좌굴

[섬네일|[보잉 B-52 스트래토포트리스 항공기의 좌굴된 스킨 패널. 얇은 스킨 패널은 매우 낮은 하중에서도 좌굴된다. 여기에 표시된 경우, 기수 착륙 장치 앞쪽 동체 구조의 무게만으로도 패널이 좌굴될 수 있다. 좌굴된 패널은 대각선 장력을 통해 전단을 전달하는 데 여전히 효과적이다.]]
구조공학에서 **좌굴** 또는 **버클링**(buckling)은 구조적 하중을 받는 구조 부재의 급격한 형태 변화(일그러짐 (공학))를 말하며, 예를 들어 기둥이 압축 (물리학)을 받아 휘거나 판이 층밀림을 받아 주름이 생기는 것을 들 수 있다. 구조물이 점진적으로 증가하는 하중을 받을 때, 하중이 임계 수준에 도달하면 부재가 갑자기 형태를 바꾸고 구조물과 부재가 좌굴되었다고 한다. 오일러 임계 하중과 존슨의 포물선 공식은 기둥의 좌굴 응력을 결정하는 데 사용된다.

좌굴은 구조물에 발생하는 변형력이 구조물을 구성하는 재료의 파괴를 일으키는 데 필요한 응력보다 훨씬 낮은 경우에도 발생할 수 있다. 추가적인 하중은 상당하고 다소 예측할 수 없는 변형을 일으켜 부재의 하중 지지 능력을 완전히 상실하게 만들 수도 있다. 그러나 좌굴 후 발생하는 변형이 해당 부재의 완전한 붕괴를 유발하지 않으면, 부재는 좌굴을 유발한 하중을 계속 지지할 것이다. 좌굴된 부재가 건물과 같은 더 큰 구성 요소 집합의 일부인 경우, 부재가 좌굴을 유발한 하중을 초과하여 구조물의 좌굴된 부분에 가해지는 모든 하중은 구조물 내에서 재분배된다. 일부 항공기는 얇은 스킨 패널이 좌굴 상태에서도 계속 하중을 지지하도록 설계된다.

## 좌굴의 형태
### 기둥
섬네일|right|동심 축 하중을 받는 기둥이 좌굴의 특징적인 변형을 보인다.
섬네일|right|축력의 편심은 보 부재에 작용하는 굽힘 모멘트를 초래한다.
기둥의 유효 길이와 단면의 최소 회전 반경의 비율을 세장비 (때로는 그리스 문자 람다, λ로 표현)라고 한다. 이 비율은 기둥과 그 파괴 모드를 분류하는 수단을 제공한다. 세장비는 설계 고려 사항에 중요하다. 다음은 모두 편의를 위해 사용되는 근사 값이다.

기둥에 가해지는 하중이 단면의 무게 중심 (중심)을 통해 가해지면 축 구조적 하중이라고 한다. 단면의 다른 지점에 가해지는 하중은 편심 하중으로 알려져 있다. 축 하중을 받는 짧은 기둥은 좌굴되기 전에 직접 압축으로 인해 파괴되지만, 동일한 방식으로 하중을 받는 긴 기둥은 굽힘 모드에서 갑자기 횡방향으로 바깥쪽으로 튀어나와 (좌굴) 파괴된다. 처짐 (공학)의 좌굴 모드는 파괴 모드로 간주되며, 일반적으로 축 압축 응력 (직접 압축)이 해당 압축 부재의 항복 또는 파괴로 인한 재료 파괴를 일으키기 전에 발생한다. 그러나 중간 길이의 기둥은 직접 압축 응력과 굽힘의 조합으로 파괴된다.

특히:
* 짧은 강철 기둥은 세장비가 50을 초과하지 않는 것이며; 중간 길이 강철 기둥은 세장비가 약 50에서 200까지이며 그 거동은 재료의 강도 한계에 의해 지배되며, 긴 강철 기둥은 세장비가 200보다 크다고 가정할 수 있으며 그 거동은 재료의 탄성 계수에 의해 지배된다.
* 짧은 콘크리트 기둥은 지지되지 않은 길이와 단면의 최소 치수 비율이 10 이하인 것이다. 비율이 10보다 크면 긴 기둥 (때로는 가는 기둥)으로 간주된다.
* 목재 기둥은 길이와 단면의 최소 치수 비율이 10 이하인 경우 짧은 기둥으로 분류할 수 있다. 중간 및 긴 목재 기둥 사이의 구분선은 쉽게 평가할 수 없다. 긴 목재 기둥의 하한을 정의하는 한 가지 방법은 길이와 최소 단면적의 비율이 재료의 특정 상수 K를 약간 초과하는 가장 작은 값으로 설정하는 것이다. K는 탄성 계수와 결 평행 허용 압축 응력 (물리학)에 따라 달라지므로, 이 임의의 한계는 목재의 종 (생물학)에 따라 달라질 것이다. K 값은 대부분의 구조 핸드북에 나와 있다.

기둥의 거동에 대한 이론은 1757년 수학자 레온하르트 오일러에 의해 연구되었다. 그는 길고 가는 이상적인 기둥이 좌굴 없이 지탱할 수 있는 최대 축 하중을 제공하는 오일러 임계 하중이라는 공식을 유도했다. 이상적인 기둥은 다음과 같다.

* 완벽하게 직선
* 균질한 재료로 만들어짐
* 초기 응력 없음

가해진 하중이 오일러 하중, 때로는 임계 하중이라고 불리는 하중에 도달하면 기둥은 불안정한 정적 평형 상태가 된다. 그 하중에서 아주 작은 횡력이 가해지면 기둥은 갑자기 새로운 형상으로 "점프"하여 파괴되며, 기둥이 좌굴되었다고 한다. 이것은 사람이 빈 알루미늄 캔 위에 서서 옆을 살짝 두드리면 캔이 즉시 찌그러지는 (캔의 수직 측면은 무한한 극도로 얇은 기둥의 연속으로 이해할 수 있다) 경우에 발생한다. 길고 가는 기둥에 대해 오일러가 유도한 공식은 다음과 같다.

 F_c = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2} 

여기서
* F_c, 최대 또는 임계 힘 (물리학) (기둥에 가해지는 수직 하중),
* E, 탄성 계수,
* I, 기둥 단면의 가장 작은 단면 이차 모멘트,
* L, 기둥의 지지되지 않은 길이,
* K, 기둥 유효 길이 계수, 그 값은 기둥의 끝 지지 조건에 따라 달라진다.
** 양쪽 끝이 핀으로 고정된 경우 (경첩, 자유롭게 회전 가능), K = 1.0.
** 양쪽 끝이 고정된 경우, K = 0.50.
** 한쪽 끝이 고정되고 다른 쪽 끝이 핀으로 고정된 경우, K \approx 0.699.
** 한쪽 끝이 고정되고 다른 쪽 끝이 횡방향으로 자유롭게 움직이는 경우, K = 2.0.
* K L은 기둥의 유효 길이이다.

이 공식을 검토하면 가는 기둥의 하중 지지 능력에 관하여 다음 사실을 알 수 있다.
* 기둥의 재료의 탄성이 기둥의 압축 강도가 아닌 기둥의 좌굴 하중을 결정한다.
* 좌굴 하중은 단면의 단면 이차 모멘트에 비례한다.
* 경계 조건은 가는 기둥의 임계 하중에 상당한 영향을 미친다. 경계 조건은 기둥의 굽힘 모드와 처진 기둥의 변위 곡선에 있는 변곡점 사이의 거리를 결정한다. 기둥의 처짐 형상에서 변곡점은 기둥의 곡률이 부호를 바꾸는 지점이며 기둥의 내부 굽힘 모멘트가 0이 되는 지점이기도 하다. 변곡점이 가까울수록 기둥의 결과적인 축 하중 용량 (좌굴 하중)이 커진다.

섬네일|right|다양한 오일러 좌굴 모드를 보여주는 시연 모형. 이 모형은 경계 조건이 가는 기둥의 임계 하중에 어떻게 영향을 미치는지 보여준다. 기둥은 경계 조건 외에는 동일하다.

위에서 얻을 수 있는 결론은 기둥의 좌굴 하중은 탄성 계수(E)가 더 높은 재료로 바꾸거나, 관성 모멘트를 증가시키도록 기둥 단면의 설계를 변경함으로써 증가시킬 수 있다는 것이다. 후자는 기둥의 재료를 기둥 단면의 주축에서 가능한 한 멀리 분산시켜 기둥의 무게를 늘리지 않고도 할 수 있다. 대부분의 목적을 위해, 기둥 재료의 가장 효과적인 사용은 튜브형 단면이다.

이 방정식에서 얻을 수 있는 또 다른 통찰력은 길이에 따른 임계 하중의 영향이다. 기둥의 지지되지 않은 길이를 두 배로 늘리면 허용 하중은 4분의 1로 줄어든다. 기둥의 끝 연결부가 제공하는 구속도 임계 하중에 영향을 미친다. 연결부가 완벽하게 강성인 경우 (끝이 회전하지 않도록 허용), 임계 하중은 끝이 핀으로 고정된 (끝이 회전하도록 허용) 유사한 기둥의 4배가 된다.

회전 반경이 축에 대한 기둥의 관성 모멘트와 단면적의 비율의 제곱근으로 정의되므로, 위 오일러 공식은 회전 반경 A r^2를 I 대신 대입하여 다음과 같이 재구성할 수 있다.

\sigma = \frac{F}{A} = \frac{\pi^2 E}{(l/r)^2}

여기서 \sigma = F/A는 기둥에 좌굴을 유발하는 응력이며, l/r은 세장비이다.

구조용 기둥은 일반적으로 중간 길이이므로 오일러 공식은 일반적인 설계에 실용적인 적용 범위가 적다. 순수한 오일러 기둥 거동에서 벗어나게 하는 문제는 기둥의 기하학적 형상 불완전성과 기둥 재료의 소성/비선형 응력-변형률 거동이 결합된 것이다. 결과적으로, 시험 데이터와 일치하는 여러 경험적 기둥 공식이 개발되었으며, 이들 모두 세장비를 포함한다. 기둥 거동의 불확실성으로 인해 설계에는 이러한 공식에 적절한 안전율이 도입된다. 그러한 공식 중 하나는 가정된 작은 초기 곡률, 즉 축 하중의 편심을 기반으로 임계 좌굴 하중을 추정하는 페리 로버트슨 공식이다. 윌리엄 존 맥쿼른 랭킨과 페리 휴즈워스 고든 (1899 – 1966)의 이름을 딴 랭킨 고든 공식도 실험 결과에 기반하며, 기둥이 다음 공식으로 주어지는 하중 Fmax에서 좌굴될 것이라고 제안한다.
\frac{1}{F_\max} = \frac{1}{F_e} + \frac{1}{F_c}

여기서 F_e는 오일러 최대 하중이고 F_c는 최대 압축 하중이다. 이 공식은 일반적으로 F_\max의 보수적인 추정치를 생성한다.

#### 자중 좌굴

밀도 \rho, 영률 E, 단면적 A를 갖는 자유롭게 서 있는 수직 기둥은 높이가 특정 임계값을 초과하면 자중으로 인해 좌굴된다.

h_\text{crit} = \left(\frac{9B^2}{4}\,\frac{EI }{\rho gA}\right)^\frac{1}{3}

여기서 g는 중력 가속도, I는 보 단면의 단면 이차 모멘트이고, B는 1차 베셀 함수의 -1/3차 첫 번째 0점이며, 이는 1.86635086...과 같다.

### 판 좌굴
판 (금속)은 길이와 폭이 비슷한 크기를 가지며, 두께는 다른 두 차원에 비해 매우 작은 3차원 구조물이다. 기둥과 유사하게, 얇은 판은 임계 하중을 받을 때 평면 외 좌굴 변형을 겪지만, 기둥 좌굴과 대조적으로, 좌굴 하중을 받는 판은 국부 좌굴이라고 불리는 하중을 계속 지지할 수 있다. 이 현상은 수많은 시스템에서 매우 유용하며, 시스템이 더 큰 하중 지지 용량을 제공하도록 설계될 수 있게 한다.

각 가장자리를 따라 지지되고 단위 길이당 균일한 압축력을 받는 직사각형 판의 경우, 유도된 지배 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4 w}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4 w}{\partial y^4} = \frac{12\left(1 - \nu^2\right)}{E t^3}\left(-N_x \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}\right)

여기서
* w, 평면 외 처짐
* N_{x}, 균일 분포 압축 하중
* \nu, 푸아송 비
* E, 탄성 계수
* t, 두께

처짐에 대한 해는 다음과 같이 두 조화 함수로 확장될 수 있다.

w = \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty w_{mn}\sin\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin\left(\frac{n\pi y}{b}\right)

여기서
* m, 길이 방향으로 발생하는 반파 사인 곡선의 수
* n, 폭 방향으로 발생하는 반파 사인 곡선의 수
* a, 시편의 길이
* b, 시편의 폭

이전 방정식은 n이 1과 같을 때 앞서의 미분 방정식에 대입될 수 있다. N_x는 분리되어 판의 임계 압축 하중에 대한 방정식을 제공한다.

N_{x, cr} = k_{cr} \frac{\pi^2 Et^3}{12\left(1 - \nu^2\right)b^2}

여기서 좌굴 계수 k_{cr}은 다음과 같이 주어진다.
k_{cr} = \left(\frac{mb}{a} + \frac{a}{mb}\right)^2

좌굴 계수는 시편의 종횡비, a / {b}와 길이 방향 곡률의 수에 영향을 받는다. 이러한 곡률의 수가 증가함에 따라 종횡비는 다양한 좌굴 계수를 생성하지만, 각 관계는 각 m에 대한 최소값을 제공한다. 이 최소값은 종횡비와 m 모두와 독립적인 상수로 사용될 수 있다.

응력은 단위 면적당 하중으로 구해지므로, 임계 응력에 대한 다음 표현이 발견된다.
\sigma_{cr} = k_{cr}\frac{\pi^2 E}{12\left(1 - \nu^2\right)\left(\frac{b}{t}\right)^2}

유도된 방정식으로부터 기둥과 판의 임계 응력 사이의 밀접한 유사성을 알 수 있다. 폭 b가 줄어들수록 판은 기둥처럼 작동하며 판의 폭을 따라 좌굴에 대한 저항을 증가시킨다. a의 증가는 길이를 따라 좌굴에 의해 생성되는 사인파의 수를 증가시키지만, 폭을 따라 좌굴에 대한 저항도 증가시킨다. 이는 판이 폭과 길이를 따라 곡률의 수가 같아지도록 좌굴하려는 경향을 만든다. 경계 조건으로 인해, 판이 임계 응력을 받고 좌굴할 때, 하중에 수직인 가장자리는 평면 밖으로 변형될 수 없으므로 계속해서 응력을 전달한다. 이는 끝단을 따라 비균일 압축 하중을 생성하며, 응력은 다음 공식으로 주어지는 시편의 양쪽 유효 폭의 절반에 가해진다.

\frac{b_\text{eff}}{b} \approx \sqrt{\frac{\sigma_{cr}}{\sigma_{y}} \left(1 - 1.022 \sqrt{\frac{\sigma_{cr}}{\sigma_y}}\right)}

여기서
* b_\text{eff}, 유효 폭
* \sigma_y, 항복 응력

가해지는 응력이 증가함에 따라 유효 폭은 계속 줄어든다. 끝단의 응력이 항복 응력에 도달하면 판은 파괴된다. 이것이 좌굴된 구조물이 계속해서 하중을 지지할 수 있게 하는 이유이다. 임계 하중을 초과하는 축 하중을 변위에 대해 플로팅하면 기본 경로가 표시된다. 이는 좌굴 하중을 받는 기둥과 판의 유사성을 보여준다. 그러나 좌굴 하중을 지나면 기본 경로는 위쪽으로 휘어지는 보조 경로로 분기되어 임계 하중을 초과하는 더 높은 하중을 받을 수 있는 능력을 제공한다.

### 휨-비틀림 좌굴
휨-비틀림 좌굴은 압축 상태의 부재에서 굽힘과 비틀림 반응의 조합으로 설명할 수 있다. 이러한 변형 모드는 설계 목적으로 고려되어야 한다. 이는 주로 채널, 구조용 티, 이중 각재 및 등각 단일 각재와 같이 "개방형" 단면을 가지므로 비틀림 강성이 낮은 기둥에서 발생한다. 원형 단면은 이러한 좌굴 모드를 겪지 않는다.

### 횡-비틀림 좌굴
섬네일|upright=1.5|중심에 수직력이 있는 I-빔의 횡-비틀림 좌굴: a) 종단면도, b) 지지대 근처의 단면도, c) 횡-비틀림 좌굴이 있는 중심의 단면도
단순 지지 보에 휨 하중이 가해지면 위쪽은 압축 상태이고 아래쪽은 인장 상태이다. 보가 횡 방향(즉, 굽힘 평면에 수직)으로 지지되지 않고 굽힘 하중이 임계 한계까지 증가하면 보의 압축 플랜지가 국부적으로 좌굴될 때 횡 방향 변형을 겪게 된다. 압축 플랜지의 횡 변형은 보 복부와 인장 플랜지에 의해 구속되지만, 개방 단면의 경우 비틀림 모드가 더 유연하므로 보가 횡-비틀림 좌굴로 알려진 파괴 모드에서 비틀리고 횡 방향으로 변형된다. 넓은 플랜지 단면(횡 굽힘 강성이 높은)에서는 변형 모드가 주로 비틀림이 된다. 좁은 플랜지 단면에서는 굽힘 강성이 낮고 기둥의 변형이 횡 좌굴 변형 모드에 더 가까워진다.

사각형 구조용 강관과 같은 폐쇄 단면을 사용하면 높은 비틀림 강성으로 인해 횡-비틀림 좌굴의 영향을 완화할 수 있다.

Cb는 횡-비틀림 좌굴을 결정할 때 공칭 휨 강도 방정식에 사용되는 수정 계수이다. 이 계수의 이유는 보 세그먼트의 끝이 지지될 때 비균일 모멘트 다이어그램을 허용하기 위함이다. Cb의 보수적인 값은 보 구성이나 하중에 관계없이 1로 취할 수 있지만, 어떤 경우에는 지나치게 보수적일 수 있다. Cb는 항상 1보다 같거나 크고, 1보다 작을 수는 없다. 자유단이 지지되지 않은 외팔보나 오버행의 경우 Cb는 1과 같다. 단순 지지 보에 대한 Cb 값 표가 존재한다.

표에 적절한 Cb 값이 주어지지 않은 경우, 다음 공식을 통해 얻을 수 있다.

C_b = \frac{12.5M_\max}{2.5M_\max + 3M_A + 4M_B + 3M_C}

여기서
* M_\max, 지지되지 않은 세그먼트의 최대 모멘트의 절댓값,
* M_A, 지지되지 않은 세그먼트의 4분의 1 지점에서 최대 모멘트의 절댓값,
* M_B, 지지되지 않은 세그먼트의 중심선에서 최대 모멘트의 절댓값,
* M_C, 지지되지 않은 세그먼트의 4분의 3 지점에서 최대 모멘트의 절댓값,

결과는 모든 단위 시스템에 대해 동일하다.

### 소성 좌굴
부재의 좌굴 강도는 부재의 재료가 탄성 재료 범위를 넘어 비선형 (소성) 재료 거동 범위로 응력을 받으면 구조물의 탄성 좌굴 강도보다 낮다. 압축 하중이 좌굴 하중에 가까워지면 구조물은 크게 휘어지고 기둥의 재료는 선형 응력-변형률 거동에서 벗어난다. 재료의 응력-변형률 거동은 항복점 이하에서도 엄밀히 선형적이지 않으므로, 응력이 증가함에 따라 탄성 계수가 감소하며, 응력이 재료의 항복 강도에 가까워지면 상당히 감소한다. 이 감소된 재료 강성은 구조물의 좌굴 강도를 감소시키고 선형 탄성 거동 가정으로 예측된 것보다 낮은 좌굴 하중을 초래한다.

좌굴 하중의 더 정확한 근사값은 탄성 계수 대신 탄성 계수보다 작은 접선 탄성 계수(Et)를 사용하여 얻을 수 있다. 접선 계수는 탄성 계수와 같고 비례 한계를 초과하면 감소한다. 접선 계수는 특정 변형률 값에서 응력-변형률 곡선에 접하는 선이다 (응력-변형률 곡선의 탄성 부분에서 접선 계수는 탄성 계수와 같다). 다양한 재료에 대한 접선 탄성 계수 그래프는 표준 참고 문헌에서 찾을 수 있다.

### 크리플링
채널과 같이 플랜지 판으로 구성된 단면은 플랜지가 국부적으로 좌굴된 후에도 모서리에서 하중을 계속 지탱할 수 있다. 크리플링은 전체 단면의 파괴이다.

### 대각선 장력
항공우주 응용 분야에서 일반적으로 사용되는 얇은 외피 때문에 외피는 낮은 하중 수준에서 좌굴될 수 있다. 그러나 일단 좌굴되면 전단력을 전달할 수 없지만, 웹의 대각선 인장(DT) 응력을 통해 하중을 계속 지탱할 수 있다. 이는 이러한 세부 사항의 하중 지지 거동에서 비선형 거동을 초래한다. 실제 하중과 좌굴이 발생하는 하중의 비율을 판의 좌굴 비율이라고 한다. 높은 좌굴 비율은 판의 과도한 주름을 유발할 수 있으며, 이는 주름의 항복 (공학)으로 인해 파괴될 수 있다. 좌굴될 수 있지만, 얇은 판은 영구적으로 변형되지 않고 가해진 하중이 제거되면 좌굴되지 않은 상태로 돌아가도록 설계된다. 반복적인 좌굴은 피로 (재료) 파괴를 초래할 수 있다.

대각선 장력을 받는 판은 좌굴로 인해 길이를 따라 분포 하중을 지탱하는 보강재에 의해 지지되며, 이는 결과적으로 이러한 구조 부재가 좌굴로 인해 파괴될 수 있다.

더 두꺼운 판은 부분적으로만 대각선 장력 필드를 형성할 수 있으며 전단을 통해 일부 하중을 계속 지탱할 수 있다. 이를 불완전 대각선 장력(IDT)이라고 한다. 이 거동은 바그너에 의해 연구되었으며, 이러한 보는 때때로 바그너 보라고도 불린다.

대각선 장력은 웹을 지지 부재에 고정하는 데 사용되는 리벳과 같은 모든 패스너에 인장력을 유발할 수도 있다. 패스너와 판은 지지대에서 떨어져 나가는 것에 저항하도록 설계되어야 한다.

### 동적 좌굴
기둥이 갑자기 하중을 받고 하중이 해제되면, 기둥은 정적(느리게 가해지는) 좌굴 하중보다 훨씬 더 높은 하중을 견딜 수 있다. 이것은 낙하 해머로 사용되는 길고 지지되지 않는 기둥에서 발생할 수 있다. 충격 끝에서의 압축 지속 시간은 응력 파동이 기둥을 따라 다른 (자유) 끝까지 이동한 다음 다시 완화 파동으로 내려오는 데 필요한 시간이다. 최대 좌굴은 충격 끝 근처에서 막대의 길이보다 훨씬 짧은 파장으로 발생하며, 정적으로 하중을 받은 기둥의 좌굴 응력보다 여러 배 높은 응력에서 발생한다. 좌굴 진폭이 좌굴 파장에서 유효 막대 직진성 불완전성의 약 25배 미만으로 유지되는 임계 조건은 다음과 같다.

\sigma L = \rho c^2 h

여기서 \sigma는 충격 응력, L은 막대의 길이, c는 탄성 파동 속도, h는 직사각형 막대의 더 작은 측면 치수이다. 좌굴 파장이 \sigma와 h에만 의존하므로, 이 동일한 공식은 두께가 h인 얇은 원통형 껍질에도 적용된다.

## 이론
### 에너지 방법
종종 K 상수를 결정하기 어렵기 때문에 오일러 공식을 사용하여 복잡한 구조물의 정확한 좌굴 하중을 결정하는 것은 매우 어렵다. 따라서 최대 좌굴 하중은 종종 에너지 보존을 사용하여 근사화되며 구조 분석에서 에너지 방법이라고 불린다.

이 방법의 첫 번째 단계는 변위 모드와 해당 변위를 나타내는 함수를 가정하는 것이다. 이 함수는 변위 및 회전과 같은 가장 중요한 경계 조건을 충족해야 한다. 변위 함수가 정확할수록 결과도 더 정확하다.

이 방법은 시스템(기둥)이 에너지가 열로 소산되지 않는 보존 시스템이라고 가정하며, 따라서 가해진 외부 힘에 의해 기둥에 추가된 에너지는 변형 에너지 형태로 기둥에 저장된다.

U_\text{applied} = U_\text{strain}

이 방법에는 "변형" 에너지(구조물의 탄성 변형으로 저장된 위치 에너지)와 "가해진" 에너지(외부 힘에 의해 시스템에 가해진 일)를 근사화하는 두 가지 방정식(작은 변형에 대해)이 사용된다.

\begin{align}
   U_\text{strain} &= \frac{E}{2} \int I(x)(w_{xx}(x))^2 \, \mathrm{d}x \\
  U_\text{applied} &= \frac{P_\text{crit}}{2} \int (w_{x}(x))^2 \, \mathrm{d}x
\end{align}

여기서 w(x)는 변위 함수이며 아래첨자 x와 xx는 변위의 1차 및 2차 미분을 나타낸다.

### 1자유도 모델
총 위치 에너지 V의 개념을 사용하여 1자유도 구조 모델에서 발견되는 네 가지 기본 좌굴 형태를 식별할 수 있다. 우리는 다음을 표현하는 것으로 시작한다.
V = U - P\Delta
여기서 U는 구조물에 저장된 변형 에너지이고, P는 가해진 보존 하중이며, \Delta는 P가 그 방향으로 이동한 거리이다. 탄성 불안정성 이론의 공리를 사용하면, 즉 평형은 자유도(degree(s) of freedom)를 측정하는 좌표에 대해 V가 정지 상태인 모든 지점이며, 이러한 지점은 V가 국소 최솟값일 때만 안정적이고 그렇지 않으면 (예: 최댓값 또는 변곡점) 불안정하다.

이 네 가지 탄성 좌굴 형태는 새들 노드 분기 또는 한계점; 초임계 또는 안정-대칭 분기; 준임계 또는 불안정-대칭 분기; 그리고 횡단 분기 또는 비대칭 분기이다. 이 예시들 중 첫 번째를 제외하고 모두 피치포크 분기의 한 형태이다. 각 유형의 좌굴 거동에 대한 간단한 모델과 관련 분기 다이어그램은 아래 그림에 나와 있다.

## 공학적 예시
### 자전거 바퀴
기존의 자전거 바퀴는 수많은 스포크의 (대략 수직 방향의) 안쪽 당김에 의해 높은 압축 응력을 받는 얇은 림으로 구성된다. 이는 원형으로 구부러진 하중을 받는 기둥으로 간주될 수 있다. 스포크 장력이 안전 수준 이상으로 증가하거나 림의 일부가 특정 횡력에 노출되면, 바퀴는 특징적인 안장 모양(때로는 "타코" 또는 "프링글"이라고 불림)으로 자발적으로 파괴되며, 마치 3차원 오일러 기둥과 같다. 이것이 순수하게 탄성 변형이라면 스포크 장력을 줄이거나 반대 방향에서 횡력을 가하면 림은 원래의 평면 모양을 되찾을 것이다.

### 도로
좌굴은 포장 (재료) 재료, 주로 콘크리트에서 발생하는 파괴 모드이다. 아스팔트 콘크리트는 더 유연하기 때문이다. 태양의 복사열이 도로 표면에 흡수되어 열팽창을 일으키고, 인접한 조각들이 서로 밀어내게 된다. 응력이 충분하면 포장이 경고 없이 들어 올려지고 균열이 생길 수 있다. 좌굴된 구간을 통과하는 것은 자동차 운전자에게 불쾌한 충격을 줄 수 있으며, 고속도로에서 과속 방지턱을 넘는 것과 같다고 묘사된다.

### 철도 선로
[섬네일|[네덜란드에서 햇빛에 의한 굽힘 현상(sun kink)으로 손상된 철도 선로]]

마찬가지로, 철도 선로도 가열되면 팽창하여 좌굴될 수 있으며, 이를 **햇빛에 의한 굽힘 현상**이라고 한다. 레일이 횡방향으로 움직여 밑에 있는 침목을 함께 끌고 가는 경우가 더 흔하다.

햇빛에 의한 굽힘 현상은 철도가 열차 속도를 대폭 줄여 지연 및 취소를 초래할 수 있다. 이는 탈선을 방지하기 위해 수행된다. 기후 변화로 인한 폭염 심화로 인해 2023년에는 열 관련 지연 시간이 2018년에 비해 두 배 증가했다.

다음 사고들은 햇빛에 의한 굽힘 현상과 관련이 있는 것으로 판단되었다 (더 자세한 정보는 철도 사고 목록 (2000-2009년)에서 확인할 수 있다).
* 2002년 4월 18일 암트랙 오토 트레인 탈선, CSX 선로 이탈, 플로리다주 크레센트 시티 근처.
* 2002년 7월 29일 암트랙 캐피톨 리미티드 (암트랙 열차) 탈선, CSX 선로 이탈, 메릴랜드주 켄싱턴 근처.
* 2010년 7월 8일 노스캐롤라이나주 왁스호에서 CSX 열차 탈선.
* 2012년 7월 6일 WMATA 워싱턴 메트로 열차 탈선, 메릴랜드주 웨스트 하이아츠빌역 근처.

연방철도청은 2012년 7월 11일 안전 권고를 발행하여 철도 운영자에게 "좌굴 발생 가능성 있는 조건"에 대해 선로를 검사하도록 경고했다. 이 권고에는 6월 23일부터 7월 4일 사이에 발생한 "열 관련 사고"로 보이는 네 건의 탈선 사고에 대한 간략한 요약이 포함되었다.

### 파이프 및 압력 용기
파이프 및 압력 용기는 외부 과압을 받을 수 있으며, 예를 들어 파이프 내에서 증기가 냉각되고 물로 응축된 후 대규모 압력 강하가 발생하면 압축 후프 응력으로 인해 좌굴될 위험이 있다. 필요한 벽 두께 또는 보강 링 계산을 위한 설계 규칙은 다양한 배관 및 압력 용기 규정에 명시되어 있다.

좌굴은 잠수함 및 잠수정 선체에서 주요 파괴 모드이다.

### 초음속 및 극초음속 항공우주선
공기열 가열은 고속 항공기, 로켓 및 재진입체와 같은 초음속 및 극초음속 항공우주선 표면 패널의 좌굴을 유발할 수 있다. 좌굴이 공기열 하중에 의해 발생하면 구조물이 유동장 쪽으로 변형되는 영역에서 열 전달이 증가하여 상황이 더욱 복잡해질 수 있다.

## 같이 보기
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## 각주

## 더 읽어보기
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## 외부 링크
* 긴 기둥에 대한 완전한 이론 및 실험 결과 예시는 http://lindberglce.com/tech/buklbook.htm에서 39페이지 분량의 PDF 문서로 제공된다.

분류:재료과학
분류:역학
분류:구조역학
분류:탄성