주다발

위상수학에서 **주다발**(主-, )은 올이 위상군인 올다발이다. 이 경우, 위상군의 군론적 및 위상학적 성질이 다발의 위상학적 성질과 서로 호환되어야 한다. 즉 밑이 위상 공간 X이고 올이 위상군 G인 주다발은 국소적으로 X\times G와 같으나, 대역적으로 다를 수 있다.

## 정의
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 위상 공간 X
* 위상군 G
그렇다면, 올이 G이고 밑이 X인 **주다발**은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 올이 G인 올다발 \pi\colon P\twoheadrightarrow X
* 연속 오른쪽 작용 P\times G\to P
이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* 모든 g\in G, p\in P에 대하여, \pi(p\cdot g)=\pi(p). 즉, 각 x\in X에 대하여, G는 올 P_x 위에 작용한다.
* 임의의 p,p'\in G에 대하여, 만약 \pi(p)=\pi(p')이라면, p\cdot g=p'인 g\in G가 유일하게 존재한다. 즉, 임의의 x\in X에 대하여, 오른쪽 작용 P_x\times G\to P_x는 정추이적 작용이다. 여기서 P_x=\pi^{-1}(\{x\})는 x 위의 P의 올이다.
두 조건 가운데 첫째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.
:
\begin{matrix}
\!\!P\times G\!\!&\overset\cdot\to&P\\
{\scriptstyle\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname{proj}_1}\downarrow{\scriptstyle\color{White}{\operatorname{proj}_1}\!\!\!\!\!\!\!\!}&&{\!\!\!\!\scriptstyle\color{White}\pi}\downarrow\scriptstyle\pi\!\!\!\!\\
P&\underset\pi\to&X
\end{matrix}
두 조건 가운데 둘째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.
:\begin{matrix}
&&\!\!\!\!\!\!\!\!P\times G\!\!\!\!\!\!\!\!\\
&{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!^{\operatorname{proj}_1}}\!\!\!\!\swarrow\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{White}^{\operatorname{proj}_1}\!\!\!\!\!\!}&{\scriptstyle\!\!\!\!\color{White}\exists!}\uparrow\scriptstyle\exists!\!\!\!\!&{\!\!\!\!\color{White}^\cdot}\searrow^\cdot\!\!\!\!\\
P&\xleftarrow p&\bullet&\xrightarrow{p'}&P\\
&{_\pi}\searrow{\color{White}_\pi}&&{\color{White}_\pi}\swarrow{_\pi}\\
&&X
\end{matrix}

만약
* G가 리 군이며,
* P와 X가 매끄러운 다양체이며,
* \pi\colon P\to X가 매끄러운 함수이며,
* G의 작용 P\times G\to P 역시 매끄러운 함수라면
(X,G,P,\pi)를 **매끄러운 주다발**(-主-, )이라고 한다.

### 주다발 사상
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 두 위상 공간 X, Y
* 위상군 G와 H
* G-주다발 \pi_P\colon P\twoheadrightarrow X, \pi_Q\colon Q\twoheadrightarrow Y
이 두 주다발 사이의 **주다발 사상**() (f,\phi)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 연속 함수 f\colon X\to Y
* 연속 함수 \Phi\colon P\to Q
* 연속 군 준동형 \phi\colon G\to H
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:\Phi(p\cdot g)=\Phi(p)\cdot\phi(g)\qquad\forall (p,g)\in P\times G
:f\circ\pi_P=\pi_Q\circ\Phi
즉, 다음 가환 그림이 성립해야 한다.
:\begin{matrix}
P\times G&\xrightarrow{(\Phi,\phi)}&Q\times H\\
{\scriptstyle\cdot}\downarrow{\scriptstyle\color{White}\cdot}&&{\scriptstyle\color{White}\cdot}\downarrow\scriptstyle\cdot\\
P&\xrightarrow\Phi&Q\\
{\scriptstyle\pi_P}\downarrow{\scriptstyle\color{White}{\pi_P}}&&{\scriptstyle\color{White}{\pi_Q}}\downarrow{\scriptstyle\pi_Q}\\
X&\xrightarrow[f]{}&Y
\end{matrix}
주다발 사상 (f,\Phi,\phi)에서, 만약 X=Y이며, f=\operatorname{id}_X가 항등 함수이며, \phi가 단사 함수라면 (즉, 부분군의 포함 사상이라면) (\Phi,\phi)를 **구조군 축소**(構造群縮小, )라고 한다.

### 주연장
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* n차원 매끄러운 다양체 M
* 리 군 G
* X 위의 매끄러운 G-주다발 \pi\colon P\twoheadrightarrow X
* 자연수 (음이 아닌 정수) 0\le q\le p
그렇다면, 다음과 같은, M 위의 올다발을 정의할 수 있다.
:\mathrm W^{p,q}P=\mathrm F^pM\times_M\mathrm J^qP
여기서
* \mathrm F^pM은 M 위의 p차 틀다발이다. 이는 M 위의 주다발이며, 그 올군은 p차 n차원 제트 군 \operatorname{Jet}(p,n)이다.
* \mathrm J^qP는 P 위의 q차 제트 다발이다. 이는 P 위의 벡터 다발이다.
* \times_M은 M 위의 두 올다발의 곱이다.
즉, 국소적으로 \mathrm W^{p,q}P의 점은 다음과 같은 꼴이다.
:(\mathrm j_0^pf,\mathrm j_x^hg)
여기서
* f\colon U\to V은 단사 매끄러운 함수이며, 0\in U\subseteq\mathbb R^n은 열린집합이며, x\in V\subseteq M 역시 열린집합이다.
* \mathrm j_0^pf는 f의, 0\in U에서의 p차 제트이다.
* s\colon V\to P는 P\restriction V의 단면이다.
이는 P 위의 주다발을 이룬다. 그 올군은
:\operatorname{Jet}(n,p)\rtimes\mathrm T^qG
이다. 여기서
:\mathrm T^qG=\{\mathrm j_0^qg\colon g\colon\mathbb R^n\to G\}
이며, 그 군 연산은 다음과 같다.
:
(\mathrm j^p_0f,\mathrm j^q_0g)(\mathrm j^p_0f',\mathrm j^q_0g')
=\left(\mathrm j^p_0(f\circ f'),\mathrm j^q_0\left(\left(\mathrm g\circ f'\right)g'\right)\right)

이 군은 \mathrm W^{p,q}P 위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.
:
(\mathrm j^p_0f,\mathrm j^q_xs)
(\mathrm j^p_0f',\mathrm j^q_xg)
=\left(\mathrm j^p_0(f\circ f'),\mathrm j^q_0\left(\sigma\cdot(g\cdot f'^{-1}\cdot f^{-1})\right)\right)
이를 P의 (p,q)차 **주연장**(主延長, )이라고 한다.

## 성질
### 대역적 자명화의 존재
위상 공간 X 위의 주다발 P에 대하여, 대역적 자명화(=주다발의 동형 P\cong X\times G)가 존재할 필요 충분 조건은 대역적 단면 s\in\Gamma(P)가 존재하는 것이다. (이는 s\colon x\mapsto(x,1_G)로 여길 수 있다.)

### 분류

위상군 G에 대하여, 분류 공간 \mathrm EG\twoheadrightarrow\mathrm BG을 구성할 수 있다. 그렇다면, (X에 대한 적절한 조건 아래) X 위의 G-주다발들의 동형류들은 연속 함수 X\to\mathrm BG들의 호모토피류들과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 연속 함수 f\colon X\to\mathrm BG에 대응하는 G주다발은 f^*\mathrm EG이다.

## 예
### 자명 주다발
임의의 위상 공간 X와 위상군 G에 대하여, X\times G는 군 작용
:(x,h)\cdot g=(x,h\cdot g)
과 사영 사상
:(x,h)\mapsto x
을 주면 주다발을 이룬다. 이를 **자명 주다발**(自明主-, )이라고 한다.

### 틀다발

위상 공간 X 위의 k차원 벡터 다발 E가 주어졌을 때, 어떤 표준적인 \operatorname{GL}(k;\mathbb R)-주다발을 정의할 수 있으며, 이를 **[[틀다발]]**이라고 한다.

## 응용
주다발의 개념은 위상수학 및 미분기하학에서 쓰이고, 물리학에서도 일반 상대성 이론 및 게이지 이론을 다룰 때 쓰인다. 예를 들어, 필바인의 국소적 로런츠 대칭은 올이 SO(1,3)인 주다발로 나타내어진다.

## 각주

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## 외부 링크
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## 같이 보기
* 게이지 이론
* 벡터 다발
* 연관 다발

분류:미분기하학
분류:올다발