ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನ

**ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನ** ಎನ್ನುವುದು ಅನಂತ ಅನುಕಲ

\Gamma(z) = \int\limits_0^{\infty} e^{-t}t^{z-1}\ dt

ಎಂಬುದರ ಹೆಸರು. **ಆಯ್ಲರನ ದ್ವಿತೀಯ ಅನುಕಲ** ಎಂಬ ಹೆಸರು ಕೂಡ ಉಂಟು. ***z*** ನ ಎಲ್ಲ ಧನ ನೈಜ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ (positive real numbers) ಇದು ಅಭಿಸರಿಸುತ್ತದೆ.

**ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳು**

ಇದರ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು:

1. \Gamma(z+1) = z\Gamma(z)

2. \Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin \pi z}

3. \Gamma\left (\frac{1}{2} \right ) = \sqrt{\pi}

***z=n*** ಎಂಬ ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ (positive integer) \Gamma(n) = (n-1)! ಹೀಗಾಗಿ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹಲವಾರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಉತ್ಪನ್ನ (ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಎಂಬುದಾಗಿ ಸಹ ಕರೆಯುವುದುಂಟು.

**ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆವಶ್ಯಕತೆ**

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಥವಾ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕ್ರಮಗುಣಿತದ (ಕಂಟಿನ್ಯೂಡ್ ಪ್ರೋಡಕ್ಟ್) ಭಾವನೆಯನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆವಶ್ಯಕತೆ ಕಂಡುಬಂದಿತು. ಇದು ಹೇಗೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಮುಂದೆ ವಿಶದೀಕರಿಸಿದೆ. 

\int\limits_0^{\infty} e^{-t}t^z\ dt 

ಎಂಬ ಅನುಕಲವನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನುಕಲನ ಪರಿಮಿತಿ ಅನಂತ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲ (ಇಂಪ್ರಾಪರ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್). ***z = n*** ಎಂಬ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಈ ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲದ ಬೆಲೆ ***n!*** ಆಗುತ್ತದೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕ ಅನುಕಲನದಿಂದ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ***z*** ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದೆ ಬೇರೆ ಒಂದು ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ, ಕ್ರಮಗುಣಿತವಾದ ***n!*** (ಅಂದರೆ ***z!***) ಅರ್ಥರಹಿತವಾಗುವುದು. ಎಲ್ಲ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಈ ಕ್ರಮಗುಣಿತದ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣ ಮಾಡುವ ಬಗೆ ಹೇಗೆ? 

\int\limits_0^{\infty} e^{-t}t^n\ dt = n! (***n*** ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ)

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ***n*** ನ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ***z*** ಎಂಬ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ ***z*** ಯಾವ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿರಲಿ ***z!*** ಎಂಬ ಕ್ರಮಗುಣಿತಕ್ಕೆ 

z! = \int\limits_0^{\infty} e^{-t}t^z\ dt 

ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದೇನೋ ಸಹಜವಾದ ಕ್ರಮವೇ ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಬದಲು 

\int\limits_0^{\infty} e^{-t}t^{n-1}\ dt = (n-1)! 

ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ***n*** ನ ಬದಲು ***z*** ಅನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ ಇದರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ***(z - 1)!*** ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವ ಬದಲು ***Γ(z)*** (ಗ್ಯಾಮ ***z***) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. 

\Gamma(z) = \int\limits_0^{\infty} e^{-t}t^{z-1}\ dt 

ಇಲ್ಲಿ ***z*** ಒಂದು ನೈಜಸಂಖ್ಯೆ.

**ಯಾವ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿರುವುದು**

***z*** ನ ಯಾವ ಯಾವ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಈ ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

***(z - 1) z-1 → 0*** ಆಗುವುದರಿಂದ ***e-t tz-1*** ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ***t = 0*** ಎಂಬುದೂ ಒಂದು ಅನಂತವಿಚ್ಛಿನ್ನತಾ ಬಿಂದು.   

\therefore \int\limits_0^{\infty} e^{-t} t^{z-1}\ dt = \lim_{\epsilon \to 0} \int\limits_z^1 e^{-t}t^{z-1}\ dt\ + \lim_{\epsilon \to \infty} I_1 \int\limits_1^{\delta} e^{-t}t^{z-1}\ dt \equiv \lim_{\epsilon \to 0} I_1 + \lim_{\delta \to 0} I_2 ..............(1)   

ಇಲ್ಲಿ I_1 = \int\limits_{\epsilon}^1 e^{-t}t^{z-1}\ dt

I_2 = \int\limits_1^{\delta} e^{-t}t^{z-1}\ dt

(1) ರಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಪರಿಮಿತಿಗಳೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ 

\Gamma(z) = \int\limits_0^{\infty} e^{-t}t^{z-1}\ dt 

ಈ ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು.

**(a)** ***t > 0*** ಆದಾಗ e^{-t} = \frac{1}{e^t}  ಆಗುವುದರಿಂದ 

I_1 = \int\limits_{\epsilon}^1 e^{-t}t^{z-1}\ dt > \int\limits_{\epsilon}^1 1.t^{z-1}\ dt = \int\limits_{\epsilon}^1 t^{z-1}\ dt = \left [ \frac{t^z}{z} \right ]^1_{\epsilon} = \frac{1}{z} - \frac{\epsilon^z}{z}  

ಆದ್ದರಿಂದ ***I1*** ರ ಉಚ್ಚ ಪರಿಬಂಧ ***1/z*** ಆಗಿರುವುದು. ಅಲ್ಲದೆ ***z*** ನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಟ್ಟು ***ε*** ನ್ನು ಕ್ರಮೇಣ ಶೂನ್ಯದತ್ತ ಸಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಿದರೆ (\epsilon > 0)\ \frac{1}{z} - \frac{\epsilon^z}{z} ನ ಬೆಲೆ ಏಕತಾನವಾಗಿ ವರ್ಧಿಸುವುದರಿಂದಲೂ ***I1 \lim_{\epsilon \to 0} I_1

ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು.

**(b)** ***t > 0*** ಆದಾಗ  

e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \cdots + \frac{t^n}{n!} + \cdots  

ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವೂ ಒಂದು ಧನಸಂಖ್ಯೆ. ಆದ್ದರಿಂದ

e^t > \frac{t^n}{n!}  ಅಥವಾ \frac{1}{e^t} 

ಅಂದರೆ e^{-t}  

\therefore e^{-t} t^{z-1}   

ಅಥವಾ e^{-t} t^{z-1}   

I_2 = \int\limits_1^{\delta} e^{-t}t^{z-1}\ dt   = \frac{n!}{n - z} \left \{ 1 - \frac{1}{\delta^{n - z}} \right \}  \therefore I_2   ಇಲ್ಲಿ ***n > z+1***

***z*** ನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಿಸಿ ***δ*** ದ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಅನಂತದತ್ತ ಸಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಿದಾಗ ***1 - 1/δn-z*** ನ ಬೆಲೆ ಏಕತಾನವಾಗಿ ವರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ***I2*** ರ ಬೆಲೆಯೂ ಏಕತಾನವಾಗಿ ವರ್ಧಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಇದರ ಒಂದು ಉಚ್ಚ ಪರಿಬಂಧ \frac{n!}{n-z} ಆಗುವುದು. \left ( I_2  ಆದ ಕಾರಣ \lim_{\delta \to \infty} I_2 ಪರಿಮಿತಿ ಕೂಡ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ

\Gamma(z) = \int\limits_0^{\infty} e^{-t}t^{z-1}\ dt

ಎಂಬ ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು.

ಈಗ \Gamma(z) = \int\limits_0^{\infty} e^{-t}t^{z-1}\ dt ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

\Gamma(z+1) = \int\limits_0^{\infty} e^{-t}t^z\ dt 

ಈಗ \int\limits_\epsilon^{\delta} e^{-t}t^z\ dt ಎಂಬ ಈ ಅನುಕಲವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಅನುಕಲಿಸಿದರೆ  

\int\limits_\epsilon^{\delta} e^{-t}t^z\ dt = \left [ -e^{-t}t^z \right ]^\delta_\epsilon + z\int\limits_\epsilon^{\delta} e^{-t}t^{z-1}\ dt

\left [ \frac{\epsilon^z}{e^\epsilon} - \frac{\delta^z}{e^\delta} \right ] + z \int\limits_\epsilon^\delta e^{-t}t^{z-1}\ dt  

ಹಿಂದಿನಂತೆ \frac{1}{e^\delta}  ಮತ್ತು \frac{\delta^z}{e^\delta}  ಮತ್ತು \lim_{\delta \to \infty} \frac{n!}{\delta^{n-z}} = 0, \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\epsilon^x}{e^\epsilon} = 0

ಆದ್ದರಿಂದ \epsilon \to 0, \delta \to \infty ಆದಾಗ ಪರಿಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ  

\Gamma(z+1) = \int\limits_0^\infty e^{-t}t^z\ dt = z \int\limits_0^\infty e^{-t}t^{z-1}\ dt  

ಆದ್ದರಿಂದ \Gamma(z+1) = z\Gamma(z)             ............ (2) 

ಇದು ***Γ(z)*** ಉತ್ಪನ್ನದ ಅತಿ ಮುಖ್ಯವಾದ ಲಕ್ಷಣ. ಕ್ರಮಗುಣಿತದ ಭಾವನೆಯ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಈ ***Γ(z)*** ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಕ್ರಮಗುಣಿತಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ***n! = n X (n - 1)!*** ಎಂಬ ಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ***Γ(z + 1) = zΓ(z)*** ಎಂಬ ಲಕ್ಷಣವಿದೆ.

ಈಗ ***Γ(z)*** ನ ಬೆಲೆ ***0 \Gamma(n) = \frac{1}{z(z+1)(z+2) \cdots (z+n-1)}\Gamma(z+n) ............... (4)

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗೆ ಆಧಾರ (3) ನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

***Γ(n) \Gamma(1) = \int\limits_0^\infty e^{-t}\ dt = 1 ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

## ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯವಾದ ಲಕ್ಷಣಗಳು 
***Γ(z)*** ನ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯವಾದ ಲಕ್ಷಣಗಳು: 

1. \Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n^z . n!}{z(z+1)\cdots(z+n)}	 

2. \Gamma(z) = e^{-Cz}\frac{1}{z}\prod\limits_{i=1}^\infty \frac{{e^{\frac{z}{i}}}}{1 + \frac{z}{i}}	 

ಇಲ್ಲಿ C = \lim_{n \to \infty} \left [ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} - \log n \right ]

***C*** ಗೆ ಆಯ್ಲರನ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಹೆಸರು.

3. ***Γ(z)*** ಗೆ ಆಯ್ಲರನ ದ್ವಿತೀಯ ಅನುಕಲ ಎಂಬ ಹೆಸರಿರುವುದನ್ನು ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದೆ. ಆತನ ಹೆಸರಿನ ಪ್ರಥಮ ಅನುಕಲಕ್ಕೆ ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅದರ ನಿರೂಪಣೆ ಹೀಗಿದೆ:  

B(x,y) = \int\limits_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\ dt  

ಈಗ ಇವೆರಡು ಅನುಕಲಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೀಗಿದೆ. 

\Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} 

ಇಲ್ಲಿ x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2} ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ 

\Beta(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\left [ \Gamma(\frac{1}{2} \right ]^2}{\Gamma(1)} 

ಆದರೆ \Beta \left ( \frac{1}{2},\frac{1}{2} \right ) = \pi ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಅಲ್ಲದೇ ***Γ(1) = 1*** ಆಗಿದೆ.

\therefore \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) = \sqrt{\pi} ಆಗುವುದು.

ಈಗ ***Γ(z + 1) = z Γ(z)*** ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ ***n*** ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ ***Γ(n + 1/2)*** ದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

4. ***z*** ನ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಸರಿಹೊಂದುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು: 

\Gamma(z) = \sqrt{2\pi}\, z^{z - \frac{1}{2}}e^{-z} + \mu(z) ...................................(1)

ಇಲ್ಲಿ \mu(z)= \sum_{n = 0}^\infty \left ( z + n + \frac{1}{2} \right ) \log \left ( 1 + \frac{1}{z+n} \right ) - 1 = \frac{\theta}{12z}, 0  ..............................(2)

ಮತ್ತು n! = \sqrt{2\pi}\, n^{n + \frac{1}{2}e^{-n} + \frac{\theta}{12n}} ......................................(3) 

\Gamma \left ( \frac{z}{2} \right )\Gamma \left ( \frac{z+1}{2} \right )\cdots\Gamma \left ( \frac{z+p-1}{p} \right ) = \frac{(2\pi)^{\frac{p-1}{2}}}{p^{z - \frac{1}{2}}}\Gamma(z) ....................................(4) 

ಇಲ್ಲಿ ***p*** ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ. ***p = 2*** ಆದಾಗ ಈ ಫಲಿತಾಂಶ ತಾಳುವ ರೂಪ 

\Gamma \left ( \frac{z}{p} \right )\Gamma \left ( \frac{z+1}{p} \right )\cdots\frac{\sqrt{\pi}}{2^{z-1}}\Gamma(z) ................................(5) 

(1), (2), (3)ಗಳು ***z*** ನ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ***Γ(z)*** ನಡೆದುಕೊಳ್ಳುವ ರೀತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳಿಗೆ ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗನ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು. ***p(z)*** ನ ಸರಿಸುಮಾರು ಬೆಲೆಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದರೆ, ***z*** ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆಲ್ಲ ***Γ(z)*** ನ ಬೆಲೆಗಳು ಯಥಾರ್ಥ ಬೆಲೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮೀಪ್ಯದಲ್ಲಿರುವುವು. (4)ಕ್ಕೆ ಗೌಸನ ಸೂತ್ರ (ಆತ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದುದರಿಂದ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರಲ್ಲಿ ***p = 2*** ಆದಾಗ ಬರುವ (5)ಕ್ಕೆ ಲಝಾಂಡರನ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಹೆಸರು.

5. ***Γ(z)*** ಮತ್ತು ***sin z*** ಗಳಿಗಿರುವ ಸಂಬಂಧ: 

\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin \pi z} 

ಇದರಲ್ಲಿ ***z = 1/2*** ಆದೇಶಿಸಿದರೆ ***[Γ(1/2)]2 = π*''' ಅಥವಾ \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) = \sqrt{\pi} ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ sinc ಉತ್ಪನ್ನದ ಅನಂತ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

\frac{\sin \pi z}{\pi z} =\prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right)

## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 
ವರ್ಗ:ಸಂಖ್ಯಾಸಿದ್ಧಾಂತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ