탈레스 정리 (평행)

기하학에서, **탈레스 정리**()는 삼각형의 밑변에 평행한 직선은 다른 두 변을 같은 비로 분할한다는 정리이다.

## 정의
평면 위 3개의 서로 다른 평행선 l, l', l*</math>이 주어졌다고 하자. 또 다른 두 직선이 <math>l</math>, <math>l'</math>, <math>l*과 하나는 각각 점 A, A', A*</math>에서 만나고, 다른 하나는 각각 점 <math>B</math>, <math>B'</math>, <math>B*에서 만난다고 하자. **탈레스 정리**에 따르면, 다음이 성립한다.
:\frac{\overrightarrow{AA*}}{\overrightarrow{AA'}}
=\frac{\overrightarrow{BB*}}{\overrightarrow{BB'}}
특히, 만약 A*</math>이 <math>A</math>에 대하여 <math>A'</math>과 같은 쪽에 있다면, <math>B* 역시 B에 대하여 B'과 같은 쪽에 있으며, 반대로 만약 A*</math>이 <math>A</math>에 대하여 <math>A'</math>과 다른 쪽에 있다면, <math>B* 역시 B에 대하여 B'과 다른 쪽에 있다.

## 증명
우선 \overrightarrow{AA*}/\overrightarrow{AA'}=1/2</math>인 경우를 보이자. <math>A</math>를 지나는 <math>BB'</math>의 평행선과 <math>l*의 교점을 C*</math>이라고 하고, <math>A*을 지나는 BB'의 평행선과 l'의 교점을 C'이라고 하자. 그렇다면 \angle A*AC*=\angle A'A*C'</math>, <math>AA*=A*A'</math>, <math>\angle AA*C*=\angle A*A'C'이므로, 삼각형 AA*C*과 A*A'C'</math>은 [[합동 (기하학)|합동]]이며, 특히 <math>\overrightarrow{AC*}=\overrightarrow{A*C'}</math>이다. 사각형 <math>ABB*C*</math>, <math>A*B*B'C'</math>은 모두 [[평행 사변형]]이므로,
:<math>\overrightarrow{BB*}=\overrightarrow{AC*}=\overrightarrow{A*C'}=\overrightarrow{B*B'}</math>
이다. 즉, <math>\overrightarrow{BB*}/\overrightarrow{BB'}=1/2가 성립한다.

이는 비가 유리수인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수 m과 양의 정수 n에 대하여 \overrightarrow{BB*}/\overrightarrow{BB'}=m/n</math>이라고 하자. 선분 <math>AA'</math>을 <math>n</math>등분하고, 직선 <math>AA'</math>의 남은 부분까지 같은 길이로 등분하자. 그렇다면, 각 <math>n</math>등분점을 지나는 <math>l</math>의 평행선과 직선 <math>BB'</math>의 교점 역시 선분 <math>BB'</math>을 <math>n</math>등분하며, 또한 직선 <math>BB'</math>의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서 <math>\overrightarrow{AA*}/\overrightarrow{AA'}=m/n이 성립한다.

이제 \overrightarrow{AA*}/\overrightarrow{AA'}=\lambda</math>가 일반적인 실수인 경우를 보이자. <math>\overrightarrow{BB*}/\overrightarrow{BB'}=\mu이라고 가정하자. 임의의 유리수 q에 대하여, 직선 AA' 위에서 \overrightarrow{AP}=q\overrightarrow{AA'}인 점 P를 취하고, P를 지나는 l의 평행선과 직선 BB'의 교점을 Q라고 하자. 그렇다면 \overrightarrow{BQ}=q\overrightarrow{BB'}이다. A*B*과 PQ는 평행하므로, 만약 \lambda라면 \mu, 만약 \lambda=q라면 \mu=q, 만약 \lambda>q라면 \mu>q이다. 유리수가 실수 집합의 조밀 집합을 이룬다는 사실에 의하여, \mu=\lambda가 성립한다.

## 따름정리와 일반화
### 닮음 삼각형의 성질
삼각형 ABC의 두 변 AB, AC의 직선과 점 B', C'에서 만나는 직선 B'C'이 다른 한 변 BC에 평행한다고 하자. 그렇다면,
:\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB'}}
=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC'}}
=\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{B'C'}}
이다.

점 A를 지나는 BC의 평행선과 직선 BC, B'C'에 탈레스 정리를 적용하면 첫 번째 등식을 얻는다. 두 번째 등식은 다음과 같이 보일 수 있다.
:\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB'}}
=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC'}}=\lambda
라고 하자. 그렇다면,
:\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{B'C'}}
=\frac{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB'}}
=\frac{\lambda\overrightarrow{AC'}-\lambda\overrightarrow{AB'}}{\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB'}}=\lambda
이다.

### 중심 닮음 변환의 성질
평면 위의 중심 닮음 변환은 모든 직선을 이와 평행하는 직선으로 변환시킨다.

우선, 중심 닮음 변환은 아핀 변환이므로, 임의의 직선에 대하여, 그 상 역시 직선이다. 이제, 중심 닮음 변환의 중심을 O라고 하고, 원래 직선 위의 서로 다른 두 점 A, B를 취하자. A의 상을 A'이라고 하고, A'을 지나는 AB의 평행선과 직선 OB의 교점을 B'이라고 하자. 그렇다면
:\frac{\overrightarrow{OB'}}{\overrightarrow{OB}}=\frac{\overrightarrow{OA'}}{\overrightarrow{OA}}
이므로, B' 역시 B의 상이다. 따라서 직선 AB의 상직선 A'B'은 원래 직선에 평행한다.

### 다차원 아핀 공간 일반화
체 K 위의 아핀 공간 A의 서로 다른 평행 아핀 초평면 H,H',H*\subseteq A</math>가 주어졌고, 어떤 [[아핀 직선]] <math>L\subseteq A</math>가 <math>H</math>, <math>H'</math>, <math>H*과 각각 점
:a=H\cap L
:a'=H'\cap L
:a*=H*\cap L
에서 만난다고 하자. 그렇다면,
:\frac{\overrightarrow{aa*}}{\overrightarrow{aa'}}\in K</math>
은 아핀 초평면 <math>H</math>, <math>H'</math>, <math>H*에만 의존하며, 아핀 직선 L의 선택과 무관하다.

아핀 초평면 H의 평행 이동들로 구성된 벡터 공간 V(H)에 대한 몫아핀 공간 A/V(H)로 가는 아핀 사영 변환
:P\colon A\to A/V(H)
를 생각하자. 그렇다면 P는 아핀 변환이며, 유도된 선형 변환 \overrightarrow P를 갖는다. 이제
:\overrightarrow{aa*}=\lambda\overrightarrow{aa'}\qquad(\lambda\in K)</math>
라고 가정하자. 그렇다면
:<math>\overrightarrow P(\overrightarrow{aa*})=\lambda\overrightarrow P(\overrightarrow{aa'})
이며, \overrightarrow P의 정의에 의하여
:\overrightarrow{P(a)P(a*)}=\lambda\overrightarrow{P(a)P(a')}</math>
이다. 따라서,
:<math>\lambda
=\frac{\overrightarrow{P(a)P(a*)}}{\overrightarrow{P(a)P(a')}}
=\frac{\overrightarrow{P(H)P(H'')}}{\overrightarrow{P(H)P(H')}}
은 아핀 직선 L의 선택과 무관하다.

## 역사
고대 그리스의 수학자 탈레스의 이름을 땄다.

## 각주

분류:아핀기하학
분류:평면기하학 정리