ក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ

right|250pxright|250px
គេមានត្រីកោណកែងABD មានកំពស់ AH = 

h រង្វាស់ជ្រុង a, b និង c (BC = a, AC = b, AB = c) និងមុំរៀងគ្នា A, B​ និង C ។ ដូចនេះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC អាចកំនត់តាមរូបមន្តខាងក្រោម៖
# S = \frac{1}{2}ah \,
# S = \frac{1}{2}ab \sin C  (ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស)
# S = \frac{a^2\sin B \sin C}{2\sin (B + C)}
# S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} (រូបមន្តហេរុង) ដែល p=\frac{a+b+c}{2} \, (p ជាកន្លះបរិមាត្រ)
# S = \frac{f\times g}{2} - \frac{v\times w}{2}   (f, g, v, w ជារង្វាស់ប្រវែងបង្ហាញដូចរូបខាងស្តាំ)
# S = \frac{1}{2}|(x_B\cdot y_A - x_A\cdot y_B) + (x_C\cdot y_B - x_B\cdot y_C) + (x_A\cdot y_C - x_C\cdot y_A)|
# ប្រសិនបើកំពូលត្រីកោណគឺជាចំនួនចំនុច (ចំនួនចំនុចជាចំនួនគត់) នៅលើផ្ទៃជាក្រលា នោះគេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកំនត់ដោយ  **S = ចំនួនចំនុចដែលស្ថិតនៅក្នុងត្រីកោណ + កន្លះដងនៃចំនួនចំនុចនៅតាមគែមនៃជ្រុងត្រីកោណ &minus; ១**

## សំរាយបញ្ជាក់ 
*(១). ក្រលាផ្ទៃ = S = \frac{1}{2}ah \,  (ពាក់កណ្តាលនៃកំពស់គុណនឹងបាត)
right|250px
* សំរាយបញ្ជាក់ថា S = \frac{1}{2}ah \,

h \, ជាកំពស់នៃត្រីកោណ ដែលបាតមានរង្វាស់ស្មើ a \,  (បាតជាជ្រុងឈមនឹងកំពស់)។ 

ចតុកោណកែងធំ (ចតុកោណ A'BCA'' \,)បង្កើតបានជាចតុកោណកែងតូចៗចំនួនពីរ (ចតុកោណ A'BHA \, និង AHCA''\, )ដែលមានក្រលាផ្ទៃ d\times h និង e\times h (ក្រលាផ្ទៃចតុកោណស្មើនឹង ទទឹងគុណបណ្តោយ) ។ ដូចនេះក្រលាផ្ទៃត្រីកោណធំ (ត្រីកោណ ABC ) បង្ហើតបានជាត្រីកោណកែងតូចចំនួនពីរ (ត្រីកោណ ABH និង AHC) ដែលក្រលាផ្ទៃរបស់វាស្មើនឹងកន្លះក្រលាផ្ទៃចតុកោណកែងតូច។ មានន័យថា
* ក្រលាផ្ទៃត្រីកោណតូច (\triangle ABH \,) = កន្លះក្រលាផ្ទៃចតុកោណកែង(A'BHA \,) = \frac{1}{2}d \times h 
::S_{ABH} = \frac{1}{2}S_{A'BHA} = \frac{1}{2}dh
* ក្រលាផ្ទៃត្រីកោណតូច (\triangle AHC) = កន្លះក្រលាផ្ទៃចតុកោណកែង(ABHA* \,) = \frac{1}{2}e \times h 
::S_{AHC} = \frac{1}{2}S_{ABHA*} = \frac{1}{2}eh

* ក្រលាផ្ទៃធំស្មើនឹងផលបូកនៃក្រលាផ្ទៃត្រីកោណតូចទាំងពីរ
::S_{ABC} = S_{ABH} + S_{AHC} = \frac{1}{2}dh +  \frac{1}{2}eh =  \frac{1}{2}(d+e)h 

ដោយ d + e = a \, គេបាន
::\color{blue}S_{ABC} = \frac{1}{2}ah

*(២). ក្រលាផ្ទៃ = S= \frac{1}{2}ab\sin C
right|250px

AHC ជាត្រីកោណកែង នោះគេបានកំពស់ AH = h = b\cdot sin C ។​ ដោយប្រើលទ្ធផលសំរាយបញ្ជាក់ខាងលើ គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ
::S_{ABC} = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}ab\sin C

ដូចគ្នាដែរ បើ h_b\, ជាកំពស់គូសចេញពីកំពូល B \, និង h_c \, ជាកំពស់គូសចេញពីកំពូល C \, គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ
::S_{ABC} = \frac{1}{2}bh_b = \frac{1}{2}ac\sin B
::S_{ABC} = \frac{1}{2}ch_c = \frac{1}{2}bc\sin A

ដូចនេះ ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ក្នុងករណីគេស្គាល់រង្វាស់ជ្រុងពីរ និង មុំមួយនៃត្រីកោណ កំនត់ដោយ
::\color{blue}S_{ABC} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C

*(៣). ក្រលាផ្ទៃ = S = \frac{a^2\sin B \sin C}{2\sin (B + C)}
ក្នុងលទ្ធផលនៃសំរាយបញ្ជាក់ (២) ខាងលើ មិនមានករណីពិសេសអំពីមុំនិងបន្ទាត់ជាប់មុំត្រូវបានប្រើប្រាស់ទេ។ តាមសំរាយបញ្ជាក់ (២) ខាងលើ ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់
::S_{ABC}=  \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C
::\Rightarrow \frac{abc}{2S_{ABC}} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}   (ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស)

ដូចនេះយើងអាចប្រើ b = \frac{a\sin B}{\sin A} \, គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ S_{ABC} = \frac{a^2\sin B \sin C}{2\sin A} \qquad (i)\,

ដោយផលបូករង្វាស់មុំទាំងបីនៃត្រីកោណស្មើនឹង ១៨០០ \Rightarrow A + B + C = \pi \qquad \Rightarrow A = \pi - B - C និង \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \, គេបាន \sin A=\sin (B+C) \qquad (ii)\,

ជំនួស (ii) ក្នុង (i) គេបាន
::S_{ABC}= \frac{a^2\sin B \sin C}{2\sin (B + C)}

ដូចគ្នាដែរ
::S_{ABC}= \frac{b^2\sin A \sin C}{2\sin (A + C)}
::S_{ABC}= \frac{c^2\sin A \sin B}{2\sin (A + B)}

ហេតុនេះ
::\color{blue}S_{ABC}= \frac{a^2\sin B \sin C}{2\sin (B + C)} = \frac{b^2\sin A \sin C}{2\sin (A + C)} = \frac{c^2\sin A \sin B}{2\sin (A + B)}

*(៤). ក្រលាផ្ទៃ = S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} 
ដែលp=\frac{a+b+c}{2} \, (p ជាកន្លះបរិមាត្រ)

ចំពោះសំរាយបញ្ជាក់រូបមន្តនេះ សូមមើល**រូបមន្តហេរុង**!!!

right|250px
*(៥). ក្រលាផ្ទៃ = S = \frac{f\times g}{2} - \frac{v \times w}{2} 

ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ស្មើនឹងក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណកែងដែលហ៊ុំព័ទ្ធត្រីកោណ ABC ដកនឹងក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកែងទាំងបីនៅតាមជ្រុងនៃចតុកោណចេញ។ ហេតុនេះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ
:\begin{align}S_{ABC} &= f\cdot g - \frac{f\cdot (g-w)}{2} - \frac{(f-v)\cdot g}{2} - \frac{(f-v)\cdot (g-w)}{2}\\ &=\frac{f\cdot g}{2} - \frac{v\cdot w}{2} \end{align}

វា​ជា​ករណី​ដ៏​ស្មុគស្មាញ​ប្រសិន​កំពូល​នៃ​ត្រីកោណ​មិន​ស្ថិត​នៅ​លើ​ជ្រុង​នៃ​ចតុកោណកែងដែល​ហ៊ុំព័ទ្ធ​ត្រីកោណ​នោះទេ (ដោយសារមានមុំមួយជាមុំទាល)។ ប៉ុន្តែលទ្ធផលរក្សាតំលៃដដែលក្នុងករណីនេះ ដែលរង្វាស់ជ្រុងនៃចតុកោណកែងដែលហ៊ុំព័ទ្ធទៅជា f+v និង g+w ហើយរង្វាស់ជ្រុងមួយនៃត្រីកោណក្លាយជាអង្កត់ទ្រួងនៃចតុកោណកែង។

*(៦). ក្រលាផ្ទៃ = S = \frac{1}{2}|(x_B\cdot y_A - x_A\cdot y_B) + (x_C\cdot y_B - x_B\cdot y_C) + (x_A\cdot y_C - x_C\cdot y_A)|
right|250px

តាមរយៈរូបខាងស្តាំ f=x_B-x_C,\quad g=y_A-y_C,\quad v=x_A-x_C និង w=y_B-y_C \, ។ 

តាមរូបមន្តទី(៥) ខាងលើ គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ
::S_{ABC} = = \frac{f\times g}{2} - \frac{v \times w}{2} = \frac{(x_B-x_C)\cdot (y_A-y_C)}{2}-\frac{(x_A-x_C\cdot (y_B-y_C)}{2}

ប៉ុន្តែលទ្ធផលនៃការគណនារូបមន្តខាងលើអាចអវិជ្ជមាន អាស្រ័យនឹងទិសដៅនៃមុំដែលត្រូវកំនត់យក។ ហេតុនេះចាំបាត់ត្រូវបំបាត់តំលៃដាច់ខាត គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកំនត់ដោយ
::\frac{1}{2}|(x_B\cdot y_A-x_A\cdot y_B)+(x_C\cdot y_B-x_B\cdot y_C)+(x_A\cdot y_C-x_C\cdot y_A))|

ដោយបូកត្រីកោណទាំងអស់បញ្ចូលគ្នា គេទទួលបានពហុកោណសាមញ្ញមួយ។

*(៧). ក្រលាផ្ទៃ = **S = ចំនួនចំនុចដែលស្ថិតនៅក្នុងត្រីកោណ + ពាក់កណ្តាលនៃចំនួនចំនុចនៅតាមគែមនៃជ្រុងត្រីកោណ &minus; ១**

ចំពោះចតុកោណកែងដែលគែមរបស់វាមានប្រវែង x និង y ស្ថិតនៅតាមក្រលា នោះក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណកែងគឺ x y \, ។ ចំនួននៃចំនុចស្ថិតនៅចំផ្នែកក្នុងដោយមិនលំអៀងនៃចតុកោណកែងគឺ (x-1) (y-1) \, ខណៈដែលចំនួនចំនុចនៅលើគែមនៃចតុកោណកែងគឺ 2x+2y \, ។

ពីព្រោះ (x-1) (y-1)+(2 x+2 y)-1=x y \, ជាលទ្ធផលត្រឹមត្រូវចំពោះចតុកោណកែងនៃទំរង់នេះ។

ចំពោះត្រីកោណកែងដែលគែមដែលខ្លីមានប្រវែង x និង y ស្ថិតនៅតាមផ្ទៃនៃក្រលា នោះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកែងគឺ \frac{1}{2}x y \, ពីព្រោះវា និង រង្វិលរបស់វាប៉ុនគ្នា ហើយរួមគ្នាបង្កើតបាន​ចតុកោណកែង​មួយដែលពុះច្រៀក​ដោយ​អង្កត់ទ្រួងនៃចតុកោណកែងនោះ។ ចំនួននៃចំនុចដែលស្ថិតនៅចំផ្នែកក្នុងត្រីកោណកែងឥតល្អៀងគឺ  \frac{(x-1) (y-1)}{2}-\frac{z}{2} ដែល z ជាចំនួនចំនុចស្ថិតនៅលើអង្កត់ទ្រូង (ប៉ុន្តែមិនស្ថិតនៅលើកំពូលទេ) ខណៈដែលចំនួនចំនុចស្ថិតនៅលើគែមគឺ  x+y+z+1 \, ។

ពីព្រោះ  (x-1) \frac{(y-1)}{2}-\frac{z}{2}+(x+y+z+1)-1=\frac{x y}{2} \, គឺជាលទួ្ធផលត្រឹមត្រូវចំពោះត្រីកោណកែងនៃទំរង់នេះ។

យើងអាចប្រើបច្ចេកទេសពុះបំបែកនេះដើម្បី**ដក**ចំនួននៃត្រីកោណកែងណាមួយចេញពីចតុកោណកែង ដោយមិន​ចាំបាច់​មាន​កន្លះចតុកោណកែង ពីព្រោះ​ក្រលាផ្ទៃ​នៃ​ទ្រង់ទ្រាយ​ដែលនៅសល់ **បូក** នឹងក្រលាផ្ទៃត្រីកោណកែងនោះ​គឺជាក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណកែងដើម។ ចំនួនចំនុចដែល​ស្ថិតនៅ​លើគែម​នៃ​ទ្រង់ទ្រាយ​ដែល​នៅសល់ និង ចំនួនចំនុច នៅលើគែម​នៃ​ត្រីកោណកែង​ **គឺស្មើនឹង** ផលបូកនៃចំនួនចំនុចនៅលើគែមនៃចតុកោណកែង ជាមួយនឹងពីរដងនៃចំនួនចំនុចនៅលើគែម និងជាមួយនឹង ពីរដងនៃចំនួនចំនុចស្ថិតនៅលើត្រីកោណកែង។ ចំនួន​ចំនុច​​ស្ថិត​នៅ​ផ្នែក​ខាង​ក្នុង​នៃទ្រង់ទ្រាយ​ដែល​នៅសល់ និង ផ្នែកខាងក្នុងនៃត្រីកោណកែង​គឺស្មើនឹង​ចំនួនចំនុចស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុងនៃ​ចតុកោណកែង​ដែល​តិចជាង​ចំនួនចំនុច​ស្ថិតនៅ​លើ​គែមមួយ។ ហេតុនេះ​ចំពោះ​ទ្រង់ទ្រាយ​ដែល​នៅសល់​ដែលករណីនេះ​ជាករណីត្រីកោណទូទៅ​ លទ្ធផលគឺថាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណគឺជា​ចំនួនចំនុច​ស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុងនៃ​ត្រីកោណ​បូកនឹង​កន្លះដងនៃចំនួនចំនុចនៅលើគែម ដកនឹង ១ ចេញ។

ដោយដាក់ត្រីកោណបញ្ចូលរួមគ្នា គេអាចទទួលបានលទ្ធផលទូទៅ​ចំពោះពហុកោណសាមញ្ញផងដែរជាមួយនឹងកំពូលត្រង់ចំនុចដែល​ជាចំនួនគត់នៅលើផ្ទៃនៃក្រលា។​

600px|កណ្តាល