폰 노이만 대수

함수해석학에서 **폰 노이만 대수**(von Neumann代數, )는 어떤 복소수 바나흐 공간의 연속 쌍대 공간으로 나타낼 수 있는 C* 대수이다. 이러한 C* 대수는 항상 적절한 위상에 대하여 닫힌집합을 이루는, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 나타낼 수 있다.

## 정의
폰 노이만 대수의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
* 추상적으로, 폰 노이만 대수는 어떤 특별한 성질을 만족시키는 C* 대수로 정의될 수 있다.
* 구체적으로, 폰 노이만 대수는 어떤 적절한 위상에 대하여 닫힌집합인, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 C* 대수로 정의될 수 있다.
이 두 정의는 서로 동치이다.

### 추상적 정의
C* 대수 \mathcal A가 주어졌다고 하자. 이는 복소수 바나흐 대수, 특히 복소수 바나흐 공간을 이룬다. 만약 \mathcal A\cong V^*가 되는 복소수 바나흐 공간 V가 존재한다면, \mathcal A를 **폰 노이만 대수**라고 한다. (여기서 \cong은 복소수 바나흐 공간 사이의 등거리 복소수 선형 전단사 함수의 존재이며, V^*는 V의 복소수 연속 쌍대 공간이다.)

사실, 이러한 복소수 바나흐 공간 V는 (등거리 복소수 선형 전단사 함수 아래) 유일하다. 이를 \mathcal A의 **원쌍대 공간**()이라고 한다.

### 구체적 정의
복소수 힐베르트 공간 \mathcal H 위의 유계 작용소들의 C* 대수 \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)를 생각하자. 그 부분 집합 \mathcal A\subseteq \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)가 덧셈과 합성과 에르미트 수반과 복소수 스칼라곱에 대하여 닫혀 있으며 항등원을 포함한다고 하자. 이제, 집합
:\mathcal A'=\{T\in\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)\colon\forall A\in\mathcal A\colon TA=AT\}
및
:\mathcal A*=\{T\in\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)\colon\forall A'\in\mathcal A'\colon TA'=A'T\}</math>
를 정의할 수 있다.

그렇다면, *'폰 노이만 정리**에 따르면, <math>\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>의 다음 세 부분 집합이 모두 같다.
* <math>\mathcal A</math>의 강한 [[작용소 위상]](즉, 점별 노름 수렴 위상)에서의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]
* <math>\mathcal A</math>의 약한 [[작용소 위상]](즉, 점별 [[약한-* 위상]] 수렴 위상)에서의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]
* <math>\mathcal A''</math>

만약 <math>\mathcal A=\mathcal A''</math>이라면, <math>\mathcal A</math>(와 동형인 [[C* 대수]])를 **폰 노이만 대수**라고 한다. 이 정의에 따라, 임의의 부분 집합 <math>\mathcal S\subseteq\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>가 주어졌을 때 <math>\mathcal S</math>를 포함하는 최소의 폰 노이만 대수
:<math>\operatorname{vN}(\mathcal S)
=\left(
\operatorname{Span}_{\mathbb C}\{S_1S_2\dotsm S_n\colon n\in\mathbb N,
S_1,S_2,\dotsc,S_n\in\mathcal S\cup \mathcal S^*
\}\right)''
</math>
가 존재함을 알 수 있다. 이를 **\mathcal S로 생성되는 폰 노이만 대수**()라고 한다.

추상적 정의에 따른 임의의 폰 노이만 대수에 대하여, [[겔판트-나이마르크 정리]]를 통해 이를 힐베르트 공간 위의 작용소 대수로 표현할 수 있다. 반대로, 구체적 정의에 대한 폰 노이만 대수는 (힐베르트 공간 위의 작용을 무시할 때) 항상 추상적 정의에 부합한다.

=== 무게 ===
폰 노이만 대수 <math>A</math>의 원소 <math>a\in A</math>에 대하여, 만약 <Math>a=b^*b</math>인 <Math>b\in A</math>가 존재한다면, <math>a</math>를 **양원소**(陽元素, )라고 한다. 양원소의 집합을 <Math>A^+</math>로 표기하자. 이들의 집합은 [[반환 (수학)|반환]] <math>[0,\infty)</math> 위의 가군을 이룬다. 마찬가지로, <math>[0,\infty]</math>는 <math>[0,\infty)</math> 위의 가군을 이룬다.

<math>[0,\infty)</math>-선형 함수
:<math>\omega\colon A^+\to[0,\infty]</math>
를 **무게**라고 한다. 즉, 무게는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>\omega(\alpha a+\beta b)=\alpha \omega(a)+\beta\omega(b)\qquad\forall\alpha,\beta\in\mathbb R,\;a,b\in A^+</math>
위 정의에서 <Math>0\cdot\infty=0</math>으로 놓는다.

만약 무게 <math>\omega</math>가 <Math>\omega(1)=1</math>을 만족시킨다면, 이를 **상태**(狀態, )라고 한다. 무게 <math>\omega</math>가
:<math>\omega(aa^*)=\omega(a^*a)\qquad\forall a\in A</math>
를 만족시킨다면, 이를 **대각합**(對角合, )이라고 한다.

== 분류 ==
폰 노이만 대수 <math>A</math> 가운데, 만약 <math>\operatorname Z(A)=\mathbb C\cdot1_A</math>라면, <math>A</math>를 **폰 노이만 인자**(von Neumann因子, )라고 하자. (여기서 <math>\operatorname Z(-)</math>는 [[환의 중심|환으로서의 중심]]이다.)

모든 폰 노이만 대수는 인자들의 직접 적분()
:<math>A=\int_X^\oplus A_x\;\mathrm d\mu(x)</math>
으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 사실상 유일하다. 따라서, 폰 노이만 대수의 분류는 [[인자 대수]]의 분류로 귀결된다. 인자 대수의 분류는 상당 부분 알려져 있다.

== 예 ==
=== 유계 작용소 ===
임의의 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>에 대하여, 모든 [[유계 작용소]]의 대수 <math>\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>는 폰 노이만 대수를 이룬다. 이 경우, 그 원쌍대 공간은 [[대각합]]을 부여한, [[대각합류 작용소]]의 [[복소수 바나흐 공간]] <math>(\mathfrak S_1(\mathcal H,\mathcal H),\operatorname{tr})</math>이다.

=== 르베그 공간 ===
<math>X</math>가 [[시그마 유한 측도|시그마 유한]] [[측도 공간]]이라고 하자.

복소수 값 ∞-[[르베그 공간]] <math>\operatorname L^\infty(X;\mathbb C)</math>은 (점별 덧셈과 곱셈 및 복소수 켤레에 대하여) 폰 노이만 대수를 이룬다. 그 원쌍대 공간은 1-[[르베그 공간]] <math>\operatorname L^1(X;\mathbb C)</math>이다.

<math>\operatorname L^\infty(X;\mathbb C)</math>는 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\operatorname L^2(X;\mathbb C)</math> 위에 작용하는 [[유계 작용소]] 대수로 여길 수 있다. 즉, 다음과 같은 표준적인 매장이 존재한다.
:<math>\operatorname L^\infty(X;\mathbb C)\hookrightarrow \operatorname B(\operatorname L^2(X;\mathbb C),\operatorname L^2(\mathbb R;\mathbb C))</math>
:<math>[f]\mapsto([g]\mapsto [fg])</math>

=== 이중 연속 쌍대 공간 ===
**셔먼-다케다 정리**(Sherman-[武田]定理, )에 따르면, 임의의 [[C*-대수]] <math>A</math>에 대하여, 그 이중 [[연속 쌍대 공간]] <math>A^{**}</math>는 표준적으로 폰 노이만 대수를 이룬다. 이 경우, <math>A^{**}</math>를 <math>A</math>의 **포락 폰 노이만 대수'''()라고 한다.

## 역사
폰 노이만 정리는 존 폰 노이만이 증명하였다. 이후 폰 노이만과 프랜시스 조지프 머리(, 1911~1996)가 폰 노이만 대수의 기초적 연구를 진행하였다. 폰 노이만 대수의 추상적인 정의는 사카이 쇼이치로(, 1928~)가 도입하였다.

셔먼-다케다 정리는 시모어 셔먼(, 1917~1977)이 1950년에 증명 없이 발표하였으며, 1954년에 다케다 지로()가 증명을 출판하였다.

이후 알랭 콘과 본 존스 등이 폰 노이만 대수의 이론에 크게 공헌하였다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:연산자 이론
분류:대수
분류:존 폰 노이만