합

섬네일
수학에서 **유한합**(有限合, )은 유한 개의 수를 더한 결과를 뜻한다. 유한합의 표기에는 그리스 문자 시그마의 모양을 딴 기호 \textstyle\sum가 쓰인다.

## 정의
유한 수열 (a_m,a_{m+1},\dots,a_n)의 **유한합**
:\sum_{k=m}^na_k=\sum_{m\le k\le n}a_k=a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n
은 이 수열의 모든 항을 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.
:\sum_{k=m}^{m-1}a_k=0
:\sum_{k=m}^na_k=a_n+\sum_{k=m}^{n-1}a_k\qquad(n\in\{m,m+1,m+2,\dots\})

보다 일반적으로, 유한 집합 I로 첨수된 수들의 집합 \{a_i\colon i\in I\}의 **유한합**은 이 집합의 모든 원소를 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 정의된다.
:\sum_{i\in I}a_i=\sum_{k=1}^a_{f(k)}
여기서 |I|는 I의 크기이며, f\colon\{1,\dots,|I|\}\to I는 임의의 전단사 함수이다. 위 정의가 유효한 것은 위 합이 전단사 함수 f의 선택과 무관하기 때문이다.

집합 I 및 그 위의 성질 P에 대하여, 원소 i\in I가 성질 P를 만족시킨다는 것을 P(i)로 쓰자. 만약 집합 \{i\in I\colon P(i)\}가 유한 집합일 경우, 유한합
:\sum_{i\in\{j\in I\colon P(j)\}}a_i
는
:\sum_{i\in I\colon P(i)}a_i
와 같이 표기할 수 있다.

## 성질
### 항등식
합에 대한 성질을 나타내는 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
* (점화식) \sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^ma_k+\sum_{k=m+1}^na_k
* (덧셈의 보존) \sum_{k=1}^n(a_k\pm b_k)=\sum_{k=1}^na_k\pm\sum_{k=1}^nb_k
* (분배 법칙) \sum_{k=1}^nca_k=c\sum_{k=1}^na_k
* (선형성: 이는 덧셈의 보존 및 분배 법칙의 일반화이다.) \sum_{k=1}^n(ca_k+c'b_k)=c\sum_{k=1}^na_k+c'\sum_{k=1}^nb_k
* (푸비니 정리) \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{i,j}=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^ma_{i,j}=\sum_a_{i,j}
그러나 합은 곱셈과 나눗셈을 보존하지 않는다.

### 부등식
실수들의 유한합을 포함하는 다음과 같은 부등식들이 성립한다.
* (코시-슈바르츠 부등식) \left(\sum_{k=1}^na_kb_k\right)^2\le\left(\sum_{k=1}^na_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^nb_k^2\right)
* (횔더 부등식: 코시-슈바르츠 부등식은 이 부등식의 특수한 경우이다.) \sum_{k=1}^n|a_kb_k|\le\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^\frac1p\left(\sum_{k=1}^n|b_k|^q\right)^\frac1q\qquad p,q>1,\;\frac1p+\frac1q=1
* (민코프스키 부등식) \left(\sum_{k=1}^n|a_k+b_k|^p\right)^\frac1p\le\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^\frac1p+\left(\sum_{k=1}^n|b_k|^p\right)^\frac1p\qquad p>1

:\begin{align}0
&\le\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(a_ib_j-a_jb_i)^2\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(a_i^2b_j^2-2a_ia_jb_ib_j+a_j^2b_i^2)\\
&=2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_i^2b_j^2-2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_jb_ib_j\\
&=2\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right)\left(\sum_{j=1}^nb_j^2\right)-2\left(\sum_{k=1}^na_kb_k\right)^2
\end{align}

영의 부등식에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다.
:\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n|a_kb_k|}{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n|a_i|^p\right)^\frac1p\left(\sum_{j=1}^n|b_j|^q\right)^\frac1q}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{|a_k|^p}{\displaystyle\sum_{i=1}^n|a_i|^p}\right)^\frac1p\left(\frac{|b_k|^q}{\displaystyle\sum_{j=1}^n|b_j|^q}\right)^\frac1q\le\sum_{k=1}^n\left(\frac1p\frac{|a_k|^p}{\displaystyle\sum_{i=1}^n|a_i|^p}+\frac1q\frac{|b_k|^q}{\displaystyle\sum_{j=1}^n|b_j|^q}\right)=\frac1p+\frac1q=1

다음과 같은 q>1를 취하자.
:\frac1p+\frac1q=1
그렇다면, 이 부등식은 횔더 부등식을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.
:\begin{align}\sum_{k=1}^n|a_k+b_k|^p
&\le\sum_{k=1}^n|a_k||a_k+b_k|^{p-1}+\sum_{k=1}^n|b_k||a_k+b_k|^{p-1}\\
&\le\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^\frac1p\left(\sum_{k=1}^n|a_k+b_k|^{q(p-1)}\right)^\frac1q+\left(\sum_{k=1}^n|b_k|^p\right)^\frac1p\left(\sum_{k=1}^n|a_k+b_k|^{q(p-1)}\right)^\frac1q\\
&=\left(\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^\frac1p+\left(\sum_{k=1}^n|b_k|^p\right)^\frac1p\right)\left(\sum_{k=1}^n|a_k+b_k|^p\right)^\frac1q
\end{align}

## 예
일부 특수한 합은 더 간단한 꼴의 식으로 나타낼 수 있으며, 그 예는 다음과 같다.

### 다항식
* (상수열의 유한합) \sum_{k=1}^nc=cn
* (등차수열의 유한합: 이를 삼각수라고 한다.) \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2=\frac{n^2}2+\frac n2
* (제곱수의 유한합: 이를 사각뿔수라고 한다.) \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6=\frac{n^3}3+\frac{n^2}2+\frac n6
* (세제곱수의 유한합: 이를 니코마코스 정리()라고 한다.) \sum_{k=1}^nk^3=\left(\sum_{k=1}^nk\right)^2=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2=\frac{n^4}4+\frac{n^3}2+\frac{n^2}4
* (네제곱수의 유한합) \sum_{k=1}^nk^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}=\frac{n^5}5+\frac{n^4}2+\frac{n^3}3-\frac n{30}
* (다섯제곱수의 유한합) \sum_{k=1}^nk^5=\frac {n^2(n+1)^2 (2n^2+2n-1)}{12}
* (여섯제곱수의 유한합) \sum_{k=1}^nk^6=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42}
* (일곱제곱수의 유한합) \sum_{k=1}^nk^7=\frac{n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)}{24}
* (임의의 거듭제곱수의 유한합: 이를 파울하버 공식()이라고 한다. 여기서 B_k는 k번째 베르누이 수이다.) \sum_{k=1}^nk^p=\sum_{k=0}^pB_k\binom pk\frac{(n+1)^{p-k+1}}{p-k+1}

항등식
:(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1\qquad(k\in\{1,\dots,n\})
을 모두 더해서 정리해주면 위 공식과 같은 결과가 도출된다.

### 유리식
* (조화수열의 유한합: 이를 조화수라고 한다.) \sum_{k=1}^n\frac1k=\int_0^1\frac{1-x^n}{1-x}dx=H_n

### 지수 함수
* (등비수열의 유한합) \sum_{k=0}^na^k=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}\qquad a\ne1
* (등차-등비 수열의 유한합) \sum_{k=1}^nka^k=\frac{a-(n+1)a^{n+1}+na^{n+2}}{(1-a)^2}\qquad a\ne1
* (삼각 함수의 유한합: 이를 디리클레 핵()이라고 한다.) \sum_{k=1}^n\cos k\theta=-\frac12+\frac{\sin\left(n+\dfrac12\right)\theta}{2\sin\dfrac\theta2}\qquad\theta\ne0

### 이항 계수
* (이항 계수의 유한합) \sum_{k=0}^n\binom nk=2^n\sum_{p=k}^n\binom pk=\binom{n+1}{k+1}
* (하강 계승의 유한합) \sum_{k=0}^nn^\underline k=\lfloor n!e\rfloor

## 같이 보기
* 급수: 무한합

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