믹스마스터 우주

일반 상대성 이론에서 **믹스마스터 우주**(Mixmaster宇宙, )는 SU(2) 대칭을 갖는, 아인슈타인 방정식의 진공해이다. 이는 혼돈적 성질을 보인다.

## 정의
### 가설 풀이
**믹스마스터 우주**는 위상 공간으로서 M=\mathbb S^3\times\mathbb R이다. 여기서 3차원 초구 \mathbb S^3는 공간 방향이며, \mathbb R는 시간 방향이다. \mathbb S^3 위에 표준적인 구면 좌표계 (\theta,\psi,\phi)를 주자.

초구 \mathbb S^3 위의 세 1차 미분 형식
:\sigma_1 = \sin \psi \mathrm d\theta - \cos\psi \sin\theta\mathrm d\phi
:\sigma_2 = \cos \psi \mathrm \theta + \sin\psi \sin\theta\mathrm d\phi
:\sigma_3 = -\mathrm d\psi - \cos\theta\mathrm d\phi
을 부여할 수 있으며, 이는
:\mathrm d\sigma_i=\frac12\epsilon_{ijk}\sigma_j\wedge\sigma_k
를 만족시킨다.

이제, M 위의 다음과 같은 (부호수 &minus;+++의) 리만 계량 가설 풀이를 생각하자.
:\mathrm ds^2=-\mathrm dt^2+\sum_{i=1}^3\left(L_i(t)\right)^2\sigma_i^2
이 가설 풀이는 비안키 분류 Ⅸ형의 일반형이며, \mathbb S^4의 \operatorname{SO}(4)\cong(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2) 대칭 가운데 하나의 \operatorname{SU}(2)만을 보존한다. 이 가설 풀이는 세 개의 미지의 함수 L_1(t),L_2(t),L_3(t)를 갖는다. 이들은 편의상 우주의 팽창을 나타내는 함수 (L_i의 자연 로그의 산술 평균 × &minus;1)
:\Omega(t)=-\frac13\left(\ln L_1(t)+\ln L_2(t)+\ln L_3(t)\right)
와 우주의 비등방성을 나타내는 두 함수
:\beta_+(t)=\Omega(t)-\ln(L_3(t))
:\beta_-(t)=\frac1{\sqrt3}\ln\frac{L_1(t)}{L_2(t)}
로 다시 쓸 수 있다. \Omega는 대략 우주의 너비의 로그 ×&minus;1에 해당하며, \Omega가 더 클 수록 우주의 부피가 더 작다 (즉, 빅뱅은 \Omega\to\infty 극한이다). 마찬가지로, \beta_\pm가 (양 또는 음으로) 0에서 더 멀 수록 우주는 더 일그러진 모양을 한다. 만약 \beta_+=\beta_-=0인 경우 (등방적 우주) 이는 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량이 된다.

### 동역학
이제, 아인슈타인 방정식을 \Omega(t)와 \beta_\pm(t)에 대하여 적용할 수 있다. 사실, 일단 \beta_\pm(우주의 모양)을 \Omega(t)(우주의 크기)의 함수로 우선 풀 수 있다. 편의상 에너지-운동량 텐서와 우주 상수가 0이라고 가정하자 (즉, 리치 곡률이 0이라고 하자).

이제, \Omega\to+\infty 극한(빅뱅 근처)에서, 아인슈타인 방정식은 다음과 같은 두 방정식이 된다.
:4=\left(\frac{\mathrm d\beta_+}{\mathrm d\Omega}\right)^2+\left(\frac{\mathrm d\beta_-}{\mathrm d\Omega}\right)^2+4\Lambda(t)^{-1}\exp(-4\Omega(t))V(\beta_+,\beta_-)
:\frac{\mathrm d\Lambda}{\mathrm d\Omega}=-4\Lambda^{-1}\exp(-4\Omega(t))V(\beta_+,\beta_-)
(첫째 식에 의하여 \Lambda(t)를 정의할 수 있다.) 둘째 식에 의하여, \Lambda는 \Omega\gg1일 때 거의 변화하지 않는다.

즉, 이 경우 \Omega를 일종의 "시간"으로 간주하고, \vec\beta=(\beta_+,\beta_-)를 일종의 "위치"로 간주한다면, 이는 시간 의존 라그랑지언
:L(\beta_+,\beta_-;\Omega)=\frac12\sqrt{\Lambda(\Omega)}\dot{\boldsymbol\beta}^2-\frac{2V(\beta_+,\beta_-)}{\sqrt{\Lambda(\Omega)}\exp(4\Omega)}
에 의하여 묘사된다. (이 라그랑지언에서 \Lambda는 오직 \Omega만의 함수로 간주한다.)
여기서 퍼텐셜 V(\beta)는 다음과 같다.
:V(\beta_+,\beta_-)=1+\frac13\exp(-4\beta_+)-\frac43\exp(-\beta_+)\cosh(\sqrt3\beta_-)+\frac23\exp(2\beta_+)\left(\cosh\left(2\sqrt3\beta_-\right)-1\right)
이 퍼텐셜의 벽은 매우 가파르게 증가한다. 시간 의존 "질량"에 해당하는 \Lambda(\Omega)^2가 우주 초기(\Omega\gg1)에는 매우 천천히 변한다. 따라서, 믹스마스터 우주의 빅뱅 근처에서의 시간 변화는 대략 일종의 "당구대" 위의 "당구공"의 운동으로 근사되는데, 이러한 동역학계는 혼돈적 현상을 보이는 대표적인 유이다.

## 성질
믹스마스터 우주가 혼돈적이라는 것은 1996년에 엄밀히 증명되었다.

### 믹스마스터 퍼텐셜
믹스마스터 우주의 퍼텐셜
:V(\beta_+,\beta_-)=1+\frac13\exp(-4\beta_+)-\frac43\exp(-\beta_+)\cosh(\sqrt3\beta_-)+\frac23\exp(2\beta_+)\left(\cosh\left(2\sqrt3\beta_-\right)-1\right)
는 항상 임의의 (\beta_+,\beta_-)\in\mathbb R^2에 대하여 V\ge0을 만족시키며, 원점에서 V(0,0)=0이 성립한다.

원점 근처에서의 매클로린 급수는 다음과 같다.
:V(\beta_+,\beta_-)=2\beta_+^2+2\beta_-^2+O(\beta_+\beta_-^2)+O(\beta_-^4)

이 퍼텐셜은 \beta_-\mapsto-\beta_- 대칭을 가지며, 그 "바닥"은 대략 \beta_+ 축을 대칭축으로 하고, 원점(\beta_+=\beta_-=0)을 중심으로 하는 이등변 삼각형의 모양을 한다.

이 이등변 삼각형의 각 "꼭짓점"은 사실 무한히 계속되는 "골짜기"의 모양을 하며, 이들의 위치는 각각 다음과 같다.
* 1\ll\beta_+ |\beta_-|^{-1}\gg\exp(\beta_+). 이 경우, 퍼텐셜은 다음과 같다.
*:V=1+4\exp(2\beta_+)\beta_-^2+O\left(\exp(2\beta_+)\beta_-^4\right)+O\left(\exp(-\beta_+)\right)
* 1\ll-\beta_+, \beta_-\approx\pm\sqrt3\beta_+. 이 경우, 퍼텐셜은 다음과 같다. 편의상 \beta_-=\pm\sqrt3\beta_+\mp(\ln a)/\sqrt3로 놓자.
*:V=1+\frac13\exp(-4\beta_+)(1-a)^2
+O\left(\exp(2\beta_+)\right)


## 역사
섬네일|right|미스너 (2009년 사진)
섬네일|right|믹스마스터 브랜드 믹서 (1969년~1972년 경 생산)
찰스 윌리엄 미스너(, 1932~)가 1969년에 도입하였다. "믹스마스터"라는 이름은 미국의 가전 제품 회사 선빔프로덕츠(, 舊名 시카고 유연 샤프트 회사 )가 1930년부터 생산하기 시작한 믹서 브랜드 믹스마스터(, 혼합의 달인)에서 딴 것이다.

미스너는 이 모형을 원래 우주론의 지평선 문제를 해결하기 위하여 개발하였다. 빅뱅 초기의 우주가 마치 "믹서"로 뒤섞은 듯한 혼돈적인 현상을 보인다면, 우주가 광역에 걸쳐 등방적인 것을 설명할 수 있기 때문이다. 그러나 실제 우주의 모형으로서, 믹스마스터 우주는 급팽창 이론으로 대체되었다.

## 각주

분류:일반 상대성 이론의 엄밀해