초점거리

[right|thumb|양(볼록) [렌즈, 음(오목) 렌즈, 오목 거울, 볼록 거울의 초점 **F**와 초점 거리 f.]]
**초점거리**(焦點距離, focal length)는 광학의 **주요점**(主要點, cardinal points) 중 하나로, 광축에 평행으로 입사한 광선이 광축과 교차되는 점, 또는 그 점에서 나온 광선이 광학계(光學系, optical system)를 통과한 후에 광축에 평행으로 나아가는 점을 말한다. 이는 대상 광학계가 얼마나 강하게 빛을 수렴하거나 분산시키는지를 측정하는 정도를 나타내는 값이기도 하며, 광학계의 상 **주점**(主點, principal point)으로부터 상 초점까지의 거리로 정의하기도 한다. 카메라의 성능을 표현 할 때 **상점**(像點, image point)과 혼동하여 표기하나 이는 잘못된 표현이다.

광학계의 초점 거리는 시스템이 빛을 얼마나 강하게 수렴시키거나 발산시키는지를 나타내는 척도다. 길이의 단위를 가지며, 이상적인 얇은 렌즈의 경우 렌즈와 그 초점 사이의 거리와 같다. 양의 초점 거리는 시스템이 빛을 수렴시킨다는 것을 나타내고, 음의 초점 거리는 시스템이 빛을 발산시킨다는 것을 나타낸다. 초점 거리가 짧은 시스템은 광선을 더 급격하게 굴절시켜 짧은 거리에서 초점을 맺거나 더 빠르게 발산시킨다. 공기 중의 얇은 렌즈라는 특수한 경우, 양의 초점 거리는 처음에 평행하게 들어온 광선(준직광)이 초점에 모이는 거리가 된다. 반대로 음의 초점 거리는 점 광원이 렌즈 앞 어느 지점에 위치해야 준직광 광선을 형성할 수 있는지를 나타낸다. 보다 일반적인 광학계에서 초점 거리는 직관적인 의미를 갖지 않으며, 단순히 시스템 굴절력의 역수다.

대부분의 사진술과 모든 망원경학에서와 같이 피사체가 본질적으로 무한히 멀리 떨어져 있는 경우, 초점 거리가 길수록(굴절력이 낮을수록) 배율은 높아지고 화각은 좁아진다. 반대로 초점 거리가 짧거나 굴절력이 높으면 배율은 낮아지고 화각은 넓어진다. 반면, 물체를 렌즈에 가깝게 가져가서 배율을 얻는 현미경학과 같은 응용 분야에서는 초점 거리가 짧을수록(굴절력이 높을수록) 피사체를 투영 중심에 더 가깝게 가져올 수 있기 때문에 더 높은 배율을 얻을 수 있다.

## 얇은 렌즈 근사
공기 중의 얇은 렌즈의 경우, 초점 거리는 렌즈의 중심에서 렌즈의 주초점(또는 초점)까지의 거리다. 수렴 렌즈(예: 볼록 렌즈)의 경우 초점 거리는 양수이며, 평행한 빛의 빔이 한 점으로 모이는 거리다. 발산 렌즈(예: 오목 렌즈)의 경우 초점 거리는 음수이며, 렌즈를 통과한 후 평행한 빔이 발산되는 것처럼 보이는 지점까지의 거리다.

렌즈를 사용하여 어떤 물체의 이미지를 형성할 때, 물체에서 렌즈까지의 거리 u, 렌즈에서 이미지까지의 거리 v, 초점 거리 f는 다음과 같은 관계를 갖는다.
:\frac{1}{f} =\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\ .

얇은 볼록 렌즈의 초점 거리는 먼 광원의 이미지를 스크린에 형성하여 쉽게 측정할 수 있다. 스크린에 선명한 이미지가 형성될 때까지 렌즈를 이동시킨다. 이 경우 는 무시할 수 있으며, 초점 거리는 다음과 같이 주어진다.
:f \approx v\ .

오목 렌즈의 초점 거리를 결정하는 것은 다소 어렵다. 이러한 렌즈의 초점 거리는 퍼지는 광선을 뒤로 연장했을 때 만나는 지점으로 정의된다. 이러한 테스트 중에는 이미지가 형성되지 않으며, 초점 거리는 렌즈를 통해 빛(예: 레이저 빔의 빛)을 통과시키고 그 빛이 얼마나 분산되거나 굴절되는지 검사하고 광선을 렌즈의 초점 방향으로 역추적하여 결정해야 한다.

## 일반 광학계
thumb|upright=1.5|두꺼운 렌즈 도해
두꺼운 렌즈(두께를 무시할 수 없는 렌즈) 또는 여러 개의 렌즈나 거울로 구성된 이미징 시스템(예: 카메라 렌즈 또는 망원경)의 경우, 초점 거리라고 불리는 몇 가지 관련 개념이 존재한다.
;유효 초점 거리 (Effective focal length, EFL): 유효 초점 거리는 광학계 굴절력의 역수이며, 시스템의 배율을 계산하는 데 사용되는 값이다. 광학계의 이미징 특성은 시스템을 동일한 EFL을 가진 이상적인 얇은 렌즈로 교체하여 모델링할 수 있다. 또한 EFL은 광선을 추적하지 않고도 절점을 찾는 간단한 방법을 제공한다. 이전에는 등가 초점 거리(equivalent focal length)라고 불렸다(35mm 등가 초점 거리와 혼동하지 말 것).
;전방 초점 거리 (Front focal length, FFL): 전방 초점 거리 는 전방 초점 에서 전방 주평면 까지의 거리다.
;후방 초점 거리 (Rear focal length, RFL): 후방 초점 거리 는 후방 주평면 에서 후방 초점 까지의 거리다.
;전방 초점 정점 거리 (Front focal distance, FFD): 전방 초점 정점 거리 ()는 시스템의 전방 초점 ()에서 첫 번째 광학 표면의 정점 ()까지의 거리다. 일부 저자들은 이를 "전방 초점 거리"라고 부르기도 한다.
;후방 초점 정점 거리 (Back focal distance, BFD): 후방 초점 정점 거리 ()는 시스템의 마지막 광학 표면의 정점 ()에서 후방 초점 ()까지의 거리다. 일부 저자들은 이를 "후방 초점 거리"라고 부르기도 한다.

굴절률을 1로 간주할 수 있는 공기 또는 진공 중의 광학계의 경우, 유효 초점 거리, 전방 초점 거리 및 후방 초점 거리가 모두 동일하며 단순히 "초점 거리"라고 부를 수 있다.

thumb|후방 초점 거리 와 EFL을 보여주는 인간의 눈 도식
공기나 진공 이외의 매질에 있는 광학계의 경우, 전방 및 후방 초점 거리는 EFL에 렌즈 앞뒤 매질의 굴절률 (위 도표에서  및 )을 곱한 것과 같다. 이 경우 "초점 거리"라는 용어 자체는 모호하다. 역사적인 관례는 "초점 거리"를 EFL에 매질의 굴절률을 곱한 것으로 정의하는 것이었다. 인간의 눈과 같이 양쪽에 서로 다른 매질이 있는 시스템의 경우 전방 및 후방 초점 거리는 서로 같지 않으며, 관례에 따라 어느 쪽을 시스템의 "초점 거리"라고 부를지 결정할 수 있다. 일부 현대 저자들은 "초점 거리"를 EFL의 동의어로 정의함으로써 이러한 모호함을 피한다.

전방/후방 초점 거리와 EFL의 구별은 인간의 눈을 연구할 때 중요하다. 눈은 전방 및 후방 초점 거리가 눈의 것과 동일한 공기/유체 경계면의 등가 얇은 렌즈로 나타낼 수 있고, 또는 초점 거리가 눈의 EFL과 동일하며 완전히 공기 중에 있는  등가 얇은 렌즈로 나타낼 수 있다.

공기 중() 두께가 인 렌즈와 곡률 반경이  및 인 표면의 경우, 유효 초점 거리 는 렌즈 제작자 공식에 의해 다음과 같이 주어진다.

\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + \frac{(n-1)d}{n R_1 R_2} \right),여기서 은 렌즈 매질의 굴절률이다. 양 은 렌즈의 굴절력으로도 알려져 있다.

그에 상응하는 전방 초점 정점 거리는 다음과 같고:\mbox{FFD} = f \left( 1 + \frac{ (n-1) d}{n R_2} \right), 
후방 초점 정점 거리는 다음과 같다.
\mbox{BFD} = f \left( 1 - \frac{ (n-1) d}{n R_1} \right). 

여기서 사용된 부호 규약에서, 첫 번째 렌즈 표면이 볼록하면  값은 양수이고 오목하면 음수다. 두 번째 표면이 볼록하면  값은 음수이고 오목하면 양수다. 부호 규약은 저자마다 다르며, 이로 인해 사용된 규약에 따라 이러한 방정식의 형태가 달라질 수 있다.

공기 중의 구형 거울의 경우, 초점 거리의 크기는 거울의 곡률 반경을 2로 나눈 것과 같다. 초점 거리는 오목 거울의 경우 양수이고 볼록 거울의 경우 음수다. 광학 설계에서 사용되는 부호 규약에서 오목 거울은 음의 곡률 반경을 가지므로 다음과 같다.

f = -{R \over 2},

여기서 은 거울 표면의 곡률 반경이다.

여기서 사용된 곡률 반경의 부호 규약에 대한 자세한 내용은 곡률 반경(광학)을 참조하라.

## 사진술에서

thumb|upright=1.5|초점 거리 인 얇은 볼록 렌즈에서 검은색 글자의 이미지가 빨간색으로 표시된다. 선택된 광선은 글자 '''E''', '''I''', '''K'''에 대해 각각 파란색, 녹색, 주황색으로 표시된다. '''E'''()는 같은 크기의 실상이며 거꾸로 맺힌다. '''I'''()는 이미지가 무한대에 맺힌다. '''K'''()는 두 배 크기의 허상이며 똑바로 맺힌다.
thumb|upright=1.5|이 컴퓨터 시뮬레이션에서, 피사체를 프레임 안에 유지하면서(카메라 위치를 그에 맞춰 변경하여) 시야각을 조정하면(초점 거리를 변경하여) 매우 다른 이미지가 생성된다. 초점 거리가 무한대에 가까워지면(화각 0도) 광선이 서로 거의 평행해져 피사체가 "압축된" 것처럼 보인다. 초점 거리가 짧으면(시야각이 크면) 피사체가 "왜곡된" 것처럼 보인다.

카메라 렌즈의 초점 거리는 일반적으로 밀리미터(mm)로 지정되지만, 일부 구형 렌즈는 센티미터(cm)나 인치로 표시되기도 한다.

렌즈의 초점 거리 와 시야각(FOV)은 반비례한다. 표준 직선 렌즈의 경우 \mathrm{FOV} = 2\arctan{\left({x\over2f}\right)}이며, 여기서 는 필름 또는 이미지 센서의 너비다.

카메라 렌즈를 "무한대"로 설정하면, 후방 주평면은 초점면에 위치한 센서 또는 필름으로부터 렌즈의 초점 거리만큼 떨어지게 된다. 그러면 카메라에서 멀리 떨어진 물체는 이미지 평면이기도 한 센서나 필름에 선명한 이미지를 생성한다.

더 가까운 물체를 선명한 초점으로 렌즈에 담으려면, 후방 주평면과 필름 사이의 거리를 늘려 필름을 이미지 평면에 두도록 렌즈를 조정해야 한다. 초점 거리 , 전방 주평면에서 촬영할 물체까지의 거리 , 후방 주평면에서 이미지 평면까지의 거리 는 다음과 같은 관계를 갖는다.

\frac{1}{s_1} + \frac{1}{s_2} = \frac{1}{f}\,.

이 감소하면 는 증가해야 한다. 예를 들어, 초점 거리가  50&nbsp;mm인 35mm 카메라용 표준 렌즈를 생각해 보자. 먼 물체()에 초점을 맞추려면 렌즈의 후방 주평면은 필름 평면에서 {{수학|1=s 50&nbsp;mm 거리에 위치해야 이미지 평면의 위치에 있게 된다. 1&nbsp;m 떨어진 물체( 1,000&nbsp;mm)에 초점을 맞추려면 렌즈를 필름 평면에서 2.6&nbsp;mm 더 멀리 이동시켜  52.6&nbsp;mm가 되도록 해야 한다.

렌즈의 초점 거리는 먼 물체를 촬영할 때의 배율을 결정한다. 이는 해당 렌즈와 동일한 크기로 먼 물체를 촬영하는 핀홀 카메라의 이미지 평면과 핀홀 사이의 거리와 같다. 직선 렌즈(즉, 이미지 왜곡이 없는 렌즈)의 경우, 먼 물체의 이미징은 핀홀 카메라 모델로 잘 모델링된다.
이 모델은 사진 작가가 카메라의 화각을 계산하는 데 사용하는 간단한 기하학적 모델로 이어진다. 이 경우 화각은 초점 거리와 필름 크기의 비율에만 의존한다. 일반적으로 화각은 왜곡에도 의존한다.

필름이나 센서 규격의 대각선 길이와 대략 같은 초점 거리를 가진 렌즈를 표준 렌즈라고 한다. 그 화각은 인화물의 대각선과 같은 일반적인 시청 거리에서 볼 때 충분히 큰 인화물이 차지하는 각도와 유사하며, 따라서 인화물을 볼 때 정상적인 원근감을 제공한다.
이 화각은 대각선으로 약 53도다. 풀프레임 35mm 규격 카메라의 경우 대각선은 43mm이며 전형적인 "표준" 렌즈는 50mm 초점 거리를 갖는다. 표준보다 초점 거리가 짧은 렌즈는 종종 광각 렌즈(35mm 규격 카메라의 경우 일반적으로 35mm 이하)라고 하며, 표준보다 훨씬 긴 렌즈는 망원 렌즈(35mm 규격 카메라의 경우 일반적으로 85mm 이상)라고 할 수 있다. 엄밀히 말하면 장초점 렌즈는 초점 거리가 렌즈의 물리적 길이보다 긴 경우에만 "망원"이지만, 이 용어는 종종 모든 장초점 렌즈를 설명하는 데 사용된다.

35mm 표준의 인기 때문에 카메라와 렌즈의 조합은 종종 35mm 등가 초점 거리로 설명된다. 즉, 풀프레임 35mm 카메라에서 사용될 때 동일한 화각 또는 시야를 가질 렌즈의 초점 거리를 말한다. 35mm 등가 초점 거리의 사용은 특히 35mm 필름보다 작은 센서를 사용하는 디지털 카메라에서 흔히 사용되며, 크롭 팩터로 알려진 비율만큼 특정 화각을 얻기 위해 상응하는 짧은 초점 거리가 필요하다.

## 굴절력
thumb|굴절력과 초점 거리 사이의 관계 도식
렌즈 또는 곡면 거울의 굴절력은 미터로 표시된 초점 거리의 역수와 같은 물리량이다. 디옵터는 측정 단위로서 미터의 역수(1 m−1)와 동일한 차원을 갖는다. 예를 들어, 2디옵터 렌즈는 평행한 광선을  미터 지점에 초점을 맞춘다. 평평한 유리창은 빛을 수렴시키거나 발산시키지 않으므로 굴절력이 0디옵터다.

초점 거리 대신 굴절력을 사용하는 주요 장점은 렌즈 방정식에서 물체 거리, 이미지 거리, 초점 거리가 모두 역수로 표시된다는 것이다. 또한 상대적으로 얇은 렌즈들을 서로 가깝게 배치하면 그 굴절력은 대략적으로 합산된다. 따라서 2.0디옵터의 얇은 렌즈를 0.5디옵터의 얇은 렌즈 근처에 배치하면 단일 2.5디옵터 렌즈와 거의 동일한 초점 거리를 얻을 수 있다.

## 같이 보기
* 피사계 심도
* 디옵터
* F 값

## 각주

## 외부 링크
* 

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분류:기하광학