비라소로 대수

리 군론과 이론물리학에서 **비라소로 대수**(Virasoro代數, )는 원의 미분 동형 자기 동형군의 리 대수의 (유일하게 자명하지 않은) 중심 확대인 무한 차원 리 대수이다. 물리학에서, 2차원 등각 장론의 대칭으로 사용된다.

## 정의
### 대수적 구성
비라소로 대수 \mathfrak{Vir}는 L_n (n\in\mathbb Z)과 c로 인하여 생성되는 복소수 리 대수이며, 다음과 같은 리 괄호를 가진다.
:[\mathsf c,\mathsf L_n]=0
:[\mathsf L_m,\mathsf L_n]=(m-n)\mathsf L_{m+n}+\frac{\mathsf c}{12}(m+1)m(m-1)\delta_{m+n}

중심 원소 c가 0인 대수를 **비트 대수**() \mathfrak{Witt}라고 하며, 이는 비라소로 대수의 고전적 형태로 볼 수 있다.

이에 따라, 복소수 리 대수의 짧은 완전열
:0 \to \mathbb C{\mathsf c} \to \mathfrak{Vir} \to \mathfrak{Witt} \to 0
이 존재한다.

비라소로 대수는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다. (이는 복소수 벡터 공간 위의 반선형() 사상이다.)
:\mathrm i \mapsto -\mathrm i
:\mathsf L_n \mapsto - \mathsf L_{-n}
:\mathsf c \mapsto -\mathsf c
이는 \mathsf L_n을 원 위의 벡터장
:\mathsf L_n = -\mathrm i\exp(-\mathrm int)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}
으로 간주하여 유도한 것이다. 그렇다면, 이에 대한 고정점
:\mathsf L_n - \mathsf L_{-n}
:\mathrm i(\mathsf L_n + \mathsf L_{-n})
:\mathrm i\mathsf c
을 생각하자. 이는 실수 리 대수
:\mathfrak{Vir}^{\mathbb R} \subsetneq \mathfrak{Vir}
를 생성하며, 마찬가지로 실수 리 대수의 짧은 완전열
:0 \to \mathrm i\mathbb R\mathsf c \to \mathfrak{Vir}^{\mathbb R} \to \mathfrak{Witt}^{\mathbb R} \to 0
을 구성한다. 정의에 따라 자연스러운 포함 관계
:\mathfrak{Witt}^{\mathbb R} \hookrightarrow \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1)
가 존재한다.

### 원을 통한 리 대수의 구성
1차원 매끄러운 다양체인 원 \mathbb S^1 위의 (매끄러운) 벡터장들의 리 대수
:\mathfrak{Vect}(\mathbb S^1)
를 생각하자. 이는 실수 프레셰 공간이다. 그 속에는 푸리에 급수로 인하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:\mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \hookrightarrow \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \otimes_{\mathbb R} \mathbb C
:\mathbb R[\mathsf z+\mathsf z^{-1},\mathrm i(\mathsf z-\mathsf z^{-1})] \hookrightarrow \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1)
:\mathsf z \mapsto \exp(\mathsf it)\,\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\qquad(t\in\mathbb R/(2\pi\mathbb Z))

이는 다음과 같은 리 대수 코호몰로지 2차 공사슬을 갖는다.
:\mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \times \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to \mathbb R
:\left(f(t)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt},g(t)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right) \mapsto \oint \frac{\mathrm df}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d^2g}{\mathrm dt^2}\,\mathrm dt
= - \oint\frac{\mathrm df^2}{\mathrm dt^2}\frac{\mathrm dg}{\mathrm dt}\,\mathrm dt \qquad(f,g\in\mathcal C^\infty(\mathbb S^1,\mathbb R))

이를 **겔판트-푹스 공사슬**()이라고 한다. 이에 대한 중심 확장
:0\to \mathbb R\mathsf c \to \widehat{\mathfrak{Vir}} \to \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to 0
을 생각할 수 있다. \widehat{\mathfrak{Vir}}  역시 프레셰 공간이다.

\widehat{\mathfrak{Vir}} \otimes\mathbb C  속에서, \mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]과 \mathbb C\mathsf c로 생성되는 부분 리 대수를 **비라소로 대수**라고 한다.
:\mathfrak{Vir} \subsetneq \widehat{\mathfrak{Vir}} 

### 원을 통한 리 군의 구성
1차원 매끄러운 다양체인 원 \mathbb S^1을 생각하자. 그 (매끄러운) 자기 미분 동형 사상들의 군
:\operatorname{Diff}(\mathbb S^1)
을 생각하자. 이는 프레셰 다양체를 이룬다. 이는 두 개의 연결 성분을 가지는데, 만약 원에 임의의 방향을 부여하여 유향 다양체로 만든다면, 한 연결 성분은 방향을 보존하지만, 다른 한 연결 성분은 방향을 뒤집는다. 물론, 항등 함수는 전자에 속한다. 그 연결 부분군을 \operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1)이라고 하자.

이 경우, 그 실수 리 대수를 취할 수 있으며, 이는 실수 프레셰 공간이 된다. 구체적으로, 이는 원 위의 (매끄러운) 벡터장들의 리 대수 \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1)이다.

프레셰 리 군 \operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1)은 특별한 1차원 중심 확대를 가지며, 기하학적으로 이는 리 군의 U(1) 주다발을 이룬다. 이는 다음과 같이 구성된다.

우선, 르베그 복소수 힐베르트 공간
:H = \operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C)  \cong \operatorname L^2(\mathbb Z;\mathbb C)
을 생각하자. 여기서 동형 사상은 푸리에 급수에 의한 것이다. 이 가운데, 다음과 같은 부분 복소수 힐베르트 공간을 생각할 수 있다.
:H^+ = \operatorname L^2(\mathbb N;\mathbb C) \subsetneq \operatorname L^2(\mathbb Z;\mathbb C)
:H^- = \operatorname L^2(\mathbb Z \setminus \mathbb N;\mathbb C) \subsetneq \operatorname L^2(\mathbb Z;\mathbb C)
:H = H^+ + H^- \cong H^+ \oplus H^--
(여기서 \mathbb N=\{0,1,2,\dotsc,\}은 자연수의 집합이다.) 즉, 이는 각각 음이 운동량 성분을 갖지 않는 파동 함수와 음의 운동량만을 갖는 파동 함수의 부분 공간들이다.

이제, \operatorname{Diff}(\mathbb S^1)은 H 위에 다음과 같은 유니터리 표현을 갖는다.
:\rho \colon \operatorname{Diff}(\mathbb S^1) \to \operatorname U(H)
:|f'(\theta)|^{1/2}\langle f(\theta)|(\rho f)|\psi\rangle = \langle \theta|\psi\rangle\qquad(\theta\in\mathbb R/(2\pi\mathbb Z),\;\psi \in \mathcal C^1(\mathbb S^1,\mathbb C) \subsetneq H)
그렇다면, 이제 다음과 같은 유니터리 작용소들의 부분 공간을 정의할 수 있다.
:\operatorname{U_{res}}(H^+,H^-) = \left\{
\begin{pmatrix}
T_{++} & T_{+-} \\
T_{-+} & T_{--}
\end{pmatrix}
\in \operatorname U(H^+ \oplus H^-) \colon
T_{+-} \in \mathfrak S_2(H^-,H^+),\;
T_{-+} \in \mathfrak S_2(H^+,H^-)
\right\}
여기서
* \mathfrak S_2(H^+,H^-)는 H^+ \to H^- 힐베르트-슈미트 작용소들의 공간이다.
이제, H를 어떤 양자장론의 위상 공간으로 삼고, H = H^+ \oplus H^-를 그 심플렉틱 구조로 삼자. 그렇다면, 기하학적 양자화에 따라, 다음과 같은 페르미온 포크 공간을 얻는다.
:\mathcal H = \left(\bigwedge H^++ \otimes \bigwedge \bar H^- \right)^{\hat{}}
여기서
* (-)^{\hat{}}은 내적 공간을 힐베르트 공간으로 만드는 완비화이다.
* \bar H^-는 H^-의 복소켤레 a\bar v = \overline{\bar av}\qquad(v\in H^-)이다.
* \textstyle\bigwedge는 외대수이다.
기하학적 양자화에 따라, 자연스럽게 유계 작용소로의 표현
:\Phi \colon H \to \operatorname B(\mathcal H)
가 존재한다. (\operatorname B(\mathcal H)는 \mathcal H\to\mathcal H 유계 작용소의 공간이다.) 이에 따라서, H 위의 유니터리 작용소 U \in \operatorname U(H)가 다음과 같이 \mathcal H 위에 \tilde U \in \operatorname U(\mathcal H)로 표현될 수 있는지를 따질 수 있다.
:\tilde U \Phi(v) = \Phi(Uv) \tilde U \qquad\forall f\in H
이 경우, 위 조건을 만족시키는 \tilde U가 존재할 필요 충분 조건은 U \in \operatorname{U_{res}}(H^+,H^-)인 것이다. 이러한 \tilde U는 노름 1의 복소수 스칼라 곱셈을 무시하면 유일하다. 따라서, 이와 같은 유니터리 연산자의 공간
:\operatorname{\tilde U_{res}}(H^+,H^-) = \{\tilde U\in\operatorname U(\mathcal H)\colon \exists U\in\operatorname U(H)\forall f\in H\colon \tilde U \Phi(v) = \Phi(Uv) \tilde U\}
을 정의할 수 있다. 이는 군의 짧은 완전열
:1 \to \operatorname U(1) \to \operatorname{\tilde U_{res}}(H^+,H^-) \to \operatorname U(H^+,H^-) \to 1
을 이룬다.

이제, 단사 군 준동형
:\operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1) \hookrightarrow \operatorname{U_{res}}(H^+,H^-)
을 통해 \operatorname{\tilde U_{res}}(H^+,H^-) 속에 부분군
:\operatorname{\widetilde {Diff}}(\mathbb S^1) \subsetneq\operatorname{\tilde U_{res}}(H^+,H^-)
을 정의할 수 있다. 이는 군의 짧은 완전열
:1 \to \operatorname U(1) \to \operatorname{\widetilde{Diff}}^+(\mathbb S^1) \to \operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1) \to 1
을 이룬다. 이 짧은 완전열의 모든 항들은 프레셰 다양체이다.

이에 대한 실수 리 대수의 짧은 완전열을 취할 수 있다.
:0 \to \mathbb R\mathsf c \to \widehat{\mathfrak{Vir}} \to \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to 0
이 짧은 완전열의 각 항은 프레셰 공간이다.

특히, 복소수 리 대수 \widehat{\mathfrak{Vir}} \otimes \mathbb C 속에 다음과 같은 부분 집합
:
\{\mathsf c \} \cup
\left\{
\exp(\mathrm int)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\colon n\in\mathbb Z
\right\}
으로 생성되는 (대수적) 부분 리 대수
:\mathfrak{Vir} \subsetneq \widehat{\mathfrak{Vir}} \otimes \mathbb C
를 **비라소로 대수**라고 한다. \widehat{\mathfrak{Vir}} \otimes \mathbb C는 비라소로 대수의 (프레셰 공간으로의) 완비화이며, \operatorname{\widetilde{Diff}}^+(\mathbb S^1)는 그 실수 형태에 대응되는 프레셰 리 군이다.

## 성질
### 유니터리 표현
비라소로 대수의 복소수 힐베르트 공간 H 위의 표현
:\rho \colon \mathfrak{Vir} \to \operatorname B(H)
가운데, 만약 다음이 성립한다면, 이를 비라소로 대수의 **유니터리 표현**이라고 한다.
:\rho(\mathsf L_n)^\dagger = \rho(\mathsf L_{-n})
비라소로 대수의 유니터리 표현은 모두 기약 표현들의 직합으로 분해된다.

비라소로 대수의 아벨 부분 리 대수
:\operatorname{Span}_{\mathbb C}\{\mathsf L_0,\mathsf c\} \subsetneq \mathfrak{Vir}
를 생각하자. 각 기약 표현 \rho에서
:\rho(\mathsf c) \in [0,\infty) \operatorname{id}_H
:\rho(\mathsf L_0) \in [0,\infty) \operatorname{id}_H
이게 되며, 반대로 주어진 두 실수 (c,h) = (\rho(\mathsf c),\rho(\mathsf L_0))에 대응되는 기약 유니터리 표현은 (동형 아래) 유일하다. 주어진 (c,h)에 대응되는 기약 표현은 베르마 가군의 몫으로 구성될 수 있다.

비라소로 대수의 기약 유니터리 표현들의 목록은 다음과 같다.
* c\ge1인 경우, 모든 h\ge0에 대한 표현 (c,h)가 존재한다.
* 0\le c인 경우에는 다음과 같은 값들만이 존재한다.
*: c=1-\frac6{m(m+1)}
*: h=h(c;p,q)=\frac{((m+1)p-mq)^2-1}{4m(m+1)}
*: m=2,3,4,\dots
*: p=1,2,\dots,m-1
*: q=1,2,\dots,p
0\le c의 경우는 2차원 등각 장론의 일종인 **[[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]]**의 구성에 등장한다. 함수 h(c;p,q)는 다음과 같은 대칭을 가진다.
:h(c;p,q) = h(c;m-p,m+1-q)
특히, p = q = 1인 경우 h = 0이며, 이는 2차원 등각 장론의 진공 또는 대칭류()에 해당한다. (2차원 등각 장론은 두 개의 비라소로 대수 대칭을 갖는데, 진공의 경우 h가 둘 다 0이지만, 대칭류의 경우 둘 가운데 하나만이 0이다.) m-1 = p = q = 1인 경우는 (c,h) = (0,0)이며, 이는 1차원 자명한 표현에 해당한다.

비라소로 대수의 모든 기약 유니터리 표현은 (c,h)=(0,0)을 제외하면 무한 차원 표현이다. ((c,h)=(0,0)인 자명한 표현은 물론 1차원이다.)

### 복소수 비라소로 군의 부재
비라소로 대수의 실수 형태 \mathfrak{Vir}^{\mathbb R}의 실수 프레셰 공간으로의 완비화는 어떤 프레셰 리 군의 리 대수이다. 그러나 이 리 군은 복소화될 수 없으며, 복소수 비트 대수와 복소수 비라소로 대수는 복소수 리 군의 리 대수가 될 수 없다.

### 리 지수 사상의 비(非)전사성
비트 대수의 지수 사상
:\exp \colon \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to \operatorname{Diff}(\mathbb S^1)
을 생각하자. 이는 존재하지만, 프레셰 다양체 \operatorname{Diff}(\mathbb S^1)에서 항등 함수의 임의의 근방에서, \exp의 치역에 포함되지 않는 원소가 존재한다.

## 역사
엘리 카르탕이 1909년에 비트 대수를 발견하였고, 에른스트 비트가 이를 유한체의 경우에 대하여 1930년대에 연구하였다.

비트 대수의 중심 확장은 리처드 얼 블록()과 이즈라일 겔판트, 드미트리 푹스() (1968)가 발견하였다.

아르헨티나의 물리학자 미겔 안헬 비라소로()가 1970년에 끈 이론에서 비트 대수 (중심확장을 제외한 비라소로 대수)를 도입하였다. 이후 그 중심 확장은 와이스 ()가 도입하였다.

## 같이 보기
* 등각 장론
* 2차원 𝒩=1 초등각 장론
* W-대수
## 각주

## 외부 링크
* 
* 

분류:등각 장론
분류:리 대수
분류:미분기하학
분류:수리물리학