타이히뮐러 공간

수학에서 **타이히뮐러 공간**()은 주어진 (위상수학적) 곡면의 복소 구조들의 모듈라이 공간이다. 이는 자연스럽게 복소 구조 및 다양한 계량들을 가진다.

## 역사 및 어원
오스발트 타이히뮐러()의 이름을 땄다.

## 정의
2차원 다양체 \Sigma 위에 복소 구조들의 집합을 \mathcal J라고 하자. 여기에, 다음과 같은 동치관계를 정의하자.
:J\sim\phi^*J\forall\phi\in\operatorname{Homeo}_0(\Sigma)
여기서 \operatorname{Homeo}(\Sigma)는 위상동형사상 \phi\colon\Sigma\to\Sigma들의 군이며, \operatorname{Homeo}_0(\Sigma)는 그 가운데 단위원(항등함수)을 포함하는 연결 성분인 부분군이다. 이 동치관계에 대한 동치류 \mathcal J/{\sim}=\mathcal T_\Sigma는 자연스럽게 유한차원 다양체를 이루며, 또한 자연스러운 복소 구조가 존재한다.

복소 구조의 모듈라이 공간은 \operatorname{Homeo}_0(\Sigma) 대신 \operatorname{Homeo}(\Sigma)를 사용하여 정의한다. 따라서,
:0\to\operatorname{Homeo}_0(\Sigma)\hookrightarrow\operatorname{Homeo}(\Sigma)\twoheadrightarrow\operatorname{MCG}(\Sigma)\to0
이므로, 복소 구조의 모듈러스 공간은 타이히뮐러 공간에 \operatorname{MCG}(\Sigma)에 대한 몫공간을 취한 오비폴드다. 여기서 \operatorname{MCG}(\Sigma)는 \Sigma의 사상류군()이다. 타이히뮐러 공간과 모듈러스 공간의 차이에 대하여, 윌리엄 서스턴은 다음과 같이 적었다.

종수가 g이고, n개의 점을 제거한 리만 곡면 \Sigma_{g,n}의 타이히뮐러 공간을 \mathcal T_{g,n}으로 쓰며, 복소 모듈러스 공간을 \mathcal M_{g,n}이라고 쓴다. 즉,
:\mathcal M_{g,n}=\mathcal T_{g,n}/\operatorname{MCG}(\Sigma_{g,n})
이다.

## 성질
### 차원
타이히뮐러 공간 \mathcal T_{g,0}의 접공간은 다음과 같다.
:\mathrm T_\Sigma\mathcal T_{g,0}=\operatorname H^1(\Sigma;T)=\operatorname H^0(\Sigma;2K)^*
여기서
* T=\mathrm T^+\Sigma는 \Sigma 위의 정칙 벡터 다발들의 선다발의 인자이다.
* K=-T=\Omega^{1,0}\Sigma는 리만 곡면의 표준 선다발의 인자이다.
두 번째 등식은 세르 쌍대성에 의한 것이다. 즉, 그 공변접공간은 이차 미분(선다발 2K의 단면)으로 구성된다.

g>1인 경우, 타이히뮐러 공간 \mathcal T_{g,n}의 차원은 다음과 같다.
:\dim\mathcal T_{g,n}=3g-3+n

**<math>n=0</math>일 때의 유도:**

타이히뮐러 공간의 차원은 그 공변접공간의 차원과 같다.
:\dim\mathcal T_{g,0} = \dim \operatorname H^0(\Sigma;2K)
g = 0일 경우, 이는 리만 구이다. 그 위의 모든 선다발은 \mathcal O(d)의 꼴이며, 그 가운데 대역적 단면을 갖는 것은 자명한 선다발 \mathcal O(0) 밖에 없다. 특히, \dim\operatorname H^0(\Sigma;2K) = 0이며, 타이히뮐러 공간은 한원소 공간이다.

리만-로흐 정리에 따라,
:\dim H^0(\Sigma;-K)-\dim H^0(\Sigma;2K)=\deg (- K)+1-g
이다. 그런데
:\deg(-K) = -\deg K = 2-2g
이다. 즉,
:\dim\mathcal M_g=\dim H^0(\Sigma;2K)=3g-3+\dim H^0(\Sigma;T)
이다. 여기서 \dim H^0(\Sigma;T)는 \Sigma 위의 정칙 벡터장들의 공간의 차원이다. g>1이면 이러한 벡터장이 존재하지 않으므로,
:\dim\mathcal T_{g,0}=3g-3
이다. g = 1일 경우, 복소수 원환면 전체에 정의되는 정칙 벡터장은 상수 벡터장이며, 그 공간은 1차원이다. 따라서
:\dim\mathcal T_{1,0}=3g-3 + 1 = 1
이다. g = 0일 경우, -K = \mathcal O(\deg K) = \mathcal O(2)이며, \dim\operatorname H^0(\mathcal O(d)) = \max\{d+1,0\}이므로
:\dim\operatorname H^0(\Sigma;-K) = 3
이다. 따라서
:\dim\mathcal T_{0,0} = 3g-3 + 3 = 0
이다.


### 베유-페테르손 계량
타이히뮐러 공간 위에는 **베유-페테르손 계량**()이라는 켈러 구조가 존재한다. 이는 사상류군의 작용에 불변이며, 따라서 리만 곡면의 모듈러스 공간 (즉, 복소 구조 모듈러스 공간) 위에도 존재한다.

이 경우, 임의의 접벡터 \psi,\chi\in T\mathcal M_g\cong H^0(\Sigma;K)에 대하여, **베유-페테르손 계량**은 다음과 같다.
:\langle\psi,\chi\rangle=[\Sigma]\frown(\psi\smile\chi)=\int_\sigma\psi\wedge\chi
여기서 우변은 코호몰로지류를 미분 형식으로 나타낸 것이며, 동치류의 원소의 선택에 의존하지 않는다.

### 콤팩트화
타이히뮐러 공간에는 자연스러운 콤팩트화가 존재한다. 이는 윌리엄 서스턴이 도입하였고, **서스턴 콤팩트화**()라고 한다. 이 밖에도 다른 여러 콤팩트화를 정의할 수 있지만, 서스턴 콤팩트화에서는 모듈러 군의 작용이 콤팩트화 타이히뮐러 공간 전체에 연속적으로 작용하게 되므로 가장 많이 쓰인다.

모듈러스 공간 \mathcal M_{g,n}의 경우, **들리뉴-멈퍼드 콤팩트화**() 또는 **크누드센-들리뉴-멈퍼드 콤팩트화**() 또는 **안정 콤팩트화**()가 존재한다. 들리뉴-멈퍼드 콤팩트화 모듈러스 공간 위에서, 베유-페테르손 계량은 완비 계량이다.

## 예
### 종수 0
종수가 0인 리만 곡면은 리만 구면 \hat{\mathbb C}=\mathbb C\cap\{\hat\infty\}이 유일하다. 즉, 복소 모듈러스 공간 \mathcal M_0=\{\bullet\}은 하나의 점만을 포함한다.

타이히뮐러 공간 \mathcal T_{0,0}, \mathcal T_{0,1}, \mathcal T_{0,2}, \mathcal T_{0,3}은 모두 하나의 점만을 포함한다. 이는 뫼비우스 변환을 사용하여, 임의의 3개의 점을 다른 임의의 점으로 보낼 수 있기 때문이다. 즉, 서로 다른 3개의 점 z_1,z_2,z_3\in\hat{\mathbb C}이 주어진다면, 다음과 같은 뫼비우스 변환을 사용해 이들을 각각 0,1,\hat\infty\in\hat{\mathbb C}로 보낼 수 있다.
:z\mapsto\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}

\mathcal T_{0,4}는 1차원으로, 복소 상반평면 \mathbb H와 동형이다. 이 경우 복소 모듈러스 공간은 \mathcal M_{0,4}\cong\hat{\mathbb C}\setminus\{0,1,\hat\infty\}이다. 여기에 들리뉴-멈퍼드 콤팩트화를 가하면 삭제된 점들이 추가돼 \hat{\mathcal M}_{0,4}\cong\hat{\mathbb C}이 된다.

일반적으로, 모듈러스 공간 \mathcal M_{0,n}은 다음과 같다.
:\mathcal M_{0,n}=(\hat{\mathbb C}^n\setminus\Delta_n)/\operatorname{PGL}(2;\mathbb C)
여기서
* \Delta_n=\{(z_1,\dots,z_i,\dots,z_n)\in\hat{\mathbb C}^n\colon\exists i\ne j\colon z_i=z_j\}는 두 개 이상의 좌표가 겹치는 점들의 집합이다.
* \operatorname{PGL}(2;\mathbb C)는 \hat{\mathbb C}에 작용하는 뫼비우스 변환들의 군이며, \hat{\mathbb C}^n에는 대각형(diagonal)으로 작용한다.

### 종수 1
[섬네일|500px|오른쪽|타원 곡선의 모듈러스 공간은 [상반평면의 모듈러 군 작용에 대한 몫공간이며, 이는 기본 영역(회색으로 칠해진 영역)으로 나타낼 수 있다.]]
종수 1의 리만 곡면은 (비특이 복소) 타원 곡선이다. 이는 복소 평면에 2차원 격자에 대한 몫공간을 취해 얻을 수 있다.
:z\mapsto z+n_1\omega_1+n_2\omega_2 (n_1,n_2\in\mathbb Z)
복소 구조는 두 주기의 비 \tau=\omega_2/\omega_1에만 의존하게 된다. 이 경우, 복소 구조 모듈러스 공간 \mathcal M_0은 상반평면 \mathbb H에 다음과 같은 몫공간을 취한 오비폴드이다.
:\tau\sim\frac{a\tau+b}{c\tau+d} (\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2,\mathbb Z))
이 경우, 사상류군
:\operatorname{MCG}(T^2)=\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)/(M\sim-M)=\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)=\Gamma
은 **[[모듈러 군]]**이라고 한다. 이 경우 타이히뮐러 공간은 물론 \mathcal T_{1,0}=\mathbb H이다.
이 몫공간은 다음과 같은 **기본 영역**(基本領域, )으로 나타낼 수 있다.
:R=\{\tau\in\mathbb H\colon |\tau|>1,|\operatorname{Re}\tau|

타원 곡선 모듈라이 공간 \mathcal M_1\cong\mathbb H/\Gamma는 위상수학적으로 \mathbb R^2와 위상동형이다. 여기에 서스턴 콤팩트화(Thurston compactification)을 통해 S^2와 위상동형인 콤팩트화 모듈러스 공간 \hat{\mathcal M}_1을 정의할 수 있다. 이 경우, 추가된 점은 기본 영역에서 z=+i\infty에 해당한다.
이 경우, 위상동형사상은 j-불변량 j\colon\hat{\mathcal M}_1\to\hat{\mathbb C}으로 주어진다.

\mathcal T_{1,0}, \mathcal T_{1,1}은 모두 복소 상반평면 \mathbb H와 동형이다.

### 종수 2 이상
종수 2 이상의 경우, 차원 공식에 따라서 복소 모듈러스 공간 및 타이히뮐러 공간은 유한차원이다. 이 경우, 그 사상류군은 **타이히뮐러 모듈러 군**()이라고 한다.

## 참고 문헌

* 
* 
* 
* 

## 외부 링크
* 
* 
* 
* 
* 

분류:리만 곡면
분류:모듈라이 이론
분류:기하군론