소수 (기수법)

수학의 기수법에서 **소수**(小數, )는 실수를 소수점과 그 양옆에 놓인 숫자를 통해 나타내는 방법이다. 소수점 왼쪽에 놓인 숫자들은 실수의 정수 부분, 소수점 오른쪽에 놓인 숫자들은 실수의 소수 부분을 나타낸다.

## 정의
음이 아닌 실수 r의 소수 표기는 다음과 같은 꼴이다.
:r=r_0.r_1r_2r_3\cdots
여기서 각 i=0,1,2,\dots에 대하여, r_i는 0부터 9까지의 숫자 가운데 하나이다. 음의 실수의 경우, 왼쪽에 부호를 붙여준다. 또한, 만약 어떤 n번째 자릿수 r_n부터
:0=r_n=r_{n+1}=r_{n+2}=\cdots
가 성립한다면, 이러한 끝쪽의 0들을 생략하여 다음과 같이 표기할 수 있다.
:r=r_0.r_1r_2r_3\cdots r_{n-1}
엄밀히 말해, 소수는 극한의 개념을 통해 정의된다. 즉, 위의 표기가 실수의 소수 표기가 되려면, 다음과 같은 급수 공식을 만족시켜야 한다.
:r=\sum_{n=0}^\infty10^{-n}r_n=\lim_{n\to\infty}r_0.r_1r_2\cdots r_n
또한, 표준적인 소수 표기는 다음을 추가로 만족시켜야 한다.
* 9=r_n=r_{n+1}=r_{n+2}=\cdots인 n이 존재하지 않는다.
즉, 만약 맨 끝에 숫자 9가 끝없이 반복된다면 이를 올림하여야 한다. 예를 들어, 0.999… = 1이며, 1.234999... = 1.235이며, 37.271999...=37.272이다.간혹 올림하여 얻는 표기 대신 끝에 9가 붙은 표기를 표준으로 간주하기도 한다.

유리수의 소수 표기는 유한하거나, 무한하지만 순환한다. 그 예는 다음과 같다.
:\frac{1}{2}=0.5
:\frac{1}{3}=0.333333\cdots
무리수의 소수 표기는 무한하며 비순환이다.. 그 예는 다음과 같다.
:\sqrt 2=1.41421356\cdots
:\pi=3.14159265358979323846\cdots

## 종류
소수는 자릿수들의 열의 성질에 따라 다음과 같이 나뉜다.

### 유한 소수
소수점 아랫자리가 유한한 수를 **유한 소수**(有限小數, )라고 한다. 모든 유한 소수는 유리수다.

십진법과 이십진법에서는 만약 기약 분수의 분모가 2^m5^n (m,n은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가 2^m5^n (m,n은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다.

마찬가지로, 육진법과 십이진법과 십팔진법에서는 만약 기약 분수의 분모가 2^m3^n (m,n은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가 2^m3^n (m,n은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다.

유한 소수의 예는 다음과 같다. 가분수도 게재한다.

; 십진법
:1/2=0.5
:3/4=0.75
:1/5=0.2
:8/5=1.6
:3/8=0.375
:1/16=0.0625
:27/16=1.6875
:7/20=0.35
:8/25=0.32
:1/50=0.02
:11/64=0.171875
:1/80=0.0125
:8/125=0.064
:13/160=0.08125

; 육진법
:1/2=0.3
:1/3=0.2
:3/4=0.43
:3/12=0.213
:5/13=0.32
:41/13=2.44
:11/20=0.33
:1/24=0.0213
:43/24=1.4043
:1/30=0.02
:12/43=0.144
:1/120=0.0043
:15/144=0.101043
:1/213=0.0024
:21/240=0.04513

보다 기본적으로, b가 2이상의 자연수일 때, b진법으로 소수를 나타내었을 때, 어떤 기약 분수가 유한 소수가 되기 위한 필요충분조건은 해당 분수를 기약 분수로 바꾸고 난 후 분모른 소인수분해할 때, 분모의 모든 소인수가 b의 소인수로 이루어져 있어야 되는 것이다. 즉, 기약분수의 분모에서 그 외의 다른 소인수가 하나 이상 들어가 있으며 b진법 소수 표현이 순환소수가 된다는 얘기다.

### 순환 소수

소수점 아래에서 어떤 숫자들의 유한 열이 무한히 반복되는 소수를 **순환 소수**(循環小數, )라고 한다. 어떤 수가 순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 유리수이다. 무한 순환 소수의 예는 다음과 같다.

; 십진법
:1/3=0.\dot3=0.333\cdots
:1/6=0.1\dot6=0.1666\cdots
:1/7=0.\dot14285\dot7=0.142857142857142857\cdots
:5/9=0.\dot5=0.555\cdots
:25/9=2.\dot7=2.777\cdots
:3/11=0.\dot2\dot7=0.272727\cdots
:8/27=0.\dot29\dot6=0.296296\cdots
:1/48=0.0208\dot3=0.0208333\cdots
:1/81=0.\dot01234567\dot9=0.012345679012345679\cdots

; 육진법
:1/5=0.\dot1=0.111\cdots
:12/5=1.\dot3=1.333\cdots
:1/11=0.\dot0\dot5=0.050505\cdots
:3/14=0.1\dot4=0.1444\cdots
:1/15=0.\dot031345242\dot1=0.03134524210313452421\cdots
:12/41=0.\dot1530\dot4=0.1530415304\cdots
:1/212=0.0024\dot1=0.0024111\cdots

### 비순환 소수

순환 소수가 아닌 소수를 **비순환 소수**(非循環小數, )라고 한다. 어떤 수가 비순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 무리수이다. 비순환 소수의 예는 다음과 같다. 이 경우는 십진법 (소인수가 2와 5) 이든 육진법 (소인수가 2 와 3) 이든 기타 위치 기수법을 사용하여도 무한에 따른다.

; 십진 표기
:\sqrt2=1.41421356\cdots
:\pi=3.14159265\cdots
:e=2.718281\cdots
; 육진 표기
:\sqrt2=1.225245314\cdots
:\pi=3.0503300514\cdots
:e=2.41505204\cdots

### 무한소수

무리수
(무한소수)는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다

실수와 그 소수 표기 사이의 대응을 생각하면, 실수의 집합의 크기가 숫자의 열의 집합의 크기와 같으며, 특히 자연수의 집합의 크기보다 큼을 알 수 있다.

실수의 소수 표기는 실수의 구성에 쓰일 수 있다.

## 같이 보기
* 십진법
* 급수 (수학)
* IEEE 754
* 시몬 스테빈

분류:기수법
분류:초등 수학