처짐각법

섬네일|500픽셀|The practical aspect of the slope deflection method and its application to the design of the Roosevelt Road Viaduct (1920)

**처짐각법**(-角法, Slope deflection method) 또는 **요각법**(撓角法)은 1915년에 미네소타 대학교의 조지 A. 매니 교수가 발표한 연속보와 뼈대 구조에 적용할 수 있는 구조해석법의 하나이다. 모멘트 분배법이 발표되기 전까지 정확한 구조해석 방법의 한 가지로 널리 사용되었다. 기본적으로 절점과 부재의 회전각을 미지수로 하기 때문에, 변위법 또는 강성도법에 속한다.

처짐각법에서는 모멘트로 인해 발생하는 부재의 휨과 처짐각을 고려하지만, 그 영향이 상대적으로 적은 전단 변형과 축방향 변형은 무시한다.

처짐각법은 소규모의 특정 구조물에 대한 효율적인 구조해석 방법이며, 모멘트 분배법을 이해하기 위한 기본이 되는 구조해석 방법이다. 또한 매트릭스 구조 해석과도 관련이 깊다.

## 개요
절점의 회전각(처짐각)과 부재의 현회전각을 미지수로 하여 변위의 적합조건에 맞도록 하중을 나타낸 뒤, 힘의 평형조건을 만족시키는 해를 구한다. 해석 결과 직접적으로 얻는 해는 변위이다.

## 처짐각 방정식
처짐각 방정식은 자유도에 해당하는 변위의 발생으로 부재단에 생기는 모멘트를 부재의 강성도와 부재 양단의 변위 즉 처침과 처짐각의 항으로 나타낸 식을 말한다. 부재ab의 a단과 b단에에 발생하는 모멘트는 각각 다음과 같이 표현된다.

:M_{ab} = \frac{EI_{ab}}{L_{ab}} \left( 4 \theta_a + 2 \theta_b - 6 \frac{\Delta}{L_{ab}} \right)
:M_{ba} = \frac{EI_{ab}}{L_{ab}} \left( 2 \theta_a + 4 \theta_b - 6 \frac{\Delta}{L_{ab}} \right)

여기서 \theta_a, \theta_b는 각각 a단과 b단의 처짐각이며 \Delta는 a와 b 지점의 상대변위이다.
처짐각 방정식은 종종 강도계수(stiffness factor) K=\frac{I_{ab}}{L_{ab}}와 현회전각 \psi =\frac{ \Delta}{L_{ab}}을 도입하여 다음과 같이 나타내어지기도 한다.

:M_{ab} = 2EK \left( 2 \theta_a + \theta_b - 3 \psi \right)
:M_{ba} = 2EK \left( \theta_a + 2 \theta_b - 3 \psi \right)

### 처짐각 방정식의 유도
경간 길이 L_{ab}, 휨강성 EI_{ab}인 단순보 AB의 양단에 각각 시계방향의 모멘트 하중 M_{ab}, M_{ba}가 작용하여, 하중의 작용 방향과 같은 방향으로 \theta_a, \theta_b의 처짐각이 발생하였고, 지점 AB의 상대 변위로 인한 시계방향의 현회전각이 \Delta/L라면, 단위하중법이나 모멘트면적법 등을 이용하여 다음과 같은 관계식을 유도할 수 있다.

:\theta_a - \frac{\Delta}{L_{ab}}= \frac{L_{ab}}{3EI_{ab}} M_{ab} - \frac{L_{ab}}{6EI_{ab}} M_{ba}
:\theta_b - \frac{\Delta}{L_{ab}}= - \frac{L_{ab}}{6EI_{ab}} M_{ab} + \frac{L_{ab}}{3EI_{ab}} M_{ba}

위의 두 식을 연립하면 양단의 모멘트 M_{ab}, M_{ba}를 처짐각\theta_a, \theta_b와 현회전각 \Delta/L_{ab}로 표현한 처짐각 방정식을 얻는다.

## 평형 조건
### 절점 평형
절점 평형 방정식은 각 부재의 재단 모멘트(member end moment)로 인한 각 절점에서의 모멘트의 평형을 나타내는 식이다. 즉, 절점의 고정단 모멘트와 그 절점에 연결된 각 부재의 재단 모멘트의 총 합에 대한 평형 조건식이다. 자유도를 갖는 각 절점에 대해 다음의 평형 조건을 만족해야 한다.
:\Sigma \left( M^{f} + M_{member} \right) = \Sigma M_{joint}

여기서 M_{member}는 부재의 재단 모멘트, M^{f}는 고정단 모멘트, M_{joint}는 절점에 재하된 모멘트이며, 동일한 부호체계로 나타내어진다.

### 전단 평형
횡방향 변위나 지점의 침하 등으로 인한 현회전각이 발생하는 구조물을 처짐각법으로 해석하는 경우 절점 평형 방정식에 더하여 전단력의 평형 조건이 필요하다.

## 예제
섬네일|434px|right|예제 연속보
오른쪽 그림과 같은 연속보 구조물을 해석해 보자.
*부재 AB, BC, CD의 길이는 모두  L = 10 \ m 로 같고,
*휨 강성은 각각 EI, 2EI, EI이다.
*부재 AB는 지점 A로부터  a = 3 \ m 의 위치에 크기  P = 10 \ kN 인 집중 하중이,
*부재 BC는 부재 전체에 걸쳐  q = 1 \ kN/m의 등분포 하중이,
*부재 CD는 중앙에 크기  P = 10 \ kN 인 집중 하중이 재하되어 있다.
계산 과정에서, 시계 방향의 회전각과 모멘트를 양(+)으로 한다.

### 자유도
절점 A, B, C의 회전각 \theta_A, \theta_B, \theta_C을 미지수로 한다. 지점 침하등으로 인한 현회전각은 없다.

### 고정단 모멘트
고정단 모멘트는 다음과 같다.
:M _{AB} ^f = - \frac{P a b^2 }{L ^2} = - \frac{10 \times 3 \times 7^2}{10^2} = -14.7 \ kN\cdot m
:M _{BA} ^f = \frac{P a^2 b}{L^2} = \frac{10 \times 3^2 \times 7}{10^2} = 6.3 \ kN\cdot m
:M _{BC} ^f = - \frac{qL^2}{12} = - \frac{1 \times 10^2}{12} = - 8.333 \ kN\cdot m
:M _{CB} ^f = \frac{qL^2}{12} = \frac{1 \times 10^2}{12} = 8.333 \ kN\cdot m
:M _{CD} ^f = - \frac{PL}{8} = - \frac{10 \times 10}{8} = -12.5 \ kN\cdot m
:M _{DC} ^f = \frac{PL}{8} = \frac{10 \times 10}{8} = 12.5 \ kN\cdot m

### 처짐각 방정식
:M_{AB} = \frac{EI}{L} \left( 4 \theta_A + 2 \theta_B \right) = 0.4EI \theta_A + 0.2EI \theta_B
:M_{BA} = \frac{EI}{L} \left( 2 \theta_A + 4 \theta_B \right) = 0.2EI \theta_A + 0.4EI \theta_B
:M_{BC} = \frac{2EI}{L} \left( 4 \theta_B + 2 \theta_C \right) = 0.8EI \theta_B + 0.4EI \theta_C
:M_{CB} = \frac{2EI}{L} \left( 2 \theta_B + 4 \theta_C \right) = 0.4EI \theta_B + 0.8EI \theta_C
:M_{CD} = \frac{EI}{L} \left( 4 \theta_C \right) = 0.4EI \theta_C 
:M_{DC} = \frac{EI}{L} \left( 2 \theta_C \right) = 0.2EI \theta_C 

### 절점 평형 방정식
절점 A, B, C에서 각각 모멘트 평형을 만족해야 하므로,
:\Sigma M_A = M_{AB} + M_{AB}^f = 0.4EI \theta_A + 0.2EI \theta_B  - 14.7 = 0
:\Sigma M_B = M_{BA} + M_{BA}^f + M_{BC} + M_{BC}^f = 0.2EI \theta_A + 1.2EI \theta_B + 0.4EI \theta_C - 2.033 = 0
:\Sigma M_C = M_{CB} + M_{CB}^f + M_{CD} + M_{CD}^f = 0.4EI \theta_B + 1.2EI \theta_C  - 4.167 = 0

### 절점 변위
위의 평형 방정식을 연립하면, 다음과 같은 절점 변위를 얻는다.
:\theta_A = \frac{40.219}{EI} 
:\theta_B = \frac{-6.937}{EI} 
:\theta_C = \frac{5.785}{EI} 

### 재단 모멘트의 계산
절점 변위를 이용해 재단 모멘트를 구한다.
:M_{AB} = 0.4 \times 40.219 + 0.2 \times \left( -6.937 \right) - 14.7 = 0 
:M_{BA} = 0.2 \times 40.219 + 0.4 \times \left( -6.937 \right) + 6.3 = 11.57 
:M_{BC} = 0.8 \times \left( -6.937 \right) + 0.4 \times 5.785 - 8.333 = -11.57 
:M_{CB} = 0.4 \times \left( -6.937 \right) + 0.8 \times 5.785 + 8.333 = 10.19 
:M_{CD} = 0.4 \times 5.785 - 12.5 = -10.19 
:M_{DC} = 0.2 \times 5.785 + 12.5 = 13.66 

## 참고 문헌
*McCormac, Jack C.; James K. Nelson, Jr. (1997). *Structural Analysis: A Classical and Matrix Approach*, 2nd, Addison-Wesley, 430-451.  .
*양창현 (2001-01-10). 《구조역학》, 4판, 청문각, 357-389. .

## 같이 보기
* 모멘트 분배법
* 고정단 모멘트

분류:구조역학