이중 사슬 복합체

호몰로지 대수학에서 **이중 사슬 복합체**(二重사슬複合體, )는 사슬 복합체와 유사하지만, 1차원 대신 2차원인 구조이다. 즉, 모든 항들은 두 개의 첨자를 달고 있으며, 각 항 위에는 수직 및 수평 방향의 두 개의 경계 사상이 정의되며, 이들은 서로 교환 법칙을 만족시켜야 한다. 이중 사슬 복합체 위에는 **도롱뇽 정리**(도롱[龍]定理, ) 및 그 특수한 경우인 **3×3 정리**(三×三定理, ) · **[[뱀 정리]]**와 같은 정리들이 성립한다.

## 정의
아벨 범주 \mathcal A 위의 사슬 복합체의 범주 \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A) 역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 **이중 사슬 복합체**라고 한다.

구체적으로, 이중 사슬 복합체 C_{\bullet,\bullet} \in \operatorname{Ch}_\bullet(\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A))는 다음과 같은 꼴이다.
:
\begin{matrix}
&& \vdots && \vdots \\
&& \downarrow && \downarrow \\
\dotsb & \to & C_{m,n} & \overset{\partial_{m,n}^{\text{h}}}\to & C_{m-1,n} & \to & \dotsb \\
&& {\scriptstyle \partial_{m,n}^{\text{v}}}\downarrow {\color{White}\scriptstyle \partial_{m,n}^{\text{v}}}&& {\color{White}\scriptstyle \partial_{m-1,n}^{\text{v}}}\downarrow {\scriptstyle \partial_{m-1,n}^{\text{v}}}\\
\dotsb & \to & C_{m,n-1} & \underset{\partial_{m,n-1}^{\text{h}}}\to & C_{m-1,n-1} & \to & \dotsb \\
&& \downarrow && \downarrow \\
&& \vdots && \vdots
\end{matrix}
즉, 이는 **수평 경계 사상**(水平境界寫像, )
:\partial_{\bullet,\bullet}^{\operatorname h} \colon C_{\bullet,\bullet} \to C_{\bullet-1,\bullet}
및 **수직 경계 사상**(垂直境界寫像, )
:\partial_{\bullet,\bullet}^{\operatorname v} \colon C_{\bullet,\bullet} \to C_{\bullet, \bullet-1}
을 가지며, 이들은 다음과 같은 관계를 만족시킨다.
:\partial_{m-1,n}^{\operatorname h}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname h} = 0
:\partial_{m,n-1}^{\operatorname v}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname v} = 0
:\partial_{m-1,n}^{\operatorname v}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname h} = \partial_{m,n-1}^{\operatorname h}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname v}

### 전체 사슬 복합체
\mathcal A에서 가산 무한 직합이 존재한다고 할 때 (또는 정의에 등장하는 직합에서 오직 유한 개의 항들이 0이 아니라고 할 때),
이중 사슬 복합체 C_{\bullet,\bullet}\in\operatorname{Ch}_\bullet(\operatorname{Ch}_\bullet\mathcal A))의 **전체 사슬 복합체**(全體사슬複合體, ) \operatorname{Tot}_\bullet(C) \in\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)는 다음과 같은 사슬 복합체이다.
:\operatorname{Tot}_n(C) = \bigoplus_{p+q=n} C_{p,q}
:\partial_n^{\operatorname{Tot}(C)} = \bigoplus_{p+q=n} \partial_{p,q}^{\operatorname h} + (-)^p \partial_{p,q}^{\operatorname v} 
이는 사슬 복합체를 이루므로, 마찬가지로 호몰로지를 취할 수 있다. 이를 **전체 호몰로지**()라고 한다.

### 이중 사슬 복합체의 다른 부호 규칙
문헌에 따라서, 이중 사슬 복합체를 표기할 때 위와 다른 부호 규칙을 사용하는 경우가 있다. 이 부호 규칙으로 전환하려면, 다음과 같은 변환을 가하자.
:\partial_{m,n}^{\operatorname h\prime} = \partial_{m,n}^{\operatorname h}
:\partial_{m,n}^{\operatorname v\prime} = (-)^n \partial_{m,n}^{\operatorname v}
즉, 홀수 번째 열들의 수직 경계 사상에 음부호를 붙인다. (물론, 대신 홀수 번째 행들의 수평 경계 사상에 음부호를 붙여도 비슷하다.)

그렇다면, 이들은 다음을 만족시킨다.
:\partial_{m-1,n}^{\operatorname h\prime}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname h\prime} = 0
:\partial_{m,n-1}^{\operatorname v\prime}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname v\prime} = 0
:\partial_{m-1,n}^{\operatorname v\prime}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname h\prime} + \partial_{m,n-1}^{\operatorname h\prime}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname v\prime} = 0
즉, 수평 경계 사상과 수직 경계 사상이 서로 교환 법칙 대신 반교환 법칙을 따르게 된다.

이렇게 하면, 전체 사슬 복합체의 정의가 다음과 같이 더 간단해진다.
:\partial_n^{\operatorname{Tot}(C)} = \bigoplus_{p+q=n} \partial_{p,q}^{\operatorname h\prime} + \partial_{p,q}^{\operatorname v\prime} 

### 수직 · 수평 호몰로지
아벨 범주 \mathcal A 위의 이중 사슬 복합체 C_{\bullet,\bullet}가 주어졌다고 하자.

그렇다면, **수평 호몰로지**(垂直homology, )
:\operatorname H^{\operatorname h} = \frac{\ker^{\operatorname h}}{\operatorname{im}^{\operatorname h}}
및 **수직 호몰로지**(水平homology, )
:\operatorname H^{\operatorname v} = \frac{\ker^{\operatorname v}}{\operatorname{im}^{\operatorname v}}
를 정의할 수 있다.

### 교내 사상과 교외 사상
임의의 대상 A=C_{m,n}에 대하여, 다음 사상들이 존재한다.
:\begin{matrix}
\searrow^{\partial^{\operatorname{vh}}}&\downarrow{\scriptstyle\partial^{\operatorname h}}\\
\overset{\partial^{\operatorname h}}\to &A &\overset{\partial^{\operatorname h}}\to\\
& \downarrow{\scriptstyle\partial^{\operatorname h}} & \searrow^{\partial^{\operatorname{vh}}}
\end{matrix}

위 그림에서, \partial^{\operatorname{vh}}=\partial^{\operatorname h}\circ\partial^{\operatorname v} =\partial^{\operatorname v}\circ\partial^{\operatorname h}는 수직 경계 사상과 수평 경계 사상을 합성한 것이다. 편의상, 다음과 같은 기호들을 정의하자.
:
이들의 기호를 위와 같이 이상하게 정의하는 이유는 다음 때문이다. 우선, _=A · A^\| · ^\square A · A_\bullet는 모두 A의 부분 대상들의 몫 대상이므로, 이들 사이에는 다음과 같은 사상들이 존재한다.
:\begin{matrix}
^\square A & \to & A^\|\\
\downarrow && \downarrow\\
_=A & \to & A_\square
\end{matrix}
이는 다음과 같이 적을 수 있다.
: \overset\square{\underset ={\scriptstyle\downarrow}} \overset\to{\underset\to A}\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}}
이 사상들을 **교내 사상**(校內寫像, )이라고 하자.

또한, 수평 경계 사상
:A\to B
이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.
:A_\square\to {}^\square B
이는 다음과 같이 그릴 수 있다.
:A_\square\nearrow {}^\square B
마찬가지로, 수직 경계 사상
:\begin{matrix}A\\\downarrow\\B\end{matrix}
이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.
:\begin{matrix}A_\square\\\downarrow\\^\square B\end{matrix}
이는 다음과 같이 그릴 수 있다.
:\begin{matrix}A_\square\\\swarrow\\^\square B\end{matrix}
이 사상들을 **교외 사상**(校外寫像, )이라고 하자.

## 성질
### 도롱뇽 정리
이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분
:
\begin{matrix}
C \\
\downarrow \\
A &\rightarrow &B  \\
&& \downarrow \\
&& D
\end{matrix}

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, **도롱뇽 정리**에 따르면, 다음과 같은 6항 **도롱뇽 [[완전열]]**(도롱[龍]完全列, )이 존재한다.
:
\begin{matrix}
&& ^\square A\\
&\!\!\!\!\nearrow\!\!\!\! && \!\!\!\!\searrow\!\!\!\!\\
C_\square & & \!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\! && _= A \to A_\square \to {}^\square B\to {}_= B && \!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\! && ^\square D\\
&&&&& \!\!\!\!\searrow\!\!\!\! && \!\!\!\!\nearrow\!\!\!\! \\
&&&&&& B_\square
\end{matrix}

여기서 삼각형들은 가환 삼각형이며, 위의 모든 사상들은 교내 사상 또는 교외 사상 또는 (완전열의 양끝의 경우) 교내 사상과 교외 사상의 합성이다.

이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다.
:
\begin{matrix}
{\color{White}_\square}C\underset\square{\color{White}\scriptstyle\downarrow} \\
\swarrow \\
\underset ={\overset\square{\scriptstyle\downarrow}} \underset\to A_\square &\nearrow &\overset \square{\underset ={\scriptstyle\downarrow}} \underset\to B_\square \\
&& \swarrow \\
&& \overset\square{\color{White}\scriptstyle\downarrow} D\color{White}_\square
\end{matrix}

특히, 만약 _=A \cong {}_= B \cong 0이라면, 교외 사상 A_\square \to {}^\square B는 동형 사상이다.

마찬가지로, 이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분
:
\begin{matrix}
C & \to & A \\
&& \downarrow \\
&& B &\to & D
\end{matrix}

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 6항 **도롱뇽 [[완전열]]**이 존재한다.
:
\begin{matrix}
&& ^\square A\\
&\!\!\!\!\nearrow\!\!\!\! && \!\!\!\!\searrow\!\!\!\!\\
C_\square & & \!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\! && A^\| \to A_\square \to {}^\square B\to {}B^\| && \!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\! && ^\square D\\
&&&&& \!\!\!\!\searrow\!\!\!\! && \!\!\!\!\nearrow\!\!\!\! \\
&&&&&& B_\square
\end{matrix}


이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다.
:
\begin{matrix}
{\color{White}_\square} C\underset\square{\color{White}\scriptstyle\downarrow} & \nearrow & {}^{^{\scriptstyle \square}} \overset\to A\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}} \\
&& \swarrow \\
&& ^{^{\scriptstyle\square}} \overset\to B\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}} &\nearrow & \overset\square{\color{White}\scriptstyle\downarrow}D\color{White}^\square\end{matrix}

특히, 만약 A^\| \cong B^\| \cong 0이라면, 교외 사상 A_\square \to {}^\square B는 동형 사상이다.

### ''n''×''n'' 정리
아벨 범주에서, 다음과 같은 이중 사슬 복합체가 주어졌다고 하자.

:\begin{matrix}
&& 0 && 0 && 0\\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow\\
0 &\to &A & \to & B &\to & C \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow\\
0 &\to &D & \to & E &\to &F \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow\\
0 &\to & G & \to & H &\to & I \\
\end{matrix}
또한, 다음 조건들이 주어졌다고 하자.
* 첫째 · 둘째 · 셋째 열이 완전열이다.
* 둘째 · 셋째 행이 완전열이다.

**3×3 정리**에 따르면, 첫째 열 또한 완전열이다.

**도롱뇽 완전열을 통한 증명**:

_= A \cong {}_=B \cong 0임을 보이면 족하다.

가정에 따라서, 모든 열이 완전열이므로
: X^\| \cong 0 \qquad (X\in \{A,B,D,E\})
이다. 또한, 둘째 · 셋째 행이 완전열이므로
: _=X \cong 0 \qquad (X\in\{D,E,G,H\})
이다. 도롱뇽 정리에 따라서, 다음과 같은 교외 사상들은 모두 동형 사상이다.
:\begin{matrix}
&& 0_\square && 0_\square\\
&& \color{Red}\swarrow && \color{Green}\swarrow && \\
0_\square &  & ^\square A_\square &  & ^\square B_\square \\
&& \color{Blue}\swarrow && \color{Red}\swarrow && \\
0_\square & \color{Blue}\nearrow & ^\square D_\square & \color{Red}\nearrow & ^\square E_\square \\
&& \color{Red}\swarrow &&  && \\
0_\square & \color{Red}\nearrow & ^\square G_\square \\
\end{matrix}

물론, 0_\square \cong 0이므로, 이를 따라서 교외 사상의 지그재그로 연결된 ^\square D, A_\square, {}^\square G, D_\square, \dotsc 등이 모두 0임을 알 수 있다.

이제, ^\square A \cong A_\square \cong {}^\square B \cong B_\square \cong 0이므로, 다음과 같은 도롱뇽 완전열으로부터 _=A \cong {}_=B \cong 0임을 알 수 있다.
:
\begin{matrix}
{\color{White}_\square}0_\square \\
\swarrow \\
\underset ={\overset\square{\scriptstyle\downarrow}} \underset\to A_\square &\nearrow &\overset \square{\underset ={\scriptstyle\downarrow}} \underset\to B_\square \\
&& \swarrow \\
&& ^\square E\color{White}_\square
\end{matrix}



**[[뱀 완전열]]을 통한 증명:**

처음 두 행에 대하여 뱀 정리를 적용한다. 모든 열이 짧은 완전열이므로, 핵들은 모두 0이 된다.


보다 일반적으로, **<math>n\times n</math> 정리**에 따르면, 임의의 자연수 n에 대하여, n\times n개의 대상을 갖는 이중 사슬 복합체
:\begin{matrix}
&& 0 && 0 \\
&& \downarrow && \downarrow\\
0 &\to &A_{n-1,n-1} & \to \dotsb\to & A_{0,n-1} \\
&& \downarrow && \downarrow \\
&&\vdots &\ddots& \vdots\\
&& \downarrow && \downarrow \\
0 &\to & A_{n-1,n-1} & \to\dotsb \to & A_{0,0} \\
\end{matrix}
가 주어졌을 때, 만약
* 모든 열이 완전열이며,
* 첫째 행을 제외한 나머지 행들이 완전열이라면,
첫째 행 또한 완전열이다.

**증명**:

그 증명은 3×3의 경우와 동일하다. 즉, 대략
* 교외 사상들의 지그재그를 통해, _\square(-) \cong (-)^\square \cong 0임을 보인다.
* 첫째 행의 각 수평 경계 사상에 대한 도롱뇽 완전열을 사용하여, 그 수평 호몰로지가 0임을 보인다.


(물론, 0×0 및 1×1 및 2×2인 경우는 자명하게 참이다.)

## 예
### 사슬 복합체의 텐서곱
가환환 K 위의 결합 대수 A 위의 (A,A)-쌍가군들의 아벨 범주 \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)
를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체
:C_\bullet, D_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)
가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 각 성분별 텐서곱을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 E_{\bullet,\bullet}를 정의할 수 있다.
:E_{m,n} = C_m \otimes_A D_n
:\partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \colon \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \to \partial^{\operatorname h,E}_{m-1,n}
: \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} = \partial^C_m \otimes\operatorname{id}_{D_n}
:\partial^{\operatorname v,E}_{m,n} \colon \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \to \partial^{\operatorname h,E}_{m,n-1}
: \partial^{\operatorname v,E}_{m,n} = \operatorname{id}_{C_m} \otimes\partial^D_n
이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체는 두 사슬 복합체의 텐서곱
:(C\otimes D)_\bullet = \operatorname{Tot}_\bullet(E) =  \bigoplus_{p+q=\bullet} C_p \otimes_A D_q
과 같다.

### 순환 호몰로지

순환 호몰로지는 어떤 특별한 이중 복합체의 전체 호몰로지로서 정의된다.

## 역사
섬네일|오른쪽|책을 장식하는 도롱뇽 그림 (1920년대, 미국)

3×3 정리는 9개의 대상이 3×3 행렬로 배열되어 있으므로 이러한 이름이 붙었다. 데이비드 북스바움은 1955년 논문에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 3×3 정리가 등장한다.

1971년에 칼 에릭 린더홀름()은 농으로 3×3 정리의 (올바른) 증명을 다음과 같이 묘사하였다.

도롱뇽 정리 및 “교내 사상” · “교외 사상”이라는 용어는 조지 마크 버그먼(, 1943~)이 1970년대에 도입하였다. “도롱뇽 정리”라는 이름은 이에 등장하는, S자 또는 갈지자 (之) 모양의 사상들의 열을 몸을 굽히며 움직이는 도룡뇽에 비유한 것이다. “교내 사상” · “교외 사상”이라는 용어는 이는 같은 기호 A의 각 첨자 ^\square_=A_\square^{\|}를 “학교”로 여길 경우, 교내 사상
:\overset\square{\underset ={\scriptstyle\downarrow}} \overset\to{\underset\to A}\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}}
은 같은 “학교” 안의 대상들을 잇지만, 교외 사상
:A_\square \nearrow {}^\square B
은 서로 다른 “학교”에 속하는 대상들을 잇기 때문이다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:호몰로지 대수학
분류:보조정리