삼각 치환

미적분학에서 **삼각 치환**(三角置換, )은 변수를 삼각 함수로 치환하여 적분하는 기법이다.

## 정의
**삼각 치환**은 다음과 같은 꼴의 함수의 적분을 구하는 데 사용된다.
:R(x,\sqrt{a^2-x^2}),\;R(x,\sqrt{a^2+x^2}),\;R(x,\sqrt{x^2-a^2})
여기서 R는 유리 함수이며 a>0이다. 이는 R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})의 완전 제곱꼴의 분류이다. 삼각 치환은 x를 새 변수에 대한 삼각 함수(의 상수배)로 치환한 뒤 삼각 항등식을 통해 제곱근식을 소거한다. 각 경우에 사용되는 치환은 다음과 같다.

새 변수 \theta의 범위를 각각 아크사인, 아크탄젠트, 아크시컨트의 치역으로 정한 것은 각 치환을 단사로 만들기 위함이다. 쌍곡 치환은 삼각 치환 대신에 쓰일 수 있다.

## 예
### <math>\sqrt{a^2-x^2}</math>이 들어간 적분
섬네일|<math>\theta</math>에 대한 삼각 함수를 다시 <math>x</math>로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.
다음과 같은 적분을 구하자.
:\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}
여기서 a>0이다. 다음과 같은 삼각 치환을 사용하자.
:x=a\sin\theta,\;\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta,\;\mathrm dx=a\cos\theta\mathrm d\theta,\;\theta=\arcsin\frac xa
그러면 다음을 얻는다.
:
이 적분은 x/a=t와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.
:
이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다.

### <math>\sqrt{a^2+x^2}</math>이 들어간 적분
섬네일|<math>\theta</math>에 대한 삼각 함수를 다시 <math>x</math>로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.
다음을 구하자.
:\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}
여기서 a>0이다. 다음을 사용하자.
:x=a\tan\theta,\;\sqrt{a^2+x^2}=a\sec\theta,\;\mathrm dx=a\sec^2\theta\mathrm d\theta,\;\theta=\arctan\frac xa
그러면 다음을 얻는다.
:
이 적분은 치환 x/a=t 및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.
:
이 적분은 쌍곡 치환 x=a\sinh t을 통해서도 구할 수 있다.

### <math>\sqrt{x^2-a^2}</math>이 들어간 적분
섬네일|<math>\theta</math>에 대한 삼각 함수를 다시 <math>x</math>로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.
편의상 x>0이라고 하고 다음을 구하자.
:\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}
여기서 a>0이다. 다음을 사용하자.
:x=a\sec\theta,\;\sqrt{x^2-a^2}=a|\tan\theta|,\;\mathrm dx=a\sec\theta\tan\theta\mathrm d\theta,\;\theta=\arcsec\frac xa
그러면 다음을 얻는다.
:
| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
|
|=\begin{cases}
\displaystyle\int\frac{\mathrm d\theta}a&x>a\\
\displaystyle-\int\frac{\mathrm d\theta}a&x
| style="padding-left: 1em;" |(단순화)
|-
|
|=\begin{cases}
\displaystyle\frac\theta a+C&x>a\\
\displaystyle-\frac\theta a+C'&x
| style="padding-left: 1em;" |(적분)
|-
|
|=\begin{cases}
\displaystyle\frac 1a\arcsec\frac xa+C&x>a\\
\displaystyle-\frac 1a\arcsec\frac xa+C'&x
| style="padding-left: 1em;" |(재치환)
|}
이 적분은 치환 x/a=t 및 아크시컨트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.
:
| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
|
|=\begin{cases}
\displaystyle\int\frac{\mathrm d\theta}{\cos\theta}&x>a\\
\displaystyle-\int\frac{\mathrm d\theta}{\cos\theta}&x
| style="padding-left: 1em;" |(단순화)
|-
|
|=\begin{cases}
\displaystyle\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C&x>a\\
\displaystyle-\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C'&x
| style="padding-left: 1em;" |(적분)
|-
|
|=\begin{cases}
\displaystyle\ln\left|\frac xa+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}a\right|+C&x>a\\
\displaystyle-\ln\left|\frac xa+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}a\right|+C'&x
| style="padding-left: 1em;" |(재치환)
|-
|
|=\begin{cases}
\displaystyle\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C&x>a\\
\displaystyle-\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C'&x
| style="padding-left: 1em;" |(적분 상수 재정의)
|}
이 적분은 쌍곡 치환 x=a\cosh t를 통해서도 구할 수 있다.

### 정적분
다음과 같은 적분을 구하자.
:\int_{\sqrt 3}^2\frac{\sqrt{x^2-3}}x\mathrm dx
다음을 사용하자.
:x=\sqrt 3\sec\theta,\;\sqrt{x^2-3}=\sqrt 3\tan\theta,\;\mathrm dx=\sqrt 3\sec\theta\tan\theta,\;\theta=\arcsec\frac xa
만약 x=\sqrt 3일 경우 \cos\theta=1이므로 \theta=0이며, 만약 x=2일 경우 \cos\theta=\sqrt 3/2이므로 \theta=\pi/6이다. 따라서 다음이 성립한다.
:\begin{align}\int_{\sqrt 3}^2\frac{\sqrt{x^2-3}}x\mathrm dx
&=\sqrt 3\int_0^{\pi/6}\tan^2\theta\mathrm d\theta\\
&=\sqrt 3\int_0^{\pi/6}(\sec^2\theta-1)\mathrm d\theta\\
&=\sqrt 3\bigg[\tan\theta-\theta\bigg]_0^{\pi/6}\\
&=1-\frac{\sqrt 3\pi}6
\end{align}

## 같이 보기
* 바이어슈트라스 치환

## 각주

## 외부 링크
* 
* 

분류:적분학
분류:삼각법