고유 궤도 에너지

이체 문제에서 **고유 궤도 에너지** \epsilon() 또는 **활력에너지**()는 궤도에 관여하는 두 물체의 위치 에너지 \epsilon_p와 운동 에너지 \epsilon_k의 합을 환산 질량으로 나눈 값으로, 활력방정식에 의해 이 값은 시간과 관계없이 일정하게 유지된다. 단위는 J/kg = m2⋅s−2 또는 MJ/kg = km2⋅s−2이다.

:\begin{align}
  \epsilon &=  \epsilon_k + \epsilon_p \\
           &=  \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r}
            = -\frac{1}{2} \frac{\mu^2}{h^2} \left(1 - e^2\right)
            = -\frac{\mu}{2a}
\end{align}

*v은 상대 궤도 속도이다.
*r은 두 물체 사이의 거리이다.
*\mu = {G}(m_1 + m_2)은 두 물체의 표준 중력 변수의 합이다.
*h은 상대 비각운동량이다.
*e은 궤도 이심률이다.
*a은 궤도 긴반지름이다.

타원 궤도에서 고유 궤도 에너지는 해당 궤도를 도는 1 kg의 물체를 탈출 궤도로 진입시키는 데 필요한 에너지의 역수이며, 쌍곡선 궤도의 경우에는 포물선 궤도에 비해 추가로 보유한 에너지의 양과 같다.

## 각 궤도에 대한 방정식 형태
타원 궤도에서 고유 궤도 에너지의 식은 상대 비각운동량과 결합하면 다음으로 단순화된다.

:\epsilon = -\frac{\mu}{2a}
*\mu = G\left(m_1 + m_2\right)은 표준 중력 변수이다.
*a은 궤도 긴반지름이다.

;증명
:타원 궤도에서 고유 각운동량 *h*는 다음으로 구해진다.
::h^2 = \mu p = \mu a \left(1 - e^2\right)
:고유 궤도 에너지 식의 일반형은 다음과 같다.
::\epsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r}
:궤도 근점에서의 상대 속도와 관련시키면 다음과 같이 변한다.
::
  v_p^2 = {h^2 \over r_p^2}
        = {h^2 \over a^2(1 - e)^2}
        = {\mu a \left(1 - e^2\right) \over a^2(1 - e)^2}
        = {\mu \left(1 - e^2\right) \over a(1 - e)^2}

:따라서 고유 궤도 에너지 방정식은 다음과 같이 변형된다.
::
  \epsilon = {\mu \over a}{\left[ {       1 - e^2 \over 2(1 - e)^2} - {1 \over 1 - e} \right]}
           = {\mu \over a}{\left[ {(1 - e)(1 + e) \over 2(1 - e)^2} - {1 \over 1 - e} \right]}
           = {\mu \over a}{\left[ {         1 + e \over 2(1 - e)}   - {2 \over 2(1 - e)} \right]}
           = {\mu \over a}{\left[ {         e - 1 \over 2(1 - e)} \right]}
           = -{\mu \over 2a}


포물선 궤도에서 고유 궤도 에너지는 다음으로 고정된다.
:\epsilon = 0

쌍곡선 궤도에서는 *a*의 표시 방법에 따라, 타원 궤도와 형태가 같게 표시하거나 부호를 반전하여 표시한다. 이 경우의 고유 궤도 에너지는 특성 에너지(C_3)로서 간주할 수 있으며, 포물선 궤도에 비해 추가로 소유한 에너지의 양과 같다.
:\epsilon = {\mu \over 2a}

쌍곡선 초과 속도 v_\infty와는 다음의 관계가 있다.
:2\epsilon = C_3 = v_\infty^2.

따라서, 궤도 위치 벡터 \mathbf{r} 또는 궤도 속도 벡터 \mathbf{v}를 알고 있으면 고유 궤도 에너지와 공전 속도를 계산할 수 있다.

### 변화율
타원 궤도에서 궤도 긴반지름의 변화에 대한 고유 궤도 에너지의 변화율은 다음과 같다.
:\frac{\mu}{2a^2}
* \mu={G}(m_1 + m_2)은 표준 중력 변수이다.
*a\,\!은 궤도 긴반지름이다.

### 추가 에너지
궤도 중심체의 반지름이 *R*이라 하면, 중심체 표면에 대한 타원 궤도에서 필요한 추가적인 고유 궤도 에너지는 다음과 같다.

: \ -\frac{\mu}{2a}+\frac{\mu}{R} = \frac{\mu(2a-R)}{2aR}

2a-R은 중심체의 중심과 표면으로부터의 거리를 각각 더한 값과 같다. 지구의 경우 a가 R에 비해 큰 차이가 없는 경우에는 추가로 필요한 고유 궤도 에너지는 (gR/2)로 구해지며, 이는 속도의 수평 성분에 대한 운동 에너지이다.
: \frac{V^2}{2} = \frac{gR}{2},  V=\sqrt{gR}

## 예시
### 보이저 1호
보이저 1호의 궤도 수치는 다음과 같다.
*태양의 표준 중력 변수: \mu = GM = 132,712,440,018&nbsp;km3⋅s−2
*r = 17 km
*v = 17.1&nbsp;km/s

따라서 고유 궤도 에너지는 다음으로 구해진다.
: \epsilon = \epsilon_k + \epsilon_p = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r} = 146&nbsp;km2⋅s−2 − 8&nbsp;km2⋅s−2 =  138&nbsp;km2⋅s−2

또한, 쌍곡선 초과 속도는 다음으로 구해진다.
:v_\infty = 16.6km/s

## 추력의 적용
로켓의 시간당 고유 궤도 에너지 변화는  \mathbf{v} \cdot \mathbf{a}으로 표현할 수 있으며, 이는 운동 에너지 측의 값 \mathbf{v} \cdot (\mathbf{a}-\mathbf{g})과 위치 에너지 측의 값 \mathbf{v} \cdot \mathbf{g}의 합이다.
***a**은 추력으로 인해 생기는 가속도로, 시간당 델타 V가 소모되는 비율이다.
***g**은 중력장의 세기이다.
***v**은 로켓의 속도이다.

로켓의 단위 델타 V 변화당 고유 궤도 에너지 변화는 다음으로 표현되며,
:\frac{\mathbf{v \cdot a}}
이는 |**v**|에 **v**와 **a** 사이 각도의 코사인 값을 곱한 것과 같다.

따라서 고유 궤도 에너지를 증가시키기 위해 델타 V를 가할 때, 가속도 **a**가 **v**의 방향과 같은 방향으로 가해졌을 때 가장 효율이 높다.

로켓을 처음 발사할 때나 더 높은 궤도로 올라갈 때, 즉 **v**와 **g** 사이의 각도가 둔각일 경우, 델타 V를 최대한 빠르고 짧게 가하는 것이 가장 효율이 높다. 즉 행성을 근접 통과할 때는 행성에 가장 가까운 지점에서 분사하는 것이 가장 효율이 좋다는 뜻으로, 오베르트 효과와 같은 뜻이다.

반대로 고유 궤도 에너지를 감소시킬 때는, **a**가 **v**와 반대 방향일 때 효율이 가장 높으며, **v**와 **g** 사이 각도가 예각인 착륙이나 낮은 궤도로 내려가는 경우에는 델타 V를 최대한 늦게 가하는 것이 효율이 높다.

**a**의 방향이 **v**와 같다면 식은 다음이 된다.

:\Delta \epsilon =  \int v\, d (\Delta v) = \int v\, a dt

### 고도별 속도와 고유 궤도 에너지의 값

## 같이 보기
* 치올콥스키 로켓 방정식

## 각주

분류:궤도역학
분류:궤도