멀티심플렉틱 다양체

미분기하학에서 **멀티심플렉틱 다양체**(multisymplectic多樣體, )는 임의의 0이 아닌 벡터장과의 내부곱이 0이 아닌 닫힌 미분 형식을 갖춘 매끄러운 다양체이다. 심플렉틱 다양체와 부피 형식의 개념의 공통적인 일반화이다.

## 정의
자연수 k\in\mathbb N가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M 위의 **<math>k</math>차 멀티심플렉틱 구조**()
:\omega\in\Omega^{k+1}(M)
은 다음과 같은 성질을 갖는 k+1차 닫힌 미분 형식이다.
* 임의의 점 x\in M 및 접벡터 v\in\mathrm T_xM \setminus\{0\}에 대하여, v \lrcorner \omega_x \ne 0 \in \textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*_xM이다.
여기서
:\lrcorner \colon \mathrm T_xM \times \bigwedge^{k+1}\mathrm T^*M \to \bigwedge^k\mathrm T^*M
는 x에서, 접벡터와 미분 형식의 내부곱이다.

**<math>k</math>차 멀티심플렉틱 다양체**() (M,\omega)는 매끄러운 다양체와 그 위의 k차 멀티심플렉틱 구조의 순서쌍이다.

## 성질
n차원 매끄러운 다양체 위에 k차 멀티심플렉틱 구조가 존재할 필요 조건은 다음과 같다.
:k+1 \le n \le \binom nk
여기서 첫째 부등식은 자명하지 않은 k+1차 미분 형식이 존재할 필요 조건이며, 둘째 부등식은 \textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*_xM의 차원이 \mathrm T_xM의 차원보다 작지 않을 조건이다.

일반적으로, n\ge6차원 매끄러운 다양체 위에는 2차〜n-4차 멀티심플렉틱 구조가 항상 존재한다.

### 멀티심플렉틱 다양체에 대응되는 L<sub>∞</sub>-대수
k차 멀티심플렉틱 다양체 (M,\omega) 위의 **해밀토니언 미분 형식**()은 다음 조건을 만족시키는 k-1차 미분 형식 \alpha\in\Omega^{k-1}(M)이다.
:\exists X \in \operatorname{Vect}(M) \colon \mathrm d\alpha = X \lrcorner \omega
그 공간을 \Omega^{k-1}_{\operatorname{Ham}}(M)이라고 하자.

이제, 등급 벡터 공간
:L = \bigoplus_{i=0}^{n-1}L_i
:L_0 = \Omega^{k-1}_{\operatorname{Ham}}(M)
:L_i = \Omega^{k-1-i}(M)\qquad(i\in\{1,2,\dotsc,n-1\}
위에 다음과 같은 L∞-대수의 구조를 줄 수 있다.
:[\alpha] = \mathrm d\alpha\qquad\forall \alpha\in L,\;\deg \alpha>0
:[\alpha_1,\dotsc,\alpha_p] = (-)^{1+\lceil p/2\rceil}(X_1\wedge \dotsb \wedge X_p) \lrcorner \omega\qquad(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k\in\Omega^{k-1}_{\operatorname{Ham}}(M),\;\forall i\colon \mathrm d\alpha_i = X_i\lrcorner \omega)

## 연산
(서로 다른 차원일 수 있는) 두 k차 멀티심플렉틱 다양체 (M_1,\omega_1), (M_2,\omega_2)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱공간
:M = M_1 \times M_2
:\pi_i \colon M \twoheadrightarrow M_i
에 대하여,
:\omega = \pi_1^*\omega_1 + \pi_2^*\omega_2
를 정의하자. 만약 k\ge1이라면, 이는 M 위의 k차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.

**증명**:

임의의 x=(x_1,x_2)\in M에서, 접벡터
:v = (v_1,v_2) \in \mathrm T_xM = \mathrm T_{x_1}M_1 \oplus \mathrm T_{x_2}M_2
에 대하여,
:v \lrcorner \omega = v_1\lrcorner\omega_1 + v_2 \lrcorner\omega_2
이다. k>0이라면, 이 두 항은 서로 다른 벡터 공간에 속하므로, 합이 0일 필요 충분 조건은 각 항이 0인 것이다. 그런데 M_1과 M_2가 각각 k차 멀티심플렉틱 다양체이므로, 이것이 0일 필요 충분 조건은 v_1과 v_2가 각각 0인 것이다.


## 예
0차 멀티심플렉틱 다양체는 1차원에서만 존재하며, 그 개념은 부피 형식을 갖춘 1차원 매끄러운 다양체와 같다.

1차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 심플렉틱 다양체의 개념과 같다.

n차원 n-1차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 부피 형식이 주어진 n차원 매끄러운 다양체의 개념과 같다.

### 리 군
콤팩트 단순 리 군이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에는 표준적인 3차 미분 형식이 존재하며, 그 계수는 리 대수의 구조 상수이다. 이를 통하여 콤팩트 단순 리 군은 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 콤팩트 단순 리 대수는 2차 멀티심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.

G의 실수 리 대수를
:\mathfrak g = \mathfrak{lie}(G)
라고 하자. 그렇다면, 끈 L₂-대수()
:\mathfrak{string}(\mathfrak g) = \mathfrak g\oplus \mathbb R[1]
:[x,y,z] = \mu(x,y,z) \in \mathbb R[1]\qquad\forall x,y,z\in\mathfrak g
를 정의할 수 있다.

2-멀티심플렉틱 다양체 G에 대응되는 L₂-대수
:L(G) = \Omega^1_{\operatorname{Ham}}(G)\oplus\Omega^0(G)[1]
를 생각하자. G는 스스로 위에 왼쪽 곱셈으로 작용하며, 이에 대한 불변 L₂-대수
:L(G)^G = \Omega^1_{\operatorname{Ham}}(G)^G\oplus\Omega^0(G)^G[1]
를 적을 수 있다. 여기서 표준적으로
:\Omega^1_{\operatorname{Ham}}(G)^G \cong \mathfrak g^* \cong \mathfrak g
:\Omega^0(G)^G \cong \mathbb R
이며, 따라서 이는 끈 L₂-대수와 동형이다.

### 특수 홀로노미
홀로노미가 리 군 G₂인 7차원 리만 다양체는 표준적으로 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.

초켈러 다양체의 세 심플렉틱 구조 \omega_1,\omega_2,\omega_3이 주어졌을 때
:\omega_1\wedge\omega_1+\omega_2\wedge\omega_2+\omega_3\wedge\omega_3
은 그 위의 3차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.

### 공변접다발의 외대수
매끄러운 다양체 M이 주어졌을 때, 그 공변접다발의 k차 외대수
:\bigwedge^k\mathrm T^*M
을 생각하자. 그 위에는 표준적인 k차 미분 형식
:\theta \in \Omega^k\left(\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right)
:\theta|_{(x,p)} = p_{i_1\dotso i_k}\,\mathrm dx^{i_1} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx^{i_k} \qquad\left(x\in M,\;p\in\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right)
이 존재한다. 그 외미분
:\omega = \mathrm d\theta \in \Omega^{k+1}\left(\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right)
:\omega|_{(x,p)} = \mathrm dp_{i_1\dotso i_k}\,\mathrm dx^{i_1} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx^{i_k} \qquad\left(x\in M,\;p\in\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right)
은 n+\textstyle\binom nk차원 매끄러운 다양체 \textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*M 위의 k차 멀티심플렉틱 구조를 정의한다.

### 시그마 모형
다음이 주어졌다고 하자.
* m차원 매끄러운 다양체 M
* k차원 매끄러운 다양체 \Sigma
* \Sigma 위의 부피 형식 \omega\in\Omega^k(\Sigma)
그렇다면 벡터 다발
:\mathrm T\Sigma \otimes_{M\times\Sigma} \mathrm T^*M
의 전체 공간의 국소 좌표를
:(x^\mu,\phi^i,\pi^\mu_i)\qquad(x\in\Sigma,\;\phi\in M,\;\pi\in\mathrm T_x\Sigma \otimes \mathrm T^*_xM)
위에 다음과 같은 구조를 생각하자.
:\theta= \pi^\mu_i \mathrm d\phi^i \wedge \frac\partial{\partial x^\mu} \lrcorner \omega
이는 k차 미분 형식을 이룬다. 그 외미분
:\mathrm d\theta= \mathrm d\pi^\mu_i \mathrm d\phi^i \wedge \frac\partial{\partial x^\mu} \lrcorner \omega
은 k+1차 미분 형식이며, 만약 k\ge2일 경우 k차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.

**증명**:

임의의
:x\in \Sigma
:\phi\in M
:v^\mu\frac\partial{\partial x^\mu}\in \mathrm T_x\Sigma
:\chi^i\frac\partial{\partial\phi^i} \in \mathrm T_\phi M
:\nu^i_\mu\,\mathrm d\pi_i^\mu \in \mathrm T_\phi M \otimes \mathrm T^*_x N
에 대하여,
:
(v,\chi,\nu) \lrcorner \mathrm d\theta
=
\mathrm d\pi^\mu_i \wedge \mathrm d\phi^i \wedge
v^\nu\psi_{\nu\mu}
 - \chi^i \mathrm d\pi^\mu_i \wedge \psi_\mu
+ \nu^\mu_i \mathrm d\phi^i \wedge \psi_\mu

이다. 여기서 편의상
:\psi_\mu= \frac\partial{\partial x^\nu} \lrcorner \omega
:\psi_{\mu\nu} =  \frac\partial{\partial x^\mu}\lrcorner \frac\partial{\partial x^\nu} \lrcorner \omega
으로 정의하였다. k\ge2일 경우 \psi_{\nu\mu} \ne 0이게 된다. 즉, 이 경우, 위 표현이 0이 될 필요 충분 조건은 v와 \chi와  \nu가 각각 0인 것이다.


이 구성은 \Sigma\to M 시그마 모형의 공변 위상 공간()으로 해석할 수 있다. 이 경우 좌표 \pi^\mu_i는 일반화 운동량에 해당한다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:미분기하학