조합

수학에서 **조합**(組合, , )은 유한 개의 원소에서 주어진 수만큼의 원소들을 고르는 방법이다. 조합의 수는 이항 계수로 주어진다.

## 조합
### 정의
섬네일|5개 원소의 집합의 3원소 부분집합의 수는 <math>\textstyle\binom 53=10</math>이다.
집합 S와 자연수 k가 주어졌을 때, S의 **(중복 없는) <math>k</math>-조합**()은 S의 k개의 원소로 이루어진 부분집합을 일컫는다. 만약
:S=\{s_1,s_2,\dots,s_n\}
가 n개 원소의 유한 집합이며, 0\le k\le n이라면, S의 k-조합의 수는 이항 계수
:\binom nk=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
와 같다. 이항 계수 \textstyle\binom nk는 다음과 같이 다양하게 적는다.
* C^n_k
* C_n^k
* _nC_k
* ^nC_k
* C_{n,k}
* C(n,k)
조합의 수의 공식은 조합론의 방법으로 쉽게 유도할 수 있다. n개의 원소의 집합에서 k개의 원소를 골라 한 줄로 배열하는 방법의 가짓수를 세자. k개의 원소를 고르는 방법의 수는 \textstyle\binom nk이다. 선택된 k개의 원소를 배열할 때, 첫 번째 자리에 둘 수 있는 원소는 k개이며, 두 번째 자리는 남은 k-1개 가운데 하나를 놓는다. 나머지 자리도 마찬가지다. 따라서, n개의 원소를 배열하는 방법은
:\binom nkk!
가지가 있다. 다른 한편, 첫 번째 자리에 놓을 원소를 n개 가운데 고르고, 두 번째 자리에 놓을 원소를 n-1개 가운데 고르고, 남은 자리 역시 마찬가지로 반복하여 센 방법의 수는
:n(n-1)\cdots(n-k+1)
이다. 세는 법이 다를 때 얻는 수가 같아야 하므로 원하는 공식을 얻는다.

### 항등식
[섬네일|[이항 계수들의 파스칼의 삼각형]]
이항 계수 항등식
:\binom nk=\binom n{n-k}
:\binom nk=\binom{n-1}k+\binom{n-1}{k-1}
역시 조합론에서 직관적으로 해석할 수 있다. 전자는 k개의 원소를 고르는 방법과 n-k개의 원소를 버리는 방법은 일대일 대응함을 나타낸다. 후자는 k개의 원소를 고를 때, 어떤 고정된 원소를 고르는 경우와 이 원소를 버리는 경우를 나누어 센 결과다. 즉, 고정된 원소를 제외한 n-1개의 원소에서 k개의 원소를 고르는 방법의 수를 세고, 고정된 원소를 고른 뒤 남은 n-1개에서 k-1개를 고르는 방법의 수를 세어 합하면 모든 방법의 수를 얻는다.

### 생성 함수
이항 계수는 다음과 같이 생성 함수를 사용하여 정의할 수 있다.
:(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkx^k
조합론의 관점에서, 다항식 (1+x)^n의 각 항을 얻기 위해서는 n개의 이항식 1+x에서 1 또는 x 가운데 하나를 선택하여 곱하여야 한다. 따라서, x의 차수가 k인 항은 총 \textstyle\binom nk개가 만들어진다. 즉, x^k에는 계수 \textstyle\binom nk가 붙는다.

## 중복조합
### 정의
섬네일|370픽셀|5개의 원소의 집합의 크기 3의 중복집합의 수는 <math>\textstyle\binom 73=35</math>이다.
집합 S 및 자연수 k가 주어졌다고 하자. S의 **<math>k</math>-중복조합**()은 S의 원소들로 구성된, 크기 k의 중복집합이다. n개 원소의 집합 S=\{s_1,s_2,\dots,s_n\}의 k-중복조합의 수는
:\binom{n+k-1}k=\binom{n+k-1}{n-1}=(-1)^k\binom{-n}k
이다. 중복조합의 수 \textstyle\binom{n+k-1}k의 표기로는 다음이 있다.
* \left(\!\!\!\binom nk\!\!\!\right)
* _nH_k
중복조합의 수가 \textstyle\binom{n+k-1}k인 사실의 증명은 다음과 같다. 만약 \{a_1,\cdots,a_k\}가 \{1,\dots,n\}의 원소들로 구성된 크기 k의 중복집합이며,
:a_1\le a_2\le\cdots\le a_k
라면,
:\{a_1,a_2+1,\dots,a_k+k-1\}
는 \{1,\dots,n+k-1\}의 k원소 부분집합이다. 반대로, \{1,\dots,n+k-1\}의 k원소 부분집합
:\{b_1,\dots,b_k\}
:b_1
이 주어졌을 때,
:\{b_1,b_2-1,\dots,b_k-k+1\}
는 \{1,\dots,n\}의 원소들로 구성된 크기 k의 중복집합이다. 이는 \{1,\dots,n\}의 원소들로 구성된 크기 k의 중복집합들과 \{1,\dots,n+k-1\}의 크기 k의 부분집합들 사이의 일대일 대응을 정의한다. 따라서 이들의 수는 같다. 후자의 수가 \textstyle\binom{n+k-1}k이므로 원하는 결론을 얻는다.

이와 다른 기하학적 증명이 존재한다. \textstyle\binom{n+k-1}k는 n-1개의 막대와 k개의 공으로 만들 수 있는 (길이 n+k-1의) 문자열의 수와 같다. 이제, 이와 같은 문자열을 다음과 같이 해석하여, \{1,\dots,n\}의 크기 k의 중복집합으로 간주하자. n-1개의 막대는 두 막대 사이의 공간과 양쪽 끝의 공간을 포함하여 총 n개의 공간을 만든다. 각 공간에 1부터 n까지 번호를 매긴다. i번째 공간에 놓인 공의 수만큼 원소 i를 중복하여 취한다. 총 k개의 공이 있으므로 크기 k의 중복집합이 만들어진다. 예를 들어, n=3, k=5인 경우, 문자열
:|{\bigcirc}{\bigcirc}{\bigcirc}|{\bigcirc}{\bigcirc}
은 중복집합 \{2,2,3,3,3\}을 나타내며, 문자열
:{\bigcirc}|{\bigcirc}{\bigcirc}{\bigcirc}|{\bigcirc}
은 중복집합 \{1,2,2,2,3\}을 나타낸다. 이는 \{1,\dots,n\}으로 구성된 크기 k의 중복집합들과 n-1개와 k개의 두 알파벳으로 구성된 문자열 사이에 일대일 대응을 이루며, 따라서 중복조합의 수는 문자열의 수 \textstyle\binom{n+k-1}k와 같다.

### 생성 함수
중복조합의 수의 생성 함수는 다음과 같다.
:(1-x)^{-n}=\sum_{k=0}^\infty\binom{-n}k(-x)^k=\sum_{k=0}^\infty\binom{n+k-1}kx^k
좌변의 (1-x)^{-1}을 멱급수로 전개하면 1+x+x^2+\cdots이다. n개의 멱급수에서 항 x^{m_i} (i=1,\dots,n)을 선택하는 방법은 각 i의 중복도가 m_i인 중복집합을 선택하는 방법과 일대일 대응한다. n개의 항의 곱이 x^k인 경우는 중복도의 합이
:m_1+\cdots+m_n=k
인 경우이다. 즉, 크기 k의 중복집합에 대응한다. 따라서 결국 x^k의 계수는 \textstyle\binom{n+k-1}k이다.

## 참고 문헌
* 

## 외부 링크
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## 같이 보기
* 순열
* 뤼카의 정리

분류:조합론