탄성 충돌

[섬네일|오른쪽|300px|열교란 상태의 원자는 [흑체 복사가 계에서 방출되지 않는 동안 기본적으로 탄성 충돌을 한다. 대체로 두 원자가 되튈 때는 충돌 전과 같은 운동 에너지를 가진다. (원자 중 다섯은 쉽게 찾을 수 있도록 붉게 칠했음.)]]
**탄성 충돌**(彈性衝突, elastic collision)은 두 물체가 부딪힐 때 충돌 전후에 두 물체가 충돌하는 계의 운동 에너지 총량이 일정한 충돌을 이르는 말이다. 탄성 충돌은 운동 에너지가 다른 형태로 전환되는 일이 없을 경우에만 일어난다. 이 정의는 더 이상 분해되지 않는 입자 따위에서 일어나는 사실상의 충돌 뿐 아니라, 우주선이 중력을 가진 천체에 가까이 접근하여 궤도를 바꾸는 간접 충돌(스윙 바이)에도 적용된다.

작은 물체들이 충돌하는 동안, 입자가 충돌 시의 반발력에 반하여 움직일 때 우선 운동 에너지는 입자 사이의 반발 위치 에너지로 변한다. 다음 입자가 힘과 같은 방향으로 움직이면서 이 위치 에너지는 다시 운동 에너지로 돌아간다. 전후의 운동 에너지 총량이 일정할 때를 탄성 충돌이라 한다.

원자 간의 충돌은 탄성 충돌이다. (러더퍼드 산란이 한 예다.)

원자와는 별개로, 기체나 액체를 이루는 분자는 충돌 시에 운동 에너지가 분자의 병진 운동과 내부 자유도에 분배가 바뀌므로 완전한 탄성 충돌을 하기가 어렵다.

## 방정식
### 1차원 뉴턴 충돌
두 입자를 첨자로 1, 2라 하고, *m<sub>i</sub>* 을 질량, 충돌 전 속력을 *u<sub>i</sub>*, 충돌 후 속력을 *v<sub>i</sub>* 라 두자.

운동량 보존 법칙에 의하여 충돌 전과 후의 운동량이 같으며 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.
:\,\! m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}
마찬가지로 운동 에너지 보존 법칙을 식으로 나타내면 다음과 같다.
:\frac{m_1u_1^2}2+\frac{m_2u_2^2}2=\frac{m_1v_1^2}2+\frac{m_2v_2^2}2

*u<sub>i</sub>*를 알 때 두 방정식을 풀어 *v<sub>i</sub>*를 구할 수 있으며 역도 가능하다. 그러나 식을 직접 풀 경우 복잡해지므로, 먼저 값을 아는 속력 중 하나가 0이 되도록 기준계를 바꾸어 간단히 풀 수 있다. 새 기준계에서 방정식을 풀어 값을 모르는 속력을 결정한 뒤, 다시 원래 기준계로 변환하여 같은 결과를 얻는다. 일단 값을 모르는 속력 하나가 결정되면, 대칭이므로 나머지도 알 수 있다.

*v<sub>i</sub>*에 대해 연립하면 다음을 얻는다.

:v_{1} = \frac{u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}} , v_{2} = \frac{u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}
또는
: \ v_{1} = u_{1} ,  \ v_{2} = u_{2}

후자 역시 방정식의 해로, 충돌이 일어나지 않은 경우에 해당한다.

### 1차원 상대론적 충돌
특수 상대성이론에 따르면, 운동량 p 는 속도 v, 광속 c, 질량 m에 대해 다음과 같은 관계식을 갖는다.p = \frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}총 운동량 합이 0이 되는 지점(운동량중심)을 기준으로 한 좌표계의 관점에서 두 물체의 운동량 p_1, p_2과 총 에너지 E는 두 물체의 불변질량 m_1, m_2 충돌전 속도 u_1, u_2, 충돌후 속도 v_1, v_2를 통해 다음과 같이 표현 가능하다.\begin{align}
p_1 &= - p_2 \\
p_1^2 &= p_2^2 \\
E &= \sqrt {m_1^2c^4 + p_1^2c^2} + \sqrt {m_2^2c^4 + p_2^2c^2} = E \\
p_1 &= \pm \frac{\sqrt{E^4 - 2E^2m_1^2c^4 - 2E^2m_2^2c^4 + m_1^4c^8 - 2m_1^2m_2^2c^8 + m_2^4c^8}}{2cE} \\
u_1 &= -v_1.
\end{align}

운동량 보존을 적용하면 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.\begin{align}
m_1u_1 + m_2u_2 &= m_1v_1 + m_2v_2 = 0 \\
m_1u_1^2 + m_2u_2^2 &= m_1v_1^2 + m_2v_2^2 \\
\frac{(m_2u_2)^2}{2m_1} + \frac{(m_2u_2)^2}{2m_2} &= \frac{(m_2v_2)^2}{2m_1} + \frac{(m_2v_2)^2}{2m_2} \\
(m_1 + m_2)(m_2u_2)^2 &= (m_1 + m_2)(m_2v_2)^2 \\
u_2 &= -v_2 \\
\frac{(m_1u_1)^2}{2m_1} + \frac{(m_1u_1)^2}{2m_2} &= 
\frac{(m_1v_1)^2}{2m_1} + \frac{(m_1v_1)^2}{2m_2} \\
(m_1 + m_2)(m_1u_1)^2 &= (m_1 + m_2)(m_1v_1)^2 \\
u_1 &= -v_1\,.
\end{align}


이제 계의 총 운동량 p_T, 총 에너지 E, 운동량 중심의 속도 v_c의 관점에서 식을 다시 써보자.\begin{align}
\frac{m_1\;u_1}{\sqrt{1-u_1^2/c^2}} +
\frac{m_2\;u_2}{\sqrt{1-u_2^2/c^2}} &= 
\frac{m_1\;v_1}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}} +
\frac{m_2\;v_2}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}}=p_T \\
\frac{m_1c^2}{\sqrt{1-u_1^2/c^2}} +
\frac{m_2c^2}{\sqrt{1-u_2^2/c^2}} &=
\frac{m_1c^2}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}} +
\frac{m_2c^2}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}}=E
\end{align}운동량중심의 속도는 다음과 같이 정리 가능하다.v_c = \frac{p_T c^2}{E}

이때 충돌 전 두 물체의 속도 u_1 '와 u_2 '는 다음과 같이 쓸 수 있다. \begin{align}
u_1' &= \frac{u_1 - v_c}{1- \frac{u_1 v_c}{c^2}} \\
u_2' &= \frac{u_2 - v_c}{1- \frac{u_2 v_c}{c^2}} \\
v_1' &= -u_1' \\
v_2' &= -u_2' \\
v_1 &= \frac{v_1' + v_c}{1+ \frac{v_1' v_c}{c^2}} \\
v_2 &= \frac{v_2' + v_c}{1+ \frac{v_2' v_c}{c^2}}
\end{align}

u_1 \ll c와 u_2 \ll c 의 가정을 세우면 다음과 같이 근사할 수 있다.\begin{align}
p_T  &\approx m_1 u_1 + m_2 u_2 \\
v_c  &\approx \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\
u_1' &\approx u_1 - v_c \approx \frac {m_1 u_1 + m_2 u_1 - m_1 u_1 - m_2 u_2}{m_1 + m_2} = \frac {m_2 (u_1 - u_2)}{m_1 + m_2} \\
u_2' &\approx \frac {m_1 (u_2 - u_1)}{m_1 + m_2} \\
v_1' &\approx \frac {m_2 (u_2 - u_1)}{m_1 + m_2} \\
v_2' &\approx \frac {m_1 (u_1 - u_2)}{m_1 + m_2} \\
v_1  &\approx v_1' + v_c \approx \frac {m_2 u_2 - m_2 u_1 + m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} = \frac{u_1 (m_1 - m_2) + 2m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\
v_2  &\approx \frac{u_2 (m_2 - m_1) + 2m_1 u_1}{m_1 + m_2}
\end{align}따라서 충돌 전 두 물체의 속도가 광속보다 매우 작다고 가정했을 때, 고전역학의 계산이 여전히 적용된다.

## 2차 및 3차원 충돌

## 같이 보기
* 충돌
* 비탄성 충돌
* 반발 계수

분류:고전역학
분류:물리학 개념
분류:운동 (물리학)