호지 구조

대수기하학에서 **호지 구조**(Hodge構造, )는 켈러 다양체 위에 호지 이론으로 주어지는 코호몰로지의 분해와 같은 성질들을 만족시키는 벡터 공간의 분해이다.

## 정의
### 순수 호지 구조
무게가 n인 **순수 호지 구조**(純粹Hodge構造, ) (H,F^\bullet)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 자유 아벨 군 H
* 복소수 벡터 공간의 유한 감소 여과 H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C=F^0\supseteq F^1\supseteq\cdots\supseteq F^n
이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.
* p+q=n+1이라면, F^p\cap\bar F^q=\{0\}, F^p\oplus\bar F^q=H\otimes\mathbb C
순수 호지 구조 (H,F^\bullet)에 대하여, 다음과 같은 벡터 공간들을 정의한다.
:H^{p,q}=F^p\cap\bar F^q
그렇다면 다음이 성립한다.
:H\otimes\mathbb C=H^{0,n}\oplus H^{1,n-1}\oplus\cdots\oplus H^{n,0}
:\bar H^{p,q}\cong H^{q,p}
무게 n의 순수 호지 구조 (H,F^\bullet)의 **호지 수**(Hodge數, ) h^{\bullet,n-\bullet}는 다음과 같다.
:h^{p,n-p}=\dim_{\mathbb C}H^{p,q}=\dim_{\mathbb C}\operatorname{gr}^p_F(H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C)

순수 호지 구조는 복소수 벡터 공간 H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C 위의, 복소수 곱셈군 \mathbb S(\mathbb R)=\mathbb C^\times의 표현으로도 정의할 수 있다. 이 경우, H^{p,q}는 \mathbb C^\times의 작용이 z\colon v\mapsto z^p\bar z^qv의 꼴인 성분이다.

같은 무게의 두 순수 호지 구조 사이의 **사상**(寫像, ) f\colon H\to H'은 다음과 같은 성질을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.
* f(H^{p,q})\subset\bigoplus_{i\ge0}H'^{p+i,q-i}

무게 k의 두 개의 순수 호지 구조 H, H'이 주어졌을 때,  직합 H\oplus H' 역시 무게 k의 순수 호지 구조를 이룬다.

무게 k의 순수 호지 구조 H와 무게 k'의 순수 호지 구조 H'이 주어졌을 때, 텐서곱 H\otimes H'은 무게 kk'의 순수 호지 구조를 이룬다.

무게 k의 순수 호지 구조 H 위의 **극성화**(極性化, ) Q는 다음 조건들을 만족시키는, H 위의 정수 이차 형식이다.
* Q^{\mathbb C}(a,b)=(-1)^k\mathbb Q^{\mathbb C}(b,a)\qquad\forall a,b\in H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C
* Q^{\mathbb C}(a,b)=0\forall a\in H^{p,q},\;b\in H^{p',q'},\;(p,q)\ne(q',p')
* i^{p-q}Q(a,\bar a)\in\mathbb R^+\forall a\in H^{p,q}\setminus\{0\}

### 혼합 호지 구조
**혼합 호지 구조**(混合Hodge構造, ) (H,F^\bullet,W_\bullet)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 아벨 군 H
* H\otimes\mathbb C 위의, 복소수 벡터 공간들의 유한 감소 여과  H\otimes\mathbb C=F^0\supseteq F^1\supseteq\cdots\supseteq F^k. 이를 **호지 여과**(Hodge濾過, )라고 한다.
* H\otimes\mathbb Q 위의, 유리수 벡터 공간들의 유한 증가 여과 W_0\subseteq W_1\subseteq\cdots\subseteq W_m=H\otimes\mathbb Q. 이를 **무게 여과**(-濾過, )라고 한다.
이는 다음을 만족시켜야 한다.
*모든 n에 대하여, \operatorname{gr}_n^W H =(W_n/W_{n-1})\otimes\mathbb C 위의 감소 여과 F^p\operatorname{gr}_n^WH = (F^p\cap W_n\otimes\mathbb C+W_{n-1}\otimes\mathbb C)/(W_{n-1}\otimes\mathbb C)는 무게 n의 순수 호지 구조를 이룬다.
혼합 호지 구조 위의 극성화는 무게 여과의 각 등급 성분에 주어지는 극성화로 구성된다.

혼합 호지 구조 (H,F^\bullet,W_\bullet)의 **호지 수**(Hodge數, ) h^{\bullet,\bullet}는 다음과 같다.
:h^{p,q}=\dim_{\mathbb C}\operatorname{gr}_F^p\operatorname{gr}_{p+q}^W(H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C)

두 혼합 호지 구조 (H,F,W), (H',F',W') 사이의 **사상**(寫像, ) f\colon H\to H'은 다음과 같은 성질을 만족시키는, 아벨 군의  준동형이다.
* f(F^p)\subseteq F'^p
* f(W_kH)\subseteq W'_k

혼합 호지 구조와 그 사상들의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 이 범주에서의 핵과 여핵은 (망각 함자를 통해) 복소수 벡터 공간에서의 핵 · 여핵과 일치한다. 또한, 이 범주는 텐서곱을 가지며, 텐서곱을 통하여 단나카 범주()를 이룬다.

## 다양체의 호지 구조
### 켈러 다양체
콤팩트 켈러 다양체 (또는 복소수체 위의 비특이 완비 사영 대수다양체) X의 복소수 계수 특이 코호몰로지 H^k(X;\mathbb C)=H^k(X;\mathbb Z)\otimes\mathbb C는 호지 이론에 의하여 다음과 같이 분해된다.
:H^k(X;\mathbb Z)\otimes\mathbb C=\bigoplus_{p+q=k} H^{p,q}(X)\qquad\forall k=0,1,\dots,n
이는 무게 n의 순수 호지 구조를 이룬다. 또한, 모든 차수의 코호몰로지들의 직합
:H(X;\mathbb Z)=\bigoplus_nH^n(X;\mathbb Z)
은 혼합 호지 구조를 이룬다. 여기서 무게 여과는
:W_k=\bigoplus_{i\le k}H^i(X;\mathbb Z)\otimes\mathbb Q
이며, 호지 여과는
:F^p=\bigoplus_{i\ge p}H^{i,n-i}
이다.

두 콤팩트 켈러 다양체 사이의 정칙 사상 f\colon M\to M'은 순수 호지 구조의 사상
:f^*\colon H^n(M')\to H^n(M)
을 유도한다.

### 비완비 비특이 대수다양체
(완비 대수다양체가 아닐 수 있는) 복소수 비특이 대수다양체 X의 k차 특이 코호몰로지 H^k(X;\mathbb Z) 위에는 자연스럽게 혼합 호지 구조가 존재하며, 무게 여과에 따라 H^k(X;\mathbb Z) 위에 존재하는 무게는 k,k+1,\dots,\min\{2\dim_{\mathbb C}X,2k)이다.
:\operatorname{gr}^W_nH^k(X;\mathbb Q)\ne 0\implies k\le n\le\min\{2\dim_{\mathbb C}U,2k\}
또한, 이는 함자적이다. 즉, 이는 복소수 비특이 대수다양체의 범주의 반대 범주에서, 혼합 호지 구조의 범주로 가는 함자를 이룬다.

비특이 사영 대수다양체 X의 닫힌 비특이 부분다양체 Y\hookrightarrow X가 주어진다면, 대수적 위상수학에 따라서 다음과 같은 (상대) 특이 코호몰로지의 (아벨 군으로서의) 긴 완전열이 존재한다.
:\cdots\to H^i(X,Y)\to H^i(X)\to H^i(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to H^{i+1}(X)\to\cdots
혼합 호지 구조 함자에 따라서, 이는 혼합 호지 구조의 긴 완전열을 이룬다. 이 경우 H^\bullet(X)는 순수 호지 구조이지만, H^\bullet(X,Y) 및 H^\bullet(Y)는 순수 호지 구조가 아닐 수 있다.

### 특이 대수다양체
보다 일반적으로, (특이점을 가질 수 있는) 임의의 복소수 준사영 대수다양체에 대해서도 혼합 호지 구조를 자연스럽게 정의할 수 있다. 일부 경우 이는 미분 형식으로 계산할 수 있다.

## 관련 개념
**호지 구조의 변동**(Hodge構造의變動, )은 대략 어떤 복소다양체로 매개변수화된 호지 구조들의 족이다. 필립 오거스터스 그리피스가 도입하였다.

**호지 가군**(Hodge加群, )은 대략 "호지 구조들의 층"으로 생각할 수 있다. 사이토 모리히코()가 도입하였다.

## 예
### 무게 0 또는 1의 호지 구조
임의의 아벨 군 H에, 다음과 같이 자명하게 무게 0의 순수 호지 구조를 줄 수 있다.
:H^{0,0}=H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C
:F^0=H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C
만약 호지 구조의 차수 (p,q)가 둘 다 음이 아닌 정수라면 이는 무게 0의 유일한 순수 호지 구조이다.

아벨 군 H 위의, 무게 1의 순수 호지 구조는 (만약 차수 (p,q)가 모두 음이 아닌 정수라면) 실수 벡터 공간H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb R 위의 복소구조
:J\colon H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb R\to H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb R
:J^2=-1
와 같다. 이 경우,
:H^{1,0}=\{v\in H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C\colon J^{\mathbb C}v=iv\}
:H^{0,1}=\{v\in H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C\colon J^{\mathbb C}v=-iv\}
이다. 여기서
:J^{\mathbb C}\colon H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C\to H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C
:(J^{\mathbb C})^2=-1
는 J의 복소수체로의 선형 확대이다.

보다 일반적으로, 임의의 아벨 군 H 위에, 짝수 무게 2n의 **자명한 순수 호지 구조**를 다음과 같이 줄 수 있다.
:H^{p,q}=\begin{cases}H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C&(p,q)=(n,n)\\\{0\}&(p,q)\ne(n,n)\end{cases}
**테이트 호지 구조**() \mathbb Z(1)는 \mathbb Z 위에 정의되는, 무게 -2의 순수 호지 구조이다. 이의 텐서곱을 취하여 얻는, 자명한 무게 -2n의 호지 구조는 \mathbb Z(n)으로 쓴다.

### 테이트 뒤틂
무게 k의 순수 호지 구조 (H,F^\bullet) 및 정수 r가 주어졌을 때, **테이트 뒤틂**() H(r)는 다음과 같은, 무게 k+2r의 순수 호지 구조이다.
* 아벨 군으로서, H(r)=H
* H(r)^{p,q}=H^{p-r,q-r}

### 구멍을 뚫은 타원 곡선
복소수 타원 곡선 E에 서로 다른 닫힌 점 z_1,\dots,z_k\in E가 주어졌다고 하자. 이 경우, 점을 제거한 타원 곡선의 혼합 호지 구조는 다음과 같다. 우선, 특이 코호몰로지는 다음과 같다.
:H^0(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0
:H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\cong\mathbb Q^{k+1}\qquad(k>1)
:H^2(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0\qquad(k>0)
상대 코호몰로지 긴 완전열을 사용하면 다음과 같다.
:0\to H^0(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0\to H^0(E;\mathbb Q)\to H^0(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^1(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0\to H^1(E;\mathbb Q)\to H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^2(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^2(E;\mathbb Q)\to H^2(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0
즉, 이는 다음과 같이 분해된다.
:0\to H^0(E;\mathbb Q)\to H^0(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to0
:0\to  H^1(E;\mathbb Q)\to H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^2(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^2(E;\mathbb Q)\to0
긴 완전열의 사상은 혼합 호지 구조의 사상을 이루므로, 이를 무게에 따라 분해하면 다음과 같다.
:0\to H^1(E;\mathbb Q)\cong\mathbb Q^2\to \operatorname{gr}_1^WH^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to\operatorname{gr}_1^W H^2(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0
:0\to \operatorname{gr}_2^W H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^2(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\cong\mathbb Q^k\to H^2(E;\mathbb Q)\cong\mathbb Q\to0
즉,
:\operatorname{gr}_0^WH^0(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=H^0(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)
:\dim_{\mathbb Q}\operatorname{gr}_1^W H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=2
:\operatorname{gr}_2^W H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=H^2(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)
이며, 구멍이 뚫린 타원 곡선의 1차 코호몰로지의 혼합 호지 구조는 무게 1 및 2를 가진다.

### 횡단 교차
대수다양체 X가 두 개의 비특이 사영 대수다양체 X_1과 X_2의 합집합이며, X_1과 X_2는 횡단적으로 교차한다면, 그 호지 구조를 다음과 같이 계산할 수 있다. 대수적 위상수학에 따르면, 특이 코호몰로지 위에 마이어-피토리스 완전열이 존재한다.
:\cdots\to H^{i-1}(X_1\cap X_2)\xrightarrow{\delta_{i-1}} H^i(X)\to H^i(X_1)\oplus H^i(X_2)\to H^i(X_1\cap X_2)\xrightarrow{\delta_i} H^{i+1}(X)\to\cdots
이는 혼합 호지 구조의 완전열을 이룬다. 이 완전열에서 H^i(X_1\cap X_2)와 H^i(X_1)\oplus H^i(X_2)는 무게 i의 순수 호지 구조를 가지지만, H^i(X)는 일반적으로 무게 i 및 i-1을 갖는 혼합 호지 구조이며, 구체적으로 다음과 같다.
:W_j(H^i(X))=\begin{cases}H^i(X)&j\ge i\\\operatorname{im}\delta_{i-1}&j=i-1\\0&j

## 각주

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## 외부 링크
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## 같이 보기
* 호지 이론
* 호지 추측
* 모티브 (수학)

분류:호지 이론