구면 모형

통계역학에서 **구면 모형**(球面模型, )은 강자성을 나타내는 간단한 격자 모형이다. 이징 모형과 유사하나, 이징 모형과 달리 임의의 차원에서 정확히 간단히 풀 수 있다. 2차원 이하에서는 상전이를 갖지 않지만, 2차원 초과에서는 상전이를 갖는다. 이 모형의 임계 지수들은 일반적으로 차원에 의존하는 독특한 현상을 보인다.

## 정의
**구면 모형**은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 유한 그래프 \Gamma
* 함수 h\colon\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)\to \mathbb R, i \mapsto h_i. 이는 외부 자기장을 뜻한다.
* 함수 \beta\colon \mathsf E(\Gamma)\to\mathbb R, ij \mapsto \beta_{ij}. 이는 온도의 역수를 뜻한다.
이 모형에서, 변수는 그래프 꼭짓점 위의 “스핀”의 분포이다. 여기서 “스핀”은 임의의 실수 값을 가질 수 있지만, 모든 스핀들의 제곱평균제곱근은 1이어야 한다.
:\sigma \colon \operatorname{\mathsf V}(\Gamma)\to\mathbb R
:\sum_{i\in\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)} \sigma_i^2 = |\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|
즉, 짜임새 공간은 유클리드 공간 \mathbb R^{\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)} 속의, 반지름 \sqrt의 초구이다.

구형 모형의 분배 함수는 다음과 같다.
:Z_\Gamma(\beta,h) = \int_{\mathbb R^{\mathsf V(\Gamma)}} \mathrm d^\sigma \,\exp\left(
\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\beta_{ij}\sigma_i\sigma_j
+\sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)}h_i\sigma_i
\right)

이는 다음과 같이 표기할 수 있다. 우선, 실수 힐베르트 공간
:\mathcal H = \mathbb R^{\mathsf V(\Gamma)}
위의 연산자
:M \colon \mathcal H\to\mathcal H
:
\langle i|M|j\rangle
=-\beta_{ij} \langle i|\mathsf A_\Gamma|j\rangle

를 정의하자. 여기서 \mathsf A_\Gamma는 \Gamma의 인접 행렬이다.
:\langle i|\mathsf A_\Gamma|j\rangle = \begin{cases}
1 & ij \in \operatorname E(\Gamma) \\
0 & ij \not\in\operatorname E(\Gamma)
\end{cases}
즉, 만약 \beta가 상수 함수라면 M = -\beta \mathsf A_\Gamma이다.

그렇다면, 분배 함수를 다음과 같이 적을 수 있다.
:
\begin{aligned}
Z_\Gamma(\beta,h) &= \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R^{\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)}} \mathrm D\sigma\int_{z+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz
\;\exp\left(-\langle \sigma|(M+z)|\sigma\rangle + \langle h|\sigma\rangle + z|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|\right)\\
\end{aligned}


여기서 디랙 델타를
:\delta(\langle\sigma|\sigma\rangle - |\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|) = \int_{a+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz\;\exp(-z\langle \sigma|\sigma\rangle + z |\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|)\qquad(a\gg1)
로 표현하였다. 여기서, a는 M + z의 모든 고윳값의 실수 성분이 양수가 되게 충분히 커야 한다.

즉, 이 경우
:Z_\Gamma(\beta,h) = \frac1{2\pi} \int_{a+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz\;Z_\Gamma(\beta,h,z)\exp\left(z|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|+\frac14\langle h|(z+M)^{-1}|h\rangle\right)\qquad(a\gg1)
:Z_\Gamma(\beta,h,z) = \int_{\mathbb R^{\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)}} \mathrm D\sigma\;\exp\left(-\langle \sigma|(z+M)|\sigma\rangle
\right)
= \frac{\pi^{|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|/2}}{\sqrt{\det(z+M)}}

이 된다.

즉,
:
\begin{aligned}
Z_\Gamma(\beta,h)
&= \frac12\pi^{|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|/2-1}
\int_{a+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz\,
\exp\left(z|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|+\frac14\langle h|(z+M)^{-1}|h\rangle\right)
\det(z+M)^{-1/2}\qquad(a\gg1)\\
&=
\frac12\pi^{|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|/2-1}
\int_{a+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz\,
\prod_{\lambda\in\operatorname{Spec}M}
\frac{\exp(z+\langle v_\lambda|h\rangle^2/(z+\lambda)^{-1})
}{\sqrt{z+ \lambda}}
\end{aligned}

이다. 여기서 v_\lambda는 M의 고유 벡터로 구성된 정규 직교 기저이다.

## 성질
### 최급강하법 근사
그래프가 매우 큰 경우, 다음과 같이 최급강하법을 사용하여 분배 함수를 근사할 수 있다. 구체적으로, 분배 함수를 다음과 같이 적자.
:Z = \frac12 \pi^{|\mathsf V(\Gamma)|/2-1}
\int_{a+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz\;
\exp\left(
|\mathsf V(\Gamma)|
S_\Gamma(z)
\right)
:S(z)
=
z + \frac1\frac14\langle h|(z+\beta\mathsf A_\Gamma)^{-1}|h\rangle
- \frac12 {\ln \det(z+M)}

이다. 여기서
:\ln \det(z+M) \propto |\mathsf V(\Gamma)|
:\langle h | (z + M) | h\rangle \propto |\mathsf V(\Gamma)|
라고 가정하였다. (예를 들어, 만약 \Gamma = (\mathsf C_L)^{\square d}가 원환면 그래프(d개의 순환 그래프들의 그래프 데카르트 곱)이며, 자기장 h 또한 상수 함수라면, 위 조건이 성립한다.)

그렇다면, |\mathsf V(\Gamma)| \to \infty인 극한에서,
:\frac1\ln Z_\Gamma(\beta,h) \approx \max_{z\in a+\mathrm i\mathbb R}S(z;\beta,h) + \frac12\ln\pi + o(1)
가 된다.

### 원환면 그래프
\Gamma=(\mathsf C_L)^{\square d}가 크기 L의 순환 그래프 \mathsf C_L의 d겹 그래프 데카르트 곱이라고 하자. 즉, 이는 주기적 경계 조건이 주어진 d차원 L\times \dotsb \times L 초입방체에 해당한다. 이 경우, \Gamma의 스펙트럼은 다음과 같은 중복집합이다.
:
\operatorname{Spec}\Gamma = \left\{
2 \sum_{i=1}^d\cos \frac{2\pi k_i}L
\colon k_i \in \{0,1,\dotsc,L-1\}
\right\}

따라서 \beta가 상수 함수일 때, L\to \infty 극한에서, \ln\det(z+M)은 따라서 [0,2\pi]^d 위의 적분으로 근사될 수 있다.

이러한 그래프에서, 상수 함수 자기장 h는 \Gamma의 인접 행렬의 고유 벡터이며, 따라서 이 경우 자기장의 항 역시 계산될 수 있다.

이 경우, 상태 방정식은 다음과 같다.
:2(1-m^2) = \beta g'(h/2m+d)
여기서
* T = 1/\beta는 온도이다.
* m=\langle\sigma\rangle은 \sigma의 평균값이다.
* g(z)는 다음과 같이 정의되는 함수이다. 이는 \ln\det(z+\mathsf A_\Gamma)의 적분 근사에서 유래한다.
:g(z) = (2\pi)^{-d} \int_{[0,2\pi]^d} \mathrm d^dt\;\ln\left(
z - \sum_{i=1}^d\cos t_i\right)
이 경우
:g'(z) = \int_0^\infty \mathrm dt\,\exp(-tz)\mathsf J_0(\mathrm it)^d
가 된다. 여기서 \mathsf J_0(-)는 0차 베셀 함수이다.

이 경우
:g'(d) \begin{cases}
= \infty & (0 
:g''(d) \begin{cases}
= \infty & (0
이다. 따라서,
* d \le 2일 때 구면 모형은 상전이를 갖지 않는다. 즉, 퀴리 온도가 0이다.
* d>2일 때 구면 모형은 1차 상전이를 갖는다. 즉, 퀴리 온도가 (유한한) 양수이며, 그 역수는
:\beta_0 = \frac12 g'(d)
이다.

d>2일 때, 임계 지수들은 다음과 같다.
:\alpha = \begin{cases}
-\frac{4-d}{d-2} & (2
:\beta = \frac12
:\gamma = \begin{cases}
\frac2{d-2} & (2
즉, 이 경우 임계 지수들이 d에 의존하게 된다.

### 이징 모형과의 관계
물리학적으로, 이는 이징 모형의 근사로 여겨질 수 있다. 이징 모형에서 분배 함수는 |\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|차원 유클리드 공간 속의 초입방체의 2N개 꼭짓점에 대한 합을 취하는 것인데, 이 모형은 이를 대신 비슷한 크기의 초구의 표면에 대한 적분으로 근사한다.

## 역사
섬네일|right|마레크 카츠
1952년에 시어도어 벌린(, 1917-1963)과 마레크 카츠(, 1914-1984)가 도입하였다.

## 각주

분류:격자 모형