모형 범주

호모토피 이론에서 **모형 범주**(模型範疇, )는 호모토피 이론을 전개할 수 있기에 충분한 구조가 갖추어져 있는 추상적인 범주이다. 위상 공간의 범주와 단체 집합의 범주, 아벨 군의 사슬 복합체의 범주 따위의 일반화이다.

## 정의
**모형 범주** (\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* \mathcal C는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.
* \mathfrak W는 \mathcal C의 사상들의 모임이다. \mathfrak W의 원소를 **약한 동치**()라고 한다.
* \mathfrak F는 \mathcal C의 사상들의 모임이다. \mathfrak F의 원소를 **올뭉치**()라고 하고, \mathfrak F\cap\mathfrak W의 원소는 **자명한 올뭉치**()라고 한다.
* \mathfrak C는 \mathcal C의 사상들의 모임이다. \mathfrak C의 원소를 **쌍대올뭉치**()라고 하고, \mathfrak C\cap\mathfrak W의 원소는 **자명한 쌍대올뭉치**()라고 한다.
이들은 다음 두 공리들을 만족시켜야 한다.
* **3개 가운데 2개 조건**(): 임의의 사상 X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ에 대하여, 만약 f, g, g\circ f 가운데 적어도 두 개가 약한 동치라면, 나머지 하나도 약한 동치이다.
* **[[약분해계]]**: (\mathfrak C\cap\mathfrak W,\mathfrak F) 및 (\mathfrak C,\mathfrak F\cap\mathfrak W)는 각각 약분해계를 이룬다. 즉, 구체적으로 다음이 성립한다.
** **올림 조건**(): 임의의 대상 A, B, X, Y에 대하여, 만약 A\xrightarrow fX\xrightarrow pY 및 A\xrightarrow iB\xrightarrow gY가 주어졌고, p\circ f=g\circ i이며, p가 올뭉치이며, i가 쌍대올뭉치이며, p 또는 i 가운데 하나가 자명하다면, h\circ i=f이며 p\circ h=g인 사상 h\colon B\to X가 존재한다. 즉, 다음과 같다.
**:\begin{matrix}A&\xrightarrow f&X\\
{\scriptstyle i}\downarrow&\nearrow\scriptstyle h&\downarrow\scriptstyle p\\
B&\xrightarrow[g]{}&Y
\end{matrix}
** **분해 조건**():
*** \mathcal C의 임의의 사상 f는 f=p\circ\tilde\imath와 같이 쓸 수 있다. 여기서 p는 올뭉치이며, \tilde\imath는 자명한 쌍대올뭉치이다.
*** \mathcal C의 임의의 사상 f는 f=\tilde p\circ i와 같이 쓸 수 있다. 여기서 \tilde p는 자명한 올뭉치이며, i는 쌍대올뭉치이다.
**:\begin{matrix}
&&X&\stackrel i\hookrightarrow&\tilde Y&\stackrel{\simeq}{\twoheadrightarrow}&Y\\
&{\scriptstyle\operatorname{id}}\swarrow&&\searrow\scriptstyle f&&\swarrow\scriptstyle\operatorname{id}\\
X&\underset\simeq\hookrightarrow&\tilde X&\underset p\twoheadrightarrow&Y
\end{matrix}

### 쌍대올 생성 모형 범주
쌍대완비 범주 \mathcal C의 사상들의 모임 \mathfrak I에 대한 **상대적 세포 복합체**() \operatorname{Cell}(\mathfrak I)는 다음 연산들에 대하여 닫힌 가장 작은 사상들의 모임이다.
* \mathfrak I\subseteq\operatorname{Cell}(\mathfrak I)
* (항등 사상에 대한 닫힘) 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여, \operatorname{id}_X\in\operatorname{Cell}(\mathfrak I)
* (쌍대곱에 대한 닫힘) 임의의 대상들의 집합 \{X_i\}_{i\in I}의 쌍대곱 \iota_i\colon X_i\to\coprod_iX_i에 대하여, \{\iota_i\}_{i\in I}\subseteq\operatorname{Cell}(\mathfrak I)
* (밂에 대한 닫힘) 임의의 X\xleftarrow fZ\xrightarrow gY에 대하여, 만약 f,g\in\mathfrak I라면, 밂
*:\begin{matrix}
Z&\xrightarrow f&X\\
{\scriptstyle g}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\iota_X\\
Y&\xrightarrow[\iota_Y]{}&X\sqcup_ZY\end{matrix}
:에 대하여 \iota_X,\iota_Y\in\operatorname{Cell}(\mathfrak I)
* (초한 합성에 대한 닫힘) 임의의 순서수 \alpha 및 대상들의 초한열 (X_i)_{0\le i 및 사상 \{f_i\colon X_i\to X_{i+1}\}_{1\le i+1에 대하여, 만약 \{f_i\}_i\subseteq\mathfrak I라면 쌍대극한 \bigcirc_if_i\colon X_0\to\varinjlim X_i 역시 \bigcirc_if_i\in\operatorname{Cell}(\mathfrak I)
\operatorname{Cof}(\mathfrak I)는 \operatorname{Cell}(\mathfrak I)의 원소들의 (화살표 범주 \mathcal C^\to에서의) 수축들의 모임이라고 하자.

모형 범주 (\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak C,\mathfrak F)가 다음 조건을 만족시킨다면, \mathcal C를 **쌍대올 생성 모형 범주**()라고 한다.
* \mathfrak C=\operatorname{Cof}(\mathfrak I)인 사상 모임 \mathfrak I가 존재한다. \mathfrak I의 원소를 **쌍대올뭉치 생성원**()라고 한다.
* \mathfrak C\cap\mathfrak W=\operatorname{Cof}(\mathfrak J)인 사상 모임 \mathfrak J가 존재한다. \mathfrak J의 원소를 **자명 쌍대올뭉치 생성원**()라고 한다.

## 연산
### 반대 범주
임의의 모형 범주 (\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)에 대하여, 그 반대 범주 \mathcal C^{\operatorname{op}}에 모형 구조 (\mathcal C^{\operatorname{op}},\mathfrak W,\mathfrak C,\mathfrak F)를 주면, 이 역시 모형 범주를 이룬다.

### 조각 범주
임의의 모형 범주 (\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C) 및 대상 X\in\mathcal C이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 조각 범주 \mathcal C/X 및 쌍대 조각 범주 X\backslash\mathcal C를 정의할 수 있으며, 망각 함자
:\mathcal C/X\to\mathcal C
:X\backslash\mathcal C\to\mathcal C
가 존재한다.

이제, \mathcal C/X 위에 다음과 같은 모형 범주 구조를 줄 수 있다.
* \mathcal C/X의 약한 동치는 (망각 함자 아래) \mathcal C에서의 약한 동치이다.
* \mathcal C/X의 올뭉치는 (망각 함자 아래) \mathcal C에서의 올뭉치이다.
* \mathcal C/X의 쌍대올뭉치는 (망각 함자 아래) \mathcal C에서의 쌍대올뭉치이다.
그렇다면, 조각 범주 \mathcal C/X는 모형 범주를 이룬다. 마찬가지로, 쌍대 조각 범주 X\backslash\mathcal C=(\mathcal C^{\operatorname{op}}/X)^{\operatorname{op}} 역시 모형 범주를 이룬다.

### 호모토피 범주

모형 범주 (\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)에서, 모형 범주 구조를 사용하여 두 사상 사이의 **왼쪽 호모토피**() 및 **오른쪽 호모토피**()를 정의할 수 있다. 정의역이 쌍대올대상이며 공역이 올대상일 경우 왼쪽 호모토픽 관계와 오른쪽 호모토픽 관계는 서로 일치하며, 동치 관계를 이루어 그 호모토피류를 정의할 수 있다.

모형 범주 (\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)에 대응하는 **[[호모토피 범주]]**를 정의할 수 있다. 호모토피 범주의 대상은 올대상이자 쌍대올대상인 대상들이며, 사상은 원래 모형 범주의 호모토피류이며, 호모토피 범주에서 원래 모형 범주의 약한 동치는 실제 동형 사상이 된다.

## 성질
### 데이터의 중복
약분해계의 일반적인 이론에 따라서, 모형 범주의 구조의 데이터는 중복된다. 구체적으로, 모형 범주의 다음과 같은 데이터만으로 모형 범주 구조를 재구성할 수 있다.
* 약한 동치와 올뭉치
* 약한 동치와 쌍대올뭉치 (위 경우의 반대 경우)
* 올뭉치와 쌍대올뭉치
* 쌍대올뭉치와 올대상
* 올뭉치와 쌍대올대상 (위 경우의 반대 경우)
* 쌍대올대상과 자명한 올뭉치
* 올대상과 자명한 쌍대올뭉치 (위 경우의 반대 경우)
* 올대상이자 쌍대올대상인 대상의 모임과 올뭉치
* 올대상이자 쌍대올대상인 대상의 모임과 쌍대올뭉치  (위 경우의 반대 경우)
* 올대상이자 쌍대올대상인 대상의 모임과 자명한 올뭉치
* 올대상이자 쌍대올대상인 대상의 모임과 자명한 쌍대올뭉치  (위 경우의 반대 경우)

구체적으로,  임의의 범주 \mathcal C의 사상 모임 M이 주어졌을 때, M에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 사상 모임을 M^\pitchfork으로, M에 대하여 왼쪽 올림 성질을 만족시키는 사상 모임을 {}^\pitchfork M으로 표기하자.

그렇다면, 모형 범주에서 약한 동치의 모임 \mathfrak W · 쌍대올뭉치의 모임 \mathfrak C · 올뭉치의 모임 \mathfrak F 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
:\mathfrak F=(\mathfrak W\cap\mathfrak C)^\pitchfork
:\mathfrak C={}^\pitchfork(\mathfrak W\cap\mathfrak F)
:\mathfrak F\cap\mathfrak W=\mathfrak C^\pitchfork
:\mathfrak C\cap\mathfrak W={}^\pitchfork\mathfrak F
:\mathfrak W=(\mathfrak W\cap\mathfrak F)\circ(\mathfrak W\cap\mathfrak C)=
\mathfrak C^\pitchfork\circ{}^\pitchfork\mathfrak F
따라서, 약한 동치 · 쌍대올뭉치 · 올뭉치 가운데 2개가 주어지면 나머지 하나를 재구성할 수 있다.

### 수축에 대한 닫힘
모든 모형 범주 (\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)에서, \mathfrak W · \mathfrak F · \mathfrak C는 모두 수축에 대하여 닫혀 있다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
* 임의의 사상 f\colon A\to A', g\colon B\to B'에 대하여, 만약 화살표 범주 \mathcal C^\to에서 분할 단사 사상 (i,j)\colon f\to g이 존재한다고 하자. 만약 \mathcal A가 \mathfrak W, \mathfrak F, 또는 \mathfrak C 가운데 하나라고 할 때, 만약 g\in\mathcal A라면 f\in\mathcal A이다. 화살표 범주에서의 분할 단사 사상은 구체적으로 j\circ f=g\circ i이며 s\circ g=f\circ r이며 r\circ i=\operatorname{id}_A이며 s\circ j=\operatorname{id}_{A'}인 사상 i, j, r, s가 존재하는 것이다.
*:(\mathcal C^\to)\qquad\begin{matrix}
f&\xrightarrow{(i,j)}&g\\
{\scriptstyle\operatorname{id}}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\operatorname{id}\\
f&\xleftarrow[(r,s)]{}&g
\end{matrix}\qquad\qquad\begin{matrix}
&&A\\
&{\scriptstyle\operatorname{id}}\nearrow&&\searrow\scriptstyle\operatorname{id}\\
A&\xrightarrow i&B&\xrightarrow r&A\\
{\scriptstyle f}\downarrow &&\downarrow\scriptstyle g&&\downarrow\scriptstyle f\\
A'&\xrightarrow[j]{}&B&\xrightarrow[s]{}&A'\\
&{\scriptstyle\operatorname{id}}\searrow&&\nearrow\scriptstyle\operatorname{id}\\
&&A'
\end{matrix}\qquad(\mathcal C)
일부 문헌에서 이는 모형 범주의 정의의 일부로 등장하지만, 이는 사실 다른 공리들로부터 함의된다.

## 예
### 자명한 모형 구조
임의의 완비 쌍대 완비 범주 \mathcal C가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에 다음과 같은 자명한 세 가지의 모형 구조를 줄 수 있다.

보다 일반적으로, \mathcal C 위에 약분해계 (\mathfrak E,\mathfrak M)이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 모든 사상을 약한 동치로 삼고, \mathfrak E의 원소를 올뭉치로, \mathfrak M의 원소를 쌍대올뭉치로 삼으면 이는 모형 구조를 이룬다. 이 경우 역시 호모토피 범주는 \mathcal C로부터 생성되는 준군이다.

### 위상 공간의 범주
위상 공간과 연속 함수의 범주 \operatorname{Top} 위에는 다음과 같은 세 개의 모형 범주 구조가 흔히 쓰인다.

이들을 구별하기 위하여, 간혹 q-올대상() · h-올대상 · m-올대상 따위의 용어를 사용하기도 한다. 여기서 q · h · m은 대응하는 모형 구조의 영어명의 머릿글자이다.

### 단체 집합

단체 집합의 범주 \operatorname{sSet}에는 역시 표준적인 모형 구조가 존재한다. 또한, 이 모형 구조는 위상 공간의 범주의 퀼런 모형 구조와 퀼런 동치이며, 따라서 동치인 호모토피 범주를 갖는다. 단체 집합의 범주에서 모든 대상은 쌍대올대상이며, 올대상은 칸 복합체이다.

### 사슬 복합체의 범주

아벨 범주 \mathcal A 위에서, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급의 사슬 복합체의 범주 \operatorname{Ch}_{\bullet\ge0}(\mathcal A)와 자연수 등급의 공사슬 복합체의 범주 \operatorname{Ch}^{\bullet\ge0}(\mathcal A)를 생각하자.

만약 \mathcal A가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 공사슬 복합체 범주 \operatorname{Ch}^{\bullet\ge0}(\mathcal A) 위에는 약한 동치가 공사슬 복합체의 유사동형이며, 쌍대올뭉치가 양수 성분이 모두 단사 사상인 공사슬 사상으로 구성되는 모형 범주 구조가 존재한다. 이 모형 범주에서 모든 공사슬 복합체가 쌍대올대상이며, 올대상은 단사 대상으로 구성된 공사슬 복합체이며, 올대상 분해는 공사슬 복합체의 단사 분해이다.

반대로, 만약 \mathcal A가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 사슬 복합체 범주 \operatorname{Ch}_{\bullet\ge0}(\mathcal A) 위에는 약한 동치가 사슬 복합체의 유사동형이며, 올뭉치가 양수 성분이 모두 전사 사상인 사슬 사상으로 구성되는 모형 범주 구조가 존재한다. 이 모형 범주에서 모든 사슬 복합체가 올대상이며, 쌍대올대상은 사영 대상으로 구성된 사슬 복합체이며, 쌍대올대상 분해는 사슬 복합체의 사영 분해이다.

### 집합의 범주
집합과 함수의 범주 \operatorname{Set} 위에는 정확히 9개의 모형 범주 구조가 존재한다.

이에 따른 호모토피 범주는 다음과 같다.
* 만약 약한 동치가 임의의 함수라면, 호모토피 범주는 하나의 대상 및 하나의 사상만을 갖는 범주와 동치이다.
* 만약 약한 동치가  정의역이 공집합이 아닌 함수 또는 공집합 위의 항등 함수라면, 호모토피 범주는 두 개의 대상 (공집합 · 공집합이 아닌 집합) 및 이들의 항등 사상만을 갖는 범주와 동치이다.
* 만약 약한 동치가 전단사 함수라면, 호모토피 범주는 집합과 함수의 범주와 동치이다.

### 미분 등급 대수

표수 0인 체 K 위에서, 다음과 같은 범주들을 생각하자.
* 자연수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 \operatorname{CDGA}^{\ge0}_K
* 자연수 등급의 미분 등급 대수의 범주 \operatorname{DGA}^{\ge0}_K
* 정수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 \operatorname{CDGA}^{\mathbb Z}_K
* 정수 등급의 미분 등급 대수의 범주 \operatorname{DGA}^{\mathbb Z}_K

이 네 범주 위에는 각각 자연스러운 모형 범주 구조를 줄 수 있으며, 모든 경우 약한 동치는 유사동형(코호몰로지의 동형)이다.

### 작은 범주의 범주
작은 범주와 함자의 범주 \operatorname{Cat} 위에서, 호모토피 동치가 범주의 동치가 되는 모형 범주 구조는 유일하다. 이 모형 범주 구조는 다음과 같다.
* 약한 동치인 함자는 범주의 동치이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D이다.
** 충실충만한 함자이다.
** 임의의 D\in\mathcal D에 대하여, i\colon F(C)\to D인 대상 C\in\mathcal C 및 동형 사상 i가 존재한다.
* 쌍대올뭉치인 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D는 대상에 대하여 단사 함수인 함자이다. 즉, 임의의 C,C'\in\mathcal C에 대하여 C\ne C'라면 F(C)\ne F(C')이다.
* 올뭉치인 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D는 다음 조건을 만족시키는 함자이다.
** 임의의 C\in\mathcal C, D\in\mathcal D 및 \mathcal D-동형 사상 i\colon F(C)\to D에 대하여, F(C')=D이자 F(j)=i가 되는 \mathcal C-동형 사상 j\colon C\to C'가 존재한다.

### 동치 관계
동치 관계의 범주에 흥미로운 모형 범주 구조를 부여할 수 있다.

## 역사
대니얼 퀼런이 1967년에 도입하였다.

## 각주

## 외부 링크
* 
** 
** 
* 
** 
** 
** 
** 
** 
* 
** 
** 
** 
** 
** 
** 
* 
** 
* 
** 
** 
** 
** 
** 
** 
* 
** 
** 
** 
** 
* 
** 
** 
* 
* 
* 
* 
* 

분류:호모토피 이론
분류:범주론