오리엔티폴드

끈 이론에서 **오리엔티폴드**()란 끈의 세계면의 방향 반전 연산자를 게이지하여 없앤 경우를 일컫는다.

## 정의
ⅡB종 초끈 이론의 기본 끈의 세계면의 \mathcal N=(1,1) 2차원 등각 장론에는 다음과 같은 연산자들이 존재한다.
* \Omega: 끈의 방향을 뒤집는다. 즉, 왼쪽 진동 모드와 오른쪽 진동 모드를 서로 바꾼다.
* (-)^{F_L}: 왼쪽 진동 모드의 페르미온 수. 이는 라몽-라몽 장에 대하여 &minus;1로 작용하며, 라몽-느뵈-슈워츠 페르미온에 대하여 &minus;1로, 느뵈-슈워츠-라몽 페르미온에 대하여 +1로 작용한다.
* (-)^{F_R}: 오른쪽 진동 모드의 페르미온 수. 이는 라몽-라몽 장에 대하여 &minus;1로 작용하며, 라몽-느뵈-슈워츠 페르미온에 대하여 +1로, 느뵈-슈워츠-라몽 페르미온에 대하여 &minus;1로 작용한다.
이들은
:\Omega^2 = ((-)^{F_L})^2 = ((-)^{F_R})^2 = 1
:\Omega (-)^{F_L} = (-)^{F_R} \Omega
를 따르며, 크기 8의 정이면체군 \operatorname{Dih}(4)을 이룬다.

보다 일반적으로, 시공간 M의 방향을 보존하는 대합 I\colon M\to M에 대하여, I\Omega 등은 ⅡB 끈 세계면 이론의 대칭을 이룬다.

ⅡA의 경우, \Omega는 끈 세계면 이론의 대칭이 아니며, 대신 방향을 바꾸는 대합 I \colon M\to M와 합성하였을 때 I\Omega 등은 끈 세계변 이론의 대칭을 이룬다.

끈이 움직이는 시공간 M이 어떤 (유한) 대칭군 G를 갖는다고 하자. 그렇다면, 총 대칭군
:G \times \operatorname{Dih}(4)
의 임의의 부분군
:H \le G \times \operatorname{Dih}(4)
을 골라, 게이지 대칭으로 간주할 수 있다. 이 경우, 만약 H \le G \times \{1\}이라면 (즉, 끈 세계면 2차원 등각 장론의 대칭을 사용하지 않는다면) 이는 일반 오비폴드 M/H 위의 끈과 같다. 그러나 일반적으로 H \not\le G \times \{1\}이라면, 이를 **오리엔티폴드**라고 한다.

### 오리엔티폴드 평면
흔히 사용되는 경우는 H = \{(1,1), (g,\Omega)\}이며 g^2 = 1인 경우이다. 이 경우, g의 고정점의 집합을 **오리엔티폴드 평면**이라고 한다. 차원에 따라, p+1차원의 오리엔티폴드 평면을 Op 평면으로 부른다.

O-평면은 D-막과 같이 게이지 전하를 지니나, 이들은 D-막과 달리 음의 장력을 지니며, 또한 동적이지 않다. (즉 O-평면에 국한된 진동모드가 없다.) 예를 들어, G가 자명한 (G=1) 경우 과녁 공간 전체를 차지하는 O9-평면이 존재한다.

보다 일반적으로,
:\operatorname{Dih}(4) = \{1, (-)^{F_L+F_R}, \Omega, \Omega (-)^{F_L+F_R}, (-)^{F_L}, (-)^{F_R}, \Omega(-)^{F_L}, \Omega(-)^{F_R}\}
에서, 총 페르미온 수 (-)^{F_L+F_R}를 삽입하는 것은 오리엔티폴드를 반(反) 오리엔티폴드로 바꾸는 것에 해당한다.

이를 무시하면 (즉, 몫군 \operatorname{Dih}(4) \twoheadrightarrow \operatorname{Cyc}(2)^3을 취하면), 항등원이 아닌 세 개의 원소가 남는다. 에드워드 위튼은 이를 다음과 같이 명명하였다.
* **(ⅰ)종 오리엔티폴드**(): \Omega
* **(ⅱ)종 오리엔티폴드**(): (-)^{F_L} (또는 (-)^{F_R})
* **(ⅲ)종 오리엔티폴드**(): \Omega(-)^{F_L} (또는 \Omega(-)^{F_R})
이 경우, 사용되는 원소 X는 페르미온에 대하여 X^2=+1이 되어야 한다. 이 조건을 풀면, O*p*-평면에 사용되는 연산자는 다음과 같다.
:I_{9-p}\Omega \cdot \begin{cases}
1 & p \equiv 0,1\pmod4\\
(-)^{F_L} & p \equiv 2,3\pmod4
\end{cases}
물론, ⅡA에서 *p*는 짝수이며, ⅡB에서 *p*는 홀수이다. 이는 음의 라몽-라몽 전하의 경우이다. 정이면체군 Dih(4)의 중심의 원소 (-)^F를 여기에 추가로 삽입할 수 있으며, 이를 삽입하면 양의 라몽-라몽 전하를 얻는다. 이것들은 오리엔티폴드 반(反)평면()에 해당한다. 위 표에서 물론 (-)^{F_L}을 사용하는지, (-)^{F_R}를 사용하는지는 임의적이지만, 이는 어느 것을 D-막으로, 어느 것을 반(反) D-막으로 간주하는지에 대응한다.

### 기타 오리엔티폴드 평면
보다 일반적인 오리엔티폴드 평면의 종류도 존재한다. 구체적으로, 오리엔티폴드 평면 근처에 꼬임 부분군에 해당하는 캘브-라몽 장 또는 (p
\le6일 때) 라몽-라몽 장 장세기를 추가할 수 있다.

물론, 위 경우 모두에 대하여 (-)^F를 삽입하여 반(反)평면을 생각할 수 있다. 이 경우 장력은 그대로지만 라몽-라몽 전하의 부호가 반대가 된다.

위 표에서, Õ*p*&minus;-평면은 O*p*&minus;평면과 ½개의 D''p''-막이 결합한 상태로 여길 수 있다.

## 성질
오리엔티폴드 평면은 D-막과 마찬가지로 라몽-라몽 장에 대하여 대전돼 있으며, 음의 장력을 가진다. 구체적으로, 오리엔티폴드 평면의 D-막 전하는 다음과 같다.

이는 T-이중성으로 계산할 수 있다. Ⅰ종 끈 이론에서 O9-평면은 &minus;32개의 D9-막과 같은 전하를 가지고 있다. 이를 원환면 \mathbb T^n에 축소화하여 T-이중성을 가하면, 2^n개의 O(9-n)-평면이 32개의 D(9-n)-막과 같은 전하를 가짐을 알 수 있다. (2^n은 원환면에서 모든 좌표를 뒤집는 대칭의 고정점의 수이다.) 예를 들어, 한 번 T-이중성을 가한 Ⅰ′종 끈 이론은 선분 위에 ⅡA종 초끈 이론을 축소화한 것으로, 선분의 양끝에는 O8-평면과 각각 16개의 D8-막이 존재한다.

위 표에서, “k개의 D-막”이란 오리엔티폴드를 가하기 이전의 D-막의 수이다. 오리엔티폴드를 가하면 서로 대응되는 D-막의 쌍이 하나로 여겨지게 된다. (즉, k는 항상 짝수이며, 이는 게이지 군 O(*k*)를 발생시킨다.)

## 예
Ⅰ종 끈 이론을 생각하자. 이 경우, ⅡB종 끈 이론에서
:H = \{(1,\Omega)\}
에 대한 오리엔티폴드를 취한 것이다. 이 경우, 항등 함수의 고정점은 시공간 전체이므로, 이는 O9-평면에 해당한다. 올챙이 파인먼 도형을 상쇄시키기 위하여, 진공의 라몽-라몽 전하가 0이 되게 하기 위하여 32개의 D9-막을 추가해야 한다. 그렇다면 O(32) 게이지 군을 얻으며, 이는 Ⅰ종 끈 이론의 게이지 군에 해당한다.

## 역사
1989년에 잔프란코 프라디시()와 아우구스토 사뇨티(), 다이진(), 로버트 리(), 조지프 폴친스키가 발견하였다. 다이·리·폴친스키 논문은 D-막의 발견 논문이기도 하다.

‘오리엔티폴드’()란 (방향)과 ‘오비폴드’의 합성어이다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:끈 이론