បំលែងឡាប្លាស

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា **បំលែងឡាប្លាស** (Laplace transform) ជាបំលែងអាំងតេក្រាលដ៏ល្បីល្បាញមួយក្នុងចំនោមបំលែងជាច្រើន ដែលត្រួវបានគេប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ វាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់​ជាទូទៅដើម្បីធ្វើអោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា​ទៅជាសមីការពិជគណិត​ដែលងាយៗ​ដើម្បីសំរួល​ក្នុងដោះស្រាយ។ បំលែងឡាប្លាសត្រូវបានគេប្រើក្នុងការអនវត្តន៍សំខាន់ៗជាច្រើនក្នុង​គណិតវិទ្យា អុបទិក វិស្វកម្មអគិ្គសនី control engineering , signal processing និងួទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។ 

ក្នងគណិតវិទ្យា ត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និង សមីការអាំងតេក្រាល។

## ប្រវត្តិ 
thumb|right|រូបភាព​លោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស​ក្នុងឆ្នាំ១៨៤២
បំលែងឡាប្លាសត្រូវដាក់ឈ្មោះដោយផ្តល់កិត្តិយល់ដល់គណិតវិទូ និង តារាវិទូជនជាតិបារាំងគឺលោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស (Pierre-Simon Laplace) ដែលបានប្រើប្រាស់​បំលែងនេះក្នុងកិច្ចការ​របស់គាត់ចំពោះទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។

ពីឆ្នាំ១៧៤៤ លេអុណាដ អឺលែរ (Leonhard Euler) បានធ្វើការសង្កេតទៅលើអាំងតេក្រាលដែលមានទំរង់៖

: z = \int X(x) e^{ax}\, dx \, និង  z = \int X(x) x^A \, dx

## និយមន័យ 
បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ f(t) ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត t ≥ 0 គឺជាអនុគមន៍ F(s) កំនត់ដោយ៖
:F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_{0}^\infty e^{-st} f(t) \,dt 

ដែល  \int_{0}^\infty e^{-st} f(t) \,dt  ត្រូវបានគេហៅថា**អាំងតេក្រាលឡាប្លាស**។

## រូបមន្តគ្រឹះ 
## លក្ខណៈនិងទ្រឹស្តីបទ 
គេមានអនុគមន៍ f(t) , g(t) និងបំលែងឡាប្លាសរបស់វារៀងគ្នា F(s) ,G(s):

: f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{  F(s) \} , \qquad g(t) = \mathcal{L}^{-1} \{  G(s) \} 

គេបានតារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាសដូចខាងក្រោម
 F \left ( {s \over a} \right )
	| 
|-
 ! 
	|  e^{at} f(t)  \ 
	|  F(s - a) \ 
	| 
|-
 ! 
	|  f(t - a) u(t - a) \ 
	|   e^{-as} F(s) \ 
	|   u(t) \, ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ
|-
 !
	|  (f * g)(t) \ 
	|  F(s) \cdot G(s) \ 
	| 
|-
 ! អនុគមន៍ខួប
	|  f(t) \ 
	| {1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt 
	| f(t) \, ជាអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T ដែលf(t) = f(t + T), \; \forall t\ge 0
|}

* **ទ្រឹស្តីបទតំលៃដើម**:
: f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}

* **ទ្រឹស្តីបទតំលៃចុងបំផុត**:
: f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)},ប្រសិនបើគ្រប់ប៉ូលនៃ  sF(s)  គឺស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ដៃខាងឆ្វេង។
### លក្ខណៈលីនេអ៊ែរ 
: \mathcal{L}\left\{a f + b g \right\}
  = a\, \mathcal{L}\left\{ f \right\} +
    b\, \mathcal{L}\left\{ g \right\}
### ដេរីវេ 
: \mathcal{L}\{f'\}
  = p \mathcal{L}\{f\} - f(0+)
: \mathcal{L}\{f''\}
  = p^2 \mathcal{L}\{f\} - p f(0+) - f'(0+)
: \mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\}
  = p^n \mathcal{L}\{f\} - p^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)

: \mathcal{L}\{ t f(t)\}
  = -F'(p)
: \mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t} \right\} = \int_p^\infty F(\sigma)\, d\sigma

រូបមន្តទី៥អាចត្រូវបានបង្ហាញលក្ខណៈ

: ចេញពីនិយមន័យនៃ \mathcal\, F(\sigma)=\int_0^{\infty}e^{-pt}f(t)dt{\mid}_{p=\sigma} \, 
:និង :\mathcal\, \int_p^{\infty}F(\sigma)d{\sigma}=\int_0^{\infty}\int_p^{\infty}e^{-{\sigma}t}f(t)dtd{\sigma}\,

:\mathcal\, \Longrightarrow \int_p^{\infty}F({\sigma})d{\sigma}=\int_0^{\infty}f(t)dt \cdot \int_p^{\infty}e^{-{\sigma}t}d{\sigma} \,

ដោយការគណនាអាំងតេក្រាល
:\mathcal\, \int_p^{\infty}F(\sigma)d{\sigma}=\int_0^{\infty}f(t)dt \cdot (\frac{1}{t}e^{-pt}) \,

:ដែលជាបំលែងនៃ \mathcal\, \frac{f(t)}{t} \, ដូច្នេះ \mathcal\, \mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\} \,

:ដូច្នេះ :\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t} \right\} = \int_p^\infty F(\sigma)\, d\sigma
### អាំងតេក្រាល 
: \mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau) d\tau \right\}
  = {1 \over p} \mathcal{L}\{f\}

: \mathcal{L}\left\{ \int_a^t f(\tau) d\tau \right\}
  = {1 \over p} \mathcal{L}\{f\}+ {1 \over p}\int_a^0 f(\tau)d\tau 
### តំលៃចុងក្រោយ 
: \lim_{t \to +\infty} f(t)=\lim_{p \to 0} pF(p)
### តំលែដើម 
: \lim_{t \to 0+} f(t)=\lim_{p \to +\infty} pF(p)
### Convolution 
: \mathcal{L}\{f * g\}
  = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}
### បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T 
: \mathcal{L}\{ f \}
  = {1 \over 1 - e^{-Tp}} \int_0^T e^{-pt} f(t)\,dt

* គេអាចបង្ហាញរូបមន្តនៃលក្ខណៈដូចតទៅ៖
:\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-pt}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-pt}f(t)dt{\mid}_{t=u}+\int_{T}^{2T}e^{-pt}f(t)dt{\mid}_{t=u+T}\int_{2T}^{3T}e^{-pt}f(t)dt{\mid}_{t=u+2T}+...\,

:\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-pt}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-pt}f(u)du+\int_{T}^{2T}e^{-p(u+T)}f(u+T)du+\int_{2T}^{3T}e^{-p(u+2T)}f(u+2T)du+...\,

:\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-pt}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-pu}f(u)du+e^{-pT}\int_{0}^{T}e^{-pu}f(u)du+e^{-2pT}\int_{0}^{T}e^{-pu}f(u)dT+...\,

គេផ្តុំតួរនីមួយៗ:
:\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-pt}f(t)dt=(1+e^{-pT}+e^{-2pT}+...)\int_{0}^{T}e^{-pT}f(T)du{\mid}_{u=t} \,

ដូចនេះ \mathcal{L}\{ f \}={1 \over 1 - e^{-Tp}} \int_0^T e^{-pt} f(t)\,dt

## តារាងរូបមន្តសង្ខេបបំលែងឡាប្លាស 
តារាងខាងក្រោមផ្តល់នូវរូបមន្តបំលែងឡាប្លាសទូទៅនៃអថេរមួយ។ ចំពោះនិយមន័យនិងសេចក្តីពន្យល់សូមមើល**សំគាល់ផ្នែកខាងចុងនៃតារាង**។ 
* បំលែងឡាប្លាសនៃផលបូកគឺជាផលបូកនៃបំលែងឡាប្លាសនៃតួរនិមួយៗ។

::\mathcal{L}\left\{f(t) + g(t) \right\}  = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}  

* បំលែងឡាប្លាសច្រើនដងនៃអនុគមន៍មួយគឺ​មានបំលែងឡាប្លាសជាចំនួនច្រើនដងនៃអនុគមន៍នោះ។
::\mathcal{L}\left\{a f(t)\right\}  = a \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}

បំលែងឡាប្លាសតែឯងគឺពិតជាត្រឹមត្រូវនៅពែល t ជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន ដែលគ្រប់អនុគមន៍ដើមក្នុងតារាងគឺជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយជាច្រើន u(*t*) ។ 

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:បំលែងអាំងតេក្រាល