기약표현

수학에서, 특히 군 및 대수의 표현론에서 **기약 표현**(旣約表現, ) (\rho, V) 또는 **irrep**는 부분 표현을 가지지 않는 0이 아닌 표현이다. 즉, (\rho|_W,W)에서 W \subset V는 \{ \rho(a) : a\in A \}의 작용에 대해 닫혀 있는 자명하지 않은 부분 공간이 없다.

힐베르트 공간 V 상의 모든 유한 차원 유니터리 표현은 기약 표현의 직합이다. 기약 표현은 항상 **분해 불가능**이지만 (즉, 표현의 직합으로 더 이상 분해될 수 없다), 그 역은 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, 상삼각 행렬에 의해 작용하는 실수에 대한 2차원 표현은 분해 불가능이지만 가약이다.

## 역사

군 표현론은 1940년대부터 리하르트 브라우어에 의해 일반화되어, 실수나 복소수 위의 벡터 공간이 아닌 임의의 표수 K를 가진 체 위의 벡터 공간에 행렬 연산자가 작용하는 모듈러 표현론을 제공했다. 결과 이론에서 기약 표현에 해당하는 구조는 단순 가군이다.

## 개요

\rho: G \to GL(V)를 군 G의 준동형으로 표현이라 하자. 여기서 V는 체 F 위의 벡터 공간이다. V의 기저 B를 선택하면, \rho는 군에서 가역 행렬 집합으로 가는 함수(준동형)로 생각할 수 있으며 이 맥락에서 **행렬 표현**이라고 불린다. 그러나 기저 없이 공간 V를 생각하면 훨씬 간단해진다. \rho는 그것이 작용하는 벡터 공간 V의 차원이 d이면 **d차원**이다.

선형 부분 공간 W\subset V는 모든 g\in G 및 모든  w\in W에 대해 \rho(g)w\in W이면 **<math>G</math>-불변**이라고 한다. G-불변 부분 공간 W\subset V의 일반 선형 군에 대한 \rho의 공역 제한을 **부분 표현**이라고 한다. 표현 \rho: G \to GL(V)는 자명한 부분 표현만 가지면 **기약**이라고 한다 (모든 표현은 자명한 G-불변 부분 공간, 예를 들어 전체 벡터 공간 V, 및 {0}{로부터 부분 표현을 형성할 수 있다). 적절한 자명하지 않은 불변 부분 공간이 있으면 \rho는 **가약**이라고 한다.

### 군 표현의 표기법 및 용어

군 요소는 행렬로 표현될 수 있지만, "표현"이라는 용어는 이 맥락에서 특정하고 정확한 의미를 갖는다. 군의 표현은 군 요소에서 행렬의 일반선형군으로의 사상이다. 표기법으로, a, b, c, ...는 군 곱을 기호 없이 나타내는 군 G의 요소를 나타낸다. 따라서 ab는 a와 b의 군 곱이며 G의 요소이기도 하다. 그리고 표현은 D로 나타낸다. **[[수학|a]]의 표현**은 다음과 같이 쓰여진다.

:D(a) = \begin{pmatrix}
D(a)_{11} & D(a)_{12} & \cdots & D(a)_{1n} \\
D(a)_{21} & D(a)_{22} & \cdots & D(a)_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
D(a)_{n1} & D(a)_{n2} & \cdots & D(a)_{nn} \\
\end{pmatrix}

군 표현의 정의에 따라, 군 곱의 표현은 표현의 행렬 곱셈으로 변환된다.

:D(ab) = D(a)D(b) 

e가 군의 항등원이면 (따라서 1=ae = ea = a, 등), D(e)는 단위 행렬이거나 동일하게 단위 행렬의 블록 행렬이어야 한다. 왜냐하면 다음과 같아야 하기 때문이다.

:D(ea) = D(ae) = D(a)D(e) = D(e)D(a) = D(a)

그리고 다른 모든 군 요소에 대해서도 마찬가지이다. 마지막 두 진술은 D가 군 준동형사상이라는 요구 사항에 해당한다.

### 가약 표현과 기약 표현
표현이 자명하지 않은 G-불변 부분 공간을 포함하면 가약이다. 즉, 모든 행렬 D(a)는 동일한 가역 행렬 P에 의해 상삼각 블록 형태로 놓일 수 있다. 다시 말해, 닮음 변환이 존재한다.
: D'(a) \equiv P^{-1} D(a) P,
이는 표현의 모든 행렬을 동일한 패턴의 상삼각 블록으로 매핑한다. 모든 순서가 지정된 부블록은 군 부분 표현이다. 즉, 예를 들어 표현이 2차원이면 다음과 같다.
D'(a) = P^{-1} D(a) P = \begin{pmatrix}
D^{(11)}(a) & D^{(12)}(a)  \\
0 & D^{(22)}(a)
\end{pmatrix}, 

여기서 D^{(11)}(a)는 자명하지 않은 부분 표현이다. 만약 D^{(12)}(a) = 0도 만족시키는 행렬 P 를 찾을 수 있다면, D(a)는 가약일 뿐만 아니라 분해 가능하기도 하다.

'주의:' 표현이 가약이더라도 행렬 표현은 여전히 상삼각 블록 형태가 아닐 수 있다. 위에서 언급한 행렬 P^{-1}을 표준 기저에 적용하여 얻을 수 있는 적절한 기저를 선택해야만 이 형태를 갖게 된다.

### 분해 가능 표현과 분해 불가능 표현

모든 행렬 D(a)가 동일한 가역 행렬 P에 의해 블록 대각 형태로 놓일 수 있으면 표현은 분해 가능하다. 다시 말해, 닮음 변환이 존재한다.

: D'(a) \equiv P^{-1} D(a) P,

이는 표현의 모든 행렬을 동일한 패턴의 대각 블록으로 대각화한다.&nbsp;각 블록은 다른 블록과 독립적인 군 부분 표현이다. 표현 ''D''(''a'')와 ''D′''(''a'')는 **동치 표현**이라고 한다. ('k'차원 표현이라고 하자) 표현은 [[수학|''k'' > 1개 행렬의 직합]]으로 분해될 수 있다.

:D'(a) = P^{-1} D(a) P = \begin{pmatrix}
D^{(1)}(a) & 0 & \cdots & 0 \\
0 & D^{(2)}(a) & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & D^{(k)}(a) \\
\end{pmatrix} = D^{(1)}(a) \oplus D^{(2)}(a) \oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a),

따라서 ''D''(''a'')는 **분해 가능**하며, 분해된 행렬은 괄호 안에 위첨자를 사용하여 1=''n'' = 1, 2, ..., ''k''에 대해 ''D''<sup>(''n'')</sup>(''a'')와 같이 표기하는 것이 일반적이지만, 일부 저자는 괄호 없이 숫자 레이블만 쓰기도 한다.

''D''(''a'')의 차원은 블록 차원의 합이다.

:\dim[D(a)] = \dim[D^{(1)}(a)] + \dim[D^{(2)}(a)] + \cdots + \dim[D^{(k)}(a)].

이것이 불가능하다면, 즉 1=''k'' = 1이면 표현은 분해 불가능하다.

**주의**: 표현이 분해 가능하더라도 행렬 표현은 대각 블록 형태가 아닐 수 있다. 위에서 언급한 행렬 P^{-1}을 표준 기저에 적용하여 얻을 수 있는 적절한 기저를 선택해야만 이 형태를 갖게 된다.

### 기약 표현과 분해 불가능 표현의 관계
기약 표현은 본질적으로 분해 불가능한 표현이다. 그러나 역은 성립하지 않을 수 있다.

하지만 일부 조건 하에서는 분해 불가능한 표현이 기약 표현이 된다.

* 군 G가 유한하고, '''C''' 위에서 표현을 가질 때, 분해 불가능한 표현은 기약 표현이다.
* 군 G가 유한하고, 체 K 위에서 표현을 가질 때, 만약 char(K)\nmid |G|이면, 분해 불가능한 표현은 기약 표현이다.

## 기약 표현의 예시

### 자명한 표현
모든 군 G는 모든 군 요소를 항등 변환에 매핑하여 0차원의 기약 자명한 표현을 갖는다.

### 1차원 표현
모든 1차원 표현은 적절한 비자명 불변 부분 공간을 가지지 않기 때문에 기약이다.

### 기약 복소 표현

유한군 G의 기약 복소 표현은 지표 이론의 결과를 사용하여 특징화할 수 있다. 특히, 모든 복소 표현은 irreps의 직접 합으로 분해되며, G의 irreps 수는 G의 켤레류 수와 같다.

* \Z / n\Z의 기약 복소 표현은 정확히 1 \mapsto \gamma 맵으로 주어진다. 여기서 \gamma는 n번째 1의 거듭제곱근이다.
* V를 기저 \{v_i\}^n_{i=1}를 갖는 S_n의 n차원 복소 표현이라 하자. 그러면 V는 다음과 같이 irreps의 직접 합으로 분해된다. V_\text{triv} = \Complex \left ( \sum^n_{i=1} v_i \right ) 그리고 다음으로 주어지는 직교 부분 공간 V_\text{std} = \left \{ \sum^n_{i=1} a_i v_i : a_i \in \Complex, \sum^n_{i=1} a_i = 0 \right \}. 전자의 irrep는 1차원이며 S_n의 자명한 표현과 동형이다. 후자는 n-1차원이며 S_n의 표준 표현으로 알려져 있다.
* G를 군이라 하자. G의 정규 표현은 군 작용 g \cdot e_{g'} = e_{gg'}이 있는 기저 \{e_g\}_{g \in G}에 대한 자유 복소수 벡터 공간 \Complex G이다. G의 모든 기약 표현은 \Complex G를 irreps의 직접 합으로 분해하는 데 나타난다.

### '''F'''<sub>''p''</sub> 상의 기약 표현의 예시
*G를 p 군으로 하고 V = \mathbb{F}_p^{n}을 \mathbb{F}_p 위의 G의 유한 차원 기약 표현으로 하자. 궤도-안정자 정리(Orbit-stabilizer theorem)에 의해, p 군 G에 의해 작용된 모든 V 요소의 궤도 크기는 p의 거듭제곱이다. 이 모든 궤도의 크기가 G의 크기와 합산되고, 0 \in V는 자신만을 포함하는 크기 1 궤도에 있기 때문에, 합이 일치하기 위해서는 크기 1인 다른 궤도가 있어야 한다. 즉, 모든 g \in G에 대해 gv = v인 일부 v\in V가 존재한다. 이것은 \mathbb{F}_p 위의 p 군의 모든 기약 표현이 1차원이어야 함을 강제한다.

## 이론 물리학 및 화학에서의 응용

양자 물리학 및 양자화학에서, 축퇴된 에너지 준위의 각 집합은 해밀턴 연산자의 대칭 군 표현을 위한 벡터 공간 V을 구성하며, "다중항"은 기약 부분으로의 환원을 통해 가장 잘 연구된다. 따라서 기약 표현을 식별함으로써 상태를 라벨링하고 섭동 하에서 어떻게 분할될 것인지 예측할 수 있다. 또는 V의 다른 상태로 전이할 수 있다. 따라서 양자 역학에서 시스템의 대칭 군의 기약 표현은 시스템의 에너지 준위를 부분적으로 또는 완전히 라벨링하여 선택규칙을 결정할 수 있도록 한다.

## 리 군

### 로런츠 군

회전 생성자 '''J'''와 부스트 생성자 '''K'''의 기약 표현 ''D''('''K''') 및 ''D''('''J''')는 로런츠 군의 스핀 표현을 구성하는 데 사용될 수 있다. 이는 양자 역학의 스핀 행렬과 관련이 있기 때문이다. 이를 통해 상대론적 파동 방정식을 유도할 수 있다.

## 같이 보기

### 결합 대수

* 단순 가군
* 분해 불가능 대상
* 결합 대수의 표현

### 리 군

* 리 대수의 표현론
* SU(2)의 표현론
* SL2(R)의 표현론
* 갈릴레이 군의 표현론
* 미분동형사상 군의 표현론
* 푸앵카레 군의 표현론
* 최고 가중치 정리

## 각주

### 서적

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* https://www.routledge.com/Fundamentals-of-Molecular-Symmetry/Bunker-Jensen/p/book/9780750309417
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### 논문

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## 더 읽을거리

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## 외부 링크
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*, see chapter 40
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분류:이론물리학
분류:표현론
분류:대칭
분류:이론화학
분류:군론