구면 조화 함수

섬네일|오른쪽|구면 조화 함수의 모양. 적색은 함수가 양인 구역, 녹색은 함수가 음인 구역을 나타낸다.
수학과 물리학에서 **구면 조화 함수**(球面調和函數, )는 구면에서 라플라스 방정식의 해의 정규 직교 기저다. 전자기학과 양자역학 등에서 구면 대칭인 계를 다룰 때 쓰인다. 기호는 Y_l^m이다.

## 정의
구면 좌표계 (r,\theta,\phi)에서 라플라스 방정식은 다음과 같다.
: \nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right)
  + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right)
  + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0,
변수분리법을 써, 함수 *f*가 다음과 같이 표현된다고 가정하자.
:f(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi).
그렇다면 라플라스 방정식은 다음과 같다.
:{\Phi(\varphi) \over \sin\theta}{d \over d\theta}\left(\sin\theta {d\Theta \over d\theta} \right) + {\Theta(\theta) \over \sin^2 \theta}{d^2\Phi \over d\varphi^2} + l(l+1)\Theta(\theta)\Phi(\varphi) = 0.
이는 다음과 같이 분리된다.
:\frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d\varphi^2} = -m^2
:l(l+1)\sin ^2(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\Theta(\theta)} \frac{d}{d\theta} \left [ \sin(\theta) \frac{d\Theta}{d\theta} \right ] = m^2
이에 따라 어떤 m 과 l에 대한 위 두 식을 얻는다.

따라서 각의 부분의 해는 다음과 같이 두 방정식의 해의 곱으로 표현된다.
: Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = N\exp(im\varphi)P_l^m (\cos{\theta} ),
이들 함수 Y_l^m를 **구면 조화 함수**라 부른다. 함수가 연속적이므로, l은 음이 아닌 정수이고, m은 -l\le m\le l을 만족하는 정수다. 여기서 P_\ell^m 은 르장드르 연관 함수이고, N 은 정규화 상수다. N은 임의적이나, 대개 편의상 \int_{4\pi}d\Omega\;|Y_l^m|^2=1이 되게 다음과 같이 정의한다.
:N=\sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}}.

보다 일반적으로, n차원의 유클리드 공간의 구면 좌표계 (r,\theta,\phi_1,\dotsc,\phi_{n-2})에 대하여 위와 같은 라플라스 방정식을 정의할 수 있다. 이에 따라서 구면 조화 함수
:Y_l^{m_1,m_2,\dotsc,m_{n-2}}(\theta,\phi_1,\dotsc,\phi_{n-2})
를 얻는다. 이 경우
:l \ge m_1 \ge m_2 \ge \dotsb \ge m_{n-3} \ge |m_{n-2}|
이며,
:\left(l(l+n-2)+\Delta_{\mathbb S^{n-1}} \right)Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2}} = 0
이다.

### 유클리드 공간 조화 다항식을 통한 유도
구면 조화 함수는 다른 방법으로 유도할 수 있다.

유클리드 공간 \mathbb R^n 위의 다항식 함수 가운데, 조화 함수인 것들을 생각하자.
:A = \left\{p \in \mathbb R[x_1,\dotsc,x_n] \colon \sum_{i=1}^n\frac{\partial^2p}{\partial x_i^2} = 0 \right\}
이는 물론 동차 다항식의 차수에 따라서 실수 등급 벡터 공간을 이룬다.
:A = \bigoplus_{l=0}^\infty A_l
:\forall p\in A_l\colon \deg p = l

이를 n-1차원 초구
:\mathbb S^{n-1} = \left\{(x_1,\dotsc,x_n)\in \mathbb R^n \colon \sum_{i=1}^nx_i^2 = 1\right\}
위에 제한할 수 있다.
:P = \bigoplus_{l=0}^\infty P_l = \{p\restriction \mathbb S^{n-1}\colon p \in A\}
:P_l = \{p \restriction \mathbb S^{n-1}\colon p\in A_l\}
그렇다면
:\Delta_{\mathbb S^{n-1}}f = -\nabla^2_{\mathbb S^{n-1}}f = l(l+n-2)f\qquad\forall f\in P_l
이 된다. 그렇다면, 구면 조화 함수 Y_{l,m_1,\dotsc,m_{n-2}}들은 P_l의 정규 직교 기저를 이룬다.

A_l의 원소
:p(x_1,\dotsc,x_n) = \sum_{i_1=1}^n\dotso\sum_{i_l=1}^np_{i_1\dotso i_l}x_{i_1}\dotsm x_{i_l}
에 대하여, p가 조화 함수일 조건은 텐서 p_{i_1\dotso i_l}이 대칭이며 완전 무(無)대각합인 것이다. 즉, 이는 \operatorname{SO}(n)의 완전 무대각합 대칭 l차 텐서 표현에 대응한다. 이는 l개의 상자로 구성된 하나의 행만을 갖는 영 타블로에 해당한다.
* SO(3)의 경우, 표현은 정수 스핀으로 분류되며, 이 경우 l은 이 스핀에 해당한다.
* SO(4)의 경우, 표현은 두 개의 정수 또는 두 개의 반(半)정수 스핀 (j_L,j_R)으로 분류되며, 이 경우 완전 무대각합 대칭 l차 텐서 표현은 스핀 (l/2,l/2)에 해당한다.

## 성질
섬네일|오른쪽|구면 조화 함수의 그래프. 기하학적인 무늬를 보인다.

n=3일 때, 정의에 따라, 음의 m 값은 양의 m값과 다음과 같은 관계를 가진다.
:Y_l^{-m}=(-1)^m(Y_l^m)^*.
(다만, 이 식은 정규화 상수를 다르게 잡을 경우 달라질 수 있다.)

### 정규 직교성
단위 초구는 유클리드 공간의 부분 다양체이다. 이에 따라 초구는 리만 다양체를 이루며, 이에 따라 부피 형식 및 르베그 공간
:\operatorname L^2(\mathbb S^{n-1};\mathbb C)
을 정의할 수 있다. 이는 분해 가능 무한 차원 복소수 힐베르트 공간이다(n\ge2). 그렇다면, Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2}}는 그 위의 정규 직교 기저를 이룬다.
:\int_{\mathbb S^{n-1}}\bar Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2}}Y_{l'}^{m'_1,\dotsc,m'_{n-2}}
=\delta_{ll'}\delta_{m_1m_1'}\dotsm \delta_{m_{n-2}m'_{n-2}}

### 라플라스-벨트라미 연산자
단위 초구는 유클리드 공간의 부분 다양체이다. 이에 따라 초구는 리만 다양체를 이루며, 그 위의 매끄러운 함수에 대하여 라플라스-벨트라미 연산자
:\Delta_{\mathbb S^{n-1}} = -\nabla_{\mathbb S^{n-1}}^2
를 정의할 수 있다.

n차원 구면 조화 함수는 라플라스-벨트라미 연산자의 고유 함수이며, 그 고윳값은 l(l+n-2)이다.
:\Delta Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2}}(\theta,\varphi)=l(l+n-2)Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2}}(\theta,\varphi_1,\dotsc,\varphi_{n-2})/r^2

### 운죌트 정리
구면 조화 함수는 다음 항등식을 따르며, 이를 **운죌트 정리**()라고 한다.
:\sum_{m=-l}^l \left| Y_l^m (\theta, \phi) \right|^2 = {2l + 1 \over 4\pi}
즉, 아래지표 *l*이 같은 구면 조화 함수를 절댓값을 취한 후 제곱해 -l부터 l까지 더하면 상수를 얻는다.

**예:**

: Y_0^0 (\theta, \phi) = {1 \over (4 \pi )^{1/2}}
: Y_1^0 (\theta, \phi) = \left({3 \over 4 \pi }\right)^{1/2} \cos \theta
: Y_{1}^{\pm  1} (\theta, \phi) = \left({3 \over 8 \pi }\right)^{1/2} \sin \theta  e^{\pm i \phi}
여기에 모두 절댓값을 취하면
: \left|Y_0^0 (\theta, \phi)\right| = {1 \over (4 \pi )^{1/2}}
: \left|Y_1^0 (\theta, \phi)\right| = \left({3 \over 4 \pi }\right)^{1/2} \cos \theta
: \left|Y_{1}^{\pm  1}(\theta, \phi)\right|  = \left({3 \over 8 \pi }\right)^{1/2} \sin \theta 
이 되고, 아래지표가 같은 함수끼리 제곱해서 더하면 다음을 얻는다.
: \left|Y_0^0 (\theta, \phi)\right|^2 = {1 \over 4 \pi }
: \left|Y_{1}^{-  1}(\theta, \phi)\right| ^2 + \left|Y_1^0 (\theta, \phi)\right|^2 + \left|Y_{1}^{ 1}(\theta, \phi)\right| ^2 = {3 \over 4 \pi } ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta ) = {3 \over 4 \pi } 


## 응용
구면 조화 함수의 매개변수 l과 m을 이렇게 부르는 까닭은 양자역학에서 이 함수를 구형 대칭의 파동 함수로 해석하면 l과 m 궤도 각운동량 양자수에 해당하기 때문이다. 양자역학에서 궤도 각운동량() 연산자는 다음과 같다.
:\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p=-i\hbar\mathbf r\times\mathbf\nabla.
따라서 그 제곱은 다음과 같다.
:\mathbf L^2=-\hbar^2\left(\frac1{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac1{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right).
또한, 궤도 각운동량의 z성분은 다음과 같다.
:L_z=\hat{\mathbf z}\cdot\mathbf L=-i\hbar\frac\partial{\partial\varphi}
.
따라서, 구면 조화 함수 Y_l^m은 \mathbf L^2와 L_z의 고유함수이며, 그 고윳값은 다음과 같다.
:\mathbf L^2Y_l^m=l(l+1)\hbar^2Y_l^m
:L_zY_l^m=m\hbar Y_l^m.

### 확률 밀도
구면 대칭 파동 함수
:\psi_{nlm} (r, \theta, \phi) = R_{nl} (r) Y_l^m (\theta, \phi)
의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.
:P (r, \theta, \phi) = |\psi_{nlm} (r, \theta, \phi)|^2 = |R_{nl} (r)|^2  |Y_l^m (\theta, \phi)|^2
에너지의 경우 *l*과 *m*에 전혀 무관하고 오로지 *n*에만 관련이 있는 값으로 나온다. 따라서 *n*은 같고 *l*과 *m*이 다른 상태들은 모두 축퇴되어 있다. 따라서, 같은 에너지를 같는 상태에서 확률 밀도를 구하면, 다음과 같다.
:P (r, \theta, \phi) dV = |\sum_{l,m} \psi_{nlm} (r, \theta, \phi)|^2 dV = \sum_l |R_{nl} (r)|^2 \sum_{m=-l}^{l} |Y_l^m (\theta, \phi)|^2 dV = \sum_l C_l |R_{nl} (r)|^2 dV 
여기서 C_*l*는 상수이며, 적분시 0이 되는 수직인 항들은 전부 무시하였다. 즉, 운죌트 정리에 따라서, 확률 밀도는 구면 대칭을 따른다.

## 예
낮은 차수의 구면 조화 함수는 다음과 같다. 여기서는 입자 데이터 그룹() 관례를 따랐다. (음수 m의 경우는 위의 식을 통해 양의 m으로부터 계산할 수 있다.)
:Y_0^0(\theta,\varphi)=\frac12\sqrt{1\over \pi}

:Y_1^0(\theta,\varphi)=\frac12\sqrt{3\over \pi}\cos\theta
:Y_1^1(\theta,\varphi)=-\frac12\sqrt{3\over 2\pi}\sin\theta\exp(i\varphi)

:Y_2^0(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{5\over \pi}(3\cos^2\theta-1)
:Y_2^1(\theta,\varphi)=-\frac12\sqrt{15\over 2\pi}\sin\theta\cos\theta\exp(i\varphi)
:Y_2^2(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{15\over 2\pi}\sin^2\theta\exp(2i\varphi)

:Y_3^0(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{7\over \pi}(5\cos^3\theta-3\cos\theta)
:Y_3^1(\theta,\varphi)=-\frac18\sqrt{21\over \pi}\sin\theta(5\cos^2\theta-1)\exp(i\varphi)
:Y_3^2(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{105\over 2\pi}\sin^2\theta\cos\theta\exp(2i\varphi)
:Y_3^3(\theta,\varphi)=-\frac18\sqrt{35\over \pi}\sin^3\theta\exp(3i\varphi)

### 2차원 구면 조화 함수
1차원 구는 원이며, 이 경우 구면 조화 함수는 단순히 삼각 함수이다.
:Y_m(\theta) = \frac1{\sqrt{2\pi}}\exp(\mathrm im\theta)
이 경우
:\Delta_{\mathbb S^1} Y_m = -m^2Y_m
:\int_0^{2\pi} Y^*_m(\theta)Y_{m'}(\theta) \mathrm d\theta = \delta_{ij}
가 된다.

2차원 유클리드 공간의 조화 다항식은
:1
:x,y
:x^2-y^2,xy
등이 있는데, 이들을 원에 제한하고 y/x=\tan\theta로 놓으면
:1
:\sin\theta,\cos\theta
:-2\cos(2\theta),\sin^2\theta-\cos^2\theta,\frac12\sin2\theta
를 얻는다. 즉, 각 l=|m|에 대하여 이들은 Y_m과 같은 2차원 함수 공간을 정의한다.

## 역사
운죌트 정리는 독일의 천체물리학자 알브레히트 오토 요하네스 운죌트(, 1905~1995)가 제시하였다.

## 각주

## 외부 링크
* 
* 

## 같이 보기

* 르장드르 연관 함수
* 극좌표계
* 구면좌표계
* 부분파 방법

분류:특수 함수
분류:원자물리학
분류:편미분 방정식
분류:특수 초기하함수
분류:푸리에 해석학