리 군 위의 입자

물리학에서 **리 군 위의 입자**()는 리 군의 구조를 가진 공간 속에서 움직이는 입자를 나타내는 물리학 모형이다. 고전적으로 그 해(리 군의 측지선)는 간단하게 표현될 수 있으며, 대칭으로 인하여 쉽게 양자화될 수 있다.

## 정의
콤팩트 연결 리 군 G가 주어졌다고 하자. G의 리 대수 \mathfrak{lie}(G) 위의 양의 정부호 2차 대칭 불변 다항식
:g(t,t') = g_{ab}t^a {t'}^b \qquad(t,t'\in\mathfrak{lie}(G))
은 G 위의 리만 계량을 정의하며, 이는 G의 왼쪽 · 오른쪽 작용에 대하여 불변이다. 즉, 군의 준동형
:G \times G \to \operatorname{Isom}(G,g)
이 존재한다 (\operatorname{Isom}(-)은 전단사 등거리 변환의 군).

이 경우, 라그랑지언
:L(g,\dot g) = -\frac 12 \operatorname{tr} \left(g^{-1} \dot g\right)^2
을 정의할 수 있다. (편의상, 입자의 질량을 리만 계량 속에 흡수하였다.) 그 변분은
:\delta \operatorname{tr}\left(g^{-1}\dot g\right)^2 = -2\operatorname{tr}\left(g^{-1}\delta g \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(g^{-1} \dot g)\right)

이다.

**유도**:

우선,
:0 = \delta 1= \delta(g^{-1}g) = \delta(g^{-1}) g + g^{-1}\delta g
이므로,
:\delta (g^{-1}) = - g^{-1} \delta g g^{-1}
이며,
:\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}g^{-1} = -g^{-1} \dot g g^{-1}
이다. 따라서, 대각합의 순환성 및 부분 적분을 사용하여, 다음과 같이 계산할 수 있다.
:
\begin{aligned}
\delta \operatorname{tr} (g^{-1} \dot g)^2
&= 2\operatorname{tr} \left( g^{-1} \dot g \delta (g^{-1} \dot g)\right) \\
&= 2\operatorname{tr} \left( g^{-1} \dot g \delta (g^{-1}) \dot g
+ g^{-1} \dot g g^{-1} \delta\dot g
\right) \\
&= - 2\operatorname{tr} \left( g^{-1} \dot g g^{-1}\delta g g^{-1} \dot g\right)
- 2 \operatorname{tr}\left(\delta g\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(g^{-1}\dot gg^{-1}) \right)
+ 2\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\operatorname{tr} (g^{-1} \dot g g^{-1} \delta g)
\\
&= 2\operatorname{tr}  \left(\delta g g^{-1} \dot g \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} g^{-1} \right)
- 2 \operatorname{tr}\left(\delta g\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(g^{-1}\dot gg^{-1}) \right)
+ 2\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\operatorname{tr} (g^{-1} \dot g g^{-1} \delta g) \\
&= - 2 \operatorname{tr}\left(\delta g\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(g^{-1}\dot g)g^{-1}) \right)
+ 2\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\operatorname{tr} (g^{-1} \dot g g^{-1} \delta g) \\
&= - 2 \operatorname{tr}\left(g^{-1}\delta g\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(g^{-1}\dot g)) \right)
+ 2\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\operatorname{tr} (g^{-1} \dot g g^{-1} \delta g)
\end{aligned}

이다. 여기서 둘째 항은 완전 적분이므로 오일러-라그랑주 방정식을 구할 때 무시할 수 있다.

오일러-라그랑주 방정식(측지선 방정식)은
:\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \left(g^{-1} \dot g\right) = 0
이다. 그 해는 항상 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.
:g(t) = g_{\mathrm L} \exp(t\lambda) g_{\mathrm R}^{-1}
여기서
* g_{\mathrm L},g_{\mathrm R} \in G는 상수이다. 특히, g(0) = g_{\mathrm L}g_{\mathrm R}^{-1}는 초기 조건이다.
* \mathfrak h\subseteq \mathfrak{lie}(G)는 G의 리 대수의 카르탕 부분 대수이다.
* \lambda \in \mathfrak h는 카르탕 부분 대수의 임의의 원소이다.
이에 따라, (g_{\mathrm L},g_{\mathrm R},\lambda)를 위상 공간의 좌표계로 여길 수 있다. 그러나 위상 공간은 2\dim G차원이므로 (측지선은 초기 위치와 초기 속력으로 완전히 결정되므로), 2\dim G+\operatorname{rank}G개의 성분을 갖는 (g_{\mathrm L},g_{\mathrm R},\lambda) 좌표계는 \operatorname{rank}G차원의 게이지 변환을 갖는다. 구체적으로, 이 게이지 군은 G의 극대 원환면 \exp(\mathfrak h)\le G이며, 이에 따라 좌표는 다음과 같이 변환한다.
:g_{\mathrm L} \mapsto g_{\mathrm L}h
:g_{\mathrm R} \mapsto \exp(t\alpha)h
:\lambda \mapsto \lambda
:h \in \exp(\mathfrak h) \le G
게이지 변환을 도입하면, 계의 G\times G 대칭이
:(h_{\mathrm L},h_{\mathrm R}) \cdot (g_{\mathrm L}, g_{\mathrm R},\lambda) = (h_{\mathrm L}g_{\mathrm L}, g_{\mathrm R}h_{\mathrm R}^{-1},\lambda)
와 같이 분해된다.

### 해밀턴 역학
위상 공간은 리 군의 공변접다발 \mathrm T^*G이며, 그 위에는 표준적인 심플렉틱 형식이 존재한다. 이 위의 심플렉틱 형식은 (g_{\mathrm L},g_{\mathrm R},\lambda) 좌표계에서 다음과 같은 꼴로 두 성분으로 분해된다.
:\omega(\lambda,g_{\mathrm L},g_{\mathrm R}) = \omega_{\mathrm L}(\lambda,g_{\mathrm L})
+ \omega_{\mathrm R}(\lambda,g_{\mathrm R})

### 양자화
콤팩트 연결 리 군 G 위의 입자의 힐베르트 공간은 G 위의 복소수 2차 르베그 공간
:\operatorname L^2(G;\mathbb C)
이다. 이 경우 사용한 측도는 하르 측도이다. (콤팩트 리 군의 경우 왼쪽 하르 측도와 오른쪽 하르 측도가 일치한다.) 이 위에는 G\times G의 왼쪽 군 작용이 다음과 같이 존재한다.
:G \times G \times \operatorname L^2(G;\mathbb C) \to \operatorname L^2(G;\mathbb C)
:((g_{\mathrm L},g_{\mathrm R}) \cdot \phi)(x) = 
\phi(g_{\mathrm L}^{-1}xg_{\mathrm R})
이에 따라서, \operatorname L^2(G;\mathbb C)는 G\times G의 표현들로 분해된다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
:\operatorname L^2(G;\mathbb C) = \widehat\bigoplus_{R\in\operatorname{IrRep}(G)} V_R \otimes V_{\bar R}
:(g_{\mathrm L},g_{\mathrm R})\cdot(v \otimes \bar v) = (g_{\mathrm L} \cdot v) \otimes (g_{\mathrm R}\cdot v)\qquad(v\in V_R,\;\bar v\in V_{\bar R})
여기서
* \operatorname{IrRep}(R)는 G의 모든 복소수 기약 표현들의 동형류들의 가산 집합이다.
* \textstyle\widehat{\bigoplus}는 가산 무한 개의 유한 차원 내적 공간들의 직합으로 구성되는 분해 가능 힐베르트 공간이다.
* V_R는 기약 표현 R\colon G \to \operatorname U(V_R)의 표현 공간인 유한 차원 복소수 벡터 공간이다.
* \bar R는 기약 표현 R의 켤레 표현이다.

### 해밀토니언
G\times G의 무한소 작용을 나타내는 연산자
:\langle g|J_{\mathrm L}(t^a)|\phi\rangle = 
\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm d\epsilon}\right|_{\epsilon = 0}
\phi(\exp(-\epsilon t^a)g)\rangle
:\langle g|J_{\mathrm R}(t^a)|\phi\rangle = 
\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm d\epsilon}\right|_{\epsilon = 0}
\phi(g\exp(\epsilon t^a))\rangle

를 생각하자. 그렇다면,
:\frac12 H = \Delta_g = g_{ab} J(t^a)(J^b) = g_{ab}\tilde J^a \tilde J^b
는 G 위의 (양의 고윳값) 라플라스-벨트라미 연산자이다.

이 해밀토니언은 기약 표현에 대한 분해에 대하여 대각형이다. 구체적으로, V_R\otimes V_{\bar R} 위에서, 해밀토니언의 고윳값 E_R은
:g_{ab}R(t^a) R(t^b) = 2E_R 1_{V_R} g_{ab}t^a t^b
로 주어진다.

### 양자 모형과 고전 모형 사이의 관계
양자 모형과 고전 모형 사이의 관계는 파인먼-카츠 공식으로 주어진다. 즉, 해밀토니언 H의 핵(즉, G 위의 열핵)은 다음과 같이 주어진다.
:
\frac1{\operatorname{vol}G}\sum_{R\in\operatorname{IrRep}(G)}(\dim V_R)\exp(-\beta E_R) \operatorname{tr}_{V_R}(g_0g_1^{-1}) = K(g_0,g_1;\beta) = \int_{g \in \operatorname W(g_0,g_1)} \exp(-S[g]) \;\mathrm Dg
여기서
* \operatorname W(g_0,g_1)은 g(0) = g_0, g_\beta = g_\beta인 연속 함수 g\colon [0,\beta]\to G로 구성된 위너 공간이다.
* \mathrm Dg는 이 위너 공간 위의 확률 측도이다.
* \textstyle S[g]= \frac12\int_0^\beta \langle g^{-1}\dot g,g^{-1}\dot g\rangle\,\mathrm dt는 고전 모형의 작용이다.
* \operatorname{tr}_R(-)는 표현 R의 지표이다.
특히, \beta \to0 극한에서 이는 디랙 델타가 된다.

## 예
### 원군
G = \operatorname U(1)인 경우(원군)를 생각하자. 이 경우 고전적으로 모든 상수 속도 곡선이 측지선이다. 양자 모형에서, 힐베르트 공간은
:\mathcal H = \operatorname L^2(\operatorname U(1);\mathbb C)
이다. \operatorname U(1) = \mathbb R / (2\pi \mathbb Z)로 좌표 \theta를 주었을 때, 이는 정규 직교 기저
:|n\rangle = \exp(\mathrm in\theta)\qquad(n\in\mathbb Z)
를 갖는다.

원군의 기약 표현은 (아벨 군이므로) 모두 1차원이며,
:R_n \colon \operatorname U(1) \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C) = \mathbb C^\times 
:R_n \colon \theta \mapsto \exp(\mathrm i\theta)
이다. 즉, 그 기약 표현들의 집합은 정수의 집합과 표준적으로 일대일 대응된다.
:\operatorname{IrRep}(\operatorname U(1)) \cong \mathbb Z
힐베르트 공간의 분해
:H = \widehat\bigoplus_{n\in\mathbb Z} \mathbb C \otimes \mathbb C
= \sum_{n\in\mathbb Z}\mathbb C|n\rangle

는 H의 정규 직교 기저 |n\rangle에 대한 분해이다.

해밀토니언
:H = -\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d\theta^2} 
에 대하여, 각 정규 직교 기저의 고윳값은
:H|n\rangle = n^2|n\rangle
이다. 그 위의 열핵은
:K(\theta_0,\theta_1;\beta) = \frac1{2\pi}\sum_{n\in\mathbb Z} \exp(-\beta n^2)\exp(\mathrm in(\theta_1-\theta_0)) =\int_{
{\scriptstyle\theta\colon[0,\beta]\to \operatorname U(1)}
\atop
{\scriptstyle \theta(0) = \theta_0,\;\theta(\beta) = \theta_1}
}\exp\left(-\frac12\int_0^\beta \dot g^2\right)\,\mathrm Dg
이며, 사실
:\frac1{2\pi}\sum_{n\in\mathbb Z}\exp(-n^2\beta)\exp(\mathrm in\theta)
=\frac1{\sqrt{4\pi\beta}}\sum_{n\in\mathbb Z}\exp\frac{(\theta-2n\pi)^2}{4\beta}
이다.

### 3차원 초구
G = \operatorname{SU}(2) \cong\mathbb S^3인 경우(3차원 초구)를 생각하자. 이 경우, 측지선은 대원이다. 양자 모형에서, 힐베르트 공간은
:\mathcal H = \operatorname L^2(\operatorname{SU}(2);\mathbb C)
이다. \operatorname{SU}(2)의 기약 표현은 스핀 j \in \{0,1/2,1,3/2,2,,\dotsb\} = \operatorname{IrRep}(\operatorname{SU}(2))에 의하여 결정된다. 힐베르트 공간의 분해는
:\mathcal H = \widehat\bigoplus_j \mathbb C^{2j+1} \otimes \mathbb C^{2j+1}
이다. 2j+1차원 기약 표현에서, 해밀토니언 연산자의 고윳값은 (적절한 비례 상수에 대하여)
:E_j = j(j+1)
이다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:양자역학
분류:리 군
분류:표현론