내림 데이터

범주론에서 **내림 데이터**(-data, , )는 어떤 올범주의 밑범주 속의 대상의 덮개 위에 주어진, 각 덮개 원소 위의 올범주의 대상들로 구성된 구조이다. 이를 사용하여, 일부 경우 밑범주 속의 대상의 올범주의 한 원소를 유일하게 재구성할 수 있다. 어떤 경우 이러한 재구성이 가능한지를 연구하는 수학 분야를 **내림 이론**(, )이라고 한다.

## 정의
### 체를 통한 정의
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 작은 범주 \mathcal C
* \mathcal C 위의 올범주 \Pi\colon\mathcal F\to\mathcal C
* \mathcal C 속의 대상 U\in\mathcal C
* U 위의 체 S\subseteq\hom_{\mathcal C}(-,U)
그렇다면, S는 함자
:\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}
:X\mapsto S(X)
:\left(X\xrightarrow fY\right)\mapsto \left(S(Y)\xrightarrow{f^*}S(X)\right)
로 생각할 수 있다. 이에 대하여 그로텐디크 구성을 가하여 올범주
:\Pi_S\colon\operatorname{Elem}(S)\to\mathcal C
를 정의할 수 있다. 여기서 \operatorname{Elem}(S)의 대상 (X,\iota)는 X\in\mathcal C 및 (\iota\colon X\to U)\in S(X)로 구성된다. 즉, X 위의 올은 S(X)이다.

S 위의 **내림 데이터**는 \mathcal C-올범주의 사상
:F\colon\operatorname{Elem}(S)/\mathcal C\to\mathcal F/\mathcal C
이다. 즉, 가환 그림
:\begin{matrix}
\operatorname{Elem}(S)&\to&\mathcal F\\
&\searrow&\downarrow\\
&&\mathcal C
\end{matrix}
을 이루며, 데카르트 사상을 데카르트 사상으로 대응시키는 함자이다.

### 구체적 정의
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 위치 \mathcal C
* \mathcal C 위의 올범주 \Pi\colon\mathcal F\to\mathcal C
* \mathcal C의 대상 U\in\mathcal C
* U의 덮개체 \{\iota_i\colon U_i\to U\}_{i\in I}
그렇다면, S 위의 **내림 데이터**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 i\in I에 대하여, 대상 F_i\in\mathcal F(U_i)
* 임의의 사상 u\colon U_i\to U_j에 대하여 (\iota_j\circ u=\iota_i),  \Pi(\phi_u)=u인 데카르트 사상 \phi_u\colon F_i\to F_j
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* u=\operatorname{id}_{U_i}일 때, \phi_{\operatorname{id}_{U_i}}=\operatorname{id}_{F_i}
* 임의의 U_i\xrightarrow uU_j\xrightarrow vU_k에 대하여 (\iota_j\circ u=\iota_i, \iota_k\circ v=\iota_j), \phi_{v\circ u}=\phi_v\circ\phi_u

만약 올범주 \mathcal F/\mathcal C의 쪼갬이 주어졌다면, 쪼갬에 의하여 주어진 표준적 올림 u^*F_j\to F_j이 주어지며, 이 경우 (데카르트 사상의 보편 성질에 의하여) \phi_u는 (유일하게 결정되는) 동형 사상 F_i\to u^*F_j으로 생각해도 된다. 그러나 내림 데이터의 개념은 선택한 쪼갬에 의존하지 않는다.

### 덮개를 통한 정의
체를 사용한 정의는 체를 생성하는 사상 집합 \{\iota_i\colon U_i\to U\}에 대하여 적용되도록 번역할 수 있다. 즉, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 모든 당김을 갖는 작은 범주 \mathcal C
* \mathcal C 위의 올범주 \Pi\colon\mathcal F\to\mathcal C
* \mathcal C의 대상 U\in\mathcal C
* U를 공역으로 하는 사상들의 집합 \{\iota_i\colon U_i\to U\}_{i\in I}.
그렇다면, S 위의 **내림 데이터**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 i\in I 및 사상 f\colon X\to U_i에 대하여, 대상 F_{i,f}\in\mathcal F(X)
* 각 가환 오각형  \begin{matrix}
X&\overset f\to&U_i&\overset{\iota_i}\to&U\\
\scriptstyle u\downarrow&&&&\|\\
X'&\underset{f'}\to&U_j&\underset{\iota_j}\to&U
\end{matrix}에 대하여, \Pi(F_{i,f,u,j,f'})=u인 데카르트 사상 \phi_{i,f,u,j,f'}\colon F_{i,f}\to F_{j,f'}
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* f\colon X\to U_i에 대하여, \phi_{i,f\operatorname{id}_X,i,f}=\operatorname{id}_{F_i}
* 임의의 당김 \begin{matrix}
U_i\times_UU_j &\to&U_i\\
\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\iota_i\\
U_j&\underset{\iota_j}\to&U
\end{matrix}에 대하여, F_{i,\operatorname{proj}_{U_i}}=F_{j,\operatorname{proj}_{U_j}}
* 임의의 가환 그림 \begin{matrix}
X&\overset f\to&U_i&\overset{\iota_i}\to&U\\
\scriptstyle u\downarrow&&&&\|\\
X'&\underset{f'}\to&U_j&\underset{\iota_j}\to&U\\
\scriptstyle v\downarrow&&&&\|\\
X*&\underset{f*}\to&U_k&\underset{\iota_k}\to&U
\end{matrix}에 대하여, \phi_{j,f',v,k,f*}\circ\phi_{i,f,u,j,f'}=\phi_{k,f*,v\circ u,i,f}

올범주 \mathcal F/\mathcal C의 정규 쪼갬이 주어졌다고 하자. 즉, 각 F\in\mathcal F 및 f\in\operatorname{Mor}(\mathcal C)에 대하여 올림
:f^*X\xrightarrow{\phi_{f,X}}X
가 주어졌고, 항등 사상의 올림이 항등 사상이라고 하자. 또한, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 각 i\in I에 대하여, 대상 F_i\in\mathcal F(U_i)
* 각 i,j\in I 및 당김 U_i\xleftarrow{\operatorname{proj}_{U_i}}U_i\times_UU_j\xrightarrow{\operatorname{proj}_{U_j}}U_j에 대하여, 동형 사상 \phi_{ij}\colon\operatorname{proj}_{U_j}^*F_j\to\operatorname{proj}_{U_i}^*F_i
이 데이터가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* 모든 i\in I에 대하여 \phi_{i,i}=\operatorname{id}이며, \phi_{i,j}\circ\phi_{j,i}=\operatorname{id}이다.
* (공사슬 조건 ) 모든 i,j,k\in I에 대하여, \operatorname{proj}_{13}^*\phi_{i,k}=\operatorname{proj}_{12}^*\phi_{i,j}\circ\operatorname{proj}_{23}^*\phi_{j,k}\colon\operatorname{proj}_3^*F_i\to \operatorname{proj}_1^*F_k. 여기서 \operatorname{proj}_{(-)}는 U_i\times_UU_j\times_UU_k의 각종 사영 사상이다.
그렇다면, 임의의 사상 f\colon X\to U_i에 대하여 F_{i,f}=\operatorname{dom}f^*F_i인 내림 데이터를 찾을 수 있다. 또한, 모든 내림 데이터는 이러한 꼴의 내림 데이터와 동형이다. 즉, 위와 같이, 쪼갬과 공사슬 조건을 통해 정의한 내림 데이터의 범주는 체를 통하여 정의한 내림 데이터의 범주와 동치이다.

### 효과적 내림
올범주 \Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B 및 \mathcal B 위의 그로텐디크 위상 및 대상 U\in\mathcal B 및 그 덮개 \{U_i\to U\}_{i\in I}에 대하여, 다음과 같은 두 범주를 생각할 수 있다.
* U 위의 올 \mathcal E(U)
* 덮개 \{U_i\to U\}_{i\in I}에 대한 내림 데이터의 범주 \operatorname{Desc}(\{U_i\to U\}_{i\in I})
또한, \Pi 위의 쪼갬이 주어졌다면, 자연스러운 함자
:\mathcal E(U)\to\operatorname{Desc}(\{\iota_i\colon U_i\to U\}_{i\in I})
가 존재한다. 이 함자는 F\in\mathcal E(U)에 대하여, F_i에 대하여
:F_i=\iota_i^*F
를 대응시킨다.

만약 이 함자 \mathcal E(U)\to\operatorname{Desc}(\{\iota_i\}_{i\in I})
가 충실충만한 함자라면, 덮개 \{\iota_i\}_{i\in I}가 **충실충만한 내림**(充實充滿-, )을 보인다고 한다. 만약 이 함자가 범주의 동치라면, 덮개 \{\iota_i\}_{i\in I}가 **효과적 내림**(效果的-, )을 보인다고 한다. 충실충만한 내림의 경우, 특정 내림 데이터로부터 \mathcal E(U) 속의 올을 재구성할 수 있으며, 효과적 내림의 경우 모든 내림 데이터로부터 이러한 올을 재구성할 수 있다. (이 조건들은 올범주의 쪼갬의 손택에 의존하지 않는다.)

올범주 \Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B 및 \mathcal B 위의 그로텐디크 위상에 대하여,
* 만약 \mathcal B 위의 모든 덮개에 대하여 충실충만한 내림이 성립한다면, \Pi를 **준스택**()이라고 한다.
* 만약 \mathcal B 위의 모든 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다면, \Pi를 **[[스택 (수학)|스택]]**()이라고 한다.

## 예
### 연속 함수
위상 공간의 범주의 화살표 범주 \operatorname{Top}^\to를 생각하자. 연속 함수를 그 공역으로 대응시키는 함자
:\operatorname{cod}\colon\operatorname{Top}^\to\to\operatorname{Top}
에 의하여, 이는 올범주를 이루며, X 위의 올은 조각 범주 \operatorname{Top}/X이다.

이 경우, 위상 공간의 통상적인 그로텐디크 위상에서, 덮개는 (위상수학의) 열린 덮개이며, 모든 열린 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다. 즉, \operatorname{Top}^\to은 \operatorname{Top} 위의 스택을 이룬다.

### 준연접층
준연접층 \operatorname{QCoh}(-)는 스킴의 범주 \operatorname{Sch} 위의 올범주를 이룬다. \operatorname{Sch} 위의, fpqc 위상에서의 모든 덮개에 대하여 유효 내림이 성립한다. 따라서, \operatorname{QCoh}는 (fpqc 위상을 부여한) \operatorname{Sch} 위의 스택을 이룬다. fpqc 위상은 매우 섬세하며, 이보다 더 엉성한 위상 (에탈 위상, 자리스키 위상) 등에서도 따라서 효과적 내림이 성립한다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴 S\in\operatorname{Sch}에 대하여, \operatorname{QCoh}(-)는 조각 범주 \operatorname{Sch}/S 위의 올범주를 이루며, fpqc 위상을 부여한다면 이 역시 스택을 이룬다.

## 역사
내림 이론 및 내림 데이터는 《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권에서 도입되었다.

## 같이 보기
* 스택 (수학)
* 그로텐디크 위상
## 각주

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## 외부 링크
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분류:층론
분류:대수기하학