끈 군

대수적 위상수학과 이론물리학에서 **끈 군**(-群, )은 스핀 군과 유사하지만, 3차 호모토피 군이 자명한 위상군이다. 이는 유한 차원 리 군으로 표현될 수 없으나, 무한 차원 프레셰 리 군으로 존재한다. 이에 대응하는 리 대수는 유한 차원의 L∞-대수로 여길 수 있다.

## 정의
임의의 콤팩트 단순 리 대수 \mathfrak g가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에
:\mu \in \bigwedge^3 \mathfrak g^*
:\mu(x,y,z) = K([x,y],z)
를 정의할 수 있다. 여기서 K(-,-)는 킬링 형식이다.

끈 2-리 대수는 실수 벡터 공간으로서 다음과 같다.
:\mathfrak{string}(\mathfrak g) = \mathbb R[1] \oplus \mathfrak g
코쥘 쌍대성에 따라서, 이에 대응되는 등급 가환 미분 등급 대수는 다음과 같다.
:\mathbb R[y] \otimes \bigwedge\mathfrak g^*
:\deg y = 2
:\deg \mathfrak g^* = 1
이 경우, 추가된 2차 리 미분은 다음과 같다.
:\mathrm dy = \mu

이에 대하여 대응되는 위상군을 **끈 군**이라고 한다. 즉, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 G의 경우
:\pi_0(G) = \pi_1(G) = \pi_2(G) = 0
:\pi_3(G) = \mathbb Z
이므로, 이는 화이트헤드 탑
:\dotsb \to \operatorname{String}(G) \to G \to 0
의 일부를 이룬다. 특히, G = \operatorname{Spin}(n)의 경우, 이는 직교군
:\pi_0(\operatorname O(n)) = \mathbb Z/2
:\pi_1(\operatorname O(n)) = \mathbb Z/2
:\pi_2(\operatorname O(n)) = 0
:\pi_3(\operatorname O(n)) = \mathbb Z
의 화이트헤드 탑
:\dotsb \to \operatorname{Fivebrane}(n) \to \operatorname{String}(n) \to \operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{SO}(n) \to \operatorname O(n)
의 한 성분을 이룬다.

### 2-군으로서의 구성
일반적으로, 2-군은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 군 G
* 군 H
* 군 준동형 \rho\colon G\to \operatorname{Aut}(H)
* H계수의 G의 3차 코호몰로지류 \alpha\in\operatorname H^3(G;H). 여기서 H는 \rho를 통하여 G-가군으로 간주한다.

이제,
:H = \operatorname U(1)
:\rho\colon G \to \operatorname{Aut}(H)
:\rho\colon g \mapsto \operatorname{id}_H
를 생각하자. 천-사이먼스 형식으로부터, 어떤 1차원 격자
:\Lambda \subseteq \operatorname H^3(\mathfrak g;\mathfrak u(1))
로부터 코호몰로지 사상
:\Lambda \hookrightarrow \operatorname H^3(G;\operatorname U(1))
을 정의할 수 있다. 따라서, 각 정수 k에 따라서 이 데이터로 정의되는 2-군 G_k를 정의할 수 있다. 그러나 이 코호몰로지류는 연속 코호몰로지가 아니므로 이는 리 군을 정의하지 못한다.

끈 군 \operatorname{String}(G)이 존재하며, 이는 짧은 완전열
:0 \to K(\mathbb Z,2) \to \operatorname{String}(G) \to G \to 0
을 갖는다. 여기서 에일렌베르크-매클레인 공간 K(\mathbb Z,2)는 \mathbb P^\infty_{\mathbb C}로 여길 수 있다. 이 위상군은 유한 차원 리 군으로 표현될 수 없다.

### 프레셰 리 군으로서의 구성
단일 연결 단순 콤팩트 리 군 G에 대하여, 끈군 \operatorname{String}(G)는 무한 차원 프레셰 리 군으로 표현될 수 있다.

구체적으로, 임의의 무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간 H가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 사영 유니터리 군 \operatorname{PU}(H)에 노름 위상을 주면, 이는 \operatorname K(\mathbb Z,2)를 이룬다. 이제, 호모토피 군
:\mathbb Z \cong \operatorname H^3(G)
의 생성원
:\alpha \in \operatorname H^3(G)
을 고르면, 이를 표현하는 주다발
:\operatorname{PU}(H) \to P \to G
를 고를 수 있다. 또한, 망각 사상
:\phi\colon \operatorname{Aut}(P) \to \operatorname{Diff}(G)
이 존재한다. 물론, 군은 스스로 위의 왼쪽 곱셈 함수
:\mathsf L \colon G \to \operatorname{Diff}(G)
:\mathsf L_g \colon h \mapsto gh
를 갖는다. 즉
:\operatorname{Aut}(P) \to \operatorname{Diff}(G) \leftarrow G
이다. 그렇다면, **끈 군**은 다음과 같다.
:\operatorname{String}(G) = \{f \in \operatorname{Aut}(P)\colon\exists g\in G\colon \phi(f) = \mathsf L_g \}

### 프레셰 교차 가군으로서의 구성
끈군은 프레셰 리 군으로 구성된 교차 가군으로 구성될 수도 있다. 이 교차 가군 (G',H,\rho,d)은 구체적으로 다음과 같다.
* G' = \mathrm PG (매끄러운 함수 [0,2\pi]\to G의 점별 곱셈군인 프레셰 리 군)
* H = \hat\Omega_k G (k차 아핀 리 대수에 대응되는 프레셰 리 군)
* \rho \colon G' \to \operatorname{Aut}(H)는 경로군의, 고리군에 대한 자연스러운 켤레 작용을 아핀 리 대수로 올린 것이다.
* d\colon H \to G'는 아핀 리 군에서 고리군으로 가는 사영 사상 \hat\Omega_kG \twoheadrightarrow \Omega G과, 고리군에서 경로군으로 가는 포함 사상 \Omega G \hookrightarrow PG을 합성한 것이다.

## 같이 보기
* 제르브
## 각주

## 외부 링크
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분류:위상군
분류:호모토피 이론
분류:끈 이론