순환 지표

군론과 조합론에서 **순환 지표**(循環指標, )는 유한 집합 위에 충실하게 작용하는 유한군에 대응되는 다변수 다항식 불변량이다. 군의 작용의 궤도들의 크기와 수에 대한 생성 함수이다.

## 정의
크기가 n인 유한 집합 X 및 그 대칭군의 부분군 G\le\operatorname{Sym}(X)이 주어졌다고 하자. (즉, G가 X 위에 충실하게 작용한다고 하자.) G의 **순환 지표**(循環指標, )
:Z_G\in\mathbb Q[t_1,t_2,\dots,t_n]
는 다음과 같은 다항식이다.
:Z_G(t_1,t_2,\dots,t_n)=\frac1 \sum_{g\in G} t_1^{c_1(g)} t_2^{c_2(g)}
\cdots t_n^{c_n(g)}
여기서 c_i(g)는 순열 g\in G의 길이 i의 순환의 수이다. 즉, g로 생성되는 G의 부분군 \langle g\rangle\le G이 X 위에 작용할 때, 주어진 크기의 궤도들의 수이다.

추상적으로 서로 동형인 군이라도, 집합 위의 작용이 다르다면 서로 다른 순환 지표를 가질 수 있다.

## 예
### 자명군
자명군은 임의의 크기 n의 유한 집합 위에 충실하게 작용한다. 이 경우 순환 지표는
:Z_1(t_1,\dots,t_n)=t_1^n
이다.

### 순환군
n차 순환군 \operatorname{Cyc}(n)은 크기가 n인 집합 위에
:\operatorname{Cyc}(n)=\{(1)(2)(3)\cdots(n),(123\cdots n),(1357\cdots),(147\cdots),(15\cdots)\}
와 같이 작용한다. 이 작용을 갖춘 순환군 \operatorname{Cyc}(n)의 경우
:Z_{\operatorname{Cyc}(n)}(t_1,\dots,t_n)=\frac1n\sum_{d\mid n}\phi(d)t_d^{n/d}
이다. 여기서 \phi는 오일러 피 함수이다.

### 정이면체군
n차 정이면체군 \operatorname{Dih}(n)=\langle a,b|a^n=b^2=(ba)^2=1\rangle은 크기 n의 집합 위에 다음과 같이 작용한다.
:a\mapsto (1234\cdots n)
:b\colon\begin{cases}
(1n)(2,n-1)\cdots(n/2,n/2+1)&2\mid n\\
(1n)(2,n-1)\cdots ((n+1)/2)&2\nmid n
\end{cases}

정이면체군 \operatorname{Dih}(n)의 순환 지표는 다음과 같다.
:Z_{\operatorname{Dih}(n)}(t_1,\dots,t_n)=\frac12Z_{\operatorname{Cyc}(n)}(t_1,\dots,t_n)+\begin{cases}
\frac14(t_2^{n/2}+t_1^2t_2^{n/2-1})&2\mid n\\
\frac12t_1t_2^{(n-1)/2}&2\nmid n
\end{cases}

### 대칭군과 교대군
크기 n!의 대칭군 \operatorname{Sym}(n)은 크기 n의 집합 위에 자연스럽게 작용한다. 이 경우 순환 지표는 다음과 같다.
:Z_{\operatorname{Sym}(n)}(t_1,t_2,\dots,t_n)=\sum_{j_1+2 j_2 + 3 j_3 + \cdots + n j_n = n} \frac1{\prod_{k=1}^n k^{j_k} j_k!} \prod_{k=1}^n t_k^{j_k} 
이 합에서 (j_1,j_2,\dots,j_n)의 항은 크기 i의 순환이 j_i개 있는 순열에 대응한다.

크기 n!/2의 교대군 \operatorname{Alt}(n)\le\operatorname{Sym}(n) 역시 크기 n의 집합 위에 자연스럽게 작용한다. 이 경우 순환 지표는 다음과 같다.
:Z_{\operatorname{Alt}(n)}(t_1,t_2,\dots,t_n)=\sum_{j_1+2 j_2 + 3 j_3 + \cdots + n j_n = n} \frac{1 + (-1)^{j_2+j_4+\cdots}}{\prod_{k=1}^n k^{j_k} j_k!} \prod_{k=1}^n t_k^{j_k}
이 합에서 1 + (-1)^{j_2+j_4+\cdots}은 짝순열의 경우 2이며 홀순열의 경우 0이다.

### 정육면체
정육면체 및 정팔면체의 방향 보존 대칭군 O\le\operatorname{SO}(3)은 \operatorname{Sym}(4)와 동형인, 크기가 24인 유한군이다. 이는 정육면체의 6개의 면 (또는 정팔면체의 6개의 꼭짓점)에 충실하게 작용한다.
이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.
:Z_O(t_1,t_2,\dots,t_6)=\frac1{24}\left(t_1^6+6t_1^2t_4+3t_1^2t_2^2+8t_3^2+6t_2^3\right)
여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다.
* t_1^6: 항등원
* t_1^2t_4: 정육면체 면에 수직인 축으로 90도 회전
* t_1^2t_2^2: 정육면체 면에 수직인 축으로 180도 회전
* t_3^2: 정팔면체 면에 수직인 축으로 120도 회전
* t_2^3: (정육면체 또는 정팔면체) 변에 수직인 축으로 180도 회전

O는 또한 정육면체의 8개의 꼭짓점(또는 정팔면체의 8개의 면)에 충실하게 작용한다.
이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.
:Z_O(t_1,t_2,\dots,t_6)=\frac1{24}\left(t_1^8+6t_4^2+9t_2^4+8t_1^3t_3^2\right)
여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다.
* t_1^8: 항등원
* t_4^2: 정육면체 면에 수직인 축으로 90도 회전
* t_2^4: 정육면체 면에 수직인 축으로 180도 회전
* t_1^3t_3^2: 정팔면체 면에 수직인 축으로 120도 회전
* t_2^4: (정육면체 또는 정팔면체) 변에 수직인 축으로 180도 회전

### 정사면체
정사면체의 대칭군 T\le\operatorname{SO}(3)은 교대군 \operatorname{Alt}(4)와 동형인, 크기 12의 유한군이다. 이는 정사면체의 4개의 면 (또는 4개의 꼭짓점)에 충실하게 작용한다.

이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.
:Z_T(t_1,t_2,t_3,t_4)=\frac1{12}\left(t_1^4+8t_1t_3+t_2^2\right)
여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다.
* t_1^4: 항등원
* t_1t_3: 120도 (시계 방향 또는 시계 반대 방향) 회전
* t_2^2: 180도 회전

## 역사
헝가리의 수학자 포여 죄르지가 1937년에 포여 열거 정리에 사용하기 위하여 도입하였다.

## 각주

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## 외부 링크
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분류:군론
분류:열거조합론