분포 (해석학)

함수해석학에서 **분포**(分布, , )는 함수와 확률 분포 등을, 디랙 델타 분포와 같이 특이점을 가질 수 있게 일반화한 것이다.

## 정의
유클리드 공간 \mathbb R^n 속의 열린집합 U\subset\mathbb R^n이 주어졌다고 하자. U 위의 실수 값 콤팩트 지지 매끄러운 함수들의 실수 벡터 공간을 \mathcal C^\infty_0(U) 또는 \mathcal D(U)라고 쓰고, 그 원소를 U 위의 **시험 함수**(試驗函數, )라고 한다.

여기에 다음과 같은 위상을 주자. 함수열 f_i\in\mathcal D(U)이 f\in\mathcal D(U)로 수렴할 필요충분조건은 다음 두 조건이 모두 성립하는 것과 동치이다.
* 어떤 콤팩트 집합 K\subset U에 대하여,
*:\bigcup_{i=0}^\infty\operatorname{supp}f_i\subseteq K
* 모든 다중지표 \alpha\in\mathbb N^n에 대하여, \partial^\alpha f_i\xrightarrow{\text{unif}}f
여기서 \operatorname{supp}은 지지 집합을 뜻하며, \xrightarrow{\text{unif}}은 균등 수렴을 뜻한다.
이 위상에 따라, 시험 함수 공간 \mathcal D(U)는 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간을 이룬다.

\mathcal D(U)의 연속 쌍대 공간 \mathcal D'(U)를 **분포 공간**(分布空間, )이라고 하고, 그 원소를 **분포**(分布, )라고 한다. 분포 F 및 시험 함수 f\in\mathcal D(U)에 대하여, F(f)는 보통 다음과 같이 표기한다.
:F(f)=\int_UF(x)f(x)\,d^nx
물론 x\in U에 대하여 F(x)라는 대상은 엄밀히 정의되지 않으므로 우변의 표기법은 단순히 표기법에 불과하다.

## 연산
### 지지 집합
분포 F\in\mathcal D'(U)의 **[[지지 집합]]**(支持集合, ) \operatorname{supp}F은 다음과 같이 정의된다. x\not\in\operatorname{supp}F라는 것은 다음 조건과 일치한다.

* x의 어떤 열린 근방 V\ni x에 대하여, F(f)=0\qquad\forall f\in\mathcal D(V)이다.
분포의 지지 집합은 (열린집합들의 합집합의 여집합이므로) 항상 U 속의 닫힌집합이다.

분포 F\in\mathcal D'(U)의 **특이 지지 집합**(特異支持集合, ) \operatorname{sing\,supp}F은 다음과 같이 정의된다. x\not\in\operatorname{sing\,supp}F라는 것은 다음 조건과 동치이다.
* x의 어떤 열린 근방 V\ni x에 대하여, F|_V는 매끄러운 함수이다. 즉, T_f=F|_V가 되는 f\in\mathcal C^\infty(V)가 존재한다.
분포의 특이 지지 집합 역시 U 속의 닫힌집합이다.

특이 지지 집합과 관련된 개념으로 **[[파면 집합]]**이 있다. 이는 특이 지지 집합과 달리, 특이성이 발생하는 방향에 대한 정보를 담고 있다.

### 국소화
열린집합 U 위에 정의된 분포 F\in\in\mathcal D'(U)와 열린 부분 집합 V\subseteq U가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 시험 함수에 대하여 다음과 같은 자연스러운 포함 관계가 존재한다.
:\iota_{VU}\colon\mathcal D(V)\hookrightarrow\mathcal D(U)
:\iota_{VU}\colon f\mapsto\left(x\mapsto\begin{cases}f(x)&x\in V\\0&x\in U\setminus V\end{cases}\right)
F의 V에 대한 **제한**()은 다음과 같다.
:F|_V\in \mathcal D'(V)
:F|_V\colon f\mapsto F(\iota_{VU}f)
이에 따라, 분포 공간은 실수 벡터 공간의 층을 이룬다.

일반적으로, 분포 F\in\mathcal D'(U) 및 점 x\in U가 주어졌을 때, 분포의 x에서의 값 F(x)는 정의할 수 없다. 다만, 만약 x\not\in\operatorname{sing\,supp}F일 경우, F(x)를 해당하는 매끄러운 함수의 값으로 정의할 수 있다. 또한, 다른 층과 마찬가지로, F의 x에서의 싹을 정의할 수 있다.

### 미분
부분 적분 공식에 따라, 분포의 **[[미분]]**은 다음과 같이 정의된다.
:\frac\partial{\partial x^i}F\colon f\mapsto -F\left(\frac\partial{\partial x^i}f\right)
이를 일반화하여, 임의의 다중지표 \alpha\in\mathbb N^n에 대하여 분포 F의 미분 \partial^\alpha F를 정의할 수 있다.
:\partial^\alpha F\colon f\mapsto(-1)^F(\partial^\alpha f)

### 곱셈
두 분포의 곱셈은 일반적으로 정의할 수 없다. 구체적으로, 다음 조건들을 만족시키는 분포의 곱셈을 정의할 수 없다.
* 쌍선형이다.
* 곱 규칙이 성립한다.
* 두 국소 적분 가능 함수의 (함수로서의) 곱셈은 분포로서의 곱셈과 일치한다.
예를 들어, 실수선 위의 단위 계단 함수
:\theta(x)=\begin{cases}0&x1\end{cases}
를 생각하자. 그렇다면 함수의 곱셈으로서 임의의 양의 정수 n에 대하여
:\theta=\theta^n
가 성립한다. 양변에 곱 규칙을 적용하고, n>1이라면
:\delta=n\theta^{n-1}\delta=n\theta\delta
가 된다 (\delta는 디랙 델타 분포). 이는 임의의 n>1에 대하여 성립하므로, \delta=n\theta\delta=0이 되어 모순이다.

다만, 두 분포의 파면 집합이 적절한 조건을 만족시킨다면 그 곱셈을 정의할 수 있다. 특히, 두 분포 가운데 하나가 매끄러운 함수라면, 분포와 함수의 곱셈을 다음과 같이 정의할 수 있다. 임의의 F\in\mathcal D'(U) 및 f\in \mathcal C^\infty(U)에 대하여,
:fF\colon g\mapsto F(fg)
이에 따라, \mathcal D'(U)는 가환환 \mathcal C^\infty(U) 위의 가군을 이루며, 나아가 가환환층 \mathcal C^\infty(U) 위의 가군층을 이룬다.

### 푸리에 변환

시험 함수의 푸리에 변환은 일반적으로 시험 함수가 아니므로, 분포 공간 전체에 푸리에 변환을 정의할 수 없다. 그러나 시험 함수 대신 푸리에 변환에 대하여 닫힌 더 큰 공간인 슈바르츠 함수를 사용하면, **[[조절 분포]]**라는, 푸리에 변환에 대하여 닫혀 있는 분포 공간의 부분 공간을 얻는다.

## 성질
### 분포 공간의 위상
분포 공간 \mathcal D'(U)는 연속 쌍대 공간이므로, 그 위에 다양한 위상이 존재한다. 흔히 사용되는 위상은 다음과 같다.
* 약한-* 위상. 이 경우 \mathcal D'(U)는 국소 볼록 공간이지만, 거리화 가능 공간이 아니다.
* 콤팩트 집합 위에서의 균등 수렴 위상. 이 경우, \mathcal D'(U)는 국소 볼록 공간이며, 추가로 핵공간()이자 몽텔 공간()이다. 그러나 이는 거리화 가능 공간이 아니다.

### 함수 공간의 매장
U 위의 **국소 적분 가능 함수**()란 다음 조건을 만족시키는 함수 f\colon U\to\mathbb R를 말한다.
* 임의의 콤팩트 집합 K\subset U에 대하여, (|f|)|_K는 르베그 적분 가능 함수이다.
모든 연속 함수와 임의의 p에 대하여 L<sup>p</sup> 함수는 국소 적분 가능 함수이다. 국소 적분 가능 함수의 공간을 \mathcal L^1_{\text{loc}}(U)로 쓰자. L<sup>p</sup> 공간과 마찬가지로, 임의의 f,g\in\mathcal L^1_{\text{loc}}(U)에 대하여 f-g가 거의 어디서나 0인 경우 f\sim g로 정의하고,
:L^1_{\text{loc}}(U)=\mathcal L^1_{\text{loc}}(U)/{\sim}
으로 정의하자.

국소 적분 가능 함수 f에 대하여, 대응하는 분포 T_f\in\mathcal D'(U)를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:T_f\colon\mathcal D(U)\to\mathbb R
:T_f\colon g\mapsto\int_Ufg
(이는 항상 연속 함수라는 것을 보일 수 있다.) 따라서, 이는 실수 벡터 공간의 단사 선형 변환
:T\colon L^1_{\text{loc}}(U)\hookrightarrow\mathcal D'(U)
을 정의한다.

### 측도 공간의 매장
U 위의 임의의 라돈 측도 \mu에 대하여, 대응하는 분포 T_\mu\in\mathcal D'(U)를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:T_\mu\colon\mathcal D(U)\to\mathbb R
:T_\mu\colon g\mapsto\int_Ug\,d\mu
반대로, 분포 F\in\mathcal D'(U)가 다음 성질을 만족시킨다고 하자.
:\forall f\in\mathcal D(U)\colon(\forall x\in U\colon f(x)\ge0)\implies F(f)\ge0
그렇다면, T_\mu=f가 되는 라돈 측도 \mu가 존재한다. 이는 리스 표현 정리와 유사하다.

하지만 위 조건이 성립하지 않을 경우, 일반적인 분포는 (부호 붙은) 측도로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 실수선 위의, 디랙 델타 분포의 미분 \delta'은 부호 붙은 측도로 나타낼 수 없다.

### 연속 함수로의 표현
열린집합 U\subseteq\mathbb R^n 위의 임의의 분포 F\in\mathcal D'(U)는 유한 개의 다중지표와 연속 함수들 (\alpha_1,f_1),\dots,(\alpha_k,f_k)로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:F=\sum_{i=1}^k\partial^{\alpha_k}f_k
다시 말해, 분포 공간은 연속 함수들의 모든 유한차 미분을 포함하는 최소의 벡터 공간이다.

## 예
### 함수와 측도
모든 국소 적분 가능 함수는 분포를 이룬다. 마찬가지로, 모든 라돈 측도 역시 분포를 이룬다. 보다 일반적으로, 부호 붙은 라돈 측도, 즉 두 라돈 측도의 차 \mu_+-\mu_- 역시 분포를 이룬다.

### 디랙 델타 함수와 그 도함수
실수선 위에 다음과 같은 연속 함수를 생각하자.
:f(x)=\max\{x,0\}
이 함수에 도함수를 취하면, 다음과 같은 분포들을 얻는다.
* f'(x)는 단위 계단 함수이다. 이는 국소 적분 가능 함수로 나타낼 수 있지만, 연속 함수가 아니다.
* f*(x)=\delta(x)</math>는 [[디랙 델타 분포]]이다. 이는 더 이상 함수가 아니지만, [[라돈 측도]]이며, 다음과 같다.
*:<math>\int\delta(x)g(x)=g(0)</math>
* <math>f*(x)=\delta'(x)는 디랙 델타의 도함수이다. 이는 더 이상 라돈 측도조차 아니며, 다음과 같다.
*:\int\delta'(x)g(x)=-\int g'(x)\delta(0)=-g'(0)\qquad\forall g\in\mathcal D(\mathbb R)
* 계속해서 도함수를 취하면, 다음과 같다.
*:\int\delta^{(n)}(x)g(x)=(-1)^ng^{(n)}(0)\qquad\forall g\in\mathcal D(\mathbb R)

### 코시 주요값

실수선 위에, f(x)=x(\ln|x|-1)는 연속 함수를 이룬다. 이 함수의 도함수들은 다음과 같다.
* f'(x)=\ln|x|는 연속 함수가 아니지만, 국소 적분 가능 함수이다.
* f*(x)=\operatorname{pv}1/x</math>는 다음과 같다. (여기서 <math>\operatorname{pv}</math>는 [[코시 주요값]]이다.)
*:<math>\begin{align}
\int f*(x)g(x)&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(\int_{-\epsilon}^\epsilon f*(x)g(x) + \int_\epsilon^\infty\frac{g(x)-g(-x)}x\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(\frac{g(\epsilon)-g(-\epsilon)}{2\epsilon}2\epsilon\ln|\epsilon|
-\left(g'(\epsilon)+g'(-\epsilon)\right)\epsilon(\ln|\epsilon|-1)
+\int_{-\epsilon}^\epsilon x(\ln|x|-1)g*(x) + \int_\epsilon^\infty\frac{g(x)-g(-x)}x\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)-g(-x)}x\\
&=\operatorname{pv}\int \frac{g(x)}x
\end{align}
* f**(x)=-\operatorname{fp}1/x^2</math>는 다음과 같다. (여기서 <math>\operatorname{fp}</math>는 [[아다마르 유한 성분]]()이다.)
*:<math>
\begin{align}
\int f**(x)g(x)&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(\int_{-\epsilon}^\epsilon f**(x)g(x)-\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+g(-x)}{x^2}\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(
[f''(x)g(x)]_{-\epsilon}^\epsilon
-[f'(x)g'(x)]_{-\epsilon}^\epsilon
+[f(x)g''(x)]_{-\epsilon}^\epsilon
-\int_{-\epsilon}^\epsilon f(x)g**(x)
-\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+g(-x)}{x^2}\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(
\frac{g(\epsilon)+g(-\epsilon)}{\epsilon}
+0+0+0
-\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+g(-x)}{x^2}\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(
2g(0)/\epsilon
+0+0+0
-\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+g(-x)}{x^2}\right)\\
&=-\operatorname{pf}\int\frac{g(x)}{x^2}
\end{align}
* 보다 일반적으로, f^{(n)}=(-1)^n\operatorname{pf}x^{1-n}는 다음과 같다.
*:
\begin{align}
\int f^{(n)}(x)g(x)&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(\int_{-\epsilon}^\epsilon f^{(n)}(x)g(x)+\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+(-1)^{n-1}g(-x)}{x^{n-1}}\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(
\sum_{i=0}^{n-1}
(-)^i[f^{(n-1-i)}g^{(i)}]_{-\epsilon}^\epsilon
+(-1)^n\int_{-\epsilon}^\epsilon f(x)g^{(n)}(x)+\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+(-1)^{n-1}g(-x)}{x^{n-1}}\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(
2
\sum_{j=0}^{\lfloor(n-3)/2\rfloor}
\epsilon^{-2j-1}
g^{(n-2j-3)}(0)
\sum_{k=0}^{n-2j-3}
\frac1{k!}
+\int_\epsilon^\infty\frac{(-1)^ng(x)-g(-x)}{x^{n-1}}\right)\\
\end{align}


## 관련 개념
**[[사토 초함수]]**()는 분포와 유사하지만, 정칙 함수를 기반으로 하는 이론이다.

**[[콜롱보 대수]]**()는 분포와 달리 곱셈이 정의되는 일반화 함수 이론이다. 콜롱보 대수의 원소는 분포로 수렴하는 함수열로 구성되는데, 콜롱보 대수에서의 곱셈은 일반적으로 함수열에 의존한다.

**흐름**()은 분포의 개념을 미분 형식으로 일반화한 것이며, 조르주 드 람이 도입하였다. n차원 유클리드 공간에서 n차 흐름과 분포는 일치하지만, 임의의 매끄러운 다양체에서는 이는 성립하지 않는다.

## 응용
모든 적분 가능한 함수는 분포들의 공간에서 미분을 가지며, 이를 이용해 편미분 방정식의 해를 구할 수 있다. 물리학이나 공학에서 나타나는 비연속적인 문제들을 미분 방정식으로 나타나면 이는 분포를 해로 갖는 경우가 많으며, 대표적인 예로 디랙 델타 분포가 있다.

## 역사
편미분 방정식의 이론이 발달하면서, 1830년대에 발명된 그린 함수와 같은 개념을 엄밀히 정의할 필요가 대두되었다. 세르게이 소볼레프는 1936년에 2차 쌍곡 편미분 방정식을 다루는 데 분포의 개념을 사용하였다. 이후 1950년에 로랑 슈바르츠는 분포의 이론을 체계적으로 엄밀히 개발하였고, 또 "분포"()라는 용어를 고안하였다. 1954년에 슈바르츠는 일반적으로 두 분포의 곱을 정의할 수 없음을 증명하였다.

## 각주

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## 외부 링크
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## 같이 보기
* 파면 집합
* 디랙 델타 분포
* 조절 분포
* 측도

분류:함수해석학
분류:매끄러운 함수