보렐 집합

측도론에서 **보렐 집합**(Borel集合, )은 열린집합들로부터 가산 합집합 · 가산 교집합 · 차집합 연산을 가산 번 반복하여 만들 수 있는 집합이다.

## 정의
위상 공간 (X,\mathcal U)의 **보렐 시그마 대수**(Borelσ代數, ) \mathcal B(X) 또는 \boldsymbol\Delta_1^1(X)는 열린집합들의 집합 \mathcal U를 포함하는 최소의 시그마 대수이다.
(후자의 기호는 사영 위계의 표기법에서 유래한다.) X의 **보렐 집합**은 그 보렐 시그마 대수의 원소이다. 즉, 열린집합으로부터 가산 번의 가산 합집합·가산 교집합·차집합 연산을 사용하여 정의할 수 있는 집합이다.

**보렐 측도**(Borel測度, )는 보렐 시그마 대수에 대하여 정의되는 측도이다. 위상 공간 X의 **보렐 가측 공간**()은 보렐 시그마 대수를 갖춘 가측 공간이다.

### 보렐 위계
만약 (X,\mathcal U)가 거리화 가능 공간일 경우, 보렐 시그마 대수 \boldsymbol\Delta^1_1(X)는 초한 귀납법을 사용하여, 구체적으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

임의의 순서수 \alpha>0에 대하여, 다음과 같은 **보렐 위계**(Borel位階, )를 정의하자.
:\boldsymbol\Sigma^0_1(X)=\mathcal U (모든 열린집합들의 집합)
:\boldsymbol\Pi^0_\alpha(X)=\{X\setminus S\colon S\in\boldsymbol\Sigma^0_\alpha\}
:\boldsymbol\Sigma^0_\alpha(X)=\left\{\bigcup_{i\in\mathbb N}X_i\colon
\forall i\in\mathbb N(X_i\in\boldsymbol\Pi^0_{\alpha_i}\land\alpha_i1)
:\boldsymbol\Delta^0_\alpha(X)=\boldsymbol\Sigma^0_\alpha(X)\cap\boldsymbol\Pi^0_\alpha(X)
그렇다면 다음이 성립한다.
* \bigcup_{\alpha
* 임의의 순서수 \alpha>0에 대하여, \boldsymbol\Sigma^0_\alpha(X)\cup\boldsymbol\Pi^0_\alpha(X)\subseteq\boldsymbol\Delta^0_{\alpha+1}(X)

즉, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
:\begin{matrix}&&\boldsymbol\Sigma^0_1&&&&\boldsymbol\Sigma^0_2&&&\cdots\\
&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&\searrow\\
\boldsymbol\Delta^0_1&&&&\boldsymbol\Delta^0_2&&&&\boldsymbol\Delta^0_3&\cdots\\
&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow\\
&&\boldsymbol\Pi^0_1&&&&\boldsymbol\Pi^0_2&&&\cdots
\end{matrix}
여기서 A\to B는 A\subseteq B를 의미한다.

보렐 위계의 일부 단계의 원소들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

## 성질
### 연산에 대한 닫힘
두 위상 공간 X,Y 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y는 (보렐 시그마 대수에 대하여) 가측 함수이다. 즉, 보렐 집합 S\subseteq Y의 원상 f^{-1}(S)\subseteq X은 보렐 집합이다. (반면, 만약 X=Y=\mathbb R일 경우, 르베그 가측 집합의 연속 함수에 대한 원상은 일반적으로 르베그 가측 집합이 아니다.) 보렐 집합의 연속 함수에 대한 상은 보렐 집합이 아닐 수 있다. 만약 X와 Y가 폴란드 공간이라면, 보렐 집합의 상은 해석적 집합이다.

다음이 성립한다.

### 보렐 집합의 수
폴란드 공간 X의 보렐 집합의 수는 다음과 같다.
:|\boldsymbol\Delta^1_1(X)|=
2^{\min\{|X|,\aleph_0\}}


**증명:**

가산 폴란드 공간은 이산 공간이므로 자명하다. 따라서, X가 비가산 폴란드 공간(즉, \mathbb R)라고 하자.

보렐 시그마 대수의 초한 귀납법 작도를 생각하자. 이 경우 |\boldsymbol\Sigma^0_1(\mathbb R)|=2^{\aleph_0}이며, 초한 귀납법의 각 단계에서
:(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}
이므로 집합의 크기는 2^{\aleph_0}을 초과하지 않는다.


반면, 실수의 르베그 가측 집합의 수는
:|\mathcal L(\mathbb R)|=2^{2^{\aleph_0}}
이다. 이는 크기가 2^{\aleph_0}이며 측도가 0인 보렐 집합(예를 들어, 칸토어 집합)이 존재하며, 측도가 0인 보렐 집합의 모든 부분 집합은 르베그 가측 집합이기 때문이다.

### 분리 정리
**[[루진-노비코프 분리 정리]]**에 따르면, 임의의 폴란드 공간 X 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 \{A_i\}_{i\in I}\subseteq\boldsymbol\Sigma^1_1(X), |I|\le\aleph_0에 대하여, 만약 \textstyle\bigcap_{i\in I}A_i=\varnothing이라면, \forall i\in I\colon B_i\supseteq A_i이자 \textstyle\bigcap_{i\in I}B_i=\varnothing인 보렐 집합들의 집합족 \{B_i\}_{i\in I}\subseteq\boldsymbol\Delta^1_1(X)이 존재한다.

### 베르 범주와의 관계
임의의 위상 공간 X의 임의의 제1 범주 집합 M\subseteq X에 대하여, M\subseteq\tilde M\in\boldsymbol\Sigma^0_2(X)인 제1 범주 집합 \tilde M이 존재한다.

**증명:**

정의에 따라, M은 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합 \{M_i\}_{i\in\mathbb N}들의 합집합으로 나타낼 수 있다.
:M=\bigcup_{i\in\mathbb N}M_i
조밀한 곳이 없는 집합의 폐포는 (자명하게) 조밀한 곳이 없는 집합이므로,
:\tilde M=\bigcup_{i\in\mathbb N}\operatorname{cl}(M_i)
로 놓으면 자명하게 M\in\tilde M\in\boldsymbol\Sigma^0_2(X)이다.

준열린집합들의 집합족 \operatorname{BP}(X)은 열린집합과 제1 범주 집합을 포함하는 최소의 시그마 대수이므로, 모든 보렐 집합은 준열린집합이다.
:\boldsymbol\Delta^1_1(X)\subseteq\operatorname{BP}(X)

## 예
수학에 등장하는 대부분의 집합은 보렐 집합이다. 예를 들어, 실수 집합 \mathbb R 속의 다음과 같은 부분 집합들의 보렐 위계에서의 위치는 다음과 같다.
* 공집합 \varnothing: \boldsymbol\Delta^0_1(\mathbb R)
* 실수 집합 \mathbb R: \boldsymbol\Delta^0_1(\mathbb R)
* 양의 실수 집합 \mathbb R^+: \boldsymbol\Sigma^0_1(\mathbb R)
* 음이 아닌 실수 집합 \mathbb R_{\ge0}: \boldsymbol\Pi^0_1(\mathbb R)
* 정수 집합 \mathbb Z: \boldsymbol\Pi^0_1(\mathbb R)
* 유리수 집합 \mathbb Q: \boldsymbol\Sigma^0_2(\mathbb R)
* 무리수 집합 \mathbb R\setminus\mathbb Q: \boldsymbol\Pi^0_2(\mathbb R)

### F<sub>σ</sub> 집합이 아닌 열린집합
거리화 가능 공간의 모든 열린집합은 Fσ 집합이다. 그러나 이는 일반적인 위상 공간에서는 성립하지 않는다. 최소 비가산 순서수 \omega_1은 순서 위상을 부여하면 위상 공간을 이룬다. U가 \omega_1의 고립점들의 집합이라고 하자. 그렇다면 U는 열린집합이며 비가산 집합이다. 반면 \omega_1은 가산 콤팩트 공간이므로, 닫힌집합은 유한 집합과 동치이며, 따라서 U는 Fσ 집합이 아니다.

### 보렐 집합이 아닌 집합
실수선 \mathbb R에서 존재하는, 보렐 집합이 아닌 집합의 예로는 다음을 들 수 있다. (반면, 르베그 가측 집합이 아닌 집합의 존재는 선택 공리를 필요로 하므로, 구체적인 예를 들 수 없다.)

집합 A\subseteq\mathbb R가 다음 조건을 만족시키는 무리수들의 집합이라고 하자.
* a\in A의 연분수 표현}}}}의 계수 a_i 가운데, a_{k_i}\mid a_{k_{i+1}}인 부분 수열 a_{k_0},a_{k_1},\ldots이 존재한다.
그렇다면 A는 보렐 집합이 아닌 해석적 집합이다.

## 역사
보렐 집합의 개념은 에밀 보렐이 1905년에 도입하였다.

"Fσ 집합"이라는 용어에서, F는 (닫힌집합)의 머리글자이며, σ는 (합집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다. 마찬가지로, "Gδ 집합"이라는 용어에서, G는 (근방)의 머리글자이며, δ는 (교집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다.

## 각주

## 외부 링크
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## 같이 보기
* 기술적 집합론
* 해석적 집합
* 사영 집합

분류:위상수학
분류:집합론
분류:기술적 집합론