홈플리 다항식

매듭 이론에서 **홈플리 다항식**(HOMFLY多項式, )은 유향 연환에 대하여 정의되는 2변수 다항식 불변량이다.

## 정의
홈플리 다항식은 모든 유향 연환
:K\colon(\mathbb S^1)^{\sqcup n}\hookrightarrow\mathbb S^3
에 대하여 정의되는, 두 변수 \alpha, z에 대한 정수 계수 다항식
:P_K(\alpha,z)\in\mathbb Z[\alpha,\alpha^{-1},z,z^{-1}]
이며, 다음과 같은 두 조건으로 유일하게 결정된다.
* (임의의 방향이 주어진) 자명한 매듭 \bigcirc에 대하여, P_\bigcirc(\alpha,z) = 1
* (**타래 관계** ) 임의의 연환 그림의 한 부분을 국소적으로 수정하여, 다음과 같은 세 연환 L_+, L_-, L_0를 정의하였다고 하자.
*:파일:Skein (HOMFLY).svg
:그렇다면, 이들의 홈플리 다항식은 다음과 같은 관계를 갖는다.
::\alpha P_{L_+}(\alpha,z)-\alpha^{-1}P_{L_-}(\alpha,z) = zP_{L_0}(\alpha,z)

### 존스 다항식과 알렉산더 다항식
홈플리 다항식으로부터, 다음과 같은 두 다항식을 정의할 수 있다.
* **존스 다항식**(): V_L(q) = P_L(q^{-1}, q^{1/2}-q^{-1/2})
* **알렉산더 다항식**(): \Delta_L(q) = P_L(1, q^{1/2}-q^{-1/2})

## 성질
홈플리 다항식 P_L(\alpha,z)\in\mathbb Z[\alpha,\alpha^{-1},z,z^{-1}]은 정수 계수 로랑 다항식이다. 또한, 존스 다항식과 알렉산더 다항식
:V_L(q) = P_L(q^{-1}, q^{1/2}-q^{-1/2})\in \mathbb Z[q^{1/2}, q^{-1/2}]
:\Delta_L(q) = P_L(1, q^{1/2}-q^{-1/2})\in \mathbb Z[q^{1/2}, q^{-1/2}]
은 q^{1/2}에 대한 정수 계수 로랑 다항식이다.

### 연산과의 호환성
홈플리 다항식은 매듭의 연결합에 대하여 곱셈적이다. 즉, 임의의 두 유향 매듭 K, K'에 대하여, 다음이 성립한다.
:P_{K\# K'}(\alpha,z) = P_K(\alpha, z)P_{K'}(\alpha,z)

서로 얽히지 않은 두 성분으로 구성된 연환 L=L_1\sqcup L_2에 대하여, 다음이 성립한다.
:P_{L_1\sqcup L_2}(\alpha,z) = \frac{\alpha - \alpha^{-1}}z P_{L_1}(\alpha,z) P_{L_2}(\alpha,z)

유향 연환 L\colon (\mathbb S^1)^{\sqcup n}\hookrightarrow\mathbb S^3의 거울 대칭을
:\bar L = \iota \circ L 
:\iota\colon \mathbb S^3\to\mathbb S^3
이라고 할 때, 다음이 성립한다.
:P_{\bar L}(\alpha,z) = P_L(-\alpha^{-1},z)
즉, 홈플리 다항식은 거울 대칭 매듭을 구별할 수 있다.

매듭의 홈플리 다항식은 선택한 방향에 의존하지 않는다. 보다 일반적으로, 유향 연환에서, 모든 연결 성분의 방향을 동시에 뒤집으면, 홈플리 다항식은 바뀌지 않는다.

### 천-사이먼스 이론과의 관계

홈플리 다항식은 천-사이먼스 이론의 윌슨 고리의 기댓값으로 주어진다.

구체적으로, 3차원 초구 위의, 준위 k\in\mathbb N의 \operatorname{SU}(N) 천-사이먼스 이론을 생각하자. 이제, 초구 속의 유향 연환 L에 대한, N차원 정의 표현()에서 취한 윌슨 고리 연산자의  (정규화) 상관 함수는 다음과 같이, 홈플리 다항식으로 주어진다.
:\left\langle \operatorname{tr}\oint_LA\right\rangle=
\frac{\alpha-\alpha^{-1}}{z}P_L(\alpha,z)

:q=\exp\frac{2\pi\mathrm i}{N+k}
:z=q^{1/2}-q^{-1/2}
:\alpha = q^{N/2}

## 예
간단한 매듭들의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

### 타래 관계의 예
#### 자명한 연환
다음과 같은 타래 관계를 생각하자.
:
그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다.
:\alpha - \alpha^{-1} = zP_{0_1\sqcup 0_1}(\alpha,z)
즉, 2개 성분의 자명한 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다.
:P_{0_1\sqcup 0_1}(\alpha,z) = \frac{\alpha-\alpha^{-1}}z

#### 호프 연환
다음과 같은 타래 관계를 생각하자.
:
그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다.
:\alpha P_{2^1_1}(\alpha,z) - \alpha^{-1} \left(\frac{\alpha-\alpha^{-1}}z\right) = z
즉, 호프 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다.
:P_{2^1_1}(\alpha,z) = 
\alpha^{-1}z + \alpha^{-1}z^{-1}-\alpha^{-3}z^{-1}

만약 호프 연환의 두 성분 가운데 하나의 방향을 바꾼다면, 거울 대칭이 되어 \alpha\mapsto-\alpha^{-1}가 되며,
:P_{2^1_1}(\alpha,z) = 
-\alpha z - \alpha z^{-1} +\alpha^3z^{-1}

를 얻는다.

#### 세잎매듭
다음과 같은 타래 관계를 생각하자.
:
이에 따라 타래 관계는
:\alpha P_{3_1}(\alpha,z) - \alpha^{-1} = z \left(
\alpha^{-1}z + \alpha^{-1}z^{-1} - \alpha^{-3}z^{-1}
\right)
이다. 즉,
:P_{3_1}(\alpha,z)
= 
2\alpha^{-2} - \alpha^{-4} + \alpha^{-2}z^2

이다. 물론, 그 거울 대칭을 취하면
:P_{3_1}(\alpha,z) = 
2\alpha^2 - \alpha^4 + \alpha^2 z^2
이다.

### 홈플리 다항식이 방향을 구별하지 못하는 매듭
매듭 942은 스스로의 거울 대칭과 다르지만, 이 두 매듭은 같은 홈플리 다항식을 갖는다 (즉, 홈플리 다항식은 이 경우 거울 대칭을 구별하지 못한다). 매듭 1071의 경우도 마찬가지다.

## 역사
제임스 워델 알렉산더가 1923년에 알렉산더 다항식을 발견하였다. 1969년에 존 호턴 콘웨이가 알렉산더 다항식이 타래 관계를 통해 정의될 수 있음을 보였다.
이후 1984년에 본 존스가 존스 다항식을 발견하였다.

1985년에 이들의 일반화인 홈플리 방정식을 피터 존 프라이드(, 1936~) · 데이비드 예터() ·
짐 호스트() · 윌리엄 버나드 레이먼드 리커리시(, 1938~) · 케네스 밀렛(, 1941~) · 아드리안 오크네아누()가 공동으로 발견하였다. “홈플리”()라는 이름은 이를 발견한 6인의 머리글자(FYHLMO)를 발음할 수 있게 재배열한 것이다.

거의 동시에 유제프 헨리크 프시티츠키(, 1953~)와 파베우 트라치크()가 같은 다항식을 발견하였으나, 2년 늦게 출판하였다. 이 때문에 홈플리 다항식은 간혹 “홈플리-PT 다항식”() 또는 “플립모스 다항식”() 따위로 불리기도 한다.

이후 1989년에 에드워드 위튼이 홈플리 다항식과 천-사이먼스 이론 사이의 관계를 발견하였다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:매듭 불변량