이와사와 분해

리 군 이론에서, **이와사와 분해**([岩澤]分解, )는 그람-슈미트 과정을 반단순 리 군에 일반화하여, 리 군의 원소를 멱영 성분·가환 성분·콤팩트 성분으로 나누는 분해이다.

## 정의
### 리 대수의 이와사와 분해
다음이 주어졌다고 하자.
* 실수 반단순 리 대수 \mathfrak g
* \mathfrak g의 카르탕 대합 \theta
그렇다면, 이에 대한 카르탕 분해
:\mathfrak g = \mathfrak k \oplus\mathfrak p
를 정의할 수 있다. 여기서 \mathfrak k는 콤팩트 리 대수이며, \mathfrak p는 일반적으로 리 대수가 아닌 실수 벡터 공간이다.

\mathfrak a\subset\mathfrak p가 \mathfrak p 속의 (임의로 고른) 극대 가환 부분 리 대수라고 하자. 그렇다면 \mathfrak a에 기저를 잡아 기저에 임의의 순서를 가하고, \mathfrak n이 (\mathfrak g,\mathfrak a)의 제한근 가운데 양의 제한근에 대응하는 제한근 공간들의 직합이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은, 실수 벡터 공간의 직합이 성립한다.
:\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n
이를 \mathfrak g의 **이와사와 분해**라고 한다.

### 리 군의 이와사와 분해
G가 연결 실수 반단순 리 군이라고 하자. 그렇다면 그 리 대수의 이와사와 분해 \mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n에 대응하여, 각각의 지수 사상의 상
:K=\exp(\mathfrak k)\subset G
:A=\exp(\mathfrak a)\subset G
:N=\exp(\mathfrak n)\subset G
을 정의할 수 있다. 이 경우
* K는 콤팩트 반단순 리 군이며, G의 닫힌 부분군이자 최대 콤팩트 부분군이다. G의 중심을 포함한다.
* A는 단일 연결 아벨 리 군이며, G의 닫힌 부분군이다.
* N은 단일 연결 멱영 리 군이며, G의 닫힌 부분군이다.
그렇다면, 다음과 같은 미분 동형이 존재한다. (물론, 이는 일반적으로 군 준동형이 아니다.)
:K\times A\times N\to G
따라서, 임의의 원소 g\in G를
:g=k(g)a(g)n(g)
:k(g)\in K
:a(g)\in A
:n(g)\in N
과 같이 분해시킬 수 있다. 이것이 리 군의 **이와사와 분해**이다.

만약 G가 연결 공간이 아닌 반단순 리 군인 경우, 만약 G의 중심이 유한군이라면 역시 이와사와 분해를 정의할 수 있다. 이 경우, K는 G의 (연결 공간이 아닌) 최대 콤팩트 부분군이다.

리 군 또는 리 대수의 **실수 계수**()는 그 아벨 성분의 실수 차원이다.

## 성질
실수 반단순 리 대수 \mathfrak g의 이와사와 분해
:\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n
의 각 성분은 다음과 같은 성질을 갖는다.
* \mathfrak k는 콤팩트 리 대수이다. 즉, 그 킬링 형식은 음의 정부호이다.
* \mathfrak a\subset\mathfrak p는 가환 리 대수이다. 즉, [\mathfrak a,\mathfrak a]=0이다.
* \mathfrak n은 멱영 리 대수이다. 즉, 충분히 큰 양의 정수 n\in\mathbb Z^+에 대하여 =0}}이다.

### 카르탕 분해와의 관계
반단순 리 대수 \mathfrak g의 카르탕 대합 \theta이 주어졌을 때, 카르탕 분해
:\mathfrak g = \mathfrak k \oplus \mathfrak p
를 정의할 수 있다. 이는 같은 \theta에 대한 이와사와 분해
:\mathfrak g = \mathfrak k \oplus\mathfrak a \oplus\mathfrak n
와 다음과 같은 관계를 갖는다.
* 카르탕 분해의 \mathfrak k는 이와사와 분해의 \mathfrak k와 같다.
* 카르탕 분해의 \mathfrak p는 이와사와 분해의 \mathfrak a를 극대 아벨 부분 대수로서 포함한다. (그러나 \mathfrak n은 일반적으로 \mathfrak k의 부분 대수도, \mathfrak p의 부분 대수도 아니다.)
* 카르탕 분해에서, \mathfrak p는 일반적으로 리 대수가 아니다. 반면 이와사와 대수의 \mathfrak a와 \mathfrak n은 둘 다 리 대수이다.
* 카르탕 분해에서, \mathfrak k와 \mathfrak p는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이다. 이와사와 분해에서, \mathfrak k와 \mathfrak a는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이지만, \mathfrak n은 \mathfrak k 및 \mathfrak a와 직교일 필요가 없다.

## 예
대표적인 리 군의 이와사와 분해는 다음과 같다.

### 그람-슈미트 과정

일반선형군 \operatorname{GL}(n,\mathbb R)의 이와사와 분해는 사실상 그람-슈미트 과정과 동치이다. 벡터 공간 V\cong\mathbb R^n의 기저 \{v_1,\dots,v_n\}\subset V가 주어졌다고 하자. 그렇다면 행렬
:B=\begin{pmatrix}v_1&v_2&\cdots&v_n\end{pmatrix}\in\operatorname{GL}(V)\cong\operatorname{GL}(n,\mathbb R)
을 정의할 수 있다. 이 경우, 그람-슈미트 과정을 거치면, 이를
:U^{-1}B=O
의 꼴로 분해시키게 되는데, 여기서 O는 그람-슈미트 과정을 통해 얻은 정규 직교 기저를 나타내는 직교행렬이며, U는 정규 직교 기저로의 변환을 나타내는 상삼각행렬이다. 이 경우, U를 추가로 분해하여
:U_0^{-1}D^{-1}B=O
로 놓자. 여기서 U_0은 B를 직교 기저로 놓기 위한, 대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬이고, D는 직교 기저를 정규 직교 기저로 만들기 위한, 양의 성분을 가진 대각행렬이다. 즉,
:B=U_0DO
가 되며, 이는 \operatorname{GL}(n,\mathbb R)의 이와사와 분해이다.

### 상반평면의 이와사와 분해
리 군 \operatorname{SL}(2,\mathbb R)의 이와사와 분해는 보형 형식의 이론에서 등장한다. 이 경우, 복소 상반평면
:\mathbb H=\{x+iy|x\in\mathbb R,y\in\mathbb R^+\}
은 다음과 같은 잉여류 공간으로 나타내어진다.
:\mathbb H=\operatorname{SL}(2,\mathbb R)/\operatorname{SO}(2,\mathbb R)
즉, 이는 \operatorname{SL}(2,\mathbb R)의 이와사와 분해 \operatorname{SO}(2,\mathbb R)\times\mathbb R^+\times\mathbb R에서 콤팩트 성분을 버린 것이다. 즉, 구체적인 대응 관계는 다음과 같다.
:x+iy\mapsto\left({\scriptstyle\begin{pmatrix}y^{1/2}&0\\0&y^{-1/2}\end{pmatrix}},{\scriptstyle\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}\right)

## 역사
이와사와 겐키치가 1949년에 도입하였다.

## 각주

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## 외부 링크
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분류:리 군