삼각 함수의 덧셈 정리

이 문서는 **[[삼각함수]]의 덧셈 정리**에 대해 설명한다.

:\sin \left(x + y \right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y
:\sin \left(x - y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y
:\cos \left(x + y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y
:\cos \left(x - y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y
:\tan \left(x + y\right)=
:\tan \left(x - y\right)=

## 사인함수의 덧셈정리

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예각 삼각형 ABC의 넓이 \triangle  ABC에 대해서,
:\triangle  ABC= \triangle  AHB+\triangle  AHC
:\triangle  ABC= {1 \over{2}} {b}c \sin(\alpha+\beta) 

:\triangle  AHB+\triangle  AHC 
:={1 \over{2}}\; \overline{BH}\;\overline{AH} + {1 \over{2}}\; \overline{CH}\;\overline{AH}
:={1 \over{2}}c \sin \alpha \; b \cos \beta + {1 \over{2}} b \sin \beta \; c \cos \alpha 
:={1 \over{2}}c  b (\sin \alpha \;\cos \beta +  \sin \beta \;  \cos \alpha) 
따라서,
: {1 \over{2}} {b}c \sin(\alpha+\beta) = {1 \over{2}}c  b (\sin \alpha \;\cos \beta +  \sin \beta \;  \cos \alpha)   
: \sin(\alpha+\beta) = (\sin \alpha \;\cos \beta +  \sin \beta \;  \cos \alpha)   

## 코사인의 덧셈정리
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둔각삼각형 \triangle{ABC}에서, \;\overline{BD}의 임의의 한점  C에 대해서,

:\overline{BD}^2=\overline{BC}^2 + \overline{CD}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right)
:\overline{AB}^2=\overline{BD}^2 + \overline{AD}^2 \;\;
그리고,
:\overline{AC}^2=\overline{CD}^2 + \overline{AD}^2 \;\;
:\overline{AC}^2-\overline{CD}^2 = \overline{AD}^2 \;\;
따라서,
:\overline{AB}^2=\overline{BD}^2 + \overline{AD}^2   
:\overline{AB}^2= \left(\overline{BC}^2 + \overline{CD}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right) \right)  + \left( \overline{AC}^2-\overline{CD}^2  \right) 
:\overline{AB}^2= \overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right)  
그리고
:\cos (\pi - \alpha)  =  \over{ \overline{AC} } }
:\overline{CD} =  \overline{AC}  \cos (\pi - \alpha) 
:\overline{CD} =  - \overline{AC} \cos \alpha 
따라서,
:\overline{AB}^2= \overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right)  
:\overline{AB}^2= \overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 - 2 \left(\overline{BC}\cdot {\overline{AC}  \cos \alpha} \right)  
:c^2= a^2 +b^2 - 2ab  \cos \alpha  

이것은 제2코사인법칙이고,



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유클리드 원론 3권 법칙3 에서, 두 점 사이의 거리를 가정하면,
:l^2 = {({x_2}-{x_1})^2+({y_2}-{y_1})^2}이므로,
:P= (\cos \; \alpha, \sin \; \alpha) \;\; , \;\; Q= (\cos \beta, \sin \beta) 일때,
:\overline{PQ}^2= (\cos \beta - \cos \; \alpha )^2 + ( \sin \beta - \sin \; \alpha)^2 
:= \left ( (\cos \beta - \cos \; \alpha )  \cdot  (\cos \beta - \cos \; \alpha )  \right)  + \left( ( \sin \beta - \sin \; \alpha) \cdot ( \sin \beta - \sin \; \alpha) \right) 
:= \left ( (\cos \beta)^2  - 2\cos \alpha \cos \beta + (\cos \; \alpha)^2  \right)  + \left( ( \sin \beta)^2 -2 \sin\alpha \sin \beta + (\sin \alpha)^2 \right) 
:= (\cos \beta)^2  + (\cos \; \alpha)^2    +  ( \sin \beta)^2 + (\sin \alpha)^2  - 2\cos \alpha \cos \beta -2 \sin\alpha \sin \beta 
:= (\cos^2 \beta  +   \sin^2 \beta )   +  (\cos^2 \; \alpha + \sin^2 \alpha ) - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta \right)
그리고 삼각 함수 항등식의 피타고라스 정리에서,
:  \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 
따라서,
:= 1  +  1 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta \right)
:\overline{PQ}^2= 2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta \right)



한편,
:이것은, 제2코사인법칙에서는,

:\overline{PQ}^2= \overline{OP}^2 +\overline{OQ}^2 - 2 \left(\overline{OP}\cdot {\overline{OQ}  \cos (\alpha-\beta)} \right)  
:\overline{PQ}^2= 1^2 +1^2 - 2 \left(1\cdot {1  \cos (\alpha-\beta)} \right)  
:\overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ \cos (\alpha-\beta)} \right)  

그리고 두 점 사이의 거리에서,
:\overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ \cos (\alpha-\beta)} \right)= 2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta \right)  
따라서,
: { \cos (\alpha-\beta)} = \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta \right)  

## 탄젠트의 덧셈정리
:\tan x=
:\tan \left(x + y \right)=
:\tan \left(x + y  \right)={ {\sin x \cos y + \cos x \sin y } \over{\cos x \cos y - \sin x \sin y} }
:\tan \left(x + y  \right)={  { { {\sin x \cos y}\over{\cos x \cos y} } + { { {\cos x \sin y} \over{\cos x \cos y}}  } } \over {  { {\cos x \cos y} \over{\cos x \cos y}} -{ {\sin x \sin y} \over{\cos x \cos y}}  }    }
:\tan \left(x + y  \right)={  { { \tan x} + { \tan y  } } \over {  1 -{ \tan x \tan y  }  }  }

## 덧셈정리의 변형
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:\sin (-\theta) = -\sin \theta \;\; , \;\;  \cos (-\theta)= \cos \theta 

따라서,
:\sin \left(x + (-y )\right)=\sin x \cos (-y) + \cos x \sin (-y)
:\sin \left(x - y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y
그리고,
:\cos \left(x - (-y)\right)=\cos x \cos (-y) + \sin x \sin (-y)
:\cos \left(x + y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y

그리고,

:\tan (-\theta)=={-{\sin \theta} \over{\cos \theta}}=- \tan \theta
:\tan (x+(-y))={  { { \tan x} + { \tan(-y)} } \over {  1 -{ \tan x \tan (-y)  }  }  }
:\tan (x-y)={  { { \tan x} -{\tan y} } \over {  1 +{ \tan x \tan y  }  }  }

## 유클리드 기하학 원론 2권 법칙9를 이용한 정리



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:정삼각형에서  \overline{AE}= 1 을 예약하고,
: \over {1}}= { \cos \alpha} 
:  \over {1}} = { \sin \alpha}
: \over{AF}}=  
:: {\overline{FD}}=  {\overline{GC}} = {\sin \beta {\overline{AF}}}={\sin \beta \cos \alpha}

:  \over{\overline{EF}}}=   
:: {\overline{EG}} = {\overline{EF}} ={\cos \beta}  { \sin \alpha} 
: {\sin(\alpha + \beta)}= +{\overline{GC}} }\over {1}}  
: {\sin(\alpha + \beta)}= +  
이것은 사인함수이다.

:한편,예약된 정삼각형에서,
: \overline{AE}= 1 , \angle A = \angle E = \angle B, \angle A = \angle \alpha + \angle \beta , \angle \alpha = \angle \beta
:  \over {1}} = { \sin \alpha}
:  \over {1}} = { \cos \alpha}
: \over{AF}}=  

:: {\overline{AD}}=  { \cos \beta} {\overline{AF}} 
:: {\overline{AD}}=  { \cos \beta} { \cos \alpha}

:  \over{\overline{EF}}}=   
: }=  {\overline{EF}}  
: }=  {\sin \alpha}  

:: {\overline{GF}} ={\overline{CD}} ={ \sin \beta} { \sin \alpha}
: {\cos(\alpha + \beta)}=  }\over {1}}  
: {\cos(\alpha + \beta)}=  }-{\overline{CD}}}  
: {\cos(\alpha + \beta)}= -  
이것은  코사인함수이다.




## 행렬을 이용한 정리

## 같이 보기
* 삼각 함수 항등식
* 예각삼각형
* 둔각삼각형
* 삼각함수
* 회전행렬
* 유클리드 원론

## 각주

분류:기하학