삼각 함수 항등식

수학에서 **삼각함수 항등식**(三角函數恒等式, )은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다.

참고로 아래에서 \sin^2, \cos^2 등의 함수는 \sin^2{x} = (\sin{x})^2와 같이 정의된다.

## 삼각함수의 정의에서

: \cos{x} = \sin\left( x + {\pi \over 2} \right)

:  \tan {x} = \frac {\sin {x}} {\cos{x}} \qquad \operatorname{cot}{x} = \frac {\cos {x}} {\sin{x}} = \frac{1} {\tan{x}} 

:  \operatorname{sec}{x} = \frac{1} {\cos{x}} \qquad \operatorname{csc}{x} = \frac{1} {\sin{x}} 

## 주기성, 대칭성, 이동(Shifts)

다음 관계는 단위원을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.

다음 식은 삼각함수의 주기성을 나타낸다.

:  \sin{x} = \sin(x + 2k\pi) \qquad  \cos{x} = \cos(x + 2k\pi) \qquad \tan{x} = \tan(x + k\pi) 

:  \sec{x} = \sec(x + 2k\pi) \qquad  \csc{x} = \csc(x + 2k\pi) \qquad \cot{x} = \cot(x + k\pi)

다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다.
섬네일|200px|<math> -sin \theta ,  cos \theta</math>
:
\begin{matrix}
\sin(-x) = -\sin{x}, & & \sin\left({\pi \over 2} - x\right) = \cos{x}, & & \sin\left(\pi - x\right) = \;\;\sin{x} \\
\cos(-x) =\;\;\cos{x}, & & \cos\left({\pi \over 2} - x\right) = \sin{x}, & & \cos\left(\pi - x\right) = -\cos{x} \\
\tan(-x) = -\tan{x}, & & \tan\left({\pi \over 2} - x\right) = \cot{x}, & & \tan\left(\pi - x\right) = -\tan{x} \\
\cot(-x) = -\cot{x}, & & \cot\left({\pi \over 2} - x\right) = \tan{x}, & & \cot\left(\pi - x\right) = -\cot{x} \\
\sec(-x) =\;\;\sec{x}, & & \sec\left({\pi \over 2} - x\right) = \csc{x}, & & \sec\left(\pi - x\right) = -\sec{x} \\
\csc(-x) = -\csc{x}, & & \csc\left({\pi \over 2} - x\right) = \sec{x}, & & \csc\left(\pi - x\right) = \;\;\csc{x}
\end{matrix}


다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다.

:
\begin{matrix}
\sin\left(x + {\pi \over 2}\right) = \;\;\cos{x}, & & \sin\left(x + \pi\right) = - \sin{x} \\
\cos\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \sin{x}, & & \cos\left(x + \pi\right) = - \cos{x} \\
\tan\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \cot{x}, & & \tan\left(x + \pi\right) = \;\;\tan{x} \\
\cot\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \tan{x}, & & \cot\left(x + \pi\right) = \;\;\cot{x} \\
\sec\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \csc{x}, & & \sec\left(x + \pi\right) = - \sec{x} \\
\csc\left(x + {\pi \over 2}\right) = \;\;\sec{x}, & & \csc\left(x + \pi\right) = - \csc{x}
\end{matrix}


또한, 주기가 같지만, 상(phase)이 다른 사인파들의 선형결합은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다.
:a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)
여기서
:
  \varphi=
   \begin{cases}
    \arctan{\frac b a},&\mbox{if }a\ge0 \\
    \arctan{\frac b a} \pm \pi,&\mbox{if }a

## [[피타고라스 정리]]
다음 식들은 삼각함수의 정의와 피타고라스 정리를 이용하면 쉽게 보일 수 있다.

:  \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \qquad \tan^2{x} + 1 = \sec^2{x} \qquad  \cot^2{x} + 1 = \csc^2{x} 

## 덧셈 정리

다음의 삼각함수의 덧셈정리를 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다.

:\sin(x \pm y) = \sin{x} \cos{y} \pm \cos{x} \sin{y}\,

:\cos(x \pm y) = \cos{x} \cos{y} \mp \sin{x} \sin{y}\,
::(좌변에 "+" 기호가 있는 경우, 우변에는 "−" 기호를 사용함. 복부호 동순임)

:\tan(x \pm y) = \frac{\tan{x} \pm \tan{y}}{1 \mp \tan{x}\tan{y}}

:\cot(x \pm y) = \frac{\cot{y}\cot{x} \mp 1}{\cot{y} \pm \cot{x}}

:{\rm c\dot{\imath} s}(x+y)={\rm c\dot{\imath} s}{x}\,{\rm c\dot{\imath} s}{y}

:{\rm c\dot{\imath} s}(x-y)=

여기서

:{\rm c\dot{\imath} s}{x} = \exp(i x) = e^{i x} = \cos{x}+i \sin{x}\, 
: i^{2}=-1.\,

### 두배각 공식

다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서 x = y로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드무아브르의 공식에서 n = 2로 놓아도 된다.

: \sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} \,

: \cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}  = 2 \cos^2{x} - 1 = 1 - 2 \sin^2{x} = \frac{1-\tan^2{x}}{1+\tan^2{x}}\,

: \tan{2x} = \frac{2 \tan {x}} {1 - \tan^2{x}} 

: \cot{2x} = \frac{\cot^2{x}-1}{2\cot{x}} 

### 세배각 공식

아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다.

: \sin{3x} = 3\sin{x} - 4\sin^3{x}\,

: \cos{3x} = 4\cos^3{x} - 3\cos{x}\,

: \tan{3x} = \frac{3\tan{x} - \tan^3{x}} {1 - 3\tan^2{x}} 

### 네배각 공식
아래 공식들은 배각의 공식에서 x를 2x로 두고 전개하여 풀면 얻을 수 있다.
: \sin{4x} = 4\sin{x}\cos{x} - 8\sin^3{x}\cos{x} 

: \cos{4x} = 8\cos^4{x} - 8\cos^2{x} + 1 

: \tan{4x} = \frac{4\tan{x} - 4\tan^3{x}}{1 - 6\tan^2{x} + \tan^4{x}} 

### 다섯배각 공식

: \sin{5x} = 5\sin{x} - 20\sin^3{x} + 16\sin^5{x} 

: \cos{5x} = 5\cos{x} - 20\cos^3{x} + 16\cos^5{x} 

: \tan{5x} = \frac{\tan^5{x} - 10\tan^3{x} + 5\tan{x}}{1 - 10\tan^2{x} + 5\tan^4{x}} 

### 여섯배각 공식

:\sin{6x} = 6\sin{x}\cos{x} - 32\sin^3{x}\cos^3{x} 

:\cos{6x} = 32\cos^6{x} - 48\cos^4{x} +18\cos^2{x} - 1 

### n배각 공식
T_n이 n번째 체비쇼프 다항식일 때,
:\cos{nx}=T_n(\cos{x})

드무아브르의 공식:
:\cos{nx}+i\sin{nx}=(\cos{x}+i\sin{x})^n

디리클레 핵D_n(x) 은 다음의 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다. :
:1+2\cos{x}+2\cos{2x}+2\cos{3x}+\cdots+2\cos{nx}=\frac{\sin{\left(n+\frac{1}{2}\right)x}}{\sin{x \over 2}}
디리클레 핵을 갖는 2n차의 어떤 제곱적분 가능함수의 합성곱(convolution)은 함수의 n차 푸리에 근사와 함께 동시에 일어난다.

## 차수 줄이기

n차 제곱한 삼각함수를 일차식의 삼각함수 식으로 바꾼다.

### 이차식 공식

두배각 공식의 코사인 공식을 \cos^2{x} 과 \sin^2{x}으로 푼다.

: \cos^2{x} = {1 + \cos{2x} \over 2}

: \sin^2{x} = {1 - \cos{2x} \over 2}

: \tan^2 x= \frac{1 - \cos{2x}}{1 + \cos{2x}}

: \cot^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{1 - \cos{2x}}

### 삼차식 공식

: \sin^3{x} = \frac{3\sin{x} - \sin{3x}}{4} 

: \cos^3{x} = \frac{3\cos{x} + \cos{3x}}{4}

### 사차식 공식

: \sin^4{x} = \frac{3 - 4\cos{2x} + \cos{4x}}{8} 

: \cos^4{x} = \frac{3 + 4\cos{2x} + \cos{4x}}{8} 

### 오차식 공식

: \sin^5{x} = \frac{10\sin{x} - 5\sin{3x} + \sin{5x}}{16} 

: \cos^5{x} = \frac{10\cos{x} + 5\cos{3x} + \cos{5x}}{16} 

### 반각 공식

차수 줄이기 이차식 공식에서 x에 \textstyle \frac x 2을 대입하고, \textstyle \cos \frac x 2 과 \textstyle \sin \frac x 2으로 푼다.

:\left|\cos{\frac{x}{2}}\right| = \sqrt{2}}}

:\left|\sin{\frac{x}{2}}\right| = \sqrt{2}}}

:\left|\tan{\frac{x}{2}}\right| =\sqrt{\frac{1 - \cos{x}}{1 + \cos{x}}}

또한, \textstyle \tan \frac x 2는 \textstyle \frac {\sin \frac x 2} {\cos \frac x 2}과 같고, 여기에 분자 분모에 같은 \textstyle 2 \cos \frac x 2을 곱한다. 그러면, 분자는 사인의 두배각 공식에 의해 \sin x이 되고, 분모는 \textstyle 2 \cos^2 \frac x 2 - 1 + 1 이므로 코사인 두배각 공식을 쓰면 \cos x + 1 이 된다. 두 번째 식은 분자와 분모에 다시 \sin x를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다.

:\tan{\frac{x}{2}} =\frac{\sin{x}}{\cos{x} + 1} = \frac{1 - \cos{x}}{\sin{x}} =\csc{x} - \cot{x}

## 곱을 합으로 바꾸는 공식

우변을 덧셈정리로 전개하면 증명된다.

: \sin{x} \cos{y} = {\sin(x + y) + \sin(x - y) \over 2}

: \cos{x} \sin{y} = {\sin(x + y) - \sin(x - y) \over 2}

: \cos{x} \cos{y} = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}

: \sin{x} \sin{y} = -{\cos(x + y) - \cos(x - y) \over 2}

## 합을 곱으로 바꾸는 공식

위 식의 x를 \textstyle \frac{x + y}{2}로, y를 \textstyle \frac{x - y}{2} 로 바꾼다.

: \sin{x} \pm \sin{y} = 2 \sin\left( \frac{x \pm y}{2} \right) \cos\left( \frac{x \mp y}{2} \right)

: \cos{x} + \cos{y} = 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right)

: \cos{x} - \cos{y} = -2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right)

: \tan{x} \pm \tan{y} = \frac{\sin{(x \pm y)}}{\cos{x}\cos{y}} 

그리고 또 다른 식들로 다음과 같이 있다.

: \frac{\sin{x} + \sin{y}}{\sin{x} - \sin{y}} = \frac{\tan{\tan 

: \frac{\sin{x} + \sin{y}}{\cos{x} - \cos{y}} = \cot{\cos{x} + \cos{y}} = \tan{\cos{x} + \cos{y}} = \tan
다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다.
:\cos 36^\circ+\cos 108^\circ=\frac 1 2
:\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac 1 2
21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더 이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자.
:\cos\frac{2\pi}{21}+\cos\frac{2(2\pi)}{21}+\cos\frac{4(2\pi)}{21}+\cos\frac{5(2\pi)}{21}+\cos\frac{8(2\pi)}{21}+\cos\frac{10(2\pi)}{21}=\frac 1 2
1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)

## 미적분학

미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선:
:\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1
과
:\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x}=0
을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다.
(참고 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2})

: {d \over dx}\sin{x} = \cos{x}

나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다.

: {d \over dx}\cos{x} = -\sin{x}

: {d \over dx}\tan{x} = \sec^2{x}

: {d \over dx}\csc{x} = -\csc{x}\cot{x}

: {d \over dx}\sec{x} = \sec{x}\tan{x}

: {d \over dx}\cot{x} = -\csc^2{x} 

: {d \over dx}\arcsin{x} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

: {d \over dx}\arccos{x} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

: {d \over dx}\arctan{x} = \frac{1}{1+x^2}

: {d \over dx}\arccot{x} = -\frac{1}{1+x^2}

: {d \over dx}\arcsec{x} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} 

: {d \over dx}\arccsc{x} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} 

적분식은 적분표를 참고하라.

## 같이 보기
* 삼각함수 적분표
* 피타고라스 정리
* 삼각법

## 참고 문헌
* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*, New York: Dover Publications, 

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