상태 (함수해석학)

C* 대수 이론에서, **상태**(狀態, )는 C* 대수 위에 정의된, 특정한 부등식을 만족시키는, 작용소 노름 1의 복소수 값 유계 작용소이다. 이는 대략 C* 대수를 비가환 공간으로 여겼을 때 일종의 “확률 측도”로 여길 수 있다. 양자역학의 밀도 행렬을 추상화한 개념이다.

**겔판트-나이마르크-시걸 구성**(Гельфанд-Наймарк-Segal構成, , 약자 **GNS 구성**)에 따라, 상태들은 C* 대수의, 복소수 힐베르트 공간 위의 표현(의 동치류)와 일대일 대응한다.

## 정의
(항등원을 갖는) 복소수 대합 대수 (A,^*) 위의 복소수 선형 변환
:f\colon A\to\mathbb C
가 다음 조건을 만족시킨다면, **상태**라고 한다.
* 임의의 a\in A에 대하여, f(a^*a)\in[0,\infty)이다.
* f(1)=1이다.

C* 대수 A의 상태들의 공간을 \operatorname{State}(A)\subseteq A^*라고 하자 (A^*는 A의 연속 쌍대 공간). 이는 콤팩트 볼록 집합이며, 크레인-밀만 정리에 의하여 이는 극점들을 갖는다. 극점인 상태들을 **순수 상태**(純粹狀態, ), 아닌 상태들을 **혼합 상태**(混合狀態,)라고 한다. (이 용어들은 양자역학에서 유래하였다.)

### *-표현
C* 대수 A의 ***-표현**(*-表現) (\mathcal H,\rho)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* \mathcal H는 복소수 힐베르트 공간이다.
* \rho\colon A\to\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)는 복소수 대합 대수의 준동형이다. 즉, 환 준동형이며, 복소수 선형 변환이며, 대합과 항등원을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.
** 임의의 a,b\in A에 대하여, \rho(a+b)=\rho(a)+\rho(b)
** 임의의 a,b\in A에 대하여, \rho(ab)=\rho(a)\rho(b)
** 임의의 a\in A 및 \lambda\in\mathbb C에 대하여, \rho(\lambda a)=\lambda\rho(a)
** 임의의 a\in A에 대하여, \rho(a^*)=\rho(a)^* (우변의 ^*는 에르미트 수반)
** \rho(1)=1 (항등 함수)

A의 *-표현 (\mathcal H,\rho)에 대하여, 만약 v\in\mathcal H가 다음 조건을 만족시킨다면 **순환 벡터**라고 한다.
:\{\rho(a)x\colon a\in A\}는 \mathcal H의 (노름으로 정의된 거리 위상에 대한) 조밀 집합이다.

## 성질
### 기초적 성질
복소수 대합 대수 A 위의 상태 f\colon A\to\mathbb C가 주어졌을 때, 에르미트 형식
:B_f\colon A\times A\to\mathbb C
:B_f\colon (a,b)\mapsto f(a^*b)
을 정의할 수 있다. 이는 양의 준정부호이므로, 코시-슈바르츠 부등식
:|B_f(a,b)|^2\le B_f(a,a)B_f(b,b)\qquad\forall a,b\in A
가 성립한다. 즉,
:|f(a^*b)|^2\le f(a^*a)f(b^*b)\qquad\forall a,b\in A
이다.

C* 대수 위의 상태의 작용소 노름은 항상 1이다. 특히, 항상 연속 함수를 이룬다.

**증명:**

우선, 다음 보조 정리를 증명하자.
:**①** C* 대수 A의 자기 수반 원소 a\in A가 \|a\|\le1이라면, b^2=1-a인 자기 수반 원소 b\in A가 존재한다.
:**①의 증명:** a로 생성되는 (1을 포함하는) 부분 C* 대수 B\subseteq A를 생각하자. 이는 가환 C* 대수이며, 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간 X에 대한 B\cong\mathcal C^0(X,\mathbb C)로 표현되며, 이 표현 아래 x는 치역이 [-1,1]의 부분 집합인 연속 함수 f\colon X\to\mathbb C에 대응된다. 이 경우, \sqrt{1-f}에 대응되는 원소가 b\in B\subseteq A이다.

임의의 C* 대수 A 위의 임의의 상태 f\colon A\to\mathbb C를 생각하자. f\colon 1_A\mapsto1_{\mathbb C}이므로 \|f\|\ge1이다. 즉, \|f\|\le1임을 보이면 족하다.

임의의 a\in A에 대하여, \|a\|\le1이라고 하자. 이제 |f(a)|\le1임을 보이면 족하다. 그런데 코시-슈바르츠 부등식에 의하여
:|f(a)|^2\le f(a^*a)
이다. 즉, f(a^*a)\le1, 즉 f(1-a^*a)\ge0임을 보이면 족하다. 그런데 이는 보조 정리 ①에 의하여 참이다.


### 분해
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* C* 대수 A
* 유계 작용소 f\colon A\to\mathbb C
또한, 다음이 성립한다고 하자.
* 임의의 자기 수반 원소 a\in A에 대하여, f(a)\in\mathbb R
그렇다면, f는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다.
:f=\alpha_+f_+-\alpha_-f_-
여기서
* f_+,f_-\colon A\to\mathbb C는 A 위의 두 상태이다.
* \alpha_+,\alpha_-\in[0,\infty)는 음이 아닌 두 실수이며, \|f\|=\alpha_++\alpha_-이다.

### 정규 상태
폰 노이만 대수 A 위의 상태 f\colon A\to\mathbb C에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건들을 만족시키는 상태를 **정규 상태**(正規狀態, )라고 한다.
* f\restriction\operatorname{cl}\operatorname{ball}_A(0,1)는 약한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
* f\restriction\operatorname{cl}\operatorname{ball}_A(0,1)는 강한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
* 임의의 *-표현 (\mathcal H,\rho)에 대하여, \rho(a)=\operatorname{tr}(T\rho(a))가 성립하는 대각합류 작용소 T\colon\mathcal H\to\mathcal H가 존재한다. (이 경우, T를 f의 **[[밀도 행렬]]**이라고 한다.)

### 겔판트-나이마르크-시걸 구성
**겔판트-나이마르크-시걸 구성**에 따르면, 다음이 성립한다.
:① C* 대수 A의 상태 f\colon A\to\mathbb C에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 *-표현 (\mathcal H,\rho) 및 그 속의 순환 벡터 v\in\mathcal H가 존재한다.
::\forall a\in A\colon f(a)=\langle\rho(a)v,v\rangle
:② 위 조건을 만족시키는, 순환 벡터가 부여된 두 *-표현 (\mathcal H,\rho,v), (\mathcal H',\rho',v')에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 전단사 유니터리 변환 U\colon\mathcal H\to\mathcal H'이 존재한다.
::\forall a\in A\colon \rho'(a)=U\rho(a)U^*
::\forall a\in A\colon \rho'(a)v'=U\rho(a)v
즉, C* 대수의 상태들은 순환 벡터가 부여된 *-표현들의 (②에 대한) 동치류들과 일대일 대응한다.

**구성:**

구체적으로, 상태 f\colon A\to\mathbb C에 대응하는 *-표현 및 순환 벡터는 다음과 같다. 우선, 양쪽 아이디얼
:\mathfrak I=\{a\in A\colon f(a^*a)=0\}
를 정의하면, 복소수 힐베르트 공간은
:\mathcal H=\overline{A/\mathfrak I}
이다. (위의 줄은 내적 공간의 완비화를 뜻한다.) 그 위의 내적은 다음과 같다.
:\langle a+\mathfrak I,b+\mathfrak I\rangle_{\mathcal H}=f(ab)\qquad\forall a,b\in A
그 위의 *-표현은 다음과 같다.
:\rho\colon A\to \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)
:\rho\colon a\mapsto (b+\mathcal I\mapsto ab+\mathfrak I)
그 위의 순환 벡터는 다음과 같다.
:v=1_A+\mathfrak I\in\mathcal H


### 순수 상태 ⇔ 기약 *-표현
C* 대수 A의 *-표현 (\mathcal H,\rho)가 다음 두 조건을 만족시킨다면 **기약 *-표현**()이라고 한다.
* \mathcal H\ne\{0\}
* 임의의 닫힌 부분 벡터 공간 V\subseteq\mathcal H에 대하여, 만약 \{0\}\ne V\ne\mathcal H라면, \rho(a)V\ne V인 a\in A가 존재한다.

이 경우, 겔판트-나이마르크-시걸 구성 아래, 순수 상태들은 기약 *-표현(의 동치류)들과 일대일 대응한다.

## 예
임의의 유한 차원 복소수 힐베르트 공간 \mathcal H=\mathbb C^N 및 모든 N\times N 복소수 행렬로 구성된 폰 노이만 대수 \mathcal A=\operatorname{Mat}(N,N;\mathbb C)를 생각하자. 이 경우, 대각합이 1인 에르미트 행렬 \rho를 생각하자.
:\operatorname{tr}\rho=1
:\rho=\rho^\dagger
또한, \rho의 모든 고윳값이 음이 아닌 실수라고 하자.
그렇다면, 함수
:\operatorname{Mat}(N,N;\mathbb C)\to\mathbb C
:O\mapsto\operatorname{tr}(\rho O)=\operatorname{tr}(O\rho)
는 \operatorname{Mat}(N,N;\mathbb C) 위의 상태를 이룬다.

이 가운데 순수 상태들은 \rho=|v\rangle\langle v| (v\in\mathbb C^N는 단위 벡터)의 꼴의 상태들이다. 이 경우
:\phi_\colon O\mapsto\operatorname{tr}(O|v\rangle\langle v|)=\langle v|O|v\rangle
이다.

## 역사
상태의 개념은 양자역학에서 유래하였다.

겔판트-나이마르크-시걸 구성은 이즈라일 겔판트와 마르크 아로노비치 나이마르크가 1943년에 겔판트-나이마르크 정리를 증명하는 데 사용하였으나, 명시적으로 정의하지 않았다. 이후 어빙 에즈라 시걸()이 겔판트와 나이마르크의 논문에서 이 개념을 추출하였다.

## 같이 보기
* 양자역학
## 각주

## 외부 링크
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분류:연산자 이론