아벨-디니-프링스하임 판정법

미적분학에서 **아벨-디니-프링스하임 판정법**() 혹은 **아벨-디니-프링스하임 정리**()는 임의의 양의 실수 항 발산급수로부터 더 느리게 발산하는 발산급수를 구성하는 수렴 판정법이다. 마찬가지로, 임의의 양의 실수 항 수렴급수로부터 더 느리게 수렴하는 수렴급수를 만들 수 있다. 이에 따라, 특정 급수에 기반한 수렴 판정법은 모든 급수에 대하여 유효할 수 없다.

## 정의와 증명
### 발산급수
발산급수에 대한 **아벨-디니-프링스하임 판정법**에 따르면, 임의의 양의 실수의 수열 (a_n)_{n=0}^\infty\subset(0,\infty)에 대하여, 만약
:\sum_{n=0}^\infty a_n=\infty
라면, 다음 명제들이 성립한다 (S_n=a_0+a_1+\cdots+a_n).
* (A) \sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{S_n}=\infty
* (B) 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{S_nS_{n-1}^\epsilon}
* (C) 만약 추가로 \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{S_n}=0이라면, \lim_{n\to\infty}\frac{a_0/S_0+a_1/S_1+\cdots+a_n/S_n}{\ln S_n}=1
이에 따라, 급수
:\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{S_n^t}
는 t>1일 때 수렴하며, t\le1일 때 발산한다.

가정에 따라, S_n은 증가수열이며 무한대로 발산한다. 따라서, 임의의 n\in\{0,1,2,\dots\}에 대하여,
:\frac{S_n}{S_{n+k_n}}
인 k_n\in\{0,1,2,\dots\}이 존재한다. 따라서,
:\frac{a_n}{S_n}+\cdots+\frac{a_{n+k_n}}{S_{n+k_n}}\ge\frac{a_n+\cdots+a_{n+k_n}}{S_{n+k_n}}=\frac{S_{n+k_n}-S_{n+k_n}}{S_n}=1-\frac{S_n}{S_{n+k_n}}>\frac12
이다. 즉, a_0/S_0+\cdots+a_n/S_n은 코시 수열이 아니다. 즉, 급수
:\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{S_n}
는 발산한다.

만약 0이라면, 충분히 큰 n에 대하여, S_n\ge1이므로 a_n/(S_nS_{n-1}^\epsilon)\ge a_n/(S_nS_{n-1}^{\epsilon'})이다. 따라서, 0인 경우를 생각하면 충분하다. 이 경우, 임의의 x\in(0,\infty)에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
:\epsilon(1-x)\le1-x^\epsilon
이는
:f(x)=\epsilon(1-x)-1+x^\epsilon
라고 하였을 때
:f(1)=0
:f'(x)=\epsilon(x^{\epsilon-1}-1)\ge0\qquad(\forall x\in(0,1])
:f'(x)=\epsilon(x^{\epsilon-1}-1)\le0\qquad(\forall x\in[1,\infty))
이기 때문이다. 따라서, 다음이 성립한다.
:\begin{align}
\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{S_nS_{n-1}^\epsilon}
&=\sum_{n=1}^\infty\frac{S_n-S_{n-1}}{S_nS_{n-1}^\epsilon}\\
&=\sum_{n=1}^\infty\frac1{S_{n-1}^\epsilon}\left(1-\frac{S_{n-1}}{S_n}\right)\\
&\le\sum_{n=1}^\infty\frac1{\epsilon S_{n-1}^\epsilon}\left(1-\left(\frac{S_{n-1}}{S_n}\right)^\epsilon\right)\\
&=\sum_{n=1}^\infty\frac1\epsilon\left(\frac1{S_{n-1}^\epsilon}-\frac1{S_n^\epsilon}\right)\\
&=\frac1{\epsilon S_0^\epsilon}\\
&

\ln S_n은 무한대로 발산하는 증가수열이다. 슈톨츠-체사로 정리에 따라, 다음이 성립한다.
:\begin{align}
\lim_{n\to\infty}\frac{a_0/S_0+a_1/S_1+\cdots+a_n/S_n}{\ln S_n}
&=\lim_{n\to\infty}\frac{a_0/S_0+a_1/S_1+\cdots+a_n/S_n}{\ln S_0+\ln(S_1/S_0)+\cdots+\ln(S_n/S_{n-1})}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/S_n}{\ln(S_n/S_{n-1})}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/S_n}{\ln(S_n/(S_n-a_n))}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/S_n}{\ln(1/(1-a_n/S_n))}\\
&=\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{a_n/S_n}{\ln(1-a_n/S_n)}\right)\\
&=1
\end{align}

마지막은 a_n/S_n이 0으로 수렴한다는 가정과 극한 공식
:\lim_{t\to0}\frac t{\ln(1-t)}=-1
에 의한다. (이 극한은 로그 항등식을 사용하여
:\lim_{t\to0}\frac t{\ln(1-t)}=\lim_{t\to0}\frac1{\ln(1-t)^{1/t}}=\frac1{\ln\mathrm(1/\mathrm e)}=-1
와 같이 구하거나, 테일러 급수 전개
:\ln(1-t)=-t-\frac{t^2}2-\frac{t^3}3-\cdots\qquad(|t|
를 사용한다.)

### 수렴급수
수렴급수에 대한 **아벨-디니-프링스하임 판정법**에 따르면, 임의의 양의 실수의 수열 (a_n)_{n=0}^\infty\subset(0,\infty)에 대하여, 만약
:\sum_{n=0}^\infty a_n
라면, 다음 명제들이 성립한다 (r_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots).
* (A’) \sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{r_n}=\infty
* (B’) 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, \sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{r_n^{1-\epsilon}}
* (C’) 만약 추가로 \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{r_n}=0이라면, \lim_{n\to\infty}\frac{a_0/r_0+a_1/r_1+\cdots+a_n/r_n}{\ln r_n}=-1
특히, 급수
:\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{r_n^t}
는 t일 때 수렴하며, t\ge1일 때 발산한다.

가정에 따라, r_n은 0으로 수렴하는 감소수열이다. 따라서, 임의의 n\in\{0,1,2,\dots\}에 대하여,
:\frac{r_{n+k_n+1}}{r_n}
인 k_n\in\{0,1,2,\dots\}이 존재한다. 따라서,
:\frac{a_n}{r_n}+\cdots+\frac{a_{n+k_n}}{r_{n+k_n}}\ge\frac{a_n+\cdots+a_{n+k_n}}{r_n}=\frac{r_n-r_{n+k_n+1}}{r_n}=1-\frac{r_{n+k_n+1}}{r_n}>\frac12
이다. 즉, 급수
:\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{r_n}
의 부분합은 코시 수열이 아니다. 즉, 이 급수는 발산한다.

만약 0이라면, 충분히 큰 n에 대하여, r_n이므로 a_n/r_n^{1-\epsilon}\ge a_n/r_n^{1-\epsilon'}이다. 따라서, 0인 경우를 생각하면 충분하다. 이 경우, 임의의 x\in(0,\infty)에 대하여, 다음 부등식이 성립한다 ((B)의 증명 참고).
:\epsilon(1-x)\le1-x^\epsilon
따라서, 다음이 성립한다.
:\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{r_n^{1-\epsilon}}
&=\sum_{n=0}^\infty\frac{r_n-r_{n+1}}{r_n^{1-\epsilon}}\\
&=\sum_{n=0}^\infty r_n^\epsilon\left(1-\frac{r_{n+1}}{r_n}\right)\\
&\le\sum_{n=0}^\infty\frac{r_n^\epsilon}\epsilon\left(1-\left(\frac{r_{n+1}}{r_n}\right)^\epsilon\right)\\
&=\sum_{n=0}^\infty\frac1\epsilon(r_n^\epsilon-r_{n+1}^\epsilon)\\
&=\frac{r_0^\epsilon}\epsilon\\
&

(C)에
:S_n=\frac1{r_n}
를 대입한다.

### 둘 사이의 관계
발산급수·수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법은 서로 동치다. 구체적으로, 발산급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법에
:S_n'=\frac1{r_n}
을 대입하면 수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법을 얻는다.

## 예
급수
:\sum_{n=0}^\infty1
는 발산하며, 그 n번째 부분합은 n이다. 아벨-디니-프링스하임 판정법에 따라, 급수
:\sum_{n=0}^\infty\frac1{n^t}
는 t>1일 때 수렴하며, t\le1일 때 발산한다. 또한, 1/n이 0으로 수렴하므로 점근 공식
:\lim_{n\to\infty}\frac{1+1/2+\cdots+1/n}{\ln n}=1
이 성립한다.

이렇게 찾은 발산급수
:\sum_{n=1}^\infty\frac1n
에 대하여 다시 아벨-디니-프링스하임 판정법을 적용하자. 이 급수의 부분합 대신 이와 점근적으로 같은 수열 \ln n을 사용하여도 좋다. 따라서, 급수
:\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln^tn}
는 t>1일 때 수렴하며 t\le1일 때 발산한다. 또한, 1/(n\ln n)이 0으로 수렴하므로
:\lim_{n\to\infty}\frac{1+1/(2\ln 2)+\cdots+1/(n\ln n)}{\ln\ln n}=1
이다.

## 역사
노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨은 (A)의 약한 형태를 증명하였다. 이탈리아의 수학자 울리세 디니()이 (A)의 완전한 형태와 (B)의 약한 형태를 보였다. (B)는 알프레트 프링스하임()이 증명하였다. (C)는 에르네스토 체사로()의 결과다.

## 참고 문헌

분류:수렴판정법