ប៉ារ៉ាបូល

right|thumb|196px|ប៉ារ៉ាបូល
right|thumb|196px

អ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិក្រិចបានរកឃើញជំពូកកោនិចនៅចន្លោះ៣០០ឆ្នាំ និង ៦០០ឆ្នាំមុនគ.ស ហើយក៏បានរកឃើញមុនគេបង្អស់ពីលក្ខណៈធរណីមាត្ររបស់កោនិច។​ នៅដើមសតវត្សទី១៧ ការអនុវត្តកោនិចបានចាប់ផ្តើមឡើងលើសកលលោក ហើយមានតួនាទីសំខាន់ក្នុងការអភិវឌ្ឍផ្នែកគណនា។ ផ្នែកមូលដ្ឋានគ្រឹះរបស់កោនិចគឺរង្វង់ ប៉ារ៉ាបូល អេលីប និង អ៊ីពែរបូល។

## និយមន័យ 
ប៉ារ៉ាបូលគឺជាសំនុំចំនុច M(x,y)\! ក្នុងប្លង់ដែលនៅស្មើចំងាយពីចំនុចនឹងមួយ និង​ពីរបន្ទាត់នឹងមួយ។

*​ ចំនុចនឹងមួយនោះហៅថាកំណុំ**នៃប៉ារ៉ាបូល**។
* បន្ទាត់នឹងនោះហៅថា**បន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល**។

ចំនុចកណ្តាលរវាងកំនុំ និងចំនុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ប្រាប់ទិស និង អ័ក្សនៃប៉ារ៉ាបូល ហៅថា**កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល**។​ បន្ទាត់ដែលកាត់តាមកំណុំ និង កំពូលហៅថា **អ័ក្ស​​នៃប៉ារ៉ាបូល** ឬ អ័ក្សឆ្លុះនៃប៉ារ៉ាបូល។

តាមនិយមន័យប៉ារ៉ាបូល យើងអាចទាញទ្រឹស្តីបទសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិសស្របនឹងអ័ក្ស (x'0x)\! ឬ អ័ក្ស (y'0y)\!​ ក្នុងតំរុយអរតូណរមេ។

## ទ្រឹស្តីបទ 
ប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល (h;k)\! និងមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិស y = k - p \! មានសមីការទំរង់ស្តង់ដា (x - h)^2 = 4p(y - k)\! ។ អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សឈរ។

ប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល (h;k)\! និងមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិស x = h - p \! មានសមីការទំរង់ស្តង់ដា (y - k)^2 = 4p(x - h) \!។ អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សដេក។

កំណុំស្ថិតនៅលើអ័ក្សឆ្លុះមានចំងាយ P ឯកតាពីកំពូល។ p ហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត។

### សម្រាយបញ្ជាក់ 
យើងស្រាយបញ្ជាក់តែករណីបន្ទាត់ប្រាប់ទិសស្របនឹងអ័ក្ស(x'0x)\! ហើយកំណុំស្ថិតនៅលើកំពូលមានន័យថា p>0\! ។

បើ​ (x;y)\! ជាចំនុចនៅលើប៉ារ៉ាបូល​ នោះ ចំនុច (x;y)\! ស្មើចំងាយពីកំនុំ (h;k+p)\! និង បន្ទាត់ប្រាប់ទិស y = k-p\,​ ។

តាមរូបមន្ត ចំងាយរវាងពីរចំនុច​ និង ចម្ងាយរវាងចំណុច និង បន្ទាត់។

គេបាន 

\sqrt{(x-h)^2 + [y - (k+p)]^2}\, = \, |y - (k-p)|\,
(x-h)^2 + [y - (k+p)]^2 \, = \, [y - (k - p)]^2\,
(x - h)^2 + y^2 -2y(k + p) + (k+p)^2 \, = \, y^2 -2y(k - p) + (k - p)^2\,
(x - h)^2 - 2yk - 2py + k^2 - 2pk +p^2 \, = \, -2yk + 2py + k^2 + 2pk + p^2\,
(x - h)^2 - 2py + 2pk \,=\, 2py - 2pk\,

(x - h)^2 \,=\,4py - 4pk\, ។ ដូច្នេះ (x - h)^2 \,=\, 4p(y - k)\, ។

## ការរកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូល 
ឧទាហរណ៍១ រកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល (2;1) និង​ កំនុំ(2;4) ។

*ចំលើយ ដោយអាប់ស៊ីសកំពូល និង​ កំនុំស្មើគ្នា អរដោនេខុសគ្នា ហើយអ័ក្សឆ្លុះកាត់តាមកំពូល និង កំនុំ នោះអ័ក្សឆ្លុះនៃប៉ារ៉ាបូលជាអ័ក្សឈរ។

គេបានសមីការ (x - h)^2 = 4p(y - k)\, ។ ដែល h=2 \,;\, k=1\,;\, p=4-1=3\, ។

ដូចនេះ ទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលគឺ (x - 2)^2 = 12(y - 1)\, ។ 

ឧទាហរណ៍២ រកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល (-2;1) និង បន្ទាត់ប្រាប់ទិសx=1\, ។

*ចំលើយ ដោយ x=1\, នោះបន្ទាត់ប្រាប់ទិសជាបន្ទាត់ឈរ។ គេបានសមីការ (y - k)^2 = 4p(x - h)\, (1)

ដែល h=-2 ; k=1\,

ដោយ x = h - p \, នាំអោយ p = h - x = -2 -1 = -3 \, ។ ជំនួស h=-2 \,;\, k=1\, និង p=-3\, 

ក្នុងសមីការ (1) គេបាន (y - 1)^2 = -12(x + 2)\, ។

ដូចនេះ ទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូលគឺ (y - 1)^2 = -12(x + 2)\, ។

## ទំរង់ទូទៅរបស់សមីការប៉ារ៉ាបូល 
### ជាទូទៅ 
សមីការទូទៅរបស់ប៉ារ៉ាបូលមានរាង Ax^2 + Cx +Dy + E = 0\, រឺ By^2 + Cx + Dy + E = 0 \, ។

ឧទាហរណ៍១ បំប្លែងសមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល y^2 + 8y - 8x = 0\, ជាទំរង់ស្តង់ដា។

គេមាន y^2 + 8y - 8x = 0\,

y^2 + 8y = 8x\,

y^2 + 8y + 16 = 8x + 16\, ។

ដូចនេះ (y + 4)^2 = 8(x + 2)\, ជាទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ។

ឧទាហរណ៍២ បំប្លែងសមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល x^2 - 2x + 8y + 9 = 0\, ជាទំរង់ស្តង់ដា ។

គេមាន x^2 - 2x + 8y + 9 = 0\,

 x^2 - 2x = -8y - 9\,

x^2 - 2x + 1 = -8y - 9 + 1\, ។

ដូចនេះ (x - 1)^2 = -8(y + 1)\, ជាទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ។

## ការរកកំនុំ និង កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល 
ឧទាហរណ៍១ រកកំពូល និង កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល​ y = -\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2}\, ។

*ចំលើយ 

គុណអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹង 2 គេបាន

2y = -x^2 - 2x +1\,
2y = 1 - (x^2 + 2x)\,
2y = 1 - (x^2 + 2x + 1 -1)\,
2y = 1 - [(x + 1)^2 - 1]\,
2y = 2- (x + 1)^2\, 
(x + 1)^2 = 2 - 2y\,
(x + 1)^2 = -2(y - 1)\, ។

ប្រៀបធៀបសមីការ (x + 1)^2 = -2(y - 1)\, និងសមីការ (x - h)^2 = 4p(y - k)\,
គេបាន h=-1 \,;\, k=1\, ។
ដូចនេះ កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល (h;k) = (-1;1)\,​ ។

ដោយ 4p = -2\, នាំអោយ p=-\frac{1}{2}\, ។

p=-\frac{1}{2} \,;\, h=-1 \,;\, k=1\, នាំអោយកំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល (h;k+p) = \left(-1;1-\frac{1}{2}\right) = \left(-1 ; \frac{1}{2}\right)\, ។

ឧទាហរណ៍២ រកកំពូល និង កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល​ y^2 + y -2x + \frac{41}{4} = 0\, ។

*ចំលើយ 

គេមាន y^2 + y -2x + \frac{41}{4} = 0\,
y^2 + y = 2x -\frac{41}{4}\,
y^2 + y + \frac{1}{4} = 2x - \frac{41}{4} + \frac{1}{4}\,
\left(y + \frac{1}{2}\right)^2 = 2x - \frac{40}{4} = 2x - 10\,
\left(y + \frac{1}{2}\right)^2 = 2(x - 5)\,

ប្រៀបធៀបសមីការ \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 = 2(x - 5)\, និងទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូល (y - k)^2 = 4p(x - h)\, ។

គេបាន k=-\frac{1}{2} \,;\, h=5\, ។

ដូចនេះ កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល (h,k) = \left(5 -\frac{1}{2}\right)\, ។

ដោយ 4p = 2\, នាំអោយ p=\frac{1}{2}\, ។​ ដូចនេះ កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល (h+p,k) = \left(\frac{11}{2},-\frac{1}{2}\right)\, ។

ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:គណិតវិទ្យា
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រ