위너 공간

확률론에서 **위너 공간**(Wiener空間, ) 또는 **추상 위너 공간**(抽象Wiener空間, )은 일종의 “정규 분포”에 해당하는 확률 측도를 갖춘, 무한 차원일 수 있는 바나흐 공간이다. 일반적으로, 르베그 측도의 일반화는 무한 차원에서 존재하지 않으며, 또한 힐베르트 공간 위의 가우스 분포 역시 무한 차원에서는 존재하지 않는다. (이러한 “측도”는 유한 가법 측도로 구성할 수 있으나, 가산 무한 가법성이 일반적으로 성립하지 않는다.) 그러나 힐베르트 공간을 내적과 다른 어떤 특별한 노름으로 완비화하면, 이렇게 하여 얻는 바나흐 공간 위에 가우스 분포의 확률 측도를 정의할 수 있으며, 위너 공간은 이러한 구성이 가능한 바나흐 공간을 일컫는다.

## 정의
위너 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
* 위너 공간은 그 측도의 푸리에 변환이 가우스 함수를 이룬다는 조건으로 추상적으로 정의할 수 있다.
* 위너 공간은 힐베르트 공간으로부터 구체적으로 정의할 수 있다.
이 두 정의는 서로 동치이다.

### 푸리에 변환을 통한 정의
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 분해 가능 실수 바나흐 공간 E
* E의 보렐 시그마 대수 위의 확률 측도 \mu
* 분해 가능 실수 힐베르트 공간 (H,\langle|\rangle)
* 단사 연속 실수 선형 변환 \iota\colon H\hookrightarrow E. (이는 등거리 변환일 필요가 없다.) 또한, 그 상이 조밀 집합이라고 하자.
그렇다면, H\subseteq E이므로
:E^* \subseteq H^* = H
이며, E^*는 H의 조밀 집합을 이룬다. (여기서 (-)^*는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.)

만약
:\int_E \exp(\mathrm i\langle \lambda|x\rangle)\,\mathrm d\mu(x) = \exp\left(- \frac{\langle \lambda|\lambda\rangle_H}2 \right) \qquad\forall \lambda\in E^*\subseteq H
라면, (E,\mu,H)가 **위너 공간**이라고 한다.

### 구체적 정의
위너 공간의 개념은 힐베르트 공간으로부터 보다 구체적으로 정의될 수 있다.

분해 가능 실수 힐베르트 공간 H 위의 기둥 집합의 족 \operatorname{Cyl}(H) 위에, 다음과 같은 유한 가법 측도를 정의할 수 있다.
:\nu\colon\operatorname{Cyl}(H) \to [0,1]
:\nu\colon P^{-1}(S) \mapsto (2\pi)^{n/2}\int_S \exp(-x^2/2)\,\mathrm d^nx\qquad (P\colon H\to\mathbb R^n,\;S\in\operatorname{Borel}(\mathbb R^n))
특히,
:\nu(H) = 1
:\nu(\varnothing) = 0
이다. 그러나 이는 가산 무한 가법성을 충족시키지 못해, 측도를 이루지 못한다. 즉, 이는 \sigma(\operatorname{Cyl}(H)) = \operatorname{Borel}(H) 위의 (가산 가법) 측도의 제한이 아니다. 이를 H 위의 **기둥 집합 측도**()라고 한다.

H 위의 (내적 노름과 다를 수 있는) 노름 \|-\|이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 유한 차원 부분 공간들의 열
:V_1 \le V_2 \le \dotsb \le H
이 존재한다면, 이를 **가측 노름**()이라고 한다.
:임의의 유한 차원 부분 공간 W \subseteq H에 대하여, 만약 W\perp V_n이라면, \nu(\{x\in H\colon \|\operatorname{proj}_Wx\|> 2^{-n}\})이다.

H의, 어떤 가측 노름 \|-\|에 대한 완비화인 바나흐 공간
: H\subseteq E
가 주어졌다고 하자. B^* \subseteq H^* \cong H이므로,
:\{H\cap C\colon C\in\operatorname{Cyl}(E) \} \subseteq \operatorname{Cyl}(H)
이다.

그렇다면, E의 기둥 집합의 족 \operatorname{Cyl}(E) 위에 다음과 같은 측도를 정의할 수 있다.
:\nu \colon \operatorname{Cyl}(E) \to [0,1]
:\nu \colon \phi^{-1}(S) \mapsto \nu(H\cap \phi^{-1}(S))\qquad\forall \phi\colon B\to\mathbb R^n
이는 \operatorname{Cyl}(E)로 생성되는 시그마 대수
:\sigma(\operatorname{Cyl}(E)) = \operatorname{Borel}(E)
위에 가산 가법으로 유일하게 확장될 수 있다. 즉, 이는 가측 공간 (E,\operatorname{Borel}(E)) 위의 확률 측도를 이룬다. 그렇다면, (E,H,\mu)를 **위너 공간**이라고 한다.

## 성질
위너 공간 (E,\mu,H)가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 범함수 \phi\in E^*에 대하여, \mathbb R 위의 측도 \phi_*\mu 의 분포 함수는 평균이 0인 \mathbb R 위의 정규 분포에 비례한다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
:\mu(\phi^{-1}(S)) = \int_SC\exp(-x^2/2\sigma^2),\mathrm dx\,\qquad(C\ge0,\;\sigma^2 > 0)
또한, 만약 \phi \ne 0라면, C>0이다.

### 존재
임의의 분해 가능 바나흐 공간 E에 대하여, 그 위의 위너 공간 구조 (\mu,H)가 적어도 하나 이상 존재한다.

### 페일리-위너 적분
위너 공간 (E,\mu,H)이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:E^* \subseteq H\subseteq E
가 성립한다. 또한,
:E^* \subseteq \operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R)
임을 보일 수 있으며, 다음이 성립한다.
:\|\phi\|_{\operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R)} = \sqrt{\langle \phi|\phi\rangle_H}
다시 말해, 등거리 변환인 선형 변환
:E^* \to \operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R)
이 존재한다. E^*는 H의 조밀 집합이므로, 이를 H 전체로 확장할 수 있다. 즉, 등거리 변환인 단사 선형 변환
:I\colon H \to \operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R)
이 존재한다. 이를 **페일리-위너 사상**()이라고 한다. 이에 따라서, 임의의 h\in H 및 x\in E에 대하여
:I_h(x) \in \mathbb R
를 정의할 수 있다. 이를 **페일리-위너 적분**()이라고 한다.

### 캐머런-마틴 정리
위너 공간 (E,\mu,H) 및 h\in H에 대하여, 다음을 정의하자.
:(+h) \colon E \to E
:(+h) \colon x \mapsto x+h
그렇다면, E 위의 보렐 확률 측도
:\mu_h = (+h)_*\mu\colon\operatorname{Borel}(E) \to [0,1]
를 정의할 수 있다. 이 경우, 라돈-니코딤 도함수
:\frac{\mathrm d\mu_h}{\mathrm d\mu}
는 다음과 같다.
:\frac{\mathrm d\mu_h}{\mathrm d\mu} = \exp\left(I_h(x)) - \frac12 \langle h|h\rangle\right)
여기서 I_h(x)는 페일리-위너 적분이다. 이를 **캐머런-마틴 정리**()라고 한다.

## 연산
두 위너 공간 (E,\mu,H), (E',\mu',H')가 주어졌을 때,
(E\oplus E',H\oplus H') 위에 다음 조건으로 결정되는 위너 공간 구조가 존재한다.
:\mu(S\times S') = \mu_E(S) \mu_{E'}(S')\qquad\forall S\in\operatorname{Borel}(E),\;S'\in\operatorname{Borel}(E')

## 예
만약 H가 유클리드 공간(즉, 유한 차원 힐베르트 공간)이며, H= E라고 하자. 이 경우, H 위의 위너 공간 구조의 개념은 H 위의, 평균이 0인 정규 분포와 같다.

### 고전 위너 공간
다음과 같은 바나흐 공간을 생각하자.
:\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n) = \{f\in\mathcal C^0([0,T],\mathbb R^n)\colon f(0) = 0\}
:\|f\|_{\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n)} = \max_{[0,T]} \|f\|_{\mathbb R^n}
그렇다면, 그 속에 다음과 같은 부분 공간을 정의할 수 있다.
:\operatorname W_0^{1,2}\left([0,T],\mathbb R^n\right) = \operatorname W^{1,2}([0,T],\mathbb R^n) \cap \mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n) = \{
f\in\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n) ,\; \mathrm df/\mathrm dt \in \operatorname L^2([0,T],\mathbb R^n) \}
여기서 \operatorname W^{1,2}(-)는 소볼레프 공간이다. 즉, 이 부분 공간의 원소는 거의 어디서나 1차 도함수를 가지며, 그 1차 도함수는 르베그 공간 \operatorname W^{1,2}_0([0,T],\mathbb R^2)의 원소이다. (도함수의 L2 노름의 제곱은 **에너지**라고 하며, 따라서 \operatorname L_0^{2,1}의 원소는 **유한 에너지 경로**()라고 한다.)
이는 조밀 집합이며, 그 위에 다음과 같은 힐베르트 공간 구조를 줄 수 있다.
:\langle f,g\rangle_{\operatorname L_0^{2,1}\left([0,1],\mathbb R^n\right)} = \int_0^T \langle \dot f(t),\dot g(t)\rangle_{\mathbb R^n}\,\mathrm dt
이제, 임의의 확률 공간 \Omega 및 위너 과정
:(W_t \colon \Omega \to \mathbb R^n)_{t\in[0,T]}
을 생각하자. W의 궤적은 거의 확실하게 연속 함수이므로, 그 궤적들의 확률 분포는 \mathcal C_0([0,T],\mathbb R^n) 위의 측도를 정의한다. 즉, 임의의 보렐 집합 S\subseteq\mathcal C_0^0([0,T],\mathbb R^n)에 대하여,
:\mu(S) = \Pr(W \in S)
로 놓는다.

그렇다면, (\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n),\mu,\operatorname L_0^{2,1}\left([0,1],\mathbb R^n\right))는 위너 공간을 이룬다. 이를 **고전 위너 공간**(古典Wiener空間, )이라고 한다.

### 브라운 다리
원을
:\mathbb S^1 = [0,1]/(0\sim1)
로 정의하자.

L∞ 노름을 가진, 초가 값이 주어진 주기 함수들의 바나흐 공간
:E = \mathcal C^0_0(\mathbb S^1,\mathbb R^n) = \{f \in \mathcal C^0(\mathbb S^1,\mathbb R^n)\colon f(0) = f(1) = 0 \}
을 생각하자. 이 위에, 부분 공간
:H = \operatorname W_0^{1,2}(\mathbb S^1,\mathbb R^n) = \operatorname W^{1,2}(\mathbb S^1,\mathbb R^n) \cap E
을 생각하자. 이는 내적
:\langle f,g\rangle = \oint \dot f\dot g
에 의하여 힐베르트 공간을 이룬다.

E 위에, 확률 과정
:X_t = W_t - tW_1
의 법칙으로 주어지는 확률 측도를 부여하자. 여기서 W_t는 위너 과정이다. 그렇다면, (E,H)는 위너 공간을 이룬다.

### 힐베르트 공간 위의 위너 공간 구조
분해 가능 힐베르트 공간 H 및 에르미트 양의 정부호 힐베르트-슈미트 작용소 A \colon H\to H가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 노름
:\|x\|_A = \langle Ax|Ax\rangle_H
을 정의할 수 있다. 이는 가측 노름임을 보일 수 있으며, 이렇게 하여 정의된 위너 공간 (E,\mu,H)에서 E 역시 힐베르트 공간을 이룬다. 반대로, 임의의 위너 공간 (E,\mu,H)에서 E가 힐베르트 공간이라면, 이는 항상 위와 같은 꼴로 표현된다.

## 역사
고전 위너 공간은 노버트 위너가 최초로 구성하였다. 이후 레너드 그로스()가 (추상적) 위너 공간의 개념을 도입하였다.

페일리-위너 적분은 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(, 1907〜1933)와 노버트 위너의 이름을 땄다.

캐머런-마틴 정리는 로버트 호턴 캐머런(, 1908〜1989)과 윌리엄 테드 마틴(, 1911〜2004)이 증명하였다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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