아핀 리 대수

347px|섬네일|right|비틀리지 않은 아핀 딘킨 도표들. 새로 추가한 꼭짓점은 녹색이다.
300px|섬네일|right|비틀린 아핀 딘킨 도표들.
리 대수 이론에서, **아핀 리 대수**(affine Lie代數, )는 유한 차원 단순 리 대수 계수를 가진 로랑 다항식 대수에 중심 원소를 더하여 얻는 무한 차원 복소 리 대수다. 물리학의 등각 장론에서 중요한 역할을 한다. 카츠-무디 대수의 특별한 경우다.

## 정의
아핀 리 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.
* 아핀 리 대수는 카츠-무디 대수의 특별한 종류이다.
* 아핀 리 대수는 단순 리 대수 계수의 로랑 다항식의 리 대수의 중심 확대이다.
* 아핀 리 대수는 어떤 특별한 프레셰 리 군의 리 대수(의 복소화의 부분 공간)이다.
이 정의들은 서로 동치이다.

### 카츠-무디 대수로서의 정의
**아핀 리 대수**는 카츠-무디 대수 가운데, 카르탕 행렬 A가 양의 준정부호 행렬이지만 양의 정부호 행렬이 아닌 것들이다. 즉, 만약 아핀 리 대수 \mathfrak g가 n+1개의 단순근을 갖는다면, 그 카르탕 행렬은 (n+1)\times(n+1) 정사각 행렬이며 그 계수는 l이다.

### 대수적 구성
다음이 주어졌다고 하자.
* 복소수체 위의 유한 차원 이차 리 대수 (\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C},\langle |\rangle \colon\stackrel\circ{\mathfrak g}\otimes_K\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}\to\mathbb C). (만약 \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}가 반단순 리 대수라면, 이는 킬링 형식으로 잡을 수 있다. 만약 \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}가 아벨 리 대수라면, 마찬가지로 적절한 쌍선형 형식을 잡을 수 있다. 만약 둘 다 아니라면, 이는 0으로 놓을 수 있다.)
그렇다면, **아핀 리 대수** \hat{\mathfrak g}^{\mathbb C}는 K-벡터 공간으로서 다음과 같다.
:\hat{\mathfrak g}=\stackrel\circ{\mathfrak g}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]\oplus \mathbb C\mathsf k.
즉, \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}의 계수를 가진 로랑 다항식 \mathfrak g^{\mathbb C}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]에 중심 확대 \mathsf k를 더한 것이다. 물리학적으로 \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]는 대칭의 보존류들을 나타내고, \mathsf k는 대칭의 변칙을 나타낸다.

\hat{\mathfrak g}^{\mathbb C} 위에는 다음과 같은 리 괄호를 정의한다. a,b\in\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}라고 하면,
:[a\mathsf z^m,b\mathsf z^n]=[a,b]\mathsf z^{m+n}+\delta_{m+n,0}m\langle a|b\rangle\mathsf k
:[\mathsf k,a\mathsf z^n]=[\mathsf k,\mathsf k]=0
\mathsf k는 중심 원소이므로, 리 대수의 짧은 완전열
:0 \to \mathbb C\mathsf k \to \hat{\mathfrak g}^{\mathbb C} \to \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C} \otimes \mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \to 0
이 존재한다.

형식적 변수 \mathsf z 대신, \stackrel\circ{\mathfrak g}의 정규 직교 기저 g^a를 잡아, 직접
:g^a_m = g^a \mathsf z^m
를 적을 수 있다. 이 경우 리 괄호는 다음과 같다.
:[g^a_m,g^b_n]=f^{ab}{}_cg^c_{m+n}+\delta_{m+n,0}m\delta^{ab}\mathsf k
:[\mathsf k,g^a_m] = 0
여기서 f^{ab}{}_c는 \stackrel\circ{\mathfrak g}의 구조 상수이다.

#### 실수 형태
\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}가 실수 이차 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb R}의 복소화라고 하자. 그렇다면,
복소수 아핀 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다.
:\mathsf z \mapsto \mathsf z^{-1}
:\mathrm i \mapsto -\mathrm i
:\mathsf k \mapsto \mathsf k
:x \mapsto x \qquad\forall x\in \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb R}
즉, 이는 두 복소수 벡터 공간 사이의 반선형() 사상이다. 이 반선형 사상의 고정점
:\hat{\mathfrak g}^{\mathbb R} = \stackrel\circ{\mathfrak g} \otimes_{\mathbb R}\mathbb R[z+z^{-1},\mathrm i(z-z^{-1})] + \mathbb R\mathsf k
은 실수 리 대수를 이룬다.

#### 미분 연산의 추가
복소수 벡터 공간
:\tilde{\mathfrak g}^{\mathbb C} = \hat{\mathfrak g}^{\mathbb C} \oplus \mathbb C\mathsf d
위에 다음과 같은 리 괄호를 정의할 수 있다.
:[\mathsf d,az^m]=-\mathrm ima\mathsf z^m \qquad \forall a\in\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}
:[\mathsf d,\mathsf c]=0
즉,
:[\mathsf d,-] = -\mathrm i\mathsf z \frac{\mathrm d}{\mathrm d\mathsf z}
이다. 만약 형식적으로 \mathsf z = \exp(\mathrm i\mathsf t)로 놓는다면,
:[\mathsf d,-] = \frac{\mathrm d}{\mathrm d\mathsf t}
가 된다.

또한,
:[\mathsf d,a(z+z^{-1})] = - a\mathrm i(z - \mathsf z^{-1})
:[\mathsf d,\mathrm ia(z-z^{-1})] = a(z + \mathsf z^{-1})
이므로, 이 미분 연산은 실수 형태 \hat{\mathfrak g}^{\mathbb R}에도 잘 정의된다.

#### 뒤틀린 아핀 리 대수
\stackrel\circ{\mathfrak g}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]를 원 위의 푸리에 급수로 해석할 수 있다. 즉, z=\exp(\mathrm i\mathsf t)로 놓으면, \stackrel\circ{\mathfrak g}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]를 주기적 함수 \mathbb S^1\to\stackrel\circ{\mathfrak g}로 해석할 수 있다. 즉, a(0)=a(2\pi)의 주기적 경계 조건을 놓은 경우다.

만약 \stackrel\circ{\mathfrak g}가 자명하지 않은 자기 동형 \sigma\in\operatorname{Aut}(\stackrel\circ{\mathfrak g})를 가진다면, 다음과 같은 경계 조건을 생각할 수 있다.
:\sigma a(0)=a(2\pi).
이와 같은 경우를 **뒤틀린 아핀 리 대수**()라고 한다. 마찬가지로 **뒤틀린 카츠-무디 대수**()를 정의할 수 있다.

### 아핀 리 대수의 기하학적 정의
아핀 리 대수는 기하학적으로 리 대수 값의 주기 함수를 통해 구성될 수 있다.

구체적으로, 킬링 형식이 음의 정부호인 실수 단순 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 프레셰 공간
:\mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,\stackrel\circ{\mathfrak g})
을 정의할 수 있다. 이는 \stackrel\circ{\mathfrak g}값의 매끄러운 주기 함수로 구성된다. 그 위의 실수 벡터 공간 구조는 점별 덧셈이며, 점별 리 괄호를 부여하면 이는 리 대수를 이룬다. 그 복소화는 (푸리에 급수로서) 다음과 같은 부분 벡터 공간을 갖는다.
:\iota\colon \mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \otimes_{\mathbb R} \stackrel\circ{\mathfrak g} \subseteq \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} \otimes_{\mathbb R} \mathbb C
:\iota(\mathsf z^n \otimes x)\colon t \mapsto \exp(\mathrm itn)x \qquad(x\in\mathfrak g,\;t\in \mathbb R/2\pi\mathbb Z = \mathbb S^1)
이 경우, 우변을 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 여길 수 있다. 실수 계수로는, 이는
:\iota_{\mathbb R} \colon \mathbb R[\mathsf z+\mathsf z^{-1},\mathrm i(\mathsf z-\mathsf z^{-1})] \otimes_{\mathbb R} \stackrel\circ{\mathfrak g} \to \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g}
이다.

고리 리 대수 \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g}의 리 대수 코호몰로지에서, 다음과 같은 2차 공사슬이 존재한다.
:\alpha \colon \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} \times \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} \to \mathbb R
:\alpha\colon (x, y) \mapsto \frac{\delta^2}{2\pi}\int_{\mathbb S^1} \langle x(t)|y(t)\rangle \,\mathrm dt
여기서
* \langle-|-\rangle은 \stackrel\circ{\mathfrak g} 위의 어떤 임의의 불변 비퇴화 이차 형식이다. (이는 킬링 형식의 스칼라배이다.) 비퇴화성으로 인하여, 이는 쌍대 공간 \stackrel\circ{\mathfrak g}^* 위의 비퇴화 이차 형식으로도 여길 수 있다.
* \delta^2는 \stackrel\circ{\mathfrak g}의 근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다. 여기서 제곱 노름은 \langle-|-\rangle에 따른 것이다.
* \mathbb S^1의 측도 \mathrm dt에 따르면, \textstyle\int_{\mathbb S^1}\mathrm dt = 2\pi이다.
이 2차 공사슬은 리 대수의 짧은 완전열
:0 \to \mathbb R \to \bar{\mathfrak g} \to \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} \to 0
을 정의한다. 이 경우, \mathfrak g에 대응하는 뒤틀리지 않은 아핀 리 대수 \hat{\mathfrak g}는 자연스럽게 다음과 같이 \bar{\mathfrak g}의 부분 리 대수가 된다.
:
\begin{matrix}
0 & \to & \mathbb R & \to & \hat{\mathfrak g} & \to & \stackrel\circ{\mathfrak g} \otimes_{\mathbb R} \mathbb R[z+z^{-1}, \mathrm i(z-z^{-1})] & \to & 0 \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
0 &\to & \mathbb R& \to & \bar{\mathfrak g} & \to & \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} & \to & 0
\end{matrix}

### 리 군의 기하학적 정의
실수 계수 아핀 리 대수의 프레셰 공간 완비화는 어떤 프레셰 다양체인 리 군의 리 대수이다.

구체적으로, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 \stackrel\circ G와 그 실수 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 고리군을 정의할 수 있다.
:\mathrm L\stackrel\circ G = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1, \stackrel\circ G)
즉, 이는 \stackrel\circ G값의 매끄러운 주기 함수의 공간이다. 이는 프레셰 다양체를 이루며, 점별 곱셈을 통하여 위상군을 이룬다.

아핀 리 대수는 \mathbb R[\mathsf z+\mathsf z^{-1},\mathrm i(\mathsf z-\mathsf z^{-1})] \otimes_{\mathbb R} \stackrel\circ{\mathfrak g}의 중심 확대이다. 위상군으로서, 이는 짧은 완전열
:1\to \operatorname U(1) \to \hat G \to \mathrm L\stackrel\circ G \to 1
에 해당한다. 위상수학적으로, 이는 U(1) 주다발을 이룬다.

구체적으로, 원판 \mathbb D^2를 생각하자. 이제,
:\mathrm L\stackrel\circ G = G_{\mathbb D^2} / \mathcal G
:G_{\mathbb D^2} = \mathcal C^\infty(\mathbb D^2, G)
:\mathcal G = \{\alpha\in G_{\mathbb D^2} \colon \alpha \restriction \partial\mathbb D^2 = 1_{\stackrel\circ G} \} \cong \mathcal C^\infty_\bullet(\mathbb S^2, \stackrel\circ G)
이다. 여기서 \mathcal G는 일종의 게이지 변환군으로 여길 수 있다. 이제, G_{\mathbb D^2} 위의 다음과 같은 함수를 생각하자.
:\gamma \colon G_{\mathbb D^2} \times G_{\mathbb D^2} \to \mathbb R
:\gamma (g,h) = \frac1{4\pi\delta^2}\int_{\mathbb D^2} \langle g^{-1}\mathrm dg|h^{-1}\mathrm dh\rangle
여기서
* \langle-|-\rangle는 \stackrel\circ{\mathfrak g} 위의 불변 비퇴화 이차 형식이며, (예를 들어) 딸림표현에서의 대각합 \langle x,y\rangle = \operatorname{tr}(xy)으로 여길 수 있다.
* \delta^2는 \langle-|-\rangle에 따른, \stackrel\circ{\mathfrak g}의 근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다.
그렇다면,
:\exp(\mathrm il\gamma(-,-)) \colon G_{\mathbb D^2} \times G_{\mathbb D^2} \to \mathbb C\qquad(l\in\mathbb Z)
는 (자명한 계수의) \mathcal C^\infty(\mathbb D^2, G)의 군 코호몰로지의 2차 공사슬을 이루며, 이는 G_{\mathbb D^2}의 중심 확대
:1\to\operatorname U(1) \to \hat G_{\mathbb D^2} \to G_{\mathbb D^2} \to 1
를 정의한다.

이제, 임의의 \alpha\in\mathcal G에 대하여,
:\iota_l \colon \mathcal G \to \hat G_{\mathbb D^2}
:\iota_l \colon \alpha \mapsto  \left(\alpha, \exp\left(
\frac{\mathrm il}{12\pi\delta^2}
\int_{\mathbb D^3} \operatorname{tr}(\bar\alpha^{-1} \mathrm d\bar\alpha)^3
\right)\right)
를 정의할 수 있다. 여기서
:\bar\alpha \colon \mathbb D^3 \to\stackrel\circ G 
:(\bar\alpha \restriction \partial\mathbb D^3) = \alpha
는 \alpha\colon \mathbb S^2 \to\stackrel\circ G의, 3차원 공 \mathbb D^3으로의 임의의 확장이다. 이 경우, 위 표현이 \bar\alpha의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이 사상은 사실상 베스-추미노-위튼 모형의 작용의 항에 해당한다.

이 사상은 단사 함수이자 군 준동형이며, \iota_l(\mathcal G)는 \hat G_{\mathbb D^2}의 정규 부분군이다. 따라서, 몫군
:\hat G_l = \frac{\hat G_{\mathbb D^2}}{\iota_l(\mathcal G)}
을 정의할 수 있다. 이는 짧은 완전열
:1 \to \operatorname U(1) \to \hat G_l \to \mathrm LG \to 1
을 구성한다. (정수 l \in \mathbb Z은 \hat{\mathfrak g}의 표현의 준위에 해당한다.) 정의에 따라, \hat G_l의 리 대수는 (l\ne 0일 경우, l의 값에 상관없이) \hat{\mathfrak g}이다.

## 성질
아핀 리 대수는 항상 대칭화 가능 카츠-무디 대수이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분은 중복수 1의 고윳값 0을 가지며, 나머지 고윳값들은 모두 양수이다. 따라서, 아핀 리 대수의 카르탕 행렬식은 항상 0이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분의 나머지 고윳값들은 그 기본 단순 리 대수의 것들과 같다.

### 콕서터 수와 쌍대 콕서터 수
아핀 리 대수 \mathfrak g의 단순근들이 \alpha_0,\dots,\alpha_n이며, 단순 쌍대근들이 \alpha_0^\vee,\dots,\alpha_n^\vee라고 하자. **콕서터 라벨**() a_i와 **쌍대 콕서터 라벨**() a_i^\vee는 카르탕 행렬 A에 대하여
:0=a^\top A=Aa^\vee
를 만족시키는 벡터이다. 이 경우, a 및 a^\vee의 모든 성분들이 양의 정수이며 최대 공약수가 1이게 정의한다.

아핀 리 대수의 **콕서터 수**() h와 **쌍대 콕서터 수**() h^\vee는 각각 (쌍대) 콕서터 라벨의 성분들의 합이다.
:\mathsf h(\mathfrak g)=\sum_{i=0}^na_i
:\mathsf h^\vee(\mathfrak g)=\sum_{i=0}^na_i^\vee

아핀 리 대수 \mathfrak g의 **표준 중심 원소**(標準中心元素, ) k\in\mathfrak h는 다음과 같이 정의되는, 카르탕 부분 대수 \mathfrak h\subseteq\mathfrak g의 원소이다.
:k=\sum_{i=0}^na_i^\vee\alpha_i^\vee
그렇다면, \mathfrak g의 중심은 1차원 부분 대수
:\operatorname Z(\mathfrak g)=\mathbb C\mathsf k
이다. 마찬가지로,
:\delta=\sum_{i=0}^na_i\alpha_i
를 정의하자.

### 근계의 구조
아핀 리 대수 \mathfrak g의 기본 단순 리 대수가 \stackrel\circ{\mathfrak g}라고 하자. r가 아핀 리 대수를 구성할 때 사용한 자기 동형의 차수라고 하자. 예를 들어, \tilde D_4^{(3)}의 경우, r=3이다. 그렇다면, \mathfrak g의 실근들의 집합 \Delta^{\text{re}}(\mathfrak g)는 구체적으로 다음과 같다.
:\Delta^{\text{re}}(\mathfrak g)=\begin{cases}
\stackrel\circ\Delta+\mathbb Z\delta&r=1\\
(\stackrel\circ\Delta_\text{short}+\mathbb Z\delta)\cup(\stackrel\circ\Delta_{\text{long}}+r\mathbb Z\delta)&r\in\{2,3\},\;\mathfrak g\not\cong A_{2n}^{(2)}\\
\frac12\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{long}}+(2\mathbb Z-1)\delta\right)\cup
\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{short}}+\mathbb Z\delta\right)\cup
\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{long}}+2\mathbb Z\delta\right)
&\mathfrak g\cong A_{2n}^{(2)}
\end{cases}
\mathfrak g의 허근들의 집합 \Delta^{\text{im}}(\mathfrak g)는 다음과 같다.
:\Delta^{\text{im}}(\mathfrak g)=(\mathbb Z\setminus\{0\})\delta
(영벡터는 정의에 따라 근이 아니다.) 또한, \delta는 항상 양근이다. 즉, 양의 허근들의 집합은 다음과 같다.
:\Delta^{\text{im},+}(\mathfrak g)=\mathbb Z^+\delta

### 기본 단순 리 대수
단순근들의 순서를 임의로 잡았을 때, \mathfrak g의 **축척 원소**() d\in\mathfrak h는 다음 성질을 만족시키는, 카르탕 부분 대수의 원소이다.
:\langle\alpha_i,d\rangle=\delta_{i,0}
축척 원소를 선택하였다면, \mathfrak g와 그 카르탕 부분 대수 \mathfrak h\subseteq\mathfrak g는 다음과 같은 구체적인 기저로 나타낼 수 있다.
:\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathfrak g]\oplus\mathbb C\mathsf d
:\mathfrak h=\operatorname{Span}\{\alpha_0^\vee,\dots,\alpha_r^\vee,d\}
\mathfrak h에서, k 및 d에 수직이 되는 부분 공간을 \stackrel\circ{\mathfrak h}라고 하자.
:\mathfrak h=\stackrel\circ{\mathfrak h}\oplus\mathbb C\mathsf k\oplus\mathbb C\mathsf d

아핀 리 대수 \mathfrak g의 슈발레 생성원을
:(e_0,f_0),\dots,(e_n,f_n)
이라고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 \mathfrak g의 **기본 단순 리 대수**() \stackrel\circ{\mathfrak g}\subsetneq\mathfrak g는 \stackrel\circ{\mathfrak h} 및 (e_1,f_1),\dots,(e_n,f_n)로 생성되는 리 부분 대수이다. 이는 항상 유한 차원 단순 리 대수이며, 기본 단순 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}의 카르탕 부분 대수는 \stackrel\circ{\mathfrak h}이며, 그 근계 및 쌍대 근계는
:\stackrel\circ\Delta=\Delta\cap\stackrel\circ{\mathfrak h}^*
:\stackrel\circ\Delta^\vee=\Delta^\vee\cap\stackrel\circ{\mathfrak h}
이며, 그 단순근 및 단순 쌍대근들은 각각
:\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}
:\{\alpha_1^\vee,\dots,\alpha_n^\vee\}
이다.

### 바일 군
아핀 리 대수 \mathfrak g의 바일 군 \operatorname{Weyl}(\mathfrak g)은 아핀 콕서터 군이며, 그 기본 단순 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}의 바일 군 \operatorname{Weyl}(\stackrel\circ{\mathfrak g})과 어떤 자유 아벨 군의 반직접곱이다.
:\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)=\operatorname{Weyl}(\stackrel\circ{\mathfrak g}) \rtimes M
여기서
:M=\begin{cases}\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\stackrel\circ\Delta&r=1\\
\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\stackrel\circ\Delta^\vee&r\in\{2,3\}
\end{cases}
는 \stackrel\circ{\mathfrak h} 속의 격자(의 병진 이동군)이다. 여기서, 단순 리 대수의 근계에 주어진 내적을 사용하여 동형 \circ{\mathfrak h}\cong\circ{\mathfrak h}^*를 암묵적으로 사용하였다.

### 표현론
\stackrel\circ\mathfrak g의 유한 차원 유니터리 표현
:\stackrel\circ\rho\colon \mathfrak g \to \mathfrak u(n)
이 주어졌으며, 자연수 k\in\mathbb N가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 \hat{\mathfrak g}에서, 포함 관계 \iota\colon\stackrel\circ{\mathfrak g} \to \hat{\mathfrak g}에 대하여
:\stackrel\circ\rho = \rho \circ \iota
이며
:\rho(\mathsf k) = k
가 되는, 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간으로 가는 기약 표현
:\rho \colon \hat{\mathfrak g} \to \mathcal L(\mathcal H,\mathcal H)
이 유일하게 존재한다.

### 스가와라 구성
단순 리 대수 \stackrel\circ\mathfrak g에 대응되는 (뒤틀리지 않은) 복소수 아핀 리 대수 \hat\mathfrak g=\mathbb g[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \oplus \mathbb C\mathsf c의 표현 V가 주어졌다고 하자.

이 경우, V에 다음과 같은 비라소로 대수의 표현이 존재한다.
:\mathsf L_n = \frac1{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\mathfrak g)} \sum_{m \in\mathbb Z} \eta_{ab} (x^a\mathsf z^m)(x^b\mathsf z^{-m}) \qquad (n\ne0)
:\mathsf L_0 = \frac2{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\mathfrak g)} \sum_{m =0}^\infty \eta_{ab} (x^a\mathsf z^m)(x^b\mathsf z^{-m})
:\mathsf c = \frac{\mathsf k\dim \stackrel\circ{\mathfrak g}}{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\stackrel\circ{\mathfrak g})}
이를 **스가와라 구성**([菅原]構成, )이라고 한다. 여기서
* \mathsf h^\vee(\stackrel\circ{\mathfrak g})는 단순 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}의 이중 콕서터 수이다.
* \eta_{ab}는 \stackrel\circ{\mathfrak g}의 킬링 형식의 스칼라배이며, 이 비퇴화 이차 형식에 따라서 \mathfrak g의 근 가운데 가장 긴 것의 제곱 길이가 2이다. (만약 짧은 근이 존재한다면, 그 제곱 길이는 1이 된다.)
* \mathsf k는 중심 원소이므로, 기약 표현에서 그 값은 상수이다. 따라서 단순히 수로 취급할 수 있다.
* 합이 무한해 보이지만, 이들이 사다리 연산자로 작용하므로, 실제로는 각 베르마 가군에서 적절한 기저에서 각 기저 벡터의 경우 오직 유한 개의 항만이 작용하게 된다.
* \mathsf L_0의 정의가 특별한 것은 표준 순서를 가했기 때문이다.

보다 일반적으로, 반단순 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}의 표현 V 및 부분 단순 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak h}\subseteq\stackrel\circ{\mathfrak g}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, \hat{\mathfrak g}에 대응하는 스가와라 구성
:(\mathsf L'_n,\mathsf c')_{\mathbb Z}
및 \hat{\mathfrak h}에 대응하는 스가와라 구성
:(\mathsf L*_n,\mathsf c*)_{\mathbb Z}
이 주어진다. 이 경우,
:\mathsf L_n = \mathsf L'_n - \mathsf L*_n</math>
:<math>\mathsf c = \mathsf c' - \mathsf c* = \frac{\mathsf k\dim \stackrel\circ{\mathfrak g}}{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\stackrel\circ{\mathfrak g})} - \frac{\mathsf k\dim \stackrel\circ{\mathfrak h}}{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\stackrel\circ{\mathfrak h})}
를 정의하면, 이는 비라소로 대수의 유니터리 표현을 이룬다. 이를 **공액류 구성**() 또는 **고더드-켄트-올리브 구성**() 또는 **GKO 구성**()이라고 한다.

이를 통하여 비라소로 대수의 모든 c 유니터리 표현을 구현할 수 있다. 구체적으로, c = 1-6/(k+2)(k+3) 유니터리 표현을 구현하려면,
:\hat{\mathfrak g} = \widehat{\mathfrak{su}}(2)_k\times\widehat{\mathfrak{su}}(2)_1
:\hat{\mathfrak h} = \widehat{\mathfrak{su}}(2)_{k+1}
를 취하면 된다. 여기서 \stackrel\circ{\mathfrak h}=\mathfrak{su}(2)는 \stackrel\circ{\mathfrak g}=\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)의 대각 성분이다. 이 경우
:\dim\mathfrak{su}(2) = 3
:\mathsf h^\vee(\mathfrak{su}(2)) = 2
이므로,
:\mathsf c=\frac{3k}{k+2}+\frac{3\times1}{1+2}-\frac{3(k+1)}{k+3}=1-\frac6{(k+2)(k+3)}
임을 계산할 수 있다.

## 분류
단순 아핀 리 대수들 및 그 딘킨 도표들은 다음과 같다. 아래 표에서, "긴 실근의 동치류 수"는 근 \Delta에서, \delta를 더한 것을 무시한 동치류들의 수 가운데, 긴 근 및 짧은 근들의 수이다. (\tilde A_{2n}^{(2)}의 경우 근의 길이가 세 종류가 있으며, 이 경우 중간 길이 및 가장 짧은 길이의 근들의 수를 "짧은 근"에 표기하였다.) 이 경우 긴 근의 길이는 항상 \sqrt2로 규격화하였고, 짧은 근의 길이는 이에 비례하여 측정하였다.

딘킨 그림에서, 4중 화살표 (즉, 카르탕 행렬에서 A_{ij}A_{ji}=4인 경우)는 \xrightarrow4 및 \stackrel4\leftrightarrow로 표기하였다. 이 경우 A_{ij}=A_{ji}=-2인 경우는 \stackrel4\leftrightarrow이며, A_{ij}=-1,\;A_{ji}=-4인 경우는 \xrightarrow4이다.

아핀 리 대수의 카르탕 행렬은 딘킨 도표에서 하나의 꼭짓점을 제거하여 얻는 단순 리 대수의 카르탕 행렬 및 콕서터 라벨 · 쌍대 콕서터 라벨로 재구성할 수 있다.

### Ã<sub>''n''</sub>
n\ge2일 경우, \tilde A_n의 카르탕 행렬은 다음과 같은 (n+1)\times(n+1) 대칭 정사각 행렬이다.
:\operatorname{Cartan}(\tilde A_n)=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & \cdots  & 0 & -1 \\
-1 & 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & -1 & \dots & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 2& -1\\
-1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2
\end{pmatrix}
\tilde A_1의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
:\operatorname{Cartan}(\tilde A_1)=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}
\tilde A_n의 딘킨 도표는 n\ge2일 경우 n+1개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프이다.

### Ã<sub>2''n''</sub><sup>(2)</sup>
n\ge2일 때, \tilde A_{2n}^{(2)}의 카르탕 행렬은 다음과 같은 (n+1)\times(n+1) 비대칭 정사각 행렬이다.
:\operatorname{Cartan}(\tilde A_{2n}^{(2)})=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 &  \cdots & 0 & 0 & 0 \\
-2 & 2 & -1 &  \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 &   \dots  & 0& 0 &  0 \\
\vdots & \vdots & \vdots  & \ddots & \vdots& \vdots &\vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2& -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & -1& 2& -1\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -2 & 2
\end{pmatrix}
여기서 행·열 0,1,\dots,n의 순서는 다음과 같다.
:\alpha_0\Rightarrow\alpha_1-\cdots-\alpha_{n-1}\Rightarrow\alpha_n

\tilde A_2^{(2)}의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
:\operatorname{Cartan}(\tilde A_2^{(2)})
=\begin{pmatrix}2&-1\\-4&2\end{pmatrix}

여기서 행·열 0, 1의 순서는 다음과 같다.
:\alpha_0\xrightarrow4\alpha_1

### G̃<sub>2</sub>와 D̃<sub>4</sub><sup>(3)</sup>
[섬네일|right|<math>\tilde G_2</math>의 근계. 여기서 <math>\alpha=\alpha_2</math>는 <math>G_2</math>의 유일한 짧은 근, <math>\beta=\alpha_1</math>는 <math>G_2</math>의 유일한 긴 근이며, <math>\gamma=a_1\alpha_1+a_2\alpha_2=\delta</math>이다. 양근은 붉은 색으로, 음근은 푸른 색으로 표시되었다. 이에 대응하는 반사 <math>\psi_\alpha</math>, <math>\psi_\beta</math>, <math>\psi_\gamma</math>는 <math>\tilde G_2</math>의 바일 군을 생성하며, 바일 군의 기본 벽감(fundamental alcove)는 [직각삼각형 \mathcal C이다.]]
\tilde G_2의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
:\operatorname{Cartan}(\tilde G_2)=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0\\
-1 & 2&-1\\
0 & -3&2 \end{pmatrix}

여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는
:\alpha_0-\alpha_1\Rrightarrow\alpha_2
이다.

\tilde D_4^{(3)}의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
:\operatorname{Cartan}(\tilde D_4^{(3)})=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0\\
-1 & 2&-3\\
0 & -1&2 \end{pmatrix}

여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는
:\alpha_0-\alpha_1\Lleftarrow\alpha_2
이다.

## 예
\mathfrak g = \mathbb C가 1차원 아벨 리 대수라고 하자. 그렇다면, 그 로랑 다항식 대수
:\mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]
역시 아벨 리 대수이다. 이 경우, 중심 확대
:0 \to \mathbb C\mathsf k \to \hat{\mathfrak g} \to \mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \to 0
에서
:[\mathsf z^m,\mathsf z^n] = \delta_{m+n,0} m\mathsf k
:[\mathsf k,\mathsf z^m] = 0
이 된다. 이 경우,
:\mathsf z^{-n} = \sqrt n\mathsf p_n\qquad(n>0)
:\mathsf z^n = \sqrt n\mathsf q_n\qquad(n>0)
:\mathsf k = \hbar
로 놓으면,
:[\mathsf q_m,\mathsf p_n] = \delta_{m,n}\hbar
가 되어, 이는 무한 차원 하이젠베르크 리 대수와 (\mathsf z^0으로 생성되는) 1차원 아벨 리 대수의 직합이 된다. 특히, 이는 무한 차원 보손 포크 공간 \mathbb C[\mathsf x_1,\mathsf x_2,\dotsb] 위에 표준적으로 작용한다.

이 경우, 스가와라 구성은 다음과 같다.
:\mathsf L_n = - \frac12\sum_{m\in\mathbb Z} \mathsf z^{\min\{m,n-m\}} \mathsf z^{\max\{m,n-m\}} 
:\mathsf c = 1
물리학적으로, 이는 자유 보손에 대한 2차원 등각 장론에 해당한다.

## 역사
아핀 리 대수는 (다른 카츠-무디 대수와 함께) 빅토르 카츠와 로버트 무디()가 발견하였다. ‘아핀’이라는 이름은 그 바일 군이 근계에 아핀 변환으로 작용하기 때문이다.

스가와라 구성은 스가와라 히로타카()가 1968년에 발견하였다. 공액 구성은 피터 고더드(, 1945〜) · 에이드리언 켄트() · 데이비드 올리브(, 1937〜2012)가 1985년에 발견하였다.

## 각주

## 외부 링크

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분류:리 대수
분류:등각 장론