불 대수

순서론과 추상대수학, 논리학에서 **불 대수**(Boole代數, )는 고전 명제 논리의 명제의 격자와 같은 성질을 갖는 격자이다. 즉, 논리적 공리들을 만족시키는 논리합과 논리곱 및 부정의 연산이 정의된 대수 구조이다.

## 정의
불 대수의 개념은 다양하게 정의할 수 있으며, 이 정의들은 서로 동치이다.
* 불 대수는 특정 조건을 만족시키는 유계 격자(또는 직교 여원 격자 또는 헤이팅 대수)로 여길 수 있다.
* 불 대수는 특정 조건을 만족시키는 가환환으로 여길 수 있다.
* 불 대수의 범주는 **스톤 공간**(Stone空間, )이라는 특정 위상 공간의 범주의 반대 범주이다. 이를 통해, 불 대수를 특정 위상 공간 속의 특정 집합족으로 여길 수 있다.

### 직교 여원 격자를 통한 정의
직교 여원 격자에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 직교 여원 격자를 **불 대수**라고 한다.
* 분배 격자이다.
* 임의의 원소 x\in L에 대하여, c\land x=\bot이며 c\lor x=\top인 c\in L가 유일하게 존재한다. (이는 물론 \lnot x이다.)
* (엘칸 법칙 ) 임의의 x,y\in L에 대하여, \lnot(a\land\lnot b)=b\lor\lnot a\land\lnot b
* 직교모듈러 격자이며, 임의의 원소 x\in L\setminus\{\bot\}에 대하여, 다음 세 조건들을 만족시키는 함수 s\colon L\to\{0,1\}가 존재한다.
** s(\top)=s(x)=1
** 임의의 a,b\in L에 대하여, s(a\lor b)\le\max\{s(a),s(b)\}
** 임의의 a,b\in L에 대하여, a\le\lnot b라면 s(a\lor b)=\max\{s(a),s(b)\}

불 대수의 **준동형**은 여원과 \top 및 \bot을 보존시키는 격자 준동형이다. 불 대수의 정의는 대수적이므로, 불 대수의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.

### 유계 격자를 통한 정의
유계 격자 L에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 격자를 **불 대수**라고 한다.
* 모듈러 격자이며, 임의의 x\in L에 대하여, x\land c=\bot이자 x\lor c=\top인 원소 c\in L가 유일하게 존재한다.
* 분배 격자이며, 임의의 x\in L에 대하여, x\land c=\bot이자 x\lor c=\top인 원소 c\in L가 적어도 하나 이상 존재한다.
* 임의의 x\in L에 대하여, x\land c=\bot이자 x\lor c=\top인 원소 c\in L가 유일하게 존재하며, 또한 \textstyle x=\bigvee A인 A\subseteq\min(X\setminus\{\bot\})가 존재한다.
여기서 \min(X\setminus\{\bot\})는 부분 순서 집합 X\setminus\{\bot\}의 극소 원소들의 집합이다.

### 헤이팅 대수를 통한 정의
헤이팅 대수 H에 대하여,
:\lnot x=(x\implies\bot)
를 정의하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 헤이팅 대수를 **불 대수**라고 한다.
* (대합) \lnot은 대합이다. 즉, 임의의 x\in H에 대하여, \lnot\lnot x=x이다.
* (배중률) 모든 원소 x\in H에 대하여, x\lor\lnot x=\top이다.
이 경우, (H,\lnot)은 직교 여원 격자를 이룬다.

### 환론적 정의
(단위원을 갖는) 환 R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 **불 대수**라고 한다.
* 모든 원소가 멱등원이다. 즉, 모든 x\in B에 대하여, x^2=x이다.
* R는 유한체 \mathbb F_2의 직접곱 \mathbb F_2^{\times\kappa}의 부분환과 동형이다 (\kappa는 임의의 기수).
특히, 자명환은 불 대수이다. (둘째 정의에서 이는 \kappa=0에 해당한다.)

**불 대수 준동형**은 두 불 대수 사이의 환 준동형이다.

### 위상수학적 정의
**스톤 공간**()은 콤팩트 완전 분리 하우스도르프 공간이다. 스톤 공간과 연속 함수의 범주를 \operatorname{Stone}이라고 쓰자.

스톤 공간의 열린닫힌집합들의 족은 유계 격자를 이룬다. 스톤 공간의  열린닫힌집합들의 족과 동형인 유계 격자를 **불 대수**라고 한다.

열린닫힌집합의 연속 함수 아래의 원상은 열린닫힌집합이다. 따라서, 두 불 대수 B, B'에 대응하는 스톤 공간 X, X'가 주어졌을 때, 연속 함수 f\colon X'\to X는 함수
:f^{-1}\colon B\to B'
를 유도한다. 두 불 대수 사이의 **불 대수 준동형**은 이와 같이 스톤 공간 사이의 연속 함수로 유도될 수 있는 함수이다.

이에 따라, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.
:\operatorname{Stone}\simeq\operatorname{Bool}^{\operatorname{op}}
이 정의가 불 대수의 다른 정의들과 동치라는 사실은 **스톤 표현 정리**()라고 한다.

특히, 이 정의는 환론적 정의와 다음과 같은 관계를 갖는다. 모든 가환환에 대하여, **[[환의 스펙트럼|스펙트럼]]**이라는 위상 공간을 대응시킬 수 있으며, 이는 가환환의 범주 \operatorname{CRing}의 반대 범주에서 위상 공간의 범주 \operatorname{Top}로 가는 함자
:\operatorname{Spec}\colon\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Top}
를 정의한다. 만약 이 가환환이 불 대수를 이룬다면 그 스펙트럼은 스톤 공간을 이룸을 보일 수 있으며, 이는 열린닫힌집합족 함자의 역함자이다. 즉, 다음과 같은 두 함자가 존재하며, 이는 범주의 동치를 이룬다.
:\operatorname{Spec}\colon\operatorname{Bool}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Stone}
:\operatorname{Clopen}\colon\operatorname{Stone}\to\operatorname{Bool}^{\operatorname{op}}

불 대수의 스펙트럼은 다음과 같이 직접적으로 묘사할 수 있다. 불 대수의 극대 아이디얼은 극대 순서 아이디얼과 일치하며, 불 대수의 쌍대성에 따라 이는 극대 필터와 일대일 대응한다. 따라서, 2가 두 개의 원소의 불 대수라면, 극대 필터들의 집합은 \hom_{\operatorname{Bool}}(B,2)이다. 이 위에 다음과 같은 기저로 생성되는 위상을 부여하면, 스톤 공간을 이룬다.
:\{\{\mathcal U \in\operatorname{Spec}(B) \colon b \in \mathcal U\}\}_{b\in B}
이는 2에 이산 위상을 부여하고, 멱집합 \mathcal P(B)=2^B에 곱위상을 부여한 뒤, \operatorname{Spec}(B)\subset\mathcal P(B)에 부분 공간 위상을 부여한 것과 같다.

### 범주론적 정의
모든 원순서 집합은 작은 얇은 범주로 간주할 수 있다. 이 경우, 부분 순서 집합은 서로 동형인 두 대상이 항상 같은 원순서 집합이며, 헤이팅 대수는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주인 부분 순서 집합이다.

**불 대수**는 다음 조건을 만족시키는 작은 얇은 범주이다.
* 서로 동형인 두 대상은 같다.
* 유한 완비 범주이며 유한 쌍대 완비 범주이다.
* 데카르트 닫힌 범주이다.
* 임의의 두 대상 X,Y\in\mathcal C에 대하여, 다음과 같은 동형이 존재한다. (이들은 드 모르간 법칙을 범주론적 용어로 번역한 것이다.)
*:X\times Y\cong 0^{0^X\sqcup 0^Y}
*:0^{X\times Y}\cong 0^X\sqcup 0^Y
여기서 \times는 범주론적 곱이며, \sqcup는 쌍대곱이며, 0은 시작 대상이며, A^B는 지수 대상이다.

### 서로 다른 정의들의 비교
불 대수의 서로 다른 정의들은 다음과 같이 대응된다.

## 성질
### 순서론적 성질
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:

불 대수를 가환환으로 여겼을 때, 그 아이디얼은 순서 아이디얼과 일치한다.

### 환론적 성질
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:가환환 ⇐ 가환 축소환 ⇐ 가환 반원시환 ⇐ 가환 폰 노이만 정칙환 ⇐ 불 대수

임의의 불 대수 B는 가환환이고 표수가 2이며 (즉 모든 원소는 자신의 덧셈 역원이다) 따라서 유한체 \mathbb F_2 위의 결합 대수이다.

**증명:**

**가환성**: 임의의 x,y\in B에 대하여 0=(x+y)^2-(x+y)=x^2+y^2+xy+yx-x-y=xy+yx이다.

**표수 2**: 위에서 x=y=1이라면 0=2이다.

(그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 다항식환 \mathbb F_2[x]는 x^2\ne x이므로 불 대수가 아니다.)

#### 아이디얼
불 대수의 임의의 몫환은 불 대수이다. 불 대수의 임의의 부분환은 불 대수이다.

불 대수의 스펙트럼은 스톤 공간이다. 특히, 불 대수의 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 불 대수 B의 임의의 극대 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}B에 대한 몫환은 크기 2의 유한체이다.
:B/\mathfrak p\cong\mathbb F_2
불 대수는 폰 노이만 정칙환이며, 따라서 그 위의 모든 가군은 평탄 가군이다.

불 대수의 모든 유한 생성 아이디얼은 주 아이디얼이다. 구체적으로
:(x,y)=(x+y+xy)
이다.

### 범주론적 성질
불 대수의 모임은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 그 범주는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 자유 대상을 갖는다.

## 예
### 멱집합
섬네일|right|크기가 16=2<sup>2<sup>2</sup></sup>인 불 대수. 이는 두 개의 생성원으로 생성되는 자유 불 대수이다.
임의의 집합 S의 멱집합 \mathcal P(S)은 크기가 2^인 불 대수를 이룬다. 반대로, 모든 유한 불 대수는 어떤 유한 집합의 멱집합의 불 대수와 동형이다. 특히, 공집합의 멱집합 \mathcal P(\varnothing)=\{\varnothing\}은 가장 작은 불 대수이며, 또한 \top=\bot인 유일한 불 대수이다.

집합 S에 대하여, 멱집합 \mathcal P(S)에 대응하는 스톤 공간은 S의 스톤-체흐 콤팩트화이다.

멱집합과 동형이 아닌 무한 불 대수 또한 존재한다. 예를 들어, 집합 S 및 기수 \kappa가 주어졌을 때,
:\mathcal P_{\kappa}(S)=\left\{T\subset S|\kappa>\min\{|T|,|S\setminus T|\}\right\}
로 정의하자. 만약 \kappa=0이거나 \kappa\ge\aleph_0이라면, 이는 둘 다 불 대수를 이룬다. 예를 들어, |S|=\aleph_0일 경우, \mathcal P_{\aleph_0}(S)는 크기가 \aleph_0인 불 대수이며, 따라서 멱집합과 동형일 수 없다.

### 자유 불 대수
불 대수는 대수 구조 다양체를 이루므로, 임의의 생성원의 집합에 대응하는 자유 불 대수가 존재한다.

스톤 표현 정리에 따라서, 임의의 기수 \kappa에 대하여, \kappa개의 생성원으로부터 생성되는 자유 불 대수에 대응하는 스톤 공간은
:\{0,1\}^\kappa
이다. 여기서 \{0,1\}은 2개의 점을 가진 이산 공간이며, \{0,1\}^\kappa에는 곱 위상을 준다. 이 경우, \alpha번째 생성원은 튜플의 \alpha번째 성분이 1인 모든 원소들로 구성된 열린닫힌집합에 대응한다.

만약 \kappa가 유한할 경우, 자유 불 대수의 크기는 2^{2^\kappa}이며, 만약 \kappa가 무한할 경우 자유 불 대수의 크기는 \kappa이다.

### 사유한군

스톤 공간을 이루는 위상군은 **[[사유한군]]**이라고 한다.

## 응용
### 논리학

논리학에서, 불 대수는 고전 명제 논리의 모형을 제공한다. 만약 고전 명제 논리를 직관 논리로 약화시키면, 불 대수 대신 헤이팅 대수를 사용하여야 한다.

### 컴퓨터 과학
불 대수는 디지털 회로 설계에 응용된다. 디지털 회로는 전압의 H(High), L(Low)만으로 정보를 연산하기 때문에, 기본적으로 조합 회로는 불 대수에 있는 논리식을 써서 나타낼 수 있다. (하지만, 플립플롭 등 순차 회로는 단순하게 하나의 논리식으로 나타낼 수 없다.) 높은 전압(H)를 1로, 낮은 전압(L)을 0으로 하는 논리 형식을 정논리, 낮은 전압 (L)을 1로, 높은 전압(H)를 0으로 하는 논리 형식을 부논리라고 한다.

## 역사
불 대수의 개념은 1847년에 조지 불이 논리학을 형식화하기 위하여 도입하였다. 이후 불은 1854년의 저서에서 이 개념을 추가로 설명하였다. 불은 논리곱과 배타적 논리합을 기초적 연산으로 삼았는데, 이는 오늘날에 불 대수를 가환환의 일종으로 여기는 것과 같다.

이후 윌리엄 스탠리 제번스(, 1835~1882) · 찰스 샌더스 퍼스(1839~1914) · 에른스트 슈뢰더(, 1841~1902) 등이 불의 논리 대수의 연구를 계속하였다. 제번스는 1864년의 저서에서 불이 사용한 배타적 논리합 대신 (배타적이지 않은) 논리합을 최초로 사용하였다. 이 책에서 제번스는 다음과 같이 적었다.

1913년 논문에서 미국의 헨리 모리스 셰퍼(, 1882~1964)가 "불 대수"()라는 용어를 최초로 사용하였다. 이 논문에서 셰퍼는 불 대수의 모든 연산을 부정논리곱으로서 정의할 수 있음을 보였다.

스톤 표현 정리는 마셜 하비 스톤이 1936년에 증명하였다.

## 같이 보기
* 부울 도메인
* 불 함수
* 완비 불 대수
* 드 모르간의 법칙
* 강제법
* 헤이팅 대수
* 카노 맵
* 논리 회로
* 이진 행렬
* 콰인-매클러스키 알고리즘
* 벤 다이어그램
## 각주

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## 외부 링크
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