기하적 대수학

**기하적 대수학**()은 수학에서 클리퍼드 대수의 기하학적 해석이며 3차원 공간에서 직접적으로 공간과 시간을 벡터 미적분보다 간단하게 표현하고 해석할 수 있다.

기하적 대수학은 수학적 문제에서 회전, 위상이나, 복소수를 사용할 경우 문제를 간단하고 알기 쉽게 표현할 수 있기 때문에 물리의 고전역학, 양자역학, 전자기학, 로봇공학, 컴퓨터 비전과 컴퓨터 그래픽 등에 응용되고있다.

## 기하적 곱
기하적 대수학에서는 **기하적 곱**(geometric product)이 임의의 벡터 \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}에 대하여 다음과 같은 성질을 가질 것을 요구한다.

* *결합법칙: <math>(\mathbf{a}\mathbf{b})\mathbf{c} = \mathbf{a}(\mathbf{b}\mathbf{c})</math>
* *왼쪽 분배법칙*: <math>\mathbf{a}(\mathbf{b}+\mathbf{c}) = \mathbf{a}\mathbf{b}+\mathbf{a}\mathbf{c}</math>
* *오른쪽 분배법칙*: <math>(\mathbf{a}+\mathbf{b})\mathbf{c} = \mathbf{a}\mathbf{c}+\mathbf{b}\mathbf{c}</math>
* *축약'':  \mathbf{a}\mathbf{a}=\mathbf{a}^2 =|\mathbf{a}|^2

여기서 |\mathbf{a}|는 벡터 \mathbf{a}의 크기라 불리며, 양의 값을 가지는 스칼라이다.

### 내적
기하적 곱으로부터 두가지 곱을 정의할 수 있는데, 하나는 대칭적(symmetric)인 내적으로 다음과 같다.

:\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b}+\mathbf{b}\mathbf{a})=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}

이 내적은 다음 식에서 우항들의 축약성을 이용하면 스칼라임을 보일 수 있다.

:\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}= \frac{1}{2}((\mathbf{a}+\mathbf{b})^2-\mathbf{a}^2-\mathbf{b}^2)

보통, 이 내적은 통상적인 유클리드 공간에서의 내적과 동일시 된다.

### 쐐기곱
다른 하나는 반대칭적(anti-symmetric)인 쐐기곱으로 다음과 같다.

:\mathbf{a}\wedge\mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b}-\mathbf{b}\mathbf{a})=-\mathbf{b}\wedge\mathbf{a}

이 쐐기곱으로 만들어진 \mathbf{a}\wedge\mathbf{b}은 스칼라, 벡터와는 다른 수학적 개체로써 이중벡터(bivector)라고 불린다. 스칼라가 점을, 벡터가 방향성이 있는 선분, 즉 유향선분을 나타낸다면, 이 이중벡터는 방향성을 가진 평면의 일부를 나타낸다. 이 쐐기곱은 임의의 벡터들에 대해 다음과 같이 일반화 될 수 있다.
:\mathbf{a}_1\wedge \mathbf{a}_2\wedge\cdots\wedge \mathbf{a}_r = \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r} \operatorname{sgn}(\sigma) \mathbf{a}_{\sigma(1)}\mathbf{a}_{\sigma(2)} \cdots \mathbf{a}_{\sigma(r)},
여기서 합은 모든 순열에 대해 행해지며, \operatorname{sgn}(\sigma)는 순열의 부호이다.

기하적 곱은 이와 같은 내적과 쐐기곱의 합성으로 주어질 수 있다.

:\mathbf{a}\mathbf{b} =\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{a}\wedge\mathbf{b}

## 전자기학에서 이용
### 전자기장 멀티벡터
3차원 공간에서 벡터인 전기장 \vec{E}과 이중벡터(bivector)인 자기장 \vec{\vec{B}}를 생각하자. 3차원 공간의 표준기저를 이루는 단위벡터 \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3를 이용해서 \vec{E}와 \vec{\vec{B}}를 표현하면 다음과 같다.

:\vec{E} = E_1\vec{e}_1 + E_2\vec{e}_2 + E_3\vec{e}_3 
:\vec{\vec{B}} = B_{12}\vec{e}_1\wedge\vec{e}_2 + B_{23}\vec{e}_2\wedge\vec{e}_3 + B_{31}\vec{e}_3\wedge\vec{e}_1 

표준기저를 이루는 서로 다른 벡터 간의 내적은 0이므로, a \neq b인 a, b에 대해 \vec{e}_a\wedge\vec{e}_b = \vec{e}_a\vec{e}_b이며, 따라서 자기장은 다음과 같이 표현된다.

:\vec{\vec{B}} = B_{12}\vec{e}_1\vec{e}_2 + B_{23}\vec{e}_2\vec{e}_3 + B_{31}\vec{e}_3\vec{e}_1 

또한 a =1,2,3인 a에 대해 1= \vec{e}_a\cdot\vec{e}_a =\vec{e}_a\vec{e}_a이고, a \neq b인 a, b에 대해 \vec{e}_a\vec{e}_b = \vec{e}_a \wedge \vec{e}_b = -\vec{e}_b \wedge \vec{e}_a = -\vec{e}_b \vec{e}_a와 같은 기하적 곱의 반교환성이 있기 때문에, 자기장은 다음과 같이 표현된다.

:\vec{\vec{B}} = \vec{e}_1\vec{e}_2\vec{e}_3(B_{12}\vec{e}_3 + B_{23}\vec{e}_1 + B_{31}\vec{e}_2)

보통 \vec{e}_1\vec{e}_2\vec{e}_3를 유사스칼라(psuedoscalar)라고 하며, i 또는 \mathit{I}라고 표현하는데 이것은 허수와 역할이 비슷하다. 왜냐하면, 이를 제곱하면 기하적 곱의 반교환성 때문에 -1을 얻기 때문이다. 또한 B_{23}=B'_{1}, B_{31}=B'_{2}, B_{12}=B'_{3}으로 성분을 갖는 벡터 \vec{B}'을 생각하면,

:\vec{\vec{B}} = i\vec{B}'

가 된다. 이중벡터 \vec{\vec{B}}와 벡터 \vec{B}' 간에는 쌍대(dual) 관계가 있다고 한다. 다음부터는 벡터 화살표 표시 대신 굵은 글씨체로 3차원 벡터를 표현하고, B'을 B로 표현하겠다. 그러면 전자기장 멀티벡터 \mathit{F}는 다음과 같이 정의된다.

:\mathit{F} = \mathbf{E}/c + (i\mathbf{B})

여기서 c는 빛의 속도이다. 멀티벡터는 기하적 대수학에서 다루는 수학적 개체로, 보통은 더해지지 않는 스칼라, 벡터 등의 서로 다른 텐서들의 합으로 주어지는 개체이다.

### 멕스웰 방정식
상대론적으로 다루는 4차원 벡터는 기하적 대수에서 다음과 같이 주어진다.

:v = (v_0 + v_1\mathbf{e}_1 + v_2\mathbf{e}_2 + v_3\mathbf{e}_3) e_0

여기서 e_0는 4차원 시공간에서 시간 방향으로 놓이는 단위벡터로, e_0 \cdot e_0 = 1이며, a =1,2,3인 a에 대해 {e}_0\cdot\mathbf{e}_a = 0이다.

기하적 대수학에서 멕스웰 방정식에 해당하는 표현은 \Box \mathit{F} = \mu_0 J인데, 4차원 미분형식(differential form)의 형식을 따르는 미분연산자 \Box와 앞서 정의한 전자기장 멀티벡터 \mathit{F}를 대입하면 좌변은 다음과 같다.

:\Box \mathit{F} = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} - \mathbf{\nabla}\right)e_0(\mathbf{E}/c + i\mathbf{B})

{e}_0\mathbf{e}_a = -\mathbf{e}_a{e}_0이고 {e}_0 i = {e}_0\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3 = -\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3{e}_0 = -i {e}_0이므로 위 식은 다음과 같다.

:\Box \mathit{F} = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} - \mathbf{\nabla}\right)(-\mathbf{E}/c + i\mathbf{B})e_0

그러므로 식은 시간에 대한 미분 부분과 공간에 대한 미분 부분으로 나눠지는데, 공간에 대한 미분 부분 중 전기장에 대한 미분 부분은 다음과 같다.

:\mathbf{\nabla} \mathbf{E} = \bf{\nabla} \cdot \mathbf{E} + \mathbf{\nabla} \wedge \mathbf{E}

여기서 \mathbf{\nabla} \wedge \mathbf{E}는 이중벡터가 되는데, 앞서 이중벡터였던 자기장이 벡터꼴로 써질 수 있었던 방법과 비슷하게 하면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:\mathbf{\nabla} \mathbf{E} = \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} + i \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}

그러므로 \Box \mathit{F}는

:\left[\left(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}/c + \left(\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)\right) - i\left(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} - \left(\mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}/c + \frac{1}{c}\frac{\partial (\mathbf{B})}{\partial t} \right) \right)\right]e_0

가 되고, 보통 벡터미적분으로 기술하는 맥스웰 방정식을 대입하면

:\left(\frac{\rho}{\epsilon_0 c} + \mu_0 \mathbf{J}\right)e_0 = \mu_0(\rho c +\mathbf{J})e_0 = \mu_0 J

가 된다.

### 전자기포텐셜
4차원 벡터 형식을 따르는 A와 앞서 언급한 \Box를 기하적 대수로 곱해주면 다음과 같다.
:\Box A = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} - \mathbf{\nabla}\right)e_0(\phi /c + \mathbf{A})e_0 = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} - \mathbf{\nabla}\right)(\phi /c - \mathbf{A})
항들을 전개하고 정리해주면,
:\Box A = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial }{\partial t} \phi/c + \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A}\right) +\left(- \mathbf{\nabla}\phi/c - \frac{1}{c} \frac{\partial (\mathbf{A})}{\partial t} + \mathbf{\nabla} \wedge \mathbf{A}\right) =  \left(\frac{1}{c} \frac{\partial }{\partial t} \phi/c + \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A}\right) + (\mathbf{E}/c + i\mathbf{B})
그러므로 로렌츠 게이지를 만족한다면, \Box A = F라고 써질 수 있다. 3차원 벡터공간의 기하적 대수 구조가 아니라, 4차원 시공간-벡터공간의 기하적 대수 구조를 따르면, 모든 게이지에서 성립하는 공식 \nabla \wedge A = F를 손 쉽게 쓸 수 있다.

## 양자역학에서의 응용
파울리 행렬은 기하적 대수 구조를 가지는 3차원공간의 표준기저 벡터들의 행렬 표현으로 생각될 수 있다. 3차원공간의 표준기저 e_1, e_2, e_3이 다음과 같은 기하적 대수 구조를 가진다면,
:\mathbf{e}_i \mathbf{e}_j = \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j + \mathbf{e}_i \wedge \mathbf{e}_j = \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j + i \mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_j = \delta_{ij} + i \sum_k \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_k
그리고 파울리 행렬 \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3이 이러한 표준기저 벡터들의 행렬 표현으로 간주 된다면, 파울리 행렬은 자연스럽게 다음과 같은 성질들을 만족한다.
:\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \cdot I + i \sum_k \epsilon_{ijk} \sigma_k
:[\sigma_i, \sigma_j] = 2 \sigma_i \wedge \sigma_j = 2 i \sum_k \epsilon_{ijk} \sigma_k
:\lbrace\sigma_i, \sigma_j\rbrace = 2 \sigma_i \cdot \sigma_j = 2 \delta_{ij} \cdot I

그렇다면 일반적으로 양자역학에서 다루는, 파울리 벡터(\mathbf{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z})와 보통 벡터(\mathbf{v} = v_1 \hat{x} + v_2 \hat{y} + v_3 \hat{z}) 간의 내적인 \mathbf{\sigma}\cdot \mathbf{v} = v_1 \sigma_1 + v_2 \sigma_2 + v_3 \sigma_3은 기하적 대수를 만족하는 3차원 벡터들의 행렬 표현으로 생각될 수 있다. 즉, 벡터 \mathbf{v} = [v_1, v_2, v_3]가 기하적 대수 구조를 갖는 벡터공간의 벡터라면 행렬 \begin{pmatrix}v_3&v_1-i v_2\\v_1+i v_2&-v_3\end{pmatrix}라고 표현될 수 있으며, 행렬 \begin{pmatrix}v_3&v_1-i v_2\\v_1+i v_2&-v_3\end{pmatrix}는 기하적 대수 구조를 갖는 벡터공간의 벡터 \mathbf{v} = [v_1, v_2, v_3]로 생각될 수 있는 것이다. 기하적 대수구조를 가지는 공간의 두 벡터 \mathbf{v}, \mathbf{w}는 다음과 같은 식을 만족한다.
:\mathbf{v}\mathbf{w} =\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} + i \mathbf{v}\times\mathbf{w}
위 식을 표준기저를 사용해서 표현하면 다음과 같다.
:(v_1 \mathbf{e}_1 + v_2 \mathbf{e}_2 + v_3 \mathbf{e}_3)(w_1 \mathbf{e}_1 + w_2 \mathbf{e}_2 + w_3\mathbf{e}_3) = (v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3) + i((v_2 w_3 - v_3 w_2)\mathbf{e}_1+(v_3 w_1 - v_1 w_3)\mathbf{e}_2+(v_1 w_2 - v_2 w_1)\mathbf{e}_3)
그러면 기하적 대수 구조를 가지는 3차원공간의 두 벡터 \mathbf{v}, \mathbf{w}의 행렬 표현도 자연스럽게 다음의 성질을 만족한다.
:(v_1 \sigma_1 + v_2 \sigma_2 + v_3 \sigma_3)(w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 + w_3 \sigma_3) = (v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3) + i((v_2 w_3 - v_3 w_2)\sigma_1+(v_3 w_1 - v_1 w_3)\sigma_2+(v_1 w_2 - v_2 w_1)\sigma_3)
일반적으로 양자역학에서 다루는, \hat{x}, \hat{y}, \hat{z}표현으로 위의 식을 바꿔주면,
:(\mathbf{v} \cdot \mathbf{\sigma})(\mathbf{w} \cdot \mathbf{\sigma}) = \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + i \mathbf{\sigma} \cdot ( \mathbf{v} \times \mathbf{w} )
가 된다.

## 같이 보기
* 클리퍼드 대수
* 시공간 대수
* 스피너
* 사원수
## 참고 문헌
* 
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분류:환론