ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ

**ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ**  (ಸ್ಕಾಟಿಷ್ ಸಸ್ಯವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಾದ ರಾಬರ್ಟ್ ಬ್ರೌನ್ ಮತ್ತು ಚೇಸ್  ಬೌಡೀನ್ ನಂತರ ಈ ಹೆಸರಿಡಲಾಯಿತು.) ಅಥವಾ **ಪೆಡೆಸಿಸ್**  ಎಂಬುದು ಹರಿಯುವ ಪದಾರ್ಥದಲ್ಲಿ(ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀರಿನಂತ ದ್ರವ ಅಥವಾ ಗಾಳಿಯಂತಹ ಅನಿಲ) ತೇಲುತ್ತಿರುವ ಕಣಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ ಇಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಗಣಿತೀಯ (ಖಚಿತವಾದ) ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಗಣಿತೀಯ ಮಾದರಿ ಅನೇಕ ನೈಜ-ಪ್ರಾಪಂಚಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.   ಶೇರು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯ ಏರಿಳಿತಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿವೆ. ಆದರೂ, ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಘಟನೆಯಿಂದಾಗಿ ಶೇರು ಬೆಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಏರಿಳಿತ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಘಟನೆಗಳು ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಪುನಾರಾವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯು ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯ (ಅಥವಾ ನಡೆಯಬಹುದಾದ) ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿಯೇ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೇ ಇದು ಸರಳವಾದ ಮತ್ತು  ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ (ರಾಂಡಮ್ ವಾಕ್ ಮತ್ತು ಡಾನ್ಸ್ಕರ್  ನ  ಪ್ರಮೇಯ ವನ್ನು ನೋಡಿ) ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತ್ವವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತ್ವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಎರಡು ಸಂಗತಿಗಳಲ್ಲೂ, ಇದು ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಿಸುವ ಮಾದರಿಗಳ ನಿಖರತೆ ಗಿಂತ, ಗಣಿತೀಯ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನೇ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಯಸುತ್ತದೆ.

## ಇತಿಹಾಸ
"ಆನ್ ದಿ ನೇಚರ್ ಆಫ್ ಥಿಂಕ್ಸ್ " ಎಂಬುದು ಲ್ಯುಕ್ರಿಟಿಸ್ ಎಂಬ ರೋಮನ್ ಕವಿಯ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಪದ್ಯವಾಗಿದೆ. (c. 60 BC), ಇದು  ದೂಳಿನ ಕಣಗಳ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಗಮನ ಸೆಳೆಯುವಂತಹ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.   ಆತ ಪರಮಾಣುಗಳ ಇರುವಿಕೆಗೆ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿ ಈ ಪದ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡ್ಡಿದ್ದಾನೆ:

"ಸೂರ್ಯನ ಕಿರಣಗಳು ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲೆ ಬಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಸುಕಾದ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ನೆರಳಿನ ಬೆಳಕು ಬಿದ್ದಾಗ ಏನಾಗಬಹುದು ಗಮನಿಸಿ. ನೀವು ಅನೇಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಕಣಗಳು ಬೆರೆಯುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ನೋಡುವಿರಿ...ಅವುಗಳ ನೃತ್ಯವು ನಮ್ಮ ಕಣ್ಣಿಗೆ ಕಾಣಿಸದ ವಿಷಯಗಳ ಚಲನೆಯ ವಾಸ್ತವ ಸೂಚನೆಯಾಗಿವೆ. ಇವು ಪರಮಾಣುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹುಟ್ಟುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಷ್ಟಕ್ಕೆ ಅವೇ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ. [ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಹಜವಾಗಿ]. ನಂತರ ಆ ಸಣ್ಣ ಸಂಯುಕ್ತಗಳ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಪರಮಾಣುಗಳ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯಿಂದಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಮಾಣುಗಳು ಅವುಗಳ ಅದೃಶ್ಯ ಗಾಳಿಯ ಪ್ರಭಾವದಿಂದಾಗಿ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಅಲ್ಲದೇ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿನ ದೊಡ್ಡ ಆಕಾರಗಳಿಗೆ ಜೋರಾಗಿ ಡಿಕ್ಕಿ ಹೊಡೆಯುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಚಲನೆಯು ಪರಮಾಣುಗಳಿಂದ ಏರ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಹಾಗು ನಿಧಾನವಾಗಿ ನಮಗೆ ತಿಳಿಯುವ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಗೋಚರವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಸೂರ್ಯನ ಕಿರಣಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡುವ ಆಕಾರಗಳು ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅವು ಗೋಚರಿಸದಂತೆ ಉಳಿಯಲು ಗಾಳಿಯಿಂದ ನೂಕಲ್ಪಡುತ್ತವೆ."

ಧೂಳಿನ ಕಣಗಳ ಬೆರೆಯುವಿಕೆಯ ಚಲನೆ, ಗಾಳಿಯ ಪ್ರವಾಹದಿಂದ ಉಂಟಾದರೂ ಕೂಡ,ಸಣ್ಣ ಸಣ್ಣ ಧೂಳಿನ ಕಣಗಳ ಹೊಳೆಯುವ, ಉರುಳುವ ಚಲನೆ, ನಿಶ್ಚಯವಾಗಿಯೂ ಪ್ರಧಾನವಾಗಿ  ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಾಲಕಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾನ್ ಇನ್ಗೆನ್ ಹೌಸ್ಜ್ ಎಂಬಾತ 1785 ಆಲ್ಕಹಾಲ್ ನ ಮೇಲ್ಮೈನ ಮೇಲೆ ಕಲ್ಲಿದ್ದಲ ಧೂಳಿನ ಕಣಗಳ ಅನಿಯಮಿತ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾನೆ.  ಅದೇನೇ ಆದರೂ ರಾಬರ್ಟ್ ಬ್ರೌನ್ ಎಂಬ ಸಸ್ಯ ವಿಜ್ಞಾನಿ 1827 ರಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು  ಕಂಡುಹಿಡಿದನೆಂದು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ನಂಬಲಾಗಿದೆ.   ನೀರಿನಲ್ಲಿ ತೇಲುತ್ತಿದ್ದ ಪುಷ್ಪಧೂಳಿ ಕಣಗಳನ್ನು ಬ್ರೌನ್ ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕದ ಮೂಲಕ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಅವನು ಜಿಟರಿ ಚಲನೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ತರುವ ಮೂಲಕ, ಪುಷ್ಪಧೂಳಿ ಬೀಜದ ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಭಾಗದಿಂದ ಅತಿಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಕಣಗಳನ್ನು ಹೀರುವ ಪ್ರಯೋಗ ನಡೆಸಿದನು.  ಧೂಳಿನ ಕಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಪುಷ್ಪಧೂಳಿಯ ಕಣಗಳು 'ಜೀವಂತ'ವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಚಲನೆಯುಂಟಾಗುತ್ತಿದೆ, ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಿದನು. ಆದರೂ ಚಲನೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಇನ್ನೂ ವಿವರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಥೊರ್ವಾಲ್ಡ್ N. ಥಿಲೆ ಎಂಬಾತ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಹಿಂದೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿದಂತಹ ಮೊದಲನೆಯ ವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದಾನೆ. ಇದನ್ನು 1880 ರಲ್ಲಿ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ಲೀಸ್ಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಸ್ ವಿಧಾನದ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ. ಇದನ್ನು ಲೂಯಿಸ್ ಬ್ಯಾಚೆಲಿರ್ ಎಂಬುವವನು   1900 ರಲ್ಲಿ  ಅವನ PhD ಪ್ರಬಂಧದವಾದ "ದಿ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಸ್ಪೆಕ್ಯುಲೇಷನ್" ನಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸಿದ. ಈ ಪ್ರೌಢ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಶೇರು ಮತ್ತು ಐಚ್ಛಿಕ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಷಯವನ್ನು ಮಂಡಿಸಿದ. ಆದೇನೇ ಆದರೂ, ಅಲ್ಬರ್ಟ್ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ (ಆತನ 1905 ರ ಮಂಡನೆ) ಮತ್ತು  ಮರೀನ್ ಸ್ಮೊಲುಚೊವಾಸ್ಕಿ (1906), ಇವರಿಬ್ಬರು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸ್ವಂತತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹಾರ ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಗಮನ ಸೆಳೆದರು. ಅವರ ಮಂಡನೆಯನ್ನು ಪರಮಾಣುಗಳ ಮತ್ತು ಕಣಗಳ ಇರುವಿಕೆಯನ್ನು ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ಧೃಢಪಡಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಂಡಿಸಿದರು.

ಐನ್ಸ್ಟೈನ್,ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ದ್ರವ ಪದಾರ್ಥದಲ್ಲಿ ಉಷ್ಣೋತ್ಪಾದಕ ಉಷ್ಣಾಂಶ *T*  ಯಲ್ಲಿ ಕಣಗಳ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿಸರಣ ಗುಣಾಂಕ D = k_B T / b ದ ಮೂಲಕ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ  *k* B ಬೋರ್ಲ್ಟ್ಸ್ ಮನ್ ನ  ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಇದು *b*  ಕಣಗಳ ಮೇಲಿರುವ ರೇಖೀಯ ಘರ್ಷಣೆಯ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. (ಸ್ಟೋಕ್ಸ್/ಲೋ-ನಲ್ಲಿ ರೆನಾಲ್ಡಸ್ ಸಂದರ್ಭವು ಸಣ್ಣ ಕಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುತ್ತದೆ) ಎಂಬುದನ್ನು ಊಹಿಸಿದ್ದ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಟೈಮ್(ಸಮಯ) *t*  \sqrt{2Dt} ಆದ ನಂತರ ರೂಟ್ ಮೀನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ನ ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.. ಆದರೆ 1908 ರಲ್ಲಿ ಚೈಡೆಸೈಗ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು 1909 ರಲ್ಲಿ ಪೆರ್ರಿನ್ ಎಂಬುವವರು ಕೈಗೊಂಡ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯಿಂದಾಗಿ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ನ ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಯು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಧೃಢಪಟ್ಟಿತು.   ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಧೃಢೀಕರಣವು ಶಾಖದ ಚಲನಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿತು. 
 ಮೂಲಗುಣದಲ್ಲಿ,  ಉಷ್ಣಧಾರಕ ಸಮತೋಲನದ ಚಲನ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮಾದರಿಯಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಚಲನೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ತೋರಿಸಿದನು. ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಹತ್ವವು ಅದು ಚಲನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನೈಜತೆಯು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ನ  ಎರಡನೆಯ ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾಗಿ ವೇಗೋಷ್ಣಚಾಲಕಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.

## ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕರಿಸಿಕೊಂಡ ರೂಪಕ
ವ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ 10 ಮೀಟರ್ ಗಳಷ್ಟಿರುವ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬಲೂನ್ ಅನ್ನು ಇದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಿರಿ.  ಈ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬಲೂನ್ ಅನ್ನು ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಕ್ರೀಡಾಂಗಣದಲ್ಲಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.  ಬಲೂನ್ ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿತ್ತೆಂದರೆ ಅದು ಜನಜಂಗುಳಿಯ ಅನೇಕ ಜನರ ತಲೆಯ ಮೇಲಿತ್ತು.  ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ಭಾವೋದ್ವೇಗದಿಂದ ಕೂಡಿದ್ದರು. ಈ ಅಭಿಮಾನಿಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಲೂನ್ ಅನ್ನು ತಮ್ಮ ಮನಬಂದಂತೆ ಒಡೆದರು. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಬಲೂನ್ ಅನ್ನು ಮನಬಂದ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ನೂಕಲಾಯಿತು. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅದು ಸಾಧಾರಣ ಮಟ್ಟಕೂ ಚಲಿಸಲಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಿಸಲಾಗುವ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು.  ನಾವು ಬಲಭಾಗವನ್ನು ತಳ್ಳುತ್ತಿರುವ  20 ಕ್ರೀಡಾಭಿಮಾನಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು  ಎಡಭಾಗವನ್ನು ತಳ್ಳುತ್ತಿರುವ 21 ಇತರ ಕ್ರೀಡಾಭಿಮಾನಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಕ್ರೀಡಾಭಿಮಾನಿ ಸಮಾನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು  ಪ್ರಯೋಗಿಸುತ್ತಿದ್ದಾನೆ.  ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಿಸುತ್ತಿರುವ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮತೋಲನ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯ ಪ್ರಯೋಗವಾಗಬಹುದು; ಇದರಿಂದಾಗಿ ಬಲೂನ್ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಎಡಭಾಗದ ಕಡೆಗೆ ಸರಿಯುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧದ ಅಸಮತೋಲನೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೇ ಇದು ಬಲೂನ್ ನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲನೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶವನ್ನು ನಾವು ಮೇಲಿನಿಂದ ನೋಡಿದರೆ,  ಕ್ರೀಡಾಭಿಮಾನಿಗಳನ್ನು ನಮಗೆ ನೋಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಾವು ಅನಿಯತ ಚಲನೆಯಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾದ ಸಣ್ಣ ವಸ್ತುವಿನಂತೆ ಕಾಣುವ ದೊಡ್ಡ ಬಲೂನ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಬ್ರೌನ್ ನ ಪುಷ್ಪಧೂಳಿ ಕಣಗಳು ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಮನಬಂದಂತೆ ಚಲಿಸುವುದನ್ನು ನೋಡಿದರೆ: ನೀರಿನ ಅಣು ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು 0.1 by 0.2&nbsp;nm  ನಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ಪುಷ್ಪಧೂಳಿ ಕಣ ವ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ 25&nbsp;µm ನಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಿಂತ ಸುಮಾರು 250,000 ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪುಷ್ಪಧೂಳಿ ಕಣವನ್ನು ಬಲೂನ್ ಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಆಗ ಕ್ರೀಡಾಭಿಮಾನಿಗಳು ಬಲೂನ್ ಅನ್ನು ಸುತ್ತುಗಟ್ಟಿದ್ದರೂ ಎಂಬ ಈ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಉಳಿದಂತೆ ನೀರಿನ ಅಣುಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕ್ರೀಡಾಭಿಮಾನಿಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.    ಕಣದ ಘರ್ಷಣೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಯೋಗಿಸುವ ಸಂಯುಕ್ತಗಳ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ, ತತ್ ಕ್ಷಣಿಕವಾಗಿ ಅಸಮತೋಲನೆಯ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ದ್ರವದಲ್ಲಿರುವಂತಹ ಅಧಿಕ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಣ್ಣ ಸಣ್ಣ ಅಣುಗಳು (ಯಾದೃಚ್ಚಿಕ ಉಷ್ಣಧಾರಕ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವಂತವು.), ದ್ರವದಲ್ಲಿ ಕಣದ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯುಂಟಾಗಲು ಕಾರಣವಾಗಿವೆ.

ಆನ್ ಅನಿಮೇಷನ್ ಆಫ್ ದಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಮೋಷನ್ ಕಾನ್ಸೆಪ್ಟ್  ಜಾವಾ ಅಪ್ಲೆಟ್ ನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

## ಸಿದ್ಧಾಂತ
### 1D ಸ್ಮೊಲುಚೌಸ್ಕಿ ಮಾದರಿ
ಸ್ಮೊಲುಚೌಸ್ಕಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಗೆ ಒಳಪಡುವ ಕಣದ ಬಗ್ಗೆ  ವಿವರಿಸಲು 1906 ರಲ್ಲಿ  ಒಂದು-ವಿಮಿತೀಯ(ಆಯಾಮ) ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದನು. ಮಾದರಿಯು *M*   *m*  ನ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಘರ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಕಲ್ಪಸಿಕೊಂಡಿತು. ಇಲ್ಲಿ *M*  ಎಂಬುದು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಣದ ರಾಶಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ *m*  ಎಂಬುದು ದ್ರವ ಪದಾರ್ಥವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕಣಗಳಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಕಣದ ರಾಶಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.  ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಣವು ವೇಗ(ವಿಲಾಸಿಟಿ)*V*  ಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು  ದ್ರವ ಪದಾರ್ಥದ ಕಣವು ವೇಗ(ವಿಲಾಸಿಟಿ) *v* ಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಘರ್ಷಣೆಯ ನಂತರ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಣದ ವೇಗ(ವಿಲಾಸಿಟಿ) ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ \ಡೆಲ್ಟಾ V\approx (m/M)v ವರೆಗು ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ. ಕಣದ ಘರ್ಷಣೆಗಳು ಒಂದು ವಿಮಿತಿಯವರೆಗೆ ಪರಿಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇದು ಎಡಭಾಗದಿಂದ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಒಡೆಯುವಂತಹ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಣದಲ್ಲೂ ಬಹುಶಃ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘರ್ಷಣೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ \Delta V\ಡೆಲ್ಟಾ V ಯ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಭಾಗಮಾಡುತ್ತದೆ, N_R ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಘರ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ ಮತ್ತು N_L ಎಡಭಾಗದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಘರ್ಷಣೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ ನಂತರ *N* ಘರ್ಷಣೆಗಳ ನಂತರ ಕಣದ ವೇಗ(ವಿಲಾಸಿಟಿ)ವು \Delta V(2N_R-N)\ಡೆಲ್ಟಾ V(2N_R-N) ನಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕೂಡ ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆ ಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

:\frac{N!}{N_R!(N-N_R)!}

ಮತ್ತು 2^N ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಬಲಭಾಗದ N_R ಕಡೆಯಿಂದ ನೂಕುತ್ತಿರುವ ಕಣದ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯು ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತಿದೆ:

:P_N(N_R)=\frac{N!}{2^NN_R!(N-N_R)!}

ಈ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯಿಂದಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು.   ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೆಳೆಯುವ ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಒಟ್ಟು ವೇಗ(ವಿಲಾಸಿಟಿ)ದ ಬದಲಾವಣೆ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

:\Delta V\langle |2N_R-N|\rangle =\sum_{N_R=\frac{N}{2}}^N 2\,\Delta V(2N_R-N)P_N(N_R)=\frac{\Delta VNN!}{2^N\left(\left(\frac{N}{2}\right)!\right)^2}

ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ *N*  ನ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ:

:\Delta V\langle |2N_R-N|\rangle \approx\Delta V\sqrt{\frac{2N}{\pi}}.

ಅದರ ಸರಳತೆಯ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದಾಗಿ ಸ್ಮೊಲುಚೌಸ್ಕಿಯ  1D ಮಾದರಿಯು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಕೇವಲ ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು.  ದ್ರವ ಪದಾರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಗೆ ಒಳಪಡುವ ನೈಜ ಕಣಕ್ಕಾಗಿ ಅನೇಕ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಲಿಲ್ಲ. ಒಟ್ಟು ಇರುವಂತಹ ಕಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಣವು ಚಲನೆಯಲಿದ್ದಾಗ ಬಲಭಾಗ, ಎಡಭಾಗದಿಂದಲೂ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘರ್ಷಣೆ ಉಂಟಾಗಬಹುದು ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆ ಇದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ನಡೆಯುವ ಒಂದು ವಿತರಣೆಯ ಬದಲಿಗೆ ಸಂಭವವಿರುವ ವಿಭಿನ್ನ \Delta V\ಡೆಲ್ಟಾ Vs ವಿತರಣೆಯೂ ಕೂಡ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

## ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು
ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಡೆಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಈ ಲೇಖನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಕೊಡಲಾದ *ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ* ಯ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿನ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ.

### ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, **ವೀನರ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ**  ಎಂಬುದು ನಿರಂತರ  ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಈ ಹೆಸರನ್ನು ನಾರ್ಬರ್ಟ್ ವೀನರ್ ನ ಗೌರವಾರ್ಥವಾಗಿ ಇಡಲಾಯಿತು.   ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ಲೆವಿ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ (ಸ್ಥಿರಮತ್ತುಸ್ವತಂತ್ರ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಡ್ ಲ್ಯಾಗ್ ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ )ದಲ್ಲಿ ಇದು ಕೂಡ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದು ನೈಜ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ,ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ವೀನರ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ W_t ವನ್ನು ಮೂರು ವಿಷಯಗಳ ಮೂಲಕ ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ:
#\ W_0 = 0
#\ W_t  ಬಹುಪಾಲು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತದೆ
#\ W_t  ಎಂಬುದು W_t-W_s\sim \mathcal{N}(0,t-s)(0 \leq s \le tಗಾಗಿ) ವಿತರಣೆಗಳ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ  ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ 
\mathcal{N}(\mu, \sigma^2) ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ *μ* ಮತ್ತು  ವ್ಯತ್ಯಾಸ *σ* 2ದ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಸಹಜವಾದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅದು ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಎಂದರೆ 0 \leq s_1 \leq t_1 \leq s_2 \leq t_2 ನಂತರ W_{t_1}-W_{s_1} ಮತ್ತು  W_{t_2}-W_{s_2} ಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚರಗಳಾಗಿವೆ.

*ಲೆವಿ ವಿವರಣೆ* ಯು ವೀನರ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಪರ್ಯಾಯ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ವೀನರ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಬಹುಪಾಲು ಖಂಡಿತವಾಗಿ, W_0 = 0 ನ ಜೊತೆಗೆ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯತ್ಯಯನ[W_t, W_t] = tವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ವೀನರ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ರೋಹಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ವಂತತ್ರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚರಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು \mathcal{N}(0, 1) ಹೊಂದಿರುವ ಸೈನ್ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಕುರೆನೆನ್–ಲೊವೆಯ್ ಪ್ರಮೇಯ ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ವೀನರ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಚಿಕ ನಡಿಗೆ ಯ, ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಲಿಮಿಟ್ ನ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಇತರ ನಿರಂತರವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನನದ ಮೂಲಕವು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಡಾನ್ಸ್ಕರ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರಾಂಡಮ್ ವಾಕ್, ವೀನರ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ವಿಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ(ಇದು  ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ನಿಶ್ಚಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ ಇದು ಮುಂದೆ) ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಮೂರನೆ ವಿಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ರಾಂಡಮ್ ವಾಕ್ ಹೊರತಾಗಿ ಇದು ಸ್ಕೇಲ್ ಇನ್ ವೇರಿಯಂಟ್(ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಿರವಾದ ಗುಣ) ಆಗಿದೆ.

ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಕಣದ ಸ್ಥಾನದ ಕಾಲಗಣನೆಯನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಸಮೀಕರಣ ವು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಳಕೊಂಡ ಸಮೀಕರಣವು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಕಣದ ಮೇಲೆ ದ್ರಾವಕದ ಉಷ್ಣಧಾರಕ ಏರಿಳಿತಗಳುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.  ದೀರ್ಘಕಾಲಿಕ ಪ್ರಮಾಣದ ಮೇಲೆ ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಗಣಿತೀಯ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.  ಅಲ್ಪಕಾಲಿಕ ಪ್ರಮಾಣದ ಮೇಲೆ ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಜಡತ್ವದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಅದೇನೇ ಆದರೂ ಗಣಿತೀಯ *ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ* ಯು ಅಂತಹ ಜಡತ್ವದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟಿದೆ. ಜಡತ್ವದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದಲ್ಲಿ  ಸಮೀಕರಣವು ವಿಜಾತೀಯವಾಗಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಜಡತ್ವ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವಿವರಣೆ ದೊರೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ, ಕಣವು ಚಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಜಾತೀಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

### ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ
ವಿಸರಣ ಸಮೀಕರಣವು  ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ ಡೆನ್ಸಿಟಿ ಫಂಕ್ಷನ್(ಸಂಭವನೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕ್ರಿಯೆ) ನ ಕಾಲದ ಗಣನೆಯನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಭೌತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಡಿಯಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಗೆ ಒಳಪಡುವ ಕಣದ ಸ್ಥಾನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತದೆ.  ಈ ಅಂದಾಜೂ ಅಲ್ಪಕಾಲಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮೇಲೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ.

ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಕಣದ ಸ್ಥಾನದ ಕಾಲಗಣನೆಯನ್ನು  ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಶಕ್ತಿ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಸಮೀಕರಣವು ಕಣದ ಮೇಲೆ ದ್ರಾವಕದ ಉಷ್ಣಧಾರಕ ಏರಿಳಿತದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿಸರಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಪರಿಮಿತಿಗಳ ಮೇರೆಗೆ ಮತ್ತು ದ್ರಾವಣದ rms ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಗೆ ಒಳಪಡುವ ಕಣದ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು.   ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳಾಂತರವು ಕಾಲದ (ರೇಖೆಯಾಗಿ ಅಲ್ಲ.) ವರ್ಗಮೂಲದಂತೆ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೇ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಕಣಗಳ ವೇಗ(ವಿಲಾಸಿಟಿ)ದ ಮೇಲೆ ಹಿಂದೆ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಏಕೆ ಅಸಂಬದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದವು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.  ರೇಖೀಯ ಕಾಲದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ತಿಳಿಸಿಲ್ಲ.

## (ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ)ಲೆವಿ ವಿವರಣೆ
ಪೌಲ್ ಲೆವಿ ಎಂಬ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಕೆಳಕಂಡ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದನು, ಈ ಪ್ರಮೇಯ *n* -ವಿಮಿತೀಯ(ಆಯಾಮ) ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಗೆ ನಿರಂತರ **R** *n* -ಮೌಲ್ಯ ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾದ ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ *X* ಕ್ಕೆ ಬೇಕಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಅವಶ್ಯವಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದಾಗಿ, ಲೆವಿನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ  ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ.

 *X* &nbsp;=&nbsp;(*X* 1,&nbsp;...,&nbsp;*X* *n* ) ಇದು ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ  ಸಂಭವನೀಯ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಚಲನೆ ಮೇಲೆ(Ω,&nbsp;Σ,&nbsp;**P** ) ಇದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು **R** *n* ಎನ್ನಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಳಕಂಡವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:

# *X*, **P**  ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ **P**  ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ *X{/0 ನ ನಿಯಮವು {0}n* -ವಿಮಿತೀಯ(ಆಯಾಮ) ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪುಶ್-ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಮೆಷರ್ (ಮುಂದಕ್ಕೆ ನೂಕುವ ಅಳತೆ)  *X* ∗(**P** ) *C* 0([0, +∞); **R** *n* ) ನ ಮೇಲೆ ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ವೀನರ್ ಮೆಷರ್ ಆಗಿದೆ.
# ಎರಡೂ
## *X*, **P**  ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ  ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್  ಆಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಅದರದೇ ಆದ ಸಹಜ ಶೋಧನೆ); ಮತ್ತು
## ಎಲ್ಲಕ್ಕೂ 1&nbsp;≤&nbsp;*i*,&nbsp;*j* &nbsp;≤&nbsp;*n*, *X* *i* (*t* )*X* *j* (*t* )&nbsp;−*δ* *ij* *t*,  **P**  ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಆಗಿದೆ(ಮತ್ತು ಅದರದೇ ಆದ ಸಹಜ ಶೋಧನೆ), *δ* *ij* , ಕ್ರೊನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

## ರೈಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಬಹುಮುಖಿ
**R** *n*  ನ ಮೇಲೆ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಇನ್ ಫಿನಿಟೆಸ್ಮಿಲ್ ಜನರೇಟರ್(ಮತ್ತು ಇದರಿಂದಾಗಿ ಕ್ಯಾರೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಆಪರೇಟರ್) ಅನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ  ½Δ ಎಂದು ಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ Δ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್(ಕಾರ್ಯ ನಿರ್ವಹಣೆ) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವೀಕ್ಷಣೆಯು *m* -ವಿಮಿತೀಯ(ಆಯಾಮ) ರೈಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಬಹುದ್ವಾರಿ (*M*, *g* ) ಯ ಮೇಲೆ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ : *M*  ನ ಮೇಲೆ **ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ** ಯನ್ನು *M* ನ ಮೇಲಿನ ವಿಸರಣವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಿಂದು ಪಂಥೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ *x* *i* , 1&nbsp;≤&nbsp;*i* &nbsp;≤&nbsp;*m*, ಗಳಲ್ಲಿ  ಇದರ ವಿವರಣ ನಿರ್ವಾಹಕವನ್ನು \mathcal{A} ½ΔLB ನೀಡಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ΔLB  ಎಂಬುದು  ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್–ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದು. ಇದನ್ನು ಬಿಂದು ಪಂಥೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಲ್ಲಿ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

:\Delta_{\mathrm{LB}} = \frac1{\sqrt{\det(g)}} \sum_{i = 1}^{m} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left( \sqrt{\det(g)} \sum_{j = 1}^{m} g^{ij} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \right),

ಇಲ್ಲಿ [*g* *ij* ]&nbsp;=&nbsp;[*g* *ij* ]−1 ವರ್ಗ ಮಾತ್ರಿಕೆಯ ವಿಲೋಮದಂತಿದೆ.

## ಗುರುತ್ವದ ಚಲನೆ
ನಕ್ಷತ್ರದ ಬಲವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ,  ಬೃಹದಾಕರದಲ್ಲಿರುವವುಗಳು (ನಕ್ಷತ್ರ, ಕಪ್ಪು ಕುಳಿ, ಇತ್ಯಾದಿ.)  ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅನುಭವಿಸಬಹುದು. ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ನಕ್ಷತ್ರಗಳಿಂದ ಅದು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಶಕ್ತಿಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತದೆ. ಬೃಹದಾಕಾರದ ವಸ್ತುವಿನ  rms ವೇಗ(ವಿಲಾಸಿಟಿ) V, ರಾಶಿM ನ ವೇಗವು, ಹಿಂದೆ ಇರುವ ನಕ್ಷತ್ರದ  rms ವೇಗ(ವಿಲಾಸಿಟಿ) v_\starಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತದೆ.  
: MV^2 \approx m v_\star^2 
ಇಲ್ಲಿ m\ll M ಎಂಬುದು ಹಿಂದೆ ಇರುವ ನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ. ಬೃಹದಾಕಾರದ ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ಹೊರಬರುವ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲವು ನಕ್ಷತ್ರಗಳು ಅವುಗಳ ಮಾಮೂಲಿನ ಚಲನೆಗಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಚಲಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೇ v_\star ಮತ್ತು V ಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.

## ಜನಪ್ರಿಯ ಸಂಸ್ಕೃತಿ
ಡೌಗ್ಲಾಸ್ ಆಡಮ್ಸ್ ಎಂಬ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಲೇಖಕ,ಅವನ ದಿ ಹಿಚ್ಚಿಕರ್'ಸ್ ಗೈಡ್ ಟು ದಿ ಗೆಲ್ಯಾಕ್ಸಿ ಎಂಬ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಫೈನೆಟ್ ಇಮ್ ಪ್ರಾಪಬಿಲಿಟಿ ಜನರೇಟರ್ ನ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಜನಪ್ರಿಯ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ  ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ ಗೋಚರಿಸುವಂತೆ ಮಾಡಿದನು.  ಈ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಜನರೇಟರ್ ಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾದ  ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲನೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಪರಮಾಣ್ವಕ ಸದಿಶ ನಕ್ಷರೇಖಿ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. "ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಸಿ ಚಹಾದಲ್ಲಿನ "  ತೇಲಾಡುತ್ತಿರುವ ಕಣಗಳು ವೇಗೋಷ್ಣದ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ.

## ಇವನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ
* ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಬ್ರಿಡ್ಜ್: ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ "ಬ್ರಿಡ್ಜ್" ಮೌಲ್ಯವನ್ನು   ಅನ್ನು ಬೇಡುವ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ
* ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಾಲಕಶಕ್ತಿಗಳು
* ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಮೋಟರ್
* ಬ್ರೌನಿಯನ್ ರಾಚಿಟ್
* ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಟ್ರಿ
* ಆವರ್ತನೀಯ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ
* ಸಂಕೀರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆ
* ವಿಸರಣ ಸಮೀಕರಣ
* ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ
* Itō ವಿಸರಣ: ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವುದು 
* ಲ್ಯಾಂಗೆವಿನ್ ಸಮೀಕರಣ
* ಲೆವಿ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ನಿಯಮ
* ಸ್ಥಳೀಯ ಸಮಯದ  (ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ)
* ಆಸ್ಮೋಸಿನ್ (ಪರಾಸರಣ)
* ರೆಡ್ ನಾಯ್ಸ್  ಅನ್ನು  *ಬ್ರೌನ್ ನಾಯ್ಸ್*  ಎಂದು ಕೂಡ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮಾರ್ಟೀನ್ ಗಾರ್ಡ್ನರ್ ಎಂಬುವವನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳೊಡನೆ ಶಬ್ದವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವುದಕ್ಕೆ ಈ ಹೆಸರನ್ನು ಇಟ್ಟನು. ಇದು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ವೈಟ್  ನಾಯ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗಟ್ಟಿಸುತ್ತದೆ)
* ಸ್ಚರ್ಮ್ಮ್–ಲೋವ್ನರ್ ವಿಕಾಸ
* ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸರಣ: ಒಂದು ರೀತಿಯ ಅಸಹಜವಾದ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ.
* ಟಿಂಡಲ್ ಪರಿಣಾಮ: ಕಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಭೌತಿಕ ರಾಸಾಯನಿಕ ವಿಷಯ; ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ಮಿಶ್ರಣಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
* ಅತಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ದರ್ಶಕ
* ಏಕೈಕ ಕಣದ ವಿಭಜನೆ

## ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು
## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು
* ಬ್ರೌನ್, ರಾಬರ್ಟ್, " ಅಬ್ರೀಫ್ ಅಕೌಂಟ್ ಆಫ್ ಮೈಕ್ರೋಸ್ಕೋಫಿಕಲ್ ಅಬ್ಸರ್ವೇಷನ್ ಮೇಡ್ ಇನ್ ದಿ ಮನ್ ತ್ಸ್ ಆಫ್ ಜೂನ್, ಜುಲೈ ಅಂಡ್ ಆಗಸ್ಟ್, 1827, ಆನ್ ದಿ ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ಸ್ ಕನ್ಟೈನ್ಡ್ ಇನ್ ದಿ  ಪೊಲೆನ್ ಆಫ್ ಪ್ಲಾಂಟ್ಸ್; ಅಂಡ್ ಆನ್ ದಿ  ಜನರಲ್ ಎಕ್ಸಿಸಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಆಫ್ ಆಕ್ಟಿವ್ ಮೊಲೆಕ್ಯುಲ್ಸ್ ಇನ್ ಆರ್ಗ್ಯಾನಿಕ್ ಅಂಡ್ ಇನ್ ಆರ್ಗ್ಯಾನಿಕ್ ಬಾಡೀಸ್." Phil. Mag. 4, 161–173, 1828. (PDF ವರ್ಷನ್ ಆಫ್ ಒರಿಗಿನಲ್ ಪೇಪರ್ ಇನ್ ಕ್ಲ್ಯೂಡಿಂಗ್ ಅ ಸಬ್ ಸಿಕ್ವೆಂಟ್ ಡಿಫೆನ್ಸ್ ಬೈ ಬ್ರೌನ್ ಆಫ್ ಹಿಸ್ ಒರಿಗಿನಲ್ ಅಬ್ ಸರ್ವೇಷನ್ಸ್, *ಅಡಿಷನಲ್ ರಿಮಾರ್ಕ್ಸ್ ಆನ್ ಆಕ್ಟಿವ್ ಮೊಲೆಕ್ಯುಲ್ಸ್*.)
* ಚೌಡೆಸೈಗ್ಯುಸ್, M. (1908) 'ಲೆ ಮೌಮೆಂಟ್ ಬ್ರೌನಿಯನ್ et le ಫಾರ್ಮುಲಾ d'ಐನ್ಸ್ಟೈನ್' *ಕಾಂಪೆಟ್ಸ್ ರೆಂಡಸ್*, 147 pp&nbsp;1044–6
* ಕ್ಲಾರ್ಕ್, P. (1976) 'ಆಟೋಮಿಸಮ್  ವರ್ಸಸ್ ಥರ್ಮೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್' ಇನ್  *ಮೆಥಡ್ ಅಂಡ್ ಅಪ್ರೈಸಲ್ ಇನ್ ದಿ ಫಿಸಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸ್*, ಕೂಲಿನ್ ಹೌಸನ್ (Ed), ಕೇಮ್ ಬ್ರಿಡ್ಜ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಮುದ್ರಣಾಲಯ1976
* 
* ಐನ್ಸ್ಟೈನ್, A. "ಇನ್ ವೆಸ್ಟಿಗೇಷನ್ಸ್ ಆನ್ ದಿ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಮೂಮೆಂಟ್". ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್: ಡೋವರ್, 1956. ISBN 0-486-60304-0 http://lorentz.phl.jhu.edu/AnnusMirabilis/AeReserveArticles/eins_brownian.pdf 
* ಹೆನ್ರಿ, V(1908) 'ಎಟುಡ್ಸ್  ಸಿನಿಮಾಟೋಗ್ರಫಿಕ್ ಡು ಮೂಮೆಂಟ್ ಬ್ರೌನಿಯನ್' *ಕಾಂಪೆಟ್ಸ್ ರೆಂಡಸ್*  146 pp&nbsp;1024–6
*ಲ್ಯುಕ್ರಿಟಿಸ್, 'ಆನ್ ದಿ ನೇಚರ್ ಆಫ್ ಥಿಂಕ್ಸ್.' ವಿಲಿಯಂ ಎಲೆರಿ ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ನಿಂದ ಅನುವಾದಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. (*ಆನ್-ಲೈನ್ ವರ್ಷನ್*, ಫ್ರಮ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ ಗ್ಯುಟೆನ್ ಬರ್ಗ್. ಸೀ ದಿ ಹೀಡಿಂಗ್  'ಅಟೋಮಿಕ್ ಮೋಷನ್ಸ್'; ಈ ಅನುವಾದವು ಮೇಲೆ ಹೇಳಲಾಗಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ  ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ).
* ನೆಲ್ಸನ್, ಎಡ್ವರ್ಡ್, *ಡೈನಮಿಕಲ್ ಥಿಯರೀಸ್ ಆಫ್ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಮೋಷನ್*  (1967) &nbsp; (PDF ವರ್ಷನ್ ಆಫ್ ಥಿಸ್ ಜೌಟ್-ಆಫ್ ಪ್ರಿಂಟ್ ಬುಕ್, ಫ್ರಮ್ ದಿ ಆಥೋರ್ಸ್  ವೆಬ್ ಪೇಜ್.)
* J. ಪೆರಿನ್, "ಮೂಮೆಂಟ್ ಬ್ರೌನಿನ್ ಎಟ್ ರಿಯಲೈಟ್ ಮೊಲೆಕ್ಯುಲರ್". *Ann. Chim. * *Phys.*  8ième série **18**, 5–114 (1909). ಪೆರಿನ್  ನ ಪುಸ್ತಕವಾದ "ಲೆಸ್ ಆಟಮ್ಸ್" ಅನ್ನು ನೋಡಿ (1914).
* ರುಬಿನ್ D. ಕೊಹೆನ್ (1986) "ಸೆಲ್ಫ್ ಸಿಮಿಲಾರಿಟಿ ಇನ್ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಮೋಷನ್ ಅಂಡ್ ಅಧರ್ ಎರಾಗ್ಡಿಕ್ ಫೆನೊಮೆನ", *ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಕೆಮಿಕಲ್ ಎಜುಕೇಷನ್ 63*, pp.&nbsp;933–934 http://rdcohen.50megs.com/BrownianMotion.pdf
* 
* ಸ್ವೆಡ್ ಬರ್ಗ್, T. *ಸ್ಟುಡಿಯನ್ ಸುರ್ ಲೆಹರೆ ವಾನ್ ದೆನ್ ಕೊಲೊಡೆನ್ ಲಾಸಂಗೇನ್*  1907
* ಥಿಲೆ, T. N. ಡ್ಯಾನಿಶ್ ವರ್ಷನ್ : "ಓಮ್ ಆನ್ವೆಂಡಲೇಸ್ ಆಫ್ ಮಿಂಡಸ್ಟೆ ಕ್ವಾಡ್ರ್ಯಾಟರಸ್ ಮೆಥಡ್ i ನಾಗ್ಲೆ  ಟಿಲ್ಫ್ಯಾಲ್ಡೆ, ವಾರ್ ಎನ್ ಕಾಂಪ್ಲಿಕೇಷನ್ ಆಫ್ ವಿಸ್ಸೆ ಸ್ಲ್ಯಾಗ್ಸ್   ಎನ್ಸರ್ಟೆಡ್ ಟಿಲ್ಫ್ಲೆಡ್ಜ್  ಫೆಜಲ್ ಕಿಲ್ಡರ್ ಗಿವರ್ ಫೆಜ್ಲೆನ್  ಎನ್ ‘ಸಿಸ್ಟೆಮ್ಯಾಟಿಸ್ಕ್’ ಕಾರ್ಕಟರ್". ಫ್ರೆಂಚ್ ವರ್ಷನ್: "ಸುರ್ ಲಾ ಕಾಂಪೆನ್ಸೇಷನ್ ದೆ  ಕ್ವೆಲ್ ಕ್ವೇಸ್  ಎರೆರ್ಸ್  ಕ್ವಾಸಿ-ಸಿಸ್ಟಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಪ್ಯಾರ್ ಲಾ ಮೆಥೆಡ್ಸ್ ದೆ ಮೊಯಿನ್ ದ್ರೆ ಕರೇಸ್  " ಪಬ್ಲಿಷ್ಡ್ ಸೈಮಲ್ಟೇನಿಯಸ್ಲಿ ಇನ್ *ವಿಡೆನ್ಸ್ಕ್. * *ಸೆಲ್ಸ್ಕ್. * *Skr. * *5. * *Rk., naturvid. og mat. * *Afd.*, 12:381–408, 1880.

## ಎಕ್ಸ್ಟರ್ನಲ್ ಲಿಂಕ್ಸ್
*ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ ಜಾವಾ ಸ್ಟಿಮ್ಯುಲೇಷನ್ 
*ಆರ್ಟಿಕಲ್ ಫಾರ್ ದಿ ಸ್ಕೂಲ್ ಗೋಯಿಂಗ್-ಚೈಲ್ಡ್
*ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಆನ್ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಮೇಷನ್  
*ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ, "ಡೈವರ್ಸೆ ಅಂಡ್ ಅನ್ ಡಲೇಟಿಂಗ್"
*ಶಾರ್ಟ್ ಮೂವಿ ಆನ್ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಮೋಷನ್ 

ವರ್ಗ:ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ
ವರ್ಗ:ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್ಸ್
ವರ್ಗ:ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್
ವರ್ಗ:ಕಾಲಾಯ್ಡಲ್ ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ
ವರ್ಗ:ರಾಬರ್ಟ್ ಬ್ರೌನ್ (ಸಸ್ಯ ವಿಜ್ಞಾನಿ)