ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ

**ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ** ಎನ್ನುವುದು ಪೋಲಿಷ್ ಗಣಿತವಿದ ಸ್ಟೀಫನ್ ಬಾನಾಕ್ (1892-1945) 1932ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಗ್ರಂಥ ‘ಸರಳ ಪರಿಕರ್ಮಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ’ದಲ್ಲಿ ಮಂಡಿಸಿದ ನೂತನ ಗಣಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ (ಬಾನಾಕ್ ಸ್ಪೇಸಸ್). ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಅವೆಲ್ಲ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೂ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವಂಥ ಅಮೂರ್ತ ಭಾವನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಕಲ್ಪಿಸಿ ಈ ಬಗೆಯ ಆಕಾಶಗಳನ್ನು ಈತ ನಿರ್ಮಿಸಿದ.

## ಸರಳ ಆಕಾಶಗಳು (ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸಸ್) 
*V* ಒಂದು ಅಶೂನ್ಯ ಗಣವಾಗಿದ್ದು ಅದರಲ್ಲಿ + (ಸಂಕಲನ) ಒಂದು ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವಾಗಿರಲು, ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ *V* ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಸಂಕುಲವಾಗಿರಲು (ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗ್ರೂಪ್), ಎಂದರೆ \forall \ x, y, z \ \in \ V  (*V* ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ ಧಾತು *x*, *y*, *z* ಗಳಿಗೂ) ಈ ಮುಂದೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಐದು ಗುಣಗಳಿರಲಿ:

# x + y Ԑ V
# (x+y) + z = x + (y+z)
# x + y = y + z
# V ಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ x ಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುವಂತೆ ಮತ್ತು O + x = x ಆಗುವಂತೆ ಇರುವ ಒಂದು ಧಾತು O ಯು V ಯಲ್ಲಿರಬೇಕು.
# V ಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧಾತು x ಗೂ ತಕ್ಕ ಧಾತು –x ಎಂಬುದು –x + x = O ಆಗುವಂತಿರಬೇಕು.

ಹೀಗಿದ್ದರೆ *V* ಯನ್ನು ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಯ (ಕಾಮ್ಯುಟೇಟಿವ್) ಸಂಕುಲವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ *V* ಯ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಸದಿಶಗಳು ಇಲ್ಲವೇ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಸಂದರ್ಭೋಚಿತವಾಗಿ ಕರೆಯುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ *F* ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ (field). ಇದರ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಅದಿಶಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈಗ \forall \ \alpha \ \in \ F ಮತ್ತು \forall \ x \ \in \ V ಗಳಿಗೂ *V* ಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸದಿಶ *αx* ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತಿರಲಿ. ಮೇಲಾಗಿ ಇಂಥ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಈ ಮುಂದಿನ ನಾಲ್ಕು ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು (ಪಾಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ಸ್) ಪಾಲಿಸುವಂತಿರಲಿ:

\forall \ x, \ y \ \in \ V ಮತ್ತು \forall \ \alpha, \ \beta \ \in \ F

# α(x+y) = αx + αy
# (α+β)x = αx + βx
# α(βx) = (αβ)x
# 1x = x

ಇಲ್ಲಿ 1 ಎಂಬುದು *F* ನ ಏಕಾಂಶ.

ಹೀಗಿದ್ದರೆ *V* ಯನ್ನು *F* ನ ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ (ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ *F* ಮೇಲಿನ) ಒಂದು ಸರಳ ಆಕಾಶ (ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಅಥವಾ **ಸದಿಶ ಆಕಾಶ** (ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

## ಮಾನಕಯುಕ್ತ ಸರಳ ಆಕಾಶಗಳು (ನಾರ್ಮ್ಡ್ ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸಸ್) 
*F* ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ *R* ಅಥವಾ ಎಲ್ಲ ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ *C* ಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲಿ. *L* ಎಂಬುದು *F* ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ ಒಂದು ಸರಳ ಸಮಷ್ಟಿಯಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ಈ ಮುಂದಿನ ಮೂರು ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ x \to \|x\| ನ್ನು *L* ನಿಂದ *R* ನೊಳಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ್ದೇವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಎಂದರೆ *L* ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು *x* ಗೂ ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ \|x\| ಅನ್ವಯಯಾಗುತ್ತದೆ:

\forall \ x, \ y \ \in \ L ಮತ್ತು \forall \ \alpha \ \in \ L ಗಳಿಗೂ

# \|x\| \geq 0 ಮತ್ತು \|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0
# \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|
# \|\alpha x\| = |\alpha|\ \|x\|
ಈ x \to \|x\|ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮಾನಕ ಉತ್ಪನ್ನ (ನಾರ್ಮ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಅಥವಾ, ಸರಳವಾಗಿ, ಮಾನಕ ಎಂದು ಹೆಸರು. \|x\| ನ್ನು *x* ನ ಮಾನಕವೆಂದೂ, ಇಂಥ ಒಂದು ಸರಳ ಆಕಾಶ *L* ಗೆ ಮಾನಕಯುಕ್ತ ಸರಳ ಆಕಾಶ ಎಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮಾನಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು *L* ನ್ನು ಒಂದು ದೂರಾತ್ಮಕ ಆಕಾಶವಾಗಿ (ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಮಾಡಬಹುದು.

\forall \ x, \ y \ \in \ L ಗಳಿಗೂ

d(x, y) = \|x-y\|

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಹೀಗೆ ದೊರೆತ ಉತ್ಪನ್ನ (x, y) → d(x, y) ಎಂಬುದು **ದೂರ ಉತ್ಪನ್ನ**ದ (distance function) ಎಲ್ಲ ಅಭಿಗೃಹಿತಗಳನ್ನೂ ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ:

# d(x, y) ≥ 0,  = ⇔ x=y
# d(x, y) = d(y, z)
# d(x, y) ≥ d(x, x) + d(x, y)

ಹೀಗಾಗಿ ಮಾನಕಯುಕ್ತ ಸರಳ ಆಕಾಶಗಳೆಲ್ಲ ದೂರಾತ್ಮಕ ಆಕಾಶಗಳೂ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

## ಸಂಪೂರ್ಣತೆ(ಕಂಪ್ಲೀಟ್‌ನೆಸ್) 
ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾನಕಯುಕ್ತ ಸರಳ ಆಕಾಶಗಳಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಣಿಗಳ ಅಭಿಸರಣೆ ಮುಂತಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಈಗ {xi | i = 1, 2, 3……} ಎಂಬುದು *L* ನ ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿ ಅಗಿರಲಿ. Є > 0 ಎಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೂ ಇದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಂಡು

\|x_m - x_n\| \leq \in \ \forall \ m, n \geq n_0

ಆಗುವಂತಿರುವ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ *n0* ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದಾದರೆ ಅಂಥ ಶ್ರೇಣಿ {xi} ಯು ಇದರಲ್ಲಿಯ ಒಂದು ಕೌಷೀ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

## ವ್ಯಾಖ್ಯೆ 
ದೂರಾತ್ಮಕ ಆಕಾಶವೊಂದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೌಷೀ ಶ್ರೇಣಿಯೂ ಅಭಿಸರಣೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಆಕಾಶಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೂರಾತ್ಮಕ ಆಕಾಶ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಎಂದರೆ {xi} ಯು ಇದರಲ್ಲಿಯ ಒಂದು ಕೌಷೀ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಇದೇ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದು *x* ಗೆ ಅಭಿಸರಿಸುತ್ತದೆ (*xi→x*). ಹೀಗೆಂದರೆ Є>0 ಎಷ್ಟೇ ಅಲ್ಪವಾಗಿದ್ದರೂ ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ \|x_n \to x\|  ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ *n0* ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೆಂದು ಅರ್ಥ.

ಈವರೆಗೆ ವಿವರಿಸಿದ ಕೆಲವು ಪಾರಿಭಾಷಿಕ ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶಗಳನ್ನು ಈಗ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾನಕಾತ್ಮಕ ಸರಳ ಆಕಾಶಕ್ಕೆ (complete normed vector space) **ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ** ಎಂದು ಹೆಸರು.

**ಉದಾಹರಣೆಗಳು**:

1. ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ \mathbb{R} ನ್ನು \mathbb{R} ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ ಒಂದು ಸರಳ ಆಕಾಶ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ \forall \ x \ \in \ \mathbb{R} \ \|x\| = |x) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಇದು ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ. ಹಾಗೆಯೇ ಎಲ್ಲ ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ \mathbb{C} ಯು \mathbb{C} ಮೇಲಾಗಲಿ \mathbb{R} ಮೇಲಾಗಲಿ ರಚಿಸಿದ ಒಂದು ಸರಳ ಅಕಾಶ. ಇದರಲ್ಲಿ \forall ^z = \alpha + i\beta \ \in\cdots \|z\| = 1z1 = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲಾಗಿ \mathbb{C} ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶವಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಇದನ್ನೇ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಿ F=\mathbb{R} ಅಥವಾ \mathbb{C} ಆಗಿದ್ದರೆ Fn = {(z1,z2,…..,zn) | z1,z2,….,zn Є F} ಎಂಬ ಆಯಾಮದ ಸರಳ ಆಕಾಶ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದರಲ್ಲಿ

||z1,z2,…..,zn) ||1 = \sqrt ಎಂದರೆ |z1|,…..,|zn| ಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠತಮವಾದುದು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಬಾನಾಕ್ ಅಕಾಶ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು I^n_{\infty}ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

5. X ಒಂದು ಸಂಸ್ಥಿತೀಯ ಆಕಾಶ (ಟಾಪಾಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಆಗಿರಲಿ. ಎಂದಿನಂತೆ *F* ಎಲ್ಲ ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಅಥವಾ ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ) ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. *X* ನಿಂದ *F* ನೊಳಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಎಲ್ಲ ಪರಿಬಂಧಿತ (ಬೌಂಡೆಡ್) ಅವಿಚ್ಫಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ (continuous function) f :X→F ಗಳ ಗಣವನ್ನು *C(X)* ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಈಗ *C(X)* ಎಂಬುದು *F* ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ ಒಂದು ಆಕಾಶ ಆಗುವುದು. ಇದರಲ್ಲಿ \forall \ f \in C(X), f \to \|f\| ಮಾನಕವನ್ನು

*||f||* = ಗರಿಷ್ಠ ಪರಮಾವಧಿ (ಸುಪ್ರಿಮಮ್) { | f(x) | ∀ f Є C(X)  ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇದು C(X) ನ್ನು ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 
## ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು 
* 
* 

ವರ್ಗ:ಬೀಜಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ