평탄 주접속

미분기하학에서 **평탄 주접속**(平坦主接續, )은 곡률이 0인 주접속이다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 매끄러운 다양체 M
* 리 군 G
* G-매끄러운 주다발 P\twoheadrightarrow M
그렇다면, P의 주접속
:A\in\Omega^1(P;\mathfrak g)
에 대하여, 곡률
:F\in\Omega^2(P;\mathfrak g)
을 정의할 수 있다. 만약 F=0이라면, A를 P의 **평탄 주접속**이라고 한다.

### 제르브의 경우
보다 일반적으로, 이러한 개념은 ∞-주다발/제르브에 대하여 일반화될 수 있다. 편의상, ∞-리 군 대신 그 국소 형태인 L∞-대수를 사용하자. (이는 기본군을 잊어 범피복군을 취하는 것에 해당한다.)

구체적으로, 매끄러운 다양체 M과 L∞-대수 \mathfrak g가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 <math>\mathfrak g</math> 값의 1차 미분 형식의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 단순히 실수 미분 등급 대수의 준동형
:\operatorname W(\mathfrak g)\to\Omega(M)
이다 (정의역은 \mathfrak g의 베유 대수, 공역은 M의 미분 형식의 대수).

이 경우, 매끄러운 다양체 위의 \mathfrak g-접속은 다음과 같은 가환 그림으로 정의된다.
:\begin{matrix}
\operatorname{inv}(\mathfrak g) & \to & \Omega(M) \\
\downarrow & & \downarrow \\
\operatorname W(\mathfrak g) & \to & \operatorname\Omega(M\times\triangle^1) \\
\downarrow && \downarrow\\
\operatorname{CE}(\mathfrak g) & \to & \operatorname{\Omega_\perp}(M\times\triangle^1)
\end{matrix}
여기서
* \triangle^1은 1차원 단체에 해당한다. 즉, \operatorname\Omega(M\times\triangle^1)은 \Omega(M)\otimes_{\mathbb R}\mathbb R[s,\mathrm ds]이며, \mathbb R[s,\mathrm ds] = \operatorname\Omega(\triangle^1)은 하나의 0차 생성원 s로 생성되는 자유 가환 미분 등급 대수이다.
* \operatorname{\Omega_{vert}}(M\times\triangle^1)는 \operatorname\Omega(M\times\triangle^1) 속의, \mathrm dt로 생성되는 아이디얼이다.
* 사상 \operatorname{\Omega_\perp}(M\times\triangle^1)\to\operatorname\Omega(M)은 포함 사상이다.
* \operatorname{inv}(\mathfrak g)와 \operatorname W(\mathfrak g)와 \operatorname{CE}(\mathfrak g)는 각각 L∞-대수 \mathfrak g의 불변 다항식(으로 생성되는, 모든 미분이 0인 자유 실수 가환 결합 대수) · 베유 대수 · 슈발레-에일렌베르크 대수이며, \operatorname W(\mathfrak g)\to\operatorname{CE}(\mathfrak g)은 베유 대수의 추가 생성원들을 0으로 보내는 몫 준동형이다.

이 가환 그림의, 맨 위의 수평 사상은 게이지 불변량을, 가운데의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜을, 맨 아래의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜의 게이지 변환을 각각 나타낸다.

이 가운데, 평탄 \mathfrak g-주접속은 모든 게이지 불변량이 0이 되는 경우이다. 즉, 이 경우 (완전열이 아닐 수 있는) 공사슬 복합체
:\operatorname{inv}(\mathfrak g) \to \operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname\Omega(M\times\triangle^1)
가 존재한다.

## 성질
### 평탄 주접속 모듈러스 공간 위의 추가 구조
만약 밑공간 M 위에 복소구조나 심플렉틱 구조와 같은 추가 기하학적 구조가 존재한다면, 그 위의 평탄 주접속 모듈러스 공간은 이들 구조를 상속받을 수 있다.

#### 복소구조
만약 M에 복소구조
:J_M \colon \mathrm TM\to\mathrm TM
가 존재한다고 하면, \mathcal M(\Sigma) 위에도 역시 다음과 같은 복소구조가 존재한다. 임의의 \delta A\in T_A\mathcal M(\Sigma)를 \Omega^1(\Sigma,\mathfrak g)의 원소로 나타내면,
:J\colon\mathrm T_A\mathcal M(\Sigma)\to\mathrm T_A\mathcal M(\Sigma)
:[J(\delta A)]^j=(J_M)_i{}^j(\delta A)_i
여기서, 우변의 J_i{}^j는 M의 복소구조다.

#### 심플렉틱 구조
G의 리 대수가 불변 양의 정부호 이차 형식 K(-,-)을 갖춘 가약 리 대수라고 하자. (반단순 리 대수의 경우 이는 킬링 형식 K(AB)=\operatorname{tr}(AB)의 스칼라배다.)

만약 M에 심플렉틱 구조
:\omega\in\Omega^2(M)
가 주어졌다고 하면, 평탄 주접속의 모듈라이 공간 \mathcal M(M;G) 역시 심플렉틱 구조를 가진다.\mathcal M(\Sigma)는 자연스러운 심플렉틱 구조를 가진다. 구체적으로, 임의의 \mathcal M의 접공간의 원소 \delta_1A,\delta_2 A\in T_A\mathcal M(\Sigma)가 주어졌다고 하자. 이들을 \mathfrak g
:\omega(\delta A_1,\delta A_2)=\int_\Sigma \omega^{ij} K_{ab}\delta_1 A^a_i\wedge\delta_2 A^a_j
로 정의할 수 있다. 평탄성에 의하여 이는 게이지 불변임을 보일 수 있다.

만약 M이 켈러 다양체이라면, \mathcal M(M,G)는 심플렉틱 구조와 복소구조를 가지며, 이 둘은 호환되어 켈러 구조를 이룬다. 특히, M이 리만 곡면일 때 이 경우가 해당한다.

### 반단순 리 군의 경우
G가 콤팩트 반단순 리 군이라고 하자.
콤팩트 곡면 \Sigma 위의 평탄 G-주접속들의 게이지 변환에 대한 동치류들의 모듈러스 공간은 대수학적으로
:\mathcal M(\Sigma)\cong\hom(\pi_1(\Sigma),G)/G
이다. 여기서 \pi_1(\Sigma)는 \Sigma의 기본군이고, \hom(\cdot,\cdot)은 군 준동형들의 공간이며, /G는 동치관계 \phi\sim g\phi g^{-1}에 대한 동치류를 취하는 것이다. 예를 들어, G가 아벨 군이면
:\mathcal M(\Sigma)\cong\hom(\pi_1(\Sigma),G)\cong G^{2g}
이다. 여기서 g는 \Sigma의 곡면 종수이다. 반면, G가 콤팩트 반단순 리 군인 경우, \mathcal M은 복잡한 위상을 가진다.

곡면 \Sigma의 기본군은 다음과 같이 표시된다.
:\pi_1(\Sigma)=\langle a_1,b_1,\dots,a_g,b_g|a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}\rangle
따라서, \hom(\pi_1(\Sigma),G)의 한 원소는 \pi_1(\Sigma)의 생성원 \{a_i,b_i\}_{i=1,\dots,g}의 각 원소의 상을 지정하여 나타낼 수 있다. 이는 2g(\dim G)개의 좌표가 필요하다. 물론, 여기에 \phi(a_1)\phi(b_1)\phi(a_1)^{-1}\phi(b_1)^{-1}\cdots=1은 \dim G개의 제약을 가하고, 또한 G의 켤레 작용 \phi\sim g\phi g^{-1} 또한 차원을 \dim G만큼 축소시키므로, 모듈라이 공간의 차원은
:\dim\mathcal M=-\chi(\Sigma)\cdot\dim G=(2g-2)\cdot\dim G
이다. 여기서 \chi(\Sigma)=2-2g는 \Sigma의 오일러 지표다.

## 분류
평탄 주접속은 곡률이 0이므로, 국소적으로 자명하며, 그 홀로노미에 의하여 완전히 분류된다. 구체적으로, M이 연결 공간일 경우, 임의의 점 x\in M에 대하여, 특정한 게이지에서, 평탄 주접속의 홀로노미는 다음과 같은 군 준동형을 홀로노미(윌슨 고리)로서 유도한다.
:\operatorname\pi_1(M,x) \to G
게이지 변환에 따라서, M 위의 평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 몫공간
:\mathcal M=\frac{\hom(\pi_1(M,x),G)}G
이다. 여기서 G의 작용은 다음과 같은 공액류 작용이다.
:g\cdot\phi = ([\gamma]\mapsto[t\mapsto g\gamma(t)^{-1}])
평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 일반적으로 매끄러운 다양체가 아닐 수 있다.

특히, 만약 G가 아벨 군일 경우 이는 단순히 \mathcal M=\hom(\pi_1(M,x))이며, 만약 M=\mathbb T^n이 원환면일 경우 이는 \mathcal M=G^n이다.

## 예
### 단일 연결 공간
연결 단일 연결 매끄러운 다양체 M을 생각하자. 그 위의 G-주다발은 (동형 아래) 유일하며, 그 속의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 한원소 공간이다.

특히, 구 \Sigma=S^2의 경우, 이는 (자명한 켈러 다양체 구조를 갖춘) 한원소 공간
:\mathcal M(S^2;G)=\{\bullet\}
이다.

### 원환면
원환면 \Sigma=\mathbb T^2=\mathbb S^1\times\mathbb  S^1의 경우, 반단순 리 군 G에 대하여
:\mathcal M(\mathbb T^2;G)=(C(G)\times C(G))/\operatorname{Weyl}(G)
이다. 여기서 C(G)\cong U(1)^{\operatorname{rank}(G)}는 G의 카르탕 부분군(최대 아벨 부분군)이며, \operatorname{Weyl}(G)는 C(G)에 작용하는 바일 군이다.

#### 원환면 위의 U(''N''') 및 GL(''N'';ℂ) 주접속
\mathbb T^n 위의 \operatorname U(N) 주다발의 평탄 주접속을 생각하자. 이 경우, n개의 가환 홀로노미들은 n개의 서로 가환하는 N\times N 유니터리 행렬
:M_1,\dotsc,M_n
을 정의한다. 이들은 가환 행렬족이므로, 이들을 동시에 대각화하여
:M_i = \operatorname{diag}(\lambda_{i,1},\dotsc,\lambda_{i,N})
:\lambda_{i,j}\in\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}
로 놓을 수 있다. 이제
:\vec\lambda_j=(\lambda_{1,j},\dotsc,\lambda_{n,j})
로 놓으면, 잉여 게이지 변환(바일 군 \operatorname{Weyl}(\operatorname U(N))=\operatorname{Sym}(N)의 작용)은 \vec\lambda_1,\dotsc,\vec\lambda_N 위에 순열로 작용한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은, 원환면 위의 짜임새 공간으로 주어진다.
:\mathcal M(\mathbb T^n;\operatorname U(N)) = \operatorname{Conf}^N(\mathbb T^n)

G=\operatorname U(N) 대신 G=\operatorname{GL}(N;\mathbb C)의 경우도 마찬가지이지만, 이 경우 \lambda_{i,j}\in\{z\in\mathbb C\colon |z|=1\} 대신
:\lambda_{i,j}\in\mathbb C^\times=\mathbb C\setminus\{0\}
이다. 즉, 이 경우 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은 짜임새 공간이다.
:\mathcal M(\mathbb T^n;\operatorname U(N)) = \operatorname{Conf}^N\left((\mathbb C^\times)^{\times n}\right)

#### 원환면 위의 U(''N''') 및 SL(''N'';ℂ) 주접속
\operatorname U(N)의 경우와 마찬가지로, G=\operatorname{SU}(N)의 경우, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 (\mathbb T^n의 아벨 군 구조에 대한) 합이 0인, \mathbb T^n 위의 N개의 점들에 대한 짜임새 공간이다.
:\mathcal M(\mathbb T^n;\operatorname{SU}(N)) = \frac{\{(\vec\lambda_1,\dotsc,\vec\lambda_N)\in (\mathbb T^n)^{\times N}\colon\sum_{i=1}^N\vec\lambda_i=0\}}{\operatorname{Sym}(N)}

특히, M=\mathbb T^2일 때, \mathbb T^2 위에 타원 곡선의 구조를 부여하면, 이 N개의 점들은 \mathbb T^2 위의, 차수 N의 인자를 정의하며, 이들은 M 위의, 차수 N의 복소수 선다발 L\twoheadrightarrow M의 단면의 사영 동치류와 일대일 대응한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 복소수 사영 공간
:\mathcal M(\mathbb T^2;\operatorname{SU}(N)) = \operatorname{\mathbb P}(\operatorname H^0(L))
이다. 리만-로흐 정리에 의하여, L의 차수가 N이므로, 그 차원은
:\dim_{\mathbb C}\operatorname H^0(L) = N - g(\mathbb T^2) + 1 = N
이다. 즉,
:\mathcal M(\mathbb T^2;\operatorname{SU}(N)) = \operatorname{Proj}(\operatorname H^0(L)) = \operatorname{\mathbb CP}^{N-1}
이다.

\operatorname{SL}(N;\mathbb C)의 경우도 마찬가지지만, 덧셈 아벨 군 \operatorname U(1) 대신 곱셈 아벨 군 \mathbb C^\times가 들어가게 된다.
:\mathcal M(\mathbb T^n;\operatorname{SL}(N;\mathbb C)) = \frac{\{(\vec\lambda_1,\dotsc,\vec\lambda_N)\in((\mathbb C^\times)^n)^{\times N}\colon\prod_{j=1}^N\lambda_{i,j}=0\qquad\forall i\in\{1,\dotsc,n\}\}}{\operatorname{Sym}(N)}

## 응용
물리학에서, 리만 곡면 위의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 천-사이먼스 이론의 위상 공간으로서 등장한다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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분류:미분기하학
분류:게이지 이론