중간값 정리

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해석학에서 **중간값 정리**(中間-定理, ) 또는 **사잇값 정리**는 구간에 정의된 실숫값 연속 함수가 임의의 두 함숫값 사이의 모든 수를 함숫값으로 포함한다는 정리이다. 이에 따라, 실숫값 연속 함수에 대한 구간의 상은 구간이다.

## 정의
연속 함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R가 주어졌다고 하자. **중간값 정리**에 따르면, 다음이 성립한다.
:f([a,b])\supseteq[f(a),f(b)]\cup[f(b),f(a)]
즉, 임의의 u\in(f(a),f(b))\cup(f(b),f(a))에 대하여, 다음을 만족시키는 c\in(a,b)가 존재한다.
:f(c)=u

## 증명
편의상 f(a)라고 가정하자. 임의의 f(a)에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.
:E=\{x\in[a,b]\colon f(x)
그렇다면, a\in E이며, b는 E의 한 상계이다. 따라서, E는 유한한 상한
:c=\sup E\in\mathbb R
를 갖는다. f가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 \delta>0이 존재한다.
:f(x)
:f(x)>u\qquad\forall b-\delta
따라서 a이다. 이제 귀류법을 사용하여 f(c)=u를 보이자. 먼저 f(c)>u라고 가정하자. 그렇다면, f가 연속 함수이므로 다음을 만족시키는 \eta>0이 존재한다.
:f(x)>u\qquad\forall c-\eta
즉, c-\eta는 E의 또 다른 상계이며, 이는 c-\eta와 모순이다. 이제 f(c)를 가정하자. 그렇다면, f가 연속 함수이므로 다음을 만족시키는 \eta>0이 존재한다.
:f(x)
즉, c+\eta/2\in E이며, 이는 c=\sup E와 모순이다. 따라서 f(c)=u이다.

## 따름정리
### 볼차노 정리
연속 함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R가 다음을 만족시킨다고 하자.
:f(a)f(b)
**볼차노 정리**()에 따르면, f는 (a,b)에서 영점을 갖는다. 즉, 다음을 만족시키는 c\in(a,b)가 존재한다.
:f(c)=0
볼차노 정리는 중간값 정리에서 u=0인 특수한 경우이다.

### 구간의 보존
구간 I\subseteq\mathbb R 및 연속 함수 f\colon I\to\mathbb R가 주어졌다고 하자. 그렇다면, I의 상 f(I)은 역시 구간이다. 이를 연결 공간의 개념을 사용하지 않고 증명하려면, I\subseteq\mathbb R가 구간일 필요충분조건이 임의의 a,b\in I에 대하여 (a,b)\subseteq I인 것이라는 보조정리를 사용해야 한다.

특히, 만약 I=[a,b]가 닫힌구간일 경우, f(I)의 양 끝점은 f의 최댓값과 최솟값이다. 즉, 다음이 성립한다.
:f([a,b])=\left[\min_{x\in[a,b]}f(x),\max_{x\in[a,b]}f(x)\right]
이 정리는 중간값 정리와 최대 최소 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

### 홀수차 실수 다항식의 근의 존재
임의의 실수 홀수차 다항식은 적어도 하나의 실수 영점을 갖는다. 이는 대수학의 기본 정리의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

홀수차 실수 다항식
:p(x)=a_{2n+1}x^{2n+1}+a_{2n}x^{2n}+\cdots+a_1x+a_0\in\mathbb R[x]\qquad(a_0,\dots,a_{2n+1}\in\mathbb R,\;a_{2n+1}\ne 0)
이 주어졌다고 하자. 편의상 a_{2n+1}>0이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:\lim_{x\to-\infty}p(x)=-\infty,\;\lim_{x\to\infty}p(x)=\infty
예를 들어, 전자의 경우 다음과 같이 보일 수 있다.
:\begin{align}\lim_{x\to-\infty}p(x)
&=\lim_{x\to-\infty}a_{2n+1}x^{2n+1}\left(1+\frac{a_{2n}}{a_{2n+1}}x^{-1}+\cdots+\frac{a_0}{a_{2n+1}}x^{-(2n+1)}\right)\\
&=-\infty
\end{align}
이에 따라, 다음을 만족시키는 c가 존재한다.
:p(c)
중간값 정리를 p|_{[c,d]}에 적용하면, 다음을 만족시키는 p의 영점 e\in(c,d)의 존재를 얻는다.

### 닫힌구간 위의 브라우어르 고정점 정리
연속 함수 f\colon[a,b]\to[a,b]는 항상 고정점을 갖는다. 즉, 다음을 만족시키는 c\in[a,b]가 존재한다.
:f(c)=c
이는 브라우어르 고정점 정리의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

다음과 같은 함수 g\colon[a,b]\to\mathbb R를 정의하자.
:g(x)=f(x)-x\qquad\forall x\in[a,b]
그렇다면, g는 연속 함수이며, g(b)\le 0\le g(a)이므로, 중간값 정리에 따라 다음을 만족시키는 c\in[a,b]가 존재한다.
:g(c)=0
즉, f(c)=c가 성립한다.

### 가역 연속 함수의 단조성
구간 I\subseteq\mathbb R 및 단사 연속 함수 f\colon I\to\mathbb R가 주어졌다고 하자. 그렇다면, f는 순단조 함수이다. 이는 중간값 정리를 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

귀류법을 사용하여, f가 순단조 함수가 아니라고 가정하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 a,b,c\in I가 존재한다.
* a
* f(a)f(c) 또는 f(a)>f(b)
편의상 전자가 성립한다고 가정하자. 그렇다면, \max\{f(a),f(c)\}를 취할 수 있다. 각각 f|_{[a,b]}와 f|_{[b,c]}에 중간값 정리를 적용하면 다음을 만족시키는 d\in(a,b) 및 e\in(b,c)가 존재함을 얻는다.
:f(d)=f(e)=u
이는 f가 단사 함수인 것과 모순이다.

## 일반화
위상수학과 해석학의 몇몇 정리들은 중간값 정리를 특수한 경우로 포함한다.

### 연결 공간의 보존

두 위상 공간 X,Y 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 만약 X가 연결 공간이라면, f(X) 역시 연결 공간이다. 실수 집합 \mathbb R 위에서 연결 공간은 구간과 동치이므로, 이와 같은 정리는 중간값 정리의 한 가지 일반화이다.

위상 공간 X와 (순서 위상을 부여한) 전순서 집합 (Y,\le) 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 만약 X가 연결 공간이라면, 임의의 a,b\in X에 대하여, 다음이 성립한다.
:f(X)\supseteq[f(a),f(b)]\cup[f(b),f(a)]
실수 집합 \mathbb R은 표준적인 전순서를 갖추므로, 이 정리 역시 중간값 정리를 일반화한다.

### 다르부 정리

미분 가능 함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:f'([a,b])\supseteq[f'(a),f'(b)]\cup[f'(b),f'(a)]
이를 다르부 정리라고 한다. 실수 연속 함수는 항상 어떤 함수의 도함수이므로, 다르부 정리는 중간값 정리의 일반화이다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:미적분학 정리
분류:실해석학 정리
분류:연속 함수