귀납적 차원

일반위상수학에서 **귀납적 차원**(歸納的次元, )은 어떤 기하학적 대상의 경계의 차원이 전체의 차원보다 1만큼 더 작다는 사실을 기반으로 하는, 위상 공간 위에 정의되는 두 개의 차원 개념이다. 대부분의 경우, 르베그 덮개 차원의 상한과 하한을 정의한다.

## 정의
위상 공간 X의 **작은 귀납적 차원**() \operatorname{ind}X는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 n\in\{-1,0,1,2,\dots\}이다.
* 임의의 x\in X 및 열린 근방 U\ni x에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 V\ni x가 존재한다.
** \operatorname{cl}V\subseteq U
** \operatorname{ind}\partial V\le n-1
위상 공간 X의 **큰 귀납적 차원**() \operatorname{Ind}X는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 n\in\{-1,0,1,2,\dots\}이다.
* 임의의 닫힌집합 C\subseteq X의 열린 근방 U\supseteq C에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 V\supseteq C가 존재한다.
** \operatorname{cl}V\subseteq U
** \operatorname{Ind}\partial V\le n-1

공집합의 경우, 아무런 점이 없으므로 자명하게 \operatorname{ind}\varnothing=-1이다.

## 성질
### 서로 다른 차원들의 비교
T1 공간 X 또는 정칙 공간 X의 경우, 모든 점의 폐포가 점의 열린 근방에 다시 포함되므로,
:\operatorname{ind}X\le\operatorname{Ind}X
이다.

임의의 위상 공간 X에 대하여,
:\dim X\le\operatorname{Ind}X
이다. 여기서 \dim은 르베그 덮개 차원이다.

거리화 가능 공간 X의 경우,
:\operatorname{ind}X\le\dim X=\operatorname{Ind}X
이다.

린델뢰프 공간 X의 경우,
:\dim X\le\operatorname{ind}X
이다.

린델뢰프 완전 정규 공간 X 또는 완비 파라콤팩트() 완전 정규 공간 X의 경우,
:\dim X\le\operatorname{ind}X=\operatorname{Ind}X
이다.

**우리손 정리**에 따르면, 제2 가산 정칙 공간 X의 경우
:\operatorname{ind}X=\dim X=\operatorname{Ind}X
이다.

### 부분 집합
위상 공간 X 및 부분 집합 Y\subseteq X에 대하여,
:\operatorname{ind}Y\le\operatorname{ind}X
이다. 만약 추가로 Y가 닫힌집합이거나, X가 완전 정규 공간이라면,
:\operatorname{Ind}Y\le\operatorname{Ind}X
이다.

### 합집합
완비 정규 공간 X 및 부분 집합 Y,Z\subseteq X에 대하여, 만약 X=Y\cup Z라면,
:\operatorname{ind}X\le\operatorname{ind}Y+\operatorname{ind}Z+1
:\operatorname{Ind}X\le\operatorname{Ind}Y+\operatorname{Ind}Z+1
이다. 이를 작은·큰 귀납적 차원에 대한 **우리손 부등식**이라고 한다.

위상 공간 X 및 닫힌집합 Y,Z\subseteq X에 대하여, 만약 X=Y\cup Z라면,
:\operatorname{ind}X\le\max\{\operatorname{ind}Y,\operatorname{ind}Z\}+1
이다. 만약 추가로 X가 정규 공간이라면,
:\operatorname{Ind}X\le\operatorname{Ind}Y+\operatorname{Ind}Z
이다.

### 곱공간
제2 가산 정칙 공간 X,Y의 경우, 귀납적 차원이 르베그 덮개 차원과 일치하므로
:\operatorname{ind}(X\times Y)\le\operatorname{ind}(X)+\operatorname{ind}(Y)
:\operatorname{Ind}(X\times Y)\le\operatorname{Ind}(X)+\operatorname{Ind}(Y)
이다.

위상 공간 X,Y가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* 임의의 닫힌집합 A,B\subseteq X에 대하여, \operatorname{ind}(A\cup B)\le\max\{\operatorname{ind}A,\operatorname{ind}B\}
* 임의의 닫힌집합 A,B\subseteq Y에 대하여, \operatorname{ind}(A\cup B)\le\max\{\operatorname{ind}A,\operatorname{ind}B\}
그렇다면,
:\operatorname{ind}(X\times Y)\le\operatorname{ind}X+\operatorname{ind}Y
이다. 작은 귀납적 차원이 0 이하인 공간은 위 합집합 조건을 자명하게 만족시킨다. 그러나, 1차원 이상의 공간이 위 조건을 만족하기는 매우 ‘어렵다’. 예를 들어, 위 조건을 만족시키지 않는 거리화 가능 공간이 존재하며, 위 조건을 만족시키지 않는 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.

위상 공간 X,Y에 대하여, 만약 \operatorname{ind}X=0이라면,
:\operatorname{ind}(X\times Y)=\operatorname{ind}Y
이다.

콤팩트 하우스도르프 공간 X,Y에 대하여, 만약 \operatorname{Ind}X=0이라면,
:\operatorname{Ind}(X\times Y)\le\operatorname{Ind}Y
이다.

위상 공간들의 집합 \{X_i\}_{i\in I} 및 곱공간
:X=\prod_{i\in I}X_i
에 대하여, 만약 모든 i\in I에 대하여 \operatorname{ind}X_i=0이라면, \operatorname{ind}X=0이다.

### 스톤-체흐 콤팩트화
정규 하우스도르프 공간 X 및 그 스톤-체흐 콤팩트화 \beta X에 대하여,
:\operatorname{Ind}X=\operatorname{Ind}\beta X
이다.

### 0차원
경계가 공집합일 필요충분조건은 열린닫힌집합인 것이다. 따라서, 위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \operatorname{ind}X=0
* X는 열린닫힌집합들로 구성된 기저를 갖는다.

위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \dim X=0
* \operatorname{Ind}X=0

위상 공간 X에 대하여, 다음과 같은 함의 관계들이 성립한다.
* 만약 \operatorname{ind}X=0이라면, X는 완비 정칙 공간이다.
* 만약 \operatorname{ind}X=0이며, X가 콜모고로프 공간이라면, X는 완전 분리 공간이자 티호노프 공간이다.
* 반대로, 만약 X가 완전 분리 공간이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, \operatorname{ind}X=0이다.
* 만약 \dim X=0이라면, X는 정규 공간이다.
* 만약 \dim X=0이며, X가 T1 공간이거나 정칙 공간이라면, \operatorname{ind}X=0이다.
* 반대로, 만약 \operatorname{ind}X=0이며, X가 린델뢰프 공간 X이라면, \dim X=0이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \operatorname{ind}X=0
* 완전 분리 공간이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 완전 분리 공간 X에 대하여 항상
:\operatorname{ind}X=0
임을 보이자. 임의의 x\in X 및 열린 근방 U\ni x에 대하여
:F\subseteq U
인 열린닫힌 근방 F\ni x를 찾으면 족하다. 국소 콤팩트성에 따라,
:V\subseteq U
이며 \operatorname{cl}V가 콤팩트 공간인 열린 근방 V\ni x가 존재한다. 완전 분리성에 의하여, x의 \operatorname{cl}V에서의 연결 성분은 \{x\}이다. 그런데 콤팩트 공간 속 주어진 점을 포함하는 모든 열린닫힌집합들의 교집합은 연결 공간이므로 (준성분 참고), x를 포함하는 \operatorname{cl}V의 모든 열린닫힌집합의 교집합은 \{x\}이다. \operatorname{cl}V의 콤팩트성에 의하여,
:x\in F_1\cap\cdots\cap F_n\subseteq V
인 유한 개의 열린닫힌집합 F_1,\dots,F_n\subseteq\operatorname{cl}V가 존재한다.
:F=F_1\cap\cdots\cap F_n
이라고 하자. 그렇다면, F는 \operatorname{cl}V의 닫힌집합이며 V의 열린집합이므로, X의 열린닫힌집합이다.

국소 콤팩트 파라콤팩트 하우스도르프 공간 X이 주어졌을 때, X는 항상 서로소 린델뢰프 열린닫힌집합들의 합집합이다. 따라서, X에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 완전 분리 공간이다.
* \operatorname{ind}X=0
* \dim X=0

작은 귀납적 차원이 0인 위상 공간은 흔히 **0차원 공간**(零次元空間, )이라고 한다. 르베그 덮개 차원이 0인 위상 공간은 흔히 **강한 0차원 공간**(强-零次元空間, )이라고 부른다. 일부 문헌은 0차원 공간의 정의에서 T1 조건을 추가로 가정하고, 강한 0차원 공간의 정의에 티호노프 조건을 추가한다.

### 매장
T1 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \operatorname{ind}X=0
* 두 점 이산 공간의 곱공간 \{0,1\}^{\operatorname{Clopen}(X)}의 부분 집합과 위상 동형이다. (여기서 \operatorname{Clopen}(X)는 열린닫힌집합들의 집합이다.)
이 경우, 곱공간으로의 매장은 다음과 같이 잡을 수 있다.
:\mu\colon X\to\{0,1\}^{\operatorname{Clopen}(X)}
:\mu(x)_U=
\begin{cases}
1 & x\in U\\
0 & x\not\in U
\end{cases}


모든 0차원 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 실수들의 집합과 위상 동형이다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간(=분해 가능 거리화 가능 공간) X에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* \operatorname{ind}X=0
* X는 칸토어 집합 C\cong\{0,1\}^{\aleph_0}의 부분 집합과 위상 동형이다.
* X는 무리수 집합 \mathbb R\setminus\mathbb Q\cong\mathbb N^{\aleph_0}의 부분 집합과 위상 동형이다.

실수들의 집합 X\subseteq\mathbb R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \operatorname{ind}X=0
* (둘 이상의 점을 갖는) 구간을 포함하지 않는다.

**뇌벨링-폰트랴긴 정리**에 따르면, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \operatorname{ind}X
* X는 유클리드 공간의 부분 집합과 위상 동형이다.

사실, 모든 n차원 이하의 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 (2n+1)차원 유클리드 공간 \mathbb R^{2n+1}에 매장할 수 있다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \operatorname{ind}X\le n
* X는 \{x\in\mathbb R^{2n+1}\colon|\{i\colon x_i\in\mathbb Q\}|\le n\}의 부분 집합과 위상 동형이다.

## 예
위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들이 동치이다.
* \operatorname{ind}X=-1
* \dim X=-1
* \operatorname{Ind}X=-1
* X=\varnothing

유클리드 공간, 단체, 초구의 작은·큰 귀납적 차원은 통상적인 차원과 일치한다.
:\operatorname{ind}\mathbb R^n=\dim\mathbb R^n=\operatorname{Ind}\mathbb R^n=n
:\operatorname{ind}\Delta_n=\dim\Delta_n=\operatorname{Ind}\Delta_n=n
:\operatorname{ind}\mathbb S^n=\dim\mathbb S^n=\operatorname{Ind}\mathbb S^n=n

보다 일반적으로, 임의의 n차원 다양체의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원은 n이다.

[0,1]^{\aleph_0}의 작은·큰 귀납적 차원은 \infty이다.
:\operatorname{ind}[0,1]^{\aleph_0}=\dim[0,1]^{\aleph_0}=\operatorname{Ind}[0,1]^{\aleph_0}=\infty

조르겐프라이 직선 S 및 조르겐프라이 평면 S\times S의 작은·큰 귀납적 차원은 0이다. 조르겐프라이 직선의 르베그 덮개 차원은 0이지만, 조르겐프라이 평면의 르베그 덮개 차원은 무한하다.
:\operatorname{ind}S=\dim S=\operatorname{Ind}S=\operatorname{ind}S\times S=\operatorname{Ind}S\times S=0
:\dim S\times S=\infty

이산 공간과 모든 비이산 공간의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원은 0 이하이다. 시에르핀스키 공간의 르베그 덮개 차원과 큰 귀납적 차원은 0이지만, (정칙 공간이 아니므로) 작은 귀납적 차원은 무한하다.

거리화 가능 공간 X에 대하여, 만약
:|X|
라면, \operatorname{ind}X=0이다.

임의의 점 x\in X 및 열린 근방 U\ni x가 주어졌다고 하자.
:\operatorname{ball}(x,r)\subseteq U
인 r>0을 잡자. |X|이므로,
:d(x,y)\ne s\forall y\in X
인 0이 존재한다. 따라서,
:\partial\operatorname{ball}(x,s)=\{y\in X\colon d(x,y)=s\}=\varnothing
이다.

순서 위상을 가한 전순서 집합 (X,\le)의 작은 귀납적 차원은 1 이하이다.
:\operatorname{ind}X\le 1

## 참고 문헌

## 외부 링크
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## 같이 보기
* 르베그 덮개 차원

분류:위상 공간의 성질
분류:차원
분류:차원론