소 아이디얼

환론에서 **소 아이디얼**(素ideal, )은 아이디얼 가운데 소수와 같은 성질을 갖는 것들이다. 가환환의 소 아이디얼은 대수기하학에서 아핀 스킴의 부분다양체에 대응하며, 아핀 스킴의 위상 공간의 한 점을 이룬다.

## 정의
환 R의 양쪽 진 아이디얼 \mathfrak p\subsetneq R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 **소 아이디얼**이라고 한다.
* 임의의 두 양쪽 아이디얼 \mathfrak a,\mathfrak b\subseteq R에 대하여, 만약 \mathfrak a\mathfrak b\subseteq\mathfrak p라면 \mathfrak a\subseteq\mathfrak p이거나 \mathfrak b\subseteq\mathfrak p이다.
* 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 (r)(s)\subseteq\mathfrak p라면 r\in\mathfrak p이거나 s\in\mathfrak p이다.
* 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 rRs\subseteq\mathfrak p라면 r\in\mathfrak p이거나 s\in\mathfrak p이다.
* 임의의 오른쪽 아이디얼 \mathfrak A,\mathfrak B\subseteq R에 대하여, 만약 \mathfrak A\mathfrak B\subseteq\mathfrak p라면 \mathfrak A\subseteq\mathfrak p이거나 \mathfrak B\subseteq\mathfrak p이다.
* 임의의 왼쪽 아이디얼 \mathfrak A,\mathfrak B\subseteq R에 대하여, 만약 \mathfrak A\mathfrak B\subseteq\mathfrak p라면 \mathfrak A\subseteq\mathfrak p이거나 \mathfrak B\subseteq\mathfrak p이다.
* R\setminus\mathfrak p는 m계를 이룬다.
* 몫환 R/\mathfrak p가 소환이다.

여기서 환 R의 부분 집합 S\subseteq R가 다음 조건을 만족시킨다면 **m계**(m系, )라고 한다.
* 임의의 s,t\in S에 대하여, srt\in S인 r\in R가 존재한다.
물론, 모든 곱셈 모노이드는 m계를 이룬다.

### 완전 소 아이디얼
환 R의 양쪽 진 아이디얼 \mathfrak p\subsetneq R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 **완전 소 아이디얼**(完全素ideal, )이라고 한다.
* 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 rs\in\mathfrak p라면 r\in\mathfrak p이거나 s\in\mathfrak p이다.
* 몫환 R/\mathfrak p는 영역이다.
* R\setminus\mathfrak p는 곱셈에 대하여 모노이드를 이룬다.

### 소원
소환 R의 원소 p\in R가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면 **소원**(素元, )이라고 한다.
* pR=Rp
* p\ne0
* pR는 소 아이디얼이다. 즉, 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 모든 t\in R에 대하여 p\mid rts라면, p\mid r이거나 p\mid s이다. (여기서 p\mid a는 a\in Rp=pR를 뜻한다.)
마찬가지로, 소환 R의 원소 p\in R가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면 **완전 소원**(完全素元, )이라고 한다.
* pR=Rp
* p\ne0
* pR는 완전 소 아이디얼이다. 즉, 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 p\mid rs라면 p\mid r이거나 p\mid s이다.
물론 pR=Rp인 것은 가환환에서 자동적으로 성립한다.

(가환) 정역에서, 모든 소원은 기약원이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 다만, 유일 인수 분해 정역에서는 기약원의 개념과 소원의 개념이 일치한다. 예를 들어, 유수가 1이 아닌 대수적 정수환 \mathbb Z[\sqrt{-5}]에서, 3은 기약원이지만 다음과 같이 소원이 아니다.
:3\mid 9=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})
:3\nmid2+\sqrt{-5}
:3\nmid2-\sqrt{-5}

## 성질
일반적인 환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:아이디얼 ⊇ 소 아이디얼 ⊇ 완전 소 아이디얼 ∪ 극대 아이디얼
그러나 완전 소 아이디얼과 극대 아이디얼 사이에는 포함 관계가 존재하지 않는다.

임의의 환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.
* 소환이다.
임의의 환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 영 아이디얼이 완전 소 아이디얼이다.
* 영역이다.
(극대 아이디얼의 경우 마찬가지로 단순환에 대응한다.)

자명환이 아닌 환은 초른 보조정리에 따라 항상 하나 이상의 소 아이디얼을 갖는다 (특히, 하나 이상의 극대 아이디얼을 갖는다). 주어진 환 R의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 항상 하나 이상의 극소 원소들을 가지며, 또한 임의의 소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, \mathfrak p에 포함되는 극소 소 아이디얼이 존재한다.

### 함자성

두 환 R, S 사이의 환 준동형 f\colon R\to S 및 S의 완전 소 아이디얼 \mathfrak p\vartriangleright S에 대하여, 그 원상 f^{-1}(\mathfrak p)는 R의 완전 소 아이디얼이다. (그러나 이는 소 아이디얼에 대하여 성립하지 않을 수 있다.) 따라서, R의 완전 소 아이디얼들의 집합을 \operatorname{compSpec}(R)라고 한다면, 이는 함자
:\operatorname{compSpec}\colon\operatorname{Ring}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}
를 정의한다.

가환환의 경우, 완전 소 아이디얼과 소 아이디얼의 개념이 일치한다. 이 경우, 사실 가환환 R의 소 아이디얼의 집합 \operatorname{Spec}(R)은 위상 공간 및 스킴의 구조를 부여할 수 있어 스킴의 범주 \operatorname{Sch}로 가는 함자
:\operatorname{Spec}\colon\operatorname{Ring}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Sch}
를 정의한다.

### 소 아이디얼 원리
환 R의 양쪽 아이디얼들의 집합 \mathcal F\subseteq\operatorname{Sub}(R_R)가 다음 두 조건들을 만족시킨다면, **오카 족**([岡]族, )이라고 한다.
* R\in\mathcal F
* 임의의 r\in R 및 양쪽 아이디얼 _R\mathfrak a_R에 대하여, 만약 \mathfrak a+RrR\in\mathcal F이며 (r)^{-1}\mathfrak a=\{s\in R\colon rRs\subseteq\mathfrak a\}\in\mathcal F이며 \mathfrak a(r)^{-1}=\{s\in R\colon sRr\subseteq\mathfrak a\}라면, \mathfrak a\in\mathcal F이다.

**소 아이디얼 원리**()에 따르면, \mathcal F가 환 R의 오카 족이라고 할 때, \mathcal F의 여집합 \operatorname{Sub}(_RR_R)\setminus\mathcal F의 극대 원소는 소 아이디얼이다. (여기서 \operatorname{Sub}(_RR_R)는 R의 모든 양쪽 아이디얼들의 집합이다.)

특히, 다음과 같은 아이디얼 족은 오카 족이다.
* 환 R의 m계 S\subseteq R에 대하여, S와 교차하는 양쪽 아이디얼들의 족 \{\mathfrak a\vartriangleleft R\colon\mathfrak a\cap S\ne\varnothing\}은 오카 족이다.
** 가환환 R의 임의의 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, S와 교차하는 아이디얼들의 족 \{\mathfrak a\vartriangleleft R\colon\mathfrak a\cap S\ne\varnothing\}은 오카 족이다.
* 환 R의 오른쪽 가군 M_R에 대하여, \{\mathfrak a\vartriangleleft R\colon N\mathfrak a\ne0\;\forall N_R\subseteq M_R,\; N_R\ne0\}는 오카 족이다.
** 가환환 R의 가군 M에 대하여, \operatorname{Ideal}(R)\setminus\{\operatorname{Ann}_R(m)\colon m\in M\setminus\{0\}\}은 오카 족이다. (여기서 \operatorname{Ann}(-)은 소멸자를 뜻한다.)
* 환 R의 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 만약 모든 s\in S에 대하여 sR=Rs라면, \{Rs=sR\colon s\in S\}는 오카 족이다.
** 가환환 R의 임의의 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, S의 원소로 생성되는 주 아이디얼들의 족 \{(s)\colon s\in S\}은 오카 족이다. 특히, 모든 주 아이디얼들의 족 \{(r)\colon r\in R\}은 오카 족이다.
* 가환환 R의 유한 생성 아이디얼들의 족은 오카 족이다. (그러나 이는 비가환환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.)

### 소 아이디얼 회피
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 환 R
* R의 양쪽 아이디얼들의 유한 집합 \{\mathfrak a_1,\dots,\mathfrak a_n\}. 또한, n\ge3에 대하여 \mathfrak a_n은 완전 소 아이디얼이다.
* R의 부분 유사환 (즉, 곱셈에 대하여 닫힌, 1을 포함하지 않을 수 있는 덧셈 부분군) S\subseteq R. 또한, 모든 1\le i\le n에 대하여 S\not\subseteq\mathfrak a_i이다.
**소 아이디얼 회피 정리**(素ideal回避定理, )에 따르면, 다음이 성립한다.
* S\not\subseteq\bigcup_{i=1}^n\mathfrak a_i
즉, S가 각 아이디얼들을 회피한다면, 모든 아이디얼들을 동시에 회피한다.


**증명**:

n에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. n=1인 경우는 자명하다. n\ge2일 때, 귀납 가정에 의하여 각 1\le i\le n에 대하여
:s_i\in S\setminus\bigcup_{j\ne i}\mathfrak a_j
를 고를 수 있다. 그렇다면
:S\setminus\bigcup_{i=1}^n\mathfrak a_i\ni s=
\begin{cases}
s_i&\exists 1\le i\le n\colon s_i\not\in\mathfrak a_i\\
s_1\cdots s_{n-1}+s_n&\forall 1\le i\le n\colon s_i\in\mathfrak a_i
\end{cases}
이다.

### 가환환의 소 아이디얼
가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼  ∪  으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 = 완전 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼

가환환 R의 진 아이디얼 \mathfrak p\subsetneq R에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* \mathfrak p는 소 아이디얼이다.
* \mathfrak p는 완전 소 아이디얼이다.
* R/\mathfrak p가 정역이다.
가환환 R의 소 아이디얼 \mathfrak p의 여집합 R\setminus\mathfrak p가 모노이드를 이루므로, R\setminus\mathfrak p에 대하여 국소화를 취할 수 있다. 이 경우 (R\setminus\mathfrak p)^{-1}R는 국소환을 이룬다.

가환환의 준동형 f\colon R\to S 및 S의 소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, f^{-1}(\mathfrak p)는 R의 소 아이디얼이다. (이는 비가환환의 경우 일반적으로 성립하지 않는다.)

가환환의 소 아이디얼의 이러한 성질들은 대수기하학에서 매우 중요한 역할을 한다. 이러한 이유 때문에, 환의 스펙트럼은 더 기하학적으로 자연스러운 극대 아이디얼 대신 소 아이디얼을 사용한다.
* 소 아이디얼의 준동형에 대한 원상이 소 아이디얼이므로, 이는 가환환의 범주에서 집합의 범주(또는 다른 구체적 범주)로 가는 반변 함자를 이룬다. 다시 말해, 환 준동형은 아핀 스킴 사이의 함수를 정의한다.
* 소 아이디얼의 여집합은 모노이드를 이루므로, 소 아이디얼에서 국소화를 취할 수 있으며, 이렇게 하여 얻은 환은 국소환이다. 즉, 환의 구조는 소 아이디얼에 대하여 국소적이다.

#### 높이

가환환 R의 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R의 **[[아이디얼의 높이|높이]]** \operatorname{ht}\mathfrak p는 그 속에 포함되는 소 아이디얼들의 사슬의 길이의 상한이다.
:\operatorname{ht}\mathfrak p=\max\{n\colon\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak p_1\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n=\mathfrak p\}
특히, 높이가 0인 소 아이디얼은 포함 관계에 따라서 극소 원소인 소 아이디얼과 같으며, 이를 **극소 소 아이디얼**(極小素ideal, )이라고 한다.

예를 들어,
* 가환 아르틴 환의 경우 (크룰 차원이 0이므로) 극소 소 아이디얼 · 소 아이디얼 · 극대 아이디얼의 개념이 일치한다.
* 정역의 경우 유일한 극소 소 아이디얼은 영 아이디얼이다.
* 가환 뇌터 환은 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는다. (이는 에미 뇌터가 증명하였다.)

## 예
정수환 \mathbb Z의 소 아이디얼들은 소수와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소수 p는 p의 배수들로 구성된 아이디얼 p\mathbb Z=\{np\colon n\in\mathbb Z\}\subset\mathbb Z와 대응한다. 이런 의미에서 소 아이디얼은 소수의 일반화라고 볼 수 있다. 수론에서 소수 p가 두 정수의 곱 ab를 나누면 p는 a나 b 둘 중 하나를 나눈다는 것은 잘 알려진 사실이다. 이 경우, \mathfrak p\ne R이라는 첫 조건은 1을 소수로 치지 않는다는 사실과 같다.

## 역사
역사적으로, 아이디얼의 개념은 수체의 대수적 정수환이 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니라는 발견에서 비롯되었다. 수체의 대수적 정수환은 항상 데데킨트 정역이므로 아이디얼에 대해서는 유일 인수 분해가 성립하며, 이 경우 아이디얼의 소인수 분해에서 대응하는 "소수"는 소 아이디얼이다.

비가환환에서의 소 아이디얼의 정의는 볼프강 크룰이 1928년에 제시하였다.

## 각주

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## 외부 링크
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## 같이 보기
* 환의 스펙트럼

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