중심화 부분 모노이드

추상대수학에서 **중심화 부분 모노이드**(中心化部分monoid, )는 어떤 모노이드의 부분 집합과 가환하는 모든 원소로 구성된 부분 모노이드이다.

군의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 부분군을 이루며, 이 경우 이를 **중심화 부분군**(中心化部分群, )이라고 한다. 마찬가지로, 환의 (곱셈 모노이드의) 중심화 부분 모노이드는 부분환을 이루며, **중심화 부분환**(中心化部分環, )이라고 한다. 이중 중심화 부분환의 개념은 폰 노이만 대수의 이론에 등장한다.

## 정의
모노이드 M의 부분 집합 S\subseteq M의 **중심화 부분 모노이드**는 다음과 같은 M의 부분 집합이다.
:\operatorname C_M(S)=\{x\in M\colon\forall s\in S\colon sx=xs\}
이는 M의 부분 모노이드를 이룬다. (함수해석학에서는 보통 이를 (-)'으로 표기한다.)

S의 **이중 중심화 부분 모노이드**() \operatorname C_M(\operatorname C_M(S))\subseteq M은 그 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드이다.

## 성질
일반적 모노이드 M의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.
:\operatorname C_M(\varnothing)=\operatorname C_M(\operatorname Z(M))=M
:\operatorname C_M(M)=\operatorname Z(M)
:\forall S\subseteq M\colon \operatorname C_M(S)=\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(S)))
:\forall S\subseteq M\colon\operatorname Z(M)\subseteq\operatorname C_M(S)
:\forall S\subseteq M\colon\operatorname C_M(S)=\bigcap_{s\in S}\operatorname C_M(\{s\})
:\forall \mathcal S\subseteq\operatorname{Pow}(M)\colon\operatorname C_M\left(\bigcup\mathcal S\right)=\bigcap_{S\in\mathcal S}\operatorname C_M(S)
:\forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies\operatorname C_M(S)\supseteq\operatorname C_M(T)
여기서 \operatorname Z(-)는 모노이드의 중심이다.

이에 따라, 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수
:\operatorname C_M(-)\colon \operatorname{Pow}(M)\to\operatorname{Pow}(M)^{\operatorname{op}}
를 이룬다. (여기서 \operatorname{Pow}(M)은 멱집합에 부분 집합 관계를 부여하여 얻은 부분 순서 집합이며, (-)^{\operatorname{op}}은 그 반대 부분 순서를 부여한 부분 순서 집합이다.)

### 이중 중심화 부분 모노이드
일반적 모노이드 M의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.
:\operatorname C_M(\operatorname C_M(\varnothing))=\operatorname Z(M)
:\operatorname C_M(M))=M
:\forall S\subseteq M\colon S\subseteq\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))=\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))))
:\forall\mathcal S\subseteq\operatorname{Pow}(M)\colon\operatorname C_M\left(\operatorname C_M\left(\bigcup\mathcal S\right)\right)=\bigcup_{S\in\mathcal S}\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))
:\forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))\subseteq\operatorname C_M(\operatorname C_M(T))
이에 따라, 이중 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수
:\operatorname C_M(\operatorname C_M(-))\colon \operatorname{Pow}(M)\to\operatorname{Pow}(M)
를 이룬다.

특히, 집합 M\setminus\operatorname Z(M) 위에 폐포
:\operatorname{cl}(S)=\operatorname C_M(S)\setminus\operatorname Z(M)\qquad(S\subseteq M\setminus\operatorname Z(M))
를 정의하면, 이는 M\setminus\operatorname Z(M) 위의 알렉산드로프 위상을 정의한다.

### 군
군의 부분 집합의 가환식은 항상 부분군을 이루며, **중심화 부분군**이라고 한다.

군 G의 부분 집합 S의 중심화 부분군은 항상 S의 정규화 부분군의 정규 부분군이다.
:\operatorname Z(G)\trianglelefteq\operatorname C_G(S)\trianglelefteq\operatorname N_G(S)
여기서 \operatorname Z(-)는 군의 중심이며, \operatorname N_G(-)는 정규화 부분군이다.

군 G의 부분군 H\le G의 정규화 부분군과 중심화 부분군의 몫군은 H의 자기 동형군의 부분군과 동형이다 (**N/C 정리**, ).
:\operatorname N_G(H)/\operatorname C_G(H)\lesssim\operatorname{Aut}(H)
여기서 \operatorname{Aut}(-)는 자기 동형군이다.

한원소 집합의 경우 중심화 부분군은 정규화 부분군과 같다.
:\operatorname C_G(\{g\})=\operatorname N_G(\{g\})\qquad\forall g\in G

군 G의 부분군 H\le G에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* H=\operatorname C_G(\operatorname C_G(H)). 즉, H는 이중 중심화 부분군 연산의 고정점이다.
* H=\operatorname C_G(S)가 되는 부분 집합 S\subseteq G가 존재한다. 즉, H는 중심화 부분군 연산의 상에 속한다.

임의의 두 군 H, K 및 군 준동형
:\phi\colon K\to\operatorname{Aut}(H)
에 대하여, 반직접곱 H\rtimes_\phi K 및 포함 사상 H,K\subseteq H\rtimes_\phi K을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음이 성립한다.
:\operatorname C_{H\rtimes_\phi K}(K)\cap H=\operatorname N_{H\rtimes_\phi K}(K)\cap H
:\operatorname C_{H\rtimes_\phi K}(H)\cap K=\ker\phi

### 환
환 R의 부분 집합 S\subseteq R의 (곱셈에 대한) 가환식 S'\subseteq R는 (1을 포함하는) 부분환을 이룬다. 이를 **중심화 부분환**(中心化部分環, )이라고 한다.

임의의 나눗셈환 K의 임의의 부분 집합 S\subseteq K에 대하여, 중심화 부분환 \operatorname C_K(S) 역시 나눗셈환이다.

**증명:**

\operatorname C_K(S)는 부분환이므로, 가역원에 대하여 닫혀 있음을 보이면 족하다. 임의의 a\in\operatorname C_K(S)\setminus\{0\} 및 s\in S에 대하여, a^{-1}s=a^{-1}saa^{-1}=a^{-1}asa^{-1}=sa^{-1}이다.


### 가군

다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 환 R
* 환 S
* (R,S)-쌍가군 _RM_S
그렇다면, S-오른쪽 가군의 자기 사상환
:\operatorname{End}(M_S)
을 정의할 수 있으며, M은 \operatorname{End}(M_S)-왼쪽 가군을 이룬다.

또한, 자연스러운 환 준동형
:\phi_M\colon R\to\operatorname{End}(M_S)
:\phi_Mr\colon m\mapsto rm\qquad(r\in R,\;m\in M)
이 존재한다. 이 경우, 정의에 따라
:\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\phi_M(R))=\operatorname{End}(M_R)
이다. (여기서 우변은 R-오른쪽 가군의 자기 사상환이다.)

만약 \phi_M(R)가 이중 중심화 부분환 연산의 고정점이라면, 즉 만약
:\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\phi_M(R)))=\phi_M(R)
이라면, M을 균형 잡힌 가군이라고 한다.

### 폰 노이만 대수

복소수 힐베르트 공간 V 위의 유계 작용소 폰 노이만 대수 \operatorname B(V,V)의 부분 대합 대수 S\subseteq\operatorname B(V,V)를 생각하자. (즉, S는 복소수 결합 대수를 이루며, 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 이 경우, **폰 노이만 이중 중심화 정리**()에 따르면 다음 집합들이 서로 일치한다.
* S의 이중 중심화 부분환 \operatorname C_{\operatorname B(V,V)}(\operatorname C_{\operatorname B(V,V)}(S))
* S의 약한 작용소 위상에서의 폐포
* S의 강한 작용소 위상에서의 폐포
* S로부터 생성되는 폰 노이만 대수
(다만, S의 노름 거리 위상에서의 폐포는 항상 C* 대수를 이루지만 폰 노이만 대수가 되지 못할 수 있다.)

## 예
만약 M이 가환 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합 S\subseteq M에 대하여 S'=M이다. 즉, 아벨 군의 부분 집합의 중심화 부분군은 그 전체이며, 마찬가지로 가환환의 부분 집합의 중심화 부분환은 그 전체이다.

만약 M=\Sigma^*가 \Sigma로 생성되는 자유 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같다.
:\operatorname C_{\Sigma^*}(S)=\{s\in\Sigma^*\colon\{s\}^*\supseteq S\}^*

사원수 대수 \mathbb H에서, \mathrm i의 중심화 부분환은 \mathbb R+\mathbb Ri이다. 보다 일반적으로, 임의의 x\in\mathbb H에 대하여, \operatorname{Im}x=(x-\bar x)/2를 생각하면, \operatorname C_{\mathbb H}(\{x\})=\mathbb R+\mathbb R\operatorname{Im}x이다. 만약 \operatorname{Im}x\ne0이라면 \operatorname C_{\mathbb H}(\{x\})는 (환으로서) 복소수체와 동형이다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:군론
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분류:반군론
분류:환론