힐베르트 다항식

대수기하학에서 **힐베르트 다항식**(Hilbert多項式, )은 대수다양체의 함수 대수의 모양을 담고 있는, 생성함수의 일종이다.

## 정의
### 힐베르트 급수와 힐베르트 함수
체 K 위의 등급 벡터 공간 S가 주어졌다고 하고, 각 등급의 차원이 유한하다고 하자.
:S=\bigoplus_{i\in\mathbb N}S_i
:\dim_KS_i
S의 **힐베르트 급수**(Hilbert級數, ) 또는 **힐베르트-푸앵카레 급수**(Hilbert-Poincaré級數, )는 다음과 같은 형식적 멱급수이다.
:\operatorname{HS}_S(t)=\sum_{i\in\mathbb N}(\dim_KS_i)t^i\in\mathbb Zt
S의 **힐베르트 함수**(Hilbert函數, )는 다음과 같은, 자연수의 집합에서 자연수의 집합으로 가는 함수이다.
:\operatorname{HF}_S\colon\mathbb N\to\mathbb N
:\operatorname{HF}_S\colon i\mapsto\dim_KS_i

### 힐베르트 다항식
만약 다음 조건을 만족시키는 다항식 \operatorname{HP}_S(t)\in\mathbb Q[t] 및 자연수 r\in\mathbb N가 존재한다면, 이를 S의 **힐베르트 다항식**이라고 한다.
:\operatorname{HP}_S(i)=\operatorname{HF}_S(i)\forall i\ge r
위 조건을 만족시키는 최소의 r를 S의 **힐베르트 정칙성**(Hilbert正則性, )이라고 한다.

## 성질
### 가법성
힐베르트 다항식과 힐베르트 급수는 짧은 완전열에 대하여 가법적이다. 즉, 체 K 위의 세 개의 유한 생성 등급 가환 결합 대수 A, B, C가 주어졌고, 이들이 등급 K-가군의 짧은 완전열
:0\to A\to B\to C\to0
을 이룬다면, 다음이 성립한다.
:\operatorname{HS}_A(t)+\operatorname{HS}_C(t)=\operatorname{HS}_B(t)
:\operatorname{HP}_A(t)+\operatorname{HP}_C(t)=\operatorname{HP}_B(t)
이는 짧은 완전열에서 (등급) 벡터 공간의 차원이 가법적이기 때문이다.

### 힐베르트-세르 정리
S가 단순히 등급 벡터 공간이 아니라, 유한 생성 등급 가환 단위 결합 대수라고 하자. **힐베르트-세르 정리**()에 따르면, S는 항상 힐베르트 다항식을 갖는다.

구체적으로, 생성원들이 s_1,\dots,s_h\in S_1라고 하자. 그렇다면 힐베르트 급수는 다음과 같은 꼴을 취한다. 여기서 P_S(t)는 양의 정수 계수의 다항식이다.
:\operatorname{HS}_S(t)=P_S(t)\prod_{k=1}^h(1-t^{\deg s_i})^{-1}
:P_S=\sum_{i=0}^{\deg P_S}P_it^i\in\mathbb Z[t]
만약 모든 생성원의 등급이 1일 경우, 이는 다음과 같다.
:\operatorname{HS}_S(t)=\frac{P_S(t)}{(1-t)^h}=P_S(t)\sum_{i=0}^\infty\binom{i+h-1}{h-1}t^i
따라서,
:\operatorname{HF}_S(i)=\sum_{j=0}^{\deg P_S}P_j\binom{i-j+h-1}{h-1}
이다. 이는 i에 대한 다항식이므로,
:\operatorname{HP}_S(t)=\sum_{j=0}^{\deg P_S}P_j
\frac{(t-j+h-1)(t-j+h-2)\cdots(t-j)}{(h-1)!}\in\mathbb Q[t]
로 놓으면
:\operatorname{HF}_S(i)=\operatorname{HP}_S(i)\quad\forall i\ge\deg P_S+1-h
이다. 즉, 등급이 1인 유한 개의 생성원들로 생성되는 등급 가환 단위 결합 대수의 경우 힐베르트 다항식이 항상 존재하며, 이 경우 힐베르트 정칙성은 \deg P_S+1-h 이하이다.

보다 일반적으로, 생성원들의 등급이 1이 아닐 경우에도 마찬가지 논리로 힐베르트 다항식이 존재한다.

## 응용
대수기하학에서, 힐베르트 다항식은 다양하게 응용된다.

### 사영 대수다양체
대수적으로 닫힌 체 K 위의 n차원 사영 공간
:\mathbb P^n_k=\operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dots,x_n]
은 다항식 등급환 K[x_0,\dots,x_n]의 사영 스펙트럼이며, 그 속의 사영 대수다양체 \operatorname{Proj}(K[x_0,x_1,\dots,x_n]/I)는 동차 아이디얼 I\subset K[x_0,x_1,\dots,x_n]에 의하여 정의된다. 이 경우, 사영 대수다양체
:X=\operatorname{Proj}(K[x_0,x_1,\dots,x_n]/I)
의 동차 좌표환 K[x_0,x_1,\dots,x_n]/I의 힐베르트 다항식 \operatorname{HP}_X는 사영 대수다양체의 기하학적 성질과 다음과 같이 대응한다.
* \operatorname{HP}_X의 (다항식으로서의) 차수는 X의 차원과 같다.
* \operatorname{HP}_X의 최고차항의 계수는 X의 (대수다양체로서의) 차수와 X의 차원의 계승 (수학)의 비이다.
*:\operatorname{HP}_X(d)=\frac{\deg X}{(\dim X)!}d^{\dim X}+\mathcal O(d^{\dim X-1})

### 리만-로흐 문제
대수적으로 닫힌 체 K 위의 비특이 대수다양체 X 위에 선다발 \mathcal L이 주어졌다고 하자. 이 경우, 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따라,
:\chi(\mathcal L^{\otimes n})=\int_X\exp(c_1(\mathcal L^{\otimes n})\operatorname{Td}(X)
=\int_X\sum_{i=1}^{\dim X}\frac{n^i}{i!}c_1(\mathcal L)\operatorname{Td}(X)=P(n)\in\mathbb Q[n]
이며, P(n)은 차수 \dim X의 유리수 계수 다항식이다. 만약 \mathcal L이 매우 풍부한 선다발이라면, 충분히 큰 n에 대하여 H^i(X,\mathcal L^{\otimes n})=0\forall i>0이며, 또한 사영 공간으로의 매장
:\iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P^k
:\iota^*\mathcal O(1)=\mathcal L
이 존재한다. P(n)은 이 매장에 대한 힐베르트 다항식을 이룬다.
:\chi(X,\mathcal L^{\otimes n})=\operatorname{HP}_{\iota(X)}(n)\qquad\forall n
:\dim\Gamma(X,\mathcal L^{\otimes n}=\chi(X,\mathcal L^{\otimes n})=\operatorname{HP}_{\iota(X)}(n)\qquad\forall n\gg1
이에 따라서, 힐베르트 다항식의 0에서의 값은 X의 오일러 지표가 된다.
:\chi(X)=\operatorname{HP}_{\iota(X)}(0)
보다 일반적으로, 만약 \mathcal L이 풍부한 선다발이라면, 여전히 \chi(X,\mathcal L^{\otimes n})은 다항식을 이루며, 이를 힐베르트 다항식으로 여길 수 있다.

### 힐베르트-사뮈엘 함수
뇌터 가환 국소환 (R,\mathfrak m)의 유한 생성 가군 M 및 R의 으뜸 아이디얼 \mathfrak q가 주어졌을 때, 등급 R-가군
:\bigoplus_{i=0}^\infty\mathfrak q^iM/\mathfrak q^{i+1}M
을 정의하자. (여기서 \mathfrak m^0=R로 정의한다.) 이 경우, R-가군을 가군의 길이로 측정한다면, **힐베르트-사뮈엘 함수**()
:\operatorname{HF}_M^{\mathfrak q}(i)=\operatorname{length}\left(\mathfrak q^iM/\mathfrak q^{i+1}M\right)
를 정의할 수 있다. 이에 대하여 항상 힐베르트 다항식이 존재함을 보일 수 있으며, 이 힐베르트 다항식을 **힐베르트-사뮈엘 다항식**()이라고 한다.

힐베르트-사뮈엘 다항식 \operatorname{HP}_M^{\mathfrak q}(t)의 차수는 M의 크룰 차원보다 1만큼 작다.
:\deg \operatorname{HP}_M^{\mathfrak q}(t)=\dim M-1

## 예
### 사영 공간
사영 공간의 힐베르트 다항식은 다음과 같다. 다항식환
:R=K[x_0,x_1,\dots,x_n]
에서, 힐베르트 함수는 다음과 같다.
:\dim_KR_d=\binom{n+d}n=\frac1{n!}(d+n)(d+n-1)\dotsm(d+1)
따라서, 힐베르트 다항식은 이와 같다.
:\operatorname{HP}_R(d)=\frac1{n!}(d+n)(d+n-1)\dotsm(d+1)=\frac1{n!}d^n+\cdots
대수기하학적으로, 사영 공간을 스스로에 매장된 사영 대수다양체로 여긴다면, 이는 n차원의 1차 사영 대수다양체임을 알 수 있다.

### 여차원 1의 초곡면
다항식환
:R=K[x_0,x_1,\dots,x_n]
속에서, k차 동차다항식 f\in R_k로 생성되는 동차 아이디얼 (f)에 대한 몫등급환 R/(f)의 힐베르트 함수는 다음과 같이 계산할 수 있다. 짧은 완전열
:0\to R(-k)\xrightarrow{\cdot f}R\to R/(f)\to 0
으로 인하여, 힐베르트 함수 및 힐베르트 다항식은 다음과 같다.
:\operatorname{HP}(d)=\dim_K(R/(f))_d=\dim_KR_d-\dim_KR_{d-k}=\binom{n+d}n-\binom{n+d-k}n=
\frac k{(n-1)!}d^{n-1}+\mathcal O(d^{n-2})

이를 대수기하학적으로 해석하면 k차 동차다항식의 영점 집합은 n차원 사영 공간 속에서 n-1차원 k차 사영 대수다양체를 정의한다.

### 대수 곡선
종수 g의 비특이 대수 곡선 C 위의 매우 풍부한 선다발 \mathcal L을 통하여, C를 사영 공간에 매장하였다고 하자.
:\iota\colon C\hookrightarrow\mathbb P^n
:\mathcal L=\iota^*\mathcal O(1)
이 경우, 힐베르트 다항식은 다음과 같다.
:\operatorname{HF}_C(t)=(\deg\mathcal L)t+(g-1)
여기서 \deg\mathcal L은 \mathcal L을 정의하는 인자의 차수이다. 즉, 대수 곡선의 차수는 그 위의 인자의 차수와 일치한다.

### 대수 곡면
산술 종수 p_{\text{a}}=\chi(X;\mathcal O_X)-1의 대수 곡면 X 위에, 매우 풍부한 선다발 \mathcal L이 주어졌다고 하고, 이에 대응하는 베유 인자가 D라고 하자. 그렇다면 이에 대한 단면으로서 사영 공간으로의 매장
:\iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P^{\dim\Gamma(X,\mathcal L)-1}
:\iota^*\mathcal O(1)=\mathcal L
이 유도되며, 이에 대한 힐베르트 다항식은 곡면 리만-로흐 정리에 따라서 다음과 같다.
:\operatorname{HP}_{\iota(X)}(n)=\chi(X;\mathcal L^{\otimes n})=\frac12n^2D.D-\frac12nD.K+p_{\text{a}}(X)+1
여기서 K_X는 X의 표준 인자이다. 즉, 이 경우 매장의 차수는 자기 교차수 D.D이며, 힐베르트 다항식의 1차 계수는 \iota^*\mathcal O(1)과 표준 인자의 교차수의 절반이다.

## 같이 보기
* 힐베르트 스킴
## 참고 문헌

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## 외부 링크
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