ಕ್ರಮಗುಣಿತ

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ **ಕ್ರಮಗುಣಿತ(factorial)** ಎಂಬುದು ಸಾಧಾರಣ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. **n** ಎಂಬ ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಅಥವಾ **n!** ಹೀಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

\begin{align}
n! &= n  \times  (n-1)  \times (n-2)  \times  (n-3) \times \cdots \times  3 \times  2 \times  1 \\
   &= n\times(n-1)!\\
\end{align}

ಅಂದರೆ, **n** ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಒಂದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಾ ಕೊನೆಗೆ ಅಂಕಿ ಒಂದರವರೆಗೆ ಬರುವುದು. ಹೀಗೆ ಲಭ್ಯವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ **5!** ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಳಗಿನ ಲೆಕ್ಕ ನೋಡಿ. 
:5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120.  
ಶೂನ್ಯದ ಕ್ರಮಗುಣಿತವನ್ನು 1 ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಎಂಬ ಗಣಿತದ ಅನೇಕ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಚಯ (combinatorics), ಬೀಜಗಣಿತ (algebra) ಮತ್ತು ಗಣಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (mathematical analysis). **n** ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ **n!** ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಇದಕ್ಕೆ ಹಿನ್ನೆಲೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಇಡ್ಲಿ, ದೋಸೆ, ವಡೆ ಎಂಬ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ 6 ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). 6 = 3! ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಬಹುದು. ಅನಂತರ ಉಳಿಯುವುದು 2 ವಸ್ತುಗಳು. ಕೊನೆಗೆ ಉಳಿಯುವುದು ಒಂದೇ ಒಂದು. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಹೆಜ್ಜೆಯಲ್ಲೂ ನಮಗೆ ಇರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು 3, 2, 1. ಒಟ್ಟು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು : 3 \times 2 \times 1 = 6 . ಇದನ್ನು ಕುರಿತು ಹನ್ನೆರಡನೇ ಶತಮಾನದ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು.. **n!** ಎಂಬ ಗಣಿತ ಸಂಜ್ಞೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದವನು ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ಕ್ರಾಂಪ್ ಎಂಬ ಫ್ರಾನ್ಸ್ ಮೂಲದ ಗಣಿತಜ್ಞ. (1808)
 
ಇಡ್ಲಿ -ದೋಸೆ -ವಡೆ

ಇಡ್ಲಿ - ವಡೆ - ದೋಸೆ

ದೋಸೆ - ಇಡ್ಲಿ -ವಡೆ

ದೋಸೆ - ವಡೆ - ಇಡ್ಲಿ

ವಡೆ - ಇಡ್ಲಿ -ದೋಸೆ

ವಡೆ - ದೋಸೆ - ಇಡ್ಲಿ

## ವ್ಯಾಖ್ಯೆ
'*n!* ಅಥವಾ **n** ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
:\begin{align}
n! & = \prod_{k=1}^n k \\
   & = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n \\
   & = n (n-1)(n-2) \cdots (2)(1) \\
\end{align}

ಇಲ್ಲಿ  ಎಂಬುದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆ. ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಕ ಸಂಬಂಧ ಅಥವಾ ರಿಕರೆನ್ಸ್ ರಿಲೇಶನ್ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

: (n+1)! = (n+1) \cdot n! .

ಉದಾ:
: \begin{align}5! &= 5 \cdot 4! \\
 6! &=  6 \cdot  5! \\
50! &= 50 \cdot 49! \\
\end{align}

### 0!
ಮೇಲೆ ಕಾಣಿಸಿದ ಪುನರಾವರ್ಥಕ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು 0 ಕ್ರಮಗುಣಿತ = 0! = 1 ಎಂಬ 'ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಅಗತ್ಯ.

:0! = 1 

ಹೀಗಾಗಿ

:1! = 1 \cdot 0! = 1 \.

ಇದನ್ನು ಹೀಗೂ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು ಕೇವಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯ.

ಹಾಗೆ, ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳು ಲಭ್ಯವಾದಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. 
 
::\tbinom{0}{0} = \tfrac{0!}{0!0!} = 1 .

**n** ವಸ್ತುಗಳು ಲಭ್ಯವಾದಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಕೂಡಾ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯ.

::\tbinom{n}{n} = \tfrac{n!}{n!0!} = 1 .

0! = 1 ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಅನೇಕ ಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 
::  e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}.

### ಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮಗುಣಿತ 
ಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ.

## ಉಪಯೋಗಗಳು
* **n** ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು **n!** ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಇವನ್ನು ಜೋಡಣೆಗಳು ಅಥವಾ ಪರ್ಮುಟೇಶನ್ ಎಂದು ಕೂಡಾ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
* ಕೆಲವು ಗಣಿತ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಎಂಬುದು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಣೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು. ಇದಕ್ಕೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. **n** ವಸ್ತುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ (ಜೊತೆ) ಇದ್ದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ **k** ವಸ್ತುಗಳ ಸಬ್-ಸೆಟ್‍ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ವಸ್ತುವನ್ನು **n** ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡನೆಯ ವಸ್ತುವನ್ನು **n-1** ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಗೆ **k** ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು **n-k+1** ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ/ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಟ್ಟು ಸಬ್-ಸೆಟ್‍ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

::\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots(1)}.
:ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ   ಮತ್ತು \tbinom nk ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರಣ ಹೀಗೆ ನಾಮಕರಣ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

* ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವಿಭಾಗದಲ್ಲೂ ಕ್ರಮಗುಣಿತ  ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ  ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರ,.
* ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು  ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂಬ ಗಣಿತಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿ.
* ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು.
::\begin{align}
n! &= D^n(x^n) \\
   &= \frac{d^n}{dx^n}(x^n) \\
\end{align}
:ಇಲ್ಲಿ  D^nx^n ಎಂಬುದು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂಬ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಕೇತ.

## *n* ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಅದರ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಹೇಗೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ?
*n* ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಂತೆ ಅದರ ಕ್ರಮಗುಣಿತ  ಕ್ಷಿಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ. ಈ ವೇಗವು ಮಿಕ್ಕೆಲ್ಲ  ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಮತ್ತು ಘಾತಿಕಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು. 
*n!* ಎಂಬುದನ್ನು  ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಹಲವು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಮೊದಲು *n!* ಎಂಬುದರ ನೈಜ  ಲಘುಗಣಕ  ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಪ್ರಾಪ್ತವಾಗುವುದು,
  
:\ln n! = \sum_{x=1}^n \ln x.

*ln n!* ಎಂಬುದರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯಂತೆ ತೋರಿದರೂ ಅದು ವಾಸ್ತವವಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ *ln n!* ಎಂಬುದರ ಅಂದಾಜು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

: \int_1^n \ln x \, dx \leq \sum_{x=1}^n \ln x \leq \int_0^n \ln (x+1) \, dx

: n\ln\left(\frac{n}{e}\right)+1 \leq \ln n! \leq (n+1)\ln\left( \frac{n+1}{e} \right) + 1.

:e\left(\frac ne\right)^n \leq n! \leq e\left(\frac{n+1}e\right)^{n+1}.

ಇದಕ್ಕಿಂತ ಸರಳವಾದ ಅಂದಾಜು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉಪಯುಕ್ತ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ 
 (n/3)^n  ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಬಹುದು; ಹಾಗೆಯೇ *n* ≥ 6 ಆದಾಗ n!  ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಬಹುದು.

*n* ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ  ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗ್ ಅಂದಾಜು ಎಂಬುದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು: 
:n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.
ಇದನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲು ಲಘುಗಣಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪರಿಮಿತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 
ಮತ್ತೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ:
:\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಕೂಡಾ *n*! ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ತಮ್ಮದೇ ಒಂದು ಅಂದಾಜು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ 

:\ln n! \approx n\ln n - n + \frac {\ln(n(1+4n(1+2n)))}{6} + \frac {\ln(\pi)}{2}
ಅಥವಾ 
:n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n[1 +1/(2n) +1/(8n^2)]^{1/6}.
ಅಥವಾ 
:n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\exp\left({\frac 1{12n}-\frac 1{360n^3}}\right)
## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 
## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು