스펙트럼 (함수해석학)

함수해석학에서, 유계 작용소 또는 바나흐 대수의 원소의 **스펙트럼**()은 그 고윳값의 집합을 일반화한 개념이다.

## 정의
가환환 R 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수 A의 원소 a\in A의 **분해 집합**(分解集合, )은 다음과 같은 집합이다.
:\rho(a)=\left\{\lambda\in R\colon
\lambda-a\in\operatorname{Unit}(A)\right\}
여기서 \operatorname{Unit}(A)는 A의 가역원군이다. 즉, \lambda-a가 가역원이 되는 스칼라 \lambda들의 집합이다. 분해 집합의 여집합을 a의 **스펙트럼** \sigma(a)라고 한다.
:\sigma(a)=R\setminus\rho(a)
=\left\{\lambda\in R\colon\lambda-a\not\in\operatorname{Unit}(A)\right\}\subseteq R\qquad(a\in A)

이 경우, 원소 (\lambda-a)^{-1}\in A를 a의 \lambda에서의 **분해식**(分解式, )이라고 한다.

\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}가 실수체 또는 복소수체이며, A가 \mathbb K-결합 대수라고 하자. 이 경우, 원소 a\in A의 **스펙트럼 반지름**(spectrum半지름, )은 그 스펙트럼의 절댓값의 상한이다.
:\operatorname{spec\,rad}(a)=\sup_{\lambda\in\sigma(a)}|\lambda|
만약 A가 \mathbb K-바나흐 대수라면, 그 원소의 스펙트럼은 항상 콤팩트 집합이므로, 이 경우 상한은 최댓값이 된다.

### 유계 작용소의 스펙트럼
\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}가 실수체 또는 복소수체라고 하자. \mathbb K-바나흐 공간 V 위의 유계 작용소의 집합 \operatorname B(V,V)는 \mathbb K-바나흐 대수를 이루며, 이에 대하여 분해 집합과 스펙트럼의 개념을 정의할 수 있다. 일반적으로, 열린 사상 정리에 따라서 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소의 역함수는 유계 작용소이다. 즉, \operatorname B(V,V)의 원소가 가역원인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다.

바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 추상적인 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼보다 더 구체적으로 분석될 수 있다. 즉, \mathbb K-바나흐 공간 V 위의 유계 작용소 T\colon V\to V의 스펙트럼 \sigma(T)는 다음과 같은 분리합집합으로 분해된다.
:\sigma(T)=\sigma_\text{p}(T)\sqcup\sigma_\text{r}(T)\sqcup\sigma_\text{c}(T)
이 성분들은 각각
* **점 스펙트럼**(點spectrum, ) \sigma_\text{p}(T)
* **잔여 스펙트럼**(殘餘spectrum, ) \sigma_\text{r}(T)
* **연속 스펙트럼**(連續spectrum, ) \sigma_\text{c}(T)
이며, 다음과 같다.

어떤 수 \lambda\in\mathbb K에 대하여  \lambda\in\sigma(T)이려면 T-\lambda가 전단사 함수이지 않아야 한다. 즉, 다음 "문제" 가운데 적어도 하나가 발생해야 한다.
* T-\lambda가 단사 함수가 아니다. 이러한 \lambda들의 집합을 **점 스펙트럼** \sigma_\text{p}(T)라고 한다. 이 경우 \lambda는 T의 **[[고윳값]]**이며, Tv=\lambda v인 **[[고유 벡터]]** v\in V가 존재한다.
* T-\lambda가 단사 함수이지만, 전사 함수가 아니다.
** T-\lambda는 단사 함수이지만 그 상이 조밀 집합이 아니다. 이러한 \lambda들의 집합을 **잔여 스펙트럼** \sigma_\text{r}(T)라고 한다.
** T-\lambda는 단사 함수이며 그 상이 조밀 집합이지만 전사 함수가 아니다. 이러한 \lambda들의 집합을 **연속 스펙트럼** \sigma_\text{c}(T)라고 한다. 이 경우, (T-\lambda)^{-1}\colon (T-\lambda)(V)\to V는 V의 조밀 집합 (T-\lambda)(V) 위에 정의되는, 비유계 작용소이다.

## 성질
복소수 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼은 공집합이 아니다.

**증명:**

복소수 바나흐 대수 A의 원소 a\in A가 주어졌다고 하고, 귀류법을 사용하여 \sigma(a)=\varnothing이라고 하자. 또한, 연속 쌍대 공간 A'의 임의의 원소 f\in A'를 고르자.

그렇다면, 이제 함수
:h\colon\mathbb R^+\to\mathbb C
:h\colon r\mapsto\int_0^{2\mathrm\pi}f\left((r\exp(\mathrm i\theta)-a)^{-1}\right)\mathrm d\theta
를 정의하자. 그렇다면,
:
\begin{aligned}
\frac{\mathrm dh}{\mathrm dr}&=\int_0^{2\pi}
\frac\partial{\partial r}f\left((r\exp(\mathrm i\theta)-a)^{-1}\right)\mathrm d\theta\\
&=
\int_0^{2\pi}
f(a(r^2\exp(2\mathrm i\theta))\exp(\mathrm i\theta)\mathrm d\theta\\
&=
\frac1{\mathrm ir}
\int_0^{2\pi}
f(a(r^2\exp(2\mathrm i\theta))\mathrm ir\exp(\mathrm i\theta)\mathrm d\theta\\
&=
\frac1{\mathrm ir}
\int_0^{2\pi}
\frac\partial{\partial\theta}f\left((r\exp(\mathrm i\theta)-a)^{-1}\right)\mathrm d\theta\\
&=0
\end{aligned}

이다. (이는 피적분 함수가 \mathcal C^1이므로 가능하다.) 즉, h는 상수 함수이며, 그 값은
:\lim_{r\to0}h(r)=-2\pi f(a^{-1})
이다.

이제, 임의의 r>\|a\|에 대하여
:2\pi|f(a^{-1})|=|h(r)|
\le \int_0^{2\pi}|f\left((r\exp(\mathrm i\theta)-a)^{-1}\right)\mathrm d\theta
\le 2\pi \frac{\|f\|}{r-\|a\|}
가 되므로, 사실 f(a^{-1})=0이어야만 한다. 즉, 임의의 f\in A'에 대하여 f(a^{-1})=0이어야만 한다. 그런데 a^{-1}\ne0이므로 이는 참일 수 없으며, 모순이다.

복소수 바나흐 대수 A의 원소 a\in A의 스펙트럼 반지름은 다음과 같은 **겔판트 공식**()에 의하여 주어진다.
:\operatorname{spec\,rad}(a)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|a^n\|}
(반면, 유한 또는 무한 차원 실수 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 공집합일 수 있다.)

\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}에 대하여, \mathbb K-바나흐 공간 위의 유계 작용소 T의 스펙트럼은 항상 \mathbb K 속의 콤팩트 집합이다. 특히
:|\lambda|\le\|T\|\qquad(\forall\lambda\in\sigma(T))
이다. 여기서 \|T\|는 작용소 노름이다.

### 유한 차원
V=\mathbb K^n가 유한 차원 \mathbb K-바나흐 공간이라고 하자. 그렇다면, \mathbb K-선형 변환 V\to V가 단사 함수이거나 전사 함수인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다 (차원 정리). 이에 따라, 유한 차원 \mathbb K-바나흐 공간 위의 작용소의 경우 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다.

특히, 선형 변환 T\colon V\to V(즉, 행렬)의 스펙트럼 반지름은 그 고윳값들의 절댓값 가운데 가장 큰 것이다.

### 콤팩트 작용소
복소수 바나흐 공간 V 위의 콤팩트 작용소 T\colon V\to V의 경우, 다음이 성립한다.
* 연속 스펙트럼은 항상 공집합 또는 \{0\}이다.
* 잔여 스펙트럼은 항상 공집합 또는 \{0\}이다.
즉, 스펙트럼은 0을 제외하고는 모두 점 스펙트럼(고윳값)으로 구성된다.

### 정규 작용소
복소수 힐베르트 공간 위의 정규 작용소의 잔여 스펙트럼은 공집합이다.

복소수 힐베르트 공간 V 위의 정규 작용소 T\colon V\to V의 스펙트럼 반지름은 다음과 같다.
:\operatorname{spec\,rad}(T)=\sup_{v\in V\setminus\{0\}}\frac{\langle v,v\rangle}
보다 일반적으로, 위 등식의 우변을 유계 작용소의 **수치 반지름**(數値半지름, )이라고 하며, 스펙트럼 반지름이 수치 반지름과 일치하는 유계 작용소를 **스펙트럼형 작용소**(spectrum型作用素, )라고 한다.

### 분해식
\mathbb K-바나흐 대수 A의 원소 a\in A 및 z\in\rho(a)에 대하여, 만약 \|a\|라면, 분해식의 다음과 같은 **노이만 급수**(Neumann級數, )가 (노름으로 정의되는 거리 위상에서) 수렴한다.
:\frac1{z-a}=\frac1z\sum_{n=0}^\infty (a/z)^n

**증명:**

위 급수는 당연히 코시 열이며, A가 바나흐 대수(즉, 완비 거리 공간)이므로 이는 수렴한다.


## 예
### 행렬
실수 행렬
:\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
는 \mathbb R^2 위의 작용소로서 스펙트럼이 공집합이다. 그러나 이는 \mathbb C^2 위의 작용소로서 점 스펙트럼 \{\pm\mathrm i\}를 갖는다.

### 시프트
복소수 힐베르트 공간 V=\ell^2(\mathbb C)를 생각하자. 그렇다면 사상
:T\colon(x_1,x_2,\dots)\mapsto(0,x_1,x_2,\dots)
은 유계 작용소이며, 사실 콤팩트 작용소이다. T는 고윳값을 가지지 않지만, T는 전사 함수가 아니므로 T의 스펙트럼은 \{0\}이다. 이 경우, T의 상은 사실 조밀 집합조차 아니므로, 이 0은 잔여 스펙트럼에 속한다.

### 곱셈
임의의 1\le p\le\infty에 대하여, 측도 공간 (X,\Sigma,\mu) 위의 르베그 공간
:V=\operatorname L^p(X,\Sigma,\mu;\mathbb K)
는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다. 그 위의 가측 함수
:f\colon (X,\Sigma)\to (\mathbb K,\mathcal B(\mathbb K))
의 상이 유계 집합이라고 하자. (물론, 어떤 영집합 N\subseteq X에 대하여 f\restriction(X\setminus N)의 상이 유계 집합인 것만으로도 족하다.) 여기서 \mathcal B(\mathbb K)는 보렐 시그마 대수이다. 그렇다면, 점별 곱셈으로 정의되는 작용소
:T_f\colon V\to V
:T_f\colon g\mapsto fg
는 \mathbb K-유계 작용소이다.

이제, 집합
:\operatorname{ess\,ran}f\subseteq\mathbb K
를 다음과 같이 정의하자.
:
\lambda\in\operatorname{ess\,ran}f
\overset{\text{def}}\iff
\forall\epsilon\in\mathbb R^+\colon \mu\left(f^{-1}(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,\epsilon))\right)>0
그렇다면, \operatorname{ess\,ran}f=\sigma(T_f)이다.

**증명 (<math>\operatorname{ess\,ran}f\supseteq\sigma(T_f)</math>):**

임의의 \lambda\in\mathbb K\setminus\operatorname{ess\,ran}f가 주어졌다고 하자. 즉, 정의에 따라
:\mu\left(f^{-1}(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,\epsilon))\right)=0
인 양의 실수 \epsilon>0이 존재한다.

그렇다면, 가측 함수
:g\colon(X,\Sigma)\to(\mathbb K,\mathcal B(\mathbb K))
:g\colon x\mapsto \frac1{\lambda-f(x)}
를 생각하자. 그렇다면,
:T_g\circ(\lambda-T_f)=1
이다. 따라서 \lambda\in\rho(T_f)이다.


**증명 (<math>\operatorname{ess\,ran}f\subseteq\sigma(T_f)</math>, <math>p<\infty</math>):**

임의의 \lambda\in\operatorname{ess\,ran}f가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열
:g_n=\frac1\chi_{f^{-1}\left(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,1/n)\right)}\in\operatorname L^p(X,\Sigma,\mu;\mathbb K)\qquad(n\in\mathbb Z^+)
을 정의하자. (여기서 \chi는 지시 함수이다.)

그렇다면,
:\left(\|(\lambda-T_f)g_n\|_{\operatorname L^p}\right)^p
=\frac1{\mu\left(f^{-1}\left(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,1/n)\right)\right)}
\int_{f^{-1}\left(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,1/n)\right)}
|\lambda-f|^p\mathrm d\mu
\le\frac1{n^p}

이므로, 특히
:\lim_{n\to\infty}\|(\lambda-T_f)g_n\|_{\operatorname L^p}=0
이다. 이에 따라, \lambda-T_f의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.


**증명 (<math>\operatorname{ess\,ran}f\subseteq\sigma(T_f)</math>, <math>p=\infty</math>):**

임의의 \lambda\in\operatorname{ess\,ran}f가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열
:g_n=\chi_{f^{-1}\left(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,1/n)\right)}\in\operatorname L^\infty(X,\Sigma,\mu;\mathbb K)\qquad(n\in\mathbb Z^+)
을 정의하자. (여기서 \chi는 지시 함수이다.)

그렇다면,
:\|(\lambda-T_f)g_n\|_{\operatorname L^\infty}
=\operatorname{ess\,sup}\left(|\lambda-f|\restriction f^{-1}\left(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,1/n)\right)\right)
\le 1/n
이므로, 특히
:\lim_{n\to\infty}\|(\lambda-T_f)g_n\|_{\operatorname L^\infty}=0
이다. 이에 따라, \lambda-T_f의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.

그 스펙트럼의 분해는 다음과 같다.
:임의의 \lambda\in\operatorname{ess\,ran}f에 대하여, 만약 \mu^{-1}(\{\lambda\})>0이라면, \lambda\in\sigma_{\text{p}}(T_f)이며, 만약 그렇지 않다면 \lambda\in\sigma_{\text{c}}(T_f)이다. 특히, T_f는 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다.

**증명 (<math>\mu(f^{-1}(\{\lambda\}))>0\implies\lambda\in\sigma_{\text{p}}(T_f)</math>):**

지시 함수 \chi_{f^{-1}(\{\lambda\})}는 \lambda의 고유 벡터이다.


**증명 (<math>\mu(f^{-1}(\{\lambda\}))=0\implies\lambda\in\sigma_{\text{c}}(T_f)</math>):**

임의의
:g\in\operatorname L^p(X,\Sigma,\mu;\mathbb K)
에 대하여, 다음과 같은 가측 함수의 열을 정의하자.
:h_n=\frac g{\lambda-f}\chi_{X\setminus f^{-1}(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,1/n))}
\qquad(n\in\mathbb Z^+)

여기서 \chi는 지시 함수이다.

그렇다면, 지배 수렴 정리에 따라
:(\lambda-T_f)h_n\,\overset{\operatorname L^p}\to\, g
이다. 즉, \lambda-T_f의 상은 항상 조밀 집합이다.


### 결합 대수
가환환 R를 스스로 위의 결합 대수로 간주하였을 때, 원소 r\in R의 스펙트럼은
:\sigma(r)=R\setminus(r+\operatorname{Unit}(R))
이다. (여기서 \operatorname{Unit}(R)=\{r\in R\colon\exists r^{-1}\}는 가역원군이다.)

사원수 대수 \mathbb H는 실수 바나흐 대수를 이루며, 사원수 a\in\mathbb H의 스펙트럼은 다음과 같다.
:\sigma(a;\mathbb R)=\mathbb R\cap\{a\}
(특히, 만약 a\not\in\mathbb R\subseteq\mathbb H이라면 \sigma(a)=\varnothing이다.)

마찬가지로, 복소수체 \mathbb C를 실수 바나흐 대수로 간주하였을 때, z\in\mathbb C의 스펙트럼은 다음과 같다.
:\sigma(z;\mathbb R)=\mathbb R\cap\{z\}
(특히, 만약 z\not\in\mathbb R\subseteq\mathbb H이라면 \sigma(z)=\varnothing이다.) 물론, \mathbb C를 복소수 바나흐 대수로 간주하였을 때, \sigma(z;\mathbb C)=\{z\}이다.

### 연속 함수 대수
콤팩트 하우스도르프 공간 X 위의 \mathbb K-바나흐 대수 \mathcal C^0(X,\mathbb K)의 원소 f\in\mathcal C^0(X,\mathbb K)의 스펙트럼은 그 상이다.
:\sigma(f)=\{f(x)\colon x\in X\}\subseteq\mathbb K

## 역사
유계 작용소의 분해식의 노이만 급수는 에리크 이바르 프레드홀름이 1903년에 최초로 사용하였다.

"스펙트럼"()과 "분해식"()이라는 용어는 다비트 힐베르트가 도입하였다. "스펙트럼"이라는 용어는 작용소의 스펙트럼을 물리학의 원자 스펙트럼 등에 비유한 것이다.

## 응용
양자역학에서, 복소수 힐베르트 공간
:\mathcal H=\mathcal L^2(\mathbb R;\mathbb C)
위에 매끄러운 함수인 퍼텐셜
:V\colon \mathbb R\to\mathbb R
이 주어졌으며,
:\inf_{x\in\mathbb R}V(x)>\infty
이라고 하자. 이 경우, 해밀토니언 연산자
:H=-\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}+V(x)
를 \mathcal H의 조밀 집합 위에 정의할 수 있으며, 이에 따라 임의의 양이 아닌 실수 성분을 갖는 복소수
:\alpha\in\mathbb C,\;\Re(\alpha)\le0
에 대하여 유계 작용소
:\exp(\alpha H)\colon\mathcal H\to\mathcal H
를 정의할 수 있다. 이는 정규 작용소이며, 따라서 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 또한, 그 스펙트럼은 항상
:\sigma(\exp(\alpha H))=\{\exp(\alpha E)\colon E\in\mathbb R\}
의 꼴이다. 이에 따라, E를 H의 스펙트럼으로 여길 수 있다.

\Re(\alpha)의 경우, \exp(\alpha H)의 점 스펙트럼은 대략 퍼텐셜에 대한 속박 상태를 나타내고, 연속 스펙트럼은 자유 상태를 나타낸다.

## 같이 보기
* 자기 수반 작용소
## 각주

## 외부 링크
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분류:스펙트럼 이론