산란 행렬

산란 이론에서 **산란 행렬**(散亂行列, ) 또는 **S행렬**이란 산란 과정을 겪는 소립자 또는 계의 초기 상태와 나중 상태를 연관짓는 유니터리 행렬이다. 기호는 *S*. 이를 이용하여 산란 단면적이나 붕괴율 따위를 계산할 수 있다. 양자장론에서는 산란 행렬을 파인먼 도형으로 계산할 수 있다.

## 정의
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 복소수 힐베르트 공간 \mathcal H
* 자기 수반 작용소 H_0\colon\operatorname{dom}H_0\to \mathcal H, \operatorname{dom}H_0\subseteq\mathcal H. 이를 **자유 해밀토니언**()이라고 하자.
* 자기 수반 작용소 H\colon\operatorname{dom}H\to \mathcal H, \operatorname{dom}H\subseteq\mathcal H. 이를 **상호 작용 해밀토니언**()이라고 하자.
복소수 힐베르트 공간 위의 임의의 자기 수반 작용소 A에 대하여, 그 스펙트럼의 분해를 통해 \mathcal H를
:\mathcal H=\mathcal H_{\text{ac},A}\oplus\mathcal H_{\text{sc},A}\oplus\mathcal H_{\text{pp},A}
로 분해할 수 있다. 여기서
* \mathcal H_{\text{ac},A}는 완전 연속 스펙트럼()에 대응한다.
* \mathcal H_{\text{sc},A}는 특이 연속 스펙트럼()에 대응한다.
* \mathcal H_{\text{pp},A}는 순수 점 스펙트럼()에 대응한다.
마찬가지로, 위 부분 공간들에 대한 사영 작용소
:\operatorname{proj}_{\text{ac},A},\operatorname{proj}_{\text{sc},A},\operatorname{proj}_{\text{pp},A}\colon\mathcal H\to\mathcal H
를 정의할 수 있다.

또한, 자기 수반 작용소에 대한 보렐 범함수 미적분학()을 통해, x\mapsto\exp(\mathrm itx)는 유계 함수이므로, 임의의 t\in\mathbb R에 대하여 유니터리 작용소
:\exp(\mathrm itH_0)\colon\mathcal H\to\mathcal H
:\exp(\mathrm itH)\colon\mathcal H\to\mathcal H
를 정의할 수 있다.

이제, H_0와 H에 대한 **파동 연산자**(波動演算子, )는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 극한이다.
:\operatorname W_\pm(H,H_0)\colon\mathcal H\to\mathcal H
:\operatorname W_\pm(H,H_0)=\lim_{t\to\infty}\exp(\pm\mathrm iHt)\exp(\mp\mathrm iH_0t)\operatorname{proj}_{\text{ac},H_0}
여기서 극한은 점별 (노름) 수렴 위상에 대한 것이다. 부호가 −인 경우는 들어오는 파동, +인 경우는 나가는 파동에 해당한다. 만약 W_\pm(H,H_0)의 치역이 \mathcal H_{\text{ac},H}라면 파동 연산자를 **완비 파동 연산자**(完備波動演算子, )라고 하며, 이는 \mathcal H_{\text{ac},H_0}와 \mathcal H_{\text{ac},H} 사이의 복소수 힐베르트 공간 동형 사상(전단사 유니터리 작용소)을 정의한다.

H_0와 H에 대한 **산란 연산자**(散亂演算子, ) 또는 **산란 행렬**은 다음과 같다.
:\operatorname S(H,H_0)\colon\mathcal H\to\mathcal H
:\operatorname S(H,H_0)=\operatorname W_+^*(H,H_0)\operatorname W_-(H,H_0)
만약 ± 파동 연산자가 둘 다 완비 파동 연산자라면, 이는 전단사 유니터리 변환
:(\operatorname S(H,H_0)\restriction\mathcal H_{\text{ac},H_0})\colon \mathcal H_{\text{ac},H_0}\to \mathcal H_{\text{ac},H}
를 정의한다.

간혹 **T 연산자**를
\operatorname T(H,H_0)=-\mathrm i(\operatorname S(H,H_0)-\operatorname{proj}_{\text{ac},H_0})
로 정의한다. 즉, \mathcal H_{\text{ac},H_0}에 제한하면, \operatorname S=\mathrm iT이다. 이는 산란 과정 가운데 관측할 수 있는 부분 (초기 상태와 다른 부분)을 나타낸다.

## 성질
파동 연산자는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
:\operatorname W_\pm(H,H_0)H_0=H\operatorname W_\pm(H,H_0)
산란 연산자는 (만약 존재한다면) 자유 해밀토니언 연산자와 가환한다.
:\operatorname S(H,H_0)H_0=H_0\operatorname S(H,H_0)

위그너 정리에 따라, 만약 \operatorname W_\pm(H,H_0)가 둘 다 완비라면,
:\operatorname S(H,H_0)\restriction\mathcal H_{\text{ac},H_0}
는 \mathcal H_{\text{ac},H_0}\to \mathcal H_{\text{ac},H_0} 유니터리 작용소이다.

### 존재 조건
르베그 공간 \mathcal H=\operatorname L^2(\mathbb R^n;\mathbb C) 위의 다음과 같은 두 자기 수반 작용소를 생각해보자.
:H_0=\Delta+V_0(x)
:H_0=\Delta+V_0(x)+V(x)
:V_0,V\in\operatorname L^\infty(\mathbb R^n;\mathbb R)
:\sup_{x\in\mathbb R^n}V(x)(1+x^2)^{k/2}
여기서 k\in\mathbb R는 어떤 실수이며, \textstyle\Delta=-\sum_{i=1}^n\partial^2/\partial x_i^2는 라플라스 연산자이다.

위와 같은 경우, 다음 조건 아래 완비 과거·미래 파동 연산자 및 산란 연산자가 존재한다.
* k>n
* V_0=0이며, k>1

반면, 예를 들어 V_0=0, V(x)=(1+x^2)^{-2}일 때는 파동 연산자가 존재하지 않는다.

## 응용
하이젠베르크 묘사를 쓰자. 민코프스키 공간에서 질량 간극을 갖는 양자장론의 경우 점근적인 초기 및 나중 상태는 포크 공간을 이룬다. 따라서 초기 상태의 포크 공간 \mathcal H_\text{I}와 나중 상태의 포크 공간 \mathcal H_\text{F}를 다음과 같이 적을 수 있다.

:\mathcal H_\text{I}= \operatorname{span}\{ \left| k_1\ldots k_n \right\rangle = a_i^\dagger (k_1)\cdots a_i^\dagger (k_n)\left| I, 0\right\rangle_\text{I}\}
:\mathcal H_\text{F}= \operatorname{span}\{ \left| p_1\ldots p_n \right\rangle = a_f^\dagger (p_1)\cdots a_f^\dagger (p_n)\left| F, 0\right\rangle_\text {F}\}
이들은 자유 해밀토니언 H_0의 고유 벡터 기저를 정의한다.

따라서 산란 연산자 S는 다음과 같이 표현된다.
:\left \langle\beta \right |_\text{I}S\left |\alpha\right\rangle_\text{I} = S_{\alpha\beta} = \left \langle \beta |_\text{F}|\alpha\right\rangle_\text{I}.

양자장론에서는 산란 연산자를 보통 상관함수를 통한, LSZ 축약 공식이라는 점근적 급수로 나타낼 수 있다. 상관함수는 파인먼 도형으로 계산할 수 있다.

또한, 양자장론에서 산란 연산자는 보통 다음 조건들을 만족시킨다.
* S\left|0\right\rangle = \left|0\right\rangle (진공에서의 항등성)
* S\left| k\right\rangle=\left| k\right\rangle (단입자 상태에서의 항등성)
이는 물론 물리학적으로 하나의 입자만이 존재하면 산란이 일어나지 않음을 뜻한다.

## 역사
산란 행렬의 개념은 1937년에 존 휠러가 도입하였다.

## 각주

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## 같이 보기
* 파인먼 도형
* LSZ 축약 공식
* 윅의 정리
* S행렬이론

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