덮개 (대수학)

호몰로지 대수학에서 **덮개**()는 주어진 대상의, 특정 조건을 만족시키는 "가장 가까운" 근사이며, 이는 동형 사상 아래 유일하다. 특히, 주어진 대상을 사영 대상으로 근사하는 **사영 덮개**()의 개념이 자주 사용된다. 그 쌍대 개념은 **껍질**()이며, 특히 주어진 대상을 단사 대상으로 근사하는 **단사 껍질**()의 개념이 자주 사용된다.

## 정의
범주 \mathcal C 속의 대상들의 모임 \mathfrak X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대상 X\in\mathcal C의 \mathfrak X-**덮개**는 다음 세 조건들을 만족시키는 사상 f\colon\tilde X\to X이다.
* \tilde X\in\mathfrak X
* 임의의 대상 Y\in\mathfrak X 및 사상 g\colon Y\to X에 대하여, 항상 f\circ\tilde g=g가 되는 사상 \tilde g\colon Y\to\tilde X가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다.) 즉, \mathfrak X의 모든 원소는 \{f\}-사영 대상이다.
*:\begin{matrix}
&Y\\
\scriptstyle\exists\!\!\!\!\!\!&\downarrow&\searrow\\
&\tilde X&\to&X
\end{matrix}

* 임의의 자기 사상 g\colon\tilde X\to\tilde X에 대하여, 만약 f\circ g=f라면 g는 자기 동형 사상이다.
만약 마지만 조건을 생략할 경우, **준덮개**(準-, )의 개념을 얻는다.

그 쌍대 개념은 \mathfrak X-**껍질**()이라고 한다.

특히, 다음과 같은 경우가 흔히 쓰인다.
* 만약 \mathfrak X가 사영 대상들의 모임일 경우, \mathfrak X-덮개를 **사영 덮개**()라고 한다.
* 만약 \mathfrak X가 단사 대상들의 모임일 경우, \mathfrak X-껍질을 **단사 껍질**()이라고 한다.
* 만약 \mathcal C가 어떤 가군 범주이며, \mathfrak X가 평탄 가군들의 모임일 경우, \mathfrak X-덮개를 **평탄 덮개**()라고 한다.
* 만약 \mathcal C가 어떤 가군 범주이며, \mathfrak X가 꼬임 없는 가군들의 모임일 경우, \mathfrak X-덮개를 **꼬임 없는 덮개**()라고 한다.

## 성질
\mathfrak X-덮개는 항상 동형 사상 아래 유일하다. (그러나 이 동형 사상은 유일하지 않을 수 있다.)

**증명:
<div class="mw-collapsible-content">
대상 <math>A</math>의 두 <math>\mathfrak X</math>-준덮개 <math>f\colon\tilde A\to A</math>, <math>f'\colon\tilde A'\to A</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\mathfrak X</math>-준덮개의 성질에 의하여 <math>f\circ i=f'</math>이자 <math>f'\circ i'=f</math>가 되는 <math>i\colon\tilde A'\to\tilde A</math> 및 <math>i'\colon\tilde A\to\tilde A</math>가 존재한다.

만약 <math>f</math>, <math>f'</math>이 추가로 <math>\mathfrak X</math>-덮개라면, <math>f\circ f'</math> 및 <math>f'\circ f</math>는 [[자기 동형 사상]]이며, 따라서 <math>f</math>와 <math>f'</math> 역시 [[동형 사상]]이다.
</div>
</div>

[[사영 대상을 충분히 가지는 범주]] <math>\mathcal C</math>의 [[사영 대상]] <math>P\in\mathcal C</math> 및 사상 <math>f\colon P\to A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 [[사영 대상]]에 대한 덮개이다.
* <math>f</math>는 [[잉여적 전사 사상]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
**증명:**
<div class="mw-collapsible-content">
**덮개 → 잉여적 전사:** 다음 두 조건을 증명하면 족하다.
* (a): <math>f</math>는 [[전사 사상]]이다.
* (b): 임의의 사상 <math>g\colon B\to P</math>에 대하여, <math>f\circ g\colon B\to A</math>가 [[전사 사상]]이라면 <math>g</math> 역시 [[전사 사상]]이다.
(a): [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]이므로, [[사영 대상]] <math>P'</math> 및 [[전사 사상]] <math>f'\colon P'\to A</math>를 찾을 수 있다. 그렇다면, 준덮개의 정의에 의하여 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 사상 <math>g\colon P'\to P</math>를 찾을 수 있다.
:<math>
\begin{matrix}
P'&\overset{f'}\to&A\\
{\scriptstyle g}\downarrow&&\|\\
P&\underset f\to&A
\end{matrix}</math>
<math>f'=f\circ g</math>가 [[전사 사상]]이므로, [[전사 사상]]의 성질에 의하여 <math>f</math> 역시 [[전사 사상]]이다.
<br>
(b): <math>f\circ g</math>가 [[전사 사상]]이라고 하자. [[사영 대상]]의 정의에 의하여, 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 <math>h\colon P\to B</math>가 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
B&\overset h\leftarrow&P\\
{\scriptstyle g}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\\
P&\underset f\to&A
\end{matrix}
</math>
덮개의 정의에 의하여, <math>g\circ h\colon P\to P</math>는 [[자기 동형 사상]]이며, 따라서 <math>g</math>는 [[전사 사상]]이다.

**잉여적 전사 → 덮개:''' 사영 대상 P 및 잉여적 전사 사상 f\colon P\to A가 주어졌다고 하자. 다음 두 조건을 증명하면 족하다.
* (a) 준덮개이다.
* (b) 덮개이다.
(a): f는 전사 사상이므로, 사영 대상의 정의에 의하여 자명하게 참이다.

(b): 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 자기 사상 g\colon P\to P가 주어졌다고 하자.
:
\begin{matrix}
P&\overset f\to&A\\
{\scriptstyle g}\downarrow&&\|\\
P&\underset f\to&A
\end{matrix}
그렇다면, f\circ g=f가 전사 사상이므로 잉여적 전사 사상의 정의에 의하여 g 역시 전사 사상이다. 공역이 사영 대상인 전사 사상은 항상 분할 전사 사상이므로, g는 오른쪽 역사상 h\colon P\to P, g\circ h=\operatorname{id}_P를 가지며, h는 단사 사상이다.
:
\begin{matrix}
P&\overset h\to&P\\
{\scriptstyle\operatorname{id}}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle g\\
P&\underset{\operatorname{id}}\to&P
\end{matrix}
그렇다면, f\circ h=f\circ g\circ h=f이므로, 잉여적 전사 사상의 정의에 의하여 h 역시 전사 사상이다. h는 단사 사상이자 분할 전사 사상이므로 동형 사상이며, 따라서 g 역시 동형 사상이다.

마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 범주 \mathcal C의 단사 대상 Q\in\mathcal C 및 사상 f\colon A\to Q에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* f는 단사 대상에 대한 덮개이다.
* f는 본질적 단사 사상이다.
특히, 환 R에 대하여, R-왼쪽 가군의 범주 _R\operatorname{Mod} 또는 R-오른쪽 가군의 범주 \operatorname{Mod}_R는 둘 다 사영 대상을 충분히 가지는 범주이자 단사 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 위 두 정리가 성립한다.

### 존재
단사 대상을 충분히 가지는 쌍대 완비 AB5 아벨 범주 \mathcal A의 모든 대상은 항상 단사 껍질을 갖는다. 마찬가지로, 사영 대상을 충분히 가지는 완비 AB5* 아벨 범주 \mathcal A^{\operatorname{op}}의 모든 대상은 항상 사영 덮개를 갖는다.

환 R가 주어졌다고 하자. R-왼쪽 가군의 범주 _R\operatorname{Mod}의 임의의 대상 _RM\in {}_R\operatorname{Mod}에 대하여, 다음이 성립한다.
* M은 항상 단사 껍질을 갖는다.
* M은 항상 평탄 덮개를 갖는다.
* 만약 R가 왼쪽 완전환이라면, M은 항상 사영 껍질을 갖는다. (그러나 임의의 환 위의 가군에 대하여, 사영 껍질은 일반적으로 존재하지 않을 수 있다.)
* M은 항상 꼬임 없는 덮개를 갖는다. 여기서 꼬임 없는 왼쪽 가군 _RM은 임의의 r\in R에 대하여 \operatorname{Tor}_1^R(R/rR,M)=0을 만족시키는 왼쪽 가군이다.

### 부자연성
범주 \mathcal C가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* 사영 대상을 충분히 가지는 범주이며, 모든 대상이 사영 덮개를 가진다.
* 생성 대상을 갖는다.
* 사영 대상이 아닌 대상이 존재한다.
그렇다면, 다음과 같은 조건들을 만족시키는 자기 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal C 및 자연 변환 \eta\colon F\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal C}가 존재할 수 없다.
* 임의의 대상 X\in\mathcal C의 F에 대한 상 F(X)는 사영 대상이다.
* \eta의 모든 성분 \eta_X\colon F(X)\to X는 사영 덮개를 이룬다.

특히, 임의의 환 R에 대하여, 왼쪽 가군 범주 _R\operatorname{Mod}는 항상 쌍대 생성 대상을 가지므로 위 정리가 적용된다. 즉, 모든 왼쪽 가군이 단사 가군이거나, 아니면 단사 껍질은 자연 변환의 성분이 될 수 없다. 마찬가지로, 왼쪽 가군 범주 _R\operatorname{Mod}에서 _RR는 생성 대상을 이룬다. 만약 추가로 R가 왼쪽 완전환이라고 하면, 항상 사영 덮개가 존재하지만, 만약 사영 왼쪽 가군이 아닌 왼쪽 가군이 존재한다면, 위 정리에 따라서 사영 덮개는 자연 변환의 성분이 될 수 없다.

## 예
자명한 경우로, 만약 범주 \mathcal C에서 대상 모임 \mathfrak X가 주어졌을 때, 대상 X\in\mathfrak X의 \mathfrak X-덮개의 개념은 X를 공역으로 하는 동형 사상의 개념과 같으며, \mathfrak X-껍질의 개념은 X를 정의역으로 하는 동형 사상의 개념과 같다.

## 역사
단사 껍질의 개념은 1953년에 베노 에크만()과 안드레아스 쇼프()가 도입하였고, 같은 논문에서 이들은 모든 가군이 유일한 단사 껍질을 가짐을 증명하였다. "단사 껍질"()이라는 용어는 1958년에 최초로 사용되었다.
그 쌍대 개념인 사영 덮개의 개념은 1960년에 하이먼 배스가 도입하였다.
꼬임 없는 덮개의 개념은 1963년에 에드거 얼 이넉스()가 도입하였다.

일반적인 범주에서의 덮개의 개념은 이넉스가 1981년 논문에서 도입하였다. 이 논문에서 이넉스는 모든 가군이 평탄 덮개를 가진다고 추측하였고, 이 추측은 2001년에 증명되었다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:호몰로지 대수학
분류:범주론
분류:가군론