급수 (상하수도 공학)

**급수**(給水, Service)란 상수도에서 배수관을 통해 운반된 물을 사용자에게 공급하는 과정이다.

## 방식
급수 방식은 대표적으로 두 가지가 있다. 첫번째는 직결식 급수 방식으로, 관로 내 수압이 충분한 경우 사용한다. 두번째는 탱크식(저수조식) 급수방식으로, 관로 내 수압이 부족한 경우 적용하며, 재해 시, 단수 시, 물 확보가 필요한 경우에 유리하다는 장점이 있다.

## 급수량 종류
급수량은 사용 목적에 따라 분류한다. 가정용수, 영업용수, 공업용수, 공공용수, 소화용수가 있으며 나머지 누수되는 양만큼의 급수량을 불명수량이라고 한다.
* 가정용수: 가정에서 사용
* 영업용수: 식당, 호텔, 백화점 등에 사용
* 공업용수: 소규모 공장은 수돗물을 사용하고, 대규모 공장은 공업용수를 생산하는 전용수도를 통해 물을 공급받음
* 공공용수: 관공서, 학교, 병원, 도로 살수 등에 쓰임
* 소화용수: 화재 시 사용
* 불명수량: 배수, 급수관 누수, 소화전 또는 공공시설에서의 누수로 인한 수량

## 급수량 산정
급수량을 산정하는 것은 상하수도 시스템을 설계할 때 반드시 필요한 일이다. 도시, 마을, 공업단지 등의 상수도 수요를 예측하고 적절한 비용으로 적절한 규모의 시설을 설치하기 위해 급수량을 산정하는 일은 필수적이다.

### 계획 급수 인구
계획 급수 인구란 상수도의 물을 공급받는 인구를 말한다.
:계획 급수 인구 = 급수 구역 내 총 인구 × 상수도 보급율(%)

### 계획 급수 인구 추정
계획 급수 인구를 추정하는 방법은 아래와 같은 방법들이 있다. 상수도의 계획 급수 인구에 대한 추정은 과거 약 20년간의 인구 자료를 보고 추정한다.

#### [[등차급수]] 방법
섬네일|등차급수법 인구 추정
매년 일정한 숫자만큼 인구가 증가한다고 가정하는 방법이다. Pn을 n년 후 인구, P0를 현재 인구, Pt를 t년 전 인구, a를 연 평균 인구 증가량이라 하면,
:P_n=P_0+na=P_0+n\frac{P_0-P_t}{t}

#### [[등비급수]] 방법
섬네일|등비급수법 인구추정
매년 일정한 비율만큼 인구가 증가한다고 가정하는 방법이다. r을 연 평균 인구 증가율이라 하면,

P_0=P_t(1+r)^t

r=\left( \frac{P_0}{P_t} \right)^{\frac{1}{t}}-1

P_n=P_0(1+r)^n

예를 들어 어떤 도시의 1995년 인구가 10900명, 1999년 인구가 12200명으로 조사되었다고 하자. 이 도시가 발전 가능성이 있으며, 일정한 인구증가율을 보인다고 가정할 수 있는 경우 등비급수 방법을 활용할 수 있다. 조사된 인구 자료를 토대로, 2005년의 인구를 추정한다면 우선 연평균 인구증가율 r부터 구한다.

P_{99} = P_{95} (1+r)^4

r = \left( \frac{P_{99}}{P_{95}} \right)^{\frac 14} - 1 = 0.02857

이제 1999년으로부터 6년 뒤인 2005년의 인구를 추정할 수 있다.

P_{05} = P_{99}(1+r)^6 = 14447 명

#### 최소제곱법에 의한 방법
장래 인구수는 과거의 인구 통계자료를 가지고 연도에 따른 인구수의 방정식을 먼저 구한 뒤, 이를 이용해 계산하여 구한다.

n개의 연도와 인구 수 자료가 있다고 하자.

구하고자 하는 방정식은 Y = aX + b이다. 상수 a, b값을 안다면, 장래의 연도 x를 대입했을 때 장래 인구 수 y를 알 수 있을 것이다. a, b는 다음 연립방정식(정규방정식)을 풀어 계산한다.

a \sum X^2 + b \sum X = \sum XY

a \sum X + bn = \sum Y

a, b는 다음 값으로 나타난다.

a = \frac{n \Sigma XY - \Sigma X \Sigma Y}{n \Sigma X^2 - \Sigma X \Sigma X} 

b = \frac{\Sigma X^2 \Sigma Y - \Sigma X \Sigma XY}{n \Sigma X^2 - \Sigma X \Sigma X} 

예를 들어 1990년부터 1996년까지 기록된 인구 자료가 다음과 같다고 하자.

계산의 편의를 위해 연도를 다음과 같이 치환한다.

정규방정식에 필요한 값들을 계산하면

\sum X^2 = (9 + 4 + 1) \times 2 = 28

\sum X = 0

\sum XY = 118600

\sum Y = 1337000

정규방정식에 이 값들을 대입하면 a, b를 알 수 있다.

a \times 28 = 118600

b \times 7 = 1337000

\begin{align} \therefore Y & = aX + b \\
                           & = 4235.714 X + 191000 \\ \end{align}

93년도가 0년으로 되었으므로 2000년은 X = 7을 대입하여 계산한다. 따라서 2000년의 인구 수는 220,650명으로 예측할 수 있다.

#### [[로지스틱 회귀|로지스틱 커브]] 방법
섬네일|로지스틱 커브. 인구가 일정 한도 이상으로 증가하지 않는 것을 볼 수 있다
로지스틱 커브 방법(Logistic Curve, 논리 곡선법)은 먼저 포화 인구를 추정한 후에 인구 증가 곡선을 그리는 방법이다. 포화 인구를 K라 하고, a, b는 상수라고 할 때,
:P_n=\frac{K}{1+e^{a-bn}}

로지스틱 커브 방법은 장기간에 걸친 인구 추정에 적합한 방법이다. 이 방법은 인구가 계속해서 증가한다고 예측하지 않는다는 점에서 좋으나, 포화인구를 몇 명으로 가정할 것인가 정하기 힘든 난점이 있다.

상수 a, b는 다음으로 구한다.

P_n + P_n e^{a - bn} = K

P_n e^{a - bn} = K - P_n

\log P_n + (a - bn) \log e = \log (K - P_n)

\underbrace{ \log P_n - \log (K - P_n) }_{Y} = b \underbrace{ n \log e }_{X} - \underbrace{ a \log e }_{c}

최소자승법을 이용해 b, c 계산

b = \frac{n \Sigma XY - \Sigma X \Sigma Y}{n \Sigma X^2 - \Sigma X \Sigma X} 

c = \frac{\Sigma X \Sigma XY - \Sigma X^2 \Sigma Y}{n \Sigma X^2 - \Sigma X \Sigma X} 

c를 안다면 a 역시 구할 수 있다.

최소자승법에서 사용한 통계표를 이용해 2000년의 인구를 추정해보자. 포화인구 K = 350,000명이라고 예상했다고 하자.

로지스틱 곡선식은

y =\frac{K}{1+e^{a-bn}}

최소제곱법을 쓰기 위해 식을 정리하면

\underbrace{ \log y - \log (K - y) }_{Y} = b \underbrace{ n \log e }_{X} + \underbrace{ - a \log e }_{c}

여기에 대한 정규방정식은

b \sum X^2 + c \sum X = \sum XY

b \sum X + cn = \sum Y

계산의 편의를 위해 연도를 치환하고, 필요한 값들을 표로 만들어둔다.

정규방정식의 미지수 b, c를 계산하기 위한 값들을 구한다.

\begin{align} \sum X^2 = \sum (n \log e)^2 & = \sum n^2 \times (\log e)^2 \\
                                           & = (9+4+1)\times 2 \times (\log e)^2 \\
                                           & = 5.281 \end{align}

\sum X = \sum n \log e = \log e \sum n = 0

\begin{align} \sum XY & = \sum n \log e [ \log y - \log ( K - y) ] \\
                      & = \log e \sum n [ \log y - \log ( K - y) ] \\
                      & = \log e \times 0.5943593605 \\
                      & = 0.2581269905 \end{align}

\begin{align} \sum Y & = \sum [ \log y - \log (K - y)] \\
                     & = 0.5587721677 \\ \end{align}

정규방정식은 다음과 같이 간단해진다.

b \times 5.281 = 0.2581269905

c \times 7 = 0.5587721677

b, c를 계산하면

b = 0.04887843032

c = 0.07982459539 = - a \log e

a = -0.183802923

\therefore y = \frac{350000}{1+e^{-0.183802923 - 0.04887843032 n}}

2000년은 n = 7이므로 대입하면 219,988명이 됨을 예측할 수 있다.

#### 지수곡선식법
Peggy 함수식법이라고도 부른다.

P_n = P_0 + A n^a

\log (P_n - P_0) = \log A + a \log n

Y = b + a X 

여기서 최소제곱법을 이용해 a, b 계산한다.

a = \frac{n \Sigma XY - \Sigma X \Sigma Y}{n \Sigma X^2 - \Sigma X \Sigma X} 

b = \frac{\Sigma X^2 \Sigma Y - \Sigma X \Sigma XY}{n \Sigma X^2 - \Sigma X \Sigma X} 

위에서 사용한 같은 예시를 가지고 지수곡선식으로 인구예측을 해보자.

1990년을 0으로 치환하고, 지수곡선식에 필요한 계산을 위해 P_n - P_0를 나열한다.

정규방정식은

a \sum X^2 + b \sum X = \sum XY

a \sum X + bn = \sum Y

미지수 계산을 위해,

\sum X^2 = \sum ( \log n)^2 = 1.774818419

\sum X = \sum \log n = 2.857332496

\sum XY = \sum \log n \times \log (P_n - P_0) = 12.182

\sum Y = \sum \log (P_n - P_0)= 24.7636837

이것을 정규방정식에 대입하면 다음과 같은 연립 이차방정식이 된다. 두번째 식에서 n = 6이다. log 0은 정의되지 않으므로 제외하기 때문이다.

\begin{array}{lcr} a \times 1.774818419 + b \times 2.857332496 & = & 12.182 \\
                   a \times 2.857332496 + b \times 6 & = & 24.7636837 \end{array}

따라서

a = 0.9393697131

b = 3.679932016 = \log A

A = 4785.551739

\therefore P_n = P_0 + 4785.551739 n^{0.9393697131}

P_{2000} = 219,420명

#### 기타
* 감소 증가율법
* 비상관법(Ratio and Correlation method)
* 타 도시와의 비교법

### 계획 급수량의 종류
#### 계획 1일 평균 급수량
정수 약품, 전력 사용량 산정, 유지관리비, 상수도 요금 산정, 저수지 설계 기준 수량에 필요한 급수량으로, 수도 재정 계획에 필요하다. 계획 1일 평균 급수량은 계획 1일 최대 급수량의 70-85%를 표준으로 한다.

\begin{align} \text{계 획  1일  평 균  급 수 량 } & = \frac{\text{1년  간  총  급 수 량}}{365} \\
                                                  & = \text{(계 획  1일  최 대  급 수 량 )}\times \begin{cases}
0.70 & \text{(중 소  도 시 )}\\
0.85 & (\text{대 도 시 , 공 업  도 시 })
\end{cases} \\ \end{align}

생활 수준이 높고 공업도시일수록 1인 1일 평균급수량이 증가한다. 수도 요금을 정액제로 할 때가 종량제로 할 때보다 1인 1일 평균급수량이 커진다. 수압이 높을수록 수량이 증가하기 때문에 평균 급수량 역시 증가한다.

#### 계획 1일 최대 급수량
상수도 시설 규모, 1일 계획 취수량 결정의 기준이 되는 급수량이다. 계획 1인 1일 최대 급수량에 첨두율인 1.5나 1.3을 곱하여 구한다.

\begin{align} \text{계 획  1일  최 대  급 수 량 } & = (\text{계 획  1인  1일  최 대  급 수 량 }) \times (\text{계 획  급 수  인 구 }) \\
                                                  & = (\text{계 획  1인  1일  최 대  급 수 량 }) \times \begin{cases}
1.5 & \text{(중 소 도 시 )} \\
1.3 & \text{(대 도 시 , 공 업  도 시 )}
\end{cases} \\ \end{align}

#### 계획 시간 최대 급수량
1일 중 사용 수량이 최대가 될 때의 1시간 당 급수량이다. 배수본관의 설계 시 이용된다.

\text{계 획  시 간  최 대  급 수 량 } = \frac{\text{계 획  1일  최 대 급 수 량}}{24}\times \begin{cases}
2.0 & \text{(농 촌 , 주 택  단 지 , 소 도 시 )} \\
1.5 & \text{(중 소 도 시 )} \\
1.3 & \text{(대 도 시 , 공 업  도 시 )} \\
\end{cases}

#### 월 최대급수량
1인 1일 평균급수량 X 30 X 1.25

#### 1일 최소급수량
1일 평균급수량 X 0.6

## 각주


## 참고 문헌
* 
* 

분류:상하수도 공학