오일러 공식

섬네일|오른쪽|360px|<math>z = \cos x + i \sin x</math>는 복소평면에서 단위원을 뜻한다.
**오일러 공식**(Euler's formula)은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식이다.

사용되는 경우로는 복소수 지수를 정의하는 데에 출발점이 되며, 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러 항등식은 이 공식의 특수한 경우이다.

오일러 공식은 다음과 같다. 실수 x~에 대해, 허수 지수 ix~를 다음과 같이 정의한다.

: e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x

여기서, e는 자연로그의 밑이고, i~는 제곱하여 -1~이 되는(i^2 = -1) 허수단위, \sin, \cos은 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다.

x에 \pi를 대입하여, 오일러 항등식 e^{i \pi} = -1을 구할 수 있다.

## 역사
오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 다음과 같은 형태로 처음 발견하였다.

: \ln(\cos x + i\sin x) \,=\, ix 

지금과 같은 모양의 오일러 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우 극한값이 같음을 증명하면서 발표되었다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 '복소수를 복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다'는 기하학적 의미를 눈치채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었다. 오일러는 현재의 교육과정에서 보다 훨씬 이른 시기에 학생들에게 복소수를 가르쳤다. 그의 기초 대수학 교재인 (Elements of Algebra)에 보면 교재의 거의 맨 앞부분부터 복소수를 도입하고 있고 교재 전체를 통틀어 자연스럽게 사용하고 있다.

## 복소수 지수 정의와 오일러 공식

### 테일러 급수를 이용한 방법

테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다.
:
e^x =  +  + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{x^n}{n!}}

따라서
:
\begin{array}{rll}
e^x &{}= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{x^n}{n!}} \\
\cos x &{}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}}x^{2n} \\
\sin x &{}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\
\end{array}

이때 x가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 **정의**한다. 그러면
:
\begin{align}
e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\

&{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\

&{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\

&{}= \cos z + i\sin z

\end{align}

가 된다.

### 미분 계산을 이용한 증명방법

: f(x) = e^{-ix}(\cos x + i\sin x) \cdots (1)  라면,
: \frac {d}{dx} f(x) = -ie^{-ix}(\cos x + i\sin x)+e^{-ix}(-\sin x + i\cos x) = e^{-ix}(-i \cos x + \sin x -\sin x + i\cos x) =0 
: \therefore f(x)=C  (단, C는 상수)
(1)에  x=0 을 대입하면,
: f(0) = 1 
: \therefore C=1 

: e^{-ix}(\cos x + i\sin x) = 1 
: e^{ix} = (\cos x + i\sin x) 

*[[Q.E.D.]]*

### 미적분을 이용한 방법

다음과 같은 복소수 z를 생각하자:
:z=\cos x + i\sin x \,
양변을 x에 대해 미분하면:
:\frac{dz}{dx}=-\sin x + i\cos x

i^2 = -1이므로:
:\frac{dz}{dx}=i^2\sin x + i\cos x=i(\cos x + i\sin x)=iz
z를 이항한 후 양변을 적분하면:
:

\begin{align}

\frac{1}{z}\,\frac{dz}{dx}&= i \\
\int\frac{1}{z}\,dz&=\int i\,dx \\
\ln z&=ix + C

\end{align}


(여기에서 C는 적분 상수이다.)

이제 C=0이라는 것을 증명한다. x=0일 경우를 계산해보면
:

\begin{align}

\ln z &= C \\
z &= \cos x + i\sin x = \cos 0 + i \sin 0 = 1

\end{align}


따라서
:

\begin{align}
\ln 1 &= C \\
C &= 0

\end{align}

따라서 다음과 같은 식이 성립한다:
:

\begin{align}

\ln z &= ix \\
z &= e^{ix} \\
e^{ix} &= \cos x + i\sin x

\end{align}



*[[Q.E.D.]]*

### 미분방정식을 이용한 방법

함수 g(x)를 다음과 같이 정의한다.
: g(x) = e^{ix}

허수단위 i는 상수이므로 g(x)의 도함수와 이계도함수는 다음과 같다.

: 

\begin{align}

g'(x) &= i e^{ix} \\
g*(x) &= i^2 e^{ix} = -e^{ix}

\end{align}

</math>

이로부터
: <math>g*(x) = -g(x) \  또는
: g*(x) + g(x) = 0 \ </math> 라는 2차 선형 [[미분방정식]]이 만들어지고,
[[일차 독립]]인 두 해가 발생한다.
: <math>

\begin{align}

g_1(x) &= \cos x \\
g_2(x) &= \sin x

\end{align}

</math>

한편, 차수가 같은 미분방정식의 어떤 [[선형 결합]]도 해가 될 수 있으므로 위의 미분방정식의 일반적인 해는 다음과 같다.
:<math>

\begin{align}

g(x)
&= A g_1(x) + B g_2(x)\\
&= A \cos x + B \sin x\\
g'(x)
&=-A \sin x + B \cos x

\end{align}

</math>
::(<math>A</math>와 <math>B</math>는 상수)

그리고 여기에 함수 <math>g(x)</math> 의 초기 조건
: <math>

\begin{align}

g(0) &= e^{i0} &= 1 \\
g'(0) &= i e^{i0} &= i

\end{align}

</math> 을 대입하면,

: <math>

\begin{align}

g(0) &= {\color{White}-}A \cos 0 + B \sin 0 &= A \\
g'(0) &= -A \sin 0 + B \cos 0 &= B

\end{align}

</math>

곧,

: <math>

\begin{align}

g(0) &= A &= 1 \\
g'(0) &= B &= i

\end{align}

</math>

이므로

: <math>g(x) \,=\, e^{ix} = \cos x + i \sin x</math>이다.

[[Q.E.D.]]

== 박사가 사랑한 수식 ==
오일러 공식은 위 소설의 모티브로도 사용이 되었다. 오일러 공식에 숨어 있는 뜻을 *'cis 함수** 또는 **복소 지수 함수'''는 오일러 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의되는 것이다.
: \operatorname{cis}(\theta) = e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta
이 함수는 푸리에 변환이나 페이저 등에서 복소수와 관련된 연산을 할 때 흔히 사용되는 것이다.

## 쉬운 설명
우선 이 공식을 이해하기 위해서는 멱급수가 무엇인지 알고 있어야 한다. 멱급수란 하나의 수의 지수를 증가시키며 모두 더한 값을 말하며, 지수함수의 멱급수는 다음과 같다.

e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3\times2}+\frac{x^4}{4\times3\times2}+\cdot\cdot\cdot


이 멱급수의 지수 x
에 iz
(복소수에 임의의 수 z
를 곱한 값)을 추가하면, i\sin z
에 \cos z
를 더한 값과 완벽하게 일치했다.

즉, e^{iz} \,=\, \cos z + i\sin z가 성립하는 것이다.

이 등식에서 z에 \pi를 대입했을 때 나오는 특수한 등식이 바로 오일러의 등식이다.

## 각주

## 같이 보기
* 겔폰트 상수
* 오일러의 등식

분류:복소해석학 정리
분류:항등식
분류:레온하르트 오일러
분류:초등대수학