버거스 방정식

섬네일|300px|가우스 초기 조건 <math>u(x,0)=e^{-x^2/2}</math>에서 시작하는 버거스 방정식의 해.
[섬네일|300px|<math>u(x,0)=e^{-(x-1)^2/2}-e^{-(x+1)^2/2}</math>의 초기 조건에서 시작하는 버거스 방정식의 [N파 유형 해.]]
**버거스 방정식**(Burgers' equation) 또는 **베이트먼-버거스 방정식**은 다양한 응용수학 분야, 예를 들어 유체역학, 비선형 음향학, 기체 역학 및 교통 흐름에서 나타나는 근본적인 편미분 방정식 및 대류-확산 방정식이다. 이 방정식은 1915년 해리 베이트먼에 의해 처음 소개되었고 나중에 1948년 얀 버거스에 의해 연구되었다. 주어진 필드 u(x,t)와 확산 계수 (또는 원래 유체 역학적 문맥에서처럼 동점성 계수) \nu에 대해 1차원 공간에서 버거스 방정식의 일반 형태 (**점성 버거스 방정식**으로도 알려져 있음)는 다음과 같은 소산 시스템이다.

:\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.

항 u\partial u/\partial x는 \partial(u^2/2)/\partial x로도 다시 쓸 수 있다. 확산 항이 없을 때 (즉, \nu=0), 버거스 방정식은 **비점성 버거스 방정식**이 된다.

:\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0,

이것은 보존 방정식의 원형으로서 불연속성 ( 충격파 )을 발생시킬 수 있다.

\nu의 작은 값에서 날카로운 경사가 형성되는 이유는 방정식의 좌변을 검토할 때 직관적으로 명확해진다. 항 \partial/\partial t + u \partial/\partial x는 명백히 속도 u로 양의 x 방향으로 전파되는 파동을 설명하는 파동 연산자이다. 파동 속도는 u이므로, u의 큰 값을 나타내는 영역은 u의 작은 값을 나타내는 영역보다 더 빨리 오른쪽으로 전파될 것이다. 다시 말해, u가 처음에 x 방향으로 감소하면 뒤쪽에 있는 더 큰 u는 앞쪽에 있는 더 작은 u를 따라잡을 것이다. 우변의 확산 항의 역할은 본질적으로 경사가 무한대가 되는 것을 막는 것이다.

## 비점성 버거스 방정식

비점성 버거스 방정식은 보존 방정식이며, 더 일반적으로 1차 준선형 쌍곡 방정식이다. 이 방정식의 해와 초기 조건

:\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0, \quad u(x,0) = f(x)

은 특성곡선법에 의해 구성될 수 있다. t를 x-t 평면에서 주어진 특성을 특징짓는 매개변수라고 하자. 그러면 특성 방정식은 다음과 같다.

:\frac{dx}{dt} = u, \quad \frac{du}{dt}=0.

두 번째 방정식을 적분하면 특성을 따라 u가 일정하다는 것을 알 수 있으며, 첫 번째 방정식을 적분하면 특성이 직선이라는 것을 알 수 있다.

:u=c, \quad x = ut + \xi 

여기서 \xi는 특성 곡선이 그려지는 x축 (t&nbsp;=&nbsp;0)의 x-t 평면상의 점 (또는 매개변수)이다. u는 x축에서 초기 조건으로부터 알려져 있으며, 각 점 x=\xi에서 출발하는 특성을 따라 이동할 때 u가 변하지 않는다는 사실 때문에 각 특성에서 u=c=f(\xi)로 쓴다. 따라서 \xi에 의해 매개변수화된 특성 궤적의 패밀리는 다음과 같다.

:x=f(\xi) t+ \xi.

따라서 해는 다음과 같다.

:u(x,t) = f(\xi) = f(x-ut), \quad \xi = x - f(\xi) t.

이것은 특성이 교차하지 않는 한 비점성 버거스 방정식의 해를 결정하는 암묵적인 관계이다. 특성이 교차하면 PDE에 대한 고전적인 해는 존재하지 않으며 충격파가 형성된다. 특성이 교차할 수 있는지 여부는 초기 조건에 따라 달라진다. 실제로 충격파가 형성되기 전의 파괴 시간은 다음과 같다.

:t_b = \frac{-1}{\inf_x \left(f^\prime(x)\right)}.

### 비점성 버거스 방정식의 완전 적분

위에서 설명된 임의 함수 f를 포함하는 암묵적인 해는 일반 적분이라고 한다. 그러나 비점성 버거스 방정식은 1차 편미분 방정식이므로 두 개의 임의 상수 (두 개의 독립 변수에 대해)를 포함하는 완전 적분도 갖는다. 수브라마니안 찬드라세카르는 1943년에 완전 적분을 제공했으며, 이는 다음과 같다.

:u(x,t) = \frac{ax+b}{at+1}.

여기서 a와 b는 임의 상수이다. 완전 적분은 선형 초기 조건, 즉 f(x) = ax + b를 만족한다. 위의 완전 적분을 사용하여 일반 적분도 구성할 수 있다.

## 점성 버거스 방정식

점성 버거스 방정식은 콜-홉프 변환에 의해 선형 방정식으로 변환될 수 있다.

:u(x,t) = -2 \nu \frac{\partial}{\partial x}\ln \varphi(x,t),

이는 방정식을 다음으로 바꾼다.

:2 \nu \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{1}{\varphi}\left(\frac{\partial\varphi}{\partial t}- \nu \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\right)\right]=0,

이는 x에 대해 적분하여 다음을 얻을 수 있다.

:\frac{\partial\varphi}{\partial t}- \nu \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}=\varphi \frac{df(t)}{dt},

여기서 df/dt는 시간의 임의 함수이다. 변환 \varphi\to \varphi e^f (이는 함수 u(x,t)에 영향을 미치지 않음)를 도입하면 요구되는 방정식은 열 방정식으로 축소된다.

:\frac{\partial\varphi}{\partial t}= \nu \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}.

확산 방정식은 풀 수 있다. 즉, \varphi(x,0)=\varphi_0(x)이면 다음과 같다.

:\varphi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi \nu t}}\int_{-\infty}^\infty \varphi_0(x') \exp \left[-\frac{(x-x')^2}{4\nu t}\right]dx'.

초기 함수 \varphi_0(x)는 초기 함수 u(x,0)=f(x)와 다음과 같이 관련된다.

:\ln \varphi_0(x) = - \frac{1}{2\nu}\int_0^x f(x') dx',

여기서 하한은 임의로 선택된다. 콜-홉프 변환을 역변환하면 다음과 같다.

:u(x,t)=-2\nu\frac{\partial}{\partial x}\ln\left\{\frac{1}{\sqrt{4\pi \nu t}}\int_{-\infty}^\infty \exp\left[-\frac{(x-x')^2}{4\nu t} - \frac{1}{2\nu}\int_0^{x'}f(x)dx\right]dx'\right\}

이는 로그의 인자에서 시간에 따라 변하는 앞에 붙는 인자를 제거함으로써 간단해진다.

:u(x,t)=-2\nu\frac{\partial}{\partial x}\ln\left\{\int_{-\infty}^\infty \exp\left[-\frac{(x-x')^2}{4\nu t} - \frac{1}{2\nu}\int_0^{x'}f(x)dx\right]dx'\right\}.

이 해는 x\to\pm\infty에서 0으로 감소하는 \varphi의 열 방정식 해로부터 파생되었다. u에 대한 다른 해는 다른 경계 조건을 만족하는 \varphi의 해로부터 얻을 수 있다.

## 점성 버거스 방정식의 몇 가지 명시적 해
점성 버거스 방정식의 명시적 표현이 가능하다. 물리적으로 관련된 몇 가지 해는 다음과 같다.

### 꾸준히 전파되는 이동 파동
만약 u(x,0)=f(x)가 f(-\infty)=f^+와 f(+\infty)=f^-를 만족하고 f'(x)이라면, (일정한 속도 c=(f^++f^-)/2를 가진) 이동 파동 해는 다음과 같다.

:u(x,t) = c - \frac{f^+-f^-}{2}\tanh\left[\frac{f^+-f^-}{4\nu}(x-ct)\right].

1915년 해리 베이트먼에 의해 원래 도출된 이 해는 약한 충격파를 가로지르는 압력 변화를 설명하는 데 사용된다. f^+=2이고 f^-=0일 때, 이는 다음과 같이 간단해진다.

:u(x,t)=\frac{2}{1+e^{\frac{x-t}{\nu}}}

c=1이다.

### 초기 조건으로 델타 함수
만약 u(x,0) = 2\nu Re \delta(x)이고, Re (레이놀즈 수라고 하자)가 상수이면 다음과 같다.

:u(x,t)= \sqrt{\frac{\nu}{\pi t}} \left[\frac{(e^{Re}-1)e^{-x^2/4\nu t}}{1 + (e^{Re}-1) \mathrm{erfc}(x/\sqrt{4\nu t})/2}\right].

Re\to 0 극한에서, 극한 거동은 소스의 확산 확산이며 따라서 다음과 같다.

:u(x,t) = \frac{2\nu Re}{\sqrt{4\pi \nu t}} \exp\left(-\frac{x^2}{4\nu t}\right).

반면에, Re\to \infty 극한에서, 해는 앞서 언급된 수브라마니안 찬드라세카르의 비점성 버거스 방정식 충격파 해에 접근하며 다음과 같다.

:u(x,t) = \begin{cases}\frac{x}{t}, \quad 0

충격파 위치와 그 속도는 각각 x=\sqrt{2\nu Re\, t} 및 \sqrt{\nu Re/t}에 의해 주어진다.

### N파 해
N파 해는 압축파 뒤에 희석파가 오는 것으로 구성된다. 이러한 유형의 해는 다음과 같다.

:u(x,t) = \frac{x}{t}\left[1 + \frac{1}{e^{Re_0-1}}\sqrt{\frac{t}{t_0}}\exp\left(-\frac{Re(t)x^2}{4\nu Re_0 t}\right)\right]^{-1}

여기서 Re_0는 시간 t=t_0에서의 초기 레이놀즈 수로 간주될 수 있으며, Re(t) = (1/2\nu) \int_0^\infty udx=\ln (1+\sqrt{\tau/t}) (여기서 \tau = t_0 \sqrt{e^{Re_0}-1})는 시간에 따라 변하는 레이놀즈 수로 간주될 수 있다.

## 다른 형태

### 다차원 버거스 방정식
2차원 이상에서 버거스 방정식은 다음과 같다.

:\frac{\partial u}{\partial t} + u \cdot \nabla u = \nu \nabla^2 u.

벡터 필드 \mathbf u에 대해 방정식을 확장할 수도 있다.

:\frac{\partial \mathbf u}{\partial t} + \mathbf u \cdot \nabla \mathbf u = \nu \nabla^2 \mathbf u.

### 일반화된 버거스 방정식

일반화된 버거스 방정식은 준선형 대류 항을 더 일반화된 형태로 확장한다.

:\frac{\partial u}{\partial t} + c(u) \frac{\partial u}{\partial x} = \nu\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.

여기서 c(u)는 u에 대한 임의의 함수이다. 비점성 \nu=0 방정식은 c(u)>0일 때 여전히 준선형 쌍곡 방정식이며 그 해는 이전처럼 특성곡선법을 사용하여 구성할 수 있다.

### 확률 버거스 방정식

공간-시간 노이즈 \eta(x,t) = \dot W(x,t) (여기서 W는 L^2(\mathbb R) 위너 확률 과정)가 추가되면 확률 버거스 방정식이 형성된다.

:\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\lambda\frac{\partial\eta}{\partial x}.

이 확률 편미분 방정식은 u(x,t)=-\lambda\partial h/\partial x를 대입했을 때 필드 h(x,t)에서 카르다르-파리시-장 방정식의 1차원 버전이다.

## 같이 보기
* 차플리긴 방정식
* 보존 방정식
* 오일러-트리코미 방정식
* 포커르-플랑크 방정식
* KdV-버거스 방정식

## 각주

## 외부 링크
* Burgers' Equation (EqWorld: The World of Mathematical Equations).
* Burgers' Equation (NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia).

분류:유체동역학
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