프로이덴탈 마방진

추상대수학에서 **프로이덴탈 마방진**(Freudenthal魔方陣, )은 요르단 대수로부터 단순 리 대수를 구성하는 방법이다. 특히, 만약 요르단 대수를 실수 · 복소수 · 사원수 · 팔원수의 3×3 에르미트 행렬의 요르단 대수로 잡을 경우, 예외적 단순 리 대수 F₄ · G₂ · E₆ · E₇ · E₈을 대수적으로 구성할 수 있다.

## 정의
다음 두 데이터가 주어졌다고 하자.
* (항등원 1_J\in J을 갖는) 유한 차원 실수 요르단 대수 (J,\bullet,1_J)
* J 위의 불변 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 \langle-,-\rangle \colon J \otimes_{\mathbb R}J\to \mathbb R. 즉, 다음이 성립해야 한다.
*:\langle A,B\bullet C\rangle = \langle A\bullet B,C\rangle\qquad\forall A,B,C\in J
* (항등원 1_K\in K를 갖는) 실수 합성 대수 (K,\cdot,1_K). 여기서 내적을 \langle 1_K,1_K\rangle=1이 되게 규격화한다.
이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자.
:\mathfrak g(K,J) = \mathfrak{der}(K;\mathbb R) \oplus \mathfrak{der}(J;\mathbb R) \oplus (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_K\})^\perp \otimes_{\mathbb R} (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp
여기서
* \mathfrak{der}(-;\mathbb R)는 쌍선형 이항 연산에 대한 미분 리 대수이다.
* (-)^\perp은 내적에 대한 직교 여공간이다.
이 가운데,  \mathfrak{der}(K;\mathbb R) \oplus \mathfrak{der}(J;\mathbb R)는 이미 실수 리 대수를 이루며, 이는  (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_K\})^\perp \otimes_{\mathbb R} (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp 위의 표준적인 리 대수 표현을 갖는다. 즉, 만약 \mathfrak g(K,J) 전체가 실수 리 대수를 이루려면, 야코비 항등식을 만족시키는,  (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_K\})^\perp \otimes_{\mathbb R} (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp 위의 리 괄호가 존재하면 족하다.

이제, 다음과 같은 괄호를 정의하자.
:[a\otimes A,b\otimes B] = \frac{\langle A,B\rangle_J}{4\langle 1_J,1_J\rangle_J}\mathsf D_{a,b} - \langle a,b\rangle_K [A\bullet,B\bullet] + \frac12(a\cdot b-b\cdot a)\otimes\operatorname{proj}_{(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp}(A\bullet B)\qquad(a,b\in (\operatorname{Span}\{1_K\})^\perp,\;A,B\in (\operatorname{Span}\{1_J\})^\perp)
여기서
* (A\bullet) \colon J\to J는 A에 의한 요르단 곱셈이며, 그 교환자는 미분을 이룬다 ([A\bullet,B\bullet] \in \mathfrak{der}(J;\mathbb R)).
* \mathsf D_{a,b} = [a\cdot, b\cdot] + [a\cdot, \cdot b] + [\cdot a,\cdot b] \in\mathfrak{der}(K;\mathbb R)는 K 위의 미분이다.

이제, 만약 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다면, \mathfrak g(K,J)는 실수 리 대수를 이룬다.
* (K,\cdot)가 실수 결합 대수이다.
* J에서 다음 항등식이 성립한다.
*:2 \langle 1_J,1_J\rangle\operatorname{proj}_{(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp} \left(A\bullet (A\bullet A)\right)= 3\langle A,A\rangle A\qquad\forall A\in(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp

## 성질
특히, 다음과 같은 특수한 경우가 성립한다.
:\mathfrak g(\mathbb R,J) = \mathfrak{der}(J;\mathbb R) (미분 리 대수)
:\mathfrak g(\tilde{\mathbb C},J) = \mathfrak{con}_0'(J)
:\mathfrak g(\tilde{\mathbb H},J) = \mathfrak{con}(J)
:\mathfrak g(\mathbb K,\operatorname H(n;\mathbb K')) \cong  \mathfrak g(\mathbb K',\operatorname H(n;\mathbb K)) \qquad\forall n\ge2,\;\mathbb K,\mathbb K'
여기서 \mathfrak{con}_0'(-) 및 \mathfrak{con}(-)은 칸토르-쾨허-티츠 구성을 통해 J에 대응되는 리 대수들이다.

## 예
프로이덴탈 마방진을 구성하는 실수 리 대수들은 다음과 같다.

여기서
* \tilde{\mathbb C} = \mathbb R[\mathrm i]/(\mathrm i^2 - 1)은 분할 복소수()의 실수 가환 결합 대수이다.
* \tilde{\mathbb H} = \mathbb R\langle \mathrm i,\mathrm j\rangle/(\mathrm i^2 + 1, \mathrm j^2 -1,\mathrm i\mathrm j+\mathrm j\mathrm i)는 분할 사원수의 실수 결합 대수이다. 이는 사실 \operatorname{Mat}(2;\mathbb R) (2×2 실수 정사각 행렬의 대수)와 실수 결합 대수로서 동형이다.
* \operatorname H(n;K)는 K 계수 n\times n 에르미트 행렬들의 요르단 대수이다.

### 3×3
3×3 행렬의 경우, (분할) 팔원수의 3×3 행렬 공간 \operatorname H(3;\mathbb O) 및 \operatorname H(3;\tilde{\mathbb O})가 요르단 대수가 되므로, 프로이덴탈 마방진에 이를 추가할 수 있다.

### 2×2
2×2인 경우, 팔원수의 경우 약간의 해설이 필요하다. 이 경우,
:\mathfrak g(\mathbb K,\operatorname H(2;\mathbb O))\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\})
는 잘 정의되지만, 반대로
:\mathfrak g(\mathbb O,\operatorname H(2;\mathbb K))\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\})
는 잘 정의되지 않는다. 이 경우, 대칭성을 사용하여 둘째 대수를 첫째와 같게 임의로 정의할 수 있다. 사실, 이러한 경우 항상
:\mathfrak g(\mathbb K,\mathbb H(2;\mathbb K')) \cong \mathfrak o(\mathbb K\oplus\mathbb K')\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\},\;\mathbb K'\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H,\mathbb O\})
임을 보일 수 있다. (계량 부호수는 \mathbb K와 \mathbb K'의 고유 내적으로부터 유도된다.) 이를 통해, \mathbb K=\mathbb K'=\mathbb O인 경우 등의 칸을 채워 넣을 수 있다.

### 1×1
1×1 행렬의 경우, \mathbb R=\operatorname H(1;\mathbb R)=\operatorname H(1;\mathbb C)=\operatorname H(1;\mathbb H)이므로, 더 이상 대칭성이 성립하지 않는다. 이는 행렬이 “너무 작아서” 있어야 하는 일부 미분들이 자명하게 작용하기 때문이다.

## 역사
자크 티츠와 한스 프로이덴탈이 1950년대 말에 각각 독자적으로 발견하였다. 그러나 티츠는 이 내용을 1966년에 와서야 출판하였다.

## 같이 보기
* E₆
* E₇
* E₈
* F₄
* G₂
## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:리 대수