open-index/open-wikipedia-markdown huggingface dataset:
ឧទ្យានជាតិព្រះសីហនុរាម

**ឧទ្យានជាតិព្រះសីហនុរាម**​មានទីតាំងស្ថិតនៅ​ទិស​និរតី​នៃ​ព្រះរាជាណាចក្រកម្ពុជា រវាងកោះថ្មី និង ក្រុងព្រះសីហនុ មានចំងាយប្រហែល ១៨​គីឡូម៉ែត្រ​ពី​ក្រុងព្រះសីហនុ​ និង មាន​ចម្ងាយ​ប្រមាណ ១៩៤ គីឡូម៉ែត្រ​ពី​រាជធានី​ភ្នំពេញ តាម​ផ្លូវជាតិលេខ ៤​។ ឧទ្យាន​ជាតិ​នេះ​ស្ថិត​នៅ​ក្នុង​ស្រុកព្រៃនប់ក្នុង​ខេត្តព្រះសីហនុ ហើយ​មាន​ទីតាំង​ខាងជើង​ជាប់​នឹងផ្លូវជាតិលេខ ៤ ឃុំរាម ឃុំអូរឧកញ្ញ៉ា ហេង ដែលស្ថិតនៅជាប់ជួរភ្នំ ។  ខាង​កើត​ជាប់​ឃុំបត់​ត្រង់ ភូមិអុង ក្នុងឃុំរាម និង ឈូងសមុទ្រថៃ ។ ខាងលិចជាប់នឹងឃុំបឹងតាព្រហ្ម និង ឃុំអូរជ្រៅ ។ ខាងត្បូងជាប់នឹងឈូងសមុទ្រថៃ ។ ឧទ្យានជាតិរាមដែលមានផ្ទៃដី ២១.០០០ ហិកតានេះក្រៅពីនៅជាប់មាត់សមុទ្រ ក៏ស្ថិតនៅក្នុងតំបន់ជួរភ្នំក្រវាញ ដោយប្រជុំភ្នំនៅតំបន់ ទាំងនោះ ស្ថិតនៅរាយប៉ាយពេញតំបន់ ហើយមានរយៈកម្ពស់ប្រែប្រួលពី ៥០ ម៉ែត្រ ដល់ ២៨៤ ម៉ែត្រ ។ ដោយមានភ្នំតូច ធំ និង កោះចំនួន ២ គឺកោះថ្មី និង កោះសេះ ។ ព្រៃឈើ​ទ្រុបទ្រុល​តាម​ភ្នំព្រៃ​កោងកាងខៀវ ស្រងាត់ និង ស្មៅ​សមុទ្រ​តាម​ឆ្នេរ​សមុទ្រ​សុទ្ធ​តែ​ជា​កន្លែង​រស់​នៅ​របស់​សត្វ​ផ្សេងៗ​ជាច្រើនប្រភេទ ។ ឯឆ្នេរខ្សាច់មានទេសភាពល្អប្រណីត លំអដោយខ្សាច់ម៉ដ្ឋ ដើមស្ងាវធំៗ ទឹកសមុទ្ររំជួលតិចៗ និង កូនកោះជិតៗឆ្នេរ ដែលធ្វើឱ្យឧទ្យានជាតិនេះជាកន្លែងបម្រើឱ្យវិស័យទេសចរណ៍ ហើយអាចរកប្រាក់ចំណូលជូនជាតិ និង ថែមទាំងបម្រើឱ្យផងដែរ លើផ្នែកវិទ្យាសាស្ត្រដូចជាការស្រាវជ្រាវឱសថសាស្ត្រ និង អភិវឌ្ឍកសិកម្មជាដើម ។ 

ឧទ្យានជាតិ​នេះ​បាន​បើក​នៅ​ថ្ងៃទី ០១ ខែវិច្ឆិកា ឆ្នាំ​១៩៩៣ ដែលមានផ្ទៃដី ២១០០០ ហិចតា ដែល​ក្នុង​នោះ​ ១៥០០០ ហិចតា ជា​ដីគោក​តាម​ឆ្នេរសមុទ្រ និង ៦០០០​ ហិចតា​ជា​ផ្ទៃ​ទឹកសមុទ្រ​។ ឧទ្យានជាតិ​នេះមាននូវឆ្នេរ​ដ៏​ស្រស់ស្អាត ចំការដូង ដើមកោងកាង ព្រៃភ្នំ និង សត្វស្លាប​ជាច្រើន​ប្រភេទ​។ 

## ឯកសារយោង
បន្ទាត់សេកង់

ស្តាំ|រូបតូច|300px|
**បន្ទាត់សេកង់**​នៃ​ខ្សែកោង​មួយគឺជា​បន្ទាត់​ដែល​ប្រសព្វ​នឹង​ខ្សែកោង​នោះ​ត្រង់​ពីរ​ចំនុច​។ វាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់​ដើម្បី​ប៉ាន់ប្រមាណ​​បន្ទាត់ប៉ះ​ទៅនឹង​ខ្សែកោង​ នៅត្រង់ចំនុច P ណាមួយ​។ ប្រសិនបើ​បន្ទាត់សេកង់​នៃខ្សែកោង​មួយ​ត្រូវ​បាន​កំនត់​ដោយ​ពីរចំនុច P និង Q ដែល P ជាចំនុចនឹង និង Q ជាអថេរ Q ខិតទៅរក P តាមបណ្តោយ​ខ្សែកោង​។​ ទិសដៅ​នៃ​បន្ទាត់​សេកង់​គឺ​ខិត​ជិត​នឹង​ទិសដៅនៃ​បន្ទាត់ប៉ះ​ត្រង់ P ។ ជាលទ្ធផល​នៅពេលដែល Q ខិតជិត P បន្ទាត់សេកង់​អាចត្រូវបានគេ​ចាត់ទុកថា​វា​ប្រហាក់ប្រហែល​នឹង​​បន្ទាត់ប៉ះ​។

អង្កត់ធ្នូ​គឺជា​អង្កត់មួយនៃបន្ទាត់សេកង់​ដែលចុងសងខាង​របស់វា​ស្ថិតនៅ​លើ​ខ្សែកោង​។

ក្នុងករណីពិសេសនៃខ្សែកោង​តំណាង​អោយ​អនុគមន៍ \ y = f(x) មេគុណប្រាប់ទិស​នៃបន្ទាត់ប៉ះ​​គឺជាលីមីតនៃមេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់សេកង់ ដែល​អោយ​ដោយ​ដេរីវេ​នៃ​អនុគមន៍​នោះ​។

## ទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍សេកង់​និង​បន្ទាត់សេកង់ 
thumb|300px|សេកង់ \ \theta គឺជាចំងាយពីគល់ O ទៅចំនុច Q
សង់រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ​ដែលមានផ្ចិតត្រង់គល់ O និង បន្ទាត់ប៉ះទៅនឹងត្រីកោណមាត្រត្រង់ចំនុច  P ដែលមានកូអរដោនេ  (1, 0) ។ គូសបន្ទាត់សេកង់មួយកាត់តាមគល់ O ផ្គុំបានមុំ \ \theta ជាមួយនឹងអ័ក្សដេក ។ ចំពោះតំលៃនៃ \ \theta ធំជាង \ \frac{\pi}{2} (៩០​ដឺក្រេ) បន្ទាត់សេកង់ប្រសព្វនឹងបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំនុច Q មួយ ។ នោះ​សេកង់ត្រីកោណមាត្រ​​នៃ​ \ \theta  គឺស្មើទៅនឹងប្រវែងនៃអង្កត់​នៃ​បន្ទាត់សេកង់​ពីគល់ O ទៅប្រសព្វ​របស់វាជាមួយនឹងបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំនុច Q ។

## តំលៃប្រហែលសេកង់ 
230px|

គេមានខ្សែកោង \ y = f(x) ក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដេកាត (Cartesian coordinate system) និង ចំនុច P មួយដែលមានកូអរដោនេ \ (c, f(c)) និង ចំនុច Q មួយផ្សេងទៀត 
ដែលមានកូអរដោនេ \ (c + \Delta x, f(c +\Delta x)) ។ នោះមេគុណប្រាប់ទិស m នៃបន្ទាត់សេកង់កាត់តាមចំនុច P និង Q អោយដោយ៖
:m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{(c + \Delta x) - c} = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{\Delta x}

ជ្រុងខាងស្តាំនៃសមីការខាងលើគឺជា​ផលធៀបញូតុន​ត្រង់ c ។ ដោយ Δx ខិតជិតសូន្យ ផលធៀបនេះខិតទៅជិតតំលៃនៃដេរីវេ \ f'(c) ដោយសន្មតថាមានដេរីវេ។

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រ
ភ្នំបូកគោ

ភ្នំបូកគេាមានកម្ពស់ម៉ាណ

## ទីតាំងភូមិសាស្រ្ត 
រូបភាពតូច|រូបភាពផ្លូវឡើងភ្នំបូកគោ
ភ្នំបូកគោគឺជាឧទ្យានជាតិ នៅខេត្តកំពតភាគខាងត្បូងនៃប្រទេសកម្ពុជា។ វាត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរថាជា ឧទ្យានជាតិភ្នំបូកគោ។ ភ្នំបូកគោស្ថិតនៅក្នុងតំបន់ខ្ពង់រាប ដែលបង្កើតជាតំបន់ភាគអាគ្នេយ៍នៃ ជួរភ្នំក្រវាញ ។ ភាគច្រើននៃឧទ្យាននេះមានកម្ពស់ប្រហែល ១០០០ ម៉ែត្រពីលើផ្ទៃសមុទ្រហើយកំពូលភ្នំបូកគោមានកំពស់ ១១០១ម៉ែត្រដែលគេហៅថាភ្នំបូកគោ។  ភ្នំបូគោគឺជាភ្នំមួយដែលស្ថិតនៅក្នុងខេត្តកំពត ភ្នំបូគោមានចម្ងាយ ៣២គីឡូម៉ែត្រគិតចាប់ពីផ្លូវជាតិលេខ៣ ដល់កំពូលភ្នំបូកគោហើយភ្នំបូកគោមានកំពស់ ១១០១ម និងមានផ្ទៃដីសរុប១៤០០០ហិចតាយោងតាម គណៈគ្រប់គ្រងភ្នំបូកគោ។ 
## ឧទ្យានជាតិព្រះមុនីវង្សបូកគោ 
ឧទ្យានជាតិព្រះមុនីវង្សភ្នំបូកគោ ត្រូវបានគេស្គាល់ថាជា រមណីយដ្ឋានភ្នំបូកគោដែល ត្រូវបានបោះបង់ចោល ដែលជាសំណង់ដាច់ស្រយាលមួយដែលកសាងដោយពួកអាណានិគមនិយមបារាំងនៅឆ្នាំ១៩២១ ពួកគេក៏បានកសាងព្រះវិហារកាតូលិកនៅក្បែរនោះនៅឆ្នាំ១៩២៨ ដែលជាកន្លែងដ៏កម្រមួយនៅក្នុងប្រទេសកម្ពុជា។ ឧទ្យាននេះត្រូវបានគេដាក់ក្តរបស់ ព្រះបាទស៊ីសុវត្ថិមុនីវង្ស ដែលធ្លាប់ទៅទស្សនាតំបន់នោះហើយបានស្លាប់នៅទីនេះក្នុងឆ្នាំ១៩៤១ ។ ព្រះបាទមុនីវង្សបានបញ្ជាឱ្យសាងសង់ព្រះវិហារព្រះពុទ្ធសាសនានៅតំបន់នេះក្នុងឆ្នាំ១៩២៤ ។  ក្នុងពេលថ្មីៗនេះសួនឧទ្យានជាតិបានក្លាយទៅជាគោលដៅទេសចរណ៍ដ៏មានប្រជាប្រិយហើយបច្ចុប្បន្ននេះមាន រមណីយដ្ឋានឋានសួគ៌បូកគោ ដែលជាសណ្ឋាគារប្រណីតដ៏ធំមួយដែលបានកសាងនៅឆ្នាំ២០១២។ នៅឆ្នាំ២០១០ រូបសំណាកធំមួយរបស់ លោកឡូកយាយម៉ៅ ត្រូវបានសាងសង់នៅតំបន់នោះ។ លោកយាយម៉ៅគឺជាវីរៈបុរសដ៏អាថ៌កំបាំងពីព្រះពុទ្ធសាសនាកម្ពុជាហើយត្រូវបានគេនិយាយថាដើម្បីការពារអ្នកធ្វើដំណើរអ្នកប្រមាញ់និងបុរសនេសាទ។ នៅកម្ពស់២៩ ម៉ែត្រវាជារូបសំណាក់យាយម៉ៅខ្ពស់ជាងគេនៅក្នុងប្រទេស។ឧទ្យានជាតិមុនីវង្យបូកគោមានចម្ងាយពីក្រុងកំពតប្រមាណ ៤៦ គីឡូម៉ែត្ររហូតដល់កំពូលភ្នំ ។ រមណីយដ្ឋាននេះ បានរកឃើញដោយជនជាតិបារាំងម្នាក់ឈ្មោះ រូលួស ហើយត្រូវបានរៀបចំឡើងនាថ្ងៃទី ១៣ ខែមេសា ឆ្នាំ ១៩២២ ក្នុងរជ្ជកាលព្រះបាទស៊ីសុវត្ថិ ។
[រូបភាពតូច|ស្តាំ|[ព្រះវិហារភ្នំបូកគោ ឆ្នាំ១៩២៨]]

## ប្រវត្តិភ្នំបូកគោ 
ភ្នំបូកគោ ជាតំបន់ដែលគ្រប់គ្រងដោយ ខ្មែរក្រហម ប៉ុន្តែនៅឆ្នាំ១៩៩៣ ឧទ្យានជាតិព្រះមុនីវង្សត្រូវបានសម្ពោធជាមួយនិងឧទ្យានជាតិដទៃទៀតនៅក្នុងប្រទេសកម្ពុជា។ វាគឺជាផ្នែកមួយនៃ ឧទ្យានបេតិកភណ្ឌអាស៊ាន តែមួយគត់ នៅក្នុងប្រទេស។ ឧទ្យានជាតិព្រះមុនីវង្សត្រូវបានគេស្គាល់ថាជា ស្ថានីយ៍បូកគោដែល ត្រូវបានបោះបង់ចោល ដែលជាសំណង់ដាច់ស្រយាលមួយដែលកសាងដោយពួកអាណានិគមនិយមបារាំងនៅឆ្នាំ១៩២១ ពួកគេក៏បានកសាងព្រះវិហារកាតូលិកនៅក្បែរនោះនៅឆ្នាំ១៩២៨ ដែលជាកន្លែងដ៏កម្រមួយនៅក្នុងប្រទេសកម្ពុជា។ ឧទ្យាននេះត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមព្រះមហាក្សត្រ ស៊ីសុវត្ថិមុនីវង្ស ដែលធ្លាប់ទៅទស្សនាតំបន់នោះហើយបានស្លាប់នៅទីនេះក្នុងឆ្នាំ១៩៤១ ។ ព្រះបាទមុនីវង្សបានបញ្ជាឱ្យសាងសង់ព្រះវិហារព្រះពុទ្ធសាសនានៅតំបន់នេះក្នុងឆ្នាំ១៩២៤ ។ ក្នុងពេលថ្មីៗនេះសួនឧទ្យានជាតិបានក្លាយទៅជាគោលដៅទេសចរណ៍ដ៏មានប្រជាប្រិយហើយបច្ចុប្បន្ននេះមាន រមណីយដ្ឋានឋានសួគ៌បូកគោ ដែលជាសណ្ឋាគារប្រណីតដ៏ធំមួយដែលបានកសាងនៅឆ្នាំ២០១២ ។  នៅឆ្នាំ២០១០ រូបសំណាកធំមួយរបស់ លោកឡូកយាយម៉ៅ ត្រូវបានសាងសង់នៅតំបន់នោះ។ ឡុកយាយម៉ៅគឺជាវីរៈបុរសដ៏អាថ៌កំបាំងពីព្រះពុទ្ធសាសនាកម្ពុជាហើយត្រូវបានគេនិយាយថាដើម្បីការពារអ្នកធ្វើដំណើរអ្នកប្រមាញ់និងបុរសនេសាទ។ នៅកម្ពស់២៩ ម៉ែត្រវាជារូបសំណាកយាយម៉ៅខ្ពស់ជាងគេនៅក្នុងប្រទេស។
## ឯកសារយោង 
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ខេត្តកំពត
ក្រលាផ្ទៃរង្វង់

**ក្រលាផ្ទៃ​រង្វង់**​ដែលមានកាំ r កំនត់ដោយរូបមន្ត  \ \color{blue} S = \pi r^2

## សំរាយបញ្ជាក់ 
សមីការរង្វង់ដែលមានផ្ចិតស្ថិតនៅត្រង់គល់ O កំនត់ដោយ
: \ x^2 + y^2 = r^2

ដែល r ជាកាំ ។ យើងសរសេរ y ជាអនុគមន៍នៃអថេរ x និង ចំនួនថេរ r ។
:\begin{align} \frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} &= 1 \\ \Rightarrow \frac{y}{r} & = \sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}\\ \Rightarrow y & = r\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}\end{align}

ដោយស៊ីមេទ្រី ក្រលាផ្ទៃនៃរង្វង់ផ្ចិត O ស្មើនឹងបួនដងនៃក្រលាផ្ទៃរវាង (0, 0) និង (r, 0) ផ្នែកខាងលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស​។ យើងអាចធ្វើអាំងតេក្រាល​ដើម្បីគណនាក្រលាផ្ទៃរង្វង់៖
: S = 4 r\int_ 0^r \sqrt{1 - -\frac{x^2}{r^2}} dx

ដើម្បីរកព្រីមីទីវនៃ \sqrt{1 - -\frac{x^2}{r^2}}  យើងតាង

: \ x = r \sin \theta
: \theta = arcsin \frac{x}{r}
: \ dx = r \cos \theta d\theta

ហេតុនេះ
: S =  4 r\int_0^r \sqrt{1 - -\frac{x^2}{r^2}} dx = 4r \int_0^{\frac{\pi}{2}} r \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cos \theta d\theta

ដោយ​ \ 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta យើងបាន
: S = 4r \int_0^{\frac{\pi}{2}} r \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cos \theta d\theta =  4r^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 \theta d\theta

ដោយ \cos^2 \theta = \frac{1}{2} (1 + \cos 2\theta)  យើងបាន
: \begin{align} S &=4r^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 \theta d\theta \\ &=  4r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} (1+\cos 2\theta) d\theta \\ & = 2r^2 \theta |_0^{\frac{\pi}{2}} + 2r^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2\theta d\theta \\ &= \pi r^2 + 2r^2 (\sin 2\theta) |_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &= \pi r^2 \end{align}

ដូចនេះក្រលាផ្ទៃរង្វង់ដែលមានកាំ r ស្មើនឹង \ \color{blue} \pi r^2
តង់សង់អ៊ីពែបូលីក

thumb|ស្តាំ|300px|ក្រាបនៃអនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក​លើដែនកំនត់ \ \mathbb R
ក្នុង​គណិតវិទ្យា **អនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក​​**គឺ​​ជា​ប្រភេទ​មួយ​​នៃ​អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក​។

## និយមន័យ 
អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក​ត្រូវបានគេកំនត់សរសេរដោយ tanh គឺជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិចដូចខាងក្រោម៖
:\begin{matrix} \tanh: &\mathbb C &\longrightarrow &\mathbb C \\ \ &z &\longmapsto &\frac {\sinh(z)} {\cosh(z)} \end{matrix}

ដែល \ \sinh  គឺជា​អនុគមន៍ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​ និង \ \cosh  គឺជា​អនុគមន៍កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​។ និយមន័យនេះមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹង​អនុគមន៍តង់សង់​ដែរ ដែលតង់សង់គឺជាផលធៀបរវាងស៊ីនុស និង កូស៊ីនុស។

អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh អាចសរសេរដោយប្រើប្រាស់​​អនុគមន៍អិចស្បូណង់ស្យែល៖

:\color{blue} \tanh(z)=\frac {e^z-e^{-z}} {e^z+e^{-z}} = \frac {e^{2z}-1} {e^{2z}+1} 

## លក្ខណៈទូទៅ  
* អនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក (tanh) ជាអនុគមន៍ជាប់ និង មានដេរីវេអនន្ត (មានដេរីវេមិនចេះចប់) ។
* ដេរីវេនៃអនុគមន៍​​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក (tanh) គឺ \frac {1} {\cosh^2} ។
* ព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីកគឺ \ln \left(\cosh \right) + C ដែល C ជាថេរអាំងតេក្រាល​។
* អនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh ជាអនុគមន៍សេស មានដែនកំនត់លើ \mathbb R និងជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាត​។
* tanh ជាចំលើយមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ងស្យែល \frac {1}{2} f'' = f^3 -f ។
## ស៊េរីតេល័រ 
tanh ជាអនុគមន៍មានដេរីវេអនន្ត
:  \tanh^{(n)}(0)=\sum_{k=0}^{n-1} \left(-1\right)^k \left \langle {n\atop k} \right \rangle

ដែល \left \langle {n\atop k} \right \rangle ជាចំលាស់នៃ  \ \{1,..., n\} 

tanh អាចពន្លាតជាស៊េរីតេល័រចំពោះគ្រប់ចំនុចដូចខាងក្រោម៖
: \tanh z = z - \frac {z^3} {3} + \frac {2z^5} {15} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {\tanh^{(n)}(0)} {(2n+1)!} z^{2n+1}
## ពន្លាតជាប្រភាគតៗគ្នា 
tanh ជាអនុគមន៍កំនត់លើ \ \mathbb R និងអាចពន្លាតជាប្រភាគបន្តបន្ទាប់ដូចតទៅ៖
:\tanh x=\frac {x} {1+\frac {x^2} {3+\frac {x^3} {5+\cdots} } }
## តំលៃ 
តំលៃមួយចំនួននៃ tanh
* \ \tanh(0) = 0
* \tanh(1) = \frac {e^2-1} {e^2+1}
* \ \tanh(i) = i \tan(1)
## អនុគមន៍ច្រាស់ 
ស្តាំ|200ភស|ស៊ុម|ក្រាប​នៃ​អនុគមន៍ artang (x)
អនុគមន៍ច្រាស់នៃអនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh តាងដោយ **artanh** ឬ **arctanh** ឬ \ \tanh^{-1} (ហៅថា​**អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីកច្រាស់**)។ វាជាអនុគមន៍ពហុតំលៃកុំផ្លិច។ សាខាគោលការណ៍ (Principal branch) គឺជាជំរើសទូទៅដោយការពុះចែកអង្កត់ \left]-\infty ;-1\right[ និង \left]1;+\infty \right[ ។
:\operatorname{artanh}(z) = \frac {1}{2} \left( \ln(1+z)-ln(1-z) \right)

ចំពោះ x \in \left]-1;1 \right[ អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh មាន​ដែនកំនត់​លើ \mathbb R ហើយ​អនុគមន៍ច្រាស់​របស់​វា​កំនត់ដោយ៖ 
:artanh (x)=\frac {1}{2} ln\left( \frac {1+x} {1-x} \right) ។

## សូមមើលផងដែរ 
* អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
* ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
* កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
* កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក
សញ្ញាយ៉ាកូប៊ី

**សញ្ញាយ៉ាកូប៊ី**(Jacobi symbol)ត្រូវគេប្រើក្នុងគណិតវិទ្យាក្នុងទ្រឹស្តីបទចំនួន(លេខ)។ វាត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមលោក ឆាល ហ្គូស្តាវ យ៉ាកូប យ៉ាកូប៊ី ។
## ទ្រឹស្តីបទ
សញ្ញាយ៉ាកូប៊ីគឺជាលក្ខណៈទូទៅនៃសញ្ញាឡឺហ្សង់(Legendre Symbol)ដែលត្រូវបានបង្ហាញដោយលោក យ៉ាកូប៊ីនៅឆ្នាំ១៨៣៧។

ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ a\, និងគ្រប់ចំនួនគត់សេស n\, សញ្ញាយ៉ាកូប៊ីគឺត្រូបានកំនត់ជា ផលគុណនៃសញ្ញាឡឺហ្សង់ដែលត្រូវគ្នានឹងកត្តាបឋមនៃn\,។

:\Bigg(\frac{a}{n}\Bigg) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2}\cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}\, ដែល  n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}

(\tfrac{a}{p}) តាងអោយសញ្ញាឡឺហ្សង់ ដែលកំនត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់*a* និង​ ចំនួនសេសបឋម*p* ដោយ

:
\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases}
\;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p}
\\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p}
\\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}

ហើយ ផលគុណទទេ \Bigg(\frac{a}{1}\Bigg) = 1
## លក្ខណៈនៃសញ្ញាយ៉ាកូប៊ី
១. បើ n\,គឺជាចំនួនសេស នោះសញ្ញាយ៉ាកូប៊ីក៏ជាសញ្ញាឡឺហ្សង់​។

២. 
\left(\frac{a}{n}\right) 
= \begin{cases}
\;\;\,0\mbox{ if } \gcd(a,n) \ne 1

\\\pm1\mbox{ if  } \gcd(a,n) = 1\end{cases}
                  ឬ  
\left(\frac{a}{n}\right)\in \{0,1,-1\}

៣. បើn\, មិនគូ 
\left(\frac{ab}{n}\right) 
= \Bigg(\frac{a}{n}\Bigg)\left(\frac{b}{n}\right) 
\, ដូច្នេះ  \left(\frac{a^2}{n}\right) 
= 1 
\, ឬ  0 \,

៤. បើ *a* ≡ *b* (*mod n*) ដូច្នេះ
\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{b}{n}\right)
 បើ n\, មិនគូ ។

៥.  
\left(\frac{1}{n}\right) = 1

៦.  
\left(\frac{a}{mn}\right)
=\left(\frac{a}{m}\right)\left(\frac{a}{n}\right)
\, ដូច្នេះ \left(\frac{a}{n^2}\right) 
= 1 
\, ឬ  0 \,
  

៧. 
\left(\frac{-1}{n}\right) 
= (-1)^{\frac{(n-1)}{2}} 
= \left\{\begin{array}{cl} 1 & \textrm{if}\;n \equiv 1 \pmod 4\\ -1 &\textrm{if}\;n \equiv 3 \pmod 4\end{array}\right.

៨. 
\left(\frac{2}{n}\right) = (-1)^{\left(\frac{n^2-1}{8}\right)} ស្មើ 1 បើ *n* ≡ 1 (mod 8) ឬ *n* ≡ 7 (mod 8) ហើយ −1 បើ *n* ≡ 3 (mod 8) ឬ *n* ≡ 5 (mod 8) ។
កន្លះបរិមាត្រ

[thumb|300px|ត្រីកោណ ចម្ងាយ​ជុំវិញ​[ត្រីកោណពី​កំពូល​មួយ​ទៅ​ចំនុច​មួយ​នៅ​លើ​គែម​ឈម​ប៉ះរង្វង់ចារឹកក្រៅ​ស្មើនឹង​កន្លះបរិមាត្រ]]
ក្នុងធរណីមាត្រ ​**កន្លះបរិមាត្រ**នៃពហុកោណ​គឺជាពាក់កណ្តាលនៃបរិមាត្រ​របស់វា។ កន្លះបរិមាត្រជាញឹកញាប់លេចចេញនៅក្នុងរូបមន្តផ្សេងៗនៃត្រីកោណ និង រូបផ្សេងៗទៀត។ កន្លះបរិមាត្រត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ជាញឹកញាប់ក្នុងត្រីកោណ ដូចជារូបមន្តចំពោះកន្លះបរិមាត្រនៃត្រីកោណមួយដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a b និង c កំនត់ដោយ
:  p = \frac{a+b+c}{2}  

ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណមួយគឺជាផលគុណកាំក្នុង ( inradius) របស់វានិងកន្លះបរិមាត្រ ។ ដូចគ្នានឹងរូបមន្តក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណប៉ោងដែលប៉ះរង្វង់ (Tangential quadrilateral, ចតុកោណប៉ោង​ដែល​ជ្រុង​ទាំង​របស់​វា​ប៉ះនឹង​រង្វង់ចារឹកក្នុងចតុកោណប៉ោងនេះ)  ដែលកន្លះបរិមាត្រនៃចតុកោណនេះស្មើនឹងផលបូកគូជ្រុងឈមនីមួយៗ​។ ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ​មួយ​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​គណនា​ពី​កន្លះបរិមាត្រ និង រង្វាស់​ជ្រុង​នីមួយៗ​របស់វា​ដោយ​ប្រើ​​រូបមន្តហេរុង៖
: ក្រលាផ្ទៃ   S  = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}

ទម្រង់ងាយបំផុតនៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta's formula) ​ចំពោះ​ចតុកោណចារឹក្នុងរង្វង់៖
: ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់    S= \sqrt{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\left(p-d\right)} 

កាំ R នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណអាចត្រូវបានគណនាតាមរូបមន្ត
:     2R = \frac{abc} {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}

រូបមន្តនេះទាញចេញពី​ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស​។

ហេតុនេះកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ (ត្រូវបានគេស្គាល់ជា**កាំក្នុង**)​កំណត់ដោយរូបមន្ត
: R =  \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}
ស៊ីនុសអាំងតេក្រាល

**អនុគមន៍ស៊ីនុសអាំងតេក្រាល**​តាងដោយ \ Si គឺជាអនុគមន៍កំនត់ដោយ៖
:\forall x \in \mathbb{R},\ \mathrm{Si}(x) = \int_{0} ^{x} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t

## លក្ខណៈ 
* អនុគមន៍ស៊ីនុសអាំងតេក្រាលជាអនុគមន៍ជាប់ និង មានដេរីវេអនន្តលើ \mathbb{R} និង
:\forall x \in \mathbb{R},\ \mathrm{Si}'(x) = \frac{\sin(x)}{x} = \mathrm{sinc}(x) 
ដែល \mathrm{sinc} គឺជា​អនុគមន៍ស៊ីនុសកាឌីណាល់ ។
* អនុគមន៍ស៊ីនុសអាំងតេក្រាល \ Si អាចពន្លាតជាស៊េរីនៃចំនួនគត់លើ \mathbb{R} និង
:\forall x \in \mathbb{R},\ \mathrm{Si}(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1XX
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:អនុគមន៍
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ត្រីកោណមាត្រ
ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា

ក្នុងគណិតវិទ្យា **ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា** (Binomial Theorem) ឬ **រូបមន្តទ្វេធាញូតុន**​ ឬ **ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាញូតុន**​​គឺជារូបមន្តដ៏មានសារៈសំខាន់មួយក្នុងការពន្លាតកន្សោមស្វ័យគុណ​នៃផលបូក។ ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ ឬ ចំនួនកុំផ្លិច a b និង n ជាចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមានគេបាន
:(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^{n-k}b^{k}

ដែល  {n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}  ជា​មេគុណទ្វេធា និង \ n!  តំណាងអោយ​ហ្វាក់តូរ្យែល​នៃ n ។

ឧទាហរណ៍ចំពោះ 2 ≤ n ≤ 5 ៖

:(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\,
:(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\,
:(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\,
:(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 +5ab^4 + b^5 \,

## ប្រភេទទ្វេធា 
ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាអាចត្រូវបានគេពោលដោយនិយាយថាស៊្វីតពហុធា

: \left\{\,x^k:k=0,1,2,\dots\,\right\}\,

គឺជាប្រភេទទ្វេធា។

## សំរាយបញ្ជាក់ 
វិធីសាស្ត្រមួយបកស្រាយទ្រឹស្តីបទទ្វេធាគឺប្រើ​វិចារកំនើនគណិតវិទ្យា (mathematical induction) ។ 
* n=0~,\qquad(a+b)^0=1={0 \choose 0}a^0b^0
* n=1~,\qquad(a+b)^1= a + b ={1 \choose 0}a^1b^0 + {1 \choose 1}a^0b^1 

គេមាន n ជាចំនួនគត់​ធំជាងឬស្មើមួយ យើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់ថាប្រសិនបើទំនាក់ទំនងនេះពិតចំពោះ n នោះយើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់ថាវាពិតផងដែរចំពោះ n+1

តាមសម្មតិកម្មនៃវិចារកំនើតយើងបាន
:(a+b)^{n+1}=(a+b)\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k 

ដោយការពន្លាតកន្សោមគេបាន
:(a+b)^{n+1}=a^{n+1}+a\cdot\sum_{k=1}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k 
+b\cdot\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} a^{n-k} b^k
+ b^{n+1}

ដោយការដាក់ជាកក្តា យើងបាន
:(a+b)^{n+1} =a^{n+1}+\sum_{k=1}^n \left\lbrack {{n} \choose {k}} + {{n} \choose {k-1}} \right\rbrack a^{n-k+1} b^{k}+ b^{n+1}

ដោយប្រើប្រាស់រូបមន្ត​ត្រីកោណប៉ាស្កាល់​យើងបាន៖
:(a+b)^{n+1} =a^{n+1}+\sum_{k=1}^n {{n+1}\choose k}~a^{n-k+1} b^{k}+b^{n+1}

ហេតុនេះទំនាក់ទំនងនេះពិតចំពោះ n+1 ដែរ។ 

ដូចនេះ
:(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^{n-k}b^{k}

## ចំនួនទ្វេធា 
ចំនួនទ្វេធា (binomial number) គឺជាចំនួនដែលមានរាង \scriptstyle x^n \,\pm\, b^n (ចំពោះ n ធំជាងឬស្មើ 2) ។ នៅពេល**សញ្ញាដក** ឬ n គឺ​ជា​ចំនួនសេស ចំនួនទ្វេធា​នេះ​អាច​ដាក់​ជា​ផលគុណកក្តា៖

:a^n\pm b^n=(a\pm b)(a^{n-1} \mp a^{n-2}b + \cdots \mp ab^{n-2} + ^{n-1})\,

ឧទាហរណ៍៖

:a^2-b^2=(a-b)(a+b)\,
:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,
:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,
:a^8-b^8=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)\,

ដាក់ \scriptstyle a^n\,-\,b^n ជាកក្តា 

: a^n-b^n=(a-b) \left( \sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k} \right)

## លក្ខណៈទូទៅ 
ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាត្រូវបានធ្វើអោយទៅជាទូទៅដោយលោក អ៊ីសាក់ ញូតុន (Isaac Newton) ដែលបានប្រើស៊េរីអនន្ត (infinite series) ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច។ ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិតឬចំនួនកុំផ្លិច \ a; \quad b និង \ r គេបាន
:(a+b)^r = \sum_{k=0}^{\infty}\binom{r}{k}a^{r-k}b^k

### សំរាយបញ្ជាក់ 
គេមានអនុគមន៍ \ f(b)=(a+b)^r ចំពោះចំនួនថេរ \ a,r។ វាមានភាពស្រួលក្នុងការមើលថា \frac{d^k}{db^k}f=r(r-1)\cdots(r-k+1)(a+b)^{r-k} ។ នោះយើងបាន \frac{d^k}{db^k}f(0)=r(r-1)\cdots(r-k+1)a^{r-k} ។ ហេតុនេះស៊េរីតេល័រចំពោះ \ f(b) ផ្ចិត \ 0 គឺ 

(a+b)^k=\sum_{k=0}^\infty \frac{r(r-1)\cdots(r-k+1)a^{r-k}b^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty \binom{r}{k}a^{r-k}b^k

ទ្វេធា
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ពិជគណិត
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:វិភាគបន្សំ
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:គណិតវិទ្យា
កូវែស៊ីនុស

thumb|right|300px|ក្រាបនៃ cvs(x) ពី -3.14ទៅ 3.14
ក្នុង​ត្រីកោណមាត្រ **កូវែស៊ីនុស** (Coversine) នៃមុំមួយតាងដោយ **cvs(x)** កំនត់ដោយ មួយដកនឹងស៊ីនុសនឹង​មុំ​នោះ។

វាគោរពតាមរូបមន្ត
:\textrm{cvs}(\theta) = \textrm{versin}\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)

* ដេរីវេ​នៃកូវេស៊ីនុសគឺ
:  \frac{d}{dx}\mathrm{cvs}\,x = -\cos{x}\, 

* អាំងតេក្រាល​នៃកូវែស៊ីនុស
: \int \mathrm{cvs}\, x \,dx = x + \cos{x} + C

ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ត្រីកោណមាត្រ
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:គណិតវិទ្យា
អាំងតេក្រាលឌីរិចឡេ

**អាំងតេក្រាលឌីរិចឡេ** () គឺជាអាំងតេក្រាលនៃ​អនុគមន៍ស៊ីនុសកាឌីណាល់​លើកន្លះបន្ទាត់នៃអ័ក្សពិតផ្នែកវិជ្ជមានកំនត់ដោយ
:\int_0^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,dx = \frac{\pi}{2} 

គេអាចស្រាយបញ្ជាក់ដោយប្រើអាំងតេក្រាលហ្វួរា (Fourier integral) ។ វាក៏អាចត្រូវបានគេគណនាយ៉ាងងាយដោយប្រើការធ្វើឌីផេរ៉ង់ស្យែល (ការធ្វើដេរីវេ) ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល។

## សំរាយបញ្ជាក់ដោយការធ្វើឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល 
ដំបូងយើងនឹងសរសេរអាំងតេក្រាលឡើងវិញជាអនុគមន៍នៃចំនួនថេរ  \ \alpha និង \ \omega ។

តាង  f(\alpha)=\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \omega}{\omega} d\omega

បន្ទាប់មកយើងរក \ f(0)

ដោយការធ្វើឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាម \ \alpha យើងបាន
:\frac{df}{d\alpha}=\frac{\partial}{\partial\alpha}\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \omega}{\omega} d\omega

ដោយអនុវត្ត​ក្បួនអាំងតេក្រាលឡេបនីស (Leibniz Integral Rule) យើងបាន
:\frac{\partial}{\partial\alpha}\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \omega}{\omega} d\omega = \int_0^\infty  \frac{\partial}{\partial\alpha}e^{-\alpha\omega}\frac{\sin \omega}{\omega} d\omega = -\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \sin \omega \,d\omega

អាំងតេក្រាលអាចគណនាបានយ៉ាងងាយដោយប្រើរូបមន្តអយល័រ (Euler's formula) 
:\ e^{i\omega}=\cos \omega + i\sin \omega

នោះយើងបាន
:\Im e^{i\omega}=\sin \omega ដែល  \Im តំណាងអោយផ្នែកនិម្មិតនៃចំនួនកុំផ្លិច​។

សរសេរអាំងតេក្រាលឡើងវិញយើងបាន
:-\Im\int_0^\infty e^{-\alpha\omega}e^{i\omega}d\omega=\Im\frac{1}{-\alpha+i}=\Im\frac{-\alpha-i}{\alpha^2+1}=\frac{-1}{\alpha^2+1}

ហេតុនេះ
:\frac{df}{d\alpha}=\frac{-1}{\alpha^2+1}

ធ្វើអាំងតេក្រាលអង្គទាំងសងខាងពី 0 ទៅ \infty យើងបាន
:\int_0^\infty\frac{df}{d\alpha}d\alpha=\int_0^\infty\frac{-1}{\alpha^2+1}d\alpha
:f(\infty)-f(0)=-\arctan \infty + \arctan 0
:f(0)=\frac{\pi}{2} + f(\infty)

ចំនាំថា f(\infty)=\lim_{\alpha\rightarrow \infty} \int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \omega}{\omega}d\omega=0

ហេតុនេះ
:f(0)=\frac{\pi}{2}

ដូចនេះ
:\int_0^\infty \frac{\sin \omega}{\omega}\,d\omega = \frac{\pi}{2}
ស៊េរីត្រីកោណមាត្រ

ក្នុងគណិតវិទ្យា **ស៊េរីត្រីកោណមាត្រ**​ជាស៊េរីដែលមានរាង
: \frac{1}{2}A_{o}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(A_{n} \cos{nx} + B_{n} \sin{nx})

វាត្រូវបានគេហៅថា​ស៊េរីហ្វួរា (Fourier series) នៅពេលដែលតួ \ A_{n} និង \ B_{n} មានរាង
:A_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int^{2 \pi}_0\! f(x) \cos{nx} \,dx\qquad (n=0,1,2, \dots)

:B_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int^{2 \pi}_0\! f(x) \sin{nx}\, dx\qquad (n=1,2,3, \dots) 

ដែល \ f ជាអនុគមន៍មានអាំងតេក្រាល។

វាមិនមានគ្រប់ករណី ដែលស៊េរីត្រីកោណជាស៊េរីហ្វួរាទេ។
អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា

thumb|right|300px|ក្រាប​នៃ​អនុគមន៍​ពហុហ្គាំម៉ា​​តាមបណ្តោយអ័ក្សពិត ពណ៌ទឹកក្រូច  m = 0, ពណ៌លឿង m=1, ពណ៌បៃតង m=2, ពណ៌ក្រហម m=3 និងពណ៌ខៀវ m=4
ក្នុងគណិតវិទ្យា **អនុគមន៍​ពហុហ្គាំម៉ា**​នៃលំដាប់ m គឺកំនត់ជាដេរីវេលោការីតទី (m + 1) នៃ​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា​៖

:\psi^{(m)}(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^m \psi(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^{m+1} \ln\Gamma(z)

ទីនេះ

:\psi(z) =\psi^{(0)}(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}

គឺជា​អនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា និង \ \Gamma(z) គឺជា​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា ។ អនុគមន៍ \ \psi^{(1)}(z) ជួនកាលត្រូវបានគេហៅថា​អនុគមន៍ទ្រីហ្គាំម៉ា (trigamma function) ។

## និយមន័យតាមអាំងតេក្រាល 
អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាអាចតំណាងជាអាំងតេក្រាល
:\psi^{(m)}(z)= (-1)^{(m+1)}\int_0^\infty 
\frac{t^m e^{-zt}} {1-e^{-t}} dt

ដែលមានប្រសិទ្ធភាព Re z >0 និង  m > 0 ។ ចំពោះ  m = 0 សូមមើលនិយមន័យនៃ​អនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា ។

## ទំនាក់ទំនងរវាងតួជាប់គ្នា 
អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាមានទំនាក់ទំនងរវាងតួជាប់គ្នា
:\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-(m+1)}

## ទ្រឹស្តីបទផលគុណ 
ទ្រឹស្តីបទផលគុណ 
:k^{m} \psi^{(m-1)}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1} 
\psi^{(m-1)}\left(z+\frac{n}{k}\right)

ចំពោះ  m>1 និងចំពោះ  m=0 រូបមន្តផលគុណនៃអនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា៖

:k (\psi(kz)-\log(k)) = \sum_{n=0}^{k-1} 
\psi\left(z+\frac{n}{k}\right)

## តំណាងស៊េរី 
អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា​មានតំណាងស៊េរី
:\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty 
\frac{1}{(z+k)^{m+1}}

ដែលមានប្រសិទ្ធភាពចំពោះ \ m > 0 និងចំពោះចំនួនកុំផ្លិច \ z មិនមែនជាចំនួនគត់អវិជ្ជមាន​។ តំណាង​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​គេសរសេរ​បង្រួមឡើងវិញជាអនុគមន៍នៃ​អនុគមន៍ហឺវីតហ្សេតា (Hurwitz zeta function) 
:\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z)

អនុគមន៍ហឺវីតហ្សេតា (Hurwitz zeta function) អាចត្រូវបានគេស្គាល់ជា​អនុគមន៍ទូទៅ​នៃអនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា​ចំពោះ​​លំដាប់​មិនមែនជាចំនួនគត់ \mathbb C \backslash \mathbb Z^-

## ស៊េរីតាយល័រ
ស៊េរីតាយល័រត្រង់ចំនុច z=1 គឺ
:\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty 
(-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!}\,
ដែលទាល់ចំពោះ  \ |z| ។ ទីនេះ \zeta(n)\, គឺជា​អនុគមន៍ហ្សេតារីម៉ាន (Riemann zeta function)
អនុគមន៍ទ្រីហ្គាំម៉ា

[right|thumb|300px|អនុគមន៍ទ្រីហ្គាំម៉ា  \psi_1(z)  ក្នុង​[ប្លង់កុំផ្លិច ។ ពណ៌​នៃ​ចំនុច  \  z  អិនកូដតំលៃនៃ \ \psi_1(z)  ។ ពណ៌​ដិត​តំណាង​អោយ​តំលៃ​ជិត​នឹងសូន្យ និង ភាពលាំនៃពណ៌តំណាងអោយ​អាគុយម៉ង់]]

ក្នុង​គណិតវិទ្យា **អនុគមន៍​ទ្រីហ្គាំម៉ា** (Trigamma function) តាងដោយ \ \psi_1 (z)  គឺជា​អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាទី២ និង កំនត់ដោយ
: \psi_1(z) = \frac{d^2}{dz^2} \ln\Gamma(z)

វាស្របតាមនិយមន័យ
: \psi_1(z) = \frac{d}{dz} \psi(z)

ដែល \ \psi (z) ជា​អនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា ។ វាក៏អាចកំនត់ជាផលបូកនៃស៊េរី
:  \psi_1(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{(z + n)^2}

ធ្វើអោយវាក្លាយទៅជាករណីពិសេសនៃអនុគមន៍ហឺវីតហ្សេតា (Hurwitz zeta function)
: \ \psi_1(z) = \zeta(2,z)

សំគាល់ថា រូបមន្តពីរចុងក្រោយគឺមានប្រសិទ្ធភាពនៅពេល \ 1-z មិនមែនជាចំនួនគត់ធម្មជាតិ។

## ការគណនា 
តំណាងអាំងតេក្រាលឌុប
:  \psi_1(z) = \int_0^1\frac{dy}{y}\int_0^y\frac{x^{z-1}\,dx}{1 - x}

ដោយប្រើរូបមន្តចំពោះស៊េរីធរណីមាត្រ​។ ធ្វើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែកគេយើងបាន
:  \psi_1(z) = -\int_0^1\frac{x^{z-1}\ln{x}}{1-x}\,dx 

ការពន្លាតអាស៊ីមតូតជាអនុគមន៍នៃ​ចំនួនប៊ែរនូយី
: \psi_1(z) \sim \frac{1}{z} + \frac{1}{2z^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}} 

### រូបមន្តរវាងតួជាប់គ្នា
អនុគមន៍ទ្រីហ្គាំម៉ាផ្ទៀងផ្ទាត់រូបមន្តរវាងតួជាប់គ្នា
:  \psi_1(z + 1) = \psi_1(z) - \frac{1}{z^2}
### រូបមន្តឆ្លុះគ្នា
:  \psi_1(1 - z) + \psi_1(z) = \pi^2\csc^2(\pi z) \,
### តំលៃពិសេស
អនុគមន៍ទ្រីហ្គាំម៉ាមានតំលៃពិសេសមួយចំនួន៖

 \psi_1\left(\frac{1}{4}\right) = \pi^2 + 8K

 \psi_1\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{2}

 \psi_1(1) = \frac{\pi^2}{6}

ដែល K តំណាងអោយ​ថេរកាតាឡាន (Catalan's constant) ។
## សូមមើលផងដែរ 
* អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា (Gamma function) 
* អនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា (Digamma function) 
* អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា (Polygamma function) 
* ថេរកាតាឡាន (Catalan's constant)
វិសមភាពញូតុន

ក្នុងគណិតវិទ្យា **វិសមភាពញូតុន** (Newton's inequalities) ត្រូវបានហៅឈ្មោះដោយយកឈ្មោះលោក អ៊ីសាក់ ញូតុន (Isaac Newton) ។ ឧបមាថា a_1; a_2; a_3; \cdots ; a_n គឺជាចំនួនពិត និងតាង \ \sigma_k ជាអនុគមន៍ស៊ីមេទ្រីដំបូង (elementary symmetric function) ទី k ក្នុង  a_1; a_2; a_3; \cdots ; a_n នោះគេបានមធ្យមស៊ីមេទ្រីដំបូងអោយដោយ
:S_k = \frac{\sigma_k}{\binom{n}{k}} 

ផ្ទៀងផ្ទាត់វិសមភាព

:S_{k-1}S_{k+1}\le S_k^2

វិសមភាពនេះក្លាយទៅជាសមភាពលុះត្រាតែគ្រប់ចំនួន \ a_i ស្មើគ្នា​។
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអូម៉ូសែនលំដាប់ n

**សមីការ​ឌីផេរ៉ង់ស្យែល​អូម៉ូសែនលំដាប់ n**​ គឺ​ជា​ប្រភេទ​មួយ​នៃ​សមីការឌីផេរ៉ងស្យែល​។ អនុគមន៍ពីរអថេរ ឯករាជ្យ f(x,y) អាចនិយាយថាអូម៉ូសែនដឺក្រេ n ប្រសិនបើ \ f(kx,ky)={k^n}{f(x,y)}; ចំពោះតំលៃ ឬ អនុគមន៍អាចកំនត់បាន។

ឧទាហរណ៍៖ f(x,y)=\frac{x^3}{y}\ + \frac{(x^3)}{(x+y)} \;

អោយ f(kx,ky)=\frac{(kx)^3}{ky}\ + \frac{(kx)^3}{(kx+ky)}\; = \frac{k^3}{k}\frac{(x)^3}{y}\ + \frac{k^3}{k}\frac{(x)^3}{(x+y)}\ = {k^2}{f(x,y)}
ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

thumb|`right|250px|ក្រាបនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកលើដែនកំនត់ R
ក្នុង​គណិតវិទ្យា **អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក**​គឺ​ជា​ប្រភេទ​មួយ​​នៃ​អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក​។

## និយមន័យ 
អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកត្រូវបានគេកំនត់សរសេរដោយ **sinh** គឺជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិចដូចខាងក្រោម៖
:\begin{matrix} \sinh: &\mathbb C &\longrightarrow &\mathbb C \\ \ &z &\longmapsto &\frac {e^z-e^{-z}} {2} \end{matrix}
ដែល \ e គឺជាអនុគមន៍អិចស្បូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកក៏មានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹងអនុគមន៍ស៊ីនុសក្នុងធរណីមាត្រអ៊ីពែបូលីកដែរ។

គេនិយមសរសេរ

 \sinh z = \frac{e^z-e^{-z}}{2}

## លក្ខណៈទូទៅ 
* អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (sinh) ជាអនុគមន៍ជាប់ និង មានដេរីវេអនន្ត (មានដេរីវេមិនចេះចប់)
* ដេរីវេនៃអនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (sinh) គឺជា អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (cosh)
::\frac{d}{dx}(\sinh x) = (\sinh x)' = (\cosh x)
* ព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកគឺ cosh + C ដែល C ជាថេរអាំងតេក្រាល
::\int \sinh x dx = \cosh x + C
* អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកជាអនុគមន៍សេស​និងកើនដាច់ខាតលើ \ \mathbb R។

## លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ 
តាមនិយមន័យនៃ​​អនុគមន៍ស៊ីនុស​​និង​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក គេអាចទាញបានសមភាពដូចខាងក្រោម៖

:\ e^z = \cosh z + \sinh z
:\ e^{-z} = \cosh z - \sinh z

សមភាពនេះមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹងរូបមន្តអយល័រក្នុងត្រីកោណមាត្រ (ខ្មែរយើងភាគច្រើនអានថាអឺលែរ)​។

ដូចគ្នាដែរ ចំពោះកូអរដោនេ \ (\cos t, \sin t) កំនត់បានរង្វង់មួយ។ \ (\cos t, \sin t) កំនត់បានផ្នែកវិជ្ជមាននៃប៉ារ៉ាបូលនិយ័តមួយ។ គេបានចំពោះ \ t > 0

\ \cosh^2 t - \sinh^2 t = 1

ម្យ៉ាងវិញទៀតចំពោះ x \in \mathbb R

## ស៊េរីតេល័រ 
sinh ជាអនុគមន៍មានដេរីវេមិនកំនត់ និងអាចពន្លាតជាស៊េរីតេល័រដូចខាងក្រោម៖
:\sinh z = z + \frac {z^3} {3!} + \frac {z^5} {5!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}

## តំលៃ 
តំលៃមួយចំនួននៃ sinh 
* \ \sinh(0) = 0
* \sinh(1) = \frac {e^2-1}{2e}
* \ \sinh(i) = i \sin(1)

## អនុគមន៍ច្រាស់ 
ស្តាំ|រូបតូច|250ភស|ក្រាបនៃអនុគមន៍ \ \operatorname{arcsinh}
អនុគមន៍ច្រាសនៃsinh គឺជា​អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកច្រាស​តាងដោយ \ \operatorname{arsinh} ឬ **arcsinh** ។ វាជាអនុគមន៍ពហុតំលៃកុំផ្លិច។  សាខាគោលការណ៍ (Principal branch) គឺជាជំរើសទូទៅដោយកាត់ជាបំនែកអង្កត់ \left]-\infty i;-i\right[ និង \left]i;+\infty i\right[ ។
:\operatorname{arcsinh}(z) = \ln(z + \sqrt{1+z^2})

ចំពោះ x \in \mathbb Rsinh មានដែនកំនត់លើ \mathbb R ហើយអនុគមន៍ច្រាស់របស់វាកំនត់ដោយ៖
:arcsinh(x)=ln\left(x + \sqrt{x^2+1}\right)

## សូមមើលផងដែរ 
* អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
* កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
* តង់សង់អ៊ីពែបូលីក
* កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក
សមីការកូស៊ី-អយល័រ

ក្នុងគណិតវិទ្យា **សមីការកូស៊ី-អយល័រ** ឬ **សមីការអយល័រ-កូស៊ី** គឺជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរអូម៉ូសែនដែលមានមេគុណជាអថេរ​។

## សមីការ 
តាង \ y^{(n)}(x) គឺជាដេរីវេទី n នៃអនុគមន៍មិនស្គាល់ \ y(x) ។ នោះសមីការកូស៊ី-អយល័រលំដាប់ n មានរាង
:x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0

ដោយជំនួស \  x = e^u ដើម្បី​បន្ថយ​ស្វ័យគុណ​នៃសមីការ​នេះទៅជា​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ​ដែលមាន​មេគុណ​ជាចំនួនថេរ។

### លំដាប់២ 
:x^2\frac{d^2y}{dx^2} + ax\frac{dy}{dx} + by = 0 \,

យើងសន្មតតាង 
:y = x^m \,

ដោយធ្វើដេរីវេ (ឌីផេរ៉ង់ស្យែល) យើងបាន
:\frac{dy}{dx} = mx^{m-1} \,

និង

:\frac{d^2y}{dx^2} = m(m-1)x^{m-2} \,

ជំនួសវាចូលក្នុងសមីការដើម យើងបាន
:x^2( m(m-1)x^{m-2} ) + ax( mx^{m-1} ) + b( x^m ) = 0 \,

តំរៀបឡើងវិញ យើងបាន
:m^2 + (a-1)m + b = 0 \,

យើងអាចដោះស្រាយសមីការនេះចំពោះ m ។​ មានបីករណីពិសេស
# ករណីទី១៖ ឫសពីរផ្សេងគ្នា \ m_1 និង \ m_2
# ករណីទី២៖ ឫសឌុប \ m
# ករណីទី៣៖ ឫសជាចំនួនកុំផ្លិច \ \alpha \pm i\beta 

* ករណីទី១៖​ ចំលើយផ្តល់អោយដោយ
:y = c_{1}x^{m_{1}} + c_{2}x^{m_{2}} \,
* ករណីទី២៖ ចំលើយផ្តល់អោយដោយ
:y = c_{1}x^{m}\ln(x) + c_{2}x^{m} \,
* ករណីទី៣៖ ចំលើយផ្តល់អោយដោយ
:y = c_{1}x^{\alpha}\cos(\beta \ln(x)) + c_{2}x^{\alpha}\sin(\beta \ln(x)) \,

សមីការនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយជាមួយនឹងបំលែង \ x = e^t ។
### ឧទាហរណ៍ 
គេអោយសមីការ
: x^2u''-3xu'+3u=0\,

យើងជំនួសចំលើយងាយ \ x^{\alpha}
: x^2(\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2})-3x(\alpha(x^{\alpha-1}))+3(x^\alpha)=\alpha(\alpha-1)x^\alpha-3\alpha x^\alpha+3x^\alpha\,
: = (\alpha(\alpha-1)-3\alpha+3)x^\alpha \,

យើងបាន \ \alpha = 1  និង \ \alpha = 3  ។ ចំលើយទូទៅនៃសមីការគឺ
: u=Ax+Bx^3\,

ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

[thumb|right|250px|ក្រាបនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​នៅលើ​[ដែនកំនត់ \mathbb R]]
ក្នុង​គណិតវិទ្យា **អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក**​គឺ​ជា​ប្រភេទ​មួយ​​នៃ​អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក​។

## និមយន័យ 
អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកត្រូវបានគេកំនត់សរសេរដោយ **cosh** គឺជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិចដូចខាងក្រោម៖
:\begin{matrix} \cosh: &\mathbb C &\longrightarrow &\mathbb C \\ \ &z &\longmapsto &\frac {e^z+e^{-z}} {2} \end{matrix}
ដែល \ e គឺជាអនុគមន៍អិចស្បូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកក៏មានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹងអនុគមន៍ស៊ីនុសក្នុងធរណីមាត្រអ៊ីពែបូលីកដែរ។

គេនិយមសរសេរ

 \cosh z = \frac{e^z+e^{-z}}{2}

## លក្ខណៈទូទៅ 
* អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (cosh) ជាអនុគមន៍ជាប់ និង មានដេរីវេអនន្ត (មានដេរីវេមិនចេះចប់) ។ អាចនិយាយថាវាស្ថិតនៅក្នុងថ្នាក់ C^\infty
* ដេរីវេនៃអនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (cosh) គឺជា អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (sinh) 
::\frac{d}{dx}(\cosh x) = (\cosh x)' = (\sinh x)
* ព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកគឺ sinh + C ដែល C ជាថេរអាំងតេក្រាល
::\int \cosh x dx = \sinh x + C
* អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកជាអនុគមន៍គូ មានដែនកំនត់លើ \mathbb R និងជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើ \mathbb R^+ ។

## លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ 
តាមនិយមន័យនៃ​អនុគមន៍កូស៊ីនុស​និង​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក គេអាចទាញបានសមភាពដូចខាងក្រោម៖

{| align="center"
|\ e^z = \cosh z + \sinh z
|-
|\ e^{-z} = \cosh z - \sinh z

សមភាពនេះមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹងរូបមន្តអយល័រក្នុងត្រីកោណមាត្រ (ខ្មែរយើងភាគច្រើនអានថាអឺលែរ)​។

ដូចគ្នាដែរ ចំពោះកូអរដោនេ \ (\cos t, \sin t) កំនត់បានរង្វង់មួយ។ \ (\cos t, \sin t) កំនត់បានផ្នែកវិជ្ជមាននៃប៉ារ៉ាបូលនិយ័តមួយ។ គេបានចំពោះ \ t > 0

\ \cosh^2 t - \sinh^2 t = 1

ម្យ៉ាងវិញទៀតចំពោះ x \in \mathbb R

{| align="center"
|-
|\cosh(i x) = \frac{(e^{i x} + e^{-i x})}{2} = \cos x
|-
|\ \cosh x = \cos(i x)
|-
|\ \cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y
|-
|\cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1+\cosh x}{2}

## ស៊េរីតេល័រ 
cosh ជាអនុគមន៍មានដេរីវេមិនកំនត់ និងអាចពន្លាតជាស៊េរីតេល័រដូចខាងក្រោម៖
:\cosh z = 1 + \frac {z^2} {2!} + \frac {z^4} {4!} + \frac {z^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}

## តំលៃ 
តំលៃមួយចំនួននៃ cosh 
* \ \cosh(0) = 1
* \cosh(1) = \frac {e^2+1}{2e}
* \ \cosh(i) = \cos(1)

## អនុគមន៍ច្រាស់ 
អនុគមន៍ច្រាស់នៃ cosh តាងដោយ **arccosh** ឬ **arcosh** ឬ \ \cosh^{-1}។ វាជាអនុគមន៍ពហុតំលៃកុំផ្លិច។  សាខាគោលការណ៍ (Principal branch) គឺជាជំរើសទូទៅដោយការពុះចែកអង្កត់ \left]-\infty;1\right[ ។

\operatorname{arcosh}(z) = \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt {z-1})

ចំពោះ x \in \left[1;+\infty\right[ cosh មានដែនកំនត់លើ \mathbb R ហើយអនុគមន៍ច្រាស់របស់វាកំនត់ដោយ៖
\operatorname{arcosh}(x)=\ln\left(x \pm \sqrt{x^2-1}\right)
កណ្តាល|ស៊ុម|ក្រាបនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកច្រាស់ \operatorname{arcosh}(x)

## សូមមើលផងដែរ 
* អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
* ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
* តង់សង់អ៊ីពែបូលីក
* កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក
UTC+7

**UTC+7** ជាល្វែងម៉ោងប្រើនៅ៖

500px|thumb|right|UTC +7 ខៀវ (ធ្នូ), លឿង (ពេញមួយឆ្នាំ), ទឹកក្រូច (មិថុនា), ខៀវស្រាល - តំបន់សមុទ្រ

អាស៊ីអាគ្នេយ៍៖
* '***
* **** - ប៉ែកខាងលិច (កន្លែងផ្សេងទៀតប្រើ UTC+8 និង UTC+9) - សូមមើលបន្ថែមនៅ ម៉ោងនៅឥណ្ឌូនេស៊ី
** កោះជ្វា
** កោះស៊ូម៉ាត្រា
** ខេត្តកាលីម៉ាន់តាន់កណ្ដាល
** ខេត្តកាលីម៉ាន់តាន់ខាងលិច
* ****
* **** -  សូមមើលបន្ថែមនៅ ម៉ោងនៅថៃ
* ****

អាស៊ីខាងជើង៖
* **** (តំបន់៦)
* ***' - ចុងបស្ចឹម

* អូស្រ្តាលី
** កោះគ្រីសម៉ាស់

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ល្វែងម៉ោង
ស្ទឹងស៊ីលីវូង

**ស្ទឹងស៊ីលីវូង** (ជាភាសាអង់គ្លេស៖ Ciliwung River) ជាស្ទឹងមួយដែលហូរកាត់រដ្ឋធានី​ចាការតា នៃប្រទេសឥណ្ឌូនេស៊ី។ ស្ទឹងនេះមានប្រភពពីតំបន់ពុនចាក់ (Puncak) នៅលើខ្ពង់រាបជ្វាខាងលិច និងហូរចូលទៅក្នុង​ឆកសមុទ្រចាការតា។

នៅឆ្នាំប្រមាណ១៧២០ មានរោងចក្រផលិតស្ករស​ជាច្រើននៅតាមដងស្ទឹងនេះ។ ក្នុងចំនោមរោងចក្រទាំង១៣០ មានរោងចក្រចំនួន៥០សង់ជាប់នឹងមាត់ស្ទឹងនេះតែម្ដង។ កម្មកររោងចក្រតែងតែបោះចោលកាកអំពៅចូលទៅក្នុងស្ទឹងនេះ ជាហេតុធ្វើអោយវាស្ទះ​មិនអាចហូរទឹកបាន។

## តំនភ្ជាប់ក្រៅ
http://www.wcities.com/en/record/,107683/190/record.html
ឆកសមុទ្រចាការតា

**ឆកសមុទ្រចាការតា** (ជាភាសាអង់គ្លេស៖ Jakarta Bay, ជាភាសាឥណ្ឌូនេស៊ី៖ Teluk Jakarta) គឺជាឆកសមុទ្រមួយ​នៅខាងជើងក្រុងចាការតាខាងជើង។ វាមានផ្ទៃទឹកប្រហែល ៥១៤ គ.ម២ និងមានជំរៅមធ្យម១៥ម៉ែត្រ។
កោះមួយពាន់ស្ថិតនៅទីនេះ។ មានស្ទឹងចំនួន១៣​ហូរចូលទៅក្នុងឆកសមុទ្រនេះ។ ភាគច្រើននៃសហគមន៍ប្រជាជនរស់នៅតាម​ឆ្នេរឆកសមុទ្រនេះ រស់នៅក្រោម*បន្ទាត់នៃភាពក្រីក្រ* និងខ្វះអនាម័យ។
ម៉ោងនៅឥណ្ឌូនេស៊ី

នៅប្រទេសឥណ្ឌូនេស៊ី គេចែកល្វែងម៉ោងជា៣ ដោយសារវាគ្របដណ្ដប់លើរយៈបណ្ដោយ​វែងពេក៖
* **Indonesian Western Standard Time** (ភាសាឥណ្ឌូនេស៊ី៖ *Waktu Indonesia Barat*/**WIB** , ជាភាសាខ្មែរ៖ ម៉ោងស្តង់ដារឥណ្ឌូនេស៊ីខាងលិច) (UTC+7)
** WIB មានប្រើនៅកោះស៊ូម៉ាត្រា កោះជ្វា ខេត្តកាលីម៉ាន់តាន់ខាងលិច និង ខេត្តកាលីម៉ាន់តាន់កណ្ដាល
* **Indonesian Central Standard Time** (ភាសាឥណ្ឌូនេស៊ី៖ *Waktu Indonesia Tengah*/**WITA** , ជាភាសាខ្មែរ៖ ម៉ោងស្តង់ដារឥណ្ឌូនេស៊ីកណ្ដាល) (UTC+8)
** WITA​ មានប្រើនៅកោះស៊ូឡាវេស៊ី កោះបាលី ខេត្តនុសាតេងហ្គារ៉ាខាងកើត ខេត្តនុសាតេងហ្គារ៉ាខាងលិច ខេត្តកាលីម៉ាន់តាន់ខាងកើត និង ខេត្តកាលីម៉ាន់តាន់ខាងត្បូង
* **Indonesian Eastern Standard Time** (ភាសាឥណ្ឌូនេស៊ី៖ *Waktu Indonesia Timur*/**WIT** , ជាភាសាខ្មែរ៖ ម៉ោងស្តង់ដារឥណ្ឌូនេស៊ីខាងកើត) (UTC+9)
** WIT មានប្រើនៅខេត្តម៉ាលូគូ ខេត្តម៉ាលូគូខាងជើង ខេត្តប៉ាពួ និង ខេត្តប៉ាពួខាងលិច

## តំនភ្ជាប់ក្រៅ 
* ម៉ោងស្តង់ដារនៅឥណ្ឌូនេស៊ី
ពហុកោណស្មើ

ក្នុងធរណីមាត្រ **ពហុកោណស្មើ**​គឺជា​ពហុកោណ​ដែល​មាន​ជ្រុង​ទាំង​អស់​មាន​ប្រវែង​ស្មើគ្នា។ ឧទាហរណ៍៖ ត្រីកោណសម័ង្ស​ជា​ប្រភេទ​មួយ​នៃ​ពហុកោណស្មើ​ដែល​ជ្រុង​ទាំងបី​របស់​វា​មាន​រង្វាស់​ស្មើគ្នា។
300px|កណ្តាល|

ចតុកោណ​ដែល​មាន​រង្វាស់​ជ្រុង​ទាំង​បួន​ស្មើ​គ្នា​ហៅថា​ចតុកោណស្មើ​។ ការ៉េ​ក៏​ជា​ចតុកោណស្មើ​ដែរ។
300px|កណ្តាល|

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ពហុកោណ
បរិមាត្រ

## រង្វង់ 
* P = 2 \cdot \pi \cdot R ដែល \pi គឺជាចំនួនថេរ និង R គឺជាកាំ​នៃ​រង្វង់ ។
* P = \pi \cdot D ដែល D គឺជា​អង្កត់ផ្ចិត​នៃរង្វង់ និង D = 2 \cdot R ។

## អេលីប 
P = \pi \cdot (R_a + R_b)

ដែល \ R_a និង \ R_b កាំ​កន្លះអ័ក្ស​នៃ​អេលីប​។

## ការ៉េ​និង​ចតុកោណស្មើ 
\ P = 4a ដែល \ a គឺជារង្វាស់ជ្រុង
## ចតុកោណកែង 
P = 2 \cdot (L + l)

ដែល \ L ប្រវែងបណ្តោយ និង \ l ជាប្រវែងទទឹងនៃចតុកោណកែង។

## ពហុកោណស្មើ 
\ P = na

* \ n: ជាចំនួនជ្រុង​នៃ​ពហុកោណស្មើ
* \ a: ជាប្រវែងជ្រុង​នៃ​ពហុកោណស្មើ
## ពហុកោណនិយ័ត 
P = 2nb \sin(\frac{\pi}{n})

* \ n: ជាចំនួនជ្រុងពហុកោណនិយ័ត
* \ b: ជាចំងាយពីផ្ចិតទៅកាន់កំពូលនៃពហុកោណនិយ័ត

ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រ
ភ្នំហាន់ជ័យ

**ភ្នំហាន់ជ័យ**​មាន​ឈ្មោះ​ជា​ផ្លូវ​ការ​ថា​​**ភ្នំជ័យគិរី** ដែល​មាន​ទីតាំង​ស្ថិត​នៅ​ទិសខាងកើត​នៃខេត្តកំពង់ចាម ប៉ែកខាងជើងទន្លេមេគង្គ​។ ភ្នំនេះស្ថិតនៅក្នុង​ភូមិហាន់ជ័យ ឃុំហាន់ជ័យ ស្រុកកំពង់សៀម ខេត្តកំពង់ចាម មានចំងាយ ១៨ គ.ម តាមផ្លូវទឹក និង ២០ គ.ម ពី​ផ្លូវ​គោក​ពី​​ទីរួមខេត្តកំពង់ចាម​។ ភ្នំហាន់ជ័យមានកំពស់ ៦៣ ម៉ែត្រ ។ ភ្នំនេះមានកាំជណ្តើរស្អាតល្អចំនួន ២៩៥កាំ។ នៅ​លើ​ភ្នំ​នេះ​មាន​ព្រះវិហារ និង ប្រាសាទគុកខាងត្បូង​ដែល​ស្ថាបនា​ឡើង​អំពី​ឥដ្ឋតាន់​បូរាណ​ដែលមានទំហំ ៧​ម៉ែត្រ បួនជ្រុង កំពស់ ១២​ម៉ែត្រ កសាង​ឡើង​ក្នុង​សតវត្សទី៧ រាជ្ជកាល​ព្រះបាទឥសានវរ្ម័នទី១ បច្ចប្បន្ន​ប្រាសាទ​នេះ​​មាន​លក្ខណៈ​ទ្រុឌទ្រោម​ទៅ​ហើយ​។ 

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ភ្នំនៅកម្ពុជា
ផ្លូវទឹកកម្ពុជា

លក្ខណៈអាកាសធាតុ និងសណ្ឋានដីនៃប្រទេសកម្ពុជា នាំឲ្យប្រទេសកម្ពុជាសម្បូរផ្លូវទឹក ដែលផ្ដល់អត្ថប្រយោជន៍យ៉ាងច្រើនដល់អភិវឌ្ឍន៍សេដ្ឋកិច្ចជាតិ។ ផ្លូវទឹកប្រទេសកម្ពុជាចែកចេញជាបីក្រុម៖

## ប្រព័ន្ធទន្លេមេគង្គ
**ប្រព័ន្ធទន្លេមេគង្គ**ជាផ្លូវនាវាចរណ៍ដ៏សំខាន់។ ទឹកហូរពីតំបន់ខ្ពង់រាបទីបេប្រទេសចិនតែងនាំមកនូវដីល្បាប់ដ៏មានជីជាតិ សម្រាប់ដាំដំណាំនានា ហើយពេលទឹកស្រកវាជាកន្លែងនេសាទដ៏សកម្ម។ ប្រព័ន្ធនេះជាប្រភពផ្ដល់ទឹកសម្រាប់បញ្ចូលស្រែចំការ និងអាចទាញយកថាមពលវារីអគ្គិសនីបានថែមទៀត ដូចជានៅល្បាក់ខោន និងស្ទឹងព្រែកត្នោតជាដើម។

ប្រព័ន្ធទន្លេមេគង្គ មានតួទន្លេមេគង្គ ទន្លេបាសាក់ ទន្លេតូច និងដៃរបស់វា។
### ទន្លេមេគង្គ
ទន្លេមេគង្គ មានប្រភពនៅខ្ពង់រាបទីបេ ហើយហូរចាក់ទៅក្នុងសមុទ្រចិនខាងត្បូង (ប្រវែងសរុប៤២០០គីឡូម៉ែត)។ នៅលើទឹកដីកម្ពុជា ទន្លេនេះមានប្រវែង៥០០គីឡូម៉ែត ដោយហូរកាត់ខេត្តស្ទឹងត្រែង ក្រចេះ កំពង់ចាម កណ្ដាល និងព្រៃវែង។

ទន្លេនេះមានរបបទឹកទៀងទាត់ណាស់ គឺរដូវទឹកតម្លើងផ្ដើមពីខែមិថុនា ដល់តុលា ហើយរដូវទឹកសម្រកផ្ដើមពីខែវិច្ឆិកា ដល់ឧសភា។
### ទន្លេតូច
បែកចេញពីទន្លេមេគង្គលើ ត្រង់ពាមប្រធ្នស់(កំពង់ចាម) រួចមកភ្ជាប់ ទន្លេមេគង្គក្រោម វិញត្រង់ពាមរក៍(ព្រៃវែង)។ ទន្លេនេះមានបណ្ដោយ១០០គីឡូម៉ែត។

### ទន្លេបាសាក់
ទន្លេបាសាក់ហូរកាត់ទីក្រុងតាខ្មៅ មានបណ្ដោយ១០០គីឡូម៉ែត គិតពីភ្នំពេញ ដល់ព្រំដែនវៀតណាម។ ដៃសំខាន់ៗរបស់វា ស្ទឹងព្រែកត្នោត និងស្ទឹងតាកែវ។
*ស្ថានីយនាវាដឹកជញ្ជូនអ្នកដំណើរតាមផ្លូវទឹក

## ប្រព័ន្ធទន្លេសាប
**ប្រព័ន្ធទន្លេសាប**មាន ទន្លេសាប បឹងទន្លេសាប និងដៃរបស់វា។

ទន្លេសាបមានប្រវែងប្រហែល១០០គីឡូម៉ែត គិតពីភ្នំពេញដល់ទីរួមខេត្តកំពង់ឆ្នាំង។ វាប្រៀបបានជាព្រែកមួយដ៏ធំសម្រាប់នាំទឹកទន្លេមេគង្គទៅចាក់ក្នុងបឹងទន្លេសាប(រដូវវស្សា) និងហូរនាំទឹកត្រឡប់មកកាន់ទន្លេមេគង្គវិញ(រដូវប្រាំង)។

នៅរដូវប្រាំងបឹងទន្លេសាបមានរាងដូចជាវីយ៉ូឡុង និងមានបណ្ដោយប្រហែល១៥០គីឡូម៉ែត ទទឹងមធ្យម៣២គីឡូម៉ែត និងផ្ទៃ៣០០០គីឡូម៉ែតការេ ហើយនៅរដូវវស្សា វាមានទិដ្ឋភាពដូចជាកូនសមុទ្រមួយដែលមានផ្ទៃប្រមាណ១០០០០គីឡូម៉ែតការេ។

ប្រព័ន្ធនេះបង្កើតបានជាផ្លូវនាវាចរណ៍ដ៏សំខាន់។ បឹងទន្លេសាប ជាអាងស្រូបយកទឹកទន្លេមេគង្គ មិនឲ្យទំនាបកណ្ដាលទទួលការលិចលង់ខ្លាំង និងជាជង្រុកត្រីដ៏ធំបំផុតរបស់ប្រទេសយើង។
## ក្រុមផ្លូវទឹកតាមមាត់សមុទ្រ
**ក្រុមផ្លូវទឹកតាមមាត់សមុទ្រ**មានលក្ខណៈជារបបទឹកជ្រោះ ព្រោះវាមានប្រភពនៅតាមភ្នំខ្ពស់ៗ នៃជួរភ្នំក្រវាញ ហើយបណ្ដោយខ្លីថែមទៀត។

ផ្លូវទឹកទាំងអស់នេះពុំសូវមានសារៈសំខាន់ប៉ុន្មានទេ ចំពោះវិស័យនាវាចរណ៍។ ប៉ុន្ដែវាជាប្រភពផ្ដល់ទឹកសាបដល់អ្នករស់នៅតំបន់ឆ្នេរ ផ្ដល់ទឹកសម្រាប់ស្រោចដំណាំ និងជាកន្លែងសម្រាប់ងូតទឹកកំសាន្ដ(ទឹកឈូ)។ គេអាចទាញយកថាមពលវារីអគ្គិសនីពីផ្លូវទឹកទាំងនោះ៕
## ស្ថានីយជលសាស្ត្រ
* ស្ថានីយ​ជល​សាស្ត្រ​ខេត្តស្ទឹងត្រែង
* ​ស្ថានីយ​ជល​សាស្ត្រ​ខេត្តក្រចេះ​
* ​ស្ថានីយ​ជល​សាស្ត្រ​ខេត្តកំពង់ចាម 
* ស្ថានីយ​ជល​សាស្ត្រ​ទន្លេបាសាក់​-​ចតុមុខ   
* ស្ថានីយ​ជល​សាស្ត្រ​អ្នក​លឿង​
* ​ស្ថានីយ​កោះ​ខែល​ទឹក​
* ស្ថានីយ​ជល​សាស្ត្រ​ព្រែក​ក្តាម
* ​ស្ថានីយជលសាស្ត្រកំពង់ហ្លួង

## ឯកសារពិគ្រោះ
*សៀវភៅសិក្សាសង្គមថ្នាក់ទី៩ ក្រសួងអប់រំឆ្នាំ១៩៩៩
ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់

thumb|right|300 px|
ក្នុងធរណីមាត្រ **ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់**គឺជាចម្ងាយខ្លីបំផុតរវាងចំណុចនោះនិងបន្ទាត់។ ទ្រឹស្តីបទពីតាករបង្ហាញថាចម្ងាយពីចំណុច A មួយទៅបន្ទាត់ (d) ត្រូវគ្នានឹងចម្ងាយពីចំណុច A ទៅកាន់ចំណោលកែង \ A_h នៅលើបន្ទាត់ (d) ។ គេអាចសរសេរ
: \ d(A,(d)) = d(A,A_h)

## ក្នុងប្លង់ 
នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ សមីការបន្ទាត់ (d): \ ax+by+c =0 និងចំណុច \ A(x_A, y_A) នោះគេបានចម្ងាយរវាងចំណុច A និងបន្ទាត់ (d) កំណត់ដោយរូបមន្ត
: \color{blue} d(A,(d))=AA_h=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}

ប្រសិនបើ \ M(x, y) គឺជាចំណុចមួយនៅលើបន្ទាត់ (d) និង \ \vec{n} (a, b) ជាវ៉ិចទ័រន័រម៉ាល់នៃបន្ទាត់ (d) (វ៉ិចទ័រន័រម៉ាល់នៃបន្ទាត=វ៉ិចទ័រដែលកែងនឹងបន្ទាត់) ។ នោះគេបានតម្លៃដាច់ខាតនៃផលគុណស្កាលែនៃវ៉ិចទ័រ \overrightarrow{AM} និង \vec n អោយដោយកន្សោមពីរខាងក្រោម
: |\overrightarrow{AM}.\vec n| = |a(x-x_A) + b(y - y_A)|= |ax_A + by_A + c| ( ax + by = - c ព្រោះ M គឺជាចំណុចនៅលើបន្ទាត់ (d))
: |\overrightarrow{AM}.\vec n| = AA_h \times ||\vec n|| = AA_h\times \sqrt{a^2+b^2}

ក្នុងករណីពិសេស
* ប្រសិនបន្ទាត់មានសមីការ \ y=ax+b នោះ d(A,(d))=\frac{\sqrt{1+a^2}}
*ប្រសិនបន្ទាត់មានសមីការ \ y=a   នោះ \ d(A,(d))=|x_A-a|

## ក្នុងលំហ 
នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ សមីការបន្ទាត់ (d) កាត់តាមចំណុច B និងវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស (វ៉ិចទ័រដែលស្របនឹងបន្ទាត់) \ \vec u ចម្ងាយរវាងចំណុច A និងបន្ទាត់ (d) កំណត់ដោយរូបមន្ត
: d(A,(d))= \frac

ដែល \vec u \wedge \vec v  តំណាងអោយផលគុណវ៉ិចទ័ររវាងវ៉ិចទ័រ \vec u និង វ៉ិចទ័រ \vec v (គេក៏អាចសរសេរជា \vec u \times \vec v បានដែរ) និង ||\vec u|| តំណាងអោយណមនៃវ៉ិចទ័រ \vec u (រង្វាស់ប្រវែងវ៉ិចទ័រ \vec u)។

ប្រសិនបើ C គឺជាចំណុចមួយនៅលើបន្ទាត់ (d) ដែល \overrightarrow{BC} = \vec u  នោះគេបានក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ ABC កំណត់ដោយកន្សោមដូចខាងក្រោម
: S_{ABC} = \frac 12 ||\overrightarrow{BA}\wedge \overrightarrow{BC}||
: S_{ABC} = \frac 12 BC\times AA_h

ចម្ងាយនេះគឺវែងជាងឬស្មើចម្ងាយរវាងចំណុច A នៃប្លង់ទៅបន្ទាត់ (d) ដែលស្ថិតនៅក្នុងប្លង់នេះដែរ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ (d) ជាប្រសព្វនៃប្លង់ពីរកែងគ្នា និង \ d_1, \quad d_2 គឺជាចម្ងាយរវាងចំណុច A ទៅប្លង់ទាំងពីរ នោះគេបាន
: \color{blue} d(A,(d))= \sqrt{d_1^2+d_2^2}
អនុគមន៍បេសែ្សល

ក្នុង​គណិតវិទ្យា​ **អនុគមន៍​បេសែ្សល** (Bessel function) ត្រូវ​បាន​កំនត់​និយមន័យ​ដំបូង​ដោយ​គណិតវិទូ ដាណ្យែល ប៊ែរនូយី (Daniel Bernoulli) និង​ធ្វើ​អោយ​ទៅ​ជា​ទូទៅ​ដោយ​គណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ ហ្វ្រេនរិច វីលហែម បេស្សែល (Friedrich Wilhelm Bessel)  និងជាចំលើយ \ y(x) នៃ​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល​បេស្សែល
:x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0

ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួនពិត ឬ ចំនួនកុំផ្លិច \ \alpha  ។ ករណីពិសេស​សំខាន់​បំផុត​និង​ទូទៅ​បំផុត​គឺ \ \alpha ជា​ចំនួនគត់​ និងវាត្រូវបានគេហៅថា**លំដាប់នៃអនុគមន៍បេស្សែល**។

អនុគមន៍បេស្សែលក៏ត្រូវបានគេស្គាល់ថាជា**អនុគមន៍ស៊ីឡាំង** ឬ **អាម៉ូនិកស៊ីឡាំង** ពី​ព្រោះ​វា​ត្រូវ​បាន​គេ​រក​ឃើញ​ក្នុង​ដំណោះ​ស្រាយ​នៃ​សមីការឡាប្លាស​ក្នុង​កូអរដោនេស៊ីឡាំង​។

## ទ្រឹស្តីបទផលគុណ
អនុគមន៍បេសែ្សល​គោរពតាម​ទ្រឹស្តីបទផលគុណ

:\lambda^{-\nu} J_\nu (\lambda z) = 
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} 
\left(\frac{(1-\lambda^2)z}{2}\right)^n
J_{\nu+n}(z)

ដែល \ \lambda និង \ \nu អាចជា​ចំនួនកុំផ្លិច​។ ទំរង់ស្រដៀងគ្នាអាចអោយចំពោះ  \ Y_\nu(z) ។
អនុគមន៍ដសុន

ក្នុងគណិតវិទ្យា **អនុគមន៍ដសុន**(Dawson function)គឺ

:F(x) = e^{-x^2} \int_0^x e^{t^2}\,dt ។

សញ្ញាណ *D*(*x*)​ គឺត្រូវបានប្រើផងដែរ ។ អនុគមន៍ដសុនគឺត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាលដសុនផងដែរ។

អនុគមន៍ដសុនទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និតនឹងអនុគមន៍កំហុស(error function) *erf* 

: F(x) = {\sqrt{\pi} \over 2}  e^{-x^2}  \mathrm{erfi} (x)
 = - {i \sqrt{\pi} \over 2}  e^{-x^2}  \mathrm{erf} (ix) 

ដែល erfi គឺជាអនុគមន៍កំហុសនិម្មិត(the imaginary error function) ​ ដែល erfi(*x*) = &minus; *i* erf(*ix*) ។

ចំពោះ |x| ខិតជិត សូន្យF(x)\approx x   ហើយចំពោះ |x| មានតំលៃធំF(x)\approx \frac{1}{2x}  ។

F(x) កំនត់ក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

: \frac{dF}{dx} + 2xF=1

ដោយភ្ជាប់ជាមួយលក្ខខណ្ឌដើម  F(0)=0 ។
ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅប្លង់

ក្នុងលំហអឺគ្លីត **ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅប្លង់**គឺជាចម្ងាយខ្លីបំផុតរវាងចំណុចនោះនិងចំណុចមួយនៅលើប្លង់។ ទ្រឹស្តីបទពីតាករបង្ហាញថាចម្ងាយពីចំណុច A មួយទៅប្លង់ (P) ត្រូវគ្នានឹងចម្ងាយពីចំណុច A ទៅកាន់ចំណោលកែង H នៅលើប្លង់ (P) ។ នៅក្នុងលំហនៃតម្រុយអរតូណរមេ ចំណុចអាចសរសេរដោយប្រើកូអរដោនេដេកាត។

គេមានប្លង់ (P) និងចំណុច A ក្នុងលំហ។ គេហៅ \ (x_A,  y_A,  z_A) ជាកូអរដោនេនៃចំណុច A និង \ ax+by+cz+d = 0 ជាសមីការប្លង់ (P) ។ នោះចម្ងាយពីចំណុច A ទៅប្លង់ (P) តាងដោយ \ d(A, (P)) កំនត់ដោយរូបមន្ត៖
\color{blue} d(A,(P)) =\frac{\left| ax_A + by_A + cz_A + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

## សម្រាយបញ្ជាក់ 
គេមាន \ H(x, y , z) ជាចំណោលកែងនៃ A លើ ប្លង់ (P) និង \ n(a, b, c) ជាវ៉ិចទ័រន័រម៉ាល់នៃប្លង់ (P) ។ គេអាចនិយាយថាវ៉ិចទ័រ \overrightarrow{AH} និង \vec n កូលីនេអ៊ែរនឹងគ្នា (ស្របគ្នា) ។ គេអាចសរសេរ
: \overrightarrow{AH}=\lambda.\vec n  ( ដែល \ \lambda  គឺជាចំនួនថេរ)

ហេតុនេះ
:\ (x-x_A;y-y_A;z-z_A)=\lambda(a;b;c) 
និង 
: H \in P  គេបាន
:\ ax + by + cz + d = 0

គេបានប្រព័ន្ធសមីការ
:\begin{cases} x=\lambda a+x_A \\ y=\lambda b+y_A \\ z=\lambda c+z_A \\ ax+by+cz+d=0 \end{cases}

ជំនួស \ x, \quad y, \quad z ក្នុងសមីការទី៤ គេបាន
:\ a(\lambda a+x_A)+b(\lambda b+y_A)+c(\lambda c+z_A)+d=0

ឬ
:\ ax_A+by_A+cz_A+d + \lambda(a^2+b^2+c^2)=0

P គឺជាប្លង់ គ្រប់ a, b, c មិនសូន្យព្រមគ្នា គេបាន
:\lambda = - \frac {ax_A+by_A+cz_A+d}{a^2+b^2+c^2}

ចម្ងាយពីចំណុច A ទៅប្លង់ (P) គឺប្រវែងវ៉ិចទ័រ \overrightarrow {AH} 

ហេតុនេះ
:d(A,(P)) =AH=\left| \lambda \right| \begin{Vmatrix} \vec n  \end{Vmatrix}

:d(A,(P)) = \left| \frac {-(ax_A+by_A+cz_A+d)}{a^2+b^2+c^2} \right| \sqrt{a^2+b^2+c^2}

:\color{blue} d(A,(P))  =\frac{\left| ax_A + by_A + cz_A + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
ពិធីបុណ្យបច្ច័យបួន

បុណ្យបន្ច័យបួន

## អត្ថន័យ
បុណ្យបច្ច័យបួន គេធ្វើសម្រាប់ជូនអ្នកមានគុណនៅពេលលោកចាស់ជរា ក្នុងបំណងចង់ឲ្យអ្នកមានគុណបានឃើញផ្ទាល់ ត្រេកអរ ជ្រះថ្លាក្នុងការធ្វើកុសល។ ម្យ៉ាងទៀត គេធ្វើដើម្បីបញ្ជូនកុសលទៅដល់មាតាបិតា ជីដូនជីតាដែលបានចែកឋានទៅហើយ ដោយខ្លាចក្រែងលោកមានកង្វះខាតនៅលោកខាងមុខ។

## កាលបរិច្ឆេទ
គេអាចធ្វើពេលណាក៏បាន ស្រេចលើសមីដើមបុណ្យកំណត់។ តាមទម្លាប់គេច្រើនធ្វើនៅថ្ងៃចន្ទគតិ

រដូវជិតចូលឆ្នាំ ឬពេលមានឱកាសល្អ។

## របៀបរៀបចំ
ចំណាប់ផ្ដើមដំបូង គេរៀបចំដូចក្នុងពិធីបុណ្យសូត្រមន្តដែរ តែត្រូវមានសំភារៈបន្ថែម គម្រប់ជាបច្ច័យបួន៖
***បិណ្ឌបាត្របច្ច័យ** មានគ្រឿងហូបចុក បាយ នំចំណី ត្រីងៀត ត្រីឆ្អើរ ... ។
***ចីវរបច្ច័យ** មានគ្រឿងដណ្ដប់ស្លៀកពាក់ ស្បង់ ត្រៃ ចីវរ។
***សេនាសនបច្ច័យ** មានទីប្រក់ ទីបាំង រាំងខ្យល់ កម្ដៅថ្ងៃ។
***គិលានភេសជ្ជបច្ច័យ** មានថ្នាំព្យាបាល និងបង្ការជម្ងឺផ្សេងៗ ថ្នាំពេទ្យ ថ្នាំចាក់ ថ្នាំលេប ប្រេងខ្យល់ តែ ស្ករ ម្លូស្លា បារីជាដើម។

ក្នុងពីធីនោះ គេត្រូវរៀបសាដក ស្របទៅតាមចំនួនព្រះសង្ឃទៀតផង។

ក្រោយពិធីបុណ្យសូត្រមន្ត ចប់មានរៀបចំលោកទេសនាថែមទៀតផង។ លុះព្រឹកឡើង រៀបចំចង្ហាន់វេរប្រគេនព្រះសង្ឃជាមួយនឹងរណ្ដាប់បច្ច័យបួន បង្សុកូលជាកិច្ចបង្ហើយបុណ្យ៕

## ឯកសារពិគ្រោះ
*សៀវភៅសិក្សាសង្គមថ្នាក់ទី៧ ក្រសួងអប់រំឆ្នាំ១៩៩៧
ពិធីបុណ្យសូត្រមន្ត

## អត្ថន័យ
ពិធីបុណ្យសូត្រមន្តមានពីរបែបគឺ សូត្រមន្តចំណាប់ផ្ដើមពិធីបុណ្យប្រពៃណីជាតិផ្សេងៗ និងសូត្រមន្តបណ្ដេញឧបទ្រពចង្រៃ ឬរំដោះគ្រោះ យោងគ្រោះ ប្រទាក់ស្មាព្រាហ្ម រួចរៀបចំលើករាសី។

ពិធីសូត្រមន្តធ្វើឡើងដើម្បី៖
*ចម្រើនសិរីសួស្ដី និងជាការបើកកម្មវិធីបុណ្យដើម្បីជាការគោរពបូជាចំពោះព្រះពុទ្ធ ព្រះធម៌ ព្រះសង្ឃ ព្រមទាំងប្រកាសចំពោះទេវតា ម្ចាស់ទឹកម្ចាស់ដី ថែរក្សានៅទីកន្លែងនោះ ដូចជា៖ បុណ្យកឋិន បុណ្យផ្កា បុណ្យបច្ច័យបួន បុណ្យបញ្ចុះសីមា ... ។
*ដើម្បីជម្រះឧបទ្រពចង្រៃ លើករាសីឲ្យមានសិរីមង្គលដូចជា៖ ពិធីឡើងផ្ទះ បុណ្យចូលឆ្នាំថ្មី មង្គលការ ពិធីរំដោះគ្រោះ ពិធីយោងគ្រោះ ពិធីប្រទាក់ស្មាព្រាហ្ម ពិធីលើករាសី។

អត្ថន័យចុងក្រោយនេះមានសារៈសំខាន់មួយដែរ ព្រោះនាំឲ្យសាមីជនទទួលបានកម្លាំងចិត្ត មានជំនឿថា ខ្លួនពិតជាបានសុខសប្បាយចៀសផុតពីគ្រោះថ្នាក់ទាំងពួង។ ដូចនេះ ការប្រកបការងារចិញ្ចឹមជីវិតមានលំនឹង រីកចម្រើនទៅមុខជាដរាប។
## កាលបរិច្ឆេទ
***ពិធីទី១** គេចាប់ផ្ដើមនៅថ្ងៃទីមួយនៃពិធីបុណ្យ។
***ពិធីទី២** កំណត់ដោយលោកអាចារ្យគន់គូរលេខអត្តៈយកថ្ងៃណា ដែលជាថ្ងៃជ័យមង្គល។
## ការរៀបចំពិធី
### ក. ពិធីសូត្រមន្តជាចំណាប់ផ្ដើមបុណ្យផ្សេងៗ
គេរៀបចំលើរានធំល្មម ចាក់ក្បាច់ដើមចេកលំអ ក្នុងនោះគេរៀប៖
*រូបព្រះពុទ្ធ ឬព្រះបត់
*ទៀន៥ ធូប៥ ផ្កា៥
*ម្លូ៥ ស្លា៥ ថ្នាំជក់បារី៥
*បាយសីបាយឆោម១គូ
*ស្លាធម៌ដៃ១គូ
*ស្លាធម៌ដើមចេកមួយ
*ទឹក១កែវ ឬកូនផ្តិល
*ផ្កា ទៀនធូប១គូ
*ផ្តិលទឹកមន្តស៊ង
### ខ. ពិធីសូត្រមន្តរំដោះគ្រោះ លើករាសី
របៀបរៀបចំធ្វើដូចពិធីសូត្រចំណាប់ផ្ដើមពិធីបុណ្យផ្សេងៗដែរ តែមានទម្រង់តូចជាង ដោយមិនបាច់ចាក់ចេក។ គេច្រើនរៀបនៅលើតុទាបល្មម។

ដោយឡែក បើរំដោះគ្រោះ គេរៀបរណ្ដាប់ទៅតាមក្បួនខ្នាតដែលលោកអាចារ្យតម្រូវ។ ពិធីសូត្រមន្តគេច្រើនប្រារព្ធធ្វើនៅពេលរសៀល៕
## ឯកសារពិគ្រោះ
*សៀវភៅសិក្សាសង្គមថ្នាក់ទី៧ ក្រសួងអប់រំឆ្នាំ១៩៩៧
ផលបូក រីម៉ាន

ក្នុង​គណិតវិទ្យា **ផលបូក​រីម៉ាន** (Riemann sum) គឺ​ជា​វិធីសាស្រ្ត​កំនត់​តំលៃ​ប្រហែល​នៃ​ក្រលាផ្ទៃ​សរុប​ខាងក្រោម​ខ្សែកោង​នៅ​លើ​ក្រាប។​ វាត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ ប៊ែនហាដ រីម៉ាន (Bernhard Riemann) ។

## និយមន័យ 
គេមាន​អនុគមន៍ f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} ជាប់លើចន្លោះ  \ I= [a,b] ។ គេចាត់ទុក  n\in\mathbb{N}^* និងបំនែកតូចៗ x_k=a+k\frac{b-a}{n} ដែល 0\leq k\leq n ។

ផលបូករីម៉ាននៃ \ f លើ \ I កំនត់ដោយ
:S_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^nf(x_k)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})f(x_k)

## ការអនុវត្តន៍ 
ផលបូករីម៉ាន​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើប្រាស់​ដើម្បី​គណនា​អាំងតេក្រាល​ដោយវិធីសាស្រ្តចតុកោណកែង
:\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n=\int_a^bf(t)dt

### សំរាយបញ្ជាក់
តាម​និយមន័យ​អាំងតេក្រាល គេមាន
: (x_k-x_{k-1})f(x_k)=\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x_k)dt d'où (x_k-x_{k-1})f(x_k)-\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(t).dt=\int_{x_{k-1}}^{x_k}(f(x_k)-f(t)).dt

ដោយធ្វើផលបូលចំពោះ k\in\{1,\cdots,n\} គេទទួលបាន 
: S_n-\int_a^bf(t)dt=\sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}(f(x_k)-f(t)).dt 

ដែល  |S_n-\int_a^bf(t)dt|\leq \sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}|f(x_k)-f(t)|dt

គេមាន \ \epsilon>0 ។ តាមទ្រឹស្តីបទហៃនេ (Heine theorem) អនុគមន៍ \ f ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ \ I=[a, b] មាន \ \alpha>0 ដែល
: \forall(x,t)\in[a,b]^2|x-t|\leq\alpha\Rightarrow |f(x)-f(t)|\leq\frac{\epsilon}{b-a}

គេចាត់ទុកទំនាក់ទំនងចំពោះ n ធំគ្រប់គ្រាន់ ហេតុនេះ \frac{b-a}{n}\leq\alpha ។

ដូចនេះ
:\forall t \in[x_{k-1};x_k] |x_k-t|\leq \frac{b-a}{n}\leq \alpha

ដែល |S_n-\int_a^bf(t)dt|\leq \int_a^b\frac{\epsilon}{b-a}=\epsilon

## ករណីពិសេស 
: \lim_{n\to \infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+\frac{(b-a)k}{n} \right)=\lim_{n\to \infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+\frac{(b-a)k}{n} \right)=\int_a^bf(x)dx
វ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស

ក្នុង​គណិតវិទ្យា **វ៉ិចទ័រប្រាប់**​​​​នៃ​បន្ទាត់ \ (D) ជា​វ៉ិចទ័រ​ដែល​ស្រប​នឹង​បន្ទាត់ \ (D) ។ គេ​មាន​បន្ទាត់ \ (D) មួយ។ គេហៅ​**វ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស**​នៃ \ (D) គឺគ្រប់ \overrightarrow{AB}\, ដែល​ចំនុច A និង B ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \ (D) និង​មិន​ត្រួតស៊ីគ្នា​។

## លក្ខណៈនៃវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស 
* វ៉ិចទ័រប្រាប់ទិសពីរនៃបន្ទាត់តែមួយជាវ៉ិចទ័រស្របគ្នា (ឬហៅថាជាវ៉ិចទ័រកូលីនេអ៊ែរនឹងគ្នា) ។
* បន្ទាត់​ពីរ​មាន​វ៉ិចទ័រ​ប្រាប់​ស្រប​គ្នា គេ​អាច​ថា​បន្ទាត់​ទាំង​ពីរ​នោះ​ជា​បន្ទាត់​ស្របគ្នា។

## វ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស​នៃ​បន្ទាត់​ក្នុង​ប្លង់ 
គេមានបន្ទាត់ (D)\, នៃប្លង់ក្នុងតំរុយអរតូណរមេ (O;\vec{i};\vec{j}) ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ (D)\, មានសមីការ ax + by + c = 0\, គេបាន​វ៉ិចទ័រ​ប្រាប់ទិស​នៃ (D)\, មាន​កូអរដោនេ \color{blue}(-b;a)\, ឬ \color{blue}(b;-a)\, ។

គេ​មាន​ចំនុច \ A(x; y) ជា​របស់ \ (D):  ax + by + c = 0  ដែល a; b; c \, គឺ​ជា​ចំនួនពិត ។ គេ​មាន​ចំនុច B(x-b;y+a)\, ក៏​ស្ថិត​នៅ​លើ​បន្ទាត់ \ (D)  ដែរ។

ព្រោះកូអរដោនេនៃ B ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការបន្ទាត់ \ (D)
: a(x-b) + b(y+a) + c = ax -ba +ba +by +c = 0\,

ដូចនេះ​វ៉ិចទ័រ \overrightarrow{AB} មានកូអរដោនេ \ (-b; a) ជា​វ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស​នៃ​បន្ទាត់ \  (D) ។

### ឧទាហរណ៍ 
គេមានបន្ទាត់ (D) មានសមីការ 3x - 2y + 15 = 0\, ។ គេបាន (2;3)\, និង (-2;-3)\, ជា​វ៉ិចទ័រប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ (D) ។

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ពិជគណិត
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:វ៉ិចទ័រ
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រ