리 군

**리 군**(Lie群, )은 매끄러운 다양체인 위상군이다. 즉 군의 연산이 매끄러움 구조에 따라 매끄러운 경우다. 소푸스 리의 이름을 땄다. 연속적인 대칭을 나타내기 위하여 쓰인다.

## 정의
위상군 G에 매끄러운 다양체의 구조가 갖추어지고, 또한 군의 곱셈과 역원
:\cdot\colon G\times G\to G
:^{-1}\colon G\to G
역시 매끄러운 함수라고 하자. 그렇다면 G를 **리 군**이라고 한다. (사실, **힐베르트의 5번째 문제**()의 해에 따라 다양체 · 매끄러운 다양체 · 해석다양체를 구분할 필요가 없다.) 범주론적으로, 이를 매끄러운 다양체의 범주에서의 군 대상으로 정의할 수도 있다. 리 군의 **사상**()은 매끄러운 함수인 군 준동형이다.

짝수 차원 리 군 G에 복소다양체의 구조가 갖추어지고, 또한 군의 곱셈과 역원
:\cdot\colon G\times G\to G
:^{-1}\colon G\to G
이 정칙 함수라고 하자. 그렇다면 G를 **복소수 리 군**()이라고 한다. 복소수 리 군의 **사상**()은 정칙 함수인 군 준동형이다.

### 표현
리 군 *G*의 유한 차원 실수 또는 복소수 벡터 공간 *V* 위에서의 **표현**(表現, )은 매끄러운 군 준동형 G\to\operatorname{GL}(V)이다. 힐베르트 공간 \mathcal H 위의 표현일 경우, 대개 가역 유계 작용소의 군 B(\mathcal H)으로 가는 매끄러운 준동형 G\to B(\mathcal H)로 정의한다.

반단순 리 군의 유한 차원 표현은 기약 표현의 직합으로 나타내어진다.

## 성질
리 군은 다음과 같은 방법들로 구성 할 수 있다. 즉, 주어진 리 군들에 대해 다음 목록에 나오는 연산을 한 결과도 리 군이다.
* 유한 개의 리 군의 곱공간은 리 군을 이룬다. (무한 개의 리 군의 곱공간은 무한 차원이므로, 매끄러운 다양체의 정의에 속하지 않는다.)
* (**카르탕 닫힌 부분군 정리** ) 리 군의 (위상적으로) 닫힌 부분군의 부분 공간 위상은 매끄러운 다양체이며, 따라서 이에 국한하면 리 군을 이룬다.
* 리 군의 닫힌 정규 부분군에 대한 몫군은 리 군이다.
* 리 군의 범피복 공간은 자연스러운 리 군의 구조를 갖춘다. (범피복 공간이 아닌 다른 피복 공간에서는 군 구조가 매끄럽지 않을 수 있다.)

### 위상수학적 성질
국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 위상군은 항상 하우스도르프 공간이다. 따라서, 파라콤팩트 조건만을 추가하면 자동적으로 다양체를 이룬다.

**힐베르트의 5번째 문제**()의 해에 따르면, 임의의 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 파라콤팩트 위상군에 대하여, 이와 위상동형이자 군으로서 동형인 리 군이 존재한다. 또한, 이러한 리 군은 유일하다. 즉, 리 군을 정의할 때, 다양체와 매끄러운 다양체를 굳이 구분할 필요가 없다.

또한, 리 군의 경우, 항상 해석다양체(추이 사상이 항상 해석함수인 매끄러운 다양체)로 만들 수 있으며, 그 군 연산 또한 해석함수가 되게 할 수 있다.

두 리 군 사이의 연속 군 준동형은 항상 매끄러운 함수이자 해석함수이다.

## 분류
연결 공간이 아닌 리 군 G는 다음과 같이 이산군과 연결 리 군으로 분해할 수 있다. G_0을 단위원을 포함하는 최대 연결 부분군이라고 하자. 그렇다면 G/G_0은 이산군이다. 다시 말해, 모든 리 군은 연결 리 군의 이산군에 대한 확대이다. 모든 연결 리 군은 또한 (범피복군을 취하여) 단일 연결 리 군 \tilde G의 몫군 G_0=\tilde G/N (여기서 N은 이산 중심 정규 부분군)으로 나타내어진다. 따라서 리 군의 분류는 단일 연결 리 군의 분류로 귀결된다.

(유한 차원) 단일 연결 리 군은 그 리 대수로 완전히 결정된다. 리 대수는 그 가해 부분 대수와 단순 부분 대수로 분해된다. 단순 리 군은 분류가 완료되었으나, 가해 리 군의 분류는 매우 어렵다.

## 예시

* 2×2 실수 가역 행렬은  또는 GL 2 ( **R** )로 표시되는 곱셈 군을 형성한다.

\operatorname{GL}(2, \mathbf{R}) = \left\{A = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} :\, \det A = ad-bc \ne 0\right\}.이것은 4차원 비콤팩트 실수 리 군이다. 이는 \mathbb R^4의 열린 부분집합이다. 이 군은 연결공간이 아니다. 행렬식의 양수 값과 음수 값에 해당하는 두 개의 연결 성분이 있다.

* 회전 행렬은  , R )의 부분 군을 형성한다. 이는 그 자체로 리 군이다. 구체적으로 말하면 원과 형태가 다른 1 차원 콤팩트 연결 리 군이다. 회전 각도 사용 \varphi 매개변수로서 이 군은 다음과 같이 매개변수화 될 수 있다.

\operatorname{SO}(2, \mathbf{R}) = \left\{\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix} :\, \varphi \in \mathbf{R}/2\pi\mathbf{Z}\right\}.각도의 덧셈은  원소의 곱셈에 해당하고, 반대 각도를 취하는 것은 반전에 해당한다. 따라서 곱셈과 역산은 모두 미분 가능한 사상이다.

* 1차원의 아핀 군은 2차원 행렬 리 군으로 구성된다. 2 \times 2 실수 상부 삼각 행렬. 첫 번째 대각선 항목은 양수이고 두 번째 대각선 항목은 1이다. 따라서 군은 다음 형식의 행렬로 구성된다.

 A= \left( \begin{array}{cc} a & b\\ 0 & 1 \end{array}\right),\quad a>0,\, b \in \mathbb{R}.

### 예시가 아님
이제 특정 위상에서 리 군이 아닌 셀 수 없이 많은 원소를 가진 군의 예를 제시한다. *고정된* 무리수 a \in \mathbb R \setminus \mathbb Q에 대해,

H = \left\{\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi ia\theta}\end{matrix}\right) :\, \theta \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{T}^2 = \left\{\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi i\phi}\end{matrix}\right) :\, \theta, \phi \in \mathbb{R}\right\},
오른쪽|섬네일|<math>\mathbb T^2</math> 내부에 있는 군<math>H</math>의 일부분. 원소 <math>h\in H</math>의 작은 이웃들은 <math>H</math>의 부분 집합 위상에서 연결이 아니다.
는 원환면 \mathbb T^2의 부분 군이다. H에 부분 공간 위상이 주어지면 이는 리 군이 아니다.예를 들어 h\in H의 어떤 작은 이웃 U을 취한다면, U에 안에 있는 부분은 연결 공간이 아니다. 군 H는 나선의 이전 점에 도달하지 못한 채 원환체 주위를 반복적으로 감아서 \mathbb T^2의 조밀 부분 군을 형성한다.

그러나 군 H에 대해 두 점 h_1,h_2\in H 사이의 거리가 h_1와 h_2를 연결하는 *군* H *안의* 최단 경로의 길이로 정의되는 다른 위상이 주어질 수 있다.  이 위상에서는 H는 각 원소를 H의 정의에서 실수 \theta로 식별하여 실수 직선과 위상동형이 된다. 이 위상을 사용하면 H는 단지 실수 덧셈 군이므로 리 군이다.

위의 군 H는 리 군의 닫힌 집합이 아닌" 리 부분 군"의 예이다.

### 행렬 리 군
\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})는 \mathbb{C} 성분 n\times n 가역 행렬들의 군을 나타낸다. \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})의 임의의 닫힌 부분 군은 리 군이다. 이러한 종류의 리 군을 **행렬 리 군**이라고 한다. 리 군의 흥미로운 사례 대부분은 행렬 리 군으로 표현될 수 있기 때문에 홀,  로스만, 및 스틸웰의 교재들을 포함하여 일부 교과서에서는 관심을 행렬 리 군으로 제한한다. 행렬 리 군에 주의를 제한하면 리 대수와 지수 사상의 정의가 단순화된다. 다음은 행렬 리 군의 표준 예이다.

* \mathbb{R}과 \mathbb{C} 위의 특수 선형 군은 각각  \operatorname{SL}(n, \mathbb{R})과 \operatorname{SL}(n, \mathbb{C})이다. 이들은 행렬식이 1인 \mathbb{R} 또는 \mathbb{C} 성분 n\times n 행렬들이 이루는 군이다.
* 유니터리 군 \text{U}(n)은  U^*=U^{-1}이 성립하는 n\times n 복소 행렬들이 이루는 군이고 특수 유니터리 군 \text{SU}(n)은 \text{U}(n)의 원소들 중에 \det(U)=1이 성립하는 행렬들이 이루는 군이다.
* 직교군 \text{O}(n)은 R^\mathrm{T}=R^{-1}이 성립하는 n\times n 실수 행렬들이 이루는 군이고 특수 직교군 \text{SO}(n)은 \text{O}(n)의 원소들 중 \det(R)=1인 행렬들이 이루는 군이다.

앞의 모든 예는 고전 군이라고 부른다.

### 1과 2차원
1차원 연결 리 군은 실수 직선 덧셈군 \mathbb{R}과 원군 S^1 절대값 1인 복소수 곱셈군 밖에 없다. S^1군은 종종 1\times 1 유니터리 행렬군 U(1)과 같이 표시된다.

2차원에서 단일 연결 군은 리 대수로 분류된다. 2차원의 리 대수는 두 개뿐이다. 관련 단일 연결 리 군은 덧셈 군 \mathbb{R}^2과 1차원 아핀 군이다. 이전 절의 "첫 번째 예"에서 설명했다.

* 군 SU(2)은 행렬식이 1인 2\times 2 유니터리 행렬들의 군이다. 위상적으로, \text{SU}(2)은 3-구 S^3이다; 군으로서 단위 사원수 군으로 식별될 수 있다.
* 하이젠베르크 군은 3차원 연결 멱영 리 군이다.  양자 역학에서 핵심적인 역할을 한다.
* 로런츠 군은 민코프스키 공간의 선형 등거리 사상들이 이루는 6차원 리 군이다.
* 푸앵카레 군은 민코프스키 공간의 아핀 등거리사상들이 이루는 10차원 리 군이다.
* ''G'' <sub>2</sub>, ''F'' <sub>4</sub>, ''E'' <sub>6</sub>, ''E'' <sub>7</sub>, ''E'' <sub>8</sub> 유형의 예외적인 리 군은 각각  14, 52, 78, 133, 248 차원이다. 단순 리 군의 ABCD 열과 함께 예외 군은 단순 리 군 목록을 완성한다.
* 심플렉틱 군 \text{Sp}(2n,\mathbb{R})은 \mathbb{R}^{2n} 위의 *[[심플렉틱 벡터 공간|심플렉틱 형식]]을* 보존하는 2n \times 2n 행렬들이 이루는 2n^2 + n 차원 연결 리 군이다.

## 리 군과 리 대수
모든 리 군에 기본 선형 공간이 항등원에서 리 군의 접공간이고 리 군의 국소 구조를 완전히 포착하는 리 대수를 연관시킬 수 있다. 대략적으로 리 대수의 원소를 항등원에 "무한히 가까운" 군의 원소로 생각할 수 있으며, 리 대수의 리 괄호는 그러한 두 무한소 원소들의 교환자와 관련된다. 추상적 정의를 제시하기 전에 몇 가지 예를 제시한다.

* 선형 공간 **<math>\R^n</math>**의 리 대수는 다음과 같이 주어진 리 괄호 [u,v]:=0  가 주어진 **<math>\R^n</math>**이다  (일반적으로 연결 리 군의 리 괄호가 0임과 리 군이 아벨군임이 동치이다.)
* 복소 가역 행렬들이 이루는 일반 선형 군

\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})의 리 대수는 리 괄호가 다음과 같이 주어진 정사각 행렬의 벡터 공간 \text{M}(n, \mathbb{C})이다.[A,B]:=AB-BA

* *<math>G</math>가* \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})의 닫힌 부분 군인 경우 *<math>G</math>*의 리 대수는 대략적으로 *<math>1+\varepsilon m\in G</math>*인 \text{M}(n, \mathbb{C})의 행렬 *<math>m</math>*으로 볼 수 있다. 여기서 *<math>\varepsilon</math>*은 *<math display="inline">\varepsilon^2=0</math>*인 무한소 양수이다.(물론 그러한 실수 *<math>\varepsilon</math>*은 존재하지 않는다). 예를 들어, 직교 군 \operatorname{O}(n, \mathbb{C})은 AA^T=1인 행렬들로 구성되므로 리 대수는 *<math display="inline">(1+\varepsilon m)(1+\varepsilon m)^T=1 </math>*인 행렬 *<math>m</math>*으로 구성된다. *<math display="inline">\varepsilon^2=0</math>*이므로, 이는 *<math display="inline">m+m^T=0</math>*과 동일하다.
* 앞의 설명은 다음과 같이 더욱 엄밀해질 수 있다. \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})의 닫힌 부분군 *<math>G</math>*의 리 대수는 다음과 같이 계산될 수 있다.\operatorname{Lie}(G) = \{ X \in M(n;\mathbb{C}) | \operatorname{exp}(tX) \in G \text{ for all } t \text{ in } \mathbb{\mathbb{R}} \}  여기서 exp(*tX*)는 행렬 지수 함수를 사용하여 정의된다. 그러면 *<math>G</math>*의 리 대수는 대괄호 연산 [X,Y]=XY-YX  하에서 닫혀 있는 실수 선형 공간이라는 것을 알 수 있다.

행렬 군에 대해 위에 제공된 구체적인 정의는 다루기 쉬우나 몇 가지 사소한 문제가 있다. 이를 사용하려면 먼저 리 군을 행렬 군으로 표현해야 하지만 모든 리 군이 이런 방식으로 표현될 수는 없다. 더욱이 리 대수는 표현에 독립적인지 조차 분명하지 않다. 이러한 문제를 해결하기 위해 리 군의 리 대수에 대한 일반적인 정의를 제공한다.

# 임의의 매끄러운 다양체 *<math>M</math>*의 벡터장은 다양체의 매끄러운 함수 환의 미분 *<math>X</math>*로 볼 수 있으므로, 리 괄호 *<math display="inline">[X,Y]:=XY-YX</math>*에 대해 리 대수이다. 왜냐하면 두 미분의 리 괄호도 미분이기 때문이다.
# *<math>G</math>가* 다양체 *<math>M</math>*에서 매끄럽게 작용하는 군인 경우 이는 벡터장에 작용하고 군에 의해 고정된 벡터장들의 선형 공간은 리 괄호 연산에 대해 닫혀 있으므로 리 대수를 형성한다.
# 다양체 *<math>M</math>이* 리 군 *<math>G</math>*의 기본 공간인 경우에, 왼쪽 곱 *<math display="inline">L_g(h)=gh</math>*으로 *<math>G</math>*가 *<math display="inline">G=M</math>*에 작용하는 구성을 한다. 이때 왼쪽 곱은 매끄러운 사상이다. 이는 왼쪽 불변 벡터장(*<math display="inline">(L_g)_*(X_h)=X_{gh}\quad \forall h\in G </math>*를 만족하는 벡터장. 여기서 *L<sub>g</sub>**는 *L<sub>g</sub>*에서 정의된 밂을 나타냄)의 공간은 리 군에서 벡터장의 리 괄호가 주어진 리 대수임을 보여준다.
# 리 군의 항등원에 접한 임의의 접벡터는 접벡터를 다양체의 다른 점으로 왼쪽으로 변환함으로써 왼쪽 불변 벡터장으로 확장될 수 있다. 구체적으로, 항등식에서 접공간의 원소 *v*의 왼쪽 불변 확장은 *v*^*g*&nbsp;=&nbsp;*L<sub>g</sub>***v* 로 정의되는 벡터장이다. 이는 항등원의 접공간 *T<sub>e</sub>G를* 왼쪽 불변 벡터 체의 공간으로 식별하고 따라서 항등식의 접공간을 일반적으로 Fraktur로 표시되는 *<math>G</math>*의 리 대수라고 불리는 리 대수 \mathfrak{g}로 만든다. 리 괄호는 [*v* ,&nbsp;*w*]&nbsp;=&nbsp;[*v*^,&nbsp;*w*^]*e*.

이 리 대수 \mathfrak{g}는 유한 차원이며 다양체 *<math>G</math>*와 동일한 차원을 갖는다. *<math>G</math>*의 리 대수는 *<math>G</math>를* "국소 동형"을 기준으로 결정한다. 여기서 두 리 군은 항등원 근처에서 동일하게 보이는 경우 **국소적 동형**이라고 한다. 리 군에 대한 문제는 먼저 리 대수에 대한 해당 문제를 해결함으로써 해결되는 경우가 많으며, 군에 대한 결과는 일반적으로 쉽게 유도된다. 예를 들어 단순 리 군은 일반적으로 해당 리 대수를 먼저 분류하여 분류된다.

왼쪽 불변 벡터장 대신 오른쪽 불변 벡터장을 사용하여 *T<sub>e</sub>* 에 대한 리 대수 구조를 정의할 수도 있다. 이것은 동일한 리 대수로 이어진다. 왜냐하면 *G*  역 사상은 오른쪽 불변 벡터장과 왼쪽 불변 벡터장 동일시 하는 데 사용될 수 있고 접공간 *T<sub>e</sub>* 에서 &#x2212;1에 해당하기 때문이다.

*T<sub>e</sub>*의 리 대수 구조는 다음과 같이 설명 될 수 있다. *G* &#xD7; *G에서 교환자 연산 (x, y) → xyx <sup>&#x2212; 1</sup> y <sup>&#x2212; 1</sup>*

은 (e ,&nbsp;e)를 e로 보낸다. 그래서 미분은 *T<sub>e</sub>G* 위에서 쌍선형 연산을 생성한다. 이 쌍선형 연산은 실제로 영 사상이지만 접공간의 적절한 식별 하에서 2차 도함수는 리 괄호의 공리를 충족하는 연산을 생성하며 이는 왼쪽 불변 벡터장을 통해 정의된 것의 두 배와 같다.

## 역사
리 군의 이론은 노르웨이의 수학자 소푸스 리가 1873년 경에 미분 방정식의 대칭성을 연구하기 위하여 "변환군"()이라는 이름으로 도입하였다.
그러나 리의 논문들은 (처음 하나를 제외하고) 모두 독일 저널이 아닌 노르웨이 저널에 출판되었기 때문에, 수학계에서 별다른 관심을 받지 못하였다. 1884년에 젊은 독일 수학자 프리드리히 엥겔()이 리의 이론에 관심을 갖게 되었다. 리와 엥겔은 리 이론에 대한 총 3권의 책 《변환군론》()을 1888년~1893년에 독일어로 출판하였고, 이후 리 이론은 수학에서 중요한 위치를 차지하게 되었다.

1888년~1890년 동안 빌헬름 킬링은 리 군과 리 대수의 개념을 독자적으로 재발견하였고, 반단순 리 군의 구조론을 제창하였다. 1893년에 리의 제자 아르튀르 트레스()는 "리 군"()이라는 용어를 최초로 사용하였다. 엘리 카르탕은 1894년 박사 학위 논문에서 킬링의 구조론을 개량·정리하였다. 카르탕은 1930년에 카르탕 닫힌 부분군 정리를 증명하였다.

헤르만 바일은 반단순 리 군의 기약 표현들을 무게로서 분류하였고, 이에 대한 바일 지표 공식을 증명하였으며, 이를 양자역학에 응용하였다. 그 뒤 클로드 슈발레와 하리시찬드라 역시 리 군의 이론에 큰 공헌을 하였고, 이는 이후 로버트 랭글랜즈의 랭글랜즈 프로그램으로 이어졌다.

## 참고 문헌

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### 리 이론의 역사
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### 응용
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## 같이 보기
* 아벨 군
* 리 대수
* 대수군
* 위상군

## 외부 링크
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