ಗಣಿತ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರ

**ಗಣಿತ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರ**ವು ವಿವೇಚನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಭಾವಲೇಖಗಳ (ಐಡಿಯೋಗ್ರಾಫ್ಸ್) ಹಾಗೂ ಪ್ರತೀಕಗಳ (ಸಿಂಬಲ್ಸ್) ನೆರವಿನಿಂದ ಅನ್ವೇಷಿಸುವ ವಿಜ್ಞಾನ ವಿಭಾಗ; ಪ್ರತೀಕಾತ್ಮಕ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದು ಸಹ ಹೆಸರುಂಟು (ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಲಾಜಿಕ್; ಸಿಂಬಾಲಿಕ್ ಲಾಜಿಕ್). ಈ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಧಾನ ವಿಷಯ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರ. ಆದರೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಪದಗಳನ್ನು (ಪದಗಳನ್ನೂ ಪದಸಮೂಹಗಳಾದ ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನೂ ಉಚ್ಚರಿಸಿ ಇಲ್ಲವೇ ಬರೆದು ಭಾವೆನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಕ್ರಮ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ - ನಾಲ್ಕನ್ನು ಮೂರರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಆಗ ಹನ್ನೆರಡು ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.) ಪ್ರತೀಕಾತ್ಮಕ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ಮಾತಾಡಬೇಕಾದ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರತೀಕೀಕರಿಸುವ ಭಾವಲೇಖಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \wedge, \lor, \to, ~ ಮುಂತಾದ ಭಾವಲೇಖಗಳು; ಮತ್ತು ***p, q, r, s*** ಮುಂತಾದ ಉಕ್ತಿ ನಿರೂಪಕ ಪ್ರತೀಕಗಳು.

ಇವುಗಳ ಉಪಯೋಗವನ್ನು ತಿಳಿಯುವ ಮೊದಲು ಹೇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಉಕ್ತಿ ಎನ್ನುವ ಎರಡು ಸ್ಪಷ್ಟ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಕುರಿತು ಒಂದು ಮಾತು ಹೇಳಬೇಕು. ಯಾವುದೇ ಭಾವನೆ, ಅಭಿಪ್ರಾಯ ಮುಂತಾದವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ವಾಕ್ಯ ಇಲ್ಲವೇ ಉದ್ಗಾರ ಹೇಳಿಕೆ; ಸುವ್ಯಾಖ್ಯಿತ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ನಿಜ ಇಲ್ಲವೇ ಸುಳ್ಳು ಆಗಿರುವ ಹೇಳಿಕೆ ಮಾತ್ರ ಉಕ್ತಿ.

# ತುಂಬ ಸಂತೋಷ
# ಸಿದ್ದಾರ್ಥ ಬುದ್ಧನಾಗುವ ರಾತ್ರಿ
# ಸೋಮವಾರದ ಮರುದಿನ ಮಂಗಳವಾರ
# ಮೂರಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಫಲ ಒಂಬತ್ತು
# ಮೈಸೂರು ಭಾರತದಲ್ಲಿದೆ

ಮೇಲಿನ ಐದು ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ (3), (4), (5) ಮಾತ್ರ ಉಕ್ತಿಗಳು. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ (4)ನೆಯದು (ದಶಮಾನದ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ) ಸುಳ್ಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಇಂಥ ಉಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಆಡುಮಾತಿನಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸುವುದರಿಂದ ಎರಡು ವಿಧದ ತೊಂದರೆಗಳಿವೆ: ಉಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಅಮೂರ್ತ ಭಾವದ ಕಡೆಗೆ ಲಕ್ಷ್ಯ ಸಾಕಷ್ಟು ಹರಿಯುವುದಿಲ್ಲ: ಹೀಗಾಗಿ ಗಣಿತದ ವಿಕಾಸ ಆಗಲಾರದು. ಎರಡು, ನಿರೂಪಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆ ಲುಪ್ತವಾಗಿ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಉಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತೀಕಗಳ ನೆರವಿನಿಂದ ಸೂಚಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಹೀಗೆ ಗಣಿತ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ***p, q, r, s*** ಮುಂತಾದ ಪ್ರತೀಕಗಳು ಉಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಇದರ ಪ್ರಕಾರ (3)ನ್ನು ***p*** ಯೂ (4)ನ್ನು ***q*** ವೂ (5)ನ್ನು ***r*** ವೂ ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಈಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೊಸ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

* *p*: ನಾಲ್ಕು ಐದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ
* *q*: ಐದಕ್ಕೆ ಆರನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಫಲ ಹನ್ನೆರಡು
* *r*: ಒಂದು ವಾರದಲ್ಲಿ ಏಳು ದಿವಸಗಳಿವೆ
* *s*: ವಾಲ್ಮೀಕಿಯನ್ನು ಆದಿಕವಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ

ಇಲ್ಲಿ ***p*** ನಿಜ, ***q*** ಸುಳ್ಳು, ***r*** ನಿಜ, ***s*** ನಿಜ. ಒಂದು ಉಕ್ತಿಯ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಗೆ ಅದರ ನಿಜಮೌಲ್ಯ (ಟ್ರೂತ್ ವೇಲ್ಯೂ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ನಿಜಮೌಲ್ಯ ನಿಜವಾದಾಗ ಅದನ್ನು ***1*** (***ಒಂದು***) ಪ್ರತೀಕದಿಂದಲೂ, ಸುಳ್ಳಾದಾಗ ಅದನ್ನು ***0*** (***ಸೊನ್ನೆ***) ಪ್ರತೀಕದಿಂದಲೂ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ***p*** ಯ ನಿಜಮೌಲ್ಯ ***1***, ***q*** ನ ನಿಜಮೌಲ್ಯ ***0***, ***r*** ನ ನಿಜಮೌಲ್ಯ ***1*** ಮತ್ತು ***s*** ನ ನಿಜಮೌಲ್ಯ ***1***.

ಗಣಿತ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಭಾವಲೇಖಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತೀಕಗಳು ಹೊಸ ಒಂದು ಲೋಕವನ್ನೇ ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲಿನ ವಿವಿಧ ಗಣಿತ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು ಹಾಗೂ ಅವುಗಳಿಂದ ಲಭಿಸುವ ಅನುಮಾನಗಳು (ಇನ್ಫರೆನ್ಸಸ್) ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನಗಳು (ಕನ್‌ಕ್ಲೂಷನ್ಸ್) ಈ ಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಹೊಸ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿವೆ. ಗಣಿತ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾರಭೂತವಾದ ಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಎಂದರೆ ಅದರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆ (ಜನರ‍್ಯಾಲಿಟಿ). ಈ ಶಾಸ್ತ್ರದ ತತ್ತ್ವಗಳು ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥದಲ್ಲೂ ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಡನೆ ಹಾಗೂ ರಾಶಿಯೊಡನೆ (ಕ್ವಾಂಟಿಟಿ) ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಪರಿಮೇಯ ಪ್ರಕ್ರಮಕ್ಕೆ (ರ‍್ಯಾಷನಲ್ ಪ್ರೊಸೀಜರ್) ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಹೀಗೆ ಪ್ರತೀಕಾತ್ಮಕ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಗೊಳಿಸುವ ಗುರುತು ಅದರ ಕ್ರಮೀಕೃತ ಯಂತ್ರಾವಳಿಯಾದರೂ (ಫಾರ್ಮಲ್ ಮಶೀನರಿ) ಈ ಪ್ರತೀಕಗಳೂ, ಪ್ರತೀಕಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕ್ರಮಗಳೂ ವಾಸ್ತವವಾದ ಹಾಗೂ ಪ್ರಬಲವಾದ ಸೌಕರ್ಯಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಜ್ಞೀಕರಣದಲ್ಲಿ (ನೊಟೇಷನ್) ಸಾಧಿಸಲಾದ ಸುಧಾರಣೆಗಳಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮುನ್ನಡೆಯ ಮೇಲೆ ಮಹತ್ತರವಾದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಒಂಟಿ ಪ್ರತೀಕ ***0*** ಯಿಂದ ಅಂದಿನ ಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಆದ ಪ್ರಭಾವದಷ್ಟೇ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾದದ್ದು ಪ್ರತೀಕಾತ್ಮಕ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಭಾವ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಗಣಿತದ ಮೇಲೆ. ಇದರಿಂದ ದೊರೆತ ಹೊಸ ಆಯುಧಗಳ ನೆರವಿನಿಂದ ಹೊಸ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ನೂತನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಗ್ರೂಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸಂಖ್ಯಾಸಿದ್ಧಾಂತ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಶಾಸ್ತ್ರ, ಟಾಪಾಲಜಿ ಇಲ್ಲೆಲ್ಲ ಗಣಿತ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಧಾನಗಳು ಹಾಸುಹೊಕ್ಕಾಗಿ ಬೆರೆತು ಹೋಗಿವೆ.

## ಇತಿಹಾಸ 
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇನ್ನಿತರ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನಿಗಮನ ಅಥವಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಜ್ಞರು ನಿರತರಾಗಿದ್ದಾಗ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವೇಚನೆಯ ಜಟಿಲ ಸ್ವರೂಪದ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನದ ಸಾಧುತ್ವವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು, ಅರಿಸ್ಟಾಟಲನ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕ್ರಮಗಳು (ಸಿಲ್ಲಜಿಸಂಸ್) ಮತ್ತು 19ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಉತ್ತರಾರ್ಧಕ್ಕೂ ಮುನ್ನ ವಿವರಿಸಿದ ತರ್ಕ ತತ್ತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನ ವಿಧಾನಗಳು ಸಾಲವು ಎಂಬುವುದನ್ನು ಮನಗಂಡರು. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಿಂದಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ತತ್ತ್ವಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಹೊಸ ತೀರ್ಮಾನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ರೂಪಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ತೊಡಗಿದರು. ವಿಶೇಷ ಭಾವಲೇಖಗಳನ್ನು ವಿಪುಲವಾಗಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕಾರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿ ಪ್ರತೀಕಾತ್ಮಕವಾಗಿಯೇ ತಾರ್ಕಿಕ ಭಾವನೆಗಳನ್ನು, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ವಿವೇಚನಾಪರಂಪರೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿ ಗಣಿತ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಪೀಠಿಕೆ ಹಾಕಿದರು. ಜರ್ಮನಿಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಗೋಟ್ಲಬ್ ಫ್ರೇಜ್ (1848-1925) ಎಂಬಾತನನ್ನು ಈ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಪಿತಾಮಹ ಎನ್ನುವರು. ಇದರ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಜಿ. ಪಿಯಾನೊ (1858-1932), ಬರ್ಟ್ರಂಡ್ ರಸಲ್ (1872-1970), ಜಾರ್ಜ್ ಬೂಲ್ (1815-1864), ಕುರ್ಟ್ ಗೊಯ್ಡಲ್ (1906-1978), ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ (1862-1943) ಮತ್ತು ಎ. ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಇವರ ಕೊಡುಗೆಗಳು ಮಹತ್ತ್ವವಾದವು. ಭಾವಲೇಖಿಯ ನಿರೂಪಣೆಯಿಂದ ಕ್ಲಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಜಟಿಲವಾದ ವಿವೇಚನೆಗಳನ್ನು ಅಡಕವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲು ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿ ಗ್ರಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ. ಅಲ್ಲದೇ ಭಾಷಾ ನಿರೂಪಣೆಯ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವಾಕ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬರುವ ದ್ವಂದ್ವಾರ್ಥ ಮತ್ತು ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಡೆಗಟ್ಟಬಹುದು. ಅರ್ಥವಾಗಿದೆಯೆಂದು ಅಂಗೀಕರಿಸಿದ ಕೆಲವು ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಂದ ಉಳಿದೆಲ್ಲ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಗಣಿತ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕೇವಲ ಕೆಲವನ್ನು ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳೆಂದು (ಆ್ಯಕ್ಸಿಯಂಸ್) ಅಂಗೀಕರಿಸಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಎಂದು ಹೇಳುವ ತಾರ್ಕಿಕವಾದ ನಿಜ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿತವಾದ ತೀರ್ಮಾನ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಪಡಿಯುವುದು ಈ ಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಧಾನ. ಇಂಥ ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕೆಲವು ಅವ್ಯಾಖ್ಯಿತ ಮೂಲ ಭಾವಲೇಖಗಳು, ಸುರೂಪಿತ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತೀಕಗಳು, ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅನುಮಾನ ನಿಯಮಗಳು ಒಂದು ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ಸುರೂಪಿತ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಸಾಧನೆ ಸುರೂಪಿತ ಸೂತ್ರಗಳ ಒಂದು ಪರಂಪರೆ. ಈ ಪರಂಪರೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಅಂಗೀಕೃತ ಭಾವನೆಗಳು ಇಲ್ಲವೇ ಪೂರ್ವಸಾಧಿತ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ತೀರ್ಮಾನ ನಿಯಮದ ಅನ್ವಯದಿಂದ ದೊರೆತ ಸುರೂಪಿತ ಸೂತ್ರಗಳು. ಈ ಪರಂಪರೆಯ ಅಂತ್ಯವಾಕ್ಯವೇ ಪ್ರಮೇಯ. ಮೊದಲನೆಯ ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸಿದಾತ ಜಿ. ಫ್ರೇಜ್. ಈತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಎಲ್ಲ ಪದಗಳನ್ನೂ (ಟರ್ಮ್ಸ್) ತಾರ್ಕಿಕ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ನಿರೂಪಿಸಿ ಕೇವಲ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳಿಂದಲೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಎಲ್ಲ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದೆಂದು ತೋರಿಸಿದ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈತನ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿದ ರಸಲ್ ಮತ್ತು ವೈಟ್‍ಹೆಡ್ ಎಂಬ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ತಮ್ಮ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಿಯಾ ಮ್ಯಾಥ್‌ಮ್ಯಾಟಿಕಾ (1910-13) ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಇಡೀ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಬಹುದೆಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಹೀಗೆ ಒಂದು ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಂಗವೆಂದೂ, ಮತ್ತೊಂದು ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಒಂದು ಅಂಗವೆಂದೂ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.

## ಉಕ್ತಿಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ 
ಈ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ***p, q, r, s*** ಇತ್ಯಾದಿಗಳು ವಿವಿಧ ಉಕ್ತಿಗಳು. ಇವು ಸರಳ ಉಕ್ತಿಗಳೆಂದು -ಎಂದರೆ ನೇರವಾದ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ, ಆಡುಮಾತಿನಲ್ಲಿ ಸರಳ ವಾಕ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ- ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಂಥ ಸರಳೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭಾವಲೇಖಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸಿ ಇಲ್ಲವೇ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿ ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆದು ಅವುಗಳ ನಿಜಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸುವುದು ಉಕ್ತಿಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಧಾನ.

* \wedge... ಮತ್ತು (ಸಮುಚ್ಚಯ)
* V... ಅಥವಾ (ಪರ್ಯಾಯ)
* ~... ಇಲ್ಲ/ ಅಲ್ಲ/ ಆಗಿಲ್ಲ (ನಿಷೇಧಾತ್ಮಕ)
* →... ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ (ನಿಬಂಧಿತ)
* ↔... ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ (ಸಮತೆ)

ಮೇಲಿನ ಭಾವಲೇಖಗಳ (ಇವುಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜಕಗಳೆಂಬ ಹೆಸರೂ ಉಂಟು) ಪ್ರಕಾರ ರಚಿಸಿದ ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಬರೆದಿದೆ:

* p \wedge q... ***p ಮತ್ತು q***
* p V q... ***p ಅಥವಾ q***
* ~p, ~q... ***p ಅಲ್ಲ, q ಅಲ್ಲ***
* p → q... ***p ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ q***
* p ↔ q... ***p ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ q***

ಈಗ ***p, q*** ಗಳ ನಿಜಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ತಲೆದೋರಬಹುದಾದ ಭಿನ್ನತೆಗಳನ್ನು ಅನುಲಕ್ಷಿಸಿ p \wedge q ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಯ ನಿಜಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ತಲೆದೋರುವ ಭಿನ್ನತೆಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ನಿಜಮೌಲ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿದೆ.
      ಸಮುಚ್ಚಯ
 p	q      p \wedge q
 1	1	1
 1	0	0
 0	1	0
 0	0	0
ಅಂದರೆ, ಸಮುಚ್ಚಯದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಬಿಡಿ ಉಕ್ತಿಗಳ ನಿಜಮೌಲ್ಯಗಳು ***1*** ಆಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಯ ನಿಜಮೌಲ್ಯ ***1*** ಆಗಿರುವುದು; ಮಿಕ್ಕ ಎಲ್ಲ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲೂ ಅದು ***0*** ಆಗಿರುವುದು.

ಇತರ ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಿಜಮೌಲ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಮುಂದೆ ಬರೆದಿದೆ.
      ಪರ್ಯಾಯ
 p	q     pVq
 1	1      1
 1       0      1
 0       1      1
 0       0      0
ಅಂದರೆ, ಪರ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಬಿಡಿ ಉಕ್ತಿಗಳ ನಿಜಮೌಲ್ಯಗಳು ***0*** ಆಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯ ***0*** ಆಗಿರುವುದು; ಮಿಕ್ಕ ಎಲ್ಲ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲೂ ಅದು ***1*** ಆಗಿರುವುದು.
           ನಿಷೇಧ
 p	q	~p	~q
 1	1	0	0
 1	0	0	1	
 0	1	1	0
 0	0	1	1
ಅಂದರೆ, ಒಂದು ನಿಷೇಧಾತ್ಮಕ ಉಕ್ತಿಯ ನಿಜಮೌಲ್ಯ ಅದರ ಬಿಡಿ ಉಕ್ತಿಯ ನಿಜಮೌಲ್ಯದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವುದು.
       ನಿಬಂಧಿತ
 p	q	p→q
 1	1	 1
 1	0	 0
 0	1	 1
 0	0	 1
ಅಂದರೆ, ನಿಬಂಧಿತ ಪೂರ್ವೋಕ್ತಿಯ ನಿಜಮೌಲ್ಯ 1 ಉತ್ತರೋಕ್ತಿಯ ನಿಜಮೌಲ್ಯ ***0*** ಆಗಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿ ನಿಜಮೌಲ್ಯ ***0*** ಆಗಿರುವುದು; ಮಿಕ್ಕ ಎಲ್ಲ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲೂ ಅದು ***1*** ಆಗಿರುವುದು.
         ಸಮತೆ
 p	q	p↔q
 1	1	 1
 1	0	 0
 0	1	 0
 0	0	 1
ಅಂದರೆ, ಸಮತೆಯಲ್ಲಿ ಬಿಡಿ ಉಕ್ತಿಗಳೆರಡರ ನಿಜಮೌಲ್ಯಗಳೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಾಗ (***1, 1*** ಇಲ್ಲವೇ ***0, 0***) ಮಾತ್ರ ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಯ ನಿಜಮೌಲ್ಯ ***1*** ಆಗಿರುವುದು; ಮಿಕ್ಕ ಎಲ್ಲ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲೂ ಅದು ***0*** ಆಗಿರುವುದು.

ಮೇಲಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಡೀಕರಿಸಿ ಸಮಗ್ರ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬರೆದಿದೆ.
 p	q       ~p	~q     p \wedge q	 pVq	 p→q	p↔q
 
 1	1	0	 0	 1	  1	  1	 1
 
 1	0	0	 1	 0	  1	  0	 0
 
 0	1	1	 0	 0	  1	  1	 0
 
 0	0	1	 1	 0	  0	  1	 1
ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಯೋಜಕಗಳ (ಭಾವಲೇಖಗಳ) ಸಹಾಯದಿಂದ ಜಟಿಲ ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ವಿಶದಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ ಉಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಎರಡು ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮುಖ್ಯವಾದದ್ದು. ಇದರಿಂದ ವಾದಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಾಧನೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರುವ ಉಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಅಥವಾ ಅನುಕೂಲವಾದ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ. ಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಹೀಗಿದೆ: ಒಂದೇ ಬಗೆಯ ಬಿಡಿ ಉಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಗಳ ನಿಜ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಆ ಬಿಡಿ ಉಕ್ತಿಗಳ ನಿಜ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಣೆಗೂ ಸರ್ವಸಮವಾದರೆ, ಆ ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಗಳು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ಸಂಜ್ಞೆ ***≡***.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ

* \sim(p \wedge q) \equiv \ \sim p \ \lor \sim q
* \sim(p \lor q) \equiv \ \sim p \ \wedge \sim q

ಇವುಗಳಿಗೆ ಡಿಮಾರ್ಗನ್ನನ ನಿಯಮಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ಈ ಉಕ್ತಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಎರಡೂ ಪಾರ್ಶ್ವಗಳ ನಿಜಮೌಲ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು.

ಒಂದು ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿ ***a*** ಯ ಬಿಡಿ ಉಕ್ತಿಗಳ ನಿಜಮೌಲ್ಯಗಳು ಯಾವುದೇ ಆಗಿದ್ದರೂ ***a*** ಯ ನಿಜಮೌಲ್ಯ ಮಾತ್ರ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ***a*** ಗೆ ಒಂದು ನಿತ್ಯ ಸತ್ಯ (ಟಾಟಾಲಜಿ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಪ್ರತೀಕಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಇದನ್ನು \vDash a ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಿತ್ಯ ಸತ್ಯ ಉಕ್ತಿಗಳು ಸಾಧುವಾದ (ವ್ಯಾಲಿಡ್) ಉಕ್ತಿಗಳು. ಇವನ್ನು ಪ್ರಮೇಯಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಅನುಮಾನದ ಸಾಧುತ್ವದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಾಧನೆಗಳಲ್ಲಿ ಇವುಗಳ ಪಾತ್ರ ಹಿರಿದಾದುದು. \sim (p \wedge q) \ \lor (q \leftrightarrow p) ಎಂಬುದು ನಿತ್ಯ ಸತ್ಯವೆಂಬುದನ್ನು ಮುಂದಿನ ನಿಜಮೌಲ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕದ ಕೊನೆಯ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.
 p	q     (p \wedge q)		\sim (p \wedge q)	q→p	\sim (p \wedge q) \ \lor (q \leftrightarrow p)
 1	1	 1		    0		 1		 1
 1	0	 0		    1		 0		 1
 0	1	 0		    1		 0		 1
 0	0	 0		    1		 1		 1
ಒಂದು ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಯ ನಿತ್ಯಸತ್ಯವನ್ನು ನಿಜಮೌಲ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅನುಕೂಲವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಿತ್ಯಸತ್ಯಗಳಿಂದ ನಿತ್ಯಸತ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ನಿಯಮಗಳ ಹಾಗೂ ಮಿತಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಳ ನಿತ್ಯಸತ್ಯಗಳ ಪರಿಜ್ಞಾನದಿಂದ ದತ್ತ ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಯ ನಿತ್ಯಸತ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಬಗೆಯ ಸಾಧು ಉಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸುಲಭಸಾಧ್ಯ.

ನಿಯಮ 1: \vDash p ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಒಂದು ಬಿಡಿ ಉಕ್ತಿ ***q*** ಗಳೆಲ್ಲಕ್ಕೂ ಉಕ್ತಿ ***r*** ನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಉಕ್ತಿ ನಿತ್ಯಸತ್ಯವಾಗಿರುವುದು.

ನಿಯಮ 2: ***p ≡ q*** ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ \vDash p \leftrightarrow q. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಉಕ್ತಿಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಮಾನ ಉಕ್ತಿಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಬಹುದು.

ನಿಯಮ 3: \vDash p ಮತ್ತು \vDash p \leftrightarrow q ಆಗಿದ್ದರೆ, \vDash q. \ p_1, p_2 \cdots, p_m ಪ್ರಾರಂಭಿಕ ನಿಜ ಉಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಸಾಧು ಅನುಮಾನ ಉಕ್ತಿ ***p*** ಎಂಬುದನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಕ್ತಿಗಳ ಪರಂಪರೆಯಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದರ ಕೊನೆಯ ಉಕ್ತಿಯೇ ***p***. ಈ ಪರಂಪರೆಗೆ ಸಾಧನೆ ಎಂದು ಹೆಸರು; ಮತ್ತು ಇದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಕ್ತಿ ***q*** ವನ್ನು ಅನುಮಾನ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ದೃಢಪಡಿಸಬಹುದು.

## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 
## ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು 
* 
* Polyvalued logic and Quantity Relation Logic
* *forall x: an introduction to formal logic*, a free textbook by .
* *A Problem Course in Mathematical Logic*, a free textbook by Stefan Bilaniuk.
* Detlovs, Vilnis, and Podnieks, Karlis (University of Latvia), *Introduction to Mathematical Logic.* (hyper-textbook).
* In the Stanford Encyclopedia of Philosophy:
*: Classical Logic by Stewart Shapiro.
*: First-order Model Theory by Wilfrid Hodges.
* In the London Philosophy Study Guide :
*: Mathematical Logic 
*: Set Theory & Further Logic 
*: Philosophy of Mathematics 

ವರ್ಗ:ಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ