장소 (수학)

일반위상수학에서 **장소**(場所, )는 위상 공간의 열린집합의 부분 순서 집합을 추상화한 구조이다. 장소의 범주의 대상은 완비 헤이팅 대수와 같지만, 장소의 사상은 헤이팅 대수의 사상과 다르다.

## 정의
**완비 헤이팅 대수**는 완비 격자인 헤이팅 대수이다. 두 완비 헤이팅 대수 사이의 **완비 헤이팅 대수 준동형**()은 모든 만남과 이음을 보존하는 함수이다. 완비 헤이팅 대수와 완비 헤이팅 대수 준동형은 범주 \operatorname{CHey}를 이룬다.

두 완비 헤이팅 대수 X, Y 사이의 **틀 사상**() f\colon X\to Y은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.
* 유한 만남을 보존한다. 즉, 유한 부분 집합 \{x_i\}_{i\in I}\subseteq X에 대하여 \textstyle\bigwedge_{i\in I} f(x_i)=f\left(\bigwedge_{i\in I}x_i\right)이다.
* 임의의 이음을 보존한다. 즉, 부분 집합 \{x_i\}_{i\in I}\subseteq X에 대하여 \textstyle\bigvee_{i\in I} f(x_i)=f\left(\bigvee_{i\in I}x_i\right)이다.
**틀**()은 완비 헤이팅 대수와 같다. 틀과 틀 사상은 범주 \operatorname{Frm}을 이룬다.

**장소**의 범주는 틀의 범주의 반대 범주이다.
:\operatorname{Loc}=\operatorname{Frm}^{\operatorname{op}}
즉, **장소**는 틀 또는 완비 헤이팅 대수와 같으며, 두 장소 X, Y 사이의 **장소 사상**() f\colon X\to Y은 반대 방향의 틀 사상 f^{\operatorname{op}}\colon Y\to X과 같다.

### 열린집합과 점
장소 L의 **[[열린집합]]**()은 L의 (부분 순서 집합으로서의) 원소이다. 한원소 공간 \{\bullet\}은 위상 공간의 범주의 끝 대상이며, 위상 공간 X의 점은 한원소 공간으로부터 오는 연속 함수 f\colon\{\bullet\}\to X로 생각할 수 있다. 한원소 공간에 대응하는 위치 \operatorname{Open}(\{\bullet\})=\{\varnothing,\{\bullet\}\}는 두 개의 원소를 갖는 불 대수이며, 장소의 범주의 끝 대상이다. 장소 L의 **점**(點, )은 장소 사상 \operatorname{Open}(\{\bullet\})\to L로 정의한다. 점 p\colon
\operatorname{Open}(\{\bullet\})\to L 및 열린집합 U\in L에 대하여, p가 L에 **속한다**()는 것은 틀 사상 p^{\operatorname{op}}\colon L\to\operatorname{Open}(\{\bullet\}) 아래 p^{\operatorname{op}}\colon U\mapsto \{\bullet\}\in \operatorname{Open}(\{\bullet\}인 것이다.

### 부분 장소
장소 L의 **부분 장소**()는 정칙 부분 대상이다. 보다 구체적으로, L의 부분 장소들은 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 \nu\colon L\to L와 일대일 대응한다.
* \nu(U\wedge V)=\nu(U)\vee\nu(V)
* U\le j(U)
* (멱등성) \nu\circ\nu=\nu
이는 L 위의 만남을 보존하는 모나드와 같다. 이러한 함수를 부분 장소의 **핵**(核, )이라고 한다.

부분 장소는 점들로 결정되지 않는다. 즉, 같은 점 집합을 갖는 부분 장소가 서로 다를 수 있다.

## 성질
위상 공간의 경우, 조밀 집합의 교집합은 일반적으로 조밀 집합이 아니다. 그러나 장소의 경우, 조밀 부분 장소의 교차는 항상 조밀 부분 장소이며, 특히 가장 작은 조밀 부분 장소가 존재한다.

### 범주론적 성질
장소의 범주 \operatorname{Loc}는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

장소의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이루지 않는다. 장소 L에 대하여, 지수 대상 (-)^L이 항상 존재할 필요충분조건은 L이 국소 콤팩트 장소인 것이다.

점을 충분히 가지는 장소들의 쌍대곱은 \operatorname{Top}의 쌍대곱과 일치한다.

점을 충분히 가지는 장소들의 (무한할 수 있는) 곱의 점 집합은 각 장소의 점 집합들의 곱집합과 같다. 그러나 그 위의 위상은 일반적으로 곱위상과 다르다.

### 위상 공간과의 관계
위상 공간 X에 대하여, 그 열린집합들의 부분 순서 집합은 장소 \operatorname{Open}(X)를 이룬다. 또한, 위상 공간의 연속 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 열린집합의 원상
:f^{-1}\colon\operatorname{Open}(Y)\to\operatorname{Open}(X)
:f^{-1}\colon U\mapsto f^{-1}(U)
은 역방향의 틀 사상, 즉 순방향의 장소 사상을 이루며, 이는 위상 공간의 범주 \operatorname{Top}에서 장소의 범주로 가는 함자
:\operatorname{Open}\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Loc}
를 정의한다. 이 함자는 오른쪽 수반 함자
:\operatorname{Point}\colon\operatorname{Loc}\to\operatorname{Top}
:\operatorname{Open}\dashv\operatorname{Point}
를 갖는다. 이 함자 아래, 장소 L에 대응하는 위상 공간 \operatorname{Point}(L)은 집합으로서 L의 점들의 집합 \hom_{\operatorname{Loc}}(\operatorname{Open}(\{\bullet\}),L)이며, 그 위의 열린집합은 L의 열린집합에 속하는 점들의 집합이다.

장소 L에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* L\cong\operatorname{Open}(X)인 위상 공간 X가 존재한다. 즉, 함자 \operatorname{Open}의 치역(의 동형에 대한 폐포)에 속한다.
* 임의의 U,V\in L에 대하여, 만약 U와 V가 같은 점들을 갖는다면 U=V이다.
이러한 장소를 **점을 충분히 가지는 장소**()라고 한다. 점을 충분히 가지는 장소들의 충만한 부분 범주를 \operatorname{ptLoc}로 쓰자.

사실, 위상 공간과 장소 사이의 수반 함자 \operatorname{Open}\dashv\operatorname{Point}는 다음과 같이 분해할 수 있다.
:\operatorname{Top}{\to\atop\hookleftarrow}\operatorname{Sober}\simeq\operatorname{ptLoc}{\hookrightarrow\atop\leftarrow}\operatorname{Loc}
여기서
* \operatorname{Sober}는 차분한 공간과 연속 함수의 범주이다.
* \operatorname{Sober}는 위상 공간의 범주 \operatorname{Top}의 반사 부분 범주이다. 즉, 충실충만한 포함 함자 \operatorname{Sober}\hookrightarrow\operatorname{Top} 및 그 왼쪽 수반 함자가 존재한다.
* 차분한 공간의 범주 \operatorname{Sober}는 점을 충분히 가지는 장소의 범주 \operatorname{ptLoc}와 동치이다.
* \operatorname{ptLoc}는 장소의 범주 \operatorname{Loc}의 쌍대 반사 부분 범주이다. 즉, 충실충만한 포함 함자 \operatorname{Sober}\hookrightarrow\operatorname{Top} 및 그 오른쪽 수반 함자가 존재한다.

### 층론적 성질
장소 L이 주어졌다고 하자. 부분 순서 집합으로서, 이는 작은 범주로 여길 수 있다. 이 위에는 다음과 같은 표준적인 그로텐디크 준위상이 존재한다.
* 열린집합 U\in L의 **덮개**는 \textstyle\bigvee_{i\in I}U_i=U인 부분 집합 \{U_i\}_{i\in I}\subseteq L이다.
이에 따라, 모든 장소 L은 위치를 이루며, 장소 L위의 (집합 값의) 층들의 범주 \operatorname{Sh}(L)는 그로텐디크 토포스를 이룬다. 위상 공간 X에 대하여, X 위의 층의 개념은 장소 \operatorname{Open}(X) 위의 층의 개념과 일치한다.

토포스와 기하학적 사상들의 범주 \operatorname{Topos}를 생각하자. (집합론적인 문제를 무시하자.) 이 경우, 장소의 범주로부터 토포스의 범주로 가는 함자
:\operatorname{Sh}\colon\operatorname{Loc}\to\operatorname{Topos}
가 존재하며, 이는 충실충만한 함자이다.

## 종류
일반위상수학에서 위상 공간에 대하여 정의되는 대부분의 성질들은 열린집합을 통해 나타낼 수 있으며, 따라서 장소에 대하여 쉽게 일반화될 수 있다. 예를 들어, 장소 L의 **[[열린 덮개]]**는 그 만남이 최대 원소를 이루는 만족시키는 부분 집합 \{U_i\}_{i\in I}\subseteq L이다.
:\bigvee_{i\in I}U_i=\max L=\bigvee_{U\in L}U
**[[콤팩트 공간|콤팩트]] 장소**는 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는 장소이다.

## 역사
1928년에 카를 멩거(, 1902~1985)는 공간의 개념을 점을 사용하지 않고 정의할 수 있다는 아이디어를 제시하였다. 1930년대에 마셜 하비 스톤은 격자 이론을 연구하였으며, 위상 공간의 성질이 그 열린집합들의 완비 헤이팅 대수와 관련된다는 사실을 발견하였다.

샤를 에레스만과 그 제자 장 베나부()는 위상 공간의 열린집합의 격자와 같은 성질을 갖는 격자 (즉, 완비 헤이팅 대수)를 "국소 격자"()로 명명하였다. 클리퍼드 휴 다우커(, 1912~1982)와 도나 앤셜 패퍼트 스트라우스()는 이를 대신하여 "틀"()이라는 용어를 도입하였다. 이후 존 이스벨(, 1931~2005)이 틀의 범주의 반대 범주를 지칭하는 **장소**()라는 용어를 도입하였다.

## 참고 문헌

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## 외부 링크
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분류:일반위상수학
분류:격자 이론