대칭 모노이드 범주

범주론에서 **대칭 모노이드 범주**(對稱monoid範疇, )는 동형 사상 아래 결합 법칙과 교환 법칙이 성립하고, 동형 사상 아래 항등원이 존재하는 이항 연산을 갖는 범주이다. (교환 법칙이 성립하지 못할 수 있는) 모노이드 범주의 개념의 특수한 경우이다.

## 정의
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 모노이드 범주 (\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)
* 함자 \otimes\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C,\;(X,Y)\mapsto X\otimes Y, \otimes\circ\sigma_{\mathcal C,\mathcal C}\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C,\;(X,Y)\mapsto Y\otimes X 사이의 자연 동형 \sigma\colon\otimes\Rightarrow\otimes\circ\sigma_{\mathcal C,\mathcal C}. 여기서 \sigma_{\mathcal C,\mathcal C}\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C\times\mathcal C, (X,Y)\mapsto(Y,X)는 곱범주 위의 표준적인 자연 동형이다.
이 데이터에 대하여 다음 조건들을 생각하자.
* (결합자와의 호환) 임의의 대상 X,Y,Z\in\mathcal C에 대하여, \alpha_{Y,Z,X}\circ\sigma_{X,Y\otimes Z}\circ\alpha_{X,Y,Z}=(\operatorname{id}_Y\otimes\sigma_{X,Z})\circ\alpha_{Y,X,Z}\circ(\sigma_{X,Y}\otimes\operatorname{id}_Z). 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
*:\begin{matrix}
(X\otimes Y)\otimes Z&\xrightarrow\sigma&(Y\otimes X)\otimes Z\\
{\scriptstyle\alpha}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\alpha\\
X\otimes(Y\otimes Z)&&Y\otimes(X\otimes Z)\\
{\scriptstyle\sigma}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\sigma\\
(Y\otimes Z)\otimes X&\xrightarrow[\alpha]{}&Y\otimes(Z\otimes X)\\
\end{matrix}
* (결합자의 역원과의 호환) 임의의 대상 X,Y,Z\in\mathcal C에 대하여, \alpha^{-1}_{Z,X,Y}\circ\sigma_{X\otimes Y,Z}\circ\alpha^{-1}_{X,Y,Z}=(\sigma_{X,Z}\otimes\operatorname{id}_Y)\circ\alpha^{-1}_{X,Z,Y}\circ(\operatorname{id}_X\otimes\sigma_{Y,Z}). 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
*:\begin{matrix}
X\otimes(Y\otimes Z)&\xrightarrow\sigma& X\otimes(Z\otimes Y)\\
{\scriptstyle\alpha^{-1}}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\alpha^{-1}\\
(X\otimes Y)\otimes Z&&(X\otimes Z)\otimes Y\\
{\scriptstyle\sigma}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\sigma\\
Z\otimes(X\otimes Y)&\xrightarrow[\alpha^{-1}]{}&(Z\otimes X)\otimes Y\\
\end{matrix}
* (멱등성) 임의의 대상 X,Y\in\mathcal C에 대하여, \operatorname{id}_{X\otimes Y}=\sigma_{Y,X}\circ\sigma_{X,Y}. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
*:\begin{matrix}
X\otimes Y&\xrightarrow\sigma&Y\otimes X\\
\|&\swarrow\scriptstyle\sigma\\
X\otimes Y
\end{matrix}

이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (결합자의 역원과의 호환) 그림을 가환 그림으로 만든다면, **꼬임 모노이드 범주**()라고 한다. 이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (멱등성) 그림을 가환 그림으로 만든다면, 이를 **대칭 모노이드 범주**(對稱monoid範疇, )라고 한다. (결합자와의 호환) 및 (멱등성)이 성립한다면 (결합자의 역원과의 호환) 역시 자동적으로 성립한다. 즉, 모든 대칭 모노이드 범주는 꼬임 모노이드 범주이다.

### 대칭 모노이드 함자
두 꼬임 모노이드 범주
:(\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho,\sigma)
:(\mathcal C',\otimes',I',\alpha',\lambda',\rho',\sigma')
사이의 **꼬임 모노이드 함자**()는 다음 조건을 만족시키는 모노이드 함자
:(F\colon\mathcal C\to\mathcal C',\xi\colon F(-)\otimes F(-)\Rightarrow F(-\otimes-),\xi_0\colon I'\to F(I))
이다.
* (꼬임과의 호환) 임의의 대상 X,Y\in\mathcal C에 대하여, F(\sigma_{X,Y})\circ\xi_{X,Y}=\xi_{Y,X}\circ\sigma'_{F(X),F(Y)}. 즉, 다음 그림이 가환한다.
*:\begin{matrix}
F(X)\otimes'F(Y) & \xrightarrow{\sigma'} & F(Y)\otimes'F(X) \\
{\scriptstyle\xi}\downarrow && \downarrow{\scriptstyle\xi} \\
F(X\otimes Y) & \xrightarrow{F\sigma} & F(Y\otimes X)
\end{matrix}


두 대칭 모노이드 범주 사이의 **대칭 모노이드 함자**()는 단순히 둘 사이의 꼬임 모노이드 함자이다.

두 꼬임·대칭 모노이드 범주 사이의 두 꼬임·대칭 모노이드 함자 사이의 **꼬임·대칭 모노이드 자연 변환**()은 단순히 둘 사이의 모노이드 자연 변환이다.

## 성질
모든 꼬임 모노이드 범주는 다음 조건을 자동적으로 만족시킨다.
* (항등원과의 호환) 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여, \rho_X=\lambda_X\circ\sigma_{X,I}. 즉, 다음 그림이 가환한다.
*:\begin{matrix}
X\otimes I&\xrightarrow\sigma&I\otimes X\\
{\scriptstyle\rho}\downarrow&\swarrow\scriptstyle\lambda\\
X
\end{matrix}

### 대칭 구조가 유일할 조건
주어진 모노이드 범주 위의 대칭 구조는 존재하지 않을 수 있으며, 유일하지 않을 수 있다.

만약 (\mathcal C,\otimes,I)가 국소적으로 작은 닫힌 모노이드 범주이며, 표현 가능 함자 \hom_{\mathcal C}(I,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}가 충실한 함자라면, (\mathcal C,\otimes,I) 위의 대칭 구조는 (만약 존재한다면) 유일하다.

## 예
(끝 대상을 포함한) 유한 곱이 존재하는 범주는 곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 대칭 모노이드 범주를 **데카르트 모노이드 범주**()라고 한다. 마찬가지로, (시작 대상을 포함한) 유한 쌍대곱이 존재하는 범주는 쌍대곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이루며, 이러한 대칭 모노이드 범주를 **쌍대 데카르트 모노이드 범주**()라고 한다.

## 역사
손더스 매클레인이 1963년에 모노이드 범주 및 대칭 모노이드 범주의 개념을 정의하였다.

꼬임 모노이드 범주는 앙드레 주아요(, 1943~)와 로스 하워드 스트리트()가 도입하였다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:범주론