군 코호몰로지

군론에서 **군 코호몰로지**(群cohomology, )와 **군 호몰로지**(群homology, )는 군 위에 정의되는 코호몰로지 · 호몰로지 이론이다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 군 G. 이로부터 군환 \mathbb Z[G]를 정의할 수 있다.
* \mathbb Z[G]-왼쪽 가군 _{\mathbb Z[G]}M

임의의 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, G의 M계수 n차 **군 호몰로지** \operatorname H_n(G;M) 및 G의 M계수 n차 **군 코호몰로지** \operatorname H^n(G;M)는 각각 아벨 군이다. 이들은 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다.
* 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자 및 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로서 정의될 수 있다.
* 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 특별한 Ext 함자 및 Tor 함자로서 정의될 수 있다.
* 군 (코)호몰로지는 구체적인 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로서 정의될 수 있다.

### 유도 함자를 통한 정의
군 코호몰로지는 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자로, 군 호몰로지는 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로 정의될 수 있다.

구체적으로, 군 G가 주어졌다고 하자. \mathbb Z[G]의 왼쪽 가군들의 범주 _{\mathbb Z[G]}\text{Mod}는 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주이다.

다음과 같은 함자를 정의하자.
:(-)^G\colon{}_{\mathbb Z[G]}\text{Mod}\to\operatorname{Ab}
:(-)^G\colon M\mapsto M^G=\bigcap_{g\in G}\ker_M(1-g)=\{m\in M\colon\forall g\in M\colon m=gm\}
즉, 이는 가군을 그 불변량으로 구성된 아벨 군으로 대응시킨다.

(-)^G는 왼쪽 완전 함자이다. 그 n번째 오른쪽 유도 함자를 G의 n차 **군 코호몰로지**라고 한다.
:\operatorname H^n(G;-)=\operatorname R^n(-)^G

마찬가지로, 다음과 같은 함자를 정의하자.
:(-)_G\colon{}_{\mathbb Z[G]}\text{Mod}\to\operatorname{Ab}
:(-)_G\colon M\mapsto\frac M{\operatorname D(M)}
여기서
:\operatorname D(M)=\sum_{g\in G}(1-g)M\subseteq M
이다. 즉, M_G는 M의 **쌍대 불변량**()으로 구성된다.

(-)_G는 오른쪽 완전 함자이다. 그 n번째 왼쪽 유도 함자를 G의 n차 **군 호몰로지**라고 한다.
:\operatorname H_n(G;-)=\operatorname L^n(-)_G

### Ext와 Tor를 통한 정의
군 코호몰로지는 군환에 대한 Ext 함자의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 군환에 대한 Tor 함자의 특별한 경우이다.

구체적으로, 군 G 및 \mathbb Z[G]-왼쪽 가군 _{\mathbb Z[G]}M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, \mathbb Z를 자명한 \mathbb Z[G]-왼쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의 g\in G 및 n\in\mathbb Z에 대하여 g\cdot n = n이다.) 그렇다면, \mathbb Z[G]-왼쪽 가군의 범주 _{\mathbb Z[G]}\operatorname{Mod}에서 Ext 함자를 취할 수 있다. G의 M 계수의 **군 코호몰로지**는 다음과 같은 Ext 함자이다.
:\operatorname H^n(G;M) = \operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)

마찬가지로, \mathbb Z를 자명한 \mathbb Z[G]-오른쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의 g\in G 및 n\in\mathbb Z에 대하여 n\cdot g = n이다.) 그렇다면, 오른쪽 가군 \mathbb Z_{\mathbb Z[G]}와 왼쪽 가군 _{\mathbb Z[G]}M 사이의 Tor 함자를 취할 수 있다.
G의 M 계수의 **군 호몰로지**는 다음과 같은 Tor 함자이다.
:\operatorname H_n(G;M) = \operatorname{Tor}_n^{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)

### 군 코호몰로지의 구체적 정의
G가 군이고 M이 \mathbb Z[G]-가군이라고 하자. 양의 정수 n에 대하여, n차 **공사슬**(共사슬, )을 G^n\to M 함수로 정의하고, n차 공사슬의 집합을 C^n(G,M)으로 쓰자. 이는 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. (여기서 G^n은 군의 직접곱 G\times G\times\dotsb\times G이다.)

**공경계 준동형**(共境界準同形, ) d^n\colon C^n(G,M)\to C^{n+1}(G,M)을 다음과 같이 정의하자.
: \left(d^n\varphi\right)(g_0,\dots,g_n) = g_0\cdot \varphi(g_1,\dots,g_n) 
:: {} + \sum_{i=1}^n (-1)^{i} \varphi(g_0,\dots,g_{i-2},g_{i-1}g_i,g_{i+1},\dots,g_n)
:: {} + (-1)^{n+1} \varphi(g_0,\dots,g_{n-1}) 
이렇게 정의하면
:d^{n+1}\circ d^n=0
임을 알 수 있다. 따라서 C^n은 공사슬 복합체를 이루며, 이에 따라
:\operatorname H^n(G;M)=\frac{\ker d^n}{\operatorname{im}d^{n-1}}
과 같이 코호몰로지 군 \operatorname H^n(G;M)을 정의할 수 있다. 이를 M계수를 가진 G의 n차 **군 코호몰로지**라고 한다.

### 군 호몰로지의 구체적 정의
G가 군이고 M이 \mathbb Z[G]-왼쪽 가군이라고 하자.

양의 정수 n에 대하여, n차 **사슬**()의 집합은
C_n(G;M) = \mathbb Z[G^{\times n}] \otimes_{\mathbb Z} M
이다.

그 사이에 다음과 같은 **경계 준동형**(境界準同形, )을 정의하자.
:\partial \colon (g_1,g_2,\dotsc,g_n,m)
\mapsto
(g_2,\dotsc,g_n,m)
+
\sum_{i=1}^{n-1} (-1)^i (g_1,\dotsc,g_{i-1},g_ig_{i+1},g_{i+2},\dotsc,g_n,m)
+ (-1)^n (g_1,\dotsc,g_{n-1},g_nm) 
그렇다면, 다음과 같은 사슬 복합체를 얻는다.
:\dotsb \xrightarrow\partial C_2(G;M)\xrightarrow\partial C_1(G;M) \xrightarrow\partial C_0(G;M) \to 0
(이는 막대 복합체 \operatorname{Bar}_n^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],M)과 같다.)
그 호몰로지 군
:\operatorname H_n(G;M)=\frac{\ker\partial_n}{\operatorname{im}\partial_{n+1}}
을 M계수를 가진 G의 n차 **군 호몰로지**라고 한다.

### 구체적 정의의 유도
구체적 정의는 Ext · Tor를 사용한 정의로부터 다음과 같이 유도된다.

우선, 아벨 군의 아벨 범주 \operatorname{Ab}=\operatorname{Mod}_{\mathbb Z}에서, \mathbb Z-결합 대수 (즉, 환) \mathbb Z[G]의 왼쪽 가군 _{\mathbb Z[G]}\mathbb Z 및
오른쪽 가군 \mathbb Z[G]_{\mathbb Z[G]}를 생각하자. 그렇다면, 물론
:\mathbb Z[G]\otimes_{\mathbb Z[G]} \mathbb Z\cong \mathbb Z
이다. 이를 사용하여, 다음과 같은 막대 복합체를 생각하자.
:\operatorname{Bar}_n^{\mathbb Z}(\mathbb Z[G],\mathbb Z[G],\mathbb Z) = 
\overbrace{\mathbb Z[G]\otimes_{\mathbb Z}\dotsb\otimes_{\mathbb Z}
\mathbb Z[G]}^{n+1}\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z
\cong \mathbb Z[\overbrace{G\times\dotsb\times G}^n]

그렇다면,
: \dotsb \xrightarrow\partial\mathbb Z[G\times G] \xrightarrow\partial \mathbb Z[G] \twoheadrightarrow \mathbb Z
는 \mathbb Z의 분해를 이룬다.

막대 복합체의 모든 성분들은 \mathbb Z[G]-사영 가군이므로, 막대 복합체 \operatorname{Bar}(\mathbb Z[G],\mathbb Z[G],\mathbb Z)는 \mathbb Z의 사영 분해를 정의한다. 이에 따라서, Ext 함자 \operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)은 다음과 같은 공사슬 복합체의 코호몰로지로 얻어진다.
: 0 \to \hom_{\mathbb Z[G]} (\mathbb Z[G], M) \to \hom_{\mathbb Z[G]} (\mathbb Z[G\times G], M) \to \dotsb
그런데 \mathbb Z[G^{\times(n+1)}]은 \mathbb Z[G]-자유 가군이므로, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
: \hom_{\operatorname{Set}}(G^{\times n},M) \to \hom_{\mathbb Z[G]} (\mathbb Z[G^{\times(n+1)}], M) 
여기서 \hom_{\operatorname{Set}}(G^{\times n},M)은 모든 함수 G^n\to M의 집합이며, 이는 군 코호몰로지를 정의하는 n차 공사슬의 집합과 같다.

마찬가지로, Tor 함자 \operatorname{Tor}_\bullet^{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)은 \mathbb Z_{\mathbb Z[G]}의 사영 분해 \operatorname{Bar}^{\mathbb Z}_\bullet(\mathbb Z,\mathbb Z[G],\mathbb Z[G])를 사용하면 다음과 같은 사슬 복합체
:\operatorname{Bar}_\bullet^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],M)
의 호몰로지로 계산된다.
:
\dotsb\to
\mathbb Z[G^{\times3}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M
\to
\mathbb Z[G^{\times2}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M
\to
\mathbb Z[G] \otimes_{\mathbb Z[G]} M \cong M
그런데
:\mathbb Z[G^{\times(n+1)}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M \cong \mathbb Z[G^{\times n}] \otimes_{\mathbb Z} M
이다. 이는 군 호몰로지를 정의하는 n차 사슬의 집합과 같다.

## 성질
### 낮은 차수의 군 (코)호몰로지
군 코호몰로지의 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.
:C^0(G;M) = M
:C^1(G;M) = \hom_{\operatorname{Set}}(G,M)
:C^2(G;M) = \hom_{\operatorname{Set}}(G\times G,M)
:\mathrm d^0(m) \colon g \mapsto gm - m \qquad(m\in M,\;g\in G)
:\mathrm d^1(\phi) \colon (g,h) \mapsto g\phi(h) - \phi(gh) + \phi(g)\qquad(g,h\in G,\;\phi\in \hom_{\operatorname{Set}}(G,M))

마찬가지로, 군 호몰로지의 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.
:C_0(G;M) = M
:C_1(G;M) = \mathbb Z[G] \otimes_{\mathbb Z} M
:C_2(G;M) = \mathbb Z[G\times G] \otimes_{\mathbb Z} 
:\partial_0 \colon C_1(G;M) \to C_0(G;M)
:\partial_1 \colon (g,m) \mapsto m - gm
:\partial_2 \colon (g,h,m) \mapsto (h,m) - (gh,m) + (g,hm)

이에 따라, 낮은 차수의 군 (코)호몰로지는 다음과 같이 해석된다. (마지막 열은 G의 M 위의 작용이 자명할 경우에 대한 특별한 해석이다.)

특히, 만약 G의 M 위의 작용이 자명할 때, 다음이 성립한다.
:\operatorname H^0(G;M) = M
:\operatorname H_0(G;M) = 0
:\operatorname H^1(G;M) = \hom_{\operatorname{Grp}}(G,M)
:2차 군 코호몰로지 \operatorname H^1(G;M)는 군 (G,\cdot)의 아벨 군 (M,+)에 대한 확대들을 분류한다.

### 위상 코호몰로지와의 관계
만약 G의 M 위의 작용이 자명하다면, 군 호몰로지와 군 코호몰로지는 각각 (이산 위상을 부여한 위상군으로서의) 분류 공간 \mathrm BG의 특이 호몰로지 및 특이 코호몰로지와 동형이다.
:\operatorname H_k(G;M)=\operatorname H^\text{sing}_k(\mathrm BG;M)
:\operatorname H^k(G;M)=\operatorname H_\text{sing}^k(\mathrm BG;M)

**증명**:

G의 분류 공간은 단체 집합 \operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Set}}(1,G,1)이다. 그 정수 계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체
:\operatorname{Bar}_\bullet^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],\mathbb Z)
로 주어지며, M계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체
:\operatorname{Bar}_\bullet^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],\mathbb Z)\otimes_{\mathbb Z}M
으로 주어진다. 그런데 이는 군 호몰로지를 정의하는 사슬 복합체와 같다.

마찬가지로, 분류 공간 \operatorname BG의 M계수 단체 코호몰로지는 공사슬 복합체
:\hom_{\mathbb Z}\left(\operatorname{Bar}_\bullet^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],\mathbb Z),M\right),
로 주어진다. 그런데 이는 G의 M계수 군 코호몰로지와 같다.

보다 일반적으로, 만약 G의 작용이 자명하지 않다면, M은 \mathrm BG 위의 일종의 층 \underline M을 정의하며, 이 층의 층 (코)호몰로지는 G의 M계수 군 (코)호몰로지와 같다.
:\operatorname H^\bullet(G;M) \cong \operatorname H^\bullet(\mathrm BG;\underline M) 
:\operatorname H_\bullet(G;M) \cong \operatorname H_\bullet(\mathrm BG;\underline M) 

## 예
### 자유군
k개의 원소로 생성되는 자유군 F_k을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 M에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.
:\operatorname H^n(F_k;M)=\operatorname H_n(F_k;M)=\begin{cases}
M&n=0\\
M^{\oplus k}&n=1\\
0&n>1
\end{cases}

### 순환군
k차 순환군 \operatorname{Cyc}(k)을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 M에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.
:\operatorname H^n(\operatorname{Cyc}(k);M)=\operatorname H_n(\operatorname{Cyc}(k);M)=\begin{cases}
M&n=0\\
(\ker n)\subseteq M&2\nmid n\\
M/nM&2\mid n>0\\
\end{cases}
여기서 \ker n=\{m\in M\colon nm=0\}은 M의 n-꼬임 부분군이다.

이는 순환군의 분류 공간인 \mathbb S^\infty/\operatorname{Cyc}(k)의 특이 호몰로지와 같다. 특히, k=2일 경우 이는 무한 차원 실수 사영 공간 \operatorname{RP}^\infty의 특이 호몰로지이다.

### 자유 아벨 군
k차 자유 아벨 군 \mathbb Z^{\oplus k}을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 M에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.
:\operatorname H^n(\mathbb Z^{\oplus k};M)=\operatorname H_n(\mathbb Z^{\oplus k};M)=M^{\oplus\binom kn}
여기서 \textstyle\binom kn은 이항 계수이다. 이는 자유 아벨 군의 분류 공간인 원환면 \mathbb T^k의 특이 호몰로지와 같다.

## 같이 보기
* 포스트니코프 탑

## 참고 문헌
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## 각주

## 외부 링크
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분류:군론
분류:호몰로지 대수학
분류:대수적 수론