디랙 연산자

미분기하학과 이론물리학에서 **디랙 연산자**(Dirac演算子, )는 라플라스 연산자의 제곱근인 미분 연산자이다.

## 정의
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 리만 다양체 (M,g)
* 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M
* E 위의 코쥘 접속 \nabla\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm T^*M)
* E\otimes E^*의 매끄러운 단면 T\in\Gamma^\infty(E\otimes E^*). (흔히 T=0으로 잡는다.)
그렇다면, 라플라스 연산자
:\Delta=g^{\mu\nu}\nabla_\mu\nabla_\nu\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)
및 일반화 라플라스 연산자
:\Delta+T\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)
를 정의할 수 있다.

이 경우, **디랙 연산자**
:D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)
는
:D^2=\Delta
를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

보다 일반적으로, **디랙형 연산자**(Dirac形演算子, ) 또는 **일반화 디랙 연산자**()
:D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)
는 그 제곱이 라플라스형 연산자가 되는 1차 미분 연산자이다. 즉,
:D^2=\Delta+T
를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

### 등급 디랙 연산자
클리퍼드 대수는 자연스럽게 \mathbb Z/2-등급 대수를 이룬다.
:\operatorname{Cliff}(V,Q;K)=\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)\oplus\operatorname{Cliff}^-(V,Q;K)
이에 따라, 디랙 연산자의 등급과의 호환 조건을 정의할 수 있다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 리만 다양체 (M,g)
* 두 매끄러운 벡터 다발 E^\pm\twoheadrightarrow M. 편의상 E=E^+\oplus E^-로 표기하자.
* E 위의 초접속 \nabla\colon\Omega^\bullet(M;E)\to\Omega^{\bullet+1}(M;E)
* E^\pm\otimes(E^\mp)^*의 매끄러운 단면 T^\pm\in\Gamma^\infty(E^\pm\otimes{E^\mp}^*) (복부호 동순)
그렇다면, 마찬가지로 일반화 라플라스 연산자
:\Delta+T\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)
를 정의할 수 있다.

그렇다면, **등급 디랙 연산자**()
:D^\pm\colon\Gamma^\infty(E^\pm)\to\Gamma^\infty(E^\mp) (복부호 동순)
는
:D^-D^+=\Delta+T
:D^+D^-=\Delta+T
를 만족시키는 두 미분 연산자이다.

## 분류
### 클리퍼드 가군 다발 접속
리만 다양체 (M,g) 위의 클리퍼드 가군 다발 E 위의 코쥘 접속 \nabla가 다음 조건을 만족시킨다면, **클리퍼드 가군 다발 접속**이라고 하자.
:\nabla_X(a\cdot s)=a\cdot\nabla_Xs+(\nabla_Xa)\cdot s\qquad\forall a\in\Gamma^\infty(\operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)),\;s\in\Gamma^\infty(E),\;X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)
여기서 \nabla_Xa는 클리퍼드 다발 위에 리만 계량으로부터 자연스럽게 정의된 코쥘 접속(레비치비타 접속)이다.

마찬가지로, **클리퍼드 가군 다발 초접속**을 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는, \mathbb Z/2-등급 매끄러운 벡터 다발 위의 코쥘 초접속으로 정의할 수 있다.

### 디랙 연산자의 분류
리만 다양체 (M,g) 위의 매끄러운 벡터 다발 E 위에 디랙 연산자 D가 주어졌을 때, E 위에는 자연스럽게 클리퍼드 다발 \operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)의 왼쪽 작용이 주어져, 각 올 E_x이 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(\mathrm T_xM,g_x)의 왼쪽 가군을 이룬다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
:D(fs)-f(Ds)=(\mathrm df)\cdot s
여기서
* f\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)는 M 위의 실수 값 매끄러운 함수이다.
* \mathrm df\in\Omega^1(M)=\Gamma^\infty(\mathrm T^*\!M)은 그 기울기인 1차 미분 형식이다. 이 경우, 자연스러운 벡터 다발 포함 사상 \Omega^1(M)\hookrightarrow\operatorname{Cliff}(\mathrm T^*\!M,g^{-1})\cong\operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)이 존재한다.
* \cdot은 클리퍼드 대수의 원소의 작용이다.
클리퍼드 다발 \operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)의 매끄러운 단면은 벡터장 X=(\mathrm df)^\sharp으로 생성되며, 그 작용은 국소적이므로, 위 등식은 클리퍼드 다발의 작용을 완전히 정의한다. 이에 따라, E는 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

또한, 클리퍼드 가군 다발 위의 클리퍼드 가군 다발 (초)접속은 디랙 연산자(또는 등급 디랙 연산자)를 정의한다. 즉,
* 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 다발 + 클리퍼드 가군 다발 접속과 일대일 대응한다.
* 주어진 클리퍼드 가군 다발 E + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은 \operatorname{End}(E) 꼴의 아핀 공간이다.
* 등급 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 \mathbb Z/2-등급 다발 + 클리퍼드 가군 다발 초접속과 일대일 대응한다.
* 주어진 클리퍼드 가군 다발 \mathbb Z/2-등급 다발 E^\pm + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은 \operatorname{End}^+(E) 꼴의 아핀 공간이다.

## 예
### 곡선 위의 벡터다발
계량이 주어진 곡선 \gamma 위의 다발 E\twoheadrightarrow\gamma의 경우, 디랙 연산자는 단순히
:D=\nabla
이다.

### 접다발
리만 다양체 (M,g) 위의 접다발 \mathrm TM에는 자연스러운 레비치비타 접속이 존재한다. 만약 M이 스핀 다양체라면, 접다발을 스피너 다발
:\mathrm TM\hookrightarrow\mathrm SM
으로 확장시켜, 그 위에 디랙 연산자를 정의할 수 있다. \mathrm SM은 2^{\lfloor\dim M/2\rfloor}차원 복소수 벡터 다발이며, 이는 클리퍼드 다발 \operatorname{Cl}(\mathrm TM,g) 위의 클리퍼드 가군 다발이다. 이 경우 매장
:\gamma\colon\mathrm TM\hookrightarrow\operatorname{Cl}(M,g)
:\gamma\colon v^i\mapsto v^i\gamma_i
이 존재한다.

이 경우 디랙 연산자는
:D=g^{ij}\gamma_i\nabla_j
이다. 즉,
:D^2=\{D,D\}/2=\frac12\{\gamma^i\gamma^j\}\nabla_i\nabla_j=g^{ij}\nabla_i\nabla_j=\Delta
이다.

만약 M이 짝수 차원이라면, 그 스피너 다발은 자연스럽게 다음과 같이 오른쪽·왼쪽 바일 스피너 다발로 분해된다.
:\mathrm SM=\mathrm S^+M\oplus\mathrm S^-M
이 경우 디랙 연산자는 역시 다음과 같이 분해된다.
:D^\pm=(D\restriction\Gamma^\infty(\mathrm S^\pm M))\colon\Gamma^\infty(\mathrm S^\pm M)\to\Gamma^\infty(\mathrm S^\mp M)) (복부호 동순)
따라서, 이는 \mathrm S^\pm M 위의 등급 디랙 연산자를 이룬다.

### 호지-드람 연산자
매끄러운 다양체 M 위의 미분 형식의 다발
:E = \bigwedge^\bullet \mathrm T^*M
을 생각하자. 즉,
:\Gamma(E) = \Omega(M)
이다. 만약 M이 콤팩트 다양체라면, 외미분
:\mathrm d\colon\Omega^\bullet(M) \to \Omega^{\bullet+1}(M)
의 에르미트 수반
:\mathrm d^\dagger \colon \Omega^\bullet(M) \to \Omega^{\bullet-1}(M)
을 정의할 수 있다. 그렇다면,
:(\mathrm d+\mathrm d^\dagger)^2 = \{\mathrm d,\mathrm d^\dagger\} = \Delta
이 된다. 여기서 \Delta는 미분 형식의 호지-라플라스 연산자이다. 따라서
:D = \mathrm d + \mathrm d^\dagger
를 정의하면, D는 E 위의 디랙 연산자를 이룬다.

## 역사
최초의 디랙 연산자는 폴 디랙이 양자전기역학을 연구하는 도중 발견하였다.

## 같이 보기
* 디랙 방정식
* 열핵
* 클리퍼드 대수

## 각주

## 외부 링크
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분류:미분 연산자
분류:미분기하학
분류:양자장론
분류:양자역학
분류:수리물리학