ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

**ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು** ಎಂದರೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬರುವ ***Jn***, ***J-n*** ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. \exp\left [ \frac{1}{2} x \left ( t - \frac{1}{t} \right ) \right ] ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ***x*** ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ***t*** ಯ ಧನ ಮತ್ತು ಋಣ ಘಾತಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ***n*** ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ***tn*** ನ ಗುಣಕವನ್ನು ***Jn(x)*** ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ***(-1) t-n*** ಗುಣಕವೂ ***Jn(x)*** ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ

\exp\left [ \frac{1}{2} x \left ( t - \frac{1}{t} \right ) \right ] = J_0(x) + tJ_1(x) + \cdots
+ t^n J_n(x) + \cdots

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - t^{-1}J_1(x) + t^{-2}J_2(x) + \cdots + (-1)^nt^{-n}J_n(x) + \cdots

***n*** ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (positive integer) ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾದರೆ

J_n(x) = \frac{x_n}{2^nn!} \left \{ 1 - \frac{x^2}{2^2.1(n+1)} + \frac{x^4}{2^4.1.2.(n+1)(n+2)} - \frac{\cdots}{\cdots} \right \}

***n*** ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿ ***n=1-m*** ಆದರೆ

J_n(x) = \sum_{r=m}^{\infty} \frac{(-1)^r \left (\frac{1}{2} x\right )^{2r-s}}{r!(r-m)!}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sum_{s=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m+s} \left ( \frac{1}{2}x \right )^{m+2s}}{(m+s)!s!}...............(2)

ಇದರಿಂದಲೂ ***J-m(x) = (-1)mJm(x)*** ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

***Jn*** ಮತ್ತು ***J-m(x)*** ನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುವ ಶ್ರೇಣಿಗಳು ***x*** ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಅಭಿಸರಣ (ಕನ್ವರ್ಜೆಂಟ್) ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ***Jn*** ಮತ್ತು ***J-m*** ಗಳನ್ನು ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಗುಣಕಗಳು (Bessel multipliers) ಎಂದು ಕರೆಯುವುದುಂಟು. ಇಲ್ಲಿ ***n, m*** ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಆದರೆ ಬೇರೊಂದು ಪ್ರತೀಕ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತ

J_n(x) = \sum_{r = 0}^{\infty} \frac{(-1)^r}{\pi(n+r)\pi(r)} \left ( \frac{x}{2} \right )^{n+2s}.............(3)

J_{-n}(x) = \sum_{r = 0}^{\infty} \frac{(-1)^r}{\pi(-n+r)\pi(r)} \left ( \frac{x}{2} \right )^{-n+2x}..............(4)

ಎಂದೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ***π(n)*** ಎಂಬುದು ಗೌಸನ ಉತ್ಪನ್ನ. ಆಯಿಲರನ ಗ್ಯಾಮಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ***π(x) = Γ(x+1)**.* ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಣ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ***Jn*** ಮತ್ತು ***J-n*** ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ***n*** ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರಬಹುದು, ಪೂರ್ಣಾಂಕವೇ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ***Jn*** ಮತ್ತು ***J-n*** ಗಳೇ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೇರೊಂದು ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಡಬಹುದು:

\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{dy}{dx} + \left ( 1 - \frac{n^2}{x^2} \right ) y = 0................(5)

ಎಂಬುದು ದ್ವಿತೀಯ ವರ್ಗದ (second order) ಒಂದು ಸರಳ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣ. ಇದಕ್ಕೆ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣ (Bessel's equation) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಸರಳ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅನುಸರಿಸಿ, ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ, ***n*** ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಾಗ

***y = AJn(x) + BJ-n(x)***..............(6)

ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ***A, B*** ಯಾವುವೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು. ಈ ಪ್ರಕಾರ ***Jn*** ಮತ್ತು ***J-n*** ಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ (3), (4) ಅನಂತರ ಶ್ರೇಣಿಗಳೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ***n*** ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ ***Jn*** ನ ಬೆಲೆ (1) ರಲ್ಲಿರುವ ಶ್ರೇಣಿ. ಆದರೆ ***n*** ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ***J-n*** ಶ್ರೇಣಿ ***Jn*** ನ ಒಂದು ಗುಣಕ. ಇದರಂತೆಯೇ ***n*** ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ***Jn*** ಶ್ರೇಣಿ ***J-n*** ನ ಒಂದು ಗುಣಕ. ***n=0*** ಆದಾಗ ಎರಡು ಶ್ರೇಣಿಗಳೂ ಒಂದಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ***n*** ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾದಾಗ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (6) ಒಂದು ಪರಿಹಾರ ಮಾತ್ರ ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಬೇರೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬೇರೆ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬೇಕು.

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ***Jn(x)*** ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನ ***n*** ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದಾದರೂ ***n*** ಧನ ಪೂಣಾಂಕವಿರುವ ***Jn*** ಗೆ ಅತಿಶಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಉಂಟು. ಗಣಿತದ ಅನೇಕ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದರ ವ್ಯಾಪಕತ್ವ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

## ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳು 
***Jn(x***) ನ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳಿವು. ***n*** ಪೂಣಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.

# J_0(x) = 1 - \frac{x^2}{2^2} + \frac{x^4}{2^2.4^2} - \frac{x^6}{2^2.4^2.6^2} + \cdots
# J_{n-1}(x) + J_{n+1}(x) = \frac{2n}{x}J_n(x). ಇದಕ್ಕೆ ***Jn*** ನ ಪುನರಾವರ್ತಕ ಸೂತ್ರ (recurrence formula) ಎಂದು ಹೆಸರು. ***Jn-1*** ಮತ್ತು ***Jn*** ನ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮುಂದಿನ ಉತ್ಪನ್ನ ***Jn+1*** ನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
# J_n'(x) = \frac{n}{x}J_n(x) - J_{n+1}(x)
# J_n'(x) = \frac{1}{2} \{ J_{n-1}(x) - J_{n+1}(x) \}
# J_n'(x) = J_{n-1}(x) - \frac{n}{x}J_n(x)
# J_{\frac{1}{2}}(x) = \frac{2^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}}{\pi_{\frac{1}{2}}} \left \{ 1 - \frac{x^2}{2.3} + \frac{x^4}{2.3.4.5} - \cdots \right \} = \left ( \frac{2}{\pi x} \right )^{\frac{1}{2}}\sin x
# J_{k + \frac{1}{2}}(x) = (-1)^k \frac{(2x)^{k+\frac{1}{2}}}{\pi^{\frac{1}{2}}} \times \frac{d^k}{d(x^2)^n} \left ( \frac{\sin x}{x} \right ) , ***k=*** ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ.
# \cos x = J_0(x) - 2J_2(x) + 2J_4(x) - \cdots , \sin x = 2J_1(x) - 2J_3(x) + 2J_5(x) - \cdots 
# ***n*** ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ, J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} (\cos n\theta -x\sin\theta) d\theta 
# \int_0^{\infty}e^{-ax} J_0(bx) dx = (a^2 + b^2)^{-\frac{1}{2}} 
# J_{-n}\ \frac{dJ_n}{dx} - J_n\ \frac{dJ_{-n}}{dx} = \frac{2}{\pi x}\sin n\pi 
ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಅವಕಲನಾಂಕವಿರುವ (continuous differential coefficient) ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನ ***f(x)*** ನ್ನು ***(0,π)*** ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಬೆಸ್ಸಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು:

f(x) = a_0 + a_1 J_0(x) + a_2 J_0(2x) + \cdots

ಇಲ್ಲಿ a_0 = f(0) + \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi}u \int_0^{\frac{1}{2}\pi}f'(u\sin \theta)d\theta du

a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}u \cos\ nu \int_0^{\frac{1}{2}\pi}f'(u\sin \theta)d\theta \ du, n > 0

## ಬೆಸ್ಸಲನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯಗಳು 
***φ(x) = 0*** ಆಗುವಂಥ ಯಾವುದೇ ***x*** ನ ಬೆಲೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲ (root of a function) ಎಂದು ಹೆಸರಿದೆ. ಪ್ರೌಢವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯಗಳಿಗೆ ಸ್ವಾರಸ್ಯಕರ ಗುಣಗಳಿವೆ.

***n*** ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ '''*Jn(x*)** ಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಗಳಿವೆ. ಎಲ್ಲ ಶೂನ್ಯಗಳೂ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ***Jn(x*)** ನ ಎರಡು ಧನ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ***Jn+1(x*)** ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವೂ ***Jn-1(x*)** ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವೂ ಇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ***Jn***, ***Jn-1*** ನ ಶೂನ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತವೆ. n > \frac{1}{2} ಆದಾಗ ***Jn(x*)** ಆಸನ್ನ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವಣ ಅವಧಿ ***π*** ಗಿಂತ ಅಧಿಕ, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವಣ ಅವಧಿಯನ್ನು ***π*** ಗಿಂತ ಕೋರಿದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿ ಮೀರುವಂತೆ ಆಯಬಹುದು.

ಧನ x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ***π*** ಉದ್ದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲೂ ***J(x)*** ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಿದೆ.

ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (6) ರಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉಕ್ತಿ ***n*** ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಾಗ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ***n*** ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಇದರಿಂದ ***Jn*** ಎಂಬ ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವೆವು.

***n=0*** ಆದಾಗ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರ

y_0 = J_0 \log x + 2 \left \{ J_2 - \frac{1}{2}J_4 + \frac{1}{3}J_6 - \frac{1}{4}J_8 + \frac{1}{5}J_{10} - \cdots \right \}

ಆದ್ದರಿಂದ, \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{dy}{dx} + y = 0

ಎಂಬ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ

***y = AJ೦ + By೦***

***n*** ಸೊನ್ನೆಯಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ

***y = AJn + Byn***

ಇಲ್ಲಿ, y_n = \log x - \sum_{r=1}^{\infty} (-1)^r \frac{n+2r}{r(n+r)}J_{n+2r}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ - \frac{1}{2}\pi(n) \sum_{p=0}^{n-1} \frac{1}{n-p} \left ( \frac{2}{x} \right )^{n-p} \frac{J_p}{\pi(p)}

***y0***, ***yn*** ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ***x=0*'* ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿಲ್ಲವೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

## ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು 
## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು
* 
* Arfken, George B. and Hans J. Weber, *Mathematical Methods for Physicists'', 6th edition (Harcourt: San Diego, 2005). .
*   Reproduced as pages 84 to 109 in  English translation of the text.

## ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು
* .
* .
* .
* Wolfram function pages on Bessel J and Y functions, and modified Bessel I and K functions. Pages include formulas, function evaluators, and plotting calculators.

ವರ್ಗ:ಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ