다중근호

**다중근호**(多重根號, )는 루트 근호안에 1개이상의 루트 근호를 포함하는 루트를 말한다.

다중근호는 고차방정식의 해, 수학 상수 등을 표현할 때 중요하게 사용된다.

다중근호의 종류로는 이중근호, 다중근호, 중첩근호 등이 있다.

## 이중근호
루트 근호안에 1개의 루트 근호를 포함한다.
:   \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}

## 다중근호
루트 근호안에 2개이상의 루트 근호를 포함한다.
: \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} , \sqrt{(\sqrt a)^2+(\sqrt b)^2+2\sqrt{ab}}

## 중첩근호

루트 근호안에   루트 근호를 갖는 수식이 반복해서 중첩되게 내재한다.

:\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1...}}}}}
:\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+   \cdots} }}} } }

## 다중근호의 계산
:\sqrt{\sqrt{(a)^2}+\sqrt{(b)^2}+2\sqrt{ab}}= \sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}=\sqrt{a}+\sqrt{b}

:  \sqrt[4]{\frac{3 + 2 \sqrt[4]{5}}{3 - 2 \sqrt[4]{5}}} = \frac{ \sqrt[4]{5} + 1}{\sqrt[4]{5} - 1}=\tfrac12\left(3+\sqrt[4]5+\sqrt5+\sqrt[4]{125}\right)

: \sqrt[3]{\ \sqrt[3]{2}\ - 1}= \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}} 

: \sqrt{a}+\sqrt{a}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{a})^2} = \sqrt{(\sqrt a)^2+(\sqrt a)^2+2\sqrt{aa}} =  \sqrt{(a+a)+2\sqrt{a^2}}= \sqrt{(a+a)+2{a}} = \sqrt{2a+2a} =\sqrt{4a} =2\sqrt{a} 
: \;\; \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}= \sqrt{(a+b+c)+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)}   =\sqrt{\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2+\sqrt{c}^2+2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}}=\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right)^2}=\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right)}\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b} +\sqrt{c}\right)} 

## 고차방정식의 해
3차방정식이상의 일반적인 근에서 다중근호가 사용된다.
다음은 4차방정식의 근의 공식이다.
:\textstyle a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0\   
:x=  -{b \over 4a} + \left( }}  } \over {2a} } \right)     ,  -{b \over 4a} + \left( }}  } \over {2a} } \right) 
: ,   -{b \over 4a} - \left( }}  } \over {2a} } \right)
 ,   -{b \over 4a} - \left( }}  } \over {2a} } \right)      

## 중첩근호와 일반식
무한한 중첩근호는 일반식으로 표현될 수 있다.
:\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1...}}}}}==\varphi 황금비
:\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2...}}}}}==2
:\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3...}}}}}= 
:\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4...}}}}}=
:\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5...}}}}}=
:\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6...}}}}}=
:\sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7...}}}}}=
:\sqrt{8+\sqrt{8+\sqrt{8+\sqrt{8+\sqrt{8...}}}}}=

따라서 이것을 일반화하면,
:\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n...}}}}}=
한편,
:x^2-x-1=0을 예약해보면
:\over{2a}}  (근의 공식)
:\over{2}}
:\over{2}}
:\over{2}}
이고,
따라서,
:\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c...}}}}}
:=
:x^2-x-c=0이다.

## 루트와 중첩근호
:\sqrt{1}= \sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\dots}}}}}}}}
:\sqrt{2}= \sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\dots}}}}}}}}
:\sqrt{3}= \sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\dots}}}}}}}}
:\qquad\qquad\qquad \vdots
:\sqrt{7}= \sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\dots}}}}}}}}
:\sqrt{8}= \sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\dots}}}}}}}}
:\qquad\qquad\qquad\vdots
따라서 이것을 일반화 하면,
:\sqrt{x}= \sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\dots}}}}
그리고 이것을 확장하면,
:x^= \sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\dots}}}}

## 자연수와 중첩근호

:2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}}}}}
:3 = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}}}}}}
:4 = \sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\dots}}}}}}}}
:\qquad\qquad\qquad\vdots
:8 = \sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\dots}}}}}}}}
:\qquad\qquad\qquad\vdots

따라서, 이것을 일반화하면,

:x = \sqrt{(x \cdot (x-1))+\sqrt{(x \cdot (x-1))+\sqrt{(x \cdot (x-1))+\sqrt{(x \cdot (x-1))+\dots}}}}   \qquad  (x > 1, x =integer)
:x = \sqrt{(x^2-x)+\sqrt{(x^2-x)+\sqrt{(x^2-x)+\sqrt{(x^2-x)+\dots}}}}   

한편, 이것을 일반식으로 표현하면,
: \left(\right)^2 - \left(\right) 에서 x   이고,
:\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n...}}}}}=이므로,
:x= \sqrt{\left(\right)^2 - \left(\right)+\sqrt{\left(\right)^2 - \left(\right)+\sqrt{\left(\right)^2 - \left(\right)+\sqrt{\left(\right)^2 - \left(\right)+\sqrt{\left(\right)^2 - \left(\right)...}}}}}
:=
:=
:=
:== x  이다.

## [[라마누잔]]의 중첩근호 공식

:{x+n+a} = \sqrt{ax+(n+a)^2+x\sqrt{a(x+1n)+(n+a)^2+ (x+1n)\sqrt{a(x+2n)+(n+a)^2+(x+2n)\sqrt{a(x+3n)+(n+a)^2+(x+3n)\sqrt{\cdots}}}}}
:a=0 , n=1일때,
:x+1= \sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{1+ \cdots} } } }
:3=2+1 =\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+   \cdots} }}} } }

## 같이 보기
* 제곱근의 연산

## 참고
* 매스월드
*(Ramanujan 1911)Ramanujan, S. Question No. 298. J. Indian Math. Soc. 1911.
*(Ramanujan 2000)Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 327, 2000.

## 각주

분류:대수학