애니온

통계역학에서 **애니온**()은 2+1차원 계에서 나타나는, 보손도 아니고 페르미온도 아닌 입자이다.

## 정의
스핀-통계 정리는 4차원 이상 민코프스키 공간에서만 성립하고, 3차원 이하에서는 성립하지 않는다. 그 이유는 3차원에서는 로런츠 군 SO(2,1)이 무한한 크기의 기본군을 갖기 때문이다. 즉, d>3인 경우
:\pi_1(SO(d-1,1))=\mathbb Z/2
이므로, 그 범피복 공간
:SO(d-1,1)\to \operatorname{Spin}(d-1,1)\twoheadrightarrow\mathbb Z/2
의 표현은 \mathbb Z/2에 따라 보손과 페르미온으로 나뉜다. 반면 d=3인 경우
:\pi_1(SO(2,1))=\mathbb Z
이며, 스핀-통계 정리가 성립하지 않는다.

3차원 시공간에서 *n*개의 점입자들은 일반적으로 꼬임군
:\operatorname{Braid}(n)= \left \langle \sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}| \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}, \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i \right \rangle
의 표현을 따른다. 이 경우, 보손은 \operatorname{Braid}(n)의 작용에 대해 자명한 표현을 따르는 입자이고, 페르미온은 군 준동형
:\sigma_i\mapsto 1\in\{0,1\}\cong\mathbb Z/2
의 상
:\operatorname{Braid}(n)\to\mathbb Z/2
에 대하여 자명하지 않는 표현을 따르는 입자이다. (즉, 입자의 교환에 따라 -1이 곱해진다.)

### 아벨 애니온 통계
**아벨 애니온**()은 상
:\operatorname{Braid}(n)\to\mathbb Z\cong\langle1\rangle
:\sigma_i\mapsto1
에 대하여 자명하지 않는 표현을 따르는 입자이며, 위상 \theta\ne0,\pi에 의해 정의된다. 즉, 두 입자를 교환했을 때
:|\psi_i\psi_j\rangle=\exp(i\theta)|\psi_j\psi_i\rangle
를 따른다. 여기서 \theta=0이면 보손, \theta=\pi이면 페르미온이 된다.

아벨 애니온은 꼬임군 \operatorname{Braid}(n)의 복소수 1차원 표현에 대응한다. 즉, 군 준동형
:B_n\to U(1)
에 대응한다. 원군 U(1)은 아벨 군이므로, 이는 \operatorname{Braid}(n)의 아벨화를 거친다.
:B_n\twoheadrightarrow \operatorname{Braid}(n)/[\operatorname{Braid}(n),\operatorname{Braid}(n)]\cong\mathbb Z\to U(1)
꼬임군의 아벨화는 무한 순환군 \mathbb Z이다. 구체적으로, 꼬임군의 표시
:\operatorname{Braid}(n)= \left \langle \sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}| \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}, \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i \forall |i-j|>1\right \rangle
에 대하여,
:\operatorname{Braid}(n)\twoheadrightarrow\mathbb Z
:\sigma_i\mapsto 1\forall i=1,\dots,n-1
이다. 준동형 \mathbb Z\to U(1)은 물론 임의의 복소수 \exp(i\theta)\in U(1)에 따라 분류된다.

### 꼬임 통계
**비아벨 애니온**()은 꼬임군 \operatorname{Braid}(n)의 일반적인 고차원 표현을 따르는 입자이며, 이러한 입자가 따르는 통계를 **꼬임 통계**()라고 한다.

### 파라 통계
비아벨 애니온 가운데, 표현이 대칭군 \operatorname{Sym}(n)을 거치는 것을 **파라 통계**()라고 한다.
:\operatorname{Braid}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{Sym}(n)\to \operatorname U(k)
파라 통계는 어떤 정수 p에 의하여 정의되며, 이를 파라 통계의 **차수**()라고 한다. **파라 보손**()의 경우, 대칭군의 표현은 영 타블로 가운데 p개 이하의 행을 갖는 것들의 직합이며, **파라 페르미온**()의 경우 대칭군의 표현은 영 타블로 가운데 p개 이하의 열을 갖는 것들의 직합이다. 만약 p\to\infty를 취한다면, 맥스웰-볼츠만 통계를 얻는다. 즉, 모든 입자를 서로 구별할 수 있다.

파라 보손 · 페르미온은 고차원에서도 정의될 수 있지만, 이는 3+1차원 이상의 입자에 대해서는 **클라인 변환**()을 통하여 일반 보손 · 페르미온으로 나타낼 수 있다.

구체적으로, 파라 보손 장 \phi는 다음과 같은 교환 관계를 따른다.
:\phi=\sum_{i=1}^p\phi_i
:[\phi_i(\mathbf x),\phi_i(\mathbf y)]=0
:\{\phi_i(\mathbf x),\phi_j(\mathbf y)\}=0\qquad(i\ne j)
마찬가지로, 파라 페르미온 장 \psi는 다음과 같은 교환 관계를 따른다.
:\psi=\sum_{i=1}^p\psi_i
:\{\psi_i(\mathbf x),\psi_i(\mathbf y)\}=0
:[\psi_i(\mathbf x),\psi_j(\mathbf y)]=0\qquad(i\ne j)

## 예
### 분수 양자 홀 효과
아벨 애니온의 간단한 예는 자기 선속 \Phi와 결합한, 전하 q를 갖는 입자이다. 이러한 두 개의 합성 입자를 서로 교환하면, 자기 선속에 의하여 위상
:\exp(iq\Phi/\hbar)
이 발생한다. 이러한 현상은 분수 양자 홀 효과를 일으킨다.

### 2차원 등각 장론
2차원 등각 장론은 일반적으로 꼬임 통계를 따른다.
2차원 등각 장론에서, 국소 연산자의 상관 함수는 다음과 같이 등각 블록()에 의하여 전개된다.
:\langle\phi_k(z_k)\cdots\phi_2(z_2)\phi_1(z_1)\rangle=\sum_pC(h_1,\dots,h_k;h_p)F_{h_1,\dots,h_k}(h_p;z_1,\dots,z_k)\bar F_{\bar h_1,\dots,\bar h_k}(\bar h_p;\bar z_1,\dots,\bar z_k)
가능한 등각 블록들은 복소수 벡터 공간을 이루며, 유리 등각 장론()의 경우 이는 유한 차원이다.

이 경우, 만약 k개의 국소 연산자들의 순서를 뒤섞는다면 모노드로미가 존재하며, 이는 등각 블록들의 공간에 선형 작용소로 표현된다. 이러한 행렬들을 **꼬임 행렬**() B라고 하며, 이는 꼬임군의 표현을 정의한다. 이에 따라, 2차원 등각 장론은 일반적으로 꼬임 통계를 따른다.

## 역사
1953년에 허버트 시드니 그린()이 파라 입자의 가능성을 지적하였다.

1977년에 욘 망네 레이노스()와 얀 뮈르헤임()이 2차원 유클리드 공간 이론에서 (아벨) 애니온이 가능함을 지적하였다. 1982년에 프랭크 윌첵이 이들이 분수 양자 홀 효과에 등장함을 보였고, "애니온"이라는 이름을 붙였다. 여기서 "애니온"()은 (어떤 ~에도 상관없이, 임의의) + (입자를 나타내는 접미사)에서 왔고, 아벨 애니온이 2입자를 치환할 때 임의의 위상이 더해질 수 있다는 것에서 유래하였다.

비아벨 애니온은 1988년에 위르크 프뢸리히()와 피에르 알베르토 마르케티()가 도입하였다.

## 각주

## 참고 문헌
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## 외부 링크
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분류:통계역학
분류:양자장론