결합 구조

섬네일|오른쪽|결합 구조의 예. 이는 6개의 점(A, B, C, D, E, P) 및 6개의 직선(l, m, n, o, p, q)을 갖는다.
기하학에서 **결합 구조**(結合構造, )는 두 집합 및 그 사이의 어떤 이항 관계로 구성된 수학적 구조이다. 일부 경우, 이는 각각 점과 직선으로 이루어진 기하계로 해석될 수 있다.

## 정의
**결합 구조** (X,L,\vartriangleleft)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 집합 X. 그 원소를 **점**(點, )이라고 한다.
* 집합 L. 그 원소를 **직선**(直線, )이라고 한다.
* 부분 집합 \vartriangleleft\subseteq X\times L. 만약 (x,l)\in \vartriangleleft라면 이를 x\vartriangleleft l 또는 l\vartriangleright x로 표기하고, x가 l과 **결합한다**(結合-, )고 한다. (이 이항 관계는 x\,\mathsf I\,l 또는 x\in l 등으로 표기되기도 한다.)

결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)에서, 부분 집합
:X'\subseteq X
:L'\subseteq L
이 주어졌을 때, (X',L',\vartriangleleft\restriction X'\times L')를 (X,L,\vartriangleleft)의 **부분 결합 구조**(部分結合構造, )라고 한다.

### 균등 결합 구조
결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 **균등 결합 구조**(均等結合構造, )라고 한다.
* 임의의 두 점 x,y\in X에 대하여, |\{l\in L\colon x\vartriangleleft l\}| = |\{l\in L\colon y\vartriangleleft l\}|이다.

결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 **정칙 결합 구조**(正則結合構造, )라고 한다.
* 임의의 두 직선 l,m\in L에 대하여, |\{x\in X\colon x\vartriangleleft l\}| = |\{x\in X\colon x\vartriangleleft m\}|이다.

이 두 개념은 서로 쌍대이다. 즉, 균등 결합 구조의 쌍대 결합 구조는 정칙 결합 구조이며, 그 역도 성립한다.

### 선형 공간
결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 **준선형 공간**(準線形空間, )이라고 한다.
* (A) 임의의 서로 다른 두 점 x,y\in X에 대하여, x\vartriangleleft l\vartriangleright y인 직선 l\in L이 적어도 하나 이상 존재한다.
* (B) 임의의 직선 l\in L에 대하여, x\vartriangleleft l\vartriangleright y인 서로 다른 두 점 x,y\in X이 항상 존재한다.
다음 조건을 만족시키는 준선형 공간 (X,L,\vartriangleleft)을 **선형 공간**(線形空間, )이라고 한다.
* (A′) 임의의 서로 다른 두 점 x,y\in X에 대하여, x\vartriangleleft l\vartriangleright y인 직선 l\in L이 유일하게 존재한다.

## 연산
### 쌍대 결합 구조
결합 구조 P=(X,L,\vartriangleleft)가 주어졌을 때, (L,X,\vartriangleright), 즉
* P의 각 점에 대응하는 직선을 가지며,
* P의 각 직선에 대응하는 점을 가지며,
* P에서 결합하는 점과 직선은 결합하는 직선과 점에 대응되는
결합 구조를 구성할 수 있다. 이를 P의 **쌍대 결합 구조**(雙對結合構造, )이라고 한다.

스스로의 쌍대와 동형인 결합 구조를 **자기 쌍대 결합 구조**(自己雙對結合構造, )라고 한다.

만약 P가 사영 평면이라면 그 쌍대 결합 구조 역시 사영 평면이다.

### 결합 행렬
결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)가 주어졌으며, X와 L이 둘 다 유한 집합이라고 하자. X와 L 위에 각각 임의의 전순서를 부여하여
:X=\{x_1,x_2,\dotsc,x_m\}
:L=\{l_1,l_2,\dotsc,l_n\}
로 적자. 그렇다면, 다음과 같은 m\times n 행렬을 정의할 수 있으며, 이를 결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)의 **결합 행렬**(結合行列, )이라고 한다.
:M_{ij}=\begin{cases}
1&x_i\vartriangleleft l_j\\
0&x_i\not\vartriangleleft l_j
\end{cases}

### 레비 그래프
결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)가 주어졌을 때, 다음과 같은, 검은색 및 흰색의 그래프 색칠을 갖는 이분 그래프를 정의할 수 있다.
* 검은 꼭짓점은 점(X의 각 원소)에 대응한다.
* 흰 꼭짓점은 직선(L의 각 원소)에 대응한다.
* 검은 꼭짓점 x\in X 및 흰 꼭짓점 l\in L 사이에 변이 있을 필요 충분 조건은 x\vartriangleleft l인지 여부이다.
이를 결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)의 **레비 그래프**()라고 한다.

## 예
### 자명한 결합 구조
임의의 집합 X에 대하여, L=\varnothing으로 정의하면, 유일한 결합 구조 (X,\varnothing,\varnothing)를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 직선이 존재하지 않는다.

마찬가지로, 임의의 집합 L에 대하여, X=\varnothing으로 정의하면, 유일한 결합 구조 (\varnothing,L,\varnothing)를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 점이 존재하지 않는다.

### 그래프

임의의 그래프 \Gamma가 주어졌을 때,
* 점을 \Gamma의 꼭짓점으로 삼으며,
* 직선을 \Gamma의 변으로 삼으며,
* 결합 관계를 변이 꼭짓점을 끝점으로 갖는지 여부로 삼는
결합 구조 (\operatorname V(\Gamma),\operatorname E(\Gamma),\vartriangleleft)를 정의할 수 있다.

### 다각형
섬네일|오른쪽|삼각형 결합 구조
2 이상의 정수 n\ge2가 주어졌다고 하자. 집합
:X=\{x_1,x_2,\dotsc,x_n\}
:L=\{l_1,l_2,\dotsc,l_n\}
위에, 다음과 같은 결합 관계를 주자.
:x_i\vartriangleleft l_j\iff j-i\equiv 0, 1\pmod n
이 결합 구조 (X,L,\vartriangleleft)를 **<math>n</math>각형**(n角形, )이라고 한다.

특히, 만약 n\ge3일 경우 이는 길이 n의 순환 그래프에 대응하는 결합 구조이다.

### 블록 설계

임의의 블록 설계 (X,\mathcal B)가 주어졌을 때,
* 점을 X의 원소로 삼으며,
* 직선을 블록(즉, \mathcal B의 원소)으로 삼으며,
* 결합 관계를 점이 블록의 원소인지 여부로 삼는
결합 구조 (X,\mathcal B,\in)를 정의할 수 있다.

### 사영 평면
[섬네일|오른쪽|[파노 평면 \mathbb P^2_{\mathbb F_2}은 사영 평면의 한 예이다.]]

**[[사영 평면]]**은 특별한 균등 정칙 결합 구조이다.

### 리만 다양체

임의의 리만 다양체 (X,g)가 주어졌을 때,
* 점을 X의 원소로 삼으며,
* 직선을 (X,g)의 (확장 불가능) 측지선으로 삼으며,
* 결합 관계를 점이 측지선에 속하는지 여부로 삼는
결합 구조를 정의할 수 있다.

### 일반화 다각형

**[[일반화 다각형]]**은 사영 평면의 일반화이며, 특별한 종류의 준선형 공간이다.

## 역사
“레비 그래프”라는 용어는 독일의 수학자 프리드리히 빌헬름 다니엘 레비(, 1888~1966)의 이름을 딴 것이다.

## 같이 보기
* 추상다포체
## 참고 문헌
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## 외부 링크
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분류:유한기하학
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