치환 적분

미적분학에서 **치환 적분**(置換積分, )은 기존의 변수를 새 변수로 치환하여 적분하는 기법이다.

## 정의
### 부정적분의 경우

구간 I\subseteq\mathbb R와 함수 g\colon I\to\mathbb R 및 f\colon g(I)\to\mathbb R이 주어졌다고 하자.
* 만약 f의 부정적분 F가 존재하고, g가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.
*:\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int f(u)\mathrm du=F(g(x))+C
* 만약 (f\circ g)\cdot g'의 원함수 H가 존재하고, g가 미분 가능 함수이며, 모든 t\in I에 대하여 g'(t)\ne 0이라면, 다음이 성립한다.
*:\int f(x)\mathrm dx=\int f(g(t))g'(t)\mathrm dt=H(g^{-1}(x))+C

### 정적분의 경우

만약 g\colon[a,b]\to\mathbb R가 연속 미분 가능 함수이며, f\colon g([a,b])\to\mathbb R가 연속 함수라면, 다음이 성립한다.
:\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\mathrm dx=\int_a^bf(g(t))g'(t)\mathrm dt

## 증명
부정적분에 대한 첫 번째 명제의 조건에 따라 F'=f이며, g가 미분 가능 함수이므로, 연쇄 법칙을 적용하면 (F\circ g)'=(f\circ g)\cdot g'을 얻는다. 즉, (f\circ g)\cdot g'의 한 원함수는 F\circ g이므로 첫 번째 명제가 성립한다.

부정적분에 대한 두 번째 명제의 조건에 따라 모든 t\in I에 대하여 g'(t)\ne 0이므로, 다르부 정리에 따라 모든 t\in I에 대하여 g'(t)>0이거나 모든 t\in I에 대하여 g'(t)이다. 따라서 g^{-1}는 존재한다. H'=(f\circ g)\cdot g'이며, (g^{-1})'=1/(g'\circ g^{-1})이므로, 다음이 성립한다.
:(H\circ g^{-1})'=(H'\circ g^{-1})\cdot(g^{-1})'=f\cdot(g'\circ g^{-1})\cdot\frac 1{g'\circ g^{-1}}=f
즉, f의 한 원함수는 H\circ g^{-1}이므로 두 번째 명제가 성립한다.

정적분에 대한 명제의 조건에 따라 f와 (f\circ g)\cdot g'는 연속 함수이므로, 원함수가 존재한다. 연쇄 법칙에 따라, f의 한 원함수를 F라고 하면, (f\circ g)\cdot g'의 한 원함수는 F\circ g이다. 미적분학의 기본 정리에 따라 다음이 성립하므로, 명제가 성립한다.
:\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\mathrm dx=\bigg[F(x)\bigg]_{g(a)}^{g(b)}=F(g(b))-F(g(a))=\bigg[F(g(t))\bigg]_{a}^{b}=\int_a^bf(g(t))g'(t)\mathrm dt

## 예 (부정적분)
### 첫째 예 (부정적분)
부정적분
:\int\sqrt{2x+1}\mathrm dx
에서 u=2x+1이라고 하자. 그러면 \mathrm du=2\mathrm dx이므로 \mathrm dx=(\mathrm du)/2이다. 따라서 다음이 성립한다.
:\begin{align}\int\sqrt{2x+1}\mathrm dx
&=\int\sqrt u\cdot\frac{\mathrm du}2\\
&=\frac 12\int u^{1/2}\mathrm du\\
&=\frac 12\frac{u^{3/2}}{3/2}+C\\
&=\frac 13u^{3/2}+C\\
&=\frac 13(2x+1)^{3/2}+C
\end{align}

### 둘째 예 (부정적분)
부정적분
:\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx
에서 u=x^2+1이라고 하자. 그러면 \mathrm du=2x\mathrm dx이므로 x\mathrm dx=(\mathrm du)/2이다. 따라서 다음이 성립한다.
:\begin{align}\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx
&=\frac 12\int\frac{\mathrm du}u\\
&=\left ( \frac{1}{2} \right  )\ln|u|+C\\
&=\left ( \frac{1}{2} \right )\ln(x^2+1)+C
\end{align} 
치환 적분 기법에 익숙할 경우 다음과 같이 두 변수 사이의 치환을 생략해도 좋다.
:\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx
=\frac 12\int\frac{\mathrm d(x^2+1)}{x^2+1}
=\frac 12\ln(x^2+1)+C


### 셋째 예 (부정적분)
부정적분
:\int\tan x\mathrm dx
에서 u=\cos x라고 하자. 그러면 \mathrm du=-\sin x\mathrm dx이므로 \sin x\mathrm dx=-\mathrm du이다. 따라서 다음이 성립한다.
:\begin{align}\int\tan x\mathrm dx
&=\int\frac{\sin x}{\cos x}\mathrm dx\\
&=-\int\frac{\mathrm du}u\\
&=-\ln|u|+C\\
&=-\ln|\cos x|+C\\
&=\ln|\sec x|+C
\end{align}

### 넷째 예 (부정적분)
부정적분
:\int\frac{\ln x}x\mathrm dx
에서 (\mathrm dx)/x=\mathrm d(\ln x)이므로 다음이 성립한다.
:\int\frac{\ln x}x\mathrm dx=\int\ln x\mathrm d(\ln x)=\frac 12(\ln x)^2+C

### 다섯째 예 (부정적분)
부정적분
:\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x+\sqrt[3]x}
에서 x=t^6이라고 하자. 그러면 \mathrm dx=6t^5\mathrm dt이므로 다음이 성립한다.
:\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x+\sqrt[3]x}
&=6\int\frac{t^5}{t^3+t^2}\mathrm dt\\
&=6\int\frac{t^3}{t+1}\mathrm dt\\
&=6\int\left(t^2-t+1-\frac 1{t+1}\right)\mathrm dt\\
&=2t^3-3t^2+6t-6\ln|1+t|+C\\
&=2\sqrt x-3\sqrt[3]x+6\sqrt[6]x-6\ln|1+\sqrt[6]x|+C
\end{align}

## 예 (정적분)
### 첫째 예 (정적분)
정적분
:\int_0^{2\pi}2x\cos x^2\mathrm dx
에서 u=x^2라고 하자. 그러면 2x\mathrm dx=\mathrm du이다. 또한 x=0일 때 u=0이며 x=2\pi일 때 u=4\pi^2이다. 따라서 다음이 성립한다.
:\begin{align}\int_0^{2\pi}2x\cos x^2\mathrm dx
&=\int_0^{4\pi^2}\cos u\mathrm du\\
&=\bigg[\sin u\bigg]_0^{4\pi^2}\\
&=\sin 4\pi^2
\end{align}

### 둘째 예 (정적분)
정적분
:\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx\qquad(a>0)
에서 x=a\sin t (0\le t\le\pi/2)라고 하자. 그러면 \mathrm dx=a\cos t\mathrm dt이다. 또한 다음이 성립한다.
:\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}=\sqrt{a^2\cos^2t}=a\cos t
마지막에 양수를 취한 것은 모든 0\le t\le\pi/2에 대하여 \cos t>0이기 때문이다. 또한 x=0일 때 t=0이며, x=a일 때 t=\pi/2이므로, 다음이 성립한다.
:\begin{align}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx
&=a^2\int_0^{\pi/2}\cos^2t\mathrm dt\\
&=\frac{a^2}2\int_0^{\pi/2}(1+\cos 2t)\mathrm dt\\
&=\frac{a^2}2\bigg[t+\frac 12\sin 2t\bigg]_0^{\pi/2}\\
&=\frac\pi 4a^2
\end{align}
이는 사분원의 넓이 공식과 일치한다.

## 응용
### 홀함수와 짝함수의 적분
치환 적분을 통해 대칭적인 함수의 대칭적인 구간 위의 적분에 대한 공식을 증명할 수 있다. f\colon[-a,a]\to\mathbb R가 연속 함수라고 하자.
* 만약 f가 홀함수라면 (모든 x\in[-a,a]에 대하여 f(-x)=-f(x)라면), 다음이 성립한다.
*:\int_{-a}^af(x)\mathrm dx=0
* 만약 f가 짝함수라면 (모든 x\in[-a,a]에 대하여 f(-x)=f(x)라면), 다음이 성립한다.
*:\int_{-a}^af(x)\mathrm dx=2\int_0^af(x)\mathrm dx
이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 만약 f가 홀함수라면, 치환 적분 x=-t을 쓴 뒤 f(-t)=-f(t)를 대입하면 다음을 얻으므로 원하는 명제가 성립한다.
:\int_{-a}^0f(x)\mathrm dx=\int_0^af(-t)\mathrm dt=-\int_0^af(t)\mathrm dt=-\int_0^af(x)\mathrm dx
만약 f가 짝함수라면,  치환 적분 x=-t을 쓴 뒤 f(-t)=f(t)를 대입하면 다음을 얻으므로 원하는 명제가 성립한다.
:\int_{-a}^0f(x)\mathrm dx=\int_0^af(-t)\mathrm dt=\int_0^af(t)\mathrm dt=\int_0^af(x)\mathrm dx

### 주기 함수의 적분
치환 적분을 통해 주기 함수의 한 주기 동안의 적분이 어디에서나 같음을 증명할 수 있다. f\colon\mathbb R\to\mathbb R가 T>0를 주기로 가지는 연속 함수라고 하자. 그렇다면 임의의 a\in\mathbb R에 대하여 다음이 성립한다.
:\int_a^{a+T}f(x)\mathrm dx=\int_0^Tf(x)\mathrm dx
이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 치환 적분 x=t+T를 쓴 뒤 f(t+T)=f(t)를 대입하면 다음을 얻는다.
:\int_T^{a+T}f(x)\mathrm dx=\int_0^af(t+T)\mathrm dt=\int_0^af(t)\mathrm dt=\int_0^af(x)\mathrm dx
따라서 다음이 성립하므로, 원하는 명제가 성립한다.
:\int_a^{a+T}f(x)\mathrm dx=\left(\int_a^0+\int_0^T+\int_T^{a+T}\right)f(x)\mathrm dx=\int_0^Tf(x)\mathrm dx

## 같이 보기
* 부정적분#치환 적분
* 리만 적분#치환 적분
* 변수 변환
* 삼각 치환
* 쌍곡 치환
* 바이어슈트라스 치환
* 오일러 치환
* 부분 적분

## 각주

## 외부 링크
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분류:적분학