가우스 구적법

[섬네일|upright=1.5|alt=2점 가우스 구적법과 사다리꼴 구적법의 비교.|2점 가우스 구적법과 사다리꼴 구적법의 비교.<br />
파란색 곡선은 구간 에서의 정적분을 계산하려는 함수(피적분함수)를 보여준다. [사다리꼴 공식은 함수의 양 끝점과 일치하는 선형 함수로 함수를 근사하며 주황색 점선으로 표시된다. 근사는 명백히 좋지 않으므로 오차가 크다 (사다리꼴 공식은 인 올바른 값에 대해 적분의 근사값으로 을 제공한다). 더 정확한 결과를 얻으려면 구간을 많은 부분 구간으로 분할한 다음 합성 사다리꼴 공식을 사용해야 하므로 훨씬 더 많은 계산이 필요하다.
가우스 구적법은 대신 더 적합한 점을 선택하므로 선형 함수도 함수를 더 잘 근사한다(검은색 점선). 피적분 함수가 3차 다항식 이므로, 2점 가우스 구적법은 심지어 정확한 결과를 반환한다.]]

수치해석학에서 카를 프리드리히 가우스의 이름을 딴 점 **가우스 구적법**(Gaussian quadrature)은 에 대해 노드  및 가중치 를 적절히 선택하여 차수  이하의 다항식에 대해 정확한 결과를 얻도록 구성된 구적법이다.

직교 다항식을 사용한 현대적인 공식은 1826년 카를 구스타프 야코프 야코비에 의해 개발되었다. 이러한 규칙에 대한 가장 일반적인 적분 영역은 로 간주되므로 규칙은 다음과 같이 표현된다.
\int_{-1}^1 f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i),

이것은 차수  이하의 다항식에 대해 정확하다. 이 정확한 규칙은 가우스-르장드르 구적법 규칙으로 알려져 있다. 이 구적법 규칙은 가 에서 차수  이하의 다항식으로 잘 근사될 때만 위의 적분에 대한 정확한 근사값이 된다.

가우스-르장드르 구적법 규칙은 일반적으로 끝점 특이점을 가진 적분 가능한 함수에는 사용되지 않는다. 대신 피적분 함수를 다음과 같이 쓸 수 있다면

f(x) = \left(1 - x\right)^\alpha \left(1 + x\right)^\beta g(x),\quad \alpha,\beta > -1,

여기서 는 낮은 차수의 다항식으로 잘 근사된다면, 대안적인 노드 와 가중치 가 일반적으로 더 정확한 구적법 규칙을 제공한다. 이것들은 가우스-야코비 구적법 규칙으로 알려져 있다. 즉,

\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \int_{-1}^1 \left(1 - x\right)^\alpha \left(1 + x\right)^\beta g(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i' g\left(x_i'\right).

일반적인 가중치로는 \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} (체비쇼프-가우스) 및 \sqrt{1 - x^2}이 포함된다. 또한 반무한(가우스-라게르 구적법) 및 무한 구간(가우스-에르미트 구적법)에 대해 적분할 수도 있다.

가우스 구적법 노드와 가중치를 계산하기 위한 핵심 관찰인 구적법 노드 가 직교 다항식 클래스(가중 내적에 대해 직교하는 클래스)에 속하는 다항식의 근이라는 것을 보일 수 있다 (Press 외 또는 Stoer와 Bulirsch 참조).

## 가우스-르장드르 구적법

섬네일|르장드르 다항식 그래프(까지)

위에서 언급한 가장 간단한 적분 문제, 즉 [-1, 1]에서 가 다항식으로 잘 근사되는 경우, 관련 직교 다항식은 로 표기되는 르장드르 다항식이다. 번째 다항식을 로 정규화하면, 번째 가우스 노드 는 의 번째 근이며 가중치는 다음 공식으로 주어진다.
 w_i = \frac{2}{\left( 1 - x_i^2 \right) \left[P'_n(x_i)\right]^2}.

일부 저차 구적법 규칙은 아래에 표로 정리되어 있다 (구간 에 대한 내용이며, 다른 구간에 대해서는 아래 섹션을 참조).

## 구간 변경
가우스 구적법 규칙을 적용하기 전에 에 대한 적분을 에 대한 적분으로 변경해야 한다. 이 구간 변경은 다음과 같이 할 수 있다.
\int_a^b f(x)\,dx = \int_{ -1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}\xi + \frac{a+b}{2}\right)\,\frac{dx}{d\xi}d\xi

여기서 \frac{dx}{d\xi} = \frac{b-a}{2}

n점 가우스 구적법 (\xi, w) 규칙을 적용하면 다음 근사값이 나온다.
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left(\frac{b-a}{2}\xi_i + \frac{a+b}{2}\right).

## 2점 가우스 구적법 규칙 예시
2점 가우스 구적법 규칙을 사용하여 로켓이 t = 8\mathrm{s} 에서 t = 30\mathrm{s}까지 이동한 거리를 다음과 같이 근사한다.
s = \int_{8}^{30}{\left( 2000\ln\left[ \frac{140000}{140000 - 2100t} \right] - 9.8t \right){dt}}

표 1에 주어진 가중치와 절편을 사용할 수 있도록 적분 한계를 변경한다. 또한 절대 상대 오차를 구한다. 실제 값은 11061.34m로 주어진다.

해결

먼저 적분 한계를 \left[ 8,30 \right]에서 \left[ - 1,1 \right]로 변경하면

 \begin{align}
\int_{8}^{30} {f(t) dt} &= \frac{30 - 8}{2} \int_{- 1}^{1}{f\left( \frac{30 - 8}{2}x + \frac{30 + 8}{2} \right){dx}} \\
&= 11\int_{- 1}^{1}{f\left( 11x + 19 \right){dx}}
\end{align} 

다음으로 표 1에서 2점 규칙에 대한 가중치 인자와 함수 인수 값을 얻는다.

*c_1 = 1.000000000 
*x_1 = - 0.577350269 
*c_2 = 1.000000000 
*x_2 = 0.577350269 

이제 가우스 구적법 공식을 사용할 수 있다.
 \begin{align}
11\int_{-1}^{1}{f\left( 11x + 19 \right){dx}} & \approx 11\left[ c_1 f\left( 11 x_1 + 19 \right) + c_2 f\left( 11 x_2 + 19 \right) \right] \\
&= 11\left[ f\left( 11( - 0.5773503) + 19 \right) + f\left( 11(0.5773503) + 19 \right) \right] \\
&= 11\left[ f(12.64915) + f(25.35085) \right] \\
&= 11\left[ (296.8317) + (708.4811) \right] \\
&= 11058.44
\end{align}
이유는 다음과 같다.
 \begin{align}
f(12.64915) & = 2000\ln\left[ \frac{140000}{140000 - 2100(12.64915)} \right] - 9.8(12.64915) \\
&= 296.8317
\end{align}
 \begin{align}
f(25.35085) & = 2000\ln\left[ \frac{140000}{140000 - 2100(25.35085)} \right] - 9.8(25.35085) \\
&= 708.4811
\end{align}

실제 값이 11061.34m이므로 절대 상대 오차 \left| \varepsilon_{t} \right|는 다음과 같다.
 \left| \varepsilon_{t} \right| = \left| \frac{11061.34 - 11058.44}{11061.34} \right| \times 100\% = 0.0262\% 

## 다른 형식
적분 문제는 피적분 함수에 양의 무게 함수 를 도입하고  이외의 구간을 허용함으로써 약간 더 일반적인 방식으로 표현될 수 있다. 즉, 문제는 다음을 계산하는 것이다.
 \int_a^b \omega(x)\,f(x)\,dx 
, , 를 일부 선택한다. , , 의 경우 문제는 위에서 고려한 것과 동일하다. 다른 선택은 다른 적분 규칙으로 이어진다. 이들 중 일부는 아래에 표로 정리되어 있다. Abramowitz and Stegun (A & S)에 대한 방정식 번호가 주어진다.

### 기본 정리
을 다음과 같은 차수 의 자명하지 않은 다항식이라고 하자.
\int_a^b \omega(x) \, x^k p_n(x) \, dx = 0, \quad \text{for all } k = 0, 1, \ldots, n - 1.

위의 모든 직교 다항식에 대해 이것이 참이라는 점에 유의하라. 왜냐하면 각 은 에 대해 다른 다항식 에 대해 직교하도록 구성되어 있으며, 는 그 집합의 스팬에 있기 때문이다.

개의 노드 를 의 근으로 선택하면, 차수  이하의 모든 다항식 에 대해 가우스 구적법 계산 적분을 정확하게 만드는 개의 가중치 가 존재한다. 또한 이 모든 노드 는 열린 구간 에 놓인다.

이 주장의 첫 번째 부분을 증명하기 위해, 차수  이하의 임의의 다항식 를 취한다. 이를 직교 다항식 으로 나누면 다음과 같다.
 h(x) = p_n(x) \, q(x) + r(x). 
여기서 는 차수  이하인 몫이며(그 차수와 제수 의 차수의 합은 피제수의 차수와 같아야 하므로), 은 나머지이며 역시 차수  이하이다(나머지의 차수는 항상 제수의 차수보다 작기 때문). 은 가정에 따라 차수  미만의 모든 단항식에 직교하므로 몫 에 직교해야 한다. 따라서
 \int_a^b \omega(x)\,h(x)\,dx = \int_a^b \omega(x)\,\big( \, p_n(x) q(x) + r(x) \, \big)\,dx = \int_a^b \omega(x)\,r(x)\,dx. 

나머지 는 차수  이하이므로 라그랑주 다항식 을 사용하여 개의 보간점을 사용하여 정확하게 보간할 수 있다. 여기서
 l_i(x) = \prod _{j \ne i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}. 

다음이 성립한다.
 r(x) = \sum_{i=1}^n l_i(x) \, r(x_i). 

그러면 그것의 적분은 다음과 같다.
 \int_a^b \omega(x)\,r(x)\,dx = \int_a^b \omega(x) \, \sum_{i=1}^n l_i(x) \, r(x_i) \, dx = \sum_{i=1}^n \, r(x_i) \, \int_a^b \omega(x) \, l_i(x) \, dx = \sum_{i=1}^n \, r(x_i) \, w_i, 

여기서 노드 와 관련된 가중치 는 의 가중 적분과 같도록 정의된다 (가중치에 대한 다른 공식은 아래 참조). 그러나 모든 는 의 근이므로 위 나눗셈 공식에 의해 다음이 성립한다.
 h(x_i) = p_n(x_i) \, q(x_i) + r(x_i) = r(x_i), 
모든 에 대해. 따라서 최종적으로 다음을 얻는다.
 \int_a^b \omega(x)\,h(x)\,dx = \int_a^b \omega(x) \, r(x) \, dx = \sum_{i=1}^n w_i \, r(x_i) = \sum_{i=1}^n w_i \, h(x_i). 

이는 차수  이하의 모든 다항식 에 대해 그 적분이 가우스 구적법 합계로 정확하게 주어진다는 것을 증명한다.

주장의 두 번째 부분을 증명하기 위해, 다항식 의 인수 분해된 형태를 고려한다. 임의의 켤레 복소수 근은 실수 전체에 걸쳐 엄격히 양수 또는 엄격히 음수인 이차 인수를 생성한다. 구간 에서  외부의 근에 해당하는 인수는 해당 구간에 걸쳐 부호를 변경하지 않는다. 마지막으로 구간 에서  내부의 근 에 해당하는 홀수 차수 인수의 경우, 에 하나의 인수를 더 곱하여 새로운 다항식을 만든다.
 p_n(x) \, \prod_i (x - x_i). 

이 다항식은 해당 구간 내의 모든 근이 이제 짝수 차수이므로 구간 에서 에 걸쳐 부호를 변경할 수 없다. 따라서 적분은
 \int_a^b p_n(x) \, \left( \prod_i (x - x_i) \right) \, \omega(x) \, dx \ne 0, 
무게 함수 는 항상 음수가 아니기 때문이다. 그러나 은 차수  이하의 모든 다항식에 직교하므로 곱의 차수는
 \prod_i (x - x_i) 
최소 이어야 한다. 따라서 은 구간 에서 에 개의 서로 다른 실수 근을 가진다.

#### 가중치에 대한 일반 공식
가중치는 다음과 같이 표현할 수 있다.

{a_{n-1}} \frac{\int_{a}^{b} \omega(x) p_{n-1}(x)^2 dx}{p'_{n}(x_{i}) p_{n-1}(x_{i})}|}}

여기서 a_{k}는 p_{k}(x)에서 x^{k}의 계수이다. 이를 증명하기 위해 라그랑주 보간을 사용하여 를 r(x_{i})로 표현할 수 있음을 유의하라.
r(x) = \sum_{i=1}^{n} r(x_{i}) \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \leq j \leq n \\ j \neq i \end{smallmatrix}}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}
왜냐하면 는 차수가 보다 작아서 개의 다른 점에서 가지는 값에 의해 고정되기 때문이다. 양변에 를 곱하고 에서 까지 적분하면
\int_{a}^{b}\omega(x)r(x)dx = \sum_{i=1}^{n} r(x_{i}) \int_{a}^{b}\omega(x)\prod_{\begin{smallmatrix} 1 \leq j \leq n \\ j \neq i \end{smallmatrix}} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}dx

따라서 가중치 는 다음과 같이 주어진다.
w_{i} = \int_{a}^{b}\omega(x)\prod_{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}dx

w_{i}에 대한 이 적분 표현식은 직교 다항식 p_{n}(x)와 p_{n-1}(x)로 다음과 같이 표현할 수 있다.

다음과 같이 쓸 수 있다.
 \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \leq j \leq n \\ j \neq i \end{smallmatrix}} \left(x-x_{j}\right) = \frac{\prod_{1\leq j\leq n} \left(x - x_{j}\right)}{x-x_{i}} = \frac{p_{n}(x)}{a_{n}\left(x-x_{i}\right)}

여기서 a_{n}은 p_{n}(x)에서 x^n의 계수이다. L'Hôpital의 정리를 사용하여 가 x_{i}로 가는 극한을 취하면
 \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \leq j \leq n \\ j \neq i \end{smallmatrix}} \left(x_{i}-x_{j}\right) = \frac{p'_{n}(x_{i})}{a_{n}}

따라서 가중치에 대한 적분 표현식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

dx|}}

적분에서 다음과 같이 쓴다.
\frac{1}{x-x_i} = \frac{1 - \left(\frac{x}{x_i}\right)^{k}}{x - x_i} + \left(\frac{x}{x_i}\right)^{k} \frac{1}{x - x_i}

다음이 나온다.
\int_a^b\omega(x)\frac{x^kp_n(x)}{x-x_i}dx = x_i^k \int_{a}^{b}\omega(x)\frac{p_n(x)}{x-x_i}dx

k \leq n인 경우, 왜냐하면
\frac{1-\left(\frac{x}{x_{i}}\right)^{k}}{x-x_{i}}
는 차수 의 다항식이며 p_{n}(x)에 대해 직교한다. 따라서 가 최대 n차 다항식이라면 다음이 성립한다.
\int_{a}^{b}\omega(x)\frac{p_{n}(x)}{x-x_{i}} dx = \frac{1}{q(x_{i})} \int_{a}^{b} \omega(x)\frac{q(x) p_n(x)}{x-x_{i}}dx 

q(x) = p_{n-1}(x)에 대해 오른쪽 적분을 다음과 같이 평가할 수 있다. \frac{p_{n}(x)}{x-x_{i}}는 차수 의 다항식이므로
\frac{p_{n}(x)}{x-x_{i}} = a_{n}x^{n-1} + s(x)
여기서 는 차수 n - 2의 다항식이다. 는 p_{n-1}(x)에 대해 직교하므로
\int_{a}^{b}\omega(x)\frac{p_{n}(x)}{x-x_{i}}dx=\frac{a_{n}}{p_{n-1}(x_{i})} \int_{a}^{b}\omega(x)p_{n-1}(x)x^{n-1}dx 

그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.
x^{n-1} = \left(x^{n-1} - \frac{p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}\right) + \frac{p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}

괄호 안의 항은 차수 n - 2의 다항식이므로 p_{n-1}(x)에 대해 직교한다. 따라서 적분은 다음과 같이 쓸 수 있다.
\int_{a}^{b}\omega(x)\frac{p_{n}(x)}{x-x_{i}}dx = \frac{a_{n}}{a_{n-1} p_{n-1}(x_{i})} \int_{a}^{b}\omega(x) p_{n-1}(x)^{2} dx 

방정식 ()에 따라 가중치는 이것을 p'_{n}(x_{i})로 나누어 얻으며, 이는 방정식 ()의 표현식을 산출한다.

w_{i}는 직교 다항식 p_{n}(x)와 이제 p_{n+1}(x)를 사용하여 표현할 수도 있다. 3항 점화식 p_{n+1}(x_{i}) = (a) p_{n}(x_{i}) + (b) p_{n-1}(x_{i})에서 p_{n}(x_{i}) 항은 사라지므로 Eq. (1)의 p_{n-1}(x_{i})는 \frac{1}{b} p_{n+1} \left(x_i\right)로 대체될 수 있다.

#### 가중치가 양수라는 증명
차수 2n - 2의 다음 다항식을 고려한다.
f(x) = \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \leq j \leq n \\ j \neq i \end{smallmatrix}}\frac{\left(x - x_j\right)^2}{\left(x_i - x_j\right)^2}
여기서, 위에서처럼, 는 다항식 p_{n}(x)의 근이다.
분명히 f(x_j) = \delta_{ij}이다. f(x)의 차수는 2n - 1보다 작으므로 p_{n}(x)에서 얻은 가중치와 노드를 포함하는 가우스 구적법 공식이 적용된다. 가 와 같지 않을 때 f(x_{j}) = 0이므로, 다음이 성립한다.
\int_{a}^{b}\omega(x)f(x)dx=\sum_{j=1}^{n}w_{j}f(x_{j}) = \sum_{j=1}^{n} \delta_{ij} w_j = w_{i} > 0.

\omega(x)와 f(x) 모두 음이 아닌 함수이므로 w_{i} > 0이 성립한다.

### 가우스 구적법 규칙 계산
가우스 구적법 규칙의 노드 와 가중치 를 계산하는 많은 알고리즘이 있다. 가장 널리 사용되는 방법은  연산이 필요한 골룹-웰시 알고리즘, 평가에 3항 점화식을 사용하는 p_n(x) = 0을 해결하기 위한 뉴턴 방법(이는  연산이 필요함), 그리고 큰 n에 대해  연산이 필요한 점근 공식이 있다.

#### 점화식
스칼라 곱 (\cdot , \cdot)에 대해 r \ne s일 때 (p_r, p_s) = 0을 만족하고 차수 (p_r) = r이며 선행 계수가 1인 직교 다항식 p_r(일계수 다항식)는 다음 점화식을 만족한다.
p_{r+1}(x) = (x - a_{r,r}) p_r(x) - a_{r,r-1} p_{r-1}(x) \cdots - a_{r,0}p_0(x)

및 스칼라 곱은 다음과 같이 정의된다.
(f(x),g(x))=\int_a^b\omega(x)f(x)g(x)dx

r = 0, 1, \ldots, n - 1에 대해 여기서 은 무한대로 취할 수 있는 최대 차수이며, 여기서 a_{r,s} = \frac{\left(xp_r, p_s\right)}{\left(p_s, p_s\right)}이다. 우선, p_0(x) = 1로 시작하는 점화식으로 정의된 다항식은 선행 계수가 1이고 올바른 차수를 가진다. p_0로 시작점을 주면 p_r의 직교성은 귀납법으로 보일 수 있다. r = s = 0에 대해 다음이 성립한다.
(p_1,p_0) = (x-a_{0,0}) (p_0,p_0) = (xp_0,p_0) - a_{0,0}(p_0,p_0) = (xp_0,p_0) - (xp_0,p_0) = 0.

이제 p_0, p_1, \ldots, p_r이 직교하면 p_{r+1}도 직교한다. 왜냐하면 다음 식에서
(p_{r+1}, p_s) = (xp_r, p_s) - a_{r,r}(p_r, p_s) - a_{r,r-1}(p_{r-1}, p_s)\cdots - a_{r,0}(p_0, p_s)
모든 스칼라 곱은 첫 번째 곱과 p_s가 같은 직교 다항식을 만나는 곳을 제외하고는 사라진다. 따라서
(p_{r+1},p_s) = (xp_r,p_s) - a_{r,s}(p_s,p_s) = (xp_r,p_s)-(xp_r,p_s) = 0.

그러나 스칼라 곱이 (xf, g) = (f,xg)를 만족하면(가우스 구적법의 경우 해당), 점화식은 3항 점화식으로 축소된다. s 이면 xp_s는 차수  이하인 다항식이다. 반면에 p_r은 차수  이하인 모든 다항식에 직교한다. 따라서 에 대해 (xp_r, p_s) = (p_r, xp_s) = 0 및 a_{r,s} = 0이 성립한다. 그러면 점화식은 다음으로 간단해진다.
p_{r+1}(x) = (x-a_{r,r}) p_r(x) - a_{r,r-1} p_{r-1}(x)

또는
p_{r+1}(x) = (x-a_r) p_r(x) - b_r p_{r-1}(x)

(규약 p_{-1}(x) \equiv 0을 사용) 여기서
a_r := \frac{(xp_r,p_r)}{(p_r,p_r)}, \qquad b_r := \frac{(xp_r,p_{r-1})}{(p_{r-1},p_{r-1})} = \frac{(p_r,p_r)}{(p_{r-1},p_{r-1})}

(마지막 식은 (xp_r, p_{r-1}) = (p_r, xp_{r-1}) = (p_r, p_r) 때문이다. 왜냐하면 xp_{r-1}은 차수  미만의 다항식으로 p_r과 다르기 때문).

#### 골룹-웰시 알고리즘
3항 점화식은 행렬 형식 J\tilde{P} = x\tilde{P} - p_n(x) \mathbf{e}_n으로 쓸 수 있다. 여기서 \tilde{P} = \begin{bmatrix} p_0(x) & p_1(x) & \cdots & p_{n-1}(x) \end{bmatrix}^\mathsf{T}, \mathbf{e}_n은 n번째 표준 기저 벡터, 즉 \mathbf{e}_n = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0  & 1 \end{bmatrix}^\mathsf{T}이고, 는 다음 3중 대각 행렬이며 야코비 행렬이라고 한다.
\mathbf{J} = \begin{bmatrix}
       a_0 &      1 &      0 &  \cdots  &       0 \\
       b_1 &    a_1 &      1 &  \ddots  &  \vdots \\
         0 &    b_2 & \ddots &  \ddots  &       0 \\
    \vdots & \ddots & \ddots &  a_{n-2} &       1 \\
         0 & \cdots &       0 & b_{n-1} & a_{n-1}
\end{bmatrix}.

가우스 구적법의 노드로 사용되는 차수 까지의 다항식의 근 x_j는 이 행렬의 고유값을 계산하여 찾을 수 있다. 이 절차는 골룹-웰시 알고리즘으로 알려져 있다.

가중치와 노드를 계산하기 위해 다음 요소가 있는 대칭 3중 대각 행렬 \mathcal{J}를 고려하는 것이 좋다.
\begin{align}
                                            \mathcal{J}_{k,i} = J_{k,i} &= a_{k-1}        & k &= 1,2,\ldots,n \\[2.1ex]
  \mathcal{J}_{k-1,i} = \mathcal{J}_{k,k-1} = \sqrt{J_{k,k-1}J_{k-1,k}} &= \sqrt{b_{k-1}} & k &= \hphantom{1,\,}2,\ldots,n.
\end{align}

즉,

\mathcal{J} = \begin{bmatrix}
       a_0 & \sqrt{b_1} &          0 &        \cdots  &              0 \\
\sqrt{b_1} &        a_1 & \sqrt{b_2} &        \ddots  &         \vdots \\
         0 & \sqrt{b_2} &     \ddots &        \ddots  &              0 \\
    \vdots &     \ddots &     \ddots &        a_{n-2} & \sqrt{b_{n-1}} \\
         0 &     \cdots &          0 & \sqrt{b_{n-1}} &        a_{n-1}
\end{bmatrix}.

와 \mathcal{J}는 닮음 행렬이므로 같은 고유값(노드)을 가진다. 가중치는 해당 고유 벡터에서 계산할 수 있다. \phi^{(j)}가 고유값 와 관련된 정규화된 고유 벡터(즉, 유클리드 노름이 1인 고유 벡터)이면 해당 가중치는 이 고유 벡터의 첫 번째 성분에서 계산할 수 있다.
w_j = \mu_0 \left(\phi_1^{(j)}\right)^2

여기서 \mu_0는 무게 함수의 적분이다.
\mu_0 = \int_a^b \omega(x) dx.

자세한 내용은  등을 참조하라.

### 오차 추정
가우스 구적법 규칙의 오차는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 개의 연속 도함수를 갖는 피적분 함수에 대해
 \int_a^b \omega(x)\,f(x)\,dx - \sum_{i=1}^n w_i\,f(x_i) = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \, (p_n, p_n) 
의 어떤 에 대해, 여기서 은 을 선행 계수로 갖는 일계수 차수 의 직교 다항식이고
 (f,g) = \int_a^b \omega(x) f(x) g(x) \, dx.

의 중요한 특수한 경우에 대한 오차 추정은 다음과 같다.
 \frac{\left(b - a\right)^{2n+1} \left(n!\right)^4}{(2n + 1)\left[\left(2n\right)!\right]^3} f^{(2n)} (\xi), \qquad a 

Stoer와 Bulirsch는 이 오차 추정이 실제로는 불편하다고 지적한다. 왜냐하면 차수  도함수를 추정하기 어려울 수 있으며, 또한 실제 오차가 도함수에 의해 확립된 경계보다 훨씬 작을 수 있기 때문이다. 다른 접근 방식은 서로 다른 차수의 두 가지 가우스 구적법 규칙을 사용하고 두 결과 간의 차이로 오차를 추정하는 것이다. 이러한 목적을 위해 가우스-크론로드 구적법 규칙이 유용할 수 있다.

### 가우스-크론로드 규칙

구간 가 세분되면 새로운 부분 구간의 가우스 평가 지점은 이전 평가 지점과 절대 일치하지 않으며(홀수 개수에 대해 0인 경우 제외) 따라서 모든 지점에서 피적분 함수를 평가해야 한다. 가우스-크론로드 규칙은 점 규칙에 점을 추가하여 결과 규칙이 차수 이 되도록 확장된 가우스 구적법 규칙이다. 이를 통해 저차 추정의 함수 값을 재사용하면서 고차 추정을 계산할 수 있다. 가우스 구적법 규칙과 크론로드 확장 간의 차이는 종종 근사 오차의 추정으로 사용된다.

### 가우스-로바토 규칙
네덜란드 수학자 레우엘 로바토(Rehuel Lobatto)의 이름을 따서 **로바토 구적법**이라고도 알려져 있다. 가우스 구적법과 유사하며 다음과 같은 차이점이 있다.
# 적분 지점에는 적분 구간의 끝점이 포함된다.
# 적분 지점의 개수 에 대해 차수 까지의 다항식에 대해 정확하다.

구간 에 대한 함수 의 로바토 구적법:
\int_{-1}^1 {f(x) \, dx} = \frac {2} {n(n-1)}[f(1) + f(-1)] + \sum_{i = 2}^{n-1} {w_i f(x_i)} + R_n.

절편: 는 P'_{n-1}(x)의 (i - 1)번째 근이며, 여기서 P_m(x)는 차 표준 르장드르 다항식을 나타내고 대시는 미분을 나타낸다.

가중치:
w_i = \frac{2}{n(n - 1)\left[P_{n-1}\left(x_i\right)\right]^2}, \qquad x_i \ne \pm 1.

나머지:
R_n = \frac{-n\left(n - 1\right)^3 2^{2n-1} \left[\left(n - 2\right)!\right]^4}{(2n-1) \left[\left(2n - 2\right)!\right]^3} f^{(2n-2)}(\xi), \qquad -1 

일부 가중치는 다음과 같다.

내부 노드가 2개인 이 알고리즘의 적응형 변형은 GNU 옥타브 및 매트랩에서 각각 `quadl` 및 `integrate`로 제공된다.

## 같이 보기
* 오일러-매클로린 공식
* 구적법

## 각주
### 인용


### 참고 문헌

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*  datiert 1814, auch in Werke, Band 3, 1876, S. 163–196. English Translation by Wikisource.
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## 외부 링크
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* ALGLIB은 수치적분을 위한 알고리즘 모음(C# / C++ / Delphi / Visual Basic 등)을 포함한다.
* GNU 사이언티픽 라이브러리 — C 버전의 QUADPACK 알고리즘을 포함한다(GNU 사이언티픽 라이브러리 참조)
* 로바토 구적법에서 오일러 상수 e까지
* 가우스 구적법 적분 규칙 – Notes, PPT, Matlab, Mathematica, Maple, Mathcad Holistic Numerical Methods Institute
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* 가우스 구적법 - Chris Maes와 Anton Antonov 작성, 울프럼 데몬스트레이션 프로젝트.
* Mathematica 소스 코드와 함께 표로 정리된 가중치와 절편, 고정밀(소수점 16자리 및 256자리) 르장드르-가우스 구적법 가중치와 절편, n=2부터 n=64까지, Mathematica 소스 코드 포함.
* 임의의 가중 함수 W(x), 적분 영역 및 정밀도에 대한 절편 및 가중치 생성용 GNU LGPL 하에 배포되는 Mathematica 소스 코드.
* 임의의 정밀도 및 근사 차수에 대한 Boost.Math의 가우스 구적법
* Boost.Math의 가우스-크론로드 구적법
* 가우스 구적법의 노드와 가중치 

분류:수치적분