양자 맥놀이

물리학에서 **양자 맥놀이**(quantum beats) 현상은 준고전이론으로는 설명되지 않지만 양자적 계산, 특히 QED에 의해서 설명되는 간단한 예이다. 준고전이론에 따르면 V형과 \Lambda형 원자에서 모두 간섭 혹은 맥놀이가 나타난다. 그러나 QED 계산에서는 V형 원자에는 맥놀이가 있지만 \Lambda형 원자에는 없다. 이것은 QED의 좋은 증거이기도 하다.

## V형 원자와 <math>\Lambda</math>형 원자
*Quantum Optics*에 있는 그림http://books.google.com/books?id=20ISsQCKKmQC&pg=PA430&sig=d5TzC9UTl7CGU3PIJiCV0c0M6HU#PPA18,M1이 정확하게 두가지 원자에 대해서 설명한다.

간단히 말하면, V형 원자는 |a\rangle, |b\rangle 그리고 |c\rangle의 세가지 상태를 갖는다. |a\rangle와 |b\rangle의 에너지가 |c\rangle의 에너지보다 크다. 전자들은 |a\rangle와 |b\rangle에 있다가 |c\rangle로 붕괴하며, 두가지 방출이 일어난다.

\Lambda형 원자에도 |a\rangle, |b\rangle 그리고 |c\rangle의 세가지 상태가 있다. 하지만 이 경우에는 |a\rangle의 에너지가 가장 크며, 여기에 있던 두 전자가 각각 |b\rangle와 |c\rangle로 붕괴한다. 그 때에는 역시 두가지 방출이 일어난다.

아래의 모든 유도 과정은 *Quantum Optics*http://books.google.com/books?id=20ISsQCKKmQC&pg=PA430&sig=d5TzC9UTl7CGU3PIJiCV0c0M6HU#PPA16,M1의 내용을 따랐다.

## 준고전이론의 계산
준고전적인 관점에서, 전자의 상태 벡터는 아래와 같다.
:|\psi(t)\rangle=c_aexp(-i\omega_at)|a\rangle+c_bexp(-i\omega_bt)|b\rangle+c_cexp(-i\omega_ct)|c\rangle
만약 사라지지 않는 쌍극자 행렬의 원소가 다음과 같이 나타나진다면,
:\mathcal{P}_{ac}=e\langle a|r|c\rangle, \mathcal{P}_{bc}=e\langle b|r|c\rangle (V형 원자)
:\mathcal{P}_{ab}=e\langle a|r|b\rangle, \mathcal{P}_{ac}=e\langle a|r|c\rangle (\Lambda형 원자)
각 원자들은 두개의 미시적인 진동 쌍극자를 갖는다.
:P(t)=\mathcal{P}_{ac}(c_a^*c_c)exp(i\nu_1t)+\mathcal{P}_{bc}(c_b^*c_c)exp(i\nu_wt)+c.c. for V-type, when \nu_1=\omega_a-\omega_c, \nu_2=\omega_b-\omega_c,
:P(t)=\mathcal{P}_{ab}(c_a^*c_b)exp(i\nu_1t)+\mathcal{P}_{ac}(c_a^*c_c)exp(i\nu_wt)+c.c. for \Lambda-type, when \nu_1=\omega_a-\omega_b, \nu_2=\omega_a-\omega_c.
준고전적인 관점에서, 방출되는 전기마당은 두 항의 합이 되므로,
:E^{(+)}=\mathcal{E}_1exp(-i\nu_1t)+\mathcal{E}_2exp(-i\nu_2t),
간섭 혹은 맥놀이에 해당하는 항이 존재하는 것을 알 수 있다.
:|E^{(+)}|^2=|\mathcal{E}_1|^2+|\mathcal{E}_2|^2+\lbrace\mathcal{E}_1^*\mathcal{E}_2exp\lbrack i(\nu_1-\nu_2)t\rbrack+c.c.\rbrace.

## QED의 계산
QED 계산을 위해서 우리는 양자 역학 2차 양자화의 생성 연산자와 소멸 연산자를 도입해야만 한다.

:E_n^{(+)}=a_nexp(-i\nu_nt)를 생성 연산자로,
:E_n^{(-)}=a_n^\dagger exp(i\nu_nt)을 소멸 연산자로 생각하자.
이 때 맥놀이 부분은 아래와 같다.
:\langle\psi_V(t)|E_1^{(-)}(t)E_2^{(+)}(t)|\psi_V(t)\rangle (V형)
:\langle\psi_\Lambda(t)|E_1^{(-)}(t)E_2^{(+)}(t)|\psi_\Lambda(t)\rangle (\Lambda형)
또한 각각의 상태 벡터는 아래와 같다.
:|\psi_V(t)\rangle=\sum_{i=a,b, c}c_i|i,0\rangle+c_1|c,1_{\nu_1}\rangle+c_2|c,1_{\nu_2}\rangle
:|\psi_\Lambda(t)\rangle=\sum_{i=a,b, c}c_i'|i,0\rangle+c_1'|b,1_{\nu_1}\rangle+c_2'|c,1_{\nu_2}\rangle

그렇다면 결국 맥놀이에 관한 항은 아래와 같이 정리된다.
:\langle\psi_V(t)|E_1^{(-)}(t)E_2^{(+)}(t)|\psi_V(t)\rangle=\kappa\langle 1_{\nu_1}0_{\nu_2}|a_1^\dagger a_2|0_{\nu_1}1_{\nu_2}\rangle exp\lbrack i(\nu_1-\nu_2)t\rbrack\langle c|c\rangle=\kappa exp\lbrack i(\nu_1-\nu_2)t\rbrack\langle c|c\rangle (V형)
:\langle\psi_\Lambda(t)|E_1^{(-)}(t)E_2^{(+)}(t)|\psi_\Lambda(t)\rangle=\kappa'\langle 1_{\nu_1}0_{\nu_2}|a_1^\dagger a_2|0_{\nu_1}1_{\nu_2}\rangle exp\lbrack i(\nu_1-\nu_2)t\rbrack\langle b|c\rangle=\kappa' exp\lbrack i(\nu_1-\nu_2)t\rbrack\langle b|c\rangle (\Lambda형)
그러나 고유함수의 직교성에 따라 \langle c|c\rangle=1와 \langle b|c\rangle=o이 된다.

따라서 V형 원자에는 맥놀이 항이 있지만, \Lambda형 원자에는 없다.

## 결론
결론적으로, V형 원자에는 양자 맥놀이가 있지만 \Lambda형 원자에는 없다. 이러한 차이는 양자 역학적인 불확정성에 기인한다. V형 원자는 두가지 떨기수를 통해 붕괴하는데, 그 두가지 전이가 같은 상태를 향해 이루어짐으로써 우리는 어떤 것이 어떤 길을 따라 왔는지 정할 수 없다. 그러나 \Lambda형 원자는 역시 두가지 떨기수를 통해 붕괴하지만 서로 다른 상태로 붕괴하기 때문에 어떤 길을 따라 왔는지 알 수 있다.

자연에서는 양자 역학의 가장 기본적인 원리인 불확정성의 원리를 포함한 QED의 계산이 맞는다. 양자 맥놀이 현상은 준고전적인 이론이 설명하지 못하면서 QED로는 설명되는 좋은 예이다.

## 같이 보기
* 양자 전기역학
* 이중슬릿 실험

분류:양자역학
분류:양자 전기역학