비 해석적 매끄러운 함수

수학에서, 매끄러운 함수(무한히 미분가능한 함수)와 해석함수 는 가장 중요한 함수의 유형이다. 어떠한 실수 인자를 가지는 해석함수는 매끄럽다는것은 쉽게 증명된다. 아래의 반례와 같이 그 역은 참이 아니다

콤팩트 지지 매끄러운 함수 의 중요한 적용 중 하나는 로랑 슈바르츠의 분포이론과 같은 일반화 함수이론에서 중요한 소위 말하는 완화자의 생성의 역할을 하는 것이다.

매끄럽지만 비 해석적인 함수의 존재는 미분기하학과 해석 기하학의 핵심적인 차이점을 나타낸다. 층 이론에서, 이 차이점은 다음과 같이 설명할 수 있다: 해석적인 경우와 비교해서 미분가능한 다양체에서 미분가능한 함수의 층은 단사층이다.

다음 함수는 보통 미분가능한 다양체에서 단위 분할을 만들 때 사용된다.

## 함수의 예시

### 함수의 정의
오른쪽|프레임|문서에서 다뤄지는 비 해석적 매끄러운 함수이다.
다음의 모든 실수 *x*에서 정의된 함수를 생각해보자:
: f(x)=\begin{cases}\exp(-1/x)&\text{if }x>0,\\ 0&\text{if }x\le0,\end{cases}

### 이 함수는 매끄럽다
함수 *f*는 실선의 모든 점 *x*에서 모든 차수의 연속적인 미분이 존재한다:
: f^{(n)}(x) = \begin{cases}\displaystyle\frac{p_n(x)}{x^{2n}}\,f(x) & \text{if }x>0, \\ 0 &\text{if }x \le 0,\end{cases}
여기서 *p<sub>n</sub>*(*x*)은 *p*1(*x*)&nbsp;=&nbsp;1과 다음 수식에서 재귀적으로 주어진 n − 1차 다항식이다:
: p_{n+1}(x)=x^2p_n'(x)-(2nx-1)p_n(x),\qquad n\in\mathbb{N}.

#### 증명의 개요
증명은 음이 아닌 정수 *m*에 대한 다음의 사실로부터 전개된다:
: \lim_{x\searrow0} \frac{e^{-1/x}}{x^m} = 0.
이것은 모든 *f*&nbsp;(*n*) 은 연속이고 *x*&nbsp;=&nbsp;0에서 미분가능하다는것을 다음의 이유로 내포한다:
: \lim_{x\searrow0} \frac{f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0)}{x-0} = \lim_{x\searrow0} \frac{p_n(x)}{x^{2n+1}}\,e^{-1/x} = 0.

#### 상세 증명
지수 함수의 멱급수 표현에 의해, 우리는 0을 포함한 모든 자연수 *m*에 대하여 다음과 같은 식을 얻는다:
: \frac1{x^m}=x\Bigl(\frac1{x}\Bigr)^{m+1}\le (m+1)!\,x\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\Bigl(\frac1x\Bigr)^n
=(m+1)!\,x\exp\Bigl(\frac1x\Bigr),\qquad x>0,
왜냐하면 *n*&nbsp;≠&nbsp;*m*&nbsp;+&nbsp;1인 모든 양의 항들이 더해지기 때문이다. 따라서 지수 함수의 함수식을 이용하면 다음과 같다:
: \lim_{x\searrow0}\frac{e^{-1/x}}{x^m}
\le (m+1)!\lim_{x\searrow0}x=0.
이제 수학적 귀납법으로 f 의 n차 미분에 대한 공식을 증명한다..연쇄 법칙과 역함수의 미분 법칙, 지수함수의 도함수가 다시 도함수인 성질을 이용해서 *x *> 0이고, *p*1(x)가 0차 다항식일 때 *f*의 일계도함수의 식이 성립함을 볼 수 있다. 당연히 *f*의 일계도함수는 *x*&nbsp;f'(0)=\lim_{x\searrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\searrow0}\frac{e^{-1/x}}{x}=0.
*n*에서 *n*&nbsp;+&nbsp;1으로 가는 과정은 유사하다. *x*&nbsp;>&nbsp;0일 때 우리는 다음 도함수를 얻을 수 있다:
: \begin{align}f^{(n+1)}(x)
&=\biggl(\frac{p'_n(x)}{x^{2n}}-2n\frac{p_n(x)}{x^{2n+1}}+\frac{p_n(x)}{x^{2n+2}}\biggr)f(x)\\
&=\frac{x^2p'_n(x)-(2nx-1)p_n(x)}{x^{2n+2}}f(x)\\
&=\frac{p_{n+1}(x)}{x^{2(n+1)}}f(x),\end{align}
여기서* p**n*+1(*x*)은 *n*&nbsp;= (*n*&nbsp;+&nbsp;1)&nbsp;&#x2212;&nbsp;1차 다항식이다. 물론 *x* &nbsp;(*n*)의 우미분계수는 다음과 같다:
: \lim_{x\searrow0} \frac{f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0)}{x-0} = \lim_{x\searrow0} \frac{p_n(x)}{x^{2n+1}}\,e^{-1/x} = 0.

### 이 함수는 비 해석적이다
앞에서 봤듯이 함수 *f*는 매끄럽고 원점에서 모든 미분계수는&nbsp;0이다. 따라서 원점에서 *f*의 테일러 급수는 항상 0이다.
: \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{0}{n!}x^n = 0,\qquad x\in\mathbb{R},
그리고 테일러 급수는 x > 0에서 *f*(*x*)와 같지 않다. 따라서 *f*는 원점에서 해석적이지 않다. 이 과정은 실수가 아닌 복소수를 변수로 가지는 미분 가능한 복소함수에서는 일어나지 않는다. 사실 모든 정칙함수의 해석성이기 때문에 *f*가 무한히 미분가능함에도 불구하고 해석적이지 않다는 점은 실해석학과 복소해석학의 가장 큰 차이점을 나타낸다.

함수 *f*가 실수 선에서 모든 차수의 도함수를 가지고 있지만, 양의 실수 절반 *x *> 0에서부터 다음의 함수와 같은 복소평면에서 *f*의 해석적 연속성을 보라.
: \mathbb{C}\setminus\{0\}\ni z\mapsto \exp(-1/z)\in\mathbb{C},
이 함수는 본질적 특이점을 가지고 있다. 따라서 연속적이지도 않으며, 덜 해석적이다. 피카르의 정리에 의해서 이것은 원점 주변에서 무한히 자주 0을 제외한 모든 복소수를 얻는다.

### 매끄러운 전이 함수
오른쪽|프레임|여기서 정의한 0에서 1까지의 매끄러운 전이함수 ''g''를 나타낸 그래프이다.

: g(x)=\frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)},\qquad x\in\mathbb{R},
이 함수는 엄밀히 실수 전체에서 양수이기 때문에 *g*는 매끄럽다. 게다가 x ≤ 0에서 *g*(*x*)&nbsp;=&nbsp;0이고 x ≥ 1에서 *g*(*x*)&nbsp;=&nbsp;1이다. 따라서 따라서 이 함수는 단위 구간 [0,1]에서 0에서 1까지 매끄러운 전이를 제공한다. *a* \mathbb{R}\ni x\mapsto g\Bigl(\frac{x-a}{b-a}\Bigr).
실수 에서, 다음의 매끄러운 함수
: \mathbb{R}\ni x\mapsto g\Bigl(\frac{x-a}{b-a}\Bigr)\,g\Bigl(\frac{d-x}{d-c}\Bigr)
는 닫힌 구간 *b*,*c* 구간 (*a*,*d*) 외부에서 0이된다.

## 어떤 점도 해석적이지 않은 매끄러운 함수
오른쪽|섬네일|여기서 나오는 모든 점에서 매끄럽지만 어떤 점에서도 해석적이지 않는 함수의 근사이다. 이 부분합은 k=2<sup>0</sup>에서 2<sup>500</sup>까지를 취한다.
무한히 미분 가능하지만 어떤 점에서도 비 해석적인 더 과정적인 예는 다음과 같이 푸리에 급수의 평균을 이용하여 만들 수 있다. *A*&nbsp;:=&nbsp;{&nbsp;2*n* : *n*&nbsp;∈&nbsp;**N**&nbsp;}를 2의 모든 거듭제곱의 집합이라고 하자, 그리고 모든 *x*&nbsp;∈&nbsp;**R **에서 정의하자
: F(x):=\sum_{k\in A} e^{-\sqrt{k}}\cos(kx)\ .
여기서  급수 \sum_{k\in A} e^{-\sqrt{k}}k^n 는 모든 *n*&nbsp;∈&nbsp;**N**에서 수렴하며, 이 함수는 바이어슈트라스 M-판정법의 표준 유도 응용에 의해 쉽게 C∞의 원소라는 것을 알 수 있어서 각 급수의 도함수의 균등수렴을 증명할 수 있다. 게다가 π의 어떠한 이진 유리수배에 대해서, 즉 p ∈ **N**이고 *q* ∈ A 이며, n ≥ 4 이고 n > q인 모든 n ∈ A 차수의 도함수 에서인 ,  모든 *x*&nbsp;:=&nbsp;π·*<sup>&nbsp;p</sup>/<sub>q</sub>*에서 다음을 얻을 수 있다.
: F^{(n)}(x):=\sum_{k\in A} e^{-\sqrt{k}} k^n\cos(kx)  = \sum_{k\in A\atop k>q} e^{-\sqrt{k}} k^n+\sum_{k\in A\atop k\le q} e^{-\sqrt{k}} k^n\cos(kx) \ge  e^{-\sqrt{n}} n^n  + O(q^n)\quad  (\mathrm{as}\; n\to \infty)
여기서 우리는 모든 *k*&nbsp;>&nbsp;*q*에서 cos(kx) = 1이라는 사실을 사용했다. 결과적으로 그러한 어떤 *x*&nbsp;∈&nbsp;**R**에서
: \limsup_{n\to\infty} \left(\frac{n!}\right)^{1/n}=+\infty\, ,
코시-아다마르 정리에 의해서 x에서 *F*의 수렴반경은 0이 된다. 함수의 해석성의 집합은 열린집합이고 이진 유리수들은 밀도가 높기 때문에 *F*는 **R**의 어떠한 점에서도 해석적이지 않다는 결론을 내릴 수 있다.

## 테일러 급수의 적용
실수 또는 복소수의 모든 수열 α0, α1, α2, .&nbsp;.&nbsp;. 에 대해서, 다음은 이 수들을 수직선의 원점에서 미분계수로 가지는 매끄러운 함수 *F*가 존재함을 나타낸다. 특히 모든 수열의 숫자는 매끄러운 함수의 테일러 급수의 계수로 나타날 수 있다. 이 결과는 에밀 보렐 이후 보렐의 보조정리로 알려져 있다.

위에서 정의한 매끄러운 전이 함수 g를 사용하여 정의 하면ː
: h(x)=g(2+x)\,g(2-x),\qquad x\in\mathbb{R}.
이 함수 *h*역시 매끄럽다; 이 함수는 닫힌 구간 &#x2212;1,1 열린 구간 (&#x2212;2,2)의 외부에서는 사라진다. *h*를 사용하여 0을 포함한 모든 자연수에 대하여 매끄러운 함수를 정의한다ː
: \psi_n(x)=x^n\,h(x),\qquad x\in\mathbb{R},
이는 구간 [−1,1]에서 단항식 *x<sup>n</sup>*과 일치하고 구간 (&#x2212;2,2) 외부에서는 사라진다. 따라서 원점에서 *ψ<sub>n</sub>*의 *k*차 미분계수는 다음을 만족한다
: \psi_n^{(k)}(0)=\begin{cases}n!&\text{if }k=n,\\0&\text{otherwise,}\end{cases}\quad k,n\in\mathbb{N}_0,
그리고 최대 최소 정리는 *ψ<sub>n</sub>*과 *ψ<sub>n</sub>*의 모든 도함수들이 유계함수라는 것을 내포한다. 따라서 상수
: \lambda_n=\max\bigl\{1,|\alpha_n|,\|\psi_n\|_\infty,\|\psi_n^{(1)}\|_\infty,\ldots,\|\psi_n^{(n)}\|_\infty\bigr\},\qquad n\in\mathbb{N}_0,
of *ψ<sub>n</sub>*의 균등 수렴 위상과 그것의 첫번째 *n* 도함수를 포함해서 잘 정의된 실수이다. 크기를 조절한 함수를 정의한다ː
: f_n(x)=\frac{\alpha_n}{n!\,\lambda_n^n}\psi_n(\lambda_n x),\qquad n\in\mathbb{N}_0,\;x\in\mathbb{R}.
연쇄 법칙을 반복적으로 적용한다
: f_n^{(k)}(x)=\frac{\alpha_n}{n!\,\lambda_n^{n-k}}\psi_n^{(k)}(\lambda_n x),\qquad k,n\in\mathbb{N}_0,\;x\in\mathbb{R},
이전에 계산한 0에서 *ψ<sub>n</sub>*의 *k*차 미분계수를 사용하면
: f_n^{(k)}(0)=\begin{cases}\alpha_n&\text{if }k=n,\\0&\text{otherwise,}\end{cases}\qquad k,n\in\mathbb{N}_0.
우리가 구하고자 하는 함수는 다음과 같다ː
: F(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x),\qquad x\in\mathbb{R},
이것은 잘 정의되어 있고, 순차적으로 무한히 미분할 수 있다. 이를 위해 모든 *k*에 대해서 보자
: \sum_{n=0}^\infty\|f_n^{(k)}\|_\infty
\le \sum_{n=0}^{k+1}\frac{n!\,\lambda_n^{n-k}}\|\psi_n^{(k)}\|_\infty
+\sum_{n=k+2}^\infty\frac1{n!}
\underbrace{\frac1{\lambda_n^{n-k-2}}}_{\le\,1}
\underbrace{\frac{\lambda_n}}_{\le\,1}
\underbrace{\frac{\|\psi_n^{(k)}\|_\infty}{\lambda_n}}_{\le\,1}

남은 무한급수는 비판정법에 의해 수렴한다

## 고 차원으로 적용
오른쪽|섬네일|280x280픽셀|일차원에서의 함수 &#x3A8;<sub>1</sub>(''x'')를 나타낸 것이다
모든 반경 *r*&nbsp;>&nbsp;0에 대하여,
: \mathbb{R}^n\ni x\mapsto \Psi_r(x)=f(r^2-\|x\|^2)
유클리드 노름 ||*x*||과 함께 *n*차원 유클리드 공간에서* *반경이 *r*인 공을 지지집합으로 가지는 매끄러운 함수를 정의하지만 \Psi_r(0)>0.

## 같이 보기
* 범프 함수
* 파비우스 함수
* 플랫 함수
* 완화자

## 출처

## 외부 링크
* 

분류:매끄러운 함수