자기 동형 사상

[오른쪽|섬네일|400x400픽셀| 두 [케일리 그래프 간의 자기 동형 사상, 주기 표기법의 순열 및 두 케일리 표 사이의 함수로 표시된 클라인 4원군의 자기 동형 사상.]]
수학에서, **자기 동형 사상**(自己同型寫像, )은 자기 사상인 동형 사상이다. 즉, 어떤 대상을 스스로 위에 사상하며, 대상의 구조를 양향적으로 유지하므로, 그 대상의 대칭을 나타낸다고 할 수 있다. 주어진 대상의 모든 자기 동형 사상은 군을 형성한다.

## 정의
범주 \mathcal C의 **자기 동형 사상**은 자기 사상인 동형 사상이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 사상 f\colon X\to Y이다.
* (자기 사상) 정의역과 공역이 같다. 즉, X=Y이다.
* (동형 사상) f\circ g=g\circ f=\operatorname{id}_X인 g\colon X\to X가 존재한다.

국소적으로 작은 범주 \mathcal C의 대상 X가 주어졌을 때, X의 자기 동형 사상들은 사상의 합성에 대하여 군을 이룬다. 이 군에서, 항등원은 항등 사상이며, 역원은 역사상이다. 이를 **자기 동형군**(自己同型群, )이라고 하고, \operatorname{Aut}(X)로 쓴다. 즉, 자기 동형군은 자기 사상 모노이드의 가역원군이다.
:\operatorname{Aut}(X)=\operatorname{End}(X)^\times

## 예
* 주어진 부호수의 대수 구조와 그 준동형의 구체적 범주 (또는 그 충만한 부분 범주)에서, 자기 동형 사상은 단순히 전단사 함수인 자기 준동형이다.
** 집합의 범주에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 함수(순열)이며, 집합 S의 자기 동형군은 대칭군 \operatorname{Sym}(S)이라고 한다.
** 체 K 위의 벡터 공간의 범주 K\text{-Vect}에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 선형 변환이며, 벡터 공간 V의 자기 동형군은 일반선형군 \operatorname{GL}(V;K)이다.
** 군의 범주에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 군 준동형이다. 이는 구조가 변경되지 않은 상태로 유지되는 군 원소의 순열이라고 할 수 있다. 모든 군 G에 대해 상이 내부 자기 동형군 \operatorname{Inn}(G)이고 핵이 중심 \operatorname Z(G)인 자연스러운 군 준동형 G\to\operatorname{Aut}(G)가 존재한다. 따라서 G의 중심이 자명하다면, G는 자신의 자기동형군의 부분군으로 여길 수 있다. 이 경우 자기 동형군 \operatorname{Aut}(G)의 중심 역시 자명하므로, 위 과정을 반복하여 자기 동형탑을 만들 수 있다. 자명한 중심을 갖는 유한군의 자기 동형탑은 무한히 커지지 않음을 보일 수 있다.
* 갈루아 확대의 자기 동형군은 갈루아 군이라고 한다.
* 모노이드 M을 하나의 대상 \bullet을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 동형군 \operatorname{Aut}(\bullet)은 M의 가역원들의 군 \{m\in M\colon\exists n\in M\colon mn=nm=1\}이다. 특히, 만약 M이 군이라면, \operatorname{Aut}(\bullet)\cong M이다.
* 정수의 덧셈군 \mathbb Z는 유일한 비항등 자기 동형 사상 1\mapsto-1을 갖는다. 그러나 환으로서의 \mathbb Z는 항등 자기 동형 사상만 갖는다. 덧셈 역원을 취하는 함수는 모든 아벨 군의 자기 동형 사상이지만, 환이나 체에서는 일반적으로 (표수가 2가 아닌 경우) 자기 동형 사상이 아니다.
* 체(와 환 준동형)의 범주에서, 체 자기 동형 사상은 전사 자기 환 준동형이며, 이는 자동적으로 전단사 함수가 된다. 유리수체 \mathbb Q와 실수체 \mathbb R의 경우 항등이 아닌 자기 동형은 존재하지 않는다. \mathbb R의 일부 부분체는 비항등 자기 동형을 갖는다. 예를 들어, a+b\sqrt 2\mapsto a-b\sqrt 2 (a,b\in\mathbb Q)는 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt 2)의 자기 동형이다. 그러나 이러한 부분체의 자기 동형은 \mathbb R에서 제곱근이 있는 수의 성질을 유지할 수 없기 때문에 \mathbb R 전체로 확장되지는 않는다. 복소수체 \mathbb C의 자기 동형 사상은 체의 확대 \mathbb C/\mathbb Q의 자기 동형 사상과 동치이다. \mathbb R을 \mathbb R로 보내는 \mathbb C의 자기 동형 사상은 항등 함수와 켤레 복소수 밖에 없으며, 이 둘은 유일한 \mathbb C의 연속 자기 동형 사상이기도 하다. 선택 공리를 가정하면, \mathbb C의 임의의 부분체의 임의의 자기 동형 사상은 \mathbb C의 자기 동형 사상으로 확장될 수 있으며, 또한 자기 동형들의 집합의 크기는 2^{2^{\aleph_0}}이다.
* 사원수 \mathbb H의 환 자기 동형 사상은 스콜렘-뇌터 정리에 의해 내부 자기 동형 사상이 된다. 즉, 자기 동형 사상은 어떤 원소 b에 대해 a\mapsto bab^{-1} 형식을 갖는다. 사원수의 자기동형군은 3차원 공간에서의 회전군인 SO(3)과 동형이다.
* 팔원수 \mathbb O의 자기동형군은 예외적 리 군 G₂이다.
* 그래프(와 그래프 준동형)의 범주에서, 그래프의 자기 동형 사상은 변과 변이 아닌 것을 보존하는 꼭짓점의 순열이다. 특히 두 꼭짓점이 변으로 연결되면 순열에 의한 상도 연결되어 있다.
* 기하학에서 자기 동형 사상은 공간의 운동이라고 할 수 있다. 몇몇 특수한 상황에서 사용되는 용어는 다음과 같다.
** 거리 공간과 등거리변환의 범주에서, 자기 동형 사상은 전사 자기 등거리변환이다. 이는 자동으로 전단사 함수가 되며, 역함수 역시 등거리변환이다. 유클리드 공간 \mathbb R^n의 거리 공간으로서의 자기 동형군은 유클리드 군 \operatorname{IO}(n)이다.
** 리만 곡면(과 정칙 함수)의 범주에서, 자기 동형 사상은 자기 쌍정칙 함수(등각 사상)이다. 예를 들어, 리만 구의 자기 동형 사상은 뫼비우스 변환이다.
** 매끄러운 다양체(와 매끄러운 함수)의 범주에서, 매끄러운 다양체 M의 자기 동형 사상은 자신으로의 미분 동형 사상이며, 그 자기동형군은 흔히 \operatorname{Diff}(M)으로 표기한다.
** 위상 공간(과 연속 함수)의 범주에서, 위상 공간의 자기 동형 사상은 자신으로의 위상 동형 사상이다. 이때 전단사 연속 함수는 위상 동형 사상이 되기 위한 충분 조건이 아니다.

### 체의 확대
임의의 체 K가 주어졌을 때, 다음과 같은 범주 K\backslash\operatorname{Field}를 정의할 수 있다.
* K\backslash\operatorname{Field}의 대상은 체의 확대 L/K들이다.
* K의 확대 L/K와 L'/K 사이의 사상은 K-대수 단사 준동형 L\to L'이다. (단사 조건은 가정하지 않더라도 자동적으로 성립한다.)
이 범주에서, L/K의 자기 동형 사상은 K-대수 동형 L\to L이다. L/K가 대수적 확대일 때, 모든 K-대수 단사 준동형 L\to L은 K-대수 동형이다. 즉, 자동적으로 전사 함수가 된다.

임의의 체의 확대 L/K 및 K-대수 단사 준동형 \sigma\colon L\to L 및 a\in L에 대하여, a\in\sigma(L)임을 보이면 족하다. p\in K[x]가 a의 최소 다항식이라고 하고, S가 p(x)의 L 속의 근들의 집합이라고 하자. 그렇다면 K(S)/K는 대수적 확대이자 유한 생성 확대이며, 따라서 유한 확대이다. 즉, K(S)의 K-벡터 공간 차원은 유한하다. \sigma는 p의 근을 p의 근으로 보내므로, \sigma(K(S))\subseteq K(S)이다. \sigma는 단사 K-선형 변환이므로, \sigma(K(S))와 K(S)의 차원은 같다. 따라서, \sigma(K(S))=K(S)\supseteq S\ni a이다.

## 역사
최초의 군 자기 동형 사상(단순히 점의 자기동형군이 아닌 군의 자기 동형) 중 하나는 아일랜드 수학자 윌리엄 로언 해밀턴이 1856년 그의 정이십면체 대수(:en:icosian calculus)에서 발견한 2차 자기 동형 사상이다.\mu는 항등원의 새로운 5제곱근이고, 이전의 5제곱근 \lambda과 완전한 상호 관계(perfect reciprocity)로 연결되어 있다.

## 내부 및 외부 자기 동형 사상
일부 범주(특히 군, 환, 리 대수)에서 자기 동형 사상을 "내부" 및 "외부" 자기 동형 사상의 두 가지 유형으로 분리할 수 있다.

군의 경우, 내부 자기 동형 사상은 군 원소에 의해 만들어지는 켤레이다. 군 G의 각 원소 a에 대해 a에 의한 켤레 \varphi_a: G \to G는 \varphi_a(g) = aga^{-1}으로 주어지는 연산이다. (대신 a^{-1}ga을 사용할 수도 있다.) a에 의한 켤레는 군 자기 동형 사상임을 쉽게 확인할 수 있다. Goursat의 보조정리에 따르면, 내부 자기 동형 사상은 \operatorname{Aut}(G)의 정규 부분군을 형성한다. 이는 \operatorname{Inn}(G)으로 표기한다.

내부 자기 동형 사상이 아닌 자기 동형 사상은 외부 자기 동형 사상이다. 몫군 \operatorname{Aut}(G)/\operatorname{Inn}(G)은 일반적으로 \operatorname{Out}(G)으로 표기한다. 비자명한 원소는 외부 자기 동형을 포함하는 잉여류이다.

단위원을 갖는 환 또는 대수에서 가역원 *<math>a</math>*에 대해 같은 정의를 적용할 수 있다. 리 대수의 경우 정의가 약간 다르다.

## 같이 보기
* 반 자기 동형 사상
* Automorphism (스도쿠 퍼즐에서)
* 특성 부분군
* 자기준동형환
* 프로베니우스 사상
* 사상
* 순서 자기 동형 (순서론에서).
* 관계 보존 자기 동형 사상
* 분수 푸리에 변환

## 참고 문헌


## 외부 링크
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분류:대칭
분류:추상대수학