체흐 코호몰로지

대수적 위상수학에서 **체흐 코호몰로지**()는 위상 공간 위의 층 코호몰로지를 공간을 작은 조각으로 쪼개어 정의·계산하는 방법이다.

## 정의
다음이 주어졌다고 하자.
* 위상 공간 X
* X 위의 아벨 군 준층 \mathcal F\in\operatorname{PSh}(X;\operatorname{Ab})

그렇다면, 각 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, (X,\mathcal U)의 \mathcal F계수 n차 **체흐 코호몰로지** \operatorname{\check H}^n(X;\mathcal F)는 아벨 군이다. 이는 구체적으로 공사슬 복합체를 통해 정의될 수 있으며, 추상적으로 오른쪽 유도 함자로서 정의될 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다.

이 개념은 일반적으로 사용되는 \mathcal U에 의존한다. 그러나 X 위의 열린 덮개들은 유항체계()를 이루며, (\mathcal U에 의존하지 않는) X의  **체흐 코호몰로지** \operatorname{\check H}^\bullet(X;\mathcal F)를 모든 열린 덮개 \mathcal U에 대한 코호몰로지 \operatorname{\check H}^\bullet(X,\mathcal U;\mathcal F)의 귀납적 극한이다. 즉,
:\operatorname{\check H}^n(X;\mathcal F)=\varinjlim\check H^n(X,\mathcal U;\mathcal F)
이다.

### 구체적 정의
#### 단체와 사슬
n차 **체흐 단체**(Čech單體, ) \sigma는 그 교집합이 0이 아닌, n+1개의 \mathcal U의 원소의 순서쌍 (U_0,\dots,U_n)이다. 단체의 **지지 집합**() |\sigma|은 다음과 같은, 모든 성분들의 교집합이다.
:|\sigma|=\bigcap_{k=0}^nU_n

n차 체흐 단체를 기저로 하는 자유 아벨 군을 \check C^n이라고 하자. \check C^n의 원소를 n차 **체흐 사슬**()이라고 한다.

n차 체흐 단체 \sigma의 **부분 경계**(部分境界, ) \partial_k\sigma는 다음과 같다.
:\partial_k\sigma=(U_0,\dots,U_{k-1},U_{k+1},\dots,U_n).
\sigma의 **경계**(境界, ) \partial\sigma는 다음과 같다.
:\partial\sigma=\sum_{k=0}^n(-1)^k\partial_k\sigma\in\check  C^{n-1}.
마찬가지로 n차 사슬의 경계를 (선형으로) 정의할 수 있다. n차 사슬의 경계는 n-1차 사슬이다.

### 공사슬
n차 **체흐 공사슬**(Čech共-, ) \phi는 n차 단체 \sigma를 아벨 군 원소 \phi(\sigma)\in\mathcal F(|\sigma|)와 대응시키는 함수이다. n차 공사슬의 집합을 \check C^n(X,\mathcal U;\mathcal F)라고 하자. 이는 점별 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다.

공사슬의 **공경계**(共境界, )
:\delta^n\colon\check C^n(X,\mathcal U;\mathcal F)\to\check C^{n+1}(X,\mathcal U;\mathcal F)
는 다음과 같다. 단체 \sigma에 대하여,
:(\delta^n\phi)(\sigma)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\operatorname{res}_^\phi(\partial_k\sigma).
여기서
:\operatorname{res}_^\colon\mathcal F(|\partial_k\sigma|)\to\mathcal F(|\sigma|)
는 부분 집합에 대한 제한 사상이다. 계산을 통해 \delta^{n+1}\circ\delta^n=0임을 확인할 수 있다. 따라서 이는 공사슬 복합체를 이루며, 그 코호몰로지를
:\operatorname{\check H}^\bullet(X,\mathcal U;\mathcal F)
라고 하자.

### 유도 함자 구성
체흐 코호몰로지는 보다 추상적으로 유도 함자를 통해 정의할 수 있다. 즉, 0차 체흐 코호몰로지는 다음과 같이 쉽게 구체적으로 정의할 수 있다.
:\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;\mathcal F)=
\left\{(\phi_U)_{U\in\mathcal F}\in C^0\colon
\forall U,V\in\mathcal U\colon U\cap V\ne\varnothing\implies\operatorname{res}_{U\cap V}^U\phi_U=\operatorname{res}_{U\cap V}^V\phi_V
\right\}
여기서 \check C^0는 0차 체흐 공사슬, 즉 각 U\in\mathcal U에 대하여 \mathcal F(U)의 원소 \phi_U\in\mathcal F_U를 대응시키는 대상들의 집합이다. 만약 \mathcal F가 층이라면 이는 대역 단면 \Gamma_X(\mathcal F)과 같지만, 준층이라면 같을 필요가 없다.

0차 체흐 코호몰로지는 함자
:\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;-)\colon\operatorname{PSh}(X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Ab}
를 정의한다. 이 함자는 왼쪽 완전 함자임을 보일 수 있으며, 그 오른쪽 유도 함자들은 고차 체흐 코호몰로지와 일치한다.
:\operatorname R^\bullet\left(\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;-)\right)=\operatorname{\check H}^\bullet(X,\mathcal U;-)
여기서 준층 범주를 사용하는 것은 매우 중요하다. 층 범주에서는 0차 체흐 코호몰로지 함자 \operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;-)는 단면 함자 \Gamma_X(-)와 일치하며, 이 함자의 오른쪽 유도 함자는 단순히 층 코호몰로지와 같다.

## 성질
### 특이 코호몰로지와의 관계
임의의 아벨 군 G에 대하여, 그 상수층 \underline G을 생각하자. 만약 위상 공간 X가 CW 복합체와 호모토피 동치라면, 그 \underline G 계수 체흐 코호몰로지는 G 계수 특이 코호몰로지와 표준적으로 동형이다.
:\operatorname{\check H}^\bullet(X;\underline G) \cong \operatorname H^\bullet_{\text{sing}}(X;G)

그러나 체흐 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 다르게 되는 위상 공간이 존재한다.

### 체흐-유도 함자 스펙트럼 열
체흐 코호몰로지는 특정한 경우 유도 함자로 정의된 층 코호몰로지와 일치한다. 이 사실은 **마이어-피토리스 스펙트럼 열**() 또는 **체흐-유도 함자 스펙트럼 열**()의 존재에 의하여 함의된다.

구체적으로, 위상 공간 X 위의 아벨 군 값의 층 \mathcal F 및 열린 덮개 \mathcal U가 주어졌다고 하자. \mathcal H^q(X;\mathcal F)가 다음과 같은 준층이라고 하자.
:\mathcal H^q(X;\mathcal F)\colon U\mapsto \operatorname H^q(U;\mathcal F)
그렇다면, **마이어-피토리스 스펙트럼 열**의 두 번째 쪽은 다음과 같다.
:E_2^{p,q}=\operatorname{\check H}^p\left(X,\mathcal U;\mathcal H^q(X;\mathcal F)\right)
만약 \mathcal U가 두 개의 열린집합만으로 구성된다면, 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 마이어-피토리스 열로 퇴화한다. 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 함자들로 유도되는, 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.
:\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\hookrightarrow\operatorname{PSh}(X;\operatorname{Ab})\xrightarrow{\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;-)}\operatorname{Ab}
여기서 \operatorname{Sh}는 층 범주, \operatorname{PSh}는 준층 범주를 뜻한다.

적절한 조건 아래 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 층 코호몰로지로 수렴한다.
:E_2^{p,q}\Rightarrow\operatorname H^{p+q}(X;\mathcal F)
특히, 만약  마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화한다면 \operatorname{\check H}^p(X,\mathcal U;\mathcal F)는 층 코호몰로지와 일치한다. 구체적으로, 마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화하는 충분조건은 다음과 같다.
* 모든 유한 부분 집합 \mathcal A\subseteq\mathcal U에 대하여 \mathcal F|_{\bigcap\mathcal A}는 비순환층이다 (즉, \textstyle\operatorname H^i(\bigcap\mathcal A;\mathcal F)=0\quad\forall i>0이다).
이를 **르레 정리**()라고 하고, 이 조건을 만족시키는 열린 덮개를 **르레 덮개**()라고 한다.

## 예
### 낮은 차수의 체흐 공사슬
편의상 체흐 공사슬 \phi의 값을
:\phi(U_{i_0},\dotsc,U_{i_n}) = \phi_{i_0\dotso i_n}
으로 표기하자.

낮은 차수의 체흐 공경계 및 체흐 공사슬이 체흐 공순환이 될 조건은 다음과 같다. (편의상, 자명한 제약 사상들을 생략하였다.)

### 위상수학자의 사인 곡선
위상수학자의 사인 곡선
: T = \left\{ \left(x, \sin(1/x) \right) \colon x \in (0,1] \right\} \cup \{(0,0)\} 
의 폐포
:\operatorname{cl}(T) = T \cup (\{0\} \times [-1,1])
의 경우, 체흐 코호몰로지와 특이 코호몰로지가 서로 일치하지 않는다. 구체적으로,
:\operatorname{\check H}^1(\operatorname{cl}T; \underline{\mathbb Z}) \cong\mathbb Z
:\operatorname H^1_{\text{sing}}(\operatorname{cl}T;\mathbb Z)\cong 0
이다.

### 스킴
분리 스킴 위의 연접층에 대하여, 열린 아핀 부분 스킴들로 구성된 덮개는 항상 르레 덮개이다. 여기서 분리성 및 연접성은 다음과 같이 필요하다.
* 분리 스킴의 조건에 의하여 열린 아핀 부분 스킴들의 교집합 역시 열린 아핀 부분 스킴이다.
* 연접층의 조건에 의하여, 아핀 스킴 위의 연접층은 항상 비순환층이다.

## 역사
러시아의 파벨 알렉산드로프와 체코의 에두아르트 체흐가 도입하였다. 르레 정리는 장 르레가 1950년에 도입하였다.

## 각주

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## 외부 링크
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분류:호몰로지 이론