포물체 운동

[섬네일|250px|[포물선 궤적|물줄기의 포물선 궤적]]
섬네일|250px|포물선 투척의 초기 속도 성분
섬네일|250px|중력이 균일하면 탄도 궤적은 포물선이고, 중력이 방사형이면 타원형이다.

물리학에서 **포물체 운동**(projectile motion)은 공기 저항이 무시되고 중력의 영향만으로 공중으로 발사되어 움직이는 물체의 운동을 설명한다. 이 이상화된 모델에서 물체는 초기 속도와 일정한 중력 가속도에 의해 결정되는 포물선 경로를 따른다. 운동은 수평 및 수직 성분으로 분해될 수 있다. 수평 운동은 일정한 속도로 발생하고, 수직 운동은 균일한 가속도를 경험한다.

고전역학의 핵심에 있는 이 틀은 공학 및 탄도학부터 스포츠 과학 및 자연 현상에 이르기까지 광범위한 응용 분야에서 기초적이다.

갈릴레오 갈릴레이는 주어진 발사체의 궤적이 포물선임을 보였지만, 물체가 위나 아래로 직접 던져지는 특수한 경우에는 경로가 직선일 수도 있다. 이러한 운동에 대한 연구를 탄도학이라고 하며, 이러한 궤적을 탄도학적이라고 설명한다. 물체에 활발하게 작용하는 수학적으로 중요한 유일한 힘은 아래쪽으로 작용하는 중력이며, 이로 인해 물체는 지구 질량 중심을 향해 아래쪽으로 가속도를 받는다. 물체의 관성으로 인해 물체 운동의 수평 성분 속도를 유지하는 데 외부 힘이 필요하지 않다.

공기역학적 항력이나 내부 추진력(예: 로켓의 경우)과 같은 다른 힘을 고려하려면 추가 분석이 필요하다. 탄도 미사일은 비행의 상대적으로 짧은 초기 유인 단계 동안에만 유도되는 미사일이며, 나머지 경로는 고전역학의 법칙에 따른다.

탄도학()은 발사체의 비행, 행동 및 효과, 특히 탄알, 무유도 폭탄, 로켓 또는 이와 유사한 것들을 다루는 동역학의 과학이며, 원하는 성능을 달성하기 위해 발사체를 설계하고 가속하는 과학 또는 기술이다.

right|섬네일|320px|공기 저항과 다양한 초기 속도를 갖는 발사체의 궤적

탄도학의 기본적인 방정식은 초기 속도, 발사 각도, 그리고 일정하다고 가정되는 중력 가속도를 제외한 거의 모든 요소를 무시한다. 탄도학 문제의 실질적인 해결책은 종종 공기 저항, 측풍, 목표물 움직임, 높이에 따라 달라지는 중력 가속도, 그리고 지구상의 한 지점에서 다른 지점으로 로켓을 발사하는 문제에서 지평선 거리 대 지구 곡률 R (지구의 국부 회전 속도 v(lat)=\omega R(lat))을 고려해야 한다. 실질적인 문제에 대한 상세한 수학적 해결책은 일반적으로 닫힌 형식 솔루션을 갖지 않으므로 수치해석이 필요하다.

## 진공에서의 궤적
포물체 운동에서 수평 운동과 수직 운동은 서로 독립적이다. 즉, 한 운동이 다른 운동에 영향을 미치지 않는다. 이것은 갈릴레오가 1638년에 확립한 복합 운동의 원리로, 이를 사용하여 포물체 운동의 포물선 형태를 증명했다.
섬네일|발사체 속도의 수평 및 수직 성분은 서로 독립적이다.
탄도 궤적은 다른 힘이 없을 때 일정한 가속도를 가진 우주선과 같이 균일한 가속도를 갖는 포물선이다. 지구에서는 가속도가 고도에 따라 크기가 g(y)=g_0/(1+y/R)^2로 변하고 궤적을 따라 위도/경도에 따라 방향(멀리 떨어진 목표물)이 변한다. 이는 작은 스케일에서는 포물선에 매우 가까운 타원형 궤적을 유발한다. 그러나 물체가 던져지고 지구가 갑자기 동일한 질량을 가진 블랙홀로 대체된다면, 탄도 궤적이 무한대로 확장되는 포물선이 아니라 그 "블랙홀" 주위의 궤도의 타원 부분이라는 것이 명백해질 것이다. 더 높은 속도에서는 궤적이 원형(우주항행학에서의 지구 저궤도?, 5\frac{5}{6} R에서의 정지 궤도 위성), 포물선 또는 쌍곡선일 수도 있다 (달이나 태양과 같은 다른 물체에 의해 왜곡되지 않는 한).

이 문서에서는 균일한 중력 가속도 (g=g_0)를 가정한다.

### 가속도
수직 방향으로만 가속도가 있으므로, 수평 방향의 속도는  \mathbf{v}_0 \cos\theta 와 같으며 일정하다. 발사체의 수직 운동은 자유 낙하 중인 입자의 운동이다. 여기서 가속도는 g와 같으며 일정하다. 가속도의 성분은 다음과 같다.
:  a_x = 0 ,
:  a_y = -g .*

*y 가속도는 또한 관심 대상 물체에 대한 지구의 힘 (-F_g/m)으로도 언급될 수 있다.

### 속도
발사체가 초기 속도 \mathbf{v}(0) \equiv \mathbf{v}_0 로 발사된다고 하자. 이 속도는 다음과 같이 수평 및 수직 성분의 합으로 표현될 수 있다.
: \mathbf{v}_0 = v_{0x}\mathbf{\hat x} + v_{0y}\mathbf{\hat y} .
초기 발사 각도 θ를 알면  v_{0x} 와  v_{0y}  성분을 찾을 수 있다.
: v_{0x} = v_0\cos(\theta),
: v_{0y} = v_0\sin(\theta)

물체의 속도의 수평 성분은 운동 내내 변하지 않는다. 중력 가속도가 일정하기 때문에 속도의 수직 성분은 선형적으로 변한다. x 및 y 방향의 가속도를 적분하여 임의의 시간 t에서의 속도 성분을 다음과 같이 구할 수 있다.
:  v_x = v_0 \cos(\theta) ,
:  v_y = v_0 \sin(\theta) - gt .

속도의 크기(피타고라스 정리, 또는 삼각형 법칙으로도 알려짐):
:  v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 } .

### 변위
섬네일|250px|포물선 투척의 변위 및 좌표
어떤 시간  t 에서든, 발사체의 수평 및 수직 변위는 다음과 같다.
: x = v_0 t \cos(\theta) ,
: y = v_0 t \sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2 .
변위의 크기는 다음과 같다.
: \Delta r=\sqrt{x^2 + y^2 } .

다음 방정식을 고려해 보자.
: x = v_0 t \cos(\theta)  and y = v_0 t\sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2.
이 두 방정식에서 t를 소거하면 다음 방정식을 얻는다.
: y = \tan(\theta) \cdot x-\frac{g}{2v^2_{0}\cos^2 \theta} \cdot x^2=\tan\theta \cdot x \left(1-\frac{x}{R}\right). 
여기서 R은 발사체 사거리이다.

g, θ, v0가 상수이므로 위 방정식은 다음과 같은 형태를 가진다.
: y=ax+bx^2 ,
여기서 a와 b는 상수이다. 이것은 포물선 방정식이므로 경로는 포물선형이다. 포물선의 축은 수직이다.

발사체의 위치 (x,y)와 발사 각도 (&theta; 또는 &alpha;)가 알려져 있다면, 위에서 언급한 포물선 방정식에서 v0를 풀어서 초기 속도를 찾을 수 있다.

: v_0 = \sqrt .

### 극좌표에서의 변위
발사체의 포물선 궤적은 데카르트 좌표 대신 극좌표로도 표현할 수 있다. 이 경우 위치는 일반적인 공식을 갖는다.
: r( \phi ) = \frac{2v_0^2 \cos^2\theta} \left(\tan\theta\sec\phi -\tan\phi\sec\phi \right)  .
이 방정식에서 원점은 발사체 수평 사거리의 중간점이며, 지면이 평평하면 포물선 호는  0 \leq \phi \leq \pi  범위 내에서 그려진다. 이 표현은 위에서 언급된 데카르트 방정식을  y = r \sin\phi  및  x = r \cos\phi 로 변환하여 얻을 수 있다.

### 비행 시간 또는 전체 여정의 총 시간
발사체가 공중에 머무는 총 시간 t를 비행 시간이라고 한다.
: y=v_0 t\sin(\theta) -\frac{1}{2} g t^2 

비행 후 발사체는 수평축(x축)으로 돌아오므로  y=0 이다.
: v_0 t\sin(\theta) =\frac{1}{2} g t^2 

: v_0 \sin(\theta) = \frac{1}{2}gt 

: t=\frac{2 v_0\sin(\theta)}{g} 

발사체에 대한 공기 저항은 무시했다는 점에 유의하라.

충격 지점에 대한 시작 지점의 높이가 y0인 경우, 비행 시간은 다음과 같다.
:  t = \frac{d}{v \cos\theta} = \frac{v \sin \theta + \sqrt{(v \sin \theta)^2 + 2gy_0}}{g} 

위에서와 같이, 이 표현은 (y0이 0인 경우) 다음과 같이 줄어들 수 있다.

:  t = \frac{v\sin{\theta} + \sqrt{(v\sin{\theta})^2}}{g} = \frac{2v\sin{\theta}}{g},  =  \frac{2v\sin{(45^\circ)}} = \frac{\sqrt{2}v}

만약 θ가 45°와 같다면.

### 목표물 위치까지의 비행 시간
위 '변위' 절에서 설명했듯이, 발사체의 수평 및 수직 속도는 서로 독립적이다.

이 때문에 수평 속도에 대한 변위 공식을 사용하여 목표물에 도달하는 시간을 찾을 수 있다.

x = v_0 t \cos(\theta)

\frac{x}{t}=v_0\cos(\theta)

t=\frac{x}{v_0\cos(\theta)}

이 방정식은 공기 저항을 무시하고 발사체가 목표물의 수평 변위에 도달하는 데 필요한 총 시간 t를 제공한다.

### 발사체의 최대 높이
섬네일|250px|발사체의 최대 높이
물체가 도달할 가장 큰 높이는 물체 운동의 정점이라고 알려져 있다.
높이 증가는  v_y=0 이 될 때까지 지속된다. 즉,
: 0=v_0 \sin(\theta) - gt_h .
최대 높이(h)에 도달하는 시간:
: t_h = \frac{v_0 \sin(\theta)} .
이는 위에서 찾은 공식(비행 시간)과 일치하는데, 최대 높이(포물선에서)가 근의 중간에 있기 때문이다. 이는 발사체가 여정의 중간, 즉 시간의 절반 만에 h에 도달한다는 것을 의미한다.

발사체의 최대 높이의 수직 변위는 다음과 같다.
: h = v_0 t_h \sin(\theta) - \frac{1}{2} gt^2_h 
: h = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2|g|} 
최대 도달 가능 높이는 &theta;=90°일 때 얻어진다.
: h_{\mathrm{max}} = \frac{v_0^2}{2|g|} 

발사체의 위치(x,y)와 발사 각도(θ)가 알려져 있다면, 다음 방정식에서 h를 풀어서 최대 높이를 찾을 수 있다.
:h=\frac{(x\tan\theta)^2}{4(x\tan\theta-y)}. 

최대 높이에서의 표고 (높이) 각도 (φ)는 다음과 같이 주어진다.
:\phi = \arctan

### 수평 사거리와 최대 높이 사이의 관계
수평면에서의 사거리 d와  \frac{t_d}{2} 에서 도달한 최대 높이 h 사이의 관계는 다음과 같다.
: h = \frac{d\tan\theta}{4} 

 h = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2|g|} 
: d = \frac{v_0^2\sin2\theta} 
: \frac{h}{d} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2|g|}  ×  \frac{g}{v_0^2\sin2\theta} 
: \frac{h}{d} = \frac{\sin^2\theta}{4\sin\theta\cos\theta} 
 h = \frac{d\tan\theta}{4} .

만약 h = R
:**<math> \theta = \arctan(4)\approx 76.0^\circ </math>**

### 발사체의 최대 거리
섬네일|250px|발사체의 최대 거리

발사체의 사거리와 최대 높이는 질량에 의존하지 않는다. 따라서 같은 속도와 방향으로 던져진 모든 물체에 대해 사거리와 최대 높이는 같다. 발사체의 수평 사거리 d는 발사체가 초기 높이(y=0)로 돌아왔을 때 이동한 수평 거리이다.
:  0 = v_0 t_d \sin(\theta) - \frac{1}{2}gt_d^2 .

지면에 도달하는 시간:
:  t_d = \frac{2v_0 \sin(\theta)} .
수평 변위로부터 발사체의 최대 거리:
:  d = v_0 t_d \cos(\theta) ,
따라서
:  d = \frac{v_0^2}\sin(2\theta). 

d는 다음일 때 최대값을 갖는다.
:  \sin(2\theta)=1, 
이는 반드시  2\theta=90^\circ , 또는  \theta=45^\circ 에 해당한다.[섬네일|350px|서로 다른 [표고 (높이)|고각이지만 10 m/s의 동일한 속도로 발사된 발사체의 궤적 (진공 상태 및 10 m/s2의 균일한 하향 중력장에서). 점은 0.05초 간격으로 표시되며, 꼬리의 길이는 속도에 선형적으로 비례한다. t = 발사 후 시간, T = 비행 시간, R = 사거리, H = 궤적의 최고점 (화살표로 표시).]]

이동한 총 수평 거리 (d).

:  d = \frac{v \cos \theta} \left( v \sin \theta + \sqrt{(v \sin \theta)^2 + 2gy_0} \right) 

표면이 평평할 때(물체의 초기 높이가 0일 때), 이동한 거리는 다음과 같다.

:  d = \frac{v^2 \sin(2 \theta)} 

따라서 최대 거리는 θ가 45도일 때 얻어진다. 이 거리는 다음과 같다.

:  d_{\mathrm{max}} = \frac{v^2} 

### 일-에너지 정리의 적용
일-에너지 정리에 따르면 속도의 수직 성분은 다음과 같다.
: v_y^2 = (v_0 \sin \theta)^2-2gy .

이 공식들은 공기역학적 항력을 무시하고, 착륙 지역이 균일한 높이 0이라고 가정한다.

### 도달 각도
"도달 각도"는 초기 속도 v가 주어졌을 때, 발사체가 거리 d를 가기 위해 발사되어야 하는 각도(θ)이다.

:  \sin(2\theta) = \frac{gd}{v^2} 
두 가지 해법이 있다.
:  \theta = \frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{gd}{v^2} \right)  (낮은 궤적)
그리고  \sin(2\theta) = \cos (2\theta - 90^\circ )이므로,

:  \theta = 45^\circ + \frac{1}{2} \arccos \left( \frac{gd}{v^2} \right)  (가파른 궤적)

### 좌표 (<var>x</var>, <var>y</var>)에 도달하는 데 필요한 각도 <var>θ</var>
right|섬네일|330px|다양한 발사 각도에 대한 발사체의 진공 궤적. 모든 각도에 대해 발사 속도는 50 m/s로 동일하며, "g"는 10 m/s<sup>2</sup>이다. 점들은 0.05초 간격으로 표시되며, 꼬리의 길이는 속도에 선형적으로 비례한다.
(0,0)에서 초기 속도 v로 발사하여 사거리 x, 고도 y의 목표물에 명중시키기 위해 필요한 발사 각도 θ는 다음과 같다.

:  \theta = \arctan{\left(\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-g(gx^2+2yv^2)}}{gx}\right)} 

방정식의 두 근은 두 가지 가능한 발사 각도에 해당하며, 허수가 아닌 한, 이 경우 초기 속도가 선택된 지점 (x,y)에 도달하기에 충분히 크지 않다. 이 공식은  y= 0 의 제한 없이 필요한 발사 각도를 찾는 것을 가능하게 한다.

또한 가장 낮은 발사 속도를 허용하는 발사 각도가 무엇인지 물을 수도 있다. 이는 위의 두 해가 같을 때 발생하며, 이는 제곱근 기호 아래의 양이 0임을 의미한다. 따라서 tan θ = v2/gx는  v^2 에 대한 이차 방정식을 풀어야 하며, 우리는 다음을 찾는다.
: v^2/g = (2gy\pm g\sqrt{4y^2+4(1x)^2})/2g = y\pm\sqrt{y^2+x^2}. 
이것은 다음을 제공한다.
: \theta=\arctan\left(y/x+\sqrt{y^2/x^2+1}\right). 

의 탄젠트가 인 각도를 나타내면,
: \tan\theta=\frac{\sin\alpha+1}{\cos\alpha},  그것의 역수:
: \tan(\pi/2-\theta)=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha+1}, 
: \cos^2(\pi/2-\theta)=\frac 12(\sin\alpha+1) 
: 2\cos^2(\pi/2-\theta)-1=\cos(\pi/2-\alpha) 
이것은 다음을 의미한다.
: \theta = \pi/2 - \frac 12(\pi/2-\alpha). 

즉, 발사는 목표물과 천정 (중력과 반대되는 벡터) 사이의 중간 지점인 각도  (\pi/2 + \alpha)/2 에서 이루어져야 한다.

### 궤적의 총 경로 길이
발사체의 포물선 호의 길이 L은 발사 및 착륙 높이가 같고 (공기 저항이 없다고 가정할 때) 다음 공식으로 주어진다.

:L = \frac{v_0^2}{2g} \left( 2\sin\theta + \cos^2\theta\cdot\ln \frac{1 + \sin\theta}{1 - \sin\theta} \right) = \frac{v_0^2}{g} \left( \sin\theta + \cos^2\theta\cdot\tanh^{-1}(\sin\theta) \right)

여기서 v_0는 초기 속도, \theta는 발사 각도, g는 양의 값인 중력 가속도이다. 이 표현은 초기 변위와 최종 변위(즉, 0과 발사체의 수평 사거리 사이) 사이의 높이-거리 포물선에 대한 호 길이 적분을 평가하여 얻을 수 있다.

:L = \int_{0}^{\mathrm{range}} \sqrt{1 + \left ( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right )^2}\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{v_0^2 \sin(2\theta)/g} \sqrt{1+\left (\tan\theta -{g\over {v_0^2 \cos^2\theta}}x\right)^2}\,\mathrm{d}x .

비행 시간이 t이면,
:L = \int_{0}^{t} \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{2v_0\sin\theta/g} \sqrt{(gt)^2-2gv_0\sin\theta t+v_0^2}\,\mathrm{d}t.

## 공기 중 궤적
[섬네일|400px|70° 각도로 던져진 질량의 궤적:<br />
 [항력 (물리학)|항력 없음 (포물선)
 스토크스 항력 포함
 뉴턴 항력 포함]]
공기 저항은 (대칭 발사체의 경우) 항상 주변 매질 내 운동 방향과 반대 방향으로 작용하며, 절대 속도에 따라 크기가 달라지는 힘을 생성한다. \mathbf{F_{air}} = -f(v)\cdot\mathbf{\hat v}. 마찰력의 속도 의존성은 매우 낮은 속도에서는 선형적(f(v) \propto v)이고(스토크스 항력), 높은 속도에서는 이차적(f(v) \propto v^2)이다(뉴턴 항력). 이러한 거동 간의 전환은 레이놀즈 수에 의해 결정되며, 이는 물체 속도 및 크기, 밀도 \rho 및 매질의 동적 점성 \eta에 따라 달라진다. 레이놀즈 수가 약 1 미만이면 의존성은 선형이며, 1000 이상(난류)에서는 이차적이 된다. 동점성이 약 0.15&nbsp;cm2/s인 공기에서는 이는 물체 속도와 직경의 곱이 약 0.015 m2/s보다 클 때 항력이 v에 대해 이차적이 된다는 것을 의미하며, 이는 일반적으로 발사체의 경우에 해당한다.
* 스토크스 항력: \mathbf{F_{air}} = -k_{\mathrm{Stokes}}\cdot\mathbf{v}\qquad (for Re\lesssim 1)
* 뉴턴 항력: \mathbf{F_{air}} = -k\,|\mathbf{v}|\cdot\mathbf{v}\qquad (for Re\gtrsim 1000)

right|섬네일|320px|중력과 공기 저항만을 받는 물체의 자유 물체 다이어그램.
오른쪽의 자유 물체 다이어그램은 공기 저항과 중력의 영향을 받는 발사체에 대한 것이다. 여기서 공기 저항은 발사체 속도와 반대 방향이라고 가정한다. \mathbf{F_{\mathrm{air}}} = -f(v)\cdot\mathbf{\hat v}

### 스토크스 항력이 있는 발사체의 궤적
스토크스 항력은 \mathbf{F_{air}} \propto \mathbf{v}일 때, 공기 중에서 매우 낮은 속도에서만 적용되므로 발사체의 일반적인 경우는 아니다. 그러나 F_\mathrm{air}의 v에 대한 선형 의존성으로 인해 매우 간단한 미분 방정식이 발생한다.
:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\begin{pmatrix}v_x \\ v_y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\mu\,v_x \\ -g-\mu\,v_y\end{pmatrix}
여기서 2개의 카르테시안 성분은 완전히 독립적이 되어 해를 구하기가 더 쉽다. 여기서 v_0, v_x 및 v_y는 각각 초기 속도, x 방향 속도 및 y 방향 속도를 나타내는 데 사용된다. 발사체의 질량은 m으로 표시되며, \mu:=k/m이다. 유도 과정에서는 0^o \le \theta \le 180^o 인 경우만 고려한다. 다시 말하지만, 발사체는 원점 (0,0)에서 발사된다.

입자 운동을 나타내는 관계는 x 및 y 방향 모두에서 뉴턴의 제2법칙에 의해 유도된다.
x 방향에서  \Sigma F = -kv_x = ma_x 이고 y 방향에서  \Sigma F = -kv_y - mg = ma_y 이다.

이것은 다음을 의미한다.

 a_x = -\mu v_x = \frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}  (1),

그리고

 a_y = -\mu v_y - g = \frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}  (2)

(1)을 푸는 것은 초등 미분방정식이므로, vx 및 그에 따른 x에 대한 고유한 해를 이끌어내는 단계는 나열하지 않는다. 초기 조건  v_x = v_{x0}  (여기서 vx0는 초기 속도의 x 성분으로 이해된다) 및  x=0  for  t=0 이 주어졌을 때:

 v_x = v_{x0} e^{-\mu t}  (1a)

: x(t) = \frac{v_{x0}}{\mu}\left(1-e^{-\mu t}\right)  (1b)

(1)은 거의 같은 방식으로 풀리지만, (2)는 비동차적 성질 때문에 독특한 흥미를 유발한다. 따라서 (2)를 광범위하게 풀어볼 것이다. 이 경우 초기 조건은  t=0 일 때  v_y=v_{y0} 이고  y=0 이라는 점에 유의한다.

 \frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} = -\mu v_y - g  (2)

 \frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} + \mu v_y = - g  (2a)

이 1차, 선형, 비동차 미분방정식은 여러 가지 방법으로 풀 수 있지만, 이 경우에는 적분인자  e^{\int \mu \,\mathrm{d}t} 를 통해 해를 구하는 것이 더 빠를 것이다.

 e^{\mu t}(\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} + \mu v_y) = e^{\mu t}(-g)  (2c)

 (e^{\mu t}v_y)^\prime = e^{\mu t}(-g)  (2d)

 \int{(e^{\mu t}v_y)^\prime \,\mathrm{d}t} = e^{\mu t}v_y = \int{ e^{\mu t}(-g) \,\mathrm{d}t}  (2e)

 e^{\mu t}v_y = \frac{1}{\mu} e^{\mu t}(-g) + C (2f)

 v_y = \frac{-g}{\mu} + Ce^{-\mu t}  (2g)

그리고 적분을 통해 다음을 찾는다.

 y = -\frac{g}{\mu}t - \frac{1}{\mu}(v_{y0} + \frac{g}{\mu})e^{-\mu t} + C  (3)

초기 조건을 풀면 다음과 같다.

 v_y(t) = -\frac{g}{\mu} + (v_{y0} + \frac{g}{\mu})e^{-\mu t}  (2h)

 y(t) = -\frac{g}{\mu}t - \frac{1}{\mu}(v_{y0} + \frac{g}{\mu})e^{-\mu t} + \frac{1}{\mu}(v_{y0} + \frac{g}{\mu})  (3a)

(3a)를 단순화하기 위한 약간의 대수 계산을 통해:

: y(t) = -\frac{g}{\mu} t + \frac{1}{\mu} \left(v_{y0} + \frac{g}{\mu} \right) (1 - e^{-\mu t} )  (3b)

공기 저항(더 정확히는 F_{air}=-kv일 때)이 있는 경우의 총 비행 시간은 위와 동일한 전략, 즉 y(t)=0 방정식을 풀어 계산할 수 있다. 공기 저항이 없는 경우에는 이 방정식을 초등적으로 풀 수 있지만, 여기서는 람베르트 W 함수가 필요하다. 방정식
y(t)= -\frac{g}{\mu}t + \frac{1}{\mu}(v_{y0} + \frac{g}{\mu})(1 - e^{-\mu t}) = 0
은 c_1t+c_2+c_3e^{c_4t}=0 형태이며, 이러한 방정식은 W 함수로 풀 수 있는 방정식으로 변환될 수 있다 (이러한 변환의 예는 여기 참조). 약간의 대수 계산을 통해 닫힌 형태로 총 비행 시간은 다음과 같이 주어진다.

:t=\frac{1}{\mu} \left(1+ \frac{\mu}{g} v_{y0} + W\bigl(-(1+ \frac{\mu}{g} v_{y0}) e^{-(1+ \frac{\mu}{g} v_{y0})} \bigr)\right).

### 뉴턴 항력이 있는 발사체의 궤적
[섬네일|250px|뉴턴 항력이 있는 [스카이다이버의 공기 중 궤적: 패러글라이딩 비행; 목표물 근처 폭격기.  v.d=10^3.\nu=150  cm2/s?]]
레이놀즈 수가 약 1000 이상인 경우 가장 일반적인 공기 저항 사례는 속도 제곱에 비례하는 항력 F_{\mathrm{air}} = -k v^2를 가진 뉴턴 항력이다. 동점성이 약 0.15&nbsp;cm2/s인 공기에서는 이는 물체 속도와 직경의 곱이 약 0.015 m2/s보다 커야 함을 의미한다.

안타깝게도 이 경우 운동 방정식은 해석적으로 쉽게 풀리지 **않는다**. 따라서 수치적 해법을 살펴볼 것이다.

다음 가정이 이루어진다.
* 일정한 중력 가속도 g
* 공기 저항은 다음 항력 공식으로 주어진다.
::\mathbf{F_D} = -\tfrac{1}{2} c \rho A\, v\,\mathbf{v}

::여기서:

:*FD는 항력,
:*c는 항력 계수,
:*ρ는 공기 밀도,
:*A는 발사체의 단면적이다. 다시 \mu=k/m := c\rho A/(2m) = c \rho/(2\rho_p l)이다. 이를 탄도 계수의 이론/실제와 비교한다.

#### 특수한 경우
뉴턴 항력이 있는 발사체의 일반적인 경우는 해석적으로 풀 수 없지만, 몇 가지 특수한 경우는 가능하다. 여기서는 자유 낙하에서의 종단속도를 v_\infty=\sqrt{g/\mu}로, 특성 침강 시간 상수를 t_f\equiv1/(v_\infty \mu) =1/\sqrt{g\mu}로 나타낸다. ( g의 차원 [m/s2], \mu [1/m])
* 거의 **수평** 운동: 총알처럼 |v_x|\gg|v_y|인 거의 수평 운동의 경우. 수직 속도 성분은 수평 운동에 거의 영향을 미치지 않는다. 이 경우:
::\dot{v}_x(t) = -\mu\,v_x^2(t)
::v_x(t) = \frac{1}{1/v_{x,0}+\mu\,t}
::x(t) = \frac{1}{\mu}\ln(1+\mu\,v_{x,0}\cdot t)
:중력이 무시할 수 있는 경우(상대적으로 작은 g), 모든 방향의 선을 따라 마찰이 있는 운동에도 동일한 패턴이 적용된다. 엔진이 꺼진 움직이는 자동차처럼 수직 운동이 방지될 때도 적용된다.

* 수직 운동 **위쪽**:
::\dot{v}_y(t) = -g-\mu\,v_y^2(t)
::v_y(t) = v_\infty \tan\frac{t_{\mathrm{peak}}-t}{t_f}
::y(t) = y_{\mathrm{peak}} + \frac{1}{\mu} \ln \bigl(\cos\frac{t_\mathrm{peak}-t}{t_f} \bigr)
:여기서
::v_\infty \equiv\sqrt{\frac{g}{\mu}} 및 t_f=\frac{1}{\sqrt{\mu g}},
::t_{\mathrm{peak}} \equiv t_f \arctan{\frac{v_{y,0}}{v_\infty}} = \frac{1}{\sqrt{\mu g}} \arctan{\left(\sqrt\frac{\mu}{g}v_{y,0}\right)},
:그리고
::y_{\mathrm{peak}} \equiv -\frac{1}{\mu}\ln{\cos{\frac{t_\mathrm{peak}}{t_f}}} = \frac{1}{2\mu} \ln{ \bigl(1+\frac{\mu}{g} v_{y,0}^2 \bigr)}
:여기서 v_{y,0}는 t = 0에서의 초기 상승 속도이며 초기 위치는 y(0) = 0이다.
:발사체는 수직 방향으로 t_\mathrm{rise}=\frac{\pi}{2}t_f  보다 길게 상승할 수 없으며, 0 m/s로 최고점 (0 m, ypeak)에 도달한다.

* 수직 운동 **아래쪽**:
::\dot{v}_y(t) = -g+\mu\,v_y^2(t)
::v_y(t) = -v_\infty \tanh\frac{t-t_{\mathrm{peak}}}{t_f}
::y(t) = y_{\mathrm{peak}} - \frac{1}{\mu} \ln(\cosh\biggl(\frac{t-t_\mathrm{peak}}{t_f}\biggr)) 쌍곡선 함수와 함께
:y=0에서 t_f 시간 후, 발사체는 거의 종단속도 -v_\infty에 도달한다.

#### 수치해법
항력이 있는 발사체 운동은 상미분 방정식의 수치적 적분을 통해 일반적으로 계산할 수 있다. 예를 들어, 1차 시스템으로 축소를 적용하여 계산할 수 있다. 풀어야 할 방정식은 다음과 같다.

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\begin{pmatrix}x \\ y \\ v_x \\ v_y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ -\mu\,v_x\sqrt{v_x^2+v_y^2} \\ -g-\mu\,v_y\sqrt{v_x^2+v_y^2}\end{pmatrix}.

이 접근 방식은 속도에 따른 항력 계수, 고도에 따른 공기 밀도(곱 c(v)\rho(y)에서) 및 위치에 따른 중력장 g(y)=g_0/(1+y/R)^2  (여기서 y \ll R: g \lesssim g_0/(1+2y/R) \approx g_0(1-2y/R)는 선형 감소이다)의 영향을 추가할 수도 있다.

## 로프티드 궤적
[섬네일|right|북한 [화성-14형, 화성-15형, 화성-17형 탄도 미사일의 로프티드 궤적]]
로켓의 탄도 궤적 중 특별한 경우는 로프티드 궤적이다. 이는 동일한 사거리에 대한 최소 에너지 궤적보다 더 높은 원지점을 갖는 궤적이다. 즉, 로켓이 더 높이 비행함으로써 동일한 착륙 지점에 도달하기 위해 더 많은 에너지를 사용한다. 이는 시야/통신 범위 확대를 위한 지평선까지의 거리 증가나 미사일이 착륙 시 충돌하는 각도 변경 등 다양한 이유로 이루어질 수 있다. 로프티드 궤적은 미사일 로켓 공학 및 우주 비행 모두에서 사용된다.

## 행성 규모의 포물체 운동
섬네일|left|균일 중력장 내 운동과 비교한 행성 주위의 발사체 궤적
발사체가 지구 반경에 비해 상당한 거리(약 100&nbsp;km 이상)를 이동할 때, 지구의 곡률과 불균일한 지구 중력을 고려해야 한다. 이는 예를 들어 우주선과 대륙간 탄도 미사일의 경우에 해당한다. 이 경우 궤적은 (공기 저항이 없을 때) 포물선에서 케플러 타원으로 일반화되며, 타원의 한 초점은 지구 중심에 위치한다 (그림 3 참조). 그러면 발사체 운동은 케플러의 행성운동법칙을 따른다.

궤적의 매개변수는 위에서 언급된 균일 중력장의 값에서 조정되어야 한다. 지구 반경은 R로, g는 표준 표면 중력으로 간주된다. \tilde v:=v/\sqrt{Rg}는 제1 우주 속도 또는 탈출 속도에 대한 발사 속도라고 하자.

발사부터 충돌까지의 총 사거리 d:
:  d = \frac{v^2 \sin(2 \theta)}{g} \Big/ \sqrt{1-\left(2-\tilde v^2\right)\tilde v^2\cos^2\theta}     (여기서 발사 각도 \theta=\tfrac12\arccos\left(\tilde v^2/(2-\tilde v^2)\right))
최적 발사 각도 θ=45o에서의 발사체 최대 사거리:
:  d_{\mathrm{max}} = \frac{v^2}{g} \big/ \left(1-\tfrac12\tilde v^2\right) &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; v (제1 우주 속도)
행성 표면 위 발사체 최대 높이:
: h = \frac{v^2 \sin^2\theta}{g} \Big/ \left(1-\tilde v^2+\sqrt{1-\left(2-\tilde v^2\right)\tilde v^2\cos^2\theta}\right) 
수직 발사(\theta=90^\circ) 시 발사체의 최대 높이:
: h_{\mathrm{max}} = \frac{v^2}{2g} \big/ \left(1-\tfrac12\tilde v^2\right)  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; v (제2 우주 속도)
비행 시간:
: t = \frac{2v\sin\theta}{g} \cdot \frac{1}{2-\tilde v^2} \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2-\tilde v^2}\,\tilde v\sin\theta}\arcsin\frac{\sqrt{2-\tilde v^2}\,\tilde v\sin\theta}{\sqrt{1-\left(2-\tilde v^2\right)\tilde v^2\cos^2\theta}}\right) 

## 같이 보기
* 운동 방정식
* 퓨고이드

## 내용주

## 각주

분류:운동학