막대 복합체

호몰로지 대수학에서 **막대 복합체**(막대複合體, )는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 완전열이다. Tor 함자와 Ext 함자 등을 계산할 때 쓰인다.

## 정의
### 결합 대수에 대한 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 가환환 K
* (항등원을 갖는) K-결합 대수 A
* A-오른쪽 가군 M_A
* A-왼쪽 가군 _AM'
그렇다면, **막대 복합체** \operatorname{Bar}^K_\bullet(M,A,M')는 다음과 같은, K-가군의 범주 속의 단체 대상이다.
:\operatorname{Bar}_n(M,A,M') = M\otimes_K A^{\otimes_K n} \otimes_K M'
:\partial_{n,i} \operatorname{Bar}_n(M,A,M') \to \operatorname{Bar}_{n-1}(M,A,M')\qquad(0\le i\le n)
:\partial_{n,i} \colon
m\otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n\otimes_K m' \mapsto
\begin{cases}
ma_1\otimes_K a_2\otimes_K \otimes\dotsb\otimes_K a_n\otimes_K\otimes m' & i = 0 \\
m\otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{i-1}\otimes_K a_ia_{i+1}\otimes_K a_{i+1}\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n\otimes_K m' & 0 
:s_{n,i}\colon \operatorname{Bar}_n(M,A,M') \to \operatorname{Bar}_{n+1}(M,A,M')\qquad(0\le i\le n)
:s_{n,i} \colon
m\otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n\otimes_K m' \mapsto
m\otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_i \otimes_K 1\otimes_K a_{i+1}\otimes_K \dotsb \otimes_Ka_n\otimes_K m'
특히,
:\partial_n = \sum_{i=0}^n (-)^i \partial_{n,i}
로 놓으면, 이는 사슬 복합체를 이룬다.

### 일반적 정의
보다 일반적으로, 모노이드 범주 (\mathcal C,\otimes) 속의 모노이드 대상 A 및 그 왼쪽 가군 _AM과 오른쪽 가군 M'_A이 주어졌을 때, 위와 같은 구성을 마찬가지로 전개할 수 있다. 이 경우, \operatorname{Bar}^{\mathcal C}_\bullet(M,A,M')은 \mathcal C 속의 단체 대상을 이룬다.

예를 들어, 모노이드 A와 그 왼쪽 모노이드 작용을 갖는 집합 _AM 및 오른쪽 모노이드 작용을 갖는 집합 M'_A이 주어졌을 때, \operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Set}}(M,A,M')은 단체 집합을 이룬다.

## 성질
### 완전성
가환환 K 위의 결합 대수 A 및 그 위의 오른쪽 가군 M_A과 왼쪽 가군 _AM'가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 막대 복합체 \operatorname{Bar}_\bullet^K(M,A,M')를 생각할 수 있다. 또한, 막대 복합체의 마지막 항에
:\operatorname{Bar}_0^K(M,A,M')=M\otimes_K M'\to \operatorname{Bar}_{-1}^K(M,A,M') = M\otimes_A M'
을 추가할 수 있다. 그렇다면,
:\dotsb\to  \operatorname{Bar}_1^K(M,A,M') \to \operatorname{Bar}_0^K(M,A,M')\to \operatorname{Bar}_{-1}^K(M,A,M') \to 0
은 완전열이다. 즉, 그 호몰로지는 자명군이다. 이에 따라, 막대 복합체 \operatorname{Bar}(M,A,M')은 M\otimes_AM'의 분해를 정의한다.

특히, M=M'=A인 경우, \operatorname{Bar}_\bullet^K(A,A,A)는 A의 ((A,A)-쌍가군으로서의) 분해()를 이룬다.

## 예
### 호흐실트 호몰로지

가환환 K 위의 결합 대수 A가 주어졌다고 하자. \operatorname{Bar}^K_\bullet(A,A,A)의 각 성분은 모두 (A,A)-쌍가군이므로, 포락 대수 A^{\operatorname{e}}=A\otimes_KA^{\operatorname{op}}를 정의하였을 때 \operatorname{Bar}_\bullet^K(A,A,A)는 A^{\operatorname{e}}-사슬 복합체를 이룬다. 임의의 (A,A)-쌍가군 M에 대하여,
:C_\bullet(A;M) = M\otimes_{A^{\operatorname{e}}}\operatorname{Bar}^K_\bullet(A,A,A)
는 A의 M계수 호흐실트 사슬 복합체이며, 마찬가지로
:C^\bullet(A;M) = \hom_{A^{\operatorname{e}}}(\operatorname{Bar}^K_\bullet(A,A,A),M)
은 A의 M계수 호흐실트 공사슬 복합체이다.

### 군 코호몰로지

군 코호몰로지와 군 호몰로지를 계산하는 표준적인 공사슬 복합체와 사슬 복합체는 막대 복합체의 특수한 경우이다.

### 분류 공간

위상 공간의 (범주론적 곱에 대한) 모노이드 범주에서, 위상군 G가 주어졌다고 하자. 이는 물론 한원소 공간 \bullet 위에 자명하게 작용한다. 이에 따라, 막대 복합체 \operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Top}}(\bullet,G,\bullet)를 정의할 수 있다. 또한, G는 스스로 위에 왼쪽 및 오른쪽에서 작용한다. 따라서, 막대 복합체 \operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Top}}(\bullet,G,G)를 정의할 수 있다. 이 경우, 표준적인 몫 사상
:\operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Top}}(\bullet,G,G)\twoheadrightarrow\operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Top}}(\bullet,G,\bullet)
이 존재한다. 이는 G-주다발을 이루며, 또한 위상군 G의 분류 공간 \operatorname E(G)\twoheadrightarrow\operatorname B(G)을 이룬다.

## 역사
사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1953년에 도입하였다. “막대 복합체”라는 이름은 에일렌베르크와 매클레인이 (오늘날 통상적으로 “\otimes”로 표기되는) 텐서곱을 막대기 모양의 기호 “|”로 표기하였기 때문이다.

## 같이 보기
* 코쥘 복합체
## 각주

## 외부 링크
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분류:호몰로지 대수학