폐포 (위상수학)

위상수학에서 **폐포**(閉包, )는 주어진 위상 공간의 부분 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다. 이는 그 부분 집합의 원소와 극한점으로 구성된다. A의 폐포는 \operatorname{cl}A 또는 \bar A와 같이 표기한다. 서로 다른 위상 공간의 부분 집합으로서의 폐포를 구분하기 위해 \operatorname{cl}_{(X,\mathcal T)}A 또는 \operatorname{cl}_XA 또는 \operatorname{cl}_{\mathcal T}A와 같이 쓸 수도 있다. 위상이 거리 함수 d로 유도되었을 경우 \operatorname{cl}_{(X,d)}A 또는 \operatorname{cl}_dA와 같이 써도 좋다.

## 정의
위상 공간 X의 부분 집합 A\subseteq X이 주어졌다고 하자. 점 x\in X이 다음 조건을 만족시킨다면, A의 **폐포점**(閉包點, )이라고 한다.
* x의 모든 근방 U\ni x에 대하여, U\cap A\ne\varnothing이다.

만약 x의 국소 기저 \mathcal B가 주어졌을 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* x는 A의 폐포점이다.
* 모든 B\in\mathcal B에 대하여, B\cap A\ne\varnothing이다.

특히, 폐포점의 정의에서 ‘근방’을 ‘열린 근방’으로 대체할 수 있다.

위상 공간 X의 부분 집합 A\subseteq X의 **폐포** \operatorname{cl}A는 A의 모든 폐포점들의 집합이다.

## 성질
### 극한점과의 관계
위상 공간 X의 부분 집합 A\subseteq X 및 점 x\in X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* x는 A의 폐포점이다.
* x\in A이거나, x는 A의 극한점이다.

즉, A의 폐포는 A와 그 유도 집합의 합집합이다.
:\operatorname{cl}A=A\cup A'

### 닫힌집합과의 관계
위상 공간 X의 부분 집합 A\subseteq X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* 닫힌집합이다.
* \operatorname{cl}A=A
* \operatorname{cl}A\subseteq A
* A'\subseteq A

반대로, A의 폐포는 A를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합이다. 즉, 이는 A를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.

### 내부·경계와의 관계
위상 공간 X의 부분 집합 A\subseteq X 및 점 x\in X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* x는 A의 폐포점이다.
* x는 A의 내부점이거나 경계점이다.
* x는 A의 여집합 X\setminus A의 내부점이 아니다.

즉, A의 폐포는 A의 여집합의 내부의 여집합이며, 또한 A의 내부와 경계의 분리 합집합이다.
:\operatorname{cl}A=X\setminus\operatorname{int}(X\setminus A)
:\operatorname{cl}A=\operatorname{int}A\sqcup\partial A

반대로, A의 경계는 A와 그 여집합의 폐포의 교집합이다.
:\partial A=\operatorname{cl}A\cap\operatorname{cl}(X\setminus A)

### 항등식
위상 공간 X의 부분 집합 A,B\subseteq X 및 집합족 \mathcal A에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.
:\operatorname{cl}\varnothing=\varnothing
:\operatorname{cl}X=X
:\operatorname{cl}(A\cup B)=\operatorname{cl}A\cup\operatorname{cl}B
:\operatorname{cl}\left(\bigcup\mathcal A\right)\supseteq\bigcup_{A\in\mathcal A}\operatorname{cl}A
:\operatorname{cl}\left(\bigcap\mathcal A\right)\subseteq\bigcup_{A\in\mathcal A}\operatorname{cl}A
또한, 만약 \mathcal A가 국소 유한 집합족이라면, 다음이 성립한다.
:\operatorname{cl}\left(\bigcup\mathcal A\right)=\bigcup_{A\in\mathcal A}\operatorname{cl}A
즉, 폐포는 유한 합집합을 보존하며, 보다 일반적으로 국소 유한 합집합을 보존하지만, 무한 합집합이나 유한·무한 교집합은 일반적으로 보존하지 않는다.

표준적인 위상을 갖춘 실수선 \mathbb R 위에서 다음과 같은 집합들을 생각하자.
:A_n=(1/n,1)\qquad(n\in\mathbb Z^+)
:A=(0,1)
:B=(1,2)
그렇다면, A_n의 합집합 (0,1)의 폐포 [0,1]는 A_n의 폐포 [1/n,1]의 합집합 (0,1]을 진부분 집합으로 포함한다. 또한, A와 B의 교집합의 폐포는 공집합이며, 이는 A의 폐포 [0,1]와 B의 폐포 [1,2]의 교집합 \{1\}의 진부분 집합이다.

## 예
### 이산 공간
이산 공간의 부분 집합의 폐포는 항상 자기 자신이다.

### 비이산 공간
비이산 공간의 공집합이 아닌 부분 집합의 폐포는 전체 공간이다.

### 열린 공
\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\}에 대하여, (노름 위상을 갖춘) \mathbb K-노름 공간 위의 열린 공
:\operatorname{ball_{open}}(0,1)=\{v\in V\colon\Vert v\Vert
의 폐포는 닫힌 공
:\operatorname{cl}(\operatorname{ball_{open}}(0,1))=\operatorname{ball_{closed}}(0,1)=\{v\in V\colon\Vert v\Vert\le 1\}
이다. 일반적인 거리 공간의 경우, 열린 공은 항상 열린집합이며, 닫힌 공은 항상 닫힌집합이지만, 열린 공의 폐포는 그에 대응하는 닫힌 공이 아닐 수 있다. 예를 들어, 이산 거리 공간 (X,d) 위에서, x를 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 열린 공과 닫힌 공은 다음과 같다.
:\operatorname{ball_{open}}(x,1)=\{x\}
:\operatorname{ball_{closed}}(x,1)=X
하지만 열린 공의 폐포는 자기 자신이며, 만약 |X|\ge 2인 경우 이는 닫힌 공과 일치하지 않는다.

### 갈루아 군
갈루아 확대 L/K의 갈루아 군 \operatorname{Gal}(L/K)은 사유한군이며, 이 위에 사유한 위상을 줄 수 있다. 이 경우, 임의의 부분군 H\le\operatorname{Gal}(L/K)의 폐포는 다음과 같다.
:\operatorname{cl}H=\operatorname{Gal}(L/L^H)
여기서
:L^H=\{a\in L\colon h(a)=a\forall h\in H\}
는 H가 고정하는 체의 원소들로 구성된 부분 확대이다.

### 균등 공간
(균등 위상을 갖춘) 균등 공간 (X,\mathcal E)의 부분 집합 A\subseteq X의 폐포는 A의 대칭 측근들에 대한 상들의 교집합과 같다.
:\operatorname{cl}A=\bigcap_{E=E^{-1}\in\mathcal E}\{y\colon\exist x\in A\colon(x,y)\in E\}

임의의 측근 E\in\mathcal E에 대하여, F=E\cap E^{-1}\subseteq E는 측근이며, F=F^{-1}이다. 따라서, 임의의 y\in X에 대하여,
:\{\{x\colon(y,x)\in E\}\colon E=E^{-1}\in\mathcal E\}
은 x의 국소 기저를 이룬다. 따라서, 다음이 성립한다.
:\begin{align}\operatorname{cl}A
& =\{y\in X\colon\forall E\in\mathcal E\colon E=E^{-1}\implies\{x\colon(y,x)\in E\}\cap A\ne\varnothing\} \\
& =\{y\in X\colon\forall E\in\mathcal E\colon E=E^{-1}\implies(\exist x\in A\colon(y,x)\in E)\} \\
& =\{y\in X\colon\forall E\in\mathcal E\colon E=E^{-1}\implies(\exist x\in A\colon(x,y)\in E)\} \\
& =\bigcap_{E=E^{-1}\in\mathcal E}\{y\colon\exist x\in A\colon(x,y)\in E\}
\end{align}

### 스콧 위상
원순서 집합 (P,\lesssim) 위에 스콧 위상을 주었을 때, 한원소 집합의 폐포는 그 하폐포이다.
:\operatorname{cl}\{a\}=\mathop\downarrow a

## 각주

## 외부 링크
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분류:폐포 연산자
분류:일반위상수학