사다리 연산자

양자역학에서 **사다리 연산자**()는 어떤 연산자의 한 고유벡터를 다른 고유벡터로 바꾸는 연산자다. 고윳값을 증가시키는 **올림 연산자**()와 감소시키는 **내림 연산자**()가 있다. 이를 써서 주어진 연산자의 한 고유벡터로부터 다른 모든 고유벡터를 찾는다.

## 정의
주어진 에르미트 연산자 N에 대하여, 연산자 X가 다음과 같은 교환 관계를 갖는 경우 X를 N의 **사다리 연산자**라고 한다.
:[N, X] = c X
여기서 *c*는 어떤 실수이다.

사다리 연산자는 *N*에 대한 고윳값이 *n* 인 고유벡터 |*n*〉의 고유값을 *c* 만큼 변화시키는 역할을 한다.
:
\begin{align}
NX|n\rangle &= (XN+[N,X])|n\rangle\\
&= XN|n\rangle + [N,X]|n\rangle\\
&= Xn|n\rangle + cX|n\rangle\\
&= (n+c)X|n\rangle.
\end{align}

즉,
:X |n\rangle\sim|n+c\rangle
이다. *c* 가 양수인 경우 X는 고유벡터의 고유값을 증가시키기 때문에 X를 올림 연산자, *c*가 음수인 경우 X는 고유벡터의 고유값을 감소시키기 때문에 X를 내림 연산자라 한다.

사다리 연산자 X의 에르미트 수반 연산자 X^\dagger 또한 사다리 연산자이며
:[N,X^\dagger]=-cX^\dagger
고유벡터의 고유값을 X의 반대방향인 -*c*만큼 변화시키는 역할을 한다.

사다리 연산자가 존재하면, N의 특정 고유벡터로부터 사다리 연산자를 사용해 다른 고유벡터를 유추할 수 있다. 예를 들어, c 이며 N의 최대 고윳값을 가진 고유벡터 |n_{\text{max}}\rangle가 알려져 있으면 다른 상태들을 내림 연산자 X를 사용하여
:|n\rangle,X |n\rangle, X ^2|n\rangle,\cdots
와 같이 유추할 수 있다. 최소 고윳값의 경우도 반대로 올림 연산자X^\dagger를 사용하여 마찬가지로 나머지 상태들을 알아낼 수 있다.

## 예
### 양자 조화 진동자

사다리 연산자의 가장 단순한 예는 정준 교환 관계
:[x,p]=i
의 표현이다. 이는 하이젠베르크 군의 리 대수에 해당한다. 이 경우, **소멸 연산자** a와 **생성 연산자** a^\dagger 및 **입자수 연산자** N을 다음과 같이 정의하자.
:a=(x+ip)/\sqrt2
:a^\dagger=(x-ip)/\sqrt2
:N=a^\dagger a
여기서 N은 (질량과 각진동수를 1로 놓은) 양자 조화 진동자의 진동 모드 수이며, x와 p는 그 위치 및 운동량이다. 그렇다면
:[N,a]=-a
:[H,a^\dagger]=a^\dagger
:[a,a^\dagger]=1
이다. 따라서, N의 고유벡터 |n\rangle이 주어지면
:a^\dagger|n\rangle\propto|n+1\rangle
:a|n\rangle\propto|n-1\rangle
:N|n\rangle=n|n\rangle
이 된다. 즉, 바닥 상태 |0\rangle으로부터 생성 연산자를 가해, 하이젠베르크 군의 표현을 지을 수 있다.
:\mathcal H=\operatorname{Span}\left\{|0\rangle,a^\dagger|0\rangle,(a^\dagger)^2|0\rangle,\dots\right\}

### 각운동량

양자역학에서, 각운동량의 이론은 회전군 SO(3) 또는 Spin(3)=SU(2)의 군 표현론에 의하여 결정된다. 이 경우, 각운동량 연산자 J_1,J_2,J_3은 SU(2)의 리 대수
:[J_i,J_j]=i\epsilon^{ijk}J_k
를 따른다. 이 경우, 다음과 같은 사다리 연산자를 정의한다.
:J_+ = J_1 + iJ_2,
:J_- = J_1 -  iJ_2=(J_+)^\dagger
그렇다면 이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다.
:[J_3,J_\pm] = \pm J_\pm
따라서, 상태들을 J_3의 고유상태 |m\rangle로 나타내면,
:J_\pm|m\rangle\propto|m\pm1\rangle
이 된다. **최고 스핀 상태** |l\rangle는 J_+로 상쇄되는 상태이다.
:J_+|l\rangle=0
그렇다면 최고 스핀 상태로부터 시작하여, 내림 연산자를 가해 SU(2)의 표현을 지을 수 있다.
:\mathcal H=\operatorname{Span}\left\{|l\rangle,J_-^\dagger|0\rangle,(J_-)^2|0\rangle,\dots\right\}
SU(2)의 표현이 유한하며 모든 상태가 양의 노름을 가지려면, l은 정수 또는 반정수이며, 또한
:(J_-)^{2l+1}|l\rangle=0
이 되어야 한다. 즉, SU(2)의 유한 차원 유니터리 표현은 최대 각운동량 2l\in\mathbb N에 의해 결정되며, 그 차원은 2l+1이다.

### 단순 리 군
SU(2)에서의 사다리 연산자 기법은 일반적인 단순 리 군의 경우로 일반화시킬 수 있다. 이 경우, 리 군의 근계의 각 단순근에 대응하는 올림 및 내림 연산자가 있으며, 리 군의 표현은 그 **최고 무게 상태**()로부터 내림 연산자를 사용하여 지을 수 있다.

### 등각 대수

등각 대칭은 등각 장론이 갖는 시공간 대칭이며, 다음과 같다.
:[D,K_\mu]=-iK_\mu
:[D,P_\mu]=iP_\mu
:[K_\mu,P_\nu]=2i\eta_{\mu\nu}D-2iM_{\mu\nu}
:[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu )
:[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu)
:[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})
따라서, -iD에 대하여,
:[-iD,K_\mu]=-K_\mu
:[-iD,P_\nu]=P_\mu
이므로, 특수 등각 변환 K는 내림 연산자, 운동량 P는 올림 연산자가 된다. 방사 양자화()의 경우 D가 해밀토니언의 역할을 하게 된다. K에 의해 상쇄되는 상태를 **일차 상태**()라고 하며, 이는 D와 M_{\mu\nu}에 대한 고유벡터이다. 일차 상태가 주어지면 나머지 상태들을 일차 상태에 P를 가해 지을 수 있다. 이러한 나머지 상태들을 **이차 상태**()라고 한다.

### 비라소로 대수

비라소로 대수는 2차원 등각 장론의 시공간 대칭이며, 다음과 같다.
:[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac c{12}(m+1)m(m-1)\delta_{m+n}\quad(m,n\in\mathbb Z)
따라서, L_0에 대하여, L_n은 내림 연산자, L_{-n}은 올림 연산자이다 (n>0).
:[L_0,L_n]=-nL_n
:[L_0,L_{-n}]=nL_{-n}
등각 장론에서, 최고 무게 상태는 **일차 상태**() |h\rangle로 알려져 있으며, L_0의 고윳값 h로 나타내어진다.
:L_0|h\rangle=h|h\rangle
:L_n|h\rangle=0\forall n>0
일차 상태가 주어지면, 비라소로 대수의 표현의 나머지 상태들은 올림 연산자 L_{-n}을 가하여 만들 수 있다.
:\mathcal H_h=\operatorname{Span}\{|h\rangle,L_{-1}|h\rangle,L_{-1}^2|h\rangle,L_{-2}|h\rangle,L_{-1}^3|h\rangle,\dots\}
이러한 표현을 비라소로 대수의 **[[베르마 가군]]**이라고 한다.

## 같이 보기
* 양자 조화 진동자
* 슈발레 기저
## 각주

* 

분류:양자역학