មេដ្យាន

right|ស៊ុម|
ក្នុងធរណីមាត្រ **មេដ្យានទ័រ**នៃអង្តក់គឺជាអង្កត់ដែលភ្ជាប់ពី​​កំពូលនៃត្រីកោណទៅកាន់ចំនុចកណ្តាល​នៃជ្រុងឈមនឹងកំពូលនោះ។ ក្នុងត្រីកោណនីមួយៗតែងតែមានមេដ្យានបី ដែលមេដ្យាន​នីមួយៗគូសចេញពីកំពូលកាន់ជ្រុងឈមហើយកាត់ជ្រុងឈមនោះ​ត្រង់ចំនុចកណ្តាល។ 

## ចំនុចប្រសព្វនៃមេដ្យានទាំងបី 
មេដ្យានទាំងបីនៃត្រីកោណជួបគ្នាត្រង់ចំនុចមួយហៅថា​**ទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ**។ កត់សំគាល់ថា​ទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ​គឺស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុង​ត្រីកោណជានិច្ច។ ពីរភាគបីនៃរង្វាស់មេដ្យាន​នីមួយៗគឺជារង្វាស់រវាងកំពូលនិងទីប្រជុំទំងន់ ដែលមួយភាគបីគឺជារង្វាស់ពីទីប្រជុំទំងន់ទៅចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុងឈម។មេដ្យាទ័រនែជ្រុងMNនិងMPនៃត្រីកោណMNPប្រសព្វត្រង់Oបង្ហាញថាOM=ON=OP

## ការចែកក្រលាផ្ទៃស្មើគ្នា 
មេដ្យានទាំងបីចែកត្រីកោណជា៦​ត្រីកោណដែលមានក្រលាផ្ទៃស្មើៗគ្នា។ បន្ទាត់ដែលចែកក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណជាពីរស្មើគ្នា គឺមិនកាត់តាមទីប្រជុំទំងន់ទេ។

**សំរាយបញ្ជាក់**

គេមានត្រីកោណ ABC ។ តាង D ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង AB តាង E ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង BC តាង F ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង AC និងតាង O ជាទីប្រជុំទំងន់។ 
350px|thumb|
តាមនិមយន័យ AD = DB,AF = FC,BE = EC \, 

ហេតុនេះ S_{ADO} = S_{BDO}, S_{AFO} = S_{CFO}, S_{BEO} = S_{CEO} \,

ដែល S_{ABC} \, តំណាងអោយក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ។

យើងបាន

::S_{ABO} = S_{ABE} - S_{BEO} \,
::S_{ACO} = S_{ACE} - S_{CEO} \, 

ហេតុនេះ

: S_{ABO} = S_{ACO} \, និង S_{ADO}=S_{DBO} , S_{ADO}=\frac{1}{2}S_{ABO}

ដោយ S_{AFO}=S_{FCO}, S_{AFO}= \frac{1}{2}S_{ACO}=\frac{1}{2}S_{ABO}=S_{ADO}

គេបាន S_{AFO} = S_{FCO} = S_{ADO} = S_{DBO} \,

ដោយប្រើវិធីដូចគ្នា យើងអាចបង្ហាញថា S_{AFO} = S_{FCO} = S_{ADO} = S_{DBO} = S_{BEO} = S_{CEO} \,

## រូបមន្តគណនារង្វាស់មេដ្យាន 
ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទស្តេអាត (Stewart's theorem) ចំពោះត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a b និង c (ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងលើ) ; m_a \, រង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល A ទៅកាន់ជ្រុង BC ; m_b \, រង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល B ទៅកាន់ជ្រុង AC និង m_c \, រង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល C ទៅកាន់ជ្រុង AB (m_a = AD ; \quad m_b = BE ; \quad  m_c = CF ; \quad  a = BC ; \quad  b = AC ; \quad  c = AB\, )  យើងបានទំនាក់ទំនងរវាង  m_a \, និង រង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណសំដែងដោយ
: 4m_a^2+a^2=2(b^2+c^2) \, 
:\Rightarrow m_a = AD = \sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} } 

ដូចគ្នាដែរចំពោះមេដ្យានគូសចេញពីកំពូលផ្សេងទៀតនៃត្រីកោណ
:\Rightarrow m_b = BE = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}{4} } 
:\Rightarrow m_c = CF = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}{4} } 

## គណនាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណជាអនុគមន៍នៃរង្វាស់មេដ្យាន 
រូបតូច|ស្តាំ|300px

មេដ្យាន AA_1 \, នៃត្រីកោណ ABC គឺគូសចេញពីកំពូល A \, ទៅកាន់ចំនុចកណ្តាល A_1 \, នៃជ្រុងឈមនៃកំពូល A ។ មេដ្យាន​ទាំងបី​ជួបគ្នា​ត្រង់ចំនុចមួយ G ហៅថាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ ABC ។ G ក៏អាចហៅថាបារីសង់នៃត្រីកោណ ABC ផងដែរ។ ចំនុច G ជាទ្រីលីនែអ៊ែ (ចំនុចធៀបនៃចំងាយរវាងជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណនិងចំនុចនោះ)​ ដែល \frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c} \,&nbsp; (a, b, និង c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណ ABC) ។ លើសពីនេះទៅទៀត មេដ្យាននៃត្រីកោណមួយចែកជាមេដ្យានមួយទៀត (មេដ្យាននៃត្រីកោណមេដ្យាន) ដោយផលធៀប **២:១** 
::AG:GA_1 = BG:GB_1 = CG:GC_1 = 2 : 1\, 

តាង m_a , \quad m_b , \quad m_c \, ជារង្វាស់រៀងគ្នានៃមេដ្យានគូសចេញពីកំពូល A B និង C ។ គេបាន

:\begin{cases} &m^2_a = \frac{1}{4}(2 b^2 + 2 c^2 - a^2) \\ &m^2_b = \frac{1}{4}(2 a^2 + 2 c^2 - b^2) \\ &m^2_c = \frac{1}{4}(2 a^2 + 2 b^2 - c^2)\end{cases}

:\Rightarrow m^2_a + m^2_b + m^2_c = \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)

តាង p_m = \frac{1}{2}(m_a + m_b + m_c)

គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

:\color{RoyalBlue}S_{ABC} = \frac{3}{4} \sqrt{p_m(p_m - m_a)(p_m - m_b)(p_m - m_c)}

## សូមមើលផងដែរ 
* ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន
* កំពស់ត្រីកោណ
* ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា (Ceva's theorem)

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ត្រីកោណ
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រ