하이젠베르크 스핀 사슬

물리학에서 **하이젠베르크 스핀 사슬**()은 1차원 자석의 간단한 양자 역학 모형이다. 양자 적분 가능 모형의 일종이다.

**하이젠베르크 모형**(Heisenberg model)은 스핀 계의 통계역학 모형으로, 주로 자성 계와 강상관 전자 계(strongly correlated electron systems)에서의 상전이와 임계점 현상(임계 현상)을 연구하는 데 사용된다. 양자역학 발전 초기, 하이젠베르크는 스핀과 스핀 사이에 상호작용이 존재할 수 있다고 제안했으며, 그 수학적 형식은 두 스핀 각운동량의 내적 \vec S_i \cdot \vec S_j이다."전자 스핀 간의 교환 상호작용이 강자성의 기원"이라는 이 물리적 그림은 양자 자성학의 시초로 간주되며, 하이젠베르크 모형의 해밀토니언은 바로 이러한 내적들의 합이다.

:H=\sum_{ij}J_{ij}\vec S_i \cdot \vec S_j

여기서 스핀 각운동량의 x, y, z 세 성분 사이의 교환 관계는 [S_i^\alpha , S_j^\beta ]=i\hbar \delta_{ij}\epsilon_{\alpha\beta\gamma} S_j^\gamma이다. \hbar는 플랑크 상수를 2\pi로 나눈 값이며, 논의의 편의를 위해 \hbar =1로 가정한다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 자연수 L\in\mathbb N. 이는 스핀 사슬의 **길이**이다.
* \operatorname{SU}(2)의 복소수 표현 V=\mathbb C^{2s+1}, \vec\sigma_{ab}, a,b\in\{1,2,\dotsc,2s+1\}. 이는 스핀 s\in\{0,1/2,1,3/2,2,\dotsc\}에 의하여 유일하게 결정되며, 스핀 s에 대응되는 표현은 2s+1 복소수 차원 표현이다.
* 3×3 실수 대칭 행렬 J_{ij}\in\operatorname{Mat}(3;\mathbb R).
그렇다면, 이 데이터에 의하여 주어지는 하이젠베르크 스핀 사슬의 힐베르트 공간은 텐서곱
:\mathcal H=V^{\otimes L}
이다. 각 i\in\{1,\dotsc,L\}에 대하여, 그 스핀에 대응하는 힐베르트 공간 V_i 및 그 위에만 작용하는 \operatorname{SU}(2) 표현 \vec\sigma_i를 정의할 수 있다.

s=1/2일 경우, 그 위의 해밀토니언 연산자는 다음과 같다.
:H_{1/2} = \frac1\hbar \sum_{i=1}^L J(\vec \sigma_i,\vec \sigma_{i+1}) 
여기서 i\in\{1,2,\dotsc,L\}은 법 <math>L</math>로 취급된다. 즉, L\equiv 0\pmod L이다.

특히, 다음과 같은 용어가 사용된다.
* 만약 J의 세 고윳값 (J_1,J_2,J_3)이 모두 같다면 (즉, J가 \operatorname O(3) 불변이라면), 이를 **하이젠베르크 XXX 스핀 사슬**()이라고 한다.
** 이 경우, 만약 J_1=J_2=J_3>0이 양수라면 이는 **[[강자성]] XXX 스핀 사슬**(強磁性XXX spin사슬, )이라고 한다.
** 이 경우, 만약 J_1=J_2=J_3이 음수라면 이는 **[[반강자성]] XXX 스핀 사슬**(反強磁性XXX spin사슬, )이라고 한다.
* 만약 J의 세 고윳값 (J_1,J_2,J_3) 가운데 두 개가 같다면 (즉, J가 \operatorname O(2) 불변이라면), 이를 **하이젠베르크 XXZ 스핀 사슬**()이라고 한다.
* 만약 J의 세 고윳값 (J_1,J_2,J_3)이 모두 서로 다르다면 (즉, J의 안정자군이 자명군이라면), 이를 **하이젠베르크 XYZ 스핀 사슬**()이라고 한다.
또한, 사용되는 스핀 s를 첨자로 표기한다. 예를 들어, “XXX½ 스핀 사슬”은 J_1=J_2=J_3이며, s=1/2인 하이젠베르크 스핀 사슬을 뜻한다.

## 성질
하이젠베르크 XXX½ 스핀 사슬의 해밀토니언 연산자는 z 방향 총 스핀 연산자
:S_z = \sum_{i=1}^L \sigma_i^z
와 가환하며, 이를 마그논 수로 해석할 수 있다.

하이젠베르크 XXX*s* 스핀 사슬의 N-마그논 베테 방정식은 다음과 같다.
:\prod_{m \in \{1,\dotsc,N\}\setminus \{n\}} \frac{\lambda_n - \lambda_m + \mathrm i} {\lambda_n - \lambda_m - \mathrm i} = 
\left(
\frac{\lambda_n + \mathrm is}
{\lambda_n - \mathrm is}
\right)^L\qquad\forall n \in \{1,\dotsc,N\}

## 베테 가설 풀이
베르너 하이젠베르크가 1928년에 도입하였다. 곧 1931년에 한스 베테가 XXX 스핀 사슬을 베테 가설 풀이()를 도입하여 풀었다.

베테 가설 풀이(Bethe ansatz)는 양자 적분가능 계(quantum integrable systems) 분야를 창시한 선구적인 방법으로 간주된다. 이 맥락에서 한스 베테가 개발한 수학적 기법들은 이후 다른 많은 저차원 양자 다체 모형을 풀이하는 데 널리 응용되었다. 응집물질물리학 연구자들에게 그의 논문은 "근사 이론"(평균장 이론 등)에서 "엄밀 해"로의 전환을 나타내는 분수령이 되었다.

이러한 돌파구는 결국 노벨상 수상자인 양전닝(Chen-Ning Yang)과 그의 동생 남동생 **양전핑**(Chen-Ping Yang)이 1차원 하이젠베르크 모형과 그 확장인 XXZ 모형에 대해 중요한 엄밀한 연구를 수행하도록 이끌었다. 그들의 결과는 미국 물리학회의 저널인 피지컬 리뷰에 게재되었다. 1966년에 발표된 이 일련의 매우 영향력 있는 논문들은 양 씨 형제의 양자 스핀 사슬에 관한 고전적 연구로 통칭된다.

* 첫 번째 논문: 베테 가설의 타당성 증명. 이 연구는 유한한 길이의 비등방성 하이젠베르크 사슬(XXZ 모형)에 대해, 베테 안자츠로부터 얻은 파동함수가 실제로 해밀토니언의 고유상태(eigenstates)임을 엄밀하게 증명했다. 이는 베테의 원래 연구에 대해 필수적인 수학적 완성과 정식화를 제공했다.
* 두 번째 논문: 바닥상태 에너지의 성질. 무한한 사슬의 열역학적 극한(thermodynamic limit)에서, 그들은 바닥상태 에너지를 계산하고 그 해석적 성질을 분석했다.
* 세 번째 논문: 응용 및 들뜬 상태. 이 연구는 자화 곡선과 자기 감수율(magnetic susceptibility)을 포함한 모형의 물리적 응용을 탐구했다.

## 리브-슐츠-매티스 정리
**리브-슐츠-매티스 정리**(Lieb-Schultz-Mattis theorem, LSM 정리)는 반정수(half-integer) 스핀을 가진 1차원 반강자성 하이젠베르크 모형에서, 병진 대칭성과 스핀 회전 대칭성이 존재할 때 반드시 어떤 들뜬 상태(excited state)가 존재함을 보여준다. 이 들뜬 상태는 바닥상태와 동일한 자화(magnetization)를 가지지만 결정 운동량이\pi만큼 다르며, 열역학적 극한에서는 바닥상태 에너지와 축퇴된다. 즉, 반정수 스핀을 가진 1차원 하이젠베르크 모형의 에너지 스펙트럼은 에너지 갭이 없다(gapless). LSM 정리는 나중에 일본의 물리학자 **오시카와 마사키**(Masaki Oshikawa)에 의해 일반화되었으며, 그 적용 범위가 원래의 1차원 반정수 스핀 사슬에서 고차원 계로 확장되었다.

## 홀데인 추측
**LSM 정리**에 따르면, 반정수 스핀(S=1/2, 3/2, 5/2,...)을 가진 1차원 반강자성 하이젠베르크 모형의 바닥상태는 스핀 갭(spin gap)이 없다. 그러나 정수 스핀(S=1,2,3,...)을 가진 1차원 반강자성 하이젠베르크 모형은 LSM 정리의 범주에 속하지 않으며, 따라서 근본적으로 다른 성질을 보일 수 있다. 덩컨 홀데인은 정수 스핀 반강자성 하이젠베르크 사슬의 바닥상태가 스핀 갭을 가진다고 제안하였는데, 이 예측은 나중에 **홀데인 추측**으로 알려지게 되었으며, 그 갭 자체는 **홀데인 갭**이라 불린다.

**홀데인 추측**은 수치 계산과 정수 스핀 사슬 물질의 스핀 갭에 대한 실험적 측정을 통해 광범위하게 검증되었다. 이는 물리학자들이 그 갭의 기원과 위상학적 성질과의 관계를 연구하도록 더욱 고무시켰으며, 물질의 위상 상과 위상 상전이를 이해하는 데 있어 이정표가 되었다. "물질의 위상 상전이와 위상 상의 이론적 발견"으로, 덩컨 홀데인은 2016년 노벨 물리학상을 마이클 코스털리츠, 데이비드 사울리스와 공동 수상했다.

## 참조

## 외부 링크
* 

분류:양자역학
분류:자기
분류:베르너 하이젠베르크