E₈

[섬네일|right|E<sub>8</sub>의 [딘킨 도표]]
리 군론에서 **E<sub>8</sub>**은 복소수 예외적 단순 리 군 가운데 가장 큰 것이다. 다른 모든 예외적 단순 복소 리 군을 부분군으로 포함한다. 세 개의 실수 형식(컴팩트, 분해(), 그리고 또다른 형식 하나)이 있다.

## 정의
E8은 다양한 방법으로 정의할 수 있다.

### SO(16)을 통한 정의
E8의 리 대수 \mathfrak e_8은 다음과 같이 정의될 수 있다. \mathfrak e_8의 고전적인 부분 리 대수 가운데 가장 큰 것은 \mathfrak o(16)이므로, 이를 써서 정의하자. 이 경우, \mathfrak e_8 \supsetneq\mathfrak o(16)에 의하여, \mathfrak e_8의 248차원 딸림표현은 \mathfrak o(16)의 \textstyle\binom{16}2 = 120차원 딸림표현과 \mathfrak{so}(16)의 2^{16/2 - 1} = 128차원 마요라나-바일 스피너로 분해된다. 즉, \operatorname{Spin}(16)의 스피너 공간을 V라고 할 때,
:\mathfrak e_8 = \mathfrak{so}(16;\mathbb R) \oplus V
가 된다.

구체적으로, \mathfrak o(16)의 생성원을 J_{ij}로 표현하자. 스핀 군 Spin(16)은 마요라나-바일 스피너 Q_a 위에 다음과 같이 작용한다.
:[J_{ij},J_{k\ell}]=\delta_{jk}J_{i\ell}-\delta_{j\ell}J_{ik}-\delta_{ik}J_{j\ell}+\delta_{i\ell}J_{jk}
:[J_{ij},Q_a] = \frac 14 (\gamma_i\gamma_j-\gamma_j\gamma_i)_{ab} Q_b,
여기서 \gamma_i는 16차원 디랙 행렬이다.

이제, 스피너 사이의 교환자를 다음과 같이 정의한다.
:[Q_a,Q_b]=\gamma^{[i}_{ac}\gamma^{j]}_{cb} J_{ij}

이렇게 하면 교환자가 야코비 항등식을 만족함을 보일 수 있다. 리 대수가 정의되면, 그 리 군은 리 대수의 자기 동형군으로 정의할 수 있다.

콤팩트 형식 대신, 다른 실수 형식도 위와 같이 정의될 수 있다. SO(16)의 총 10개의 실수 형식 (\operatorname{SO}(0,16),\dotsc,\operatorname{SO}(8,8),\operatorname{SO}^*(16)) 가운데, 128차원 마요라나-바일 스피너를 가질 필요 충분 조건은 부호수 (p,q)에 대하여 p \equiv q \pmod8인 것이다. 즉, 이 조건을 만족시키는 것은 (p,q) \in \{ (0,16), \; (4,12),\; (8,8)\} 밖에 없다. 로마자 부호로 이들은
:\operatorname{SO}(16) = \mathsf D_{8(-120)} (콤팩트)
:\operatorname{SO}(4,12) = \mathsf D_{8(-24)}
:\operatorname{SO}(8,8) = \mathsf D_{8(8)} (분할)
이며, 이들은 각각 E8의 세 실수 형식 E8(−248) (콤팩트), E8(−24), E8(8) (분할)에 대응한다.

### 기타 정의
E8은 팔원수를 사용하여 정의할 수 있다.

15차원 초구를 사용한 구성 또한 알려져 있다.

### 실수 형식
E8은 세 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 (중심이 없는 형태).
}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet ||\circ-\circ-\overset\circ-\circ-\circ-\circ-\circ
|-
| E8(8) || EⅧ || 갈린(split) 형식 || \mathbb Z/2\mathbb Z || 1 || PSpin(16) ||  \circ-\circ-\overset\circ-\circ-\circ-\circ-\circ || \bullet-\circ-\overset\circ-\circ-\circ-\circ-\circ
|-
| E8(&minus;24) || EⅨ || || \mathbb Z/2\mathbb Z || 1 || (E7×SU(2)) / (−1,−1)|| 
\circ-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\circ-\circ-\circ
|| \circ-\circ-\overset\circ-\circ-\circ-\circ-\bullet
|}

## 성질
### 대수적 성질
E8의 주요 극대 부분군들은 다음을 들 수 있다.
*  (E_7\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2). 이는 E8의 \mathbb Z/2 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다.  이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle\otimes로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ을 제거하여 얻는다.
*:\bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\circ\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\circ-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad{\scriptstyle\otimes}
*  \operatorname{Spin}(16)/(\mathbb Z/2). 이는 E8의 또다른 \mathbb Z/2 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle\otimes로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ을 제거하여 얻는다.
*:\circ-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad \circ-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}
*  (E_6\times\operatorname{SU}(3))/(\mathbb Z/3). 이는 E8의 \mathbb Z/3 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle\otimes로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ을 제거하여 얻는다.
*:\bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\circ-\bullet\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\circ-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet\qquad\bullet-{\scriptstyle\otimes}
*  \operatorname{SU}(9)/(\mathbb Z/3). 이는 E8의 또다른 \mathbb Z/3 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle\otimes로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ을 제거하여 얻는다.
*:\bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}
*  (\operatorname{SU}(5)\times\operatorname{SU}(5))/(\mathbb Z/5). 이는 E8의 \mathbb Z/5 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle\otimes로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ을 제거하여 얻는다.
*:\bullet-\bullet-\overset\bullet-\circ-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset\bullet-\circ-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset\bullet\qquad\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}

### 위상수학적 성질
E8의 콤팩트 형식은 248차원 매끄러운 다양체이다. 그 호모토피 군은 다음과 같다.
:\pi_3(E_8)\cong\pi_{15}(E_8)\cong\mathbb Z
:\pi_n(E_8)\cong0,\qquad n

\mathfrak e_8의 불변 다항식의 차수는 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30이다. 즉, E8의 콤팩트 형식의 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 15차 · 23차 · 27차 · 35차 · 39차 · 47차 · 59차 생성원으로 생성되는 외대수이다.

### 근계
[섬네일|right|E<sub>8</sub>의 8차원 근계를 2차원으로 사영한 것. E<sub>8</sub>의 240개의 근들은 [고른 폴리토프 421을 이룬다.]]
E8의 근계는 같은 길이의 240개의 근으로 구성된다. E8의 SO(16) 부분군을 사용하면, E8 근계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
* 다음과 같은 꼴의 2\cdot\textstyle\binom82+8\cdot7=112개의 근 (이는 SO(16) 근계를 이룬다):
*:(\pm1,\pm1,0,0,0,0,0,0)의 모든 순열 (복부호 동순일 필요 없음)
* 다음과 같은 꼴의 2^8/2=128개의 근 (이는 SO(16)의 **128** 스피너 표현의 무게를 이룬다):
*:\left(\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12\right) (복부호 동순일 필요 없음) 가운데, 음의 부호의 수가 짝수인 것들
E8의 240개의 근들은 8차원에 존재하는 고른 폴리토프 421의 꼭짓점을 이룬다.

E8의 바일 군은 크기가 214×35×52×7=696729600이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.
:\operatorname{Weyl}(E_8)\cong\operatorname O^+(8;\mathbb F_2)
이는 2차 순환군 \mathbb Z/2를 크기가 174182400인 유일한 단순군 \operatorname{PS\Omega}^+(8;\mathbb F_2)로 확대한 뒤, 다시 2차 순환군 \mathbb Z/2로 확대한 것이다.

E8의 딘킨 도표는 다음과 같이 8개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변이 1겹이다 (). 중앙의 꼭짓점에 붙은 3개의 "팔"의 길이는 각각 1, 2, 4이다.
:\bullet-\bullet-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet
E8의 아핀 딘킨 도표는 다음과 같이 9개의 꼭짓점으로 구성되며, 역시 모든 변이 1겹이다. 3개의 "팔" 가운데 가장 긴 팔에 \scriptstyle\otimes로 표기한 꼭짓점이 추가된다.
:\bullet-\bullet-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\scriptstyle\otimes

### 표현론
E8의 기약 표현의 차원은 다음과 같다 .
:1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 344452500, 820260000, 1094951000, 2172667860, 2275896000, 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (두 개가 있음), 12692520960&hellip;
E8의 바일 군은 v\mapsto-v를 포함하므로, E8은 복소수 표현을 갖지 않으며, 또한 E8의 모든 표현은 실수 표현이다. 즉, E8은 사원수 표현을 갖지 않는다.

E8의 기본 표현은 **248**, **3875**, **30380** , **147250**, **6696000**, **2450240**, **146325270**, **6899079264**이다. 이 가운데 가장 작은 **248**은 딸림표현이다. 기본 표현들은 딘킨 도표의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.
:\mathbf{3875}-\mathbf{6696000}-\overset{\mathbf{6899079264}}-\mathbf{146325270}-\mathbf{2450240}-\mathbf{30380}-\mathbf{248}

E8의 표현들은 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.
:\mathbf{248}_{E_8}\to(\mathbf{133},\mathbf1)_{E_7\times\operatorname{SU}(2)}\oplus(\mathbf1,\mathbf3)_{E_7\times\operatorname{SU}(2)}\oplus(\mathbf{56},\mathbf2)_{E_7\times\operatorname{SU}(2)}
:\mathbf{248}_{E_8}\to(\mathbf{78},\mathbf1)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf1,\mathbf8)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf{27},\mathbf3)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\overline{\mathbf{27}},\overline{\mathbf3})_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}
:\mathbf{248}_{E_8}\to\mathbf{120}_{\operatorname{SO}(16)}\oplus\mathbf{128}_{\operatorname{SO}(16)}
:\mathbf{248}_{E_8}\to\mathbf{80}_{\operatorname{SU}(9)}\oplus\mathbf{84}_{\operatorname{SU}(9)}\oplus\overline{\mathbf{84}}_{\operatorname{SU}(9)}
:\mathbf{248}_{E_8}\to(\mathbf{24},\mathbf1)_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\mathbf1,\mathbf{24})_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\mathbf5,\overline{\mathbf{10}})_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\overline{\mathbf5},\mathbf{10})_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\mathbf{10},\mathbf5)_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\overline{\mathbf{10}},\overline{\mathbf5})_{\operatorname{SU}(5)^2}

### 대수기하학적 성질
슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수 \mathfrak e_8(\mathbb Z) 및 군 E_8(\mathbb Z)을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 가환환 R에 대하여 대수군으로 정의할 수 있다.

특히, 유한체 \mathbb F_q에 대한 계수의 슈발레 군 E_8(\mathbb F_q)의 크기는 다음과 같다.
:|E_8(\mathbb F_q)|=q^{120}(q^{30}-1)(q^{24}-1)(q^{20}-1)(q^{18}-1)(q^{14}-1)(q^{12}-1)(q^8-1)(q^2-1)
이는 모든 유한체에 대하여 유한 단순군을 이룬다. 이 가운데 가장 작은 것들의 크기는 다음과 같다. 
:|E_8(\mathbb F_2)|\approx3.38\times10^{74}
:|E_8(\mathbb F_3)|\approx1.88\times10^{118}
|E_8(\mathbb F_2)|는 이미 괴물군보다 더 크며, 이는 에 수록된 마지막 군이다.

## 역사
빌헬름 킬링이 1888년에 리 대수를 분류하는 도중 발견하였으나, 그 존재를 엄밀히 증명하지 않았다. 엘리 카르탕이 1894년 박사 학위 논문에서 그 존재를 엄밀히 증명하였으며, E8이 세 실수 형식을 지님을 보였다.

## 응용
잡종 끈 이론은 변칙을 피하기 위하여 Spin(32) 또는 E8×E8의 게이지 군을 지닌다. 이 가운데 E8은 E6, 나아가 대통일군 SO(10)을 포함하므로 표준 모형 및 대통일 이론을 재현할 수 있다. 이를 축소화하면 두 E8 가운데 하나는 자연스럽게 E6로 깨지게 된다.

## 같이 보기
* E<sub>6</sub>
* E<sub>7</sub>
* 잡종 끈 이론

## 각주

## 외부 링크
* 
* 
* 
* 

분류:리 군