순간자

양자역학과 양자장론에서 **순간자**(瞬間子, ) 또는 **잠깐알**은 윅 회전을 가한 이론의, 유한한 작용을 가진 고전해이다. 이는 윅 회전을 한 유클리드 시공간에서 국소화되어 있어, 유클리드 시공간에서 입자처럼 간주할 수 있다. (물론 이는 민코프스키 시공간에서는 성립하지 않는다.) 순간자의 존재는 섭동 이론에는 나타나지 않는 터널 효과를 나타낸다. WKB 근사에 의한 터널 효과를 다룰 때나, 양-밀스 이론(양자 색역학)에 등장한다. 초대칭 게이지 이론과도 관련이 있다.

## 역사
알렉산드르 벨라빈(), 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알베르트 시바르츠, 유리 스테파노비치 튭킨()이 순간자수가 1인 순간자를 최초로 발견하였다. 이들은 유사입자()라는 이름을 사용하였다. 헤라르뒤스 엇호프트가 이러한 해들을 어떤 시간 간격에만 존재했다가 사라진다는 의미로 "순간자"()라고 이름붙였다.

## 양자역학에서의 순간자
양자역학에서, 순간자는 두 고전적 안정 상태 사이의 터널 효과를 나타낸다. 예를 들어, 어떤 퍼텐셜 V(x)가 두 개의 극소점 a,b를 갖는다고 하고, V(a)=V(b)=0으로 놓자. 고전적으로는 이 두 점 모두 안정적인 상태지만, 양자역학적으로 두 상태 사이 터널 효과가 일어날 수 있다.

WKB 근사에 따라, 질량이 m이며 에너지가 E인 입자가 a에서 b로 터널 효과를 겪을 확률 진폭은 다음에 비례한다.
:\langle b|a\rangle\sim\exp\left(-\frac1\hbar\int_a^b\sqrt{2mV(x)}\,dx\right)

이는 순간자를 사용하여 다음과 같이 계산할 수 있다. 윅 회전을 통해, 다음과 같은 유클리드 작용을 정의하자.
:S_E=\int\left(\frac12m\dot x^2+V(x)\right)\,dt
즉, 이는 퍼텐셜 -V(x) 속에서 움직이는 입자를 나타낸다. 이 경우, 에너지 보존에 따라 (총 에너지가 0인 경우)
:\frac12m\dot x^2-V(x)=0
다. a에서 b로 가는, 유클리드 작용의 해를 **순간자**라고 하며, 그 작용은
:S_E=\int m\dot x^2\,dt=\int_a^bm\dot x\,dx=\int_a^b\sqrt{2mV(x)}\,dx
이다. 따라서,
:\langle b|a\rangle\sim\exp(-S_E/\hbar)
임을 알 수 있다. 즉, 터널 효과의 확률 진폭은 순간자의 작용 S_E로 계산된다.

## 양-밀스 이론의 순간자

순간자의 가장 대표적인 예는 4차원 유클리드 공간의 양-밀스 이론에서 작용을 국소적으로 최소화시키는 상태들이다. 이들은 **보고몰니-프라사드-소머필드 부등식**(, BPS 부등식)을 충족시킨다.

4차원 유클리드 공간 위에, 게이지 군 G를 가진 양-밀스 이론을 생각하자. 그 작용은 다음과 같다.
:S=\frac1{2e^2}\int_{\mathbb R^4}\operatorname{tr} F^2\,d^4x
여기서
:F_{ij}=t^aF^a_{ij}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu+i[A_\mu,A_\nu]
는 게이지 장세기이고, t^a는 리 대수 \mathfrak g의 기저이다. 리 대수의 기저는
:\operatorname{tr}(t^at^b)=\frac12t^at^b
:[t^a,t^b]=if^{abc}t^c
가 되게 규격화한다.

이 이론에서, 작용이 유한한 상태들을 생각하자. 작용이 유한하므로, 원점에서 무한히 먼 곳\Vert x\Vert\to\infty에서는 F\to 0이어야 한다. 그러나 이 경우 게이지 퍼텐셜 A_\mu는 위상수학적으로 자명하지 않을 수 있다. 즉,
:A_\mu(x)=g(x)^{-1}\partial_\mu g(x) (g(x)\in G)
의 꼴의 퍼텐셜은 장세기가 0이다. 4차원 유클리드 공간 \mathbb R^4의 무한대는 S^3이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속함수
:A\colon S^3\to G
를 정의한다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 물리적으로 같은 상태를 나타내지만, 호모토픽하지 않은 상태들은 서로 다른 상태를 나타낸다. 따라서, 유한 작용 상태들은 게이지 군 G의 3차 호모토피 군에 의하여 분류된다.
:[A]\in\pi_3(G)
흔히 쓰이는 게이지 군의 경우,
:\pi_3(\operatorname{SU}(N))=\mathbb Z (N\ge 2)
:\pi_3(\operatorname{SO}(N))=\mathbb Z (N=3 또는 N>5)
이다. 이 경우, 무한대에서의 게이지 퍼텐셜의 호모토피류는 정수에 의하여 분류된다. 이 수를 **순간자수**()라고 하며, 대략 순간자의 수를 나타낸다. 만약 순간자수가 음수라면, 이는 반순간자()가 존재함을 뜻한다. SU(N)의 경우, 순간자수 k는 다음과 같다.
:k=\frac1{24\pi^2}\int_{\Vert x\Vert=\infty}d^3x\,\hat n_\mu\operatorname{tr}\left(A_\nu A_\rho A_\sigma)\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\right)
:A_\mu=(\partial_\mu g)g^{-1}
여기서 \hat n^\mu는 S^3의 단위 수직 벡터이며, \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}는 (유클리드 계량 부호수) 레비치비타 기호다.

4차원 리만 다양체 M에서, 2차 미분형식들은 호지 쌍대에 따라
:*\colon\Omega^2(M)\to\Omega^2(M)
가 존재한다. 또한, 유클리드 계량 부호수에서는 2차 미분형식에 대하여
:*^2=1
이므로, 호지 쌍대 연산자 *의 고윳값은 \pm1이다. 따라서, 2차 미분형식들의 공간은 고윳값에 따라
:\Omega^2(M)=\Omega^2_+(M)\oplus\Omega^2_-(M)
으로 분해된다. 여기서 \Omega^2_+(M)의 원소는 **자기쌍대**(), \Omega^2_-(M)의 원소는 **반자기쌍대**()라고 한다. 구체적으로, 2차 미분형식 F가 주어지면,
:F=F_++F_-
:*F_\pm=\pm F_\pm
:F_\pm=(F\pm *F)/2
으로 분해할 수 있다. 또한, (리 대수 값을 갖는) 2차 미분형식들의 공간에서는 다음과 같은 내적 \langle,\rangle이 존재한다.
:\langle A,B\rangle=\frac1{2e^2}\int_Md^4x\,\operatorname{tr}(A_{\mu\nu}B^{\mu\nu})
이에 따라 양-밀스 작용은
:S=\langle F,F\rangle
가 된다.

장세기를 자기쌍대 및 반자기쌍대 성분으로 분해하자.
:F=F_++F_-
그렇다면
:S=\langle F,F\rangle=\langle F_+,F_+\rangle+\langle F_-,F_-\rangle\ge|\langle F_+,F_+\rangle-\langle F_-,F_-\rangle|=|\langle F,*F\rangle|=\frac{8\pi^2}{e^2}|k|
이다. 여기서 k는 순간자수이다. 따라서, 주어진 순간자수 k를 가진 상태의 작용은 다음과 같은 **BPS 부등식**을 만족시킨다.
:S\ge\frac{8\pi^2}{e^2}|k|
이 부등식을 등식으로 만드는 게이지 퍼텐셜들을 **순간자**라고 한다. 이들은
:F_+=0 또는 F_-=0,
즉
:F_{\mu\nu}=\pm*F_{\mu\nu}
를 만족시킨다. 이런 상태들은 자동적으로 오일러-라그랑주 방정식
:D_\mu F^{\mu\nu}=D_\mu(*F)^{\mu\nu}=0
을 만족시키므로, 작용을 최소화시킴을 알 수 있다.

## 각주

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## 같이 보기
* 도널드슨 이론
* 자기 홀극
* 솔리톤

## 외부 링크
* 
* 

분류:양자역학
분류:양자장론
분류:미분기하학
분류:양자색역학