테트레이션

[섬네일|테두리|268px|[정칙함수|정칙 테트레이션 {}^{z}e의 복소수 그래프, 색상은 함수의 편각을 나타내고, 명도는 크기를 나타낸다.]]
섬네일|''n'' = 1, 2, 3 ...일 때 <math>{}^{n}x</math>가 두 점 사이에서 무한히 반복되는 지수가 수렴하는 것과 수렴선을 나타내고 있다.
섬네일|무한으로 발산하는 <math>\textstyle \lim_{n\rightarrow \infty} {}^nx</math>가 <math>\textstyle (e^{-1})^e \le x \le e^{e^{-1}}) </math>를 기준으로 수렴하는 모습.
수학에서 **테트레이션**()은 거듭제곱의 다음 차례에 오는 하이퍼 연산으로, 거듭제곱의 반복으로 정의된다. 이 단어는 루벤 루이스 굿스타인이 4를 뜻하는 tetra-와 반복함수를 의미하는 iteration을 합성한 것이다. 테트레이션은 보통 큰 수를 표기하는 데 이용한다. 표기법 {^{n}a}은 {a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}에서 거듭제곱이 n-1번 적용된 것을 의미한다.

여기에 나타낸 것은 처음 네 하이퍼연산을 나타낸 것으로, 테트레이션이 네 번째이다(그리고 증분, 증분은 a' = a + 1로 정의된 단항 연산으로 a를 넣으면 a의 다음 수를 얻는 연산이 0번째다):
# 덧셈
#: a + n = a + \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_n
#:: *n*번 *a*에 1이 더해졌다.
# 곱셈
#: a \times n = \underbrace{a + a + \cdots + a}_n
#:: *n*번 *a*가 덧셈으로 결합했다.
# 거듭제곱
#: a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n
#:: *n*번 *a*가 곱셈으로 결합했다.
# 테트레이션
#: {^{n}a} = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_n
#:: *n*번 *a*가 오른쪽에서 왼쪽으로 결합했다.

위의 예시들은 "*a*의 *n번째* 테트레이션"(the *nth* tetration of *a*)이라고 읽는다. 각 연산은 이전의 연산을 반복하는 것으로 정의한다(이 수열의 다음 연산은 펜테이션이다). 테트레이션은 초등함수가 아니다.

테트레이션의 역함수로는 초-거듭제곱근(super-root)과 초-로그(super-logarithm)가 있다.

## 같이 보기
* 아커만 함수
* 이중 지수 함수
* 하이퍼 연산
* 반복 로그
* 대칭 레벨-인덱스 연산
* 펜테이션

## 참고 문헌
* Daniel Geisler, *[http://www.tetration.org/ tetration.org]*
* Ioannis Galidakis, *[https://web.archive.org/web/20090520164620/http://ioannis.virtualcomposer2000.com/math/exponents4.html On extending hyper4 to nonintegers]* (undated, 2006 or earlier) *(A simpler, easier to read review of the next reference)*
* Ioannis Galidakis, *[https://web.archive.org/web/20131214131548/http://ioannis.virtualcomposer2000.com/math/papers/Extensions.pdf On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals]* (undated, 2006 or earlier).
* Robert Munafo, *[http://mrob.com/pub/math/hyper4.html#real-hyper4 Extension of the hyper4 function to reals]* *(An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)*
* Lode Vandevenne, *[http://groups.google.com/group/sci.math/browse_frm/thread/39a7019f9051c5d7/8c1c4facb7e4bd6d#8c1c4facb7e4bd6d Tetration of the Square Root of Two]*, (2004). *(Attempt to extend tetration to real numbers.)*
* Ioannis Galidakis, *[https://web.archive.org/web/20090420132250/http://ioannis.virtualcomposer2000.com/math/index.html Mathematics]*, *(Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)*
* Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W. Power Tower
* Joseph MacDonell, *[http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/ther/tower.htm Some Critical Points of the Hyperpower Function] *.
* Dave L. Renfro, *[http://mathforum.org/discuss/sci.math/t/350321 Web pages for infinitely iterated exponentials]* *(Compilation of entries from questions about tetration on sci.math.)*
* R. Knobel. "Exponentials Reiterated." *[[American Mathematical Monthly]]* **88**, (1981), p.&nbsp;235–252.
* Hans Maurer. "Über die Funktion y=x^{[x^{[x(\cdots)]}]} für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." *Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg* **4**, (1901), p.&nbsp;33–50. *(Reference to usage of <math>\ {^{n} a}</math> from Knobel's paper.)*

## 외부 링크
* Daniel Geisler's site on tetration
* Tetration Forum
* Tetration - TORI - Mizugadro, the research site by Dmitrii Kouznetsov
* Gottfried Helms' site on tetration

분류:이항연산
분류:큰 수
분류:거듭제곱