ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆ

thumb|ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯತಾಸಾಂದ್ರತೆ ಉತ್ಪನ್ನ
**ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆ** ಎಂಬುದು ಸಂಖ್ಯಾಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ (ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್) ಬರುವ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ; ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ \Gamma(n) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಹೆಸರು ಬಂದಿದೆ. ಈಗ \Gamma(n) = \int\limits_0^\infty x^{n-1}e^{-x} dx,\, n > 0 ಎಂಬುದು ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರೂಪಣೆ. ಇಲ್ಲಿ ***x*** ಎಂಬುದು ಅನೃಣ (ನಾನ್‌ನೆಗೆಟೆವ್) ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ (continuous) ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿಚರವಾಗಿದ್ದು (ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ ವೇರಿಯೆಬಲ್) ಅದರ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಾಂದ್ರತೆ G = (x|a) = \frac{1}{\Gamma(a)} e^{-x}x^{a-1} ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ***x*** ನ ವಿತರಣೆಗೆ **ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆ** ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದನ್ನು ***G(x)*** ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವುದೂ ಉಂಟು. ಇಲ್ಲಿ ***a > 0*** ಇರಬೇಕು. ***a*** ಗೆ ಈ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಾಚಲ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ವಿಚರಕ್ಕೆ (ವೇರಿಯೇಟ್) ಗ್ಯಾಮ ವಿಚರವೆಂದು ಹೆಸರು.

## ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯ ಗುಣಗಳು 
ಈ ವಿತರಣೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ x-ಅಕ್ಷ ಅನಂತಸ್ಪರ್ಶಿ (ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್) ಆಗಿರುವುದು. ***a > 1*** ಆದಾಗ ***x = a - 1*** ಎಂಬಲ್ಲಿ ಬಹುಳಕ (ಮೋಡ್) ಇರುವುದು. ***x > 2*** ಆದಾಗ x-ಅಕ್ಷ ಈ ವಕ್ರವನ್ನು ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ***1 E(x) = \int\limits_0^\infty \frac{e^{-x}x^a}{\Gamma(a)} \, dx ಎಂಬ ಸಾಮ್ಯದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಈ ಅವಕಲವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ***μ = E(x) = a*** ಎಂಬ ಬೆಲೆ ದೊರೆಯುವುದು. ***x = 0*** ಬಿಂದುವನ್ನು ಕುರಿತು ಎರಡನೆಯ ಘೂರ್ಣವನ್ನು (ಮೊಮೆಂಟ್) ಗಣಿಸಲು ***a (a + 1)*** ದೊರೆಯುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಿತರಣೆಯ ವಿಚರಣೆ (ವೇರಿಯನ್ಸ್) ***a*** ಇರುವುದು. ಅಂದರೆ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ವಿಚರಣೆ ಎರಡೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುವು. ಈ ಗುಣ ಪೋಸಾನ್ ವಿತರಣೆಗೂ ಇರುವುದೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ***x = 0*** ಬಿಂದುವನ್ನು ಕುರಿತು ***r*** ನೆಯ ಘೂರ್ಣವನ್ನು ಗಣಿಸಲಾಗಿ '''''μr' = a (a+1) (a+2) ... ... (a+r-1)*** ಎಂಬ ಫಲ ದೊರೆಯುವುದು.

ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಗುಣವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ***x*** ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಿಚರ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು (ನಾರ್ಮಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್) ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ ಎನ್ನೋಣ. ಇದರ ಮಧ್ಯಮ ***a*** ಇದ್ದು ಶಿಷ್ಟವಿಚಲನೆ (ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಡೀವಿಯೇಷನ್) ***σ*** ಇದ್ದರೆ u = \frac{1}{2}(x-a)^2/\sigma^2 ಎಂಬ ಒಂದು ಹೊಸ ವಿಚರವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ. ***x*** ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿ -\infty ದಿಂದ +\inftyದ ವರೆಗೆ ಇರುವುದು. ಆದರೆ ***u*** ವಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ***0*** ಯಿಂದ +\infty ದ ವರೆಗೆ ಇರುವುದು. ಇವನ್ನು ಲಕ್ಷ್ಯದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ***u*** ವಿಚರದ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಗಣಿಸಲಾಗಿ e^{-u}u^{-\frac{1}{2}}/\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) ದೊರೆಯುವುದು. ಇದರಿಂದಾಗಿ ***u*** ಎಂಬುದು ಪ್ರಾಚಲ ***1/2*** ಇರುವ ಗ್ಯಾಮವಿಚರ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಈ ಫಲಿತವನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು: ಮಧ್ಯಮ ***a*** ಮತ್ತು ಶಿಷ್ಟವಿಚಲನೆ ***σ*** ಇರುವ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಮೇರೆಗೆ ***x*** ನ ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಿಚರ ಹರವಿದ್ದಾಗ u = \frac{(x - a)^2}{2\sigma^2} ಎಂಬುದು ಪ್ರಾಚಲ \frac{1}{2} ಇರುವ ಗ್ಯಾಮವಿಚರವಾಗಿರುವುದು. ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಫಲಿತ.

**ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯ ಘೂರ್ಣ ಜನಕ ಉತ್ಪನ್ನ (ಮೊಮೆಂಟ್ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್)** 

M(h) = \int\limits_0^\infty e^{hx}G(x)\, dx 

ಇದರಲ್ಲಿ ***0-a*** ಎಂದಾಗುವುದು, ಹಾಗೂ ಇದರ ಲಕ್ಷಣ ಉತ್ಪನ್ನ (ಕ್ಯಾರೆಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್) 

C(h) = \int\limits_0^\infty e^{ihx} G(x)\, dx = (1 - ih)^{-1} = 1 + iah + \frac{i^2 h^2}{2!} a(a+1) + \cdots 

ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ವಿತರಣೆಯ ಘೂರ್ಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಇದೇ ರೀತಿ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯ ಸಮಾಕಲಿತ (ಕ್ಯುಮ್ಯುಲೆಂಟ್) ಜನಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗಣಿಸಲು 

k(h) = -a\log (1-ih) = a \left [ ih + \frac{(ih)^2}{2} + \frac{(ih)^3}{3} + \cdots \right ] 

ಆದ್ದರಿಂದ ***k1 = a, k2 = a, k3 = 2a, k4  = 6a, ... .., kr = aΓ(r)*** ಈ ಸಾಮ್ಯಗಳಿಂದಲೂ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಮಾನ (ಮೀನ್) ಮತ್ತು ವಿಚರಣೆ ***a*** ಗೆ ಸಮ ಎಂಬುದು ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಚರಣೆಯ ಅಸಮ್ಮಿತಿ (ಸ್ಕ್ಯೂನೆಸ್) \frac{\kappa_3}{\kappa_2^{3/2}} = \frac{2}{\sqrt{a}} ಮತ್ತು ಶೃಂಗತೆ (ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್) \frac{k_4}{k_2^2} = \frac{6}{a}. ಪ್ರಾಚಲ ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆಲ್ಲ ಈ ವಿತರಣೆ ಸಮಾಂಗ ವಿತರಣೆಯನ್ನು (ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್) ಸಮೀಪಿಸುವುದು.

ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಗೂ χ2 (ಕೈ-ಸ್ಕ್ವೇರ್) ವಿತರಣೆಗೂ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಉಂಟು. ***x1, x2, ... ..., xn*** ಎಂಬವು ಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಚರಗಳಾದರೆ (ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ನಾರ್ಮಲ್ ವೇರಿಯೇಟ್ಸ್) ಇವುಗಳ ವರ್ಗಸಂಕಲನವನ್ನು ***χ2*** ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ ***χ2 = x12 + x22 + ... + xn2***. ಇಲ್ಲಿ ***n*** ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ (ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಮ್). ಇದು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕು (positive integer). ***xi*** ಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ -\infty ದಿಂದ +\infty ದ ವರೆಗೆ ಇದ್ದು ***χ2*** ದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ 0 ಯಿಂದ +\infty ದ ವರೆಗೆ ಇರುವುದು. \frac{\chi^2}{2} = z ಎಂದು ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ ***z*** ವಿಚರದ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಾಂದ್ರತೆ \frac{e^{-z}z^{\frac{n}{2}}}{\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )} ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದರಿಂದ ***z*** ವಿಚರದ ವಿತರಣೆ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆ ಆಗಿರುವುದೆಂದೂ, ಅದರ ಪ್ರಾಚಲ \frac{n}{2} ಇರುವುದೆಂದೂ ತಿಳಿಯಬರುತ್ತದೆ. ***z*** ವಿಚರದ ಪ್ರಾಚಲ ***χ2*** ವಿಚರದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಇರುವುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಅಂದರೆ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ***z*** ವಿಚರದ ಪ್ರಾಚಲ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಆರ್ಧದಷ್ಟಿದ್ದಾಗ ಅದು ***χ2*** ವಿತರಣೆಯೊಡನೆ ಅಭಿನ್ನವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವುದು.

### ಗ್ಯಾಮವಿಚರಗಳ ಸಂಕಲನ 
ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಹಲವು ಗ್ಯಾಮ ವಿಚರಗಳ ಸಂಕಲನದ ಕೆಲವು ಗುಣಗಳನ್ನು ಈಗ ವಿವೇಚಿಸೋಣ. ***x,y*** ಎಂಬವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಗ್ಯಾಮವಿಚರಗಳಾಗಿದ್ದು ಅವುಗಳ ಪ್ರಾಚಲಗಳು ***a, b*** ಆಗಿರಲಿ. ***u = x+y*** ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ***u*** ವಿಚರ ***(a+b)*** ಪ್ರಾಚಲದ ಗ್ಯಾಮವಿಚರವಾಗುವುದು. ಇದರ ವಿಲೋಮ ಕೂಡ ಸಾಧು. ಅಂದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಎರಡು ಧನವಿಚರಗಳ ಮೊತ್ತ ***a+b*** ಪ್ರಾಚಲದ ಗ್ಯಾಮವಿಚರವಾಗಿದ್ದು ಅವುಗಳಲ್ಲೊಂದು ***a*** ಪ್ರಾಚಲದ ವಿಚರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಚರ ***b*** ಪ್ರಾಚಲದ ಗ್ಯಾಮವಿಚರವಾಗಿರುವುದು. ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮೇಯದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಬಹುದು. ***x1, x2 ,... ..., xn*** ಎಂಬವು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗ್ಯಾಮವಿಚರಗಳಾಗಿದ್ದು ಅವುಗಳ ಪ್ರಾಚಲಗಳು ***a1, a2, ... ..., an*** ಆಗಿದ್ದರೆ ***u = x1 + x2 + ... + xn*** ಎಂಬ ವಿಚರದ ವಿತರಣೆ ***a1 + a2 + ... + an'''* ಪ್ರಾಚಲದ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆ ಆಗಿರುವುದು. ಈ ಗುಣಕ್ಕೆ *ಪ್ರಜನನ ಗುಣ* (ರಿಪ್ರೊಡಕ್ಟಿವ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅಂದರೆ ಗ್ಯಾಮವಿತರಣೆಗೆ ಪ್ರಜನನ ಗುಣ ಉಂಟೆಂದಂತಾಯಿತು.

ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೂ, ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಗೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು: ***xi (i = 1, 2, ... ..., n)*** ಎಂಬ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿಚರಗಳ ವಿತರಣೆಗಳು ಮಧ್ಯಮಾನ (ಮೀನ್) ಸೊನ್ನೆಯುಳ್ಳ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಳಾಗಿದ್ದು ಅವುಗಳ ಶಿಷ್ಟವಿತರಣೆಗಳು ***σi*** ಇದ್ದರೆ \chi^2 = \frac{\sum x_i^2}{\sigma_i^2} ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡಾಗ, \frac{1}{2}\chi^2 ಎಂಬುದು ಪ್ರಾಚಲ \frac{1}{2}n ಇರುವ ಗ್ಯಾಮವಿಚರವಾಗಿರುವುದು. ಇದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪಕ್ಷವಾಗಿ ***σi = 1*** ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದ ***χ2*** ವಿಚರದ ವಿತರಣೆ ದೊರೆಯುವುದು. ಅಂದರೆ ***χ2*** ಎಂಬುದು ***n*** ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಶಿಷ್ಟಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಚರಗಳ ವರ್ಗ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, \frac{1}{2}\chi^2 ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಿಚರ ಪ್ರಾಚಲ \frac{1}{2}n ಇರುವ ಗ್ಯಾಮ ವಿಚರಣೆಯಾಗುವುದು.

## ಬೀಟ ವಿತರಣೆಗಳೊಡನೆ ಸಂಬಂಧ 
ಗ್ಯಾಮವಿಚರಕ್ಕೆ ಬೀಟ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿಚರಗಳೊಡನೆ ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಬಂಧ ಉಂಟು. ಇವನ್ನು ಕೆಲವು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು.

x ಸಂಭಾವ್ಯತಾಚರದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ***0*** ಯಿಂದ ***1*** ರ ವರೆಗೆ ಇದ್ದು ಅದರ ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಕಲ (ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್) \frac{1}{\beta(a, b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\, dx ಎಂದಿದ್ದರೆ ***x*** ನ್ನು **ಮೊದಲನೆಯ ಜಾತಿಯ ಬೀಟ ವಿಚರ** ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ***a, b*** ಗಳು ಧನವಾಗಿರಬೇಕು. ಇಂಥ ವಿಚರವನ್ನು ***β1(a, b)*** ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಿಚರ ಎಂದು ಪ್ರತೀಕಿಸುತ್ತೇವೆ. ***a, b*** ಗಳಿಗೆ ಈ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಾಚಲಗಳೆಂದು ಹೆಸರು.

***x, y*** ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗ್ಯಾಮ ವಿಚರಗಳಾಗಿದ್ದು ಅವುಗಳ ಪ್ರಾಚಲಗಳು ***a, b*** ಇದ್ದರೆ \frac{x}{(x+y)} ಎಂಬುದು ಮೊದಲನೆಯ ಜಾತಿಯ ಬೀಟ ವಿಚರವಾಗಿರುವುದು; ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಾಚಲಗಳು ***a, b*** ಗಳಾಗಿರುವುವು. u = x + y, v = \frac{x}{(x+y)} ಎಂಬ ಪರಿವರ್ತನದಿಂದ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಆಗ ***x = uv, y = u (1-v)*** ಎಂದಾಗುವುದು; ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಜಕೋಬಿಯನ್ ***J = u*** ಇರುವುದು. ***x, y*** ಗಳ ಜಂಟಿಸಂಭಾವ್ಯತಾವಕಲ \exp [-(x+y)]x^{a-1}y^{b-1}\, dx\,dy / \Gamma(a)\, \Gamma(b) ಇರುವುದು. ***u, v*** ವಿಚರಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದಾಗ ***u, v*** ಗಳ ಜಂಟಿಸಂಭಾವ್ಯತಾವಕಲ 

\frac{e^{-u}u^{a+b-1}du}{\Gamma(a+b)} \frac{v^{a-1}(1-v)^{b-1}dv}{\beta(a, b)} 

ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದರಿಂದಾಗಿ ***u*** ವಿಚರ ***a+b*** ಪ್ರಾಚಲದ ಗ್ಯಾಮವಿಚರವಾಗಿರುವುದೆಂದೂ, ***v*** ವಿಚರ ***a, b*** ಪ್ರಾಚಲಗಳ ಮೊದಲನೆಯ ಜಾತಿಯ ಬೀಟ ವಿಚರವಾಗಿರುವುದೆಂದೂ ಸಿದ್ಧವಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಗ್ಯಾಮವಿಚರಗಳ ಮೊತ್ತ ಗ್ಯಾಮವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಾಲಿಸುವುದೆಂದೂ, ಅದರ ಪ್ರಾಚಲ ದತ್ತ ವಿಚರಗಳ ಪ್ರಾಚಲಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರುವುದೆಂದೂ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಈಗ ಉಪಪತ್ತಿ ದೊರೆತಂತಾಯಿತು.

**ಪ್ರಮೇಯ**

ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಕಲದಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು: ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ***β1(a, b)*** ಮತ್ತು ***Γ(a+b)*** ವಿಚರಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ***Γ(a)*** ವಿಚರವಾಗಿರುವುದು ***a, b*** ಗಳು ಧನಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು ಧನ ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಿಚರ ***x*** ನ ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಕಲ \frac{1}{\beta(a,b)} . \frac{x^{b-1}\, dx}{(1+x)a + b} ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ***x*** ನ್ನು **ಎರಡನೆಯ ಜಾತಿಯ ಬೀಟ ವಿಚರ** ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಾಚಲಗಳು ***a, b*** ಇರುವ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಗ್ಯಾಮವಿತರಣೆಗಳ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಯ ವಿತರಣೆ ***a, b*** ಪ್ರಾಚಲಗಳುಳ್ಳ ಎರಡನೆಯ ಜಾತಿಯ ಬೀಟ ವಿತರಣೆಯಾಗಿರುವುದು. ದತ್ತ ಗ್ಯಾಮವಿಚರಗಳು ***x, y*** ಆಗಿರಲಿ. u = x + y, v = \frac{x}{y} ಎಂಬ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿ ಜಕೋಬಿಯನ್ \frac{u}{(1+v)^2} ಆಗುವುದು. ***x, y*** ಗಳ ಜಂಟಿ ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಕಲವನ್ನು ಬರೆದು ವಿಚರಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ ವಾಂಛಿತಫಲ ಸಿದ್ಧಿಸುವುದು. ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಗ್ಯಾಮ ವಿಚರಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಸೂಕ್ತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ (ಕಾನ್‍ಸ್ಟೆಂಟ್) ಗುಣಿಸಿದರೆ ದೊರೆವ ವಿಚರ ಸ್ನೆಡಕೋರ್ ಎಂಬಾತನ ***F*** ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ \frac{x}{y} = \frac{aF}{b} ಎಂದು ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡಲು F = \frac{b}{a} . \frac{x}{y} ಆಗುವುದು. ಇದರ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಫಿಷರನ ವಿಚರಣ-ನಿಷ್ಪತ್ತಿ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಸಹ ಕರೆಯುವರು. ವಿಚರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪರೀಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ***F*** ವಿಚರದ ವಿತರಣೆ ಉಪಯೋಗವಾಗುತ್ತದೆ.

## ಎರಡು ಪ್ರಾಚಲಗಳ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆ 
ಮೇಲೆ ಹೇಳಿರುವ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಗೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಪ್ರಾಚಲ ಇರುವುದು. ಇದನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಿ ಎರಡು ಪ್ರಾಚಲಗಳಿರುವ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡಿರುವರು. ಇದರ ಸಂಭಾವ್ಯತಾಸಾಂದ್ರತೆ G(x|\alpha, a) = \frac{\alpha^a}{\Gamma(a)}e^{-\alpha x}\, x^{a-1}, \alpha > 0, a > 0, 0 . ಇದರಲ್ಲಿ ***α = 1*** ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಏಕ ಪ್ರಾಚಲದ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆ ದೊರೆಯುವುದು. ಎರಡು ಪ್ರಾಚಲಗಳ ಈ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯ ಸಮಾಕಲಿತಗಳನ್ನು ***k1, k2,  ...*** ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ k_r = a\Gamma(r)/\alpha^r ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಈ ಗ್ಯಾಮವಿಚರದ ವಿತರಣೆಯ ಉತ್ಪನ್ನ F(x) = \frac{1}{\Gamma(a)} \int\limits_0^{\alpha x} e^{-v} v^{a-1}\, dv. ಇಲ್ಲಿ ***v = uα***. ಇದು ಅಪೂರ್ಣ ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ (incomplete beta function) ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದಾಗಿದೆ. \Gamma_y (a) = \int\limits_0^y e^{-v}v^{a-1} dx ಎಂಬ ***(y, a)*** ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅಪೂರ್ಣ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಪಿಯರ್ಸನ್ನನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಪೂರ್ಣ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿದೆ. ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವ ***F(x)*** ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಈ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ನೋಡಿ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ಅಪೂರ್ಣ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ, ಪೂರ್ಣ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ ಇರುವ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ***I(u,*** ***a-1)*** ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ I(u, a-1) = F_y(a) / \Gamma(a). ಇಲ್ಲಿ u = ya^{-\frac{1}{2}}. ***F(x)*** ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕೆಂದರೆ ***x*** ದತ್ತವಾದಾಗ I \left ( xa^{-\frac{1}{2}}, a-1 \right ) ಇದರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೋಡಬೇಕು. ***x1, x2*** ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಿಚರಗಳ ವಿತರಣೆಗಳು G(x_1|\alpha, a_1), G(x_2|\alpha, a_2) ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ***x1 + x2*** ವಿಚರದ ವಿತರಣೆ G(x_1 + x_2| \alpha, a_1 + a_2) ಇರುವುದೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ ***α*** ಪ್ರಾಚಲ ಬದಲಾಗದಿದ್ದಾಗ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಗೆ ಪ್ರಜನನ ಗುಣ ಇರುತ್ತದೆ.

## ಬಹುವಿಚರ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆ (ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಗ್ಯಾಮ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್) 
ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಏಕವಿಚರ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿದೆವು. ಇದನ್ನು ಬಹು ವಿಚರದ ಪಕ್ಷಕ್ಕೆ ಕೂಡ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಬಹುದು. ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿ ***a*** ಯ ***p*** ದರ್ಜೆಯ ಪಲಮಡಿ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನದ (ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಗ್ಯಾಮ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಫ್ ಆರ್ಡರ್ p) ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಕೊಡುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕೆ Γp(a) ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

\Gamma_p(a) = \prod_{j=0}^{p-1} \left [ \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) (a - j/2) \right ] = \pi^{p(p-1)/4} \left \{ \Gamma(a)\Gamma \left ( a - \frac{1}{2} \right ) \Gamma(a-1) \cdots \cdots \Gamma \left ( a - \frac{p-1}{2} \right ) \right \}  

ಇದರಲ್ಲಿ ***p = 1*** ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ ಇದು ಸಾಧಾರಣ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗುವುದು. ***A*** ಎಂಬುದು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಖಚಿತ ಧನ ನೈಜ ***pXp*** ಸಮಾಂಗ ಮಾತೃಕೆಯಾಗಿದ್ದು (ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ***X*** ಎಂಬುದು ವಿಚರಗಳ ಖಚಿತ ಧನ ನೈಜ ***pXp*** ಸಮಾಂಗ ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ 

\int\limits_{X > 0} -tr\, AX |X|^{a - \frac{1}{2}(p+1)}\, dX, a > \frac{1}{2}(p+1) 

ಎಂಬ ಅನುಕಲದ ಬೆಲೆ \Gamma_p(a) | |A|^a ಇರುವುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಸೀಗಲನ ಉಪಪ್ರಮೇಯ (ಲೆಮ್ಮ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇಲ್ಲಿ ***tr AX*** ಎಂಬುದು ***AX*** ಮಾತೃಕೆಯ ಟ್ರೇಸ್ ಅಥವಾ ಪ್ರಧಾನ ಕರ್ಣದ (prinicipal diagonal) ಮೇಲಿರುವ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ. ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಿಚರಗಳ ಮಾತೃಕೆ ***X*** ಇರಲಿ; ಮತ್ತು ಇದರ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಾಂದ್ರತೆ 

\frac{|A|^a}{\Gamma_p(a)}e^{-tr(AX)} |X|^{a - \frac{1}{2}(p+1)}\, dX 

ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಪಲಮಡಿ ಗ್ಯಾಮ ವಿವರ್ತದಂತೆ ***X*** ನ ವಿತರಣೆ ಇರುವುದು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ***G(X|A,a)*** ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ***A=I*** ಇದ್ದಾಗ ಇದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ರೂಪ ***G(X|I,a)*** ಆಗುವುದು. 

ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ ***n*** ಇದ್ದು ಸಹವಿಚರಣೆ ಮಾತೃಕೆ (ಕೋವೇರಿಯೆನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ***Σ*** ಇರುವ ***S*** ನ ವಿಷಾರ್ಟ್ ವಿತರಣೆ ಹೀಗಿರುವುದು:  

G\left ( S, \frac{1}{2}, \Sigma^{-1}, \frac{n}{2} \right ) = \frac{1}{_2np/2|\Sigma|^{n/2}\Gamma_p \left ( \frac{n}{2} \right)} \times \exp \left [ -\frac{1}{2} tr\Sigma^{-1} S \right ]|S|(n-p-1)/2\, dSಆದ್ದರಿಂದ ***S*** ನ ವಿತರಣೆ ಪಲಮಡಿ ಗ್ಯಾಮ ವಿವರ್ತದಂತಿರುವುದು ಎಂದು ಗೊತ್ತಾಗುತ್ತದೆ.  

ಏಕವಿವರ್ತ ಗ್ಯಾಮವಿತರಣೆಯ ಗುಣಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಿಯಾದ ಗುಣಗಳು ಪಲಮಡಿ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಇವೆ. ***X,Y*** ಎಂಬುದು ***G(A,a), G(A,b)*** ಪಲಮಡಿ ಗ್ಯಾಮ ವಿವರ್ತಗಳಾದರೆ ***U=X+Y*** ಎಂಬುದು ***G(A,a+b)*** ಎಂಬ ಪಲಮಡಿ ಗ್ಯಾಮ ವಿವರ್ತವಾಗಿರುವುದು. ಇದರಂತೆಯೇ V = (X + Y)^{-\frac{1}{2}} \times (X + Y)^{-\frac{1}{2}}ಎಂಬುದು ಪಲಮಡಿ ಬೀಟ ವಿವರ್ತವಾಗಿರುವುದು. ಪಲಮಡಿ ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಕಾಣಿಸಿದ ಎರಡು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಬಹುದು. 

B_p(a,b) = \int\limits_0^I |X| ^{a - \frac{1}{2}(p+1)} |I-X| ^{b - \frac{1}{2}(p+1)}\, dX 

ಅನುಕಲದ ಕೆಳಗಣ ಪರಿಮಿತಿ ***0*** ಎಂದರೆ ***X > 0*** ಎಂದರ್ಥ, ಎಂದರೆ ***X*** ಎಂಬುದು ಧನ ಖಚಿತ ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಣ ಪರಿಮಿತಿ ***I*** ಎಂದರೆ ***I-X*** ಎಂಬ ಮಾತೃಕೆ ಧನ ಖಚಿತವಾದದ್ದು ಎಂದರ್ಥ. ಹಾಗೂ a > \frac{1}{2}(p-1), b > \frac{1}{2}(p-1) . ಇದಕ್ಕೆ p- ಮಡಿ ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದನ್ನೇ ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. 

B_p(a,b) = \int \frac{|Y|^{a -\frac{1}{2}(p+1)}}{|I+y|^{a+b}}\, dY, Y > 0, a > \frac{1}{2}(p-1), b > \frac{1}{2}(p-1) 

ಪಲಮಡಿ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ, ಪಲಮಡಿ ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು.

B_p(a,b) = \frac{\Gamma_p(a)\Gamma_p(b)}{\Gamma_p(a+b)}

## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 
## ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ 
* Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995). *Continuous Univariate Distributions'', Volume 2 (2nd Edition), Wiley. 

ವರ್ಗ:ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ