이중 장론

이론물리학에서 **이중 장론**(二重場論, , DFT)은 끈 이론에서 유래하는 고전적 중력 이론의 일종이다. 이 이론은 중력장과 2차 미분 형식 게이지장을 포함하며, T-이중성을 만족시킨다. T-이중성을 만족시키기 위하여, d차원 시공간을 묘사하기 위하여 2d차원의 매끄러운 다양체를 사용한다.

## 전개
### 시공간
일반적으로, 다음과 같은 데이터를 생각하자.
* D차원 실수 벡터 공간 V 및 그 위의 비퇴화 이차 형식 \eta\colon V\to\mathbb R
* 두 리 군 H\le G \le \operatorname{GL}(V;\mathbb R). 또한, 다음 가환 그림이 성립한다고 하자.
*:\begin{matrix}
H &\to & G \\
\downarrow && \downarrow \\
\operatorname O(V,\eta) & \to & \operatorname{GL}(V;\mathbb R)
\end{matrix}
* D차원 매끄러운 다양체 M 및 그 접다발의 구조군 G. 즉, 어떤 G-주다발 (틀다발) F_G 및 벡터 다발의 동형 사상 F_G\times_G\mathbb R^N\to \mathrm TM이 주어져 있다.
* 접다발의, H로의 구조 축소. 즉, H-주다발 F_H 및 벡터 다발의 동형 사상 E\colon F_H\times_HV \to \mathrm TM.

M의 접다발 지표를 M,N,\dotsc, V의 지표를 A,B,\dotsc로 표기하면, E의 데이터는 각 점에서 국소적으로 다음과 같다.
:\mathrm T_xM \to V
:X^M \mapsto E_M^AX^M
이제, E는 다음과 같은 준 리만 다양체 구조 G_{MN}를 정의한다. (그 부호수는 \eta의 부호수와 같다.)
:G_{MN} = \eta_{AB}E^A_ME^B_N
이제, E에 다음과 같은 H-게이지 대칭을 부여하자.
:E^A{}_M\mapsto T^A{}_BE^B_M\qquad(T\in\mathcal C^\infty(M,H))
그렇다면, E는 각 점에서 물리적으로 동차 공간
:\frac GH
의 원소를 나타내게 된다. 또한, 계량 텐서 G_{MN}는 (H\le\operatorname O(V,Q)이므로) 게이지 불변이다.

이제, 위 구성에서 다음과 같은 특수한 경우를 생각할 수 있다.

즉, G/H=\operatorname{GL}(D)/\operatorname O(1,D-1)인 경우는 D차원 일반 상대성 이론의 필바인에 해당한다. 반면, G/H=\operatorname O(d,d)/\operatorname O(1,d-1)^2인 경우, 이는 d^2개의 성분을 가지며, 이는 d\times d 대칭 행렬(중력장)과 d\times d 반대칭 행렬(캘브-라몽 장)로 분해될 수 있다.

### 계량의 분해
구체적으로, 필바인 E_M^A에 의하여 정의되는 계량 텐서
:G_{MN} = \eta_{AB}E_M^AE_N^B
를 생각하자. 물리적으로, 이는 중력장과 캘브-라몽 장을 나타낸다.

편의상, \eta_{AB}를 다음과 같이 만드는 게이지를 선택하자.
:\eta = \begin{pmatrix}
0 & 1_{d\times d} \\
1_{d\times d} & 0
\end{pmatrix}
즉, 이는 분해
:V = V_+ \oplus V_-
:\dim V_+ = \dim V_- = d
:\eta_\pm\colon V_\pm \to V_\mp^*
를 정의한다. (물론, 이러한 게이지는 일반적으로 유일하지 않다.)

V는 매끄러운 다양체 M의 국소 모형이므로, 이는 마찬가지로 각 점에서 접공간 \mathrm T_xM의 마찬가지 분해
:\mathrm TM = \mathrm T^+M\oplus \mathrm T^-M
를 정의한다.

이러한 게이지에서, \operatorname O(d,d)의 원소
:H^N{}_P \in \operatorname O(d,d)
:\eta_{MN}H^N{}_P = \begin{pmatrix}
g^{-1} & -g^{-1}b \\
bg^{-1} & g - b g^{-1} b
\end{pmatrix} \in \operatorname O(d,d) 
를 정의할 수 있다. 여기서, g는 중력장을 나타내며, b는 2차 미분 형식인 캘브-라몽 장이다.

이 시공간에서는 일반적으로 공변 미분이 존재하지 않는다. 더 엄밀히 말하자면, \eta 및 H와 호환되는 코쥘 접속의 개념을 도입할 수 있지만, 크리스토펠 기호의 모든 성분이 물리학적 의미를 갖는 일반 상대성 이론과 달리 이 접속은 물리학적으로 결정되지 않는 성분들을 포함하며, 이에 따라 임의의 선택이 필요하다. 이에 대한 리만 곡률도 마찬가지다.

### 필바인
일반 상대성 이론과 마찬가지로, 다음과 같이 필바인을 도입할 수 있다. 필바인은 다음과 같은 동차 공간의 원소이다.
:E \in \frac{\operatorname O(d,d)}{\operatorname O(1,D-1)\times\operatorname O(1,d-1)}
여기서 \operatorname O(1,d-1)\times\operatorname O(1,d-1)은 \operatorname O(d,d)의 블록 대각 행렬 부분군이다.

즉, 이는 대표원
:E^A_M \in \operatorname O(d,d)
에 의하여 결정되며, 이는 게이지 변환
:E^A_M \mapsto L^A{}_BE^A_M\qquad(L^A{}_B \in\operatorname O(1,D-1)\times\operatorname O(1,D-1))
을 겪는다. 여기서 A,B,\dotsc는 필바인 지표를 뜻한다. 이 대표원에 대응되는 리만 계량 텐서는
:H_{MN} = E^A{}_MH_{AB}E^B{}_N
이다.

필바인이 주어졌다면, 다음과 같은 **일반화 바이첸뵈크 접속**()을 정의할 수 있다.
:\Omega_{ABC} = -\Omega_{ACB} = E_A{}^M\partial_M(E_B{}^NE_C{}^P\eta_{PN})

### 작용
이중 장론에서는 다음과 같은 작용을 사용한다.
:S = \int\mathrm d^{2D}x\,\exp(-2\phi)(S_1+S_2)
여기서 
:S_1 = 9\Omega_{[ABC]}\Omega_{[DEF]}\left(
\frac14H^{AD}\eta^{BE}\eta^{CF}
-\frac1{12}H^{AD}H^{BE}H^{CF}
-\frac16\eta^{AD}\eta^{BE}\eta^{CF}
\right) + \exp(2\phi)(\eta^{AB}-H^{AB})
:S_2 = F_AF_B(\eta^{AB}-H^{AB})
:F_A = \eta^{BC}\Omega_{BCA} + 2E_A{}^M\partial_M\phi
여기서 \phi는 딜라톤 스칼라장이다. 이는 M 위의, \operatorname O(d,d) 구조를 보존하는 미분 동형 사상들을 대칭으로 갖는다.

### 장방정식
위 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.
:S_1 = 0 
:2(H^{C[A}-\eta^{D[C})\partial^{B]}F_C + (F_C-\partial-C)F^{C[AB]} + F^{CD[A}F_{CDE}\eta^{B]E} = 0
이들은 각각 \phi 및 E_A{}^M에 대한 오일러-라그랑주 방정식이다.

### 단면 조건
M 위의 장들은 2d 차원의 매끄러운 다양체 위에 정의된다. 실제 시공간은 d차원이므로, 올바른 수의 자유도를 갖추기 위하여 조건을 부여해야 한다. 이는 **단면 조건**()이라고 하며, 스칼라장 \Phi에 대하여 다음과 같은 꼴이다.
:\eta^{MN}\partial_M\partial_N\Phi = 0

## 역사
워런 시걸()이 1993년에 도입하였다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:끈 이론