올범주

범주론에서 **올범주**(-範疇, , , ) 또는 **그로텐디크 올뭉치**()는 어떤 유일 올림 성질을 만족시켜서 올뭉치와 같은 성질을 보이는 함자이다. 내림 데이터나 스택을 정의할 때 쓰인다.

## 정의
올범주의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
* 한 정의는 보다 개념적으로 명확하며, 준층의 정의의 직접적 일반화이다. 그러나 이는 올범주의 개념을 응용하기에 불필요한 추가 데이터(“쪼갬”)를 담고 있다.
* 다른 정의는 보다 기술적으로 용이하며, 불필요한 데이터를 담고 있지 않지만, 개념적으로 명확하지 않다.
이 두 정의 사이의 차이는 “쪼갬”이라는 데이터에 해당한다. 즉, 둘째 정의에 쪼갬의 데이터를 추가하면, 이는 첫째 정의와 동치이다.

### 쪼갬을 통한 정의
위상 공간 B가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X 위의 **쪼갬을 갖춘 올범주** \Pi는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* B의 각 열린집합 U \subseteq B에 대하여, 범주 \Pi(U)
* 두 열린집합 U \subseteq V \subseteq B에 대하여, 함자 \operatorname{res}^V_U\colon\Pi(V) \to \Pi(U). 이를 **제한 함자**()라고 한다.
* 세 열린집합 U \subseteq V \subseteq W \subseteq B에 대하여, 함자 \operatorname{res}^V_U \circ \operatorname{res}^W_V와 \operatorname{res}^W_U 사이의 자연 동형 \tau_{U,V,W}\colon \operatorname{res}^V_U \circ \operatorname{res}^W_V \Rightarrow \operatorname{res}^W_U
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:임의의 네 열린집합 U \subseteq V \subseteq W \subseteq X에 대하여, \tau_{U,V,X}\circ\tau_{V,W,X} = \tau_{U,W,X}\circ\tau_{U,V,W}

보다 일반적으로, 임의의 범주 \mathcal B가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X 위의 **쪼갬을 갖춘 올범주**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* \mathcal B의 대상 U에 대하여, 범주 \Pi(U)
* 두 대상 사이의 사상 i\colon U \to V에 대하여, 함자 \operatorname{res}_i\colon\Pi(V) \to \Pi(U). 이를 **제한 함자**()라고 한다.
* 두 사상 U \xrightarrow i V \xrightarrow j W에 대하여, 함자 \operatorname{res}_i \circ \operatorname{res}_j와 \operatorname{res}_{j\circ i} 사이의 자연 동형 \tau_{i,j}\colon \operatorname{res}_i\circ \operatorname{res}_j \Rightarrow \operatorname{res}_{j\circ i}
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:임의의 세 사상 U \xrightarrow i V \xrightarrow j W \xrightarrow k X에 대하여, \tau_{i,k\circ j}\circ\tau_{j,k} = \tau_{j\circ i,k}\circ\tau_{i,j}

### 데카르트 사상을 통한 정의
#### 데카르트 사상
함자 \Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B가 주어졌다고 하자. \mathcal E의 사상 f\colon X\to Y가 다음 보편 성질을 만족시킨다면, f를 **데카르트 사상**(Descartes寫像, , )이라고 한다.
:임의의
:* 사상 f'\colon X'\to Y
:* \hat g\colon \Pi(X')\to\Pi(X)
:에 대하여, 만약 \Pi(f)\circ\hat g=\Pi(f')라면, \Pi(g)=\hat g이며 f\circ g=f'인 사상 g\colon X'\to X가 유일하게 존재한다.
::\begin{matrix}
\mathcal E&\qquad\overset\Pi\to\qquad&\mathcal B\\
\hline
\begin{matrix}
X'\\
{\scriptstyle\exists!g}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\exists!g}&\searrow\!\!^{f'}\!\!\!\!\!\!\\
X&\underset f\to&Y
\end{matrix}&\qquad\overset\Pi\mapsto\qquad&\begin{matrix}
\Pi X'\\
{\scriptstyle\hat g}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\hat g}&\searrow\!\!^{\Pi f'}\!\!\!\!\!\!\\
\Pi X&\underset{\Pi f}\to&\Pi Y
\end{matrix}
\end{matrix}


#### 올범주
함자 \Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B가 다음 조건을 만족시킨다면, **올범주**()라고 한다.
* 대상 Y\in\mathcal E 및 \mathcal B 속의 임의의 사상 \hat f\colon\hat X\to \Pi(Y)에 대하여, \Pi(X)=\hat X이며 \Pi(f)=\hat f인 대상 X\in\mathcal E 및 데카르트 사상 f\colon X\to Y가 존재한다.
*:
\begin{matrix}
\mathcal E&\qquad\overset\Pi\to\qquad&\mathcal B\\
\hline
\exists X\overset{\exists f}\to Y&\qquad\overset\Pi\mapsto\qquad&\hat X\overset{\hat f}\to\Pi Y
\end{matrix}

이 경우, f를 \hat f의 X에서의 **데카르트 올림**()이라고 한다. 데카르트 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.

올범주의 **쪼갬**(, )은 각 (X,\hat f)에 대하여 한 올림을 고르되, 만약 \hat f가 항등 사상일 때 항등 사상을 고른 것이다. 이는 선택 공리에 대하여 항상 존재한다. 이에 따라, \mathcal B의 각 사상 f\colon U \to V에 대하여 함자 \operatorname{res}_f\colon\Pi(V) \to \Pi(U)가 정의된다.

올범주 \Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B의, 대상 \hat X\in\mathcal B 위의 **올**(, , ) \mathcal E(\hat X)은 \hat X의 원상과 그 사이의 사상들로 구성된, \mathcal E의 부분 범주이다.

#### 올범주 사상
같은 밑범주를 갖는 두 올범주 \Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B, \Pi'\colon\mathcal E'\to\mathcal B 사이의 **사상**은 다음 두 조건을 만족시키는 함자 F\colon\mathcal E\to\mathcal E'이다.
* 조각 범주 \operatorname{Cat}/\mathcal B의 사상이다. 즉, 다음과 같은 함자 가환 그림이 성립한다.
*:\begin{matrix}
\mathcal E&\overset F\to&\mathcal E'\\
&{\scriptstyle\Pi}\searrow&\downarrow\scriptstyle\Pi'\\
&&\mathcal B
\end{matrix}
* 데카르트 사상의 상은 항상 데카르트 사상이다.
\mathcal B 위의 (작은) 올범주와 올범주 사상의 범주를 \operatorname{Fib}(\mathcal B)라고 한다.

## 성질
### 합성
두 올범주의 합성은 역시 올범주를 이룬다.

작은 범주의 범주 \operatorname{Cat}에서, 다음과 같은 당김이 주어졌다고 하자.
:\begin{matrix}
\mathcal C\times_{\mathcal B}\mathcal D&\overset{\Pi'}\to&\mathcal D\\
\downarrow&&\downarrow\\
\mathcal C&\underset\Pi\to&\mathcal B\\
\end{matrix}
만약 \Pi가 올범주라면 \Pi' 역시 올범주이다. 즉, 올범주성은 당김에 대하여 안정적이다.

### 분해계
올범주 \Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B에서, 만약 \mathcal B 위에 분해계 (\mathfrak E,\mathfrak M)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음을 정의하자.
* \mathfrak E'은 \mathcal E의 사상 가운데, \Pi에 대한 상이 \mathfrak E에 속하는 것들의 모임이다.
* \mathfrak M'은 \mathcal E의 데카르트 사상 가운데, \Pi에 대한 상이 \mathfrak M에 속하는 것들의 모임이다.
그렇다면, (\mathfrak E',\mathfrak M')은 \mathfrak E 위의 분해계를 이룬다. 특히, \mathcal E가 동형 사상의 모임이며, \mathfrak M이 모든 사상의 모임이라고 하자. 이는 자명하게 분해계를 이루며, 이 경우 \mathfrak M'은 모든 데카르트 사상의 모임이며 \mathfrak E'은 동형 사상의 원상의 모임이다. 따라서 (동형 사상의 원상, 데카르트 사상)은 올범주의 분해계를 이룬다.

## 종류
모든 올이 준군을 이루는 올범주를 **준군 올범주**(準群-範疇, , , )라고 한다. 모든 올이 이산 범주(즉, 항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 범주)인 올범주를 **이산 올범주**()라고 한다.

## 예
### 곱 올범주
두 범주 \mathcal C, \mathcal D가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 곱범주 \mathcal C\times\mathcal D에서 \mathcal C (또는 \mathcal D)로 사영하는 함자
:\operatorname{proj}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal C
:\operatorname{proj}_{\mathcal D}\colon\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal D
는 올범주를 이룬다.

### 조각 범주
범주 \mathcal C 속의 대상 B\in\mathcal C에 대한 조각 범주 \mathcal C/B를 생각하자. 그렇다면, 사상을 그 정의역으로 대응시키는 망각 함자
:\mathcal C/B\to\mathcal C
:(X\xrightarrow fB)\mapsto X
:\begin{pmatrix}
X&\xrightarrow f&Y\\
&\searrow&\downarrow\\
&&B
\end{pmatrix}\mapsto(X\xrightarrow fY)
는 이산 올범주를 이룬다. 대상 X\in\mathcal C 위의 올은 사상 모임 (이산 범주) \hom_{\mathcal C}(X,B)이다.

이는 사실 표현 가능 준층
:\hom_{\mathcal C}(-,B)\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}
에 그로텐디크 구성을 가한 것이다.

### 공역 올범주
범주 \mathcal C가 모든 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, \mathcal C의 화살표 범주 \mathcal C^\to를 생각하자. 사상을 그 공역으로 대응시키는 함자
:\operatorname{codom}_{\mathcal C}\colon\mathcal C^\to\to\mathcal C
:\operatorname{codom}_{\mathcal C}\colon(A\overset f\to B)\mapsto B
:\operatorname{codom}_{\mathcal C}\colon\left(\begin{matrix}
A&\overset f\to&B\\
{\scriptstyle h}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle k\\
C&\underset g\to&D
\end{matrix}\right)\mapsto (B\overset k\to D)
를 생각하자. 이는 올범주를 이루며, 사상 f\colon A\to B의, g\in\mathcal C^\to (g\colon C\to B)에서의 올림은 다음과 같은 (A\times_BC\to A에서 g로 가는 \mathcal C^\to의 사상으로 간주한) 당김이다.
:\begin{matrix}
\begin{matrix}
A\times_BC&\to&C\\
\downarrow&&\downarrow\scriptstyle g\\
A&\underset f\to&B
\end{matrix}
\end{matrix}

### 그로텐디크 구성
작은 범주의 범주 \operatorname{Cat}로 가는 함자
:F\colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Cat}
가 주어졌을 때, \mathcal C 위의 **그로텐디크 구성**() \mathcal C\textstyle\int F를 다음과 같이 정의하자.
* \mathcal C\textstyle\int F의 대상 (X,x)은 \mathcal C의 대상 X\in\mathcal C와 F(X)의 대상 x\in F(X)의 순서쌍이다.
* \mathcal C\textstyle\int F의 사상 (f,\phi)\colon(X,x)\to(X',x')은 \mathcal C의 사상 f\colon X\to X'과 F(X)의 사상 x\to Ff(x')의 순서쌍이다.
그렇다면, \mathcal C\textstyle\int F는 \mathcal C 위의 올범주를 이룬다. X\in\mathcal C 위의 올은 작은 범주 F(X)이다.

#### 가군 범주
범주 \operatorname{Mod}를 다음과 같이 정의하자.
* \operatorname{Mod}의 대상 (R,M)은 가환환 R와 그 위의 가군 M의 순서쌍이다.
* \operatorname{Mod}의 사상 (f,\phi)\colon (R,M)\to(R',M')은 환 준동형 f\colon R\to R'과 R-가군 준동형 \phi\colon M\to f^*M'의 순서쌍이다.
그렇다면, \operatorname{Mod}는 가환환 범주 \operatorname{CRing} 위의 올범주를 이룬다. 가환환 R 위의 올은 R-가군들의 범주 \operatorname{Mod}_R이다.

이는 가환환을 가군 아벨 범주로 대응시키는 함자
:M\colon\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Cat}
:M\colon R\mapsto \operatorname{Mod}_R
:M\colon (f\colon R\to S)\mapsto(f^*\colon\operatorname{Mod}_S\to\operatorname{Mod}_R)
에 대한 그로텐디크 구성이다. 즉, 이 올범주의 올은 \operatorname{Mod}_R이다.

### 준연접층
범주 \operatorname{QCoh}를 다음과 같이 정의하자.
* \operatorname{QCoh}의 대상 (X,\mathcal F)는 스킴 X와 그 위의 준연접층 \mathcal F의 순서쌍이다.
* \operatorname{QCoh}의 사상 (f,\phi)\colon(X,\mathcal F) \to (Y,\mathcal G)는 스킴 사상 f\colon X\to Y과 층 사상 \phi\colon \mathcal F \to f^*\mathcal G의 순서쌍이다.
그렇다면, 스킴의 범주로 가는 망각 함자 \operatorname{QCoh} \to \operatorname{Sch}는 올범주를 이룬다. 이는 스킴을 준연접층 아벨 범주로 대응시키는 함자
:\operatorname{Sch}^{\operatorname{op}} \to \operatorname{Cat}
:X \mapsto \operatorname{QCoh}_X
에 대한 그로텐디크 구성이다. 이 경우, 임의의 두 스킴 사상 X \xrightarrow f Y \xrightarrow g Z에 대하여, 자연 동형
:f^* \circ g^* \Rightarrow (g\circ f)^*
이 존재한다.

(만약 \operatorname{Sch} 위에 fpqc 위상을 부여한다면, 이는 스택을 이룬다.)

#### 원소 범주
모든 집합은 작은 이산 범주(모든 사상이 항등 사상인 범주)로 생각할 수 있다.

집합의 범주 \operatorname{Set}로 가는 함자
:F\colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}
가 주어졌을 때, \mathcal C 위의 **원소 범주**() \mathcal C\textstyle\int F를 다음과 같이 정의하자.
* \mathcal C\textstyle\int F의 대상 (X,x)은 \mathcal C의 대상 X\in\mathcal C와 F(X)의 원소 x\in F(X)의 순서쌍이다.
* \mathcal C\textstyle\int F의 사상 f\colon (X,x)\to (X',x')은 Ff\colon x'\mapsto x을 만족시키는 \mathcal C의 사상 f\colon X\to X'이다.
그렇다면, \mathcal C\textstyle\int F는 \mathcal C 위의 이산 올범주를 이룬다. X\in\mathcal C 위의 올은 (이산 범주로 간주한) 집합 F(X)이다.

원소 범주 구성은 함자 F의 치역이 모두 작은 이산 범주일 때의, 그로텐디크 구성의 특수한 경우이다.

#### 부분 대상 범주
모든 부분 순서 집합은 작은 얇은 범주로 생각할 수 있다.

모든 당김을 갖는 작은 범주 \mathcal C에 대하여, 부분 순서 집합의 범주 \operatorname{Poset}로 가는 다음과 같은 함자를 생각하자.
:\operatorname{Sub}\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Poset}
:\operatorname{Sub}\colon X\mapsto\operatorname{Sub}(X)
:\operatorname{Sub}\colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f^*\colon \operatorname{Sub}(Y)\to\operatorname{Sub}(X)\right)
여기서 \operatorname{Sub}(X)는 X의 부분 대상들의 부분 순서 집합이며, f^*은 단사 사상의 당김이다 (단사 사상은 당김에 의하여 보존된다). 이에 대하여 그로텐디크 구성을 가할 수 있으며, 이를 **부분 대상 올범주** \operatorname{Sub}(\mathcal C)라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
* \operatorname{Sub}(\mathcal C)의 대상 (X,x)은 \mathcal C의 대상 X\in\mathcal C와 그 부분 대상 x\in\operatorname{Sub}(X)의 순서쌍이다.
* \operatorname{Sub}(\mathcal C)의 사상 f\colon(X,x)\to(X',x')은 x\le f^*(x')을 만족시키는 \mathcal C-사상 f\colon X\to X'이다.
이는 \mathcal C 위의 올범주를 이루며, X\in\mathcal C 위의 올은 \operatorname{Sub}(X)이다.

### 위상 함자

모든 위상 함자는 정의에 따라 올범주를 이룬다. 이 개념은 사상을 "원천"이라는 도형으로 일반화하여 얻으며, 이 경우 데카르트 사상은 "시작 원천"이라는 개념으로 일반화된다.

### 올다발
올다발의 범주 \operatorname{Bun}을 생각하자. 그 대상은 올다발 \pi\colon E \twoheadrightarrow B이며, 그 사상은 다발 사상
:\begin{matrix}
E &\overset f\to & E' \\
{\scriptstyle\!\!\!\!\pi}\downarrow{\scriptstyle\color{White}\pi\!\!\!\!} && {\scriptstyle\!\!\!\!\color{White}\pi'}\downarrow{\scriptstyle\pi'\!\!\!\!} \\
B & \underset g\to & B'
\end{matrix}
이다. 이 경우, 밑공간으로 가는 망각 함자
:\operatorname{codom} \colon \operatorname{Bun} \to \operatorname{Top}
:\operatorname{codom} \colon (E \,\xrightarrow\pi\, B) \mapsto B
:\operatorname{codom} \colon \left(\begin{smallmatrix}
E &\overset f\to & E' \\
{\scriptstyle\!\!\pi}\downarrow{\scriptstyle\color{White}\pi\!\!} && {\scriptstyle\!\!\color{White}\pi'}\downarrow{\scriptstyle\pi'\!\!} \\
B & \underset g\to & B'
\end{smallmatrix}\right) \mapsto g
는 올범주이다. 위상 공간 B 위의 올은 B 위의 올다발과, 밑공간에 대하여 항등 함수인 올다발 사상의 범주 \operatorname{Bun}_B이다.

이 함자의 쪼갬은 사상 g\colon B\to B'에 대하여 올다발의 당김 함자 g^* \colon \operatorname{Bun}_{B'} \to \operatorname{Bun}_B를 고르는 것에 대응한다.

마찬가지로, 벡터 다발의 범주 \operatorname{Vect} 역시 위상 공간의 범주 위의 올범주
:\operatorname{codom} \colon \operatorname{Vect} \to \operatorname{Top}
를 이룬다.

모든 위상 공간의 범주 대신, 한 위상 공간 X의 열린집합들의 범주 \operatorname{Open}(X)를 생각하자. 그렇다면 마찬가지로 X의 열린집합에 정의된 올다발 또는 벡터 다발의 범주의 망각 함자
:\operatorname{Bun}_{\operatorname{Open}(X)} \to  \operatorname{Open}(X)
:\operatorname{Vect}_{\operatorname{Open}(X)} \to  \operatorname{Open}(X)
역시 올범주를 이룬다.

(이 함자에서, 밑범주를 위상 공간의 범주 또는 주어진 위상 공간의 열린집합의 범주 대신 다양체의 범주로 잡으면, 이는 더 이상 올범주가 아니다. 이는 다양체의 범주에서는 올곱이 존재하지 않기 때문이다.)

### 층
범주 \operatorname{Sh}가 다음과 같다고 하자.
* 그 대상은 순서쌍 (X,\mathcal F)이다. 여기서 X는 위상 공간이며 \mathcal F는 그 위의 (집합 값의) 층이다.
* 그 사상 (f,\phi) \colon (X,\mathcal F) \to (Y,\mathcal G)은 연속 함수 X\to Y와 층 사상 \mathcal F\to f^*\mathcal G로 주어진다. 만약 층을 에탈레 공간으로 생각할 경우, 이는 다음과 같은 가환 그림에 해당한다.
*:\begin{matrix}
\mathcal F &\overset f\to & \mathcal G \\
{\scriptstyle\!\!\!\!\pi_{\mathcal F}}\downarrow{\scriptstyle\color{White}\pi\!\!\!\!} && {\scriptstyle\!\!\!\!\color{White}\pi'}\downarrow{\scriptstyle\pi_{\mathcal G}\!\!\!\!} \\
X & \underset f\to & Y
\end{matrix}
즉, 에탈레 공간 구성에 따라서 \operatorname{Sh}는 화살표 범주 \operatorname{Top}^\to의 부분 범주로 여길 수 있다.

그렇다면, 위상 공간으로 가는 망각 함자는 올범주를 이룬다. 이 경우 위상 공간 X 위의 올은 X 위의 층들의 범주 \operatorname{Sh}(X)이다.

마찬가지로, 임의의 위상 공간 X에 대하여, 그 열린집합의 범주 \operatorname{Open}(X) 및 열린집합에 정의된 층의 범주 \operatorname{Sh}_{\operatorname{Open}(X)}를 생각할 수 있다. 그렇다면 망각 함자 \operatorname{Sh}_{\operatorname{Open}(X)} \to \operatorname{Open}(X) 역시 올범주이다.

위 정의에서, 집합 값의 층 대신 군이나 아벨 군이나 환이나 가환환 (또는 일반적으로 대수 구조 다양체) 값의 층을 사용하여도 마찬가지다.

## 역사
올범주는 《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권 (SGA1) 6장에서 도입되었다. 원래 SGA1에서는 "데카르트 사상"을 위의 정의보다 더 약하게 정의하였지만, 이후 더 강한 조건을 만족시키는 정의가 더 널리 쓰이게 되었다. (올범주의 정의는 데카르트 사상의 두 정의에 상관없이 동치이다.)

## 같이 보기
* 스택 (수학)
## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:범주론