준열린집합

일반위상수학에서 **준열린집합**(準-集合, ) 또는 **베르 성질 집합**(Baire性質集合, )은 열린집합 또는 닫힌집합에 제1 범주 집합만큼 가까운 집합이다.

## 정의
위상 공간 X 속의 다음과 같은 집합족들을 생각하자.
* \operatorname{Meag}(X)=\{S\subseteq X\colon\operatorname{int}(\operatorname{cl}(X))=\varnothing\}: 제1 범주 집합들의 족
* \boldsymbol\Sigma^0_1(X): 열린집합들의 족
* \boldsymbol\Pi^0_1(X): 닫힌집합들의 족
* \boldsymbol\Sigma^0_2(X): F<sub>σ</sub> 집합들의 족
* \boldsymbol\Pi^0_2(X): G<sub>δ</sub> 집합들의 족
* \boldsymbol\Delta^1_1(X): 보렐 집합들의 족
또한, \operatorname\sigma(\mathcal F)가 집합족 \mathcal F를 포함하는 최소의 시그마 대수라고 하자. 그렇다면, 다음 집합족들이 일치하며, 이를 \operatorname{BP}(X)라고 표기하자.
:
\begin{aligned}
\operatorname{BP}(X)&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Sigma^0_1(X)\right)\\
&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Pi^0_1(X)\right)\\
&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Delta^1_1(X)\right)\\
&=\left\{S\subseteq X\colon\exists U\in\boldsymbol\Sigma^0_1(X)\colon A\mathop{\triangle}U\in\operatorname{Meag}(X)\right\}\\
&=\left\{S\subseteq X\colon\exists F\in\boldsymbol\Pi^0_1(X)\colon A\mathop{\triangle}F\in\operatorname{Meag}(X)\right\}\\
&=\{A\setminus M\colon A\in\boldsymbol\Sigma^0_2(X),\;M\in\operatorname{Meag}(X)\}\\
&=\{A\cup M\colon A\in\boldsymbol\Pi^0_2(X),\;M\in\operatorname{Meag}(X)\}\\
\end{aligned}
여기서 A\mathop{\triangle}B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)은 대칭차이다. \operatorname{BP}(X)의 원소를 X의 **준열린집합**이라고 한다.

**증명:**

다음 기호를 정의하자.
:\begin{aligned}
\mathcal A&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Sigma^0_1(X)\right)\\
\mathcal A'&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Pi^0_1(X)\right)\\
\mathcal A*&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Delta^1_1(X)\right)\\
\mathcal B&=\left\{S\subseteq X\colon\exists U\in\boldsymbol\Sigma^0_1(X)\colon A\mathop{\triangle}U\in\operatorname{Meag}(X)\right\}\\
\mathcal B'&=\left\{S\subseteq X\colon\exists F\in\boldsymbol\Pi^0_1(X)\colon A\mathop{\triangle}F\in\operatorname{Meag}(X)\right\}=\{X\setminus S\colon S\in\mathcal B\}\\
\mathcal C&=\{A\setminus M\colon A\in\boldsymbol\Sigma^0_2(X),\;M\in\operatorname{Meag}(X)\}\\
\mathcal C'&=\{A\cup M\colon A\in\boldsymbol\Pi^0_2(X),\;M\in\operatorname{Meag}(X)\}=\{X\setminus S\colon S\in\mathcal C\}\\
\end{aligned}</math>
[[보렐 시그마 대수]]는 정의에 따라 <math>\boldsymbol\Delta^1_1(X)=\sigma(\boldsymbol\Sigma^0_1(X))=\sigma(\boldsymbol\Pi^0_1(X))</math>이므로, 자명하게
:<math>\mathcal A=\mathcal A'=\mathcal A*
이다. 또한, 자명하게
:\mathcal C\cup\mathcal C'\subseteq\mathcal A''\subseteq\sigma(\mathcal B)=\sigma(\mathcal B')
이다. 또한,
:\mathcal B\subseteq\mathcal C'\iff\mathcal B'\subseteq\mathcal C
임을 쉽게 알 수 있다. 따라서,
:\mathcal B\subseteq\mathcal C'
:\mathcal B=\sigma(\mathcal B)
를 보이면 족하다.
* \mathcal B\subseteq\mathcal C': 임의의 집합 S\in\mathcal B 및 U\in\boldsymbol\Sigma^0_1(X)에 대하여, S\triangle U\subseteq A_0\cup A_1\cup\cdots이며, (A_i)_{i\in\mathbb N}가 조밀한 곳이 없는 집합들의 열이라고 하자. 그렇다면, M=\operatorname{cl}(A_0)\cup\operatorname{cl}(A_1)\cup\cdots\in\operatorname{Meag}(X)\cap\boldsymbol\Sigma^0_2(X)이다. 이제 \tilde S=U\setminus M\in\boldsymbol\Pi^0_2(X)을 정의하자. 그렇다면, S\setminus\tilde S\subseteq M이므로 S\setminus\tilde S\in\operatorname{Meag}(X)이며, S=\tilde S\cup(S\setminus\tilde S)이다.
* \mathcal B=\sigma(\mathcal B):
** 가산 합집합에 대한 닫힘: 열린집합의 합집합은 열린집합이며, 제1 범주 집합들의 가산 합집합은 제1 범주 집합이므로, 이는 자명하게 참이다.
** 여집합에 대한 닫힘: 편의상, A\triangle B\in\operatorname{Meag}(X)를 A\approx B로 표기하자. 임의의 A\in\mathcal B에 대하여, U\in\boldsymbol\Sigma^0_1(X)이며 A\approx U라고 하자. 그렇다면, X\setminus A\approx X\setminus U이며, U\approx\operatorname{cl}(U)이므로 X\setminus A\approx X\setminus\operatorname{cl}(U)\in\boldsymbol\Sigma^0_1(X)이다.


## 성질
### 함의 관계
위상 공간의 부분 집합에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:

### 연산에 대한 닫힘
위상 공간 X 위의 준열린집합들은 시그마 대수를 이룬다. 즉,
* 준열린집합의 여집합은 준열린집합이다.
* 가산 개의 준열린집합들의 합집합은 준열린집합이다.
* 가산 개의 준열린집합들의 교집합은 준열린집합이다.

모든 열린집합과 닫힌집합을 비롯한 모든 보렐 집합은 준열린집합이다. 만약 사영 결정 공리를 가정한다면, 모든 사영 집합은 준열린집합이다.

## 예
선택 공리를 가정하면, 실수선의 부분 집합들 가운데 준열린집합이 아닌 부분 집합이 존재한다. 예를 들어, 비탈리 집합은 준열린집합이 아니다.

## 역사
르네루이 베르가 1905년에 도입하였다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:일반위상수학