무어-펜로즈 유사역행렬

선형대수학에서 **무어-펜로즈 유사역행렬**(Moore-Penrose疑似逆行列, )은 모든 모양의 행렬에 대하여 정의되는 연산이며, 가역 행렬의 역행렬 연산을 일반화한다. 특잇값 분해를 통해 계산할 수 있다.

## 정의
체 K가 주어졌다고 하고, 그 위의 체의 대합
:\bar{\color{White}a} \colon K \to K
:\bar{\color{White}a} \circ \bar{\color{White}a} = \operatorname{id}_K
이 주어졌다고 하자. (예를 들어, 복소수체의 복소켤레 등이 있다. 이를 항등 함수로 놓을 수도 있다.) 그렇다면, K 계수 행렬의 에르미트 수반
:(-)^*\colon \operatorname{Mat}(m,n;K) \to \operatorname{Mat}(n,m;K)
의 개념이 정의된다.

임의의 K계수 m\times n 행렬
:A \in \operatorname{Mat}(m,n;K)
의 **무어-펜로즈 유사역행렬**
: A^+ \in \operatorname{Mat}(n, m;K)
은 다음 네 조건들을 모두 만족시키는 행렬이다.
* A A^+A = A
** 즉, 는 일반적인 단위행렬일 필요는 없으나, 의 모든 열벡터를 보존하는 행렬이어야 한다.
* A^+A A^+ = A^+
** 즉, 는 반군에서의 약한 역이다.
* (AA^+)^* = AA^+
** 즉, 는 에르미트 행렬이다.
* (A^+A)^* = A^+A
** 즉, 도 에르미트 행렬이다.

## 성질
### 존재와 유일성
무어-펜로즈 유사역행렬은 항상 존재하며, 유일하다. 즉, 임의의 행렬 A에 대하여, 무어-펜로즈 유사역행렬 정의의 네 가지 조건을 만족하는 행렬 A^+는 반드시 정확히 한 개 존재한다.

반면, 이 네 조건 가운데 하나를 제거하면 이는 더 이상 유일하지 않다.

### 연산과의 호환
무어-펜로즈 유사역행렬 연산은 전치 행렬 연산 · 성분별 켤레 · 켤레전치와 교환 법칙을 따른다.
:(A^\top)^+ = (A^+)^\top
:(\bar A)^+ = \overline{A^+}
:(A^*)^+ = (A^+)^*

행렬 A에 스칼라를 곱한 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 A^+를 그 스칼라로 나눈 것과 같다.
:(\alpha A)^+ = \alpha^{-1} A^+ \qquad\forall A\in\operatorname{Mat}(m,n;K),\;\alpha \in K^\times

무어-펜로즈 유사역행렬은 스스로의 역함수이다.
:(A^+)^+ = A\qquad\forall A\in\operatorname{Mat}(m,n;K)

#### 행렬 곱셈과의 호환
무어-펜로즈 유사역행렬은 (역행렬 연산과 달리) 일반적으로 행렬 곱셈과 호환되지 못한다. 다만, 호환을 보장하는 충분 조건들이 존재한다.

구체적으로, 임의의 두 행렬
:A \in \operatorname{Mat}(m,n;K)
:B \in \operatorname{Mat}(n,p;K)
이 주어졌으며, 다음 네 조건 가운데 적어도 하나 이상이 성립한다고 하자.
* A^*A = 1_{n\times n}이다.
* BB^* = 1_{n\times n}이다.
* A의 열벡터들은 모두 서로 선형 독립이며, 또한 B의 행벡터들도 모두 서로 선형 독립이다.
* A = B^*이다.
그렇다면, 다음과 같이 무어-펜로즈 유사역행렬은 행렬 곱셈과 호환된다.
:(AB)^+ = B^+ A^+
그러나 이는 임의의 행렬에 대하여 성립하지 않는다.

### 대수적 표현
 A^+ 는 모든 행렬  A 에 대하여 항상 유일하게 존재하지만, 일부 경우 이는 간단한 대수적 공식을 갖는다.

구체적으로, 만약 A\in\operatorname{Mat}(m,n;K)의 열벡터가 모두 K-선형 독립이라면, A^* A\in\operatorname{Mat}(n,n;K)는 가역 행렬이며, 이 경우 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.
: A^+ = (A^* A)^{-1} A^*
이러한 무어-펜로즈 유사역행렬을 **좌측 역행렬**이라고 하는데,  A^+A = I 가 성립하기 때문이다.

반대로, A\in\operatorname{Mat}(m,n;K)의 행벡터가 모두 K-선형 독립인 경우, AA^* \in \operatorname{Mat}(m,m;K)는 가역 행렬이며, 이 경우 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.
: A^+ = A^*(A A^*)^{-1}
이러한 경우에는  A A^+=I가 성립하므로, A^+를 **우측 역행렬**이라고 부른다.

물론, A의 열벡터와 행벡터 모두 K-선형 독립인 경우는 A 및 A^*가 가역 행렬이며, 이 경우
:A^+ = (A^*A)^{-1} A^* = A^*(AA^*)^{-1} = A^{-1}
이다.

### 특잇값 분해로의 표현
행렬 A \in \operatorname{Mat}(m,n;K)가 다음과 같은 특잇값 분해를 갖는다고 하자.
:A = U\Sigma V^*
:U \in \operatorname U(m;K)
:V \in \operatorname U(n;K)
:\Sigma = \operatorname{diag}_{m,n}(\lambda_1,\dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}}) \in \operatorname{Mat}(m,n;K)
그렇다면, A의 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.
:A^+ = V\Sigma^+U^* = V \operatorname{diag}_{n,m}(\lambda_1^+, \dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}}^+) U^*
여기서, \lambda\in K에 대하여
:\lambda^+ = \begin{cases}
\lambda^{-1} & \lambda \ne 0 \\
0 & \lambda = 0
\end{cases}
이다.

## 예
가역 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 역행렬이다.
:\exists A^{-1} \implies A^+ = A^{-1}

### 1×1 행렬
1\times1 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.
:\begin{pmatrix}
\lambda
\end{pmatrix}^+
=\begin{cases}
\begin{pmatrix}\lambda^{-1}\end{pmatrix} & \lambda \ne 0 \\
\begin{pmatrix}0\end{pmatrix} & \lambda = 0
\end{cases}

### 대각 행렬
직사각형 대각 행렬
:\operatorname{diag}_{m,n}(\lambda_1,\lambda_2,\dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}}) \in \operatorname{Mat}(m,n;K)
의 경우, 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.
:\operatorname{diag}_{m,n}(\lambda_1,\lambda_2,\dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}})^+ = 
\operatorname{diag}_{n,m}(\lambda_1^+,\lambda_2^+,\dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}}^+)
 \in \operatorname{Mat}(n,m;K)
여기서 \lambda_i^+는 1×1 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬(즉, 가역원일 경우 역원, 0일 경우 0)이다.

특히, 영행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 그 행렬의 전치 행렬인 영행렬이다.
:0_{m,n}^+ = 0_{m,n}

## 응용
무어-펜로즈 유사역행렬은 유일한 해가 존재하지 않는 선형연립방정식에서 최소제곱법에 따른 최적해를 구하기 위해 흔히 사용된다. 혹은 해가 여러 개 존재하는 선형연립방정식에서 유클리드 노름을 최소화하는 해를 찾는 데에 사용되기도 한다. 또한 무어-펜로즈 유사역행렬을 사용하면 선형대수학의 많은 부분을 보다 쉽게 서술하고 증명할 수 있다.

## 역사
1920년에 일라이어킴 헤이스팅스 무어가 최초로 발견하였다. 이후 아르네 볘르함마르(, 1917〜2011)와 로저 펜로즈가 이 개념을 1950년대에 재발견하였다.

## 같이 보기
* 역원
* 절대평탄환
## 참고 문헌

## 외부 링크
* 

분류:선형대수학
분류:행렬론
분류:수치선형대수학