모듈러 람다 함수

수학에서 **모듈러 람다 함수**()는 합동 부분군 \Gamma(2)에 대하여 불변인 모듈러 함수이다. 이 함수를 통해, 타원 곡선은 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다.

## 정의
\mathbb H가 복소 상반평면이라고 하자. **모듈러 람다 함수** \lambda\colon\mathbb H\to\mathbb C는 바이어슈트라스 타원함수로 다음과 같이 정의할 수 있다. 만약 \tau=\omega_2/\omega_1이라면,
:\lambda(\tau)=\frac{\wp(\omega_1/2+\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)-\wp(\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)}{\wp(\omega_1/2;\omega_1,\omega_2)-\wp(\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)}
이다. 또한, 야코비 세타 함수나 데데킨트 에타 함수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:\lambda(\tau) = \frac{\theta_2^4(0,\tau)}{\theta_3^4(0,\tau)} = \left(\frac{\sqrt2\eta(\tau/2)\eta^2(2\tau)}{\eta^3(\tau)}\right)^8

## 성질
바이어슈트라스 타원함수 \wp(-;\omega_1,\omega_2)\colon\mathbb C/\langle\omega_1,\omega_2\rangle\to\widehat{\mathbb C}는 타원 곡선\mathbb C/\langle1,\tau\rangle에서 리만 구면 \widehat{\mathbb C}으로 가는 함수이며, 이는 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다. 이 피복사상은 4개의 점
:e_1=\wp(\omega_1/2;\omega_1,\omega_2)
:e_2=\wp(\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)
:e_3=\wp(\omega_1/2+\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)
:e_4=\wp(0;\omega_1,\omega_2)=\widehat\infty
에서 분기화하며, 모듈러 람다 함수는 이 점들의 비조화비(anharmonic ratio)이다.
:\lambda(\omega_2/\omega_1)=\frac{(e_3-e_2)(e_4-e_1)}{(e_1-e_2)(e_4-e_3)}=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}
이에 따라, \lambda는 비조화군(anharmonic group) \Gamma(1)/\Gamma(2)\cong S_3의 작용에 따라 변환한다.

### 함수 방정식
모듈러 람다 함수 \lambda(\tau)는 합동 부분군 \Gamma(2)에 대해 불변이다. 즉, 다음과 같은 **함수 방정식**을 만족시킨다. 모든 \tau\in\mathbb C에 대하여, 다음이 성립한다.
:\lambda(\tau+2)=\lambda(\tau/(1-2\tau))=\lambda(\tau)
이에 따라, 모듈러 람다 함수는 종수 0의 리만 곡면인 모듈러 곡선 X(2)=\mathbb H/\Gamma(2)와 리만 구면 \hat{\mathbb C} 사이의 구체적인 동형사상을 정의한다.
모듈러 군 \Gamma(1)=\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)에 대해서는 다음과 같이 변환한다.
:\lambda(\tau+1)=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}
:\lambda(-1/\tau)=\lambda(\tau)-1

### 급수 전개
q=\exp(\pi i\tau)에 대한 급수 전개는 다음과 같다. 
: \lambda(\tau) = 16q - 128q^2 + 704 q^3 - 3072q^4 + 11488q^5 - 38400q^6 + \dots

## 타원의 모듈러스

### 정의 및 계산
함수 λ*(x) 람다 별은 타원 모듈러스를 제공하므로 모듈러스 자체의 완전한 타원 적분으로 나눈 모듈러스의 반대 피타고라스의 완전한 타원 적분의 몫은 x의 제곱근과 같다.
:\frac{K[\sqrt{1-\lambda^*(x)^2}]}{K[\lambda^*(x)]} = \sqrt{x}
K는 제 1 종 완전 타원 적분이다.

함수 λ*(x)의 값은 다음과 같이 계산할 수 있다: 
:\lambda^*(x) = \frac{\vartheta^2_2[0;\exp(-\pi\sqrt{x})]}{\vartheta^2_3[0;\exp(-\pi\sqrt{x})]}
:\lambda^*(x) = \biggl\{\sum_{a=-\infty}^\infty\exp[-(a+1/2)^2\pi\sqrt{x}]\biggr\}^2 \biggl[\sum_{a=-\infty}^\infty\exp(-a^2\pi\sqrt{x})\biggr]^{-2}
:\lambda^*(x) = \biggl\{\sum_{a=-\infty}^\infty\operatorname{sech}[(a+1/2)\pi\sqrt{x}]\biggr\} \biggl[\sum_{a=-\infty}^\infty\operatorname{sech}(a\pi\sqrt{x})\biggr]^{-1}
함수 λ*(x) 및 λ(x)는 다음과 같이 서로 관련된다:
:\lambda^*(x) = \sqrt{\lambda(i\sqrt{x})}

### 성질 및 값
양의 유리수의 모든 λ*(x)-값은 대수적이다.
:\lambda^*(x \in \mathbb{Q}^+) \in \mathbb{A}^+
다음 표현식은 모든 n ∈ ℕ에 유효한다:
:\sqrt{n} =  \sum_{a = 1}^{n} \operatorname{dn}\biggl\{\frac{2a}{n}K\biggl[\lambda^*\biggl(\frac{1}{n}\biggr)\biggr];\lambda^*\biggl(\frac{1}{n}\biggr)\biggr\}
표현 dn은 진폭의 델타 야코비 타원함수를 나타낸다.

하나의 람다 값에서 다음과 같이 다른 람다 값이 파생 될 수 있다.
:\lambda^*(n^2 x) = \lambda^*(x)^n\prod_{a=1}^{n}\operatorname{sn}\left\{\frac{2a-1}{n}K[\lambda^*(x)];\lambda^*(x)\right\}^2
표현 sn은 진폭의 사인 야코비 타원함수를 나타낸다.

그 표현에서 n은 자연수 ℕ에 속해야한다.

이 모든 방정식도 유효하다:
:\lambda^*(x)^2 + \lambda^*(1/x)^2 = 1
:\lambda^*(4x) = \frac{1-\sqrt{1-\lambda^*(x)^2}}{1+\sqrt{1-\lambda^*(x)^2}} = \tan\{\arcsin[\lambda^*(x)]/2\}^2
:\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}\tan\{2\arctan[\lambda^*(4/x)]\} = 1
:\lambda^*(x)\lambda^*(4/x)+\lambda^*(x)+\lambda^*(4/x) = 1
:\lambda^*(x) - \lambda^*(9x) = 2\lambda^*(x)^{1/4}\lambda^*(9x)^{1/4} - 2\lambda^*(x)^{3/4}\lambda^*(9x)^{3/4}
:\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\} - \tan\{2\arctan[\lambda^*(9x)]\} =
:= 2\sqrt{2}\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}^{1/4}\tan\{2\arctan[\lambda^*(9x)]\}^{1/4} + 2\sqrt{2}\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}^{3/4}\tan\{2\arctan[\lambda^*(9x)]\}^{3/4}
:\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}^{1/2} - \tan\{2\arctan[\lambda^*(25x)]\}^{1/2} =
:= 2\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}^{1/12}\tan\{2\arctan[\lambda^*(25x)]\}^{1/12} + 2\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}^{5/12}\tan\{2\arctan[\lambda^*(25x)]\}^{5/12}
홀수 (8z+1) 위치의 람다 값:
:\lambda^*(1) = \tfrac{1}{2}\sqrt{2}
:\lambda^*(9) = \tfrac{1}{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{2}-\sqrt[4]{3})
:\lambda^*(17) = \sin\{\tfrac{1}{2}\arcsin[(\tfrac{5}{4}+\tfrac{1}{4}\sqrt{17}-\tfrac{1}{4}\sqrt{10\sqrt{17}+26})^3]\}
:\lambda^*(25) = \tfrac{1}{2}\sqrt{2}(\sqrt{5}-2)(3-2\sqrt[4]{5})
:\lambda^*(33) = \sin\{\tfrac{1}{2}\arcsin[(10-3\sqrt{11})(2-\sqrt{3})^3]\}
:\lambda^*(41) = \sin\{\tfrac{1}{2}\arcsin[(\tfrac{1}{8}\sqrt{41}+\tfrac{5}{8}+\tfrac{1}{8}\sqrt{2\sqrt{41}+10}-\tfrac{1}{4}\sqrt{\sqrt{58\sqrt{41}+370}+3\sqrt{41}+3})^6]\}
:\lambda^*(49) = \tfrac{1}{1024}\sqrt{2}[2\sqrt{2}-\sqrt[8]{28}\sqrt{3+\sqrt{7}}(\sqrt[4]{28}-\sqrt{7}+1)]^4
홀수 (8z+5) 위치의 람다 값:
:\lambda^*(5) = \sin[\tfrac{1}{2}\arcsin(\sqrt{5}-2)]
:\lambda^*(13) = \sin[\tfrac{1}{2}\arcsin(5\sqrt{13}-18)]
:\lambda^*(21) = \sin\{\tfrac{1}{2}\arcsin[(8-3\sqrt{7})(2\sqrt{7}-3\sqrt{3})]\}
홀수 (4z+3) 위치의 람다 값:
:\lambda^*(3) = \tfrac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)
:\lambda^*(7) = \tfrac{1}{8}\sqrt{2}(3-\sqrt{7})
:\lambda^*(11) = \tfrac{1}{16}\sqrt{2}(\sqrt{11}+3)(\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3}+2\sqrt{11}}-\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3}-2\sqrt{11}}+\tfrac{1}{3}\sqrt{11}-1)^4
:\lambda^*(15) = \tfrac{1}{16}\sqrt{2}(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})
:\lambda^*(19) = \tfrac{1}{16}\sqrt{2}(3\sqrt{19}+13)[\tfrac{1}{6}(\sqrt{19}-2+\sqrt{3})\sqrt[3]{3\sqrt{3}-\sqrt{19}}-\tfrac{1}{6}(\sqrt{19}-2-\sqrt{3})\sqrt[3]{3\sqrt{3}+\sqrt{19}}-\tfrac{1}{3}(5-\sqrt{19})]^4
:\lambda^*(23) = \tfrac{1}{32}\sqrt{2}(5+\sqrt{23})[\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{6}(\sqrt{3}+1)\sqrt[3]{100-12\sqrt{69}}-\tfrac{1}{6}(\sqrt{3}-1)\sqrt[3]{100+12\sqrt{69}}]^4
짝수 (8z+2) 위치의 람다 값:
:\lambda^*(2) = \sqrt{2}-1
:\lambda^*(10) = (\sqrt{10}-3)(\sqrt{2}-1)^2
:\lambda^*(18) = (2-\sqrt{3})^2(\sqrt{2}-1)^3
:\lambda^*(26) = (\sqrt{26}+5)(\sqrt{2}-1)^2\tan[\tfrac{1}{4}\pi-\arctan(\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{3\sqrt{3}+\sqrt{26}}-\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{3\sqrt{3}-\sqrt{26}}+\tfrac{1}{6}\sqrt{26}-\tfrac{1}{2}\sqrt{2})]^4
:\lambda^*(34) = \tan\{\tfrac{1}{2}\arctan[(\tfrac{1}{4}\sqrt{14+2\sqrt{17}}-\tfrac{1}{4}\sqrt{2\sqrt{17}-2})^{12}]\}
:\lambda^*(42) = (8-3\sqrt{7})(\sqrt{7}-\sqrt{6})(2-\sqrt{3})^2(\sqrt{2}-1)^2
:\lambda^*(50) = (\sqrt{2}-1)\tan[\arctan(\tfrac{1}{3}\sqrt{5}-\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{30}+4\sqrt{5}}+\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{30}-4\sqrt{5}})-\tfrac{1}{8}\pi]^4
:\lambda^*(58) = (13\sqrt{58}-99)(\sqrt{2}-1)^6
:\lambda^*(66) = \tan\{\tfrac{1}{4}\arcsin[(\tfrac{13}{62}+\tfrac{1}{186}\sqrt{33}-\tfrac{1}{186}\sqrt{3426\sqrt{33}-17790})^2]\}
짝수 (8z+6) 위치의 람다 값:
:\lambda^*(6) = (2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})
:\lambda^*(14) = \tan[\tfrac{1}{4}\arcsin(\tfrac{8}{7}\sqrt{2}-\tfrac{11}{7})]
:\lambda^*(22) = (10-3\sqrt{11})(3\sqrt{11}-7\sqrt{2})
:\lambda^*(30) = (4-\sqrt{15})(\sqrt{6}-\sqrt{5})(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2
:\lambda^*(38) = \tan\{\tfrac{1}{2}\arctan[(\sqrt{2}-1)^6(\tfrac{1}{6}\sqrt[3]{12\sqrt{114}+12\sqrt{57}+52\sqrt{2}+36}-\tfrac{1}{6}\sqrt[3]{12\sqrt{114}+12\sqrt{57}-52\sqrt{2}-36}+\tfrac{1}{3}\sqrt{2})^{12}]\}
:\lambda^*(46) = \tan[\tfrac{1}{4}\arcsin(\tfrac{104}{207}\sqrt{2}-\tfrac{49}{69})]
:\lambda^*(54) = (2-\sqrt{3})^3(\sqrt{3}-\sqrt{2})^3\tan[\arctan(\tfrac{2}{3}\sqrt{3}\sqrt[3]{\sqrt{2}+1}+\tfrac{2}{3}\sqrt{6}\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}+\tfrac{1}{3}\sqrt{6}-\tfrac{1}{3}\sqrt{3})-\tfrac{1}{4}\pi]^4
:\lambda^*(62) = \tan\{\tfrac{1}{2}\arctan[(\tfrac{1}{4}\sqrt{9+5\sqrt{2}}+\tfrac{1}{4}\sqrt{\sqrt{2}+1}-\tfrac{1}{4}\sqrt{2\sqrt{14\sqrt{2}+19}+6\sqrt{2}-6})^{12}]\}
:\lambda^*(70) = (3\sqrt{14}-5\sqrt{5})(8-3\sqrt{7})(6-\sqrt{35})(2\sqrt{2}-\sqrt{7})^2
짝수 4z 위치의 람다 값:
:\lambda^*(4) = (\sqrt{2}-1)^2
:\lambda^*(8) = (\sqrt{2}+1-\sqrt{2\sqrt{2}+2})^2
:\lambda^*(12) = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2(\sqrt{2}-1)^2
:\lambda^*(16) = (\sqrt{2}+1)^2(\sqrt[4]{2}-1)^4

## 참고 문헌
* 
* 

## 외부 링크
* 
*http://amsacta.unibo.it/3883/1/JNT3-2013PostUnibo.pdf
*https://arxiv.org/pdf/2006.12034.pdf

분류:모듈러 형식
분류:타원함수