삼각 분할 범주

호몰로지 대수학에서 **삼각 분할 범주**(三角分割範疇, )는 유도 범주 및 안정 호모토피 범주와 유사한 성질을 가지는 범주이다. 이 위에 일반적인 코호몰로지 함자의 개념을 정의할 수 있다.

## 정의
### 삼각형
범주 \mathcal C 위의 자기 동치 \Sigma\colon\mathcal C\to\mathcal C가 주어졌다고 하자. (\mathcal C,\Sigma) 위의 **삼각형**()은 다음과 같은 꼴의 사상들이다.
:X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ\xrightarrow h\Sigma X
이를 (f,g,h)로 쓰자.

(\mathcal C,\Sigma) 속의 두 삼각형
:X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ\xrightarrow h\Sigma X
:X'\xrightarrow{f'}Y'\xrightarrow{g'}Z'\xrightarrow{h'}\Sigma X'
사이의 **동형**은 다음 조건을 만족시키는 동형 사상
:i_X\colon X\to X'
:i_Y\colon Y\to Y'
:i_X\colon Z\to Z'
이다.
:f'=i_Y\circ f\circ i_X^{-1}
:g'=i_Z\circ g\circ i_Y^{-1}
:h'=\Sigma(i_Z)\circ h\circ i_Z^{-1}

### 삼각 분할 범주
**삼각 분할 범주**는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* \operatorname{Ab}-풍성한 범주 \mathcal C
* 자기 동치 \Sigma\colon\mathcal C\to\mathcal C
* 삼각형들로 구성된 모임. 이 모임의 원소를 **특별 삼각형**()이라고 한다.
이 데이터는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.
* \mathcal C는 유한 완비 범주이다. (즉, 가법 범주이다.) 이에 따라 \mathcal C는 영 대상을 갖는다.
* 임의의 대상 X에 대하여, X\xrightarrow{\operatorname{id}_X}X\to0\to\Sigma X는 특별 삼각형이다.
* 임의의 사상 f\colon X\to Y에 대하여, X\xrightarrow f Y\to Z\to\Sigma X와 같은 꼴의 특별 삼각형이 존재한다. 이 경우 Z를 f의 **사상뿔**()이라고 한다.
* 특별 삼각형과 동형인 삼각형은 특별 삼각형이다.
* 특별 삼각형 X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ\xrightarrow h\Sigma X이 주어졌을 때, Y\xrightarrow gZ\xrightarrow h\Sigma X\xrightarrow{\Sigma f}Y 및 Z\xrightarrow h\Sigma X\xrightarrow{\Sigma f}\Sigma Y\xrightarrow{\Sigma g}\Sigma Z 역시 특별 삼각형이다.
* **정팔면체 공리**()가 성립한다. 이에 따르면, 사상 f\colon X\to Y 및 g\colon Y\to Z가 주어졌을 때, f, g, g\circ f에 대한 세 개의 삼각뿔 Z', X', Y'이 주어졌을 때 이들을 짜기워 특별 삼각형 Z'\to Y'\to X'\to\Sigma Z'을 만들 수 있다. 즉, 다음과 같은 정팔면체 그림이 존재한다.
*:\begin{matrix}
X'&&\to&&Z\\
&\searrow&\scriptstyle\mathsf d&\nearrow\\
\downarrow&\scriptstyle\mathsf c&Y&\scriptstyle\mathsf c&\uparrow\\
&\swarrow&\scriptstyle\mathsf d&\nwarrow\\
Z'&&\to&&X
\end{matrix}
\qquad\begin{matrix}
X'&&\to&&Z\\
&\nwarrow&\scriptstyle\mathsf c&\swarrow\\
\downarrow&\scriptstyle\mathsf d&Y'&\scriptstyle\mathsf d&\uparrow\\
&\nearrow&\scriptstyle\mathsf c&\searrow\\
Z'&&\to&&X
\end{matrix}

위 그림은 정팔면체의 북반구와 남반구를 분리하여 그린 것이다. 여기서
* \mathsf c는 가환 삼각형을 나타낸다.
* \mathsf d는 특별 삼각형을 나타낸다.
* Z'\to X, X'\to Y, Y'\to X, X'\to Z'은 (특별 삼각형의 셋째 변이므로) 등급이 1이다. 즉, 사실 Z'\to\Sigma X와 같은 사상이다.

이 정팔면체 그림은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.
:\begin{matrix}
&&&&\scriptstyle\mathsf d\\
Z'&&\xrightarrow\exists&&Y'&&\xrightarrow\exists&&X'\\
&\scriptstyle\mathsf c&&\swarrow&\scriptstyle\mathsf d&\nwarrow&&\scriptstyle\mathsf c\\
\|&&X&&\to&&Z&&\|\\
&\nearrow&\scriptstyle\mathsf d&\searrow&\scriptstyle\mathsf c&\nearrow&\scriptstyle\mathsf d&\searrow\\
Z'&&\leftarrow&&Y&&\leftarrow&&X'
\end{matrix}
\qquad

여기서 맨 위의 \mathsf d는 이 그림의 둘레를 따르는 삼각형 Z'\to Y'\to X'\to\Sigma Z'이 특별 삼각형임을 뜻한다. 이 그림에서 사각형
:\begin{matrix}
Y&\to&Z\\
\downarrow&&\downarrow\\
Z'&\to&Y'
\end{matrix}
및
:\begin{matrix}
Y'&\to&X\\
\downarrow&&\downarrow\\
X'&\to&Y
\end{matrix}
역시 가환 사각형을 이루어야 한다.

또한, 이 정팔각형 그림은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.
:
\begin{matrix}
X\\
\downarrow&\searrow\\
Y&\to&Z\\
\downarrow&&\downarrow&\searrow\\
Z'&\overset\exists\to&Y'&\overset\exists\to&X'\\
&\searrow&\downarrow&&\downarrow&\searrow\\
&&\Sigma X&\to&\Sigma Y&\to&\Sigma Z'
\end{matrix}
이 그림에서는 모든 삼각형·사각형이 가환 다각형이다.

## 성질
삼각 분할 범주에서, 모든 단사 사상은 분할 단사 사상이며 모든 전사 사상은 분할 전사 사상이다.

삼각 분할 범주 위에서 코호몰로지의 개념을 정의할 수 있다.

삼각 분할 범주에서 두 특별 삼각형 X\to Y\to Z\to\Sigma X 및 X'\to Y'\to Z'\to\Sigma X' 및 처음 두 꼭짓점들 사이의 사상 X\to X', Y\to Y'이 주어졌을 때, 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 Z\to Z'이 존재한다.
:\begin{matrix}
X&\to&Y&\to&Z&\to&\Sigma X\\
\downarrow&&\downarrow&&{\scriptstyle\exists}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\Sigma\\
X'&\to&Y'&\to&Z'&\to&\Sigma X'
\end{matrix}
이 성질은 베르디에의 원래 논문에서 삼각 분할 범주의 4개의 공리 가운데 셋째(TR3)로 제시되었으나, 이후 존 피터 메이()가 셋째 공리를 다른 공리들로부터 유도할 수 있음을 보였다.

## 예
### 벡터 공간
체 K 위의 벡터 공간들의 범주 \operatorname{Vect}_K 위에 다음과 같이 삼각 분할 범주의 구조를 줄 수 있다.
* 자기 동치는 항등 함자 \Sigma=\operatorname{Id}이다.
* 특별 삼각형은 완전열 U\to V\to W\to U\to V이다.

### 아벨 범주의 유도 범주
아벨 범주 \mathcal A가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 호모토피 범주 \mathcal K(\mathcal A) (즉, 대상은 사슬 복합체, 사상은 사슬 사상의 호모토피류)는 삼각 분할 범주를 이룬다. 이 경우 특별 삼각형은 호몰로지 대수학에서의 사상뿔과 동형인 삼각형이다.

아벨 범주 \mathcal A의 호모토피 범주 \mathcal K(\mathcal A)의 약한 동치를 국소화하면 유도 범주 \operatorname D(\mathcal A)를 얻는다. 이 역시 삼각 분할 범주를 이룬다. 이는 약한 동치의 국소화가 삼각 분할 구조와 호환되기 때문이다.

### 안정 호모토피 범주
스펙트럼들로 구성된 안정 호모토피 범주 역시 삼각 분할 범주를 이룬다. 자기 동치 \Sigma는 스펙트럼의 현수이다.

## 역사
장루이 베르디에가 1963년 박사 학위 논문에서 유도 범주와 함께 정의하였다. 베르디에는 유도 범주에서 등장하는 특별 삼각형들의 성질들을 공리화하여 삼각 분할 범주의 개념을 추출하였다.

## 같이 보기
* D가군

## 참고 문헌

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## 외부 링크
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분류:호몰로지 대수학