바나흐-타르스키 역설

섬네일|200px|공을 유한 개의 조각으로 잘라 공 두 개로 만들 수 있다.
**바나흐-타르스키 역설**()은 집합론 기하학의 정리 중 하나로, 3차원 상의 공을 유한 개의 조각으로 잘라서, 변형 없이 순수 공간이동만으로 재조합하면 원래 공과 같은 부피를 갖는 공 두 개를 만들 수 있다는 정리이다. 이 정리는 최소 5개 조각으로 만드는 것이 가능하다. 스테판 바나흐와 알프레트 타르스키에 의해 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 증명되었다. 이 때 공을 유한 개의 부분집합으로 분할할 때의 각 부분집합은 르베그 비가측 집합이다.

이 정리의 강력한 형태는 큰 공과 작은 공과 같은 적당한 두 단단한 물체 중 하나를 적당한 조각으로 잘라서 다른 물체로 재조립할 수 있다는 정리이다. 이를 영미권에서는 종종 "완두콩을 잘개 썰어 재조립하면 태양을 만들 수 있다"라고 인용하기 때문에 **완두콩과 태양 역설**(pea and the Sun paradox)이라고 부르기도 한다.

바나흐-타르스키 정리가 "역설"이라고 불리는 이유는 기본적으로 기하학적 직관과는 어긋나는 결과이기 때문이다. 공을 변형하거나, 늘어나게 하거나 새로운 점을 더하지 않은 채 오직 여러 조각으로 쪼갠 후 회전 및 평행 이동만을 통해 "공을 두배로 만드게 하는 것"은 부피를 그대로 유지한 채 시행하라고 들리기 때문에 일견 불가능하게 들린다. 회전과 이동이 부피를 보존한다는 직관은 수학적으로 어긋나지 않으며 고전적인 부피의 개념에도 합당하다. 하지만 바나흐-타르스키 정리의 경우에는 자를 때 하위 집합, 즉 각 조각의 부피를 정의할 수 없으므로 고전적인 부피의 정의를 적용할 수 없다. 이 경우 재조립 시 '부피'라고 말하는 값이 늘어나서 조립하기 전과 후의 '부피'가 달라지는 경우가 발생한다.

이 역설의 결과를 증명할 때에는 선택 공리가 반드시 필요하다. 선택공리가 없을 경우(체르멜로-프렝켈 집합론)나, 선택 공리 대신 의존적 선택 공리를 사용할 경우 정리가 성립하지 않는다.

## 바나흐-타르스키의 원래 발표
1924년 스테판 바나흐와 알프레트 타르스키는 공동 논문에서 주세페 비탈리의 단위간격에 대한 비탈리 집합 연구 및 펠릭스 하우스도르프의 구의 역설적인 분해 연구를 바탕으로 일련의 **역설적 분해**(paradoxical decomposition)를 구성하고 다양한 차원에서 유클리드 공간의 부분집합 분해에 대한 질문을 논의했다. 여기서 이 둘은 좀 더 강력한 형태인 **강한 바나흐-타르스키 역설**을 다음과 같이 제시하였다.

: 최소 3차원 이상의 유클리드 공간에 있는 임의의 두 유계 부분집합 와 가 둘 모두가 비어있지 않은 내부를 가지고 있으면, 와  둘을 유한한 서로소 부분집합 A=A_1 \cup \cdots\cup A_k, B=B_1 \cup \cdots\cup B_k (*k*는 임의의 정수)로 분해할 때, 과  사이 임의의 (정수) 에 대하여 와  두 집합은 합동이다.

여기서 는 원래의 구, 는 원래의 구에서 적절한 변환을 통해 2개가 된 구의 합집합이다. 즉 위 말에 따르면 원래의 구 를 유한 개의 조각으로 자른 후 회전 및 평행이동을 통해  전체집합으로 바꿀 수 있으며 는  구 2개가 들어있는 형태이다.

강한 바나흐-타르스키 역설은 1, 2차원에서 거짓임이 드러났으나, 바나흐와 타르스키는 가산 가능한 많은 부분집합이 허용될 경우 비슷한 논제가 참이라는 것을 증명하였다. 1, 2차원에서의 논제의 참 여부와 3차원 이상에서 논제의 참 여부가 달라지는 이유는 고차원에서는 의 가해군에  이상에서 2개 계수를 가진 자유군을 포함하여 유클리드 이동 의 구조가 더 풍부해지기 때문이다. 수학자 존 폰 노이만은 "역설적인 분해"를 가능하게 만드는 등가군의 특성을 연구하고 종순군에 대한 개념을 도입하였다. 또한 폰 노이만은 일반적인 기하학적 합동 대신 아핀 변환을 이용한 공간에서 바나흐-타르스키 역설의 한 형태가 나옴을 발견하였다.

알프레트 타르스키는 종순군은 "역설적인 분해"가 존재하지 않는 군임을 증명했다. 바나흐-타르스키 역설에서는 자유 부분군만 필요하기 때문에 오랫동안 풀리지 않은 폰 노이만 추측이 이 역설에서 나왔다.

## 수식적 접근
바나흐-타르스키 역설은 통상적인 유클리드 공간의 공을 부분집합으로 분할하고, 각 집합을 그와 합동인 집합으로 대체한 뒤 재조립하는 작업만으로 두 배로 늘릴 수 있다는 정리다. 이 수학적 구조는 유클리드 운동 군이 수행하는 역할을 강조하고, **[[등분할 가능 집합]]** 및 역설적 집합의 개념을 도입함으로써 명확히 해명된다. 가 집합 에 작용하는 군이라고 가정하자. 가장 중요한 특수한 경우로, 는 차원 유클리드 공간(정수 n에 대해)이고, 는 의 모든 등거리변환(즉, 거리를 보존하는 에서 자기 자신으로의 변환)으로 구성되는데 이를 보통 으로 표기한다. 서로 변환될 수 있는 두 기하학적 형상을 합동이라고 하며, 이 용어는 일반적인  작용으로 확장된다. 의 두 부분집합 와 가 동일한 유한 개의 각각 -합동인 조각으로 분할될 수 있다면 이들을 **-등분할 가능** 또는 **에 관해 등분할 가능**하다고 한다. 이는 의 모든 부분집합 사이에서 동치 관계를 정의한다. 공식으로 쓴다면 만약 다음을 만족하는 공집합이 아닌 집합 A_1, \dots, A_k, B_1, \dots, B_k가 존재하고,

:
A=\bigcup_{i=1}^k A_i, \quad B=\bigcup_{i=1}^k B_i,


:\quad A_i\cap A_j=B_i\cap B_j=\emptyset\quad\text{ for all }1 \leq i 

다음을 만족하는 원소 g_i \in G가 존재한다면,

:g_i(A_i) = B_i\text{ for all }1 \le i \le k

와 는 개의 조각을 사용하여 -등분할 가능하다고 말할 수 있다. 만약 집합 가 서로소인 두 부분집합 와 를 가져서 와 , 와 가 각각 -등분할 가능하다면, 를 **역설적**이라고 부른다.

이 용어를 사용하면 바나흐-타르스키 역설은 다음과 같이 바꾸오 쓸 수 있다.

: 3차원 유클리드 공은 자기 자신의 복사본 두 개와 등분할 가능하다.

사실 이 경우 라파엘 M. 로빈슨이 만든 최적의 결과가 있다. 공을 두 배로 늘리는 것은 5개의 조각으로 가능하며, 5개보다 적은 조각으로는 이를 다룰 수 없다.

이 역설의 강한 조건은 다음과 같이 주장한다.

: 내부가 공집합이 아닌 3차원 유클리드 공간의 임의의 두 유계 집합은 등분할 가능하다.

겉보기에는 더 일반적인 것처럼 보이지만, 위 정리는 바나흐가 제안한 베른슈타인-슈뢰더 정리의 일반화를 사용하여 공의 복제라는 점에서 출발해 간단한 방식으로 유도된다. 이는 만약 가 의 부분집합과 등분할 가능하고 가 의 부분집합과 등분할 가능하다면, 와 는 등분할 가능하다는 것을 의미한다.

바나흐-타르스키 역설은 역설의 강한 형태에 있는 두 집합에 대해, 한 형상의 점을 다른 형상으로 일대일로 대응시킬 수 있는 전단사 함수가 항상 존재한다는 점을 지적함으로써 문제를 파악할 수 있다. 게르크 칸토어의 집합론 언어로 말하자면, 이 두 집합은 동일한 가산 무한을 가진다. 따라서 만약 의 임의의 전단사를 허용하도록 군을 확장하면, 내부가 비어 있지 않은 모든 집합은 합동이 된다. 마찬가지로, 하나의 공은 잡아늘림, 즉 닮음 변환을 적용함으로써 더 크거나 작은 공으로 만들 수 있다. 따라서 군 가 충분히 크다면 "크기"가 다른 -등분할 가능한 여러 집합을 찾을 수 있다. 더욱이 가산 집합은 자기 자신의 두 복사본으로 만들어질 수 있으므로, 가산 무한히 많은 조각을 사용하면 어떻게든 가능할 것이라고 기대할 수 있다.

반면, 바나흐-타르스키 역설에서 조각의 수는 유한하며 허용되는 동치는 부피를 보존하는 유클리드 합동임에도 불구하고 어떻게든 공의 부피를 두 배로 늘리게 된다. 이것은 확실히 놀라운 일이지만, 역설적 분할에 사용되는 조각 중 일부는 비가측 집합이므로 부피(더 정확하게는 르베그 측도) 개념이 정의되지 않으며 실제로는 이러한 분할을 수행할 수 없다. 사실 바나흐-타르스키 역설은 3차원 이상의 유클리드 공간의 모든 부분집합에 정의되고 유클리드 운동에 대해 불변이며 단위 입방체에서 1의 값을 갖는 유한 가법적 측도(또는 바나흐 측도)를 찾는 것이 불가능함을 보여준다. 타르스키는 나중에 그 역으로, 이러한 유형의 역설적 분할이 존재하지 않는다는 것이 유한 가법적인 불변 측도의 존재를 함축한다는 것을 보여주었다.

아래에 제시된 "공의 복제" 형태의 역설 증명의 핵심은, 유클리드 등거리변환(및 원소의 재명명)을 통해 특정 집합(본질적으로 단위 구의 표면)을 네 부분으로 나눈 다음, 그 중 하나를 회전시켜 자기 자신과 다른 두 부분을 합친 것이 되게 할 수 있다는 놀라운 사실이다. 이는 두 개의 생성원을 가진 자유군 의 -역설적 분할로부터 상당히 쉽게 유도된다. 바나흐와 타르스키의 증명은 몇 년 전 하우스도르프가 발견한 유사한 사실에 의존했다. 즉, 공간 내 단위 구의 표면은 세 집합 와 가산 집합 의 분리합집합이며, 한편으로는 가 쌍마다 합동이고, 다른 한편으로는 가 와 의 합집합과 합동이라는 것이다. 이를 흔히 하우스도르프 역설이라 부른다.

## 이전 연구와의 연결 및 선택 공리의 역할
바나흐와 타르스키는 주세페 비탈리의 1905년 그의 이름을 딴 집합 구성, 하우스도르프의 역설(1914), 바나흐의 1923년 논문을 자신들 연구의 선구자로 명시적으로 인정했다. 비탈리와 하우스도르프의 구성은 체르멜로의 선택 공리(**AC**)에 의존하며, 이는 바나흐-타르스키 논문에서 자신의 역설을 증명하는 것과 또 다른 결과의 증명 모두에 결정적으로 필요하다.

: 하나가 다른 하나를 엄격히 포함하는 두 유클리드 다각형은 등분할 가능하지 않다.

그들은 다음과 같이 언급했다.

: 
: (우리의 추론에서 이 공리가 수행하는 역할은 주의를 기울일 가치가 있다고 생각된다)

그들은 두 번째 결과가 기하학적 직관과 완전히 일치하지만, 그 증명은 역설의 증명보다 훨씬 더 실질적인 방식으로 **AC**를 사용한다고 지적한다. 따라서 바나흐와 타르스키는 **AC**가 역설적 분할을 생성한다는 이유만으로 거부되어서는 안 된다고 암시한다. 왜냐하면 그러한 논리는 기하학적으로 직관적인 명제의 증명까지 약화시키기 때문이다.

그러나 1949년 A.P. 모스는 유클리드 다각형에 관한 명제가 '''ZF''' 집합론에서 증명될 수 있으며 따라서 선택 공리를 필요로 하지 않음을 보여주었다. 1964년 폴 코언은 선택 공리가 **ZF**로부터 독립적임을, 즉 **ZF**로부터 선택 공리를 증명할 수 없음을 증명했다. 선택 공리의 더 약한 버전은 의존적 선택 공리( **DC**)이며, **DC**가 바나흐-타르스키 역설을 증명하기에는 "충분하지 않음"이 밝혀졌다. 즉,

: 바나흐-타르스키 역설은 **ZF**나 **ZF**+**DC**의 정리가 아니다(이들의 일관성을 가정할 때).

수학의 많은 부분에서 **AC**가 사용된다. 스탠 웨이건이 그의 단행본 끝에서 지적했듯이, 바나흐-타르스키 역설은 기초적인 질문보다는 순수 수학에서의 역할 때문에 더 중요해졌다. 그것은 기초적인 질문과는 관련이 없는, 군의 종순성(amenability)이라는 결실 있는 새로운 연구 방향을 자극했다.

1991년, 매슈 포먼과 프리드리히 베어룽의 당시 최근 결과를 사용하여, 야누시 파블리코프스키는 바나흐-타르스키 역설이 **ZF**에 한-바나흐 정리를 더한 것으로부터 도출됨을 증명했다. 한-바나흐 정리는 완전한 선택 공리에 의존하지 않으며, 울트라필터 보조정리라고 불리는 **AC**의 약한 버전을 사용하여 증명될 수 있다.

## 증명 개요
여기에 바나흐와 타르스키가 제시한 것과 비슷하지만 동일하지는 않은 증명의 개요를 서술한다. 구체적으로 공의 역설적 분할은 다음 네 단계로 이루어진다.

# 두 개의 생성원을 가진 자유군의 역설적 분할을 찾는다.
# 두 생성원을 가진 자유군과 동형인 3차원 공간의 회전군을 찾는다.
# 해당 군의 역설적 분할과 선택 공리를 사용하여 속이 빈 단위구의 역설적 분할을 만든다.
# 이 구의 분할을 꽉 찬 단위 공의 분할로 확장한다.

각 단계는 아래에서 더 자세히 논의된다.

### 1단계

## 같이 보기
* 폰 노이만 역설
* 폰 노이만 추측

## 각주

## 참고 문헌
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* 
* Edward Kasner & James Newman (1940) Mathematics and the Imagination, pp 205–7, Simon & Schuster.
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## 외부 링크

* The Banach-Tarski Paradox by Stan Wagon (Macalester College), the Wolfram Demonstrations Project.
* Irregular Webcomic! #2339 by David Morgan-Mar provides a non-technical explanation of the paradox. It includes a step-by-step demonstration of how to create two spheres from one.
*  gives an overview on the fundamental basics of the paradox.

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