모듈러스 (수론)

유체론에서 **모듈러스**()는 아벨 확대에 대한 분기화 현상을 나타내는 대상이다. 효과적 베유 인자의 개념의 대수적 수체에 대한 일반화이다.

## 정의
### 대역체의 아라켈로프 인자
대역체 K의 **아라켈로프 인자**(Аракелов因子, ) 또는 **충만 아이디얼**(充滿ideal, ) \mathfrak A은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 각 아르키메데스 자리 \mathfrak p에 대하여, 정수 \operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)\in\mathbb Z
* 각 비아르키메데스 자리 (즉, 대수적 수체의 실수 또는 복소수 자리) \mathfrak p에 대하여, 실수 \operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)\in\mathbb R
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 중복수가 0이 아닌 자리의 수는 유한하다.
*: \left|\{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(\mathcal O_K)\colon\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)>0\}\right|
이를 자리의 **중복수**()라고 한다. 아라켈로프 인자는 중복수의 성분별 합에 대하여 아벨 군을 이룬다. 아라켈로프 인자는 다음과 같은 형식적 곱으로 표기한다.
:\mathfrak A=\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(\mathcal O_K)}\mathfrak p^{\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)}
이는 대수적 정수환의 분수 아이디얼의 일반화이다. 즉, 비아르키메데스 성분이 없는 아라켈로프 인자는 분수 아이디얼과 같다.

### 모듈러스
대역체 K의 **모듈러스** \mathfrak m은 다음 조건들을 모두 만족시키는 아라켈로프 인자이다.
* 모든 자리의 중복수는 음이 아니다.
*: \forall\mathfrak p\in\operatorname{Places}(\mathcal O_K)\colon\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)\ge0
* 만약 K가 대수적 수체라면, 실수 자리의 중복수는 0 또는 1이며, 복소수 자리의 중복수는 0이다.

만약 K가 유한체 \mathbb F_q 위의 고유 대수 곡선 X/\operatorname{Spec}\mathbb F_q의 유리 함수체라면, K 위의 모듈러스는 X의 효과적 베유 인자 (즉, X 위의 유한 개의 점들의 양의 정수 계수 선형 결합)와 같은 개념이다.

대역체의 모듈러스 \mathfrak m=\mathfrak m_0\mathfrak m_\infty는 **유한 부분** (유한 위치들의 부분 중복집합) \mathfrak m_0와 무한 부분 (무한 위치들의 집합) \mathfrak m_\infty로 분해할 수 있다. 대수적 수체가 아닌 대역체의 모듈러스의 경우 무한 부분은 1이다. 대수적 수체 K의 모듈러스 \mathfrak m의 유한 부분 \mathfrak m_0는 소 아이디얼들의 중복집합의 곱이므로, 대수적 정수환 \mathcal O_K의 아이디얼과 같다.

### 합동
대역체 K의 0이 아닌 두 원소 a,b\in K^\times 및 K의 모듈러스 \mathfrak m에 대하여, 만약 \operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)>0인 모든 자리 \mathfrak p에 대하여 다음 조건이 성립한다면, a와 b가 m에 대하여 **합동**()이라고 하고, a\equiv b\pmod m으로 적는다.
* \mathfrak p가 유한 자리이라면, \operatorname{ord}_{\mathfrak p}(a/b-1)\ge\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)
* \mathfrak p가 실수 매장 \sigma\colon K\hookrightarrow\mathbb R에 대한 실수 자리라면, \sigma(a/b)>0
여기서 \operatorname{ord}_{\mathfrak p}는 \mathfrak p에 대응되는 절댓값이
:|a|_{\mathfrak p}=\exp(-\operatorname{ord}(a))
와 동치가 되는 전사 함수 \operatorname{ord}_{\mathfrak p}\colon K\to\mathbb Z\sqcup\{\infty\}이다.

### 대수 곡면의 아라켈로프 인자
대수적 수체 위의 대수 곡면의 아라켈로프 인자는 수렌 아라켈로프가 최초로 정의하였으며, 다음과 같다.

대수적 수체 K가 주어졌다고 하자. \mathcal O_K-스킴 p\colon X/\operatorname{Spec}(\mathcal O_K)이 2차원 정역 정칙 스킴이며, p가 고유 사상이자 평탄 사상이라고 하자. 또한, \mathcal O_X의 일반점이 \eta라고 하자.

K의 아르키메데스 자리 \sigma\in\operatorname{Places}_\infty(K)에 대하여, X의 \sigma에서의 올 X_\sigma는 다음과 같다.
:X_\sigma=X\times_{\mathcal O_K}\bar K_\sigma
이는 리만 곡면을 이룬다.

X 위의 **아라켈로프 인자**의 아벨 군 \widehat{\operatorname{Div}}(X)은 다음과 같다.
:\widehat{\operatorname{Div}}(X)=\operatorname{Div}(X)\oplus\bigoplus_{\sigma\in\operatorname{Places}_\infty(K)}\mathbb R\sigma
여기서 \textstyle\bigoplus_{\sigma\in\operatorname{Places}_\infty(K)}\mathbb R\sigma는 K의 아르키메데스 위치들에 의하여 생성되는 실수 벡터 공간이다.

가역 유리 함수 f\in\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)=\left(\operatorname{Frac}\Gamma(X;\mathcal O_X)\right)^\times에 대응하는 **주 아라켈로프 인자**() (f)\in\widehat{\operatorname{Div}}(X)는 다음과 같다.
:(f)=(f)_0+\sum_{\sigma\in\operatorname{Places}_\infty(K)}(f)_\sigma\sigma
:(f)_\sigma=-\int_{X_\sigma}\ln|f_\sigma|\;\mathrm d\mu_\sigma
여기서
* \mathrm d\mu_\sigma는 콤팩트 리만 곡면 X_\sigma 위의, \textstyle\int_{X_\sigma}\mathrm d\mu_\sigma=1이 되는 표준적 부피 형식이다. 구체적으로, X_\sigma 위의 (1,0)-복소수 미분 형식 \alpha에 대하여 \alpha\wedge\bar\alpha는 (1,0)-복소수 미분 형식의 가역층 위의 에르미트 계량을 정의하며, 이로부터 부피 형식을 정의할 수 있다.
* (f)_0은 베유 주인자를 뜻한다.

이는 군 준동형
:(-)\colon \Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\to \widehat{\operatorname{Div}}(X)
을 이루며, 그 여핵을 **아라켈로프 인자 유군**()이라고 한다.

## 예
유리수체 \mathbb Q의 아라켈로프 인자는
:(r)\infty^a\qquad(r\in\mathbb Q^\times,\;a\in\mathbb R)
의 꼴이다. 유리수체 \mathbb Q의 모듈러스는
:(n)\infty^a\qquad(n\in\mathbb Z^+,\;a\in\{0,1\})
의 꼴이다. 만약 n\in\mathbb Z^+의 소인수 분해가
:n=\prod_ip^{n_i}
라면, a,b\in\mathbb Q에 대하여
:a\equiv b\pmod{(n)}\iff\exists m,k\colon m(a-b)\in n\mathbb Z,\qquad m\nmid n
이며,
:a\equiv b\pmod{(n)\infty}\iff\left(a/b>1\land a\equiv b\pmod{(n)}\right)
이다.

## 역사
아라켈로프 인자의 개념은 수렌 아라켈로프가 도입하였다.

## <math>L/K</math>의 "정의 모듈러스"와 "인도자"
이 글의 본문은 아르틴 상호 법칙입니다.
:K가 대수적 수체이며, L/K를 유한 아벨 확대로 가정하면,
S가 L/K에서 파생되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면, S에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군 I^S_K에서 갈루아 군 \operatorname{Gal}(L/K)으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 **아르틴 사상**()이라고 한다.

:I^S_K\to\operatorname{Gal}(L/K)
아르틴 상호 법칙에서 어떤 모듈러스 c 에 대하여, 군 준동형의 핵은 다음과 같은 형태이다.
:i(K_{\mathfrak m,1})\operatorname N_{L/K}(I^{\mathfrak m}_L)
여기서 K_{\mathfrak m,1}은 \mathfrak m에 대한 반직선이며, \operatorname N_{L/K}는 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스를 L/K의 **정의 모듈러스**()라고 하며, 여기서, 최소한의 L/K정의모듈러스를 L/K의 **인도자**(引導者, )라고 한다.

## 각주

## 외부 링크
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## 같이 보기
* 반직선 유군

분류:유체론
분류:대수적 수론