비트 환

이차 형식 이론에서, **비트 환**(Witt環, )은 비퇴화 이차 형식의 동치류로 구성된 가환환이다.

## 정의
### 비트 분해
**비트 분해 정리**(Witt分解定理, )에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V 위의 이차 형식 Q는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.
:(V,Q)=(V_0,0)\oplus(V_1,Q_1)\oplus(V_2,Q_2)
여기서 각 성분은 다음과 같다.
* (V_0,0)은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
* (V_1,Q_1)은 **비등방성 이차 공간**()이다. 즉, V_1 속에서 Q_1(v)=0인 벡터 v\in V_1은 v=0뿐이다. 특히, Q_1은 비퇴화 이차 형식이다.
* (V_2,Q_2)는 **분해 이차 공간**()이다. 즉, Q_2는 비퇴화 이차 형식이며, \dim_KV_2=2n는 짝수이며, V_2 속에서 Q_2|_W=0인 n차원 부분 공간 W\subseteq V_2이 존재한다.
이 경우 (V_1,Q_1)을 (V,Q)의 **핵심**(核心, )이라고 한다. 또한, \dim_K(V_1\oplus V_2)를 Q의 **계수**(階數, )라고 하며, (\dim_KV_2)/2를 Q의 **비트 지표**()라고 한다. 만약 Q가 비퇴화 이차 형식이라면, Q|_W=0이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

### 비트 환
같은 체 위의 두 이차 공간 (V,Q), (V',Q')의 핵심이 서로 동형이라면, 두 이차 공간이 서로 **비트 동치**()라고 한다. 표수가 2가 아닌 체 K 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 비트 동치류들의 집합 \operatorname{Witt}(K)을 생각하자. 여기에 다음과 같은 연산을 부여하면, 이는 가환환을 이룬다.
* (V,Q)+(V',Q')=(V\oplus V',Q\oplus Q'). \oplus는 벡터 공간(및 그 위의 함수)의 직합이다.
* -(V,Q)=(V,-Q)
*  0=(K^0,0). 여기서 K^0는 K 위의 0차원 벡터 공간이다.
* (V,Q)\cdot(V',Q')=(V\otimes V',Q\otimes Q'). \otimes는 벡터 공간 (및 그 위의 함수)의 텐서곱이다.
* 1=(K^1,x\mapsto x^2)
이 가환환을 K의 **비트 환**이라고 한다.

### 비트-그로텐디크 환
가환환의 범주 \operatorname{CRing}와 가환 반환의 범주 \operatorname{CSemiring} 사이의 포함 함자
:\operatorname{CRing}\to\operatorname{CSemiring}
는 왼쪽 수반 함자
:F\colon\operatorname{CSemiring}\to\operatorname{CRing}
를 갖는다. 구체적으로, 이 함자는 다음과 같다.
* 가환 반환 (S,+,\cdot,0,1)에 대하여,
*:F(S)=\mathbb Z[(x_s)_{s\in S}]/(\{x_{s+t}-x_s-x_t,x_{st}-x_sx_t,x_1-1\colon s,t\in S\})
* 가환 반환 S, T 및 반환 준동형 f\colon S\to T에 대하여,
*:F(f)\colon[x_s]\mapsto[x_{f(s)}]
가환 반환의 덧셈 가환 모노이드가 소거 가환 모노이드라면, 대신 다음과 같은 구성을 사용할 수 있다. (이 구성에서, \sim이 동치 관계라는 사실의 증명은 소거 법칙을 사용한다.)

소거 가환 반환 S에 대하여,
F(S)=(S\times S)/\sim
(s,t)\sim(s',t')\iff s+t'=t+s'
s-t\mathrel\overset{\operatorname{def}}=[(s,t)]_\sim
(s-t)+(s'-t')=(s+s')-(t+t')
(s-t)\cdot(s'-t')=(ss'+tt')-(st'+ts')

두 소거 가환 반환 S, T 사이의 반환 준동형 f\colon S\to T에 대하여,
F(f)\colon s-t\mapsto f(s)-f(t)


자연스러운 반환 준동형
:S\to F(S)
:s\mapsto[x_s]
이 존재한다. 만약 S의 덧셈 가환 모노이드가 소거 모노이드라면, 이는 단사 함수이며, 다음과 같이 적을 수 있다.
:s\mapsto s-0

표수가 2가 아닌 체 K 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 동형류들의 집합 \operatorname{QForm}(K)을 생각하자. 이 위에 다음과 같은 연산을 부여하면, 가환 반환을 이룬다.
* (V,Q)+(V',Q')=(V\oplus V',Q\oplus Q')
*  0=(K^0,0)
* (V,Q)\cdot(V',Q')=(V\otimes V',Q\otimes Q')
* 1=(K^1,x\mapsto x^2)
또한, 비트 소거 정리에 따라 \operatorname{QForm}(K)의 덧셈 가환 모노이드는 소거 모노이드이다. 따라서, \operatorname{WG}(K)=F(\operatorname{QForm}(K))는 가환환이며, \operatorname{QForm}(K)를 부분환으로 포함한다. 이를 K의 **비트-그로텐디크 환**이라고 한다.

비트-그로텐디크 환과 비트 환 사이에 전사 환 준동형
:\operatorname{WG}(K)\to\operatorname{Witt}(K)
:(V,Q)\mapsto(V_1,Q_1)
이 존재한다. 이 전사 환 준동형의 핵은 분해 이차 공간들과 그 덧셈 역원들로 구성된 아이디얼이다.

## 성질
### 함자성
\operatorname{Field}_{\operatorname{char}\ne2}가 표수가 2가 아닌 체와 체의 확대의 범주라고 하자. 그렇다면, 비트 환과 비트-그로텐디크 환은 함자
:\operatorname{Witt}\colon\operatorname{Field}_{\operatorname{char}\ne2}\to\operatorname{CRing}
:\operatorname{WG}\colon\operatorname{Field}_{\operatorname{char}\ne2}\to\operatorname{CRing}
를 이룬다. 구체적으로, 체의 확대 L/K에 대응하는 환 준동형
:\operatorname{Witt}(K)\to\operatorname{Witt}(L)
:\operatorname{WG}(K)\to\operatorname{WG}(L)
은 다음과 같다.
:(V,Q)\mapsto(L\otimes_KV,(x\mapsto x^2)\otimes_KQ)
여기서, (L\otimes_KV,(x\mapsto x^2)\otimes_KQ)는 K 위의 이차 공간이지만, L\otimes_KV 위에 L-벡터 공간 구조
:a\cdot(a'\otimes_Kv)=(aa')\otimes_Kv\qquad(a,a'\in L,\;v\in V)
를 부여하면 L 위의 이차 공간을 이룬다. 이 환 준동형에서, 분해 이차 공간의 상은 분해 이차 공간이며, 따라서 이는 비트 환 사이에서도 잘 정의된다.

### 계수와 행렬식
같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 계수들은 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로, 비트 환은 자연스러운 환 준동형
:(\dim\bmod2)\colon\dim\colon\operatorname{Witt}(K)\to\mathbb Z/(2)
을 갖는다. (곱셈 항등원은 홀수 계수이므로, 이는 \mathbb Z/2-등급환을 이루지 않는다.) 이 준동형의 핵 \mathfrak i(K)=\ker(\dim\bmod2)\subseteq\operatorname{Witt}(K)을 비트 환의 **기본 아이디얼**()이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 이차 형식 Q의 **행렬식**() 또는 **판별식**() \det Q\in K^\times/(K^\times)^2은 Q를 나타내는 대칭 행렬 Q(x)=x^\top Mx의 행렬식 \det M의 K^\times/(K^\times)^2에서의 동치류이다. 이 경우, 사용하는 기저를 가역 행렬 A를 통해 바꾼다면
:AM'A=M
:(\det M')(\det A)^2=\det M
가 되므로, 비퇴화 이차 형식의 행렬식은 K^\times/(K^\times)^2의 원소로서 잘 정의된다.

표수가 2가 아닌 체 K에 대하여, 다음과 같은 가환환 \operatorname{GrQExt}(K)를 정의하자.
:\operatorname{GrQExt}(K)=\left\{(d,e)\colon d\in K^\times/(K^\times)^2,\;e\in\mathbb Z/(2)\right\}
:(d,e)+(d',e')=\left((-1)^{ee'}dd', e+e'\right)
:(d,e)(d',e')=(d^{e'}d'^{ee'}, ee')
즉, \operatorname{GrQExt}(K)의 원소는 K의 \mathbb Z/(2)-등급 이차 확대의 동치류로 구성된다고 생각할 수 있다.

그렇다면, 다음과 같은 자연스러운 환 준동형이 존재한다.
:\operatorname{Witt}(K)\to \operatorname{GrQExt}(K)
:(V,Q)\mapsto\left((-1)^{(\dim_KV)(\dim_KV-1)/2}\det Q,\dim_KV\bmod2\right)
이는 전사 함수이며, 그 핵은 기본 아이디얼의 제곱이다.

### 하세-비트 불변량
표수가 2가 아닌 체 K 위의 n차원 벡터 공간 V 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식 Q=\operatorname{diag}(a_1,a_2,\dots,a_n)가 주어졌을 때, 사원수형 대수 (2차원 벡터 공간 위의 클리퍼드 대수) \left(\tfrac{a_i,a_j}K\right)들은 (짝수 차원이므로) 중심 단순 대수를 이루며, 따라서 브라우어 군 \operatorname{Br}(K)의 원소들의 대표원들을 이룬다. Q의 **하세-비트 불변량**()은 이 브라우어 군 원소들의 합이다.
:\epsilon(V,Q)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n\left[\left(\frac{a_i,a_j}K\right)\right]\in\operatorname{Br}(K)
이는 Q의 대각화에 의존하지 않으며, 따라서 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식의 불변량을 이룬다. 또한, 이는 비트 동치류 위의 유함수를 이루며, 따라서 비트 동치류의 불변량을 이룬다.

### 밀너 환과의 관계
표수가 2가 아닌 체 K의 비트 환 \operatorname{Witt}(K)의 기본 아이디얼 \mathfrak i(K)\subseteq\operatorname{Witt}(K)의 거듭제곱들은 하강 여과를 이룬다.
:\operatorname{Witt}(K)=\mathfrak i(K)^0\supseteq\mathfrak i(K)^1\supseteq\mathfrak i(K)^2\supseteq\mathfrak i(K)^3\supseteq\cdots
이에 대응되는 \mathbb N-등급환
:R(K)=\bigoplus_{n=0}^\infty R_n(K)
:R_n(K)=\mathfrak i(K)^n/\mathfrak i(K)^{n+1}
을 정의할 수 있다.

체 K 위의 **피스터 이차 형식**()은 다음과 같은 꼴의, 2^n차원 벡터 공간 위의 이차 형식이다.
:\operatorname{diag}(1,-a_1)\otimes_K\operatorname{diag}(1,-a_2)\otimes_K\cdots\otimes_K\operatorname{diag}(1,-a_n)
i(K)^n의 원소들은 모두 유한 개의 2^n차원 피스터 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.

체 K의 밀너 환
:\operatorname K^{\operatorname M}(K)=\frac{\operatorname T(K^\times;\mathbb Z)}{(a\otimes(1-a))_{a\in K\setminus\{0,1\}}}
의 원소를 \{a_1,a_2,\dots,a_n\}\in\operatorname K^{\operatorname M}_n(K)로 표기하자. 그렇다면, 피스터 형식을 통해 밀너 환에서 위 등급환으로 가는 등급환 준동형을 정의할 수 있다.
:\operatorname K_\bullet^{\operatorname M}(K)\to R_\bullet(K)
:\{a_1,\dots,a_n\}\mapsto\operatorname{diag}(1,-a_1)\otimes_K\operatorname{diag}(1,-a_2)\otimes_K\cdots\otimes_K\operatorname{diag}(1,-a_n)

**이차 형식에 대한 밀너 추측**()에 따르면, 이 준동형은 등급환의 동형을 이룬다. 이는 존 밀너가 추측하였으며, 2007년에 드미트리 오를로프() · 알렉산드르 비시크() · 블라디미르 보예보츠키가 증명하였다.

## 예
### 복소수체
K가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, K가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 K^n 위의 이차 형식은 그 계수 r에 따라서 완전히 분류된다.

K 위의 계수가 2 이상인 이차 형식은 항상 등방성 벡터를 갖는다. 따라서, K 위의 이차 형식의 핵심은 항상 0차원이거나 1차원이다. 이에 따라, K의 비트 환은 \mathbb Z/(2)이다.

대수적으로 닫힌 체의 브라우어 군은 자명하므로, 이 경우 하세-비트 불변량 역시 자명하다.

### 실수체
(K,\le)가 에우클레이데스 체(, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, K가 실수체 \mathbb R이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

K의 비트 환은 \mathbb Z와 동형이다.
:\operatorname{Witt}(K)\cong\mathbb Z
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
* 계수 n\in\mathbb Z^+의 양의 정부호 형식은 n에 대응한다.
* 계수 n\in\mathbb Z^+의 음의 정부호 형식은 -n에 대응한다.
* 0차원의 벡터 공간 위의 형식은 0에 대응한다.

실수체의 브라우어 군은 실수체와 사원수환 \mathbb H로 구성되며, 2차 순환군이다.
:\operatorname{Br}\mathbb R=\{\mathbb R,\mathbb H\}\cong\operatorname{Cyc}(2)
이 경우 힐베르트 기호가
:\left(\frac{a,b}\mathbb R\right)=\begin{cases}
-1&\max\{a,b\}0\\
\end{cases}
이므로, 유한 차원 실수 벡터 공간 위의 부호수 (n_+,n_-)의 비퇴화 이차 형식 Q의 하세-비트 불변량은
:\epsilon(Q)=(-1)^{s(s-1)/2}
이다.

### 국소체
비아르키메데스 국소체 K의 대수적 정수환의 잉여류체의 크기가 q라고 하고, q가 홀수라고 하자. 그렇다면, K의 비트 환은 다음과 같다.
:\operatorname{Witt}(K)\cong\begin{cases}\left(\mathbb Z/(2)\right)[\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)]&q\equiv1\pmod4\\\left((\mathbb Z/(4)\right)[\operatorname{Cyc}(2)]&q\equiv3\pmod4\end{cases}
여기서 \operatorname{Cyc}(2)는 2차 순환군이며, R[G]는 군환을 뜻한다.

### 유리수체
유리수체 \mathbb Q의 비트 환의 크기는 32이며, 다음과 같다.
:W(\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/(8))[s,t]/(2s,2t,s^2,t^2,st-4)

### 홀수 표수의 유한체
표수가 2가 아닌 유한체 \mathbb F_q 위의 벡터 공간 \mathbb F_q^n 위의 이차 형식의 동치류는 총 2n+1개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.

이들은 구체적으로 다음과 같다. a\in\mathbb F_q가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.
:\nexists b\in\mathbb F_q\colon b^2=a
이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.
:Q_1^{(n)}=\operatorname{diag}(1,\dots,1,1)
:Q_2^{(n)}=\operatorname{diag}(1,\dots,1,a)
즉, 다음과 같은 꼴이다.
:Q_1^{(n)}(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2
:Q_2^{(n)}(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots+ax_n^2
만약 n이 홀수라면, Q_2^{(n)}는 \alpha Q_1^{(n)}과 동치이다. 이 경우 비트 지표는 Q_1^{(n)}, Q_2^{(n)} 둘 다 (n-1)/2이다.

만약 n이 짝수라면, Q_1^{(n)}은 \alpha Q_1^{(n)}과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.
* n\equiv2\pmod4이며 q\equiv3\pmod4인 경우, Q_1^{(n)}의 비트 지표는 n/2-1이며 Q_2^{(n)}의 비트 지표는 n/2이다.
* n\equiv0\pmod4이거나 또는 q\equiv1\pmod4인 경우, Q_1^{(n)}의 비트 지표는 n/2이며 Q_2^{(n)}의 비트 지표는 n/2-1이다.
이 경우, 비트 지표가 n/2인 경우를 **플러스형**(), n/2-1인 경우를 **마이너스형**()이라고 한다.

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.
:\operatorname{diag}(1,\dots,1,1,0,\dots,0)
:\operatorname{diag}(1,\dots,1,a,0,\dots,0)

홀수 차수 유한체 \mathbb F_q의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 q에 따라 구체적으로 다음과 같다.
:W(\mathbb F_q)\cong\begin{cases}\mathbb Z/(4)&q\equiv3\pmod4\\\mathbb F_2[\mathbb F_q^\times/(\mathbb F_q^\times)^2]&q\equiv1\pmod4\end{cases}
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
:
:

## 역사
에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:이차 형식