에너지 조건

일반 상대성 이론에서 **에너지 조건**(energy條件, )은 물리적으로 "현실적인" 시공간의 리치 곡률이 만족시켜야 한다고 가정할 수 있는 여러 조건 가운데 하나이다. 아인슈타인 방정식에 따라 시공간의 리치 곡률은 그 위에 존재하는 물질의 에너지-운동량 텐서로 주어지므로, 이는 물리적으로 "현실적인" 물질에 대한 조건으로도 볼 수 있다.

## 정의
&minus;+++ 계량 부호수를 사용하자. 시공간 (M,g) 위에 에너지-운동량 텐서 T_{\mu\nu}가 주어졌다고 하자. 또한, 시공간은 시간 방향(time orientation)이 주어져 있다고 하자. 따라서, 모든 벡터를 미래 방향 시간꼴 벡터 · 과거 방향 시간꼴 벡터 · 미래 방향 영벡터 · 과거 방향 영벡터 · 공간꼴 벡터로 분류할 수 있다. 또한, 에너지-운동량 텐서의 대각합 T=g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}을 정의하자. 그렇다면, 흔히 사용되는 5가지의 에너지 조건은 다음과 같다.
* **영벡터 에너지 조건**(零vector energy條件, , 약자 NEC)에 따르면, 모든 미래 방향 영벡터장 u^\mu는 다음 조건을 만족시킨다.
*:u^\mu u^\nu T_{\mu\nu}\ge0
:즉, 빛의 속력으로 움직이는 (무질량) 관찰자는 항상 음이 아닌 에너지 밀도를 관찰한다.
* **약한 에너지 조건**(弱-energy條件, , 약자 WEC)에 따르면, 모든 미래 방향 시간꼴 벡터장 v^\mu는 다음 조건을 만족시킨다.
*:v^\mu v^\nu T_{\mu\nu}\ge0
:즉, 빛의 속력보다 느리게 움직이는 (유질량) 관찰자는 항상 음이 아닌 에너지 밀도를 관찰한다.
* **영벡터 우세 에너지 조건**(零vector優勢energy條件, , 약자 NDEC)에 따르면, ① 약한 에너지 조건이 충족되며, 또한 ② 모든 미래 방향 영벡터장 u^\mu에 대하여, -T^{\mu\nu}u_\mu는 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장이다. 즉, 두 번째 조건에 따르면, 빛의 속도로 움직이는 관찰자는 에너지-운동량이 빛보다 더 빨리 흐르는 것을 관찰할 수 없다. 이 조건은 우세 에너지 조건과 유사하나, 음의 우주 상수를 허용한다.
* **우세 에너지 조건**(優勢energy條件, , 약자 DEC)에 따르면, ① 약한 에너지 조건이 충족되며, 또한 ② 모든 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장 v^\mu에 대하여, -T^{\mu\nu}v_\mu는 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장이다. 즉, 조건 ②에 따르면, 빛의 속력 이하로 움직이는 관찰자는 에너지-운동량이 빛보다 더 빨리 흐르는 것을 관찰할 수 없다. 조건 ②에 따르면, 등방 물질의 경우 압력이 항상 에너지 밀도보다 작아야 한다. 이는 물질에서 음속이 빛의 속력보다 더 작아야 하는 조건이다.
* **강한 에너지 조건**(強-energy條件, , 약자 SEC)에 따르면, 모든 미래 방향 시간꼴 벡터장 v^\mu는 다음 조건을 만족시킨다.
*:v^\mu v^\nu(T_{\mu\nu}-Tg_{\mu\nu}/2)\ge0

즉, 강한 에너지 조건을 제외한 에너지 조건들은 다음과 같다.

### 평균 에너지 조건
위 에너지 조건들은 각 점마다 성립 여부를 결정할 수 있다. 그러나 이 조건들을 약화시켜, 주어진 세계선의 적분에 관한 에너지 조건들을 정의할 수 있다. 이들을 **평균 에너지 조건**(平均energy條件, )이라고 한다. (평균이 아닌 에너지 조건들은 양자 역학 효과에 의하여 미세하게 위배될 수 있지만, 평균 에너지 조건들은 양자 효과에 대하여 성립할 가능성이 더 높다고 여겨진다.)

시공간 (M,g)에서, 매끄러운 곡선 \gamma\colon\mathbb R\to M 가운데, 임의의 t\in\mathbb R에 대하여 속력 \dot\gamma(t)\in\mathrm T_xM이 미래 방향 시간꼴인 곡선들의 집합을 \mathcal C^\infty_{\text{fut,time}}(\mathbb R,M)로 표기하자. 마찬가지로, 속력이 항상 미래 방향 영벡터인 곡선들의 집합을 \mathcal C^\infty_{\text{fut,null}}(\mathbb R,M)로 표기하자.

* **평균 영벡터 에너지 조건**(平均零vector energy條件, , 약자 ANEC)에 따르면, 모든 \gamma\in\mathcal C^\infty_{\text{fut,null}}(\mathbb R,M)는 다음 조건을 만족시킨다.
*:\int_{\mathbb R}\dot\gamma^\mu(t)\dot\gamma^\nu(t) T_{\mu\nu}(\gamma(t))\;\mathrm dt\ge0
* **평균 약한 에너지 조건**(平均弱-energy條件, , 약자 AWEC)에 따르면, 모든 \gamma\in\mathcal C^\infty_{\text{fut,time}}(\mathbb R,M)는 다음 조건을 만족시킨다.
*:\int_{\mathbb R}\dot\gamma^\mu(t)\dot\gamma^\nu(t) T_{\mu\nu}(\gamma(t))\;\mathrm dt\ge0

## 성질
### 인과 관계
이들 사이의 인과 관계는 다음과 같다. 여기서 *X* ⇒ *Y*는 *X*가 *Y*를 함의함을 뜻한다.

이름과 달리, 강한 에너지 조건(SEC)은 약한 에너지 조건(WEC)을 함의하지 않는다.

### 이상 유체
에너지 밀도 \rho, 압력 p를 가진 이상 유체
:T^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}
\rho&0&0&0\\
0&p&0&0\\
0&0&p&0\\
0&0&0&p
\end{pmatrix}
의 경우 위 조건들은 다음과 같다.
* 영벡터 에너지 조건: \rho+p\ge0
* 약한 에너지 조건: \rho\ge0, \rho+p\ge0
* 영벡터 우세 에너지 조건: \rho\ge|p| 또는 \rho=-p
* 우세 에너지 조건: \rho\ge|p|
* 강한 에너지 조건: \rho+p\ge0, \rho+3p\ge0

### 함의 관계
일반 상대성 이론에서, 시공간의 다양한 성질들을 증명하기 위해서는 대개 일종의 에너지 조건이 필요하다. 각종 주요 정리들을 증명하기 위해 필요한 에너지 조건들은 다음과 같다.
* 영벡터 에너지 조건:
** 블랙홀 열역학의 제2 법칙
** ADM 질량은 음수가 될 수 없음
* 약한 에너지 조건:
** 블랙홀 열역학의 제3 법칙 (블랙홀의 표면 중력을 유한한 시간 안에 0으로 만들 수 없음)
** 공간의 위상은 변할 수 없음
* 우세 에너지 조건:
** 블랙홀의 위상은 항상 구

### 위배
질량을 갖는 스칼라장(클레인-고르돈 방정식)은 (고전적으로) 강한 에너지 조건을 위배할 수 있다.

양자 역학적 효과는 심지어 영벡터 에너지 조건도 위배할 수 있다고 생각된다. 그러나 각종 평균화 에너지 조건들은 양자 효과에 대하여 비교적 안전하다고 여겨진다.

## 같이 보기
* 일반 상대성 이론의 엄밀 해
## 참고 문헌

분류:일반 상대성이론