ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា

[thumb|right|ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា: ករណីទី១: [បន្ទាត់​បី​ប្រសព្វ​គ្នា​ត្រង់​ចំនុច O ផ្នែក​ខាង​ក្នុង​ត្រីកោណ ABC]]

[thumb|250 px|right|ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា: ករណីទី២: [បន្ទាត់​ទាំងបី​ប្រសព្វ​គ្នា​ត្រង់​ចំនុច O ផ្នែក​ខាង​ក្រៅ​​ត្រីកោណ ABC]]

**ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា** (Ceva's theorem) គឺជាទ្រឹស្តីបទធរណីមាត្រក្នុងប្លង់។

## ទ្រឹស្តីបទ 
គេមានត្រីកោណ និងចំនុច D, E, និង F ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់រៀងគ្នា (BC), (CA), និង (AB) ។ ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ាពោលថា បន្ទាត់ (AD), (BE) និង (CF) ប្រសព្វត្រង់ចំនុចតែមួយលុះត្រាតែ

:\color{magenta}{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1 

វាក៏មានទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ាផងដែរ គឺថា បន្ទាត់ (AD), (BE), (CF) ប្រសព្វត្រង់ចំនុចតែមួយលុះត្រាតែ

:\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD}\times\frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle BCF}\times\frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle ABE}=1 

ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ដោយ​គណិតវិទូអ៊ីតាលី​ឈ្មោះ Giovanni Ceva ក្នុងឆ្នាំ ១៦៧៨ ប៉ុន្តែវាត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់អោយងាយស្រួលដោយ​អ្នកគណិតវិទ្យា​ជនជាតិអារ៉ាប់​ឈ្មោះ Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd ដែលជាព្រះមហាក្សត្រនៅសតវត្សទី១១ នៃ Zaragoza ។

រួមជាមួយនឹងរូបភាពនៅខាងស្តាំ ពាក្យមួយចំនួនត្រូវបានទាញចេញពីឈ្មោះឆិវ៉ា ដូចជា: បន្ទាត់ឆិវៀន (បន្ទាត់ (AD), (BE), (CF) ឆិវៀននឹង O), ត្រីកោណឆិវ៉ា (ត្រីកោណ DEF ជាត្រីកោណឆិវ៉ានៃ O) ជាដើម។

## បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទ 
ឧបមាថាគេមានបន្ទាត់ (AD), (BE) និង (CF) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំនុច O ។ ដោយសារ \triangle BOD \, និង \triangle COD \, មានកំពស់ដូចគ្នា គេបាន
: \frac{S_{BOD}}{S_{COD}}=\frac{BD}{DC}

ដូចគ្នាដែរ

: \frac{S_{BAD}}{S_{CAD}}=\frac{BD}{DC}

គេបាន

: \frac{BD}{DC}=
\frac{S_{BAD}-S_{BOD}}{S_{CAD}-S_{COD}}
=\frac{S_{ABO}}{S_{CAO}}

ដូចគ្នាដែរ

: \frac{CE}{EA}=\frac{S_{BCO}}{S_{ABO}}

និង

: \frac{AF}{FB}=\frac{S_{CAO}}{S_{BCO}}

ដោយធ្វើប្រមាណវិធីគុណចំពោះសមីការទាំងបីខាងលើ គេបាន

: \frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1

## បំណាកស្រាយច្រាសមកវិញ 
ឧបមាថាគេមានចំនុច D, E និង F ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការខាងលើ។ តាង (AD) និង (BE) ជាបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាត្រង់ O និងតាង F' \, ជាចំនុចប្រសព្វនៃ (CO) និង (AB) ។ យើងគ្រាន់តែបង្ហាញថា
:  \frac{AF'}{F'B} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1

ដោយប្រៀបធៀបនឹងសមភាពខាងលើ យើងបាន
: \frac{AF'}{F'B}=\frac{AF}{FB} 

បូកអង្គសងខាងនឹង ១ និងប្រើ AF' + F'B = AF + FB = AB \, យើងបាន
:  \frac{AB}{F'B}=\frac{AB}{FB}

ហេតុនេះ F'B = FB \, មានន័យថា F \, និង F' \, ត្រួតស៊ីគ្នា (ជាចំនុចតែមួយ) ។ ដូចនេះ (AD), (BE) និង (CF) (CF = CF' \,) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ O និងទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។

## បំណកស្រាយចំពោះទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃទ្រឹស្តីបទ 
ចែកត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណតូចចំនួនបីគឺ ត្រីកោណ AOB, BOC និង COA ។ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសចំពោះត្រីកោណនិមួយៗ យើងបាន
: \frac{\sin\angle OAB}{\sin\angle OBA}=\frac{OB}{OA} \text{  ; } \frac{\sin\angle OBC}{\sin\angle OCB}=\frac{OC}{OB}\text{  ; } \frac{\sin\angle OCA}{\sin\angle OAC}=\frac{OA}{OC}

នៅពេលយើងគុណសមីការទាំងបី អង្គខាងស្តាំនឹងស្មើ ១ ។ ស៊ីនុសចំនួន៦នៅអង្គខាងធ្វេងដោយផ្តុំតួនីមួយៗឡើងវិញនិងដាក់ជាកន្សោម គេនឹងបានទ្រឹស្តីបទទំរង់ត្រីកោណមាត្រដូចដែលបានពោល។

## ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ាចំពោះអង្កត់ធ្នូ 
ស្តាំ|ស៊ុម|
តាង A B C D E និង F ជា៦ចំនុចរៀងគ្នាជុំវិញបរិវេណរង្វង់មួយ នោះគេបានអង្កត់ធ្នូប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំនុចតែមួយ លុះត្រាតែ
: AB \cdot CD \cdot EF = BC \cdot DE \cdot FA

**(ក) សំរាយបញ្ជាក់ ១**

ឧបមាថា AD, BE, CF ប្រសព្វគ្នាត្រង់ M ។ តាមរយៈលក្ខណៈត្រីកោណដូចគ្នា យើងបានសមាមាត្រដូចតទៅ
*  \frac{AB}{DE} = \frac{MA}{ME}

* \frac{EF}{BC} = \frac{MF}{MB}

* \frac{CD}{FA} = \frac{MC}{MA}

* \frac{MC}{ME} = \frac{MB}{MF}

ដោយគុណសមីការខាងលើបញ្ចូលគ្នា យើងបាន
:  \frac{AB}{DE} \cdot \frac{EF}{BC} \cdot \frac{CD}{FA} \cdot \frac{MC}{ME} = \frac{MA}{ME} \cdot \frac{MF}{MB} \cdot \frac{MC}{MA} \cdot \frac{MB}{MF}

: \Longleftrightarrow \frac{AB}{DE} \cdot \frac{EF}{BC} \cdot \frac{CD}{FA} \cdot \frac{MC}{ME} = \frac{MC}{ME}

: \Longleftrightarrow \frac{AB}{DE} \cdot \frac{EF}{BC} \cdot \frac{CD}{FA} = 1

: \therefore \quad \color{blue} AB \cdot EF \cdot  CD = DE \cdot  BC \cdot FA

**(ខ) សំរាយបញ្ជាក់ ២** (សំរាយច្រាស់)
thumb|250px|right|
ឧបមាថា
:: AB \cdot CD \cdot EF = BC \cdot DE \cdot FA \qquad (1) 

គេបានក្នុងចំនោមធ្នូ \widehat{ABC}, \quad \widehat{CDE}, \quad \widehat{EFA}  យ៉ាងហោចណាស់មានធ្នូមួយតូចជាកន្លះរង្វង់។ ដោយសន្មតថា \widehat{CDE} តូចជាងកន្លះរង្វង់។ តាង M ជាចំនុចប្រសព្វរវាង BE និង CF ហើយ AM កាត់រង្វង់ម្តង់ទៀតត្រង់ចំនុច X (ដែលត្រូវតែស្ថិតនៅលើធ្នូ \widehat{CDE})

តាមសំរាយបញ្ជាក់ **ក** ខាងលើ យើងបាន
:: AB \cdot CX \cdot EF = BC \cdot XE \cdot FA \qquad (2)

ដោយផ្សំជាមួយនឹង (1) យើងបាន
:: \frac{CD}{DE} = \frac{CX}{XE} \qquad (3)

ប្រសិនបើ​ X មិនត្រួតស៊ីគ្នានឹង D ទេ ។ ឧបមាថាវាស្ថិតនៅលើធ្នូ \widehat{DE} (សូមមើលរូបខាងស្តាំ) នោះ CD  និង DE > XE \, ។ យើងអាចសន្និដ្ឋាន \frac{CD}{DE}  វិសមភាពនេះមិនផ្ទៀងផ្ទាត់នឹង (3) ទេ។

ហេតុនេះ X ត្រូវតែត្រួតស៊ីគ្នានឹង D ។ ជំនួស X ដោយ D ក្នុង (2) យើងបាន
: AB \cdot CD \cdot EF = BC \cdot DE \cdot FA

## សូមមើលផងដែរ 
* ទ្រឹស្តីបទមេនេឡូស

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ត្រីកោណ
ឆិវ៉ា