វិធីសាស្រ្តហ្រ្វូបេនៀស

ក្នុងគណិតវិទ្យា  **វិធីសាស្រ្តហ្រ្វូបេនៀស**(Frobenius method) រៀបរាប់អំពីរបៀបរកចំលើយរបស់សេរីអន្តន ចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់២ ក្នុងទំរង់

: z^2u''+p(z)zu'+q(z)u=0\!\;

យើងអាចចែកដោយ *z*2 ដើម្បីបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមានរាង

: u''+{p(z) \over z}u'+{q(z) \over z^2}u=0

ដែលមិនអាចដោះស្រាយបានដោយវិធីសាស្រ្តស៊េរីស្វ័យគុណ ប្រសិនបើទាំង *p*(*z*)/*z* ឬ *q*(*z*)/*z*2 មិនអាណាលីទីក(Analytic function=អនុគមន៍ទាល់)ត្រង់ *z* = 0 ។ វិធីសាស្រ្តហ្រ្វូបេនៀសអាចអោយយើងបង្កើតចំលើយរបស់ស៊េរីស្វ័យគុណ ចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលបែបណ្នឹង ដែល*p*(*z*) និង*q*(*z*) គឺអាណាលីទីកខ្លួនឯងត្រង់ 0 ឬជាអាណាលីទីកដ៏ទៃទៀត ហើយលីមីតរបស់វាទាំង២ត្រង់ ០​មាន​ ។
(ហើយមិនអន្តន) ។

## ការពន្យល់
វិធីសាស្រ្តហ្រ្វូបេនៀសប្រាប់យើងថា យើងអាចរកចំលើយរបស់ស៊េរីស្វ័យគុណក្នុងទំរង់

: u(z)=\sum_{k=0}^{\infty} A_kz^{k+r}

ដោយធ្វើដេរីវេ

: u'(z)=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)A_kz^{k+r-1}
: u*(z)=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r-2}

ដោយការជំនួស

:z^2\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r-2}+zp(z)\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)A_kz^{k+r-1}+q(z)\sum_{k=0}^{\infty} A_kz^{k+r}
:=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r}+p(z)\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)A_kz^{k+r}+q(z)\sum_{k=0}^{\infty} A_kz^{k+r}
:=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r}+p(z)(k+r)A_kz^{k+r}+q(z)A_kz^{k+r}
:=\sum_{k=0}^{\infty} ((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_kz^{k+r}
:=(r(r-1)+p(z)r+q(z))A_0z^r+\sum_{k=1}^{\infty} ((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_kz^{k+r}

កន្សោម \;r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I\left(r\right) គឺត្រូវស្គាល់ថាជាពហុធាអាំងឌីកាល់(indicial polynomial) ដែលជាសមីការដឺក្រេទី២នៃ r\, ។

ដោយប្រើវា កន្សោមទូទៅនៃមេគុណនៃ*z**k*+*r* គឺ

:I(k+r)A_k+\sum_{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j

មេគុណទាំងនេះត្រូវតែសូន្យ ព្រោះវាជាចំលើយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល  ដូច្នេះ

:I(k+r)A_k+\sum_{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j=0
:\sum_{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j=-I(k+r)A_k
:{1\over-I(k+r)}\sum_{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j=A_k

ចំលើយរបស់ស៊េរីទាំងនេះជាមួយ*A**k*ខាងលើ

:U_{r}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}A_kz^{k+r}

នាំអោយ

:z^2U_{r}(z)*+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}\!\;

បើយើងជ្រើសរើសឫសមួយក្នុងចំនោមឫសដ៏ទៃទៀតជាពហុធាអាំងឌីកាល់ ចំពោះ *r* in *U**r*(*z*) យើងទទួលបានចំលើយមួយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ។ ប្រសិនបើភាពខុសគ្នារវាងឫស គឺមិនមែនជាចំនួនគត់  យើងទទួលបានចំលើយមួយផ្សេងទៀតដែលជាចំលើយឯករាជ្យលីនេអ៊ែក្នុងឫសផ្សេងទៀត ។

## ឧទាហរណ៍
យើងដោះស្រាយ

: z^2f''-zf'+(1-z)f=0\,

ចែកនឹង *z*2 គេបាន

: f''-{1\over z}f'+{1-z \over z^2}f=f''-{1\over z}f'+\left({1\over z^2}-{1\over z}\right)f=0

ប្រើចំលើយរបស់ស៊េរី

: f   = \sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r}
: f'  = \sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-1}
: f* = \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}

ឥឡូវ ជំនួស

:  \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-{1\over z}\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-1}+\left({1\over z^2}-{1\over z}\right)\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r}
:  = \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-{1\over z}\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-1}+{1\over z^2}\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r}-{1\over z}\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r}
:  = \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2}+\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-1}

យើងត្រូវសំរួលការបូកចុងក្រោយ

:  = \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2}+\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k-1=0}^\infty A_{k-1}z^{k+r-2}
:  = \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2}+\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=1}^\infty A_{k-1}z^{k+r-2}

យើងអាចយកធាតុមួយចេញពីការបូកដែលចាប់ផ្តើមដោយ *k*=0 ដើម្បីទទួលបានការបូកដែលចាប់ផ្តើមដូចគ្នា 

:  = ((r)(r-1)A_0z^{r-2})+\sum_{k=1}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-((r)A_0z^{r-2})-\sum_{k=1}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2}
::+(A_0z^{r-2})+\sum_{k=1}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=1}^\infty A_{k-1}z^{k+r-2}
:  = (r(r-1)-r+1)A_0z^{r-2}+\,
:: \sum_{k=1}^\infty \left(  ((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1)A_k - A_{k-1}  \right)z^{k+r-2}

យើងទទួលបានចំលើយឯករាជ្យលីនេអ៊ែ​ ដោយដោះស្រាយពហុធាអាំងឌីកាល់*r*(*r*-1)-*r*+1 = *r*2-2*r*+1 =0 ដែលផ្តល់អោយឫសឌុបនៃ១ ។ ដោយប្រើឫសនេះ យើងយកមេគុណនៃ*z**k*+*r''-2 ស្មើសូន្យ ដែលផ្តល់អោយយើងនូវ

:  ((k+1)(k)-(k+1)+1)A_k - A_{k-1}  =(k^2)A_k-A_{k-1}=0\,
:  A_k = {A_{k-1}\over k^2} 

ដោយអោយលក្ខខណ្ឌដើមខ្លះៗ យើងអាចរកចំលើយក្នុងទំរង់ជាស៊េរីស្វ័យគុណ ។

ដោយប្រភាគនៃមេគុណ A_k/A_{k-1} គឺជា អនុគមន៍ប្រភាគ ស៊េរីស្វ័យគុណអាចត្រូវសរសេរជា ស៊េរីស្វ័កុណដែលមានប្រភាគនែមេគុណ
បន្តលំដាប់(hypergeometric series) ។