더시터르 공간

일반 상대성 이론과 미분기하학에서 **더시터르 공간**(de Sitter空間, )은 로런츠 다양체의 하나다. 양의 우주 상수를 가지는 아인슈타인 방정식의 진공 해이며, 암흑 에너지밖에 없는 진공을 나타낸다. *n*차원 더시터르 공간의 기호는 dS*n*.

우리가 살고 있는 우주는 현재 대부분(69%) 암흑 에너지로 차 있다 (ΛCDM 모형). 따라서, 우리 우주는 더시터르 공간으로 근사할 수 있다.

최근에는, 본래 특수 상대성 이론의 골자로서 민코프스키 공간이 이용된 것을, 이 더시터르 공간을 새로이 이용해서 더시터르 상대성이라는 형식을 세우는 것이 일각에서 고려되고 있다.

## 역사
1917년에 빌럼 더시터르와 툴리오 레비치비타 가 독자적으로 발견하였다.

## 정의
*n*차원 **더시터르 공간**은 *n*+1차원 민코프스키 공간의 부분공간으로 정의할 수 있다. *n*+1차원 민코프스키 공간 \mathbb R^{1,n}의 다음과 같은 직교좌표계를 생각하자.
:ds^2 = -dx_0^2 + \sum_{i=1}^n dx_i^2.
더시터르 공간은 다음 식을 만족하는 쌍곡면으로 표현되는 부분다양체이다.
:-x_0^2 + \sum_{i=1}^n x_i^2 =\alpha^2
여기서 \alpha는 길이의 차원을 가지는 양의 상수이며, **더시터르 반지름**()이라고 한다. 더시터르 공간의 계량 텐서는 고차원 민코프스키 공간에서 유도되는 계량 텐서()이며, 이 계량이 로런츠 계량 부호수를 가지고 있다는 사실을 보일 수 있다. (만약 위의 정의에서 \alpha^2 을 -\alpha^2으로 대치하면 두 장의 쌍곡면을 얻는다. 이 경우 유도 계량은 양의 정부호이며, 각각의 쌍곡면들은 *n*차원 쌍곡면 공간을 이룬다.)

## 성질
### 기하학적 성질
더시터르 공간은 동차공간
:\operatorname{dS}_n=O(1,n)/O(1,n-1)
으로 나타낼 수 있다. 여기서 O(*p*,*q*)는 임의의 계량 부호수에 대한 직교군이다.

더시터르 공간의 등거리변환군은 O(1,*n*) 로런츠 군이다. 그러므로 계랑은 *n*(*n*+1)/2 개의 독립적인 킬링 벡터를 가지며, 최대대칭공간()이다. 모든 최대 대칭 공간은 일정한 곡률을 갖는다. 더시터르 공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.
:R_{\rho\sigma\mu\nu} = {1\over \alpha^2}(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu} - g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu})
리치 곡률이 계량에 비례하므로, 더시터르 공간은 아인슈타인 다양체이다.
:R_{\mu\nu} = \frac{n-1}{\alpha^2}g_{\mu\nu}
따라서, 더시터르 공간은 다음과 같은 우주 상수 \Lambda를 갖는, 아인슈타인 방정식의 진공해이다.
:\Lambda = \frac{(n-1)(n-2)}{2\alpha^2}.
더시터르 공간의 스칼라 곡률은 다음과 같다.
:R = \frac{n(n-1)}{\alpha^2} = \frac{2n}{n-2}\Lambda.
4차원 더시터르 공간의 경우 \Lambda=3/\alpha^2, R=4\Lambda=12/\alpha^2이다.

### 위상수학적 성질
*n*차원 더시터르 공간은 S^{n-1}\times\mathbb R과 위상동형이다. 따라서 2차원이 아닌 더시터르 공간은 단일 연결 공간이다. (2차원 더시터르 공간은 물론 기본군 \mathbb Z를 가진다.)

### 펜로즈 그림
오른쪽|섬네일|더시터르 공간의 펜로즈 그림. 좌변은 공간의 북극, 우변은 공간의 남극을 나타낸다. 윗변은 무한 미래, 아랫변은 무한 과거를 나타낸다.
더시터르 공간의 펜로즈 그림은 정사각형이다. 더시터르 공간의 경우 위상학적으로 S^{n-1}\times\mathbb R이므로, 정사각형 내부의 각 점은 S^{n-2}에 대응한다. 정사각형의 좌변과 우변은 S^{n-1}의 남극과 북극을 나타내므로, 좌변과 우변에서의 각 점은 실제 하나의 점에 대응한다. 정사각형의 윗변과 아랫변은 더시터르 공간의 각각 무한한 미래와 과거를 나타내고, 더시터르 공간의 실재하는 점에 대응하지 않는다.

## 좌표계
더시터르 공간에는 다양한 좌표계들이 존재한다. 그 중 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.

### 정적 좌표계
**정적 좌표계**(靜的座標系, )로서 (t, r, \ldots) 을 다음과 같이 놓을 수 있다.
:x_0 = \sqrt{\alpha^2-r^2}\sinh(t/\alpha)
:x_1 = \sqrt{\alpha^2-r^2}\cosh(t/\alpha)
:x_i = r z_i \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 2\le i\le n.
여기서 z_i은 **R***n*−1 안에서의 표준 매장으로서의 (*n*−2)차원 구면을 나타낸다. 이들 좌표를 가지고, 더시터르 계랑을 다음과 같이 기술할 수 있다.

:ds^2 = -\left(1-\frac{r^2}{\alpha^2}\right)dt^2 + \left(1-\frac{r^2}{\alpha^2}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_{n-2}^2.

여기서 r = \alpha에 사건 지평선이 존재한다. 이를 **우주론적 지평선**(宇宙論的地平線, )이라고 하며, 지평선 안을 관측 가능한 우주()라고 한다.

### FLRW 좌표계
더시터르 공간은 FLRW 해의 한 종류이며, 공간의 곡률이 +1, 0, 또는 −1인 엽층을 줄 수 있다.

*n*차원 FLRW 계량은
:ds^2=-dt^2+a(t)^2d\Sigma^2
이며, 여기서
:d\Sigma^2=d\Omega_{n-1}^2 (*n*−1차원 초구 계량, k=+1인 경우)
:d\Sigma^2=dr^2+r^2d\Omega_{n-2}^2 (*n*−1차원 유클리드 공간 계량, k=0인 경우)
:d\Sigma^2=dr^2+(\sinh^2r)d\Omega_{n-2}^2 (*n*−1차원 쌍곡공간 계량, k=-1인 경우)
이다. 척도인자 a(t)는 다음과 같다.
:a(t)=\alpha\cosh(t/\alpha) (k=+1)
:a(t)=\exp(t/\alpha) (k=0)
:a(t)=\alpha\sinh(t/\alpha) (k=-1)

## 열역학
더시터르 공간은 (반 더시터르 공간과 달리) 우주론적 지평선(cosmological horizon)을 가진다. 이에 따라, 더시터르 공간은 블랙홀과 마찬가지로 유한한 온도와 엔트로피를 가지게 된다.

더시터르 공간에서의 진공 상태는 **번치-데이비스 진공**()이라고 불리는 상태이며, 그 온도는
:T=\frac{\hbar}{k_B2\pi\alpha}
이다. 또한, 더시터르 공간의 지평선의 넓이
:A=\operatorname{vol}(S^{n-2})\alpha^{n-2}
는 유한하다. (여기서 \operatorname{vol}(S^{n-2})는 반지름이 1인 n-2차원 초구의 넓이다.)
따라서 블랙홀 열역학과 유사하게 엔트로피
:S=\frac{k_Bc^3A}{4\hbar G}
=\frac{k_Bc^3\operatorname{vol}(S^{n-2})\alpha^{n-2}}{4\hbar G}

를 계산할 수 있다.

## 각주

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## 외부 링크
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## 같이 보기
* 반 더시터르 공간
* dS/CFT 대응성
* 더시터르-슈바르트실트 우주
* 쌍곡면

분류:일반 상대성 이론의 엄밀해
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분류:천문학 방정식