ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

**ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស** (ឬច្បាប់កូស៊ីនុស ឬរូបមន្តកូស៊ីនុស, Law of cosines) គឺជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុង និងកូស៊ីនុសមុំមួយនៃត្រីកោណ។ 
រូបតូច|right|230ភស|ទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុងនិងមុំក្នុងត្រីកោណ
## ទ្រឹស្តីបទ 
ចំពោះ \vartriangle ABC \, ដែលមាន a = BC, \, b = CA,\, c = AB,\, \alpha = \angle CAB,\, \beta = \angle ABC,\, \gamma = \angle BCA \, នោះគេបាន
:* \color{blue} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma  \,
:* \color{blue} b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos \beta  \,
:* \color{blue} a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha  \,

: \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\  \,
: \cos \beta  = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ca}\  \,
: \cos \alpha  = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\  \,
## សំរាយបញ្ជាក់ 
### ដោយប្រើរូបមន្តចំងាយរវាងពីរចំនុច
យើងមានត្រីកោណ ABC មានរង្វាស់ជ្រុង a, b, c និង \theta \, ជារង្វាស់មុំឈមនៃជ្រុងដែលមានរង្វាស់ c ។ យើងអាចដាក់ត្រីកោណក្នុងបប្រព័ន្ធកូអរដោនេ ដែល A(b\cos \theta ,\ b\sin \theta ),\ B(a,0),\,\,   និង \,  \ C(0,0) \,  ។ តាមរូបមន្តចំងាយរវាងចំនុច A និង B យើងបាន
: 
\begin{align}
c & {} = \sqrt{(b\cos \theta - a)^2+(b\sin \theta - 0)^2} \\
\Rightarrow c^2 & {} = (b\cos \theta - a)^2+(b\sin \theta - 0)^2 \\
& {} = b^2 \cos ^2 \theta - 2ab\cos \theta + a^2 + b^2\sin ^2 \theta \\
& {} = a^2 + b^2 (\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta ) - 2ab\cos \theta \\
& {} = a^2 + b^2  - 2ab\cos \theta 
\end{align}

### ដោយប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ
រូបតូច|ស្តាំ|300ភស|ត្រីកោណស្រួច(មុំទាំងបីជាមុំស្រួល)ជាមួយបន្ទាត់កែង
គូសបន្ទាត់មួយកែងនឹងជ្រុងដែលមានរង្វាស់ c ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងស្តាំ យើងបាន
:c=a\cos \beta +b\cos \alpha \,
(ករណីនៅតែពិតដដែលទោះបីជា α ឬ β ជាមុំទាល (មុំដែលមានតំលែនៅចន្លោះ 90° និង ១៨០°) ដែលករណីនេះបន្ទាត់កែងស្ថិតនៅក្រៅត្រីកោណ។)  

ដោយគុណអង្គសងខាងនៃសមីការនឹង c យើងបាន
:c^2 = ac\cos \beta + bc\cos \alpha \,\,\,(1) 

ដូចគ្នាដោយសន្មតថាមានបន្ទាត់កែងគូសចេញពីកំពូលផ្សេងទៀត យើងបាន

:a^2 = ac\cos \beta + ab\cos \gamma \,

:b^2 = bc\cos \alpha + ab\cos \gamma \,

បូកសមីការទាំងពីរចុងក្រោយខាងលើចូលគ្នា យើងបាន

:a^2 + b^2 = ac\cos \beta + bc\cos \alpha + 2ab\cos \gamma \,

: \Rightarrow ac\cos \beta + bc\cos \alpha = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma \,\,\,(2)
ដោយជំនួសតំលៃនៃ (2) \, ទៅក្នុងសមីការ (1) \, ខាងលើ យើងបាន

:c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma \,

### ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីតាករ
រូបតូច|230px|ត្រីកោណទាល(មានមុំ១ជាមុំទាល) មានកំពស់ BH
**ករណីមុំទាល**៖ អឺគ្លីតបានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទនេះដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករចំពោះត្រីកោណកែងទាំងពីរ (ត្រីកោណកែង AHB និងCHB ) ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងស្តាំ។ តាង d ជាប្រវែងអង្កត់ CH  និង h ជាកពស់ BH នៃត្រីកោណ AHB យើងបាន

: c^2 = (b+d)^2 + h^2 \,

និងចំពោះត្រីកោណ CHB យើងបាន

: d^2 + h^2 = a^2 \,

ដោយពន្លាតកន្សោមនៃសមីការទី១ខាងលើ យើងបាន

: c^2 = b^2 + 2bd + d^2 +h^2 \,

ដោយជំនួសទៅក្នុងសមីការទី២ខាងលើ យើងបាន

: c^2 = a^2 + b^2 + 2bd \,\,\,(3)

ដោយបំលែងទំរង់នេះទៅជាទំរងទំនើបនៃទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស គេបានកំនត់សំគាល់

:d = a\cos(\pi-\gamma)= -a\cos \gamma \,

ជំនួសតំលៃ d ទៅក្នុងសមីការ (3)\,\, យើងបានទ្រឹស្តីកូស៊ីនុស

: \color{blue} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma  \,

thumb|319px|ស្តាំ|សំរាយបញ្ជាក់ខ្លីដោយប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ ចំពោះករណីមុំទាល
**ករណីមុំទាល**៖  អឺគ្លីដបានអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករចំពោះត្រីកោណកែងទាំងពីរដែលបង្កើត​ដោយគូសទំលាក់បន្ទាត់មកជ្រុងដែលមានរង្វាស់ b ជាប់មុំ γ និងបានប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា ដើម្បីសំរាយអោយងាយ។

**សំរាយបញ្ជាក់ម្យ៉ាងទៀតចំពោះករណីមុំទាល**៖ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករចំពោះត្រីកោណកែងផ្នែកខាងធ្វេង ក្នុងរូបខាងស្តាំ យើងបាន

: 
\begin{align}
c^2 & {} = (b-a\cos \gamma)^2 + (a\sin \gamma )^2 \\
& {} = b^2 - 2ab\cos \gamma + a^2(\cos^2 \gamma )+a^2(\sin^2 \gamma) \\
& {} = b^2 + a^2 - 2ab\cos \gamma
\end{align}

(ដែលតាមលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ \cos^2 \gamma +a^2 \sin^2 \gamma \,  )

### ដោយប្រើផលគុណស្កាលែនៃវ៉ិចទ័រ
ដោយប្រើវិធីគណនារករង្វាស់វ៉ិចទ័រតាមរយៈផលគុណស្កាលែនៃវ៉ិចទ័រ យើងបានបំណកស្រាយទ្រឹស្តីកូស៊ីនុសបង្ហាញដូចខាងក្រោម

:

## ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសចំពោះត្រីកោណសមបាទ
ពេល *a* = *b*  មានន័យថាត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណសមបាត ដែលមានរង្វាស់ជ្រុងពីរមានប្រវែងស្មើគ្នា។ នោះ a^2 + b^2 = 2a^2 = 2ab \,។ គេបាន

:  c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma  \,
:  c^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos \gamma  \,
:  c^2 = 2a^2(1 -  \cos \gamma ) \,

 \Rightarrow  1 -  \cos \gamma  = \frac {c^2} {2a^2} \,

 \Rightarrow \cos \gamma = 1 - \frac{c^2}{2a^2} \;

## អនុវត្ត 
តាង a,b,c ជា​ប្រវែង​ជ្រុង និង A,B,C ជា​មុំ​នៃ​ត្រីកោណ​ ABC តាង S ជា​ក្រឡា​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ ABC។ ចូរ​ស្រាយ​បញ្ជាក់​ថា

\cot A + \cot B + \cot C = \displaystyle \frac

**ដំណោះស្រាយ**

តាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

::S =  \frac{1} {2} bc \sin A 

ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស យើងបាន

:: 
\begin{align}
a^2 & {} =  b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\
& {} = b^2 + c^2 - 4(\frac{1} {2}) bc \sin A \cdot \frac{\cos A} {\sin A} \\
& {} = b^2 + c^2 - 4S \cot A \\
\end{align}

ដូចគ្នាដែរ

:: b^2 = a^2 + c^2 - 4S \cot B \,
:: c^2 = a^2 + b^2 - 4S \cot C \,

::  
\Rightarrow
\begin{cases}
  \cot A = \frac {b^2+c^2-a^2} {4S} \\
 \cot B = \frac {a^2+c^2-b^2} {4S} \\
 \cot C = \frac {a^2+b^2-c^2} {4S} \\
 \end{cases}
 

ដូច្នេះយើងបាន
::\cot A + \cot B + \cot C = \frac {b^2+c^2-a^2} {4S} + \frac {a^2+c^2-b^2} {4S} + \frac {a^2+b^2-c^2} {4S} =\displaystyle \frac
## សូមមើលផងដែរ 
* ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស
* អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
* ទ្រឹស្តីបទតង់សង់