입방체 범주

호모토피 이론에서 **입방체 범주**(立方體範疇, )는 각 차원의 초입방체를 대상으로 하는 작은 범주이다.  단체 범주와 유사하지만, 단체 대신 초입방체를 사용한다. 입방체 범주의 반대 범주를 정의역으로 하는 함자를 **입방체 대상**(立方體對象, )이라고 한다. 이는 다양한 차원의 초입방체들을 짜깁기하여 얻는 일종의 “공간”으로 여겨질 수 있으며, 특히, 집합의 범주 속의 입방체 대상을 **입방체 집합**(立方體集合,  )이라고 한다.

## 정의
**입방체 범주** \square는 다음과 같이 여러 방법으로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다.
* 입방체 범주는 구체적으로 초입방체들을 대상으로 하며, 그 사이의 특정 연속 함수를 사상으로 하는 범주로서 정의될 수 있다.
* 입방체 범주는 추상적으로 특별한 사상들로 생성되는 모노이드 범주로서 정의될 수 있다.

범주 \mathcal C 위의 **입방체 대상**은 함자
:\square^{\operatorname{op}} \to \mathcal C
를 뜻한다. \mathcal C 속의 입방체 대상의 범주를 \operatorname c(\mathcal C)로 표기하자.

**입방체 집합**은 집합과 함수의 범주 \operatorname{Set} 위의 입방체 대상이다. 즉, 입방체 범주 \square 위의 (집합 값의) 준층이다.
:\operatorname{PSh}(\square)=\hom_{\operatorname{Cat}}(\square^{\operatorname{op}},\operatorname{Set})
입방체 집합의 범주 \operatorname c(\operatorname{Set})은 물론 그로텐디크 토포스를 이룬다.

### 구체적 정의
**입방체 범주** \square의 대상들은 자연수(음이 아닌 정수) n이다. 이는 n차원 초입방체 \mathbb I^n에 해당한다.

이 사이의 사상들은 다음과 같은 기초적 사상들의 합성이다.
* 각 \sigma\in\{0,1\} 및 i\in\{0,1,\dotsc,n\}에 대하여, \delta_i^\sigma\colon\mathbb I^n\to\mathbb I^{n+1}. 이는 초입방체의 i번째 축에 수직인 두 면 가운데 하나를 취하는 것이며, 어떤 면을 취하는 것인지는 \sigma에 의하여 결정된다. 즉, 이는 대략 다음과 같은 함수로 생각할 수 있다.
*:(t_0,t_1,\dotsc,t_{n-1})\mapsto (t_0,t_1,\dotsc,t_{i-1},\sigma,t_i,t_{n-1})
* 각 i\in\{0,1,\dotsc,n\}에 대하여, \epsilon_i\colon\mathbb I^n\to\mathbb I^{n-1}. 이는 n차원 초입방체를 두께가 0인 n+1차원 초입방체로 여기는 것이다. 즉, 이는 대략 다음과 같은 함수로 생각할 수 있다.
*:(t_0,t_1,\dotsc,t_{n-1})\mapsto(t_0,t_1,\dotsc,t_{i-1},t_{i+1},\dotsc,t_{n-1})
이는 다음을 만족시킨다.
:\epsilon_i\circ\delta_i^\sigma=\operatorname{id}_{\mathbb I^n}\qquad(i\in\{0,1,\dotsc,n\},\;\sigma\in\{0,1\})
모든 사상들은 이와 같은 유한 개의 기초적 사상들의 합성이다. (특히, 0개의 기초적 사상의 합성은 항등 사상이다.)

### 추상적 정의
우선, 다음과 같은 범주 \square_{\le1}를 생각하자.
* \square_{\le1}의 대상은 1과 \mathbb I 두 개이다.
* \hom_{\square_{\le1}}(1,\mathbb I)=\{\iota_0,\iota_1\}이며, \hom_{\square_{\le1}}(\mathbb I,1)=\{\pi\}이며, \hom_{\square_{\le1}}(\mathbb I,\mathbb I)=\{\iota_0\circ\pi,\pi\circ\iota_1,\operatorname{id}_{\mathbb I}\}이다.
* 사상의 합성은 다음과 같다.
*:\pi\circ\iota_0=\pi\circ\iota_1=\operatorname{id}_1
이 범주에서 끝 대상은 1이며, 시작 대상은 존재하지 않는다.

이제, \square_{\le1}로 생성되며, 1을 항등원으로 갖는 엄격한() 모노이드 범주 (\square,\times,1)를 **입방체 범주** \square라고 한다. 즉, 그 대상들은 \mathbb I^n=\mathbb I\times\mathbb I\times\dotsb\times\mathbb I이며, 그 사상들은 모노이드 범주의 정의 및 \square_{\le1}으로 유도된다.

## 성질
### 기하학적 실현
단체 집합과 마찬가지로, **기하학적 실현 [[함자 (수학)|함자]]**()
:|-|\colon\operatorname{cSet}\to\operatorname{Top}
및 **특이 입방체 복합체 함자**()
:\operatorname{Sing}\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{cSet}
가 존재하며, 이들은 수반 함자를 이룬다.
:|-|\dashv\operatorname{Sing}

### 호몰로지
단체 집합의 단체 호몰로지와 마찬가지로, 입방체 집합 위에는 **입방체 호몰로지**()를 정의할 수 있다. 이는 삼각 분할의 단체 호몰로지 및 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 일치한다.

구체적으로, 아벨 범주 \mathcal A 속의 입방체 대상 X_\bullet \colon \square^{\operatorname{op}} \to \mathcal A가 주어졌을 때, 다음과 같은 사슬 복합체를 정의할 수 있다.
:\operatorname C_n(X) = X_n
:\partial_n \colon\operatorname C_n(X) \to \operatorname C_{n-1}(X)
:\partial_n = \sum_{i=0}^n
\left(\overbrace{\operatorname{id}_1 \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_1}^i \otimes \iota_0 \otimes \overbrace{\operatorname{id}_1 \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_1 \otimes}^{n-i-1}\right)^{\operatorname{op}}
-
\left(\overbrace{\operatorname{id}_1 \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_1}^i \otimes \iota_1 \otimes \overbrace{\operatorname{id}_1 \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_1 \otimes}^{n-i-1}\right)^{\operatorname{op}}

(이 사슬 복합체는 단체 대상의 무어 사슬 복합체와 유사하다.)

그렇다면, 이 사슬 복합체의 호몰로지를 X_\bullet의 **입방체 호몰로지**라고 한다. 입방체 집합 X_\bullet의 입방체 호몰로지는 각 성분별 자유 아벨 군으로 정의되는 입방체 아벨 군
:\mathbb Z[X_\bullet] \in\operatorname c(\operatorname{Mod}_{\mathbb Z})
의 입방체 호몰로지이다.

### 삼각 분할
마찬가지로, n차원 입방체를 n차원 단체들로 분할하는 **삼각 분할 함자**()
:\operatorname{Tri}\colon\square\to\operatorname{sSet}
:\operatorname{Tri}\colon\mathbb I^n\to (\triangle^1)^{\times n}
가 존재한다. (여기서 \operatorname{sSet}은 단체 집합의 범주이다.)

이로부터, 임의의 입방체 집합을 단체 집합에 대응시키는 삼각 분할 함자
:\operatorname{cSet}\to\operatorname{sSet}
가 존재한다.

### 모형 범주 구조
입방체 집합의 범주 위에는 표준적인 모형 범주 구조가 존재하며, 이에 따라 그 호모토피 범주는 위상 공간의 (퀼런) 호모토피 범주 \operatorname{hTop} 및 단체 집합의 호모토피 범주와 동치이다.

## 참고 문헌
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## 외부 링크
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분류:호모토피 이론
분류:범주론