쌍가군

환론에서 **쌍가군**(雙加群, )은 왼쪽 가군과 오른쪽 가군의 구조를 동시에 가지며, 두 구조가 서로 결합 법칙을 만족시키는 대수 구조이다.

## 정의
환 R와 S가 주어졌다고 하자. 그렇다면, **<math>(R,S)</math>-쌍가군**() _RM_S은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 아벨 군 (M,+)
* M 위의 R-왼쪽 가군 구조 _RM
* M 위의 S-오른쪽 가군 구조 M_S
이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.
* 모든 r\in R, s\in S, m\in M에 대하여, (rm)s=r(ms)

보다 일반적으로, 가환환 K와 K-단위 결합 대수 R와 S가 주어졌다고 하자. 그렇다면, **<math>(K;R,S)</math>-쌍가군** _RM_S은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 아벨 군 (M,+)
* M 위의 R-왼쪽 가군 구조 _RM
* M 위의 S-오른쪽 가군 구조 M_S
이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.
* 모든 r\in R, s\in S, m\in M에 대하여, (rm)s=r(ms)
* 모든 k\in K에 대하여, km=mk
(R,S)-쌍가군은 K=\mathbb Z일 때 (\mathbb Z;R,S)-쌍가군의 개념과 같다.

두 (K;R,S)-쌍가군 _RM_S, _RN_S 사이의 **쌍가군 준동형**() \phi\colon M\to N은 다음 조건들을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.
* \phi는 R-왼쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, r\phi(m)=\phi(rm)\;\forall r\in R,\;m\in M이다.
* \phi는 S-오른쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, \phi(m)s=\phi(ms)\;\forall s\in S,\;m\in M이다.

## 성질
### 가군과의 관계
다음 네 개념들이 서로 동치이다.
* (K;R,S)-쌍가군
* (K;S^{\operatorname{op}},R^{\operatorname{op}})-쌍가군
* R\otimes_KS^{\operatorname{op}}-왼쪽 가군
* R^{\operatorname{op}}\otimes_KS-오른쪽 가군
(여기서 (-)^{\operatorname{op}}는 반대환을 뜻한다.)

다음 세 개념들이 서로 동치이다.
* 아벨 군
* \mathbb Z-가군
* (\mathbb Z,\mathbb Z)-쌍가군

환 R에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.
* R-왼쪽 가군
* R^{\operatorname{op}}-오른쪽 가군
* (R,\mathbb Z)-쌍가군
* (\mathbb Z,R^{\operatorname{op}})-쌍가군

환 R에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.
* R-오른쪽 가군
* R^{\operatorname{op}}-왼쪽 가군
* (\mathbb Z,R)-쌍가군
* (R^{\operatorname{op}},\mathbb Z)-쌍가군

가환환 R에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.
* R-가군
* (R;R,R)-쌍가군
* (\mathbb Z,R)-쌍가군
* (R,\mathbb Z)-쌍가군

또한, 위 개념들에 대한 준동형들 또한 서로 동치이다. 예를 들어, (K;R,S)-쌍가군 준동형은 R\otimes_KS^{\operatorname{op}}-왼쪽 가군의 가군 준동형과 같은 개념이다.

즉, 쌍가군의 개념은 가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있으며, 반대로 가군의 개념을 쌍가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있다.

가환환 R에 대하여, 모든 R-가군 (즉, (R;R,R)-쌍가군)은 망각을 통하여 (\mathbb Z;R,R)-쌍가군을 이루지만, 일반적으로 (R;R,R)-쌍가군이 아닌 (\mathbb Z;R,R)-쌍가군이 존재한다.

### 텐서곱 가군과 준동형 가군
(R,S)-쌍가군 _RM_S 및 (S,T)-쌍가군 _SN_T이 주어졌을 때, 텐서곱
:_RM\otimes_SN_T
은 자연스럽게 (R,T)-쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자
:(_RM\otimes_S-)\colon {}_S\operatorname{Mod}_T\to{}_R\operatorname{Mod}_T
:(-\otimes_SN_T)\colon {}_R\operatorname{Mod}_S\to{}_R\operatorname{Mod}_T
를 정의한다.

또한, (R,S)-쌍가군 _RM_S 및 (R,T)-쌍가군 _RN_T가 주어졌을 때, 왼쪽 가군 준동형군
:\hom_{_R\operatorname{Mod}}(_RM_S,{}_RN_T)
은
:(sft)(m)=\left(f(ms)\right)t\qquad\forall s\in S,\;t\in T,\;m\in M,\;f\in \hom_{_R\operatorname{Mod}}(_RM_S,{}_RN_T)
를 통해 (S,T)-쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자
:\hom_R(_RM_S,-)\colon {}_R\operatorname{Mod}_T\to {}_S\operatorname{Mod}_T
:\hom_R(-,{}_RN_T)\colon {}_R\operatorname{Mod}_S\to {}_S\operatorname{Mod}_T^{\operatorname{op}}
를 정의한다. 반대로, 오른쪽 가군 준동형을 사용한다면 (R,S)-쌍가군 _RM_S 및 (T,S)-쌍가군 _TN_S가 주어졌을 때, 준동형군
:\hom_{\operatorname{Mod}_S}(_RM_S,{}_TN_S)
은
:(tfr)(m)=t\left(f(rm)\right)\qquad\forall r\in R,\;t\in T,\;m\in M,\;f\in \hom_{\operatorname{Mod}_S}(_RM_S,{}_TN_S)
를 통해 (T,R)쌍가군을 이루며, 쌍가군 범주의 가법 함자
:\hom_S(_RM_S,-)\colon {}_T\operatorname{Mod}_S\to {}_T\operatorname{Mod}_R
:\hom_S(-,{}_TN_S)\colon {}_R\operatorname{Mod}_S\to {}_T\operatorname{Mod}_R^{\operatorname{op}}
를 정의한다.

이는 다음과 같이 수반 함자를 이룬다.
:(_RM\otimes_S-)\dashv \hom_R(_RM_S,-)
:(-\otimes_RM_S)\dashv \hom_S(_RM_S,-)

특히, T=\mathbb Z 또는 R=\mathbb Z 또는 S=\mathbb Z를 놓으면 각종 가군 범주 위의 다음과 같은 가법 함자들을 얻는다.
:(_RM\otimes_S-)\colon {}_S\operatorname{Mod}\to{}_R\operatorname{Mod}
:(-\otimes_RM_S)\colon \operatorname{Mod}_R\to \operatorname{Mod}_S
:\hom_R(_RM_S,-)\colon {}_R\operatorname{Mod}\to {}_S\operatorname{Mod}
:\hom_R(-,{}_RM_S)\colon {}_R\operatorname{Mod}\to \operatorname{Mod}_S^{\operatorname{op}}
:\hom_S(_RM_S,-)\colon \operatorname{Mod}_S\to \operatorname{Mod}_R
:\hom_S(-,{}_RM_S)\colon \operatorname{Mod}_S\to {}_R\operatorname{Mod}^{\operatorname{op}}
:(_RM\otimes_S)\dashv\hom_R(_RM_S,-)
:(-\otimes_RM_S)\dashv\hom_S(_RM_S,-)

### 쌍가군의 이차 범주
임의의 가환환 K와 K-단위 결합 대수 R, S에 대하여, (K;R,S)-쌍가군을 대상으로 하고, (K;R,S)-쌍가군 준동형을 사상으로 하는 범주 _RK\text{-uAssocAlg}_S가 존재한다. K=\mathbb Z인 경우 이는 단순히 _R\operatorname{Mod}_S로 표기한다.

보다 일반적으로, 가환환 K에 대하여 다음과 같은 이차 범주 \operatorname{Bimod}_K가 존재한다.
* \operatorname{Bimod}_K의 대상은 K-단위 결합 대수이다. (즉, K\text{-uAssocAlg}의 대상과 같다.)
* \operatorname{Bimod}_K에서, 단위 결합 대수 R, S 사이의 1-사상은 (K;R,S)-쌍가군 _RM_S이다. _RM_S의 정의역은 R, 공역은 S이다.
** 두 쌍가군 _RM_S, _SN_T의 합성은 쌍가군의 텐서곱 _RM\otimes_SN_T이다.
** 환 R 위의 항등 사상은 _RR_R이다.
* 같은 정의역과 공역을 갖는 두 1-사상 _RM_S, _RN_S 사이의 2-사상은 (K;R,S)-쌍가군 준동형이다. 즉, 범주로서 \hom_{\operatorname{Bimod}}(R,S)={}_RK\text{-uAssocAlg}_S이다.

## 예
### 아이디얼
환 R의 왼쪽 아이디얼은 R-왼쪽 가군을 이루며, 오른쪽 아이디얼은 R-오른쪽 가군을 이룬다. R의 양쪽 아이디얼 \mathfrak a\subseteq R은 (R,R)-쌍가군을 이룬다.

특히, R 전체는 R의 양쪽 아이디얼이며, 따라서 (R,R)-쌍가군을 이룬다.

보다 일반적으로, 가환환 K 위의 단위 결합 대수 R가 주어졌을 때, K-가군을 이루는 R-양쪽 아이디얼 \mathfrak a\subseteq R는 (K;R,R)-쌍가군을 이룬다. 특히, R 전체는 (K;R,R)-쌍가군을 이룬다.

### 부분환
(R,S)-쌍가군 _RM_S 및 R의 부분환 \tilde R\subseteq R와 S의 부분환 \tilde S\subseteq S가 주어졌을 때, M은 망각을 통해 자연스럽게 _{\tilde R}M_{\tilde S}-쌍가군을 이룬다.

특히, 환 R의 부분환 \tilde R\subseteq R가 주어졌을 때, 쌍가군 _RR_R에 망각을 가하여 쌍가군 _{\tilde R}R_R 및 _RR_{\tilde R} 및 _{\tilde R}R_{\tilde R}를 정의할 수 있다.

### 가군의 자기 사상
환 R 위의 오른쪽 가군 M_R가 주어졌다고 하자. 그렇다면, \operatorname{Mod}_R는 가법 범주이므로 M_R의 자기 사상 집합 \operatorname{End}_{\operatorname{Mod}_R}(M_R)=\hom_{\operatorname{Mod}_R}(M_R,M_R)는 환을 이룬다. 이 자기 사상환은  M_R의 왼쪽에 자연스럽게 작용하며, 따라서 M_R는 (\operatorname{End}M,R)-쌍가군을 이룬다.

마찬가지로, R 위의 왼쪽 가군 _RM은 자연스럽게 \left(R,(\operatorname{End}M)^{\operatorname{op}}\right)-쌍가군을 이룬다.

이 구성은 모리타 동치의 정의에 등장한다.

### 행렬 쌍가군
환 R 위의 m\times n 행렬로 구성된 아벨 군 \operatorname{Mat}(m,n;R)을 생각하자. 만약 m=n이라면 (즉, 정사각 행렬이라면) \operatorname{Mat}(n,n;R)=\operatorname{Mat}(n;R)는 환을 이룬다.

행렬의 곱셈은 자연스러운 R-쌍선형 함수
\operatorname{Mat}(m,n;R)\otimes_R\operatorname{Mat}(n,p;R)\to\operatorname{Mat}(m,p;R)
를 이룬다. 이에 따라, \operatorname{Mat}(m,n;R)는 자연스럽게 (\operatorname{Mat}(m;R),\operatorname{Mat}(n;R))-쌍가군을 이룬다.

물론, R는 (대각 행렬로서) \operatorname{Mat}(n;R)의 부분환을 이룬다. 이에 따라, \operatorname{Mat}(m,n;R)는 (R,R)-쌍가군을 이룬다. 이 경우, \operatorname{Mat}(m,n;R)는 단순히 자유 가군 R^{mn\oplus}으로 생각할 수 있다.

## 응용
쌍가군에 대하여, 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지를 정의할 수 있다.

쌍가군의 개념은 모리타 동치 및 모리타 쌍대성을 정의할 때 쓰인다.

## 참고 문헌


## 외부 링크
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분류:가군론