게이지 변환군

이론물리학과 미분기하학에서 **게이지 변환군**(gauge變換群, )은 어떤 주다발의 자기 동형으로 구성된 위상군이다. 그 원소를 **게이지 변환**(gauge變換, )이라고 한다. 양-밀스 이론이나 천-사이먼스 이론과 같은 게이지 이론은 이러한 군을 대칭으로 갖는다.

## 정의
### 함수로서의 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 매끄러운 다양체 M
* 리 군 G
* G-매끄러운 주다발 P\twoheadrightarrow M
그렇다면, P의 **게이지 변환**은 P의 자기 동형 사상이다. 즉, 매끄러운 함수
:\phi \in \mathcal C^\infty(P,G)
가운데, 등변 함수 조건
:\phi(p\cdot g) = g^{-1}\phi(p)g\qquad\forall (p,g) \in P\times G
을 만족시키는 것이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.

:\begin{matrix}
P \times G & \overset{(\cdot)}\to & P \\
{\scriptstyle\!\!\!\!\!\!(\phi,\operatorname{id})}\downarrow{\scriptstyle\color{White}(\phi,\operatorname{id})\!\!\!\!\!\!} && {\color{White}\scriptstyle\!\!\!\!\!\!\phi}\downarrow{\scriptstyle\phi\!\!\!\!\!\!} \\ 
G\times G & \underset{\!\!\!\!\!\!\!\!\!(h,g)\mapsto g^{-1}hg\!\!\!\!\!\!\!\!\!}\to & G
\end{matrix}


두 게이지 변환 \phi,\chi는 다음과 같이 점별 곱셈으로 곱할 수 있다.
:(\phi\chi)(p) = \phi(p)\chi(p)
그렇다면, 게이지 변환들의 집합은 위상군을 이룬다. 이를 **게이지 변환군**이라고 한다.

### 연관 다발을 통한 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 매끄러운 다양체 M
* 리 군 G
* G-매끄러운 주다발 P\twoheadrightarrow M
그렇다면, 연관 다발 \operatorname{Ad}(P) = P\times_GG을 취할 수 있다. 여기서 G의, 스스로 위의 왼쪽 군 작용은 켤레 g\cdot h = ghg^{-1}이다.
이 올다발의 매끄러운 단면
:\phi\in\Gamma^\infty(\operatorname{Ad}(P))
을 P의 **게이지 변환**이라고 한다.

이 정의는 함수로서의 정의와 동치이다.

### 무한소 게이지 변환
게이지 변환군 \operatorname{Aut}(P) = \Gamma^\infty(\operatorname{Ad}(P))에 대응하는 실수 리 대수는 딸림표현 연관 벡터 다발
:\operatorname{ad}(P) = P \times_G \mathfrak g
의 매끄러운 단면
:\Gamma^\infty(\operatorname{ad}(G))
의 실수 벡터 공간이다. 이 경우, \mathfrak g의 리 괄호는 G의 딸림표현 작용에 공변이므로,
:[\operatorname{ad}(g)x,\operatorname{ad}(g)y] = \operatorname{ad}([x,y])
이는 \Gamma^\infty(\operatorname{ad}(G)) 위에 점별로 잘 정의되며, 이는 실수 리 대수를 이룬다. 그 원소는 **무한소 게이지 변환**()으로 해석될 수 있다.

### 큰 게이지 변환
게이지 변환군 \operatorname{Aut}(P)는 위상군이며, 그 연결 성분의 군
:\pi_0(\operatorname{Aut}(P)) = \frac{\operatorname{Aut}(P)}{\operatorname{Aut}_0(P)}
을 정의할 수 있다. 이를 **큰 게이지 변환**()의 군이라고 한다. 반면, 항등원을 포함하는 연결 성분 \operatorname{Aut}_0(P)의 원소를 **작은 게이지 변환**()이라고 한다.

## 성질
### 연관 벡터 다발의 단면 위의 작용
임의의 M 위의 G의 유한 차원 실수 표현 G\to\operatorname{GL}(V)이 주어졌을 때, 연관 벡터 다발
:E = P \times_G V
의 매끄러운 단면의 공간 \Gamma^\infty(E)를 생각할 수 있다. 게이지 변환군 \operatorname{Aut}(P)은 그 위에 다음과 같은 표준적인 왼쪽 군 작용을 갖는다.
:(\phi \cdot s)(x) = q(p,\phi(p)v) \qquad(s(x) = q(p,v),\; (p,v) \in P\times V)
여기서
:q \colon P\times V \twoheadrightarrow P \times_GV=E
는 연관 벡터 다발의 정의에 등장하는 전사 함수이다.

### 주접속과 주곡률 위의 작용
매끄러운 다양체 M 위의 G-주다발 P\twoheadrightarrow M 위의 주접속 A\in\Omega^1(P;\mathfrak g)이 주어졌다고 하자. P의 게이지 변환 \phi\in\Gamma(\operatorname{Ad}(P))는 주다발의 자기 동형
:\phi_\#\colon P\to P
:\phi_\#\colon p\mapsto p\cdot\phi(p)
를 정의하며, 따라서 주접속 위에도
:\phi\cdot A = \phi_\#^*A
와 같이 작용한다.

게이지 변환군은 주접속 A\in\Omega^1(P;\mathfrak g)의 곡률 F\in\Omega^2(P;\mathfrak g) 위에 마찬가지로 다음과 같이 작용한다.
:F \mapsto \phi_\#^* F
반면, 예를 들어, 킬링 형식 B(-,-) 및 준 리만 계량 g에 대하여, 양-밀스 라그랑지언 B(F,F^\#) \in \Omega^0(M)는 게이지 불변이다.

### 큰 게이지 변환에 대한 레벨의 양자화
매끄러운 다양체 M 위의 주다발 P를 생각하자.

어떤 작용 S가 게이지 변환 \phi\in\Gamma^\infty(\operatorname{Ad}(P))에 대하여 다음과 같은 꼴로 변환한다고 하자.
:\frac1{2\pi}S \mapsto \frac1{2\pi}S + \sum_i \int_M F_i \wedge \phi^*\alpha_i
:\alpha_i \in \Omega^{d_i}(G), ((-)^g)^*\alpha_i = \alpha_i ((-)^g \colon G\to G,\;h\mapsto ghg^{-1})
:\mathrm d\alpha_i = 0
:F_i \in \Omega^{n-d_i}(M)
:\mathrm dF_i = 0
여기서 \alpha_i의 당김은 켤레 변환 불변성에 대하여 \operatorname{Ad}(P)의 임의의 국소 자명화에 상관없이 잘 정의된다.

이론이 양자장론에 따라 잘 정의되려면 (즉, \exp(\mathrm iS)가 게이지 불변이려면), 항상
:\sum_i \int_M F_i \wedge g^*\alpha_i \in \mathbb Z
이어야 한다.

만약 g가 작은 게이지 변환이라면, \alpha_i가 완전 미분 형식이 된다. 즉, \alpha_i = \mathrm d\beta_i라고 하면,
:\frac1{2\pi}S \mapsto \frac1{2\pi}S + \sum_i \int_M\mathrm F_i\wedge\phi^*\mathrm d\beta_i = \frac1{2\pi}S + \sum_i (-)^{(n-d_i)}\int_M\mathrm d(F_i\wedge \phi^*\beta_i) = \frac1{2\pi}S
가 되어, 이 작용은 작은 게이지 변환에 대하여 불변임을 알 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환에 대하여 불변이 아닐 수 있다. 즉, 만약 \alpha_i가 자명하지 않은 코호몰로지류를 갖는다면, 이는 이론에서
:[M]\frown ([F_i] \smile \operatorname H^{d_i}(M;\mathbb R)) \in \mathbb Z
의 꼴의 제약을 유도한다. 이는 디랙 양자화의 한 경우이다. (여기서 [M]\in\operatorname H_n(M;\mathbb R)는 실수 계수 기본류이다.)

특히, 만약 d_i = n일 경우, 이는
:F_i\in \mathbb Z
를 유도한다. 이 경우, 이 값 F_i\in\mathbb Z를 **레벨**()이라고 한다.

예를 들어, 아벨 또는 비아벨 천-사이먼스 이론이 이와 같은 경우에 해당한다.

## 예
### 자명한 주다발
P=M\times G가 자명한 주다발이라고 하자 (즉, 대역적 단면이 주어졌다고 하자). 이 경우, 표준적으로 \operatorname{Ad}(P) = M \times G가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수 M\to G가 된다.

**함수를 통한 정의:**

만약 P = M\times G가 자명한 주다발이라면, 매끄러운 함수 \phi \in \mathcal C^\infty(M,G)에 대응하는 게이지 변환은
:\phi(m,g) = g^{-1}\phi(m)g \qquad\forall (m,g) \in P=M\times G
이다.


**연관 다발을 통한 정의:**

만약 P = M\times G가 자명한 주다발이라면, \operatorname{Ad}(P) = M\times G이다. 구체적으로, \operatorname{Ad}(P)의 올을
:G\times_GG = \frac{G\times G}{(gk,h)\sim (g,khk^{-1})}
로 정의하면, 모든 동치류는
:(g,h) \sim (1,ghg^{-1})
의 동치 관계 아래 (1,g)의 꼴의 대표원을 갖는다.


만약 M=\mathbb S^n이 초구이며, P=M\times G가 자명한 주다발이라면, 큰 게이지 변환의 군은 호모토피 군 \pi_n(G)과 집합으로서 같다. 그러나 호모토피 군으로서의 군 연산은 큰 게이지 변환의 군으로서의 군 연산과 일반적으로 다르다.

특히, 만약 M=\mathbb S^3이며, G가 콤팩트 단순 리 군일 경우, \pi_3(G) = \operatorname{Cyc}(\infty) (무한 순환군)이 된다.

### 아벨 주다발
만약 G가 아벨 리 군이라고 하고, 이를 올로 갖는 매끄러운 주다발 P를 생각하자. 이 경우, G 위의 켤레 작용이 자명하므로, 표준적으로
:\operatorname{Ad}(P) = P \times_G G = M \times G
가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수 M\to G가 된다. 마찬가지로, 무한소 게이지 변환은 리 대수 값 미분 형식 \Omega^1(M)\otimes_{\mathbb R}\mathfrak{lie}(G)가 된다.

이 경우, 주접속의 곡률은 사실 M 위의 리 대수 값 미분 형식 F\in\Omega^2(M)\otimes_{\mathbb R}\mathfrak{lie}(G)가 되며, 이는 게이지 불변이다.

## 같이 보기
* 게이지 대칭 (수학)
* 게이지 이론
* 게이지 이론 (수학)
* 주다발
## 각주

## 외부 링크
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분류:양자장론
분류:미분기하학
분류:게이지 이론