점전하의 전자기장 \mathbf E, \mathbf B가 유한하지만, 에너지 밀도는 발산하게 된다. 그러나 이 경우 총 에너지는 유한하다. 이러한 해를 **바이온**()이라고 한다. 여기서 "BI"는 "보른-인펠트"의 약자이다.

## 실험
보른-인펠트 이론을 실제 세계를 묘사하는, 양자 전기 역학의 보정으로 여길 경우, 이를 뒷받침하는 실험적 증거는 현재 (2016년) 존재하지 않으며, 보른-인펠트 이론의 매개 변수 b에 대한 하한은 실험적으로 측정되었다.

구체적으로, 1973년의 실험에 따르면
:b\ge 17\;\mathrm{ZV/m}
이다. 그러나 이 실험의 해석에 대하여 최근에 이의가 제기되었다.

## 디랙-보른-인펠트 작용
끈 이론에서, D-막 위의 게이지 장은 위와 비슷한 꼴의 작용을 가지는데, 이를 **디랙-보른-인펠트 작용**()이라고 부른다. 구체적으로, 그 작용은 다음과 같다.
:\mathcal{L}=-T_p\sqrt{-\det\left(\eta+2\pi\alpha'F\right)}.
여기서 T_p는 D-막의 장력(tension)이다. F_{ab}는 D-막의 게이지 장세기로, 전자기론에서의 패러데이 텐서에 해당한다. \alpha'는 레제 기울기로, 끈 이론에 등장하는 상수다.

만약 여기에 캘브-라몽 장 B_{ab}와 딜라톤 \Phi를 추가하고, 중력장을 (\eta 대신) 일반적으로 G_{ab}로 쓰면 다음과 같다.
:\mathcal L= -T_pe^{-\Phi} \sqrt{ \det (G+ B+ 2\pi\alpha'F)}.
따라서 D-막에 붙어 있는 열린 끈이 부피 공간()의 배경이 되는 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장(중력장, 캘브-라몽 장, 딜라톤 장)과 직접 결합하게 된다.

디랙-보른-인펠트 작용은 제곱근 속에 있는 항(G+B+2\pi\alpha'F))의 1차 도함수가 끈 길이 \sqrt{\alpha'}보다 매우 작을 때 믿을 수 있다. 즉, 게이지 장 A_\mu 및 스칼라 \Phi의 2차 도함수와 캘브-라몽 장의 1차 도함수가 끈 길이보다 매우 작아야 한다.

## 역사
1930년대 초에 막스 보른은 전자기장의 세기가 발산할 수 없는, 맥스웰 방정식의 변형을 찾으려고 노력하였다. 이에 따라 보른이 1933년에 최초로 제시한 라그랑지언은 다음과 같다.
:L=\frac1{b^2}\sqrt{1-b^2(\mathbf E^2-\mathbf B^2)}
같은 해에 보른과 레오폴트 인펠트는 이 항이 로런츠 불변이려면 제곱근 속에 -b^{-4}\mathbf E\cdot\mathbf B를 추가하여야 한다는 점을 지적하였다.
보른과 인펠트는 이 이론을 도입하게 된 목표를 다음과 같이 두 가지로 제시하였다.

현대적인 관점에서, (1)번 문제는 양자 전기 역학의 도입을 통해 해결되었다. 그러나 (2)번 원리를 통한 유도는 끈 이론에서 D-막의 난부-고토 작용으로부터 자연스럽게 발생하게 된다.

이후 1980년대에 초끈 이론의 D-막이 초대칭 보른-인펠트 이론을 자연스럽게 갖는다는 사실이 발견되면서 보른-인펠트 이론은 재주목받게 되었다.

## 각주

## 외부 링크
* 

분류:양자장론
분류:끈 이론
분류:양자 전기역학