ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស

នៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ **ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស** (ឬ​​ច្បាប់ស៊ីនុស ឬ​​រូបមន្តស៊ីនុស) ជា​ទ្រឹស្តីបទ​​សិក្សា​​អំពី​​ត្រីកោណ​នៅ​ក្នុង​ប្លង់។ 

## ទ្រឹស្តីបទ 
[រូបតូច|ស្តាំ|[ត្រីកោណ ABC ដែលមានជ្រុង a, b, c, ក្រលាផ្ទៃ S រង្វង់ចារឹកក្រៅកាំ R និងមុំ A, B, C]]
គេមាន​ត្រីកោណ ABC ដែលមានជ្រុង a, b និង c និង A, B និង C ជាមុំឈមនៃជ្រុងទាំងនេះ(∠A=*A*, ∠B=*B*, ∠C=*C*) និងR \, ជាកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC នោះគេបាន​​ទ្រឹស្តីបទ​ស៊ីនុស​​បង្ហាញដូចខាងក្រោម
:\color{blue}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

ទ្រឹស្តីបទ​​នេះ​​ត្រូវ​បាន​គេ​​ប្រើប្រាស់​​ដើម្បី​​គណនា​​ជ្រុង​​នៃ​ត្រីកោណ​ដែលនៅសល់ ប្រសិនបើគេស្គាល់តំលៃនៃមុំ២ និង​ជ្រុង​មួយ។ វា​ក៏​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​បាន​ដែល នៅ​គេ​ស្គាល់​ជ្រុង​ពីរ និង​មុំ​មួយ។ 

:\begin{align}
2R = \frac{abc} {2S} & {} = \frac{abc} {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \\
& {} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4) }}
\end{align}

ដែល S \, ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ និង p \, ជាកន្លះបរិមាត្រ។

:p = \frac{a+b+c} {2}

## សំរាយបញ្ជាក់ 
រូបតូច|ស្តាំ|△ABC កំពស់ h គូសចេញពីកំពូល C
* '*** \color{blue}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} 

គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុងរៀងគ្នា a, b, c និងមុំ A B C បង្ហាញដូចរូបខាងស្តាំ។ h ជា​កំពស់​គូស​ចេញ​ពី​កំពូល C មកជ្រុង AB ។ តាម​និយមន័យ​វា​ចែក​ត្រីកោណ ABC ជា​ពីរ​ត្រីកោណកែង​។ គេ​បាន

:\sin A = \frac{h}{b}   &nbsp;&nbsp;និង&nbsp;&nbsp; \sin B = \frac{h}{a} 
:\Rightarrow h = b\,(\sin A) = a\,(\sin B)
:\Rightarrow \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \,\,\, (1)

ដូចគ្នា​ដែរ​ចំពោះ​កំពស់​គូស​ចេញ​ពី​កំពូល A មក​ជ្រុង BC នៃ​ត្រីកោណ គេបាន

:: \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \,\,\, (2)

(1) \, និង (2) \, យើង​បាន
:\color{blue}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} 

----

* **** \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} =\color{magenta}2R

គេមានត្រីកោណ ABC ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R និង BC=a ,\quad \angle A=A
:: **(ក) - ករណី** 0  (មុំ A ជាមុំស្រួច)
ស្តាំ|រូបតូច|250px|

BD ជា​អង្កត់ផ្ចិត​នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ​ត្រីកោណ នោះ​ចំនុច D គឺ​ស្ថិត​នៅ​លើ​រង្វង់ ។ 

នាំអោយ BD = 2R \, (R ជាកាំរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ) 

ដោយ​យោង​តាម​ទ្រឹស្តីបទ​មុំចារឹកក្នុងរង្វង់ គេបាន
: \angle A = \angle D \, (មុំ A ស្មើមុំ D)

BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ នោះគេបាន
: {\rm BD} = 2R ,\  និង  \angle {\rm BCD} = {\pi \over 2}\ 

តាង  \angle {\rm BDC} = \angle D = D  គេបាន
::  \sin D = \frac{BC}{BD} = {a \over 2R} \qquad \Rightarrow \frac{a}{\sin D} = 2R 

ដោយមុំ D = A គេបាន  {a \over \sin A} = 2R 

តាមរយៈវិធីដូចគ្នាចំពោះផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន
::  {b \over \sin B} = 2R 
::  {c \over \sin C} = 2R 

ហេតុនេះ \color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R 

:: **(ខ) - ករណី**  \angle A = \frac{\pi}{2} (មុំ A ជាមុំកែង)
ស្តាំ|រូបតូច|250px|ករណីមុំ A = ៩០០

មុំ A ជាមុំកែង គេបាន BC ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ
::BC = 2R = a \,
::\Rightarrow \sin A = \sin \frac{\pi}{2} = 1 
::\Rightarrow \frac{a}{\sin A} = \frac{2R}{1} = 2R  \qquad \color{blue} (i)

ABC ជាត្រីកោណកែង គេបាន
: \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a} = \frac{b}{2R} \qquad \frac{b}{\sin B} = 2R \qquad \color{blue} (ii)
: \sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a} = \frac{c}{2R} \qquad \frac{c}{\sin C} = 2R \qquad \color{blue} (iii)

តាម\color{blue} (i) \quad (ii)  និង \color{blue} \quad (iii) យើងបានទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស
:\color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R 

:: **(គ) - ករណី** \frac{\pi}{2}  (មុំ A ជាមុំទាល)
ស្តាំ|រូបតូច|250px|

ករណី BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ គេបានចំនុច D ស្ថិតនៅលើរង្វង់។ យោង​តាម​លក្ខណៈ​​រង្វង់ចារឹកក្រៅចតុកោណ (=ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់)​​គេបាន
:A + D = \pi \qquad D = \pi  - A \, (ដែល A =\angle A,\quad D =\angle D \, )
:\Rightarrow \sin D = \sin (\pi - A) = \sin A

BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ
: \Rightarrow BD = 2R \,

BCD ជាត្រីកោណកែង​ត្រង់ C គេបាន
:\sin A = \sin D = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R} \qquad \Rightarrow \frac{a}{\sin A} = 2R

ធ្វើដូចគ្នាដែរចំពោះមុំផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន
:\frac{b}{\sin B} = 2R
:\frac{c}{\sin C} = 2R

ហេតុនេះ \color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R 

សនិដ្ឋាន: ដូចនេះគេបាន​ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស \color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R  ផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ករណីទាំងបីខាងលើ។ 

## បំណក​ស្រាយ​ទ្រឹស្តីបទ​ស៊ីនុស​ដោយប្រើ​ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស 
320px|thumb|right|\begin{align}a&=BH+HC\\ &=AB\cdot \cos B + AC\cdot \cos C\\ &= {\color{blue}c\cos B + b\cos C} \\ \Rightarrow b&=a\cos C +c \cos A \\ \Rightarrow c&=a\cos B +b \cos A  \end{align}
ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

:\begin{align}a^{2}&=b^{2}+c^{2}+2bc\cos{(B+C)} \\ &=b^{2}+c^{2}+2bc\cos{B}\cos{C}-2bc\sin{B}\sin{C} \\ &=(b\cos{C}+c\cos{B})^{2}+(b\sin{C}-c\sin{B})^{2} \\ &=a^{2}+(b\sin{C}-c\sin{B})^{2} \\ & \Rightarrow b\sin{C}-c\sin{B} = 0 \\ & \Longleftrightarrow \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}} \qquad \color{MidnightBlue} (i) \end{align}

ដូចគ្នាដែរចំពោះ 
:b^{2}=a^{2}+c^{2}+2ac\cos{(A+C)} \Rightarrow \frac{a}{\sin{A}}=\frac{c}{\sin{C}} \qquad \color{MidnightBlue} (ii) 
:c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos{(A+B)} \Rightarrow \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}} \qquad \color{MidnightBlue} (iii) 

ដូចនេះ តាម \color{MidnightBlue} (i), \quad (ii)   និង \color{MidnightBlue} (iii)  គេបាន
:\color{magenta}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} 

## អនុវត្ត 
គេមាន​ត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a, b​, c​ ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R ។ ស្រាយបំភ្លឺថាៈ 
: a \cos A + b \cos B + c \cos C = \frac{2S} {R}

ដែល  S \, ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ។

**ដំណោះស្រាយ*'

តាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសនៃត្រីកោណ ABC ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R 
:\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \Rightarrow
\begin{cases}
 a =  2Rsin A\\
 b = 2Rsin B \\
 c= 2Rsin C \\
 \end{cases}
 

យើងបាន: 

\begin{align} 
acos A + bcos B + ccos C &= 2Rsin Acos A + 2Rsin Bcos B + 2Rsin Ccos C \\
&=R( 2sin Acos A + 2sin Bcos B + 2sin Ccos C )\\
&=R( 2sin Acos A + sin 2B + sin 2C )\\
&=R[ 2sin Acos A + 2sin (B+C)  cos(B-C) ]\\
&=R[ 2sin Acos A + 2sin A  cos(B-C) ] \\
 & (B+C = \pi - A \Rightarrow  sin (B+C) = sin (\pi - A) = sin A)\\
&=2R sin A[cos (B-C) -  cos(B+C) ] \\
 & (A = \pi - (B+C) \Rightarrow  cos A = cos [\pi - (B+C)] = -cos (B+C)\\
&=2Rsin A \cdot 2sin B sin C \\
&=4Rsin A \cdot sin B sin C \\
&=4R \cdot \frac{a} {2R} \cdot \frac{b} {2R} \cdot \frac{c} {2R} \\
&= \frac{abc} {2R^2} \,\,\,\, (1) \\
\end{align}

\ S ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R \Rightarrow S = \frac{abc} {4R} \Rightarrow abc = 4RS

ជំនួស abc ក្នុង (1) \, យើងបាន

acos A + bcos B + ccos C =  \frac{4RS} {2R^2} = \frac{2S} {R}

ដូចនេះ
:acos A + bcos B + ccos C = \frac{2S} {R}

## ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសក្នុងត្រីកោណមាត្រស្វ៊ែរ 
200ភស|រូបតូច|ស្តាំ|ត្រីកោណស្វ៊ែរ ABC
គេមានត្រីកោណស្វ៊ែរ ABC ស្ថិតនៅលើស្វ៊ែរដែលមានផ្ចិត O កាំ \rho \, ដូចក្នុងរូបខាងស្តាំ នោះ​ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស​អាចសរសេរ
: {{\sin a} \over {\sin A}} = {{\sin b} \over {\sin B}} = {{\sin c} \over {\sin C}} = \frac{6 V_{\mathrm{OABC}}}{\rho^3\sin a\,\sin b\,\sin c} 

ដែល

* \alpha = \angle A \, 
* \beta = \angle B \, 
* \gamma = \angle C \,
* V_{\mathrm{OABC}} \, ជាមាឌនៃតេត្រាអែត OABC ។

## សូមមើលផងដែរ 
* ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស
* អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
* ទ្រឹស្តីបទតង់សង់

ស៊ីនុស
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ត្រីកោណមាត្រ
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:មុំ