핵작용소

함수해석학에서,  **핵작용소**(核作用素, )는 그 성분들의 p거듭제곱들의 합이 수렴하는 콤팩트 작용소이다. 특히, p=1일 경우(즉, 성분들의 합이 절대 수렴)를 **대각합류 작용소**(對角合類作用素, )라고 하며, 이 경우 무한 차원의 경우에도 **[[대각합]]**을 정의할 수 있다. p=2인 경우를 **힐베르트-슈미트 작용소**(Hilbert-Schmidt作用素, )라고 한다.

## 정의
\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. 임의의 양의 실수 p\in\mathbb R^+가 주어졌다고 하자.

두 \mathbb K-힐베르트 공간 V, W 사이의 유계 작용소
:T\colon V\to W
가 다음과 같은 꼴의 급수로 표현될 수 있다면, T를 **<math>p</math>차 핵작용소**(p次核作用素, )라고 한다.
:T=\sum_{0\le i
여기서
* 0\le N\le\infty이다.
* (e_i)_{0\le i는 V 속의 정규 직교열이다. 즉, \langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}이어야 한다. (그러나 (e_i)_{0\le i는 V의 정규 직교 기저일 필요가 없다. 예를 들어, 만약 V가 분해 가능 공간이 아니라면 이는 정규 직교 기저일 수 없다.)
* (f_i)_{0\le i는 W 속의 정규 직교열이다. 즉, \langle f_i,f_j\rangle=\delta_{ij}이어야 한다. (그러나 (f_i)_{0\le i는 W의 정규 직교 기저일 필요가 없다. 예를 들어, 만약 W가 분해 가능 공간이 아니라면 이는 정규 직교 기저일 수 없다.)
* (\alpha_i)_{0\le i. (여기서 \operatorname L^p(\{i\}_{0\le i은 크기 N의 이산 공간 위의 르베그 공간이다. 만약 N=\infty라면 이는 \ell^p(\mathbb K)이며, N라면 이는 \mathbb K^N이다.)
* 급수의 수렴은 유계 작용소 공간 \operatorname B(V,W)의 작용소 노름에 대한 것이다.

만약 p=1일 경우, 1차 핵작용소는 **대각합류 작용소** 또는 단순히 **핵작용소**라고 불린다. 만약 p=2일 경우, 2차 핵작용소는 **힐베르트-슈미트 작용소**라고 불린다.

V와 W 사이의 p차 핵작용소들의 \mathbb K-벡터 공간을
:\mathfrak S_p(V,W)\subseteq\operatorname B(V,W)
로 표기하자. 이는 유계 작용소 공간 \operatorname B(V,W)의 부분 공간이므로, 따라서 \mathbb K-노름 공간을 이룬다.

### 바나흐 공간의 경우
핵작용소의 정의는 0의 경우 바나흐 공간으로 일반화될 수 있다. 그러나 p>1일 경우 이는 그렇지 않다.

## 연산
### 대각합
임의의 \mathbb K-힐베르트 공간 V에 대하여, \mathfrak S_1(V,V) 위에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 **[[대각합]]**이라고 한다.
:\operatorname{tr}\colon\mathfrak S_p(V,V)\to\mathbb K
:\operatorname{tr}\left(\sum_{0\le i
이는 사용되는 정규 직교 벡터열 e_i에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

이는 \mathfrak S_1(V,V) 위의 \mathbb K-선형 변환을 이룬다.

### 샤텐 노름
마찬가지로, \mathfrak S_p(V,W) 위에 다음과 같은 **샤텐 <math>p</math>-노름**()을 정의할 수 있다.
:\|\|_p\colon\mathfrak S_p(V,W)\to\mathbb R_{\ge0}
:\|\|_p\colon T\mapsto\operatorname{tr}_V(T^*T)^{p/2}
=\operatorname{tr}_W(TT^*)^{p/2}

(T^*는 에르미트 수반이다. 1/q거듭제곱을 취하는 것은 T^*T가 자기 수반 작용소이기 때문에 가능하며, 그 결과는 항상 \mathfrak S_1에 속한다.) (물론, p일 경우 샤텐 p-노름은 사실 노름이 아니다.) 이는 위와 동치로 T의 (대수적 중복수를 고려한) 특잇값 (s_i)_{i=0}^N들이 주어졌을 때
:\|T\|=\sum_{0\le i
로 정의될 수 있다.

위와 같은 p-노름을 부여하면, \mathfrak S_p(V,W)는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다.

### 힐베르트-슈미트 내적
특히, p=2인 경우, \mathfrak S_2(V,W)는 힐베르트 공간을 이룬다. 구체적으로, 그 내적은 다음과 같다.
:\langle S,T\rangle=\operatorname{tr}(S^*T)
이 내적은 **힐베르트-슈미트 내적**(Hilbert-Schmidt內積, )이라고 한다.

이에 따라, 다음과 같은 \mathbb K-힐베르트 공간 사이의 동형(유니터리 변환)이 존재한다.
:\mathfrak S_2(V,W)\to \bar V\hat\otimes_{\mathbb K}W
:\sum_{0\le i
여기서 \hat\otimes_{\mathbb K}는 (대수적) \mathbb K-텐서곱의 완비화 (=힐베르트 텐서곱)를 뜻한다.

임의의 0에 대하여, \mathcal S_p(V,V) 위에도 힐베르트-슈미트 내적을 부여할 수 있으나, 이 경우 일반적으로 이 내적 공간은 힐베르트 공간을 이루지 못하며, 내적에 대한 완비화는 \mathfrak S_2(V,V)이다.

## 성질
### 포함 관계
정의에 따라, 임의의 0에 대하여 다음이 성립한다.
:\mathfrak S_p(V,W)\subseteq\mathfrak S_{p'}(V,W)
또한, 만약 V와 W가 무한 차원이라면 이 포함 관계는 일치하지 않는다. (만약 V와 W가 유한 차원이라면 물론 항상 \mathfrak S_p(V,W)=\operatorname B(V,W)이다.)

특히, 두 \mathbb K-힐베르트 공간 사이의 선형 변환에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:선형 변환 ⊇ 유계 작용소 ⊇ 콤팩트 작용소 ⊇ 힐베르트-슈미트 작용소 ⊇ 대각합류 작용소

### 연산에 대한 닫힘
임의의 0에 대하여, \mathfrak S_p(V,W)는 \mathbb K-벡터 공간을 이룬다. 즉, 이들은 유한 합과 스칼라 곱에 대하여 닫혀 있다. 또한, 임의의 T\in\mathfrak S_p(V,W)에 대하여, 그 에르미트 수반 역시 다음과 같은 핵작용소이다.
:T^*\in\mathfrak S_p(W,V)

만약 V=W일 경우, 임의의 0에 대하여, \mathfrak S_p(V,V)\subseteq\operatorname B(V,V)는 바나흐 대수 \operatorname B(V,V)의 양쪽 아이디얼을 이룬다.

다음과 같은 **곱셈 정리**(-定理, )가 성립한다. 임의의
:0
에 대하여,
:1/r=1/p+1/q
를 정의하면, 임의의 세 \mathbb K-힐베르트 공간 U,V,W에 대하여 다음이 성립한다.
:\mathfrak S_q(V,W)\mathfrak S_p(U,V)\subseteq\mathfrak S_r(U,W)
:\|TS\|_rr\le \|T\|_q\|S\|_p\qquad\forall S\in \mathfrak S_p(U,V),\;T\in\mathfrak S_q(V,W)

### 위상수학적 성질
힐베르트 공간 V에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \mathfrak S_2(V,V)\subseteq\operatorname B(V,V)는 (유계 작용소들의 바나흐 대수 \operatorname B(V,V)에 작용소 노름 위상을 부여하였을 때) 닫힌집합이다.
* V는 유한 차원 \mathbb K-힐베르트 공간이다.

### 고윳값과의 관계
다음이 주어졌다고 하자.
* \mathbb K-힐베르트 공간 V
* 대각합류 작용소 T\in\mathfrak S_1(V,V)
* T의 고윳값들이 (대수적 중복수를 포함하여) (\lambda_i)_{0\le i라고 하자.
그렇다면, **리츠키 정리**(Лидский定理, )에 따르면 다음이 성립한다.
:\operatorname{tr}T=\sum_{0\le i

## 예
힐베르트-슈미트 작용소의 대표적인 예는 **힐베르트-슈미트 적분 작용소**()이다.

연결 열린집합 U\subseteq\mathbb R^n 및 함수
:f\in\operatorname L^2(U\times U;\mathbb C)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, f에 대응하는 힐베르트-슈미트 적분 작용소는 다음과 같다.
:T\colon\operatorname L^2(U;\mathbb C)\to\operatorname L^2(U;\mathbb C)
:Tu(x)=\int_Uf(x,y)u(y)\,\mathrm dy
이 경우, 그 힐베르트-슈미트 노름은 f의 L<sup>2</sup> 노름과 같다.
:\|T\|_2=\|f\|_{\operatorname L^2}

## 역사
힐베르트-슈미트 적분 작용소는 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트 가 1900년대에 연구하였다. 이후 그 특성을 임의의 힐베르트 공간에 대하여 추상화하여 힐베르트-슈미트 작용소의 개념이 도입되었다.

힐베르트 공간에서, 임의의 p에 대한 p-핵작용소의 개념은 로베르트 샤텐(, 1911~1977)과 존 폰 노이만이 1948년에 도입하였다.

리츠키 정리는 우크라이나 태생의 수학자 빅토르 보리소비치 리츠키(, , 1924~2008)가 증명하였다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:연산자 이론
분류:함수해석학