ಚಕ್ರಜ

right|frame|ಉರುಳುವ ವೃತ್ತದಿಂದ ಸೃಷ್ಟಿಯಾದ ಚಕ್ರಜ
**ಚಕ್ರಜ** ಎಂದರೆ ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಚಕ್ರ (ವೃತ್ತ) ಉರುಳುವಾಗ ಅದರ ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ರೇಖಿಸುವ ಸಮತಲೀಯ ವಕ್ರರೇಖೆ (ಸೈಕ್ಲಾಯಿಡ್). ***S*** ಚಕ್ರವನ್ನು ಅಥವಾ ಉರುಳು ವೃತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. ***P*** ಅದರ ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿರುವ ಸ್ಥಿರಬಿಂದು. ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಚಕ್ರ ***O*** ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ***P*** ಯು ***O*** ನೊಡನೆ ಐಕ್ಯವಾಗುವಂತೆ ನಿಂತಿತ್ತು.

***OX*** ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಚಕ್ರ ಕೋನವನ್ನು ಉರುಳಿದಾಗ ***P*** ಈಗಿನ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಈಗ ***∠PCM = θ***, ಕಂಸ ***MP*** (ಋಣದಿಶೆ) = ***OM***. ***P*** ಯ ಪಥವೇ ಚಕ್ರಜ. ***OX, OY*** ಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ***P*** ಯ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳು (co-ordinates) ***(‌X, Y)*** ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ

***X = a(θ - sin θ)***                    . . . (1)

***Y = a(1 - cos θ)***                   . . . (2)

ಇಲ್ಲಿ ***a*** ಚಕ್ರದ ತ್ರಿಜ್ಯ. (1) ಮತ್ತು (2) ಚಕ್ರಜದ ಪ್ರಾಚಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ***θ*** ಪ್ರಾಚಲ. 

ಮೊರಿಟ್‍ಜ಼್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಮತ್ತು ಸೀಗ್ಮಂಡ್ ಗುಂಥರ್‌ರ ಕೆಲಸದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ, ವಿದ್ವಾಂಸರು ಈಗ ಫ಼್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಚಾರ್ಲ್ ಡಿ ಬೊವೆಲೆಸ್‍ಗೆ, ೧೫೦೩ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಅವನ *ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಟಿಯೊ ಇನ್ ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಯಮ್*ನಲ್ಲಿ ಚಕ್ರಜದ ಅವನ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಆದ್ಯತೆಯನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. 

## ಗುಣಗಳು 
ಪ್ರಾಚಲ ***θ=0*** ಇದ್ದಾಗ ***P*** ಯು ***O*** ನೊಡನೆ ಐಕ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. '''*θ*=2*π*** ಆದಾಗ ಚಕ್ರ ಪೂರ್ಣ ಸುತ್ತನ್ನು ಮುಗಿಸುವುದರಿಂದ ***P*** ಈಗ ***A*** ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುತ್ತದೆ. 

ಅಲ್ಲಿಂದ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಮೊದಲಿನ ವಿದ್ಯಮಾನ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ***OA*** ಸರಳರೇಖೆಯ ಉದ್ದ ಚಕ್ರದ ಪರಿಧಿಗೆ ಸಮ; ***OA = 2πa***. ***OHA*** ವಕ್ರರೇಖೆ ಚಕ್ರಜದ ಪೂರ್ತಿ ಚಾಪ (ಆರ್ಕ್). ಇದರ ಉದ್ದ ***8a***. ಚಕ್ರಜ ಹಾಗೂ ***OX*** ಅಕ್ಷವು ಸಂವೃತಿಸುವ ವಲಯದ ಸಲೆ ***3πa2***. ಇದು ಚಕ್ರದ ಸಲೆಯ (***=πa2***) ಮೂರರಷ್ಟು ಇದೆ. ಚಕ್ರಜದ ನಿಮ್ನತಮ ಬಿಂದುಗಳು ***O, A***. ಇವುಗಳಿಗೆ ಉಭಯಾಗ್ರಗಳೆಂದು (ಕಸ್ಪ್ಸ್) ಹೆಸರು. ಚಕ್ರಜದ ಉನ್ನತತಮ ಬಿಂದು ***H***. ಈಗ ***KH = ಚಕ್ರದ ವ್ಯಾಸ 2a*** ಎನ್ನುವುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಚಕ್ರಜದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಗುಣಗಳಿಗೆ ಮಹತ್ತ್ವ ಉಂಟು.

***1.*** ***OX*** ರೇಖೆ ಕ್ಷಿತಿಜೀಯವಾಗಿರಲಿ ಹಾಗೂ ಚಕ್ರಜ ಅಧೋಮುಖಿಯಾಗಿರಲಿ. ಚಕ್ರಜ ನುಣುಪು ವಕ್ರರೇಖೆ ಎಂದೂ, ಅದು ಊರ್ಧ್ವತಲದಲ್ಲಿ ಇದೆಯೆಂದೂ ಭಾವಿಸೋಣ. 

ಆಗ ಅದರ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ತೊಡಗಿ ನಿಮ್ಮತಮ ಬಿಂದುವಿನ (***H***) ವರೆಗೆ ಜಾರಿ ತಲುಪಲು ಒಂದು ಕಣ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾಲ ಪ್ರಾರಂಭ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ. ಈ ಗುಣಕ್ಕೆ ಸಮಕಾಲಿಕ ಗತಿ (ಐಸೊಕ್ರೊನಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು.

***2.*** ***P*** ಮತ್ತು ***Q*** ಒಂದೇ ಊರ್ಧ್ವತಲದ ಮೇಲಿರುವ, ಆದರೆ ಒಂದೇ ಊರ್ಧ್ವರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರದ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ***P*** ಯಿಂದ ***Q*** ಗೆ ಒಂದು ಕಣ ಬೀಳಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾಲ ಕಣದ ಪಥವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ.

ಇಂಥ ವಿವಿಧ ಕಾಲಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠತಮ ಕಾಲ ದೊರೆಯುವುದು ಕಣದ ಪಥ ***P*** ಮತ್ತು ***Q*** ಮೂಲಕ ಸಾಗುವ ಚಕ್ರಜದ ಕಂಸವಾದಾಗ. ಈ ಗುಣಕ್ಕೆ ದೃತತಮಪತನ (ಬ್ರ್ಯಾಕಿಸ್ಟೊಕ್ರೋನ್) ಎಂದು ಹೆಸರು.

## ಅಧಿಕಚಕ್ರಜ (ಎಪಿಸೈಕ್ಲಾಯಿಡ್) ಮತ್ತು ಅಂತಶ್ಚಕ್ರಜ (ಹೈಪೊಸೈಕ್ಲಾಯಿಡ್) 
center|thumb|202x202px|ಕೆಂಪು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಒಂದು ಅಧಿಕಚಕ್ರಜವಾಗಿದೆ.
ಸ್ಥಿರ ವೃತ್ತ ಪರಿಧಿಯ ಹೊರಮೈಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚಕ್ರ ಉರುಳಿದಾಗ ಚಕ್ರದ ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಿರಬಿಂದುವೊಂದು ರೇಖಿಸುವ ಸಮತಲೀಯ ರೇಖೆ ಅಧಿಕಚಕ್ರಜ. ಸ್ಥಿರ ವೃತ್ತ ಹಾಗೂ ಚಕ್ರಗಳೆರಡೂ ಒಂದೇ ಊರ್ಧ್ವತಲದಲ್ಲಿರಬೇಕು.
center|thumb|200x200px|ಕೆಂಪು ಪಥವು ಅಂತಶ್ಚಕ್ರಜ.
ಹೀಗಲ್ಲದೆ ಚಕ್ರವು ಸ್ಥಿರವೃತ್ತದ ಒಳಮೈಯಲ್ಲಿ ಉರುಳಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಪಥದ ಹೆಸರು ಅಂತಶ್ಚಕ್ರಜ.

### ಅಧಿಕಚಕ್ರಜದ ಪ್ರಾಚಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು 
***X = (a + b)cos θ – a cos [(a + b)θ/a]***

***Y = (a + b)sin θ – a sin [(a + b)θ/a]***

### ಅಂತಶ್ಚಕ್ರಜದ ಪ್ರಾಚಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು 
***X = (a – b)cos θ + b cos [(a – b)θ/b]***

***Y = (a - b) sin θ – b sin [(a – b)θ/b]***

ಇಲ್ಲಿ ***a*** ಚಕ್ರದ ಮತ್ತು ***b*** ಸ್ಥಿರವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಗಳು.

***a = b/n*** ಆಗಿರುವಾಗ ಈ ಎರಡು ಚಕ್ರಜಗಳಲ್ಲೂ ಪರಿಧಿಗಳು. ***n*'''.

## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 
## ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು 
* 
*  Retrieved April 27, 2007.
* Cycloids at cut-the-knot

ವರ್ಗ:ಜ್ಯಾಮಿತಿ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ