스핀 다양체

미분위상수학에서 **스핀 다양체**(spin多樣體, )는 스피너장을 정의할 수 있는 다양체다. 즉, 직교 틀다발 P_{\operatorname{SO}}M\to M을 이중 피복 공간 \operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)에 대하여 적절히 주다발 P_\mathrm{Spin}M\to M으로 확장할 수 있는 가향 (준) 리만 다양체다.

## 정의
임의의 두 자연수 (p,q)에 대하여, 스핀 군에서 특수 직교군으로 가는 표준적인 2겹 전사 군 준동형
:\rho\colon\operatorname{Spin}(p,q)\to\operatorname{SO}(p,q;\mathbb R)
이 존재한다.

파라콤팩트 공간 M 위의 \operatorname{SO}(p,q)-주다발 \pi_{\operatorname{SO}}\colon P\twoheadrightarrow M 위의 **스핀 구조**(spin構造, )란 다음 데이터로 구성된다.
* Spin(''p,q'')-주다발 \pi_{\operatorname{Spin}}\colon P_{\mathrm{Spin}}(M)\to M
* 이중 피복 공간 p\colon P_{\operatorname{Spin}}(M)\twoheadrightarrow P_{\operatorname{SO}}(M)
이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* \pi_{\operatorname{SO}}\circ p=\pi_{\operatorname{Spin}}
* 임의의 x\in P_{\operatorname{Spin}}, h\in\operatorname{Spin}(n)에 대하여 p(x\cdot h)=p(x)\cdot\rho(h)이다. (여기서 \cdot은 주다발 위의 군의 작용이다.) 즉, 군의 작용은 p와 가환한다.

파라콤팩트 공간 M 위의 유향(有向) 벡터 다발 E 위의 **스핀 구조**는 E의 직교 틀다발 P_{\operatorname{SO}}(E) 위의 스핀 구조이다.

매끄러운 다양체 M 위의 **스핀 구조**는 그 접다발 \mathrm TM(의 틀다발) 위의 스핀 구조이다. **스핀 다양체**는 스핀 구조를 지닌 가향 준 리만 다양체다.

### 스피너 다발
\mathbb K \in \{\mathbb R,\mathbb C\}라고 하고, 스핀 군 \operatorname{Spin}(p,q)의 \mathbb K-선형 표현
:\kappa\colon\operatorname{Spin}(p,q)\to\operatorname{GL}(\Delta;\mathbb K)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올이 \Delta인 복소수 연관 벡터 다발
:S=P_{\operatorname{Spin}}\times_\kappa\Delta
을 정의할 수 있다.

특히, \operatorname{Spin}(p,q)는 항상 2^{\lfloor(p+q)/2\rfloor}차원 복소수 표현(디랙 스피너)을 갖는다. 이에 대응되는 복소수 벡터 다발을 **디랙 스피너 다발** \mathrm SM이라고 한다. 만약 p+q가 짝수라면, 디랙 스피너는 왼쪽·오른쪽 바일 스피너의 직합으로 표현되며, 디랙 스피너 다발은 다음과 같은 두 **바일 스피너 다발**의 직합으로 분해된다.
:\mathrm SM = \mathrm S^+M\oplus\mathrm S^-M

만약 (p-q)\bmod 8 \in \{0,\pm1,\pm2\}라면, 마찬가지로 **마요라나 스피너 다발** \mathrm S_{\mathbb R}M을 정의할 수 있다. 이는 실수 벡터 다발이며,
:\mathrm SM = \mathrm S_{\mathbb R}M \otimes\mathbb C
이다. 만약 p-q가 8의 배수라면, **마요라나-바일 스피너 다발** \mathrm S^\pm_{\mathbb R}M이 존재하며,
:\mathrm S^\pm_{\mathbb R}M\otimes\mathbb C = \mathrm S^\pm M
:\mathrm S^+_{\mathbb R}M\oplus\mathrm S^-_{\mathbb R}M = \mathrm S_{\mathbb R}M
이다.

스핀 다양체 위의 **스피너장**(spinor場, )은 스피너 다발의 매끄러운 단면이다.

## 성질
가향 다양체 M 위에 스핀 구조가 존재할 필요 충분 조건은 2차 슈티펠-휘트니 특성류
:\mathrm w_2(M)\in\mathrm H^2(M,\mathbb Z/2)
가 0인지 여부이다.

## 분류
만약 매끄러운 다양체 M 위에 스핀 구조가 존재한다면, 그 스핀 구조들의 집합은 코호몰로지류 \operatorname H^1(M,\mathbb Z/2)의 집합과 일대일 대응한다. 이 대응성은 표준적(canonical)이지 않으며, 구체적으로 스핀 구조들의 집합은 \operatorname H^1(M,\mathbb Z/2)에 대한 아핀 공간이다.

직관적으로 해석하면, 축약 불가능 폐곡선들을 따라 스피너를 평행 운송하였을 때 그 부호가 ±인지 여부가 스핀 구조를 결정짓는다. 이는 양자장론에서 페르미온의 라몽 경계 조건(, +) 및 느뵈-슈워츠 경계 조건(, −)의 선택에 대응한다.

## 예
다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀 구조를 갖는다.
* 종수 *g*의 콤팩트 리만 곡면은 22*g*개의 스핀 구조를 갖는다. 이들은 대수기하학에서 **[[세타 지표]]**()라고 불린다.
* 모든 3차원 이하 콤팩트 유향 다양체는 스핀 구조를 갖는다.
* 초구 *S<sup>n</sup>*는 모두 스핀 구조를 갖는다. n \ne 1일 때 이는 유일하며, 원 \mathbb S^1은 두 개의 스핀 구조를 갖는다.
* 홀수 차원 복소수 사영 공간 \mathbb{CP}^{2k+1}은 스핀 구조를 갖는다.
* 모든 칼라비-야우 다양체는 스핀 구조를 갖는다.
다음과 같은 다양체들은 스핀 구조를 하나도 가지지 않는다.
* 짝수 차원 복소수 사영 공간 \mathbb{CP}^{2k}은 스핀 구조를 갖지 않는다.

### 낮은 차원의 벡터 다발의 스핀 구조
0차원에서는 Spin(0) = SO(0)이므로, 스핀 구조는 자명하다. 이는 1차원에서도 마찬가지다.

2차원에서는 Spin(2) = U(1) = SO(2)이지만, 이 경우 Spin(2)는 SO(2)의 2겹 피복이다. 이를 2차원 벡터 다발로 여길 경우, SO(2)=U(1) 구조를 갖는 2차원 벡터 다발은 에르미트 계량을 가진 복소수 선다발에 해당한다. 이 경우, 이 복소수 선다발 L의 스핀 구조는 복소수 선다발의 (텐서곱에 대한) 제곱근, 즉
:\sqrt L \otimes \sqrt L \cong L
이 되는 복소수 선다발 L에 해당한다.

## 각주

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## 같이 보기
* 스핀 접속
* 스피너
* 스핀C 다양체

## 외부 링크
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분류:K이론
분류:다양체 상의 구조
분류:대수적 위상수학
분류:리만 다양체
분류:미분위상수학
분류:수리물리학