평균값 정리

섬네일|(''a'', ''f''(''a''))와 (''b'', ''f''(''b''))의 연결선을 아래로 평행 이동하여 어떤 점 ''c''에서의 접선을 얻을 수 있다.

미적분학에서 **평균값 정리**(平均-定理, )는 미분 가능 함수의 그래프의 할선과 평행하는 접선이 존재한다는 정리다. 롤의 정리로부터 유도되며, 테일러 정리를 비롯한 많은 확장이 존재한다. 미적분학의 기본 정리를 증명하는 데 쓰이며, 극값 · 고계 도함수 · 볼록 함수 · 역함수의 취급에도 응용된다.

## 정의
### 롤의 정리

연속 함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R가 (a,b)에서 미분 가능 함수이며, 또한 f(a)=f(b)라고 하자. 그렇다면, f'(c)=0인 c\in(a,b)가 존재한다. 이를 **롤의 정리**라고 한다.

### 평균값 정리
연속 함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R가 (a,b)에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 c\in(a,b)가 적어도 하나 존재한다.
:f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
이를 **평균값 정리**라고 한다. 평균값 정리에 따라, 충분히 매끄러운 함수의 그래프 t\mapsto(t,f(t))에 대하여, 양 끝점을 잇는 직선과 평행하는 그래프의 접선이 존재한다. 롤의 정리는 평균값 정리에서 f(a)=f(b)인 특수한 경우이다.

함수 g\colon[a,b]\to\mathbb R를 다음과 같이 정의하자.
:g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
(즉, g는 f에서 f의 양 끝점을 잇는 직선을 뺀 차와 같다.) 그렇다면, g는 연속 함수이며, (a,b)에서 미분 가능하며,
:g(a)=g(b)=0
이다. 롤의 정리에 따라, 다음을 만족시키는 c\in(a,b)가 존재한다.
:0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

### 코시 평균값 정리
섬네일|곡선의 시작과 끝을 잇는 직선과 평행하는 접선을 찾을 수 있다.
연속 함수 f,g\colon[a,b]\to\mathbb R가 (a,b)에서 미분 가능 함수라고 하자. 또한, g'\ne0라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 c\in(a,b)가 존재한다.
:\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
이를 **코시 평균값 정리**() 또는 **확장 평균값 정리**()라고 한다. 기하학적으로, 코시 평균값 정리에 따르면, 충분히 매끄러운 단순 곡선 t\mapsto(f(t),g(t))이 임계점을 갖지 않는다면, 두 끝점을 잇는 직선과 평행하는 접선을 갖는다. 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서 g(x)=x인 특수한 경우이다. 곡선이 임계점을 가질 수 있다면 반례가 존재한다. 예를 들어, 곡선
:[-1,1]\to\mathbb R^2
:t\mapsto(t^3,1-t^2)
의 양 끝점 (-1,0), (1,0)을 지나는 직선은 수평선이지만, 수평 접선은 존재하지 않는다.

다르부 정리에 따라, 임의의 x\in[a,b]에 대하여 g'(x)>0이거나, 임의의 x\in[a,b]에 대하여 g'(x)이다. 함수 h\colon[a,b]\to\mathbb R를 다음과 같이 정의하자.
:h(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))
그렇다면, h는 연속 함수이며, (a,b)에서 미분 가능하며,
:h(a)=h(b)=0
이다. 롤의 정리에 따라, 다음을 만족시키는 c\in(a,b)가 존재한다.
:0=h'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)

### 행렬식 평균값 정리
함수 f,g,h\colon[a,b]\to\mathbb R가 [a,b]에서 연속 함수, (a,b)에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 x\in(a,b)가 존재한다.
:\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}=0
코시 평균값 정리는 여기서 h(x)=1을 취한 특수한 경우이다.

함수
:D\colon[a,b]\to\mathbb R
:D(x)=\begin{vmatrix}
f(x)&g(x)&h(x)\\
f(a)&g(a)&h(a)\\
f(b)&g(b)&h(b)
\end{vmatrix}

에 롤의 정리를 적용한다.

### 다변수 함수의 경우
임의의 볼록 열린집합 U\subseteq\mathbb R^n 및 미분 가능 함수 f\colon U\to\mathbb R 및 점 \mathbf x,\mathbf y\in U에 대하여, 다음을 만족시키는 t_0\in(0,1)가 존재한다.
:f(\mathbf y)-f(\mathbf x)=\nabla f((1-t_0)\mathbf x+t_0\mathbf y)\cdot(\mathbf y-\mathbf x)
(일변수 함수에 대한) 평균값 정리는 여기서 n=1을 취한 특수한 경우이다.

함수 g\colon[0,1]\to\mathbb R를 다음과 같이 정의하자.
:g(t)=f((1-t)\mathbf x+t\mathbf y)
그렇다면, g는 미분 가능 함수이다. 평균값 정리에 따라, 다음을 만족시키는 t_0\in(0,1)가 존재한다.
:0=g'(t_0)=f'(g(t_0))\cdot(\mathbf y-\mathbf x)

## 적분 평균값 정리
### 제1 적분 평균값 정리
임의의 연속 함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R에 대하여, 다음을 만족시키는 c\in(a,b)가 존재한다.
:\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)
이에 따라, f의 그래프와 x축 사이의 영역의 넓이는 그래프의 한 점을 지나는 직선과 x축 사이의 직사각형의 넓이와 같다. 보다 일반적으로, 임의의 연속 함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R 및 리만 적분 가능 함수 g\colon[a,b]\to[0,\infty) (또는 g\colon[a,b]\to(-\infty,0])에 대하여, 다음을 만족시키는 c\in(a,b)가 존재한다.
:\int_a^bf(x)g(x)dx=f(c)\int_a^bg(x)dx
이를 **제1 적분 평균값 정리**()라고 한다. c\in[a,b]의 존재는 중간값 정리을 사용하여 쉽게 보일 수 있다. g가 연속 함수라고 가정하면 c\in(a,b)의 존재 역시 미적분학만으로 보일 수 있다. 이러한 가정이 없는 경우 약간의 실해석학이 필요하다.

편의상 g\colon[a,b]\to[0,\infty)라고 가정하자.
:m=\inf f\in\mathbb R
:M=\sup f\in\mathbb R
라고 하자. 임의의 x\in[a,b]에 대하여
:mg(x)\le f(x)g(x)\le Mg(x)
이므로,
:m\int_a^bg(x)\,dx\le\int_a^bf(x)g(x)\,dx\le M\int_a^bg(x)dx
이다. 만약
:\int_a^bg(x)\,dx=0
이라면, 위 부등식에 따라
:\int_a^bf(x)g(x)\,dx=0
이다. 이 경우 임의의 c\in(a,b)를 취한다. 만약
:\int_a^bg(x)\,dx\ne0
:m
이라면, 중간값 정리에 따라 다음을 만족시키는 c\in(a,b)가 존재한다.
:f(c)=\frac{\displaystyle\int_a^bf(x)g(x)\,dx}{\displaystyle\int_a^bg(x)\,dx}
이제 나머지 경우를 증명하자. 편의상
:\int_a^bg(x)\,dx\ne0
:\int_a^bf(x)g(x)\,dx=M\int_a^bg(x)dx
라고 가정하자. 항상 f(x)g(x)\le Mg(x)이므로, 가정에 따라 거의 모든 x\in[a,b]에 대하여 f(x)g(x)=Mg(x)이다. 마찬가지로, 항상 g(x)\ge0이므로, g(x)>0인 x\in[a,b]는 양의 르베그 측도의 집합을 이룬다. 마지막으로, 두 끝점 a와 b는 영집합을 이룬다. 따라서,
:f(x)g(x)=Mg(x)
:g(x)>0
:x\ne a,b
인 x\in[a,b]의 집합은 양의 르베그 측도를 가지며, 특히 공집합이 아니다. 즉,
:f(c)=M=\frac{\displaystyle\int_a^bf(x)g(x)\,dx}{\displaystyle\int_a^bg(x)\,dx}
인 c\in(a,b)가 존재한다.

### 제2 적분 평균값 정리
**제2 적분 평균값 정리**()에 따르면, 다음 세 명제가 성립한다.
* 임의의 증가함수 f\colon[a,b]\to[0,\infty) 및 리만 적분 가능 함수 g\colon[a,b]\to\mathbb R에 대하여, 다음을 만족시키는 c\in[a,b]가 존재한다.
*:\int_a^bf(x)g(x)\,dx=f(b)\int_c^bg(x)\,dx
* 임의의 감소함수 f\colon[a,b]\to[0,\infty) 및 리만 적분 가능 함수 g\colon[a,b]\to\mathbb R에 대하여, 다음을 만족시키는 c\in[a,b]가 존재한다.
*:\int_a^bf(x)g(x)\,dx=f(a)\int_a^cg(x)\,dx
* 임의의 단조함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R 및 리만 적분 가능 함수 g\colon[a,b]\to\mathbb R에 대하여, 다음을 만족시키는 c\in[a,b]가 존재한다.
*:\int_a^bf(x)g(x)\,dx=f(a)\int_a^cg(x)\,dx+f(b)\int_c^bg(x)\,dx
첫 번째·두 번째 명제는 f가 음이 아닌 값을 갖는다고 가정한다. 세 번째 명제에서, f는 부호가 변화하는 함수일 수 있으며, 증가함수일 수도 감소함수일 수도 있다. 세 명제 모두 g에 대해서는 리만 적분 가능성밖에 가정하지 않는다. 제2 적분 평균값 정리의 증명 역시 중간값 정리를 사용한다. 이를 위해서는 적분 값의 상계와 하계를 주는 부등식을 증명해야 하는데, 만약 g가 음이 아닌 실수 값을 갖는다면 이는 자명하다. 만약 g의 연속성과 f의 1차 연속 미분 가능성을 가정하면, 부분 적분을 사용할 수 있다. 일반적인 경우는 더 복잡하며, 리만 적분을 유한합의 극한으로 전개한 뒤 아벨 변환을 가한다.

임의의 감소함수 f\colon[a,b]\to[0,\infty)에 대하여, f_1\colon[a,b]\to[0,\infty), f_1(x)=f(a+b-x)는 증가함수이다. 임의의 증가함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R에 대하여, f_2\colon[a,b]\to[0,\infty), f_2(x)=f(x)-f(a)는 증가함수이며, 음이 아닌 값을 갖는다. 임의의 감소함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R에 대하여, f_3\colon[a,b]\to[0,\infty), f_3(x)=f(x)-f(b)는 감소함수이며, 음이 아닌 값을 갖는다. 따라서, 첫 번째 명제를 증명하는 것으로 족하다.

증가함수 f\colon[a,b]\to[0,\infty) 및 리만 적분 가능 함수 g\colon[a,b]\to\mathbb R가 주어졌다고 하자. 그렇다면, f 역시 리만 적분 가능하며, g는 유계 함수이다. 따라서, 임의의 구간 분할
:P=(x_0^P,x_1^P,\dots,x_{n_P}^P)\in\operatorname{part}([a,b])
:a=x_0^P
에 대하여,
:\begin{align}
\left|\sum_{i=1}^{n_P}\int_{x_{i-1}^P}^{x_i^P}(f(x)-f(x_i^P))g(x)\,dx\right|
&\le(\sup|g|)\cdot\left(\sum_{i=1}^{n_P}\left(\sup_{x\in[x_{i-1}^P,x_i^P]}f(x)\right)(x_i^P-x_{i-1}^P)-\sum_{i=1}^{n_P}\left(\inf_{x\in[x_{i-1}^P,x_i^P]}f(x)\right)(x_i^P-x_{i-1}^P)\right)\\
&\to(\sup|g|)\cdot\left(\mathcal U\int_a^bf(x)\,dx-\mathcal L\int_a^bf(x)\,dx\right)\qquad(P\in\operatorname{part}([a,b]))\\
&=0
\end{align}

이다. (여기서
:\mathcal U\int_a^b
:\mathcal L\int_a^b
는 리만 상적분·리만 하적분이다. f는 리만 적분 가능하므로 상적분과 하적분이 같다.)
:h\colon[a,b]\to\mathbb R
:h(x)=\int_x^bg(t)\,dt
라고 하자. 제1 미적분학의 기본 정리에 의하여, h는 연속 함수다.
:m=\inf h\in\mathbb R
:M=\sup h\in\mathbb R
라고 하자. 이제, 아벨 변환을 통하여 적분의 상계와 하계를 다음과 같이 구할 수 있다.
:\begin{align}
\int_a^bf(x)g(x)\,dx
&=\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\sum_{i=1}^{n_P}\int_{x_{i-1}^P}^{x_i^P}f(x)g(x)\,dx\\
&=\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\sum_{i=1}^{n_P}f(x_i^P)\int_{x_{i-1}^P}^{x_i^P}g(x)\,dx\\
&=\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\sum_{i=1}^{n_P}f(x_i^P)(h(x_{i-1}^P)-h(x_i^P))\\
&=\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\left(f(b)(h(a)-h(b))+\sum_{i=1}^{n_P-1}(f(x_i^P)-f(x_{i+1}^P))(h(a)-h(x_i^P)\right)\\
&=\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\left(f(b)h(a)+h(a)\sum_{i=1}^{n_P-1}(f(x_i^P)-f(x_{i+1}^P))+\sum_{i=1}^{n_P-1}(f(x_{i+1}^P)-f(x_i^P))h(x_i^P)\right)\\
&=\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\left(f(x_1)h(a)+\sum_{i=1}^{n_P-1}(f(x_{i+1}^P)-f(x_i^P))h(x_i^P)\right)\\
&\ge\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\left(mf(x_1)+m\sum_{i=1}^{n_P-1}(f(x_{i+1}^P)-f(x_i^P))\right)\\
&=mf(b)
\end{align}

:\begin{align}
\int_a^bf(x)g(x)\,dx
&=\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\left(f(x_1)h(a)+\sum_{i=1}^{n_P-1}(f(x_{i+1}^P)-f(x_i^P))h(x_i^P)\right)\\
&\le\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\left(Mf(x_1)+M\sum_{i=1}^{n_P-1}(f(x_{i+1}^P)-f(x_i^P))\right)\\
&=Mf(b)
\end{align}

중간값 정리에 따라, 다음을 만족시키는 c\in[a,b]가 존재한다.
:\int_a^bf(x)g(x)\,dx=h(c)f(b)=f(b)\int_c^bg(x)\,dx

### 복소 적분 형태
복소평면 상에서 어떤 점 z_0을 중심으로 하는 반지름 r인 원 내에서 정칙인 함수 f에 대하여,
:f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(z_0+re^{it})dt 가 성립한다. 이것을 **가우스의 평균값 정리**라고 한다.

코시의 적분공식에서 폐곡선을 원으로 취하면 즉시 얻을 수 있다.

f(z)=u(z)+iv(z)일 때, 양변에 실수부를 취한 다음 형태는 **조화함수에 대한 가우스의 평균값 정리**라고 한다.
:u(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(z_0+re^{it})dt

## 응용
다음은 평균값 정리로부터 간단히 유도되는 몇 가지 명제들이다.
* 구간 I에 정의된 실수값함수 f가 만약 I에서 연속, I의 내부에서 미분 가능하며 항상 f'(x) = 0이라면, f는 I에서 상수함수이다.
* f,g\colon I\to\mathbb R가 만약 I에서 연속, 내부에선 항상 f'(x) = g'(x)라면, f,g는 I에서 상수 차이이다.
* f\colon I\to\mathbb R가 만약 I에서 연속, 내부에선 항상 f'(x) \ge 0이라면, f는 I에서 단조증가한다.
이들의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 첫 번째 명제의 증명이다. I 내부의 임의의 두 점 a 에 대해, f는 [a, b]에서 평균값 정리의 전제를 만족한다. 따라서 다음을 만족하는 c \in (a, b)가 존재한다.
:0 = f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
즉 f(a) = f(b). 이로써 f는 I 내부에서 상수이다. 연속성에 의해 I 전체에서 상수다.

## 역사
이 정리의 최초의 입안자는 인도의 바타세리 파라메슈바라(Vatasseri Parameshvara)로 기록되어 있으며 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시이다.

## 같이 보기
* 조화 함수
* 테일러 급수

## 각주

## 참고 문헌
* 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
* 
* Robert G. Bartle, 『실해석학개론(3판)』, 범한서적주식회사, 2006
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## 외부 링크
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