អនុគមន៍បែតា

ក្នុងគណិតវិទ្យា **អនុគមន៍បែតា** ឬហៅថា**អាំងតេក្រាលអយលឺ**នៃប្រភេទទី១ (អាំងតេក្រាលអយល័រ, Euler integral) គឺជាអនុគមន៍កំនត់ដោយ
:
 \mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
\!

ចំពោះ \textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0\,

អនុគមន៍បែតាត្រូវបានសិក្សាដោយអយល័រ (ឬអឺលែរ) និង គណិតវិទូបារាំង អាដ្រៀន ម៉ារី ឡឺហ្សង់ (Adrien-Marie Legendre) និងត្រូវបានដាក់ឈ្មោះដោយគណិតវិទូ រូបវិទូ និង តារាវិទូ ជនជាតិ​បារាំង លោក ហ្សាក់ ប៊ីណេ (Jacques Binet) ។

## លក្ខណៈនៃអនុគមន៍បែតា 
អនុគមន៍បែតាជាអនុគមន៍ស៊ីមេទ្រី មានន័យថា \Beta(x,y) = \Beta(y,x)\!

អនុគមន៍បែតាមានទំរង់ជាច្រើនរួមមាន:
* 
 \Beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\!

* 
 \Beta(x,y) =
  2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta,
  \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0
\!

* 
 \Beta(x,y) =
  \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt,
  \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0
\!

* 
 \Beta(x,y) =
  \sum_{n=0}^\infty \dfrac {x+n}
\!

* 
 \Beta(x,y) = \prod_{n=0}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1}
\!

* 
 \Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) =
  \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)}
\!

ដែល \Gamma\, គឺជាអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា (gamma function) ។ សមភាពទី២បង្ហាញករណីពិសេស \Gamma(1/2) = \sqrt \pi ។

## ទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍បែតា និង អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា 
ដើម្បីទាញរកអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍បែតា យើងត្រូវសរសេរផលគុណហ្វាក់តូរ្យែលជា
:
 \Gamma(x)\Gamma(y) =
  \int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,du \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,dv
\!

តាង u \equiv a^2 និង v \equiv b^2 យើងបាន
:\begin{align}
 \Gamma(x)\Gamma(y) & {} =
  4\int_0^\infty\ e^{-a^2} a^{2x-1}\mathrm{d}a \int_0^\infty\ e^{-b^2} b^{2y-1}\,db \\
& {} = \int_{-\infty}^\infty\ \int_{-\infty}^\infty\ e^{-(a^2+b^2)} |a|^{2x-1} |b|^{2y-1} \,da \,db
\end{align}
\!

បំលែងវាទៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេប៉ូលែរដោយ a = r\cos\theta និង b = r\sin\theta:
:\begin{align}
 \Gamma(x)\Gamma(y) & {} =
  \int_0^{2\pi}\ \int_0^\infty\ e^{-r^2} |r\cos\theta|^{2x-1} |r\sin\theta|^{2y-1} r \, dr \,d\theta \\
& {} = \int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, dr \int_0^{2\pi}\ |(\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1}| \, d\theta \\
& {} = \frac{1}{2}\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2(x+y-1)} \, d(r^2) 4\int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \,d\theta \\
& {} = \Gamma(x+y) 2\int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \, d\theta \\
& {} = \Gamma(x+y) \Beta(x,y)
\end{align}

ហេតុនេះ សរសេរឡើងវិញនូវអាគុយម៉ង់ជាមួយនឹងទំរង់ធម្មតានៃអនុគមន៍បែតា យើងបាន
:
 \Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

:
\begin{align}
\Rightarrow {\Gamma(x)\Gamma(y)} & {} =
  \int^\infty_0 t^{x-1} e^{-t} dt   \int^\infty_0 s^{y-1} e^{-s} \, ds \\
& {} =  \int^\infty_{t=0} \int^\infty_{s=0}  \ t^{x-1}
  s^{y-1} e^{-(t{+}s)} \,ds\, dt
\end{align}

អាគុយម៉ង់ក្នុងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជំរុញអោយយើងប្រើវិធីជំនួស
: 
\begin{align}
\begin{array}{l}
        \sigma=s{+}t \\
        \tau=t
    \end{array} \quad \Rightarrow \quad |J|=1
\end{align}

ដែល J ជាយ៉ាកូប៊ីនៃបំលែង។ ដោយប្រើបំលែងនេះយើងទាញបាន
: 
\begin{align}
\Gamma(x)\Gamma(y) & =\int^\infty_{\sigma = 0} \int^\sigma_{\tau = 0}  \ \tau^{x{-}1} (\sigma{-}\tau)^{y-1} e^{-\sigma} \,d\tau \,d\sigma \\
& {} =\int^\infty_{\sigma = 0} \int^\sigma_{\tau = 0} \ \tau^{x{-}1} \, \sigma^{y{-}1} \,  
\Big(1{-}\frac{\tau}{\sigma}\Big)^{y{-}1} e^{-\sigma} \,d\tau\,d\sigma
\end{align}

ដោយប្រៀបធៀបនឹងអនុគមន៍បែតា \Beta(x,y)\, យើងបាន
: r=\displaystyle \frac{\tau}{\sigma}, \  q=\sigma  ដែលយ៉ាកូប៊ី \ |J|=q 

គេទាញបាន
: 
\begin{align}
\Gamma(x)\Gamma(y) & = \int^\infty_{q = 0} \int^1_{r = 0} \, q \ (rq)^{x{-}1} \,q^{y{-}1} \,  (1{-}r)^{y{-}1} \, e^{-q}\, dr \,dq \\
& = \int^\infty_{q = 0} \int^1_{r = 0} \ r^{x{-}1} \,(1{-}r)^{y{-}1} \, q^{x{+}y{-}1} \, e^{-q} \,dr\, dq \\
& = \int^\infty_0  q^{x{+}y{-}1} \, e^{-q} \, dq \ \int^1_0  r^{x{-}1} (1{-}r)^{y{-}1} \, dr \\
 & = \Gamma(x+y) \, \Beta(x, y)
\end{align}

## ដេរីវេនៃអនុគមន៍បែតា 
ដេរីវេនៃអនុមន៍បែតាកំនត់ដោយ
:{\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))

ដែល \ \psi(x) ជាអនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា (digamma function) ។

## អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ 
**អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ**ជាអនុគមន៍ទូទៅ​នៃ​អនុគមន៍បែតា​ដែលជំនួសអាំងតេក្រាលកំនត់នៃអនុគមន៍បែតាដោយអាំងតេក្រាលមិនកំនត់។ ករណីនេះ​គឺ​ដូចគ្នា​នឹង​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាមិនពេញលេញ​ដែរ ដែលវាជាអនុគមន៍ទូទៅនៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា។

អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញកំនត់ដោយ
: \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt \!

ចំពោះ x = 1 \, អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញត្រូវគ្នានឹងអនុគមន៍បែតាពេញលេញ (មានន័យថាវាជាអនុគមន៍បែតា) ។ 

អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ​ដែលត្រូវបានគេធ្វើអោយទៀងទាត់​ត្រូវបានគេកំនត់ជាអនុគមន៍​នៃ​អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ និង អនុគមន៍បែតាពេញលេញ។
: I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)} \!

ជាមួយនឹងអាំងតេក្រាល (ដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក) ចំពោះតំលៃជាចំនួនគត់ a និង b គេបាន
: I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j} 
### លក្ខណៈនៃអនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ 
: I_0(a,b) = 0 \, 
: I_1(a,b) = 1 \, 
: I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \, 

បែតា
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:គណិតវិទ្យា