갈루아 군

수학에서 **갈루아 군**(Galois群, )은 특정한 종류의 체의 확대에 대응되는 군이다. 갈루아 이론은 갈루아 군을 이용해 체의 확대 (및 이를 생성하는 다항식)을 연구하는 분야이다.

## 정의
체의 확대 L/K가 주어졌다고 하자. 이 경우, 체 L의 자기 동형 f\colon L\to L 가운데 f(k)=k\forall k\in K인 것들은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 체의 확대 L/K의  **자기 동형군** \operatorname{Aut}(L/K)라고 한다.

만약 L/K가 갈루아 확대일 경우, 그 자기 동형군을 **갈루아 군** \operatorname{Gal}(L/K)이라고 한다.

체 K의 분해 가능 폐포 K^{\operatorname{sep}}의 자기 동형군 \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K)을 **절대 갈루아 군**() \operatorname{Gal}K이라고 한다. 절대 갈루아 군은 스펙트럼 \operatorname{Spec}K의 에탈 기본군과 표준적으로 동형이다.
:\operatorname{Gal}K\cong\pi_1^{\operatorname{\acute et}}(\operatorname{Spec}K)
K^{\operatorname{sep}}/K는 최대 갈루아 확대이므로, 모든 갈루아 군은 절대 갈루아 군의 부분군이다.

### 갈루아 군의 위상
갈루아 확대의 갈루아 군은 자연스럽게 사유한군의 구조를 가져 위상군이 된다. 구체적으로, 갈루아 확대 L/K에 대하여, 그 부분 확대들의 격자 \operatorname{Sub}(L/K) 및 갈루아 부분 확대들의 격자
:\operatorname{Sub_{Gal}}(L/K)\subset\operatorname{Sub}(L/K)
를 정의하자. 그렇다면, 갈루아 군 \operatorname{Gal}(L/K)은 다음과 같이 유한군들의 역극한으로 나타낼 수 있다.
:\operatorname{Gal}(L/K)=\varprojlim_{M\in\operatorname{Sub_{Gal}}(L/K)}^{[M:K]
이와 같이 유한군의 역극한으로 나타내어지는 위상군을 사유한군이라고 하며, 갈루아 군의 사유한 위상을 **크룰 위상**()이라고 한다.

## 성질
**갈루아 이론의 기본 정리**()에 따라, 다음과 같은 표준적인 전단사 대응이 존재한다.

이는 절대 갈루아 군 대신 (상대) 갈루아 군에 대해서도 마찬가지로 성립한다.

### 갈루아 코호몰로지
갈루아 군의 군 코호몰로지는 여러 흥미로운 정보들을 담고 있다. 이는 또한 K의 스펙트럼 \operatorname{Spec}K의 에탈 코호몰로지와 같다.

체의 확대 L/K가 주어졌을 때, 자기 동형군 \operatorname{Aut}(L/K)는 정의에 따라 L 위에 자연스럽게 작용하며, (L,+)은 군환 \mathbb Z[\operatorname{Aut}(L/K)] 위의 가군을 이룬다.
:(n_1g_1+n_2g_2+\cdots+n_kg_k)\cdot a=n_1g_1(a)+n_2g_2(a)+\cdots+n_kg_k(a)\qquad\forall g_1,\dots,g_k\in\operatorname{Aut}(L/K),\;n_1,\dots,n_k\in\mathbb Z
**가법 힐베르트 90번 정리**(加法Hilbert九十番定理, )에 따르면, 유한 갈루아 확대 L/K에 대하여, L 계수의 고차 군 코호몰로지는 자명군이다.
:\operatorname H^n(\operatorname{Gal}(L/K);L)=\begin{cases}
K&n=0\\
0&n>0
\end{cases}
(이는 정규 기저 정리()로부터 증명할 수 있다.)

체의 확대 L/K가 주어졌을 때, 자기 동형군 \operatorname{Gal}(L/K)는 가역원군 L^\times 위에 자연스럽게 작용하며, L^\times는 군환 \mathbb Z[\operatorname{Gal}(L/K)] 위의 가군을 이룬다.
:(n_1g_1+n_2g_2+\cdots+n_kg_k)\cdot a=(g_1(a))^{n_1}(g_2(a))^{n_1}\cdots(g_k(a))^{n_k}\qquad\forall g_1,\dots,g_k\in\operatorname{Gal}(L/K),\;n_1,\dots,n_k\in\mathbb Z
**승법 힐베르트 90번 정리**(乘法Hilbert九十番定理, )에 따르면, 유한 확대 L/K의 자기 동형군 \operatorname{Aut}(L/K)가 유한군이라면, L^\times 계수의 1차 군 코호몰로지는 자명군이다.
:\operatorname H^1(\operatorname{Gal}(L/K);L^\times)=0
(이 경우 L/K가 갈루아 확대라고 가정할 필요가 없다.)

## 예
* 임의의 체 K에 대하여, \operatorname{Gal}(K/K)는 자명군이다.
* \operatorname{Gal}(\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q)은 두 개의 원소를 가지며, 이는 항등 함수와  a+b\sqrt2\mapsto a-b\sqrt2이다.
모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군으로 나타낼 수 있다.

### 3차 다항식
임의의 체 K 및 3차 기약 다항식 f\in K[x]에 대하여, 만약 \operatorname{char}K\ne2,3이라면, f의 분해체는 K의 갈루아 확대이며, 그 갈루아 군은 다음과 같다.
:\operatorname{Gal}(f)\cong\begin{cases}
\operatorname{Sym}(3) & \sqrt{\operatorname{disc}(f)}\not\in\mathbb Q \\
\operatorname{Cyc}(3) & \sqrt{\operatorname{disc}(f)}\in\mathbb Q
\end{cases}

여기서 \operatorname{disc}(f)는 f의 판별식이다.

### 절대 갈루아 군의 예
* 대수적으로 닫힌 체 K의 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(K/K)은 자명군이다.
* 실수체의 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\mathbb C/\mathbb R)는 두 개의 원소를 갖는다. 그 둘은 항등 함수와 복소 공액 사상 z\mapsto\bar z이다. (실수체는 완전체이므로, 그 분해 가능 폐포는 대수적 폐포와 같다.)
* 유리수체의 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\mathbb C/\mathbb Q)는 무한군이다. 유리수체의 절대 갈루아 군의 직접적인 묘사는 알려져 있지 않다. 다만, 벨리의 정리()에 따르면 유리수체의 절대 갈루아 군은 데생당팡의 집합 위에 자연스러운 충실한 작용을 갖는다.
아르틴-슈라이어 정리()에 따르면, 절대 갈루아 군 가운데 유한군인 것은 자명군과 2차 순환군 \mathbb Z/2밖에 없다. 즉, 모든 절대 갈루아 군은 위 세 가지의 예와 비슷하다.

## 같이 보기
* 절대 갈루아 군
* 갈루아 이론
* 갈루아 모듈
* 가해군

## 참고 문헌


## 외부 링크
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

분류:갈루아 이론