누적 분포 함수

[섬네일|[정규 분포의 누적분포함수]]
확률론에서 **누적분포함수**(累積分布函數, , 약자 )는 주어진 확률 변수가 특정 값보다 작거나 같은 확률을 나타내는 함수이다.

## 정의
확률 공간 (\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr}) 위의 실숫값 확률 변수 X\colon\Omega\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))의 **(우연속) 누적분포함수** F_X\colon\mathbb R\to\mathbb R는 다음과 같다.
:F_X(x)=\operatorname{Pr}(X\in(-\infty,x])\qquad\forall x\in\mathbb R

보다 일반적으로, 확률 공간 (\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr}) 위의 실숫값 확률 벡터 X=(X_1,\dots,X_n)\colon\Omega\to(\mathbb R^n,\mathcal B(\mathbb R^n))의 **(우연속) 누적분포함수** F_X\colon\mathbb R^n\to\mathbb R는 다음과 같다.
:F_X(x_1,\dots,x_n)=\operatorname{Pr}(X_1\in(-\infty,x_1],\dots,X_n\in(-\infty,x_n])\qquad\forall(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n

위 정의에 등장하는 반닫힌구간들을 열린구간으로 대체하면 **좌연속 누적분포함수**의 정의를 얻는다.

## 성질
### 함수로서의 성질
임의의 함수 F\colon\mathbb R\to\mathbb R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* F는 어떤 확률 변수의 누적분포함수이다.
* 다음 조건들을 만족시킨다.
** (증가 함수) 만약 x,y\in\mathbb R이며 x\le y라면, F(x)\le F(y)
** (우연속 함수) 임의의 x\in\mathbb R에 대하여, F(x^+)=F(x)
** F(-\infty)=0
** F(\infty)=1
여기서 F(x^+)는 우극한이며, F(-\infty)와 F(\infty)는 음과 양의 무한대에서의 극한이다.

보다 일반적으로, 임의의 함수 F\colon\mathbb R^n\to\mathbb R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* F는 어떤 확률 벡터의 누적분포함수이다.
* 다음 조건들을 만족시킨다.
** 만약 x,y\in\mathbb R^n이며 x_i\le y_i\forall i\in\{1,\dots,n\}이라면, \textstyle\sum_{t\in\{x_1,y_1\}\times\cdots\times\{x_n,y_n\}}(-1)^F(t)\ge 0. (이 조건과 세 번째 조건은 F가 각 변수에 대하여 증가 함수임을 함의한다.)
** (우연속 함수) 임의의 x\in\mathbb R^n에 대하여, F(x^+)=F(x)
** 임의의 i\in\{1,\dots,n\} 및 x_1,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_n\in\mathbb R에 대하여, F(x_1,\dots,x_{i-1},-\infty,x_{i+1},\dots,x_n)=0
** F(\infty,\dots,\infty)=1
여기서
:F(x^+)=\lim_{y_1\to x_1^+,\dots,y_n\to x_n^+}F(y)
:F(x_1,\dots,x_{i-1},-\infty,x_{i+1},\dots,x_n)=\lim_{x_i\to-\infty}F(x)
:F(\infty,\dots,\infty)=\lim_{x_1\to\infty,\dots,x_n\to\infty}F(x)
이다.

### 확률 분포와의 관계
확률 변수 또는 확률 벡터의 누적분포함수는 그 확률 분포를 유일하게 결정한다. 이는 누적분포함수에 대한 르베그-스틸티어스 측도와 일치한다. 그러나 누적분포함수는 확률 변수 자체를 유일하게 결정하지는 않는다.

확률 변수 X가 구간 (a,b]에 속할 확률과 특정 실수 x\in\mathbb R를 취할 확률은 누적분포함수 F_X를 통해 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:\operatorname{Pr}(X\in(a,b])=F_X(b)-F_X(a)
:\operatorname{Pr}(X=x)=F_X(x)-F_X(x^-)

보다 일반적으로, 확률 벡터 X=(X_1,\dots,X_n)가 (a_1,b_1]\times\cdots\times(a_n,b_n]에 속할 확률과 특정 값 x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n을 취할 확률은 각각 다음과 같다.
:\operatorname{Pr}(X_1\in(a_1,b_1],\dots,X_n\in(a_n,b_n])=\sum_{t\in\{a_1,b_1\}\times\cdots\times\{a_n,b_n\}}(-1)^F_X(t)
:\operatorname{Pr}(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=\lim_{\epsilon\to 0^+}\sum_{t\in\{x_1-\epsilon,x_1\}\times\cdots\times\{x_n-\epsilon,x_n\}}(-1)^F_X(t)

### 이산성·연속성·특이성과의 관계
섬네일|이산 확률 분포, 연속 확률 분포, 이산적인 부분과 연속적인 부분이 모두 존재하는 분포에 대한 각각의 누적분포함수
확률 변수 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* X는 이산 확률 변수이다. (즉, \operatorname{Pr}(X\in A)=1인 가산 집합 A\in\mathcal B(\mathbb R)이 존재한다.)
* \textstyle\sum_{x\in\mathbb R}\left(F_X(x)-\lim_{y\to x^-}F_X(y)\right)=1
특히, 계단 함수를 누적분포함수로 하는 확률 변수는 이산 확률 변수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

확률 변수 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* X는 연속 확률 변수이다. (즉, 임의의 x\in\mathbb R에 대하여, \operatorname{Pr}(X=x)=0이다.)
* F_X는 연속 함수이다.

확률 변수 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* X는 절대 연속 확률 변수이다. (즉, 확률 분포 \operatorname{Pr}(X\in\bullet)는 르베그 측도에 대한 절대 연속 측도이다. 또는, X는 확률 밀도 함수를 갖는다.)
* F_X는 임의의 닫힌구간에서 절대 연속 함수이다.

확률 변수 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* X는 특이 확률 변수이다. (즉, 확률 분포 \operatorname{Pr}(X\in\bullet)와 르베그 측도는 서로 특이 측도이다.)
* 르베그 거의 어디서나 F_X'=0이다.

임의의 누적분포함수 F는 이산 누적분포함수 F_{\operatorname{disc}}와 절대 연속 누적분포함수 F_{\operatorname{a.c.}}, 특이 연속 누적분포함수 F_{\operatorname{s.c.}}의 음이 아닌 계수의 아핀 결합으로 나타낼 수 있다.
:F=cF_{\operatorname{disc}}+c'F_{\operatorname{a.c.}}+c*F_{\operatorname{s.c.}}</math>
:<math>c,c',c*\ge 0
:c+c'+c''=1

### 독립성과의 관계
같은 확률 공간 위의 확률 변수 또는 확률 벡터들의 집합 \mathcal X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \mathcal X는 서로 독립이다.
* 임의의 서로 다른 X_1,\dots,X_n\in\mathcal X 및 임의의 x_i\in\operatorname{dom}F_{X_i} (i=1,\dots,n)에 대하여, F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)=F_{X_1}(x_1)\cdots F_{X_n}(x_n)

첫 번째 조건은 두 번째 조건을 자명하게 함의한다. 이제 두 번째 조건을 가정하고 첫 번째 조건을 증명하자. 유한 개의 확률 변수
:\mathcal X=\{X_1,\dots,X_n\}
:X_i\colon(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))
의 경우의 증명은 다음과 같다. 일반적인 경우는 이와 유사하게 증명할 수 있다.
:\mathcal C=\{(-\infty,x]\colon x\in\mathbb R\}
라고 하자. 그렇다면 \mathcal C는 π계를 이루며, \mathcal B(\mathbb R)는 \mathcal C를 포함하는 최소의 시그마 대수이다. 다음과 같은 집합을 생각하자.
:\mathcal L_n=\{B_n\in\mathcal B(\mathbb R)|\forall B_1,\dots,B_{n-1}\in\mathcal C\colon\operatorname{Pr}(X_1\in B_1,\dots,X_n\in B_n)=\operatorname{Pr}(X_1\in B_1)\cdots\operatorname{Pr}(X_n\in B_n)\}
그렇다면, 가정한 조건에 따라 \mathcal C\subseteq\mathcal L_n이다. 또한, \mathcal L_n은 λ계를 이룸을 보일 수 있다. 딘킨 π-λ 정리에 따라, \mathcal L_n=\mathcal B(\mathbb R)이다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.
:\mathcal L_{n-1}=\{B_{n-1}\in\mathcal B(\mathbb R)|\forall B_1,\dots,B_{n-2}\in\mathcal C,B_n\in\mathcal B(\mathbb R)\colon\operatorname{Pr}(X_1\in B_1,\dots,X_n\in B_n)=\operatorname{Pr}(X_1\in B_1)\cdots\operatorname{Pr}(X_n\in B_n)\}
그렇다면, \mathcal L_n=\mathcal B(\mathbb R)이므로 \mathcal C\subseteq\mathcal L_{n-1}이며, \mathcal L_{n-1}은 λ계를 이룬다. 따라서 \mathcal L_{n-1}=\mathcal B(\mathbb R)이다. 이와 같은 과정을 반복하면 결국 임의의 B_1,\dots,B_n\in\mathcal B(\mathbb R)에 대하여,
:\operatorname{Pr}(X_1\in B_1,\dots,X_n\in B_n)=\operatorname{Pr}(X_1\in B_1)\cdots\operatorname{Pr}(X_n\in B_n)
이라는 사실을 얻는다. 즉, \{X_1,\dots,X_n\}은 서로 독립이다.

## 같이 보기
* 기술통계학
## 참고 문헌
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## 외부 링크
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분류:확률론