틀다발

섬네일
위상수학에서 **틀다발**()은 임의의 벡터 다발에 대응되는, 일반 선형군을 올로 삼는 특별한 주다발이다. 벡터 다발의 틀다발은 원래 벡터 다발의 위상수학적 정보를 담고 있으며, 원래 벡터 다발은 틀다발의 연관 벡터 다발로서 재구성된다.

## 정의
### 틀
n차원 실수 벡터 공간 V 위의 k차 **틀**()은 다음 조건을 만족시키는 미분 동형 사상
:f\colon \mathbb R^n\to V
:f\colon 0\mapsto 0
의 k차 제트 \mathrm j_0^k이다. (그러나 f가 선형 변환일 필요는 없다.) 이제, k차 틀들의 집합을 \operatorname{Frame}_k(V)라고 표기하자. 그 위에는 k차 제트 군 \operatorname{Frame}_k(\mathbb R^k)=\operatorname{Jet}(n,k)의 자연스러운 오른쪽 작용이 존재한다.
:(\mathrm j_0^kf)\cdot(\mathrm j_0^kg)=\mathrm j_0^k(f\circ g)\qquad\forall \mathrm j_0^kf\in\operatorname{Frame}_k(V),\;\mathrm j_0^kg\in\operatorname{Jet}(n,k)

특히, 1차 틀은 단순히 전단사 실수 선형 변환 f\colon\mathbb R^n\to V에 불과하다.

### 틀다발
위상 공간 X 위의 n차원 벡터 다발 \pi\colon E\twoheadrightarrow X이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 x\in X에 대하여 올 E_x는 실수 벡터 공간을 이룬다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.
:\mathrm F^nE=\bigsqcup_{x\in X}\operatorname{Frame}_k(E_x)
이 위에는 제트 군 \operatorname{Jet}(n,k)=\operatorname{Frame}_k(\mathbb R^n)의 오른쪽 작용이 다음과 같이 자연스럽게 존재한다.
:\mathrm j^k_0f\cdot\mathrm j^k_0g=\mathrm j^k_0(f\circ g)\qquad\forall x\in X,\;f\in\operatorname{Frame}_k(E_x),\;g\in\operatorname{Jet}(n,k)

이 위에는 다음과 같이 자연스럽게 위상을 줄 수 있다. 구체적으로, E의 국소 자명화 (U_i,\phi_i)는 부분 집합 U_i\subseteq X 및 위상 동형
:\phi_i\colon \pi^{-1}(U_i)\to U_i\times\mathbb R^k
으로 구성된다. 이에 따라, 전단사 함수
:\bigsqcup_{x\in U_i}\operatorname{Frame}_k(E_x)\to U_i\times\operatorname{Jet}(n,k)
를 정의할 수 있으며, 이를 통해 \textstyle\bigsqcup_{x\in U_i}\operatorname{Frame}_k(E_x)에 위상을 부여할 수 있다. 이러한 위상들은 서로 호환되며, 이들을 짜깁기하여 \mathrm F^nE 전체에 위상을 줄 수 있다.

그렇다면, 자연스러운 사영 함수
:\mathrm F^nE\twoheadrightarrow X
:(\phi\in\in\operatorname{Frame}_k(E_x))\mapsto x
는 X 위의, 올 \operatorname{Jet}(n,k)의 올다발을 이룬다. 또한, \operatorname{Jet}(n,k)의 오른쪽 작용을 통하여 이는 \operatorname{Jet}(n,k)-주다발을 이룬다. 이를 E의 k차 **틀다발**(k次-, )이라고 한다.

흔히, 만약 k가 생략되었다면 1차 틀다발 \mathrm FE=\mathrm F^1E를 뜻한다.

## 군 구조를 갖춘 다양체 위의 틀다발
### 직교 틀다발
다양체 M 위의 k차원 벡터 다발 \pi\colon E\twoheadrightarrow X이 주어졌다고 하고, 또 그 위에 부호수 (p,q) (p+q=k)의 내적 g가 주어졌다고 하자. 즉, 어떤 단면
:g\in\Gamma(\operatorname{Sym}^2E^*)
가 주어졌으며, 임의의 x\in M에 대하여 g_x는 E_x 위의, 부호수 (p,q)의 비퇴화 이차 형식을 이룬다고 하자.

이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.
:\mathrm F_{\operatorname o}E=\bigsqcup_{x\in X}\operatorname{Hilb}(\mathbb R^{(p,q)};E_x,g_x)
여기서,
* \mathbb R^{p,q}는 부호수 (p,q)의 민코프스키 공간이다. 즉, 실수 벡터 공간 \mathbb R^k 위에 이차 형식 x_1^2+x_2^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_k^2을 부여한 것이다.
* \operatorname{Hilb}(-;-)는 유니터리 변환(즉, 이차 형식을 보존하는 선형 변환)들의 집합이다.

이 경우, 위와 마찬가지로 자연스럽게 직교군 \operatorname{O}(p,q;\mathbb R)의 오른쪽 작용이 존재하며, 또한 자연스럽게 위상을 부여하여 \operatorname{O}(p,q;\mathbb R)-주다발로 만들 수 있다. 이를 **직교 틀다발**(直交-, )이라고 한다.

위와 비슷하게, 적절한 가향성 가정 아래, \operatorname O(p,q) 대신 특수 직교군 \operatorname{SO}(p,q)를 사용하여, \operatorname{SO}(p,q)-주다발인 **특수 직교 틀다발**(特殊直交-, ) \mathrm F_{\operatorname{SO}}E을 정의할 수 있다.

### 복소수 틀다발
위와 마찬가지로, 복소구조가 주어진 2n차원 벡터 다발 E의 경우, **복소수 틀다발**() \mathrm F_{\mathbb C}E을 정의할 수 있다. 이는 올이 복소수 일반 선형군 \operatorname{GL}(n;\mathbb C)인 주다발이다.

또한, 추가로 에르미트 구조가 주어졌다면, 마찬가지로 **유니터리 틀다발**() \mathrm F_{\operatorname U}E을 정의할 수 있으며, 그 올은 \operatorname U(n)이다.

## 성질
### 포함 관계
부호수 (p,q)의 내적이 주어진 벡터 다발 E를 생각하자. 군의 포함 관계 \operatorname O(p,q;\mathbb R)\subseteq\operatorname{GL}(p+q;\mathbb R)에 따라, 자연스러운 포함 관계 \mathrm F_{\operatorname O}E\subseteq \mathrm FE가 존재한다.

### 연관 다발과의 관계
k차원 다양체 M의 접다발 \mathrm TM의 틀다발 \mathrm{FT}M을 생각하자. 이 주다발의, \operatorname{GL}(k;\mathbb R)의 벡터 표현을 사용한 연관 벡터 다발은 접다발 \mathrm TM이다. 즉, 틀다발과 연관 다발은 서로 일종의 역을 이룬다.

마찬가지로, (p,q)차원 일반화 리만 다양체 (M,g)의 직교 틀다발 \mathrm F_{\operatorname O}\mathrm TM을 생각하자. 이 주다발의, \operatorname{O}(p,q;\mathbb R)의 벡터 표현을 사용한 연관 벡터 다발은 접다발 \mathrm TM이다.

### 함자성
국소 미분 동형 사상 \phi\colon M\to N이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 매끄러운 주다발 사상이 존재한다.
:\mathrm F^k\phi\colon\mathrm F^kM\to\mathrm F^kN
:\mathrm F^k\phi\colon (x,\mathrm j^k_0f)\to\left(\phi(x),\mathrm j^k_0(\mathrm T_x\phi\circ f)\right)
\qquad(x\in M,\;f\colon\mathbb R^{\dim M}\to\mathrm T_xM)
이에 따라, \mathrm F^k는 n차원 매끄러운 다양체와 국소 미분 동형 사상들의 범주에서, \operatorname{Jet}(n,k)-매끄러운 주다발을 갖춘 n차원 매끄러운 다양체와 매끄러운 주다발 사상들의 범주로 가는 함자를 이룬다.

### 접속
일반화 리만 다양체 (M,g)의 직교 틀다발 \mathrm F_{\operatorname O}\mathrm TM의 주접속 \omega가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 군 표현 \operatorname{O}(p,q;\mathbb R)\to\mathrm T_xM\otimes\mathrm T_x^*M으로부터 다음과 같은 선형 사상을 정의할 수 있다.
:\kappa\colon\mathfrak o(p,q;\mathbb R)\otimes\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)\to\Gamma(\mathrm TM\otimes\mathrm T^*M)
이에 따라, 틀다발의 주접속 \omega로부터 접다발의 코쥘 접속 \nabla\colon\Gamma(\mathrm TM)\to\Gamma(\mathrm TM\otimes\mathrm T^*M)을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:\kappa(\omega(X))=\nabla X
이와 같이 정의한 접다발의 코쥘 접속의 리만 곡률은 틀다발의 주접속의 곡률과 같은 정보를 담고 있다 (이 둘 사이는 \kappa 등으로 바꿀 수 있다).

반대로, 일반화 리만 다양체의 접다발에는 이미 또하나의 코쥘 접속 (레비치비타 접속)이 정의되어 있다. 따라서 레비치비타 접속으로부터 그 틀다발에 주접속을 정의할 수 있는데, 이를 **[[스핀 접속]]**이라고 한다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:벡터 다발