반단순 리 대수

리 대수 이론에서, **반단순 리 대수**(半單純Lie代數, )는 단순 리 대수들의 직합인 리 대수이다.

## 정의
체 K 위의 리 대수 \mathfrak g가 다음 두 조건을 만족시킨다면, **단순 리 대수**(單純Lie代數, )라고 한다.
* \mathfrak g의 리 대수 아이디얼은 \{0\}과 \mathfrak g 전체 밖에 없다.
* \mathfrak g는 아벨 리 대수가 아니다. 즉, [x,y]\ne0인 x,y\in\mathfrak g가 존재한다.

K의 표수가 0이라고 하고, \mathfrak g가 K 위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 리 대수를 **반단순 리 대수**라고 한다.
* \mathfrak g의 가해() 아이디얼은 \{0\}밖에 없다. 즉, \mathfrak g의 근기()가 \sqrt{\mathfrak g}=\{0\}이다.
* \mathfrak g의 아벨 아이디얼은 \{0\}밖에 없다.
* \mathfrak g는 단순 리 대수들의 직합이다.
* (카르탕 반단순성 조건 ) \mathfrak g의 킬링 형식 K(x,y)=\operatorname{tr}_K\operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y)는 비퇴화 쌍선형 형식이다.

### 반단순 리 군
**반단순 리 군**(半單純Lie群, )은 그 리 대수가 반단순 리 대수인 연결 리 군이다. 마찬가지로, **단순 리 군**(單純Lie群, )은 그 리 대수가 단순 리 대수인 연결 리 군이다.

## 분류
복소수체 위의 (유한 차원) 단순 리 대수는 근계 또는 이에 대응하는 딘킨 도표로 분류되며, 이에 따라 A_n, B_n, C_n, D_n, E₆, E₇, E₈, F₄, G₂가 있다. 복소수체 위의 단일 연결 단순 리 군은 단순 리 대수와 일대일 대응하며, 단일 연결이 아닌 리 군은 그 범피복군의 중심의 부분군인 정규 부분군에 대한 몫군이다. 이렇게 유한한 수의 무한한 족과 예외적 대상으로 분류하는 것은 유한 단순군의 분류와 유사하지만, (반)단순 리 대수의 분류는 유한 단순군의 경우보다 훨씬 더 간단하며, 고전적으로 증명할 수 있다.

### 복소수 단순 리 대수
복소수체 위의 반단순 리 대수의 분류는 복소수 단순 리 대수의 분류로부터 귀결된다. 임의의 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수의 분류는 이와 동일하다.

모든 복소수 단순 리 대수는 다음 가운데 하나와 동형이다.
* \mathfrak a_k=\mathfrak{sl}(k+1,\mathbb C)=\mathfrak{su}(k+1)\otimes\mathbb C, k=1,2,\dots (복소 무대각합(無對角合, ) 행렬 대수)
* \mathfrak b_k=\mathfrak{so}(2k+1,\mathbb C), k=2,3,\dots (홀수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
* \mathfrak c_k=\mathfrak{sp}(2k,\mathbb C), k=2,3,\dots (복소 해밀턴 행렬() 대수)
* \mathfrak d_k=\mathfrak{so}(2k,\mathbb C), k=4,5,\dots (짝수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
* 𝖊<sub>6</sub>, 𝖊<sub>7</sub>, 𝖊<sub>8</sub>
* 𝖋<sub>4</sub>
* 𝖌<sub>2</sub>
이 가운데, 처음 네 가지를 **고전적**(), 나머지를 **예외적**()이라고 부른다. 여기서 아래 첨자는 근의 수를 나타낸다.

### 실수 단순 리 대수
대수적으로 닫힌 체가 아닌 체 위의 반단순 리 대수 \mathfrak g의 경우, 우선 그 대수적 폐포 \bar K 위의 대수 \mathfrak g\otimes_K\bar K를 분류한 뒤, 이를 \bar K에서 K로 제약시키는 방법을 분류하여야 한다.

실수체 K=\mathbb R의 경우, 이에 대응되는 복소수 리 대수는 **복소화**() \mathfrak g\mapsto\mathfrak g\otimes\mathbb C라고 하며, 주어진 복소수 리 대수에 대응되는 실수 리 대수들은  **실수 형식**()이라고 한다.

실수 단순 리 대수에서 복소수 단순 리 대수로 가는 복소화 사상은 전사 함수지만, 단사 함수는 아니며, 그 원상은 유한하다. 즉 각 단순 복소 단순 리 대수에 대하여 유한개의 실수 단순 리 대수가 대응하고, 모두 알려져 있다.

## 목록
복소수 및 실수 단순 리 대수들은 다음과 같다.
:

위 표에서,
* n은 항상 복소수 리 군의 계수이다.
* A_{n(k)}과 같은 표기에서, 킬링 형식의 부호수가 (p,q)일 때, k= p-q이다. 즉, k는 리 대수의 차원 &minus; 2 × 극대 콤팩트 부분 대수의 차원이다. 특히 분할 형식의 경우 n=k이며, 콤팩트 형식의 경우 k는 &minus;1 × 리 대수의 차원이다.
위 표에서, 중복되는 것들은 다음이 전부이다.
*\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)\cong\mathfrak o(3;\mathbb C) (3차원 회전군)
**\mathfrak{su}(2) \cong\mathfrak{sl}(1;\mathbb H)\cong\mathfrak o(3;\mathbb R)
**\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\cong\mathfrak{su}(1,1)\cong\mathfrak o(1,2)
*\mathfrak{sp}(4;\mathbb C)\cong\mathfrak o(5;\mathbb C) (5차원 회전군)
**\mathfrak{usp}(4) \cong\mathfrak o(5;\mathbb R)
**\mathfrak{usp}(2,2) \cong\mathfrak o(1,4)
**\mathfrak{sp}(4;\mathbb R) \cong\mathfrak o(2,3)
*\mathfrak{sl}(4;\mathbb C)\cong\mathfrak o(6;\mathbb C) (6차원 회전군)
**\mathfrak{su}(4)\cong\mathfrak o(6;\mathbb R)
**\mathfrak{sl}(2;\mathbb H)\cong\mathfrak o(5,1)
**\mathfrak{su}(2,2)\cong\mathfrak o(4,2)
**\mathfrak{sl}(4;\mathbb R)\cong\mathfrak o(3,3)
**\mathfrak{su}(1,3)\cong\mathfrak o^*(6)
*\mathfrak o^*(8) \cong\mathfrak o(2,6) (8차원 회전군)
또한, \mathfrak o(4) \cong\mathfrak{su}(2)^{\oplus2}는 단순 리 대수가 아니다.

## 역사
복소수 반단순 리 대수는 엘리 카르탕이 1894년에 박사 학위 논문에서 분류하였다. 실수 반단순 리 대수는 펠릭스 루비노비치 간트마헤르()가 1939년에 분류하였다.

## 같이 보기
* 리 대수
* 근계
* 리 대수의 표현

## 각주

## 외부 링크
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분류:리 대수