3차원 직교군

**3차원 직교군**(三次元直交群, )은 3차원 유클리드 공간의 회전 및 반사로 구성되는 리 군이다.

## 정의
**3차원 직교군** \operatorname{O}(3;\mathbb R)는 3×3 실수 직교 행렬들로 구성된 리 군이다.

다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.
* **3차원 특수직교군** \operatorname{SO}(3;\mathbb R). 3×3 실수 직교 행렬의 행렬식은 ±1이며, 이 가운데 행렬식이 +1인 것들은 \operatorname O(3;\mathbb R)의 부분군을 이룬다. 이 부분군을 \operatorname{SO}(3;\mathbb R)라고 한다.
* **2차원 사영 [[특수 유니터리 군]]** \operatorname{PSU}(2).
* **3차원 사영 특수직교군** \operatorname{PSO}(3;\mathbb R). 차원이 홀수이므로 사영 직교군은 특수직교군과 같다.

다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.
* **2차원 [[특수 유니터리 군]]** \operatorname{SU}(2)는 2×2 복소수 유니터리 행렬 가운데, 행렬식이 1인 것들로 구성된 리 군이다.
* **3차원 [[스핀 군]]** \operatorname{Spin}(3)
* **1차원 [[심플렉틱 군]]** \operatorname{Sp}(1)=\operatorname{USp}(2)\cong\{x\in\mathbb H\colon\|x\|=1\}. 이는 노름이 1인 사원수들의 곱셈군이다.

### 복소수 표현
다음과 같은 두 겹 피복이 존재한다.
:\operatorname{SU}(2)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(3)
즉, \operatorname{SU}(2)는 3차원 스핀 군 \operatorname{Spin}(3)과 동형이다. 이 피복 사상은 다음과 같다.
:\begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ -\bar \beta & \bar \alpha \end{pmatrix}
\mapsto\begin{pmatrix}\frac12(\alpha^2 - \beta^2 + \bar\alpha^2 - \bar\beta^2) & \frac i2(-\alpha^2 - \beta^2 + \bar\alpha^2 + \bar\beta^2) & -\alpha\beta-\bar\alpha\bar\beta\\ \frac i2(\alpha^2 - \beta^2 - \bar\alpha^2 + \bar\beta^2) & \frac12(\alpha^2 + \beta^2 + \bar\alpha^2 + \bar\beta^2) & -i(+\alpha\beta-\bar\alpha\bar\beta)\\ \alpha\bar\beta + \bar\alpha\beta & i(-\alpha\bar\beta + \bar\alpha\beta) & \alpha\bar\alpha - \beta\bar\beta \end{pmatrix}
이는 다음과 같이 해석할 수 있다. 우선, \operatorname{SO}(3)는 2차원 구 \mathbb S^2 위에 등거리 사상으로 구성된 표준적인 충실한 표현을 가진다. 또한, \mathbb S^2는 리만 구 \hat{\mathbb C}로 해석할 수 있으며, 이 경우 구의 등거리 자기 동형은 리만 구 위의 뫼비우스 변환으로 나타내어진다. 즉, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.
:\iota\colon\operatorname{SO}(3)\hookrightarrow\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)
이 경우, \iota의 상은 다음과 같은 꼴의 뫼비우스 변환들이다.
:z\mapsto\frac{\alpha z+\beta}{-\bar\beta z+\bar\alpha}
마찬가지로, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.
:\iota'\colon\operatorname{PSU}(2)\hookrightarrow\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)
:\iota'\colon\pm\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\bar\beta&\bar\alpha\end{pmatrix}\mapsto\left(z\mapsto\frac{\alpha z+\beta}{-\bar\beta z+\bar\alpha}\right)
따라서, 이는 동형 \operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{SO}(3)를 정의한다.

### 사원수 표현
동형 \operatorname{SU}(2)\cong\operatorname{Sp}(1)은 다음과 같이 이해할 수 있다. \operatorname{Sp}(1)은 정의에 따라 노름이 1인 사원수들로 구성된다. 주어진 사원수에 대응하는 2×2 특수 유니터리 행렬은 다음과 같다.
:\operatorname{Sp}(1)\mapsto\operatorname{SU}(2)
:a+ib+jc+kd\mapsto\begin{pmatrix}
a+ib&-c+id\\
c+id&a-ib
\end{pmatrix}

마찬가지로, 두 겹 피복군 \operatorname{Sp}(1)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(3)는 다음과 같이 이해할 수 있다.
:\operatorname{Sp}(1)\mapsto\operatorname{SO}(3)
:a+ib+jc+kd\mapsto\begin{pmatrix}1 - 2 c^2 - 2 d^2 & 2 b c - 2 d a & 2 b d + 2 c a \\ 2 b c + 2 d a & 1 - 2 b^2 - 2 d^2 & 2 c d - 2 b a \\ 2 b d - 2 c a & 2 c d + 2 b a & 1 - 2 b^2 - 2 c^2\end{pmatrix}
이는 (b,c,d)를 축으로 하여, 각도 2\theta만큼 회전하는 행렬이며, 여기서 각도 \theta는 다음과 같다.
:\cos(\theta)=a
:|\sin(\theta)|=\|a+ib+jc+kd\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}
즉, 단위 사원수 집합을 4차원 극좌표계 (r,\theta,\phi,\chi)로 나타내었을 때, \theta는 극각에 해당한다..
이 경우, 사원수 a+ib+jc+kd와 -a-ib-jc-kd가 같은 직교 행렬에 대응하므로, 이는 2겹 피복임을 알 수 있다.

이는 사원수 곱셈으로서 다음과 같이 나타낼 수 있다. 4차원 벡터 (t,x,y,z)를 사원수 v=t+ix+iy+iz로 나타내자. 그렇다면, 4차원 회전 \operatorname{SO}(4)\cong(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2)의 작용은 다음과 같이 생각할 수 있다. 각 \operatorname{SU}(2)의 원소를 단위 사원수 q_1, q_2로 나타낸다면, 4차원 회전은 다음과 같다.
:v\mapsto q_1vq_2
여기서 \mathbb Z/2에 대한 몫군을 취하는 것은 (q_1,q_2)와 (-q_1,-q_2)가 같은 작용을 갖기 때문이다.

3차원 공간의 회전은 이 작용에서, t축의 안정자군이다. t축이 고정될 조건은 q_1q_2=1인 것이며, 따라서 q_1=q_2^{-1}=\bar q_2이다. 즉, \operatorname{SO}(3)\cong\operatorname{Sp}(1)/(\mathbb Z/2)의 작용은 다음과 같다.
:v\mapsto qv\bar q\qquad(q\in\mathbb H,\;\|q\|=1)
여기서 \mathbb Z/2에 대한 몫군을 취하는 것은 \pm q가 같은 작용을 갖기 때문이다.

### 리 대수
\operatorname{SU}(2)의 리 대수 \mathfrak{su}(2)의 기저는 파울리 행렬 \tfrac12\sigma^i로 주어진다.
:[\tfrac12\sigma^i,\tfrac12\sigma^j]=\epsilon_{ijk}\tfrac12\sigma^k
\operatorname{SO}(3)의 리 대수 \mathfrak{so}(3)의 기저는 무한소 3차원 회전 L_i로 다음과 같이 주어진다.
:L_1=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}
:L_2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}
:L_3=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
L_i는 i번째 축에 대한 무한소 회전이며, 다음과 같은 구조 상수를 갖는다.
:[L_i,L_j]=\epsilon_{ijk}L^k
이 경우, 리 대수의 동형 \operatorname{su}(2)\cong\operatorname{so}(3)는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.
:\tfrac12\sigma^1\mapsto L_i

## 성질
### 대수학적 성질
\operatorname{SU}(2)의 중심은 \{\pm1_{2\times2}\}이며, 이에 대하여 몫군을 취하면 \operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{SO}(3)를 얻는다.

SO(3) 또는 SU(2)의 유한 부분군은 ADE 분류를 갖는다.

### 위상수학적 성질
\operatorname{SU}(2)와 \operatorname{SO}(3)는 둘 다 콤팩트 연결 3차원 매끄러운 다양체이다.

\operatorname{SU}(2)는 위상수학적으로 3차원 초구 \mathbb S^3이다. (초구에 리 군의 구조를 줄 수 있는 경우는 0·1·3차원밖에 없다.) 이는 콤팩트 단일 연결 공간이다.

\operatorname{SO}(3)\cong\operatorname{PSU}(2)는 위상수학적으로 3차원 실수 사영 공간 \mathbb{RP}^3\cong\mathbb S^3/(\mathbb Z/2)이다. 여기서 \mathbb Z/2에 대한 몫공간을 취하는 것은 대척점을 이어붙이는 것과 같다.

\operatorname O(3)는 두 개의 연결 성분을 가진다. 이는 행렬식이 ±인 직교 행렬들로 구성된다.

### 표현론
\operatorname{SU}(2)의 유한 차원 표현은 차원에 따라 완전히 분류된다. 즉, 주어진 차원 n=0,1,2,\dots에 대하여, (동형 아래) 유일한 n차원 복소수 표현이 존재하며, 이는 유니터리 표현이다. 만약 n이 짝수인 경우, 이는 n차원 실수 표현으로 나타낼 수 있다. 양자역학에서, n차원 표현은 **[[스핀]]** (n-1)/2 표현으로 일컬어진다.

\operatorname{SO}(3)의 유한 차원 표현들은 \operatorname{SU}(2)의  n차원 표현들 가운데, n이 홀수인 것들이다. 예를 들어, n=3인 경우는 \operatorname{SO}(3)를 정의하는, 3차원 유클리드 공간 위의 특수 직교 행렬로서의 표현이다.

## 참고 문헌


## 외부 링크
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## 같이 보기
* 클렙슈-고르단 계수
* 구면 조화 함수
* 오일러 각
* 스핀
* 2차원 실수 특수선형군
* 원군
* 로런츠 군

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