볼록한 고른 테셀레이션의 목록

[섬네일|고른 타일링의 예시인 [세비야|스페인의 세비야의 교회 바닥 타일이다]]
이 표는 유클리드 평면에서의 볼록한 고른 타일링(정타일링과 반정타일링)과 그 쌍대 타일링 11가지를 보여준다.

평면에서 정타일링은 세 개가 있고 반정타일링은 여덟 개가 있다. 반정타일링은 그 쌍대로 새로운 타일링을 만들고, 각각은 정다각형이 아닌 한 종류의 면에서 만들어졌다.

존 콘웨이는 아르키메데스의 다면체의 연장으로 고른 쌍대를 *아르키메데스 타일링*이라고 불렀다**.**

고른 타일링은 꼭짓점에 존재하는 면의 수열인 꼭짓점 배치를 따라 나열되었다. 예를 들어 *4.8.8*은 한 꼭짓점에 정사각형 하나와 정팔각형 두 개를 의미한다.

이 고른 타일링 11가지는 32가지의 다른 ''균일 색칠''을 가진다. 균일 색칠은 점추이성이나 꼭짓점 간 변환 합동을 유지하면서 꼭짓점에 있는 동일한 다각형을 다른 색으로 칠할 수 있다(참고: 아레의 일부 타일링 그림은 색-균일하지 않을 수 있다)

볼록 고른 타일링 11가지에다가 또한 별 다각형을 사용하고 꼭짓점 배치가 원점 반전된 볼록하지 않은 타일링 14가지가 있다.

## 라브스 타일링
1987년에 *Tilings and Patterns*에서 브랑코 그린바움(Branko Grünbaum)은 점추이 타일링을 아르키메데스의 다면체의 연장으로 아르키메데스 타일링이라고 불렀다. 그 쌍대 타일링은 결정학자 프리츠 라브스(Fritz Laves)의 이름을 따 ***라브스 타일링***이라고 불린다. 이것은 또한 슈브니코프, 알렉세이 바실레비치(Shubnikov, Alekseĭ Vasilʹevich)의 이름을 따와 **슈브니코프–라브스 타일링**이라고도 부른다. 존 콘웨이는 고른 쌍대를 카탈랑의 다면체의 연장선상으로 ***[[카탈랑 타일링]]***이라고 불렀다. 콘웨이 타일링은 존슨의 다면체의 확장 개념인데, 각 면이 정다각형이며, 점추이가 아니며 평면의 면이 있으면서 볼록한 테셀레이션을 뜻한다(물론 면의 수가 유한한 것도 해당된다).

라브스 타일링의 꼭짓점은 정다각형의 중심에 가지고 있고, 변은 변을 공유하는 정다각형의 중심을 연결한다. 라브스 타일링의 타일은 **planigons**이라고 부른다. 이것은 정타일링 3개(정삼각형, 정사각형, 정육각형)와 정타일링이 아닌 8개를 포함한다. 각 꼭짓점은 주변에 균일하게 거리를 둔 변이 있다. *planigons*의 삼차원 해석은 스테레오헤드론이라고 부른다.

이 쌍대 타일링은 면 배치를 따라서 나열되어 있고, 면배치는 면의 꼭짓점에 모인 면의 개수를 의미한다. 예를 들어 *V4.8.8*은 한 쪽 꼭짓점에 삼각형이 네 개고, 두 꼭짓점에는 삼각형이 여덟 개가 있다는 것을 의미한다.

## 유클리드 평면에서 볼록한 고른 타일링
All reflectional forms can be made by Wythoff constructions, represented by Wythoff symbols, or Coxeter-Dynkin diagrams, each operating upon one of three Schwarz triangle (4,4,2), (6,3,2), or (3,3,3), with symmetry represented by Coxeter groups: [4,4], [6,3], or [3[3]]. 부풀림 같이 교대된 형태는 또한 각 시스템의 특별한 마크업으로 나타날 수 있다. O오직 고른 타일링 하나만이 위토프 과정을 통해서 구성될 수 없지만, 삼각형 타일링을 늘림으로써 얻을 수 있다. 직각 거울구조 [∞,2,∞]또한 두 쌍의 평행한 거울이 직사각형의 기본 영역을 만드는 것처럼 존재한다. I영역이 정사각형이라면 이 대칭은 대각선 거울을 추가하여 [4,4]그룹이 될 수 있다.

족:
* (4,4,2), {\tilde{BC}}_2, [4,4] - 정사각형 타일링의 대칭
** {\tilde{I}}_1^2, [∞,2,∞]
* (6,3,2), {\tilde{G}}_2, [6,3] - 정육각형 타일링과 정삼각형 정타일링의 대칭
** (3,3,3), {\tilde{A}}_2, [3[3]]

### [4,4] 그룹

### . [6,3] 그룹

### 위토프가 아닌 고른 타일링

### 균일 색칠
고른 타일링 11가지에 대한 균일 색칠은 32가지가 있다:
# 정삼각형 타일링 - 9 균일 색칠, 4 위토프, 5 비-위토프
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# 정사각형 타일링 - 9 색칠: 7 위토프, 2 비-위토프
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# 정육각형 타일링 - 3 색칠, 모두 위토프
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# 삼육각형 타일링 - 2 색칠, 둘 다 위토프
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# 부풀린 정사각형 타일링 - 2 색칠, 둘 다 교대된 위토프
#* 80x80픽셀80x80픽셀
# 깎은 정사각형 타일링 - 2 색칠, 둘 다 위토프
#* 80x80픽셀80x80픽셀
# 깎은 정육각형 타일링- 1 색칠, 위토프
#* 80x80픽셀
# 마름모삼육각형 타일링 - 1 색칠, 위토프
#* 80x80픽셀
# 깎은 삼육각형 타일링- 1 색칠, 위토프
#* 80x80픽셀
# 부풀린 정육각형 타일링- 1 색칠, 교대된 위토프
#* 80x80픽셀
# 비틀어 늘린 사각형 타일링- 3 색칠, 비-위토프
#* 80x80픽셀

## 같이 보기
* 고른 타일링
* 볼록한 고른 벌집- 28가지 고른 3차원 테셀레이션, 볼록 유클리드 평면 타일링과 평행선상의 구성.
* 쌍곡면에서의 고른 타일링
* 여과 역치

## 각주

## 추가 자료
* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, *The Symmetries of Things* 2008,  https://web.archive.org/web/20100919143320/https://akpeters.com/product.asp?ProdCode=2205 (Chapter 19, Archimedean tilings, table 19.1, Chapter 21, Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p288 table).
* H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller, *Uniform polyhedra*, **Phil. Trans.** 1954, 246 A, 401–50.
*  (Section 2–3 Circle packings, plane tessellations, and networks, pp 34–40).
* Asaro, et. al. "Uniform edge-''c''-colorings of the Archimedean Tilings", http://faculty.washington.edu/cemann/.
* Grünbaum, Branko & Shepard, Geoffrey (Nov. 1977). "Tilings by Regular polygons ", Vol. 50, No. 5.
* Dale Seymour and Jill Britton, *Introduction to Tessellations*, 1989, , pp.&nbsp;50–57, 71-74

## 외부 링크
* 
* Uniform Tessellations on the Euclid plane
* Tessellations of the Plane
* David Bailey's World of Tessellations
* ''k''-uniform tilings
* ''n''-uniform tilings

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