Ext 함자

호몰로지 대수학에서 **Ext 함자**(Ext函子, )는 아벨 범주의 두 대상 사이를 잇는 완전열들을 분류하는 함자이다. 사상군 함자의 유도 함자와 같다.

## 정의
Ext 함자는 세 가지로 정의할 수 있다.
* Ext 함자는 특정 완전열들의 동치류 집합으로 정의할 수 있다. 이는 가장 구체적이지만 복잡하며, 또 집합론적 문제가 발생할 수 있다 (즉, Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다). 이 정의는 요네다 노부오가 도입하였다.
* 단사 대상을 충분히 가지는 범주 또는 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서, Ext 함자는 오른쪽 유도 함자 또는 왼쪽 유도 함자를 사용하여 정의할 수 있다. 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않지만, 이는 단사 대상 또는 사영 대상이 부족한 아벨 범주에서는 사용할 수 없다.
* 유도 범주의 개념을 사용하면 Ext 함자는 매우 간단하게 정의된다. 그러나 유도 함자의 존재 역시 여러 집합론적 문제를 야기한다.
대수학에서 가장 중요한 경우인 환 위의 가군 범주의 경우 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 유도 함자 정의를 사용할 수 있다.

### 완전열을 통한 정의
#### 0차 Ext
임의의 아벨 범주 \mathcal A에 대하여, **0차 Ext 함자**는 다음과 같은 사상군 함자이다.
:\operatorname{Ext}^0_{\mathcal A}(-,-)=\hom_{\mathcal A}(-,-)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\times\mathcal A\to\operatorname{Ab}

#### 1차 Ext
임의 아벨 범주 \mathcal A의 대상 A,B\in\mathcal A에 대하여, A의 B에 대한 **확대**()는 다음과 같은 짧은 완전열이다.
:0\to B\to X\to A\to0
두 확대 사이에 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 X\to X'이 존재한다면, 두 확대가 서로 **동치**라고 한다.
:\begin{matrix}
0\to&B&\to&X&\to&A&\to0\\
&\|&&\downarrow\scriptstyle\wr&&\|\\
0\to&B&\to&X'&\to&A&\to0
\end{matrix}
(이 사상 X\to X'은 짧은 5항 보조정리에 따라서 항상 동형 사상이다.) 이는 확대에 대한 동치 관계를 이룬다.

확대의 동치류들은 **베어 합**()이라는 연산 아래 아벨 군을 이룬다.
두 확대 0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0, 0\to B\xrightarrow{\iota'} X'\xrightarrow{\pi'} A\to0가 주어졌을 때, Y를 X와 X'의 A에 대한 당김이라고 하자. 미첼 매장 정리를 사용하면, 이는 다음과 같다.
:X\oplus X\supseteq Y=\{(x,x')\in X\oplus X'\colon \pi(x)=\pi'(x)\}\supseteq\iota(B)\oplus\iota'(B)
즉, Y는 B를 두 번 부분 대상으로 포함한다.
대각 사상 \operatorname{diag}_B\colon B\to B\oplus B사용하여, Y의 몫대상
:X*=\frac Y{\left((\iota,-\iota')\circ\operatorname{diag}_B\right)(B)}</math>
을 정의할 수 있다. 이는 <math>Y</math> 속에 존재하는 두 개의 <math>B</math>를 하나로 합치는 것이다. 그렇다면
:<math>0\to B\to X*\to A\to0
는 짧은 완전열을 이룬다. 0\to X\to X*\to A\to0</math>의 [[동치류]]를 <math>0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0</math>, <math>0\to B\xrightarrow{\iota'} X'\xrightarrow{\pi'} A\to0</math>의 [[동치류]]의 *'베어 합**()이라고 한다. 확대의 [[동치류]]들은 베어 합 아래 [[아벨 군]]을 이룬다. 베어 합의 항등원은 [[분할 완전열]] <math>0\to B\to A\oplus B\to A\to0</math>이며, 확대 <math>0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0</math>의 베어 합에 대한 역원은 <math>0\to B\xrightarrow{-\iota}X\xrightarrow\pi A\to0</math> 또는 <math>0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow{-\pi} A\to0</math>이다. (이 둘은 서로 동치이다.)

<math>\mathcal A</math> 속의 대상 <math>A,B\in\mathcal A</math>에 대하여, **1차 Ext 함자** <math>\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(A,B)</math>는 <math>A</math>의 <math>B</math>에 대한 확대들의 동치류 집합이다. 이는 베어 합 아래 [[아벨 군]]을 이루며, 함자
:<math>\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(-,-)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\times\mathcal A\to\operatorname{Ab}</math>
를 정의한다. 또한, 각 <math>A\in\mathcal A</math>에 대하여
:<math>\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(A,-)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}</math>
:<math>\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(-,A)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}</math>
는 둘 다 [[가법 함자]]를 이룬다.

위 정의에서, [[집합론]]적 문제를 무시하였다. 사실, ([[국소적으로 작은 범주|국소적으로 작은]]) [[아벨 범주]]의 경우 1차 Ext 함자의 값이 [[고유 모임]]일 수 있다. 물론, [[작은 범주|작은]] [[아벨 범주]]에 대해서는 이러한 문제가 생기지 않는다. 또한, [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]나 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]에서는 [[유도 함자]]를 통한 정의를 사용할 수 있으며, 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않는다.

==== 고차 Ext ====
2차 이상의 Ext 함자는 임의의 [[아벨 범주]]에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal A</math> 속의 대상 <math>A</math>, <math>B</math>에 대하여, <math>A</math>의 <math>B</math>에 대한 <math>n</math>차 **확대**()는 다음과 같은 [[완전열]]이다.
:<math>0\to B\to X_n\to X_{n-1}\to\cdots\to X_1\to A\to0</math>
두 <math>n</math>차 확대 <math>(B,X_\bullet,A)</math>, <math>(B',X_\bullet',A')</math> 사이에 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, <math>(B,X_\bullet,A)</math>가 <math>(B',X_\bullet',A')</math>의 **닮은 확대**()라고 한다.
:<math>\begin{matrix}
0\to &B&\to&X_n&\to&\cdots&\to&X_1&\to&A&\to0\\
&\|&&\downarrow&&\cdots&&\downarrow&&\|\\
0\to &B'&\to&X_n'&\to&\cdots&\to&X_1'&\to&A'&\to0
\end{matrix}</math>
닮음 관계를 <math>(B,X_\bullet,A)\prec(B',X_\bullet',A')</math>로 표기하자.
닮음 관계는 [[추이적 관계]]이지만 [[대칭 관계]]가 아니다. 닮음 관계로 생성되는 [[동치 관계]]를 생각하자. 즉, 두 <math>n</math>차 확대 <math>(B,X_\bullet,A)</math>, <math>(B',X_\bullet',A')</math> 사이에 다음과 같은 <math>n</math>차 확대들의 [[수열|열]]
:<math>(B,X_\bullet,A)=(B^{(0)},X_\bullet^{(0)},A^{(0)}),(B^{(1)},X_\bullet^{(1)},A^{(1)}),\dots,(B^{(k)},X_\bullet^{(k)},A^{(k)})=(B',X_\bullet',A')</math>
이 존재하며, 이 열이 다음 조건을 만족시킨다면, <math>(B,X_\bullet,A)</math>와 <math>(B',X_\bullet',A')</math>가 서로 **동치**라고 하자.
:모든 <math>i=1,2,\dots,k</math>에 대하여, <math>(B^{(i-1)},X_\bullet^{(i-1)},A^{(i-1)})\prec(B^{(i)},X_\bullet^{(i)},A^{(i)})</math>이거나 또는 <math>(B^{(i)},X_\bullet^{(i)},A^{(i)})\prec(B^{(i-1)},X_\bullet^{(i-1)},A^{(i-1)})</math>이다.
사실, 이 동치는 두 단계로 족하다. 즉, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>(B,X_\bullet,A)</math>와 <math>(B',X_\bullet',A')</math>가 서로 동치이다.
* <math>(B,X_\bullet,A)\prec(B'',X_\bullet'',A'')\succ(B',X_\bullet',A')</math>인 <math>n</math>차 확대 <math>(B'',X_\bullet'',A'')</math>가 존재한다.
* <math>(B,X_\bullet,A)\succ(B'',X_\bullet'',A'')\prec(B',X_\bullet',A')</math>인 <math>n</math>차 확대 <math>(B'',X_\bullet'',A'')</math>가 존재한다.

그렇다면, <math>n</math>차 **Ext 함자** <math>\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)</math>는 <math>A</math>의 <math>B</math>에 대한 <math>n</math>차 확대들의 [[동치류]] 집합이다.

두 <math>n</math>차 확대 <math>(B,X_\bullet,A)</math>, <math>(B',X_\bullet',A')</math>가 주어졌을 때, <math>Y_i</math>를 다음과 같이 정의하자.
* <math>i=1</math>일 때, <math>Y_1</math>은 <math>X_1</math>과 <math>X_1'</math>의 <math>A</math>에 대한 [[당김 (범주론)|당김]]이다.
* <math>1<i<n</math>일 때, <math>Y_i=X_1\oplus X_1'</math>이다.
* <math>i=n</math>일 때, <math>X_n\xrightarrow f\tilde Y\xleftarrow{f'}X_n'</math>를 <math>B\xrightarrow\iota X_n</math>과 <math>B\xrightarrow{\iota'}X_n</math>의 <math>B</math>에 대한 [[밂 (범주론)|밂]]이라고 하자. 그렇다면 대각 사상 <math>\operatorname{diag}_B\colon B\to B\oplus B</math>를 사용하여, <math>(f\circ\iota,-f'\circ\iota')\circ\operatorname{diag}_B\colon B\to\tilde Y</math>를 정의할 수 있다. 그렇다면, <math>Y_n=\tilde Y/((f\circ\iota,-f'\circ\iota')\circ\operatorname{diag}_B)(B)</math>이다.
그렇다면 <math>(B,Y_\bullet',A)</math>는 <math>n</math>차 확대를 이룬다.
<math>(B,X_\bullet,A)</math>의 [[동치류]]와 <math>(B',X_\bullet',A')</math>의 [[동치류]]의 합을 <math>(B,Y_\bullet',A)</math>의 [[동치류]]로 정의하자.
:<math>[(B,X_\bullet,A)]+[(B',X_\bullet',A')]=[(B,Y_\bullet',A)]</math>
그렇다면, 이 합에 대하여 <math>\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)</math>는 [[아벨 군]]을 이룬다. 또한, 이는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(-,-)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\times\mathcal A\to\operatorname{Ab}</math>
를 이루며, 각 <math>A\in\mathcal C</math>에 대하여
:<math>\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,-)\colon\mathcal A\to\operatorname{Ab}</math>
:<math>\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(-,A)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}</math>
둘 다 [[가법 함자]]를 이룬다.

==== 요네다 합성 ====
Ext는 [[가법 함자]]를 이루므로, [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>의 대상 <math>A,B,C\in\mathcal A</math>에 대하여 다음과 같은 두 [[군 준동형]]이 존재한다. (여기서 <math>\otimes</math>는 [[아벨 군]]의 [[텐서곱]]이다.)
:<math>\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)\otimes\hom_{\mathcal A}(B,C)\to\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,C)</math>
:<math>\hom_{\mathcal A}(A,B)\otimes\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(B,C)\to\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,C)</math>
이는 <math>\operatorname{Ext}^0_{\mathcal A}=\hom_{\mathcal A}</math>와 <math>\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}</math>를 곱하는 것으로 볼 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 자연수 <math>m,n\in\mathbb N</math>에 대하여 다음과 같은, **요네다 합성**()이라는 [[군 준동형]]들이 존재한다.
:<math>\operatorname{Ext}^m_{\mathcal A}(A,B)\otimes\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(B,C)\to\operatorname{Ext}^{m+n}_{\mathcal A}(A,C)</math>
이는 구체적으로 다음과 같다. 두 [[완전열]]
:<math>0\to A\to X_1\to\cdots\to X_m\xrightarrow\pi B\to 0\qquad(m\ge1)</math>
:<math>0\to B\xrightarrow\iota Y_1\to\cdots\to Y_n\to C\to0\qquad(m\ge1)</math>
이 주어졌을 때, 이들을 이어 다음과 같은 더 긴 [[완전열]]을 정의할 수 있다.
:<math>0\to A\to X_1\to\cdots\to X_m\xrightarrow{\iota\circ\pi}Y_1\to\cdots\to Y_n\to C\to0</math>
그렇다면 <math>(A,X_\bullet,B)</math>의 동치류와 <math>(B,Y_\bullet,C)</math>의 동치류의 **요네다 합성**은 <math>(A,X_\bullet,Y_\bullet,C)</math>의 동치류이다.

요네다 합성을 사용하여, 자연수 등급 [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{GrAb}_{\mathbb N}</math> 위의 [[풍성한 범주]] <math>\operatorname{Ext}\mathcal A</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
* <math>\operatorname{Ext}\mathcal A</math>의 대상은 <math>\mathcal A</math>의 대상과 같다.
* <math>\operatorname{Ext}\mathcal A</math>의 사상군은 다음과 같은 자연수 등급 아벨 군이다.
*:<math>\hom_{\operatorname{Ext}\mathcal A}(A,B)=\bigoplus_n\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)</math>
* <math>\operatorname{Ext}(\mathcal A</math>에서 사상의 합성은 요네다 합성에 의하여 주어진다.
*  <math>\operatorname{Ext}\mathcal A</math>에서 항등 사상은 <math>\mathcal A</math>에서의 항등 사상과 같다.
<math>\operatorname{Ext}\mathcal A</math>에서, 각 사상군에서 양의 정수 등급 성분을 망각한다면, <math>\operatorname{Ext}^0_{\mathcal A}=\hom_{\mathcal A}</math>만 남으므로 원래 범주 <math>\mathcal A</math>를 얻는다.

특히, 대상 <math>A\in\mathcal A</math>에 대하여, <math>\operatorname{Ext}\mathcal A</math>에서의 [[자기 사상]] 등급 아벨 군
:<math>\hom_{\operatorname{Ext}\mathcal A}(A,A)=\bigoplus_n\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,A)</math>
은 [[자연수]] [[등급환]]을 이룬다.

=== 유도 함자를 통한 정의 ===
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 대상 <math>A\in\mathcal A</math>에 대하여,
:<math>\hom_{\mathcal A}(A,-)\colon\mathcal A\to\operatorname{Ab}</math>
는 [[왼쪽 완전 함자]]이며,
:<math>\hom_{\mathcal A}(-,A)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}</math>
는 [[오른쪽 완전 함자]]이다. 따라서, 만약 <math>\mathcal A</math>가 [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]라면 <math>\hom_{\mathcal A}(A,-)</math>의 [[오른쪽 유도 함자]]를 **Ext 함자**라고 한다.
:<math>\operatorname{Ext}_{\mathcal C}^n(A,-)=\operatorname R^n\hom_{\mathcal C}(A,-)</math>
만약 <math>\mathcal A</math>가 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]라면 <math>\hom_{\mathcal A}(-,A)</math>의 [[왼쪽 유도 함자]]를 **Ext 함자**라고 한다.
:<math>\operatorname{Ext}_{\mathcal C}^n(-,A)=\operatorname L^n\hom_{\mathcal C}(-,A)</math>
이 정의들은 (만약 존재한다면) 위의 일반적인 정의와 일치한다. 그러나 [[아벨 범주]]는 [[단사 대상]]이나 [[사영 대상]]을 충분히 가지지 않을 수 있으므로, 이 정의는 덜 일반적이다.

특히, [[환 (수학)|환]] <Math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]]들의 [[아벨 범주]] <math>R\text{-Mod}</math>는 [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]이자 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]이다. 이 경우 Ext 함자를 <math>\operatorname{Ext}_R^n(-,-)</math>로 표기한다.

=== 유도 범주를 통한 정의 ===
Ext 함자는 [[유도 범주]]의 개념을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다.
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal A</math>의 대상을 하나의 성분만이 [[영 대상]]이 아닌 [[사슬 복합체]]로 간주한다면, <math>\mathcal A</math>는 [[사슬 복합체]] 범주 <math>\operatorname{Ch}(\mathcal A)</math>의 [[충만한 부분 범주]]를 이룬다.

<math>\mathcal A</math> 속의 [[사슬 복합체]] <math>A</math>에 대하여,
:<math>A[i]^\bullet=X^{\bullet+i}</math>
:<math>d_{A[i]}=(-1)^nd|_A</math>
로 정의하자. (여기서 모든 사슬 복합체의 경계 사상의 차수는 <math>\deg d=+1</math>이다.) 또한, <math>\mathcal A</math>의 [[유도 범주]]가 [[국소적으로 작은 범주]]라고 하자. 그렇다면, <math>\mathcal A</math>의 두 대상 <math>A,B\in\mathcal A</math>에 대한 <math>n</math>차 **Ext 함자'''는 유도 범주 \operatorname D(\mathcal A)의 다음과 같은 사상군이다.
:\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)=\hom_{\operatorname D(\mathcal A)}(A,B[i])

(이 경우, 집합론적 문제는 원래 아벨 범주가 국소적으로 작은 범주라고 해도, 그 유도 범주는 일반적으로 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있는 것이다.)

## 성질
만약 M이 사영 가군이거나 N이 단사 가군이라면,
:\operatorname{Ext}^n_R(M,N)=0\qquad\forall n>0
이다. 또한, 다음이 성립한다.
:\operatorname{Ext}^n_R\left(\bigoplus_{i\in I}M_i,\prod_{j\in J}N_j\right)\cong\prod_{i\in I}\prod_{j\in J}\operatorname{Ext}^n_R(M_i,N_j)

## 예
### 벡터 공간
체 K 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이자 단사 가군이다. 즉, 벡터 공간 V의 단사 분해 및 사영 분해는 자명하다.
:0\to V\to I^0=V\to0
:0\to P^0=V\to V\to0
따라서, K 위의 벡터 공간 V, W가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다.
:\operatorname{Ext}^0_K(V,W)=\hom(V,W)
:\operatorname{Ext}^n_K(V,W)=0\qquad\forall n>0

### 아벨 군
정수환 \mathbb Z 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이며, 단사 가군은 나눗셈군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 단사 분해 및 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 G는 자유 아벨 군 P^0의 몫군 P^0/P^1으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.
:0\to G\to P^0\to P^1\to0
마찬가지로, 임의의 아벨 군 G는 나눗셈군 I^0의 부분군으로 나타낼 수 있으며, 나눗셈군의 모든 몫군은 나눗셈군이므로  다음은 단사 분해를 이룬다.
:0\to G\to I^0\to I^1\to0
아벨 군 G, H가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다. G의 사영 분해가 G\cong P^0/P^1이라면, Ext 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다.
:0\to\hom_{\operatorname{Ab}}(P^0,H) \xrightarrow{\operatorname{res}} \hom_{\operatorname{Ab}}(P^1,H)\to0
여기서 \operatorname{res}\colon\hom_{\operatorname{Ab}}(P^0,H)\to \hom_{\operatorname{Ab}}(P^1,H)은 포함 사상 P^1\hookrightarrow P^0으로부터 유도된다. 즉, 군 준동형을 부분군에 제약한 것이다.
따라서,
:\operatorname{Ext}^0_{\mathbb Z}(G,H)\cong\hom_{\operatorname{Ab}}(G,H)
이며,
:\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)\cong\hom_{\operatorname{Ab}}(P^1,H)/\operatorname{res}(\hom_{\operatorname{Ab}}(P^0,H))
는 군의 확대
:0\to H\to E\to G\to0
들의 동형류와 일대일 대응한다.

나머지 고차 Ext 함자는 모두 0이다.
:\operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z}(G,H)=0\qquad\forall n\ge2

또한, 임의의 나눗셈군 H에 대하여
:\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)=0
이다. 특히, 유리수의 군 \mathbb Q나 그 몫군 \mathbb Q/\mathbb Z은 나눗셈군이므로
:\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,\mathbb Q)=\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,\mathbb Q/\mathbb Z)=0
이다.

### 리 대수 코호몰로지

리 대수 코호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Ext 함자와 같다. 이를 통해 리 군의 드람 코호몰로지를 계산할 수 있다.

### 층 코호몰로지
위상 공간 X 위의 아벨 군층 \mathcal F의 층 코호몰로지는 다음과 같이 Ext 함자의 특수한 경우이다.
:\operatorname H^\bullet(X,\mathcal F) = \operatorname{Ext}^\bullet(\underline{\mathbb Z},\mathcal F)
여기서
* Ext 함자는 X 위의 아벨 군층의 아벨 범주에서 취한 것이다.
* \underline{\mathbb Z}는 정수환 값의 상수층이다.

스킴 X 위의 구조층의 코호몰로지에 대하여 다음이 성립한다.
:\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_X,\mathcal O_X) = \operatorname H^1(X,\mathcal O_X)

## 어원
‘Ext’는 (확대)의 약자다. 이는 Ext 함자가 군의 확대와 관련있기 때문이다. 아벨 군 G를 다른 아벨 군 H로 확대한다면, 가능한 확대들은 \operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)와 일대일 대응한다.

## 같이 보기
* Tor 함자
* 그로텐디크 군
* 호몰로지 차원

## 각주

* 
* 

## 외부 링크
* 
* 
* 
* 

분류:호몰로지 대수학
분류:이항연산