T-이중성

[섬네일|500px|오른쪽|T-이중성과 [S-이중성은 서로 다른 것처럼 보이는 초끈 이론들을 서로 연관짓는다. T-이중성에 따라, ⅡA형과 ⅡB형 초끈 이론이 서로 동형이고, E8×E8 잡종 끈 이론과 SO(32) 잡종 끈 이론이 서로 동형이다.]]
끈 이론에서 **T-이중성**(T-二重性, ) 또는 **과녁 공간 이중성**()은 서로 다른 두 시공간 (과녁 공간) 위의 끈 이론이 서로 같은 현상이다. 대략, 끈의 길이보다 아주 작은 차원은 끈의 길이보다 아주 큰 차원과 동등하다. 따라서, 끈 이론에서의 시공간은 점입자 이론에서의 시공간과 근본적으로 다르고, 매우 짧은 길이와 매우 긴 길이에 대한 차이가 사라진다.

## 정의
원기둥에 축소화한 닫힌 보손 끈을 생각하자. 축소 차원의 크기가 2\pi R이라고 하자. 그렇다면 축소 차원에서의 운동량은 1/R의 단위로 양자화된다.
:p=n/R, n\in\mathbb Z

끈은 또한 축소 차원에 따라 (점입자와 달리) 감길 수 있다. 닫힌 끈의 경우, 축소 차원에 따라 감긴 수를 **감음수**() w라고 부른다.
섬네일|502px|가운데|닫힌 끈의 감음수. 시계 방향으로 감기면 음수, 시계 반대 방향으로 감기면 양수로 친다.
그렇다면 끈의 질량은 다음과 같다.
:
m^2=\frac{n^{2}}{R^{2}}+w^{2}R^{2}+2\left(N+\tilde{N}-2\right)

여기서 N+\tilde N은 끈의 총 진동 모드의 수다. (\alpha'=1로 놓자.) 따라서
:R\leftrightarrow 1/R\quad n\leftrightarrow w
와 같이 바꾸면 끈의 질량 스펙트럼이 같은 것을 알 수 있다. 또한 마찬가지로 끈의 상호 작용도 같다는 사실을 보일 수 있다.

섬네일|500px|가운데|끈 이론에서는 T-이중성으로 인하여 매우 작은 차원이 매우 큰 차원과 동등하다. 이는 이론의 질량 스펙트럼으로 확인할 수 있다.

### 열린 끈과 D-막의 T-이중성
열린 끈의 경우, 노이만 경계 조건이 디리클레 경계 조건에 대응됨을 알 수 있다. 따라서 이론에 디리클레 경계조건과 D-막을 포함하여야 한다. 이에 따라, Dp-막은 (축소화하는 방향에 따라서) Dp-막 또는 D(p-1)-막에 대응된다.

### 등각 장론의 관점
T-이중성은 2차원 등각 장론의 관점에서 이미 등장한다. 가장 간단하게, 스칼라장
:X \colon \Sigma \to \mathbb R/(2\pi R\mathbb Z)
을 생각하자. 그렇다면, 그 분배 함수는 다음과 같은 꼴이다.
:Z_R(\tau,\bar\tau)
= \frac1{|\eta(\tau)|^2} \sum_{m,n\in\mathbb Z}
q^{\frac12(m/R+Rn/2)^2}\bar q^{-\frac12(m/R-Rn/2)^2}
여기서
:q = \exp(2\pi\mathrm i\tau)
:\bar q = \exp(2\pi\mathrm i\bar\tau)
이며, \eta는 데데킨트 에타 함수이다. 그렇다면, 푸아송 재합 공식()을 통하여
:Z(\tau;R) = Z(\tau+1;R) = Z(-1/\tau;R) = Z(\tau;2/R)
임을 보일 수 있다. 물리학적으로, 처음 두 등식은 모듈러 군의 작용이며, 마지막 등식은 끈의 T-이중성을 나타낸다.

### 여러 차원의 축소화
여러 개의 차원을 축소화할 경우, T-이중성 군은 더 커진다. k개의 차원을 축소화할 경우, T-이중성 군은 \operatorname O(k,k,\mathbb Z)이다. 이 군은 다음 성질을 만족하는 2k\times2k 정사각행렬 M들의 군이다.
* M은 유니모듈라 행렬()이다. 즉, M의 모든 성분은 정수이며, M^{-1}이 존재하고, M^{-1}의 모든 성분도 정수이다.
* M은 계량 부호수가 (k,k)인 계량 텐서에 대한 직교행렬이다. 즉, \Omega=\begin{pmatrix}
0_n&I_n\\
I_n&0_n
\end{pmatrix} (I_n은 n\times n 단위행렬, 0_n은 n\times n 영행렬)이면, M^\top\Omega M=\Omega이다.

### 초끈 이론에서의 T-이중성
초끈 이론에서는 T-이중성은 ⅡA와 ⅡB종 이론, HE와 HO 이론을 각각 서로 연관짓는다. 즉, 축소화의 관계는 다음과 같다.

:\begin{matrix}
D=11 & \mathrm{M} \\
     & \downarrow \\
D=10 & \mathrm{IIA} & & \mathrm{IIB} & \mathrm{H}\operatorname E_8\times\operatorname E_8 & & \mathrm H\operatorname{SO}(32) \\
     & \downarrow & \swarrow &   & \downarrow & \swarrow \\
D=9  & \mathcal N=2    & &            & \mathcal N=1
\end{matrix}


Ⅰ종 끈 이론은 T-이중성 변환을 하면 D-막에 의하여 (10차원) 푸앵카레 대칭이 깨지게 된다. 이 이론을 **Ⅰ′종 이론**() 또는 **ⅠA종 이론**()이라고 한다. 이 이론은 ⅡA종 끈 이론에 오리엔티폴드 사영을 가한 것으로 볼 수 있다. ⅡA종 끈 이론에서는 오른쪽 및 왼쪽 모드가 서로 반대 손지기()를 가지므로, 사영을 하려면 향의 반전 \Omega와 축소 차원에 대한 반사를 합성한 연산에 대하여 사영하여야 한다. 이에 따라 I′종 이론은 두 개의 O8−-평면을 가지고, 또한 T-이중성에 따라서 32개의 D8-막을 가진다.

T-이중성 아래, NS-NS 배경장 (g,B,\Phi)은 다음과 같은 **부셔 규칙**()을 통해 변환한다.
:g_{11}'=\frac1{g_{11}}
:g_{1i}'=\frac{B_{1i}}{g_{11}}
:g_{ij}'=g_{ij} - \frac{g_{1i}g_{1j}-B_{1i}B_{1j}}{g_{11}}
:B_{1i}'=\frac{g_{1i}}{g_{11}}
:B_{ij}'=B_{ij}-\frac{g_{1i}B_{1j}-g_{1j}B_{1i}}{g_{11}}
:\Phi' = \Phi-\frac12\ln g_{11}
여기서
* 1은 T-이중성을 취하는 방향의 좌표의 지표이며, i,j는 다른 방향의 좌표의 지표이다.
* g는 중력장이다.
* B는 캘브-라몽 장이다.
* \Phi는 딜라톤이다.

### 위상 T-이중성

보다 일반적으로, T-이중성은 원과의 곱공간 대신 원을 올로 하는 올다발에 대하여 적용될 수 있다. 이 경우 T-이중성은 서로 위상 동형이지 않을 수 있는 올다발 사이의 쌍대성을 정의한다.

## 초중력의 T-이중성
초끈 이론의 저에너지 극한은 초중력이다. ⅡA 초끈 이론의 저에너지 극한은 10차원 ⅡA 초중력이고, ⅡB 초끈 이론의 저에너지 극한은 10차원 ⅡB 초중력이다. 이 경우, T-이중성에 의하여 10차원 ⅡA 초중력을 원 위에 축소화하여 얻는 9차원 \mathcal N=2 초중력과 ⅡB 초중력을 원 위에 축소화하여 얻는 \mathcal N=2 초중력은 서로 같다. 즉, 비축소화 ⅡA와 ⅡB 이론들은 하나의 축소화 초중력 모듈러스 공간의 경계에 위치해 있다.

그 자세한 대응성은 다음과 같다. 10차원 ⅡA 초중력의 보손 장과 10차원 중 한 차원을 축소화하여 얻는 9차원 장들은 다음과 같다.

ⅡB 초중력의 보손 장과 이를 축소화하여 얻는 장들은 다음과 같다.

(ⅡB 라몽-라몽 4차 형식의 장세기는 자기 쌍대()이므로, 축소화하면 4차 형식을 남기지 않는다.)

따라서 9차원으로 축소화하면 9차원 보손 장들의 종류와 개수가 같아지는 것을 알 수 있다.

## 역사
오사카 대학의 깃카와 게이지()와 야마사키 마사미()가 1984년에, 도쿄 공업대학의 사카이 노리스케()와 센다 이쿠오()가 1986년에 초기적인 형태로 도입하였다. 토머스 헨리 부셔()와 마르틴 로체크(), 에리크 페터르 페를린더() 가 이를 개량하고 확장하였다.

오늘날에는 이와 같은 가환(Abelian) T-이중성 말고도, 이를 일반화한 비가환 T-이중성과 페르미온 T-이중성이 알려져 있다. 또한, 거울 대칭도 T-이중성을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

## 같이 보기
* S-이중성
* 거울 대칭
* AdS/CFT 대응성
* 이중 장론
## 각주

## 외부 링크
*  (케임브리지 대학교 트리니티 칼리지 강의 슬라이드)
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분류:끈 이론
분류:양자장론