극점 (기하학)

[섬네일|오른쪽|하늘색으로 칠해진 [콤팩트 공간|콤팩트 볼록 집합의 극점들은 붉게 칠해진 점들이다. 크레인-밀만 정리에 따라, 이 극점들의 볼록 폐포는 원래 볼록 집합과 같다.]]
기하학에서 **극점**(極點, )은 어떤 볼록 집합 속의 점 가운데, 다른 두 점의 볼록 선형 결합으로 나타낼 수 없는 것이다. 즉, 볼록 집합의 일종의 ‘귀퉁이’에 해당한다. **[[크레인-밀만 정리]]**(Крейн-Мильман定理, )에 따르면, 실수 국소 볼록 공간의 콤팩트 볼록 집합은 그 극점들의 볼록 폐포와 같다. **쇼케 정리**(Choquet定理, )에 따르면, 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합 속의 임의의 점은 그 극점 집합 위에 정의된 확률 측도의 무게 중심으로 나타내어진다.

## 정의
실수 벡터 공간 V 속의 볼록 집합 S의 부분 집합 F\subseteq S가 다음 두 조건을 만족시킨다면, **면**(面, )이라고 한다.
* 공집합이 아니다.
* 임의의 두 x,y\in S 및 0에 대하여, 만약 tx+(1-t)y\in F라면, x,y\in F이다.

실수 벡터 공간 V 속의 볼록 집합 S 속의 점 x\in S에 대하여, 만약 \{x\}가 S의 면이라면, x를 S의 **극점**이라고 한다.

S의 극점의 집합을 \mathcal E(S)로 표기하자.

### 극점 계수
보다 일반적으로, 실수 벡터 공간 V 속의 볼록 집합 S 속의 점 x\in S의 **극점 계수**()는 다음과 같은 자연수이다.
:\operatorname{ext}(x)=\min
\left\{
k\colon
x=\sum_{i=0}^kt_iy_i,\;
k\in\mathbb Z^+,\;
y_0,\dotsc,y_k\in S,\;
(t_0,\dotsc,t_k)\in\operatorname{int}(\Delta^k)
\right\}
여기서, 임의의 양의 정수 k\in\mathbb Z^+에 대하여
:\operatorname{int}(\Delta^k)\subseteq(\mathbb R^+)^{k+1}
:(t_0,\dotsc,t_k)\in\operatorname{int}(\Delta^k)\overset{\text{def}}\iff t_0+\dotsb+t_k=1
는 k차원 단체의 내부이다. 특히, \operatorname{int}(\Delta^0)=\{1\}이며, 임의의 x\in S는 x=1x로 나타내어지므로 항상 \operatorname{ext}(x)\ge0이다.

이 경우, 만약 \operatorname{ext}(x)=n이라면 x를 **<math>n</math>-극점**이라고 하자. 즉, 극점의 개념은 0-극점의 개념과 같다.

## 성질
임의의 실수 벡터 공간 V의 볼록 집합 K\subseteq V의 면들의 족 (F_i)_{i\in I}에 대하여, 그 교집합 \textstyle\bigcap_{i\in I}F_i는 공집합이 아니라면 항상 면이다.


**증명:**

임의의 x,y\in K 및 t\in(0,1)에 대하여,
:\forall i\in I\colon tx+(1-t)y\in F_i
라고 하자. 그렇다면, 면의 정의에 따라서 \forall i\in I\colon x,y\in F이며, 따라서 \textstyle x,y\in\bigcap_{i\in I}F_i이다.


### 존재
임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 V 속의, 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합 \varnothing\ne K\subseteq V의 닫힌 면 F\subseteq K에 대하여, F에 속하는 K의 극점이 (적어도 하나 이상) 존재한다.

**증명:**

K의 닫힌 면들의 (부분 집합 관계의 반대 관계에 대한) 부분 순서 집합 (\mathcal F,\supseteq)을 생각하자. 초른 보조정리를 사용할 경우, 다음 두 명제를 보이면 족하다.
* (\mathcal F,\subseteq)는 닫힌 부분 순서 집합이다.
** 증명: 닫힌 면들의 사슬 (F_i)_{i\in I}의 경우, \textstyle\bigcap_{i\in I}F_i는 (칸토어의 교점 정리에 의하여) 공집합이 아니며, (면들의 교집합은 공집합 또는 면이므로) 면이며, (닫힌집합의 교집합은 닫힌집합이므로) 닫힌집합이다.
* (\mathcal F,\supseteq)의 최대 원소는 한원소 집합이다.
** 증명: 임의의 닫힌 면 F\subseteq K가 서로 다른 두 점 x,y\in F, x\ne y을 갖는다고 하자. 한-바나흐 정리에 따라, \phi(x)\ne\phi(y)인 실수 값 선형 범함수 \phi\colon V\to\mathbb R가 존재한다. F가 콤팩트 집합이므로 \phi(F)는 최댓값을 갖는다. 따라서 G=\textstyle\phi^{-1}(\max_{x\in F}\phi(x))는 공집합이 아니며, 닫힌집합이며, 또한 면을 이룬다. 또한, \phi(x)\ne\phi(y)이므로, G는 x와 y를 둘 다 포함할 수 없다. 즉, G\subsetneq F이다. 이에 따라, F는 (\mathcal F,\supseteq F)의 최대 원소가 될 수 없다.


### 극점의 볼록 폐포
임의의 실수 벡터 공간 V 속의 볼록 집합 S 속의 두 점 x,y\in S 및 t\in(0,1)에 대하여, 다음이 성립한다.
:\operatorname{ext}_S(tx+(1-t)y)

**크레인-밀만 정리**에 따르면, 임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 V 속의 콤팩트 볼록 집합 K\subseteq V은 그 극점들의 볼록 폐포와 일치한다.

**증명:**

K=\varnothing은 자명하므로 K\ne\varnothing이라고 가정하자. K의 극점 집합 \mathcal E(K)\subseteq K를 생각하자. 자명하게 \operatorname{co}(\mathcal E(K))\subseteq K이다. (여기서 \operatorname{co}(-)는 볼록 폐포이다.) 따라서 K\subseteq\operatorname{co}(\mathcal E(K))를 보이면 족하다.

귀류법을 사용하여, x\in K\setminus\operatorname{co}(\mathcal E(K))라고 하자. 한-바나흐 정리에 의하여, \{x\}와 \operatorname{co}(\mathcal E(K))를 분리하는, 즉
:\inf_{e\in\operatorname{co}(\mathcal E(K))}\phi(e)>\phi(x)
가 성립하는 실수 값 선형 범함수
:\phi\colon\mathbb R^n\to\mathbb R
가 존재한다. K가 콤팩트 볼록 집합이므로 그 상 \phi(K) 역시 콤팩트 볼록 집합, 즉 닫힌구간 [s,t]\subseteq\mathbb R이며, s\le\phi(e)c\le t이다. 즉, F=\phi^{-1}(t)는 K의 닫힌 면이며, 정의에 따라 F\cap\operatorname{co}(\mathcal E(K))=\varnothing이다. 그런데 F에 속하는 K의 극점이 존재한다. 즉, \varnothing\ne F\cap \mathcal E(K)\subseteq F\cap\operatorname{co}(\mathcal E(K))이며, 이는 모순이다.

체르멜로-프렝켈 집합론과 불 대수 소 아이디얼 정리를 가정할 때, 하우스도르프 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 선택 공리와 동치이다.

또한, **에드거 정리**()에 따르면, 반사 바나흐 공간 V 속의 임의의 유계 볼록 닫힌집합 K는 스스로의 극점의 볼록 폐포와 일치한다. (일반적으로, 유계 닫힌집합인 것은 콤팩트 집합인 것보다 더 약한 조건이다.)

**밀만 정리**()에 따르면, 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 V 속의 콤팩트 볼록 집합 K\subseteq V의 부분 집합 T\subseteq K에 대하여, 만약 T를 포함하는 최소의 볼록 닫힌집합이 K라면, K의 모든 극점은 T의 폐포에 속한다.

### 극점 위의 측도
임의의 실수 위상 벡터 공간 V 속의 콤팩트 집합 K\subseteq V 속의 베르 집합 A\in\operatorname{Baire}(K) 및 측도 \mu\colon\operatorname{Baire}(A)\to[0,\infty] 및 v\in V가 주어졌을 때, 만약
:\forall f\in V^*\colon f(x_0)=\int_A\phi\,\mathrm d\mu
가 성립한다면, v를 \mu의 **무게 중심**(-中心, )이라고 하자. (여기서 V^*는 연속 쌍대 공간이다.)

다음이 주어졌다고 하자.
* 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 V
* V 속의 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합 K\subseteq V
그렇다면, **쇼케 정리**()에 따르면 다음이 성립한다.
* K의 극점의 집합 \mathcal E(K)는 K의 보렐 집합이다.
* 임의의 x\in K에 대하여, x를 무게 중심으로 갖는 확률 측도 \mu\colon\operatorname{Baire}(\mathcal E(K))\to[0,1]가 존재한다.

## 예
한원소 집합의 유일한 점은 0-극점이다.

유클리드 공간 \mathbb R^n 속에서, 닫힌 공
:\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_{\mathbb R^n}(\vec 0,1))=\left\{\vec v\in\mathbb R^n\colon \|\vec v\|\le1\right\}
의 0-극점들은 초구
:\mathbb S^{n-1}=\{\vec v\in\mathbb R^n\colon\|\vec v\|=1\}
이며, 나머지 모든 점(열린 공)은 1-극점이다.

### 비(非)유계 집합에 대한 크레인-밀만 정리의 반례
실수선 \mathbb R 속의 닫힌 반직선
:\mathbb R_{\ge}=\{t\in\mathbb R\colon t\ge0\}
은 닫힌집합이며 볼록 집합이지만 유계 집합이 아니다. 그 속의 0-극점들은 0\in\mathbb R_{\ge} 밖에 없으며, 나머지 점들은 모두 1-극점들이다. 이 경우 \{0\}의 볼록 폐포는 \{0\}\ne\mathbb R_{\ge}이므로, 크레인-밀만 정리가 실패한다.

보다 일반적으로, n차원 유클리드 공간 속의 닫힌 반공간
:\mathbb R_{\ge}\times\mathbb R^{n-1}\subseteq\mathbb R^n
은 k\le n-2일 경우 k-극점을 갖지 않는다. 구체적으로, 경계의 점
:x\in\partial(\mathbb R_{\ge}\times\mathbb R^{n-1})=\{0\}\times\mathbb R^{n-1}
은 n-1-극점이며, 나머지 점들은 n-극점이다.

### 비(非) 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리의 반례
크레인-밀만 정리가 성립하지 않는 콤팩트 볼록 집합을 가지는, 완비 거리화 가능 실수 위상 벡터 공간이 존재한다.

## 역사
유클리드 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 헤르만 민코프스키가 20세기 초에 증명하였다.

바나흐 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 마르크 크레인과 다비트 핀후소비치 밀만(, , 1912~1982)이 1940년에 증명하였다.

밀만 정리는 밀만이 1947년에 증명하였다.

쇼케 정리는 귀스타브 쇼케(, 1915~2006)가 증명하였다.

## 참고 문헌


## 외부 링크
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