이차 함수

섬네일|이차 함수 그래프의 예시
수학에서 **이차 함수**(二次函數, )는 최고 차수가 2인 다항 함수이다.

## 정의
**이차 함수**는 다음과 같은 꼴의 함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb R (또는 f\colon\mathbb C\to\mathbb C)이다.
:f(x)=ax^2+bx+c
단, a\ne0이어야 한다.

보다 일반적으로, **이변수 이차 함수**는 다음과 같은 꼴의 함수 f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R (또는 f\colon\mathbb C^2\to\mathbb C)이다.
:f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
단, 0=a=b=c가 성립하지 않아야 한다.

보다 일반적으로, **<math>d</math>변수 이차 함수**는 다음과 같은 꼴의 함수 f\colon\mathbb R^d\to\mathbb R (또는 f\colon\mathbb C^d\to\mathbb C)이다.
:\begin{align}f(x_1,x_2\dots,x_d)
&=\sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^da_{ij}x_ix_j+\sum_{k=1}^db_kx_k+c\\
&=a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+\cdots+a_{1d}x_1x_d\\
&\qquad+a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{2d}x_2x_d\\
&\qquad\qquad+\cdots\\
&\qquad\qquad\qquad+a_{d1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+\cdots+a_{dd}x_d^2\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad+b_1x_1+b_2x_2+\cdots+b_dx_d+c\\
\end{align}
단, 0=a_{11}=\cdots=a_{dd}가 성립하지 않아야 한다.

## 성질
섬네일|<math>f(x) = x^2 - x - 2\,\!</math> 의 그래프
이차 함수의 그래프는 대칭축이 수직선인 포물선이다. 즉, 허공에 비껴 던져진 물체의 비행 궤도와 같다.

반대로, 대칭축이 수직선인 모든 포물선은 어떤 이차 함수의 그래프이다.

### 방정식
이차 함수의 (곡선으로서의) 방정식은 다음과 같은 세 가지 꼴로 나타낼 수 있다.
* **일반형**은 다음과 같으며, 이 꼴은 이차방정식의 y절편인 c와 볼록한 쪽을 나타내는 a의 부호 외에 얻을 정보가 없다. **따라서 이런 형태가 주어졌을 때 표준형, 인수분해형 중 하나로 바꿔서 풀 필요가 있다.**
*:y=ax^2+bx+c\qquad(a\ne0)
* **표준형**은 다음과 같다. 이 꼴을 통해 x축으로 p만큼 이동하고, y축으로 q만큼 이동한 것을 알 수 있으며, a의 부호로 볼록한 쪽이 어느 쪽인지 알 수 있다. (이는 a가 같은 두 이차 함수의 그래프는 서로 합동이며, 서로를 평행 이동하여 서로를 얻을 수 있음을 의미한다.)
*:y=a(x-p)^2+q\qquad(a\ne0)
* **인수 분해형**은 다음과 같다. 이 꼴을 통해 두 근인 알파, 베타를 알 수 있다. (이는 모든 이차 함수는 서로 같거나 서로 다른 두 실수 또는 허수 영점을 가짐을 의미한다.)
*:y=a(x-\alpha)(x-\beta)\qquad(a\ne0)
일반형의 계수를 통해 다른 두 가지 꼴의 방정식을 나타내는 방법은 다음과 같다.
:\begin{align}y
&=ax^2+bx+c\\
&=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\\
&=a\left(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)
\end{align}

### 볼록성
이차 함수 f의 개형은 이차항 계수 a에 따라 다음과 같이 나뉜다.
* a>0라면, f는 엄격 볼록 함수이다. 즉, 그래프가 아래로 볼록하다.
* a라면, f는 엄격 오목 함수이다. 즉, 그래프가 위로 볼록하다.

또한, |a|가 클수록 f의 그래프의 모양은 뾰족해진다. 즉, 그래프의 폭이 좁아진다.

### y절편
이차 함수 f의 y절편은 f(0)=c이다. 즉 f의 그래프는 y축과 점 (0,c)에서 만난다.

### 대칭 · 단조성 · 최댓값과 최솟값
섬네일
이차 함수 f의 대칭축의 방정식은 다음과 같다.
:x=-\frac b{2a}
이 대칭축과 그래프의 교점은 다음과 같으며, 이를 꼭짓점이라고 한다.
:\left(-\frac b{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)
꼭짓점은 이차 함수의 단조성이 변화하는 점이며, 함수가 최댓값 또는 최솟값을 갖는 점이다. a의 부호에 따라 다음과 같이 나뉜다.
* a>0이라면, f는 \left(-\infty,-\frac b{2a}\right]에서 엄격 감소하며, \left[-\frac b{2a},\infty\right)에서 엄격 증가한다. 따라서, f의 최솟값은 f\left(-\frac b{2a}\right)=-\frac{b^2-4ac}{4a}이며, 최댓값은 존재하지 않는다.
* a이라면, f는 \left(-\infty,-\frac b{2a}\right]에서 엄격 증가하며, \left[-\frac b{2a},\infty\right)에서 엄격 감소한다. 따라서, f의 최댓값은 f\left(-\frac b{2a}\right)=-\frac{b^2-4ac}{4a}이며, 최솟값은 존재하지 않는다.

### 영점 · 판별식 · 비에트 정리
이차 함수 f의 영점, 즉 그래프와 x축의 교점의 x좌표는 다음과 같으며, 이를 이차 함수의 근의 공식이라고 한다.
:\alpha,\beta=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
구체적으로, 이차 함수 f의 판별식 b^2-4ac의 값에 따라 다음과 같은 경우로 나뉜다.
* b^2-4ac>0이라면, f는 서로 다른 두 실근 \alpha\ne\beta를 가진다. 이때 그래프는 x축과 두 개의 교점을 가지며, x축은 그래프의 할선이다.
* b^2-4ac=0이라면, f는 서로 겹치는 두 실근 \alpha=\beta=-\frac{b}{2a}를 가진다. 이를 f의 **이중근**이라고 한다. 이때 그래프는 x축과 유일한 교점을 가지며, x축은 그래프의 접선이다.
* b^2-4ac이라면, f는 실근을 가지지 않지만, 서로 다른 두 허근 \alpha\ne\beta를 가진다. 이때 그래프는 x축과 만나지 않는다.
이차 함수의 두 근과 일반형의 계수 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 비에트 정리라고 한다.
:\alpha+\beta=-\frac ba
:\alpha\beta=\frac ca

### 기타 성질
이차함수 y=a(x-p)^2+q에서 꼭짓점을 A, x절편들을 각각 B, C라고 할 때, △ABC의 넓이 S={-q}\sqrt {- \frac q a} 가 성립한다.

이차함수 y=ax^2+bx+c에서 축을 기준으로 왼쪽과 오른쪽으로 나눌 때, y축에 접하는 쪽의 그래프를 보았을 때 y축을 중심으로 그래프가 내려가면 b이고 그래프가 올라가면 b>0이 성립한다. 만약 축과 y축이 일치한다면 b > 0이 된다.

## 같이 보기
* 일차 함수
* 삼차 함수
* 이차 방정식

## 외부 링크

* 

분류:다항식
분류:초등대수학
분류:함수 방정식