가군의 근기

환론에서, 가군의 **근기**(根基, )는 모든 극대 부분 가군에 포함되는 가장 큰 부분 가군이다. 반대로, 가군의 **주각**(柱脚, )은 모든 극소 부분 가군을 포함하는 가장 작은 부분 가군이다.

환을 스스로 위의 가군으로 여겼을 때의 근기를 **제이컵슨 근기**(Jacobson根基, )라고 한다. 이는 대략 단순 가군으로서 관찰할 수 없을 정도로 "나쁜" 원소들로 구성된 아이디얼이다.

## 정의
환 R 위의 왼쪽 가군 _RM이 주어졌다고 하자. M의 진부분 가군 가운데 극대 원소를 **[[극대 부분 가군]]**이라고 하자. (즉, 극대 부분 가군 _RN\subsetneq{}_RM은 _R(M/N)이 단순 가군이 되는 것이다.) 마찬가지로, M의, 영가군이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소(즉, 부분 가군 가운데 단순 가군인 것)를 **극소 부분 가군**()이라고 하자.

환 R 위의  왼쪽 가군 _RM이 주어졌을 때, 그 특별한 부분 가군인 **근기**(根基, ) \operatorname{rad}M와 **주각**(柱脚, ) \operatorname{soc}M을 정의할 수 있으며, 이 둘은 서로 쌍대 개념이다.

왼쪽 가군 M의 모든 극대 부분 가군들의 교집합은  M의 잉여적 부분 가군들의 합과 일치하며, 이를 M의 **근기** \operatorname{rad}M\subseteq M라고 한다. (만약 극대 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 M과 같다.) 왼쪽 가군 M의 모든 극소 부분 가군들의 합은 M의 본질적 부분 가군들의 교집합과 일치하며, 이를 M의  **주각** \operatorname{soc}M\subseteq M이라고 한다. (만약 극소 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 영가군이다.) 오른쪽 가군의 근기 및 주각 역시 마찬가지로 정의된다.

### 환의 근기와 주각
환 R를 스스로 위의 왼쪽 가군 _RR 또는 오른쪽 가군 R_R으로 생각할 수 있다. 이 경우, _RR와 R_R의 근기 및 주각을 생각할 수 있다.

_RR와 R_R의 근기는 R의 동일한 부분 집합을 정의한다.
:\operatorname{rad}(_RR)=\operatorname{rad}(R_R)\subseteq R
이는 (왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼이므로) 양쪽 아이디얼을 이루며, R의 **제이컵슨 근기**()라고 한다.

근기의 경우와 달리, 일반적으로 \operatorname{soc}(_RR)(=모든 단순 왼쪽 아이디얼의 합)과 \operatorname{soc}(R_R)(=모든 단순 오른쪽 아이디얼의 합)은 일반적으로 서로 다르며, 이를 R의 **왼쪽 주각**() 및 **오른쪽 주각**()이라고 한다.

## 성질
임의의 R-가군 준동형 f\colon {}_RM\to{}_RN에 대하여, 다음이 성립한다.
:f(\operatorname{rad}M)\subseteq\operatorname{rad}N
:f(\operatorname{soc}M)\subseteq\operatorname{soc}N

모든 유한 생성 가군은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 가지므로, 영가군이 아닌 가군 _RM의 경우 M\ne\operatorname{rad}(_RM)이다.

가군의 (유한 또는 무한) 직합
:M=\bigoplus_{i\in I}M_i
에 대하여, 다음이 성립한다.
:\operatorname{soc}M\cong\bigoplus_{i\in I}\operatorname{soc}M_i
:\operatorname{rad}M\cong\bigoplus_{i\in I}\operatorname{rad}M_i

모든 왼쪽 가군 _RM에 대하여, 다음이 성립한다.
:\operatorname{rad}\left(_MR/\operatorname{rad}(_RM)\right)=0
:\operatorname{soc}\left(\operatorname{soc}(_RM)\right)=\operatorname{soc}(_RM)

### 환·가군 성질의 필요충분조건
왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 반단순 가군이다.
* \operatorname{soc}(_RM)=M이다.

환 R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
* 반단순환이다.
* \operatorname{soc}(_RR)=R이다.
* \operatorname{soc}(R_R)=R이다.
* 모든 왼쪽 가군 _RM에 대하여 \operatorname{soc}(_RM)=M이다.
* 모든 오른쪽 가군 M_R에 대하여 \operatorname{soc}(M_R)=M이다.

환 R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 반원시환이다.
* \operatorname{rad}R=0이다.

### 아이디얼성
제이컵슨 근기는 양쪽 아이디얼이다. 모든 환은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 아이디얼을 가지므로, 자명환이 아닌 환 R의 경우 R\ne\operatorname{rad}(R)이다.

환 R의 왼쪽 주각 및 오른쪽 주각은 둘 다 양쪽 아이디얼이다.

### 나카야마 보조정리
환 R 위의 왼쪽 가군 _RM이 주어졌다고 하자. \operatorname{rad}R는 아이디얼이므로,
:(\operatorname{rad}R)M=\left\{r_1m_1+r_2m_2+\cdots+r_km_k\colon k\in\mathbb N,\;r_1,\dots,r_k\in\operatorname{rad}R,\;m_1,\dots,m_k\in M\right\}\subseteq M
는 _RM의 부분 가군을 이룬다. **나카야마 보조정리**()에 따르면, 다음 세 명제 가운데 적어도 하나가 성립한다.
* M은  유한 생성 왼쪽 가군이 아니다.
* (\operatorname{rad}R)M\subsetneq M이다.
* M=0이다.

**증명:**

_RM이 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자. m_1,\dots,m_k\in M가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* (생성 집합) Rm_1+Rm_2+\cdots+Rm_k=M
* (극소성) 임의의 1\le i\le k에 대하여, Rm_1+Rm_2+\cdots+Rm_{i-1}+Rm_{i+1}+\cdots+Rm_k\ne M
M이 영가군이 아니므로 k\ge1이다.

귀류법을 사용하여, \operatorname{rad}(R)M=M이라고 가정하자. 그렇다면,
:\sum_{i=1}^km_i=\sum_{i=1}^kj_ir_im_i
가 되는 r_1,\dots,r_k\in R 및 j_1,\dots,j_k\in\operatorname{rad}(R)가 존재한다. 제이컵슨 근기의 성질에 의하여, 모든 1\le i\le k에 대하여 1-j_ir_i\in R^\times는 가역원이다. 따라서,
:m_1=-(1-j_1r_1)^{-1}\sum_{i=2}^k(1-j_ir_i)m_i
가 되며, 이는 \{m_1,\dots,m_k\}의 극소성과 모순된다.


### 제이컵슨 근기의 원소의 성질
환 R의 원소 r\in R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
* r\in\operatorname{rad}R이다.
* 임의의 왼쪽 단순 가군 M에 대하여, rM=\{0\}이다.
* 임의의 오른쪽 단순 가군 M에 대하여, Mr=\{0\}이다.
* 모든 왼쪽 극대 아이디얼 \mathfrak m에 대하여, r\in\mathfrak m
* 모든 오른쪽 극대 아이디얼 \mathfrak m에 대하여, r\in\mathfrak m
* 모든 s\in R에 대하여, 1-rs는 가역원이다.
* 모든 s\in R에 대하여, 1-sr는 가역원이다.
* 모든 s,s'\in R에 대하여, 1-srs'는 가역원이다.
즉, 제이컵슨 근기는 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 극대 아이디얼들의 교집합이자 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 단순 가군들의 소멸자들의 교집합이다. (이는 가환환의 영근기가 모든 소 아이디얼들의 교집합인 것과 유사하다.)

가환환 R의 제이컵슨 근기는 영근기를 부분 아이디얼로 갖는다.
:\sqrt{(0)}\subseteq\operatorname{rad}R
만약 가환환 R가 정수환 위의 유한 생성 단위 결합 대수이거나, 아니면 체 위의 유한 생성 단위 결합 대수라면, 제이컵슨 근기는 영근기와 같다.

## 예
### 환의 근기와 주각
체 K는 영 아이디얼와 전체 아이디얼 밖의 아이디얼을 갖지 않는다. 따라서 체의 근기는 영 아이디얼이며, 체의 주각은 전체 아이디얼이다.
:\operatorname{rad}K=0
:\operatorname{soc}K=K
보다 일반적으로, 모든 원시환의 근기는 영 아이디얼이다. 정수환 \mathbb Z의 근기는 영 아이디얼이다.

국소환 (R,\mathfrak m)의 근기는 (극대 아이디얼이 하나밖에 없으므로) 유일한 극대 아이디얼 \mathfrak m이다.

정수환의 몫환 \mathbb Z/(n)의 극대 아이디얼들은 n\in\mathbb Z의 소인수들의 주 아이디얼이다. 따라서, n의 소인수 분해가
:n=\prod_ip_i^{n_i}
라면, \mathbb Z/(n)의 제이컵슨 근기는 다음과 같은 주 아이디얼이다. 이는 영근기와 같으며, 만약 n이 제곱 인수가 없는 정수라면 이는 영 아이디얼과 같다.
:\operatorname{rad}(\mathbb Z/(n))=\sqrt{(0)}=(\prod_ip_i)\subseteq\mathbb Z/(n)

### 아벨 군의 근기와 주각
아벨 군은 정수환 \mathbb Z 위의 가군과 같으며, 따라서 아벨 군의 근기와 주각을 정의할 수 있다.

#### 순환군
무한 순환군 \mathbb Z은 극소 부분군을 갖지 않으며, 극대 부분군은 소수 p에 대하여 p\mathbb Z의 꼴이다. 따라서, 근기와 주각 둘 다 자명군이다.
:\operatorname{rad}(_{\mathbb Z}\mathbb Z)=\operatorname{soc}(_{\mathbb Z}\mathbb Z)=0

임의의 자연수 n의 소인수 분해
:n=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연수의 근기
:\operatorname{rad}(n)=p_1p_2\cdots p_k
를 정의할 수 있다. n차 순환군 \mathbb Z/n의 극소 부분군은 n의 소인수 p_i 크기의 순환군 (n/p_i)\mathbb Z/n이며, 극대 부분군은 n/p_i 크기의 순환군 (p_i)\mathbb Z/n에 대응한다. 따라서, 이 경우
:\operatorname{rad}(_{\mathbb Z}(\mathbb Z/n))=(\operatorname{rad}n)\mathbb Z/n\cong\mathbb Z/(n/\operatorname{rad}n))
:\operatorname{soc}(_{\mathbb Z}(\mathbb Z/n))=(n/\operatorname{rad}n)\mathbb Z/n\cong\mathbb Z/(\operatorname{rad}n)
이다.

#### 나눗셈군
나눗셈군(예를 들어, 유리수체의 덧셈군이나 프뤼퍼 군)은 극대 부분군을 갖지 않으므로, 나눗셈군은 스스로의 근기와 같다. 유리수체의 덧셈군은 극소 부분군 또한 갖지 않으므로, 주각은 자명군이다.
:\operatorname{rad}(_{\mathbb Z}\mathbb Q)=\mathbb Q
:\operatorname{soc}(_{\mathbb Z}\mathbb Q)=0
프뤼퍼 군의 부분군들은
:0\subsetneq p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z\subsetneq p^{-2}\mathbb Z/\mathbb Z\subsetneq\cdots\subset\mathbb Z(p^\infty)
이므로, 그 유일한 극소 부분군은 p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z이며, 이는 그 주각과 같다.
:\operatorname{rad}(_{\mathbb Z}\mathbb Z(p^\infty))=\mathbb Z(p^\infty)
:\operatorname{soc}(_{\mathbb Z}\mathbb Z(p^\infty))=p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z

## 역사
환의 주각의 개념은 장 디외도네가 1942년에 도입하였다.

제이컵슨 근기의 개념은 네이선 제이컵슨이 1945년에 도입하였다.

나카야마 보조정리는 나카야마 다다시가 1951년에 도입하였다.

## 각주

## 외부 링크
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## 같이 보기
* 영근기
* 소근기
* 반원시환

분류:환론
분류:가군론
분류:아이디얼