클리퍼드 대수

섬네일
환론에서 **클리퍼드 대수**(Clifford代數, )는 이차 형식에 의하여 정의되는 결합 대수의 한 종류이다. 복소수체와 사원수환의 일반화이며, 외대수의 양자화로 여길 수 있다.

## 정의
클리퍼드 대수의 개념은 다양하게 정의될 수 있다.
* 추상적으로 어떤 보편 성질을 통해 정의될 수 있다.
* 구체적으로 텐서 대수의 몫대수로 정의될 수 있다.

### 보편 성질을 통한 정의
가환환 K 위의 가군 V 위의 이차 형식 Q\colon V\to K가 주어졌다고 하자. 그렇다면 **클리퍼드 대수** \operatorname{Cliff}(V,Q)는 다음 공리를 만족시키는, V를 포함하는 가장 일반적인 K-단위 결합 대수다.
:v^2=Q(v)\qquad\forall v\in V
즉, 범주론적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.
K 위의 단위 결합 대수들의 범주 \operatorname{uAssocAlg}_K에서, j(v)^2=Q(v)1_A\forall v\in V를 만족시키는 임의의 대수 (A,j\colon V\to A)가 주어지면, 다음 그림을 가환시키는 유일한 대수 준동형 f\colon\operatorname{Cliff}(V,Q)\to A가 존재한다.
:\begin{matrix}
V&\overset i\to&\operatorname{Cliff}(V,Q)\\
&{\scriptstyle j}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists!f\\
&&A
\end{matrix}
여기서 i\colon V\to\operatorname{Cliff}(V,Q)는 보통 생략한다.

이는 이차 공간(이차 형식을 갖춘 가군)의 범주 \operatorname{QMod}_K에서 단위 결합 대수의 범주로 가는 함자를 정의한다.
:\operatorname{Cliff}\colon\operatorname{QMod}_K\to\operatorname{uAssocAlg}_K
(\operatorname{QMod}_K의 사상은 가군 준동형 \phi\colon M\to N 가운데 Q_M=\phi\circ Q_N인 것이다.)

### 텐서 대수를 통한 구성
클리퍼드 대수는 구체적으로 다음과 같다.
:\operatorname{Cliff}(V,Q;K)=\operatorname T(V;K)/\mathfrak i(Q)
여기서 \operatorname T(V;K)는 V에 대한 K-텐서 대수
:\operatorname T(V;K)=\bigoplus_{n=0}^\infty V^{\otimes n}=K\oplus V\oplus V\otimes_KV\oplus V\otimes_KV\otimes_KV+\cdots
이며,
:\mathfrak i(Q)=(v\otimes v-Q(v))_{v\in V}=\left\{w\left(\sum_{i=1}^nv_i\otimes v_i-Q(v_i)\right)w'\colon w,w'\in\operatorname T_K(V),\;n\in\mathbb N,\;v_1,\dots,v_n\in V\right\}
는 \{v\otimes v-Q(v)\colon v\in V\}에 의하여 생성되는 양쪽 아이디얼이다.

이 경우
:uv+vu=(u+v)^2-u^2-v^2=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)
이므로, 두 벡터 원소의 반교환자는 Q의 연관 쌍선형 형식과 같다.

### 등급과 여과
텐서 대수  \operatorname T(V;K)는 자연스러운 자연수 등급을 갖는다.
:\operatorname T(V;K)=\bigoplus_{n=0}^\infty \operatorname T^n(V;K)
클리퍼드 대수는 텐서 대수의 몫인데, 이 경우 몫을 취하는 아이디얼(로 정의되는 동치 관계)은 일반적으로 자연수 등급을 보존하지 않는다. 다만, 이 아이디얼은 \mathbb Z/2 등급을 보존한다. 즉,
:\operatorname T^+(V;K)=\bigoplus_{n=0}^\infty \operatorname T^{2n}(V;K)
:\operatorname T^-(V;K)=\bigoplus_{n=0}^\infty \operatorname T^{2n+1}(V;K)
을 정의했을 때, 클리퍼드 대수를 구성하는 아이디얼은 위 \mathbb Z/2 구조를 보존하며, 따라서 클리퍼드 대수는 K 위의 \mathbb Z/2-등급 대수를 이룬다.
:\operatorname{Cliff}^+(V;K)=\frac{\operatorname T^+(V;K)}{\mathfrak i(Q)}
:\operatorname{Cliff}^-(V;K)=\frac{\operatorname T^-(V;K)}{\mathfrak i(Q)}

특히, 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)에서, 짝수 등급 부분 대수 \operatorname{Cliff}^+(V,Q;K) 역시 클리퍼드 대수를 이룬다. 만약
:V=\operatorname{Span}_K\{a\}\oplus U
:Q(ta+u)=t^2Q(a)+Q|_U(u)\qquad\forall t\in K,\;u\in U
:Q(a)\ne0
라면,
:\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)\cong\operatorname{Cliff}(U,-Q(a)Q|_U;K)
이다.

비록 텐서 대수의 자연수 등급은 등급으로서 살아남지 못하지만, 이는 클리퍼드 대수 위의  자연수 오름 여과를 정의한다. 구체적으로, 텐서 대수 \operatorname T(V;K)의 등급으로 정의되는 오름 여과
:F^n\operatorname T(V;K)=\bigoplus_{m\le n}\operatorname T^m(V;K)=K\oplus V\oplus V\otimes_KV\oplus\cdots V^{\otimes_Kn}
를 생각하자. 그렇다면,
:K=F^0\operatorname T(V;K)\subseteq F^1\operatorname T(V;K)\subseteq F^2\operatorname T(V;K)\subseteq\cdots
이다. 클리퍼드 대수를 정의하는 아이디얼 \mathfrak i(Q)은 이 여과와 호환된다. 구체적으로,  (F^n\operatorname T(V;K)\cap\mathfrak i(Q))/\operatorname F^{n+1}\operatorname T(V;K)는 F^n\operatorname T(V;K)/F^{n+1}\operatorname T(V;K)의 아이디얼을 이룬다. 따라서, 자연스럽게 몫대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K) 위에도 여과
:F^n\operatorname{Cliff}(V,Q;K)=\bigoplus_{m\le n}\operatorname T^m(V;K)/\mathfrak i(Q)
가 존재하며, 따라서 클리퍼드 대수는 자연수 오름 여과를 갖는다.

이 여과로부터 정의되는 자연수 등급 대수는 외대수와 표준적으로 동형이다.
:\bigoplus_{n=0}^\infty\frac{F^n\operatorname{Cliff}(V,Q;K)}{F^{n-1}\operatorname{Cliff}(V,Q;K)}\cong\Lambda(V;K)

### 대합
가환환 K 위의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K) 위에, 다음과 같은 자기 동형이 존재한다.
:\alpha\colon v_1v_2\cdots v_k\mapsto(-)^kv_1v_2\cdots v_k\qquad(\forall v_1,v_2,\dots,v_k\in V)
(만약 가환환 K의 표수가 2라면 이는 항등 함수이다.) \alpha^2는 항등 함수이므로 이는 대합을 이룬다.

마찬가지로, \operatorname{Cliff}(V,Q;K) 위에 다음과 같은 반자기 동형()이 존재한다.
:(-)^\top\colon\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\mapsto \operatorname{Cliff}(V,Q;K)^{\operatorname{op}}
:(-)^\top\colon v_1v_2\cdots v_k\mapsto v_k\cdots v_2v_1\qquad(\forall v_1,v_2,\dots,v_k\in V)
(여기서 (-)^{\operatorname{op}}는 반대환을 뜻한다.) \alpha와 (-)^\top는 서로 가환하며, 이 둘을 합성하면 다음과 같은 **클리퍼드 수반**()을 얻는다.
:\bar x=\alpha(x^\top)=(\alpha(x))^\top
x\mapsto x^\top와 x\mapsto \bar x 역시 대합을 이룬다.

이 연산들은 \mathbb N 등급이 k인 원소 x에 대하여 다음과 같다.
:\alpha(x)=(-)^kx
:x^\top=(-)^{k(k-1)/2}x
:\bar x=(-)^{k(k+1)/2}x
즉, 이는 k\bmod4에 대하여 다음과 같이 의존한다.

### 노름과 내적
가환환 K 위의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K) 위에 다음과 같은 쌍선형 형식 및 이차 형식을 정의할 수 있다.
:\langle x,y\rangle=\langle x^\top y\rangle
:\tilde Q(x)=\langle x^\top x\rangle
여기서 \langle-\rangle은 \mathbb N 등급에서, 등급 0의 성분으로의 사영을 뜻한다.

이는 다음 성질을 만족시킨다.
:\langle x,ay\rangle=\langle a^\top x,y\rangle

## 성질
만약 Q가
:V=U\oplus W
:Q(u+w)=Q(u)\qquad\forall u\in U,w\in W
라면 (즉, Q|_W=0라면),
:\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\cong\Lambda(W;K)\hat\otimes_K\operatorname{Cliff}(U,Q;K)
가 된다. 따라서, 만약 V가 반단순 가군이라면 V\cong(\operatorname{rad}Q)\oplus V/(\operatorname{rad}Q)이므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다. 따라서, V가 반단순 가군일 때 클리퍼드 대수의 분해는 Q가 비특이 이차 형식인 경우로 귀결된다. 특히, K가 체(또는 유한 개의 체들의 직접곱)라면, 모든 가군은 반단순 가군이 되므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다.

K가 체이며, V가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이고, 그 차원이 n이라고 하자. 그렇다면, 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 2^n차원 벡터 공간이다. \{e_i\}_{i=1,\dots,n}이 V의 기저라고 하자. 그렇다면 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)의 기저는 다음과 같이 주어진다.
:\{e_{i_1}e_{i_2}\dotsb e_{i_k}|1\le i_1

### 외대수와의 관계
체 K 위의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 K-가군으로서 외대수 \Lambda_K(V)와 동형이다. 만약 Q=0일 경우 \operatorname{Cliff}(V,0;K)는 외대수 \Lambda(V;K)와 대수로서 동형이지만, Q\ne0일 경우 외대수와 대수로서 다르다. 따라서, 클리퍼드 대수는 외대수의 일종의 양자화로 생각할 수 있다.

### 환론적 성질
가환환 K 위의 유한 생성 사영 가군 M 위의 비퇴화 이차 형식 Q의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(M,Q;K)는 등급 아즈마야 대수()이다. 또한, 만약 모든 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}K에 대하여 M\otimes_KK_{\mathfrak p}가 짝수 계수 K_{\mathfrak p}-자유 가군이라면, \operatorname{Cliff}(M,Q;K)는 짝수형 등급 아즈마야 대수이며, 반대로 만약 모든 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}K에 대하여 M\otimes_KK_{\mathfrak p}가 홀수 계수 K_{\mathfrak p}-자유 가군이라면, \operatorname{Cliff}(M,Q;K)는 홀수형 등급 아즈마야 대수이다. (여기서 K_{\mathfrak p}는 국소화이다.)

특히, 만약 K가 표수가 2가 아닌 체라면, \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 등급 중심 단순 대수()이다.
* 만약 V가 짝수 차원이라면 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 짝수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, \operatorname Z(\operatorname{Cliff}(V,Q;K))=K이며, \mathbb Z/2-등급 구조를 잊으면 중심 단순 대수를 이룬다.
* 만약 V가 짝수 차원이라면 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 홀수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, \mathbb Z/2-등급 구조를 잊으면 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 중심 단순 대수가 아니지만, \operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)는 중심 단순 대수를 이룬다.

#### 반단순성
표수가 2가 아닌 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V=\operatorname{Span}_K\{e_1,e_2,\dots,e_n\} 위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.
:Q(a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_ne_n)=c_1a_1^2+c_2a_2^2+\cdots+c_na_n^2\qquad(a_1,\dots,a_n,c_1,\dots,c_n\in K)
이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 (유한 차원 K-벡터 공간이므로) 항상 아르틴 환이다. 또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 반단순환이다. 즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱이다.
* 모든 i=1,2,\dots,n에 대하여 c_i\ne0이다.
또한, \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 2개 이하의 단순환의 직접곱이다.

#### 중심
표수가 2가 아닌 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V=\operatorname{Span}_K\{e_1,e_2,\dots,e_n\} 위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.
:Q(a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_ne_n)=c_1a_1^2+c_2a_2^2+\cdots+c_na_n^2\qquad(a_1,\dots,a_n,c_1,\dots,c_n\in K)

이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)의 중심은 다음과 같다.
:\operatorname Z\left(\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\right)=\begin{cases}
K&2\mid n\\
K+Ke_1e_2\cdots e_n&2\nmid n
\end{cases}

#### 스칼라 확대
가환환 K, \tilde K과 환 준동형 \phi\colon K\to\tilde K 및 K-가군 M 및 그 위의 이차 형식 Q가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (M,Q)의 스칼라 확대 (M\otimes_K\tilde K,Q\otimes_K1)의 클리퍼드 대수는 다음과 같은 \mathbb Z/2-등급 \tilde K-대수이다.
:\operatorname{Cliff}(M\otimes_K\tilde K,Q\otimes_K1)\cong\operatorname{Cliff}(M,Q)\otimes_K\tilde K

### 클리퍼드 군

클리퍼드 대수의 특정 가역원들은 **[[클리퍼드 군]]**이라는 군을 이룬다. 핀 군과 스핀 군은 클리퍼드 군의 부분군을 이룬다.

## 분류
### 직합에 대한 분해
가환환 K 및 임의의 두 \mathbb Z/2-등급 K-단위 결합 대수 A, A'가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:B=A\otimes_A'
위에 다음과 같은 \mathbb Z/2등급 K-단위 결합 대수의 구조를 부여할 수 있다.
:B_0=A_0\otimes_KA'_0\oplus A_1\otimes_KA'_1
:B_1=A_0\otimes_KA'_1\oplus A_1\otimes_KA'_0
:(a\otimes_Ka')(b\otimes_Kb')=(-)^{\deg a'\deg b'}(ab)\otimes_K(a'b')\qquad(a,b\in A,\;a',b'\in A')
여기서 A_0 및 A_1은 등급이 0 및 1인 성분들의 부분 집합이다. 이 \mathbb Z/2등급 K-단위 결합 대수를 A\hat\otimes_KA'으로 표기하자.

가환환 K 위의 두 이차 공간 (V,Q), (V',Q')이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 직합 (V\oplus V',Q\oplus Q') 위의 클리퍼드 대수는 \mathbb Z/2-등급 K-단위 결합 대수로서 다음과 동형이다.
:\operatorname{Cliff}(V\oplus V',Q\oplus Q';K)\cong\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\hat\otimes_K\operatorname{Cliff}(V',Q';K)

따라서, 클리퍼드 대수의 분류는 직합으로 분해할 수 없는 이차 공간 위의 클리퍼드 대수의 분류로 귀결된다.

### 체 위의 클리퍼드 대수의 분류
표수가 2가 아닌 체 K 위의 n차원 벡터 공간 V 위의 비퇴화 이차 형식 Q로 정의되는 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 등급 중심 단순 대수()이며, 이에 대하여 완전한 분류가 존재한다. 이는 다음과 같다.
* n이 짝수일 때: \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 K 위의 중심 단순 대수이다.
** \operatorname Z(\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K))\cong K(\sqrt a) (a\in K^\times/(K^\times)^2))의 꼴이라면, \operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)는 K(\sqrt a) 위의 중심 단순 대수이다.
** \operatorname Z(\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K))\cong K\times K의 꼴이라면, \operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)\cong A^2는 K 위의 어떤 중심 단순 대수 A의 제곱과 동형이다.
* n이 홀수일 때: \operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)는 K 위의 중심 단순 대수이다.
** \operatorname Z(\operatorname{Cliff}(V,Q;K))\cong K(\sqrt a) (a\in K^\times/(K^\times)^2))의 꼴이라면, \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 확대체 K(\sqrt a) 위의 중심 단순 대수이다.
** \operatorname Z(\operatorname{Cliff}(V,Q;K))\cong K\times K의 꼴이라면, \operatorname{Cliff}(V,Q;K)\cong A^2은 K 위의 어떤 중심 단순 대수 A의 제곱과 동형이다.
아르틴-웨더번 정리에 의하여, 체 K 위의 2^n차원 중심 단순 대수는 어떤 K-중심 단순 대수인 2^k차원 나눗셈환 D 위의 행렬환 \operatorname{Mat}(2^{n-k};D)과 동형이다.

### 복소수 클리퍼드 대수
K=\mathbb C가 복소수체이며, (V,Q)가 비퇴화 이차 형식이 주어진 유한 차원 복소수 벡터 공간이라고 하자. 복소수의 경우, 부호수의 개념이 존재하지 않고, 오직 n=\dim_{\mathbb C}V만 고려하면 된다. 이에 대한 클리퍼드 대수를 \operatorname{Cliff}(n;\mathbb C)로 쓰면, 이는 \mathbb C-단위 결합 대수로서 다음과 같다.
:\operatorname{Cliff}(n;\mathbb C)\cong\begin{cases}
\operatorname{Mat}(2^{n/2};\mathbb C)&2\mid n\\
\operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb C)\oplus \operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb C)&2\nmid n
\end{cases}
즉, 다음과 같은 주기 2의 보트 주기성이 존재한다.
:\operatorname{Cliff}(n+2;\mathbb C)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb C)\otimes_{\mathbb C}\operatorname{Cliff}(n;\mathbb C)
특히, 낮은 차원의 경우 이는 다음과 같다.
:\operatorname{Cliff}(0;\mathbb C)\cong\mathbb C
:\operatorname{Cliff}(1;\mathbb C)\cong\mathbb C\oplus\mathbb C (테사린, tessarine)
:\operatorname{Cliff}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb C) (2×2 복소 행렬)

### 실수 클리퍼드 대수
K=\mathbb R가 실수체이며, V가 유한 차원 실수 벡터 공간이고, Q가 부호수가 (p,q)인 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를 \operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)로 쓰자. 낮은 차원의 실수 클리퍼드 대수들은 다음과 같다.
:\operatorname{Cliff}(0,0;\mathbb R)\cong\mathbb R (실수)
:\operatorname{Cliff}(0,1;\mathbb R)\cong\mathbb C (복소수)
:\operatorname{Cliff}(1,0;\mathbb R)\cong\mathbb R\oplus\mathbb R (분할복소수)
:\operatorname{Cliff}(0,2;\mathbb R)\cong\mathbb H (사원수)
:\operatorname{Cliff}(2,0;\mathbb R)\cong\operatorname{Cliff}(1,1;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb R) (2×2 실수 행렬)
또한, 다음과 같은 주기 8의 보트 주기성이 성립한다.
:\operatorname{Cliff}(p+2,q;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\operatorname{Cliff}(q,p;\mathbb R)
:\operatorname{Cliff}(p+1,q+1;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)
:\operatorname{Cliff}(p,q+2;\mathbb R)\cong\mathbb H\otimes_{\mathbb R}\operatorname{Cliff}(q,p;\mathbb R)
이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다.

즉, 실수 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)들은 다음과 같은 **클리퍼드 시계**(Clifford時計, )로 나타낼 수 있다.
:\begin{matrix}
_{\displaystyle\mathsf8}&&^{\displaystyle\mathsf1}&&_{\displaystyle\mathsf2}\\
&_{\displaystyle\mathbb R}&^{\displaystyle\mathbb R^{\oplus2}}&_{\displaystyle\mathbb R}\\
\mathsf7\quad&\mathbb C\quad&&\quad\mathbb C&\quad\mathsf3\\
&^{\displaystyle\mathbb H}&_{\displaystyle\mathbb H^{\oplus2}}&^{\displaystyle\mathbb H}\\
^{\displaystyle\mathsf6}&&_{\displaystyle\mathsf5}&&^{\displaystyle\mathsf4}
\end{matrix}
즉, \operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)는 p-q\bmod8이 가리키는 방향에 적힌 대수 위의 행렬 대수이며, 행렬 대수의 크기는 \dim_{\mathbb R}\operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)=2^{p+q}으로부터 계산할 수 있다. 예를 들어, n\equiv3\pmod8일 때
:\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(\mathbb H;2^n/(2\dim_{\mathbb R}\mathbb H))\oplus\operatorname{Mat}(\mathbb H;2^n/(2\dim_{\mathbb R}\mathbb H))=\operatorname{Mat}(\mathbb H;2^{n-3})\oplus\operatorname{Mat}(\mathbb H;2^{n-3})
이다.

### 홀수 표수의 유한체
홀수 표수의 유한체 K=\mathbb F_q 위의 n차원 벡터 공간 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식
:Q=\operatorname{diag}(a_1,a_2,\dots,a_n)
이 주어졌다고 하자. 이 경우
:\delta=[(-1)^{n(n-1)/2}a_1a_2\cdots a_n]\in\mathbb F_q^\times/(\mathbb F_q^\times)^2\cong\mathbb Z/2
을 정의하자.
이 경우, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

홀수 표수 유한체 위의 양의 유한 차원 벡터 공간 위에는 정확히 두 개의 이차 형식(의 동형류)가 존재하므로, 이 경우 이차 형식은 그 클리퍼드 대수만으로 구별할 수 있다.

### 표수 2의 유한체
표수 2에서는 등급 텐서곱 \hat\otimes이 일반 텐서곱 \otimes과 같다. 표수 2의 유한체 K=\mathbb F_{2^e} 위의 2n차원 벡터 공간 위의 모든 비퇴화 이차 형식은 다음과 같은 두 2차원 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.
:Q_1=\left(K^2,(k_1,k_2)\mapsto k_1k_2\right)
:Q_2\left(K^2,(k_1,k_2)\mapsto(k_1^2+k_1k_2+ak_2^2)\right),\qquad a\in K\setminus\{b^2+b\colon b\in K\}
이 경우 \operatorname{Cliff}(\mathbb F_{2^e}^2,Q_1) 및 \operatorname{Cliff}(\mathbb F_{2^n}^2,Q_2) 둘 다 K 위의 중심 단순 대수를 이룬다. 따라서, 2n차원 벡터 공간 위의 임의의 비퇴화 이차 형식 Q의 클리퍼드 대수는 행렬환과 동형이다.
:\operatorname{Cliff}(\mathbb F_{2^e}^{2n},Q;\mathbb F_{2^e})\cong\operatorname{Mat}(2^n;\mathbb F_{2^e})

\mathbb F_{2^e} 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 임의의 이차 형식 Q는 다음과 같이 비퇴화 이차 형식 Q_{\text{nondeg}}과 다음 두 퇴화 이차 형식 가운데 하나와의 직합으로 표현할 수 있다.
:Q=Q_{\text{nondeg}}\oplus\begin{cases}
\operatorname{diag}(0,0,\dots,0,1)\\
\operatorname{diag}(0,0,\dots,0,0)
\end{cases}
\operatorname{Cliff}(\operatorname{diag}(0,0,\dots,0,0);\mathbb F_{2^e}) 및 \operatorname{Cliff}(\operatorname{diag}(0,0,\dots,0,1);\mathbb F_{2^e} 둘 다 외대수와 동형이다. 후자의 경우, 구체적으로 클리퍼드 대수
:\operatorname{Cliff}\left(\operatorname{diag}(1);K\right)=K[x]/(x^2+1)
에서 y=x+1로 놓으면 y^2=0이므로 이는 단위 결합 대수로서 외대수 \Lambda(K)=K[y]/(y^2)와 동형이다.

## 예
가환환 K 위의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 특수한 경우 다음과 같다.
* 만약 Q=0이라면 \operatorname{Cliff}(V,0;K)=\Lambda(V;K)는 외대수이다.
* 만약 V=0이 자명 가군이며, Q=0이 그 위의 유일한 이차 형식이라면, \operatorname{Cliff}(0,0;K)\cong K이다.

### 1차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수
만약 V=K가 1차원 자유 가군이며, Q\colon k\mapsto ak^2라면, \operatorname{Cliff}(K,Q;K)\cong K[x]/(x^2-a)이다. 따라서, 이 경우는 a=Q(1)의 동치류 [a]\in K/K^2에 의하여 분류된다.

만약 추가로 K가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체라면,
:K[x]/(x^2-a)\cong\begin{cases}K\oplus K&a\ne0\\\Lambda(K)&a=0\end{cases}
이다. 구체적으로, a\ne0일 경우
:y_\pm=\frac12(1\pm x/\sqrt a)
를 정의한다면,
:y_\pm^2=y_\pm
이므로 K[x]/(x^2-a)\cong Ky_+\oplus Ky_-가 된다.

### 2차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수
체 K 위의 2차원 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식에 의하여 정의되는 클리퍼드 대수는 **사원수형 대수**(, )라고 한다.

체 위의 사원수형 대수는 환으로서 항상 나눗셈환을 이루거나 또는 2×2 K 위의 행렬환 \operatorname{Mat}(2;K)과 동형이다. 후자의 경우, **분할 사원수형 대수**(, )라고 한다.

K가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 그 위의 사원수형 대수는 다음과 같이 표기한다.
:\left(\frac{a,b}K\right)=\operatorname{Cliff}\left(\operatorname{Span}_K\{i,j\},\operatorname{diag}(a,b);K\right)
=\frac{K\langle i,j\rangle}{(i^2-a,j^2-b,ij+ji)}\qquad(\deg i=\deg j=1)

보통 (사원수와 마찬가지로) ij=-ji=k로 표기한다.

K가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* (\tfrac{a,b}K)가 분할 사원수형 대수이다.
* 힐베르트 기호 (a,b)_K=1이다. 즉, z^2=ax^2+by^2의 해가 K에서 존재한다.

사원수의 환 \mathbb H는 실수체 위의 사원수형 대수 (\tfrac{-1,-1}K)이다.

## 클리퍼드 해석학
복소해석학의 여러 성질들을 클리퍼드 대수 값을 갖는 함수에 대하여 일반화할 수 있다.

### 디랙 연산자

유클리드 공간 \mathbb R^n 속의 열린집합 U\subseteq\mathbb R^n 위의 \mathcal C^1 함수
:f\colon U\to\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이러한 함수에 대하여 디랙 연산자
:D=\sum_{i=1}^ne_i\frac\partial{\partial x_i}
를 생각할 수 있다 (e_i는 \mathbb R^n의 정규 직교 기저). 만약 f가
:0=\overset\rightarrow Df=\sum_{i=1}^n\frac\partial{\partial x_i}(e_if(x))
를 만족시킨다면, f를 **왼쪽 정칙 함수**()라고 하며, 만약 f가
:0=f\overset\leftarrow D=\sum_{i=1}^n\frac\partial{\partial x_i}(f(x)e_i)
를 만족시킨다면, f를 **오른쪽 정칙 함수**()라고 한다.

디랙 연산자의 제곱은
:D^2=\sum_{i,j=1}^ne_ie_j\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}
=-\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}=-\nabla^2
이므로, iD는 라플라스 연산자 \nabla^2의 일종의 제곱근이다.

### 코시 적분 공식
클리퍼드 대수 값의 함수에 대하여 일종의 코시의 적분 정리가 성립한다. 즉,
* 두 열린집합 V\subseteq \operatorname{cl}(V)\subseteq U\subseteq\mathbb R^n가 주어졌으며 (\operatorname{cl}(V)는 위상수학적 폐포)
* V는 유계 집합이자 단일 연결 공간이며,
* 경계 \partial V가 조각별 \mathcal C^1 미분 가능 다양체를 이루며,
* f,g\colon U\to\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)는 \mathcal C^1 함수이며,
* f는 왼쪽 정칙 함수이며 g는 오른쪽 정칙 함수라고 하자.
그렇다면, 다음이 성립한다.
:0=\oint_{\partial V}g(x)\hat n_{\partial V}(x)f(x)\;\mathrm d\!x^{n-1}
여기서
* \hat n_{\partial V}\colon\partial V\to\mathbb R^n\subset\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)는 \partial V 위의 바깥 방향 수직 단위 벡터이며,
* \mathrm d\!x^{n-1}는 \partial V 위의 르베그 측도이다.

또한, 다음이 성립한다.
:f(x_0)=\frac1{\operatorname{vol}(\mathbb S^{n-1})}\oint_{\partial V}\frac{(x-x_0)\hat n_{\partial V}(x)f(x)}{\|x-x_0\|^n}\;\mathrm d\!x^{n-1}
:g(x_0)=\frac1{\operatorname{vol}(\mathbb S^{n-1})}\oint_{\partial V}\frac{g(x)\hat n_{\partial V}(x)(x-x_0)}{\|x-x_0\|^n}\;\mathrm d\!x^{n-1}
여기서
:\operatorname{vol}(\mathbb S^{n-1})=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}
는 n-1차원 단위 초구의 넓이이다.

### 등각 변환
리만 구 \hat{\mathbb C} 위의 등각 변환은 복소수 계수의 뫼비우스 변환
:z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}\qquad(a,b,c,d\in\mathbb C,\;ad-bc\ne0)
로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, \mathbb S^n=\widehat{\mathbb R^n} 위의 등각 변환은 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R) 계수의 뫼비우스 변환
:x\mapsto\frac{ax+b}{cx+d}\qquad\left(a,b,c,d\in\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)\right)
으로 나타내어진다. 이 경우, 2×2 행렬
:\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
를 등각 변환의 **알포르스-팔렌 행렬**()이라고 한다. 2×2 행렬
:M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(2;\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R))에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* M은 알포르스-팔렌 행렬이다. 즉, \widehat{\mathbb R^n} 위의 등각 변환을 정의한다.
* ac^\top,bd^\top\in\mathbb R^n이며, ad^\top-bc^\top\in\mathbb R\setminus\{0\}이다.
특히, 이 경우 뫼비우스 변환의 역원은 다음과 같다.
:\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}d^\top&-b^\top\\-c^\top&a^\top\end{pmatrix}

## 응용
### K이론
위상 K이론은 클리퍼드 대수와 깊은 관련이 있다. 구체적으로, KO-이론의 주기 8의 보트 주기성은 실수 클리퍼드 대수의 주기 8의 보트 주기성과 관련되고, 마찬가지로 KU-이론의 주기 2의 보트 주기성은 복소수 클리퍼드 대수의 주기 2의 보트 주기성과 관련된다.

### 물리학
양자장론에서, 4차원 디랙 스피너를 다룰 때 등장하는 디랙 행렬 \gamma^\mu (\mu=0,1,2,3)들의 곱은 복소수 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(4;\mathbb C)\cong\operatorname{Mat}(4;\mathbb C)를 생성한다. 마찬가지로, 3차원 스피너를 다룰 때 등장하는 파울리 행렬 \sigma^1,\sigma^2,\sigma^3들은 \{\sigma^i,\sigma^j\}=2\delta^{ij}\sigma^i를 만족시키며, 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(3,0;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb C)를 이룬다. 스피너의 벡터 공간은 이와 같은 클리퍼드 대수 위의 가군을 이룬다.

## 역사
영국의 기하학자 윌리엄 킹던 클리퍼드가 도입하였다. 클리퍼드는 1876년 3월 10일에 런던 수학회()에서 〈기하학적 대수의 분류에 대하여〉()라는 제목의 강의를 하였으며, 그 미출판 원고는 클리퍼드 사후에 발견되었다. 1878년에 클리퍼드는 미국의 수학 저널에 관련 논문을 출판하였다.

루돌프 립시츠는 클리퍼드와 독자적으로 1880년에 클리퍼드 대수를 발견하였고, 또 클리퍼드 군을 최초로 사용하였다.

알포르스-팔렌 행렬은 오스트리아의 카를 테오도어 팔렌()이 1902년에 도입하였고, 이후 핀란드의 라르스 알포르스가 재발견하였다.

1964년에 마이클 아티야 · 라울 보트 · 아놀드 새뮤얼 샤피로()는 클리퍼드 대수가 위상 K이론과 깊은 관련이 있음을 발견하였다.

## 각주

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## 같이 보기

* 기하적 대수학
* 디랙 연산자
* 디랙 행렬
* 사원수
* 스피너
* 스핀 군
* 스핀 다양체
* 외대수
* 케일리-딕슨 구성
* 팔원수

## 외부 링크
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