ಗ್ರೀನನ ಪ್ರಮೇಯ

**ಗ್ರೀನನ ಪ್ರಮೇಯ** ಎನ್ನುವುದು ಯಾವುದೇ ತಲಕ್ಕೆ (ಸರ್ಫೇಸ್) ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಸ್ಟೋಕ್ಸನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಮತಲಕ್ಕೆ (ಪ್ಲೇನ್) ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ವಿಶೇಷ ರೂಪ. ಇದನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದ್ದು ಜಾರ್ಜ್ ಗ್ರೀನ್. ಆದ್ದರಿಂದ ಆತನ ಹೆಸರಿನಿಂದಲೇ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಇದರ ನಿರೂಪಣೆ ಹೀಗಿದೆ.

## ಗ್ರೀನನ ಪ್ರಮೇಯ 1 
***L*** ಎಂಬ ಸಂವೃತ ಎಲ್ಲೆಯಿಂದ (ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಕಾಂಟೂರ್) ಬಂಧಿತವಾದ ಒಂದು ಸಮತಲ ಉಂಟೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. P(x_1, x_2), Q(x_1, x_2) ಎಂಬ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೂ, \frac{\partial P}{\partial x_2}, \frac{\partial Q}{\partial x_1} ಎಂಬ ಅವುಗಳ ಆಂಶಿಕ ಅವಕಲಗಳೂ (ಪಾರ್ಷಿಯಲ್ ಡಿರೈವೇಟಿವ್ಸ್) ***S U*** ***L*** ಗಳ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲೆಲ್ಲಿಯೂ ಅವಿಚ್ಚಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆಗ

\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x_1} - \frac{\partial P}{\partial x_2}\right) ds = \oint_L (P\, dx_1 + Q\, dx_2) 

ಇಲ್ಲಿ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾನುಕುಲವನ್ನು (ಲೈನ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್) ಗಣಿಸುವಾಗ ಸಮತಲವನ್ನು ಬಂಧಿಸಿರುವ ***L*** ಎಲ್ಲೆಯನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಿ ಪಡೆಯಬೇಕು.

**ಸಾಧನೆ**: ***S*** ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ***x1***-ಇಲ್ಲವೇ ***x2*** -ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ (axis) ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವಂತೆ ಎಳೆದ ಯಾವುದೇ ಸರಳರೇಖೆ ಆ ಸಮತಲವನ್ನು ಬಂಧಿಸಿರುವ ಎಲ್ಲೆಯನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರದಿಂದ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈ ಷರತ್ತು ಅನಾವಶ್ಯಕ. ಅಂತೂ ಈ ಷರತ್ತಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಂತೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ ಬಳಿಕ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಯೂ ಅದು ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. 

ಈಗ S\iint \frac{\partial P}{\partial x_2} dS ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಬರೆದರೆ ಅದನ್ನು ಚಿತ್ರದಿಂದ \iint_S \frac{\partial P}{\partial x_2} dx_1\, dx_2  ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಅಂದರೆ

 \iint_S \frac{\partial P}{\partial x_2} dS = \iint_S \frac{\partial P}{\partial x_2} dx_1\, dx_2

\int_a^b dx_1 \int_{x_2 = \phi_1(x_1)}^{x_2 = \phi_2(x_1)} \frac{\partial P}{\partial x_2} dx_2 ..............................(1)

ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಿರುವ a, b, \phi_1(x) ಮತ್ತು \phi_2(x) ಗಳೇನೆಂಬುದನ್ನು ಚಿತ್ರದಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈಗ ಸಮೀಕರಣ (1)ರ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಬರೆದರೆ

 \iint_S \frac{\partial P}{\partial x_2} dS = \int_a^b \{ P[x_1, \phi_1, (x_1)] \} dx_1 = \int_a^b  P[x_1, \phi_2, (x_1)] dx_1 - \int_a^b  P[x_1, \phi_1, (x_1)] dx_1.........................................(2)

ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಬಲಗಡೆಯ ರೇಖಾನುಕಲಗಳು  A \alpha B ಮತ್ತು  A \beta B ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪಡೆದದ್ದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ (2)ನ್ನು

 \iint_S \frac{\partial P}{\partial x_2} dS = - \int\limits_{B\beta A} P(x_1, x_2) dx_1 - \int\limits_{A\beta B} P(x_1, x_2) dx_1 = -\oint\limits_L P(x_1, x_2) dx_1.........................................(3)

ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಹೀಗೆಯೇ ***Q*** ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಅವಕಲಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ

 \iint_S \frac{\partial P}{\partial x_1} dS = \oint\limits_L Q dx_2 ..........................................(4)

ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣ (3)ನ್ನು (4)ರಿಂದ ಕಳೆದರೆ ಆಗ

 \iint_S \left ( \frac{\partial P}{\partial x_2} - \frac{\partial Q}{\partial x_1} \right ) dS = \oint\limits_L (P dx_1 + Q dx_2) ............................................(5)

ಎಂಬುದು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

## ಗ್ರೀನನ ಪ್ರಮೇಯ 2 
ಸದಿಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಏಕ ಮತ್ತು ಬಹು ಅನುಕಲಗಳ ನಡುವೆ (ಸಿಂಗಲ್ ಅಂಡ್ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ಸ್) ಅನೇಕ ಸಂಬಂಧಗಳಿರುವುದನ್ನು ತಿಳಿಯುತ್ತೇವೆ. ಅನುಕಲಗಳ ನಡುವೆ ಲಾಪ್ಲಾಸಿಯನ್ ಪರಿಕರ್ಮಿಯನ್ನು (ಆಪರೇಟರ್) ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಇರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು **ಗ್ರೀನನ ಪ್ರಮೇಯ** ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಗುರುತ್ವಕ್ಷೇತ್ರ (ಗ್ರ್ಯಾವಿಟೇಶನ್), ದ್ರವಗತಿ ವಿಜ್ಞಾನ (ಹೈಡ್ರೊಡೈನಮಿಕ್ಸ್), ವೈದ್ಯುತ ಗತಿ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ದ್ಯುತಿವಿಜ್ಞಾನಗಳ (ಆಪ್ಟಿಕ್ಸ್) ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಬೆಳೆಸುವಾಗ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೇರಳವಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಗೌಸನ ಅಪಸರಣ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಪಡೆಯುವುದು ರೂಢಿ. \psi = \psi(\gamma) ಮತ್ತು \phi = \phi(\gamma) ಎಂಬವು ಸ್ಥಾನಸದಿಶಚರದ ಎರಡು ಅದಿಶ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿರಲಿ. ಇವುಗಳಿಂದ \psi \operatorname{grad} \phi \equiv \psi \nabla \phi ಎಂಬ ಮತ್ತೊಂದು ಸದಿಶಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಒಂದು ಗೊತ್ತಾದ ಗಾತ್ರ ***V*** ಯನ್ನು ಸುತ್ತುಗಟ್ಟಿರುವ ***S*** ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ನಡುವೆ ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರವಹಿಸುತ್ತಿರುವ ***F*** ಎಂಬ ಒಂದು ಸದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಂತೆ ಬಳಸುವ {{oiint|preintegral=\iiint_V\left(\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{F}\right)\,\mathrm{d}V=|intsubscpt=\scriptstyle S|integrand=(\mathbf{F}\cdot\mathbf{\hat{n}})\,\mathrm{d}S .}} 

ಎಂಬ ಗೌಸನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸೋಣ. 

ಈಗ A = \psi \nabla \phi ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ ಆಗ ಗೌಸನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ 

\iiint_V \operatorname{div}(\psi \operatorname{grad} \phi)\, dV = \iint_S \psi \operatorname{grad} \phi \cdot \hat{n}\, dS .....................................(6) 

ಸಮೀಕರಣ (6)ರ ಎಡಭಾಗದ ಪದವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಬರೆದರೆ

\iiint_V (\psi \nabla^2 \phi + \operatorname{grad}\psi \cdot \operatorname{grad} \phi)\, dV = \iint_S \psi \operatorname{grad} \phi \cdot \hat{n}\, dS ......................................(7)

ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ***n*** ಎಂಬುದು ***S*** ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಎಳೆದ ಹೊರಲಂಬ (ಔಟ್‍ವರ್ಡ್ ನಾರ್ಮಲ್). ಈ ನೇರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ \phi ಯ ಅವಕಲವನ್ನು \frac{\partial \phi}{\partial n} ಎಂದು ಬರೆದರೆ ಆಗ \operatorname{grad} \phi \cdot n = \frac{\partial \phi}{\partial n} ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (7)ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದರೆ 

\iiint_V (\psi \nabla^2 \phi + \operatorname{grad}\psi \cdot \operatorname{grad} \phi)\, dV = \iint_S \psi \frac{\partial \phi}{\partial n}\, dS ............................................(8) 

ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಗ್ರೀನನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಥಮ ರೂಪ (Green's first identity) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರಲ್ಲಿ 

***1.*** \phi = \psi ಆದಾಗ  

\iiint_V (\psi \nabla^2 \phi + |\nabla \phi|^2)\, dV = \iint_S \phi \frac{\partial \phi}{\partial n}\, dS ........................................................(9)  

***2.*** ಹೀಗೆಯೇ \psi  ಸ್ಥಿರ ಆದಾಗ 

\iiint_V \nabla^2 \phi\, dV = \iint_S \frac{\partial \phi}{\partial n}\, dS ......................................................(10) 

ಸಮೀಕರಣ (10)ನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ ಲಾಪ್ಲಾಸಿಯನ್ ಪರಿಕರ್ಮಿಗೆ 

\nabla^2 (\cdots) = \lim \frac{1}{dV} \iint_S \frac{\partial (\cdots)}{\partial n}\, dS ............................................(11) 

ಎಂದು ಪಡೆಯಬಹುದಾದ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಹೇರಳವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಈಗ (\psi \operatorname{grad} \phi - \phi \operatorname{grad} \psi) ಎಂಬ ಮತ್ತೊಂದು ಸದಿಶೋತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಗೌಸನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ 

\iiint_V \operatorname{div} (\psi \operatorname{grad} \phi - \phi \operatorname{grad} \psi)\, dV = \iint_S (\psi \operatorname{grad} \phi - \phi \operatorname{grad} \psi)\cdot n\, dS ........................................(12) 

ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸಮೀಕರಣ (12)ರ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತಂದರೆ ಆಗ 

\iiint_V (\psi \nabla^2 \phi - \phi \nabla^2 \psi)\, dV = \iint_S (\psi \frac{\partial \phi}{\partial n} - \phi \frac{\partial \psi}{\partial n})\, dS

ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಗ್ರೀನನ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡನೆಯ ರೂಪ (Green's second identity) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಆದರೆ ಪ್ರಥಮ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ರೂಪ ಎಂಬ ನಾಮಕರಣಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲೆಡೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಒಂದೇ ಸಮವಾಗಿ ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ.

## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 
## ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು 
* Green's Theorem on MathWorld
* 
* http://mathworld.wolfram.com/GreensIdentities.html Green's Identities at Wolfram MathWorld

ವರ್ಗ:ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ