풍부한 가역층

대수기하학에서 **풍부한 가역층**(豐富한可逆層, )은 그 거듭제곱의 단면들을 사영 공간의 동차 좌표로 간주하여 대수다양체를 사영 공간에 매장시킬 수 있는 가역층이다. 복소수체 위에서, 이는 가역층의 천 특성류가 켈러 구조로 표현됨을 뜻한다.

## 정의
### 매우 풍부한 가역층
스킴 사상 q\colon X\to Y 및 X 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는
* Y 위의 준연접층 \mathcal E
* Y-스킴의 몰입 \iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P(\mathcal E)
가 존재한다면, \mathcal L이 **<math>q</math>에 대하여 매우 풍부한 가역층**(, )이라고 한다.
:\mathcal L\cong\iota^*\mathcal O_{\mathbb P(\mathcal E)}(1)
\mathcal O_{\mathbb P(\mathcal E)}(1)의 단면들은 대략 사영 공간의 동차좌표(의 선형결합)에 해당하므로, L의 단면들은 사영 공간의 동차좌표를 이룬다.
**매우 풍부한 인자**()는 매우 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

로빈 하츠혼과 류칭이 사용하는 “매우 풍부한 가역층”의 정의는 알렉산더 그로텐디크의 정의와 약간 다르며, 이를 편의상 **H-매우 풍부한 가역층**이라고 하자. 이 정의는 다음과 같다.

스킴 사상 q\colon X\to Y 및 X 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌다고 하자. 만약 어떤 (충분히 큰) 양의 정수 n\in\mathbb Z^+에 대하여 Y-스킴의 몰입
:\iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P_Y^n
이 존재한다면, \mathcal L이 **<math>q</math>에 대하여 H-매우 풍부한 가역층**이라고 한다.

즉, H-매우 풍부한 가역층의 정의에서 준연접층 \mathcal E는 자명한 (뒤틀리지 않은) (준)연접층, 즉 사영 공간 \mathbb P_Y^n의 꼴이어야 한다. 모든 H-매우 풍부한 가역층은 매우 풍부한 가역층이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

### 풍부한 가역층
콤팩트 분리 스킴 (X,\mathcal O_X) 위의 가역층 \mathcal L이 다음 조건을 만족시킨다면, **풍부한 가역층**(, )이라고 한다.
* X 위의 임의의 유한형 준연접층 \mathcal F에 대하여, 충분히 큰 양의 정수 n에 대하여, \mathcal F\otimes\mathcal L^{\otimes n}은 대역적 단면으로부터 생성된다.
* X 위의 임의의 유한형 준연접층 \mathcal F에 대하여, \mathcal F가 \mathcal L^{\otimes(-n)}\otimes\mathcal O_X^{\oplus k}의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 n,k\in\mathbb Z^+가 존재한다.
* X 위의 유한형 준연접 아이디얼 층 \mathcal I에 대하여, \mathcal I가 \mathcal L^{\otimes(-n)}\otimes\mathcal O_X^{\oplus k}의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 n,k\in\mathbb Z^+가 존재한다.
**풍부한 인자**(豊富한因子, )는 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

풍부한 가역층의 개념은 매우 풍부한 가역층의 개념과 달리 절대적인 조건이다. 즉, 스킴의 사상 대신, 스킴 자체에 대하여 정의된다.

### 대역적 단면으로 생성되는 층
국소환 달린 공간 X 위의 아벨 군 층 \mathcal F가 다음 조건을 만족시킨다면, **대역적 단면으로 생성되는 층**()이라고 한다.
* 임의의 열린집합 U\subseteq X에 대하여, \Gamma(\mathcal F,U)=\operatorname{Span}\operatorname{res}_{X,U}(\Gamma(\mathcal F,X))이다.
여기서 \operatorname{res}_{X,U}\colon\Gamma(\mathcal F,X)\to\Gamma(\mathcal F,U)는 제약 사상이며, \Gamma(\mathcal F,-)는 주어진 열린집합 위의 단면들의 아벨 군이다.

## 성질
뇌터 환 R 위의 사영 스킴 p\colon X\to\operatorname{Spec}R가 주어졌을 때, p에 대하여 H-매우 풍부한 가역층은 풍부한 가역층이다. 뇌터 환 R 위의 유한형 스킴 p\colon X\to\operatorname{Spec}R 및 X 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \mathcal L이 풍부한 가역층이다.
* 충분히 큰 양의 정수 n에 대하여, \mathcal L^{\otimes n}은 p에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이다.

모든 풍부한 가역층은 네프 가역층이다. 그러나 그 역은 거짓일 수 있다.

### 풍부함의 필요 충분 조건
주어진 가역층이 풍부한지를 결정하려면 다양한 (필요) 충분 조건들이 존재한다.

대수적으로 닫힌 체 K 위의 고유 스킴 X\to\operatorname{Spec}K 위에 카르티에 인자 D가 주어졌다고 하자. **나카이-모이셰존 조건**([中井]-Мойшезон條件, )에 의하면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* D에 대응하는 가역층은 풍부한 가역층이다.
* 모든 정역 부분 스킴 Y\subset X에 대하여, 다음이 성립한다.
*:\overbrace{D.D.\cdots.D}^{\dim Y}.Y>0

**클라이먼 조건**(Kleiman條件, )에 따르면, 임의의 사영 대수다양체 *X* 위의 카르티에 인자 *D*에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* D는 풍부한 가역층이다.
* X 위의 곡선뿔()을 \operatorname{NE}(X)라고 하자. 그 폐포 위의 임의의 원소 C\in\overline{\operatorname{NE}(X)}에 대하여, D.C>0이다.
클라이만 조건에서 곡선뿔의 폐포를 취하는 것은 나카이-모이셰존 조건에서 D.D>0인 것과 대응한다.

**카르탕-세르-그로텐디크 정리**()에 따르면, 대수다양체 위의 가역층 L에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
* L은 풍부한 가역층이다.
* X 위의 임의의 연접층 \mathcal F에 대하여, \mathcal F\otimes L^n이 대역적 단면으로 생성되는 층이 되게 하는 충분히 큰 n이 존재한다.

### 해석기하학에서의 풍부
복소수 n차원 복소다양체 M 위의 (1,1)차 복소수 미분 형식
:\omega\in\Omega^{1,1}(M)\cap\Omega^2(M;\mathbb R)
에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 형식을 **양의 (1,1)-미분 형식**()이라고 한다.
* 임의의 x\in M에서, 정칙 접공간 \mathrm T^{1,0}_xM의 쌍대 공간 \mathrm T^{1,0*}_xM의 기저 (\mathrm dz^1,\dotsc,\mathrm dz^n)을 잡았을 때, \mathrm i\omega|_x=\textstyle\sum_i\alpha_idz^i\wedge d\bar z^i의 꼴이며, \alpha_1,\dots,\alpha_n\ge0는 음이 아닌 실수이다.
* 임의의 x\in M 및 v\in\mathrm T^{1,0}_x(M)에 대하여, -\mathrm i\omega(v,\bar v)\ge0이다.
* \operatorname{Im}h=-\omega인, 양의 반정부호인 에르미트 형식 h가 존재한다.
즉, 양의 (1,1)-미분 형식을 갖춘 복소다양체는 에르미트 다양체와 동치이다.

복소다양체 M 위의 해석적 선다발 L\twoheadrightarrow M에 대하여, \nabla^{0,1}=\bar\partial인 표준적인 접속이 존재하는데, 이를 **천 접속**()이라고 한다. 천 접속의 곡률 F는 항상
:F\in\Omega^{1,1}(M)\cap\mathrm i\Omega^2(M;\mathbb R)
이며, 천 특성류를 표현한다. 만약 \mathrm iF가 양의 (1,1)-미분 형식이라면 (즉, 천 특성류가 에르미트 다양체 구조를 정의한다면), L을 **양의 선다발**()이라고 한다. F는 항상 닫힌 미분 형식이므로, 이는 켈러 다양체의 구조를 정의한다.

복소수체 위의 완비 대수다양체 X \to \operatorname{Spec}\mathbb C 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌다고 하자. 그렇다면 그 해석화 X^{\operatorname{an}}는 콤팩트 복소다양체를 이루며, \mathcal L^{\operatorname{an}}은 그 위의 해석적 선다발을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \mathcal L은 풍부한 가역층이다.
* \mathcal L^{\operatorname{an}}은 양의 선다발이다.

## 예
### 아핀 스킴 위의 가역층
뇌터 아핀 스킴 위의 모든 가역층은 풍부한 가역층이다.

### 사영 공간 위의 가역층
체 K 위의 사영 공간 \mathbb P^n_K 및 정수 k\in\mathbb Z에 대하여, 가역층
:\mathcal O_{\mathbb P^n_K}(k) = \mathcal O_{\mathbb P^n_K}(-1)^{\otimes -k}
을 정의할 수 있다. 여기서 \mathcal O(-1)은 보편 가역층이다. 이 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* \mathcal O(k)는 풍부한 가역층이다.
* \mathcal O(k)는 스킴 사상 \mathbb P^n_K\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}K에 대하여 매우 풍부한 가역층이다.
* k>0이다.

### 대수 곡선
대수적으로 닫힌 체 위의 대수 곡선의 경우, 어떤 인자 D에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은 \deg D>0인 것이다. 이는 나카이-모이셰존 조건의 특수한 경우이다.

마찬가지로, 종수 g의 대수 곡선의 경우, 인자 D에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은
:\deg D \ge 2g + 1
인 것이다.

예를 들어, 사영 직선(g=0)의 경우 모든 선다발은 보편 선다발의 정수차 텐서곱 \mathcal O(d)이다 (버코프-그로텐디크 정리 ). 이 경우 d\ge1인 경우는 매우 풍부한 가역층이며, d \le 0인 경우는 풍부한 가역층이 아니다. 예를 들어, 사영 직선 \mathbb P^1 위의 가역층 \mathcal O(2)을 생각하자. \mathbb P^1의 동차 좌표계 [s:t]에 대하여, 그 단면의 공간은
:\Gamma(\mathbb P^1;\mathcal O(2)) = K s^2 \oplus K st \oplus K t^2
이다. 즉, 사상
:[s:t] \to [s^2: st: t^2]
는 매장 \mathbb P^1 \hookrightarrow \mathbb P^2을 정의하며, 그 상은 대수 곡선
: \operatorname{Proj} \frac{K[x,y,z]}{xz - y^2}
이다.

사영 직선의 경우와 달리, 종수가 1 이상일 경우, 풍부한 가역층이지만 매우 풍부한 가역층이 아닌 가역층이 존재한다.

### 대수 곡면
나카이-모이셰존 조건에 따라서, 대수 곡면의 경우 풍부한 인자 D는 다음 두 조건을 만족시키는 인자이다.
* D의 자기 교차수 D.D>0
* X 위의 임의의 (기약) 대수 곡선 C\subset X에 대하여 D.C>0
자기 교차수가 양수라는 조건은 생략할 수 없다. 나가타 마사요시는 임의의 기약 곡선에 대한 교차수가 양수이지만, 자기 교차수가 양수가 아닌 인자를 제시하였다.

## 역사
나카이-모이셰존 조건은 나카이 요시카즈()와 보리스 게르셰비치 모이셰존() 이 1963년~1964년에 독자적으로 도입하였다.

클라이먼 조건은 스티븐 로런스 클라이먼()이 1966년에 도입하였다.

## 각주

## 외부 링크
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## 같이 보기
* 파노 다양체
* 렙셰츠 초평면 정리
* 소멸 정리

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분류:벡터 다발
분류:복소다양체