분해 불가능 대상

범주론에서 **분해 불가능 대상**(分解不可能對象, )은 더 작은 대상들의 쌍대곱으로 나타낼 수 없는 대상이다.

## 정의
시작 대상 0\in\mathcal C 및 모든 쌍대곱을 갖는 범주 \mathcal C의 대상 X가 다음 조건을 만족시킨다면, **분해 불가능 대상**()이라고 한다.
* 임의의 대상들의 집합 \{X_i\}_{i\in I} 및 동형 \coprod_{i\in I}X_i\colon X에 대하여, X\cong X_{i_0}이며 X_i\cong0\forall i\in I\setminus\{i_0\}가 되는 i_0\in I가 유일하게 존재한다.
여기서 \textstyle\coprod는 쌍대곱을 뜻한다.

마찬가지로, 끝 대상 1\in\mathcal C 및 모든 곱을 갖는 범주 \mathcal C의 대상 X가 다음 조건을 만족시킨다면, **쌍대 분해 불가능 대상**()이라고 한다.
* 임의의 대상들의 집합 \{X_i\}_{i\in I} 및 동형 \prod_{i\in I}X_i\colon X에 대하여, X\cong X_{i_0}이며 X_i\cong1\forall i\in I\setminus\{i_0\}가 되는 i_0\in I가 유일하게 존재한다.
여기서 \textstyle\prod는 곱을 뜻한다.

## 예
### 집합
집합과 함수의 범주 \operatorname{Set}에서, 분해 불가능 대상은 한원소 집합이다.

### 준층
작은 범주 \mathcal C가 주어졌을 때, 준층 범주 \operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}} 속의 대상 \mathcal F에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 분해 불가능 대상이며, 사영 대상이다.
* \mathcal F에서 어떤 표현 가능 준층 \hom_{\mathcal C}(-,X)으로 가는 분할 단사 사상 \mathcal F\to\hom_{\mathcal C}(-,X)이 존재한다.

### 가군
환 R가 주어졌을 때, **분해 불가능 왼쪽 가군**()은 R-왼쪽 가군 범주 _R\operatorname{Mod}의 분해 불가능 대상이다. (오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.) 즉, M=M'\oplus M*</math>와 같은 꼴로 분해할 수 없는 [[가군]]을 뜻한다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 분해 불가능 가군이다.
* [[영가군]]이 아니며, [[자기 사상환]] <math>\operatorname{End}(_RM,_RM)</math>의 모든 [[멱등원]]은 0 또는 1이다.
이는 만약 [[자기 사상환]] <math>\operatorname{End}(_RM,_RM)</math>의 멱등원 <math>f\colon M\to M</math>이 주어졌을 때, <math>M=\ker f\oplus\operatorname{im}f</math>가 되기 때문이다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 유한한 [[가군의 길이|길이]]를 갖는다.
* [[뇌터 가군]]이자 [[아르틴 가군]]이다.
* [[합성열]]을 갖는다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>이 유한한 [[가군의 길이|길이]]를 갖는다면, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 분해 불가능 가군이다.
* [[영가군]]이 아니며, [[자기 사상환]] <math>\operatorname{End}(_RM,_RM)</math>은 [[국소환]]이다.
* (*'피팅 보조정리**, ) 모든 [[자기 사상]]은 [[자기 동형 사상]]이거나 멱영 함수이다.
이는 [[자기 사상]] <math>f\colon M\to M</math>이 주어졌을 때, 충분히 큰 <math>k\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>M=\ker f^k\oplus\operatorname{im}f^k</math>임을 보여 증명할 수 있다.

[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[가군]](=[[벡터 공간]])의 경우, 분해 불가능 벡터 공간은 1차원 벡터 공간과 [[동치]]이다.

모든 왼쪽 [[아르틴 가군]]은 유한 개의 분해 불가능 [[왼쪽 가군]]들의 [[직합]]과 [[동형]]이다. **크룰-슈미트 정리**()에 따르면, [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>이 유한한 [[가군의 길이|길이]]를 갖는다면, <math>M</math>을 유한 개의 분해 불가능 [[왼쪽 가군]]의 [[직합]]으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 <math>M</math>이 유한 개의 분해 불가능 [[왼쪽 가군]]의 [[직합]] <math>M_1\oplus\cdots\oplus M_r</math> 및 <math>N_1\oplus\cdots\oplus N_s</math>와 [[동형]]이라면, <math>r=s</math>이며, <math>M_i\cong N_{j(i)}\forall i\in\{1,\dots,r\}</math>인 <math>j\in\operatorname{Sym}(r)</math>가 존재한다.

모든 [[단순 가군]]은 분해 불가능 가군이다. 그러나 [[단순 가군]]이 아닌 분해 불가능 가군이 존재한다.

=== 군 ===
[[군 (수학)|군]]에 대하여 가군과 유사한 결과들이 존재한다.

[[군 (수학)|군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 쌍대 분해 불가능 군이다. 즉, [[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>의 쌍대 분해 불가능 대상이다. 즉, 만약 <math>G\cong H\times K</math>라면, <math>H=1</math>과 <math>K=1</math> 가운데 정확히 하나가 성립한다.
* 모든 [[내부 자기 동형 사상]]과 가환하는, [[자기 사상 모노이드]] <math>\operatorname{End}(G)</math>의 [[멱등원]]은 0 또는 1이다. (여기서 0은 모든 원소를 군의 [[항등원]]으로 대응시키는 [[자기 사상]] <math>g\mapsto 1</math>이다.)

[[군 (수학)|군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[정규 부분군]]의 (포함 관계에 대한) [[부분 순서 집합]]이 [[오름 사슬 조건]] 및 [[내림 사슬 조건]]을 만족한다.
* [[주합성열]]을 갖는다.

[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 [[정규 부분군]]의 (포함 관계에 대한) [[부분 순서 집합]]이 [[오름 사슬 조건]] 및 [[내림 사슬 조건]]을 만족시킨다면, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 쌍대 분해 불가능 군이다.
* [[자명군]]이 아니며, 임의의 두 [[자기 사상]] <math>\phi,\psi\in\operatorname{End}(G)</math>에 대하여, 만약 <math>\phi</math>와 <math>\psi</math>가 모든 [[내부 자기 동형 사상]]과 가환하며, <math>\phi(G)</math>의 원소와 <math>\psi(G)</math>의 원소가 가환하며, <math>\phi</math>와 <math>\psi</math>가 [[자기 동형 사상]]이 아니라면, [[자기 사상]] <math>\phi+\psi\colon g\mapsto\phi(g)\psi(g)</math> 역시 [[자기 동형 사상]]이 아니다.
* (**피팅 보조정리**, ) 모든 [[내부 자기 동형 사상]]과 가환하는 모든 [[자기 사상]]은 [[자기 동형 사상]]이거나 멱영 함수이다. (여기서 멱영 함수는 충분히 거듭 합성하면 0이 되는 함수를 뜻한다.)

[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 [[정규 부분군]]의 (포함 관계에 대한) [[부분 순서 집합]]이 [[내림 사슬 조건]]을 만족시킨다면, <math>G</math>는 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군의 [[직접곱]]과 [[동형]]이다. **크룰-슈미트 정리'''()에 따르면, 군 G의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, G를 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 G가 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱 G_1\times\cdots\times G_r 및 H_1\times\cdots\times H_s와 동형이라면, r=s이며, G_i\cong H_{j(i)}\forall i\in\{1,\dots,r\}인 j\in\operatorname{Sym}(r)가 존재한다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:범주론
분류:가군론
분류:군론