단면 곡률

리만 기하학에서 **단면 곡률**(斷面曲率, )은 특정한 접평면에 대한 방향으로 리만 다양체가 굽는 양을 나타내는 실수이다. 단면 곡률에 상한 또는 하한을 가하면, 리만 다양체의 다양한 미분기하학·미분위상수학적 정보를 유추할 수 있다.

## 정의
리만 다양체 (M,g) 위의 점 x\in M 및 접공간 T_xM의 2차원 부분 벡터 공간 \sigma\subset T_xM이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의로 기저
:\sigma=\operatorname{Span}\{u,v\}
를 고르자. 접벡터 u,v\in T_xM에 대하여, \sigma 방향의 **단면 곡률** \operatorname{sect}(\sigma)는 다음과 같다.
:\operatorname{sect}(\sigma)=\operatorname{sect}(u,v)=\frac{g(\operatorname{Riem}(u,v),u)}{g(u,u)g(v,v)-g(u,v)^2}
여기서 \operatorname{Riem}은 리만 곡률 텐서이다. \operatorname{sect}(\sigma)는 \sigma의 기저 (u,v) 및 방향에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

리만 다양체 (M,g) 위에, 2-그라스만 다발 \operatorname{Gr}(2,TM)을 정의할 수 있다. 즉, 2-그라스만 다발의 x\in M에서의 올은 그라스만 다양체 \operatorname{Gr}(2,T_xM)이다. 이 경우, 단면 곡률
:K\colon\operatorname{Gr}(2,TM)\to\mathbb R
은 2-그라스만 다발의 전체 공간 위의 실수 값 매끄러운 함수를 이룬다.

## 성질
리만 다양체 (M,g) 및 양의 실수 \lambda가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리만 계량 \tilde g=\lambda^2g에 대하여, (M,\tilde g)의 \sigma\in\operatorname{Gr}(2,T_xM)에서의 단면 곡률 \operatorname{sect}_{\tilde g}는 다음과 같다.
:\operatorname{sect}_{\tilde g}(\sigma)=\lambda^{-2}\operatorname{sect}_g(\sigma)
즉, 단면 곡률의 단위는 리만 곡률과 마찬가지로 [길이]&minus;2이다.

### 공간 형식
모든 단면 곡률이 일정한 완비 리만 다양체는 **공간 형식**(空間形式, )이라고 한다.

모든 연결 단일 연결 공간 형식은 다음 세 가지 가운데 하나이다.
* 쌍곡 공간 (\operatorname{sect})
* 초구 (\operatorname{sect}>0)
* 유클리드 공간 (\operatorname{sect}=0)
다시 말해, 모든 공간 형식은 쌍곡 공간 · 초구 · 유클리드 공간의 몫공간들의 분리합집합이다.

**슈어 보조정리**()에 따르면, 2차원이 아닌 리만 다양체에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 공간 형식이다.
* 임의의 점 x\in M 및 임의의 \sigma\in\operatorname{Gr}(2,T_xM)에 대하여 \operatorname{sect}(\sigma)=f(x)가 되는 함수 f\colon M\to\mathbb R가 존재한다.

그러나 이는 2차원에서 성립하지 않는다. 2차원 이하에서 두 번째 조건은 자명하게 성립하지만, 공간 형식이 아닌 2차원 완비 리만 다양체가 존재한다. (1차원에서 이 정리는 자명하게 성립한다.)

슈어 보조정리의 증명은 다음과 같다. 편의상 지표 표기법을 사용하자. 두 번째 조건이 성립한다고 하면,
:R_{ijkl}=f(x)(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})
가 된다. 그런데 이 경우 제2 비안키 항등식은 다음과 같이 된다.
:0=R_{ijkl;m}+R_{ijlm;k}+R_{ijmk;l}\propto f_{;n}(\cdots)_{ijklm}{}^n
괄호 (\cdots)에 속한 성분은 리만 계량 g_{ij}으로 구성되며, \dim M\ge3일 경우 항상 0이 아니다. 따라서 f_{;n}=0이다.

### 단면 곡률이 하한을 갖는 다양체
완비 리만 다양체 M 위의, 측지선으로 구성된, 꼭짓점이 x,y,z\in M인 삼각형 \triangle xyz를 생각하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
* M의 모든 단면 곡률이 하한 K\ge\delta를 만족시킨다.
* \overline{xy}는 x,y 사이의 최단 측지선이다.
* 만약 \delta>0일 경우, \overline{xy}의 길이 d_M(x,y)는 \pi/\sqrt\delta 미만이다.
M'이 단면 곡률이 \delta인 부피 형식이라고 하고, \triangle x'y'z'이 M' 속의 측지선으로 구성된 삼각형이라고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자. (이는 삼각형의 SAS 합동 조건이다.)
* d_{M'}(x',y')=d_M(x,y)
* d_{M'}(x',z')=d_M(x,z)
* \angle zxy=\langle z'x'y'
그렇다면, **토포고노프 정리**()에 따르면 다음이 성립한다.
:d(y,z)\le d(y',z')

**그로우에-피터슨 유한성 정리**()에 따르면, 임의의 차원 n, 실수 C\in\mathbb R 및 D,V\in\mathbb R^+에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 리만 다양체들의 호모토피 유형들의 수는 유한하다.
* 단면 곡률이 \operatorname{sect}\ge C이다.
* 지름이 D 이하이다.
* 부피가 V 이상이다.
이는 카르스텐 그로우에()와 피터 피터슨()이 증명하였다.

### 단면 곡률이 유계인 다양체
**치거 유한성 정리**()에 따르면, 임의의 자연수 n 및 상수 C,D,V\in\mathbb R^+에 대하여, 콤팩트 n차원 리만 다양체 가운데
* 단면 곡률이 어디서나 -C\le \operatorname{sect}\le C
* 지름이 D 이하
* 부피가 V 이상
인 것들의 미분 동형류의 수는 유한하다.

매끄러운 다양체 M이 임의의 양의 실수 \epsilon에 대하여 다음 조건을 만족시키는 리만 계량 g_\epsilon을 갖는다면, M을 **거의 평탄 다양체**()라고 한다.
* 모든 단면 곡률이 -\epsilon이다.
* 지름이 1 이하이다.
**그로모프 거의 평탄 다양체 정리**()에 따르면, 임의의 차원 n에 대하여 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 \epsilon_n\in\mathbb R^+가 존재한다.
* 임의의 n차원 리만 다양체 M에 대하여, 만약 M의 모든 단면 곡률이 -\epsilon_n\le\operatorname{sect}\le \epsilon_n이라면, M은 거의 평탄 다양체이다.
**그로모프-루 정리**()에 따르면, 임의의 리만 다양체에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 거의 평탄 다양체이다.
* M\cong N/\Gamma인 리 군 N 및 이산군 \Gamma가 존재하며, 이는 다음 조건들을 만족시킨다.
** N은 단일 연결 멱영 리 군이다.
** F\le\operatorname{Aut}(N)은 유한군이다.
** \Gamma\le N\rtimes F는 이산군이며, N 위에 자유롭게 작용한다.
특히, 어떤 영다양체() \tilde M에 의한 유한 겹 피복 공간 \tilde M\twoheadrightarrow M이 존재한다.

연결 단일 연결 완비 리만 다양체 M이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* M의 모든 단면 곡률은 1를 만족시킨다.
그렇다면, **초구 정리**(超球定理, )에 따르면 M은 같은 차원의 초구와 미분 동형이다. (미분 동형인 것을 증명하는 것은 위상 동형인 것을 증명하는 것보다 더 어렵다.) 초구 정리는 구간을 (1,4]에서 [1,4]로 약화시키면 성립하지 않는다. 예를 들어, 푸비니-슈투디 계량을 준 복소수 사영 공간의 단면 곡률은 1\le\operatorname{sect}\le 4이지만, 초구와 미분 동형을 갖지 않는다.

### 단면 곡률이 0 이하인 다양체
**카르탕-아다마르 정리**()에 따르면, 다음이 성립한다. 연결 단일 연결 완비 리만 다양체 M의 모든 단면 곡률이 K\le0이라면, M은 유클리드 공간과 미분 동형이다. 따라서, 단면 곡률이 0 이하인 완비 리만 다양체의 구조는 그 기본군에 의하여 완전히 결정되며, 이러한 다양체의 기본군에 대해서는 **프라이스만 정리**()라는 정리가 존재한다.

콤팩트 리만 다양체 M의 모든 단면 곡률이 \operatorname{sect}이라면, M 위의 측지선 흐름은 에르고딕하다. (물론, 원환면의 경우 \operatorname{sect}=0이지만 이는 성립하지 않는다.)

모든 단면 곡률이 \operatorname{sect}\le\kappa가 되는 완비 리만 다양체 M은 CAT(''κ'') 공간을 이룬다. 특히, 만약 \operatorname{sect}\le\kappa이라면, 그 기본군 \pi_1(M)은 그로모프 쌍곡군()을 이룬다.

### 단면 곡률이 0 초과인 비콤팩트 다양체

연결 비콤팩트 완비 리만 다양체 M의 단면 곡률이 모든 곳에서 0 이상이라고 하자. **영혼 정리**(靈魂定理, )에 따르면, 다음 조건을 만족시키는 부분 다양체 S\subset M가 존재한다.
* S는 콤팩트 공간이다.
* (완전 측지성 ) S 속의 모든 측지선은 M 속의 측지선을 이룬다.
* (완전 볼록성 ) 임의의 x,y\in S에 대하여, x와 y를 잇는 모든 측지선은 S에 속한다.
* M은 S의 법다발의 전체 공간과 미분 동형이다.
이러한 S를 M의 **영혼**(靈魂, )이라고 한다.

따라서, 양의 단면 곡률의 완비 리만 다양체의 분류는 콤팩트한 경우의 분류로 귀결된다.

또한, **영혼 추측**()에 따르면, 연결 비콤팩트 완비 리만 다양체 M의 단면 곡률이 모든 곳에서 0 이상이며, 또한 모든 방향으로의 단면 곡률이 양수인 점 x\in M이 존재한다면,  M의 영혼은 한원소 공간이다. 즉, M은 유클리드 공간과 미분 동형이다. (이름과 달리, 이는 현재 증명된 정리이다.)

### 단면 곡률이 0 초과인 콤팩트 다양체
단면 곡률이 어디서나 0 초과인 n차원 연결 콤팩트 리만 다양체 M에 대하여, 다음이 성립한다.
* (싱 정리 ) M은 홀수 차원 가향 다양체이거나, 짝수 차원 단일 연결 가향 다양체이거나, 기본군이 2차 순환군 \operatorname{Cyc}(2)인 짝수 차원 비가향 다양체이다.
* (마이어스 정리 ) 만약 M의 단면 곡률의 최솟값이 \kappa라면, \operatorname{diam}M\le \pi/\sqrt{\kappa/(n-1)}이다.
**그로모프 베티 수 정리**()에 따르면, 임의의 차원 n에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 C(n)\in\mathbb Z^+가 존재한다.
* 단면 곡률이 어디서나 0 초과인 임의의 연결 콤팩트 n차원 다양체 M에 대하여, M의 베티 수들의 합은 C(n) 이하이다.
*:\sum_{i=0}^nb_n(M)\le C(n)

이러한 다양체의 알려진 예는 드물다.

## 역사
### 19세기
슈어 보조정리는 독일의 수학자 프리드리히 하인리히 슈어(, 1856~1932)가 증명하였다.

카르탕-아다마르 정리는 한스 카를 프리드리히 폰 망골트(, 1854~1925)가 곡면에 대하여 1881년에 증명하였고, 1898년에 자크 아다마르가 같은 정리를 독자적으로 증명하였다. 이후 엘리 카르탕이 1928년에 이를 임의의 차원의 리만 다양체에 대하여 일반화하였다.

### 20세기 초
싱 정리는 아일랜드의 수학자 존 라이턴 싱(, , 1897~1995)이 1936년에 증명하였다.

마이어스 정리는 미국의 수학자 섬너 바이런 마이어스(, 1910~1955)가 1941년에 증명하였다.

### 20세기 후반 ~ 21세기
토포고노프 정리는 러시아의 수학자 빅토르 안드레예비치 토포노고프(, 1930~2004)가 증명하였다.

영혼 정리는 1972년에 제프 치거와 데틀레프 그로몰()이 증명하였으며, 같은 논문에서 영혼 추측을 추측하였다. 그리고리 페렐만은 1994년에 영혼 추측을 13쪽 밖에 되지 않는 짧은 논문으로 간단히 증명하였다.

미분 동형에 대한 초구 정리는 2007년에 지몬 브렌들레()와 리처드 숀()이 증명하였다.

## 같이 보기
* 리만 곡률 텐서
* 리치 곡률 텐서
* 스칼라 곡률

## 각주

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## 외부 링크
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분류:리만 기하학