음계산법

조합론에서 **음계산법**(陰計算法, )은 특정 수열 · 다항식열에서의 아랫첨자를 마치 거듭제곱처럼 여겨 계산하는 계산법이다.

## 정의
표수가 0인 체 K가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 다항식환 K[x]는 K 위의 벡터 공간을 이룬다. 이 속의 **다항식열**()은 다음과 같은 조건들을 만족시키는 열이다.
:p\colon\mathbb N\to K[x]
:p\colon i\mapsto p_i\in K[x]
:\deg p_i=i\qquad\forall i\in\mathbb N

### 음합성
다항식
:p(x)=\sum_{i\in\mathbb N}p_ix^i
와 다항식열
:q_i(x)=\sum_{j\in\mathbb N}q_{i,j}x^j
의 **음합성**()은 다음과 같은 다항식열이다.
:(p\circ q)(x)=\sum_{j\in\mathbb N}p_iq_j(x)
마찬가지로, 두 다항식열 p_i,q_i의 **음합성**은 다음과 같다.
:(p\circ q)_i=p_i\circ q
이에 따라, 다항식열들은 모노이드를 이룬다. 음합성의 항등원은 다음과 같다.
:\delta_n(x)=x^n

### 셰퍼 다항식열
다항식열 p_i가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 K-선형 작용소를 정의할 수 있다.
:Q\colon K[x]\to K[x]
:Q\colon p_i\mapsto ip_{i-1}
이를 다항식열 p_i의 **델타 연산자**()라고 한다.

또한, 임의의 a\in K에 대하여, 다음과 같은 K-선형 작용소를 정의할 수 있다.
:T_a\colon K[x]\to K[x]
:T_ap_i(x)=p_i(x+a)
만약 Q가 모든 T_a와 가환한다면, p_i를 **셰퍼 다항식열**()이라고 한다.
:QT_ap=T_aQp\qquad\forall a\in K,p\in K[x]

두 셰퍼 다항식열의 음합성 역시 셰퍼 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 셰퍼 다항식열들은 군을 이룬다.

셰퍼 다항식열 p_i의 지수 생성 함수는 다음과 같은 꼴이다.
:\sum_{n=0}^\infty \frac{p_n(x)}{n!} t^n = A(t) \exp(x B(t))
:A,B\in Kt
따라서, 셰퍼 다항식열은 일반화 아펠 다항식열의 특수한 경우이다.

### 아펠 다항식열
셰퍼 다항식열 p_i에 대하여, 델타 연산자가 다항식의 미분과 같다면, p_i를 **아펠 다항식열**()이라고 한다.

두 아펠 다항식열의 음합성 역시 아펠 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 아펠 다항식열들은 아벨 군을 이룬다. 이는 셰퍼 다항식열의 군의 정규 부분군이다.

모든 아펠 다항식열 p_i(x)은 어떤 수열 a_i에 대하여
:p_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nka_{n-k}x^k
의 꼴임을 보일 수 있다. 역으로, 아펠 다항식열이 주어졌다면
:a_n=p_n(0)
이 된다.

아펠 다항식열의 예로는 다음이 있다.
* 베르누이 다항식 B_n(x). 이에 대응하는 수열은 베르누이 수이다.
* (확률론의) 에르미트 다항식 H_n(x). 이에 대응하는 수열은 h_{2k}=(-1)^k2k(2k-2)(2k-4)\cdots2, h_{2k+1}=0이다.
* 오일러 다항식
* p_n(x)=x^n. 이에 대응하는 수열은 a_n=\delta_{n,0}이다 (\delta는 크로네커 델타).

### 이항형 다항식열
셰퍼 다항식열 p_i에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 셰퍼 다항식열을 **이항형 다항식열**()이라고 한다.
* p_0(x)=1이며 p_n(0)=0\qquad\forall n\ge1이다.
* 다음 항등식이 성립한다.
*:p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n\binom nkp_k(x)p_{n-k}(y)
이항형 다항식열은 음합성에 대하여, 셰퍼 다항식열의 군의 부분군을 이룬다. 이는 정규 부분군이 아니며, 아벨 군이 아니다. 셰퍼 다항식열의 군 \operatorname{Sheffer}은 아펠 다항식열의 군 \operatorname{Appell}과 이항형 다항식열의 군 \operatorname{Binom}의 반직접곱이다.
:\operatorname{Sheffer}\cong\operatorname{Appell}\rtimes\operatorname{Binom}

이항형 다항식열은 그 델타 연산자로부터 완전히 결정된다.

이항형 다항식열의 예로는 다음이 있다.
* p_n(x)=x^n. 이에 대응하는 델타 작용소는 미분 d/dx이다.
* 하강 포흐하머 기호 p_n(x)=x^{\underline n}. 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분 \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)이다.
* 상승 포흐하머 기호 p_n(x)=x^{\overline n}
* 아벨 다항식 p_n(x)=x(x-an)^{n-1}
* 투샤르 다항식 \textstyle p_n(x)=\sum_{k=0}^n\left\{{n\atop k}\right\}x^n. 여기서 \textstyle\left\{m+1}\right)\\
&=L\int_{\mathsf b}^{\mathsf b+n+1} x^p\,dx
\end{align} 

### 역관계
두 수열 a_n, b_n에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
:\forall n\colon a_n=\sum_{k=0}^n\binom nkb_n\iff \forall n\colon b_n=\sum_{k=0}^n(-)^k\binom nka_n
이는 다음과 같이 음계산법으로 쉽게 유도할 수 있다.
우선
:L\colon K[\mathsf a]\to K
:L\colon \mathsf a^n\mapsto a_n
라고 하자. 그렇다면, 만약
:b_n=\sum_{k=0}^n\binom nkb_n=L\left((1+\mathsf a)^n\right)
라면,
:\mathsf b=1+\mathsf a
로 정의할 수 있다. 그렇다면
:a_n=L(\mathsf a^n)=L\left((\mathsf b-1)^n\right)=\sum_{k=0}^n(-)^k\binom nkb_k
임을 알 수 있다. (반대 방향의 함의도 마찬가지로 성립한다.)

## 역사
음계산법은 1861년에 존 블리사드()가 도입하였다. 그러나 블리사드는 선형 범함수를 사용하지 않았으며, 단순히 특정 경우 아랫첨자를 윗첨자처럼 간주할 수 있다는 선에서 음계산법을 이해하였다.

이후 음계산법은 에두아르 뤼카와 제임스 조지프 실베스터 등에 의하여 널리 사용되었으나, 오랫동안 음계산법이 왜 성립하는지는 의문에 싸여 있었다. 1938년에 에릭 템플 벨()은 음계산법을 엄밀하게 유도하려고 시도하였으나, 그리 성공적이지 못하였다.

1970년대에 잔카를로 로타는 선형 범함수를 사용하여 음계산법을 엄밀하게 유도하였다.

아펠 다항식열은 프랑스의 수학자 폴 에밀 아펠(, 1855~1930)이 도입하였다. 셰퍼 다항식열은 미국의 수학자 이자도어 미첼 셰퍼(, 1901~1992)가 도입하였다.

## 각주

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## 외부 링크
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