스튀름-리우빌 연산자

상미분 방정식 이론에서, **스튀름-리우빌 연산자**(Sturm-Liouville演算子, )는 이산 스펙트럼을 갖는 특별한 형태의 2차 미분 연산자이다. 그 고유 함수에 대한 2차 상미분 방정식을 **스튀름-리우빌 방정식**(Sturm-Liouville方程式, )이라고 하며, 이에 대한 이론을 **스튀름-리우빌 이론**(Sturm-Liouville理論, )이라고 한다. 모든 2차 상미분 방정식은 항상 스튀름-리우빌 형으로 놓을 수 있다.

## 정의
실수의 닫힌구간 [a,b] \subsetneq \mathbb R이 주어졌다고 하자. 그 위의 2차 연속 미분 가능 함수에 대한 **스튀름-리우빌 연산자**는 다음과 같은 꼴의 2차 미분 연산자이다.
:D \colon \mathcal C^2([a,b],\mathbb R) \to \mathcal C^0([a,b],\mathbb R)
:D = -\frac1{w(x)}\left(\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}+q(x)\right)
= -\frac{p(x)}{w(x)}
\frac{d^2}{dx^2}
- \frac1{w(x)}p'(x)\frac{d}{dx}
- \frac{q(x)}{w(x)}

여기서
* p \colon [a,b] \to \mathbb R^+는 양의 실수 값의 연속 미분 가능 함수이다.
* q \colon [a,b] \to \mathbb R는 연속 함수이다.
* w \colon [a,b] \to \mathbb R^+는 양의 실수 값의 연속 함수이다. (이를 **무게 함수** 라고 한다.)

닫힌구간 [a,b] 위의 **로뱅 경계 조건**(Robin境界條件, )이란 [a,b] 위의 연속 미분 가능 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 경계 조건이다.
:\alpha_a y(a) + \beta_a y'(a) = 0\qquad(\alpha_a,\beta_a\in\mathbb R)
:\alpha_b y(b) + \beta_b y'(b) = 0\qquad(\alpha_a,\beta_a\in\mathbb R)
여기서, 다음 조건이 성립해야 한다.
* \alpha_a 또는 \beta_a 가운데 하나 이상이 0이 아니며, 마찬가지로 \alpha_b 또는 \beta_b 가운데 하나 이상이 0이 아니다.
즉, [\alpha_a:\beta_a]와 [\alpha_b:\beta_b]는 각각 실수 사영 직선 \mathbb P^1_{\mathbb R} = \mathbb R \sqcup \{\infty\}의 두 점의 동차 좌표를 이룬다.

로뱅 경계 조건을 골랐다면, 스튀름-리우빌 연산자는 힐베르트 공간
:H = \operatorname L^2([a,b],w(x)\,\mathrm dx)
= \left\{ f\in \operatorname L^0([a,b],\mathbb R)
\colon \int_a^b |f(x)|^2w(x)\,\mathrm dx 
위의 자기 수반 작용소로 유일하게 확대될 수 있다. 이러한 확대는 선택한 로뱅 경계 조건에 의존한다.

스튀름-리우빌 연산자 D의 고유 함수 방정식
:Dy(x) = \lambda y(x)
즉 선형 상미분 방정식
: -\frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{dy(x)}{dx}\right)-q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)
을 **스튀름-리우빌 방정식**()이라고 한다.
이 방정식은 선형 상미분 방정식이므로, p와 q, \lambda의 값에 따라 해의 공간은 벡터 공간을 이룬다. **스튀름-리우빌 문제**는 스튀름-리우빌 미분 연산자의 고윳값을 구하는 문제이다.

## 성질
### 고윳값과 고유 함수
[a,b] 위의 무게 함수
:w \colon [a,b] \to \mathbb R^+
에 대한 스튀름-리우빌 연산자
:D \colon \operatorname L^2([a,b],w)\to \operatorname L^2([a,b],w)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼은 가산 집합이며, 하계를 가지며, 상계를 갖지 않으며, 중복되지 않는다. 즉, 다음과 같이 놓을 수 있다.
:\lambda_0 
:\lim_{i\to\infty}\lambda_i = +\infty
각 고윳값 \lambda_i에 대응하는 고유 함수의 공간은 1차원이며, 이는 해당 로뱅 경계 조건을 따르는 연속 미분 가능 함수로 구성된다. 또한, 이 함수는 열린구간 (a,b) 속에서 정확히 i개의 영점을 갖는다.

이러한 고유 함수들의 집합 \{y_0,y_1,\dotsc\}은 (H의 내적에 따라 정규화하였을 때) H의 정규 직교 기저를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
:\int_a^b y_i(x)y_j(x)w(x)\,\mathrm dx = \delta_{ij}

### 2차 선형 미분 방정식의 스튀름-리우빌 형태로의 환원
모든 2차 선형 상미분 방정식은 좌변에 적당한 적분 인자()를 곱해 스튀름-리우빌 방정식의 꼴로 놓을 수 있다. (2차 편미분 방정식이나, *y*가 스칼라가 아니라 벡터인 경우에는 성립하지 않는다.)

일반적으로 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식이 주어졌다고 하자.
: P(x)y*+Q(x)y'+R(x)y=0</math>

양변을 *P*(*x*)로 나누고, 다시 양변에 적분 인자
: <math>\exp\left(\int \frac{Q(x)}{P(x)}\,dx\right)</math>
를 곱한 뒤, 정리하면 스튀름-리우빌 형 방정식을 얻는다.

== 예 ==
=== 베셀 방정식 ===
[[베셀 방정식]]
: <math>x^2y*+xy'+(\lambda^2x^2-\nu^2)y=0
은 양변에 적당한 함수를 곱하면 다음과 같은 스튀름-리우빌 방정식이 된다.
: (xy')'+(\lambda^2 x-\nu^2/x)y=0
즉, 이 경우 스튀름-리우빌 연산자는
:-\frac{d}{dx}\left(x \frac{d}{dx}\right) + \nu^2/x-\lambda^2 x
이다.

### 르장드르 방정식
르장드르 방정식
:(1-x^2)y*-2xy'+\nu(\nu+1)y=0</math>
은 쉽게 스튀름-리우빌 형으로 만들 수 있다.
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(1-x^2) = -2x</math>
이므로, 르장드르 방정식은 다음 모양으로 만들 수 있다.
:<math>[(1-x^2)y']'+\nu(\nu+1)y=0</math>
즉, <math>\nu(\nu+1)</math>은 스튀름-리우빌 연산자
:<math>\frac{d}{dx}\left((1-x^2)\frac{d}{dx}\right)</math>
의 고윳값이다.

=== 더 복잡한 2차 상미분 방정식 ===
좀 더 복잡한 예로 다음 [[상미분 방정식]]을 생각하자.
: <math>x^3y*-xy'+2y=0
양변을 *x*3으로 나누고
:y*-{x\over x^3}y'+{2\over x^3}y=0</math>
다시 양변에 다음과 같은 적분 인자를 곱한다.
: <math>\exp\left(\int -\frac x{x^3}\,\mathrm dx\right)=\exp\left(\int -\frac1{x^2}\, \mathrm dx\right)=\exp(1/x)</math>

그러면 다음과 같은 방정식이 나온다.
: <math>\exp(1/x)y*-\frac1{x^2}\exp(1/x)y'+ \frac2{x^3}\exp(1/x)y = 0
이 방정식은 스튀름-리우빌 형으로 바꿀 수 있는데,
: \frac{d}{dx}\exp(1/x) = -\frac1{x^2}\exp(1/x)
이기 때문이다. 따라서 앞서 말한 미분 방정식은 아래의 스튀름-리우빌 미분 방정식과 같다.
: (\exp(1/x)y')'+\frac2{x^3}\exp(1/x) y =0
즉, 스튀름-리우빌 연산자는 다음과 같다.
:\frac{d}{dx}\left(\exp(1/x)\frac{d}{dx}\right) + \frac2{x^3}\exp(1/x)

## 역사
자크 샤를 프랑수아 스튀름과 조제프 리우빌의 이름을 땄다.

## 같이 보기
* 매개변수변환법
## 참고 문헌
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## 외부 링크
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