유계 변동 함수

실해석학에서 **유계 변동 함수**(有界變動函數, )는 특정한 위치에서 변화할 수 있는 범위가 제한된 함수이다.

## 정의
### 1차원 유계 변동 함수
닫힌구간 [a,b]\subsetneq\mathbb R의 **분할**은 다음과 같은 수열이다.
:P=(p_0,p_1,p_2,\dots,p_)\qquad (a=p_0 \le p_1 \le p_2\le\dotsb\le p_=b)
닫힌구간 [a,b]의 모든 분할들의 집합을 \operatorname{Part}([a,b])라고 적자. 이는 다음과 같은 꼴이다.
:\operatorname{Part}([a,b]) = \bigsqcup_{N = 1}^\infty \operatorname{Part}_N([a,b]) \cong \bigsqcup_{N=1}^\infty \triangle^{N-1}
여기서 \operatorname{Part}_N([a,b])은 크기 N의 분할들의 공간이며, 이는 N-1차원 단체 \triangle^{N-1}와 동형이다.

임의의 함수
:f\colon[a,b]\to\mathbb R
및 분할 P\in\operatorname{Part}([a,b])
에 대하여, 변동
:\sum_{i=1}^ \|f(p_i) - f(p_{i-1})\| \in [0,\infty)
을 정의할 수 있다. f의 **[[전변동]]**(全變動, ) \|f\|_{\operatorname{BV}}는 모든 변동들의 상한이다.
:\operatorname V(f)=\sup_{P\in\operatorname{Part}([a,b])}\sum^_{i=1}\|f(p_i) - f(p_{i-1})\| \in [0,\infty]

임의의 함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치임을 보일 수 있다.
* \operatorname V(f) 
* f = g-h인 두 증가 함수 g,h \colon [a,b]\to\mathbb R, a\le s\le t\le b \implies g(s) \le  g(t),\;h(s) \le h(t)가 존재한다.
* 연속 함수의 공간 \mathcal C^0([a,b]) 위에 유계 작용소 \mathcal C^0([a,b]) \to \mathbb R, g \mapsto \textstyle\int g\,\mathrm df를 정의한다. (이 적분은 르베그-스틸티어스 적분이다.)
이 조건을 만족시키는 함수를 **유계 변동 함수**라고 한다.

유계 변동 함수들의 공간을 \operatorname{BV}([a,b],\mathbb R)로 표기하자. 그렇다면, (\operatorname{BV}([a,b],\mathbb R),\|-\|_{\operatorname L^1} + \operatorname V(-))는 노름 공간을 이룬다.

### 다차원 유계 변동 함수
유계 열린집합 \Omega\subseteq\mathbb R^n이 주어졌다고 하자. 임의의 함수 f\in\operatorname L^1(\Omega,\mathbb R)의 **[[전변동]]**을 다음과 같이 정의하자.
:\operatorname V(f) = \sup_{\mathbf g\in X} \int_\Omega f(x)\nabla\cdot \mathbf g(x)\,\mathrm dx 
여기서
:X = \operatorname{cl}(\operatorname{ball}_{\operatorname L^\infty(\Omega,\mathbb R^n))}(0,1)) \cap \mathcal C^1_{\text{comp}}(\Omega,\mathbb R^n)
는 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 \mathbf g\colon\Omega\to\mathbb R^n로 구성된 공간이다.
* 연속 미분 가능 함수이다 (\mathcal C^1).
* 어떤 콤팩트 집합 K\subseteq \Omega에 대하여, \forall x\in \Omega\setminus K\colon \mathbf g(x) = \mathbf0이다.
* 노름이 1 이하이다. 즉, \forall x\in\Omega \colon \|\mathbf g(x)\| \le 1이다. 여기서 \operatorname{vol}(-)은 유클리드 공간의 르베그 측도이다. (즉, \mathbf g의 \operatorname L^\infty-노름이 1 이하이다.)
그렇다면, 전변동이 유한한 함수들의 공간을 \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)라고 하자.
:\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R) = \{f\in\operatorname L^1(\Omega,\mathbb R)\colon \|f\|_{\operatorname{BV}} 
그렇다면, 그 위에
:\|f\|_{\operatorname{BV}} = \|f\|_{\operatorname{L}^1} + \operatorname V(f)
를 정의하면, 이는 바나흐 공간을 이룬다.

## 성질
### 연산에 대한 닫힘
임의의 열린집합 \Omega\subseteq\mathbb R^n에 대하여, 만약 f,g\in\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)라면, 다음이 성립한다.
:f + g \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)
:fg \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)
:(|f|+a)^{-1} \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)\qquad\forall a>0

### 포함 관계
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:\mathcal C_{\text{comp}}^1(\Omega,\mathbb R) \subseteq \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)
그러나
:\mathcal C_{\text{comp}}^0(\Omega,\mathbb R) \not\subseteq\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)
이다. 즉, 콤팩트 공간 위에서, 연속 미분 가능 함수는 유계 변동 함수이지만, 연속 함수는 유계 변동 함수가 아닐 수 있다.

### 전변동
만약 f\in\mathcal C^2([a,b])일 경우, 그 전변동은 다음과 같다.
:\operatorname Vf = \int_a^b\,|f'(x)|\,\mathrm dx
마찬가지로, 만약 어떤 열린집합 \Omega에 대하여
* \operatorname{cl}(\Omega)가 콤팩트 집합이며,
* \partial\Omega가 어떤 매끄러운 다양체의 \mathcal C^1 매장이라면,
f \colon \operatorname{cl}(\Omega) \to \mathbb R의 경우 f\restriction \Omega는 유계 변동 함수이며,
:\operatorname V(f\restriction\Omega) = \int_\Omega |\nabla f|
이다.

### 특이점
유계 변동 함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R는 두 증가 함수의 차이므로, [a, b]의 가산 개 점을 제외한 곳에서 f는 연속이며, [a, b]의 거의 어디서나 f의 도함수가 존재한다 (르베그 미분가능성 정리 참조). 또한 |f'|는 르베그 적분 가능하다.

### 분해 불가능성
\operatorname{BV}([a,b],\mathbb R)는 분해 가능 공간이 아니다.

**증명**:

임의의 \alpha\in(a,b)에 대하여, 지시 함수
:1_{[\alpha,b]} \in \operatorname{BV}([a,b],\mathbb R)
를 생각하자. 이 경우, 다음이 성립함을 알 수 있다.
:\|1_{[\alpha,b]} - 1_{[\beta,b]}\|_{\operatorname{BV}} = 2 + |\alpha-\beta|\qquad\forall \alpha,\beta\in[a,b],\;\alpha\ne\beta

이제, 임의의 \alpha\in(a,b)에 대하여 열린 공들의 족
:\operatorname{ball}(1_{[\alpha,b]},1)
을 생각하자. 이들은 비가산 무한 개의 열린집합으로 구성된 서로소 집합족을 이루며, 따라서 \operatorname{BV}([a,b],\mathbb R)는 분해 가능 공간이 아니다.


## 예
다음과 같은 함수는 [0,1]에서 유계 함수이고 (0,1]에서 연속 함수지만, [0,1]에서 유계 변동 함수가 아니다.
:
다음과 같은 함수는 [0,1]에서 유계 함수이고 [0,1]에서 연속 함수지만 [0,1]에서 유계 변동 함수가 아니다.
:
다음과 같은 함수는 [0,1]에서 유계 함수이고, 연속 함수이며, 유계 변동 함수이다.
:

## 같이 보기
* 르베그 공간
* 라돈 측도
* 전변동
* 이차변동성
* 전변동 잡음제거
* 전변동 점감
## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:실해석학