절대 연속 측도

측도론에서 **절대 연속 측도**(絶對連續測度, )는 어떤 주어진 측도에 일종의 ‘무게’를 주어 얻을 수 있는 측도이다. 이에 따라, 원래 측도의 값이 0이면, 이에 대한 절대 연속 측도의 값 역시 0이어야 한다. 이 경우, 이 ‘무게’는 **라돈-니코딤 도함수**(Radon-Nikodym導函數, )라고 하며, 미적분학에서의 도함수의 개념의 일반화이다. 라돈-니코딤 도함수의 존재를 **라돈-니코딤 정리**(Radon-Nikodym定理, )라고 한다. 이에 따라, 절대 연속성은 일종의 미적분학의 기본 정리가 성립할 필요 조건이다.

## 정의
시그마 대수 \mathcal F 위의 두 측도 \mu, \nu가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, \mu가 **<math>\nu</math>-절대 연속 측도**라고 하며, \mu\ll\nu로 표기한다.
:\forall S\in\mathcal F\colon(\nu(S)=0\implies\mu(S)=0)
즉, \nu-영집합이 항상 \mu-영집합이어야 한다. (대략, 이는 라돈-니코딤 도함수 \mathrm d\mu/\mathrm d\nu에서, “분자”가 0이 아니라면 “분모” 역시 0이 아니어야 함으로 생각할 수 있다.)

부호 측도() \mu=\mu_+-\mu_-의 경우, 만약 |\mu|=\mu_++\mu_-가 \nu-절대 연속 측도라면 \mu역시 \nu-절대 연속 측도라고 한다.

보통 \nu는 (유클리드 공간의 경우) 르베그 측도나 (위상군의 경우) 왼쪽 하르 측도를 사용한다.

## 성질
### 라돈-니코딤 정리
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 가측 공간 (X,\mathcal F)
* 시그마 유한 측도 \nu\colon\mathcal F\to[0,\infty]
* 시그마 유한 측도 \mu\colon\mathcal F\to[0,\infty]. 또한, \mu\ll\nu라고 하자.
**라돈-니코딤 정리**()에 따르면, 다음 조건을 만족시키는 가측 함수
:\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d\nu}\colon(X,\mathcal F)\to\left([0,\infty),\mathcal B([0,\infty))\right)
가 존재한다.
:\forall S\in\mathcal F\colon \mu(S)=\int_S\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d\nu}\;\mathrm d\nu
(여기서 \mathcal B([0,\infty)는 음이 아닌 실수의 보렐 시그마 대수이다.) 이 조건을 만족시키는 가측 함수를 **라돈-니코딤 도함수**라고 한다. 또한, 라돈-니코딤 도함수는 \nu-거의 어디서나 유일하다. 즉, 위 데이터에 대한 두 라돈-니코딤 도함수 f, f'에 대하여, \{x\in X\colon f(x)\ne f'(x)\}는 \nu-영집합이다.

위 조건에 의하여, 임의의 \nu-적분 가능 가측 함수 f\colon X\to\mathbb R에 대하여, 다음이 추가로 성립한다.
:\int_Xf\;\mathrm d\nu=\int_Xf\frac{\mathrm d\nu}{\mathrm d\mu}\;\mathrm d\mu

### 라돈-니코딤 도함수의 성질
가측 공간 (X,\mathcal F) 위의 세 시그마 유한 측도 \mu,\nu,\lambda가 주어졌으며,
:\mu\ll\lambda
:\nu\ll\lambda
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:  \frac{\mathrm d(\nu+\mu)}{\mathrm d\lambda} = \frac{d\nu}{d\lambda}+\frac{d\mu}{d\lambda}\qquad(\lambda\text{-a.e.})

가측 공간 (X,\mathcal F) 위의 세 시그마 유한 측도 \mu,\nu,\lambda가 주어졌으며,
:\nu\ll\mu\ll\lambda
일 경우, 다음이 성립한다.
:  \frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}\qquad(\lambda\text{-a.e.})
특히, 만약 \nu=\lambda인 경우 (즉, \mu\ll\nu\ll\mu), 다음이 성립한다.
:  \frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d\nu}=\left(\frac{\mathrm d\nu}{\mathrm d\mu}\right)^{-1}\quad\nu\text{-a.e.}

보다 일반적으로, 유한 복소측도
:\mu\colon\mathcal F\to\mathbb C
및 시그마 유한 측도
:\nu\colon\mathcal F\to[0,\infty]
에 대하여, 만약
:\mu\ll\nu
라면, 다음이 성립한다.
:\frac{\mathrm d|\nu|}{\mathrm d\mu} = \left|\frac{\mathrm d\nu}{\mathrm d\mu}\right|

### 실수선 위의 절대 연속 측도
실수 닫힌구간 위에 정의된 증가 함수
:f\colon[a,b]\to\mathbb R
:\forall x,y\in[a,b]\colon f(x)\le f(y)
가 주어졌다고 하자. 만약 임의의 양의 실수 \epsilon\in\mathbb R^+에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 \delta_\epsilon\in\mathbb R^+가 존재한다면, f를 **절대 연속 함수**(絶對連續函數, )라고 한다.
:임의의 실수열 a\le\dotsb에 대하여, 만약 \textstyle\sum_k(y_k-x_k)이라면, \textstyle \sum_k |f(y_k)-f(x_k)|이다.

이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 르베그-스틸티어스 측도 \mathrm df가 (르베그 측도에 대하여) 절대 연속 측도이다.
* 임의의 닫힌구간 [a,b]에 대하여, f\restriction[a,b]는 절대 연속 함수이다.

절대 연속 함수는 항상 연속 함수이며, 거의 어디서나 도함수를 갖는다. 이 도함수는 \mu의 라돈-니코딤 도함수에 의하여 주어진다. 또한, 정의에 따라 이는 르베그 적분 가능 함수이며, 그 적분은 f와 일치한다 (미적분학의 기본 정리). 정의에 따라, 모든 립시츠 연속 함수는 절대 연속 함수이다.

## 예
칸토어 함수
:f\colon[0,1]\to[0,1]
는 연속 함수이지만 절대 연속 함수가 아니다. 즉, 그 르베그-스틸티어스 측도는 절대 연속 측도가 아니다.

### 비(非) 시그마-유한 측도에 대한 라돈-니코딤 정리의 실패
라돈-니코딤 정리는 일반적으로 시그마 유한 측도가 아닌 절대 연속 측도에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, 보렐 시그마 대수를 부여한 닫힌구간 [0,1] 위의 셈측도
:\mu\colon\mathcal B([0,1])\to[0,\infty]
는 (르베그 측도에 대하여) 절대 연속 측도이다. 그러나 이는 라돈-니코딤 도함수를 갖지 않는다. 즉,
:\nu(S)=\int_Sf\;\mathrm d\mu\qquad\forall S\in\mathcal B([0,1])
가 성립하는 가측 함수 f\colon[0,1]\to[0,\infty)가 존재하지 않는다.

## 역사
라돈-니코딤 정리의 경우, 1913년에 요한 라돈이 유클리드 공간의 경우에 대하여 증명하였으며, 이를 오톤 마르친 니코딤이 1930년에 일반적인 가측 공간에 대하여 일반화하였다.

## 응용
라돈-니코딤 정리는 확률론에서 단일한 공간에 대해 정의된 여러 개의 확률 측도를 연결할 때 매우 중요하게 쓰인다. 가령, 라돈-니코딤 정리는 조건부 기댓값의 존재성을 증명한다.

금융공학에서는 기르사노프 정리를 통해 실제 측도에서 위험중립측도를 도출해내는 데에 라돈-니코딤 정리가 쓰이기도 한다. 파생상품의 경우 대부분 위험중립측도가 존재해야만 적정 가격을 구할 수 있기 때문에 위험중립측도가 파생 상품 가격 결정에서 차지하는 중요성은 상당하다.

## 각주

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## 외부 링크
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분류:측도론
분류:연속 함수