삼각군

군론과 기하학에서 **삼각군**(三角群, )은 음 또는 양 또는 0의 곡률을 갖는 평면에서, 삼각형을 이루는 세 개의 직선에 대한 반사들로 생성되는 군이다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 2 이상의 세 수 l,m,n\in\{2,3,4,\dotsc,\infty\}.
(l,m,n)-**삼각군** \triangle(l,m,n)은 군이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있다.
* 대수적으로, 삼각군은 콕서터 군의 일종이다.
* 기하학적으로, 삼각군은 어떤 평면의 삼각형 테셀레이션을 정의하는 대칭군이다.
세 정수 (l,m,n)의 순열을 취해도 서로 동형인 군을 얻는다. 따라서, 보통 l\le m\le n인 순서로 배열한다.

### 대수적 정의
(l,m,n)-**삼각군** \triangle(l,m,n)은 다음과 같은 표시를 갖는 콕서터 군이다.
:\triangle(l,m,n) = \langle a,b,c | a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^l = (bc)^m = (ca)^n = 1 \rangle
여기서, l 또는 m 또는 n이 ∞라면, 해당 관계를 생략하는 것으로 처리한다. 예를 들어,
:\triangle(l,m,\infty) = \langle a,b,c | a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^l = (bc)^m =  1 \rangle
이다.

### 기하학적 정의
X를 다음과 같이 정의하자.
* 만약 1/l+1/m+1/n라면, X는 쌍곡 평면 \mathbb H^2이다.
* 만약 1/l+1/m+1/n=1라면, X는 유클리드 평면 \mathbb R^2이다.
* 만약 1/l+1/m+1/n>1라면, X는 실수 사영 평면 \operatorname{\mathbb{RP}}^2이다.
이 경우, X 위에, 세 각이 각각 (\pi/l,\pi/m,\pi/n) 라디안인 삼각형을 그릴 수 있다. (여기서 \pi/\infty=0이다.) 이 삼각형의 세 변을 축으로 하는 반사들로 생성되는 군을 (l,m,n)-**삼각군**이라고 한다. 이에 따라, 예를 들어 만약 1/l+1/m+1/n=1라면 삼각군 \triangle(l,m,n)은 2차원 유클리드 군
:\operatorname{IO}(2;\mathbb R)
=\mathbb R^2\rtimes\operatorname O(2;\mathbb R)
의 부분군이 된다.

쌍곡 평면에서는 세 각 가운데 일부가 0인 삼각형이 존재한다. 유클리드 평면에서, 각이 (\pi/2,\pi/2,0)으로 이루어진 “삼각형”은 무한한 넓이의 도형, 예를 들어
:\{(x,y)\colon x\ge0,0\le y\le 1\}
이다.

### 폰 뒤크 군
**폰 뒤크 군**(von Dyck群, ) \operatorname D(l,m,n)\le\triangle(l,m,n)은 (l,m,n)-삼각군 \triangle(l,m,n)의, 다음과 같은 부분군이다.
* 대수적 정의: (l,m,n)-삼각군 \triangle(l,m,n)=\langle a,b,c | a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^l = (bc)^m = (ca)^n = 1 \rangle의 원소들 가운데, 짝수 개의 생성원 (a,b,c)로 생성되는 원소들의 군이다. 즉, (x,y)=(ab,bc)로 놓으면, \operatorname D(l,m,n)=\langle x,y|x^l=y^m=(xy)^n=1\rangle이다.

* 기하학적 정의: (l,m,n)-삼각군 \triangle(l,m,n) 가운데, 국소적으로 방향을 보존하는 것이다. (가향 다양체인 쌍곡 평면 및 유클리드 평면의 경우, 이는 대역적으로 방향을 보존하는 것이지만, 실수 사영 평면은 가향 다양체가 아니므로 대역적인 방향의 개념이 존재하지 않는다.)

## 성질
삼각군 \triangle(l,m,n)이 유한군일 필요 충분 조건은 구형인 경우, 즉 1/l+1/m+1/n>1인 것이다. 이는 쌍곡 평면이나 유클리드 평면과 달리, 실수 사영 평면은 콤팩트 공간이기 때문이다.

쌍곡 폰 뒤크 군은 푹스 군이다.

## 분류
구형 삼각군, 즉 1/l+1/m+1/n>1인 경우의 목록은 다음과 같다.
* (2,2,n), n=2,3,4,\dotsc
* (2,3,3). 이는 정사면체의 대칭군이다.
* (2,3,4). 이는 정육면체 및 정팔면체의 대칭군이다.
* (2,3,5). 이는 정십이면체 및 정이십면체의 대칭군이다.


파일:Spherical square bipyramid2.svg|(2,2,2)-삼각군
파일:Spherical hexagonal bipyramid2.svg|(2,2,3)-삼각군
파일:Spherical octagonal bipyramid2.svg|(2,2,4)-삼각군
파일:Spherical decagonal bipyramid2.svg|(2,2,5)-삼각군
파일:Spherical dodecagonal bipyramid2.svg|(2,2,6)-삼각군
파일:E2 tiling 22i-2 dual.svg|(2,2,∞)-삼각군


파일:Tetrahedral reflection domains.png|(2,3,3)-삼각군
파일:Octahedral reflection domains.png|(2,3,4)-삼각군
파일:Icosahedral reflection domains.png|(2,3,5)-삼각군


유클리드 삼각군, 즉 1/l+1/m+1/n=1인 경우의 목록은 다음과 같다.
* (2,3,6). 이는 평면의 정육각형을 통한 테셀레이션에 대응한다.
* (2,4,4). 이는 평면의 정사각형을 통한 테셀레이션에 대응한다.
* (3,3,3). 이는 평면의 정삼각형을 통한 테셀레이션에 대응한다.


파일:Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg|(2,3,6)-삼각군에 대응하는 테셀레이션
파일:Tile V488 bicolor.svg|(2,4,4)-삼각군에 대응하는 테셀레이션
파일:Tiling Regular 3-6 Triangular.svg|(3,3,3)-삼각군에 대응하는 테셀레이션


위 목록에 속하지 않은 것들은 모두 쌍곡 삼각군이다. 즉, 그 목록은 다음과 같다.
* (2,3,n), n=7,8,9,\dotsc
* (2,4,n), n=5,6,7,\dotsc
* (3,3,n), n=4,5,6,\dotsc
* (3,m,n), 4\le m\le n
* (l,m,n), 4\le l\le m\le n


파일:H2checkers 237.png|(2,3,7)-삼각군
파일:H2checkers 238.png|(2,3,8)-삼각군
파일:Hyperbolic domains 932 black.png|(2,3,9)-삼각군
파일:H2checkers 23i.png|(2,3,∞)-삼각군


파일:H2checkers 245.png|(2,4,5)-삼각군
파일:H2checkers 246.png|(2,4,6)-삼각군
파일:H2checkers 247.png|(2,4,7)-삼각군
파일:H2checkers 248.png|(2,4,8)-삼각군
파일:H2checkers 24i.png|(2,4,∞)-삼각군


파일:H2checkers 255.png|(2,5,5)-삼각군
파일:H2checkers 256.png|(2,5,6)-삼각군
파일:H2checkers 257.png|(2,5,7)-삼각군


파일:H2checkers 334.png|(3,3,4)-삼각군
파일:H2checkers 335.png|(3,3,5)-삼각군
파일:H2checkers 336.png|(3,3,6)-삼각군
파일:H2checkers 337.png|(3,3,7)-삼각군
파일:H2checkers 33i.png|(3,3,∞)-삼각군


파일:H2checkers 344.png|(3,4,4)-삼각군
파일:H2checkers 366.png|(3,6,6)-삼각군
파일:H2checkers 666.png|(6,6,6)-삼각군
파일:H2checkers iii.png|(∞,∞,∞)-삼각군


## 예
(2,3,7)-폰 뒤크 군은 클라인 4차 곡선의 이론에서 등장한다.

모듈러 군
:\langle S,T|S^2=(ST)^3=1\rangle
은 (2,3,∞)-폰 뒤크 군이다.

## 역사
1856년에 이미 윌리엄 로언 해밀턴이 정이십면체의 대칭군이 폰 뒤크 군 \operatorname D(2,3,5)임을 증명하였으며, 이 군을 “정이십면체 산법”()이라고 불렀다. 이 논문에서 해밀턴은 다음과 같이 적었다.

“폰 뒤크 군”이라는 용어는 독일의 수학자 발터 프란츠 안톤 폰 뒤크(, 1856~1934)의 이름을 딴 것이다.

## 각주

## 외부 링크
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