가측 공간

측도론에서, **가측 공간**(可測空間, )은 **가측 집합**(可測集合, )이라는 특별한 부분 집합들의 족이 부여된 집합이다. 가측 집합들은 가산 합집합 · 가산 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있다. 측도론에서는 모든 집합들에 적절한 측도를 부여하는 것이 불가능하므로 흔히 사용되는 특정 집합들을 골라야 하며, 가측 공간의 개념은 이러한 선택을 공리화하여 얻는다. 두 가측 공간 사이의 자연스러운 사상은 **[[가측 함수]]**라고 한다.

## 정의
임의의 집합 X에 대하여, 그 멱집합 \mathcal P(X)는 완비 불 대수이며, 특히 시그마 대수이다.

**가측 공간** (X,\Sigma)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* X는 집합이다.
* \Sigma\subseteq\mathcal P(X)는 시그마 대수 \mathcal P(X)의 부분 시그마 대수이다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
** (여집합에 대한 닫힘) 모든 S\in\Sigma에 대하여, X\setminus S\in\Sigma이다.
** (가산 합집합에 대한 닫힘) 가산 부분 집합 \mathcal S\subseteq\Sigma (|\mathcal S|\le\aleph_0)에 대하여, \textstyle\bigcup\mathcal S\in\Sigma이다. (특히, 만약 \mathcal S=\varnothing일 경우 \textstyle\bigcup\varnothing=\varnothing\in\Sigma이다.)
\Sigma의 원소를 X의 **가측 집합**이라고 한다.

가측 공간들과 가측 함수들은 구체적 범주 \operatorname{Measble}를 이룬다.

### 분리 가측 공간
가측 공간 (X,\Sigma)가 다음 조건을 만족시킨다면 **분리 가측 공간**(分離可測空間, )이라고 한다.
* f\colon X\to\mathcal P(\Sigma), f\colon x\mapsto\{S\in\Sigma\colon x\in S\}는 단사 함수이다. 즉, 임의의 두 점 x,y\in X에 대하여, 만약 x\ne y라면, x\in S\not\ni y인 S\in\Sigma가 존재한다.

## 성질
임의의 가측 공간 X에서, 공집합 \varnothing과 전체 집합 X은 항상 가측 집합이다.

### 연산에 대한 닫힘
집합 X 위의 1개 이상의 (유한 또는 무한 개의) 임의의 가측 공간 구조들 \{\Sigma_i\}이 주어졌을 때, 그 교집합
:\bigcap_{i\in I}\Sigma_i
역시 X 위의 가측 공간 구조이다. (그러나 이는 합집합에 대하여 성립하지 않는다.)

따라서, 임의의 집합족 \mathcal F\subseteq\mathcal P(X)에 대해, \mathcal F의 원소들을 가측 집합으로 하는 가장 엉성한 가측 공간 구조가 존재한다. 구체적으로, 이는 \mathcal F를 포함하는 가측 공간 구조들의 교집합이다. 이를 \sigma(\mathcal F)로 표기하자.

따라서, 주어진 집합 X 위의 가측 공간 구조들의 족은 완비 격자를 이룬다.

### 크기
가측 공간 (X,\Sigma)의 가측 집합의 수는 항상 2^n 꼴의 양의 정수이거나, 아니면 2^{\aleph_0} 이상이다. 특히, 가측 공간은 가산 무한 개의 가측 집합을 가질 수 없다.

**증명:**

(X,\Sigma)가 무한 개의 가측 집합들을 갖는 가측 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 집합렬을 재귀적으로 고른다.
# X\setminus(S_0\cup\cdots\cup S_i)가 무한 개의 가측 부분 집합들을 갖는다고 가정한다.
# X\setminus(S_0\cup\cdots\cup S_i)에서, 공집합이나 전체 집합이 아닌 임의의 가측 부분 집합 \varnothing\ne E_{i+1}\subsetneq X\setminus(S_0\cup\cdots\cup S_i)을 고른다.
# X\setminus(S_0\cup\cdots\cup S_i)는 무한 개의 가측 부분 집합들을 가지므로, \{S\in\Sigma\colon S\subseteq E_{i+1}\} 또는 \{S\in\Sigma\colon S\subseteq X\setminus(S_0\cup\cdots\cup S_i\cup E_{i+1})\} 가운데 적어도 하나가 무한 집합이며, 다음과 같이 정의한다면 X\setminus(S_0\cup\cdots\cup S_{i+1}) 역시 무한 개의 가측 부분 집합들을 갖는다.
#: S_{i+1}=\begin{cases}
E_{i+1}&|\{S\in\Sigma\colon S\subseteq E_{i+1}\}|
따라서, S_0,S_1,\dots\in\Sigma는 가산 무한 개의 서로소 가측 집합들을 이루며,
:\left\{\bigcup_{i\in I}S_i\colon I\subseteq\mathbb N\right\}\subseteq\Sigma
는 크기 2^{\aleph_0}의, \Sigma의 부분 집합을 이룬다. 따라서 |\Sigma|\ge 2^{\aleph_0}이다.



집합 X의 집합족 \mathcal A\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, \mathcal A로부터 생성되는 가측 공간 구조 \sigma(\mathcal A)의 크기의 상계는 다음과 같다.
:|\sigma(\mathcal A)|\le|\mathcal A|^{\aleph_0}
이는 \sigma(\mathcal A)를 초한 귀납법으로 구성할 때 \omega_1번의 단계로 끝나기 때문이다. (여기서 \omega_1은 최소의 비가산 순서수이다.)

### 딘킨 π-λ 정리와 단조류 정리
집합 X 속의 집합족 \mathcal A\subseteq\mathcal P(X)에 대하여 다음 조건들을 정의하자.
* (π) \mathcal A는 2항 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 A,B\in\mathcal A에 대하여, A\cap B\in\mathcal A이다. 이를 만족시키는 집합족을 **π계**()라고 한다.
* (λ) \mathcal A는 여집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 개의 서로소 집합들의 합집합에 대하여 닫혀 있다. (특히, 0개의 서로소 집합들의 합집합은 공집합이므로, \varnothing\in\mathcal A이다.) 이를 만족시키는 집합족을 **λ계**()라고 한다.
* (π′) \mathcal P(X)의 부분 불 대수를 이룬다. 즉, 여집합 · 유한 교집합 · 유한 합집합에 대하여 닫혀 있으며, \varnothing\in\mathcal A이다. 이를 만족시키는 집합족을 **집합체**()라고 한다.
* (λ′) X\in\mathcal A이며, 임의의 A_0,A_1,\dots\in\mathcal A에 대하여, A_0\subseteq A_1\subseteq\cdots라면, \textstyle\bigcup_{i=0}^\infty A_i\in\mathcal A이며, 임의의 A_0,A_1,\dots\in\mathcal A에 대하여, A_0\supseteq\mathcal A_1\supseteq\cdots라면, \textstyle\bigcap_{i=0}^\infty A_i\in\mathcal A이다. 이를 만족시키는 집합족을 **단조류**()라고 한다.
그렇다면, 다음이 성립한다.

집합 X 속의 집합족 \mathcal A\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 시그마 대수이다.
* (π) 조건과 (λ) 조건을 만족시킨다.
* (π′) 조건과 (λ′) 조건을 만족시킨다.

집합 X 속의 집합족 \mathcal A\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, 다음이 성립한다.
* (**딘킨 π-λ 정리** ) \mathcal A가 (π) 조건을 만족시킨다면, \mathcal A로부터 생성되는, (λ) 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.
* (**단조류 정리** ) \mathcal A가 (π′) 조건을 만족시킨다면, \mathcal A로부터 생성되는, (λ′) 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.

\mathcal A로부터 생성되는, (λ) 조건을 만족시키는 최소의 집합족을 \lambda(\mathcal A)라고 하자. 그렇다면, \lambda(\mathcal A)가 (π) 조건을 만족시킴을 보이면 된다.
:\mathcal L_1=\{B\in\lambda(\mathcal A)|\forall A\in\mathcal A\colon A\cap B\in\lambda(\mathcal A)\}
라고 하자. 그렇다면, \mathcal A가 (π) 조건을 만족시키므로 \mathcal A\subseteq\mathcal L_1이다. 또한 \mathcal L_1는 (λ) 조건을 만족시킨다. 따라서, \mathcal L_1=\lambda(\mathcal A)이다.
:\mathcal L_2=\{A\in\lambda(\mathcal A)|\forall B\in\lambda(\mathcal A)\colon A\cap B\in\lambda(\mathcal A)\}
라고 하자. \mathcal L_1=\lambda(\mathcal A)이므로 \mathcal A\subseteq\mathcal L_2이며, \mathcal L_2는 (λ) 조건을 만족시키므로, \mathcal L_2=\lambda(\mathcal A)이다. 즉, \lambda(\mathcal A)는 (π) 조건을 만족시킨다.

위 증명을 (π′) 조건과 (λ′) 조건에 적용하면 단조류 정리의 증명을 얻는다.

### 범주론적 성질
가측 집합과 가측 함수의 범주 \operatorname{Measble}은 구체적 범주
:F\colon\operatorname{Measble}\to\operatorname{Set}
:F\colon(X,\Sigma)\mapsto X
를 이루며, F는 위상 함자이다. 따라서, \operatorname{Measble}은 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다.

\operatorname{Measble}의 시작 대상은 (유일한 가측 공간 구조를 갖춘) 공집합이며, \operatorname{Measble}의 끝 대상은 (유일한 가측 공간 구조를 갖춘) 한원소 집합이다.

## 예
X를 임의의 집합이라고 할 때, 다음은 모두 X 위의 가측 공간 구조이다.
* 양의 정수가 아닌 임의의 기수 \kappa에 대하여, \left\{S\subseteq X|\min\{|S|,|X\setminus S|\}\le\kappa\right\}는 시그마 대수를 이룬다. 즉, 이는 X의 부분집합 가운데 크기가 \kappa 이하이거나 그 여집합의 크기가 \kappa 이하인 집합들의 족이다.
** 만약 \kappa=0이라면, 이는 \{\varnothing, X\}이다. 이 집합족은 **자명 가측 공간** 구조이며, X 위의 가장 엉성한 가측 공간 구조이다.
** 만약 \kappa\ge|X|라면, 이는 X의 멱집합 \mathcal P(X)이다. 이를 **이산 가측 공간**이라고 하며, 이는 X 위의 가장 섬세한 가측 공간 구조이다.
* X의 분할 \textstyle X=\bigsqcup_{A\in\mathcal P}A이 주어진다면, \{\textstyle\bigcup\mathcal Q|\mathcal Q\subseteq\mathcal P\}는 X 위의 가측 공간 구조를 이룬다.

### 유한 집합 위의 시그마 대수
유한 집합 X 위의 모든 가측 공간 구조는 X의 분할로서 정의된다. 즉, 유한 집합 위의 가측 공간 구조들은 그 분할과 일대일 대응하며, 크기가 n=0,1,2,\dots인 유한 집합 위의 가측 공간 구조의 수는 벨 수
:1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … 
이다.

예를 들어, 크기가 3인 유한 집합 \{a,b,c\} 위의 분할과 가측 공간 구조들은 다음과 같다.

### 보렐 시그마 대수

위상 공간 위의 보렐 집합들의 집합은 시그마 대수를 이루며, 이를 **[[보렐 시그마 대수]]** \operatorname{Borel}(X)라고 한다.

위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* (X,\operatorname{Borel}(X))는 분리 가측 공간이다.
* X는 콜모고로프 공간이다.

유한 집합 위의 모든 가측 공간 구조는 적절한 위상의 보렐 시그마 대수로 나타낼 수 있다. 그러나 무한 집합의 경우 임의의 위상의 보렐 시그마 대상으로 나타낼 수 없는 가측 공간 구조 또한 존재한다. 구체적으로, S가 크기 2^{\aleph_0}의 비가산 집합이라고 하자. 크기 2의 이산 공간 \{0,1\}의 비가산 곱공간 \{0,1\}^S을 생각하자. 이 곱위상은 기저
:\mathcal B=\left\{
\prod_{s\in S}U_s
\colon
U_s\subseteq\{0,1\}\forall s\in S,\;
|\{s\in S\colon U_r\ne\{0,1\}\}|
로 생성된다. 그렇다면, \mathcal B로 생성되는 가측 공간 구조는 \{0,1\}^S 위의 임의의 위상의 보렐 시그마 대수로 나타낼 수 없다.

**증명:**

우선, |\mathcal B|=|S|=2^{\aleph_0}이므로,
:\sigma(\mathcal B)\le|S|^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}
이다. 귀류법을 사용하여 \sigma(\mathcal B)=\operatorname{Borel}(\mathcal U)가 되는 위상 \mathcal U가 존재한다고 하자. 그렇다면 \sigma(\mathcal B)가 분리 시그마 대수이므로 \mathcal U는 콜모고로프 위상이다. 그러므로
:\{0,1\}^S\to\sigma(\mathcal B)
:x\mapsto\operatorname{cl}_{\mathcal U}(\{x\})
(한원소 집합의 \mathcal U-폐포)는 단사 함수이며,
:2^{\aleph_0}=|\sigma(\mathcal B)|\ge|\{0,1\}^S|=2^{2^{\aleph_0}}
인데, 이는 모순이다.


## 각주

## 외부 링크
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