곡면 종수

위상수학에서 **곡면 종수**(曲面種數, )는 연결 콤팩트 유향 곡면을 완전히 분류하는, 음이 아닌 정수 값을 가진 위상 불변량이다. 비가향 곡면이나 대수곡선에 대해서도 정의된다.

## 정의
### 위상수학
#### 유향 곡면
섬네일|이 애니메이션에 나오는 커피잔과 도넛은 모두 종수 1이다.
연결 유향 곡면의 종수는 결과 다양체의 연결성을 보존하고 교차하지 않는 닫힌 단순 곡선을 따라 자를 수 있는 최대 절단 수를 나타내는 **정수**이다. 이때 종수는 손잡이의 수와 같다고도 할 수 있다. 2차원 연결 다양체 \Sigma가 다음과 같은 연결합과 위상 동형이라고 하자.
:\Sigma \cong (\mathbb T^2)^{\#g}
여기서 \mathbb T^2=\mathbb S^1\times\mathbb S^1은 2차원 원환면이다. 이 경우, \Sigma의 **종수**가 g\in\mathbb N라고 한다. 마찬가지로, 위상 동형 대신 미분 동형의 개념을 사용할 수 있다. 그러나 2차원에서는 모든 다양체는 유일하게 매끄러움 구조를 가지며, 모든 위상 동형은 미분 동형과 호모토픽하므로 상관이 없다.  또는, 닫힌 곡면의 경우, 오일러 특성과 종수의 관계 \chi=2-2g를 통해 정의할 수 있다. 여기서 *g*는 종수이다. *b*개의 경계 구성 요소가 있는 곡면의 경우 방정식은 \chi=2-2g-b이다. 순진한 용어로, 종수는 다양체에 있는 "구멍"의 수이다("구멍"은 도넛 구멍이라는 의미로 해석되며 종수가 0인 구는 이러한 의미에서 구멍이 없는 것으로 본다). 원환면에는 이러한 구멍이 1개 있는 반면 구에서는 0개이다.

예를 들어:

* 구 **S**2와 원판은 모두 종수가 0이다.
* 원환면은 손잡이가 있는 커피 잔의 곡면과 마찬가지로 종수 1을 가진다. 이것이 "위상수학자들은 커피잔과 도넛을 구분할 수 없는 사람들이다."라는 농담의 출처이다.

종수 *g*인 곡면의 명시적 구성은 기본 다각형에 대한 문서에 나와 있다.

간단히 말해서, 유향 곡면 종수 값은 그것이 가지고 있는 "구멍"의 수와 같다.

#### 비가향 곡면
비가향 닫힌 연결 곡면의 **방향이 지정되지 않는 종수**, **비가향 종수**, **반종수** 또는 **오일러 종수**는 구에 연결된 교차모의 수를 나타내는 양의 정수이다. 또는 오일러 특성과의 관계 \chi=2-k를 통해 닫힌 곡면에 대해 정의할 수 있다. 여기서 *k*는 비가향 종수이다.

예를 들어:

* 실 사영 평면은 비가향 종수 1이다.
* 클라인 병은 비가향 종수 2이다.

#### 매듭
매듭 *K*의 **[[자이페르트 곡면|종수]]**는 *K*에 대한 모든 자이페르트 곡면의 최소 종수로 정의된다. 그러나 매듭의 자이페르트 곡면은 경계 다양체이며 경계는 매듭, 즉 단위원과 동형이다. 이러한 곡면의 종수는 경계를 따라 단위 원판을 접착하여 얻은 2-다양체의 종수로 정의된다.

#### 손잡이 다양체
3차원 손잡이 다양체의 **종수**는 결과 다양체를 분리하지 않고 매장된 원판을 따라 최대 절단 수를 나타내는 정수이다. 손잡이의 수와 같다.

예를 들어:

* 공은 종수가 0이다.
* 원환체 D^2\times S^1는 종수 1이다.

#### 그래프 이론
그래프의 **종수**는 그래프가 자체적으로 교차하지 않고 *n\*개의 손잡이가 있는 구(즉, 종수 *n* 의 유향 곡면)에서 그려질 수 있는 최소 정수 *n*이다. 따라서 평면 그래프는 자체 교차 없이 구에 그릴 수 있기 때문에 종수 0이다.

그래프의 **비방향성 종수**는 그래프가 *n* 교차모가 있는 구(즉, (비방향성) 종수 *n* 의 비방향성 곡면)에 교차하지 않고 그려질 수 있는 최소 정수 *n*이다. (이 숫자는 **반종수** 라고도 한다. )

**오일러 종수**는 최소 정수 *n* 이므로 그래프가 *n개의* 교차모이 있는 구 또는 *n/2* 핸들이 있는 구에서 교차하지 않고 그려질 수 있다.

위상 그래프 이론에는 군의 종수에 대한 몇 가지 정의가 있다. Arthur T. White는 다음 개념을 도입했다. 군 *G* 의 종수은 *G*에 대한 (연결된 무방향) 케일리 그래프의 최소 종수이다.

그래프 종수 문제는 NP-완전이다.

### 대수 기하학
사영 대수 스킴 *X*의 **종수**에 대한 산술 종수 및 기하 종수 두 가지 정의가 있다: *X*가 체에서 정의된 대수 곡선이고 *X*에 특이점이 없으면 이러한 정의는 *X*의 리만 곡면 (복소 다양체)에 적용된 위상수학적 종수의 정의와 일치한다. 예를 들어, 대수 기하학에서 타원 곡선의 정의는 주어진 유리점이 있는 종수 1의 비특이 사영 곡선과 연결 된다.

리만-로흐 정리에 의해 기약 평면 d차 곡선 단면 s \in \Gamma(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d))의 영점 궤적에 의해 주어진 기하학적 종수를 갖는다.

: g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-s

여기서 *s*는 적절하게 계산된 특이점의 수이다.

### 미분 기하학
미분 기하학에서 유향 다양체 M의 종수는 다음 조건이 성립하는 복소수 \Phi(M)로 정의할 수 있다.

* \Phi(M_{1}\amalg M_{2})=\Phi(M_{1})+\Phi(M_{2})
* \Phi(M_{1}\times M_{2})=\Phi(M_{1})\cdot \Phi(M_{2})
* \Phi(M_{1})=\Phi(M_{2}) if M_{1} and M_{2} are conordant.

다시 말해서, \Phi는 환 준동형 R\to\mathbb{C}이다 , 여기서 R은 톰의 유향 보충 경계 환이다.

종수 \Phi는 다음과 같은 경우 연결된 콤팩트 구조를 가진 스피너 다양체의 모든 다발에 대한 곱셈이다. \log_{\Phi}가 어떤 \delta,\varepsilon\in\mathbb{C}에 대해 \log_{\Phi}(x)=\int^{x}_{0}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt 인 타원 적분이면 이 종수를 타원형 종수라고 한다.

오일러 특성 \chi(M)은 보충 경계과 관련하여 변하기 때문에 이런 의미에서 종수가 아니다.

## 성질
2차원 연결 콤팩트 다양체들은 종수로서 (위상 동형 또는 미분 동형 아래) 완전히 분류된다.

2차원 연결 콤팩트 다양체의 오일러 지표는 다음과 같다.
:\chi(\Sigma)=2-g(\Sigma)

## 예
각 종수에 따른 곡면은 다음과 같다.

파일:Sphere-wireframe.png|종수 0 곡면(구)
파일:Torus illustration.png|종수 1 곡면(원환면)
파일:Double torus illustration.png|종수 2 곡면
파일:Triple torus illustration.png|종수 3 곡면
파일:Bretzel5.png|종수 5 곡면
파일:OrthoCircles.png|종수 7 곡면


## 같이 보기
* 군 (수학)
* 산술종수
* 기하종수
* 이차 형식 종수
## 각주


## 외부 링크
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분류:대수적 위상수학
분류:위상 그래프 이론