ಗಣಿತ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನ

**ಗಣಿತ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನ**ವು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ಆಧಾರ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅಂಗೀಕರಿಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೂ ಅವುಗಳಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಗಣಿತ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಅರ್ಥ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುವ ಶಾಸ್ತ್ರ (ಮ್ಯಾಥ್‌ಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಫಿಜ಼ಿಕ್ಸ್). ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ ಆದರೆ ಇದು ಮತ್ತು ಅದು ಸಂಬಂಧಿತವಾಗಿವೆ.

ಪ್ರಕೃತಿಯ ಗಣಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಂಪ್ರದಾಯವೊಂದಿದ್ದು ಅದು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರ ಕಾಲಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ: ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ (*ಆಪ್ಟಿಕ್ಸ್*), ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ (*ಆನ್ ದಿ ಈಕ್ಬಿಲಿಬ್ರಿಯಮ್ ಆಫ಼್ ಪ್ಲೇನ್ಸ್*, *ಆನ್ ಫ಼್ಲೋಟಿಂಗ್ ಬಾಡೀಸ್*) ಮತ್ತು ಕ್ಲಾಡಿಯಸ್ ಟಾಲೆಮಿ (*ಆಪ್ಟಿಕ್ಸ್*, *ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್*) ಸೇರಿದ್ದಾರೆ. ಇವರು ಪ್ರಾಚೀನ ಗಣಿತ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖರು.

## ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಇದರ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು 
**ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ಧ್ಯೇಯಗಳು**: ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಅನೇಕ ವರ್ಷಗಳಿಂದಲೂ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಮೂಲಕ ಪಡೆದಿರುವ ಸಮಸ್ತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನೂ ಕ್ರೋಡೀಕರಿಸಿ ಅವುಗಳೊಡನೆ ಸಂಬಂಧ ಬೆಳೆಸುವುದು, ಪ್ರಯೋಗಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಮುಂದೆ ಪಡೆಯುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಕಲನೀಯವಾಗಿ ಎಷ್ಟಿರಬೇಕು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಭವಿಷ್ಯ ನುಡಿಯುವುದು, ವೈವಿಧ್ಯಪೂರ್ಣ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಮಂಜಸವಾದ ಒಂದೇ ಒಂದು ವಿವರಣೆಯೊಳಗೆ ಸುತ್ತುಗಟ್ಟಲು ಸಹಾಯಕವಾಗುವ ಮೂಲಭೂತವಾದ ಕೆಲವೇ ಕೆಲವು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿಕೊಂಡು, ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವುದು ಇವೇ ಮುಂತಾದವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ಧ್ಯೇಯಗಳು.

**ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ಬೆಳವಣಿಗೆ**: ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನ ಮೊತ್ತಮೊದಲಿಗೆ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದ ಅಧ್ಯಯನದೊಡನೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ ಲಗ್ರಾಂಜ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನರ ಚಲನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಂಡಿತು. ಯಾವುದೇ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸಲ್ಲುವ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತ ಮತ್ತು ಗತಿಶಾಸ್ತ್ರಗಳೆರಡೂ ಸಮನ್ವಯಗೊಂಡವು. ಹಾಗೆಯೇ ಉಷ್ಣತೆ, ಪುಟಿತತೆ, ವಿದ್ಯುದ್ವಾಹಕತ್ವ ಇವೇ ಮೊದಲಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಸ್ಥೂಲ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ಷ್ಮಕಣಗಳಾದ ಪರಮಾಣು ಮತ್ತು ಅಣುಗಳ ನಿರಂತರ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವರ್ಣಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿ ನಡೆಯುತ್ತಿರುವ ಈ ಪ್ರಯತ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಾಗ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ.

**ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುವುದು**: ದ್ರವ್ಯದ ಮೂಲಕಣಗಳಿಗೆ ಕಣಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳು ಮಾತ್ರವೇ ಅಲ್ಲ, ಅಲೆ ಲಕ್ಷಣಗಳೂ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಪ್ರಯೋಗಗಳು ತೋರಿಸಿಕೊಟ್ಟ ವಿಷಯಗಳಿಂದ ಆಧುನಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನ ಎಂಬ ಒಂದು ಹೊಸ ಅಧ್ಯಾಯ ಈ ಶತಮಾನದ ಪ್ರಾರಂಭದಿಂದಲೂ ಬೆಳೆದುಬಂದಿದೆ. ಹೀಗೆ ಪ್ರಕೃತಿಯ ರಹಸ್ಯಗಳನ್ನು ಕೂಲಂಕುಷವಾಗಿ ಕೆಲವೇ ಕೆಲವು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಮೂಲಕ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮಕಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೂಲಕ-ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿ ಸತತವಾಗಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿರುತ್ತಾನೆ. ಅಂದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಗಳು ತೀವ್ರವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುತ್ತವೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲು ಹೊಸ ಪ್ರಯೋಗಗಳೇ ಕಾರಣ; ಅಲ್ಲದೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಗಳೇ ಸಮರ್ಥಿಸಬೇಕು.

**ಹೈಸನ್‍ಬರ್ಗ್‌ನ ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕ**: ಅನೇಕ ವೇಳೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಯು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಹೈಸನ್‌ಬರ್ಗ್‌ನ γ-ಕಿರಣ ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕ ಇಂಥ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಉಪಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು. ಇಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಒಂದು ಕಣದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದಾಗ ಅದನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಬೆಳಕಿನಿಂದ ಬೆಳಗಿಸಿ ಅದು ಚದರಿಸಿ ಕಳಹುವ ಬೆಳಕನ್ನು ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕದ ಮೂಲಕ ಗ್ರಹಿಸಬೇಕು. ಹೀಗೆ ಮಾಡಿದರೂ ಬೆಳಕಿನ ಅಲೆಯುದ್ದದ ಕಣದ ಸ್ಥಾನನಿರ್ಧರಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅಲೆಯುದ್ದ ಕಡಿಮೆಯಾದಷ್ಟೂ ಹೀಗೆ ಸ್ಥಾನ ನಿರ್ಧರಣೆಯಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ದೋಷ ಕಡಿಮೆ. ಹೀಗೆಂದು ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಖಚಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಉದ್ದೇಶದಿಂದ ಅಲೆಯುದ್ದ ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಬೆಳಕಿನಿಂದ (ಅಂದರೆ γ-ಕಿರಣದಿಂದ) ಸೂಕ್ಷ್ಮಕಣವನ್ನು ಬೆಳಗಿಸಿದರೆ ಕಣವೇ ಚದರಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕದ ಕಡೆಗೆ ರವಾನಿಸುವ ಬೆಳಕಿನ ಕಣದ ಸಂವೇಗ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಕಣ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂವೇಗ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವ ದೋಷವೂ ಇಲ್ಲದೆ ಕಣದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಯತ್ನದಲ್ಲಿ ಕಣದ ಸಂವೇಗವನ್ನು ಪಲ್ಲಟಗೊಳಿಸಿದಂತಾಯಿತು. ಅಂದರೆ ಅದರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಖಚಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅಷ್ಟೇ ಖಚಿತವಾಗಿ ಕಣದ ಸಂವೇಗ ಎಷ್ಟೆಂದು ತಿಳಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿರುವ ಕೆಲವು ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಯಾವ ದೋಷವೂ ಇಲ್ಲದೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅನಿಶ್ಚಿತತಾ ತತ್ತ್ವ ಎಂಬ ಒಂದು ತತ್ತ್ವವೊಂದನ್ನು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿ ಈ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಪ್ರಯೋಗದಿಂದ ಬೆಳೆಸಿರುತ್ತಾನೆ.

**ಗಣಿತ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾರ್ಥಕ ಪದವಾಗಿ ಬಳಕೆ**: ಗಣಿತ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನ ಎಂಬ ಪದ ಬಹುಮಟ್ಟಿಗೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನ ಎಂಬ ಪದದೊಡನೆ ಸಮಾನಾರ್ಥಕ ಪದ. ಆದರೆ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಸಾಕಷ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಉಂಟು. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮೈಕೇಲ್ ಫ್ಯಾರಡೆ (1791-1867) ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ (1831-1879) ಎಂಬ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಅನುಸರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳು ಈ ಎರಡು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಗಳಿಗೂ ಇರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತ ಪ್ರೇರಕತ್ವದ ನಿಯಮದ ಸಂಶೋಧನೆ, ವಸ್ತುಗಳ ಅನುಕಾಂತತ್ವ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕಾಂತತ್ವ ಇವೇ ಮೊದಲಾದ ಗುಣಗಳನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಹಾಯವಿಲ್ಲದೆ ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿಯೂ ಬಲರೇಖೆಗಳು ಆವರಿಸಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಫ್ಯಾರಡೆ ವಿವರಿಸಿದ. ಆದರೆ ಈ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ ಗಣಿತರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ. 1855ರಲ್ಲಿ ಈತ `ಆನ್ ಫ್ಯಾರಡೇಸ್ ಲೈನ್ಸ್ ಆಫ್ ಫೋರ್ಸ್' ಎಂಬ ಲೇಖನ ಒಂದನ್ನು ಬರೆದ. ಗೌಸ್, ವೆಬರ್, ರೀಮಾನ್, ಫ್ರಾನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಲ್‌ನಾಯ್‌ಮಾನರು ಬಲರೇಖೆಗಳು ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಚರಿಸುತ್ತಿವೆ ಎಂಬುದಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡು ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ದೂರದಿಂದ ಆಕರ್ಷಣೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಬಲದ ಕೇಂದ್ರವೊಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಭಾವಿಸಿಕೊಂಡರು. ಹೀಗೆ ಫ್ಯಾರಡೆಯ ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳನ್ನು ಗಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಭಾಷಾಂತರಿಸಿದಾಗ ಈ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಿಂದಲೂ ಬಂದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಐಕ್ಯಗೊಂಡವು. ಈ ಗಣಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ 1873ರಲ್ಲಿ ದ್ಯುತಿವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ ಗತಿಶಾಸ್ತ್ರಗಳೆರಡನ್ನೂ (electrodynamics) ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಂಥ ಒಂದು ಗ್ರಂಥವನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ ಬರೆದ. ಹೀಗೆ ಇದುವರೆಗೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಗಣಿತ ಭಾಷೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿತು.

ಕ್ಷೇತ್ರದ ತುಣುಕು ಮತ್ತು ನಿತ್ಯ ಅನುಭವದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎಳೆದು ಕಟ್ಟಿದ ದಾರಗಳು, ಅದುಮಿರಿಸದ ಪ್ರವಾಹಿಗಳು, ಅವುಗಳ ಆವರ್ತ ಚಲನೆ ಇತ್ಯಾದಿ-ನಡುವೆ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಭಾವಿಸಿಕೊಂಡು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಅಭಿಜಾತ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳನ್ನು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೂ ಅವೆಲ್ಲ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತವೆ. ಪರಮಾಣು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿಯೂ ಅಸ್ತಿತ್ವವುಳ್ಳವು ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಭೌತ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನೆಲ್ಲ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರೂ ಅದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಉಪಕರಣ, ವಿವರಣೆಗೆ ಬೇಕಾದ ಭಾಷೆ ಮಾತ್ರ ಎಂದು ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬೆಳೆಸಿದಾಗ ಪರಮಾಣುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅವನ್ನು ಭೌತ ಪ್ರಪಂಚದ ಅಡಿಗೊರಡುಗಳು ಎಂದು ಮಾತ್ರ ಭಾವಿಸಬೇಕು. ಹೀಗೆ ಮಾಡಿ ಅಭಿಜಾತ ಪರಮಾಣ್ವಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಬೆಳೆಸಿರುತ್ತಾರೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಮೂಲಕ ಸ್ಥೂಲ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಲಕ್ಷಣಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ.

**ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ**: ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಐನ್‌ಸ್ಟೈನನ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಚಾರಿತ್ರಿಕವಾಗಿ ಗಣಿತ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ಅತ್ಯಂತ ಘನವಾದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮಿಂಕೋವಿಸ್ಕಿ ನಾಲ್ಕು-ಸದಿಶಗಳು, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಸದಿಶಗಳು ಇವೇ ಮೊದಲಾದ ಗಣಿತದ ಅಮೂರ್ತ ಭಾವನೆಗಳನ್ನು ಶುದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ನಿತ್ಯವೂ ಬಳಸುವ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳಿಂದ ಸೃಷ್ಟಿಸಿ ಪಡೆಯಲಾಯಿತು. ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಂಶಗಳು ದೊರಕಿಸಿಕೊಡುವ ವೇಗ, ಬಲ, ಕ್ಷೇತ್ರಚರಗಳು ಇವೇ ಮೊದಲಾದವುಗಳೊಡನೆ ಈ ಅಮೂರ್ತ ಭಾವನೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಕ ಗುಣಗಳು ಸರಿಹೊಂದುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲಾಯಿತು. ಹೀಗೆ ಮಾಡಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಐನ್‌ಸ್ಟೈನ್ ಬೆಳೆಸಿರುತ್ತಾನೆ. ಈ ಅಮೂರ್ತ ಭಾವನೆಗಳ ನಡುವೆ ಗಣಿತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದಾಗ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಆಗಲೇ ತೋರಿಸಿಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅಥವಾ ಇನ್ನೂ ತೋರಿಸದೇ ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅವು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಡಿಗೊರಡುಗಳನ್ನು ಕೋರದೆ ಭೌತ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನೆಲ್ಲ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಸ್ವಸಮಂಜಸವಾದ ಗಣಿತ ವಿವರಣೆ ಗಣಿತ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ಉದ್ದೇಶ; ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

## ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನ ಇವುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕೊಡುಗೆಗಳು 
ಗಣಿತ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ತಮ್ಮ ನಿರಂತರ ಚಟುವಟಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಹಲವಾರು ಅಮೂರ್ತ ಭಾವನೆಗಳನ್ನು ಅತಾರ್ಕಿಕ ಎಂದು ಶುದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಅನೇಕ ವೇಳೆ ತಳ್ಳಿಹಾಕುವುದುಂಟು. ಆದರೆ ಈಚೆಗೆ ಅವು ಶುದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಬ್ದ ಸಂಪತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗಣ್ಯಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆದಿವೆ. ಆಲಿವರ್ ಹೆವಿಸೈಡ್‌ನ ಪರಿಕರ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (ಆಪರೇಶನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್), ವಿಲಾರ್ಡ್ ಗಿಬ್ಸನ ಸದಿಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಪಿ.ಎ.ಎಂ. ಡಿರಾಕನ ಡೆಲ್ಟ ಉತ್ಪನ್ನ ತಂತ್ರಗಳು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮಾತ್ರ. ಹೀಗೆಯೇ, ಯಾವ ಉದ್ದೇಶವೂ ಇಲ್ಲದೆ ಬೆಳೆಸಿದ ಶುದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭಾಗಗಳು ಭೌತ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತ ಮತ್ತು ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಉಪಕರಣಗಳೆಂದು ಗಣಿತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾರೆ. ವಿಶ್ವವಿಜ್ಞಾನದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಆಧುನಿಕ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಆಕಾಶ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನಾರ್ ಅಥವಾ ದ್ವಿಚರ ರೂಪಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಪುನಃ ಗಣಿತ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿ ಮತ್ತು ಶುದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ನಡುವೆ ಸಹೋದ್ಯಮವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಮೂಲ್ಯವಾದ ಕೆಲವು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಬೆಳೆಸಿವೆ. ಗ್ರೂಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಪರಿಕರ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಹೀಗೆ ಬೆಳೆದು ಬಂದಿರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭಾಗಗಳು.

ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ ನೋಡಿದಾಗ ಗಣಿತ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ ತಿಳಿಯುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ವೇಳೆ ಒಬ್ಬ ವಿದ್ವಾಂಸನೇ ಎರಡು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿಯೂ ನಡೆದಿರುವ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣನಾಗಿರುತ್ತಾನೆ. ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್, ಲಪ್ಲಾಸ್, ಗೌಸ್, ಪಾಂಕಾರೆ, ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್, ಅರ್ನ್‌ಸ್ಟ್ ಮಾಕ್ ಇಂಥ ವಿದ್ವಾಂಸರಲ್ಲಿ ಕೆಲವರು.

ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಫಲದಾಯಕವಾದ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳು ಗುಂಪುಗೂಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯುಳ್ಳವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಗಣಿತ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ಚರಿತ್ರೆ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈಚಿನ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಶಕ್ತಿ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು, ಅಂದರೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮಕಣಗಳ ಸೃಷ್ಟಿ ಮತ್ತು ನಾಶ ಇವೇ ಮೊದಲಾದವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬೆಳೆಸಿದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಘನಸ್ಥಿತಿ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಕಲನೀಯ ಗತಿಶಾಸ್ತ್ರಗಳಲ್ಲಿ (statistical dynamics) ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳೊಡನೆ ಗಣಿತ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ದರ್ಶನ ವಿಕಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತಿದೆ.

## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 
## ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದಿಗೆ 
* 
* 
* 

ವರ್ಗ:ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ