삼중성 리 대수

[섬네일|right|[팔원수에 대응되는 삼중성 리 대수 \mathfrak d_4 = \mathfrak o(8) = \mathfrak{tri}(\mathbb O)의 딘킨 도표는 삼중성에 의하여 Sym(3) 대칭을 갖는다.]]
추상대수학에서 **삼중성 리 대수**(三重性Lie代數, )는 합성 대수로부터 정의되는, 3차 대칭군의 작용을 갖는 특별한 리 대수이다. 가장 대표적인 예는 팔원수로부터 정의되는 실수 리 대수 \mathfrak o(8)이며, 이에 따라 이 리 대수의 8차원 벡터 표현 및 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너들이 서로 삼중성 아래 순열로 변환한다.

## 정의
K가 2와 3이 가역원인 체라고 하자. K 위의 합성 대수 A 에 대하여, 다음을 정의하자.
:\mathfrak{tri}(A)=\{(A,B,C) \in \mathfrak o(A,Q)^{\oplus3} \colon A(x\star y) = x\star By + Cx \star y\qquad\forall x,y\in A\}
여기서 \mathfrak o(A,Q)는 A의 이차 형식 Q\colon A\to K(에 대응하는 대칭 쌍선형 형식)에 대한 직교 리 대수이다.

이는 \mathfrak o(A,Q)^{\oplus3}의 부분 리 대수를 이룬다. 이를 A의 **삼중성 리 대수**라고 하며, \mathfrak{tri}(A)로 표기한다.

이는 다음과 같은 K-벡터 공간 동형 사상을 갖는다.
:\mathfrak{tri}(A) \cong \mathfrak{der}(A) \oplus \operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}(A)

**증명:**

각 a\in A에 대하여, 교환자
:[x,y,z] = (x\star y)z - x(y\star z)
를 정의하면, 교대 법칙에 의하여
:[a,x,y] + [x,a,y] = 0
이며, 이는
:(\mathsf L_a,-\mathsf L_a, \mathsf L_a +\mathsf R_a) \in \mathfrak{tri}(A)\qquad\forall a\in A
로 번역된다. 마찬가지로
:[x,y,b] + [x,b,y] = 0
은
:(\mathsf R_b, \mathsf L_b + \mathsf R_b, -\mathsf R_b) \in \mathfrak{tri}(A)
로 번역된다. 이들은 각각 선형 변환
:K \hookrightarrow \mathfrak{tri}(A)
를 정의한다.

이에 따라, K-선형 변환
:\mathfrak{der}(A) \oplus K \oplus K \to \mathfrak{tri}(A)
:(\delta,a,b) \mapsto (\delta,0,0) + (\mathsf L_a,-\mathsf L_a, \mathsf L_a +\mathsf R_a) + (\mathsf R_b, \mathsf L_b \mathsf R_b, -\mathsf R_b)
이 존재한다. 또한, 이는 왼쪽 역사상
:(A,B,C) \mapsto (A - \mathsf L_a + \mathsf R_b, a,b)
:a = \frac13B(1) + \frac23C(1)
:b = \frac23B(1) + \frac13C(1)
를 갖는 것을 쉽게 확인할 수 있으며, 이 왼쪽 역사상은 단사 함수인 것을 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.
:B(y) = A(1\star y) - C(1)\star y
:C(x) = A(x\star1) - x\star B(1)


## 성질
### 3차 대칭군의 작용
\mathfrak{tri}(A) 위에는 다음과 같은 자기 동형이 존재한다.
:\theta, \zeta\colon\mathfrak{tri}(A) \to \mathfrak{tri}(A)
:\theta\colon (A,B,C) \mapsto (B^*,C,A^*)
:\zeta \colon (A,B,C) \mapsto (A^*,C^*, B^*)
여기서
:A^*(x) = (A(x^*))^*
를 뜻한다. 그렇다면,
:\theta^2 \colon (A,B,C) \mapsto (C^*,A^*,B)
:\theta^3 = \zeta^2 = \operatorname{id}
:\zeta\circ\theta = \theta^2\circ\zeta \colon (A,B,C) \mapsto (B,A,C^*)
:\theta\circ\zeta =\zeta\circ\theta^2 \colon (A,B,C) \mapsto (C,B^*,A)
가 된다. 즉, 이는 군 준동형
:\operatorname{Sym}(3) \to \operatorname{Aut}(\mathfrak{tri}(A))
를 정의한다 (\operatorname{Sym}(3)은 3차 대칭군). 이를 **삼중성**()이라고 한다.

또한, \mathfrak{der}(A)와 \mathfrak{tri}(A) 사이에, \operatorname{Im}(A)^{\oplus2}의 대각 성분으로 구성되는, 벡터 공간으로서 \mathfrak{der}(A)\oplus\operatorname{Im}(A)인 리 대수 \mathfrak{tri}'(A)가 존재한다. 이 위에는 \operatorname{Sym}(3) 삼중성이 \operatorname{Sym}(2) 이중성으로 깨지게 된다.

### 프로이덴탈 마방진과의 관계
두 실수 합성 대수 A, B에 대하여, 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상이 존재한다.
:\mathfrak {freud}(3; A, B) \cong \mathfrak{tri}(A) \oplus \mathfrak{tri}(B) \oplus (A\otimes_{\mathbb R}B)^{\oplus3}
여기서 \mathfrak{freud}(3;A,B)는 A와 B로 정의되는 3×3 프로이덴탈 마방진 실수 리 대수이다. 특히, 우변에서 \mathfrak{tri}(A)\oplus\mathfrak{tri}(B)는 \mathfrak{freud}(3;A,B)의 부분 리 대수를 이룬다.

또한, 임의의 실수 합성 대수 A에 대하여, 그 위의 3×3 에르미트 행렬로 구성된 실수 요르단 대수 \operatorname H(3;A)의 미분 리 대수는 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상을 갖는다.
:\mathfrak{der}(\operatorname H(3;A)) \cong \mathfrak{tri}(A) \oplus A^{\oplus3}
특히, 우변에서 \mathfrak{tri}(A)는 \mathfrak{der}(\operatorname H(3;A))의 부분 리 대수이다.

## 예
실수 합성 대수에 대하여, 삼중성 리 대수는 다음과 같다.

여기서 \tilde{\mathbb C}=\mathbb R\oplus\mathbb R, \tilde{\mathbb H}=\operatorname{Mat}(2,\mathbb R), \tilde{\mathbb O}=\operatorname{Zorn}(\mathbb R)는 각각 분할복소수 · 분할 사원수 · 분할 팔원수의 실수 합성 대수이다.

## 같이 보기
* 삼중곱
## 각주

## 외부 링크
* 

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분류:스피너