마우러-카르탕 형식

미분기하학에서 **마우러-카르탕 형식**(Maurer-Cartan形式, )은 리 군 위에 정의된, 리 대수 값의 1차 미분 형식이다. 리 군의 연산 구조를 나타낸다.

## 정의
마우러-카르탕 형식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

편의상, 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 함수를 다음과 같이 정의하자.
:\mathsf L_g,\mathsf R_g \colon G\to G\qquad(g\in G)
:\mathsf L_g \colon h\mapsto gh
:\mathsf R_g \colon h\mapsto hg

### 내재적 정의
리 군 G가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터장의 밂
:\mathsf L_{g*}\colon \mathrm T_hG \mapsto \mathrm T_{gh}G
를 정의할 수 있다.

G의 리 대수는 항등원에서의 접공간과 같다.
:\mathfrak g=\mathrm T_1G

이제, 각 점 g\in G에서, **마우러-카르탕 형식**
:\omega\in\Omega^1(G;\mathfrak g)
은 다음과 같은 성분을 갖는 리 대수 값 1차 미분 형식이다.
:\omega_g(v) = \mathsf L_{g^{-1}*}(v) \in \mathrm T_1G = \mathfrak g\qquad(g\in G,\;v\in\mathrm T_gG)

### 외재적 정의
임의의 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 일반 선형군 \operatorname{GL}(n;\mathbb R) 위의 매끄러운 함수
:f_{ij}\colon \operatorname{GL}(n;\mathbb R)\to \mathbb R\qquad(i,j\in\{1,2,\dotsc,n\})
가 행렬의 (i,j)번째 성분을 고르는 함수라고 하자. 그렇다면, 1차 미분 형식
:\mathrm df_{ij} \in \operatorname\Omega^1(M)
들을 정의할 수 있다. 이들을 모아
:\mathrm df \in \operatorname\Omega^1(M)\otimes\mathbb R^{n^2} = \Omega^1(M;\mathfrak{gl}(n;\mathbb R))
를 정의할 수 있다.

\operatorname{GL}(n;\mathbb R) 위의 **마우러-카르탕 형식**은 다음과 같다.
:\omega|_M = M^{-1}\,\mathrm df

이제, 다음이 주어졌다고 하자.
* (유한 차원) 연결 단일 연결 리 군 G 및 그 리 대수 \operatorname{Lie}(G)=\mathfrak g
그렇다면, 다음을 임의로 고르자. 우선, \mathfrak g는 유한 차원 실수 리 대수이므로, 충분히 큰 n\in\mathbb N에 대하여 항상 다음과 같은 단사 실수 리 대수 준동형이 존재한다.
:\mathfrak g\hookrightarrow\operatorname{\mathfrak{gl}}(n;\mathbb R)
이는 마찬가지로 매끄러운 군 준동형
:\phi\colon G\to\operatorname{GL}(n;\mathbb R)
을 정의한다. 이는 (정의에 따라) 항상 몰입이지만, 일반적으로 단사 함수일 필요가 없다.

그렇다면, G의 **마우러-카르탕 형식**
:\omega\in\Omega^1(G;\mathfrak g)
는 \operatorname{GL}(n;\mathbb R)의 마우러-카르탕 형식 \omega_{\operatorname{GL}(n;\mathbb R)}의 당김
:\phi^*\omega_{\operatorname{GL}(n;\mathbb R)}\in \Omega^1(G;\mathfrak{gl}(n;\mathbb R))
이다. 이는 사실 \mathfrak g\subseteq\mathfrak{gl}(n;\mathbb R)에 속하는 것을 보일 수 있다.
:\phi^*\omega \in \Omega^1(G;\mathfrak g)
또한, 이 표현은 (\phi,n)의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

단일 연결이 아닌 연결 리 군 G의 마우러-카르탕 형식은 그 범피복군
:q\colon\tilde G\twoheadrightarrow G
에 대하여,
:q^*\omega_G = \omega_{\tilde G}
가 되는 유일한 미분 형식이다.

### 공리적 정의
리 군 G 위의 **마우러-카르탕 형식**은 다음 조건들을 모두 만족시키는 유일한 \mathfrak g값 1차 미분 형식
:\omega\in\Omega^1(G;\mathfrak g)
이다.
* \omega_1 = \operatorname{id} \colon \mathrm T_1G\to \mathrm T_1G=\mathfrak g
* 임의의 g\in G에 대하여, \omega_g = \operatorname{Ad}(g^{-1})\mathsf R_{g^{-1}}^*\omega_1
이 정의는 주접속의 정의과 같다. 즉, G를 한원소 공간 \{\bullet\} 위의 주다발
:G\twoheadrightarrow\{\bullet\}
로 간주하면, **마우러-카르탕 형식**은 그 위의 유일한 주접속이다.

## 성질
임의의 벡터장 X\in\Gamma^\infty(\mathrm TG)에 대하여, 만약
:\mathsf L_{g*}X = X
라면, \omega(X)\in\mathcal C^\infty(G,\mathbb R)는 상수 함수이다.

**유도:**

임의의 g\in G에 대하여,
:\omega|_g(X|_g) = (\mathsf L_{g^{-1}*}X)|_g = X|_1


### 마우러-카르탕 방정식
마우러-카르탕 형식은 다음 조건을 만족시킨다.
:\mathrm d\omega + \frac12[\omega\wedge\omega] = 0
이를 **마우러-카르탕 방정식**(Maurer-Cartan方程式, )이라고 한다.

**유도:**

임의의 두 벡터장 X,Y\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)이 왼쪽 곱셈 밂에 대하여 불변이라고 하자. 그렇다면, \omega(X)와 \omega(Y)는 둘 다 상수 함수이다. 따라서,
:\partial_X \omega(Y) = \partial_Y \omega(X) = 0
이다. 따라서,
:\mathrm d\omega(X,Y) = \partial_X\omega(Y) - \partial_Y\omega(X) - \omega([X,Y]) = 
-\omega([X,Y])
= -\frac12[\omega\wedge\omega](X,Y)

이다. 그런데 왼쪽 불변인 벡터장들은 G의 각 점에서의 접공간의 기저를 이루므로, 위 방정식은 점별로 모든 벡터장에 대하여 성립한다. 즉,
:\mathrm d\omega = -\frac12[\omega\wedge\omega]
이다.



#### 마우러-카르탕 방정식의 일반화
리 군 G 위의, \mathfrak g 값의 미분 형식들은 미분 등급 리 대수 \Omega(G;\mathfrak g)를 이룬다. 이에 따라, 마우러-카르탕 방정식은 임의의 미분 등급 리 대수 \mathfrak g에 대하여 일반화된다. 즉,
:\mathfrak g=\bigoplus_{n\in\mathbb N}\mathfrak g^n
위의 마우러-카르탕 방정식은 1차 원소에 대한 방정식
:\mathrm d\omega+\frac12[\omega,\omega] = 0
이다. 그러나 그 해는 일반적으로 유일하지 못하다. (차수 조건을 생략할 경우, 예를 들어 \omega=0 역시 마우러-카르탕 방정식을 자명하게 만족시킨다.)

보다 일반적으로, 임의의 L∞-대수 \mathfrak g를 생각하자. L∞-대수에서, 미분 연산 \mathrm d는 1항 괄호에 해당한다. 이 경우, \mathfrak g 위의 **마우러-카르탕 방정식**은 다음과 같다.
:\sum_{k=0}^\infty \frac1{k!} [\overbrace{\omega,\dotsc,\omega}^k]_k = 0

## 역사
루트비히 마우러(, 1859~1927)와 엘리 카르탕의 이름을 땄다.

Ludwig Maurer.jpg|루트비히 마우러
Elie-Cartan-1904.png|엘리 카르탕


## 예
아벨 군 G=\mathbb R^n을 생각하자. 그 위의 마우러-카르탕 형식은 단순히
:(\omega|_v)_i{}^j = \delta_i^j \qquad i,j\in\{1,2,\dotsc,n\}
이다.

이 경우, 마우러-카르탕 방정식은 단순히
:\mathrm d\omega = 0
이므로, 마우러-카르탕 방정식은 마우러-카르탕 원소를 완전히 결정하지 못한다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:호모토피 이론