싱크 필터

[섬네일|시간 영역 싱크 필터의 [싱크 함수, 즉 임펄스 응답과 주파수 영역 싱크 필터의 주파수 응답으로 정규화된 싱크 함수.]]
[섬네일|시간 영역 싱크 필터의 [주파수 응답이자 주파수 영역 싱크 필터의 임펄스 응답인 구형함수.]]

신호 처리에서 **싱크 필터**(Sinc filter)는 싱크 함수를 임펄스 응답으로 갖고 주파수 응답이 구형인 **시간 영역 싱크 필터**를 가리키거나, 임펄스 응답이 구형이고 주파수 응답이 싱크 함수인 **주파수 영역 싱크 필터**를 가리킬 수 있다. 필터가 싱크 함수와 유사한 도메인에 따라 이름을 붙이면 혼동을 피할 수 있다. 도메인이 명시되지 않은 경우, 시간 영역 싱크가 종종 가정되거나, 문맥상 올바른 도메인을 추론할 수 있을 것이다.

## 시간 영역 싱크
시간 영역 싱크는 주어진 차단 주파수 이상의 모든 주파수 성분을 감쇠 없이 제거하고 선형 위상 응답을 갖는 이상적인 필터이다. 따라서 벽돌 필터 또는 구형 필터로 간주될 수 있다.

시간 영역에서의 임펄스 응답은 싱크 함수이다.

\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}

반면에 주파수 응답은 구형함수이다.

:H(f) = \operatorname{rect} \left( \frac{f}{2B} \right)
=
\begin{cases}
 0,           & \text{if } |f| > B, \\
 \frac{1}{2}, & \text{if } |f| = B, \\
 1,           & \text{if } |f| 

여기서 B(대역폭을 나타냄)는 임의의 차단 주파수이다.

임펄스 응답은 주파수 응답의 역 푸리에 변환에 의해 주어진다.

: 
\begin{align}
h(t) = \mathcal{F}^{-1} \{ H (f)\}
&= \int_{-B}^B \exp(2\pi i f t) \, df \\
&= 2B \operatorname{sinc}(2 B t)
\end{align}


여기서 sinc는 정규화된 싱크 함수이다.

### 벽돌 필터
통과대역에서 완벽한 전달, 저지대역에서 완전한 감쇠, 그리고 급격한 천이를 가진 이상적인 전자 필터는 구어적으로 "벽돌 필터"(전달 함수의 모양을 참조)로 알려져 있다. 시간 영역 싱크 필터는 벽돌 로우패스 필터이며, 이로부터 벽돌 대역 필터와 하이패스 필터가 쉽게 구성된다.

주파수 BL에서 벽돌형 차단을 갖는 로우패스 필터는 다음과 같은 임펄스 응답과 전달 함수를 갖는다.

: h_{LPF}(t) = 2B_L \operatorname{sinc}\left(2B_L t\right)

: H_{LPF}(f) = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{2B_L} \right).

하단 대역 가장자리 BL과 상단 대역 가장자리 BH를 갖는 대역 필터는 두 개의 시간 영역 싱크 필터의 차이에 불과하다(필터가 영 위상이므로 크기 응답이 직접적으로 빼진다).

: h_{BPF}(t) = 2B_H \operatorname{sinc}\left(2B_H t\right) - 2B_L \operatorname{sinc}\left(2B_L t\right)

: H_{BPF}(f) = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{2B_H} \right) - \operatorname{rect}\left( \frac{f}{2B_L} \right).

하단 대역 가장자리 BH를 갖는 하이패스 필터는 투명 필터에서 시간 영역 싱크 필터를 뺀 것인데, 이는 디랙 델타 함수가 좁은 시간 영역 싱크 필터의 한계임을 명확히 보여준다.

: h_{HPF}(t) = \delta(t) - 2B_H \operatorname{sinc}\left(2B_H t\right)

: H_{HPF}(f) = 1 - \operatorname{rect}\left( \frac{f}{2B_H} \right).

### 비현실성
시간 영역 싱크 필터는 양의 시간 방향과 음의 시간 방향 모두에서 무한한 임펄스 응답을 가지므로, 비인과적이며 무한한 지연(즉, 주파수 영역에서의 콤팩트 지지는 시간 응답이 콤팩트 지지를 가지지 않음을 강제하여 영원히 지속됨)과 무한한 차수(즉, 응답이 유한 합을 가진 선형 미분 방정식으로 표현될 수 없음)를 갖는다. 그러나 표본화 정리와 휘태커-섀넌 보간 공식과 같은 개념적 시연이나 증명에 사용된다.

시간 영역 싱크 필터는 실제(비추상적) 응용 분야를 위해 근사되어야 하는데, 일반적으로 이상적인 시간 영역 싱크 필터 커널을 윈도잉하고 절단하여 수행하지만, 그렇게 하면 이상적인 특성이 감소한다. 이는 시간 영역 싱크 필터를 사용하여 구축된 다른 벽돌 필터에도 적용된다.

### 안정성
싱크 필터는 유계 입력-유계 출력(BIBO) 안정하지 않다. 즉, 유계 입력이 무한 출력(unbounded output)을 생성할 수 있는데, 이는 싱크 함수의 절댓값 적분이 무한하기 때문이다. 무한 출력을 생성하는 유계 입력은 sgn(sinc(t))이다. 또 다른 하나는 차단 주파수에서 시간 0에 시작하는 사인파인 sin(2πBt)u(t)이다.

## 주파수 영역 싱크
섬네일|이동 평균 필터의 dB 단위 주파수 응답. 표본화 주파수 <math>f_S</math>에 상대적으로 플롯된 주파수.
섬네일|1000&nbsp;Hz 샘플링 주파수를 사용한 16개 샘플 합계의 주파수 응답으로, 나이퀴스트 주파수의 4배까지 확장되었다. 전달 함수는 주기적이므로 이 반복 패턴은 영원히 계속된다.
**주파수 영역 싱크** 필터의 가장 간단한 구현은 박스카 임펄스 응답을 사용하여 단순 이동 평균을 생성한다(특히 샘플 수로 나누는 경우). 이는 누적-덤프 필터(특히 나누기 없이 단순히 합산하는 경우)라고도 한다. 이는 모든 N 계수가 같은 유한 임펄스 응답 (FIR) 필터로 모델링될 수 있다. 때로는 더 높은 차수의 이동 평균을 생성하기 위해 캐스케이드된다 ( 및 계단형 적분기–콤 필터 참조).

이 필터는 N 계수만큼 거칠지만 빠르고 쉬운 다운샘플링 (일명 데시메이션)에 사용될 수 있다. 이 필터의 단순성은 평범한 저역 통과 능력으로 인해 좌절된다. 정지 대역에는 \frac{f_S}{N}의 배수에서 널점 사이에 점차 감소하는 높이의 주기적인 엽이 포함된다. 첫 번째 엽은 4개 샘플 이동 평균의 경우 -11.3&nbsp;dB이고, 8개 샘플 이동 평균의 경우 -12.8&nbsp;dB, 16개 샘플 이동 평균의 경우 -13.1&nbsp;dB이다. f_S에서 샘플링된 N 샘플 필터는 \frac{f_S}{2N}보다 높은 모든 신호 성분을 DC에서 \frac{f_S}{2N} 범위의 기저 대역으로 에일리어싱한다.

N개 샘플을 처리하는 그룹 평균화 필터는 \tfrac{f_S}{N} 간격으로 고르게 분포된 \tfrac{N}{2}개의 전송 0점을 가지며, 가장 낮은 0점은 \tfrac{f_S}{N}에 있고 가장 높은 0점은 \tfrac{f_S}{2}(나이퀴스트 진동수)에 있다. 나이퀴스트 진동수 위에서는 주파수 응답이 미러링된 후 f_S 위에서 영원히 주기적으로 반복된다.

절댓값 주파수 응답(이 그래프에 플롯됨)은 주파수가 얼마나 감쇠되는지 알고 싶을 때 유용하다. 싱크 함수는 실제로 음수와 양수 값을 오가지만, 주파수 응답의 음수 값은 단순히 180도 위상 편이에 해당한다.

역 싱크 필터는 관심 주파수 대역의 불필요한 감쇠를 상쇄하여 평탄한 주파수 응답을 제공하기 위해 디지털 영역(예: 유한 임펄스 응답 필터) 또는 아날로그 영역(예: 연산 증폭기 필터)에서 이퀄라이제이션에 사용될 수 있다.

싱크 커널을 가장 간단한 윈도 함수로 적용하는 방법에 대해서는 를 참조하라.

## 같이 보기
* 란초스 리샘플링
* 에일리어싱
* 위신호 제거

## 각주

## 외부 링크
* 벽돌형 디지털 필터와 위상 편차
* 벽돌형 필터

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