융합 규칙

이론물리학과 추상대수학에서 **융합 규칙**(融合規則, )은 2차원 등각 장론에 대응되는 특별한 대수 구조이다. 융합 규칙은 1차장 사이의 연산자 곱 전개에 어떤 1차장이 등장하는지를 기록하며, 그 계수는 모듈러 S변환과 **페를린더 공식**()이라는 공식으로 계산될 수 있다. 융합 규칙에는 항상 자연스럽게 **융합환**(融合環, ) 또는 **페를린더 대수**(Verlinde代數, )라는 가환환이 대응된다.

## 정의
유한 집합 I 및 대합
:(-)^*\colon I \to I
:(-)^* \circ (-)^* = \operatorname{id}_I
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이로 생성되는 자유 가환 모노이드
:\mathbb N^I = \left\{
\sum_in_ii \colon \forall i\in I\colon n_i \in\mathbb N
\right\}
를 생각할 수 있다. 그 원소는 I의 원소들로 구성된 중복집합으로 생각할 수 있다.

I 위의 **융합 규칙**은 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수
:N \colon \mathbb N^I \to \mathbb Z
이다.
* (규격화) N(0) = 1
* (대합에 대한 대칭) N(x^*) = N(x)\qquad\forall x\in \mathbb N^I
* (융합) N(x+y) = \sum_{k\in I}N(x+k)N(y+k^*)\forall x,y\in\mathbb N^I
* (부호) \exists i\in I\colon N(i) > 0
* (비퇴화성) \forall i\in I\exists x\in \mathbb N^I \colon N(i+x) \ne 0

## 성질
### 항등원과 3점 계수
임의의 융합 규칙 N\colon \mathbb N^I \to \mathbb Z가 주어졌을 때, 어떤 원소 \eta\in I에 대하여
:
N(i) = 
\begin{cases}
1 & i = \eta \\
0 & i \ne \eta
\end{cases}
:\eta^*=\eta
이게 된다. 이를 융합 규칙의 **항등원**()이라고 하며, 보통 단순히 1로 표기한다. (이는 2차원 등각 장론에서 항등 연산자에 해당한다.)

**증명**:

공리로부터,
:1 = N(0) = N(0+0) = \sum_{i\in I}N(i)N(i^*) = \sum_{i\in I}N(i)^2
이다. N(i)^2 \in \mathbb N이므로, 이는 어떤 \eta\in I인 경우 N(\eta) \in \{\pm1\}이며 다른 나머지 j\in I \setminus\{\eta\}에 대하여 N(j) = 0임을 의미한다. 그런데 공리에 의하여 N(i)>0인 i\in I가 존재하여야 하므로, 이는 i=\eta일 수 밖에 없으며, N(\eta) = 1이다. N(\eta^*) = 1이므로 \eta = \eta^*이다.

이는 다음과 같이 항등원을 이룬다.
:N(1+x) = N(x)\qquad\forall x\in\mathbb N^I

**증명**:

공리로부터,
:N(x) = N(0+x) = \sum_{i\in I}N(i^*)(i+x) = N(1+x)
이다.

또한, 항상 다음이 성립한다.
:N(i+j) = \begin{cases}
1 & i = j^* \\
0 & i \ne j^*
\end{cases}

**증명**:

공리로부터,
:N(i+i^*) = \sum_{j\in I} N(i+j)N(j^*+i^*) = \sum_{j\in I} N(i+j)^2 \ge N(i+i^*)^2
이다. k\ge k^2를 만족시키는 정수 k는 0 및 1 밖에 없다. 이 경우 k=k^2이므로
:0 = N(i+i^*) - N(i+i^*)^2 = \sum_{j\in I\setminus\{i\}} N(i+j)^2
이며, 따라서
:N(i+j) = 0\qquad(i\ne j)
이다.

만약 N(i+i^*) = 0이라면, 임의의 x\in\mathbb N^I에 대하여
:N(i+x) = \sum_{j\in I}N(i+j^*)N(j+x) = 0
인데, 이는 공리에 의하여 불가능하다. 따라서 항상 N(i+i^*) = 1이다.


사실, 융합 규칙은 다음과 같은 데이터로만 완전히 결정된다.
* 항등원 1\in I
* 3점 계수 N \restriction \{i+j+k\colon i,j,k\in I \setminus\{1\}\}

**증명**:

2점 이하의 계수는 1\in I로 완전히 결정된다. 또한,
:N(i_1+i_2+\dotsb+i+i_k) = 
\sum_{j\in I}N(i_1+i_2+j^*)N(j+i_3+\dotsb+i_k)
\qquad(k\ge3,\;i_1,i_2,\dotsc,i_k\in I)

이므로, k점의 계수는 3점 계수와 k-1점 계수로 결정된다. 물론, 3점 계수 N(i+j+k)에서 만약 i,j,k 가운데 하나가 1에 속한다면 그 값은 자명하다.

보통 3점 계수는
:N(i+j+k^*) = N_{ij}^k
로 표기한다. 대칭에 의하여
:N_{ij}^k = N_{ji}^k = N_{k^*i}^j = N_{i^*j^*}^{k^*}
:N_{1i}^j = N_{ij^*}^1 = \delta_i^j
가 된다. (\delta는 크로네커 델타이다.) 즉, 융합 규칙은 다음 조건을 만족시킨다.
:N(i+j+k+l^*) = \sum_{m\in I}N_{ij}^mN_{km}^l = \sum_{m\in I}N_{ik}^mN_{jm}^l\qquad(\forall i,j,k,l\in I)s
만약 N_{ij}^k를 행렬 N_i로 표기한다면, 이는 다음과 같다.
:N_jN_k = N_kN_j
즉, 이 조건은 융합 행렬들이 서로 교환 법칙을 따르는 것으로 해석할 수 있다. 따라서, 복소수 계수에서 이들을 동시에 대각화하는 기저를 찾을 수 있다. 페를린더 공식에 따라서, 이 기저는 모듈러 변환의 S행렬에 의하여 주어진다.

### 고차 종수 융합 규칙
융합 규칙 N\colon \mathbb N^I\to\mathbb Z 및 자연수 g에 대하여, 다음과 같은 함수들을 재귀적으로 정의할 수 있다.
:N_g(x) = \sum_{i\in I}N_{g-1}(x+i+i^*)\qquad\forall x\in \mathbb N^I
:N_0 = N
이들은 2차원 등각 장론에서, 종수 g의 콤팩트 리만 곡면 위에 정의된 상관 함수에 대응된다.
그렇다면, 이는 다음과 같은 성질을 따른다.
:N_{g+h}(x+y) = \sum_{i\in I}N_g(x+i^*)N_h(i+y)\qquad\forall x,y\in \mathbb N^I,\;g,h\in\mathbb N

### 융합환
융합 규칙 N\colon\mathbb N^I \to \mathbb Z이 주어졌을 때, I로 생성되는 자유 아벨 군 R = \mathbb Z^I 위에 다음과 같은 \mathbb Z-쌍선형 곱셈 연산을 줄 수 있다.
:i_1 \cdot i_2 \cdot \dotsb \cdot i_k = \sum_{j\in I}N(i_1+\dotsb+i_k+j^*)j \qquad(k\in\mathbb N,\;i_1,\dotsc,i_k\in I)
이는 항등원 1\in I을 갖는 가환환을 이루며, **융합환**이라고 한다.

특히, 융합환 R의 가환환으로서의 항등원은 0개의 원소의 곱이므로,
:\sum_{j\in I}N(j^*)j = 1
이다. 즉, 융합환의 항등원은 융합 규칙의 항등원과 같다. 물론 1개의 원소의 곱은
:i = \sum_{j\in I}N(i+j^*)j 
이므로 이 정의는 일관적이다. 이 정의가 결합 법칙을 따르는 이항 연산을 정의하는 것은 융합 규칙의 융합 공리에서 비롯된다.

융합환 R 위에는 항상 다음 조건을 만족시키는 덧셈 군 준동형
:t\colon (R,+) \to (\mathbb Z,+)
이 존재한다.
:t(i_1i_2\dotsm i_k) = N(i_1+i_2+\dotsb+i_n)\qquad\forall i_1,\dotsc,i_k\in I
따라서 t는 R-가군의 동형 사상
:R \to R^\vee = \hom_{\mathbb Z}(R,\mathbb Z)
:r \mapsto (s\mapsto t(rs))
을 정의한다. 따라서, 모든 융합환은 고런스틴 환이다. 이 가군 동형에서, 대각합
:\operatorname{tr} \in R^\vee
:\operatorname{tr} \colon i \mapsto \sum_{j\in I}N_{ij}^j \qquad(i,j,k\in I)
에 대응되는 R의 원소는 카시미르 원소
:\sum_{i\in I}ii^*
이다.

### 등각 장론의 융합환
2차원 등각 장론 가운데 최소 모형이 주어졌다고 하자. 이 경우, I를 1차장의 집합으로 놓고, (-)^*를 항등 함수로 놓고,
:N_{ij}^k = \begin{cases}
0 & C_{ijk} = 0 \\
1 & C_{ijk} \ne 0
\end{cases}
로 놓자. (여기서 C_{ijk}는 등각 장론의 3점 상관 함수의 계수이다.) 그렇다면, 이는 융합 규칙을 정의한다.

보다 일반적으로, 비라소로 대수 대신 초대칭 비라소로 대수나 아핀 리 대수(베스-추미노-위튼 모형)에 대한, 유한 개의 1차장을 갖는 2차원 등각 장론에 대해서도 유사하게 융합환을 정의할 수 있다. 이 경우 대합 (-)^*이 자명하지 않을 수 있다.

#### 페를린더 공식
유한 개의 1차장을 갖는 2차원 등각 장론에서, 최고 무게 표현들의 지표가
:Z(\tau) = \sum_{i\in I}\chi_i(\tau)
라고 하자. 그렇다면, 원환면 위에서의 모듈러 불변성
:Z(\tau) = Z(-1/\tau)
에 의하여
:\chi_i(-1/\tau) = \sum_{j\in I}S_i{}^j\chi_j(\tau)
가 되는 행렬
:S \colon \mathbb Z^I \to \mathbb Z^J
이 존재한다. (보다 일반적으로, \mathbb C^I 위에는 \operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)의 표현이 존재한다.) S는 항상 유니터리 행렬이며, 대칭 행렬이며 (※에르미트 행렬이 아니다), S^4 = 1이다.

이 경우, 다음과 같은 **페를린더 공식**()이 성립한다.
:N_{ij}^k = \sum_{l\in I} \frac{S_{il}S_{jl}\bar S_{lk}}{S_{1l}}
여기서 \bar S는 성분별 복소켤레이다 (즉, (\bar S)^\top = S^\dagger).

## 예
### 이징 모형
임계 2차원 이징 모형에 해당하는 최소 모형 c=1/2을 생각하자. 이 경우, 세 개의 일차장이 존재하며, 다음과 같다.

이에 대응되는 융합 규칙은 다음과 같다.
:I = \{1,\sigma,\epsilon\}
:(-)^* = \operatorname{id}_I
:N(2\sigma) = 1
:N(2\epsilon) = 1
:N(2\sigma+\epsilon) = 1
:N(1+2\epsilon) = 1
:N(1+2\sigma) = 1
:N(\epsilon+2\sigma) = 1

이 경우, 페를린더 대수는 3차원이며, 다음과 같다.
:A = \mathbb Z[\sigma,\epsilon] / (\sigma^2 - 1 - \epsilon,\epsilon\sigma-\sigma,\epsilon^2-1)
즉, 곱셈이 다음과 같다.

### 베스-추미노-위튼 모형
다음이 주어졌다고 하자.
* 복소수 단순 리 대수 \mathfrak g
* \mathfrak g의 카르탕 부분 대수 \mathfrak h
** 따라서, 근계 \operatorname R(\mathfrak g,\mathfrak h)를 정의할 수 있다.
* 근계 \operatorname R(\mathfrak g,\mathfrak h) 위의 순서. 이에 따라서 최고(最高) 근 \theta\in \operatorname R(\mathfrak g,\mathfrak h)을 고를 수 있다.
* 양의 정수 k\in\mathbb Z^+
이제, \hat{\mathfrak g}의 우세 무게 \lambda 가운데 \langle\lambda|\theta\rangle \le k인 것들의 집합을 P_k라고 하자. 이들은 아핀 리 대수 \hat{\mathfrak g}의 준위 k의 표현들과 일대일로 대응한다. \lambda\in P_k에 대응하는 \hat{\mathfrak g}-표현을 \mathcal H_\lambda라고 표기하자.

이제, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 콤팩트 연결 리만 곡면 \Sigma
* \Sigma의 유한 부분 집합 X=\{x_1,\dotsc,x_n\} \subseteq\Sigma
* 함수 \lambda\colon X \to P_k
그렇다면, \hat{\mathfrak g}의 표현
:\bigotimes_{x\in X}\mathcal H_{\lambda(x)}
을 생각하자. 또한, \mathfrak g값 정칙 함수의 복소수 리 대수 \mathcal O(\Sigma\setminus X) \otimes_{\mathbb C} \mathfrak g는 이 표현 위에 표준적으로 작용한다. 따라서, 다음과 같은 복소수 벡터 공간을 정의할 수 있다.
:V(X,\lambda) = \left(\bigotimes_{x\in X}\mathcal H_{\lambda(x)}\right)_{\mathcal O(\Sigma\setminus X) \otimes_{\mathbb C} \mathfrak g}
여기서 W_{\mathfrak g}는 W의, \mathfrak g-작용에 대한 쌍대불변량의 공간, 즉 \mathfrak g에 불변인, W의 가장 큰 몫 벡터 공간이다.

아핀 리 대수 \hat{\mathfrak g}의 표현을 갖는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형을 정의할 수 있다. 이 경우, 복소수 벡터 공간 V(X,\lambda)는 각 점 x\in X에 \lambda(x)에 해당하는 일차장을 삽입한 경우의 등각 블록이다.

두 유한 집합 X, X' 및 전단사 함수 i\colon X\to X'가 주어졌을 때, 표준적인 벡터 공간 동형 사상
:V_\Sigma(X,\lambda) \cong V_\Sigma(X',\lambda\circ i)
이 주어진다. 즉, 등각 블록의 차원은 선택한 점들의 수 및 대응되는 표현에만 의존하고, 점의 위치에 의존하지 않는다.

이 경우, 다음과 같은 융합 규칙을 생각하자.
:N\left(\sum\lambda_i\right) = \dim V_{\mathbb P_{\mathbb C}^1}(\{x_1,\dotsc,x_n\},(x_i \mapsto \lambda_i))
즉, 이는 리만 구 위의 등각 블록의 차원이다. 이는 베스-추미노-위튼 모형에 대응되는 융합 규칙이다.

## 역사
섬네일|right|에릭 페를린더 (2009년 사진)
에릭 페를린더(, 1962〜)가 1988년에 2차원 등각 장론을 연구하기 위하여 도입하였다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:등각 장론