실수의 완비성

실수의 이론에서, **실수의 완비성**(實數-完備性, )은 대략 '메꿔질 구멍이 없다'는 의미의, 실수의 핵심적 성질이다. **실수의 연속성**(實數-連續性, )이라고도 불리는데, 함수의 연속성과는 다른 개념이다. 공리적으로 정의된 실수에게 있어, 실수의 완비성은 증명할 필요가 없는 공리이며, 이를 **완비성 공리**(完備性公理, )라고 한다. 완비성 공리는 순서체 공리와 함께 실수 공리를 이룬다. 구성적으로 정의된 실수에게 있어, 실수의 완비성은 정리이며, 이는 서로 다른 실수 모형으로부터 서로 다른 방법으로 증명된다.

실수의 완비성의 서술 방법은 다양하며, 각기 다른 각도와 강조점이 있다. **상한 공리** 또는 **최소 상계 공리**(最小上界公理, )는 가장 자주 사용되는 형태이며, 이에 따르면 실수 부분 집합이 상계를 가지면 반드시 상한을 가진다. 이와 달리, 유리수는 완비성을 만족하지 못한다. 예를 들어, 제곱이 2보다 작은 유리수들의 집합은 유리수 상계를 갖지만, 유리수 상한을 갖지 못한다.

상한 공리를 비롯한 일부 완비성 공리는 순서체 공리 아래 서로 동치이며, 순서체 공리와 이들 완비성 공리 가운데 하나로부터 실수의 모든 성질들을 유도할 수 있다. 그러나, 일부 완비성 공리는 보다 더 약한 공리이며, 순서체 공리와 이들 가운데 하나로부터 실수의 일부 성질들을 유도할 수 없다. 특히, 아르키메데스 성질을 유도할 수 없는데, 약한 완비성 공리에 아르키메데스 성질을 추가하여 얻는 공리는 상한 공리와 동치이며, 순서체 공리와 함께 실수의 모든 성질들을 유도할 수 있다.

## 정의
실수의 완비성 공리들은 다음과 같다. 이들 가운데 일부는 서로 동치이지 않다.

### 상한 공리
실수 부분 집합 S\subset\mathbb R의 한 상계는 다음을 만족시키는 실수 u\in\mathbb R이다.
* 임의의 s\in S에 대하여, s\le u
실수 부분 집합 S\subset\mathbb R의 상한은 다음 두 조건을 만족시키는 실수 u\in\mathbb R이다.
* u는 S의 상계이다.
* 만약 u'가 S의 상계라면, u\le u'이다.
비슷하게, 실수 부분 집합의 하계와 하한을 정의할 수 있다.

**상한 공리**는 다음과 같은 서로 비슷하며 동등한 방식으로 서술된다.
* (상한 공리) 공집합이 아닌, 상계를 갖는 실수 부분 집합은 항상 상한을 갖는다.
* (하한 공리) 공집합이 아닌, 하계를 갖는 실수 부분 집합은 항상 하한을 갖는다.
* 공집합이 아닌 유계 실수 부분 집합은 항상 상한과 하한을 갖는다.

상한 공리 가정 아래, 실수 부분 집합 S\subset\mathbb R이 하계를 갖는다고 하자. 그렇다면,
:-\sup(-S)
는 S의 하한이다.

비슷하게, 하한 공리 가정 아래 상한 공리를 증명할 수 있다.

### 단조 수렴 정리

**단조 수렴 정리**는 다음과 같은 서로 비슷하며 동등한 방식으로 서술된다.
* 단조 증가하며 상계를 갖는 실수 수열은 수렴 수열이다.
* 단조 감소하며 하계를 갖는 실수 수열은 수렴 수열이다.
* 단조 유계 수열은 수렴 수열이다.

바로 위 증명과 비슷하게, 단조 감소하며 하계를 갖는 수열 (a_n)_{n\in\mathbb N}은 단조 증가하며 상계를 갖는 수열 (-a_n)_{n\in\mathbb N}에 대응한다는 데 주의하여 증명할 수 있다.

### 축소 구간 정리

닫힌구간의 열
:(I_n=[a_n,b_n])_{n\in\mathbb N}\qquad(a_n\le b_n\forall n\in\mathbb N)
이
* I_1\supset I_2\supset I_3\supset\cdots
* |I_n|\to0\qquad(n\to\infty)
를 만족한다고 하자. **축소 구간 정리**에 따르면,
:\textstyle\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n=\{c\}
이게 되는 c\in\mathbb R이 존재하며, 더 일반적으로, 두 번째 전제를 제거하였을 때,
:\textstyle\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n=[a,b]\qquad(a\le b)
이게 되는 a,b\in\mathbb R이 존재한다.

정리의 앞부분은 뒷부분에 포함되는 더 약한 명제이다.

### 하이네-보렐 정리

실수 부분 집합 S\subset\mathbb R에 대하여, \textstyle\bigcup_{i\in I}C_i\supset S를 만족시키는 실수 부분 집합족 \{C_i\}_{i\in I}\subset\mathcal P(\mathbb R)을 S의 덮개라고 한다.

**하이네-보렐 정리**에 따르면, 실수 유계 닫힌구간의 열린 구간 덮개는 항상 유한 부분 덮개를 갖는다. 풀어 말해, 실수 유계 닫힌구간을 어떤 열린 구간들로 '덮을' 수 있다면, 그들 중 유한 개의 열린 구간만을 골라서도 '덮을' 수 있다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 항상 콤팩트 집합이다.

### 극한점 성질
실수 부분 집합 S\subset\mathbb R의 극한점은 서로 동치인 다음 두 조건을 만족시키는 실수 x\in\mathbb R이다.
* 임의의 \epsilon>0에 대하여, S\cap(x-\epsilon,x+\epsilon)\setminus\{x\}\ne\varnothing이다.
* 임의의 \epsilon>0에 대하여, S\cap(x-\epsilon,x+\epsilon)\setminus\{x\}는 무한 집합이다.
극한점 성질에 따르면, 실수 유계 무한 집합은 극한점을 갖는다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 극한점 콤팩트 공간이다.

### 볼차노-바이어슈트라스 정리

**볼차노-바이어슈트라스 정리**에 따르면, 유계 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 점렬 콤팩트 공간이다.

### 코시 성질
실수 코시 수열은 임의의 \epsilon>0에 대하여, 다음을 만족시키는 N\in\mathbb N이 존재하는 실수 수열 (a_n)_{n\in\mathbb N}이다.
* 임의의 n,m\in\mathbb N에 대하여, n,m>N이면 |a_n-a_m|
코시 성질에 따르면, 실수 코시 수열은 수렴 수열이다. 즉, 실수 집합은 완비 거리 공간이다.

## 성질
### 함의 관계
순서체 공리 아래, 다음 공리들이 서로 동치이다. (즉, 이들 가운데 어느 하나라도 순서체 공리에 추가하면 실수의 한 가지 공리적 정의가 된다.)
* 상한 공리
* 단조 수렴 정리
* 축소 구간 정리
* 하이네-보렐 정리
* 극한점 성질
* 볼차노-바이어슈트라스 정리
* 코시 성질 + 아르키메데스 성질
* 약한 축소 구간 정리 + 아르키메데스 성질
또한, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
* 상한 공리 ⇍ 코시 성질 ⇒ 약한 축소 구간 정리
즉, 코시 성질과 약한 축소 구간 정리는 나머지 공리들보다 약한 공리이며, 아르키메데스 성질을 추가하면 나머지 공리들과 동치이다.

상한 공리 가정 아래, (a_n)_{n\in\mathbb N}이 단조 증가하며 상계를 갖는 수열이라고 하자. 그렇다면, 그 집합으로서의 상한 a가 존재한다. 즉,
:a_1\le a_2\le\cdots\le a
이며, 임의의 \epsilon>0에 대하여, a-\epsilon은 상계가 아니다. 즉,
:a-\epsilon
이게 되는 N\in\mathbb N이 존재한다. 따라서, (a_n)_{n\in\mathbb N}은 a로 수렴한다.

단조 수렴 정리 가정 아래, 구간의 열 (I_n)_{n\in\mathbb N}이 위 두 전제 조건을 만족한다고 하자. 그렇다면, (a_n)_{n\in\mathbb N}과 (b_n)_{n\in\mathbb N}은
:a_1\le a_2\le\cdots\le b_2\le b_1
이므로 둘 다 단조 유계 수열이다. 따라서 각자 어떤 a,b\in\mathbb R로 수렴한다. 또한, 극한의 순서 보존에 따라,
:a_1\le a_2\le\cdots\le a\le b\le\cdots\le b_2\le b_1
이며, 따라서 \textstyle [a,b]\subset\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n이다.

이제 c\in\mathbb R\setminus[a,b]라고 하자. 그러면 c라고 가정하여도 무방하다. 극한의 성질에 따라, c이게 되는 n\in\mathbb N이 존재하므로, \textstyle c\notin\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n이다.

(아르키메데스 성질은 바로 아래 증명에서 사용된다.) 축소 구간 정리 가정 아래, 임의의 n\in\mathbb N에 대하여 nx\le y이게 되는 x,y>0이 존재한다고 하자. 그렇다면, 구간열
:(I_n=[nx,2y-nx])_{n\in\mathbb N}
은 축소 구간 정리의 첫번째 전제를 만족한다. 따라서,
:\textstyle\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n=[a,b]\qquad(a\le b)
이게 되는 a,b\in\mathbb R이 존재한다. 또한, 임의의 n\in\mathbb N에 대하여 nx\le a이다. 그러나, a-x\notin[a,b]이므로, a-x\notin[nx,2y-nx], 즉, a-x, 즉, a인 n\in\mathbb N이 존재하며, 이는 모순이 된다.

축소 구간 정리 가정 아래, 유계 닫힌구간 J_0=[a,b]의 어떤 열린 구간 덮개 \{C_i\}_{i\in I}가 유한 부분 덮개를 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 이를 등분하여 얻는 두 부분 구간 \textstyle\left[a,\frac{a+b}2\right]와 \textstyle\left[\frac{a+b}2,b\right] 가운데, 유한 부분 덮개를 갖지 않는 구간 J_1이 존재한다. 마찬가지로, J_1을 등분하여 얻는 두 부분 구간 가운데, 유한 부분 덮개를 갖지 않는 구간 J_2가 존재한다. 이를 반복하면, 닫힌구간의 열 (J_n)_{n\in\mathbb N}을 얻으며, 아르키메데스 성질(축소 구간 정리로부터 함의된다)에 따라
:|J_n|=\frac{2^n}\to0\qquad(n\to\infty)
이므로, 축소 구간 정리의 전제를 만족한다. 또한, 그 속의 모든 구간은 유한 부분 덮개를 갖지 않는다. 따라서,
:\bigcap_{n\in\mathbb N}J_n=\{c\}
이게 되는 c\in\mathbb R이 존재하며, 사실
:c\in\bigcap_{n\in\mathbb N}J_n\subset[a,b]\subset\bigcup_{i\in I}C_i
이다. 따라서, c\in C_i이게 되는 i\in I가 존재한다.

C_i가 열린 구간이므로, c는 구간의 끝점이 아니다. 따라서 C_i의 양끝점과 c와의 거리는 모두 양수이다. 그 가운데 가장 작은 하나를 \epsilon이라고 하자. 그렇다면, |J_n|\to0이므로,
:J_n\subset(c-\epsilon,c+\epsilon)\subset C_i
이게 되는 n\in\mathbb N이 존재한다. 이는 \{C_i\}가 J_n의 덮개라는 의미이며, 이는 J_n이 유한 부분 덮개를 갖지 않는다는 것과 모순이 된다.

하이네-보렐 정리 가정 아래, 어떤 유계 무한 집합 S\subset[a,b]이 극한점을 갖지 못한다고 하자. 즉, 임의의 x\in\mathbb R에 대하여,
:|S\cap I_x|\le1
이게 되는
:I_x=(x-\epsilon_x,x+\epsilon_x)\qquad(\epsilon_x>0)
이 존재한다. 그렇다면,
:\{I_x\colon x\in[a,b]\}
는 [a,b]의 열린 구간 덮개이므로, 유한 부분 덮개
:\{I_{x_1},I_{x_2},\ldots,I_{x_n}\}
을 갖는다. 이에 따라,
:|S|\le\left|(S\cap I_1)\cup(S\cap I_2)\cup\cdots(S\cap I_n)\right|\le n
이며, 이는 S가 무한 집합인 데 모순이다.

첫번째 명제 아래, (x_n)_{n\in\mathbb N}이 유계 수열이라고 하자.

만약 (x_n)_{n\in\mathbb N}에 서로 같은 무한 개의 항이 존재한다면, 당연히 그들은 수렴 부분 수열을 이룬다.

만약 서로 같은 무한 개의 항이 존재하지 않는다면, (x_n)_{n\in\mathbb N}은 집합으로서 무한 집합이며, 따라서 극한점 x를 갖는다. 즉, 임의의 \epsilon에 대하여,
:(x_n)_{n\in\mathbb N}\cap(x-\epsilon,x+\epsilon)
은 무한 집합이다. 따라서,
:n_0=0
:n_k=\min\left\{n\in\mathbb N\colon n>n_{k-1}\land x_n\in\left(x-\frac1k,x+\frac1k\right)\right\}
로 정의된 (x_{n_k})_{k\in\mathbb N}은 (x_n)_{n\in\mathbb N}의 수렴 부분 수열이다.

볼차노-바이어슈트라스 정리 가정 아래, (a_n)_{n\in\mathbb N}이 코시 수열이라고 하자. 그렇다면, 코시 수열의 성질에 따라, 이는 유계 수열이며, 수렴 부분 수열 a_{n_k}\to a를 갖는다. 따라서, 임의의 \epsilon>0에 대하여, 임의의 k>K에 대하여 \textstyle|a_{n_k}-a|이게 되는 K\in\mathbb N이 존재한다. 또한, 임의의 n,m>N에 대하여 \textstyle|a_n-a_m|이게 되는 N>K가 존재한다. 따라서, 임의의 n>N에 대하여,
:|a_n-a|\le|a_n-a_{n_{K+1}}|+|a_{n_{K+1}}-a|
이게 된다. 즉, a_n\to a이다.

볼차노-바이어슈트라스 정리 가정 아래, 임의의 n\in\mathbb N에 대하여 nx\le y인 x,y>0이 존재한다고 하자. 그렇다면, (nx)_{n\in\mathbb N}은 유계 수열이며, 따라서 수렴 부분 수열 n_kx\to y_0이 존재한다. 극한의 순서 보존에 따라, 임의의 k\in\mathbb N에 대하여 n_kx\le y_0이며, 따라서 임의의 n\in\mathbb N에 대하여 nx\le y_0이다. 그러나, 극한의 정의에 따라 y_0-x, 즉, y_0인 k\in\mathbb N이 존재하며, 이는 모순이다.

코시 성질 가정 아래, 닫힌구간의 열 (I_n)_{n\in\mathbb N}이 축소 구간 정리의 전제를 만족한다고 하자. 그렇다면,
:\max\{|a_n-a_m|,|b_n-b_m|\}\le b_{\min\{n,m\}}-a_{\min\{n,m\}}\to0\qquad(n,m\to\infty)
이다. 즉, (a_n)_{n\in\mathbb N}, (b_n)_{n\in\mathbb N} 모두 코시 수열이며, 따라서 수렴 수열이다. 물론 두 수열의 극한은 같으며, 이를 c라고 하자. 그렇다면, 극한의 순서 보존에 따라
:a_1\le a_2\le\cdots\le c\le\cdots\le b_2\le b_1
이며, 따라서 \textstyle c\in\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n이다.

이제 \textstyle c'\in\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n이라고 하자. 그렇다면, 임의의 \epsilon>0에 대하여, |I_n|이게 되는 n\in\mathbb N이 존재하므로,
:|c-c'|\le|I_n|
이다. 따라서, c'=c이다.

축소 구간 정리 및 아르키메데스 성질 가정 아래, a_0\in S\subset\mathbb R이 상계 b_0를 갖는다고 하자. 그렇다면, 닫힌구간의 열 (I_n=[a_n,b_n])_{n\in\mathbb N}이
:I_0=[a_0,b_0]
:I_{n+1}=\begin{cases}
\left[a_n,\frac{a_n+b_n}2\right]&\forall s\in S\colon s\le\frac{a_n+b_n}2\\
\left[\frac{a_n+b_n}2,b_n\right]&\not\forall s\in S\colon s\le\frac{a_n+b_n}2
\end{cases}
와 같이 정의되었을 때, 아르키메데스 성질에 따라, 축소 구간 정리의 전제를 만족한다. 따라서, \textstyle\cap_{n\in\mathbb N}I_n=\{c\}인 c\in\mathbb R이 존재한다. 또한, 임의의 n\in\mathbb N에 대하여, a_n은 S의 원소, b_n은 S의 상계이다.

임의의 s\in S 및 \epsilon>0에 대하여,
:s\le b_n\le c+\epsilon
인 n\in\mathbb N이 존재하며,
:c-\epsilon
인 n\in\mathbb N이 존재하므로, c는 S의 상한이다.

## 예
### 아르키메데스 순서체 ⇏ 실수체
유리수 순서체 \mathbb Q는 아르키메데스 순서체이지만, 완비성을 만족하지 못한다. 예를 들어, 유리수 상계 2\in\mathbb Q를 갖는 유리수 부분 집합
:\{x\in\mathbb Q\colon x^2
는 실수 부분 집합으로서는 상한 \sqrt 2\in\mathbb R을 갖지만, 유리수 상한을 갖지 못한다. 또한, 유리수 코시 수열
:(3,3.14,3.141,3.1415,\ldots)
는 실수 수열로서는 원주율 \pi\in\mathbb R로 수렴하지만, 유리수에 수렴하지 못한다.

### 모든 코시 수열이 수렴하는 순서체 ⇏ 실수체
\mathbb R 위의 형식적 로랑 급수들의 집합 \mathbb R ((t)) 위에 통상적인 연산 및 다음과 같은 크기를 주면 이는 순서체가 된다.

:\sum_{n=k}^\infty a_n t^n>0 \Leftrightarrow a_k>0\qquad(a_k\ne 0)

이 경우 모든 코시 수열이 수렴한다. 왜냐 하면, \{x_n\}_{n\in\mathbb N}이 코시 수열이라면 임의의 r\in\mathbb Z에 대해 n,m\geq N \Rightarrow |x_n-x_m|이 되게 하는 N \in \mathbb N이 존재하므로 각 항의 계수는 결국 상수 수열이 되기 때문이다.

그러나 1-nt >0 \quad \forall n \in \mathbb N이므로 \mathbb R ((t))는 아르키메데스 원리를 충족시키지 않으며, 따라서 실수체와 동형이 아니다.

## 참고 문헌
* 

분류:실수
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