모듈러 곡선

수론과 대수기하학에서 **모듈러 곡선**(modular曲線, )은 상반평면의 모듈러 군의 부분군에 대한 몫공간인 리만 곡면이다. 타원곡선과 모듈러 군의 이론과 밀접한 관계를 갖는다.

## 정의
모듈러 군 \operatorname{SL}(2;\mathbb Z)\cong\Gamma(1)의 부분군 G\subset\Gamma(1)가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰 N에 대하여 \Gamma(N)\supset G라면, G를 모듈러 군의 **합동 부분군**(合同部分群, )이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수 N을 합동 부분군 G의 **준위**()라고 한다.

&Gamma;(1)은 자연스럽게 상반평면 \mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군 G 또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간 G\setminus\mathbb H를 (비콤팩트) **모듈러 곡선** Y(G)라고 한다. 이는 일반적으로 콤팩트하지 않은 리만 곡면이다.

콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 **확장 상반평면**()
:\mathbb H^*=\mathbb H\cup\mathbb Q\cup\{i\infty\}
을 정의하자. 그렇다면 **콤팩트 모듈러 곡선**을 확장 상반평면의 몫공간으로 정의할 수 있다.
X(G)=G\setminus\mathbb H^*=Y(G)\cup G\setminus(\mathbb Q\cup\{i\infty\})

대표적인 합동 부분군 &Gamma;0(*N*), &Gamma;1(*N*) 및 &Gamma;(*N*)에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 *X*0(*N*), *X*1(*N*), *X*(*N*)이라고 적는다.

## 타원점과 첨점
합동 부분군 G의 **타원점** \tau\in\mathbb H는 그 점에서의 \mathbb H-작용에 대한 안정자군 G_\tau가 자명하지 않는 (\pm1\subset G보다 더 큰) 점이다. 이 경우, G_\tau/\{\pm1\}의 크기를 타원점 \tau의 **계수**()라고 한다. 타원점의 계수는 항상 2 또는 3임을 보일 수 있다. 타원점은 G의 모듈러 곡선 Y(G) 위의 한 점으로 간주할 수 있다.

합동 부분군 G의 **첨점**(尖點, )은 :G\setminus(\mathbb Q\cup\{i\infty\})=X(G)-Y(G)
의 원소이다. 즉, 모듈러 곡선을 콤팩트화할 때 추가한 점들이다.

## 타원곡선과의 관계
모듈러 곡선은 소위 **준위 구조**()를 가진 복소 타원곡선의 모듈라이 공간이다. 예를 들어, X(1)은 복소 구조 이외에 아무런 구조를 갖지 않는 복소 타원곡선의 모듈러스 공간이다. \tau\in\mathbb H/\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)는 타원 곡선
:\mathbb C/\Lambda(z,\tau z)
과 대응된다. 여기서 \Lambda=\Lambda(\langle z,\tau z)는 0\ne z,\tau z\in\mathbb C에 의하여 생성되는 2차원 격자이며, z는 임의의 0이 아닌 복소수다. (서로 다른 z를 취해도 동형의 타원곡선을 얻는다.)

### ''X''(''N'')
*X*(*N*)의 경우, 타원곡선 E 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들 p,q\in E이다.
* p와 q의 차수는 N의 약수이다. 즉, Np=Nq=0이다.
* p와 q의 베유 쌍(Weil pairing)은 e_N(p,q)=\exp(2\pi i/N)이다.
복소수체의 경우, 두 N차 점
:p=(a+b\tau)/N
:q=(c+d\tau)/N
:a,b,c,d\in\mathbb Z/N
의 베유 쌍은
:e_N(p,q)=\exp(2\pi i(ad-bc)/N)
이다.

이에 따라서 \{p,q\}는 *N*차 꼬임 부분군
:\{z\in\mathbb C\colon Nz\in\Lambda\}
의 기저를 이룬다. 구체적으로, 임의의 \tau\in\Gamma(N)\backslash\mathbb H에 대하여 이는
:(p,q)=(1/N,\tau/N)\in\mathbb C/\Lambda(1,\tau)
로 주어진다.

### ''X''<sub>0</sub>(''N'')
*X*0(*N*)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선의 *N*차 순환 부분군
:i\colon\mathbb Z/n\hookrightarrow C/\Lambda
이다. 구체적으로, \tau\in\Gamma_0(N)\backslash\mathbb H에 대하여 이는
:\{0,1/N,2/N,\dots,(N-1)/N\}\subset\mathbb C/\Lambda(1,\tau)
이다.

### ''X''<sub>1</sub>(''N'')
*X*1(*N*)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 타원곡선에서 계수(order)가 N인 점 (즉, Nz\in\Lambda인 z\in\mathbb C)이다. 구체적으로, \tau\in\Gamma_1(N)\backslash\mathbb H에 대하여 이는
:1/N\in\mathbb C/\Lambda(1,\tau)
이다.

## 성질
모듈러 곡선의 기하는 잘 알려져 있다. 일반적으로, 합동 부분군 G의 콤팩트 모듈러 곡선 X(G)의 종수(genus)는 다음과 같다.
:g(X(G))=1+|\Gamma(1):G|/12-r_2/4-r_3/3-r_\infty/2
여기서
* |\Gamma(1):G|는 부분군의 지표다.
* r_2는 G의 계수가 2인 타원점들의 수이다.
* r_3는 계수가 3인 타원점들의 수이다.
* r_\infty는 G의 첨점들의 수이다.

## 예
### &Gamma;(1)
모듈러 군 \Gamma(1)\cong\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)의 경우, 이에 대응하는 모듈러 곡선 X(1)은 리만 구 \hat{\mathbb C}와 동형이다. 이 동형사상은 j-불변량에 의하여 주어진다.
:j\colon \Gamma(1)\backslash\mathbb H\to\hat{\mathbb C}

이는 종수 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다. &Gamma;(1)의 타원점과 첨점은 다음과 같다.
* 계수가 2인 타원점 1개 (i\in\mathbb H)
* 계수가 3인 타원점 1개 ((1+i\sqrt 3)/2\in\mathbb H)
* 첨점 1개 (i\infty)
를 가진다. 따라서
:g=1+1/12-1/4-1/3-1/2=0
이다. 이는 리만 구에 해당한다.

### &Gamma;(''N'')
&Gamma;(*N*)의 경우 N>1이면 타원점이 없다. 이 경우 부분군의 지표는 다음과 같다.
:|\Gamma(1):\Gamma(N)|=\begin{cases}
\frac12N^3\prod_{p|N}(1-1/p^2)&N>2\\
6&N=2
\end{cases}
또한, 이 경우 |\Gamma(1):\Gamma(N)|/N개의 첨점이 있다.
따라서 이 경우 종수는
:g=1+|\Gamma(1):\Gamma(N)|(1/12-1/2N)
이다. 예를 들어, N=2인 경우 세 개의 첨점을 가지며, 이에 대응하는 모듈러 곡선의 종수는
:g=1+6(1/12-1/4)=0
이다.

*N*이 소수 *p*일 때는 종수 공식은 다음과 같이 간단해진다. 
:g=(p+2)(p-3)(p-5)/24

따라서 &Gamma;1(*N*)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다. 부분군의 지표는 , 첨점의 수는 , 종수는 이다.

*X*(1)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 j-불변량 j\colon\mathbb H/\Gamma(1)\to\hat{\mathbb C}에 의해 주어지고, *X*(2)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 모듈러 람다 함수 \lambda\colon\mathbb H/\Gamma(2)\to\hat{\mathbb C}에 의해 주어진다.

### &Gamma;<sub>1</sub>(''N'')
&Gamma;1(2)와 &Gamma;1(3)는 각각 하나의 타원점을 가진다. &Gamma;1(*N*)의 경우 *N*>3이면 타원점이 없다. &Gamma;1(*N*)의 지표는
:|\Gamma(1):\Gamma_1(N)|=|\Gamma(1):\Gamma(N)|/N
이며, 첨점의 개수는 다음과 같다.
:r_\infty=\begin{cases}
2&N=2,3\\
3&N=4\\
\frac12\sum_{d|N}\phi(d)\phi(N/d)&N>4
\end{cases}
(\phi는 오일러 피 함수이다.)
따라서 &Gamma;1(*N*)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.
여기서 부분군의 지표는 , 첨점의 수는 , 종수는 이다.

### &Gamma;<sub>0</sub>(''N'')
&Gamma;<sub>0</sub>(''N'')의 경우, 타원점과 첨점들의 수는 다음과 같다.
:r_2=\begin{cases}0&4 | N\\\prod_{p | N}(1+(\tfrac{-1}p))&4 \not| N\end{cases}
:r_3=\begin{cases}0&9 | N\\\prod_{p | N}(1+(\tfrac{-3}p))&4 \not| N\end{cases}
:r_\infty=\sum_{0
여기서 \phi는 오일러 피 함수이고, (\tfrac ab)는 르장드르 기호이다. a|b는 a가 b의 인수라는 뜻이다. p|b는 p가 b의 소인수라는 뜻이다.

이 경우 부분군의 지표는 , 계수 2의 타원점의 수는 , 계수 3의 타원점의 수는 , 첨점의 수는 , 모듈러 곡선의 종수는 이다.

## 같이 보기
* 모듈러성 정리
## 각주

## 외부 링크
* 

분류:대수 곡선
분류:리만 곡면
분류:모듈러 형식