뱀 완전열

호몰로지 대수학에서 **뱀 완전열**(-完全列, )은 아벨 대상의 아벨 범주 속의 6개의 대상들 사이의 가환하는 사상으로부터, 사상들의 핵과 여핵들 사이를 연결하는 완전열이다.

## 정의
아벨 범주에서, 다음과 같은 그림이 가환한다고 하자.
:파일:Snake lemma origin.svg
여기에서 각 행은 완전열이며 0은 영 대상이다. 이 경우, 세 사상 a, b, c의 핵과 여핵들로 구성된 6항 완전열이 존재하며, 이를 **뱀 완전열**이라고 한다.
:\ker a\to\ker b\to\ker c\xrightarrow d\operatorname{coker}a\to\operatorname{coker}b\to\operatorname{coker}c
이 완전열에서, d를 **연결 사상**(連結寫像, )이라고 한다.

연결 사상 d는 만약 \mathcal A가 아벨 군 범주의 부분 범주라고 할 경우 구체적으로 다음과 같다.

**연결 사상의 구성:**

우선, 임의의 \gamma\in\ker c\subseteq C에 대하여 다음과 같은 원소들을 정의하자.
* g(\beta)=\gamma인 임의의 \beta\in B (이는 g가 전사 사상이므로 가능하다)
** g'(b(\beta))=c(g(\beta))=c(\gamma)=0이므로, b(\beta)\in\ker g'\subseteq B'가 된다.
* 0\to A'\to B'\to C'가 완전열이므로, (다시 말해, \operatorname{im}f' = \ker g'이고 f'이 단사 사상이므로) f'(\alpha')=b(\beta)인 \alpha'\in A'이 유일하게 존재한다.
그렇다면, 연결 사상 d는 다음과 같다.
:d\colon \gamma\mapsto \alpha'+\operatorname{im}a
이는 \beta\in B의 선택에 의존하지 않으며, 또한 연결 사상을 통해 얻는 열이 완전열임을 보일 수 있다.

뱀 완전열의 존재는 다음과 같이 도롱뇽 정리를 사용하여 보일 수 있다.

**증명:**

그림의 위에 핵을, 밑에 여핵을 추가하여 다음과 같은 그림을 만들자.
:\begin{matrix}
&& 0 && 0 && 0 \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
&& \ker a &\to & \ker b &\to & \ker c \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
&& A  & \to &  B &\to & C &\to &0\\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
0&\to & A' &\to & B' &\to & B' \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
&& \operatorname{coker}a &\to & \operatorname{coker}b &\to & \operatorname{coker}c \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
&& 0 && 0 && 0
\end{matrix}


이제, 다음 세 명제를 증명하면 족하다.
* (가): _= (\ker b) \cong 0
* (나): _=(\operatorname{coker}b) \cong 0
* (다): (\ker c)_\square \cong {}^\square (\operatorname{coker}a). 이는 \operatorname{coker} (\operatorname{ker}b \to \ker c) = (\ker c)_\square이며, \ker (\operatorname{coker}a\to\operatorname{coker}b) = {}^\square (\operatorname{coker}a)이기 때문이다. 이 동형 사상은 연결 사상에 해당한다.

이제, 완전성을 사용하여 다음 교외 사상들이 동형 사상임을 보일 수 있다.
:\begin{matrix}
&& 0_\square && 0_\square && 0_\square \\
&& \swarrow && \swarrow && \swarrow \\
&& ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\
&& \swarrow && \swarrow && \swarrow \\
&& ^\square \bullet_\square & \nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow &^\square \bullet_\square &\nearrow &^\square 0\\
&& \swarrow && \swarrow && \swarrow \\
0_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\
&& \swarrow && \swarrow && \swarrow \\
&& ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\
&& \swarrow && \swarrow && \swarrow \\
&& ^\square0 && ^\square0 && ^\square0
\end{matrix}

\ker b\to \ker c를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열 및 \operatorname{coker}b\to \operatorname{coker}c를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열을 사용하면, 아래 그림에 추가된 교내 사상이 추가로 동형 사상임을 알 수 있다.
:\begin{matrix}
&& 0_\square && 0_\square && 0_\square \\
&& \swarrow && \color{Red}\swarrow && \swarrow \\
&& ^\square \bullet_\square &\nearrow & \overset\square{\underset={\scriptstyle\color{Red}\downarrow}} \underset\to\bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\
&& \swarrow && \swarrow && \color{Green}\swarrow \\
&& ^\square \bullet_\square & \nearrow & ^\square \bullet_\square &\color{Green}\nearrow &^\square \bullet_\square &\nearrow &^\square 0\\
&& \swarrow && \color{Green}\swarrow && \swarrow \\
0_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square &\color{Green}\nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\
&& \color{Green}\swarrow && \swarrow && \swarrow \\
&& ^\square \bullet_\square &\nearrow & \overset\square{\underset={\scriptstyle\downarrow}} \underset{\color{Cyan}\to}\bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\
&& \swarrow && \color{Cyan}\swarrow && \swarrow \\
&& ^\square0 && ^\square0 && ^\square 0
\end{matrix}


이제, (가) ~ (다)의 증명은 다음과 같이 간단하다.
* (가): 위의 그림에서 붉게 칠한 동형 사상 0\cong 0_\square \to {}^\square(\ker b)\to {}_=(\ker b)
* (나): 위의 그림에서 하늘색으로 칠한 동형 사상 0\cong {}^\square 0\leftarrow (\operatorname{coker} b)_\square \leftarrow {}_=(\operatorname{coker}b)
* (다): 위의 그림에서 녹색으로 칠한 동형 사상 (\ker c)_\square \to {}^\square C \leftarrow B_\square \to {}^\square B'\leftarrow A_\square \to {}^\square(\operatorname{coker}a)


## 성질
그림
:파일:Snake lemma origin.svg
에 대응하는 뱀 완전열에서, 다음이 성립한다.
* (가) 만약 f가 단사 사상이라면 \ker a\to\ker b도 단사 사상이다.
* (나) g'이 전사 사상인 경우 \operatorname{coker}b\to\operatorname{coker}c도 전사 사상이다.
이들은 서로 쌍대적이다. 즉, 아벨 범주 \mathcal A에서의 명제 (가)는 반대 범주 \mathcal A^{\operatorname{op}}에서의 명제 (나)와 같다.

**증명:**

편의상 (가)를 증명하자.

가환 그림
:
\begin{matrix}
0&\to& \ker a& \to & \ker b\\
\downarrow && \downarrow && \downarrow\\
0& \to & A &\to &B
\end{matrix}

에서, _=(\ker a) \cong 0임을 보이면 족하다.

도롱뇽 정리로부터, 동형 사상을 이루는 두 교외 사상
:
0_\square  \to {}^\square A \leftarrow {}^\square(\ker a)
이 존재한다. 따라서 ^\square(\ker a) \cong 0이다. 따라서, \ker a\to \ker b를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열
:
\begin{matrix}
{\color{White}_\square}0_\square \\
\swarrow \\
\underset ={\overset\square{\scriptstyle\downarrow}} \underset\to{(\ker a)}_\square &\nearrow &\overset \square{\underset ={\scriptstyle\downarrow}} \underset\to{(\ker b)}_\square \\
&& \swarrow \\
&& ^\square B\color{White}_\square
\end{matrix}

으로부터, _=(\ker a) \cong 0임을 알 수 있다.


### 호몰로지 긴 완전열
사슬 복합체의 짧은 완전열이 주어졌을 경우, 위와 같은 뱀 완전열들이 이어져 더 긴 완전열을 얻는다. 이를 짧은 완전열에 대응하는 **호몰로지 긴 완전열**()이라고 한다.

구체적으로, 아벨 범주에서, 사슬 복합체 A_\bullet, B_\bullet, C_\bullet가 주어졌다고 하고, 이들이 다음과 같은 짧은 완전열을 이룬다고 하자.
:0\to A_\bullet\xrightarrow\alpha B_\bullet\xrightarrow\beta C_\bullet\to0
**지그재그 정리**(zigzag補助定理, )에 따르면, 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.
:\cdots\to\operatorname H_{n+1}(C)\to\operatorname H_n(A)\xrightarrow{\alpha_*}\operatorname H_n(B)\xrightarrow{\beta_*}\operatorname H_n(C)\to\operatorname H_{n-1}(A)\to\cdots


**뱀 완전열을 사용한 구성:**

다음과 같은 가환 그림을 생각하자.
:
\begin{matrix}
&\ker\partial_n^A&&\ker\partial_n^B&&\ker\partial_n^C\\
&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
0\to&A_n &\to& B_n&\to&C_n&\to0\\
&{\scriptstyle\partial_n^A}\downarrow&&{\scriptstyle\partial_n^B}\downarrow&&{\scriptstyle\partial_n^C}\downarrow\\
0\to&A_{n-1}&\to& B_{n-1}&\to&C_{n-1}&\to0\\
&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
&\operatorname{coker}\partial_n^A&&\operatorname{coker}\partial_n^B&&\operatorname{coker}\partial_n^C\\
\end{matrix}

뱀 보조정리에 따라서, 모든 n에 대하여 다음 두 행들은 완전열을 이룬다.
:0\to\ker\partial_n^A\to\ker\partial_n^B\to\ker\partial_n^C
:\operatorname{coker}\partial_n^A\to\operatorname{coker}\partial_n^B\to\operatorname{coker}\partial_n^C\to0
따라서, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.
:
\begin{matrix}
&\operatorname{coker}\partial_{n+2}^A&\to&\operatorname{coker}\partial_{n+2}^B&\to&\operatorname{coker}\partial_{n+2}^C&\to0\\
&{\scriptstyle\partial_{n+1}^A}\downarrow&&{\scriptstyle\partial_{n+1}^B}\downarrow&&{\scriptstyle\partial_{n+1}^C}\downarrow\\
0\to&\ker\partial_n^A&\to&\ker\partial_n^B&\to&\ker\partial_n^C
\end{matrix}

이 그림에서 각 열의 핵과 여핵은 각각 호몰로지 \operatorname H_{n+1}(-)와 \operatorname H_n(-)이다. 따라서, 여기에 뱀 보조정리를 다시 한 번 더 적용하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.
:\cdots\to\operatorname H_{n+1}(A)\to\operatorname H_{n+1}(B)\to \operatorname H_{n+1}(C)\to \operatorname H_n(A)\to\operatorname H_n(B)\to\operatorname H_n(C)\to\cdots


**[[도롱뇽 정리]]를 사용한 구성:**

다음과 같은 그림을 생각하자.
:\begin{matrix}
&& \vdots && \vdots && \vdots \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
0 &\to & A_n & \to & B_n & \to & C_n & \to 0\\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
0 &\to & A_{n-1} & \to & B_{n-1} & \to & C_{n-1} & \to 0\\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
&& \vdots && \vdots && \vdots
\end{matrix}
이제, 다음과 같은 사상들을 생각하자.
:\begin{matrix}
&& \vdots && \vdots && \vdots \\
&&  && \swarrow &&  \\
0_\square & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset\to\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\color{Red}\downarrow}} & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset\to\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}} & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset{\color{Red}\to}\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}} & \color{Red}\nearrow & ^\square 0\\
&&  && \swarrow &&  \\
0_\square & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset\to\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\color{Red}\downarrow}} & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset\to\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}} & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset{\color{Red}\to}\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}} &\color{Red}\nearrow & ^\square 0\\
&&  && \swarrow &&  \\
&& \vdots && \vdots && \vdots
\end{matrix}
여기서, 도롱뇽 정리를 사용하여, 붉은 색으로 칠해진 사상들이 동형 사상임을 보일 수 있다. 또한, 검은 색으로 칠해진 사상, 즉
:A_{n\square} \to B_n^\| \to B_{n\square} \to {}^\square B_{n-1} \to B_{n-1}^\| \to {}^\square C_{n-1}
는 도롱뇽 정리에 등장하는 완전열이다. 붉은 색의 동형 사상을 적용하면, 이는 호몰로지 긴 완전열
:A_n^\| \to B_n^\| \to C_n^\| \to A_{n-1}^\| \to B_{n-1}^\| \to C_{n-1}^\|
과 같다.


## 예

대수적 위상수학에서 쓰이는 마이어-피토리스 열은 뱀 완전열의 일종이다. 마찬가지로, 복시테인 준동형은 뱀 완전열의 연결 사상의 일종이다.

## 역사
섬네일|오른쪽|1657년 유럽에서 출판된 동물학 서적에 수록된 뱀의 그림
뱀 완전열은 연결 사상이 가환 그림에서 마치 뱀처럼 구불거리는 모양을 하므로 이러한 이름이 붙었다. 즉, 다음과 같은 그림
:파일:Snake lemma complete.svg
에서, 연결 사상은 갈지자 (之) 모양을 하고 있다.

데이비드 앨빈 북스바움은 1955년 논문에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 뱀 정리가 등장한다.

뱀 완전열의 존재의 (수학적으로 올바른) 증명이 클로디아 와일() 감독의 1980년 미국 영화 《뉴욕 소나타》()의 도입부에서 등장한다. 이 영화에서 수학 교수 케이트 건징어(, 질 클레이버그 분)는 이 정리를 강의 중에 증명한다.

## 같이 보기
* 지그재그 보조정리
## 각주

## 외부 링크
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분류:호몰로지 대수학
분류:보조정리