역함수 정리

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다변수 미적분학에서 **역함수 정리**(逆函數定理, )는 주어진 함수가 국소적으로 충분히 매끄러운 역함수를 가질 충분 조건을 제시하는 정리이다.

## 정의
양의 정수 k 및 열린 근방 \mathbf a\in U\subseteq\mathbb R^n 및 \mathcal C^k 함수 \mathbf f\colon U\to\mathbb R^n가 다음을 만족시킨다고 하자.
:\det\mathrm D\mathbf f(\mathbf a)\ne 0
여기서 좌변은 \mathbf f의 \mathbf a에서의 야코비 행렬식이다. 그렇다면, \mathbf f는 \mathbf a에서 국소 \mathcal C^k 미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린 근방 \mathbf a\in V\subseteq U가 존재한다.
* \mathbf f(V)는 열린집합이다.
* \mathbf f|_V는 단사 함수이다.
* \mathbf g\colon\mathbf f(V)\to\mathbb R^n, \mathbf f(\mathbf x)\mapsto\mathbf x는 \mathcal C^k 함수이다.
이를 **역함수 정리**라고 한다.

### 일변수의 경우
열린구간 a\in I\subseteq\mathbb R 및 \mathcal C^k 함수 f\colon I\to\mathbb R가 다음을 만족시킨다고 하자.
:f'(a)\ne 0
그렇다면, f는 a에서 국소 \mathcal C^k 미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린구간 a\in J\subseteq I가 존재한다.
* f(J)는 열린구간이다.
* f|_J는 단사 함수이다.
* g\colon f(J)\to\mathbb R, f(x)\mapsto x는 \mathcal C^k 함수이다.
이는 역함수 정리의 일변수 버전이다.

## 증명
임의의 \mathbf y\in\mathbb R^n에 대하여, 다음과 같은 함수 \mathbf F_{\mathbf y}\colon U\to\mathbb R^n를 정의하자.
:\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x)=\mathbf x+(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}(\mathbf y-\mathbf f(\mathbf x))
\qquad\forall\mathbf x\in U
그렇다면, 다음이 성립한다.
:\mathrm D\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x)=(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a)-\mathrm D\mathbf f(\mathbf x))
\qquad\forall\mathbf x\in U,\;\mathbf y\in\mathbb R^n
그렇다면 \mathrm D\mathbf f가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방 \mathbf a\in V\subseteq U가 존재한다.
:\Vert\mathrm D\mathbf f(\mathbf a)-\mathrm D\mathbf f(\mathbf x)\Vert
즉, 다음이 성립한다.
:\Vert\mathrm D\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x)\Vert
즉, 다음이 성립한다.
:\Vert\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x)-\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x')\Vert\le\frac 12\Vert\mathbf x-\mathbf x'\Vert
\qquad\forall\mathbf x,\mathbf x'\in V,\;\mathbf y\in\mathbb R^n

이제 \mathbf f|_V가 단사 함수임을 보이자. \mathbf x,\mathbf x'\in V가 \mathbf f(\mathbf x)=\mathbf f(\mathbf x')를 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, \mathbf x,\mathbf x'는 모두 \mathbf F_{\mathbf f(\mathbf x)}의 고정점이다. 즉, \mathbf F_{\mathbf f(\mathbf x)}(\mathbf x)=\mathbf x이며 \mathbf F_{\mathbf f(\mathbf x)}(\mathbf x')=\mathbf x'이다. 이를 위에 대입하면, \mathbf x=\mathbf x'를 얻는다. 따라서 \mathbf f|_V는 단사 함수이다.

이제 \mathbf f(V)가 열린집합임을 보이자. 즉, 임의의 \mathbf x'\in V에 대하여, \operatorname B(\mathbf f(\mathbf x'),\epsilon)\subseteq\mathbf f(V)인 \epsilon>0을 찾자. 그러려면 임의의 \mathbf y\in\operatorname B(\mathbf f(\mathbf x'),\epsilon)에 대하여, \mathbf F_{\mathbf y}가 V에서 고정점을 가지는 것으로 족하다. \delta>0가 \bar\operatorname B(\mathbf x',\delta)\subseteq V를 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 임의의 \mathbf y\in\operatorname B(\mathbf f(\mathbf x'),\epsilon)에 대하여 \mathbf F_\mathbf y(\operatorname B(\mathbf x',\delta))\subseteq \operatorname B(\mathbf x',\delta)가 성립함을 보이는 것으로 족하다. 사실, \epsilon=\delta/2\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}\Vert를 취하면, 임의의 \mathbf y\in\bar\operatorname B(\mathbf f(\mathbf x'),\epsilon) 및 \mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta)에 대하여, 다음이 성립한다.
:\begin{align}\Vert\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x)-\mathbf x'\Vert
&\le\Vert\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x)-\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x')\Vert+
\Vert\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x')-\mathbf x'\Vert\\
&\le\frac 12\Vert\mathbf x-\mathbf x'\Vert+
\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}(\mathbf y-\mathbf f(\mathbf x'))\Vert\\
&
즉, \mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x)\in\bar\operatorname B(\mathbf x',\delta)이다. 즉, \mathbf F_{\mathbf y}는 \bar\operatorname B(\mathbf x',\delta) 위의 축약 사상이며, 바나흐 고정점 정리에 따라, \mathbf F_{\mathbf y}는 고정점 \mathbf x\in\bar\operatorname B(\mathbf x',\delta)를 갖는다. 따라서, \mathbf y=\mathbf f(\mathbf x)\in\mathbf f(\bar\operatorname B(\mathbf x',\delta))\subseteq\mathbf f(V)이며, \mathbf f(V)는 열린집합이다.

이제 임의의 \mathbf x\in V에 대하여, \mathrm D\mathbf f(\mathbf x)가 가역 행렬임을 보이자. \mathbf h\in\mathbb R^n가 \mathrm D\mathbf f(\mathbf x)\mathbf h=\mathbf 0을 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:\begin{align}0
&=\Vert\mathrm D\mathbf f(\mathbf x)\mathbf h\Vert\\
&\ge\Vert\mathrm D\mathbf f(\mathbf a)\mathbf h\Vert-
\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a)-\mathrm D\mathbf f(\mathbf x))\mathbf h\Vert\\
&\ge\frac{\Vert\mathbf h\Vert}{\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}\Vert}-
\Vert\mathrm D\mathbf f(\mathbf a)-\mathrm D\mathbf f(\mathbf x)\Vert\Vert\mathbf h\Vert\\
&\ge\frac{\Vert\mathbf h\Vert}{2\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}\Vert}\\
\end{align}
즉, \mathbf h=\mathbf 0이다. 따라서 \mathrm D\mathbf f(\mathbf x)는 가역 행렬이다.

이제 \mathbf g\colon\mathbf f(V)\to\mathbb R^n, \mathbf f(\mathbf x)\to\mathbf x가 \mathcal C^k 함수임을 보이자. 임의의 \mathbf y,\mathbf y+\mathbf k\in\mathbf f(V)에 대하여, \mathbf y=\mathbf f(\mathbf x) 또한 \mathbf y+\mathbf k=\mathbf f(\mathbf x+\mathbf h)인 \mathbf x,\mathbf x+\mathbf h\in V를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:\begin{align}\frac 12\Vert\mathbf h\Vert
&\ge\Vert\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x+\mathbf h)-\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x)\Vert\\
&=\Vert\mathbf h-(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}\mathbf k\Vert\\
&\ge\Vert\mathbf h\Vert-\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}\Vert\Vert\mathbf k\Vert
\end{align}
즉, \Vert\mathbf k\Vert\ge\Vert\mathbf h\Vert/(2\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}\Vert)이다. 따라서, 다음이 성립한다.
:\begin{align}\limsup_{\mathbf k\to\mathbf 0}
\frac{\Vert\mathbf g(\mathbf y+\mathbf k)-\mathbf g(\mathbf y)-
(\mathrm D\mathbf f(\mathbf x))^{-1}\mathbf k\Vert}{\Vert\mathbf k\Vert}
&=\limsup_{\mathbf k\to\mathbf 0}
\frac{\Vert\mathbf h-(\mathrm D\mathbf f(\mathbf x))^{-1}(\mathbf f(\mathbf x+\mathbf h)-\mathbf f(\mathbf x))\Vert}{\Vert\mathbf k\Vert}\\
&\le\limsup_{\mathbf h\to\mathbf 0}
\frac{\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf x))^{-1}\Vert}{\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}\Vert}
\frac{\Vert\mathbf f(\mathbf x+\mathbf h)-\mathbf f(\mathbf x)-(\mathrm D\mathbf f(\mathbf x))^{-1}\mathbf h\Vert}{\Vert\mathbf h\Vert}\\
&=0
\end{align}
즉, \mathrm D\mathbf g(\mathbf x)=(\mathrm D\mathbf f(\mathbf g(\mathbf y))^{-1}이며, \mathbf g는 \mathcal C^k 함수이다.

## 따름정리
### 열린 함수 관련
열린집합 U\subseteq\mathbb R^n 및 \mathcal C^1 함수 \mathbf f\colon U\to\mathbb R^n가 다음을 만족시킨다고 하자.
:\det\mathrm D\mathbf f(\mathbf x)\ne 0\qquad\forall\mathbf x\in U
그렇다면, \mathbf f는 열린 함수이다. 즉, 모든 열린집합 \widetilde U\subseteq U의 상 \mathbf f(\widetilde U)은 역시 열린집합이다.

### (대역) 미분동형사상 관련
열린집합 U\subseteq\mathbb R^n 및 단사 \mathcal C^k 함수 \mathbf f\colon U\to\mathbb R^n가 다음을 만족시킨다고 하자.
:\det\mathrm D\mathbf f(\mathbf x)\ne 0\qquad\forall\mathbf x\in U
그렇다면, \mathbf f는 \mathcal C^k 미분동형사상이다. 즉, 다음이 성립한다.
* \mathbf f(U)는 열린집합이다.
* \mathbf f^{-1}\colon f(U)\to\mathbb R^n은 역시 \mathcal C^k 함수이다.

## 예
### 미분동형사상이 아닌 국소 미분동형사상
다음과 같은 함수 \mathbf f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2를 생각하자.
:\mathbf f(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)\qquad\forall x,y\in\mathbb R
그렇다면, \mathbf f는 \mathcal C^\infty 함수이며, 또한 다음을 만족시킨다.
:\det\mathrm D\mathbf f(x,y)=e^{2x}\ne 0
음함수 정리에 따라, \mathbf f는 (모든 점에서) 국소 \mathcal C^\infty 미분동형사상이다. 그러나 \mathbf f는 삼각 함수의 주기성에 따라 단사 함수가 아니므로, 미분동형사상이 아니다.

### 야코비 행렬식이 0인 점을 갖는 C<sup>0</sup> 미분동형사상
다음과 같은 함수 \mathbf f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2를 생각하자.
:\mathbf f(x,y)=(x^3,y)\qquad\forall x,y\in\mathbb R
그렇다면, \mathbf f는 연속 함수이며, 다음과 같은 연속 역함수 f^{-1}를 갖는다.
:f^{-1}(u,v)=(u^{1/3},v)\qquad\forall u,v\in\mathbb R
즉, \mathbf f는 \mathcal C^0 미분동형사상이다. 그러나, \det\mathrm D\mathbf f(0,0)=0이다. 즉, \mathcal C^0 미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가질 수 있다. k>0일 경우, \mathcal C^k 미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가지지 않는다.

## 같이 보기
* 음함수 정리

## 각주

## 외부 링크
* 

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