순서 위상

순서론에서 **순서 위상**(順序位相, )은 전순서 집합 위의, 열린구간으로부터 생성되는 위상이다.

## 정의
원순서 집합 (X,\lesssim)이 주어졌다고 하고, 이로부터 유도되는 동치 관계를
:x\sim y\iff x\lesssim y\lesssim x
로 표기하고, 이에 대한 동치류를
:[x]_\sim=\{y\in X\colon x\sim y\}
로 표기하자. X 위의 **열린 반직선**()을 다음과 같이 표기하자.
:\mathop\uparrow a\setminus[a]_\sim=\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a=\{b\in X\colon a\lesssim b\not\lesssim a\}
:\mathop\downarrow a\setminus[a]_\sim=\mathop\downarrow a\setminus\mathop\uparrow a=\{b\in X\colon b\lesssim a\not\lesssim b\}
여기서 \mathop\uparrow는 상폐포이며, \mathop\downarrow는 하폐포이다.

### 순서 위상
X 위의, 다음과 같은 집합족을 부분 기저로 삼은 위상을 **순서 위상**이라고 한다.
:\{\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a\}_{a\in X}\cup\{\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b\}_{b\in X}
즉, X의 기저는 다음과 같은 꼴이다.
:(\mathop\uparrow a_1\setminus\mathop\downarrow a_1)\cap\cdots\cap(\mathop\uparrow a_m\setminus\mathop\downarrow a_m)
\cap(\mathop\downarrow b_1\setminus\mathop\uparrow b_1)\cap\cdots\cap(\mathop\downarrow b_n\setminus\mathop\uparrow b_n)
\qquad(m,n\in\mathbb N,\;a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_n\in X)
(여기서, 0개의 부분 집합들의 교집합은 X 전체이다.)

만약 X가 격자라면, X의 순서 위상의 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:\{(\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a)\cap(\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b)\}_{a,b\in X}
\cup\{\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a\}_{a\in X}\cup\{\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b\}_{b\in X}\cup\{X\}
다음과 같이 구간 표기법
:(a,\infty)=\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a
:(-\infty,b)=\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b
:(a,b)=(a,\infty)\cap(-\infty,b)
:(-\infty,\infty)=X
:(\infty,b)=(a,-\infty)=(\infty,-\infty)=\varnothing
을 적용하면, 이는 다음과 같다.
:\{(a,b)\}_{a,b\in X\sqcup\{\pm\infty\}}
만약 X가 유계 격자라면, X의 순서 위상의 한 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:\{(a,b)\}_{a,b\in X}

### 하위상과 상위상
(X,\lesssim) 위의 **하위상**() 또는 **좌위상**()은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다.
:\{X\setminus\mathop\uparrow b\}_{a\in X}
만약 X가 전순서 집합이라면, 이 부분 기저의 원소는 열린 반직선
:X\setminus\mathop\uparrow b=\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b=(-\infty,b)
들이다.

마찬가지로, (X,\lesssim) 위의 **상위상**() 또는 **우위상**()은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다.
:\{X\setminus\mathop\downarrow a\}_{a\in X}
만약 X가 전순서 집합이라면,
:X\setminus\mathop\downarrow a=\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a=(a,\infty)
이다.

### 하극한 위상과 상극한 위상
(X,\lesssim) 위의 **하극한 위상**() 또는 **하 조르겐프라이 위상**()은 다음 부분 기저로 생성된다.
:\{\mathop\uparrow a\cap(\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b)\}_{a,b\in X}\cup\{\mathop\uparrow a\}_{a\in X}
이를 구간 표기법으로 쓰면 다음과 같다.
:\{[a,b)\}_{a\in X,b\in X\sqcup\{\infty\}}
만약 X가 격자이거나, X의 반대 순서 집합이 나무라면, 위 부분 기저는 X의 하극한 위상의 기저를 이룬다. 만약 X가 격자이며, 최대 원소를 가지지 않는다면, 다음 집합족 역시 X의 하극한 위상의 기저를 이룬다.
:\{[a,b)\}_{a,b\in X}

마찬가지로, (X,\lesssim) 위의 **상극한 위상**() 또는 **상 조르겐프라이 위상**()은 다음 부분 기저를 갖는다.
:\{(\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a)\cap\mathop\downarrow b\}_{a,b\in X}\cup\{\mathop\downarrow b\}_{b\in X}
즉,
:\{(a,b]\}_{a\in X\sqcup\{-\infty\},b\in X}
만약 X가 격자이거나 나무라면, 이는 상극한 위상의 기저를 이룬다. 만약 X가 최소 원소를 갖지 않는 격자라면, 상극한 위상은 다음과 같은 기저를 갖는다.
:\{(a,b]\}_{a,b\in X}

## 성질
순서 위상을 준 전순서 집합은 항상 완비 정규 하우스도르프 공간이며, 완비 가산 파라콤팩트 공간이며, 완비 직교 콤팩트 공간이다.

유한 전순서 집합 위의 순서 위상은 이산 위상이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 선형 연속체이다.
* 순서 위상을 가했을 때, 연결 공간이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 완비 격자이다.
* 순서 위상을 가했을 때, 콤팩트 공간이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 순서 위상을 가했을 때, 파라콤팩트 공간이다.
* 순서 위상을 가했을 때, 메타콤팩트 공간이다.

## 예
### 유한 집합
\{a,b\}의 멱집합 위의 순서 위상을 생각하자. 이 경우, 열린집합은 다음과 같이 7개이다.
:\left\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}
:\left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}
:\left\{\{a\},\{b\},\varnothing\right\}
:\left\{\{a\},\{b\}\right\}
:\left\{\{a,b\}\right\}
:\{\varnothing\}
:\varnothing

\{a,b\}의 멱집합 위의 상순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.
:\left\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}
:\left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}
:\left\{\{a,b\}\right\}
:\varnothing

\{a,b\}의 멱집합 위의 하순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.
:\left\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}
:\left\{\varnothing,\{a\},\{b\}\right\}
:\left\{\varnothing\right\}
:\varnothing

### 자명한 순서
집합 X 위의 동치 관계는 (자명한) 원순서를 이룬다. 이 경우, 이에 대한 순서 위상 · 상위상 · 하위상은 모두 비이산 위상이다.

### 순서체
실수체 \mathbb R, 유리수체 \mathbb Q, 정수환 \mathbb Z 자연수 집합 \mathbb N 위의 표준적 위상은 순서 위상이다. (\mathbb Z와 \mathbb N의 경우 이는 이산 위상이다.)

초실수체 {}^*\mathbb R에도 순서 위상을 줄 수 있다. 이 경우 {}^*\mathbb R는 완전 분리 공간이 된다.

실수체 \mathbb R 위에 하극한 위상을 부여하여 만든 위상 공간을 **조르겐프라이 직선**()이라고 한다. 조르겐프라이 직선은 다음 성질들을 만족시킨다.
* 완전 정규 하우스도르프 공간이며, 린델뢰프 공간이다. (따라서, 파라콤팩트 공간이다.)
* 분해 가능 공간이며, 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다. (따라서, 거리화 가능 공간이 아니다.)
*이다.
* 완전 분리 공간이다.

두 조르겐프라이 직선의 곱공간은 **조르겐프라이 평면**()이라고 한다. 이는 정규 공간이 아니다. 따라서 이는 파라콤팩트 공간이 아니며, 린델뢰프 공간이 아니다.

### 순서수의 위상
순서수 \alpha는 정렬 집합이므로, 여기에 순서 위상을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다. 이 경우, \alpha의 극한점은 \alpha보다 작은 극한 순서수이다.

순서 위상을 주었을 때, 모든 순서수는 완전 분리 공간이다. 최초의 비가산 순서수 \omega_1은 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이 아니며, 완전 정규 공간이 아니다. \omega_1+1은 제1 가산 공간·제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이며, 완전 정규 공간이 아니다. \omega_1+1은 \omega의 스톤-체흐 콤팩트화이자 알렉산드로프 콤팩트화이다.

### 전순서 집합의 부분 집합
전순서 집합 (X,\le)의 부분 집합 Y\subseteq X 위에서, 다음 두 가지 위상을 생각할 수 있다.
* (X,\le) 위에 순서 위상을 주었을 때, Y 위의 부분 공간 위상
* (Y,\le\restriction Y) 위의 순서 위상
전자는 후자보다 더 섬세한 위상이지만, 전자와 후자는 일반적으로 일치하지 않는다. 예를 들어, 실수의 순서체 \mathbb R의 부분 집합
:(0,1)\cup[2,3)
에서,
:[2,3)
는 전자의 위상에 대하여 열린집합이지만, 후자의 위상에 대한 열린집합이 아니다.

만약 Y가 순서 볼록 집합이라면, 이 두 위상은 서로 일치한다.

## 같이 보기
* 긴 직선
* 선형 연속체

## 각주

## 외부 링크
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분류:순서론
분류:일반위상수학