프로베니우스 대수

추상대수학에서 **프로베니우스 대수**()는 호환되는 내적이 주어진 유한 차원 단위 결합 대수이다.

## 정의
체 K 위의 유한 차원 결합 대수 A가 주어졌다고 하자. 이는 스스로 위의 쌍가군 _AA_A을 이룬다. 마찬가지로, 그 쌍대 가군
:A^\vee = \hom_K(A,K)
역시 스스로 위의 쌍가군 _A{A^\vee}_A을 이룬다. 구체적으로,
:a\cdot \phi \cdot b \colon x \mapsto \phi(bxa)
이다.

그렇다면, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* A-왼쪽 가군의 동형 _AA \cong {}_AA^\vee이 존재한다.
* A-오른쪽 가군의 동형 A_A \cong {A^\vee}_A이 존재한다.

**증명:**

왼쪽 가군의 동형
:\lambda\colon {}_AA \to {}_AA^\vee
이 주어졌다고 하자. 즉,
:\lambda(a)(x) = \lambda(a,x)
에 대하여,
:\lambda(a,xb) = \lambda(ba,x)
라고 하자. 그렇다면,
:\rho \colon A\to A^\vee
:\rho(a)(x) = \lambda(x,a)
를 정의하면,
:(\rho(a)\cdot b)(x) = \rho(a)(bx) = \lambda(bx,a)
=\lambda(x,ab) = \rho(ab)(x)
이므로, \rho는 오른쪽 가군의 동형이다.

반대 방향의 함의도 마찬가지다.

또한, 이러한 동형이 존재할 필요 조건은 물론 A가 유한 차원 K-벡터 공간인 것이다.

이러한 동형이 갖추어진 K-결합 대수를 **프로베니우스 대수**라고 한다.

프로베니우스 대수 (A,\lambda\colon {}_AA \to {}_AA^\vee)가 주어졌다면, 다음과 같은 구조들을 추가로 정의할 수 있다. 우선,
:\langle a,b\rangle = \lambda(1)(ab)
를 정의하자. 그렇다면,
:\langle ac,b\rangle = \lambda(1)(acb) = \langle a,cb\rangle
이 성립한다. \lambda가 벡터 공간의 동형이므로, \langle-,-\rangle는 비퇴화 쌍선형 형식이다. 이를 **프로베니우스 형식**이라고 한다.

또한, **대각합**
:\operatorname{tr} \colon A \to k
:\operatorname{tr}\colon a \mapsto \lambda(1)(a)
을 정의할 수 있다.

만약 \operatorname{tr}(ab)=\operatorname{tr}(ba)라면, V를 **대칭 프로베니우스 대수**()이라고 한다.

가환환인 프로베니우스 대수를 **가환 프로베니우스 대수**()라고 한다.

### 프로베니우스 대상
보다 일반적으로 모노이드 범주 (\mathcal C, \otimes,1)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 반대 범주 (\mathcal C^{\operatorname{op}}, \otimes,1) 역시 같은 텐서곱으로 모노이드 범주를 이룬다.

\mathcal C 속의 **프로베니우스 대상**()은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 모노이드 대상 (A,\mu\colon A\otimes A\to1,\eta\colon 1\to A)
* 쌍대 모노이드 대상 (즉, \mathcal C^{\operatorname{op}}의 모노이드 대상) (A,\delta\colon A\to A\otimes A,\eta\colon A\to1)
이 두 구조는 다음과 같은 호환 관계를 만족시켜야 한다.
:\begin{matrix}
& & \!\!\!\!A^{\otimes3}\!\!\!\!\\
&{\!\!\!\!^{\delta\otimes\operatorname{id}}\!\!\!\!}\nearrow{\color{White}^{\delta\otimes\operatorname{id}}\!\!\!\!\!\!\!\!} & & {\color{White}\!\!\!\!^{\operatorname{id}\otimes\mu}\!\!\!\!}\searrow{\!\!\!\!^{\operatorname{id}\otimes\mu}\!\!\!\!} \\
A^{\otimes2} \!\!\!\!& \!\!\!\!\underset\mu\to \!\!\!\!& \!\!\!\!A\!\!\!\! & \!\!\!\!\underset\delta\to\!\!\!\!&  \!\!\!\!A^{\otimes2} \\
& {\!\!\!\!_{\operatorname{id}\otimes\delta}\!\!\!\!}\searrow {\color{White}_{\operatorname{id}\otimes\delta}\!\!\!\!\!\!\!\!}& & {\color{White}\!\!\!\!_{\mu\otimes\operatorname{id}}\!\!\!\!}\nearrow{\!\!\!\!_{\mu\otimes\operatorname{id}}\!\!\!\!} \\
& & \!\!\!\!A^{\otimes3}\!\!\!\!\\
\end{matrix}
(편의상, 모노이드 범주의 결합자 등을 생략하였다.)

## 위상 양자장론과의 관계
섬네일|right|바지 곡면(). 이 곡면에서의 분배 함수는 가환 프로베니우스 대수의 곱셈을 정의한다.
2차원 위상 양자장론은 가환 프로베니우스 대수로 나타내어진다. 정확히 말하면, (복소) 가환 프로베니우스 대수의 범주는 2차원 위상 양자장론의 범주와 동치이다. 프로베니우스 대수와 위상 양자장론은 다음과 같이 대응된다.

## 예
체 K 위의 행렬환 \operatorname{Mat}(n;K) 위의 임의의 부분환 R \subseteq \operatorname{Mat}(n;K)이 주어졌을 때, 프로베니우스 형식
:\langle a,b\rangle = \operatorname{tr}(ab)
을 주면, 이는 K 위의 프로베니우스 대수를 이룬다. n>1이면 이는 가환 대수가 아니다.

모든 유한 차원 호프 대수는 프로베니우스 대수이다.

### 군환
임의의 유한군 G에 대하여, 군환 K[G] 위에 프로베니우스 형식
:\langle a,b\rangle = \operatorname{proj}_{K1_G} (ab)
을 부여하면, 프로베니우스 대수를 이룬다. 여기서 \operatorname{proj}_{K1_G} \colon K[G] \to K는 군의 항등원으로 생성되는 1차원 부분 공간으로의 사영이다. 즉,
:\left\langle \sum_{g\in G}a_gg,\sum_{h\in G}b_hh\right\rangle
= \sum_{g\in G}a_gb_{g^{-1}}
이다. 이 경우, 대각합은
:\operatorname{tr}\colon \sum_{g\in G}a_gg \mapsto a_1
이다.

### 표현환
유한군 G가 주어졌다고 하자. G의 유리수 계수 유니터리 표현환
:A = \operatorname{RU}(G) \otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q
위에 프로베니우스 형식
:\langle \rho,\rho'\rangle = \operatorname{proj}_1 \rho\otimes \rho'
를 부여하자. 여기서
:\operatorname{proj}_1 \colon A\to \mathbb Q
은 자명한 표현으로의 사영 사상이다. 이 경우
:\langle\rho_1 \otimes\rho_2,\rho_3\rangle = \langle \rho_1, \rho_2 \otimes \rho_3\rangle 
은 \rho_1 \otimes \rho_2 \otimes \rho_3의 기약 표현 분해에 포함된 자명한 표현의 차원이 된다.

## 역사 및 어원
리하르트 브라우어와 세실 네스빗()이 1937년 도입하였고, 페르디난트 게오르크 프로베니우스의 이름을 땄다.

## 같이 보기
* 호프 대수
## 참고 문헌

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## 외부 링크
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분류:대수