열핵

해석학에서 **열핵**(熱核, )은 열 방정식의 그린 함수이다. 해석학에서 함수를 매끄럽게 만들기 위해 쓰인다.

## 정의
### 일반화 라플라스 연산자
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* n차원 리만 다양체 (M,g)
* 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M
E 위의 **[[라플라스형 연산자]]**는 (임의의 국소 좌표계에서) 다음과 같은 꼴의, E 위의 2차 미분 연산자이다.
:H\colon \Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)
:H=g^{ij}(x)\partial_i\partial_j+A^i(x)\partial_i+B(x)\qquad(A^i\in\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm TM),\;B\in\Gamma^\infty(E))
여기서 \Gamma^\infty는 매끄러운 단면의 공간을 뜻한다. 마찬가지로, 연속 단면을 \Gamma^0로 표기하자.

다시 말해, 라플라스형 연산자는 어떤 임의의 리만 계량 g와 코쥘 접속 \nabla 및 매끄러운 단면 T\in\Gamma^\infty(E\otimes E^*)에 대하여
:Hs=g^{ij}\nabla_i\nabla_js+Ts
의 꼴로 나타내어지는 미분 연산자이다.

### 열핵
이제, |\Lambda(M)|^{1/2}가 M 위의, 무게 n/2의 밀도 다발이라고 하자. (이는 M의 방향과 관계없이 정의된다.) 그렇다면, \mathbb R^+\times M\times M 위에 다음과 같은, (\dim E)^2차원 벡터 다발을 생각하자.
:F=(E\otimes_{\mathbb R}|\Lambda(M)|^{1/2})\boxtimes (E^*\otimes_{\mathbb R}|\Lambda(M)|^{1/2})

M이 콤팩트 공간일 경우, H의 **열핵**
:K(t,x,y)\in\Gamma^0(F)
은 다음 조건들을 만족시키는, F의 (연속) 단면이다.
* t에 대하여 \mathcal C^1 함수이다. 즉, \partial K(t,x,y)/\partial t가 존재하며, 연속 함수 \mathbb R^+\times M\times M\to F를 이룬다.
* x에 대하여 \mathcal C^2 함수이다. 즉, \partial^2K(t,x,y)/\partial x^i\partial x^j가 연속적으로 존재한다.
* 열 방정식이 성립한다. 즉, 다음이 성립한다.
*: \left(\frac\partial{\partial t}-H\right)K(t,x,y)=0
* (초기 조건) 다음과 같은 경계 조건이 성립한다. 임의의 s\in\Gamma^\infty(\mathcal E\otimes_{\mathbb R}|\Lambda(M)|^{1/2})에 대하여,
*: \lim_{t\to0}\int K(t,x,y)s(y)\,\mathrm dy=s(x)
여기서 극한은 M 위의 균등 노름에 대한 것이다.

만약 M이 콤팩트 공간이 아니라면, 적절한 경계 조건을 주어야 한다.

### 경계다양체 위의 열핵
만약 M이 리만 계량이 주어진 콤팩트 매끄러운 경계다양체라고 하고, E가 그 위의 매끄러운 벡터 다발이라고 하자. 또한, 마찬가지로 E 위의 라플라스형 연산자가 주어졌다고 하자.

이 경우, 열핵을 정의하기 위해서는 경계 조건을 주어져야 한다. 구체적으로, 경계에서의 수직 단위 벡터를 n이라고 하자. 그렇다면, 단면 s\in\Gamma^\infty(E) 위에 다음과 같은 꼴의 디리클레 경계 조건을 생각할 수 있다.
:s\restriction\partial M=s_0
또는 다음과 같은 일반화 노이만 경계 조건을 생각할 수 있다.
:(\nabla_Xs)\restriction\partial M+A(s\restriction\partial M)=s_0
여기서
:A\in\Gamma^\infty(\partial M,\operatorname{End}E)
이다.

이와 같은 경계 조건을 부여하면, 마찬가지로 열핵을 (유일하게) 정의할 수 있다.

## 성질
### 존재 조건
만약 M이 콤팩트 리만 다양체라면, 그 위의 임의의 라플라스형 연산자는 열핵을 가지며, 이는 유일하다.

### 적분
콤팩트 리만 다양체 M 위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 라플라스형 연산자를 생각하자.
:Hf=\Delta f+\nabla_Xf+C
여기서 X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)는 M 위의 임의의 벡터장이며, C\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)는 임의의 스칼라장이다.

이 경우, 열핵의 적분은 부분 적분을 통해 다음 성질을 만족시킨다.
:\frac{\partial}{\partial t}\int_MK(t,x,y)\,\mathrm dx
=\int_MHK(t,x,y)\,\mathrm dx
=
\int_M(\Delta+\nabla_X+C)K(t,x,y)\,\mathrm dx
=C(y)\int_MK(t,x,y)\,\mathrm dx

즉,
:F(t,y)=\int_MK(t,x,y)\,\mathrm dx
로 놓으면 다음이 성립한다.
:F(t_0+s,y)=\exp(C(y)s)F(t_0,y)
특히, 만약 C=0이라고 하면, F(t,y)는 t에 의존하지 않으며, 이 경우 t\to0에서의 경계 조건에 의하여 상수 함수
:F(t,y)=1
가 된다.

### 반군 성질
콤팩트 리만 다양체 M 위의 매끄러운 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M 위의 라플라스형 연산자 H의 열핵 K(t,x,y)가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.
:K(t+t',x,y)=\int_MK(t,x,z)K(t',z,y)\,\mathrm dz
즉, 이는 반군 준동형
:K\colon (\mathbb R^+,+)\to (E\otimes|\Lambda M|^{1/2})\boxtimes(E^*\otimes|\Lambda M|^{1/2})
:K\colon t\mapsto K(t,-,-)
을 정의한다. (여기서 (\mathbb R^+,+)는 양의 실수들의 덧셈 반군이다. 이는 항등원 0을 갖지 않으므로 모노이드가 아니다.) 이를 열핵의 **반군 성질**(半群性質, )이라고 한다.

이를 사용하여 열핵의 다양한 성질들을 증명할 수 있다. 예를 들어, E=M\times\mathbb R가 자명한 선다발이라고 하고, 라플라스형 연산자가 상수항을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 시각 t_0\in\mathbb R^+에서, 콤팩트 공간 M\times M 위의 실수 값 연속 함수 K(t_0,-,-)는 최댓값
:\max_{(x,y)\in M^2} K(t_0,x,x)=C_{t_0}
을 갖는다. 그렇다면, t_0 초과의 임의의 시각 t\in\mathbb R^+, t>t_0에서,
:K(t,x,y)=
\int_MK(t_0,x,z)K(t-t_0,z,y)\,\mathrm dz
\le
C_{t_0}
\int_MK(t-t_0,z,y)\,\mathrm dz
=
C_{t_0}
이다.
따라서, 함수
:C\colon \mathbb R^+\to\mathbb R^+
:C\colon t\mapsto \max_{(x,y)\in M^2}K(t,x,y)
는 항상 감소 함수이다.

### 점근적 전개
콤팩트 n차원 리만 다양체 M 위의 매끄러운 벡터 다발 E 위의 라플라스형 연산자 H가 주어졌을 때, 그 열핵 K_H는 다음과 같은 꼴로 전개된다.
:K_H(t,x,y)=\frac1{(4\pi t)^{n/2}}\exp(-d(x,y)/4t)\sum_{i=0}^\infty t^if_i(x,y)
여기서
:f_i\in \Gamma^\infty\left((E\otimes\sqrt)\boxtimes (E^*\otimes\sqrt)\right)
이다.

약간 다르게, 다음과 같은 전개를 사용할 수도 있다. 임의의 f\in\Gamma^\infty(\operatorname{End}(E))에 대하여,
:\operatorname{tr}(f\exp(-tH))=\sum_{i\in2\mathbb N}t^{(i-n)/2}a_i(f,H)
위 합에서는 오직 짝수 i만이 등장한다. 만약 M이 콤팩트 경계다양체인 경우, (적절한 경계 조건 아래) 홀수 i 역시 등장할 수 있다.

### 고윳값
M 위의 라플라스형 연산자 H=g^{ij}\nabla_i\nabla_j+T가 주어졌다고 하자. 만약 M이 콤팩트 다양체이며, T가 에르미트 작용소라고 하자. 그렇다면, H를 복소수 힐베르트 공간
:\mathcal H=\operatorname L^2(M;E\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)
에 확장시킬 수 있으며, 스펙트럼 정리에 의하여 그 실수 고윳값들이 존재한다. 또한, 만약 T의 고윳값들이 추가로 모두 양이 아닌 실수라면, 이 고윳값들은 0을 제외하고 모두 음의 실수이다.
:0=\lambda_0
이에 대응하는, 복소수 힐베르트 공간 \operatorname L^2(M;E\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)의 정규 직교 기저를 \phi_i라고 하면, 열핵은 다음과 같은 점근적 급수로 주어진다.
:K(t,x,y)=\sum_{i=0}^\infty \exp(-\lambda_i)\phi_i(x)\phi_i(y)
그러나 이 급수가 수렴하는지 여부는 일반적으로 복잡하다.

## 예
### 유클리드 공간
유클리드 공간 \mathbb R^n 위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한 라플라스형 연산자
:H=\Delta+C
의 열핵은 다음과 같다.
:K(t,x,y)=\frac1{(4\pi t)^{n/2}}\exp(tC-\|x-y\|^2/4t)

### 대칭 공간
이 밖에도, 일부 리 군 또는 대칭 공간 위의 경우 열핵의 급수 표현이 알려져 있다. 예를 들어, 구 \mathbb S^2=\operatorname{SU}(2)/\operatorname U(1) 위의 (표준적) 라플라스 연산자의 경우, 열핵은 다음과 같다.
:K(t,g\operatorname U(1),1_{\operatorname{SU}(2)}\!\operatorname U(1))=\sum_{n=0}^\infty(2n+1)\exp(-n(n+1)t/2)\operatorname P_n\left(
\frac{
\left(\operatorname{tr}g\right)^2
+
\left(\operatorname{tr}(\mathrm i\sigma_3g)\right)^2
}2
-1
\right)\qquad\left(t\in\mathbb R^+,\;g\in\operatorname{SU}(2)\right)
여기서
:\mathrm i\sigma_3=\begin{pmatrix}\mathrm i&0\\0&-\mathrm i\end{pmatrix}\in\operatorname{SU}(2)
는 파울리 행렬이며, \mathrm P_n(-)는 르장드르 다항식이다.

### 멜러 핵
실수선 \mathbb R 위의 다음과 같은 라플라스형 연산자를 생각하자.
:H=\frac1{2m}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}-\frac 12mx^2-E
이는 무게 m의 조화 진동자의 해밀토니언 연산자이다. H의 열핵은 다음과 같다.
:K(t,x,y)=\sqrt{\frac m{2\pi \sinh t}} \exp\left(-\frac{m(x^2+y^2)}{2\tanh t}+\frac{mxy}{\sinh(mxy)}-Et\right)
이를 **멜러 핵**(Mehler核, )이라고 한다.

## 역사
멜러 핵은 구스타프 페르디난트 멜러(, 1835~1895)가 도입하였다.

## 참고 문헌

## 외부 링크
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