ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆ

, *ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ* ಉಳಿದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ತುಣುಕುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದು ಪುರಾವೆ-ಬರಹ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಲಿಸಲು ಸಹಸ್ರಾರು ವರ್ಷಗಳಿಂದ ಬಳಸಲಾಗುವ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವಾಗಿದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಪುಸ್ತಕ II, ಪ್ರತಿಪಾದನೆ ೫ ರೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.
]]

**ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯು** ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಒಂದು ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ವಾದವಾಗಿದ್ದು, ಹೇಳಲಾದ ಊಹೆಗಳು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ವಾದವು ಪ್ರಮೇಯಗಳಂತಹ ಇತರ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಆದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಅಥವಾ ಮೂಲ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಜೊತೆಗೆ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಊಹೆಯ ನಿಯಮಗಳು, ಪುರಾವೆಗಳು ತಾರ್ಕಿಕ ನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಸಮಗ್ರ ಕಡಿತ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಾದಗಳಿಂದ ಅಥವಾ ಸಮಂಜಸವಾದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಸಮಗ್ರವಲ್ಲದ ಪ್ರಚೋದಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೇಳಿಕೆಯು ಹೊಂದಿರುವ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವುದು ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವೆಂದು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಬೀತಾಗದೆ ನಿಜವೆಂದು ನಂಬಲಾದ ಒಂದು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು ಊಹೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತದ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಊಹೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿದರೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಲವು ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷೆಯ ಜೊತೆಗೆ ಗಣಿತದ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ತರ್ಕವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕಠಿಣ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ತರ್ಕದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷೆಯ ಪಾಲ್ಗೊಳ್ಳುವಿಕೆಯಿಲ್ಲದೆ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾದ ಶುದ್ಧ ಔಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪುರಾವೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ಮತ್ತು ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪ್ರಸ್ತುತ ಮತ್ತು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಗಣಿತ ಅಭ್ಯಾಸ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಅನುಭವ ಮತ್ತು ಜಾನಪದ ಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ, ಮುಖ್ಯವಾಹಿನಿಯ ಗಣಿತ ಸಮುದಾಯದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇತರ ಸಂಸ್ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಖಿಕ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಿಶೀಲನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರವು ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಷೆ ಮತ್ತು ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಪಾತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತವನ್ನು ಒಂದು ಭಾಷೆಯಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

## ಇತಿಹಾಸ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಶಾಸ್ತ್ರ
ಪುರಾವೆ ಎಂಬ ಪದವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ *ಪ್ರೊಬೇರ್* 'ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ' ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಬಂದಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಶೋಧನೆ, ಪರಿವೀಕ್ಷಣೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಜೊತೆಗೆ ಸ್ಪ್ಯಾನಿಷ್ ಪ್ರೊಬಾರ್ 'ರುಚಿ ನೋಡಲು' (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ 'ಸ್ಪರ್ಶಿಸಲು' ಅಥವಾ 'ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು'),  ಇಟಾಲಿಯನ್ ಪ್ರೊವೇರ್ 'ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲು' ಮತ್ತು ಜರ್ಮನ್ ಪ್ರೊಬಿರೆನ್ 'ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲು' ಸೇರಿವೆ. ಪ್ರಾಮಾಣಿಕತೆ ಎಂಬ ಕಾನೂನು ಪದದ ಅರ್ಥ ಅಧಿಕಾರ ಅಥವಾ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ, ಖ್ಯಾತಿ ಅಥವಾ ಸ್ಥಾನಮಾನದ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ನೀಡಿದ ಸತ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಸಾಕ್ಷ್ಯದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಂತಹ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ವಾದಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳಿಗೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿದ್ದವು. ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯು ಮೊದಲು ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಇದು ಭೂ ಮಾಪನದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಧನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಥೇಲ್ಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. ೬೨೪–೫೪೬) ಮತ್ತು ಚಿಯೋಸ್‌ನ ಹಿಪ್ಪೊಕ್ರೇಟ್ಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. ೪೭೦–೪೧೦) ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಮೊದಲ ತಿಳಿದಿರುವ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು.  ಯುಡಾಕ್ಸಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. ೪೦೮–೩೫೫) ಮತ್ತು ಥಿಯೆಟೆಟಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. ೪೧೭–೩೬೯) ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು. ಆದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಿಲ್ಲ. ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. ೩೮೪–೩೨೨) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಇತರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳಿದರು.

ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. ೩೦೦) ಕ್ರಾಂತಿಕಾರಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರು ಹಾಗೂ ಇಂದಿಗೂ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅಕ್ಷೀಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಇದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪದಗಳು ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ವಯಂ-ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿಜವೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳು (ಗ್ರೀಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ 'ಯೋಗ್ಯವಾದದ್ದು'). ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ವಿಧಾನವು ಕಡಿತ ತರ್ಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ೨೦ ನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯದವರೆಗೆ ಪಶ್ಚಿಮದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾವಂತರೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಯಾರಾದರೂ ಓದುತ್ತಿದ್ದರು. ಪೈಥಾಗೋರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತಹ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಮೂಲವಸ್ತುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡರ ವರ್ಗಮೂಲ ಮೂಲವು ತರ್ಕರಹಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಪ್ರಧಾನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ ಇದೆ.

ಮಧ್ಯಕಾಲೀನ ಇಸ್ಲಾಮಿಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಪ್ರಗತಿಗಳು ನಡೆದವು. ೧೦ ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಇರಾಕಿ ಗಣಿತಜ್ಞ ಅಲ್-ಹಶಿಮಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು. ಅವುಗಳನ್ನು "ರೇಖೆಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ರೇಖಾಗಣಿತ ವಸ್ತುಗಳ ಅಳತೆಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಗುಣೀಕರಣ, ವಿಭಜನೆ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬೀಜಗಣಿತ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಪ್ರಚೋದಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಅಲ್-ಕರಾಜಿ *ಅಲ್-ಫಕ್ರಿ* (೧೦೦೦) ನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಅವರು ಇದನ್ನು ಪಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ದ್ವಿನಾಮೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಿದರು.

ಆಧುನಿಕ ಪುರಾವೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಚೋದಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ದತ್ತಾಂಶ ರಚನೆಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು "ಸತ್ಯ" ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದು ಸಮಾನಾಂತರ ಗಣಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಔಪಚಾರಿಕ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಪರ್ಯಾಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಕ್ಸಿಯೊಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ರೇಖಾಗಣಿತ.

## ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ಉದ್ದೇಶ
ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರೇಕ್ಷಕರಿಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುವ ಉದ್ದೇಶದ ಕಠಿಣ ವಾದವಾಗಿದೆ. ಕಠಿಣತೆಯ ಮಾನದಂಡವು ಪರಿಪೂರ್ಣವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಇತಿಹಾಸದುದ್ದಕ್ಕೂ ಬದಲಾಗಿದೆ. ಉದ್ದೇಶಿತ ಪ್ರೇಕ್ಷಕರನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು. ಸ್ವೀಕಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಪುರಾವೆಯು ಕಠಿಣತೆಯ ಕೋಮು ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು. ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಅಥವಾ ಅಪೂರ್ಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ವಾದವನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಬಹುದು.

ಪುರಾವೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷೆಯ ಬದಲು ಔಪಚಾರಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಯು ಔಪಚಾರಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಇದು ಊಹೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರದ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಹಿಂದಿನವುಗಳ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಪುರಾವೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪುರಾವೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಔಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಆಕ್ಸಿಯೊಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಳಗೆ ಸಮರ್ಥನೀಯವಲ್ಲದ ಕೆಲವು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು.

ಔಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಪುರಾವೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುವ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ದೃಢತೆಯು ಪ್ರಕಟಿತ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ನಂಬಿಕೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಪುರಾವೆ ಸಹಾಯಕರ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಹೊರಗೆ, ಇದನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪುರಾವೆಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವೇ ಅಥವಾ ಸಂಶ್ಲೇಷಿತವೇ ಎಂದು ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ ಕೇಳುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ-ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಕಾಂಟ್, ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳು ಸಂಶ್ಲೇಷಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಂಬಿದ್ದರು.
ಆದರೆ, ಕ್ವಿನ್ ತನ್ನ ೧೯೫೧ ರ "ಅನುಭವದ ಎರಡು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ" ಅಂತಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಸಮರ್ಥನೀಯ ಎಂದು ವಾದಿಸಿದರು.

ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ಸೌಂದರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮೆಚ್ಚಬಹುದು. ಗಣಿತಜ್ಞ ಪಾಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ ಅವರು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅತ್ಯಂತ ಸುಂದರವಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಟೋಮ್ "ದಿ ಬುಕ್" ನಿಂದ ಬಂದವು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿದ್ದರು. ೨೦೦೩ ರಲ್ಲಿ, ಪ್ರಕಟವಾದ *ಪ್ರೂಫ್ಸ್ ಫ್ರಮ್ ದಿ ಬುಕ್* ಪುಸ್ತಕವು ಅದರ ಸಂಪಾದಕರಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಂತೋಷಕರವೆನಿಸುವ ೩೨ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ಮೀಸಲಾಗಿದೆ.

## ಪುರಾವೆಯ ವಿಧಾನಗಳು
### ನೇರ ಪುರಾವೆ
ನೇರ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನೇರ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

x ಮತ್ತು y ಎಂಬ ಎರಡು ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅವು ಸಮವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ a ಮತ್ತು b ಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ x = 2a ಮತ್ತು y = 2b ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಹಾಗಾದರೆ, ಮೊತ್ತವು x + y = 2a + 2b = 2 (a + b) ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ x+y 2 ಅನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ಪುರಾವೆಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣೀಕರಣದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.

### ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯಿಂದ ಪುರಾವೆ
ಅದರ ಹೆಸರಿನ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯು ಕಡಿತದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಚೋದಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಒಂದು ರೂಪವಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯಾಗಿ, ಒಂದೇ "ಮೂಲ ಪ್ರಕರಣ" ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ರಕರಣವು ಮುಂದಿನ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ "ಇಂಡಕ್ಷನ್ ನಿಯಮವನ್ನು" ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ (ಸಾಬೀತಾದ ಮೂಲ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ), ಎಲ್ಲಾ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ) ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಮರ್ಥನೀಯವಾಗಿವೆ. ಇದು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವು ಅನಂತ ಸಂತತಿಯಿಂದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡರ ವರ್ಗಮೂಲದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು: N = {1, 2, 3, 4,...} ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು P(n) ಎಂಬುದು N ಗೆ ಸೇರಿದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿರಲಿ.

* (i) P(1) ಅಂದರೆ, n = 1 ಗೆ P(n) ಸಮ.
* (ii) (ii) P(n) ಸತ್ಯವಾದಾಗಲೆಲ್ಲಾ P(n+1) ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, P(n) ನಿಜವು P(n+1) ನಿಜವೆಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
* ಹಾಗಾದರೆ P(n) ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ n ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2n − 1 ನಮೂನೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಬೆಸವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. P(n) "2n − 1 ಬೆಸವಾಗಿದೆ" ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು:

:(i) n = 1, 2n − 1 = 2(1) − 1 = 1, ಮತ್ತು 1 ಬೆಸವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಇದನ್ನು 2 ರಿಂದ ವಿಭಜಿಸಿದಾಗ 1 ನ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ P(1) ಸಮ.
:(ii) ಯಾವುದೇ n ಗೆ, 2n − 1 ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ (P(n)), ಆಗ (2n − 1) + 2 ಕೂಡ ಬೆಸವಾಗಿರಬೇಕು. ಏಕೆಂದರೆ, 2 ಅನ್ನು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, (2n − 1) + 2 = 2n + 1 = 2 (n +1) − 1, ಆದ್ದರಿಂದ 2 (n + 1) − 1 ಬೆಸ (P (n +1)). ಆದ್ದರಿಂದ P(n) ಎಂದರೆ P(n+1).
:ಆದ್ದರಿಂದ 2n − 1 ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ n.

"ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯಿಂದ ಪುರಾವೆ" ಎಂಬ ಪದದ ಬದಲು "ಪ್ರಚೋದನೆಯಿಂದ ಪುರಾವೆ" ಎಂಬ ಚಿಕ್ಕ ಪದಗುಚ್ಛವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

### ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆ
ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಪುರಾವೆಯು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾದ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಮೂಲಕ "p ಆಗ q" ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ: "q ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ p ಅಲ್ಲ".

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಕೊಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು 
x, ಒಂದು ವೇಳೆ x2 ಸಮವಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾದರೆ x ಸಮವಾಗಿದೆ:

ಭಾವಿಸೋಣ x ಸಮನಾಗಿಲ್ಲ. ನಂತರ, x ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ 
x2=x⋅x ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ 
x2 ಸಮನಾಗಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, 
x2 ಸಮವಾಗಿದೆ, ಊಹೆ ತಪ್ಪಾಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, x ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು.

### ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆ
ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪದಗುಚ್ಛವಾದ *ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು* (ಅಸಂಬದ್ಧತೆಗೆ ಇಳಿಸುವ ಮೂಲಕ) ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿ, ಕೆಲವು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ನಿಜವೆಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೇಳಿಕೆಯು ಸುಳ್ಳಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

\sqrt{2} ಒಂದು ತರ್ಕರಹಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ:

ಹಾಗೆ ಭಾವಿಸೋಣ 
\sqrt{2} ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿತ್ತು. ನಂತರ, ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು 
\sqrt{2} = {a\over b} ಇಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಿಲ್ಲದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, b\sqrt{2} = a. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ 2b2 = a2 ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು 2 ರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಬಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ 2 ರಿಂದ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, a2 ಸಮವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯಲ್ಲಿ (ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆ ನೋಡಿದಂತೆ a ಕೂಡ ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು a = 2c ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಅಲ್ಲಿ c ಕೂಡ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ 2b2 = (2c)2 = 4c2 ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 2 ರಿಂದ ವಿಭಜಿಸಿದರೆ b2 = 2c2 ಇಳುವರಿ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಅದೇ ವಾದದಿಂದ, 2 b2 ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ b ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, a ಮತ್ತು b ಎರಡೂ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು 2 ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿ ಹೊಂದಿವೆ. ಇದು a ಮತ್ತು b ಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ನಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಬೇಕು 
\sqrt{2} ಒಂದು ತರ್ಕರಹಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ: ಒಬ್ಬರು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ 
\sqrt{2} ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ, ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ, 2 ಅನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ನಾಮಾಂಕದಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

### ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆ
ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆ ಅಥವಾ ಉದಾಹರಣೆಯ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಉದಾಹರಣೆಯ ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜೋಸೆಫ್ ಲಿಯುವಿಲ್ಲೆ, ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲು ಪ್ರತಿ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

### ಆಯಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆ
ದಣಿವಿನ ಪುರಾವೆಯಾಗಿ, ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಹಳ ದೊಡ್ಡದಾಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯು ೧,೯೩೬ ಪ್ರಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಳಲಿಕೆಯ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪುರಾವೆಯು ವಿವಾದಾತ್ಮಕವಾಗಿತ್ತು. ಏಕೆಂದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದ್ದು, ಕೈಯಿಂದ ಅಲ್ಲ.

### ಮುಚ್ಚಿದ ಸರಪಳಿ ಊಹೆ
ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಸರಪಳಿ ಊಹೆಯು ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ:

ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ 
φ
1
,
…
,
φ
n ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿವಾರು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಪರಿಣಾಮಗಳಿಗೆ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: 
φ
1
⇒
φ
2, 
φ
2
⇒
φ
3, 
…, 
φ
n
−
1
⇒
φ
n
ಮತ್ತು 
φ
n
⇒
φ
1.

ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಜೋಡಿವಾರು ಸಮಾನತೆಯು ನಂತರದ ವಸ್ತು ಷರತ್ತುಗಳ ಚಲನಶೀಲತೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.

### ಸಂಭವನೀಯ ಪುರಾವೆ
ಸಂಭವನೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯು ಖಚಿತವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ತೋರುವಿಕೆಯನ್ನು ಸಂಭವನೀಯ ಪುರಾವೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಮಾಣದ ಪುರಾವೆಯಂತೆ, ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅನೇಕ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಪುರಾವೆಯೂ ಒಂದು.

ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳ ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಬ್ಬರು ಪ್ರತಿ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಯಾದ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಯು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಯಾವ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆಂದು ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಇಲ್ಲದೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವು 'ಪ್ರಾಯಶಃ' ಸತ್ಯ, 'ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ವಾದ' ಎಂಬ ವಾದದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸಮರ್ಥನೀಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು. ಕೊಲಾಟ್ಜ್ ಊಹೆಯೆಡೆಗಿನ ಕೆಲಸವು ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಊಹೆಯ ನಿರಾಕರಣೆಯಂತೆಯೇ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯು ನಿಜವಾದ ಪುರಾವೆಯಿಂದ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುವಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ 
ಪುರಾವೆಗಳು ನಿಜವಾದ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಕೆಲವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮತ್ತು ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಸಂಭವನೀಯ ಪುರಾವೆಗಳು (ಮೂಲತ್ವವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ರಾಬಿನ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನಂತಹವು) ನಿಜವಾದ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳಷ್ಟೇ ಉತ್ತಮವಾಗಿವೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ.

### ಸಂಯೋಜಿತ ಪುರಾವೆ
ಸಂಯೋಜಿತ ಪುರಾವೆಯು ಒಂದೇ ವಸ್ತುವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಣಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿಭಿನ್ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆಗಾಗ್ಗೆ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವಿನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಅವುಗಳ ಎರಡು ಗಾತ್ರಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಡಬಲ್ ಕೌಂಟಿಂಗ್ ವಾದವು ಒಂದೇ ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಹಾಗೂ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

### ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆ
ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಒಂದು ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಯು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸದೆ ಅನೇಕವೇಳೆ, ಇದು ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆಯ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿಲ್ಲದಿರುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ರಚನಾತ್ಮಕ ಪುರಾವೆ ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಯ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಬ ಎರಡು ತರ್ಕರಹಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. 
a^b ಎಂಬುದು ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪುರಾವೆಯು ಇದನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ 
\sqrt{2}} ತರ್ಕರಹಿತವಾಗಿದೆ (ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನಿಂದ ಸುಲಭವಾದ ಪುರಾವೆ ತಿಳಿದಿದೆ). ಆದರೆ, 
\sqrt{2}^{\sqrt{2}} ತರ್ಕರಹಿತವಾಗಿದೆ (ಇದು ನಿಜ, ಆದರೆ ಪುರಾವೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಲ್ಲ).

ಒಂದೋ 
\sqrt{2}^{\sqrt{2}} ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಮುಗಿದಿದ್ದೇವೆ (ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ) 
a=b=\sqrt{2}) ಅಥವಾ 
\sqrt{2}^{\sqrt{2}} ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲ ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು 
a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} ಮತ್ತು 
b=\sqrt{2}. ಇದು ನಂತರ ನೀಡುತ್ತದೆ 
\left (\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right )^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2, ಇದು a^b. ರೂಪದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

### ಶುದ್ಧ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪುರಾವೆಗಳು
"ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪುರಾವೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಶುದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಆಡುಮಾತಿನಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ, ಗೊಂದಲಮಯ ಸರಣಿ, ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅಥವಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಗಣಿತದ ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಇದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ "ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪುರಾವೆ" ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.

### ಕಂಪ್ಯೂಟರ್-ನೆರವಿನ ಪುರಾವೆಗಳು
ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದವರೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಅದರ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಲು ಸಮರ್ಥ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಂದ ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಈಗ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮಾನವ ಅಥವಾ ಮಾನವರ ತಂಡಕ್ಕೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಷ್ಟು ದೀರ್ಘವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್-ನೆರವಿನ ಪುರಾವೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ದೋಷ ಅಥವಾ ಅದರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ರನ್-ಟೈಮ್ ದೋಷದ ಸಾಧ್ಯತೆಯು ಅಂತಹ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್-ನೆರವಿನ ಪುರಾವೆಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪ್ರಶ್ನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಳವಳ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್-ನೆರವಿನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಅಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ದೋಷದ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಪುನರುಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂ-ಪರಿಶೀಲನೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಮಾನವರು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ದೋಷಗಳನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಳ್ಳಿಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ, ಪುರಾವೆಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಭಾವ್ಯ ಗುಪ್ತ ಊಹೆಗಳು ಮತ್ತು ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು ಆಳವಾದ ಗಣಿತದ ಒಳನೋಟವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

## ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಹೇಳಿಕೆಗಳು
ಸಿದ್ದಾಂತಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಸಮರ್ಥಿಸಲಾಗದ ಅಥವಾ ಅಲ್ಲಗಳೆಯಲಾಗದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಂದ). ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ: ಸಮಾನಾಂತರ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಉಳಿದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಂದ ಸಮರ್ಥನೀಯವೂ ಅಲ್ಲ ಅಥವಾ ಅಲ್ಲಗಳೆಯಲಾಗದ್ದಾಗಿದೆ.

ಝೆರ್ಮೆಲೊ-ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವದೊಂದಿಗೆ (ಝಡ್‌ಎಫ್‌ಸಿ) ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗದ ಅಥವಾ ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗದ ಹಲವು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (ಝಡ್‌ಎಫ್‌ಸಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ). ಝಡ್‌ಎಫ್‌ಸಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗದ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನೋಡಿ.

ಗೊಡೆಲ್‌ನ (ಮೊದಲ) ಅಪೂರ್ಣತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತದ ಆಸಕ್ತಿಯ ಅನೇಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

## ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಗಣಿತ
ಕ್ನಿಡಸ್‌‌ನ ಯುಡಾಕ್ಸಸ್‌ನಂತಹ ಆರಂಭಿಕ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಬಳಸದಿದ್ದರೂ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನಿಂದ ೧೯ ನೇ ಮತ್ತು ೨೦ ನೇ ಶತಮಾನದ ಉತ್ತರಾರ್ಧ ಮತ್ತು ೨೦ ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಡಿಪಾಯ ಗಣಿತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳವರೆಗೆ, ಪುರಾವೆಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿತ್ತು. ೧೯೬೦ ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಶಕ್ತಿಯ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆ-ಪ್ರಮೇಯ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಮೀರಿ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುವ ಮಹತ್ವದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ವಿಧಾನಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರವರ್ತಕರು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಕೆಲಸವನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪುರಾವೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಿದ್ದರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಆರಂಭಿಕ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು.

## ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು
### ದೃಶ್ಯ ಪುರಾವೆ
ಔಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಗಣಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ದೃಶ್ಯ ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಪದಗಳಿಲ್ಲದ ಪುರಾವೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಎಡಗೈ ಚಿತ್ರವು (೩,೪,೫) ತ್ರಿಕೋನದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗೋರಿಯನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಐತಿಹಾಸಿಕ ದೃಶ್ಯ ಪುರಾವೆಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

File:Chinese pythagoras.jpg|ಝೌಬಿ ಸುವಾನ್‌ಜಿಂಗ್ ೫೦೦–೨೦೦, ಬಿಸಿ‌ಇನಲ್ಲಿರುವಂತೆ (೩,೪,೫) ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ದೃಶ್ಯ ಪುರಾವೆ.
File:Pythagoras-2a.gif|ಮರುಜೋಡಣೆ ಮೂಲಕ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅನಿಮೇಟೆಡ್ ದೃಶ್ಯ ಪುರಾವೆ.
File:Pythag anim.gif|ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡನೇ ಅನಿಮೇಟೆಡ್ ಪುರಾವೆ.

ಕಾಣೆಯಾದ ಚೌಕಾಕಾರದ ಒಗಟುಗಳಂತಹ ಕೆಲವು ಭ್ರಮೆಯ ದೃಶ್ಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಸತ್ಯವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ, ಸಣ್ಣ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಹಾಗೆ ಮಾಡಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಬಾಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ). ಇಡೀ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುವವರೆಗೆ, ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

### ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪುರಾವೆ
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪುರಾವೆಯು ಮೂಲಭೂತ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುವ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಂತಹ ಕೆಲವು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು "ಉನ್ನತ" ಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾತ್ರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಭಾವಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ, ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕವು ಕೇವಲ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಖಂಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ.

### ಎರಡು-ಸ್ತಂಭಗಳ ಪುರಾವೆ
ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ಸ್ತಂಭಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸಂಘಟಿಸುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಧಾನವನ್ನು ಯುನೈಟೆಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಯಾಮವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.  ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಎರಡು ಸ್ತಂಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಲುಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಎಡಗೈ ಸ್ತಂಭಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ಬಲಗೈ ಸ್ತಂಭ ಎಡಗೈ ಸ್ತಂಭದಲ್ಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಸ್ತಾಪವು ಹೇಗೆ ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಊಹೆ ಅಥವಾ ಹಿಂದಿನ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳಿಂದ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದರ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಎಡಗೈ ಸ್ತಂಭವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಹೇಳಿಕೆಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಲಗೈ ಸ್ತಂಭವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಕಾರಣಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

### "ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆ" ಯ ಆಡುಮಾತಿನ ಬಳಕೆ
"ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನರು ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಅಥವಾ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನಾದರೂ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತಹ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ವಾದಿಸಲು ಅಥವಾ ವಾದದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ದತ್ತಾಂಶವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು "ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪುರಾವೆ" (ಕೆಳಗೆ) ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ವಾದಿಸಲು ಬಳಸಿದಾಗ ಉಪಯೋಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

### ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪುರಾವೆ
ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ "ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪುರಾವೆ" ಎಂಬುದು ದತ್ತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ದತ್ತಾಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಅಥವಾ ಬೇಸಿಯನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಸಂಭವನೀಯ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೊರಗಿನಿಂದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪುರಾವೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳ ಜೊತೆಗೆ, "ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪುರಾವೆ" ಎಂಬುದು ಕಣ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಭೌತಿಕ ವಿಶ್ವವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ವೀಕ್ಷಣಾ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಗಣಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. "ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪುರಾವೆ" ಎಂಬುದು ಕಚ್ಚಾ ದತ್ತಾಂಶ ಅಥವಾ ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ ಪ್ಲೊಟ್‌ಗಳಂತಹ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮನವರಿಕೆಯಾಗುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸಬಹುದು.

### ಪ್ರಚೋದಕ ತರ್ಕ ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು ಬೇಸಿಯನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ
ಪ್ರಚೋದಕ ತರ್ಕವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪುರಾವೆಗಳು, ಸ್ವಭಾವದಲ್ಲಿ ಗಣಿತೀಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟರೂ, ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಮಟ್ಟದ ಖಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಹೋಲುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣ ಖಚಿತತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರಬಹುದು. ಪ್ರಚೋದಕ ತರ್ಕವನ್ನು ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು.

ಹೊಸ ಪುರಾವೆಗಳು ಅಥವಾ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆದಾಗ ಊಹೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ನವೀಕರಿಸಲು ಬೇಸಿಯನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಬೇಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

### ಮಾನಸಿಕ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿ ಪುರಾವೆಗಳು
ಮನೋವಿಜ್ಞಾನವು ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಮಾನಸಿಕ ಅಥವಾ ಮಾನಸಿಕ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿ ನೋಡುತ್ತದೆ. ಲೀಬ್ನಿಜ್, ಫ್ರೆಜ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ನಾಪ್‌ರಂತಹ ಗಣಿತಜ್ಞ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳು ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಟೀಕಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅವರು ಚಿಂತನೆಯ ಭಾಷೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಕ್ಕೆ ಶಬ್ದಾರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಮೂಲಕ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

### ಗಣಿತದ ಹೊರಗೆ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆ ವಿಧಾನಗಳ ಪ್ರಭಾವ
ಸ್ಪಿನೋಜಾನಂತಹ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ-ಗಣಿತಜ್ಞರು ತಾತ್ವಿಕ ವಾದಗಳನ್ನು ಆಕ್ಸಿಯೊಮ್ಯಾಟಿಕ್ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಾದಕ್ಕೆ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಇತರ ಗಣಿತಜ್ಞ-ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೊರಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ತಲುಪಲು ಅನುಭವದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ತರ್ಕದ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆದರೆ, ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್‌ನ *ಕೋಜಿಟೊ* ವಾದದಂತಹ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳ ಖಚಿತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ.

## ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸುವುದು
ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಪುರಾವೆಯ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು "ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ." ಎಂಬ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಪದವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವು "*ಕ್ವಾಡ್ ಎರಾಟ್ ಡೆಮೊಸ್ಟ್ರಾಂಡಮ್*" ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ "ಗೋರಿಗಲ್ಲು" ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಪರ್ಯಾಯವೆಂದರೆ □ ಅಥವಾ ∎ನಂತಹ ಚೌಕ ಅಥವಾ ಆಯತಾಕಾರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಇದನ್ನು ಅದರ ನಾಮಾಂಕಿತ ಪಾಲ್ ಹಾಲ್ಮೋಸ್ ನಂತರ "ಸಮಾಧಿ" ಅಥವಾ "ಹಾಲ್ಮೋಸ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಮೌಖಿಕ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ "ಕ್ಯೂಇಡಿ", "□", ಅಥವಾ "∎" ಬರೆಯುವಾಗ "ಯಾವುದನ್ನು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು" ಎಂದು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯುನಿಕೋಡ್ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ "ಪುರಾವೆಯ ಅಂತ್ಯ" ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ U+220E (∎) (220E(hex) = 8718(dec)).

## ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ
* ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಪ್ರಮೇಯ ಸಾಬೀತು
* ಅಮಾನ್ಯ ಪುರಾವೆ
* ಅಪೂರ್ಣ ಪುರಾವೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ
* ದೀರ್ಘ ಪುರಾವೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ
* ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ
* ರಚನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪುರಾವೆ
* ಬೆದರಿಕೆಯಿಂದ ಪುರಾವೆ
* ಮುಕ್ತಾಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ
* ಚಿಂತನೆಯ ಪ್ರಯೋಗ
* *ಆಮೆ ಅಕಿಲ್ಸ್‌ಗೆ ಏನು ಹೇಳಿದೆ*
* ಶೂನ್ಯ-ಜ್ಞಾನದ ಪುರಾವೆ

## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು
## ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ
* .
* .
* .
* 
* .
* .
* .

## ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು
* 
* Proofs in Mathematics: Simple, Charming and Fallacious
* A lesson about proofs, in a course from Wikiversity