야코비 타원함수

섬네일|right|305px|sn(''u'')의 그래프. 붉은 선은 <math>m=0.05^2</math>, 녹색 선은 <math>m=1.05^2</math>이다.
섬네일|right|305px|cn(''u'')의 그래프. 붉은 선은 <math>m=0.05^2</math>, 녹색 선은 <math>m=1.05^2</math>이다.
섬네일|right|305px|dn(''u'')의 그래프. 붉은 선은 <math>m=0.25^2</math>, 녹색 선은 <math>m=1.05^2</math>이다.
수학에서 **야코비 타원함수**(Jacobi楕圓函數, )는 세 개의 특수 함수 sn, cn, dn이다. 이들은 삼각함수와 유사한 항등식들을 만족시킨다.

## 정의
**야코비 타원함수** sn, cn, dn은 두 개의 변수 (u,m)에 대한 함수이다. 여기서 0\le m\le 1이다.

다음과 같은 타원 적분을 생각하자.
:u=\int_0^\phi\frac{d\theta}{\sqrt{1-m\sin^2\theta}}
그렇다면 sn, cn, dn은 다음과 같이 정의된다.
:\operatorname{sn}(u;m)=\sin\phi
:\operatorname{cn}(u;m)=\cos\phi
:\operatorname{dn}(u;m)=\sqrt{1-m\sin^2\phi}

저자에 따라, 간혹 매개변수 *m* 대신 k=\sqrt m 또는 \alpha=\arcsin\sqrt m을 사용하는 경우도 있다. 이 경우 0\le k\le 1, 0\le\alpha\le\pi/2이다.

### 타원과의 관계
긴 반지름이 a\ge1이며 짧은 반지름이 1인 타원을 생각하자. 이 타원은 데카르트 좌표계에서 다음과 같은 방정식에 의하여 정의된다.
:x^2/a^2+y^2=1
이들을 극좌표계 (r,\theta)=(\sqrt{x^2+y^2},\arctan(x/y))로 변환하면, 다음과 같은 함수들을 얻는다.
:x=x(\theta)
:y=y(\theta)
:r=r(\theta)=\sqrt{x(\theta)^2+y(\theta)^2}
또한, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.
:u=\int_0^\theta\,r(\phi)\,d\phi
그렇다면, u의 함수로서 x, y, r은 다음과 같이 야코비 타원함수로 주어진다.
:\operatorname{cn}(u)=x(\theta)/a
:\operatorname{sn}(u)=y(\theta)
:\operatorname{dn}(u)=r(\theta)/a
이 경우, m은 타원의 이심률의 제곱이다.
:m=k^2=1-1/a^2

### 보조 야코비 타원함수
간혹 기본 야코비 타원함수 sn, cn, dn들의 비를 다음과 같이 정의하기도 한다.

## 성질
### 주기성
야코비 타원함수는 타원 함수이다. 즉, 이들은 다음과 같은 주기성을 가진다. f가 sn, cn, 또는 dn이라고 하면,
:f(u;m)=f(u+4K(m);m)=f(u+4iK'(m);m)
여기서 K(m)과 K'(m)은 각각 **실사분주기**()와 **허사분주기**()라는 특수 함수이며, 다음과 같다.
:K(m)=\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-m\sin^2\theta}}
:K'(m)=K(1-m)
즉, 야코비 타원함수는 타원 곡선 \mathbb C/\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\{4K(m),4iK'(m)\} 위에 정의된 유리형 함수이다.

### 극점과 영점
sn, cn, dn 모두
:u=iK'(m)
에서 단순극을 가지며, 그 유수는 1이다.

sn, cn, dn은 타원곡선 위에서 각각 하나의 영점을 가지며, 영점에서의 도함수는 1이다. 영점의 위치는 다음과 같다.
:\operatorname{sn}(0;m)=0
:\operatorname{cn}(K(m);m)=0
:\operatorname{dn}(K(m)+iK'(m);m)=0

### 삼각함수·쌍곡함수와의 관계
m=0일 때, 야코비 타원함수는 삼각함수가 된다.
:\operatorname{sn}(u;0)=\sin u
:\operatorname{cn}(u;0)=\cos u
:\operatorname{dn}(u;0)=1
반대로, m=1일 때, 야코비 타원함수는 쌍곡함수가 된다.
:\operatorname{sn}(u;1)=\tanh u
:\operatorname{cn}(u;1)=\operatorname{dn}(u;1)=\frac1{\cosh u}

### 항등식
야코비 타원함수들은 삼각함수와 유사한, 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.
:\operatorname{sn}^2(u;m)+\operatorname{cn}^2(u;m)=1
:m\operatorname{sn}^2(u;m)+\operatorname{dn}^2(u;m)=1

### 합 공식
다음과 같은 합 공식이 존재한다. 여기서 매개변수 *m*은 생략한다.
:
\begin{align}
\operatorname{cn}(x+y) & =
{\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y)
- \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y)
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x) \;\operatorname{sn}^2 (y)}}, \\[8pt]
\operatorname{sn}(x+y) & =
{\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{cn}(y)\;\operatorname{dn}(y) +
\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{dn}(x)
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}, \\[8pt]
\operatorname{dn}(x+y) & =
{\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y)
- k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y)
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}.
\end{align}


### 미분
야코비 타원함수의 미분은 다음과 같다. 여기서 매개변수 *m*은 생략한다.
:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \operatorname{sn} z = \operatorname{cn}z\operatorname{dn}z
:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \operatorname{cn}z = -\operatorname{sn}z \operatorname{dn}z
:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \operatorname{dn}z = - m\operatorname{sn}z \operatorname{cn}z

## 역사
카를 구스타프 야코프 야코비가 1829년 저서 《타원함수론의 새로운 기반》()에서 도입하였다.

## 같이 보기
* 세타 함수
* 바이어슈트라스 타원함수
* 타원 적분
* 타원곡선

## 각주

## 외부 링크
* 
* 

분류:타원함수