힐베르트 기호

유체론에서 **힐베르트 기호**()는 국소체의 0이 아닌 원소에 대하여 정의된 르장드르 기호의 일반화이다. 이를 사용하여, 이차 상호 법칙을 모든 위치에 대칭적인 형태로 적을 수 있는데, 이를 **힐베르트 상호 법칙**()이라고 한다.

## 정의
### 이차 힐베르트 기호
\mathfrak p\in\{\infty,2,3,5,7,\dots\}가 유리수체의 자리라고 하자. 즉,
:\mathbb Q_{\mathfrak p}=\begin{cases}
\mathbb R&\mathfrak p=\infty\\
\mathbb Q_p&p=\mathfrak p
는 실수체 또는 p진수체이다. 체 K의 가역원군을 K^\times=K\setminus\{0\}라고 하자. 그렇다면, 유리수체의 \mathfrak p에서의 **힐베르트 기호**는 다음과 같은 함수이다.
:\left(\frac{-,-}{\mathfrak p}\right)\colon\mathbb Q_{\mathfrak p}^\times\times\mathbb Q_{\mathfrak p}^\times\to\{-1,+1\}
:\left(\frac{a,b}{\mathfrak p}\right)=\begin{cases}1&\exists(x,y,z)\in\mathbb Q_{\mathfrak p}^3\colon z^2=ax^2+by^2\\-1&\nexists(x,y,z)\in\mathbb Q_{\mathfrak p}^3\colon z^2=ax^2+by^2\end{cases}

### 일반적 힐베르트 기호
위의 힐베르트 기호는 유리수체의 자리에 대한 것이며, 이를 임의의 대수적 수체에 대하여 일반화할 수 있다.

대수적 수체 K의 자리 \mathfrak p에 대하여, 다음과 같은 함수를 **힐베르트 기호**라고 한다.
:\left(\frac{-,-}{\mathfrak p}\right)\colon K^\times_{\mathfrak p}\times K^\times_{\mathfrak p}\to \mu(K^\times)
:\left(\frac{a,b}{\mathfrak p}\right)=\frac{(\frac{K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)/K_{\mathfrak p}}{b})\sqrt[m]a}{\sqrt[m]a}
여기서
* K_{\mathfrak p}는 자리 \mathfrak p에서의 국소체이다.
* \mu(K^\times)\subseteq K는 K에 포함된 1의 거듭제곱근들로 구성된 아벨 군이다.
* m=|\mu(K)|는 K에 포함된 1의 거듭제곱근의 수이다.
* (\tfrac{K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)/K_{\mathfrak p}}b)\in\operatorname{Gal}(K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)/K_{\mathfrak p})는 원분 확대 K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)/K_{\mathfrak p}에 대한 국소 아르틴 기호이다. 이는 갈루아 군의 원소이므로 원분 확대체의 원소 \sqrt[m]a\in K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a) 위에 작용한다.

사실, 힐베르트 기호는 m제곱 잉여류에만 의존한다. 즉, 이는 다음과 같은 함수를 정의한다.
:\left(\frac{-,-}{\mathfrak p}\right)\colon\frac{K^\times_{\mathfrak p}}{(K^\times_{\mathfrak p})^m}\times\frac{K^\times_{\mathfrak p}}{(K^\times_{\mathfrak p})^m}\to \mu(K^\times)

## 성질
만약 \mathfrak p가 복소수 자리라면 (K_{\mathfrak p}\cong\mathbb C), K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)/K_{\mathfrak p}\cong\mathbb C/\mathbb C는 자명한 확대이므로, 그 갈루아 군 \operatorname{Gal}(K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)/K_{\mathfrak p})=1은 자명군이며, 따라서 (\tfrac{a,b}{\mathfrak p})=1\;\forall a,b\in K_{\mathfrak p}\cong\mathbb C이다.

임의의 대수적 수체 K의 자리 \mathfrak p에 대하여, 힐베르트 기호는 다음 성질들을 만족시킨다.
:(a,1-a)_{\mathfrak p}=1\qquad\forall a\in K_{\mathfrak p}\setminus\{0,1\}
:(a,-a)_{\mathfrak p}=1\qquad\forall a\in K_{\mathfrak p}^\times
:(a,b)_{\mathfrak p}=(b,a)_{\mathfrak p}^{-1}\qquad\forall a,b\in K_{\mathfrak p}^\times
:(a,bc)_{\mathfrak p}=(a,b)_{\mathfrak p}(a,c)_{\mathfrak p}\qquad\forall a,b,c\in K_{\mathfrak p}^\times
:(ab,c)_{\mathfrak p}=(a,c)_{\mathfrak p}(b,c)_{\mathfrak p}\qquad\forall a,b,c\in K_{\mathfrak p}^\times

### 유리수체의 국소 힐베르트 기호
실수체에서는
:\left(\frac{a,b}\infty\right)=\begin{cases}+1&\max{a,b}>0\\-1&\max{a,b}
이다.

2진수체에서, a와 b가 정수이고
:a=2^\alpha u
:b=2^\beta v
:2\nmid u,v
라면,
:\left(\frac{a,b}2\right) = (-1)^{(u-1)(v-1)/4 + \alpha(v^2-1)/8+\beta(u^2-1)/8}
이다.

홀수 소수 p에 대한 <math>p</math>진수체에서, a와 b가 정수이고
:a=p^\alpha u
:b=p^\beta v
:p\nmid u,v
라면,
:\left(\frac{a,b}p\right) = (-1)^{\alpha\beta(p-1)/2} \left(\frac up\right)^\beta \left(\frac vp\right)^\alpha
이다. 여기서 \textstyle(\frac ab)는 르장드르 기호이다.

### 힐베르트 상호 법칙
**힐베르트 상호 법칙**(Hilbert相互法則, )에 따르면, 임의의 대수적 수체 K의 두 원소 a,b\in K에 대하여, (\tfrac{a,b}{\mathfrak p})\ne1인 자리 \mathfrak p의 수는 유한하며, 또한
:\prod_{\mathfrak p}\left(\frac{a,b}{\mathfrak p}\right) = 1
이다. 여기서 \textstyle\prod_{\mathfrak p}는 모든 자리에 대한 곱이다.

힐베르트 상호 법칙은 이차 상호 법칙을 일반화한다. 만약 a와 b가 서로 다른 양의 홀수 소수라면, 유리수체의 국소 힐베르트 기호들을 계산하면 다음과 같다.
:\left(\frac{a,b}\infty\right)=1
:\left(\frac{a,b}2\right)=(-1)^{(a-1)(b-1)/4}
:\left(\frac{a,b}p\right)=1\qquad(a\ne p\ne b)
:\left(\frac{a,b}a\right)=\left(\frac ba\right)
:\left(\frac{a,b}b\right)=\left(\frac ab\right)
따라서
:\prod_{\mathfrak p}\left(\frac{a,b}{\mathfrak p}\right)=(-1)^{(a-1)(b-1)/4}\left(\frac ab\right)\left(\frac ba\right)=1
이다.

## 역사
다비트 힐베르트가 1897년에 도입하였다.

## 같이 보기
* 아즈마야 대수
## 참고 문헌

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## 외부 링크
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분류:유체론
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