부정적분

[섬네일|300px|<math>y'=x^2-x-1</math>의 [기울기장에 그려진 함수 f(x)=x^2-x-1의 세 가지 원함수 \textstyle F(x)=\frac{x^3}3-\frac{x^2}2-x+C. 적분 상수는 C=-4,0,4.]]

미적분학에서 **부정적분**(不定積分, )은 어떤 함수를 도함수로 하는 모든 함수를 구하는 연산이다. 부정적분이 존재할 경우, 이는 항상 고정된 함수와 임의의 상수의 합의 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 상수만큼의 차를 무시하면 부정적분은 미분 또는 도함수를 구하는 연산의 역연산이다.

## 정의
함수 f(x) (x\in I)가 주어졌을 때, 만약 다음 조건을 만족시키는 함수 F(x) (x\in I)가 존재한다면, 이를 f(x)의 **원함수**(原函數, ) 또는 **역도함수**(逆導函數)라고 한다.
:F'(x)=f(x)\qquad\forall x\in I
함수 f(x) (x\in I)의 한 원함수 F(x)가 존재할 경우, f(x)의 모든 원함수는 정확히 다음과 같다.
:\int f(x)\mathrm dx=F(x)+C
이를 f(x)의 **부정적분**이라고 한다. 여기서 C는 임의의 상수이며, 이를 **[[적분상수]]**라고 부른다. 부정적분이 항상 위와 같은 꼴임은 다음과 같이 증명할 수 있다. 우선 임의의 상수 C에 대하여, (C)'=0이므로, (F(x)+C)'=f(x)이다. 즉, F(x)+C는 f(x)의 원함수이다. 또한 임의의 원함수 G(x)에 대하여, (G(x)-F(x))'=0이므로, 평균값 정리에 따라 G(x)-F(x)는 상수 함수이다. 따라서 G(x)는 G(x)=F(x)+C 꼴로 나타낼 수 있다.

위와 같은 꼴의 부정적분 공식은 정의역을 이루는 각각의 구간에서만 유효하다. 예를 들어, f(x)=1/x^2에 대한 다음과 같은 부정적분 공식이 성립하려면 두 구간 (0,\infty) 및 (-\infty,0) 가운데 하나를 선택하여야 한다.
:\int\frac 1{x^2}\mathrm dx=-\frac 1x+C
전체 정의역 (-\infty,0)\cup(0,\infty)에서의 실제 부정적분은 다음과 같다.
:\int\frac 1{x^2}\mathrm dx=\begin{cases}
\displaystyle-\frac 1x+C&x>0\\
\displaystyle-\frac 1x+C'&x

## 성질
### 미분과의 관계
만약 f(x)의 부정적분이 존재한다면 다음이 성립한다.
:\left(\int f(x)\mathrm dx\right)'=f(x)
만약 F(x)가 미분 가능 함수라면 다음이 성립한다.
:\int F'(x)\mathrm dx=F(x)+C
이에 따라 상수 차를 무시하면 부정적분은 미분의 역연산이다.

### 미적분학의 기본 정리

연속 함수 f(x)의 한 원함수는 적분상한을 변수로 취한 정적분으로 나타낼 수 있다.
:F(x)=\int_a^xf(x)\mathrm dx
반대로, 연속 함수f(x)의 한 원함수 F(x)가 주어졌을 때, 정적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:\int_a^bf(x)\mathrm dx=F(b)-F(a)

### 선형성
함수 f(x),g(x)의 부정적분이 존재한다면, f(x)\pm g(x)의 부정적분 역시 존재하며, 다음이 성립한다.
:\int f(x)\pm g(x)\mathrm dx=\int f(x)\mathrm dx\pm\int g(x)\mathrm dx
함수 f(x)의 부정적분이 존재한다면, 상수 c에 대하여 cf(x)의 부정적분 역시 존재하며, c\ne 0일 경우 다음이 성립한다.
:\int cf(x)\mathrm dx=c\int f(x)\mathrm dx
이에 따라 부정적분은 선형 연산이다.

### 치환 적분

만약 f(x)의 한 원함수 F(x)가 존재하며, g(t)가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.
:\int f(g(t))g'(t)\mathrm dt=\int f(x)\mathrm dx=F(g(t))+C

만약 g(t)가 미분 가능 함수이며, g'(t)\ne 0가 성립하며, f(g(t))g'(t)의 한 원함수 H(t)가 존재한다면, 다음이 성립한다.
:\int f(x)\mathrm dx=\int f(g(t))g'(t)\mathrm dt=H(g^{-1}(x))+C

### 부분 적분

만약 f(x),g(x)가 미분 가능 함수이며, f'(x)g(x)의 부정적분이 존재한다면, 다음이 성립한다.
:\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx

## 예
### 유리 함수
모든 (실수) 유리 함수는 다항식과 진분수식의 합으로 나타낼 수 있으며, 모든 진분수식은 부분 분수 분해를 통해 다음과 같은 꼴의 분수식들의 합으로 나타낼 수 있다.
* \frac A{(x-a)^m}
* \frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^n}
여기서 A,B,C,a,p,q\in\mathbb R은 실수이며 m,n\in\mathbb Z^+은 양의 정수이다. 또한 p^2-4q을 만족시킨다. 이 두 가지 분수식의 부정적분은 다음과 같이 구할 수 있다.
:\int\frac A{x-a}\mathrm dx=A\ln(x-a)+C
:\int\frac A{(x-a)^m}\mathrm dx=-\frac A{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C\qquad(m>1)
:\int\frac{Bx+C}{x^2+px+q}\mathrm dx=
\frac B2\ln(x^2+px+q)+\frac{2C-Bp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C
:\int\frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^n}\mathrm dx=
-\frac B{2(n-1)(x^2+px+q)^{n-1}}+(C-Bp/2)\int\frac 1{(x^2+px+q)^n}\mathrm dx\qquad(n>1)
:\int\frac 1{(x^2+px+q)^n}\mathrm dx=
\frac 1{2(n-1)(q-p^2/4)}\left(\frac{x+p/2}{(x^2+px+q)^{n-1}}+(2n-3)\int\frac 1{(x^2+px+q)^{n-1}}\mathrm dx\right)\qquad(n>1)
부분 분수 분해의 각 항이 초등 함수이므로, 모든 유리 함수의 부정적분은 초등 함수이다.

### 삼각 유리 함수
삼각 유리 함수는 R(\sin x,\cos x) 꼴의 함수를 뜻한다. 여기서 R(u,v)는 2변수 유리 함수이다. 이에 대한 부정적분에 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.
:\tan\frac x2=t,\;x=2\arctan t,\;\mathrm dx=\frac 2{1+t^2}\mathrm dt
그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다.
:\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac 2{1+t^2}\mathrm dt
만약 R(-u,v)=-R(u,v)라면, 이는 항상 R(u,v)=uR_1(u^2,v) 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 이 경우 다음과 같은 더 간편한 기법을 사용할 수 있다.
:\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int\sin xR_1(\sin^2x,\cos x)\mathrm dx=-\int R_1(1-t^2,t)\mathrm dt\qquad(\cos x=t)
마찬가지로, 만약 R(u,-v)=-R(u,v)라면, 이는 R(u,v)=vR_1(u,v^2) 꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다.
:\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int\cos xR_1(\sin x,\cos^2x)\mathrm dx=\int R_1(t,1-t^2)\mathrm dt\qquad(\sin x=t)
만약 R(-u,-v)=R(u,v)라면, R(u,v)=R_1(u/v,v^2) 꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다.
:\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int R_1(\tan x,\cos^2x)\mathrm dx=\int R_1\left(t,\frac 1{1+t^2}\right)\frac 1{1+t^2}\mathrm dt\qquad(\tan x=t)
사실 모든 유리 함수는 위와 같은 세 유리 함수의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:R(u,v)=\frac{R(u,v)-R(-u,v)}2+\frac{R(-u,v)-R(-u,-v)}2+\frac{R(-u,-v)+R(u,v)}2

### 무리 함수
무리 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 그러나 다음과 같은 꼴의 부정적분은 초등함수이다.
:R\left(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)
여기서 R(u,v)는 2변수 유리 함수이며, m\in\mathbb Z^+는 양의 정수이며, a,b,c,d\in\mathbb R는 실수이다. 또한 ad-bc\ne 0을 만족시킨다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.
:\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t,\;x=\frac{dt^n-b}{a-ct^n},\;\mathrm dx=\frac{n(ad-bc)t^{n-1}}{(a-ct^n)^2}\mathrm dt
그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다.
:\int R\left(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)\mathrm dx=\int R\left(\frac{dt^n-b}{a-ct^n},t\right)\frac{n(ad-bc)t^{n-1}}{(a-ct^n)^2}\mathrm dt

함수 (a+bz)^pz^q를 생각하자. 여기서 a,b\in\mathbb R는 실수이며, p,q\in\mathbb Q는 유리수이다. p,q,p+q 가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수가 된다. p=r/s이며 q=r'/s'라고 하자. 여기서 r,s,r',s'\in\mathbb Z는 정수이다. 만약 p\in\mathbb Z일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 \sqrt[s']z뿐이므로, 치환 적분 \sqrt[s']z=t를 통해 구할 수 있다. 만약 q\in\mathbb Z일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 \sqrt[s]{a+bz}뿐이므로, 역시 치환 적분 \sqrt[s]{a+bz}=t를 통해 구할 수 있다. 만약 p+q\in\mathbb Z일 경우, 함수를 ((a+bz)/z)^pz^{p+q}와 같이 변형하였을 때 제곱근식은 \textstyle\sqrt[s]{(a+bz)/z}뿐이므로, 치환 적분 \textstyle\sqrt[s]{(a+bz)/z}=t를 통해 구할 수 있다.

보다 일반적으로, 함수 x^m(a+bx^n)^p를 생각하자. 여기서 a,b\in\mathbb R는 실수이며, m,n,p\in\mathbb Q는 유리수이다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.
:x^n=z,\;x=z^{1/n},\;\mathrm dx=\frac 1nz^{1/n-1}\mathrm dz
그러면 위와 같은 꼴의 함수의 부정적분으로 변한다.
:\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx=\frac 1n\int (a+bz)^pz^{(m+1)/n-1}\mathrm dz
따라서 p,q=(m+1)/n-1,p+q 가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수이다. 반대로 p,q,p+q가 정수가 아닐 경우 이 부정적분은 초등 함수로 나타낼 수 없음을 19세기 중엽에 파프누티 체비쇼프가 증명하였다.

### 초등 함수로 나타낼 수 없는 부정적분
초등 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 부정적분들은 초등 함수가 아니다.
* (오차 함수) \int e^{-x^2}\mathrm dx
* (프레넬 함수) \int\sin x^2\mathrm dx
* (삼각 적분 함수) \int\frac{\sin x}x\mathrm dx
* (로그 적분 함수) \int\frac 1{\ln x}\mathrm dx
* \int x^x\mathrm dx
* \int\frac 1{\sqrt{1-x^4}}\mathrm dx

## 같이 보기
* 정적분
* 적분표
* 기호적분
* 적분상수

## 각주

분류:적분학