ច្បាប់ហ៊ូក

300px|thumb|right| រ៉ឺសរ​មួយ​ក្រោយ​ទាញ​ចុះ​ក្រោម​ប្រវែង x ។ កំលាំង F ប្រឹង​ទាញ​រ៉ឺសរ​អោយ​ទៅ​ទីតាំង​ដើម​វិញ
ក្នុងមេកានិច, និង រូបវិទ្យា, **ច្បាប់ហ៊ូក** នៃ អេឡាស្ទីស៊ីតេ ជា​ការ​ប្រហែល​មួយ​ដែល​ចែង​ថា សាច់លូត​របស់​រ៉ឺសរ​មួយ​សមាមាត្រ​នឹង​បន្ទុក​ដែល​មាន​អំពើលើវា អោយ​តែ​បន្ទុក​នោះ​មិន​មាន​តំលៃ​លើសពីលីមីតអេឡាស្ទិចទេ។ សម្ភារៈ​ដែល​អាច​ប្រើ​ច្បាប់​ហ៊ូក​បាន គេ​ហៅថា សម្ភារៈលីនេអ៊ែរអេឡាស្ទិច រឺ សម្ភារៈ​ហ៊ូក។ ឃ្លា​សាមញ្ញ​របស់​ច្បាប់​ហ៊ូក​បាន​ចែងថា ដេហ្វម៉ាស្យុងសមាមាត្រជាមួយកុងត្រាំង។
តាមបែបគណិតវិទ្យា ច្បាប់ហ៊ូកចែងថា
:\ F=-k x,  
ដែល
:\ x ជាបំលាស់ទី របស់ចុងរ៉ឺសរចេញពីទីតាំងលំនឹងរបស់វា (គិតជា "m" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI);
:\ F  ជាកំលាំងដែលមានអំពើលើរ៉ឺសរ (គិតជា "N" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI); និង
:\ k ជាថេររ៉ឺសរ (គិតជា " N•m-1" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI).

សញ្ញាដក ក្នុងរូបមន្តខាងលើ មានន័យថា កំលាំងមានទិសដៅផ្ទុយពីបំលាស់ទី៖ បើយើងទាញទៅខាងឆ្វេង រ៉ឺសរ​ទាញ​មក​ខាង​ស្ដាំវិញ។ នៅ​ពេល​ដែល​ទំនាក់ទំនង​រវាង​កំលាំង​និង​បំលាស់ទី គោរព​តាម​ច្បាប់​ហ៊ូក គេនិយាយថា រ៉ឺសរ​មាន​លក្ខណៈ​លីនេអ៊ែរ។
ច្បាប់ហ៊ូកត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាម រ៉ូប៊ែរ ហ៊ូក ដែល​ជា​រូបវិទូ​អង់គ្លេស​ក្នុង​សតវត្សរ៍​ទី​១៧។

## អេឡាស្ទិច 
300px|thumb|right| របារ​មាន​មុខ​កាត់ A រង​កំលាំង F
វត្ថុមួយមានលក្ខណៈអេឡាស្ទិចបើវាត្រលប់ទៅជាមានរូបរាងដូចដើមវិញភ្លាមៗក្រោយពីខូចទ្រង់ទ្រាយដោយសារកំលាំងមក ដោយ​ម៉ូលេគុល​រឺ​អាតូម​របស់​សម្ភារៈ​ត្រលប់​ទៅ​សភាព​ដើម​ដែល​ជា​សភាព​មាន​លំនឹង​ស្តាប។  បើបន្ទាប់ពីដកកំលាំងចេញ វត្ថុ​នៅ​សល់​ដេហ្វម៉ាស្យុង​ខ្លះ នោះយើងនិយាយថា វត្ថុនោះមានលក្ខណៈប្លាស្ទិច។ 

យើងពិនិត្យ​របារ​មួយ ដែល​សម្ភារៈ​របស់​វា​អាចចាត់ទុកថាមាន​លក្ខណៈ​អេឡាស្ទិច ដូច្នេះ​របារ​នេះ​ប្រៀប​បាន​ជា​រ៉ឺសរលីនេអ៊ែរមួយ​ដែរ។ របារ​មានប្រវែង \  L មានមុខកាត់ \ A ។ យើង​ចាប់​​ទាញ​របារ​នេះ​ដោយ​កំលាំង \ F ។ តាម​ច្បាប់​ហ៊ូក បំលាស់​ទី \ u សមាមាត្រនឹងកំលាំង \ F ដូច្នេះ

:\ F=k u

យើងមាន
: កុងត្រាំង   \sigma=\frac{F}{A} \implies F= \sigma A
: ដេហ្វម៉ាស្យុង  \epsilon=\frac{u}{L} \implies u=\epsilon L

ដូច្នេះ

: F=k u \implies \sigma A =k \epsilon L 
: \implies \sigma  =\frac{kL}{A} \epsilon =E \epsilon

ដែល \textstyle E  មាន​ឈ្មោះ​ថា ម៉ូឌុល​យ៉ាំង។

ច្បាប់ហ៊ូកផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះសម្ភារៈខ្លះក្រោមលក្ខខណ្ឌបន្ទុកខ្លះតែប៉ុណ្ណោះ។ ដែក មាន​លក្ខណៈ​លីនេអ៊ែរ​អេឡាស្ទិច​នៅ​ក្នុង​ការ​អនុវត្ត​ជាក់ស្ដែង​ក្នុង​វិស័យ​វិស្វកម្ម​ភាគ​ច្រើន ; ច្បាប់​ហ៊ូក​មាន​តំលៃ​ត្រឹមត្រូវ​តែ​នៅ​ក្នុង​ដែន​អេឡាស្ទិច​តែ​ប៉ុណ្ណោះ (ឧទាហរណ៍​ចំពោះ​កុងត្រាំង​តូច​ជាង លីមីតអេឡាស្ទិច)។ សម្ភារៈ​ខ្លះ​ទៀត ដូចជា អាលុយមីញ៉ូម, ច្បាប់​ហ៊ូក​ផ្ទៀងផ្ទាត់​បាន​តែ​នៅ​លើ​ផ្នែក​ណា​មួយ​នៃ​ដែន​អេឡាស្ទិចតែប៉ុណ្ណោះ។ ចំពោះសម្ភារៈបែបនេះ គេ​កំនត់​តំលៃ​កុងត្រាំង​លីមីត​មួយ​ដែល​នៅ​ពេល​កុងត្រាំង​ឋិត​នៅ​ក្រោម​តំលៃ​លីមីតនេះ គេ​អាច​សន្មត​ថា​កុងត្រាំង​សមាមាត្រ​នឹងដេហ្វម៉ាស្យុងបាន ដោយ​មិន​សូវ​ល្អៀងខ្លាំង ដែល​លីមីត​នោះ​គេ​ហៅ​ថា កុងត្រាំងលីមីតសមាមាត្រ។
កៅស៊ូ ត្រូវបានចាត់ទុកជាទូទៅថាមិនមែនជាប្រភេទសម្ភារៈហ៊ូកព្រោះអេឡាស្ទីស៊ីតេរបស់វាអាស្រ័យនឹងកុងត្រាំងនិងប្រែប្រួលខ្លាំងទៅតាមសីតុណ្ហភាពនិងអត្រាកំនើនបន្ទុក។
ការ​អនុវត្តច្បាប់ហ៊ូកមាននៅក្នុងម៉ាស៊ីនថ្លឹងប្រើរ៉ឺសរ ការ​វិភាគ​កុងត្រាំង​និង​ការ​ធ្វើ​ម៉ូដែល​សម្ភារៈ។

## កន្សោម​តង់ស៊័រ​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក
នៅ​ពេលធ្វើ​ការ​ក្នុង​សភាព​កុងត្រាំង 3D, គេ​ត្រូវ​តែ​កំណត់​តង់ស៊័រ​លំដាប់​ទី៤ \mathsf{c} (c_{ijk\ell}) ដែល​មាន​កុំប៉ូសង់​ចំនួន​៨១ ដែល​ជា​មេគុណ​អេឡាស្ទិច, ដើម្បី​ភ្ជាប់​ទំនាក់ទំនង​រវាង​កុងត្រាំង​ \boldsymbol{\sigma} (σ*ij*) និង ដេហ្វរម៉ាស្យុង \boldsymbol{\epsilon} (\epsilon_{k\ell})។
:\boldsymbol{\sigma} = \mathsf{c}:\boldsymbol{\epsilon} ~.

ដោយ​សរសេរ​ ជា​អនុគមន៍​នៃ​កុំប៉ូសង់​ក្នុង​តម្រុយ​កែង,  ទម្រង់​ទូទៅ​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក អាច​សរសេរ​ជា  (ដោយ​ប្រើ​ទម្រង់​បូក​សន្មត​របស់​អាញស្តាញ)

:\sigma_{ij} = c_{ijk\ell}~\epsilon_{k\ell}

តង់ស៊័រ \mathsf{c} មាន​ឈ្មោះ​ថា **តង់ស៊័រ​ stiffness** ឬ **តង់ស៊័រ​អេឡាស្ទីស៊ីតេ**។  ដោយ​សារ​ភាព​ស៊ីមេទ្រី នៃ​តង់ស៊័រ​កុងត្រាំង, តង់ស៊័រ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង និង តង់ស៊័រ stiffness, នោះ គេ​មាន​មេគុណ​អេឡាស្ទិចឯករាជ្យ​ចំនួន​តែ ២១ តែ​ប៉ុណ្ណោះ។ ខ្នាត​របស់​កុងត្រាំង​ដូច​ខ្នាត​របស់​សម្ពាធ,  ដេហ្វរម៉ាស្យុង​គ្មាន​ខ្នាត  ដូច្នេះ មេគុណ c_{ijk\ell} មាន​ខ្នាត​ដូច​សម្ពាធ​ដែរ​។

កន្សោម​ទូទៅ​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក អាច​បញ្ច្រាស​ទាញ​រក​ដេហ្វរម៉ាស្យុង​ជា​អនុគមន៍​នៃ​កុងត្រាំង​បាន និង កំណត់​ដោយ ៖
: \boldsymbol{\epsilon} = \mathsf{s}:\boldsymbol{\sigma} \qquad {\rm or} \qquad
      \epsilon_{ij} = s_{ijk\ell}~\sigma_{k\ell} ~. 

តង់ស៊័រ \mathsf{s} ហៅថា **compliance tensor**។

### សម្ភារៈ​អ៊ីសូត្រូប
សម្ភារៈ​អ៊ីសូត្រូប​មាន​លក្ខណៈ​ពិសេស​ត្រង់​មិន​អាស្រ័យ​នឹង​ទិសក្នុង​លំហ។ ដូច្នេះ​ សមីការ​រូប​សម្រាប់​សម្ភារៈ​អ៊ីសូត្រូប ក៏​ត្រូវ​តែ​មិន​អាស្រ័យ​នឹង​ប្រព័ន្ធ​អ័ក្ស​ ដែរ។ តង់ស៊័រ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង​មាន​ភាព​ស៊ីមេទ្រី។ ដោយ Trace របស់​គ្រប់​តង់ស៊័រ​​ទាំង​អស់​មិន​អាស្រ័យ​នឹង​ប្រព័ន្ធ​តម្រុយ  ដូច្នេះ​ការ​សរសេរ​តង់ស៊័រ​ស៊ីមេទ្រី​មួយ​ដែល​មិន​អាស្រ័យ​នឹង​ប្រព័ន្ធ​អ័ក្ស​ គេ​គួរ​តែ​សរសេរ​ជា​អនុគមន៍​នៃ​ផលបូក​នៃ​តង់ស៊័រ​ថេរ និង តង់ស៊័រ​មាន​ Trace ស្មើ​សូន្យ។ ដូច្នេះ៖

:
  \varepsilon_{ij} = \left(\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right) + 
         \left(\varepsilon_{ij}-\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right) 

ដែល \delta_{ij} ជា​ សញ្ញា​ Kronecker។

តួ​ទី​មួយ​នៃ​អង្គ​ខាង​ស្ដាំ ជា​តង់ស៊័រ​ថេរ  ដែល​គេ​ហៅ​ថា **តង់ស៊័រ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង​មាឌ**  និង តួ​ទី​ពីរ ជា​តង់ស៊័រ​ស៊ីមេទ្រី​ មាន​ Trace ស្មើ​សូន្យ  ដែល​គេ​ហៅ​ថា **តង់ស៊័រ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង​លំងាក**  ឬ **តង់ស៊័រ​កាត់​**។

ទម្រង់​ទូទៅ​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក សម្រាប់​សម្ភារៈ​អ៊ីសូត្រូប ជា​បន្សំ​លីនេអ៊ែរ​នៃ​តង់ស៊័រ​ទាំង​ពីរ ៖

:
  \sigma_{ij}=3K\left(\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)
       +2G\left(\varepsilon_{ij}-\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)

ដែល *K* ជា​ ម៉ូឌុល​ bulk និង *G* ជា​ ម៉ូឌុល​កាត់​ ។ ទម្រង់​នេះ​អាច​សម្រួល​មក​ជា ៖

: \sigma_{ij}=\frac{E}{1+\nu }\left( \varepsilon_{ij}+\frac{\nu }{1-2\nu }\varepsilon_{kk}\delta _{ij}\right) 

ដែល៖
:-    \sigma_{ij}  = កុងត្រាំង 
:-    E\  = ម៉ូឌុលយ៉ាំង (Young)
:-    \nu  = មេគុណ Poisson 

ទំរង់បញ្ចេញរបស់ច្បាប់នេះគឺៈ

:
  \begin{align}
  \varepsilon_{11} & = \tfrac{1}{E}\left[ \sigma_{11} - \nu(\sigma_{22}+\sigma_{33}) \right] \\
  \varepsilon_{22} & = \tfrac{1}{E}\left[\sigma_{22} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{33}) \right] \\
  \varepsilon_{33} & = \tfrac{1}{E}\left[\sigma_{33} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{22}) \right] \\
  \varepsilon_{12} & = \tfrac{1}{2G}~\sigma_{12} ~;~~
  \varepsilon_{13} = \tfrac{1}{2G}~\sigma_{13} ~;~~
  \varepsilon_{23} = \tfrac{1}{2G}~\sigma_{23}
  \end{align}

ក្រោម​ទម្រង់​ម៉ាទ្រីស ច្បាប់​ហ៊ូក​សម្រាប់​សម្ភារៈ​អ៊ីសូត្រូប​អាច​សរសេរ​ជា ៖

:
   \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{31} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} = 
   \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{31} \\ \gamma_{12} \end{bmatrix} = 
   \cfrac{1}{E}
   \begin{bmatrix} 1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0 \\
                   -\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0 \\
                   -\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 2(1+\nu) & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & 2(1+\nu) & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2(1+\nu) \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
 

ដែល \gamma_{ij} := 2\varepsilon_{ij} ជា​ **ដេហ្វរម៉ាស្យុង​កាត់​វិស្វកម្ម**។  ទម្រង់​ច្រាស​អាច​សរសេរ​ជា
 
:
   \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
   = \cfrac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
   \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\
                   \nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\
                   \nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & (1-2\nu)/2 & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & (1-2\nu)/2 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (1-2\nu)/2 \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{31} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} 
 

ដោយ​ប្រើ​ថេរ ឡាមេ (Lamé) \lambda = K - 2/3 G និង \mu = G , ទម្រង់​នេះ​អាច​សម្រួល​ទៅ​ជា

:
   \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
   = 
   \begin{bmatrix} 2\mu+\lambda & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\
                   \lambda & 2\mu+\lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\
                   \lambda & \lambda & 2\mu+\lambda & 0 & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{31} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} 

#### ច្បាប់​ហ៊ូក​សម្រាប់​សភាព​ប្លង់​នៃ​កុងត្រាំង​
ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​សភាព​ប្លង់​នៃ​កុងត្រាំង យើង​មាន \sigma_{33} = \sigma_{31} = \sigma_{13} = \sigma_{32} = \sigma_{23} = 0។  ក្នុង​ករណី​នេះ ច្បាប់​ហ៊ូក​ មាន​រាង

:
   \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} = \cfrac{1}{E}
   \begin{bmatrix} 1 & -\nu & 0 \\
                   -\nu & 1 & 0 \\
                    0 & 0 & 2(1+\nu) \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
 

ទម្រង់​ច្រាស​ អាច​សរសេរ​ជា

:
   \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
   = \cfrac{E}{1-\nu^2}
   \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\
                   \nu & 1 & 0 \\
                   0 & 0 & \cfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} 
 

### សម្ភារៈ​អានីសូត្រូប
ដោយ​សារ​ភាព​ស៊ីមេទ្រី នៃ​កុងត្រាំង​កូស៊ី (\sigma_{ij} = \sigma_{ji}\,) និង​ទម្រង់​ទូទៅ​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក (\sigma_{ij} = c_{ijk\ell}~ \epsilon_{k\ell}) យើង​ទាញ​បាន​ថា c_{ijk\ell} = c_{jik\ell}\,។ ដូចគ្នា ភាព​ស៊ីមេទ្រី​នៃ តង់ស៊័រ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង​អតិសុខុម នាំ​ឱ្យ c_{ijk\ell} = c_{ij\ell k}\,។  ភាព​ស៊ីមេទ្រី​ទាំង​នេះ មាន​ឈ្មោះ​ថា **ស៊ីមេទ្រី​តូច** នៃ​ **តង់ស៊័រ​ stiffness** (\mathsf{c}) ។

ជាង​នេះ​ទៅ​ទៀត ដោយ​សារ​ក្រាដ្យង់បំលាស់ទី និង កុងត្រាំង​កូស៊ី ជា​កម្មន្តឆ្លាស់  នោះ​ទំនាក់ទំនង​កុងត្រាំង​ដេហ្វរម៉ាស្យុង អាច​កំណត់​ចេញ​ពី​អនុគមន៍​ដង់ស៊ីតេ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង (U), ដូច្នេះ

:
 \sigma_{ij} = \cfrac{\partial U}{\partial \epsilon_{ij}} \quad \implies \quad
c_{ijk\ell} =  \cfrac{\partial^2 U}{\partial \epsilon_{ij}\partial \epsilon_{k\ell}}~.
 

ដោយ​សារ​លំដាប់លំដោយ​នៃ​ការ​ដេរីវេ​​គ្មាន​ភាព​​សំខាន់  នោះ  c_{ijk\ell} = c_{k\ell ij}\,។ លក្ខណៈ​នេះ​ហៅ​ថា **ស៊ីមេទ្រី​ធំ** នៃ​តង់ស៊័រ stiffness tensor ។ ស៊ីមេទ្រី​ធំ និង ស៊ីមេទ្រី​តូច បង្ហាញ​ថា ម៉ាទ្រីស stiffness មាន​កុំប៉ូសង់​ដាច់​គ្នា​ ចំនួន​តែ​ ២១ តែ​ប៉ុណ្ណោះ។

#### ទម្រង់​ម៉ាទ្រីស នៃ​តង់ស៊័រ Stiffness 
ជាទូទៅ គេតែង​​តែ​សរសេរ​ទម្រង់​អានីសូត្រូប​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក ក្រោម​ទម្រង់​ម៉ាទ្រីស  ដែល​គេ​ហៅ​ថា ទម្រង់ Voigt ។ ដើម្បី​សរសេរ​ជា​ទម្រង់​ម៉ាទ្រីស  គេទាញ​យក​ប្រយោជន៍ពី​ភាព​ស៊ីមេទ្រី​របស់​តង់ស៊័រ​កុងត្រាំង និង ដេហ្វរម៉ាស្យុង ហើយ​សរសេរ​ពួក​វា​ជា​វ៉ិចទ័រ​មាន​ ៦ កុំប៉ូសង់​ ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​តម្រុយ​កែង(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3) ជា 

:
   [\boldsymbol{\sigma}] = \begin{bmatrix}\sigma_{11}\\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} \equiv
\begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} ~;~~
[\boldsymbol{\epsilon}] = \begin{bmatrix}\epsilon_{11}\\ \epsilon_{22} \\ \epsilon_{33} \\ 2\epsilon_{23} \\ 2\epsilon_{31} \\ 2\epsilon_{12} \end{bmatrix} \equiv
\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \epsilon_3 \\ \epsilon_4 \\ \epsilon_5 \\ \epsilon_6 \end{bmatrix}
 

ដូច្នេះ តង់ស៊័រ​ stiffness (\mathsf{c}) អាច​សរសេរ​ជា
:
   [\mathsf{C}] = \begin{bmatrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & c_{1123} & c_{1131} & c_{1112} \\
      c_{2211} & c_{2222} & c_{2233} & c_{2223} & c_{2231} & c_{2212} \\
c_{3311} & c_{3322} & c_{3333} & c_{3323} & c_{3331} & c_{3312} \\
c_{2311} & c_{2322} & c_{2333} & c_{2323} & c_{2331} & c_{2312} \\
c_{3111} & c_{3122} & c_{3133} & c_{3123} & c_{3131} & c_{3112} \\
c_{1211} & c_{1222} & c_{1233} & c_{1223} & c_{1231} & c_{1212} 
     \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix}
  C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55} & C_{56} \\
C_{16} & C_{26} & C_{36} & C_{46} & C_{56} & C_{66} \end{bmatrix}
 

និង​ច្បាប់ហ៊ូក សរសេរ​ជា

:
   [\boldsymbol{\sigma}] = [\mathsf{C}][\boldsymbol{\epsilon}]
 
ឬ
:
   \qquad \sigma_i = C_{ij} \epsilon_j
 

ស្រដៀង​គ្នា​ដែរ តង់ស៊័រ compliance (\mathsf{s}) អាច​សរសេរ​ជា
:
   [\mathsf{S}] = \begin{bmatrix}
s_{1111} & s_{1122} & s_{1133} & 2s_{1123} & 2s_{1131} & 2s_{1112} \\
s_{2211} & s_{2222} & s_{2233} & 2s_{2223} & 2s_{2231} & 2s_{2212} \\
s_{3311} & s_{3322} & s_{3333} & 2s_{3323} & 2s_{3331} & 2s_{3312} \\
2s_{2311} & 2s_{2322} & 2s_{2333} & 4s_{2323} & 4s_{2331} & 4s_{2312} \\
2s_{3111} & 2s_{3122} & 2s_{3133} & 4s_{3123} & 4s_{3131} & 4s_{3112} \\
2s_{1211} & 2s_{1222} & 2s_{1233} & 4s_{1223} & 4s_{1231} & 4s_{1212} 
 \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 
S_{11} & S_{12} & S_{13} & S_{14} & S_{15} & S_{16} \\
S_{12} & S_{22} & S_{23} & S_{24} & S_{25} & S_{26} \\
S_{13} & S_{23} & S_{33} & S_{34} & S_{35} & S_{36} \\
S_{14} & S_{24} & S_{34} & S_{44} & S_{45} & S_{46} \\
S_{15} & S_{25} & S_{35} & S_{45} & S_{55} & S_{56} \\
S_{16} & S_{26} & S_{36} & S_{46} & S_{56} & S_{66} \end{bmatrix}
 

## ឯកសារ​យោង​
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:មេកានិច