근접 대수

순서론에서 **근접 대수**(近接代數, )는 부분 순서 집합에 대하여 정의된, 일반화 뫼비우스 반전 공식이 성립하는 단위 결합 대수이다.

## 정의
**국소 유한 부분 순서 집합**()은 모든 폐구간이 유한집합인 부분 순서 집합이다. 즉, 부분 순서 집합 (P,\le)가 주어지고, 임의의 a,b\in P에 대하여 폐구간
:[a,b]=\{x\in P\colon a\le x\le b\}
가 유한집합이라면, (P,\le)를 국소 유한 부분 순서 집합이라고 한다.

국소 유한 부분 순서 집합 (P,\le)와, (단위원을 갖는) 가환환 R가 주어졌다고 하고, \mathcal C(P)\subset\mathcal P(P)가 P 속의, 공집합이 아닌 폐구간들의 집합이라고 하자. P 위의, R 계수의 **근접 대수** I(P;R)는 \mathcal C(P)\to R 꼴의 함수들의 집합이다.

f\in I(P;R)에 대하여, 편의상 f([a,b])=f(a,b)로 쓰자. 또한, f\in I(P;R)는 일종의 행렬로 생각할 수 있다. 즉, f(a,b)를 (무한할 수 있는) 행렬
:(f)_{a,b}=\begin{cases}
f(a,b)&a\le b\\
0&a\not\le b
\end{cases}
로 생각할 수 있다.

### 점별 덧셈과 곱셈
근접 대수 I(P;R) 위에는 다음과 같은 R-대수 구조 및 합성곱을 정의할 수 있다.
* (덧셈) (f+g)(a,b)=f(a,b)+g(a,b)
* (곱셈) (fg)(a,b)=f(a,b)g(a,b)
덧셈과 곱셈 아래, 근접 대수 ((I(P;R),+,\cdot)는 R-가환 대수를 이룬다. 즉, I(P;R)는 가환환을 이루며, 표준적인 단사 환 준동형
:R\hookrightarrow I(P;R)
:r\mapsto ([a,b]\mapsto r)
이 존재한다. 곱셈에 대한 항등원은 값이 1인 상수 함수
:\zeta\in I(P;R)
:\zeta(a,b)=1\qquad\forall a,b\in P
이며, 이를 **제타 함수**()라고 한다.

근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 덧셈은 행렬의 덧셈, 곱셈은 행렬의 아다마르 곱에 대응한다.

### 합성곱
또한, 근접 대수 I(P;R) 위에는 **합성곱**()이라는 다음과 같은 이항 연산 *이 존재한다.
:(f*g)(a,b)=\sum_{a\le x\le b}f(a,x)g(x,b)
근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 합성곱은 행렬의 곱에 대응한다. 즉,
:(f*g)_{ab}=\sum_xf_{ax}g_{xb}
가 되어 좌변은 행렬의 곱이 된다.

합성곱은 결합 법칙 및 덧셈과의 분배 법칙을 따르지만, 일반적으로 교환 법칙은 따르지 않는다. 합성곱의 항등원은 **[[크로네커 델타|델타 함수]]** \delta\in I(P;R)이다.
:\delta(a,b)=\begin{cases}1&a=b\\0&a\ne b\end{cases}
이는 일종의 단위 행렬이다. 따라서, 합성곱 아래 근접 대수 (I(P;R),+,*)는 R 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

체 계수의 근접 대수의 원소 f\in I(P;R)에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* f는 합성곱 아래 역원을 갖는다.
* 임의의 a\in P에 대하여 f(a,a)\ne0이다.

제타 함수는 합성곱 아래 역원을 가지는데, 이를 **[[뫼비우스 함수]]** \mu\in I(P;R)라고 하며 다음과 같다.
:\mu(a,b)=\begin{cases}
1&a=b\\
-\sum_{a\le x
:\zeta*\mu=\mu*\zeta=\delta

### 함수 위의 작용
국소 유한 부분 순서 집합 P가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
:|\{x\in P\colon a\le x\}|
(P가 최대 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 또한, 가환환 R 및 R-가군 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 근접 대수 (I(P;R),+,*)는 P 위의, M 값을 갖는 함수의 집합 M^P 위에 다음과 같이 작용한다.
:(f*\phi)(a)=\sum_{a\le b}f(a,b)\phi(b)
즉, M^P는 환 (I(P;R),+,*)의 왼쪽 가군을 이룬다.

마찬가지로, 만약 P가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
:|\{x\in P\colon x\le a\}|
(P가 최소 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 또한, 가환환 R 및 R-가군 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 근접 대수 (I(P;R),+,*)는 P 위의, M 값을 갖는 함수의 집합 M^P 위에 다음과 같이 작용한다.
:(f*\phi)(b)=\sum_{a\le b}\phi(a)f(a,b)
즉, M^P는 환 (I(P;R),+,*)의 오른쪽 가군을 이룬다.

만약
:\chi=f*\phi\qquad(\chi,\phi\in M^P,\;f\in I(P;R))
이며, f가 합성곱 아래 역원을 갖는다면
:\phi=f^{-1}*\chi
가 된다. 특히, 만약 f=\zeta일 경우 f^{-1}=\mu이다. 즉, 왼쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.
:\forall a\colon\chi(a)=(\zeta*\phi)(a)=\sum_{a\le b}\phi(b)\iff \forall a\colon\phi(a)=(\mu*\chi)(a)=\sum_{a\le b}\mu(a,b)\chi(b)
마찬가지로, 오른쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.
:\forall a\colon\chi(b)=(\phi*\zeta)(b)=\sum_{a\le b}\phi(a)\iff \forall a\colon\phi(b)=(\chi*\mu)(b)=\sum_{a\le b}\chi(a)\mu(a,b)
이를 **뫼비우스 반전 공식**()이라고 한다. 이는 수론에서의 뫼비우스 반전 공식의 일반화이다.

## 예
대표적인 근접 대수들은 다음과 같다. 아래 예들에서 계수환은 항상 R=\mathbb Z이다.
{| class="wikitable"
|-
! 집합 P !! 부분 순서 a\le b !! 뫼비우스 함수 \mu(a,b) !! 반전 공식
|-
| 양의 정수의 집합 \mathbb Z^+ || a는 b의 약수: a \mid b || \mu(b/a) (\mu(r)는 수론에서의 뫼비우스 함수) || 뫼비우스 반전 공식
|-
| 음이 아닌 정수의 집합 \mathbb N || a\le b || \begin{cases}1&a=b\\-1&a+1=b\\0&a+1 || 유한 차분의 기본 정리 \Delta\mathcal If=f (\Delta f(n)=f(n)-f(n-1)는 유한 차분, \mathcal If(n)=f(0)+f(1)+\cdots+f(n))
|-
| 유한 집합 E의 멱집합 \mathcal P(E) || a\subseteq b || (-1)^ || 포함배제의 원리
|-
| 유한 집합 E의 분할들의 집합 || a가 b보다 더 세밀한 분할 || (-1)^(2!)^{|b|_3}(3!)^{|b|_4}\cdots((n-1)!)^

## 역사
잔카를로 로타가 1964년 정의하였다.

## 참고 문헌

* 
* 

## 외부 링크
* 

분류:대수적 조합론
분류:순서론