지배 수렴 정리

해석학에서 **지배 수렴 정리**(支配收斂定理, , 약자 DCT)는 르베그 적분과 함수열의 극한 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장하는 정리다.

## 정의
### 확장 지배 수렴 정리
측도 공간 (X,\mathcal S,\mu) 위의 가측 함수의 열 f_n\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R)) (n\in\mathbb N) 및 함수 f\colon X\to\mathbb R에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수의 열 g_n\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R)) (n\in\mathbb N) 및 가측 함수 g\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))가 존재한다고 하자.
* 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
** (점별 수렴) f_n은 f로 점별 수렴하며, g_n은 g로 점별 수렴한다.
** (거의 어디서나 수렴) f는 가측 함수이며, f_n은 f로 거의 어디서나 수렴하며, g_n은 g로 거의 어디서나 수렴한다.
** (측도 수렴) f는 가측 함수이며, f_n은 f로 측도 수렴하며, g_n은 g로 측도 수렴한다.
* (적분 가능성) \int_X|g|\mathrm d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_X|g_n|\mathrm d\mu
* (적분 가능 함수열에 의한 지배) 모든 n\in\mathbb N에 대하여, 거의 어디서나 |f_n|\le g_n
그렇다면, **확장 지배 수렴 정리**(擴張支配收斂定理, , 약자 EDCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.
* (적분 가능성) \int_X|f|\mathrm d\mu
* (*L*1 수렴) \lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu=0
* (적분과 극한의 교환) \lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu=\int_Xf\mathrm d\mu
사실, 이 경우 셰페 정리()에 따라 g_n 역시 g로 *L*1 수렴한다.

가측 함수의 점별 극한이 존재한다면, 이는 가측 함수이다. 따라서 거의 어디서나 수렴의 경우를 증명하면 충분하다.

적분 가능성: 가정에 따라 f와 g는 가측 함수이며, 파투 보조정리에 따라
:\int_X|f|\mathrm d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int_X|f_n|\mathrm d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int_X|g_n|\mathrm d\mu=\int_X|g|\mathrm d\mu
이다.

*L*1 수렴: 삼각 부등식에 의하여, 거의 어디서나
:|f_n-f|\le|f_n|+|f|\le g_n+g
이므로, g_n+g-|f_n-f|는 거의 어디서나 음이 아닌 가측 함수이다. 이 함수에 파투 보조정리를 적용하면
:\begin{align}\int_X2g\mathrm d\mu
&\le\liminf_{n\to\infty}\int_X(g_n+g-|f_n-f|)\mathrm d\mu \\
&=\int_X2g\mathrm d\mu-\limsup_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu
\end{align}
를 얻는다.

적분과 극한의 교환: 삼각 부등식에 따라
:\limsup_{n\to\infty}\left|\int_Xf_n\mathrm d\mu-\int_Xf\mathrm d\mu\right|\le\lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu=0
이다.

측도 수렴 가정에 따라, 임의의 부분열 f_{n_k} (k\in\mathbb N)에 대하여, 각각 f, g로 거의 어디서나 수렴하는 부분열 f_{n_{k_j}}, g_{n_{k_j}}가 존재한다. 거의 어디서나 수렴에 대한 확장 지배 수렴 정리에 따라
:\lim_{j\to\infty}\int_X|f_{n_{k_j}}-f|\mathrm d\mu=0
이다. 이에 따라
:\lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu=0
이다.

### 지배 수렴 정리
측도 공간 (X,\mathcal S,\mu) 위의 가측 함수의 열 f_n\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R)) (n\in\mathbb N) 및 함수 f\colon X\to\mathbb R에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수 g\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))가 존재한다고 하자.
* 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
** (점별 수렴) f_n은 f로 점별 수렴한다.
** (거의 어디서나 수렴) f는 가측 함수이며, f_n은 f로 거의 어디서나 수렴한다.
** (측도 수렴) f는 가측 함수이며, f_n은 f로 측도 수렴한다.
* (적분 가능성) \int_X|g|\mathrm d\mu
* (적분 가능 함수에 의한 지배) 모든 n\in\mathbb N에 대하여, 거의 어디서나 |f_n|\le g
그렇다면, **지배 수렴 정리**에 따르면 다음 조건들이 성립한다.
* (적분 가능성) \int_X|f|\mathrm d\mu
* (*L*1 수렴) \lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu=0
* (적분과 극한의 교환) \lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu=\int_Xf\mathrm d\mu

확장 지배 수렴 정리에서 g_n=g를 취한다.

### 유계 수렴 정리
유한 측도 공간 (X,\mathcal S,\mu) (\mu(X)) 위의 가측 함수의 열 f_n\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R)) (n\in\mathbb N) 및 함수 f\colon X\to\mathbb R가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
** (점별 수렴) f_n은 f로 점별 수렴한다.
** (거의 어디서나 수렴) f는 가측 함수이며, f_n은 f로 거의 어디서나 수렴한다.
** (측도 수렴) f는 가측 함수이며, f_n은 f로 측도 수렴한다.
* \sup_{n\in\mathbb N}\|f_n\|_\infty
그렇다면, **유계 수렴 정리**(有界收斂定理, , 약자 BCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.
* (적분 가능성) \int_X|f|\mathrm d\mu
* (*L*1 수렴) \lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu=0
* (적분과 극한의 교환) \lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu=\int_Xf\mathrm d\mu

지배 수렴 정리에서
:g\colon x\mapsto\sup_{n\in\mathbb N}\|f_n\|_\infty
를 취한다.

## 역사
역사적으로, 앙리 르베그는 르베그 적분을 공식화하고 이를 통해 지배 수렴 정리를 증명하였다. 르베그는 지배 수렴 정리를 사용하여, 해석학의 고전적인 문제였던 미적분학의 기본정리의 조건을 일반화하는 문제에 결정적인 해답을 제시하였다.

구체적으로 말해, 지배 수렴 정리의 따름정리인 유계 수렴 정리를 사용하여, 르베그는 르베그 적분을 이용할 경우 다음과 같은 꼴의 미적분학의 기본정리가 성립한다는 것을 증명하였다.
* 어떤 함수 f가 실수 상의 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 그 도함수가 유계라면, \int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a).
이는 f의 도함수가 유계라는 것 이외에 이 도함수에 아무런 조건도 걸지 않고 있다. 그러나 리만 적분을 이용한다면 f의 도함수가 연속 함수이라거나 리만 적분 가능 함수라는 조건 따위가 추가로 필요하다.

## 같이 보기
* 확률 변수의 수렴
* 단조 수렴 정리
## 각주

## 외부 링크
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분류:실해석학 정리
분류:측도론 정리
분류:확률론 정리
분류:적분학