바나흐 공간

함수해석학에서 **바나흐 공간**(Banach空間, )은 완비 노름 공간이다. 함수해석학의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐의 이름을 땄다.

## 정의
\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

\mathbb K-노름 공간 (X,\|\cdot\|)에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 \mathbb K-노름 공간을 **<math>\mathbb K</math>-바나흐 공간**이라고 한다.
* (노름으로 정의한 거리 함수를 부여하면) 완비 거리 공간이다. 즉, 모든 코시 열이 수렴한다.
* 모든 절대 수렴 급수가 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 (v_i)_{i\in\mathbb N}\subseteq X에 대하여, 만약 \textstyle\sum_{i\in\mathbb N}\|v_i\|라면, 급수 \textstyle\sum_{i\in\mathbb N}v_i 역시 (노름으로 정의한 거리 위상에 대하여) 수렴한다.

체 \mathbb K를 실수체 또는 복소수체로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체는 완비되지 못한다.)

### 부분 공간
\mathbb K-바나흐 공간 V의 부분 벡터 공간 \iota\colon W\hookrightarrow V가 주어졌다고 하자. 만약 W가 닫힌집합이라면 W는 역시 바나흐 공간을 이룬다.

만약 다음 조건을 만족시키는 선형 변환 P\colon V\to W가 존재한다면, W를 **여공간을 가지는 부분 공간**()라고 한다.
* P는 전사 함수이다.
* \iota\circ P\colon V\to V는 (W로의) 사영이다. 즉, \iota\circ P\circ\iota\circ P=\iota\circ P이다.
* P는 유계 작용소이다.
여분 부분 공간은 (연속 함수의 상이므로) 항상 닫힌집합이다. 즉, 바나흐 공간의 부분 벡터 공간에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:여공간을 가지는 부분 공간 ⇒ 닫힌 부분 벡터 공간 ⇒ 부분 벡터 공간
여분 부분 공간 W\subseteq V가 주어졌을 때, 바나흐 공간 V를 다음과 같이 분해할 수 있다.
:V=W\oplus\ker P
그러나 이러한 P는 유일하지 않을 수 있다.

## 연산
### 완비화
\mathbb K-노름 공간 V가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 \mathbb K-바나흐 공간 \bar V 및 등거리 선형 변환 \iota\colon V\to\bar V가 존재한다.
* 상 \iota(V)\subseteq\bar V는 \bar V의 조밀 집합이다.
또한, 이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.
* 임의의 \mathbb K-바나흐 공간 W 및 등거리 선형 변환 j\colon V\to W에 대하여, 만약 j(V)가 조밀 집합이라면, j=i\circ\iota인 바나흐 공간 동형 사상(=등거리 선형 위상 동형 사상) i\colon\bar V\to W가 존재한다.

\bar V는 거리 공간으로서 V의 거리 공간 완비화와 같다. 만약 V가 이미 바나흐 공간이라면 \iota는 바나흐 공간 동형 사상이다.

### 부분 공간과 몫공간
\mathbb K-바나흐 공간 X의 \mathbb K-부분 벡터 공간 Y\subseteq X에 제한 노름 \|\|_X\restriction Y를 부여하면, 이는 노름 공간을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* Y는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다.
* Y는 닫힌집합이다.

또한, 닫힌 부분 벡터 공간 Y\subseteq X에 대한 몫공간 X/Y 위에
:\lVert x+Y\rVert=\inf_{y\in Y}\lVert x+y\rVert
으로 노름을 주자. 그렇다면 X/Y 역시 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다.

### 상
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* \mathbb K-바나흐 공간 X
* \mathbb K-노름 공간 Y
* 연속 열린 \mathbb K-선형 변환 T\colon X\to Y
그렇다면, T(X)는 \mathbb K-바나흐 공간이다.

### 직합
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* \mathbb K-노름 공간의 집합 (V_i)_{i\in I}
* 확장된 실수 1\le p\le\infty
그렇다면, 직합
:\tilde V=\bigoplus_{i\in I}V_i
위에 다음과 같은 노름을 정의하자.
:\left\|\bigoplus_{i\in I}v_i\right\|=\begin{cases}
\sqrt[p]{\sum_{i\in I}\|v_i\|_{V_i}^p}&p
그렇다면, \tilde V는 \mathbb K-내적 공간을 이룬다.

만약 I가 유한 집합이라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 모든 i에 대하여 V_i가 바나흐 공간이다.
* \tilde V는 바나흐 공간이다.
이 경우, \tilde V의 (p-노름으로 정의되는) 위상은 p에 의존하지 않는다.

그러나 만약 I가 무한 집합이라면, V_i가 모두 바나흐 공간이라도 \tilde V가 바나흐 공간이 아닐 수 있다. 이 경우 \tilde V의 완비화 V를 취해야 하며, 그 결과는 일반적으로 p\in[1,\infty]에 따라 다르다.

### 텐서곱
힐베르트 공간의 경우 간단하고 유일한 텐서곱이 존재하지만, 바나흐 공간의 텐서곱 이론은 유일하지 않으며 복잡하다. 특히, 대략 "최대" 텐서곱인 **사영 위상 텐서곱**()과 "최소" 텐서곱인 **단사 위상 텐서곱**()이 존재한다. 이 둘은 일반적으로 서로 다르며, 또한 (힐베르트 공간의 경우) 힐베르트 텐서곱과도 다르다.

## 성질
### 바나흐 공간 사이의 선형 변환
**바나흐-샤우데르 정리**(-定理, ) 또는 **열린 사상 정리**(-寫像定理, )에 따르면, 임의의 두 \mathbb K-바나흐 공간 V, W 사이의 전사 유계 작용소 T\colon V\to W는 열린 함수이다. 특히, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 변환은 항상 위상 벡터 공간의 동형 사상이다. (그러나 이는 등거리 변환이 아닐 수 있다.)

이 정의는 베르 범주 정리를 사용하여 다음과 같이 증명될 수 있다.

**증명**:

V 속의 단위 열린 공의 상
:T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)
이 0_W의 근방임을 증명하면 족하다.

우선, V는 다음과 같은 열린 공들의 합집합이다.
:V=\bigcup_{n\in\mathbb Z^+}\operatorname{ball}_V(0,n)
T가 전사 함수이므로
:W=T(V)=\bigcup_{n=1}^\infty T\left(\operatorname{ball}_V(0,n)\right)
이다.

베르 범주 정리에 따라서, 바나흐 공간 W는 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합들의 합집합으로 표현될 수 없다. 따라서,
:\operatorname{ball}_W(nc,nr)\subseteq\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,n)\right)\right)
인 양의 정수 n\in\mathbb Z^+ 및 c\in W 및 양의 실수 r>0가 존재한다. (\operatorname{ball}(-,-)는 열린 공을 뜻한다.) 즉,
:\operatorname{ball}_W(c,r)\subseteq\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right)
이다.

이제,
:\operatorname{ball}_W(0,r)\subseteq\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right)
를 증명하자. 우선,
:\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right)
=-\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right)
이므로, 임의의 w\in\operatorname{ball}_W(0,r)에 대하여,
:w\pm c\in\operatorname{ball}(\pm c,r)\subseteq\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right)
이며, \operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right)는 볼록 집합이므로
:w=\frac{(w+c)+(w-c))}2\in\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right)
이다.

이제
:\operatorname{ball}_W(0,r/2)\subseteq T\left(\frac2r\operatorname{ball}_V(0,1)\right)
를 증명하면 족하다. 즉, 임의의 w\in\operatorname{ball}_W(0,r/2)에 대하여, Tv=w인 v\in V를 찾으면 족하다.

다음 두 조건을 만족시키는 벡터열 (v_1,v_2,\ldots)을 재귀적으로 고를 수 있다.
:\|v_i\|
:\|w-Tv_1-\cdots-Tv_i\|
(이는 r의 정의에 따라 가능하다.) 그렇다면, 바나흐 공간에서 절대 수렴 급수는 수렴하므로,
:v=\sum_{i=1}^\infty v_i\in\operatorname{ball}_V(0,1)
를 정의할 수 있다. T가 연속 함수이므로
:Tv=w
이다.


특히, 이에 따라 두 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소는 위상 벡터 공간의 동형이다. 또한, 바나흐 공간의 **닫힌 그래프 정리**()에 따르면, 두 \mathbb K-바나흐 공간 V, W 사이의 \mathbb K-선형 변환 T\colon V\to W에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 연속 함수이다.
* 유계 작용소이다.
* \operatorname{graph}T=\{(v,Tv)\colon v\in V\}\subseteq V\oplus W는 (곱위상을 부여한) V\oplus W 속의 닫힌집합이다.

**증명:**

연속 함수 ⇔ 유계 작용소는 임의의 노름 공간에서 성립한다. 연속 함수 ⇒ 닫힌 그래프는 위상수학에서의 닫힌 그래프 정리로부터 함의된다. 따라서, 닫힌 그래프 ⇒ 연속 함수만을 보이면 된다.

\operatorname{graph}T\subseteq V\oplus W가 닫힌집합이라 가정하자. 이에 따라 \operatorname{graph}T는 (임의의 p\in[1,\infty]에 대한 노름을 주면) 바나흐 공간을 이룬다. 두 사영 함수
:\pi_V\colon\operatorname{graph}T\twoheadrightarrow V
:\pi_W\colon\operatorname{graph}T\twoheadrightarrow W
는 정의에 따라 연속 함수이다. \pi_V는 전단사 함수이므로, 바나흐-샤우데르 정리에 의하여 \pi_V는 위상 동형 사상이다. 따라서
:T = \pi_W\circ\pi_V^{-1}\colon V\to W
역시 연속 함수이다.



즉, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.
:

이 밖에도, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소의 열에 대하여 **[[균등 유계성 원리]]**가 성립한다.

### 함의 관계
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:

### 샤우데르 기저

벡터 공간의 (하멜) 기저나 힐베르트 공간의 정규 직교 기저와 달리, 바나흐 공간 이론에서 기저의 개념은 복잡하다. 바나흐 공간의 경우 **[[샤우데르 기저]]**라는 개념을 정의할 수 있지만, 샤우데르 기저를 갖지 않는 바나흐 공간이 존재하며, 또한 샤우데르 기저의 원소들의 순서가 중요하다.

### 바나흐 공간 위의 미적분학

바나흐 공간 속의 열린집합 위에 정의된 함수의 경우, **[[프레셰 도함수]]**라는 일종의 도함수를 정의할 수 있다. 이를 통해, 바나흐 공간 위의 (비선형) 미적분학을 전개할 수 있다.

## 분류
분해 가능 바나흐 공간에 대하여 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.

### L<sup>1</sup>의 몫공간으로의 표현
모든 분해 가능 \mathbb K-바나흐 공간은 르베그 공간 \ell^1(\mathbb K)의 몫공간이다. 즉, \ell^1(\mathbb K)에 닫힌 \mathbb K-부분 벡터 공간 M이 존재하여, X\cong\ell^1(\mathbb K)/M이다.

### <math>\mathcal C^0</math>의 부분 공간으로의 표현
**바나흐-마주르 정리**(Banach-Mazur定理, )에 따르면, 임의의 \mathbb K-바나흐 공간 V에 대하여 다음이 성립한다.
* 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간 K 및 등거리 \mathbb K-선형 변환 \iota\colon V\to\mathcal C^0(K,\mathbb K) 가 존재한다.
* 만약 V가 분해 가능 공간이라면, 등거리 \mathbb K-선형 변환 \iota\colon V\to\mathcal C^0([0,1],\mathbb K) 가 존재한다.
여기서 \mathcal C^0(-,\mathbb K)는 \mathbb K값의 연속 함수들의 바나흐 대수이며, 그 위의 노름은
:\|f\|=\sup_{x\in K}|f(x)|
이다.

이는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 분해 가능 실수 바나흐 공간 V가 주어졌을 때, 그 연속 쌍대 공간 V'의 단위 닫힌 공 K=\operatorname{ball}_{V'}(0,1)을 생각하고, 그 위에 약한-* 위상을 부여하자. 이는 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 약한-* 위상의 정의에 따라, 임의의 v\in V에 대하여 연속 함수
:K\to\mathbb K
:f\mapsto f(v)
는 연속 함수이다. 즉, 이는 연속 함수
:V\to\mathcal C^0(K)
:v\mapsto(f\mapsto f(x))
를 정의한다. 이는 등거리 선형 변환임을 쉽게 보일 수 있다.

만약 V가 추가로 분해 가능 공간이라면, \mathcal C^0(K,\mathbb R)는 \mathcal C^0([0,1],\mathbb R)의 부분 공간으로 등거리 매장할 수 있음을 보일 수 있다.

### 바나흐-마주르 거리
**바나흐-마주르 콤팩트 공간**()이라는, 유한 차원 바나흐 공간의 일종의 모듈라이 공간이 존재한다.

자연수 n 및 \mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\} 및 두 n차원 실수 바나흐 공간 V, W가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사이의 전단사 \mathbb K-선형 변환들의 공간 \operatorname{GL}(V,W)을 생각할 수 있다. 이 경우, V와 W 사이의 **바나흐-마주르 거리**()는 다음과 같다.
:d(V,W)=\ln_{T\in\operatorname{GL}(V,W)}\|T\|\|T^{-1}\|
여기서 \|T\|는 작용소 노름이다.

이는 삼각 부등식을 만족시킨다. n차원 \mathbb K-바나흐 공간들의 (등거리) 동형류들의 공간은 이 거리 함수를 통해 콤팩트 거리 공간을 이룬다. 이를 **바나흐-마주르 콤팩트 공간**이라고 한다.

## 예
### 유클리드 공간
자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 유한 차원 \mathbb K-벡터 공간 \mathbb K^n 위에 노름
:\|(x_1,\dots,x_n)\|=\sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2}
를 부여하면, 이는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다.

### 르베그 공간

임의의 측도 공간 (X,\Sigma,\mu) 및 확장된 실수 1\le p\le\infty에 대하여, 르베그 공간 \operatorname L^p(X;\mathbb K)는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다.

### 수렴 수열 공간

수렴 수열 공간 \operatorname c(\mathbb K)과 영 수렴 수열 공간 \operatorname c_0(\mathbb K)은 둘 다 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다.

### 힐베르트 공간

임의의 \mathbb K-힐베르트 공간 \mathcal H에 대하여,
:\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}\qquad(v\in \mathcal H)
로 노름을 정의하면 이는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다.

### 연속 함수 공간
콤팩트 하우스도르프 공간 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X 위의, \mathbb K값의 연속 함수들의 \mathbb K-벡터 공간
:\mathcal C^0(X,\mathbb K)
에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다.
:\|f\|=\max_{x\in X}|f(x)|
이는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다. 사실, 점별 곱셈을 통해 이는 추가로 \mathbb K-바나흐 대수를 이룬다.

## 역사
스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다. 이 밖에도, 한스 한과 에두아르트 헬리가 바나흐 공간 이론의 초기 연구에 기여하였다.

바나흐-마주르 정리는 스테판 바나흐와 스타니스와프 마주르가 증명하였다. 바나흐-샤우데르 정리와 그 따름정리인 닫힌 그래프 정리는 스테판 바나흐가 1929년에 발표하였고, 이듬해 율리우시 샤우데르가 개량하였다.

## 각주

## 외부 링크

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분류:폴란드의 과학과 기술