몫공간

일반위상수학에서 **몫공간**(-空間, )은 어떤 위상 공간의 몫집합 위에 표준적으로 존재하는 위상 공간이다.

## 정의
### 몫위상
위상 공간 X 및 그 위의 동치 관계 {\sim}\subseteq X^2가 주어졌을 때, 몫집합 X/\mathord\sim 위의 **몫위상**(-位相, )은 다음 두 가지 방법을 통해 정의할 수 있으며, 이렇게 정의한 두 위상은 서로 같다.
* (열린집합을 통한 정의) 부분 집합 U\subseteq X/\mathord\sim이 열린집합일 필요충분조건은 [-]_\sim^{-1}(U)\subseteq X가 X의 열린집합인 것이다. (여기서 \textstyle[-]_\sim^{-1}(U)=\{x\in X\colon[x]_\sim\in U\}는 U의 표준 사영 X\to X/\mathord\sim에 대한 원상이다.)
* (닫힌집합을 통한 정의) 부분 집합 F\subseteq X/\mathord\sim이 닫힌집합일 필요충분조건은 [-]_\sim^{-1}(F)\subseteq X가 X의 닫힌집합인 것이다.
이 위상은 표준 사영
:X\to X/\mathord\sim
을 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 또한, 이는 임의의 위상 공간 Y 및 함수 f\colon X/\mathord\sim\to Y에 대하여 다음 두 조건을 동치로 만드는, 유일한 X/\mathord\sim 위의 위상이다.
*  f는 연속 함수이다.
* f\circ[-]_\sim\colon X\to Y는 연속 함수이다.

### 몫사상
두 위상 공간 X, Y 사이의 전사 함수 q\colon X\to Y에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 q를 **몫사상**(-寫像, )이라고 한다.
* f는 연속 함수이며, 만약 U\subseteq Y가 부분 집합이며 q^{-1}(U)\subseteq X가 열린집합이라면, U\subseteq Y 역시 열린집합이다.
* f는 연속 함수이며, 만약 F\subseteq Y가 부분 집합이며 q^{-1}(F)\subseteq X가 닫힌집합이라면, F\subseteq Y 역시 닫힌집합이다.
* 임의의 위상 공간 Z 및 함수 f\colon Y\to Z에 대하여, f가 연속 함수인 것과 f\circ q\colon X\to Z가 연속 함수인 것은 동치이다.

몫위상과 몫사상의 개념은 서로 동치이다. 구체적으로, 몫공간 X/\mathord\sim에 대하여, 표준 사영 X\to X/\mathord\sim은 몫사상이다. 반대로, 몫사상 q\colon X\to Y가 주어졌을 때, X 위에 다음과 같은 동치 관계 \stackrel q\sim을 정의하자.
:x\stackrel q\sim x'\iff q(x)=q(x')\qquad\forall x,x'\in X
그렇다면 Y는 몫공간 X/\mathord{\stackrel q\sim}과 위상 동형이다.

## 성질
### 함의 관계
모든 몫사상은 전사 연속 함수이며, 모든 열린 전사 연속 함수와 닫힌 전사 연속 함수는 몫사상이다. 몫사상이 단사 함수일 필요충분조건은 위상 동형 사상이다. 콤팩트 공간 X에서 하우스도르프 공간 Y로 가는 함수 X\to Y의 경우, 전사 연속 함수, 몫사상, 닫힌 전사 연속 함수의 개념이 서로 동치이다. (이는 모든 연속 함수 X\to Y가 닫힌 함수이기 때문이다.)

### 연산에 대한 닫힘
두 몫사상 f\colon X\to Y와 g\colon Y\to Z의 합성 g\circ f\colon X\to Z는 몫사상이다. 반대로, 만약 f\colon X\to Y와 g\colon Y\to Z가 연속 함수이며 g\circ f가 몫사상이라면, f 역시 몫사상이다.

몫사상 f\colon X\to Y 및 연속 함수 h\colon X\to Z에 대하여, 만약 x,x'\in X, f(x)=f(x')가 항상 h(x)=h(x')을 함의한다면, f와 h를 통해 유일하게 정의되는 함수
:\widetilde h\colon Y\to Z
:\widetilde h\circ f=h
는 연속 함수이다.

몫사상 q\colon X\to Y 및 부분 집합 A\subseteq Y에 대하여, 만약 다음 네 조건 가운데 하나가 성립한다면, 제한
:q\restriction(q^{-1}(A),A)\colon q^{-1}(A)\to A
는 몫사상이다.
* A\subseteq Y는 열린집합이다.
* A\subseteq Y는 닫힌집합이다.
* q는 열린 함수이다.
* q는 닫힌 함수이다.
반대로, 만약 q\colon X\to Y가 전사 연속 함수이며, 임의의 y\in Y가 q\restriction(q^{-1}(N),N)을 몫사상으로 만드는 근방 N\ni y를 갖는다면, q는 몫사상이다.

몫사상 f\colon X\to Y, f'\colon X'\to Y'에 대하여, 자연스럽게 정의되는 함수
:f\times f'\colon X\times X'\to Y\times Y'
:f\times f'\colon(x,x')\mapsto(f(x),f'(x'))
를 생각하자. 이는 전사 연속 함수이지만, (정의역과 공역의 곱위상에 대하여) 몫사상이 아닐 수 있다. 그러나 임의의 몫사상 f\colon X\to Y 및 국소 콤팩트 공간 Z에 대하여,
:f\times\operatorname{id}_Z\colon X\times Z\to Y\times Z
는 (곱위상에 대하여) 몫사상이다. 또한, 임의의 콤팩트 생성 공간 X, Z 및 몫사상 f\colon X\to Y에 대하여,
:k(f\times\operatorname{id}_Z)\colon k(X\times Z)\to k(Y\times Z)
는 (콤팩트 생성 곱위상에 대하여) 몫사상이다.

### 끝 위상과의 관계
몫위상은 표준 사영에 대한 끝 위상이다. 반대로, 위상 공간 Y가 위상 공간들의 집합 (X_i)_{i\in I} 및 함수들의 집합 (f_i\colon X_i\to Y)_{i\in I}에 대한 끝 위상을 갖는다고 하자. 이는 위상합
:X=\bigsqcup_{i\in I}X_i
위에 자연스럽게 유도되는 하나의 함수
:f\colon X\to Y
에 대한 끝 위상과 같다. 이 경우, f\restriction(X,f(X))\colon X\to f(X)는 몫사상이다. 따라서 f(X)는 열린닫힌집합이며, X의 몫공간과 위상 동형이다. 또한 Y\setminus f(X)은 이산 공간이다. 즉, Y는 (X_i)_{i\in I}의 위상합의 몫공간과 이산 공간의 위상합이다.

## 예
### 다각형의 몫공간
직사각형의 한 쌍의 대변을 직사각형의 둘레를 따라 회전하는 방향을 기준으로 반대 방향을 따라 붙여 몫공간을 취하면 원기둥을 얻으며, 같은 방향을 따라 붙이면 뫼비우스의 띠를 얻는다.

만약 어떤 위상 공간이 변의 수가 짝수인 다각형의 변을 둘씩 짝을 지어 붙여 만든 몫공간과 위상 동형이라면, 이 다각형과 동치 관계의 순서쌍을 위상 공간의 **다각형 표시**(多角形表示, )이라고 한다. 변의 수가 2n인 다각형 표현은 길이 2n의 문자열 \alpha\in\{a_1,a_2,\dotsc,a_n,a_1^{-1},a_2^{-2},\dotsc,a_n^{-1}\}^{2n}로 나타낼 수 있다. 각 i=1,2,\dotsc,n에 대하여, \alpha 속에는 a_i가 정확히 두 번 등장하거나 a_i와 a_i^{-1}가 정확히 한 번씩 등장해야 한다. 만약 \alpha_i=\alpha_j라면, 다각형의 i번째 변과 j번째 변을 같은 방향으로 붙인다. 만약 \alpha_j=\alpha_i^{-1}라면, i번째 변과 j번째 변을 반대 방향으로 붙인다.

### 부분 집합을 한 점으로 합친 공간
위상 공간 X의 부분 집합 A을 한 점으로 합쳐 만든 몫공간은
:X/A
로 표기한다.

하우스도르프 공간 X 및 콤팩트 집합 A\subseteq X에 대하여, X/A는 항상 하우스도르프 공간이다.

예를 들어,
:[0,1]/\{0,1\}\cong\mathbb S^1
:\bar{\mathbb D}^2/\mathbb S^1\cong\mathbb S^2
이다. 여기서 \bar{\mathbb D}^n은 n차원 유클리드 공간의 닫힌 공이며, \mathbb S^n은 n차원 초구이다.

### 뿔

위상 공간 X 위의 **[[붙임 공간|뿔]]**은 다음과 같다.
:\operatorname{cone}(X)=(X\times[0,1])/(X\times\{0\})

하우스도르프 공간 위의 뿔은 하우스도르프 공간이다.

유클리드 공간 \mathbb R^n의 콤팩트 집합 X 위의 뿔은 다음과 같은 공간과 위상 동형이다.
:\operatorname{cone}(X)\cong\{(1-t)a+tx\colon x\in X,\;t\in[0,1]\}
:a\in\mathbb R^{n+1}\setminus\mathbb R^n

임의의 연속 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* f는 널호모토픽하다.
* f의 연속 확장 \operatorname{cone}(X)\to Y이 존재한다.

### 붙임 공간

두 위상 공간 X, Y 및 부분 집합 A\subseteq X 및 연속 함수 f\colon A\to Y가 주어졌다고 하자. 위상합 X\sqcup Y 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.
:x\sim f(x)\qquad\forall x\in A
그렇다면, f의 **[[붙임 공간]]**은 다음과 같은 몫공간이다.
:Y\cup_fX=(X\sqcup Y)/\sim
예를 들어,
:\bar{\mathbb D}^2\cup_{\iota_{\mathbb S^1}}\bar{\mathbb D}^2\cong\mathbb S^2
:\operatorname M\cup_{\iota_{\partial{\operatorname M}}}\operatorname M\cong\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2
:M\cup_f\bar{\mathbb D}^2\cong\mathbb{RP}^2
이다. 여기서 \iota_{\mathbb S^1}\colon\mathbb S^1\to\bar{\mathbb D}^2와 \iota_{\partial{\operatorname M}}\colon\partial{\operatorname M}\to\operatorname M은 포함 함수이며, f\colon\partial\bar{\mathbb D}^2\to\partial{\operatorname M}는 두 경계 사이의 위상동형사상이다.

### 열린 함수나 닫힌 함수가 아닌 몫사상
몫공간 \mathbb R/(0,1]으로의 표준 사영 p\colon\mathbb R\to\mathbb R/(0,1]은 몫사상이지만, 열린 함수가 아니며 닫힌 함수도 아니다. 예를 들어, (-\infty,1)\subseteq\mathbb R는 열린집합이지만, p((-\infty,1))\subseteq\mathbb R/(0,1]은 열린집합이 아니다. 이는
:p^{-1}(p((-\infty,1)))=(-\infty,1]\subseteq\mathbb R
가 열린집합이 아니기 때문이다. 또한 [1,\infty)\subseteq\mathbb R는 닫힌집합이지만, p([1,\infty))\subseteq\mathbb R/(0,1]은 닫힌집합이 아니다. 이는
:p^{-1}(p([1,\infty)))=(0,\infty)\subseteq\mathbb R
가 닫힌집합이 아니기 때문이다.

### 곱이 몫사상이 아닌 두 몫사상
몫공간 \mathbb Q/\mathbb Z로의 표준 사영 \mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z과 항등 함수 \mathbb Q\to\mathbb Q의 곱
:f\colon\mathbb Q\times\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z\times\mathbb Q
는 (곱위상에 대하여) 몫사상이 아니다. 예를 들어, 임의의 n\in\mathbb Z에 대하여 r_n=\sqrt 2/(|n|+1)이라고 하자. 또한 A_n\subseteq[n,n+1]\times\mathbb R가 (n,r_n), (n+1/2,r_n), (n+1,r_{n+1})을 꼭짓점으로 하는 열린 삼각형 영역이라고 하고,
:B=(\mathbb Q\times\mathbb Q)\cap\operatorname{cl}_{\mathbb R^2}\bigcup_{n\in\mathbb Z}A_n
라고 하자. 그렇다면,
:f^{-1}(f(B))=B\subseteq\mathbb Q\times\mathbb Q
는 닫힌집합이지만, f(B)\subseteq\mathbb Q/\mathbb Z\times\mathbb Q는 닫힌집합이 아니다. 이는
:f((0,0))\in\operatorname{cl}_{\mathbb Q/\mathbb Z\times\mathbb Q}f(B)\setminus f(B)
이기 때문이다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:일반위상수학
분류:위상 공간