베스-추미노-위튼 모형

이론물리학과 수학에서 **베스-추미노-위튼 모형**(), 혹은 **베스-추미노-노비코프-위튼 모형**()은 간단한 2차원 등각 장론의 하나이다. 이는 비선형 시그마 모형의 일종이며, 그 과녁 공간(target space)은 (반)단순 리 군이다.

## 정의
### 리 군 위의 제르브
다음이 주어졌다고 하자.
* 콤팩트 단일 연결 단순 리 군 G. 그 리 대수가 \mathfrak g라고 하자.
그렇다면, 리 대수 코호몰로지에 의하여,
:\operatorname H^3(G;\mathbb Z) \cong \mathbb Z
임을 보일 수 있다. 그 생성원을 [\mu]라고 하자. 기하학적으로, 이는 G 위의 표준적인 제르브를 이룬다.

구체적으로, \mathfrak g의 킬링 형식
:B \colon \operatorname{Sym}^2\mathfrak g \to \mathbb R
및 3차 형식
:\tilde\mu|_1 \in \bigwedge^3\mathfrak g^*
:\tilde\mu|_1 \colon x\wedge y\wedge z\mapsto B(x,[y,z])
을 정의하고, 이를 이를 왼쪽 평형 이동을 통해 G 전체에 다음과 같이 정의할 수 있다.
:\tilde\mu = B(\theta\wedge [\theta\wedge\theta]) \in \Omega^3(G)
여기서 \theta\in\Omega^1(G;\mathfrak g)는 G의 마우러-카르탕 형식이다. 그렇다면, 3차 코호몰로지가 1차원이므로, 그 드람 코호몰로지는 항상 [\mu]에 비례한다.
:[\mu]=\alpha [\tilde\mu]
그렇다면, [\mu]의 표준적인 대표원인 3차 미분 형식을
:\mu=\alpha\tilde\mu
로 정의할 수 있다.

### 베스-추미노-위튼 작용
임의의 (경계가 없는) 콤팩트 리만 곡면(세계면) \Sigma 및 매끄러운 함수(스칼라장)
:\phi\colon \Sigma\to G
가 주어졌다고 하자. 이에 대하여, 다음과 같은 추가 데이터를 생각하자.
* \partial M_3 = \Sigma가 되는 3차원 유향 경계다양체 M_3
* f\restriction\sigma = \phi가 되는 연속 함수 f\colon M_3\to G
* \mathrm d\omega = f^*\mu가 되는 2차 미분 형식 \omega\in\Omega^2(M_3)

물론, 위와 같은 데이터는 유일하지 않다. 그러나 두 개의 데이터 (M_3,f,\omega), (M_3',f',\omega')가 주어졌을 때, 방향을 따라 이를 다음과 같이 이어붙일 수 있다.
:\tilde M_3 = M_3\cup_\Sigma M_3'
:\tilde f\colon \tilde M_3\to G
이에 따라, \tilde M_3은 경계가 없는 콤팩트 3차원 유향 다양체를 이룬다. 정의에 따라서, \mu가 정수 계수 코호몰로지에 속하므로,
:\int_{\tilde M_3}\tilde f^*\mu = [\tilde M_3] \frown [\mu] \in\mathbb Z
이다. (\frown은 호몰로지류와 코호몰로지류 사이의 교곱이다.) 이에 따라, 스토크스 정리를 사용하여,
:
\int_\Sigma(\alpha - \alpha')=\int_{M_3}\phi^*\mu - \int_{M_3'}\phi'^*\mu \in \mathbb Z
임을 알 수 있다.

따라서,
:\exp(\mathrm iS_2) = \exp\left(2\pi\mathrm i\int_\Sigma\alpha\right)
는 (M_3,\phi,\alpha)의 선택에 상관이 없음을 알 수 있다.

이제, \Sigma에 임의의 리만 계량 g를 부여하자. G의 **베스-추미노-위튼 작용**은
:\exp(\mathrm iS) = \exp(\mathrm iS_1+k\mathrm iS_2)\qquad(k\in\mathbb Z)

:S_1 \propto \int_\Sigma -B(g^{-1}(\theta,\theta))
이다. (S_1의 양의 실수 스칼라배는 g의 재정의로 흡수될 수 있다.) k는 **준위**()라고 불리는 정수이다.

이를 작용으로 하는 고전 장론을 **고전적 베스-추미노-위튼 모형**이라고 한다.

이 작용은 지표로 다음과 같이 표기된다. 우선, 다음과 같은 지표를 정의하자.
* 리 대수 \mathfrak g의 지표 a,b,c,\dots
* \Sigma의 지표 i,j,k,\dots
* M_3의 지표 I,J,K,\dots
그렇다면, 베스-추미노-위튼 작용은 다음과 같다.
:S=S_1+S_2
:S_1=-\frac{k}{8\pi}\int_{S^2}d^2x\,(Dg)^2
:S_2=-\frac k{24\pi}\int_{B^3}d^3y\,\epsilon^{ijk}f_{abc}D_Ig^aD_Jg^bD_Kg^c
여기서 \epsilon^{IJK}는 레비-치비타 기호, f_{abc}는 리 대수의 구조 상수다.

물론, S_2로 인하여 오직 \exp(\mathrm iS) \in \mathbb C만이 잘 정의될 수 있다.

보다 일반적으로, 만약 세계면 \Sigma에 n개의 구멍이 존재한다고 하자. 구멍의 경계를 C_1,\dotsc,C_n이라고 할 때, 일반적으로 \exp(\mathrm iS)는 다음과 같은 1차원 복소수 힐베르트 공간의 원소이다.
:\exp(\mathrm iS) \in \bigotimes_{i=1}^n \mathcal L_{g\restriction C_i}
여기서
* \mathcal L은 고리군 \mathcal LG = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,G) 위의 특별한 복소수 선다발이며, 기하학적으로 이는 아핀 리 대수 \hat{\mathfrak g}의 실수 형식에 대응하는 리 군이다. (이는 고리군의 U(1)에 의한 중심 확대이다.)
* g \restriction C_i \colon \mathbb S^1 \cong C_i \to G는 g의 경곗값이다. 이는 물론 고리군의 원소를 이룬다.
* \mathcal L_x는 선다발 \mathcal L의, x\in\mathcal LG에서의 올이다.
* \mathcal L 위에는 표준적인 에르미트 내적이 주어져 있어, 위 표현은 복소수 힐베르트 공간을 이룬다.

만약 G가 반단순 리 군일 경우에는 각 단순 성분에 다른 준위가 존재할 수 있다.

### 양자화
베스-추미노-위튼 모형의 보존류(h=1인 일차장)들의 대수는 아핀 리 대수를 이룬다. 이에 따라, 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론을 이룬다.

그 힐베르트 공간은 다음과 같다.
:\mathcal H_k = \bigoplus_{R\in\operatorname{IrRep}(G,k)} \overline{
V_{R_k} \otimes_{\mathbb C} V_{\bar R_k}}
여기서
* \operatorname{IrRep}(G)는 G의 복소수 유한 차원 유니터리 기약 표현들의 동형류의 집합이다. 이는 일반적으로 가산 무한 집합이다.
* \operatorname{IrRep}(G,k) \subsetneq \operatorname{IrRep}(G)는 G의 표현 가운데, 이에 대응하는 무게 \lambda_R\in\mathfrak h가 \langle\phi_{\mathfrak g},\lambda_R\rangle \le k를 만족시키는 것이다. 여기서 \phi_{\mathfrak g}는 \mathfrak g의 근계의 부분 순서에 대한 (유일한) 최대 원소이다. (즉, 근계 \Delta의 양근의 집합 \Delta^+에 대하여, \forall\alpha\in\Delta^+\colon \alpha+\phi\}이다.)
* R\in\operatorname{IrRep}(G) 및 k\in\mathbb N에 대하여, R_k는 아핀 리 대수 \hat{\mathfrak g}의 유니터리 표현이며, 이 경우 중심 원소 \mathsf k\in\hat{\mathfrak g}의 값이 k가 된다.
* \overline{\color{White}V}는 복소수 내적 공간의, 힐베르트 공간으로의 완비화이다.
이는 물론 아핀 리 대수의 표현을 가지며, 스가와라 구성을 통해 이는 비라소로 대수의 표현을 갖는다. 이 경우
:c = \frac{k\dim G}{k+h^\vee(G)}
이다. 여기서 h^\vee(G)는 이중 콕서터 수이다.

이는 고리군 \mathcal LG의, 아핀 리 대수에 해당하는 복소수 선다발의 단면의 집합으로 해석할 수 있다.

예를 들어, 만약 G = \operatorname{SU}(2)일 때, 기약 표현은 스핀에 의하여 분류되므로
:\operatorname{IrRep}(\operatorname{SU}(2)) = \{0,1/2,1,3/2,2,\dotsc\}
:\operatorname{IrRep}(\operatorname{SU}(2),k) = \{0,1/2,1,\dotsc,k/2\}
이다.

## 성질
### 장방정식
베스-추미노-위튼 이론의 오일러-라그랑주 방정식은
:\partial(g^{-1}\bar\partial g) = 0
이다. (편의상, \Sigma 위의 복소구조에 대한 미분을 사용하였다.)

### 천-사이먼스 이론과의 관계
천-사이먼스 이론은 3차원 위상 양자장론이다. 만약 천-사이먼스 이론을 경계가 있는 3차원 다양체 위에 정의하면, 그 경계에는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형이 존재한다. 천-사이먼스 이론의 상태와 베스-추미노-위튼 모형의 상태들을 대응시킬 수 있다. 이는 AdS/CFT 대응성의 단순한 경우(AdS3/CFT2)로 생각할 수 있다. 천-사이먼스/베스-추미노-위튼 대응성은 에드워드 위튼이 1989년에 발견하였다.

### D막
위와 같은 보통 베스-추미노-위튼 모형은 닫힌 끈을 나타낸다. 이 대신, 열린 끈에 대한 모형을 정의할 수도 있다. 이 경우, 정칙 진동 모드와 반정칙 진동 모드 사이에 관계를 주어야 한다.

구체적으로, 대칭류
:J = -\partial g g^{-1}
:\bar J= g^{-1}\bar\partial g
를 생각하자. 이 경우, 조건
:J = -\bar J
은 풀어 쓰면
:0 = (\partial g)g^{-1} - g^{-1}\bar\partial g
= \operatorname{Ad}(g) g^{-1}\partial g
- g^{-1} \bar\partial g
이다. 이는
:
(\operatorname{Ad}(g)+1)
g^{-1}(\partial-\bar\partial)g
+
(\operatorname{Ad}(g)-1)
g^{-1}(\partial+\bar\partial)g
=0

로 적을 수 있다. 이 경우, 킬링 형식을 사용하여, G의 g에서의 접공간 \mathrm T_gG를 딸림표현의 궤도에 평행한 부분 공간 \mathrm T^\parallel_gG과 수직한 부분 공간 \mathrm T^\perp_gG으로 구분할 수 있다. 그렇다면, \mathrm T^\perp_gG에 제한하였을 때 \operatorname{Ad}(g) = 1이므로,
:\left(g^{-1}(\partial-\bar\partial)g\right)^\perp = 0
이 된다. 즉, 이는 접벡터 g^{-1}(\partial-\bar\partial)g의, 딸림표현 궤도에 대하여 수직인 성분이 0이며, 따라서 이는 딸림표현 궤도(리 군의 켤레류)의 모양을 한 D막에 해당한다.

이 경우, 양자 이론의 확률 진폭이 잘 정의되기 위해서는 켤레류에 대응되는 무게 \lambda가 정수 무게이어야 한다. 즉, G의 극대 원환면 T \le G을 고르고, 그 리 대수(보렐 부분 대수)가 \mathfrak h라고 하자. 그렇다면, 무게 \lambda \in \mathfrak \mathfrak h^\vee에 대하여, 켤레류
:\{g \exp(2\pi\lambda/k) g^{-1} \colon g \in G\}
를 대응시킬 수 있다. D막이 이 켤레류에 존재할 수 있을 필요 충분 조건은 \lambda가 정수 무게인 것, 즉 G의 모든 근 \alpha에 대하여 \langle\alpha,\lambda\rangle\in\mathbb Z인 것이다.

## 역사
율리우스 베스와 브루노 추미노, 세르게이 노비코프, 에드워드 위튼이 발견하였다. 비슷한 이름을 가진 베스-추미노 모형(4차원 초대칭 양자장론)과는 (발견자가 같은 것을 제외하며) 관계없는 이론이다.

## 각주

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## 외부 링크
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분류:수리물리학
분류:양자장론