바탈린-빌코비스키 대수

이론물리학과 수학에서 **바탈린-빌코비스키 대수**()는 게이지 이론을 BRST 양자화할 때 등장하는 대수이다.

## 정의
### 고차 미분 연산자
(단위원을 갖는) 정수 등급 가환 결합 대수
:A = \bigoplus_{i\in\mathbb Z}A_i
:ab = (-)^{\deg a\deg b}ba
가 주어졌다고 하자. 이제, 왼쪽 곱셈 연산자
:\mathsf L_ab = ab
및 초괄호
:[a,b\} = ab - (-)^{\deg a\deg b}ba
를 정의할 수 있다. 초괄호는 또한 등급을 갖는 동차 연산자에 대해서도 정의될 수 있다.

이 위의 연산자
:D \colon A_\bullet \to A_{\bullet_k}
:\deg D = k
가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 **<math>n</math>차 <math>k</math>등급 미분 연산자**()라고 한다.
:D(1_A) = 0
:[\dotso[D,\mathsf L_{a_0}\}, \mathsf L_{a_1}\},\dotsc, \mathsf L_{a_n} \} (1_A) = 0 \qquad\forall a_0,\dotsc,a_k\in A</math>
여기서 초괄호에서 <math>\deg \mathsf L_a = \deg a</math> 및 <math>\deg D = k</math>로 간주한다.

예를 들어, 0차 미분 연산자의 경우
:<math>D1 = 0</math>
인 것이다. 1차 미분 연산자는
:<math>0 = [[D,\mathsf L_a\},\mathsf L_b\}1 = D(ab) - (-)^{k\deg a}a(Db) - (-)^{(k+\deg a)\deg b}b(Da) </math>
인 것이다. 즉,
:<math>D(ab) = (Da)b + (-)^{k\deg a}a(Db)</math>
이며, 이는 [곱 규칙이다.

홀수 등급 2차 미분 연산자 \Delta는
:\Delta(abc)-\Delta(ab)c-(-1)^{\deg a}a\Delta(bc)-(-1)^{(\deg a+1)\deg b}b\Delta(ac)+\Delta(a)bc-(-1)^{\deg a}a\Delta(b)c+(-1)^{\deg(ab)}ab\Delta(c)=0
를 만족시킨다.

### 거스틴해버 괄호
등급 가환 결합 대수
:A=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}A_i
및 A 위의 사슬 복합체 구조
:\partial \colon A_\bullet \to A_{\bullet-1}
:\partial_1 = 0
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 괄호들을 정의할 수 있다.
:\Phi^{n+1}(a_0,a_1,\dotsc,a_n) = [\dotsb[[\partial,\mathsf L_{a_0}\},\mathsf L_{a_1}\},\dotsc\},\mathsf L_{a_n}\}1</math>
이를 <math>n+1</math>항 '''거스틴해버 괄호'''라고 한다. 예를 들어
:<math>\Phi^0() = 0</math>
:<math>\Phi^1(a) = \partial a</math>
:<math>\Phi^2(a,b) = \partial (ab) - (-)^{\deg a}a\partial b - (\partial a)b</math>
이다. 그렇다면, 곱셈 구조를 잊으면,
:<math>(A,\Phi^\bullet)</math>
는 [L∞-대수를 이룬다.

물론, 만약 \partial이 n차 미분 연산자라면, 오직 \Phi^1,\dotsc,\Phi^n만이 0이 아닐 수 있다.

바탈린-빌코비스키 대수에는 다음과 같은 **[[거스틴해버 대수|거스틴해버 괄호]]**() 또는 **반괄호**() (a,b)를 정의할 수 있다.
:(a,b)=(-1)^{\deg a}\Phi^2(a,b)
이는 다음과 같은 성질들을 따른다.
* (차수 −1) \deg(a,b)=\deg a+\deg b-1
* (등급가환성) (a,b)=-(-1)^{(\deg a+1)(\deg b+1)}(b,a)
* (등급 야코비 항등식) (-1)^{(\deg a+1)(\deg c+1)}(a,(b,c))+(-1)^{(\deg b+1)(\deg a+1)}(b,(c,a))+(-1)^{(\deg c+1)(\deg b+1)}(c,(a,b))=0
* (등급 라이프니츠 규칙) (ab,c)=a(b,c)+(-1)^{\deg a\deg b}b(a,c)

### 바탈린-빌코비스키 대수
**바탈린-빌코비스키 대수** (A,\Delta)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 등급 가환 결합 대수 A=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}A_i
* A 위의 2차 −1등급 미분 연산자 \Delta\colon A_\bullet\to A_{\bullet-1}. 이를 **바탈린-빌코비스키 [[라플라스 연산자]]**라고 한다.

## 게이지 이론의 양자화
바탈린-빌코비스키 대수는 게이지 이론의 양자화에 등장한다. 이 경우, 바탈린-빌코비스키 대수의 등급은 유령수(ghost number)가 된다.

게이지 이론이 장 \phi^i와 고전적 작용 S_0(\phi)에 의해 정의된다고 하자. 또한, 이 이론에 다음과 같은 게이지 변환들이 존재한다고 하자.
:\delta\phi^i=R_{\alpha_1}^i\epsilon^{\alpha_1}
여기서 \epsilon^{i_1}는 게이지 변환 매개변수이다. 또한, 게이지 변환들 사이에 관계들이 있을 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴의 관계가 존재한다.
:R^{i_p}_{i_{p+1}}R_{i_p}^{i_0}=C^{ij}_{\alpha_{p+1}}\frac{\delta S_0}{\delta\phi^{j_0}}
이다. 여기서 C^{ij}_{\alpha_{p+1}}는 임의의 텐서이다. 즉, 일반적으로 게이지 이론은
* 1차 게이지 변환 \delta\phi^i/\delta\epsilon^{\alpha_1}
* 2차 게이지 변환 \delta\epsilon^{\alpha_1}/\delta\epsilon^{\alpha_2}
* 3차 게이지 변환 \delta\epsilon^{\alpha_2}/\delta\epsilon^{\alpha_3}
등의 일련의 고차 게이지 변환들을 가진다.

그렇다면 바탈린-빌코비스키 양자화에서는 각 (고차) 게이지 변환 \delta/\delta\epsilon^{\alpha_p}에 대응하는 유령장 c^{\alpha_p}을 정의한다. 유령장은 대응하는 게이지 변환의 통계와 반대 통계를 따른다. (즉, 일반적 게이지 변환의 경우 페르미온, 초대칭 게이지 변환의 경우 보손이다.) 유령장 및 물리적 장 \phi^i에 대응하는 **반대장**(反對場, ) \phi^*_i, c^*_{\alpha_p}를 정의하자. 반대장들은 대응하는 장과 반대 통계를 따른다. 또한, 이들 장들에 **유령수**(幽靈數, )라는 차수를 붙인다. 물리적 장은 유령수 0, p차 게이지 변환에 대응하는 유령장은 유령수 p, 그리고 유령수 g에 대응하는 반대장은 유령수 -g-1을 가진다. 이를 표로 적으면 다음과 같다.

즉, 장들은 유령수에 따라 등급대수를 이룬다.

### Δ 연산자와 거스틴해버 괄호
모든 장들을 통칭해
:\Phi^A=(\phi^i,c^{\alpha_p})
:\Phi^*_A=(\phi^*_i,c^*_{\alpha_p})
로 적자. 장들의 등급대수에 다음과 같은 Δ 연산자를 정의할 수 있다.
:\Delta=(-1)^{\sigma(\Phi^A)}\frac{\delta^L}{\delta\Phi^A}\frac{\delta^L}{\delta\Phi^*_A}
또한, 거스틴해버 괄호는 다음과 같다.
:(X,Y)=\frac{\delta^RX}{\delta\Phi^A}\frac{\delta^LY}{\delta\Phi^*_A}-
\frac{\delta^RX}{\delta\Phi^*_A}\frac{\delta^LY}{\delta\Phi^A}.
이렇게 연산자들을 정의하면, 장들의 등급대수는 바탈린-빌코비스키 대수를 이룬다. 여기서 \delta^L/\delta\Phi^A와 \delta^R/\delta\Phi^A는 각각 좌·우미분이다.

### 고전 으뜸 방정식
고전적 작용 S_0(\phi^i)는 유령수 0의 원소이다. 게이지 고정을 하려면, 여기에 유령장 및 반대장들을 추가하여 다음과 같은 꼴로 교정하여야 한다.
:S=S_0+S_1+S_2+\dots
여기서 S_p는 p개의 유령장의 곱을 포함하며, 그 유령수를 상쇄시키는 반대장들을 포함한다. 즉, S의 유령수는 0이다.
:\deg S=0
이렇게 교정된 작용 S는 다음과 같은 **고전 으뜸 방정식**()을 만족시킨다.
:(S,S)=0
이로부터 S를 완전히 계산할 수 있다.
이 경우, 이론의 BRST 대칭은
:\delta_{\text{BRST}}=(S,\cdot)
의 꼴이다. 이 경우 자동적으로
:\delta_{\text{BRST}}S=(S,S)=0
이 된다. 작용은 유령수가 0이고 거스틴해버 괄호는 유령수가 1이므로, BRST 대칭은 유령수를 1만큼 증가시킨다.

\delta_{\text{BRST}}^2=0임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 이에 대한 코호몰로지
:H^p(\delta_{\text{BRST}})
를 정의할 수 있다. 관측가능량들은 0차 BRST 코호몰로지 H^0(\delta_{\text{BRST}})의 원소이다. 고전적인 연산자 O_0가 주어지면, 여기에 유령장을 포함하는 항들을 추가하여, BRST 불변이게 만들어야 한다.
:O=O_0+O_1+O_2+\cdots
:\delta_{\text{BRST}}O=(S,O)=0

### 게이지 고정
유령항을 추가한 뒤, 경로 적분을 사용하려면 작용을 게이지 고정시켜야 한다. 이를 위해 유령수가 −1이고, 반대장들을 포함하지 않는 페르미온 연산자 \psi를 선택하자. 이를 **게이지 고정 페르미온**()이라고 한다. 이러한 연산자가 주어지면, 작용에서 반대장을 다음과 같이 치환한다.
:\Phi^*_A\mapsto\frac{\delta\psi}{\delta\Phi^A}
작용에서 반대장들을 이렇게 치환하게 되면, 게이지가 고정된다.

게이지 고정 페르미온은 &minus1;의 유령수를 가져야 하는데, 반대장이 아닌 장들은 모두 음이 아닌 유령수를 가진다. 이 때문에 이론에 음의 유령수를 가진 보조장들을 추가하여야 한다.

### 양자 으뜸 방정식
양자화를 하게 되면, 작용뿐만 아니라 경로 적분의 측도 또한 BRST 불변이어아 한다. 측도가 BRST 불변일 필요충분조건은
:\Delta S=0
이다. 예를 들어, 양-밀스 이론의 경우 이 조건이 성립한다.

만약 측도가 BRST 불변이 아니라면, 작용에 적절한 항들을 추가하여 이를 상쇄시켜야 한다. 이는 플랑크 상수 \hbar에 비례하게 된다. 즉, S=\hat S^{(0)}으로 놓으면,
:\hat S=\hat S^{(0)}+\hbar S^{(1)}+\hbar^2S^{(2)}+\cdots
이다. 이에 대한 **양자 으뜸 방정식**()은
:\Delta(\exp(i\hat S/\hbar))=0
이다. 다음 표현은 위와 동치이다.
:(\hat S,\hat S)=2i\hbar\Delta\hat S
이다. 이를 전개하면
:(\hat S^{(0)},\hat S^{(0)})=0
:(\hat S^{(0)},\hat S^{(1)})=i\Delta \hat S^{(0)}
:(\hat S^{(0)},\hat S^{(2)})+\frac12(\hat S^{(1)},\hat S^{(1)})=i\Delta \hat S^{(1)}
등등의 일련의 식들을 얻는다. 이 가운데 처음 방정식이 고전 으뜸 방정식이다.

피적분량 X를 위와 같이 게이지 고정시켜 경로 적분한다고 하자. 이 적분이 게이지 고정 페르미온의 선택에 의존하지 않으려면, 그 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자가 0이어야 한다. 따라서, 연산자를 삽입하지 않은 경로 적분
:\int\exp(iS/\hbar)
를 고려하면 양자 으뜸 방정식
:\Delta\exp(iS/\hbar)=0
이 만족되어야 함을 알 수 있다. 연산자 O가 삽입된 경로 적분의 경우, 마찬가지로
:(W,O)=i\hbar\Delta O
가 성립해야 한다. 이는 스토크스 정리와 유사하게 생각할 수 있다. 즉, 경로 공간(장들의 무한 차원 짜임새 공간) 위에서, \exp(iS/\hbar)를 다중벡터(multivector)로 생각하자. 경로 적분의 측도 D\Phi를 짜임새 공간 위의 미분형식으로 생각하면, D\Phi\,\exp(iS/\hbar)는 경로 공간 위의 미분형식이고, 그 외미분은 바탈린-빌코비스키 연산자 \Delta이다. 즉, Δ-코호몰로지에서는 부분적분에 따라, 임의의 부분공간 N 위의 적분은
:\int_N \Delta X=0
이고, 또한 만약 \Delta Y=0이라면
:\int_N Y
는 N의 무한소 변화에 의존하지 않는다 (즉, N의 호몰로지류에만 의존한다). 게이지 이론의 양자화에서는 D\Phi\,O\exp(iS/\hbar)가 닫혀 있다면, 경로 적분은 게이지 고정의 변화에 의존하지 않는다.

## 예
### 양-밀스 이론
로런츠 지표는 \mu,\nu,\dots로, 게이지 리 대수 지표는 a,b,\dots로 쓰자.

비가환 양-밀스 이론의 경우, 게이지장 A^a_\mu는 다음과 같은 게이지 대칭을 가진다.
:\delta A^a_\mu=\partial_\mu\epsilon^a+gf^{abc}A_\mu^b\epsilon^c
따라서, 이에 대응하는 반가환 유령장 c^a 및 반대장 \phi^*_a, c^*_a가 존재한다. 작용
:S_0=-\frac14\int d^dx\,F^2
에 유령항들을 추가하면 다음과 같은 BRST 불변 작용을 얻는다.
:S=S_0+\int d^dx\, A_a^{*\mu}D_\mu c^a+\frac12\int d^dx\,c_a^*f^a{}_{bc}c^bc^c 
게이지 고정을 위해, 유령수 −1의 페르미온 \bar c_a와 유령수 0의 보손 b_a를 추가하고, 작용에 다음과 같은 보조장항을 더하자.
:S'=S-i\int d^dx\,\bar c^{*a}b_a
그렇다면 게이지 고정 페르미온
:\psi=i\int d^dx\,\bar c_a\left(\partial^\mu A_\mu^a+\xi b^a/2\right)
를 삽입한다. 여기서 \xi는 임의의 상수다. 이렇게 하여 반대장들을 치환하면, 다음과 같은 게이지 고정 작용을 얻는다.
:S=\int d^dx\,\left(-\frac14F^2-i\partial^\mu\bar c_aD_\mu c^a+\left(\partial^\mu A^a_\mu+\xi b^a/2\right)b_a\right)

### 미분형식 전기역학
*p*차 미분형식 전기역학의 경우, *p*차 미분형식 게이지 퍼텐셜 A^{(p)}는 다음과 같은 게이지 변환들을 가진다.
:\frac{\delta A^{(p)}}{\delta\epsilon^{(p-1)}}=d\epsilon^{(p-1)}
:\frac{\delta\epsilon^{(p-1)}}{\delta\epsilon^{(p-2)}}=d\epsilon^{(p-2)}
:⋮
:\frac{\delta\epsilon^{(1)}}{\delta\epsilon^{(0)}}=d\epsilon^{(0)}
여기서 \epsilon^{(k)}는 k차 미분형식이다. 따라서, 다음과 같은 유령장들과 반대장들이 존재한다.

유령항을 추가한 작용은 다음과 같다.
:S=\int d^dx\,\left(-\frac12F^{(p+1)}\wedge*F^{(p+1)}+*A^{*(p)}\wedge dc^{(p-1)}
+\sum_{k=0}^{p-2}*c^{*(k+1)}\wedge dc^{(k)}
\right)

## 역사
이고리 아니톨리예비치 바탈린()과 그리고리 알렉산드로비치 빌코비스키()가 초중력을 양자화하기 위해 도입하였다. 이후 바탈린-빌코비스키 양자화는 닫힌 끈 장론 등을 양자화하는 데 쓰였다.

## 같이 보기
* 거스틴해버 대수

## 각주

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## 외부 링크
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