직교 여원 격자

순서론에서 **직교 여원 격자**(直交餘元格子, )는 불 대수와 유사한 여원 연산을 갖는 유계 격자이다. 그러나 불 대수와 달리 분배 격자일 필요가 없으며, 심지어 모듈러 격자도 아닐 수 있다.

## 정의
### 순서 반대 보존성의 동치 조건
유계 격자 (L,\land,\lor,\top,\bot) 위의 함수 \lnot\colon L\to L에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* (순서 반대 보존) 임의의 x,y\in L에 대하여, x\le y라면 \lnot x\ge\lnot y
* (드 모르간 법칙 1) 임의의 x,y\in L에 대하여, \lnot(x\land y)=\lnot x\lor\lnot y
* (드 모르간 법칙 2) 임의의 x,y\in L에 대하여, \lnot(x\lor y)=\lnot x\land\lnot y

**증명:**

**순서 반대 보존 ⇒ [[드 모르간 법칙]] 1:** 임의의 x,y\in L에 대하여,
:x\land y\le x
:x\land y\le y
이므로
:\lnot(x\land y)\ge\lnot x
:\lnot(x\land y)\ge\lnot y
이다. 따라서, 상한의 정의에 따라
:\lnot(x\land y)\ge\lnot x\lor\lnot y
이다.

**순서 반대 보존 ⇒ [[드 모르간 법칙]] 2:** 위의 경우를 쌍대화하면 된다.

**[[드 모르간 법칙]] 1 ⇒ 순서 반대 보존:** 임의의 x,y\in L에 대하여, x\le y라고 하자. 그렇다면,
:x=x\land y
이므로
:\lnot x=\lnot(x\land y)=\lnot x\lor\lnot y
이다. 따라서
:\lnot x\ge\lnot y
이다.

**[[드 모르간 법칙]] 2 ⇒ 순서 반대 보존:** 위의 경우를 쌍대화하면 된다.


### 직교 여원 격자
유계 격자 (L,\land,\lor,\top,\bot) 위의 **직교 여원**(直交餘元, ) \lnot\colon L\to L은 다음 네 조건들을 만족시키는 함수이다.
* (대합) 임의의 x\in L에 대하여, \lnot\lnot x=x
* (순서 반대 보존) 임의의 x,y\in L에 대하여, x\le y라면 \lnot x\ge\lnot y
* (배중률) 임의의 x\in L에 대하여, \lnot x\lor x=\top
* (비모순율) 임의의 x\in L에 대하여, \lnot x\land x=\bot

**직교 여원 격자**()는 직교 여원이 부여된 격자이다. 이들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 두 직교여원 격자 사이의 **직교 여원 격자 사상**() f\colon L\to L'은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.
* 격자 사상이다. 즉, 임의의 x,y\in L에 대하여 f(x\land y)=f(x)\land f(y)이며, f(x\lor y)=f(x)\lor f(y)이다.
* 임의의 x\in L에 대하여 f(\lnot x)=\lnot f(x)이다.
이 경우, 임의의 x\in L에 대하여
:f(\top)=f(x\lor\lnot x)=f(x)\lor\lnot f(x)=\top
:f(\bot)=f(x\land\lnot x)=f(x)\land\lnot f(x)=\bot
이므로 이는 자동적으로 유계 격자 사상이 된다.

### 가환성
직교 여원 격자 L에서, 두 원소 x,y\in L가 다음 조건을 만족시키면 x가 y와 **가환한다**()고 한다.
:x=(x\land y)\lor(x\land\lnot y)
이는 x\operatorname{\mathsf C}y로 표기한다.

가환 관계는 일반적으로 대칭 관계가 아니다. 즉, x\operatorname{\mathsf C}y이라면y\operatorname{\mathsf C}x일 필요는 없다.

직교 여원 격자 L의 두 원소 x,y\in L에 대하여, x\le y라면 x\operatorname{\mathsf C}y이다.

### 직교모듈러 격자
[섬네일|right|육각형 격자의 [하세 도형]]
직교 여원 격자 L에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 직교 여원 격자를 **직교모듈러 격자**()라고 한다.
* 임의의 x,y\in L에 대하여, x\le y이라면 y\operatorname{\mathsf C}x이다 (즉, x\lor(\lnot x\land y)=y이다).
* 임의의 x,y\in L에 대하여, x\lor(\lnot x\land(x\lor y))=x\lor y이다.
* 가환 관계는 대칭 관계이다. 즉, 임의의 x,y\in L에 대하여, x\operatorname{\mathsf C}y이라면 y\operatorname{\mathsf C}x이다.
* 임의의 x,y\in L에 대하여, x\operatorname{\mathsf C}y이라면 \lnot x\operatorname{\mathsf C}y이다.
* 임의의 x,y\in L에 대하여, x\le y이자 \lnot x\land y=\bot이라면 x=y이다.
* 임의의 x,y,z\in L에 대하여, x\le y\le z라면 x\lor(\lnot y\land z)=(x\lor\lnot y)\land z이다.
* 육각형 격자를 부분 격자로 갖지 않는다.
여기서 **육각형 격자**()는 다음과 같은 유계 격자이다.
:L=\{\bot,a,b,c,d,\top\}
:\bot\le a\le b\le\top
:\bot\le c\le d\le\top

## 성질
### 함의 관계
모든 불 대수는 직교 여원 격자이다.

직교여원 격자가 분배 격자일 필요는 없다.

직교 여원 격자 L에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
* 불 대수이다.
* 분배 격자이다.
* 임의의 원소 x\in L에 대하여, c\land x=\bot이며 c\lor x=\top인 c\in L가 유일하게 존재한다. (이는 물론 \lnot x이다.)
* (엘칸 법칙 ) 임의의 x,y\in L에 대하여, \lnot(a\land\lnot b)=b\lor\lnot a\land\lnot b

모든 모듈러 직교 여원 격자는 직교모듈러 격자이지만, (이름과 달리) 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

### 유일성
주어진 격자 위에 직교 여원이 유일할 필요는 없다. 다만, 분배 격자 위의 직교 여원은 만약 존재한다면 유일하다.

**증명:**

분배 격자 L의 원소 x,c,c'\in L에 대하여
:x\lor c=x\lor c'=\top
:x\land c=x\land c'=\bot
라고 하자. 그렇다면
:c'=c'\lor\top=c'\land(x\lor c)=(c'\land x)\lor(c'\land c)=\bot\lor(c'\land c)=c'\land c
이다. 따라서
:c'\le c
이다. 마찬가지로 c\le c'임을 보일 수 있으며, 따라서 c=c'이다.

직교 여원을 갖는 분배 격자를 **[[불 대수]]**라고 한다.

### 범주론적 성질
직교 여원 격자와 직교 여원 격자 준동형의 구체적 범주 \operatorname{OLat}는 대수 구조 다양체의 범주이므로 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 자유 대상이 존재한다.

## 예
### 양자 논리

힐베르트 공간 \mathcal H의 부분 벡터 공간들은 포함 관계에 대하여 유계 격자를 이룬다. 이 경우, 직교여원
:\lnot V=V^\perp=\{u\in\mathcal H\colon\forall v\in V\colon u\perp v\}
을 정의하면, 이는 직교모듈러 격자를 이룬다. "직교 여원"이라는 용어는 이에서 비롯하였다. 이 사실은 양자 논리에서 중요한 역할을 한다.

### 대합환
(R,^*)가 대합환이라고 하자. 그렇다면,
:L=\{r\in R\colon r=r^*=r^2\}
:r\le s\iff r=rs\qquad(r,s\in L)
:\lnot r=1-r\qquad(r,s\in L)
로 놓으면, L은 직교모듈러 격자를 이룬다. 또한, 이 경우
:\forall r,s\in L\colon xy=yx\iff x\operatorname{\mathsf C}y
이다. 즉, 환으로서의 가환성 개념이 직교 여원 격자로서의 가환성 개념과 일치한다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:격자 이론