테일러 정리

미적분학에서 **테일러 정리**(-定理, )는 함수를 한 점 주변에서 다항식으로 근사하는 정리이다.

## 정의
### 페아노 나머지항
만약 f\colon(a-r,a+r)\to\mathbb R가 n계 도함수를 가진다면, 다음이 성립한다.
:f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f*(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+o(x-a)^n\qquad(x\to a)</math>
여기서 <math>o(x-a)^n</math>는 <math>(x-a)^n</math>과 어떤 0으로 수렴하는 함수의 곱을 나타낸다. 이는 함수와 어떤 다항식의 차가 <math>(x-a)^n</math>보다 빠르게 0으로 수렴함을 나타낸다. 이러한 다항식을 *'n차 테일러 다항식**(-次-多項式, )이라고 하고, 함수와 테일러 다항식의 차를 **나머지항**(-項, )이라고 한다. 위와 같이 나타낸 나머지항 <math>o(x-a)^n</math>을 **페아노 나머지항**(-項, )이라고 한다. 사실, 주어진 함수와의 차가 페아노 나머지항인 <math>n</math>차 이하의 다항식은 테일러 다항식으로 유일하다.

=== 라그랑주 나머지항 ===
만약 <math>f\colon[a',b']\to\mathbb R</math>가 <math>n</math>번 연속 미분 가능 함수이며, <math>(a',b')</math>에서 <math>(n+1)</math>계 도함수를 가진다면, 임의의 <math>a,x\in[a',b']</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
여기서 <math>\xi\in\{a+\theta(x-a)\colon 0<\theta<1\}</math>즉, a와 x사이에 있는 어떤 실수이다. 이와 같은 나머지항을 **라그랑주 나머지항**(-項, )이라고 한다. 이는 [[평균값 정리]]의 일반화이다.

=== 적분 나머지항 ===
만약 <math>I</math>가 구간이며, <math>f\colon I\to\mathbb R</math>가 <math>(n+1)</math>번 연속 미분 가능 함수라면, 임의의 <math>a,x\in I</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac 1{n!}\int_a^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^n\mathrm dt</math>
이와 같은 나머지항을 **적분 나머지항**(積分-項, )이라고 한다.

=== 코시 나머지항 ===
만약 <math>I</math>가 구간이며, <math>f\colon I\to\mathbb R</math>가 <math>(n+1)</math>번 연속 미분 가능 함수라면, 임의의 <math>a,x\in I</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-a)</math>
여기서 <math>\xi\in\{a+\theta(x-a)\colon 0<\theta<1\}</math>이다. 이와 같은 나머지항을 **코시 나머지항**(-項, )이라고 한다.

== 다변수 함수의 경우 ==
=== 페아노 나머지항 ===
만약 <math>f\colon\operatorname B_{\mathbb R^d}(\mathbf a,r)\to\mathbb R</math>의 모든 <math>n</math>계 [[편도함수]]가 연속 함수라면, 다음이 성립한다.
:<math>f(\mathbf x)
=\sum_{k=0}^n\frac 1{k!}\sum_{j_1=1}^d\cdots\sum_{j_k=1}^d
\frac{\partial^kf(\mathbf a)}{\partial x_{j_1}\cdots\partial x_{j_k}}
(x_{j_1}-a_{j_1})\cdots(x_{j_k}-a_{j_k})
+o(\Vert\mathbf x-\mathbf a\Vert^n)\qquad(\mathbf x\to\mathbf a)
</math>

=== 라그랑주 나머지항 ===
만약 <math>D\subseteq\mathbb R^d</math>가 [[연결 집합|연결]] [[열린집합]]이며, <math>f\colon D\to\mathbb R</math>의 모든 <math>(n+1)</math>계 [[편도함수]]가 연속 함수이며, 또한 임의의 <math>t\in[0,1]</math>에 대하여 <math>\mathbf a+t(\mathbf x-\mathbf a)\in D</math>라면, 다음이 성립한다.
:<math>f(\mathbf x)
=\sum_{k=0}^n\frac 1{k!}\sum_{j_1=1}^d\cdots\sum_{j_k=1}^d
\frac{\partial^kf(\mathbf a)}{\partial x_{j_1}\cdots\partial x_{j_k}}
(x_{j_1}-a_{j_1})\cdots(x_{j_k}-a_{j_k})
+\frac 1{(n+1)!}\sum_{j_1=1}^d\cdots\sum_{j_{n+1}=1}^d
\frac{\partial^{n+1}f(\boldsymbol\xi)}{\partial x_{j_1}\cdots\partial x_{j_{n+1}}}
(x_{j_1}-a_{j_1})\cdots(x_{j_{n+1}}-a_{j_{n+1}})
</math>
여기서 <math>\boldsymbol\xi\in\{\mathbf a+\theta(\mathbf x-\mathbf a)\colon 0<\theta<1\}</math>이다.

=== 적분 나머지항 ===
만약 <math>D\subseteq\mathbb R^d</math>가 [[연결 집합|연결]] [[열린집합]]이며, <math>f\colon D\to\mathbb R</math>의 모든 <math>(n+1)</math>계 [[편도함수]]가 연속 함수이며, 또한 임의의 <math>t\in[0,1]</math>에 대하여 <math>\mathbf a+t(\mathbf x-\mathbf a)\in D</math>라면, 다음이 성립한다.
:<math>f(\mathbf x)
=\sum_{k=0}^n\frac 1{k!}\sum_{j_1=1}^d\cdots\sum_{j_k=1}^d
\frac{\partial^kf(\mathbf a)}{\partial x_{j_1}\cdots\partial x_{j_k}}
(x_{j_1}-a_{j_1})\cdots(x_{j_k}-a_{j_k})
+\frac 1{n!}\int_0^1\sum_{j_1=1}^d\cdots\sum_{j_{n+1}=1}^d
\frac{\partial^{n+1}f(\mathbf a+t(\mathbf x-\mathbf a))}{\partial x_{j_1}\cdots\partial x_{j_{n+1}}}
(x_{j_1}-a_{j_1})\cdots(x_{j_{n+1}}-a_{j_{n+1}})(1-t)^n\mathrm dt
</math>

== 증명 ==
=== 페아노 나머지항의 증명 ===
함수 <math>f</math>의 테일러 다항식을 <math>\operatorname T_{n,f,a}(x)</math>로 표기하자. 페아노 나머지항의 테일러 정리는 다음을 의미한다.
:<math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)-\operatorname T_{n,f,a}(x)}{(x-a)^n}=0</math>
모든 <math>k\in\{0,\dots,n\}</math>에 대하여 <math>f^{(k)}(a)=\operatorname T_{n,f,a}^{(k)}(a)</math>이므로, [[로피탈 법칙]]을 사용하면 다음을 얻는다.
:<math>\begin{align}\lim_{x\to a}\frac{f(x)-\operatorname T_{n,f,a}(x)}{(x-a)^n}
&=\lim_{x\to a}\frac{f^{(n-1)}(x)-\operatorname T_{n,f,a}^{(n-1)}(x)}{n!(x-a)}\\
&=\lim_{x\to a}\frac 1{n!}\left(\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(a)}{x-a}-f^{(n)}(a)\right)\\
&=0
\end{align}</math>
첫 등호는 로피탈 법칙을 <math>(n-1)</math>번 반복한 결과이며, 마지막 등호는 <math>f^{(n)}(a)</math>의 정의에 의한다.

==== 테일러 다항식의 유일성의 증명 ====
다음이 성립한다고 가정하자.
:<math>f(x)=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+\cdots+a_n(x-a)^n+o(x-a)^n\qquad(x\to a)</math>
여기서 <math>a_0,\dots,a_n\in\mathbb R</math>는 상수이다. 이 식에 <math>x\to a</math>를 취하면 <math>a_0=f(a)</math>를 얻는다. 이를 대입한 뒤 식을 다음과 같이 변형하자.
:<math>\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=a_1+a_2(x-a)^2+\cdots+a_n(x-a)^{n-1}+o(x-a)^{n-1}\qquad(x\to a)</math>
여기에 <math>x\to a</math>를 취하면 <math>a_1=f'(a)</math>를 얻는다. 마찬가지로 이를 대입한 뒤 식을 다음과 같이 변형하자.
:<math>\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{(x-a)^2}=a_2+a_3(x-a)+\cdots+a_n(x-a)^{n-2}+o(x-a)^{n-2}\qquad(x\to a)</math>
여기에 <math>x\to a</math>를 취하면 <math>a_2=f''(a)/2</math>를 얻는다. 이와 같이 반복하면 모든 <math>k\in\{0,\dots,n\}</math>에 대하여 <math>a_k=f^{(k)}(a)/k!</math>임을 알 수 있다. 모든 테일러 정리는 페아노 나머지항을 유도할 수 있으므로 모든 테일러 정리의 테일러 다항식은 유일하다.

=== 라그랑주 나머지항의 증명 ===
편의상 <math>x\ne a</math>라고 가정하자. 다음과 같은 두 함수 <math>F,G\colon[a,x]\cup[x,a]\to\mathbb R</math>를 정의하자.
:<math>F(t)=f(x)-\left(f(t)+f'(t)(x-t)+\frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n\right)</math>
:<math>G(t)=(x-t)^{n+1}</math>
그러면 <math>F,G</math>는 연속 함수이며, 임의의 <math>t\in(a,x)\cup(x,a)</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>F'(t)=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n</math>
:<math>G'(t)=-(n+1)(x-t)^n</math>
또한 <math>F(x)=G(x)=0</math>이므로, [[코시 평균값 정리]]에 따라 다음이 성립한다.
:<math>\frac{F(a)}{G(a)}=\frac{F(a)-F(x)}{G(a)-G(x)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}</math>
여기서 <math>\xi\in(a,x)\cup(x,a)</math>이다. 따라서 라그랑주 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.

=== 적분 나머지항의 증명 ===
[[미적분학의 기본 정리]]에 따라 다음이 성립한다.
:<math>f(x)=f(a)+\int_a^xf'(t)\mathrm dt</math>
[[부분 적분]]을 반복하면 다음을 얻는다.
:<math>\begin{align}f(x)
&=f(a)-\int_a^xf'(t)\mathrm d(x-t)\\
&=f(a)+f'(a)(x-a)+\int_a^x(x-t)f''(t)\mathrm dt\\
&=f(a)+f'(a)(x-a)-\frac 12\int_a^xf''(t)\mathrm d(x-t)^2\\
&=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}2(x-a)^2+\frac 12\int_a^x(x-t)^2f**(t)\mathrm dt\\
&\vdots\\
&=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac 1{n!}\int_a^x(x-t)^nf^{(n+1)}(t)\mathrm dt
\end{align}
따라서 적분 나머지항의 테일러 정리가 성립한다. 적분 나머지항에 제1 적분 평균값 정리를 적용하면 라그랑주 나머지항을 유도할 수 있다.

### 코시 나머지항의 증명
적분 나머지항에 제1 적분 평균값 정리를 적용하면 다음을 얻는다.
:\begin{align}\frac 1{n!}\int_a^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^n\mathrm dt
&=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n\int_a^x\mathrm dt\\
&=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-a)
\end{align}
여기서 \xi\in\{a+\theta(x-a)\colon 0이다. 따라서 코시 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.

### 다변수 함수의 경우의 증명
라그랑주 나머지항의 경우를 증명하자. 그 밖의 경우도 마찬가지로 증명할 수 있다. 다음과 같은 함수 g\colon[0,1]\to\mathbb R을 정의하자.
:g(t)=f(\mathbf a+t(\mathbf x-\mathbf a))
그러면 g는 (n+1)번 연속 미분 가능 함수이므로, 일변수 함수의 경우에 따라 다음이 성립한다.
:g(1)=\sum_{k=0}^n\frac{g^{(k)}(0)}{k!}+\frac{g^{(n+1)}(\theta)}{(n+1)!}
여기서 \theta\in(0,1)이다. 또한, 연쇄 법칙에 따라 다음이 성립한다.
:\begin{align}g^{(k)}(t)
&=\left(\sum_{j=1}^d(x_j-a_j)\frac{\partial}{\partial x_j}\right)^kf(\mathbf a+t(\mathbf x-\mathbf a))\\
&=\sum_{j_1=1}^d\cdots\sum_{j_k=1}^d\frac{\partial^kf(\mathbf a+t(\mathbf x-\mathbf a))}{\partial x_{j_1}\cdots\partial x_{j_k}}
(x_{j_1}-a_{j_1})\cdots(x_{j_k}-a_{j_k})
\end{align}
이를 대입하면 다음과 같은 다변수 함수의 경우를 얻는다.
:f(\mathbf x)
=\sum_{k=0}^n\frac 1{k!}\sum_{j_1=1}^d\cdots\sum_{j_k=1}^d
\frac{\partial^kf(\mathbf a)}{\partial x_{j_1}\cdots\partial x_{j_k}}
(x_{j_1}-a_{j_1})\cdots(x_{j_k}-a_{j_k})
+\frac 1{(n+1)!}\sum_{j_1=1}^d\cdots\sum_{j_{n+1}=1}^d
\frac{\partial^{n+1}f(\mathbf a+\theta(\mathbf x-\mathbf a))}{\partial x_{j_1}\cdots\partial x_{j_{n+1}}}
(x_{j_1}-a_{j_1})\cdots(x_{j_{n+1}}-a_{j_{n+1}})


## 같이 보기
* 평균값 정리
* 테일러 급수
* 로랑 급수

## 각주

## 외부 링크
* 

분류:미적분학 정리
분류:실해석학 정리