프레넬 방정식

섬네일|프레넬 방정식
**프레넬 방정식**() 또는 **프레넬 공식**()은 반사계수와 투과계수에 관한 것으로 한 매질과 광학적 특성 즉, 굴절률이 다른 매질의 계면에서 반사 또는 투과 진폭을 입사진폭으로 나눈 값을 말한다. 프랑스의 물리학자 오귀스탱 장 프레넬이 유도하였다.

## 개요
굴절률이 *n*1인 매질에서 *n*2인 매질로 빛이 투과할 때 반사와 굴절이 일어난다. 프레넬 방정식은 이 성질을 반사계수, 투과계수로 나누어 성분을 분석하여 표현한 방정식이다.

이 방정식에는 간단한 가정이 있는데, 첫 번째는 빛이 한 매질에서 다른 매질로 투과할 때, 그 면이 균일하고 평평한 평면이며, 둘째는 빛이 투과할 때 평면파라는 것이다.

## 진폭 방정식
**진폭 방정식**()은 빛을 전자기파로 취급하여 반사의 법칙, 굴절의 법칙과 이들의 반사광과 굴절광의 세기를 표현한 것이다. 빛이 경계면을 지날 때의 전기장과 자기장의 경계조건을 빛의 파동 방정식에 적용하여 구현하였다.
오른쪽|섬네일|300px|프레넬 방정식에 쓰이는 변수들

### 표기법
입사파를 *i*, 반사파를 *r*, 투과파를 *t*로 쓰자.

### 반사, 굴절
입사파와 반사파, 굴절파의 위상은 같다.

:\boldsymbol{K}_i \boldsymbol{r} - \omega t = \boldsymbol{K}_r \boldsymbol{r} - \omega t = \boldsymbol{K}_t \boldsymbol{r} - \omega t

:\boldsymbol{K}_i = K_i\sin\theta_{i} \bar{x} + K_i\cos\theta_{i} \bar{z}

:\boldsymbol{K}_r = K_r\sin\theta_{r} \bar{x} - K_r\cos\theta_{r} \bar{z}

:\boldsymbol{K}_t = K_t\sin\theta_{t} \bar{x} + K_t\cos\theta_{t} \bar{z}

z = 0 일때

:K_i\sin\theta_{i} \bar{x} = K_r\sin\theta_{r} \bar{x} = K_t\sin\theta_{t} \bar{x}
:K_i\sin\theta_{i}  = K_r\sin\theta_{r}  = K_t\sin\theta_{t}\ 
이고
:K = n \frac{\omega}{c}
:n_i = n_r
이므로
:\sin\theta_{i} = \sin\theta_{r}
:\theta_i=\theta_r
을 만족한다 이를 반사의 법칙이라고 한다. 그리고
:n_i\sin\theta_{i} = n_t\sin\theta_{t}
이다. 이를 스넬의 법칙이라고 한다.

### 파동방정식
전자기파인 빛을 파동형태로 나타낸 방정식으로 빛이 투과하는 경계면과 법선에 대하여 입사파, 투과파, 반사파로 나누어 나타낼 수 있으며, 각 파들의 계수들은 서로 관련이 있다.

#### 멕스웰 방정식 및 표기법은 다음과 같다
:\boldsymbol{K} \times \boldsymbol{E} = {\omega}\boldsymbol{B} = {\omega}{\mu}\boldsymbol{H}
:\boldsymbol{H} = \frac{n}\bar{k}\times\boldsymbol{E}
:\tau = \boldsymbol{K}\boldsymbol{r} - \omega t

#### 입사파
빛이 경계면에 입사하는 파로 전기장과 자기장의 각각의 x, y, z성분은 다음과 같다.
:E^i_x = -I_\parallel \cos\theta_i e^{i\tau_i}
:E^i_y = I_\bot e^{i\tau_i}
:E^i_z = I_\parallel \sin\theta_i e^{i\tau_i}
:H^i_x = -I_\bot \cos\theta_i \frac{n_i}{\mu_i c}e^{i\tau_i}
:H^i_y = -I_\parallel\frac{n_i}{\mu_i c}e^{i\tau_i}
:H^i_z = I_\bot \sin\theta_i \frac{n_i}{\mu_i c}e^{i\tau_i}

#### 투과파
빛이 경계면을 투과하는 파로 전기장과 자기장의 각각의 x, y, z성분은 다음과 같다.
:E^t_x = -T_\parallel \cos\theta_t e^{i\tau_t}
:E^t_y = T_\bot e^{i\tau_t}
:E^t_z = T_\parallel \sin\theta_t e^{i\tau_t}
:H^t_x = -T_\bot \cos\theta_t \frac{n_t}{\mu_t c}e^{i\tau_t}
:H^t_y = -T_\parallel\frac{n_t}{\mu_t c}e^{i\tau_t}
:H^t_z = T_\bot \sin\theta_t \frac{n_t}{\mu_t c}e^{i\tau_t}

#### 반사파
빛이 반사하는 파로 전기장과 자기장의 각각의 x, y, z성분은 다음과 같다.
:E^r_x = -R_\parallel \cos\theta_r e^{i\tau_r}
:E^r_y = R_\bot e^{i\tau_r}
:E^r_z = R_\parallel \sin\theta_r e^{i\tau_r}
:H^r_x = -R_\bot \cos\theta_r \frac{n_t}{\mu_r c}e^{i\tau_r}
:H^r_y = -R_\parallel\frac{n_r}{\mu_r c}e^{i\tau_r}
:H^r_z = R_\bot \sin\theta_r \frac{n_r}{\mu_r c}e^{i\tau_r}

### 경계조건
#### 멕스웰 방정식 경계조건
: \bar{z}\times\left(\boldsymbol{E_2} - \boldsymbol{E_1}\right) = 0 
: \bar{z}\cdot\left(\boldsymbol{D_2} - \boldsymbol{D_1}\right) = 0 
: \bar{z}\times\left(\boldsymbol{H_2} - \boldsymbol{H_1}\right) = 0 
: \bar{z}\cdot\left(\boldsymbol{B_2} - \boldsymbol{B_1}\right) = 0 
이를 풀어 쓰면 다음과 같다
:E^i_x + E^r_x = E^t_x
:E^i_y + E^r_y = E^t_y
:H^i_x + H^r_x = H^t_x
:H^i_y + H^r_y = H^t_y
:D^i_z + D^r_z = D^t_z
:B^i_z + B^r_z = B^t_z

이때 경계면에서는 z=0 이므로 다음과 같다.
:\tau_i=\tau_r=\tau_t

### 프레넬 계수
주어진 프레넬 방정식에 경계조건을 대입하면 방정식의 계수를 구할 수 있다. 이들을 **프레넬 계수**()라고 하고, 다음과 같다.
:R_\bot = \frac{n_1 \cos \theta_\text{i} - n_2 \cos \theta_\text{t}}{n_1 \cos \theta_\text{i} + n_2 \cos \theta_\text{t}}I_\bot 

:T_\bot  = \frac{2 n_1 \cos \theta_\text{i}}{n_1 \cos \theta_\text{i} + n_2 \cos \theta_\text{t}}I_\bot 

:R_\parallel = \frac{n_2 \cos \theta_\text{i} - n_1 \cos \theta_\text{t}}{n_1 \cos \theta_\text{t} + n_2 \cos \theta_\text{i}}I_\parallel 

:T_\parallel = \frac{2 n_1\cos \theta_\text{i}}{n_1 \cos \theta_\text{t} + n_2 \cos \theta_\text{i}}I_\parallel 

## 반사율과 투과율
프레넬 계수를 통하여 반사율과, 투과율을 정의할 수 있는데, 프레넬 방정식은 전기장을 빛의 전자기를 서술하는 방정식이고, 반사율과 투과율은 빛의 세기를 나타내는 것이다. 그리고 반사율과, 투과율은 입사한 빛의 세기에 대해 얼마만큼 반사하거나 투과했는지의 비율을 나타낸 값이다. 따라서 이를 정리하면, 반사율(\mathbb{R})과 투과율(\mathbb{T})은 다음과 같다.

:\mathbb{R} = \frac{{\left| R \right|}^2}{{\left| I \right|}^2}
:\mathbb{T} = \frac{\frac{\epsilon_t}{n_t}{\left| T \right|}^2 \cos\theta_t}{\frac{\epsilon_i}{n_i}{\left| I \right|}^2 \cos\theta_i}

여기서 투과율은 입사한 빛과 투과한 빛의 매질과 유전율이 다르고 입사각과 투과각이 다르기 때문에 이를 고려한 값이다.

## 같이 보기
* 스넬의 법칙

## 외부 링크
* 프레넬 방정식 계산기

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