사인 법칙

기하학에서 **사인 법칙**(-法則, ) 혹은 **라미의 정리**는 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다.

## 정의
삼각형 ABC의 각 A,B,C을 마주보는 변을 a,b,c라고 하자. **사인 법칙**에 따르면 다음이 성립한다.
:\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
여기서 R은 삼각형 ABC의 외접원의 반지름이다.

## 증명
### 삼각형의 넓이를 통한 증명
섬네일|200픽셀|사인 법칙의 증명
삼각형 ABC의 변 c 위의 높이를 h라고 하자. 삼각법에 따라 h=b\sin A이므로, 삼각형 ABC의 넓이 K는 다음과 같다.
:K=\frac 12ch=\frac 12bc\sin A
자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다.
:2K=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C
양변에 abc를 나누면 사인 법칙을 얻는다.
:\frac{\sin A}a=\frac{\sin B}b=\frac{\sin C}c

### 외접원을 통한 증명

삼각형 ABC의 외접원을 그리자. A를 지나는 지름을 AD라고 하자. 따라서 ABD는 직각 삼각형이며, 빗변은 AD=2R이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.
:c=2R\sin D
만약 C가 예각일 경우, C와 D는 같은 호의 원주각이므로 \angle C=\angle D이다. 따라서 다음이 성립한다.
:c=2R\sin C
만약 C가 직각일 경우, B와 D는 같은 점이므로, 2R=c이며 \sin C=1이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 C가 둔각일 경우, C와 D는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, \angle C=\pi-\angle D이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 A,B에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.

### 코사인 법칙을 통한 증명
코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.
:\begin{align}\frac{\sin^2A}{a^2}
&=\frac{1-\cos^2A}{a^2}\\
&=\frac{4b^2c^2-4b^2c^2\cos^2 A}{4a^2b^2c^2}\\
&=\frac{4b^2c^2-(b^2+c^2-4bc)^2}{4a^2b^2c^2}\\
&=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}{4a^2b^2c^2}
\end{align}
결과가 a,b,c에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.

## 구면 사인 법칙
단위 구면 위의 구면 삼각형 ABC의 각 A,B,C가 마주보는 변을 a,b,c라고 하자. **구면 사인 법칙**(球面-法則, )에 따르면 다음이 성립한다.
:\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}

## 구면 사인 법칙의 증명
### 순수 기하 증명
구의 중심을 O라고 하자. OA에서 아무 점 P를 취하자. P를 지나는 평면 BOC의 수선을 PD라고 하자. D를 지나는 직선 OB,OC의 수선을 각각 DE,DF라고 하자. 삼수선 정리에 따라 PE,PF는 각각 OB,OC와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.
:PD=PE\sin B=OP\sin c\sin B
:PD=PF\sin  C=OP\sin b\sin C
두 식에서 PD/OP를 소거하면 다음을 얻는다.
:\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}
남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다.

### 벡터를 통한 증명
구의 중심과 세 꼭짓점 A,B,C를 잇는 벡터를 각각 \mathbf a,\mathbf b,\mathbf c라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다.
:(\mathbf a\times\mathbf b)\times(\mathbf a\times\mathbf c)=((\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c)\mathbf a
:(\mathbf b\times\mathbf a)\times(\mathbf b\times\mathbf c)=((\mathbf b\times\mathbf a)\cdot\mathbf c)\mathbf b
:(\mathbf c\times\mathbf a)\times(\mathbf c\times\mathbf b)=((\mathbf c\times\mathbf a)\cdot\mathbf b)\mathbf c
따라서 다음이 성립한다.
:|(\mathbf a\times\mathbf b)\times(\mathbf a\times\mathbf c)|=
|(\mathbf b\times\mathbf a)\times(\mathbf b\times\mathbf c)|=
|(\mathbf c\times\mathbf a)\times(\mathbf c\times\mathbf b)|
여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다.
:|(\mathbf a\times\mathbf b)\times(\mathbf a\times\mathbf c)|=\sin c\sin b\sin A
:|(\mathbf b\times\mathbf a)\times(\mathbf b\times\mathbf c)|=\sin c\sin a\sin B
:|(\mathbf c\times\mathbf a)\times(\mathbf c\times\mathbf b)|=\sin b\sin a\sin C

### 구면 코사인 법칙을 통한 증명
제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.
:\begin{align}\frac{\sin^2A}{\sin^2a}
&=\frac{1-\cos^2A}{\sin^2a}\\
&=\frac{\sin^2b\sin^2c-\sin^2b\sin^2c\cos^2A}{\sin^2a\sin^2b\sin^2c}\\
&=\frac{\sin^2b\sin^2c-(\cos a-\cos b\cos c)^2}{\sin^2a\sin^2b\sin^2c}\\
&=\frac{1-\cos^2a-\cos^2b-\cos^2c+2\cos a\cos b\cos c}{\sin^2a\sin^2b\sin^2c}
\end{align}

## 쌍곡 사인 법칙
가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 ABC의 각 A,B,C가 마주보는 변을 a,b,c라고 하자. **쌍곡 사인 법칙**(雙曲-法則, )에 따르면 다음이 성립한다.
:\frac{\sinh a}{\sin A}=\frac{\sinh b}{\sin B}=\frac{\sinh c}{\sin C}
여기서 \sinh는 쌍곡 사인이다.

## 쌍곡 사인 법칙의 증명
### 쌍곡 코사인 법칙을 통한 증명
제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.
:\begin{align}\frac{\sin^2A}{\sinh^2a}
&=\frac{1-\cos^2A}{\sinh^2a}\\
&=\frac{\sinh^2b\sinh^2c-\sinh^2b\sinh^2c\cos^2A}{\sinh^2a\sinh^2b\sinh^2c}\\
&=\frac{\sinh^2b\sinh^2c-(\cosh b\cosh c-\cosh a)^2}{\sinh^2a\sinh^2b\sinh^2c}\\
&=\frac{1-\cosh^2a-\cosh^2b-\cosh^2c+2\cosh a\cosh b\cosh c}{\sinh^2a\sinh^2b\sinh^2c}
\end{align}

## 참고 문헌


## 외부 링크

* 

## 같이 보기
* 코사인 법칙
* 탄젠트 법칙
* 코탄젠트 법칙

분류:삼각법
분류:각
분류:삼각형에 대한 정리