압밀

**압밀**(壓密, consolidation)은 포화된 점토층이 하중을 받음으로써 오랜 시간에 걸쳐 간극수가 빠져나감과 동시에 침하가 발생하는 현상을 일컫는다. 따라서 압밀과정은 침강과 시간의 측면에서 토양의 압축성과 투수성에 의존한다.

흙은 흙 입자와, 물과 공기 등의 간극(void)으로 이루어져 있는데, 흙 입자와 물 자체의 압축성은 미소하므로 흙의 부피 변화는 주로 간극의 부피 변화이다. 모래와 같이 큰 입자로 된 흙은 간극 속의 물과 공기가 쉽게 빠져나갈 수 있어 외부하중으로 인한 부피 변화도 빠른 속도로 일어나나, 투수계수가 낮은 포화된 점토층의 경우 간극수가 빠져나가는 속도가 매우 느리므로 토층의 부피 변화 속도도 느리게 일어난다. 이러한 현상을 압밀이라고 한다.

## 압밀의 이론
포화된 점토층에 하중이 가해지면 순간적으로 과잉 간극수압이 유발된다. 자연 상태의 포화 점토 간극수압(정수압)을 초과하여 발생하는 수압이라는 의미에서 '과잉간극수압'이라고 한다. 이로 인해 점토층의 배수면에 수두차가 발생하여 간극수가 흘러나가게 되어 침하가 발생하며, 과잉간극수압이 소산되는 동시에 흙 입자에 작용하는 유효응력이 증가하게 된다. '소산된다'의 의미는 간극수압이 자연상태 간극수압으로 돌아간다는 것을 의미한다. 투수계수가 낮은 점토층의 경우에는 간극수의 유속이 느리므로, 이러한 침하도 오랜 시간에 걸쳐 발생한다.

가운데|섬네일|300px|무한등분포하중 양면배수조건
하중과 배수 조건에 따라 흙의 전응력, 유효응력, 과잉간극수압의 변화 양상이 다르다. 예를 들어 가운데 점토층이 있고 위아래가 모래층이 있는 포화 점토층에 무한 등분포하중이 작용한다고 하면, 점토층의 횡방향 변위는 없고(즉시침하가 없음) 압밀침하만 일어난다.

섬네일|400px|무한등분포하중 압밀 시 응력변화
하중이 작용하는 순간(t=0)은 물이 모든 응력을 받는다. 따라서 유효응력은 0이다. 시간이 지나면서(0 \begin{align}
\frac{\partial u_e}{\partial t}&= \frac{k}{\gamma_w m_v}\frac{\partial {}^2 u_e}{\partial z ^2} \\
&= c_v \frac{\partial {}^2 u_e}{\partial z ^2}\\
\end{align}

여기서

* u_e: 과잉 간극수압
* t: 시간
* z: 흐름과 압축이 일어나는 방향
* k: 투수 계수
* m_v: 체적압축계수
* \gamma_w: 물의 단위중량
* c_v: 압밀계수(coefficient of consolidation)로 차원은 [길이]2[시간]-1

### 미분 방정식의 해
기본 미분 방정식의 풀이를 위해, 상하면에 모래층이 있어 양면 배수가 되는 점토층의 두께가 2H이고, 초기 과잉 간극수압의 분포는 깊이에 따라 일정하며, 다음과 같은 초기 조건과 경계 조건을 만족한다고 하자.
* t=0 일 때 u_e = u_i (여기서 u_i는 초기 과잉간극 수압)
* z=0 및 z=2H에서 u_e = 0 

이때, 미분방정식의 해는 다음과 같다.

u_e = \sum^{\infin}_{m=0}{\frac{4u_i}{ \pi \left( 2m+1 \right) } \sin \left( {\frac{\pi}{2} \left( 2m+1 \right) \frac{z}{H}} \right) e^{- \frac{\pi}{2} \left( 2m+1 \right)^2 T_v} }

여기서

* u_e: 과잉 간극수압, u_i: 초기 과잉 간극수압
* m: 정수
* H: 배수 거리
* z: 점토층 하단으로부터의 수직 거리
* T_v = \frac{c_v t}{H^2}: 시간 계수

#### 압밀계수의 결정
1차원 압밀 기본 미분방정식에는 압밀계수(coefficient of consolidation; c_v)가 포함되어 있다. 압밀계수는 압밀 시험의 각 하중 단계에서, 시간에 따른 토층의 압축량으로부터 계산한다.

c_v=\frac{k}{m_v\gamma_w}=\frac{k(1+e_0)}{a_v\gamma_w}=\frac{T_v\cdot H^2}{t}

* k : 투수 계수, T_v: 시간 계수, a_v : 압축 계수, t : 압밀 시간, m_v : 체적 변화 계수, e0 : 초기 공극비
대한민국 국가 표준에는 \log t 방법 또는 \sqrt t 방법을 사용하도록 되어 있다.

##### 압축 계수
압축계수(coefficient of compressibility) 

a_v = \frac{e_1 - e_2}{\Delta \sigma}=\frac{\Delta V_v}{V}\cdot \frac{1}{\Delta \sigma}=\frac{e_1-e_2}{1+e_0}\cdot \frac{1}=\frac{0.196 H^2}{t_{50} }
* H: 최대 배수거리
* t_{50} : 압밀도 50%에 이르는 시간
* T_{50} : 압밀도 50%에 대한 시간계수 0.196

##### <math>\sqrt{t}</math> 방법
섬네일|300px|Root t 방법
Taylor에 의해 제안된 방법. 가로축을 \sqrt{t}로 하여 그래프를 그린다. 곡선의 직선 부분 기울기의 1.15배(1.15\overline{OA}=\overline{OB})로 그린 직선과 곡선이 만나는 점이 압밀도 90%에 해당한다. 여기의 가로축 값이 \sqrt{t_{90}}이고 이 값을 제곱하면 t90을 얻을 수 있다.

c_v = \frac{T_{90}\cdot H^2}{t_{90}}=\frac{0.848 H^2}{t_{90} }
* H: 최대 배수거리
* t_{90} : 압밀도 90%에 이르는 시간
* T_{90} : 압밀도 90%에 대한 시간계수 0.848

### 압밀도와 평균 압밀도
특정한 점에서, 특정 시간의 압밀 정도를 무차원(혹은 백분율)의 압밀도로 나타낸다. 즉 압밀도(degree of consolidation; U)

\begin{align} U & = \int T_v=\int \frac{C_v\cdot t}{H^2} \\
                & = \frac{e_1-e}{e_1-e_2}=\frac \\
                & = \frac{u_i - u_e}{u_i} = 1 - \frac{u_e}{u_i} \end{align}

* t : 압밀 소요 시간
* e, σ : t 시간에서 공극비, 유효 압력
*e_1, {\sigma_1}' : 최초의 공극비, 유효 압력
*e_2, {\sigma_2}' : 압밀 종료 시 공극비, 유효 압력
* u_i : 초기의 공극 수압
* u_e : 임의의 경과 시간 t에 있어서의 공극 수압
위에서와 같은 조건의 점토층에 대해서

 U = 1 - \sum^{\infin}_{m=0}{\frac{4 e^{- \frac{\pi^2}{4} \left( 2m+1 \right)^2 T_v}}{ \pi \left( 2m+1 \right) } \sin {\frac{\pi}{2} \left( 2m+1 \right) \frac{z}{H}}} 

한편, 전체 점토층의 압밀 진행 정도를 평균압밀도로 나타낸다. 평균 압밀도는 다음과 같이 정의된다.

 \overline U = 1- \frac{ \int^{2H}_{0} u_e dz}{ \int^{2H}_{0} u_i dz} 

위에서와 같은 조건의 점토층에 대해서

 \overline U = 1 - \sum^{\infin}_{m=0} \frac{8}{\pi^2 \left( 2m+1 \right)^2} e^{-\frac{\pi^2}{4} \left( 2m+1 \right)^2 T_v} 

압밀 침하량을 이용해 평균 압밀도를 나타내면 다음과 같다.

\overline U=\frac{\Delta H_t}{\Delta H}
* \Delta H_t : t 시간 후의 압밀 침하량
* \Delta H : 1차 압밀에 의한 최종 침하량

평균압밀도는 시간계수 T의 함수로 나타난다. 이것을 그래프로 그리면 아래와 같다.
섬네일|left|500px|배수 조건에 따른 평균압밀도-시간계수 곡선
* 빨강: 하단 일면 배수
* 파랑: 양면 배수
* 노랑: 하단 일면 배수

## 압밀 시험
흙의 압밀 특성을 압밀 시험을 통해 알 수 있다. 압밀 시험을 통해 흙 시료에 가해지는 하중과 흙 시료 두께의 변형량을 측정을 통해 시간에 대하여 직접적으로 얻는다.
대한민국의 경우 국가 표준(KS F 2316)의 압밀 시험 방법을 제정해두고 있다.

### 압밀 시험 장치
섬네일|350px|압밀시험장치인 Oedometer
압밀 시험을 위한 장치는 물로 채워진 수침 상자 안에 시료의 횡방향 변위를 구속하는 압밀링과 시료의 상하면을 덮으며 배수를 위한 다공질 판, 하중을 가할 수 있는 가압판, 시료의 두께를 측정할 수 있는 다이얼 게이지 등으로 구성되어 있다.

연직하중 σ1을 가하면 수평하중은 K0σ1이 되어 횡방향 구속이 이루어진다. 여기서 점차 연직하중을 증가시켜 시간과 침하량을 기록한다.

### 시험 절차

# 압밀링 안에 시료를 위치시키고 다공질판과 가압판으로 덮은 뒤 다이얼 게이지를 읽고 물을 부어 시료를 포화시킨다.
# 하중을 재하한다. 하중은 0.05, 0.1, 0.2, 0.4, 0.8, 1.6, 3.2, 6.4, (12.8)kg/cm²순으로 재하(在荷, load)하면서 **시간**과 **변형량**을 기록하는데, 각 하중 단계에서 8초, 15초, 30초, 1분, 2분, 4분, 8분, 15분, 30분, 1시간, 2시간, 4시간, 8시간, 24시간동안 재하한다.
# 다시 점차 작은 하중으로 제하(除荷, unload)하는데, (6.4), 3.2, 1.6, 0.8, 0.05kg/cm²순으로 하중을 감소시키며 각 하중 단계에서 4시간 동안 흙 시료 두께의 변형량(팽창량)을 측정한다.
# 0.05kg/cm²하중 4시간 재하가 끝나면 시료를 꺼내 표면수를 닦고 **습윤중량**을 측정한다.
# 시료를 건조로에 넣고 건조하여 함수비를 구한다.

### 간극비-압력 곡선(e―log p) 그리는 과정

1. 공극 제외 흙시료 높이 Hs 계산

H_s = \frac{V_s}{A} = \frac{W_s}{A \gamma_s} = \frac{W_s}{A G_s \gamma_w}

2. 공극만의 초기높이 Hv 계산

H_v = H - H_s

3. 시료 초기 공극비 e0 계산

e_0 = \frac{V_v}{V_s} = \frac{H_v}{H_s}

4. 첫번째 하중 p1=0.05kgf/cm²을 가했을 때 공극비 변화 Δe1, e1 계산

\Delta e_1 = \frac{\Delta H_1}{H_s}

e_1 = e_0 - \frac{\Delta H_1}{H_s}

5. 두번째 하중 p2=0.1kgf/cm²을 가했을 때 공극비 변화 Δe2, e2 계산

\Delta e_2 = \frac{\Delta H_2}{H_s}

e_2 = e_1 - \frac{\Delta H_2}{H_s}

6. 하중 증가시키며 과정 반복, e―p 또는 e―log p 곡선을 그린다.

#### 압축 지수
섬네일|직선부 기울기가 압축 지수
세로축이 e, 가로축이 log σ인 eㅡlog σ 그래프에서 선행하중 σc' 이후 직선부의 기울기를 **압축 지수**C_c라고 한다.

C_c=\frac{e_1-e_2}{\log {\sigma_2}'- \log {\sigma_1}'}

; 압축지수의 경험식
액성 한계와 압축 지수의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 압밀 시험은 오래 걸리기 때문에 경험식이 생겼다.

C_c=0.007(w_L-10) (교란 점토 시료)

C_c=0.009(w_L-10) (불교란 점토 시료)

### 추가 하중과 간극비
300px|left
압밀 시험의 결과를 정리하면, 추가 하중 크기의 증가와 감소에 따른 간극비(흙 입자의 부피에 대한 간극의 부피의 비)의 변화를 알 수 있다. 이때, 하중의 크기가 증가함에 따라 간극비는 줄어들며, 하중의 크기가 감소하면 시료의 팽창으로 인하여 간극비가 약간 증가한다. 그러나 다시 하중이 증가하면 간극비는 줄어드는 데, 이때 하중의 증가에 대한 간극비 감소의 비율은 하중 크기가 감소했던 지점까지는 작다가, 하중 크기가 감소했던 지점에 이르면 이전과 같은 비율을 보인다.

### 정규 압밀과 과압밀
흙에 추가 유효 하중이 가해져 압밀이 일어나는 경우, 흙의 응력 이력상 예전에 받았던 하중의 크기보다 현재 가해지는 하중의 크기가 작은지 큰지에 따라서 압밀 특성이 달라진다.

**과압밀비, OCR(Over Consolidation Ratio)**

흙이 과거에 받았던 최대의 하중(선행압밀하중 ({\sigma_c}'))과 초기유효상재하중({\sigma_0}')의 비를 과압밀비로 정의한다.

OCR = \frac{{\sigma_c}'}{{\sigma_0}'}

과압밀비에 의해서 현재 지반의 상태를 정규압밀상태, 과압밀상태 및 과소압밀상태로 구분할 수 있다.

**선행압밀하중**

흙이 과거에 받았던 가장 큰 크기의 하중을 **선행압밀하중**(preconsolidation pressure) 또는 **압밀선행하중**, **최대 유효상재하중**이라고 한다. 선행압밀하중은 Casagrande가 1936에 제시한 방법에 의해 간극비 대 대수로 나타낸 하중 곡선상의 최대 곡률(최소 곡률반경) 점에서 그은 수평선과 접선의 이등분선이 곡선의 직선 부분의 연장선과 만나는 점으로 정한다.
300px|섬네일|center|최소 곡률반경점 r<sub>min</sub>에서 수평선(2)과 접선(1)을 긋는다. 1과 2의 이등분선(3)을 긋는다. 곡선의 직선부분을 연장한 선(4)와 3의 교점을 찾으면, 선행압밀하중 <math>\overline p_c</math>를 찾을 수 있다

**정규압밀(NC ; Normal Consolidation)**

초기유효상재하중이 선행압밀하중과 같은 크기일 경우의 압밀을 정규 압밀이라 하고, 해당하는 흙을 정규 압밀 점토(normally consolidated clay)라 한다.

OCR = \frac{{\sigma_c}'}{{\sigma_0}'} = 1

정규 압밀 점토는 초기유효상재하중보다 큰 크기의 하중을 경험한 적이 없다.

**과압밀(OC ; overconsolidation)**

초기유효상재하중보다 선행압밀하중이 큰 경우의 압밀을 과압밀이라고 하며, 그 흙을 과압밀 점토(overconsolidated clay)라 한다.

OCR = \frac{{\sigma_c}'}{{\sigma_0}'} > 1

현재 하중과 추가된 하중의 합이 선행압밀하중보다 작은 경우에 압밀침하가 거의 일어나지 않는다.

**과소압밀**

초기유효상재하중보다 선행압밀하중이 작은 경우의 압밀을 과소압밀이라고 하며, 그 흙을 과소압밀 점토라 한다.

OCR = \frac{{\sigma_c}'}{{\sigma_0}'} 

준설토매립지 또는 강 하구와 같이 느슨하게 퇴적된 점토층의 경우가 과소압밀로 구분할 수 있으며, 이와같은 지반에서는 추가하중 없이도 압밀이 발생할 수 있다.

### 표준압밀시험의 문제점 및 보완대책
* 표준압밀시험은 아래와 같은 이유로 실제 지반의 거동을 완벽하게 재현할 수 없기 때문에 표준압밀시험 결과값들을 활용하기 위해선 신중한 검토가 필요하다.
# 시료 채취, 운반, 성형 및 시험시에 시료의 교란이 발생한다.
# 실제 지반은 연속하중을 받지만, 표준압밀 시험시에는 0.05kg/cm2에서 12.8kg/cm2까지 9단계에 걸쳐 단계하중을 받는다.
# 실제 지반은 3차원적으로 배수가 가능하지만, 표준압밀 시험에서는 연직방향의 배수만 가능하다.
# 표준압밀 시험시 시료 측면에 마찰이 발생한다.
# 표준압밀 시험의 재하판은 강성재하판으로 시료에 일정한 응력을 가할 수 없다.
# 실제 지반의 압밀은 매우 오랜기간에 하중이 가해지지만, 표준압밀 시험에서는 24시간 동안 하중이 가해진다.
* 압밀관련 여러 가지 공식에 활용되는 계수값을 보다 정확하기 구하기 위해서는 표준압밀시험에서 발생할 수 있는 문제점들에 대해 충분한 인식이 있어야 하며, 또한 아래와 같은 보완대책을 마련하여야 한다.
# 시료 채취, 운반, 성형과정에서의 시료교란을 최소화 한다.
# 표준압밀시험의 한계성을 극복할 수 있는 시험방법(Rowe Cell 시험등)을 사용한다.

### 현장 압밀곡선
현장에서 채취해 실험실로 가져와 압밀 실험을 하면 어쩔 수 없이 교란이 생긴다. 교란의 영향을 고려해서 현장 압밀 곡선을 그리는 방법이 있다. 정규압밀점토, 과압밀점토 모두 실험실 압밀곡선에서 0.4e0를 찾아 접선부터 그린다.

## 압밀 침하량의 계산
left|350px

### 1차 압밀 침하량
right|300px

과잉간극수압이 0이 되면 1차 압밀이 완료된 것이다. 압축지수(C_c)와 재압축지수(C_r, 또는 팽창지수 C_e)와 초기 간극비(e_0), 압밀층의 두께(H)가 주어졌다면, (1차원) 1차 압밀 침하량은 다음과 같이 계산된다.

\begin{align} S_c & = \frac{\Delta e}{1+e_0} H = \frac{e_0 - e_1}{1+e_0} H \\
                       & = m_v \Delta \sigma H \\ \end{align}

S_c = \frac{C_c}{1+e_0} H \log {\frac{{\sigma_0}' + \Delta \sigma}   (정규 압밀)

S_c = \frac{C_r}{1+e_0} H \log {\frac{{\sigma_0}' + \Delta \sigma}   (과압밀, {\sigma_0}' + \Delta \sigma \leq {\sigma_c}')

S_c = \frac{C_r}{1+e_0} H \log {\frac{{\sigma_c}'} + \frac{C_c}{1+e_0} H \log {\frac

## 같이 보기
* 침하
* 기초

## 주해

## 각주

## 참고 문헌
* 김명모, 《토질역학》, 4판, 文運堂, 2000
* 천병식, 《지반공학 -이론과 실제-》, 구미서관, 2002
* 김상규, 《토질역학 -이론과 응용-》, 淸文閣, 2009
* 신은철, 《토질역학》, 3판 구미서관, 1999
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## 외부 링크
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분류:토질역학