노름 공간

선형대수학 및 함수해석학에서 **노름 공간**(norm空間, )은 원소들에 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’가 부여된 벡터 공간이다. 이러한 크기는 **노름**()이라고 하며, 삼각 부등식을 따라 거리 함수를 정의한다.

노름 공간의 정의에서, 하우스도르프 조건을 생략하면 **반노름 공간**(半norm空間, )의 개념을 얻는다. 즉, 노름이 0인 벡터는 영벡터 밖에 없지만, **반노름**(半norm, )이 0인 벡터는 영벡터가 아닐 수 있다.

삼각 부등식을 아래 부등식으로 변형하면 양의 실수 K에 대한 준노름이 된다.
\|x + y\| \le K(\|x\| + \|y\|)

## 정의
\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

### 통상적 정의
\mathbb K-벡터 공간 V 위의 **반노름**은 다음 두 조건들을 만족하는 함수
:\lVert\cdot\rVert\colon V\to[0,\infty)
:\lVert\cdot\rVert\colon v\mapsto\Vert v\Vert
이다.
* (양의 동차성) 임의의 a\in K 및 v\in V에 대하여, \Vert av\Vert=|a|\Vert v\Vert
* (삼각 부등식) 임의의 u,v\in V에 대하여, \Vert u+v\Vert\le\Vert u\Vert+\Vert v\Vert
반노름이 주어진 \mathbb K-벡터 공간 (V,\lVert\cdot\rVert)을 **<math>\mathbb K</math>-반노름 공간**이라고 한다.

V 위의 **노름**은 다음 조건을 추가로 만족하는 반노름 \lVert\cdot\rVert이다.
* (양의 정부호성) 모든 v\in V에 대하여, \Vert v\Vert=0임은 v=0임과 동치이다.
노름이 주어진 \mathbb K-벡터 공간 (V,\lVert\cdot\rVert)을 **<math>\mathbb K</math>-노름 공간**이라고 한다.

### 민코프스키 범함수를 통한 정의
\mathbb K-벡터 공간 V의 부분 집합 S\subseteq V의 **민코프스키 범함수**()는 다음과 같다.
:\mu_S\colon V\to[0,\infty]
:\mu_S(v)=\inf\{t\in\mathbb R^+\colon v\in tS\}

\mathbb K-벡터 공간 V 위의 **반노름**은 다음 조건을 만족시키는 함수
:\lVert\cdot\rVert\colon V\to[0,\infty]
:\lVert\cdot\rVert\colon v\mapsto\Vert v\Vert
이다.
* 어떤 균형 볼록 흡수 집합의 민코프스키 범함수이다.
(흡수성에 따라 반노름의 값은 항상 유한하다.) 이 정의는 반노름의 통상적 정의와 동치이다.

## 연산
### 직합
\mathbb K-노름 공간들의 (유한 또는 무한) 족 (V_i)_{i\in I}과 실수 1\le p가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 직합
:V=\bigoplus_iV_i
에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.
:\|(v_i)_{i\in I}\|_p=\sqrt[p]{\|v_i\|_{V_i}^p}
그렇다면, (V,\lVert\cdot\rVert_p) 역시 노름 공간을 이룬다.

### 부분 공간과 몫
\mathbb K-노름 공간 V의  \mathbb K-부분 벡터 공간 W\subseteq V가 주어졌다고 하자. 그렇다면, W에 V의 노름을 제한한 것을 부여하면, W 역시 \mathbb K-노름 공간을 이룬다.

\mathbb K-노름 공간 V의 닫힌 \mathbb K-부분 벡터 공간 W\subseteq V가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 몫공간 V/W 위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.
:\|v+W\|_{V/W}=\inf_{w\in W}\|v+w\|_V
그렇다면 V/W 역시 \mathbb K-노름 공간을 이룬다.

### 연속 쌍대 공간

\mathbb K-노름 공간 (V,\|\|)의 연속 쌍대 공간 V' 위에는 **[[쌍대 노름]]**
:\|f\|_{V'}=\sup_{v\in V\setminus\{0\}}\frac{\|v\|_V}
을 부여할 수 있으며, 이에 따라 V' 역시 \mathbb K-노름 공간을 이룬다.

### 하우스도르프화
임의의 \mathbb K-반노름 공간 (V,\|\|)에 대하여, 다음과 같은 \mathbb K-부분 벡터 공간을 정의하자.
:N=\{v\in V\colon \|v\|=0\}
그렇다면, 몫공간 V/N 위에는 반노름이 잘 정의되며, 이 경우 반노름은 노름이 된다. 이러한 구성은 예를 들어 르베그 공간의 정의에 등장한다.

### 완비화
\mathbb K-노름 공간 (V,\|\|)의 (거리 공간으로서의) 완비화 \bar V 위에 다음과 같은 노름을 정의하자.
:\|\bar v\|_{\bar V}=\lim_{i\to\infty}\|v_i\|_V\qquad(\bar v\in\bar V)
여기서 (v_i)_{i\in\mathbb N}는 \bar v로 수렴하는 코시 열이다. 이를 부여하면 \bar V는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다.

이 경우, 자연스러운 단사 \mathbb K-선형 등거리 변환
:V\hookrightarrow\bar V
가 존재하여, V를 \bar V의 부분 공간으로 여길 수 있다. 만약 V가 이미 \mathbb K-바나흐 공간이라면, 위 함수는 전단사 함수이다.

## 성질
\mathbb K-반노름 공간 V 위에는 다음과 같은 유사 거리 함수를 부여하여 유사 거리 공간으로 만들 수 있다.
:d(u,v)=\|u-v\|=\|v-u\|\qquad(u,v\in V)
만약 V가 노름 공간이라면, 이는 거리 공간을 이룬다. 유사 거리 공간 구조에 의하여, \mathbb K-반노름 공간은 항상 \mathbb K-위상 벡터 공간을 이룬다.

두 \mathbb K-반노름 공간 사이의 \mathbb K-선형 변환의 경우, 유계 작용소인 것과 연속 함수인 것이 서로 동치이다.

### 함의 관계
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:
즉, \mathbb K-노름 공간 (V,\|\|)가 주어졌을 때,
* 만약 (u,v)\mapsto(\|u+v\|-\|u-v\|)/2가 \mathbb K-쌍선형 형식을 이루면, (V,\|\|)는 \mathbb K-내적 공간을 이룬다.
* 만약 완비 거리 공간이라면, (V,\|\|)는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다.
* 만약 (V,\|\|)가 \mathbb K-내적 공간이자  \mathbb K-바나흐 공간이라면, (V,\|\|)를 \mathbb K-힐베르트 공간이라고 한다.

### 노름화 가능 공간
\mathbb K-위상 벡터 공간 V에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 V를 **반노름화 가능 공간**()이라고 한다.
* V의 위상은 낱개의 반노름으로 유도된다.
* 국소 볼록 공간이자 국소 유계 공간이다. 즉, 0\in V가 볼록 유계 근방을 갖는다.

\mathbb K-위상 벡터 공간 V에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 V를 **노름화 가능 공간**이라고 한다.
* V의 위상은 낱개의 노름으로 유도된다.
* 반노름화 가능 공간이며, 하우스도르프 공간이다.

## 예
모든 벡터 공간에서 **자명 반노름**() \Vert v\Vert=0은 반노름을 이루지만, 이는 (V가 0차원이 아니라면) 노름을 이루지 못한다.

### 체
체 \mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}는 스스로에 대한 1차원 벡터 공간을 이룬다. 이 경우 절댓값 \Vert a\Vert=|a|은 노름을 이룬다.

### 유클리드 공간에서의 노름

[프레임|오른쪽|서로 다른 노름 공간에서 정의된 [단위원.]]
임의의 1\le p\le\infty에 대하여, 유클리드 공간 \mathbb R^n 위에 다음과 같은 노름 \lVert\cdot\rVert_p을 정의할 수 있으며, 이를 **L<sup>''p''</sup> 노름**이라고 한다.
:\Vert\mathbf{x}\Vert_p = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}
여기서 p=2인 경우는 표준적인 유클리드 노름
:\Vert\mathbf{x}\Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2 }
이다. 만약 p=\infty일 경우는 **상한 노름**()
:\Vert\mathbf{x}\Vert_\infty = \lim_{p\to\infty}\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}=\max\{ |x_1|, |x_2|, \dots, |x_n| \}
이 된다. p=1인 경우는 **[[맨해튼 거리|맨해튼 노름]]**
:\Vert\mathbf{x}\Vert_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|
이 된다.

\ell^p 노름 말고도 유클리드 공간 위에 수많은 노름들을 정의할 수 있다. 예를 들어, \mathbb R^4 위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.
:\Vert x\Vert= 2|x_1| + \sqrt{3|x_2|^2 + \max(|x_3|,2|x_4|)^2}
그러나 유클리드 공간 위의 모든 노름은 같은 위상을 유도한다.

## 같이 보기
* 바나흐 공간
* 핀슬러 다양체
* 내적 공간
* 국소 볼록 공간
* 공간#수학
## 각주

## 외부 링크
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