위상군

군론에서 **위상군**(位相群, )은 위상이 주어진 군으로서 위상적 구조와 대수적 구조가 서로 어울리는 경우이다. 즉, 이는 군의 연산이 연속 함수임을 말한다.

## 정의
G가 군인 동시에 위상 공간이라 하자. 이때 군의 연산
:G\times G \to G
:(x,y)\mapsto xy
와
:G\to G
:x \mapsto x^{-1}
이 연속 함수일 경우 G를 **위상군**이라 한다. (여기에서 G\times G에는 곱위상을 준다.)

범주론의 언어를 사용하면, 일반적인 군이 집합과 함수의 범주의 군 대상인 것과 마찬가지로, 위상군을 위상 공간과 연속 함수의 범주의 군 대상으로 정의할 수도 있다.

위상군과 연속 군 준동형들의 범주는 \operatorname{TopGrp}라고 한다. 아벨 군인 위상군과 연속 군 준동형들의 범주는 \operatorname{TopAb}라고 한다. 완비 균등 공간이자 하우스도르프 공간인 아벨 위상군과 연속 군 준동형들의 범주는 \operatorname{CompHausAb}라고 한다.

## 성질
국소 콤팩트 하우스도르프 위상군의 경우, **[[하르 측도]]**라는 측도가 (규격화를 무시하면) 표준적으로 존재한다. 국소 콤팩트 아벨 위상군의 경우, **[[폰트랴긴 쌍대성]]**이 존재한다.

### 군론적 성질
위상군 G에서, 임의의 g\in G에 대하여,
:g\cdot\colon G\to G
:\cdot g\colon G\to G
는 모두 위상동형사상이며,
:^{-1}\colon G\to G
도 위상동형사상이다.

위상군의 임의의 부분군은 (부분 공간 위상에 대하여) 위상군을 이룬다. 위상군 G의 임의의 정규 부분군 N\vartriangleleft G에 대한 몫군 G/N은 (몫위상을 주면) 위상군을 이룬다. 닫힌 정규 부분군의 경우, 몫군은 하우스도르프 공간이다. 열린 정규 부분군의 경우, 몫군은 이산 공간이다.

위상군 G에서, 항등원을 포함하는 연결 성분 G_0는 G의 닫힌 정규 부분군을 이루며, 몫군 G/G_0은 완전 분리 공간이다.

위상군 G의 부분군 H\le G에 대하여, 다음 두 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.
* 열린닫힌집합이다.
* 내부가 공집합이다.
모든 열린 부분군은 닫힌 부분군이다. 유한 지표 부분군의 경우, 열린 부분군과 닫힌 부분군인 것은 서로 동치이다. 콤팩트 위상군에서, 열린 부분군은 유한 지표 닫힌 부분군과 동치이다.

만약 U=\operatorname{int}H이며 u\in U라면,
:H=\bigcup_{h\in H}hu^{-1}U
이며, g\mapsto hu^{-1}g가 위상동형사상이므로 hu^{-1}U는 열린집합이다. 따라서, H는 열린집합이다.

위상군 G의 임의의 부분군 H\le G에 대하여,
:H=G\setminus\bigcup_{g\in G\setminus H}gH
이다. 만약 H가 열린 부분군이라면, 모든 gH가 열린집합이므로, H는 닫힌집합이다. 만약 H가 유한 지표 닫힌 부분군이라면, 모든 gH가 닫힌집합이며, 서로 다른 gH들의 수는 유한하므로, H는 열린집합이다.

만약 G가 콤팩트 위상군이며, H가 H\le G가 열린 부분군이라면,
:G=\bigsqcup_{gH\in G/H}gH
이므로, G/H는 유한 부분 덮개를 가지며, 이는 스스로일 수밖에 없다. 즉, 지표 |G:H|=|G/H|는 유한하다.

### 위상수학적 성질
모든 위상군은 완비 정칙 공간이다. 따라서, 위상군에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
* 콜모고로프 공간이다.
* T1 공간이다.
* 하우스도르프 공간이다.
* 티호노프 공간이다.
* 자명한 부분군 \{1\}이 닫힌집합이다.

위상군의 기본군은 항상 아벨 군이다. 위상군의 0차 "호모토피 군" \pi_0(G)는 (일반적인 위상 공간의 경우와 달리) 실제로 군을 이루며, 이는 아벨 군이지 않을 수 있다.

**버코프-가쿠타니 정리**()에 따르면, 위상군 G에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* 제1 가산 공간이다. 즉, 1_G가 가산 국소 기저를 갖는다.
* 유사 거리화 가능 공간이다.
* (왼쪽 불변 유사 거리화 가능성) G의 위상은 어떤 유사 거리 함수 d\colon G\times G\to[0,\infty)로부터 유도되며, 이는 \forall g,h,k\in G\colon d(kg,kh)=d(g,h)를 만족한다.
* (오른쪽 불변 유사 거리화 가능성) G의 위상은 어떤 유사 거리 함수 d\colon G\times G\to[0,\infty)로부터 유도되며, 이는 \forall g,h,k\in G\colon d(gk,hk)=d(g,h)를 만족한다.

### 완비화
하우스도르프 완비 아벨 위상군의 범주 \operatorname{CompHausAb}는 아벨 위상군의 범주 \operatorname{TopAb}의 반사 부분 범주이다. 즉, 포함 함자
:\operatorname{CompHausAb}\hookrightarrow\operatorname{TopAb}
는 왼쪽 수반 함자
:\bar{}\colon\operatorname{TopAb}\to\operatorname{CompHausAb}
를 갖는다. 이를 위상군의 **(하우스도르프) 완비화**()라고 한다.

이는 구체적으로 다음과 같다. 임의의 아벨 위상군 (A,+,0)에 대하여, \operatorname{Cauchy}(A)가 그 위의 코시 필터들의 부분 순서 집합, \min(\operatorname{Cauchy}(A))가 그 극소 원소들의 집합이라고 하자. A의 **하우스도르프 완비화**는 집합으로서
:\bar A=\min(\operatorname{Cauchy}(A))
이다. 그 위의 군 구조는 다음과 같다.
:\mathcal F+\mathcal G=\{E\subset A\colon\exists F\in\mathcal F,\;G\in\mathcal G,\;U\in\mathcal N_0\colon F+G+U\subset E\}
:\bar0=\mathcal N_0
:-\mathcal F=\{E\subseteq A\colon\exists F\in\mathcal F,\;U\in\mathcal N_0\colon -F+U\subseteq E\}
그 위의 위상은 임의의 \mathcal F\in\bar A가 다음과 같은 국소 기저를 갖는 위상이다.
:\{\{\mathcal G\in\bar A\colon F\in\mathcal G\}\colon F\in\mathcal F\}
표준적인 연속 군 준동형
:A\to\bar A
는
:a\mapsto\mathcal N_a
이다. (모든 근방 필터는 극소 코시 필터다.)

표준적 연속 군 준동형 A\to\bar A는 다음 성질들을 지닌다.
* 그 상은 \bar A의 조밀 집합이다.
* 하우스도르프 아벨 위상군 A의 경우, 이는 단사 함수이며, G와 그 상 사이의 위상군 동형 사상이다.

## 예
모든 군은 이산 위상을 주거나 비이산 위상을 주어 위상군으로 만들 수 있다. 모든 리 군은 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다. 모든 사유한군 역시 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다.

수론에서, 이델 군 및 갈루아 확대의 갈루아 군 \operatorname{Gal}(L/K)은 자연스럽게 위상군을 이룬다. 대수기하학에서, 에탈 기본군은 사유한군이므로 자연스럽게 위상군을 이룬다.

모든 위상 벡터 공간은 덧셈에 대하여 아벨 위상군을 이룬다. 만약 위상 벡터 공간이 유한 차원 실수 벡터 공간이 아니라면, 이는 리 군이 아니다. 실수 또는 복소수 힐베르트 공간 \mathcal H 위에 유니터리 작용소들의 군 \operatorname U(\mathcal H)는 작용소 노름을 부여하면 위상군을 이룬다.

유리수의 덧셈군 \mathbb Q는 위상군을 이루며, 이는 리 군이 아니다.

모든 위상환은 덧셈군으로서 위상군을 이룬다.

## 참고 문헌

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## 같이 보기
* 리 군
* 대수군
* 위상환

## 외부 링크
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분류:리 군
분류:푸리에 해석학