진동

[right|frame|감쇠가 없는 [조화 진동자#용수철-질량 계|용수철-질량 계는 진동하는 시스템이다.]]

**진동**(振動, oscillation)은 어떤 중심값(종종 평형점)을 기준으로 또는 두 개 이상의 서로 다른 상태 사이에서 일반적으로 시간에 따라 반복적이거나 주기적으로 변하는 현상을 말한다. 진동의 친숙한 예로는 흔들리는 진자와 교류가 있다. 물리학에서 진동은 원자 사이의 상호작용과 같은 복잡한 상호작용을 근사화하는 데 사용될 수 있다.

진동은 기계적 시스템뿐만 아니라 과학의 거의 모든 분야의 동역학계에서 발생한다. 예를 들어 (순환을 위한) 인간의 심장 박동, 경제학의 경기순환, 생태학의 포식자-피식자 개체군 주기, 지질학의 지열 간헐천, 기타 및 기타 현악기의 줄의 진동, 뇌에 있는 신경 세포의 주기적인 발화, 천문학의 세페이드 변광성의 주기적인 팽창 등이 있다. 진동(vibration)이라는 용어는 기계적인 진동을 설명할 때 정밀하게 사용된다.

진동, 특히 급격한 진동은 안정 상태로의 수렴을 목표로 하는 공정 제어 및 제어이론(예: 슬라이딩 모드 제어)에서 바람직하지 않은 현상일 수 있다. 이러한 경우 밸브 채터링이나 경로 플래핑과 같이 채터링(chattering) 또는 플래핑(flapping)이라고 불린다.

## 단순 조화 진동

가장 단순한 기계적 진동 시스템은 무게와 장력만을 받는 선형 용수철에 연결된 무게이다. 이러한 시스템은 에어 테이블이나 얼음 표면에서 근사화될 수 있다. 용수철이 정지해 있을 때 시스템은 평형 상태에 있다. 시스템이 평형 상태에서 벗어나면 질량에 알짜 복원력이 작용하여 평형 상태로 되돌리려 한다. 그러나 질량을 평형 위치로 되돌리는 과정에서 질량은 운동량을 얻게 되어 그 위치를 지나쳐 계속 이동하게 되고, 반대 방향으로 새로운 복원력을 형성한다. 중력과 같은 일정한 힘이 시스템에 추가되면 평형점이 이동한다. 진동이 일어나는 데 걸리는 시간을 종종 진동 주기라고 한다.

용수철-질량 계의 동역학과 같이 물체에 작용하는 복원력이 변위에 직접 비례하는 계는 수학적으로 단순 조화 진동자로 설명되며, 규칙적인 주기 운동은 단순 조화 운동으로 알려져 있다. 용수철-질량 계에서 진동이 발생하는 이유는 정지 평형 변위에서 질량이 운동 에너지를 가지고 있으며, 이것이 경로의 끝에서 용수철에 저장된 위치 에너지로 변환되기 때문이다. 용수철-질량 계는 진동의 몇 가지 공통적인 특징, 즉 평형의 존재와 시스템이 평형에서 멀어질수록 강해지는 복원력의 존재를 보여준다.

용수철-질량 계의 경우, 훅의 법칙에 따라 용수철의 복원력은 다음과 같다.
F = -kx

뉴턴의 제2법칙을 사용하면 다음과 같은 미분 방정식을 유도할 수 있다.
\ddot{x} = -\frac km x = -\omega^2 x,
여기서 \omega = \sqrt{k/m}이다.

이 미분 방정식의 해는 다음과 같은 사인파 위치 함수를 생성한다.
x(t) = A \cos (\omega t - \delta)

여기서 는 진동의 진동수이고, 는 진폭, 는 함수의 위상 이동이다. 이들은 시스템의 초기 조건에 의해 결정된다. 코사인은 1과 -1 사이를 무한히 진동하기 때문에, 우리의 용수철-질량 계는 마찰이 없다면 양의 진폭과 음의 진폭 사이를 영원히 진동할 것이다.

## 2차원 진동자
2차원 또는 3차원에서 조화 진동자는 1차원과 유사하게 행동한다. 가장 단순한 예는 등방성 진동자로, 복원력이 모든 방향에서 동일한 복원 상수를 가지고 평형으로부터의 변위에 비례한다.
\vec{F} = -k\vec{r}

이는 유사한 해를 생성하지만, 이제 모든 방향에 대해 서로 다른 방정식이 존재한다.
\begin{align}
x(t) &= A_x \cos(\omega t - \delta _x), \\
y(t) &= A_y \cos(\omega t - \delta_y), \\
& \;\, \vdots
\end{align}

### 비등방성 진동자
비등방성 진동자의 경우, 방향에 따라 복원력의 상수가 다르다. 해는 등방성 진동자와 유사하지만, 각 방향의 진동수가 다르다. 서로에 대한 진동수를 변화시키면 흥미로운 결과를 얻을 수 있다. 예를 들어, 한 방향의 진동수가 다른 방향의 두 배이면 숫자 8 모양의 패턴이 생성된다. 진동수의 비율이 무리수이면 운동은 준주기적이다. 이 운동은 각 축에서는 주기적이지만, r에 대해서는 주기적이지 않으며 결코 반복되지 않는다.

## 감쇠 진동

섬네일|감쇠 강도가 증가함에 따른 감쇠 진동자의 위상도
모든 실제 세계의 진동자 시스템은 열역학적으로 가역적이지 않다. 이는 마찰력이나 전기저항과 같이 진동자에 저장된 에너지의 일부를 환경의 열로 지속적으로 변환하는 소산 과정이 존재함을 의미한다. 이를 감쇠라고 한다. 따라서 시스템에 순수 에너지원이 없는 한 진동은 시간에 따라 감쇠하는 경향이 있다. 이 감쇠 과정의 가장 단순한 설명은 조화 진동자의 진동 감쇠로 예시될 수 있다.

감쇠 진동자는 위치의 1차 도함수, 즉 이 경우에는 속도에 의존하는 저항력이 도입될 때 생성된다. 뉴턴의 제2법칙에 의해 생성된 미분 방정식은 임의의 상수 와 함께 이 저항력을 추가한다. 이 예에서는 속도에 대한 선형 의존성을 가정한다.
m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0

이 방정식은 이전과 같이 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
\ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + \omega_0^2x = 0,
여기서 2 \beta = \frac b m이다.

이는 다음과 같은 일반해를 생성한다.
x(t) = e^{- \beta t} \left(C_1e^{\omega _1 t} + C_2 e^{- \omega_1t}\right),
여기서 \omega_1 = \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}이다.

괄호 밖의 지수 항은 감쇠 함수이고 는 감쇠 계수이다. 감쇠 진동자에는 세 가지 범주가 있다: 인 미달 감쇠(under-damped), 인 과감쇠(over-damped), 그리고 인 임계 감쇠(critically damped)이다.

## 강제 진동
또한, 진동 시스템은 교류 전자 회로가 외부 전원에 연결된 경우와 같이 외부 힘의 영향을 받을 수 있다. 이 경우의 진동을 강제 진동이라고 한다.

가장 단순한 예는 사인파 구동력을 가진 용수철-질량 계이다.
\ddot{x} + 2 \beta\dot{x} + \omega_0^2 x = f(t),여기서 f(t) = f_0 \cos(\omega t + \delta)이다.

이는 다음과 같은 해를 제공한다. x(t) = A \cos(\omega t - \delta) + A_{tr} \cos(\omega_1 t - \delta_{tr}),
여기서 A = \sqrt{\frac {f_0^2} {(\omega_0^2 - \omega ^2)^2 + 4 \beta^2 \omega^2}} 이고 \delta = \tan^{-1}\left(\frac {2 \beta \omega} {\omega_0^2 - \omega^2}\right)이다.

의 두 번째 항은 미분 방정식의 과도해(transient solution)이다. 과도해는 시스템의 초기 조건을 사용하여 찾을 수 있다.

일부 시스템은 환경으로부터의 에너지 전달에 의해 들떠질 수 있다. 이러한 전달은 일반적으로 시스템이 어떤 유체 흐름 속에 놓여 있을 때 발생한다. 예를 들어, 공기역학의 플러터(flutter) 현상은 항공기 날개의 (평형으로부터의) 임의의 작은 변위가 공기 흐름에 대한 날개의 받음각을 증가시키고 결과적으로 양력 계수를 증가시켜 더 큰 변위를 유발할 때 발생한다. 충분히 큰 변위에서는 날개의 뻣뻣함이 복원력을 제공하여 진동을 가능하게 한다.

### 공명
공명은 ω = ω0일 때, 즉 구동 진동수가 시스템의 고유 진동수와 같을 때 감쇠 강제 진동자에서 발생한다. 이 현상이 발생하면 진폭의 분모가 최소화되어 진동의 진폭이 최대화된다.

## 결합 진동
frame|right|실에 고정된 주기가 같은 두 진자는 결합된 진동자 쌍으로 작용한다. 진동은 두 진자 사이를 번갈아 나타난다.
조화 진동자와 그것이 모델링하는 시스템은 단일 자유도를 가진다. 더 복잡한 시스템은 더 많은 자유도를 가지는데, 예를 들어 두 개의 질량과 세 개의 용수철(각 질량은 고정된 지점과 서로에게 연결됨)이 있는 경우이다. 이러한 경우 각 변수의 동작은 다른 변수의 동작에 영향을 미친다. 이는 개별 자유도의 진동 결합으로 이어진다. 예를 들어, 공통 벽에 설치된 (진동수가 동일한) 두 개의 진자 시계는 동기화되는 경향이 있다. 이 현상은 1665년 크리스티안 하위헌스에 의해 처음 관찰되었다. 복합 진동의 겉보기 운동은 일반적으로 매우 복잡해 보이지만, 운동을 일반 모드로 분해함으로써 더 경제적이고 계산적으로 간단하며 개념적으로 깊은 설명을 제공할 수 있다.

결합 진동자의 가장 단순한 형태는 질량과 용수철 상수가 동일한 3개의 용수철과 2개의 질량 시스템이다. 이 문제는 두 질량에 대해 뉴턴의 제2법칙을 유도하는 것에서 시작한다.
\begin{cases}
m_1 \ddot{x}_1 = -(k_1 + k_2)x_1 + k_2 x_2 \\
m_2\ddot{x}_2 = k_2 x_1 - (k_2+k_3)x_2
\end{cases}

그런 다음 방정식은 행렬 형태로 일반화된다.
F = M\ddot{x} = kx,
여기서 M=\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}, 그리고 k = \begin{bmatrix} k_1+k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2+k_3 \end{bmatrix}이다.

와 의 값을 행렬에 대입할 수 있다.
\begin{align}
m_1=m_2=m ,\;\; k_1=k_2=k_3=k, \\
M = \begin{bmatrix} m & 0 \\ 0 & m \end{bmatrix}, \;\; k=\begin{bmatrix} 2k & -k \\ -k & 2k \end{bmatrix}
\end{align}

이제 이 행렬들을 일반해에 대입할 수 있다.
\begin{align}
\left(k-M \omega^2\right) a &= 0 \\
\begin{bmatrix} 2k-m \omega^2 & -k \\ -k & 2k - m \omega^2 \end{bmatrix} &= 0
\end{align}

이 행렬의 행렬식은 이차 방정식을 생성한다.
\begin{align}
&\left(3k-m \omega^2\right)\left(k-m \omega^2\right)= 0 \\
&\omega_1 = \sqrt{\frac km} , \;\; \omega_2 = \sqrt{\frac {3k} m}
\end{align}

질량의 시작 지점에 따라 이 시스템은 2가지 가능한 진동수(또는 이 둘의 조합)를 가진다. 질량이 같은 방향의 변위로 시작하면 중간 용수철이 늘어나지 않기 때문에 진동수는 단일 질량 시스템의 진동수와 같다. 두 질량이 반대 방향으로 시작하면 시스템의 진동수는 더 빠른 두 번째 진동수가 된다.

더 특별한 경우는 에너지가 두 가지 형태의 진동 사이를 교대로 오가는 결합 진동자이다. 윌버포스 진자가 잘 알려져 있는데, 여기서 진동은 수직 용수철의 연장과 그 용수철 끝에 매달린 물체의 회전 사이를 번갈아 가며 일어난다.
섬네일|514x514px|3개의 블록과 5개의 용수철이 있는 결합 조화 진동자의 시뮬레이션.
결합 진동자는 관련된 두 가지 서로 다른 현상에 대한 일반적인 설명이다. 한 가지 사례는 두 진동이 서로 상호작용하여 두 진동이 절충된 진동수로 진동하는 단일 동조 진동 상태가 발생하는 경우이다. 다른 사례는 외부 진동이 내부 진동에 영향을 미치지만 내부 진동은 외부 진동에 영향을 미치지 않는 경우이다. 이 경우 아놀드 혀(Arnold Tongue)로 알려진 동기화 영역은 예를 들어 혼돈 동역학과 같은 매우 복잡한 현상으로 이어질 수 있다.

## 작은 진동 근사
물리학에서 보존력과 평형점을 가진 시스템은 평형 근처에서 조화 진동자로 근사될 수 있다. 이에 대한 예로 레너드-존스 퍼텐셜이 있으며, 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다.
U(r) = U_0 \left[ \left(\frac{r_0} r \right)^{12} - \left(\frac{r_0} r \right)^6 \right]

함수의 평형점은 다음과 같이 구해진다.
\begin{align}
\frac{dU}{dr} &= 0 = U_0 \left[-12 r_0^{12} r^{-13} + 6r_0^6r^{-7}\right] \\
\Rightarrow r &\approx r_0
\end{align}

그런 다음 2차 도함수를 구하고 이를 유효 퍼텐셜 상수로 사용한다.
\begin{align}
\gamma_\text{eff} &= \left.\frac{d^2U}{dr^2} \right|_{r=r_0} = U_0 \left[ 12(13) r_0^{12} r^{-14} - 6 (7) r_0^6 r^{-8} \right] \\[1ex]
&= \frac{114 U_0}{r^2}
\end{align}

시스템은 평형점 근처에서 진동하게 된다. 이러한 진동을 만드는 힘은 위의 유효 퍼텐셜 상수로부터 유도된다.
F= - \gamma_\text{eff}(r-r_0) = m_\text{eff} \ddot r

이 미분 방정식은 단순 조화 진동자의 형태로 다시 쓸 수 있다.
\ddot r + \frac {\gamma_\text{eff}} {m_\text{eff}} (r-r_0) = 0

따라서 작은 진동의 진동수는 다음과 같다.
\omega_0 = \sqrt { \frac {\gamma_\text{eff}} {m_\text{eff}}} = \sqrt {\frac {114 U_0} {r^2 m_\text{eff}}}

또는 일반적인 형태로 나타내면 다음과 같다.
\omega_0 = \sqrt{\left.\frac {d^2U} {dr^2} \right\vert_{r=r_0}}

이 근사는 시스템의 퍼텐셜 곡선을 살펴봄으로써 더 잘 이해될 수 있다. 퍼텐셜 곡선을 언덕으로 생각하면, 곡선 위의 어느 곳에든 공을 놓았을 때 공은 퍼텐셜 곡선의 기울기를 따라 굴러 내려갈 것이다. 이는 위치 에너지와 힘 사이의 관계 때문에 사실이다.
\frac {dU} {dt} = - F(r)

퍼텐셜을 이런 식으로 생각하면, 국소 최소값에는 공이 r_\text{min}과 r_\text{max} 사이에서 앞뒤로 구를(진동할) 수 있는 "우물"이 있음을 알 수 있다. 이 근사는 케플러 궤도를 생각하는 데에도 유용하다.

## 연속체 계 &ndash; 파동

자유도의 수가 임의로 커짐에 따라 계는 연속체 역학에 접근한다. 예로는 줄이나 물의 표면 등이 있다. 이러한 시스템은 (고전적 한계에서) 무한한 수의 일반 모드를 가지며, 그 진동은 특성적으로 전파될 수 있는 파동의 형태로 발생한다.

## 수학

[섬네일|수열의 진동(파란색으로 표시)은 수열의 [상극한과 하극한 사이의 차이이다.]]
진동의 수학은 수열이나 함수가 극값 사이에서 이동하는 경향이 있는 양의 정량화를 다룬다. 몇 가지 관련된 개념이 있다: 실수 수열의 진동, 점에서의 실수 값 함수의 진동, 그리고 구간(또는 열린집합)에서의 함수의 진동이다.

## 예시
### 기계적

* 이중진자
* 푸코의 진자
* 헬름홀츠 공명기
*태양(일진학), 별(성진학) 및 중성자별 진동에서의 진동.
* 양자 조화 진동자
* 그네
* 현악기
* 비틀림 진동
* 소리굽쇠
* 진동하는 줄
* 윌버포스 진자
* 레버 탈진기
* 퓨고이드 진동
* 사행동

### 전기적

* 교류
* 암스트롱 발진기
* 비안정 멀티바이브레이터
* 블로킹 발진기
* 버틀러 발진기
* 클랩 발진기
* 콜피츠 발진기
* 지연선 발진기
* 전자 발진기
* 확장 상호작용 발진기
* 하틀리 발진기
* 오실리스터
* 위상차 발진기
* 피어스 발진기
* 완화 발진기
* RLC 회로
* 로이어 발진기
* 바카르 발진기
* 빈 브리지 발진기

### 전기 기계적
* 결정 진동자

### 광학적

* 레이저 (1015&nbsp;Hz 차수의 진동수를 가진 전자기장의 진동)
* 토다 발진기 또는 자기 맥동 (과도 상태에서 104&nbsp;Hz &ndash; 106&nbsp;Hz 진동수의 레이저 출력 전력의 맥동)
* 양자 진동자는 광학 국부 발진기뿐만 아니라 양자광학의 일반적인 모델을 지칭할 수 있다.

### 생물학적

* 활동일 주기
* 세균의 활동일 주기
* 활동일 주기 진동자
* 로트카-볼테라 방정식
* 뇌파
* 진동 유전자
* 분절 시계

### 인간

* 뇌파
* 인슐린 방출 진동
* 성선 자극 호르몬 방출 호르몬 맥동
* 조종사 유도 진동
* 음성 생성

### 경제 및 사회적

* 경기순환
* 세대 차이
* 멜서스 경제학
* 뉴스 사이클

### 기후 및 지구물리학

* 대서양 수십년 주기 진동
* 챈들러 요동
* 기후 진동
* 엘니뇨-남방 진동
* 태평양 십년 주기 진동
* 준이년 주기 진동

### 천체물리학
* 중성자별
* 순환 모델

### 양자 역학적
* 중성 입자 진동(예: 중성미자 진동)
* 양자 조화 진동자

### 화학적

* 벨로우소프-자보틴스키 반응
* 수은 고동 심장
* 브릭스-라우셔 반응
* 브레이-리바프스키 반응

### 컴퓨팅
* 세포 자동자 진동자

## 같이 보기

* 주파수 (진동수)

## 각주


분류:동역학계