에르미트 다항식

섬네일|오른쪽|390px|확률론 에르미트 다항식 <math>H_n(x)</math>의 그래프 (<math>n=1,\ldots,6</math>)
섬네일|오른쪽|390px|물리학 에르미트 다항식 <math>\tilde H_n(x)</math>의 그래프 (<math>n=1,\ldots,6</math>)
수학에서 **에르미트 다항식**(Hermite多項式, )은 직교 관계를 만족시키는 일련의 다항식들이다.

## 정의
에르미트 다항식은 확률론과 물리학에서 쓰이는 정의가 조금씩 다르다. (확률론에서의) **에르미트 다항식** H_n(x)은 다음과 같다.
:H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}=\left(x-\frac{d}{dx}\right)^n1=\exp\left(-\frac12\frac{d^2}{dx^2}\right)x^n
물리학에서 쓰이는 **에르미트 다항식** \tilde H_n(x)은 다음과 같다.
:\tilde H_n(x)=2^{n/2}H_n(\sqrt2x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}=\left(2x-\frac{d}{dx} \right)^n1
이 문서에서는 확률론에서의 에르미트 다항식 정의를 사용한다.

확률론의 에르미트 다항식들은 아펠 다항식열을 이룬다. 즉, 다음과 같은 수열을 정의하자.
:\exp(-t^2/2)=\sum_{n=0}^\infty h_nt^n/n!
:h_n=\begin{cases}(-1)^{n/2}(n-1)!!&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}
여기서
:n!! = \prod_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor} (n-2k) = n (n-2) (n-4) \cdots 
는 이중 계승이다.
그렇다면, 에르미트 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
:H_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nkh_kx^{n-k}
이는 아펠 다항식열의 음계산법으로 간편하게 나타낼 수 있다. 구체적으로, 음변수 \mathsf h에 대하여 선형 범함수
:L\colon\mathsf h^n\to h_n
를 정의하면, 에르미트 다항식은 다음과 같다.
:H_n(x)=L\left((x+\mathsf h)^n\right)
:\tilde H_n(x)=L\left((2x+\sqrt2\mathsf h)^n\right)
즉, 구체적으로 L은 다음과 같다.
:L\colon\mathbb Q[x+\mathsf h]\mapsto \mathbb Q[x]
:L=\operatorname{eval}_{x+\mathsf h\mapsto x}\exp\left(-\frac{d^2}{d(x+\mathsf h)^2}\right)

L의 역범함수는 마찬가지로 다음과 같다.
:L^{-1}\colon \mathbb Q[x]\mapsto\mathbb Q[x+\mathsf h]
:L^{-1}=\operatorname{eval}_{x\mapsto x+\mathsf h}\exp\left(\frac12\frac{d^2}{dx^2}\right)

## 성질
### 직교성
(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다.
:\int_{-\infty}^\infty H_m(x)H_n(x)\exp(-x^2/2)\,dx=\sqrt{2\pi}n!\delta_{mn}
여기서 \delta_{mn}은 크로네커 델타이다. 또한, 이들은 힐베르트 공간 L^2(\mathbb R,\exp(-x^2/2))의 완비기저를 이룬다. 여기서 L^2(\mathbb R,\exp(-x^2/2))은 다음과 같은 내적이 주어진 함수공간이다.
:\langle f|g\rangle=\int_{-\infty}^\infty\bar f(x)g(x)\exp(-x^2/2)\,dx

### 에르미트 미분 방정식
(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 **에르미트 미분 방정식**()의 해를 이룬다.
:\frac d{dx}\left(\exp(-x^2/2)\frac d{dx}H\right)=\lambda\exp(-x^2/2)H
여기서 \lambda는 임의의 상수이다. 즉, H는 미분 연산자
:\exp(x^2/2)\frac d{dx}\exp(-x^2/2)\frac d{dx}
의 고유함수이다.

### 점화식
(확률론에서의) 에르미트 다항식은 아펠 다항식열이므로, 점화식을 갖는다. 구체적으로, 선형 범함수
:L^{-1}\colon H_n(x)\mapsto (x+\mathsf h)^n
:L^{-1}=\operatorname{eval}_{x\mapsto x+\mathsf h}\exp\left(\frac12\frac{d^2}{dx^2}\right)
를 생각하자. 그렇다면 에르미트 다항식이 만족시키는 점화식은 다음과 같다.
:H_{n+1}(x)=\left(x-\frac d{d(d/dx)}\ln\exp\left((d/dx)^2/2\right)\right)H_n(x)=\left(x-\frac d{dx}\right)H_n(x)=xH_n(x)-nH_{n-1}(x)
즉
:H_{n+1}(x)=xH_n(x)-nH_{n-1}(x)
:\tilde H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)
이다.

### 생성 함수
에르미트 다항식열의 지수 생성 함수는 다음과 같다.
:\sum_{n=0}^\infty H_n(x)t^n/n!=\exp(xt-t^2/2)
:\sum_{n=0}^\infty \tilde H_n(x)t^n/n!=\exp(2xt-t^2)
이는 에르미트 다항식의 계수의 지수 생성 함수
:\sum_{n=0}^\infty h_nt^n/n!=L(t\mathsf h)=\exp(-t^2/2)
로부터 유도할 수 있다. 음계산법을 사용하면,
:\sum_{n=0}^\infty H_n(x)t^n/n!=L\sum_{n=0}^\infty\exp\left(t(x+\mathsf h)\right)=\exp(xt)L\exp(t\mathsf h)=\exp(xt-t^2/2)
이다.

### 미분과 적분
(확률론에서의) 에르미트 다항식의 미분은 다음과 같다.
:\frac d{dx}H_n(x)=nH_{n-1}(x)
:\frac d{dx}\tilde H_n(x)=2n\tilde H_{n-1}(x)

에르미트 다항식은 아펠 다항식열을 이루므로, 이는 음계산법으로 다음과 같이 간단히 적을 수 있다.
:\frac d{dx}H_n(x)=\frac d{dx}L\left((x+\mathsf h)^n\right)=L\left(\frac d{dx}(x+\mathsf h)^n\right)=L\left(n(x+\mathsf h)^{n-1}\right)=nH_{n-1}(x)

### 갈루아 군
2n\ne0,2인 경우, H_{2n}(x)\in\mathbb Z[x]는 기약원이다. 2n+1\ne1,3,3^2,\dots인 경우, x^{-1}H_{2n+1}(x)\in\mathbb Z[x]는 기약원이다.

다음과 같은 다항식열 K_n(x),K_n'(x)\in\mathbb Z[x]을 정의하자.
:H_{2n}(x)=K_n(x^2)
:H_{2n+1}(x)=xK_n'(x^2)
이들 다항식의 \mathbb Q 위의 분해체의 갈루아 군은 항상 대칭군이다.
:\operatorname{Gal}(K_n)\cong\operatorname{Sym}(n)
:\operatorname{Gal}(K_n')\cong\operatorname{Sym}(n)

## 표
확률론에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다. 
:H_0(x)=1
:H_1(x)=x
:H_2(x)=x^2-1
:H_3(x)=x^3-3x
:H_4(x)=x^4-6x^2+3
:H_5(x)=x^5-10x^3+15x
:H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15
:H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x
:H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105
:H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x
:H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945

물리학에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다.
:\tilde H_0(x)=1
:\tilde H_1(x)=2x
:\tilde H_2(x)=4x^2-2
:\tilde H_3(x)=8x^3-12x
:\tilde H_4(x)=16x^4-48x^2+12
:\tilde H_5(x)=32x^5-160x^3+120x
:\tilde H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120
:\tilde H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x
:\tilde H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680
:\tilde H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x
:\tilde H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240

## 역사
에르미트 다항식은 피에르시몽 라플라스가 1810년 정의하였다. 이후 파프누티 체비쇼프가 이들을 1859년 자세히 연구하였다. 샤를 에르미트는 이 함수들에 대하여 1864년 연구하였고, 이에 따라 에르미트의 이름이 붙게 되었다.

## 응용
에르미트 다항식은 양자역학에서 양자 조화 진동자의 에너지 고유상태의 파동 함수에 등장한다.

## 같이 보기
* 르장드르 다항식
## 참고 문헌

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## 외부 링크
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분류:특수 초기하함수