양자 논리

논리학과 양자역학에서 **양자 논리**(量子論理, )는 양자역학의 상태 공간의 대수적인 이론을 논리학적으로 해석하는 이론이다. 양자 논리는 고전 논리(불 대수)와 여러 성질들을 공유하지만, 고전 논리의 분배법칙이 양자 논리에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

## 전개
양자 논리에서는 양자역학에서의 상태 공간인 힐베르트 공간에 대한 대상들을 논리적인 대상으로 해석한다. 우리가 상태 공간이 \mathcal H인 양자역학으로 기술되는 우주에 살고 있다고 하고, 우리 우주의 현재 상태가 |\psi\rangle\in\mathcal H라고 하자. (복소 위상은 임의로 정할 수 있다.) V\subset\mathcal H가 \mathcal H의 닫힌 부분 벡터 공간이라고 할 때, 이에 대한 사영 연산자
:\pi_V(V)=V
:\pi_V(V^\perp)=\{0\}
를 정의할 수 있다. 사영 연산자 \pi_V는 고윳값이 0 또는 1인 에르미트 연산자이며, 따라서 (초선택 규칙을 무시하면) 관측할 수 있다. 그렇다면, 닫힌 부분공간 V를 "\pi_V를 관측하였을 때, 1을 얻을 것이다."라는 꼴의 명제로 해석할 수 있다.

주요 대응되는 대상은 다음과 같다.

이 연산들에 대하여, 주어진 힐베르트 공간 \mathcal H의 닫힌 부분공간들은 격자의 구조를 가지며, 정확히 말하면 직교모듈러격자()의 구조를 만족시킨다. 이 경우, 논리합(\lor)·논리곱(\land)·부정(\lnot) 연산자들이 양자 논리에서 만족시키는 공리들은 다음과 같다.
* (논리곱의 결합법칙) \phi\land(\phi\land\psi)\iff(\phi\land\phi)\land\psi
* (논리합의 결합법칙) \phi\lor(\phi\lor\psi)\iff(\phi\lor\phi)\lor\psi
* (논리곱의 교환법칙) \phi\land\chi\iff\chi\land\phi
* (논리합의 교환법칙) \phi\lor\chi\iff\chi\lor\phi
* (이중 부정의 상쇄) \lnot\lnot\phi\iff\phi
* (배중률) \top\iff\phi\lor\lnot\phi
* (비모순율) \bot\iff\phi\land\lnot\phi
* (드 모르간의 법칙) \lnot(\phi\land\chi)\iff\lnot\phi\lor\lnot\chi, \lnot(\phi\lor\chi)\iff\lnot\phi\land\lnot\chi
* (논리곱의 흡수법칙) \top\land\phi\iff\phi, \bot\land\phi\iff\bot
* (논리합의 흡수법칙) \top\lor\phi\iff\top, \bot\lor\phi\iff\phi
또한, 다음과 같은 추론법이 성립한다. 여기서 X\vdash Y는 X로부터 Y를 유추한다는 뜻이다.
* (대우의 유추) \phi\implies\chi\vdash\lnot\chi\implies\lnot\phi
* (직교모듈러성) \phi\implies\chi\vdash\phi\lor(\lnot\phi\land\chi)\iff\chi
여기서 함의 관계 \phi\implies\chi는 동치 관계를 사용해 \phi\lor\chi\iff\chi 또는 \phi\iff\phi\land\chi로 정의된다.

## 고전 논리와의 비교
고전 논리에서의 명제들은 불 대수를 이루며, 이는 직교모듈러 격자보다 더 강한 공리들을 만족시킨다. 고전 논리에서 성립하지만, 양자 논리에서 성립하지 않는 주된 공리는 분배법칙이다. 즉, 고전 논리에서는 다음 두 분배법칙이 성립한다.
* (논리곱의 논리합에 대한 분배법칙) \phi\lor(\chi\land\psi)=(\phi\lor\chi)\land(\phi\lor\psi)
* (논리합의 논리곱에 대한 분배법칙) \phi\land(\chi\lor\psi)=(\phi\land\chi)\lor(\phi\land\psi)
그러나 양자 논리에서는 두 분배법칙이 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어,
:\phi=\operatorname{Span}\{|1\rangle\}
:\chi=\operatorname{Span}\{|1\rangle+|2\rangle\}
:\psi=\operatorname{Span}\{|1\rangle-|2\rangle\}
일 때,
:\phi\land(\chi\lor\psi)=\phi\neq(\phi\land\chi)\lor(\phi\land\psi)=\bot
:\phi\lor(\chi\land\psi)=\phi\ne(\phi\lor\chi)\land(\phi\lor\psi)=\top
이다.

다만, 서로 독립되는 명제들(대응되는 부분집합들이 모두 서로 직교 관계에 있는 경우)의 경우에는 분배법칙을 비롯한 고전 논리 전부가 성립한다.

## 예
양자 논리를 사용하여, 스핀과 같은 양자역학적 현상들을 논리학적으로 서술할 수 있다. 스핀이 ½인 페르미온은 임의의 방향의 스핀 성분을 측정할 때, 항상 +\hbar/2 또는 -\hbar/2를 얻는다. 이 입자의 힐베르트 공간은
:\mathcal H=\mathbb C^2=\operatorname{Span}\{|1\rangle,|2\rangle\}
이다. 이에 대하여, 다음과 같은 명제들을 정의하자. (이들은 파울리 행렬의 고유벡터들이다.)
* \sigma_x: 스핀의 *x*성분이 +\hbar/2이다. 이 명제는 \operatorname{Span}\{|1\rangle+|2\rangle\}에 대응한다.
* \sigma_y: 스핀의 *y*성분이 +\hbar/2이다. 이 명제는 \operatorname{Span}\{|1\rangle+i|2\rangle\}에 대응한다.
* \sigma_z: 스핀의 *z*성분이 +\hbar/2이다. 이 명제는 \operatorname{Span}\{|1\rangle\}에 대응한다.

이들로부터 다음을 유추할 수 있다. \phi,\chi\in\{\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z,\lnot\sigma_x,\lnot\sigma_y,\lnot\sigma_z\}이며 \phi\ne\chi 및 \phi\ne\lnot\chi라고 하자.
* \vdash\top\iff\phi\lor\chi. 즉, 이 6개 명제들 가운데, 서로 다른 방향에 대한 두 명제를 고르면, 그 둘의 논리합은 항상 참이다.
* \vdash\bot\iff\phi\land\chi. 즉, 이 6개 명제들 가운데, 서로 다른 방향에 대한 두 명제를 고르면, 그 둘의 논리곱은 항상 거짓이다.
* \nvdash\phi\implies\chi. 즉, 서로 다른 방향에 대한 두 명제는 서로를 함의하지 않는다.
물론, 이는 고전 논리에서는 불가능하다.

## 역사
개릿 버코프와 존 폰 노이만이 1936년에 도입하였다. 이후 힐러리 퍼트넘은 1969년 논문 〈논리학은 경험적인가?〉()에서 고전 논리를 대신 양자 논리로 대체하여야 한다고 주장하였다.

## 같이 보기
* 퍼지 논리
* 선형 논리
* 양자역학의 수학 공식화
* 양자 베이즈주의
* 양자장론

## 각주

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## 외부 링크
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