알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형

이론물리학에서 **알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형**(Алехандров-Концевич-Шварц-Заборонский模形, , 약자 **AKSZ 시그마 모형**)은 L∞-준대수의 데이터로 정의되는 위상 양자장론이다.

## 정의
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 콤팩트 매끄러운 다양체 M
* 매끄러운 다양체 N
* N 위의 L∞-준대수 \mathfrak g. 즉, 이는 \mathfrak g_0 = \mathcal C^\infty(M;\mathbb R)가 되는 L∞-대수이다.
* \mathfrak g 위의 2차 불변 다항식. 즉, 원소 \omega\in\in\operatorname{Weil}_{2+\dim M}(\mathfrak g) 가운데, \mathrm d_{\operatorname{Weil}(\mathfrak g)}\omega = 0이며, \omega_{ij}\delta t^i\delta t^j의 꼴이어야 한다. 또한, \omega_{ij}는 \mathfrak g 위의 비퇴화 이차 형식이어야 한다. (여기서 \operatorname{Weil}(-)는 L∞-대수의 베유 대수이다.)
* \mathrm d_{\operatorname{Weil}(\mathfrak g)} c = \omega가 되는 원소 c\in\operatorname{Weil}(\mathfrak g). 이를 **천-사이먼스 원소**()라고 한다.
베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 표준적인 사영 사상
:\operatorname{Weil}(\mathfrak g) \to \operatorname{CE}(\mathfrak g)
아래의 c의 상을 \mu\in\operatorname{CE}(\mathfrak g)라고 하자.

L∞-준대수 사상
:\phi \colon \mathrm TM \to \mathfrak g
는 M 위의 일련의 미분 형식 장들을 정의한다. 그렇다면, 다음과 같은 작용을 정의할 수 있다.
:S = k\int \phi^*c = k\int \omega(\phi,\mathrm d\phi) + \mu
여기서 k\in\mathbb R는 임의의 상수이다. 이를 **AKSZ 시그마 모형**이라고 한다.

## 예
### 1차원
심플렉틱 다양체 N의 심플렉틱 형식 \omega가 완전 미분 형식이라고 하자.
:\omega = \mathrm dc
:c \in \Omega^1(N)
즉, 여기서 c는 \omega의 천-사이먼스 형식이다.

N은 (0차원 벡터 다발에 해당하는) 자명한 리 준대수로 여겨질 수 있으며, 그 슈발레-에일렌베르크 대수는
:\operatorname{CE}(N) = \mathcal C^\infty(N;\mathbb R)
이다.

리 준대수 사상
:\mathrm TM \to N
은 단순히 매끄러운 함수 \phi \colon M \to N이며, 이에 대한 1차원 알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형의 작용은
:S = \int_{\mathbb R}\phi^*c
이다. 이에 대한 운동 방정식은
:\dot\phi = 0
이다. 즉, 이는 움직이지 않는 입자를 나타낸다.

구체적으로, N = \mathrm T^*X가 공변접다발이라고 하자. 그렇다면
:c = p_i\mathrm dx^i
가 되며, 이 경우 작용은
:S = \int_{\mathbb R}p_i\dot x^i\,\mathrm dt
가 된다. 이는 입자의 통상적인 작용
:S = \int_{\mathbb R}(p_i\dot x^i - g^{ij}p_ip_j/2m) \, \mathrm dt
에서 무한대 질량 극한
:m\to\infty
을 취한 것이다. 즉, 입자가 매우 무거워, 더 이상 움직이지 않게 된다.

### 2차원 (푸아송 시그마 모형)
푸아송 다양체 (N,\pi)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, \mathrm T^*N\twoheadrightarrow N은 표준적으로 리 준대수를 이룬다. 그렇다면, 리 준대수 사상
:\mathrm T^*M\to E
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 매끄러운 함수 \phi\colon M \to N. 그 미분은 \mathrm d\phi \in \Omega^1(M;\phi^*(\mathrm TN))이다. 이는 접다발 \mathrm TN\twoheadrightarrow N의 당김 올다발 \phi^*(\mathrm TN) \twoheadrightarrow M에 값을 갖는 1차 미분 형식이다.
* 공변접다발 E^*\twoheadrightarrow N의 당김 올다발 \phi^*E^* \twoheadrightarrow M에 값을 갖는 1차 미분 형식 \eta \in \Omega^1(M;\phi^*E^*)
M의 지표를 \mu,\nu,\dotsc로, N의 지표를 i,j,\dotsc로 적을 때, 장들은
:\eta_\mu^i
:\partial_\mu\phi^i
이며, 이에 대한 작용은
:S = \int_M \left(\eta_i \wedge \mathrm d\phi^i + \frac12 \pi^{ij}(\phi)\eta_i\wedge\eta_j\right)
이다. 여기서 \pi는 푸아송 다양체의 푸아송 텐서이다.

### 천-사이먼스 이론

다음이 주어졌다고 하자.
* 유한 차원 실수 리 대수 \mathfrak g. 이는 한원소 공간 N = \{\bullet\} 위의 리 준대수이다.
* \mathfrak g 위의 불변 다항식 \omega \in \operatorname{Weil}^4(\mathfrak g)
(예를 들어, 만약 \mathfrak g가 단순 리 대수라면, \omega는 킬링 형식의 실수배이다.)

그렇다면, \omega에 대응하는 천-사이먼스 원소
:\mathrm d_{\operatorname{Weil}(\mathfrak g)}\alpha = \omega
:\alpha \in \operatorname{Weil}^3(\mathfrak g)
를 정의할 수 있다. 이에 대한 작용은 천-사이먼스 형식이다.

리 준대수 사상
:\mathrm TM \to \mathfrak g
의 개념은 리 대수 값 1차 미분 형식
:A \in \Omega^1(M;\mathfrak g)
의 개념과 동치이며, 이에 대한 AKSZ 시그마 모형은 \mathfrak g에 대한 천-사이먼스 이론이다.

보다 일반적으로, 이차 리 대수 대신 스칼라장을 포함할 수 있는 쿠런트 준대수를 사용할 수 있다. 이 경우 얻는 작용은 **쿠런트 시그마 모형**()이라고 한다.

## 역사
알렉산드로프 · 막심 콘체비치 · 알베르트 시바르츠 · 자보론스키가 도입하였다.

## 참고 문헌

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## 외부 링크
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분류:호모토피 이론
분류:양자장론