ಭ್ರಮಣಾಂಕ

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದ **ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳು** ಎಂದರೆ ಆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ಼್‍ನ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮಾನಗಳು. ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚರ ***x*** ನ ಆವರ್ತಕ ಉತ್ಪನ್ನ ***f(x)*** ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ***r*** ನೆಯ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಚರದ ***r*** ನೆಯ ಘಾತದ (power) ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅದರ ಸ್ಪಷ್ಟನೆ ಹೀಗಿದೆ:

\int_{-\infty}^{\infty} x^r f(x) dx; ***f(x)*** ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ

\mu'_r = E(x^r) = -\ \infty ಮತ್ತು -\infty 

\sum_x x^r f(x)dx^r; ***f(x)*** ವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ (discontinuous function)

ಅನುಕೂಲತೆಗಾಗಿ ***f(x)*** ಒಂದು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ (arbitrary number) ***a*** ಯನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಭ್ರಮಣಾಂಕದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಹೀಗಿದೆ:

E(x-a)^r = \int_{-\infty}^{\infty} (x-a)^r f(x)dx

ಈ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ (***a***) ಯನ್ನು ಮಧ್ಯಕಕ್ಕೆ (ಮೀನ್) ಸರಿಗಟ್ಟಿದಲ್ಲಿ ಮದ್ಯಕವನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ***μr*** ಅಥವಾ ಭ್ರಮಣಾಂಕ-ಮಧ್ಯಕ ಎಂದು ಹೆಸರು.

\mu_r = (x - \mu'_1)^r = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu'_1)^r f(x)dx

ಈ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ ***μ1, μ2,........*** ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು '''''μ1', μ2',........*** ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಬಹುದು:

***μ1 = 0, μ2 = μ2' - (μ1')2***

***μ3 = μ3' - 3μ2'μ1' + 2(μ1')3***

***μ4 = μ4' - 4μ3'μ1' + 6μ2'(μ1')2 - 3(μ1')4'''''

\mu_r = \mu'_r - {}^rC_1\mu'_1\mu'_{r-1} + {}^rC_2(\mu'_1)^2\mu'_{r-2} - \cdots + (-1)^{r-1}(r-1)(\mu'_1)^r

***μ1**** ಮಧ್ಯಕವೆಂದೂ ***μ2*** ಕ್ಕೆ ಚಲನೀಯವೆಂದೂ ಹೆಸರು. ಮಧ್ಯಕ ಮತ್ತು ಚಲನೀಯದ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ತಿಳಿದಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದ ವರ್ಗನೆ ತಿಳಿಯಬೇಕಾದರೆ ಮೊದಲೆರಡು ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳ ಪಾತ್ರ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಮಿಕ್ಕ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರುಹುವುವಾದರೂ ಅವುಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಅಷ್ಟು ಕಂಡುಬಂದಿಲ್ಲ.
center|thumb|300x300px|ಚಿತ್ರ 1
ವಿಷಮತೆಯ ಮಾನವನ್ನು ತಿಳಿಯಬೇಕಾದಲ್ಲಿ ಮೂರನೆಯ ಭ್ರಮಣಾಂಕ-ಮಧ್ಯಕ ***μ3*** ನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣುವಂಥ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ***μ3 = 0*** ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 2 ರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ವಿತರಣೆ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಓಲಿರುವುದರಿಂದ ***μ3*** ಋಣಚಿಹ್ನೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 2 ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ***f(x)*** ವಿತರಣೆ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಓಲಿರುವುದರಿಂದ ***μ3*** ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಅಧಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಷ್ಟಕ್ಕೂ ಹೇಳಬೇಕಾದರೆ ಬರೇ ***μ3*** ರ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ವಿತರಣೆಯ ಚಿತ್ರಾಕೃತಿ ಇದೇ ರೀತಿ ಇದೆ ಎಂದು ದೃಢಪಡಿಸಲಸಾಧ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ***μ3 = 0*** ಆಗಿದ್ದೂ ***f(x)*** ವಿತರಣೆ ಚಿತ್ರ 3 ದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸಾಧ್ಯ. ಆದರೆ ಇದೇ ***μ3 ≠ 0*** ಆಗಿದ್ದಾಗ ***f(x)*** ವಿತರಣೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಡಾಖಂಡಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು.
center|thumb|370x370px|ಚಿತ್ರ 2
center|thumb|300x300px|ಚಿತ್ರ 3

ಶಿಖರತೆಯ ಮಾನವನ್ನು ತಿಳಿಯಬೇಕಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ***μ4*** ನಾಲ್ಕನೆಯ ಭಮಣಾಂಕ-ಮಧ್ಯಕವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಶಿಖರತೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟನೆ ಈ ರೀತಿ ಇದೆ:

ಶಿಖರತೆ = ***β2(μ4 / μ22)***

ಇಲ್ಲಿ ***β2 = 3*** ಆಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ***f(x)*** ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಮೀಪವಾಗಿರುವುದು.

## ವಿಂಗಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವಿತರಣೆಗೆ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ರೀತಿ 
***x*** ಒಂದು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಚರ (continuous variable). ಪ್ರತಿಚಯನದಲ್ಲಿರುವ (sample) ಅದರ ಅಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ***k*** ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ವಿಭಾಗಗಳ ಆವರ್ತಾಂಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ***f1, f2,.......fk*** ಎಂದಿರಲಿ ಮತ್ತು ***x*** ಚರದ ವಿಭಾಗಾಂತರದ ಮಧ್ಯಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ***x1, x2,.......xk''''' ಎಂದಿರಲಿ.

ಆಗ \mu_r' = \begin{Vmatrix}
\sum\limits_{i=1}^k f_ix_i^r
\\
\hline
\sum\limits_{i=1}^k f_i
\end{Vmatrix}

## ವಿಂಗಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಷೆಪರ್ಡನ ತಿದ್ದುಪಡಿ 
ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ರೀತಿ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆವಲ್ಲಿ ***fi*** ಆವರ್ತಾಂಕ ***xi*** ಮಧ್ಯಕದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರಿಕೃತವಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಪಂಗಡದ ಅಂತರ ***h*** ಜಾಸ್ತಿಯಾಗುತ್ತ ಹೋದಷ್ಟು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಭಾವನೆ ತಪ್ಪಾಗುತ್ತ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಷೆಪರ್ಡ್ ಒಂದು ತಿದ್ದುಪಾಟು ಕಂಡುಹಿಡಿದ. ***f(x)*** ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಕಡೆಯ ಕೊನೆಯ ಆವರ್ತಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಪವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಹೀಗಿರುವುದು:

\begin{align}
\hat{\mu}_1 &= m_1 \\
\hat{\mu}_2 &= m_2 - \frac{1}{12} h^2 \\
\hat{\mu}_3 &= m_3 \\
\hat{\mu}_4 &= m_4 - \frac{1}{2} m_2h^2 + \frac{7}{240} h^4.
\end{align}

## ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನ (ಮೊಮೆಂಟ್ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್) 
ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಂತಾದರೆ ಅನುಕೂಲಕರ. ಇಂಥ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಹೆಸರು.

***x*** ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚರ. ಅದರ ವಿತರಣ ಉತ್ಪನ್ನ ***f(x)*** ಎಂದಿರಲಿ. ಆಗ ***etx*** ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಹೆಸರು.

***-h2 2*** ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ***t*** ಗೆ ***etx*** ದೊರೆಯುವಂತಾದರೆ (ಯಾವುದಾದರೂ ***h2*** ಬೆಲೆಗೆ)

m(t) = E(e^{tx}) = \begin{cases}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx, f(x) \text{ is continuous} \\
\sum\limits_x e^{tx}f(x), f(x) \text{ is discontinuous}
\end{cases}

ಅನುಕೂಲತೆಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿಯೂ ***f(x)*** ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ದೊರೆವಲ್ಲಿ ***m(t)*** ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿ ಅವಕಲನೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ***t*** ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ***m(t)*** ಯನ್ನು ***r*** ಸಲ ಅವಕಲಿಸಿದಲ್ಲಿ

\frac{d^r}{dt^r}m(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^re^{tx}f(x)dx

***t = 0*** ಆದಲ್ಲಿ, \left [ \frac{d^r}{dt^r}m(t) \right ]_{t = 0} = E(x^r) = \mu_r'

ಅಂದರೆ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ***r*** ನೆಯ ಅವಕಲನಕ್ಕೆ ***t = 0*** ಆದಾಗ ***r*** ನೆಯ ಭ್ರಮಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪ್ವಾಸಾನ್ ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಕ ಮತ್ತು ಚಲನೀಯ ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದೆಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ.

f(x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}, x = 0, 1, 2, \cdots

m(t) = E(e^{tx}) = \sum_0^{\infty}\frac{e^{tx}e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} = e^{-\lambda}\sum_0^{\infty} \frac{(\lambda e^t)^x}{x!} = e^{-\lambda}.e^{\lambda et}

ಮೊದಲನೆಯ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅವಕಲನಗಳು

'''''m'(t) = e-λ.λeteλet***

***m'(t) = e-λ.λeteλet(1 + λe)***

***t = 0*** ಅಂದಲ್ಲಿ ***μ'1 = m'(0) =*** ***λ***

***μ2  = m(0) = λ(1 + λ)***

***σ2 = μ2' - (μ1')2 = λ***

## ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನ 
ಮೇಲಿನ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆಗೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ***x, y, z*** ಮೂರು ಚರಗಳಾದರೆ ಇವುಗಳ ವಿತರಣೆ ಸಂಯುಕ್ತ ಉತ್ಪನ್ನ ***f(x,y,z) ∞ E(y^r) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\mathbb{Y}} y^r f(x,y,z)dzdydx

ಇದಲ್ಲದೆ ಸಂಯುಕ್ತ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳನ್ನೂ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ ***q, r, s > 0*** ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರಬೇಕು. ಸಹಚಲನ ಪಡೆಯುವುದರಲ್ಲೂ ಇದರ ಬಳಕೆ ಕಾಣಸಿಗುತ್ತದೆ. ***x*** ಮತ್ತು ***z*** ನ ಸಹಚಲ

\sigma_{xz} = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} [x - E(x)][z - E(z)]f(x,y,z)dzdydx

***-h2 1,t2,t3 2*** ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ***t1,t2,t3*** ಕ್ಕೆ (ಯಾವುದಾದರೂ ***h2*** ಬೆಲೆಗೆ) ***Eexp(t1x + t2y + t3z)*** ದೊರೆಯುವಂತಾದರೆ ***x,y,z*** ನ ಸಂಯುಕ್ತ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನ ***m(t1, t2, t3) =*** ***Eexp(t1x + t2y + t3z)***

ಇಲ್ಲಿಯೂ ಯಾವುದೇ ಚರದ ಭ್ರಮಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಆ ಚರದ ***ti*** ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅವಕಲಿಸಿ ***t1,t2,t3''''' ನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಿಗಟ್ಟಬೇಕು.

## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 
## ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದಿಗೆ 
* 
* 

## ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು 
* 
* Moments at Mathworld

ವರ್ಗ:ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ