아딘크라 (물리학)

물리학에서 **아딘크라**()는 초대칭 대수의 표현을 나타내는 일종의 그래프이다.

## 정의
자연수 n\in\mathbb N에 대하여, **<math>n</math>차원 아딘크라**()는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* \Gamma는 유한 연결 n차 정규 그래프이다. (특히, 같은 양끝을 갖는 변은 존재하지 않으며, 서로 다른 두 꼭짓점 사이의 변의 수는 1개 또는 0개이다.)
* \Gamma 위에는 두 개의 색의 그래프 색칠이 주어져 있다. 꼭짓점의 색을 \{\mathsf B,\mathsf F\}라고 하자. (이는 보손과 페르미온의 머릿글자이다.) 특히, \Gamma는 이분 그래프이어야 한다.
* 또한, \Gamma의 각 꼭짓점에는 정수가 주어져 있다. 이를 꼭짓점의 **계수**()라고 하자.
* \Gamma 위에는 \{1,2,\dots,n\}에 대한 변 색칠이 주어져 있다.
* 또한, \Gamma의 각 변에는 부호 \{+,-\}가 붙어 있다. (그러나 같은 부호의 변들이 맞닿을 수 있어, 이는 변 색칠을 이루지 않을 수 있다.)
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
*
* 각 변의 양끝은 서로 다른 색의 꼭짓점이며, 그 계수의 차는 1이다.
* 각 꼭짓점에 닿은  n개의 변에 붙은 색들은 모두 서로 다르다.
* 임의의 두 정수 1\le i에 대하여, i 또는 j가 붙은 변들의 집합은 서로 교차하지 않는, 길이 4의 순환들의 분리 합집합을 이룬다. 또한, 이러한 길이 4의 순환 속에서, 부호가 -인 변의 수는 홀수 개(즉, 1개 또는 3개)이다.

### 아딘크라의 동형
두 n차원 아딘크라 \Gamma, \Gamma'가 주어졌다고 하자. 또한, 각 \sigma\in\{\mathsf B,\mathsf F\} 및 각 계수 h\in\mathbb Z에 대하여, \Gamma 속의 (\sigma,h)-꼭짓점의 수는 \Gamma' 속의 (\sigma,h)-꼭짓점의 수와 같다고 하자. 또한, 이러한 꼭짓점의 집합을 \operatorname V_{\sigma,h}(\Gamma) 및 \operatorname V_{\sigma,h}(\Gamma')로 표기하자.

이 두 아딘크라 사이의  **C-동형**은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 \sigma\in\{\mathsf B,\mathsf F\} 및 각 계수 h\in\mathbb Z에 대하여, 전단사 함수 f\operatorname V_{\sigma,h}(\Gamma,\sigma,h)\to\operatorname V_{\sigma,h}(\Gamma')
* 각 v\in \operatorname V_{\sigma,h}(\Gamma,\sigma,h)에 대하여, 부호 s(v)\in\{\pm1\}
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* (색의 보존) 각 변 (u,v)\in\operatorname E(\Gamma)에 대하여, (u,v)의 색 \in\{1,\dotsc,n\}은 (f(u),f(v))의 색과 같다.
* (부호의 보존) 임의의 변 (u,v)\in\operatorname E(\Gamma)의 부호가 \sigma\in\{\pm1\}이라고 할 때, (f(u),f(v))\in\operatorname E(\Gamma')의 부호는 s(u)s(v)\sigma이다.

이 데이터는 성분이 \{0,-1,+1\}에 속하는 가역 행렬로 나타낼 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 복소수 가역 행렬을 허용하면 아딘크라의 **동형**의 개념을 얻는다. 그러나 이 개념은 아딘크라의 그래프 자체를 그래프 동형이 아닌 다른 그래프로 변환할 수 있다.

아딘크라의 **크로모토폴로지**()는 아딘크라의 정의에서
* 꼭짓점에 칠해진 색깔 \{\mathsf B,\mathsf F\}
* 변에 주어진 부호 \{\pm\}
* 꼭짓점의 계수 (및 부분 순서)
를 잊고, 대신
* 그래프 구조
* 변의 색깔 \{1,\dotsc,n\}
만을 남긴 구조이다.

## 성질
### 초대칭 표현과의 관계
생성원 (H,Q_1,\dotsc,Q_n)을 갖는 초대칭 대수
:\{Q_i,Q_j\}=2\delta_{ij}H
:[Q_i,H]=0
를 생각하자. 이는 리 초대수 \mathfrak{po}(1|n)을 이룬다. 여기서, 해밀토니언 연산자의 단위는 [시간]&minus;1이며, 따라서 초대칭 연산자 Q_i의 단위는 [시간]&minus;½이다.

이 경우, 아딘크라 \Gamma가 주어졌을 때,
:V=\bigoplus_{v\in\operatorname V(\Gamma)}V_v
:V_v\cong\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb C)
를 생각하자. 이 복소수 벡터 공간 위에 다음과 같은 \mathfrak{po}(1|n)의 표현을 생각하자.
:H=\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}
:변
::\underset u\bullet \;\overset{i,\sigma}{-\!\!\!-\!\!\!-}\; \underset v\bullet
::\operatorname{rank}u=\operatorname{rank}v-1=h
::i\in\{1,\dotsc,n\}
::\sigma\in\{\pm1\}
:에 대하여, 만약 u가 보손이며 v가 페르미온이라면,
::Q_i\phi_u=\sigma \phi_v\qquad(\phi\in\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb C))
::Q_i\phi_v=\sigma \mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_u\qquad(\phi\in\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb C))
:만약 u가 페르미온이며 v가 보손이라면,
::Q_i\psi_u=\sigma\mathrm i\psi_v\qquad(\psi\in\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb C))
::Q_i\psi_v=\sigma\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\psi_u\qquad(\psi\in\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb C))
이를 **아딘크라 <math>\Gamma</math>에 대응하는 초대칭 표현**이라고 한다.

아딘크라와 이 아딘크라에 대응하는 초대칭 표현 (초다중항) 사이의 관계는 다음과 같다.
:
이와 같이 n차원 아딘크라로 표시될 수 있는 \mathfrak{po}(1|n)의 표현을 **아딘크라 표현**(adinkra表現, )이라고 한다.

### 리만 곡면
모든 크로모토폴로지에는 표준적으로 어떤 리만 곡면을 대응시킬 수 있으며, 이 대응은 데생당팡을 사용한다.

구체적으로, N차원 아딘크라와, 이 N개 변 색깔들의 전순서가 주어졌다고 하자. (후자를 **무지개**()라고 하기도 한다.) 그렇다면,
* 아딘크라의 그래프에, 무지개의 정보를 추가하면, 띠그래프를 이룬다.
* 띠그래프의 각 변에 길이 1을 부여하면, 이는 계량 띠그래프이다.
* 계량 띠그래프에는 항상 벨리 사상 및 \bar{\mathbb Q}-대수 곡선 (리만 곡면)을 대응시킬 수 있다.
* 또한, 이 데이터에는 마찬가지로 데생당팡이 대응된다.

이에 따라, 아딘크라의 구조는 다음과 같은 데이터에 대응된다.

## 분류
(아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 크로모토폴로지의 분류는 다음과 같다.

\mathbb F_2-벡터 공간 \mathbb F_2^n 속의 선형 부호 C\subseteq \mathbb F_2^n가운데, 만약 모든 원소 c\in C에 대하여 4\mid\operatorname{d_H}(c,0)라면, C를 **겹짝 선형 부호**()라고 한다. (여기서 \operatorname{d_H}는 해밍 거리이다.)

(아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 n차원 크로모토폴로지는 \mathbb F_2^n/C의 꼴의 그래프로 나타내어진다. 여기서 \mathbb F_2^n은 초입방체 크로모토폴로지이며, C는 겹짝 선형 부호이다.

## 예
### 간단한 예
2차원 아딘크라의 예는 다음과 같다.
 　　Ｂ
  ¹／　＼²
 Ｆ　　　Ｆ
  ₂＼　／₁
 　　Ｂ
여기서 변에 붙은 부호는 검은 색 또는 붉은 색으로 표시하였으며, 꼭짓점의 계수는 그림에서의 높이로 표시된다 (즉, 그림을 하세 도표로 생각한다).

이는 초다중항
:(\phi,\psi,\chi,A)
:Q_1\phi=\psi
:Q_2\phi=\chi
:Q_1\chi=-Q_2\psi=A
:Q_1\psi=Q_2\chi=H\phi
:Q_1A=H\chi
:Q_2A=-H\psi
을 나타낸다.

1차원 아딘크라의 예는 다음과 같다.
 Ｆ
 ｜1
 Ｂ

이는 초다중항
:(\phi,\psi)
:Q_1\phi=-\psi
:Q_1\psi=-H\phi
를 나타낸다.

### 초입방체 크로모토폴로지
보다 일반적으로, 임의의 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, n차원 초입방체의 꼭짓점과 변으로 이루어진 그래프를 생각하자. 그 꼭짓들의 집합을 유한체 \mathbb F_2 위의 벡터 공간 \mathbb F_2^n으로 생각할 수 있다.

이 경우, 각 변에 색
:c\left((s_1,s_2,\dotsc,s_{i-1},0,s_{i+1},\dotsc,s_n),
(s_1,s_2,\dotsc,s_{i-1},1,s_{i+1},\dotsc,s_n)\right)=i
를 부여하자. 그렇다면, 이는 크로모토폴로지를 이룬다. 이를 **[[초입방체]] 크로모토폴로지**(超立方體chromotopology, )라고 한다.

### 초입방체가 아닌 크로모토폴로지
초입방체가 아닌 가장 간단한 연결 크로모토폴로지는 4차원이며, 다음과 같은 이진 선형 부호에 대응한다.
:\{(0,0,0,0),(1,1,1,1)\}\subseteq \mathbb F_2^{\oplus 4}
즉, 다음과 같은 꼴이다. (편의상 변의 색칠을 생략하였다.)

 _ F, G, H _
/    / \    \
B   C   D   E
 \   \ /    /
  `-  A  -´

즉, 여기서 F, G, H는 각각 B, C, D, E와 모두 변으로 연결돼 있지만, F와 G와 H 사이에는 변이 존재하지 않는다.

## 역사
[섬네일|right|[아샨티족의 아딘크라 문양]]
2004년에 마이클 폭스()와 실베스터 제임스 게이츠 2세()가 초대칭 양자장론을 분석하기 위하여 도입하였다. “아딘크라”라는 단어는 아샨티족의 문화에서 사용되는 일종의 문양인 아딘크라()에서 유래하였다.

## 같이 보기
* 파인만 도형
## 각주

## 외부 링크
* 
* 

분류:초대칭
분류:그래프