반 더시터르 공간

**반 더시터르 공간**(反 de Sitter 空間, , 기호 AdS)은 최대 대칭적()이고, 음의 스칼라 곡률을 갖는 로런츠 다양체다. 쌍곡공간을 임의의 부호수에 대하여 일반화한 것이다. (더시터르 공간은 최대대칭적이고 양의 스칼라 곡률을 갖는 다양체다.) 빌럼 더시터르의 이름을 땄다.

반 더시터르 공간은 음의 우주상수를 가지는 일반 상대성 이론의 진공해를 이루며, 또 끈 이론에서 AdS/CFT 대응성에 중요한 역할을 한다.

## 정의
부호수가 (p,q)인 반 더시터르 공간은 부호수가 (p,q+1)인 민코프스키 공간에 국소적 등거리 묻기가 가능하다. (p,q+1)-민코프스키 공간의 계량 형식은
:ds^2 = \sum_{i=1}^p dx_i^2 - \sum_{j=1}^{q+1} dt_j^2
이다. 이 때, **반 더시터르 공간**은 다음 식을 만족하는 부분공간으로 정의할 수 있다.
:\sum_{i=1}^p x_i^2 - \sum_{j=1}^{q+1} t_j^2 = -\alpha^2
여기서 \alpha>0는 양의 실수로, **반 더시터르 반지름**()이라고 불린다. 즉, 반 더시터르 공간은 민코프스키 공간에서의 구이다. 이 때, q=0이면 이는 일반적인 쌍곡공간이 된다.

q\ge1인 경우, 이 등거리묻기를 전역적으로 생각하여 정의한 부분공간은 시간꼴 폐곡선을 지닌다. q=1인 경우, 이는 범피복 공간을 취하여 시간꼴 폐곡선을 없앨 수 있다. (q>1인 경우는 그렇지 않다.) 시간꼴 폐곡선은 물리학적으로 역설적이므로, 일반적으로 물리학에서 "반더시터르 공간"이라면 범피복 공간을 취한 경우를 일컫는다.

반 더시터르 공간은 범피복 공간을 취하지 않은 경우 등거리변환군이 O(p,q+1)이다. 범피복 공간을 취하였다면, 등거리변환군은 O(p,q+1)의 어떤 피복군이 된다.

## 성질
d차원 (로런츠 계량 부호수) 반 더시터르 공간의 리만 곡률은 다음과 같다. (-++\dotsb + 부호수를 사용한다.)
:R_{\mu\nu\rho\sigma}=\alpha^{-2}(g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}-g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma})
따라서 리치 곡률과 스칼라 곡률은 다음과 같다.
:R_{\mu\nu}=-(d-1)\alpha^{-2}g_{\mu\nu}
:R=-d(d-1)\alpha^{-2}.
이로부터 반 더시터르 공간은 우주 상수
:\Lambda=-\frac12(d-1)(d-2)\alpha^{-2}
인 아인슈타인 방정식의 해임을 알 수 있다.

### 등각 경계
반 더시터르 공간은 시간꼴(timelike) **등각 경계**()를 가진다. *n*차원 반 더시터르 공간의 등각 경계는 위상수학적으로 S^{n-1}\times S^1이고, 범피복 공간을 취하였을 경우 위상수학적으로 S^{n-1}\times\mathbb R이다. 등각 경계가 시간꼴이므로, 반 더시터르 공간은 코시 곡면(Cauchy surface)을 가지지 않는다. 즉, 주어진 시간에 초기 조건을 부여하더라도, 등각 경계에 경계 조건을 부여하지 않으면 초기값 문제를 풀 수 없다.

특히, 빛의 속력의 입자는 반 더시터르 공간의 등각 경계에 유한 시간 안에 도달할 수 있다. 정적 좌표계를 사용하고, 입자의 궤적이 r(t)라고 하자. 입자가 빛의 속력으로 움직이므로
:0=ds^2=-(r^2/\alpha^2+1)dt^2+(r^2/\alpha^2+1)^{-1}dr^2
이고, 따라서
:t(r)=\int\frac{dr}{1+r^2/\alpha^2}=\alpha\arctan(r/\alpha)
이다. 즉,
:r(t)=\alpha\tan(t/\alpha)
이다. 원점 r=0에서 등각 경계 r=\infty에 도달하기 위해 필요한 시간은
:t=\frac\pi2\alpha
임을 알 수 있다.

반 더시터르 공간의 **푸앵카레 조각**()은 푸앵카레 좌표계로 나타낼 수 있는 부분공간이다. 푸앵카레 조각의 등각 경계는 *n*&minus;1차원 민코프스키 공간이며, AdS*n*의 등거리사상군 SO(*n*&minus;1,2)는 이 민코프스키 공간의 등각변환군으로 작용한다. 이는 AdS/CFT 대응성에 핵심적인 역할을 한다.

## 좌표계
반 더시터르 공간에는 여러 좌표계를 정의할 수 있다. 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.

### 푸앵카레 좌표계
[섬네일|right|반 더시터르 공간(의 [범피복 공간)의 형상화. 반 더시터르 공간은 원기둥의 내부에 해당하고, 그 등각 경계는 원기둥의 표면이다. 푸앵카레 조각은 녹색으로 칠해진 부분이다. 푸앵카레 조각의 표면은 마름모꼴인데, 이는 민코프스키 공간의 펜로즈 그림에 해당한다.]]
**푸앵카레 좌표계**()를 사용하면 AdS*n*의 계량 텐서는 다음과 같다.
:ds^2=\frac{\alpha^2}{z^2}\left(-dt^2+dz^2+\sum_{i=1}^{n-2}(dx^i)^2\right)
반 더시터르 공간의 경계는 z=0에 위치해 있다.

푸앵카레 좌표계는 반 더시터르 공간의 전체를 덮지 않는다. 하나의 푸앵카레 좌표계로 나타낼 수 있는 부분공간을 **푸앵카레 조각**()이라고 한다. 범피복 공간을 취하지 않았을 경우 반 더시터르 공간은 두 개의 푸앵카레 조각으로 이루어진다.

### 정적 좌표계
**정적 좌표계**()를 사용하면 AdS*n*의 계량 텐서는 다음과 같다.
:ds^2=-(r^2/\alpha^2+1)dt^2+(r^2/\alpha^2+1)^{-1}dr^2+r^2d\Omega_{n-2}^2
반 더시터르 공간의 경계는 r=\infty에 위치해 있다. 이 좌표계는 반 더시터르 공간 전체를 덮는다.

### 동시 좌표계
**동시 좌표계**()를 통해, 반 더시터르 공간 AdS*n*을 쌍곡공간 *H**n*&minus;1로 엽층을 줄 수 있다. 이는 FLRW 계량의 특수한 경우다.
:ds^2=-dt^2+\alpha^2\sin^2(t/\alpha)\left(ds^2+(\sinh^2s)d\Omega_{n-2}^2\right)
::=-dt^2+\alpha^2\sin^2(t/\alpha)\left(\frac{dr^2}{1+r^2/\alpha^2}+r^2d\Omega_{n-2}^2\right)
이 좌표계는 반 더시터르 공간의 일부만을 덮는다.

## 반 더시터르 공간 위에서의 양자장론
반 더시터르 공간에서의 양자장론은 민코프스키 공간이나 더시터르 공간과 구별되는 여러 다른 특성을 가진다.

### 초대칭
더시터르 공간에서는 초대칭이 존재할 수 없다. 그러나 반 더시터르 공간과 민코프스키 공간에서는 초대칭이 존재할 수 있다. 반 더시터르 공간에서는 민코프스키 공간에서 존재하지 않는 초다중항이 있는데, 이들을 **일중항**() 표현이라고 한다.

특히, 다음과 같은 차원에서는 32개의 초전하를 가지는 초대칭이 존재하며, 이 경우 일중항 표현은 다음과 같다.

이 기하학들은 끈 이론 또는 M이론에서 존재하는 막들의 사건 지평선 근처 기하학으로 얻을 수 있다. 위 표에서 "대응하는 막"은 이 막을 일컫는다. 이들은 AdS/CFT 대응성에서 중요한 역할을 한다.

### 음수 제곱 질량
민코프스키 공간에서는 불변 질량의 제곱 m^2이 항상 음이 아닌 실수이어야 한다. 제곱 질량이 음수인 경우는 타키온이라고 하며, 이는 진공의 불안정성을 나타낸다. 즉, 이러한 경우는 진공이 더 안정한, 타키온을 포함하지 않는 진공으로 붕괴하게 된다. 반면 반 더시터르 공간에서는 제곱 질량이 음수인 경우가 가능하다. 즉, d차원 반 더시터르 공간에서는 제곱 질량이
:m^2\ge-\frac{(d-1)^2\hbar^2c^2}{4\alpha^2}
을 만족하면 일관적인 이론을 정의할 수 있다. 이 부등식을 브라이텐로너-프리드먼 하한()이라고 하고, 페터 브라이텐로너()와 대니얼 프리드먼()이 1982년에 발견하였다. 만약
:-(d-1)^2/4\le m^2c^2/\hbar^2\le 1-(d-1)^2/4
인 경우 자유 스칼라장을 경계 조건에 따라 서로 다른 두 가지 방법으로 양자화할 수 있다. (m^2>1-(d-1)^2/4라면 양자화는 유일하다.)

반 더시터르 공간에서 음수 제곱 질량이 가능하다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 중요한 역할을 한다.

### 블랙홀과 열역학
반 더시터르 공간은 더시터르 공간과 달리 유한한 온도를 가지지 않는다.

반 더시터르 공간 속에 존재하는 블랙홀은 최소 온도를 가진다. 이 온도는 대략
:T_0\sim\frac{\hbar c}{k_B\alpha}
이다.

## 각주

* 
* 

## 외부 링크
* 
* 
* 

## 같이 보기
* 더시터르 공간
* 등각 장론
* AdS/CFT 대응성

분류:일반 상대성 이론의 엄밀해
분류:미분기하학