앳킨슨 지수

섬네일
**앳킨슨 지수**는 평가자의 주관적 가치 판단을 고려하여 소득 분배의 불평등 정도를 나타내는 지수이다.

## 도입 배경
영국의 경제학자인 앤서니 앳킨슨은 기존의 불평등도지수가 암묵적으로 도입하고 있는 가치판단에 문제가 있을 수 있음을 지적하고, 아예 처음부터 어떤 명백한 가치판단을 전제로 하는 불평등도지수를 만들어 사용할 것을 제의하였다.

## 개요
균등분배의 전제하에서 지금의 사회후생수준을 가져다 줄 수 있는 평균소득이 얼마인가를 주관적으로 판단하고 그것과 한 나라의 1인당 평균소득을 비교하여 그 비율을 따져보는 것이다. 앳킨슨지수는 평가자의 주관적 가치판단을 고려하는 지수로 소득분배가 불평등하다고 여길수록 지수가 커진다.

이 지수는 소득가중치를 \varepsilon 로 치환하여 규범측정로 전환 할 수 있다.
더 큰 가중치는 “불평등회피”의 수준을 적절한 \varepsilon 선택함으로써 소득분배 특정부분의 변화에 주어질 수 있다.
\varepsilon 의 값이 1에 다가갈수록 소득분배의 하단은 더욱 민감하게 변화한다. 반대로 불평등회피 수준이( \varepsilon가 0으로 접근) 떨어질수록 앳킨슨지수는 소득분배 상단부에서 더욱 민감하게 된다.

앳킨슨지수는 자원의 완전한 재분배를 가정하여 얻은 사회적 효용의 총량을 정량화 하기 때문에 \varepsilon 값은 “소득회피매개변수(income aversion parameter)”라고 불린다.
\varepsilon = 0일때, (불평등하지 않을때) 완전한 재분배를 통한 사회적효용이 없다고 가정하면 앳킨슨지수 (A_\varepsilon)는 0이다.
\varepsilon = \infty (불평등할때) 완전한 재분배를 통한 사회적효용이 무한할 때 앳킨슨지수 (A_\varepsilon)는 0이다.

앳킨슨지수 (A_\varepsilon)는 0과 1사이의 값을 갖고 주어직 소득분배의 완전한 재분배에 의해 얻을 수 있는 사회적효용의 총 양을 측정한다.
완전재분배에 따른 사회적효용의 개인적 가치판단에 따라 \varepsilon의 값이 결정되고 서로 다른 소득 분포는\varepsilon의 값에 따라 비교할 수 있다. 낮은 (A_\varepsilon)의 값은 낮은 사회적효용을 얻는다는 것을 뜻하고 높은 값은 많은 사회적효용을 얻는다는 뜻이다.
낮은 \varepsilon 값은 불평등 회피의 특정정도를 주어줌으로써 높은 값보다 더 평등한 분배를 나타낸다.
앳킨슨지수는 다음과 같이 정의 된다.

A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N)=
\begin{cases}
1-\frac{1}{\mu}\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y_{i}^{1-\varepsilon}\right)^{1/(1-\varepsilon)}
& \mbox{for}\ \varepsilon \in \left[0,1\right)\cup\left(1,+\infty\right) \\
1-\frac{1}{\mu}\left(\prod_{i=1}^{N}y_{i}\right)^{1/N}
& \mbox{for}\ \varepsilon=1,
\end{cases}

y_{i}는 개개인의 소득 (i = 1, 2, ..., N)을 뜻하고 \mu는 소득의 평균을 나타낼때,

앳킨슨지수는 다음과 같은 공리를 따른다.

1. 이 지수는 이 조건에서 대칭적이다. 어느 순열 값 \sigma에서 식 A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N)=A_\varepsilon(y_{\sigma(1)},\ldots,y_{\sigma(N)})  이 성립할때

2. 이 지수는 음이아닌 0이상의 실수이며, 모든소득이 같을때에만 0과 같아진다.  A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N) = 0 iff y_i = \mu for all i.

3. 이 지수는 양도의원리를 만족한다. 만약 개인의 소득 y_i  으로부터의 양도의 변화값이 0보다 크다면( \Delta>0 )그 값은 다른 한사람의 소득 y_j에서 오므로( y_i - \Delta > y_j + \Delta 가 됨), 이 불평등지수는 증가하지 않는다.

4. 이 지수는 인구증가의 공리를 만족한다. 만약 새로운 인구가 기존의 인구를 무작위 복제한다해도 부등식은 똑같이 남는다. A_\varepsilon(\{y_1,\ldots,y_N\},\ldots,\{y_1,\ldots,y_N\})=A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N)

5. 이 지수는 독립 평균이나 소득 동질성 공리를 만족한다. 모든 소득이 양의값으로 곱해진다해도 부등식은 변화가없다.  A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N) = A_\varepsilon( ky_1,\ldots,ky_N) for any k>0 (양의 k에 대해 0차동차).

6. 이 지수는 다른 부분군에도 분석할 수 있다. 인구전체의 부등식은 각 앳킨슨지수들의 합으로 계산할 수 있으며 각 그룹 평균 소득의 앳킨슨 지수는 :
A_\varepsilon(y_{gi}: g=1,\ldots,G, i=1,\ldots,N_g) = \sum_{g=1}^G w_g A_\varepsilon( y_{g1}, \ldots, y_{g,N_g}) + A_\varepsilon(\mu_1, \ldots, \mu_G)

g는 그룹을 뜻하며  i는 각그룹들의 개인들,   \mu_g는 각그룹의 평균소득, g 와 가중치 w_g  는 \mu_g, \mu, N 와  N_g 에 따라 결정된다.

다른 부분군-분석가능 원칙은 매우 제한적이다. 지니계수를 포함한 많은 대중적인 지수들은 이러한 정리를 만족하지 못한다.

## 참고 자료
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* Atkinson, AB (1970) On the measurement of inequality. *Journal of Economic Theory*, 2 (3), pp.&nbsp;244–263, . The original paper proposing this inequality index.
* Allison PD (1978) Measures of Inequality, *American Sociological Review*, 43, pp.&nbsp;865–880. Presents a technical discussion of the Atkinson measure's properties. There is an error in the formula for the Atkinson index, which is corrected in Allison (1979).
* Allison, PD (1979) Reply to Jasso. *American Sociological Review* 44(5):870–72.
* Biewen M, Jenkins SP (2003). Estimation of Generalized Entropy and Atkinson Inequality Indices from Complex Survey Data. IZA Discussion Paper #763. Provides statistical inference for Atkinson indices.
* Lambert, P. (2002). *Distribution and redistribution of income*. 3rd edition, Manchester Univ Press, .
* Sen A, Foster JE (1997) *On Economic Inequality*, Oxford University Press, . (Python script  for a selection of formulas in the book)
* World Income Inequality Database , from World Institute for Development Economics Research
* Income Inequality, 1947–1998, from 미국 인구 조사국.

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