ចំនួនកុំផ្លិច

**ចំនួនកុំផ្លិច**៖ គឺជាចំនួនដែលមានទម្រង់ a + bi \,  ដែល  a \, និង  b \,ជាចំនួនពិត និង i\,ជាឯកតានិមិ្មត (i=  \sqrt{\color{Red}-1} ,\quad i^2= -1)។
## និយមន័យ 
*ឯកតានិមិ្មត  i=  \sqrt{\color{Red}-1} ,\quad i^2= -1
: Z=a + bi. \,
:a ជាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Real Part)
:b ជាផ្នែកនិម្មិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Imaginary part)
### ប្រមាណវិធី
i=  \sqrt{\color{Red}-1} ,\quad i^2= -1៖

:* ផលបូក: \,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
:* ផលដក: \,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
:* ផលគុណ: \,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i
:* ផលចែក: \,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,

### ប្លង់កុំផ្លិច 
right|thumb|លក្ខណៈធរណីមាត្រនៃz និងចំលាស់របស់វា\bar{z}ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច
### តំលៃដាច់ខាតនៃចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ 
: \overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}
: \overline{z\cdot w} = \bar{z}\cdot\bar{w}
: \overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}
: \bar{\bar{z}}=z
: \bar{z}=z &nbsp; ប្រសិនបើ *z* ជាចំនួនពិតសុទ្ធ
: \bar{z}=-z &nbsp; ប្រសិនបើ *z* ជាចំនួននិម្មិតសុទ្ធ
: |z|=|\bar{z}|
: |z|^2 = z\cdot\bar{z}
: z^{-1} = \bar{z}\cdot|z|^{-2} &nbsp; ប្រសិនបើ *z* ខុសពីសូន្យ

### ប្រភាគនៃចំនួនកុំផ្លិច 
:
\begin{align}
{a + bi \over c + di}& = {(a + bi) (c - di) \over (c + di) (c - di)} = {(ac + bd) + (bc - ad) i \over c^2 + d^2}\\ & = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + i\left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right).\,
\end{align}

## ទម្រង់ប៉ូលែរ 
កូអរដោនេប៉ូលែក្នុងតម្រុយដេកាត
:x = r \cos \varphi
:y = r \sin \varphi
ផ្ទុយមកវិញ
:r = \sqrt{x^2+y^2}
:\varphi = \arg(z) = arctan\frac{y}{x}
x + iy = re^{i\varphi}\!

## ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និង ​ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច
:a+bi = r(cos\alpha+isin\alpha) \!, ដែល r  \!  ជាម៉ូឌុលនៃ​ a+bi \! ។    r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\! 
cos\alpha = \frac{a}{r} ; sin\alpha = \frac{b}{r}\!

ទ្រឹស្តីបទ៖ បើគេមានទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកំផ្លិច z_1\! និង z_2\! ដែល  z_1 = r_1(cos\alpha_1 + isin\alpha_1)\! និង z_2 = r_2(cos\alpha_2 + isin\alpha_2)\! គេបាន​ 
ក)​ z_1z_2 = r_1r_2[cos(\alpha_1 + \alpha_2) + isin(\alpha_1 + \alpha_2)]\!
ខ) \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[cos(\alpha_1 - \alpha_2) + isin(\alpha_1 - \alpha_2)]\!

ទ្រឹស្តីបទ៖ បើ z\! ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន |z|^2 = z \cdot \bar{z}\! ។

លក្ខណៈ គេឲ្យ w\! និង z\! ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន
ក)​ |wz| = |w| \cdot |z|\! 
ខ) |\frac{w}{z}| = \frac ; z\ne0\!
គ) |w + z| \le |w| + |z|\!
## ស្វ័យគុណទី​ n\!​ នៃចំនួនកុំផ្លិច
គេមាន Z=r(cos\alpha + isin\alpha)\! ។
តាមរូបមន្ត Z_1Z_2 = r_1r_2[cos(\alpha_1+\alpha_2)+isin(\alpha_1+\alpha_2)]\!
គេបាន ZZ = rr[cos(\alpha+\alpha)+isin(\alpha+\alpha)]\!
Z^2 = r^2(cos2\alpha+isin2\alpha)\!
Z^3=Z^2 \cdot Z = (r^2\cdot r)[cos(2\alpha+\alpha)+isin(2\alpha+\alpha)] = r^3(cos3\alpha+isin3\alpha)\!
........................................................................................
Z^n = Z^{n-1} \cdot Z = r^n(cosn\alpha+isinn\alpha)\!
 
ជាទូទៅ៖​ Z^n = [r(cos\alpha + isin\alpha)]^n = r^n(cosn\alpha + isinn\alpha)\!  គ្រប់ n \in \mathbb{Z}\! គេទាញបាន (cos\alpha + isin\alpha)^n = (cosn\alpha + isinn\alpha) \!ហៅថា ទ្រឹស្តីបទដឺម័រ។
ឧទាហរណ៍​: គណនា​ (1+i)^{50}\!
តាង z=1+i\! គេបាន z=\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{4} + isin\frac{\pi}{4})\!
តាមទ្រឹស្តីបទដឺម័រ 

(i+i)^{50} = \sqrt{2}^{50}[cos(50 \cdot \frac{\pi}{4}) + isin(50 \cdot \frac{\pi}{4})] = 2^{25}(cos\frac{25\pi}{2} + isin\frac{25\pi}{2}) = 2^{25}[cos(12\pi+\frac{\pi}{2}) + isin(12\pi+\frac{\pi}{2})] = 2^{25}(cos\frac{\pi}{2} + isin\frac{\pi}{2}) \!
ដូចនេះ (1+i)^{50}= 2^{25}i = 33554432i\!
## ឫសទី n\! នៃចំនួនកុំផ្លិច
បើចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យ Z​ មានឫសទី n គឺ W គេបាន W^n = Z\!​។ ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច Z និង W គឺ  Z = r(cos\theta+isin\theta)\! និង  W = s(cos\alpha+isin\alpha)\!
គេបាន W^n = s^n(cosn\alpha+isinn\alpha)\!
ដោយ W^n = Z\! គេបាន  s^n(cosn\alpha+isinn\alpha) = r(cos\theta+isin\theta)\!
ចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា ម៉ូឌុលរបស់វាក៏ស្មើគ្នាដែរ។

ដូចនេះ s^n = r\! ។ ដោយ  s>0\! និង r>0\! នាំឲ្យ s = \sqrt[n]{r}\! ។

cosn\alpha + isinn\alpha = cos\theta + isin\theta\!
គេបាន cosn\alpha = cos\theta\! នាំឲ្យ n\alpha = \theta + 2k\pi \ ; \ \alpha = \frac{\theta + 2k\pi}{n} \ ; \ k \in  \mathbb{Z}\!។
ជំនួស \alpha = \frac{\theta + 2k\pi}{n}\! និង s = \sqrt[n]{r}\! ក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច W គេបាន w = \sqrt[n]{r}[cos(\frac{\theta + 2k\pi}{n}) + isin(\frac{\theta + 2k\pi}{n})]\! ។
បើ​គេជំនួស k=0;1;2;...;n-1 គេបាន n ឫសទី n​ ផ្សេងៗគ្នានៃ Z​ ។
 
 ទ្រឹស្តីបទ៖ 
បើ Z = r(cos\theta + isin\theta)\! ជាចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យ​ ហើយ​ n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាននោះ Z មានឫសទី n គឺ​ :

w_k = \sqrt[n]{r}[cos(\frac{\theta + 2k\pi}{n}) + isin(\frac{\theta + 2k\pi}{n})]\! បើ k=0;1;2;...;n-1 នោះ Z មានឫសទី n គឺ              w_0;w_1;w_2;...;w_{n-1}\!​ ។
ឧទាហរណ៍ :​ គណនាឫសទី 6 នៃ -1

តាង Z = -1 + 0i គេបាន r = \sqrt{1} = 1 ។
cos\theta = \frac{a}{r} = -1  និង sin\theta = \frac{b}{r} = 0 នាំអោយ \theta = \pi។ 
Z = -1 + 0i = (cos\pi + isin\pi)\!
n = 6 យើងគណនាឫសទី 6 នៃ​ Z = -1 + 0i ។
w_k = cos(\frac{\pi + 2k\pi}{6}) + isin(\frac{\pi + 2k\pi}{6})\!
w_k = cos(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}) + isin(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3})\! បើ k=0;1;2;3;4;5 គេបាន

k=0​ នាំឲ្យ w_0 = cos\frac{\pi}{6} + isin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\!
k=1 នាំឲ្យ w_1 = cos\frac{\pi}{2} + isin\frac{\pi}{2} = i
k=2 នាំឲ្យ w_2 = cos\frac{5\pi}{6} + isin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i
k=3 នាំឲ្យ w_3 = cos\frac{7\pi}{6} + isin\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i
k=4 នាំឲ្យ w_4 = cos\frac{3\pi}{2} + isin\frac{3\pi}{2} = -i
k=5 នាំឲ្យ w_5 = cos\frac{11\pi}{6} + isin\frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{1}{2}i

## សូមមើលផងដែរ 
* ផ្នែកនិម្មិត
* ផ្នែកពិត
* កុំផ្លិចឆ្លាស់
* ឯកតានិម្មិត

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:គណិតវិទ្យា
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ចំនួនកុំផ្លិច