놈 (수학)

수학에서, 특히 타원 함수의 이론인 **놈**(nome)은 특별한 함수이며 다음과 같이 주어진다.

:q=e^{-\frac{\pi K'}{K}}=e^{\frac\pi\omega_2}{\omega_1}}
=e^ \pi \tau} \, 

여기서 K 와 i K'는 1/4 기간(주기) 이고, \omega_1 과 \omega_2 는 기본 기간 쌍이다. 표기상, 1/4 기간 K 와 i K '는 야코비 타원 함수의 문맥에서만 일반적으로 사용되는 반면, 절반 기간(반기,1/2 주기)  \omega_1 과 \omega_2는 보통 바이어슈트라스(Weierstrass) 타원 함수의 맥락에서만 사용된다. 일부 저자들은 \omega_1 과 \omega_2를 사용하여 반기가 아닌 전체 기간(주기,구간)을 나타낸다.

## 기본 설명
놈(nome)은 타원 함수와 모듈 형식을 설명 할 수 있는 값으로 자주 사용된다. 반면에 1/4 주기는 타원 계수의 함수이기도 하기 때문에 함수로 생각할 수도 있다. 이러한 모호함은 타원 계수의 실제 값에 대해 1/4 주기를 따라서 놈이 고유하게 결정되기 때문에 발생한다.

함수 \tau =  =  은 종종 타원 함수의 두 절반주기(반기) \omega_1 과 \omega_2 의 비율이므로 반주기 비율이라고도 한다.

보완적인 n1 은 다음과 같이 주어진다.

:q_1=e^{-\frac{\pi K}{K'}} 

그러나 일부 출처는 관습에 따라 다음을 그대로 사용하기도 한다. q=e^ \pi \tau} 또는 q=e^ \pi z}

놈(nome)에 대한 추가 정의 및 관계에 대해서는 분기(1/4 주기) 및 타원 적분에 대한 항목을 참조할 수 있다.

## 정의
변수에 대한 함수로 타원 놈은 다음과 같이 정의된다:
:q(x) = \exp\bigl[-\pi\,K(\sqrt{1 - x^2})\,K(x)^{-1}\bigr] 
그리고 제1종 완전 타원 적분은 다음과 같이 정의된다:
:K(\varepsilon) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1 - \varepsilon^2 \sin(\varphi)^2}} \,\mathrm{d}\varphi 
:K(\varepsilon) = \int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{(w^2 + 1)^2 - 4\,\varepsilon^2 w^2}} \,\mathrm{d}w 
두 공식은 서로 일치하며 동일한 결과를 가져온다.

## 무한급수
놈 기능의 무한 시리즈는 다음과 같이 표시될 수 있다:
:q(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\text{Kt}(n)}{16^n}\,x^{2n} 
이 무한급수의 수렴 반경은 1이다. 여기서 \text{Kt}(n)  (OEIS A005797)는 배타적으로 자연수 \text{Kt}(n) \isin \mathbb{N}  의 시퀀스다. 모든 자연수 n \isin \mathbb{N} 에 대해 이 정수 시퀀스는 기본적으로는 아니다. 정수열 Kt(n)의 정의는 다음과 같다:
:\text{Kt}(1) = 1 
:\text{Kt}(n+1) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} k\,\text{Kt}(k)[16\,\text{Ap}(n+1-k) - \text{Ap}(n+2-k)] 
:\text{Ap}(n) = \sum_{a = 0}^{n-1} \binom{2a}{a}^2 \binom{2n-2-2a}{n-1- a}^2 
이 정수열 *<math>\text{Kt}(n)</math>*는 1956년에 태어난 체코 수학자이자 체스 작곡가 Václav Kotěšovec에 의해 연구되었다. 특별히 수정된 Apéry 시퀀스(OEIS A036917)를 나타내는 정수 시퀀스 *<math>\text{Ap}(n)</math>*를 추가함으로써 Kotěšovec 시퀀스 숫자 *<math>\text{Kt}(n)</math>*를 생성할 수 있다. 시퀀스 *<math>\text{Kt}(n)</math>*의 시작 값은 *<math>\text{Kt}(1)=1</math>* 값이고 이 시퀀스의 다음 값은 모든 숫자 n \isin \mathbb{N}에 유효한 두 수식으로 생성된다. 다음 표는 일련 번호를 보여준다:

놈의 경우 두 번째 시리즈를 개발할 수 있다:
:q(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\text{Sw}(n)}{2^{4n - 3}} \biggl(\frac{1 - \sqrt[4]{1 - x^2}}{1 + \sqrt[4]{1 - x^2}}\biggr)^{4n - 3} = x^2\biggl\{\frac{1}{2} + \biggl[\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\text{Sw}(n + 1)}{2^{4n + 1}} x^{2n}\biggr]\biggr\}^4 
정수 시퀀스 Sw(n) 은 Schwarz 수를 나타낸다. 실레지아 독일 수학자 Hermann Amandus Schwarz는 54-56페이지의 *"Berechnung der Grösse k"* 장에서 *"Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen"* 이라는 저서에서 정수 수열을 썼다. 이 슈바르츠 수열 Sw(n) 은 20세기 수학자 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass와 Louis Melville Milne-Thomson에 의해 분석되었다. 수학자 Adolf Kneser는 다음 패턴을 기반으로 이 시퀀스에 대한 합성 방법을 결정했다.

: \text{Sw}(1) = 1 
: \text{Sw}(n+1) = \frac{2}{n}\sum _{m = 1}^{n} \text{Sw}(m)\text{Kn}(n + 1 - m) 

Schwarz 시퀀스 Sw(n) 은 번호 A002103 아래의 숫자 시퀀스의 온라인 백과사전에서 입력되고 Kneser 시퀀스 Kn(n) 은 번호 A227503 아래에 입력된다. Kneser 정수 시퀀스 Kn(n) 은 다음과 같이 정의된 특수 Apéry 시퀀스 Ap(n) (OEIS A036917)를 사용하여 구성할 수 있다.

: \text{Ap}(n) = \sum_{a = 0}^{n-1} \binom{2a}{a}^2 \binom{2n-2-2a}{n-1- a}^2 

이러한 방식으로 모든 자연수 n에 대해 Kneser 수열을 정의할 수 있다.

: \text{Kn}(n + 1) = 2^{4n + 1} - \tfrac{1}{8}\text{Ap}(n + 2) - \sum_{b = 1}^ {n} \text{Kn}(b)\text{Ap}(n + 2 - b) 

Kneser 시퀀스는 생성 함수에 의해 다음과 같이 생성될 수도 있다.

: \frac{\pi^2}{8x(1 - x^2)K(x)^2} - \frac{1}{2x} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\text{Kn}(n)}{2^{4n - 2}}x^{2n - 1} 

다음 표에는 슈바르츠 수와 크네저 수와 아페리 수가 포함되어 있다.

## 값 목록
다음에서 놈의 일부 기능 값이 제공된다. 다음은 렘니스케이트 값이다.

: q(0) = 0 
: q(1) = 1 
: q(-1) = 1 
: q(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}) = \text{e}^{-\pi} 
: q[(\sqrt{2} - 1)^2] = \text{e}^{-2\pi} 
: q[2\sqrt[4]{2}(\sqrt{2} - 1)] = \exp(-\tfrac{1}{2}\pi) 
: q[\tfrac{1}{2}(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{2} - \sqrt[4]{3})] = \text{e}^{-3\pi} 
: q[\tfrac{1}{2}(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{2} + \sqrt[4]{3})] = \exp(-\tfrac{1}{3}\pi) 
: q[\tfrac{1}{2}(\sqrt{10} - 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt[4]{5})] = \text{e}^{-5\pi} 
: q[\tfrac{1}{2}(\sqrt{10} - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt[4]{5})] = \exp(-\tfrac{1}{5}\pi) 

일부 비 렘니스케이트 값은 다음과 같다:

: q[\tfrac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2})] = \text{e}^{-\sqrt{3}\pi} 
: q[\tfrac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2})] = \exp(-\tfrac{1}{3}\sqrt{3}\,\pi) 
: q\bigl\{\sin\bigl[\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl(\sqrt{5} - 2\bigr)\bigr]\bigr\} = \text{e}^{-\sqrt{5}\pi} 
: q\bigl\{\cos\bigl[\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl(\sqrt{5} - 2\bigr)\bigr]\bigr\} = \exp(-\tfrac{1}{5}\sqrt{5}\,\pi) 
: q[\tfrac{1}{8}(3\sqrt{2} - \sqrt{14})] = \text{e}^{-\sqrt{7}\pi} 
: q[\tfrac{1}{8}(3\sqrt{2} + \sqrt{14})] = \exp(-\tfrac{1}{7}\sqrt{7}\,\pi) 
: q\bigl[\tfrac{1}{16}\bigl(\sqrt{22} + 3\sqrt{2}\bigr)\bigl(\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 2\sqrt{11}} - \tfrac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3} - 2\sqrt{11}} + \tfrac{1}{3}\sqrt{11} - 1\bigr)^4\bigr] = \text{e}^{-\sqrt{11}\pi} 
: q\bigl[\tfrac{1}{16}\bigl(\sqrt{22} - 3\sqrt{2}\bigr)\bigl(\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 2\sqrt{11}} - \tfrac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3} - 2\sqrt{11}} + \tfrac{1}{3}\sqrt{11} + 1\bigr)^4\bigr] = \exp(-\tfrac{1}{11}\sqrt{11}\,\pi) 
: q\bigl\{\sin\bigl[\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl(5\sqrt{13} - 18\bigr)\bigr]\bigr\} = \text{e}^{-\sqrt{13}\pi} 
: q\bigl\{\cos\bigl[\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl(5\sqrt{13} - 18\bigr)\bigr]\bigr\} = \exp(-\tfrac{1}{13}\sqrt{13}\,\pi) 
: q\bigl\langle\sin\bigl\{\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl[\bigl(\tfrac{1}{4}\sqrt{17} + \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{4}\sqrt{2\sqrt{17} + 2}\bigr)^6\bigr]\bigr\}\bigr\rangle = \text{e}^{-\sqrt{17}\pi} 
: q\bigl\langle\cos\bigl\{\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl[\bigl(\tfrac{1}{4}\sqrt{17} + \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{4}\sqrt{2\sqrt{17} + 2}\bigr)^6\bigr]\bigr\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{17}\sqrt{17}\,\pi) 
: q\bigl\langle\sin\bigl\{\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl[(\sqrt{37} - 6)^3\bigr]\bigr\}\bigr\rangle = \text{e}^{-\sqrt{37}\pi} 
: q\bigl\langle\cos\bigl\{\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl[(\sqrt{37} - 6)^3\bigr]\bigr\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{37}\sqrt{37}\,\pi) 

다음 값은 홀수의 제곱근과 함께 Gelfold 상수의 역수의 거듭제곱으로 발생한다:

: q(\sqrt{2} - 1) = \text{e}^{-\sqrt{2}\pi} 
: q(\sqrt{2\sqrt{2} - 2}) = \exp(-\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\pi) 
: q[(2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} - \sqrt{2})] = \text{e}^{-\sqrt{6}\pi} 
: q[(2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt{2})] = \exp(-\tfrac{1}{3}\sqrt{6}\,\pi) 
: q[(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{2} - 1)^2] = \text{e}^{-\sqrt{10}\pi} 
: q[(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{2} + 1)^2] = \exp(-\tfrac{1}{5}\sqrt{10}\,\pi) 
: q\bigl\langle\tan\bigl\{\tfrac{1}{2}\arctan\bigl[\bigl(\sqrt{2} + \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\sqrt{4\sqrt{2} + 5}\bigr)^3\bigr]\bigr\}\bigr\rangle = \text{e}^{-\sqrt{14}\pi} 
: q\bigl\langle\tan\bigl\{\tfrac{1}{2}\arctan\bigl[\bigl(\sqrt{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\sqrt{4\sqrt{2} + 5}\bigr)^3\bigr]\bigr\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{7}\sqrt{14}\,\pi) 
: q[(10 - 3\sqrt{11})(3\sqrt{11} - 7\sqrt{2})] = \text{e}^{-\sqrt{22}\pi} 
: q[(10 - 3\sqrt{11})(3\sqrt{11} + 7\sqrt{2})] = \exp(-\tfrac{1}{11}\sqrt{22}\,\pi) 
: q\bigl\{(\sqrt{26}+5)(\sqrt{2}-1)^2 \tan\bigl[\tfrac{1}{4}\pi-\arctan(\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{3\sqrt{3}+\sqrt{26}}-\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{3\sqrt{3}-\sqrt{26}}+\tfrac{1}{6}\sqrt{26}-\tfrac{1}{2}\sqrt{2})\bigr]^4\bigr\} = \text{e}^{-\sqrt{26}\pi} 
: q\bigl\{(\sqrt{26}+5)(\sqrt{2}+1)^2 \tan\bigl[\arctan(\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{3\sqrt{3}+\sqrt{26}}-\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{3\sqrt{3}-\sqrt{26}}+\tfrac{1}{6}\sqrt{26}+\tfrac{1}{2}\sqrt{2})-\tfrac{1}{4}\pi\bigr]^4\bigr\} = \exp(-\tfrac{1}{13}\sqrt{26}\,\pi) q\bigl\langle\tan\bigl\{\tfrac{1}{2}\arctan\bigl[\bigl(\tfrac{1}{4}\sqrt{17} + \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{4}\sqrt{6\sqrt{17} + 10}\bigr)^6\bigr]\bigr\}\bigr\rangle = \text{e}^{-\sqrt{34}\pi} 
: q\bigl\langle\tan\bigl\{\tfrac{1}{2}\arctan\bigl[\bigl(\tfrac{1}{4}\sqrt{17} + \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{4}\sqrt{6\sqrt{17} + 10}\bigr)^6\bigr]\bigr\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{17}\sqrt{34}\,\pi) 
: q[(13\sqrt{58} - 99)(\sqrt{2} - 1)^6] = \text{e}^{-\sqrt{58}\pi} 
: q[(13\sqrt{58} - 99)(\sqrt{2} + 1)^6] = \exp(-\tfrac{1}{29}\sqrt{58}\,\pi) 
놈를 제곱하면 다음 값이 된다:

: q\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl(\sqrt{2} - 1\bigr)\bigr]^2\bigr\} = \text{e}^{-2\sqrt{2}\pi} 
: q[(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2(\sqrt{2} - 1)^2] = \text{e}^{-2\sqrt{3}\pi} 
: q[(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2(\sqrt{2} + 1)^2] = \exp(-\tfrac{2}{3}\sqrt{3}\,\pi) 
: q\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\arcsin\bigl(\sqrt{5} - 2\bigr)\bigr]^2\bigr\} = \text{e}^{-2\sqrt{5}\pi} 
: q\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\pi - \tfrac{1}{4}\arcsin\bigl(\sqrt{5} - 2\bigr)\bigr]^2\bigr\} = \exp(-\tfrac{2}{5}\sqrt{5}\,\pi) 
: q[(\sqrt{2} - 1)^4 (2\sqrt{2} - \sqrt{7})^2] = \text{e}^{-2\sqrt{7}\pi} 
: q[(\sqrt{2} - 1)^4 (2\sqrt{2} + \sqrt{7})^2] = \exp(-\tfrac{2}{7}\sqrt{7}\,\pi) 
: q\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\arcsin\bigl(5\sqrt{13} - 18\bigr)\bigr]^2\bigr\} = \text{e}^{-2\sqrt{13}\pi} 
: q\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\pi - \tfrac{1}{4}\arcsin\bigl(5\sqrt{13} - 18\bigr)\bigr]^2\bigr\} = \exp(-\tfrac{2}{13}\sqrt{13}\,\pi) 

가치의 특정 사중주가 아래에 나열되어 있다:

## 지수 정리
대수 숫자의 놈를 밑수로 하고 양의 유리수를 지수로 사용하는 모든 거듭제곱은 대수 숫자의 놈이 된다:

: q(x_{1} \in \mathbb{A})^{w \in \mathbb{Q^{+}}} = q(x_{2} \in \mathbb{A})^{} 

야코비 타원 함수를 사용하여 정리를 설명하는 경우 정리에 대해 다음 공식을 설정할 수 있다:

: q(x)^2 = q[x^2(1+\sqrt{1-x^2})^{-2}] 
: q(x)^3 = q\{x^3\operatorname{sn}[\tfrac{1}{3}K(x);x]^4\} 
: q(x)^5 = q\{x^5\operatorname{sn}[\tfrac{1}{5}K(x);x]^4\operatorname{sn}[\tfrac{3}{5}K(x);x]^4\} 
: q(x)^7 = q\{x^7\operatorname{sn}[\tfrac{1}{7}K(x);x]^4\operatorname{sn}[\tfrac{3}{7}K(x);x]^4\operatorname{sn}[\tfrac{5}{7}K(x);x]^4\} 

실수 값 구간 [-1;1]의 대수적 x 값의 경우 표시된 야코비 사인 진폭 표현식은 항상 대수적이다. 일반적으로 모든 자연수 n에 대해:

: q(x)^{2n+1} = q\biggl\{x^{2n+1}\prod_{k = 1}^{n}\operatorname{sn}\bigl[\tfrac{2k-1}{2n+1}K(x);x\bigr]^4\biggr\} 

입방체에 대한 정리는 단순화된 방식으로 매개변수화할 수도 있다:

: q[u(\sqrt{u^4-u^2+1}-u^2+1)]^3 = q[u(\sqrt{u^4-u^2+1}+u^2-1)] 

이 공식은 모든 값 - 1 에 유효하다. 다음 반사 정리는 타원 놈에 대해 유효하다:

: \ln\biggl\langle q\bigl\{\sin\bigl[\tfrac{1}{4}\pi - \tfrac{1}{2}\arctan(x)\bigr]\bigr\}\biggr\rangle \ln\biggl\langle q\bigl\{\sin\bigl[\tfrac{1}{4}\pi + \tfrac{1}{2}\arctan(x)\bigr]\bigr\}\biggr\rangle = \pi^2 
: \ln\bigl\{q\bigl[\tfrac{1}{2}\sqrt{2-2x(x^2+1)^{-1/2}}\bigr]\bigr\} \ln\bigl\{q\bigl[\tfrac{1}{2}\sqrt{2+2x(x^2+1)^{-1/2}}\bigr]\bigr\} = \pi^2 
: \ln\biggl\langle q\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{8}\pi - \tfrac{1}{4}\arctan(x)\bigr]\bigr\}\biggr\rangle \ln\biggl\langle q\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{8}\pi + \tfrac{1}{4}\arctan(x)\bigr]\bigr\}\biggr\rangle = 2\pi^2 
: \ln\bigl\{ q\bigl[\sqrt{(\sqrt{x^2+1}+x)^2+1}-\sqrt{x^2+1}-x\bigr]\bigr\} \ln\bigl\{ q\bigl[\sqrt{(\sqrt{x^2+1}-x)^2+1}-\sqrt{x^2+1}+x\bigr]\bigr\} = 2\pi^2 

## 미분법
타원 놈 함수는 다음과 같이 파생된다:

: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} q(x) = \frac{\pi^2}{2x(1-x^2)K(x)^2} q(x) 

2차 도함수는 다음과 같다:

: \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} q(x) = \frac{\pi^4 + 2\pi^2 (1+x^2)K(x)^2 - 4\pi^2 K(x)E(x)}{4x^2(1-x^2)^2 K(x)^4} q(x) 

그리고 3차 도함수는 다음과 같은 형식을 취한다:

: \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}x^3} q(x) = \frac{\pi^6 + 6\pi^4 (1+x^2)K(x)^2 + 8\pi^2 (1+x^2)^2 K(x)^4 + 12\pi^2 K(x)E(x)[-\pi^2 - 2(1+x^2)K(x)^2 + 2K(x)E(x)]}{8x^3(1-x^2)^3 K(x)^6} q(x) 

두 번째 종류의 완전 타원 적분은 다음과 같이 정의된다:

: E(\varepsilon) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-\varepsilon^2 \sin(\varphi)^2} \mathrm{d}\varphi  
: E(\varepsilon) = 2\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{(w^2+1)^2 - 4\,\varepsilon^2 w^2}}{(w^2+1)^2} \mathrm{d}w 

두 공식은 서로 일치하며 동일한 결과를 가져온다.

제2종 완전 타원 적분을 지우면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다:

: 3\biggl[\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} q(x)\biggr]^2 - 2\biggl[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} q(x)\biggr]\biggl[\frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}x^3} q(x)\biggr] = \frac{\pi^8 - 4\pi^4 (1+x^2)^2 K(x)^4}{16x^4(1-x^2)^4 K(x)^8} q(x)^2 

따라서 이 3차 미분방정식은 유효하다:

: x^2 (1-x^2)^2 [2q(x)^2 q'(x)q*'(x) - 3q(x)^2 q*(x)^2 + q'(x)^4] = (1+x^2)^2 q(x)^2 q'(x)^2 

## 무한 합과 무한 곱
타원 놈는 Richard Dedekind에 의해 연구되었으며 이것은 그의 에타 함수 이론의 기초를 형성한다. 타원형 놈는 Lambert 급수의 구성에서 시작점을 형성하고 산술 기하 평균의 대수적 조합에 대한 Carl Gustav Jacobi의 테타 함수에서 가로 좌표로 지정된다. 일반적으로 많은 시리즈 확장은 타원 놈로 설명된다:

: \sum_{n = 1}^{\infty}  q(x)^{n^2} = \tfrac{1}{2}\vartheta_{00}[q(x)] - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}\sqrt{2\pi^{-1}K(x)} - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}\operatorname{agm}(1-x;1+x)^{-1/2} - \tfrac{1}{2} 
: \sum_{n = 1}^{\infty}  q(x)^{(2n-1)^2} = \tfrac{1}{4}\vartheta_{00}[q(x)] - \tfrac{1}{4}\vartheta_{01}[q(x)] = \tfrac{1}{4}(1-\sqrt[4]{1-x^2})\sqrt{2\pi^{-1}K(x)} 
: \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2q(x)^{n}}{q(x)^{2n} + 1} = \tfrac{1}{2}\vartheta_{00}[q(x)]^2 - \tfrac{1}{2} = \pi^{-1}K(x) - \tfrac{1}{2} 
: \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2q(x)^{2n-1}}{q(x)^{4n-2} + 1} = \tfrac{1}{4}\vartheta_{00}[q(x)]^2 - \tfrac{1}{4}\vartheta_{01}[q(x)]^2 = \tfrac{1}{2}(1-\sqrt{1-x^2})\,\pi^{-1}K(x) 
: \sum_{n = 1}^{\infty}  n^2 q(x)^{n^2} = 2^{-1/2}\pi^{-5/2}K(x)^{3/2}[E(x)-(1-x^2)K(x)] 
: \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{2q(x)^{n}}{1 + q(x)^{2n}}\biggr]^2 = 2\pi^{-2}E(x)K(x) - \tfrac{1}{2} 
: \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{2q(x)^{n}}{1 - q(x)^{2n}}\biggr]^2 = \tfrac{2}{3}\pi^{-2}(2 - x^2)K(x)^2 - 2\pi^{-2}K(x)E(x) + \tfrac{1}{6} 
: \prod_{n = 1}^{\infty} [1-q(x)^{2n}][1+q(x)^{2n-1}]^2 = \sqrt{2\pi^{-1}K(x)} 
: \prod_{n = 1}^{\infty} [1-q(x)^{2n}][1-q(x)^{2n-1}]^2 \sqrt[4]{1-x^2}\,\sqrt{2\pi^{-1}K(x)} 

## 테타 함수
세 가지 주요 테타 함수는 다음과 같이 정의된다:

: \vartheta_{00}(y) = 1 + 2\biggl(\sum_{n = 1}^{\infty} y^{n^2}\biggr) 
: \vartheta_{01}(y) = 1 + 2\biggl[\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}y^{n^2}\biggr] 
: \vartheta_{10}(y) = 2\biggl[\sum_{n = 1}^{\infty} y^{(n - 1/2)^2}\biggr] 

야코비 정체성는 이 세 가지 함수을 수학적 조합으로 제공한다:

: \vartheta_{10}(y) = \sqrt[4]{\vartheta_{00}(y)^4 - \vartheta_{01}(y)^4} 

테타 함수와 타원형 놈 함수는 서로 다음과 같은 관계를 갖는다:

: \vartheta_{00}[q(x)] = \sqrt{2\pi^{-1}K(x)} 
: \vartheta_{01}[q(x)] = \sqrt[4]{1-x^2}\,\sqrt{2\pi^{-1}K(x)} 
: \vartheta_{00}[q(x)^2] = \cos\bigl[\tfrac{1}{2}\arcsin(x)\bigr]\sqrt{2\pi^{-1}K(x)} 
: \vartheta_{01}[q(x)^2] = \sqrt[8]{1 - x^2}\,\sqrt{2\pi^{-1}K(x)} 

## 오차 방정식
Abel-Ruffini 정리에 따르면 5차 방정식의 일반적인 경우는 기본적으로 풀 수 없다. 그러나 타원 명사와 세타 함수의 조합으로 모든 오차 방정식을 풀 수 있다. 다음의 브링-제라드 정규형의 5차 다항식에 대해 언급된 타원 함수가 있는 실제 솔루션이 이제 표현된다:

: x^5 + 5\,x = 4\,c 
: Q = q\bigl[\bigl(2\,c^2 + 2 + 2\sqrt{c^4 + 1}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{c^4 + 1} + 1} + c\bigr)\bigr] 
: x = \frac{\bigl[\vartheta_{00}(Q^{1/5})^2 - 5\,\vartheta_{00}(Q^5)^2\bigr]\sqrt{\vartheta_{00}(Q^{1/5})^2 + 5\,\vartheta_{00}(Q^5)^2 - 4\,\vartheta_{00}(Q)^2 - 2\,\vartheta_{00}(Q^{1/5})\,\vartheta_{00}(Q^5)}}{4\,\vartheta_{10}(Q)\,\vartheta_{01}(Q)\,\vartheta_{00}(Q)} 

기본 함수로 풀 수 있는 방정식의 예:

첫 번째 계산 예:

두 번째 계산 예:

타원 함수로만 풀 수 있는 계산 예:
: x^5 + 5\,x = 2\sqrt[4]{2} 
: Q = q\bigl[\bigl(2\,c^2 + 2 + 2\sqrt{c^4 + 1}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{c^4 + 1} + 1} + c\bigr)\bigr](c = 2^{-3/4}) = q\bigl[\cos\bigl(\tfrac{1}{8}\pi\bigr)\bigr] 
: Q \approx 0.11785793531185771914155254110648923544545944879394196130445 
: x = \frac{\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]^{1/5}\bigr\}^2 - 5\,\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]^5\bigr\}^2}{4\,\vartheta_{10}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]\bigr\}\,\vartheta_{01}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]\bigr\}\,\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]\bigr\}} \times
: \times\sqrt{\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]^{1/5}\bigr\}^2 + 5\,\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]^5\bigr\}^2 - 4\,\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]\bigr\}^2 - 2\,\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]^{1/5}\bigr\}\,\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]^5\bigr\}}
: x \approx 0.4710447387949811740242434591671230417409496435087081512857 

이제 솔루션이 타원 함수의 도움으로만 표현될 수 있는 두 번째 예가 표시된다:

: x^5 + 5\,x = 4
: Q = q\bigl[\bigl(2c^2 + 2 + 2\sqrt{c^4 + 1}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{c^4 + 1} + 1} + c\bigr)\bigr]\bigl(c = 1\bigr) = q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8}\bigr)\bigr]
: Q \approx 0.18520287008030014142515182307361246060360377625
: x = \frac{\vartheta_{00}\{q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8})\bigr]^{1/5}\}^2 - 5\,\vartheta_{00}\{q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8})\bigr]^5\}^2}{4\,\vartheta_{10}\{q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8})\bigr]\}\,\vartheta_{01}\{q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8})\bigr]\}\,\vartheta_{00}\{q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8})\bigr]\}} \times 
: \times \sqrt{\vartheta_{00}\{q\bigl[\tfrac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\tfrac{\pi}{8})\bigr]^{1/5}\}^2 + 5\vartheta_{00}\{q\bigl[\tfrac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\tfrac{\pi}{8})\bigr]^5\}^2 - 4\vartheta_{00}\{q\bigl[\tfrac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\tfrac{\pi}{8})\bigr]\}^2 - 2\vartheta_{00}\{q\bigl[\tfrac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\tfrac{\pi}{8})\bigr]^{1/5}\}\,\vartheta_{00}\{q\bigl[\tfrac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\tfrac{\pi}{8})\bigr]^5\}} 
: x \approx 0.75192639869405948026865366345020738740978383913 

## 같이 보기
* 바이어슈트라스 에타 함수와 오메가2 상수
* 오일러 등식

## 참고
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, *[[w:Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions]]*, (1964) Dover Publications, New York.  .  See sections 16.27.4 and 17.3.17.  1972 edition: 
* Tom M. Apostol, *Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition* (1990), Springer, New York 
* Folkmar Bornemann, Dirk Laurie, Stan Wagon and Jörg Waldvogel, *Vom Lösen numerischer Probleme*, page 275
* Edmund Taylor Whittaker and George Neville Watson: *A Course in Modern Analysis, 4th ed.* Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990. page 469–470.
* Toshio Fukushima: *Fast Computation of Complete Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions*. 2012, National Astronomical Observatory of Japan (国立天文台)
* Lowan, Blanch and Horenstein: *On the Inversion of the q-Series Associated with Jacobian Elliptic Functions*. Bull. Amer. Math. Soc. 48, 1942
* H. Ferguson, D. E. Nielsen, G. Cook: *A partition formula for the integer coefficients of the theta function nome*. Mathematics of computation, Volume 29, number 131, Juli 1975
* J. D. Fenton and R. S. Gardiner-Garden: *Rapidly-convergent methods for evaluating elliptic integrals and theta and elliptic functions*. J. Austral. Math. Soc. (Series B) 24, 1982, page 57
* Charles Hermite: *Sur la résolution de l'Équation du cinquiéme degré Comptes rendus*. Acad. Sci. Paris, Nr. 11, 1858
* Nikolaos Bagis: *On the solution of the general quintic using the Rogers-Ramanujan continued fraction*. Pella, Makedonien, Griechenland, 2015
* Nikolaos Bagis: *Solution of Polynomial Equations with Nested Radicals*. Pella, Makedonien, Griechenland, 2020
* Viktor Prasolov (Прасолов) und Yuri Solovyev (Соловьёв): *Elliptic Functions and Elliptic Integrals*. Volume 170, Rhode Island, 1991. pages 149 – 159
* Sun Zhi-Hong: *New congruences involving Apery-like numbers*. Huaiyin Normal University, Huaian (淮安), China, 2020. page 2
* Robert Fricke: *Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Dritter Teil*. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2012. ISBN 978-3-642-20953-6, ISBN 978-3-642-20954-3 (eBook)
* Adolf Kneser: *Neue Untersuchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen*. J. reine u. angew. Math. 157, 1927. pages 209 – 218
* G. P. Young: *Solution of Solvable Irreducible Quintic Equations, Without the Aid of a Resolvent Sextic*. In: Amer. J. Math. Band 7, pages 170–177, 1885.
* C. Runge: *Über die auflösbaren Gleichungen von der Form x 5 + u x + v = 0 {\displaystyle x^{5}+ux+v=0} x^{5}+ux+v=0*. In: Acta Math. Band 7, pages 173–186, 1885, doi:10.1007/BF02402200.
* Edward Neuman: *Two-sided inequalitites for the lemniscate functions.* Volume 1, Southern Illinois University Carbondale, USA, 2014.
* Ji-en Deng und Chao-ping Chen: *Sharp Shafer-Fink type inequalities for Gauss lemniscate functions.* Universität Henan (河南大学), China, 2014.
* Jun-Ling Sun und Chao-ping Chen: *Shafer-type inequalities for inverse trigonometric functions and Gauss lemniscate functions.* Universität Henan, China, 2016.
* Minjie Wei, Yue He and Gendi Wang: *Shafer–Fink type inequalities for arc lemniscate functions*. Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou, China, 2019

분류:특수 함수
분류:타원함수