아이디얼 노름

대수적 수론에서 **아이디얼 노름**()은 임의의 분수 아이디얼에 대하여 정의되는, 체 노름의 일반화이다.

## 정의
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 데데킨트 정역 R
* R의 분수체 K=\operatorname{Frac}R의 유한 분해 가능 확대 L/K
그렇다면, 크룰-아키즈키 정리에 의하여 R의 L 속의 정수적 폐포 R\subseteq S\subseteq K 역시 데데킨트 정역을 이룬다.

그렇다면, **상대 아이디얼 노름**()은 다음과 같은 꼴의 모노이드 준동형이다.
:\operatorname N_{S/R}\colon\operatorname{FracIdeal}(S)\to\operatorname{FracIdeal}(R)
여기서 \operatorname{FracIdeal}(-)은 (영 아이디얼을 포함하는) 모든 분수 아이디얼들로 구성된 곱셈 모노이드이다.
이는 상대 아이디얼 노름이 만족시키는 성질들로부터 공리적으로 정의할 수 있으며, 체 노름을 사용하여 구체적으로도 정의할 수 있다.

### 공리적 정의
**상대 아이디얼 노름** \operatorname N_{S/R}\colon\operatorname{FracIdeal}(S)\to\operatorname{FracIdeal}(R)은 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 모노이드 준동형이다.
* \operatorname N_{S/R}((0)_S)=(0)_R. 여기서 (0)은 영 아이디얼이다.
* 임의의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 \mathfrak q\subseteq S 및 \mathfrak p\subseteq R에 대하여, 만약 \mathfrak q\mid\mathfrak p라면,
*:\operatorname N_{S/R}(\mathfrak q)=\mathfrak p^{[S/\mathfrak q:R/\mathfrak p]}
여기서 [S/\mathfrak q:R/\mathfrak p]는 (덧셈군으로서) 부분군의 지표를 뜻한다.
여기서 \mathfrak q\mid\mathfrak p라는 것은 분기화에 대하여 \mathfrak q가 \mathfrak p 위에 있다는 것을 뜻한다. 즉, \mathfrak p를 S에서 소인수 분해하면 \mathfrak q는 그 소인수 가운데 하나이다.

### 체 노름을 통한 정의
아이디얼 노름은 체 노름을 통해서도 정의할 수 있다. 분수 아이디얼 \mathfrak A\in\operatorname{FracIdeal}S의 **아이디얼 노름** \operatorname N_{S/R}(\mathfrak A)\in\operatorname{FracIdeal}R은 다음과 같은 분수 아이디얼이다.
:\operatorname N_{S/R}(\mathfrak A)=\{r_1\operatorname N_{L/K}(a_1)
+r_2\operatorname N_{L/K}(a_1)+\cdots+r_n\operatorname N_{L/K}(a_n)
\colon n\in\mathbb N,\;a_1,\dots,a_n\in\mathfrak A,\;r_1,\dots,r_n\in R\}\in\operatorname{FracIdeal}(R)
즉, \operatorname N_{L/K} 아래 \mathfrak A의 상으로 생성되는 분수 아이디얼이다. 여기서 \operatorname N_{L/K}는 체의 확대 L/K에 대한 체 노름이다.

### 절대 아이디얼 노름
대수적 수체 L/\mathbb Q이 주어졌을 때, K=\mathbb Q, S=\mathcal O_L, R=\mathbb Z로 놓으면 위 조건이 성립한다. 이 경우, (\mathbb Z는 주 아이디얼 정역이므로) \operatorname{FracIdeal}(\mathbb Z)은 음이 아닌 유리수의 곱셈 모노이드 \mathbb Q_{\ge0}로 여길 수 있다. 따라서 아이디얼 노름은 모노이드 준동형
:\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}\colon\operatorname{FracIdeal}(\mathcal O_L)\to\mathbb Q_{\ge0}
을 정의하며, **절대 아이디얼 노름**이라고 한다.

절대 아이디얼 노름은 다음과 같이 직접적으로 정의할 수 있다. 대수적 수체 L/\mathbb Q의 대수적 정수환 \mathcal O_L의 아이디얼 \mathfrak a의 **절대 아이디얼 노름**은 다음과 같다.
:\operatorname N_L(\mathfrak a)=\begin{cases}
|\mathcal O_L/\mathfrak a|\\
0&\mathfrak a=(0)
\end{cases}

즉, 만약 \mathfrak a가 영 아이디얼이 아니라면 몫환 \mathcal O_L/\mathfrak a의 집합의 크기이다. 이는 곱셈 연산을 보존하므로, 다음과 같은 모노이드 준동형을 이룬다.
:\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}\colon\operatorname{Ideal}(\mathcal O_L)\to\mathbb N
:\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}(\mathfrak a\mathfrak b)=\operatorname N_L(\mathfrak a)\operatorname N_K(\mathfrak b)
:\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}(\mathcal O_L)=1
여기서 \operatorname{Ideal}(\mathcal O_L)은 \mathcal O_L의 아이디얼들의 곱셈 모노이드이며, \mathbb N은 자연수(음이 아닌 정수)들의 곱셈 모노이드이다.

보다 일반적으로, \mathcal O_L-아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 \mathcal O_L-분수 아이디얼로 다음과 같이 일반화할 수 있다.
:\operatorname N_L(\mathfrak a/b)=\operatorname N_L(\operatorname a)/\operatorname N_L((b))\qquad\left(\mathfrak a/b\in\operatorname{FracIdeal}(\mathcal O_L),\;b\in\mathcal O_L\right)
(여기서 (b)는 b로 생성되는 주 아이디얼이다.) 이는 다음과 같은 모노이드 준동형을 이룬다.
:\operatorname N_L\colon\operatorname{FracIdeal}(\mathcal O_L)\to\mathbb Q_{\ge0}
여기서
* \operatorname{FracIdeal}(\mathcal O_L)은 (영 분수 아이디얼을 포함하는) \mathcal O_L의 분수 아이디얼들의 곱셈 모노이드이다.
* \mathbb Q_{\ge0}는 음이 아닌 유리수들의 곱셈 모노이드이다.

### 아라켈로프 인자의 아이디얼 노름
대수적 수체 L의 무한 또는 유한 자리 \mathfrak q\mid\mathfrak p (\mathfrak p\in\{2,3,5,7,\dots,\infty\})에 대하여 다음을 정의하자.
* \kappa(\mathfrak q)는 값매김환 \mathcal O_{L_{\mathfrak q}}의 잉여류체이다. (만약 \mathfrak q가 무한 위치라면 \mathcal O_{L_{\mathfrak q}}=L_{\mathfrak q}이다.) 마찬가지로 \kappa(\mathfrak p)는 값매김환 \mathcal O_{K_{\mathcal p}}의 잉여류체이다.
* f_{\mathfrak p}=[\kappa(\mathfrak q):\kappa(\mathfrak p)]는 분기화 S/R에 대한 \mathfrak q의 관성 차수이다.

그렇다면 다음을 정의할 수 있다.
:\operatorname N(\mathfrak q)=\begin{cases}
\mathfrak q^{\nu(\mathfrak q)}&\mathfrak q\nmid\infty\\
\mathrm e^{\nu(\mathfrak q)}&\mathfrak q\mid\infty
\end{cases}
그렇다면 임의의 아라켈로프 인자
:\mathfrak A=\prod_{\mathfrak q}\mathfrak q^{\nu(\mathfrak q)}
\qquad\nu(\mathfrak q)\in\begin{cases}
\mathbb Z&\mathfrak q\nmid\infty\\
\mathbb R&\mathfrak q\mid\infty
\end{cases}

의 **아이디얼 노름**은 다음과 같다.
:\operatorname N(\mathfrak A)=\prod_{\mathfrak q}\operatorname N(\mathfrak q)^{\nu(\mathfrak q)}\in\mathbb R^+

이는 아라켈로프 인자들의 아벨 군에서 양의 실수의 곱셈군 \mathbb R^+으로 가는 군 준동형을 정의한다.

### 이델 노름
보다 일반적으로, 두 대역체 사이의 확대 L/K가 주어졌을 때, 그 이델 군 사이의 다음과 같은 **상대 이델 노름**()이 존재한다.
:\operatorname N_{L/K}\colon\mathbb A_L^\times\to\mathbb A_K^\times
:\operatorname N_{L/K}\colon(a_{\mathfrak q})_{\mathfrak q\in\operatorname{Places} L}\mapsto
\prod_{\mathfrak q\mid\mathfrak p}\operatorname N_{L_{\mathfrak q}/K_{\mathfrak p}}(a_{\mathfrak q})
여기서
* \textstyle\prod_{\mathfrak q\mid\mathfrak p}는 K의 모든 자리 \mathfrak p 및 \mathfrak p가 분기화하는 모든 L의 자리 \mathfrak q들에 대한 곱이다.
* \operatorname N_{L_{\mathfrak q}/K_{\mathfrak p}}는 완비체의 확대 L_{\mathfrak q}/K_{\mathfrak p}에 대한 체 노름이다.
이는 연속 함수이며 군 준동형을 이룬다. a\in L^\times에 의하여 정의되는 주 이델 (a)\in\mathbb A_L^\times의 상은 K의 주 이델이므로, 이는 이델 유군 사이의 연속 군 준동형
:C_L\to C_K
을 정의한다.

마찬가지로, 다음과 같은, 양의 실수 값의 **절대 이델 노름**()이 존재한다.
:\operatorname N_K\colon\mathbb A_K^\times\to\mathbb R^+
:\operatorname N_K\colon(a_{\mathfrak q})_{\mathfrak q\in\operatorname{Places}K}\mapsto\prod_{\mathfrak p}|a|_{\mathfrak p}
이는 연속 함수이며 군 준동형을 이룬다. a\in K^\times에 의하여 생성되는 주 이델 (a)\in\mathbb A_K^\times의 절대 이델 노름은 항상 1이다. 따라서 이는 이델 유군을 정의역으로 하는 연속 군 준동형
:C_K\to\mathbb R^+
을 정의한다.

## 성질
### 체 노름과의 관계
임의의 대수적 수체의 대수적 정수환 \mathcal O_L에서, 주 아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 체 노름 \operatorname N_{K/\mathbb Q}의 절댓값이다. 보다 일반적으로, L=\operatorname{Frac}\mathcal O_L의 임의의 원소의 주 분수 아이디얼 (a\mathcal O_L)의 절대 아이디얼 노름은 체 노름의 절댓값이다.
:\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}(a\mathcal O_L)=|\operatorname N_{K/\mathbb Q}(a)|\qquad(a\in K)
그러나 아이디얼 노름은 체 노름과 달리 부호를 기억하지 않는다.

### 복소수 자리의 수
임의의 대수적 수체 L/\mathbb Q에 대하여, L의 복소수 자리의 수(즉, 환 준동형 집합 \hom_{\operatorname{CRing}}(L,\mathbb C)의 크기의 절반. 이는 복소켤레에 의하여 이는 항상 정수이다)를 s_{\mathbb C}(L)라고 하자. 그렇다면, 임의의 (영 아이디얼이 아닌) 아이디얼 \mathfrak a\subseteq\mathcal O_L에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.
:\left (\frac\pi2\right)^{s_{\mathbb C}(L)}\le\frac{\sqrt{\left|\Delta_L\right|}\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}(\mathfrak a)}{\min_{a\in\mathfrak a\setminus\{0\}}|\operatorname N_{L/\mathbb Q}(a)|}
여기서 \Delta_L은 수체의 판별식을 뜻한다. 따라서, 이를 통하여 대수적 수체의 복소수 자리의 수의 상계를 얻을 수 있다.

## 역사
일반적인 데데킨트 정역에 대한 아이디얼 노름은 장피에르 세르가 정의하였다.

## 같이 보기
* 체 노름
* 데데킨트 제타 함수
## 각주

분류:대수적 수론
분류:가환대수학
분류:아이디얼