교차 가군

군론과 대수적 위상수학에서 **교차 가군**(交叉加群, )은 2-군의 데이터를 담고 있는 대수적 구조이다. 구체적으로, 서로 군 준동형 및 작용을 갖는 두 군으로 구성된다.

## 정의
교차 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 군 G
* 군 H
* 군 준동형 (\cdot)\colon G\to\operatorname{Aut}(H)
* 군 준동형 d\colon H\to G
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
:d(g\cdot h) = gd(h)g^{-1}\qquad\forall g\in G,\;h\in H
:d(h)\cdot h' = hh'h^{-1}\qquad\forall h,h'\in H (**파이퍼 항등식** )
가환 그림으로 적으면 이 두 조건은 다음과 같다.
:\begin{matrix}
G\times H & \overset{(\cdot)}\to & H \\
\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle\operatorname{id}_G\times d}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\operatorname{id}_G\times d}\!\!\!\!\!\!\!\! && {\color{White}.}\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle d} \downarrow {\scriptstyle d}\!\!\!\!\!\!\!\! {\color{White}.}\\
G\times G & \underset{\!\!\!\operatorname{Ad}_G\!\!\!}\to & G
\end{matrix}
:\begin{matrix}
H\times H & \overset{d\times\operatorname{id}}\to & G\times H \\
\| && \!\!\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle(\cdot)} \downarrow {\scriptstyle(\cdot)}\!\!\!\!\!\!\!\!\\
H\times H & \underset{\operatorname{Ad}_H}\to & H
\end{matrix}

이 개념은 사실 군의 범주 속의 내적 범주 또는 범주의 범주 속의 군 대상과 사실상 같다. 전자의 경우, 대상의 군은 G이며, 사상의 군은 H\rtimes G이다. 이 경우
:\operatorname{dom}(h,g) = g
:\operatorname{codom}(h,g) = d(h)g
이며, 항등 사상은 포함 군 준동형 G\to H\rtimes G이다.

구체적으로, 군의 범주 속의 내적 범주는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 대상의 군 \operatorname{Ob}\mathcal G
* 사상의 군 \operatorname{Mor}\mathcal G
* 항등 사상을 정의하는 군 준동형 i \colon \operatorname{Ob}\mathcal G \to \operatorname{Mor}\mathcal G
* 사상의 정의역을 정의하는 군 준동형 \operatorname{dom} \colon \operatorname{Mor}\mathcal G\to\operatorname{Ob}\mathcal G
* 사상의 공역을 정의하는 군 준동형 \operatorname{codom} \colon \operatorname{Mor}\mathcal G\to\operatorname{Ob}\mathcal G
* 사상의 합성을 정의하는 군 준동형 \{(f,g)\in (\operatorname{Mor}\mathcal G)^2\colon \operatorname{dom}f=\operatorname{codom}g\} \to \operatorname{Mor}\mathcal G
이는 교차 가군의 데이터와 다음과 같이 대응된다.

## 예
### 정규 부분군
임의의 군 G의 정규 부분군 N이 주어졌을 때,
:d\colon N\hookrightarrow G
:g\cdot n = gng^{-1}\qquad(g\in G,\;n\in N)
로 잡으면, 이는 교차 가군을 이룬다.

### 가군

다음 두 개념이 서로 동치이다.
* 군 G의 군환 \mathbb Z[G]의 왼쪽 가군 _{\mathbb Z[G]}H
* d=1_G (치역이 G의 항등원인 상수 함수)인 교차 가군 (G,H)

**증명:**

\mathbb Z[G]의 왼쪽 가군 H가 주어졌다고 하자. 이제, d=1_G으로 놓으면, 이는 교차 가군의 데이터를 이룬다 (H의 군 연산은 가군의 덧셈). 만약 d=1_G일 때, 교차 가군의 두 조건 가운데 하나는 자명하며 다른 하나(파이퍼 항등식)는 H가 아벨 군임을 의미한다.

반대로, d=1_G인 교차 가군 (G,H)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 교차 가군의 조건(파이퍼 항등식)에 의하여 H는 아벨 군이며, 작용 G\to\operatorname{Aut}(H)는 H 위에 \mathbb Z[G]-가군의 구조를 정의한다.


즉, \mathbb Z[G]-왼쪽 가군의 범주는 G에 대한 교차 가군의 범주의 부분 범주를 이룬다. 다시 말해, 교차 가군의 개념은 군의 가군의 개념의 일반화이다.

사실, 파이퍼 항등식을
:hh' = (d(h)\cdot h')h \qquad\forall h,h'\in H
와 같이 쓰면, 이는 H가 “뒤틀린 교환 법칙”을 따른다는 것으로 해석될 수 있다.

### 중심 확대
군의 짧은 완전열
:1\to A\to H \,\xrightarrow d\,G \to 1
에서, A가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면,
:g\cdot h = khk^{-1} \qquad\forall k \in d^{-1}(g) \subseteq H
을 정의하면, (G,H,d,\cdot)는 교차 가군을 이룬다.

특히, 만약 G = 1이며 A=H가 임의의 아벨 군일 경우, 이는 교차 가군을 이룬다.

마찬가지로, 만약 A=1이며 G=H가 임의의 군일 경우, 이 역시 교차 가군을 이룬다. 이 경우
:d = \operatorname{id}_G
:g\cdot h = ghg^{-1}
이다.

### 자기 동형군
임의의 군 H가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 표준적인 군 준동형
:d\colon H\to\operatorname{Aut}(H)
:d\colon h \mapsto (h' \mapsto hh'h^{-1})
이 존재한다. 즉, 이는 군 원소를 내부 자기 동형에 대응시킨다. 이에 따라, (\operatorname{Aut}(H),H)는 교차 가군을 이루며, 이를 \operatorname{AUT}(H)라고 한다.
**증명:**
파이퍼 항등식은 정의에 따라 성립한다. 나머지 한 조건은
:d(f(h)) = f \circ d(h) \circ f^{-1}\qquad\forall h\in H,\;f\in\operatorname{Aut}(H)
이다. 이를 확인하려면, 임의의 h'\in H에 대하여, 좌변은
:d(f(h))(h') = f(h)h'f(h)^{-1}
인데, 우변은
:\left(f \circ d(h) \circ f^{-1}\right)(h') = f(hf^{-1}(h')h^{-1}) = f(h)f(f^{-1}(h')) f(h)^{-1} = f(h)h'f(h)^{-1}
이므로, 따라서 이 조건 역시 참이다.


### 2-기본군
위상 공간 X의 부분 공간 A\subseteq X 및 x\in A\subseteq X에 대하여,
:G = \pi_1(A,x) (기본군)
:H = \pi_2(X,A,x) (2차 호모토피 군)
을 정의하고,
:d \colon H \to G
가 상대 호모토피류의 경계로 정의되는 군 준동형이라고 하자. 그렇다면, 이는 교차 가군을 이룬다.

### 리 교차 가군
교차 가군 (G,H)에서, 만약 G와 H가 리 군이라고 하고, 또 모든 작용 및 군 준동형이 매끄러운 함수라고 하자. 이 경우, 교차 가군 (G,H)의 구조를 그 리 대수에 제한할 수 있다. 구체적으로, \operatorname{Lie}(G)=\mathfrak g, \operatorname{Lie}(H)=\mathfrak h라고 할 때, 교차 가군의 구조는 다음과 같이 제한된다.
* 두 유한 차원 실수 리 대수 \mathfrak g, \mathfrak h
* 리 대수 준동형 \rho\colon\mathfrak g\to\mathfrak{der}(\mathfrak h) (공역은 \mathfrak h의 미분 리 대수)
* 리 대수 준동형 d\colon \mathfrak h\to\mathfrak g
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
:d(\rho(g)h) = [g,d(h)]
:\rho(d(h)) = [h,-] = \operatorname{ad}_{\mathfrak h}(h) (무한소 파이퍼 항등식)
특히, 파이퍼 항등식으로부터, \mathfrak h의 리 괄호가 완전히 결정된다. 따라서,
:[-,-] \colon \mathfrak g \otimes_{\mathbb R}\mathfrak h \to \mathfrak h 
:[g,h] = \rho(g)h
: \deg \mathfrak g = 0
: \deg \mathfrak h = 1
를 정의하면, (\mathfrak g\oplus\mathfrak h,d, [-,-])는 등급이 0 또는 1인 미분 등급 리 대수이며, 특히 (3차 이상의 괄호들이 모두 0인) L∞-대수의 특수한 경우이다.

## 역사
존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1941년에 최초로 도입하였으며, 화이트헤드는 1949년에 ‘교차 가군’()이라는 용어를 최초로 사용하였다. 이에 대하여 화이트헤드는 다음과 같이 적었다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:군론
분류:대수적 위상수학