비 판정법

미적분학에서 **비 판정법**(比判定法, ) 또는 **달랑베르 비 판정법**() 또는 **코시 비 판정법**()은 양의 실수 항의 급수의 수렴 여부를 가리는 수렴 판정법이다. 실수 항의 급수의 절대 수렴 여부를 판단할 수도 있다. 이웃하는 두 항의 비의 극한을 사용한다. 공비에 따른 기하급수의 수렴 여부에 기반한다. 다른 급수를 “표준 급수”로 삼아 더 정교한 판정법을 만들 수 있다. 그러나 이렇게 만든 판정법은 모든 급수에 대하여 유효할 수 없다. 즉, 임의의 급수에 대하여, 이 급수에 기반한 판정법이 효력을 잃는 급수를 구성할 수 있다.

## 정의와 증명
양의 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n가 주어졌다고 하자 (a_n>0\forall n\ge0). 또한, 극한
:L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\in[0,\infty]
가 존재한다고 하자. **비 판정법**에 따르면, 다음이 성립한다.
* 만약 L이라면, \sum_{n=0}^\infty a_n은 수렴한다.
* 만약 L>1이라면, \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다.

만약 L이며, L이라면, 어떤 N\ge0 및 임의의 n\ge N에 대하여
:\frac{a_{n+1}}{a_n}
이다. 따라서 임의의 n\ge N에 대하여,
:a_n=a_N\cdot\frac{a_{N+1}}{a_N}\cdot\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\cdot\cdots\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}\le a_Nq^{n-N}
이다. 0\le q이므로, 기하급수 \sum_{n=0}^\infty q^n은 수렴한다. 비교 판정법에 따라, 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n은 수렴한다.

만약 L>1이라면, 어떤 N\ge0 및 임의의 n\ge N에 대하여
:\frac{a_{n+1}}{a_n}>1
이다. 즉, (a_N,a_{N+1},\dots)은 양의 실수의 증가수열이며, 특히 0으로 수렴할 수 없다. 따라서, 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다.

보다 일반적으로, 양의 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n가 주어졌다고 하자 (a_n>0\forall n\ge0). 또한,
:R=\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\in[0,\infty]
:r=\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\in[0,\infty]
라고 하자 (이는 항상 존재하며, 항상 r\le R이다). **비 판정법**에 따르면, 다음이 성립한다.
* 만약 R이라면, \sum_{n=0}^\infty a_n은 수렴한다.
* 만약 r>1이라면, \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다.
만약 극한 L이 존재한다면 L=R=r이다. 따라서 후자가 더 일반적인 결과다. 만약 r\le1\le R이라면 (특히, 만약 L=1이라면), 비 판정법을 적용할 수 없으므로 다른 방법을 사용하여야 한다. 만약 충분히 큰 n에 대하여 \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1이라면, \lim_{n\to\infty}a_n=0일 수 없으므로 \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다. (만약 r>1이라면 이 조건이 성립한다. 만약 이 조건이 성립한다면 r\ge1이지만, r>1일 필요는 없다.) 근 판정법이나 라베 판정법 등 더 정교한 방법을 사용할 수도 있다.

만약 R이며, R이라면, 어떤 N\ge0 및 임의의 n\ge N에 대하여
:\frac{a_{n+1}}{a_n}
이다. 따라서 임의의 n\ge N에 대하여,
:a_n=a_N\cdot\frac{a_{N+1}}{a_N}\cdot\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\cdot\cdots\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}\le a_Nq^{n-N}
이다. 0\le q이므로, 기하급수 \sum_{n=0}^\infty q^n은 수렴한다. 비교 판정법에 따라, 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n은 수렴한다.

만약 r>1이라면, 어떤 N\ge0 및 임의의 n\ge N에 대하여
:\frac{a_{n+1}}{a_n}>1
이다. 즉, (a_N,a_{N+1},\dots)은 양의 실수의 증가수열이며, 특히 0으로 수렴할 수 없다. 따라서, 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다.

## 예
### 수렴급수
급수 \sum_{n=1}^\infty\frac n{2^n}을 생각하자. a_n=\frac n{2^n}이라고 하자. 이웃하는 두 항의 비의 극한은
:
L
=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}n\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}
=\frac12

이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다.

급수 \sum_{n=1}^\infty\frac{2^nn!}{n^n}을 생각하자. a_n=\frac{2^nn!}{n^n}이라고 하자. 그렇다면,
:
L
=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{2^nn!}\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac2{(1+1/n)^n}
=\frac2{\mathrm e}

이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다.

급수 \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{100\cdot(100-1)\cdot\cdots\cdot(100-n+1)}{n!}\cdot\frac1{2^n}\right)를 생각하자. 이는 양의 실수 항의 급수가 아니지만, 비 판정법을 사용하여 절대 수렴 여부를 판단할 수 있다. a_n=\frac{100\cdot(100-1)\cdot\cdots\cdot(100-n+1)}{n!}\cdot\frac1{2^n}이라고 하자. 그렇다면,
:
L
=\lim_{n\to\infty}\frac
=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{100\cdot(100-1)\cdot\cdots\cdot(100-n)}{(n+1)!}\cdot\frac1{2^{n+1}}\cdot\frac{n!}{100\cdot(100-1)\cdot\cdots\cdot(100-n+1)}\cdot{2^n}\right|
=\lim_{n\to\infty}\frac{n-100}{2(n+1)}
=\frac12

비 판정법에 의하여, 이 급수는 절대 수렴하며, 특히 수렴한다.

### 발산급수
급수 \sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}n을 생각하자. a_n=\frac{2^n}n이라고 하자. 그렇다면,
:L
=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot\frac n{2^n}\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n+1}
=2
>1

이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 발산한다.

급수 \sum_{n=1}^\infty\frac{3^nn!}{n^n}을 생각하자. a_n=\frac{3^nn!}{n^n}이라고 하자. 그렇다면,
:L
=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{3^nn!}\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac3{(1+1/n)^n}
=\frac3{\mathrm e}
>1

이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 발산한다.

급수 \sum_{n=0}^\infty1을 생각하자. 자명하게 L=1이다. 하지만 a_n=1이라고 하였을 때, 충분히 큰 n에 대하여 \frac{a_n}{a_{n+1}}\ge1이다. 따라서 비 판정법의 더 일반적인 형태에 의하여, 이 급수는 발산한다. 사실, 비 판정법을 사용하지 않더라도, 이 급수의 항이 0으로 수렴하지 않음은 자명하므로, 급수가 발산함은 자명하다.

## 라베 판정법
### 정의와 증명
양의 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n가 주어졌다고 하자 (a_n>0\forall n\ge0). **라베 판정법**()에 따르면, 다음이 성립한다.
* 만약 s=\liminf_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)>1이라면, \sum_{n=0}^\infty a_n은 수렴한다.
* 만약 s'=\limsup_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)이라면, \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다.
만약 R이라면 s=\infty이며, 만약 r>1이라면 s'=-\infty이다. 따라서 라베 판정법은 비 판정법을 일반화한다. 라베 판정법은 급수 \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^t}의, t\in\mathbb R에 따른 수렴 여부에 기반한다. 이 급수는 t>1일 때 수렴하며, t\le1일 때 발산한다. (이는 코시 응집 판정법이나 적분 판정법을 통하여 보일 수 있다.) 두 번째 명제에서, s'을 다음 조건으로 약화하여도 명제가 성립한다. “충분히 큰 n에 대하여, n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)\le1.”

임의의 t>u>1이 주어졌을 때, 어떤 \epsilon_{t,u}>0 및 임의의 0\le x에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
:1+tx\ge(1+x)^u
이는
:f\colon[0,\infty)\to\mathbb R
:f(x)=1+tx-(1+x)^u
라고 하였을 때
:f(0)=0
:f'(0)=t-u>0
이며, f'이 연속 함수이기 때문이다.

만약 s>t>u>1이라면, 어떤 N\ge0 및 임의의 n\ge N에 대하여
:\frac{a_n}{a_{n+1}}>1+\frac tn\ge\left(1+\frac1n\right)^u=\frac{(n+1)^u}{n^u}
이다. 즉,
:n^ua_n>(n+1)^ua_{n+1}
이다. 따라서, 임의의 n\ge N에 대하여
:n^ua_n\le(n-1)^ua_{n-1}\le\cdots\le N^ua_N
이다. 즉,
:a_n\le\frac{N^ua_N}{n^u}
이다. 급수 \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^u}가 수렴하므로, 비교 판정법에 따라 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n은 수렴한다.

만약 s'이라면, 어떤 N\ge0 및 임의의 n\ge N에 대하여
:\frac{a_n}{a_{n+1}}
이다. 즉,
:na_n
이다. 따라서, 임의의 n\ge N에 대하여
:na_n\ge(n-1)a_{n-1}\ge\cdots\ge Na_N
이다. 즉,
:a_n\ge\frac{Na_N}n
이다. 조화급수 \sum_{n=1}^\infty\frac1n은 발산하므로, 비교 판정법에 따라 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다.

### 예
급수 \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}를 생각하자. a_n=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}이라고 하자. 그렇다면,
:
s
=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)
=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{(n+1)^2}{n^2}-1\right)
=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{n^2+2n+1}{n^2}-1\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+n}{n^2}
=2
>1

이다. 라베 판정법에 따라, 이 급수는 수렴한다. (라베 판정법의 표준적인 증명은 이 급수가 수렴한다는 사실을 사용한다는 데 주의하자.) 적분 판정법이나 코시 응집 판정법을 사용할 수도 있다. 비 판정법이나 근 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다.

급수 \sum_{n=1}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}를 생각하자. a_n=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}이라고 하자. 그렇다면,
:
s'
=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)
=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{(2n+2)!!}{(2n+1)!!}-1\right)
=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{2n+2}{2n+1}-1\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac n{2n+1}
=\frac12

이다. 라베 판정법에 따라, 이 급수는 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다.

## 베르트랑 판정법
### 정의와 증명
양의 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n가 주어졌다고 하자 (a_n>0\forall n\ge0). **베르트랑 판정법**()에 따르면, 다음이 성립한다.
* 만약 b=\liminf_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)>1이라면, \sum_{n=0}^\infty a_n은 수렴한다.
* 만약 b'=\limsup_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)이라면, \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다.
만약 s>1이라면, b=\infty이다. 만약 s'이라면, b'=-\infty이다. 따라서 베르트랑 판정법은 라베 판정법보다 강하다. 베르트랑 판정법의 본질은 주어진 급수를 급수 \sum_{n=2}^\infty\frac1{n\ln^tn} (t\in\mathbb R)와 비교하는 것이다. 이 급수는 t>1일 때 수렴하며, t\le1일 때 발산한다. (이는 적분 판정법을 통하여 보일 수 있다.) 두 번째 명제에서, b' 조건은 “충분히 큰 n에 대하여 \ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)\le1” 조건으로 약화할 수 있다.

라베 판정법의 증명에서 다음 사실을 증명하였다. 임의의 t>u>1이 주어졌을 때, 어떤 \epsilon_{t,u}>0 및 임의의 0\le x에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
:1+tx\ge(1+x)^u
베르트랑 판정법의 증명은 다음 사실을 추가로 사용한다. 임의의 x\ge0에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.
:x\ge\ln(1+x)
이는
:g\colon[0,\infty)\to\mathbb R
:g(x)=x-\ln(1+x)
라고 하였을 때
:g(0)=0
:g'(x)=1-\frac1{1+x}\ge0
이기 때문이다.

만약 b>t>u>1이라면, 어떤 N\ge0 및 임의의 n\ge N에 대하여
:\begin{align}
\frac{a_n}{a_{n+1}}
&>1+\frac1n+\frac t{n\ln n}\\
&\ge\frac1n+\left(1+\frac1{n\ln n}\right)^u\\
&=\frac1n+\left(\frac{n\ln n+1}{n\ln n}\right)^u\\
&=\frac1n+\left(\frac{\ln n+1/n}{\ln n}\right)^u\\
&\ge\frac1n+\left(\frac{\ln n+\ln(1+1/n)}{\ln n}\right)^u\\
&=\frac1n+\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)^u\\
&=\frac1n+\frac{\ln^u(n+1)}{\ln^un}\\
&=\frac{\ln^u(n+1)+n\ln^u(n+1)}{n\ln^un}\\
&=\frac{(n+1)\ln^u(n+1)}{n\ln^un}
\end{align}

이다. 급수 \sum_{n=2}^\infty\frac1{n\ln^un}이 수렴하므로, 비교 판정법에 따라 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n은 수렴한다.

만약 b'이라면, 어떤 N\ge0 및 임의의 n\ge N에 대하여
:\begin{align}
\frac{a_n}{a_{n+1}}
&
이다. 급수 \sum_{n=2}^\infty\frac1{n\ln n}이 발산하므로, 비교 판정법에 따라 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다.

### 예
급수 \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac1n를 생각하자. 이는 양의 항의 급수가 아니지만, 베르트랑 판정법을 사용하여 절대 수렴 여부를 판단할 수 있다. a_n=(-1)^{n-1}\frac1n이라고 하자. 그렇다면,
:
b'
=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac-1\right)-1\right)
=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{n+1}n-1\right)-1\right)
=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\cdot\frac1n-1\right)
=0

이다. 베르트랑 판정법에 따라, 이 급수는 절대 수렴하지 않는다. (이 사실은 베르트랑 판정법의 증명에서 사용된다.) 이 급수는 양의 항의 급수가 아니므로, 수렴 여부를 판단하려면 다른 방법을 사용해야 한다. 교대급수 판정법에 따라, 이 급수는 수렴한다. 즉, 이 급수는 조건 수렴한다. 비 판정법이나 근 판정법 또는 라베 판정법으로는 이 급수의 절대 수렴 여부를 알 수 없다.

급수 \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2를 생각하자. a_n=\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2이라고 하자. 그렇다면,
:\begin{align}
b'
&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{(2n-1)!!^2}{(2n)!!^2}\cdot\frac{(2n+2)!!^2}{(2n+1)!!^2}-1\right)-1\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{(2n+2)^2}{(2n+1)^2}-1\right)-1\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{4n^2+8n+4}{4n^2+4n+1}-1\right)-1\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(\frac{4n^2+3n}{4n^2+4n+1}-1\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}-\frac{(n+1)\ln n}{4n^2+4n+1}\\
&=0\\
&
이다. 베르트랑 판정법에 따라, 이 급수는 발산한다. 사실, s=s'=1이지만, 충분히 큰 n에 대하여 n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)\le1이다. 따라서 베르트랑 판정법 대신 라베 판정법의 약간 더 일반적인 형태를 사용하여도 좋다.

## 쿠머 판정법
양의 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n가 주어졌다고 하자 (a_n>0\forall n\ge0). **쿠머 판정법**()에 따르면, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.
* \sum_{n=0}^\infty a_n은 수렴한다.
* 어떤 양의 실수의 수열 (b_n)_{n=0}^\infty (b_n>0\forall n\ge0)에 대하여, \liminf_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\right)>0
마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.
* \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다.
* 어떤 양의 실수의 수열 (b_n)_{n=0}^\infty (b_n>0\forall n\ge0)에 대하여, \sum_{n=0}^\infty\frac1{b_n}은 발산하며, 모든 n에 대하여 \limsup_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\right)

만약 (b_n)_{n=0}^\infty이 양의 실수의 수열이며 \liminf_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\right)>\epsilon>0이라면, 어떤 N\ge0 및 임의의 n\ge N에 대하여
:b_na_n-b_{n+1}a_{n+1}>\epsilon a_{n+1}>0
이다. 따라서 (b_na_n)_{n=N}^\infty은 양의 실수로 구성된 감소 수열이며, 특히 수렴한다. 양의 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty(b_na_n-b_{n+1}a_{n+1})을 생각하자. 이 급수의 부분합은
:\sum_{k=0}^n(b_ka_k-b_{k+1}a_{k+1})=b_0a_0-b_{n+1}a_{n+1}
이다. 따라서 이 급수는 수렴한다. b_na_n-b_{n+1}a_{n+1}>\epsilon a_{n+1}이므로, 비교 판정법에 의하여 \sum_{n=0}^\infty a_n 역시 수렴한다.

만약 (b_n)_{n=0}^\infty이 양의 실수의 수열이며, \sum_{n=0}^\infty\frac1{b_n}이 발산하며, \limsup_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\right)이라면, 어떤 N\ge0 및 임의의 n\ge N에 대하여
:b_na_n-b_{n+1}a_{n+1}
이다. 따라서, 임의의 n\ge N에 대하여
:b_na_n\ge b_{n-1}a_{n-1}\ge\cdots\ge b_Na_N
이다. 즉,
:a_n\ge\frac{b_Na_N}{b_n}
이다. 비교 판정법에 의하여 \sum_{n=0}^\infty a_n은 발산한다.

만약 양의 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n이 수렴한다면,
:b_n=\frac{\sum_{i=n+1}^\infty a_n}{a_n}\qquad(n\ge0)
은 양의 실수의 수열이며, 임의의 n\ge0에 대하여
:b_n\cdot\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}=\frac{\sum_{i=n+1}^\infty a_n}{a_{n+1}}-\frac{\sum_{i=n+2}^\infty a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}}=1
이다.

만약 양의 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n이 발산한다면,
:b_n=\frac{\sum_{i=0}^na_i}{a_n}\qquad(n\ge0)
은 양의 실수의 수열이며, 임의의 n\ge0에 대하여
:b_n\cdot\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}=\frac{\sum_{i=0}^na_i}{a_{n+1}}-\frac{\sum_{i=0}^{n+1}a_i}{a_{n+1}}=-\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}}=-1
이다. 이제, \sum_{n=0}^\infty\frac1{b_n}=\infty임을 보이는 일만 남았다. 임의의 N\ge0이 주어졌을 때 어떤 n_N\ge N에 대하여 
:\sum_{i=N}^{n_N}\frac1{b_i}>\frac12
임을 보이면 충분하다. (그렇다면 급수의 부분합은 코시 열이 아니며, 따라서 이 급수는 발산한다.) 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n이 발산하므로, 임의의 N\ge0이 주어졌을 때 어떤 n_N\ge N에 대하여
:\sum_{i=N}^{n_N}a_i\ge\sum_{i=0}^{N-1}a_i
이다. 따라서
:
\sum_{i=N}^{n_N}\frac1{b_i}
=\sum_{i=N}^{n_N}\frac{a_i}{a_0+a_1+\cdots+a_i}
\ge\frac{a_N+a_{N+1}+\cdots+a_{n_N}}{a_0+a_1+\cdots+a_{n_N}}
\ge\frac12

이다.

쿠머 판정법의 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다.

다른 판정법과 달리, 쿠머 판정법은 양의 항의 급수가 수렴·발산할 필요충분조건을 제시하며, 모든 급수에 대하여 유효하다. 하지만 쿠머 판정법은 적절한 (b_n)_{n=0}^\infty을 찾는 방법을 제공하지 않는다. 또한, 모든 급수에 대하여 유효한 하나의 (b_n)_{n=0}^\infty은 존재하지 않는다. 구체적으로, 임의의 양의 실수 항 수렴급수 \sum_{n=0}^\infty x_n에 대하여, \lim_{n\to\infty}\frac{y_n}{x_n}=\infty인 양의 실수 항 수렴급수 \sum_{n=0}^\infty y_n가 존재하며, 또한 임의의 양의 실수 항 발산급수 \sum_{n=0}^\infty x_n에 대하여, \lim_{n\to\infty}\frac{y_n}{x_n}=0인 양의 실수 항 발산급수 \sum_{n=0}^\infty y_n가 존재한다.

## 역사
비 판정법은 장 르 롱 달랑베르가 처음 발표하였다. 쿠머 판정법(의 충분성 부분)은 1835년에 에른스트 쿠머가 제시하였다. 이후 반 세기 동안 수 차례 재발견되었으며, 최초의 발견자에 대하여 논란이 일었다.

## 같이 보기
* 근 판정법
## 각주

* .
* : §8.14.
* : §3.3, 5.4.
* 
* 
* :§2.36, §2.37

## 외부 링크
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

분류:수렴판정법