집적점

일반위상수학에서 **집적점**(集積點, )은 그 임의의 근방이 주어진 집합과 주어진 기수 개 이상의 점들을 공유하는 점이다.

## 정의
기수 \kappa\in\operatorname{Card}가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X 및 부분 집합 Y\subseteq X 및 점 x\in X가 다음 조건을 만족시킨다면, x가 Y의 **<math>\kappa</math>-집적점**(集積點, )이라고 한다.
* 임의의 x의 근방 X\supseteq U\ni x에 대하여, |U\cap Y|\ge\kappa이다.
특히, 임의의 점 x\in X 및 부분 집합 Y\subseteq X에 대하여, 다음과 같은 기수를 정의할 수 있다.
:\operatorname{acc}(x,Y)=\min_{U\in\mathcal N_x}|Y\cap U|
여기서 \mathcal N_x는 x의 근방 필터이다. 즉, x는 항상 Y의 \operatorname{acc}(x,Y)-집적점이다.

Y의 \kappa-집적점들의 집합을
:\operatorname{acc\,pt}_\kappa(Y)=\{x\in X\colon\operatorname{acc}(x,Y)\ge\kappa\}
로 표기하자.

특별한 값의 \kappa에 대하여, 다음과 같은 특별한 용어들이 존재한다.
* Y\subseteq X의 |Y|-집적점을 **완비 집적점**(完備集積點, )이라고 한다.
* \aleph_1-집적점을 **응집점**(凝集點, )이라고 한다. (여기서 \aleph_1은 최소의 비가산 기수이다.)
* 점 x\in X 및 부분 집합 Y\subseteq X이 주어졌을 때, 만약 임의의 근방 X\supseteq U\ni x에 대하여, U\cap Y\setminus\{x\}\ne\varnothing이라면, x를 Y의 **극한점**(極限點, )이라고 한다. 극한점들의 집합을 **유도 집합**(誘導集合, )이라고 하며, 흔히 Y'으로 표기한다. 일반적으로, 극한점의 개념은 2-집적점과 1-집적점 사이에 있다.
** X\subseteq X의 극한점이 아닌 점 x\in X\setminus X'은 **고립점**(孤立點, , )이라고 한다. 즉, X의 고립점은 \{x\}가 열린집합인 점 x\in X이다.
* 1-집적점을 **폐포점**(閉包點, ) 또는 **밀착점**(密着點, )이라고 한다. Y\subseteq X의 폐포점은 Y의 원소이거나 아니면 Y의 극한점이다. 폐포점들의 집합은 **[[폐포 (위상수학)|폐포]]** \operatorname{acc\,pt}_1(Y)=\operatorname{cl}Y라고 한다.
* 임의의 x\in X는 Y\subseteq X의 0-집적점이다.

## 성질
### 폐포와의 관계
위상 공간 X의 부분 집합 Y\subseteq X과 점 x\in X에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* x는 Y의 폐포점이다.
* x\in Y이거나, 또는 x는 Y의 극한점이다.
다시 말해, Y의 폐포는 Y와 그 극한점들의 집합의 합집합이다.
:X=\operatorname{acc\,pt}_0(Y)
:\operatorname{cl}Y=Y\cup Y'

위상 공간 X의 부분 집합 Y\subseteq X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* Y는 닫힌집합이다.
* Y'\subseteq Y
* \operatorname{cl}Y=Y

### T<sub>1</sub> 공간의 경우
만약 X가 T<sub>1</sub> 공간이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* x는 Y의 극한점이다.
* x는 Y의 \aleph_0-집적점이다.
따라서, T<sub>1</sub> 공간의 경우 2\le\kappa\le\aleph_0에 대하여 \kappa-집적점을 구별하지 않아도 되며, 이는 극한점과도 같은 개념이다.

**증명:**

x\in X가 Y\subseteq X의 \aleph_0-집적점이 아니라고 하자. 그렇다면, U\cap Y가 유한 집합인 U\in\mathcal N_x가 존재한다. (\mathcal N_x는 x의 근방 필터이다.)

X가 T<sub>1</sub> 공간이므로, 한원소 집합은 닫힌집합이다. 따라서,
:\widetilde U=\operatorname{int}(U)\setminus(Y\setminus\{x\})=\operatorname{int}(U)\cap\bigcap_{y\in U\cap(Y\setminus\{x\})}(X\setminus\{y\})
역시 (유한 개의 열린집합들의 교집합이므로) 열린집합이다. (여기서 \operatorname{int}는 내부를 뜻한다.) \widetilde U\in\mathcal N_x이자 \widetilde U\cap Y=\{x\}이므로 x는 Y의 극한점이 아니다.

T<sub>1</sub> 공간의 임의의 부분 집합의 유도 집합은 닫힌집합이다.

다음 두 조건이 서로 동치이다.
* X는 이산 공간이다.
* X의 모든 부분 집합은 극한점을 갖지 않는다.

### 유도 집합
편의상 극한점을 1.5-집적점으로 일컫자. 그렇다면 다음이 성립한다.
* 임의의 \kappa\ge1에 대하여, \operatorname{acc\,pt}_\kappa(\varnothing)=\varnothing
* 임의의 집합 Y,Z\subseteq X 및 기수 \kappa\le1.5에 대하여, \operatorname{acc\,pt}_\kappa(Y\cup Z)=\operatorname{acc\,pt}_\kappa(Y)\cup \operatorname{acc\,pt}_\kappa(Z)
* 임의의 집합 Z\subseteq Y\subseteq X 및 기수 \kappa\ge\lambda에 대하여, \operatorname{acc\,pt}_\kappa(Z)\subseteq\operatorname{acc\,pt}_\lambda(Y)

임의의 부분 집합의 유도 집합이 닫힌집합인 위상 공간을 T<sub>D</sub> 공간이라고 한다. 모든 T<sub>1</sub> 공간은 T<sub>D</sub> 공간이며, 모든 T<sub>D</sub> 공간은 콜모고로프 공간이다.

## 예
실수선의 부분 집합
:S=\{1/n\colon n\in\mathbb Z^+\}\subsetneq\mathbb R
을 생각하면, 그 집적점 집합들은 다음과 같다.
:\operatorname{acc\,pt}_\kappa(S)=
\begin{cases}
\mathbb R&\kappa=0\\
S\cup\{0\}&\kappa=1\\
\{0\}&2\le\kappa\le\aleph_0\\
\varnothing&\kappa\ge\aleph_1
\end{cases}

실수선 속의, 무리수의 부분 집합 \mathbb R\setminus\mathbb Q\subsetneq\mathbb R을 생각하자.
:\operatorname{acc\,pt}_\kappa(\mathbb R\setminus\mathbb Q)=
\begin{cases}
\mathbb R&0\le\kappa\le2^{\aleph_0}\\
\varnothing&\kappa>2^{\aleph_0}
\end{cases}

실수선 속의, 유리수의 부분 집합 \mathbb Q\subsetneq\mathbb R을 생각하자.
:\operatorname{acc\,pt}_\kappa(\mathbb Q)=
\begin{cases}
\mathbb R&0\le\kappa\le\aleph_0\\
\varnothing&\kappa\ge\aleph_1
\end{cases}

실수선을 스스로의 부분 집합 \mathbb R\subseteq\mathbb R으로 여기자.
:\operatorname{acc\,pt}_\kappa(\mathbb R)=
\begin{cases}
\mathbb R&0\le\kappa\le2^{\aleph_0}\\
\varnothing&\kappa>2^{\aleph_0}
\end{cases}
즉, 실수선은 자기 조밀 공간이며 고립점을 갖지 않는다.

실수선 \mathbb R의 부분 공간 \{0\}\cup[1,2]의 고립점은 0밖에 없다.

실수선의 부분 공간 \{0\}\cup\{1/n\colon n\in\mathbb Z^+\}에서는 0이 아닌 다른 모든 점들이 고립점이다. 0은 고립점이 아니다.

### 이산 공간
위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* X는 이산 공간이다.
* X의 모든 점은 고립점이다.

## 역사
유도 집합()이라는 용어는 게오르크 칸토어가 1872년에 도입하였다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:일반위상수학
분류:해석학 (수학)
분류:극한 집합