공종도

집합론에서 **공종도**(共終度, )는 주어진 원순서 집합의 공종 집합의 최소 크기이다. 이는 원순서 집합의 일종의 복잡도를 나타낸다.

## 정의
임의의 원순서 집합 (X,\lesssim)에 대하여, X의 **공종도** \operatorname{cf}X는 X의 공종 집합들의 크기들의 최솟값이다. 마찬가지로, X의 **공시작도** \operatorname{cf}(X^{\operatorname{op}})는 X의 공시작 집합들의 크기들의 최솟값이다.

### 순서수의 공종도
정렬 전순서 집합의 부분 집합은 항상 정렬 전순서 집합이다. 이 경우, 순서수 \alpha의 공종 집합들의 순서형들의 최솟값은 항상 기수이며, 이는 \alpha의 공종도와 일치한다.

### 기수의 공종도
기수 \kappa의 **공종도** \operatorname{cf}\kappa는 순서수로서의 공종도이다.

무한 기수 \kappa의 공종도는 다음과 같이 직접적으로 정의할 수도 있다.
:\operatorname{cf}\kappa=\min\left\{|I|\colon\kappa=\sum_{i\in I}\lambda_i,\;\forall i\colon\lambda_i
즉, \kappa를 그보다 더 작은 기수들의 합으로 나타낼 때, 합의 항들의 수의 최솟값이다.

순서수 \alpha에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 순서수를 **정칙 기수**(正則基數, )라고 한다.
* 공종도 함수의 고정점이다. 즉, \alpha=\operatorname{cf}\alpha이다.
* 임의의 순서수들의 집합 S\subseteq\operatorname{Ord}에 대하여, \textstyle\alpha=\sup_{\operatorname{Ord}}S라면 (즉, S\subseteq\alpha가 공종 집합이라면) \alpha는 (S,\le)와 순서 동형이다.
* \alpha는 기수이며, \alpha\ne2이며, \alpha개 미만의, \alpha 미만 기수들의 기수 합으로 나타낼 수 없다. 즉, 임의의 기수의 집합 (\kappa_i)_{i\in I}에 대하여 \textstyle\alpha\le\sum_{i\in I}\kappa라면 |I|\ge\alpha이거나, \kappa_i\ge\alpha인 i\in I가 존재한다. (여기서 \textstyle\sum은 기수의 합이다.)
* \alpha\ne2는 기수이며, 크기가 \alpha 미만인 집합들의 범주 \operatorname{Set}_{는 크기 \kappa 미만의 모든 쌍대 극한을 갖는다.
(일부 문헌에서는 유한 정칙 기수인 0과 1을 정칙 기수로 치지 않는 경우도 있다.)
만약 \kappa>\operatorname{cf}\kappa라면, \kappa를 **특이 기수**(特異基數, )라고 한다. \kappa는 불가능하다.

## 성질
공종도 함수는 멱등 함수이다. 즉, 모든 순서수 \alpha에 대하여
:\operatorname{cf}\operatorname{cf}\alpha=\operatorname{cf}\alpha
이다. 즉, \operatorname{cf}\alpha는 항상 정칙 기수이다.

임의의 순서수 \alpha에 대하여 다음이 성립한다.
:\operatorname{cf}\alpha\le\alpha
이는 \alpha 전체가 자명하게 공종 집합이기 때문이다.

임의의 무한 기수 \kappa에 대하여 다음이 성립한다. (이는 쾨니그의 정리에 의하여 함의된다.)
:\operatorname{cf}\kappa\le\kappa

1을 제외한 모든 정칙 기수는 극한 순서수이다.

## 예
### 유한 순서수
임의의 양의 자연수 n>0의 경우, (따름 순서수이므로) \operatorname{cf}n=1이다. 0의 경우 \operatorname{cf}0=0이다. 따라서, 유한 정칙 기수는 0과 1 밖에 없다.

임의의 순서수 \alpha에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.
* \operatorname{cf}\alpha=0
* \alpha=0

### 따름 순서수
임의의 순서수 \alpha에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.
* \operatorname{cf}\alpha=1
* \alpha는 따름 순서수이다.
이는 \{\alpha\}가 \alpha+1의 공종 집합이기 때문이다.

### 극한 순서수
임의의 극한 순서수 \lambda에 대하여,
:\aleph_\lambda=\sum_{\alpha
이므로
:\operatorname{cf}\aleph_\lambda=\operatorname{cf}\lambda
이다.

\operatorname{cf}\aleph_0=\aleph_0이다. 또한, 모든 따름 기수는 정칙 기수이므로, 임의의 순서수 \alpha에 대하여
:\operatorname{cf}\aleph_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha+1}
이다.

정칙 기수가 아닌 가장 작은 무한 기수는 \aleph_\omega이며,
:\operatorname{cf}\aleph_\omega=\operatorname{cf}\omega=\aleph_0
이다. 반면
:\aleph_0
이므로,
:2^{\aleph_0}\ne\aleph_\omega
이다. 그러나 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 2^{\aleph_0}은 \aleph_\omega보다 클 수도, 작을 수도 있다.

편의상 선택 공리를 가정하자. 다음과 같은 기수들은 정칙 기수이다.
* \aleph_0
* 임의의 순서수 \alpha에 대하여, \aleph_{\alpha+1}
* 임의의 기수 \kappa에 대하여, \operatorname{cf}\kappa

### 정렬 전순서 집합이 아닌 경우
실수의 전순서 집합 \mathbb R의 공종도는 \operatorname{cf}(\mathbb R)=\aleph_0이다. 이는 자연수의 가산 무한 집합 \mathbb N\subseteq\mathbb R이 \mathbb R의 공종 집합이기 때문이다.

확장된 실수의 전순서 집합 \bar{\mathbb R}=[-\infty,\infty]의 공종도는 1이다. 이는 \bar{\mathbb R}가 최대 원소 \infty를 갖기 때문이다.

집합 S의 진부분 집합들의 멱집합 \operatorname{Pow}(S)\setminus\{S\}의 공종도는 |S|이다. 이는 공종 집합
:\{S\setminus\{s\}\colon s\in S\}\subseteq \operatorname{Pow}(S)\setminus\{S\}
이 최소의 공종 집합이기 때문이다.

닫힌 원순서 집합 (X,\lesssim)의 공종도는 X의 극대 원소들의 동치류들의 수이다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:순서수
분류:순서론