로비어 공간

기하학에서 **로비어 공간**(Lawvere空間) 또는 **일반화 거리 공간**(一般化距離空間, ) 또는 **반거리 공간**(半距離空間, ) 또는 **확장 준 유사 거리 공간**(擴張準類似距離空間, , 약자 ∞qp-거리 공간 )은 거리 공간 및 유사 거리 공간 및 확장 유사 거리 공간의 개념의 일반화이다. 위 경우와 달리, “거리 함수”가 대칭적이지 못할 수 있다.

## 정의
**로비어 공간**의 개념은 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있다.
* 기초적으로, 일련의 공리를 만족시키는 거리 함수를 갖춘 집합으로 정의될 수 있다.
* 더 일반적인 개념인 **접근 공간**()의 특수한 경우로 정의될 수 있다.
* 풍성한 범주의 이론을 사용하여, 음이 아닌 확장된 실수의 닫힌 모노이드 범주 위의 풍성한 범주로 정의될 수 있다.
두 정의는 서로 동치이다. 그러나 범주론적 정의를 사용하면, 기초적 정의에서 일일이 정의해야 하는 개념들이 범주론적 구성들의 특별한 경우로 자동적으로 얻어진다.

### 기초적 정의
집합 X 위의 **로비어 계량**()은 다음 두 조건을 만족시키는, 확장된 실수 값 함수
:d\colon X^2\to[0,\infty]
이다.
* (삼각 부등식) 임의의 x,y,z\in X에 대하여, d(x,y)+d(y,z)\le d(x,z)
* 임의의 x\in X에 대하여, d(x,x)=0

다만, 위 정의에서 d(x,y)=d(y,x)일 필요는 없다. 이 조건을 추가로 만족시키는 로비어 공간을 **[[확장 유사 거리 공간]]**이라고 한다. 만약 d의 값이 항상 추가로 유한하다면 이는 **[[유사 거리 공간]]**이 된다.

로비어 공간들과 상수 1의 립시츠 연속 함수들, 즉 함수 f\colon (X,d_X)\to (Y,d_Y) 가운데
:d_X(x,x')\le d_Y(f(x),f(x'))
를 만족시키는 것들은 구체적 범주를 이룬다. 이를 \operatorname{\infty pqMet}라고 표기하자.

### 접근 구조를 통한 정의

집합 X 위의 **접근 구조**(接近構造, ) \delta는 다음 네 조건을 만족시키는 함수
:\delta\colon X\times\mathcal P(X)\to[0,\infty]
이다.
* \forall x\in X\colon \delta(x,\{x\})=0
* \forall x\in X\colon \delta(x,\varnothing)=\infty
* \forall x\in X\forall A,B\subseteq X\colon \delta(x,A\cup B)=\min\{\delta(x,A),\delta(x,B)\}
* \forall \epsilon\in[0,\infty]\forall x\in X\forall A\subseteq X\colon \delta(x,A)\le \delta(x,\{y\in X\colon \delta(y,A)\le\epsilon\})+\epsilon
접근 구조를 갖춘 집합을 **접근 공간**(接近空間, )이라고 하자. 그렇다면, 접근 공간 (X,\delta)에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 임의의 x\in X 및 부분 집합 Y\subseteq X에 대하여, \textstyle\delta(x,Y)=\inf_{y\in Y}\delta(x,\{y\})
* 임의의 x\in X 및 집합족 \mathcal Y\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, \textstyle\delta(x,\bigcup\mathcal Y)=\inf_{Y\in\mathcal Y}\delta(x,Y)
* X\times X\to[0,\infty], (x,y)\mapsto\delta(x,\{y\})는 로비어 계량을 이룬다.
이에 따라, 서로 동치인 위 조건들을 만족시키는 접근 공간을 **로비어 공간**이라고 한다. 다시 말해, 로비어 공간은 그 접근 구조를 한원소 집합만으로부터 재구성할 수 있는 접근 공간이다.

반대로, 로비어 공간 (X,d)이 주어졌을 때, 그 위의 접근 구조는
:\delta(x,Y)=\inf_{y\in Y}d(x,y)\in[0,\infty]\qquad\forall Y\subseteq X
가 된다.

### 범주론적 정의
다음과 같은 작은 범주 \mathcal C=[0,\infty]^{\operatorname{op}}를 생각하자.
* \mathcal C의 대상은 음이 아닌 확장된 실수이다.
* 임의의 두 a,b\in[0,\infty]에 대하여, 만약 a\ge b라면, 하나의 사상 a\to b가 존재한다.
이 범주는 완비 범주이며, 텐서곱
:a\otimes b=a+b
에 대하여 닫힌 모노이드 범주를 이룬다. 이에 따라 \mathcal C에 대한 풍성한 범주의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, \mathcal C-풍성한 작은 범주 X를 **로비어 공간**이라고 하며, 이 경우 풍성한 함자의 개념은 상수 1의 립시츠 연속 함수의 개념과 일치한다.

두 정의 사이의 관계는 다음과 같다.

### 위상
유사 거리 공간의 경우와 달리, 로비어 공간 (X,d) 위에는 다양한 위상이 사용된다.

로비어 공간 (X,d) 위의, 중심 x\in X의, 반지름 r\in(0,\infty]의 **[[열린 공]]**()은 다음과 같다.
:\operatorname{ball}_X(x,r)=\{y\in X\colon d(x,y)
열린 공들의 집합족
:\left\{\operatorname{ball}_X(x,r)\colon r\in(0,\infty],\;x\in X\right\}
은 위상의 기저를 이루며, 이들로 생성되는 위상을 **일반화 알렉산드로프 위상**() 또는 **열린 공 위상**()이라고 한다.

**증명:**

다음 두 조건을 보이면 족하다.
* 임의의 x\in X에 대하여 \operatorname{ball}(x,\infty)=X이므로, 열린 공들은 X의 덮개를 이룬다.
* 임의의 x,y\in X 및 r,s\in(0,\infty] 및 z\in\operatorname{ball}_X(x,r)\cap\operatorname{ball}_X(y,s)에 대하여, t=\min\{r-d(x,z),s-d(y,z)\}를 정의하면, 삼각 부등식에 의하여 \operatorname{ball}_X(z,t)\subseteq\operatorname{ball}_X(x,r)\cap\operatorname{ball}_X(y,s)이다.


#### 일반화 스콧 위상
로비어 공간 (X,d) 속의 점렬 (x_i)_{i\in\mathbb N}이 다음 조건을 만족시키면 **코시 열**이라고 하자.
:\forall \epsilon\in\mathbb R^+\exists N_\epsilon\in\mathbb N\forall i\ge N_\epsilon\forall j\ge i\colon d(x_i,x_j)
여기서 j\ge i이어야 하는 것에 주의하자. (마찬가지로 그 반대 개념을 정의할 수 있다. 즉, X의 코시 열과 X^{\operatorname{op}}의 코시 열은 일반적으로 다르다.) 코시 열 (x_i)_{i\in\mathbb N}에 대하여, 만약
:\limsup_{i\to\infty}d(x_i,x)=0
이라면, x_i가 x로 **수렴**한다고 하자.

로비어 공간 (X,d) 위의 **일반화 스콧 위상**()에서, 부분 집합 U\subseteq X가 열린집합일 필요 충분 조건은 다음과 같다.
* 임의의 코시 열 x_0,x_1,\dotsc\in X가 x\in X로 수렴한다면,
*:x\in U\iff\exists (N,\epsilon)\in\mathbb N\times\mathbb R^+\colon \bigcup_{i\ge N}\operatorname{ball}_X(x_i,\epsilon)\subseteq U
일반화 스콧 위상은 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 섬세한 위상이며, 사실 이는 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 섬세한 위상들 가운데 코시 열의 (위의 정의에 따른) 극한이 (일반위상수학의 정의에 따른) 극한이 되는 가장 엉성한 위상이다.

만약 (X,d)가 확장 유사 거리 공간이라면, 일반화 알렉산드로프 위상과 일반화 스콧 위상은 X의 일반적인 위상과 같다. 만약 (X,d)가 원순서 집합이라면 (즉, d의 치역이 \{0,\infty\}라면), (X,d)의 일반화 알렉산드로프 위상은 알렉산드로프 위상과 같다.

## 연산
### 반대 공간
임의의 로비어 공간 (X,d)에 대하여, 그 **반대 로비어 공간**(反對Lawvere空間, ) X^{\operatorname{op}}=(X,d^{\operatorname{op}})을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:d^{\operatorname{op}}(x,y)=d(y,x)\qquad\forall x,y\in X
이는 반대 범주의 개념의 특수한 경우이다.

### 대칭화
로비어 공간 (X,d)에 대하여, 그 거리 함수를 다음과 같이 두 가지로 대칭화할 수 있다.
:d^\max(x,y)=\max\{d(x,y),d(y,x)\}
:d^\text{avg}(x,y)=\frac12\left(d(x,y)+d(y,x)\right)
그렇다면, (X,d^\max)와 (X,d^\text{avg}) 둘 다 확장 유사 거리 공간을 이룬다.

만약 (X,d)가 이미 확장 유사 거리 공간이라면 (X,d)=(X,d^\text{avg})=(X,d^\max)이다.

### 상수배
로비어 공간 (X,d) 및 음이 아닌 확장된 실수 C\in[0,\infty]에 대하여, (X,Cd) 역시 로비어 공간이다. (만약 C=0일 경우, 이는 비이산 공간이다. 만약 C=\infty일 경우, \infty\cdot0=0으로 정의하며, 이는 원순서 집합이다.)

### 로비어 계량의 합성
집합 X 위에 로비어 계량들의 족
:(d_i\colon X\times X\to[0,\infty])_{i\in I}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:\sup_{i\in I}d_i\colon X\times X\to[0,\infty]
:\sup_{i\in I}d_i\colon (x,y)\mapsto \sup_{i\in I}d_i(x,y)
역시 로비어 계량을 이룬다. 이는 사실 항등 함수에 대한 시작 구조의 특수한 경우이다.

마찬가지로, 가산 개의 로비어 계량의 족
:(d_i\colon X\times X\to[0,\infty])_{i\in I}
:|I|\le\aleph_0
이 주어졌을 때,
:\sum_{i\in I}d_i\colon X\times X\to[0,\infty]
:\sum_{i\in I}d_i\colon (x,y)\mapsto \sum_{i\in I}d_i(x,y)
역시 로비어 계량을 이룬다. (특히, 만약 I가 유한 집합이라면, 평균 계량 \textstyle\sum_{i\in I}d_i/|I| 역시 로비어 계량이다.)

### 주어진 함수를 상계로 하는 최대 로비어 계량
임의의 집합 X 및 임의의 함수
:f\colon X\times X\to[0,\infty]
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 집합
:\mathcal D\subseteq [0,\infty]^{X\times X}
가
:d(x,y)\le f(x,y)\qquad\forall x,y\in X
를 만족시키는 로비어 계량 d들의 집합이라고 하자. (d=0이 로비어 계량이므로, 이는 항상 공집합이 아니다.) 그렇다면, 이는 최대 원소
:d^{\max}=\sup\mathcal D=\max\mathcal D
:d^{\max}(x,y)=\sup_{d\in\mathcal D}d(x,y)
를 가지며, 이는 f를 상계로 하는 최대의 로비어 계량이다.

구체적으로, 임의의 집합 X 및 함수
:f\colon X\times X\to[0,\infty]
가 주어졌을 때, 다음을 정의하자.
:d_0(x,y)=\begin{cases}0&x=y\\\infty&x\ne y\end{cases}
:d_1(x,y)=f(x,y)
:d_i(x_0,x_i)=\inf_{x_1,\dotsc,x_{i-1}\in X}\left(
f(x_0,x_1)+f(x_1,x_2)+\dotsb+f(x_{i-1},x_i)\right)\qquad(i=2,3,\dotsc)
그렇다면, f에 의하여 생성되는 로비어 계량은 다음과 같다.
:d(x,y)=\inf_{i\in\mathbb N}d_i(x,y)

### 몫공간
로비어 공간 (X,d)에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.
:x\sim_0 y\iff d(x,y)=d(y,x)=0\qquad(x,y\in X)
이에 대하여 몫집합
:X/\sim_0
위에 자연스럽게 로비어 공간의 구조를 부여할 수 있다. 만약 X가 유사 거리 공간이라면, X/\sim_0는 거리 공간을 이룬다.

마찬가지로, 로비어 공간 (X,d)에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.
:x\sim_\infty y\iff \max\{d(x,y),d(y,x)\}
이에 대한 몫집합
:X/\sim_\infty
은 대략 X의 “연결 성분”들의 집합으로 생각할 수 있다. X/\sim_\infty 위에는 자연스럽게 원순서
:[x]_{\sim_\infty}\lesssim[y]_{\sim_\infty}\iff d(x,y)
를 취할 수 있다. 만약 X가 원순서 집합이라면, X/\sim_\infty=X이다.

### 분리합
임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족 (X_i,d_i)_{i\in I}의 **분리합**()은 집합으로서 분리합집합
:X=\bigsqcup_{i\in I}X_i
이다. 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다.
:d(x,y)=\begin{cases}
d_i(x,y)&i=j\\
\infty&i\ne j
\end{cases}\qquad(x\in X_i,\;y\in X_j)
이 연산은 로비어 공간의 범주 \operatorname{\infty pqMet}의 범주론적 쌍대곱을 이룬다.

### 곱
임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족 (X_i,d_i)_{i\in I}의 **곱**은 집합으로서 곱집합
:X=\prod_{i\in I}X_i
이며, 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다.
:d(x,y)=\sup_{i\in I}d_i(x_i,y_i)\qquad\forall x,y\in X
이 연산은 로비어 공간의 범주 \operatorname{\infty pqMet}의 범주론적 곱을 이룬다.

### 시작 계량과 끝 계량
로비어 공간의 범주의 망각 함자 \operatorname{\infty pqMet}\to\operatorname{Set}는 위상 함자이므로, 시작 구조와 끝 구조를 정의할 수 있다.

구체적으로, 임의의 집합 X 및 로비어 공간들의 족 (Y_i,d_i)_{i\in I} 및 함수의 족 (f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}가 주어졌을 때, (f_i)_{i\in I}로 유도되는, X 위의 **시작 로비어 계량**()은 다음과 같다.
:d_X(x,x')=\sup_{\in I}d_i(f_i(x),f_i(x'))

마찬가지로, 임의의 집합 X 및 로비어 공간들의 족 (Y_i,d_i)_{i\in I} 및 함수의 족 (f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}가 주어졌을 때, (f_i)_{i\in I}로 유도되는, X 위의 **끝 로비어 계량**()은 함수
:f\colon X\times X\to[0,\infty]
:f\colon (x,x')\mapsto\inf_{i\in I}d_i(f_i(x),f_i(x'))
를 상계로 하는 최대 로비어 계량이다.

## 성질
### 함의 관계
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:길이 거리 공간 ⇒ 거리 공간 ⇒ 유사 거리 공간 ⇒ 확장 유사 거리 공간 ⇒ 로비어 공간

### 범주론적 성질
로비어 공간의 범주 \operatorname{\infty pqMet}가 주어졌을 때, 망각 함자
:\operatorname{\infty pqMet}\to\operatorname{Set}
는 위상 함자이다. 특히, 만약 집합 X 위의 임의의 함수족
:(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}
이 주어졌으며 (Y_i)_{i\in I}들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 **시작 로비어 계량**()을 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 시작 위상과 유사하다. 마찬가지로, 집합 X로 가는 임의의 함수족
:(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}
이 주어졌으며 (Y_i)_{i\in I}들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 **끝 로비어 계량**()을 항상 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 끝 위상과 유사하다.

또한, 위상 공간과 연속 함수의 범주로 가는 망각 함자
:\operatorname{\infty pqMet}\to\operatorname{Top}
가 존재하며, 이는 로비어 공간에 열린 공 위상을 대응시킨다.

### 위상 공간의 로비어 계량을 통한 표현
임의의 위상은 일련의 로비어 계량들로 표현될 수 있다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 (X,\mathcal U)에 대하여, 다음 조건을 만족시키는, X 위의 로비어 계량들의 집합 (d_i)_{i\in I}이 존재한다.
* \mathcal U는 항등 함수 f_i\colon X\to(X,d_i)들에 의하여 생성되는 시작 위상이다. (여기서 로비어 공간 (X,d_i)에는 열린 공 위상을 부여한다.)
* |I|\le|\mathcal U|이다.

**구성:**

위상 공간 X의 임의의 열린집합 U\subseteq X에 대하여, 다음을 정의하자.
:d_U(x,y)=\begin{cases}
0&x\not\in U\\
0&x\in U\ni y\\
\infty&x\in U\not\ni y
\end{cases}
이는 로비어 계량을 이루며, 이 로비어 계량으로 생성되는 위상은 한원소 집합 \{U\}를 기저로 하는 위상, 즉
:\{\varnothing,U,X\}
이다.

이에 따라, 로비어 계량들의 집합 \{d_U\}_{U\in\mathcal U}은 위 조건을 자명하게 만족시킨다.


## 역사와 어원
프랜시스 윌리엄 로비어가 도입하였다.

이 개념은 거리 공간의 개념을 일반화하는데, 이에 대하여 로비어는 다음과 같이 적었다.

즉, 로비어 공간의 개념에서, 이 "거리" d(x,y)는 사실 어떤 "상태" 또는 "위치" x에서 y로 전이하는 데 드는 "에너지" 또는 "비용"이라고 여길 수 있다. 이 경우 로비어 공간의 공리들은 다음과 같이 해석된다.
* x에서 z로 이동하는 데 드는 비용은 이 경로를 x\to y\to z와 같이 분해했을 때 x\to y 비용과 x\to z 비용의 합보다 같거나 적다. (예를 들어, 만약 y를 거치지 않는 지름길이 있을 경우 부등식이 성립한다.)
* 상태 x에서, 이동하지 않는 데 드는 비용은 0이다. 즉, d(x,x)=0이다.
* 상태 x에서 y로 꼭 이동할 수 있을 필요는 없다. 만약 x\to y 전이가 불가능하다면 d(x,y)=\infty이다.

간혹 사용되는 용어 ‘확장 준 유사 거리 공간’()에서, 각 성분은 고전적 거리 공간의 개념의 다음과 같은 일반화를 의미한다.
* 확장(擴張, ): 계량 함수의 값이 ∞일 수 있음을 뜻한다.
* 준(準, ): 계량 함수가 대칭적이지 못할 수 있음을 뜻한다. 즉, d(x,y)\ne d(y,x)일 수 있다.
* 유사(類似, ): 계량 함수가 분리공리를 만족시키지 못할 수 있음을 뜻한다. 즉, x\ne y이지만 d(x,y)=0일 수 있다.

## 예
모든 확장 유사 거리 공간은 로비어 공간이다.

### 시작 대상과 끝 대상
공집합 \varnothing 위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 시작 대상이다.

한원소 공간 \{\bullet\} 위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량(d(\bullet,\bullet)=0)이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 끝 대상이다.

### 원순서 집합
임의의 원순서 집합 (X,\lesssim)에 대하여, 다음과 같은 거리 함수를 주자.
:d(x,y)=\begin{cases}
0&x\lesssim y\\
\infty&x\not\lesssim y
\end{cases}
그렇다면 (X,d)는 로비어 공간을 이룬다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:계량기하학