쌍선형 형식

선형대수학에서 **쌍선형 형식**(雙線型形式, , )은 두 개의 벡터 변수에 대하여 각각 독립적으로 선형인 스칼라 값 함수이다.

## 정의
가환환 K 위의 가군 V 위의 **쌍선형 형식** B는 다음과 같은 가군 준동형이다.
:B\colon V\otimes V\to K
여기서 \otimes는 K-가군의 텐서곱이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 B\colon V\times V\to K이다.
* (왼쪽 선형성) 임의의 a,b\in K, u,v,w\in V에 대하여, B(au+bv,w)=aB(u,w)+bB(v,w)
* (오른쪽 선형성) 임의의 a,b\in K, u,v,w\in V에 대하여, B(w,au+bv)=aB(w,u)+bB(w,v)

가환환 K가 다음과 같은 2차 자기 동형을 가진다고 하자.
:\bar{\quad}\colon K\to K
:\bar{\quad}\circ\bar{\quad}=\operatorname{id}_K
\bar{}에 대한 **반쌍선형 형식**(半雙線型形式, ) B는 다음 조건을 만족시키는 함수 B\colon V\times V\to K이다.
* (왼쪽 반선형성) 임의의 a,b\in K, u,v,w\in V에 대하여, B(au+bv,w)=\bar aB(u,w)+\bar bB(v,w)
* (오른쪽 선형성) 임의의 a,b\in K, u,v,w\in V에 대하여, B(w,au+bv)=aB(w,u)+bB(w,v)
일부 문헌에서는 대신 왼쪽 선형성 · 오른쪽 반선형성을 요구하는 경우도 있다. 대개 전자는 물리학에서, 후자는 순수 수학에서 더 많이 쓰이지만, 힐베르트 공간 따위를 다룰 때에는 대개 전자를 사용한다. 반쌍선형 형식은 쌍선형 형식의 개념의 일반화이며, 만약 자기 동형 \bar{\quad}가 항등 함수라면 이는 쌍선형 형식을 이룬다.

### 대칭 형식
가환환 K 위의 가군 V 위의 쌍선형 형식 B가 다음 조건을 만족시킨다면, **대칭 쌍선형 형식**(對稱雙線型形式, )이라고 한다.
:B(u,v)=B(v,u)\qquad\forall u,v\in V
가환환 K 위의 가군 V 위의 쌍선형 형식 B가 다음 조건을 만족시킨다면, **반대칭 쌍선형 형식**(反對稱雙線型形式, )이라고 한다.
:B(u,v)=-B(v,u)\qquad\forall u,v\in V
가환환 K 위의 가군 V 위의 쌍선형 형식 B가 다음 조건을 만족시킨다면, **교대 쌍선형 형식**(交代雙線型形式, )이라고 한다.
:B(v,v)=0\qquad\forall v\in V

K가 체라고 하면, 이들 사이의 관계는 다음과 같다.
* K가 표수가 2가 아닌 체인 경우: 교대 형식 = 반대칭 형식이며, 대칭 형식이자 반대칭 형식인 경우 0인 상수 함수이다.
* K가 표수가 2인 체인 경우: 교대 형식 \subsetneq 반대칭 형식 = 대칭 형식

자기 동형 \bar{\quad}를 갖는 가환환 K 위의 가군 V 위의 반쌍선형 형식 B가 다음 조건을 만족시킨다면, **에르미트 반쌍선형 형식**(Hermite半雙線型形式, )이라고 한다.
:B(u,v)=\overline{B(v,u)}\qquad\forall u,v\in V
이는 대칭 쌍선형 형식의 일반화이다. 마찬가지로, 반쌍선형 형식 B가 다음 조건을 만족시킨다면, **반에르미트 반쌍선형 형식**(反Hermite半雙線型形式, )이라고 한다.
:B(u,v)=-\overline{B(v,u)}\qquad\forall u,v\in V
만약 K의 표수가 홀수라면, 에르미트 형식의 개념과 반에르미트 형식의 개념은 일치한다. **교대 반쌍선형 형식**(交代半雙線型形式, )의 정의는 교대 쌍선형 형식과 같다.

### 비퇴화 형식
체 K 위의 벡터 공간 V 위의 쌍선형 형식 B의 **왼쪽 근기**()와 **오른쪽 근기**()는 각각 다음과 같다.
:\operatorname{rad_L}B=\ker(v\mapsto B(v,-))=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(v,u)=0\}
:\operatorname{rad_R}B=\ker(v\mapsto B(-,v))=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(u,v)=0\}
대칭 쌍선형 형식과 반대칭 쌍선형 형식의 경우 왼쪽 근기와 오른쪽 근기가 일치하며, 이 경우 단순히 B의 **근기**() \operatorname{rad}B라고 한다.

체 K 위의 벡터 공간 V 위의 대칭 또는 반대칭 쌍선형 형식 B의 근기가 \{0\}이라면, B를 **비퇴화 쌍선형 형식**(非退化雙線型形式, )이라고 한다. 이 조건은 구체적으로 다음과 같다.
:\forall v\colon\left(\forall w\colon B(v,w)=0\right)\implies v=0
이 경우, B를 통해 벡터 공간의 표준적인 동형
:i\colon V\to V^*
:v\mapsto B(v,-)
이 주어진다. (만약 B가 대칭 쌍선형 형식일 경우 이는 유일하지만, B가 반대칭 쌍선형 형식일 경우 왼쪽과 오른쪽 동형이 &minus;1배로 서로 다르다.) 이러한 동형이 존재하려면 V는 유한 차원 벡터 공간이어야 하므로, 비퇴화 쌍선형 형식은 유한 차원 벡터 공간 위에서만 존재할 수 있다.

### 쌍선형 형식에 대응하는 이차 형식
체 K 위의 벡터 공간 V 위의 쌍선형 형식 B에 **대응하는 이차 형식**() Q_B은 다음과 같은 이차 형식이다.
:Q_B\colon V\to K
:Q_B\colon v\mapsto B(v,v)

쌍선형 형식과 이차 형식의 관계는 K의 표수가 2인지 여부에 따라 다르다.

#### 홀수 표수
K의 표수가 2가 아니라고 하자. 그렇다면, B를 대칭 성분과 반대칭 성분
:B^+(u,v)=\frac12\left(B(u,v)+B(v,u)\right)
:B^-(u,v)=\frac12\left(B(u,v)-B(v,u)\right)
으로 분해할 수 있으며, B에 대응하는 이차 형식은 대칭 성분 B^+에 의하여 완전히 결정된다.

반대로, 이차 형식 Q가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.
:B(u,v)=\frac12\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)
그렇다면 Q는 B에 대응하는 이차 형식이다.

따라서, 표수가 2가 아닌 경우, 이차 형식의 개념과 대칭 쌍선형 형식의 개념은 서로 동치이다. 즉, 하나가 주어졌을 때 다른 하나는 유일하게 결정된다.

#### 짝수 표수
K의 표수가 2인 경우, 1/2를 정의할 수 없다. 만약 벡터 공간 V가 1차원인 경우 여전히 (반)대칭 쌍선형 형식은 이차 형식과 일대일 대응하지만, V가 2차원 이상일 경우 이차 형식과 쌍선형 형식 사이의 일대일 대응이 더 이상 성립하지 않는다.

## 예
### 이차 형식에 대응하는 쌍선형 형식
2차원 벡터 공간 위의 다음과 같은 이차 형식을 생각하자.
:Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2
표수가 2가 아닌 경우, 이에 대응하는 쌍선형 형식은 다음과 같다.
:B(x,y;x',y')=axx'+\frac12b(x'y+xy')+cyy'=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}
만약 표수가 2인 경우, b/2를 정의할 수 없다. 만약 b\ne0이라면, 이에 대응하는 쌍선형 형식은 존재하지 않는다.

### 짝수 표수에서 교대가 아닌 반대칭 형식
표수가 2인 체 위의 2차원 벡터 공간 위에서 다음과 같은 쌍선형 형식을 생각하자.
:B(x,y;x',y')=xx'
이는 (반)대칭 쌍선형 형식이지만,
:B(1,0;1,0)=1
이므로 교대 형식이 아니다.

## 참고 문헌

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## 같이 보기
* 이차 형식
* 내적 공간
* 직교군
* 유니터리 군

## 외부 링크
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분류:선형대수학