크룰 차원

가환대수학과 대수기하학에서 **크룰 차원**(Krull次元, )은 가환환에 대한 차원의 일종이다. 소 아이디얼로 이루어진 진부분집합들의 사슬들의 크기의 상한이다.

## 정의
### 위상 공간의 차원
위상 공간 X의 **기약 집합**()은 기약 공간이며 공집합이 아닌 닫힌집합이다. (이는 아핀 스킴의 경우 소 아이디얼에 대응한다.) X의 **크룰 차원**은 X의 기약 집합들의 사슬
:I_0\subsetneq I_1\subsetneq\cdots I_{n-1}\subsetneq I_n
의 길이들의 상한 n\in\mathbb N\cup\{+\infty,-\infty\}이다. 만약 기약 집합이 아예 존재하지 않을 경우 (즉, 공간이 공집합인 경우), 크룰 차원은 -\infty이다.

보통, 스킴의 차원이란 이 크룰 차원을 말한다. 이 정의에 따라 자명환의 스펙트럼의 크룰 차원은 -\infty이다.

위상 공간 X의 열린 덮개 \{U_i\}_{i\in I}가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
:\dim X=\sup_{i\in I}\dim U_i

### 가군의 차원
가환환 R 위의 가군 M의 **크룰 차원**은 다음과 같다.
:\dim_RM=\dim\operatorname{Spec}(R/\operatorname{Ann}_R(M))
여기서 \operatorname{Ann}_R(M)은 M의 소멸자이며, \operatorname{Spec}은 환의 스펙트럼이다. 대수기하학적으로, 이는 M을 \operatorname{Spec}R 위의 가군층으로 여겼을 때, 그 지지 집합의 차원에 해당한다.

### 아이디얼의 높이
가환환 R의 소 아이디얼 \mathfrak p의 **높이**() \operatorname{ht}_R\mathfrak p는 다음과 같은 소 아이디얼의 사슬의 최대 길이 n이다.
:\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak  p_1\subsetneq\mathfrak p_2\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n\subseteq\mathfrak p
이는 국소화 R_{\mathfrak p}의 크룰 차원과 같다.
:\dim R_{\mathfrak p}=\operatorname{ht}_R\mathfrak p
가환환 R의 아이디얼 \mathfrak a의 **높이**() \operatorname{ht}_R\mathfrak a는 \mathfrak a를 포함하는 소 아이디얼들의 높이의 하한이다.
:\operatorname{ht}_R\mathfrak a=\inf_{\mathfrak a\subseteq\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\operatorname{ht}_R\mathfrak p
(초른 보조정리에 따라, \mathfrak a를 포함하는 극대 아이디얼이 항상 존재하며, 극대 아이디얼은 소 아이디얼이므로 이는 항상 공집합이 아니다.)

대수기하학적으로, 이는 \operatorname{Spec}(R/\mathfrak a)\subseteq\operatorname{Spec}R의 여차원과 같다.
:\operatorname{codim}_R(R/\mathfrak a)=\operatorname{ht}_R\mathfrak a

## 성질
### 가환환의 차원
R가 (1을 갖춘) 가환환이라고 하자. 만약 R의 소 아이디얼들 \mathfrak p_i가 다음과 같은 진부분집합의 사슬
:\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak  p_1\subsetneq\mathfrak  p_2\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n
을 이룰 때, 음이 아닌 정수 n을 집합 H(R)\subset\mathbb N의 원소로 정의하자. 그렇다면 가환환 R의 **크룰 차원**은 H(R)의 상한이다. 즉,
:\dim R=\sup H(R)\in\mathbb N\sqcup\{\infty\} 자명환의 경우, 크룰 차원은 -\infty이다.

그렇다면, 다음 세 개의 차원들이 서로 같다.
*  R의 환으로서의 크룰 차원
* 스펙트럼 \operatorname{Spec}R의 크룰 차원
* R를 스스로 위의 가군으로 여겼을 때, R의 가군 크룰 차원

가환환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 체이다.
* 크룰 차원이 0인 정역이다.

가환환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 아르틴 환이다.
* 크룰 차원이 0인 뇌터 환이다.

일반적인 가환환 R에 대하여, 다음이 성립한다.
:\dim R+1\le\dim R[x]\le2\dim R+1
만약 R가 뇌터 환이라면, 다음이 성립한다.
:\dim R[x]=1+\dim R

### 대수다양체의 차원
대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 크룰 차원은 유한하며, 쌍유리 변환 아래 불변량이다.

대수적으로 닫힌 체 K에 대한 아핀 대수다양체 V=\operatorname{Spec}K[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak p (\mathfrak p는 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* V의 크룰 차원이 d이다.
* V의 임의의 비특이점에서의 뇌터 국소환의 크룰 차원이 d이다.
* V의 유리 함수체 \Gamma(V,\mathcal K_V)=\operatorname{Frac}(K[x_1,\dots,x_n/\mathfrak p)의 K에 대한 초월 차수가 d이다.
* K[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak p의 힐베르트 다항식이 d차 다항식이다.

대수적으로 닫힌 체 K에 대한 사영 대수다양체 V=\operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dots,x_n]/\mathfrak p (\mathfrak p는 동차 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* V의 크룰 차원이 d이다.
* V의 임의의 비특이점에서의 국소환의 크룰 차원이 d이다.
* K[x_0,\dots,x_n]/\mathfrak p의 K에 대한 초월 차수가 d+1이다.

### 뇌터 국소환의 차원
뇌터 국소환 (R,\mathfrak m)의 차원은 다음과 같이 세 가지 방법으로 정의할 수 있다. 이들은 모두 같으며, 항상 유한하다.
* R의 크룰 차원 \dim R
* R에서, R/(r_1,r_2,\dots,r_\delta)가 자명환이 아닌 아르틴 환이 되는 아이디얼 (r_1,\dots,r_\delta)의 생성원들의 최소 크기 \delta
* \mathfrak q가 임의의 \mathfrak m-으뜸 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 형식적 멱급수를 정의할 수 있다 (\mathfrak q^0=R, \ell은 가군의 길이). 이는 항상 유리 함수이며, P(t)\in\mathbb Z(t)의 t=1에서의 극점의 차수를 d라고 하자. 이 값은 \mathfrak q의 선택에 관계없다.
이렇게 정의하면, 항상
:\dim R=\delta=d
이다.

### 정칙 국소환의 차원
정칙 국소환 (R,\mathfrak m)의 차원은 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이 정의들은 모두 같다.
* 뇌터 국소환으로서의 차원 \dim R (모든 정칙 국소환은 뇌터 국소환이다.)
* \dim_{R/\mathfrak m}(\mathfrak m/\mathfrak m^2). 여기서 \dim_{R/\mathfrak m}은 체 R/\mathfrak m 위의 벡터 공간의 차원이다.
* \mathfrak m의 최소 생성 집합의 크기
* \textstyle\bigoplus_{n=0}^\infty\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n+1}\cong(R/\mathfrak m)[x_1,x_2,\dots,x_d]일 때, d. 여기서 \mathfrak m^0=R이다.

## 예
### 가환환의 차원
크룰 차원이 -\infty인 유일한 가환환은 자명환이다.

체의 소 아이디얼은 (0)뿐이다. 따라서 모든 체는 크룰 차원이 0이다. 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 따라서 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 크룰 차원은 1이다.

k가 체라고 하자. 그렇다면 k[x]는 주 아이디얼 정역이므로 \dim k[x]=1이다. 보다 일반적으로, \dim k[x_1,x_2,\dots,x_n]=n이다.

자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 가환환 \mathbb Z/(n)의 크룰 차원은 다음과 같다.
:\dim\mathbb Z/(n)=\begin{cases}1&n=0\\-\infty&n=1\\0&n\ne0,1\end{cases}

### 위상 공간의 차원
위상 공간의 크룰 차원은 자리스키 위상과는 잘 호환되지만, 하우스도르프 위상과는 호환되지 않는다. 하우스도르프 공간의 경우, 기약 집합은 한원소 집합이며, 따라서 공집합이 아닌 하우스도르프 공간의 차원은 항상 0이다.

시에르핀스키 공간 X=\{0,1\}, \mathcal T=\{\varnothing,\{1\},X\}의 기약 집합은 \{0\} 및 \{0,1\}이므로, 시에르핀스키 공간의 크룰 차원은 1이다.

### 벡터 공간의 크룰 차원
체 K 위의 벡터 공간 V의 가군으로서의 크룰 차원은 항상 0이다. 이 경우 \operatorname{Ann}_K(V)=(0)이며, \operatorname{Spec}(K/(0))=\operatorname{Spec}K는 항상 한원소 공간으로서 크룰 차원이 0차원이다. 즉, 가군의 크룰 차원은 벡터 공간의 차원과 관계가 없다.

### 무한 차원의 뇌터 가환환
체 K에 대하여, 무한 개의 변수의 다항식환
:R=K[x_1,x_2,x_3,\dots]
를 생각하자. 임의의 증가 정수열
:0=n_1
가 주어졌을 때, 소 아이디얼들의 열
:\mathfrak p_i=(x_{n_{i-1}+1},x_{n_{i-1}+2},\dots,x_n)\qquad(i=1,2,3,\dots)
을 생각하자. 그렇다면 R를
:S=K[x_1,x_2,x_3,\dots]\setminus\bigcup_{i=1}^\infty\mathfrak p_i
에 국소화하면, S^{-1}R는 뇌터 환이며, 그 크룰 차원은
:\dim S^{-1}R=\sup\{n_i-n_{i-1}\colon i\in\mathbb Z^+\}
이다. 만약 \sup\{n_i-n_{i-1}\colon i\in\mathbb Z^+\}=\infty라면, 이는 무한 크룰 차원의 뇌터 환이 된다. 이 예는 나가타 마사요시가 제시하였다.

## 역사
볼프강 크룰이 1928년 크룰 높이 정리를 증명하면서 그 기본 개념을 도입하였다.

## 같이 보기
* 호몰로지 차원
* 기약 공간
* 크룰 높이 정리

## 각주

## 외부 링크
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