주접속

미분기하학에서 **주접속**(主接續, )은 주다발 위에 정의되며, 그 군 작용과 호환되는 에레스만 접속이다. 이를 통해, 주다발 위에 평행 이동과 곡률을 정의할 수 있다.

## 정의
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 매끄러운 다양체 M
* 리 군 G. 그 실수 리 대수를 \mathfrak{lie}(G)라 하자.
* 매끄러운 주다발 \pi\colon P\twoheadrightarrow M
P 위의 주접속의 개념은 여러 가지로 정의할 수 있다.
* 주접속은 특정한 두 조건을 만족시키는, 리 대수 \mathfrak{lie}(G) 값의 1차 미분 형식 \omega\in\Omega^1(P;\mathfrak{lie}(G))으로 정의할 수 있다.
* 주접속은 특정한 호환 조건을 만족시키는 에레스만 접속 H\subseteq\mathrm TP으로 정의할 수 있다.
* 주접속은 \mathrm TM 위의 특정한 올다발의 특정한 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다.
* 주접속은 주다발의 국소 자명화에 대하여 각 조각 위의 \mathfrak{lie}(G) 값의 1차 미분 형식들의 족으로 정의할 수 있다.
이 정의들은 모두 서로 동치이다.

### 미분 형식을 통한 정의
P의 **주접속** \omega\in\Omega^1(P;\mathfrak{lie}(G))는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는, P 위의 <math>\mathfrak{lie}(G)</math>값을 가진 1차 미분 형식이다.
:\operatorname{Ad}(g)(\cdot g)^*\omega=\omega\qquad\forall g\in G
:\omega(X_\xi)=\xi\qquad\forall \xi\in\mathfrak{lie}(G)
여기서
* (\cdot g)\colon P\to P는 군의 오른쪽 작용을 나타내는 매끄러운 함수 h\mapsto h\cdot g이다.
* (\cdot g)^*\omega\in\Omega^1(P;\mathfrak{lie}(G))는 1차 미분 형식 \omega의, (\cdot g)에 대한 당김이다.
* \operatorname{Ad}(g)\colon\mathfrak{lie}(G)\to\mathfrak{lie}(G)는 g\in G의 딸림표현이다.
* X_\xi\in\Gamma(\mathrm TP)는 G의, P 위의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장이다.

### 에레스만 접속을 통한 정의
P의 에레스만 접속 H\subseteq\mathrm TP가 다음 조건을 만족시킨다면, H를 **주접속**이라고 한다.
:H_{p\cdot g}=(\mathrm T(\cdot g))(H_p)\qquad\forall p\in P,\;g\in G
여기서
* (\cdot g)\colon\colon P\to P는 g의 P 위의 오른쪽 작용이다.
* \mathrm T(\cdot g)\colon\mathrm TP\to\mathrm TP는 위 매끄러운 함수의 미분이다.

미분 형식을 통한 정의에 따른 주접속 \omega\in\Omega^1(P;\mathfrak{lie}(G))=\Gamma(\mathrm T^*P\otimes\mathfrak{lie}(G))가 주어졌을 때, 이에 대응하는 에레스만 접속은 다음과 같다. 우선, 임의의 m\in M에 대하여, G의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장의 족을
:X\colon \mathfrak{lie}(G)\to\Gamma(\mathrm TP)
:X\colon x\mapsto X_x
로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용이므로, X의 상은 P의 수직 벡터 다발 \mathrm VP=\ker(\mathrm T\pi)\subseteq\mathrm TP과 같으며, 이는 벡터 다발의 표준적인 동형 사상
:P\times\mathfrak{lie}(G)\to\mathrm VP
를 정의한다. (좌변은 올이 \mathfrak{lie}(G)인 자명한 벡터 다발이다.) 따라서, \omega를 \mathrm T^*P\otimes\mathrm VP의 단면으로 여길 수 있으며, \omega는 벡터 다발 사상
:\omega\colon\mathrm TP\to\mathrm VP\subseteq\mathrm TP
를 정의한다. 이는 멱등 함수이며 (\omega\circ\omega=\omega), 따라서 그 핵으로 완전히 명시된다. 그 핵 \ker\omega\subseteq\mathrm TP은 에레스만 접속이다.

### 벡터 다발을 통한 정의
딸림표현의 연관 벡터 다발
:\operatorname{ad}(P) = P \times_G \mathfrak{lie}(G)
을 생각하자. 또한, G는 접다발 \mathrm TP 위에 오른쪽 군 작용을 가지며, 이에 따라 몫공간 \mathrm TP/G를 정의할 수 있다. 그 차원은 2(\dim M)+(\dim G)이며, 또한
* 벡터장의 밂 \pi_* \colon \mathrm TP/G \twoheadrightarrow\mathrm TM는 매끄러운 올다발을 이룬다. (그러나 이는 일반적으로 벡터 다발이 아니다.)
* \mathrm TP/G \twoheadrightarrow M은 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.
올다발 \mathrm TP/G\twoheadrightarrow\mathrm TM을 **주접속 다발**()이라고 한다. 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.
:\begin{matrix}
\mathrm TP & \to & \mathrm TP/G & \to & \mathrm TM \\
\downarrow && \downarrow && \downarrow \\
P & \to & P/G & = & M
\end{matrix}

이는 다음과 같은 표준적인 M 위의 매끄러운 벡터 다발들의 짧은 완전열을 이룬다.
:0 \to \operatorname{ad}(P) \,\xrightarrow\iota\, \frac{\mathrm TP}G \,\xrightarrow{\pi_*}\, \mathrm TM \to 0
G는 이 열 위에 작용하며, \iota와 \pi_*는 G의 작용 아래 불변이다.

이 경우, P의 **주접속**은 위 짧은 완전열의 분할이다. 즉, 아벨 범주의 분할 보조정리에 따라, 다음과 같은 두 데이터가 서로 동치이며, 이는 주접속의 데이터와 같다.
*  \iota\colon\operatorname{ad}(P) \to \mathrm TP/G의 왼쪽 역사상인 M-매끄러운 벡터 다발 사상 A \colon \mathrm TP/G \to \operatorname{ad}(P)
* \pi_* \colon \mathrm TP/G \twoheadrightarrow \mathrm TM의 오른쪽 역사상인 M-매끄러운 벡터 다발 사상 A \colon \mathrm TM \to \mathrm TP/G

짧은 완전열의 성질에 따라, 두 주접속의 차는 매끄러운 벡터 다발 사상 \mathrm TM \to \operatorname{ad}(P)를 정의하며, 이는 벡터 값 미분 형식
:\Omega^1(M;\operatorname{ad}(P))
의 원소와 같다. 즉, 주접속의 모듈라이 공간은 이 실수 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다.

### 국소 자명화를 통한 정의
\pi를 자명화할 수 있게 충분히 섬세한 임의의 M의 열린 덮개 (U_i)_{i\in I}를 골랐다고 하자. 그렇다면, P의 **주접속**은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 i \in I에 대하여, 리 대수 값 1차 미분 형식 A_i \in \Omega^1(U_i; \mathfrak{lie}(G))
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 임의의 i, j\in I에 대하여, 만약 U_i \cap U_j \ne 0이라면, 어떤 매끄러운 함수 g_{ij} \colon U_i \cap U_j \to G에 대하여, 다음이 성립해야 한다.
*:A_j = \operatorname{Ad}(g_{ij})^{-1} A_i + g_{ij}^{-1} \mathrm dg_{ij}
여기서
* \mathfrak{lie}(G)는 리 군에 대응되는 실수 리 대수이다.
* \operatorname{Ad} \colon G \to \operatorname{GL}(\mathfrak{lie}(G))는 리 군의, 스스로의 리 대수 위의 딸림표현이다.

같은 열린 덮개 (U_i)_{i\in I} 위에 정의된 두 주접속 (A_i)_{i\in I}, (A'_i)_{i\in I}에 대하여, 만약 어떤 매끄러운 함수들의 족
:(g_i \colon U_i \to G)_{i\in I}
에 대하여
:A'_i = \operatorname{Ad}(g_i)^{-1} A_i + g_i^{-1} \mathrm dg_i
라면, A와 A'을 같은 주접속으로 간주한다.

이러한 정의는 이론물리학에서 자주 쓰이며, 물리학에서 위와 같은 동치 관계를 **[[게이지 변환]]**이라고 한다.

이 정의는 다른 정의들과 동치이다. 구체적으로, 주접속을 P 위에 정의된 1차 미분 형식 A \in \Omega^1(P;\mathfrak{lie}(G))으로 정의하였다고 하자. 이 경우, 열린 덮개 (U_i)_{i\in I}에 대한 국소 자명화는 각 i \in I에 대한 매끄러운 단면 s_i \in \Gamma(U,P)으로 주어진다. 이 경우,
:A_i = s_i^*A \in \Omega^1(U_i;\mathfrak{lie}(G))
로 놓으면 국소 자명화를 통한 정의를 얻는다. 이 과정에서, 만약 사용한 자명화를
:s'_i = s_ig_i
와 같이 바꾸면
:A'_i = (s'_i)^*A = \operatorname{Ad}(g_i)^{-1} A_i + g_i^{-1} \mathrm dg_i
가 되어, 같은 주접속을 얻는다.

## 성질
### 곡률
주접속 \omega\in\Omega^1(P;\mathfrak{lie}(G))의 **곡률**(曲率, ) \Omega \in \Omega^2(P;\mathfrak{lie}(G))는 다음과 같다.
:\Omega=d\omega+\frac12[\omega\wedge\omega]
여기서 [\cdot\wedge\cdot]는 리 괄호와 외적을 결합한 연산으로, [\alpha\otimes x\wedge\beta\otimes y]=(\alpha\wedge\beta)\otimes[x,y]와 같이 정의한다.

곡률은 벡터 값 미분 형식
:F \in \Omega^2(M;\operatorname{ad}(P))
를 정의하며, 이 데이터는 곡률의 개념과 동치이다.

곡률이 0인 주접속을 **[[평탄 주접속]]**이라고 한다.

## 분류
### 게이지 변환

다음과 같은 연관 다발 \operatorname{Ad}(P)를 생각하자.
:\operatorname{Ad}(P)=P\times_G G
이는 G의, 스스로 위의 켤레 작용
:g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1})
에 대한, P의 연관 다발이다.

\operatorname{Ad}(P)의 매끄러운 단면들의 공간은 마찬가지로 다음과 같은 매끄러운 함수의 공간으로 여겨질 수 있다.
:\Gamma^\infty(M,\operatorname{Ad}(P)) \cong \{\phi\in\mathcal C^\infty(P,G)\colon \phi(p\cdot g)=g^{-1}\phi(p)g\} \cong\operatorname{Aut}(P)

\mathcal G=\Gamma^\infty(M,\operatorname{Ad}(P))는 점별 곱셈을 통해 위상군을 이루며, 그 원소를 **[[게이지 변환]]**이라고 한다.

### 주접속의 모듈러스 공간
또한, 다음과 같은, 딸림표현에 대한 연관 벡터 다발을 생각하자.
:\operatorname{ad}(P) = P\times_G\mathfrak{lie}(G)
그 매끄러운 단면의 벡터 공간은 게이지 변환군 \mathcal G에 대응하는 리 대수이다.
:\operatorname{Lie}(\mathcal G) = \Gamma^\infty(M,\operatorname{ad}(P))

그렇다면, G-주다발 P\twoheadrightarrow M 위의 주접속의 모듈라이 공간 \mathcal A는 다음과 같은 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다.
:\mathrm T_A\mathcal A \cong \Omega^1(M;\operatorname{ad}(P))

게이지 변환군 \mathcal G\cong\operatorname{Aut}(P)는 \mathcal A 위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.
:\phi\cdot A=\phi^*A \qquad(A\in\Omega^1(M;\operatorname{ad}(P)),\;\phi\in\operatorname{Aut}(P)\cong\mathcal G)

## 예
### 자명한 주다발
만약 P = M \times G가 자명한 주다발일 경우, \operatorname{ad}(P) = M\times\mathfrak{lie}(G)는 자명한 벡터 다발이며, 또한 표준적인 자명한 주접속 A = 0이 존재한다. 따라서, 이 경우 주접속의 모듈러스 공간은 리 대수 값 미분 형식의 실수 벡터 공간 \Omega^1(M;\mathfrak{lie}(G))를 이루며, 주접속을 단순히 리 대수 값 미분 형식으로 간주할 수 있다.

### 한원소 공간 위의 주접속
만약 M = \{\bullet\}이 한원소 공간이라고 하자. 이 경우,
* 주다발 P\twoheadrightarrow\{\bullet\}은 G-토서(, 군에서 원점을 망각한 구조)이다.
* 표준적으로 \operatorname{ad}(P) = \mathfrak{lie}(G)이다.
* \mathrm TP/G = \operatorname{Vect}(P)^G는 P 위의, G-오른쪽 군 작용에 대하여 불변인 벡터장들의 실수 벡터 공간이며, 이 역시 \mathfrak{lie}(G)와 표준적으로 대응한다. (리 대수의 원소는 이에 대한 군 작용으로서 불변 벡터장을 정의하며, 이는 전단사 함수를 이룬다.)
따라서, 이 경우 주접속이 유일하게 존재하며, 주접속 자체가 게이지 불변이다. P 위의 1차 미분 형식으로서, 이는 마우러-카르탕 형식이다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:올다발
분류:미분기하학