2차원 𝒩=4 초등각 장론

양자장론에서, **2차원 <math>\mathcal N=4</math> 초등각 장론**(二次元\mathcal N=4超等角場論, )은 네 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다.

## 정의
2차원 \mathcal N=4 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.

위 표에서 G^a를 제외한 다른 생성원들은 모두 에르미트 장이며, G^a의 에르미트 수반은 \bar G^{\bar a}이다.

중심 원소 k=0,1,2,3,\dots는 SU(2) 아핀 리 대수의 준위와 같다. 비라소로 중심 전하 c는 다음과 같다.
:c=6k=0,6,12,18,\dots
이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다. 여기서 \cdots는 z\to0에서 비특이항을 나타낸다.
:T(z)T(0)=3kz^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots
:T(z)G(0)=\frac32z^{-2}G(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots
:T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots
:J^i(z)J^j(0)=\frac12kz^{-2}\delta^{ij}+iz^{-1}\epsilon^{ijk}J^k+\cdots
:J^i(z)G^a(0)=-\frac12\sigma_{ab}^iz^{-1}G^b(0)+\cdots
:G^a(z)\bar G^{\bar b}(0)=
4k\delta^{ab}z^{-3}
-4\sigma_{a\bar b}^iz^{-2}J^i(0)
+z^{-1}\left(2\delta^{ab}T(z)-2\sigma_{a\bar b}^i\partial J^i(0)\right)+\cdots
이들은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.
:T(z)=\sum_nz^{n-2}L_{-n}
:G(z)=\sum_{r\in\mathbb Z+\eta}z^{r-3/2}G_{-r}
:J^i(z)=\sum_nz^{n-1}J_{-n}^i
여기서 NS 경계 조건의 경우 \eta=0이며 R 경계 조건의 경우 \eta=1/2이다.

그렇다면 모드 전개의 리 괄호는 다음과 같다.
:[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac12k(m^3-m)\delta_{m+n,0}
:[L_m,G_r^a]=(m/2-r)G_{m+r}^a
:[L_m,J_n^i]=-nJ_{m+n}^i
:[J^i_m,J^j_n]=i\epsilon^{ijk}J^k_{m+n}+\frac12mk\delta^{ij}\delta_{m+n,0}
:[J_m^i,G_r^a]=-\frac12\sigma_{ab}^iG^b_{m+r}
:\{G_r^a,G_s^b\}=0
:\{G_r^a,\bar G_s^{\bar b}\}
=2\delta^{a\bar b}L_{r+s}-2(r-s)\sigma_{a\bar b}^iJ^i_{r+s}+\frac12k(4r^2-1)\delta_{r+s,0}

### 대역적 대수
NS 대수에서, L_{\pm1}, L_0, G_{\pm1/2}^a, \bar G_{\pm1/2}^{\bar a}, J^i_0는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 변환들의 리 초대수이다.
:[L_1,L_{-1}]=2L_0
:[L_{\pm1},L_0]=\pm L_0
:[G_{\pm12}^a,L_0]=\pm\frac12G_{\pm12}^a
:[L_1,G_{1/2}^a]=[L_{-1},G_{-1/2}^a]=0
:[L_{\pm1},G_{\mp1/2}^a]=\pm G_{\pm1/2}^a
:[J_0^i,L_0]=[J_0^i,L_{\pm1}]=0
:[J_0^i,J_0^j]=i\epsilon^{ijk}J_0^k
:\{G_{\pm 1/2}^a,G_{\pm 1/2}^b\}=\{G_{\pm 1/2}^a,G_{\mp 1/2}^b\}=0
:\{G_{\pm 1/2}^a,\bar G_{\pm 1/2}^b\}=2\delta^{a\bar b}L_{\pm1}
:\{G_{\pm 1/2}^a,\bar G_{\mp 1/2}^b\}=2\delta^{a\bar b}L_0\mp\sigma^i_{a\bar b}J^i_0
:[J_0^i,G_{\pm1/2}^a]=-\frac12\sigma_{ab}^iG_{\pm1/2}^b

마찬가지로, R 대수에서, L_0, G_0^a, \bar G_0^{\bar a}, J^i_0, k는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다.
:[L_0,L_0]=[G_0^a,L_0]=[\bar G_0^{\bar a},L_0]=0
:[J_0^i,L_0]=[J_0^i,L_{\pm1}]=0
:[J_0^i,J_0^j]=i\epsilon^{ijk}J_0^k
:\{G_0^a,G_0^b\}=0
:\{G_0^a,\bar G_0^b\}=2\delta^{a\bar b}L_0-\frac12k
:[J_0^i,G_0^a]=-\frac12\sigma_{ab}^iG_0^b

## 표현
2차원 \mathcal N=4 초등각 대수의 유니터리 표현은 초1차장의 등각 무게 h 및 SU(2) 아이소스핀 l=0,1/2,1,\dots에 따라 분류된다. 이는 **유질량 표현**()과 **무질량 표현**()으로 나뉜다.

유니터리 이론의 경우, 힐베르트 공간의 모든 상태는 다음 BPS 부등식을 만족시킨다.
:h\ge k/4\qquad(\text{NS})
:h\ge|l|\qquad(\text{R})
무질량 표현은 이 BPS 부등식을 포화시킨다. 유질량 표현은 위튼 지표가 0이지만, 무질량 표현은 위튼 지표가 0이 아니다. 유질량 표현에서 BPS 부등식을 포화시키는 극한을 취하면 이는 무질량 표현으로 분해된다.

### 분배 함수
\mathcal N=4 초등각 장론에서는 <math>\mathcal N=2</math>인 경우와 달리 (-1)^F\ne (-1)^{J_0}이며, 따라서 분배 함수에는 아이소스핀 (SU(2) R대칭의 카르탕 부분군 U(1)에 대한 전하) q에 대한 퓨가시티 z와 페르미온 수 F에 대한 퓨가시티 y를 다음과 같이 독립적으로 삽입할 수 있다.
:Z(q,z,y)=\sum_{(h,q,F)}q^{h-k/4}z^qy^F
이 합은 NS 경계 조건 또는 R 경계 조건에서 취할 수 있다.

## 예
초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형은 \mathcal N=(4,4) 초등각 장론을 이룬다. 이 경우, 4k 실수 차원의 초켈러 다양체는 SU(2) 아핀 리 대수 준위가 k인 초등각 장론을 이룬다. K3 곡면 위의 시그마 모형이 대표적인 예이며, 이 경우 k=1이다.

## 응용
\mathcal N=4 초등각 장론에 위상 뒤틂을 가하여 \mathcal N=4 위상 끈 이론을 정의할 수 있다.

## 참고 문헌

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## 같이 보기
* 2차원 등각 장론
* 2차원 𝒩=1 초등각 장론
* 2차원 𝒩=2 초등각 장론

분류:초대칭
분류:등각 장론