정이면체군

[섬네일|이 [눈 (날씨)|눈 결정의 대칭군은 정이면체군 \operatorname{Dih}_6이다.]]
550px|섬네일|right|<math>\operatorname{Dih}_8</math>은 정팔각형의 대칭군이다.
군론에서 **정이면체군**(正二面體群, )은 정다각형의 대칭군인 유한군이다.

## 정의
H가 아벨 군이라고 하자. **일반화 정이면체군**() \operatorname{Dih}(H)는 다음과 같은 반직접곱이다.
:\operatorname{Dih}(H)\cong H\rtimes_\phi(\mathbb Z/2)
여기서 \mathbb Z/2=\{0,1\}는 크기가 2인 유일한 군이며, 군의 작용 \phi\colon\mathbb Z/2\times H\to H는 다음과 같다.
:\phi_0\colon h\mapsto h
:\phi_1\colon h\mapsto -h
**정이면체군**
:\operatorname{Dih}_n=\operatorname{Dih}(\mathbb Z/n)
은 순환군 \mathbb Z/n에 대한 일반화 정이면체군이다. **무한 정이면체군**()
:\operatorname{Dih}_\infty=\operatorname{Dih}(\mathbb Z)
은 무한 순환군 \mathbb Z에 대한 일반화 정이면체군이다.

### 표시
정이면체군 \operatorname{Dih}_n은 다음과 같은 표시를 갖는다.
:\operatorname{Dih}_n\cong\langle r,s|r^n=s^2=(rs)^2=1\rangle
정이면체군 \operatorname{Dih}_n은 간혹 D_n이나 D_{2n}으로 쓰기도 한다.

무한 정이면체군 \operatorname{Dih}_\infty은 다음과 같은 표시를 갖는다.
:\operatorname{Dih}_{\infty}\cong\langle r,s|s^2=(rs)^2=1\rangle

## 성질
### 일반화 정이면체군
일반적으로, 일반화 정이면체군 \operatorname{Dih}(H)의 크기는 H의 크기의 두 배이다.

일반화 정이면체군 \operatorname{Dih}(H)=H\rtimes(\mathbb Z/2)의 원소들은 모두 (h,0) 또는 (h,1)의 꼴이다 (h\in H). 이 경우, (h,0) 꼴의 원소들의 집합은 H와 동형인 \operatorname{Dih}(H)의 지표가 2인 정규 부분군을 이루며, (h,1) 꼴의 원소들은 모두 위수가 2이다. 즉, (h,1)\cdot(h,1)=(0,0)이다.

\operatorname{Dih}(H)의 켤레류들은 다음과 같은 꼴이다. 모든 h\in H에 대하여,
* \{(h,0),(-h,0)\}
* \{(h+2k,0)|k\in H\}

### 유한 정이면체군
평면에서, 정<math>n</math>각형의 대칭군은 \operatorname{Dih}_n이다. 여기서, 군의 표시에서 r는 (반시계방향으로) 2\pi/n 라디안 회전 대칭에, s는 고정된 축에 대한 반사 대칭에 대응된다.

정이면체군 \operatorname{Dih}_n은 총 2n개의 원소를 가진다. 이들은 위의 표시에 따라서 다음과 같다.
:1,r,r^2,\dots,r^{n-1},s,sr,sr^2,\dots,sr^{n-1}

작은 정이면체군들은 다음과 같다.

더 일반적으로, 만약 n\equiv2\pmod4라면,
:\operatorname{Dih}_n\cong\operatorname{Dih}_{n/2}\times(\mathbb Z/2)
이다.

#### 멱영군일 조건
n\ge3인 경우, \operatorname{Dih}_n은 아벨 군이 아니다.

모든 \operatorname{Dih}_n은 가해군이다.

n\ge1인 경우, \operatorname{Dih}_n이 멱영군일 필요충분조건은 n\in\{2^0,2^1,\dots\}이다. k\ge1에 대하여, \operatorname{Dih}_{2^k}는 k류 멱영군이다.

#### 자기 동형
n\ge2인 경우, \operatorname{Dih}_n의 자기 동형군은 다음과 같다.
:\operatorname{Aut}(\operatorname{Dih}_n)\cong\begin{cases}
\operatorname{Sym}_3 & n=2 \\
\mathbb Z/n\rtimes(\mathbb Z/n)^\times & n\ge3
\end{cases}

여기서 (-)^\times는 가역원군이며, 우변의 반직접곱의 군의 작용은 (\mathbb Z/n)^\times와 \operatorname{Aut}(\mathbb Z/n) 사이의 표준적인 동형이다. 특히, n\ge3인 경우 \operatorname{Dih}_n의 자기 동형 사상의 수는 n\phi(n)이다. 여기서 \phi는 오일러 피 함수이다. 구체적으로, (a,b)\in\mathbb Z/n\rtimes(\mathbb Z/n)^\times는 s를 sr^a로, r를 r^b로 보내는 자기 동형 사상에 대응한다.

n\ge2인 경우, \operatorname{Dih}_n의 중심은 다음과 같다.
:\operatorname Z(\operatorname{Dih}_n)\cong\begin{cases}
\mathbb Z/2 & n\equiv0\pmod2 \\
1 & n\equiv1\pmod2
\end{cases}

구체적으로, 만약 n이 짝수라면, \pi 라디안 회전 대칭 r^{n/2}은 \operatorname{Dih}_n의 원소이며, 모든 원소와 가환한다.

n\ge2인 경우, \operatorname{Dih}_n의 내부 자기 동형군은 다음과 같다.
:\operatorname{Inn}(\operatorname{Dih}_n)\cong\begin{cases}
\operatorname{Dih}_{n/2} & n\equiv0\pmod2 \\
\operatorname{Dih}_n & n\equiv1\pmod2
\end{cases}


### 무한 정이면체군
무한 정이면체군 \operatorname{Dih}_\infty는 정수의 집합 \mathbb Z의 대칭군이다.

무한 정이면체군 \operatorname{Dih}_\infty는 다음과 같은 자유곱으로 나타낼 수 있다.
:\operatorname{Dih}_\infty=(\mathbb Z/2)*(\mathbb Z/2)

## 참고 문헌

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## 외부 링크
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## 같이 보기
* 군
* 군론
* 대칭군 (군론)

분류:유한군