슈바르츠 보조정리

복소해석학에서 **슈바르츠 보조정리**(-補助定理, )는 푸앵카레 원판 위의 정칙 함수의 성질을 다루는 보조정리이다.

## 정의
열린 단위 원판 \operatorname B(0,1)\subseteq\mathbb C 위의 정칙 함수 f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)가 f(0)=0을 만족시킨다고 하자. **슈바르츠 보조정리**에 따르면, 다음이 성립한다.
* 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여, |f(z)|\le|z|이다.
* |f'(0)|\le 1
* 다음 두 조건이 서로 동치이다.
** |f(z)|=|z|인 0\ne z\in\operatorname B(0,1)가 존재하거나, |f'(0)|=1이다.
** 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여 f(z)=az이다. 여기서 a\in\mathbb C는 |a|=1인 상수이다. (즉, f는 \operatorname B(0,1) 위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수이다.)
이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 원점과의 거리를 증가시키지 않는다.

## 증명
함수 g\colon\operatorname B(0,1)\to\mathbb C를 다음과 같이 정의하자.
:g(z)=\begin{cases}
f(z)/z&z\ne 0\\
f'(0)&z=0
\end{cases}\qquad\forall z\in\operatorname B(0,1)
그렇다면, g는 정칙 함수이다. 최대 절댓값 원리에 의하여, 임의의 z\in\operatorname B(0,1) 및 |z|에 대하여,
:|g(z)|\le\sup_{|w|=r}|g(w)|\le\frac 1r
이며, 따라서
:|g(z)|\le\lim_{r\to 1^-}\frac 1r=1
이다. 즉, z\ne 0일 경우 |f(z)|\le|z|이며 (0에서도 자명하게 성립한다), 또한 |f'(0)|\le 1이다.

만약 |f(z)|=|z|인 0\ne z\in\operatorname B(0,1)가 존재하거나, |f'(0)|=1이라면, |g|는 \operatorname B(0,1)에서 최댓값 1을 가지므로, 상수 함수이다. 즉, 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여 g(z)=a인 a\in\mathbb C가 존재하며, |a|=1이다. 즉, 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여, f(z)=az이다.

만약 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여 f(z)=az이며, a\in\mathbb C가 |a|=1인 상수라면, 자명하게 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여 |f(z)|=|z|이며, 또한 |f'(0)|=1이다.

## 따름정리
### 단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류
열린 단위 원판 \operatorname B(0,1)\subseteq\mathbb C 위의 쌍정칙 함수 f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)이 주어졌다고 하자. 그렇다면, f는 뫼비우스 변환이며, 다음과 같은 꼴이다.
:f(z)=a\frac{z-z_0}{1-\overline{z_0}z}\qquad\forall z\in\operatorname B(0,1)
여기서 a,z_0\in\mathbb C는 |a|=1이며 |z_0|인 상수이다.

### 단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류의 증명
이는 슈바르츠 보조정리로부터 간단히 증명된다. 함수 \varphi_{f(0)}\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)를 다음과 같이 정의하자.
:\varphi_{f(0)}(z)=\frac{z-f(0)}{1-\overline{f(0)}z}\qquad\forall z\in\operatorname B(0,1)
이는 \operatorname B(0,1) 위의 쌍정칙 함수이며, \varphi_{f(0)}(f(0))=0이다. 따라서,
:g=\varphi_{f(0)}\circ f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)
는 \operatorname B(0,1) 위의 쌍정칙 함수이며, g(0)=0이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여,
:1\le\frac 1=|g'(0)|\le 1
이므로, |g'(0)|=1이다. 따라서, 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여 g(z)=az인 a\in\mathbb C가 존재하며, |a|=1이다. 즉, z\in\operatorname B(0,1)에 대하여,
:f(z)=\varphi_{f(0)}^{-1}(g(z))=a\frac{z+f(0)a^{-1}}{1+\overline{f(0)}az}
이다. 즉, z_0=-f(0)a^{-1}를 취하면 된다.

### 슈바르츠-픽 보조정리
열린 단위 원판 \operatorname B(0,1)\subseteq\mathbb C 위의 정칙 함수 f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)가 주어졌다고 하자. **슈바르츠-픽 보조정리**(-補助定理, )에 따르면, 다음이 성립한다.
* 임의의 z,w\in\operatorname B(0,1)에 대하여,
*:\left|\frac{f(z)-f(w)}{1-\overline{f(z)}f(w)}\right|\le\left|\frac{z-w}{1-\bar zw}\right|
* 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여,
*:|f'(z)|\le\frac{1-|f(z)|^2}{1-|z|^2}
* 다음 두 조건이 서로 동치이다.
** 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 z,w\in\operatorname B(0,1)이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 z\in\operatorname B(0,1)이 존재한다.
** 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여 f(z)=a(z-z_0)/(1-\overline{z_0}z)이다. 여기서 a,z_0\in\mathbb C는 |a|=1이고 |z_0|인 상수이다. (즉, f는 \operatorname B(0,1) 위의 쌍정칙 함수이다.)
이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 두 점 사이의 쌍곡 거리
:d(z,w)=\tanh^{-1}\left|\frac{z-w}{1-\bar zw}\right|
를 증가시키지 않는다.

### 슈바르츠-픽 보조정리의 증명
임의의 w\in\operatorname B(0,1)를 취하고, 다음과 같은 함수 \varphi_w,\varphi_{f(w)}\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)을 정의하자.
:\varphi_w(z)=\frac{z-w}{1-\bar wz}
:\varphi_{f(w)}(z)=\frac{z-f(w)}{1-\overline{f(w)}z}\qquad\forall z\in\operatorname B(0,1)
이들은 \operatorname B(0,1) 위의 쌍정칙 함수이며, \varphi_w(w)=\varphi_{f(w)}(f(w))=0이므로,
:g=\varphi_{f(w)}\circ f\circ\varphi_w^{-1}\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)
는 정칙 함수이며, g(0)=0이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여, 임의의 z\in\operatorname B(0,1)에 대하여,
:|g(\varphi_w(z))|\le|\varphi_w(z)|
:|g'(0)|\le 1
이다. 이는 각각 첫 번째 및 두 번째 부등식과 같다. 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 z,w\in\operatorname B(0,1)이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 z\in\operatorname B(0,1)이 존재하는 것은
:g=\varphi_{f(w)}\circ f\circ\varphi_w^{-1}
가 \operatorname B(0,1) 위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수인 것과 동치이며, 이는 f가 쌍정칙 함수인 것과 동치이다.

## 역사
독일의 수학자 헤르만 아만두스 슈바르츠의 이름을 땄다.

## 같이 보기
* 보렐-카라테오도리 정리

## 각주

## 외부 링크
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