퀴네트 정리

대수적 위상수학에서 **퀴네트 정리**()는 곱공간의 호몰로지 및 코호몰로지에 대한 정리다. 체 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 각 성분의 (코)호몰로지의 곱이다. 주 아이디얼 정역 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 꼬임 부분군을 포함하는 분할 완전열로 나타내어진다. 일반적 가환환 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 스펙트럼 열의 극한으로 계산할 수 있다.

## 정의
### 체 계수
X와 Y가 위상 공간이라고 하고, \operatorname H_\bullet(-;K)가 체 K의 계수를 가진 특이 호몰로지라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
:\bigoplus_{i+j=k}\operatorname H_i(X;K)\otimes_K\operatorname H_j(Y;K)\cong\operatorname H_k(X\times Y;K)
이를 **퀴네트 정리**라고 한다. 이에 따라, 베티 수에 대해서는 다음이 성립한다.
:b_X(t)=\sum_it^i\dim_{\mathbb Q}\operatorname H_i(X;\mathbb Q)
가 베티 수의 생성함수라고 하자. 그렇다면
:b_X(t)b_Y(t)=b_{X\times Y}(t)
이다.

호몰로지 대신 코호몰로지로도 퀴네트 정리를 적을 수 있다. 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다. 코호몰로지 환을 \operatorname H^\bullet이라고 적으면, 다음이 성립한다.
:\operatorname H^\bullet(X;K)\otimes_K\operatorname H^\bullet(Y;K)\cong\operatorname H^\bullet(X\times Y;K)
여기서 좌변은 등급환의 K-텐서곱이다.

### 주 아이디얼 정역 계수
만약 계수가 체가 아닌 일반적인 가환환인 경우, 퀴네트 정리는 꼬임 때문에 더 복잡해진다.

만약 계수가 주 아이디얼 정역 R인 경우, **퀴네트 정리**에 따르면 다음과 같은 R-가군의 짧은 완전열이 존재한다.
:0\to\bigoplus_{i+j=k}\operatorname H_i(X;R)\otimes_R\operatorname H_j(Y;R)\to\operatorname H_k(X\times Y;R)\to\bigoplus_{i+j=k-1}\operatorname{Tor}^R_1(\operatorname H_i(X;R),\operatorname H_j(Y;R))\to0
여기서 \operatorname{Tor}는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열은 분할 완전열이지만, 이 분할은 표준적(canonical)이지 않다.

마찬가지로, 주 아이디얼 정역 R 계수의 코호몰로지에 대하여, R-가군의 짧은 완전열이 존재한다.
:0\to \bigoplus_{i+j=k}\operatorname H^i(X;R)\otimes_R\operatorname H^j(Y;R)\to\operatorname H^k(X\times Y;R)\to\bigoplus_{i+j=k+1}\operatorname{Tor}^R_1(\operatorname H^i(X;R),\operatorname H^j(Y;R))\to 0
여기서 \operatorname{Tor}는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열 역시 분할 완전열이다.

### 호몰로지 스펙트럼 열
임의의 가환환 R 계수의 호몰로지에 대하여, 퀴네트 정리는 다음과 같은 **퀴네트 [[스펙트럼 열]]**() E_{\bullet\bullet}^\bullet로 표현된다. 퀴네트 스펙트럼 열의 2번째 쪽은 다음과 같은 Tor 함자이다.
:E_{pq}^2 = \bigoplus_{q_1 + q_2 = q} \operatorname{Tor}^R_p\left(\operatorname H_{q_1}(X; R), \operatorname H_{q_2}(Y; R)\right)
이 스펙트럼 열은 곱공간의 호몰로지로 수렴한다.
:E_{pq}^2 \Rightarrow E_{pq}^\infty\cong\operatorname H_{p+q}(X \times Y; R)

보다 일반적으로, 위상군 G가 연속적으로 오른쪽에서 작용하는 위상 공간 X 및 연속적으로 왼쪽으로 작용하는 위상 공간 Y가 주어졌고, Y\twoheadrightarrow Y/G가 G-주다발을 이룬다고 하자. 이 경우 G의 호몰로지 \operatorname H_\bullet(G;R)는 자연스럽게 환을 이루며, 이는 X와 Y의 호몰로지에 각각 오른쪽 및 왼쪽에서 작용한다. 그렇다면 스펙트럼 열,
:E_{pq}^2=\bigoplus_{q_1+q_2=q}\operatorname{Tor}_p^{\operatorname H_\bullet(G;R)}\left(\operatorname H_{q_1}(X; R), \operatorname H_{q_2}(Y; R)\right)
은 다음과 같은 G-곱공간의 호몰로지로 수렴한다.
:E_{pq}^2\Rightarrow E_{pq}^\infty\cong\operatorname H_{p+q}(X\times_GY;R)
여기서
:X\times_GY=\frac{X\times Y}{(x,g\cdot y)\sim(x\cdot g,y)\;\forall g\in G,x\in X,y\in Y}
이다. 이는 G가 자명군일 경우 단순한 곱공간이 된다.

### 코호몰로지 스펙트럼 열
마찬가지로, 코호몰로지의 경우 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.
:E^{pq}_2=\bigoplus_{q_1+q_2=q}\operatorname{Tor}_p^R\left(\operatorname H^{q_1}(X;R),\operatorname H^{q_2}(Y;R)\right)
만약 X와 Y의 코호몰로지가 각 차수에서 R-유한 생성 가군이라면, 이 스펙트럼 열은 X\times Y의 코호몰로지로 수렴한다.
:E^{pq}_2\Rightarrow E^{pq}_\infty\cong\operatorname H^{p+q}(X\times Y;R)

보다 일반적으로, 연속 함수 f\colon X\to B, g\colon Y\to B가 주어졌으며 g는 올뭉치를 이룬다고 하자. 그렇다면 \operatorname H^\bullet(B;R)는 X와 Y의 코호몰로지 위에 각각 오른쪽 · 왼쪽에서 작용한다. 다음 조건들을 가정하자.
* B는 단일 연결 공간이다.
* X, Y, B의 코호몰로지는 각 차수에서 R-유한 생성 가군이다.
그렇다면 스펙트럼 열
:E^{pq}_2=\bigoplus_{q_1+q_2=q}\operatorname{Tor}_p^{\operatorname H^\bullet(B;R)}\left(\operatorname H^{q_1}(X;R),\operatorname H^{q_2}(Y;R)\right)
은 다음과 같은 당김의 코호몰로지로 수렴한다.
:E^{pq}_2\Rightarrow E^{pq}_\infty\cong\operatorname H^{p+q}(X\times_B Y;R)
여기서 X\times_BY는 범주론적 당김
:X\times_BY=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}
이다. 이는 B가 한원소 공간일 경우 단순한 곱공간이 된다.

## 역사
독일의 수학자 헤르만 퀴네트()가 1923년에 발표하였다.

## 각주

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## 외부 링크
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## 같이 보기
* 르레-이르슈 정리

분류:호몰로지 이론
분류:대수적 위상수학 정리