슈톨츠-체사로 정리

해석학에서 **슈톨츠-체사로 정리**()는 두 수열의 비가 수렴할 충분조건을 제시하는 정리이다. 체사로 평균의 일반화로 볼 수 있다. 또한 이는 로피탈의 정리의 이산적인 형태로 볼 수 있는데, 도함수의 개념 대신 계차수열의 개념을 사용한다.

## 정의
두 실수열 (a_n)_{n\in\N}, (b_n)_{n\in\N}이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* 분모 수열이 다음 세 조건 가운데 하나를 만족시킨다.
** (0에 수렴하는 순단조수열) b_1이거나 b_1>b_2>\cdots이며, 또한 \lim_{n\to\infty}b_n=0
** (양의 무한대에 수렴하는 순증가수열) b_1이며, \lim_{n\to\infty}b_n=+\infty (이는 무계 순증가수열과 동치이다.)
** (음의 무한대에 수렴하는 순감소수열) b_1>b_2>\cdots이며, \lim_{n\to\infty}b_n=-\infty (이는 무계 순감소수열과 동치이다.)
* (계차수열의 비의 넓은 의미 수렴) \lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}
그렇다면, **슈톨츠-체사로 정리**에 따르면 다음이 성립한다.
* \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}

## 증명
가장 기본적인, (b_n)_{n\in\mathbb N}이 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, 비의 극한이 실수에 수렴하는 경우를 증명하자. 우선 다음과 같이 정의하자.
:\lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=\ell
그렇다면, (b_n)_{n\in\mathbb N}이 순증가수열임을 같이 고려하면, 임의의 \epsilon>0에 대하여, N\in\mathbb N이 존재하여, 임의의 n\ge N에 대하여 다음이 성립한다.
:(\ell-\epsilon)\Delta b_n
이를 n에 N,N+1,\dots,n를 대입하여 합을 구하면
:(\ell-\epsilon)(b_n-b_N)
이다. 또한 (b_n)_{n\in\mathbb N}의 모든 항이 0보다 크다 가정할 수 있으므로,
:(\ell-\epsilon)\left(1-\frac{b_N}{b_n}\right)
이다. 여기서 \lim_{n\to\infty}b_n=+\infty이므로, N'\in\mathbb N이 존재하여, 임의의 n\ge N'에 대하여,
:\ell-2\epsilon
이다. 즉,
:\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\ell

## 관련 명제
### 부분적 역
슈톨츠-체사로 정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 두 수열
:(a_n)=(10,10,100,100,1000,1000,\ldots)
:(b_n)=(10,11,100,101,1000,1001,\ldots)
을 정의하였을 때, (b_n)_{n\in\mathbb N}은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1이지만, \frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}의 극한은 존재하지 않는다. 그러나 그 부분적 역인 다음 명제는 참이다. 두 실수열 (a_n)_{n\in\N}, (b_n)_{n\in\N}이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* b_n,\Delta b_n\ne0\qquad\forall n\in\mathbb N
* \left({b_n \over \Delta b_n}\right){}_{n\in\mathbb N}은 유계 수열이다.
* \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}
그렇다면, 다음이 성립한다.
* \lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}

### 한 가지 변형
슈톨츠-체사로 정리의 한 가지 변형은 다음과 같다. 두 실수열 (a_n)_{n\in\N}, (b_n)_{n\in\N}이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* a_n,b_n>0\qquad\forall n\in\mathbb N
* (b_n)_{n\in\mathbb N}은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이다.
* \lim_{n\to\infty}\sqrt[b_{n+1}-b_n]{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}
그렇다면, 다음이 성립한다.
* \lim_{n\to\infty}\sqrt[b_n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[b_{n+1}-b_n]{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}

### 일반화
슈톨츠-체사로 정리의 일반화된 형식은 다음과 같다. 실수열 (a_n)_{n\in\N}과, 양의 무한대에 수렴하는 순증가 실수열 (b_n)_{n\in\N}에 대하여 다음이 성립한다.
:\liminf_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\le\liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
\le\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\le\limsup_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}

## 예
슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 다음과 같은 극한을 구해보자.
:\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}=\frac{1}{k+1}\qquad(k\in\mathbb N)
분모는 정리의 전제를 만족시킨다. 즉, (n^{k+1})_{n\in\mathbb N}\qquad(k\in\mathbb N)는 양의 무한대에 수렴하는 증가수열이다. 이에 따라, 이 극한은 계차수열의 비의 극한과 같다.
:\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}
&=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^k+kn^{k-1}+\cdots}{(k+1)n^k+\frac{k(k+1)}2n^{k-1}+\cdots}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{1+k\cdot\frac1n+\cdots}{(k+1)+\frac{k(k+1)}2\cdot\frac1n+\cdots}\\
&=\frac1{k+1}\end{align}

### 평균의 극한
슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 일부 평균의 극한에 대한 명제를 증명할 수 있다. 즉, \lim_{n\to\infty}a_n=a인 실수열 (a_n)_{n\in\mathbb N}에 대하여 다음이 성립한다.
:(산술 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=a
:(기하 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=a
:(조화 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\frac n{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}}=a
:(멱평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\sqrt[p]\frac{a_1^p+a_2^p+\cdots+a_n^p}n=a\qquad(p\ne0)
:(일반화된 f-평균의 극한) \lim_{n\to\infty}f^{-1}\left(\frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)}n\right)=a (f는 가역 연속 함수)
마찬가지로, 다음이 성립한다. (여기서 w_n>0\forall n\in\mathbb N이며 \sum_{n=0}^\infty w_n=+\infty이다.)
:(가중 산술 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\frac{w_1a_1+w_2a_2+\cdots+w_na_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}=a
:(가중 기하 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\sqrt[w_1+w_2+\cdots+w_n]{a_1^{w_1}a_2^{w_2}\cdots a_n^{w_n}}=a
:(가중 조화 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\frac{w_1+w_2+\cdots+w_n}{\frac{w_1}{a_1}+\frac{w_2}{a_2}+\cdots+\frac{w_n}{a_n}}=a
:(가중 멱평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\sqrt[p]\frac{w_1a_1^p+w_2a_2^p+\cdots+w_na_n^p}{w_1+w_2+\cdots+w_n}=a
:(가중 일반화된 f-평균의 극한) \lim_{n\to\infty}f^{-1}\left(\frac{w_1f(a_1)+w_2f(a_2)+\cdots+w_nf(a_n)}{w_1+w_2+\cdots+w_n}\right)=a (f는 가역 연속 함수)

### 기타
슈톨츠-체사로 정리는 로피탈의 정리의 증명에 사용될 수 있다.

## 역사
오스트리아의 수학자 오토 슈톨츠()와 이탈리아의 수학자 에르네스토 체사로()가 제시하였다.

## 같이 보기
* 로피탈의 정리
* 타우버의 정리
* 코시 수렴 판정법
* 수열의 극한
* 점근 표기법
* 체사로 평균
* 체사로 합

## 참고 문헌

* .
* .
* 
* 

## 외부 링크
* 
* 
* 
* 

분류:실해석학 정리
분류:수렴판정법