삼중곱

**삼중곱**() 또는 **삼중 벡터곱**()는 벡터 미적분학에서 벡터 3개를 곱하는 방법을 말하는 것으로 스칼라 삼중곱과 벡터 삼중곱 2가지가 있다.

## 스칼라 삼중곱
right|섬네일|240px|세개의 벡터로 정의된 평행 육면체

**스칼라 삼중곱**()은 두개의 벡터의 벡터곱을 나머지 벡터와 스칼라곱한 것으로 정의된다.
: \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) 
보통 괄호 없이 이를 표기하기도 하는데, 점곱을 먼저 계산하면 벡터곱이 불가능하기 때문에 중의적이지 않기 때문이다.
### 기하학적 의미
스칼라 삼중곱의 절댓값은 기하학적으로 스칼라 삼중곱의 3개의 벡터로 정의되는 평행육면체의 부피로 정의된다.
:V = \left| \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) \right| 

### 성질
스칼라 삼중곱은 다음과 같이 벡터의 순서를 짝순열이 되도록 바꾸면 값이 변하지 않는다.

:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})


또한, 만약 스칼라 삼중곱의 값이 0이면 세 벡터 **a**, **b**, **c**는 모두 동일평면상의 벡터라는 성질이 있다.

### 스칼라 삼중곱과 행렬식
세 벡터의 스칼라 삼중곱은 그 세 벡터들을 행벡터 또는 열벡터로 갖는 3 x 3 행렬의 행렬식이다. 이를 데카르트 좌표계의 성분으로 써보면 (아인슈타인 표기법 사용)
:\begin{align}
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) & =a^i ( \mathbf{b}\times \mathbf{c})_i
\\ & = a^i (\epsilon_{ijk} b^j c^k)
\\ & = \epsilon_{ijk} a^i b^j c^k
\\ & = \begin{vmatrix} a^1 & b^1 & c^1\\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}
\\ & = \begin{vmatrix} a^1 & a^2 & a^3\\ b^1 & b^2 & b^3 \\ c^1 & c^2 & c^3 \end{vmatrix}
\end{align}

이 되어 쉽게 이를 확인할 수 있다. (여기서 εijk는 레비치비타 기호이다.)

또한, 회전변환 행렬의 행렬식의 값이 1이기 때문에, 스칼라 삼중곱의 값은 좌표의 회전에 대해 값이 변하지 않음을 쉽게 확인할 수 있다.

### 스칼라 또는 유사 스칼라
스칼라 삼중곱의 결과는 보통 유사스칼라이다. 만약 좌표계의 방향이 미리 주어지고 고정되면 유사스칼라는 (진짜) 스칼라와 같아진다.

좀 더 정확히 말하면, **a** · (**b** × **c**) 는
* **a**, **b** × **c**가 모두 (진짜) 벡터이거나,
* 둘 모두 유사벡터
일 때만 (진짜) 스칼라이다. 다른 경우, 스칼라 삼중곱의 결과는 유사스칼라이다.

### 스칼라 삼중곱과 쐐기곱
[섬네일|right|[차원|3차원 공간에서의 삼중벡터는 방향이 있는 부피요소이다. 이것의 호지 쌍대로 얻어지는 스칼라의 크기는 삼중벡터의 부피와 같다.]]
스칼라 삼중곱은 외대수에서의 쐐기곱을 사용해 표현할 수 있다.

먼저, 외대수의 요소들과 쐐기곱에 대해 간단히 알아보자. 외 미적분학에서 두 벡터를 쐐기곱하면 이중벡터를 얻고, 세 벡터를 쐐기곱하면 삼중벡터를 얻는다. 간단히 설명하면, 외 미적분학의 이중벡터란, 일종의 방향이 있는 평면요소이고, 삼중벡터는 일종의 방향이 있는 부피요소이다. 비슷하게 벡터는 방향이 있는 선요소이다.
여기서 삼중벡터 **a**∧**b**∧**c**는 세 백터 **a**, **b**, and **c**로 정의된 평행육면체로 볼 수 있는데 각각의 면은 이중벡터 **a**∧**b**, **a**∧**c**, **b**∧**c**에 해당한다.

이를 이용해 스칼라 삼중곱과 쐐기곱의 관계를 표현하면, 임의의 주어진 벡터 **a**, **b**, **c**의 스칼라 삼중곱은 삼중벡터의 호지 쌍대로 얻어지는 스칼라와 같다. (비슷하게,  이중벡터의 삼중곱은 벡터곱과 같다.).
:\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = *(\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}\wedge \mathbf{c})

### 그라스만 기호
스칼라 삼중곱을 다음과 같이 쓰기도 한다.
:\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)\equiv[\mathbf a\mathbf b\mathbf c].
이와 같은 기호를 **그라스만 기호**라 한다. 이는 독일의 수학자 헤르만 그라스만()의 이름을 딴 것이다.

## 벡터 삼중곱
**벡터 삼중곱**()은 두 벡터의 벡터곱에 다시 다른 벡터와 벡터곱을 한 것을 말한다.
:\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})
### 벡터 삼중곱의 전개
:\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})
:(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = -\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = - (\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})\mathbf{a} +(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) \mathbf{b}

위의 첫 번째 공식은 흔히 **삼중곱 전개** 또는 **라그랑주 공식**

또는 **백캡 규칙**()

이라고 불린다.

또한 그래디언트가 들어간 삼중곱과 관계된 항등식은 벡터 미적분학과 여러 물리학의 분야에서 유용하게 쓰인다.
: \begin{align}
 \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f})
& {}= \nabla      (\nabla \cdot  \mathbf{f} )
 - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f}  \\
& {}= \mbox{grad }(\mbox{div }   \mathbf{f} )
 - \mbox{laplacian }     \mathbf{f}.
\end{align} 
이 식은 라플라스-드 람 연산자 \Delta = d \delta + \delta d 의 특별한 경우로 볼 수도 있다.

중 하나가 유사벡터라면 삼중곱 **a** × (**b** × **c**)의 결과는 벡터이다. 하지만 다른경우엔 모두 유사벡터이다. 예를 들어, 만약 **a**, **b**, **c**가 모두 벡터라면, **b** × **c**는 유사벡터이고, **a** × (**b** × **c**)는 벡터가 된다.

## 정의 불가능한 삼중곱들
위의 두 삼중곱과 마찬가지로 다음과 같은 삼중곱들을 생각해 볼 수도 있다.
:\mathbf{a} \times \left( \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} \right)
:\mathbf{a} \cdot \left( \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} \right)
하지만 위 두 곱은 점곱이 주는 값이 스칼라이기 때문에, 괄호를 계산한 뒤에 벡터곱과 점곱을 하는 것이 불가능하다. 따라서, 위 두 삼중곱은 정의되지 않는다.

## 각주

* Lass, Harry (1950). *Vector and Tensor Analysis*. McGraw-Hill Book Company, Inc., pp.&nbsp;23–25.

분류:벡터 미적분학