បន្ទាត់អយល័រ

ក្នុង​ធរណីមាត្រ **បន្ទាត់អយល័រ**​នៃ​ត្រីកោណ​មួយ​គឺ​ជា​បន្ទាត់​​ដែល​កាត់​តាម​អរតូសង់ ផ្ចិត​នៃ​រង្វង់ចារឹកក្រៅ ទីប្រជុំទំងន់​​ឬ​អ៊ីសូបារីសង់ និង ផ្ចិត​នៃ​រង្វង់អយល័រ​នៃ​ត្រីកោណ​។ បន្ទាត់អយល័រ​ត្រូវបានគេ​ហៅ​ដោយផ្តល់ជា​កិត្តិយលដល់គណិតវិទូ​ស្វីស លេអូណា អយល័រ​​។

ផ្ចិត​នៃ​រង្វង់​អយល័រគឺ​ស្ថិត​​នៅ​ចំ​ចំនុចកណ្តាល​នៃ​អង្កត់​ដែល​បង្កើត​ដោយ​អរតូសង់​និង​ផ្ចិត​នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ​ត្រីកោណ។ ម្យ៉ាង​វិញ​ទៀត​ចំងាយ​រវាង​ទីប្រជុំទំងន់​និង​អរតូសង់​គឺ​ស្មើនឹង​ពីរដង​នៃ​ចំងាយ​រវាងទីប្រជុំទំងន់​និង​ផ្ចិត​នៃ​រង្វង់​ចារឹក​ក្រៅ។

## ភាពកូលីនេអ៊ែរ​គ្នា 
ប្រសិន H ជាអរតូសង់ G ជាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ ABC និង \ \Omega ជាផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC គេបាន៖
: \overrightarrow {\Omega H} = 3\overrightarrow {\Omega G} (មានន័យថាចំនុចទាំងបីនេះកូលីនេអ៊ែរនឹងគ្នា (នៅលើបន្ទាត់តែមួយ) ) 

សំរាយបញ្ជាក់

គេមាន​ចំនុច \ M កំនត់ដោយ \overrightarrow {\Omega M} = \overrightarrow {\Omega A} + \overrightarrow {\Omega B} + \overrightarrow {\Omega C}

តាមទំនាក់ទំនងសាលគេបាន \overrightarrow {\Omega M} = \overrightarrow {\Omega A} + \overrightarrow {\Omega I_1} + \overrightarrow {I_1 B} + \overrightarrow {\Omega I_1} + \overrightarrow {I_1 C}

ដោយ \ I_1 គឺជាចំនុចកណ្តាល​នៃ \ [BC] គេបាន \overrightarrow {I_1 B} + \overrightarrow {I_1 C} = \vec {0}

ហេតុនេះ \overrightarrow {\Omega M} - \overrightarrow {\Omega A} = 2\overrightarrow {\Omega I_1} នាំអោយ \overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {\Omega I_1}

តាម​និយមន័យនៃ \Omega បន្ទាត់ \ (\Omega I_1) គឺជា​មេដ្យាទ័រ​នៃអង្កត់ \ [BC] ហេតុនេះ \ \Omega I_1 \perp [BC] ។ ទំនាក់ទំនងវ៉ិចទ័រដែលបានបង្កត់លើនេះ​បង្ហាញ​ថា​បន្ទាត់ \ (AM) ក៏​កែង​នឹង​អង្កត់ \ [BC] ដែរ។ ហេតុនេះបន្ទាត់ \ (AM) គឺជា​កំពស់នៃត្រីកោណ \ ABC ។

សំរាយបញ្ជាក់ដូចគ្នាដែរគេបាន \ (BM) និង \ (CM) គឺជាកំពស់នៃត្រីកោណ \ ABC ហេតុនេះ \ M គឺ​ជា​ចំនុច​ស្ថិត​នៅ​លើ​កំពស់នៃត្រីកោណ (ជាចំនុចប្រសព្វរវាងកំពស់ទាំងបីនៃត្រីកោណ) ដែលគេហៅថា​អរតូសង់ តាងដោយ \ H ។

គេបាន \overrightarrow {\Omega H} = \overrightarrow {\Omega A} + \overrightarrow {\Omega B} + \overrightarrow {\Omega C}

តាម​ទំនាក់ទំនងសាល គេបាន \overrightarrow {\Omega H} = 3\overrightarrow {\Omega G} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC}

ម្យ៉ាងវិញទៀត \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec {0} (កណី \ G គឺជាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ \ ABC)

ចុថងក្រោយគេទទួលបាន \overrightarrow {\Omega H} = 3\overrightarrow {\Omega G} នេះបង្ហាញថា \Omega; G និង H ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ (កូលីនេអ៊ែរ​នឹងគ្នា) តាមលំដាប់រៀងគ្នា។ 

frame|កណ្តាល|

## ពិពណ៌នា 
thumb|right|300px| ​
ក្នុង​រូបភាព​ខាង​ស្តាំ​បន្ទាត់អយល័រ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ដោយ​ពណ៌​ក្រហម។ វាកាត់​តាម​ទីប្រជុំទំងន់ (ពណ៌ទឹកក្រូច); អរតូសង់ (ពណ៌ខៀវ); រង្វង់ចារឹកក្រៅ (ពណ៌បៃតង); និង ផ្ចិតនៃរង្វង់អយល័រ​ឬ​រង្វង់ចំនុច៩ (ពណ៌ក្រហម)។

* នៅឆ្នាំ ១៧៦៧ អយល័រ​បានបង្ហាញថា​ក្នុង​ត្រីកោណ​មួយ អរតូសង់ ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ទីប្រជុំទំងន់ និង​ផ្ចិតនៃរង្វង់អយល័រ(រង្វង់ចំនុច៩) គឺកូលីនេអ៊ែរ​នឹងគ្នា។ ចំពោះ​ត្រីកោណសម័ង្ស ចំនុច​ទាំង​បួន​នេះគឺ​ត្រួតស៊ីគ្នា​ ប៉ុន្តែចំពោះ​ត្រីកោណប្រភេទ​ផ្សេងទៀត​ចំនុចទាំង​បួន​នេះ​មិនត្រួតស៊ីគ្នា​ និង បន្ទាត់អយល័រ​គឺកំនត់ដោយ​ចំនុចពីរ​ក្នុងចំនោម​ចំនុច​ទាំង​បួន​នេះ ។
*  ផ្ចិត​នៃ​រង្វង់​អយល័រ​ស្ថិត​នៅ​លើ​បន្ទាត់​អយល័រ​ចន្លោះ​អរតូសង់​និង​ផ្ចិត​នៃ​រង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ និង​ចំងាយ​ពី​ទីប្រជុំទំងន់​ទៅផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅ​គឺ​ស្មើ​នឹង​កន្លះ​ដង​នៃ​ចំងាយ​​ពី​ទីប្រជុំទំងន់​នៃ​ត្រីកោណ​ទៅ​អរតូសង់​។ 
:ប្រសិនបើយើងតាង H ជាអរតូសង់; G ជាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ ABC  និង \ \Omega ជាផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC នោះគេបាន 
: \color{magenta} 2\Omega G = GH ឬគេអាចសរសេរ \color{magenta}\frac{GH}{\Omega G}= 2 

តាមសំរាយបញ្ជាក់ខាងលើ  \ \Omega H = 3\Omega G
: \ \Omega H = \Omega G + GH គេបាន
: \ \Omega G + GH = 3 \Omega G \quad \Rightarrow \color{magenta}{ GH = 2 \Omega G}

## បន្ទាត់អយល័រ​ក្នុង​កូអរដោនេទ្រីលីនេអ៊ែរ 
* តាង A, B, C ជាមុំ​កំពូលនៃត្រីកោណ និងតាង  x : y : z គឺជាចំនុចផ្សេងគ្នាក្នុងកូអរដោនេទ្រីលីនេអ៊ែរ នោះគេបានសមីការចំពោះបន្ទាត់អយល័រគឺ
:\ \sin 2A \sin(B - C)x + \sin 2B \sin(C - A)y + \sin 2C \sin(A - B)z = 0
* ម្យ៉ាងវិញទៀត​គេ​អាច​តំណាង​បន្ទាត់អយល័រ​ជា​អនុគមន៍ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t ។ ផ្តើមចេញពីផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ (ជាមួយ​នឹង​កូអរដោនេទ្រីលីនេអ៊ែរ \ \cos A : \cos B : \cos C)  និង​អរតូសង់ (ជា​មួយ​នឹង​កូអរដោនេទ្រីលីនេអ៊ែរ  \ \sec A : \sec B : \sec C = \cos B \cos C : \cos C \cos A : \cos A \cos B) រាល់ចំនុចនៅលើបន្ទាត់អយល័រ លើកលែងតែអរតូសង់ចេញ ផ្ទៀងផ្ទាត់នឹងទំនាក់ទំនង៖
:\ \cos A + t \cos B \cos C : \cos B + t \cos C \cos A : \cos C + t \cos A \cos B

ចំពោះគ្រប់ t ។

ឧទាហរណ៍៖
* ទីប្រជុំទំងន់ = \ \cos A + \cos B \cos C : \cos B + \cos C \cos A : \cos C + \cos A \cos B
* ផ្ចិតរង្វង់អយល័រ = \ \cos A + 2 \cos B \cos C : \cos B + 2 \cos C \cos A : \cos C + 2 \cos A \cos B
* ចំនុចឡុងសម (De Longchamps point) = \ \cos A - \cos B \cos C : \cos B - \cos C \cos A : \cos C - \cos A \cos B
* ចំនុចអយល័រអនន្ត = \ \cos A - 2 \cos B \cos C : \cos B - 2 \cos C \cos A : \cos C - 2 \cos A \cos B

## ចំនុច​ពិសេស​នៅ​លើ​បន្ទាត់​អយល័រ 
ចំនុច​ពិសេស​នៅ​លើ​បន្ទាត់​អយល័ររួមមាន៖

**១)** ផ្ចិត​រង្វង់ចារឹកក្រៅ​ត្រីកោណ

**២)** អរតូសង់​នៃ​ត្រីកោណ

**៣)** ទីប្រជុំទំងន់​នៃ​ត្រីកោណ

**៤)** ចំនុចដឺឡុងសម (De Longchamps point)
:ចំនុចដឺឡុងសម​នៃ​ត្រីកោណ​គឺជា​​ចំនុចឆ្លុះនៃ​អរតូសង់​ធៀបនឹង​ផ្ចិត​រង្វង់ចារឹកក្រៅ។ ចំនុច​នេះ​តាង​ដោយ​អក្សរ **L**​ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ទំនាក់ទំនង
: \ AL^2 - BC^2 = BL^2 - CA^2 = CL^2 - AB^2 

**៥)** ផ្ចិត​រង្វង់៩ចំនុច (រង្វង់​៩​ចំនុច = រង្វង់ចំនុច៩ = រង្វង់​អយល័រ)
:ផ្ចិត រង្វង់​៩​ចំនុច​ចំពោះ​ត្រីកោណ
:*ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុងនិមួយៗរបស់ត្រីកោណ
:* ជាទំរនៃកំពស់និមួយៗដែលគូសចេញពីកំពូលទាំងបីមកកែងនឹងជ្រុងឈមនិមួយៗ
:* ជាចំនុចកណ្តាលរវាងអរតូសងនិងកំពូលត្រីកោណ
:រង្វង់​ដែល​កាត់​តាម​៩​ចំនុច​នេះ​ហៅថា​រង្វង់៩ចំនុច។ ផ្ចិត​នៃ​រង្វង់​នេះ​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​ចំនុចកណ្តាល​រវាង​ផ្ចិត​រង្វង់ចារឹកក្រៅ​​និង​អរតូសង់​នៃ​ត្រីកោណ​។

## បន្ទាត់អយល័រ​ចំពោះ​ត្រីកោណ​ពិសេស 
**១)**  ត្រីកោណកែង
: :បន្ទាត់អយល័រ​ចំពោះ​ត្រីកោណ​កែង​គឺជា​បន្ទាត់ដែល​កាត់តាម​កំពូលដែលជាមុំកែង​និងចំនុចកណ្តាល​និង​អ៊ីប៉ូតេនុស។ ករណី​នេះ​ផ្ចិត​នៃ​រង្វង់ចារឹកក្រៅ​ត្រីកោណ​គឺ​ស្ថិត​នៅចំ​ចំនុចកណ្តាល​នៃ​អ៊ីប៉ូតេនុស និង អរតូសង់​គឺ​​ស្ថិត​នៅ​ចំ​កំពូល​មុំកែង។

**២)** ត្រីកោណសម័ង្ស
:: ចំពោះ​ត្រីកោណ​សម័ង្ស​ ដោយសារតែ​អរតូសង់ ទីប្រជុំទំងន់ និង ផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅ ត្រួតស៊ីគ្នា (ស្ថិតនៅចំចំនុចតែមួយ) គេមិនអាចអោយនិយមន័យវាបានទេ។

**៣)**  ត្រីកោណសមបាត
:: ចំពោះ​ត្រីកោណ​សមបាត បន្ទាត់​អយល័រគឺជា​មេដ្យាន​ដែលគូសចេញពីកំពូលនៃ​មុំ​ចន្លោះ​ជ្រុងដែលមានរង្វាស់ស្មើគ្នា។ ចំពោះត្រីកោណសមបាត​បន្ទាត់​អយល័រ​មាន​លក្ខណៈ​សរុប​ដូច​ខាងក្រោម៖
::* ជា​មេដ្យាន​ដែល​ឈមនឹង​មុំ​រវាង​ជ្រុង​ដែល​មាន​រង្វាស់​ស្មើគ្នា
::* ជា​បន្ទាត់កែង​ដែលគូសចេញពី​កំពូល​នៃមុំ​រវាង​ជ្រុង​ដែល​មាន​រង្វាស់​ស្មើគ្នា
::*ជាបន្ទាត់ពុះមុំ (បន្ទាត់​ដែល​ពុះចែក​មុំ​មួយ​ជា​ពីរ​ស្មើគ្នា) នៃ​ជ្រុងកែង
::*ជាបន្ទាត់ពុះមុំនៃមុំ​រវាង​ជ្រុង​ដែល​មាន​រង្វាស់​ស្មើគ្នា

**៤)**  ត្រីកោណផ្ចិតក្រៅ (Excenter triangle)
::ត្រីកោណផ្ចិតក្រៅ​ជាត្រីកោណដែល​បង្កើត​ដោយ​ផ្ចិតក្រៅ​ (Excenter) ទាំងបី​នៃ​ត្រីកោណ​។ បន្ទាត់អយល័រ​នៃ​ត្រីកោណនេះ​គឺ​ជា​បន្ទាត់​ដែល​កាត់​តាម​ផ្ចិត​រង្វង់ចារឹកក្រៅ និង ផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្នុង​ត្រីកោណ​។

## ឧទាហរណ៍ 
**១)** ប្រសិនបើ​បន្ទាត់​អយល័រ​កាត់តាម​កំពូល​នៃ​ត្រីកោណ ចូរស្រាយបំភ្លឺថា​ត្រីកោណនេះជាត្រីកោណកែង ឬ ជាត្រីកោណសមបាត។

តាង A ជាកំពូលដែលបន្ទាត់អយល័រកាត់តាម។ គេបានផ្ចិត O នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ AG ។ មានពីរករណីចំពោះ O គឺ

**១)** ករណី O ស្ថិតនៅលើជ្រុងនៃត្រីកោណ
: តាម​ទ្រឹស្តីបទមុំចារឹកក្នុង គេបានត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណកែង។

**២)** ករណី O មិនស្ថិតនៅលើជ្រុងនៃត្រីកោណ

ករណី​នេះ​បន្ទាត់ពុះមុំ​កែង​​នឹង BC និង មេដ្យាន​គូសចេញ​ពី​កំពូល A មក​ជ្រុង BC គឺ​ត្រួតស៊ីគ្នា។ គេ​បាន​ត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណសមបាត។

**២)** ប្រសិនបើ​បន្ទាត់អយល័រ​​ស្រប​នឹងជ្រុង BC នៃ​ត្រីកោណ ABC ។ ចូរបង្ហាញថា \ \tan B \cdot \tan C = 3 ។

ស៊ុម|ស្តាំ|បន្ទាត់អយល័រ ; រង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ; ទីប្រជុំទំងន់ G; អរតូសង H  ...
* តាង P ចំនុចប្រសព្វរវាង AG និង BC ។
* តាង R ជា​កាំ​នៃ​រង្វង់ចារឹកក្រៅ​ត្រីកោណ។
* តាង \ AB=c; \quad BC=a និង \ AC=b ។

តាមសម្មតិកម្ម (OG) \parallel (BC) គេបាន \ PO=\frac{c\sin B}{3} និង ត្រីកោណ OPB ជាត្រីកោណកែង តាម​ទ្រឹស្តីបទការ៉េបី គេបាន
: \ PB^2+PO^2=BO^2

ដោយជំនួស \ PB = \frac{a}{2} ; BO = R គេបាន
: \frac{a^2}{4} + \frac{c^2 \sin^2 B}{9} = R^2  \qquad (*)

តាម​ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស​ គេបាន
: a = \frac{c \sin A}{\sin C}; \quad R = \frac{c}{2\sin C}

ដោយជំនួសតំលៃ a និង R ក្នុង \ (*) រួចចែក \ (*) និង \ c^2 គេបាន
: \frac{\cos^2 A}{4} - \frac{\sin^2 B \sin^2 C}{9} = 0 \qquad (**)

ដោយ \ \cos^2 A = \cos^2 (B+C)  និងតាម​ទ្រឹស្តីបទផលបូក គេបាន (**) 
: \frac{\cos^2 (B+C)}{4} -  \frac{\sin^2 B \sin^2 C}{9} = 0 
: \frac{(\cos B \cos C - \sin B \sin C)^2}{4} - \frac{\sin^2 B \sin^2 C}{9} = 0 

ដោយចែកសមីការនេះនឹង​ \ \cos^2 B \cos^2 C  គេបាន
: \frac{1}{4} - \frac{\tan B \tan C}{2} + (\tan B \tan C)^2 (\frac{1}{4}-\frac{1}{9}) = 0 

តាង \ x =\tan B \tan C គេបាន
: \frac{1}{4} - \frac{x}{2} + x^2 (\frac{1}{4}-\frac{1}{9}) = 0 ឬ 
:\ 5x^2 - 18x + 9 = 0 

គេបាន \ x =3 ; x= \frac{3}{5}
........

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ត្រីកោណ
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រ