삼각 적분 함수

오른쪽|섬네일|Si(x) (파랑), Ci(x) (녹색)의 그래프
**삼각 적분 함수**()은 삼각 함수의 변형의 적분들을 묶어서 말하는 것이다. 일반적인 삼각 함수의 적분은 적분표에서 볼 수 있으나 약간만 변형해도 비초등함수가 됨이 알려져 있다.

## 사인 적분 함수
섬네일|오른쪽|0&nbsp;≤&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;8π에 대한 '''Si(''x'')'''의 그래프
여러 다른 사인 적분 함수의 정의에는 다음이 있다.

:{\rm Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt

:{\rm si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt

{\rm Si}(x) 은\sin x/x의 x=0에서 시작하는 정적분이며, {\rm si}(x)은 \sin x/x의 x=\infty에서 끝나는 정적분이다.

여기서 \frac{\sin t}{t}는 싱크 함수혹은 0번째 구면 베셀 함수이다.

x=\infty이면 디리클레 적분이 된다.

## 코사인 적분 함수
섬네일|오른쪽|0&nbsp;<&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;8π에 대한 '''Ci(''x'')'''의 그래프.
여러 다른 코사인 적분 함수의 정의에는 다음이 있다.

:{\rm Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x\frac{\cos t-1}{t}\,dt

:{\rm ci}(x) = -\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt

:{\rm Cin}(x) = \int_0^x\frac{1-\cos t}{t}\,dt

{\rm ci}(x)은 x=\infty에서 끝나는 \cos x/x의 정적분이다.
다음이 성립한다.

:{\rm ci}(x)={\rm Ci}(x)\,
:{\rm Cin}(x)=\gamma+\ln x-{\rm Ci}(x)\,

## 쌍곡사인 적분 함수
쌍곡사인 적분 함수는 다음과 같이 정의된다.

:{\rm Shi}(x) = \int_0^x\frac{\sinh t}{t}\,dt = {\rm shi}(x).

그리고 이 함수의 테일러 급수는 다음과 같다.
:{\rm Shi}(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^2(2n)!}=x+\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}+\frac{x^7}{7! \cdot7}+\cdots.

## 쌍곡코사인 적분 함수
쌍곡 코사인 적분함수는 다음과 같이 정의된다.

:{\rm Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt = {\rm chi}(x)

여기서 \gamma는 오일러-마스케로니 상수이다.

## 전개
삼각 적분 함수의 계산을 위해 다양한 전개가 사용된다.

### 점근 전개(asymptotic expansion)
:{\rm Si}(x)=\frac{\pi}{2}
                 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\cdots\right)
                 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\cdots\right)
:{\rm Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\cdots\right)
                   -\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+\cdots\right)

이 급수는 점근 전개(asymptotic expansion)이고 발산한다. 하지만 ~{\rm Re} (x) \gg 1~인 경우에도 근사값을 구하는데 이용할 수 있다.

### 수렴 급수
:{\rm Si}(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots
:{\rm Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots

이 급수는 모든 복소수 ~x~에 대해 수렴하며, |x|\gg 1 이어도 점점 느리게 수렴하지만 고정밀도의 계산을 하려면 많은 항이 필요하다.

## [[지수 적분 함수]]의 허수부와 관계
아래의 함수는 지수 적분 함수라고 불리며
:  {\rm E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{\exp(-zt)}{t}\,{\rm d} t \qquad({\rm Re}(z) \ge 0) 

Si 와 Ci와 관련이 있다.:

:
{\rm E}_1( {\rm i}\!~ x) = i\left(-\frac{\pi}{2} + {\rm Si}(x)\right)-{\rm Ci}(x) = i~{\rm si}(x) - {\rm ci}(x) \qquad(x>0)

x에 음수를 넣지 않는한, 두 함수는 해석적이다. 유효한 구간의 면적은 x의 실수부가 양수인 {\rm Re}(x)>0 구간으로 확장할 수 있다. 이 범위를 벗어나면, \pi의 정수배 항이 등장한다.

일반화된 지수 적분 함수에 허수를 대입했을 때는 다음과 같다.

: 
\int_1^\infty \cos(ax)\frac{\ln x}{x} \, dx =
-\frac{\pi^2}{24}+\gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2a}{2}
+\sum_{n\ge 1}\frac{(-a^2)^n}{(2n)!(2n)^2},


이것은 아래 식의 실수부이다.

: 
\int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x} \, dx = -\frac{\pi^2}{24} + \gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2 a}{2}-\frac{\pi}{2}i(\gamma+\ln a) + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^n}{n!n^2}.


비슷하게

: 
\int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x^2}dx
=1+ia[-\frac{\pi^2}{24}+\gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a-1\right)+\frac{\ln^2 a}{2}-\ln a+1
-\frac{i\pi}{2}(\gamma+\ln a-1)]+\sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^2}.


## 같이 보기
* 지수 적분 함수
* 로그 적분 함수

### 신호 처리
* Gibbs phenomenon
* Ringing artifacts

## 각주

* 
* 
* 
* , Appendix B.
* Sine Integral Taylor series proof. 

분류:특수 함수
분류:적분
분류:특수 초기하함수