호몰로지 차원

환론과 호몰로지 대수학에서 **호몰로지 차원**(homology次元, )은 환 및 그 가군 위에 정의될 수 있는 일련의 정수 값 차원들이다.

## 정의
아래 정의에서, 항상
:\sup\varnothing=-\infty
:\inf\varnothing=+\infty
로 놓는다.

### 함자의 차원
두 아벨 범주 \mathcal A, \mathcal B 사이의 가법 함자
:F\colon\mathcal A\to\mathcal B
가 주어졌다고 하자.

만약 \mathcal A가 단사 대상을 충분히 가지는 범주일 때, F의 **코호몰로지 차원**(cohomology次元, )은 다음과 같다.
:\operatorname{cohd}F=\sup\{n\in\mathbb N\colon\operatorname R^nF(A)=0\qquad\forall A\in\mathcal A\}\in\mathbb N\sqcup\{-\infty,+\infty\}
여기서 \operatorname R^n은 n차 오른쪽 유도 함자를 뜻한다.
만약 F=0이라면 \operatorname{cohd}F=-\infty이다.

만약 \mathcal A가 사영 대상을 충분히 가지는 범주일 때, F의 **호몰로지 차원**(homology次元,)은 다음과 같다.
:\operatorname{hd}F=\sup\{n\in\mathbb N\colon\operatorname L_nF(A)=0\qquad\forall A\in\mathcal A\}\in\mathbb N\sqcup\{-\infty,+\infty\}
여기서 \operatorname L_n은 n차 왼쪽 유도 함자를 뜻한다.
만약 F=0이라면 \operatorname{hd}F=-\infty이다.

### 아벨 범주의 대상(가군)의 차원
Ext 함자 및 Tor 함자는 유도 함자의 특수한 경우이다. 이들을 사용하여, 아벨 범주의 대상에 대하여 여러 차원들을 정의할 수 있다.

#### 사영 차원
아벨 범주 \mathcal C의 대상 M\in\mathcal A의 **사영 차원**(射影次元, )
:\operatorname{pd}_{\mathcal C}M\in\mathbb Z^+\cup\{0,-\infty,+\infty\}
은 다음과 같다.
:\operatorname{pd}_{\mathcal C}M=\sup_{N\in\mathcal C}\{n\colon \operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}(M,N)\ne0\}
여기서 \sup_{N\in\mathcal C}은 모든 대상 N\in\mathcal A에 대한 상한이며, \operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}는 Ext 함자이다.
만약 \mathcal A가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다.
* \operatorname{pd}_{\mathcal C}M은 M의 사영 분해() 0\to P_n\to P_{n-1}\to\cdots\to P_0\to M\to0 의 길이 n들의 하한이다.
* \operatorname{pd}_{\mathcal C}M=\operatorname{cohd}\hom_{\mathcal C}(M,-)
특히, 영 대상 0\in\mathcal C의 사영 차원은 -\infty이다.

#### 단사 차원
아벨 범주 \mathcal C의 대상 N\in\mathcal A의 **단사 차원**(單射次元, )
:\operatorname{id}_{\mathcal C}N\in\mathbb Z^+\cup\{0,-\infty,+\infty\}
은 다음과 같다.
:\operatorname{id}_{\mathcal C}N=\sup_{M\in\mathcal C}\{n\colon \operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}(M,N)\ne0\}

만약 \mathcal A가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다.
* \operatorname{pd}_{\mathcal C}N은 M의 단사 분해() 0\rightarrow Q_n\rightarrow Q_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow Q_0\rightarrow N\to0의 길이 n들의 하한이다.
* \operatorname{pd}_{\mathcal C}N=\operatorname{hd}\hom_{\mathcal C}(-,N)
특히, 영 대상 0\in\mathcal C의 단사 차원은 -\infty이다.

#### 평탄 차원
환 R 위의 오른쪽 가군 M_R의 **평탄 차원**(平坦次元, ) 또는 **약한 차원**(弱-次元, )은 다음과 같다.
:\operatorname{fd}_R M = \sup_{N\in{}_R\operatorname{Mod}}\{\operatorname{Tor}_n^R(M,N) \ne 0\}
마찬가지로, R 위의 왼쪽 가군 _RN의 **평탄 차원** 또는 **약한 차원**은 다음과 같다.
:\operatorname{fd}_R N = \sup_{M\in\operatorname{Mod}_R}\{\operatorname{Tor}_n^R(M,N) \ne 0\}
이는 M 또는 N의, 평탄 가군으로 구성된 분해의 길이들의 하한과 같다.

### 아벨 범주(환)의 차원
아벨 범주 \mathcal C의 **대역 차원**(大域次元, ) \operatorname{gd}\mathcal C는 다음과 같다.
:\operatorname{gd}\mathcal C=\sup_{M,N\in\mathcal C}\{n\colon \operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}(M,N)\ne0\}
=\sup_{M\in\mathcal C}\operatorname{cohd}(\hom_{\mathcal C}(M,-))
=\sup_{N\in\mathcal C}\operatorname{cohd}(\hom_{\mathcal C}(-,N))

만약 \mathcal C가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 단사 차원의 상한과 같다.
:\operatorname{gd}\mathcal C=\sup_{M\in\mathcal C}\operatorname{id}_RM
만약 \mathcal C가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 사영 차원의 상한과 같다.
:\operatorname{gd}\mathcal C=\sup_{M\in\mathcal C}\operatorname{pd}_RM

환 R 위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주 R\text{-Mod}는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이며 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 또한, 환 R 위의 왼쪽 유한 생성 가군들의 아벨 범주 R\text{-fgMod}는 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. (그러나 이는 일반적으로 단사 대상을 충분히 가지는 범주이다.) 이 두 아벨 범주의 대역 차원은 일치하며, 이를
R의 **왼쪽 대역 차원**()이라고 한다.
:\operatorname{gd_L}R=\operatorname{gd}R\text{-Mod}=\operatorname{gd}R\text{-fgMod}
마찬가지로, (유한 생성) 오른쪽 가군들의 아벨 범주의 차원을 R의 **오른쪽 대역 차원**(이라고 한다.
:\operatorname{gd_R}R=\operatorname{gd}\text{Mod-}R=\operatorname{gd}\text{fgMod-}R=\operatorname{gd_L}R^{\operatorname{op}}
가환환의 경우 물론 왼쪽 대역 차원과 오른쪽 대역 차원이 일치한다. (비가환) (양쪽) 뇌터 환의 경우 왼쪽 대역 차원과 오른쪽 대역 차원이 서로 일치한다. 그러나 이는 일반적인 비가환환에 대하여 성립하지 않는다.

환 R의 **평탄 대역 차원**(平坦大域次元, ) 또는 **약한 대역 차원**(弱-大域次元, ) \operatorname{wgd}\mathcal C는 다음과 같다.
:\operatorname{gd}\mathcal C=\sup_{M\in\operatorname{Mod}_R,\,N\in{}_R\operatorname{Mod}}\{n\colon \operatorname{Tor}_n^K(M,N)\ne0\}
=\sup_{N\in{}_R\operatorname{Mod}}\operatorname{hd}(\otimes N)

여기서 \otimes N\colon \operatorname{Mod}_R\to \operatorname{Ab}는 텐서곱 함자이다.

이 개념들 사이의 관계는 다음과 같다.

## 성질
### 대역 차원
R가 (가환환이 아닐 수 있는) 뇌터 환이라면, 다음이 성립한다.
:\operatorname{gd_L}R = \operatorname{gd_R}R = \operatorname{fd}R

R가 가환 뇌터 국소환이며, 그 극대 아이디얼이 \mathfrak m이라면, 다음이 성립한다.
:\operatorname{gd}R=\operatorname{pd}R/\mathfrak m

가환 뇌터 국소환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 대역 차원이 유한하다.
* 정칙 국소환이다.
또한, 가환 뇌터 정칙 국소환의 경우 대역 차원은 크룰 차원과 같다.

### 오슬랜더-북스바움 공식

R가 가환 뇌터 국소환이며, 그 극대 아이디얼이 \mathfrak m이며, M이 R 위의 유한 생성 아이디얼이며, 그 사영 차원이 유한하다고 하자. 그렇다면, 사영 차원과 가군의 깊이 사이에는 다음이 성립한다 (**오슬랜더-북스바움 공식** ).
:\operatorname{pd}_RM+\operatorname{depth}_{\mathfrak m}M=\operatorname{depth}_{\mathfrak m}R

## 예
### 체
체 K 위의 가군은 벡터 공간 V이며, 이 경우 모든 가군이 단사 가군이자 사영 가군이다. 따라서, 양의 차원의 모든 벡터 공간의 사영 차원 · 단사 차원 · 평탄 차원이 0이다.
:\operatorname{pd}_KV=\operatorname{id}_KV=\operatorname{fd}_KV=\begin{cases}
0& V \ne 0\\
-\infty & V = 0
\end{cases}
따라서, 체의 대역 차원과 평탄 대역 차원은 항상 0이다.
:\operatorname{gd}K=\operatorname{fgd}K=0
체는 가환 뇌터 정칙 국소환이므로, 체의 크룰 차원 역시 0이다. (이는 체의 스펙트럼이 한원소 공간이므로 자명하게 알 수 있다.)

### 주 아이디얼 정역
R가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 정리가 성립한다.
* 주 아이디얼 정역 위의 자유 가군의 부분 가군은 항상 자유 가군이다.
*:따라서, 임의의 R-가군 M은 M=F/G와 같은 꼴(F와 G는 자유 가군)로 표현될 수 있다.
* 주 아이디얼 정역 위의 모든 사영 가군은 자유 가군이다. (이는 유한 생성 가군 조건이 없이도 성립한다.)

이에 따라, 주 아이디얼 정역 위의 가군 M의 사영 차원과 평탄 차원은 다음과 같다.

특히, 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 대역 차원은 1이다.

정수환 \mathbb Z 위의 가군은 아벨 군 G이다. 정수환 위의 사영 가군 및 평탄 가군은 자유 아벨 군이며, 정수환 위의 단사 가군은 나눗셈군이다.

마찬가지로, 대역 차원이 1이므로, 주 아이디얼 정역 위의 모든 가군의 단사 차원은 다음과 같다.

### 자명환
자명환 0 위의 모든 가군은 자명군이다. 따라서, 그 대역 차원과 평탄 대역 차원은 -\infty이다.

### 다항식환
**힐베르트 삭망 정리**(Hilbert朔望定理, )에 따르면, R가 뇌터 가환환이며, 그 대역 차원이 유한하다면, \operatorname{gd}R[x]=\operatorname{gd}R+1이다.

뇌터 가환환 위의 다항식환은 물론 뇌터 가환환이므로, 이를 반복하면 다음을 얻는다.
:\operatorname{gd}R[x_1,x_2,\dotsc,x_n] = \operatorname{gd}R+n

특히, 체 K 위의 다항식환 K[x_1,\dots,x_n]의 대역 차원은 n이다. 또한, 이 경우, 모든 가군은 길이 n 이하의 자유 가군으로 구성된 사영 분해를 갖는다.

## 역사
힐베르트 삭망 정리는 체의 경우 다비트 힐베르트가 1890년에 증명하였다.

## 각주

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## 외부 링크
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