집합족

수학에서 **집합족**(集合族, )은 집합들을 원소로 하여 구성된 집합이다.

## 정의
집합 X 속의 **집합족**은 X의 (일부 또는 전체) 부분 집합들로 이루어진 집합을 뜻한다. 즉, 집합 X 속의 집합족은 X의 멱집합 \mathcal P(X)의 부분 집합 \mathcal F\subseteq\mathcal P(X)을 뜻한다.

## 종류
집합 X 속의 집합족 \mathcal F\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.
* **집합 반환**(集合半環, ): \varnothing\in\mathcal F이며, 유한 교집합에 대하여 닫혀 있으며, 임의의 A,B\in\mathcal F에 대하여, A\setminus B=C_1\cup\cdots\cup C_n인 유한 개의 서로소 집합 C_1,\dots,C_n\in\mathcal F가 존재한다.
* **집합환**(集合環, ): \varnothing\in\mathcal F이며, 유한 합집합, 유한 교집합, 차집합에 대하여 닫혀 있다.
* **σ환**(-環, ): \mathcal F는 집합환이며, 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.
* **δ환**(-環, ): \mathcal F는 집합환이며, 가산 교집합에 대하여 닫혀 있다.
* **집합 반대수**(集合半代數, ): \mathcal F는 집합 반환이며, X\in\mathcal F이다.
* **집합 대수**(集合代數, ) 또는 **집합체**(集合體, ): \mathcal F는 집합환이며, X\in\mathcal F이다. 즉, \mathcal F는 \mathcal P(X)의 부분 불 대수를 이룬다.
* **[[시그마 대수]]**(σ代數, ): \mathcal F는 σ환이자 δ환이며, X\in\mathcal F이다.
* **π계**(-系, ): \mathcal F는 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
* **λ계**(-系, ): X\in\mathcal F이며, 여집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 개의 서로소 집합들의 합집합에 대하여 닫혀 있다. 이와 동치로, X\in\mathcal F이며, 만약 A,B\in\mathcal F이며 A\subseteq B라면 B\setminus A\in\mathcal F이며, 만약 A_1,A_2,\dots\in\mathcal F이며 A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots라면 \textstyle\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal F이다.
* **단조류**(單調類, ): 만약 A_1,A_2,\dots\in\mathcal F이며 A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots라면 \textstyle\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal F이며, 만약 A_1,A_2,\dots\in\mathcal F이며 A_1\supseteq A_2\supseteq\cdots라면 \textstyle\bigcap_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal F이다.

## 성질
### 함의 관계
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:

또한, 집합족에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* 시그마 대수이다.
* 집합 대수이자 σ환이다.
* 집합 대수이자 δ환이다.
* π계이자 λ계이다.
* 집합 대수이자 단조류이다.

### 집합족으로 생성된 집합환
임의의 유한 또는 무한 개의 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류의 교집합은 각각 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류이다. 따라서, 임의의 집합 X 속의 집합족 \mathcal F\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, \mathcal F를 포함하는 최소의 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류가 존재하며, 이는 각각 \mathcal F를 포함하는 모든 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류의 교집합과 같다. 이를 각각 \mathcal F로 생성된 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류라고 한다.

집합 X 속의 집합족 \mathcal F\subseteq\mathcal P(X)으로 생성된 집합 대수는
:a(\mathcal F)=\left\{\bigcup_{i=1}^m\bigcap_{j=1}^nA_{ij}\colon m,n\in\mathbb N,\;A_{ij}\in\mathcal F\cup\{\varnothing\}\cup(X\setminus(\mathcal F\cup\{\varnothing\})\right\}
이다.

반면, \mathcal F로 생성된 시그마 대수 \sigma(\mathcal F)는 명시적으로 나타낼 수 없다.

집합 X 속의 집합 반환 \mathcal S\subseteq\mathcal P(X)으로 생성된 집합환 r(\mathcal S)은 \mathcal S 속 유한 개의 서로소 집합들의 합집합으로 구성된다. 만약 \mathcal S가 집합 반대수라면, r(\mathcal S)는 집합 대수이다.
:r(\mathcal S)=\left\{\bigcup_{i=1}^nS_i\colon n\in\mathbb N,\;S_i\in\mathcal S,\;i=j\lor S_i\cap S_j=\varnothing\right\}

우선
:\mathcal R=\left\{\bigcup\mathcal F\colon\mathcal F\subseteq\mathcal R_0,\;|\mathcal F|
라고 하고, \mathcal R=r(\mathcal R_0)임을 보이자. 자명하게 \mathcal R\subseteq r(\mathcal R_0)이므로, \mathcal R가 집합환을 이룸을 보이면 된다. 자명하게 \mathcal R_0\subseteq\mathcal R이며, 특히 \varnothing\in\mathcal R이다. 또한 \mathcal R는 유한 합집합에 대하여 닫혀 있다. 따라서 임의의 A,B\in\mathcal R에 대하여 A\setminus B\in\mathcal R임을 보이면 된다.
:A=\bigcup\mathcal F
:B=\bigcup\mathcal G
인 유한 서로소 집합 \mathcal F,\mathcal G\subseteq\mathcal R_0을 취하고, 임의의 F\in\mathcal F 및 G\in\mathcal G에 대하여
:F\setminus G=\bigcup\mathcal H_{F,G}
인 유한 서로소 집합 \mathcal H_{F,G}\subseteq\mathcal R_0을 취하자. 그렇다면
:\begin{align}
A\setminus B
& = \bigcup_{F\in\mathcal F}\left(F\setminus\bigcup\mathcal G\right) \\
& = \bigcup_{F\in\mathcal F}\bigcap_{G\in\mathcal G}(F\setminus G) \\
& = \bigcup_{F\in\mathcal F}\bigcap_{G\in\mathcal G}\bigcup\mathcal H_{F,G} \\
& = \bigcup_{F\in\mathcal F}\bigcup_{H\in\prod_{G\in\mathcal G}\mathcal H_{F,G}}\bigcap_{G\in\mathcal G}H_G\\
\end{align}
이다. 임의의
:H=(H_G)_{G\in\mathcal G}\in\prod_{G\in\mathcal G}\mathcal H_{F,G}
에 대하여,
:\bigcap_{G\in\mathcal G}H_G\in\mathcal R_0
이므로, A\setminus B\in\mathcal R_0이다.

이제, r(\mathcal R_0) 속 모든 원소 A\in r(\mathcal R_0)이 \mathcal R_0 속 서로소 원소의 유한 합집합임을 보이자.
:A=\bigcup_{i=1}^nA_i
인 유한 개의 서로소 원소 A_1,\dots,A_n\in\mathcal R_0을 취하고, 임의의 i,j\in\{1,\dots,n\}에 대하여
:A_i\setminus A_j=\bigcup_{k=1}^{n_{ij}}B_{ijk}
인 유한 개의 서로소 원소 B_{ij1},\dots,B_{ijn_{ij}}\in\mathcal R_0을 취하자. 그렇다면
:\begin{align}
A
& = \bigsqcup_{i=1}^n\left(A_i\setminus\bigcup_{j=1}^{i-1}A_j\right) \\
& = \bigsqcup_{i=1}^n\bigcap_{j=1}^{i-1}(A_i\setminus A_j) \\
& = \bigsqcup_{i=1}^n\bigcap_{j=1}^{i-1}\bigsqcup_{k=1}^{n_{ij}}B_{ijk} \\
& = \bigsqcup_{i=1}^n\bigsqcup_{k_1=1}^{n_{i1}}\cdots\bigsqcup_{k_{i-1}=1}^{n_{i,i-1}}\bigcap_{j=1}^{i-1}B_{ijk_j}
\end{align}
이며,
:\left\{A_i\setminus\bigcup_{j=1}^{i-1}A_j\colon i\in\{1,\dots,n\}\right\}
:\left\{\bigcap_{j=1}^{i-1}B_{ijk_j}\colon
\forall j\in\{1,\dots,i-1\}\colon k_j\in\{1,\dots,n_{ij}\}
\right\}\qquad(i\in\{1,\dots,n\})
는 모두 서로소 집합족이므로,
:\left\{\bigcap_{j=1}^{i-1}B_{ijk_j}\colon
i\in\{1,\dots,n\},\;\forall j\in\{1,\dots,i-1\}\colon k_j\in\{1,\dots,n_{ij}\}
\right\}
역시 서로소 집합족이다.

**딘킨 π-λ 정리**(-定理, )에 따르면, 임의의 π계 \mathcal P 및 λ계 \mathcal L에 대하여, 만약 \mathcal P\subseteq\mathcal L라면, \sigma(\mathcal P)\subseteq\mathcal L이다. **단조류 정리**(單調類定理, )에 따르면, 임의의 집합 대수 \mathcal A 및 단조류 \mathcal M에 대하여, 만약 \mathcal A\subseteq\mathcal M이라면, \sigma(\mathcal A)\subseteq\mathcal M이다.

## 예
집합 \{\{2,\{3\}\},\{1\},\{5,6\}\}은 모든 원소가 집합이므로 집합족이다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 같은 순수 집합론의 경우, 논의 영역 속 모든 대상이 집합이므로, 집합족인 집합과 아닌 집합의 구분이 없다.

임의의 집합 X에 대하여, 공집합 \varnothing과 X의 멱집합 \mathcal P(X)은 X 속의 집합족이다.

실수 구간 [0,1]\subseteq\mathbb R의 부분 구간들의 집합족은 [0,1] 속의 집합 반대수를 이루며, 이는 집합 대수가 아니다. 실수선 \mathbb R 속의 유계 집합들의 집합족은 \mathbb R 속의 δ환이지만, 집합 대수나 σ환이 아니다.

## 같이 보기
* 슈페르너 족
* 슈페르너 정리
* 헬리 족
* 헬리 정리

## 각주