최소 모형 (등각 장론)

이론물리학에서 **최소 모형**(最小模型, )은 중심 전하가 1 미만인 유리 2차원 등각 장론(rational conformal field theory, 일차장이 유한개인 등각 장론)이다.

## 비초대칭 최소 모형
유니터리 최소 모형은 하나의 정수
:k=0,1,2,\dots
으로 정의된다. 이는
:\frac{\widehat{\mathfrak{su}}(2)_k\times\widehat{\mathfrak{su}}(2)_1}{\widehat{\mathfrak{su}}(2)_{k+1}}
잉여류로 정의되며, 이 경우 중심 전하는
:c=\frac{3k}{k+2}+1-\frac{3(k+1)}{k+3}=1-\frac6{(k+2)(k+3)}
이 된다.

최소 모형은 다음과 같은 무게의 일차장들을 가진다.
: h = h_{r,s}(c) = \frac{((k+3)r-(k+2)s)^2-1 }{4(k+2)(k+3)}
여기서
:r=1,2,3,\dots,k+1
:s=1,2,3,\dots r
이다.

최소 모형은 여러 격자 모형의 임계 현상을 나타낸다. 처음 몇 개의 최소 모형은 다음과 같다. (1차장들의 목록에서, 진공 h=0은 생략하였다.)

## 𝒩=1 초등각 최소 모형
<math>\mathcal N=1</math> 초등각 장론의 유니터리 최소 모형들은 잉여류
:\frac{\widehat{\mathfrak{su}}(2)_k\times\widehat{\mathfrak{su}}(2)_2}{\widehat{\mathfrak{su}}(2)_{k+2}}\qquad(k=1,2,3,\dots)
에 의하여 정의된다. \widehat{\mathfrak{su}}(2)_k의 중심 전하는 c=3k/(k+2)이므로, \mathcal N=1 최소 모형의 중심 전하는 다음과 같다.
:c=\frac{3k}{k+2}+\frac32-\frac{3(k+2)}{(k+4)}=\frac32\left(1-\frac 8{(k+2)(k+4)}\right)
이들은 다음과 같은 무게의 1차장들을 갖는다.
:h_{r,s}=\frac{((k+4)r-(k+2)s)^2-4}{8(k+2)(k+4)}+\frac1{32}(1-(-1)^{r-s})
여기서 r=1,2,\dots,k+1이며, s에 대한 조건은 다음과 같다.
* 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건에서는 r-s는 짝수이며, 1\le s\le r이다.
* 라몽(R) 경계 조건에서는 r-s는 홀수이며, 다음이 성립한다.
:1\le s\le\begin{cases}r-1&r\le(k+1)/2\\r+1&r>(k+1)/2\end{cases}
이에 따라, 진공을 포함해 총 \lfloor(k+2)^2/2\rfloor 개의 초1차장이 존재하며, 그 가운데 절반은 느뵈-슈워츠 경계 조건에, 나머지 절반은 라몽 경계 조건에 속한다. 또한, 짝수 k의 경우 라몽 바닥 상태(h=c/24인 상태)가 하나 존재한다.

처음 몇 개의 \mathcal N=1 최소 모형은 다음과 같다. NS 비라소로 1차장 가운데, 진공 (h=0) 및 G_{-1/2}를 가하여 얻을 수 있는 것들은 생략하였다.

## 𝒩=2 초등각 최소 모형
<math>\mathcal N=2</math> 초등각 장론의 경우, 유니터리 최소 모형들은 다음과 같다.
:c=\frac{3k}{k+2}\qquad(k=1,2,3,\dots)
이들은
:\frac{\widehat{\mathfrak{su}}(2)_k\times\widehat{\mathfrak{u}}(1)_2}{\widehat{\mathfrak{u}}(1)_{k+2}}
잉여류로 정의할 수 있다. 이 경우 \widehat{\mathfrak{su}}(2)_k의 중심 전하는 c=3k/(k+2)이며 \widehat{\mathfrak u}(1)_k의 중심 전하가 c=1이므로, 올바른 중심 전하를 얻는다.

### 장들의 목록
\mathcal N=2 최소 모형에 포함되는 비라소로 1차장들은 세 개의 수 (l,k,s)로 정해지며,
여기서
:l=0,1,2,\dots,k
:m\in\mathbb Z/(2k+4)
:s\in\mathbb Z/4
:l+m+s\equiv0\pmod2
이며,
:(l,m,s)\sim(k-l,m+k+2,s+2)
이면 같은 등각장을 나타낸다. s가 짝수인 경우는 느뵈-슈워츠 (NS) 경계 조건에, 홀수인 경우는 라몽 (R) 경계 조건에 속한다. 만약
:|m-s|\le l
이라면, 이에 대응하는 R대칭 전하 q 및 등각 무게 h는 다음과 같다.
:q=-\frac m{k+2}+\frac s2
:h=\frac{l(l+2)-m^2}{4(k+2)}+\frac{s^2}8

스펙트럼 흐름에 따라, 장들은 다음과 같이 변환한다.
:(l,m,s)\mapsto(l,m-2\eta,s-2\eta)
이에 따라
:h_{l,m,s}\mapsto h_{l,m,s}-\eta q+\eta^2c/6
:q_{l,m,s}\mapsto q_{l,m,s}-c\eta/3
이 된다.

### NS 장
NS 경계 조건의 초1차장들은
:0\le l\le k
:-l\le m\le l
:s=0
에 대응하며, 총 (k+1)(k+2)/2개가 있다.

\mathcal N=2 최소 모형의 장 가운데, 손지기장(, h=q/2인 장)은 l=-m, s=0인 것들이며, 반손지기장(, h=-q/2인 장)은 l=m, s=0인 것들이다. 이들은 (진공을 제외하고) 각각 k개가 있다. 라몽 바닥 상태(h=c/24인 장)는 (m,s)=(\pm(l+1),\pm1)인 것들이며, 이 경우 q=\pm(k-l)/2(k+2)이다. 이들은 총 k+1개가 있으며, 이들은 진공을 포함한 손지기장과 대응한다.

손지기장들의 경우, G^+_{-1/2} 코호몰로지를 취하여 환으로 만들 수 있다. 이 손지기환은 다항식환의 몫환
:H^\bullet(\mathcal H_k,G^+_{-1/2})\cong\mathbb C[x]/(x^{k+1})
이다. 여기서 x^l은 (l,m,s)=(l,-l,0)에 대응한다.

### R 장
R 경계 조건의 초1차장들은
:0\le l\le k
:m\in[-l+1,l-1]\cup\{l+1\}
:s=1
에 대응하며, 이 가운데 m=l+1인 경우는 라몽 바닥 상태이다. NS장과 마찬가지로 총 (k+1)(k+2)/2개의 라몽 초1차장이 존재하며, 이 가운데 k+1개는 라몽 바닥 상태, k(k+1)/2개는 바닥 상태가 아닌 다른 라몽 초1차장이다.

### 예
처음 몇 개의 \mathcal N=2 최소 모형들은 다음과 같다. NS 1차장 가운데, 진공 및 수록된 것들에 G^\pm_{-1/2} 또는 G^+_{-1/2}G^-_{1/2}를 가하여 얻을 수 있는 것은 생략하였다.

## 예
### ''c''=½ 최소 모형
c=1/2 최소 모형은 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있다. 하나는 이징 모형의 임계점이며, 다른 하나는 자유 마요라나-바일 페르미온 이론이다.

#### 이징 모형 표현
(외부 자기장이 없는) 2차원 이징 모형은 \mathbb Z/2 대칭을 가지며, 낮은 온도에서는 모든 스핀이 위 또는 아래로 정렬돼 있는 상을 보이지만 높은 온도에서는 무질서 상을 보인다. 이 두 상 사이에는 2차 상전이가 존재하며, 이 임계 온도에서 이징 모형은 c=1/2 최소 모형으로 나타내어진다.

2차원 이징 모형에서, 각 스핀이 \sigma_{i,j}=\pm1이라고 하자. 그렇다면 평균 스핀 장\langle\sigma\rangle을 생각할 수 있다. 그 2점 함수는
:\langle\sigma_\alpha\sigma_\beta\rangle\sim d(\alpha,\beta)^{-\eta}
의 꼴을 갖는다. 여기서 d(\alpha,\beta)는 두 점 사이의 거리이다. 또한, 평균 에너지 장
:\epsilon_{\alpha}=\sum_{(\alpha,\beta)}\sigma_\alpha\sigma_\beta
를 생각하자. 여기서 \sum_{(\alpha,\beta)}는 \alpha와 근접한 모든 \beta에 대한 합이다. 그렇다면 2점 함수
:\langle\epsilon_\alpha\epsilon_\beta\rangle\sim d(\alpha,\beta)^{2/\nu-2}
를 정의할 수 있다. 이 경우, 임계 지수 \alpha와 \nu는 c=1/2 최소 모형에 포함된, 진공이 아닌 나머지 두 장의 등각 무게를 정의한다. 즉, 평균 스핀 장은 무게가 (h,\bar h)=(1/2,1/2)인 스칼라장에, 평균 에너지 장은 (h,\bar h)=(1/16,1/16)인 스칼라장에 대응한다.

#### 자유 페르미온
2차원 마요라나-바일 스피너장 \psi(z,\bar z)는 하나의 반가환수 성분을 갖는다. 이 장은 운동 방정식에 따라서
:\psi(z,\bar z)=\psi(z)+\bar\psi(\bar z)
와 같은 꼴로, 정칙 성분과 반정칙 성분의 합으로 분해된다. 이 경우, \psi(z)는 무게가 (h,\bar h)=(1/2,0)인 장이며, \bar\psi(\bar z)는 무게가 (0,1/2)인 장이다.

스피너장의 경우, 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건과 라몽(R) 경계 조건을 줄 수 있다. 이 두 경계 조건 사이를 전환하는 연산자가 존재하며, **뒤틀림장**()이라고 한다. 정칙 성분의 뒤틀림장은 (h,\bar h)=(1/16,0), 반정칙 성분의 뒤틀림장은 (h,\bar h)=(0,1/16)이다.

정칙 자유 페르미온의 이론은 c=1/2 정칙 최소 모형을 이룬다. 비정칙 자유 페르미온의 이론에서, 보손장들만으로 구성된 부분 이론을 취하면 이는 임계 이징 모형과 같게 된다. 즉, 이 경우 \psi(z)\bar\psi(\bar z)는 무게 (h,\bar h)=(1/2,1/2)인 스칼라장이 되며, 뒤틀림장도 마찬가지다. 이는 보손화의 기초적인 예이다.

### ''c''=7/10 최소 모형
c=7/10 최소 모형은 삼중 임계 이징 모형()의 임계점 근처 현상을 나타낸다. 삼중 임계 이징 모형에서 각 스핀은 \sigma\in\{-1,0,+1\}의 값을 가지며, 이 경우 해밀토니언은
:H=K\sum_{\langle ij\rangle}\sigma_i\sigma_j-\Delta\sum_i\sigma_i^2
이다. 이 이론에서는 온도 T 및 (입자수 \sum_i\sigma_i^2에 대응하는) 퓨가시티 z=\exp(-\mu)를 조절할 수 있다. 만약 퓨가시티가 z\to0이라면, 이는 이징 모형과 같으며, 일정한 온도 T=T_0(z=0)에서 2차 상전이가 존재한다. 반대로, T=0이며 z>0인 경우 어떤 z=z_0에서 1차 상전이가 존재한다. (z\to0이라면 두 개의 독립된 바닥 상태가 존재하지만, z\to\infty라면 입자수 밀도가 0으로 가 하나의 바닥 상태가 존재하기 때문이다.) 따라서, T와 z를 둘 다 조절한다면, 1차 상전이가 2차 상전이로 바뀌는 시점이 존재한다. 이를 삼중 임계 이징 모형의 **삼중점**()이라고 하며, 삼중점에서의 임계 현상은 c=7/10 최소 모형으로 나타내어진다.

이 경우, 각 등각 1차장들은 다음과 같이 대응한다.

### ''c''=1 초대칭 최소 모형
c=1 \mathcal N=2 초대칭 최소 모형은 반지름이 \sqrt3인 원 위의 시그마 모형으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 주기 경계 조건과 호환되는 스칼라장 \phi의 지수들은 다음과 같다.
:O_{n,\bar n}=\exp(i(n\psi(z)+\bar n\bar\psi(\bar z))/\sqrt{12})\qquad(n,\bar n\in\mathbb Z;\;n-\bar n\equiv0\pmod6)
:\left(h(O_{n,\bar n}),\bar h(O_{n,\bar n})\right)=(n^2/24,\bar n^2/24)
:\left(q(O_{n,\bar n}),\bar q(O_{n,\bar n})\right)=(n/6,-\bar n/6)
이 경우, n과 \bar n이 짝수라면 느뵈-슈워츠 경계 조건, 홀수라면 라몽 경계 조건에 해당한다.

이 이론에서 <math>\mathcal N=2</math> 초등각 대수의 표현은 다음과 같다.
:Q^\pm(z)=O_{\pm 6,0}(z)
:\bar Q^\pm(\bar z)=O_{0,\mp6}(\bar z)
:J(z)=i\partial\phi(z)/\sqrt3
:\bar J(\bar z)=-i\bar\partial\bar\phi(\bar z)/\sqrt3
이 경우, NS 및 R 장들은 다음과 같이 대응된다. 아래 표에서 항상 h=\bar h, q=\bar q이다.

이 밖의 다른 상태들은 위 상태들에 G^\pm_{-1/2}를 가하여 얻어진다. 예를 들어, (n,\bar n)=(4,4)는 (n,\bar n)=(-2,-2)에 G^+_{-1/2}\bar G^+_{-1/2}를 가하여 얻는다.

이 모형에, \phi\sim-\phi와 같은 오비폴드를 취하자. 그렇다면 R대칭 전하가 부호만 다른 장들이 서로 같은 장이 되고, 또 오비폴드로 인하여 뒤틀린 장들이 추가된다. 이렇게 하면, c=1 \mathcal N=1 초대칭 최소 모형을 얻는다.

## 각주

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## 외부 링크
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분류:등각 장론
분류:격자 모형