작은 범주

범주론에서 **작은 범주**(-範疇, )는 그 대상의 모임과 사상의 모임이 충분히 “작은” 범주를 말한다. 그 정확한 의미는 사용하는 수학 기초론에 따라 달라지는데, 예를 들어 그로텐디크 전체를 사용할 경우 대상과 사상의 집합이 사용되는 그로텐디크 전체의 원소이어야 한다.

## 정의
범주들의 모임을 다루려면, 원하는 수학 기초론을 선택해야 한다. 여기서는 편의상 그로텐디크 전체를 사용하자.

그로텐디크 전체 \mathcal U가 주어졌다고 하자. \mathcal U-**작은 범주** \mathcal C는 다음 조건을 만족시키는 범주이다.
* \mathcal C의 대상들은 집합 \operatorname{Ob}(\mathcal C)을 이루며, 이는 \mathcal U의 원소이다.
* \mathcal C의 사상들은 집합 \operatorname{Mor}(\mathcal C)을 이루며, 이는 \mathcal U의 원소이다.
\mathcal U-작은 범주들과, 그 사이의 함자들과, 그 사이의 자연 변환들은 2-범주를 이룬다. 이를 \operatorname{Cat}_{\mathcal U}라고 표기하자.

### 국소적으로 작은 범주
임의의 범주 \mathcal C가 다음 조건을 만족시킨다면, **<math>\mathcal U</math>-국소적으로 작은 범주**(\mathcal U-局所的으로 작은範疇, )라고 한다.
* 임의의 두 대상 X,Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)에 대하여, \hom_{\mathcal C}(X,Y)\in\mathcal U이다.

## 연산
\operatorname{Cat}_{\mathcal U}는 \mathcal U-완비 범주이자 \mathcal U-쌍대 완비 범주이다. 즉, 임의의 \mathcal U-작은 범주 \mathcal I 및 함자
:D\colon \mathcal I\to\operatorname{Cat}_{\mathcal U}
에 대하여, D는 극한과 쌍대극한을 갖는다. 특히,
* \operatorname{Cat}_{\mathcal U}의 시작 대상은 \operatorname{Ob}(0)=\operatorname{Mor}(0)=\varnothing인 유일한 범주 0이다.
* \operatorname{Cat}_{\mathcal U}의 끝 대상은 \operatorname{Ob}(1)=\{\bullet\} (한원소 집합)이며, \operatorname{Mor}(1)=\{\operatorname{id}_\bullet\}인 유일한 범주 1이다. (이를 준군으로 간주하면, 이는 자명군에 해당한다.)

\operatorname{Cat}_{\mathcal U}는 \mathcal U-국소적으로 작은 데카르트 닫힌 범주이며, 이 경우 지수 대상 \hom(-,-)은 (두 \mathcal U-작은 범주 사이의) 함자와 자연 변환의 범주 \hom_{\operatorname{Cat}}(-,-)이다. 다시 말해, 두 \mathcal U-작은 범주 사이의 함자 범주는 \mathcal U-작은 범주이다.

## 성질
\mathcal U-국소적으로 작은 범주 \mathcal C가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* 임의의 기수 \kappa\le|\mathcal U|와 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여, 곱 X^{\times\kappa}이 존재한다.
그렇다면 \mathcal C는 원순서 집합이다.즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 1개 이하이다.

**증명:**

임의의 두 대상 X,Y\in\mathcal C이 주어졌다고 하자. 이제,
:|\hom_{\mathcal C}(X,Y)|\le 1
임을 보이면 족하다.

사상 집합
:\hom_{\mathcal C}(X,Y^)
의 크기는 (각 성분마다 \hom_{\mathcal C}(X,Y)의 한 원소를 고를 수 있으므로) 다음과 같다.
:\left|\hom_{\mathcal C}(X,Y^)\right| = |\hom_{\mathcal C}(X,Y)|^
(여기서 우변은 기수의 거듭제곱이다.) 그런데 정의에 따라
:\left|\hom_{\mathcal C}(X,Y^)\right| 
이므로, 칸토어의 정리에 따라서 |\hom_{\mathcal C}(X,Y)| \le 1이다.


범주 \mathcal C에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \mathcal C는 \mathcal U-작은 범주와 동치이다.
* \mathcal C는 \mathcal U-국소적으로 작은 범주이며, 준층 범주 \operatorname{PSh}(\mathcal C)=\operatorname{Set}_{\mathcal U}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}} 역시 \mathcal U-국소적으로 작은 범주이다.

### 함자
\operatorname{Set}_{\mathcal U}가 \mathcal U-작은 집합과 함수의 범주라고 하자. 즉, 다음과 같은 범주라고 하자.
* \operatorname{Ob}(\operatorname{Set}_{\mathcal U})=\mathcal U
* \operatorname{Set}_{\mathcal U}의 사상은 \mathcal U에 속하는 함수이다.

그렇다면, 망각 함자
:\operatorname{Ob} \colon \operatorname{Cat}_{\mathcal U}\to\operatorname{Set}_{\mathcal U}
:\operatorname{Ob} \colon \mathcal C\mapsto \operatorname{Ob}(\mathcal U)
가 존재한다. 이는 오른쪽 수반 함자를 가지며, 이는 임의의 집합 S를 다음과 같은 범주로 대응시킨다.
* 대상은 S의 원소이다.
* 모든 사상은 항등 사상이다.

## 예
임의의 \mathcal U-작은 아벨 범주 \mathcal A에 대하여, 그 유도 범주 \operatorname D(\mathcal A)를 취할 수 있다. 그러나 일반적으로 \operatorname D(\mathcal A)는 \mathcal U-작은 범주가 아니며, 이를 다루려면 더 큰 그로텐디크 전체를 사용하거나, 또는 그로텐디크 아벨 범주 조건을 가정해야 한다.

칸토어 역설에 따라, \operatorname{Cat}_{\mathcal U}는 \operatorname{Cat}_{\mathcal U}의 대상이 아니다. 다만, \mathcal U를 포함하는 더 큰 그로텐디크 전체 \mathcal U'\ni\mathcal U이 주어졌을 때, \operatorname{Cat}_{\mathcal U}는 \operatorname{Cat}_{\mathcal U'}의 대상이 되며, 이 경우 포함 함자
:\operatorname{Cat}_{\mathcal U}\hookrightarrow \operatorname{Cat}_{\mathcal U'}
가 주어진다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:범주론