로런츠 힘

[섬네일|[거품 상자 내에서 빠르게 이동하는 하전 기본 입자들에 작용하는 로런츠 힘. 양전하와 음전하의 궤적이 서로 반대 방향으로 굽어진다.]]

전자기학에서 **로런츠 힘**()은 전기장과 자기장에 의해 하전 입자에 가해지는 힘이다. 이는 전자기 환경에서 하전 입자가 어떻게 움직이는지를 결정하며, 전동기와 입자 가속기의 작동부터 플라스마의 거동에 이르기까지 많은 물리 현상의 기초가 된다.

로런츠 힘은 두 가지 성분으로 구성된다. **전기력**은 양전하의 경우 전기장 방향으로, 음전하의 경우 그 반대 방향으로 작용하며 입자를 직선으로 가속시키는 경향이 있다. **자기력**은 입자의 속도와 자기장 모두에 수직이며, 장의 방향에 따라 입자가 보통 원형이나 나선형 형태의 곡선 궤적을 따라 움직이게 만든다.

이 힘 법칙의 변형은 전류가 흐르는 전선에 작용하는 자기력(때때로 **[[#전류가 흐르는 전선에 작용하는 힘|라플라스 힘]]**이라고 함)과 패러데이 전자기 유도 법칙에서 설명하는 자기장을 통과하는 와이어 루프에 유도되는 기전력을 설명한다.

전하와 전류에 의해 전기장과 자기장이 어떻게 생성되는지를 설명하는 맥스웰 방정식과 함께, 로런츠 힘 법칙은 고전 전자기학의 기초를 형성한다. 이 법칙은 특수 상대성이론에서도 여전히 유효하지만, 양자 효과가 중요해지는 작은 척도에서는 한계가 있다. 특히, 입자의 고유한 스핀은 로런츠 힘으로 설명되지 않는 전자기장과의 추가적인 상호작용을 발생시킨다.

역사학자들은 이 법칙이 1865년에 발표된 제임스 클러크 맥스웰의 논문에 함축되어 있다고 제안한다. 헨드릭 로런츠는 1895년에 완전한 유도를 이끌어냈으며, 올리버 헤비사이드가 자기력의 기여를 정확히 식별한 지 몇 년 후에 전기력의 기여를 확인했다.

## 정의 및 속성
### 점입자
[섬네일|운동 중인(순간 속도 ) [하전 입자(전하 )에 작용하는 로런츠 힘 . 장과 장은 공간과 시간에 따라 변한다.]]

외부 전기장 와 자기장 에 의해, 속도 로 이동하는 전하 를 가진 점입자에 작용하는 로런츠 힘 는 다음과 같다(SI 단위 정의):

여기서 는 벡터 벡터곱이며, 굵게 표시된 모든 양은 벡터이다. 성분별로 힘은 다음과 같이 쓰인다.
\begin{align}
F_x &= q \left(E_x + v_y B_z - v_z B_y\right), \\[0.5ex]
F_y &= q \left(E_y + v_z B_x - v_x B_z\right), \\[0.5ex]
F_z &= q \left(E_z + v_x B_y - v_y B_x\right).
\end{align}

일반적으로 전기장과 자기장은 위치와 시간 모두에 의존한다. 하전 입자가 공간을 이동함에 따라 특정 순간에 작용하는 힘은 현재 위치, 속도 및 해당 위치에서의 장의 순간적인 값에 달려 있다. 따라서 명시적으로 로런츠 힘은 다음과 같이 쓸 수 있다.
\mathbf{F}\left(\mathbf{r}(t),\dot\mathbf{r}(t),t,q\right) \, = \, q\left[\mathbf{E}(\mathbf{r},t) + \dot\mathbf{r}(t) \times \mathbf{B}(\mathbf{r},t)\right]
여기서 은 하전 입자의 위치 벡터이고, 는 시간이며, 위의 점은 시간에 대한 미분이다.

전체 전자기력은 두 부분으로 구성된다. 전기장 방향으로 작용하여 입자를 선형적으로 가속시키는 전기력 와 속도 및 자기장 모두에 수직으로 작용하는 자기력 이다. 일부 문헌에서는 로런츠 힘을 두 성분의 합으로 지칭하는 반면, 다른 문헌에서는 자기 성분만을 지칭하기 위해 이 용어를 사용하기도 한다.

자기력의 방향은 종종 오른손 법칙을 사용하여 결정된다. 검지가 속도 방향을 가리키고 중지가 자기장 방향을 가리키면 엄지는 (양전하의 경우) 힘의 방향을 가리킨다. 균일한 자기장에서 이는 사이클로트론 운동이라고 알려진 원형 또는 나선형 궤적을 만든다.

플라스마 내의 전자나 이온의 운동과 같은 많은 실제 상황에서 자기장의 효과는 두 성분의 중첩으로 근사할 수 있다. 즉, 가이딩 센터라고 불리는 점 주위의 비교적 빠른 원운동과 이 점의 비교적 느린 표류(drift)이다. 표류 속도는 전하 상태, 질량 또는 온도에 따라 다양한 종마다 다를 수 있다. 이러한 차이는 전류나 화학적 분리로 이어질 수 있다.

자기력은 입자의 운동 방향에 영향을 주지만, 입자에 기계적 일을 하지는 않는다. 전자기장에서 입자로 에너지가 전달되는 비율은 입자의 속도와 힘의 스칼라곱으로 주어진다.
\mathbf{v}\cdot\mathbf{F} = q\mathbf{v}\cdot(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) = q \, \mathbf{v} \cdot \mathbf{E}.여기서 벡터는 다른 벡터와의 벡터곱 결과에 항상 수직이므로 자기 항은 사라진다. 즉, 스칼라 삼중곱 \mathbf{v}\cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{B})은 0이다. 따라서 전기장만이 입자에 에너지를 전달하거나 입자로부터 에너지를 빼앗아 입자의 운동 에너지를 변화시킬 수 있다.

일부 교과서에서는 로런츠 힘 법칙을 전기장과 자기장의 근본적인 정의로 사용한다. 즉, 장 와 는 전하가 없을 때라도 전하 와 속도 를 가진 가상의 시험 입자가 그곳에서 경험할 힘 에 의해 공간과 시간의 각 지점에서 고유하게 정의된다. 이 정의는 빛의 속력에 가까워지는 입자(즉, 의 크기, )에 대해서도 유효하다. 그러나 일부에서는 로런츠 힘 법칙을 전기장과 자기장의 정의로 사용하는 것이 반드시 가능한 가장 근본적인 접근 방식은 아니라고 주장한다.

### 연속 전하 분포
[섬네일|운동 중인 연속 [전하 분포(전하 밀도 )에 작용하는 로런츠 힘(단위 체적당) . 3차원 전류 밀도 는 체적 요소  내의 전하 요소 의 운동에 대응하며 연속체 전체에서 변한다.]]

로런츠 힘 법칙은 전기 전도체나 플라스마에서 발견되는 것과 같은 연속 전하 분포의 관점에서도 주어질 수 있다. 전하 \mathrm{d}q를 가진 이동하는 전하 분포의 작은 요소에 대해 무한소의 힘은 다음과 같다.
\mathrm{d}\mathbf{F} = \mathrm{d}q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}\right)
양변을 전하 요소의 부피 \mathrm{d}V로 나누면 힘 밀도가 얻어진다.
\mathbf{f} = \rho\left(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}\right),
여기서 \rho는 전하 밀도이고 \mathbf{f}는 단위 부피당 힘이다. 전류 밀도 \mathbf{J} = \rho \mathbf{v}를 도입하면 이를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

전체 힘은 전하 분포에 대한 체적 적분이다.
 \mathbf{F} = \int \left ( \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} \right)\mathrm{d}V.

맥스웰 방정식과 벡터 미적분학 항등식을 사용하면 힘 밀도는 전하 및 전류 밀도에 대한 명시적인 참조를 제거하도록 재구성될 수 있다. 그러면 힘 밀도는 전자기장과 그 도함수의 관점에서 다음과 같이 쓰일 수 있다.
 \mathbf{f} = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} - \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \mathbf{S}}{\partial t} 
여기서 \boldsymbol{\sigma}는 맥스웰 변형력 텐서이고, \nabla \cdot는 텐서 발산을 나타내며, c는 빛의 속력이고, \mathbf{S}는 포인팅 벡터이다. 이 형태의 힘 법칙은 장 내의 에너지 플럭스를 전하 분포에 가해지는 힘과 연관시킨다. (자세한 내용은 고전 전자기학의 공변 형식을 참조하라.)

로런츠 힘에 해당하는 전력 밀도, 즉 물질로 전달되는 에너지 비율은 다음과 같다.
\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}.

물질 내부에서 전체 전하 및 전류 밀도는 자유 부분과 구속 부분으로 분리될 수 있다. 자유 전하 밀도 \rho_{\rm f}, 자유 전류 밀도 \mathbf{J}_{\rm f}, 편극 \mathbf{P}, 자기화 \mathbf{M}의 관점에서 힘 밀도는 다음과 같다.
\mathbf{f} = \left(\rho_{\rm f} - \nabla \cdot \mathbf P\right) \mathbf{E} + \left(\mathbf{J}_ + \nabla\times\mathbf{M} + \frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}\right) \times \mathbf{B}.이 형태는 자기장에 의해 영구 자석에 가해지는 토크를 설명한다. 관련 전력 밀도는 다음과 같다.
\left(\mathbf{J}_f + \nabla\times\mathbf{M} + \frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}\right) \cdot \mathbf{E}.

### 가우스 단위계에서의 형식
위에서 언급한 공식들은 가장 일반적으로 사용되는 SI 단위에서의 전기장과 자기장의 정의 관례를 사용한다. 그러나 동일한 물리 현상(예: 전자에 작용하는 힘)을 가진 다른 관례들도 가능하며 사용된다. 일부 이론 물리학자들과 응집 물질 실험학자들 사이에서 좀 더 일반적인 오래된 CGS-가우스 단위계를 사용하는 관례에서는 대신 다음과 같이 쓴다.
\mathbf{F} = q_\mathrm{G} \left(\mathbf{E}_\mathrm{G} + \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B}_\mathrm{G}\right),
여기서 는 빛의 속력이다. 이 방정식은 약간 달라 보이지만 다음의 관계가 성립하므로 동등하다.
q_\mathrm{G} = \frac{q_\mathrm{SI}}{\sqrt{4\pi \varepsilon_0}},\quad
\mathbf E_\mathrm{G} = \sqrt{4\pi\varepsilon_0}\,\mathbf E_\mathrm{SI},\quad
\mathbf B_\mathrm{G} = {\sqrt{4\pi /\mu_0}}\,{\mathbf B_\mathrm{SI}}, \quad
c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}.
여기서 는 진공 유전율이고 는 진공 투자율이다. 실제로는 아래 첨자 "G"와 "SI"는 생략되며, 사용된 관례(및 단위)는 문맥에서 판단해야 한다.

## 전류가 흐르는 전선에 작용하는 힘
right|섬네일|자기장  내에서 전류가 흐르는 전선에 작용하는 힘에 대한 오른손 법칙
일정한 전류가 흐르는 전선이 외부 자기장에 놓이면, 전선 내의 이동하는 각 전하들은 로런츠 힘을 경험한다. 이러한 힘들이 합쳐져 전선에 알짜 거시적 힘을 생성한다. 균일한 자기장 내에 정지해 있는 직선 전선의 경우, 이 힘은 다음과 같이 주어진다.
\mathbf{F} = I \boldsymbol{\ell} \times \mathbf{B} ,
여기서 는 전류이고 은 크기가 전선의 길이이고 방향은 전선을 따라 전류의 방향과 일치하는 벡터이다.

전선이 직선이 아니거나 자기장이 균일하지 않은 경우, 전선의 각 무한소 부분  \mathrm d \boldsymbol \ell 에 공식을 적용한 다음 이 모든 힘을 적분하여 합산함으로써 전체 힘을 계산할 수 있다. 이 경우 일정한 전류가 흐르는 정지된 전선에 작용하는 알짜 힘은 다음과 같다.
\mathbf{F} = I\int (\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times \mathbf{B}).

이에 대한 한 가지 응용은 두 전류가 흐르는 전선 사이의 인력이나 척력을 설명하는 암페어 힘 법칙이다. 각 전선은 비오-사바르 법칙에 의해 설명되는 자기장을 생성하며, 이는 다른 전선에 로런츠 힘을 가한다. 전류가 같은 방향으로 흐르면 전선들은 서로 끌어당기고, 반대 방향으로 흐르면 서로 밀어낸다. 이 상호작용은 1미터 떨어진 두 평행한 직선 전선 사이에 미터당 2 × 10-7 뉴턴의 힘을 생성하는 일정한 전류로 정의되었던 이전의 암페어 정의의 기초를 제공했다.

또 다른 응용은 유도전동기이다. 고정자 권선의 교류 전류는 이동하는 자기장을 생성하여 회전자에 전류를 유도한다. 그 결과 회전자에 작용하는 로런츠 힘 \mathbf{F}가 토크를 생성하여 모터를 회전시킨다. 따라서 자기장 \mathbf{B}가 전류 I에 의해 생성될 때는 로런츠 힘 법칙이 적용되지 않지만, 전류 I가 자기장 \mathbf{B}의 움직임에 의해 유도될 때는 적용된다.

## 전자기 유도

전도성 루프 내의 전하에 작용하는 로런츠 힘은 회로 주위로 전하를 밀어내어 전류를 생성할 수 있다. 이 효과는 유도 전동기 및 발전기의 기초가 되는 근본적인 메커니즘이다. 이는 전자기 유도 이론에서 핵심적인 역할을 하는 양인 기전력(emf)으로 설명된다. 저항이 R인 간단한 회로에서 기전력 \mathcal E는 옴의 법칙 \mathcal E = IR에 따라 전류 I를 발생시킨다.

로런츠 힘의 두 성분인 전기력과 자기력 모두 회로의 기전력에 기여할 수 있지만, 서로 다른 메커니즘을 통한다. 두 경우 모두 유도 기전력은 패러데이의 선속 법칙에 의해 설명되는데, 이는 닫힌 루프 주위의 기전력이 루프를 통과하는 자기 선속의 시간 변화율의 음수 값과 같다는 법칙이다.
\mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}.자기 선속 \Phi_B는 루프로 둘러싸인 표면 \mathbf{\Sigma}(t) 에 대한 자기장 \mathbf{B}의 면적분으로 정의된다.
\Phi_B = \int_{\Sigma} \mathbf B\cdot {\rm d}\mathbf S섬네일|균일한 자기장을 통과하는 전도성 막대. 로런츠 힘의 자기 성분이 전자를 한쪽 끝으로 밀어내어 전하 분리를 일으킨다.
선속은 루프가 시간에 따라 움직이거나 변형되기 때문에 변할 수도 있고, 장 자체가 시간에 따라 변하기 때문에 변할 수도 있다. 이 두 가지 가능성은 선속 법칙에 의해 설명되는 두 가지 메커니즘에 대응한다.
* 운동 기전력: 회로가 정지해 있지만 균일하지 않은 자기장을 통과하며 움직인다.
* 변압기 기전력: 회로는 정지해 있고 자기장이 시간에 따라 변한다.
유도 기전력의 부호는 유도 전류가 원래 선속의 변화에 반대되는 자기장을 생성한다는 렌츠의 법칙에 의해 주어진다.

선속 법칙은 맥스웰-패러데이 방정식과 로런츠 힘 법칙으로부터 유도될 수 있다. 일부 경우, 특히 확장된 시스템에서 선속 법칙을 직접 적용하기 어렵거나 완전한 설명을 제공하지 못할 수 있으며, 이럴 때는 전체 로런츠 힘 법칙을 사용해야 한다. (패러데이 법칙의 적용 불가능성 참조.)

### 운동 기전력
운동 기전력의 기본 메커니즘은 막대와 운동 방향 모두에 수직인 자기장을 통과하는 전도성 막대로 설명된다. 자기장 내의 운동으로 인해 도체의 가동 전자는 로런츠 힘의 자기 성분()을 경험하여 막대의 길이를 따라 이동하게 된다. 이는 막대의 두 끝 사이에 전하 분리를 유도한다. 정상 상태에서 축적된 전하에 의한 전기장은 자기력과 평형을 이룬다.섬네일|세 가지 경우의 선속 법칙: (a) 회로가 움직이고 자기장이 고정된 운동 기전력 (b) 자기장의 소스가 움직이고 회로가 정지된 경우 (c) 시간에 따라 변하는 자기장 세기만약 막대가 불균일한 자기장을 통과하는 닫힌 전도성 루프의 일부라면, 동일한 효과가 회로 주위에 전류를 흐르게 할 수 있다. 예를 들어, 자기장이 공간의 제한된 영역에만 존재하고 루프가 처음에 이 영역 밖에 있다고 가정해 보자. 루프가 자기장 안으로 이동함에 따라 자기 선속을 둘러싸는 루프의 면적이 증가하고 기전력이 유도된다. 로런츠 힘의 관점에서 보면, 이는 자기장이 영역으로 진입하는 루프 부분의 전하 운반체에 자기력을 가하기 때문이다. 일단 전체 루프가 균일한 자기장 내에 있고 일정한 속도로 계속 이동하면 전체 둘러싸인 선속은 일정하게 유지되고 기전력은 사라진다. 이 상황에서는 루프의 반대편에 작용하는 자기력이 서로 상쇄된다.

### 변압기 기전력
보완적인 사례는 전도성 루프는 정지해 있지만 시간에 따라 변하는 자기장으로 인해 루프를 통과하는 자기 선속이 변할 때 발생하는 변압기 기전력이다. 이는 두 가지 방식으로 일어날 수 있다. 자기장의 소스가 움직여 고정된 루프를 통과하는 자기장 분포가 바뀌거나, 전원 공급형 전자기기의 경우처럼 고정된 위치에서 자기장의 세기가 시간에 따라 변하는 경우이다.

어느 상황에서든 전하에 작용하는 자기력은 없으며, 기전력은 전적으로 로런츠 힘의 전기 성분()에 기인한다. 맥스웰-패러데이 방정식에 따르면 시간에 따라 변하는 자기장은 순환하는 전기장을 생성하며, 이는 루프에 전류를 흐르게 한다. 이 현상은 동기 발전기와 같은 전기기계의 작동 기초가 된다. 이런 방식으로 유도된 전기장은 비보존적이며, 이는 닫힌 루프 주위의 선적분이 0이 아님을 의미한다.

### 상대론
특수 상대성이론의 관점에서 운동 기전력과 변압기 기전력의 구분은 틀(frame)에 의존한다. 실험실 틀에서 정적인 자기장 내의 움직이는 루프는 자기력에 의해 기전력을 생성한다. 그러나 루프와 함께 움직이는 틀에서 자기장은 시간에 의존하는 것처럼 보이며, 기전력은 유도된 전기장에서 발생한다. 아인슈타인의 특수 상대성이론은 부분적으로 이 두 효과 사이의 연결을 더 잘 이해하려는 욕구에서 동기부여되었다. 현대적 용어로 전기장과 자기장은 단일 전자기장 텐서의 서로 다른 성분이며, 관성 좌표계 사이의 변환은 이 둘을 혼합한다.

## 역사
[섬네일|로런츠의 전자 이론. 로런츠 힘(I, 유질력)과 [전기장 E의 발산(II) 및 자기장 B의 발산(III)에 대한 맥스웰 방정식 공식, , 1892, p. 451. 는 빛의 속도이다.]]
전자기력을 정량적으로 설명하려는 초기 시도는 18세기 중반에 이루어졌다. 자극에 작용하는 힘은 1760년 요한 토비아스 마이어 등에 의해 제안되었고, 전기를 띤 물체에 작용하는 힘은 1762년 헨리 캐번디시에 의해 제안되었으며, 역제곱 법칙을 따른다고 여겨졌다. 그러나 두 경우 모두 실험적 증명이 완전하거나 결정적이지는 않았다. 1784년이 되어서야 샤를 드 쿨롱이 비틀림 천칭을 사용하여 이것이 사실임을 실험을 통해 확실히 보여줄 수 있었다. 1820년 한스 크리스티안 외르스테드가 자기 바늘이 볼타 전류에 의해 작용을 받는다는 사실을 발견한 직후, 앙드레마리 앙페르는 같은 해에 실험을 통해 두 전류 요소 사이의 힘의 각도 의존성에 대한 공식을 고안할 수 있었다. 이러한 모든 설명에서 힘은 항상 전기장과 자기장의 관점이 아니라 관련된 물질의 특성과 두 질량 또는 전하 사이의 거리 관점에서 설명되었다.

전기장과 자기장의 현대적 개념은 마이클 패러데이의 이론, 특히 그의 력선 아이디어에서 처음 나타났으며, 나중에 켈빈 남작과 제임스 클러크 맥스웰에 의해 완전한 수학적 설명이 제공되었다. 현대적인 관점에서 볼 때 맥스웰의 1865년 장 방정식 공식에서 전류와 관련된 로런츠 힘 방정식의 형태를 식별할 수 있지만, 맥스웰 시대에는 그의 방정식이 움직이는 하전 물체에 작용하는 힘과 어떻게 관련되는지 명확하지 않았다. 조지프 존 톰슨은 물체의 특성과 외부 장의 관점에서 움직이는 하전 물체에 작용하는 전자기력을 맥스웰의 장 방정식으로부터 유도하려고 시도한 최초의 인물이었다. 음극선에서 하전 입자의 전자기적 거동을 결정하는 데 관심이 있었던 톰슨은 1881년에 외부 자기장에 의한 입자에 작용하는 힘을 다음과 같이 제시한 논문을 발표했다.
\mathbf{F} = \frac{q}{2}\mathbf{v} \times \mathbf{B}.
톰슨은 공식의 올바른 기본 형태를 유도했지만, 몇 가지 계산 착오와 변위 전류에 대한 불완전한 설명 때문에 공식 앞에 1/2이라는 잘못된 척도 인자를 포함했다. 올리버 헤비사이드는 현대적인 벡터 표기법을 발명하여 맥스웰의 장 방정식에 적용했다. 그는 또한 (1885년과 1889년에) 톰슨의 유도 오류를 수정하고 움직이는 하전 물체에 작용하는 자기력의 정확한 형태에 도달했다. 마지막으로 1895년에 헨드릭 로런츠는 전기장과 자기장 모두로부터의 전체 힘에 대한 기여를 포함하는 현대적 형태의 전자기력 공식을 유도했다. 로런츠는 에테르와 전도에 대한 맥스웰적 설명을 포기하는 것으로 시작했다. 대신 로런츠는 물질과 광학 에테르를 구분하고 미시적 척도에서 맥스웰 방정식을 적용하고자 했다. 정지된 에테르에 대한 헤비사이드 버전의 맥스웰 방정식을 사용하고 라그랑주 역학(아래 참조)을 적용하여 로런츠는 현재 자신의 이름이 붙은 힘 법칙의 정확하고 완전한 형태에 도달했다.

## 퍼텐셜 관점에서의 로런츠 힘

와  장은 자기 벡터 퍼텐셜 와 (스칼라) 정전기 퍼텐셜 에 의해 다음과 같이 대체될 수 있다.
\begin{align}
 \mathbf{E} &= - \nabla \phi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t } \\[1ex]
 \mathbf{B} &= \nabla \times \mathbf{A}
\end{align}
여기서 은 기울기, 은 발산, 은 회전이다.

힘은 다음과 같이 된다.
\mathbf{F} = q\left[-\nabla \phi- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\mathbf{v}\times(\nabla\times\mathbf{A})\right].

벡터 삼중곱에 대한 항등식을 사용하면 이를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
\mathbf{F} = q\left[-\nabla \phi- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\nabla\left(\mathbf{v}\cdot \mathbf{A} \right)-\left(\mathbf{v}\cdot \nabla\right)\mathbf{A}\right].

(좌표와 속도 성분은 독립 변수로 취급되어야 하므로 델 연산자는 가 아니라 에만 작용한다. 따라서 위 방정식에서 파인만의 아래 첨자 표기법을 사용할 필요는 없다.) 연쇄 법칙을 사용하면 \mathbf{A}의 실질 미분은 다음과 같다.
\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{A} 
따라서 위의 식은 다음과 같이 된다.
\mathbf{F} = q\left[-\nabla (\phi-\mathbf{v}\cdot\mathbf{A})- \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}\right].

이고
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{\partial}{\partial \dot{\mathbf{x}}}\left(\phi - \dot{\mathbf{x}}\cdot \mathbf{A} \right) \right] = -\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}
이므로, 우리는 방정식을 편리한 오일러-라그랑주 방정식 형태로 놓을 수 있다.

여기서 \nabla_{\mathbf{x} } = \hat{x} \dfrac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \dfrac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \dfrac{\partial}{\partial z} 이고 \nabla_{\dot{\mathbf{x} } } = \hat{x} \dfrac{\partial}{\partial \dot{x} } + \hat{y} \dfrac{\partial}{\partial \dot{y} } + \hat{z} \dfrac{\partial}{\partial \dot{z} }이다.

## 로런츠 힘과 해석 역학
전자기장 내의 질량 과 전하 를 가진 하전 입자에 대한 라그랑지언은 가해지는 힘이 아니라 에너지의 관점에서 입자의 역학을 동등하게 설명한다. 고전적인 식은 다음과 같다.
L = \frac{m}{2} \mathbf{\dot{r} }\cdot\mathbf{\dot{r} } + q \mathbf{A}\cdot\mathbf{\dot{r} }-q\phi
여기서 와 는 위와 같은 퍼텐셜 장이다. 양 V = q(\phi - \mathbf{A}\cdot \mathbf{\dot{r}})은 일반화된 속도 의존적 위치 에너지로 식별될 수 있으며, 이에 따라 \mathbf{F}는 비보존력으로 식별될 수 있다. 라그랑지언을 사용하여 위에서 주어진 로런츠 힘 방정식을 다시 얻을 수 있다.

해밀토니언은 르장드르 변환을 사용하여 라그랑지언으로부터 유도될 수 있다. 정준 운동량은 다음과 같다.
p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot r_i} = m\dot{r}_i + q A_i(\mathbf r).
르장드르 변환을 적용하면 다음을 얻는다.
H = \dot{\mathbf r}\cdot \mathbf p - L = \frac{[\mathbf p - q\mathbf A(\mathbf r) ]^2}{2m} + q\phi.이 고전적인 해밀토니언은 \mathbf p와 \mathbf r이 비가환 연산자가 되는 양자역학으로 직접 일반화된다.

이다. ϕ 장에 대해 입자의 위치 에너지는 q\phi(\mathbf{r},t)이다.

전체 위치 에너지는 다음과 같다.
V = q\phi - q\mathbf{A}\cdot\mathbf{\dot{r}}
그리고 운동 에너지는 다음과 같다.
T = \frac{m}{2} \mathbf{\dot{r}}\cdot\mathbf{\dot{r}}
따라서 라그랑지언은 다음과 같다.
\begin{align}
L &= T - V \\[1ex]
&= \frac{m}{2} \mathbf{\dot{r} } \cdot \mathbf{\dot{r} } + q \mathbf{A} \cdot \mathbf{\dot{r} } - q\phi \\[1ex]
&= \frac{m}{2} \left(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2\right) + q \left(\dot{x} A_x + \dot{y} A_y + \dot{z} A_z\right) - q\phi
\end{align}

라그랑주 방정식은 다음과 같다.
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \frac{\partial L}{\partial x}
(와 에 대해서도 동일). 편미분을 계산하면 다음과 같다.
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x} } &= m\ddot{x} + q\frac{\mathrm{d} A_x}{\mathrm{d}t} \\
& = m\ddot{x} + q \left[\frac{\partial A_x}{\partial t} + \frac{\partial A_x}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial A_x}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial A_x}{\partial z}\frac{dz}{dt}\right] \\[1ex]
& = m\ddot{x} + q\left[\frac{\partial A_x}{\partial t} + \frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x} + \frac{\partial A_x}{\partial y}\dot{y} + \frac{\partial A_x}{\partial z}\dot{z}\right]\\
\end{align}
\frac{\partial L}{\partial x}= -q\frac{\partial \phi}{\partial x}+ q\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_y}{\partial x}\dot{y}+\frac{\partial A_z}{\partial x}\dot{z}\right)
정리하고 단순화하면 다음과 같다.
m\ddot{x}+ q\left(\frac{\partial A_x}{\partial t}+\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_x}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial A_x}{\partial z}\dot{z}\right)= -q\frac{\partial \phi}{\partial x}+ q\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_y}{\partial x}\dot{y}+\frac{\partial A_z}{\partial x}\dot{z}\right)
\begin{align}
F_x & = -q\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{\partial A_x}{\partial t}\right) + q\left[\dot{y}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)+\dot{z}\left(\frac{\partial A_z}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)\right] \\[1ex]
& = qE_x + q[\dot{y}(\nabla\times\mathbf{A})_z-\dot{z}(\nabla\times\mathbf{A})_y] \\[1ex]
& = qE_x + q[\mathbf{\dot{r}}\times(\nabla\times\mathbf{A})]_x \\[1ex]
& = qE_x + q(\mathbf{\dot{r}}\times\mathbf{B})_x
\end{align}
와  방향에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 힘 방정식은 다음과 같다.
\mathbf{F}= q(\mathbf{E} + \mathbf{\dot{r}}\times\mathbf{B})
}}

상대론적 라그랑지언은 다음과 같다.
L = -mc^2\sqrt{1-\left(\frac{\dot{\mathbf{r} } }{c}\right)^2} + q \mathbf{A}(\mathbf{r}) \cdot \dot{\mathbf{r} } - q \phi(\mathbf{r}) 

작용은 시공간에서 입자 경로의 상대론적 호의 길이(arc length)에서 위치 에너지 기여도를 뺀 값이며, 여기에 양자역학적으로 전자기 퍼텐셜을 따라 움직이는 하전 입자가 얻는 위상으로 실현될 수 있는 추가 기여도가 포함된다.

{\mathrm{d}t} =\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}} = q {\partial \mathbf{A} \over \partial \mathbf{r}}\cdot \dot{\mathbf{r}} - q {\partial \phi \over \partial \mathbf{r} }
\mathbf{P} -q\mathbf{A} = \frac{m\dot{\mathbf{r}}}{\sqrt{1-\left(\frac{\dot{\mathbf{r}}}{c}\right)^2}}
은 해밀턴 운동 방정식과 동일하다.
 \frac{\mathrm{d}\mathbf{r} }{\mathrm{d}t} = \frac{\partial}{\partial \mathbf{p} } \left ( \sqrt{(\mathbf{P}-q\mathbf{A})^2 + (mc^2)^2} + q\phi \right ) 
 \frac{\mathrm{d}\mathbf{p} }{\mathrm{d}t} = -\frac{\partial}{\partial \mathbf{r}} \left ( \sqrt{(\mathbf{P}-q\mathbf{A})^2 + (mc^2)^2} + q\phi \right ) 
둘 다 비정준 형태와 동일하다.
 \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t} {m\dot{\mathbf{r} } \over \sqrt{1-\left(\frac{\dot{\mathbf{r} } }{c}\right)^2} } = q\left ( \mathbf{E} + \dot\mathbf{r} \times \mathbf{B} \right ) . 
이 공식은 전자기장이 입자에 상대론적 운동량을 추가하는 비율을 나타내는 로런츠 힘이다.
}}

## 로런츠 힘의 상대론적 형태
### 로런츠 힘의 공변 형식
#### 전자기장 텐서

계량 부호수 를 사용하여 전하 에 대한 로런츠 힘을 공변 형식으로 쓸 수 있다.

여기서 는 다음과 같이 정의된 사차원 운동량이다.
p^\alpha = \left(p_0, p_1, p_2, p_3 \right) = \left(\gamma m c, p_x, p_y, p_z \right) ,
는 입자의 고유 시간이고, 는 반변 전자기장 텐서이다.
F^{\alpha \beta} = \begin{pmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{pmatrix}

그리고 는 다음과 같이 정의된 입자의 공변 사차원 속도이다.
U_\beta = \left(U_0, U_1, U_2, U_3 \right) = \gamma \left(c, -v_x, -v_y, -v_z \right) ,
여기서
\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2} } }=\frac{1}{\sqrt{1- \frac{v_x^2 + v_y^2+ v_z^2}{c^2} } }
은 로런츠 인자이다.

장은 일정한 상대 속도로 움직이는 틀로 다음과 같이 변환된다.
 F'^{\mu \nu} = {\Lambda^{\mu} }_{\alpha} {\Lambda^{\nu} }_{\beta} F^{\alpha \beta} \, ,
여기서 는 로런츠 변환 텐서이다.

#### 벡터 표기법으로의 번역
힘의  성분( 성분)은 다음과 같다.
 \frac{\mathrm{d} p^1}{\mathrm{d} \tau} = q U_\beta F^{1 \beta} = q\left(U_0 F^{10} + U_1 F^{11} + U_2 F^{12} + U_3 F^{13} \right) .

공변 전자기 텐서 F의 성분을 대입하면 다음을 얻는다.
 \frac{\mathrm{d} p^1}{\mathrm{d} \tau} = q \left[U_0 \left(\frac{E_x}{c} \right) + U_2 (-B_z) + U_3 (B_y) \right] .

공변 사차원 속도의 성분을 사용하면 다음을 얻는다.
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} p^1}{\mathrm{d} \tau}
&= q \gamma \left[c \left(\frac{E_x}{c} \right) + (-v_y) (-B_z) + (-v_z) (B_y) \right] \\[1ex]
&= q \gamma \left(E_x + v_y B_z - v_z B_y \right)
= q \gamma \left[ E_x + \left( \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)_x \right] \, .
\end{align} 

( 및  방향의 힘 성분)에 대한 계산도 유사한 결과를 산출하므로, 세 방정식을 하나로 모으면 다음과 같다.
 \frac{\mathrm{d} \mathbf{p} }{\mathrm{d} \tau} = q \gamma\left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right) , 
그리고 좌표 시간 와 고유 시간 의 미분은 로런츠 인자에 의해 관련되므로
dt=\gamma(v) \, d\tau,
다음과 같이 된다.
 \frac{\mathrm{d} \mathbf{p} }{\mathrm{d} t} = q \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right) .

이것은 정확히 로런츠 힘 법칙이지만, 가 다음과 같은 상대론적 식이라는 점에 유의하는 것이 중요하다.
\mathbf{p} = \gamma(v) m_0 \mathbf{v} \,.

### 시공간 대수(STA)에서의 로런츠 힘
전기장과 자기장은 관찰자의 속도에 의존하므로, 로런츠 힘 법칙의 상대론적 형태는 전자기장 및 자기장 \mathcal{F}에 대한 좌표 독립적 표현과 임의의 시간 방향 \gamma_0에서 시작하여 가장 잘 보여질 수 있다. 이는 시공간 대수(또는 시공간의 기하학적 대수), 즉 의사 유클리드 공간에서 정의된 일종의 클리퍼드 대수를 통해 다음과 같이 설정될 수 있다.
\mathbf{E} = \left(\mathcal{F} \cdot \gamma_0\right) \gamma_0
그리고
i\mathbf{B} = \left(\mathcal{F} \wedge \gamma_0\right) \gamma_0
\mathcal F는 시공간 바이브이벡터(oriented plane segment)이며, 이는 부스트(시공간 평면에서의 회전)와 회전(공간-공간 평면에서의 회전)에 대응하는 6개의 자유도를 가진다. 벡터 \gamma_0와의 도트곱은 병진 부분에서 벡터(공간 대수에서)를 끌어내고, 웨지곱(wedge-product)은 통상적인 자기장 벡터의 쌍대인 트리벡터(공간 대수에서)를 생성한다. 상대론적 속도는 시간-위치 벡터 의 (시간과 같은) 변화에 의해 주어지며, 여기서
v^2 = 1
(계량에 대한 우리의 선택을 보여줌)이고 속도는 다음과 같다.
\mathbf{v} = cv \wedge \gamma_0 / (v \cdot \gamma_0).

로런츠 힘 법칙의 적절한 형태('불변'은 변환이 정의되지 않았으므로 부적절한 용어임)는 단순히 다음과 같다.

바이브이벡터와 벡터 사이의 도트곱은 반대칭이므로 순서가 중요하다는 점에 유의하라. 위와 같이 시공간 분할을 통해 속도와 장을 얻을 수 있어 통상적인 표현을 산출한다.

### 일반 상대성이론에서의 로런츠 힘
일반 상대성이론에서 계량 텐서 g_{ab}와 전자기장 F_{ab}를 가진 공간에서 움직이는 질량 m과 전하 e를 가진 입자의 운동 방정식은 다음과 같이 주어진다.

m\frac{du_c}{ds} - m \frac{1}{2} g_{ab,c} u^a u^b = e F_{cb}u^b ,


여기서 u^a= dx^a/ds (dx^a는 궤적을 따라 취해짐), g_{ab,c} = \partial g_{ab}/\partial x^c, 그리고 ds^2 = g_{ab} dx^a dx^b이다.

이 방정식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

m\frac{du_c}{ds}-m\Gamma_{abc}u^a u^b = eF_{cb}u^b ,

여기서 \Gamma_{abc}는 크리스토펠 기호이며, 또는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

m\frac{Du_c}{ds} = e F_{cb}u^b ,

여기서 D는 일반 상대성이론의 공변 미분이다.

## 양자역학
양자역학에서 입자는 슈뢰딩거 방정식에 의해 지배되는 파동 함수로 설명된다. 이 공식은 힘을 명시적으로 포함하지는 않지만, 해밀턴 역학의 틀을 확장하여 해밀토니언의 퍼텐셜 항을 통해 전자기장과의 상호작용을 통합한다. 질량 m과 전하 q를 가진 비상대론적 입자의 경우 해밀토니언은 다음과 같은 형태를 취한다.
 \hat{H} = \frac{1}{2m} \left[ \hat{\mathbf{p}} - q\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) \right]^2 + q\Phi(\mathbf{r}, t), 
이 식은 로런츠 힘 법칙으로 이어지는 고전적 해밀토니언의 직접적인 일반화이다. 주요 차이점은 양자역학에서 위치 \mathbf r과 운동량 \hat\mathbf p는 서로 가환하지 않는 연산자라는 것이다. 그 결과, 양자 역학은 파동 간섭 및 양자화와 같은 근본적으로 다른 거동을 포함한다.
섬네일|전자가 들어가지 않는 영역에 자기장이 갇혀 있는 아로노프-봄 실험 장치. 그럼에도 불구하고 스크린의 간섭 무늬는 중앙 영역을 통과하는 자기 선속의 영향을 받는다.
전기장과 자기장만이 입자 운동에 영향을 미치는 고전 물리학과 달리, 양자역학에서는 전자기 퍼텐셜 자체가 관측 가능한 효과를 낼 수 있다. 이는 아로노프-봄 효과로 예증되는데, 여기서 하전 입자는 전기장과 자기장이 0인 영역을 통과하지만 접근할 수 없는 영역에 갇힌 자기 선속을 둘러싸고 지나간다. 입자의 경로를 따라 고전적인 로런츠 힘은 0이지만, 스크린에서 관찰되는 간섭 무늬는 둘러싸인 자기 선속에 따라 이동하여 양자역학에서 벡터 퍼텐셜의 물리적 중요성을 드러낸다.

그럼에도 불구하고 고전적인 로런츠 힘 법칙은 양자 역학의 근사치로 나타난다. 에렌페스트 정리에 따르면 운동량 연산자의 기댓값은 고전적인 로런츠 힘 법칙과 유사한 방정식에 따라 진화한다. 아로노프-봄 장치에서도 파동 묶음의 평균 운동은 고전적 궤적을 따른다.

전자와 같은 양자 입자는 또한 고유한 스핀을 가지고 있으며, 이는 고전적인 로런츠 힘에 의해 설명되는 것 이상의 추가적인 전자기 상호작용을 도입한다. 비상대론적 한계에서 이는 파울리 방정식으로 포착되며, 여기에는 다음과 같은 스핀-자기장 결합 항이 포함된다.

\hat{H}_{\text{Pauli}} = \frac{1}{2m} \left[ \hat{\mathbf{p}} - q\mathbf{A} \right]^2 + q\Phi + \frac{q\hbar}{2m} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{B},

여기서 \boldsymbol{\sigma}는 파울리 행렬이다. 이 항은 고전 이론에는 없는 스핀 의존적 힘을 유발한다. 완전한 상대론적 처리는 최소 결합을 통해 스핀과 전자기 상호작용을 통합하고 전자의 자기회전비율과 같은 특징을 정확하게 예측하는 디랙 방정식에 의해 제공된다.

## 응용
많은 실제 응용 분야에서 로런츠 힘만으로는 실제적으로나 근본적인 수준에서 하전 입자의 집단적 거동을 정확하게 설명하기에 불충분하다. 실제 시스템은 스스로 전기장 와 자기장 를 생성하며 상호작용하는 많은 입자를 포함한다. 전류, 흐름 및 플라스마와 같은 이러한 집단적 효과를 설명하려면 볼츠만 운송 방정식, 포커르-플랑크 방정식 또는 나비에-스토크스 방정식과 같은 더 복잡한 방정식이 필요하다. 이러한 모델은 단일 입자 역학을 넘어 입자 상호작용과 자체 일관된 장 생성을 통합하며, 자기 유체 역학, 전기 유체 역학 및 플라스마 물리학 분야뿐만 아니라 천체 물리학 및 초전도 현상의 이해에도 핵심적이다.

로런츠 힘은 다음과 같은 많은 장치에서 발생한다.
* 사이클로트론 및 기타 원형 경로 입자 가속기
* 이온 트랩
* 질량 분석기
* 속도 필터
* 마그네트론
* 로런츠 힘 속도계

도체의 전류에 작용하는 라플라스 힘의 발현으로서, 이 힘은 다음과 같은 많은 장치에서 발생한다.

* 전동기
* 레일건
* 직선형 전동기
* 스피커
* 자기 플라스마 역학 추진기
* 전기 발전기
* 단극 발전기
* 선형 교류발전기

## 같이 보기

* 홀 효과
* 중력 자기
* 휘어진 시공간에서 맥스웰 방정식
* 움직이는 자석과 도체 문제
* 아브라함-로런츠 힘
* 라모 공식
* 사이클로트론 복사
* 자기저항효과
* 스칼라 퍼텐셜
* 헬름홀츠 정리
* 력선
* 쿨롱 법칙
* 전자기 부력

## 내용주
### 비고

### 인용

## 각주
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## 외부 링크

* Lorentz force (demonstration)
* Interactive Java applet on the magnetic deflection of a particle beam in a homogeneous magnetic field  by Wolfgang Bauer

분류:전자기학
분류:물리 현상
분류:맥스웰 방정식
분류:헨드릭 로런츠