ಅನುಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, **ಅನುಕಲಜ**ವು ಸ್ಥಳಾಂತರಣ, ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಘನ ಅಳತೆ  ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಇತರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಫಲನಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಅನುಕಲಜಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು **ಅನುಕಲನ** ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಕಲನದ ಜೊತೆಗೆ, ಅನುಕಲನವು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ, ಅಗತ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಕಾರದ ಪ್ರದೇಶ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಘನವಸ್ತುವಿನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಧನವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.
alt=Definite integral example|thumb|300x300px|ಫಲನವೊಂದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಅದರ‌ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶದ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.
ಇಲ್ಲಿ ಎಣಿಸಿದ ಅನುಕಲಜಗಳು **ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜಗಳು** ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಇದು ನೈಜ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಲನದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶದ ಛಾಯೆಸಿದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಬಹುದು. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ, ಸಮತಲದ ಕ್ಷಿತಿಜ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು  ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು  ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅನುಕಲಜಗಳು ಅವಿಕಲಜನ್ಯ‌ದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಹ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ, ಈ ಫಲನವು  ನೀಡಿದ ಫಲನದ ವಿಕಲಜನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು **ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜಗಳು** ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜಗಳನ್ನು ವಿಕಲನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅವಿಕಲಜನ್ಯ ತಿಳಿದಾಗ ಅದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಘನಫಲಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು ಬಂದವು, ಆದಾಗ್ಯೂ 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅನುಕಲನದ ತತ್ವಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು, ಅವರು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕೆಳಗಿರುವ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅನಂತ ಅಗಲದ ಆಯತಗಳ ಅನಂತ ಮೊತ್ತವೆಂದು ಭಾವಿಸಿದರು. ಬರ್ನ್‌ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮನ್ ನಂತರ ಅನುಕಲಜಕ್ಕೆ ಕಠಿಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ತೆಳುವಾದ ಲಂಬ ಫಲಕಗಳಾಗಿ ಒಡೆಯುವ ಮೂಲಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಫಲನದ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಅನುಕಲನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಪ್ರಾಂತ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಅನುಕಲಜಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಫಲನಗಳಿಗಾಗಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನುಕಲನದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದ ಎರಡು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಅನುಕಲಜದಲ್ಲಿ, ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ತ್ರಿವಿಮಿತೀ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಖಂಡದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

## ಇತಿಹಾಸ 
### ಪೂರ್ವ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನುಕಲನ 
ಅನುಕಲಜಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವಿರುವ ಮೊದಲ ದಾಖಲಿತ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ತಂತ್ರವೆಂದರೆ ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಯುಡೋಕ್ಸಸ್ (ಸುಮಾರು 370 BC) ನ ನಿಶ್ಯಕ್ತಿ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು 3 ನೇ ಶತಮಾನ BC ಯಲ್ಲಿ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಬಳಸಿದರು ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಗೋಳದ ಘನಫಲ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಪರವಲಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಪರಿಭ್ರಮಿಸುವ ಒಂದು ಪರವಲಯಾಭ, ಪರಿಭ್ರಮಿಸುವ ಅತಿಪರವಲಯಾಭ‌ನ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಘನಫಲ ಮತ್ತು ಸುರುಳಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ.

ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಚೀನಾದಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು ಕ್ರಿ.ಶ. 3 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಲಿಯು ಹುಯಿ ಅವರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಅವರು ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಂತರ 5 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಚೀನೀ ತಂದೆ-ಮಗ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಜು ಚೋಂಗ್ಜಿ ಮತ್ತು ಜು ಗೆಂಗ್ ಅವರು ಗೋಳದ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಿದರು.

ಮಧ್ಯಪ್ರಾಚ್ಯದಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಹಾಜೆನ್ (c. 965 – c. 1040 AD) ಎಂದು ಲ್ಯಾಟಿನೀಕರಿಸಿದ ಹಸನ್ ಇಬ್ನ್ ಅಲ್-ಹೈಥಮ್ ನಾಲ್ಕನೇ ಘಾತಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಈಗ ಈ ಫಲನದ ಅನುಕಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಬಳಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅನುಕಲಜ ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಘಾತಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ಸೂತ್ರಗಳು ಪರವಲಯಾಭದ ಘನಫಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟವು.

ಅನುಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಗಮನಾರ್ಹ ಪ್ರಗತಿಗಳು 17 ನೇ ಶತಮಾನದವರೆಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಕ್ಯಾವಲಿರಿಯವರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಧಾನದ ಕೆಲಸ ಮತ್ತು ಫೆರ್ಮಾಟ್‌ರವರ ಕೆಲಸ, ಆಧುನಿಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಹಾಕಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ಕ್ಯಾವಲಿರಿಯ ಚದರಿಕರಣ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ x^n ನ ಅನುಕಲಜಗಳನ್ನು ಘಾತಂಕ n=9 ವರೆಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದರು. 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಬ್ಯಾರೋ ಮತ್ತು ಟೊರಿಸೆಲ್ಲಿ ಅವರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಯಿತು, ಅವರು ಅನುಕಲನ ಮತ್ತು ವಿಕಲನದ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕದ ಮೊದಲ ಸುಳಿವುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಬ್ಯಾರೋ ಒದಗಿಸಿದ. ವಾಲಿಸ್ ಕ್ಯಾವಲಿಯರಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು, ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಗಳು ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಘಾತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ x ನ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಾತಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದರು.

### ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್ 
17ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್‌ರಿಂದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಆವಿಷ್ಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಅನುಕಲನದ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಗತಿಯು ಬಂದಿತು. ಪ್ರಮೇಯವು ಅನುಕಲನ ಮತ್ತು ವಿಕಲನದ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಪರ್ಕವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಿಕಲನದ ಸುಲಭತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ಅನುಕಲಜಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.  ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೆಚ್ಚು ವಿಶಾಲವಾದ ವರ್ಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.  ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್ ಇಬ್ಬರೂ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಸಮಗ್ರ ಗಣಿತದ ಚೌಕಟ್ಟು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಇದು ನಿರಂತರ ಪ್ರಾಂತ್ಯ‌ಗಳೊಳಗಿನ ಫಲನಗಳ ನಿಖರವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು.  ಈ ಚೌಕಟ್ಟು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಆಧುನಿಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವಾಯಿತು, ಅದರ ಅನುಕಲಜಗಳ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಲೀಬ್ನಿಜ್‌ನ ಕೆಲಸದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.

### ಔಪಚಾರಿಕರಣ 
ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರು ಅನುಕಲನಕ್ಕೆ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರೆ, ಅವರ ಕೆಲಸವು ಕಠಿಣತೆಯ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು.  ಬಿಷಪ್ ಬರ್ಕ್ಲಿ ಅವರು ನ್ಯೂಟನ್ ಬಳಸಿದ ಮಾಯವಾಗುತ್ತಿರುವ ವೃದ್ಧ್ಯಂಶ‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ಮರಣೀಯವಾಗಿ ದಾಳಿ ಮಾಡಿದರು, ಅವುಗಳನ್ನು "ನಿರ್ಗಮಿಸಿದ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಭೂತಗಳು" ಎಂದು ಕರೆದರು.  ಪರಿಮಿತಿಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ದೃಢವಾದ ನೆಲೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿತು. ರೀಮನ್ ಪರಿಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅನುಕಲನವನ್ನು ಮೊದಲು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು.  ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ತುಂಡುತುಂಡಾದ ನಿರಂತರ ಫಲನ‌ಗಳು ರಿಮನ್-ಅನುಕಲ ಆಗಿದ್ದರೂ ಸೀಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ,  ತರುವಾಯ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಯಿತು-ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ-ಇದಕ್ಕೆ ರೀಮನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ,  ಮತ್ತು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅನುಕಲಜದ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು (ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ). ರೀಮನ್ ಮತ್ತು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅವರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಅನುಕಲಜದ ಇತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಯಿತು. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಈ ವಿಧಾನಗಳು ಇಂದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ,  ಆದರೆ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ,  ಅನಂತ ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗವಾಗಿ ಅನುಕಲಜದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಂತೆ, ಅತಿವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

### ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸಂಕೇತ 
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜ ಸಂಕೇತವನ್ನು 1675 ರಲ್ಲಿ ಗಾಟ್‌ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೀಬ್ನಿಜ್‌ರವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು.[13] ಅವರು ſ (ಉದ್ದ s) ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆ, **∫** ಅನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರು, ಈ ſ ಅಕ್ಷರವನ್ನು summa ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.(ſumma ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ; ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ summa ಎಂದರೆ "ಮೊತ್ತ"). ಅನುಕಲಜ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಅನುಕಲಜದ ಆಧುನಿಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಜೋಸೆಫ್ ಫೋರಿಯರ್ ಅವರು 1819-20 ರ ಸುಮಾರಿಗೆ ಫ್ರೆಂಚ್ ಅಕಾಡೆಮಿಯ 'ಮೆಮೊಯಿರ್ಸ್' ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಬಳಸಿದರು, ಇದನ್ನು 1822 ರ ಅವರ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಮರುಮುದ್ರಣ ಮಾಡಲಾಯಿತು.[14]

ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ ಅನುಕಲನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಚರಾಕ್ಷರದ ಮೇಲೆ ಸಣ್ಣ ಲಂಬವಾದ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಅಥವಾ ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯೊಳಗೆ ಇರಿಸಿದರು. ಲಂಬ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು \dot x ಅಥವಾ x' ನೊಂದಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ದಿಗ್ಭ್ರಾಂತವಾಯಿತು, ಇವು ವಿಕಲನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪೆಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಕೇತವು ಮುದ್ರಕಗಳಿಗೆ ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಲಿಲ್ಲ.[15]

### ಪದದ ಮೊದಲ ಬಳಕೆ 
ಈ ಪದವನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ "ಎರ್ಗೊ ಎಟ್ ಹೋರಮ್ ಇಂಟೆಗ್ರಾಲಿಯಾ ಅಕ್ವಾಂಟರ್" ಎಂಬ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ 1690 ರಲ್ಲಿ ಜಾಕೋಬ್ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಅವರು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಮುದ್ರಿಸಿದರು.[16]

## ಪರಿಭಾಷೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತ 
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರ [a,b] ನಲ್ಲಿ ನೈಜ ಚರಾಕ್ಷರ x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯದ ಫಲನ f(x) ನ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

\int_{a}^{b} f(x) \,dx.

ಅನುಕಲಜ ಚಿಹ್ನೆ **∫** ಅನುಕಲನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಚರಾಕ್ಷರ x ನ ವಿಕಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ dx ಚಿಹ್ನೆಯು ಅನುಕಲನದ ಚರಾಕ್ಷರ x ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. f(x) ಫಲನವನ್ನು ಅನುಕಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, a ಮತ್ತು b ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅನುಕಲನದ ಪರಿಮಿತಿಗಳು (ಅಥವಾ ಪರಿಮಿತಗಳು) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅನುಕಲಜವು [a,b] ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಮೀರಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಅನುಕಲನದ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.[17] ಒಂದು ಫಲನವು ಅದರ ಪ್ರಾಂತ್ಯದ‌ ಮೇಲೆ ಅದರ ಅನುಕಲಜವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅನುಕಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಮಿತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ಅನುಕಲಜವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟಾಗ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ

\int f(x) \,dx, ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ

ಈ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಫಲನಗಳ ವರ್ಗ (ಅವಿಕಲಜನ್ಯ)ವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಅದರ ವಿಕಲಜನ್ಯವು ಅನುಕಲ್ಯವಾಗಿದೆ.[18] ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜಗಳ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅನಿಯಮಿತ ಪ್ರಾಂತ್ಯ‌ಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಬಹು-ವಿಮಿತೀಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಕಲನವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ಅನುಕಲಜಗಳಿಗೆ ಸಂಕೇತದ ಹಲವಾರು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಿವೆ (ಈ ಲೇಖನದ ನಂತರದ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನೋಡಿ).

ಉನ್ನತ‌ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸರಳವಾದ ರೀಮನ್ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುತ್ತಿರುವಾಗ dx ಅನ್ನು ಬಿಡುವುದು ಅಸಾಮಾನ್ಯವೇನಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಅನುಕಲಜದ ನಿಖರವಾದ ಪ್ರಕಾರವು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಬ್ಬರು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು \int_a^b (c_1f+c_2g) = c_1\int_a^b f + c_2\int_a^b g  ಅನುಕಲಜದ  ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು, ರೀಮನ್ ಅನುಕಲಜ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹಂಚಿಕೊಂಡ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ.[19]

## ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು 
ಅನುಕಲಜಗಳು ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮತಟ್ಟಾದ ತಳದೊಂದಿಗೆ ಆಯತಾಕಾರದ ಈಜುಕೊಳದ ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಆಳದಿಂದ, ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನೀರಿನ ಪರಿಮಾಣ, ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಚಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಒಬನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಅದು ದುಂಡಗಿನ ಕೆಳಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಅಂಡಾಕಾರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಮತ್ತು ಕಠಿಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಕಲಜಗಳ  ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು ಬಯಸಿದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ತುಣುಕುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ನಿಖರವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತಾನೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,x=0 ಮತ್ತು x=1 ರ ನಡುವೆ f(x)=\sqrt x ಫಲನದ  ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ‌ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಒಬ್ಬರು ಐದು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ (0,  \frac {1}{5}, \frac {2}{5},..., 1) ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ದಾಟಬಹುದು, ನಂತರ ಪ್ರತಿ ತುಂಡಿನ ಬಲ ತುದಿಯ ಎತ್ತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು  (ಹೀಗೆ  \sqrt 0, \sqrt \frac {1}{5}, \sqrt \frac {2}{5},..., \sqrt 1) ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು ತುಂಬಿರಿ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯಲು ಅವರ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ

\textstyle \sqrt{\frac{1}{5}}\left(\frac{1}{5}-0\right)+\sqrt{\frac{2}{5}}\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\sqrt{\frac{5}{5}}\left(\frac{5}{5}-\frac{4}{5}\right)\approx 0.7497,ಇದು ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ.  ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಈ ಉಪಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ತುಣುಕಿನ ಎಡ ತುದಿಯ ಎತ್ತರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ, ಒಬ್ಬರು ಪಡೆಯುವ ಅಂದಾಜು ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ: ಅಂತಹ ಹನ್ನೆರಡು ಉಪಮಧ್ಯಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಪ್ರದೇಶವು ಕೇವಲ 0.6203 ಆಗಿದೆ.  ಆದಾಗ್ಯೂ, ತುಣುಕುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಅದು ಒಂದು ಮಿತಿಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಅದು ಬಯಸಿದ ಪ್ರದೇಶದ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, \frac {2}{3}).  ಒಬ್ಬರು ಹೀಗೆ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ

\int_{0}^{1} \sqrt{x} \,dx = \frac{2}{3},

ಅಂದರೆ \frac {2}{3} ಫಲನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ತೂಕದ ಮೊತ್ತದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, \sqrt x, ಮಧ್ಯಂತರ [0,1] ದಲ್ಲಿ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಹಂತದ ಅಗಲಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, dx ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

## ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖಾನಗಳು 
center|thumb|ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಹಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಅವೆಲ್ಲವೂ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ವಿಭಿನ್ನವಾದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಅದು ಇತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಕಲವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ಶಿಕ್ಷಣದ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿಯೂ ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೆಂದರೆ ರೀಮನ್ ಅನುಕಲಜಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅನುಕಲಜಗಳು.

### ರೀಮನ್ ಅನುಕಲಜ 
ಮಧ್ಯಂತರದ ಗುರುತು ಮಾಡಲಾದ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೀಮನ್‌ ಮೊತ್ತದ ಫಲನಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ರೀಮನ್ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.[20] ನೈಜ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರ  [a,b] ನ ಗುರುತು ಮಾಡಲಾದ ವಿಭಾಗವು ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ

 a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b. \,\!

ಇದು  [a,b] ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು  i  ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ  n   ಉಪ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ  [x_{i-1},x_i] ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬಿಂದು  t_i \in [x_{i-1},x_i] ನೊಂದಿಗೆ "ಗುರುತು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ". ಅಂತಹ ಗುರುತು ಮಾಡಲಾದ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಫಲನ f  ನ ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

\sum_{i=1}^n f(t_i) \, \Delta_i ; 

ಹೀಗೆ ಮೊತ್ತದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ಒಂದು ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದು, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಫಲನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಗಲವು ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರದ  \Delta_i = x_i - x_{i-1} ಅಗಲದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಗುರುತು ಮಾಡಲಾದ ವಿಭಾಗದ ಜಾಲರಿಯು  max_{i=1...n} \Delta_i ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ದೊಡ್ಡ ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರದ ಅಗಲವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರ [a, b] ಮೇಲೆ ಫಲನದ ರೀಮನ್ ಅನುಕಲಜವು S   ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ:[21] ಎಲ್ಲಾ \varepsilon > 0 ಗಾಗಿ \delta > 0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಟ್ಯಾಗ್ ಮಾಡಲಾದ ವಿಭಾಗಕ್ಕಾಗಿ [a, b] \delta  ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ‌ ಜಾಲರಿಯೊಂದಿಗೆ,

\left| S - \sum_{i=1}^n f(t_i) \, \Delta_i \right| 

ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ‌ ಗುರುತುಗಳು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಗರಿಷ್ಠ (ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಕನಿಷ್ಠ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತವು ಮೇಲಿನ (ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ) ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಮೊತ್ತವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ರೀಮನ್ ಅನುಕಲಜ ಮತ್ತು ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಅನುಕಲಜ ನಡುವಿನ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

### ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅನುಕಲಜ 
ಅನುಕಲಜದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗಲು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫಲನಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಅದು ಸರಿಸುಮಾರು, ಸೂಕ್ತವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಪರಿಹಾರ ಫಲನದ ಅನುಕಲಜವು ಅಂದಾಜುಗಳ ಅನುಕಲಜಗಳ ಮಿತಿಯಾಗಿರಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪರಿಮಿತಿಗಳಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದಾದ ಅನೇಕ ಫಲನಗಳು ರೀಮನ್-ಅನುಕಲ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ಪರಿಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ರೀಮನ್ ಅನುಕಲಜದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ವ್ಯಾಪಕ ವರ್ಗದ ಫಲನಗಳನ್ನು ಅನುಕಲಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಅನುಕಲಜದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.[22]

ಅಂತಹ ಒಂದು ಅನುಕಲಜವು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅನುಕಲಜವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅನುಕಲವಾಗುವ ಫಲನ‌ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಹಿಗ್ಗಿಸಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: ಒಂದು ಫಲನದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು‌ ಪ್ರಾಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಿದರೆ,‌ ಫಲನದ ಅನುಕಲಜವು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ ಹೆನ್ರಿ ಲೆಬೆಸ್ಗು ತನ್ನ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಈ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಪಾಲ್ ಮಾಂಟೆಲ್‌ಗೆ ಬರೆದ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ವಿವರಿಸಿದರು:[23]

ಫೋಲಂಡ್ ಹೇಳುವಂತೆ, "f ನ ರೀಮನ್ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಒಬ್ಬರು [a,b] ಪ್ರಾಂತ್ಯವನ್ನು ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತಾರೆ", ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅನುಕಲಜದಲ್ಲಿರುವಾಗ, "ಒಂದು ಪರಿಣಾಮದಲ್ಲಿ f ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ."[24] ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅನುಕಲಜದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದು μ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಧ್ಯಂತರ A=[a,b] ನ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆ \mu (A) ಅದರ ಅಗಲ, b - a, ಆದ್ದರಿಂದ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅನುಕಲಜವು ಎರಡೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ (ಸರಿಯಾದ) ರೀಮನ್ ಅನುಕಲಜದೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮತಿಸುತ್ತದೆ.[25] ಹೆಚ್ಚು ಜಟಿಲವಾದ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಅಳೆಯುವ ಗಣ‌ಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿಘಟಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯಿಲ್ಲ.

"f ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು" ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಫಲನದ ಅನುಕಲಜ f:\bold{R} \to \bold{R}  ಎಂಬುದು y = t ಮತ್ತು y = t + dt ನಡುವಿನ ತೆಳುವಾದ ಸಮತಲ ಪಟ್ಟಿಯ ನಡುವಿನ ಪ್ರದೇಶಗಳ t ಮೇಲಿನ ಮೊತ್ತವಾಗಿರಬೇಕು.  ಈ ಪ್ರದೇಶವು ಕೇವಲ \mu {\{x:f(x)>t}\} dt. f^*(t) =\mu \{x:f(x)>t}\  ಎಂದು ಬಿಡಿ.  f ನ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅನುಕಲಜವನ್ನು ನಂತರ ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

\int f = \int_0^\infty f^*(t)\,dt

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅನುಕಲಜವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಸಮರ್ಪಕ ರೀಮನ್ ಅನುಕಲಜವಾಗಿದೆ (f^*ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಫಲನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಸಮರ್ಪಕ ರೀಮನ್ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ).  ಸೂಕ್ತವಾದ ವರ್ಗದ ಫಲನಗಳಿಗಾಗಿ (ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಫಲನಗಳು) ಇದು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅನುಕಲಜವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.

f ಮತ್ತು x-ಅಕ್ಷದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ನಡುವಿನ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪರಿಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಫಲನ f ಲೆಬೆಸ್ಗು-ಅನುಕಲ ಆಗಿದೆ:[27]

\int_E |f|\,d\mu 

ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನುಕಲಜವು ರೀಮನ್‌ನ ಪ್ರಕರಣದಂತೆ, x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು x-ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರದೇಶದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ:[28]

\int_E f \,d\mu = \int_E f^+ \,d\mu - \int_E f^- \,d\mu

ಇಲ್ಲಿ

\begin{alignat}{3}
 & f^+(x) &&{}={} \max \{f(x),0\} &&{}={} \begin{cases}
               f(x), & \text{if } f(x) > 0, \\
               0, & \text{otherwise,}
             \end{cases}\\
 & f^-(x) &&{}={} \max \{-f(x),0\} &&{}={} \begin{cases}
               -f(x), & \text{if } f(x) 

### ಇತರ ಅನುಕಲಜಗಳು 
ರೀಮನ್ ಮತ್ತು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅನುಕಲಜಗಳು ಅನುಕಲಜದ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಾಗಿದ್ದರೂ, ಹಲವಾರು ಇತರವುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

* ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಅನುಕಲಜ, ಇದು ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಮೊತ್ತಗಳಿಂದ (ನಿರ್ಬಂಧಿತ ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತಗಳು) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಆದರೂ ಇದು ರೀಮನ್ ಅನುಕಲಜಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್-ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ರೀಮನ್-ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.  ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಅನುಕಲಜಗಳು ರೀಮನ್ ಅನುಕಲಜಗಳಿಂತ ಸುಲಭವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನುಕೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.
* ರೀಮನ್-ಸ್ಟೈಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಅನುಕಲಜ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಚರಾಕ್ಷರಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಒಂದು ಫಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಯೋಜನೆಗೊಳ್ಳುವ ರೈಮನ್ ಅನುಕಲಜದ ವಿಸ್ತರಣೆ.
* ಲೆಬೆಸ್ಗು-ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಅನುಕಲಜ, ಜೋಹಾನ್ ರಾಡಾನ್ ಅವರಿಂದ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ರೈಮನ್-ಸ್ಟೈಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಮತ್ತು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅನುಕಲಜಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.
* ಡೇನಿಯಲ್ ಅನುಕಲಜ, ಇದು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅನುಕಲಜ ಮತ್ತು ಲೆಬೆಸ್ಗು-ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುದಿಲ್ಲ.
* 1933 ರಲ್ಲಿ ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ಹಾರ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಹಾರ್ ಅನುಕಲಜ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಟೊಪಾಲೊಜಿಕ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಅನುಕಲನಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
* ಹೆನ್‌ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್‌ವೀಲ್ ಅನುಕಲಜ, ಅರ್ನಾಡ್ ಡೆನ್‌ಜಾಯ್, ಆಸ್ಕರ್ ಪೆರಾನ್ ಮತ್ತು (ಅತ್ಯಂತ ಸೊಗಸಾಗಿ, ಗೇಜ್ ಅನುಕಲಜವಾಗಿ) ಜರೋಸ್ಲಾವ್ ಕುರ್ಜ್‌ವೀಲ್‌ರಿಂದ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರಾಲ್ಫ್ ಹೆನ್‌ಸ್ಟಾಕ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ.
* ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಂತಹ ಅರೆ-ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅನುಕಲನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಇಟೊ ಅನುಕಲಜ ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ರಾಟೊನೊವಿಚ್ ಅನುಕಲಜ.
* ಯಂಗ್ ಅನುಕಲಜ, ಇದು ಅನಿಯಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕೆಲವು ಫಲನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ರೀತಿಯ ರೀಮನ್-ಸ್ಟೈಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಅನುಕಲಜವಾಗಿದೆ.
* ರಫ್ ಪಾತ್ ಅನುಕಲಜ, ಇದು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ "ಒರಟು ಮಾರ್ಗ" ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸುಸಜ್ಜಿತವಾದ ಫಲನಗಳಿಗಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಂತಹ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳೆರಡರ ವಿರುದ್ಧ ಸ್ಟೋಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಅನುಕಲನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.
* ಚೋಕ್ವೆಟ್ ಅನುಕಲಜ, 1953 ರಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಗುಸ್ಟಾವ್ ಚೋಕ್ವೆಟ್ ರಚಿಸಿದ ಉಪಸಂಯೋಜಕ ಅಥವಾ ಅತಿಸಂಯೋಜಕ ಅನುಕಲಜ.

## ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು 
### ರೇಖೀಯತೆ 
ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರ  [a,b] ದಲ್ಲಿ ರೀಮನ್-ಸಂಯೋಜಿತ ಕಾರ್ಯ ಫಲನಗಳ ಸಂಗ್ರಹ ಪಾಯಿಂಟ್‌ವೈಸ್ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್‌ನಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಅನುಕಲನದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ

 f \mapsto \int_a^b f(x) \; dx

ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನುಕಲಯೋಗ್ಯ ಫಲನ‌ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅನುಕಲಜವು ಅನುಕಲಜಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ:[29]

 \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \,dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx. \,ಅಂತೆಯೇ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಳತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಲೆಬೆಸ್ಗು-ಅನುಕಲಯೋಗ್ಯ ಫಲನಗಳ ಗಣ  E ಜೊತೆಗೆ ಅಳತೆ  \mu ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅನುಕಲಜ

 f\mapsto \int_E f \, d\mu 

ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ:[28]

 \int_E (\alpha f + \beta g) \, d\mu = \alpha \int_E f \, d\mu + \beta \int_E g \, d\mu. 

ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಳತೆ ಜಾಗದಲ್ಲಿ  (E,\mu) ಎಲ್ಲಾ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಫೀಲ್ಡ್  K,f:E\to V ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್  V ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ನಂತರ ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ಅನುಕಲನ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿ  f ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ನಿಯೋಜಿಸುವ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು  V ಅಥವಾ ಚಿಹ್ನೆ  \infin ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

 f\mapsto\int_E f \,d\mu, \,

ಅದು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.[30] ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯತೆಯು  V ಯ ಅನುಕಲಜವಾಗಿರುವ ಫಲನಗಳ ಉಪಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಅಂದರೆ "ಸೀಮಿತ").  K ಎಂಬುದು  \bold{R},  \bold{C} ಅಥವಾ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳ  \bold{Q}_p ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾದಾಗ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖವಾದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು  V ಎಂಬುದು   K ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ವಿಮಿತೀಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು  K=C ಮತ್ತು  V ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಆಕಾಶವಾಗಿದೆ.

ರೇಖೀಯತೆ, ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರಂತರತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ "ಸರಳ" ಫಲನಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ, ಅನುಕಲಜದ ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದು ನಿಕೋಲಸ್ ಬೌರ್ಬಕಿಯಿಂದ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಫಲನಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ  X ಗಣದಲ್ಲಿ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಫಲನಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಡೇನಿಯಲ್ ಅವರ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಅನುಕಲಜದ ಅಕ್ಷೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಹಿಲ್ಡೆಬ್ರಾಂಡ್ 1953 ಅನ್ನು ನೋಡಿ.

### ಅಸಮತೆಗಳು 
ಹಲವಾರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಸಮತೆಗಳು ರೀಮನ್-ಅನುಕಲಯೋಗ್ಯ ಫಲನಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯ ಮಧ್ಯಂತರ  [a,b] ದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು  (ಲೆಬೆಸ್ಗು ಮತ್ತು ಡೇನಿಯಲ್) ಅನುಕಲಜ ಇತರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು.

* *ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಗಡಿಗಳು*. ಒಂದು ಅನುಕಲಯೋಗ್ಯ ಫಲನ f  [a,b] ಮೇಲೆ, ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು m ಮತ್ತು  M ಇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ  [a,b] ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ  x ಗೆ  {m \le f(x) \le M}.  [a,b] ಮೇಲೆ  f ನ ಕೆಳಗಿನ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮೊತ್ತಗಳು ಆದ್ದರಿಂದ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದರಿಂದ, ಕ್ರಮವಾಗಿ,  m(b-a) ಮತ್ತು  M(b-a), ಅದು ಹೀಗೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ m(b - a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b - a).
* *ಫಲನಗಳ ನಡುವಿನ ಅಸಮತೆಗಳು*.[31]  [a,b] ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ  x ಗೆ  f(x) \le g(x) ಆಗಿದ್ದರೆ,  f ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ  g ನ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮೊತ್ತಗಳಿಂದ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx. ಇದು ಮೇಲಿನ ಅಸಮತೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ  M(b-a) ಸ್ಥಿರ ಫಲನ ಅನುಕಲಜವಾಗಿದ್ದು  M  [a,b] ಮೇಲೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಫಲನಗಳ ನಡುವಿನ ಅಸಮತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಕಲಜಗಳ ನಡುವಿನ ಅಸಮತೆಯು ಸಹ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ,  [a,b] ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ  x ಗೆ  f(x)   ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ \int_a^b f(x) \, dx 
* *ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರಗಳು*.  [c,d]  [a,b] ನ ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು  f(x) ಎಲ್ಲಾ  x ಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆಗ \int_c^d f(x) \, dx \leq \int_a^b f(x) \, dx.
* *ಫಲನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು*. f ಮತ್ತು g ಎರಡು ಫಲನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅವುಗಳ ಪಾಯಿಂಟ್‌ವೈಸ್ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳು ಮತ್ತು ಘಾತಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು:
 (fg)(x)= f(x) g(x), \; f^2 (x) = (f(x))^2, \; |f| (x) = |f(x)|. f [a,b] ನಲ್ಲಿ ರೀಮನ್-ಅನುಕಲಯೋಗ್ಯ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು  |f|, ಮತ್ತು\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b | f(x) | \, dx. ಇದಲ್ಲದೆ, f ಮತ್ತು g ಎರಡೂ ರೀಮನ್-ಅನುಕಲಯೋಗ್ಯ ಆಗಿದ್ದರೆ,fg ಕೂಡ ರೀಮನ್-ಅನುಕಲಯೋಗ್ಯ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು\left( \int_a^b (fg)(x) \, dx \right)^2 \leq \left( \int_a^b f(x)^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 \, dx \right). ಕೌಚಿ-ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅಸಮತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ಅಸಮತೆಯು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಆಕಾಶ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗವು ಎರಡು ವರ್ಗ-ಸಂಯೋಜಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಂತರಿಕ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ  f ಮತ್ತು  g ಮಧ್ಯಂತರ  [a,b] ದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.
* *ಹೋಲ್ಡರ್‌ನ ಅಸಮತೆ*.[32]  p  ಮತ್ತು  qಎರಡು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ,  1 \le p,  q \le \infin ಜೊತೆಗೆ  \frac {1}{p} + \frac {1}{q} = 1 , ಮತ್ತು  f ಮತ್ತು  g ಎರಡು ರೀಮನ್-ಅನುಕಲಯೋಗ್ಯ ಫಲನಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರ  ಫಲನಗಳು  |f|^p ಮತ್ತು  |g|^q ಸಹ ಅನುಕಲಯೋಗ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಹೋಲ್ಡರ್‌ನ ಅಸಮತೆ ಹೊಂದಿದೆ:\left|\int f(x)g(x)\,dx\right| \leq
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \left(\int\left|g(x)\right|^q\,dx\right)^{1/q}. p=q=2 ಗಾಗಿ, ಹೋಲ್ಡರ್‌ನ ಅಸಮತೆಯು ಕೌಚಿ-ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅಸಮತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
* *ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮತೆ*.[32]  p \ge 1 ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು  f ಮತ್ತು  g ರೀಮನ್-ಅನುಕಲಯೋಗ್ಯ ಫಲನ‌ಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ  |f|^p,  |g|^p ಮತ್ತು  |f+g|^p ಕೂಡ ರೀಮನ್-ಅನುಕಲಯೋಗ್ಯ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \leq
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} +
\left(\int \left|g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p}.ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅನುಕಲಜಕ್ಕೆ ಈ ಅಸಮತೆಯ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು Lp ಆಕಾಶಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

### ಕನ್ವೆನ್ಷನ್‌ಗಳು 
ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, f ಎಂಬುದು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ರೀಮನ್-ಅನುಕಲಯೋಗ್ಯ ಫಲನವಾಗಿದೆ.  ಅನುಕಲಜ

 \int_a^b f(x) \, dx 

ಅನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರ [a, b]ದ ಮೇಲೆ a ವೇಳೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.  ಇದರರ್ಥ f ಫಲನದ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮೊತ್ತವನ್ನು a = x_0 \le x_1 \le... \le x_n = b   ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು x_i  ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದೆ.  ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಅನುಕಲನವು "ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ" ನಡೆಯುತ್ತದೆ, f ಅನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರ [x_i,x_{i+1}]  ಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಮಧ್ಯಂತರವು ಕಡಿಮೆ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಬಲಕ್ಕೆ ಇರುತ್ತದೆ.  ಮಧ್ಯಂತರದ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಾದ a   ಮತ್ತು b   ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು f ನ ಅನುಕಲನದ ಪರಿಮಿತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. a>b ವೇಳೆ ಅನುಕಲಜಗಳನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು:[17]

\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx. 

a=b ನೊಂದಿಗೆ, ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:

\int_a^a f(x) \, dx = 0. 

[a, b] ನ ಉಪಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅನುಕಲಜಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕನ್ವೆನ್ಷನ್‌ವು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ;  ಎರಡನೆಯದು ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಥವಾ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಅನುಕಲಜವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.  ಮೊದಲ ಕನ್ವೆನ್ಷನ್‌ಗೆ ಒಂದು ಕಾರಣವೆಂದರೆ, ಮಧ್ಯಂತರ [a, b] ನಲ್ಲಿ f ನ ಅನುಕಲಯೋಗ್ಯತೆಯು ಯಾವುದೇ ಉಪಮಧ್ಯಂತರ [c, d] ದಲ್ಲಿ f ಅನುಕಲಯೋಗ್ಯ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ,  ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅನುಕಲಜಗಳು [a, b] ನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶ c  ಆಗಿದ್ದರೆ,  ನಂತರ:[29]

 \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.

ಮೊದಲ ಸಮಾವೇಶದೊಂದಿಗೆ, ಸಂಬಂಧ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ

\begin{align}
 \int_a^c f(x) \, dx &{}= \int_a^b f(x) \, dx - \int_c^b f(x) \, dx \\
 &{} = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx
\end{align}

ನಂತರ a  , b  , ಮತ್ತು c  ನ ಯಾವುದೇ ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

## ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ 
ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ವಿಕಲನ ಮತ್ತು ಅನುಕಲನವು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ: ಒಂದು ಸತತ ಫಲನವನ್ನು ಮೊದಲು  ಅನುಕಲಿಸಿ ನಂತರ ವಿಕಲನಿಸಿದರೆ, ಮೂಲ ಫಲನವನ್ನು ಹಿಂಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.[33]

### ಮೊದಲ ಪ್ರಮೇಯ 
 f ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರ  [a,b] ದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರಂತರ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ  ಫಲನವಾಗಿರಲಿ.  [a,b] ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ  x ಗಾಗಿ  F ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಫಲನವಾಗಿರಲಿ,  ಇದರಿಂದ,

F(x) = \int_a^x f(t)\, dt.

ನಂತರ,  F  [a,b] ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರ  (a,b) ದಲ್ಲಿ ವಿಕಲಯೋಗ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು

F'(x) = f(x)

 (a,b) ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ  x ಗೆ.

### ಎರಡನೇ ಪ್ರಮೇಯ 
 f ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರ  [a,b] ದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಫಲನವಾಗಿರಲಿ, ಅದು  [a,b] ನಲ್ಲಿ ಅವಿಕಲಜನ್ಯ  F ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ,  f ಮತ್ತು  F ಫಲನಗಳಾಗಿದ್ದು,  [a,b] ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ  x ಗೆ,

f(x) = F'(x).

 f  [a,b]ನಲ್ಲಿ ಅನುಕಲಯೋಗ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).

## ವಿಸ್ತರಣೆ 
### ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲಜ 
"ಉಚಿತ" ರೀಮನ್ ಅನುಕಲಜವು ಅನುಕಲನದ ಮಿತಿಗಳಿಂದ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಇಡಲಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅನುಕಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದಾಗ ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲಜವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಅನುಕಲಜಗಳನ್ನು ಹಂತಹಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ರೀಮನ್ ಅನುಕಲಜಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಪರಿಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಮಧ್ಯಂತರವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅದರ ಮೇಲಿನ ತುದಿಯಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಅನುಚಿತವಾದ ಅನುಕಲಜವು ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಆ ಅಂತ್ಯಬಿಂದುವು ಅನಂತತೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ:[35]

\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx.

ಅನುಕಲ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಧ-ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ [a,b] , ನಂತರ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಮಿತಿಯು ಸೀಮಿತ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ:

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x)\,dx.

ಅಂದರೆ, ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲಜವು ಸರಿಯಾದ ಅನುಕಲಜಗಳ ಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಏಕೀಕರಣ ಅನುಕಲನದ ಮಧ್ಯಂತರದ ಒಂದು ಅಂತ್ಯಬಿಂದುವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ {\infty} , ಅಥವಾ -{\infty}  ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ.  ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡೂ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

### ಬಹು ಅನುಕಲನ 
ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಧನಾತ್ಮಕ ಫಲನದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜವು ಫಲನದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಮತ್ತು x -ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ,  ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಫಲನದ ದ್ವಿಗುಣ ಅನುಕಲಜ ಫಲನದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಾಂತ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಪ್ರದೇಶದ ಘನಫಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.[37]  ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ವಿಮಿತೀಗಳಲ್ಲಿನ ಫಲನವು ಎರಡು ನೈಜ ಚರಾಕ್ಷರ‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, x  ಮತ್ತು y , ಮತ್ತು ಎರಡು ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ನೀಡಲಾದ R=[a,b]\times[c,d] ಆಯತದ ಮೇಲೆ f ಫಲನದ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

\int_R f(x,y)\,dA

ಇಲ್ಲಿ ವಿಕಲ dA ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅನುಕಲನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.  ಈ ದ್ವಿಗುಣ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಂತ್ಯ {R} ಮೇಲೆ z=f(x,y) ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ (ಛಾಯೆಸಿದ) ಘನಫಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.[38] ಸೂಕ್ತವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, f ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ), ಫುಬಿನಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಸಮಾನವಾದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅನುಕಲಜವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ[39]

\int_a^b\left[\int_c^d f(x,y)\,dy\right]\,dx.

ಇದು ಏಕವಿಮಿತೀಯ ಅನುಕಲಜಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ  ಮಾಡಲು ದ್ವಿಗುಣ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, {R} ಮೇಲೆ ಅನುಕಲಜಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಕೇತವು ದ್ವಿಗುಣ ಅನುಕಲಜ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ:[38]

\iint_R f(x,y) \, dA.

ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಾಂತ್ಯ‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಅನುಕಲನ ಸಾಧ್ಯ. ಘನಫಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ f ಫಲನದ ಅನುಕಲಜ, {R}^n ನ n-ವಿಮಿತೀಯ ಪ್ರದೇಶದ {D} ಯನ್ನು ಈ ರೀತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\int_D f(\mathbf x) d^n\mathbf x \ = \int_D f\,dV.

### ರೇಖಾ ಅನುಕಲಜಗಳು ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ಅನುಕಲಜಗಳು 
ಅನುಕಲಜದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನುಕಲನದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಾಂತ್ಯ‌ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವಕ್ರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಆಕಾಶಗಳ ಒಳಗಿನ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು. ಅಂತಹ ಅನುಕಲಜಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ರೇಖಾ ಅನುಕಲಜಗಳು ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ಅನುಕಲಜಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸದಿಶ  ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇವುಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ರೇಖಾ ಅನುಕಲಜ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪಥ ಅನುಕಲಜ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಅನುಕಲಜವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಅನುಕಲಿಸಬೇಕಾದ ಫಲನವನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.[40] ವಿವಿಧ ವಿಭಿನ್ನ ಸಾಲಿನ ಸಮಗ್ರತೆಗಳು ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿವೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನುಕಲಿಸಬೇಕಾದ ಕಾರ್ಯ ಫಲನವು ಅದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಥವಾ ಸದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಬಹುದು. ರೇಖಾ ಅನುಕಲಜ ಮೌಲ್ಯವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಅದಿಶ ಫಲನದಿಂದ ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಾಪ ಉದ್ದ ಅಥವಾ, ಸದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ವಿಕಲ ಸದಿಶ ಹೊಂದಿರುವ ಸದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗುಣಲಬ್ಧ).[41] ಈ ತೂಕವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸರಳವಾದ ಅನುಕಲಜಗಳಿಂದ ರೇಖಾ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಸರಳ ಸೂತ್ರಗಳು ರೇಖಾ ಅನುಕಲಜಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರಂತರ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ರಿಯೆ W ಬಲ F ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಸ್ಥಾನಾಂತರಣ s ದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು (ಸದಿಶ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ):[42]

W=\mathbf F\cdot\mathbf s.

ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಥವಾ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ‌ F ನಲ್ಲಿ C ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತುವಿಗೆ, ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಮಾಡಿದ ಒಟ್ಟು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು s ನಿಂದ s + ds ಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಮಾಡಿದ ವಿಕಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ರೇಖಾ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ[43]

W=\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf s.

ಮೇಲ್ಮೈ ಅನುಕಲಜವು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ ಅನುಕಲನಕ್ಕೆ ದ್ವಿಗುಣ ಅನುಕಲಜ‌ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ (ಇದು ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ವಕ್ರವಾದ ಗಣ ಆಗಿರಬಹುದು); ಇದನ್ನು ರೇಖಾ ಅನುಕಲಜದ ದ್ವಿಗುಣ ಅನುಕಲಜ ಸಾದೃಶ್ಯ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅನುಕಲಿಸಬೇಕಾದ ಫಲನವು ಅದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಥವಾ ಸದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಬಹುದು. ಮೇಲ್ಮೈ ಅನುಕಲಜದ ಮೌಲ್ಯವು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈ ಧಾತುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು, ಇದು ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.[44]

ಮೇಲ್ಮೈ ಅನುಕಲಜಗಳ ಅನ್ವಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, S ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಸದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರ v ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ; ಅಂದರೆ, S ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು x ಗೆ, v(x) ಒಂದು ಸದಿಶ ಆಗಿದೆ. ದ್ರವವು S ಮೂಲಕ ಹರಿಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಅಂದರೆ v(x) x ನಲ್ಲಿ ದ್ರವದ ವೇಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಹರಿವು ಏಕಮಾನ ಸಮಯದಲ್ಲಿ S ಮೂಲಕ ಹರಿಯುವ ದ್ರವದ ಪ್ರಮಾಣ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹರಿವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ S ಗೆ ಏಕಮಾನ ಮೇಲ್ಮೈ ಸಾಮಾನ್ಯದೊಂದಿಗೆ v ನ ಬಿಂದು ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ:[45]

\int_S {\mathbf v}\cdot \,d{\mathbf S}.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ದ್ರವದ ಹರಿವು ನೀರು ಅಥವಾ ಗಾಳಿಯಂತಹ ಭೌತಿಕ ದ್ರವದಿಂದ ಅಥವಾ ವಿದ್ಯುತ್ ಅಥವಾ ಕಾಂತೀಯ ಹರಿವಿನಿಂದ ಆಗಿರಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈ ಅನುಕಲಜಗಳು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ.

### ಬಾಹ್ಯರೇಖಾ ಅನುಕಲಜಗಳು 
ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅನುಕಲ್ಯ ಎನ್ನುವುದು ನೈಜ್ಯ ಚರ x ನ ನೈಜ ಫಲನದ ಬದಲಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಚರ z ನ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಫಲನವಾಗಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಂಕೀರ್ಣ ಫಲನವನ್ನು ಅನುಕಲಿಸಿದಾಗ γ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

\int_\gamma f(z)\,dz.

ಇದನ್ನು ಬಾಹ್ಯರೇಖಾ ಅನುಕಲಜ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.