អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា **អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក**មានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹង​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតា។ អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកគ្រឹះសំខាន់ៗរួមមាន​**ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក** (តាងដោយ sinh ) **កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក** (តាងដោយ cosh ) និង **តង់សង់អ៊ីពែបូលីក** (តាងដោយ tanh )។

## និយមន័យ
256px|thumb|sinh, cosh និង tanh
256px|thumb|csch, sech និងcoth

* ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
:\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = -i \sin ix \!
* កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
:\cosh x =  \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cos ix \!
* តង់សង់អ៊ីពែបូលីក
:\tanh x =  \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = -i \tan ix \!
* កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក
:\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i  \cot ix \!
* សេកង់អ៊ីពែបូលីក
:\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \sec {ix} \!
* កូសេកង់អ៊ីពែបូលីក
:\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = i\,\csc\,ix \!

ដែល i \, ជាឯកតានិមិត្មនៃចំនួនកុំផ្លិច ( i^2=-1 \,) ។ ទំរង់នៃចំនួនកុំផ្លិចខាងលើទាញចេញពីរូបមន្តអឺលែរ។ 
* **សំគាល់**៖ ក្នុងការបំលែងនៅក្នុងកន្សោមផ្សេងៗ \sinh^2 x \, សំដៅលើ (\sinh x)^2 \, មិនមែន \sinh (\sinh x) \, ទេ។

## អនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកជាអនុគមន៍លោការីត 
* \sinh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right)

* \cosh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1

* \tanh ^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right);\left| x \right|

* \operatorname{sech}^{-1}x=\ln \left( \frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x} \right);0

* \operatorname{csch}^{-1}x=\ln \left( \frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\left| x \right|} \right)

* \coth ^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{x+1}{x-1} \right);\left| x \right|>1

### ទំនាក់ទំនងសំខាន់ៗ
*\sinh(-x) = -\sinh x\,\!
*\cosh(-x) =  \cosh x\,\!
*\tanh(-x) = -\tanh x\,\!
*\coth(-x) = -\coth x\,\!
*\operatorname{sech}(-x) =  \operatorname{sech}\, x\,\!
*\operatorname{csch}(-x) = -\operatorname{csch}\, x\,\!
## ដេរីវេនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
: \frac{d}{dx}\sinh(x) = \cosh(x) \,

: \frac{d}{dx}\cosh(x) = \sinh(x) \,

: \frac{d}{dx}\tanh(x) = 1 - \tanh^2(x) = \hbox{sech}^2(x) = \frac{1} {\cosh^2(x)} \, 

: \frac{d}{dx}\coth(x) = 1 - \coth^2(x) = -\hbox{csch}^2(x) = \frac{-1} {\sinh^2(x)} \,

: \frac{d}{dx}\ \hbox{csch(x)} = - \coth(x)\ \hbox{csch(x)}\, 

: \frac{d}{dx}\ \hbox{sech(x)} = - \tanh(x)\ \hbox{sech(x)}\,

:\frac{d}{dx}\left( \sinh ^{-1}u \right)=\frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}\cdot \frac{du}{dx}

:\frac{d}{dx}\left( \cosh ^{-1}u \right)=\frac{1}{\sqrt{u^{2}-1}}\cdot \frac{du}{dx}

:\frac{d}{dx}\left( \tanh ^{-1}u \right)=\frac{1}{1-u^{2}}\cdot \frac{du}{dx}

:\frac{d}{dx}\left( \operatorname{csch}^{-1}u \right)=\frac{1}{\left| u \right|\sqrt{1+u^{2}}}\cdot -\frac{du}{dx}

:\frac{d}{dx}\left( \operatorname{sech}^{-1}u \right)=\frac{1}{u\sqrt{1-u^{2}}}\cdot -\frac{du}{dx}

:\frac{d}{dx}\left( \coth ^{-1}u \right)=\frac{1}{1-u^{2}}\cdot \frac{du}{dx}

## អាំងតេក្រាលស្តង់ដារនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក 
សំរាប់តារាងពេញលេញនៃអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក សូមមើលតារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក។ 

:\int\sinh ax\,dx = \frac{1}{a}\cosh ax + C

:\int\cosh ax\,dx = \frac{1}{a}\sinh ax + C

:\int \tanh ax\,dx = \frac{1}{a}\ln|\cosh ax| + C

:\int \coth ax\,dx = \frac{1}{a}\ln|\sinh ax| + C

:\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C

:\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C

:\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{a}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}

:\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{a}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}

:\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-\frac{1}{a}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+c

:\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-\frac{1}{a}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+c

ក្នុងកន្សោមខាងលើ C ត្រូវបានគេហៅថា ថេរអាំងតេក្រាល។

## កន្សោមស៊េរីតាយល័រ 
អនុគមន៍ខាងលើគ៏អាចសំដែងជាសេរីតាយល័រផងដែរ។
:\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

:\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}

:\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | 

:\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0  (សេរីឡូរង់)

:\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | 

:\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0  (សេរីឡូរង់ Laurent series)

ដែល

:B_n \, គឺជាចំនួនប៊ែរនូយីទី n\!
:E_n \, គឺជាចំនួនអឺលែរទី n\!

## លក្ខណៈដូចគ្នានឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ 
:\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \,
:\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \,
:\tanh(x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y} \,

រូបមន្តមុំឌុប
:\sinh 2x\ = 2\sinh x \cosh x \,
:\cosh 2x\ = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1 \,

រូបមន្តកន្លះមុំ
:\cosh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x + 1}{2} 
:\sinh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x - 1}{2}
:\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x
:\coth ^{2}x=1+\operatorname{csch}^{2}x

ដេរីវេនៃ \sinh x \, គឺ \cosh x \, និង ដេរីវេនៃ \cosh x \,  គឺ \sinh x \, ។ 
## ទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកនិងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល 
ទាញចេញពីនិយមន័យនៃស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក និង កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក យើងបានលក្ខណៈដូចខាងក្រោម៖

:e^x = \cosh x + \sinh x\!

និង

:e^{-x} = \cosh x - \sinh x.\!

ដោយផ្អែកលើរូបមន្តអឺលែរ កន្សោមទាំងនេះមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានិងកន្សោមស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ដែលវាជាផលបូកនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

## អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកចំពោះចំនួនកុំផ្លិច 
ទំនាក់ទំនងចំពោះ​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតា​គឺត្រូវបានអោយដោយរូបមន្តអឺលែរចំពោះចំនួនកុំផ្លិច៖
:e^{i x} = \cos x + i \;\sin x
:e^{-i x} = \cos x - i \;\sin x

ដូច្នេះ
:\cosh ix = \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{2} = \cos x

:\sinh ix = \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2} = i \sin x

:\tanh ix = i \tan x \,

:\cosh x = \cos ix \,

:\sinh x = -i \sin ix \,

:\tanh x = -i \tan ix \,

## សូមមើលផងដែរ 
* អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកច្រាស់
* តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក