코시 수렴 판정법

해석학에서 **코시 수렴 판정법**()은 급수의 수렴 판정법의 하나이다. 이 판정법에 의하면, 급수가 수렴한다는 것은 부분합 수열이 코시 수열인 것과 동치이다.

## 정의
\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

### 실수항 또는 복소수항 급수
\mathbb K 위의 수열 (x_n)_{n=0}^\infty\subseteq\mathbb K이 주어졌다고 하자. **코시 수렴 판정법**에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n은 수렴한다.
* 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N_\epsilon\in\mathbb N가 존재한다.
** 임의의 m,n>N_\epsilon에 대하여, \textstyle\left|{\sum_{k=m+1}^nx_k}\right|
여기서 |\cdot|는 절댓값이다.

첫 번째 조건은 부분합 \textstyle\sum_{k=0}^nx_k의 수렴을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 코시 점렬임을 뜻한다. \mathbb K는 완비 거리 공간을 이루므로, 부분합이 수렴하는 것은 부분합이 코시 점렬인 것과 동치이다.

### 바나흐 공간 위의 급수
\mathbb K-바나흐 공간 (X,\Vert\cdot\Vert) 위의 점렬 (x_n)_{n=0}^\infty\subseteq X이 주어졌다고 하자. **코시 수렴 판정법**에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n은 수렴한다.
* 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N_\epsilon\in\mathbb N가 존재한다.
** 임의의 m,n>N_\epsilon에 대하여, \textstyle\Vert{\sum_{k=m+1}^nx_k}\Vert

첫 번째 조건은 부분합 \textstyle\sum_{k=0}^nx_k의 수렴을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 코시 점렬임을 뜻한다. X는 완비 거리 공간을 이루므로, 부분합이 수렴하는 것은 부분합이 코시 점렬인 것과 동치이다.

### 함수항 급수
집합 S 및 \mathbb K값 함수열 f_n\colon S\to\mathbb K (n\in\mathbb N)이 주어졌다고 하자. 균등 수렴에 대한 **코시 수렴 판정법**에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n은 균등 수렴한다.
* 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N_\epsilon\in\mathbb N가 존재한다.
** 임의의 m,n>N_\epsilon 및 s\in S에 대하여, \textstyle\left|\sum_{k=m+1}^nf_k(s)\right|

\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N_\epsilon가 존재한다.
:임의의 n>N_\epsilon 및 s\in S에 대하여, \textstyle\left|\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^\infty f_k(s)\right|
따라서, 임의의 n>m>N_\epsilon 및 s\in S에 대하여,
:\left|\sum_{k=m+1}^nf_n(s)\right|=\left|\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right|\le\left|\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^\infty f_k(s)\right|+\left|\sum_{k=0}^\infty f_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right|
이다.

반대로, 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N_\epsilon\in\mathbb N가 존재한다고 가정하자.
:임의의 m,n>N_\epsilon 및 s\in S에 대하여, \textstyle\left|\sum_{k=m+1}^nf_k(s)\right|
그렇다면, 각 s\in S에서의 부분합 \textstyle\sum_{k=0}^nf_k(s)는 \mathbb K 위의 코시 수열이며, 따라서 \textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n(s)은 수렴한다. 이제, 위 조건에서 n\to\infty을 취하면 다음을 얻는다.
:임의의 m>N_\epsilon 및 s\in S에 대하여, \textstyle\left|\sum_{k=0}^\infty f_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right|
이에 따라, \textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n은 균등 수렴한다.

보다 일반적으로, 집합 S 및 \mathbb K-바나흐 공간 (X,\Vert\cdot\Vert) 및 X값 함수열 f_n\colon S\to X (n\in\mathbb N)이 주어졌다고 하자. 균등 수렴에 대한 **코시 수렴 판정법**에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n은 균등 수렴한다.
* 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N_\epsilon\in\mathbb N가 존재한다.
** 임의의 m,n>N_\epsilon 및 s\in S에 대하여, \textstyle\left\Vert\sum_{k=m+1}^nf_k(s)\right\Vert

\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N_\epsilon가 존재한다.
:임의의 n>N_\epsilon 및 s\in S에 대하여, \textstyle\left\Vert\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^\infty f_k(s)\right\Vert
따라서, 임의의 n>m>N_\epsilon 및 s\in S에 대하여,
:\left\Vert\sum_{k=m+1}^nf_n(s)\right\Vert=\left\Vert\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right\Vert\le\left\Vert\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^\infty f_k(s)\right\Vert+\left\Vert\sum_{k=0}^\infty f_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right\Vert
이다.

반대로, 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N_\epsilon\in\mathbb N가 존재한다고 가정하자.
:임의의 m,n>N_\epsilon 및 s\in S에 대하여, \textstyle\left\Vert\sum_{k=m+1}^nf_k(s)\right\Vert
그렇다면, 각 s\in S에서의 부분합 \textstyle\sum_{k=0}^nf_k(s)는 \mathbb K 위의 코시 수열이며, 따라서 \textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n(s)은 수렴한다. 이제, 위 조건에서 n\to\infty을 취하면 다음을 얻는다.
:임의의 m>N_\epsilon 및 s\in S에 대하여, \textstyle\left\Vert\sum_{k=0}^\infty f_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right\Vert
이에 따라, \textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n은 균등 수렴한다.

임의의 집합 S 및 \mathbb K-바나흐 공간 (X,\Vert\cdot\Vert)에 대하여, 유계 함수 S\to X의 집합 \mathcal B(S,X)은 점별 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 대하여 벡터 공간을 이루며, 또한 다음과 같은 상한 노름에 대하여 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다.
:\Vert f\Vert_\infty=\sup_{s\in S}\Vert f(s)\Vert\qquad(f\in\mathcal B(S,X))
만약 각 f_n이 유계 함수라면, 첫 번째 조건은 \textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n이 상한 노름에 대하여 수렴하는 것과 동치이며, 두 번째 조건은 부분합 \textstyle\sum_{k=0}^nf_k이 상한 노름에 대하여 \mathcal B(S,X) 위의 코시 점렬을 이루는 것과 동치이다.

## 따름정리
일반항 판정법은 코시 수렴 판정법에서 n=m+1을 취한 특수한 경우로 생각할 수 있다.

모든 절대 수렴 급수는 수렴한다는 사실은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

바이어슈트라스 M-판정법은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

## 관련 정리
### 함수의 극한에 대한 코시 수렴 판정법
임의의 열린구간 I\subseteq\mathbb R 및 a\in I 및 함수 f\colon I\setminus\{a\}\to\mathbb R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 함수의 극한 \lim_{x\to a}f(x)이 존재한다.
* 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, 다음을 만족시키는 양의 실수 \delta_\epsilon>0가 존재한다.
** 임의의 0에 대하여, |f(x)-f(y)|

### 이상 적분에 대한 코시 수렴 판정법
이상 적분
:\int_a^\infty f(x)\mathrm dx
:f\colon[a,\infty)\to\mathbb K
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \textstyle\int_a^\infty f(x)\mathrm dx는 수렴한다.
* 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, 다음을 만족시키는 실수 M>a가 존재한다.
** 임의의 x,y>M에 대하여, \textstyle\left|{\int_x^yf(t)\mathrm dt}\right|

## 각주

## 외부 링크
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분류:수렴판정법
분류:오귀스탱 루이 코시