설리번 대수

호모토피 이론에서 **설리번 대수**(Sullivan代數, )는 특별한 형태의 유리수 계수 가환 미분 등급 대수이다. 이를 통하여, 위상 공간의 호모토피 군에서, 꼬임 부분군을 제외한 나머지 부분(즉, 유리수와의 텐서곱)을 계산할 수 있으며, 이 이론을 **유리수 호모토피 이론**(有理數homotopy理論, )이라고 한다.

## 정의
체 K 위의 **설리번 대수** (B,\le,\deg,\mathrm d)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 정렬 집합 (B,\le). 이로부터 K-벡터 공간 V=\operatorname{Span}_KB을 정의할 수 있다.
* 함수 \deg\colon B\to\mathbb N. 이로부터 등급 벡터 공간 \textstyle V=\bigoplus_{i\in\mathbb N}V_i, \textstyle V_i=\operatorname{Span}\{b\in B\colon\deg b=i\}을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 외대수 \textstyle\bigwedge(V)를 정의할 수 있으며, 이는 가환 K-등급 대수를 이룬다.
* 함수 \textstyle\mathrm d\colon B\to\bigwedge(V). 이는 선형성 및 곱 규칙을 사용하여 미분 연산 \textstyle\mathrm d\colon \bigwedge(V)\to \bigwedge(V)로 연장된다.
이는 두 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 임의의 b\in B에 대하여, \textstyle\mathrm db\in\bigwedge(\operatorname{Span}_K\{c\in B\colon c이다.
* \textstyle(\bigwedge(V),\wedge,\mathrm d)는 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

설리번 대수 (B,\le,\deg,\mathrm d)가 다음 조건을 만족시킨다면, **최소 설리번 대수**(最少Sullivan代數, )라고 한다.
:\deg\colon(B,\le)\to(\mathbb N,\le)는 증가 함수이다. 즉, 임의의 b,c\in B에 대하여 b\le c라면 \deg b\le \deg c이다.

### 상대 설리번 대수
보다 일반적으로, 설리번 대수의 개념을 다음과 같이 상대화할 수 있다.

체 K 위의 가환 미분 등급 대수 A 위의 **상대 설리번 대수**(相對Sullivan代數, )는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 정렬 집합 (B,\le). 이로부터 K-벡터 공간 V=\operatorname{Span}_KB을 정의할 수 있다.
* 함수 \deg\colon B\to\mathbb N. 이로부터 등급 벡터 공간 \textstyle V=\bigoplus_{i\in\mathbb N}V_i, \textstyle V_i=\operatorname{Span}\{b\in B\colon\deg b=i\}을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 외대수 \textstyle\bigwedge(V)를 정의할 수 있으며, 이는 가환 K-등급 대수를 이룬다.
* 함수 \textstyle\mathrm d\colon B\to A\otimes_K\bigwedge(V). 이를 선형성 및 곱 규칙에 따라 \textstyle\mathrm d\colon A \otimes_K \bigwedge(V) \to A \otimes_K \bigwedge(V)로 연장시킬 수 있다.
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* 임의의 a\in A 및 b\in B에 대하여, \textstyle\mathrm db\in A\otimes_K\bigwedge(\operatorname{Span}_K\{c\in B\colon c이다.
* \textstyle(A\otimes_K\bigwedge(V),\wedge,\mathrm d)는 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

이 정의에서, 만약 \deg\colon (B,\le)\to (\mathbb N,\le)가 증가 함수라면, 이를 **최소 상대 설리번 대수**(最小相對Sullivan代數, )라고 한다.

설리번 대수는 (K,\mathrm d=0) 위의 상대 설리번 대수와 같으며, 최소 설리번 대수는 (K,\mathrm d=0) 위의 최소 상대 설리번 대수와 같다.

## 연산
가환 미분 등급 대수 A에 대한 임의의 상대 설리번 대수 (B,\le,\deg,\mathrm d)에 대하여, 임의의 b\in B에 대하여, B'=\{b'\in B\colon b' 를 정의하면, (B',\le\restriction B'^2,\deg\restriction B', \mathrm d\restriction B') 역시 A 위의 상대 설리번 대수를 이룬다. (여기서 \restriction은 함수의 제한을 뜻한다.)

또한, 만약 B가 최소 상대 설리번 대수라면 B' 역시 최소 상대 설리번 대수이다.

## 성질
### 낮은 차수가 자명한 설리번 대수
집합 B 및 함수
:\deg\colon B\to\mathbb N
및 임의의 함수
:\mathrm d\colon B\to V=\bigwedge(\operatorname{Span}_KB)
가 주어졌다고 하자. 이는 곱 규칙을 사용하여
:\mathrm d\colon V\to V
로 연장시킬 수 있다. (V,\mathrm d,\wedge)가 미분 등급 대수를 이룬다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* 만약 \forall b\in B\colon \deg b\ge2라면, B 위에는 항상 (B,\le,\deg,\mathrm d)가 설리번 대수가 되게 하는 정렬 순서 \le를 부여할 수 있다.
* 만약 \forall b\in B\colon \deg b\ge2이며, 임의의 b\in B에 대하여 \mathrm db\in\textstyle\bigoplus_{n\ge2}(\operatorname{Span}_KB)^{\wedge n}이라면 (즉, \mathrm db가 길이 2 이상의 문자열들의 선형 결합이라면), B 위에는 항상 (B,\le,\deg,\mathrm d)가 최소 설리번 대수가 되게 하는 정렬 순서 \le를 부여할 수 있다.

또한, 만약 \forall b\in B\colon\deg b\ge2일 때, 주어진 설리번 대수와 유사동형인 최소 설리번 대수는 (동형을 무시하면) 유일하다. 즉, 최소 설리번 대수들은 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그)에 대한 동치류들과 전단사로 대응한다.

### 위상 공간의 설리번 대수
임의의 단체 복합체(와 호모토피 동치인 위상 공간) X에 대하여, 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수 A_{\text{PL}}(X)를 정의할 수 있다. 이는 일반적으로 매우 큰 설리번 대수이지만, 이에 대한 최소 설리번 대수는 쉽게 계산하고 다룰 수 있다. **형식적 공간**()은 그 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수가 형식적인 단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이다.

위상 공간의 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그) 동치류들은 위상 공간의 **유리수 호모토피 동치**()와 같다. 즉, 위상 공간의 유리수 호모토피 동치류는 최소 설리번 대수들로 구별할 수 있다.

### 위상 공간의 호모토피 군
단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간 X의 유리수 계수 다항식 미분 형식 대수가 설리번 대수 (B,\le,\deg,\mathrm d)와 유사동형이라고 하자. 또한, X가 멱영 공간이라고 하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.
:\pi_i(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q\cong \operatorname{Span}_{\mathbb Q} \deg^{-1}(i)
즉, X의 i차 호모토피 군의 계수는 차수 i를 갖는 기저 벡터의 수와 같다.

### 이분율
코호몰로지
:\bigoplus_i\operatorname H^i(X)
의 차원이 유한한 연결 단일 연결 최소 설리번 대수 X는 다음과 같이 두 종류로 분류될 수 있다.
* **타원형**(): \textstyle\dim\bigoplus_i\pi_i(X) 
* **쌍곡형**(): \textstyle\dim\bigoplus_i\pi_i(X) =\infty

타원형 최소 설리번 대수 X에 대하여, 그 생성원의 차수들이
:2a_1,2a_2,\dotsc,2a_p
및
:2b_1-1,2b_2-2,\dotsc,2b_q-1
라고 하자. 즉, p개의 짝수 차수 생성원과 q개의 홀수 차수 생성원이 존재한다. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:\sum_i(2b_i-1) - \sum_j(2a_j-1) = \operatorname{fdim}X
:\sum_j a_j \le \frac12 \operatorname{fdim}X
:\sum_i(2b_i-1) \le 2(\operatorname{fdim}X) - 1
:p \le q
여기서
:\operatorname{fdim}X = \max\{n \in\mathbb N\colon \operatorname H^n(X) \ne 0\}
은 X의 **형식적 차원**()이다.

쌍곡형 최소 설리번 대수에 대하여, 다음이 성립한다.
* 호모토피 군들의 차원은 기하 수열 이상으로 증가한다. 즉, \forall n\ge N\colon\sum_i^n \pi_n(X) \ge C^n이 되는 실수 C>1 및 자연수 N\in\mathbb N이 존재한다.
* 임의의 k\ge1에 대하여, \pi_i(X) \ne 0이며 k인 i\in\mathbb Z가 존재한다.
* 임의의 k\gg1에 대하여, \forall n\ge N\colon \sum_{i=k+1}^{k+n-1}\dim\pi_i(X)\ge \frac{\dim\pi_k(X)}{\dim\operatorname H^\bullet(X)}
인 k가 존재한다.

## 예
### 자명한 설리번 대수
임의의 정렬 집합 (B,\le) 및 임의의  증가 함수
:\deg \colon B\to \mathbb N
에 대하여, 자명한 미분
:\mathrm db =0 
을 부여하자. 그렇다면, (B,\le,\deg,0)은 최소 설리번 대수를 이룬다.

특히, B=\varnothing일 때, (K,\mathrm d=0)은 K 위의 최소 설리번 대수를 이룬다.

### 홀수 차원 초구
n차원 초구 \mathbb S^n의 유리수 계수 코호몰로지는 다음과 같다.
:\dim_{\mathbb Q}\operatorname H^k(\mathbb S^n)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q=\begin{cases}1&k=0,n\\0&k\ne0,n\end{cases}

따라서, 홀수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 n의 생성원 a 하나만을 가지며, 이 경우 \mathrm da=0이다. 즉,
:B=\{a\}
:\deg\colon a\mapsto 1
:\mathrm da=0
이다.

### 짝수 차원 초구
짝수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 n의 생성원 a를 가지지만, a가 짝수 차수를 가지므로 a^2\ne0이다. 따라서, a^2가 코호몰로지류를 이루는 것을 막기 위해, 2n-1차의 생성원 b를 추가해야 한다. 즉, 최소 설리번 대수는 다음과 같다.
:B=\{a,b\}
:a
:\deg \colon a\mapsto n
:\deg \colon b\mapsto 2n-1
:\mathrm da=0
:\mathrm db=a^2
이에 따라, 초구의 호모토피 군의 계수를 계산할 수 있다. (그러나 초구의 호모토피 군의 꼬임 부분군을 계산하는 것은 매우 어려운 문제이다.)

### 복소수 사영 공간
복소수 사영 공간 \mathbb{CP}^n의 유리수 계수 코호몰로지는
:\dim_{\mathbb Q}\operatorname H^k(\mathbb{CP}^n)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q=\begin{cases}1&k=0,2,\dots,2n\\0&k\ne0,2,\dots,2n\end{cases}
이다. 따라서, 이 경우 최소 설리번 모형은 다음과 같다.
:B=\{a,b\}
:a
:\deg a=2
:\deg b=2n+1
:\mathrm da=0
:\mathrm db=a^{n+1}
무한 차원 복소수 사영 공간 \mathbb{CP}^\infty의 경우, 최소 설리번 모형은 다음과 같이 생성원 b가 없어져 더 간단하다.
:\deg a=2
:\mathrm da=0

### 비형식적 최소 설리번 대수
형식적이지 않은 최소 설리번 대수의 예로는 다음을 들 수 있다.
:B=\{a,b,x,y\}
:a
:\deg a=2,\quad\deg b=\deg x=3,\quad\deg y=4
:\mathrm da=\mathrm db=0,\qquad\mathrm dx=a^2,\qquad\mathrm dy=ab
이 설리번 대수의 코호몰로지는 [a], [b], [xb-ay]로 구성된다. 최소 설리번 대수에서 그 코호몰로지로 가는 등급 대수 준동형 f는 차수의 제약에 따라
:f(a)\propto[a]
:f(y)=0
:f(b)\propto[b]
:f(x)\propto[b]
가 되는데, 따라서
:f(xb-ay)=f(x)f(b)-f(a)f(y)=0
이 된다. 따라서, f는 유사동형이 될 수 없다.

### 설리번 대수가 아닌, 외대수 위의 미분 등급 대수 구조
다음과 같은 구성을 생각하자.
:B=\{x,y,z\}
:\deg x=\deg y=\deg z=1
:V=\bigwedge(\operatorname{Span}_KB)
:\mathrm dx=yz
:\mathrm dy=zx
:\mathrm dz=xy
이는 가환 미분 등급 대수를 이루며, V는 B로 생성되는 외대수이지만, B 위에는 (B,\le,\deg,\mathrm d)가 설리번 대수가 되게 하는 전순서 \le를 줄 수 없으며, \operatorname{Span}_KB의 다른 기저를 잡더라도 이를 설리번 대수로 만들 수 없다.

## 역사
데니스 설리번이 1970년대에 제창하였다.

## 각주

## 외부 링크
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