디피-헬먼 키 교환

섬네일
**디피-헬먼 키 교환**(Diffie–Hellman key exchange)은 암호 키를 교환하는 하나의 방법으로, 두 사람이 암호화되지 않은 통신망을 통해 공통의 비밀 키를 공유할 수 있도록 한다.
휫필드 디피와 마틴 헬만이 1976년에 발표하였다.

디피-헬먼 키 교환은 기초적인 암호학적 통신 방법을 수립하였으며, 이후 1977년 공개 키 암호 방식인 RSA 암호가 제안되었다.

## 방식

앨리스와 밥이 공개된 통신망에서 디피-헬먼 키 교환을 하기 위해서는 다음과 같은 절차를 거친다.

# 앨리스가 소수 p, 그리고 1부터 p-1까지의 정수 g를 선택하여 사전에 밥과 공유한다.
# 앨리스가 정수 a를 선택한다. 이 정수는 외부에 공개되지 않으며, 밥 또한 알 수 없다.
# 앨리스가 A = g^a \text{ mod }p, 즉 g^a를 p로 나눈 나머지를 계산한다.
# 밥이 마찬가지로 정수 b를 선택하여 B = g^b \text{ mod }p를 계산한다.
# 앨리스와 밥이 서로에게 A와 B를 전송한다.
# 앨리스가 B^a \text{ mod }p를, 밥이 A^b \text{ mod }p를 계산한다.

마지막 단계에서 B^a \text{ mod }p = (g^b)^a \text{ mod }p= g^{ab}\text{ mod }p, A^b\text{ mod }p = (g^a)^b\text{ mod }p = g^{ab}\text{ mod }p이며 따라서 앨리스와 밥은 g^{ab} \text{ mod }p라는 공통의 비밀 키를 공유하게 된다.

앨리스와 밥 이외의 인물은 a와 b를 알 수 없으며, g, p, g^a \text{ mod }p, g^b \text{ mod }p를 알 수 있다.

### 예제

이 과정을 실제 숫자를 통해 예를 들면 다음과 같다. 여기서는 설명을 위해 작은 크기의 소수를 사용하지만, 실제 응용에서는 안전을 위해 10진수 수백~수천자리 크기의 큰 소수를 사용한다. 공개된 정보는 파란색으로, 비밀 정보는 **<span style="color:red">붉은색 굵은 글씨</span>**로 표시하였다.

# 앨리스와 밥은 *<span style="color:blue">p</span>*=23, *<span style="color:blue">g</span>*=5를 사용하기로 합의한다.
# 앨리스가 비밀 정보를 전송하기 위해 임의의 정수 ***<span style="color:red">a</span>***=**<span style="color:red">6</span>**을 고른 후, 밥에게 A = *<span style="color:blue">g</span><sup>*'a**</sup>'' mod ''<span style="color:blue">p</span>'' 을 전송한다.
#* <span style="color:blue">A</span> = <span style="color:blue">5</span><sup>**6**</sup> mod <span style="color:blue">23</span>
#* <span style="color:blue">A</span> = **15,625** mod <span style="color:blue">23</span>
#* <span style="color:blue">A</span> = <span style="color:blue">8</span>
# 밥은 임의의 정수 ***<span style="color:red">b</span>***=**15**를 고르고, 앨리스에게 <span style="color:blue">B</span> = ''<span style="color:blue">g</span><sup>**b**</sup>'' mod ''<span style="color:blue">p</span>''를 전송한다.
#* <span style="color:blue">B</span> = <span style="color:blue">5</span><sup>**15**</sup> mod <span style="color:blue">23</span>
#* <span style="color:blue">B</span> = **30,517,578,125** mod <span style="color:blue">23</span>
#* <span style="color:blue">B</span> = <span style="color:blue">19</span>
# 앨리스는 밥에게서 받은 ''<span style="color:blue">B</span>''를 바탕으로 **s** = ''<span style="color:blue">B</span>'' ''<sup>**a**</sup>'' mod ''<span style="color:blue">p</span>''를 계산한다.
#* **s** = <span style="color:blue">19</span><sup>**6**</sup> mod <span style="color:blue">23</span>
#* **s** = **47,045,881** mod <span style="color:blue">23</span>
#* **s** = **2**
# 밥은 앨리스에게서 받은 ''<span style="color:blue">A</span>''를 바탕으로 **s** = ''<span style="color:blue">A</span>'' ''<sup>**b**</sup>'' mod ''<span style="color:blue">p</span>''를 계산한다.
#* **s** = <span style="color:blue">8</span><sup>**15**</sup> mod <span style="color:blue">23</span>
#* **s** = **35,184,372,088,832** mod <span style="color:blue">23</span>
#* **s** = **2**
# 앨리스와 밥은 이제 비밀 키 **s** = **2**를 공유하게 되었다.

여기서 <math>p</math>가 충분히 클 경우, 외부에서 비밀 키를 알아내기 위해 도청을 하는 도청자 ''이브''는 <math>g^a</math>나 <math>g^b</math>를 통해 <math>s</math>를 알아낼 수 없는 것으로 알려져 있다. 앨리스와 밥은 두 사람 만이 아는 비밀 키 <math>s</math>를 갖게 되었으므로, [[대칭 키 암호]]를 이용해 이후의 통신을 암호화할 수 있다.

그러나 <math>p</math>나 <math>a</math>, <math>b</math>가 너무 작을 경우, 도청자는 가능한 모든 조합을 다 계산해보는 방식으로 <math>s</math>를 계산해낼 수 있다. 따라서 실제 비밀 통신에는 충분히 큰 소수를 사용해야 한다. 만약 <math>p</math>가 최소 300자리의 [[소수 (수론)|소수]]이고, <math>a</math>와 <math>b</math>가 각각 100자리 이상의 정수일 경우, 현재 인류가 보유한 모든 컴퓨터를 동원해도 공개된 정보로부터 비밀 키를 알아낼 수 없는 것으로 알려져 있다.

== 안전성 ==

디피-헬먼 키 교환은 소수 <math>p</math>와 <math>g</math>를 적절하게 고르면 도청에 대해 안전한 것으로 알려져 있다. 도청자 ''이브''가 비밀키를 얻어내기 위해서는 ''앨리스''와 ''밥'' 사이의 통신에서 도청할 수 있는 정보인 <math>g^a</math>와 <math>g^b</math>로부터 <math>g^{ab}</math>를 구해야 한다. 이 문제를 **디피-헬먼 문제'''(Diffie-Hellman problem)로 부르며, 이 문제를 푸는 효율적인 알고리즘은 아직까지 알려지지 않았다. 이산 로그 문제를 효율적으로 풀 수 있을 경우 디피-헬먼 문제 또한 효율적으로 풀 수 있지만, 그 역이 참인지는 알려지지 않았다.

안전한 키 교환을 위해서는 p와 g를 신중하게 선택해야 한다. g는 순환군 G의 차수가 소수이거나, 인수분해하기 어려운 큰 소수를 약수로 갖도록 해야 한다. 이 때문에 p와 \frac{p-1}{2}이 모두 소수인 안전 소수를 고르기도 한다. p가 안전 소수일 경우 G의 차수는 2 또는 \frac{p-1}{2}만을 약수로 갖게 된다.

또한 앨리스와 밥이 충분히 안전하지 못한 난수 생성 알고리즘을 사용할 경우, 공격자는 이를 이용해 다음 a와 b의 특성을 어느정도 예측할 수 있다.

디피-헬먼 키 교환은 통신을 하는 대상과 비밀 정보를 공유할 수 있지만, 상대방에 대한 인증은 보장되지 않으며 중간자 공격이 가능하다. 앨리스와 밥이 상대방에 대한 인증을 하지 못할 경우, 공격자는 중간에서 통신을 가로채 앨리스와 공격자, 그리고 공격자와 밥 사이에 각각 두 개의 디피 헬먼 키 교환을 생성하고, 앨리스와 밥이 각각 서로와 통신을 하는 것처럼 위장할 수 있다. 이와 같은 종류의 중간자 공격을 막기 위한 여러 가지 다른 알고리즘이 개발되어 있다.

## 같이 보기
* 타원곡선 디피-헬먼
* 서비스 거부 공격

분류:암호 프로토콜
분류:공개 키 암호