르베그 공간

함수해석학에서 **르베그 공간**(Lebesgue空間, ) 또는 **L<sup>''p''</sup> 공간**()은 절댓값의 p 제곱이 르베그 적분 가능한 가측 함수들의 동치류들로 구성된 노름 공간이다.

## 정의
측도 공간 (X,\Sigma,\mu) 및 음이 아닌 확장된 실수 0\le p\le\infty가 주어졌다고 하고, \mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}가 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 실수체 또는 복소수체라고 하자. 그렇다면, **르베그 공간** \operatorname L^p(X;\mathbb K)는 \mathbb K-위상 벡터 공간이며, 그 정의는 p의 값에 따라 다음과 같다.

### L<sup>''p''</sup> (0 < ''p'' ≤ ∞)
0 및 가측 함수 f\colon X\to\mathbb K에 대하여 다음 기호를 정의하자.
:\|\cdot\|_p\colon \mathcal M(X;\mathbb K)\to[0,\infty]
:\|f\|_p=\begin{cases}\sqrt[p]{\int_X|f(x)|^p\mathrm d\mu}&pC\})=0\right\}&p=\infty\end{cases}
그렇다면, \mathcal L^p를 다음과 같은 집합으로 정의하자.
:\mathcal L^p(X;\mathbb K)=\{f\in \mathcal M(X;\mathbb K)\colon \|f\|_p
여기서 \mathcal M(X;Y)는 두 측도 공간 X,Y 사이의 가측 함수의 집합이며, \mathbb K의 경우 보렐 시그마 대수를 갖춘 것으로 여긴다.

\mathcal L^p(X;\mathbb K)는 \mathbb K에 대한 벡터 공간을 이루며, 부분 공간
:(\|\cdot\|_p)^{-1}(0)=\{f\in \mathcal M(X;\mathbb K)|\|f\|_p=0\}\subseteq\mathcal L^p(X;\mathbb K)
으로 몫공간을 취한 것을 **르베그 공간** \operatorname L^p(X;\mathbb K)라고 한다.
:\operatorname L^p(X;\mathbb K)=\frac{\mathcal L^p(X;\mathbb K)}{(\|\cdot\|_p)^{-1}(0)}

이 위에는 "열린 공"들
:\left\{\operatorname{ball}(f,r)\colon r\in\mathbb R^+,\;f\in\operatorname L^p(X;\mathbb K)\right\}
:\operatorname{ball}(f,r)=\left\{g\in\operatorname L^p(X;\mathbb K)\colon \|f-g\|_p
을 기저로 하는 위상을 줄 수 있다. (물론, p이라면 이는 거리 공간이 아니므로 엄밀히 말해 열린 공이라고 일컬어질 수 없다.)

만약 p\ge1이라면, \|\cdot\|_p는 \operatorname L^p(X;\mathbb K) 위의 완비 노름을 이루며, \operatorname L^p(X;\mathbb K)는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다. 그러나 만약 p이라면 이는 (기호와 달리) 일반적으로 노름이 되지 못한다.

### L<sup>0</sup>
p=0인 경우, \operatorname L^0(X;\mathbb K)은 모든 가측 함수 X\to\mathbb K의 (동치류의) 공간이다. 즉, \mathbb K-벡터 공간 \mathcal M(X;\mathbb K)에
:\mathcal N=\left\{f\in \mathcal M(X;\mathbb K)\colon \mu(\{x\in X\colon f(x)\ne 0\})=0\right\}
를 정의하였을 때
:\operatorname L^0(X;\mathbb K)=\frac{\mathcal M(X;\mathbb K)}{\mathcal N}
이다.

이 경우, 측도 수렴 위상을 부여하여 균등 공간이자 (균등 위상을 부여한) 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다. 즉, 이 경우 유사 거리 함수의 족
:\{d_S\}_{S\in\Sigma,\;\mu(S)
:d_S(f,g)=\int_S\min\{|f-g|,1\}\mathrm d\mu
을 통해 균등 공간 구조를 부여한다.

### ℓ<sup>''p''</sup>
만약 X가 (셈측도를 갖춘) 자연수의 이산 공간 \mathbb N일 경우,
:\mathcal L^p(\mathbb N;\mathbb K)=\mathrm L^p(\mathbb N;\mathbb K)=\ell^p(\mathbb K)
로 쓴다. (셈측도는 공집합이 아닌 영집합을 갖지 않으므로, 이 경우 \mathcal L^p와 \mathrm L^p를 구분하지 않아도 된다.) 이 경우, 함수 f\in \mathcal M(\mathbb N;\mathbb K)는 \mathbb K값을 갖는 수열이 되고, 노름 \|\cdot\|_p은 다음과 같다.
:\|f\|_p=\begin{cases}\sqrt[p]{\sum_{i=0}^\infty |f_i|^p}&0

## 성질
### 민코프스키 부등식
만약 1\le p\le\infty일 경우, \|\cdot\|_p는 **[[민코프스키 부등식]]**에 따라 노름을 이룬다.
:\|f+g\|_p\le \|f\|_p+\|g\|_p\qquad(f,g\in\operatorname L^p(X;\mathbb K))
만약 0일 경우, \|\cdot\|_p는 다음과 같은, 더 약한 부등식을 만족시킨다.
:\|f+g\|_p\le 2^{(1-p)/p}(\|f\|_p+\|g\|_p)\qquad(f,g\in\operatorname L^p(X;\mathbb K))

**증명:**

임의의 두 음이 아닌 실수 s,t\in\mathbb R_{\ge0}에 대하여
:(s+t)^p\le s^p+t^p\le 2^{1-p}(s+t)^p
가 성립함은 미적분학으로 쉽게 확인할 수 있다. 그렇다면,
:
(\|f+g\|_p)^p
=\int_X|f+g|^p\mathrm d\mu
\le \int_X(|f|+|g|)^p\mathrm d\mu
\le \int_X(|f|^p+|g|^p)\mathrm d\mu
=(\|f\|_p)^p+(\|g\|_p)^p
\le 2^{1-p}(\|f\|_p+\|g\|_p)^p

이다.


### 바나흐·힐베르트 공간일 조건
임의의 측도 공간 (X,\Sigma,\mu) 및 p\in[0,\infty] 및 \mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}에 대하여, 다음이 성립한다.
* (**리스-피셔 정리** ) 만약 1\le p\le\infty라면 \operatorname L^p(X;\mathbb K)는 \mathbb K-바나흐 공간이다.
* 만약 1라면 \operatorname L^p(X;\mathbb K)는 \mathbb K-반사 바나흐 공간이다. (그러나 p=1 또는 p=\infty인 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다.)
* 만약 p=2일 경우 \operatorname L^p(X;\mathbb K)는 \mathbb K-힐베르트 공간이다. (그러나 X의 크기에 따라 이는 분해 가능 공간이 아닐 수 있다.)
* 만약 \mathbb K=\mathbb C이며 p=\infty일 경우 \operatorname L^\infty(X;\mathbb C)는 가환 C* 대수이다. 만약 X가 추가로 시그마 유한 측도를 갖추었다면, 이는 가환 폰 노이만 대수를 이룬다.

### 연속 쌍대 공간
임의의 측도 공간 (X,\Sigma,\mu) 및 \mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\} 및 1에 대하여, \operatorname L^p(X;\mathbb K)의 연속 쌍대 공간은 다음과 같다.
:(\operatorname L^p(X;\mathbb K))'=\operatorname L^q(X;\mathbb K)\qquad(1/p+1/q=1)
구체적으로, 이 동형 사상은
:\operatorname L^p(X;\mathbb K)\times \operatorname L^q(X;\mathbb K)\to\mathbb K
:([f],[g])\mapsto\int_Xf(x)g(x)\mathrm d\mu(x)
이다. 특히, p=2일 경우 \operatorname L^2는 스스로의 연속 쌍대 공간이 되며, 따라서 이 경우 힐베르트 공간을 이룬다.

그러나 \operatorname L^\infty의 연속 쌍대 공간은 (선택 공리를 가정하면) 일반적으로 \operatorname L^1보다 훨씬 크다. 반면, 만약 X가 시그마 유한 측도를 갖추었다면, (\operatorname L^1)'=\operatorname L^\infty이다.

### 포함 관계
임의의 두 확장된 실수
:0
가 주어졌다고 하자. 또한, 측도 공간 (X,\Sigma,\mu) 위에 다음과 같은 두 조건을 생각하자.
:㈎ \sup\{\mu(S)\colon S\in\Sigma,\;\mu(S)\ne\infty\}
:㈏ \inf\{\mu(S)\colon S\in\Sigma,\;\mu(S)\ne0\}>0
그렇다면, 다음과 같은 동치가 성립한다.
:㈎ \iff\operatorname L^p(X;\mathbb K)\subseteq \operatorname L^q(X;\mathbb K)
:㈏ \iff\operatorname L^p(X;\mathbb K)\supseteq \operatorname L^q(X;\mathbb K)
:㈎와 ㈏가 동시에 성립 \iff\operatorname L^p(X;\mathbb K)=\operatorname L^q(X;\mathbb K)

대표적인 측도 공간에서 위 두 조건이 성립하는지 여부는 다음과 같다.

## 예
### 유한 집합
X가 유한 집합이며, 그 위에 셈측도를 부여하자. 그렇다면, 이 경우 임의의 0\le p\le\infty에 대하여
:\operatorname L^p(X;\mathbb K)=\mathbb K^X
이다. 즉, 이 경우 르베그 공간은 \mathbb K 위의 유한 차원 벡터 공간이며, 그 차원은 X의 크기이다.

p의 값에 따라, \mathbb K^X 위에 정의되는 노름은 서로 다르며, 다음과 같다.
:\|f\|_p=\sqrt[p]{\sum_{x\in X}|f(x)|^p}\qquad(0
:\|f\|_\infty=\max_{x\in X}|f(x)|
만약 p=2일 경우 이는 힐베르트 공간을 이루며, |X|\ge2이자 1\le p\ne2일 경우 이는 힐베르트 공간이 아닌 바나흐 공간이다.

### 수열 공간
X=\mathbb N일 경우, p의 범위에 따라서, 수열 르베그 공간 \ell^p(\mathbb K) 공간의 성질은 다음과 같다.

### 디랙 측도

집합 X 속의 원소 x_0\in X가 주어졌으며,
:\mu(S)=\begin{cases}
1&S\ni x_0\\
0&S\not\ni x_0
\end{cases}
라고 하자. 그렇다면, 0\le p\le\infty에 대하여, \operatorname L^p(X;\mathbb K)는 다음과 같다.
:\operatorname L^p(X;\mathbb K)=\mathbb K
:\|f\|_p=|f(x_0)|\qquad(0

## 역사
"르베그 공간"이라는 용어는 앙리 르베그의 이름을 딴 것이다. 그러나 르베그는 르베그 적분의 도입을 제외하고는 르베그 공간의 개념과 크게 관계가 없다.

\ell^2 공간은 이미 19세기 푸리에 변환의 이론에서 등장하였다 (파르세발 정리). 이후 다비트 힐베르트가 이 수열 공간에 대하여 연구하였으며, 이는 "힐베르트 공간"으로 불리게 되었다.
힐베르트의 이론을 p\ne2로 일반화하여, 리스 프리제시가 르베그 공간을 1910년에 도입하였다. 이 논문에서 리스는 오늘날 사용되는 기호 \operatorname L^p를 도입하였고, 또한 르베그 공간의 쌍대성 {\operatorname L^p}'=\operatorname L^q (1/p+1/q=1)을 증명하였다.

## 같이 보기
* 소볼레프 공간

## 각주

## 외부 링크
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분류:바나흐 공간
분류:급수
분류:측도론