분리 집합쌍

일반위상수학에서 **분리 집합쌍**(分離集合雙, )은 서로의 폐포와 겹치지 않는 두 개의 집합을 뜻한다. 이 개념 및 이를 강화한 조건들을 통해, 위상 공간의 다양한 **분리공리**(分離公理, )들을 정의할 수 있다.

## 정의
위상 공간 X의 두 부분 집합 A,B\subseteq X에 대하여, 다음을 정의한다.
* 만약 A\cap B=\varnothing이라면, A와 B는 **[[서로소 집합|서로소 집합쌍]]**(-素集合雙, )이다.
* 만약 A\cap\operatorname{cl}(B)=\varnothing이거나 또는 \operatorname{cl}(A)\cap B=\varnothing이라면, A와 B는 **위상 구별 가능 집합쌍**(位相區別可能集合雙, )이다.
* 만약 A\cap\operatorname{cl}(B)=\operatorname{cl}(A)\cap B=\varnothing이라면, A와 B는 **분리 집합쌍**(分離集合雙, )이다.
* 만약 \tilde A\cap\tilde B=\varnothing이 되는 A의 근방 \tilde A\supseteq A 및 B의 근방 \tilde B\supseteq B가 존재한다면, A와 B는 **근방 분리 집합쌍**(近傍分離集合雙, )이다.
* 만약 \tilde A\cap\tilde B=\varnothing이 되는 A의 닫힌 근방 \tilde A\supseteq A 및 B의 닫힌 근방 \tilde B\supseteq B가 존재한다면, A와 B는 **닫힌 근방 분리 집합쌍**(-近傍分離集合雙, )이다.
* 만약 f(A)=\{0\}이자 f(B)=\{1\}인 연속 함수 f\colon X\to[0,1]가 존재한다면, A와 B는 **함수 분리 집합쌍**(函數分離集合雙, )이다.
* 만약 f^{-1}(0)=A이자 f^{-1}(1)=B인 연속 함수 f\colon X\to[0,1]가 존재한다면, A와 B는 **정밀 함수 분리 집합쌍**(精密函數分離集合雙, )이다. 이 경우, A는 닫힌집합 \{0\}의 원상이므로 X의 닫힌집합이며, 또한 가산 개의 열린집합들 \{f^{-1}([0,1/n))\}_{n\in\mathbb Z^+}의 교집합이므로 G<sub>δ</sub> 집합이다. 이는 B도 마찬가지다.
이들 사이에는 서로 함의 관계 전순서가 존재한다.
:서로소 ⇐ 분리 ⇐ 근방 분리 ⇐ 닫힌 근방 분리 ⇐ 함수 분리 ⇐ 정밀 함수 분리
이 가운데 자명하지 않은 것은 닫힌 근방 분리 ⇐ 함수 분리로, 만약 A와 B가 f\colon X\to[0,1]에 의하여 서로 함수 분리라면, \tilde A=f^{-1}([0,1/3]), \tilde B=f^{-1}([2/3,1])로 놓으면 이들이 닫힌 근방 분리임을 알 수 있다.

## 성질
위상 공간 X에 대하여, 다음과 같은 꼴의 조건을 정의할 수 있다.
:〜인 부분 집합 A,B\subseteq X에 대하여, 만약 A\cap B=\varnothing이라면, A와 B는 〜분리이다.
이러한 조건을 **분리공리**라고 한다. 대표적인 예는 다음과 같다. (아래 표에서, "점"이란 사실 한원소 집합을 뜻한다.)

여기서
* ㉠은 모든 열린집합이 열린닫힌집합인 위상 공간이다. (마찬가지로, 모든 닫힌집합도 열린닫힌집합이다.)
* ㉡은 모든 정칙 열린집합이 열린닫힌집합인 위상 공간이다. 이는 ㉠보다 약한 조건이다. (예를 들어, 시에르핀스키 공간은 ㉡을 만족시키지만 ㉠을 만족시키지 않는다.)
* ㉢에는 특별한 이름이 없다. 그러나 이는 완비 정칙 공간 + (모든 한원소 집합이 G<sub>δ</sub> 집합)에 의하여 함의된다.
* ㉣에는 특별한 이름이 없다. 그러나 이는 완비 정칙 하우스도르프 공간 + (모든 닫힌집합이 G<sub>δ</sub> 집합)을 함의하며, 완전 정규 하우스도르프 공간에 의하여 함의된다.


**증명 (㉠과 동치인 조건들):
<div class="mw-collapsible-content">
다음 함의 관계들을 증명하면 족하다.
* (A) 열린집합과 닫힌집합이 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
* (A′) 열린집합과 점이 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
* (A″) 열린집합과 열린집합이 함수 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
* (B) 열린집합이 닫힌집합과 일치 ⇒ 열린집합과 열린(닫힌)집합은 정밀히 함수 분리
* (B′) 열린집합이 닫힌집합과 일치 ⇒ 열린집합과 점은 함수 분리
(A): 임의의 열린집합 <math>U\subseteq X</math>에 대하여, <math>U</math>와 [[닫힌집합]] <math>X\setminus U</math>가 분리되었다고 하자. 그렇다면 <math>\varnothing=(X\setminus U)\cap\operatorname{cl}(U)=\operatorname{cl}(U)\setminus U</math>이므로 <math>U</math>는 [[닫힌집합]]이다.

(A′): [[귀류법]]을 통해, [[닫힌집합]]이 아닌 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>이 존재한다면, <math>x\in\operatorname{cl}(U)\setminus U</math>를 고를 수 있으며, 이 경우 <math>\{x\}</math>와 <math>U</math>는 서로 분리되지 않는다.

(A″): 함수 분리되는 두 집합은 항상 [[닫힌집합]]이다.

(B): <math>X</math>에서 모든 열린집합이 닫힌집합이라고 하자. 임의의 두 서로소 [[열린닫힌집합]] <math>A,B\subseteq X</math>에 대하여,
:<math>f\colon X\to[0,1]</math>
:<math>f\colon x\mapsto\begin{cases}
0&x\in A\\
1&x\in B\\
1/2&x\in X\setminus(A\cup B)
\end{cases}</math>
는 <math>A</math>와 <math>B</math>를 정밀히 분리하는 [[연속 함수]]이다.

(B′): <math>X</math>에서 [[열린집합]]과 [[닫힌집합]]이 일치한다고 하자. 열린집합 <math>U\subseteq X</math>와 <math>x\in X\setminus U</math>를 고른 뒤, <math>V=\operatorname{cl}(\{x\})</math>로 놓자. 그렇다면 (B)에 의하여 <math>U</math>와 <math>V</math>를 분리하는 함수가 존재한다.
</div></div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
**증명 (㉡과 동치인 조건):**
<div class="mw-collapsible-content">
다음 함의 관계들을 증명하면 족하다.
* (C) 열린집합과 열린집합은 닫힌 근방 분리 ⇒ 모든 정칙 열린집합은 [[닫힌집합]]
* (C′) 모든 정칙 열린집합은 [[닫힌집합]] ⇒ 열린집합과 열린집합은 닫힌 근방 분리

(C): <math>X</math>의 임의의 정칙 열린집합 <math>U</math>에 대하여,  <math>V=\operatorname{int}(X\setminus U)</math>라고 하자. 그렇다면
:<math>\operatorname{cl}V=X\setminus U</math>
이다. 이제, <math>U</math>와 <math></math>가 닫힌 근방 분리된다는 것은
:<math>\varnothing=\operatorname{cl}(U)\cap\operatorname{cl}(V)=\operatorname{cl}U\setminus U</math>
를 뜻하므로, <math>U</math>는 [[닫힌집합]]이다. 따라서, 모든 정칙 열린집합은 [[닫힌집합]]이다.

(C′): <math>X</math>에서 모든 정칙 열린집합이 닫힌집합이라고 하자. 그렇다면, <math>X</math>의 두 서로소 열린집합 <math>U,V\subseteq X</math>에 대하여,
:<math>\tilde U=\operatorname{int}(\operatorname{cl}(U))=\operatorname{cl}U</math>
:<math>\tilde V=X\setminus\operatorname{cl}(U)</math>
라고 하자. 그렇다면 <math>\tilde U</math>는 <math>U</math>의 닫힌 근방이며,
:<math>U\subseteq\operatorname{cl}(U)\subseteq X\setminus V</math>
이므로 <math>\tilde V</math>는 <math>V</math>의 닫힌 [[근방]]이다. 따라서 <math>U</math>와 <math>V</math>는 닫힌 근방으로 분리된다.
</div></div>

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**증명 (이산 공간과 동치인 조건):

한원소 집합과 열린집합이 정밀히 함수로 분리된다는 것은 모든 열린집합이 닫힌집합이며, 또 한원소 집합이 닫힌집합이어야 한다는 것을 함의한다. 후자는 T<sub>1</sub> 공간의 정의이며, 따라서 이러한 공간은 이산 공간이다. 반대 방향 함의는 자명하다.



'''증명 (㉢의 함의):

완비 정칙 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 모든 한원소 집합이 G<sub>δ</sub> 집합이다.
* 임의의 x\in X에 대하여, f^{-1}(\max_{y\in X}f(y))=\{x\}인 연속 함수 f\colon X\to\mathbb R가 존재한다.
따라서, 임의의 x,x'\in X에 대하여
:f^{-1}(\max_{y\in X}f(y))=\{x\}
:f'^{-1}(\max_{y\in X}f'(y))=\{x'\}
인 f,f'\colon X\to\mathbb R를 고른다면,
:y\mapsto
\frac12+
\frac{f(x)-\max\{f(y),f(x')\}}{2(f(x)-f(x'))}
-\frac{f'(x')-\max\{f'(y),f'(x)\}}{2(f'(x)-f(x))}
는 x와 x'을 정밀히 분리한다.


## 각주

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## 외부 링크
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분류:일반위상수학