대각 사상

범주론에서 **대각 사상**(對角寫像, )은 어떤 대상에서 그 거듭제곱으로 가는 표준적인 사상이다. 마찬가지로, 어떤 대상의 거듭쌍대곱에서 원래 대상으로 가는 **쌍대 대각 사상**(雙對對角寫像, )이 존재한다.

## 정의
기수 \kappa 및 범주 \mathcal C 속의 대상 X와 가 주어졌다고 하자. 만약 \kappa개의 X들의 곱 X^{\times\kappa}이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 \operatorname{id}_X로부터 유도되는 사상
:\operatorname{diag}_X\colon X\to X^{\times\kappa}
이 존재한다. 이를 **대각 사상**이라고 한다. 만약 \kappa=1일 경우 이는 항등 사상 \operatorname{id}_X\colon X\to X이며, 만약 \kappa=0일 경우 이는 끝 대상 1\cong X^{\times1}으로 가는 유일한 사상 X\to1이다.

마찬가지로, 만약 \kappa개의 X들의 쌍대곱 X^{\sqcup\kappa}이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 \operatorname{id}_X로부터 유도되는 사상
:\operatorname{diag}_X\colon X^{\sqcup\kappa}\to X
이 존재한다. 이를 **쌍대 대각 사상**()이라고 한다. 만약 \kappa=1일 경우 이는 항등 사상 \operatorname{id}_X\colon X\to X이며, 만약 \kappa=0일 경우 이는 시작 대상 0\cong X^{\sqcup1}에서 X로 가는 유일한 사상 0\to X이다.

## 예
### 집합의 범주
집합과 함수의 범주 \operatorname{Set}는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합 X과 기수 \kappa가 주어졌을 때, 곱집합 X^{\times\kappa}으로 가는 대각 함수는 다음과 같다.
:\operatorname{diag}_X^\kappa\colon X\to X^{\times\kappa}
:\operatorname{diag}_X^\kappa\colon x\mapsto(\overbrace{x,x,\dots,x}^\kappa)\in X^{\times\kappa}
대각 사상의 치역을 **대각 부분 집합**()이라고 한다.

\kappa=2이며, X가 유한 집합이며, X에 임의의 전순서를 주면 X\times X의 원소는 변의 길이가 |X|인 정사각 행렬의 한 성분으로 생각할 수 있다. 이 경우, 대각 사상은 모든 원소를 정사각 행렬의 (왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가는) 대각선 위의 성분에 대응시키며, "대각 사상"이라는 이름은 이로부터 유래하였다.
:\begin{pmatrix}
\bullet\\-\\\vdots
\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}
\bullet&-&\cdots\\
-&-&\cdots\\
\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}
:\begin{pmatrix}
-\\\bullet\\\vdots
\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}
-&-&\cdots\\
-&\bullet&\cdots\\
\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}
:\vdots

### 작은 범주의 범주
작은 범주와 함자의 범주 \operatorname{Cat}는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 작은 범주 \mathcal C 위의 대각 함자
:\operatorname{diag}_{\mathcal C}\colon \mathcal C\to\mathcal C\times\mathcal C
는 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다.
:\operatorname{diag}_{\mathcal C}\colon X\mapsto (X,X)\in\mathcal C\times\mathcal C
:\operatorname{diag}_{\mathcal C}\colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f\times f\colon (X,X)\to (Y,Y)\right)

### 조각 범주
범주 \mathcal C 속의 대상 A 위의 조각 범주 \mathcal C/A를 생각하자. 조각 범주의 대상 f\colon X\to A의 대각 사상 \operatorname{diag}_f은 (만약 존재한다면) \mathcal C에서 다음과 같다.
:\begin{matrix}
X&\overset{\operatorname{diag}_f}\to&X\times_AX&\overset{\operatorname{proj}_1}\to&X\\
&&{\scriptstyle\operatorname{proj}_12}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\\
&&X&\underset f\to&A
\end{matrix}

즉, 이는 당김 X\times_AX에 대한 대각 사상 X\to X\times_AX을 이룬다.

### 위상 공간의 범주
위상 공간의 범주 \operatorname{Top}에서, 대각 사상 \operatorname{diag}_X\colon X\to X\times X은 집합으로서의 대각 함수와 같으며, 대각 사상은 항상 그 상으로의 위상 동형을 정의한다.

위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 하우스도르프 공간이다.
* 대각 사상 X\to X\times X의 상이 닫힌집합이다.

### 스킴의 범주
스킴의 범주에서, 당김에 대한 대각 사상 X\to X\times_YX는 다음과 같이 다양한 정의·정리들에 등장한다.
* 스킴 사상 f\colon X\to Y에 대하여, 이에 대한 대각 사상 X\to X\times_YX는 항상 스킴 몰입이다. 즉, 어떤 열린 몰입 \iota_o\colon Z\to X\times_YX 및 닫힌 몰입 \iota_c\colon X\to Z의 합성이다.
* 스킴 사상 f\colon X\to Y에 대하여, 이에 대한 대각 사상 X\to X\times_YX가 준콤팩트 함수라면 f를 준분리 사상이라고 한다.
* 스킴 사상 f\colon X\to Y에 대하여, 이에 대한 대각 사상 X\to X\times_YX가 닫힌 몰입이라면 f를 분리 사상이라고 한다. 이는 대각 사상의 상이 닫힌집합인 것과 동치이다.
* 국소 유한 표시 사상 f\colon X\to Y에 대하여, 이에 대한 대각 사상 f\colon X\to X\times_YX가 열린 몰입이라면 f를 비분기 사상이라고 한다.
* 스킴 사상 f\colon X\to Y에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 사상을 **보편 단사 사상**()이라고 한다.
** 임의의 스킴 사상 Y'\to Y에 대하여, 밑 변환 X\times_YY'\to Y'이 단사 함수이다.
** 대각 사상 X\to X\times_YX가 전사 함수이다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:함수와 사상
분류:범주론