정칙 벡터 다발

미분기하학에서 **정칙 벡터 다발**(正則vector다발, ) 또는 **해석적 벡터 다발**(解析的vector다발, )은 복소다양체 위에 정의된, 사영 사상이 정칙 함수인 복소수 벡터 다발이다.

## 정의
M이 복소다양체이고, 그 위에 \pi\colon E\to M이 복소수 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면 E 또한 복소다양체를 이룬다. 만약 사영 \pi가 복소다양체 사이의 정칙 함수라면, E를 **정칙 벡터 다발**이라고 한다.

마찬가지로, \pi의 단면 s \colon M \to E가 정칙 함수라면, 이를 \pi의 **정칙 단면**(正則斷面, )이라고 한다. 정칙 벡터 다발 E의 정칙 단면들의 모임은 국소 자유 가군층을 이루며, \mathcal O(E)라고 쓴다. 만약 E가 자명한 복소수 선다발 \underline{\mathbb C}라면, \mathcal O(\underline{\mathbb C})는 M의 구조층() \mathcal O_M과 같다.

## 연산
정칙 벡터 다발 \pi\colon E\twoheadrightarrow M이 주어졌을 때, 정칙 벡터 다발
:\pi^* \colon E^* \twoheadrightarrow M
을 정의할 수 있다. 그 올
:E_x^* = \hom_{\mathbb C}(E_x,\mathbb C)
은 E_x의 복소수 쌍대 공간이다.

반면, 정칙 벡터 다발의 켤레 벡터 다발은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.

## 성질
정칙 벡터 다발 E\to M의 코호몰로지 H^\bullet(-,\mathcal O(E))는 그 해석적 단면들의 층 \mathcal O(E)의 층 코호몰로지다. 이 경우, 낮은 차수의 코호몰로지 군은 다음을 나타낸다.
* H^0(M,\mathcal O(E))는 E의 해석적 단면들의 덧셈에 대한 아벨 군이다.
* H^1(M,\mathcal O(E))는 자명 선다발의 E에 대한 확대들의 아벨 군이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 이루는 해석적 벡터 다발 F들로 구성된다.
*:0\to E\to F\to M\times\mathbb C\to0

### 정칙 접속
복소다양체 M 위의 복소수 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M 위의 벡터 다발 접속 \nabla
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는 매끄러운 함수 위에 다음과 같이 작용한다.
:
\nabla\colon \Gamma^\infty(\mathrm TE) \to \Gamma^\infty(\mathrm T^*M \otimes_{\mathbb R} E) = \Omega^1(E)
그런데 복소다양체에서 쌍대접공간 \mathrm T^*_xM의 복소화 \mathrm T^*_xM\otimes_{\mathbb R}\mathbb C는 다음과 같이 분해된다.
:\mathrm T^*_xM\otimes_{\mathbb R}\mathbb C = \mathrm T^{(0,1)*}_xM \oplus \mathrm T^{(1,0)*}_xM
즉,
:\mathrm T^*M \otimes_{\mathbb R} E = (\mathrm T^*M\otimes_{\mathbb R}\mathbb C) \otimes_{\mathbb C} E
= (\mathrm T^{(0,1)*}M \otimes_{\mathbb C} E)
\oplus
(\mathrm T^{(1,0)*}M \otimes_{\mathbb C} E)

와 같은 분해가 존재한다. 이에 따라, 벡터 다발 접속 \nabla 역시 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.
:\nabla^{(1,0)}\colon \Omega^0(M;E) \to \Omega^{1,0}(M;E)
:\nabla^{(0,1)}\colon \Omega^0(M;E) \to \Omega^{0,1}(M;E)

이제, E가 정칙 벡터 다발이라고 추가로 가정하자. 그렇다면, 그 단면에는
:\bar\partial \colon \Omega^0(M;E) \to \Omega^{0,1}(M;E)
가 잘 정의된다. (이는 E의 국소 자명화에서 모든 전이 사상이 정칙 함수이기 때문이다. 반면, \partial\colon\Omega^0(M;E) \to \Omega^{1,0}(M;E)는 잘 정의되지 않는다. 물론, 만약 E가 “반정칙 벡터 다발”일 경우, 반대로 \partial이 정의되며 \bar\partial이 정의되지 않는다.) 만약
:\nabla^{(0,1)} = \bar\partial
이라면, 접속 \nabla를 **정칙 접속**()이라고 한다.

### 에르미트 계량
에르미트 계량 \langle-,-\rangle를 갖춘 복소수 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M의 경우, **[[에르미트 접속]]**의 개념이 존재한다. 만약 E가 추가로 정칙 벡터 다발일 경우, 정칙 접속이자 에르미트 접속인 벡터 다발 접속의 개념을 생각할 수 있다. 이러한 접속은 항상 유일하게 존재하며, 이를 **천 접속**([陳]接續, )이라고 한다. 천 접속의 곡률은 (1,1)차 복소수 미분 형식이다.

만약 E가 켈러 다양체의 정칙 접다발인 경우, 천 접속은 리만 계량으로 유도되는 레비치비타 접속과 같다.

정칙 선다발 \pi\colon L \to M의 국소 자명화
:\phi_i \colon \pi^{-1}(U_i) \to U_i \times \mathbb C
가 주어졌다고 하고, 그 전이 함수가
:g_{ij}\colon U_i \cap U_j \to \mathbb C^\times
라고 하자. 이 경우, 에르미트 계량은 항상
:\langle s,t\rangle (z) = \exp(2a_i(z)) \bar st\qquad\forall s,t\in \Gamma(U_i,L)
:a_i \colon U_i \to \mathbb R
이게 놓을 수 있으며, 에르미트 계량의 조건은
:a_j(x) = a_i(x) + \ln |g_{ij}|\qquad\forall x\in U_i \cap U_j
인 것이다. 이 경우, 천 접속의 곡률은
:F \restriction U_i = -\frac12\mathrm i\partial\bar\partial a_i
로 주어진다.

## 예
### 정칙 접다발
복소다양체 M의 접다발 \mathrm TM을 생각하자. 그 위에 복소구조 J\colon \mathrm TM\to\mathrm TM가 작용하며, 이는 정의에 따라 J^2=-1을 만족시킨다. 즉,
:J\colon\mathrm TM\otimes\mathbb C\to\mathrm TM\otimes\mathbb C
의 고윳값은 \pm\mathrm i이며, 이에 의하여
:\mathrm TM\otimes\mathbb C=\mathbb T^+M \oplus\mathrm T^-M
으로 분해된다. 이 경우, \mathrm T^+M은 **정칙 접다발**()이라고 하며, 정칙 벡터 다발이다. (반면, \mathrm T^-M은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.)

### 대수적 벡터 다발
비특이 복소수 대수다양체 X 위의 대수적 벡터 다발 E\twoheadrightarrow X이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응되는 복소다양체 X^{\operatorname{an}} 및 복소다양체 사이의 정칙 함수 E^{\operatorname{an}}\twoheadrightarrow X^{\operatorname{an}}를 취할 수 있다. 이 경우, 이는 정칙 벡터 다발을 이룬다.

반대로, 만약 X가 추가로 사영 대수다양체라면, X^{\operatorname{an}} 위의 모든 정칙 벡터 다발은 X 위의 대수적 벡터 다발에서 유래한다. 이는 가가 정리의 한 경우이다.

### 자명한 다발
복소수 벡터 공간 \mathbb C^n 위의 자명한 복소수 벡터 다발
:\mathbb C^m\times\mathbb C^n \twoheadrightarrow \mathbb C^n
은 (자명하게) 정칙 벡터 다발이다.

## 역사
에르미트 정칙 벡터 다발의 천 접속은 천싱선이 도입하였다.

## 같이 보기
* 버코프-그로텐디크 정리
* 세르 쌍대성
## 각주

## 외부 링크
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분류:복소다양체
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