절두체

기하학에서 **절두체**(frustum)는 입체(보통 원뿔이나 각뿔)를 절단하는 하나나 두 평행면 사이의 부분이다. **직 절두체**는 직각뿔을 평행하게 깎은 것이다.

컴퓨터 그래픽스에서 뷰잉 프러스텀은 스크린에서 볼 수 있는 삼차원 영역이다. 이것은 잘라낸 각뿔으로 만들어진다; 특히, *[[절두체 컬링]]*은 은면 검출의 방법이다.

항공 우주 산업에서, 절두체는 (세턴 V 같은) 두 단계의 다단계로켓 간의 깎은 원뿔 형태의 페어링이다.

모든 모서리의 길이를 같게 할 때, 절두체는 고른 각기둥이 된다.

## 원소, 특별한 경우, 그리고 관련 개념
섬네일|200px|사각뿔 절두체
[섬네일|200px|[정팔면체는 세 면에 정사면체를 붙여서 삼각 절두체로 만들 수 있다]]
각 평면의 부분은 절두체의 바닥이나 밑면이다. 축이 있다면, 이것은 원본인 원뿔이나 각뿔의 축이다. 원형 밑면을 가지면 그 절두체는 원형이다; 축이 양 면에 수직하면 이것은 직 절두체이고 아니면 빗 절두체이다.

절두체의 높이는 두 밑면의 평면의 수직거리이다.

원뿔과 각뿔은 절단면이 꼭대기를 지나는(밑면이 점으로 줄어든) 절두체의 축퇴된 경우로 볼 수 있다. 각뿔 절두체는 기둥형 다면체의 부분 그룹이다.

두 절두체의 밑면을 붙이면 붙인 절두체를 만든다.

## 공식

### 부피
정사각뿔의 절두체의 부피 공식은 이집트 제13왕조(약 1850 BC)에 쓰인 모스크바 수학 파피루스라고 불리는 고대 이집트 수학에서 발견되었다:
:V = \frac{1}{3} h(a^2 + a b +b^2).
여기서 *a*와 *b*는 깎은 각뿔의 밑면과 윗면의 변의 길이이고, *h*는 높이이다.
이집트인들은 깎은 정사각뿔의 부피를 얻는 공식을 알았지만, 모스크바 파피루스에서 주어진 이 공식에 대한 증명은 없다.

원뿔 또는 각뿔 절두체의 부피는 잘라내기 전의 입체의 부피에서 꼭대기의 부피를 뺀 것이다:
:V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}
이 때 *B*1은 밑면의 넓이이고, *B*2는 다른 밑면의 넓이이며, *h*1, *h*2는 꼭대기로부터 각각의 밑면까지의 수직거리이다.

다음을 고려하자
:\frac{B_1}{h_1^2}=\frac{B_2}{h_2^2}=\frac{\sqrt{B_1 B_2}}{h_1 h_2} = \alpha
부피의 공식은 비례 상수 α/3와 *h*1과 *h*2 세제곱의 차의 곱 만으로 표현할 수 있다.
:V = \frac{h_1 a h_1^2 - h_2 a h_2^2}{3} = \frac{a}{3}(h_1^3 - h_2^3)

두 세제곱의 차를 인수분해 해서 ( a3 - b3 = (a-b)(a2 + ab + b2) ) 절두체의 높이 *h*1−*h*2 = *h*를 얻을 수 있고 α(*h*12 + *h*1*h*2 + *h*22)/3을 얻을 수 있다.

α를 분배하고 그 정의를 대입하면, 넓이 *B*1과 *B*2의 헤론 평균을 얻을 수 있다. 따라서 다른 공식은 다음과 같다:
:V = \frac{h}{3}(B_1+\sqrt{B_1 B_2}+B_2)
헤론은 이 식을 도출하는데 주목하고 그 가운데 마이너스 일의 제곱근인 허수와 마주하게 되었다.

특히, 원형 원뿔 절두체의 부피는 다음과 같다:
:V = \frac{\pi h}{3}(R_1^2+R_1 R_2+R_2^2)
여기서 ''π''는 3.14159265...,이고 *R*1, *R*2는 두 밑면의 반지름이다.

오른쪽|x200px|각뿔 절두체.
밑면이 정*n*각형인 각뿔 절두체의 부피는 다음과 같다:
:V= \frac{n h}{12} (a_1^2+a_1a_2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n}
여기서 *a*1과 *a*2는 두 밑면의 변의 수이다.

### 표면적
직원뿔 절두체에 대해서
:\begin{align}\text{옆 면  표 면 적}&=\pi(R_1+R_2)s\\
&=\pi(R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}\end{align}
이고
:\begin{align}\text{총  표 면 적}&=\pi((R_1+R_2)s+R_1^2+R_2^2)\\
&=\pi((R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}+R_1^2+R_2^2)\end{align}
이 때, *R*1과 *R*2는 각각 밑면과 윗면의 반지름이고, *s*는 절두체의 모선 길이이다.

밑면이 닯은 ''n''각형인 직 절두체의 표면적은 아래와 같다:
:A= \frac{n}{4}\left[(a_1^2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{(a_1^2-a_2^2)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2(a_1+a_2)^2} \right]
여기서 *a*1과 *a*2는 두 밑면의 변의 개수이다.

## 예시
* 미국 1달러 지폐의 뒷면에, 미국의 국장 반대편에 전시안이 그려진 각뿔 절두체가 나타난다.
* 일부 고대 아메리카 원주민의 둑은 각뿔의 절두체 모양을 하고 있다.
* 중국의 피라미드.
* 일리노이주의 시카고에 있는 존 핸콕 센터는 밑면이 직사각형인 절두체이다.
* 워싱턴 기념탑은 좁은 정사각형을 밑면으로 하는 절두체 위에 작은 각뿔을 올린 것이다.
* 3D 컴퓨터 그래픽스의 뷰잉 프러스텀은 각뿔 절두체로 모델링 된 가상 사진이나 비디오 카메라의 사용 가능한 시야이다.
* 스타니스와프 렘의 단편소설 모음집 *[[The Cyberiad]]*의 영어 번역본에서, 시 *Love and [[텐서 대수|tensor algebra]]*에서는 claims that "모든 절두체는 원뿔을 갈망한다(every frustum longs to be a cone)"라고 주장하였다.
* 바구니와 특정한 전등갓은 원뿔 절두체의 일상적인 예시이다.
* 유리잔이나 어떤 우주 왕복선또한 그 예시이다.

## 참조
:1."frustum"이라는 용어는 *조각, 단편*이라는 뜻을 가지는 라틴어 **'에서 왔다. 영어 단어는 종종 **'으로 철자를 틀리는데, 이 라틴어 단어는 영어 단어 "좌절하다(frustrate)"에 대응한다. 이 두 단어간의 혼동은 매우 오래되었다: 용어에 대한 주의는 *[[Appendix Probi]]*에서도 찾아볼 수 있고, 플라우투스의 작품에도 그에 관한 말장난이 있다.

## 각주

## 외부 링크

* Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone (Mathalino.com)
* 
* 
* Paper models of frustums (truncated pyramids)
* Paper model of frustum (truncated cone)
* Design paper models of conical frustum (truncated cones)

분류:다면체
분류:기둥형 다면체