정칙 범주

범주론에서 **정칙 범주**(正則範疇, )는 모든 유한 극한을 갖고, 모든 사상을 그 치역으로의 전사 사상과 치역에서 공역으로 가는 단사 사상으로 유일하게 분해할 수 있는 범주이다.

## 정의
### 정칙 사상
범주 \mathcal C에서, 어떤 두 사상 f,g\colon X\to Y의 쌍대 동등자
:\operatorname{coeq}\{f,g\}\colon Y\to Q
로 나타낼 수 있는 사상을 **정칙 전사 사상**()이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (쌍대 극한이므로) 항상 단사 사상이다.

마찬가지로, 범주 \mathcal C에서, 어떤 두 사상 f,g\colon X\to Y의 동등자
:\operatorname{eq}\{f,g\}\colon K\to X
로 나타낼 수 있는 사상을 **정칙 단사 사상**()이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (극한이므로) 항상 단사 사상이다.

### 유효 사상
사상 f\colon X\to Y가 스스로와의 당김
:\pi_1,\pi_2\colon X\times_YX\to X
을 가지며, \pi_1,\pi_2의 쌍대 동등자가 f와 같다면, f를 **유효 전사 사상**()이라고 한다. 유효 전사 사상은 정의에 따라 정칙 전사 사상이다. 이와 같은 스스로와의 당김은 **핵쌍**()이라고 하며, 대략 대수 구조에서의 합동 관계의 일반화로 생각할 수 있다. 즉, 유효 전사 사상은 "합동 관계"에 대한 "몫"으로의 사영 사상으로 생각할 수 있다.

사상 f\colon X\to Y가  스스로와의 밂
:\iota_1,\iota_2\colon Y\to Y\sqcup_XY
을 가지며, \iota_1,\iota_2의 동등자가 f와 같다면, f를 **유효 단사 사상**()이라고 한다. 유효 단사 사상은 정의에 따라 정칙 단사 사상이다. 이 정의에서, \iota_1,\iota_2의 동등자는 f의 "치역"으로 생각할 수 있다. 즉, 유효 단사 사상은 정의역과 치역 사이의 동형을 정의하는 단사 사상으로 생각할 수 있다.

### 정칙 범주
범주 \mathcal C가 다음 조건들을 만족시킨다면 **정칙 범주**라고 한다.
* 유한 완비 범주이다.
* 임의의 사상 f\colon X\to Y의 스스로에 대한 당김 \xleftarrow{\pi_1}XX\times_YX\xrightarrow{\pi_2}X에 대하여, \pi_0,\pi_1\colon X\times_YX\to X의 쌍대 동등자가 존재한다. 이는 f의 **핵쌍**이라고 한다.
* 정칙 전사 사상의 당김은 정칙 전사 사상이다.

두 정칙 범주 사이의 **정칙 함자** F\colon\mathcal C\to\mathcal D는 다음 조건을 만족시키는 함자이다.
* 유한 연속 함자이다. 즉, 유한 극한을 보존한다.
* 핵쌍의 쌍대 동등자를 보존한다.
작은 정칙 범주와 정칙 함자의 범주를 \operatorname{RegCat}라고 하자.

### 유효 정칙 범주
정칙 범주 \mathcal C가 다음 조건을 만족시킨다면, **유효 정칙 범주**() 또는 **바 완전 범주**()라고 한다. (이는 퀼런 완전 범주와 관계없는 개념이다.)
* 임의의 대상 X가 주어졌으며, X\times X의 부분 대상 r\colon Y\hookrightarrow X\times X가 동치 관계를 이룰 때, r는 핵쌍으로부터 유도된다.

## 성질
정칙 범주 \mathcal C에서, 모든 정칙 전사 사상들의 모임 \operatorname{RegEpi}(\mathcal C)과 단사 사상들의 모임 \operatorname{Mono}(\mathcal C)은 분해계를 이룬다. 즉, 임의의 사상 f\colon X\to Y에 대하여,
:f=m\circ e
인 정칙 전사 사상 e\colon X\to Y'과 단사 사상 m\colon Y'\to Y이 존재한다. Y의 부분 대상 m을 f의 **[[치역]]**이라고 한다.

### 정칙 사상
임의의 범주 속의 사상에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 정칙 전사 사상이자 단사 사상이다.
* 전사 사상이자 정칙 단사 사상이다.
* 동형 사상이다.
(반면, 임의의 범주에서는 전사 사상이자 단사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상이 존재할 수 있다.)

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:동형 사상 ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상
:동형 사상 ⊆ 분할 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상
:동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상
:동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상
분할 단사 사상이 정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상 f\colon X\to Y 및 그 왼쪽 역사상 r\colon Y\to X이 주어졌을 때 f=\operatorname{eq}\{f\circ r,\operatorname{id}_Y\}이기 때문이다. 마찬가지로,
분할 전사 사상이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상 f\colon X\to Y 및 그 오른쪽 역사상 s\colon Y\to X이 주어졌을 때 f=\operatorname{eq}\{s\circ f,\operatorname{id}_X\}이기 때문이다.

어떤 범주에서 모든 사상 f\colon X\to Y의 스스로와의 당김 X\times_YX이 존재한다면, 이 범주에서 정칙 전사 사상의 개념과 유효 전사 사상의 개념이 일치한다. 토포스(또는 더 일반적으로 준토포스)에서, 다음이 성립한다.
* 모든 전사 사상은 정칙 전사 사상이자 유효 전사 사상이다.
* 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.
아벨 범주에서, 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.

### 완전열
정칙 범주 \mathcal C 속에서, **짧은 완전열**은 다음과 같은 꼴의 그림이다.
:N\overset{\iota}{\underset{\iota'}\rightrightarrows}X\overset q\to Q
여기서
* \{\iota,\iota'\}는 q의 핵쌍이다.

만약 \mathcal C가 추가로 아벨 범주라면, N\overset{\iota}{\underset{\iota'}\rightrightarrows}X\overset q\to Q가 (정칙 범주의) 짧은 완전열인 것은
:0\to N\overset{\iota-\iota'}\to X\overset q\to Q\to0
가 (아벨 범주의) 완전열인 것과 동치이다.

### 정칙 논리
1차 논리에서 **정칙 공식**()은
* 명제 변수 P_1,P_2,\dots
* 논리곱 \land
* 존재 기호 \exists
만으로 나타낼 수 있는 공식이다. **정칙 논리**는
:\forall x\colon(\phi(x)\to\phi'(x))
꼴의 명제들만을 다룰 수 있는, 1차 논리를 약화시킨 논리이다.

정칙 범주의 내부 논리는 정칙 논리이다. 구체적으로, 정칙 범주 \mathcal C의 끝 대상 1\in\mathcal C을 골랐을 때, 다음과 같은 대응이 존재한다.

## 같이 보기
* 토포스
## 참고 문헌
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## 외부 링크
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분류:범주론