헨젤 환

가환대수학에서 **헨젤 환**(Hensel環, )은 잉여류체에서의 다항식의 근이 환에서의 근으로 항상 올려질 수 있는 가환환이다.

## 정의
국소 가환환 (R,\mathfrak m,\kappa)이 주어졌다고 하자. (여기서 \mathfrak m은 R의 유일한 극대 아이디얼이며, \kappa = R/\mathfrak m은 그 잉여류체이다.) 그렇다면, 몫 사상 R \to \kappa으로 유도되는, 다항식환 사이의 환 준동형
:\phi \colon R[x] \to \kappa[x]
이 존재한다.

임의의 일계수 다항식 p \in R[x]가 주어졌다고 하자. 그렇다면 \phi(p) \in \kappa[x] 역시 일계수 다항식이다. 체 계수의 다항식환은 유일 인수 분해 정역이므로, \phi(p)는 다음과 같이 일계수 기약 다항식들의 곱으로 (순서를 무시하면 유일하게) 표현된다.
:\phi(p) = \tilde q_1 \tilde q_2 \dotsm \tilde q_k
:\tilde q_1, \tilde q_2, \dotsc, \tilde q_k \in \kappa[x]
(반면, 일반적 국소 가환환 위의 다항식환은 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니다.)

이제, 이 인수 분해가 R[x]에서 유래하는지, 즉
:\phi(q_i) = \tilde q_i \qquad(i\in\{1,\dotsc,k\})
:p = q_1 q_2 \dotsm q_k
가 되는 (q_i)_{i\in\{1,\dotsc,k\}}가 존재하는지 여부를 생각할 수 있다.

특히, 만약 \tilde q_i = (x-\tilde a_i)인지 여부를 생각할 수 있다. 이 경우, q_i = (x-a_i)라면, \kappa 계수에서 존재하는 근 \tilde a_i가 R에서도 존재한다는 것이 된다.

국소 가환환 (R,\mathfrak m,\kappa)에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 가환환을 **헨젤 국소환**(Hensel局所環, )이라고 한다.
* 임의의 일계수 다항식 p\in R[x] 및 \phi(p)(\tilde a) = 0이며 (\mathrm d\phi(p)/\mathrm dx)(\tilde a)\ne 0인 \tilde a \in\kappa에 대하여, p(a) = 0이자 \phi(a) = \tilde a인 a \in R가 존재한다.
* 임의의 일계수 다항식 p\in R[x] 및 \phi(p)(\tilde a) = 0이며 (\mathrm d\phi(p)/\mathrm dx)(\tilde a)\ne 0인 \tilde a \in\kappa에 대하여, p(a) = 0이자 \phi(a) = \tilde a인 a \in R가 유일하게 존재한다.
* 임의의 일계수 다항식 p\in R[x] 및 \tilde q\tilde r = \phi(p)인 \tilde q,\tilde r \in \kappa[x]에 대하여, 만약 \textstyle\gcd_{\kappa[x]}\{\tilde q,\tilde r\} = 1이라면, \phi(q) = \tilde q, \phi(r) = \tilde r, p = qr인 q,r\in R[x]가 존재한다.

### 순 헨젤 국소환
만약 헨젤 국소환 (R,\mathfrak m,\kappa)의 잉여류체 \kappa가 스스로의 분해 가능 폐포라면 (\kappa = \kappa^{\operatorname{sep}}), R를 **순 헨젤 국소환**(純Hensel局所環, )이라고 한다.

### 헨젤 환
**헨젤 환**은 유한 개의 헨젤 국소환들의 직접곱과 동형인 가환환이다.

## 성질
헨젤 국소환의 범주 \operatorname{HensLocRing}는 국소 가환환과 국소환 준동형의 범주 \operatorname{CLocRing}의 충만한 부분 범주를 이루며, 이는 또한 반사 부분 범주를 이룬다. 즉, 포함 함자 \operatorname{HensLocRing}\hookrightarrow\operatorname{CLocRing}의 왼쪽 수반 함자
:(-)^{\operatorname h}\colon\operatorname{CLocRing}\to\operatorname{HensLocRing}
가 존재한다. 이를 국소 가환환의 **헨젤화**(Hensel化, )라고 한다. 즉, 국소 가환환 R에 대하여, 다음 보편 성질을 만족시키는 헨젤 국소환 (R^{\operatorname h},\mathfrak m^{\operatorname h}) 및 국소환 준동형
:\operatorname h\colon R\to R^{\operatorname h}
이 항상 존재하며, 이를 R의 **헨젤화**라고 한다.
* 임의의 헨젤 국소환 (R',\mathfrak m') 및 국소환 준동형 f\colon R\to R'에 대하여, f=g\circ\operatorname h인 국소환 준동형 g\colon R^{\operatorname h}\to R'이 유일하게 존재한다.

반면, 순 헨젤 국소환의 범주는 반사 부분 범주를 이루지 않는다. 임의의 국소 가환환의 **순 헨젤화**()를 정의할 수 있으며 이는 동형 아래 유일하지만, 이는 자기 동형을 가져 보편 성질을 만족시키지 않는다.

## 예
다음과 같은 환들은 헨젤 환이다.
* 임의의 체
* 임의의 완비 국소환
** <math>p</math>진 정수환 \mathbb Z_p
** 체 K에 대하여, 형식적 멱급수환 Kx
* 실수체나 복소수체 위의, 수렴하는 거듭제곱 급수들의 환

### p진 정수환의 헨젤 보조 정리
임의의 소수 p에 대하여, p진 정수환 \mathbb Z_p은 국소 가환환이며, 그 극대 아이디얼은 (p)이며, 잉여류체는 유한체 \mathbb F_p이다. 이 경우, 헨젤 보조 정리에 따르면, 임의의 일계수 다항식이 \mathbb F_p 계수의 근의 근을 가지며, 이 근에서 기울기가 0이 아니라면, 이 근은 \mathbb Z_p 계수의 근으로 올려질 수 있다. 사실
:\mathbb Z_p = \varprojlim_{n\to\infty} \mathbb F_{p^n}
이므로, 이는 임의의 n\in\mathbb Z^+에 대하여 \mathbb F_{p^n} 계수의 근을 갖는다는 것과 동치이다.

이는 합동 산술의 용어로 다음과 같이 쓸 수 있다. 임의의 정수 계수 다항식 q\in \mathbb Z[x]이 주어졌으며, 어떤 임의의 정수 \tilde a\in \mathbb Z에 대하여
:q(\tilde a) \equiv 0\pmod p
:\frac{\mathrm dq}{\mathrm dx}(\tilde a) \not\equiv 0\pmod p
라고 하자. 그렇다면, 임의의 n\in\mathbb Z^+에 대하여,
:q(a_n) \equiv 0 \pmod{p^k}
인 a_n \in \mathbb Z이 존재한다.

p진 정수의 경우, 헨젤 보조 정리는 사실 일종의 뉴턴 방법에 해당한다. 구체적으로, 만약
:q(a_k) \equiv 0 \pmod{p^k}
:(\mathrm dq/\mathrm dx)(a_k) \not\equiv 0\pmod{p^k}
인 a_k\in\mathbb Z가 주어졌다고 하자. 그렇다면
:a_{k+1} = a_k - \frac{q(a_k)}{(\mathrm dq/\mathrm dx)(a_k)}
로 놓자. 이는 일반적으로 정수가 아니지만, 가정에 의하여 ((\mathrm dq/\mathrm dx)(a_k))^{-1}는 p진 정수이며, 따라서 a_{k+1}은 p진 정수로서 존재한다. 그렇다면 매클로린 급수에 따라서
:q(a_k) \equiv a_k + \frac{\mathrm dq}{\mathrm dx}(a_k)\pmod{p^{k+1}}
이 된다. 이 과정을 반복하면 어떤 유일한 p진 정수 a_\infty로 수렴하는 수열 a_1,a_2,\dotsc을 얻는다.

## 응용
대수기하학에서, 국소환이 자리스키 위상에서의 줄기환인 것처럼, 니스네비치 위상에서의 "국소환"은 헨젤 국소환이며, 에탈 위상에서의 "국소환"은 순 헨젤 국소환이다.

## 역사
쿠르트 헨젤이 20세기 초에 (현대적인 용어로는) <math>p</math>진 정수환 \mathbb Z_p가 헨젤 국소환임을 증명하였다. 1951년에 아즈마야 고로가 이를 추상화하여 헨젤 환의 개념을 도입하였다.

나가타 마사요시가 1953년에 헨젤화의 존재를 증명하였다.

## 참고 문헌

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## 외부 링크
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분류:가환대수학