코시-슈바르츠 부등식

선형대수학에서 **코시-슈바르츠 부등식**(Cauchy-Schwarz不等式, ) 또는 **코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식**(Cauchy-Буняковский-Schwarz不等式, )은 내적 공간 위에 성립하는 부등식이다. 이 부등식은 무한 급수 · 함수 공간 · 확률론의 분산과 공분산 등에 널리 응용된다.

## 정의
\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* \mathbb K-벡터 공간 V
* V 위의 양의 준정부호 에르미트 형식 \langle,\rangle (\mathbb K=\mathbb R일 때, 이는 양의 준정부호 쌍선형 형식과 같다). 즉, 다음이 성립한다. (특히, 첫째 벡터에 대하여 반선형, 둘째 벡터에 대하여 선형이라고 하자.)
*: \langle w,\alpha u+v\rangle=\alpha\langle w,u\rangle+\langle w,v\rangle=\overline{\langle \alpha u+v,w\rangle}\qquad\forall \alpha\in\mathbb K,\;u,v\in V
그렇다면, **코시-슈바르츠 부등식**에 의하면 다음이 성립한다.
:|\langle u,v\rangle|^2\le \langle u,u\rangle\langle v,v\rangle\qquad\forall u,v\in V

**증명:**

만약 \langle u,u\rangle=\langle v,v\rangle=0이며 \mathbb K=\mathbb R일 경우, 양의 준정부호 조건에 따라
:0\le \frac 12\langle u+v,u+v\rangle=\langle u,v\rangle=-\frac 12\langle u-v,u-v\rangle\le 0
이므로 자명하게 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. 마찬가지로, 만약 \langle u,u\rangle=\langle v,v\rangle=0이며 \mathbb K=\mathbb C일 경우, 양의 준정부호 조건에 따라
:0
\le \frac 12\langle u+v,u+v\rangle
= \operatorname{Re}\langle u,v\rangle
= -\frac 12\langle u-v,u-v\rangle
\le 0

:0
\le \frac 12\langle u-iv,u-iv\rangle
= \operatorname{Im}\langle u,v\rangle
= -\frac 12\langle u+iv,u+iv\rangle
\le 0

이므로 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. (양의 정부호 에르미트 형식의 경우 \langle u,u\rangle=\langle v,v\rangle=0은 u=v=0을 함의하며 이는 자명하게 \langle u,v\rangle=0을 함의하므로 위와 같은 과정이 필요 없다.) 따라서, \langle u,u\rangle 또는 \langle v,v\rangle 가운데 하나가 양의 실수라고 가정할 수 있다. 편의상 \langle v,v\rangle>0라고 하자.

양의 준정부호 조건에 의하여, 임의의 \lambda\in\mathbb K에 대하여
:0\le\langle u-\lambda v,u-\lambda v\rangle=\langle u,u\rangle+|\lambda|^2\langle v,v\rangle-\lambda\langle u,v\rangle-\bar\lambda\langle v,u\rangle
이다. 이제,
:\lambda=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle v,v\rangle}
를 대입하면 다음과 같다.
:0\le\langle u,u\rangle-\frac{|\langle u,v\rangle|^2}{\langle v,v\rangle}
이를 정리하면 다음과 같이 코시-슈바르츠 부등식을 얻는다.
:|\langle u,v\rangle|^2 \le \langle u,u \rangle \cdot \langle v,v \rangle

또한, 만약 \langle,\rangle가 양의 정부호라면, 코시-슈바르츠 부등식에서 등호가 성립할 필요 충분 조건은 u와 v 일차 종속인 경우이다.

### 부정부호의 경우
일반적으로, 부정부호 에르미트 형식의 경우 코시-슈바르츠 부등식은 성립하지 않는다. 다만, 민코프스키 공간의 시간꼴 벡터의 경우 다음이 성립한다.

구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 실수 벡터 공간 V
* V 위의 쌍선형 형식 \langle,\rangle. 또한, \{v\in V\colon\langle v,v\rangle은 1차원 부분 벡터 공간이다.

그렇다면, 다음이 성립한다. (정부호의 경우에 대하여 부호가 반대인 것에 주의.)
:\forall u,v\in V\colon \min\{\langle u,u\rangle,\langle v,v\rangle\}\le0\implies |\langle u,v\rangle|^2\ge \langle u,u\rangle\langle v,v\rangle\qquad\forall u,v\in V

**증명:**

만약 \max\{\langle u,u\rangle,\langle v,v\rangle\}\ge0이라면 (좌변은 음이 아닌 실수, 우변은 양이 아닌 실수이므로) 부등식이 자명하게 성립한다. 따라서 \langle u,u\rangle와 \langle v,v 둘 다 양이 아닌 실수라고 가정하자. 또한, 만약 u와 v가 선형 종속이라면 이 부등식은 자명하게 (등식으로) 성립한다. 따라서 이 둘이 선형 독립이라고 가정하자. 이에 따라, 가정에 따라 \operatorname{Span}\{u,v\}는 \langle w,w\rangle\ge0인 원소 w\in\operatorname{Span}\{u,v\}\setminus\{0\}를 포함한다. 편의상 이것이 w=u+\lambda_0v라고 가정하자.

실수 \lambda\in\mathbb R에 대하여, 2차 다항식
:p(\lambda)=\langle u+\lambda v\rangle
=\lambda^2\langle v,v\rangle+2\lambda\langle u,v\rangle+\langle u,u\rangle

를 생각하자. 그렇다면 이는 \lambda=0에서 양이 아닌 실수이지만, \lambda=\lambda_0에서는 p(\lambda)가 음이 아닌 실수이게 된다. 즉, p(\lambda)=0는 적어도 하나의 근을 갖는다. 이것이 성립할 필요 충분 조건은 판별식
:D=\langle u,v\rangle^2-\langle u,u\rangle\langle v,v\rangle
이 음이 아닌 실수인 것이며, 따라서
:\langle u,v\rangle^2\ge\langle u,u\rangle\langle v,v\rangle
이다.


또한, 2차원 민코프스키 공간의 경우는 위와 같은 조건을 생략할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 실수 벡터 공간 V
* V 위의 쌍선형 형식 \langle,\rangle. 또한, \{v\in V\colon\langle v,v\rangle은 1차원 이하 부분 벡터 공간이며, \{v\in V\colon\langle v,v\rangle>0\}\cup\{0\} 역시 1차원 이하 부분 벡터 공간이다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
:\forall u,v\in V\colon |\langle u,v\rangle|^2\ge \langle u,u\rangle\langle v,v\rangle\qquad\forall u,v\in V

**증명:**

임의의 두 벡터 u,v\in V에 대하여, 항상 다음 두 경우 가운데 하나가 성립한다.
* 만약 \min\{\langle u,u\rangle,\langle v,v\rangle\}\le0일 때: 위의 정리를 사용한다.
* 만약 \max\{\langle u,u\rangle,\langle v,v\rangle\}\ge0일 때: 위의 정리를 (V,-\langle,\rangle)에 사용한다.


## 예
### 낮은 차원
V=\mathbb K^n일 때, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같은 꼴이 된다.
:\left|\bar a_1b_1+\bar a_2b_2+\dotsb+\bar a_nb_n\right|^2\le
\left(|a_1|^2+|a_2|^2+\dotsb+|a_n|^2\right)
\left(|b_1|^2+|b_2|^2+\dotsb+|b_n|^2\right)\qquad
\forall a_i,b_i\in\mathbb K

특히, n=2인 경우에는 다음과 같은 부등식을 얻는다.
:|\bar ac+\bar bd|^2\le(|a|^2+|b|^2)(|c|^2+|d|^2)\qquad\forall a,b,c,d\in\mathbb K
특히, 2차원 민코프스키 공간에 대한 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.
:(ac-bd)^2\ge(a^2 - b^2)(c^2 - d^2)\qquad\forall a,b,c,d\in\mathbb R

### 르베그 공간

가측 공간 X 위의 p=2 르베그 공간 V=\operatorname L^2(X;\mathbb K)은 \mathbb K-힐베르트 공간을 이룬다. 이 경우 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.
:\left|\int \overline{f(x)}g(x)\,dx\right|^2\le \int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx\qquad\forall f,g\in\operatorname L^2(X;\mathbb K)
이는 횔더 부등식의 특수한 경우이다.

### C* 대수

C* 대수 A 위의 상태
:f\colon A\to\mathbb C
가 주어졌을 때,
:\langle a,b\rangle=f(a^*b)\qquad\forall a,b\in A
는 A 위의 양의 준정부호 에르미트 형식을 이룬다. 이에 대한 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.
:|f(a^*b)|^2\le f(a^*a)f(b^*b)\qquad\forall a,b\in A

## 역사
[섬네일|오른쪽|[오귀스탱 루이 코시. 코시는 유한 차원의 코시-슈바르츠 부등식을 최초로 증명하였다.]]
섬네일|오른쪽|빅토르 부냐콥스키. 부냐콥스키는 무한 차원의 코시-슈바르츠 부등식을 최초로 증명하였다.
[섬네일|오른쪽|[헤르만 아만두스 슈바르츠. 슈바르츠는 무한 차원의 코시-슈바르츠 부등식을 독자적으로 재발견하였다.]]
1821년에 오귀스탱 루이 코시가 유한 차원 벡터 공간에 대한 코시-슈바르츠 부등식을 증명하였다.

1859년에 빅토르 야코블레비치 부냐콥스키(, , 1804~1889)가 무한 차원의 경우를 증명하였다. 그러나 부냐콥스키의 논문은 널리 알려지지 않았다. 이후 1888년에 헤르만 아만두스 슈바르츠가 무한 차원 코시-슈바르츠 부등식을 재발견하였다.

1896년에 앙리 푸앵카레가 “슈바르츠 부등식”()이라는 용어를 최초로 사용하였다. 이후 이 부등식은 서유럽 및 미국에서 통상적으로 “코시-슈바르츠 부등식”으로 일컬어지고 있다. 반면, 동유럽에서는 부냐콥스키의 업적을 기려 이를 “부냐콥스키 부등식” 또는 “코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식” 등으로 일컫는다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:연산자 이론
분류:확률부등식
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