ಶ್ರೇಢಿಗಳು (ಗಣಿತ)

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು **ಶ್ರೇಢಿ** ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು **ಶ್ರೇಢಿಪದ** ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

2, 6, 10, 14,...

ಈ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 6 ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 10 ಮೂರನೆಯದು. ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನೂ ಒಂದೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಢಿಯಿಂದ:

ಇಲ್ಲಿ n ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

## ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಗಳು 
ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು **ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ** ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: T_1, T_2, T_3,... T_n

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

S = \{x : (2x+1), 1\leq x \leq 15\}

ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು **ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ** ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: T_1, T_2, T_3,...

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

2, 4, 6, 8, 10,...

S = \{x : 2x, x > 0\}

## ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ 
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು (ಮೊದಲನೇ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು A.P. (Arithmetic Progression) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪದ ಮತ್ತದರ ಹಿಂದಿನ ಪದದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು **ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ** ಅಥವಾ **ಸ್ಥಿರಾಂಕ** *(Common Difference, C.D)* ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು d ಇಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.

T_1, T_2, T_3, T_4,...

d = T_2 - T_1 = T_3 - T_2 = T_4 - T_3...

ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಸಂಖ್ಯೆ, ಋಣಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸೊನ್ನೆಯಿದ್ದರೆ, ಅಂಥಹ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು **ಸ್ಥಿರ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ** ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

a ಮೊದಲನೇ ಪದವು, d ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾದರೆ,

T_1 = a

T_2 = T_1 + d = a + d

T_3 = T_2 + d = (a + d) + d = a + 2d

T_4 = T_3 + d = (a + 2d) + d = a + 3d

ಹಾಗಾಗಿ, a ಮೊದಲನೇ ಪದವಾಗಿ, d ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು:

a, (a+d), (a+2d), (a+3d),...

### ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳು 
ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು **ಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ** ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

5, 10, 15, 20, 25

S = \{ x : (3x-1), 0 \leq x \leq 50 \}

ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯನ್ನು **ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ** ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

5, 10, 15, 20, 25,...

S = \{ x : (3x-1), 0 \leq x  \}

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ a ಮೊದಲನೇ ಪದ ಹಾಗೂ d ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ nನೇ ಪದವು T_n = a + (n-1)d  ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

### ಶ್ರೇಣಿ 
ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು **ಶ್ರೇಣಿ** ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. T_1, T_2, T_3...T_n ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ T_1+T_2+T_3+...+T_n ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನಬಹುದು. ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು S_n ಎಂದು ಶೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹಾಗಾಗಿ, S_n = T_1 + T_2 + T_3 +... + T_n.

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು **ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ** ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಪದ a, ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ d ಆಗಿದ್ದು, S_n ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ,

S_n = \frac{n}{2}\left [2a + (n-1)d\right ]

**ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:**

1+2+3+...+n ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ,

a=1,\ d=T_2-T_1=2-1=1,\ n=n

S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]=\frac{n}{2}[2\times1+(n-1)1]=\frac{n}{2}[2+n-1]

S_n=\frac{n(n+1)}{2} = \sum_{1}^n n

**ಮೊದಲ n ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ** = \frac{n(n+1)}{2} **ಅಥವಾ** \sum_{1}^n n = \frac{n(n+1)}{2} 

ಅಲ್ಲದೆ, S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d] ಅನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು:

S_n=\frac{n}{2}[a+\{a+(n-1)d\}]

\therefore S_n = \frac{n}{2}[a+T_n]\ \ \ \ \ \because\ T_n=a+(n-1)d

\therefore \frac{a+T_n}{2}\ \rightarrow\ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳ ಸರಾಸರಿ.

## ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ 
ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಿದರೆ ಅಂಥಹ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು **ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ** (Harmonic Progression) ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು H.P. ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಒಂದು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆ ಪದವು a ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು d ಎಂದಾದರೆ, ಆ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು a,\ a+d,\ a+2d,\...,\ a+(n-1)d ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಈ ಪದಗಳ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನುಂಟು ಮಾಡುತ್ತವೆ.

\therefore \frac{1}{a},\ \frac{1}{a+d},\ \frac{1}{a+2d},\...,\ \frac{1}{a+(n-1)d} 

\therefore   ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯ n ನೇ ಪದವು, T_n = \frac{1}{a+(n-1)d}

ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವೆಂದರೆ, ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವಿರುವುದಿಲ್ಲ.

## ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿ 
ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (ಮೊದಲನೇ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನುG.P. (Geometric Progression) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

1, 3, 9, 27,...

2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4},...

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು 3ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆದಿರುವುದನ್ನೂ, ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು \frac{1}{2}ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆದಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಇಂತಹ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು **ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ** (Common Ratio) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು r ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.

T_1,T_2,T_3,T_4,... ಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳಾದರೆ,
ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ, r=\frac{T_2}{T_1}=\frac{T_3}{T_2}=\frac{T_4}{T_3}=...=\frac{T_n}{T_{n-1}}

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯೊಂದರ ಮೊದಲನೇ ಪದ a ಎಂದೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತವು r ಎಂದಾದಲ್ಲಿ, ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು a, ar, ar^2, ar^3, ar^4,...,ar^{n-1} ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

**ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:**

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ: T_n=ar^{n-1}

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ r ಇರುವ ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಾನುಗತ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು rನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ: T_{n+1} = T_n \times r

ಅಲ್ಲದೆ, ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು rನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಪಡೆಯಬಹುದು: T_{n-1} = T_n \div r

### ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಗಳು 
ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

1+3+9+27+...

2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...

#### ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 
ಮೊದಲನೇ ಪದವು a ಆಗಿದ್ದು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ r ಆಗಿರುವಂತಹ ಒಂದು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯು S_n ಆಗಿರಲಿ.

S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 +... + ar^{n-1}

S_n ಅನ್ನು rನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ,

rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 +... + ar^{n-1}+ar^{n}

\begin{alignat}{10}
S_n-rS_n & = a + ar + ar^2 + ar^3 +... + ar^{n-1}
\\ S_n(1-r)& = \underline{-ar - ar^2 - ar^3 - ar^4 -... - ar^{n-1}-ar^{n}}
\\ & = a + \cancel{ar} + \cancel{ar^2} + \cancel{ar^3} +... + \cancel{ar^{n-1}}
\\ & = \underline{\cancel{-ar} - \cancel{ar^2} - \cancel{ar^3} - \cancel{ar^4} -... - \cancel{ar^{n-1}}-ar^{n}}
\\ & = a - ar^{n}
\end{alignat}

\therefore S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\ \ \ \ \ \ \ \ r\neq1

ವರ್ಗ:ಗಣಿತ