ಬಾನಾಕ್ ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸ

**ಬಾನಾಕ್ ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸ** ಎನ್ನುವುದು ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಾಧಾರಗಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅಧ್ಯಯನದ ವೇಳೆ ತಲೆದೋರಿರುವ ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸ. ಇದನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದವರು (1924) ಬಾನಾಕ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಎಂಬ ಗಣಿತವಿದರು.

## ಆಂಶಿಕ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ 
ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ (ಆರ್ಡರ್ ರಿಲೇಶನ್): S ಒಂದು ಅಶೂನ್ಯ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಎಂದರೆ S \neq \phi. ಇದರಲ್ಲಿ \leq (ಚಿಕ್ಕದು ಅಥವಾ ಸಮ) ಎಂಬ ದ್ವಿಗುಣ ಸಂಬಂಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಮುಂದೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿರುವ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು (ಪಾಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ಸ್) ಪಾಲಿಸುತ್ತಿರಲಿ:

# x \leq x, \forall x \ \epsilon \ S
# x \leq y ಮತ್ತು y \leq x ಅಂದರೆ *x = y* ಆಗಲೇಬೇಕು
# x \leq y ಮತ್ತು y \leq z ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ x \leq z ಆಗಲೇಬೇಕು

ಹೀಗಿದ್ದರೆ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧ \leq ವನ್ನು S ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಒಂದು ಆಂಶಿಕ ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧ (ಪಾರ್ಶಿಯಲ್ ಆರ್ಡರ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು S ಅಂಶಿಕ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಇಷ್ಟರ ಮೇಲೆ S ಗೆ ಸೇರಿದ ಯಾವ ಎರಡು ಧಾತು *x,y* ಗಳಿಗೂ x \leq y ಅಥವಾ y \leq x ಎನ್ನುವ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುವಂತಿದ್ದರೆ \leq ವನ್ನು S ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

## ಸುವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಕ್ರಮ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆ ಆದ್ಯುಕ್ತಿ 
ಈ. ಜೆರ್ಮಲೋ ಎಂಬ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತವಿದ 1904ರಲ್ಲಿ ಈಗ ಸುವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಕ್ರಮ ಪ್ರಮೇಯ (ದ ವೆಲ್ ಆರ್ಡರಿಂಗ್ ತೀಯರಮ್) ಎಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಾಧಿಸಿದ: S ಯಾವುದೇ ಅಶೂನ್ಯ ಗಣವಾಗಿದ್ದರೂ ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ \leq ವನ್ನು ಯುಕ್ತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಇದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ ಪಡೆದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣದ ಒಂದೊಂದು ಉಪಗಣದಲ್ಲೂ ಅದರದರ ಪ್ರಥಮ (ಎಂದರೆ ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ) ಧಾತು ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿಕೊಡಬಹುದು. ಈ ಬಗೆಯ ಸಂಶೋಧನೆಗಳ ಪ್ರಕಟಣೆ ಗಣಿತವಿದರಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಉಂಟು ಮಾಡಿತು. ಇಂಥ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಪ್ಪುವುದೇ ಅವರಿಗೆ ಕಷ್ಟಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ \{ x|0 \leq x \leq 1\} ಗಣದಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಕ್ರಮ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ. ಆದರೆ ಇದರ ಉಪಗಣವಾದ \{ x|0  ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಥಮ ಅರ್ಥಾತ್ ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಧಾತು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ *r > 0* ಇಂಥ ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಧಾತುವಾದರೆ \frac{1}{r} > 0  ಮತ್ತು *r* ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕ ಧಾತುವಾಗಿದ್ದು ಪೂರ್ವ ಪಕ್ಷವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಾಧನೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೊ ಲೋಪದೋಷ ನುಸುಳಿರಬಹುದೆಂದು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪರಿಶೀಲನೆ ಮಾಡಿದರು. ಈ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಫ್ರಾನ್ಸಿನ ಈ. ಬೊರೆಲ್ ಎಂಬಾತ ಜೆರ್ಮೆಲೋ ತನ್ನ ಸುವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಕ್ರಮ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಧನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆದ್ಯುಕ್ತಿ (axiom) ಉಪಯೋಗಿಸಿರುವುದನ್ನು ಗೊತ್ತು ಹಚ್ಚಿದ. ಇದಕ್ಕೆ ಈಗ ಜೆರ್ಮೆಲೋನ ಆಯ್ಕೆ ಆದ್ಯುಕ್ತಿ (ಆ್ಯಕ್ಸಿಯಮ್ ಆಫ್ ಚಾಯ್ಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರ ಒಕ್ಕಣೆ ಹೀಗಿದೆ: ಒಂದು ಗಣ *S* ನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಉಪಗಣ *A, B, C,* ... ಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸಿದರೆ ಈ *A, B, C,* ... ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಿಂದಲೂ ಒಂದೊಂದೇ ಧಾತು ಪಡೆದಿರುವಂಥ ಕನಿಷ್ಠ ಪಕ್ಷ ಒಂದು ಗಣ *R* ನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಇದರಿಂದ *A* ಯಿಂದ ಒಂದು ಧಾತುವನ್ನೂ, *B* ಯಿಂದ ಒಂದು ಧಾತುವನ್ನೂ, *C* ಯಿಂದ ಒಂದು ಧಾತುವನ್ನೂ ಹೀಗೆ ಒಂದೊಂದೇ ಧಾತುವನ್ನು ಆಯಬಹುದು ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಯಿತು. ಎಂದೇ ಈ ಮೇಲಿನ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗೆ ಆಯ್ಕೆ ಆದ್ಯುಕ್ತಿ ಎಂಬ ಹೆಸರು.

## ಬಾನಾಕ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯ 
ಮೇಲ್ನೋಟಕೆ ಅತಿ ಸರಳವಾಗಿ ತೋರುವ ಇದು ಕ್ಲಿಷ್ಟವೂ, ನಂಬಲು ಅಸಾಧ್ಯವೂ ಆದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಗೆ ಎಡೆಕೊಟ್ಟಿದೆ. ಇದರ ಅನ್ವಯದಿಂದ 1924ರಲ್ಲಿ ಬಾನಾಕ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯ ಸಾಧಿಸಿದರು; ಆಯಾಮ *n > 2* ಆಗಿರುವ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಆಕಾಶ *En* ಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವ ಎರಡು ಸೀಮಿತ ಗಣಗಳೇ ಆಗಲಿ ಪರ್ಯಾಪ್ತ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಕ್ಲಿಷ್ಟಪೂರ್ಣ ಸಾಧನೆಯ ವಿವರಗಳನ್ನು ಪಂಡಿತರಿಗೆ ಬಿಟ್ಟು ಇಲ್ಲಿ ಇದರ ಒಂದು ಪ್ರಯುಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ. ಆಯಾಮ ಮೂರರ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಸಮಷ್ಟಿ *E3* ರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಗೋಳಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಒಂದು ಕಡಲೆಕಾಳು ಗಾತ್ರದ್ದು, ಇನ್ನೊಂದು ಸೂರ್ಯ ಗಾತ್ರದ್ದು. ಇವೆರಡೂ ಸೀಮಿತ ಹಾಗೂ ಅಂತರ್ಬಿಂದುಯುತ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಹೀಗಾಗಿ ಬಾನಾಕ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಯೋಗ್ಯವಾಗಿವೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ *P* ಯನ್ನು *P1, P2, ..., Pn* ಉಪಗಣಗಳಾಗಿಯೂ *S* ನ್ನು *S1, S2, ..., Sn* ಉಪಗಣಗಳಾಗಿಯೂ ವಿಂಗಡಿಬಹುದು. ಮೇಲಾಗಿ ಈ ವಿಂಗಡಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಮುಂದಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ನಿಲ್ಲುವಂತೆ ವ್ಯವಸ್ಥಿಸಬಹುದು:

P = P_1 \cup P_2 \cup \ ... P_n ಎಂದರೆ *P* ಯು *P1, ...., Pn* ಗಳ ಸಂಯೋಗ,

S = S_1 \cup S_2 \cup \ ... S_n ಎಂದರೆ *S* ಎಂಬುದು *S1, ...., Sn* ಗಳ ಸಂಯೋಗ, 

i \neq j ಆದರೆ P_i \cap P_j = \phi ಎಂದರೆ *P1, ...., Pn* ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಮತ್ತು S_i \cap S_j = \phiಎಂದರೆ *S1, ...., Sn* ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಇಷ್ಟರಮೇಲೆ P_i \equiv S_i \ , \forall i = 1,2, \cdots \ , n   ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿ *Pi* ಅದರ ಸಂವಾದಿ *Si* ಗೆ ಸಮಾನತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.

ಈಗ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಆಕಾಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನತ್ವವೆಂದರೆ (equivalence) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರ್ವಸಮತ್ವ, ಎಂದರೆ ಕೇವಲ ಆವರ್ತನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸರಳ ಚಲನೆಗಳು. ಇವುಗಳಿಂದಲೇ ಒಂದು ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಒಂದೆಡೆಯಿMದ ಮತ್ತೊಂದೆಡೆಗೆ ಒಯ್ಯಬಹುದು ಎಂದು ಅರ್ಥ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಯುಕ್ತಿಯನ್ನು ನಂಬುವುದಾದರೂ ಎಂತು? ಸೂರ್ಯನ ಗಾತ್ರದ ದೊಡ್ಡ ಗೋಳದ ಭಾಗಗಳು ಕಡಲೆಗಾತ್ರದ ಗೋಳದ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನತ್ವದಲ್ಲಿವೆಯೆಂದೂ *S* ಮತ್ತು *P* ಗಳು ಅವುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾಹಾರಗಳೆಂದೂ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಯಾವ ಊಹೆಗೂ ನಿಲುಕದ ವಿಷಯವೇ ಸರಿ. ಇಂಥ ವಿರೋಧ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಎಡೆ ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಾನಾಕ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವೆಂದು ಕರೆಯುವುದು ಔಚಿತ್ಯಪೂರ್ಣ ಅನ್ವರ್ಥವೇ ಸರಿ.

## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 
## ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು 
* The Banach-Tarski Paradox by Stan Wagon (Macalester College), the Wolfram Demonstrations Project.
* Irregular Webcomic! #2339 by David Morgan-Mar provides a non-technical explanation of the paradox. It includes a step-by-step demonstration of how to create two spheres from one.
*  gives an overview on the fundamental basics of the paradox.
* Banach-Tarski and the Paradox of Infinite Cloning

ವರ್ಗ:ರೇಖಾಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ