초기하함수

alt=Plot of the hypergeometric function 2F1(a,b; c; z) with a=2 and b=3 and c=4 in the complex plane from −2 − 2i to 2 + 2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D|thumb|Plot of the hypergeometric function 2F1(a,b; c; z) with a=2 and b=3 and c=4 in the complex plane from −2 − 2i to 2 + 2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

수학에서 가우스 또는 일반 **초기하 함수**(hypergeometric function) 2F1(a, b; c; z)는 다른 많은 특수 함수를 특정 또는 극한 사례로 포함하는 **초기하 급수**로 표현되는 특수 함수이다. 이것은 2차 선형 상미분 방정식(ODE)의 해이다. 세 개의 정칙 특이점을 갖는 모든 2차 선형 ODE는 이 방정식으로 변환될 수 있다.

초기하 함수를 포함하는 수천 개의 출판된 항등식의 체계적인 목록은  및 의 참고 문헌을 참조하라. 모든 항등식을 정리하는 알려진 시스템은 없으며, 실제로 모든 항등식을 생성할 수 있는 알려진 알고리즘도 없다. 여러 가지 다른 알고리즘이 다른 계열의 항등식을 생성하는 것으로 알려져 있다. 항등식의 알고리즘적 발견 이론은 활발한 연구 주제로 남아있다.

## 역사
"초기하 급수"라는 용어는 존 월리스가 1655년 저서 『Arithmetica Infinitorum』에서 처음 사용했다.

초기하 급수는 레온하르트 오일러에 의해 연구되었으나, 최초의 완전한 체계적인 처리는 에 의해 이루어졌다.

19세기 연구에는 의 연구와 초기하 함수가 만족하는 미분 방정식을 통한 리만의 근본적인 특성 규명()이 포함된다.

리만은 복소 평면에서 조사된 2F1(z)에 대한 2차 미분 방정식이 (리만 구에서) 세 개의 정칙 특이점에 의해 특징지어질 수 있음을 보였다.

해가 대수함수인 경우는 헤르만 슈바르츠가 발견했다(슈바르츠 목록).

## 초기하 급수
초기하 함수는 에 대해 멱급수로 정의된다.

{}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \frac{z^n}{n!} = 1 + \frac{ab}{c}\frac{z}{1!} + \frac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}\frac{z^2}{2!} + \cdots.

가 음이 아닌 정수와 같으면 정의되지 않거나 (무한대가 된다). 여기서 은 (증가) 포흐하머 기호(Pochhammer symbol)이다. 이 기호는 다음과 같이 정의된다.

(q)_n = \begin{cases}  1  & n = 0 \\
  q(q+1) \cdots (q+n-1) & n > 0
 \end{cases}

 또는 가 음이 아닌 정수인 경우 이 급수는 유한하며, 이 경우 함수는 다항식으로 환원된다.

{}_2F_1(-m,b;c;z) = \sum_{n=0}^m (-1)^n \binom{m}{n} \frac{(b)_n}{(c)_n} z^n.

인 복소 인수 에 대해, 이 함수는 1과 무한대의 분기점을 피하는 복소 평면상의 모든 경로를 따라 해석적 연속될 수 있다. 실제로, 초기하 함수의 대부분의 컴퓨터 구현은 선 을 따라 분지 절단을 채택한다.

이 음이 아닌 정수일 때, 이면 이 된다. 감마 함수의 값 로 나누면 다음 극한을 얻는다.

\lim_{c\to -m}\frac{(m+1)!}z^{m+1}{}_2F_1(a+m+1,b+m+1;m+2;z)

는 가장 일반적인 유형의 일반화된 초기하급수 이다.

## 미분 공식
항등식  (a)_{n+1}=a (a+1)_n을 사용하여 다음을 보인다.


\frac{d }{dz} \ {}_2F_1(a,b;c;z) = \frac{a b}{c} \ {}_2F_1(a+1,b+1;c+1;z)


그리고 더 일반적으로,


\frac{d^n }{dz^n} \ {}_2F_1(a,b;c;z) = \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \ {}_2F_1(a+n,b+n;c+n;z)


## 특수 사례
많은 일반적인 수학 함수는 초기하 함수로 표현될 수 있거나 그 극한 사례로 표현될 수 있다. 몇 가지 전형적인 예는 다음과 같다.

\begin{align}
_2F_1\left(1, 1; 2; -z\right) &= \frac{\ln(1+z)}{z} \\
_2F_1(a, b; b; z) &= (1-z)^{-a} \quad (b \text{ 임의의}) \\
_2F_1\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; \frac{3}{2}; z^2\right) &= \frac{\arcsin(z)}{z} \\
\,_2F_1\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}; \frac{3}{2}; -\frac{27x^2}{4}\right) &= \frac{\sqrt[3]{\frac{3x\sqrt{3}+\sqrt{27x^2+4}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{2}{3x\sqrt{3}+\sqrt{27x^2+4}}}}{x\sqrt{3}}
\end{align}
a = 1이고 b = c일 때, 급수는 단순한 등비급수로 환원된다. 즉,
\begin{align}
_2F_1\left(1, b; b; z\right) &= {_1F_0}\left(1;;z\right) =  1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + \cdots \end{align}

따라서 초기하라는 이름이 붙는다. 이 함수는 등비급수의 일반화로 볼 수 있다.

합류 초기하 함수(또는 쿠머 함수)는 초기하 함수의 극한으로 주어질 수 있다.

M(a,c,z) = \lim_{b\to\infty}{_2F_1}(a,b;c;b^{-1}z)

따라서 베셀 함수와 같이 본질적으로 이 함수의 특수 사례인 모든 함수는 초기하 함수의 극한으로 표현될 수 있다. 여기에는 수학 물리학에서 일반적으로 사용되는 대부분의 함수가 포함된다.

르장드르 함수는 3개의 정칙 특이점을 갖는 2차 미분 방정식의 해이므로 여러 가지 방식으로 초기하 함수로 표현될 수 있다. 예를 들어

{}_2F_1(a,1-a;c;z) = \Gamma(c)z^{\tfrac{1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac{c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)

야코비 다항식 P 및 그 특수 사례인 르장드르 다항식, 체비쇼프 다항식, 게겐바우어 다항식, 제르니케 다항식을 포함한 여러 직교 다항식은 다음을 사용하여 초기하 함수로 표현될 수 있다.

{}_2F_1(-n,\alpha+1+\beta+n;\alpha+1;x) = \frac{n!}{(\alpha+1)_n}P^{(\alpha,\beta)}_n(1-2x)

특수 사례인 다른 다항식에는 크라우추크 다항식, 마이크스너 다항식, 마이크스너-폴라체크 다항식이 포함된다.

z\in\mathbb{C}\setminus\{0,1\}이 주어지면, 다음이라고 하자.

 \tau = {\rm{i}}\frace^{\pi i\tau n^2}.

J-불변량, 즉 모듈러 형식은 \lambda (\tau)의 유리 함수이다.

불완전 베타 함수 Bx(p, q)는 다음과 같이 관련되어 있다.

 B_x(p,q) = \tfrac{x^p}{p}{}_2F_1(p,1-q;p+1;x).

완전 타원 적분 K와 E는 다음과 같이 주어진다.

\begin{align}
K(k) &= \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right), \\
E(k) &= \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right).
\end{align}

## 초기하 미분 방정식 <span class="anchor" id="Hypergeometric differential equation"></span>
초기하 함수는 오일러의 초기하 미분 방정식의 해이다.

z(1-z)\frac {d^2w}{dz^2} + \left[c-(a+b+1)z \right] \frac {dw}{dz} - ab\,w = 0.

이 방정식은 세 개의 정칙 특이점: 0, 1, ∞를 갖는다. 세 개의 임의의 정칙 특이점에 대한 이 방정식의 일반화는 리만의 미분 방정식에 의해 주어진다. 세 개의 정칙 특이점을 갖는 모든 2차 선형 미분 방정식은 변수 변환을 통해 초기하 미분 방정식으로 변환될 수 있다.

### 특이점에서의 해
초기하 미분 방정식의 해는 초기하 급수 2F1(a, b; c; z)로 구성된다. 이 방정식은 두 개의 선형 독립 해를 갖는다. 세 개의 특이점 0, 1, ∞ 각각에서, 일반적으로 xs에 x의 정칙 함수를 곱한 형태의 두 개의 특수 해가 존재한다. 여기서 s는 지표 방정식의 두 근 중 하나이고 x는 정칙 특이점에서 소멸하는 국소 변수이다. 이는 다음과 같이 3&nbsp;×&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;6개의 특수 해를 제공한다.

z&nbsp;=&nbsp;0 지점 근처에서 c가 음이 아닌 정수가 아닌 경우 두 개의 독립적인 해는 다음과 같다.

 _2F_1(a,b;c;z)

그리고 c가 정수가 아니라는 조건하에,

 z^{1-c} {_2F_1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)

c가 음이 아닌 정수 1 − m인 경우, 첫 번째 해는 존재하지 않으며 z^mF(a+m,b+m;1+m;z)로 대체되어야 한다. c가 1보다 큰 정수인 경우 두 번째 해는 존재하지 않으며, c가 다른 정수인 경우 첫 번째 해 또는 그 대체 해와 동일하다. 따라서 c가 정수인 경우, 두 번째 해에 대해 첫 번째 해에 ln(z)를 곱한 것과 z의 거듭제곱으로 이루어진 다른 급수, 그리고 디감마 함수를 포함하는 더 복잡한 표현이 사용되어야 한다. 자세한 내용은 을 참조하라.

z&nbsp;=&nbsp;1 근처에서 c&nbsp;−&nbsp;a&nbsp;−&nbsp;b가 정수가 아니면 두 개의 독립적인 해는 다음과 같다.

\, _2F_1(a,b;1+a+b-c;1-z)

그리고

 (1-z)^{c-a-b} \;_2F_1(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)

z&nbsp;=&nbsp;∞ 근처에서 a&nbsp;−&nbsp;b가 정수가 아니면 두 개의 독립적인 해는 다음과 같다.

 z^{-a}\, _2F_1 \left (a,1+a-c;1+a-b; z^{-1} \right)

그리고

 z^{-b}\, _2F_1 \left (b,1+b-c;1+b-a; z^{-1} \right ).

다시 말해, 정수가 아닌 조건이 충족되지 않을 때, 더 복잡한 다른 해들이 존재한다.

위 6가지 해 중 임의의 3가지는 해 공간이 2차원이므로 선형 관계를 만족하며, 이로 인해 () = 20가지 선형 관계가 발생하는데, 이를 **연결 공식**이라고 한다.

### 쿠머의 24가지 해
n개의 특이점을 갖는 2차 푸크스형 방정식은 해에 (사영적으로) 작용하는 대칭군을 가지며, 이는 차수 2n−1n!인 콕서터 군 W(Dn)과 동형이다. 초기하 방정식은 n = 3인 경우로, 차수 24인 군이 4개의 점에 대한 대칭군과 동형이며, 이는 쿠머가 처음 설명했다. 대칭군의 등장은 우발적이며 3개 이상의 특이점에 대해서는 유비가 없으므로, 때로는 이 군을 3개의 점에 대한 대칭군 (3개의 특이점의 순열로 작용)에 클라인 4군 (그 원소가 짝수 개의 특이점에서 지수 차이의 부호를 변경)을 확장한 것으로 생각하는 것이 더 좋다. 쿠머의 24개 변환군은 해 F(a, b; c; z)를 다음 중 하나로 변환하는 세 가지 변환에 의해 생성된다.

\begin{align}
(1-z)^{-a} F \left (a,c-b;c; \tfrac{z}{z-1} \right ) \\
F(a,b;1+a+b-c;1-z)  \\
(1-z)^{-b} F \left(c-a,b;c; \tfrac{z}{z-1} \right )
\end{align}

이것들은 1, 2, 3, 4의 4개 점에 대한 대칭군과의 동형 아래에서 전위 (12), (23), (34)에 해당한다. (이 중 첫 번째와 세 번째는 실제로는 F(a, b; c; z)와 같으며, 두 번째는 미분 방정식의 독립적인 해이다.)

쿠머의 24 = 6×4 변환을 초기하 함수에 적용하면 위에서 설명한 6 = 2×3개의 해가 각 3개 특이점의 2가지 가능한 지수에 해당하며, 각각은 다음 항등식 때문에 4번 나타난다.

\begin{align}
{}_2F_1(a,b;c;z) &= (1-z)^{c-a-b} \, {}_2F_1(c-a,c-b;c;z) && \text{오일러 변환} \\
{}_2F_1(a,b;c;z) &= (1-z)^{-a} \, {}_2F_1(a,c-b;c; \tfrac{z}{z-1}) && \text{파프 변환} \\
{}_2F_1(a,b;c;z) &= (1-z)^{-b} \, {}_2F_1(c-a,b;c; \tfrac{z}{z-1}) && \text{파프 변환}
\end{align}

### Q-형식
초기하 미분 방정식은 u = wv로 치환하고 1차 미분 항을 제거하여 Q-형식으로 변환할 수 있다.

\frac{d^2u}{dz^2}+Q(z)u(z) = 0

Q는 다음과 같다.

Q=\frac{z^2[1-(a-b)^2] +z[2c(a+b-1)-4ab] +c(2-c)}{4z^2(1-z)^2}

그리고 v는 다음 해로 주어진다.

\frac{d}{dz}\log v(z) = - \frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)} =-\frac{c}{2z}-\frac{1+a+b-c}{2(z-1)}

이것은

v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.

Q-형식은 슈바르치안 과의 관계에서 중요하다.

### 슈바르츠 삼각형 사상

**슈바르츠 삼각형 사상** 또는 **슈바르츠 ''s''-함수**는 쌍의 해의 비율이다.

s_k(z) = \frac{\phi_k^{(1)}(z)}{\phi_k^{(0)}(z)}

여기서 k는 점 0, 1, ∞ 중 하나이다. 다음 표기법

D_k(\lambda,\mu,\nu;z)=s_k(z)

도 때때로 사용된다. 연결 계수는 삼각형 사상에 대한 뫼비우스 변환이 된다는 점에 유의하라.

각 삼각형 사상은 각각 z ∈ {0, 1, ∞}에서 정칙이며,

\begin{align}
s_0(z) &= z^\lambda (1+\mathcal{O}(z)) \\
s_1(z) &= (1-z)^\mu (1+\mathcal{O}(1-z))
\end{align}
이고
s_\infty(z)=z^\nu (1+\mathcal{O}(\tfrac{1}{z})).

λ, μ, ν가 실수이고 0&nbsp;≤&nbsp;λ,μ,ν&nbsp; = Δ(p,&nbsp;q,&nbsp;r)에 대한 자동형 함수의 역함수이다.

### 모노드로미 군
초기하 방정식의 모노드로미는 z 평면에서 동일한 지점으로 돌아오는 경로를 따라 해석적으로 계속될 때 기본 해가 어떻게 변하는지 설명한다.
즉, 2F1의 특이점 주위로 경로가 감길 때, 끝점에서의 해의 값은 시작점과 다를 것이다.

초기하 방정식의 두 기본 해는 선형 변환에 의해 서로 관련되어 있다. 따라서 모노드로미는 사상 (군 준동형):

\pi_1(\mathbf{C}\setminus\{0,1\},z_0) \to \text{GL}(2,\mathbf{C})

여기서 π1은 기본군이다. 다시 말해, 모노드로미는 기본군의 2차원 선형 표현이다. 방정식의 모노드로미 군은 이 사상의 이미지, 즉 모노드로미 행렬에 의해 생성된 군이다. 기본군의 모노드로미 표현은 특이점의 지수를 사용하여 명시적으로 계산할 수 있다. 0, 1, ∞에서의 지수가 (α, α'), (β, β'), (γ, γ')이면, 0 근처의 z0를 취할 때, 0과 1 주위의 루프는 다음 모노드로미 행렬을 갖는다.

\begin{align}
g_0 &= \begin{pmatrix} e^{2\pi i\alpha} & 0\\ 0 & e^{2\pi i\alpha^\prime}\end{pmatrix} \\
g_1 &= \begin{pmatrix} {\mu e^{2\pi i \beta}
-e^{2\pi i\beta^\prime}\over \mu -1} & {\mu (e^{2\pi i \beta}
-e^{2\pi i\beta^\prime})\over (\mu -1)^2}\\e^{2\pi i\beta^\prime} - e^{2\pi i\beta} & {\mu e^{2\pi i \beta^\prime}
-e^{2\pi i\beta}\over \mu -1}\end{pmatrix},
\end{align}

여기서

\mu = {\sin \pi(\alpha +\beta^\prime +\gamma^\prime) \sin \pi(\alpha^\prime + \beta+\gamma^\prime)\over \sin \pi(\alpha^\prime +  \beta^\prime +\gamma^\prime) \sin \pi(\alpha + \beta +\gamma^\prime)}.

1 − a, c − a − b, a − b가 분모가 k, l, m인 비정수 유리수인 경우, 모노드로미 군은 1/k + 1/l + 1/m > 1인 경우에만 유한하다. 슈바르츠 목록 또는 코바치치 알고리즘을 참조하라.

## 적분 공식

### 오일러 유형
B가 베타 함수이면

\Beta(b,c-b) {_2F_1}(a,b;c;z) = \int_0^1 x^{b-1} (1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a} \, dx \qquad \real(c) > \real(b) > 0, 

단, z는 1보다 크거나 같은 실수가 아니다. 이것은 (1&nbsp;−&nbsp;zx)−a를 이항 정리를 사용하여 확장하고, 절댓값이 1보다 작은 z에 대해 항별로 적분한 다음, 다른 곳에서는 해석적 연속을 통해 증명할 수 있다. z가 1보다 크거나 같은 실수인 경우, 해석적 연속이 사용되어야 하는데, (1&nbsp;−&nbsp;zx)가 적분의 지지점의 어느 지점에서 0이 되므로 적분 값이 제대로 정의되지 않을 수 있기 때문이다. 이것은 1748년 오일러에 의해 제시되었으며 오일러의 및 파프의 초기하 변환을 의미한다.

다른 주가지에 해당하는 다른 표현은 동일한 피적분 함수를 취하지만 적분 경로를 다양한 순서로 특이점을 둘러싸는 닫힌 포흐하머 주기로 취하여 주어진다. 이러한 경로는 모노드로미 작용에 해당한다.

### 반스 적분
반스는 유수 이론을 사용하여 반스 적분을 평가했다.

\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)} (-z)^s \, ds

다음과 같이

\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(c)}\,_2F_1(a,b;c;z),

여기서 등고선은 극점 0, 1, 2...를 극점 −a, −a&nbsp;−&nbsp;1,&nbsp;..., −b, −b&nbsp;−&nbsp;1,&nbsp;...&nbsp;와 분리하도록 그려진다. 이것은 z가 음이 아닌 실수값이 아닌 한 유효하다.

### 존 변환
가우스 초기하 함수는 존 변환 으로 쓸 수 있다.

## 가우스의 인접 관계
여섯 가지 함수

{}_2F_1 (a\pm 1,b;c;z), \quad  {}_2F_1 (a,b\pm 1;c;z), \quad {}_2F_1 (a,b;c\pm 1;z)

는 에 인접한다고 불린다. 가우스는 가 , 그리고 의 유리 계수를 갖는 그 인접 함수 중 임의의 두 함수의 선형 조합으로 쓰일 수 있음을 보였다. 이는 다음을 제공한다.

 \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} = 15

오른쪽의 두 줄을 식별함으로써 주어진 15개의 관계는 다음과 같다.

\begin{align}
z\frac{dF}{dz} &= z\frac{ab}{c}F(a+,b+,c+) \\
&=a(F(a+)-F) \\
&=b(F(b+)-F) \\
&=(c-1)(F(c-)-F) \\
&=\frac{(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z} \\
&=\frac{(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z} \\
&=z\frac{(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}
\end{align}

여기서 , 등등이다. 이러한 관계를 반복적으로 적용하면 다음과 같은 형식의 임의의 세 함수 사이에 에 대한 선형 관계가 주어진다.

{_2F_1} (a+m,b+n;c+l;z),

여기서 m, n, l은 정수이다.

### 가우스의 연분수

가우스는 인접 관계를 이용하여 두 초기하 함수의 몫을 연분수로 쓰는 여러 가지 방법을 제시했다. 예를 들면 다음과 같다.

\frac}

## 변환 공식
변환 공식은 인자 z의 다른 값에서 두 초기하 함수를 관련시킨다.

### 분수 선형 변환
오일러의 변환은 다음과 같다.
{}_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{c-a-b} {}_2F_1 (c-a, c-b;c ; z).
이는 두 가지 파프 변환을 결합하여 얻어진다.
\begin{align}
{}_2F_1 (a,b;c;z) &= (1-z)^{-b} {}_2F_1 \left (b,c-a;c;\tfrac{z}{z-1} \right ) \\
{}_2F_1 (a,b;c;z) &= (1-z)^{-a} {}_2F_1 \left (a, c-b;c ; \tfrac{z}{z-1} \right ) \\
\end{align}
이는 다시 오일러의 적분 표현에서 비롯된다. 오일러의 1차 및 2차 변환의 확장については  및 을 참조하라.
또한 선형 결합으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

\begin{align}
{}_2F_1(a,b;c;z) = {} & \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}{}_2F_1(a,b;a+b+1-c;1-z) \\[6pt]
& {} + \frac{\Gamma(c)\Gamma(a+b-c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}(1-z)^{c-a-b} {}_2F_1(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).
\end{align}


### 이차 변환
숫자 1&nbsp;−&nbsp;c, c&nbsp;−&nbsp;1, a&nbsp;−&nbsp;b, b&nbsp;−&nbsp;a, a&nbsp;+&nbsp;b&nbsp;−&nbsp;c, c&nbsp;−&nbsp;a&nbsp;−&nbsp;b 중 두 개가 같거나 그 중 하나가 1/2이면, 초기하 함수에는 이차 방정식으로 관련된 z의 다른 값으로 연결되는 **이차 변환**이 있다. 첫 번째 예시는 에 의해 제시되었고, 완전한 목록은 에 의해 제시되었다. 일반적인 예시는 다음과 같다.

{}_2F_1(a,b;2b;z) = (1-z)^{-\frac{a}{2}} {}_2F_1 \left (\tfrac{1}{2}a, b-\tfrac{1}{2}a; b+\tfrac{1}{2}; \frac{z^2}{4z-4} \right)

### 고차 변환
1−c, a−b, a+b−c가 부호만 다르거나 그 중 두 개가 1/3 또는 −1/3이면, 초기하 함수에는 3차 방정식으로 관련된 z의 다른 값으로 연결되는 **3차 변환**이 있다. 첫 번째 예시는 에 의해 제시되었다. 일반적인 예시는 다음과 같다.

{}_2F_1 \left (\tfrac{3}{2}a,\tfrac{1}{2}(3a-1);a+\tfrac{1}{2};-\tfrac{z^2}{3} \right) = (1+z)^{1-3a} \, {}_2F_1 \left (a-\tfrac{1}{3}, a; 2a; 2z(3+z^2)(1+z)^{-3} \right )

4차 및 6차 변환도 일부 존재한다. 다른 차수의 변환은 a, b, c가 특정 유리수인 경우에만 존재한다. . 예를 들어,
{}_2F_1 \left (\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{8};\tfrac{7}{8}; z \right) (z^4-60z^3+134z^2-60z+1)^{1/16}  =
  {}_2F_1 \left (\tfrac{1}{48}, \tfrac{17}{48}; \tfrac{7}{8}; \tfrac{-432 z (z-1)^2 (z+1)^8}{(z^4-60z^3+134z^2-60z+1)^3} \right ).

## 특수점 z에서의 값
특수점에서 합 공식 목록은 를 참조하고, 대부분은 에도 나타난다. 는 더 많은 지점에서의 추가 평가를 제공한다. 는 이 항등식들 대부분이 컴퓨터 알고리즘으로 어떻게 검증될 수 있는지 보여준다.

### z&nbsp;=&nbsp;1에서의 특수 값
카를 프리드리히 가우스의 이름을 딴 가우스 합산 정리는 항등식이다.

{}_2F_1 (a,b;c;1)= \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}, \qquad   \Re(c)>\Re(a+b) 

이는 오일러의 적분 공식에서 z&nbsp;=&nbsp;1을 대입하여 얻어진다. 여기에는 반데르몽드 항등식이 특수 사례로 포함된다.

 a=-m 인 특수한 경우,
{}_2F_1 (-m,b;c;1)=\frac{ (c-b)_{m} }{(c)_{m}  } 

두갈의 공식은 이를 z&nbsp;=&nbsp;1에서의 쌍방 초기하 급수로 일반화한다.

### 쿠머의 정리 (z&nbsp;=&nbsp;−1)
초기하 함수는 이차 변환을 사용하여 z&nbsp;=&nbsp;−1을 z&nbsp;=&nbsp;1로 변경한 다음 가우스의 정리를 사용하여 결과를 평가함으로써 z&nbsp;=&nbsp;−1에서 평가할 수 있는 경우가 많다. 전형적인 예는 쿠머의 이름을 딴 쿠머의 정리이다.

{}_2F_1 (a,b;1+a-b;-1)= \frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+\tfrac12a)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+\tfrac12a-b)}

이는 쿠머의 이차 변환에서 비롯된다.

\begin{align}
_2F_1(a,b;1+a-b;z)&= (1-z)^{-a} \;_2F_1 \left(\frac a 2, \frac{1+a}2-b; 1+a-b; -\frac{4z}{(1-z)^2}\right)\\
&=(1+z)^{-a} \, _2F_1\left(\frac a 2, \frac{a+1}2; 1+a-b; \frac{4z}{(1+z)^2}\right)
\end{align}

그리고 첫 번째 항등식에 z&nbsp;=&nbsp;−1을 대입하여 가우스의 정리를 적용한 결과이다. 쿠머의 합산의 일반화については 을 참조하라.

### z&nbsp;=&nbsp;1/2에서의 값
가우스의 두 번째 합산 정리는 다음과 같다.

_2F_1 \left(a,b;\tfrac12\left(1+a+b\right);\tfrac12\right) = \frac{\Gamma(\tfrac12)\Gamma(\tfrac12\left(1+a+b\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(1+a)\right)\Gamma(\tfrac12\left(1+b\right))}. 

베일리의 정리는 다음과 같다.

_2F_1 \left(a,1-a;c;\tfrac12\right)= \frac{\Gamma(\tfrac12c)\Gamma(\tfrac12\left(1+c\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(c+a\right))\Gamma(\tfrac12\left(1+c-a\right))}.

가우스의 두 번째 합산 정리 및 베일리의 합산 정리의 일반화については 을 참조하라.

### 기타 지점
초기하 함수를 매개변수의 특정 유리수 값에서 대수적 숫자로 제공하는 다른 많은 공식이 있으며, 그 중 일부는  및 에 나열되어 있다. 몇 가지 전형적인 예는 다음과 같다.

{}_2F_1 \left(a,-a;\tfrac{1}{2};\tfrac{x^2}{4(x-1)} \right )  = \frac{(1-x)^a+(1-x)^{-a}}{2},

다음과 같이 다시 표현될 수 있다.

T_a(\cos x)={}_2F_1\left(a,-a;\tfrac{1}{2};\tfrac{1}{2}(1-\cos x)\right)=\cos(a x)

−π < x < π이고 T가 (일반화된) 체비쇼프 다항식인 경우.

## 같이 보기
* 아펠 급수
* 기본 초기하 급수
* 쌍방 초기하 급수
* 타원 초기하 급수
* 일반 초기하 함수
* 일반화된 초기하급수
* 초기하 분포
* 로리첼라 초기하 급수
* 모듈러 초기하 급수
* 리만의 미분 방정식

## 각주

;내용주

;참조주

;참고 문헌
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* 뵈커르스, 프리츠 (2002), Gauss' hypergeometric function. (기초, 삼각형 사상, 모노드로미를 검토하는 강의 노트)
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* 가스퍼, 조지 & 라흐만, 미잔 (2004). Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. .
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*  (1부는 리 군의 초기하 함수를 다룬다)
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*  (이 논문의 재판은 에서 찾을 수 있다)
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*  (가 포함된 2008년 페이퍼백이 있다)
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## 외부 링크
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* 존 피어슨, 초하함수의 계산 (옥스퍼드 대학교, 석사 논문)
* 마르코 페트코프세크, 허버트 윌프, 도론 자일베르거, "A = B" 책 (무료 다운로드 가능)
* 

분류:상미분 방정식
분류:급수
분류:초기하함수
분류:계승과 이항식 주제