위상 양자장론

물리학과 수학에서 **위상 양자장론**(位相量子場論, , 약자 TQFT)은 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론이다. 미분구조조차 고려하지 않는 위상다양체에서 하는 것은 아니고, 정확히는 리만 계량을 고려하지 않는 미분다양체에서 하므로 위상 양자장론보다는 미분 위상 양자장론이 더 어울리는 이름이다.  입자 물리학과 끈 이론, 응집물질물리학과 대수적 위상수학, 매듭 이론에서 쓰인다.

## 정의
대부분의 양자장론은 그 관측가능량(상관 함수 등)이 시공간의 계량 텐서(중력장)에 의존한다. 관측가능량이 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론을 **위상 양자장론**이라고 한다.

오늘날 알려진 위상 양자장론은 **시바르츠형**()과 **코호몰로지형**(,
또는 **위튼형** )) 크게 두 종류가 있다.

### 시바르츠형 위상 양자장론
**시바르츠형 위상 양자장론**은 계량 텐서를 포함하지 않는 작용으로 나타내어진다. d차원 시공간에서, d차 미분형식을 적분하려면 계량 텐서가 필요하지 않다. 따라서 미분 형식을 장으로 하는 이론을 적을 수 있다. 이런 모형에는 천-사이먼스 이론과 BF 모형 등이 있다.

알베르트 시바르츠가 1977년에 최초의 시바르츠형 위상 양자장론을 발표하였고, 다음과 같은 꼴이다.
:S=\int_MA\wedge dA.
여기서 A는 1차 미분형식이고, M은 3차원 시공간이다. 이 모형을 비아벨 게이지 대칭에 대하여 일반화하면 천-사이먼스 이론을 얻는다.

### 코호몰로지형 위상 양자장론
**코호몰로지형 위상 양자장론** 또는 **위튼형 위상 양자장론**은 일반적으로 계량 텐서를 포함하는 이론에 **위상 뒤틂**()을 가하여 만든다.

에드워드 위튼이 1988년 최초의 예를 발표하였다. 위튼은 4차원 N=2 초대칭 게이지 이론에 위상 뒤틂을 가하여, 이 이론이 도널드슨 불변량을 재현함을 보였다.

시바르츠형 위상 양자장론은 특성류를 기반으로 하여, 일반적인 (위상) 다양체 위에 정의할 수 있지만, 코호몰로지형 위상 양자장론은 그 매끄러운 다양체 구조를 필요로 한다. 즉, 서로 위상동형이지만 다른 미분 구조를 가진 두 매끄러운 다양체를 코호몰로지형 위상 양자장론으로 구별할 수 있다.

*d*차원 **코호몰로지형 위상 양자장론**은 푸앵카레 대칭의 표현을 갖춘 힐베르트 공간 \mathcal H와, 다음과 같은 두 연산자 Q,G_\mu로 구성된다.
:\{Q,Q\}=\{G_\mu,G_\nu\}=0
:\{Q,G_\mu\}=P_\mu
여기서 P_\mu는 병진(translation) 대칭의 생성원이다. 이 두 연산자 Q,G_\mu는 스칼라/벡터 "초대칭"으로 생각할 수 있다. (일반적인 초대칭 연산자는 스칼라나 벡터가 아니라 스핀 ½의 스피너이다.) 또한, 진공 상태 |0\rangle가 Q에 대하여 불변이라고 하자 (즉, 초대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪지 않는다).
:Q|0\rangle=0
그렇다면 Q를 BRST 연산자로 생각하여, **물리적 힐베르트 공간** \mathcal H_\text{phys}을 Q에 대한 코호몰로지로 정의한다.
:\mathcal H_\text{phys}=H_Q(\mathcal H)=\ker Q/\operatorname{im}Q
또한, \mathcal H 위의 연산자들에 대해서도 [Q,\cdot\}에 대한 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우, 관측 가능량들의 공간은 Q에 대한 연산자 코호몰로지이다. 즉, 물리적인 관측 가능량은 Q에 대하여 닫혀 있다.

주어진 물리적 스칼라 연산자 O^{(0)}에 대하여, G_\mu를 가해 다음과 같은 연산자들을 추가로 정의할 수 있다.
:O^{(i+1)}=[G,O^{(i)}]
O^{(i)}는 i차 미분형식을 이루며, 다음과 같은 **내림 방정식**()을 만족시킨다. 이는 야코비 항등식으로부터 유도할 수 있다.
:dO^{(i)}=[Q,O^{(i+1)}]
따라서 i>0의 경우, O^{(i)}는 Q에 대하여 닫혀 있지 않고, 관측 가능량을 이루지 않는다. 다만, 시공간 M의 임의의 i차 호몰로지 C_i\in H_i(M;\mathbb Z)에 대하여 모자곱을 취하면 이는 관측 가능량을 이루게 된다. 즉,
:\int_{C_i}O^{(i)}
은 관측 가능량이다. 따라서, 다음과 같은 꼴의 상관 함수들을 계산할 수 있다.
:\left\langle\cdots\int_{C_i}O^{(i)}\cdots\right\rangle
예를 들어, 도널드슨 불변량을 이러한 형태의 상관 함수로 나타낼 수 있다.

## 아티야 공리계
마이클 아티야는 위상 양자장론을 수학적으로 정의하기 위하여 다음과 같은 공리계를 제안하였다. 이에 따라, d+1차원 **위상 양자장론**은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 모든 d차원 콤팩트 (경계가 없는) 유향 다양체 Y에 대하여, 복소 벡터 공간인 **상태 공간** E(Y)
* 모든 d+1차원 (경계를 가진) 유향 다양체 (X,\partial X)에 대하여, **[[경로 적분]]** Z(X)\in E(\partial X)
이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다.
# (함자성)
## (공간 대칭의 작용) 임의의 방향을 보존시키는 미분 동형 f\colon Y\to Y'에 대하여, 벡터 공간의 동형사상 E(f)\colon E(Y)\to E(Y')가 존재한다.
## (시공간 대칭의 작용) 또한, 임의의 방향 및 경계를 보존시키는 미분 동형 g\colon X\to X'에 대하여, E(f|_{\partial X})\colon Z(X)\mapsto Z(X')이다.
# (대합성) -Y를 Y에 반대 방향을 준 유향 다양체라고 한다면, E(-Y)=E(Y)^*이다. 여기서 V^*는 V의 쌍대 공간이다.
# (승법성)
## (상태 공간의 승법성) E(Y\sqcup Y')=E(Y)\otimes E(Y')
## (짜깁기 법칙 ) \partial X_1=Y_1\sqcup Y_3, \partial X_2=Y_2\sqcup-Y_3이라면, X_1과 X_2를 Y_3으로 이어붙여 X=X_1\cup X_2, \partial X=Y_1\sqcup Y_2를 만들 수 있다. 이 경우, Z(X)=\langle Z(X_1),Z(X_2)\rangle이다. 여기서 \langle\cdot,\cdot\rangle\colon E(Y_1)\otimes E(Y_3)\otimes E(Y_3)^*\otimes E(Y_2)\to E(Y_1)\otimes E(Y_2)는 E(Y_3)의 내적이다.
# (비자명성)
## (상태 공간의 비자명성) E(\varnothing)=\mathbb C이다.
## (경로 적분의 비자명성) Z(\varnothing)=1이다.
## (시간 변화) Z(Y\times[0,1])=\operatorname{Id}_{E(Y)}\in E(Y)\otimes E(Y)^*이다. 여기서 [0,1]은 닫힌 구간이고, \operatorname{Id}_{E(Y)}\colon E(Y)\to E(Y)는 E(Y)의 항등함수다.

일반적인 양자역학과 달리, 위상 양자장론의 상태 공간 E(Y)에는 내적이 일반적으로 주어져 있지 않다. 일반적으로, 양자역학에서는 관측가능량 및 해밀토니언을 정의하기 위하여 에르미트 연산자의 개념이 필요하고, 이를 정의하려면 상태공간과 그 쌍대공간의 동형사상 E(Y)\cong E^*(Y)이 필요하다. 그러나 위상 양자장론에서는 해밀토니언이 항상 0이므로 이 개념이 필요없다.

## 다양한 차원에서의 위상 뒤틂
초대칭 이론의 위상 뒤틂은 2차원~4차원에서 가능하다.

### 2차원 𝒩=(2,2) 위상 뒤틂

2차원 <math>\mathcal N=(2,2)</math> 초등각 장론의 R대칭은 U(1)2이며, 두 개의 위상 뒤틂이 존재한다. 이를 **A-뒤틂**() 및 **B-뒤틂**()라고 하며, 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형을 이렇게 뒤틀면 두 개의 위상 끈 이론을 얻는다. 이들 사이에는 거울 대칭이라는 관계가 존재한다.

### 4차원 𝒩=2 위상 뒤틂
4차원 \mathcal N=2 초대칭은 SU(2) R대칭을 가지므로, 유일한 위상 뒤틂을 갖는다. SU(2) 초대칭 게이지 이론을 뒤틀면 도널드슨 이론을 얻는다.

### 4차원 𝒩=4 위상 뒤틂
코호몰로지형 위상 양자장론의 대표적인 예는 위상 \mathcal N=4 초대칭 게이지 이론의 위상 뒤틂이다. \mathcal N=4 양-밀스 이론의 대칭군은
:\operatorname{SU}(2)_{\text{l}}\times\operatorname{SU}(2)_{\text{r}}\times\operatorname{SU}(4)_{\text{R}}
이다. 여기서 SU(2)l×SU(2)r=Spin(4)는 (유클리드) 로런츠 대칭이며, SU(4)는 R대칭이다. 초전하 (Q,\bar Q)는 표현
:(1/2, 0, \mathbf4)\oplus(0, 1/2,\mathbf4)
를 따른다. (SU(2) 표현은 스핀 j=0,1/2,1,3/2,\dots으로 표기하였고, 다른 군의 표현은 그 차원을 굵은 글씨로 표기하였다.) 따라서, 위상 뒤틂은 군 준동형
:\operatorname{SU}(2)_{\text{l}'}\times\operatorname{SU}(2)_{\text{r}'}
\to\operatorname{SU}(2)_{\text{l}}\times\operatorname{SU}(2)_{\text{r}}\times\operatorname{SU}(4)_{\text{R}}
에 의하여 정의되며, 이 가운데 초전하 (Q,\bar Q)의 성분 가운데 적어도 하나가 새 로런츠 군에 대하여 스칼라가 되어야 한다. 이러한  위상 뒤틂은 3가지가 있으며, 다음과 같다.

바파-위튼 뒤틂 · 마커스 뒤틂은 간혹 각각 **A-뒤틂** 및 **B-뒤틂**으로 불리기도 한다.

장들의 분해는 다음과 같다.

**도널드슨-위튼 뒤틂**()에서는 \operatorname{SU}(4)_{\text{R}} 대칭을
:\operatorname{SU}(4)_{\text{R}}\to\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)_{\text{F}}\times\operatorname{U}(1)_{\text{U}}
으로 깬 뒤, 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 군 \operatorname{SU}(2)_{\text{r}}와 섞어 얻는다. 이에 따라, 남은 \operatorname{SU}(2)_{\text{F}}는 맛깔 대칭, \operatorname{U}(1)_{\text{U}}는 유령수 대칭이 된다. 이 깨짐 아래, \operatorname{SU}(4)의 표현들은 다음과 같이 깨진다.
:\mathbf 4\to(1/2,0)^{+1}\oplus(1/2,0)^{-1}
:\mathbf 6\to(1/2,1/2)^0\oplus(0,0)^{\pm2}

**바파-위튼 뒤틂**() 또는 **A-뒤틂**()에서는 \operatorname{SU}(4)_{\text{R}} 대칭군을 우선
:\operatorname{SU}(4)\cong\operatorname{Spin}(6)\to\operatorname{Spin}(4)\cong\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)
로 깬 뒤, 두 SU(2) 성분 가운데 하나를 오른쪽 로런츠 군 \operatorname{SU}(2)_{\text{r}}와 섞는다. 따라서, 나머지 한 SU(2) 부분군은 SU(2) 유령수 대칭군 \operatorname{SU}(2)_{\text{U}}로 남게 된다. R대칭의 깨짐에 따라서, SU(4)의 표현들은 다음과 같은 \operatorname{SU}(2)^2 표현으로 깨진다.
:\mathbf4\to(1/2,1/2)
:\mathbf6\to(1,0)\oplus(0,1)
유령수 대칭이 SU(2) 단순군이므로, 바파-위튼 뒤틂에서는 (다른 뒤틂과 달리) 유령수가 변칙적이지 않다.

**마커스 뒤틂**() 또는 **B-뒤틂**()은 도널드슨-위튼 뒤틂에서 남아 있던 SU(2)F 맛깔 대칭을 왼쪽 로런츠 대칭 SU(2)l과 한 번 더 뒤틀어 얻는다. 이에 따라 U(1)U 유령수 대칭만이 남게 된다.

### 3차원 𝒩=4 위상 뒤틂
3차원에서는 \mathcal N=1 초대칭은 2개의 초전하를 갖고, R대칭은 \operatorname{SO}(\mathcal N)이 된다. 이 경우, 위상 뒤틂을 위해서는 \mathcal N\ge4이어야 한다.

3차원 \mathcal N=4에서, R대칭은 \operatorname{Spin}(4)\cong \operatorname{SU}(2)_N\times\operatorname{SU}(2)_R이다. 3차원 \mathcal N=4에서, 벡터 초장의 \operatorname{SU}(2)_E\times\operatorname{SU}(2)_N\times\operatorname{SU}(2)_R 표현은 다음과 같다. (SU(2) 표현은 스핀으로 표현하였다.)

따라서, 뒤튼 후의 로런츠 군 \operatorname{SU}(2)_{E'}을 \operatorname{SU}(2)_E\times\operatorname{SU}(2)_R의 대각선 부분군으로 잡거나, \operatorname{SU}(2)_E\times\operatorname{SU}(2)_N의 대각선 부분군으로 잡을 수 있다. 2차원 위상 끈 이론과 유사하게, 전자는 **A-뒤틂**(), 후자는 **B-뒤틂**()이라고 한다.

초켈러 다양체 위의 3차원 시그마 모형의 경우, A-뒤틂은 **카푸스틴-비아스 모형**(),, B-뒤틂은 **로잔스키-위튼 모형**()이라고 한다. 3차원 초대칭 게이지 이론의 B-뒤틂은 **블라우-톰프슨 모형**()이라고 한다.

### 3차원 𝒩=8 위상 뒤틂
3차원 \mathcal N=8 이론의 위상 뒤틂은 총 4가지가 있다.
* 하나는 4차원 \mathcal N=4 이론의 바파-위튼 뒤틂 또는 마커스 뒤틂의 축소화이다. (이들은 축소화하면 서로 같아진다.) 뒤튼 뒤, 4개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
* 하나는 4차원 \mathcal N=4 이론의 도널드슨-위튼 뒤틂의 축소화이다. 뒤튼 뒤, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
* 하나는 4개의 스칼라 초대칭을 갖는 뒤틂을 한 번 더 추가로 뒤틀어서 얻으며, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
* 하나는 1개의 스칼라 초대칭을 갖는다.

## 참고 문헌

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## 외부 링크
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## 같이 보기
* 천-사이먼스 이론
* 위상 끈 이론
* BF 모형

분류:양자장론
분류:위상수학