크론바흐 알파 계수

**타우동등신뢰도**(tau-equivalent reliability, {\rho}_{T})는 **크론바흐 알파**(Cronbach's alpha) 등의 이름으로 불리는 단일 실행 신뢰도(즉, 고정된 시간에서 여러 항목에 대한 응답자의 신뢰도) 계수이다. {\rho}_{T}는 단일 실행 신뢰도 계수들 중에서 가장 유명하고 흔히 사용되지만, 최근 연구들은 이 계수를 무조건적으로 사용하지 않는 것을 권장한다. {\rho}_{T}의 대안으로 흔히 언급되는 것은 구조방정식 기반 신뢰도 계수(예: 동류신뢰도)이다.
## 공식과 계산
### 체계적 공식과 관행적 공식
k개의 항목으로 구성된 검사에서 i번째 항목의 (관찰) 점수를 X_i, 그 분산을 \sigma^2_i라고 하자. 각 항목 점수의 합을 X (=\sum_{i=1}^k  X_i), 그 분산을 \sigma^2_{X}라고 하자. X_i와 X_j 간의 공분산을 \sigma_{ij}라고 하자. \sigma^2_{X}는 항목 분산의 합과 항목간 공분산의 합으로 구성된다. 즉, \sigma^2_{X}=\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k\sigma_{ij}=\sum_{i=1}^k \sigma^2_{i}+\sum_{i=1}^k \sum_{j \neq {i}}^k\sigma_{ij}. 항목간 공분산의 평균을 \overline{\sigma_{ij}}이라고 하자. 즉, \overline{\sigma_{ij}}={\sum_{i=1}^k \sum_{j \neq {i}}^k\sigma_{ij} \over k(k-1)}이다. {\rho}_{T}의 공식은 여러 가지로 표현할 수 있다.

우선, 이해하기 쉬운 "체계적 공식"은 다음과 같다.
\rho_T = {k^2 \overline{\sigma_{ij}} \over \sigma^2_X} 
전통적으로 사용되어 온 관행적 공식은 다음과 같다.
{\rho}_{T} =  \right)

### 계산 예
#### 올바른 자료에 적용한 경우
타우동등의 조건을 만족하는 다음의 자료에 {\rho}_{T}를 적용해 보자.

\sigma^2_{X}=\sum_{i=1}^k \sigma^2_{i}+\sum_{i=1}^k \sum_{j \neq {i}}^k\sigma_{ij}=(10+11+12+13)+6*4*(4-1)=118이므로, \rho_T = {4^2*6 \over 118} = .8135이다.
#### 올바르지 않은 자료에 적용한 경우
타우동등의 조건을 만족하지 않는 다음의 자료에 {\rho}_{T}를 적용해 보자.

\overline{\sigma_{ij}}=(4+5+6+7+8+9)/6=6.5이고 \sigma^2_{X}=\sum_{i=1}^k \sigma^2_{i}+\sum_{i=1}^k \sum_{j \neq {i}}^k\sigma_{ij}=(10+11+12+13)+2*(4+5+6+7+8+9)=124이므로, \rho_T = {4^2*6.5 \over 124} = .8387이다.

같은 자료에 동류 신뢰도를 적용한 결과와 비교할 수 있다.

## 타우동등신뢰도의 전제조건
{\rho}_{T}를 신뢰도 계수로 사용하기 위해서는 자료가 다음의 조건을 만족해야 한다.

1) 단일차원이다.

2) (본질적으로) 타우동등하다.
### 단일차원 평행, 타우동등, 동류 조건
#### 평행 조건
평행한 (parallel) 자료는 모집단 수준에서 모든 항목간 공분산(공분산 행렬의 비대각 요소)이 같고, 모든 분산(공분산 행렬의 대각 요소)이 같다. 예를 들어, 다음의 자료는 평행 조건을 충족한다. 평행한 자료에서, 공분산 행렬 대신 상관관계 행렬을 사용하더라도 정보의 손실이 없다. 모든 평행한 자료는 타우동등하지만, 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 세 조건 중 평행 조건이 가장 충족되기 어렵다.

#### 타우동등 조건
섬네일|300px|타우동등 측정 모형은 동류 측정 모형에서 모든 요인 적재량이 같은 특수한 경우이다. 즉, <math>\lambda=\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\cdots=\lambda_k</math>

타우동등한 (tau-equivalent) 자료는 모집단 수준에서 모든 공분산이 같아야 한다. 분산은 다를 수 있다. 예를 들어, 다음의 자료는 타우동등 조건을 충족한다. 타우동등한 자료에서 모든 항목은 동일한 변별력 혹은 중요성을 갖는다. 예를 들어, 아래의 자료에서 모든 항목은 동일한 변별력을 갖는다. 모든 타우동등한 자료는 동류이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

#### 동류 조건
섬네일|300px|동류 측정 모형
동류 (congeneric) 자료는 모집단 수준에서 모든 공분산과 분산이 다를 수 있다. 단, 단일차원이어야 한다. 예를 들어, 다음의 자료는 동류 조건을 충족한다. 동류 자료에서 모든 항목은 서로 다른 변별력 혹은 중요성을 가질 수 있다. 예를 들어, 아래의 자료에서 2번째 항목은 1번째 항목보다 4배 더 큰 변별력을 갖는다.

## 다른 신뢰도 계수들과의 관계
### 신뢰도 계수의 체계적 분류
수많은 신뢰도계수들이 존재한다. 그 중에서도 서로 관련이 깊고 자주 사용되는 신뢰도 계수들의 관행적 명칭을 정리하면 다음과 같다. 행의 이름과 열의 이름을 조합하면 해당 신뢰도 계수의 전제조건을 알 수 있다. 예를 들어, 크론바흐 알파와 거트먼의 \lambda_3은 단일차원 및 타우동등의 조건에서 유도되는 신뢰도 계수이다.

관행적 명칭은 무질서하고 비체계적이다. 마치 사용자들에게 최대한의 혼동과 오해를 유발하기 위한 목적으로 설계된 것처럼 보인다. 관행적 명칭은 각 계수의 성격에 대해 아무런 정보도 주지 않거나, 혹은 부정확한 정보(예: 표준화된 알파)를 준다. 관행적 명칭은 비일관적이다. 어떤 것은 공식이고, 어떤 것은 계수이다. 어떤 것은 최초 개발자의 이름이 붙고, 어떤 것은 최초 개발자도 아닌 사람의 이름이 붙고, 다른 것은 어떤 사람의 이름도 붙지 않는다. 같은 공식이 서로 다른 이름으로 지칭되는가 하면, 서로 다른 공식이 같은 이름(예: 여러 알파 및 오메가)으로 지칭된다. 이들 신뢰도 계수에 대해 제안된 체계적 명칭과 그 표기는 다음과 같다.

### 평행신뢰도와의 관계
타우동등 신뢰도(\rho_{T})는 흔히 크론바흐 알파 혹은 알파 계수로, 평행신뢰도(\rho_{P})는 흔히 표준화된 알파라는 이름으로 지칭된다. 알파라는 이름을 공유하고 있어 \rho_{T}와 \rho_{P}가 같은 신뢰도 계수라고 오해하는 경우가 흔하다. \rho_{P}를 표준화된 알파로 지칭하는 것은 역사적 근거가 없다. 크론바흐는 이 계수를 알파라고 지칭하지 않았고, 이 계수의 사용을 권장하지도 않았다. \rho_{P}는 1970년대 이전에는 거의 사용되지 않았다. SPSS가 \rho_{P}를 표준화된 알파라는 이름으로 제공하기 시작하면서 이 계수가 가끔씩 사용되기 시작하였다. \rho_{P}는 \rho_{T}보다 더 엄격한 조건인 평행 조건을 요구하며, 이 계수의 사용은 권장되지 않는다.
### 반분 타우동등 신뢰도와의 관계
모든 가능한 반분에 대해 반분 타우동등 신뢰도(\rho_{ST})를 계산한다고 가정하자. 그 평균값(Mean(\rho_{ST}))은 타우동등 신뢰도(\rho_{T})와 같다. 크론바흐가 증명한 이 관계는 \rho_{T}의 직관적 의미를 설명하기 위해 흔히 사용된다. 그러나 이러한 해석은 \rho_{ST}의 과소추정 성향, 즉 타우동등하지 않은 자료에 \rho_{ST}가 적용될 경우 신뢰도보다 작다는 수학적 사실을 간과한 것이다. \rho_{ST}의 과소추정을 감안하면 평균값이 아니라 최댓값(Max(\rho_{ST}))이 신뢰도에 더 가깝다. Max(\rho_{ST})의 잠재적 유용성은 크론바흐의 증명 이전에 거트먼에 의해 이미 언급된 적이 있다. 한 비교연구에 의하면 Max(\rho_{ST})는 조사에 포함된 신뢰도 계수중에서 가장 정확하다. 르벨은 \rho_{ST}의 최솟값(Min(\rho_{ST}))을 베타 계수로 지칭하며, 베타가 다른 신뢰도 계수는 보여주지 못하는 보완적 정보를 제시한다고 추천한다.
### 동류 신뢰도와의 관계
단일차원과 타우동등 조건을 모두 만족하는 자료에 적용될 경우, \rho_{T}와 동류신뢰도(\rho_{C})의 값은 같다.

단일차원은 만족하지만, 타우동등 조건을 만족하지 않는 자료에 \rho_{T}를 적용하면, \rho_{C}보다 작다.

\rho_{C}와 \rho_{T}를 모두 보고한 연구를 대상으로 조사한 결과, \rho_{T}는 \rho_{C}보다 평균적으로 .02 작다.

\rho_{C}는 \rho_{T} 다음으로 흔히 사용되는 신뢰도 계수이다. 사용자들은 \rho_{T}를 대신해서 \rho_{C}를 사용하기 보다는, 둘 다 제시하는 경향이 있다.
### 다차원 신뢰도 계수와의 관계
\rho_{T}를 다차원 자료에 적용하면, 그 값은 다차원 신뢰도 계수보다는 작고, \omega_{T}보다는 크다.

## 역사
### 쿠더-리처드슨 (1937) 이전
쿠더-리처드슨 이전에는 반분 평행 신뢰도(\rho_{SP})만이 알려져 있었다. 따라서 모든 항목들을 임의의 반분(예: 짝-홀, 앞-뒤)으로 나눈 후, \rho_{SP}를 적용하여 신뢰도 추정치를 얻었다. 이 방법의 문제는 어떤 반분이 선택되느냐에 따라 신뢰도 추정치가 달라진다는 것이었다. 이에 대한 비판이 제기되었지만, 20여 년 동안 근본적인 해결책을 찾지 못하였다.
### 쿠더-리처드슨 (1937)의 연구
쿠더-리처드슨 (1937)은 기존의 \rho_{SP}의 문제점을 극복할 수 있는 여러 개의 신뢰도 계수를 제안하였다. 그들은 신뢰도 계수에 별도의 이름을 붙이지 않았다. 그들이 발표한 여러 공식들 중 식 20이 \rho_{T}이다. 이 공식은 흔히 쿠더-리처드슨 식 20, 혹은 KR-20으로 지칭된다. 쿠더-리처드슨 (1937)은 관찰 점수가 이분적(예: 정답/오답)인 경우에 대해 다루었으므로, KR-20은 \rho_{T}의 관행적 공식과 약간 다르게 표현되었다. p_i를 항목 i의 정답 비율, q_i를 항목 i의 오답 비율이라고 하자 (p_i+q_i=1). KR-20의 공식은 다음과 같다.
{\rho}_{KR-20} =  \right)

거트먼 (1945)은 여섯 개의 신뢰도 공식을 유도하였으며, 각각을 \lambda_1, \cdots, \lambda_6 으로 표기하였다. 그는 이 공식들이 모두 신뢰도보다 항상 작거나 같다는 것을 증명하였으며, 이러한 특성을 바탕으로 이 공식들을 '신뢰도의 하한선'이라고 지칭하였다. 거트먼의 \lambda_4가 \rho_{ST}이며, \lambda_3가 \rho_{T}이다. 그는 \lambda_2가 \lambda_3보다 항상 크거나 같다 (즉, 더 정확하다)는 것을 증명하였다. 그 당시에는 모든 계산을 손으로 하던 시기였으며 \lambda_3의 공식이 더 계산하기 간단하였으므로 그는 특정한 조건 하에서 \lambda_3가 유용하다고 언급하였다.
\lambda_3 = {\rho}_{T} = 

\sigma^2_T=Var(\sum_{i=1}^k t)=k^2 \sigma^2_t = k^2 \overline{\sigma_{ij}} 

위의 가정을 만족할 때의 신뢰도를 \rho_T라고 하자. \rho_T는 다음과 같다.
\rho_T = {k^2 \overline{\sigma_{ij}} \over \sigma^2_X} 

## 각주

분류:통계학
분류:심리측정학