카라테오도리 확장 정리

측도론에서 **카라테오도리 확장 정리**(Carathéodory擴張定理, ) 또는 **한-콜모고로프 정리**(Hahn-Колмого́ров定理, )는 완비 측도를 특수한 부분 집합의 측도 값들로부터 구성하는 정리이다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 집합 X
* **[[집합 반환]]**(集合半環, ) \Sigma_0\subseteq\mathcal P(X). 즉, 이는 다음 세 조건을 만족시키는 집합족이다.
** \varnothing\in\Sigma_0
** (유한 교집합에 대한 닫힘) 임의의 A,B\in\Sigma_0에 대하여, A\cap B\in\Sigma_0
** 임의의 A,B\in\Sigma_0에 대하여, \textstyle A\setminus B=\bigcup_{i=1}^nC_i인 유한 개의 서로소 집합 C_1,\dots,C_n\in\Sigma_0이 존재한다.
* **[[준측도]]**(準測度, ) \mu_0\colon\Sigma_0\to[0,\infty]. 즉, 이는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다.
** \mu_0(\varnothing)=0
** (준측도 가산 가법성) 임의의 가산 개의 서로소 집합 A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0에 대하여, 만약 \textstyle \bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\Sigma_0이라면, \textstyle\mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i)
*** (단조성) 특히, 만약 A,B\in\Sigma_0이며 A\subseteq B라면, \textstyle\mu_0(A)\le\mu_0(B)이다. (아래 증명 참고)
*** (준측도 가산 준가법성) 특히, 만약 A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0이며 \textstyle\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\Sigma_0이라면, \textstyle\mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\le\sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i)이다. (아래 증명 참고)
또한,
:\mu^*\colon\mathcal P(X)\to[0,\infty]
:\mu^*\colon A\mapsto\inf\left\{\sum_{i=0}^\infty\mu_0(A_i)\colon A\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\;A_i\in\Sigma_0\right\}\qquad(A\subseteq X)
가 \mu_0으로 유도된 외측도라고 하고,
:\Sigma=\{A\subseteq X\colon\forall S\subseteq X\colon\mu^*(S)=\mu^*(S\cap A)+\mu^*(S\setminus A)\}
가 \mu^*-카라테오도리 가측 집합의 집합이라고 하자. **카라테오도리 확장 정리**에 따르면, 다음이 성립한다.
* \Sigma는 \mathcal P(X)의 부분 시그마 대수를 이룬다.
* \mu=\mu^*|_\Sigma는 완비 측도를 이룬다.
* \Sigma_0\subseteq\Sigma (따라서 \sigma(\Sigma_0)\subseteq\Sigma)
* \mu|_{\Sigma_0}=\mu_0
* 만약 \mu_0이 시그마 유한 준측도라면 (즉, \textstyle X=\bigcup_{i=1}^\infty A_i이며 \forall i\in\mathbb Z^+\colon\mu_0(A_i)인 A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0이 존재한다면), \mu|_{\sigma(\Sigma_0)}은 \mu_0을 확장하여 얻을 수 있는 \sigma(\Sigma_0) 위의 유일한 측도이다.
여기서 \sigma(\Sigma_0)은 \Sigma_0을 포함하는 최소의 시그마 대수이다.

## 증명
우선, \mu^*는 추상적 외측도라는 것을 증명하자. 우선 자명하게 \mu^*(\varnothing)=0이며, 또한 만약 A\subseteq B\subseteq X라면 \mu^*(A)\le\mu^*(B)이다. 따라서 \mu^*가 가산 준가법성을 만족시킨다는 것을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 부분 집합 A_1,A_2,\dots\subseteq X가 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수 \epsilon>0 및 i\in\mathbb Z^+에 대하여,
:\sum_{j=1}^\infty\mu_0(A_{ij})\le\mu^*(A_i)+\frac\epsilon{2^i}
이며 \textstyle A_i\subseteq\bigcup_{j=1}^\infty A_{ij}인 A_{i1},A_{i2},\dots\in\Sigma_0이 존재한다. 그렇다면 \textstyle\bigcup_{i=1}^\infty A_i\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty\bigcup_{j=1}^\infty A_{ij}이므로,
:\mu^*\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\le\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty\mu_0(A_{ij})\le\sum_{i=1}^\infty\mu^*(A_i)+\epsilon
이다.

\mu^*-카라테오도리 가측 집합의 집합 \Sigma가 \mathcal P(X)의 부분 시그마 대수라는 사실과 \mu=\mu^*|_\Sigma는 그 위의 완비 측도라는 사실은 \mu^*가 (추상적) 외측도라는 세 가지 조건만을 사용하여 증명된다. 우선, \Sigma가 \mathcal P(X)의 부분 불 대수임을 보이자. 우선 자명하게 \varnothing\in\Sigma이며, 임의의 A\in\Sigma에 대하여 X\setminus A\in\Sigma이다. 따라서 \Sigma가 유한 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 A,B\in\Sigma 및 S\subseteq X에 대하여,
:\begin{align}
\mu^*(S)
& = \mu^*(S\cap A)+\mu^*(S\setminus A) \\
& = \mu^*((S\cap A)\cap B)+\mu^*((S\cap A)\setminus B)+\mu^*((S\setminus A)\cap B)+\mu^*((S\setminus A)\setminus B)) \\
& = \mu^*(S\cap(A\cap B))+\mu^*(S\cap(A\setminus B))+\mu^*(S\cap(B\setminus A))+\mu^*(S\setminus(A\cup B)) \\
& \ge \mu^*(S\cap(A\cup B))+\mu^*(S\setminus(A\cup B)) \\
& \ge \mu^*(S)
\end{align}
이므로, A\cup B\in\Sigma이다. 여기서 첫째, 둘째 줄의 등호는 각각 A,B\in\Sigma 때문이며, 마지막 두 줄의 부등호는 \mu^*의 가산 준가법성 때문이다.

이제, \Sigma가 \mathcal P(X)의 부분 시그마 대수임을 보이자. 이는 \Sigma가 서로소 집합의 가산 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 서로소 집합 A_1,A_2,\dots,\in\Sigma 및 임의의 부분 집합 S\subseteq X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 n\in\mathbb Z^+에 대하여,
:\begin{align}
\mu^*(S)
& = \mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^nA_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^nA_i\right) \\
& \ge \mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^nA_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\
& =\mu^*(S\cap A_n)+\mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^{n-1}A_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\
& =\mu^*(S\cap A_n)+\mu^*(S\cap A_{n-1})+\mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^{n-2}A_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\
& \vdots \\
& =\sum_{i=1}^n\mu^*(S\cap A_i)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)
\end{align}
이다. 여기서 첫째, 셋째 줄의 등호는 각각 \textstyle\bigcup_{i=1}^nA_i,A_n\in\Sigma 때문이며, 둘째 줄의 등호는 \mu^*의 단조성 때문이다. 이에 n에 대한 극한을 취하면
:\begin{align}
\mu^*(S)
& \ge \sum_{i=1}^\infty\mu^*(S\cap A_i)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\
& \ge \mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\
& \ge \mu^*(S)
\end{align}
를 얻는다. 여기서 둘째, 셋째 부등식은 \mu^*의 가산 준가법성 때문이다.

이제, \mu=\mu^*|_\Sigma가 \Sigma 위의 완비 측도를 이룸을 보이자. 위 증명에서 \textstyle S=\bigcup_{j=1}^\infty A_j를 취하면
:\begin{align}
\mu^*\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\right)
& = \sum_{i=1}^\infty\mu^*\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\cap A_i\right)
    + \mu^*\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\
& = \sum_{i=1}^\infty\mu^*(A_i)+\mu^*(\varnothing) \\
& = \sum_{i=1}^\infty\mu^*(A_i)
\end{align}
를 얻으며, 이에 따라 \mu는 \Sigma 위의 측도를 이룬다. 따라서 임의의 외측도가 0인 집합의 부분 집합이 \mu^*-카라테오도리 가측 집합임을 보이면 된다. 이제 A\subseteq X가 \mu^*(A)=0을 만족시키며, 또한 B\subseteq A라고 하자. 그렇다면,
:\begin{align}
\mu^*(S)
& \le \mu^*(S\cap B)+\mu^*(S\setminus B) \\
& = \mu^*(S\setminus B) \\
& \le \mu^*(S)
\end{align}
이다. 첫째 줄의 부등호는 \mu^*의 가산 준가법성, 둘째 줄의 등호는 S\cap B\subseteq A 및 \mu^*의 단조성, 셋째 줄의 부등호는 S\setminus B\subseteq S 및 \mu^*의 단조성 때문이다.

이제, \Sigma_0\subseteq\Sigma를 증명하자. 임의의 A\in\Sigma_0 및 S\subseteq X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여,
:\sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i)\le\mu^*(S)+\epsilon
이며 \textstyle S\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty A_i인 A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0이 존재한다. 각 i\in\mathbb Z^+에 대하여, \textstyle A_i\setminus A=\bigcup_{j=1}^{n_i}B_{ij}인 서로소 집합 B_{i1},\dots,B_{in_i}\in\Sigma_0을 취하자. 그렇다면,
:S\cap A\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty(A_i\cap A)
:S\setminus A\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty(A_i\setminus A)=\bigcup_{i=1}^\infty\bigcup_{j=1}^{n_i}B_{ij}
이므로,
:\begin{align}
\mu^*(S)
& \le \mu^*(S\cap A)+\mu^*(S\setminus A) \\
& \le \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i\cap A)+\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^{n_i}\mu_0(B_{ij}) \\
& = \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i) \\
& \le \mu^*(S)+\epsilon
\end{align}
이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는 \mu^*의 가산 준가법성, 셋째 줄의 등호는 준측도 \mu_0의 가산 가법성 때문이다.

이제, \mu_0의 단조성을 증명하자. A,B\in\Sigma_0이며 A\subseteq B라고 하자. 그렇다면 \textstyle B\setminus A=\bigcup_{i=1}^nC_i인 서로소 집합 C_1,\dots,C_n\in\Sigma_0을 고를 수 있다. 그렇다면
:\mu_0(B)=\mu_0(A)+\sum_{i=1}^n\mu_0(C_i)\ge\mu(A)
이다.

이제, 준측도 \mu_0의 가산 준가법성을 증명하자. A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0이며 \textstyle\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\Sigma_0이라고 하자. 그렇다면 각 i\in\mathbb Z^+에 대하여,
:B_i = A_i\setminus\bigcup_{j=1}^{i-1}A_j = \bigcup_{j=1}^{n_i}B_{ij}
인 서로소 집합 B_{i1},\dots,B_{in_i}\in\Sigma_0을 고를 수 있다. 그렇다면 각 i\in\mathbb Z^+에 대하여
:C_i = A_i\cap\bigcup_{j=1}^{i-1}A_j = A_i\cap\bigcup_{k=1}^{i-1}B_k=\bigcup_{k=1}^{i-1}\bigcup_{j=1}^{n_j}(A_i\cap B_{kj})
이므로,
:\begin{align}
\sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i)
& = \sum_{i=1}^\infty\mu_0(B_i\cup C_i) \\
& = \sum_{i=1}^\infty\left(\sum_{j=1}^{n_i}\mu_0(B_{ij})+\sum_{k=1}^{i-1}\sum_{j=1}^{n_k}\mu_0(A_i\cap B_{kj})\right) \\
& \ge \sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^{n_i}\mu_0(B_{ij}) \\
& = \mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)
\end{align}
이다. 여기서 둘째, 넷째 줄의 등호는 준측도  \mu_0의 가산 가법성 때문이다.

이제, \mu|_{\Sigma_0}=\mu_0를 증명하자. 임의의 A\in\Sigma_0이 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여,
:\sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i)
이며 \textstyle A\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty A_i인 A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0이 존재한다. 그렇다면
:\begin{align}
\mu^*(A)
& \le \mu_0(A) \\
& = \mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty(A\cap A_i)\right) \\
& \le \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A\cap A_i) \\
& \le \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i) \\
& 
이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는 \mu^*의 정의, 셋째, 넷째 줄의 부등호는 각각 준측도 \mu_0의 가산 준가법성, 단조성 때문이다.

마지막으로, 확장된 측도의 \sigma(\Sigma_0)에서의 유일성을 증명하자. 임의의 두 측도 \mu_1,\mu_2\colon\Sigma\to[0,\infty]에 대하여, 만약 \mu_1|_{\Sigma_0}=\mu_2|_{\Sigma_0}이며, 준측도 \mu_1|_{\Sigma_0}이 시그마 유한 준측도라면, \mu_1|_{\sigma(\Sigma_0)}=\mu_2|_{\sigma(\Sigma_0)}임을 보이면 된다. 이에 대한 증명에는 \Sigma_0가 π계(즉, 유한 교집합에 대한 닫힘)라는 것을 제외한 \Sigma_0에 대한 추가 조건은 사용되지 않는다.
:\mathcal A=\{A\in\Sigma\colon\forall B\in\Sigma_0\setminus\mu_1^{-1}(\infty)\colon\mu_1(A\cap B)=\mu_2(A\cap B)\}
라고 하자. 그렇다면, \mathcal A는 λ계이며 \Sigma_0\subseteq\mathcal A이므로, π-λ 정리에 따라 \sigma(\Sigma_0)\subseteq\mathcal A이다. \textstyle X=\bigcup_{i=1}^\infty B_i이며 \textstyle\forall i\in\mathbb Z^+\colon\mu_1(B_i)인 B_1,B_2,\dots\in\Sigma_0을 취하자. 그렇다면, 임의의 A\in\sigma(\Sigma_0)에 대하여,
:\begin{align}
\mu_1(A)
& = \mu_1\left(\bigcup_{i=1}^\infty(A\cap B_i)\right) \\
& = \lim_{n\to\infty}\mu_1\left(\bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\right) \\
& = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1\le i_1
이다. 여기서 셋째 줄의 등호는 포함배제의 원리 때문이며, 넷째 줄의 등호는 각 1\le i_1에 대하여 B_{i_1}\cap\cdots\cap B_{i_k}\in\Sigma_0\setminus\mu_1^{-1}(\infty)이기 때문이다.

## 역사
오늘날 카라테오도리 가측 집합이라고 불리는 개념은 콘스탄티노스 카라테오도리가 도입하였다. 오늘날 카라테오도리 확장 정리라고 불리는 정리는 모리스 르네 프레셰가 증명하였다. 얼마 지나지 않아 카라테오도리의 방법을 통한 카라테오도리 확장 정리의 더 간단한 증명이 발견되었으며, 이는 안드레이 콜모고로프, 한스 한, 에베르하르트 호프의 논문·저서에 소개되었다.

## 같이 보기
* 외측도
## 각주

## 참고 문헌
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## 외부 링크
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분류:측도론 정리