난부-고토 작용

**난부-고토 작용**(, )은 보손 끈 이론에서 가장 단순한 불변 작용이며, 우주 끈과 같이 끈과 유사한 객체를 연구하는 다른 이론들에서도 사용된다. 이는 라그랑주 역학의 원리를 사용하여 두께가 0인(무한히 가는) 끈의 행동을 분석하는 출발점이다. 자유 점입자의 작용이 그 고유 시간, 즉 세계선의 "길이"에 비례하는 것과 마찬가지로, 상대론적 끈의 작용은 끈이 시공간을 이동하며 그리는 세계면의 넓이에 비례한다.

이 이름은 일본의 물리학자 난부 요이치로와 고토 데쓰오()의 이름을 따서 명명되었다.

## 배경
### 상대론적 라그랑주 역학
라그랑주 역학의 기본 원리인 최소 작용의 원리는 외부의 영향을 받는 물체가 작용이라는 특정 양을 극값으로 만드는 경로를 "선택"한다는 것이다. 작용은 전체 경로를 입력받아 하나의 숫자를 산출하는 수학적 관계인 범함수이다. 물체가 실제로 따라가는 물리적 경로는 작용이 "정지"해 있는(또는 극값인) 경로이다. 즉, 물리적 경로에서 경로를 아주 조금 변화시켜도 작용은 유의미하게 변하지 않는다. (종종 이는 물리적 경로가 작용을 최소로 만드는 경로라는 것과 동등하다.) 작용은 일반적으로 공간 및 시간의 특정 지점에서 물체의 상태에 따라 달라지는 공식인 라그랑주를 사용하여 작성된다. 예를 들어, 비상대론적 역학에서 점입자의 라그랑주는 운동 에너지와 위치 에너지의 차이인 L=K-U이다. 흔히 S로 표기되는 작용은 시작 시간부터 종료 시간까지 이 양을 적분한 것이다.
: S = \int_{t_\text{i}}^{t_\text{f}} L \, dt.
(일반적으로 라그랑주를 사용할 때는 입자의 시작 위치와 종료 위치를 알고 있다고 가정하며, 그 위치들 사이를 입자가 이동하는 경로에 관심을 가진다.)

이러한 역학적 접근 방식은 쉽게 확장되고 일반화될 수 있다는 장점이 있다. 예를 들어, 입자가 빛의 속도에 가깝게 이동하는 경우에도 유효한 상대론적 입자의 라그랑주를 작성할 수 있다. 로런츠 불변성을 유지하기 위해 작용은 모든 (로런츠) 관찰자에게 동일한 양, 즉 작용은 로런츠 스칼라여야 한다. 가장 단순한 그러한 양은 입자가 운반하는 시계로 측정된 시간인 고유 시간이다. 특수 상대성이론에 따르면, 입자가 움직이는 것을 관찰하는 모든 로런츠 관찰자는 다음 양에 대해 동일한 값을 계산한다.
: -ds^2 = -(c \, dt)^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2, \ 
여기서 ds/c는 무한소 고유 시간이다. 외력을 받지 않는 점입자(즉, 관성 운동을 하는 입자)에 대해 상대론적 작용은 다음과 같다.
: S = -mc \int ds.

### 세계면
0차원 점이 시공간 도표에서 세계선을 그리는 것과 마찬가지로, 1차원 끈은 세계면으로 표현된다. 모든 세계면은 2차원 표면이므로 세계면 위의 한 점을 지정하려면 두 개의 매개변수가 필요하다. 끈 이론가들은 이 매개변수에 대해 \tau와 \sigma 기호를 사용한다. 결과적으로 끈 이론은 우리가 익숙한 3차원 세상보다 더 높은 차원의 공간을 포함한다. 보손 끈 이론은 25개의 공간 차원과 1개의 시간축을 필요로 한다. d가 공간 차원의 수라면, 점을 벡터로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: x = (x^0, x^1, x^2, \ldots, x^d).

우리는 매개변수 공간 (\tau, \sigma)의 위치를 시공간의 한 점으로 대응시키는 함수를 사용하여 끈을 묘사한다. \tau와 \sigma의 각 값에 대해 이 함수들은 고유한 시공간 벡터를 지정한다.
: X (\tau, \sigma) = (X^0(\tau,\sigma), X^1(\tau,\sigma), X^2(\tau,\sigma), \ldots, X^d(\tau,\sigma)).

함수 X^\mu (\tau,\sigma)는 세계면이 취하는 모양을 결정한다. 서로 다른 로런츠 관찰자들은 세계면의 특정 점들에 할당하는 좌표에 대해서는 동의하지 않겠지만, 세계면이 가지는 총 고유 넓이에 대해서는 모두 동의해야 한다. 난부-고토 작용은 이 총 고유 넓이에 비례하도록 선택된다.

 \eta_{\mu \nu} 를 (d+1)차원 시공간의 계량이라 하자. 그러면,
:  g_{ab} = \eta_{\mu \nu} \frac{\partial X^\mu}{\partial y^a} \frac{\partial X^\nu}{\partial y^b} \ 
은 세계면에서의 유도 계량이며, 여기서  a,b = 0,1  이고  y^0 = \tau , y^1 = \sigma 이다.

세계면의 넓이  \mathcal{A} 에 대해 다음이 성립한다.
:  \mathrm{d} \mathcal{A} = \mathrm{d}^2 \Sigma \sqrt{-g} 
여기서 \mathrm{d}^2\Sigma = \mathrm{d}\sigma \, \mathrm{d}\tau 이고  g = \mathrm{det} \left( g_{ab} \right) \ 이다.

다음과 같은 표기법을 사용하면:
: \dot{X} = \frac{\partial X}{\partial \tau}
및
: X' = \frac{\partial X}{\partial \sigma},
계량  g_{ab} 를 다시 쓸 수 있다.
:  g_{ab} = \left( \begin{array}{cc} \dot{X}^2 & \dot{X} \cdot X' \\ X' \cdot \dot{X} & X'^2 \end{array} \right) \ 
:  g = \dot{X}^2 X'^2 - (\dot{X} \cdot X')^2 
난부-고토 작용은 다음과 같이 정의된다.

: 
여기서  X \cdot Y := \eta_{\mu \nu}X^\mu Y^\nu 이다.
적분 앞의 인자들은 작용이 에너지 곱하기 시간이라는 올바른 단위를 갖게 한다. T_0는 끈의 장력이고, c는 빛의 속도이다. 일반적으로 끈 이론가들은 c가 1로 설정된 "자연 단위계"(디랙 상수 \hbar 및 뉴턴 중력 상수 G와 함께)에서 작업한다. 또한 부분적으로 역사적인 이유로 T_0 대신 "기울기 매개변수" \alpha'를 사용한다. 이러한 변경을 통해 난부-고토 작용은 다음과 같이 된다.
: \mathcal{S} = -\frac{1}{2\pi\alpha'} \int \mathrm{d}^2 \Sigma \sqrt{(\dot{X} \cdot X')^2 - (\dot{X})^2 (X')^2}.

이 두 형태는 당연히 완전히 동등하며, 하나를 다른 것보다 선택하는 것은 관례와 편의의 문제이다.

두 가지 추가적인 동등한 형태(질량껍질 위에서만 성립)는 다음과 같다.
: \mathcal{S} = -\frac{1}{2\pi\alpha'} \int \mathrm{d}^2 \Sigma \sqrt ^2 - {X'}^2},
및
: \mathcal{S} = -\frac{1}{4\pi\alpha'} \int \mathrm{d}^2 \Sigma ({\dot{X}}^2 - {X' }^2).
공액 운동량 장은 다음과 같다.
: P=-\frac{T}{\sqrt{(\dot X\cdot X')^2-{\dot X}^2{X'}^2}}\left[X'(\dot X\cdot X')-\dot X {X'}^2\right].
그러면,
: P^2=\frac{T^2}{(\dot X\cdot X')^2-{\dot X}^2{X'}^2}\left[ {X'}^2(\dot X\cdot X')^2-2(\dot X\cdot X')^2 X'^2+{\dot X}^2{X'}^4 \right]=-T^2{X'}^2
는 일차 구속 조건이다. 이차 구속 조건은 P\cdot X'=0이다. 이 구속 조건들은 세계면 위에서 시간꼴 미분동형사상과 공간꼴 미분동형사상을 생성한다. 해밀턴 함수는 H=P\cdot \dot X-\mathcal{L}=0이다. 확장된 해밀턴 함수는 다음과 같이 주어진다.
: H=\int d\sigma \left[\lambda(P^2+T^2{X'}^2)+\rho P\cdot X'\right]
여기서 \lambda와 \rho는 라그랑주 승수이다.

운동 방정식은 비라소로 구속 조건 {\dot X}^2+X'^2=0 및 \dot X\cdot X'=0을 만족한다.

일반적으로 난부-고토 작용은 아직 끈의 양자 물리학을 연구하기에 적절한 형태를 갖추지 못했다. 이를 위해서는 점입자의 작용과 유사한 방식으로 수정되어야 한다. 그것은 고전적으로 시공간에서의 불변 길이에 질량의 음수를 곱한 것과 같지만, 동일한 고전적 값을 갖는 이차 형식으로 대체되어야 한다.
끈의 경우 이에 대응하는 보정은 폴랴코프 작용에 의해 제공되는데, 이는 고전적으로 난부-고토 작용과 동등하지만 '올바른' 양자 이론을 제공한다. 그러나 광원뿔 게이지(light cone gauge)에서 난부-고토 작용으로부터 양자 이론을 전개하는 것도 가능하다.

## 같이 보기
* 디랙 막

## 각주

## 더 읽어보기
* Ortin, Thomas, Gravity and Strings, Cambridge Monographs, Cambridge University Press (2004). .

분류:끈 이론