바젤 문제

**바젤 문제**()는 1650년 이탈리아의 수학자 피에트로 멩골리()에 의해 제기된 것으로 다음의 급수를 닫힌 형식으로 나타내라는 것이었다.

:
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} =
1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots. 

이 문제는 제안된 이후 80여년 동안 많은 수학자들이 도전했지만 풀 수 없었던 난제였다. '바젤 문제'라는 이름은 이 문제를 수학계에 널리 알린 야코프 베르누이가 재직하던 스위스 바젤시의 바젤 대학에서 유래된 것이다.

레온하르트 오일러는 1735년에 이 급수가 \frac{\pi^2}{6} 로 수렴함을 증명하였다. 그러나 그의 초기 증명은 엄밀하지 못하였으며, 그는 1741년에 더욱 엄밀한 증명을 발표하였다.

:

## 오일러의 풀이
오일러는 다음과 같은 과정을 통해 바젤 문제의 무한 급수의 수렴값이 \frac{\pi^2}{6}\,임을 도출해 내었다.

원래의 풀이는 엄밀하지 못한 방법이었으나, 약 100년 후 카를 바이어슈트라스가 바이어슈트라스 곱 정리를 통해 오일러의 증명이 타당함을 보였다.

먼저, 사인 함수의 테일러 급수를 생각하면
:\begin{align}
\sin x = \sum_{k=0}^\infin \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} = x - {\frac{x^3}{3!}} + {\frac{x^5}{5!}} - {\frac{x^7}{7!}} + \cdots
\\ \Rightarrow \frac{\sin x}{x} = \sum_{k=0}^{\infin} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k} = 1 - {\frac{x^2}{3!}} + {\frac{x^4}{5!}} - {\frac{x^6}{7!}} + \cdots
\\ \end{align} 

\frac{\sin x}{x} = 0 는 x = n\pi (n\in\mathbb{Z}-\{0\})  가 이 방정식의 근이 되므로

\frac{\sin x}{x} 는 적당한 상수 A  에 대하여 바이어슈트라스의 곱정리에 따라 다음과 같이 인수분해할 수 있다. (오일러는 이 부분에서 엄밀하지 못한 가정을 사용하였다.)
:\begin{alignat}{2} \frac{\sin x}{x} & = 
A \prod_{n\in\mathbb{Z}-\{0\}} (1 - \frac{x}{n\pi}) = 
A (1 - \frac{x}{ \pi})(1 + \frac{x}{ \pi})(1 - \frac{x}{2\pi})(1 + \frac{x}{2\pi})\cdots
\\ & = A \prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}) = 
A (1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\frac{x^2}{9\pi^2})\cdots
\\ \end{alignat} 

여기서 양변에 극한을 취함으로써 A  의 값을 알 수 있다.
:\begin{alignat}{3}
& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 
\lim_{x \rightarrow 0} A \prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2})
\\ & \Longrightarrow\ 1 = A\ (\prod_{n = 1}^\infin 1)
\\ & \Longrightarrow\ A = 1
\\ \end{alignat} \therefore \frac{\sin x}{x} = 
\prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}) = 
(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\frac{x^2}{9\pi^2})\cdots 

이제 우리는 \frac{\sin x}{x}  에 관한 두 개의 식을 이용해 다음과 같은 항등식을 도출할 수 있다.
:\sum_{k=0}^{\infin} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k} =
\prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}) 

위 식에서 이차항을 비교하면
:\begin{align}
-\frac{1}{3!} = \sum_{n = 1}^\infin (-\frac{1}{n^2 \pi^2})
\\ \Longrightarrow -\frac{1}{6} = -\frac{1}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2}
\\ \end{align} 
:

적절한 변형을 통해 우리가 원하는 결론을 얻을 수 있다.
:\therefore\ \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}. 

### 오일러의 접근법을 이용한 바젤 문제의 일반화
위에서 구한 \sum_{k=0}^{\infin} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k} =
\prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}) 에서 2k
 차 항을 비교하면 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다. (단, B_n 은 베르누이 수)
:\sum_{k=1}^\infin \frac{1}{k^{2n}} = \frac{(-1)^{n-1} (2\pi)^{2n}}{2\cdot(2n)!}B_{2n}. 

좌변을 리만 제타 함수로 나타내면 0 이상의 짝수의 함수값을 구할 수 있다.
:
\zeta(2n) = \frac{(-1)^{n-1} (2\pi)^{2n}}{2\cdot(2n)!}B_{2n}.


## 리만 제타 함수와의 관계
오일러는 이러한 형식을 갖는 급수를 리만 제타 함수로 일반화하여 모든 0 이상의 짝수에 대하여 수렴값을 닫힌 형식으로 구할 수 있는 방법을 제시하였다.

:
\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s}\cdots. 

오일러는 제타 함수의 급수를 구하면서 이것이 소수에 대하여 다음과 같은 곱으로도 표현될 수도 있음을 발견하였다.

:
\zeta(s) =
\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}=
\frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots


따라서 제타 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있으며 이를 오일러의 곱셈 공식이라 한다.

:
\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}


## 같이 보기
* 리만 제타 함수

## 각주


## 참고 문헌
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## 외부 링크
* An infinite series of surprises by C. J. Sangwin
* Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques, English translation with notes of Euler’s paper by Lucas Willis and Thomas J. Osler
* How Euler did it 
* The infinite series of Euler and the Bernoulli's spice up a calculus class
* Evaluating ζ(2) , Fourteen proofs compiled by Robin Chapman

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