ಚಾಪ್‍ಮನ್-ಕಾಲ್ಮೊಗೊರಾಫ್ ಸಮೀಕರಣ

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಮಾರ್ಕಾವಿಯನ್ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, **ಚಾಪ್‍ಮನ್-ಕಾಲ್ಮೊಗೊರಾಫ್ ಸಮೀಕರಣ**ವು (ಸಿಕೆಇ) ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಗಣಗಳ ಜಂಟಿ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಒಂದು ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

## ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಉಪಯೋಗಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ವಿವರಗಳು 
***{Xn, n = 0, 1, 2, . . . . .}*** ಒಂದು ಮಾರ್ಕಫ್ ಸರಪಣಿಯಾಗಿರಲಿ (ಚೇನ್). ***Xn*** ನ ಬೆಲೆಗಳು ಅಥವಾ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ***(1, 2, . . .)*** ಆಗಿರಲಿ. ***i*** ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ***j*** ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಮಾರ್ಪಾಡಾಗುವ ಸ್ತಬ್ಧ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳನ್ನು (ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟೀಸ್) ***(i,*** ***j = 1, 2, . . . . .)***

p_{ij} = Pr[X_n = j | X_{n-1} = i] = Pr[X_n = j | X_{n-1} = i_1, X_{n-2} = i_2 \cdots , X_1 = i_{n-1}] ............................(1)

ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣ ಮಾರ್ಕಫ್ ಸರಪಣಿಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

p_{ij} (n) = P[X_n = j | X_0 = i]

ಇದು ***n*** ಹೆಜ್ಜೆಯ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯನ್ನು (transitional probability) ತಿಳಿಸುವುದು. ಒಟ್ಟು ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ಸೂತ್ರದ ಅನುಸಾರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಕಫ್ ಸರಪಣಿಯ ಗುಣದಿಂದ

\begin{align}
P[X_{n+m} = j | X_m = i] &= \sum\limits_{k = 1}^\infty P[X_{n+m} = j, X_{m+r} = k | X_m = i] \\
&= \sum\limits_k P[X_{n+m} = j,| X_{m+r} = k | X_m = i] P[X_{m+n} = k | X_m = i] \\
&= \sum\limits_k P[X_{n+m} = j,| X_{m+r} = k,] P[X_{m+r} = k | X_m = i]
\end{align}.....................................................(2)

ಆಗಿರುವುದು. ಇದನ್ನು p_{ij} ^{(n)} = \sum\limits_k p_{ik} ^{(r)}p_{kj} ^{(s)}, r+s = n .........................(3)

ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣ (2)ಕ್ಕೆ **ಚಾಪ್‌ಮನ್-ಕಾಲ್ಮೊಗೋರಾಫ್ (ಚಾ-ಕಾ) ಸಮೀಕರಣ**ವೆಂದು ಹೆಸರು. (pij\, ^{(n)}) ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು \stackrel{P(n)}{\sim} ಎಂದು ಬರೆದರೆ ಮಾತೃಕಾರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು

\stackrel{P(n)}{\sim} = \stackrel{P(r)}{\sim} \stackrel{P(s)}{\sim}, 0 \leq r \leq n, r+s = n ............................................(4)

ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ \stackrel{P(o)}{\sim} = \stackrel{I}{\sim} ಮತ್ತು \stackrel{P(I)}{\sim} = \stackrel{p}{\sim} = (pij) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ \stackrel{P(n)}{\sim} = \sim ^{P_n} ..................................(5)

ಎಂದು ಕಂಡಿಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಹೀಗೆ ಚಾ-ಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ ***n***- ಹಜ್ಜೆಯ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳ ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆಯ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳ ಮಾತೃಕೆಯ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಈ ಮೇಲಿನ ಮಾರ್ಕಫ್ ಸರಪಣಿಯ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುವು. ***P [mn = r | nm = r ]*** ಯು ***i, j, m, n*** ಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿಸಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ***Pij (m,n)*** ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಆಗ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳು ಸ್ತಬ್ಧವಿರುವುದಿಲ್ಲ (***n-m*** ನ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿಕೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ (2) ನ್ನು

pij(m, n) = \sum\limits_k pik(m, r) pkj(r, n) \angle^r \angle^m ....................................................(6)

ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಹೀಗೆ ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣ ಮಾರ್ಕಫ್ ಸರಪಣಿಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು. ಆ ಸರಪಣಿಯ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುವಾದರೂ, ವಿಲೋಮವಾಗಿ ಒಂದು ಸರಪಣಿಯ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳು ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಆ ಸರಪಣಿ ಮಾರ್ಕಫ್‌ನ ಸರಪಣಿಯೆಂದು ಹೇಳಲು ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಈ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳುಳ್ಳ ಮಾರ್ಕಫನ ಸರಪಣಿಯೊಂದು ಇರುವುದೆಂದು ಮಾತ್ರ ಹೇಳಬಹುದು. 

ಒಂದು ಮಾರ್ಕಫನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಸಮೂಹ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ವಿರತವಾಗಿರಬೇಕಿಲ್ಲ; ***Xn*** ನ ಬೆಲೆಗಳು ***R*** ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ, ***Γ*** ಅದರ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿರಲಿ, ಮಾರ್ಕಫ ಗುಣವನ್ನು

P[X_n \in \Gamma | X_1 = x_1, \cdots , X_{n-1} = x_{n-1}] = P[X_n \in \Gamma | X_{n-1} = x_{n-1}] ............................................(7) 

ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದು ***n*** ನ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿಸಿರದಿದ್ದರೆ ಈ ಅಧಿಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಮಾರ್ಕಫ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆಯ ಸ್ತಬ್ಧ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸುವುದು. (1) ರ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಇದನ್ನು P(1)(x_{n-1}, \Gamma) = P(x_{n-1}, \Gamma) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಒಟ್ಟು ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಮಾರ್ಕಫ್ ಗುಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಸಮೀಕರಣ (2) ರ ಅನುಗುಣವಾಗಿ,

P[X_n \in \Gamma | X_0 = x_0, \cdots , X_n = x_n] = \int P(r) (x, dy) .................................(8)

ಎಂಬುದಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ P(r)(x, dy) ಎಂಬುದು ***x*** ನಿಂದ ಹೊರಟು ***r*** ಹೆಜ್ಜೆಯಲ್ಲಿ ***(y, y + dy)*** ಅಂತರಾಳದಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸುವುದು. ಈ ***y*** ಬೆಲೆ ***r*** ನ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಯಾಗಿರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ***y*** ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಅನುಕಲಿಸಿ (8) ನ್ನು ಪಡೆದುದಾಗಿದೆ. ಇದೇ ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಸಕ್ತ ಸ್ವರೂಪ.

ಒಂದು ಮಾರ್ಕಫ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಸತತವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಾಡಾಗುತ್ತ ಹೋಗಬಹುದು. ಆಗ ***n*** ಹೆಜ್ಜೆಯ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ  ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ಬದಲಾಗಿ ***t*** ವೇಳೆಯಲ್ಲಾಗಬಹುದಾದ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸಬೇಕಾಗುವುದು. ***Xt*** ಯು ***t*** ವೇಳೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಬೆಲೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ***Xt*** ವಿರತವಾಗಿ ***(1,2, .....)*** ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು; ಅಥವಾ ***Xt*** ಸತತವಾಗಿ ***R*** ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ***Xt*** ವಿರತವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ (2)ರ ಅನ್ವಯ ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು

pij(t + \tau) = \sum\limits_{k = 1}^\infty pik(t) pkj(\tau) ........................................(9)

ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ***i*** ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಹೊರಟು ***t*** ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ ***k*** ಯಲ್ಲಿದ್ದು ಮುಂದೆ \tau ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ ***j*** ಯನ್ನು ತಲುಪುವುದು ಸಾಧ್ಯವೆಂದೂ, ***k*** ಯು ***(1,2.....)*** ಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿ ಆಗಿರಬಹುದೆಂದೂ (9) ಹೇಳುವುದು. ***Xt*** ಯ ಬೆಲೆಗಳೂ ಸತತವಾಗಿದ್ದರೆ ***P(t)(x, Γ)*** ವು ***x*** ನಿಂದ ಹೊರಟ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ***t*** ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ ***Γ*** ದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸಿದರೆ (9) ಮತ್ತು (8) ರ ಅನ್ವಯ ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣ,

P^{(t + \tau)} (x, \Gamma) = \int P^{(t)}(x, dy) P^{(\tau)}(y, \Gamma) ....................................(10)

ಎಂಬ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದುವುದು.

***u0 (Xt)*** ಯು ***Xt*** ಯ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ***x*** ನಿಂದ ಹೊರಟ ಮಾರ್ಕಫ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ***u0 (Xt)*** ಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಬೆಲೆ ಏನು ಎಂದು ತಿಳಿಯಬೇಕಾದರೆ

u(t, x) = \int P^{(t)}(x, dy) u_0 (dy) ..........................................(11)

ಎಂಬುದನ್ನು ಗಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ (11) ನ್ನು ***p(t)u0 (x)*** ಎಂದು ಪರಿಕರ್ಮಿ (ಆಪರೇಟರ್) ವಿಧಾನದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸದಿರೆ ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ***p(t)*** ಪರಿಕರ್ಮಿ

P(t + \tau) = p(t)p(\tau) = p(\tau)p(t); t, \tau > 0 ......................................(12)

ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂತೃಪ್ತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಪರಕರ್ಮಿಗಳು ಒಂದು ಅರೆಗ್ರೂಪಿನ  (ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್) ಗುಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುವು. ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಈ ಪರಿಕರ್ಮಿಗಳನ್ನು ಆಕುಂಚನ ಪರಿಕರ್ಮಿಗಳು ಎಂದು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಆಧಾರಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಅರೆಗ್ರೂಪಿನ ಮೇಲೆ ನಡೆಸಿರುವ ಎಷ್ಟೋ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಇದೇ ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸುವ ಆಧುನಿಕ ವಿಧಾನ. 

ಒಂದು ಮಾರ್ಕಫ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳನ್ನು, ಸ್ತಬ್ಧ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಬಗೆಗಿನ ಅನೇಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೂಡ, ಉತ್ತರಿಸಲು ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವುದು. pij(\tau, t) ಯು ಕೆಲವೊಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಲ್ಲಿ ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು: 

\frac{\partial Pij(\tau, t)}{\partial t} = C_i(t)Pij(\tau, t) + \sum\limits_k Pij(\tau, t) \times C_k(t) pkj(t)........................................(13)

ಇಲ್ಲಿ ***h*** ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದಂತೆ 

\frac{1 - Pij(t, t+h)}{h} \to C_i(t) \geq 0

\frac{Pij(t, t+h)}{h} \to C_i(t)\,pij(t), i \neq j  ..............................................(14)

ಎಂದು ಗ್ರಹಿಸಬೇಕು. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಾಲ್ಮೊಗೊರಾಫ್-ಫೆಲ್ಲರರ ಮುಮ್ಮಖ (ಫಾರ್ವರ್ಡ್) ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ಇವನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಿ pij(\tau, t) ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ***h*** ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಆದಂತೆ \frac{pij\,(t-h, t)}{h} ನ ಮತ್ತು \frac{1 - pij\,(th, t)}{h} ನ ಪರಿಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಹಿಮ್ಮುಖ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮುಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ಹಿಮ್ಮುಖ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಉತ್ತರ ದೊರೆಯುವುದೆಂದು ಫೆಲ್ಲರ್ ಸಾಧಿಸಿದ್ದಾನೆ.

**ಅನ್ವಯಗಳು**: ಜನನ ಮರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಪೋಸೋನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಕವಲೊಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮೊದಲಾದ ಮಾರ್ಕಫ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸಲು ಮೇಲಿನ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸುವರು.

ಸಮೀಕರಣ (10) ಮತ್ತು (11) ಇರುವಂತೆ ***X*** ನ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ P_t(x, \Gamma) ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದರೆ ಆಗ ***u(t,x)***

\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2}a(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + b(x)\frac{\partial u}{\partial x} ....................................(15)

ಎಂಬ ಹಿಮ್ಮುಖ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಾಲಿಸುವುದು. ಈ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಯಾವುವೆಂದರೆ, ***t*** ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದಂತೆ    

\begin{align}
&(i)\, \frac{1}{t}\int P_t(x, dy) \to 0 ; |y - x| \geq \delta \\
&(ii)\, \frac{1}{t}\int (y - x)P_t\, (x_j, dy) \to b(x) ; |y - x|  0 ; |y - x|  .............................................(16) 

ಸಮೀಕರಣ (15)ರಲ್ಲಿ ***b(x) = 0*** ಆಗಿದ್ದರೆ ನಮಗೆ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯುವುದು. ***b(x) = px*** ಆಗಿದ್ದು ***a(x) = c*** ಆಗಿದ್ದರೆ ಓರ್ನಸ್ಟೈನ್ ಉಲ್ಲೇನ್‌ಬೆಕ್ಕರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯುವುದು.

***X0*** ಯ ಬೆಲೆಗಳು ***v0(x)*** ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ***Xt*** ಯ ವಿತರಣೆ

v(t, y) = \int v_0(x)P_t(x, dy)  .........................................(17)

ಆಗಿರುವುದು. ಆಗ ***v (t, y)*** ಉತ್ಪನ್ನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮುಮ್ಮಖ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಾಲಿಸುವುದು.

\frac{\partial v (t, y)}{\partial t} = \frac{1}{2}\frac{\partial^2 [a(y)v(t, y)]}{\partial y^2} - \frac{\partial [b(y)v(t, y)]}{\partial y} ........................................(18)

ಈ ಸಮೀಕರಣ ಫೋಕ್ಕರ್-ಪ್ಲಾಂಕ್ ಸಮೀಕರಣವೆಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಇತ್ಯಾದಿ ಅನೇಕ ಶಾಸ್ತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಇಂಥ ಎಲ್ಲ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣ.

## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 
ವರ್ಗ:ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ