곱

수학에서 **곱**()은 곱셈 연산의 결과가 되는 값, 또는 곱하는 요소들을 표현한 식이다. 예를 들어 6은 2와 3의 곱(곱셈의 결과값)이며, x\cdot (2+x) 은 x 와 (2+x)의 곱이다.

실수 또는 복소수는 곱해지는 순서가 결과에 영향을 주지 않는데, 이를 곱셈의 교환법칙이라 한다. 반면 행렬이나 결합 대수의 여러 대수 구조들은 일반적으로 곱해지는 순서에 따라 그 결과가 달라진다. 즉 행렬 곱셈은 비가환이다.

수학에는 다양한 종류의 곱이 존재한다. 일반적인 수의 곱셈 외에도 다항식이나 행렬, 대수 구조 등에 대해 곱을 정의할 수 있다.

## 두 수의 곱

### 두 자연수의 곱
섬네일|3 곱하기 4는 12이다.
두 자연수 m과 n의 곱은 m을 n번 더한 값이며, m\times n 또는 m\cdot n으로 쓴다. n을 m번 더한 값과도 같다. 즉 아래와 같다.

: m\cdot n = \underbrace{m+m+\cdots+m }_{n\text{번}} = \underbrace{n+n+\cdots+n }_{m\text{번}} 
예를 들어 3과 4의 곱은 3\cdot 4=3+3+3+3=4+4+4=12이다.

### 두 정수의 곱
정수는 양수와 음수, 그리고 0을 말한다. 두 정수의 곱은 각 정수의 절댓값을 곱한 값에 다음 규칙에 맞는 부호를 달아 구할 수 있다.

:\begin{array}
                   \hline
  \cdot & - & + \\ \hline
    -   & + & - \\
    +   & - & + \\ \hline
\end{array}
즉 양수와 음수를 곱하면 음수가 되고, 양수와 양수 또는 음수와 음수를 곱하면 그 결과값은 양수가 된다.

예를 들어 3과 -4의 곱은 3\cdot(-4)=-(3\cdot4)=-12이고, -1과 -1의 곱은

(-1)\cdot(-1)=1\cdot1=1이다.

정수의 곱에서 부호는 두 정수 간 덧셈과 곱셈의 분배법칙으로부터 유도되는 결과이다. -1 참고.

### 두 유리수의 곱
두 유리수의 곱은 각 유리수를 분수로 나타낸 뒤 분자와 분모끼리 곱하여 구할 수 있다.

: \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}

### 두 실수의 곱
두 실수의 곱의 엄밀한 정의는 실수의 구성에 따른 결과로 나타난다. 실수를 구성했을 때, 임의의 실수 에 대해 유리수를 원소로 가지고 가 상한인 집합 가 존재한다.
:a=\sup_{x\in A} x
가 집합 의 상한이 되는 실수일 때, 두 실수의 곱 a\cdot b는
:a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y
로 정의된다. 이 경우 두 실수의 곱은 어떤 집합 와 를 선택하느냐에 관계없이 같다. 즉 집합의 상한이 변하는 것이 아니라면, 어떤 집합을 선택하든지 두 실수의 곱 a\cdot b는 동일하다.

### 두 복소수의 곱
두 복소수의 곱은  i^2=-1이라는 정의와 분배법칙을 이용해 다음과 같이 구할 수 있다.
:\begin{align}
  (a + b\, i) \cdot (c + d\, i)
    &= a \cdot c + a \cdot d\, i + b \, i \cdot c + b \cdot d \cdot i^2\\
    &= (a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) \, i
\end{align}

#### 복소수 곱셈의 기하학적 의미
섬네일|upright=1.25|극좌표에 나타낸 반지름(녹색 선)이 이고 각이 <math>\varphi</math>인 복소수 <math>a + b\, i</math>.
복소수는 극좌표에 점으로 나타낼 수 있다. 복소수 a + b\, i가 극좌표에서 반지름이 이고 각이 \varphi이면
:a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) +  i \sin(\varphi) ) = r \cdot  e ^{ i \varphi} 

이다. 한편
:c + d\, i = s \cdot ( \cos(\psi) +  i\sin(\psi) ) = s \cdot e^{i\psi}
라 하면 두 복소수 a + b\, i와 c + d\, i의 곱은 아래와 같다.

:(a + b\, i) \cdot (c + d\, i) = (a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}
즉, 극좌표에서 두 복소수의 곱은 두 복소수의 반지름의 곱을 반지름으로 하고 두 복소수의 각의 합을 각으로 가지는 복소수가 된다.

### 두 사원수의 곱

사원수 참조. 사원수의 곱셈에서는 일반적으로 a \cdot b와 b \cdot a가 같지 않다.

## 수열의 곱
수열의 곱에서는 곱셈 연산자로 대문자 그리스어 알파벳 파이 Π를 사용한다.(합 기호로 대문자 시그마 Σ를 쓰는 것과 유사하다.) 예를 들어, \textstyle \prod_{i=1}^{6}i^2는 1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 36를 의미한다.

하나의 수로만 이루어진 수열의 곱은 그 수 자신과 같다. 수열에서 곱할 수가 없는 경우 그 수열의 곱은 1과 같다.

## 가환환
가환환에도 곱 연산이 존재한다.

### 정수의 합동류

환의 \Z/N\Z의 합동류의 덧셈은 아래와 같고,

:(a + N\Z) + (b + N\Z) = a + b + N\Z

곱은 아래처럼 정의된다.

:(a + N\Z) \cdot (b + N\Z) = a \cdot b + N\Z

### 합성곱

[섬네일|upright=1.5|방형파의 자기 자신에 대한 합성곱은 [삼각형함수가 된다.]]
두 실함수를 곱하는 또다른 방법으로 합성곱이 있다.

두 함수 , 가
:
  \int\limits_{-\infty}^\infty |f(t)|\,\mathrm{d}t 
을 만족할 때 합성곱은 아래와 같이 정의된다.
:(f*g) (t) \;:= \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau)\cdot g(t - \tau)\,\mathrm{d}\tau 

### 다항식환

다항식환에서 두 다항식의 곱은 다음과 같이 구할 수 있다.
:\left(\sum_{i=0}^n a_i X^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^m b_j X^j\right) = \sum_{k=0}^{n+m} c_k X^k 
여기서  c_k = \sum_{i+j=k} a_i \cdot b_j 이다.

## 선형대수학에서의 곱
선형대수학에서는 여러 종류의 곱을 다룬다.

### 스칼라 곱셈

벡터 공간의 정의에 의해 스칼라와 벡터를 곱해 벡터를 얻는 사상 \R \times V \rightarrow V인 스칼라 곱셈을 할 수 있다.

### 스칼라곱
v \cdot v > 0인 모든 0 \not= v \in V에 대해 스칼라곱은 아래와 같이 정의되는 이중선형사상이다.
:\cdot : V \times V \rightarrow \R 

n차원 유클리드 공간에서 스칼라곱(점곱이라고도 한다.)은 다음과 같다.

:\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n \beta_i e_i\right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\,\beta_i

스칼라곱으로부터 노름을 \|v\| := \sqrt{v \cdot v} 로 정의할 수 있다.

두 벡터 사이의 각 또한 스칼라곱으로 정의한다.
:\cos\angle(v, w) = \frac{v \cdot w}{\|v\| \cdot \|w\|}

### 3차원 공간의 벡터곱

3차원 공간에서 두 벡터의 벡터곱은 두 벡터로부터 만들어지는 평행사변형의 넓이를 길이로 가지는 벡터가 된다.

벡터곱은 아래와 같은 행렬식으로도 구할 수 있다.
:\mathbf{u \times v} = \begin{vmatrix}
  \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
         u_1 &        u_2 &        u_3 \\
         v_1 &        v_2 &        v_3 \\
\end{vmatrix}

### 선형 사상의 합성

체 **F** 위의 두 벡터 공간 *V*와 *W*에 대하여 아래조건을 만족하는 함수 *f*를 선형 사상이라 한다.
:f(t_1 x_1 + t_2 x_2) = t_1 f(x_1) + t_2 f(x_2), \forall x_1, x_2 \in V, \forall t_1, t_2 \in \mathbb{F}.

유한 차원 벡터 공간에 대해, **b<sub>V</sub>**와 **b<sub>W</sub>**를 각각 *V*와 *W*의 기저라 하고 *v<sub>i</sub>*를 **v**의 **b<sub>V</sub>***i* 방향 성분이라 하면 다음과 같이 된다.
:f(\mathbf{v}) = f\left(v_i \mathbf{b_V}^i\right) = v_i f\left(\mathbf{b_V}^i\right) = {f^i}_j v_i \mathbf{b_W}^j,
여기서 식은 아인슈타인 표기법을 따랐다.

그러면 이제 유한 차원 벡터 공간 위의 두 선형 사상에 대하여 함수를 합성할 수 있다. *f*를 *V*에서 *W*로의 선형 사상, *g*를 *W*에서 *U*로의 선형 사상이라 하자. 그러면 *V*에서 *U*로 가는 *f*와 *g*의 합성 는 다음과 같이 구할 수 있다.
:g \circ f(\mathbf{v}) = g\left({f^i}_j v_i \mathbf{b_W}^j\right) = {g^j}_k {f^i}_j v_i \mathbf{b_U}^k.
또는 행렬 **F**와 **G**에 대해 *F<sub>ij</sub>=f<sup>j</sup><sub>i</sub>*, *G<sub>ij</sub>=g<sup>j</sup><sub>i</sub>*라 하면 함수의 합성은 다음과 같다.
:g \circ f(\mathbf{v}) = \mathbf{G} \mathbf{F} \mathbf{v},
둘 이상의 선형 사상의 합성은 행렬 곱셈을 이용해 비슷한 방식으로 나타낼 수 있다.

### 두 행렬의 곱

두 행렬
:A = (a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r} \in \R^{s\times r} 
:B = (b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \R^{r\times t}

에 대해 두 행렬의 행렬곱은 아래와 같다.

:B \cdot A = \left( \sum_{j=1}^r a_{i,j} \cdot b_{j,k} \right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t} \;\in\R^{s\times t}

### 벡터 공간의 텐서곱

두 유한 차원 벡터 공간 *V*와 *W*에 대해, 두 벡터 공간의 텐서곱은 다음을 만족하는 (2, 0)-텐서로 정의할 수 있다.
:V \otimes W(v, m) = V(v) W(w), \forall v \in V^*, \forall w \in W^*,
여기서 *V<sup>*</sup>*와 *W<sup>*</sup>*는 각각 *V*와 *W*의 쌍대 공간이다.

### 선형대수학에서의 기타 곱
* 아다마르 곱
* 크로네커 곱
* 텐서의 곱:
** 쐐기곱
** 내부곱
** 외적
** 텐서곱

## 데카르트 곱

집합론에서, 데카르트 곱은 여러 집합으로부터 새로운 집합을 만드는 연산이다. 즉, 집합 *A*와 *B*에 대해 데카르트 곱 *A* × *B*는 a ∈ *A*이고 b ∈ *B*인 모든 순서쌍 (a, b)들로 이루어진 집합이다.

## 기타 대수 구조에서의 곱
* 집합의 데카르트 곱
* 군의 직접곱, 반직접곱, 화환곱
* 군의 자유곱
* 환의 곱
* 아이디얼의 곱
* 곱위상
* 대수적 위상수학의 교곱, 합곱, 매시 곱
* 호모토피의 분쇄곱, 쐐기곱

## 범주론에서의 곱
이전까지의 곱들은 보다 일반화한 개념인 범주론에서의 곱의 특수한 경우에 해당한다. 한편 범주론에는 다른 종류의 곱들도 존재한다.
* 당김
* 초곱

## 같이 보기
* 곱셈
* 무한곱
* 논리곱

## 각주

분류:곱셈