រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ

right|thumb|300px|
ក្នុងធរណីមាត្រ **រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ** (Bretschneider's formula) ជារូបមន្តសំរាប់គណនាក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណ។ រូបមន្តននេះត្រូវបានរកឃើញដោយអ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិអាល្លឺម៉ង់​ឈ្មោះ Carl Anton Bretschneider (១៨០៨ - ១៨៧៨) ។

:\color{blue} S = \sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd \cos^2 \frac{A+C}{2}} 

ដែល 
* a b c និង d ជារង្វាស់ជ្រុងនៃចតុកោណ 
* p ជាកន្លះបរិមាត្រ ដែល p = \frac{a+b+c+d}{2} \,
* A និង C ជាមុំពីរឈមគ្នា

រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ  (Bretschneider's formula) ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ចតុកោណ ទាំងចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ និងមិនចារឹកក្នុងរង្វង់។ 

## សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ 
តាង S ជាក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណ ABCD ។ នោះគេបាន
: \begin{align} S &= S_{\triangle ADB} + S_{\triangle BDC} \\
                        &= \tfrac{1}{2}ab\sin A + \tfrac{1}{2}cd\sin C 
\end{align} 

ហេតុនេះ
: 4S^2 = (ab)^2\sin^2 A + (cd)^2\sin^2 C + 2abcd\sin A\sin C \, 

តាមទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស យើងបាន
: a^2 + b^2 -2ab \cos A = c^2 + d^2 -2cd \cos C \, 

ពីព្រោះជ្រុងទាំងពីរស្មើនឹងការ៉េនៃប្រវែងអង្កត់ទ្រូង BD ។ គេអាចសរសេរឡើងវិញ
:\tfrac14 (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)^2 = (ab)^2\cos^2 A +(cd)^2\cos^2 C -2 abcd\cos A\cos C \,

ជំនួសវាក្នុងរូបមន្តខាងលើចំពោះ 4S^2 \,

:4S^2 + \tfrac14 (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)^2 = (ab)^2 + (cd)^2 - 2abcd\cos (A+C) \, 

គេអាចសរសេរវាឡើងវិញ
:16S^2 = (c+d+a-b)(c+d+b-a)(c+a+b-d)(d+a+b-c) - 16abcd \cos^2 \frac{A+C}2

តាង p = \frac{a+b+c+d}{2} (កន្លះបរិមាត្រចតុកោណ)

សមីការខាងលើក្លាយជា

:16S^2 = 16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - 16abcd \cos^2 \frac{A+C}2 
:\Rightarrow \color{magenta} S = \sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd \cos^2 \frac{A+C}{2}}
## រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺចំពោះរង្វាស់ជ្រុងនិងរង្វាស់អង្កត់ទ្រូង 
right|thumb|ចតុកោណ ABCD មានរង្វាស់អង្កត់ទ្រូង m និង n
ករណីដែលគេស្គាល់រង្វស់ជ្រុង a, b, c, d និងរង្វាស់អង្កត់ទ្រូង m, n នៃចតុកោណ រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺកំនត់ដោយ
:\color{magenta} \begin{align} S &= \frac{1}{4} \sqrt{4m^2n^2-(a^2 - b^2 + c^2-  d^2)^2} \\ &= \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+mn)(ac+bd-mn)} \end{align}

**សំរាយបញ្ជាក់តាមលក្ខណៈវ៉ិចទ័រ**

ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណ ABCD ដែលមាន AC និង BD ជាអង្កត់ទ្រូងកំនត់ដោយ

: 
\begin{align}
S &= \frac{1}{2}|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| \\
\Rightarrow S^2 &= \frac{1}{4}(\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD})\cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}) \\
\Rightarrow S &= \frac{1}{2}\sqrt{(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC})(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BD}) - (\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD})^2} \\
\Rightarrow S &= \frac{1}{2}\sqrt{m^2n^2 - (\overrightarrow{AC} \cdot  \overrightarrow{BD})^2} \qquad (*) \\
\end{align}

ដោយ
:\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} 

និង
:\begin{align} \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\\ &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \\ &= -( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA})
\end{align}

គេបាន
: 
\begin{align}
2(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}) &= 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) \cdot (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) \\
&= 2\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) + 2\overrightarrow{BC} \cdot (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) \\
&= -2\overrightarrow{AB} \cdot ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA}) + 2\overrightarrow{BC} \cdot (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) \\
&= -2\overrightarrow{AB} \cdot  \overrightarrow{AB} -2\overrightarrow{AB} \cdot  \overrightarrow{DA} + 2\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} \\
&= -2b^2 + 2c^2 -2\overrightarrow{AB} \cdot  \overrightarrow{DA} + 2\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} \\
&= -2b^2 + 2c^2 -2(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}) \cdot  \overrightarrow{DA} + 2(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC}) \cdot \overrightarrow{CD} \\
&= -2b^2 + 2c^2 +2\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD} -2 \overrightarrow{BD} \cdot  \overrightarrow{DA} + 2\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CD} -2 \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CD} \\
&= -2b^2 + 2c^2 + 2a^2 - 2d^2 + 2\overrightarrow{BD} \cdot (-\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CD}) \\
&= -2b^2 + 2c^2 + 2a^2 - 2d^2 - 2\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC} \\
&= a^2 - b^2 +c^2 - d^2 \\
\end{align}

:\Rightarrow  (\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD})^2 = \frac{1}{4}(a^2 - b^2 +c^2 - d^2)^2 \qquad (**)

ជំនួស (**) ចូលក្នុង (*) គេបាន
:S = \frac{1}{2}\sqrt{m^2n^2 -\frac{1}{4} (a^2 - b^2 +c^2 - d^2)^2} 
:\color{magenta} S = \frac{1}{4} \sqrt{4m^2n^2-(a^2 - b^2 + c^2-  d^2)^2}

ដោយពន្លាតកន្សោម និង ផ្តុំតួឡើងវិញគេបានរូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ
:\color{magenta} \begin{align} S &= \frac{1}{4} \sqrt{4m^2n^2-(a^2 - b^2 + c^2-  d^2)^2} \\ &= \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+mn)(ac+bd-mn)} \end{align}
## រូបមន្តទាក់ទង 
រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ (Bretschneider's formula) ជារូបមន្តទូទៅនៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta's formula) ចំពោះក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ដែលជារូបមន្តទូទៅនៃរូបមន្តហេរ៉ុង ចំពោះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ។