계수 (선형대수학)

선형대수학에서, 선형 변환의 **계수**(階數, )는 선형 변환의 비(非) 퇴화 정도를 나타내는 기수이다. 기호는 \operatorname{rank} 또는 \operatorname{rk}.

## 정의
체 K 위의 벡터 공간 V 위의 선형 변환 T\colon V\to V의 **계수** \operatorname{rank}T는 T의 상의 차원이다.
:\operatorname{rank}T=\dim T(V)\in\operatorname{Card}
체 K 위의 m\times n 행렬 A의 **계수** \operatorname{rank}A는 다음과 같은 여러 가지 정의를 가지며, 이들은 모두 서로 동치이다.
* 열벡터의 왼쪽에 A를 곱하는 선형 변환 A\cdot\colon K^n\to K^m의 계수. 즉, 열공간의 차원.
*:\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(A\cdot)=\dim\{Ax\colon x\in K^n\}=\dim\operatorname{Span}\{(A_{1j},\dots,A_{mj})\}_{j=1}^n
* 행벡터의 오른쪽에 A를 곱하는 선형 변환 \cdot A\colon K^m\to K^m의 계수. 즉, 행공간의 차원.
*:\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(\cdot A)=\dim\{x^\operatorname TA\colon x\in K^m\}=\dim\operatorname{Span}\{(A_{i1},\dots,A_{in})\}_{i=1}^m
* 열벡터 집합의 극대 선형 독립 집합의 원소 개수. 즉, 열벡터로 이루어진 선형 독립 집합 가운데, 열벡터를 하나라도 더 추가하면 선형 종속 집합이 되는 것의 원소 개수. 이러한 집합은 항상 존재하며, 일반적으로 유일하지 않다. 그러나 이러한 집합들의 원소 개수는 항상 같다.
*:\operatorname{rank}A=|S|\qquad(S\subseteq\{(A_{1j},\dots,A_{mj})\}_{j=1}^n,\;\forall s\in S\colon s\not\in\operatorname{Span}(S\setminus\{s\}),\;\forall s\in\{(A_{1j},\dots,A_{mj})\}_{j=1}^n\colon s\in\operatorname{Span}(S))
* 행벡터 집합의 극대 선형 독립 집합의 원소 개수. 즉, 행벡터로 이루어진 선형 독립 집합 가운데, 행벡터를 하나라도 더 추가하면 선형 종속 집합이 되는 것의 원소 개수. 이러한 집합은 항상 존재하며, 원소 개수는 항상 같다.
*:\operatorname{rank}A=|S|\qquad(S\subseteq\{(A_{i1},\dots,A_{in})\}_{i=1}^m,\;\forall s\in S\colon s\not\in\operatorname{Span}(S\setminus\{s\}),\;\forall s\in\{(A_{i1},\dots,A_{in})\}_{i=1}^m\colon s\in\operatorname{Span}(S))
* 0이 아닌 소행렬식의 최대 차수
*:\operatorname{rank}A=\max\{|I|=|J|\colon\det(A_{I,J})\ne0,\;I\subseteq\{1,\dots,m\},\;J\subseteq\{1,\dots,n\}\}

## 성질
계수는 행렬의 여러 성질과 관련되며, 계수가 높을수록 행렬의 퇴화 정도가 덜하다. 체 K 위의 m\times n 행렬 A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* A는 영행렬이다.
* \operatorname{rank}A=0
또한, A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* A\cdot\colon x\mapsto Ax는 단사 함수이다.
* \operatorname{rank}A=n
또한, A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* A\cdot\colon x\mapsto Ax는 전사 함수이다.
* \operatorname{rank}A=m
특히, n\times n 행렬 A에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* A는 가역 행렬이다.
* \operatorname{rank}A=n

### 계수-퇴화차수 정리

체 K 위의 m\times n 행렬 A에 대하여, 다음의 **계수-퇴화차수 정리**()가 성립한다.
:\dim\ker A+\operatorname{rank}A=n

### 항등식과 부등식
* 행렬의 계수는 행의 수와 열의 수 이하이다. 즉, 체 K 위의 m\times n 행렬 A에 대하여, 다음이 성립한다.
*:\operatorname{rank}A\le\min\{m,n\}
* 체 K 위의 m\times n 행렬 A, B에 대하여, 다음이 성립한다.
*:\operatorname{rank}(A+B)\le\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B
* 체 K 위의 m\times n 행렬 A 및 n\times p 행렬 B에 대하여, 다음이 성립한다.
*:\operatorname{rank}(AB)\le\min\{\operatorname{rank}A,\operatorname{rank}B\}
* 체 K 위의 m\times n 행렬 A 및 n\times p 행렬 B에 대하여, 다음의 **실베스터 부등식**()이 성립한다.
*:\operatorname{rank}(AB)\ge\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B-n
*체 K 위의 m\times n 행렬 A 및 n\times p 행렬 B 및 p\times q 행렬 C에 대하여, 다음의 **프로베니우스 부등식**()이 성립한다.
*:\operatorname{rank}(ABC)\ge\operatorname{rank}(AB)+\operatorname{rank}(BC)-\operatorname{rank}B
* 실수체 \mathbb R 위의 m\times n 행렬 A에 대하여, 다음이 성립한다.
*:\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}A^\operatorname T
=\operatorname{rank}(A^\operatorname TA)=\operatorname{rank}(AA^\operatorname T)
* 복소수체 \mathbb C 위의 m\times n 행렬 A에 대하여, 다음이 성립한다.
*:\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}\bar A=\operatorname{rank}A^\operatorname T=\operatorname{rank}A^*
=\operatorname{rank}(A^*A)=\operatorname{rank}(AA^*)

## 예
A의 계수를 계산하는 가장 간단한 방법은 가우스 소거법을 이용하는 것이다. 가우스 소거법을 행하여 행렬을 행 사다리꼴 형태로 만들어도 계수는 보존된다. 이때 0이 아닌 행의 숫자가 곧 행렬의 계수가 된다.

예를 들어 다음과 같은 4×4 행렬에서
:
  A =
  \begin{bmatrix}
    2 & 4 & 1 & 3 \\
    -1 & -2 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 2 & 2 \\
    3 & 6 & 2 & 5 \\
  \end{bmatrix}


첫 번째 열과 세 번째 열은 선형독립이지만, 두 번째 열은 첫 번째 열의 두 배와 같고 네 번째 열은 첫 번째 열과 세 번째 열의 합과 같으므로 A의 계수는 2이다. 가우스 소거법을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:
  A =
  \begin{bmatrix}
    1 & 2 & 0 & 1 \\
    0 & 0 & 1 & 1 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
  \end{bmatrix}


이때 0이 아닌 행이 두개임을 확인할 수 있다.

컴퓨터에서 부동소수점 연산을 행할 때 가우스 소거법은 부정확한 결과를 내놓을 확률이 높으므로, 특이값 분해를 통해 계수를 계산할 수 있다. 혹은 가우스 소거법보다 좀 더 안정적이고 특이값 분해보다는 빠른 QR 분해를 사용할 수도 있다.

## 응용
### 동치 표준형
행렬의 동치 표준형은 그 계수에 따라 완전히 결정된다. 즉, 두 행렬이 동치일 필요충분조건은 계수가 같은 것이다. 체 K 위의 m\times n 행렬 A의 동치 표준형은 다음과 같다.
:\begin{pmatrix}I_{\operatorname{rank}A}&0\\0&0\end{pmatrix}

## 같이 보기
* 계수 정리

## 각주

## 외부 링크
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분류:선형대수학