앞섬-뒤짐 보상기

**앞섬-뒤짐 보상기**(Lead-lag compensator)는 PID 제어기와 더불어 실제 응용 분야에서 많이 사용되는 대표적인 제어기다. 이상적인 동작을 위해 PID 제어기는 적분기로 인한 무한대의 직류 이득과 미분기로 인한 무한대의 고주파 이득을 요구하지만, 앞섬-뒤짐 보상기는 보다 실제 적용에 있어 덜 이상적인 응답을 요구하는 제어기이다. 앞섬-뒤짐 보상기의 원리를 이해하기 위해서는 보드 선도를 통한 주파수 영역에서의 해석을 이용하는 것이 직관적으로 편리하다.

## 라플라스 변환 표현
앞섬 보상기와 뒤짐 보상기의 라플라스 변환 표현은 다음과 같다.

:D(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = K\frac{s/z + 1}{s/p + 1}.

여기서 X는 보상기의 입력 신호의 라플라스 변환이고 Y는 보상기의 출력 신호의 라플라스 변환, s는 라플라스 변환 변수, -z는 보상기의 영점, -p는 보상기의 극점이다. 만약 0 이면 보상기는 앞섬 보상기가 되고, 0 이면 뒤짐 보상기가 된다. 보통의 경우 p와 z, K는 양수이다.

## 주파수 응답 특성
섬네일|400픽셀|앞섬 보상기: <math>z = 10</math>, <math>p = 100</math>, <math>K = 1</math>, 뒤짐 보상기: <math>z = 100</math>, <math>p = 10</math>, <math>K = z/p</math>.
보상기의 주파수 응답 특성을 관찰하기 위해 s = j\omega로 치환하자. 여기서 j는 허수 단위이고, \omega는 각주파수이다. 그러면 보상기의 크기 응답과 위상 응답은 다음과 같다.

:
\begin{align}
|D(j\omega)| &= K\sqrt{\frac{1 + (\omega/z)^{2}}{1 + (\omega/p)^{2}}},\\
\angle D(j\omega) &= \arctan \frac{\omega}{z} - \arctan \frac{\omega}{p}.
\end{align}


만약 0 이면 위상 응답이 0보다 크고 (\omega = \sqrt{pz}에서 최대), 따라서 앞섬 보상기가 된다. 반대로 0 이면 위상 응답이 0보다 작고 (\omega = \sqrt{pz}에서 최소), 뒤짐 보상기가 된다. \omega = \omega_{m} = \sqrt{pz}에서의 위상 변화를 \phi_{m}이라 두면 다음과 같은 관계가 성립한다.

:
\sin \phi_{m} = \frac{\gamma - 1}{\gamma + 1},\quad \gamma = p/z.


## 시스템 응답 개선
### 주파수 응답을 통한 앞섬 보상기 설계
섬네일|400픽셀|단일 되먹임 시스템의 블록도
앞섬 보상기의 위상 응답 특성은 선형 시불변 시스템의 위상 여유를 증가시켜 불안정한 시스템을 안정화 시키거나 응답 특성을 개선하는데 이용될 수 있다. 주어진 플랜트(plant)를 G(s), 플랜트에 가해질 제어 입력을 생성할 보상기 또는 제어기를 D(s)라 두고 단일 되먹임 시스템(unity feedback system)을 고려하자. 즉, 기준 입력(reference input) r로부터 출력 y까지의 전달함수는 다음과 같다.

:
\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{D(s)G(s)}{1 + D(s)G(s)}.


시스템의 응답 특성에서 오버슈트(overshoot)를 줄이거나 불안정한 시스템의 안정화를 위해서는 보통 개방 루프의 주파수 응답의 이득 교차 주파수 \omega_{c}에서 위상 여유를 증가시켜야 한다. 직류 이득에 영향을 주지 않기 위해 보통 K = 1로 둔다. 앞섬 보상기를 이용해 증가시킬 위상의 최댓값을 \phi_{m}이라 두면 \phi_{m}만큼의 위상 증가를 얻기 위해 필요한 극점과 영점의 비율 \gamma는 다음의 관계식을 통해 결정된다.

:
\gamma = \frac{1 + \sin\phi_{m}}{1 - \sin\phi_{m}}.


\gamma가 결정되면 \omega_{m} = \sqrt{pz}와 \gamma = p/z의 관계로부터 p와 z의 값을 다음과 같이 얻게된다.

:
z = \frac{\omega_{m}}{\sqrt{\gamma}},\quad p = \omega_{m}\sqrt{\gamma}.


여기서 만약 \omega_{m} = \omega_{c}로 두고 개방 루프에 보상기를 추가해 주면 원하는 만큼의 응답 특성 개선이 이루어지지 않는다. 그 이유는 보상기를 추가함으로 인해 개방 루프의 크기 응답이 바뀌게 되어 이득 교차 주파수가 보상기의 추가 이전과 달라지기 때문이다. 따라서 \omega_{m} 값을 \omega_{c}근처에서 조금씩 변화를 시키면서 튜닝을 해야한다.

### 정상 상태 오차 개선을 위한 뒤짐 보상기 설계
단일 되먹임 시스템의 계단 응답에서 정상 상태 오차(steady-state error)를 줄이기 위해서는 개방 루프의 직류 이득을 증가시켜야 한다. 하지만 개방 루프의 직류 이득을 증가시키기 위해 비례 이득(proportional gain)만을 증가시키면 시스템의 동특성이 크게 변화하여 부작용을 피할 수 없다. 따라서, 시스템의 동특성에 변화를 가능하면 적게 주고 직류 이득을 증가시킬 필요가 있고, 이를 위해 뒤짐 보상기를 사용하게 된다. 보상기의 직류 이득은 다음과 같이 계산된다.

:
\lim_{\omega \to 0}D(j\omega) = K.


따라서 원하는 만큼 정상 상태 오차가 줄어들도록 K를 먼저 선택한다. 한편, 직류 이득을 증가시키면서 뒤짐 보상기가 개방 루프의 동특성을 크게 변화시키지 않아야 하므로 \omega가 증가함에 따라 D(j\omega)는 1에 가까워 져야 한다. \lim_{\omega \to \infty}D(j\omega) = Kp/z이므로 \gamma = 1/K로 둔다. 동특성 변화를 줄이기 위해서는 극점과 영점을 가깝게 두어 서로의 영향이 상쇄되도록 해야 한다. 따라서, \gamma = 1/K의 조건을 만족하면서 극점과 영점을 가깝게 두기 위해서는 z와 p를 작은 값으로 택해야 한다.

### 근궤적 상에서 앞섬 보상기의 영향

## 같이 보기
* PID 제어기
* 제어 이론

## 참고 문헌
# Franklin, G. F.; Powell, J. D.; Emami-Naeini, A. (2006), *Feedback Control Of Dynamic Systems* (5th ed.); Prentice Hall; , 9780131499300.

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