상미분 방정식

**상미분 방정식**(常微分方程式, , 약자 ODE)은 구하려는 함수가 하나의 독립 변수만을 가지고 있는 미분 방정식이다. 이와 반대되는 개념은 여러 변수에 대한 함수를 편미분하는 형식을 취하는 편미분 방정식이다.

예를 들어, 뉴턴의 제2법칙은 상미분 방정식으로 나타낼 수 있는데, 어떤 시간 t에 대하여 거리가 x(t), 힘의 크기가 F인 경우 운동법칙을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = F(x(t))

상미분 방정식이 선형인 경우는 해석적인 방법으로 풀 수 있는 반면, 비선형인 경우에는 일반적인 해를 구하는 것이 힘들거나 불가능하다. 이러한 경우 근사적으로 해를 구할 수도 있다.

상미분 방정식은 과학과 공학의 다양한 분야에서 널리 응용된다.

## 역사
아이작 뉴턴, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠, 야코프 베르누이, 야코포 리카티(), 알렉시스 클레로, 장 르 롱 달랑베르, 레온하르트 오일러 등 여러 수학자들이 상미분 방정식 이론의 발전에 기여하였다.

## 정의
변수 x에 대한 함수 y(x)에 대해, x, y, y'
의 도함수로 구성된 어떤 방정식이
:F(x,y(x),y'(x),\cdots,y^{(n-1)}(x)) = y^{(n)}(x)
와 같은 형태로 표현될 수 있는 경우 (y^{(k)}는 y의 k차 도함수), 이 방정식을 **''n''차 상미분 방정식**이라고 정의한다.

만약 방정식이
:F(x,y(x),y'(x),\ y*(x),\ \cdots,\ y^{(n)}(x))=0</math>
의 모양으로 표현된다면 이를 *'내재적 형태**()라고 한다. 이에 반해 첫 번째 식의 경우는 **명시적 형태**()라고 한다.

상미분 방정식은 아래의 성질을 기준으로 분류할 수 있다.

* **자율**
* **선형**
상미분 방정식이 함수 y의 [[도함수]]들의 [[선형 결합]]인 경우, 즉
:<math>y^{(n)} = \sum_{i=0}^{n-1} a_i(x) y^{(i)} + r(x)</math>
의 꼴로 표현할 수 있는 경우 이 상미분 방정식을 **선형 상미분 방정식**()이라 한다. 여기서 ''a''<sub>''i''</sub>(''x'')와 ''r''(''x'')는 변수 x에 대한 [[연속 함수]]이다. 함수 ''r''(''x'')는 초항(source term)이라 부른다. 선형이 아닌 상미분방정식을 **비선형 상미분 방정식**()이라 한다.

* **동차**
''r''(''x'')=0인 선형 미분 방정식을 **동차 선형 상미분 방정식**()이라 한다. 동차가 아닌 경우 **비동차 선형 상미분 방정식**()이라 한다.

=== 연립 상미분 방정식 ===
여러 개의 상미분 방정식들로 이루어진 계를 **연립 상미분 방정식**()이라 한다. **y**가 함수들로 이루어진 [[벡터 공간|벡터]] **y**(''x'') = [''y''<sub>1</sub>(''x''), ''y''<sub>2</sub>(''x''),..., ''y<sub>m</sub>''(''x'')]이고 **F**가 **y**와 그 도함수들에 대한 벡터 함수일 때, 아래의 상미분 방정식
:<math>\mathbf{y}^{(n)} = \mathbf{F}\left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right)</math>
을 연립 상미분 방정식 꼴로 나타내면 다음과 같다.
:<math>\begin{pmatrix}
y_1^{(n)} \\
y_2^{(n)} \\
\vdots \\
y_m^{(n)}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
f_1 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\
f_2 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\
\vdots \\
f_m \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right)
\end{pmatrix}</math>

=== 상미분 방정식의 해 ===
다음의 상미분 방정식
:<math>F\left(x, y, y', \ldots, y^{(n)} \right) = 0</math>
이 주어졌을 때, [[구간]] ''I''에서 ''n''번 미분 가능하고
:<math>F(x,u,u',\ \ldots,\ u^{(n)})=0 \quad x \in I</math>
을 만족하는 함수 를 이 상미분 방정식의 **해**()라고 한다.

== 선형 상미분 방정식 ==
=== 제차 선형 상미분 방정식 ===
==== 1계 제차 선형 상미분 방정식 ====
:<math>y'+p\left( x \right)y=0</math>
와 같은 1계 제차 선형 상미분 방정식은 변수분리를 통해
:<math>\frac{dy}{y}=-p\left( x \right)dx</math>
로 나타낼 수 있고, 적분을 통해 아래와 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\ln \left| y \right|=-\int_^{p\left( x \right)dx+c*}</math>
따라서 아래의 식으로 손쉽게 1계 제차 선형 상미분 방정식의 해를 구할 수 있다.
:<math>y\left( x \right)=ce^{-\int_^{p\left( x \right)dx}}</math>, (<math>y\ne 0</math>이면, <math>c=\pm e^{c*}</math>)

이때, <math>c=0</math>이면 자명한 해 <math>y(x)=0</math>를 얻는다.

==== 2계 제차 선형 상미분 방정식 ====
2계 선형 상미분방정식은 역학, 파동, 열전도 등에서 많이 이용된다. 다음 식으로 표현되는 2계 제차 선형 상미분 방정식은
:<math>y''+ay'+by=0</math>
은 다음과 같은 특성방정식(characteristic equation; 보조방정식)을 이용해 특성을 알아내고, 그 해를 구할 수 있다
:<math>\lambda ^{2}+a\lambda +b=0</math>

특성방정식의 각각의 경우에 대한 일해 및 설명은 아래 표와 같다.


=== 비제차 선형 상미분 방정식 ===
비제차 상미분 방정식은
:<math>y^{\left( n \right)}+a_{n-1}y^{\left( n-1 \right)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=r\left( x \right)</math>
와 같이 우항의 <math>r\left( x \right)</math>가 '0'이 아닌 경우를 말한다.
비제차 상미분 방정식의 일반해는
:<math>y\left( x \right)=y_{h}\left( x \right)+y_{p}\left( x \right)</math>
와 같은 형태이다.

비제차 상미분 방정식을 풀이하는 방법에는 다음의 방법들이 있다.

==== [[미정계수법]] ====
# 비제차 상미분 방정식의 <math>r\left( x \right)</math>를 배제하고, 제차방정식이라 생각하고 그 식의 일반해 <math>y_{h}\left( x \right)</math>를 구한다.
# 우항의 <math>r\left( x \right)</math>를 [[미정계수법]] 표에서 찾아 적당한 것을 택해 풀이한다.

== 비선형 상미분 방정식 ==
선형이 아닌 상미분 방정식을 **비선형 상미분 방정식'''()이라 부른다. 비선형 상미분 방정식의 해는 선형방정식에 비해 매우 복잡하다.

비선형 방정식의 풀이법으로는 다음이 있다.
* 미정계수법
* 매개변수변환법
또한, 베르누이 방정식과 같은 특수한 경우에는 선형 상미분 방정식으로 변환시킬 수 있다.

## 예
다음은 대표적인 상미분 방정식의 예이다.
* 선형 상미분 방정식
** 코시-오일러 방정식 (선형 동차)
** 베셀 방정식 (2차 선형)
** 초기하 미분 방정식
** 르장드르 방정식 (2차 선형)
** 1차원 조화 진동자 (2차 선형)
** 감쇠 진동 (2차 선형)
** 1차원 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식 (1차 선형)
* 비선형 상미분 방정식
** 베르누이 미분방정식 (비선형이지만 선형으로 변형 가능)
** 로렌즈 방정식
** 팽르베 방정식

## 같이 보기
* 경계값 문제
* 미정계수법
* 점화식
## 참고 문헌

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## 외부 링크
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분류:미분학