꼭짓점 배치

기하학에서 **꼭짓점 배치**는 다면체나 타일링의 꼭짓점 도형을 꼭짓점 주변의 면의 수열로 간단히 한 표현이다. 고른 다면체의 경우, 꼭짓점 종류는 한가지 밖에 없기 때문에 꼭짓점 배치는 다면체를 완전히 정의한다. (같은 꼭짓점 배치를 가지는 카이랄 다면체는 거울상에 존재한다.)

꼭짓점 배치는 꼭짓점 주변에 있는 면의 변의 개수를 나타내는 숫자들의 수열로 주어진다. 표기 "*a.b.c*"는 꼭짓점 주변에 면이 3개가 있고, 각각의 면은 *a*, *b*, 그리고 *c*개의 변으로 이루어져 있다는 것을 의미한다.

예를 들어, "3.5.3.5"는 삼각형과 오각형이 번갈아 4개가 있는 꼭짓점을 나타낸다. 이 꼭짓점 배치는 점추이인 십이이십면체를 정의한다. 표기는 순환적이므로 다른 시작점에서 시작하는 표기와 동일하다. 따라서 3.5.3.5는 5.3.5.3과 동일하다. 순서는 중요하기 때문에 3.3.5.5는 3.5.3.5와 다르다. (처음 것은 삼각형 두 개가 나온 뒤 오각형 두 개가 따라 나온다.) 반복되는 원소는 지수로 모아질 수 있다. 따라서 이 예시는 또한 (3.5)2으로도 표시할 수 있다.

이것은 다양하게 **꼭짓점 설명**, **꼭짓점 타입**, **꼭짓점 기호**, **꼭짓점 배열**, **꼭짓점 패턴**, **면-벡터**라고 불렸었다. 이것은 1952년에 저술된 *Mathematical Models*에 기술된 아르키메데스의 다면체에서의 사용법에 의해 **Cundy와 Rollett 기호**라고 불린다.

## 꼭짓점 도형
*꼭짓점 배치*는 또한 꼭짓점 주변의 다각형 꼭짓점 도형으로 표현할 수 있다. 이 *꼭짓점 도형*은 면들이 다면체에서 같은 평면에 있지 않는 이상은 3차원 구조를 가지고 있다. 하지만 꼭짓점-고른 다면체에 대해서는 모든 이웃한 꼭짓점은 같은 평면에 있기 때문에 이 정사영은 시각적으로 꼭짓점 배치를 나타내는데 쓰일 수 있다.

## 변형과 사용

다른 표기가 사용되며, 어떤 때는 콤마(,)를 사용하고 다른 때는 마침표(.)가 구분하는 기호로 사용된다. 주기연산자는 이것은 곱셈같이 보이기 때문에 지수 표기를 쓸 수 있어서 유용하다. 예를 들어, 3.5.3.5는 종종 (3.5)2로 쓰인다.

표기는 또한 정다면체를 위한 단순 슐레플리 기호의 확장이라고 생각할 수 있다. 슐레플리 표기에서 {*p*,*q*}는 꼭짓점 주변에 *p*각형이 *q*개 있다는 것을 의미한다. 따라서 {*p*,*q*}는 *p.p.p...* (*q*번 반복) 또는 *p<sup>q</sup>*로 쓸 수 있다. 예를 들어, 정십이면체는 {3,5} = 3.3.3.3.3 또는 35이다.

이 표기는 다면체와 같이 다각형 타일링에도 적용된다. 평면 꼭짓점 배치는 고른 타일링을 고른 다면체 같이 평면이 아닌 꼭짓점 배치로 나타낸다.

이 표기는 카이랄 형태에 대해서는 모호하다. 예를 들어, 다듬은 정육면체는 서울 대칭인 시계방향과 반시계방향 형태가 있다. 하지만 둘 다 꼭짓점 배치가 3.3.3.3.4이다.

## 별 다각형
이 표기는 볼록하지 않은 별 다각형 같은 면에도 적용된다. 예를 들어, 오각성은 기호 {5/2}인데, 이는 5개의 변이 점을 2번째에 이어간다는 의미이다.

예를 들어, 꼭짓점 도형에 정다각형이나 별다각형이 있는 별 정다면체가 4가지가 있다. 작은 별모양 십이면체의 슐레플리 기호는 {5/2,5}이며, 이것은 명시적인 꼭짓점 배치인 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2로 확장하거나 결합해서 (5/2)5.로 표기할 수 있다. 큰 별모양 십이면체: {5/2,3}은 삼각형의 꼭짓점 도형을 가지고 배치는 (5/2.5/2.5/2) 또는 (5/2)3이다. 큰 십이면체: {5,5/2}는 오각형 꼭짓점 도형과 배치 (5.5.5.5.5)/2 또는 (55)/2로 표현될 수 있다. 큰 이십면체: {3,5/2} 또한 오각형의 꼭짓점 도형과 꼭짓점 배치 (3.3.3.3.3)/2 또는 (35)/2를 가진다.

## 뒤집힌 정다각형
꼭짓점 도형의 면은 한 쪽 방향으로 진행되도록 고려된다. 일부 고른 다면체는 꼭짓점 도형의 면이 역행하는 반전을 포함한다. 꼭짓점 도형은 이것을 별다각형의 변 표기법 *p/q* 를 사용하지만 *p*2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. 사실, 각 꼭짓점에서 세 개의 면이 만나는 이 배치들은 존재한다. 각 면이 정육각형 이하인 정다면체나 정다각형을 깎은 것 끼리 분류하거나 꼭짓점에 모인 면의 수를 깎은 것에 따라 분류하기도 한다. 마름모가 들어가면 부풀리기이다.

괄호 안의 숫자들은 부족 각으로 계산한 꼭짓점의 개수이다(단, 부족각의 크기가 0도인 정다각형 타일링은 720을 0으로 나눌 수 없으므로 꼭짓점은 개수는 무한대로 급상승하게 된다).

; 3개
* 정다면체 3.3.3 (4), 4.4.4 (8), 5.5.5 (20)
* 각기둥 4.4.*n* (2*n*), 예시:3.4.4 (6), 4.4.5 (10)
* 아르키메데스의 다면체 3.6.6 (12), 3.8.8 (24), 3.10.10 (60), 4.6.6 (24), 4.6.8 (48), 4.6.10 (120), 5.6.6 (60).
* 정다각형 타일링 6.6.6
* 준정다각형 타일링 3.12.12, 4.6.12, 4.8.8
; 4개
* 정다면체 3.3.3.3 (6)
* 엇각기둥 3.3.3.*n* (2*n*), 예시:3.3.3.4 (8), 3.3.3.5 (10)
* 아르키메데스의 다면체 3.4.3.4 (12), 3.5.3.5 (30), 3.4.4.4 (24), 3.4.5.4 (60)
* 정다각형 타일링 4.4.4.4
* 준정다각형 타일링 3.6.3.6, 3.4.6.4
; 5개
* 정다면체 3.3.3.3.3 (12)
* 아르키메데스의 다면체 3.3.3.3.4 (24), 3.3.3.3.5 (60) (카이랄상 둘 다)
* 반정다각형 타일링 3.3.3.3.6 (카이랄), 3.3.3.4.4, 3.3.4.3.4 (같은 숫자를 다른 순서로 배열하는 것이 다른 패턴을 나타내는것을 주목하라)
; 6개
* 정다각형 타일링 3.3.3.3.3.3

## 면 배치
[섬네일|[마름모십이면체]]
고른 쌍대, 또는 쌍각뿔과 엇쌍각뿔을 포함하는 카탈랑의 다면체는 수직적으로 규칙적(면추이)이고, 따라서 이것들은 **면 배치**와 동일하게 볼 수 있다. Cundy와 Rollett은 이 쌍대 기호의 앞에 *V*를 붙였다. 이와 반대로, *타일링과 패턴*은 대괄호를 기호를 두른다.

이 표기는 면 둘레의 꼭짓점에 모인 면의 개수의 수열을 나타낸다. 예를 들어, V3.4.3.4 또는 V(3.4)2은 면추이인 마름모십이면체를 나타낸다: 모든 면은 마름모이고, 마름모의 꼭짓점에서 교대로 3 또는 4개의 면이 있어야 한다.

## 각주

## 참조
* Cundy, H. and Rollett, A., *Mathematical Models* (1952), (3rd edition, 1989, Stradbroke, England: Tarquin Pub.), 3.7 *The Archimedean Polyhedra*. Pp.&nbsp;101–115, pp. 118–119  Table I, Nets of Archimedean Duals, V.*a*.*b*.*c*... as *vertically-regular* symbols.
* Peter Cromwell, *Polyhedra*, Cambridge University Press (1977) The Archimedean solids. Pp. 156–167.
*  Uses Cundy-Rollett symbol.
*  Pp. 58–64, Tilings of regular polygons a.b.c.... (Tilings by regular polygons and star polygons)  pp.&nbsp;95–97, 176, 283, 614–620, Monohedral tiling symbol [v1.v2. ... .vr]. pp. 632–642 hollow tilings.
* *The Symmetries of Things* 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass,  (p. 289 Vertex figures, uses comma separator, for Archimedean solids and tilings).

## 외부 링크
* Consistent Vertex Descriptions Stella (software), Robert Webb

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