សមីការដឺក្រេទី២

370px|thumb|ឧទាហរណ៍បង្ហាញពីកំនត់សំគាល់សមីការដឺក្រេទី២ ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត f(x)=x^2 - 3x + c
ក្នុងគណិតវិទ្យា **សមីការដឺក្រេទី២** ជាសមីការពហុធាដឺក្រេទី២។ ទំរង់ទូទៅនៃសមីការដឺក្រេទី២មានរាង
:ax^2+bx+c=0\,\!
តួ a, b និង c ហៅថាមេគុណ: មេគុណដឺក្រេទី២ a ជាមេគុណខុស​ពីសូន្យ​ នៃ \ x^2។ មេគុណលីនេអ៊ែរ b ជាមេគុណនៃ x ចំនែកឯ c វិញជាមេគុណថេរ។ a b និង c ត្រូវបានគេហៅថាតួថេរ។

## រូបមន្តរកឫសនៃសមីការដឺក្រេទី២ 
សមីការដឺក្រេទី២ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត ឬចំនួនកុំផ្លិច មានឫសពីរអាចជាចំនួនពិតកំណត់ដោយរូបមន្តខាងក្រោម
:ax^2 + bx +c = a(x-r)(x-s)=0 &nbsp;&nbsp;&nbsp;និង&nbsp; \quad\ x_- = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

## រាងកាណូនិក និងឌីសគ្រីមីណង់ Δ 
[thumb|ស្តាំ|ឧទាហរណ៍សញ្ញានៃ[ឌីសគ្រីមីណង់
■ &lt;0: *x*2+1⁄2■ =0: −4⁄3*x*2+4⁄3*x*−1⁄3■ &gt;0: 3⁄2*x*2+1⁄2*x*−4⁄3]]

ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងសរសេរ យើងតាង f(x) = ax^2 + bx + c \, នោះគេបានរាងនៃសមីការដឺក្រេទី២ដោយដាក់ f(x) = 0 \, ។

\begin{align}f(x) &= a \left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \\
&= a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right] \\
&= a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right] \\
&= a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right)\right] \end{align}

គេហៅរាងនៃសមីការដែលបង្ហាញខាងលើនេះថាជារាងកាណូនិក។

ក្នុងសមីការដឺក្រេទីពីរ b^2 - 4ac  \,\! ត្រូវបានគេតាងដោយតួអក្សរ \Delta  \,\! (ដែលតា)

សមីការដឺក្រេទី២ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត អាចមានឫសឌុប ឬឫសពីរផ្សេងគ្នា ឬក៏មានរឹសពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនកុំផ្លិច។ ក្នុងករណីនេះឌីសគ្រីមីណង់ជាអ្នកកំណត់ចំនួន និងលក្ខណៈនៃរឹស។ មានលក្ខ័ណ្ឌបី៖
* ប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់ជាចំនួនវិជ្ជមាន (\Delta > 0 )\,\! នោះសមីការមានរឹសពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនពិត។ 

\begin{align}
  f(x) &= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]\\
  &= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right]\\
  &=a \left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \\
  &= a\left(x + \frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \frac{b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right)
\end{align}

ពេល f(x)=0 \, រឹសទាំងពីរ x_1 \, និងx_2 \, នៃសមីការកំណត់ដោយ
:: x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
:: x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
::( ឬ x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a} )

គេបានទំរង់ជាផលគុណកត្តានៃ f(x) \, កំនត់ដោយ
::f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \,

* ប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់ស្មើសូន្យ (\Delta = 0 )\,\!
f(x) = 0  \,\! តាមវិធីសាសស្រ្តខាងលើ \Delta = 0 \,\! គេបានរាងកាណូនិកនៃសមីការអាចសរសេរ
::\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = 0

នោះសមីការមានរឹសឌុបជាចំនួនពិតកំណត់ដោយ
::x_0 = -\frac{b}{2a}  \,\!

គេបានទំរង់ជាផលគុណកត្តានៃ f(x) \, កំនត់ដោយ
::f(x) = a(x-x_0)^2~

* ប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់ជាចំនួនអវិជ្ជមាន (\Delta  នោះសមីការគ្មានរឹសជាចំនួនពិតទេ ប៉ុន្តែមានពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់គ្នាកំណត់ដោយ
*: \begin{align}
 x &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a}  \\
 x &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a}  \\
 i^2 &= -1
\end{align}

## លក្ខណៈធរណីមាត្រ 
[thumb|ស្តាំ|200ភស|ចំពោះ[អនុគមន៍ដឺក្រេទី២:   *f* (*x*) = *x*2 − *x* − 2 = (*x* + 1)(*x* − 2) នៃអថេរ *x* ដែល អ័ក្ស x នៃចំនុចប្រសព្វរវាងក្រាប និងអ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ x = −1 និង x = 2 គឺជារឹសនៃសមីការ x2 − x − 2 = 0 ។]]

រឹសនៃសមីការដឺក្រេទី២

: ax^2+bx+c=0 \,

គឺជាអនុគមន៍ដឺក្រេទី២នៅពេលដែលគេអោយវាស្មើសូន្យ:

: f(x) = ax^2+bx+c\,

ដែលគេកំណត់សរសេរ

: f(x) = 0\,  ។

បើ a b និង c ជាចំនួនពិត និងដែនកំនត់នៃ f ជាសំនុំនៃចំនួនពិត នោះគេបាន f(x) = 0\,  គឺជាចំនុចដែលក្រាបប្រសព្វគ្នាជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស។

យោងតាមការបកស្រាយខាងលើ ប្រសិន​បើ​ឌីសគ្រីមីណង់​វិជ្ជមាន​នោះ​ក្រាប​នឹង​កាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីស​ត្រង់ពីរ​ចំនុច​ផ្សេងគ្នា។ បើឌីសគ្រីមីណង់ស្មើសូន្យ នោះ​ក្រាប​នឹង​ប៉ះ​អ័ក្សអាប់ស៊ីស​ត្រង់​មួយ​ចំនុច​គត់។ បើឌីសគ្រីមីណង់អវិជ្ជមាន នោះក្រាបមិនកាត់ឬប៉ះអ័ក្សអាប់ស៊ីស។

## ការដាក់ជាផលគុណកត្តានៃសមីការដឺក្រេទី២ 
តួ x - r\,  ជាកត្តានៃពហុធា ax^2+bx+c \  លុះត្រាតែ *r* ជារឹសនៃសមីការដឺក្រេទី២ ax^2+bx+c=0 \  ។

វាកំនត់ដោយរូបមន្តសមីការដឺក្រេទី២ដែល

: ax^2+bx+c = a \left( x - \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) \left( x - \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) ។

ក្នុងករណីពិសេសដែលសមីការដឺក្រេទី២មានរឹសឌុប (មានន័យថា \Delta = 0 \,\! )ពហុធាដឺក្រេទី២អាចដាក់ជាផលគុណកត្តាដូចខាងក្រោម

:ax^2+bx+c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2\,\!

## ឧទាហរណ៍ 
គេអោយសមីការដឺក្រេទី២ x^2 - ax + 2a =0 \, ដែល a ជាចំនួនថេរ។ ចូរកំនត់តំលៃនៃ a ដើម្បីអោយសមីការនេះយ៉ាងហោចណាស់មានចំលើយមួយនៅក្នុងចន្លោះ -1  ។

**ចំលើយ**

:យើងមាន x^2 - ax + 2a = 0 \,
:តាង f(x) = x^2 - ax + 2a  \,

ដើម្បីអោយសមីការមានចំលើយយ៉ាងហោចណាស់មួយនៅចន្លោះ -1  
:\begin{align} &\Longleftrightarrow &f(-1) \cdot f(1) &

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ពិជគណិតថ្នាក់ដំបូង
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:សមីការ
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:គណិតវិទ្យា