켤레류

군론에서 **켤레류**(-類, )는 켤레 원소를 취하는 군의 작용의 궤도이다.

## 정의
군 G의 원소 g\in G의 **켤레류**는 다음과 같다.
:\operatorname{Cl}(g) = \{hgh^{-1}\colon h\in G\} \subseteq G
즉, 이는 G의 자기 자신 위의 켤레 작용
:G\times G\to G
:(h,g)\mapsto hgh^{-1}
의 궤도이다. 즉 G 위의 켤레 관계
:g\sim g'\iff\exists h\in G\colon g'=hgh^{-1}
의 동치류이다. G의 모든 켤레류들의 집합을 \operatorname{Cl}(G)로 표기하자.

만약 G가 위상군이라면, \operatorname{Cl}(G)는 그 몫공간이므로 자연스러운 위상 공간 구조를 가진다.

## 성질
### 켤레류의 크기
유한군 G의 원소 g\in G의 켤레류의 집합의 크기는 궤도-안정자군 정리에 따라 다음과 같다.
:|{\operatorname{Cl}}(g)|=\frac
여기서 \operatorname C_G(-)는 중심화 부분군이다.

### 켤레류의 수
유한군 G의 켤레류의 수는 번사이드 보조정리에 따라 다음과 같다.
:|{\operatorname{Cl}}(G)|=\frac1\sum_{g\in G}|{\operatorname C}_G(g)|
여기서 \operatorname C_G(-)는 중심화 부분군이다.

### 켤레류 방정식
유한군 G의 켤레류들은 G의 분할을 이룬다. 따라서, 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 **켤레류 방정식**(-類方程式, )이라고 한다.
:|G| = \sum_{\operatorname{Cl}(g)\in\operatorname{Cl}(G)} |{\operatorname{Cl}}(g)| = |G|\sum_{\operatorname{Cl}(g)\in \operatorname{Cl}(G)} \frac1
= |{\operatorname Z}(G)| + |G|\sum_{\operatorname{Cl}(g)\in\operatorname{Cl}(G) \setminus\{\{c\}\colon c\in\operatorname Z(G)\}} \frac1

여기서 \operatorname C_G(-)는 중심화 부분군이며, \operatorname Z(-)는 군의 중심이다.

특히,
:1 = \sum_{\operatorname{Cl}(g)\in\operatorname{Cl}(G)} \frac1
이므로, 이는 1의 이집트 분수 분해를 이룬다. 1을 주어진 개수의 이집트 분수들로 분해하는 방법은 유한하므로, 따라서 주어진 수의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 유한하다. 예를 들어, 아벨 군의 경우 이러한 이집트 분수 분해는
:1 = \underbrace{\frac1+\frac1+\dotsb+\frac1}_
이다.

### 콤팩트 리 군
G가 콤팩트 리 군이라고 하자. 이 경우, G는 항상 극대 원환면 T \le G을 가지며, 모든 원소 g\in G는 T의 어떤 원소와 켤레 동치이다. 또한, 임의의 g\in G의 켤레류와 T의 교집합은 T의 어떤 원소 t\in T의 바일 군 궤도와 같다.
:\forall g\in G\exists t\in T\colon \operatorname{Cl}(g) \cap T = \operatorname{Weyl}(T,G) \cdot t
다시 말해, G의 켤레류들의 공간은 몫공간인 오비폴드
:\operatorname{Cl}(G) \cong T / \operatorname{Weyl}(T,G)
와 표준적인 일대일 대응을 갖는다.

특히, 항등원 근처의 ‘무한소 원소’(즉, 그 리 대수의 원소)의 ‘켤레류’는 카르탕 부분 대수의 바일 군 궤도, 즉 바일 방의 원소가 된다.

## 예
### 아벨 군
아벨 군 G의 경우, 켤레류는 (자명하게) 한원소 집합이며, 따라서
:\operatorname{Cl}(G) \cong G
이다.

### 대칭군
n차 대칭군 \operatorname{Sym}(n)을 생각하자. 그 원소가 다음과 같은 꼴의 순환 분해를 갖는다고 하자.
:(a_{1,1}\dotsm a_{1,n_1})(a_{2,1}\dotsm a_{2,n_2}) \dotsb (a_{k,1}\dotsm a_{k,n_k})
즉,
* k개의 순환이 존재한다.
* 각 순환의 길이는 n_1,n_2,\dotsc,n_k이다. 편의상 1 \le n_1 \le n_2 \le \dotsc \le n_k이며 \textstyle\sum_{i=1}^kn_i = n이라고 하자. 즉, (n_1,n_2,\dotsc,n_k)는 n의 자연수 분할을 이룬다.
그렇다면, 대칭군의 두 원소 g, h에 대하여, 만약
:k(g) = k(h)
:n_i(g) = n_i(h) \qquad\forall i\in\{1,\dotsc,k(g)\}
일 경우, 두 원소가 같은 **순환형**()이라고 하자.

그렇다면, 대칭군에서, 두 원소가 켤레 동치일 필요 충분 조건은 같은 순환형을 갖는 것이다. 즉, 그 켤레류의 집합은 다음과 같다.
:\operatorname{Cl}(\operatorname{Sym}(n)) \cong \operatorname{Part}(n)
여기서 우변은 n의 자연수 분할들의 집합이다.

자연수 분할 (n_1,n_2,\dotsc,n_k)이 주어졌을 때,
:a(p) = |\{i\in \{1,\dotsc,k\}\colon p = n_i \}| \in \mathbb N
를 정의하자. 그렇다면, 이 자연수 분할에 대응하는 켤레류의 크기는
:\frac{n!}{\prod_{p=1}^n a(p)! p^{a(p)}}
이다. 다시 말해, 이 자연수 분할에 대응하는 중심화 부분군의 크기는
:\prod_{p=1}^n a(p)! p^{a(p)}
이다.

### SU(2)
리 군 \operatorname{SU}(2)를 생각하자. 기하학적으로, 이는 3차원 초구 \mathbb S^3와 미분 동형이다. 이 경우, 극대 원환면은 (1차원) 원군 T=\operatorname U(1)이며, 이는 2×2 대각 행렬의 부분군
:T = \left\{\begin{pmatrix}
\exp(\mathrm i\theta) & 0 \\
0& \exp(-\mathrm i\theta)
\end{pmatrix}\colon \theta \in \mathbb R\right\} \le \left\{
M\in\operatorname{GL}(2;\mathbb C) \colon \det M = 1,\;M^\dagger M = 1_{2\times2}\right\} = \operatorname{SU}(2)
으로 여길 수 있다. 이 경우, 바일 군은 2차 대칭군이며, 그 두 원소 가운데 항등원이 아닌 것은 원군 위에 다음과 같이 작용한다.
:\theta \mapsto -\theta
즉, SU(2)의 켤레류들의 공간은 반원 \theta\in[0,\pi]에 해당한다. 구체적으로, 행렬군 위에서 대각합과 행렬식은 유함수이다. SU(2)의 경우 행렬식은 물론 상수 함수 1이지만, 그 대각합은 자명하지 않으며, 사실 켤레류는 대각합으로 완전히 결정된다. 즉,
:
\operatorname{tr}
\begin{pmatrix}
\exp(\mathrm i\theta) & 0 \\
0& \exp(-\mathrm i\theta)
\end{pmatrix}
= 2 \cos\theta

이므로, 대각합의 값은 [-2,+2]의 원소이다. 이는 3차원 초구의 ‘위도’로 해석할 수 있다. 켤레류는 같은 ‘위도’에 있지만, 다른 ‘경도’를 가지는 점들의 집합이며, 이는 (위도가 ‘북극’ 또는 ‘남극’이 아니라면) 2차원 구를 이룬다. ‘북극’과 ‘남극’은 각각 대각합이 \pm2가 되는 경우, 즉 \theta \in \{0,\pi\}인 경우이며, 이 경우 켤레류는 한원소 집합 \{\pm1_{2\times2}\}이다.

### 작은 수의 켤레류를 갖는 유한군
켤레류 방정식을 통하여, 작은 수의 켤레류를 갖는 유한군들의 목록을 계산할 수 있다. 켤레류의 수가 5개 이하인 유한군들의 목록은 다음과 같다.

정확히 n개의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 다음과 같다. 
:1, 1, 2, 4, 8, 8, 12, 21, 26, 38, 35, 32, …

## 각주

## 외부 링크
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분류:군론