사차 방정식

섬네일|사차 함수의 그래프

**사차 방정식**(Quartic equation)이란, 최고차항의 차수가 4인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 형태는

:ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 , a\ne 0 
와 같다.

여기에서 a, b, c, d는 각각 x^4 , x^3 , x^2, x 의 계수라고 한다. e는 상수항이라고 부른다.

## 역사
페라리는 1540년에 해법을 발견하였지만, 그 해법은 중간에 삼차방정식을 푸는 과정을 포함하였고, 그리하여 즉시 발표할 수 없었다. 사차방정식의 해법은 삼차방정식의 해법과 함께 페라리의 스승인 카르다노의 책에서 발표된다.

## 해법
:\textstyle a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0\   

이 방정식에서 양변을 x의 최고차항인 a로 나눈 다음 \textstyle x=y- {b \over 4a} 라고 두면 y^4 + p{y^2} + qy + r = 0 꼴로 차 고차항을 치른하우스 변형으로 압축 정리(zipping)할 수 있다.

y^4 +p{y}^2=  - qy - r 

한편, ( y^2 + p )^2 의 완전제곱식을 풀면, y^4 + 2py^2 + p^2  이 되므로

:y^4+py^2 의 나머지인 py^2 + p^2를 양변에 더해주어 좌변을 완전제곱식으로 만든다.
: ( y^2 + p )^2 = p{y}^2 -qy + p^2 -r 이 된다.
이번에는 우변에 미지수 t를 제공하고 y와 t에 대해 정리하면,
: \left(y^2+p+t \right)^2= \left(p+2t \right)y^2 -qy + \left(p^2+2pt  + t^2-r \right)
우변 이차방정식의 판별식, D = q^2 -4 \left(p+2t\right) \left((p+ t)^2-r \right)=0 이되면, 우변은 완전제곱식을 만족하겠다.

이것은 t에 대한 삼차방정식이므로 이것을 풀어 t의 3근 t_1 ,t_2,t_3를 구한다음 t_1을 대입한다.
:D= q^2 -4 (p+2t_1) (p^2+2pt_1  + t_1 ^2-r) =0  에 의해
:{q^2 \over {4 (p+2t_1)}} = (p^2+2pt_1  + t_1 ^2-r)   이므로,
: \left(y^2+p+t_1 \right)^2= \left(p+2t_1 \right)y^2 -qy + \left( {q^2 \over {4 (p+2t_1)}}   \right)
:(y^2 +p+t_1)^2 = (p +2t_1) \left(y- {q \over {2(p+2t_1)}} \right)^2이다.
이로써, 좌변과 우변 모두 완전제곱식이 되겠다.

이렇게, 사차방정식은 두 개의 완전제곱식의 이차방정식으로 분해된다.

양변에 제곱근을 주고, 이항시켜 정리하면,

: y^2 - \sqrt{p +2t_1}  y +\left( {q \over {2 \sqrt{p +2t_1}} } +p+t_1\right)=0

근의 공식으로부터  y = } +p+t_1  \right)}  } \over {2} }

그리고,  x= y-{b \over 4a}, 이므로

4근은,
:x=  -{b \over 4a} + \left( }}  } \over {2} } \right)     ,  -{b \over 4a} + \left( }}  } \over {2} } \right) 
: ,   -{b \over 4a} - \left( }}  } \over {2} } \right)
 ,   -{b \over 4a} - \left( }}  } \over {2} } \right)      
이다.

## 일반적인 경우
:\textstyle a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0\   

양변을 x의 최고차항인 a로 나눈 다음 \textstyle x=y- {b \over 4a} 라고 두고 y^4 + p{y^2} + qy + r = 0 형태로 정리한다.
:{a \over a}x^4 + {b \over a} x^3 + {c \over a} x^2 +{d \over a}x+ {e \over a} = 0 

여기서,  {a \over a} = 1, {b \over a}= a,{c \over a}=b,{d \over a}=c,{e \over a}= d, 치환 

:x^4 + a x^3 + b x^2 +cx+ d = 0 
:\left( y-{a \over 4} \right)^4+ a \left( y-{a \over 4} \right)^3+b \left( y-{a \over 4} \right)^2+c \left( y-{a \over 4} \right)+d=0 
전개하면, 
: y^4 + \left( {-3a^2   \over 8 } +b \right) y^2 + \left(   +{ a^3  \over 8}-{ba \over 2} +c   \right) y+ \left(  -{a^4 \over 64}+{a^4 \over 256}+{ba^2\over 16}-{ca \over 4} +d \right)   = 0
여기서,  {a \over a} = 1, {b \over a}= a,{c \over a}=b,{d \over a}=c,{e \over a}= d, 치환 한것을
:x^4 + {b \over a} x^3 + {c \over a} x^2 +{d \over a}x+ {e \over a }= 0  , 풀어주면

:y^4 + \left( {-3b^2 \over 8a^2}  +  {c \over a} \right) y^2 + \left(+ \left( {b^3 \over 8a^3} \right)  -  \left({bc \over 2a^2} \right)+ {d \over a} \right)y+ \left(- \left( {3b^4 \over 256a^4} \right)    +  \left( {cb^2 \over 16a^3} \right)  - {bd \over 4a^2}  + {e \over a} \right)= 0
:p= \left(  {-3b^2 \over 8a^2}  +  {c \over a}  \right) 
:q=\left(   + \left( {b^3 \over 8a^3} \right)  -  \left({bc \over 2a^2} \right)+ {d \over a}   \right) 
:r=\left(  - \left( {3b^4 \over 256a^4} \right)    +  \left( {cb^2 \over 16a^3} \right)  - {bd \over 4a^2}  + {e \over a}  \right) 

근과 계수의 관계에서, 
:y=u+v+w를 대입하면,  
:(u+v+w)^4 + p(u+v+w)^2+ q(u+v+w)+r = 0 
:u^2+v^2+w^2=- { p \over 2}
:u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2={ p^2 \over 16} - { r \over 4} 
: u^2v^2w^2= \left(-{ q \over 8} \right)^2  
:uvw = \left( -{ q \over 8} \right)  
따라서, z로 3차방정식을 가정하여 정리하면, 
:z^3 -(  u^2+v^2+w^2  )z^2 +(u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2)z-(u^2v^2w^2)=0
이것의 3차방정식을 풀면 근은 각 각 u^2 , v^2 , w^2 이고, 

다시 이것의 제곱근  u,v,w가 서로 곱해서, 

uvw = -{q \over 8}가 되는 값이 각각 근의 u,v,w가 되고, 

이어서, 
u v w = (-)u (-)v w = u (-)v (-)w = (-)u v (-)w가 되고,

이것으로 y = (u \cdot v \cdot w) ,( -u \cdot  -v \cdot  w),( u \cdot  -v \cdot -w),(-u \cdot  v \cdot -w)가 되겠다.

끝으로 정리하면, 4차방정식의 네근 x =  y-{b \over 4a}에 의해 , 
(u \cdot v \cdot w)-{b \over 4a},  ( -u \cdot  -v \cdot  w)-{b \over 4a}, ( u \cdot  -v \cdot -w) -{b \over 4a}, (-u \cdot  v \cdot -w) -{b \over 4a}가 되겠다. 

## 특수한 경우
### [[복이차방정식]]
사차 방정식 중 홀수 차수의 계수가 모두 0인, 즉 짝수 차수 항만 있는 방정식을 복이차방정식(Biquadratic equations)이라고 한다.
x^2=X으로 치환해 이차방정식의 풀이를 이용해 푼다.
:ax^4+bx^2+c = 0 \; , \; X=x^2
:aX^2+bX+c = 0 \; 

### [[상반방정식]]
계수가 대칭적인 형태로 되어 있는 방정식을 **[[상반방정식]]**(Symmetric equations)이라고 한다. **즉 방정식의 x의 n제곱 항 옆에 있는 계수를 거꾸로 읽어도 똑같다는 것이다.** 사차방정식의 경우는 다음과 같다.
:a_0 x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0

이 경우 양변을 x^2으로 나누어 {x + {1  \over x}}를 y로 치환해주면 이차방정식으로 변환된다.

{ x^2}+{x^1} + 1 + {1 \over x^1} +{1 \over x^2} =0 
{ x^2}+{1 \over x^2}  + \left({x^1} + {1 \over x^1} \right)  + 1=0 
 y^2 + y - 1 = 0
이차방정식 근의 공식으로부터,
 y = {{-1\pm \sqrt 5 } \over 2} , 이고
{x} + {1 \over x}  = y ,  이므로

 yx= \left( x  + {1 \over x } \right)x 

 yx ={x  x } + {1 \over x}x , 

 x^2 + {1x \over x}  -yx  = 0 , 

x^2  -yx + {x \over x} = 0 , 

x^2  -yx + 1 = 0 
따라서, 역시 근의 공식을 적용하면,
x = \over 2} 이므로, 여기에 y = {{-1\pm \sqrt 5 } \over 2}를 대입하여 정리하면, 
{1 \over 4}   \left( {-1\pm \sqrt 5 } \pm  \over 2}  \right)  

={1 \over 4} \left(  -1 + \sqrt 5 + i \sqrt {10+2 \sqrt 5}  \right),
{1 \over 4} \left(  -1 + \sqrt 5 - i \sqrt {10+2 \sqrt 5}  \right),{{1 \over 4} \left(  -1 - \sqrt 5 + i \sqrt {10-2 \sqrt 5}  \right)} ,{{1 \over 4} \left(  -1 - \sqrt 5 - i \sqrt {10-2 \sqrt 5}  \right)} 의 4근을 갖는다.

좀 더 일반적으로 준상반방정식(Quasi-symmetric equations)
:a_0 x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_1 m x + a_0 m^2 = 0
의 경우 x + {m\over x}으로 치환해주면 된다.

### [[이항방정식]]
x^4 +a = 0의 꼴이다.

특히  x^4  = 1의 경우는,  근의 계수 \omega를 교착해서 4개의 근이 구해진다.(근은 1, -1, i, -i이다.)

### 인수분해 ([[곱셈공식]] 적용)
:x  = a로 예약했을때,
:\, a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)  
:\, x^4+x^2+1 =(x^2+x+1)(x^2-x+1)  
:\, a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2-2a^2b^2 
:\, a^4+b^4+c^4 = (a^2+b^2+c^2)^2-2 \left( (ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c) \right) 
꼴로 인수분해와 2차방정식으로 풀수있다.

## 근과 계수의 관계

사차방정식 \textstyle ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e=0 의 네 근을 \textstyle \alpha, \beta, \gamma, \delta라고 하면, 방정식의 계수와 근들은 다음의 관계가 성립한다.
:\textstyle \alpha + \beta + \gamma + \delta = - {b \over a} 
:\textstyle \alpha \beta + \alpha \gamma + \alpha \delta + \beta \gamma + \beta \delta + \gamma \delta = {c \over a}
:\textstyle \alpha \beta \gamma + \alpha \beta \delta + \alpha \gamma \delta + \beta \gamma \delta = - {d \over a}
:\textstyle \alpha \beta \gamma \delta = {e \over a}

이것은   이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수와의 관계증명을 사용하면, 대수학의 기본정리에 따라 n차방정식은 n개의 근을 갖고,
따라서, 4개의 근 \alpha,\beta,\gamma,\delta 를 예정하고,
이를 4차방정식의 인수분해식으로 놓으면, (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)=0 이 되고,
다항식으로 전개하면, x^4 - (\alpha + \beta + \gamma + \delta)x^3 + (\alpha \beta + \alpha \gamma + \alpha \delta + \beta \gamma + \beta \delta + \gamma \delta)x^2 - (\alpha \beta \gamma + \alpha \beta \delta + \alpha \gamma \delta + \beta \gamma \delta)x +\alpha \beta \gamma \delta =0  이고, 일반항의 최고차항의 계수인 'a'로 양변을 나누면,
: \textstyle {x^4 }+ {b   \over a}x^3+{ c  \over a}x^2 + {d  \over a}x + {e  \over a}=0 

이므로, 서로 근의 정보와 계수 정보와의 상관관계를 보여주고 있다.

## 사차방정식의 판별식
사차방정식의 판별식은 16개항으로 이루어져 있다.

실베스터 행렬의 종결식을 사용한 소행렬식의 라플라스 전개로 사차방정식의 판별식 유도가 가능하다.
:ax^4+bx^3+cx^2+dx+e 을
:a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0  으로 계수를 예약했을때, 실베스터 행렬 M=(2n-1)\cdot(2n-1)

:
M=\begin{bmatrix}
a_4   &  a_3   &  a_2    &  a_1   &  a_0   &  0    &   0     \\
0     &  a_4   &  a_3    &  a_2   &  a_1   &  a_0  &   0     \\
0     &   0    &  a_4    &  a_3   &  a_2   &  a_1  &  a_0    \\
4a_4  &  3a_3  &  2a_2   &  1a_1  &  0a_0  &  0    &   0     \\
0     &  4a_4  &  3a_3   &  2a_2  &  1a_1  &  0a_0 &   0     \\
0     &    0   &  4a_4   &  3a_3  &  2a_2  &  1a_1 &  0a_0   \\
0a_0  & 0      &    0    &  4a_4  &  3a_3  &  2a_2 &  1a_1   \\
\end{bmatrix}
: D= (-1)^{n(n-1)\over 2} a_n^{-1} M 
: D= (-1)^{4(4-1)\over 2} a_4^{-1} M 
: D= (-1)^{12\over 2} a_4^{-1} M 
: D= (-1)^{6} a_4^{-1} M 

: D= -27a^2 d^4 +18abcd^3 -4a c^3 d^2 +16a c^4 e- 80a b c^2 d e

:+144a^2 c d^2 e  -6a b^2 d^2 e-4b^3 d^3 +b^2 c^2 d^2 -4b^2 c^3 e 
:+18b^3 c d e  -27b^4 e^2 +144a b^2 c e^2-192a^2 b d e^2   -128a^2 c^2  e^2
   +256a^3 e^3   

## 같이 보기
* 일차 방정식
* 이차 방정식
* 삼차 방정식
* 5차 방정식
* 6차 방정식

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