단위구

frame|right|일부 1-구들. <math>\|\boldsymbol{x}\|_2</math>은 아래의 첫 번째 부분에서 이야기되는 유클리드 공간의 노름이다.
수학에서 **단위[[구]]**는 고정된 중심점으로부터의 거리가 1인 점들의 집합이다. 일반화된 거리에 대한 개념이 사용된다; 닫힌 **단위[[공 (수학)|공]]**은 고정된 중심점에서 거리가 1보다 작거나 같은 점들의 집합이다. 보통 특정한 점은 연구 중인 공간의 원점으로 구별되고 단위구 또는 단위공이 그 점을 중심으로 한다고 이해된다. 따라서 여기서는 항상 "그" 단위구나 "그" 단위공을 이야기 하는 것이다.

예를 들어, 원의 내부과 표면은 이차원 구이지만, 일차원 구는 그 "원"의 표면이다. 비슷하게, 일반적으로 "구"라고 부르는 유클리드 입체의 내부와 표면은 삼차원 구이지만, 이차원 구는 그 구의 표면이다.

단위구는 단순히 반지름이 1인 구이다. 단위구의 중요한 점은 어떤 구도 평행이동과 크기변환만으로 단위구로 변환될 수 있다는 것이다. 이 때문에 구의 특성은 일반적으로 단위구에 대한 연구로 줄일 수 있다.

## 유클리드 공간에서 단위구와 공

*n*차원 공간의 유클리드 공간에서, 차원 단위구는 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합 (x_1, \ldots, x_n)이다:

: x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 = 1

*n*차원 열린 단위 공은 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합이다:

: x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 

그리고 *n*차원 닫힌 단위 공은 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합이다:

: x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 \le 1

### 일반적인 넓이와 부피 공식

단위구의 고전적인 방정식은 반지름이 1이고 *x*-, *y*-, 또는 *z*-축의 교대가 없는 타원체의 방정식이다:
:f(x,y,z) =  x^2 + y^2 + z^2 = 1

*n*차원 유클리드 공간의 단위구의 부피와 표면적은 많은 해석학의 중요한 공식에 등장한다. *n*차원 단위공의 부피 *V**n*은 감마 함수를 사용해서 표현할 수 있다:

:V_n = \frac{\pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \begin{cases}
{\pi^{n/2}}/{(n/2)!} & \mathrm{if~}n \ge 0\mathrm{~is~even,} \\
~\\
{\pi^{\lfloor n/2 \rfloor}2^{\lceil n/2 \rceil}}/{n!!} & \mathrm{if~}n \ge 0\mathrm{~is~odd,}
\end{cases} 

이 때 *n*은 이중 팩토리얼이다.

(*n*&minus;1)차원 단위구의 초부피 *A**n*(*즉*, *n*차원 단위공의 표면의 "넓이")은 다음과 같이 표현할 수 있다:

:A_n = n V_n = \frac{n \pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \frac{2 \pi ^ {n/2}}{\Gamma(n/2)}\,,
여기서 마지막 등식은 일 때만 성립한다.

일부 n값에 따른 표면적과 부피는 다음과 같다:

*n*&nbsp;≥&nbsp;2일 때의 확장된 소숫점 아래는 표시된 정확도로 반올림되었다.

#### 재귀

*A**n*값은 재귀를 만족시킨다:

:A_0 = 0
:A_1 = 2
:A_2 = 2\pi
:A_n = \frac{2 \pi}{n-2} A_{n-2} for n > 2.

*V**n*값도 재귀를 만족시킨다:

:V_0 = 1
:V_1 = 2
:V_n = \frac{2 \pi}{n} V_{n-2} for n > 1.

#### 분수 차원

*A**n*과 *V**n*의 공식은 어떤 실수 *n*&nbsp;≥&nbsp;0에 대해서도 계산할 수 있고, *n*이 음이아닌 정수일 때 구의 표면적과 공의 부피를 찾을 수 있는 적절한 환경이 있다.

right|섬네일|200px|이것은 (''x''&ndash;1)차원 구의 초부피(''즉'', ''x''차원 단위공의 표면의 "넓이")를 ''x''에 대한 연속 함수로 나타낸다.
none|섬네일|200px|이것은 ''x''차원 공의 부피를 ''x''에 대한 연속 함수로 나타낸다.

#### 다른 반지름

반지름이 *r*인 (*n*&ndash;1)차원 구의 표면적은 *A**n*&nbsp;*r**n*&minus;1이고, 반지름이 *r*인 *n*차원 공의 부피는 *V**n*&nbsp;*r**n*이다. 예를 들어, 반지름이 *r*인 삼차원 공의 표면적은 이다. 반지름이 *r*인 삼차원 공의 부피는 이다.

## 노름 벡터 공간의 단위공

더 정확하게, 노름이 \|\cdot\|의 노름 벡터 공간 V의 **열린 단위구**는 다음과 같다:

: \{ x\in V: \|x\|

이것은 (*V*,||·||)의 **닫힌 단위공**의 내부이다:

: \{ x\in V: \|x\|\le 1\}

후자는 전자와 그 공통 경계인 **단위구**의 서로소 연합이고, (*V*,||·||)의 **단위구**는 다음과 같다:

: \{ x\in V: \|x\| = 1 \}

*단위공*의 '모양'은 전적으로 선택된 노름에 의존한다; 이것은 충분히 '모퉁이'를 가질 수도 있고, 예를 들면 *R**n*의 노름 *l*∞의 경우에는[&minus;1,1]*n*처럼 보일 수도 있다. *둥근 공*은 일상적인 유클리드 거리의 유한 차원의 경우에 기반하는 힐베르트 공간 노름으로 이해된다; 그 경계는 일반적으로 *단위구*를 의미하는 것이다. 여기에 다양한 값의 *p*에 대한 이차원 <math>\ell^p</math> 공간의 단위공의 그림을 그렸다 (단위공은 *p* \ell^p의 정의에 중요한지 보여준다.

이 이차원 단위공의 지름 C_p에 대해서 주목하라:

:C_{0} = C_{\infty} = 8은 최대값이다.
:C_{1} = 4 \sqrt{2}은 최솟값이다.
:C_{2} = 2 \pi \,.

## 일반화

### 측도 공간
위의 세 정의 모두는 선택한 원점에 대하여 직접적으로 거리 공간으로 일반화 된다. 하지만, 위상적 고려사항(내부, 닫힘, 경계)은 같은 방법으로 적용될 필요는 없다(예를 들면, 초거리 공간에서, 이 세 개 전부는 열려있는 동시에 닫힌 집합이다). 그리고 심지어 단위구는 어떤 거리 공간에서 빌 수도 있다.

### 이차 형식
*V*가 실이차 형식 *F*:*V* → R을 가지는 선형 공간이면 { p ∈ *V* : *F*(p) = 1 }은 단위구또는 *V*의 단위 준-구 로 부를 수 도 있다. 예를 들어, 이차 형식 x^2 - y^2에 대해서 집합이 1과 같을 때, 분할복소수평면에서 "단위원"과 같은 역할을 하는 단위 쌍곡선을 만들어낸다. 비슷하게, 이차 형식 x2는 쌍대수평면의 단위 구인 선의 쌍을 얻는다.

## 같이 보기

* 공
* 초구
* 구 (기하학)
* 초타원
* 단위원
* 단위 디스크
* 단위구 묶음
* 단위정사각형
* 단위정육면체

## 각주

* Mahlon M. Day (1958) *Normed Linear Spaces*, page 24, Springer-Verlag.
*. Reviewed in ''Newsletter of the European Mathematical Society'' '''64''' (June 2007), p.&nbsp;57. This book is organized as a list of distances of many types, each with a brief description.

## 외부 링크
* 

분류:함수해석학
분류:1
분류:구 (기하학)