요르단 삼항 대수

추상대수학에서 **요르단 삼항 대수**(Jordan三項代數, )는 어떤 특별한 항등식을 만족시키는 3쌍 선형 연산을 갖춘 대수 구조이다. 모든 요르단 대수와, 특정한 대합을 갖는 등급 리 대수는 표준적으로 요르단 삼항 대수의 구조를 갖는다. 또한, 요르단 3항 대수에 대하여, 그 위의 “등각 변환”으로 구성되는 더 큰 리 대수가 존재한다. 이 구성을 **칸토르-쾨허-티츠 구성**(Кантор-Koecher-Tits構成, )이라고 하며, 이를 통해 일부 예외 단순 리 대수(E₇, E₆, F₄)를 구성할 수 있다.

## 정의
### 요르단 삼항 대수
표수가 2가 아닌 체 K 위의 **요르단 삼항 대수**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* K-벡터 공간 A
* K-선형 변환 \langle-\rangle\colon A\otimes_KA\otimes_KA \to A, x\otimes y\otimes z \mapsto \langle xyz\rangle
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* (대칭성) \langle x,y,z\rangle = \langle z,y,x\rangle
* \langle u,v,\langle x,y,z\rangle\rangle - \langle x,y,\langle u, v, z\rangle\rangle = \langle\langle u,v,x\rangle,y,z\rangle - \langle x,\langle y, u, v\rangle, z\rangle

## 성질
### 요르단 대수 → 요르단 3항 대수
요르단 대수 (A,\star)가 주어졌을 때
:\langle x,y,z\rangle = (x\star y)\star z + x\star(y\star z) - y\star(x\star z)
를 정의하면, 이는 요르단 3항 대수를 이룸을 쉽게 확인할 수 있다.

### 리 대수 → 요르단 3항 대수
K 위의 리 대수 \mathfrak g 가 \{-1,0,+1\} 값의 등급을 갖는다고 하자.
:\mathfrak g=\mathfrak g_{-1}\oplus\mathfrak g_0\oplus\mathfrak g_1
:[\mathfrak g_0,\mathfrak g_i] \subseteq\mathfrak g_i
:[\mathfrak g_1,\mathfrak g_1] = [\mathfrak g_{-1},\mathfrak g_{-1}] = 0
:[\mathfrak g_1,\mathfrak g_{-1}] \subseteq\mathfrak g_0
또한, K-선형 변환 \tau\colon\mathfrak g\mapsto\mathfrak g이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* \tau는 리 대수의 자기 동형을 이룬다.
* (대합) \tau(\tau(x)) = x\qquad\forall x\in\mathfrak g
* (등급과의 호환) \tau(x) \in\mathfrak g_{-i}\forall i\in\{0,\pm1\},\;x\in\mathfrak g_i
그렇다면,
:\langle x,y,z\rangle = [x,\tau(y)],z]</math>
를 정의하면 <math>\mathfrak g</math>는 요르단 3항 대수를 이룬다.

=== 요르단 3항 대수 → 리 대수 ===
이제, 요르단 3항 대수 <math>(A,\langle-,-,-\rangle)</math>가 주어졌을 때, 다항 함수 <math>A\to A</math>의 [결합 대수
:A\otimes K[A]
를 생각하자. 이는 함수의 합성에 의하여 자연수 등급의 등급 대수를 이루며, 대수의 연산을 리 괄호 [a,b] = ab-ba만 남기고 잊으면 이는 등급 리 대수를 이룬다.

이제, 다음과 같은 세 K-벡터 공간을 정의하자.
:\mathfrak g_{-1} = 
\{
x \mapsto a\colon a\in A
\} = (A\otimes_KK[A])_0 
:\mathfrak g_0 = 
\operatorname{Span}_K\{
x \mapsto \langle a,b,x\rangle\colon a,b\in A
\} \subseteq (A\otimes_KK[A])_1 
:\mathfrak g_1 = 
\left\{
x \mapsto -\frac12\langle x,u,x\rangle\colon u\in A
\right\} \subseteq (A\otimes_KK[A])_2 
이는 A 위의 상수 함수 · 선형 함수 · 2차 함수로 구성된다.

이는 일반적으로 A\otimes_KK[A]의 함수의 합성에 대하여 닫혀 있지 않지만, 대신 리 괄호에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다.
즉, 이는 K-리 대수를 이루며, 또한 \{-1,0,+1\} 값의 등급을 갖는다. 또한, 이 구조에는
:\tau \colon \mathfrak g_i \mapsto \mathfrak g_{-i}
:\tau \colon ((x \mapsto u) \in\mathfrak g_{-1}) \mapsto ((x \mapsto -\tfrac12\langle x,u,x\rangle) \in\mathfrak g_1
:\tau \colon ((x\mapsto \langle u,v,x\rangle) \in\mathfrak g_0) \mapsto ((x\mapsto \langle \tau(u),\tau(v),x\rangle) \in\mathfrak g_0) 
와 같은 대합이 주어진다.

이를 A에 대응되는 **칸토르-쾨허-티츠 구성**이라고 하며, \mathfrak{con}(A)로 표기한다. 또한, 그 등급 0의 부분 리 대수를 \mathfrak{con}_0(A)로 표기한다.

만약 A가 항등원을 갖는 요르단 대수를 이룬다면, 리 대수 준동형
:K \to \mathfrak{con}_0(A)
:\alpha \mapsto (x\mapsto \alpha x)
이 존재한다. (여기서 정의역은 아벨 리 대수이다.) 또한, 그 치역은 리 대수의 중심의 부분이므로 리 대수 아이디얼을 이루어, 이에 대한 몫을 취할 수 있다. 이 대수를
:\mathfrak{con}_0'(\mathfrak A) = \frac{\mathfrak{con}_0}{K}
로 표기하자. 사실, \mathfrak{con}_0(A)의 모든 원소는
: T = \frac1{\dim_KA}\operatorname{tr}(T) + \left(T - \frac1{\dim_KA}\operatorname{tr}(T)\right)
와 같이 대각합과 무대각합 성분으로 표준적으로 분해되므로, 이는 표준적으로 직합
:\mathfrak{con}_0(A) = K \oplus\mathfrak{con}'_0(A)
을 이룬다.

또한, A가 요르단 대수일 때, 그 이항 연산 \star을 보존하는 미분 리 대수 \mathfrak{der}(A)가 존재하며, 이는 \mathfrak{con}_0'(A)의 부분 대수를 이룬다.
:\mathfrak{der}(A) \subseteq\mathfrak{con}_0'(A) 

## 예
요르단 대수에 대응되는 리 대수의 예는 다음과 같다.

여기서
* \operatorname H(n,\mathbb K)는 K 계수의 n\times n 에르미트 행렬로 구성된 요르단 대수이다.
* \mathbb K는 실수체 (\mathbb R), 복소수체 (\mathbb C), 사원수 대수 (\mathbb H), 팔원수 대수 (\mathbb O) 가운데 하나이다.
* \mathfrak{con}(\operatorname H(2;\mathbb K))의 \{0,\pm1\} 등급 및 대합은 등각 대칭군으로서 주어진다. 즉, 우변을 2+\dim_{\mathbb R}\mathbb K \in\{3,4,6,10\}차원 민코프스키 공간 위의 등각 변환들의 군으로 여긴다.

## 역사
칸토어-쾨허-티츠 구성은 자크 티츠 · 이사이 리보비치 칸토르(, 1936~2006) · 막스 쾨허(, 1924~1990)가 1960년대에 도입하였다.

## 참고 문헌

분류:리 대수
분류:비결합대수