ಗೋಳ

**ಗೋಳ** ಎಂದರೆ  ಅರ್ಧವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರ ವ್ಯಾಸದ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಆಕೃತಿ (sphere). ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಅಂತಸ್ಥ ಸ್ಥಿರಬಿಂದುವೊಂದರಿಂದ ಸ್ಥಿರ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಸಕಲ ಬಿಂದುಗಳೂ ನೆಲೆಸಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈ. ಚಿತ್ರ (1)ರಲ್ಲಿ ೦ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು. OA=OB=OC=...=OH=r (ಸ್ಥಿರಾಂಕ) ಆಗಿರುವಂತೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ A ಯಿಂದ F ವರೆಗಿನ ಕೆಲವು ಪ್ರರೂಪೀ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದೆ. ಇಂಥ ಸಮಸ್ತ ಬಿಂದುಗಳೂ ನೆಲೆಸಿ ರಚಿಸುವ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಸಂವೃತಾಕೃತಿಯೇ ಗೋಳ. ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ (0) ಹೆಸರು ಕೇಂದ್ರ ; ಸ್ಥಿರ ದೂರದ (r) ಹೆಸರು ತ್ರಿಜ್ಯ.

ಒಂದು ಗೋಳ ಘನವಾಗಿರಬಹುದು (ಸಾಲಿಡ್) ಇಲ್ಲವೇ ಟೊಳ್ಳಾಗಿರಬಹುದು (ಹಾಲೋ). ಘನಗೋಳವನ್ನು ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಏಕಕೇಂದ್ರಿಯ ಟೊಳ್ಳು ಗೋಳಗಳ ಸಂಕಲನ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಉಂಟು. ಟೊಳ್ಳುಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ತೆಗೆದರೆ ಉಳಿಯುವುದು ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದು ಮಾತ್ರ. r ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಒಂದು ಗೋಳದ ಘನಗಾತ್ರ \tfrac{4}{3}\pi r^3. ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಲೆ 4\pi r^2. ಅನ್ಯಥಾ ಹೇಳದಿದ್ದರೆ ಇನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಗೋಳವೆಂದಾಗ ಘನಗೋಳವೆಂದು ಭಾವಿಸಬೇಕು.

## ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣ
ಕೇಂದ್ರವನ್ನು (o) ಮೂಲಬಿಂದುವಾಗಿಯೂ ಅದರ ಮೂಲಕ ಸಾಗುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬರೇಖೆಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷಗಳಾಗಿಯೂ ಆಯಬೇಕು. ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಚರಬಿಂದು P ಯ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳು  (x, y, z) ಆಗಿರಲಿ.OP = r (ಸ್ಥಿರಾಂಕ, ತ್ರಿಜ್ಯ) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ P ಯ ಪಥದ ಸಮೀಕರಣ
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
ಎಂದಾಗುವುದು. ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವೂ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದರಿಂದ, ಬೇರೆ ಯಾವ ಬಿಂದುವೂ ಇದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸದಿರುವುದರಿಂದ, ಇದೇ ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣ. ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು C (g,f,h) ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಈ ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣ
(x-g)^2 + (y-f)^2 + (z-h)^2 = r^2

x^2+y^2+z^2-2gx-2fy-2hz+g^2+f^2+h^2-r^2=0
ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದರ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ತಿಳಿಯುವ ಸಂಗತಿಗಳಿಷ್ಟು : ಇದೊಂದು x, y, z ಚರಗಳಲ್ಲಿನ ದ್ವಿಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣ ; ಇದರಲ್ಲಿ xy,yz,zx ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯ ; ಮತ್ತುx^2+y^2+z^2 ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮವಾಗಿವೆ. ವಿಲೋಮವಾಗಿ, ಈ ಗುಣಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿರುವ x, y, z ಗಳಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ದ್ವಿಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣ ಒಂದು ಗೋಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು.

## ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಗೋಳ
ಆಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಸಮತಲ ಹಾಗೂ ಒಂದು ಗೋಳವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ಇವೆ - ತಲ ಗೋಳವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲವೆ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲವೇ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮೊದಲಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತಲ ಮತ್ತು ಗೋಳಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆ ಒಂದು ವೃತ್ತ; ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ವೃತ್ತ ಬಿಂದು (ಸ್ಪರ್ಶಬಿಂದು) ಆಗುತ್ತದೆ ; ಮೂರನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿದೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.
S \equiv\!\,  x^2+y^2+z^2+2gx+2fy+2hz+c=0
ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣವು
P \equiv\!\, lx+my+nz+1=0
ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವೂ ಆಗಿದ್ದರೆ ಇವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ (ವೃತ್ತದ) ಸಮೀಕರಣ ಇವೆರಡನ್ನೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದರಿಂದ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ:
S = 0
P = 0

ಗೋಳವನ್ನು ಸಮತಲ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದಾಗ ಅದಕ್ಕೆ ಗೋಳದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲವೆಂದು ಹೆಸರು. ಗೋಳವನ್ನು ಸಮತಲ ಛೇದಿಸುವಾಗ ಲಭಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವರ್ಗದವು ಇವೆ. ಗೋಳಕೇಂದ್ರ ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರವೂ ಆಗಿರುವಂಥ ವೃತ್ತಗಳು - ಇವು ಮಹಾವೃತ್ತಗಳು;

ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರ ಗೋಳಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವಂಥ ವೃತ್ತಗಳು - ಇವು ಅಲ್ಪ ವೃತ್ತಗಳು. ಒಂದು ಗೋಳದಲ್ಲಿ ದೊರೆಯುವ ಒಂದೊಂದು ವರ್ಗದ ವೃತ್ತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಅನಂತ. ಎಲ್ಲ ಮಹಾವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳೂ ಗೋಳತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ. ಎಲ್ಲ ಅಲ್ಪವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳೂ ಗೋಳ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ.

## ಸರಳರೇಖೆ ಮತ್ತು ಗೋಳ
ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ ಒಂದು ಗೋಳವನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಬಲ್ಲದು ; ಇಲ್ಲವೇ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬಲ್ಲದು; ಇಲ್ಲವೇ ಛೇದಿಸದಿರಬಲ್ಲದು. ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆ ರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕರೇಖೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಗೋಳಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಸಾಗುವ ಎಲ್ಲ ಸರಳರೇಖೆಗಳೂ ಗೋಳದ ವ್ಯಾಸಗಳು. ರೂಢಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಸಾಗಿ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ಪರಿಮಿತ ರೇಖೆ ಎಂದು ಅರ್ಥ; ಇದರ ಉದ್ದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಎರಡರಷ್ಟು.

## ಮಹಾವೃತ್ತ
ಯಾವುದೇ ಮಹಾವೃತ್ತ ಗೋಳವನ್ನು ಎರಡು ಸಮಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ (ಇವು ಅರ್ಧಗೋಳಗಳು). \sigma ಇಂಥ ಒಂದು ಮಹಾವೃತ್ತ. o ಇದರ ಕೇಂದ್ರ (ಗೋಳದ ಸಹ).AOB ವ್ಯಾಸ \sigma ದ ತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆದ ವ್ಯಾಸ. ಇದಕ್ಕೆ  ಮಹಾವೃತ್ತದ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಮಹಾವೃತ್ತದ ತಲಕ್ಕೆ ಅದರ ಕೇಂದ್ರದ (ಗೋಳಕೇಂದ್ರದ) ಮೂಲಕ ಎಳೆದ ಸರಳರೇಖೆ ಆ ಮಹಾವೃತ್ತದ ಅಕ್ಷ ಎನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಈ ಅಕ್ಷದ ಎರಡು ಕೊನೆಗಳಿಗೆ (A, B) ಮಹಾವೃತ್ತದ ಧ್ರುವಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. P ಯು \sigma ದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು ಆಗಿದ್ದರೆ \angle AOP = \angle BOP  =**90°**  ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. \sigma ಮಹಾವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲ ಅಲ್ಪವೃತ್ತಗಳಿಗೂ AB ಯೇ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು A, B ಗಳೇ ಧ್ರುವಗಳು. ಇಂಥ ಒಂದು ಅಲ್ಪವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ Q ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಆಗ \angle AOQ \ne **90°** ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಬೇಕು.\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3, ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಮಹಾವೃತ್ತಗಳಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 7 ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪಾರ್ಶ್ವವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸಿದೆ.) ಇವು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲೆ ABC ಎನ್ನುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 7ರಲ್ಲಿ ನೆರಳು ಮಾಡಿದೆ). ಇದಕ್ಕೆ ಈ ಮಹಾವೃತ್ತಗಳು ರಚಿಸುವ ಗೋಳತ್ರಿಭುಜ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗೆ ಗೋಳತ್ರಿಕೋಣಮಿತಿ

## ಗೋಳಖಂಡ
P ಸಮತಲ S ಗೋಳವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಛೇದಿಸಿದಾಗ S1 ಮತ್ತು S2 ಎನ್ನುವ ಎರಡು ಗೋಳಖಂಡಗಳು ಲಭಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಒಂದೊಂದು ಖಂಡವನ್ನೂ ಗೋಳೀಯ ಟೊಪ್ಪಿಗೆ (ಸ್ಫೆರಿಕಲ್ ಕ್ಯಾಪ್) ಎಂದು ಕರೆಯುವುದುಂಟು.

S1 ಟೊಪ್ಪಿಗೆಯ ಪಾದವೃತ್ತದ (\sigma) ತ್ರಿಜ್ಯ a (=CL) ಮತ್ತು ಎತ್ತರ h (=CA) ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಅದರ ಘನಗಾತ್ರ \tfrac {\pi h}{6}(3a^2+h^2) ಮೇಲ್ಮೈಸಲೆ \pi(a^2+h^2). h = 2r, a = 0 ಆದಾಗ ಟೊಪ್ಪಿಗೆ ಗೋಳವೇ ಆಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ಗೋಳದ ಗಾತ್ರ  ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಸಲೆ 4pr^2 ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಗಮಿಸಬಹುದು. h ಅಂತರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಜೊತೆ ಸಮಾಂತರ (\sigma_1, \sigma_2) ತಲಗಳು ಗೋಳವನ್ನು ಛೇದಿಸಲಿ. ಈಗ ದೊರೆಯುವ ಟೊಪ್ಪಿಗೆಗಳ ಪಾದವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು r_1,r_2 ಆಗಿರಲಿ. ಟೊಪ್ಪಿಗೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದ ಬಳಿಕ ಉಳಿಯುವ ಗೋಳಖಂಡದ (S’) ಘನಗಾತ್ರ   \tfrac {\pi h}{6}(3r^2_1+3r^2_2+h^2)

ಪಾದವೃತ್ತಗಳ ಸಲೆಗಳುB_1(=pr1^2) ಮತ್ತುB_2(=pr2^2) ಎಂಬುದಾಗಿಯೂ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಗೋಳಛೇದದ (\sigma ವೃತ್ತ) ಸಲೆ M ಎಂಬು ದಾಗಿಯೂ ಭಾವಿಸಿದರೆ ಈ ಘನಗಾತ್ರದ ಬೆಲೆ \tfrac {h}{6}B_1+4M+B_2 ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಪ್ರಿಸ್ಮಾಯಿಡಲ್ ಸೂತ್ರವೆಂದು ಹೆಸರು. h = 2r, ಎಂದರೆ h ಅಂತರ ಗೋಳದ ವ್ಯಾಸ ಆದಾಗ r_1 = r_2 = o  ಆಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಗೋಳಖಂಡ ಇಡೀ ಗೋಳವೇ ಆಗುತ್ತದೆ. ಆಗ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿB_1 = B_2 = 0ಮತ್ತು M = \pi r^2 ಆಗುತ್ತವೆ; ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದ ಬೆಲೆ ಗೋಳದ ಘನಗಾತ್ರವನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವಂತೆ, \tfrac{2r}{6}4\pi r2 = **4/3** \pi r3. ಆಗುತ್ತದೆ.

## ಬಾಹ್ಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳು
*
*
*Mathematica/Uniform Spherical Distribution
* (computer animation showing how the inside of a sphere can turn outside.)
*Program in C++ to draw a sphere using parametric equation
*Surface area of sphere proof.

ವರ್ಗ:ಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ರೇಖಾಗಣಿತ