호흐실트 호몰로지

추상대수학에서 **호흐실트 호몰로지**()와 **호흐실트 코호몰로지**()는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 호몰로지 · 코호몰로지 이론이다.

## 정의
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 가환환 K
* K-결합 대수 A
* (A,K,A)-쌍가군 _AM_A. 즉, M은 (A,A)-쌍가군이며, 또한 M 위의 왼쪽 K-작용이 오른쪽 K-작용과 일치한다고 하자.

호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치이다.
* 호흐실트 (코)호몰로지는 Ext 함자 (또는 Tor 함자)의 특수한 경우로 추상적으로 정의될 수 있다.
* 호흐실트 (코)호몰로지는 **호흐실트 (공)사슬 복합체**()라는 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 구체적으로 정의될 수 있다.
* 호흐실트 (코)호몰로지는 단체 대상의 이론을 통해 정의될 수 있다.
흔히, _AM_A={}_AA_A인 특수한 경우가 자주 사용된다.

### 추상적 정의
A의 **포락 대수**(包絡代數, )
:A^{\operatorname{e}}=A\otimes_KA^{\operatorname{op}}
를 정의할 수 있다. 이는 K-결합 대수이며, M은 A^{\operatorname{e}}-왼쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로, A도 A^{\operatorname{e}}의 왼쪽 가군을 이룬다. 구체적으로,
:(a\otimes_K b^{\operatorname{op}})\cdot m=a\cdot m\cdot b\qquad\forall a,b\in A,m\in M
:(a\otimes_K b^{\operatorname{op}})\cdot c=a\cdot c\cdot b\qquad\forall a,b,c\in A
이다.

A의 M계수의 **호흐실트 호몰로지 군** \operatorname{HH}_n(A;M) 및  **호흐실트 코호몰로지 군** \operatorname{HH}^n(A;M)은 다음과 같이 Ext 함자 및 Tor 함자로 정의된다.
:\operatorname{HH}_n(A;M)=\operatorname{Tor}_n^{A^{\operatorname{e}}}(A,M)
:\operatorname{HH}^n(A;M)=\operatorname{Ext}^n_{A^{\operatorname{e}}}(A,M)

### 구체적 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 가환환 K
* K-가군 범주의 단체 대상 (X_\bullet,\partial_{\bullet,i},s_{\bullet,i})
그렇다면,
:\partial_n=\sum_{i=0}^n(-)^i\partial_{n,i}
를 정의하면,
:\partial_n\circ\partial_{n+1} = 0
이 되어, 사슬 복합체
:\dotsb\xleftarrow\partial X_2\xleftarrow\partial X_1\xleftarrow\partial X_0\to0
를 정의할 수 있다. 이 사슬 복합체의 호몰로지를 단체 가군 X_\bullet의 **호흐실트 호몰로지**라고 한다. 마찬가지로, 이 사슬 복합체의 쌍대 가군들로 구성된 공사슬 복합체
:X^n = \hom_K(X_n,K)
:0\to X^1\to X^2\to\dotsb
의 코호몰로지를 단체 가군 X_\bullet의 **호흐실트 코호몰로지**라고 한다. (호흐실트 (코)호몰로지의 정의에는 퇴화 사상 s_{\bullet,i}이 쓰이지 않는다.)

특히, 만약 위와 같이 K 위의 결합 대수 A와 (A,K,A)-쌍가군 M이 주어졌다면, 다음과 같은 **호흐실트 단체 가군**() C_\bullet(A;M)을 정의할 수 있다.
:C_n(A;M) = M\otimes_K A^{\otimes_Kn}
:\partial_{n,i} \colon C_n (A;M)\to C_{n+1}(A;M)
:\partial_{n,i}\colon m\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_n\mapsto
\begin{cases}
(ma_1)\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_n&i=0\\
m\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{i-1}\otimes_Ka_ia_{i+1}\otimes_Ka_{i+2}\otimes_K\cdots\otimes_Ka_n&0
:s_{n,i} \colon C_n (A;M)\to C_{n-1}(A;M)
:s_{n,i}\colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n\mapsto
m\otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_i\otimes_K 1\otimes_K a_{i+1}\otimes_K a_n

결합 대수 A의 M계수 **호흐실트 호몰로지**란 그 호흐실트 단체 가군의 호흐실트 호몰로지를 말한다.

C_\bullet(A;M)은 사슬 복합체로서
:M\otimes_{A^{\operatorname{e}}}\operatorname{Bar}_\bullet(A,A,A)
의 꼴이다. 여기서 \operatorname{Bar}_\bullet(A,A,A)는 A의 막대 복합체이다. 이제, 이를 쌍대화하여 공사슬 복합체
:C^\bullet(A;M) = \hom_{A^{\operatorname{e}}}(\operatorname{Bar}_\bullet(A,A,A), M)
를 정의할 수 있으며, A의 M^\vee계수 **호흐실트 코호몰로지**란 이 공사슬 복합체의 코호몰로지이다.

### 위상수학적 정의
A 계수의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같이 임의의 가군 범주 속의 단체 대상에 대하여 일반화될 수 있다.

다음이 주어졌다고 하자.
* 가환환 K
* \operatorname{Mod}_K 속의 단체 대상 X \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to \operatorname{Mod}_K. 여기서 \triangle은 단체 범주이다.
그렇다면, 단체 가군의 범주 \hom(\triangle^{\operatorname{op}},\operatorname{Mod}_K)은 아벨 범주이므로 그 속에서 Ext 함자를 정의할 수 있다. 또한, 단체 가군의 텐서곱을 정의할 수 있으며, 그 유도 함자로서 Tor 함자를 정의할 수 있다.

이 경우, X의 **호흐실트 호몰로지**와 **호흐실트 코호몰로지**는 각각 다음과 같다.
:\operatorname{HH}_n(X)=\operatorname{Tor}_n^{\hom(\triangle^{\operatorname{op}},\operatorname{Mod}_K)}(K_\bullet,X)
:\operatorname{HH}^n(X)=\operatorname{Ext}^n_{\hom(\triangle^{\operatorname{op}},\operatorname{Mod}_K)}(X,K_\bullet)
여기서 K_\bullet는 모든 성분이 1차원 자유 가군 K이며, s_n^i 및 d_n^i 모두가 항등 함수인 자명한 단체 대상이다.

(사실, 만약 A=M이라면, 호흐실트 단체 가군 C_n(A;A)는 추가로 순환 대상을 이룬다. 이 경우, 단체 가군의 범주 대신 순환 가군의 범주 \hom(\triangle_{\operatorname{Cyc}}^{\operatorname{op}},\operatorname{Mod}_K)에서 Tor 함자와 Ext 함자를 취할 수 있으며, 이 경우 순환 (코)호몰로지를 얻는다.)

## 성질
가환환 K 위의 결합 대수 A 및 (A,K,A)-쌍가군 M에 대하여, 호흐실트 호몰로지 \operatorname{HH}^n(A;M) 및 호흐실트 코호몰로지 \operatorname{HH}^n(A;M)는 K-가군이며, 사실 \operatorname Z(A)-가군을 이룬다.

### 함자성
임의의 가환환 K 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수의 범주 \operatorname{Alg}_K와, K-결합 대수 A가 주어졌을 때 (A,K,A)-쌍가군의 범주 _A\operatorname{Mod}_A를 생각하자.

그렇다면, 호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같은 함자를 정의한다.
:\operatorname{HH}_n \colon {}_A\operatorname{Mod}_A \to \operatorname{Mod}_{\operatorname Z(A)}
:\operatorname{HH}^n \colon {}_A\operatorname{Mod}_A \to \operatorname{Mod}_{\operatorname Z(A)}

또한, 임의의 K-결합 대수 준동형
:\phi\colon B\to A
및 (A,K,A)-쌍가군 M에 대하여, \phi^*M은 (B,K,B)-쌍가군을 이루며,
이는 호흐실트 호몰로지의 사상
:\phi_*\colon \operatorname{HH}^\bullet(B;\phi^*M) \to \operatorname{HH}_n(A;M)
및 호흐실트 코호몰로지의 사상
:\phi^*\colon \operatorname{HH}^\bullet(A;M) \to \operatorname{HH}^n(B;\phi^*M)
을 유도한다.

특히, 만약 M=A일 때, 이는 K-결합 대수의 범주(의 반대 범주)에서 K-가군의 범주로 가는 함자
:\operatorname{HH}_n(-)\colon \operatorname{Alg}_K \to\operatorname{Mod}_K
:\operatorname{HH}^n(-)\colon \operatorname{Alg}_K^{\operatorname{op}} \to\operatorname{Mod}_K
를 정의한다.

## 예
### 0차 호흐실트 (코)호몰로지
가환환 K 위의 결합 대수 A 및 (A,K,A)-쌍가군 M이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 호흐실트 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.
:C_0(A;M) = M 
:C_1(A;M) = M\otimes_K A
:\partial_1 = \partial_{1,0} - \partial_{1,1}
:\partial_{1,0} \colon m \otimes_K a \mapsto ma 
:\partial_{1,1} \colon m \otimes_K a \mapsto am 
이에 따라,
:\operatorname{HH}_0(A;M) = \frac M{[M,A]} 
이다.

마찬가지로, 호흐실트 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.
:C^0(A;M) = M
:C^1(A;M) = M \otimes A^\vee
:\mathrm d^0 \colon C^0(A;M) \to C^1(A;M)
:\mathrm d^0(m)(a) = ma - am 
이에 따라,
:\operatorname{HH}^0(A;M) = \{m\in M\colon am=ma\qquad\forall a\in A\}
는 환의 중심의 개념의 일반화이다.

### 1차 호흐실트 코호몰로지
가환환 K 위의 결합 대수 A 및 (A,K,A)-쌍가군 M이 주어졌다고 하자.

1차 호흐실트 코호몰로지는 다음과 같다. 1차 호흐실트 공순환은 K-가군 준동형
:\delta \colon A\to M
가운데
:\delta(ab) = a \delta(b) + \delta(a) b
와 같은 곱 규칙을 만족시키는 것이다. 이러한 것들을 **미분**()이라고 하자. 반면, 1차 호흐실트 공경계는
:[m,-]\colon A\to M \qquad(m\in M)
와 같은 꼴의 K-가군 준동형이다. 즉, 이러한 것들을 **내부 미분**()이라고 하자. 그렇다면, 1차 호흐실트 코호몰로지는 미분의 공간의, 내부 미분에 대한 몫, 즉 **외부 미분**()의 공간으로 여겨질 수 있다.

### 가환 대수
가환환 K 위의 가환 결합 대수 A 및 A-가군 M에 대하여, 처음 두 개의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.
:\operatorname{HH}_0(A;M)\cong M
:\operatorname{HH}_1(A;M)\cong M\otimes_A\Omega_{A/K}
여기서 \Omega_{A/K}는 켈러 미분의 가군이다.

즉, 1차 호흐실트 호몰로지는 1차 미분 형식에 대응한다. 비가환 기하학에서는 이를 사용하여 비가환 공간 위의 미분 형식을 정의한다.

### 다항식환
복소수 계수 다항식환 \mathbb C[\vec x] (\vec x\in\mathbb C^k)의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.
:\operatorname{HH}_n(\mathbb C[\vec x];\mathbb C[\vec x])=\mathbb C[\vec x]\otimes_{\mathbb C}\Lambda^n(\mathbb C^k)
여기서 \Lambda^n(-)는 외대수이다. 구체적으로, n차 호흐실트 사슬은 다음과 같은 꼴이다.
:C_n(\mathbb C[\vec x])=\mathbb C[\vec x_0,\vec x_1,\dotsc,\vec x_n]
호흐실트 사슬에 대응하는 호몰로지 동치류는 다음과 같다.
:p(\vec x_0,\dotsc,\vec x_n)\mapsto\sum_{i_1=1}^k\sum_{i_2=1}^k\dotsi\sum_{i_n=1}^k\left.\frac\partial{\partial(x_1)^{i_1}}\frac\partial{\partial(x_2)^{i_2}}\dotsm\frac\partial{\partial(x_n)^{i_n}}p\right|_{\vec x_0=\vec x_1=\vec x_2=\dotsb=\vec x_n=\vec x}\mathrm d(x_1)^{i_1}\wedge\mathrm d(x_2)^{i_2}\wedge\dotsb\wedge\mathrm d(x_n)^{i_n}

## 역사
게르하르트 호흐실트가 1945년에 체 위의 결합 대수에 대하여 도입하였다. 이후 앙리 카르탕과 사무엘 에일렌베르크가 일반적인 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의하였다.

## 같이 보기
* 순환 호몰로지
## 각주

## 외부 링크
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분류:대수
분류:호몰로지 대수학