ರಿಂಗ್

**ರಿಂಗ್** (**ವಲಯ**) ಎನ್ನುವುದು ಸುಪರಿಚಿತ ಸರಳ ನಿಯಮಗಳ ಮೇರೆಗೆ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಯಾವುದೇ ಗಣಿತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಮಸ್ತ (ಧನ, ಋಣ ಹಾಗೂ ಶೂನ್ಯ) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುವೇ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಕೂಡಬಹುದು (ಸಂಕಲನ) ಹಾಗೂ ಗುಣಿಸಬಹುದು(ಗುಣಾಕಾರ); ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅವುಗಳ ಪೈಕಿ ಯಾವುದೊಂದರಲ್ಲಿ ಬೇಕಿದ್ದರೂ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಕಳೆಯಲೂಬಹುದು (ವ್ಯವಕಲನ). ರಿಂಗುಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಾಹಾರ ಪರಿಕರ್ಮ ಸಾಧ್ಯವಾಗಲೇಬೇಕೆಂಬ ನಿಬಂಧನೆ ಅಂಗೀಕೃತವಲ್ಲ. ರಿಂಗೊಂದರಲ್ಲಿ ಭಾಗಾಹಾರವೂ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಸಂಗಗಳ ಬಗೆಗಿನ ವಿವರಗಳು ಮುಂದೆ ಲಭ್ಯ.

## ಪರಿಕರ್ಮ ನಿಯಮಗಳು, ವ್ಯಾಖ್ಯೆ 
***A*** ಎಂಬ ಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದರಲ್ಲಿ ***a, b, c*** ಮುಂತಾದ ಧಾತುಗಳಿರುವುದಾಗಿ (element) (ಹಾಗೂ ಅದರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಧಾತುವಿರುವುದಾಗಿ) ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಎನಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಿದ್ದರೆ ಮುಂದಿನ ಐದು ನಿಯಮಗಳು ಪರಿಪಾಲಿತವಾಗುವುದು ಅವಶ್ಯ:

# **ಸಂವೃತತೆ (ಕ್ಲೋಷರ್)**: ***a, b*** ಗಳು ***A*** ಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲೂ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ***a + b***, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ***a – b*** ಮತ್ತು  ಗುಣಲಬ್ಧ ***ab*** ಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿರಬೇಕು, ಹಾಗೂ ಈ ***a + b, a – b, ab*** ಕೂಡ ***A*** ಯಲ್ಲೇ ಇರಬೇಕು. (ಸ್ಪಷ್ಟನೆ: ಈ ಸಂಬಂಧ ಸಮಂಜಸ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಗುಣಲಬ್ಧ ಪದಗಳಿಗೆ ರೂಢಿಗತವಲ್ಲದ ವಿಭಿನ್ನಾರ್ಥಗಳನ್ನು ಆರೋಪಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಹ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮ್ಮತಿ ಉಂಟು.)
# **ವ್ಯತ್ಯಯ ನಿಯಮ (ಕಾಮ್ಯುಟೆಟಿವ್ ಲಾ)**: ***A*** ಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ***a, b*** ಗಳಿಗೂ ***a + b = b + a***.
# **ವ್ಯವಕಲನ ನಿಯಮ (ಸಬ್‌ಟ್ರ‍್ಯಾಕ್ಷನ್)**: ***A*** ಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ***a, b*** ಗಳಿಗೂ ***(a – b) + b = a***.
# **ಸಾಹಚರ್ಯ ನಿಯಮಗಳು (ಅಸೋಸಿಯೆಟಿವ್ ಲಾಸ್)**: ***A*** ಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ತ ***a, b, c*** ಗಳಿಗೂ ***(a + b) + c  =  a + (b + c)*** ಹಾಗೂ ***(a b) c  =  a (b c)***.
# **ವಿತರಣ ನಿಯಮಗಳು (ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯುಟಿವ್ ಲಾಸ್)**: ***A*** ಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ತ ***a, b, c*** ಗಳಿಗೂ ***a (b + c) = a b + a c*** ಹಾಗೂ ***(b + c) a = b a + c a***.
***A*** ಕುರಿತಂತೆ ಗುಣಾಕಾರ ಸಂಬಂಧ ವ್ಯತ್ಯಯ ನಿಯಮ ***a b = b a*** ಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸದೆ ಇರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಒಂದು ಪಕ್ಷ ಈ ***a b = b a*** ಸಹ ಪರಿಪಾಲಿತವಾದರೆ ***A*** ರಿಂಗ್ ವ್ಯತ್ಯಯಶೀಲ ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇಡೀ ರಿಂಗ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ (ring algebra) ವ್ಯತ್ಯಯಶೀಲ ರಿಂಗುಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ನಿಜಕ್ಕೂ ಒಂದು ಬಲು ಮುಖ್ಯ ಅಂಗ. ಯಾವುದೇ ರಿಂಗಿನ ಯಾವುವೇ ಎರಡು ಧಾತು ***a, b*** ಗಳನ್ನು ಕುರಿತಾಗಿ ***(a – a) = (b – b)*** ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಎಲ್ಲ ***(a – a)*** ಗಳ ಸರ್ವಸಾಮಾನ್ಯ ಬೆಲೆಗೆ ಸೊನ್ನೆ (ಶೂನ್ಯ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಎಂದಿನಂತೆ ಸೊನ್ನೆಯ ಪ್ರತೀಕ ***0***. ವಿತರಣ ನಿಯಮಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮಸ್ತ ರಿಂಗ್ ಧಾತು ***c*** ಗಳಿಗೂ ***0c = c0 = 0*** ಎಂದಾಗುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯ.

### ಉದಾಹರಣೆ 
ಚಿರಪರಿಚಿತವಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣ ***Z*** ನಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ (+) ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ (x) ಎಂಬ ಎರಡು ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಿರುವುದು ತಿಳಿದೇ ಇದೆ; ಇವು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಇದರಿಂದ ಸಂಕಲನ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ***Z*** ಒಂದು ಸಾಹಚರ್ಯ ಗ್ರೂಪ್ (associative group). ಎಂದರೆ

1. ***Z*** ನ ಎಲ್ಲ ***x,y,z*** ಗಳಿಗೂ ಸಾಹಚರ್ಯ ನಿಯಮ: ***(x+y) + z = x + (y+z)*** ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ.

2. ***x+y = y+x*** ಎಂಬ ವ್ಯತ್ಯಯ ನಿಯಮ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ.

3. ***Z*** ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಧಾತು ***x*** ನೊಂದಿಗೂ ***0 + x = x = x + 0*** ಆಗುವಂತೆ ***Z*** ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ***0*** ಇರುತ್ತದೆ.

4. ***x*** '*∈ *Z*** ಆಗಿದ್ದರೆ ಇದರೊಂದಿಗೆ ***(-x) + x = 0 = x + (-x)*** ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ***(-x)*** ಸಹ ***Z*** ನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ಸಾಹಚರ್ಯ ನಿಯಮವಾದ ***a x (b x c) = (a x b) x c*** ಎಂಬ ಸಂಬಂಧ ***Z*** ನ ಎಲ್ಲ ***a,b,c*** ಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಹಾಗೆ ಇವೆರಡು ಪರಿಕರ್ಮಗಳು ವಿತರಣ ನಿಯಮಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ 

***a x (b + c) = a x b + a x c*** ಮತ್ತು

***(b + c) x a = b x a + c x a***

ಎಂಬ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಬಂಧಿತವಾಗಿವೆ. 

ಈ ಬಗೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ವಿಧವಾದ ಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲೂ ಇದೇ ಬಗೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಎದ್ದುಕಾಣುತ್ತವೆ. ಇವನ್ನೆಲ್ಲ ಕ್ರೋಡೀಕರಿಸಿ ಮುಖ್ಯ ಭಾವನೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಲೆಕ್ಕಿಸಿಕೊಂಡು ಗೌಣವಾದ ವಿವರಗಳನ್ನು ಕೈಬಿಟ್ಟು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕರಿಸುವುದರಿಂದ ವಲಯಗಳು ಎಂಬ ಭಾವನೆ ಮೂಡಿ ಬರುತ್ತದೆ.

## ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್‍ಗಳು 
ಕೆಲ ರಿಂಗುಗಳಲ್ಲಿ ಇದೀಗ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತಿರುವ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಭಾಗಾಹಾರ ಪರಿಕರ್ಮವೂ ಸಾಧ್ಯವಾಗಬಹುದು. ಯಾವುವೇ ಎರಡು ರಿಂಗ್ ಧಾತು ***b*** ಮತ್ತು ***a*** ಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಒಂದು ಬಲಭಾಗಲಬ್ಧ ***a \ b*** ಹಾಗೂ ಒಂದು ಎಡಭಾಗಲಬ್ಧ ***a / b*** ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿದ್ದು ಇವುಗಳಿಂದ ***(a \ b) b = b (a / b) = a*** ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಿಂಧುವಾಗಬೇಕೆಂಬುದೇ ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅರ್ಥ. ಇಂತಿರುವ ರಿಂಗುಗಳಿಗೆ ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗುಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು. ಯಾವುದೇ ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗಿನ ಯಾವುವೇ ಎರಡು ಧಾತು ***c, b*** ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ***c \ c = c / c = b \ b = b / b*** ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಸಕಲ ***b \ b = b / b*** ಗಳ ಸರ್ವಸಾಮಾನ್ಯ ಬೆಲೆಗೆ ಸಾಮ್ಯಕ (ಐಡೆಂಟಿಟಿ) ಎಂಬ ಹೆಸರಿದೆ. ಸಾಮ್ಯಕದ ಪ್ರತೀಕ ಎಂದಿನಂತೆ 1. ದತ್ತ ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗಿನ ***a, b*** ಧಾತುಗಳೆಲ್ಲವೂ ***a b = b a*** ವ್ಯತ್ಯಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಹ ಪಾಲಿಸುವುದಾದರೆ ಆ ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ ಒಂದು ಫೀಲ್ಡ್ ಎನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಫೀಲ್ಡುಗಳಲ್ಲಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಭಾಗಾಹಾರಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಇರುವುದಿಲ್ಲ: ***a \ b = a / b***. 

## ಉದಾಹರಣೆಗಳು 
ಸಮಸ್ತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಕಲನ-ವ್ಯವಕಲನ-ಗುಣಾಕಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ವ್ಯತ್ಯಯಶೀಲ ರಿಂಗಿಗೆ ಒಂದು ಉತ್ತಮ ರೂಢಿಗತ ನಿದರ್ಶನ. ಅಂಗೀಕೃತ ಶಿಷ್ಟ ಸಂಕಲನ-ವ್ಯವಕಲನ-ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ

* ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಂದ ರಚಿತವಾದ ಎಲ್ಲ 2x2 ಅಳತೆಯ ಮಾತೃಕೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಯಶೀಲವಲ್ಲದ ರಿಂಗೂ
* ಎಲ್ಲ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (ರ‍್ಯಾಷನಲ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಒಂದು ಫೀಲ್ಡೂ ಮತ್ತು
* ಎಲ್ಲ ಕ್ವಟರ್ನಿಯನ್ನುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಒಂದು ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗೂ ಆಗುತ್ತವೆ.

## ಬೂಲಿಯನ್ ರಿಂಗುಗಳು 
ಅಷ್ಟಾಗಿ ರೂಢಿಗತವಲ್ಲದ ಸಂಕಲನ-ವ್ಯವಕಲನ-ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಳ್ಳಬಲ್ಲ ರಿಂಗಿಗೆ ಇವು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ. ಅನೇಕಾನೇಕ ಧಾತುಗಳಿರುವ ಒಂದು ಸಾಂತ ಇಲ್ಲವೇ ಅನಂತ ಗಣ ***S*** ನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ***S*** ನ ಉಪಗಣಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸೇರಿ ***2S*** ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುವ ಇನ್ನೊಂದು ಗಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ***2S*** ನಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಬಗೆಯ ಸಂಕಲನಾದಿ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿ ಅದನ್ನು ಒಂದು ರಿಂಗಾಗಿ ಇದೀಗ ಸಜ್ಜುಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ***a*** ಮತ್ತು ***b*** ಗಳು ***S*** ನ ಯಾವುವೇ ಎರಡು ಉಪಗಣಗಳಾಗಿರಲಿ (ಅರ್ಥಾತ್ ***a, b*** ಗಳು ***2S*** ನ ಧಾತುಗಳು). ಪ್ರಥಮತಃ ***a*** ಮತ್ತು ***b*** ಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಇರುವ ***S*** ಧಾತುಗಳ ಗಣವನ್ನು ಗುಣಲಬ್ಧ ***ab*** ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ದ್ವಿತೀಯತಃ ***b*** ಯಲ್ಲಿಲ್ಲದ ***a*** ಯ ಧಾತುಗಳೂ, ***a*** ಯಲ್ಲಿಲ್ಲದ ***b*** ಯ ಧಾತುಗಳೂ ಒಟ್ಟಾಗಿ ರಚಿಸುವ ***S*** ಧಾತುಗಳ ಗಣಕ್ಕೆ ಮೊತ್ತ ***a + b*** ಎಂದು ನಾಮಕರಿಸೋಣ. ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಈ ಮೊತ್ತ ***a + b*** ಯನ್ನೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ***a - b*** ಎಂಬುದಾಗಿಯೂ ಅಂಗೀಕರಿಸೋಣ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು ***2S*** ನ್ನೂ — ಹಾಗೂ ಅನುಕೂಲ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ***2S*** ನ ಕೆಲ ಉಪಗಣಗಳನ್ನೂ — ವಿಶಿಷ್ಟ ವ್ಯತ್ಯಯಶೀಲ ರಿಂಗುಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿಷ್ಠಾಪಿಸುತ್ತವೆ! ಹೀಗೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುವ ರಿಂಗುಗಳೇ ಪ್ರರೂಪೀ ಬೂಲಿಯನ್ ರಿಂಗುಗಳು. ಶೂನ್ಯಗಣ ***{}*** ವೇ ಇವುಗಳ ಸೊನ್ನೆಧಾತು. ***a*** ಎಂಬುದು ಯಾವುದೇ ಪ್ರರೂಪೀ ಬೂಲಿಯನ್ ರಿಂಗಿನ ಯಾವುದೇ ಧಾತುವಾದಲ್ಲಿ ***a2 = a a = a*** ಎಂದು ಮನಗಾಣುವುದು ಸುಲಭ. ಈ ಲಕ್ಷಣವಿರುವ ಯಾವುದೇ ರಿಂಗಿನ ***a*** ಧಾತುಗಳಿಗೆ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಧಾತುಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು. ರಿಂಗೊಂದರ ಸಮಸ್ತ ಧಾತುಗಳೂ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟೇ ಆಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಆ ರಿಂಗ್ ಬೂಲಿಯನ್ ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಬೂಲಿಯನ್ ರಿಂಗ್ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ಪ್ರರೂಪೀ ಬೂಲಿಯನ್ ರಿಂಗಿನ ಐಸೊಬಿಂಬ ಆಗಿರುತ್ತದೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. 

ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗುಗಳ ಸಂಬಂಧ ಸಾಮ್ಯಕದ ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಮಾಡಿದೆ. ಕೆಲವೊಂದು ಬೇರೆ ರಿಂಗುಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ***1 a = a 1*** ಲಕ್ಷಣವುಳ್ಳ ಸಾಮ್ಯಕ 1 ಇರಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದು ಕಡ್ಡಾಯವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪ್ರರೂಪೀ ***2S*** ಬೂಲಿಯನ್ ರಿಂಗಿನಲ್ಲಿ ***S*** ಗಣವೇ ಸಾಮ್ಯಕ: ***1 = S***.  ಆದರೆ ಈ ***S*** ಹಾಗೂ ***2S*** ಅನಂತವಿದ್ದಾಗ ***2S*** ನಲ್ಲಿರುವ ಧಾತುಗಣಗಳ ಪೈಕಿ ಸಾಂತ (ಫೈನೈಟ್) ಗಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವೇ ಆಯ್ದು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ಉಪರಿಂಗಿನಲ್ಲಿ ಸಾಮ್ಯಕ 1 ಇರುವುದಿಲ್ಲ. 

## ಹೋಮೊ, ಐಸೊ ಇತ್ಯಾದಿ ಬಿಂಬನಗಳು 
***A*** ಮತ್ತು ***B*** ಎರಡು ರಿಂಗುಗಳಾಗಿರಲಿ. ***A*** ಯಲ್ಲಿಯ ಯಾವುದೇ ಧಾತು ***a*** ಗೆ ಸಂವಾದಿಯಾಗಿ ***B*** ಯ ಒಂದು ಧಾತು ***b = f(a)*** ಯನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಪರಿಕರ್ಮ ***f*** ಇರಬಹುದಷ್ಟೆ? ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ***A*** ಯೊಳಗಡೆ ***a = a'*** ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ ***B*** ಯೊಳಗಡೆ ***f(a) = f(a')*** ಆಗುವ ಪಕ್ಷಕ್ಕೆ ಅಂಥ ***f*** ಒಂದು ಬಿಂಬನ (ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್) ಎನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ ***A*** ಯ ಯಾವುವೇ ಎರಡು ಧಾತು ***a1, a2*** ಗಳನ್ನು ಕುರಿತಂತೆ ***B*** ಯೊಳಗಡೆ ***f(a1 + a2) = f(a1) + f(a2)*** ಮತ್ತು ***f(a1 a2) = f(a1) f(a2)*** ಆಗುವುದಾದರೆ ಇದೇ ***f*** ಒಂದು ಹೋಮೊಬಿಂಬನ (ಹೋಮೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್) ಆಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ***B*** ಯೊಳಗಡೆ ***f(a) = f(a')*** ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ ***A*** ಯೊಳಗಡೆ ***a = a'*** ಆಗುವುದುಂಟು. ಆಗ ***f*** ಹೋಮೊಬಿಂಬನವನ್ನು ಒಂದು ಮಾನೊಬಿಂಬನ (ಮಾನೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್) ಎಂಬುದಾಗಿ ವರ್ಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೆಲ ಹೋಮೊಬಿಂಬನ ***f*** ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ***a*** ಗೆ ***A*** ರಿಂಗಿನೊಳಗಿನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳನ್ನೂ ನೀಡುತ್ತ ಹೋದಂತೆ ತತ್ಸಂವಾದಿ ***f(a)*** ಬೆಲೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ***B*** ರಿಂಗಿನಾದ್ಯಂತ ವ್ಯಾಪಿಸುವುದಂಟು. ಇಂಥ ***f*** ಹೋಮೊಬಿಂಬನಗಳಿಗೆ ಎಪಿಬಿಂಬನಗಳು (ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮಾನೊಬಿಂಬನ, ಎಪಿಬಿಂಬನ ಎರಡೂ ಆಗಿರುವ ಹೋಮೊಬಿಂಬನಗಳೇ ಐಸೊಬಿಂಬನಗಳು (ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಸ್). ***A, B*** ಗಳ ನಡುವೆ ಐಸೊಬಿಂಬನ ಇರುವುದಾದರೆ ಅವುಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಐಸೊಬಿಂಬ (ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಇಮೆಜ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದು. ಹೋಮೊಬಿಂಬ ಇತ್ಯಾದಿ ಪದಗಳ ಅರ್ಥವೂ ಸದೃಶ. ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಐಸೊಬಿಂಬಗಳಾಗಿರುವ ರಿಂಗುಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಅಮೂರ್ತತಃ ಸಮಾನ ಎಂಬುದಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಏಕೆಂದರೆ ಗಣಿತೀಯ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಅವು ಒಂದೇ ತೆರನಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಇಷ್ಟೂ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ***A, B*** ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕೆಂಬ ನಿಯಮವೇನೂ ಇಲ್ಲ. ಅವೆರಡೂ ಒಂದೇ ರಿಂಗಾದ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ ತತ್ಸಂಬಂಧ ಹೋಮೊಬಿಂಬನಗಳಿಗೆ ಎಂಡೊಬಿಂಬನಗಳು, ಹಾಗೂ ಐಸೊಬಿಂಬನಗಳಿಗೆ ಆಟೊಬಿಂಬನಗಳು ಎಂಬ ಪರ್ಯಾಯನಾಮಗಳೂ ರೂಢಿಯಲ್ಲಿವೆ.

## ಉಪರಿಂಗುಗಳು, ಭಾಜಕರಿಂಗುಗಳು 
### ಉಪರಿಂಗ್ 
ರಿಂಗೊಂದರಿಂದ ಕೆಲವಷ್ಟು ಧಾತುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದಾಗ ಉಳಿವ ಧಾತುಗಳಷ್ಟೇ ಸೇರಿ ಮುಂಚಿನ ಸಂಕಲನಾದಿ ಪರಿಕರ್ಮಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ರಿಂಗನ್ನು ಸಂಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳುಂಟು. ಹೀಗಾದಾಗ ಆ ನಿವ್ವಳ ಧಾತುಗಳ ರಿಂಗಿಗೆ ಮೂಲ ರಿಂಗಿನ ಉಪರಿಂಗ್ (ಸಬ್‌ರಿಂಗ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಮಸ್ತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ರಿಂಗಿನಿಂದ ಎಲ್ಲ ಬೆಸ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಬಿಟ್ಟರೆ ಉಳಿವ ಸರಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಕೂಡ ಒಂದು ರಿಂಗಾಗಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತವೆ. ಅಂದಮೇಲೆ ಸರಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ರಿಂಗ್ (ಈ ರಿಂಗಿನ ಪ್ರತೀಕ ***2Z***) ಸಮಸ್ತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ರಿಂಗಿನ (ಇದರ ಪ್ರತೀಕ ***Z***) ಒಂದು ಉಪರಿಂಗ್. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯ ವಿಶೇಷವೆಂದರೆ ***Z*** ನಲ್ಲಿ ಸಾಮ್ಯಕ ***1*** ಇದೆ, ಆದರೆ ***2Z*** ನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಾಮ್ಯಕವೂ ಇಲ್ಲವೇ ಇಲ್ಲ!

### ಭಾಜಕರಿಂಗ್ 
ಮೂಲ ರಿಂಗಿನಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ ಬೇರೊಂದು ರಿಂಗನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗೆ ಉಪರಿಂಗುಗಳು ಒಂದು ದೃಷ್ಟಾಂತ. ಭಾಜಕರಿಂಗುಗಳು ಇದೇ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ನಿದರ್ಶನ. ಮೂಲ ರಿಂಗಿನಲ್ಲಿ ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿಲ್ಲದೆ ಇರುವ ಕೆಲವೊಂದು ನೂತನ, ಆದರೆ ಶಕ್ಯ, ಸಮತೆಗಳನ್ನು ಸುಸಂಗತವಾಗಿ ಆರೋಪಿಸುವುದರ ಫಲವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ರಿಂಗುಗಳೇ ಭಾಜಕರಿಂಗುಗಳು (ಕೋಷಂಟ್ ರಿಂಗ್ಸ್; ಸಮತೆ ಹಾಗೂ ಸಮಾನತೆ ಪದಗಳೆರಡೂ ಸಮಾನಾರ್ಥಕಗಳೆಂದು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು). ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಮಸ್ತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ***Z*** ರಿಂಗನ್ನೇ ಮತ್ತೆ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇದರಲ್ಲಿ ***0 = 6*** ಎಂಬ ಸಮತೆಯನ್ನು ಖಂಡಿತ ಒಪ್ಪಲಾಗಿಲ್ಲವಷ್ಟೆ? ಆದರೂ ಪ್ರಯೋಗಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಅಂಗೀಕರಿಸಲು ಇದೀಗ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ರಿಂಗುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯ (ನಿಯಮಗಳು 1-5)  —  ಹಾಗೂ ಸಮತೆಯ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಬಗ್ಗೆ ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ —  ಸಮಗ್ರ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಅಸಾಂಗತ್ಯಗಳು ತಲೆದೋರದೆ ಇರಬೇಕಾದರೆ ***0 = 6*** ರ ಜೊತೆಗೆ ಇನ್ನೂ ಅಸಂಖ್ಯ ನೂತನ ಸಮತೆಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಮ್ಮೆ ***0 = 6*** ಎಂದಾದ ಮೇಲೆ ***0 + 1 = 6 + 1*** ಅಥವಾ ***1 = 7*** ಸಹ ಆಗಬೇಕು; ***1 = 7*** ಆದ ಮೇಲೆ ***1 + 1 = 7 + 1*** ಅಥವಾ ***2 = 8*** ಆಗಬೇಕು; ಈ ***2 = 8*** ನ್ನು ***3*** ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ***6 = 24*** ಆಗಬೇಕು; ಇತ್ಯಾದಿ!  ಹೀಗೆ ***0 = 6*** ರಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೊಳ್ಳುವ ಸಕಲ ನವಸಮತೆಗಳನ್ನೂ ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಾಗ ***Z*** ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಹೊಸತಾದ ಒಂದು ಅಸಾಂಗತ್ಯರಹಿತ ರಿಂಗ್ ಸಂಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇಂದಿನ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲೊ 6ರ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿರುವುದು ಇದೇ ರಿಂಗ್. ಇದರ ಪ್ರತೀಕ **Z / (6)**; ಈ ***Z / (6)*** ರಿಂಗ್ ಮೂಲ ***Z*** ರಿಂಗಿನ ಒಂದು ಭಾಜಕರಿಂಗ್. ಇದರಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಆರೇ ಆರು ಅಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿದ್ದು ಅವನ್ನು ***0, 1, 2, 3, 4, 5*** ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು; ಉಳಿದೆಲ್ಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೂ ಈ ***0, 1, 2, 3, 4, 5*** ರ ಪೈಕಿ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ***m*** ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಾಡ್ಯುಲೊ ***m*** ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ರಿಂಗ್ ***Z / (m)*** ನ್ನು ಸಹ ನವಸಮತೆ ***0=m*** ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಉಳಿದಂತೆ ***Z / (6)*** ರ ಮಾದರಿಯಲ್ಲೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದೆಂಬ ಸಂಗತಿ ಇದೀಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರಬೇಕು.

## ಐಡಿಯಲ್‌ಗಳು 
ಒಂದು ರಿಂಗ್ ***A*** ಹಾಗೂ ಅದರ ಒಂದು ಭಾಜಕರಿಂಗ್ ***B*** ಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಆಗ ***A*** ಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಧಾತುಗಳೂ, ಸಂಕಲನಾದಿ ಪರಿಕರ್ಮಗಳೂ ಯಥಾವತ್ತಾಗಿ ***B*** ಯಲ್ಲಿ ಸಹ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅಡ್ಡಿಯಿಲ್ಲ. ಮೇಲಾಗಿ, ***A*** ಯಲ್ಲಿ ಸಿಂಧುವಾಗುವ ಸಮತೆಗಳು ***B*** ಯಲ್ಲೂ ಸಿಂಧುವಾಗುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ***B*** ಯಲ್ಲಿ ಸಿಂಧುವಾಗುವ ಎಲ್ಲ ಸಮತೆಗಳೂ ***A*** ಯಲ್ಲಿ ಸಿಂಧುವಾಗಬೇಕಿಲ್ಲ. ಈಗ ***B*** ಯಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮವಾಗಿರುವ ಧಾತುಗಳಷ್ಟೂ ಸೇರಿ ಸೊನ್ನೆಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಪಗಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತವಷ್ಟೆ. ಆ ಉಪಗಣ ***K*** ಆಗಿರಲಿ. ಇದಕ್ಕೆ ***A*** ಯಲ್ಲಿಯ ***B*** ಯ **ಕರ್ನಲ್** ಎಂದು ಹೆಸರು. ಈಗ ***k1, k2*** ಗಳು ***K*** ಯ ಯಾವುವೇ ಧಾತುಗಳಾದಲ್ಲಿ ***B*** ಯಲ್ಲಿ ಸಮತೆಯಂತೆ ***k1=0, k2=0*** ಆದ ಕಾರಣ ***k1 - k2*** ಸಹ ***0*** ಆಗಬೇಕು. ಅಲ್ಲದೆ ಮೂಲ ರಿಂಗ್ ***A*** ಯ ಯಾವುದೇ ಧಾತು ***a*** ಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ ***B*** ಯಲ್ಲಿ ***k1=0*** ಆದ ಕಾರಣ ***a k1 = k1 a = 0*** ಆಗದೆ ವಿಧಿಯಿಲ್ಲ. ಅಂದಮೇಲೆ ***A*** ಯ ಉಪಗಣವಾದ ***K*** ಕರ್ನಲ್ ***k1 ± k2, a k1, k1 a*** ಇವು ನಾಲ್ಕೂ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದಾಯಿತು. ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣವಿರುವ ***A*** ಯ ಯಾವುದೇ ಉಪಗಣವನ್ನು ಆ ರಿಂಗಿನ ಒಂದು (ದ್ವಿಪಾರ್ಶ್ವೀ) ಐಡಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದು (ಟೂ ಸೈಡೆಡ್ ಐಡಿಯಲ್; ತುಸು ಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ಏಕಪಾರ್ಶ್ವೀ ಐಡಿಯಲ್ಲುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾವಿಸುವುದಿಲ್ಲ). ಎಲ್ಲ ಐಡಿಯಲ್ಲುಗಳೂ ಉಪರಿಂಗುಗಳು, ಆದರೆ ಎಲ್ಲ ಉಪರಿಂಗುಗಳೂ ಐಡಿಯಲ್ಲುಗಳಲ್ಲ. ***A*** ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ದ್ವಿಪಾರ್ಶ್ವೀ ***K*** ಐಡಿಯಲ್ಲೂ, ಅದರ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಜಕರಿಂಗನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿ (ತತ್ಸಂಬಂಧ ಪ್ರತೀಕ ***A / K***) ಆ ಭಾಜಕದ ಕರ್ನಲ್ಲಾಗಿ ನೆಲೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ ***A*** ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹೋಮೊಬಿಂಬವೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ಭಾಜಕರಿಂಗ್ ***A / K*** ಯ ಐಸೋಬಿಂಬ ಸಹ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. 

## ಕೆಲವೊಂದು ರಿಂಗ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು 
***A*** ಎಂಬ ಒಂದು ರಿಂಗಿನಲ್ಲಿ ಸಾಮ್ಯಕ 1 ಇರುವುದಾಗಿ ಭಾವಿಸೋಣ. ಆಗ ***A*** ಯ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ***m*** ಧಾತುವಿನ ***ma*** ಹಾಗೂ ***am*** ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸೇರಿ ***(m)*** ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುವ ಒಂದು ಐಡಿಯಲ್ಲನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತವೆ; ಇಲ್ಲಿಯ ***a*** ಚರದ ಬೆಲೆಗಳು ***A*** ಯ ಸಮಸ್ತ ಧಾತುಗಳನ್ನೂ ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇಂಥ ***(m)*** ಐಡಿಯಲ್ಲುಗಳು ಏಕಧಾತುಜನ್ಯ ಅಥವಾ ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ಲುಗಳು ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುವು (ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ ಐಡಿಯಲ್ಸ್). ಇದೇ ಮೇರೆಗೆ ದ್ವಿಧಾತುಜನ್ಯ, ತ್ರಿಧಾತುಜನ್ಯ ಮುಂತಾದ ಐಡಿಯಲ್ಲುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ ***(m1,m2)*** ದ್ವಿಧಾತುಜನ್ಯ ಐಡಿಯಲ್ ***a1m1+a2m2+m1a'1+m2a'2*** ಮಾದರಿಯ ಸಕಲ ಧಾತುಗಳನ್ನೂ ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. 

ಸಮಸ್ತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ***Z*** ವ್ಯವಸ್ಥೆ ರಿಂಗುಗಳ ಸರಳತಮ ನಿದರ್ಶನವಷ್ಟೆ. ಈ ***Z*** ನಲ್ಲಿಯ ಸಮಸ್ತ ಐಡಿಯಲ್ಲುಗಳೂ ಏಕಧಾತುಜನ್ಯ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣವಿರುವ ರಿಂಗುಗಳಿಗೆ ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ ರಿಂಗುಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ಅಂತೆಯೇ ಕೆಲ ರಿಂಗುಗಳ ಐಡಿಯಲ್ಲುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸದಾ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸಾಂತ (ಫೈನೈಟ್) ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಧಾತುಗಳಿಂದಲೇ ಜನ್ಯವಾಗುವುದುಂಟು. ಅಮಲಿ ಎಮ್ಮಿ ನಾಯ್ತರ್ (1882-1935) ಎಂಬ ಗಣಿತಜ್ಞೆಯ ಗೌರವಾರ್ಥ ಇಂಥವನ್ನು ನಾಯ್ದೇರಿಯನ್ ರಿಂಗುಗಳೆಂದು ಹೆಸರಿಸಿದೆ.

***Z*** ನ ***Z / (6)*** ಭಾಜಕರಿಂಗಿನಲ್ಲಿ ***2 ≠ 0, 3 ≠ 0*** ಆದಾಗಲೂ ಇವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮಾತ್ರ ***2*** ಗುಣಿಸು ***3 = 6 = 0*** ಆಗುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ***2*** ನ್ನೂ, ***3*** ನ್ನೂ ***Z / (6)*** ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಅಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಶೂನ್ಯಭಾಜಕಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ (ನಾನ್‌ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಜೀರೊ ಡಿವೈಸರ್ಸ್). ಇದಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯತರ ಪ್ರಸಂಗವಾದ ***Z / (m)*** ನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಾದರೆ ***m*** ಒಂದು ವಿಭಾಜ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ ***Z / (m)*** ಕೆಲವಷ್ಟು ಅಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಶೂನ್ಯಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳಲೇ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ತದ್ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ಮೂಲರಿಂಗ್ ***Z*** ನಲ್ಲಾಗಲೀ, ***m*** ಅವಿಭಾಜ್ಯವಿರುವಾಗ ***Z / (m)*** ನಲ್ಲಾಗಲಿ, ಯಾವ ಅಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಶೂನ್ಯಭಾಜಕವೂ ಇರುವುದೇ ಇಲ್ಲ. ಇಂಥ ಅಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಶೂನ್ಯಭಾಜಕರಹಿತ ರಿಂಗುಗಳಿಗೆ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಡೊಮೆಯ್ನ್‌ಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ವ್ಯತ್ಯಯಶೀಲ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಡೊಮೆಯ್ನುಗಳನ್ನು  ಫೀಲ್ಡುಗಳಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ***Z*** ನ್ನು ಹಾಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯ. ಸೋಜಿಗ ಎಂದರೆ ***m*** ಅವಿಭಾಜ್ಯವಿರುವಾಗ ***Z / (m)*** ಆದರೋ ಒಂದು ಫೀಲ್ಡಾಗಿ ತನ್ನಷ್ಟಕ್ಕೆ ತಾನೇ ಮುಂಚೆಯೇ ರೂಪುಗೊಂಡುಬಿಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ!  ಸಾಂತ ಫೀಲ್ಡುಗಳಿಗೆ ಈ ***Z / (ಅವಿಭಾಜ್ಯ m)''''' ಒಂದು ಸರಳ ನಿದರ್ಶನ. 

## ಉಪಸಂಹಾರ 
ರಿಂಗುಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ರಿಂಗ್ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಬಹುದಾದ ಸಾಧ್ಯತೆ, ಶಕ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ರೂಪ ಮುಂತಾದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದತ್ತರಿಂಗೊಂದರಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಸಬಹುದಾದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ರಿಂಗುಗಳು, ಮಾಡ್ಯೂಲುಗಳು, ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸುಗಳು ಮೊದಲಾದ ಹಲವಾರು ವಿಸ್ತೃತ ಗಣಿತೀಯ ರಚನೆಗಳನ್ನೂ ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನೂ ಈ ಅಧ್ಯಯನ ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

## ಉದ್ಧರಣಗಳು 
## ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು
* 
* 
* 
* 
* 
*  [corrected 5th printing]
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

ವರ್ಗ:ಬೀಜಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ