콤팩트 리 군

리 군론에서 **콤팩트 리 군**(compact Lie群, )은 콤팩트 공간인 리 군이다. 이들은 완전히 분류되었으며, 물리학이나 기타 수학 분야에 자주 등장한다. 콤팩트 리 군의 군 표현론 및 대수적 위상수학은 일반적인 리 군의 경우보다 더 간단하며, 잘 알려져 있다.

## 정의
리 군 G에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 위상 공간으로서 콤팩트 공간이다.
* 다음 조건들이 모두 성립한다.
** 유한 개의 연결 성분을 가진다.
** 그 실수 리 대수 \operatorname{Lie}(G)는 아벨 리 대수와 반단순 리 대수의 직합이다.
** 이러한 분해 \operatorname{Lie}(G)=\mathfrak a\oplus\mathfrak s에서, 반단순 리 대수 \mathfrak s의 킬링 형식은 음의 정부호이다.
** 이러한 분해 \operatorname{Lie}(G)=\mathfrak a\oplus\mathfrak s에서, 아벨 리 대수 \mathfrak a의 임의의 원소 x\in\mathfrak a에 대한 리 지수 사상 \exp(\mathbb Rx)\subseteq G은 닫힌집합이 아니거나 또는 원군과 미분 동형이다.

## 성질
### 대수적 성질
복소다양체를 이루는 콤팩트 리 군은 항상 아벨 군이며, 이들은 복소수체 위의 아벨 대수다양체를 이룬다.

단일 연결 반단순 콤팩트 리 군의 기본 표현의 수는 그 계수(극대 아벨 부분 리 군의 차원, 또는 딘킨 도표의 꼭짓점의 수)와 같으며, 그 유한 차원 표현들은 이로부터 분류된다. 단일 연결 조건이 생략되면, 그 범피복군의 표현 가운데 일부는 원래 군의 표현을 이루지 못할 수 있다. (예를 들어, 스피너는 스핀 군의 표현을 이루지만, 직교군의 표현을 이루지 못한다.) 물론, 아벨 성분의 표현론은 자명하다.

### 해석학적 성질
콤팩트 리 군 위에는 양쪽 하르 측도(즉, 오른쪽 및 왼쪽 군의 작용에 대하여 불변인 확률 측도)가 존재한다. (반면, 일반적 리 군 위에는 왼쪽 또는 오른쪽 하르 측도가 항상 존재하지만 양쪽 하르 측도가 존재하지 못할 수 있다.)

G는 왼쪽 곱셈
:\mathsf L_g \colon G \to G\qquad(g\in G)
:\mathsf L_g\colon h\mapsto gh
을 통하여 G 위의 미분 형식들의 공간 \Omega(G) 위에 당김으로서 작용하며, 특히 G의 작용에 불변인 부분 공간 \Omega(G)^G을 정의할 수 있다. 이 경우, G-불변 미분 형식들은 쐐기곱과 외미분에 대하여 닫혀 있으며, 그 코호몰로지는 G의 드람 코호몰로지와 같다. 또한, G-불변 미분 형식들의 공사슬 복합체는 사실 G의 리 대수 \operatorname{Lie}(G)만으로 재구성될 수 있는데, 이를 **[[리 대수 코호몰로지]]**라고 한다. (실수체 계수의 코호몰로지이므로, G의 꼬임 기본군을 무시할 수 있으며, 따라서 이는 G의 리 대수만으로 완전히 결정된다.)

사실, 포함 사상 \Omega(G)^G\hookrightarrow\Omega(G)의 왼쪽 역사상인 다음과 같은 공사슬 사상이 존재한다.
:\operatorname{avg}_G \colon \Omega(G) \to \Omega(G)^G
:\operatorname{avg}_G \colon \alpha \mapsto \int_G\mathsf L^*_g\alpha\, \mathrm d\mu_G(g)
(여기서 \mu_G는 물론 G의 하르 측도이며, \textstyle\int_G\mathrm d\mu_G=1이다.) 즉,
:\operatorname{avg}_G \restriction \Omega(G)^G = \operatorname{id}_{\Omega(G)^G}
이며, 이는 또한 외미분을 보존하며, 또한 이는 코호몰로지의 동형을 유도한다.

### 위상수학적 성질
#### 코호몰로지
연결 콤팩트 리 군 G의 드람 코호몰로지 \operatorname H^\bullet(G;\mathbb R)를 생각하자. 실수 등급 대수로서, 이는 유한 개의 홀수 차수의 생성원들로 생성되는 외대수이다. 또한, 생성원의 차수는 G의 계수(\operatorname{Lie}(G)의 극대 아벨 부분 리 대수의 차원)와 같다.

구체적으로, G의 리 대수 \mathfrak g=\operatorname{Lie}(G)의 극대 아벨 부분 리 대수 (카르탕 부분 대수)
:\mathfrak t\subseteq\mathfrak g
를 고르고, 그 리 지수 사상에 대한 닫힌 아벨 부분군을 T\le G라고 하자. 그렇다면, \mathfrak g의 (반단순 성분의) 바일 군 \operatorname{Weyl}(G)은 \mathfrak t 변수 실수체 계수 다항식환
:\mathbb R[\mathfrak t]
= \mathbb R \oplus \mathfrak t^* \oplus \operatorname{Sym}^2\mathfrak t^* \oplus \dotsb
위에 작용하며, 따라서 불변 다항식의 대수
:\mathbb R[\mathfrak t]^{\operatorname W(\mathfrak g)}
를 정의할 수 있다. 이는 항상 자유 가환 결합 대수이며, 그 생성원의 수는 G의 계수(즉, \dim_{\mathbb R}\mathfrak t)와 같다. \mathbb R[\mathfrak t]^{\operatorname W(\mathfrak g)}의 생성원의 다항식 차수가
:d_1,d_2,\dotsc,d_{\dim_{\mathbb R}\mathfrak t}
라고 하자.

그렇다면, 다음과 같은 등급 대수의 동형이 존재한다.
:\left(\frac{\mathbb R[\mathfrak t]}{\mathbb R[\mathfrak t]^{\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)}} \right)_{(2)}\cong \operatorname H(G/T;\mathbb R)
여기서
* (-)_{(2)}는 원래 등급 대수에서 각 성분의 등급을 2배로 곱하여 얻는 등급 대수이다. (즉, 홀수 등급의 성분은 모두 0이 된다.)
* G/T는 (아벨 군이므로 정규 부분군인) T에 대한 몫군이다.
즉, G/T의 실수 계수 코호몰로지는 등급 2d_i들의 원소들로 생성되는 자유 가환 결합 대수이다.

마찬가지로, G의 실수 계수 코호몰로지는 등급 2d_i-1의 원소들로 생성되는 자유 가환 결합 대수이다.

#### 호모토피
콤팩트 리 군의 실수 계수 호모토피 군은 그 드람 코호몰로지로부터 유리수 호모토피 이론을 통해 계산될 수 있다. 특히, 모든 단순 리 대수는 킬링 형식을 통해 2차 불변 다항식을 가지므로, 각 단순 리 대수 성분에 대하여 3차 호모토피 군의 생성원이 존재한다.

콤팩트 리 군의 정수 계수 호모토피 군은 보트 주기성으로 계산될 수 있다.

#### 위상 K이론
단일 연결 반단순 콤팩트 리 군 G가 주어졌다고 하자. G의 각 기본 표현
:\rho_i \colon G \hookrightarrow \operatorname U(n_i)\subseteq\operatorname U(\infty)
은 −1차 위상 K군 \operatorname K^{-1}(G)의 원소를 정의한다. 이를 편의상 \beta_i로 표기하자.

G의 위상 K군들로 구성된 환
:\operatorname K^\bullet(G)
은 \beta_i들로 생성되는 외대수이다.

## 분류
모든 콤팩트 리 군 G는 표준적으로 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 갖는다.
:1\to G_0 \to G \to \pi_0(G) \to 1
여기서 G_0은 G의, 1_G\in G를 포함하는 연결 성분인 리 군이며, \pi_0(G)는 G의 연결 성분들로 구성된 이산군이다.

연결 콤팩트 리 군 G_0는 항상 다음과 같은 꼴로 표현된다.
:G_0 = \frac{T \times S}\Gamma
여기서
* T\cong \operatorname U(1)^n은 원환면이다.
* S는 음의 정부호 킬링 형식을 갖는 반단순 리 대수에 대응되는 단일 연결 리 군이다.
* \Gamma \le T\times \operatorname Z(S)는 T\times S의 중심에 속하는 유한군이다. 또한, 이 경우 T\cap \Gamma = \{1\}이 되게 잡을 수 있다.

따라서, 콤팩트 리 군의 분류는 반단순 리 대수의 분류로 귀결되며, 이들은 딘킨 도표로 완전히 분류된다.

### 초구를 이루는 리 군
특히, 위 분류에 따라, 초구 가운데 리 군의 구조를 갖출 수 있는 것은
:\mathbb S^0 \cong \operatorname{Cyc}(2) (2차 순환군)
:\mathbb S^1 \cong \operatorname U(1) (원군)
:\mathbb S^3 \cong \operatorname{SU}(2) (2차 특수 유니터리 군)
밖에 없다. 이들은 각각 실수체 · 복소수체 · 사원수 대수의 절댓값 1의 원소들의 리 군이다.

## 역사
콤팩트 리 군의 실수 계수 코호몰로지에 대한 정리는 하인츠 호프가 1941년에 증명하였다. 사실, 호프는 호프 대수의 개념을 이 정리를 증명하기 위하여 이 논문에서 도입하였다.

## 각주

## 외부 링크
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분류:리 군