디랙 괄호

해밀턴 역학에서 **디랙 괄호**()는 해밀토니언과 가환하지 않는 구속이 가해진 고전적 계에서 시간 변화를 나타내는 괄호다. 폴 디랙이 도입하였다.

## 정의
### 구속된 해밀턴 계
해밀턴 계 (M,\omega,H)가 주어졌다고 하자. 여기서 심플렉틱 다양체 (M,\omega)는 계의 위상 공간이고, H는 계의 해밀토니언이다. M 위의 매끄러운 함수들의 대수를 \mathcal C^\infty(M)이라고 하자. 심플렉틱 구조에 의하여, 푸아송 괄호
:\{f,g\}=(\omega^{-1})^{\mu\nu}\partial_\mu f\partial_\nu g
가 존재한다.

이 계 위에 주어진 **구속**() \Phi\subset\mathcal C^\infty는 다음 조건을 만족시키는, 매끄러운 함수들의 집합이다.
* \Phi는 \mathcal C^\infty(M)의 아이디얼이자, \mathcal C^\infty(M)에 대한 자유 가군이다. 즉,
** 임의의 함수 f\in\mathcal C^\infty(M) 및 제약 \phi\in\Phi에 대하여, f\phi^i\in\Phi이다.
** 임의의 \phi,\phi'\in\Phi에 대하여, \phi+\phi'\in\Phi이다.
** \Phi의 기저 \{\phi^i\}_{i\in I}\subset\Phi가 존재한다. 즉, 임의의 \phi\in\Phi를 \phi=u_i\phi^i (u_i\in\mathcal C^\infty(M))의 꼴로 나타낼 수 있다.
* (일관성) 쌍대가군 \Phi^*=\hom(\Phi,\mathcal C^\infty(M))의 원소 u\in\Phi^*가 존재하여, 다음을 만족시킨다.(\{\phi,H\}+u_i\{\phi,\phi^i\})|_{\tilde M}=0\forall\phi\in\Phi
여기서, \tilde M은 **구속된 상태 공간** \tilde M\subset M으로, 다음과 같다.
:\tilde M=\{x\in M|\phi^i(x)=0\forall \phi\in\Phi\}
즉, 모든 구속들을 만족시키는 상태들의 집합이다.

### 1종 및 2종 구속
**1종 구속**()의 집합 \Phi_1\subset\Phi은 다음과 같다.
:\Phi_1=\{\phi_1\in\Phi\colon\{\phi_1,\Phi\}|_{\tilde M}=0\}
모든 1종 구속은 일관성 조건에 따라서 해밀토니언과 가환한다.
:\{\Phi_1,H\}=0
또한, 1종 구속들의 집합 \Phi_1 역시 \mathcal C^\infty(M)의 아이디얼이자, \mathcal C^\infty(M)-가군을 이룬다. 즉, 임의의 함수 f\in\mathcal C^\infty(M)와 1종 제약 \phi_1\in\Phi_1에 대하여, f\phi_1\in\Phi_1이다.
이에 따라서, 구속들의 가군을 다음과 같이 분해할 수 있다.
짧은 완전열
:0\to\Phi_1\hookrightarrow\Phi\twoheadrightarrow\Phi_2\to0
은 분할 완전열이며, 따라서 \Phi를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:\Phi\cong\Phi_1\oplus\Phi_2
물론 이러한 갈림은 표준적으로(canonical) 정의되지 않지만, 임의로 정의할 수 있다. \Phi_2\cong\Phi/\Phi_1을 **2종 구속**()들의 집합이라고 한다. 1종 제약은 자유 가군의 부분가군이므로 사영 가군(벡터다발)이다.

### 디랙 괄호
2차 구속 \Phi_2의 기저를 \{\phi^i_2\}_{i\in I}로 잡자. 그렇다면 행렬 C_{ij}를 다음과 같이 정의하자.
:\{\phi^i_2,\phi^j_2\}C_{jk}=\delta_i^k
이 경우, **디랙 괄호** \{,\}_{\text{D}}는 다음과 같다.
:\{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}-\{f,\phi_2^i\}C_{ij}\{\phi_2^j,g\}
제약된 해밀턴 계 (M,\omega,H,\Phi)에서의 시간 변화는 다음과 같이 정의한다. 임의의 함수 f\in\mathcal C^\infty(M)의 시간 변화 \dot f는 다음과 같다.
:\dot f=\{f,H\}_{\text{D}}
이 정의에 따라서, 구속을 만족시키는 초기 조건의 시간 변화는 계속해서 제약을 만족시킨다.
:\{\phi,H\}_{\text{D}}|_{\tilde M}=0\forall\phi\in\Phi

즉, 임의의 2종 구속 \phi^i_2의 경우
:\{\phi^i_2,H\}_{\text{D}}=0
이고, 임의의 1종 구속 \phi^i_1의 경우
:\{\phi^i_1,H\}_{\text{D}}=\{\phi^1_1,H\}=0
이다. 디랙 괄호는 일반적으로 기저 변환에 따라 바뀌지만, \tilde M에 국한하면 유일하다.

## 예
### 강한 자기장에서의 비가환 기하학
심플렉틱 다양체 (M,\omega) 위에, 전하 q의 입자가 자기장 B_{\mu\nu}=B\omega_{\mu\nu}와 위치 에너지 V\colon M\to\mathbb R에 영향을 받는다고 하자. 또한, 자기장이 매우 강해 그 운동 에너지가 자기장에 의한 위치 에너지보다 매우 작다고 하자. 그렇다면 운동 에너지 항을 생략한 라그랑지언은 다음과 같다.
:L(x,\dot x)=qA_\mu\dot x^\mu-V(x)
여기서 A_\mu는 자기 퍼텐셜로,
:(dA)_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu=B\omega_{\mu\nu}
를 만족시킨다. 편의상
:A_\nu=\frac12Bx^\mu\omega_{\mu\nu}
으로 놓을 수 있다. 즉,
:L(x,\dot x)=\frac12qBx^\mu\dot x^\nu\omega_{\mu\nu}-V(x)
이다.

이 경우, 정준 운동량은 다음과 같다.
:p_\nu=\frac{\partial L}{\partial\dot x^\nu}=\frac12qBx^\mu\omega_{\mu\nu}
즉, 해밀토니언은 다음과 같다.
:H=p_\mu\dot x^\mu-L=V(x)
또한, 정준 운동량들은 시간 도함수 \dot x, \dot y를 포함하지 않으므로, 다음과 같은 제약들이 존재한다.
:\phi_\nu=p_\nu-\frac12qBx^\mu\omega_{\mu\nu}=0
이 경우, 두 구속들의 푸아송 괄호는 다음과 같다.
:\{\phi_\mu,\phi_\nu\}=qB\omega_{\mu\nu}
이는 가역행렬이므로 이들은 둘 다 2종 구속들이며, 일관적이다. 따라서 디랙 괄호는 다음과 같다.
:\{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}+\frac1{qB}\{f,\phi_\mu\}\omega^{\mu\nu}\{\phi_\nu,g\}
특히,
:\{x^\mu,x^\mu\}_{\text{D}}=-\omega^{\mu\nu}/(qB)
이므로, 이를 양자화하면
:[x^\mu,x^\nu]=-i\hbar \omega^{\mu\nu}/(qB)
이다. 즉, 비가환 기하학을 얻는다.

이 경우에는 제약에 따라 물리적 공간 M 자체가 사실상 위상 공간이 된다. 이 경우에는 퍼텐셜 A_\mu가 대역적으로(global) 존재하므로, 심플렉틱 구조 \omega_{\mu\nu}의 코호몰로지류 [\omega]\in H^2(M;\mathbb R)가 0이다. 따라서, 기하학적 양자화를 따르는 경우에는 유일한 준양자 구조가 존재한다. 만약 물리적 공간의 리만 계량 g_{\mu\nu}가 심플렉틱 구조 \omega_{\mu\nu}와 호환된다면, 이 구조는 (거의) 켈러 구조를 이뤄 기하학적 양자화가 가능하다. 물론, 퍼텐셜 V(x)의 경우 순서가 모호하게 된다.

### 부분다양체에 구속된 입자
리만 다양체 (M,g) 위에 존재하는, 질량 m의 입자가 위치 에너지 V(\mathbf x)의 영향을 받고, 또한 어떤 함수 C\colon M\to\mathbb R의 영집합 C^{-1}(0)\subset M에 구속되었다고 하자. 이 경우, 임의의 x\in M에 대하여 다음과 같은 해밀토니언을 적을 수 있다.
:H=\frac1{2m}g^{\mu\nu}p_\mu p_\nu+V(x)
물론 이 경우 다음과 같은 구속을 가해야 한다.
:\phi^1=C(x)=0
:\phi^2=g^{\mu\nu}p_\mu\partial_\nu C(x)=0
이 경우,
:\{\phi^1,\phi^2\}=g^{\mu\nu}\partial_\mu C\partial_\nu C=(\partial C)^2
이다. 따라서, 만약 C^{-1}(0)에서 \partial C\ne0이라면, \phi^1과 \phi^2 둘 다 2종 구속이다. (이 조건이 충족되면, 음함수 정리에 의하여 C^{-1}(0)이 매끄러운 부분다양체를 이루게 된다.)

이 경우, 디랙 괄호는 다음과 같다.
:\{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}+(\partial C)^{-2}\{f,\phi^i\}\epsilon_{ij}\{\phi^j,g\}
예를 들어,
:\{x^\mu,x^\nu\}_{\text{D}}=0
:\{x^\mu,p_\nu\}_{\text{D}}=\delta^\mu_\nu-(\partial C)^{-2}\partial^\mu C\partial_\nu C
:\{p_\mu,p_\nu\}_{\text{D}}=(\partial C)^{-2}p^\rho\left((\nabla_\rho\partial_\mu C)(\partial_\nu C)-(\partial_\mu C)(\nabla_\rho\partial_\nu C)\right)
가 된다.

## 같이 보기
* 해밀턴 역학
* 푸아송 괄호
* 라그랑지언
## 참고 문헌
* 
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* 

## 각주


분류:해밀턴 역학
분류:양자역학
분류:심플렉틱 기하학