부분 정의 함수

섬네일|오른쪽|부분 정의 함수의 예
섬네일|오른쪽|단사 부분 정의 함수의 예
수학에서 **부분 정의 함수**(部分定義函數, ) 또는 **부분 함수**(部分函數, )는 정의역의 일부분에만 정의되는, 함수의 개념의 일반화이다.

## 정의
집합 X와 Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X에서 Y로 가는 **부분 정의 함수**는 정의역 \operatorname{dom}f이 X의 부분 집합이며, 공역이 Y인 함수 f이다. 이들의 집합을 \operatorname{Pfn}(X,Y)로 표기하자.
:\operatorname{Pfn}(X,Y)=\bigsqcup_{A\subseteq X}Y^A

부분 정의 함수는 다음과 같이 달리 생각할 수도 있다. 우선, 점을 가진 집합
:X_\bullet=X\sqcup\{\bullet_X\}
:Y_\bullet=X\sqcup\{\bullet_Y\}
를 정의하자. 그렇다면 다음 세 개념이 동치이다.
* 부분 정의 함수 f\colon X\to Y
* 점을 보존하는 함수 f_\bullet\colon X_\bullet\to Y_\bullet
* 함수 f_\bullet|_X\colon X\to Y_\bullet
이 경우
:\operatorname{dom}f=f_\bullet^{-1}(Y)=f_\bullet^{-1}(Y_\bullet\setminus\{\bullet_Y\})
이다. 특히, \operatorname{Pfn}(X,Y)는 지수 집합 Y_\bullet^X와 표준적으로 일대일 대응한다.

### 부분 순서
X\to Y 부분 정의 함수들의 집합을 \operatorname{Pfn}(X,Y)라고 표기하자. 그렇다면, 그 위에는 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.
:f\le g\iff \left(\operatorname{dom}f\subseteq\operatorname{dom}g\land g|_{\operatorname{dom}f}=f\right)
그렇다면 \operatorname{Pfn}(X,Y)는 부분 순서 집합을 이룬다.

기수 \kappa가 주어졌다고 하자. 그렇다면, \operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)는 정의역의 크기가 \kappa 미만인 부분 정의 함수들의 집합이다.
:\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)=\{f\in\operatorname{Pfn}(X,Y)\colon|\operatorname{dom}f|
(이는 X, Y가 무한 집합일 경우에도 성립한다.)

\operatorname{Pfn}(X,Y;\lambda)의 크기는 다음과 같다.
:|\operatorname{Pfn}(X,Y;\lambda)|=\sum_{0\le\kappa

### 순서론적 성질
#### 극대·극소 원소
\operatorname{Pfn}(X,Y)의 (유일한) 최소 원소는 정의역이 공집합인 유일한 함수이다.
\operatorname{Pfn}(X,Y)의 극대 원소는 \operatorname{dom}f=X인 함수 f\in Y^X\subseteq\operatorname{Pfn}(X,Y)이다.

#### 반사슬 조건
만약 Y가 가산 집합이라면, \operatorname{Pfn}(X,Y;\aleph_0)는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. (이 사실은 강제법에서 중요하게 쓰인다.)

임의의 집합 X, Y 및 기수 \kappa가 주어졌다고 하고,
:\lambda=(|Y|^{
라고 하자. 그렇다면, \operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)는 \lambda-강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.

#### 포괄적 순서 아이디얼
임의의 기수 \kappa\ge\aleph_0 및 \operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)의 포괄적 순서 아이디얼 G\subseteq\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 순서 아이디얼은 상향 원순서 집합이므로 상한 \sup G\in\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)가 항상 존재하며, 또한 다음이 성립한다.
* 만약 \aleph_0\le\kappa라면, \operatorname{dom}\sup G=X이다. 즉, \sup G\in Y^X는 (X 전체에 정의된) 함수이다.

**증명:**

임의의 x\in X에 대하여, x에 대하여 정의된 부분 정의 함수의 집합 D_x=\{f\in\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)\colon x\in\operatorname{dom}f\}는 \operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)의 공종 집합이다. 따라서 f\in G\cap D_x가 존재하며, 특히 f\le\sup G이자 x\in\operatorname{dom}f\subseteq\operatorname{dom}\sup G이다.

* 만약 \aleph_0\le\kappa\le|X|라면, \operatorname{im}\sup G=Y이다. 즉, \sup G\in Y^X는 전사 함수이다.

**증명:**
임의의 y\in Y에 대하여, y가 치역에 포함되는 부분 정의 함수의 집합 D_y=\{f\in\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)\colon y\in\operatorname{im}f\}는 \operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)의 공종 집합이다. 따라서 f\in G\cap D_y가 존재하며, 특히 f\le\sup G이자 y\in\operatorname{im}f\subseteq\operatorname{im}\sup G이다.

### 범주론적 성질
다음과 같은 범주 \operatorname{Set_{part}}를 생각하자.
* \operatorname{Set_{part}}의 대상은 집합이다.
* 두 집합 X, Y 사이의 사상 f\colon X\to Y은 부분 정의 함수 f\in\operatorname{Pfn}(X,Y)이다.
그렇다면, \operatorname{Set_{part}}는 점을 가진 집합의 범주 \operatorname{Set}_\bullet와 동치이다.
:\operatorname{Set_{part}}\simeq\operatorname{Set}_\bullet

다음과 같은 범주 \operatorname{Set_{part,inj}}를 생각하자.
* \operatorname{Set_{part}}의 대상은 집합이다.
* 두 집합 X, Y 사이의 사상 f\colon X\to Y은 단사 부분 정의 함수 f\in\operatorname{Pfn}(X,Y)이다. (즉, 이는 X의 부분 집합과 Y의 부분 집합 사이의 전단사 함수이다.)
그렇다면 \operatorname{Set_{part,inj}}는 스스로의 반대 범주와 동치이다.
:\operatorname{Set_{part,inj}}\simeq\operatorname{Set_{part,inj}}^{\operatorname{op}}

### 강제법적 성질
(편의상, 강제법에 공시작 집합·포괄적 필터 대신 공종 집합·포괄적 순서 아이디얼을 사용하자.)

ZFC의 가산 표준 추이적 모형 M 및 X,Y\in M과 \kappa\in\operatorname{Card}^M이 주어졌다고 하자. 그렇다면 M 속에서 \operatorname{Pfn}(X,Y,\kappa)^M\in M을 구성할 수 있다. 그렇다면, M에 \operatorname{Pfn}(X,Y,\kappa)^M의 포괄적 순서 아이디얼 G\subseteq\operatorname{Pfn}(X,Y,\kappa)^M를 추가한 강제법 모형 M[G]를 정의할 수 있다. 이를 **코언 강제법**()이라고 한다.

구체적으로, S\in M에 대하여 X=S\times\mathbb N이자 Y=\{0,1\}, \kappa=\aleph_0이라고 놓자. (\aleph_0=\mathbb N=\omega는 절대적이다.) 또한
:M\models|S|\ge\aleph_2
라고 하자. 즉,
:|S|\ge\omega_2^M
이라고 하자. (여기서 \omega_1^M\in\operatorname{Ord}^M=\operatorname{Ord}\cap M은 순서수이지만 기수가 아닐 수 있다.) 그렇다면
:M[G]\models\lnot\mathsf{CH}
임을 보일 수 있다 (\mathsf{CH}는 연속체 가설).

**증명:**

순서 아이디얼 조건에 의하여 \sup G\in G이며, 또한 \sup G는 포괄성 조건에 따라서 사실 X=S\times\mathbb N 전체에 정의된 함수이다.

다음을 정의하자.
:H=\left(\sup G\right)^{-1}(1)\subseteq S\times\mathbb N
:H_s=\{n\in\mathbb N\colon (s,n)\in H\}\subseteq\mathbb N\qquad(s\in S)
그렇다면 포괄성 조건에 의하여 다음을 보일 수 있다.
* H_s\not\in M
* s\ne t\implies H_s\ne H_t
* H_s\in M[G]
따라서, \{H_s\}_{s\in S}는 \mathbb N의 |S|개의 부분 집합들을 이루며, 따라서
:M[G]\models 2^{\aleph_0}\ge|S|
이다.

이제, M 속에서 \operatorname{Pfn}(X,Y,\kappa)^M는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시키므로, 이에 대한 강제법은 기수를 보존한다. 따라서 |S|의 크기는 M과 M[G] 속에서 같으며, 따라서
:M[G]\models 2^{\aleph_0}\ge|S|>\aleph_0
이다.


## 각주

## 외부 링크

* 
* 
* 
* 

분류:함수와 사상
분류:집합론