이계도함수

[오른쪽|섬네일|200x200픽셀|[이차함수의 이계도함수는 상수함수이다.]]
미적분학에서, 함수 f의 **이계도함수**란 f의 도함수의 도함수이다. 대략적으로, 이계도함수는 변화율 자체가 어떻게 변하는지를 측정하는데, 예를 들면 차량의 위치의 이계도함수는 그 차량의 시간에 관한 가속도, 즉 시간에 따른 그 시점의 속도의 변화율을 의미한다. 라이프니츠의 표기법에서 마지막 항이 이계도함수의 표현이다:

: \mathbf{a} =  \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2},

함수의 그래프에서, 이계도함수는 그래프의 곡률 또는 볼록성과 관계있다. 양의 값의 이계도함수를 갖는 함수의 그래프는 아래로 오목하고, 반면에 음의 값의 이계도함수를 갖는 함수의 그래프는 그와 반대이다.

## 이계도함수에서 멱의 법칙
일계도함수에 대한 멱의 법칙을 두 번 적용하면 다음과 같은 이계도함수에 대한 멱의 법칙을 얻을 수 있다.

\frac{d^2}{dx^2}[x^n]=\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}[x^n]=\frac{d}{dx}[nx^{n-1}]=n\frac{d}{dx}[x^{n-1}]=n(n-1)x^{n-2}.

## 표기법
함수 f(x) f*(x)</math>. 즉:

: <math>f* = (f')'

도함수에 대한 라이프니츠의 표기법을 사용하면, 독립변수 x에 관한 종속변수 y의 이계도함수는 다음과 같이 나타난다.

: \frac{d^2y}{dx^2}.

이 표기법은 다음과 같은 식에서 얻어진다.

: \frac{d^2y}{dx^2} \,=\, \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).

## 예
주어진 함수

: f(x) = x^3,

의 도함수는

: f'(x) = 3x^2.

f의 이계도함수는 f의 도함수의 도함수이다. 즉,

: f*(x) = 6x.</math>

== 그래프와의 관계 ==
[[파일:Animated_illustration_of_inflection_point.gif|섬네일|500x500픽셀|<math>f(x) = \sin(2x)</math> <math>-\pi/4</math> <math>5\pi/4</math>. 파란색으로 나타난 접선은 곡선이 위로 오목한 구간이고, 초록색으로 나타난 접선은 아래로 오목한 구간이며, 빨간색으로 나타난 접선은 변곡점이다. (0, <math>\pi</math>/2, and <math>\pi</math>).]]

=== 오목성 ===
f의 이계도함수는 f의 그래프의 *'오목성**을 측정한다. f의 이계도함수가 양의 값을 가지면 [[볼록 함수|위로 오목]](볼록함수라고도 한다.)하게 되는데, 이는 [[접선]]이 함수의 그래프 아래쪽에 위치함을 의미한다. 유사하게, 이계도함수가 음의 값을 가지면 [[오목함수|아래로 오목]](오목함수라고도 한다.)하게 되는데, 이는 접선이 함수의 그래프의 위쪽에 위치함을 의미한다.

=== 변곡점 ===
이계도함수의 부호가 바뀌면, 함수의 그래프는 아래로 오목에서 위로 오목으로 바뀌거나 그 반대가 된다. 이러한 경우가 일어나는 점을 **변곡점**이라고 부른다. 이계도함수가 연속이라고 하면, 비록 이계도함수가 0이 되는 모든 점이 변곡점인 것은 아니지만, 변곡점에서 이계도함수의 값은 0이 된다.

=== 이계도함수 판정법 ===
이계도함수와 그래프의 관계는 함수의 임계점 (즉, <math>f'(x)=0</math>)이 [[극값|극대]] 또는 [[극값|극소]]인지를 판정하는데 사용될 수 있다. 구체적으로,

* <math>\ f^{\prime\prime}(x) < 0</math><math>\ f</math><math>\ x</math>.
* <math>\ f^{\prime\prime}(x) > 0</math><math>\ f</math><math>\ x</math>.
* <math>\ f^{\prime\prime}(x) = 0</math><math>\ x</math>

이계도함수가 이러한 결과를 만드는 이유는 실세계와의 비유를 통해 볼 수 있다. 처음에는 최대속도로 앞으로 나아가지만 음의 가속도를 갖는 차를 생각해보자. 분명히 차의 위치는 속도가 0이 되는 지점에서 시작점으로부터 가장 멀리 떨어져 있을 것이다. - 이후, 속도가 음의 값을 가지면 차는 후진할 것이다. 최솟값에 대해서도 마찬가지인데, 이는 처음에는 가장 큰 음의 속도로 출발하지만 양의 가속도를 갖는 차량을 생각해보면 된다.

== 극한 ==
이계도함수를 단일의 [[극한]]으로 쓰면 다음과 같이 쓸 수 있다:

: <math>f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}.</math>

이 극한은 [[이계대칭도함수]]라 불린다. 이 이계대칭도함수는 (통상적인) 이계도함수가 존재하지 않을 때도 존재할 수 있다는 것에 주목하자.

오른쪽의 표현은 평균변화율의 [[평균변화율]]로 나타낼 수 있다.

: <math>\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h}.</math>

이 극한은 [[수열|열]]에 대한 [[이계 차분]]의 연속 버젼으로 간주할 수 있다.

위의 극한이 존재한다는 것이 <math>f</math> 이 극한은 이계도함수를 계산하는 것에 대한 가능성을 줄 뿐이지 정의를 주는 것은 아니다. 반례로 다음과 같이 정의된 [[부호 함수]] <math>\sgn(x)</math>

: <math>\sgn(x) = \begin{cases}
-1 & \text{if } x < 0, \\
0 & \text{if } x = 0, \\
1 & \text{if } x > 0. \end{cases}</math>

이 부호함수는 0에서 연속이 아니므로 <math>x=0</math> 하지만 <math>x=0</math>

: <math>\begin{align}
\lim_{h \to 0} \frac{\sgn(0+h) - 2\sgn(0) + \sgn(0-h)}{h^2} &= \lim_{h \to 0} \frac{1 - 2\cdot 0 + (-1)}{h^2} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} \\
&= 0 \end{align}</math>

== 이차 근사 ==
일계도함수가 [[선형근사|선형 근사]]와 관련있는 것처럼, 이계도함수는 함수 f에 대한 최적화된 [[이차 근사]]와 관련있다. 이는 곧 주어진 점에서 f의 일계도함수와 이계도함수의 값과 같은 [[이차함수]]이다. x=a 주변에서 f의 최적화된 이차 근사식은 다음과 같다.

: <math>f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac12 f''(a)(x-a)^2.</math>

이 이차 근사는 함수의 x=a에서의 이차 [[테일러 급수|테일러 다항식]]이다.

== 이계도함수의 고윳값과 고유벡터 ==
<math>x \in [0,L]</math> [[디리클레 경계 조건]]을 가정하자, 즉, <math> v(0)=v(L)=0</math>, [[고윳값]]은 <math> \lambda_j = -\frac{j^2 \pi^2}{L^2}</math> <math> v_j(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{j \pi x}{L}\right) </math>. 여기서, <math> v''_j(x) = \lambda_j v_j(x), \, j=1,\ldots,\infty.</math>

다른 잘 알려진 케이스에 대해서는, [[이계도함수의 고윳값과 고유벡터]]를 참조하라.

== 고차원으로의 일반화 ==

=== 헤세 행렬 ===
이계도함수는 이계 [[편도함수]]의 개념을 통해 고차원으로 일반화될 수 있다.예를 들어, ''f'':**R**<sup>3</sup>&nbsp;&#x2192;&nbsp;**R**는 세 변수의 이계 편도함수

: <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \text{ and }\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>

와 이들이 섞인 편도함수

: <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}, \text{ and }\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}.</math>

만약 함수의 상과 [[정의역]] 둘 다 고차원이 된다면, 이는 **헤세 행렬**이라 알려진 [[대칭행렬]]과 들어맞는다. 이 행렬의 [[고윳값]]은 다변수의 이계도함수 판정법을 유사하게 함의한다. ([[이계 편도함수 판정법]]을 보아라.)

=== 라플라스 작용소 ===
또다른 이계도함수의 일반화는 **라플라스 작용소'''이다. 이는 다음과 같이 정의되는 미분 연산자 \nabla^2

: \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.

함수의 라플라스 작용소는 그래디언트의 발산, 헤세 행렬의 대각합과 같다.

## 같이 보기

* Chirpyness,  instantaneous phase의 이계도함수

## 각주

## 더 읽을 거리

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## 외부 링크
* Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points

분류:미분학
분류:함수와 사상
분류:해석학 (수학)