자취

[섬네일|right|upright=1.35|이 예시의 각 곡선은 점 와 직선 의 [콘코이드 (수학)|콘코이드로 정의된 자취이다. 이 예시에서 는 로부터 8&nbsp;cm 떨어져 있다.]]

기하학에서 **자취**(locus, 복수형: loci, 라틴어로 "장소", "위치"를 의미)는 그 위치가 하나 이상의 명시된 조건을 만족하거나 그에 의해 결정되는 모든 점의 집합(일반적으로 직선, 선분, 곡선 또는 곡면)이다.

어떤 성질을 만족하는 점들의 집합은 흔히 이 성질을 만족하는 점의 자취라고 불린다. 이러한 표현에서 단수형을 사용하는 것은 19세기 말까지 수학자들이 무한 집합을 고려하지 않았음을 보여주는 증거이다. 그들은 직선과 곡선을 점들의 집합으로 보는 대신, 점이 위치하거나 움직일 수 있는 장소로 보았다.

## 역사와 철학
20세기 초까지 기하학적 도형(예를 들어 곡선)은 점들의 무한 집합으로 간주되지 않았다. 대신 점이 위치하거나 그 위에서 움직일 수 있는 실체로 간주되었다. 따라서 유클리드 평면에서의 원은 고정된 점인 원의 중심으로부터 주어진 거리에 있는 점의 자취로 정의되었다. 현대 수학에서는 유사한 개념들이 도형을 집합으로 묘사함으로써 더 자주 재구성된다. 예를 들어, 원은 중심으로부터 주어진 거리에 있는 점들의 집합이라고 말한다.

집합론적 관점과 대조적으로, 옛 방식의 정식화는 무한한 모음을 고려하는 것을 피하는데, 이는 실제적 무한을 피하는 것이 초기 수학자들의 중요한 철학적 입장이었기 때문이다.

집합론이 수학 전체가 구축되는 보편적인 토대가 된 이후에는, 자취라는 용어는 다소 구식처럼 보이게 되었다. 그럼에도 불구하고 이 단어는 여전히 널리 사용되며, 주로 다음과 같이 간결한 정식화를 위해 쓰인다.
* 임계 자취(Critical locus): 미분 가능 함수의 임계점들의 집합.
* 제로 자취(Zero locus) 또는 소멸 자취(vanishing locus): 함수가 소멸하는, 즉 값 0을 갖는 점들의 집합.
* 특이 자취(Singular locus): 대수다양체의 특이점들의 집합.
* 연결 자취(Connectedness locus): 함수의 쥘리아 집합이 연결되어 있는 유리 함수 군의 매개변수 집합의 부분집합.

보다 최근에는 스킴 이론과 같은 기술들과 수학의 토대를 제공하기 위해 집합론 대신 범주론을 사용하는 방식이 도입되면서, 자취를 점들의 집합보다는 그 자체로서의 객체로 보는 원래의 정의와 더 유사한 개념으로 회귀하였다.

## 평면 기하학의 예시
평면 기하학의 예시는 다음과 같다.
* 두 점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합은 두 점을 잇는 선분의 수직 이등분선이다.
* 교차하는 두 직선으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합은 두 각의 이등분선의 합집합이다.
* 모든 원뿔 곡선은 자취이다:
** 원: 고정된 점(중심)으로부터 일정한 거리(반지름)에 있는 점들의 집합.
** 포물선: 고정된 점(초점)과 직선(준선)으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합.
** 쌍곡선: 주어진 두 초점까지의 거리의 차의 절대값이 일정한 점들의 집합.
** 타원: 주어진 두 초점까지의 거리의 합이 일정한 점들의 집합.

다른 자취의 예시들은 수학의 다양한 분야에서 나타난다. 예를 들어, 복소역학에서 망델브로 집합은 다항식 사상 군의 연결 자취로 특징지어질 수 있는 복소평면의 부분집합이다.

## 자취의 증명
어떤 기하학적 도형이 주어진 조건 세트에 대한 올바른 자취임을 증명하기 위해, 일반적으로 증명을 두 단계로 나눈다. 즉, 조건을 만족하는 모든 점이 주어진 도형 위에 있다는 증명과, 주어진 도형 위의 모든 점이 조건을 만족한다는 증명이다.

## 예시
섬네일|(거리 PA) = 3.(거리 PB)

### 첫 번째 예시
두 주어진 점에 대해 주어진 거리의 비 k = d1/d2를 갖는 점 P의 자취를 구하라.

이 예시에서는 k = 3이고, A(−1, 0)과 B(0, 2)가 고정된 점으로 선택되었다.

: P(x, y)가 자취의 점이다.
: \Leftrightarrow |PA| = 3 |PB| 
: \Leftrightarrow |PA|^2 = 9 |PB|^2 
: \Leftrightarrow (x + 1)^2 + (y - 0)^2 = 9(x - 0)^2 + 9(y - 2)^2 
: \Leftrightarrow 8(x^2 + y^2) - 2x - 36y + 35 = 0 
: \Leftrightarrow \left(x - \frac18\right)^2 + \left(y - \frac94\right)^2 = \frac{45}{64}.

이 방정식은 중심이 (1/8, 9/4)이고 반지름이 \tfrac{3}{8}\sqrt{5}인 원을 나타낸다. 이것은 k, A, B의 값들에 의해 정의된 아폴로니오스의 원이다.

### 두 번째 예시
섬네일|점 C의 자취
삼각형 ABC가 길이가 c인 고정된 변 [AB]를 가진다. A와 C에서 그은 중선들이 수직이 되도록 하는 세 번째 꼭짓점 C의 자취를 결정하라.

A(−c/2, 0), B(c/2, 0)이 되도록 직교 좌표계를 선택한다. C(x, y)는 가변적인 세 번째 꼭짓점이다. [BC]의 중심은 M((2x + c)/4, y/2)이다. C에서 그은 중선의 기울기는 y/x이다. 중선 AM의 기울기는 2y/(2x + 3c)이다.

섬네일|자취는 원이다
: C(x, y)가 자취의 점이다.
: \Leftrightarrow A와 C에서 그은 중선들이 수직이다.
: \Leftrightarrow \frac{y}{x} \cdot \frac{2y}{2x + 3c} = -1 
: \Leftrightarrow 2 y^2 + 2x^2 + 3c x = 0 
: \Leftrightarrow x^2 + y^2 + (3c/2) x = 0 
: \Leftrightarrow (x + 3c/4)^2 + y^2 = 9c^2/16. 

꼭짓점 C의 자취는 중심이 (−3c/4, 0)이고 반지름이 3c/4인 원이다.

### 세 번째 예시
섬네일|연관된 직선 k와 l의 교점은 원을 그린다
자취는 하나의 공통된 매개변수에 의존하는 두 개의 연관된 곡선에 의해서도 정의될 수 있다. 매개변수가 변하면, 연관된 곡선들의 교점들이 자취를 그린다.

그림에서 점 K와 L은 주어진 직선 m 위의 고정된 점들이다. 직선 k는 K를 지나는 가변 직선이다. L을 지나는 직선 l은 k에 수직이다. k와 m 사이의 각 \alpha가 매개변수이다. k와 l은 공통 매개변수에 의존하는 연관된 직선들이다. k와 l의 가변 교점 S는 원을 그린다. 이 원은 두 연관된 직선의 교점의 자취이다.

### 네 번째 예시

점들의 자취가 (원, 직선 등과 같이) 반드시 1차원일 필요는 없다. 예를 들어, 부등식 의 자취는 방정식 인 직선의 아래쪽에 있는 평면의 부분이다.

## 같이 보기
* 대수다양체
* 곡선
* 직선
* 조건제시법
* 도형

## 각주

## 외부 링크
* 

분류:초등 기하학