직교좌표계

수학에서, **직교좌표계**()는 그 좌표 곡면들 모두가 직각으로 만나는 d개의 좌표들의 집합(**q** = (*q*1, *q*2, ..., *q<sup>d</sup>*))으로 정의된다(여기서 위 첨자는 지수가 아니라 인덱스이다). 특정한 좌표 *q<sup>k</sup>*에 대한 좌표 곡면은 *q<sup>k</sup>*가 상수로서 주어지는 곡선, 곡면, 또는 초곡면이다. 예를 들면, 3차원 데카르트 좌표계(*x*, *y*, *z*)의 경우 그것의 좌표 곡면들(*x* = constant, *y* = constant, 및 *z*= constant)이 서로 직각으로 만나는 평면들이라는 점에서 삼차원 데카르트 좌표계(*x*, *y*, *z*)는 이 문서에서 말하는 직교 좌표계의 하나이다. 또한 이러한 직교 좌표계는 곡선 좌표계의 특별하면서도 매우 일반적인 경우에 해당한다.

## 동기
오른쪽|섬네일|직각 그리드에 적용되는 등각 매핑. 곡선 그리드의 직교성이 유지되고 있음을 주목할 것.
데카르트 좌표계에서 벡터 연산 및 물리 법칙들을 다루는 것이 가장 쉽겠지만 비-데카르트 직교 좌표계들 역시 다양한 문제들에 종종 사용된다. 비-데카르트 좌표계들은 양자역학, 유체의 흐름, 전기동역학, 화학 원소 또는 열의 확산 등에서 나타나는 경계값 문제들에서 특히 유용하게 사용된다.

비-데카르트 좌표들의 주된 장점은 주어진 문제의 대칭성을 고려하여 이에 적합한 좌표계를 선택하는 것에 있다. 예를 들면, 지상 또는 다른 장벽으로부터 먼 곳에서 발생한 폭발에 의해 만들어지는 압력파는 데카르트 좌표계에서 3차원적으로 기술될 수 있겠지만 압력은 주로 중심으로부터 멀어지는 방향으로 전파된다는 점에서 이 현상은 구좌표계에서는 거의 1차원적 문제처럼 다뤄질 수 있다. 다른 예로는 원통형의 직선 파이프 내에서 천천히 움직이는 유체가 있다. 데카르트 좌표계에서 이 현상을 기술하기 위해서는 편미분 방정식을 포함하는 어려운 2차원 경계값 문제를 푸는 것이 필요하지만 원통 좌표계에서는 편미분 방정식 대신에 상미분 방정식을 사용하여 1차원적으로 다뤄질 수 있다.

일반화된 곡선 좌표계 대신 직교 좌표계를 선호하는 이유는 단순성에 있다: 대부분의 복잡성은 좌표가 직교하지 않을 때 발생한다. 예를 들면, 직교 좌표계에서는 많은 문제들이 “변수 분리법”이라 불리는 수학적 기법을 사용하여 쉽게 풀려질 수 있다. 변수 분리법을 사용하면 복잡한 d차원의 문제가 알려진 함수들을 통해 풀려질 수 있는 d개의 일차원 문제들로 변환될 수 있다. 많은 방정식들은 라플라스 방정식 또는 헬름홀츠 방정식으로 환원될 수 있으며 라플라스 방정식은 13개의 직교 좌표계들에서 분리가능하고 헬름홀츠 방정식은 11개의 직교 좌표계들에서 분리가능하다.

직교 좌표계에서 그것의 메트릭 텐서는 비대각항들이 0이 되도록 구성된다. 즉, 무한소 제곱 거리(infinitesimal squared distance) *ds*2은 항상 무한소 좌표 변이들의 제곱된 값들의 스케일된 합(a scaled sum of the squared infinitesimal coordinate displacements)으로서 표현될 수 있다.


ds^2 = \sum_{k=1}^d \left( h_k \, dq^{k} \right)^2


여기서 *d*는 고려되는 공간의 차원이고 스케일 함수들(또는 스케일 인수들)은

: 
h_{k}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{kk}(\mathbf{q})} = |\mathbf e_k|


메트릭 텐서의 대각 성분들의 제곱근들 또는 국소 기저 벡터들 \mathbf e_k의 길이들과 같다. 이러한 스케일 함수들 *h<sub>i</sub>* 은 새로운 좌표계에서 미분 연산자들(예를 들면, 기울기 연산자(gradient), 라플라시안, 발산 연산자 및 회전 연산자)를 계산하는데 사용된다.

2차원에서 직교 좌표계들을 생성하기 위한 간단한 방법은 데카르트 좌표들(*x*, *y*)의 표준적인 2차원 그리드의 등각 매핑을 통해서이다. 복소수 *z* = *x* + *iy*는 실수 좌표*x* 와 *y*로부터 형성될 수 있다(여기서 i는 허수 단위를 나타낸다). 영이 아닌 복소 도함수를 갖는 임의의 정칙 함수 *w* = *f*(*z*)는 등각 매핑을 생성한다: 그렇게 만들어진 복소수가 *w* = *u* + *iv*로 쓰여진다면, u 및 v가 상수인 곡선들은 x 및 y가 상수인 원래의 선들과 마찬가지로 직각으로 교차한다.

삼차원 및 고차원에서의 직교 좌표계들은 직교하는 2차원 좌표계로부터 생성될 수 있다. 예를 들면, 2차원 직교 좌표계를 새로운 차원(원통 좌표)로 투영하거나 2차원 직교 좌표계를 그 대칭 축들 중의 하나에 대해 회전시킴으로써 삼차원 및 고차원에서의 직교 좌표계를 생성할 수 있다. 하지만 2차원 좌표계를 투영하거나 회전하는 방법을 통해서는 얻어질 수 없는 다른 3차원 직교 좌표계들도 있다(예를 들면, 타원 좌표). 보다 일반적인 직교 좌표는 필요한 좌표 곡면을 가지고 시작하되 그들의 직교 궤도들을 고려함으로써 얻어질 수 있다.

## 기저 벡터
### 공변 기저
데카르트 좌표계에서, 기저 벡터들은 변하지 않는다(고정된다). 반면, 보다 일반적인 곡선 좌표계에서는, 공간 상의 한 점은 좌표들에 의해 명기되고, 그러한 모든 점들에는 (일반적으로는 고정되지 않은) 기저 벡터들의 세트가 바인딩된다: 이것은 일반적인 곡선 좌표의 핵심이며 매우 중요한 개념이다. 직교 좌표들을 특징짓는 것은 (기저 벡터가 변하더라도) 그러한 기저 벡터들은 서로에 대해 항상 직교한다는 것이다. 즉,

: \mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = 0 \quad \text{if} \quad i \neq j

이러한 기저 벡터들은, 정의에 의해, 나머지 좌표들은 고정시키면서 하나의 좌표를 변화시킴으로써 얻어지는 곡선들의 접선 벡터들이다:
섬네일|300x300픽셀|2D 직교 좌표의 시각화. 하나의 좌표를 상수로 유지함으로써 얻어진 곡선들이 기저 벡터들과 함께 도시되었다. 기저 벡터들의 길이가 같지 않을 수 있다. 길이의 동일성이 요구되는 것은 아니고 직교하는 것만이 요구된다.

: \mathbf e_i = \frac{\partial \mathbf r}{\partial q^i}

여기서, **r**은 어떤 점이고 *q<sup>i</sup>*는 기저 벡터가 추출되는 좌표이다. 즉, 곡선은, 한 좌표를 제외한, 모든 좌표들을 고정시킴으로써 얻어진다: 이때, 고정되지 않은 좌표는 매개변수 곡선(parametric curve)에서와 같이 변하게 되고, 그러한 매개 변수에 대한 그 곡선의 도함수가 그 좌표에 대한 기저 벡터이다.

기저 벡터들이 같은 길이일 필요는 없다. (좌표들의 스케일 인수들로서 알려진) 유용한 함수들은 기저 벡터들 \hat{\mathbf e}_i의 길이들 {h}_i이다(아래 표 참조). 스케일 인수들은 종종 라미 계수들(Lamé coefficients)로 불리기도 하는데, 선형 탄성 분야에서 더욱 잘 알려진 계수에 대해서도, 같은 이름이 사용되고 있으므로, 이러한 용어를 사용하지 않는 것이 바람직하다.

정규화된 기저 벡터들은 아래와 같이 해트를 사용하여 표기되며, 길이로 나눔으로써 얻어진다:

: \hat{\mathbf e}_i = \frac{\partial q^i} dq^i 
|Infinitesimal length
d\ell = \sqrt{d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r}} = \sqrt{(h_1 \, dq^1)^2 + (h_2 \, dq^2)^2 + (h_3 \, dq^3)^2} 
|-
|Surface element
|Normal to coordinate surface *q<sup>k</sup>* = constant:
 \begin{align}
d\mathbf{S} & = (h_i dq^i \hat{\mathbf{e}}_i) \times (h_j dq^j \hat{\mathbf{e}}_j) \\
& = dq^i dq^j \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^j}\right)\\
& = h_i h_j dq^i dq^j \hat{\mathbf{e}}_k
\end{align}
|Infinitesimal surface
 dS_k = h_ih_j \, dq^i \, dq^j
|-
|Volume element
|N/A
|Infinitesimal volume
\begin{align}
dV & = |(h_1 \, dq^1 \hat{\mathbf{e}}_1) \cdot (h_2 \, dq^2 \hat{\mathbf{e}}_2) \times (h_3 \, dq^3 \hat{\mathbf{e}}_3)| \\
& = |\hat{\mathbf{e}}_1 \cdot \hat{\mathbf{e}}_2 \times \hat{\mathbf{e}}_3| h_1 h_2 h_3 \, dq^1 \, dq^2 \, dq^3\\
& = J \, dq^1 \, dq^2 \, dq^3 \\
& = h_1 h_2 h_3 \, dq^1 \, dq^2 \, dq^3
\end{align}
|}
이때, J은, 야코비 행렬식으로서, 아래와 같이 주어진다.

: J = \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^1} \cdot \left(\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^2} \times \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^3} \right)\right| = \left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(q^1, q^2, q^3)} \right| = h_1 h_2 h_3
:야코비 행렬식은 (직교 좌표계에서) 무한소 큐브 d*x*d*y*d*z*의 무한소 휘어진 부피로의 부피적 변형이라는 기하학적 해석을 갖는다.

### 적분
위에서 설명된 선요소를 사용하면 경로  \scriptstyle \mathcal P를 따라 계산되는 벡터**F**의 선적분은 아래와 같다:

: \int_{\mathcal P} \mathbf F \cdot d\mathbf r =
\int_{\mathcal P} \sum_i F_i \mathbf e^i \cdot \sum_j \mathbf e_j \, dq^j = \sum_i \int_{\mathcal P} F_i \, dq^i


한 개의 좌표 좌표 *q<sub>k</sub>*를 상수로 유지함으로써 기술되는 표면에 대한 무한소의 면적 요소는 아래와 같다:

: dA = \prod_{i \neq k} ds_i = \prod_{i \neq k} h_i \, dq^i

유사하게 볼륨 요소는 아래와 같다:

: dV = \prod_i ds_i = \prod_i h_i \, dq^i

여기서 Σ가 합을 나타내는 것과 같은 방식으로 Π는 곱을 나타낸다. 모든 스케일 인수들의 곱은 야코비 행렬식이라는 것을 주목할 것.

한 예로, 3차원 공간에서 *q*1 = *constant*인 표면 \scriptstyle\mathcal S 에 대한 벡터 함수 **F**의 면적분은 아래와 같다:

: \int_{\mathcal S} \mathbf F \cdot d\mathbf A =
\int_{\mathcal S} \mathbf F \cdot \hat{\mathbf n} \ d A =
\int_{\mathcal S} \mathbf F \cdot \hat{\mathbf e}_1 \ d A =
\int_{\mathcal S} F^1 \frac{h_2 h_3}{h_1} \, dq^2 \, dq^3


이때 **F**1/*h*1는 해당 표면에 수직한**F**의 성분이라는 점을 주목할 것.

## 3차원에서의 미분 연산자들
 이러한 연산자들은 응용에서 종종 사용되기 때문에 이 섹션에서의 모든 벡터 성분들은 정규화된 기저에 대해 제시된다: F_i = \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{e}}_i.

위 표현들은 H = h_1 h_2 h_3를 정의하는 레비-치비타 심볼을 사용하여 그리고 반복되는 인덱스들에 대한 합을 가정함으로써 보다 간결한 형태로 쓰여질 수 있다.

## 표: 직교 좌표
일반적인 데카르트 좌표계 이외의 다른 것들이 아래 개시되었다.[5] 간결함을 위해 좌표 열에 구간에 대한 정보가 표기되었다.

## 내용주

## 같이 보기
* 곡선좌표계
* 텐서
* 벡터장
* 균형 3진법
## 각주
* Korn GA and Korn TM. (1961) *Mathematical Handbook for Scientists and Engineers*, McGraw-Hill, pp.&nbsp;164–182.
* 

* Margenau H. and Murphy GM. (1956) *The Mathematics of Physics and Chemistry*, 2nd. ed., Van Nostrand, pp.&nbsp;172–192.
* Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud (2003) *Tensor Analysis*, pp.&nbsp;81 – 88.

분류:좌표계