균등 비압축성 오일러 방정식

유체 동역학에서, **균등 비압축성 오일러 방정식**(均等非壓縮性Euler方程式, )은 비압축성 비점성 유체를 다루는 편미분 방정식이다. 보다 일반적인 오일러 방정식에서, 유체의 밀도가 상수 함수인 경우이다.

## 정의
리만 계량을 갖춘 경계다양체 (M,g)이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 **균등 비압축성 오일러 방정식**은 어떤 시간 의존 스칼라장
:p \colon \mathbb R \times M \to \mathbb R
:p \colon (t,x) \mapsto p(t,x)
과 시간 의존 벡터장
:u \colon \mathbb R \times M \to \mathrm TM
:u \colon (t,x) \mapsto u(t,x) \in \mathrm T_xM
에 대한, 다음과 같은 1차 편미분 방정식이다.
:\left(\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla_u\right)u = -(\mathrm dp)^\sharp
:\mathcal L_u \operatorname{vol} = 0
:u \restriction \partial M \in \Gamma(\mathrm T\partial_M)
여기서
* (-)^\sharp \colon \Omega^1(M) \to \mathfrak{Vect}(M)은 음악 동형의 하나이며, 1차 미분 형식을 벡터장으로 대응시킨다. 즉, (\mathrm dp)^\sharp는 스칼라장 p의 기울기 벡터장이다. 이 연산을 정의하려면 리만 계량이 필요하다.
* \operatorname{vol}은 리만 계량 g로 정의된 부피 형식이다. (만약 M이 비가향 다양체라도 이는 국소적으로 정의되며, 방향은 중요하지 않다.)
* \mathcal L_u는 (국소적으로 정의된 미분 형식의) 리 미분이다.
* 방정식 \partial L_u\operatorname{vol} = 0은 벡터장 u의 발산이 0임을 뜻한다.
* \partial M은 경계다양체 M의 경계이다.
* \mathrm T\partial M은 경계 \partial M의 접다발이다. \Gamma(\mathrm T\partial M)은 그 단면의 집합이며, 이는 M의 경계에 평행한 접벡터들로 구성된다.
* u \restriction \partial M \in \Gamma(\mathrm T\partial M)은 경계다양체 M 위에 정의된 벡터장 u가 M의 경계 \partial M에서 경계와 평행함을 뜻한다.
p는 보통 변수가 아니라 주어진 배경장으로 취급한다. 오일러 방정식에는 p의 도함수만이 등장하므로, 만약 어떤 상수 p_0에 대하여 p(t,x) \mapsto p(t,x) + p_0와 같이 치환하더라도 v의 해는 바뀌지 않는다. 또한, 만약 둘째 및 셋째 방정식을 만족시키는 (즉, 경계에 평행한 무발산 벡터장 v가 주어지면), p는 상수항을 무시하면 유일하게 결정된다.

### 물리학적 해석
이 방정식은 물리학적으로 다음과 같이 해석된다.

물리학에서는 보통 압력 p(t,x)를 중력 퍼텐셜 \phi와 질량당 일 w로 구분한다.
:p(t,x) = \phi(t,x) + w(t,x)
즉,
:-(\mathrm dp)^\sharp = -(\mathrm dw)^\sharp + g
이다. 여기서 g = -(\mathrm d\phi)^\sharp는 중력 퍼텐셜 \phi에 대응하는 중력장이다.

### 측지선 방정식으로의 형태
오일러 방정식은 어떤 무한 차원 다양체 위의 측지선 방정식으로 표현될 수 있다.

구체적으로, (M,g)이 콤팩트 리만 경계다양체라고 하고, M의 자기 미분 동형
:f\colon M \to M
:f(\partial M)\to (\partial M)
들의 공간
:\operatorname{Diff}(M) = \mathcal C^\infty(M,M)
을 생각하자. 이는 프레셰 다양체를 이루는 리 군이다. 그 실수 리 대수는 M 위의 벡터장의 리 대수
:\mathfrak{Vect}(M)
이다. 이는 리만 계량으로부터 양의 정부호 이차 리 대수를 이룬다. 따라서, 이로부터 \mathcal C^\infty(M,M) 위에 오른쪽 평행 이동 불변 리만 계량을 부여할 수 있다.

\operatorname{Diff}(M) 가운데, 부피를 보존하는 미분 동형들로 구성된 부분군
:\operatorname{SDiff}(M) \subseteq \operatorname{Diff}(M)
:\operatorname{SDiff}(M) = \{f \in \operatorname{Diff}(M)\colon f^*\left|\operatorname{vol}\right| = \left|\operatorname{vol}\right|\}
이다. 여기서 \left|\operatorname{vol}\right| = \sqrt{\det g}\,\mathrm d^{\dim M}x은 리만 계량 g로 주어지는 부피 밀도이다. 이에 대응되는 실수 리 대수는
:\mathfrak{SVect}(M) = \{u\in \mathfrak{Vect}(M) \colon \mathcal L_u\left|\operatorname{vol}\right| = \left|\operatorname{vol}\right|,\;u\restriction \partial M \in\mathfrak{Vect}(\partial M)\}
이며, 이는 발산이 0인 벡터장들의 부분 리 대수이다. 그 연속 쌍대 공간의 매끄러운 부분 공간은 다음 공간과 표준적으로 동형이다.
:\mathfrak{SVect}(M)^* \cong \Omega^1(M) / \mathrm d\Omega^0(M)
여기서 \Omega^i(M)는 미분 형식의 공간이다. 사실, 리만 계량의 음악 동형을 사용하면, 동치류 공간 \Omega^1(M) / \mathrm d\Omega^0(M)의 각 동치류에서 표준적인 대표원을 고를 수 있다.

이제, \mathfrak{SVect}(M) 위에 다음과 같은 불변 양의 정부호 이차 형식을 부여할 수 있다.
:\langle v|v\rangle = \frac12\int_M g(v,v)\,\left|\operatorname{vol}\right|
이는 유체의 (밀도당) 운동 에너지로 해석될 수 있다. 이는 프레셰 리 군 \operatorname{SDiff}(M) 위의 리만 계량을 정의한다.

이 경우, 오일러 방정식은 \operatorname{SDiff}(M) 위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 u가 주어졌을 때,
:\phi(0,x) = x
:\frac\partial{\partial t}\phi(t,x) = u(t,x)
를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 x였던 유체 입자의, 시각 t에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,
:\phi\colon\mathbb R \to \operatorname{Diff}(M)
이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서
:u \in \mathfrak{SVect}(M)
이므로
:\phi \colon \mathbb R \to \operatorname{SDiff}(M)
이다. 첫째 오일러 방정식은
:\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi(t,x) = -(\mathrm dp|_{t,\phi(t,x)})^\sharp
인데, 항상 부분 적분에 따라
:\int_M \langle\mathrm dp,v\rangle = 0\qquad\forall v\in\mathfrak{SVect}(M)
이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은
:\nabla_uu = 0
을 함의한다. 여기서 \nabla_u는 프레셰 다양체 \operatorname{SDiff}(M) 위의, u 방향의 공변 미분이다.

### 해밀턴 방정식으로의 형태
오일러 방정식은 또한 무한 차원 선형 푸아송 다양체 위의 해밀턴 방정식으로 간주할 수 있다.

M이 (경계가 없는) 콤팩트 매끄러운 다양체라고 하자. \mathfrak{SVect}(M)의 연속 쌍대 공간(의 매끄러운 부분 공간)
:\mathfrak{SVect}(M)^* \cong \Omega^1(M) / \mathrm d\Omega^0(M)
이 주어졌다고 하자. 이는 리 대수의 연속 쌍대 공간(의 부분 공간)이므로, 자연스럽게 선형 푸아송 다양체를 이루며, 그 푸아송 괄호는 다음과 같다.
:\{\alpha_i(x),\alpha_j(y)\} = (\partial_j\alpha_i - \partial_i\alpha_j)\delta(x-y)

그렇다면, 여기에는 \mathfrak{SVect}(M) 위의 양의 정부호 쌍선형 형식
:\langle u,u'\rangle = \int_M g(u,u')
으로부터 자연스러운 이차 형식
:H \colon \Omega^1(M) / \mathrm d\Omega^0(M) \to \mathbb R
:H([\alpha]) = \int_M g^{-1}(\alpha,\alpha) 
을 정의할 수 있다. 이를 푸아송 다양체 위의 해밀토니언으로 삼아, 다음과 같은 해밀턴 방정식을 적을 수 있다.
:\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} [\alpha] = - \mathcal L_{\alpha^\sharp} [\alpha]
여기서
* [\alpha]\in\Omega^1(M)/\mathrm d\Omega^1(M)은 M 위의 1차 미분 형식의 동치류이다.
* \alpha\in\Omega^1(M)은 (음악 동형에 대한) 벡터장 \alpha^\sharp 의 발산이 0인 (\mathcal L_{\alpha^\sharp}\operatorname{vol} = 0) 유일한 대표원 \alpha\in[\alpha]이다.
* \mathcal L_{\alpha^\sharp}는 벡터장 \alpha^\sharp에 대한 리 미분이다.
구체적으로, 이 방정식은 \Omega^1(M)/\mathrm d\Omega^0(M)에 정의된다. 이를 \Omega^1(M) 위에 제약()을 가한 계로 생각할 수 있다. 이 경우, \alpha^\sharp \in \mathfrak{SDiff}(M)인 임의의 1차 미분 형식 \alpha\in\Omega^1(M)에 대하여, 해밀턴 방정식은 다음과 같다.
:\frac\partial{\partial t}\alpha(t,x) = - \mathcal L_{\alpha^\sharp} \alpha(t,x) - \mathrm dp(t,x)
여기서 p \in \mathcal C^\infty(\mathbb R\times M,\mathbb R)은 u의 제약을 위한 보정항이다.

이 방정식은 오일러 방정식과 동치이다. 즉, 속도장 u \in \mathfrak{SVect}(M)에 대하여 음악 동형으로
:\alpha = u^\flat
로 놓으면,
:\frac\partial{\partial t}u = -\nabla_uu-(\mathrm dp)^\sharp
가 되어, 오일러 방정식을 얻는다.

## 성질
M이 (경계가 없는) 콤팩트 유향 매끄러운 다양체라고 하자.

만약 M이 홀수 차원이라고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 u \in \Omega^1(M)에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.
:I(u) = \int_M u \wedge (\mathrm du)^{(\dim M-1)/2}
그렇다면, 임의의 \phi \in \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)에 대하여
:I(u) = I(u+\mathrm d\phi)
이므로, 이는 사실 \Omega^1(M)/\mathrm d\Omega^0(M) 위의 실수 값 함수를 정의한다.
:I \colon \frac{\Omega^1(M)}{\mathrm d\Omega^0(M)} \to \mathbb R

마찬가지로, 만약 M이 짝수 차원이라고 하고, 그 위에 부피 형식 \omega\in\Omega^{\dim M}(M)이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 u \in \Omega^1(M) 및 임의의 다항식 P \in \mathbb R[x]에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.
:\tilde P(u) = \int_M P\left(\frac{(\mathrm du)^{(\dim M)/2}}\omega\right)\omega
이 역시 마찬가지로 실수 값 함수
:\tilde P \colon \frac{\Omega^1(M)}{\mathrm d\Omega^0(M)} \to \mathbb R
를 정의한다.

공간
:\Omega^1(M)/\mathrm d\Omega^0(M) \cong \mathfrak{SVect}(M)^*
은 리 대수의 쌍대 공간이므로, 이를 선형 푸아송 다양체로 여길 수 있으며, 특히 리 군 \operatorname{SDiff}(M)의 쌍대딸림표현을 갖는다. I와 \tilde P는 \operatorname{SDiff}(M)의 작용에 대하여 불변량이며, 따라서 이 위의 해밀턴 방정식인 오일러 방정식의 운동 상수이다. 특히, 홀수 차원의 경우, I는 M 위의 리만 계량이나 부피 형식에 의존하지 않으므로, 이는 임의의 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 운동 상수를 이룬다. 짝수 차원의 경우, \tilde P는 M의 부피 형식에만 의존하므로, 이는 같은 부피 형식을 정의하는 서로 다른 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 무한히 많은 운동 상수들을 이룬다.

## 예
실수선 위의 1차원 균등 비압축성 오일러 방정식을 생각하자. 이 경우, 오일러 방정식은 **[[버거스 방정식]]**()이라고 하며, 다음과 같다.
:0 = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial t} + \frac12 \frac{\partial (u^2)}{\partial x}
이는 특성곡선법으로 간단히 풀 수 있다. 특성 곡선의 방정식은
:\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}x(t) = u(t,x(t))
:\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}u(t,x(t)) = 0
이다. 둘째 방정식에 의하여, 어떤 한 특성 곡선 위에서 속도 u는 상수이며, 첫째 방정식에 의하여 특성 곡선은 다음과 같은 꼴이다.
:x(t) = u_0t + x_0\qquad(u_0,x_0 \in \mathbb R)
즉, 일반해는 다음과 같이 주어진다.
:u(x,t) = f(x-u(t,x)t)
여기서 f는 u의 초기 조건인 임의의 \mathbb R\to\mathbb R 함수이다.

만약 f(x) = ax+b일 때, 그 해는 다음과 같다.
:u(x,t) = \frac{ax+b}{at+1}

## 역사
오일러 방정식은 레온하르트 오일러가 1757년에 발표하였으며, 최초로 연구된 편미분 방정식 가운데 하나이다. 버거스 방정식은 얀 버거스()의 이름을 땄다.

## 참고 문헌

분류:유체역학
분류:편미분 방정식