정상 집합

집합론에서 **클럽 집합**(club集合, )은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "거의 대부분"을 포함하는 집합이며, **정상 집합**(定常集合, )은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "충분한 수"를 포함하여, 임의의 클럽 집합과 하나 이상의 원소를 공유하는 집합이다. 즉, 이 두 개념의 관계는 공집합이 아닌 열린집합과 조밀 집합의 관계와 같다.

## 정의
### 클럽 집합
극한 순서수 \alpha가 주어졌다고 하자. 부분 집합
:C\subseteq\alpha
가 다음 두 조건을 만족시키면 \alpha-**클럽 집합**()이라고 한다.
* 순서 위상에 대하여 닫힌집합이다. 즉, 임의의 순서수 0에 대하여, \sup(C\cap\beta)=\beta라면, \beta\in C이다.
* \textstyle\sup_{\operatorname{Ord}}C=\alpha이다. 즉, 임의의 순서수 \beta에 대하여, \beta가 존재한다.

### 정상 집합
임의의 기수 \kappa 및 부분 집합 S\subseteq\kappa가 주어졌으며, \kappa의 공종도가 비가산이라고 하자.

만약 S와 임의의 \kappa-클럽 집합의 교집합이 공집합이 아니라면, S를 **정상 집합**이라고 한다.

## 성질
### 연산에 대한 닫힘
클럽 집합들은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 기수 \kappa 및 두 \kappa-클럽 집합 C,C'\subseteq\kappa가 주어졌을 때, C\cap C' 역시 \kappa-클럽 집합이다. 즉, 클럽 집합들은 필터 기저를 이루며, 클럽 집합을 포함하는 집합들은 필터를 이룬다. 이를 \kappa의 **클럽 필터**()라고 한다.

클럽 집합과 정상 집합의 교집합은 정상 집합이다. 즉, 기수 \kappa 및 \kappa-정상 집합 S\subseteq\kappa와 \kappa-클럽 집합 C\subseteq\kappa가 주어졌을 때, S\cap C 역시 정상 집합이다.

### 솔로베이 분할
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 정칙 비가산 기수 \kappa
* 정상 집합 S\subseteq\kappa
그렇다면, **솔로베이 정상 집합 분할 정리**(Solovay定常集合分割定理, )에 따르면, S는 \kappa개의 정상 집합들로 분할될 수 있다.

### 포도르 정리
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 정칙 비가산 기수 \kappa
* 정상 집합 S\subseteq\kappa
* 함수 f\colon S\to\kappa
또한, 다음이 성립한다고 하자.
* 임의의 0에 대하여, f(\alpha)
**포도르 정리**()에 따르면, f|_{S'}=\alpha'인 정상 부분 집합 S'\subseteq S와 순서수 \alpha'가 존재한다.

### 말로 기수
\kappa-정상 집합들의 모임을 \mathfrak S_\kappa로 표기하자.

기수의 모임 \operatorname{Card}의 부분 모임 P\subseteq\operatorname{Card}에 대하여, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.
:\kappa\in\operatorname{Mahlo}(P)\iff (\kappa\in P)\land(\kappa\cap P\in\mathfrak S_\kappa)\land\operatorname{cf}(\kappa)>\omega
이를 **말로 연산**(Mahlo演算, )이라고 한다.

기수 \kappa에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 **말로 기수**(Mahlo基數, )라고 한다.
* 만약 P가 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, \kappa\in\operatorname{Mahlo}(P)이다.
* 임의의 R\subseteq V_\kappa에 대하여, \langle V_\alpha,\in,R\cap V_\alpha\rangle\prec\langle V_\kappa,\in, R\rangle가 되는 도달 불가능한 기수 \alpha가 존재한다.
여기서 V_\alpha는 폰 노이만 전체의 단계이며, \langle V_\kappa,\in,R\rangle는 이항 연산 \in과 상수 기호 R를 갖춘 구조이며, \prec는 기본 매장의 존재를 의미한다.

마찬가지로, 만약 P가 약하게 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, \operatorname{Mahlo}(P)의 원소를 **약한 말로 기수**(弱-Mahlo基數, )라고 한다. 일반화 연속체 가설을 가정한다면 약하게 도달 불가능한 기수의 개념은 도달 불가능한 기수의 개념과 일치하므로, 마찬가지로 약한 말로 기수의 개념은 말로 기수의 개념과 일치한다.

말로 연산은 다음과 같이 초한 귀납법으로 반복할 수 있다.
:\operatorname{Mahlo}^\alpha(P)=
\begin{cases}
\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Mahlo}^\beta(P))&\beta+1=\alpha\\
P\cap\bigcap_{\beta
이를 사용하여, **<math>\alpha</math>-말로 기수**의 개념을 정의할 수 있다. 즉, 0-말로 기수는 도달 불가능한 기수이며, 1-말로 기수는 말로 기수이다.

말로 기수는 큰 기수의 일종이다. 즉, 말로 기수의 존재 또는 부재는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리(ZFC)로부터 증명할 수 없다. (이는 물론 ZFC가 무모순적이라는 것을 전제로 한다.)

기수에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. (즉, 이는 무모순성 관계보다 더 강하다.)
:도달 불가능한 기수 ⇐ 말로 기수 ⇐ 약콤팩트 기수 ⇐ 강콤팩트 기수

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:\operatorname{Inaccble}\supseteq\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Inaccble})\supseteq\operatorname{Measble}\supseteq\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Measble})\supseteq\operatorname{Supercomp}\supseteq\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Supercomp})\supseteq\operatorname{Extble}\supseteq\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Extble})\supseteq\operatorname{Superhuge}
여기서
* \operatorname{Inaccble}: 도달 불가능한 기수의 모임
* \operatorname{Measble}: 가측 기수의 모임
* \operatorname{Supercomp}: 초콤팩트 기수의 모임
* \operatorname{Extble}: 확장 가능 기수()의 모임
* \operatorname{Superhuge}: 초거대 기수()의 모임

### 다이아몬드 원리
기수 \kappa 및 \kappa-정상 집합 S\subseteq\kappa에 대하여, **<math>(\kappa,S)</math>-다이아몬드 집합렬**() A\colon S\to\mathcal P(\kappa)은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
* 임의의 \alpha\in S에 대하여, A_\alpha\subseteq\alpha
* 임의의 T\subseteq\kappa에 대하여, \{\alpha\in S\colon T\cap\alpha=A_\alpha\}는 \kappa-정상 집합이다.
**<math>(\kappa,S)</math>-다이아몬드 원리**((\kappa,S)-diamond原理, ) \diamondsuit_\kappa(S)는 (\kappa,S)-다이아몬드 집합렬이 존재한다는 명제이다.

\diamondsuit_{\omega_1}(\omega_1)은 흔히 **다이아몬드 원리** \diamondsuit라고 표기한다.

구성 가능성 공리는 다이아몬드 원리를 함의하며, 다이아몬드 원리는 수슬린 가설의 부정 및 연속체 가설을 함의한다.
:V=L\implies\diamondsuit\implies(\lnot\mathsf{SH}\land\mathsf{CH})
즉, 이는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리로 증명하거나 반증할 수 없다.

## 역사
1911년에 프리드리히 파울 말로(, 1883~1971)가 약한 말로 기수의 개념을 "ρ0-수"()라는 이름으로 1911년에 도입하였다.

정상 집합의 개념은 제라르 블로크()가 1953년에 도입하였다.

포도르 정리는 포도르 게저(, 1927~1977)가 1956년에 증명하였다. 솔로베이 정상 집합 분할 정리는 로버트 솔로베이가 1971년에 증명하였다.

다이아몬드 원리는 로널드 비언 젠슨(, 1936~)이 1972년에 도입하였다.

"클럽 집합"()이라는 이름은 영어로 "닫힌집합이자 비유계 집합"()의 머리글자를 딴 것이다.

## 참고 문헌


## 외부 링크
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분류:집합론