가우스 합성

이차 형식 이론에서, **가우스 합성**(Gauß合成, )은 2항 이차 형식의 동치류 집합에 정의될 수 있는 아벨 군 구조이다.

## 정의
### 이차 형식
가환환 R 위의 2차 자유 가군 R^2 위의 두 이차 형식
:Q,Q'\colon R^2\to R
이 다음 조건을 만족시킨다면 서로 **동치**라고 하자.
:Q\sim Q'\iff\exists M\in\operatorname{GL}(2;R),r\in R^\times=\operatorname{GL}(1;R)\colon
rQ(M(-))=Q'

이에 따라, 이차 형식은 사실 임의의 1차 R-자유 가군 L의 값을 갖는 함수
:Q\colon V\to L
로 생각할 수 있다. 이와 같은 함수들의 공간은
:Q\in\operatorname{Sym}^2_RV^*\otimes_RL
=L\otimes_R\frac{V^*\otimes_RV^*}{(u\otimes_Rv-v\otimes_Ru)_{u,v\in V^*}}

이다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴 (X,\mathcal O_X) 위의 계수 2의 \mathcal O_X-국소 자유 가군층 V 및 \mathcal O_X-가역 가군층 L이 주어졌을 때, V 위의 L 값의 **이차 형식**
:Q\in\Gamma(X;\operatorname{Sym}^2_{\mathcal O_X}(V)\otimes_{\mathcal O_X}L)
은 \mathcal O_X-가군층 \operatorname{Sym}^2_{\mathcal O_X}(V)\otimes_{\mathcal O_X}L의 단면이다.

#### 판별식
만약 R가 국소환일 경우, 그 위의 2차 자유 가군 R^2 위의 이차 형식
:Q\colon R^2\to R
:Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2
의 판별식은 \operatorname{Disc}(Q)=b^2-4ac이다.

보다 일반적으로, 스킴 (X,\mathcal O_X) 위의, 2차 \mathcal O_X-국소 자유 가군층 \mathcal M 위의, \mathcal O_X-가역층 \mathcal L 값의 이차 형식
:Q\in\Gamma(\operatorname{Sym}^2_{\mathcal O_X}(M^*)\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal L)
의 판별식 \operatorname{Disc}(Q)는 국소적으로 위와 같이 주어지며, 대역적으로 이는 다음과 같은 \mathcal O_X-가역층의 대역적 단면을 이룬다.
:\operatorname{Disc}(Q)\in\Gamma\left(X;\left(\operatorname{Sym}^2_{\mathcal O_X}(M^*)\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal L\right)^{\otimes2}\right)

### 이차 대수
가환환 R 위의 **이차 대수**() R\to A는 다음과 같은 가환  R-결합 대수이다.
* 임의의 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R에 대하여 A\otimes_RR_{\mathfrak p}는 2차 R_{\mathfrak p}-자유 가군이다. (즉, A는 계수 2의 R-평탄 가군이다.)
R 위의 이차 대수 A 위의 가군 M이 다음 조건을 만족시킨다면, **대각합 가능 가군**()이라고 한다.
* M은 R 위의 계수 2의 평탄 가군이다.
* 임의의 원소 a\in A에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.
*:\operatorname{tr}_{A/R}\colon A\to R
*:\operatorname{tr}_{A/R}\colon a\mapsto\operatorname{tr}_R(a\cdot\colon A\to A)
*:\operatorname{tr}_{M/R}\colon A\to R
*:\operatorname{tr}_{M/R}\colon a\mapsto\operatorname{tr}_R(a\cdot\colon M\to M)

보다 일반적으로, 임의의 스킴 (X,\mathcal O_X) 위의 **이차 대수층**은 \mathcal O_X-가환 대수층 가운데 2차 \mathcal O_X-국소 자유 가군층을 이루는 것이다. 이차 대수층 \mathcal A 위의 **대각합 가능 가군층** \mathcal M은 \mathcal A-가군층 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.
* \mathcal O_X-가군층으로서 계수 2의 국소 자유 가군층이다.
* 임의의 열린집합 U\subseteq X의 단면 a\in\Gamma(U;\mathcal A)에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.
*:\operatorname{tr}_{\mathcal A/\mathcal O_X}\colon \Gamma(U;\mathcal A)\to\Gamma(U;\mathcal O_X)
*:\operatorname{tr}_{\mathcal A/\mathcal O_X}\colon a\mapsto\operatorname{tr}_{\Gamma(U;\mathcal O_X)}(a\cdot\colon A\to A)
*:\operatorname{tr}_{\mathcal M/\mathcal O_X}\colon A\to R
*:\operatorname{tr}_{\mathcal M/\mathcal O_X}\colon a\mapsto\operatorname{tr}_{\Gamma(U;\mathcal O_X)}(a\cdot\colon M\to M)

두 A-가군 M,M'이 주어졌을 때, 텐서곱 M\otimes_AM'을 정의할 수 있으므로, A-가군들의 동형류들은 가환 모노이드를 이룬다. A-가역 가군 (즉, 1차원 자유 가군)의 경우, 이는 아벨 군을 이룬다.

#### 판별식
스킴 (X,\mathcal O_X) 위의 이차 대수층 \mathcal A 위의 대각합 가능 가군층 \mathcal M의 **판별식**은 대각합 사상
:\operatorname{tr}_{\mathcal A/\mathcal O_X}\colon \mathcal A\to\mathcal O_X
의 행렬식
:\operatorname{Disc}(\mathcal A,\mathcal M)=\det\left(\operatorname{tr}_{\mathcal A/\mathcal O_X}\right)\in\Gamma\left(X;\left(\bigwedge^2\mathcal A\right)^{\otimes(-2)}\right)
이다. 이는 \mathcal O_X-가역층 \textstyle\left(\bigwedge^2\mathcal A\right)^{\otimes(-2)}의 대역적 단면이다.

### 가우스 합성
임의의 가환환 R 및 그 위의 2차 자유 가군 V=R^2에 대하여, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
* V 위의 이차 형식들 Q\colon V\to L의 동치류들의 집합
* R 위의 이차 대수 A와 그 위의 대각합 가능 가군 M들의 동치류들의 집합
구체적으로, (A,M)이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 R-가군 준동형을 생각하자.
:(A/R)\otimes_R\bigwedge^2(M;R)\to\operatorname{Sym}^2(M;R)
:(a+R)\otimes_R(m\wedge_R m')\mapsto(am)\otimes_Rm'-m\otimes_R(am')
이는 R-가군
:\left((A/R)\otimes_R\bigwedge^2(M;R)\to\operatorname{Sym}^2(M;R)\right)^*\otimes_R\operatorname{Sym}^2(M;R)
의 원소를 정의하며, 이는 M^* 위에 정의된,
:L=\left((A/R)\otimes_R\bigwedge^2(M;R)\to\operatorname{Sym}^2(M;R)\right)^*
값의 이차 형식을 이룬다.

또한, 이 대응성은 판별식을 보존한다. 이차 형식 Q가 원시 이차 형식()인 것은 M이 A-가역층을 이루는 것과 같으며, 따라서 주어진 판별식의 원시 이차 형식들은 텐서곱에 따라 아벨 군을 이룬다. 이를 **가우스 합성**이라고 한다.

## 예
### 정수환의 경우
\mathbb Z 위의 이차 형식의 \operatorname{GL}(2;\mathbb Z)\times\operatorname{GL}(1;\mathbb Z)-동치류는 다음과 같은 구조와 대응한다.
* 2차 \mathbb Z-환 A_D. 이는 그 판별식 D\in 4\mathbb Z+\{0,1\}으로부터 다음과 같이 결정된다.
*:A_D=\begin{cases}
\mathbb Z[t]/(t^2)&D=0\\
\mathbb Z\cdot(1,1)+\sqrt D(\mathbb Z^2)&\sqrt D\in\mathbb Z\setminus\{0\}\\
\mathbb Z\left[\frac{D+\sqrt D}2\right]&\sqrt D\not\in\mathbb Z
\end{cases}
* A-가군 M 가운데 아벨 군으로서 \mathbb Z^2이며, \operatorname{tr}_{A/\mathbb Z}\colon A\to\mathbb Z가 \operatorname{tr}_{M/\mathbb Z}\colon A\to\mathbb Z가 같은 것 (둘째 조건은 M이 A-아이디얼일 경우 자동적으로 충족된다).

특히, D\ne0일 때, M은 항상 A_D의 아이디얼과 동형이다. 그러나 D=0일 경우 일반적으로 M은 아이디얼로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 값이 0인 상수 이차 형식의 경우 A_0=\mathbb Z[t]/(t^2)이며 M=\mathbb Zx\oplus\mathbb Zy, tx=ty=0_M이다.

\mathbb Z 위의 이차 형식의 \operatorname{GL}(2;\mathbb Z)-동치류를 분류하려면, (A,M) 및 M의 방향 \epsilon\in\{\pm1\}을 사용하여야 한다.

### 정역의 경우
가환환 R가 정역일 때, R 계수의 비퇴화 2항 이차 형식의 경우, 이에 대응하는 이차 대수 A 및 A-가군 M에 대하여, M은 항상 A의 아이디얼과 동형이다. 따라서, 이 경우 가군 대신 아이디얼들의 유군을 사용할 수 있다.

## 역사
카를 프리드리히 가우스가 1801년에 도입하였다. 가우스는 정수 계수 2항 이차 형식에 대하여 연구하였으나, 이는 그 뒤 임의의 가환환 계수 및 스킴 계수의 2항 이차 형식에 대하여 일반화되었다.

## 같이 보기
* 페르마 두 제곱수 정리
* 르장드르 기호
## 각주

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## 외부 링크
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분류:이차 형식