다운샘플링

디지털 신호 처리에서 **다운샘플링**(downsampling), **서브샘플링**, **압축** 및 **데시메이션**(decimation)은 다중 속도 디지털 신호 처리 시스템에서 리샘플링 프로세스와 관련된 용어이다. 다운샘플링과 데시메이션은 압축과 동의어이거나 대역폭 감소(필터링) 및 샘플링 속도 감소의 전체 프로세스를 설명할 수 있다. 신호 또는 연속 함수의 샘플 시퀀스에 프로세스가 수행될 때, 더 낮은 속도(또는 사진의 경우 밀도)로 신호를 샘플링하여 얻을 수 있는 시퀀스의 근사치를 생성한다.

데시메이션은 역사적으로 열 개 중 하나를 제거하는 것을 의미하는 용어이다. 그러나 신호 처리에서 10배의 데시메이션은 실제로 10번째 샘플만 유지하는 것을 의미한다. 이 계수는 샘플링 간격을 곱하거나, 동등하게, 샘플링 속도를 나눈다. 예를 들어, 44,100 샘플/초의 콤팩트 디스크 오디오가 5/4 계수로 데시메이션되면 결과 샘플링 속도는 35,280이 된다. 데시메이션을 수행하는 시스템 구성 요소를 데시메이터라고 한다. 정수 계수 데시메이션은 압축이라고도 한다.

## 정수 계수 다운샘플링
정수 계수 M에 의한 속도 감소는 두 단계 프로세스로 설명될 수 있으며, 더 효율적인 동등한 구현이 가능하다.
# 디지털 저역 통과 필터로 고주파 신호 구성 요소를 줄인다.
# 필터링된 신호를 M으로 데시메이션한다. 즉, M번째 샘플만 유지한다.

2단계만으로는 바람직하지 않은 에일리어싱을 생성한다(즉, 고주파 신호 구성 요소가 낮은 주파수 대역으로 복사되어 낮은 주파수로 오인될 수 있다). 1단계는 필요한 경우 에일리어싱을 허용 가능한 수준으로 억제한다. 이 응용에서 필터는 위신호 제거 필터라고 불리며, 그 설계는 아래에서 논의된다. 대역통과 함수 및 신호 데시메이션에 대한 정보는 언더샘플링도 참조하라.

위신호 제거 필터가 IIR 설계인 경우, 두 번째 단계 이전에 출력에서 입력으로의 피드백에 의존한다. FIR 필터링의 경우, M번째 출력만 계산하는 것은 쉬운 일이다. n번째 출력 샘플에 대해 데시메이팅 FIR 필터가 수행하는 계산은 스칼라곱이다.

:y[n] = \sum_{k=0}^{K-1} x[nM-k]\cdot h[k],

여기서 h[•] 시퀀스는 임펄스 응답이고, K는 그 길이이다. x[•]는 다운샘플링되는 입력 시퀀스를 나타낸다. 범용 프로세서에서 y[n]을 계산한 후, y[n+1]을 계산하는 가장 쉬운 방법은 x[•] 배열의 시작 인덱스를 M만큼 진행시키고 스칼라곱을 다시 계산하는 것이다. M=2의 경우, h[•]는 하프밴드 필터로 설계될 수 있으며, 여기서 계수의 거의 절반은 0이므로 스칼라곱에 포함될 필요가 없다.

M 간격으로 취해진 임펄스 응답 계수는 서브시퀀스를 형성하며, M개의 이러한 서브시퀀스(위상)가 함께 다중화된다. 스칼라곱은 각 서브시퀀스와 x[•] 시퀀스의 해당 샘플들의 스칼라곱들의 합이다. 또한, M에 의한 다운샘플링 때문에, M개의 스칼라곱 중 하나에 관련된 x[•] 샘플들의 스트림은 다른 스칼라곱에 전혀 관련되지 않는다. 따라서 M개의 저차 FIR 필터들은 각각 입력 스트림의 M개의 다중화된 위상 중 하나를 필터링하고, M개의 출력이 합산된다. 이 관점은 다중 프로세서 아키텍처에서 유리할 수 있는 다른 구현을 제공한다. 다시 말해, 입력 스트림은 역다중화되어 M개의 필터 뱅크를 통과하며, 그 출력은 합산된다. 그렇게 구현될 때, 이를 **폴리페이즈** 필터라고 부른다.

완전성을 위해, 각 위상의 가능하지만 있을 법하지 않은 구현은 h[•] 배열의 복사본에서 다른 위상의 계수를 0으로 바꾸고, 원래 x[•] 시퀀스를 입력 속도로 처리(즉, 0을 곱함)하고, 출력을 M 계수로 데시메이션하는 것이다. 이 비효율적인 방법과 위에 설명된 구현의 등가성은 첫 번째 노블 항등식으로 알려져 있다. 이는 때때로 폴리페이즈 방법의 유도에 사용된다.
섬네일|400px|그림 1: 이 그래프는 과도하게 샘플링된 함수와 원래 속도의 1/3로 샘플링된 동일한 함수의 스펙트럼 분포를 나타낸다. 이 예에서 대역폭 B는 느린 샘플링이 중첩(에일리어싱)을 일으키지 않을 만큼 충분히 작다. 때때로, 샘플링된 함수는 M번째 샘플만 유지하고 나머지를 버려 더 낮은 속도로 리샘플링되는데, 이를 일반적으로 "데시메이션"이라고 한다. 잠재적인 에일리어싱은 데시메이션 전에 샘플을 저역 통과 필터링하여 방지된다. 최대 필터 대역폭은 일반적인 필터 설계 응용 프로그램에서 사용되는 대역폭 단위로 표로 작성된다.

### 위신호 제거 필터

X(f)를 임의의 함수 x(t)의 푸리에 변환이라고 하자. 이 함수는 어떤 간격 T에서 샘플링되었을 때 x[n] 시퀀스와 같다. 그러면 이산시간 푸리에 변환 (DTFT)은 X(f)의 주기적 합의 푸리에 급수 표현이다.
:\underbrace{
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \overbrace{x(nT)}^{x[n]}\ \mathrm e^{-\mathrm i 2\pi f nT}
}_{\text{DTFT}} = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X\Bigl(f - \frac{k}{T}\Bigr).

T가 초 단위일 때, f는 헤르츠 단위이다. 위의 공식에서 T를 MT로 대체하면 데시메이션된 시퀀스 x[nM]의 DTFT를 얻는다.

:\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n\cdot MT)\ \mathrm e^{-\mathrm i 2\pi f n(MT)} = \frac{1}{MT}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(f-\tfrac{k}{MT}\right).

주기적 합의 진폭과 주기성은 M 계수만큼 감소했다. 이 두 분포의 예는 그림 1의 두 트레이스에 묘사되어 있다.
X(f)의 인접한 복사본이 겹칠 때 에일리어싱이 발생한다. 위신호 제거 필터의 목적은 감소된 주기성이 겹침을 생성하지 않도록 하는 것이다. X(f)의 복사본이 서로 겹치지 않도록 하는 조건은 다음과 같다.  B  따라서 이는 이상적인 위신호 제거 필터의 최대 차단 주파수이다.

## 유리수 계수에 의한 다운샘플링

M/L을 데시메이션 계수라고 하자. 여기서: 

# L 계수만큼 시퀀스를 증가(리샘플링)시킨다. 이를 업샘플링 또는 보간이라고 한다.
# M 계수만큼 데시메이션한다.

1단계는 데이터 속도를 증가(확장)시킨 후 저역 통과 필터가 필요하고, 2단계는 데시메이션 전에 저역 통과 필터가 필요하다. 따라서 두 작업은 두 차단 주파수 중 낮은 주파수를 가진 단일 필터로 수행할 수 있다. M > L의 경우, 위신호 제거 필터 차단 주파수 \tfrac{0.5}{M} 사이클/중간 샘플이 더 낮은 주파수이다.

## 같이 보기
* 업샘플링
* 포스터리제이션
* 샘플링 속도 변환
* 에일리어싱
* 비스발링감-와이엇 알고리즘

## 내용주

## 페이지 인용

## 각주

## 추가 문헌

* 
* 
* 
* 
* T. 실허. RF applications in digital signal processing//" Digital signal processing". Proceedings, CERN Accelerator School, Sigtuna, Sweden, May 31-June 9, 2007. - Geneva, Switzerland: CERN (2008). - P. 258. - DOI: 10.5170/CERN-2008-003. https://cds.cern.ch/record/1100538/files/p249.pdf
* 슬리우사르 I.I., 슬리우사르 V.I., 볼로슈코 S.V., 스몰랴르 V.G. Next Generation Optical Access based on N-OFDM with decimation.// Third International Scientific-Practical Conference "Problems of Infocommunications. Science and Technology (PIC S&T'2016)". – Kharkiv. - October 3 –6, 2016. http://slyusar.kiev.ua/Slyusar_PIC_ST_2016.pdf
* 사스카 린드포르스, 아르노 파르시넨, 카리 A. I. 할로넨. A 3-V 230-MHz CMOS Decimation Subsampler.// IEEE transactions on circuits and systems— Vol. 52, No. 2, February 2005. – P. 110.

분류:디지털 신호 처리
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