천-사이먼스 형식

미분위상수학에서 **천-사이먼스 형식**([陳]-Simons型式, )은 리 대수 값 미분형식에 대해 곡률 특성 형식(curvature characteristic form)을 자명화시키는 미분형식이다. 이차 특성류 가운데 하나로 볼 수도 있다. 1974년 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 정의하였다. 특수한 경우로서 G-주다발과 접속이 주어진 홀수 차원 매끄러운 다양체에서 정의하기도 한다.

## 정의
### 천-사이먼스 원소
다음이 주어졌다고 하자.
* 유한 차원 실수 리 대수 \mathfrak g
* \mathfrak g의 n차 불변 다항식 p \in \operatorname{Sym}(\mathfrak g^*)
그렇다면, \mathfrak g로 구성되는 베유 대수 \operatorname W(\mathfrak g)를 정의할 수 있다. 이는 가환 미분 등급 대수이다. 또한, 불변 다항식의 공간 \operatorname{inv}(\mathfrak g)은 자연스럽게 베유 대수의 부분 공간으로 간주될 수 있다.
:\operatorname{inv}(\mathfrak g)\to\operatorname W(\mathfrak g)\to\operatorname{CE}(\mathfrak g)
이제, p\in \operatorname{inv}(\mathfrak g)의 원소는 베유 대수 \operatorname W(\mathfrak g) 속에서 항상 닫힌 원소이며, 베유 대수의 코호몰로지는 (정의에 따라) 자명하다. 따라서,
:\mathrm d\mathsf c = p
가 되는 2n-1차 원소
:\mathsf c \in \operatorname W^{2n-1}(\mathfrak g)
를 찾을 수 있다. 이를 p의 **천-사이먼스 원소**()라고 한다.

이과 같은 구성은 임의의 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화된다.

### 리 대수 값 미분 형식의 천-사이먼스 형식
다음이 주어졌다고 하자.
* 매끄러운 다양체 M
* 유한 차원 실수 리 대수 \mathfrak g
* <math>\mathfrak g</math>값의 1차 미분 형식 A \in \Omega^1(P;\mathfrak g)
그렇다면, A는 가환 미분 등급 대수의 준동형
:\mathsf A\colon\operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname\Omega(M)
과 같은 데이터를 갖는다. 구체적으로, \mathfrak g의 기저를 (t_i)_{i\in I}라고 하고, \operatorname W(\mathfrak g)의, 이에 대응하는 등급 1의 생성원을 (t^i)_{i\in I} \subseteq \operatorname W(\mathfrak g)라고 할 때, 미분 등급 대수 준동형 \mathsf A에 대응하는 1차 미분 형식은
A = t_i\mathsf A(t^i) \in \operatorname\Omega^1(M;\mathfrak g)
이다.

이에 따라서, \mathfrak g의 n차 불변 다항식 p에 대한 \operatorname W(\mathfrak g) 속의 대수적 천-사이먼스 원소
:\mathsf c \in \operatorname W^{2n-1}(\mathfrak g)
에 대하여, 그 상
:\operatorname{CS}(A,p) = \mathsf A(\mathsf c) \in \operatorname\Omega^{2n-1}(M)
은 M 위의 2n-1차 미분 형식을 이룬다. 즉, 이는
:\mathrm d\operatorname{CS}(A,p) = p(A)
를 만족시킨다.

### 주접속의 천-사이먼스 형식
다음이 주어졌다고 하자.
* 매끄러운 다양체 M
* 리 군 G 및 그 리 대수 \mathfrak g
* G-주다발 G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M
* P 위의 주접속 A \in \Omega^1(P;\mathfrak g)
그렇다면, P의 주접속의 공간은 \operatorname\Omega^1(M;\mathfrak g)에 대한 아핀 공간이지만, 이는 표준적인 원점을 갖지 않는다.

원점을 고르는 것은 주접속 P의 임의의 자명화 및 각 자명화의 단면을 선택하는 것에 해당한다. 즉, 충분히 섬세한 열린 덮개 (U_\beta)_{\beta\in B} 및 미분 동형 U_\beta \times G \to (P\restriction U_\beta)들을 고르면, 주접속 A는 덮개의 각 원소 위의 <math>\mathfrak g</math>값 1차 미분 형식들의 모임
:A\restriction U_\beta \in \operatorname\Omega^1(U;\mathfrak g)
의 데이터로 주어진다. 이에 따라, 선택한 불변 다항식 p\in\operatorname{inv}(\mathfrak g)에 대한 각 조각별 천-사이먼스 형식들을 정의하여 짜깁기하여 M 전체에 정의된 미분 형식
:\omega_{2n-1} \in \operatorname\Omega^{2n-1}(M)
을 얻을 수 있다.

이렇게 하여 얻은 미분 형식은 p가 게이지 불변이므로 무한소 게이지 변환(즉, 항등 함수와 호모토픽한 게이지 변환 \in\operatorname{Aut}(P) = \mathcal C^\infty(M,G))에 대하여 자동적으로 게이지 불변이다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환(즉, \operatorname{Aut}(P) = \mathcal C^\infty(M,G)의 자명하지 않은 연결 성분)에 대하여 불변이지 않다. 즉, 이는 일반적으로 대역적으로 잘 정의되지 않는다.

다만, 만약 (예를 들어) M이 2n-1차원 매끄러운 다양체라면, 그 적분
:S_{\operatorname{CS}}=\int_M\omega_{2n-1}\in\mathbb R
을 생각할 수 있다. 이 경우, 큰 게이지 변환의 군
:\pi_0(\mathcal C^\infty(M,G))
은 이 값 위에 작용하게 된다. 만약 \pi_0(\mathcal C^\infty(M,G))의 작용이
:S_{\operatorname{CS}} \mapsto S_{\operatorname{CS}} + (\Delta S_{\operatorname{CS}})\mathbb Z
의 꼴이라면, 이 경우
:\exp(2\pi\mathrm iS_{\operatorname{CS}}) \in \operatorname U(1)
는 잘 정의된다. 이와 같은 구성은 이론물리학에서 천-사이먼스 이론의 정의에 사용되며, 큰 게이지 변환의 작용은 물리학적으로 천-사이먼스 이론의 전위()의 양자화로 귀결된다.

## 성질
매끄러운 다양체 M 위의 평탄 주접속 A의 (임의의 불변 다항식)에 대한) 천-사이먼스 형식은 (정의에 따라) 닫힌 미분 형식이다. 마찬가지로, n차 불변 다항식 p에 대하여, 만약
:\dim M = 2n - 1
이라면, 천-사이먼스 형식은 최고차이므로 닫힌 미분 형식이다. 이와 같은 경우, 천-사이먼스 형식은 실수 계수 코호몰로지류를 정의한다.

## 예
가장 자주 사용되는 천-사이먼스 형식은 다음과 같다.

리 대수 \mathfrak g의 유한 차원 표현
:\rho \colon \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(N;\mathbb R)
이 주어졌을 때,
:p_n(x^i) = \operatorname{tr}\left(\left(\sum_ix^i\rho(t_i)\right)^n\right)
는 대각합의 순환성에 의하여 항상 2n차 불변 다항식이다.

따라서, 이에 대한 2n-1차 천-사이먼스 형식 \omega_{2n-1}을 정의할 수 있다. 즉,
:\omega_{2n-1} = \operatorname{tr}(\rho(F)^n)
이 된다. 여기서 \rho(F)^n이란 \rho를 사용하여 t_i\mathsf A(\delta t^i) = F \in \operatorname\Omega^2(M;\mathfrak g)를 2차 미분 형식의 N\times N 정사각 행렬로 간주한 뒤, 행렬 곱셈과 미분 형식 쐐기곱을 합성한 연산에 대한 제곱이다.

만약 \mathfrak g=\mathfrak u(n)일 때, \omega_1,\omega_3,\dotsc,\omega_{2n-1}들은 \mathfrak u(n)의 n개 불변 다항식에 각각 대응한다. (만약 \mathfrak g=\mathfrak{su}(n)일 경우, \omega_1 =0 이 된다.)

이러한 7차 이하의 천-사이먼스 형식들은 다음과 같다.
:\omega_1=\operatorname{tr}A
:\omega_3=\operatorname{tr}\left(F\wedge A-\frac13A\wedge A\wedge A\right)
:\omega_5=\operatorname{tr}\left(F\wedge F\wedge A-\frac12F\wedge A\wedge A\wedge A+\frac1{10}A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\right)
:\omega_7=\operatorname{tr}\left(\frac47A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+2dA\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+\frac83dA\wedge dA\wedge A\wedge A\wedge A+\frac43dA\wedge A\wedge dA\wedge A\wedge A+dA\wedge dA\wedge dA\wedge A\right)

이러한 식에서, \wedge는 사실 (리 대수의 표현을 사용하여) 미분 형식의 정사각 행렬로 간주한 것들의 행렬곱이다. 즉, 리 대수의 지표는 (정사각 행렬로 표현하여) 행렬곱을 취하고, 행렬의 각 성분인 미분 형식은 쐐기곱을 취하는 것이다.

### 천-사이먼스 형식의 계산
이러한 꼴의 불변 다항식에 대한 천-사이먼스 형식은 다음과 같이 대수적으로 모형화될 수 있다.

하나의 등급 1의 생성원 \mathsf a로 생성되는 유리수 계수 자유 미분 대수
:\mathcal A = \mathbb Q\langle \mathsf a,\mathrm d\mathsf a\rangle
를 생각하자. 이는 등급 가환 법칙을 따르지 않지만, 미분 연산 \mathrm d는 멱영 연산이며 \mathsf a에 대한 곱셈과 등급 가환한다. 즉,
:\mathrm d^2\mathrm a = 0
:\mathrm d \colon \mathsf a p \mapsto (\mathrm d\mathsf a) p-\mathsf a(\mathrm dp)\qquad\forall p\in A
:\mathrm d \colon (\mathrm d\mathsf a) p \mapsto (\mathrm d\mathsf a) (\mathrm dp) \qquad\forall p\in A
이다.

이제, 다음과 같은 꼴의 항들로 생성되는 부분 벡터 공간을 생각하자.
:V = \operatorname{Span}_{\mathbb Q}\left\{
pq
- (-)^{\deg p\deg q}
qp
\colon p,q \in\mathcal A
\right\}\subsetneq \mathcal A
(이는 대각합의 순환성에 의하여 대각합을 취하면 0이 되는 항들의 공간이며, 특히 아이디얼이 아니다. 예를 들어, \mathsf a^2\in V이지만 \mathsf a^3\not\in V이다.) 그렇다면, 임의의 양의 정수 k\in\mathbb Z^+에 대하여,
:\mathrm d\mathsf w_{2k-1} - (\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2)^k \in V
가 되는 원소 \mathsf w_{2k-1} \in \mathcal A가 존재함을 보일 수 있으며, 그 동치류 \mathsf w_{2k-1} + V \in \mathcal A/V는 유일하다. 이것이 2n-1차 천-사이먼스 형식이 된다.

특히, 천-사이먼스 형식을 계산할 때,
:\mathsf a^{2k} \in V
이라는 사실이 자주 사용된다.

이를 통해, 처음 몇 개의 천-사이먼스 형식을 다음과 같이 계산할 수 있다. 여기서 편의상 \mathsf f=\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2이며, “대각합” \operatorname{tr}(-)은 \mathcal A/V로 동치류를 취하는 것이다.

**1차 천-사이먼스 형식의 계산:**


\operatorname{tr}(\mathsf f) = \operatorname{tr}(\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2) = \operatorname{tr}(\mathrm d\mathsf a)




**3차 천-사이먼스 형식의 계산:**

\begin{aligned}
\operatorname{tr}(\mathsf f^2) &= \operatorname{tr}\left(
(\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2)
(\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2)
\right) \\
&= \operatorname{tr}\left(\mathrm d\mathsf a^2+2(\mathrm d\mathsf a) \mathsf a^2\right) \\
&= \operatorname{tr}\left(\mathrm d((\mathrm d\mathsf a) \mathsf a)
+\frac23\mathsf a^3\right) \\
&= \operatorname{tr}\mathrm d\left((\mathrm d\mathsf a) \mathsf a+\frac23 \mathsf a^3\right)\\
&= \operatorname{tr}\mathrm d\left(
\mathsf f\mathsf a - \frac13 \mathsf a^3
\right)
\end{aligned}


## 역사
천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 1974년에 도입하였다. 천싱선과 사이먼스는 리만 다양체의 폰트랴긴 특성류를 조합론적으로 계산하려고 하였는데, 이러한 공식의 존재에 대한 방해물로 천-사이먼스 형식을 발견하였다.

## 물리학에 응용
1978년 러시아 수리물리학자 알베르트 시바르츠는 천-사이먼스 형식을 이용하여 3차원 위상 양자장론 가운데 하나인 천-사이먼스 이론을 최초로 발견하였다. 이는 3차원 양자중력과도 연결되며 분수 양자 홀 효과를 설명하기도 한다. 또한 양-밀스 이론과도 연결되어 topologically massive Yang-Mills theory같은 물리학 이론을 만든다.

## 같이 보기
* 천-베유 준동형
* 위상 양자장론
* 존스 다항식
## 각주

## 외부 링크
* 
* 

분류:미분기하학
분류:대수적 위상수학
분류:끈 이론