대수적 K이론

수학에서 **대수적 K이론**(代數的K理論, )은 환의 가군들을 다루는 K이론의 한 종류다. 대수적 *K*이론은 기하학, 위상 수학, 환론, 정수론과 연결된다. 기하, 대수 및 산술 대상에는 *<math>K</math>*군이라는 대상이 할당된다. 이들은 군이다. 여기에는 원래 대상에 대한 자세한 정보가 포함되어 있지만 계산하기가 아주 어렵다. 예를 들어, 정수의 *<math>K</math>*군을 계산하는 것은 중요한 미해결 문제이다.

*<math>K</math>*이론은 1950년대 후반 알렉산더 그로텐디크가 대수다양체에 대한 교차 이론을 연구하면서 발전시켰다. 현대 수학에서 그로텐디크는 0번째 K군인 K_0만 정의했지만 이 군 하나에도 그로텐디크-리만-로흐 정리와 같은 많은 응용이 있다. 교차 이론은 모티브 코호몰로지, 특히 저우 군과의 연결을 통해 (고차) 대수적 K이론의 발전에 여전히 동기를 부여하는 힘이다. 이 주제는 또한 이차 상호성과 실수체와 복소수체 사이에 수체를 삽입하는 것과 같은 고전적인 정수론 주제뿐만 아니라 고차 조절자의 구성 및 ''L'' 함수의 특수 값과 같은 보다 현대적인 문제를 포함한다.

다른 대수 구조의 관점에서 이러한 군에 대한 적절한 설명이 발견되었다는 의미에서 부분 K군이 먼저 발견되었다. 예를 들어, F가 체인 경우 K_0(F)는 정수 \Z와 동형이며 선형 공간 차원의 개념과 밀접하게 관련된다. 가환 환 R의 경우, 군 K_0(R)은 R의 피카드 군과 관련되며, *<math>R</math>*이 슈체에서 정수환일 때 이는 유군의 고전적 구성을 일반화한다. 군 K_1(R)은 단원군 R^{\times}과 밀접하게 관련되어 있으며 *<math>R</math>*이 체인 경우 정확히 단원군이다. 수체 F의 경우 군 K_2(F)는 유체론, 힐베르트 기호 및 완비화에 대한 2차 방정식의 해결 가능성과 관련된다. 대조적으로, 고차 K군의 환에 대한 정확한 정의를 찾는 것은 대니얼 퀼런의 어려운 업적이었고, 대수적 다형체의 고차 *<math>K</math>*군에 대한 많은 기본적 사실은 로버트 토마슨의 연구 이전까지는 알려지지 않았다.

## 정의
대수적 K이론에서 다루는 중심 개념은 **(대수적) K군**() \operatorname K_\bullet(-)이다. 이들은 주어진 환 R에 대하여 주어지는 일련의 아벨 군들이다.

K군은 다양하게 정의할 수 있다.
* **퀼런 플러스 구성**()은 역사적으로 가장 최초의 정의이다. 이 정의는 주어진 환의 무한 일반선형군의 분류 공간에 그 기본군의 일부를 죽이는 연산을 가한 뒤, 호모토피 군을 취하는 것으로 구성된다. 대니얼 퀼런이 도입하였다.
* **퀼런 Q-구성**() 역시 대니얼 퀼런이 도입하였다. 이 정의는 **[[퀼런 완전 범주]]**라는 특정한 가법 범주에 대하여 적용되며, 퀼런 완전 범주에서 대상을 그대로 두고 사상을 다르게 정의한 뒤, 이에 대응하는 단체 집합을 취하고, 그 호모토피 군을 취한다. Q-구성을 환 R 위의 유한 생성 사영 가군 범주 \operatorname{fgProjMod}_R에 적용할 경우, 이는 퀼런 플러스 구성과 일치한다.
* **발트하우젠 S-구성**()은 **발트하우젠 범주**()라는 구조가 주어진 범주에 대하여 적용된다. 퀼런 완전 범주 위의 유계 사슬 복합체의 범주 \operatorname{bCh}(\mathcal E)는 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이루며, 이에 따라 발트하우젠 S-구성은 퀼런 Q-구성을 일반화한다. 프리트헬름 발트하우젠()이 도입하였다.

### 퀼런 플러스 구성
환 R가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (이산 공간으로 간주한) 그 일반선형군 \operatorname{GL}(n;R)들의 귀납적 극한
:\operatorname{GL}(\infty;R)=\varinjlim_{n\to\infty}\operatorname{GL}(n;R)
을 취하자. 이는 위상군을 이룬다. 이 위상군의 분류 공간 \operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))을 취하자.

위상 공간 \operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R)) 위에 **플러스 구성** \operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+을 가할 수 있다. 이 경우 그 호모토피 군들이 바뀌지만, 호몰로지 군은 바뀌지 않는다. 구체적으로, \operatorname{GL}(\infty;R)\cong\pi_1(\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R)))의 정규 부분군 E\triangleleft \operatorname{GL}(\infty;R)은 하나의 성분을 제외하고 다른 모든 성분이 모두 무한 단위 행렬을 이루는 원소들로부터 생성된다. 그렇다면, 기본군의 정규 부분군 E를 죽이는 플러스 연산을 가하여 위상 공간 \operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+을 얻는다. 그렇다면, i>0에 대하여 i차 **K군** \operatorname K_i(R)은 \operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+의 i차 호모토피 군이다.
:\operatorname K_i(R)=\pi_i(\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+)\qquad(i>0)
i=0일 경우 위 공식은 성립하지 않는다. (\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+는 항상 경로 연결 공간이다.) 환의 0차 K군 \operatorname K_0(R)는 독립적으로 간단히 정의될 수 있으며, 이 경우
:\pi_i(R)=\pi_i\left(\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+\times\operatorname K_0(R)\right)
로 정의할 수 있다. (여기서 \operatorname K_0(R)는 이산 위상을 준 위상군이다.)

### 퀼런 Q-구성
퀼런 완전 범주 \mathcal E가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 범주 \operatorname Q(\mathcal E)는 다음과 같은 범주이다.
* \operatorname Q(\mathcal E)의 대상은 \mathcal E의 대상과 같다.
* \operatorname Q(\mathcal E)에서 X,Y\in\mathcal E 사이의 사상은 \mathcal E에서의 그림 X\twoheadleftarrow A\hookrightarrow Y의 동치류이다. 여기서, 두 그림 X\twoheadleftarrow A\hookrightarrow Y, X\twoheadleftarrow A'\hookrightarrow Y 사이에 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 동형 사상 A\to A'이 존재한다면 두 그림을 서로 동치로 간주한다.
*:\begin{matrix}
X&\twoheadleftarrow&A&\hookrightarrow&Y\\
\|&&\downarrow&&\|\\
X&\twoheadleftarrow&A'&\hookrightarrow&Y
\end{matrix}
* \operatorname Q(\mathcal E)에서 항등 사상은 X\overset{\operatorname{id}}\twoheadleftarrow X\overset{\operatorname{id}}\hookrightarrow X이다.
* \operatorname Q(\mathcal E)에서 사상의 합성은 당김을 통해 정의된다. 즉, 그림 X\twoheadleftarrow A\hookrightarrow Y와 Y\twoheadleftarrow B\hookrightarrow Z의 합성은 다음과 같은 당김 A\times_YB로서 정의된다.
*:\begin{matrix}
&&A&\twoheadleftarrow&A\times_YB&\hookrightarrow&B\\
&&\|&&&&\|\\
X&\twoheadleftarrow&A&\hookrightarrow&Y&\twoheadleftarrow&B&\hookrightarrow&Z
\end{matrix}

이제, \operatorname Q(\mathcal E)의 신경 \operatorname{nerve}(\operatorname Q(\mathcal E))을 취하자. 이는 단체 집합이다. \mathcal E의 i차 **K군**()은 \operatorname{nerve}(\operatorname Q(\mathcal E))의 (기하학적 실현의) i+1차 호모토피 군이다.
:\operatorname K_i(\mathcal E)=\pi_{i+1}(\operatorname{nerve}(\operatorname Q(\mathcal E)))

### 발트하우젠 S-구성
**발트하우젠 범주**(Waldhausen範疇, ) (\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak C)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* \mathcal C는 영 대상을 갖는 범주이다.
* \mathfrak W는 \mathcal C의 사상들의 모임이다. 그 원소를 **약한 동치**()라고 한다. 이를 \xrightarrow\sim로 나타내자.
* \mathfrak C는 \mathcal C의 사상들의 모임이다. 그 원소를 **쌍대올뭉치**()라고 한다. 이를 \hookrightarrow로 나타내자.
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 모든 동형 사상은 약한 동치이자 쌍대올뭉치이다.
* 영 대상으로부터의 사상 0\to X는 쌍대올뭉치이다.
* 쌍대올뭉치는 합성에 대하여 닫혀 있다.
* 임의의 X\hookleftarrow Z\to Y에 대하여, 밂 X\cup_ZY으로 가는 표준적 사상 Y\to X\cup_ZY는 쌍대올뭉치이다.
* 다음 가환 그림이 주어졌을 때, 유도 사상 X\cup_ZY\to \tilde X\cup_{\tilde Z}\tilde Y는 약한 동치이다.
*:\begin{matrix}
X&\hookleftarrow&Z&\to&Y\\
{\scriptstyle\wr}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\wr&&\downarrow\scriptstyle\wr\\
\tilde X&\hookleftarrow&\tilde Z&\to&\tilde Y
\end{matrix}

발트하우젠 범주 \mathcal C 및 자연수 n\in\mathbb N이 주어졌을 때, 다음과 같은 범주 \mathcal S_n(\mathcal C)을 생각하자.
* \mathcal S_n(\mathcal C)의 대상은 다음 조건을 만족시키는 대상 X_{i,j} (i\le j) 및 이들 사이의 적절한 사상으로 구성된다.
** X_{ii}=0
** 쌍대올뭉치의 열 0=X_{0,0}\hookrightarrow X_{0,1}\hookrightarrow X_{0,2}\hookrightarrow\cdots\hookrightarrow X_{0,n}이 존재한다.
** i\le j\le k에 대하여, X_{jk}는 0\leftarrow X_{i,j}\hookrightarrow X_{i,k}의 밂이다.
* \mathcal S_n(\mathcal C)의 사상은 적절한 그림들을 가환 그림으로 만드는 \mathcal C-사상들의 열 f_{i,j}\colon X_{i,j}\to Y_{i,j}로 구성된다.
그렇다면, 각 \mathcal S_n(\mathcal C) 역시 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이룬다. 또한, 이들을 모두 모은 \mathcal S_\bullet(\mathcal C)는 자연스럽게 단체 범주(, (작은) 범주의 범주에서의 단체 대상)를 이룬다.

이 연산 \mathcal S_\bullet(-)을 거듭해서 가하자. 그렇다면, 일련의 단체 범주 \mathcal C,\mathcal S_\bullet(\mathcal C),\mathcal S_\bullet(\mathcal S_\bullet(\mathcal C)),\dots들을 얻는다. 이들은 자연스럽게 스펙트럼 \mathcal S(\mathcal C)을 이룬다.

\mathcal C의 **K군**들은 스펙트럼 \mathcal S(\mathcal C)의 안정 호모토피 군들이다.

## 낮은 차수의 K군
### K<sub>0</sub>

R가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. **0차 K군** \operatorname K_0(R)는 R의 유한 생성 사영 가군들의 그로텐디크 군이다. 이는 세르-스완 정리에 따라서, 벡터 다발의 그로텐디크 군인 위상 K군에 대응한다.

유사환에 대해서도 K군을 정의할 수 있다. 포함 함자 \operatorname{Ring}\hookrightarrow\operatorname{Rng}의 수반 함자를 사용해, 유사환 S에 단위원을 추가해 환 R\cong S\oplus\mathbb Z으로 만들 수 있다. 이에 따라 짧은 완전열
:0\to S\to R\to0
이 존재한다. 그렇다면 S의 K군 K_0(S)는 이에 의하여 유도되는 군 준동형
:K_0(R)\to K(\mathbb Z)\cong\mathbb Z
의 핵이다.

보다 일반적으로, 퀼런 완전 범주 \mathcal E의 **0차 K군** \operatorname K_0(\mathcal E)는 \mathcal E의 대상의 동형류들로 생성되는 자유 아벨 군으로부터, 모든 허용 확대 X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z에 대하여 [X]-[Y]+[Z]로 생성되는 부분군에 대한 몫군을 취한 것이다.

#### 상대적 ''K'' <sub>0</sub>
*<math>I</math>*를 *<math>A</math>*의 이데알로 정의하고 데카르트 곱 *<math>A\times A</math>*의 부분 환으로 "더블"을 정의한다.

: D(A,I) = \{ (x,y) \in A \times A : x-y \in I \} \ . 

*상대적 <math>K</math>군은* "double"

: K_0(A,I) = \ker \left({ K_0(D(A,I)) \rightarrow K_0(A) }\right) \ . 

여기서 사상은 첫 번째 인자에 따른 사영에 의해 유도된다.

상대적 K_0(A,I)는 K_0(I)와 동형이며 *<math>I</math>*를 항등원이 없는 환으로 간주한다. *<math>A</math>*로부터의 독립성은 호몰로지에서 절제 정리와 비슷하다.

#### 환으로서 ''K''<sub>0</sub>
*<math>A</math>*가 가환 환이라면, 사영 가군의 텐서 곱은 다시 사영이므로 텐서 곱은 K_0을 항등식으로 동치류 *<math>[A]</math>*를 갖는 가환 환으로 바꾸는 곱셈을 유도한다. 외적은 비슷하게 λ-환 구조를 유도한다. 피카르 군은 단위 K_0(A)^*군의 부분 군으로 포함된다.

### K<sub>1</sub>
R가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 그렇다면, 무한 일반선형군을 다음과 같은 귀납적 극한으로 정의하자.
:\operatorname{GL}(\infty;R)=\varinjlim_{n\to\infty}\operatorname{GL}(n,R)
그렇다면, **1차 K군** \operatorname K_1(R)는 무한 일반선형군의 아벨화이다.
:\operatorname K_1(R)=\operatorname{GL}(\infty;R)^{\operatorname{ab}}=\operatorname{GL}(\infty;R)/[\operatorname{GL}(\infty;R),\operatorname{GL}(\infty;R)]
하이먼 배스는 환의 단원 군을 일반화하는 다음 정의를 제공했다: K_1(A)는 무한 일반 선형 군의 아벨화이다.

: K_1(A) = \operatorname{GL}(A)^{\mbox{ab}} = \operatorname{GL}(A) / [\operatorname{GL}(A),\operatorname{GL}(A)]

여기서

: \operatorname{GL}(A) = \operatorname{colim} \operatorname{GL}(n, A)

는 \operatorname{GL}(n+1)\operatorname{GL}(n+1) 에 좌상단 블록 행렬로서 포함되는 \operatorname{GL}(n)의 직접 극한이다. [\operatorname{GL}(A), \operatorname{GL}(A)]는 그것의 교환자 부분 군이다. 기본 행렬을 항등 행렬과 단일 비대각 원소의 합으로 정의한다(이는 선형 대수학에서 사용되는 기본 행렬의 부분 집합이다). 그런 다음 화이트헤드의 보조 정리는 기본 행렬에 의해 생성된 군 E(A)가 교환자 부분 군 [\operatorname{GL}(A), \operatorname{GL}(A)]와 같다고 말한다. 실제로 군 \operatorname{GL}(A)/E(A)는 화이트헤드에 의해 처음 정의되고 연구되었으며 환 *<math>A</math>*의 **화이트헤드 군**이라고 한다.

#### 상대적 ''K'' <sub>1</sub>
*상대적 K-군은* "double"

: K_1(A,I) = \ker \left({ K_1(D(A,I)) \rightarrow K_1(A) }\right) \ . 

자연스러운 완전열이 있다

:  K_1(A,I) \rightarrow K_1(A) \rightarrow K_1(A/I) \rightarrow K_0(A,I) \rightarrow K_0(A) \rightarrow K_0(A/I) \ . 

#### 가환 환 및 체
*<math>A</math>* 가환 환에 대해 행렬식 det를 정의할 수 있다: \operatorname{GL}(A)\rightarrow A^*에서 *<math>A</math>* 단원 군으로 E(A)에서 사라지고 따라서 사상 det로 내려간다. : K_1(A)\rightarrow A^*. *<math>E(A)\vartriangleleft\text{SL}(A)</math>*로 **특수 화이트헤드 군** *<math>\text{S}K_1(A):=\text{SL}(A)/E(A)</math>*를 정의할 수도 있다. 이 사상은 사상 A^*\rightarrow \operatorname{GL}(1,A)\rightarrow K_1(A) (왼쪽 위 모서리에 있는 단위)를 통해 분할되고 따라서 특정 화이트헤드 군을 핵로 가지며 분할 짧은 완전열을 생성한다. :

: 1 \to SK_1(A) \to K_1(A) \to A^* \to 1,

이는 특수 선형 군을 정의하는 일반적인 분할 짧은 완전열의 몫이다.

: 1 \to \operatorname{SL}(A) \to \operatorname{GL}(A) \to A^* \to 1.

행렬식은 단원군 A^*=\operatorname{GL}_1(A)를 일반 선형 군 \operatorname{GL}(A)에 포함하여 분할하므로 *<math>K_1(A)</math>*는 단원군과 특수 화이트헤드 군의 직합 *<math>K_1(A)\cong A^*\oplus\text{S}K_1(A)</math>*으로 분할된다.

*<math>A</math>*가 유클리드 정역(예: 체 또는 정수)인 경우 *<math>\text{S}K_1(A)</math>*는 사라지고 행렬식 사상은 *<math>K_1(A)</math>*에서 *<math>A^*</math>* 로 가는 동형사상이다. 이것은 일반적으로 PID에 대해 *거짓이므로* 모든 PID에 일반화되지 않는 유클리드 정역의 드문 수학적 특징 중 하나를 제공한다.*<math>\text{S}K_1(A)</math>*이 0이 아닌 명시적 PID는 1980년 Ischebeck과 1981년 그레이슨이 제공했다 *<math>A</math>*가 그의 몫 체가 대수적 수체 (유리수의 유한 확장)인 데데킨트 정역이면 는 *<math>\text{S}K_1(A)</math>*가 사라진다는 것을 보여준다.

*<math>\text{S}K_1</math>*의 소멸은 \operatorname{GL}에서 \operatorname{GL}_1의 상에 의해 *<math>K_1</math>*가 생성된다는 의미로 해석될 수 있다. 이것이 실패하면 *<math>K_1</math>*가 \operatorname{GL}_2의 상에 의해 생성되는지 여부를 물을 수 있다. 데데킨드 정역이 이에 해당한다. 실제로 *<math>K_1</math>*은 \operatorname{GL}의 \operatorname{GL}_1과 \operatorname{SL}_2의 상에 의해 생성된다. \operatorname{SL}_2에 의해 생성된 *<math>\text{S}K_1</math>*의 부분 군은 메니케 기호로 연구할 수 있다. 극대 이데알 유한에 의한 모든 몫을 갖는 데데킨트 정역의 경우 *<math>\text{S}K_1</math>*은 비틀림 군이다.

비가환 환의 경우 행렬식를 일반적으로 정의할 수 없지만 사상 \operatorname{GL}(A)\rightarrow K_1(A)는 행렬식의 일반화이다 .

#### 중심 단순 대수
체 *F* 에 대한 중심 단순 대수 *<math>A</math>*의 경우, 축소된 노름은 사상 *<math>K_1(A)\rightarrow F^*</math>*및 *<math>\text{S}K_1(A)</math>* 핵로 정의될 수 있는 행렬식의 일반화를 제공한다. **왕의 정리**는 *<math>A</math>*가 소수 차수이면 *<math>\text{S}K_1(A)</math>*는 사소하고 이것은 제곱 없는 차수로 확장될 수 있다고 말한다. 왕은 또한 *<math>\text{S}K_1(A)</math>*가 수체에 대한 모든 중앙 단순 대수에 대해 사소한 것임을 보여주었지만 Platonov는 *<math>\text{S}K_1(A)</math>*가 중요하지 않은 소수 제곱 정도의 대수에 대한 예를 제공했다.

### K<sub>2</sub>
R가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 그렇다면, 일반선형군 \operatorname{GL}(\infty;R)의 교환자 부분군 [\operatorname{GL}(\infty;R),\operatorname{GL}(\infty;R)]을 생각하자. 이는 완전군이며, 따라서 보편 중심 확대를 갖는다. 이 보편 중심 확대를 R의 **스테인베르그 군**(Steinberg群, ) \operatorname{St}R라고 한다. 이는 로베르트 스테인베르그가 도입하였다.

**2차 K군** \operatorname K_2(R)는 R의 스테인베르그 군 \operatorname{St}R의 중심이다.
:\operatorname K_2(R)=\operatorname Z(\operatorname{St}R)
존 밀너는 *<math>K_2</math>*의 올바른 정의를 찾았다. 이것은 *<math>A</math>*의 스타인버그 군 *<math>\text{St}(A)</math>*의  중심이다.

이는 사상

: \varphi\colon\operatorname{St}(A)\to\mathrm{GL}(A),

의 핵으로 정의할 수도 있다. 또는 기본 행렬 군의 슈어 승수로 정의할 수도 있다.

체의 경우 *<math>K_2</math>*는 스타인버그 기호에 의해 결정된다. 이것은 마츠모토의 정리로 이어진다.

유한 체에 대해 *<math>K_2</math>*가 0임을 계산할 수 있다. *<math>K_2(\Q)</math>*의 계산은 복잡하다: 테이트가 증명했다

: K_2(\mathbf{Q}) = (\mathbf{Z}/4)^* \times \prod_{p \text{ odd prime}} (\mathbf{Z}/p)^* \ 

그리고 그 증명은 이차 상호 법칙에 대한 가우스의 첫 번째 증명을 따랐다고 말했다.

아르키메데스 국소 체가 아닌 경우, 군 *<math>K_2(F)</math>*는 예를 들어 차수가 *<math>m</math>*인 유한 순환 군과 나눗셈 군 *<math>K_2(F)^m</math>*의 직합이다.

*<math>K_2(\Z)=\Z/2</math>*이며 일반적으로 *<math>K_2</math>*는 수체의 정수환에 대해 유한하다.

또한 *<math>n</math>*이 4로 나누어지면 *<math>K_2(\Z)=\Z/2</math>*이고 그렇지 않으면 0이다.

**마츠모토 정리**에 따르면 체 *<math>k</math>*에 대해 두 번째 *<math>K</math>*군은

: K_2(k) = k^\times\otimes_{\mathbf Z} k^\times/\langle a\otimes(1-a)\mid a\not=0,1\rangle.

마츠모토의 원래 정리는 훨씬 더 일반적이다. 모든 근계에 대해 불안정한 *<math>K</math>*이론에 대한 표현을 제공한다. 이 표현은 사교 근계에 대해서만 여기에 제공된 것과 다르다. 비사교 근계의 경우 근계에 대해 불안정한 두 번째 *<math>K</math>*군은 정확히 \operatorname{GL}(A)에 대한 안정적인 *<math>K</math>*군이다. 불안정한 두 번째 *<math>K</math>*군(이 문맥에서)은 주어진 근계에 대한 보편 유형의 셰발리 군의 보편 중심 확대의 핵을 취함으로써 정의된다. 이 구조는 근계 *<math>A_n \;\forall n>1</math>*에 대한 스타인버그 확장의 핵을, 그리고 극한에서 안정적인 두 번째 *<math>K</math>*군을 생성한다*.*

#### 긴 완전열
*<math>A</math>*가 분수 *<math>F</math>*의 체를 갖는 데데킨트 정역이면 긴 완전열이 있다.

:  K_2F \rightarrow \oplus_{\mathbf p} K_1 A/{\mathbf p} \rightarrow K_1 A \rightarrow K_1 F \rightarrow \oplus_{\mathbf p} K_0 A/{\mathbf p} \rightarrow K_0 A \rightarrow K_0 F \rightarrow 0 \ 

여기서 ***<math>{\mathbf p}</math>***는 *<math>A</math>*의 모든 주 이데알에 걸쳐 있다.

상대적 *<math>K_1</math>*와 *<math>K_0</math>*에 대한 완전열의 확장도 있다.

: K_2(A) \rightarrow K_2(A/I) \rightarrow K_1(A,I) \rightarrow K_1(A) \cdots \ . 

*<math>K_1</math>*에는 *<math>K_2</math>*의 값과 짝환이 있다. *<math>A</math>*에 대한 통근 행렬 *<math>X,Y</math>*가 주어지면 *<math>X,Y</math>*를 상로 사용하여 스타인버그 군의 원소 *<math>x,y</math>*를 가져온다. 교환자 x y x^{-1} y^{-1}는 *<math>K_2</math>*의 원소이다. 사상이 항상 전사적인 것은 아니다.

## 밀너 ''K'' 이론
체 *<math>k</math>*의 *<math>K_2</math>*에 대한 위의 표현은 밀너를 다음과 같은 "고차" *<math>K</math>*군의 정의로 이끌었다.

:  K^M_*(k) := T^*(k^\times)/(a\otimes (1-a)), 

따라서 곱셈군 *<math>k^{\times}</math>* 양쪽 이데알의 텐서 대수 몫의 등급이 매겨진 부분으로서

: \left \{a\otimes(1-a): \ a \neq 0,1 \right \}.

*<math>n=0,1,2</math>*의 경우 이들은 아래의 것과 일치하지만 *n* ≥ 3의 경우 일반적으로 다르다.  예를 들어 *<math>K_n</math>*있다. *<math>K_n^M(\mathbb F_q)=0\; \forall n\geq2</math>* 이지만, 홀수 *n* 인 경우 *<math>K_n\mathbb F_q</math>*는 0이 아니다(아래 참조).

텐서 대수의 텐서 곱은 곱  K_m \times K_n \rightarrow K_{m+n}을 유도하고 등급 가환 등급 환  K^M_*(F)을 만든다.

a_1 \otimes \cdots \otimes a_n\in K^M_n(k)의 상을 *기호* \{a_1,\ldots,a_n\}라고 한다. *<math>k</math>*에서 가역적인 정수 *<math>m</math>*에 대해 다음 사상이 있다.

: \partial : k^* \rightarrow H^1(k,\mu_m) 

여기서 \mu_m는 *<math>k</math>*의 일부 분리 가능한 확장에서 *<math>m</math>* 번째 단위 근의 군을 나타낸다. 이것은 다음으로 확장된다.

: \partial^n : k^* \times \cdots \times k^* \rightarrow H^n\left({k,\mu_m^{\otimes n}}\right) \ 

밀너 *<math>K</math>*군의 정의 관계를 만족한다. 따라서 \partial^n는 K^M_n(k)에 대한 사상으로 볼 수 있다. 이를 갈루아 기호 사상이라고 한다.

블라디미르 보예보츠키에 의해 입증된 밀너 추측은 체의 에탈(또는 갈루아) 코호몰로지와 2를 법으로 하는 밀너 K-이론 사이의 관계이다. 홀수 소수에 대한 비슷한 진술은 보예보츠키, 로스트 등에 의해 증명된 블로흐-가토 추측이다.

## 고차 ''K'' 이론
고차 *<math>K</math>*군의 허용된 정의는 에 의해 제공되었으며, 몇 년 동안 양립할 수 없는 몇 가지 정의가 제안되었다. 프로그램의 목적은 *<math>R \Rightarrow\mathbf  K(R)</math>* 및 ***<math>(R,I)  \Rightarrow \mathbf K(R,I)</math>***가 함수가 되도록 공간을 분류하는 관점에서 *<math>\mathbf  K(R)</math>* 및 *<math>\mathbf  K(R,I)</math>*의 *정의를* 찾는 것이다. 공간의 호모토피 범주와 상대적인 K-군에 대한 긴 완전열은 올화 ***<math>\mathbf  K(R,I)</math>***의 긴 호모토피 완전열***<math>\mathbf  K(R,I)\rightarrow \mathbf  K(R)\rightarrow \mathbf  K(R/I)</math>***로 발생한다.

퀼런은 "+-구성"과 " *Q* -구성"의 두 가지 구성을 제공했으며 후자는 이후 다른 방식으로 수정되었다. 두 구성은 동일한 *<math>K</math>*군을 생성한다.

### +-구조
고등 대수 *<math>K</math>*환 이론의 가능한 정의 중 하나는 퀼런에 의해 제공되었다.

:  K_n(R) = \pi_n(B\operatorname{GL}(R)^+),

여기서 *<math>\pi_n</math>*은 호모토피 군이고, \operatorname{GL}(R)은 무한대로 가는 행렬의 크기에 대한 *<math>R</math>*에 대한 일반선형군의 직접 극한이고, *<math>B</math>*는 호모토피 이론의 분류 공간 구성이며, +는 퀼런의 플러스 구성이다. 그는 원래 \text{GL}_n(\mathbb{F}_q)의 군 코호몰로지를 연구하면서 이 아이디어를 발견했고, 그의 계산 중 일부는 K_1(\mathbb{F}_q)와 관련되어 있다는 것을 알았다.

이 정의는 *<math>n>0</math>*에만 적용된다. 그래서 우리는 종종 고차 대수적 *<math>K</math>*이론을 다음을 통해 정의한다.

:  K_n(R) = \pi_n(B\operatorname{GL}(R)^+\times K_0(R)) 

B\operatorname{GL}(R)^+는 경로 연결이고 K_0(R)는 이산적이므로 이 정의는 고차에서도 다르지 않으며 *<math>n=0 </math>*에도 적용된다.

### ''Q'' 구조
*Q* 구조는 +구조와 동일한 결과를 제공하지만 보다 일반적인 상황에 적용된다. 더욱이, 정의는 *Q* 구성을 통해 정의된 *<math>K</math>*군이 정의에 의해 기능적이라는 점에서 보다 직접적이다. 이 사실은 플러스 구조에서 자동적이지 않다.

P가 완전 범주라고 가정하자. P에 연관된 새로운 범주 QP가 정의되며, 그 대상은 P의 대상이다. M'에서 M*</math>로 가는 사상은 다이어그램

: <math> M'\longleftarrow N\longrightarrow M*

의 동형사상 동치류이다. 여기서 첫 번째 화살표는 허용 가능한 전사 사상이고 두 번째 화살표는 허용 가능한 단사 사상이다. QP의 사상들은 사상이X \leftarrow Z \rightarrow Y인 대응 Z \subset X \times Y으로 주어지는 모티브 범주의 사상 정의와 비슷함에 유의하라. 왼쪽의 화살표가 덮개 사상(따라서 전사)이고 오른쪽의 화살표가 단사인 도형이다. 그런 다음 이 범주는 분류 공간 구성 BQP을 사용하여 위상 공간으로 전환될 수 있다. 이는 QP*의 [[신경 (범주론)|신경]]*의 기하학적 실현으로 정의된다.  그런 다음, 완전 범주 P의 i 번째 ***<math>K</math>''군'''은 고정된 영 대상 <math>0</math>과 함께 다음과 같이 정의된다.

: <math> K_i(P)=\pi_{i+1}(\mathrm{BQ}P,0)</math>

[[준군]] <math>B\mathcal{G}</math>의 공간 분류는 호모토피 군을 1차 위로 옮기므로 에 유의하라. 즉, <math>K_i</math>의 차수 이동이 공간의 <math>\pi_{i+1}</math>가 된다.

이 정의는 위의 ''<math>K_0(P)</math>''의 정의와 일치한다. ''<math>P</math>''가 유한 생성 [[사영 가군|사영 ''R'' 가군]]의 범주인 경우 이 정의는 위의 <math>B\operatorname{GL}^+</math> 모든 ''n'' 에 대한 <math>K_n(R)</math>의 정의와 일치한다. 보다 일반적으로, [[스킴 (수학)|스킴]] ''<math>X</math>''에 대해, ''<math>X</math>''의 고차 ''<math>K</math>''군은 ''<math>X</math>''의 국소적으로 자유 [[연접층]] (의 완전 범주)의 ''<math>K</math>''군으로 정의된다.

이에 대한 다음 변형도 사용된다. 유한 생성 사영(=국소 자유) 가군은 유한 생성 가군을 사용한다. 결과 ''<math>K</math>''군은 일반적으로 ''<math>G_n(R)</math>''로 작성된다. ''<math>R</math>''이 [[뇌터 환|뇌터]] [[정칙 국소환|정칙 환]]일 때 ''<math>G</math>'' 이론과 ''<math>K</math>''이론이 일치한다. 실제로, 일반 환의 [[호몰로지 차원|대역 차원]]은 유한하다. 즉, 유한 생성 모든 가군은 유한한 사영 해결 ''P'' <sub>*</sub> → ''M'' 을 가지며 간단한 인수는 [ ''M'' ] = Σ ± [ ''P'' <sub>''n''</sub> ]와 함께 표준 사상 ''<math>K_0(R)\rightarrow G_0(R)</math>''이 [[동형 사상|동형]]임을 보여준다. 이 동형은 고차 ''<math>K</math>''군에도 확장된다.

=== ''S-''구성 ===
''<math>K</math>''이론 군의 세 번째 구성은 발트하우젠''<math>S</math>'' 구성이다. 이는 여올화가 있는 범주(발트하우젠 범주라고도 함)에 적용된다. 이것은 완전 범주보다 더 일반적인 개념이다.

== 예 ==
=== 유한체 ===
[[유한체]] <math>\mathbb F_q</math>의 K군은 다음과 같다.
:<math>\operatorname K_0(\mathbb F_q)=\mathbb Z</math>
:<math>\operatorname K_{2i}(\mathbb F_q)=0\qquad(i>0)</math>
:<math>\operatorname K_{2i-1}(\mathbb F_q)=\mathbb Z/(q^i-1)\qquad(i>0)</math>

=== 정수환 ===
[[정수|정수환]] <math>\mathbb Z</math>의 K군의 계산은 매우 어려운 문제이다.
:<math>\operatorname K_0(\mathbb Z)=\mathbb Z</math>
:<math>\operatorname K_1(\mathbb Z)=\mathbb Z/2</math>
:<math>\operatorname K_2(\mathbb Z)=\mathbb Z/2</math>
:<math>\operatorname K_3(\mathbb Z)=\mathbb Z/48</math>
:<math>\operatorname K_4(\mathbb Z)</math> = 0
이나 일반적인 경우에 대해서는 추측만 있다.

퀼런 대수 ''<math>K</math>''이론이 대수 기하학 및 위상 수학의 다양한 측면에 대한 깊은 통찰을 제공하는 동안 ''<math>K</math>''군은 고립되어 있지만 흥미로운 몇 가지 경우를 제외하고는 특히 계산하기 어려운 것으로 입증되었다. (참조: [[필드의 K-그룹|체의 K-군]])

=== 대수적 ''K'' -유한 체 군 ===
환의 고차 대수적 ''<math>K</math>''군의 첫 번째이자 가장 중요한 계산 중 하나는 [[유한체|유한 체]]의 경우에 대해 퀼런 자신이 수행했다.

***\mathbb F_q***가 ''q'' 원소가 있는 유한 체일 때:

* ***K_0(\mathbb F_q)=\Z***.
* ***K_{2i}(\mathbb F_q)=0 \;\forall i\geq 1***.
* ***K_{2i-1}(\mathbb F_q)=\Z/(q'-1)\Z \;\forall i\geq 1***.

퀼런은 ''<math>A</math>''가 [[대수적 수체]] ''<math>F</math>''(유리수의 유한 확장)에서  [[대수적 정수환]]인 경우 ''<math>A</math>''의 대수적 ''<math>K</math>''군이 유한하게 생성됨을 증명했다. [[아르망 보렐]]은 이를 사용하여 꼬임을 법으로 ''<math>K_i(A), K_i(F)</math>''를 계산했다. 예를 들어, 정수 ***\Z***에 대해 보렐은 (꼬임을 법으로)

* 양수 k에 대해 i''=4k+1''이 아닌 양수 ''i''에 대해 ***K_{i}(\Z)/\text{tors.}=0***
* ***K_{4k+1}(\Z)/\text{tors.}=\Z \;\forall k>0***.

***K_{2i+1}(\Z)***의 꼬임 부분 군과 유한 군 ***K_{4k+2}(\Z)***의 차수는 최근에 결정되었지만 후자의 군이 주기적인지 여부와 군 ***K_{4k}(\Z)**'' 소멸은 원분 정수의 유군에 대한 Vandiver의 추측에 따라 달라진다. 자세한 내용은 퀼런-리히텐바움 추측을 참조.

== 응용과 미해결 문제 ==
대수 ''<math>K</math>''군은 [[L-함수의 특별한 값|L-함수의 특수 값]]에 대한 추측과 [[Non-commutative main conjecture of Iwasawa theory|이와사와 이론의 비가환적 주요 추측]] 공식화 및 [[디리클레 가역원 정리|고차 조절자]] 구성에 사용된다.

파신의 추측은 유한 체에 대한 매끄러운 다형체에 대한 고차 대수적 ''<math>K</math>''군에 관한 것이며, 이 경우 군이 꼬임까지 사라진다고 말한다.

[[하이먼 배스]]의 또 다른 근본적인 추측( 배스' 추측 )은 ''<math>A</math>''가 유한 생성 ''<math>\Z</math>'' 대수일 때 모든 군 )''<math>G_n(A)</math>''가 유한 생성다고 말한다. (군 ''<math>G_n(A)</math>''는 유한 생성 ''<math>A</math>''-가군 범주의 ''<math>K</math>''군이다.)

== 역사 ==
<math>K</math>이론의 역사는 바이벨이 자세히 설명했다.

[[K이론]]의 시초는 [[알렉산더 그로텐디크]]에 의한 [[그로텐디크-리만-로흐 정리]]의 증명으로 여겨진다 (1956년). 곧 1950년대 말에 [[마이클 아티야]]와 [[프리드리히 히르체브루흐]]는 이를 위상 공간 위의 유한 차원 [[벡터 다발]]에 적용하여 [[위상 K이론]]을 개발하였다.

[[세르-스완 정리]]에 따라, [[가환환]] 위의 "유한 차원 벡터 다발"은 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[사영 가군]]이다. 이를 사용하여, 1962년에 [[하이먼 배스]]와 [[스티븐 섀뉴얼]]이 [[환 (수학)|환]]의 0차·1차 K군을 엄밀히 정의하였다. 2차 K군의 정의는 [[존 밀너]]가 1970년에 발견하였다. 밀너는 이 구성을 고차 <math>n</math>에 대하여 일반화하였는데, 이를 [[밀너 K군]]이라고 한다. 그러나 고차 밀너 K군은 고차 K군과 일반적으로 다르다.

고차 K군의 올바른 정의는 [[대니얼 퀼런]]이 1970년대 초에 발견하였다. 퀼런은 플러스 구성과 Q-구성을 정의하였으며, 두 구성이 서로 일치함을 증명하였다.

이후 1985년에 프리트헬름 발트하우젠(, 1938~)이 퀼런 Q-구성을 [[호모토피 이론]]적으로 일반화한 S-구성을 발표하였다.

=== 그로텐디크 군 ''K'' <sub>0</sub> ===
19세기에 [[베른하르트 리만]]과 그의 학생 [[구스타프 로흐]]는 현재 [[리만-로흐 정리]]로 알려진 것을 증명했다. <math>X</math>가 리만 곡면이면 <math>X</math>의 [[유리형 함수|사상 함수]]와 사상 미분 [[미분 형식|형식]]의 집합은 선형 공간을 형성한다. <math>X</math>의 [[선다발|선 다발]]은 이러한 선형 공간의 부분 공간을 결정하며, <math>X</math>가 사영인 경우 이러한 부분 공간은 유한 차원이다. 리만-로흐 정리에 따르면 이러한 부분 공간 간의 차원 차이는 선 다발의 차수(꼬인 정도 측정)에 1에서 <math>X</math>의 속을 뺀 값과 같다. 20세기 중반에, 리만-로흐 정리는 [[프리드리히 히르체브루흐|프리드리히 히르제브루흐]]에 의해 모든 대수적 다형체로 일반화되었다. 히르체부르흐의 공식화인 [[히르체브루흐-리만-로흐 정리|히르체부르흐–리만-로흐 정리]]에서 정리는 [[오일러 지표|오일러 특성]]에 대한 진술이 되었다. 선형 다발의 [[특성류]]에서 오는 보정 계수를 더한 자명한 다발의 이는 사영 리만 곡면에서 선 다발의 오일러 특성이 앞에서 언급한 차원의 차이와 같고, 자명한 다발의 오일러 특성은 1에서 종수를 뺀 값이고, 유일한 중요하지 않은 특성류는 차수이기 때문에 일반화이다.

<math>K</math>이론의 주제는 히르제브루흐 정리의 일반화인 [[그로텐디크-리만-로흐 정리]]에 등장한 [[알렉산더 그로텐디크]]의 1957년 구성에서 이름을 따왔다. ''<math>X</math>를'' 매끄러운 대수적 다형체라고 하자. <math>X</math>의 각 선형 다발에 대해 그로텐디크는 불변량인 클래스를 연결한다. <math>X</math>의 모든 클래스 집합은 독일어 ''Klasse''에서 따와 <math>K(X)</math>라고 불렀다. 정의에 따르면, <math>K(X)</math>는 ''<math>X</math>''에 대한 선형 다발의 동치류에 대한 자유 아벨 군의 몫이므로 아벨 군이다. 선형 다발 ''<math>V</math>''에 해당하는 기저 원소가 ''<math>[V]</math>''로 표시된 경우 선형 다발의 각각의 짧은 완전열에 대해:

: <math>0 \to V' \to V \to V'' \to 0,</math>

그로텐디크는 ''<math>[V]=[V']+[V'']</math>'' 관계를 부과했다. 이러한 생성원과의 관계는 <math>K(X)</math>를 정의하며 완전열와 호환되는 방식으로 선형 다발에 불변량을 할당하는 보편적인 방법임을 암시한다.

그로텐디크는 리만-로흐 정리가 다형체 자체가 아니라 다형체의 사상에 대한 진술이라는 관점을 취했다. 그는 [[천 특성류]]와 ''<math>X</math>''의 [[토드 특성류]]에서 오는 ''<math>X</math>''의 [[저우 환|저우 군]]에 대한 <math>K(X)</math>의 동형이 있음을 증명했다. 또한, 그는 적절한 사상 ''<math>f:X\rightarrow Y</math>'' 에서 매끄러운 다형체 <math>Y</math>로 동형  ''<math>f^*:K(X)\rightarrow K(Y)</math>''를 결정한다. 이는 ''앞으로 밂''이라고 한다. 이는 ''<math>X</math>''의 선형 다발에서 <math>Y</math>의 저우 군에 있는 원소를 결정하는 두 가지 방법을 제공한다. ''<math>X</math>''에서 시작하여 먼저 <math>K</math>이론에서 앞으로 밂을 계산한 다음 천 특성와 <math>Y</math>의 토드 특성류를 적용하거나 먼저 천 특성와 ''<math>X</math>''의 토드 특성류를 적용한 다음 저우 군에 대한 앞으로 밂을 계산한다. 그로텐디크-리만-로흐 정리는 이들이 같다고 말한다. <math>Y</math>가 점이면 선형 다발은 선형 공간이고 선형 공간의 클래스는 선형 공간의 차원이며 그로텐디크-리만-로흐 정리는 히르체부르흐 정리에 특화되어 있다.

군 <math>K(X)</math>는 이제 <math>K_0(X)</math>로 알려져 있다. 사영 가군로 선형 다발을 대체할 때 <math>K_0</math>은 또한 비유환 환에 대해 정의되었으며, 여기에서 [[군의 표현|군 표현]]에 적용할 수 있다. [[마이클 아티야|아티야]]와 히르체부르흐는 그로텐디크의 구성을 위상으로 신속하게 전송하고 [[위상 K이론|위상 K-이론]]을 정의하는 데 사용했다. 위상 <math>K</math>이론은 [[코호몰로지|놀라운 코호몰로지 이론]]의 첫 번째 예 중 하나이다. 정규화 공리를 제외한 모든 [[에일렌베르크-스틴로드 공리]]를 만족하는 군 <math>K_n(X)</math>의 열을 각 위상 공간 ''<math>X</math>'' (약간의 기술적 제약을 충족)에 연결한다. 그러나 대수적 다형체의 설정은 훨씬 더 엄격하며 위상 수학에서 사용되는 유연한 구조는 사용할 수 없다. 군 <math>K_0</math>은 대수적 다형체과 비가환 환의 코호몰로지 이론의 시작이 되기 위해 필요한 성질을 만족하는 것처럼 보였지만, 고차 <math>K_n(X)</math>에 대한 명확한 정의는 없었다. 그러한 정의가 개발되더라도 제한 및 접착을 둘러싼 기술적 문제로 인해 일반적으로 <math>K_n</math> 다형체이 아닌 환에 대해서만 정의되었다.

=== ''K''<sub>0</sub>, ''K''<sub>1,</sub> ''K''<sub>2</sub> ===
군환에 대한 <math>K_1</math>과 밀접한 관련이 있는 군은 이전에 [[존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드|J. 화이트헤드]]에 의해 도입되었다. [[앙리 푸앵카레]]는 삼각 분할 측면에서 다양체의 베티 수를 정의하려고 시도했다. 그러나 그의 방법에는 심각한 차이가 있었다. 푸앵카레는 다양체의 두 삼각 분할이 항상 동일한 베티 수를 생성한다는 것을 증명할 수 없었다. 베티 수는 삼각 분할을 세분화하여 변경되지 않았으며, 따라서 공통 세분화를 공유하는 두 삼각 분할은 모두 동일한 베티 수를 가짐이 분명했다. 알려지지 않은 것은 임의의 두 삼각분할이 공통 세분화를 허용한다는 것이다. 이 가설은 ''Hauptvermutung'' (대략 "주요 추측"이라는 뜻)으로 알려진 추측이 되었다. 삼각 분할이 세분화 하에서 안정적이라는 사실은 [[존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드|화이트헤드]]가 단순 호모토피 유형의 개념을 도입하도록 이끌었다. 단순 호모토피 동치는 각각의 추가 단체 또는 세포 변형이 이전 공간의 세분으로 축소되는 방식으로 단순 복합체 또는 [[CW 복합체|세포 복합체]]에 [[단체 복합체]] 또는 세포를 추가하는 측면에서 정의된다. 이 정의에 대한 동기의 일부는 삼각분할의 세분은 원래 삼각분할과 동일한 단순 호모토피이므로 공통 세분을 공유하는 두 삼각 분할은 단순 호모토피 동치여야 한다는 것이다. 화이트헤드는 비틀림이라고 하는 불변량을 도입하여 단순 호모토피 동치가 호모토피 동치보다 더 세밀한 불변임을 증명했다. 호모토피 동치의 비틀림은 현재 ''화이트헤드 군''이라고 하는 군에서 값을 가지며 <math>\text{Wh}(\pi)</math>로 표시된다. 여기서 <math>\pi</math>는 두 복합체의 기본 군이다. 화이트헤드는 자명하지 않은 비틀림의 예를 발견하여 일부 호모토피 동치성이 단순하지 않음을 증명했다. 화이트헤드 군은 나중에 <math>K_1(\Z\pi)</math>의 몫인 것으로 밝혀졌다. 여기서 <math>\Z\pi</math><math>\Z \pi</math>는 <math>\pi</math>의 정수 [[군환]]이다. 나중에 [[존 밀너]]는 주요 추측(Hauptvermutung)을 반증하기 위해 화이트헤드 비틀림과 관련된 불변량인 [[라이데마이스터 비틀림]]을 사용했다.

환의 <math>K_1</math>에 대한 최초의 적절한 정의는 [[하이먼 배스]]와 [[스티븐 섀뉴얼]]에 의해 만들어졌다. 위상 ''<math>K</math>'' 이론에서 <math>K_1</math>은 공간의 [[현수 (위상수학)|현수]]에 있는 선형 다발을 사용하여 정의된다. 이러한 모든 선형 다발은 공간의 두 절반에 있는 두 개의 자명한 선형 다발이 공간의 공통 띠를 따라 접착되는 클러칭 구성에서 나온다. 이 접착 데이터는 [[일반선형군]]을 사용하여 표현되지만 기본 행렬(기본 행 또는 열 작업에 해당하는 행렬)에서 나오는 해당 군의 원소는 동등한 접착을 정의한다. 이에 동기를 부여하여 환 ''<math>R</math>''의 <math>K_1</math>에 대한 배스-섀뉴얼의 정의 ''<math>\text{GL}(R)/E(R)</math>''이며, 여기서 ''<math>\text{GL}(R)</math>''은 무한 일반 선형 군(모든 ''<math>\text{GL}_n(R)</math>''의 [[합집합]])이고 ''<math>E(R)</math>''는 기본 행렬의 부분 군이다. 그들은 또한 환의 동형에 대한 <math>K_0</math>의 정의를 제공하고 <math>K_0</math>과 <math>K_1</math>이 상대적인 호몰로지 정확한 서열과 비슷한 정확한 서열에 함께 맞을 수 있음을 증명했다.

이 기간의 ''<math>K</math>''이론 작업은 배스의 책 ''Algebraic'' K ''이론'' 에서 최고조에 달했다. 당시 알려진 결과에 대한 일관된 설명을 제공하는 것 외에도 배스는 정리의 많은 진술을 개선했다. 특히 주목할 점은 배스가 무티와의 초기 작업을 기반으로 현재 **대수  이론의 기본 정리*'로 알려진 것의 첫 번째 증명을 제공했다는 것이다. 이것은 환 *R*의 <math>K_0</math>을 *R*의 <math>K_1</math>, [[다항식]] 환 *R[t]*및 국소화 *R[t,t^{-1}]*과 관련시키는 4항 완전열이다. 배스는 이 정리가 <math>K_1</math>의 관점에서 <math>K_0</math>에 대한 설명을 제공한다는 것을 인식했다. 이 설명을 재귀적으로 적용하여 음수 <math>K</math>군 <math>K_{-n}(R)</math>을 생성했다. 독립적인 작업에서 막스 카루비는 특정 범주에 대해 음의 <math>K</math>군에 대한 또 다른 정의를 제공하고 그의 정의가 배스와 동일한 군을 산출함을 증명했다.

이 주제의 다음 주요 발전은 <math>K_2</math>의 정의와 함께 이루어졌다. 스타인버그는 체에 대한 셰발리 군의 보편적 중심 확대를 연구하고 생성자와 관계 측면에서 이 군을 명시적으로 제시했다. 기본 행렬의 군 <math>E_n(k)</math>의 경우, 보편 중심 확대는 이제 <math>\text{St}_n(k)</math>로 쓰여지고 *스타인버그 군*이라고 불린다. 1967년 봄에 [[존 밀너]]는 <math>K_2(R)</math>을 동형사상 <math>\text{St}(R)\rightarrow E(R)</math>의 핵심으로 정의했다. 군 <math>K_2</math>는 <math>K_1</math>과 <math>K_0</math>에 대해 알려진 완전열의 일부를 더 확장했으며 정수론에 놀라운 응용을 가졌다. 히데야 마츠모토의 1968년 논문은 체 *F* 에 대해 <math>K_2(F)</math>가 다음과 동형임을 보여주었다.

: <math>F^\times \otimes_{\mathbf{Z}} F^\times / \langle x \otimes (1 - x) \colon x \in F \setminus \{0, 1\} \rangle.</math>

이 관계는 [[국소체]]에 대한 2차 방정식의 해결 가능성을 나타내는 [[힐베르트 기호]]로도 충족된다. 특히 [[존 테이트]]는 <math>K_2(\Q) </math>가 본질적으로 [[이차 상호 법칙]]을 중심으로 구조화되어 있음을 증명할 수 있었다.

=== 고차 *K*군 ===
1960년대 말과 1970년대 초에 고차 *K*이론에 대한 몇 가지 정의가 제안되었다. 스완과 게르스텐은 모두 모든 *n*에 대한 *K_n*의 정의를 만들었고 게르스텐은 그의 이론과 스완의 이론이 동등하다는 것을 증명했지만 두 이론이 모든 예상 성질 *을* 만족시키는 것으로 알려지지 않았다. Nobile과 빌라메이어는 또한 고차 *K*군의 정의를 제안했다. 카루비와 빌라메이어는 모든 *n*에 대해 얌전한 *K*군을 정의했지만 <math>K_1</math>에 해당하는 군은 때때로 배스-섀뉴얼 <math>K_1</math>의 적절한 몫이었다. 그들의 *K*군은 이제 *KV_n*이라 불리며 *K*이론의 호모토피 불변 수정과 관련이 있다.

부분적으로 마츠모토의 정리에서 영감을 받아 밀너는 체의 상위 *K*군에 대한 정의를 만들었다. 그는 자신의 정의를 "순전히 *임시방편* "으로 언급했으며 모든 환에 일반화되는 것처럼 보이지 않았고 고차 *K*체 이론의 올바른 정의인 것처럼 보이지도 않았다. 훨씬 후에 네스터렌코와 수슬린 그리고 토타로에 의해 밀너 *K*이론이 실제로 체의 진정한 *K*이론의 직접 요약이라는 것을 발견했다. 구체적으로, *K*군은 *가중치 여과*라는 여과를 가지며, 체의 밀너 *K*이론은 *K*이론 중 가장 높은 가중치 등급 조각이다. 또한 토마슨은 일반적인 다형체에 대한 밀너 *K*이론의 유사성이 없다는 것을 발견했다.

널리 받아들여지는 고차 *K*이론의 첫 번째 정의는 [[대니얼 퀼런]]의 정의였다. 위상 수학의 [[J-준동형|아담스 추측]]에 대한 퀼런의 작업의 일부로, 그는 [[분류 공간]] <math>B\operatorname{GL}(\mathbb F_q)</math>에서 의 호모토피 올로 사상을 구성했다. 여기서 *ψ* <sup>*q*</sup> 는 분류 공간 *BU*에 작용하는 *q* 번째 아담스 연산이다. 이 사상은 비순환적이며 <math>B\operatorname{GL}(\mathbb F_q)</math>을 약간 수정하여 새로운 공간 <math>B\operatorname{GL}(\mathbb F_q)^+</math>를 생성한 후 사상은 호모토피 동치가 되었다. 이 수정을 플러스 구성이라고 한다. 아담스 연산은 그로텐디크의 작업 이후 천 특성류 및 *K*이론과 관련이 있는 것으로 알려졌으므로 퀼런은 *R* 의 *K*이론을 <math>B\operatorname{GL}(R)^+</math>의 호모토피 군으로 정의하게 되었다. 이것은 <math>K_1</math>과 <math>K_2</math>를 복구했을 뿐만 아니라, *K*이론과 아담스 연산의 관계로 인해 퀼런은 유한 체의 *K*군을 계산할 수 있었다.

분류 공간 *B\operatorname{GL}*이 연결되어 있으므로 퀼런의 정의는 <math>K_0</math>에 대한 올바른 값을 제공하지 못했다. 또한 음수 *K*군도 제공하지 않았다. <math>K_0</math>이 알려지고 수용된 정의를 가지고 있기 때문에 이 어려움을 피할 수 있었지만 여전히 기술적으로 어색했다. 개념적으로 문제는 정의가 전통적으로 <math>K_1</math>의 소스인 *\operatorname{GL}*에서 파생되었다는 것이다. *\operatorname{GL}*은 선형 다발 자체가 아니라 접착 선형 다발에 대해서만 알고 있기 때문에 <math>K_0</math>을 설명하는 것이 불가능했다.

퀼런과의 대화에서 영감을 얻은 세갈은 곧 *\Gamma*-대상이라는 이름으로 대수 *K*이론을 구성하는 또 다른 접근 방식을 도입했다. 세갈의 접근 방식은 그로텐디크의 <math>K_0</math> 구성의 호모토피 버전이다. 그로텐디크가 다발의 동치류로 작업한 것을 세갈은 다발 자체로 작업하고 다발의 동형을 데이터의 일부로 사용했다. 그 결과 호모토피 군이 고차 *K*군(<math>K_0</math> 포함)인 [[스펙트럼 (위상수학)|스펙트럼]]이 생성된다. 그러나 세갈의 접근 방식은 일반적인 완전열이 아니라 분할된 완전열에 대한 관계만 부과할 수 있었다. 환 위의 사영 가군 범주에서 모든 짧은 완전열이 분할되므로 *\Gamma*대상를 사용하여 환의 *K*이론을 정의할 수 있다. 그러나 다양한 선형 다발 범주와 환 위의 모든 가군 범주에는 분할되지 않은 짧은 완전열가 있으므로 세갈의 접근 방식은 모든 관심 사례에 적용되지 않았다.

1972년 봄, 퀼런은 엄청난 성공을 거둔 고차 *K*이론의 구성에 대한 또 다른 접근법을 발견했다. 이 새로운 정의는 가군 또는 선형 다발의 범주에 의해 충족되는 성질과 비슷하지만 약간 약한 특정 형식 성질을 충족하는 범주인 [[퀼런 완전 범주|완전 범주]]로 시작되었다. 이것으로부터 그는 "*Q*-구성"이라는 새로운 장치를 사용하여 보조 범주를 구성했다. 세갈의 *\Gamma* 대상과 마찬가지로 *Q*-구성은 그로텐디크의 <math>K_0</math>의 정의에 뿌리를 두고 있다. 그러나 그로텐디크의 정의와 달리 *Q* -구조는 아벨 군이 아닌 범주를 만들고 세갈의 *\Gamma*-대상과 달리 *Q* -구조는 짧은 완전열로 직접 작동한다. *C가* 아벨 범주인 경우 *QC는* *C* 와 동일한 대상이 있지만 사상이 *C*의 짧은 완전열로 정의되는 범주이다. 완전 범주의 *K*군은 [[단체 집합|기하학적 실현]]의 [[고리 공간|루프 공간]]인 *\Omega BQC*의 호모토피 군이다(루프 공간을 취하면 첨자가 수정됨). 퀼런은 *K*이론에 대한 그의 두 가지 정의가 서로 일치한다는 그의 " 정리"를 추가로 증명했다. 이것은 올바른 <math>K_0</math>를 산출하고 더 간단한 증명으로 이어졌지만 여전히 음의 *K*군을 산출하지 못했다.

모든 아벨 범주는 완전 범주이지만 모든 완전 범주가 아벨 범주는 아니다. 퀼런은 이 보다 일반적인 상황에서 작업할 수 있었기 때문에 완전 범주를 증명 도구로 사용할 수 있었다. 이 기술을 통해 그는 대수적 *K* 이론의 많은 기본 정리를 증명할 수 있었다. 또한 스완과 게르스텐의 이전 정의가 특정 조건에서 퀼런의 정의와 동일함을 증명하는 것이 가능했다.

*K*이론은 이제 환에 대한 호몰로지 이론과 다형체에 대한 코호몰로지 이론으로 나타났다. 그러나 많은 기본 정리는 문제의 환 또는 다형체가 규칙적이라는 가설을 가지고 있다. 기본적으로 예상되는 관계 중 하나는 다양한 *X* 및 열린 부분 집합 *U*의 *K*이론과 관련된 긴 완전열("국소화 열"라고 함)였다. 퀼런은 완전히 일반적으로 국소화 열의 존재를 증명할 수 없었다. 그러나 그는 *G*이론(또는 때때로 *K*이론)이라는 관련 이론에 대한 존재를 증명할 수 있었다. *G*이론은 그로텐디크에 의해 주제 발전 초기에 정의되었다. 그로텐디크는 다양한 *X*에 대해 *X*에 대한 연접층의 동치류에 대한 자유 아벨 군, 연접층의 완전열에서 오는 가군으로 관계에 대해 *G_0(X)*를 정의했다. 후기 수학자들에 의해 채택된 범주론적 틀에서 다형체의 *K*이론은 선형 다발 범주의 *K*이론인 반면, *G* 이론은 연접층 범주의 *K*이론이다. 퀼런은 *G* 이론에 대한 국소화 완전열의 존재를 증명할 수 있었을 뿐만 아니라 일반 환 또는 다형체의 경우 *K*이론이 *G* 이론과 동일하므로 일반 다형체의 *K*이론이 국소화 완전열를 가짐을 증명할 수 있었다. 이 순서는 주제의 많은 사실에 기본이 되었기 때문에 규칙성 가설은 고차 *K*이론에 대한 초기 작업에 널리 퍼졌다.

=== 위상 수학에서 대수 *K*이론의 응용 ===
대수적 *K*이론을 위상 수학에 가장 먼저 적용한 것은 화이트헤드의 화이트헤드 비틀림 구성이었다. 밀접하게 관련된 구조는 1963년 [[찰스 테런스 클레그 월]]에 의해 발견되었다. 월은 유한 복소수에 의해 지배되는 공간 *\pi*가 <math>K_0(\Z\pi)</math>의 몫에서 값을 갖는 일반화된 오일러 특성을 갖는다는 것을 발견했다. 여기서 *\pi*는 공간의 기본 군이다. 이 불변량은 *Wall's finiteness obstruction*이라고 불린다. 왜냐하면 *X*는 불변량이 사라지는 경우에만 유한 복소수와 동등한 호모토피이기 때문이다. 로랑 지벤만은 자신의 논문에서 경계가 있는 콤팩트 다양체의 내부인 열린 다양체에 장애물을 제공하는 월과 비슷한 불변량을 발견했다. 경계가 *M* 및 *N*인 두 다양체가 동형 내부(적절한 경우 TOP, PL 또는 DIFF에서)를 갖는 경우 이들 사이의 동형사상은 *M*과 *N* 사이의 *h* -보충 경계를 정의한다.

화이트헤드 비틀림은 결국 보다 직접적인 *K*이론적 방식으로 재해석되었다. 이러한 재해석은 [[H-보충 경계|*h* -보충 경계]] 연구를 통해 이루어졌다. 경계가 *M*과 *N*의 서로소 합집합이고 *W*에 대한*M*과 *N*의 포함이 호모토피 동치인 경계 *W*를 가진 (n + 1)차원 다양체가 존재한다면, n차원 다양체 *M*과 *N*은 h-cobordant이다.이다.(TOP, PL 또는 DIFF 범주에서). [[스티븐 스메일]]의 *h* -보충 경계 정리는 *n\geq 5*, *W*가 콤팩트하고 *M*, *N* 및 *W*가 단순히 연결된 경우 *W*는 원통 *M\times[0,1]*과 동형이라고 주장했다(TOP에서, PL 또는 DIFF 중 적절함). 이 정리는 *n\geq 5*에 대한 [[푸앵카레 추측]]을 증명했다.

*M*과 *N*이 단순 연결되어 있다고 가정하지 않으면 *h* -보충 경계는 원통일 필요가 없다. 독립적으로 마주르, Stallings 및 바르덴에 의한 *s-*보충 경계 정리는 일반적인 상황을 설명한다. *h* -보충 경계는 포함 관계 *M\subset W*의 화이트헤드 비틀림이 사라질 때, 그리고 그 때에만 원통이다. 이것은 단순 연결성 가설이 관련 화이트헤드 군이 자명하다는 것을 암시하기 때문에 *h* -보충 경계 정리를 일반화한다. 사실 *s* -보충 경계 정리는 *h* -보충 경계의 동치류와 화이트헤드 군의 원소 사이에 전단사 대응이 있음을 의미한다.

*h* -보충 경계의 존재와 관련된 명백한 질문은 그들의 고유성이다. 등가의 자연스러운 개념은 동위 [[호모토피|원소]]이다. 진 세르프는 차원이 최소 5인 *M*차원의 단순하게 연결된 매끄러운 다양체에 대해 *h* -보충 경계의 동위 원소는 준등방성이라는 약한 개념과 같다는 것을 증명했다. 해쳐와 Wagoner는 유사 동위원소 공간의 구성 원소를 연구하고 이를 <math>K_0(\Z\pi)</math>의 몫과 연관시켰다.

*s* -보충 경계 정리에 대한 적절한 문맥은 *h* -보충 경계의 분류 공간이다. *M*이 CAT 다양체이면 *H* <sup>CAT</sup> ( *M* )은 *M*에서 *h* -보충 경계의 다발을 분류하는 공간이다. *s* -보충 경계 정리는 이 공간의 연결된 구성원소 집합이*\pi_1(M)*의 화이트헤드 군이라는 진술로 재해석될 수 있다. 이 공간에는 화이트헤드 군보다 더 많은 정보가 포함되어 있다. 예를 들어, 자명한 보충 경계의 연결된 구성 원소는 *M*의 가능한 원통을 설명하고 특히 다양체와 *M\times[0,1]* 사이의 호모토피의 유일성을 방해한다. 이러한 질문에 대한 고려를 통해 발트하우젠은 공간에 대한 대수적 *K*이론을 도입했다. *M*의 대수적 *K*이론은 <math>K_1(\Z\pi_1(M))</math>이 *M*에 대해 수행하는 것과 본질적으로 고차 *K*군에 대해 동일한 역할을 수행하도록 정의되는 공간 *A(M)*이다. 특히, 발트하우젠은 사상 *K_1(\Z\pi_1(M))\rightarrow \text{Wh}(\pi_1(M))*일반화 하고 이의 호모토피 올이 호몰로지 이론이다.

*A* 이론을 완전히 발전시키기 위해 발트하우젠은 *K*이론의 토대에서 상당한 발전을 이루었다. 발트하우젠은 발트하우젠 범주를 도입했고 발트하우젠 범주 *\mathcal C*에 대해 그는 *\mathcal C*에서 여올화 사슬로 정의된 간단한 범주 *\mathcal S.\mathcal C* (*\mathcal S*는 세갈을 나타냄)를 도입했다. 이것은 완전열의 아날로그를 불러올 필요로부터 *K*이론의 기초를 해방시켰다.

=== 대수적 *K* 이론에서의 대수적 위상 수학와 대수 기하학 ===
퀼런은 그의 학생인 케네스 브라운에게 *K*이론이 예를 제공할 [[스펙트럼 (위상수학)|스펙트럼]] [[층 (수학)|층]] 이론을 만드는 것이 가능할 것이라고 제안했다. *K*이론 스펙트럼 층은 다양한 열린 [[부분집합|부분 집합]] 각각에 해당 열린 부분 집합의 *K*이론을 연관시킨다. 브라운은 그의 논문을 위해 그러한 이론을 발전시켰다. 동시에 게르스텐도 같은 생각을 가지고 있었다. 1972년 가을 시애틀 회의에서 그들은 <math>\mathcal K_n</math>의 층 코호몰로지에서 수렴하는 [[스펙트럼 열]]을 함께 발견했다. 전체 공간의 *K*군에 대한 *X*의 *K_n*군의 층. 이것은 현재 [[Brown–Gersten spectral sequence|브라운–게르스텐 스펙트럼 열]]라고 한다.

*K*군의 층에 대한 게르스텐의 작업에 영향을 받은 스펜서 블로흐는 규칙적인 곡면에서 코호몰로지 군 <math>H^2(X, \mathcal K_2)</math>이 *X*에서 여차원 2인 순환의 저우 군 <math>CH^2(X)</math>와 동형이다. 이에 영감을 받아 게르스텐은 [[분수체]] *F*가 있는 [[정칙 국소환|정칙 국소 환]] *R*에 대해 *K_n(R)*이 모든 *n*에 대해 *K_n(F)*에 삽입된다고 추측했다. 곧 퀼런은 *R*이 체를 포함할 때 이것이 사실임을 증명했고 이를 사용하여 모든 *p*에 대해 다음을 증명했다.

: <math>H^p(X, \mathcal K_p) \cong \operatorname{CH}^p(X)</math>

이것은 *블로흐의 공식*으로 알려져 있다. 그 이후로 게르스텐의 추측에 진전이 있었지만 일반적인 경우는 여전히 미해결이다.

리히텐바움은 숫자 체의 제타 함수의 특수 값이 체의 정수 환의 *K*군으로 표현될 수 있다고 추측했다. 이러한 특별한 값은 정수 환의 [[에탈 코호몰로지]]와 관련이 있는 것으로 알려져 있다. 따라서 퀼런은 리히텐바움의 추측을 일반화하여 위상 *K*이론에서 아티야-히르체부르흐 스펙트럼 열과 같은 스펙트럼 열의 존재를 예측했다. 퀼런이 제안한 스펙트럼 열은 환 *R*의 에탈 코호몰로지에서 시작하여 *R*의 *K*이론의 -adic 완성에 접하는 *R*에서 반전할 수 있는 소수 에서 완료한 후 충분히 높은 각도에서 시작한다. 리히텐바움이 연구한 사례에서 스펙트럼 열은 퇴화하여 리히텐바움의 추측을 산출한다.

소수 에 국한해야 할 필요성은 브로우더에게 유한 계수가 있는 *K*이론의 변형이 있어야 한다고 제안했다. 그는 *\Z/l\Z* 선형 공간인 *K*이론 군 *K_n(R;\Z/l\Z)*를 도입했으며 위상 *K*이론에서 보트 원소의 아날로그를 발견했다. Soule은 이 이론을 사용하여 대수 *K*이론의 원소를 [[에탈 코호몰로지]]의 동치류로 가져간 위상 수학 천 특성류의 아날로그인 "에탈 [[천 특성류]]"를 구성했다. 대수적 *K*이론과 달리, 에탈 코호몰로지는 계산 가능성이 높으므로 에탈 천 특성류는 *K*이론의 원소 존재를 감지하는 데 효과적인 방법을 제공했다. 윌리엄 G. 드와이어와 에릭 프리드랜더는 에탈 *K*이론이라는 에탈 위상 수학를 위한 *K*이론을 발명했다. 복소수에 대해 정의된 다형체의 경우, 에탈 *K*이론은 위상 *K*이론과 동형이다. 더욱이 에탈 *K*이론은 퀼런이 추측한 것과 비슷한 스펙트럼 열를 인정했다. 토마슨은 1980년경 보트 원소를 뒤집은 후 유한 계수를 갖는 대수 *K*이론이 에탈 *K*이론과 동형이 된다는 것을 증명했다.

1970년대와 1980년대 초반에 걸쳐 단수 다형체에 대한 *K* 이론은 여전히 충분한 토대가 부족했다. 퀼런의 *K-* 이론이 올바른 군을 제공한다고 믿었지만 이러한 군이 예상되는 성질을 모두 가지고 있는지는 알려지지 않았다. 이를 위해 대수 *K*이론을 재구성해야 했다. 이것은 토마슨이 그의 죽은 친구 토마스 트로바우에게 공동 공로를 인정한 긴 논문에서 이루어졌다. 그는 꿈에서 그에게 핵심 아이디어를 주었다고 말했다. 토마슨은 발트하우젠의 *K*이론 구성을 그로텐디크의 Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 6권에 설명된 교차 이론의 기초와 결합했다. 거기에서 *K_0*은 대수적 다형체에 대한 다발의 복소수로 설명되었다. 토마슨은 층들의 [[유도 범주]]에서 작업하는 경우 다발의 복합체이 다형체의 열린 부분 집합에서 전체 다형체로 확장될 수 있는 경우에 대한 간단한 설명이 있음을 발견했다. 발트하우젠의 *K*이론 구성을 유도 범주에 적용함으로써 토마슨은 대수적 *K*이론이 코호몰로지 이론의 모든 예상 성질을 가짐을 증명할 수 있었다.

1976년에 케이스 데니스는 [[호흐실트 호몰로지]]를 기반으로 *K*이론을 계산하는 완전히 새로운 기술을 발견했다. 이것은 *K*이론에서 호흐실트 호몰로지에 이르는 동형사상인 데니스 대각합 사상의 존재를 기반으로 한다. 데니스 대각합 사상은 유한 계수가 있는 *K*이론의 계산에 성공한 것처럼 보였지만 합리적인 계산에는 덜 성공적이었다. 굿윌리는 그의 "함수 계산법"에 동기를 부여받아 *K*이론과 호흐실트 상동론의 중간 이론의 존재를 추측했다. 그는 이 이론을 위상 수학적 호흐실트 호몰로지이라고 불렀는데, 그 이유는 그것의 그라운드 환이 구형 스펙트럼이어야 하기 때문이다(호모토피를 기준으로 연산이 정의되는 환으로 본다). 1980년대 중반에 복스테트는 거의 모든 굿윌리의 추측 성질을 만족시키는 위상학적 호흐실트 호몰로지를 정의했으며, 이는 *K*군의 추가 계산을 가능하게 했다. 데니스 대각합 사상의 복스테트 버전은 스펙트럼 *K\rightarrow THH* 의 변환이었다. 이 변환은 [[순환 호몰로지]]와의 관계를 제안하는 *THH* 에 대한 원형 작용의 고정점을 통해 고려되었다. [[노비코프 추측]]의 대수적 *K*이론적 유추를 증명하는 과정에서 복스테트, 샹 및 메드센은 호흐실트 호몰로지에 대한 순환 호몰로지과 동일한 관계를 갖는 위상적 호흐실트 호몰로지를 갖는 위상 순환 호몰로지를 도입했다. 데니스는 위상 수학적 순환 호몰로지를 통해 위상 수학적 호흐실트 호몰로지에 사상하여 훨씬 더 자세한 계산 도구를 제공한다. *1996*년에 둔다스, 굿윌리, 맥카티는 위상 순환 호몰로지이 정확한 의미에서 대수적 *K''이론과 동일한 국소 구조를 갖는다는 것을 증명했다. "계산이 이어진다.

## 같이 보기
* K이론
* 위상 K이론
## 각주

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## 외부 링크
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분류:K이론
분류:대수기하학