ಪ್ರಾಚಲೀಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ

**ಪ್ರಾಚಲೀಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ**ವು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರಾಚಲಗಳ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ (ಸಾಂತ) ಸಮೂಹದ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾದ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.

**ಪ್ರಾಚಲೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆ** ಎಂದರೆ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳಲ್ಲಿಯ ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಕುರಿತ ಆಧಾರಭಾವನೆಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆ (ಪ್ಯೆರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆಸ್ಟ್). ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು (random phenomena) ಅಭ್ಯಸಿಸಲು ಸಂಖ್ಯಾಕಲನವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿತರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕೆಲವು ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು (ಮೌಲ್ಯ ತಿಳಿಯದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು) ಆಧರಿಸಿದ್ದು, ಈ ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಕುರಿತ ಆಧಾರಭಾವನೆಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆಮಾಡಿ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆ ಮೂಲಕ ವಿತರಣೆಯ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನೂ ತಿಳಿಯುವುದು ಒಂದು ವಿಧಾನ. ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಇನ್ನೊಂದು. ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ, ದ್ವಿಪದ, ಪ್ಯಾಸಾನ್, ಚಲಘಾತೀಯ ಇವು ಪ್ರತಿರೂಪಗಳಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಕೆಲವು ವಿತರಣೆಗಳು.

## ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿತರಣೆ 
ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿತರಣೆಯನ್ನು

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi P}} \exp \left [ -\frac{1}{2} \left ( \frac{x - \mu}{\sigma} \right )^2 \right ] \frac{-\infty 

ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ***μ*** ಮತ್ತು ***σ*** ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಾಚಲಗಳು. ಬತ್ತದ ಹೊಸ ತಳಿಯೊಂದನ್ನು ರೂಢಿಸಲಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಹೊಸ ತಳಿ ಇದುತನಕವೂ ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದ ತಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇಳುವರಿ ಕೊಡುತ್ತದೆಯೋ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಹೊಸ ತಳಿಯ ಇಳುವರಿ hello (***X*** ಇರಲಿ) ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿತರಣೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂದು ಅಭಿಗ್ರಹಿಸಿದರೆ ***μ*** ಸರಾಸರಿ ಇಳುವರಿ. ***μ=50*** ಹೊಸತಳಿ ಇದುತನಕ ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದ ತಳಿಯಷ್ಟು, ***μ>50*** ಹೊಸತಳಿ ಇದುತನಕ ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದ ತಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇಳುವರಿ ಕೊಡುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಆಧಾರಭಾವನೆಗಳು. ಈ ಎರಡು ಆಧಾರ ಭಾವನೆಗಳ ಪೈಕಿ ಯಾವುದು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ಸಂಖ್ಯಾಕಲನೀಯ ಅನುಮೇಯ (ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಇನ್‌ಫರೆನ್ಸ್) ಪ್ರತಿ ಚಯವನ್ನು ಆಯ್ದ ನಿಯಮವೊಂದನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು. ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಪಡೆದ ಮೇಲೆ ಅವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಯಾವ ಆಧಾರಭಾವನೆ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದು. ಈ ನಿಯಮವೇ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಇದು ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದ್ದರೆ ಅದು ಪ್ರಾಚಲೀಯ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಪ್ರಾಚಲೀಯ (ವಿತರಣೆ ಮುಕ್ತ).

## ಉದಾಹರಣೆ 
ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಕ ***μ*** ವನ್ನು ಕುರಿತ ***H:μ=50*** ಆಧಾರಭಾವನೆಯನ್ನು ***K:> μ 50*** ಪರ್ಯಾಯ ಆಧಾರಭಾವನೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಬಳಸುವ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆ ಒಂದು ಪ್ರಾಚಲೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆ. ***X1, X2………Xn, n*** ಸ್ವತಂತ್ರ ಅವಲೋಕನಗಳಾದರೆ (ಅಂದರೆ ಒಂದು ಎಕರೆಯ ***n*** ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಪಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಬತ್ತದ ಇಳುವರಿಗಳು) ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆ

t = \frac{\sqrt{n(n-1)}(\bar{x} - 50)}{\sqrt{\sum\limits_i (x_i - \bar{x})^2}}

ಎಂಬುದರ ಮೌಲ್ಯ ***ta*** ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಆಧಾರಭಾವನೆ ***H*** ನ್ನು ***α***-ಲಕ್ಷ್ಯಾರ್ಹತೆ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಆಧಾರಭಾವನೆ ***K*** ಗೆ ಅನುಕೂಲವಾಗಿ ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತದೆ. ***tα*** ಸಂಧಿಸ್ಥ ಮೌಲ್ಯ (critical value). ಪರೀಕ್ಷೆ ಪ್ರತಿಚಯವನ್ನು (sample) ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದರಿಂದ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಧದ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇದೆ. ***H*** ನಿಜವಿರುವಾಗ ಅದನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದು ಮೊದಲನೆಯದು; ***H*** ನಿಜವಲ್ಲದಿರುವಾಗ ಅದನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವುದು ಎರಡನೆಯದು. ಈ ಎರಡು ವಿಧದ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಬಹಳ ವಿರಳ. ಸಂಖ್ಯಾಕಲನೀಯ ಅನುಮೇಯದಲ್ಲಿ ***H*** ನಿಜವಿರುವಾಗ ಅದನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಮೊದಲೇ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯ ***α*** ಕ್ಕಿಂತ (ಲಕ್ಷ್ಯಾರ್ಹತೆ ಮಟ್ಟ - significance level) ಜಾಸ್ತಿಯಾಗದಂತೆ ನೋಡಿಕೊಂಡು ಎರಡನೆಯ ವಿಧದ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುವುದರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಕನಿಷ್ಠತಮವಿರುವಂತೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗುವುದು. ಈ ತತ್ತ್ವ ಬಳಸಿ ಸಂಧಿಸ್ಥಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಶೋಧಿಸಲಾಗುವುದು. ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸ್ಥಮೌಲ್ಯ ***tα*** ವನ್ನು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಲಕ್ಷ್ಯಾರ್ಹತೆ ಮಟ್ಟಗಳಿಗೆ ಶೋಧಿಸಿ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯೇಕ್ತ ಲಕ್ಷ್ಯಾರ್ಹತೆ ಮಟ್ಟದ ಆಯ್ಕೆ ಮೊದಲನೆಯ ವಿಧದ ತಪ್ಪಿನ ಪರಿಣಾಮದ ತೀವ್ರತೆ, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು (***H*** ನಿಜವಲ್ಲದಿರುವಾಗ ಅದನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ) ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಟಿ-ನಿದರ್ಶಜ (t-statistic) ***H*** ನಿಜವಿರುವಾಗ (***n-1***) ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕಗಳುಳ್ಳ ಟಿ-ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅವಲೋಕನಗಳು ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯವಿರುವುದರಿಂದ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆ ಪ್ರಾಚಲೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆ.

ಚಲನೀಯ ***σ2*** ವನ್ನು ಕುರಿತ ಆಧಾರಭಾವನೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಕೈ-ವರ್ಗ ಪರೀಕ್ಷೆ, ಎರಡು ಚಲನೀಯಗಳ ಸಮತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ F-ಪರೀಕ್ಷೆ, ಚಲನೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಇವು ಇನ್ನು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಹೆಚ್ಚು ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಿತರಣೆಗಳ ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಕುರಿತ ಕೆಲವು ತರದ ಆಧಾರಭಾವನೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವುಳ್ಳ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ. ನೇಮನ್ ಮತ್ತು ಪಿಯರ್ಸನ್ ಈ ಬಗ್ಗೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವೊಂದನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾದ ಸಮಪ್ರಾಯಿಕ-ನಿಷ್ಪತ್ತಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನೂ (ಲೈಕ್ಲೀಹುಡ್ ರೇಶಿಯೊ ಟೆಸ್ಟ್) ರಚಿಸಬಹುದು.

ಮೇಲೆ ವಿವರಸಿದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಪ್ರಾಚಲೀಯ. ಇವಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಬಳಸಲೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲೂ ಸುಲಭವಾದ ಅಪ್ರಾಚಲೀಯ (ವಿತರಣಮುಕ್ತ) ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೂ ಇವೆ. ಪ್ರಾಚಲೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾದರೂ ಅಪ್ರಾಚಲೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಕಡಿಮೆ.

## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 
ವರ್ಗ:ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ