요르단 대수

추상대수학에서 **요르단 대수**(Jordan代數, )는 교환 법칙을 따르지만 결합 법칙을 따르지 않을 수 있는 쌍선형 이항 연산을 갖춘 대수 구조의 일종이다.

## 정의
### 쌍선형 형식을 통한 정의
2가 가역원인 가환환 K 위의 **요르단 대수** A는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* K-가군 A
* 교환 법칙을 만족시키는 쌍선형 이항 연산 \bullet\colon\operatorname{Sym}^2_K(A)\to A
* 이 이항 연산의 항등원 1_A\in A
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* (요르단 항등식 ) (x\bullet y)(x\bullet x)=x\bullet (y\bullet(x\bullet x))\qquad\forall x,y\in A

(일부 문헌에서는 항등원의 존재를 요구하지 않는다.)

### 이차 형식을 통한 정의
가환환 K 위의 **요르단 대수** A는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* K-가군 A
* 원소 1_A\in A
* 함수  U\colon A \to \hom_K(A,A), x \mapsto U_x
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
* U_{1_A} = 1_A
* U_{\alpha x} = \alpha^2 U_x
* U_{U_xy} = U_x \circ U_y \circ U_x
* U_x \circ V_{y,x} = V_{x,y}\circ U_x (V_{x,y}z = (U_{x+z}-U_x-U_z)y)
또한, 이 공리들은 K의 임의의 스칼라 확장 K \to \tilde K에 대하여 성립하여야 한다.

만약 2가 가역원일 때, 이 정의는 첫째 정의와 동치이다. 그러나 이 정의는 만약 2가 가역원이 아닐 경우에도 잘 정의된다. 이 경우, 두 정의는 다음과 같이 대응된다.
:
그러나 이 두 정의가 서로 동치임을 증명하는 것은 전혀 자명하지 않다.

## 연산
### 직합
같은 가환환 K 위의 두 요르단 대수 A, B가 주어졌을 때, 그 **[[직합]]** A\oplus B을 정의할 수 있다. K-벡터 공간으로서 이는 벡터 공간의 직합이며, 그 위의 연산은 다음과 같이 성분별로 정의된다.
:(a,b)\bullet(a',b') = (a\bullet a',b\bullet b')\qquad\forall a,a'\in A,\;b,b'\in B
두 요르단 대수의 직합으로 표현될 수 없는 요르단 대수를 **기약 요르단 대수**()라고 한다. 모든 유한 차원 요르단 대수는 기약 요르단 대수의 직합으로 분해되며, 이러한 분해는 (순서를 제외하면) 유일하다.

### 몫
가환환 K 위의 요르단 대수 A의 **요르단 아이디얼**()은 다음과 같은 K-부분 가군 \mathfrak I\subseteq A이다.
* A \bullet \mathfrak I \subseteq \mathfrak I
U로서, 이 조건은 마찬가지로 다음과 같다.
* U_{\mathfrak I}(A) + U_A(\mathfrak I) \subseteq \mathfrak I
요르단 아이디얼이 주어졌을 때, 요르단 대수의 **몫 요르단 대수**()
:A/\mathfrak I
를 취할 수 있다. 반대로, 임의의 전사 요르단 대수 준동형 \phi \colon A\to B이 주어졌을 때, 그 핵 \phi^{-1}(0_B)\subseteq A은 요르단 아이디얼을 이룬다.

요르단 아이디얼은 (\mathfrak I\ne A라면) 1을 포함하지 않으므로, 부분 요르단 대수를 이루지 않는다.

정확하게 두 개의 아이디얼(\{0\}, A)을 갖는 요르단 대수를 **단순 요르단 대수**(單純Jordan代數, )라고 한다.

### 동위 연산
가환환 K 위의 요르단 대수 (A,\bullet)의 임의의 원소 u\in A에 대하여, U_u\colon A\to A가 전단사 함수라고 하자 (즉, U_u\in\operatorname{GL}(A;K)). 그렇다면, A 위에 다음과 같은 새 요르단 대수 구조를 정의할 수 있다.
:U_x^{(u)} = U_x\circ U_u
만약 2\in\operatorname{Unit}(K)라면, 새 이항 연산 \bullet^{(u)}은 다음과 같다.
:x\bullet^{(u)}y = \frac12V_{x,u}(z) = x\bullet(u\bullet y)+(x\bullet u)\bullet y - (x\bullet y)\bullet u
이 요르단 대수 구조를 A^{(u)}라고 하며, 이를 A의 **동위**(同位, )라고 한다. (U_u가 가역원이라는 조건은 A^{(u)}의 항등원이 존재하기 위해 필요하다.)

동위 연산은 다음 조건들을 만족시킨다.
:A^{(1)} = A
:A^{(u)(v)} = A^{U_u(v)}
이에 따라, 동위성은 동치 관계를 이룬다.

### 피어스 분해
요르단 대수 (A,\bullet)에서, 만약 어떤 원소 e\in A가 e^2=e를 만족시킨다면, 다음 항등식이 성립한다.
:e\bullet((2e-1)\bullet((e-1)\bullet x))=2(e\bullet(e\bullet x))-3e\bullet(e\bullet x)+e\bullet x = 0\qquad\forall x\in A
이에 따라서, 만약 \operatorname{char}K\ne2이며 A가 유한 차원이라면, e에 의한 왼쪽 곱셈 사상 (e\bullet)\colon A\to A의 고윳값은 0, 1, 또는 ½이며, A는 다음과 같이 고유 공간으로 분해된다.
:A = A_0(e) \oplus A_{1/2}(e) \oplus A_1(e)
이를 **피어스 분해**()라고 한다.

### 구조 리 대수
K가 2의 가역원이 존재하는 가환환이며, (A,\bullet)가 그 위의 요르단 대수라고 하자. 이룬다고 하자. 그렇다면, 이 경우 요르단 항등식에 따라서
:[x\bullet, y\bullet] \in \mathfrak{der}(A,\bullet)
이 성립함을 보일 수 있다. 여기서
:(x\bullet)\colon A\to A \in \mathfrak{gl}(A;K)
이며, 리 괄호는 \mathfrak{gl}(A;K)의 것이며, \mathfrak{der}(A,\bullet)은 A의 미분 리 대수이다.

이에 따라서, K-벡터 공간
:\mathfrak{str}(A) = \mathfrak{der}(A) \oplus A
위에 다음과 같은 리 괄호를 주어 K-리 대수로 만들 수 있다.
:[\delta,\epsilon]_{\mathfrak{str}(A)} = 
[\delta,\epsilon]_{\mathfrak{der}(A)} \qquad \forall \delta,\epsilon\in\mathfrak{der}(V)
:[\delta, x] = \delta(x) \qquad\forall \delta\in\mathfrak{der}(V),\;x\in A
:[x,y] = [x\bullet,y\bullet]\qquad\forall x,y\in A
이를 요르단 대수 A의 **구조 리 대수**(構造Lie代數, )라고 한다.

물론, A의 항등원 1_A\in A은 자명하게 작용하므로, 이를 제거하여 1차원 더 작은 K-리 대수
:\mathfrak{str}'(A) = \mathfrak{der}(A) \oplus A / \operatorname{Span}_K\{1_A\}
를 정의할 수 있다.

## 성질
일반적으로, 요르단 대수는 결합 법칙을 따르지 않는다. 다만, 요르단 항등식에 따라, 요르단 대수 (A,\bullet)에서 다음이 성립한다.
* (멱결합성 ) 임의의 원소 x\in A에 대하여, x로 생성되는 부분 요르단 대수는 결합 법칙을 따른다. 특히, x^n (n\in\mathbb N)과 같은 표현이 잘 정의된다.
* (x^m\bullet y)\bullet x^n=x^m\bullet (y\bullet x^n)\qquad\forall x,y\in A,\;m,n\in\mathbb N

**두 명제의 증명:**

편의상, 결합자
:[a,b,c] = (a\bullet b)\bullet c - a\bullet (b\bullet c)
를 정의하자.

우선, 교환 법칙에 의하여, 다음이 항상 성립한다.
:[a,b,c]+[b,c,a]+[c,a,b] = 0
:[a,b,c] = - [c,b,a] 
요르단 항등식에 의하여,
:((\alpha a+\beta b+\gamma c)^2d)(\alpha a+\beta b+\gamma c) - ((\alpha a+\beta b+\gamma c)d)(\alpha a+\beta b+\gamma c)^2 = 0
를 전개하고, \alpha\beta\gamma에 비례하는 항만을 추출하면, 다음을 얻는다.
:[b\bullet c,d,a] + [a\bullet b,d,c] + [a\bullet c,d,b] = 0

수학적 귀납법을 사용하여, n \le N에 대하여 x^n이 잘 정의된다고 하자. 이제,
: m + n \le N \implies [x^m,y,x^n] = 0 
임을 보이면 족하다. 그런데 위 항등식을 통해
:[x^m,y,x^n] = [x^{m-1}x,y,x^n] = [x^{m-1},y,x^{n+1}] + [x,y,x^{m+n-1}] \qquad (m+n\le N)
이므로, 이를 통해
:-[x^n,y,x^m] = [x^m,y,x^n] = m [x,y,x^{m+n-1}] \qquad(m+n\le N)
이다. 그런데 n=1로 놓으면
:- [x,y,x^m] =  m [x,y,x^m]
이 되어, 즉 [x^n,y,x^m] \propto [x,y,x^m] = 0이 된다.


### 맥도널드 원리
3개의 (비가환, 비결합) 변수에 대한 다항식 p(x,y,z)이 주어졌다고 하자. 만약
* p가 x에 대하여 1차 이하이며,
* p(x,y,z)=0가 결합 대수를 이루는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다면,
p(x,y,z)=0는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다. 이를 **맥도널드 원리**()라고 한다. 이는 자유 요르단 대수를 통해 증명될 수 있다.

### 형식적 실수 요르단 대수
**형식적 실수 요르단 대수**()는 다음 조건을 만족시키는 요르단 대수 A다.
:임의의 x_1,\dots, x_n\in A\setminus\{0\}에 대하여, x_1^2+x_2^2+\dotsb+x_n^2\ne0이다.

## 분류
실수에 대한 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수는 모두 분류되었다. 이러한 요르단 대수들은 **단순 요르단 대수**()의 직합으로 나타낼 수 있다.

단순 요르단 대수들의 목록은 다음과 같다.
* n\times n 실수 정사각행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 M\bullet N=(MN+NM)/2이다.
* n\times n 복소 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 M\bullet N=(MN+NM)/2이다.
* n\times n 사원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 M\bullet N=(MN+NM)/2이다.
* \mathbb R^n으로 생성되고 조건 x^2=\lVert x\rVert^2을 만족시키는, 단위원을 갖춘 자유 요르단 대수. 이는 n+1차원 요르단 대수이며, **스핀 인자**() 또는 **클리퍼드형 대수**()라고 한다. 이는 클리퍼드 대수와의 유사성 때문이다.
* 3\times 3 팔원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 M\bullet N=(MN+NM)/2이다. 이를 **예외 요르단 대수**() 또는 **앨버트 대수**()라고 한다. 이는 미국의 수학자 에이브러햄 에이드리언 앨버트의 이름을 딴 것이다.

여기서, 다음과 같은 동형이 성립한다.
:\operatorname H(1;\mathbb K) = \operatorname{JSpin}(0) = \mathbb R\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H,\mathbb O\})
:\operatorname H(2;\mathbb K) = \operatorname{JSpin}(1+\dim_{\mathbb R}\mathbb K)\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H,\mathbb O\})
구체적으로,
:a_{-1} = \begin{pmatrix}
1& 0 \\ 0 & -1
\end{pmatrix}
:a_0 = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
:a_i = \begin{pmatrix} 0 & e_i \\ -e_i & 0 \end{pmatrix}\qquad(i \in \{1,\dotsc,\dim_{\mathbb R}\mathbb K-1\})
로 잡으면,
:a_i\bullet a_j = \delta_{ij}1_{2\times2}\qquad\forall i,j\in\{-1,0,1,\dotsc,\dim_{\mathbb R}\mathbb K-1\}
임을 알 수 있다 (\delta_{ij}는 크로네커 델타).

## 예
### 자명한 요르단 대수
임의의 가환환 K에 대하여, 0차원 또는 1차원 K-자유 가군 위에는 유일한 (항등원을 갖는) 요르단 대수 구조가 존재한다. 이들은 물론 결합 법칙 및 교환 법칙을 따른다.

### 결합 대수에 대응되는 요르단 대수
표수가 2가 아닌 체 K 위의 임의의 결합 대수 A가 주어졌을 때,
:x\bullet y = \frac12(xy+yx)
를 정의하면, 이는 요르단 대수를 이룬다.

**증명**:

요르단 항등식을 증명하면 족하다.
:(x\bullet y)\bullet x^2 = (xy+yx)x^2+x^2(xy+yx)=yx^3 + xyx^2+x^2yx+x^3y
:x\bullet (y\bullet x^2) = x(yx^2+x^2y) + (yx^2+x^2y) x
=yx^3 + xyx^2+x^2yx+x^3y

이는 K-결합 대수의 범주에서 K-요르단 대수의 범주로 가는 함자
:(-)^+\colon\operatorname{Assoc}_K \to \operatorname{Jord}_K
를 정의한다.

### 자유 요르단 대수
주어진 체 K위의 요르단 대수의 개념은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 **[[자유 대상|자유]] 요르단 대수**()의 개념이 존재한다. 즉, 망각 함자
:\operatorname{Jord}_K \to \operatorname{Vect}_K
의 왼쪽 수반 함자가 존재한다.

0개의 원소로 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 요르단 대수는 1차원 K-벡터 공간이다.

하나의 원소 x로 생성되는 자유 요르단 대수는 단순히 다항식환 K[x]이다.

## 응용
요르단 대수의 개념은 이론물리학에 사용된다.

## 역사
[섬네일|right|[파스쿠알 요르단 (1920년대 사진)]]
파스쿠알 요르단이 1933년에 도입하였다. 요르단은 원래 양자역학의 관측 가능량의 대수를 다루기 위하여 도입하였다. X,Y가 에르미트 관측 가능량이라면 X\bullet Y=(XY+YX)/2 또한 관측 가능량이고, 이들은 단순 요르단 대수를 이룬다.

이후 케빈 맥크리먼()이 표수 2에 대한 요르단 대수의 “올바른” 정의를 발견하였다. 이에 대하여 맥크리먼은 다음과 같이 적었다.

## 같이 보기
* 요르단 삼항 대수
## 각주

## 외부 링크
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분류:비결합대수