룽게-쿠타 방법의 목록

**[[룽게-쿠타 방법]]**은 다음 상미분방정식의 수치해법이다
: \frac{d y}{d t} = f(t, y)
이 수치해법은 다음의 형태를 가진다.

: y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^s b_i k_i
: k_1 = f(t_n, y_n), 
: k_2 = f(t_n+c_2h, y_n+h(a_{21}k_1)), 
: k_3 = f(t_n+c_3h, y_n+h(a_{31}k_1+a_{32}k_2)), 
: \vdots 
: k_i = f\left(t_n + c_i h, y_n + h \sum_{j = 1}^{i-1} a_{ij} k_j\right), 

이 문서에 있는 모든 방법은 다음과 같이 계수를 배열한 Butcher 테이블로 정의하였다:
: 
\begin{array}{c|cccc}
c_1    & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\
c_2    & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\
c_s    & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\
\hline
       & b_1    & b_2   & \dots & b_s\\
\end{array}


## 명시적 방법
명시적 방법은 행렬 [a_{ij}]이 하삼각행렬인 방법이다.

### 오일러
오일러 방법은 일차이다. 안정성과 정확성이 부족하기 때문에 주로 수치 해석 방법의 간단한 예제로 사용한다.
: 
\begin{array}{c|c}
0 & 0 \\
\hline
  & 1 \\
\end{array}


### 명시적 중간점 방법
(명시적) 중간점 방법은 두 단계의 이차 방법이다(아래의 암시적 중간점 방법을 보라):
: 
\begin{array}{c|cc}
0   & 0   & 0  \\
1/2 & 1/2 & 0  \\
\hline
    & 0   & 1  \\
\end{array}


### 호인의 방법
호인의 방법은 두 단계의 이차 방법이다(또한 명시적 사다리꼴 공식으로도 알려져 있다):
: 
\begin{array}{c|cc}
0   & 0   & 0  \\
1 & 1 & 0  \\
\hline
    & 1/2 & 1/2  \\
\end{array}


### 랄스톤 방법
랄스톤 방법은 두 단계 이차 방법이고 최소 지역오차 경계가 있다:
: 
\begin{array}{c|cc}
0   & 0   & 0  \\
2/3 & 2/3 & 0  \\
\hline
    & 1/4   & 3/4  \\
\end{array}


### 일반적인 이차 방법
: 
\begin{array}{c|ccc}
0   & 0   & 0   \\
x & x & 0   \\
\hline
    & 1-\frac{1}{2x} & \frac{1}{2x} \\
\end{array}


### 쿠타 삼차 방법
: 
\begin{array}{c|ccc}
0   & 0   & 0   & 0    \\
1/2 & 1/2 & 0   & 0    \\
1   & -1  & 2   & 0    \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\end{array}


### 고전적 사차 방법
"원조" 룽게-쿠타 방법이다.
: 
\begin{array}{c|cccc}
0   & 0   & 0   & 0   & 0\\
1/2 & 1/2 & 0   & 0   & 0\\
1/2 & 0   & 1/2 & 0   & 0\\
1   & 0   & 0   & 1   & 0\\
\hline
    & 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6\\
\end{array}


### 3/8-규칙 사차 방법
이 방법은 "고전적" 방법만큼 악명높진 않지만 같은 논문에서 제시되었기 때문에 동일하게 고전적이다(Kutta, 1901).
: 
\begin{array}{c|cccc}
0   & 0   & 0   & 0   & 0\\
1/3 & 1/3 & 0   & 0   & 0\\
2/3 & -1/3   & 1 & 0   & 0\\
1   & 1   & -1   & 1   & 0\\
\hline
    & 1/8 & 3/8 & 3/8 & 1/8\\
\end{array}


## 내장형 방법
내장형 방법은 룽게-쿠타 한 단계의 지역 절단 오차를 계산하기 위해 설계되었고, 결과로 적응형 단계 크기로 오차를 조절할 수 있게 되었다. 이것은 테이블에 있는 p차와 p-1차의 두 방법을 사용한다.

낮은차수의 단계는 다음과 같다
:     y^*_{n+1} = y_n + h\sum_{i=1}^s b^*_i k_i, 
이때 k_i는 고차 방법과 같다. 그러면 오차는 다음과 같다
:     e_{n+1} = y_{n+1} - y^*_{n+1} = h\sum_{i=1}^s (b_i - b^*_i) k_i, 
이 오차는 O(h^p). 이런 종류의 방법의 Butcher 테이블은 b^*_i
: 
\begin{array}{c|cccc}
c_1    & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\
c_2    & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\
c_s    & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\
\hline
       & b_1    & b_2   & \dots & b_s\\
       & b_1^*    & b_2^*   & \dots & b_s^*\\
\end{array}


### 호인-오일러
가장 간단한 적응형 룽게-쿠타 방법은 이차인 호인의 방법과 일차인 오일러 방법을 결합한 것이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
: 
\begin{array}{c|cc}
	0&\\
	1& 	1 \\
\hline
&	1/2& 	1/2\\
	&	1 &	0
\end{array}

추정 오차는 단계크기를 조절하는데 사용된다.

### 펠베르크 RK1(2)
펠베르크 방법은 일차와 이차의 두 방법을 가진다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

*b* 계수의 첫 줄은 일차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.

### 보가키–샴폐인
보가키-샴폐인 방법은 이차와 삼차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

*b* 계수의 첫 줄은 삼차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.

### 펠베르크
룽게-쿠타-펠베르크 방법은 5차와 4차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

*b* 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

### 캐쉬-카프
캐쉬와 카프는 펠버그의 원래 아이디어를 수정했다. 캐쉬-카프 방법의 확장된 테이블은 다음과 같다:

*b* 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

### 도르몬드–프린스
도르몬드-프린스 방법의 확장된 테이블은 다음과 같다

*b* 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

## 암시적 방법

### 역 오일러
역 오일러 방법은 일차이다. 선형 확장 문제에 대해서 조건적 안정하고 진동이 없다.
: 
\begin{array}{c|c}
1 & 1 \\
\hline
  & 1 \\
\end{array}


### 암시적 중간점
암시적 중간점 방법은 이차이다. 이것은 배열 방법 중 가우스 방법이라는 그룹에서 가장 간단한 방법이다. 이는 사교 적분자이다.
: 
\begin{array}{c|c}
1/2 & 1/2 \\
\hline
 & 1
\end{array}


### 가우스-르장드르 방법
이 방법들은 가우스-르장드르 구적법에 기반하고 있다. 4차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:
: 
\begin{array}{c|cc}
\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{6} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{\sqrt3}{6}  \\
\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{6}  & \frac{1}{4}+\frac{\sqrt3}{6} &\frac{1}{4} \\
\hline
    & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
    & \frac12+\frac12 \sqrt3 & \frac12-\frac12 \sqrt3 \\
\end{array}

6차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:
: 
\begin{array}{c|ccc}
\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}}{10}   & \frac{5}{36} &  \frac{2}{9}- \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{5}{36} - \frac{\sqrt{15}}{30} \\
\frac{1}{2} & \frac{5}{36} + \frac{\sqrt{15}}{24} & \frac{2}{9} & \frac{5}{36} - \frac{\sqrt{15}}{24}\\
\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{10} & \frac{5}{36} + \frac{\sqrt{15}}{30} & \frac{2}{9} + \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{5}{36}  \\
\hline
    & \frac{5}{18} & \frac{4}{9} & \frac{5}{18}  \\
    & -\frac56 & \frac83 & -\frac56
\end{array}


### 로바토 방법
로바토 방법의 주요 세 방법은 IIIA, IIIB 그리고 IIIC로 불린다(고전 수학 문헌에서 기호 I과 II는 라다우 방법의 주 종류에 예약되어 있었다). 이것들은 리후엘 로바토(Rehuel Lobatto)의 이름을 따왔다. 모두 암시적 방법이고, 2*s-*2차 방법이며, 모두 *c*1&nbsp;=&nbsp;0이고 *c**s*&nbsp;=&nbsp;1이다. 다른 어떤 명시적 방법과는 달리, 이 방법들은 더 큰 단계도 가능하다. 로바토는 룽게와 쿠타가 고전적인 사차 방법을 만들기 전에 살았었다.

#### 로바토 IIIA 방법
로바토 IIIA 방법은 배열 방법이다. 이차 방법은 사다리꼴 공식으로 알려져있다:
: 
\begin{array}{c|cc}
0   & 0   & 0  \\
1   & 1/2 & 1/2\\
\hline
    & 1/2 & 1/2\\
& 1 & 0 \\
\end{array}

4차 방법은 다음과 같다
: 
\begin{array}{c|ccc}
0   & 0   & 0   & 0    \\
1/2 & 5/24& 1/3 & -1/24\\
1   & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
& -\frac12 & 2 & -\frac12 \\
\end{array}

이 방법은 A-안정하지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.

#### 로바토 IIIB 방법
로바토 IIIB 방법은 배열 방법이 아니지만 불연속적 배열 방법으로 볼 수 있다. 이차 방법은 다음과 같다
: 
\begin{array}{c|cc}
0   & 1/2 & 0  \\
1   & 1/2 & 0  \\

\hline
    & 1/2 & 1/2\\
& 1 & 0 \\

\end{array}

4차 방법은 다음과 같다
: 
\begin{array}{c|ccc}
0   & 1/6 & -1/6& 0    \\
1/2 & 1/6 & 1/3 & 0    \\
1   & 1/6 & 5/6 & 0    \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
& -\frac12 & 2 & -\frac12 \\
\end{array}

로바토 IIIB 방법은 A-안정적이지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.

#### 로바토 IIIC 방법
로바토 IIIC 방법도 불연속적 배열 방법이다. 이차 방법은 다음과 같다
: 
\begin{array}{c|cc}
0   & 1/2 & -1/2\\
1   & 1/2 & 1/2 \\
\hline
    & 1/2 & 1/2 \\
& 1 & 0 \\
\end{array}

4차 방법은 다음과 같다
: 
\begin{array}{c|ccc}
0   & 1/6 & -1/3& 1/6  \\
1/2 & 1/6 & 5/12& -1/12\\
1   & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
& -\frac12 & 2 & -\frac12 \\
\end{array}

이것은 L-안정하다. 이것들은 게다가 대수적으로 안정하고, 따라서 B-안정하기 때문에 딱딱한 방정식에 적합하다.

#### 로바토 IIIC* 방법
로바토 IIIC* 방법은 문헌에서 로바토 III 방법(Butcher, 2008), Butcher의 로바토 방법(Hairer et al, 1993), 그리고 로바토 IIIC 방법(Sun, 2000)이라고도 알려져 있다. 아차 방법은 다음과 같다
: 
\begin{array}{c|cc}
0   & 0 & 0\\
1   & 1 & 0 \\
\hline
    & 1/2 & 1/2 \\
\end{array}

4차 방법은 다음과 같다
: 
\begin{array}{c|ccc}
0   & 0 & 0 & 0  \\
1/2 & 1/4 & 1/4 & 0\\
1   & 0 & 1 & 0  \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\end{array}

이 방법은 A-안정하지도, B-안정하지도, L-안정하지도 않다. s = 2.

#### 일반화된 로바토 방법
다음의 형태를 가지는 로바토 계수를 고려함으로써 세 실수 변수 (\alpha_{A},\alpha_{B},\alpha_{C}) 
: a_{i,j}(\alpha_{A},\alpha_{B},\alpha_{C}) = \alpha_{A}a_{i,j}^A + \alpha_{B}a_{i,j}^B + \alpha_{C}a_{i,j}^C + \alpha_{C*}a_{i,j}^{C*} ,
여기서,
: \alpha_{C*} = 1 - \alpha_{A} - \alpha_{B} - \alpha_{C}.
예를 들면, (Nørsett and Wanner, 1981)에 소개되었고 로바토 IIINW라고도 불리는 로바토 IIID는 다음의 형태를 가진다
: 
\begin{array}{c|cc}
0   & 1/2 & 1/2\\
1   & -1/2 & 1/2 \\
\hline
    & 1/2 & 1/2 \\
\end{array}

그리고
: 
\begin{array}{c|ccc}
0   & 1/6 & 0 & -1/6  \\
1/2 & 1/12 & 5/12 & 0\\
1   & 1/2 & 1/3 & 1/6  \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\end{array}

이 방법은 \alpha_{A} = 2, \alpha_{B} = 2, \alpha_{C} = -1, 그리고 \alpha_{C*} = -2. 이 방법은 L-안정적이다. 또한 대수적으로 안정적이기 때문에 B-안정적이다.

### 라다우 방법
라다우 방법은 완전히 암시적 방법이다(이런 방법의 행렬 *A*는 어떤 구조도 가질 수 있다). 라다우 방법은 *s* 단계에 2*s*-1차이다. 라다우 방법은 A-안정적이지만 구현하는데 비용이 많이 든다. 게다가 차수의 감소로 어려움이 있을 수 있다.
일차 라다우 방법은 역 오일러 방법과 유사하다

#### 라다우 IA 방법
삼차 방법은 다음과 같다
: 
\begin{array}{c|cc}
0   & 1/4  & -1/4  \\
2/3 & 1/4  &  5/12 \\
\hline
    & 1/4 & 3/4 \\
\end{array}

5차 방법은 다음과 같다
: 
\begin{array}{c|ccc}
0   & \frac{1}{9} & \frac{-1 - \sqrt{6}}{18} & \frac{-1 + \sqrt{6}}{18} \\
\frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}  & \frac{1}{9} & \frac{11}{45} + \frac{7\sqrt{6}}{360} & \frac{11}{45} - \frac{43\sqrt{6}}{360}\\
\frac{3}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{1}{9} & \frac{11}{45} + \frac{43\sqrt{6}}{360} & \frac{11}{45} - \frac{7\sqrt{6}}{360}  \\
\hline
    & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36}  \\
\end{array}


#### 라다우 IIA 방법
이 방법의 *c*i는 다음의 근이다
: P_{s}(2x-1) - P_{s-1}(2x-1) = 0,
P_s. 삼차 방법은 다음과 같다
: 
\begin{array}{c|cc}
1/3 & 5/12 & -1/12\\
1   & 3/4  &  1/4 \\
\hline
    & 3/4 & 1/4 \\
\end{array}

5차 방법은 다음과 같다
: 
\begin{array}{c|ccc}
\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}   & \frac{11}{45} - \frac{7\sqrt{6}}{360} & \frac{37}{225} - \frac{169\sqrt{6}}{1800} & -\frac{2}{225} + \frac{\sqrt{6}}{75} \\
\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10}  & \frac{37}{225} + \frac{169\sqrt{6}}{1800} & \frac{11}{45} + \frac{7\sqrt{6}}{360} & -\frac{2}{225} - \frac{\sqrt{6}}{75}\\
1                   & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{1}{9}  \\
\hline
    & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{1}{9}  \\
\end{array}

## 같이 보기
* 룽게-쿠타-펠베르크 방법

## 각주

* .
* .
* .

분류:수학에 관한 목록
분류:수치미분방정식
분류:룽게-쿠타 방법