ពហុធាប៊ែរនូយី

ក្នុងគណិតវិទ្យា **ពហុធាប៊ែរនូយី** (Bernoulli polynomials) លេចឡើងក្នុងការសិក្សាផ្នែកជាច្រើននៃអនុគមន៍ និង ជាពិសេស​អនុគមន៍ហ្សេតារីម៉ាន (Riemann zeta function)​ ។

## និយមន័យ 
ពហុធា​ប៊ែរនូយីគឺជាស្វ៊ីតពហុធាតែមួយគត់ \left( B_n \right)_{n \in \mathbb{N}} ដែល
* B_0 = 1 
* \forall n \in \mathbb{N} , B'_{n+1} = (n+1)B_n 
* \forall n \in \mathbb{N^*} , \int_0 ^1 B_n (x) dx = 0

## អនុគមន៍តំនពូជ 
អនុគមន៍តំនពូជ (Generating function) ចំពោះពហុធាប៊ែរនូយីគឺ
:\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\,.

អនុគមន៍តំនពូជ (Generating function) ចំពោះពហុធាអយល័រ (Euler polynomials) គឺ  
:\frac{2 e^{xt}}{e^t+1}= \sum_{n=0}^\infty E_n(x) \frac{t^n}{n!}\,.

## ផលបូកនៃស្វ័យគុណទី p 
យើងមាន
:\sum_{k=0}^{x} k^p = \frac{B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}

ចំពោះសេចក្តីលំអិតអំពីរូបមន្តនេះ សូមមើល​រូបមន្តហ្វូលហាប័រ (Faulhaber's formula)

## ចំនួនអយល័រ និង ចំនួនប៊ែរនូយី 
* ចំនួនប៊ែរនូយី​អោយដោយ B_n=B_n(0)\, ។
*  ចំនួនអយល័រ​អោតយដោយ E_n=2^nE_n(1/2)\, ។

## កន្សោមអិចភ្លីស៊ីតចំពោះលំដាប់ទាប 
ពហុធាប៊ែរនូយី​ដំបូង​មួយចំនួន
:B_0(x)=1\,
:B_1(x)=x-1/2\,
:B_2(x)=x^2-x+1/6\,
:B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\,
:B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\,
:B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\,
:B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}\,

ពហុធាអយល័រ​ដំបូង​មួយចំនួន
:E_0(x)=1\,
:E_1(x)=x-1/2\,
:E_2(x)=x^2-x\,
:E_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{4}\,
:E_4(x)=x^4-2x^3+x\,
:E_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{2}x^2-\frac{1}{2}\,
:E_6(x)=x^6-3x^5+5x^3-3x\,

## ផលសង 
ពហុធាប៊ែរនូយី និង ពហុធាអយល័រ​គោរពតាមទំនាក់ទំនងជាច្រើនពី​ការការគណនានិមិត្តរូប (umbral calculus ឬ symbolic calculus)
:B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\,
:E_n(x+1)+E_n(x)=2x^{n}\,

## ដេរីវេ 
:B_n'(x)=nB_{n-1}(x)\,
:E_n'(x)=nE_{n-1}(x)\,

## ការបកប្រែ 
:B_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} B_k(x) y^{n-k}\,
:E_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} E_k(x) y^{n-k}\,

## ស៊ីមេទ្រី 
:B_n(1-x)=(-1)^n B_n(x)\,
:E_n(1-x)=(-1)^n E_n(x)\,
:(-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}\,
:(-1)^n E_n(-x) = -E_n(x) + 2x^n\,

## លក្ខណៈផ្សេងទៀតនៃពហុធាប៊ែរនូយី 
: \forall n \in \mathbb{N}, B_n (x) =2^{n-1} \left( B_n \left( \frac{x}{2} \right) + B_n \left( \frac{x+1}{2} \right) \right)  

## តំលៃពិសេស 
: \forall n > 1, B_n (0) =B_n (1)  
: \forall p \in \mathbb{N}^{*},  B_{2p+1} (0) = B_{2p+1}(1)=0  
: \forall p \in \mathbb{N}^{*}, B_{2p} \left( \frac {1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2^{2p-1}} -1 \right)B_{2p} (0) , B_{2p+1} \left( \frac {1}{2} \right)=0   

## ស៊េរីហ្វួរា 
ស៊េរីហ្វួរា (Fourier series) នៃពហុធាប៊ែរនូយី​ក៏ជា​ស៊េរីឌីរិចឡេ​​អោយដោយការពន្លាត
:B_n(x) = -\frac{n!}{(2\pi i)^n}\sum_{k\not=0 }\frac{e^{2\pi ikx}}{k^n}

នេះជាករណីពិសេសនៃទំរង់អាណាឡូក (analogous form) ចំពោះ​អនុគមន៍ហ្សេតាហឺវីត (Hurwitz zeta function)
:B_n(x) = -\Gamma(n+1) \sum_{k=1}^\infty 
\frac{e^{(2\pi ikx)}+ e^{(2\pi ik(1-x))}}{(2\pi ik)^n}\,

ការពន្លាតនេះគឺត្រឹមត្រូវតែចំពោះ 0 ≤ x ≤ 1 ដែល n ≥ 2 និងត្រឹមត្រូវចំពោះ 0 C_\nu(x) = \sum_{k=0}^\infty 
\frac {\cos((2k+1)\pi x)} {(2k+1)^\nu} 

និង
:S_\nu(x) = \sum_{k=0}^\infty 
\frac {\sin((2k+1)\pi x)} {(2k+1)^\nu}

ចំពោះ  \ \nu > 1 ពហុធាអយល័រ​មានស៊េរីហ្វួរា
:C_{2n}(x) = \frac{(-1)^n}{4(2n-1)!} 
\pi^{2n} E_{2n-1} (x) 

និង
:S_{2n+1}(x) = \frac{(-1)^n}{4(2n)!} 
\pi^{2n+1} E_{2n} (x)

សំគាល់ថា \ C_\nu និង \ S_\nu គឺអនុគមន៍សេស​និងគូរៀងគ្នា
:\ C_\nu(x) = -C_\nu(1-x)

និង
:\ S_\nu(x) = S_\nu(1-x)

អនុគមន៍ទាំងនេះមានទំនាក់ទំនងនឹង​អនុគមន៍ឈីឡឺហ្សង់ (Legendre chi function) \ \chi_\nu ជា
:\ C_\nu(x) = \mbox{Re} \chi_\nu (e^{ix})

និង
:\ S_\nu(x) = \mbox{Im} \chi_\nu (e^{ix}).

## ទ្រឹស្តីបទផលគុណ 
ទ្រឹស្តីបទផលគុណ (Multiplication theorems) ត្រូវបានផ្តល់អោយដោយ Joseph Ludwig Raabe ក្នុងឆ្នាំ ១៨៥១
:B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)

:E_n(mx)= m^n \sum_{k=0}^{m-1} 
(-1)^k E_n \left(x+\frac{k}{m}\right) ចំពោះ  m=1,3,\dots

:E_n(mx)= \frac{-2}{n+1} m^n \sum_{k=0}^{m-1} 
(-1)^k B_{n+1} \left(x+\frac{k}{m}\right) ចំពោះ  m=2,4,\dots

## អាំងតេក្រាល 
អាំងតេក្រាលមិនកំនត់
:\int_a^x B_n(t)\,dt = 
\frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}

:\int_a^x E_n(t)\,dt = 
\frac{E_{n+1}(x)-E_{n+1}(a)}{n+1}

អាំងតេក្រាលកំនត់
:\int_0^1 B_n(t) B_m(t)\,dt = 
(-1)^{n-1} \frac{m! n!}{(m+n)!} B_{n+m}
\quad \mbox { for } m,n \ge 1 

:\int_0^1 E_n(t) E_m(t)\,dt = 
(-1)^{n} 4 (2^{m+n+2}-1)\frac{m! n!}{(m+n+2)!} B_{n+m+2}