보스 기체

통계역학에서 **보스 기체**(Bose氣體, )는 서로 상호작용하지 않는, 같은 종류의 보손으로 이루어진 기체다. 고전적 이상 기체에 대응하는 두 가지 양자역학적 이상 기체 가운데 하나다. 보스 기체는 보스-아인슈타인 통계를 따르며, 매우 낮은 온도에서는 상전이를 거쳐 보스-아인슈타인 응축 상태가 된다.

## 정의
콤팩트 리만 다양체 (M,g)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 로런츠 다양체 M\times\mathbb R 위의, 질량 m의 자유 보손 장 \phi를 생각하자. 이는 다음과 같은 작용에 의하여 나타내어진다.
: S = \int\mathrm dt\,\int_M \sqrt{\det g} \frac12(\dot\phi^2 - g^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - m^2 \phi^2)
여기서 윗점은 시간 좌표 t에 대한 미분이며, \partial_i는 공간 좌표에 대한 미분이다. 이에 대한 해밀토니언은 다음과 같다.
: H[\phi,\pi] = \int_M \sqrt{\det g} \frac12(g_{ij}\pi^i \pi^j + g^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi + m^2 \phi^2)
여기서 \pi^i는 \phi^i에 대한 운동량장이다. 이를 양자화하면, 그 힐베르트 공간은 포크 공간을 구성하게 된다. 구체적으로, 1입자 힐베르트 공간과 그 위의 1입자 해밀토니언 (\mathcal H_1,H_1)을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:\mathcal H_1 = \operatorname L^2(M;\mathbb C)
:\langle f|H_1|g\rangle = \int_M \sqrt{m^2 + g^{ij}(\partial_jf)(\partial_i g)}\,\sqrt{\det g} 
그렇다면, 다입자 힐베르트 공간과 해밀토니언 (\mathcal H,H)은 그 위의 포크 공간으로 주어진다.
:\mathcal H = \operatorname{Sym}\mathcal H_1 = \mathbb C \oplus \operatorname L^2(M;\mathbb C) \oplus \operatorname{Sym}^2\operatorname L^2(M;\mathbb C) \oplus \dotsb

이 위의 해밀토니언 연산자 H는 1입자 해밀토니언들의 합으로 구성된다. 또한, 입자수 연산자
:N|f\rangle = n |f\rangle \qquad\forall |f\rangle \in \operatorname{Sym}^n\mathcal H_1
를 정의할 수 있다. 이는 등급 벡터 공간의 등급에 해당하며, 그 고윳값들은 자연수이다.

이제, 이 계의 큰 분배 함수
:Z(\beta,z) = \operatorname{tr}\left(z^N\exp(-\beta H)\right) = \operatorname{tr}(-\beta H + \beta\mu N)
를 정의할 수 있다. 이는 큰 바른틀 앙상블에 해당한다. 여기서
:\beta = \frac1{k_{\mathrm B}T}
는 절대 온도의 역수이며,
:z = \exp(\beta\mu)
는 퓨가시티이며, \mu는 화학 퍼텐셜이다. 이 큰 분배 함수로 나타내어지는 통계역학적 계를 **이상 보스 기체**라고 한다. ‘이상 기체’라는 것은 포크 공간 위의 해밀토니언 연산자에 입자 사이의 상호 작용을 나타내는 항을 추가하지 않았기 때문이다 (즉, 입자 사이의 상호 작용이 없어, 입자들은 자유 입자이다).

큰 분배 함수는 다음과 같이 표현된다. (중복수를 고려한) H_1의 고윳값들의 중복집합을 I라고 하면, 큰 분배 함수는 다음과 같이 분해된다.
:Z(\beta,z) = \prod_{i\in I}\left(1+z\exp(-\beta E_i)+z^2\exp(-2\beta E_i) + \dotsb\right)
= \prod_{i\in I} \frac1{1-z(\exp(-\beta E_i))}


큰 분배 함수의 로그 × −1인 큰 퍼텐셜 -\ln Z(\beta,z)는 다음과 같다.
:-\ln Z(\beta,z) = \sum_{i\in I}\ln\left(1-z\exp(-\beta E_i)\right)

### 열역학적 극한
편의상, 진공 에너지를 0으로 놓자.

(M,g) 위의 라플라스-벨트라미 연산자
:\nabla^2 = g^{ij}\partial_i\partial_j
의 스펙트럼은 다음 조건을 만족시킨다.
:N(E) = (2\pi)^{-\dim M} E^{D/2} \operatorname{vol}(\mathbb B^D) V + O(E^{D/2-1})\qquad(E\gg1)
(유클리드 공간 속의 매끄러운 경계를 가진 닫힌집합에서, 디리클레 또는 노이만 경계 조건을 가했을 때도 이 조건이 성립한다.)
여기서 N(E)는 H_1의 E 이하의 고윳값들의 (중복수를 고려한) 수이다. D\in\mathbb N는 M의 차원이며, V는 M의 D차원 부피이며,
:\operatorname{vol}(\mathbb B^D)
= \frac{\pi^{(\dim M)/2}}{\Gamma((\dim M)/2 + 1)}
는 D차원 단위 공의 부피이다. 편의상 비례 상수를
:C = \frac D2 (2\pi)^D \operatorname{vol}(\mathbb B^D)

라고 적자. 즉,
:N_\Delta(E) \sim \int_0^E \mathrm dE'\,6C\operatorname{vol}(M) {E'}^{D/2-1}
이다. 이 표현을 통하여, 디랙 델타로 구성된 측도
:\mathrm dN(E)
를
:C\operatorname{vol}(M) {E'}^{(\dim M)/2-1}
로 근사할 수 있다. 이는 E가 매우 클 때 유효하다. 이 조건을 만족시키기 위하여, 임의의 고정된 (\beta,z)의 값에 대하여 (z>1),
:g \mapsto \alpha g
:\alpha \to \infty
와 같은 극한을 취할 수 있다. 이는 g의 등각 다양체 구조를 바꾸지 않지만, 그 부피는
:V \propto \alpha^{D/2}
이므로 부피가 무한대가 되는 열역학적 극한에 해당한다.

다만, z \to 1^+일 경우, 큰 퍼텐셜의 정의에서 \ln\left(1-z\exp(-\beta E)\right)가 E \to 0에서 무한대로 발산하게 된다. 즉, 이 경우 E = 0인 경우는 따로 고려해야 한다.

즉, 이를 통하여, 다음과 같은 근사를 취할 수 있다. (물리학에서 이와 같은 꼴의 근사는 토머스-페르미 근사라고 한다.)
:-\ln Z(\beta,z) = 
\int_0^\infty \mathrm dN(E)\,
\ln\left(1-z\exp(-\beta\sqrt{m^2+E})\right) \approx
C\operatorname{vol}(M) \int_0^\infty \mathrm dE\,E^{(\dim M)/2-1}\,\ln\left(1-z\exp(-\beta\sqrt{m^2+E})\right)
이 적분은 일반적으로 기초 함수로 계산될 수 없다. 다만, 비상대론적인 극한
:m\beta \gg 1
및 상대론적인 극한
:m\beta \ll 1
의 경우 이는 다중로그라는 특수 함수로 계산될 수 있다. 비상대론적 극한에서
:\sqrt{m^2+E} = m \sqrt{1 + E/m^2} = m + \frac1{2m^2}E + \dotsb
이다. 따라서, 이 경우 처음 두 항만을 취하면
:-\ln Z(\beta,z) = C\operatorname{vol}(M) \int_0^\infty \mathrm dE\,E^{(\dim M)/2-1}\,\ln\left(1-z\exp(-\beta m-\beta E/2m^2)\right)
이 된다. 여기서, 첫 항 m은 입자의 정지 에너지이므로, 이는 퓨가시티가 흡수할 수 있다. 즉, 이 경우
:z' = z\exp(-\beta m)
:\beta' = \beta / 2m^2
를 정의하면,
:-\ln Z(\beta',z') = C\operatorname{vol}(M) \int_0^\infty \mathrm dE\,E^{(\dim M)/2-1}\,\ln\left(1-z'\exp(-\beta' E)\right)
이다. 이를 계산하면 다음과 같다.
-\ln Z \approx -C\operatorname{vol}(M) {\beta'}^{-D/2}
\Gamma((\dim M)/2) \operatorname{Li}_{(\dim M)/2}(z)
여기서
:\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^s}
는 다중로그 함수이며, \Gamma(-)는 감마 함수이다.

**적분의 계산:**

D = \dim M으로 놓자.
:
\begin{aligned}
-\int_0^\infty \mathrm dE\,E^{D/2-1}\,\ln\left(1-z\exp(-\beta E)\right) &= -\beta^{-D/2}\int_0^\infty \mathrm dx\,x^{D/2-1}\,\ln\left(1-z\exp(-x)\right) \\
& = \beta^{-D/2}
\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n\right)\left(\int_0^\infty \mathrm dx\,x^{D/2-1}\,\exp(-nx)\right) \\
& = \beta^{-(D/2} \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n n^{-D/2} \left(\int_0^\infty \mathrm dy\,y^{D/2-1}\,\exp(-y)\right) \\
& = \beta^{-D/2} \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n n^{-D/2} \Gamma(D/2) \\
&= \beta^{-D/2}\Gamma(D/2) \operatorname{Li}_{D/2+1}(z)
\end{aligned}

여기서
:x/\beta = E
:y/n = x
와 같은 치환을 사용하였으며, 테일러 급수
:\ln(1-z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n
를 사용하였다.

이 표현은 다음과 같은 문제를 갖는다.
* z \to 1일 때, 피적분량이 E\to0 극한에서 발산한다. 따라서, 이 경우를 따로 다루어야 한다.
이 문제를 교정하면, 다음과 같은 표현을 얻는다.
:\Omega=-\ln Z(\beta,z) = g_0 \ln(1-z) - (E_{\text{c}}\beta)^{-\alpha} \operatorname{Li}_{\alpha+1}(z)
여기서 g_0은 바닥 상태의 고윳값의 E_0 = 0의 중복수이며, C를 비롯한 다른 비례 상수들을 E_{\text{c}}에 흡수하였다. 또한 변수
:\alpha = \frac12 \dim M
를 정의하였다. 이 표현은 \Delta가 라플라스-벨트라미 연산자일 때, 즉 비상대론적 입자에 대하여 유효하다.

#### 상대론적 입자
반대로, m \to 0 극한을 생각하자. 이 경우
:\sqrt{m^2+E} = \sqrt E \sqrt{1+m^2/E} = \sqrt E + \frac{m^2}{2\sqrt E} + \dotsb 
가 된다. 이 경우, 첫 항만을 취하면,
:-\ln Z(\beta,z) = C\operatorname{vol}(M) \int_0^\infty \mathrm dE\,E^{(\dim M)/2-1}\,\ln\left(1-z\exp(-\beta\sqrt E)\right)
이다. 이 경우 변수 E를
:E' = E^2
:\mathrm dE = \frac1{2E'^{1/2}}\mathrm dE'
로 치환하면,
:-\ln Z(\beta,z) = C\operatorname{vol}(M) \int_0^\infty \mathrm dE'^{(\dim M)/4}\,\ln\left(1-z\exp(-\beta E')\right)
가 된다. 즉, 이 경우
:\alpha = \frac14 \dim M
이 된다.

## 성질
### 바닥 상태와 상전이
만약 \dim M\ge 3일 경우, 보스 기체는 어떤 유한한 온도에서 **[[보스-아인슈타인 응집]]**이라는 상전이를 겪는다. 이는 큰 분배 함수의 표현에 등장하는 다중로그의 발산으로 나타난다. (반면, \dim M\le 2일 경우 상전이가 발생하지 않는다. 이는 2차원 이하에서는 입자들이 장거리 상호 작용을 갖기 때문이다.)

총 입자의 수는 큰 퍼텐셜에서 다음과 같이 얻어진다.
:N = -z\frac{\partial\Omega}{\partial z} \approx\frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{(\beta E_c)^\alpha}
이 식에서 다중로그 부분은 양의 실수이어야 하고, z=1이면 리만 제타 함수 ζ(α)와 같아지게 되는, 최댓값을 얻을 수도 있다. 고정된 *N&nbsp;*에 대하여 가장 큰 값은 β가 임계값 βc&nbsp;을 가질 수 있을 때 다음 식과 같이 얻게 된다.
:N = \frac{\zeta(\alpha)}{(\beta_c E_c)^\alpha}
이 식은 임계온도 Tc=1/kβc 아래에서 토머스-페르미 근사가 적용되지 않는 것에 부합한다. 위의 방정식을 정리하여 임계온도에 대한 식을 얻을 수 있다.
:T_c=\left(\frac{N}{\zeta(\alpha)}\right)^{1/\alpha}\frac{E_c}{k}
예를 들어, \alpha=3/2이고, 위에서 언급되었던 E_c를 대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.
:T_c=\left(\frac{N}{Vf\zeta(3/2)}\right)^{2/3}\frac{h^2}{2\pi m k}
다시 임계 온도에 대한 결과를 계산할 수 없게 되었다. 그 이유는 위의 방정식을 이용하여 계산한 입자의 수는 음수가 되기 때문이다. 이 문제는 토머스-페르미 근사가 바닥 상태에서의 겹침을 0으로 설정했기 때문이고, 이 설정을 잘못되었다. 응축을 받아들인다면 바닥 상태는 없고 이에 따라 방정식은 틀리게 된다. 그러나 결과적으로 위의 방정식은 들뜬 상태에서의 입자수는 정확하게 예측하고, 단순히 바닥 상태 항을 따로 구분하면 나쁜 근사는 아니다.
:N = N_0+\frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{(\beta E_c)^\alpha}
*N<sub>0&nbsp;</sub>*는 바닥상태의 응축 입자수이고, 그 값은 다음과 같다.
:N_0 = \frac{g_0\,z}{1-z}
이 식은 절대 영도에서도 계산할 수 있게 되었다. 표준화된 온도 τ를 다음과 같이 정의하자.
:\tau=\frac{T}{T_c}
이 변수들은 낮은 온도의 극한에서 τα에 선형적이고, 화학 퍼텐셜을 제외하면, 높은 온도의 극한에서 1/τα에 선형적인 것을 볼 수 있다. 입자수가 증가하면 응축과 들뜸의 비율은 임계 온도에서 불연속적으로 도달한다.
입자수에 대한 식은 다음과 같이 표준화된 온도를 이용하여 표현할 수 있다.
:N = \frac{g_0\,z}{1-z}+N~\frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{\zeta(\alpha)}~\tau^\alpha
*N*과 τ이 주어지면, 이 식은 τα에 대하여 정리가 되고, *z&nbsp;*에 대한 급수해는 τα의 급수 또는 τα의 급수에 대한 역수의 점근확장을 이용한 역 급수의 방법으로 찾을 수 있다. 이 확장에서 우리는 *T&nbsp;=0*근처인 맥스웰-볼츠만 분포에서 온도는 무한에 접근하는 것을 볼 수 있다.

### 열역학
다음과 같은 값들을 계산할 수 있다.
* 평균 입자 수:
*: N(\beta,z) = z\frac\partial{\partial z}\ln Z 
* 평균 에너지:
*: E(\beta,z) = \frac\partial{\partial\beta}\ln Z 

입자수에 대한 식에서 바닥상태에 해당하는 부분을 더하는 것은 큰 퍼텐셜에 바닥 상태에 해당하는 항을 더하는 것과 같다.
:\Omega = g_0\ln(1-z)-\frac{\textrm{Li}_{\alpha+1}(z)}{\left(\beta E_c\right)^\alpha}
모든 열역학적 성질은 큰 퍼텐셜에서부터 계산될 수 있다. 아래의 표는 낮은 온도와 높은 온도의 극한, 그리고 무한 극한의 입자수에서 계산된 다양한 열역학적 값들을 나타낸 것이다. 등호(=)는 정확한 결과를 나타내주고 근사 기호는 \tau^\alpha의 급수 중 앞의 몇 항만 있는 경우에 해당하는 결과를 나타낸 것이다.

:
표에서 보듯이 모든 값들은 높은 온도의 극한에서 고전 이상 기체에 근접하는 것을 볼 수 있다. 위에서 나타난 값들은 다른 열역학적 값들을 구하는 데 쓰일 수 있다. 예를 들어, 모든 온도에서의 고전 이상기체에서 내부에너지와 압력, 부피의 곱은 비례하다.
:U=\frac{\partial \Omega}{\partial \beta}=\alpha PV
비슷한 경우로, 일정한 부피에서 견줌열은 다음과 같다.
:C_v=\frac{\partial U}{\partial T}=k(\alpha+1)\,U\beta
엔트로피는 다음의 식으로 표현된다.
:TS=U+PV-G\,
주의할 점은 높은 온도의 극한에서는
:TS=(\alpha+1)+\ln\left(\frac{\tau^\alpha}{\zeta(\alpha)}\right)
의 식을 얻게 되며, α=3/2에 대하여 이면 자쿠어-테트로더 방정식()으로 재기술된다.

## 역사
보스-아인슈타인 통계를 제창한 사티엔드라 나트 보스의 이름을 땄다.

## 참고 문헌
* 
* 
* Landau, L. D.; E. M. Lifshitz (1996). Statistical Physics, 3rd Edition Part 1. Oxford: Butterworth-Heinemann.
* 
* 

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