자이베르그 이중성

양자장론에서 **자이베르그 이중성**(זייברג二重性, )은 서로 다른 4차원 \mathcal N=1 초대칭 게이지 이론의 저에너지 유효 이론이 일치하는 현상이다. 즉, 이 두 이론들은 재규격화군 흐름에 의하여 같은 등각 장론 부동점으로 흘러가고, 이 등각 장론은 서로 다른 두 고에너지 이론에 대응하는, 서로 다른 두 개의 변수 집합으로 기술할 수 있다.

## 역사
나탄 자이베르그가 1994년 발견하였다.

## 전개
### 원래 이론과 이중 이론
다음과 같은 4차원 \mathcal N=1 SU(*N*) 초대칭 게이지 이론을 생각하자.
* SU(*N*c) 벡터 초장 (글루온과 글루이노)
* *F*개의 기본 표현 오른손 초장 Q 및 왼손 초장 Q^c (쿼크와 스쿼크)
이에 대응하는 이중 이론은 다음과 같은 초장을 포함하는 4차원 \mathcal N=1 SU(\tilde N) 초대칭 게이지 이론이다.
* 초퍼텐셜은 0이다. 특히, 쿼크 질량은 0이다.
이에 대응하는, 다음과 같은 이중 4차원 \mathcal N=1 SU(*Ñ*) 초대칭 게이지 이론을 생각하자.
* SU(*Ñ*) 벡터 초장 (이중 글루온과 이중 글루이노)
* *F*개의 기본 표현 오른손 초장 Q 및 왼손 초장 Q^c (이중 쿼크와 이중 스쿼크)
* F\otimes\bar F 맛깔 표현의 손지기 초장 M (중간자)
* 초퍼텐셜 \tilde W=M\tilde{Q^c}\tilde Q.
그렇다면 **자이베르그 이중성**에 따라, N+\tilde N=F인 경우, 이 두 이론의 저에너지 재규격화군 부동점은 서로 같다.

두 이론의 대칭군은 SU(F)_L\times SU(F)_R\times U(1)_B\times U(1)_R로 같으며, 이에 대한 장들은 다음과 같다.

### 초대칭 게이지 이론의 상
*F*개의 기본 표현 디랙 페르미온을 포함하는, 4차원 \mathcal N=1 SU(*N*) 초대칭 게이지 이론을 생각하자. 이 경우, 저에너지 유효 이론은 다음과 같은 상들을 가질 수 있다.
* F=0인 경우 (물질이 없는 경우) 이론은 색가둠을 보이며, 낮은 에너지 자유도는 무색의 글루볼이다.
* 0인 경우 양자역학적인 진공이 존재하지 않는다.
* F=N인 경우 이론은 색가둠을 보인다. 이 경우 저에너지 자유도는 무질량 강입자(중간자와 중입자)이다. 이 경우 손지기 대칭 SU(*F*)L×SU(*F*)R이 변칙적으로 부분군으로 깨지며, 정확히 어떤 군이 살아남는지는 모듈러스 공간 위치에 따라 다르다. 이 경우 이중 이론은 무질량 강입자들을 기본 입자로 하고, 게이지 대칭이 없는 손지기 유효 이론(chiral effective theory)이다.
* F=N+1인 경우에도 이론은 색가둠을 보인다. 그러나 이 경우 손지기 대칭이 깨지지 않으며, 고전적 모듈러스 공간이 양자역학적인 보정을 받지 않는다. 이중 이론은 F=N 경우와 마찬가지인 손지기 유효 이론이다.
* N+2\le F\le(3/2)N인 경우, 이론은 자유 자기 상에 있다. 즉, 낮은 에너지에서 결합 상수가 로그 꼴로 발산하고, 반대로 자기 결합 상수는 점근 자유성을 보인다. 낮은 에너지에서 자유 입자는 무질량 중간자와 분수 중입자수 및 자하를 가진 솔리톤이다. 즉, 중입자들이 여러 솔리톤들로 분해된다. 이 입자들은 이중 이론의 기본 입자들에 해당한다.
* (3/2)N인 경우, 재규격화군 흐름에 자명하지 않은 저에너지 부동점이 존재한다. 즉, 저에너지 유효 이론은 일종의 초등각 장론이다. 이 경우 이론은 쿨롱 상에 있다. 이 경우를 **등각 창**()라고 한다.
* 3N\le F인 경우, 이론은 점근 자유성을 상실하고, 자유 전기 상에 있다. 이 경우 쿼크, 스쿼크, 글루온, 글루이노 등 유색 입자들은 가둠을 받지 않고 자유롭다. 높은 에너지에서 이 이론은 란다우 극을 보여, 결합 상수가 무한대로 발산하며, 이론이 더 이상 일관적이지 않게 된다.

자이베르그 이중성은 N+2\le F인 경우에 적용된다. 이 경우 원래 이론과 이중 이론의 상들은 다음과 같다.

### 원래 이론과 이중 이론의 관계
자이베르그 이중성은 S-이중성의 일종이다. 즉, 원래 이론에서 결합 상수가 큰 경우, 이중 이론에서 결합 상수가 작게 된다. 구체적으로, 다음과 같은 대응 관계가 성립한다.
* 원래 이론의 글루온은 이중 이론에서 게이지 자기장이 된다. 즉, 이는 전기-자기 이중성의 일종이다.
* 원래 이론의 쿼크는 이중 이론의 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극이 된다. 반대로, 이중 이론의 쿼크는 원래 이론의 자기 홀극이다.
* 합성 입자인 원래 이론의 중간자 QQ^c들은 이중 이론에서 기본 입자 M으로 대응된다.
* 합성 입자인 원래 이론의 중간자 Q\dots Q들은 이중 이론에서도 합성 입자 \tilde Q\dots\tilde Q가 된다. 그러나 중입자에 포함되는 쿼크 수는 물론 다르다 (원래 이론의 경우 *N*, 이중 이론의 경우 *Ñ*).
* 원래 이론의 가둠 상은 이중 이론의 힉스 상이 된다.
* 두 이론의 대역적인 대칭 SU(F)_L\times SU(F)_R\times U(1)_B\times U(1)_R은 일치한다. 대응되는 장들은 이 대칭에 대하여 같은 양자수들을 가진다.
* 두 이론의 게이지 대칭은 일반적으로 서로 다르다. 그러나 게이지 대칭은 낮은 에너지에서 (가둠 또는 힉스 메커니즘을 통해) 관찰할 수 없으므로 이는 일치하지 않아도 된다.
이중 이론에서 중간자가 기본 입자로 존재하는 것은 손지기 섭동 이론(, χPT)에서 기본 중간자장 U=\exp(iM)를 도입하는 것과 유사하다.

원래 이론이 가둠 상에 있는 경우, 이중 이론에서의 이중 글루온은 힉스 메커니즘을 통해 무게를 얻게 된다. 이는 벡터 중간자인 로 중간자에 해당한다. 로 중간자가 힉스 메커니즘을 거친, 숨겨진 맛깔 게이지 대칭에 대한 게이지 보손이라는 가설은 오래된 개념으로, 이미 1960년대부터 거론되어 왔다. 자이베르그 이중성을 도입하면 이를 엄밀하게 해석할 수 있다.

### 시험
자이베르그 이중성은 여러 가지로 확인해 볼 수 있다.
* 두 이론은 같은 대칭군을 가진다. 또한, 이들을 게이지화하려 할 경우, 이에 대한 변칙들이 일치한다 (변칙 일치 조건).
* 두 이론의 무색 합성 입자(중입자와 중간자)들이 같은 양자수들을 가진다.
* 두 이론의 모듈러스 공간이 일치한다.
* 이는 끈 이론에서 하나니-위튼 전이에서와 유사한 D-막 교차점 유효 이론으로 설명할 수 있다.

## 다른 게이지 군의 자이베르그 이중성
SO(''N'')과 USp(2''N'') 게이지 군의 경우에도 자이베르그 이중성이 존재한다.

### 특수직교군
SO(*N*)의 경우, 자이베르그 이중성은 다음과 같다. 이중 초대칭 게이지 이론은 SO(*Ñ*) 게이지 군을 가지고, 이 경우
:N+\tilde N=F+4
이다.

이 경우 무색 입자들은 다음과 같이 대응한다.

### 심플렉틱 군
USp(2*N*)의 경우, 자이베르그 이중성은 다음과 같다. 이중 초대칭 게이지 이론은 USp(2*Ñ*) 게이지 군을 가지고, 이 경우
:N+\tilde N=F-2
이다.

심플렉틱 군의 경우 중입자가 존재하지 않는다. 이는 레비치비타 기호가 심플렉틱 형식들로 나타내어지기 때문이다. 즉, 중입자 연산자는 중간자 연산자들로 나타낼 수 있다.
:\epsilon_{i_1i_2\dots i_{2N}}=J_{[i_1i_2}J_{i_3i_4}\cdots J_{i_{2N-1}i_{2N}]}

### 예외적 군
예외적 리 군의 경우에 대해서는 아직 확실히 알려진 바가 없다.

## 끈 이론에서의 해석
자이베르그 이중성은 끈 이론에서 하나니-위튼 전이와 같은 꼴로 해석할 수 있다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:양자장론
분류:초대칭
분류:쌍대성이론
분류:끈 이론
분류:양자색역학