풍성한 범주

범주론에서 **풍성한 범주**(豐盛-範疇, )는 "사상 집합"이 집합 대신 다른 모노이드 범주의 대상이 될 수 있는, 범주의 개념의 일반화이다.

## 정의
모노이드 범주
:(\mathcal M,\otimes\colon\mathcal M\times\mathcal M\to\mathcal M,I\in\operatorname{Ob}(\mathcal M),\alpha\colon(\mathcal M\otimes\mathcal M)\otimes\mathcal M\Rightarrow\mathcal M\otimes(\mathcal M\otimes\mathcal M),\lambda\colon(I\otimes\mathcal M)\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal M},\rho\colon(\mathcal M\otimes I)\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal M})
가 주어졌다고 하자. \mathcal M 위의 **풍성한 범주**() \mathcal C는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 모임 \operatorname{Ob}(\mathcal C). 이 모임의 원소를 \mathcal C의 **대상**()이라고 한다.
* 임의의 X,Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)에 대하여, \hom_{\mathcal C}(X,Y)\in\operatorname{Ob}(\mathcal M).
* 임의의 X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)에 대하여, \mathcal M-사상 \operatorname{id}_X\colon I\to\hom_{\mathcal C}(X,X). 이는 항등 사상을 나타낸다.
* 임의의  X,Y,Z\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)에 대하여, \mathcal M-사상 \circ_{XYZ}\colon\hom_{\mathcal C}(Y,Z)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y)\to\hom_{\mathcal C}(X,Z). 이는 사상의 합성을 나타낸다.
이 데이터는 다음 세 그림을 가환하게 만들어야만 한다.
* (사상 합성의 결합 법칙)
*:\begin{matrix}
\left(\hom_{\mathcal C}(Z,W)\otimes\hom_{\mathcal C}(Y,Z)\right)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y)&\xrightarrow{\circ_{YZW}\otimes\operatorname{id}}
&\hom_{\mathcal C}(Y,W)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y)&\xrightarrow{\circ_{XYW}}&\hom_{\mathcal C}(X,W)\\
\downarrow\scriptstyle\alpha&&&&\downarrow\scriptstyle\operatorname{id}\\
\hom_{\mathcal C}(Z,W)\otimes\left(\hom_{\mathcal C}(Y,Z)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y)\right)
&\xrightarrow[\operatorname{id}\otimes\circ_{XYZ}]{}
&\hom_{\mathcal C}(Z,W)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Z)
&\xrightarrow[\circ_{XZW}]{}
&\hom_{\mathcal C}(X,W)
\end{matrix}

* (사상 합성의 왼쪽 항등원)
*:
\begin{matrix}
I\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y)&\xrightarrow{\operatorname{id}_Y\otimes\operatorname{id}}&\hom_{\mathcal C}(Y,Y)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y)\\
&{\scriptstyle\lambda}\searrow&\downarrow\scriptstyle\circ_{XYY}\\
&&\hom_{\mathcal C}(X,Y)
\end{matrix}

* (사상 합성의 오른쪽 항등원)
*:
\begin{matrix}
\hom_{\mathcal C}(X,Y)\otimes I&\xrightarrow{\operatorname{id}\otimes\operatorname{id}_X}&\hom_{\mathcal C}(X,Y)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,X)\\
&{\scriptstyle\rho}\searrow&\downarrow\scriptstyle\circ_{XXY}\\
&&\hom_{\mathcal C}(X,Y)
\end{matrix}


### 풍성한 함자
모노이드 범주 \mathcal M 위의 두 풍성한 범주 \mathcal C, \mathcal D 사이의 \mathcal M-**풍성한 함자**() F\colon\mathcal C\to\mathcal D는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 각 대상 X\in\mathcal C에 대하여, 대상 F(X)\in\mathcal D
* 두 대상 X,Y\in\mathcal C에 대하여, \mathcal M 속의 사상 F_{XY}\colon\hom_{\mathcal C}(X,Y)\to\hom_{\mathcal D}(F(X),F(Y))
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* (항등원의 보존) 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여 다음 그림이 가환한다.
*:\begin{matrix}
I\\
{\scriptstyle\operatorname{id}_X}\downarrow&\searrow
{\scriptstyle\operatorname{id}_{F(X)}}\\
\hom_{\mathcal C}(X,X)&\xrightarrow[F_{XX}]{}&\hom_{\mathcal D}(F(X),F(X))
\end{matrix}
* (사상 합성의 보존) 임의의 대상 X,Y,Z\in\mathcal C에 대하여 다음 그림이 가환한다.
*:\begin{matrix}
\hom_{\mathcal C}(Y,Z)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y)&\xrightarrow\circ&\hom_{\mathcal C}(X,Z)\\
{\scriptstyle F_{YZ}\otimes F_{XY}}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle F_{XZ}\\
\hom_{\mathcal D}(F(Y),F(Z))\otimes\hom_{\mathcal D}(F(X),F(Y))&\xrightarrow[\circ]{}&\hom_{\mathcal D}(F(X),F(Z))
\end{matrix}

### 풍성한 자연 변환
모노이드 범주 \mathcal M 위의 두 풍성한 범주 \mathcal C, \mathcal D 사이의 두 \mathcal M-풍성한 함자 F,G\colon\mathcal C\to\mathcal D 사이의 \mathcal M-**풍성한 자연 변환**() \eta\colon F\Rightarrow G은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 각 대상 X\in\mathcal C에 대하여, \mathcal M 속의 사상 \eta_X\colon I\to\hom_{\mathcal D}(F(X),G(X))
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* (풍성한 함자 구조의 보존) 임의의 대상 X,Y\in\mathcal C에 대하여 다음 그림이 가환한다.
*:\begin{matrix}
&& \hom_{\mathcal C}(X,Y)\otimes I & \xrightarrow{G_{XY}\otimes\eta_X} & \hom_{\mathcal D}(G(X),G(Y))\otimes\hom_{\mathcal D}(F(X),G(X)) \\
& {\scriptstyle\rho^{-1}}\nearrow &&&& \searrow{\scriptstyle\circ} \\
\hom_{\mathcal C}(X,Y) &&&&&& \hom_{\mathcal D}(F(X),G(Y)) \\
& {\scriptstyle\lambda^{-1}}\searrow &&&& \nearrow{\scriptstyle\circ} \\
&& I\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y) & \xrightarrow{\eta_Y\otimes F_{XY}} & \hom_{\mathcal D}(F(Y),G(Y))\otimes\hom_{\mathcal D}(F(X),F(Y))
\end{matrix}

만약 \mathcal M이 국소적으로 작은 닫힌 대칭 모노이드 범주일 때, \mathcal M은 스스로 \mathcal M-풍성한 범주를 이루며, 표현 가능 \mathcal M-풍성한 함자
:\hom_{\mathcal D}(F(X),-)\colon\mathcal D\to\mathcal M
:\hom_{\mathcal D}(-,G(Y))\colon\mathcal D^{\operatorname{op}}\to\mathcal M
가 존재한다. 이 경우, \mathcal M-풍성한 자연 변환 조건은 다음과 같이 쓸 수 있다.
* (풍성한 함자 구조의 보존) 임의의 대상 X,Y\in\mathcal C에 대하여 다음 그림이 가환한다.
*:\begin{matrix}
\hom_{\mathcal C}(X,Y) & \xrightarrow F & \hom_{\mathcal D}(F(X),F(Y)) \\
{\scriptstyle G}\downarrow && \downarrow{\scriptstyle\hom_{\mathcal D}(\operatorname{id},\eta_Y)} \\
\hom_{\mathcal D}(G(X),G(Y)) & \xrightarrow[\hom_{\mathcal D}(\eta_X,\operatorname{id})]{} & \hom_{\mathcal D}(F(X),G(Y))
\end{matrix}


모노이드 범주 \mathcal M이 주어졌을 때, 작은(=대상 모임이 집합인) \mathcal M-풍성한 범주, \mathcal M-풍성한 함자, \mathcal M-풍성한 자연 변환은 2-범주 \operatorname{\mathcal M-Cat}를 이룬다.

## 연산
### 반대 범주
만약 \mathcal M이 대칭 모노이드 범주일 때, \mathcal M-풍성한 범주 \mathcal C의 **반대 <math>\mathcal M</math>-풍성한 범주**() \mathcal C^{\operatorname{op}}는 다음과 같다.

\operatorname{Ob}(\mathcal C^{\operatorname{op}})=\operatorname{Ob}(\mathcal C)
\hom_{\mathcal C^{\operatorname{op}}}(X,Y)=\hom_{\mathcal C}(Y,X)
사상의 합성
:\hom_{\mathcal C^{\operatorname{op}}}(Y,Z)\otimes\hom_{\mathcal C^{\operatorname{op}}}(X,Y)\to\hom_{\mathcal C^{\operatorname{op}}}(X,Z)
는 다음과 같다.
:\hom_{\mathcal C}(Z,Y)\otimes\hom_{\mathcal C}(Y,X)\xrightarrow\sigma\hom_{\mathcal C}(Y,X)\otimes\hom_{\mathcal C}(Z,Y)\xrightarrow\circ\hom_{\mathcal C}(Z,X)

항등 사상 I\to\hom_{\mathcal C^{\operatorname{op}}}(X,X)는 단순히 I\xrightarrow{\operatorname{id}_X}\hom_{\mathcal C}(X,X)이다.


### 텐서곱
만약 \mathcal M이 대칭 모노이드 범주일 때, \mathcal M-풍성한 범주 \mathcal C, \mathcal D의 **텐서곱**() \mathcal C\otimes\mathcal D는 다음과 같다.

\operatorname{Ob}(\mathcal C\otimes\mathcal D)=\operatorname{Ob}(\mathcal C)\times\operatorname{Ob}(\mathcal D)
\hom_{\mathcal C\otimes\mathcal D}((X,Y),(X',Y'))=\hom_{\mathcal C}(X,X')\otimes\hom_{\mathcal D}(Y,Y')
사상의 합성
:\hom_{\mathcal C\otimes\mathcal D}((X',Y'),(X*,Y*))\otimes\hom_{\mathcal C\otimes\mathcal D}((X,Y),(X',Y'))\to\hom_{\mathcal C\otimes\mathcal D}((X,Y),(X*,Y*))
은 다음과 같다.
:(\hom_{\mathcal C}(X',X*)\otimes\hom_{\mathcal D}(Y',Y*))\otimes(\hom_{\mathcal C}(X,X')\otimes\hom_{\mathcal D}(Y,Y'))\xrightarrow{\cong}(\hom_{\mathcal C}(X',X*)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,X'))\otimes(\hom_{\mathcal D}(Y',Y*)\otimes\hom_{\mathcal D}(Y,Y'))\xrightarrow{\circ\otimes\circ}\hom_{\mathcal C}(X,X*)\otimes\hom_{\mathcal D}(Y,Y*)

항등 사상 I\xrightarrow{}\hom_{\mathcal C\otimes\mathcal D}((X,Y),(X,Y))은
:I\xrightarrow{\cong}I\otimes I\xrightarrow{\operatorname{id}_X\otimes\operatorname{id}_Y}\hom_{\mathcal C}(X,X)\otimes\hom_{\mathcal D}(Y,Y)
이다.


대칭 모노이드 범주 \mathcal M이 주어졌을 때, \operatorname{\mathcal M-Cat}는 풍성한 범주의 텐서곱에 대하여 대칭 모노이드 2-범주를 이룬다.

### 풍성함의 망각
국소적으로 작은 모노이드 범주 \mathcal M이 주어졌을 때, 작은 \mathcal M-풍성한 범주의 2-범주 \operatorname{\mathcal M-Cat}와 작은 범주의 2-범주 \operatorname{Cat} 사이에 표준적인 표현 가능 2-함자
:\hom_{\operatorname{\mathcal M-Cat}}(1_{\operatorname{\mathcal M-Cat}},-)\colon\operatorname{\mathcal M-Cat}\to\operatorname{Cat}
가 존재한다. 여기서 1_{\operatorname{\mathcal M-Cat}}\in\operatorname{\mathcal M-Cat}은 다음과 같다.
:\operatorname{Ob}(1_{\operatorname{\mathcal M-Cat}})=\{\bullet\}
:\hom_{1_{\operatorname{\mathcal M-Cat}}}(\bullet,\bullet)=I

## 예
국소적으로 작은 범주는 집합의 범주 \operatorname{Set} 위의 풍성한 범주와 같다.

### ''n''-범주
작은 범주의 범주 \operatorname{Cat} 위의 풍성한 범주를 **2-범주**()라고 한다. 보다 일반적으로, n-범주의 범주 n\text{-Cat} 위의 풍성한 범주를 **<math>(n+1)</math>-범주**()라고 한다.

### 선형 범주
가환환 R 위의 가군들의 범주 \operatorname{Mod}_R는 텐서곱에 대하여 모노이드 범주를 이룬다. 이 위의 풍성한 범주는 **<math>R</math>-선형 범주**(-線型範疇, )라고 한다.

### 준가법 범주
특히, R=\mathbb Z (정수환)인 경우, \operatorname{Mod}_R는 아벨 군의 범주 \operatorname{Ab}와 같다. \operatorname{Ab}-풍성한 범주는 **준가법 범주**(準加法範疇, )라고 하고, \operatorname{Ab}-풍성한 함자는 **가법 함자**(加法範疇, )라고 한다.

준가법 범주는 항상 영 대상을 가지며,  유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치한다.

**가법 범주**()는 유한 완비 준가법 범주이다. (준가법 범주에서 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하므로, 유한 완비 범주인 것은 유한 쌍대 완비 범주인 것과 동치이다.)

## 같이 보기
* 내적 범주

## 참고 문헌

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## 외부 링크
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분류:범주론