삼각행렬

선형대수학에서 **삼각행렬**(三角行列, )은 정사각행렬의 특수한 경우로, 주대각선을 기준으로 대각항의 위쪽이나 아래쪽 항들의 값이 모두 0인 경우를 의미한다.
오른쪽|200px| 주대각선
다음과 같은 모양을 가지는 행렬 \mathbf{L}을 **하삼각행렬**(lower triangular matrix)로 정의한다.
:\mathbf{L}= \begin{bmatrix} l_{1,1} & & & & 0 \\ l_{2,1} & l_{2,2} & & & \\ l_{3,1} & l_{3,2} & \ddots & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \\ l_{n,1} & l_{n,2} & \ldots & l_{n,n-1} & l_{n,n} \end{bmatrix}

다음과 같은 모양을 가지는 행렬 \mathbf{U}을 **상삼각행렬**(upper triangular matrix)로 정의한다.
:\mathbf{U} = \begin{bmatrix} u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots & u_{1,n} \\ & u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots & u_{2,n} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & & \ddots & u_{n-1,n}\\ 0 & & & & u_{n,n} \end{bmatrix}

만약 삼각행렬의 대각항이 모두 0인 경우는 **순삼각행렬**(strict triangular), 혹은 삼각행렬의 모양에 따라 **순하삼각행렬**, **순상삼각행렬**로 부른다.

## 성질

* 상삼각행렬이면서 하삼각행렬인 행렬은 대각행렬이다.
* 삼각행렬이면서 정규행렬인 행렬은 대각행렬이다.
* 상삼각행렬은 덧셈, 곱셈, 역행렬에 대해 닫혀 있다. 즉, 상삼각행렬간의 덧셈, 곱셈, 역행렬 연산을 통해 나오는 행렬은 상삼각행렬이다. 이 성질은 하삼각행렬에 대해서도 성립한다.
** 단, 순삼각행렬 등과 같이 행렬식이 0의 값을 가질 경우 역행렬이 존재하지 않으므로, 역행렬에 대해 닫혀있기 위해서는 삼각행렬이 가역행렬이어야 한다는 추가 조건이 있다.
* 삼각행렬의 행렬식은 대각항들의 곱과 같다.
* 대각행렬과 사다리꼴행렬은 삼각행렬의 특수한 형태이다.

## 예
* (순)상삼각행렬(식)

:
+eee\begin{vmatrix}

{\color{red}{ 4a}} &  3b &  2c &  d     \\
0  &  {\color{red}{ 4a}} &  3b &  2c    \\
0  &  0  &  {\color{red}{ 4a}} &  3b    \\
0  & 0   &  0  &  {\color{red}{ 4a }}   \\  \end{vmatrix} =
+eee \left(
{\color{red}{ 4a}}\begin{vmatrix}

  {\color{red}{ 4a}} &  3b &  2c    \\
  0  &  {\color{red}{ 4a}} &  3b    \\
 0   &  0  &  {\color{red}{ 4a}}    \\  \end{vmatrix}
-3b\begin{vmatrix}

0  &    3b &  2c    \\
0  &    4a &  3b    \\
0  &   0  &  4a    \\  \end{vmatrix}
+2c\begin{vmatrix}

0  &  4a &    2c    \\
0  &  0  &    3b    \\
0  & 0   &    4a    \\  \end{vmatrix}
-d\begin{vmatrix}

0  &  4a &  3b     \\
0  &  0  &  4a     \\
0  & 0   &  0     \\  \end{vmatrix}
\right)

:

+eee{\color{red}{ 4a}}\begin{vmatrix}
  {\color{red}{ 4a}} &  3b &  2c    \\
  0  &  {\color{red}{ 4a}} &  3b    \\
 0   &  0  & {\color{red}{  4a}}    \\  \end{vmatrix} =
+eee{\color{red}{ 4a}} \left(
 {\color{red}{ 4a}}\begin{vmatrix}

    {\color{red}{ 4a}} &  3b    \\
   0  &  {\color{red}{ 4a}}    \\  \end{vmatrix}
 -3b\begin{vmatrix}

  0  &    3b    \\
 0   &    4a    \\  \end{vmatrix}
 +2c\begin{vmatrix}

  0  &  4a     \\
 0   &  0      \\  \end{vmatrix}
\right)

:
-eee3b\begin{vmatrix}
0  &    3b &  2c    \\
0  &    4a &  3b    \\
0  &   0  &  4a    \\  \end{vmatrix} =
-eee3b \left(
\cancel{ 0 \begin{vmatrix}

    4a &  3b    \\
   0  &  4a    \\  \end{vmatrix} }
 -3b\begin{vmatrix}

0  &      3b    \\
0  &     4a    \\  \end{vmatrix}
 +2c\begin{vmatrix}

0  &    4a     \\
0  &   0      \\  \end{vmatrix}
\right)

:
+eee2c\begin{vmatrix}
0  &  4a &    2c    \\
0  &  0  &    3b    \\
0  & 0   &    4a    \\  \end{vmatrix}=
+eee2c \left(
\cancel{ 0\begin{vmatrix}

  0  &    3b    \\
 0   &    4a    \\  \end{vmatrix}}
-4a\begin{vmatrix}

0  &     3b    \\
0  &     4a    \\  \end{vmatrix}
+2c\begin{vmatrix}

0  &  0      \\
0  & 0       \\  \end{vmatrix}
\right)

:
-eeed\begin{vmatrix}
0  &  4a &  3b     \\
0  &  0  &  4a     \\
0  & 0   &  0     \\  \end{vmatrix} =
-eeed \left(
\cancel{ 0\begin{vmatrix}

  0  &  4a     \\
 0   &  0     \\  \end{vmatrix} }
-4a\begin{vmatrix}

0  &    4a     \\
0  &  0     \\  \end{vmatrix}
+3b\begin{vmatrix}

0  &  0       \\
0  & 0        \\  \end{vmatrix}
\right)

:

 +eee{\color{red}{ 4a4a}}\begin{vmatrix}

    {\color{red}{ 4a}} &  3b    \\
   0  &  {\color{red}{ 4a}}    \\  \end{vmatrix}=+eee{\color{red}{ 4a4a}}({\color{red}{ 4a4a}}-\cancel{3b0})=+{\color{red}{ 4^4 a^4}} e^3=+{\color{red}{ 256a^4}} e^3

:
 -eee4a3b\begin{vmatrix}

  0  &    3b    \\
 0   &    4a    \\  \end{vmatrix}=-eee4a3b(04a-3b0)=0

:
 +eee4a2c\begin{vmatrix}

  0  &  4a     \\
 0   &  0      \\  \end{vmatrix} = +eee4a2c(00-4a0)=0


:

 +eee3b3b\begin{vmatrix}

0  &      3b    \\
0  &     4a    \\  \end{vmatrix} =+eee3b3b(04a-3b0)=0

:
 -eee3b2c\begin{vmatrix}

0  &    4a     \\
0  &   0      \\  \end{vmatrix}= -eee3b2c(00-4a0)=0


:

-eee2c4a\begin{vmatrix}

0  &     3b    \\
0  &     4a    \\  \end{vmatrix}=-eee2c4a(04a-3b0)=0

:
+eee2c2c\begin{vmatrix}

0  &  0      \\
0  & 0       \\  \end{vmatrix}=+eee2c2c(00-00)=0


:

+eeed4a\begin{vmatrix}

0  &    4a     \\
0  &  0     \\  \end{vmatrix} =+eeed4a(00-4a0)=0

:
-eeed3b\begin{vmatrix}

0  &  0       \\
0  & 0        \\  \end{vmatrix} =-eeed3b(00-00)=0


* (순)하삼각행렬(식)
:
 aaa\begin{vmatrix}

     {\color{red}{ d }} &  0  &  0  &  0   \\
      2c &  {\color{red}{ d}}  &  0  &  0   \\
      3b &  2c & {\color{red}{ d }}  &  0   \\
      4a &  3b & 2c  &  {\color{red}{ d}}   \\  \end{vmatrix} =

aaa \left(
{\color{red}{ d}}\begin{vmatrix}

        {\color{red}{ d}}  &  0  &  0   \\
        2c & {\color{red}{ d}}   &  0   \\
        3b & 2c  & {\color{red}{  d}}   \\  \end{vmatrix}
-\cancel{ 0\begin{vmatrix}

      2c &    0  &  0   \\
      3b &   d   &  0   \\
      4a &   2c  &  d   \\  \end{vmatrix}
+0\begin{vmatrix}

      2c &  d  &    0   \\
      3b &  2c &   0   \\
      4a &  3b &  d   \\  \end{vmatrix}
-0\begin{vmatrix}

      2c &  d  &  0     \\
      3b &  2c & d      \\
      4a &  3b & 2c     \\  \end{vmatrix}}
\right)

:
aaa{\color{red}{ d}}\begin{vmatrix}

        {\color{red}{ d}}  &  0  &  0   \\
        2c & {\color{red}{ d }}  &  0   \\
        3b & 2c  &  {\color{red}{ d}}   \\  \end{vmatrix}=
aaa{\color{red}{ d}} \left(
{\color{red}{ d}} \begin{vmatrix}

         {\color{red}{ d}}   &  0   \\
         2c  &  {\color{red}{ d}}   \\  \end{vmatrix}
\cancel{ -0\begin{vmatrix}

        2c &   0   \\
        3b &   d   \\  \end{vmatrix}
+0\begin{vmatrix}
        2c & d      \\
        3b & 2c     \\  \end{vmatrix}}

\right)

:

aaa{\color{red}{ dd}}\begin{vmatrix}
         {\color{red}{ d}}   &  0   \\
         2c  &  {\color{red}{ d}}   \\  \end{vmatrix}=aaa{\color{red}{ dd}}({\color{red}{ dd}}-\cancel{02c})=a^3{\color{red}{ d^4}}


* 삼각행렬 A에 대해서 xI-A도 역시 삼각행렬이기 때문에, 고유행렬식 det(xI-A)은 대각항들을 근으로 가진다. 따라서 A의 고윳값은 각 대각항이 된다.

* 단위 하삼각행렬
:
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
\blacksquare & 1 & 0 & 0 \\
\blacksquare& \blacksquare & 1 & 0 \\
\blacksquare &\blacksquare &\blacksquare & 1 \\
\end{bmatrix}


## 전진 대입과 후진 대입
행렬 방정식 \mathbf{L}\mathbf{x} = \mathbf{b} 또는 \mathbf{U}\mathbf{x} = \mathbf{b}의 형태에서 각각 하삼각행렬에 대한 전진대입( forward substitution) 및 상 삼각행렬에대한 후진대입(back substitution)이라고하는 반복적 프로세스로 해결하기가 용이하다. 우선 소위 하삼각행렬의 경우의 프로세스는  x_{1}을 첫번째 계산으로 해서 다음 방정식으로 대입하여  x_ {2} , ~ x_{n}까지 반복한다. 상삼각행렬에서는 역으로 작동하는데 , 첫번째 계산은  x_{n} , 그런 다음 이를 이전 방정식으로 대입하여  x_{n-1} , 반복하여  x_{1}에 이른다.

행렬을 뒤집는것은 아니다.

* 전진대입
행렬 방정식 L x = b는 선형 방정식의 시스템(연립)으로 쓸 수 있다
:
\begin{matrix}
\ell_{1,1} x_1 &   &             &            &             & = &    b_1 \\
\ell_{2,1} x_1 & + & \ell_{2,2} x_2 &            &             & = &    b_2 \\
     \vdots &   &      \vdots &     \ddots &             &   & \vdots \\
\ell_{(m-1),1} x_1 & + & \ell_{(m-1),2} x_2 & + \dotsb + & \ell_{(m-1),(m-1)} x_{(m-1)} & = &   b_{(m-1)}  \\
\ell_{m,1} x_1 & + & \ell_{m,2} x_2 & + \dotsb + & \ell_{m,m} x_m & = &   b_m  \\
\end{matrix}

여기서 x_1는 첫 번째 방정식 (\ell_{1,1} x_1 = b_1) 에만 관련된다. 이어서 두 번째 방정식은 x_1 과 x_2에 관련된다. 따라서 이미 해결 된 값으로 대입하여 풀수있게된다. 계속해서 마지막의 직전은 x_m이전에 접근한 값 x_{m-1}이다. 그리고 맨 마지막 m번째 방정식은 x_m이다.

이러한 x_1,x_2,\dots,x_{m-1},x_m 결과 수식은 다음과 같다.
: x_1 {\ell_{1,1}}  = {b_1}
: x_1 = \frac{b_1}{\ell_{1,1}}  이고,
: x_2 {\ell_{2,2}} + \ell_{2,1} x_1 = b_2  
: x_2 = \frac{b_2 - \ell_{2,1} x_1}{\ell_{2,2}}  이고,
: x_3 {\ell_{3,3}} +x_2 {\ell_{2,2}} + \ell_{2,1} x_1 = b_3  

: x_3 =   -  \ell_{2,1} x_1}\over{\ell_{3,3}}}  이고,

:정리하면,
: x_1 = \frac{b_1}{\ell_{1,1}} 
: x_2 = \frac{b_2 - \ell_{2,1} x_1}{\ell_{2,2}} 
: x_3 =   -  \ell_{2,1} x_1}\over{\ell_{3,3}}} 

:계속해서 ,
:: \vdots 

:일반화하면
: x_m =  } 

* 후진대입
:상삼각행렬 U를 갖는 행렬 방정식은 역방향에서 같은 방식으로 적용하여 접근할 수 있다.

## 같이 보기
* 사다리꼴행렬
* LU 분해

## 각주

## 참고 문헌
* 매스월드
* 
* 매스월드
* 매스월드
* 정보통신기술용어해설

분류:행렬
분류:수치선형대수학