초대칭 대수

**초대칭 대수**(超對稱代數, )는 푸앵카레 대칭과 초대칭을 나타내는 리 초대수다.

## 정의
푸앵카레 대수는 시공에 대한 병진 P_\mu와 로런츠 변환 M_{\mu\nu}로 이루어진다. 이들은 보손적 생성자다. 여기에 일련의 페르미온적 생성자 Q_\alpha^i와 \bar Q_{\dot\alpha}^i를 추가한다. (만약 \mathcal N개의 초대칭이 있으면 i=1,2,\dots,\mathcal{N}.) 이들은 초대칭을 나타낸다.

푸앵카레 대수는 D차원의 시공에서 D개의 병진 생성자와 D(D-1)/2개의 로런츠 변환으로 총 D+D(D-1)/2차원이다. (D=4일 경우에는 물론 10차원.) 여기에 \mathcal N개의 초대칭이 있는 경우에는 (중심 전하를 무시하면) 초대칭 대수는 총 D+D(D-1)/2+\dim(\text{spinor})\times\mathcal{N}차원이 된다.

주어진 시공간 차원에서, 초전하()의 수는 그 차원에서의 최소 스피너 표현의 차원의 정수배이다. 이 정수를 통상적으로 \mathcal N이라고 쓴다. 가장 간단한 초대칭은 \mathcal N=1이며, \mathcal N>1인 경우를 **확장 초대칭**()이라고 한다. 4차원 민코프스키 공간에서의 최소 스피너 표현은 4차원 바일 또는 마요라나 스피너이므로, \mathcal N=1 초대칭은 4개의 초전하를 가진다.

초대칭은 서로 다른 스핀의 입자들을 연관지으므로, 초대칭이 더 많을 수록 더 높은 스핀의 입자가 필요하다. 스핀이 2를 초과하는 경우는 (일반적으로) 상호작용하는 이론을 정의할 수 없다. 만약 초전하의 수가 32를 초과하는 경우 스핀이 2를 초과하는 입자가 필요하므로, 초전하는 최대 32개가 존재할 수 있다. 32개의 초전하의 경우 스핀이 2인 입자(중력자)가 필요하므로, 이는 초중력 이론을 이룬다. 11차원 초중력이나 10차원 IIA/B 초중력, 4차원 \mathcal N=8 초중력 등이 그 예이다.

만약 중력을 포함하지 않으려면, 입자의 스핀은 최대 1이어야 한다. (스핀이 1½인 경우는 그래비티노로, 중력이 없이는 상호작용하는 그래비티노를 포함할 수 없다.) 이 경우에는 초전하의 수는 최대 16이다. 10차원 \mathcal N=1 초대칭 양-밀스 이론이나 4차원 <math>\mathcal N=4</math> 초대칭 양-밀스 이론 이 그 예이다.

다양한 시공간 차원에서 가능한 초대칭의 종류는 다음과 같다. (12차원 이상에서는 자명하지 않은 초대칭 이론이 존재할 수 없다고 여겨진다.)

## 4차원 초대칭
4차원에서, \mathcal N=1 초대칭은 (디랙 스피너이므로) 총 4개의 초전하를 가진다. 즉, 일반적으로는 4\mathcal N개의 초전하가 존재한다. 이 경우, 흔히 볼 수 있는 것은 \mathcal N=1, \mathcal N=2, \mathcal N=4 및 \mathcal N=8 초중력이다. 중력을 포함하지 않는 경우, \mathcal N>4인 경우는 와인버그-위튼 정리에 걸려 자명한 이론이 되고, 중력을 포함한다고 해도 \mathcal N=8까지만 가능하다.

주어진 \mathcal N에 대하여, 초대칭 대수의 생성원은 다음과 같다.
* 병진 변환 P_\mu
* 회전 J_{\mu\nu}
* 초대칭 Q^i_\alpha, \bar Q^i_{\dot\alpha} (i=1,\dots,\mathcal N). 이는 R대칭군의 크기가 \mathcal N인 "벡터 표현"을 따른다. 이 표현을 b^{ai}{}_j라고 쓰자.
* R대칭 R^a는 R대칭군 R\subseteq U(\mathcal N)의 딸림표현을 따른다. 이 표현을 f^{ab}{}_c라고 쓰자.
* 중심 원소 Z^{ij}
이들의 리 초괄호는 다음과 같다.
:[P_\mu, P_\nu] = 0
:[J_{\mu\nu}, P_\rho] = i\left(\eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu\right)
:[J_{\mu\nu}, J_{\rho\sigma}] = i\left(\eta_{\mu\rho} J_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} J_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} J_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} J_{\mu\rho}\right)
:\{Q_\alpha^i,Q_\beta^j\}=\epsilon_{\alpha\beta}Z^{ij}
:[Q_\alpha^i,M_{\mu\nu}]=\frac12(\sigma_{\mu\nu})^\beta{}_\alpha Q^i_\beta
:[\bar Q_{\dot\alpha}^i,M_{\mu\nu}]=-\frac12(\sigma_{\mu\nu})^{\dot\beta}{}_{\dot\alpha}\bar Q^i_{\dot\beta}
:\{\bar Q^i,\bar Q^j\}=-\epsilon_{\dot\alpha\dot\beta}(Z^{ij})\dagger)
:\{Q_\alpha^i,\bar Q_{\dot\alpha}^j\}=2\sigma^\mu_{\alpha\dot\alpha}\delta^{ij}P_\mu
:[Q^i,R^a]=b^{ai}{}_jQ^j
:[Q^i,R^a]=-(b^{ai}{}_j)^\dagger \bar Q^j
:[\bar Q^i,R^a]=-(b^{ai}{}_j)^\dagger Q^j
:[\bar Q^i,R^j{}_k]=-\delta^i_k\bar Q^j
:[Z^{ij},P_\mu]=[Z^{ij},J_{\mu\nu}]=[Z^{ij},R^a]=[Z^{ij},Q]=0
즉, 초대칭 전하는 일종의 운동량의 제곱근으로 생각할 수 있다.

### 위상 뒤틀림
4차원에서는 \mathcal N=2 또는 \mathcal N=4인 경우 위상 뒤틀림()을 가해 위상 양자장론으로 만들 수 있다. 이 경우, \mathcal N=2인 경우는 SU(2) R대칭을 \operatorname{Spin}(4)=\operatorname{SU}(2)^2 로런츠 대칭의 두 좌·우 성분 가운데 하나와 대각군을 취하며, \mathcal N=4인 경우는 서로 동일하지 않는 3가지의 가능한 뒤틀림이 존재한다.

### 초다중항
4차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항들은 다음과 같다.
* \mathcal N=1
** **손지기 초다중항**(): 복소 스칼라장, 바일 스피너
** **벡터 초다중항**(): 바일 스피너, 게이지장
** **중력자 초다중항**(): 중력자, 바일 그래비티노
* \mathcal N=2
** **하이퍼 초다중항**(): 복소 스칼라장(×2), 디랙 스피너
*** 서로 다른 나선도의 두 \mathcal N=1 손지기 초다중항으로 구성된다. 게이지 대칭이 있는 경우, 하나는 표현 *R*, 다른 하나는 그 복소 켤레 표현 을 따른다.
** **벡터 초다중항**: 복소 스칼라장, 디랙 스피너, 게이지장
*** \mathcal N=1 벡터 초다중항과 (게이지 딸림표현) \mathcal N=1 손지기 초다중항으로 구성된다.
** **중력자 초다중항**: 중력자, 디랙 그래비티노, 중력광자
* \mathcal N=4
** **벡터 초다중항**: 실수 스칼라장 (×6), 바일 스피너 (×6), 게이지장
** **중력자 초다중항**
* \mathcal N=8
** **중력자 초다중항**

## 3차원 초대칭
3차원 민코프스키 공간에서의 초대칭은 다음과 같다. 이 경우 \mathcal N=1 초대칭은 2개의 초대칭을 가지며, 마요라나 스피너가 된다.
:\{Q^i,\bar Q^j\}=i\sigma^\mu_{\alpha\beta}\delta^{ij}P_\mu+Z^{ij}
여기서 중심 확대 Z^{ij}는 반대각화하여 \lfloor \mathcal N/2\rfloor개의 실수 고윳값으로 나타낼 수 있다. \mathcal N=2 초대칭에서는 하나의 중심 전하 Z가 존재하며, 이 경우 모든 물리적 상태들의 질량 M은 BPS 부등식
:M\ge Z
를 만족시킨다.

3차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항들은 다음과 같다. 3차원에서는 게이지장을 *F=\phi로 실수 스칼라로 이중화할 수 있다. 즉, 3차원에서는 스칼라장 및 (마요라나) 페르미온만이 존재한다.
* \mathcal N=1: 실수 스칼라장 (×1), 마요라나 스피너 (×1). R대칭은 없다.
* \mathcal N=2: 실수 스칼라장 (×2), 마요라나 스피너 (×2). R대칭은 U(1). 이 경우는 4차원 \mathcal N=1을 축소화하여 얻는다. 이 경우 게이지 이론의 거울 대칭이 존재한다.
* 마찬가지로 \mathcal N=4,8,16 등이 존재한다.

## 6차원 초대칭
6차원 민코프스키 공간에서는 2차 미분형식 퍼텐셜 게이지장이 존재한다. 이 경우, 질량껍질 위에서, (1차 미분형식) 게이지장은 4개의 자유도를, 바일 스피너는 4개의 자유도를, 2차 미분형식 게이지장은 3개의 자유도를 가진다.
* \mathcal N=1. R대칭은 SU(2)이다.
** 하이퍼 초다중항: 실수 스칼라장 (×4), 바일 스피너 (×1)
** 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1)
** 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1), 실수 스칼라 (×1)
* \mathcal N=(1,1). R대칭은 SO(4)이다.
** 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 디랙 스피너 (×1), 실수 스칼라장 (×4)
* \mathcal N=(2,0). R대칭은 SO(5)이다.
** 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 왼쪽 바일 스피너 (×2), 실수 스칼라장 (×5)

## 2차원 초대칭

## 같이 보기
* 아딘크라 (물리학)
* 초등각 장론
* 2차원 𝒩=2 초등각 장론
## 각주

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## 외부 링크
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분류:초대칭