사영 표현

군 표현론에서, **사영 표현**(射影表現, )은 어떤 군의 원소들을 어떤 벡터 공간 위의 행렬 또는 선형 변환으로 나타내되, 행렬로서의 교환자가 군의 연산과 단위 행렬의 스칼라배만큼 다른 것을 허용한 것이다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 체 K
* K-벡터 공간 V
* 군 G
그렇다면, G의 V 위의 K-선형 **사영 표현**은 군 준동형
:G \to \operatorname{PGL}(V;K) =\operatorname{GL}(V;K)/K^\times
이다. 여기서 \operatorname{PGL}(V)는 사영 선형군이다.

### 사영 유니터리 표현
다음이 주어졌다고 하자.
* \mathbb K \in \{\mathbb R, \mathbb C \}
* \mathbb K-힐베르트 공간 H
* 리 군 G
그렇다면, H의 **사영 유니터리 표현**(射影unitary表現, )은 연속 함수인 군 준동형
:G \to \operatorname{PU}(H) = \operatorname U(H) / \mathbb K^\times 
이다. 여기서 \operatorname{PU}(-)는 사영 유니터리 군을 뜻한다. 사영 유니터리 표현은 사영 표현의 특수한 경우이다.

## 성질
### 선형 표현과의 관계
모든 (선형) 표현
:G \to \operatorname{GL}(V;K)
이 주어졌을 때, 몫군 사상
:q\colon\operatorname{GL}(V;K) \twoheadrightarrow \operatorname{PGL}(V;K)
을 통하여 사영 표현
:G \to \operatorname{PGL}(V;K)
을 정의할 수 있다. 즉, 모든 선형 표현은 사영 표현을 유도한다.

반대로, 사영 표현
:\rho\colon G \to \operatorname{PGL}(V;K)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 군을 정의하자.
:H = G \times_{\pi,q} \operatorname{GL}(V;K) = 
\{(g,T)\in G\times\operatorname{GL}(V;K)\colon \pi(g) = q(T) \}
이는 군의 범주의 다음과 같은 올곱이다.
:\begin{matrix}
H & \overset{\rho_H}\to & \operatorname{GL}(V;K) \\
{\scriptstyle\phi}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\phi} & & {\scriptstyle\color{White}q}\downarrow{\scriptstyle q}\\
G & \underset\rho \to & \operatorname{PGL}(V;K) \\
\end{matrix}
이에 따라서, 군 준동형
:\rho_H\colon H \to \operatorname{GL}(V;K)
:\rho_H\colon (g,T) \mapsto T
이 존재한다. 또한, 군 준동형
:\phi \colon H \to G
:\phi \colon (g,T) \mapsto g
은 전사 함수이며, 그 핵인 정규 부분군은
:H \ge \operatorname Z(H) \ge \ker\phi = \{(1_G,\alpha 1_V)\colon \alpha\in K^\times\} \cong K^\times
이다. 즉, H는 G의 중심 확대이며, 군의 범주에서 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.
:1 \to K^\times \to H \to G \to 1

### 사영 유니터리 표현
리 군 G의 유한 차원 복소수 사영 유니터리 표현은 항상 그 범피복군 \tilde G의 유니터리 표현으로 유도된다. 즉, 임의의 연결 리 군 G의 사영 유니터리 표현
:\rho\colon G \to \operatorname{PU}(n)
이 주어졌을 때, 항상 다음 가환 네모를 완성하는 유니터리 표현 \tilde\rho\colon\tilde G \to \operatorname U(n)을 찾을 수 있다.
:\begin{matrix}
G & \overset\rho\to & \operatorname{PU}(n) \\
\uparrow && \uparrow \\
\tilde G& \underset{\tilde\rho}\to & \operatorname U(n)
\end{matrix}
무한 차원 표현의 경우, 이는 일반적으로 성립하지 않는다. 그러나 **바르그만 정리**()에 따르면, 만약 실수 계수 2차 리 대수 코호몰로지 \operatorname H^2(\mathfrak{lie}(G);\mathbb R)가 자명하다면, 무한 차원 사영 유니터리 표현도 역시 범피복군의 유니터리 표현으로부터 유도된다.

## 예
특수 직교군 \operatorname{SO}(n;\mathbb R)의 유한 차원 실수 사영 유니터리 표현 가운데 선형 표현으로부터 유도되지 않는 것은 스피너 사영 표현이다. 이들은 중심 확대이자 범피복군인 스핀 군
:1 \to \operatorname{Cyc}(2) \cong \operatorname Z(\operatorname{Spin}(n)) \to \operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{SO}(n) \to 1 \qquad(n\ge3)
의 유니터리 표현으로부터 유도된다.

### 범피복군으로부터 유도되지 않는 사영 유니터리 표현
아벨 리 군
:\mathbb R^{2n} = \{(\mathbf x,\mathbf p)\colon \mathbf x,\mathbf p \in \mathbb R^n\}
의, 르베그 공간 \operatorname L^2(\mathbb R^n) 위의 다음과 같은 사영 표현
:\rho \colon \mathbb R^{2n} \to \operatorname L^2(\mathbb R^n)
을 생각하자.
:\rho(\mathbf x,\mathbf0)f(\mathbf y) = f(\mathbf y-\mathbf x)
:\rho(\mathbf0,\mathbf p)f(\mathbf y) = \exp(\mathrm i\mathbf p\cdot\mathbf y)f(\mathbf y)
이는 양자역학에서 위치 및 운동량 연산자에 해당한다. 이 두 연산자의 교환자는 절댓값 1의 복소수이므로, 이는 사영 유니터리 표현을 이룬다.

\mathbb R^{2n}은 단일 연결 공간이다 (스스로의 범피복군이다). 그러나 이 사영 유니터리 표현은 \mathbb R^{2n}의 유니터리 표현으로부터 유도되지 못하며, \mathbb R^{2n}의 중심 확장인 하이젠베르크 군
:1 \to \mathbb R^\times \to \operatorname{Heis}(n;\mathbb R) \to \mathbb R^{2n} \to 1
의 유니터리 표현으로 유도된다.

## 역사
바르그만 정리는 발렌티네 바르그만(, 1908〜1989)이 1954년에 증명하였다.

## 같이 보기
* 군의 확대
* 입자물리학과 표현론의 관계
* 스피너
* 하이젠베르크 군
## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:표현론