ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ

ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳ ತೂಕಗಳಿಂದಾದ ಕ್ರೋಡೀಕೃತ (Resultant) ಬಲವು ಯಾವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವುದೋ ಆ ಬಿಂದುವನ್ನು **ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ** ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ಒಂದು ವಸ್ತುವಿಗೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೂ ಕೇವಲ ಒಂದು ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವಿರುತ್ತದೆ. ಏಕರೀತಿಯ ಗುರುತ್ವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ **ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ** ಮತ್ತು **ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರ**  ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದು. ಇದನ್ನು  **"G"**  ಅಥವಾ **"C.G"** ಎಂದು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ

## ಪ್ರಸ್ತಾವನೆ
ಈ ಹಿಂದೆಯೇ ನಿರೂಪಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವೂ ಭೂಮಿಯ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿನತ್ತ ಆಕರ್ಷಿಸಲ್ಪಡುವುದು. ಈ ಆಕರ್ಷಣ ಬಲವು ಆ ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮತ್ತು ಭೂಮಿಯ ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮುಖವಾಗಿ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದು. ಅದನ್ನು ಆ ವಸ್ತುವಿನ ತೂಕ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.ಮತ್ತು ವಸ್ತುವಿನ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳು ಭೂಮಿಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದರಿಂದ ಆ ವಸ್ತುವಿನ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳ ತೂಕಗಳಿಂದಾದ ಬಲಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವವು ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾಂತರ ಬಲಗಳ ಕ್ರೋಡೀಕೃತ ಬಲವು ಆ ವಸ್ತುವಿನ ಒಟ್ಟು ತೂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಸ್ತು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೂ, ಈ ಕ್ರೋಡೀಕೃತ ಬಲವು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವುದು. ಅದನ್ನೇ  ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

## ನಡುಚುಕ್ಕಿ(Centroid)
ವಿವಿಧ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾದ ವೃತ್ತ,ತ್ರಿಕೋನ,ಚತುರ್ಭುಜ ಇತ್ಯಾದಿಗಳು  ಕೇವಲ **೨-ಆಯಾಮ**ಗಳಾದ **ಉದ್ದ** ಮತ್ತು **ಅಗಲ**ವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಸಪಾಟಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಅವುಗಳು ಯಾವುದೇ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳಿಗೆ ಕೇವಲ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಿರುವುದು.ಇಂತಹ 2-ಆಯಾಮದ ಸಪಾಟಾಗಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕೇಂದ್ರ ಅಥವಾ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ನಡುಚುಕ್ಕಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ನಡುಚುಕ್ಕಿ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಒಂದೇ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.ಕೆಲವು ವಿಜ್ಞಾನ ಲೇಖಕರು ನಡುಚುಕ್ಕಿಯನ್ನು ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವೆಂದೂ ಇಲ್ಲವೇ  ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರವನ್ನು ನಡುಚುಕ್ಕಿಯೆಂದೂ ಕರೆದಿದ್ದಾರೆ.

## ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳು
# ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪರಿಗಣನೆ ವಿಧಾನ.
# ಮೊಮೆಂಟ್‍(Moment)ಗಳ ವಿಧಾನ.
# ನಕ್ಷಾ ವಿಧಾನ.
ಈ ಮೇಲಿನ ಮೂರು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ನಕ್ಷಾ ವಿಧಾನವು ಬಹಳ ಕ್ಲಿಷ್ಠ ಹಾಗೂ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಕೇವಲ ಶೈಕ್ಷಣಿಕವಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.ಹೀಗಾಗಿ ಇನ್ನುಳಿದ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

### ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪರಿಗಣನೆ ವಿಧಾನ
* ವೃತ್ತದ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
* ಚೌಕ, ಆಯತಾಕಾರದ ಹಾಗೂ ಚೌಕೋನದ ಕರ್ಣಗಳು ಎಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೋ ಅಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವಿರುತ್ತದೆ.ಅದು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
* ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಮೀಡಿಯನ್‍ಗಳು ಎಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೋ ಅಲ್ಲಿ ಅದರ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವಿರುತ್ತದೆ.
* ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕುವಿನ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಬುಡದಿಂದ    \frac{h}{3}\! ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
* ಅರ್ಧಗೋಳದ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಬುಡದಿಂದ    \frac{3r}{8}\! ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
* ಗೋಳದ ತುಂಡಿನ ತ್ರಿಜ್ಯವು **h** ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಬುಡದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ  \frac{3}{4} \frac{(2r-h)^2}{(3r-h)}\! ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
* ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ಅದರ ಬುಡದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ   \frac{4r}{3\pi} \! ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
* 'ವಿಷಮ ಚತುರ್ಭುಜ (ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ)ದ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಬುಡದಿಂದ   \frac{2}{3} \frac{(b+2a)}{(b+a)}\!  ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
* ಘನಾಕೃತಿಯ ಅಳತೆಯು **L** ಆಗಿದ್ದರೆ,ಅದರ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು  ಪ್ರತಿ ಮುಖದಿಂದ  \frac{L}{2}\! ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
* ಗೋಳದ ವ್ಯಾಸವು **d**  ಆಗಿದ್ದರೆ,ಅದರ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು  ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ  \frac{d}{2}\! ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

image:Circular section.jpg|thumb|      **ವೃತ್ತ**.
image:Rectangle.jpg|thumb| **ಚೌಕ ಮತ್ತು ಆಯತಾಕಾರ**.
image:Right circular Cone.jpg|thumb|  **ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕು**.
image:Hemisphere.jpg|thumb|     **ಅರ್ಧಗೋಳ**.
image:Segment of a Sphere.jpg|thumb|   **ಗೋಳದ ತುಂಡು**.
image:Semicircle.jpg|thumb|     **ಅರ್ಧವೃತ್ತ**.
image:Trapizium.jpg|thumb| **ವಿಷಮ ಚತುರ್ಭುಜ    (ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ)**.

### ಮೊಮೆಂಟ್‍(Moment)ಗಳ ವಿಧಾನ.
ಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು]]
ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ **"M"** ಆಗಿರಲಿ.ಮತ್ತು **ಗುರುತ್ವದಿಂದಾಗಿ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ** **"g"** ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆ ವಸ್ತುವಿನ ಒಟ್ಟು ತೂಕ **"Mg"** ಎಂದಾಗುವುದು. ಆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಸಮನಾದ ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ಸಣ್ಣ ಸಣ್ಣ ತುಂಡುಗಳನ್ನಾಗಿ ಭಾಗ ಮಾಡಿ.ಅವುಗಳ ತೂಕ  **m1g1, m2g2, m3g3............**,ಇತ್ಯಾದಿ., ಆಗಿರಲಿ. ಮತ್ತು  **(X1, Y1),  (X2, Y2),    (X3,Y3)**..............,ಇತ್ಯಾದಿಗಳು., ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು **"o"** ನಿಂದ ಅವುಗಳ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರಗಳ ದೂರಗಳ ಕಕ್ಷೆ(Co-ordinates)ಗಳಾಗಿರಲಿ.

ಇಡಿ ವಸ್ತುವಿನ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ **"G"** ಆಗಿದ್ದರೆ, \bar X ಮತ್ತು \bar Y  ಗಳು *"o"** ನಿಂದ  ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ  **"G"** ದೂರಗಳ ಕಕ್ಷೆ(Co-ordinates)ಯಾಗಿರಲಿ.
ಮೊಮೆಂಟ್‍ಗಳ ನಿಯಮದಂತೆ,
                **Mg** \bar X =  **m1gX1 + m2gX2 + m3gX3............,**

                **Mg** \bar X = **g**( **m1X1 + m2X2 + m3X3............,**)

                **M** \bar X =  **m1X1 + m2X2 + m3X3............,**

                 **M** \bar X = \sum mx

         ಆದರೆ,   **M** = **m1 + m2 + m3............** =   \sum m

 ಆದುದರಿಂದ,        \bar X  =  \frac{\sum mx}{\sum m}\!

 ಇದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ,     \bar Y  =  \frac{\sum my}{\sum m}\!
                    
## ಆಕರ ಅಕ್ಷಗಳು
ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು **ಆಕರ ಅಕ್ಷಗಳು** ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ವಾಡಿಕೆಯಂತೆ  \bar Y  ಅನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಅತ್ಯಂತ ಕೆಳ ಭಾಗದ ಗೆರೆಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದರೆ, \bar X  ಅನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಎಡ ಭಾಗದ ಗೆರೆಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಾರೆ.

## ನಡುಚುಕ್ಕಿಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನ
 ವಿವಿಧ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರಗಳು (**T**-ಬಿಲ್ಲೆ(Section), **L**-ಬಿಲ್ಲೆ, **I**-ಬಿಲ್ಲೆ)  2-ಆಯಾಮದವುಗಳಾಗಿದ್ದು ಸಪಾಟಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಅಥವಾ ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.ಅವುಗಳಿಗೆ ಕೇವಲ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಿರುವುದು. ಅವುಗಳ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು **ನಡುಚುಕ್ಕಿ** ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅದನ್ನು **"ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಕೇಂದ್ರ"** ಎಂದೂ ಸಹ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ **ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ** ಹಾಗೂ **ನಡುಚುಕ್ಕಿ**ಗಳನ್ನು ಪರ್ಯಾಯ ಪದಗಳನ್ನಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಂತೆ ನಡುಚುಕ್ಕಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು **"A"** ಆಗಿರಲಿ.ಆ ವಸ್ತುವನ್ನು  ಸಣ್ಣ ಸಣ್ಣ ತುಂಡುಗಳನ್ನಾಗಿ ಭಾಗ ಮಾಡಿ.ಅವುಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು  **a1, a2, a3............**,ಇತ್ಯಾದಿ., ಆಗಿರಲಿ.  ಮತ್ತು **(X1, Y1),  (X2, Y2),  (X3,Y3)**..............,ಇತ್ಯಾದಿಗಳು., ಆಕರ ಅಕ್ಷ **"Y-Y"** ನಿಂದ ಅವುಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಕೇಂದ್ರಗಳ ದೂರಗಳ ಕಕ್ಷೆ(Co-ordinates)ಗಳಾಗಿರಲಿ.

ಇಡಿ ವಸ್ತುವಿನ **ನಡುಚುಕ್ಕಿ** **"G"*' ಆಗಿದ್ದರೆ, \bar X ಮತ್ತು \bar Y  ಗಳು ಆಕರ ಅಕ್ಷ *"Y-Y ಮತ್ತು X-X"** ನಿಂದ  ನಡುಚುಕ್ಕಿ  **"G"** ದೂರಗಳ ಕಕ್ಷೆ(Co-ordinates)ಯಾಗಿರಲಿ.
ಮೊಮೆಂಟ್‍ಗಳ ನಿಯಮದಂತೆ,
                **A** \bar X =  **a1X1 + a2X2 + a3X3............,**

                 **A** \bar X = \sum ax

         ಆದರೆ,   **A** = **a1 + a2 + a3............*' =   \sum a

 ಆದುದರಿಂದ,        \bar X  =  \frac{\sum ax}{\sum a}\!

 ಇದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ,     \bar Y  =  \frac{\sum ay}{\sum a}\!

## ನೆನಪಿಡಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು
# ಒಂದು ವಸ್ತುವಿಗೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿತಿ(Positions)ಗಳಿಗೂ ಕೇವಲ ಒಂದೇ ಒಂದು ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವಿರುವುದು.
# ಒಂದು ವಸ್ತು X-X ಅಥವಾ Y-Y ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಪಾರ್ಶ್ವತೆ(Symmetry) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು "ಸಮಪಾರ್ಶ್ವತಾ ಅಕ್ಷ"ದ ಮೇಲಿರುವುದು.
# ಒಂದು ವಸ್ತು X-X ಮತ್ತು Y-Y ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಪಾರ್ಶ್ವತೆ(Symmetry) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು ಅವೆರಡು "ಸಮಪಾರ್ಶ್ವತಾ ಅಕ್ಷ"ಗಳು ಸಂಧಿಸುವ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿರುವುದು
# ಒಂದು ವಸ್ತು X-X  ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಸಮಪಾರ್ಶ್ವತೆ(Symmetry) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಕೇವಲ  \bar X ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕು.ಏಕೆಂದರೆ \bar Y  = ೦ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
# ಒಂದು ವಸ್ತು Y-Y  ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಸಮಪಾರ್ಶ್ವತೆ(Symmetry) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಕೇವಲ  \bar Y ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕು.ಏಕೆಂದರೆ \bar X  = ೦ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
# ಒಂದು ವಸ್ತು ಯಾವುದೇ   ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಪಾರ್ಶ್ವತೆ(Symmetry) ಹೊಂದಿರದಿದ್ದರೆ,  ನಾವು  \bar X ಮತ್ತು \bar Y  ಗಳೆರಡನ್ನೂ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕು.

## ಹೊರ ಕೊಂಡಿಗಳು
# ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ-NASA
# ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ-ಎನ್‍ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯ, ಬ್ರಿಟಾನಿಕ
# http://www.explainthatstuff.com/center-of-gravity.html
## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು
ವರ್ಗ:ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್
ವರ್ಗ:ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ
ವರ್ಗ:ಸಿವಿಲ್‍ ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‍