이차 리 대수

리 군론에서 **이차 리 대수**(二次Lie代數, )는 리 괄호와 호환되는 비퇴화 쌍선형 형식이 주어진 유한 차원 리 대수이다.

## 정의
가환환 K 위의 **이차 리 대수**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* K-리 대수 \mathfrak g
* K-비퇴화 쌍선형 형식 \mathfrak g\otimes_K\mathfrak g\to K, x\otimes y \mapsto \langle x,y\rangle
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:\langle [x,y]|z\rangle = \langle y|[z,x]\rangle

아인슈타인 표기법을 사용하여, \mathfrak g의 원소를 t^i와 같이 윗첨자로 표기하고, \mathfrak g의 구조 상수를
:[t^i,t^j] = f^k{}_{ij}t^i t^j
와 같이 적고 (f^k{}_{ij} = - f^k_{ji}), 쌍선형 형식을
:\langle t^i|t^j\rangle = C_{ij}t^i t^j
와 같이 적을 경우 (C_{ij} = C_{ji}), 위 조건은 다음과 같다.
:0 = C_{l(j}f^l{}_{k)i} = C_{lj}f^l{}_{ki} + C_{lk}f^l{}_{ji}
여기서 (\dotso)는 해당 첨자들의 대칭화를 뜻한다.

## 연산
같은 가환환 위의 두 이차 리 대수의 직합은 표준적으로 이차 리 대수 구조를 갖는다.

### 이중 확대
다음이 주어졌다고 하자.
* 체 K
* K-이차 리 대수 (\mathfrak g,\langle-|-\rangle)
* K-리 대수 \mathfrak h 및 그 위의 불변 대칭 쌍선형 형식 \langle-|-\rangle_{\mathfrak h} (이는 비퇴화가 아닐 수 있다)
* K-리 대수 준동형 (\cdot) \colon \mathfrak h \to \mathfrak{der}(\mathfrak g)\cap\mathfrak o(\mathfrak g) (여기서 \mathfrak o(\mathfrak g)는 대칭 쌍선형 형식 \langle-|-\rangle에 대한 직교 리 대수)
그렇다면, 직합 K-벡터 공간
:\mathfrak g\oplus\mathfrak h\oplus\mathfrak h^\vee
위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 줄 수 있다.
:\langle (g',h',h'^\vee)|(g,h,h^\vee) \rangle = \langle g'|g\rangle + \langle h^\vee|h'\rangle + \langle h'^\vee|h\rangle + \langle h'|h\rangle
:[(g,0,0),(g',0,0)] = ([g,g'],0,\omega(g,g'))
:[(0,h,0),(0,h',0)] = (0,[h,h'],0)
:[(0,0,h^\vee),(g,0,h'^\vee)] = 0
:[(0,h,0),(0,g,0)] = (h \cdot g,0,0)
:[(0,0,h^\vee),(0,h,0)] = (0,0,h^\vee \circ \operatorname{ad}_h)
여기서
:\omega(g,g') \in\mathfrak h^*
:\omega(g,g')(h) = \langle h\cdot g|g'\rangle
이다. 이를 \mathfrak g의, \mathfrak h를 통한 **이중 확대**()라고 한다.

만약 K=\mathbb R일 때, \mathfrak g의 부호수가 (m_+,m_-)이며, \mathfrak h가 n차원이라면, h 위의 대칭 쌍선형 형식에 관계 없이, \mathfrak g의 \mathfrak h를 통한 이중 확대의 부호수는 (m_++n,m_-+n)이다.

**증명:**

이중 확대 \mathfrak g\oplus\mathfrak h\oplus\mathfrak h^\vee에서, \mathfrak h\oplus\mathfrak h^\vee의 부호수를 계산하면 된다. \mathfrak h 위의 대칭 쌍선형 형식을 대각화하였을 때, \mathfrak h\oplus\mathfrak h^\vee 위의 대칭 쌍선형 형식은
:\begin{pmatrix}
0&1\\
1&a
\end{pmatrix}\qquad(a\in\{0,1,-1\})
의 꼴의 블록들로 구성된 블록 대각 행렬이 된다. 이 블록들은 a의 값에 관계 없이 모두 부호수가 (1,1)임을 쉽게 확인할 수 있다.


## 성질
비퇴화 쌍선형 형식이 존재해야 하므로, 체 위의 이차 리 대수는 항상 유한 차원 벡터 공간이다.

실수체 위의 리 대수에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 양의 정부호의 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.
* 콤팩트 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다.

**증명:**

실수 이중 리 대수의 구조 정리에서, 이중 확장을 통하여 얻은 이차 리 대수는 항상 부정부호임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 따라서, 양의 정부호를 얻으려면, 양의 정부호 단순 리 대수 및 1차원 아벨 리 대수들의 직합을 취할 수 밖에 없다.


## 분류
실수체 위의 이차 리 대수 가운데, (이차 리 대수로서) 직합으로 분해될 수 없는 것은 항상 단순 리 대수이거나, 1차원 아벨 리 대수이거나, 또는 어떤 이차 리 대수의, 1차원 아벨 리 대수 또는 단순 리 대수에 대한 이중 확대이다.
즉, 실수체 위의 모든 이차 리 대수는 단순 리 대수와 1차원 아벨 리 대수로부터, 직합 및 이중 확대 연산을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.

마찬가지로, 실수체 위의 모든 이차 리 대수 가운데 가해 리 대수인 것은 아벨 리 대수로부터, 다음 연산들을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.
* 직합
* 1차원 아벨 리 대수에 대한 이중 확대 \mathfrak g \mapsto \mathfrak g\oplus\mathbb R\oplus\mathbb R

## 예
표수 0의 체 위의 단순 리 대수의 경우, 그 위에 존재하는 모든 이차 리 대수 구조는 킬링 형식에 비례한다. 특히, 이에 따라 표수 0에서 모든 반단순 리 대수는 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.

임의의 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 위에, 임의의 비퇴화 쌍선형 형식 및 아벨 리 대수 구조를 부여하면, 이는 이차 리 대수를 이룬다.

### 비콤팩트 이차 리 대수
가환환 K 위의 이차 리 대수 \mathfrak g가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환 \mathfrak g[t] 위에 리 괄호
:[p,q]_{\mathfrak g[t]}(t) = [p(t),q(t)]_{\mathfrak g}
를 줄 수 있다. 또한, 임의의 n\in\mathbb N에 대하여,
:t^n\mathfrak g[t]\subseteq\mathfrak g
는 그 리 대수 아이디얼을 이룬다. 따라서, 몫 리 대수
:\frac{\mathfrak g[t] }{t^n\mathfrak g[t]}
=\oplus_{i=0}^{n-1}\mathfrak gt^i

를 취할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 주자.
:\langle x_0+x_1t+\dotsb+x_{n-1}t^{n-1}|y_0+y_1t+\dotsb+y_{n-1}t^{n-1}\rangle = \langle x_{n-1}|y_{n-1}\rangle_{\mathfrak g}
그렇다면, 이 역시 이차 리 대수를 이룬다.

이제, 만약 예를 들어 K가 표수 0의 체이며, \mathfrak g가 단순 리 대수이며, n\ge2일 때, 이와 같은 이차 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이 아니다.

### 아벨 리 대수나 반단순 리 대수가 아닌 4차원 이차 리 대수
다음과 같은 리 대수를 생각하자.
:\mathfrak g_4 = \operatorname{Span}_{\mathbb R}\{C,L_+,L_-,C^*\}
:[C,L_\pm]=\pm L_\pm
:[L_+,L_-]=C^*
:[L_\pm,L_\pm]=0
:[C,C^*] = [L_\pm,C^*] = 0
여기에 부호수 (2,2)의 이차 형식
:\langle C^*|C\rangle = 1
:\langle L_\pm|L_\mp\rangle = 1
:\langle L_\pm|L_\pm\rangle = \langle C|C\rangle = \langle C^*|C^*\rangle = \langle C^*|L_\pm\rangle = \langle C | L_\pm\rangle = 0
을 정의하면, 이는 실수체 위의 4차원 이차 리 대수를 이룬다.

이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.

또한, 다음을 생각하자.
:\mathfrak g_5 = \operatorname{Span}_{\mathbb R}\{x_1,x_2,t,x^1,x^2\}
:\langle x_i|x^j\rangle = \delta_i^j
:\langle x_i|x_j\rangle = 0
:\langle t|t\rangle = 1
:[x_1,x_2]=t
:[x_i,t]=-\epsilon_{ij} x^j
:[x^j,t] = [x_i,x^j] = 0
여기서 \delta_i^j는 크로네커 델타이며, \epsilon_{ij}는 레비치비타 기호이며, 아인슈타인 표기법을 사용하였다.
이는 부호수 (3,2)의 이차 리 대수를 이룬다.

이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.

### 낮은 차원의 이차 리 대수
6차원 이하의 실수체 또는 복소수체 위의 이차 리 대수는 모두 알려져 있다.

실수체 위의 기약 이차 리 대수들 가운데 낮은 차원인 것들은 다음과 같다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
* 

분류:리 대수
분류:이차 형식