불변 다항식

리 대수 이론에서, **불변 다항식**(不變多項式, )은 어떤 리 대수의 원소를 변수로 가지며, 그 딸림표현 작용에 대하여 불변인 다항식이다.

## 정의
체 K 위의 유한 차원 리 대수 \mathfrak g의 쌍대 공간 \mathfrak g^* 위의 대칭 대수
:\operatorname{Sym}(\mathfrak g^*)
를 생각하자. \alpha\in\textstyle\operatorname{Sym}^n\mathfrak g^*가 다음 조건을 만족시킨다면, \mathfrak g의 **<math>n</math>차 불변 다항식**이라고 한다.
:\sum_{i=0}^{n-1}\alpha(x_0,x_1,\dotsc,[x_i,x_{i+1}],\dotsc,x_n) = 0
\mathfrak g 위의 불변 다항식은 각 차수들의 불변 다항식들의 합이다.

### 베유 대수
유한형 (즉, 각 차수의 차원이 유한한) L∞-대수 \mathfrak g의 **베유 대수**() \operatorname W(\mathfrak g)는 다음과 같은 미분 등급 대수이다. 이는 미분 구조를 잊으면 자유 등급 가환 대수이며, \mathfrak g^*의 동차 원소 기저를 t^i라고 할 때, \operatorname W(\mathfrak g)의 생성원은 t^i 및 \delta t^i이다 (\deg \delta t^i = 1+\deg t^i). 또한, 그 미분은 다음과 같다.
:\mathrm dt^i = \mathrm d_{\mathrm{CE}}t^i + \delta t^i 
:\mathrm d\delta t^i = -\delta\mathrm d_{\mathrm{CE}}t^i
여기서 \mathrm d_{\operatorname{CE}}란 슈발레-에일렌베르크 대수 \operatorname{CE}(\mathfrak g)의 미분이다. 즉, 이는 \delta^2 = \{\mathrm d,\delta \} = 0을 따른다.

물론, 베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 전사 미분 등급 대수 준동형
:\operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname{CE}(\mathfrak g)
: t^i \mapsto t^i
: \delta t^i \mapsto 0
이 존재한다.

### L<sub>∞</sub>-대수의 불변 다항식
유한형 L<sub>∞</sub>-대수 \mathfrak g의 불변 다항식은 베유 대수 \operatorname W(\mathfrak g)의 원소 \alpha\in\operatorname W(\mathfrak g) 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.
:\alpha\in\bigwedge\delta\mathfrak g^* \subseteq\operatorname W(\mathfrak g)
:\mathrm d_{\operatorname W(\mathfrak g)} \alpha = 0 
즉, 베유 대수의 닫힌 원소 가운데, \delta\mathfrak g^*만으로 생성되는 것이다.

이는 리 대수의 경우의 정의를 일반화한다. \mathfrak g가 리 대수인 경우, 불변 다항식은
:\operatorname{Sym}(\mathfrak g^*)\subseteq\operatorname W(\mathfrak g) = \operatorname{Sym}(\mathfrak g^*) \otimes \bigwedge(\mathfrak g^*)
의 원소이며, 여기서 불변 다항식 조건은 이 원소가 닫힌 원소라는 조건과 동치이다.

## 성질
리 대수 \mathfrak g에 대하여,
:\operatorname{inv}(\mathfrak g)\to\operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname{CE}(\mathfrak g)
는 리 군 G의 분류 공간
:\mathrm BG\leftarrow\mathrm EG \leftarrow G
의 (표수 0 특이 코호몰로지의) 모형이다. 즉, 그 (공사슬 복합체로서의) 코호몰로지는 이 위상 공간들의 (꼬임을 제외한) 특이 코호몰로지와 같다.

다시 말해,
:\operatorname H^\bullet(\operatorname W(\mathfrak g)) = \operatorname H^\bullet_{\text{sing}}(\mathrm EG) = \begin{cases}
0 & \bullet \ne 0\\
K & \bullet = 0
\end{cases}
:\operatorname H^\bullet(\operatorname{CE}(\mathfrak g)) = \operatorname H_{\text{sing}}^\bullet(G;K) = \operatorname H^\bullet_{\text{LieAlg}}(\mathfrak g;K)
:\operatorname{inv}^\bullet(\mathfrak g) = \operatorname H_{\text{sing}}^\bullet(\mathrm BG;K)
이다. (\operatorname{inv}(\mathfrak g)의 원소들은 정의에 따라 모두 닫힌 원소이므로, 코호몰로지를 취할 필요가 없다.) 여기서 \operatorname H_{\text{LieAlg}}^\bullet(-)는 리 대수 코호몰로지이다.

## 예
체 K 위의 리 대수 \mathfrak g의 킬링 형식
:B \in \operatorname{Sym}^2\mathfrak g^*
은 2차 불변 다항식이다. 즉,
:B(x,[y,z]) - B([x,y],z) = 0\qquad\forall x,y,z\in\mathfrak  g
이다.

### 단순 리 대수의 불변 다항식
계수 n의 단순 리 대수는 n개의 불변 다항식을 가진다. 그 차수는 다음과 같다.

위 표에서, 첫 2차 불변 다항식은 항상 킬링 형식이다. “차수”란 다항식의 차수를 뜻한다. 이를 L∞-대수로 해석할 경우, 각 변수의 등급이 2이므로, L∞-대수로서의 등급은 다항식 차수의 2배이다. 이 수들은 해당 리 대수의 콤팩트 형식의 유리수 계수 특이 코호몰로지 환을 결정한다. 즉, 만약 불변 다항식의 차수가 d_1,d_2,\dotsc,d_r라면, 리 군의 특이 코호몰로지 환은 차수
:\deg x_i = 2d_i-1
의 r개의 생성원으로 생성되는 외대수이다. 특히,
:\dim G = \sum_{i=1}^r (2d_i-1)
이다.

\mathfrak a_n = \mathfrak{su}(n+1)의 경우, 그 불변 다항식은 다음과 같은 꼴이다. 리 대수의 원소를 (n+1)\times (n+1) 무대각합 반 에르미트 행렬로 표현할 경우,
:p_k(M) = \operatorname{tr}_{(n+1)\times(n+1)}(M^k)
이다. 만약 k=1인 경우는 (행렬이 무대각합이므로) p_1 = 0이 되며, k\ge n+2인 경우는 더 낮은 차수의 불변 다항식들의 곱의 합으로 표현될 수 있다.

\mathfrak{so}(n)의 경우, 그 리 대수의 원소는 반대칭 n\times n 행렬이며, 따라서 다음과 같은 불변 다항식을 적을 수 있다.
:p_k(M) = \operatorname{tr}(M^k)
이 경우 k가 홀수일 때 p_k = 0이다. 즉, 짝수 차수만이 남게 된다. n이 홀수일 때 불변 다항식들은 p_2,\dotsc,p_{n-1}로 구성된다. n=2m이 짝수일 때는 추가로 m차 불변 다항식
:q(M) = \epsilon^{i_1j_1i_2j_2\dotsb i_mj_m}M_{i_1j_1} \dotsm M_{i_mj_m}
이 존재한다.

## 각주

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## 외부 링크
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