지붕 (기하학)

기하학에서 **지붕**은 하나는 (밑면) 다른 것의 변의 두 배를 가진 두 다각형을 이등변삼각형과 직사각형이 번갈아 나타나는 띠로 연결한 다면체이다. 삼각형이 정삼각형이고, 사각형이 정사각형일 때, 밑면과 그 반대면이 정다각형이라면, 삼각, 사각, 그리고 오각지붕은 모두 존슨의 다면체로 계수되고, 각각 육팔면체, 마름모육팔면체, 그리고 마름모십이이십면체의 일부로 만들어진다.

지붕은 한 쪽 다각형이 교대 꼭짓점을 병합해서 절반으로 만든 각기둥으로 볼 수 있다.

지붕은 확장된 슐레플리 기호로 {*n*} &#124;&#124; t{*n*}로 주어질 수 있으며, 정다각형 {n}이 평행한 그 깎은 형태, t{n} 또는 {2n}과 결합한 것을 나타낸다.

지붕은 기둥형 다면체의 부분그룹이다.

## 예시

[섬네일|[마름모삼육각형 타일링에서 평면 "육각지붕"이다.]]
위에서 언급된 세 다면체는 유일한 정다각형 면을 가지는 자명하지 않은 볼록한 지붕이다. "육각지붕"은 평면 도형이다. 하지만, 높은 차수의 지붕은 비정다각형 삼각형과 직사각형 면으로 만들어질 수 있다.

다음은 지붕과 관련된 고른 다면체이다.

삼각지붕과 관련된 고른 다면체:육팔면체(밑면끼리 비틀어 붙임)

사각지붕과 관련된 고른 다면체:마름모육팔면체(서로 맞붙이고 그 사이에 정팔각기둥(4.4.8)을 끼워 넣음)

오각지붕과 관련된 고른 다면체:마름모십이이십면체

육각지붕 (평면)과 관련된 고른 타일링:마름모삼육각형 타일링

## 꼭짓점의 좌표
[섬네일|left|사십각지붕은 이등변삼각형 (파란색) 40개, 직사각형 (노란색) 40개, 상부의 정[사십각형 (빨간색)과 하부의 정팔십각형 (가려짐)을 가진다.]]
지붕의 정의는 밑면(또는 윗면이라고 불리는 밑면의 반대면)이 정다각형일 필요는 없지만, 지붕이 최대의 대칭 C*n*v를 가질 때는 정다각형으로 고려하는 것이 편리하다. 이 경우에는, 윗면은 정*n*각형이고 밑면이 정2*n*각형이거나 두 다른 길이가 교대로 나타나고 정2*n*각형과 각이 같은 2*n*각형이다. 좌표계를 이동시켜서 밑면이 *xy*평면에 놓이고, 윗면을 *xy*평면에 평행하게 하는 것이 편리하다. *z*축은 *n*-fold 축이고 거울면은 *z*축을 지나면서 밑면의 변을 이등분한다. 이것은 또한 윗면의 변이나 각 또는 둘 다를 이등분한다. (*n*이 짝수일 때, 거울면의 절반은 윗면의 변을 이등분하고 나머지 절반은 각을 이등분하고, *n*이 홀수이면, 모든 거울면은 한쪽은 윗면의 변을, 한쪽은 각을 이등분 한다.) 밑면의 꼭짓점은 V1에서 V2*n*까지 지정할 수 있고, 윗면의 꼭짓점은 V2*n*+1에서 V3*n*까지 지정할 수 있다. 이 정의로, 꼭짓점의 좌표는 다음과 같이 쓸 수 있다:
**V*2*j*−1: (*r<sub>b</sub>* cos[2π(*j* − 1) / *n* + α], *r<sub>b</sub>* sin[2π(*j* − 1) / *n* + α], 0)
**V*2*j*: (*r<sub>b</sub>* cos(2π*j* / *n* − α), *r<sub>b</sub>* sin(2π*j* / *n* − α), 0)
**V*2*n*+*j*: (*r<sub>t</sub>* cos(π*j* / *n*), *r<sub>t</sub>* sin(π*j* / *n*), *h*)

이때 *j* = 1, 2, ..., *n*이다.

또 다각형 *V*1*V*2*V*2*n*+2*V*2*n*+1,등은 직사각형이기 때문에, 이것은 *r<sub>b</sub>*, *r<sub>t</sub>*, 그리고 α의 값에 제약을 준다. *V*1*V*2의 길이는 다음과 같다:
:*r<sub>b</sub>*{[cos(2π / *n* − α) − cos α]2 + [sin(2π / *n* − α) − sin α]2}
:= *r<sub>b</sub>*{[cos2(2π / *n* − α) − 2cos(2π / *n* − α)cos α + cos2 α] + [sin2(2π / *n* − α) − 2sin(2π / *n* − α)sin α + sin2 α]}
:= *r<sub>b</sub>*{2[1 − cos(2π / *n* − α)cos α − sin(2π / *n* − α)sin α]}
:= *r<sub>b</sub>*{2[1 − cos(2π / *n* − 2α)]}

그리고 *V*2*n*+1*V*2*n*+2의 길이는 다음과 같다:
:*r<sub>t</sub>*{[cos(π / *n*) − 1]2 + sin2(π / *n*)}
:= *r<sub>t</sub>*{[cos2(π / *n*) − 2cos(π / *n*) + 1] + sin2(π / *n*)}
:= *r<sub>t</sub>*{2[1 − cos(π / *n*)]}.

이것들은 같으며, 공통 모서리는 *s*로 표시된다,
:*r<sub>b</sub>* = *s* / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]}
:rt = *s* / {2[1 − cos(π / *n*)]}

이 값들은 먼저 주어진 꼭짓점의 좌표 공식에 대입할 수 있다.

## 별 지붕

별 지붕은 6/5&nbsp;&lt;&nbsp;*n*/*d*&nbsp;&lt;&nbsp;6이고 *d*는 홀수인 모든 밑면 {*n*/*d*}에 대하여 존재한다. 극한에서 지붕은 평면 도형으로 찌그러진다: 극한너머에서는 삼각형과 사각형은 더 이상 두 다각형 사이의 거리를 채우지 않는다. *d*가 짝수일 때, 밑면 {2*n*/*d*} 은 불가능해진다: 불가능한 면을 없애고 대신에 삼각형과 사각형을 서로 연결하면 *지붕형 다면체*나 *반지붕*을 만들 수 있다. 특히, 사반육면체는 {3/2}-지붕형 다면체로 볼 수 있다. 지붕은 모두 유향 다양체이고, 지붕형 다면체는 모두 가향 다양체가 아니다. 지붕형 다면체에서 *n*/*d* > 2일 때, 삼각형과 사각형은 밑면 전체를 덮지 않고, 작은 막은 단순히 빈 공간을 덮기 위해 밑면에 남는다. 따라서 위에서 나타낸 {5/2}와 {7/2} 기둥형 다면체는 (채워지지 않은) 막을 가진다. 반면에 위에서 나타낸 {5/4}와 {7/4} 기둥형 다면체는 막을 가지지 않는다.

{*n*/*d*}지붕의 높이 *h*는 다음의 공식으로 주어진다:
h = \sqrt{1-\frac{1}{4 \sin^{2} (\frac{\pi d}{n})}}. 특히, *n*/*d* = 6과 *n*/*d* = 6/5에서 극한적으로 *h* = 0이고, *n*/*d* = 2에서 (삼각기둥,삼각형이 직립일 때) *h*는 최대화된다.

위의 그림에서, 별 지붕은 그들의 면을 구분하는 것을 돕기 위해 일관된 색 구성으로 주어졌다: 밑면 *n*/*d*각형은 빨간색, 밑면 2*n*/*d*각형은 노란색, 사각형은 파란색, 그리고 삼각형은 초록색이다. 지붕형 다면체는 밑면 다른 밑면이 사라진 것처럼 *n*/*d*각형을 빨간색, 사각형은 노란색, 그리고 삼각형은 파란색으로 칠했다.

## 역지붕

*n*각 **역지붕**은 정2*n*각형 밑면과, 두 종류의 삼각형 3*n*개와, 정*n*각형 윗면으로 이루어져있다. *n*=2일 때, 이각형 윗면은 변 하나로 줄어든다. 윗면의 꼭짓점은 낮은 다각형의 꼭짓점과 정렬되어있다. 대칭은 C*n*v, 2*n*차이다.

역지붕은 일부는 정다각형으로 만들 수는 있지만 전부 정다각형 면으로는 만들수 없다. *n*각형 윗면과 삼각형이 정다각형이라고 하면, 2*n*각형 밑면은 평면다각형이나 정다각형이 될 수 없다. 이런 경우에서, *n*=6일 때는 밑면이 큰 육각형처럼 생겨서 일직선에 놓인 모서리를 가지는 대칭적인 12각형인 부피가 없는 다면체로 다듬은 정육각형 타일링의 정육각형과 둘러싸는 정삼각형을 생성한다.

역지붕 둘을 밑면끼리 붙여서 맞붙인 역지붕을 만들 수 있다.

## 초지붕
**초지붕** 또는 **다면체 지붕**은 고르지 않은 4차원 볼록 다포체족이고, 지붕과 유사하다. 각각의 밑면은 플라톤의 다면체와 그 확장이다.

## 같이 보기
* 붙인 지붕
* 둥근지붕
* 붙인 둥근지붕
* 각뿔
* 쌍각뿔
* 뿔/지붕형 다면체와 이에 관련된 고른 다면체의 목록

## 각주

* Johnson, N.W. *Convex Polyhedra with Regular Faces.* Canad. J. Math. 18, 169–200, 1966.

## 외부 링크
*
* Segmentotopes

분류:다면체
분류:기둥형 다면체
분류:존슨의 다면체