ಮಾನ

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, **ಮಾನ**ದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳತೆಗಳು (ಉದ್ದ, ಸಲೆ, ಘನ ಅಳತೆ) ಮತ್ತು ವೈಶಾಲ್ಯ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಹಾಗೂ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯಂತಹ ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ವಿಧ್ಯುಕ್ತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ.

**ಮಾನಸಿದ್ಧಾಂತ** ಎಂದರೆ `ಉದ್ದ' ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಆದರ್ಶೀಕರಿಸಿ ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಿ ಪಡೆದ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಮೆಷರ್ ತಿಯರಿ).

## ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು 
ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ***R*** ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇವನ್ನು ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಸರಳರೇಖೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರ ಮೇಲೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ***0*** ವನ್ನು ಮೂಲಬಿಂದುವೆಂದು ಆಯುತ್ತೇವೆ.
center|thumb|300x300px

***R*** ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 0 ಯನ್ನು ಇದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಬಲಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲ ಧನವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ, ಎಡಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲ ಋಣವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ***A, B*** ಬಿಂದುಗಳು ***a, b*** ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲಿ. ಇಲ್ಲಿ ***a ≤ b*** ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

**ಅಂತರ**: ಈಗ ***[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}*** ಎಂಬ ***R*** ನ ಉಪಗಣವನ್ನು ಒಂದು ಸಂವೃತಾಂತರ (ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಇಂಟರ್ವಲ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆಯೇ ***(a, b) = {x ∈ R | a 1 = [a, b]*** ಮತ್ತು ***I2 = [c, d]*** ಸಂಯೋಗವಾಗಿದ್ದು ***I1*** ಮತ್ತು ***I2*** ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಧಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ (ಡಿಸ್‌ಜಾಯಿಂಟ್) ಎಂದರೆ '''*S = I1* ∪ *I2*** ಮತ್ತು ***I1 ∩ I2 = ϕ*** ಶೂನ್ಯ ಗಣ ಆದರೆ ***S*** ನ ಉದ್ದ ***I(S) = (b-a) + (d-c) = I(I1) + I(I2)*** ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ ***a,b,c,d*** ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ***a1 *∪ *I2 = {x∈ R* | *a ≤ x ≤ d} ∴ l(S) = l(AD) = d - a 1) + l(I2)***. ಹೀಗಾಗಿ ***S*** ಎಂಬುದು ಎರಡು ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗ. **S = I1 ∪ I2** ಆದಾಗ ***l(S) ≤ l(I1) + l(I2)*** ಎಂದು ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ.

***S*** ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ***x,y ∈ S*** ಆಗಿದ್ದು ಇವರೆರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡ ಒಂದು ಅಂತರ ಕೇವಲ ***S*** ನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದಲೇ ಕೂಡಿರುವಂತಿದ್ದರೆ ***x*** ಮತ್ತು ***y*** ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿತ (ಕನೆಕ್ಟೆಡ್) ಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ ಅಂಥ ಯಾವ ಅಂತರವೂ ಇಲ್ಲದೆ ಇದ್ದರೆ ***x*** ಮತ್ತು ***y*** ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವಗಣ ***S*** ನ ಬಿಂದುಗಳೆಲ್ಲವೂ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದಾಗ ಅದನ್ನು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣವೆಂದು (disconnected set) ಕರೆಯೋಣ. ಇಂಥ ಒಂದು ಗಣದ ಉದ್ದ ***l(S) =*** ಇದರ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತ ***= 0 + 0 + …… = 0*** ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

## ಮಾನದ ಭಾವನೆಯ ಅಗತ್ಯತೆ 
ಈಗ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ***I = {x ∈ R | a 1*** ಎಂದೂ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಅಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗಣವನ್ನು ***I2*** ಎಂದೂ ಸೂಚಿಸಿದರೆ ***I = I1* ∪ *I2***, ***I1 ∩ I2 = ϕ*** ಹಾಗೂ ***I1*** ಮತ್ತು ***I2*** ಒಂದೊಂದೂ ವಿಸಂಧಿತಗಣಗಳು ಎಂದೂ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ***∴ l(I1)=0=l(I2)***. ಆದರೆ ***b – a = l(I) = l(I1) + l(I2) = 0 + 0 = 0***. ಇದು ***b-a ≠ 0*** ಎಂಬ ಹಿಂದಿನ ವಾಸ್ತವಾಂಶವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ದತ್ತಗಣಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಅವುಗಳ ಉಪಗಣಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಯಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಕೆಲವು ಸಲ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಏಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಹಾಗಾಯಿತು. ಈ ನ್ಯೂನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಉದ್ದವೆಂಬ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿ ಗಣಗಳ **ಮಾನ** (ಮೆಷರ್) ಎನ್ನುವ ನವ್ಯ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಪರಿಕಲ್ಪಿಸಬೇಕಾಯಿತು. ಈ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಬಲು ಫಲಪ್ರದವೂ ಪ್ರಯೋಜನಕರವೂ ಆದ ಲೆಬೇಗ್ ಮಾನ ಎಂದು ಹೆಸರಾಂತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಮುಂದೆ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪ್ರತಿಪಾದಕ ಎಚ್.ಎಲ್.ಲೆಬೇಗ್ (1875-1941) ಎಂಬ ವಿಖ್ಯಾತ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತವಿದ.

## ಗಣಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್) 
***A*** ಗಣಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವಾಗಿರಲಿ (family). ಈಗ ***A*** ಗೆ ಸೇರಿದ ಸಮಸ್ತ ***S*** ಮತ್ತು ***T*** ಗಳಿಗೂ ***S* ∪ *T ∈ A*** ಮತ್ತು ***S – T ∈ A*** ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ ***A*** ಯನ್ನು ಗಣಗಳ ಒಂದು ವಲಯವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇಷ್ಟರ ಮೇಲೆ ***A*** ಯ ಎಲ್ಲ ***{A1, A2, A3,……………}*** ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೂ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} ಸಹ ***A*** ಯ ಒಂದು ಗಣವೇ ಆದರೆ ***A*** ಯನ್ನು ಒಂದು σ ವಲಯವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಂಥ ಒಂದು ವಲಯದಲ್ಲಿ \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \in A ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

***R*** ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ ಋಣ ಮತ್ತು ಧನ ಅನಂತಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮತ್ತು -\infty ಹಾಗೂ +\infty ಪ್ರತೀಕಗಳಿಂದ ರೂಪಿತವಾಗುವ ಎರಡು ಹೊಸ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ R = R \cup \{ -\infty, +\infty \} ಎಂಬ ***R*** ನ ಎಂದು ವಿಸ್ತರಣವನ್ನು (extension) ಪಡೆಯೋಣ. ಇಲ್ಲಿ \bar{R} ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯಾಗಣವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದರ ಧಾತುಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು (extended real numbers) ಕರೆಯೋಣ.

***a*** ಗಣಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ***a*** ಯನ್ನು ಪ್ರಾಂತವಾಗಿಯೂ (ಡೊಮೇನ್) ***R*** ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪ್ತಿ (ರೇಂಜ್) ಹೊಂದಿರುವುದಾಗಿಯೂ ಇರುವ ಎಲ್ಲ ಚಿತ್ರಣಗಳ (ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್) ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನ (ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

## ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು 
***f: A → R*** ಒಂದು ದತ್ತ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ.

\forall A, B \in A, A \cap B = \phi ಎಂದರೆ ***A, B*** ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದಾಗಲೆಲ್ಲ ***f(A* ∪ *B) ≤ f(B)*** ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ ***f*** ಒಂದು ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆಂದು (ಸಬ್‌ಆ್ಯಡಿಟಿವ್ ಸೆಟ್‍ಫಂಕ್ಷನ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ***\forall A, B \in A, A \cap B = \phi, ***f(A* ∪ *B) = f(A) + f(B)*** ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ ***f*** ಒಂದು ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆನ್ನಿಸುತ್ತದೆ (additive set function).

***A*** ಯಲ್ಲಿ ***{An}, n=1,2,3,…….*** ಎಂಬುದು ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿ ಆಗಿದ್ದು ಇದರ ಗಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂದರೆ ***i ≠ j*** ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ ***Ai ∩ Aj = ϕ*** ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ f\left (\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right ) \leq \sum_{n=1}^{\infty} f(A_n) ಎಂಬ ಸಂಬಂಧ ಪಾಲಿಸಿದರೆ ***f*** ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ (ಕೌಂಟೆಬ್ಲಿ ಸಬ್‌ಆ್ಯಡಿಟಿವ್) ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ***f: A \to \bar{R} ಒಂದು ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ

(i) ***f(ϕ) = 0***

(ii) ***A1, A2, …………An*** ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ***f(A1* ∪ *A2* ∪ *A3* ∪*....* ∪ *An) = f(A1) + f(A2) + ……. + f(An)***

(iii) ***f*** ಅನೃಣವಾಗಿದ್ದಾಗ ***A* ⊂ *B*** ಆದರೆ ***f(A) ≤ f(B)*'.* ಇದರಿಂದ ***f(A-B) = f(A) – f(B)*** ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ f(B)  ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದೆ.

(iv) ***f*** ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೂ, ***{An}*** ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ *'*A1 *⊂ *A2 *⊂ *A3…………*⊂ *An***  ಮತ್ತು A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}  ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ f(A_n) \to f(A), n \to \infty ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

## ಲೆಬೇಗ್‌ಮಾನದ ರಚನೆ 
***Rn*** ಎಂಬುದು ***n*** ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಕಾಶ ಆಗಿರಲಿ. ಇದರ ಬಿಂದುಗಳು ***x = (x1, x2, ……….., xn)*** ರೂಪದಲ್ಲಿ ***n*** ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆ ***x1, x2, ……….., xn*** ಗಳ ಕ್ರಮಯುತ ಜೋಡಣೆಗಳು. ***ai ≤ bi, i = 1, 2,…….n*** ಇವು ದತ್ತ ***2n*** ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ***ai ≤ xi ≤ bi, i = 1,2…………..n*** ಆಗಿರುವಂಥ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದು ***x = (x1, x2, ……….., xn)*** ಗಳಿಂದ ಏರ್ಪಡುವ ***Rn*** ನ ಉಪಗಣವನ್ನು ***Rn*** ನ ಒಂದು ಅಂತರ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಯ ***≤*** ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಬೇಕಾದರೂ ***n*** ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳನ್ನೂ ಮೂಲಗಣಗಳು (ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಸೆಟ್ಸ್) ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಈಗ ಅಂತರ ***I = { (x1,………….,xn) | ai ≤ xi ≤ bi}*** ಆದರೆ ***m(I) = (b1-a1)(b2-a2)………(bn-an) =*** \prod_{i=1}^{n} (b_i - a_i)\ * ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ***aj = bj*** ಇರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ***0 ≤ m(I)*** ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಹಾಗೂ ಯಾವುದಾದರೂ ***bj*** ಯು +\infty ಆಗಿರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ m(l) = \infty ಆದರೂ ಆಗಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ 0 \leq m(l) \leq +\infty ಎಂದರೆ ***m(I)*** ಒಂದು ಅನೃಣ ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆ. ಈಗ ***A*** ಯು ***Rn*** ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲ ಗಣವಾದರೆ ಎಂದರೆ ***A = I1* ∪ *I2* ∪ *....* ∪ *Ik*** ಎಂದು ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತ ಆಕಾಶಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದಾದರೆ,

***m(A)= m(I1) + m(I2) +……….. + m(Ik)     .... * **** ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಈಗ ***A = J1* ∪ *J2* ∪ *....* ∪ *Js*** ಎಂಬುದಾಗಿ ***A*** ಯನ್ನು ಬೇರೊಂದು ವಿಧದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತ ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ,

***m(I1) + m(I2) +……….. + m(Ik) = m(J1) + m(J2) +……….. + m(Js)***

ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಿಕೊಡಬಹುದು. ಇದರಿಂದ ● ***** ನಲ್ಲಿ ***m(A)*** ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದ ಹಾಗಾಯಿತು.

ಈಗ ***ξ*** ಯು ***Rn*** ಎಲ್ಲ ಮೂಲಗಣಗಳ ಸಮೂಹವಾದರೆ ಅದು ಗಣಗಳ ಒಂದು ವಲಯ, ಆದರೆ σ ವಲಯವಲ್ಲವೆಂದು ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ. ಈಗ ***A,B*** ಗಳು ***ξ*** ನ ಯಾವ ಎರಡು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣಗಳಾದರೂ ***m(A* ∪ *B) = m(A) + m(B)*** ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ***m*** ಎಂಬುದು ***ξ*** ನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಒಂದು ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಇದರ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳಿವು:

(1) ***0 ≤ m(A) ≤*** +\infty, \forall A \in \xi  

(2) ***m*** ಪರ್ಯಾಪ್ತವಾಗಿ ಸಂಕಲನೀಯ, ಎಂದರೆ \forall A \in \xi, A \cap B = \phi ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ ***m(A* ∪ *B) = m(A) + m(B)***. ಇದರಿಂದ ***S,T ∈***  ***ξ*** ಆದರೆ ***m(S* ∪ *T) = m(S) + m(T) - m(S ∩ T)*** ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

## m ನ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣ - ಬಹಿರ್ಮಾನ (ಔಟರ್ ಮೆಷರ್) 
***Rn*** ನ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಉಪಗಣ ***S*** ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈಗ ***ξ*** ನಲ್ಲಿರುವ ವಿವೃತ ಮೂಲಗಣ ***A1, A2, A3, ……………..*** ಗಳು ***S*** ಗೆ ಒಂದು ಆವರಣವನ್ನು (ಕವರಿಂಗ್) ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಡುವಂತಿದ್ದರೆ ಎಂದರೆ S \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ

m \bullet (S) = glb \sum_{n=1}^{\infty} m(A)...\left (\oint \right )

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ***glb*** ಎಂದರೆ ಮಹತ್ತಮ ನಿಮ್ನಪರಿಬಂಧ (greatest lower bound). ***S*** ಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಎಲ್ಲ ಆವರಣಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಂದು ಪ್ರತಿಸಲವೂ ***Σm(An)*** ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಿ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಮ್ನ ಪರಿಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದೇ ***m•(S)***. ಇದನ್ನು ***S*** ಗಣದ ಬಹಿರ್ಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಿಂದ ಬಹಿರ್ಮಾನದ ಈ ಮುಂದಿನ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳು ಸ್ಟಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ:

(I) ***m•(S) ≥ 0,* ∀*(S)* ⊂ *Rn***

(II) ***S1* ⊂ *S2* ⊂ *Rn***

ಇವೆರಡೂ ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ **m•(S1) ≤ m•(S2)**

(III) S = \bigcup_{n=1}^{\infty}S_n, S_n \subset R^n ಆದರೆ m \bullet (S) \leq \sum_{n=1}^{\infty} m \bullet (S_n)

ಎಂದರೆ ***m•*** ಒಂದು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ.

(IV) **∀*A*** **∈** ***ξ***   ಎಂದರೆ ***A*** ಮೂಲಗಣವಾದರೆ ***m•(A)=m(A)*'.* ಹೀಗಾಗಿ ***m•*** ಎಂಬುದು ***ξ*** ನಿಂದ ***Rn*** ನ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಈಗ ಇದರ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಸೀಮಿತ ಕುರಿತು ವಿಚಾರಿಸೋಣ.

## ಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳು 
**ವ್ಯಾಖ್ಯೆ**: ***A*** ಯು ***Rn*** ನ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಇದು ***{An}, n=1, 2, 3,……….*** ಎಂಬ ಮೂಲಗಣಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದರ ಪರಿಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂದರೆ A_n \to A, n \to \infty ಆದರೆ ***A*** ಯನ್ನು ಸಾಂತಮಾಪನೀಯ ಗಣವೆಂದು (ಫೈನೈಟ್ಲಿ ಮೆಷರೆಬಲ್ ಸೆಟ್) ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

***Rn*** ನ ಯಾವಗಣ ***S*** ನ್ನು ಸಾಂತಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳಾದ ***S1, S2, S3……..*** ಗಳ ಗಣನೀಯ ಸಂಯೋಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎಂದರೆ S = \bigcup_{i=1}^{\infty} S_i ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅಂಥ ಗಣ ***S*** ನ್ನು **ಮಾಪನೀಯ ಗಣ** (measurable set) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ***Rn*** ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳ ಸಮೂಹವನ್ನು ***M*** ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈಗ *'*A,B* ∈ *M*** ಆದರೆ ***m•*** ಮುಂದೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಗುಣಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ:

(1) ***m• : M → R*** ಎಂದು ಗಣನೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ

(2) ***m• A ≥ 0***

(3) ***m• (A* ∪ *B)= m• (A) + m• (B) – m• (A ∩ B)*** ಅರ್ಥಾತ್ ***m•*** ಸಂಕಲನೀಯ.

(4) ***m• : M → R*** ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಸಂಕಲನೀಯ, ಎಂದರೆ ***A1,A2,A3…………*** ಗಳು ***M*** ನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದರೆ m \bullet \left ( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right ) = \sum_{i=1}^{\infty} m \bullet A_i. ಹೀಗಿರುವುದರಿಂದ ***m•*** ಎನ್ನುವುದು ***ξ*** ನಿಂದ ***M*** ಗೆ ***m*** ಗಣೋತ್ಪನ್ನದ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯೇ ಸರಿಯೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ***M*** ನ ಗಣಗಳಿಗೆ ***m•*** ನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ ***m•*** ನ್ನು ***M*** ಎಂದೇ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಇದು ***Rn*''' ನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವ ಲೆಬೇಗ್‌ಮಾನ. ನಿಜಕ್ಕೂ m: M \to \bar{R}  ಒಂದು ಅನೃಣ ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಪರಿಚ್ಫೇದ (I) ರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸದ 'ಉದ್ದ'ದ ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ ತೋರಿಬರುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಇದರಲ್ಲಿ ತೊಡೆದುಹೋಗಿದೆ.

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಲೆಬೇಗ್‍ಮಾನ ಉದ್ದ, ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ, ಘನಫಲ, ಮುಂತಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳತೆಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣ. ಏಕೆಂದರೆ

(1) ***n=1*** ಆದರೆ ***l = {x | a ≤ x ≤ b}*** ಯು ***R1*** ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ರೇಖಾಖಂಡ. ಈಗ ***m(I) = (b-a)*** ಯು ***I*** ನ ಉದ್ದ.

(2) ***n=2*** ಆದರೆ ***I = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}*** ಯು ***R2*** ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ಆಯತ. ಈಗ ***m(I) = (b-a)(d-c)*** ಆಯತದ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ.

(3) ***n=3*** ಆದರೆ ***I = {( x,y,z) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f}*** ಎಂಬುದು ***R3*** ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ಒಂದು ಆಯತಘನ, ***m(I) = (b-a)(d-c)(f-e)*** ಎಂಬುದು ಅದರ ಘನಫಲ.

## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 
## ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ 
* 

## ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು 
* 
* Tutorial: Measure Theory for Dummies

ವರ್ಗ:ಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ