민코프스키 덧셈

섬네일|alt=|빨간 도형은 파란 도형과 초록색 도형의 민코프스키 덧셈이다.

기하학에서, 유클리드 공간의 위치벡터 *A*와 *B*의 두 집합의 **민코프스키 합**(팽창이라고도 알려져 있다)은 *A*에 있는 모든 벡터를 *B*에 있는 각각의 벡터에 더해서 만들어진다. 이는 다음과 같다:

: A + B = \{\mathbf{a}+\mathbf{b}\,|\,\mathbf{a}\in A,\ \mathbf{b}\in B\}.

유사하게, **민코프스키 차**(또는 기하학적 차)는 다음과 같이 정의된다:
: A - B = \{\mathbf{c}\,|\,\mathbf{c}+B\subseteq A\}.

일반적으로 A - B\ne A+(-B)인 것은 중요하다. 예를 들어, 일차원 경우 A =[-2,2]와 B =[-1,1]일 때, 민코프스키 차는 A-B=[-1,1]이지만 A+(-B)=A+B=[-3,3]이다. 민코프스키 합과 차를 연결하는 올바른 공식은 다음과 같다 (여기에서 X^c는 X의 여집합을 의미한다):
: A - B = (A^c+(-B))^c.

이차원의 경우에서, 민코프스키 차는 이미지 처리에서 침식 (형태학)과 긴밀하게 연관이 있다.

섬네일|민코프스키 합
섬네일|''B''
섬네일|''A''

이 개념은 헤르만 민코프스키의 이름을 붙였다.

## 예시
예를 들어, \mathbb{R}^2에서 두 개의 삼각형을 나타내는 꼭짓점인 다음 세 개의 위치벡터(비공식적, 세 점)로 이루어진 두 집합 *A*와 *B*를 가지고있다고 가정하자:

:A = \{(1,0), (0,1), (0,-1)\}

:B = \{(0,0), (1,1), (1,-1)\},

그러면 그 민코프스키 합은 다음과 같다:

:A + B = \{(1,0), (2,1), (2,-1), (0,1), (1,2), (0,-1), (1,-2)\},

육각형의 꼭짓점을 이룬다.

민코프스키 덧셈에서, 영벡터 0만을 포함하는 *영집합* {0}은 항등원이다: 벡터 공간의 모든 부분집합 *S*에 대해서 다음이 성립한다:
:S + \{0\} = S.

공집합은 공집합은 다른 모든 부분집합을 없애기 때문에 민코프스키 덧셈에서 중요하다: 벡터 공간의 모든 부분집합 *S*에 대해서, 공집합과의 합은 공집합이다:
:S + \emptyset = \emptyset.

[섬네일|오른쪽|alt=토르티야 칩이나 삼각형 표지판처럼 매끈한 삼각형의 그림. 세 둥근 코너는 빨간 곡선으로 그려져 있다. 삼각형의 나머지 내부는 파란 색으로 칠해져 있다.|빨간 집합의 [볼록 폐포에서, 각각의 파란 점은 어떤 빨간 점의 볼록 조합이다.]]

섬네일|alt=세 개의 정사각형이 데카르트 좌표의 제 1사분면에 나타나 있다. 정사각형 Q<sub>1</sub>=×은 초록색이다. 정사각형 Q<sub>2</sub>=×은 갈색이고, 청록색 정사각형 Q<sub>1</sub>+Q<sub>2</sub>=×의 안에 있다.|집합의 '''민코프스키 덧셈'''. 정사각형 ''Q''<sub>1</sub>=<sup>2</sup>과 ''Q''<sub>2</sub>=<sup>2</sup>의 덧셈은 정사각형 ''Q''<sub>1</sub>+''Q''<sub>2</sub>=<sup>2</sup>이다.

## 민코프스키 덧셈의 볼록 폐포
민코프스키 덧셈은 볼록 폐포를 취하는 연산에 대해서 다음의 명제에서 보인 것 같이 잘 동작한다:
* 실 벡터 공간의 어떤 진부분집합 *S*1와 *S*2에 대해서, 그 민코프스키 덧셈의 볼록 폐포는 그 볼록 폐포의 민코프스키 덧셈이다:
:: \operatorname{Conv}(S_1 + S_2) = \operatorname{Conv}(S_1) + \operatorname{Conv}(S_2).
이 결과는 더 일반적으로 모든 유한한 공집합이 아닌 집합의 집합에 대해서도 적용된다:
:\operatorname{Conv}\left(\sum{S_n}\right) = \sum\operatorname{Conv}(S_n).

수학 용어학에서, 민코프스키 덧셈과 볼록 폐포를 만드는 연산은 가환 연산이다.

가 볼록 집합이라면 \mu S+\lambda S는 볼록 집합이다; 게다가 모든 \mu,\lambda \geq 0에 대해서 다음이 성립한다:
:\mu S+\lambda S=(\mu+\lambda)S
반대로, 음이 아닌 어떤 실수 \mu, \lambda에 대해서 이 "분배법칙"이 적용되면 집합은 볼록이다.

그림은 인 비볼록 집합의 예시를 보여준다.
섬네일|인 비볼록 집합의 예시 1차원의 예시: *B*=[1,2]∪[4,5]. 이것은 쉽게 2*B*=[2,4]∪[8,10]이지만 *B*+*B*=[2,4]∪[5,7]∪[8,10]인 것을 계산할 수 있다. 따라서, 역시 이다.

민코프스키 덧셈은 이차원 볼록체의 둘레에서 선형적으로 작용한다: 덧셈의 둘레는 둘레의 합과 같다. 게다가, *K*가 정폭도형(의 내부)이면, *K*와 그것을 180°돌린 도형의 민코프스키 덧셈은 원판이다. 이 두 사실을 결합하면 정폭도형의 둘레에서 바르비에의 정리의 간략하게 증명할 수 있다.

## 적용
민코프스키 덧셈은 수학적 형태학에서 중요한 역할을 한다. 이것은 2차원 컴퓨터 그래픽스(의 다양한 사용과 메타 폰트에서 도널드 커누스에 의한 저명성과 함께)의 brush-and-stroke paradigm과3차원 컴퓨터 그래픽스의 솔리드 스윕 연산에서 드러난다.

### 모션 계획
민코프스키 덧셈은 장애물 사이로 지나는 모션 계획에서 사용된다. 이것은 물체의 모든 허용 가능한 집합인 짜임새 공간의 계산에 사용된다. 물체의 위치가 이 물체의 고정점에 의해서 유일하게 결정되는 평면에서 물체의 평행이동 모션의 가장 단순한 모델에서, 짜임새 공간은 장애물의 집합과 움직이는 물체를 원점에 둬서 180도 돌린 것의 민코프스키 덧셈이다.

### 수치 제어 (NC) 가공
수치 제어 가공에서, NC 툴의 프로그래밍은 깎는 조각과 그 궤적의 민코프스키 덧셈은 물체에서 깎는 모양을 준다는 사실을 이용한다.

### 3d 솔리드 모델링
오픈SCAD에서 민코프스키 덧셈은 한 도형과 두 도형의 복합체를 만드는 다른 도형의 윤곽선을 그릴 때 이용된다.

### 집계 이론
민코프스키 덧셈은 집계 이론에서 집계된 각각의 물체가 집합으로 특정될 경우에 종종 사용된다.

## 민코프스키 덧셈을 계산하는 알고리즘
섬네일|300px|alt=선분 네 개의 민코프스키 덧셈. 왼쪽 창에는 네 개의 집합을 2 x 2 배열로 나타냈다. 각각의 집합은 정확히 빨간색으로 표시된 점이 두 개가 있다. 각 집합에서, 두 점은 원래 집합의 볼록 폐포인 핑크색 선분으로 연결되어 있다. 각각의 집합은 더하기 기호로 표시된 한 점을 가진다. 2 x 2 배열의 윗줄에서, 더하기 기호는 선분의 내부에 위치한다; 아랫줄에서, 더하기 기호는 빨간 점과 일치한다. 이것은 다이어그램의 왼쪽 창의 설명이다. 오른쪽 창은 각갹의 더해지는 집합의 정확히 한 점을 가지는 덧셈의 합집합인 집합의 민코프스키 덧셈을 나타낸다; 나타낸 집합에서, 덧셈 16개는 빨간 색으로 나타낸 구분된 점이다: 오른쪽의 빨간 덧셈 점은 왼쪽의 빨간 더해지는 점의 덧셈이다. 빨간 점 16개의 볼록 폐포는 분홍색으로 칠해졌다. 오른쪽에서 더하기 기호의 (유일한) 덧셈인 더하기 기호가 오른쪽 덧셈집합의 분홓색 내부에 있다. 오른쪽 더하기 기호는 당연히 왼쪽 집합에서 더하기 기호 네 개의 덧셈이다, 정확히는 원래의 비볼록인 더하는 집합의 두 점과 나머지 더하는 집합의 볼록 폐포의 두 점의 덧셈이다.|민코프스키 덧셈과 볼록 폐포. 빨간 점의 쌍으로 이루어진 (왼쪽에 있는) 비볼록 집합 네 개의 덧셈으로 생긴 (오른쪽에 있는) 16개의 진한 빨간색 점. (분홍색으로 칠해진) 볼록 폐포는 더하기 기호 (+)를 포함한다: 오른쪽 더하기 기호는 왼쪽 더하기 기호의 덧셈이다.

### 평면의 경우

#### 평면의 볼록 다각형 두 개
꼭짓점이 각각 m개와 n개인 평면의 볼록 다각형 P와 Q에 대해서, 그 민코프스키 합은 최대 m + n개의 꼭짓점이 있는 볼록 다각형이고 비공식적인 다음의 매우 간단한 단계로 시간 O (m + n)에 계산할 수 있다. 다각형의 모서리와 다각형 경계의 방향 (말하자면 반시계 방향 같은)이 주어졌다고 가정하자. 그러면 쉽게 이 볼록 다각형의 변이 중심각 순서대로 있다는 것을 볼 수 있다. 정렬된 유향 변의 수열 P와 Q를 하나의 정렬된 수열 S으로 병합하자. 이 변들이 원래 방향에 평행하게 유지하면서 자유롭게 움직일 수 있는 고체 화살표라고 생각하자. 화살표들을 다음 화살표의 꼬리를 이전 화살표의 머리에 붙여서 수열 S의 순서대로 조합하자. 이 결과로 나오는 다각형 체인이 사실은 P와 Q의 민코프스키 합인 볼록 다각형이라는 것을 알 수 있다.

#### 기타
한 다각형이 볼록이고 다른 것은 아니라면, 그 민코프스키 덧셈의 완비성은 O(nm)이다. 둘 다 비볼록이라면, 그 민코프스키 덧셈의 완비성은 O((mn)2)이다.

## 본질적 민코프스키 덧셈
유클리드 공간의 두 부분집합의 **본질적 민코프스키 덧셈**의 표기 +e가 있다. 일반적인 민코프스키 덧셈은 다음과 같이 적는다는 것을 주목하자:

:A + B = \{ z \in \mathbb{R}^{n} \,|\, A \cap (\{z\} - B) \neq \emptyset \}.

따라서, **본질적 민코프스키 덧셈**은 다음과 같이 정의된다:

:A +_{\mathrm{e}} B = \{ z \in \mathbb{R}^{n} \,|\, \mu \left[A \cap (\{z\} - B)\right] > 0 \},

여기서 *μ*는 *n*-차원 르베그 측도를 의미한다. "본질적"이라는 용어를 쓰는 이유는 지시 함수의 다음 특성 때문이다: 다음일 때

:1_{A \,+\, B} (z) = \sup_{x \,\in\, \mathbb{R}^{n}} 1_{A} (x) 1_{B} (z - x)

다음을 볼 수 있다:

:1_{A \,+_{\mathrm{e}}\, B} (z) = \mathop{\mathrm{ess\,sup}}_{x \,\in\, \mathbb{R}^{n}} 1_{A} (x) 1_{B} (z - x),

여기서 "ess sup"는 본질적 상한을 의미한다.

## ''L<sup>p</sup>'' 민코프스키 덧셈

\mathbb{R}^n의 콤팩트 볼록 집합 *K*와 *L*에 대해서, 민코프스키 합은 볼록 집합의 지지 함수로 설명될 수 있다:
: h_{K+L} = h_K + h_L. 
*p ≥ 1*일 때, Firey는 **L<sup>p</sup> 민코프스키 합**을 원점을 다음과 같이 포함하는 \mathbb{R}^n에 있는 콤팩트 볼록 집합 *K*와 *L*의 *K+<sub>p</sub>L*로 정의했다:
: h_{K +_p L}^p = h_K^p + h_L^p.
민코프스키 부등식에 의해서, 함수 *h<sub>K+<sub>p</sub>L</sub>*은 다시 양의 동차이고 볼록이고 따라서 콤팩트 볼록 함수의 지지 함수이다. 이 정의는 *L*p Brunn-Minkowski theory에서 근본적이다.

## 같이 보기
* 팽창
* 침식
* 구간 산술
* 혼합 부피 (a.k.a. Quermassintegral 또는 intrinsic volume)
* 평행 곡선
* 섀플리-포크먼 보조정리
* Zonotope
* 합성곱

## 참조


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* Mayer, A. and Zelenyuk, V. (2014) "Aggregation of Malmquist productivity indexes allowing for reallocation of resources," European Journal of Operational Research, 238:3, pp 774-785
* Zelenyuk, V. (2015) "Aggregation of scale efficiency," European Journal of Operational Research, 240:1, pp 269-277.

## 외부 링크
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* Minkowski Sums, in Computational Geometry Algorithms Library
* The Minkowski Sum of Two Triangles and The Minkowski Sum of a Disk and a Polygon by George Beck, The Wolfram Demonstrations Project.
* Minkowski's addition of convex shapes by Alexander Bogomolny: an applet
*  by Marius Kintel: Application

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