ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, **ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ**ವು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಬದಲಾಗುವ ದರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಎರಡು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದ್ದು, ಇನ್ನೊಂದು ಅನುಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ - ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕೆಳಗಿರುವ ಪ್ರದೇಶದ ಅಧ್ಯಯನ.
thumb|200x200px|ಫಲನವೊಂದರ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆ ಫಲನಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಫಲನದ ಅವಕಲಜನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಸ್ತುಗಳು ಫಲನದ ಅವಕಲನೊತ್ಪನ್ನ, ‌ಅವಕಲನಂತಹ ಸಂಬಂಧಿತ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನ್ವಯಗಳು. ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ದತ್ತಮಾಹಿತಿ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಫಲನದ ಅವಕಲಜನ್ಯವು ಆ ದತ್ತಮಾಹಿತಿ ಮೌಲ್ಯದ ಬಳಿ ಫಲನದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಕಲಜನ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು **ಅವಕಲನ** ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವಕಲಜನ್ಯವು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಫಲನದ ‌ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು, ಅವಕಲಜನ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ನೈಜ ‌ಚರಾಕ್ಷರದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಫಲನಕ್ಕಾಗಿ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಫಲನದ  ಅವಕಲಜನ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಫಲನಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಅನುಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅವಕಲನವು ಅನುಕಲನಕ್ಕೆ ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಅವಕಲನವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಚಲಿಸುವ ದೇಹದ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಅವಕಲಜನ್ಯವು ದೇಹದ ವೇಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವೇಗದ ಅವಕಲಜನ್ಯವು ವೇಗವರ್ಧನೆಯಾಗಿದೆ. ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ದೇಹದ ಆವೇಗದ ವಿಕಲಜನ್ಯವು ದೇಹಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಈ ಅವಕಲಜನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಚಲನೆಯ ಎರಡನೇ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ  ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ರಾಸಾಯನಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ದರವು ಒಂದು ಅವಕಲಜನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ, ಅವಕಲಜನ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಗಿಸಲು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಖಾನೆಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅವಕಲಜನ್ಯಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಕಲಜನ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ವಿಕಲ ರೇಖಾಗಣಿತ, ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದಂತಹ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅವಕಲಜನ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

## ಅವಕಲಜನ್ಯ 
alt=|thumb|y=f(x)ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಫಲನದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ. ಕಿತ್ತಳೆ ರೇಖೆಯು x=a ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ನಿಖರವಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.thumb|300x300px|ವಿಕಲ ಫಲನದ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿನ ಅವಕಲಜನ್ಯ

x=a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ f(x) ನ ಅವಕಲಜನ್ಯವು  (a,f(a)) ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, y=mx+b ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರೊಂದಿಗೆ ಒಬ್ಬರು ಮೊದಲು ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಬೇಕು. ಸಮೀಕರಣದ ಇಳಿಜಾರು ಅದರ ಕಡಿದಾದದ್ದು. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ ಮತ್ತು y ನಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು x ನಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ \text{slope } =\frac{\text{ change in }y}{\text{change in }x}. ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, y=-2x+13 ರ ರೇಖಾಚಿತ್ರ -2 ರ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
alt=|none|thumb|y=-2x+13ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರ

: \frac{\text{change in }y}{\text{change in }x}=\frac{-6}{+3}=-2 
     
ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, \frac{\text{change in }y}{\text{change in }x} ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ \frac{\Delta y}{\Delta x} ಎಂದು \Delta (delta) ಅಕ್ಷರ ಅಂದರೆ 'change in' ಜೊತೆಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಇಳಿಜಾರು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಕಡಿದಾದವು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನೇಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರ‌ಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ y=x^{2}, ಅವುಗಳ ಕಡಿದಾದ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ಬದಲಾಗಿ, ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಗಣಿಸಬಹುದು-ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವನ್ನು 'ಕೇವಲ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ' ರೇಖೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y=x^{2} ಇದರಲ್ಲಿ x=2 ನಲ್ಲಿ 4 ರ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಆ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು 4 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:
none|thumb|y=x^{2} ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರ, (2,4) ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ. ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು 4 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಅಕ್ಷಗಳು 1:1 ರ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.)ಫಲನದ ಅವಕಲಜನ್ಯವು ಈ ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯು ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದರೂ, ಅದನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಛೇದಕ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಛೇದಕ  ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಛೇದಕ ರೇಖೆಯು ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅದರ ಇಳಿಜಾರು ಸಹ ಹೋಲುತ್ತದೆ:

ಛೇದಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅದರ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (x,f(x)) ಮತ್ತು (x+\Delta x,f(x+\Delta x)), ಇಲ್ಲಿ \Delta x ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ. ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಈ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಇಳಿಜಾರು = \frac{\Delta y}{\Delta x} ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆ

\text{slope} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

\Delta x 0 ಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ

\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದರೆ '\Delta x 0 ಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ'. ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿರುವ ಮೌಲ್ಯವು f(x) ನ ಅವಕಲಜನ್ಯವಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು  f'(x)ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. y=f(x) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವಕಲಜನ್ಯವನ್ನು \frac{dy}{dx} ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಜೊತೆಗೆ d ಅಪರಿಮಿತ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, dx  xನಲ್ಲಿನ ಅಪರಿಮಿತ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.{{refn|The term infinitesimal can sometimes lead people to wrongly believe there is an 'infinitely small number'—i.e. a positive real number that is smaller than any other real number. In fact, the term 'infinitesimal' is merely a shorthand for a limiting process. For this reason, \frac{dy}{dx} is not a fraction—rather, it is the limit of a fraction.|group=Note}} ಸಾರಾಂಶದಲ್ಲಿ, y=f(x) ಆಗಿದ್ದರೆ, f(x) ನ ಅವಕಲಜನ್ಯ

\frac{dy}{dx}=f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

ಅಂತಹ ಪರಿಮಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಫಲನದ ಅವಕಲಜನ್ಯವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ 'ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು' ಈಗ ನಿಖರವಾದ ಗಣಿತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಫಲನವನ್ನು ವಿಕಲಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ಮೊದಲ ತತ್ವಗಳಿಂದ ಅವಕಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. y=x^2 ನ ಅವಕಲಜನ್ಯವು 2x ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಮೊದಲ ತತ್ವಗಳಿಂದ ಅವಕಲನ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

\begin{align}
\frac{dy}{dx}&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0}2x+\Delta x \\
\end{align}

\Delta x 0 ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, 2x+\Delta x 2x ಅನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, \frac{dy}{dx}=2x. ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಈ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು a ಮತ್ತು n ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ \frac{d(ax^n)}{dx}=anx^{n-1}. ಇದನ್ನು ಘಾತ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.ಉದಾಹರಣೆಗೆ,\frac{d}{dx}(5x^4)=5(4)x^3=20x^3.ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನೇಕ ಇತರ ಫಲನಗಳನ್ನು ಬಹುಪದೀಯ ಫಲನಗಳಂತೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಫಲನದ ಅವಕಲಜನ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ತಂತ್ರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ತಂತ್ರಗಳು ಸರಪಳಿ ನಿಯಮ, ಗುಣಲಬ್ಧ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಭಾಗಲಬ್ಧ ನಿಯಮವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಇತರ ಫಲನಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಇದು ಅವಕಲತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಫಲನದ ಅವಕಲಜನ್ಯಕ್ಕೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅದರ ಅವಕಲವಾಗಿದೆ. x ಮತ್ತು y ನಿಜವಾದ ಚರಾಕ್ಷರಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ, x ನಲ್ಲಿ f ನ ಅವಕಲಜನ್ಯವು x ನಲ್ಲಿ f ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಆಗಿದೆ. f ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಗುರಿಯು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಕಾರಣ, f ನ ಅವಕಲಜನ್ಯವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. x ಮತ್ತು y ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, f ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜಿನವು f ಒಂದೇ ಬಾರಿಗೆ ಹಲವಾರು ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಅವಕಲಜನ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ  ಎಂದು \frac{\partial y}{\partial x}  ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಬಾರಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ f ನ ರೇಖೀಯೀಕರಣವನ್ನು ಒಟ್ಟು ಅವಕಲಜನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

## ವಿಕಲನದ ಇತಿಹಾಸ 
ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ವಿಕಲಜನ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಬಹಳ ಹಳೆಯದಾಗಿದೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ (c. 300 BC), ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ (c. 287-212 BC) ಮತ್ತು ಪರ್ಗಾದ ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ (c. 262-190 BC) ನಂತಹ ಗ್ರೀಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತಜ್ಞಗಳಿಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ. ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಸಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ವಿಕಲಜನ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಘನಫಲಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು (*ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವಿಧಾನ*ವನ್ನು ನೋಡಿ).

ಬದಲಾವಣೆಯ ದರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅನಂತಸೂಚಕಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಬಹುಶಃ 500 AD ಯಷ್ಟು ಹಿಂದೆಯೇ, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞ ಆರ್ಯಭಟ (476-550) ಚಂದ್ರನ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅನಂತಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ. ಭಾಸ್ಕರ II (1114–1185) ರಿಂದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರಗಳನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಅನಂತಸೂಚಕಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಿಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಲವು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು "ರೋಲ್ ಪ್ರಮೇಯ" ನಂತಹ ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಶರಾಫ್ ಅಲ್-ದಿನ್ ಅಲ್-ತುಸಿ (1135-1213), ತನ್ನ "ಟ್ರೀಟೈಸ್ ಆನ್ ಈಕ್ವೇಶನ್ಸ್" ನಲ್ಲಿ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಘನ ಬಹುಪದಗಳ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಕೆಲವು ಘನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಘನದ {ax^{2} - x^{3}} ನ ಗರಿಷ್ಠ (ಧನಾತ್ಮಕ x ಗಾಗಿ) x = 2a / 3 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು {c = 4a^{3} / 27} ಆಗಿರುವಾಗ {ax^{2} = x^{3} + c} ಸಮೀಕರಣವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದರು., ಮತ್ತು {0  ಬಂದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳು. ಅಲ್-ತುಸಿ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಘನಾಕೃತಿಯ ವಿಕಲಜನ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿರಬೇಕು ಎಂದು ವಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ. ರಾಶೆಡ್ ಅವರ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಇತರ ವಿದ್ವಾಂಸರು ವಿರೋಧಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವರು ಫಲನದ  ವಿಕಲಜನ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದೆಂದು ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಧುನಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ (1643-1727) ಮತ್ತು ಗಾಟ್‌ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೀಬ್ನಿಜ್ (1646-1716) ಅವರಿಗೆ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ, ಅವರು ವಿಕಲನ ಮತ್ತು ವಿಕಲಜನ್ಯಗಳಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಏಕೀಕೃತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವರಿಗೆ ಈ ಶ್ರೇಯವನ್ನು ಗಳಿಸಿದ ಪ್ರಮುಖ ಒಳನೋಟವೆಂದರೆ, ವಿಕಲನ ಮತ್ತು ಅನುಕಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ: ಇದು ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಮತ್ತು  ಘನಫಲಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಹಿಂದಿನ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿತು,  ಇದು ಇಬ್ನ್ ಅಲ್ - ಹೈಥಮ್ (ಅಲ್ಹಾಜೆನ್) ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರಲಿಲ್ಲ. ವಿಕಲಜನ್ಯ ಗಳ ಕುರಿತಾದ ಅವರ ಆಲೋಚನೆಗಳಿಗಾಗಿ, ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಇಬ್ಬರೂ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಪಿಯರೆ ಡಿ ಫೆರ್ಮಾಟ್ (1607-1665), ಐಸಾಕ್ ಬ್ಯಾರೋ (1630-1677), ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ (1596-1650), ಕ್ರಿಸ್ಟಿಯನ್ ಹ್ಯುಗೆನ್ಸ್ (1629-1695), ಬ್ಲೇಸ್ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ (1623-1662) ಮತ್ತು ಜಾನ್ ವಾಲಿಸ್ (1616-1703) ಅವೆಲ್ಲರ ಹಿಂದಿನ ಮಹತ್ವದ ಕೆಲಸದ ಮೇಲೆ  ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಫೆರ್ಮಾಟ್‌ನ ಪ್ರಭಾವದ ಬಗ್ಗೆ, ನ್ಯೂಟನ್ ಒಮ್ಮೆ ಪತ್ರವೊಂದರಲ್ಲಿ "*ಫರ್ಮಟ್‌ನ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುವ ವಿಧಾನದಿಂದ [ಹರಿವುಗಳ] ಈ ವಿಧಾನದ ಸುಳಿವನ್ನು ನಾನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ಅಮೂರ್ತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮವಾಗಿ ನಾನು ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಿದ್ದೇನೆ*" ಎಂದು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಐಸಾಕ್ ಬ್ಯಾರೋಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಕಲಜನ್ಯದ ಆರಂಭಿಕ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಖಾತ್ರಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ವಿಕಲನದ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಉಳಿದಿದ್ದಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನ್ಯೂಟನ್ ಅವರು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ವಿಕಲನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು, ಆದರೆ ಲೈಬ್ನಿಜ್ ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಇಂದಿಗೂ ಬಳಸಲಾಗುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು.

17 ನೇ ಶತಮಾನದಿಂದ ಅನೇಕ ಗಣಿತಜ್ಞರು ವಿಕಲನದ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಅಗಸ್ಟಿನ್ ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿ (1789-1857), ಬರ್ನ್‌ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮನ್ (1826-1866), ಮತ್ತು ಕಾರ್ಲ್ ವೀರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ (1815-1897) ನಂತಹ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದ ತಳಹದಿಯ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಿದರು. ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ವಿಕಲನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಯಿತು.

## ವಿಕಲಜನ್ಯಗಳ‌ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು 
### ಉತ್ತಮಗೊಳಿಸುಕರಣ 
f ಎಂಬುದು ℝ (ಅಥವಾ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರ) ನಲ್ಲಿ ವಿಕಲ ಫಲನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು x f ನ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಆಗಿದ್ದರೆ, x ನಲ್ಲಿ f ನ ವಿಕಲಜನ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. f'(x)=0 ಅನ್ನು ಕ್ರಾಂತಿ ಬಿಂದುಗಳು ಅಥವಾ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು x ನಲ್ಲಿನ f ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕ್ರಾಂತಿ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). f ಅನ್ನು ಎಲ್ಲೆಡೆಯೂ ವಿಕಲಯೋಗ್ಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸದಿದ್ದರೆ, ಅದು ವಿಕಲಯೋಗ್ಯವಾಗಲು ವಿಫಲವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಹ ಕ್ರಾಂತಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

f ಎರಡು ಬಾರಿ ವಿಕಲಯೋಗ್ಯ ಆದರೆ, ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, x ನಲ್ಲಿ f ನ ದ್ವಿತೀಯ ವಿಕಲಜನ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ f ನ ಕ್ರಾಂತಿ ಬಿಂದು x ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದು:

* ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, x ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
* ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, x ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
* ಅದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, x ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರಬಹುದು, ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಯಾವುದೂ ಅಲ್ಲ.(ಉದಾಹರಣೆಗೆ, f(x)=x^{3} x=0 ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಂತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಅಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ f(x)= ± x^{4} x=0 ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ, ಕ್ರಾಂತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ).

ಇದನ್ನು ದ್ವಿತೀಯ ವಿಕಲಜನ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ವಿಕಲಜನ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವು ಕ್ರಾಂತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿಯೂ f' ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಕಲಜನ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸರಳ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಇದು ಉತ್ತಮಗೊಳಿಸುಕರಣದಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ವಿಪರೀತ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ನಿರಂತರ ಫಲನವು ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ ಪಡೆಯಬೇಕು. ಫಲನವು ವಿಕಲಯೋಗ್ಯ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠವು ಕ್ರಾಂತಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು.

ಇದು ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಬಿಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಸಹ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಒಮ್ಮೆ ವಿಕಲಯೋಗ್ಯ ಫಲನದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗಿರಿಷ್ಠ ಕಂಡುಬಂದರೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಒರಟು ಕಥಾವಸ್ತುವು ಕ್ರಾಂತಿ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದೆ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬ ವೀಕ್ಷಣೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಸದಿಶ ಮೌಲ್ಯದ ಫಲನದ ಕ್ರಾಂತಿ ಬಿಂದುವು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಾಂತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎರಡನೇ ಭಾಗಶಃ ವಿಕಲಜನ್ಯಗಳ ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಮಾತೃಕೆಯ ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕ್ರಾಂತಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಎರಡನೇ ವಿಕಲಜನ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ಬಳಸಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಬಿಂದು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಎಲ್ಲವೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಬಿಂದು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇದ್ದಲ್ಲಿ, ಕ್ರಾಂತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು "ಸಡಲ್ ಬಿಂದು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಹಿಡಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ನಂತರ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

#### ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ 
ಉತ್ತಮಗೊಳಿಸುಕರಣ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ: ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಚಿಕ್ಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿಯೂ ಇರಬೇಕು ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ಮೇಲ್ಮೈ ಸಮತಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಚಿಕ್ಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಮೇಲ್ಮೈ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊಟ್ಟೆಯ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗವು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೆಂದರೆ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ: ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ತುಂಬುವ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

### ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ 
ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಬಹುಮುಖ್ಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಅನೇಕ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿಕಲಜನ್ಯಗಳ ಒಳಗೊಂಡ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಬದಲಾಗುವ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಮತ್ತು "ಸಮಯದ ವಿಕಲಜನ್ಯ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು - ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ - ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನ್ಯೂಟನ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಾನದ ಸಮಯದ ವಿಕಲಜನ್ಯಗಳು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿವೆ:

* ವೇಗವು ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ವಿಕಲಜನ್ಯವಾಗಿದೆ (ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) (ಮೂಲ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ದೂರ)
* ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗದ ವಿಕಲಜನ್ಯವಾಗಿದೆ (ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ), ಅಂದರೆ, ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಾನದ ಎರಡನೇ ವಿಕಲಜನ್ಯ (ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ).
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ

x(t) = -16t^2 + 16t + 32, \,\!

ನಂತರ ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗ

\dot x(t) = x'(t) = -32t + 16, \,\!

ಮತ್ತು ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು

\ddot x(t) = x''(t) = -32, \,\!

ಇದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

### ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು 
ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವು ಫಲನಗಳ ಸಂಗ್ರಹ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ  ವಿಕಲಜನ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಫಲನಗಳನ್ನು ಆ ಚರಾಕ್ಷರಕ್ಕೆ‌ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವುಗಳ ವಿಕಲಜನ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಆಂಶಿಕ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಚರಾಕ್ಷರ‌ಗಳ ಫಲನಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಆಂಶಿಕ ವಿಕಲಜನ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಭೌತಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದಲ್ಲಿಯೇ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಗವರ್ಧನೆ ಮತ್ತು ಬಲದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

F(t) = m\frac{d^2x}{dt^2}.

ನೇರವಾದ ರಾಡ್ ಮೂಲಕ ಶಾಖವು ಹೇಗೆ ಹರಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಒಂದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಚರಾಕ್ಷರ‌ನಲ್ಲಿನ ಶಾಖ ಸಮೀಕರಣವು ಆಂಶಿಕ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.

ಇಲ್ಲಿ u(x,t) ಎಂಬುದು x ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ರಾಡ್‌ನ ತಾಪಮಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮಯ t ಮತ್ತು  \alphaಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ರಾಡ್ ಮೂಲಕ ಶಾಖವು ಎಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಹರಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

### ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ 
[[ಚಿತ್ರ:Mvt2.svg|thumb|ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ: ಪ್ರತಿ ವಿಭಿನ್ನ  ಫಲನಕ್ಕಾಗಿ f:[a,b]\to\R ಜೊತೆ  a, f'(c) = \tfrac{f(b) - f(a)}{b - a} ಜೊತೆಗೆ c\in(a,b) ಇದೆ.]]
ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ವಿಕಲಜನ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಫಲನದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. f(x) ಒಂದು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಫಲನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು  a ಮತ್ತು b  ಎಂಬುದು a ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಸೌಮ್ಯವಾದ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಇಳಿಜಾರು (a,f(a)) ಮತ್ತು (b,f(b)) a ಮತ್ತು b ನಡುವಿನ ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ f ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು  ಫಲನವನ್ನು ಅದರ ವಿಕಲಜನ್ಯದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, f ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವಿಕಲಜನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದರರ್ಥ ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿಯೂ ಸಮತಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಫಲನವು ಸಮತಲವಾಗಿರಬೇಕು. ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಇದು ನಿಜವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ: f ನ ‌ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಇಳಿಜಾರು f ನ ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಗಳ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಆ ಎಲ್ಲಾ ಇಳಿಜಾರುಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ‌ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯು ಇಳಿಜಾರು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಫಲನವು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಸಮತಲ ರೇಖೆಯಾಗಿರಬೇಕು.  ವಿಕಲಜನ್ಯದ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮೂಲ ಫಲನದ ಬಗ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ನಿಖರವಾದ ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಮಾಹಿತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ.

### ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಟೇಲರ್ ಶ್ರೇಣಿ 
ವಿಕಲಜನ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಫಲನದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಮೂಲ ಫಲನಕ್ಕಿಂತ ಬಹಳ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜಿನ ಸುಧಾರಣೆಯ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ವರ್ಗ  ಅಂದಾಜನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಅಂದರೆ, x_0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಫಲನ f(x) ನ ರೇಖೀಯೀಕರಣವು ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ a+b(x - x_0), ಮತ್ತು ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ  a+b(x - x_0)+c(x - x_0)^{2}ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬಹುದು. ಇನ್ನೂ ಉತ್ತಮವಾದ ಘನ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ a+b(x - x_0)+c(x - x_0)^{2}+d(x - x_0)^{3}, ಮತ್ತು ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಈ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, a, b, c ಮತ್ತು d ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಆಯ್ಕೆ ಇರಬೇಕು ಅದು ಅಂದಾಜನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಉತ್ತಮಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. x_0 ನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, a ಗಾಗಿ ಉತ್ತಮ ಸಂಭವನೀಯ ಆಯ್ಕೆಗೆ  ಯಾವಾಗಲೂ f(x_0), ಮತ್ತು b ಗಾಗಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಆಯ್ಕೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ f'(x_0) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. c, d, ಮತ್ತು ಉನ್ನತ-ಘಾತಂಕದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ, ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು  f ನ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಕಲಜನ್ಯಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. c ಯಾವಾಗಲೂ \frac{f*(x_0)}{2} ಆಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು d ಯಾವಾಗಲೂ \frac{f*'(x_0)}{3!} ಆಗಿರಬೇಕು. ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ f ನ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. d ಘಾತಂಕದ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು d ಘಾತಂಕದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದು f ಅನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದಿಂದ ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಟೇಲರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಂದಾಜು ಎಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ನಿಖರವಾದ ಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. f ಎಂಬುದು d ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, d ಘಾತಂಕದ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದವು f ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಮಿತಿಯು ಟೇಲರ್ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅನಂತ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದೆ. ಟೇಲರ್ ಶ್ರೇಣಿಯು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮೂಲ ಫಲನಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಆಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಟೇಲರ್ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಫಲನಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಫಲನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಗಿತಗಳು ಅಥವಾ ತೀಕ್ಷ ಮೂಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಫಲನಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ; ಇದಲ್ಲದೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೃದುವಾದ ಫಲನಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ.

### ಇಂಗಿತ ಫಲನ ಪ್ರಮೇಯ 
ವೃತ್ತಗಳಂತಹ ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಫಲನದ ‌ರೇಖಾಚಿತ್ರನಂತೆ ಎಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, {f(x, y) = x^2 + y^2 - 1}, ನಂತರ ವೃತ್ತವು ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳ ಗಣ (x, y) ಅಂದರೆ f(x, y) = 0. ಈ ಗುಂಪನ್ನು f ‌ನ ಶೂನ್ಯ ಗಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪರವಲಯಾಭ ಆಗಿರುವ f ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರ‌ನಂತೆಯೇ ಅಲ್ಲ. ಇಂಗಿತ ಫಲನ ಪ್ರಮೇಯವು f(x, y) = 0 ನಂತಹ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಫಲನಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. f ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸುತ್ತಲೂ, f ‌ನ ಶೂನ್ಯ ಗಣ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸಿದ ಫಲನಗಳ‌ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿಜವಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು f ನ ವಿಕಲಜನ್ಯದ ಮೇಲಿನ ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತವನ್ನು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ± \sqrt{1 - x^2} ನ ಎರಡು ಫಲನಗಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರ‌ಗಳಿಂದ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸಬಹುದು. (-1, 0) ಮತ್ತು (1, 0) ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಎರಡು ಫಲನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವೃತ್ತದಂತೆ ಕಾಣುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. (ಈ ಎರಡು ಫಲನಗಳು (-1, 0) ಮತ್ತು (1, 0) ಭೇಟಿಯಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಇದು ಇಂಗಿತ ಫಲನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ).

ಇಂಗಿತ ಫಲನ ಪ್ರಮೇಯವು ವಿಲೋಮ ಫಲನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಫಲನವು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸಲಾದ ವಿಲೋಮ‌ ಫಲನಗಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರ‌ಗಳಂತೆ ಕಾಣುವಾಗ ಹೇಳುತ್ತದೆ.

## ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ 
* ವಿಕಲ (ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ)
* ವಿಕಲ ರೇಖಾಗಣಿತ
* ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಕಲನ
* ವಿಕಲನದ ತಂತ್ರಗಳು
* ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಷಯಗಳ ಪಟ್ಟಿ
* ವಿಕಲನದ ಸಂಕೇತಗಳು

## ಸಂದರ್ಭ 
## Note