꼬마 끈 이론

끈 이론에서 **꼬마 끈 이론**(꼬마 끈理論, , 약자 LST)은 NS5-막의 적절한 극한에서의 낮은 에너지 유효 이론이다. 이 이론에서는 끈이 존재하지만, 이 이론은 중력을 포함하지 않는다.

## 정의
II종 초끈 이론에서, N개의 평탄한 NS5-막이 같은 위치에 존재한다고 하자. 이는
:\operatorname{SO}(1,5)\times\operatorname{SO}(4)
로런츠 대칭을 가지며, 16개의 초전하를 보존한다. 만약 IIA종 초끈 이론을 사용할 경우 이는 6차원 \mathcal N=(2,0) 초대칭을 가지며, IIB종 초끈 이론을 사용할 경우 이는 \mathcal N=(1,1) 초대칭을 갖는다.

이제, NS5-막의 6차원 동역학을 10차원 초끈 이론으로부터 분리하기 위하여, 다음과 같은 극한을 취하자.
:g_{\text{s}} \to 0
:E / m_{\text{s}} = O(1)
즉, 끈 결합 상수를 0으로 보내고, 에너지 눈금 E를 끈의 장력에 고정시킨다.

이 극한에서 얻는 이론을 \mathcal N=(2,0) 또는 \mathcal N=(1,1) **꼬마 끈 이론**이라고 한다.

## 성질
꼬마 끈 이론은 다음과 같은 성질을 갖는다.
* 국소적이지 않으며, 끈을 갖는다.
* T-이중성이 존재한다.
* 6차원 이하의 시공간 차원에 존재하며, 16개 이하의 초전하 (4차원 \mathcal N=4)를 갖는다.
* 끈 이론과 마찬가지로, 높은 에너지에서 하게도른 온도를 갖는다.
* 끈 이론과 달리, 중력을 포함하지 않는다.
* 끈 이론과 달리, 질량껍질 밖의 그린 함수가 존재한다.

### 비자유성
N>1 꼬마 끈 이론은 자유 이론이 아니다. (반면 N=1일 경우 이는 자유 이론이다.)

예를 들어, IIB 초끈 이론의 N개의 NS5-막을 생각하자. S-이중성을 가하면, 이는 N개의 D5-막이 된다. 그 낮은 에너지 이론은 6차원 \mathcal N=(1,1) \operatorname U(N) 게이지 이론이며, 그 게이지 결합 상수 g_{\text{D5}}는 다음과 같다.
:g^{-2}_{\text{D5}} = \frac{m_{\text{s}}^2}{g_{\text{s}}}
다시 S-이중성을 가하면,
:g_{\text{D5}} \mapsto g_{\text{NS5}}
:g_{\text{s}} \mapsto 1/g_{\text{s}}
:m_{\text{s}} \mapsto m_{\text{s}}/g_{\text{s}}
이므로,
:g^{-2}_{\text{NS5}} = m_{\text{s}}^2
이다. 따라서, E\sim m_{\text{s}}인 에너지 눈금에서 이 이론은 상호 작용을 갖게 된다. (엄밀히 말하면, 이 이론은 재규격화될 수 없으므로, E\ll m_{\text{s}}에서는 g_{\text{NS5}}\to 0이지만 E\simeq m_{\text{s}}에서는 게이지 이론 묘사가 더 이상 성립하지 못하지만, 이 경우 어쨌든 이론은 자유 이론일 수 없다.)

### T-이중성

원 위에 축소화된 IIA종 초끈 이론과 원 위에 축소화된 IIB종 초끈 이론은 T-이중성에 따라 서로 동치이다. T-이중성 아래 IIA NS5-막은 IIB NS5-막에 대응된다. 즉, 하나의 차원을 축소화했을 때, T-이중성에 의하여 \mathcal N=(2,0) 꼬마 끈 이론은 \mathcal N=(1,1) 꼬마 끈 이론과 서로 동치이다.

### 상태 밀도
높은 에너지 E에서, 꼬마 끈 이론의 상태 밀도는 다음과 같은 꼴이다.
:\rho(E) \sim E^\alpha \exp(\beta_{\text{H}} E)\left(1+O(1/E)\right)
:S(E) = \ln\rho(E) = \beta_{\text{H}}E +\alpha \ln (E/\Lambda) +  O(1/E)
여기서 \beta_{\text{H}}는 하게도른 온도이다.

### AdS/CFT 대응성

꼬마 끈 이론에 홀로그래피적으로 대응되는 10차원 중력 이론은 다음과 같다.

II종 10차원 초중력에서, N개의 NS5-막에 해당하는 해는 (끈 틀 에서) 다음과 같다.
:\mathrm ds^2 = \mathrm dx_\mu\,\mathrm dx^\mu + \left(1+\frac{N\alpha'}{r^2}\right)\,\mathrm dx^i\,\mathrm dx_i
: \exp(2\Phi) = g_{\text{s}}^2\left(1+\frac{N\alpha'}{r^2}\right)
:H_{ijk} = -\epsilon_{ijkl}\partial^l\Phi
여기서
* \mu,\nu,\dotsc\in\{0,1,\dotsc,5\}는 6차원 로런츠 좌표이며, i,j,\dotsc\in\{6,7,8,9\}는 NS5-막과 수직인 방향의 좌표이다.
* \textstyle r^2 = \sum_{i=6}^9 (x^i)^2이다.
* \mathrm ds^2는 계량 텐서이다.
* \Phi는 딜라톤이다.
* H는 캘브-라몽 장 B의 장세기인 3차 미분 형식이다.
* \alpha'는 끈 이론 레제 기울기이며, g_{\text{s}}는 끈 결합 상수이다.

이제, 꼬마 끈 이론을 얻으려면 r/g_{\text{s}} = \exp \sigma를 고정시키고 r\to0을 취하면 된다. 그렇다면,
:\mathrm ds^2 = \mathrm dx_\mu\,\mathrm dx^\mu + N\alpha'\left(\mathrm d\sigma^2+\mathrm d\Omega_3^2\right)
:\Phi = -\sigma
이다. 이 배경은
:\mathbb R^{1,5} \times \mathbb R \times \mathbb S^3
에 해당한다. 여기서 둘째 성분 \mathbb R는 \sigma를 좌표로 하는 실수선이며 셋째 \mathbb S^3는 그 반지름이 \sqrt{N\alpha'}인 3차원 초구이다.

여기서, 3차원 초구 성분은 레벨 N의 베스-추미노-위튼 모형에 해당한다.

이 밖에도, 이 이론은 10개의 자유 페르미온 \psi^\mu과 \mathbb R\times\mathbb S^3에 대응되는 4개의 페르미온을 갖는다.

즉, 이 배경의 II종 끈 이론의 끈 세계면 위의 2차원 등각 장론의 장들은 다음과 같다.

이에 따라, 비라소로 대수의 총 중심 전하는 다음과 같다.
:c = (1+1/2)\times 6 + (1 + 1/2) + \left(\frac{N-2}N + \frac12+\frac2N\right)\times 3 = 15
이는 예상대로 임계 차원 (D=10) 초끈 이론의 중심 전하와 같다.

즉, IIA/B종 꼬마 끈 이론은 이와 같은 굽은 배경에서의 10차원 II(A/B)종 끈 이론과 홀로그래피적으로 쌍대이다. AdS/CFT 대응성에서, 경계 이론(꼬마 끈 이론)의 질량껍질 밖 관측 가능량은 중력 이론(굽은 배경의 II종 끈 이론)의 질량껍질 위 관측 가능량에 대응한다. 즉, 꼬마 끈 이론의 질량껍질 밖 관측 가능량이 존재함을 알 수 있다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:끈 이론