ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

**ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ**គឺជាវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យា​មួយក្នុងស្វែងរកអត្រាដែលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយធ្វើការផ្លាស់ប្តូរដោយគោរពតាម​អថេរ។ វាក៏ត្រូវបានគេហៅម្យ៉ាងទៀតថាជា**ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ**។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតាទូទៅរួមមាន \sin (x) , \cos (x) \, និង&nbsp; \tan (x) \,។ 

ឧទាហរណ៍៖ ក្នុងគណនា f'(x) \, ដោយធ្វើដេរីរេនៃអនុគមន៍ f(x) = \sin (x) \, ដែលជាការគណនាអត្រាបំលាស់ប្តូរនៃអនុគមន៍ \sin (x) \, នៅត្រង់ចំនុច a មួយ។ តំលៃនៃអត្រានៅត្រង់ចំនុច a គឺផ្តល់អោយដោយ f'(a) \, ។ ការយល់ដឹងអំពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីគោលការណ៍បឋមគឺជាការចាំបាច់ ជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ និងលីមីត។ គ្រប់អនុគមន៍ទាំងអស់គឺជាប់ទាក់ទងនឹងតំលៃ arbitrary នៃ x ជាមួយនឹងគ្រប់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសំដែងដោយគោរពតាម x ។ 

## ដេរីវេនៃ sin(*x*), cos(*x*), tan(*x*), cot(*x*), sec(*x*) and csc(*x*) និងអនុគមន៍ច្រាស់របស់វា
:f(x)=\sin(x) \implies f'(x)=\cos(x)
:f(x)=\cos(x) \implies f'(x)=-\sin(x)
:f(x)=\tan(x) \implies f'(x) = (\tan(x))' = \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)' = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x) = \sec^2(x)
:f(x)=\cot(x) \implies f'(x) = (\cot(x))' = \left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)' = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -(1+\cot^2(x)) = -\csc^2(x)
:f(x)=\sec(x) \implies f'(x) = (\sec(x))' = \left(\frac{1}{\cos(x)}\right)' = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)}.\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x)
:f(x)=\csc(x) \implies f'(x) = (\csc(x))' = \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)' = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin(x)}.\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = -\csc(x)\cot(x)
:f(x)=\arcsin(x) \implies f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
:f(x)=\arccos(x) \implies f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
:f(x)=\arctan(x) \implies f'(x)=\frac{1}{x^2+1}

## សំរាយបញ្ជាក់នៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស និងកូសីនុស
### ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស 
តាមនិយមន័យដេរីរេនៃ *f*(*x*) គេបាន៖

:f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}

ហេតុនេះបើ *f*(*x*) = sin(*x*) គេបាន

:f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}

ប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ គេបាន

: \sin(A+B)=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B) \, យើងអាចថា

:f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}

ផ្តុំតួ cos(*x*) និង sin(*x*) នោះគេបានដេរីវេក្លាយជា

:f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h))\over h}

រៀបឡើងវិញនូវតួនិមួយៗ និងធ្វើលីមីត គេបាន

:f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h))\over h}

ដោយសារ sin(*x*) និង cos(*x*) មិនខុសគ្នានឹង *h* 

:f'(x)=\cos(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{1-\cos(h)\over h}

តំលៃនៃលីមីត

:\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad  &nbsp;និង &nbsp;\quad \lim_{h\to 0}{1-\cos(h)\over h}

គឺស្មើ ១ និង ០ ។ ដូច្នេះបើ *f*(*x*) = sin(*x*) គេបាន

:f'(x)=\cos(x) \,

### ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុស 
តាមនិយមន័យដេរីវេនៃអនុគមន៍ *f*(*x*) គេបាន៖

:f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}

ហេតុនេះបើ *f*(*x*) = cos(*x*) គេបាន

:f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}

យោងតាមលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ

: \cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B) \, យើងបាន

:f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}

ផ្តុំតួ sin(*x*) និង cos(*x*)  នោះគេបានដេរីវេក្លាយជា

:f'(x)=\lim_{h\to 0}{-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)(1-\cos(h))\over h}

រៀបឡើងវិញនូវតួនិមួយៗ និងធ្វើលីមីត គេបាន

:f'(x)=-\lim_{h\to 0}{\sin(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\cos(x)(1-\cos(h))\over h}

ដោយសារតែ sin(*x*) និង cos(*x*) មិនខុសពី *h* គេបាន

:f'(x)=-\sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \cos(x)\lim_{h\to 0}{1-\cos(h)\over h}

តំលៃនៃលីមីត

:\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad &nbsp;និង &nbsp;\quad \lim_{h\to 0}{1-\cos(h)\over h}

គឺស្មើនឹង ១ និង ០ ។ ហេតុនេះបើ *f*(*x*) = cos(*x*) គេបាន

:f'(x)=-\sin(x) \,
## សំរាយបញ្ជាក់ដេរីវេនៃអនុគមន៍តង់សង់ 
យើងមាន

:f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

តាង f(x) = \tan (x)  , g(x) = \sin (x) \, និង h(x) = \cos (x) \,

ចំពោះ h(x) \ne 0 \, នោះបានដេរីវេនៃf(x) = \frac{g(x)}{h(x)} កំនត់ដោយ

:\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

យោងតាមសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រនៃអនុគមន៍តង់សង់

:\tan(x) = {sin(x)\over\cos(x)}

ដោយ

:ដេរីវេនៃ g(x)=\sin(x) \, គឺ g'(x)=\cos(x) \,
:ដេរីវេនៃ h(x)=\cos(x) \, គឺ h'(x)=-\sin(x) \,

ដោយជំនួសតំលៃនៃដេរីវេ គេបាន

:f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)[-\sin(x)]}{\cos^2(x)}

បន្ទាប់ពីធ្វើប្រមាណរួចគេបាន

: f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}

ដោយអនុវត្តន៍សញ្ញាណនៃត្រីកោណមាត្រខាងក្រោម

: \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \, &nbsp;&nbsp;និង &nbsp;\sec(x)=\frac{1}{cos(x)}

គេបាន

: f'(x)= \frac{1}{\cos^2(x)}=\sec^2(x)

## សំរាយបញ្ជាក់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាស់ត្រីកោណមាត្រ 
### ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសច្រាស់ (អាកស៊ីនុស)
យើងតាង 
:y=\arcsin x \,
ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx គេបាន៖
:{d \over dx}\sin y={d \over dx}x

:{dy \over dx}\cos y=1

:{dy \over dx}=\frac{1}{\cos y}

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ យើងបាន
:{dy \over dx}=\frac{1}{\cos (\arcsin x)}

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន
:{dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

ដូច្នេះ បើ *f*(*x*) = arcsin(*x*) យើងបាន

:f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

### ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសច្រាស់ (អាកកូស៊ីនុស)
យើងតាង
:y=\arccos x \, 

នោះគេបាន
:\cos y=x \, 

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx គេបាន៖

:{d \over dx}\cos y={d \over dx}x

:-{dy \over dx}\sin y=1

:{dy \over dx}=\frac{-1}{\sin y}

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ យើងបាន

:{dy \over dx}=\frac{-1}{\sin (\arccos x)}

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

:{dy \over dx}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

ដូច្នេះ បើ *f*(*x*) = arccos(*x*) យើងបាន

:f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

### ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍តង់សង់ច្រាស់ (អាកតង់សង់)
យើងតាង

:y=\arctan x \,

នោះយើងបាន

:\tan y=x

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx យើងបាន៖

:{d \over dx}\tan y={d \over dx}x

:{dy \over dx}\sec^2 y=1

:{dy \over dx}=\frac{1}{\sec^2 y}

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ តើងបាន

:{dy \over dx}=\frac{1}{\sec^2 (\arctan x)}

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

:{dy \over dx}=\frac{1}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2}

:{dy \over dx}=\frac{1}{x^2+1}

ដូច្នេះ បើ *f*(*x*) = arctan(*x*)

:f'(x)=\frac{1}{x^2+1}

វាមានភាពងាយស្រួលជាងដើម្បីទាញបានទំនាក់ទំនង៖ tan(arctan(x))=x \,

ចូរស្វែងយល់អំពីដេរីវេនៃ \tan (x) \, គឺ 1+tan^2(x) \, ។
## សូមមើលផងដែរ 
* ដេរីវេ 
* ត្រីកោណមាត្រ
* តារាងដេរីវេ

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:គណិតវិទ្យា
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ដេរីវេ