체바 정리

섬네일|체바 정리의 도해. ''O'' 점이 삼각형 내부에 있는 경우.
섬네일|체바 정리의 도해. ''O'' 점이 삼각형 외부에 있는 경우.

기하학에서 **체바 정리**(定理, )는 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 직선이 한 점에서 만날 필요충분조건을 제시하는 정리이다.

## 정의
점 D, E, F가 삼각형 ABC의 각 변 BC, CA, AB의 직선 위의 점이라고 하자. **체바 정리**에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* AD, BE, CF는 공점선이거나 평행선이다.
* \frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1
두 번째 조건의 세 개의 비율은 단순비를 나타낸다. 즉, 두 유향 선분의 방향이 같을 경우 양의 부호를 취하고, 방향이 반대일 경우 음의 부호를 취한다. 따라서 두 번째 조건을 만족시키려면 D, E, F 가운데 삼각형의 변의 외분점의 수는 짝수이어야 한다. 체바 정리는 세 점 가운데 하나가 무한원점인 경우에도 성립한다. 이 경우 각 꼭짓점과 대변 위의 무한원점을 잇는 직선은 각 꼭짓점을 지나는 대변의 평행선으로 정의되며, 무한원점의 단순비 값은 −1로 정의된다.

## 증명
### 넓이를 통한 증명
우선 AD, BE, CF가 한 점 P에서 만난다고 가정하자. 유향 삼각형 XYZ의 유향 넓이를 S_{XYZ}로 표기하자. 즉, 이는 세 꼭짓점을 시계 반대 방향으로 열거할 경우 양의 부호를 취하고, 시계 방향으로 열거할 경우 음의 부호를 취한다. 그렇다면, 높이가 같은 삼각형의 넓이는 밑변에 비례한다는 사실을 이용하면
:\frac{AF}{FB}=\frac{S_{ACF}}{S_{FCB}}=\frac{S_{APF}}{S_{FPB}}
를 얻으며, 따라서
:\frac{AF}{FB}=\frac{S_{ACF}-S_{APF}}{S_{FCB}-S_{FPB}}=\frac{S_{APC}}{S_{CPB}}
이다. 마찬가지로
:\frac{BD}{DC}=\frac{S_{BPA}}{S_{APC}},\;\frac{CE}{EA}=\frac{S_{CPB}}{S_{BPA}}
가 성립한다. 이 세 등식을 곱하면
:\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}
=\frac{S_{APC}}{S_{CPB}}\cdot\frac{S_{BPA}}{S_{APC}}\cdot\frac{S_{CPB}}{S_{BPA}}
=1
를 얻는다.

이제 AD, BE, CF가 평행선이라고 가정하자. 그렇다면 삼각형 ABE와 AFC는 닮음이며, 삼각형 ACD와 ECB 역시 닮음이므로,
:\frac{AF}{FB}=\frac{AC}{CE},\;\frac{BD}{DC}=\frac{EA}{AC}
이다. (여기서 모든 비율은 유향 선분의 비율인 데 주의하자.) 따라서
:\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{AC}{CE}\cdot\frac{EA}{AC}\cdot\frac{CE}{EA}=1
이다.

반대로
:\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1
가 성립하고 AD, BE, CF 가운데 적어도 한 쌍이 평행하지 않는다고 가정하자. 편의상 AD와 BE가 평행하지 않는다고 하자. 이들의 교점을 P라고 하고, CP와 AB의 교점을 F'이라고 하자. 그렇다면 이미 증명한 바에 의하여
:\frac{AF'}{F'B}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1
이며, 따라서
:\frac{AF'}{F'B}=\frac{AF}{FB}
이다. 선분을 주어진 비율로 분할하는 점은 유일하게 결정된다는 사실에 의하여 F'=F가 성립한다. 따라서 AD, BE, CF는 한 점 P에서 만난다.

### 무게 중심을 통한 증명
체바 정리는 질점의 무게 중심을 사용하여 증명할 수 있다. 외분점을 고려하기 위해서는 음의 질량을 허용해야 한다. 편의상 삼각형의 각 변의 직선 위의 유향 선분의 유향 길이가 삼각형을 기준으로 시계 반대 방향일 경우 양의 부호를 취하고, 시계 방향일 경우 음의 부호를 취한다고 하자. 예를 들어 AF와 FB의 길이는 F가 내분점일 경우 각각 양과 음의 부호를, 외분점일 경우 각각 음과 양의 부호를 취한다. 이렇게 하면 삼각형의 각 변의 직선 위의 모든 유향 선분에 유일한 유향 길이가 부여된다. 점 A, B, C에 각각 질량 BD\cdot CE, DC\cdot EA, BD\cdot EA를 부여하여 질점 (A,BD\cdot CE), (B,DC\cdot EA), (C,BD\cdot EA)를 만들자. 그렇다면 D에서 (A,BD\cdot CE)와 (C,BD\cdot EA)의 돌림힘이 일치하며, E에서 (B,DC\cdot EA)와 (C,BD\cdot EA)의 돌림힘이 일치한다. 즉, D는 (A,BD\cdot CE)와 (C,BD\cdot EA)의 무게 중심이며, E는 (B,DC\cdot EA)와 (C,BD\cdot EA)의 무게 중심이다.

우선 AD, BE, CF가 한 점 P에서 만난다고 가정하자. 이 경우 세 질점의 무게 중심은 AD 위의 점이자 BE 위의 점이어야 하므로 이는 두 직선의 교점 P와 같다. (A,BD\cdot CE)와 (B,DC\cdot EA)의 무게 중심을 F'이라고 하자. 그렇다면 F'는 선분 AB 위의 점이며, 세 질점의 무게 중심 P는 CF' 위의 점이다. 따라서 F'=F이며, F는 (A,BD\cdot CE)와 (B,DC\cdot EA)의 무게 중심이다. 즉, F에서 (A,BD\cdot CE)와 (B,DC\cdot EA)의 돌림힘
:AF\cdot BD\cdot CE=FB\cdot DC\cdot EA
은 일치한다. 즉,
:\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1
이 성립한다. 또한 이러한 세 비율의 곱은 유향 선분의 부호의 정의와 무관하다.

이제 AD, BE, CF가 평행선이라고 가정하자. 이 경우 특히 AD와 BE가 평행하므로, 세 질점의 무게 중심은 존재하지 않는다. 즉, 세 질점의 질량의 합은 0이다. 즉,
:BD\cdot CE+DC\cdot EA+BD\cdot EA=0
이며, 이를 정리하면
:\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=-1-\frac{BD}{DC}
를 얻는다. 새로운 세 질점 (A,FB\cdot DC), (B,AF\cdot DC), (C,AF\cdot BD)를 생각하면 마찬가지로
:\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}=-1-\frac{AF}{FB}
를 얻는다. 따라서
:\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}
=\frac{AF}{FB}\left(-1-\frac{BD}{DC}\right)
=-\frac{AF}{FB}-\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}
=1

이다.

반대로
:\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1
가 성립하고 AD, BE, CF가 평행선이 아니라고 가정하자. 편의상 AD와 BE가 어떤 점 P에서 만난다고 가정하자. 그렇다면 P는 세 질점의 무게 중심이다. 또한 세 비율의 곱이 1이라는 등식을 정리하면
:AF\cdot BD\cdot CE=FB\cdot DC\cdot EA
을 얻으며, 이는 F에서 (A,BD\cdot CE)와 (B,DC\cdot EA)의 돌림힘이 일치한다는 말과 같다. 즉, F는 (A,BD\cdot CE)와 (B,DC\cdot EA)의 무게 중심이다. 따라서 CF 역시 P를 지난다.

## 따름정리
### 각체바 정리

점 D, E, F가 삼각형 ABC의 각 변 BC, CA, AB의 직선 위의 점이라고 하자. **각체바 정리**(角定理)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* AD, BE, CF는 공점선이거나 평행선이다.
* \frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle FCB}
\cdot\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle DAC}
\cdot\frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle EBA}
=1
두 번째 조건의 여섯 개의 각의 크기는 유향각의 유향 크기를 나타낸다. 즉, 유향각이 시계 반대 방향일 경우 양의 부호를 취하고, 시계 방향일 경우 음의 부호를 취한다. 예를 들어, 만약 F가 변 AB의 내분점이라면, CA에서 CF로 (180도 이내의 각도로) 회전하는 방향은 시계 반대 방향이며, CF에서 CB로 회전하는 방향 역시 시계 반대 방향이므로, \angle ACF와 \angle FCB는 모두 양의 부호를 취한다. 따라서 이들의 사인 값은 모두 양수이다. 만약 F가 B에 더 가까운 외분점이라면, CA에서 CF로 회전하는 방향은 시계 반대 방향이나, CF에서 CB로 회전하는 방향은 시계 방향이므로, \angle ACF와 \angle FCB는 각각 양과 음의 부호를 취한다. 따라서 이들의 사인 값은 각각 양수와 음수이다. 만약 F가 A에 더 가까운 외분점이라면, \angle ACF와 \angle FCB는 각각 음과 양의 부호를 취하며, 이들의 사인 값은 각각 음수와 양수이다. 따라서, 두 번째 조건이 만족되려면 점 D, E, F 가운데 정확히 짝수 개가 외분점이어야 한다.

### 각 변의 중점에 대한 반사의 성질
점 D와 D', E와 E', F와 F'이 삼각형 ABC의 각 변 BC, CA, AB의 직선 위의 점이며, 서로 각 변 BC, CA, AB의 중점에 대한 반사상이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* AD, BE, CF는 공점선이다.
* AD', BE', CF'은 공점선이다.
이는 각 변의 직선 위 두 점의 단순비가 서로 역수이기 때문이다.

### 공원점의 성질
점 D와 D', E와 E', F와 F'이 삼각형 ABC의 각 변 BC, CA, AB의 직선 위의 점이며, 이 6개의 점이 공원점을 이룬다고 하자. (즉, 삼각형 DEF와 D'E'F'의 외접원은 같다고 하자.) 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* AD, BE, CF는 공점선이다.
* AD', BE', CF'은 공점선이다.
이는 방멱 정리를 통해 증명할 수 있다.

### 중선의 성질
삼각형의 세 중선은 공점선이며, 삼각형의 무게 중심에서 만난다. 이는 세 중점의 단순비가 모두 1이기 때문이다.

### 각의 이등분선의 성질
삼각형의 세 내각의 이등분선은 공점선이며, 삼각형의 내심에서 만난다. 삼각형의 두 외각의 이등분선과 남은 한 내각의 이등분선 역시 공점선이며, 이들은 삼각형의 한 방심에서 만난다. 이는 각의 이등분선 정리에 의하여 내각 또는 외각의 이등분선과 대변의 교점의 단순비의 절댓값이 각의 두 이웃변의 길이의 비율과 같기 때문이다.

## 역사
1678년에 이탈리아의 수학자 조반니 체바가 처음 제시한 것으로 알려졌으나, 11세기 사라고사 타이파의 왕 유수프 알무타만 이븐 후드가 먼저 발견하였다.

## 같이 보기
* 체바 직선
* 하루키 정리
* 메넬라오스 정리
* 각체바 정리

## 각주

## 외부 링크

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분류:아핀기하학
분류:삼각형에 대한 정리
분류:유클리드 평면기하학