캣멀롬 스플라인

**캣멀롬 스플라인**은 컴퓨터 그래픽스 용어로, 에드윈 캣멀과 Raphael Rom에 의해 정의되었다. 이는 보간 스플라인의 한 종류로서 제어점을 뚫는 모양을 가진다. \mathbf{P}_0, \mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2, \mathbf{P}_3 네 개의 제어점이 주어지면 곡선은 \mathbf{P}_1 과 \mathbf{P}_2 사이에 정의된다.
섬네일|캣멀롬 스플라인은 네 개의 점 사이를 보간한다

## 정의
섬네일|배리와 골드만의 피라미드 공식
섬네일|캣멀롬 알고리즘에서의 노트 매개변수화
점은 \mathbf{P}_i = [x_i \quad y_i]^T 와 같이 표현하기로 하자. 네 개의 점 \mathbf{P}_0, \mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2, \mathbf{P}_3 과 노트 t_0, t_1, t_2, t_3 로 정의되는 곡선 일부 \mathbf{C} 즉 캣멀롬 스플라인은 다음과 같이 표현할 수 있다 :
: \mathbf{C} = \frac{t_{2}-t}{t_{2}-t_1}\mathbf{B}_1+\frac{t-t_1}{t_{2}-t_1}\mathbf{B}_2
이는 다음과 같다
: \mathbf{B}_1 = \frac{t_{2}-t}{t_{2}-t_0}\mathbf{A}_1+\frac{t-t_0}{t_{2}-t_0}\mathbf{A}_2
: \mathbf{B}_2 = \frac{t_{3}-t}{t_{3}-t_1}\mathbf{A}_2+\frac{t-t_1}{t_{3}-t_1}\mathbf{A}_3
: \mathbf{A}_1 = \frac{t_{1}-t}{t_{1}-t_0}\mathbf{P}_0+\frac{t-t_0}{t_{1}-t_0}\mathbf{P}_1
: \mathbf{A}_2 = \frac{t_{2}-t}{t_{2}-t_1}\mathbf{P}_1+\frac{t-t_1}{t_{2}-t_1}\mathbf{P}_2
: \mathbf{A}_3 = \frac{t_{3}-t}{t_{3}-t_2}\mathbf{P}_2+\frac{t-t_2}{t_{3}-t_2}\mathbf{P}_3
또한
: t_{i+1} = \left[\sqrt{(x_{i+1}-x_i)^2+(y_{i+1}-y_i)^2}\right]^{\alpha} + t_i
노트 매개변수화에서 \alpha가 0부터 1 사이의 범위를 가지고 i = 0,1,2,3 일 때 t_0 = 0  이다. 구심적(centripetal) 캣멀롬 스플라인에서 \alpha 값은 0.5이다.  \alpha = 0 일 때, 곡선은 표준(uniform) 캣멀롬 스플라인의 모양을 가진다. \alpha = 1일 때,  코달(chordal) 스플라인의 모양을 가진다.

## 코드 예제
아래는 파이썬으로 구현한 캣멀롬 스플라인의 예제이다
```python
import numpy
import pylab as plt

def CatmullRomSpline(P0, P1, P2, P3, nPoints=100):
  """
  P0, P1, P2, and P3 should be (x,y) point pairs that define the Catmull-Rom spline.
  nPoints is the number of points to include in this curve segment.
  """
  # Convert the points to numpy so that we can do array multiplication
  P0, P1, P2, P3 = map(numpy.array, [P0, P1, P2, P3])

  # Calculate t0 to t4
  alpha = 0.5
  def tj(ti, Pi, Pj):
    xi, yi = Pi
    xj, yj = Pj
    return ( ( (xj-xi)**2 + (yj-yi)**2 )**0.5 )**alpha + ti

  t0 = 0
  t1 = tj(t0, P0, P1)
  t2 = tj(t1, P1, P2)
  t3 = tj(t2, P2, P3)

  # Only calculate points between P1 and P2
  t = numpy.linspace(t1,t2,nPoints)

  # Reshape so that we can multiply by the points P0 to P3
  # and get a point for each value of t.
  t = t.reshape(len(t),1)

  A1 = (t1-t)/(t1-t0)*P0 + (t-t0)/(t1-t0)*P1
  A2 = (t2-t)/(t2-t1)*P1 + (t-t1)/(t2-t1)*P2
  A3 = (t3-t)/(t3-t2)*P2 + (t-t2)/(t3-t2)*P3

  B1 = (t2-t)/(t2-t0)*A1 + (t-t0)/(t2-t0)*A2
  B2 = (t3-t)/(t3-t1)*A2 + (t-t1)/(t3-t1)*A3

  C  = (t2-t)/(t2-t1)*B1 + (t-t1)/(t2-t1)*B2
  return C

def CatmullRomChain(P):
  """
  Calculate Catmull Rom for a chain of points and return the combined curve.
  """
  sz = len(P)

  # The curve C will contain an array of (x,y) points.
  C = []
  for i in range(sz-3):
    c = CatmullRomSpline(P[i], P[i+1], P[i+2], P[i+3])
    C.extend(c)

  return C

# Define a set of points for curve to go through
Points = [[0,1.5],[2,2],[3,1],[4,0.5],[5,1],[6,2],[7,3]]

# Calculate the Catmull-Rom splines through the points
c = CatmullRomChain(Points)

# Convert the Catmull-Rom curve points into x and y arrays and plot
x,y = zip(*c)
plt.plot(x,y)

# Plot the control points
px, py = zip(*Points)
plt.plot(px,py,'or')

plt.show()
```


## 같이 보기
* 에르미트 보간법

## 참조

↑  E. Catmull and R. Rom. A class of local interpolating splines. Computer Aided Geometric Design, pages 317-326, 1974.↑  P. J. Barry and R. N. Goldman. A recursive evaluation algorithm for a class of Catmull–Rom splines. SIGGRAPH Computer Graphics, 22(4):199-204, 1988.↑  Yuksel, C.; Schaefer, S.; Keyser, J. (2011). "Parameterization and applications of Catmull-Rom curves". Computer-Aided Design 43: 747–755. ↑  Jen Hong, Tan; U. R., Acharya (2014). "Active spline model: A shape based model—interactive segmentation". Digital Signal Processing 35: 64–74.

## 외부 링크
* Implementation in Java
* Simplified implementation in C++

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