산술-기하 수열

수학에서, 산술-기하 수열은 등차수열의 항과 대응하는 등비수열의 항을 항별로 곱한 수열이다. 더 쉽게 말해서, 산술-기하 수열의 n항은 등차수열의 n항과 등비수열의 n항의 곱이다. 산술-기하 수열은 확률론에서 기댓값을 계산하는 것과 같은 다양한 응용에서 나타난다. 예를 들어, 수열

: \dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}}, \ \dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}, \ \dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}}, \ \dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}, \ \dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}}, \ \dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}, \cdots 

은 산술-기하 수열이다. 산술 성분은 분자에 나타나고 (파란색), 기하 성분은 분모에 나타난다. (초록색)

이것은 등차수열과 등비수열의 특징을 둘 다 나타내는 다른 대상들에 적용될 수 있다. 예를 들어 산술-기하 수열의 프랑스식 개념은 u_{n+1}=a u_n+b와 같은 형태로 나타나는 수열을 의미하는데, 이는 등차수열과 등비수열의 일반화이다. 이러한 수열은 선형 계차 방정식의 특별한 경우이다.

## 수열의 항
공차가 d이고 초항이 a인 등차수열(파란색)과 초항이 b이고 공비가 r인 등비수열로 이루어진 산술-기하 수열의 처음 몇 개의 항은 다음과 같이 주어진다:

: 
\begin{align}
t_1 & =\color{blue}a \color{green}b \\
t_2 & =\color{blue}(a+d) \color{green}br \\
t_3 & =\color{blue}(a+2d)\color{green} br^2 \\
& \ \,\vdots \\
t_n & =\color{blue}[a+(n-1)d]\color{green} br^{n-1}
\end{align}


### 예
예를 들어, 수열

: \dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}}, \ \dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}, \ \dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}}, \ \dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}, \ \dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}}, \ \dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}, \cdots 

은 d=b=1, a=0, r=\frac 12에 의해 정의된다.

## 부분합
산술-기하 수열의 첫 개 항의 합은 다음 형태를 가진다.

: 
\begin{align}
S_n & = \sum_{k = 1}^n t_k = \sum_{k = 1}^n \left[a + (k - 1) d\right] br^{k - 1} \\
& = ab + [a + d] br + [a + 2 d] br^2 + \cdots + [a + (n - 1) d] br^{n - 1} \\
& = A_1G_1 + A_2G_2 + A_3G_3 + \cdots + A_nG_n,
\end{align}


이 때 A_i와 G_i는 등차수열과 등비수열의 *i*항을 각각 의미한다.

이 합은 다음과 같은 닫힌 형태 표현을 갖는다.

: 
\begin{align}
S_n & = \frac{ab - (a+nd)\,br^n}{1 - r}+\frac{dbr\,(1 - r^n)}{(1-r)^2}\\
    & = \frac{A_1G_1 - A_{n+1}G_{n+1}}{1 - r}+\frac{dr}{(1-r)^2}\,(G_1 - G_{n+1}).
\end{align}


### 증명
다음에 r을 곱한 다음,

: S_n = ab + [a + d] br + [a + 2 d] br^2 + \cdots + [a + (n - 1) d] br^{n - 1}

 을 에서 빼고 망원 급수의 기법을 이용하면 다음을 얻는다.

: \begin{align}
(1 - r) S_n = {} & \left[ab + (a + d) br + (a + 2 d) br^2 + \cdots + [a + (n - 1) d] br^{n - 1}\right] \\[5pt]
& {} - \left[a br + (a + d) br^2 + (a + 2 d) br^3 + \cdots + [a + (n - 1) d] br^n\right] \\[5pt]
= {} & ab + d b\left(r + r^2 + \cdots + r^{n-1}\right) - \left[a + (n - 1) d\right] br^n \\[5pt]
= {} & ab + d b\left(r + r^2 + \cdots + r^{n-1}+r^n\right) - \left(a + n d\right) br^n \\[5pt]
= {} & ab + d br \left(1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1}\right) - \left(a + nd\right) br^n \\[5pt]
= {} & ab + \frac{d br (1 - r^n)}{1 - r} - (a + nd) br^n, \end{align}


이 때 마지막 등식은 등비수열의 합으로부터 얻어진다. 마지막으로  을 나누면 결론을 얻는다.

## 급수
만일 −1 
\begin{align}
S &= \sum_{k = 1}^\infty t_k = \lim_{n \to \infty}S_{n} \\
  &= \frac{ab}{1-r}+\frac{dbr}{(1-r)^2}\\
  &= \frac{A_1G_1}{1 - r}+\frac{dG_1r}{(1-r)^2}.
\end{align}


만일 *r* 이 위의 범위를 벗어나면, 급수는 다음 둘 중 하나이다.

* 발산한다 (*r* > 1 또는 *r* = 1이고 등차수열의 *a*와 *d*가 모두 0이 아닌 경우. 만일 후자의 경우 *a*와 *d*가 모두 0이면, 급수의 모든 항이 0이 되어 급수는 상수가 된다.)
* 또는 교대급수 (when *r* ≤ −1).

### 예 : 기댓값에 대한 응용
예를 들어, 합

: S=\dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}}+\dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}+\dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}}+\dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}+\dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}}+\dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}+\cdots ,

는 d=b=1, a=0, r=\frac 12로 정의된 산술-기하 급수인데, 이는 S=2로 수렴한다.

이 수열은 "뒷면"을 얻기까지 예상되는 동전 던지기의 기댓값과 관련있다. *k*번째 동전 던지기에서 처음으로 뒷면을 얻을 확률 T_k는 다음과 같다:

: T_1=\frac 1{2}, \ T_2=\frac 1{4},\dots, T_k = \frac 1{2^k}.

따라서 동전 던지기의 기댓값은

: \sum_{k=1}^{\infty} k T_k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\color{blue}k}{\color{green}2^k} = S = 2 .

## 각주

## 더 읽을거리
* 
* 

분류:급수
분류:등비급수