순열

대체글=빨강·초록·파랑의 공을 6가지의 순서대로 배열한 것|섬네일|3개의 서로 다른 공에 대한 총 6가지의 순열
[대체글=3x3x3 루빅스 큐브|섬네일|[루빅스 큐브의 면에 대한 회전은 그 면의 9개의 부분에 대한 한 가지 순열이다.]]
수학에서 **순열**(順列, , ) 또는 **치환**(置換)은 순서가 부여된 임의의 집합을 다른 순서로 뒤섞는 연산이다. 즉, 정의역과 공역이 같은 전단사 함수이다. n개의 원소에 대한 순열의 수는 n의 계승
:n!=n(n-1)(n-2)\cdots\cdot 2\cdot 1
과 같다.

주어진 집합의 순열은 함수의 합성에 따라 대칭군이라고 불리는 군을 이룬다. 이와 같이 주어진 집합의 전부 또는 일부 순열들로 구성된 군(즉, 대칭군의 부분군)을 **[[순열군]]**(順列群, )이라고 일컫기도 한다. 예를 들어, 모든 짝순열의 집합은 대칭군의 부분군이며, 이를 교대군이라고 한다.

조합론에서는 더 많은 순열의 개념들이 사용된다. 예컨대 n개의 원소에서 k개의 원소를 골라 배열하는 방법들의 가짓수는 하강 계승
:P(n,k)=n(n-1)\cdots(n-k+1)
과 같다.

## 정의
집합 X의 **순열**은 전단사 함수 X\to X이다. 유한 집합 \{1,2,\dotsc,n\}의 순열 \sigma은 다음과 같이 표를 통해 표기할 수 있다.
:\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}
모든 X의 순열은 함수의 합성에 따라 군을 이루며, 이를 X의 **[[대칭군]]** \operatorname{Sym}(X) 또는 S_X이라고 한다. 유한 집합 \{1,2,\dotsc,n\}의 순열의 대칭군은 \operatorname{Sym}(n) 또는 S_n으로 표기한다.

### 순환
양의 정수 k가 주어졌을 때, 집합 X의 **길이 <math>k</math>의 순환**(-循環, ) \begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_k\end{pmatrix}은 다음과 같은 꼴의 순열이다. (여기서 x_i\in X는 서로 다른 원소이다.)
:x_1\mapsto x_2\mapsto\cdots\mapsto x_k\mapsto x_1
:x\mapsto x\qquad\forall x\in X\setminus\{x_1,x_2,\dotsc,x_k\}
또한, **길이 <math>\aleph_0</math>의 순환**(-循環, ) 또는 **무한 순환**(無限循環, ) \begin{pmatrix}\cdots&x_{-1}&x_0&x_1&\cdots\end{pmatrix}은 다음과 같은 꼴의 순열이다. (여기서 x_i\in X는 서로 다른 원소이다.)
:\cdots\mapsto x_{-1}\mapsto x_0\mapsto x_1\mapsto\cdots
:x\mapsto x\qquad\forall x\in X\setminus\{\dots,x_{-1},x_0,x_1,\dots\}
특히, **호환**(互換, ) \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}은 2-순환 x\mapsto y\mapsto x이다. 특히, 유한 집합 \{1,2,\dotsc,n\}의 **인접 호환**(隣接互換, ) \begin{pmatrix}x&x+1\end{pmatrix}은 인접한 두 수에 대한 호환 x\mapsto x+1\mapsto x이다.

### 반전
순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(n)에 대하여, 튜플 (x,y)\in\{1,2,\dotsc,n\}^2이 다음 두 조건을 만족시키면, \sigma의 **반전**(反轉 )이라고 한다.
* \sigma^{-1}(x)
* x>y
또한, \sigma의 **반전 벡터**(反轉-, ) \operatorname{inv\,vec}(\sigma)\in\{0,1,\dotsc,n-1\}^{n-1}는 y번째 성분이 y로 끝나는 반전의 개수인 벡터이다. 즉, 이는 다음과 같다.
:\operatorname{inv\,vec}(\sigma)_y=|\{x\in\{1,2,\dotsc,n\}\colon\sigma^{-1}(x)y\}|\qquad y=1,2,\dotsc,n-1
또한, \sigma의 **반전수**(反轉數, ) \operatorname{inv\,num}(\sigma) 또는 N(\sigma)는 \sigma의 모든 반전의 개수이다. 즉, 반전 벡터의 모든 성분의 합이다.

### 궤도
순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(X)의 순환군 \langle\sigma\rangle은 X의 왼쪽에서 자연스럽게 작용한다. 즉, \sigma가 x\in X에 작용한 결과는 \sigma(x)이다. 이 작용의 각 궤도 \langle\sigma\rangle(x) (x\in X)를 \sigma의 **궤도**(軌道, )라고 한다.

순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(n)의 **감소량**(減少量, ) \operatorname{dec}(\sigma)는 n에서 \sigma의 궤도의 개수를 뺀 것이다. 즉, 이는 다음과 같다. (이는 \sigma를 몇 차 대칭군의 원소로 여기는지와 무관하다.)
:\operatorname{dec}(\sigma)=n-|\{\langle\sigma\rangle(x)\colon x\in\{1,2,\dotsc,n\}\}|=
\sum_{\langle\sigma\rangle(x)\colon\sigma(x)\ne x}(|\langle\sigma\rangle(x)|-1)

### 부호
순열의 **부호**(符號, ) \sgn\colon\operatorname{Sym}(n)\to\{-1,1\}은 다음 조건을 만족시키는 유일한 군 준동형이다.
:-1=\sgn(\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix})=\sgn(\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix})=\cdots=\sgn(\begin{pmatrix}n-1&n\end{pmatrix})
구체적으로, \sigma의 부호 \sgn(\sigma)는 다음의 두 값과 같다.
:\sgn(\sigma)=(-1)^{\operatorname{inv\,num}(\sigma)}=(-1)^{\operatorname{dec}(\sigma)}

### 홀짝성
반전수·감소량·부호를 통해 유한 집합의 순열의 **홀짝성**(-性, )을 정의할 수 있다. 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(n)에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 \sigma를 **홀순열**(-順列, )이라고 한다.
* \operatorname{inv\,num}(\sigma)는 홀수이다.
* \operatorname{dec}(\sigma)는 홀수이다.
* \sgn(\sigma)=-1
홀순열이 아닌 순열을 **짝순열**(-順列, )이라고 한다. 즉, 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(n)에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 \sigma를 **짝순열**이라고 한다.
* \operatorname{inv\,num}(\sigma)는 짝수이다.
* \operatorname{dec}(\sigma)는 짝수이다.
* \sgn(\sigma)=1

## 순열의 수
유한 집합 \{1,2,\dotsc,n\}의 모든 순열의 수는 n의 계승 n!이다. 이들 가운데 홀순열의 수는 다음과 같다.
:\begin{cases}0&n=0,1\\n!/2&n\ge 2\end{cases}
또한, 짝순열의 수는 다음과 같다.
:\begin{cases}1&n=0,1\\n!/2&n\ge 2\end{cases}
순열이 고정점을 갖지 않는다면, 이 순열을 **[[완전순열]]**이라고 한다. 유한 집합 \{1,2,\dotsc,n\}의 완전 순열의 수는 준계승 !n으로 주어진다.

유한 집합 \{1,2,\dotsc,n\}의 순열의 항이 번갈아 가면서 커졌다 작아졌다 (또는 작아졌다 커졌다) 하면, 이 순열을 **[[교대 순열]]**(交代順列, )이라고 한다. 교대 순열의 수 A_n은 점화식을 통해 주어진다.

조합론에서는 조금 더 일반화된 순열의 수가 연구되며, 이는 다음과 같다.

### ''k''-순열
음이 아닌 정수 k가 주어졌을 때, 집합 X의 **<math>k</math>-순열**(-順列, )은 단사 함수 \{1,2,\dotsc,k\}\to X이다. 특히, 유한 집합 X=\{1,2,\dotsc,n\}의 경우 이를 **<math>n</math>의 <math>k</math>-순열**이라고 한다. 이 경우, 원래의 유한 순열은 n의 n-순열이다. 풀어 말해, n의 k-순열은 서로 다른 n개의 원소 가운데 중복 없이 k개를 골라서 순서 있게 나열한 것이다. n의 k-순열의 수는 n^{\underline k},{}_nP_k,P_{n,k},P(n,k)와 같이 표기하며, 다음과 같이 하강 계승으로 주어진다.
:n^{\underline k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)
예를 들어, 6곡의 노래 가운데 3곡을 골라 재생 목록을 만드는 방법의 수는 다음과 같다.
:6^{\underline 3}=6\times 5\times 4=120
n의 k-순열의 수와 n의 k-조합의 수(이항 계수)의 관계는 다음과 같다.
:\binom nk=\frac{n^{\underline k}}{k!}

### 중복 순열
음이 아닌 정수 k가 주어졌을 때, 집합 X의 k-**중복 순열**(重複順列, )은 X의 k-튜플을 뜻한다. 특히, 유한 집합 \{1,2,\dotsc,n\}의 k-튜플을 생각할 수 있으며, 이는 풀어 말해 n개의 원소 가운데 중복이 가능한 k개를 골라서 순서 있게 나열한 것이다. 그 수는 n^k이다. 예를 들어, 26개의 알파벳으로 구성된 3글자 단어의 수는 26^3=17576이다.

### 중복집합 순열
대체글=중복집합을 우선 집합으로 여겨 순열을 취한 뒤, 다시 중복집합으로 여겨 겹치는 순열들을 제외하는 방법으로 중복집합 순열의 수를 계산한 것|섬네일|집합의 순열과 달리, 중복집합 순열에서는 같은 색깔의 원소들을 구별이 불가능하다고 여기며, 이에 따라 순열의 수가 줄어들게 된다.
크기 n의 중복집합 n_1\{1\}+n_2\{2\}+\cdots+n_k\{k\}의 **중복집합 순열**(重複集合順列, ) 또는 **같은 것이 있는 순열**(-順列)은 다음 조건을 만족시키는 함수 \sigma\colon\{1,2,\dotsc,n\}\to\{1,2,\dotsc,k\}이다.
:|\sigma^{-1}(x)|=m(x)\qquad x=1,2,\dotsc,k
풀어 말해, 중복집합 순열은 중복집합의 각 원소를 그 중복도만큼씩 순서 있게 나열한 것이다. 다시 말해, 원래의 순열의 정의에서, 주어진 방식대로 짝지어진 원소들을 같다고 여겨 얻는 개념이다. 그 수는 다음과 같이 다항 계수로 주어진다.
:\binom n{n_1,n_2,\dotsc,n_k}=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}
예를 들어, 영어 단어 "MISSISSIPPI"의 어구전철의 수는 다음과 같다.
:\binom{11}{1,4,4,2}=\frac{11!}{1!\times 4!\times 4!\times 2!}=34650

### 원순열
유한 집합 \{1,2,\dotsc,n\}의 **원순열**(圓順列, )은 \langle\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\end{pmatrix}\rangle의 \operatorname{Sym}(n) 위의 오른쪽 작용의 궤도를 뜻한다. 이는 \{1,2,\dotsc,n\}의 n-순환(즉, \begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\end{pmatrix}의 켤레 원소)과 일대일 대응한다. 풀어 말해, 이는 n개의 원소를 원형 탁자에 둘러앉힌 것이다. 다시 말해, 원래의 순열의 정의에서, 서로 회전만의 차이가 있는 순열을 같다고 여겨 얻는 개념이다. 원순열의 수는 다음과 같다.
:\begin{cases}1&n=0\\(n-1)!&n\ge 1\end{cases}
이는 원래의 n!에서 겹치는 배수인 n을 나눈 것이다. 예를 들어, 중심 대칭 시계 속의 1~12를 다시 배열하였을 때 얻을 수 있는 서로 다른 기능의 시계의 수는 11!=39916800이다.

### 염주 순열
유한 집합 \{1,2,\dotsc,n\}의 **염주 순열**(念珠順列) 또는 **목걸이 순열**()은 \langle\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\end{pmatrix},n+1-\operatorname{id}_n\rangle의 \{1,2,\dotsc,n\} 위의 오른쪽 작용의 궤도를 뜻한다. 풀어 말해, 이는 n개의 원소를 염주에 꿴 것이다. 다시 말해, 원래의 순열의 정의에서, 서로 회전 및 뒤집기만의 차이가 있는 순열을 같다고 여겨 얻는 개념이다. 염주 순열의 수는 다음과 같다.
:\begin{cases}1&n=0,1,2\\(n-1)!/2&n\ge 3\end{cases}
이는 원래의 n!에서 겹치는 배수인 2n을 나눈 것이다. 예를 들어, 팔찌에 7개의 무지개색 구슬을 꿰었을 때 얻을 수 있는 서로 다른 모양의 팔찌의 수는 6!/2=360이다. 처음 몇 염주 순열의 수는 다음과 같다. (n=1,2,\dots)
:1, 1, 1, 3, 12, 60, 360, 2520, ... 

## 성질
### 연산에 대한 닫힘
집합 X의 순열의 집합 \operatorname{Sym}(X)는 군을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
* 항등 함수 \operatorname{id}_X\colon x\mapsto x는 X의 순열이다. (이는 군의 항등원이다.)
* 임의의 X의 순열 \sigma,\tau에 대하여, 그 합성 \tau\sigma\colon x\mapsto\tau(\sigma(x)) 역시 X의 순열이다. (이는 군의 곱셈이며, 결합 법칙을 만족한다.)
* 임의의 X의 순열 \sigma에 대하여, 그 역 \sigma^{-1}\colon\sigma(x)\mapsto x 역시 X의 순열이다. (이는 군의 역원 연산이다.)

### 반전수
유한 집합의 순열의 반전수·감소량에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.
:0\le\operatorname{inv\,num}(\sigma)\le\binom n2
:0\le\operatorname{dec}(\sigma)\le
\begin{cases}0&n=0\\n-1&n\ge 1\end{cases}
또한, 다음과 같은 점화식이 성립한다.
:\operatorname{inv\,num}(\sigma
\begin{pmatrix}x&x+1\end{pmatrix})=
\begin{cases}
\operatorname{inv\,num}(\sigma)+1&\sigma(x)\sigma(x+1)\end{cases}
:\operatorname{dec}(
\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\sigma)=
\begin{cases}
\operatorname{dec}(\sigma)+1&y\not\in\{\sigma(x),\sigma^2(x),\dots\}\\
\operatorname{dec}(\sigma)-1&y\in\{\sigma(x),\sigma^2(x),\dots\}\end{cases}
또한, 서로 역순열의 반전수·감소량는 서로 같다. 즉, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:\operatorname{inv\,num}(\sigma)=\operatorname{inv\,num}(\sigma^{-1})
:\operatorname{dec}(\sigma)=\operatorname{dec}(\sigma^{-1})

### 순환 분해
순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(X)의 궤도 \langle\sigma\rangle(x) (x\in X)들은 X의 분할을 이루며, 각 궤도에서의 제한은 다음과 같이 어떤 순환이다.
:\sigma|_{\langle\sigma\rangle(x)}=
\begin{cases}
\begin{pmatrix}\cdots&\sigma^{-1}(x)&x&\sigma(x)&\cdots\end{pmatrix}
&|\langle\sigma\rangle(x)|\ge\aleph_0\\
\begin{pmatrix}x&\sigma(x)&\cdots&\sigma^{|\langle\sigma\rangle(x)|-1}(x)\end{pmatrix}
&|\langle\sigma\rangle(x)|
만약 비자명 궤도(=크기가 1이 아닌 궤도)의 개수가 유한하다면, \sigma는 이러한 서로소 비자명 순환들의 곱으로 분해할 수 있다. 서로소 순환들은 항상 가환한데, \sigma의 서로소 비자명 순환 분해는 곱하는 순서를 따지지 않으면 유일하다. 이러한 분해를 \sigma의 **순환 분해**(循環分解, )라고 한다. 순환 분해의 길이(=곱해지는 비자명 순환의 개수)는 비자명 궤도의 개수
:|\{\langle\sigma\rangle(x)\colon\sigma(x)\ne x\}|
와 같다. 특히, 쌍대 유한 고정점 집합을 갖는 순열은 항상 서로소 비자명 유한 순환들의 곱으로 유일하게 분해할 수 있다. 특히, 유한 집합의 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(n)의 순환 분해는 구체적으로 다음과 같다.
:\sigma=
\begin{pmatrix}\min\{x\colon\sigma(x)\ne x\}&\cdots\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\min(\{x\colon\sigma(x)\ne x\}\setminus\langle\sigma\rangle(\min\{x\colon\sigma(x)\ne x\}))&\cdots\end{pmatrix}\cdots

### 호환 분해
유한 순환은 항상 호환들의 곱으로 분해할 수 있다. 이러한 분해는 유일할 필요가 없다. 예를 들어, 어떤 호환의 짝수 제곱을 인수로 추가하면 새로운 호환 분해를 얻는다. 또한, 구체적으로 다음과 같은 분해식들이 성립한다.
:
\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_j&\cdots&x_k\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_j\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_j&x_{j+1}&\cdots&x_k\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_2&x_3\end{pmatrix}\cdots
\begin{pmatrix}x_{k-1}&x_k\end{pmatrix}
:\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_k\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x_1&x_k\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1&x_{k-1}\end{pmatrix}\cdots
\begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix}
홀순열의 호환 분해의 길이는 항상 홀수이며, 짝순열의 호환 분해의 길이는 항상 짝수이다. 이를 순열의 홀짝성을 정의하는 데 쓸 수 있다.

유한 집합의 순열의 호환 분해의 최소 길이는 감소량과 같다. 즉, 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(n)에 대하여, 다음이 성립한다.
:\operatorname{dec}(\sigma)=\min\{l\in\mathbb N\colon\sigma=
\begin{pmatrix}x_1&y_1\end{pmatrix}\cdots
\begin{pmatrix}x_l&y_l\end{pmatrix},\;x_i,y_i\in\{1,2,\dotsc,n\}\}

### 인접 호환 분해
유한 집합의 호환은 항상 인접 호환들의 곱으로 분해할 수 있다. 이러한 분해는 유일할 필요가 없으며, 구체적으로 다음과 같은 분해식이 성립한다.
:
\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x&x+1&\cdots&y\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}y-1&y-2&\cdots&x\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x&x+1\end{pmatrix}\cdots
\begin{pmatrix}y-1&y\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}y-1&y-2\end{pmatrix}\cdots
\begin{pmatrix}x+1&x\end{pmatrix}
유한 집합의 순열의 인접 호환 분해의 최소 길이는 반전수와 같다. 즉, 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(n)에 대하여, 다음이 성립한다.
:\operatorname{inv\,num}(\sigma)=\min\{l\in\mathbb N\colon\sigma=
\begin{pmatrix}x_1&x_1+1\end{pmatrix}\cdots
\begin{pmatrix}x_l&x_l+1\end{pmatrix},\;x_i\in\{1,2,\dotsc,n-1\}\}

### 군론적 성질
순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(X)의 위수는 다음과 같다.
:\operatorname{ord}(\sigma)=
\begin{cases}
\operatorname{lcm}_{x\in X}|\langle\sigma\rangle(x)|&\{|\langle\sigma\rangle(x)|\colon x\in X\}\in\mathcal P_{
특히, 순환의 위수는 그 길이와 같다.

대칭군 \operatorname{Sym}(X)의 켤레류는 |X|를 양의 기수들의 합으로 나타내는 방법과 자연스럽게 일대일 대응한다. 즉, 순열 \sigma,\tau\in\operatorname{Sym}(X)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \sigma,\tau는 서로 켤레이다.
* \sigma,\tau의 궤도의 개수와 각 궤도의 크기는 각각 서로 같다.
대칭군 \operatorname{Sym}(n)의 켤레류는 n의 분할과 자연스럽게 일대일 대응한다. 즉, 순열 \sigma,\tau\in\operatorname{Sym}(n)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \sigma,\tau는 서로 켤레이다.
* \sigma,\tau의 서로소 순환 분해의 길이와 각 순환의 길이는 각각 서로 같다.
유한 집합의 순열의 홀짝성에 대하여, 다음이 성립한다.
* 항등 함수는 짝순열이다.
* 두 홀순열의 합성은 짝순열이며, 두 짝순열의 합성 역시 짝순열이다. 홀순열과 짝순열의 합성은 홀순열이다.
* 홀순열의 역은 홀순열이며, 짝순열의 역은 짝순열이다.
달리 말해, 순열의 부호 함수 \sgn\colon\operatorname{Sym}(n)\to\{-1,1\}는 군 준동형이다. 즉, 다음이 성립한다.
:\sgn(\operatorname{id}_n)=1
:\sgn(\tau\sigma)=\sgn(\tau)\sgn(\sigma)
:\sgn(\sigma^{-1})=\sgn(\sigma)
이에 따라, 짝순열들은 대칭군의 부분군 \operatorname{Alt}(n)을 이루며, 이를 **[[교대군]]**이라고 한다. 사실, 교대군은 이 부호 함수의 핵이므로, 대칭군의 정규 부분군이다.
:\operatorname{Alt}(n)=\ker\sgn\vartriangleleft\operatorname{Sym}(n)
홀순열의 집합은 부분군이 아니다. 또한, n=0,1의 경우 홀순열이 존재하지 않는다. 그러나, n\ge 2의 경우 홀순열의 집합은 크기가 교대군과 같으며, 교대군의 (자기 자신을 제외하면 유일한) 잉여류이다.

## 예
순열의 합성의 한 가지 예는 다음과 같다.
:
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}2&5&4&3&1\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}
순열의 역의 한 가지 예는 다음과 같다.
:
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\3&1&4&7&6&5&2\end{pmatrix}^{-1}=
\begin{pmatrix}2&7&1&3&6&5&4\\1&2&3&4&5&6&7\end{pmatrix}^{-1}=
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\2&7&1&3&6&5&4\end{pmatrix}
순열의 서로소 순환 분해의 한 가지 예는 다음과 같다.
:
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&1&5&2&3\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1&4&2&3&5\\4&2&1&5&3\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1&4&2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}
순열의 홀짝성의 몇 가지 예는 다음과 같다.
* 항등 함수는 짝순열이다.
* 호환은 홀순열이다.
* 짝수 길이의 순환은 홀순열이다.
* 홀수 길이의 순환은 항상 짝순열이다.
크기 3의 대칭군 \operatorname{Sym}(3)의 켤레류는 다음과 같다.
:
\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}1&3&2\end{pmatrix}
:
\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}
:
\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}
이들에 대응하는 3의 분할은 각각 다음과 같다.
:3=3
:3=2+1
:3=1+1+1
순열의 반전수의 몇 가지 예는 다음과 같다.
:\operatorname{inv\,num}(\operatorname{id}_n)=0
:\operatorname{inv\,num}(
\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix})=|\{(y,x+1),(y,x+2),\dotsc,(y,y-1),(x+1,x),(x+2,x),\dotsc,(y-1,x),(y,x)\}|=2|y-x|-1
:\operatorname{inv\,num}(
\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\n&n-1&\cdots&1\end{pmatrix})=\binom n2=
\begin{cases}0&n=0,1\\n(n-1)/2&n\ge 2\end{cases}

## 관련 개념
### 중복순열

### 순열 행렬

대체글=순열의 합성과 순열 행렬의 곱셈의 관계에 대한 설명|섬네일|순열의 합성은 순열 행렬의 곱셈에 대응한다.
유한 집합 \{1,2,\dotsc,n\}의 순열은 n\times n 순열 행렬과 자연스럽게 일대일 대응한다.

## 같이 보기
* 스테인하우스-존슨-트로터 알고리즘
* 초순열

## 외부 링크
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