반소 아이디얼

환론에서 **반소 아이디얼**(半素ideal, )은 소 아이디얼들의 교집합이다. 주어진 양쪽 아이디얼을 포함하는 최소의 반소 아이디얼을 그 **소근기**(素根基, )라고 한다.

## 정의
### 소근기
환 R 속의 양쪽 아이디얼 \mathfrak a\subseteq R의 **소근기**(素根基, ) 또는 단순히 **근기**(根基, ) \sqrt{\mathfrak a}는 이를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합이다. 즉, 다음과 같은 양쪽 아이디얼이다.
:\sqrt{\mathfrak a}=\bigcap\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon\mathfrak a\subseteq\mathfrak p\}
\subseteq\{r\in R\colon\exists n\in\mathbb Z^+\colon r^n\in\mathfrak a\}
여기서 \operatorname{Spec}R는 R의 소 아이디얼들의 집합이다. 양쪽 아이디얼의 소근기는 이는 항상 반소 아이디얼이며, \mathfrak a를 포함하는 최소의 반소 아이디얼이다. (이 개념은 가군의 근기와 다른 개념이다.)

#### 가환환의 경우
가환환의 경우, 다음 집합들이 모두 일치한다.
* \sqrt{\mathfrak a}
* \{r\in R|\exists n\in\mathbb Z^+\colon r^n\in\mathfrak a\}. 즉, 충분히 거듭제곱하면 \mathfrak a의 원소가 되는 것들의 집합이다.
* R/\mathfrak a의 멱영원들의 집합 N에 대하여, \{r\in R\colon [r]\in N\}. 즉, 몫환에서 멱영원이 되는 것들의 집합이다.
가환환의 아이디얼의 소근기는 자리스키 위상의 폐포 연산자와 같다.

### 반소 아이디얼
환 R 속의 양쪽 아이디얼 \mathfrak a\subseteq R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 양쪽 아이디얼을 **반소 아이디얼**(半素ideal, ) 또는 **근기 아이디얼**(根基ideal, )이라고 한다.
* 임의의 양쪽 아이디얼 \mathfrak b\subseteq R에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 n에 대하여 \mathfrak b^n\subseteq\mathfrak a라면, \mathfrak b\subseteq\mathfrak a이다.
* 임의의 왼쪽 아이디얼 B\subseteq R에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 n에 대하여 B^n\subseteq\mathfrak a라면, \mathfrak b\subseteq\mathfrak a이다.
* 임의의 오른쪽 아이디얼 B\subseteq R에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 n에 대하여 B^n\subseteq\mathfrak a라면, \mathfrak b\subseteq\mathfrak a이다.
* 임의의 r\in R에 대하여, 만약 rRr\subseteq\mathfrak a라면 r\in\mathfrak a이다.
* R\setminus\mathfrak a는 n-계를 이룬다.
* \mathfrak a=\bigcap\mathcal P인, 소 아이디얼들의 집합 \mathcal P\subseteq\operatorname{Spec}R이 존재한다.
* 스스로의 소근기와 같다. 즉, \mathfrak a=\sqrt{\mathfrak a}이다.
여기서 \operatorname{Spec}R는 R의 소 아이디얼들의 집합이며, **n-계**()란 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 S\subseteq R이다.
:\forall s\in S\exists r\in R\colon srs\in S

#### 가환환의 경우
가환환 R의 아이디얼 \mathfrak a에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
* 반소 아이디얼이다.
* 임의의 r\in R 및 양의 정수 n\in\mathbb Z^+에 대하여, 만약 r^n\in\mathfrak a라면 r\in\mathfrak a이다.
* 임의의 r\in R\setminus\mathfrak a에 대하여, \{r,r^2,r^3,\dots\}\subseteq R\setminus\mathfrak a이다.

## 성질
환의 양쪽 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:완전 소 아이디얼 ⊂ 소 아이디얼 ⊂ 반소 아이디얼 ⊂ 양쪽 아이디얼

가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:
사실, 가환환의 아이디얼의 경우 소 아이디얼인 것은 으뜸 아이디얼이자 반소 아이디얼인 것과 동치이다.

영 아이디얼의 소근기 \sqrt{(0)}는 **[[하영근기]]** 또는 (가환환의 경우) 단순히 **[[영근기]]**라고 하며, 가환환의 경우 이는 멱영원들의 집합과 같다.

영 아이디얼이 반소 아이디얼인 환을 **[[반소환]]**이라고 하며, 가환환의 경우 이는 **[[축소환]]**인 것과 동치이다.

## 예
### 정수환
정수환 \mathbb Z에서, (n)이 반소 아이디얼일 필요충분조건은 n이 제곱 인수가 없는 정수 또는 0인 것이다. 특히, (0)이 반소 아이디얼이므로 정수환은 반소환이다.
정수환 \mathbb Z의 경우, 아이디얼 \mathbb Z/m의 소근기는 다음과 같다.
:\sqrt{\mathbb Z/m}=\mathbb Z/\left(\prod_{p\mid m}p\right)
여기서 \prod_{p\mid m}p는 m의 소인수들의 곱이다. 예를 들어
:\sqrt{\mathbb Z/12}=\mathbb Z/6
이다.

### 다항식환
대수적으로 닫힌 체 K 위의 다항식환 K[x]은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 다항식
:\prod_{i=1}^k(x-a_i)^{n_i}\in K[x]\qquad(i\ne j\implies a_i\ne a_j)
으로 생성되는 주 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.
:\sqrt{\left(\prod_{i=1}^k(x-a_i)^{n_i}\right)}=\prod_{i=1}^k(x-a_i)

### 데데킨트 정역
보다 일반적으로, 데데킨트 정역 R에서, 영 아이디얼이나 R가 아닌 아이디얼은 소 아이디얼로 인수 분해되어
:\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p^{n(\mathfrak p)}
의 꼴로 유일하게 나타내어진다. 이 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.
:\sqrt{\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p^{n(\mathfrak p)}}
=\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p

## 역사
반소 아이디얼()의 개념은 가환환의 경우 볼프강 크룰이 도입하였고, 일반적 환의 경우 나가타 마사요시가 도입하였다.

## 같이 보기
* 제이컵슨 근기
* 영근기
## 각주

## 외부 링크
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분류:아이디얼
분류:폐포 연산자