ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

**ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ**ಯು ಸಂಖ್ಯಾಕಲನವಿಜ್ಞಾನದ ಒಂದು ಅಂಗ (ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್), ಚಾರಿತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮಾನವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ (ಹ್ಯೂಮನ್ ಎಬಿಲಿಟಿ ಮತ್ತು ವರ್ತನೆ (ಬಿಹೇವಿಯರ್) ಇವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮನೋವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ವಿವರಣೆಗೆ ಗಣಿತೀಯ ಪ್ರರೂಪಗಳನ್ನು (ಮೋಡೆಲ್ಸ್ ) ರಚಿಸುವ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಪ್ರಯತ್ನಗಳ ಫಲವಾಗಿ ಕಳೆದ ಶತಮಾನದ ಮೊದಲ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಬಂತು.

## ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರತಿರೂಪ 
ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರರೂಪವನ್ನು

***Zj = aj1F1+ aj2F2 +........ + ajmFm + djUj,  j = 1, 2,....... n; (m1, F2,....... Fm***) ಮತ್ತು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಘಟಕದ (***U***) ರೇಖೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ (ಲೀನಿಯರ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗುಣಾಂಕ ***a*** ಮತ್ತು ***d*** ಗಳು ಘಟಕಭಾರಗಳು (**ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಲೋಡಿಂಗ್ಸ್**). ಅವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅಂಥ ಹಲವು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಪ್ರಧಾನ ಭಾಗಗಳ ವಿಧಾನ (ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ ಕಾಂಪೊನೆಂಟ್ಸ್ ಮೆಥೆಡ್), ಪ್ರಧಾನ ಘಟಕ ವಿಧಾನ (**ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮೆಥಡ್**), ಸೆಂಟ್ರಾಯಿಡ್ ವಿಧಾನ, ತ್ರಿಕೋನೀಯ ವಿಭಜನೆ (ಟ್ರಾಂಗ್ಯುಲರ್ ಡೀಕಾಂಪೊಸಿಷನ್), ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಾಯಿಕತೆ ವಿಧಾನ (ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಮ್ ಲೈಕ್‌ಲೀಹುಡ್ ಮೆಥಡ್), ಏಕಘಟಕ ವಿಧಾನ, ದ್ವಿಘಟಕ ವಿಧಾನ, ಬಹುಘಟಕ ವಿಧಾನ - ಇವು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಆದರೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಅತ್ಯಂತ ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿರುವ ಹೆಚ್ಚನವು ವ್ಯಾವಹರಿಕ ಉಪಯೋಗದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಶ್ರಮದಾಯಕವಾಗಿವೆ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಆಧುನಿಕ ಗಣಕಗಳ ಬಳಕೆ ತುಂಬ ಸಹಾಯಕ. ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಧಾನ ಉದ್ದೇಶ ***n*** ಚರಗಳನ್ನು ಆದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಘಟಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುವುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ***n*** ಗಿಂತ ***m*** ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದಷ್ಟೂ ಹೆಚ್ಚು ಹಿತ. ಮೂಲ ಚರಗಳು ಕೊಡುವ ಎಲ್ಲ ಅವಶ್ಯಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಈ ಘಟಕಗಳು ಕೊಡುವಂತಿರಬೇಕು. ಅಂದರೆ ಮುಖ್ಯ ಗುರಿ ವಿವರಣೆಯ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆ.

ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಚರ ***Xj*** ಯ ***N*** ಮೌಲ್ಯಗಳು ***Xj1, Xj2....... Xjn*** ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ ***Xj*** ಯ ಮಧ್ಯಕ (ಮೀನ್)

\bar{X}_j = \frac{1}{N}\sum_{i = 1i}^N X_{ji}       .. (2)

ಮತ್ತು ***Xj*** ಯ ಚಲನೀಯ (ವೇರಿಯನ್ಸ್)

s_j^2 = \frac{1}{N} \sum_{i = 1i}^N (X_{ji} - \bar{X}_j)^2      ...(3)

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ***Xj, Xk*** ಗಳ ಸಹ ಚಲನೀಯ (ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್)

s_{jk} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1i}^N (X_{ji} - \bar{X}_j)(X_{ki} - \bar{X}_k)          ..... (4)

ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಹಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕ (ಕಾರಿಲೇಷನ್ ಕೋಎಫಿಶೆಂಟ್)

r_{jk} = \frac{s_{jk}}{s_j s_k}       .......(5)

Z_{ji} = \left ( \frac{X_{ji} - \bar{X}_j}{s_j} \right )        .......(6)

ಎಂದಿದ್ದರೆ ಆಗ ***Zj*** ಗಳು ಶಿಷ್ಟೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಅಂಥ ಚರಗಳ ಮಧ್ಯಕ ***0*** ಮತ್ತು (1) ರಲ್ಲಿ ಚರ ***Zj*** ಮತ್ತು ಘಟಕಗಳು ಶಿಷ್ಟೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ***N*** ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬನ ಬಗ್ಗೆ ಚರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ವ್ಯಕ್ತಿ ***i*** ಚರ ***j*** ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು

Z_{ji} = \sum_{p = 1}^m a_{jp} F_{pi} + d_j U_{ji} ; i = 1, 2, …, N; j = 1, 2,..., n      .....(7)

ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ***Fpi*** ವ್ಯಕ್ತಿ ***i*** ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕ ***p*** ಯ ಮೌಲ್ಯ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕಗಳು ಅಸಹಸಂಬಂಧಿತ (ಅನ್‌ಕಾರಿಲೇಟೆಡ್) ಎಂದೇ ಯಾವಾಗಲೂ ತಿಳಿಯಲಾಗುವುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕಗಳೂ ತಮ್ಮೊಳಗೆ ಅಸಹಸಂಬಂಧಿತವೆಂದು ತಿಳಿದರೆ ಆಗ

***sj2 = 1 = aj12 + aj22 + …+ ajm2 + dj2***   ....(8)

ಚರ ***Zj***, ಶಿಷ್ಟೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಚಲನೀಯ ***1***. ಅದಕ್ಕೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಘಟಕಗಳ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು (8) ರ ಬಲಬದಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ***F2*** ರ ಕೊಡುಗೆ ***aj22***. ಎಲ್ಲ ಚರಗಳ ವಿಚರಣೆಗಳಿಗೆ (variance) ಘಟಕ ***Fp*** ಯ ಒಟ್ಟು ಕೊಡುಗೆ

V_p = \sum_{j = 1}^n a_{jp}^2, p = 1, 2, \cdots, m      ....(9)

ಎಲ್ಲ ಚರಗಳ ಒಟ್ಟು ಚಲನೀಯಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕಗಳ ಒಟ್ಟು ಕೊಡುಗೆ

V = \sum_{p = 1}^m = V_p                    .....(10)

ನಿಷ್ಪತ್ತಿ \frac{v}{n} ಅನ್ನು ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಣವತೆಯ ಸೂಚಕವಾಗಿ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿದೆ. (8) ರಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ

h_j^2 = a_{ji}^2 + \cdots + a_{jm}^2, i = 1, 2, \cdots, n           ....(11)

ಇದಕ್ಕೆ ಚರ ***Zj*** ಯ ಸಾಮಾನ್ಯತೆ (ಕಾಮನ್ಯಾಲಿಟಿ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ***dj2*** ಕ್ಕೆ ***Zj*** ಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ (ಯುನೀಕ್‌ನೆಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಎರಡು ಭಾಗ ಮಾಡುವುದಿದೆ; ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಚರಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದಾದುದು, ಚರಗಳ ಮಾಪನ ದೋಷದಿಂದಾದುದು. ಆಗ ಪ್ರತಿರೂಪ (1) ನ್ನು

Z_j = a_{j1}F_1 + a_{j2}F_2 + \cdots + a_{jm}F_m + b_jS_j + e_jE_j, j = 1, 2, \cdots, n           ....(12)

ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ***Sj*** ಮತ್ತು ***Ej*** ಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ (ಸ್ಪೆಸಿಫಿಕ್) ಮತ್ತು ದೋಷ (ಎರರ್) ಘಟಕಗಳು. ***Sj, Ej*** ಗಳು ಅಸಹಸಂಬಂಧಿತವಾದ್ದರಿಂದ

***dj2 = bj2 + ej2***   ....(13)

ಹೀಗಾಗಿ s_j^2 = 1 = h_j^2 + d_j^2 = h_j^2 + b_j^2 + e_j^2     ....(14)

ಅಂದರೆ ಒಂದು ಚರದ ಒಟ್ಟು ಚಲನೀಯ (***F*** ಗಳಿಂದಾಗಿ) ಸಾಮಾನ್ಯತೆ (***hj2***) ಮತ್ತು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳ (***dj2***) ಮೊತ್ತ; ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯತೆ (***S*** ಗಳಿಂದಾದ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆ (ಸ್ಪೆಸಿಫಿಸಿಟಿ, ***bj2***) ಮತ್ತು (***E*** ಗಳಿಂದಾದ) ದೋಷ ವಿಚರಣೆಗಳ (ಎರ‍್ರರ್ ವೇರಿಯನ್ಸ್, ***ej2***) ಮೊತ್ತ.

ಆಂಗ್ಲ ಮನೋವಿಜ್ಞಾನಿ ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ (1863-1945) ಎಂಬಾತನನ್ನು ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಜನಕ ಎಂಬುದಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಸಂಖ್ಯಾಕಲನೀಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬೆಳೆಸಿದವರಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯನಾದವ ಆಂಗ್ಲ ಜೀವಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಕಾರ್ಲ್ ಪಿಯರ್‌ಸನ್ (1857-1936). ಎಲ್.ಎಲ್. ಥರ್ಸ್ಟನ್ (1887-1955) ಮತ್ತು ಕಾರ್ಲ್ ಜೆ. ಹೋಲ್‍ಝಿಂಗರ್ (1892-1954) — ಇವರು ಈ ವಿಧಾನದ ಬೆಳೆವಣಿಗೆ ಕಾರಣರಾದ ಇನ್ನಿಬ್ಬರು ಮುಖ್ಯರು.

ಪ್ರತಿರೂಪ (1)ರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಈ ಎಲ್ಲ ***Z*** ಗಳ ಮೇಲೂ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವಂತಿದ್ದರೆ ಅದು ಒಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕ (ಜನರಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್). ಕೆಲವೊಂದು ***Z*** ಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತಿದ್ದು ಉಳಿದ ***Z*** ಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರದ ***F*** ಗಳಿಗೆ ಸಮೂಹ ಘಟಕಗಳು (ಗ್ರೂಪ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್‍ನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕವಾದದ (1904) ಪ್ರಕಾರ ಚರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಹಸಂಬಂಧಗಳು ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವಂತಿದ್ದರೆ ಆಗ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚರವನ್ನೂ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕ (***g***) ಮತ್ತು ಆ ಚರಕ್ಕೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಘಟಕ — ಇವುಗಳ ರೇಖೀಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಬೌದ್ಧಿಕ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಎಲ್ಲ ಶಾಖೆಗಳಿಗೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಉತ್ಪನ್ನ (ಇಲ್ಲವೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಮೂಹ) ಉಂಟು. ಆದರೆ ಮಿಕ್ಕುಳಿದ ಇಲ್ಲವೇ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶಗಳಾದರೋ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲೂ ಇತರ ಎಲ್ಲವುಗಳಿಗಿಂತಲೂ ಪೂರ್ಣ ಭಿನ್ನವಾಗಿಯೇ ಇರುವಂತೆ ಅನಿಸುವುದು. ಬುದ್ಧಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ***g*** ಆನುವಂಶಿಕತೆಯ ಮೇಲೆ ಹೊಂದಿಕೊಂಡಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಘಟಕಗಳು ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಕಲಿಕೆ ಮತ್ತು ಅನುಭವಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧೀಕರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ ವಾದಿಸಿದ. ಆದರೆ ಮನೋವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಎಲ್ಲ ಸರಣಿಗಳನ್ನೂ ವಿವರಿಸಲು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕವಾದ ಅಸಮರ್ಥವಾಗಿರುವುದು ಗಮನಕ್ಕೆ ಬಂದಾಗ ಸಮೂಹ ಘಟಕಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮೂಡಿತು (ಸು. 1930). ಸಾಂಖ್ಯಕ ಘಟಕ (ನ್ಯೂಮರಿಕಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್), ಭಾಷಾ ಘಟಕ (ವರ್ಬಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್), ಯಾಂತ್ರಿಕ ಘಟಕ (ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್), ಸಂಕಲ್ಪ ಘಟಕ (ವಿಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್), ಸತತ ಪ್ರಯತ್ನ ಘಟಕ (ಪರ್ಸಿವರೇಷನ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್) — ಇವು ಸಮೂಹ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ನಿದರ್ಶಗಳು. ಹೊಲ್‌ಝಿಂಗರ್ ಎಂಬಾತ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ ಮನೋವೈಜ್ಞಾನಿಕ ನಡತೆಯ ದ್ವಿಘಟಕವಾದ (ಬೈಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಥಿಯರಿ, ಸು. 1937) ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್‍ನ ಒಂದೇ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಒಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಹಲವು ಸಮೂಹ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲು ಎಡೆಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚರವನ್ನು ಒಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕ, ಒಂದು ಸಮೂಹ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ  ಘಟಕಗಳ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಥರ್ಸ್ಟನ್ ಎಂಬಾತ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ ಬಹುಘಟಕವಾದ (ಸು. 1930) ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕವಾದದ ಅಸಮರ್ಪಕತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡ ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ವಾದ. ಇದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬದಿಗಿಟ್ಟು ಒಂದರ ಮೇಲೊಂದು ಪೇರುವ ಸಮೂಹ ಘಟಕಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮುಂದೊಡ್ಡುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಒಂದೇ ಚರವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಹಲವು ಸಮೂಹ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದು. ಆರು ಚರಗಳಿರುವ ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕಗಳು 1, 2 ಮತ್ತು 3 ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ***X*** ಎಂಬುದು ಘಟಕದ ಇರುವಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 1, ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕವಾದ
 ಚರ	ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕ (g)	ವಿಶಿಷ್ಟ ಘಟಕ
 Z1	       X	            U1
 Z2	       X	            U2
 Z3	       X	            U3
 Z4	       X	            U4
 Z5	       X	            U5
 Z6	       X	            U6
ಕೋಷ್ಟಕ 2, ದ್ವಿಘಟಕವಾದ
 ಚರ	ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕ	ಸಮೂಹ ಘಟಕಗಳು	ವಿಶಿಷ್ಟ ಘಟಕ
  	 	          A   B	  C
 Z1	     X	          X		    U1
 Z2	     X	          X		    U2
 Z3	     X		      X		    U3
 Z4	     X		      X		    U4
 Z5	     X			  X	    U5
 Z6	     X			  X	    U6
ಕೋಷ್ಟಕ 3 ಬಹುಘಟಕವಾದ
 ಚರ	       ಸಮೂಹ ಘಟಕಗಳು 	
             A	  B	C	D 
 Z1	    X		X	
 Z2		  X	X	
 Z3	    X			X 
 Z4	    X	  X		X 
 Z5		  X	X	
 Z6	    X			X

## ಉಪಯೋಗಗಳು 
ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಉಪಯೋಗ ಮೊದಮೊದಲು ಮನೋವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿತ್ತು. ಮಾನವನ ಮನಸ್ಸನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸುವ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಇರುವಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮನೋವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಫಲವಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿದರು. ಬುದ್ಧಿಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸರಣಿಗೆ ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಬಳಿಕ ಈ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ ಅಳೆಯುವ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಪುನರ್ವಿಮರ್ಶಿತ ರೂಪಗಳನ್ನು) ಮನೋಘಟಕಗಳ ನೇರಮಾನಗಳಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು. ಈಚಿನ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಬಲ ವಿಧಾನದ ಉಪಯೋಗ ಜೀವವಿಜ್ಞಾನ, ವೈದ್ಯವಿಜ್ಞಾನ, ಭೂವಿಜ್ಞಾನ, ಸಮರವಿಜ್ಞಾನ, ಶಿಕ್ಷಣವಿಜ್ಞಾನ, ಭೌತವಿಜ್ಞಾನ, ಸಮಾಜಶಾಸ್ತ್ರ, ರಾಜ್ಯಶಾಸ್ತ್ರ ಇತ್ಯಾದಿ ಇತರ ಜ್ಞಾನಾಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಕೂಡ ಆಗುತ್ತಿದೆ.

ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರತಿರೂಪದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ (ಇನ್‌ಡಿಟರ್ಮಿನೆನ್ಸಿ) ಉಂಟು - ಚರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಹಸಂಬಂಧಗಳು ದತ್ತವಾಗಿರುವಾಗಲೂ ಪ್ರತಿರೂಪ ಗುಣಾಂಕಗಳು (***ajp***) ಏಕೈಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿತವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ ದೊರೆತ ಸಹಸಂಬಂಧಗಳೊಡನೆ ಸಂಗತವಾಗಿರುವಂತೆ ಅನಂತವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆ ಸಹಸಂಬಂಧಿತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಪರಿಹಾರ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ***m*** ಆಯಾಮಗಳ ಸಮಷ್ಟಿಯನ್ನೇ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ; ಆದರೆ ಈ ಸಮಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಘಟಕಗಳ ನಿಖರ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಕಂಡು ಬಂದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಸರಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಲು ಮತ್ತು ಗಣಿತೀಯ ಕ್ಲಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ದೂರವಿಡಲು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳನ್ನೇ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ ರೇಖೀಯತೆಯ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ ದೊರೆಯಬಹುದಾದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕರಣವನ್ನು ಬಾರ್ಟ್ಲೆಟ್ (1953ರಲ್ಲಿ), ಮೆಕ್‌ಡೊನಾಲ್ಡ್ (1962), ವುಡ್ (1964ರಲ್ಲಿ) ಮೊದಲಾದವರು ಸೂಚಿಸಿದ್ದಾರೆ.

## ಮನೋವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ 
ಜೀವಿಗಳ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯಿಸಿ ಅದನ್ನು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಗಳ ಅಥವಾ ಘಟಕಗಳ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಲು ಮಾಡಿದ ಪ್ರಯತ್ನದ ಫಲ ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಉದ್ದೇಶ ಜೀವಿಗಳ ವರ್ತನೆಯನ್ನು, ಅದರಲ್ಲೂ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಮಾನವನ ವರ್ತನೆಯನ್ನು, ಗಣಿತ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಭಜಿಸಿ, ಅದನ್ನು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶಗಳ ಅಥವಾ ಒಂದು ಅಂಗವಾದ ಬುದ್ಧಿಯ ರೂಪರೇಖೆಗಳನ್ನು ಅರಿಯುವುದರಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸಲಾಯಿತು. ಮನೋವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಬುದ್ಧಿಯನ್ನು ಅಳೆಯುವುದರಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಬುದ್ಧಿಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು (ಇಂಟಲಿಜೆನ್ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್ಸ್) ಮಾಡುವುದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ. ಇಂಥ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ನೂರಾರಿದ್ದು ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುವುದು ಎಂಬುದು ದೊಡ್ಡ ಸಮಸ್ಯೆ. ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬುದ್ಧಿ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಅರಿಯಲು ನೂರಾರು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಅಂಥ ಕೆಲಸ ಅಪ್ರಾಯೋಗಿಕ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವೇ ಉತ್ತಮವಾದ ಬುದ್ಧಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಮಾಡಲು ಬುದ್ಧಿಯ ಮೂಲ ರೂಪ ಮತ್ತು ರಚನೆಯ ಅರಿವು ಅವಶ್ಯ. ಅಂದರೆ ಬುದ್ಧಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ ಅದರ ಅಂಶಗಳೇನು ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಆಗ ಆ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಳೆದು ಬುದ್ಧಿಯ ಪೂರ್ಣಚಿತ್ರವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಬುದ್ಧಿಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಅರಿಯಲು ಮನೋವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಬಹಳ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದು ಅದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬುದ್ಧಿಯ ರಚನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಅನೇಕ ವಾದಗಳು ಬೆಳೆದು ಬಂದವು. ಅವುಗಳ ಪೈಕಿ ಕೆಲವು, ಬುದ್ಧಿ ಕೇವಲ ಒಂದೇ ಘಟಕದಿಂದಾದುದೆಂದೂ, ಬೇರೆ ಕೆಲವು ಬುದ್ಧಿ ಅಗಣಿತ ಘಟಕಗಳಿಂದಾದುದೆಂದೂ ವಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಇವು ಕೇವಲ ವಾದಗಳಾಗಿಯೇ ಉಳಿದು ಅವುಗಳ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವಲ್ಲಿ ಯಾವ ಪ್ರಗತಿಯೂ ಕಂಡುಬಂದಿರಲಿಲ್ಲ. ಇಂಥ ಒಂದು ಗೊಂದಲ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಿ ಬುದ್ಧಿಗೆ ಒಂದು ನಿಶ್ಚಿತ ರೂಪ ಅಂದರೆ ವ್ಶೆಜ್ಞಾನಿಕ ವಿವರಣೆ ಕೊಡಲು ಪ್ರಥಮ ಬಾರಿಗೆ ಪ್ರಯತ್ನ ಮಾಡಿದವ ಈ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಮನೋವಿಜ್ಞಾನಿ ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್. ಈತ 1904ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ದ್ವಿಘಟಕವಾದ ಇಂದು ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ತ ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಕ್ರಮಗಳಿಗೂ ಪ್ರೇರಕ ಚೈತನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ನನ ವಾದದ ಪ್ರಕಾರ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ ಎನ್ನುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಉಂಟು. ಈ ಗುಣಾಂಕ ಎರಡು ಸರಣಿ ಅಂಕಗಳಲ್ಲಿರುವ ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲಿಕೆ ಅಥವಾ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಓರ್ವ ಉಪಾಧ್ಯಾಯ ತನ್ನ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಚರಿತ್ರೆ ಮತ್ತು ಭೂಗೋಳಗಳಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆಗ ಆ ತರಗತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೂ ಎರಡು ಅಂಕಗಳು ಬಂದಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಚರಿತ್ರೆಯದು, ಮತ್ತೊಂದು ಭೂಗೋಳದ್ದು. ಈ ಎರಡು ಅಂಕ ಸರಣಿಗಳಿಗಿರುವ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ. ತರಗತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೂ ಚರಿತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ಬಂದಷ್ಟೇ ಅಂಕಗಳು ಭೂಗೋಳದಲ್ಲೂ ಬಂದಿದ್ದರೆ ಆಗ ಆ ಗುಣಾಂಕ ***+1*** ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಯಾವುದೋ ಒಂದು ವಿಚಿತ್ರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಚರಿತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನ ಪಡೆದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಭೂಗೋಳದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಸ್ಥಾನ ಪಡೆದಿದ್ದು, ಎರಡನೆಯ ಸ್ಥಾನಗಳಿಸಿದವನು ಕೊನೆಯಿಂದ ಎರಡನೆಯ ಸ್ಥಾನ ಪಡೆದಿದ್ದು ಬೇರೆ ಎಲ್ಲ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಅಂಕಗಳೂ ಇದೇ ರೀತಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟವಾಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಈ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ ***-1*** ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಥವಾ ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅಂಕಕ್ಕೂ ಇನ್ನೊಂದರದಕ್ಕೂ ಪರಸ್ಪರ ಏನೂ ಹೋಲಿಕೆಯೇ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಈ ಗುಣಾಂಕ ***0*** ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆಯೇ ಎರಡು ಅಂಕಸರಣಿಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸಹಸಂಬಂಧಗುಣಾಂಕ ***-1*** ರಿಂದ ***0*** ಯ ಮೂಲಕ ***+1*** ರ ವರೆಗಿನ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದು. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದ ಚರಿತ್ರೆಯ ಭೂಗೋಳ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಬದಲು ಎರಡು ಬುದ್ಧಿಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಅವೆರಡರ ನಡುವೆ ಇರುವ ಸಹಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಹೀಗೆ ಅನೇಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹಲವಾರು ಜನಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಗೂ ಮಿಕ್ಕೆಲ್ಲವಕ್ಕೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಒಂದು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ***a, b, c, d, e*** ಎಂಬ ಐದು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳ ನಡುವಣ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದೆವೆನ್ನೋಣ. ಆಗ ಆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ 1ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಂಥ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಸಹಸಂಬಂಧ ಕೋಷ್ಟಕ ಎಂದು ಹೆಸರು.

ಕೋಷ್ಟಕ 1
 	 a	 b	 c	 d	 e
  a	 -	0.60	0.48	0.18	0.18
  b	0.60	 —	0.80	0.30	0.30
  c	0.48	0.80	 —	0.24	0.24
  d	0.18	0.30	0.24	 —	0.09
  e	0.18	0.30	0.24	0.09	 —
 ಮೊತ್ತ	1.44	2.00	1.76	0.81	0.81
ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ ಆ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದ್ದ ವಿವಿಧ ಬುದ್ಧಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಕಲೆಹಾಕಿ ಅವನ್ನು ಒಂದು ಪ್ರಾತಿನಿಧಿಕ ಸಮೂಹದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನೂ ಉಳಿದ ಎಲ್ಲ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೊಡನೆ ಸಹಸಂಬಂಧಿಸಿ ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲ ಅಂತರ ಸಹಸಂಬಂಧಗಳನ್ನೂ ಕಂಡುಹಿಡಿದ. ಅವೆಲ್ಲವೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದುವು. ಆಗ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯೂ ಬೇರೆ ಎಲ್ಲ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೊಡನೆ ಹೊಂದಿರುವ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಒಂದು ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಅದನ್ನು ಪರೀಶೀಲಿಸಿದಾಗ ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ನನಿಗೆ ಒಂದು ಮುಖ್ಯವಾದ ಗುಣವಿಶೇಷ ಗೋಚರವಾಯಿತು. ಅದೇನೆಂಬುದು ಆತ ಮಾಡಿದಂತೆಯೇ ಕೋಷ್ಟಕ 1ನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ ಬರೆದಾಗ ತಿಳಿಯುವುದು.

ಕೋಷ್ಟಕ 2
 	 b	 c	 a	 d	 e
 b	 —	0.80	0.60	0.30	0.30
 c	0.80	 —	0.48	0.24	0.24
 a	0.60	0.48	 —	0.18	0.18
 d	0.30	0.24	0.18	 —	0.09
 e	0.30	0.24	0.18	0.09	 —
ಈ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಬೆಲೆ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜಾಗದಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಬಲಕ್ಕೆ ಹೋದಂತೆಲ್ಲ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವುದು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೊದಲನೆಯ ಎರಡು ಅಡ್ಡ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು (ಖಾಲಿ ಇರುವ ಜಾಗಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು) ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಅವು ಹೀಗಿವೆ.
 0.60	0.30	0.30
 0.48	0.24	0.24
ಕೆಳಸಾಲಿನ ಪ್ರತಿ ಗುಣಾಂಕವೂ ಅದರ ಮೇಲಿನ ಸಂವಾದೀ ಗುಣಾಂಕದ ***4/5*** ರಷ್ಟೇ ಇದೆ. ಈ ಗುಣವಿಶೇಷವನ್ನು ಸ್ಪಿಯರ್ಮನ್ ಮೊದಲು ಗಮನಿಸಿ ಇದಕ್ಕೆ ಅಂತಸ್ತು ತತ್ತ್ವ (ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ ಆಫ್ ಹೈರಾರ್ಕಿ) ಎಂದು ಹೆಸರಿತ್ತ. ಹೀಗೆ ಯಾವುದೋ ಒಂದು ಅಂತರ ಸಹಸಂಬಂಧ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಅಂತಸ್ತು ತತ್ತ್ವ ಪ್ರದರ್ಶಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂಥ ಆ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಅಂತರ ಸಹಸಂಬಂಧಗಳಿಗೂ ಕಾರಣ ಒಂದು ಮೂಲ ಘಟಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ಗಣಿತಸೂತ್ರಗಳ ನೆರವಿನಿಂದ ಸಾಧಿಸಬಹುದು). ಈ ಘಟಕ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಕೊಂಚ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಎಲ್ಲ ಬುದ್ಧಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲೂ ಪಾಲ್ಗೊಳ್ಳುತ್ತಿರುವ ಈ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಜೊತೆಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಆಯಾ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾದ ಎರಡನೆಯ ಘಟಕ ಒಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದೇ ವಿಶಿಷ್ಟ ಘಟಕ. ಅಂದರೆ ಮೇಲೆ ಉದಾಹರಿಸಿದ ಐದು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕವೂ ಐದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಘಟಕಗಳೂ ಇವೆ ಎಂದಂತಾಯ್ತು. ಇದೇ ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ನನ ದ್ವಿಘಟಕವಾದ.

ನಾವು ನೋಡಿದಂತೆ ದ್ವಿಘಟಕವಾದ ಅಂತಸ್ತು ತತ್ವದ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಒಂದು ಸಹಸಂಬಂಧ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಈ ತತ್ತ್ವದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡನೆಯ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ***a*** ಮತ್ತು ***d*** ಗಳು ***b*** ಮತ್ತು ***c*** ಗಳೊಡನೆ ಹೊಂದಿರುವ ಸಹಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಅವು ಹೀಗಿವೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 3
 	 b	 c
 a	0.60	0.48
 d	0.30	0.24
ಇಲ್ಲಿ ***(60 ÷ 48) = (30 ÷ 24)*** ಆಗಿದೆ.

ಇದನ್ನು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಆಗ ***0.60 x 0.24 - 0.48 x ‍0.30 = 0*** ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಧಾತುಗಳಿರುವುದರಿಂದ ಇದಕ್ಕೆ ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ ಚತುಷ್ಟಯ ಸಮೀಕರಣ (ಟೆಟ್ರಡ್ ಈಕ್ವೇಷನ್) ಎಂದೂ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೆಲೆಗೆ ಚತುಷ್ಟಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದೂ ಹೆಸರುಗಳಿವೆ. ಇದೇ ರೀತಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಾಲಿನ ನಾಲ್ಕು ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೂ ಅವೆಲ್ಲವುಗಳ ಚತುಷ್ಟಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗೇ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಸಹಸಬಂಧ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಚತುಷ್ಟಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೂ ಶೂನ್ಯವಾದರೆ ಆ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಅಂತಸ್ತು ತತ್ತ್ವ ಪ್ರದರ್ಶಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಂಬಬಹುದು. ಅಂದರೆ ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ನನ ದ್ವಿಘಟಕವಾದವನ್ನು ಅಂಗೀಕರಿಸಲು ಚತುಷ್ಟಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಚಾರವನ್ನು ಮರೆಯಬಾರದು. ಮೇಲೆ ಉದಾಹರಿಸಿದ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ನನ ವಾದವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಊಹಿಸಿ ಬರೆದಂಥವು. ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನೇ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಚತುಷ್ಟಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಅವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗದಿರಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಗುವುದೂ ಇಲ್ಲ. ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ನನ ವಾದ ನಿಜವಾಗಲು ಅವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಲೇಬೇಕೆಂದೇನೂ ಇಲ್ಲ. ಅವೆಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳಾಗಿದ್ದರೂ ಸಾಕು. ಇದೇ ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ನನ ವಾದದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪರಿಚಯ. ಈ ವಾದದ ಪ್ರಕಾರ ಬುದ್ಧಿ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ ಹಾಗೆಂದು ನೇರವಾಗಿ ಹೇಳದಿದ್ದರೂ ಆತನ ವಾದದಲ್ಲಿ ಈ ಅರ್ಥ ಸೂಚಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಅವನು ಸಾವೃತ್ರಿಕ ಘಟಕವನ್ನು g ಎಂದೂ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಘಟಕವನ್ನು ***S*** ಎಂದೂ ಕರೆದು, ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿನ ***g*** ಮತ್ತು ***S*** ಘಟಕ ಭಾರಗಳನ್ನು (ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಲೋಡಿಂಗ್ಸ್) ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಅವುಗಳಿಂದ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಯಾವುದೇ ವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿರಬಹುದಾದ ***g*** ಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ತನ್ನ ವಾದದಲ್ಲಿ ಕೂಲಂಕುಷವಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಆದರೆ ಕಾಲ ಕಳೆದಂತೆ ಹೆಚ್ಚುಹೆಚ್ಚು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಅವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದಾಗ ಅನೇಕ ವೇಳೆ ಅವು ಅಂತಸ್ತು ತತ್ತ್ವವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸದಿರುವುದು ತೋರಿಬಂದಿತು. ಅಂದರೆ ಚತುಷ್ಟಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬಹಳ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತಿದ್ದವು. ಇದರಿಂದ ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್‌ನ ವಾದ ಬುದ್ಧಿ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸರ್ವವ್ಯಾಪೀ ಸೂತ್ರವೆಂದು ಒಪ್ಪಲು ಕಷ್ಟವಾಯಿತು. ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ನನ ವಾದವನ್ನೂ ಅದು ಎದುರಿಸಬೇಕಾಗಿ ಬಂದ ಕ್ಲಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನೂ ಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಅದರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸುವ ***a, b, c, d, e, f*** ಅಂಡಾಕೃತಿಗಳು ಆರು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನೂ, ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತ ***g*** ಯನ್ನೂ, ಸಣ್ಣ ವೃತ್ತಗಳು ***S*** ಘಟಕಗಳನ್ನೂ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯೂ ಅದರ ಯೋಗ್ಯತಾನುಸಾರ ***g*** ಭಾರವನ್ನೊಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಆದರೆ ***e*** ಮತ್ತು ***f*** ಗಳು ಮಾತ್ರ ***g*** ಯನ್ನು ಪಾಲ್ಗೊಳ್ಳುವುದರ ಜೊತೆಗೆ ತಮ್ಮ ತಮ್ಮಲ್ಲೆ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇವರೆಡರ ನಡುವಣ ಸಹಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕೇವಲ ಒಂದೇ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕದ ಇರುವಿಕೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಿದರೆ ತಪ್ಪಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಇವೆರಡೇ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾದ ಇನ್ನೊಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕ ಕೂಡ ಇವೆರಡರ ನಡುವಿನ ಸಹಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಕಾರಣವೆಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ವೇಳೆ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಇಂಥ ಒಂದು ಪರಿಮಿತ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಪಾಲ್ಗೊಳ್ಳುತ್ತಿರುತ್ತವೆ. ಇನ್ನು ಕೆಲವು ವೇಳೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದಾಗ ಇಂಥ ಘಟಕಗಳು ಹಲವಾರು ಕಂಡುಬರಬಹುದು. ಹೀಗೆ ಪರಿಮಿತ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯುಳ್ಳ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಸಮೂಹ ಘಟಕಗಳೆಂದು (ಗ್ರೂಪ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ಸ್) ಹೆಸರು. ಮೊದಮೊದಲು ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ ಮತ್ತು ಆತನ ಸಂಗಡಿಗರು ಸಮೂಹ ಘಟಕಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೂ ಬರಬರುತ್ತ ಅವುಗಳ ಇರುವಿಕೆಯನ್ನು ಅವರು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲೇಬೇಕಾಯಿತು. ಅವರು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡ ಸಮೂಹ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಂಖ್ಯಕ ಘಟಕ, ಭಾಷಾ ಘಟಕ, ಸಂಕಲ್ಪಘಟಕ, ಯಾಂತ್ರಿಕ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಸತತ ಪ್ರಯತ್ನ ಘಟಕಗಳು ಮುಖ್ಯವಾದವು. ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಂತೆಯೇ ಸಮೂಹ ಘಟಕಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕೂಡ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ ವಿವರಿಸಿದರೂ ಈ ಘಟಕಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದಾಗಿ ದ್ವಿಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ವಿಧಾನದ ಅಸ್ತಿಭಾರ ಸಡಿಲವಾಗಿ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ವಿಧಾನಗಳು ತಲೆಯೆತ್ತಲು ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಹೀಗೆ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡ ವಿಧಾನಗಳ ಪೈಕಿ ಥರ್ಸ್ಟನ್ ಎಂಬಾತನ ಬಹುಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ವಿಧಾನ ಮುಖ್ಯವಾದದ್ದು. ಒಂದು ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನ ದ್ವಿಘಟಕ ವಾದದ ವಿಸ್ತರಣೆ. ಈ ಮೇಲೆ ನೋಡಿದಂತೆ ದ್ವಿಘಟಕವಾದ ನಿಂತಿರುವುದು ಅಂತಸ್ತು ತತ್ತ್ವದ ಮೇಲೆ. ಆದರೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆಲ್ಲ ಸಹಸಂಬಂಧ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಚತುಷ್ಟಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗದೆ ಅಂತಸ್ತು ತತ್ತ್ವವನ್ನು ಕಾಣುವುದು ಕಷ್ಟವಾಯಿತು. ಇಂಥ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಉಳಿದದ್ದು ಎರಡು ದಾರಿ: ಒಂದು, ಅಂತಸ್ತು ತತ್ತ್ವವನ್ನು ಕಲಕುತ್ತಿರುವಂಥ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಾ ತಂಡದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಅಂತಸ್ತು ತತ್ತ್ವ ಬರುವಂತೆ ಮಾಡುವುದು; ಎರಡು, ಬುದ್ಧಿಯು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬ ವಾದವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್‌ವಾದಿಗಳು ಮೊದಲಿಗೆ ಒಂದನೆಯ ದಾರಿಯನ್ನೇ ಹಿಡಿದರು. ಹಾಗೆ ಮಾಡುವಾಗ ಅನೇಕ ವೇಳೆ ತಂಡದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯಬಹುದಾದುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕಬೇಕಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಹೀಗೆ ಹೊರಹಾಕಿದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಬುದ್ಧಿಯ ಅಂಶವೇ ಇಲ್ಲವೆಂದು ಒಪ್ಪುವುದು ಅವರಿಗೂ ಕಷ್ಟವಾಯಿತು. ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ಒತ್ತಡಕ್ಕೆ ಬಾಗಿ ಅವರು ಸಮೂಹ ಘಟಕಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರು. ಹೀಗೆ ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ನನ ವಾದ ದ್ವಿಘಟಕವಾದವಾಗಿ ಉಳಿಯದೆ ಬಹುಘಟಕವಾದವಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಬಹುಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ದ್ವಿಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಕ್ರಮ ಅನುಚಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಬಹುಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯಮಾರ್ಗವೆಂದು ಕೆಲವರಿಗೆ ತೋರಿದ್ದರಿಲ್ಲಿ ಆಶ್ವರ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇಂಥ ಒಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಮಾರ್ಗ ಕಂಡುಬಂದದ್ದು ಷಿಕಾಗೋ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕನಾಗಿದ್ದ ಥರ್ಸ್ಟನ್ನನಿಗೆ. ಆತ ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ನನ ಚತುಷ್ಟಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನೇ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ತನ್ನ ಬಹುಘಟಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿದ. ಥರ್ಸ್ಟನ್ನನ ವಾದದ ಗಣಿತಮೂಲವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೇವಲ ಕೆಲವೇ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಆತನ ವಾದದ ತಿರುಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಚೌಕಾಕೃತಿ ಅಥವಾ ಆಯಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಿ ಬರೆದ ಅಂಕೆಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹಕ್ಕೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಉದಾಹರಣೆ.

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
e & f
\end{bmatrix}

ಇಂಥ ಒಂದು ಮಾತೃಕೆಯ ಜಾತಿಯನ್ನು (ರ‍್ಯಾಂಕ್) ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಎಲ್ಲ ಚತುಷ್ಟಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನೂ ಶೂನ್ಯವಾದರೆ ಆಗ ಆ ಮಾತೃಕೆಯ ಜಾತಿ ಒಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕವಿರುವುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ ಕೆಲವು ಚತುಷ್ಟಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನೇ ಒಂದು ಚೌಕಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಿ ಅವುಗಳೊಳಗಿನ ಚತುಷ್ಟಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅವೆಲ್ಲ ಶೂನ್ಯವಾದರೆ ಆ ಮಾತೃಕೆಯ ಜಾತಿ ಎರಡಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಗ ಆ ಕೋಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಅವು ಶೂನ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಹೀಗೆಯೇ ಮುಂದುವರಿದು ಚತುಷ್ಟಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಗಿನ ಚತುಷ್ಟಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಆ ಮಾತೃಕೆಯ ಜಾತಿಯನ್ನೂ ತನ್ಮೂಲಕ ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಹಸಂಬಂಧ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಗಣಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನೇ ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಸಹಸಂಬಂಧ ಮಾತೃಕೆಯ ಜಾತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು  ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಮಾತೃಕೆಯ ಜಾತಿ ಒಂದಾದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕವಿರುತ್ತದೆ (ಇದು ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ನನ ವಾದ). ಮಾತೃಕೆಯ ಜಾತಿ ಎರಡಾದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕಗಳಿರುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ ಒಂದು ಸಹಸಂಬಂಧ ಜಾತಿಯಷ್ಟೇ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕಗಳು ಆ ಮಾತೃಕೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸೂತ್ರದ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನೇ ಗಮನಿಸಿ ಅದನ್ನು ಆಳವಡಿಸಿಕೊಂಡು ಥರ್ಸ್ಟನ್ ತನ್ನ ಬಹುಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ.

ಚತುಷ್ಟಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೂಲಕ ಥರ್ಸ್ಟನ್ ಈ ವಾದವನ್ನು ಮಂಡಿಸಿದ್ದರೂ ಅವನ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಗೋಜು ಏನೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಅವನು ನೇರವಾಗಿ ಒಂದು ಸಹಸಂಬಂಧ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿರುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಆತನ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅವನ ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಮೂರು ಹಂತಗಳಿವೆ.

# **ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್ ಘಟಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ**: ಸಹಸಂಬಂಧ ಮಾತೃಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
# **ಆವರ್ತನೆ**: ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಮನೋವೈಜ್ಞಾನಿಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಅನುವಾಗುವಂಥ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸುಲಭಸ್ವರೂಪಕ್ಕೆ ಆವರ್ತಿಸುವುದು.
# **ಘಟಕಗಳ ಅರ್ಥ ವಿವರಣೆ**: ಯಾವ ಯಾವ ಘಟಕಗಳು ಯಾವ ಯಾವ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟೆಷ್ಟು ಇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರಿತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಡಕವಾಗಿರುವ ಮನೋ ವ್ಯಾಪಾರಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಆವರ್ತಿತ ಘಟಕಗಳ ಅರ್ಥ ವಿವರಣೆ ಮಾಡಿ ಅವುಗಳಿಗೆ ಹೆಸರಿಡುವುದು.

ಥರ್ಸ್ಟನ್ ತನ್ನ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಮನೋ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು (ಮೆಂಟಲ್ ಎಬಿಲಿಟೀಸ್) ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದುದು ಮನಶ್ಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲೇ ಒಂದು ಮೈಲಿಗಲ್ಲೆಂದು ಪರಿಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಆತ 57 ಮಾನಸಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಪ್ರಾತಿನಿಧಿಕ ವ್ಯಕ್ತಿಸಮೂಹದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ ಅದರಿಂದ ಬಂದ 1596 ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್ ಕ್ರಮದಿಂದ ವಿಭಜಿಸಿದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ಅವನಿಗೆ 12 ಘಟಕಗಳು ದೊರೆತವು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ 9 ಮಾತ್ರ ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿದ್ದುದರಿಂದ ಅವನ್ನು ಸುಲಭ ಸ್ವರೂಪಕ್ಕೆ ಆವರ್ತಿಸಿ ಅವುಗಳ ಅರ್ಥ ವಿವರಣೆ ಮಾಡಿದ. ಈ ಘಟಕಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮನೋಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳು ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಮನೋವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆಲ್ಲ ಪರಿಚಿತವಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳ ಪೈಕಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿತವಾಗಿರುವ ಆರನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿದೆ:

# ಭಾಷಾ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ (v)
# ಸಾಂಖ್ಯಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ (N)
# ಪ್ರತ್ಯಕ್ಷ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ (p),
# ಸ್ಥಾನಿಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ (s)
# ವಿವೇಚನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ (R)
# ಸ್ಮೃತಿ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ (M).

ಹೀಗೆಂದ ಕೂಡಲೆ ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ ವಾದ ತಪ್ಪೆಂದೂ ಥರ್ಸ್ಟನ್ ವಾದ ಸರಿಯೆಂದೂ ಹೇಳಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಥರ್ಸ್ಟನ್ನನ ಘಟಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವವೆಂದು ಅನಂತರದ ಸಂಶೋಧನೆಗಳು ತೋರಿಸಿವೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮನೋಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳಲ್ಲೂ ಒಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕವಿದ್ದಿರಲೇಬೇಕು. ಅದು ಒಂದು ದ್ವಿತೀಯ ದರ್ಜೆಯ ಘಟಕವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ನನ ***g*** ಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಥರ್ಸ್ಟನ್ನನೇ ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಿದ್ದಾನೆ. ಅಂದರೆ ಸಮಸ್ತ ವ್ಶೆಜ್ಞಾನಿಕ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಲ್ಲೂ ಮೊದಮೊದಲು ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯಗಳಿದ್ದು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಹೊಸ ವಿಷಯಗಳು ಬೆಳಕಿಗೆ ಬಂದಂತೆಲ್ಲ ಅವುಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂತರ ತಗ್ಗಿ, ಸಾಮರಸ್ಯ ಏರ್ಪಡುವುದು ಒಂದು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸತ್ಯ. ಅಂತೆಯೇ ಇಂದು ಸ್ಪಿಯರ್‌ಮನ್ ವಾದಿಗಳು ತಮ್ಮ ***g*** ಯ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೂಹ ಘಟಕಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಕೂಡ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಇಂಥ ಒಂದು ಸಾಮರಸ್ಯ ಏರ್ಪಡಲು ಕಾರಣರಾದವರ ಪೈಕಿ ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನ ಸಿರಿಲ್ ಬರ್ಟ್ ಎಂಬಾತನ ಪಾತ್ರ ಹಿರಿದಾದುದು. ತತ್ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಇಂದು ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಮನೋವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಘಟಕ, ಸಮೂಹ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಘಟಕಗಳು - ಈ ತ್ರಿವಿಧ ಘಟಕಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಅಂಗೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ.

## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 
## ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ 
* 
* 

## ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು 
* A Beginner's Guide to Factor Analysis
* Exploratory Factor Analysis. A Book Manuscript by Tucker, L. & MacCallum R. (1993). Retrieved June 8, 2006, from: http://www.unc.edu/~rcm/book/factornew.htm 
* Garson, G. David, "Factor Analysis," from *Statnotes: Topics in Multivariate Analysis*. Retrieved on April 13, 2009, from StatNotes: Topics in Multivariate Analysis, from G. David Garson at North Carolina State University, Public Administration Program
* Factor Analysis at 100 — conference material
* FARMS — Factor Analysis for Robust Microarray Summarization, an R package

ವರ್ಗ:ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ