표현환

리 군론에서 **표현환**(表現環, )은 어떤 리 군의 유한 차원 표현들로 생성되는 그로텐디크 환이다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 콤팩트 리 군 G (특히, 모든 유한군은 이산 공간으로서 콤팩트 리 군을 이룬다)
* \mathbb K \in \{\mathbb R,\mathbb C\} (실수체 또는 복소수체)
그렇다면, G의 매끄러운 유한 차원 표현
:G \to \operatorname{GL}(V;\mathbb K)
들의 동치류들의 집합을 생각하자. (이는 항상 가산 집합이다.) 이는 텐서곱과 직합을 통하여 가환 반환을 이룬다. 그 덧셈 항등원은 (유일한) 0차원 표현이며, 그 곱셈 항등원은 상수 함수인 자명한 1차원 표현
:G \to \operatorname{GL}(1;\mathbb K)
:g \mapsto 1IHÉS
이다.

따라서, 이 반환의 그로텐디크 환
:\operatorname R(G;\mathbb K)
을 취할 수 있다. 이를 G의 \mathbb K계수 **표현환**이라고 한다. \mathbb K = \mathbb R일 때 이 가환환을 \operatorname{RO}(G)라고 하며, \mathbb K = \mathbb C일 때 이 가환환을 \operatorname{RU}(G)라고 한다.

### 사원수의 경우
위와 마찬가지로, \mathbb K = \mathbb H(사원수의 나눗셈환)인 경우를 생각할 수 있다. 이 경우, 표현의 직합은 잘 정의되지만, 사원수의 비가환성으로 인하여, 표현의 텐서곱을 일반적으로 취할 수 없다. 따라서 이 경우 얻어지는 아벨 군 \operatorname{RSp}(G) = \operatorname R(G;\mathbb H)은 일반적으로 가환환의 구조를 갖지 못한다. 그러나 실수 표현과 사원수 표현의 텐서곱은 잘 정의되므로, \operatorname{RSp}(G)는 가환환 \operatorname{RO}(G) 위의 가군을 이룬다.

## 성질
표현환에는 항상 표현의 차원을 나타내는 환 준동형
:\dim_{\mathbb C} \colon \operatorname{RU}(G) \to \mathbb Z
:\dim_{\mathbb R} \colon \operatorname{RO}(G) \to \mathbb Z
이 존재한다.

\operatorname{RU}(G) 위에는 복소수 켤레 사상에 따라서 자기 동형
:(-)^* \colon \operatorname{RU}(G) \to \operatorname{RU}(G)
이 존재한다. 이는 등급을 보존하는 전단사 환 준동형이다. 마찬가지로, \operatorname{RSp}(G) 위에는
:(-)^* \colon \operatorname{RSp}(G) \to \operatorname{RSp}(G)
가 존재하며, 이는 등급을 보존하는 덧셈군의 군 준동형이다.

또한, 복소화에 따라 환 준동형
: (-)^{\mathbb C}\colon \operatorname{RO}(G) \to \operatorname{RU}(G)
: (-)^{\mathbb H}\colon \operatorname{RO}(G) \to \operatorname{RSp}(G)
이 존재한다. 반대로, 복소수 또는 사원수 구조의 망각에 따라서 덧셈군의 군 준동형
: \operatorname{RU}(G) \to \operatorname{RO}(G)
: \operatorname{RSp}(G) \to \operatorname{RO}(G)
이 존재한다. \operatorname{RU}(G) \to \operatorname{RO}(G)는 유사환의 준동형이지만, 복소수 1차원 표현을 실수 2차원 표현에 대응시키므로, 환 준동형을 이루지 못한다. 또한, 포함 관계  \mathbb C\hookrightarrow \mathbb H의 모듈러스 공간은 \mathbb S^2 = \{x \in \mathbb H\colon \bar x = -x,\; \|x\|=1\}이므로, 이에 따라 망각 사상
:\operatorname{RSp}(G) \times\mathbb S^2 \to \operatorname{RU}(G)
이 존재한다.

외부 자기 동형군 \operatorname{Out}(G)은 \operatorname{RU}(G) 및 \operatorname{RO}(G) 위에 환의 자기 동형으로 작용한다.

### 함자성
H가 콤팩트 리 군 G의 닫힌집합 부분군일 때, 그 표현환 사이에 다음과 같은 환 준동형이 유도된다.
:\operatorname{res}^G_H \colon \operatorname{RU}(G) \to \operatorname{RU}(H)
:\operatorname{res}^G_H \colon \operatorname{RO}(G) \to \operatorname{RO}(H)
이에 따라, \operatorname{RU}(H)는 \operatorname{RU}(G) 위의 유한 생성 가군을 이루며, 마찬가지로 \operatorname{RO}(G)도 \operatorname{RO}(H) 위의 유한 생성 가군을 이룬다.

### 연결 콤팩트 리 군의 경우
G가 연결 콤팩트 리 군이라고 하고, 그 극대 원환면
:T \le G
및 이에 대한 바일 군
:\operatorname{Weyl}(G,T) \le \operatorname{Out}(T)
을 정의하자. 그렇다면, 표준적으로
:\operatorname{RU}(G) \cong \operatorname{RU}(T)^{\operatorname{Weyl}(G,T)}
이다. 여기서 우변은 \operatorname{RU}(T) \cong \mathbb Z[x_1,x_1^{-1},\dotsc,x_{\dim T},x_{\dim T}^{-1}]의 원소 가운데, 바일 군의 작용에 대하여 불변인 것들로 구성된 부분환이다.

### 유한 아벨 군의 경우
임의의 유한 아벨 군 G에 대하여, 그 지표군
:\hat G = \{\phi\in\hom_{\operatorname{Grp}}(G,\mathbb C^\times \}
을 생각하자. 그렇다면, 복소수 표현환은 항상 지표군의 정수 계수 군환이다.
:\operatorname{RU}(G) = \mathbb Z[\hat G]

## 예
### 자명군
자명군의 표현환은 정수환이다.
:\operatorname{RO}(1) = \operatorname{RU}(1) \cong \mathbb Z
즉, 그 표현들은 모두 자명한 표현이다.

### 순환군
n차 순환군 \operatorname{Cyc}(n)의 경우,
:\operatorname{RU}(\operatorname{Cyc}(n)) \cong \mathbb Z[x]/(x^n-1)
이며, 그 차원은
:\dim \colon \operatorname{RU}(\operatorname{Cyc}(n))  \to \mathbb Z
: x \mapsto 1
이다.
 
이 동형 아래, x는 다음과 같은, 1의 거듭제곱근을 통한 1차원 표현에 대응한다.
:\operatorname{Cyc}(n) = \langle a|a^n=1\rangle \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C)
:a \mapsto \exp(2\pi\mathrm i/n)

### 3차 대칭군
3차 대칭군 \operatorname{Sym}(3)의 경우,
:\operatorname{RU}(\operatorname{Sym}(3)) \cong \mathbb Z[x,y]/(xy-y,x^2-1,y^2-x-y-1)
:\dim x = 1
:\dim y = 2
이다. 여기서 x에 대응하는 1차원 표현은
:\operatorname{Sym}(3) \mapsto \mathbb C^\times
:\sigma \mapsto (-)^\sigma
이며, y에 대응하는 2차원 표현은 \{(x,y,z)\in\mathbb C^3 \colon x+y+z=0\} 위에 벡터 성분의 순열로 작용한다.

### 원군
원군 \operatorname U(1)의 복소수 계수 표현환은 로랑 다항식의 환
:\operatorname{RU}(\operatorname{Cyc}(n)) \cong \mathbb Z[x,x^{-1}]
이며, 그 차원은
:\dim \colon \operatorname{RU}(\operatorname{Cyc}(n))  \to \mathbb Z
: x \mapsto 1
이다. 이 동형 아래, x^k (k\in\mathbb Z)는 다음과 같은 1차원 표현에 대응한다.
:\operatorname U(1) = \{z\in\mathbb C\colon |z|=1\} \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C) = \{z\in\mathbb C\colon z \ne 0\}
: z \mapsto z^k

원군의 실수 계수 다항식은 다음과 같은 부분환이다.
:\operatorname{RO}(\operatorname U(1)) = \{\rho \in \operatorname{RU}(\operatorname U(1)) \colon \rho(x) = \rho(x^{-1}) \} \le \operatorname{RU}(\operatorname U(1)) 

### 원환면군
원환면군
:\operatorname U(1)^n
의 복소수 계수 표현환은 다음과 같은 가환환이다.
:\operatorname{RU}(\operatorname U(1)^n) = 
\mathbb Z[x_1,x_1^{-1},x_2,x_2^{-1},\dotsc,x_n,x_n^{-1}] \cong \mathbb Z[y,x_1,\dotsc,x_n] / (yx_1\dotsm x_n - 1)
:\dim \colon x_0, x_1,\dotsc,x_n \to 1 
이 동형 아래,
:\operatorname U(1)^n = \{(z_1,z_2,\dotsc,z_n)\colon |z_1|=\dotsb = |z_n|= 1\} \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C) = \{z\in\mathbb C\colon z\ne 0\}
:x_i \colon (z_1,\dotsc,z_n) \mapsto z_i \qquad( i \in \{1,2,\dotsc,n\})
이다.

### 유니터리 군
유니터리 군 \operatorname U(n)의 경우, 극대 원환면은 대각 행렬
:\operatorname{diag}\colon\operatorname U(1)^n \hookrightarrow \operatorname U(n)
:\operatorname{diag} \colon (z_1,\dotsc,z_n) \mapsto \operatorname{diag}(z_1,\dotsc,z_n)
로 구성되며, 이에 따른 바일 군은 대칭군 \operatorname{Sym}(n)이다. 즉, 그 표현환은
:\operatorname{RU}(\operatorname U(n)) = \operatorname{RU}(\operatorname U(1)^n)^{\operatorname{Sym}(n)} \cong \mathbb Z[s_1,s_2,\dotsc,s_{n-1},s_n,s_n^{-1}]
이다. 여기서 s_a는 a번째 기초 대칭 다항식에 대응된다.
:s_a = \prod_{1\le i_1 
특히, s_1은 유니터리 군의 n차원 정의 표현이며, 또한 s_n은 행렬식 표현에 해당한다.
:s_n = \det \colon \operatorname U(1) \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C)
:\det \colon M \mapsto \det M
이는 1차원 표현이므로 역원 M \mapsto (\det M)^{-1}을 갖는다.

## 각주

## 외부 링크
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