코언-매콜리 환

가환대수학과 대수기하학에서 **코언-매콜리 환**(Cohen-Macaulay環, )은 국소적으로 어느 곳에서나 차원이 동일한 아핀 스킴의 개념을 형식화한 개념이다.

## 정의
### 코언-매콜리 가군과 코언-매콜리 국소환
뇌터 국소 가환환 (R,\mathfrak m) 위의 유한 생성 가군 M에 대하여, 항상 다음이 성립한다.
:\operatorname{depth}_{\mathfrak m}M\le\dim M이다.
여기서 \operatorname{depth}_{\mathfrak m}는 깊이이며, \dim은 크룰 차원이다. 만약 이 부등식이 포화된다면, M을 **코언-매콜리 가군**()이라고 한다.

임의의 뇌터 국소 가환환 (R,\mathfrak m)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 국소 가환환을 **코언-매콜리 국소환**()이라고 한다.
*  스스로 위의 가군으로서 코언-매콜리 가군인 뇌터 국소 가환환이다. 즉, \operatorname{depth}_{\mathfrak m}R\le\operatorname{ht}\mathfrak m=\dim R이다.
* 모든 매개계가 정칙열이다.
* 적어도 하나 이상의 매개계가 정칙열이다.
여기서 \operatorname{depth}_{\mathfrak m}는 깊이이며, \operatorname{ht}는 아이디얼의 높이이며, \dim은 크룰 차원이다. 만약 이 부등식이 포화된다면, R를 **코언-매콜리 국소환**이라고 한다.

### 코언-매콜리 환과 코언-매콜리 스킴
뇌터 가환환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 **코언-매콜리 환**이라고 한다.
* 모든 극대 아이디얼 \mathfrak m에 대하여, 국소화 R_{\mathfrak m}은 코언-매콜리 국소환이다.
* 모든 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R에 대하여, 국소화 R_{\mathfrak p}는 코언-매콜리 국소환이다.
* 임의의 아이디얼 \mathfrak i 및 R/\mathfrak i의 연관 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Ass}(R/\mathfrak i)에 대하여, \mathfrak i의 여차원(높이)과 \mathfrak p의 여차원이 같다. 즉, \operatorname{ht}_R\mathfrak i = \operatorname{ht}_{R/\mathfrak i}\mathfrak p이다.

마지막 조건은 차원이 국소적으로 일정하다는 조건의 매우 강한 형태이다. 즉, 아이디얼 \mathfrak i는 \operatorname{Spec}R의 닫힌 부분 스킴 \operatorname{Spec}(R/\mathfrak i)을 정의한다. 이는 으뜸 분해로 인하여 기약 성분들로 분해되며, 각 성분은 연관 소 아이디얼 \mathfrak p에 대응한다. 따라서, 위 조건은 임의의 닫힌 부분 스킴에 대하여, 그 기약 성분들의 차원이 모두 같음을 뜻한다.

마찬가지로, 국소 뇌터 스킴 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 뇌터 스킴을 **코언-매콜리 스킴**이라고 한다.
* 임의의 점 x\in X에 대하여, 구조층의 줄기 \mathcal O_{X,x}가 코언-매콜리 국소환이다.
* 임의의 점 x\in X에 대하여, 구조층의 줄기 \mathcal O_{X,x}가 코언-매콜리 국소환이다.

## 성질
### 함의 관계
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:정칙환 ⊊ 완비교차환() ⊊ 고런스틴 환 ⊊ 코언-매콜리 환

특히, 모든 정칙 스킴은 코언-매콜리 스킴이다.

코언-매콜리 환이 될 충분 조건으로는 다음이 있다.
* 모든 정칙환은 코언-매콜리 환이다. 특히, 모든 체나, 함수체 Kx 등은 정칙 국소환이므로 코언-매콜리 환이다.
* 모든 아르틴 환은 코언-매콜리 환이다.
* 모든 크룰 차원이 1인 뇌터 축소환은 코언-매콜리 환이다.
* 모든 고런스틴 환은 코언-매콜리 환이다.

### 연산에 대한 닫힘
뇌터 가환환 R에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* R는 코언-매콜리 환이다.
* 다항식환 R[x]는 코언-매콜리 환이다.
뇌터 국소환 (R,\mathfrak m)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* R는 코언-매콜리 국소환이다.
* R에 대응하는 완비 국소환은 코언-매콜리 국소환이다.

### 코언-매콜리 조건의 필요 충분 조건
다음이 주어졌다고 하자.
* 정칙 국소환 K
* 국소 가환환 A
* 단사 환 준동형 K \to A. 이에 따라서, A가 K-유한 생성 가군이라고 하자.
그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* A가 코언-매콜리 국소환이다.
* A가 K-평탄 가군이다.
* A가 K-자유 가군이다.
이 사실을 **히로나카 기적적 평탄성**()이라고 한다.

## 예
### 고런스틴 환이 아닌 코언-매콜리 환
체 K에 대하여, 다항식환 K[t]의 부분환 K[t^2,t^3]를 생각하자. 이는 코언-매콜리 환이지만 고런스틴 환이 아니다. 구체적으로, 극대 아이디얼 (t^2,t^3)에서의 국소화는 고런스틴 국소환이 아닌 코언-매콜리 국소환이다.

### 코언-매콜리 환이 아닌 환
체 K에 대하여 가환환
:R=K[x,y]/(x^2,xy)
를 생각하자. 기하학적으로, (x^2,xy) = (x)(x,y)이므로, 이는 ‘두꺼운’ 원점 x=0,y=0을 갖는 직선 x=0이다. 원점에서 0차원과 1차원의 공존으로 인해 이는 코언-매콜리 환이 될 수 없다. (반면, ‘두꺼운 점’만이 존재하는 경우인 K[x,y]/(x^2)는 코언-매콜리 환이다.)

구체적으로, 원점에 해당하는 극대 아이디얼 \mathfrak m = (x,y)에서의 국소 가환환 R_{\mathfrak m}을 취하자. 이 경우, \mathfrak mR_{\mathfrak m}에 속하는 임의의 원소 a\in\mathfrak mR_{\mathfrak m}에 대하여, ax = 0이므로, R_{\mathfrak m}의 극대 아이디얼에 포함되는 모든 원소는 영인자이며, 특히 극대 아이디얼에 포함되는 모든 정칙렬의 길이는 0이다. 따라서 R의, \mathfrak m에서의 깊이는 0이다. 그러나
:(x,y)R_{\mathfrak m} \subsetneq (x)R_{\mathfrak m}
이므로 R_{\mathfrak m}의 크룰 차원(\mathfrak m의 높이)은 1이다.

따라서 R_{\mathfrak m}은 코언-매콜리 국소환이 아니며, R는 코언-매콜리 환이 아니다.

### 차원이 일정하지만 코언-매콜리 환이 아닌 환
체 K에 대하여,
:R = \frac{K[x,y,z,w]}{(x,y)(z,w)}
를 생각하자. 기하학적으로, 이는 4차원 아핀 공간 속의, x=y=0 평면과 z=w=0 평면의 합집합이다. 이 환은 어디서나 같은 차원(즉, 2차원)을 갖는다 (즉, 극대 아이디얼의 국소 가환환의 크룰 차원이 항상 2이다). 그러나 이는 (원점에서) 코언-매콜리 환이 아니다.

## 역사
프랜시스 소어비 매콜리()는 1916년에 다항식환이 (현대적인 용어로) 코언-매콜리 환임을 증명하였고, 어빈 솔 코언은 1946년에 형식적 멱급수환도 마찬가지 성질을 가짐을 보였다. 이후 매콜리와 코언의 이름을 따서 이름붙여졌다.

코언-매콜리 환의 개념에 대하여 멜빈 혹스터()는 다음과 같이 적었다.

## 같이 보기
* 환론
* 국소환
## 각주

## 외부 링크
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

분류:가환대수학