리 대수

**리 대수**(Lie代數, )는 리 군의 국소적 구조를 나타내는 대수 구조이다. 좀 더 엄밀히 말하면, 리 괄호라 부르는, 야코비 항등식을 만족하는 교대 쌍선형 이항 연산을 지닌 벡터 공간이다.

## 정의
가환환 K 위에 정의된 **리 대수** (\mathfrak g,[\cdot, \cdot])는 K-가군 \mathfrak g와 다음을 만족하는 선형 변환 [\cdot,\cdot]:\mathfrak g\times\mathfrak g \to\mathfrak g로 이루어진다.
* (쌍선형성) 모든 x, y, z \in \mathfrak g와 a, b \in K에 대해 [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]이다.
* (교대성) 모든 x\in \mathfrak g에 대하여 [x,x]=0이다.
* (야코비 항등식) 모든 x , y, z \in \mathfrak g에 대해 [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0이다.
이 이항 연산은 **리 괄호**(Lie括弧, )로 불린다. 리 대수의 **[[준동형]]**은 리 괄호를 보존하는 선형 변환이다.

만약 K에서 2의 역원 2^{-1}이 존재한다면 (예를 들어, K가 표수가 2가 아닌 체라면), 교대성을 반대칭성, 즉 모든 x,y\in \mathfrak g에 대하여 [x,y]+[y,x]=0인 성질로 대체할 수 있다. (2가 가역원이 아니라면, 교대성이 반대칭성보다 더 강한 조건이다.)

통상적으로 리 대수는 흑자체 소문자 \mathfrak g,\mathfrak h 등으로 나타낸다.

정수환 \mathbb Z 위의 리 대수를 **리 환**(Lie環, )이라고 부르기도 한다. 이름과 달리 리 환은 (곱셈 결합 법칙을 따르는) 환을 이루지 않는다.

### 부분 대수와 아이디얼

가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g의 **부분 리 대수**() \mathfrak h는 리 괄호에 대하여 닫힌 K-부분 가군이다. 즉, \mathfrak h\subseteq\mathfrak g이며 [\mathfrak h,\mathfrak h]\subseteq\mathfrak h이다.

가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g의 **[[리 대수 아이디얼]]** I\subset\mathfrak g는 [\mathfrak g,I]\subseteq I를 만족하는 K-부분 가군이다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수다. 이는 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념으로, 마찬가지로 **몫 리 대수**() \mathfrak g/I를 정의할 수 있다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

### 등급 리 대수
환의 개념에 등급을 붙여 등급환을 정의할 수 있는 것처럼, **등급 리 대수**(等級Lie代數, )의 개념을 정의할 수 있다.
가환 모노이드 (D,+)가 주어졌다고 하자. 가환환 K 위의, D 등급을 갖는 **등급 리 대수** (\mathfrak g,[\cdot,\cdot])는 다음과 같이, 등급이 붙어 있고, 리 괄호가 등급을 보존하는 리 대수이다. 즉,
:\mathfrak g=\bigoplus_{d\in D}\mathfrak g_d
:[\cdot,\cdot]\colon\mathfrak g_d\times\mathfrak g_{d'}\to\mathfrak g_{d+d'}
이다.

## 성질
### 리 군론적 성질

리 군론에서, 실수체 또는 복소수체 위의 리 대수는 실수 또는 복소수 리 군과 밀접한 관계를 가진다. 모든 리 군에 대하여, 그 왼쪽 불변 벡터장들은 유한 차원 실수 리 대수를 이루며, 반대로 모든 유한 차원 실수 리 대수는 유일한 연결 단일 연결 리 군의 동형류에 표준적으로 대응한다.

통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 \operatorname{Lie}(\operatorname{SO}(5)) = \mathfrak{so}(5)이다.

### 보편 대수학적 성질
리 군과 달리, 주어진 체 K 위의 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 이 대수 구조 다양체는 다음과 같은 연산을 갖는다.
* 0항 연산:
** 0 (덧셈 항등원)
* 1항 연산:
** &minus; (덧셈 역원)
** 임의의 a\in K에 대하여, 스칼라곱 a\cdot
* 2항 연산:
** + (덧셈)
** [-,-] (리 괄호)
이는 K 위의 벡터 공간의 대수 구조에 리 괄호를 추가한 것이다. 이에 따라 자유 리 대수의 개념이나 리 대수의 직접곱을 정의할 수 있다. 유한 개의 리 대수의 직접곱은 직합과 같다.

이 밖에도, 다음과 같은 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.
* 아벨 리 대수. 이는 항등식 [x,y]=0으로 정의된다.
* k형의 멱영 리 대수. 이는 내림 중심렬의 길이가 k 이하인 리 대수이다.
* k형의 가해 리 대수. 이는 유도열의 길이가 k 이하인 리 대수이다.

리 대수의 대수 구조 다양체들의 모임 위에는 다음과 같이 이항 연산을 정의할 수 있다. 리 대수의 대수 구조 다양체 \mathcal U, \mathcal V가 주어졌을 때, 그 곱 \mathcal U\mathcal V는 \mathcal V의 원소들의, \mathcal U에 속한 리 대수 아이디얼에 대한 리 대수 확대로 구성된다.

### 범주론적 성질
주어진 체 K 위의 리 대수와 리 대수 준동형의 범주 \operatorname{LieAlg}_K는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

리 대수의 범주에서, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하며, 이는 둘 다 직합이다. 리 대수의 범주는 영 대상을 가지며, 이는 유일한 0차원 리 대수이다. 리 대수의 범주는 또한 핵과 여핵을 갖는다. 리 대수 준동형 \phi\colon\mathfrak g\to\mathfrak h의 핵은 0\in\mathfrak h의 원상 \phi^{-1}(0)이며, 이는 리 대수 아이디얼을 이룬다. \phi의 여핵은 그 치역 \phi(\mathfrak g)를 포함하는 가장 작은 리 대수 아이디얼에 대한 몫 리 대수이다. (이러한 리 대수 아이디얼은 유일하다.)

리 대수의 범주는 아벨 군의 범주 \operatorname{Ab} 위의 풍성한 범주()이다. 그러나 아이디얼이 아닌 부분 리 대수가 존재하므로, 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 않는다.

체 K 위의 단위 결합 대수의 범주 \operatorname{uAssoc}_K에서 체 K 위의 리 대수의 범주 \operatorname{LieAlg}_K로 가는 망각 함자
:\operatorname{Forget}\colon\operatorname{uAssoc}_K\to\operatorname{LieAlg}_K
가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 보편 포락 대수 함자
:\mathcal U\colon\operatorname{LieAlg}_K\to\operatorname{uAssoc}_K
이다.

### 오퍼라드 이론적 성질
리 대수의 구조를 묘사하는 오퍼라드인 **리 오퍼라드**() \operatorname{Lie}가 존재한다. 즉, 체 K 위의 리 대수는 K-벡터 공간의 범주 위의 \operatorname{Lie}-대수이다. 마찬가지로, K-초 벡터 공간의 범주 위의 \operatorname{Lie}-대수는 **[[리 초대수]]**라고 한다.

다른 오퍼라드와 마찬가지로, 리 오퍼라드의 호모토피화를 정의할 수 있다. 즉, 야코비 항등식이 "호모토피 동치 아래" 성립하는 대수를 정의할 수 있다. 이를 **[[L∞-대수]]**라고 한다.

## 연산
### 중심
가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g의 **중심**(中心, ) \operatorname Z(\mathfrak g)은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.
:\operatorname Z(\mathfrak g)=\{x\in\mathfrak g\colon[x,\mathfrak g]=0\}
이는 아벨 리 대수를 이루며, 또한 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.

### 몫 리 대수
가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g의 리 대수 아이디얼 \mathfrak a\subseteq\mathfrak g가 주어졌을 때, **몫 리 대수**() \mathfrak g/\mathfrak a를 정의할 수 있다. K-가군으로서, \mathfrak g/\mathfrak a는 몫가군 \mathfrak g/\mathfrak a이다. 이 위의 리 괄호는 다음과 같이 자연스럽게 정의된다.
:[x+\mathfrak a, y+\mathfrak a]=[x,y]+\mathfrak a
이는 아이디얼의 정의에 따라 동치류의 대표원의 선택에 의존하지 않는다.

### 직합
가환환 K 위의 두 리 대수 \mathfrak g, \mathfrak h가 주어졌을 때, 그 **[[직합]]** \mathfrak g\oplus\mathfrak h를 정의할 수 있다. 이는 가군으로서의 직합과 일치하며, 그 위의 리 괄호는 다음과 같이 성분별로 정의된다.
:[g,g']_{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}=[g,g']_{\mathfrak g}\qquad\forall g,g'\in\mathfrak g
:[h,h']_{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}=[h,h']_{\mathfrak h}\qquad\forall h,h'\in\mathfrak h 
:[g,h]_{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}=[h,g]_{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}=0\qquad\forall g\in\mathfrak g,\;h\in\mathfrak h
보다 일반적으로, K-리 대수의 집합 \{\mathfrak g_i\}_{i\in I}이 주어졌을 때, 그 직합
:\bigoplus_{i\in I}\mathfrak g_i
를 정의할 수 있다. 마찬가지로, K-리 대수의 집합 \{\mathfrak g_i\}_{i\in I}이 주어졌을 때, 그 **[[직접곱]]**
:\prod_{i\in I}\mathfrak g_i
를 정의할 수 있다. 유한 직접곱은 유한 직합과 일치하지만, 무한 직접곱은 일반적으로 무한 직합보다 더 크다.

실수체 위의 리 대수의 직합·직접곱은 리 군의 직접곱에 대응한다. 반면, 리 대수의 텐서곱은 일반적으로 정의될 수 없다.

### 리 대수의 확대
군에 대하여 군의 확대를 정의할 수 있는 것처럼, 리 대수의 **확대**(擴大, )를 다음과 같이 정의할 수 있다. 리 대수의 범주에서는 영 대상과 핵 · 여핵이 존재하므로, 완전열의 개념을 정의할 수 있다. 리 대수의 짧은 완전열
:0\to\mathfrak h\stackrel i\hookrightarrow\mathfrak e\stackrel q\twoheadrightarrow\mathfrak g\to0
이 주어졌다면, \mathfrak e를 \mathfrak g의 \mathfrak h로의 **확대**라고 한다. 만약 \ker q가 \mathfrak e의 중심에 속한다면, 이를 (군의 경우와 마찬가지로) **중심 확대**(中心擴大, )라고 한다.

### 반직접합

군에 대하여 반직접곱을 정의할 수 있는 것처럼, 두 개의 리 대수의 **반직접합**()을 정의할 수 있다. 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다.

### 미분
체 K 위의 리 대수 \mathfrak g 위의 **[[미분 (대수학)|미분]]**(微分, )은 다음과 같은 K-선형 변환이다.
:\delta\colon\mathfrak g\to \mathfrak g
이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다.
:\delta[x,y]=[\delta x,y]+[x,\delta y]\qquad\forall x,y\in\mathfrak g
리 대수 \mathfrak g 위의 미분들의 벡터 공간을 \mathfrak{der}(\mathfrak g)라고 쓰자. 이 위에 다음과 같은 리 괄호를 부여한다면 이 역시 리 대수를 이루며, 이를 **미분 리 대수**() \mathfrak{der}(\mathfrak g)라고 한다.
:[\delta,\delta']=\delta\circ\delta'-\delta'\circ\delta\qquad\forall\delta,\delta'\in\mathfrak{der}(\mathfrak g)
이는 \mathfrak{gl}(\mathfrak g;K)의 부분 리 대수를 이룬다. 만약 \mathfrak g가 아벨 리 대수라면 \mathfrak{gl}(\mathfrak g;K)=\mathfrak{der}(\mathfrak g)이다.

K=\mathbb R일 경우, \mathfrak{der}(\mathfrak g)는 리 대수의 (리 군인) 자기 동형군 \operatorname{Aut}(\mathfrak g)의 리 대수와 같다. 즉, 리 대수의 미분은 무한소 자기 동형으로 생각할 수 있다.

임의의 원소 x\in\mathfrak g에 대하여, 딸림표현 \operatorname{ad}_x\colon y\mapsto[x,y]는 미분을 이룬다. 이러한 미분을 **내부 미분**(內部微分, )이라고 한다.

## 구조론과 분류
우선 다음 성질을 정의하자.
* **아벨 리 대수**(Abel Lie代數, )는 임의의 x,y\in\mathfrak g에 대하여 [x,y]=0인 대수다.
* **[[멱영 리 대수]]**는 다음을 만족한다. \mathfrak g_0=\mathfrak g이고, \mathfrak g_{k+1}=[\mathfrak g_k,\mathfrak g]로 정의하자. 그렇다면 \mathfrak g_k=0인 k\in\mathbb N이 존재한다.
* **[[가해 리 대수]]**는 다음을 만족한다. \mathfrak g_0=\mathfrak g이고, \mathfrak g_{k+1}=[\mathfrak g_k,\mathfrak g_k]로 정의하자. 그렇다면 \mathfrak g_k=0인 k\in\mathbb N이 존재한다.
* **[[단순 리 대수]]**는 자신이나 0이 아닌 리 대수 아이디얼을 가지지 않고, 가환하지 않는 리 대수다.
* **[[반단순 리 대수]]**는 0이 아닌 가환 리 대수 아이디얼을 지니지 않는 리 대수다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:아벨 리 대수 ⊊ 멱영 리 대수 ⊊ 가해 리 대수 ⊊ 리 대수
:단순 리 대수 ⊊ 반단순 리 대수 ⊊ 리 대수

다음을 보일 수 있다.
* 임의의 유한 차원 실수 또는 복소 리 대수는 행렬로 충실히 표현할 수 있다. (**[[아도 정리]]** )
* 임의의 유한 차원 실수 리 대수는 가해 아이디얼과 반단순 부분 리 대수의 반직접합으로 나타낼 수 있다. (**[[레비 분해]]** )
* (실수 또는 복소수) 콤팩트 리 군의 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다. (이를 간혹 **콤팩트 리 대수**라 부르기도 한다. 물론, 리 대수는 벡터 공간이므로 위상수학적으로 절대 콤팩트 공간이 아니다.)
* 모든 반단순 리 대수는 단순 리 대수의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

아벨 리 대수는 자명하게 차원으로 분류된다. 실수와 복소수 단순 리 대수는 완전히 분류되었다. 복소수 단순 리 대수는 4개의 무한한 족과 5개의 예외적 대수로 분류되며, 주어진 복소수 단순 리 대수에 대응되는 (유한한 수의) 실수 단순 리 대수 역시 완전히 알려져 있다. 그러나 가해 리 대수의 분류는 매우 어렵다.

## 낮은 차원의 리 대수
3차원 이하의 실수 리 대수에 대하여, **비앙키 분류**()라는 분류가 존재한다. 이는 루이지 비앙키가 도입하였다.

### 2차원 이하 리 대수
임의의 체 K에 대하여, 2차원 이하의 리 대수는 다음 네 가지밖에 없다.
* 0차원 아벨 리 대수 \{0\}
* 1차원 아벨 리 대수 K
* 2차원 아벨 리 대수 K^{\oplus2}
* 2차원 비아벨 가해 리 대수 K\oplus_\psi K. 여기서 \psi\colon K\times K\to K는 곱셈 \psi(a,b)=ab으로 잡을 수 있다.

2차원에서의 유일한 비아벨 실수 리 대수는 다음과 같이 생각할 수 있다.
* 특수 상삼각 행렬 대수 \mathfrak{st}(2;\mathbb R)\subset\mathfrak{gl}(2;\mathbb R). 이는 2×2 상삼각 행렬 가운데, 대각합이 0인 것들로 구성된다.
* 1차원 아핀 대수 \mathfrak{aff}(1;\mathbb R)

### 3차원 실수 리 대수
모든 3차원 실수 리 대수는 단순 리 대수이거나 가해 리 대수이다. 3차원 단순 리 대수는
실수 반단순 리 대수는 \mathfrak{sl}(2;\mathbb R)와 \mathfrak o(3;\mathbb R)\cong\mathfrak{su}(2) 두 개가 있다. 전통적으로 \mathfrak{sl}(2;\mathbb R)는 **VIII형**, \mathfrak o(3;\mathbb R)는 **IX형**으로 불린다.

3차원 실수 가해 리 대수는 아벨 리 대수의 반직접합 \mathbb R^2\oplus_\psi\mathbb R으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 작용
:\psi\colon\mathbb R\to\mathfrak{der}(\mathbb R^2)=\mathfrak{gl}(2;\mathbb R)
:\psi\colon t\mapsto t\psi(1)
는 2×2 실수 정사각 행렬 \psi(1)\in\mathfrak{gl}(2;\mathbb R)에 의하여 완전히 결정된다. \psi(1)과 \alpha M^{-1}\psi(1)M (\alpha\in\mathbb R^\times, M\in\operatorname{GL}(2;\mathbb R))는 동형인 반직접합을 결정하므로, 이러한 리 대수의 분류는 2×2 실수 정사각 행렬의 닮음 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같이 \psi(1)의 조르당 표준형으로 결정되며, 이들에는 전통적으로 **I형**~**VII형**으로의 이름이 붙어 있다.
:\psi(1)=\begin{cases}\begin{pmatrix}
\lambda&1\\
&\lambda
\end{pmatrix},\;\lambda\in\mathbb R&
\begin{cases}
\lambda=0&\text{II}\\
\lambda\ne0&\text{IV}
\end{cases}
\\
\begin{pmatrix}
\lambda_1&0\\
0&\lambda_2
\end{pmatrix},\;\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb R,\;\lambda_1\le\lambda_2&
\begin{cases}
\lambda_1=\lambda_2=0&\text{I}\\
\lambda_1=\lambda_2\ne0&\text{V}\\
\lambda_1=-\lambda_2\ne0&\text{VI}_0\\
\lambda_1=0
이 가운데 **I형**은 아벨 리 대수이며, **II형**은 하이젠베르크 대수 \mathfrak h(3;\mathbb R)이자 2차원 갈릴레이 대수 \mathfrak{gal}(2;\mathbb R)이다. 이 둘은 위 분류 가운데 유일한 멱영 리 대수들이다. **III형**은 직합 \mathbb R\oplus\mathfrak{st}(2;\mathbb R)와 같다. **V형**은 평면의 닮음 변환군(, 평행 이동과 확대 변환으로 생성되는 군)의 리 대수 \mathfrak{id}(2;\mathfrak R)이며, **VI<sub>0</sub>형**은 (1,1)차원 푸앵카레 대수 \mathfrak{iso}(1,1;\mathbb R)와 같으며, **VII<sub>0</sub>형**은 2차원 유클리드 대수 \mathfrak{iso}(2;\mathbb R)와 같다. II형과 VI0형은 3차원 다양체의 기하화 추측의 8가지 기하 가운데 각각 영기하와 해기하에 대응한다. **VI형**과 **VII형**은 무한한 족을 이루며, 나머지는 모두 (동형 아래) 하나의 리 대수에 대응한다.

즉,
:\psi(1)=\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}
일 경우, \mathfrak g=\operatorname{Span}\{x,y,t\}로 잡으면 그 리 괄호는 구체적으로 다음과 같다.
:[t,x]=ax
:[t,y]=t(bx+cy)

### 3차원 복소수 리 대수
3차원의 복소수 리 대수의 비앙키 분류는 실수의 경우와 유사하지만, 대수적으로 닫힌 체이므로 더 간단하다.

3차원 복소수 단순 리 대수의 경우, \mathfrak{o}(3;\mathbb C)\cong\mathfrak{sl}(2;\mathbb C) 하나밖에 없다. 이는 전통적으로 **VIII/IX형**으로 불린다.

3차원 복소수 가해 리 대수의 경우, 마찬가지로 2×2 복소수 행렬의 조르당 표준형의 분류로 귀결되는데, 이 경우 VI형과 VII형이 같아지며, VI0형과 VII0 형이 같아진다.
:\psi(1)=\begin{cases}\begin{pmatrix}
\lambda&1\\
&\lambda
\end{pmatrix},\;\lambda\in\mathbb C&
\begin{cases}
\lambda=0&\text{II}\\
\lambda\ne0&\text{IV}
\end{cases}
\\
\begin{pmatrix}
\lambda_1&0\\
0&\lambda_2
\end{pmatrix},\;\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb C&
\begin{cases}
\lambda_1=\lambda_2=0&\text{I}\\
\lambda_1=\lambda_2\ne0&\text{V}\\
\lambda_1=-\lambda_2\ne0&\text{VI}_0/\text{VII}_0\\
\lambda_1=0\ne\lambda_2\lor\lambda_1\ne\lambda_2=0&\text{III}\\
\lambda_1\ne\pm\lambda_2,\;\lambda_1\ne0\ne\lambda_2&\text{VI}/\text{VII}
\end{cases}
\end{cases}


### 4차원 이상
레비 분해에 따라, 리 대수의 분해는 가해 리 대수의 분류로 귀결된다. 임의의 표수의 체 위의, 4차원 이하의 리 대수는 그뢰브너 기저를 사용하여 최근에 완전히 분류되었다.

## 예
### 아벨 리 대수
가환환 K 위의 자명한 가군 \{0\} 위에, 자명한 리 괄호 [0,0]=0를 준다면 이는 리 대수를 이룬다. 이는 리 대수의 범주의 영 대상이다.

보다 일반적으로, 가환환 K 위의 가군 V 위에 자명한 리 괄호 [a,b]=0을 준다면 이 역시 리 대수를 이룬다. 이를 **아벨 리 대수**()라고 한다. 만약 K가 실수체이거나 복소수체라면, 이는 실수 또는 복소수 아벨 리 군의 리 대수이다.

### 단위 결합 대수의 리 대수 구조

가환환 K 위의 단위 결합 대수 (A,\cdot)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, A 위에 다음과 같이 리 괄호를 환 교환자로 정의하면, A는 리 대수를 이룬다.
:[a,b]=a\cdot b-b\cdot a
특히, K 위의 n\times n 정사각 행렬들은 행렬 곱셈에 대하여 단위 결합 대수를 이루며, 이에 대한 리 대수는 일반 선형 대수 \mathfrak{gl}(n;K)이다.

### 미분

가환환 K 위의 (결합 대수가 아닐 수 있는) 대수 A가 주어졌다고 하자. A 위의 미분들의 집합을 \mathfrak{der}(A)라고 쓰자. \mathfrak{der}(A) 위에 다음과 같은 리 괄호를 교환자로서 정의하자.
:[\delta,\delta']=\delta\circ\delta'-\delta'\circ\delta
그렇다면 [\delta,\delta'] 역시 미분을 이룸을 알 수 있다. 이 리 괄호에 대하여 \mathfrak{der}(A)는 K-리 대수를 이룬다.

### 자유 리 대수

리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, **자유 리 대수**()를 정의할 수 있다. 집합 S 위의 자유 리 대수를 L(S)라고 하고, S 위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를 K\langle S\rangle라고 하자. 그렇다면 L(S)는 자연스럽게 K\langle S\rangle의 부분 집합을 이루며, K\langle S\rangle는 L(S)의 보편 포락 대수이다. L(S)는 K\langle S\rangle 속의, S로 생성되는 부분 리 대수이다.

### 벡터장
매끄러운 다양체 M 위의 매끄러운 벡터장들의 벡터 공간 \operatorname{Vect}M은 리 미분에 대하여 리 대수를 이룬다.

리 군 G 위의, 왼쪽 불변 벡터장들은 리 대수 \operatorname{Lie}G를 이룬다. 즉, \operatorname{Lie}G는 \operatorname{Vect}G의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

심플렉틱 다양체 (M,\omega) 위의 매끄러운 함수 f,g\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)에 대하여, 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하자.
:\{f,g\}=\omega^{-1}(df,dg)
그렇다면 이는 야코비 항등식을 만족시키며, 따라서 \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)는 \mathbb R-리 대수를 이룬다. \{f,-\}의 꼴로 나타내어지는 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 하며, 해밀턴 벡터장의 리 미분은 푸아송 괄호와 일치한다. 즉, \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)는 해밀턴 벡터장들로 구성된 \operatorname{Vect}M의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

보다 일반적으로, 푸아송 다양체 (M,\{,\})가 주어졌을 때, \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)는 \mathbb R-리 대수를 이룬다.

### 형식적 벡터장
표수가 0인 체 K 위의 형식적 멱급수환 Kx_1,\dots,x_n을 생각하자. 이 가환환 위의 미분은 n차원 공간 위의 형식적 벡터장으로 생각할 수 있다. 이러한 모든 미분들의 집합 \operatorname{Der}Kx_1,\dots,x_n은 리 대수를 이룬다. \operatorname{Der}Kx_1,\dots,x_n의 부분 리 대수를 **형식적 벡터장 리 대수**()라고 한다.

두 형식적 벡터장 리 대수 \mathfrak g\subseteq\operatorname{Der}Kx_1,\dots,x_n가 Kx_1,\dots,x_n의 자기 동형을 통해 관련된다면, 서로 **좌표 변환 아래 동치**()라고 한다.

X\in\operatorname{Der}Kx_1,\dots,x_n의 **차수**는 다음과 같다.
:\operatorname{ord}X=-1+\min_{i=1}^n\operatorname{ord}X(x_i)\in\{-1,0,1,2,\dots\}
여기서 우변에서 \operatorname{ord}\left(x^n(c+O(x))\right)=n이다. 이렇게 형식적 벡터장의 차수를 정의한다면, \operatorname{ord}[X,Y]\ge\operatorname{ord}X+\operatorname{ord}Y가 된다. 따라서, 형식적 벡터장 리 대수 \mathfrak g 속에서, 차수가 0 이상인 원소들의 부분 벡터 공간 \mathfrak g_0\subseteq\mathfrak g는 부분 리 대수를 이룬다. L_0의 L 속의 여차원은 n 이하이다. 만약 L_0의 여차원이 n이라면, L을 **추이적 형식적 벡터장 리 대수**()라고 한다.

1차원 공간 위의 유한 차원 형식적 벡터장 리 대수는 모두 분류되었으며, 다음과 같이 두 개의 무한 족과 하나의 예외가 있다.
* \langle x^i\partial_x\rangle, i=0,1,2,3,\dots. 이는 1차원 아벨 리 대수이다.
* \langle x\partial_x,x^i\partial_x\rangle, i=0,2,3,4,\dots. 이는 2차원 비아벨 가해 리 대수이다.
* \langle\partial_x,x\partial_x,x^2\partial_x\rangle. 이는 3차원 단순 리 대수이며, 2차원 특수 선형 대수 \mathfrak{sl}(2;K)와 동형이다.
이 가운데 추이적 형식적 벡터장 리 대수는 \langle\partial_x\rangle, \langle\partial_x,x\partial_x\rangle, \langle\partial_x,x\partial x,x^2\partial_x\rangle 세 개이다.

대수적으로 닫힌 체 계수의 2차원 공간 위의 유한 차원 추이적 형식적 벡터장 리 대수들은 소푸스 리가 분류하였다. 실수체의 경우에도 마찬가지로 유사한 분류가 존재한다.

### 반단순 리 대수

표수 0인 대수적으로 닫힌 체 K 위의 반단순 리 대수는 모두 분류되었다. 반단순 리 대수는 단순 리 대수들의 직합이며, 단순 리 대수는 \mathfrak a_n, \mathfrak b_n, \mathfrak c_n, \mathfrak d_n 4개의 무한 족과 \mathfrak e_6, \mathfrak e_7, \mathfrak e_8, \mathfrak f_4, \mathfrak g_2 5개의 예외 단순 리 대수로 분류된다.

표수 0인 대수적으로 닫힌 체 K 위의 반단순 리 대수 \mathfrak g 속에 카르탕 부분 대수 \mathfrak h\subset\mathfrak g를 잡자. 그렇다면, \mathfrak a 속의 \mathfrak g의 근계 \Phi\subset\mathfrak h^*를 생각하자. 그렇다면, 단순 리 대수의 구조론에 따라 \mathfrak g는 \operatorname{Span}_{\mathbb Z}\Phi-등급 리 대수를 이룬다. 구체적으로, g\in\mathfrak g의 등급은
:(\deg g)h=[h,g]
이다.

### 중심렬
군 G 속의 한 중심렬
:G=G_0\ge G_1\ge\cdots
이 주어졌다고 하자. 즉, 모든 i\in\mathbb N에 대하여
:[G_i,G_j]\le G_{i+j}
라고 하자. 그렇다면, G_i/G_{i+1}은 모두 아벨 군을 이룬다. 이 몫군들의 직합을 생각하자.
:L=\bigoplus_{i=0}^\infty G_i/G_{i+1}
이는 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 위에 다음과 같이 리 괄호를 군 교환자로 정의하자.
:[xG_i,yG_j]=x^{-1}y^{-1}xyG_{i+j}
그렇다면, 이는 자연수 등급이 붙은 등급 리 환을 이룬다.

### 호모토피 군
점을 가진 공간 X 위의 호모토피 군 \pi_k(X) 위에는 화이트헤드 괄호라는 다음과 같은 쌍선형 이항 연산이 존재한다.
:[,] \colon \pi_k(X)\times\pi_l(X)\to\pi_{k+l-1}(X)
이는 야코비 항등식을 만족시키며, 반대칭이지만, 일반적으로 교대 형식을 이루지 않는다. 만약 여기서 꼬임 부분군에 대한 몫을 취하면 리 대수를 얻는다. 구체적으로, 유리수 호모토피 이론에서 유리수 계수의 호모토피 군
:\mathfrak g_k=\pi_{k-1}(X;\mathbb Q)
을 생각하면, 이는 화이트헤드 괄호 아래 유리수 계수 등급 리 대수를 이룬다.

### 기타 예
* 비라소로 대수는 물리학, 특히 2차원 등각 장론에 등장하는 무한 차원 리 대수이다.
* 아핀 리 대수와 그 일반화 카츠-무디 대수 역시 무한 차원 리 대수의 예이다.
* 하이젠베르크 대수는 멱영 리 대수의 대표적인 예이다.

## 역사
소푸스 리가 리 군을 다루기 위하여 도입하였으며, "무한소군"()으로 일컬었다. 빌헬름 킬링은 1888년~1890년 동안 반단순 리 대수의 분류를 제창하였고, 1894년에 엘리 카르탕이 킬링의 분류를 엄밀하게 증명하였다. 1898년에 루이지 비앙키는 3차원 이하의 리 대수의 비앙키 분류를 제시하였다.

1930년대에 헤르만 바일이 "리 대수"라는 용어를 도입하였다. 아도 정리는 이고리 드미트리예비치 아도()가 1935년에 증명하였다. 레비 분해 정리는 1950년에 에우제니오 엘리아 레비()가 증명하였다.

## 같이 보기
* 리 군
* 리 대수의 표현
* 근계
* 리 대수 코호몰로지
* 리 초대수
* 거스틴해버 대수

## 각주

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## 외부 링크
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분류:리 군