최소 공배수

[섬네일|<math>\{2,3,4,5,7\}</math>의 모든 [부분 집합의 최소 공배수를 표시한 벤 다이어그램]]
수론에서, 여러 개의 정수의 **최소 공배수**(最小公倍數, , 약자 lcm)는 그들 모두의 배수가 되는 음이 아닌 정수 가운데 가장 큰 하나이다. 정수 집합의 약수 관계에 대한 원격자에서의 상한이다. 기호는 \operatorname{lcm}\{m,n\} 또는 [m,n].

최소 공배수는 모든 정수에 대해서 정의된다. 일부 문헌에서는 최소 공배수의 정의를 0이 아닌 정수 또는 양의 정수 따위로 제한한다.

최소 공배수 값을 음이 아닌 정수로 정하는 것은 일종의 표준화 작업이다. 체 계수 다항식의 최소 공배수도 정의할 수 있으며, 흔히 최소 공배수 값을 (0 또는) 일계수 다항식으로 정한다. 가환환의 원소에 대해서도 정의할 수 있는데, 추가적인 데이터가 없는 한 최소 공배수 값을 표준적으로 선택하는 방법은 정해져 있지 않다.

## 정의
두 정수 m,n\in\mathbb Z의 **공배수**()는 m의 배수이자 n의 배수인 정수이다. 두 정수 m,n\in\mathbb Z의 **최소 공배수** \operatorname{lcm}\{m,n\}는 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이들 정의는 서로 동치이다.
* m, n의 공배수인 음이 아닌 정수 가운데 가장 작은 하나
* m, n의 공배수이며, m, n의 모든 공배수의 약수인 유일한 음이 아닌 정수
유한 개의 정수 n_1,n_2,\dots,n_k\in\mathbb Z의 **최소 공배수** \operatorname{lcm}\{n_1,n_2,\dots,n_k\}는 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이들 정의는 서로 동치이다.
* 가장 작은 음이 아닌 공배수
* 공배수이며, 모든 공배수의 약수인 유일한 음이 아닌 정수
* (재귀적 정의) \operatorname{lcm}\{\operatorname{lcm}\{n_1,n_2,\dots,n_{k-1}\},n_k\}
마찬가지로, 임의의 정수 집합 S\subseteq\mathbb Z의 **최소 공배수** \operatorname{lcm}S를 정의할 수 있다. 일부 문헌의 경우, 0이 아닌 정수들에 대해서만 최대 공배수를 정의한다. 일부 문헌의 경우, 양의 정수에 대해서만 정의한다.

## 성질
### 약수 관계와의 관계
공배수는 최소 공배수의 배수와 동치이다.
:m,n\mid a\iff\operatorname{lcm}\{m,n\}\mid a
:n_1,\dots,n_k\mid a\iff\operatorname{lcm}\{n_1,\dots,n_k\}\mid a

약수 관계는 최소 공배수를 통해 다음과 같이 기술할 수 있다.
:m\mid n\iff\operatorname{lcm}\{m,n\}=|n|

이는 격자의 순서론적 구조와 대수적 구조 사이의 관계의 특수한 경우이다.

### 항등식
임의의 정수들에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
* (멱등 법칙) \operatorname{lcm}\{n,n\}=|n|
* (교환 법칙) \operatorname{lcm}\{m,n\}=\operatorname{lcm}\{n,m\}
* (결합 법칙) \operatorname{lcm}\{\operatorname{lcm}\{m,n\},k\}=\operatorname{lcm}\{m,\operatorname{lcm}\{n,k\}\}
* (흡수 법칙) \operatorname{lcm}\{m,\operatorname{gcd}\{m,n\}\}=m
* (흡수 법칙) \operatorname{gcd}\{m,\operatorname{lcm}\{m,n\}\}=m
* \operatorname{lcm}\{1,n\}=|n|
** 즉, 1은 격자 (\mathbb Z_{\ge0},\mid)의 최소 원소이다.
* \operatorname{lcm}\{0,n\}=0
** 즉, 0은 격자 (\mathbb Z_{\ge0},\mid)의 최대 원소이다.
** 이들 항등식에 따라, (\mathbb Z_{\ge0},\mid)는 유계 격자를 이룬다.
* (곱에 대한 분배 법칙) \operatorname{lcm}\{mk,nk\}=\operatorname{lcm}\{m,n\}|k|
* \gcd\{m,n\}\operatorname{lcm}\{m,n\}=|mn|
** 특히, 적어도 하나가 0이 아닌 두 정수의 최소 공배수는 최대 공약수를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
**:\operatorname{lcm}\{m,n\}=\frac{\gcd\{m,n\}}
** 특히, 두 서로소 정수 \gcd\{m,n\}=1의 최소 공배수는 다음과 같다.
**:\operatorname{lcm}\{m,n\}=|mn|
* (최대 공약수에 대한 분배 법칙) \operatorname{lcm}\{m,\gcd\{n,k\}\}=\gcd\{\operatorname{lcm}\{m,n\},\operatorname{lcm}\{m,k\}\}
* (최대 공약수에 대한 분배 법칙) \gcd\{m,\operatorname{lcm}\{n,k\}\}=\operatorname{lcm}\{\gcd\{m,n\},\gcd\{m,k\}\}
** 이 두 항등식에 따라, 격자 (\mathbb Z_{\ge0},\mid)는 분배 격자이다.

### 소인수 분해와의 관계
소인수분해가 주어진 양의 정수들의 최소 공배수는 소인수의 지수의 최댓값을 취하여 얻는다. 두 정수의 경우, 소인수분해가
:m=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}
:n=p_1^{f_1}p_2^{f_2}\cdots p_k^{f_k}
:e_i,f_i\in\mathbb Z_{\ge0}
라면, 최소 공배수는
:\operatorname{lcm}\{m,n\}=p_1^{\max\{e_1,f_1\}}p_2^{\max\{e_2,f_2\}}\cdots p_k^{\max\{e_k,f_k\}}
이다.

## 계산법
두 수 a와 b의 최소 공배수를 구하는 방법은 소인수 분해를 사용하는 방법이 있다.

두 수 192와 72의 최소 공배수를 소인수 분해를 이용하여 구하여 보자. 일단 두 수를 소인수 분해한다.

192=2^6\times 3

72=2^3 \times 3^2

구하고 나면, 두 소인수 분해 결과의 한 소인수 중에서 지수가 가장 큰 수를 찾아 서로 곱한다. 두 결과에서 2가 여섯 번 3이 두 번 한 소인수 중에서 가장 큰 수를 찾아서 나왔다. 즉 2^6 \times 3^2=576 최소 공배수가 576이라는 결론이 나온다.

## 응용
### 통분
통분은 분수끼리 더하거나 뺄 때 사용되는 기법이다. 통분 과정에서 최소공분모(=분모의 최소 공배수)를 공분모로서 사용하면, 분모의 곱을 사용하는 경우보다 더 쉽게 계산할 수 있다. 예를 들어,
:{2\over21}+{1\over6}={4\over42}+{7\over42}={11\over42}
는 최소공분모 \operatorname{lcm}\{21,6\}=42를 사용하여 계산한 것이다.

## 같이 보기
* 인수 분해

## 참고 문헌


분류:수론
분류:산수