그로텐디크 스펙트럼 열

호몰로지 대수학에서 **그로텐디크 스펙트럼 열**(Grothendieck spectrum列, )은 두 왼쪽 완전 함자의 합성 함자의 오른쪽 유도 함자를 각 왼쪽 완전 함자의 오른쪽 유도 함자들로 나타내는 스펙트럼 열이다. 즉, 유도 함자에 대한 일종의 연쇄 법칙이다.

## 정의
단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A,\mathcal B 사이의 \operatorname{Ab}-풍성한 왼쪽 완전 함자 F\colon\mathcal A\to\mathcal B가 주어졌다고 하자.  F-**비순환 대상**()은 다음 조건을 만족시키는 대상 A\in\mathcal A이다.
:\forall i\in\mathbb Z^+\colon \operatorname R^iF(A)=0

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 아벨 범주 \mathcal A,\mathcal B, \mathcal C
* 왼쪽 완전 함자 F\colon\mathcal A\to\mathcal B, G\colon\mathcal B\to\mathcal C
* \mathcal A의 대상 A\in\mathcal A
이들은 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* \mathcal A와 \mathcal B는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이다.
* F는 F-비순환 대상을 G-비순환 대상으로 대응시킨다.
* A는 F-비순환 대상들로의 분해를 갖는다.
그렇다면, A에 대한 **그로텐디크 스펙트럼 열** E^{\bullet\bullet}_\bullet은 다음과 같은 제1 사분면 스펙트럼 열이다.
:E_2^{pq} = (\operatorname R^p G \circ\operatorname R^q F)(A)
이 스펙트럼 열은 합성 함자의 G\circ F의 오른쪽 유도 함자로 수렴한다.
:E_2^{p,q} \Rightarrow \operatorname R^{p+q} (G\circ F)(A)
그로텐디크 스펙트럼 열의 쪽들은 표준적이지 않으며, A와 F(A)의 단사 분해에 의존한다.

### 유도 범주와의 관계
유도 범주 대신 유도 범주 위의 전체 유도 범주를 사용하면, 표준적인 자연 변환
:\operatorname R(G\circ F)\Rightarrow\operatorname RG\circ\operatorname RF\colon\operatorname D(\mathcal A)\to\operatorname D(\mathcal C)
이 존재한다. 그로텐디크 스펙트럼 열은 이 유도 범주 사이의 함자의 성분을 표시한다.

## 성질
함자 F, G에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 5항 완전열은 다음과 같다.
:0\to(\operatorname R^1G\circ F)(A)\to(\operatorname R^1(G\circ F))(A)\to (G\circ\operatorname R^1F)(A)\to(\operatorname R^2G\circ F)(A)\to(\operatorname R^2(G\circ F))(A)

## 예
### 르레 스펙트럼 열

**르레 스펙트럼 열**()은 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.
:\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\xrightarrow{f_*}\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})\xrightarrow{\Gamma_X}\operatorname{Ab}
여기서 f_*는 위상 공간 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y에 의하여 유도되는 층의 직상이며, \Gamma_X는 층의 대역 단면 함자 (즉, 한원소 공간 위의 층 범주 \operatorname{Sh}(\{\bullet\},\operatorname{Ab})\simeq\operatorname{Ab}로의 직상)이다. 층의 직상 f_*\colon\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})은 완전 함자인 왼쪽 수반 함자인 층 역상
:f^*\colon\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab}
:f^*\dashv f_*
을 가지므로, 직상 f_*은 단사층을 단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.

### 국소-대역 Ext 스펙트럼 열
환 달린 공간 (X,\mathcal O_X) 위의 두 \mathcal O_X-가군층 \mathcal F, \mathcal G가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.
:\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}\xrightarrow{\hom_{\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}}(\mathcal F,-)}\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\xrightarrow{\Gamma_X}\operatorname{Ab}
이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 다음과 같다.
:E^{p,q}_2(\mathcal G) = \operatorname H^p(X; \mathcal{Ext}^q_{\mathcal O_X}(\mathcal F,\mathcal G)) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{p+q}_{\Gamma_X(\mathcal O_X)}\left(\Gamma_X(\mathcal F),\Gamma_X(\mathcal G)\right)
여기서
:\mathcal{Ext}^q_{\mathcal O_X}(F,-)=\operatorname R^q\hom_{\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}}(\mathcal F,-)
는 가군층의 국소 Ext 함자이다. (가군층의 \hom_{\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}}(\mathcal F,-) 함자는 단사층을 말랑한 층으로 대응시키며 말랑한 층은 항상 비순환층이므로 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 성립한다.) \operatorname{Ext}는 가군의 (대역) Ext 함자이다. 즉, 이는 대역 Ext 함자를 국소 Ext 함자로부터 계산하는 스펙트럼 열이다.

### 밑 전환
가환환 R, S 및 환 준동형 f\colon R\to S 및 S 위의 가군 N이 주어졌다고 하자.

그렇다면 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.
:\operatorname{Mod}_R\xrightarrow{\otimes_RS} \operatorname{Mod}_S\xrightarrow{\otimes_SN}\operatorname{Mod}_S
이들에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 Tor 함자의 밑 전환()을 계산한다. 즉, R 위의 가군 M에 대하여 다음과 같은 스펙트럼 열들이 존재한다.
:E^{p,q}_2(M)=\operatorname{Tor}^S_p(\operatorname{Tor}^R_q(M,S),N)\Rightarrow\operatorname{Tor}^R_{p+q}(M,N)
만약 S가 R-평탄 가군이라면,
:\operatorname{Tor}^R_q(M,S)=\begin{cases}
M\otimes_RS&q=0\\
0&q>0
\end{cases}
이며, 따라서 스펙트럼 열이 다음과 같이 퇴화하게 된다.
:\operatorname{Tor}^S_p(M\otimes_RS,N)\cong\operatorname{Tor}^R_p(M,N)

### 군 코호몰로지
군 코호몰로지를 계산하는 **린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열**() 역시 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

유한군 G와 정규 부분군 N\vartriangleleft G 및 G-가군 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자들이 존재한다.
:\operatorname{Mod}_{\mathbb Z[G]}\xrightarrow{(-)^N}\operatorname{Mod}_{\mathbb Z[G/N]}\xrightarrow{(-)^{G/N}}\operatorname{Ab}
여기서 (-)^N은 N의 작용에 대한 불변 원소들로 구성된 부분 가군이다.
이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 **린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열**이라고 하며, 다음과 같다.
:\operatorname H^p(G/N;\operatorname H^q(N,M))\Rightarrow\operatorname H^{p+q}(G;M)
이에 대응하는 5항 완전열은 **팽창-제한 완전열**()이라고 하며, 다음과 같다.
:0\to\operatorname H^1(G/N;M^N)\to\operatorname H^1(G;M)\to\operatorname H^1(N;M)^{G/N}\to\operatorname H^2(G/N;M^N)\to\operatorname H^2(G;M)
여기서 "팽창"은
:\operatorname H^\bullet(G/N;M)\to\operatorname H^\bullet(G/N;M)
이며, "제한"은
:\operatorname H^\bullet(G;M)\to\operatorname H^\bullet(N;M)^{G/M}
이다.

## 역사
1946년에 장 르레는 스펙트럼 열의 최초의 예로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다. 1948년에 로저 코넌트 린던()은 군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 발견하였고, 1953년에 게르하르트 호흐실트와 장피에르 세르는 이를 개량하였다.
이후 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 도호쿠 대학 저널 논문에서 아벨 범주의 이론 및 그로텐디크 스펙트럼 열을 도입하였고, 르레 스펙트럼 열과 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이 사실 임의의 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우라는 것을 보였다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:호몰로지 대수학