P진수

수론에서 **<i>p</i>진수**(p進數, *p*-adic number)는 유리수의 체를 마치 어떤 소수 *p*에 대한 로랑 급수처럼 해석하여 완비시켜 얻는 체이다.
보다 구체적으로 설명하면, 임의의 소수 p에 대해, p진수들을 전부 모은 *p*진체는 유리수체의 완비화이다. 또한 *p*진수에는 *p*진 값매김이 주어져 있기에 거리 공간이 되며 따라서 위상 공간이기도 하다. 이 거리 공간은 완비 거리 공간(즉, 모든 코시 수열이 수렴한다)이며, 그렇기에 p진체 상에서 마치 실수체 상에서와 같은 해석학을 전개할 수 있는 것이다. p진법 체계의 유용성은 상당 부분 이와 같은 대수적 구조와 해석적 구조 사이의 상호 연관성에서 나온다.

## 개론
유리수체 \mathbb Q는 표준 노름 |a/b|에 대하여 완비 거리 공간을 이루지 않는다. 따라서, 이에 대하여 코시 수열들의 동치류들을 취하여 이를 완비화할 수 있는데, 이렇게 하여 실수체 \mathbb R을 얻는다. 유리수체의 표준 노름은 아주 유용하지만, 원하면 유리수체에 다른 노름을 줄 수도 있다. 이러한 노름에 대하여 완비화하면 다른 체를 얻게 된다. *p*진수는 이렇게 정의되는 체 가운데 하나다.

수론에서, 유리수들을 어떤 주어진 소수 *p*에 대한 형식적인 단항식으로 취급하게 되는 경우가 있다. 모든 0이 아닌 유리수는 p^n(a/b) (a와 b는 p로 나누어떨어지지 않음)의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다. 예를 들어, p=7이라고 하자. 그렇다면,
:28/5=7\times(4/5)
:-15/98=7^{-2}\times(-15/2)
이는 "변수" p=7에 대한 단항식 (4/5)p 또는 -(15/2)p^{-2}와 유사하게 생각할 수 있다. 이제, p를 일종의 무한소로 취급하면, p의 인수를 더 많이 포함할수록 더 "작고", p^{-1}의 인수를 더 많이 포함할수록 더 "크다"고 생각할 수 있다.

이와 같이 유리수체 \mathbb Q 위에 p의 인수를 더 많이 포함할수록 더 노름이 작아지는 노름을 정의할 수 있다. *p*진체는 유리수체를 이 노름에 대하여 완비화한 체이다.

## 정의
*p*진수체 및 *p*진 정수환은 해석적인 기법 및 가환대수학적 기법으로 정의할 수 있다.

### 해석적 정의
p가 소수라고 하자. 유리수체 \mathbb Q에 다음과 같은 노름 |\cdot|_p를 정의할 수 있다.
:|p^na/b|_p=p^{-n} (p\nmid a,b)
:|0|_p=0
(모든 0이 아닌 유리수는 p^na/b와 같은 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.) 이 노름을 **<i>p</i>진 노름**()이라고 한다.

유리수체 \mathbb Q를 이 노름에 대하여 완비화시켜 얻는 체를 **<i>p</i>진체** \mathbb Q_p라고 하며, 그 원소를 **<i>p</i>진수**라고 한다.

### 대수적 정의
*p*진 정수환 \mathbb Z_p는 정수환 \mathbb Z를 소 아이디얼 (p)에서 완비화한 것이다. 즉, 다음과 같은 몫환들 사이에 자연스러운 환 준동형이 존재하며,
:\cdots\to\mathbb Z/p^3\to\mathbb Z/p^2\to\mathbb Z/p\to0
*p*진 정수환은 이들의 역극한이다.
:\mathbb Z_p=\varprojlim_n\mathbb Z/(p^n)
*p*진 정수환은 정역을 이루며, **''p''진수체** \mathbb Q_p는 *p*진 정수환의 분수체이다.
:\mathbb Q_p=\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p)

보다 추상적으로, *p*진 정수환 \mathbb Z_p는 크기 p의 유한체 \mathbb F_p 위의 p진 비트 벡터 환으로 정의할 수도 있다.

### ''p''진 복소수
**<i>p</i>진 복소수체** \mathbb C_p는 다음과 같이 정의한다.
# p진체 \mathbb Q_p는 완비 거리 공간이지만 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 그 대수적 폐포를 취하여, 대수적으로 닫힌 체 \bar{\mathbb Q}_p를 얻을 수 있다.
# 대수적 폐포 \bar{\mathbb Q}_p는 대수적으로 닫힌 체이지만 완비 거리 공간이 아니다. 그 완비화를 취하여, \mathbb C_p라는 체를 얻는다. 이는 대수적으로 닫힌 체이자 완비 거리 공간이다. 이를 **<i>p</i>진 복소수체**로 정의한다.

## 성질
### ''p''진 노름
*p*진 노름은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다. 아래에서, r,s\in\mathbb Q는 임의의 유리수다.
* |r+s|_p\le\max\{|r|_p,|s|_p\}
::이는 모든 노름들이 만족시키는 삼각 부등식 |r+s|\le|r|+|s|보다 더 강한 조건이다.
* \mathbb Q의 표준 노름을 |\cdot|_\infty라고 쓰자. 그렇다면,
::|r|_\infty\prod_p|r|_p=1
:이다.

### ''p''진 정수환
*p*진 정수환 \mathbb Z_p의 집합의 크기는 2^{\aleph_0}이다. 즉, 실수체의 크기와 같다.

가환대수학적으로, *p*진 정수환은 이산 값매김환이다 (따라서, 주 아이디얼 정역이자 유클리드 정역이며, 크룰 차원이 1차원인 국소환이다). 값군은 무한 순환군 \mathbb Z이며, 값매김은 *p*진 노름 |\cdot|_p\colon\mathbb Q_p\to\mathbb Z이다.

*p*진 정수환의 가역원군 \mathbb Z^\times_p은 다음과 같다.
:\mathbb Z_p^\times=\mathbb Z_p\setminus(p)=\{a\in\mathbb Z_p\colon|a|_p=1\}
*p*진 정수환의 모든 0이 아닌 원소는 다음과 같이 유일하게 나타낼 수 있다.
:a=p^nu\qquad(n\in\mathbb N,u\in\mathbb Z^\times_p)
따라서, *p*진 정수환의 모든 아이디얼은 다음과 같은 두 꼴 가운데 하나이다.
* (p^n),\;n\in\mathbb N
* (0)
*p*진 정수환의 유일한 극대 아이디얼은 (p)이다. *p*진 정수환의 소 아이디얼은 영 아이디얼과 (p)이다.

*p*진 정수환의 몫환은 다음과 같다.
:\mathbb Z_p/(p^n)\cong\mathbb Z/(p^n)
:\mathbb Z_p/(0)\cong\mathbb Z_p

*p*진 정수환은 국소환이므로, 자연스러운 (p)진 위상을 갖추어 위상환을 이룬다. p진 정수의 덧셈 위상군의 폰트랴긴 쌍대군은 (이산 위상을 갖춘) 프뤼퍼 군 \mathbb Z(p^\infty)이다.

### ''p''진체
*p*진체 \mathbb Q_p는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
* \mathbb Q_p의 집합의 크기는 |\mathbb Q_p|=2^{\aleph_0}=\mathfrak c=|\mathbb R|이다. 즉, 실수체의 크기와 같다.
* \mathbb Q_p는 유리수체를 부분체로 가지는 체이다. 그 체의 표수는 0이다.
* \mathbb Q_p는 순서 구조를 가하여 순서체로 만들 수 없다.
* 위상 공간으로서, *p*진체 \mathbb Q_p는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이지만, 콤팩트하지 않다.

### ''p''진 복소수체
*p*진 복소수체 \mathbb C_p는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
* \mathbb C_p는 대수학적으로 표준 복소수체 \mathbb C와 동형이다. 즉, \mathbb C_p는 \mathbb C에 비표준 노름을 준 것으로 생각할 수 있다.
** 따라서, |\mathbb C_p|=|\mathbb C|=\mathfrak c이며, 대수적으로 닫힌 체임을 일 수 있다.
* 위상 공간으로서, \mathbb C_p는 하우스도르프 공간이지만 국소 콤팩트하지 않다.

## 예
*p*진수의 덧셈·뺄셈·곱셈은 *p*진법 실수의 덧셈·뺄셈·곱셈과 유사하며, 유일한 차이는 소숫점 왼쪽으로 무한한 수의 자릿수가 존재한다는 것 뿐이다. *p*진법 나눗셈은 조금 다른데, 이 경우 뺄셈을 할 때, 1의 자릿수가 0이 되게 하는 수를 찾아서 뺀다.

예를 들어, 3의 역수 ⅓을 5진수체로 표현하면 순환 5진 정수 1/3=\overline{13}2_5이다. (여기서 자릿수 위의 윗줄은 반복되는 자릿수를 나타낸다.) 이는 다음과 같이 증명할 수 있다.
:\frac{5^2-1}{3}=\frac{44_5}3 = 13_5; \, \frac{5^4-1}3=\frac{4444_5}3 = 1313_5;\,
\frac{5^6-1}3=\frac{444444_5}3 = 131313_5;\cdots

::\implies-\frac13=\overline{13}_5=\cdots1313_5
::\implies-\frac23=\overline{13}_5 \times 2 = \overline{31}_5=\cdots3131_5
::\implies\frac13 = -\frac23+1 = \overline{13}2_5=\cdots132_5

이는 직접 다음과 같이 계산할 수 있다.
:\begin{array}{crl}
&\underline{\cdots3132_5}\\
3)&{\color{White}{\cdots000}}1_5\\
-&\underline11_5}&(=3_5\times2)\\
&\cdots4440_5\\
-&\underline14_5}{\color{White}{0}}&(=3_5\times3)\\
&\cdots430_5{\color{White}{0}}\\
-&\underline3_5}{\color{White}{00}}&(=3_5\times1)\\
&\cdots40_5{\color{White}{00}}\\
-&\underline{\cdots4_5}{\color{White}{000}}&(=3_5\times3)\\
&\cdots0_5{\color{White}{000}}
\end{array}
이는
:
\begin{array}{cr}
\cdots&\overset21\overset13\overset21\overset13\overset21\overset132_5\\
\times&3_5\\
\hline\\
\cdots&000001_5\\
\end{array}
로 검산할 수 있다. (여기서 윗첨자는 올림()이다.) 소숫점 오른쪽의 자릿수가 모두 0이므로, 이는 5진 정수이다.

## 역사
쿠르트 헨젤이 1897년에 대수적 수론에서 사용하기 위하여 도입하였다.

## 응용
원래 수론에서 도입되었지만, 오늘날 *p*진수는 초기의 목적에 비해 훨씬 더 다양한 분야에서 사용되고 있다. 예를 들어 p진 해석학은 미적분학의 *p*진법 버전이라 할 수 있다.

이론물리학에서도 *p*진수가 종종 사용된다.

컴퓨터 과학에서는 유리수를 나타내는 한 방법으로 사용된다.

## 같이 보기
* P진 해석학
* 2의 보수

## 각주

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## 외부 링크
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분류:대수적 수론