អាំងតេក្រាលមិនកំនត់

**អាំងតេក្រាល** (​; ) ហៅ​ជា **អនុកល**  ក៏​បាន គឺ​ជាគន្លឹះ​ដ៏​សំខាន់​នៅ​ក្នុង​គណិត​វិទ្យា ។ បើ​និយាយ​ឱ្យ​ស្រួល​ស្តាប់​ទៅ អាំងតេក្រាល គឺ​ជាអនុគមន៍​មុន​ពេល​ធ្វើ​ដេរីវេ ។

## **រូបមន្តអាំងតេក្រាលមិនកំណត់មួយចំនួន** 
C​ ជាចំនួនពិត

រូបមន្តអាំងតេក្រាលមិនកំនត់សំខាន់ៗ

(1).  \int e^x\, dx \,\!  = e^x+ C
(2). \int a^x\, dx \,\! =  \frac{1}{\ lna}~a^x + C
(3). \int  \frac{1}{\ x}~dx = ln |x| + C 
(4). \int x^p\, dx \,\!   = \frac{1}{\ p+1} x^{p+1} + C  \quad (ដែល​ p​ ជាចំនួនពិត) 
(5). \int \frac{1}{\ {x^2-a^2}}\, dx \,\! =  \frac{1}{\ {2a}}ln| \frac{x^2 - a^2} {x^2 + a^2}| +C \quad (a \neq 0)
(6). \int \frac{1}{\ {x^2+a^2}}\, dx \,\! =  \frac{1}{\ {a}}tan^{-1} \frac{x} {a} +C \quad (a \neq 0)

(7). \int sin x\, dx \,\!   = -cos x+ C
(8).  \int cos x\,  dx \,\! = sin x+ C
(9). \int \frac{1}{\ cos^2x}\, dx \,\! = tan x + C
(10). \int  \frac{1}{\ sin^2x}\, dx \,\! = -cot x+ C
(11). \int tan x\, dx \,\! = -ln |cos x | + C
(12). \int \frac{1}{ \sqrt{a^2 - x^2}}\, dx \,\! = sin^{-1} \frac{x}{a} +C  \quad(a  > 0)
(13). \int \frac{1}{ \sqrt{x^2-A}}\, dx \,\! =  ln|x+ \sqrt{x^2+A}| +C   \quad (A \neq 0)
(14). \int \sqrt{a^2-x^2}\, dx \,\! =  \frac{1}{\ {2}}(x \sqrt{a^2-x^2}+a^2sin^{-1} \frac{x} {a} )+C \quad (a > 0)
(15). \int \sqrt{x^2 + A}\, dx \,\! =  \frac{1}{\ {2}}(x \sqrt{x^2 + A} + Aln|x+ \sqrt {x^2 + A}|) +C 

## អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក 

(1).  \int f(x) g'(x)\, dx \,\!  = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\, dx \,\! 
(2).  \int f(x)\, dx \,\!  = x f(x) - \int x f'(x)\, dx \,\! 
(3).  \int lnx\, dx \,\!  = x lnx - x + C 

ឧទាហរណ៏ៈគណនាអាំងតេក្រាល
(1)  \int x sin x\, dx \,\!  
* របៀបគិត: តាង  \color{Red}f(x)=x , g'(x)=sin x រួចប្រើរូបមន្តអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក គេបាន
  \int x sin x\, dx \,\!  = \int x (-cos x)'\, dx \,\!  = x(-cos x)- \int (x)' (-cos x)\, dx \,\!
  =-xcos x + \int cos x\, dx \,\! = -xcos x + sin x +C
(2)  \int x ln x\, dx \,\!  
តាង​  \color{Red} f(x)=ln x ,g'(x)=x គេបាន
  \int x ln x\, dx \,\!  = \int ln x (\frac{1} {2} x^2)'\, dx \,\!  = ln x(\frac{1} {2}x^2)- \int (ln x)' (\frac{1} {2}x^2)\, dx \,\!

 =\frac{1} {2}x^2 ln x - \frac{1} {2} \int x\, dx \,\!  = \frac{1} {2}x^2 ln x - \frac{1} {4}x^2 + C

## អាំងតេក្រាលប្តូរអថេរ 

គេមានអនុគមន៏  \varphi (x) = t  គេបាន 
 \color{blue}\int f( \varphi (x) ) \varphi '(x)\, dx \,\! = \int f(t) \frac{dt}{dx}\, dx\,\!  = \int f(t)\, dt \,\! 

ឧទាហរណ៏ៈគណនាអាំងតេក្រាល
(1)  \int sin^2x cos x\, dx \,\!  

## វិធីសាស្រ្តកំណត់មេគុណ 

* ក/ ករណីធម្មតា

* របៀបទី១

ឧទាហរណ៍ \frac{1}{(x+3)(x+2)(x+5)}\,\! = \frac{A}{x+3}\,\! + \frac{B}{x+2}\,\! + \frac{C}{x+5}\,\!

តម្រូវភាគបែង រួចប្រៀបធៀបមេគុណរួមដឺក្រេនៃ x\!

* ​​ របៀបទី២

គុណអង្គទាំងពីរនឹង x+3\! រួចយក x=-3\! គេបាន A=-\frac{1}{2}\!
គុណអង្គទាំងពីរនឹង x+2\! រួចយក x=-2\! គេបាន B=\frac{1}{3}\!
គុណអង្គទាំងពីរនឹង x+5\! រួចយក x=-5\! គេបាន C=\frac{1}{6}\!

* ខ/ ករណីភាគបែងមានឫសពិត

ឧទាហរណ៍ \frac{x^{2}+1}{(x+1)(x-2)(x+7)}\,\! = \frac{A}{x+1}\,\! + \frac{B}{x-2}\,\! + \frac{C}{x+7}\,\!

គុណអង្គទាំងពីរនឹង x+1\! រួចយក x=-1\! គេបាន A=-\frac{1}{9}\!
គុណអង្គទាំងពីរនឹង x-2\! រួចយក x=2\! គេបាន B=\frac{5}{27}\!
គុណអង្គទាំងពីរនឹង x+7\! រួចយក x=-7\! គេបាន C=\frac{25}{27}\!

* គ/ ករណីភាគបែងមានឫសលំដាប់ខ្ពស់

ឧទាហរណ៍ \frac{x+2}{(x+3)^3(x-1)}\,\! = \frac{A}{(x+3)^3}\,\! + \frac{B}{(x+3)^2}\,\! + \frac{C}{x+3}\,\! + \frac{D}{x-1}\,\!
យកx=0\! គេបាន​B=-\frac{3}{16}\,\!

គុណអង្គទាំងពីរនឹង (x+3)^3\! រួចយក x=-3\! គេបាន A=\frac{1}{4}\!
គុណអង្គទាំងពីរនឹង x-1\! រួចយក x=1\! គេបាន D=\frac{3}{64}\!
គុណអង្គទាំងពីរនឹង x+3\! រួចយក x  \to +\infty\,\! 
គេបាន 0 = C + D  ;  C=-\frac{3}{64}\,\!

យក x=0\! គេបាន B=-\frac{3}{16}\,\!

* ឃ/​ ករណីភាគបែងមានឫសកុំផ្លិច

ឧទាហរណ៍ \frac{x+1}{(x-2)(x^{2}+1)}\,\! = \frac{A}{x-2}\,\! + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}\,\!

គុណអង្គទាំង២ នឹង x-2\! គេបាន A=\frac{3}{5}\,\!
គុណអង្គទាំង២​ នឹង x^{2}+1\! រួចយក​ x=i\!

គេបាន B=-\frac{3}{5}\,\ ; \,C=-\frac{1}{5}\,\!

* ង/​ ករណីភាគបែងមានឫសកុំផ្លិចលំដាប់ខ្ពស់

ឧទាហរណ៍ \frac{4}{x^{4}+1}\,\! = \frac{Ax+B}{x^2-\sqrt{2}x+1}\,\! + \frac{Cx+D}{x^2+\sqrt{2}x+1}\,\!
ដោយ f(x)=\frac{4}{x^4+1}\,\! ជាអនុគមន៍គូ គេបាន

\frac{Ax+B}{x^2-\sqrt{2}x+1}\,\! + \frac{Cx+D}{x^2+\sqrt{2}x+1}\,\! = \frac{-Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1}\,\!+\frac{-Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1}\,\!

គេបាន​ A=-C \ ; \, B=D\!
គុណអង្គទាំង២នឹង x^2-\sqrt{2}x+1\! រួចយក x=i\!  គេបាន A=-\sqrt{2}\,\  ;  \,C=\sqrt{2}\!

យក x=0\! គេបាន B=D=2\!

## វិធីសាស្រ្ត OSTROGRADSKI 
ប្រើសម្រាប់​គណនាអាំងតេក្រាលអនុគមន៍ប្រភាគសនិទានដែលភាគបែងមានឫសលំដាប់ខ្ពស់ ។

* បើ \frac{P(x)}{Q(x)}\! មានឫសលំដាប់ខ្ពស់ច្រើន គេបាន៖

\color{blue} \int\frac{P(x)}{Q(x)}\, dx \,\!  =  \frac{X(x)}{R(x)}\,\!  +  \int\frac{Y(x)}{S(x)}\, dx \,\!
ដែល R(x) = PGCD [Q(x);Q^'(x)]\!
        S(x) = \frac{Q(x)}{R(x)}\!
X(x)\!​ និង Y(x)\! ជាពហុធាមានមេគុណត្រូវកំណត់ហើយមានដឺក្រេរៀងគ្នា តូចជាង R(x)\! និង S(x)\! មួយឯកតា

ឧទាហរណ៍​ : គណនា I=\int\frac{1}{(x^3-1)^2}\, dx \,\!

* ក/ តាមប្រភាគសនិទាន

\frac{1}{(x^3-1)^2}\,\!  = \frac{1}{(x-1)^2(x^2+x+1)^2}\,\! = \frac{A}{(x-1)^2}\,\! + \frac{B}{x-1}\,\! + \frac{Cx+D}{(x^2+x+1)^2}\,\! + \frac{Ex+F}{x^2+x+1}\,\!

* ខ/​ តាម OSTROGRADSKI

គេបាន​ Q(x)=(x^3-1)^2 ; Q^'(x)=6x^2(x^3-1) ; R(x)=PGCD[Q(x) ; Q^'(x)]=x^3-1 ; S(x)=\frac{Q(x)}{R(x)}\,\! = \frac{(x^3-1)^2}{x^3-1}\,\! = x^3-1\!

\Rightarrow I=\int\frac{1}{(x^3-1)^2}\, dx \,\! = \frac{ax^2+bx+c}{x^3-1}\,\! + \int\frac{a^'x^2+b^'x+c^'}{x^3-1}\, dx \,\!
ដេរីវេអង្គទាំង២ គេបាន
\frac{1}{(x^3-1)^2}\,\! = \frac{(2ax+b)(x^3-1)-3x^2(ax^2+bx+c)}{(x^3-1)^2}\,\! + \frac{(a^'x^2+b^'x+c^')(x^3-1)}{(x^3-1)^2}\,\!
តម្រូវភាគបែង រួចប្រៀបធៀបមេគុណរួមដឺក្រេនៃx\! គេបាន​​ a=0 ; b=-\frac{1}{3}\,\! ; c=0 ; a^'=0 ; b^'=0 ; c^'=-\frac{2}{3}\!
\Rightarrow I=\int\frac{1}{(x^3-1)^2}\, dx \,\! = \frac{-\frac{1}{3}\,\!x}{x^3-1}\,\! + \int\frac{-\frac{2}{3}\,\!}{x^3-1}\, dx \,\!
## អាំងតេក្រាលអនុគមន៍អសនិទាន 

* ១/​ អាំងតេក្រាលរាង

\color{blue} I=\int f(x^\frac{m}{n}\,\! ; x^\frac{p}{q}\,\! ; ......)\, dx \,\!
គេត្រូវតាង x=t^k\! ដែល k\! ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ \frac{m}{n}\,\! ; \frac{p}{q}\,\! ; ......\!

ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}\,\! + \sqrt[4]{x}}\, dx \,\! = \int\frac{x^\frac{1}{3}}{x^\frac{1}{2}\,\! + x^\frac{1}{4}}\,\!
តាង x=t^{12}\!

* ២/ អាំងតេក្រាលរាង

\color{blue} I=\int f \left[\left (\frac{ax+b}{cx+d}\,\! \right )^\frac{m}{n}\,\! ; \left (\frac{ax+b}{cx+d}\,\! \right )^\frac{p}{q}\,\! ; ......\right]\, dx \,\! 
គេតាង \frac{ax+b}{cx+d}\,\! = t^k\! ដែល k\! ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ \frac{m}{n}\,\! ; \frac{p}{q}\,\! ; ......\! 
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\, dx \,\! = \int\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^\frac{1}{2}\, dx \,\!
តាង \frac{1-x}{1+x}\, = \, t^2 \,\! \Leftrightarrow \, x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\!
## វិធីសាស្រ្តប្តូរអថេរEULER 

សម្រាប់​អាំងតេក្រាលមានរាង\color{blue} I=\int f \left( x ; \sqrt{ax^2+bx+c} \right )\, dx \,\!
* ក/ បើ Δ0 តាង \sqrt{ax^2+bx+c}\, = \, \sqrt{a}x+t\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-x+3}}\, dx  \,\!
តាង \sqrt{x^2-x+3}\, = \, x+t \,  \Rightarrow  x= \frac{3-t^2}{1+2t}\,\!
* ខ/ បើ Δ0 តាង \sqrt{ax^2+bx+c}\, = \, xt+\sqrt{c}\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int\frac{(1-\sqrt{1+x+x^2})^2}{x^2 \sqrt{1+x+x^2}}\, dx \,\!
តាង \sqrt{1+x+x^2}\, = \, xt+1 \Rightarrow x=\frac{1-2t}{t^2-1}\,\!
* គ/ បើ Δ>0 គេបាន \sqrt{ax^2+bx+c}\, = \, \sqrt{a(x-x_1)(x-x_2)}\,\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int\frac{\sqrt{x^2+2x}}{x}\, dx \,\!
តាង \sqrt{x^2+2x}\, = \, xt \Rightarrow x=\frac{2}{t^2-1}\,\!
==អាំងតេក្រាលរាង\color{blue} I=\int\frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\, dx \,\!==
គេបំលែង
\color{Red} I=\int\frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\, dx \, = \, P_{n-1}(x)\sqrt{ax^2+bx+c}\, + \, \lambda \int\frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\, dx \,\!
P_{n-1}(x)\! ជាពហុធាដឺក្រេ n-1\! មានមេគុណត្រូវកំណត់ ហើយគេអាចគណនាមេគុណទាំងនោះ​ ដោយដេរីវេអង្គទាំងពីរ រួចប្រៀបធៀមេគុណរួមដឺក្ររេនៃះx\! ។

ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int\frac{x^3+2x^2+3x+4}{\sqrt{x^2+2x+2}}\, dx \,\!
គេបាន :
I=\int\frac{x^3+2x^2+3x+4}{\sqrt{x^2+2x+2}}\, dx \, = \, (ax^2+bx+c)\sqrt{x^2+2x+2}\, + \,\lambda \int\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}\, dx \,\!
## អាំងតេក្រាលអនុគមន៍ទ្វេធាឌីផេរ៉ង់ស្យែល 
\color{blue} I=\int x^m(a+bx^n)^p\, dx \,\!
គេអាចគណនាតាមបីករណី៖

* ករណីទី១​:  បើ p\in\mathbb{Z}\!  តាង​ x=t^k\! ដែល k\! ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ m ; n\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt[4]{x}+1)^{10}}\, dx \, = \,\int x^{-\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}} + 1)^{-10}\, dx \,\!
តាង x=t^4\!

* ករណីទី២:  បើ p\not \in\mathbb{Z}\, ; \frac{m+1}{n}\in\mathbb{Z}\,\!  តាង a+bx^n=t^k ; k\! ជាភាគបែងរួមនៃp\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}}\, dx \, = \, \int x^{-\frac{1}{2}}(1+x^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{3}}\, dx \,\!
តាង 1+x^{\frac{1}{4}}=t^3\, \Leftrightarrow x=(t^3-1)^4\,\!

* ករណីទី៣:  បើ​ p\not \in\mathbb{Z}\, ; \frac{m+1}{n} \not\in\mathbb{Z}\, ; \frac{m+1}{n}+p \in\mathbb{Z}\,\! 
តាង a+bx^{-n}=t^k\!​​  ឬ   \frac{a+bx^n}{x^m}\!  ដែល​ k\! ជាភាគបែងរួមនៃp\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា \int\frac{1}{x^4\sqrt{1+x^2}}\, dx \, = \,\int x^{-4}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\, dx \,\!
តាង 1+x^{-2}=t^2\, \Leftrightarrow x=(t^2-1)^{-\frac{1}{2}}\,\!
## អាំងតេក្រាលដោយផ្នែកដែលមាន៤រាង 

ប្រើរូបមន្តអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក \int udv \, = \, uv\, - \, \int vdu\!

* ១/ រាង \color{blue} \int P(x)sinax dx\, ; \, \int P(x)cosax dx\, ; \, \int P(x)e^{ax} dx\,\!
ដែល P(x)\! ជាពហុធា​ ; \, a​ ជាចំនួនថេរ  គេតាង u=P(x)\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា \int xsin2xdx\! តាង u=x \Rightarrow du=dx\!
* ២/ រាង \color{blue} \int P(x)log_ax\!dx តាង u=log_ax\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា \int x^2log_2xdx\! តាង u=log_2x\!
* ៣/​ រាង \color{blue} \int e^{ax}sinax dx\, ; \, \int e^{ax}cosax dx\!  តាង u=e^{ax}\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា \int e^xcos3x dx\! តាង u=e^x\!
* ៤/ រាង \color{blue} \int P(x)arcsinxdx\ ; \, \int P(x)arccosxdx\, ; \, \int P(x)arctanxdx\! តាង u=arcsinx\, ; \, u=arccosx\, ; u=arctanx\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា \int xarctanxdx\! តាង u=arctanx \Rightarrow\, du=\frac{1}{1+x^2}\, dx \,\!
* ៥/ រាង \color{blue} \int cosmxcosnx dx\, ; \, \int sinmxsinnx dx\, ; \, \int sinmxcosnx dx\!
ប្រើរូបមន្ត នូឌុប

cosacosb\, = \, \frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b)]\!
sinasinb\, = \, \frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]\!
sinacosb\, = \, \frac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b)]\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា \int sin4xsin3xdx\!
==អាំងតេក្រាលរាង​ \color{blue} I=\int sin^mxcos^nxdx\, ; \, (m;n \in \mathbb{N}^*)\!==
* ១/​ បើ m\! សេស តាង t=cosx\!
* ២/ បើ n\!​ សេស តាង t=sinx\!
* ៣/ បើ m\, ; \, n \! គូ ប្រើវិធីបន្ថយដឺក្រេ cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}\, ; \, sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int sin^3xcos^4xdx\! តាង t=cosx\!
==អាំងតេក្រាលរាង\color{blue} I=\int sin^mxcos^nxdx\, ; \, (m==
គេតាង​ t=tanx  \Rightarrow\, dt=(1+tan^2x)dx\, \Leftrightarrow dx=\frac{1}{1+t^2}\,dt\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int sin^{-\frac{3}{2}}xcos^{-1}xdx\, = \,\int \frac{1}{sin^{\frac{3}{2}}cosx}\, dx \,\!
បំលែង​ \frac{1}{sin^{\frac{3}{2}{cosx}}}\,=\,(1+\frac{1}{tan^2x})^{\frac{3}{4}}(1+tan^2)^{\frac{1}{2}}\!
តាង t=tanx\, \Leftrightarrow dx=\frac{1}{1+t^2}\, dt\,\! គេបាន I=\int t^{-\frac{3}{2}}(1+t^2)^{\frac{1}{4}}\, dt\!
តាង 1+t^{-2}=k^4\!
==អាំងតេក្រាលរាង\color{blue} I=\int cos^mxdx\, ; \, \int sin^nxdx\!==
* បើ m\! សេស (\!រៀងn\!​សេស)\!​ ចូរប្រើរូបមន្ត cos^2x+sin^2x=1\!
* បើ m\! គូ (\!រៀងn\!គូ)\! ចូរប្រើរូបមន្ត cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}\ ; \, sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int cos^5xdx\, = \, \int cos^4x cosxdx\, = \, \int (1-sin^2x)^2cosxdx\!
តាង t=sinx\!
==អាំងតេក្រាលរាង\color{blue} I=\int tan^mxdx\ ; \, J=\int cot^nxdx\!==
គេប្រើវីធីបន្ថយដឺក្រេ
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int tan^5xdx\, = \,\int tan^3xtan^2xdx\, = \, \int [tan^3x(tan^2x+1)-tan^3x]dx\!
==អាំងតេក្រាលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ \color{blue}I=\int R(sinx\, ; \, cosx)\, dx \,\!==
ជាទូទៅ គេតាងt=tan\frac{x}{2} \Rightarrow x=2arctant \Rightarrow dx=\frac{2}{1+t^2}dt\!
sinx=\frac{2t}{1+t^2}\, ; \, cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\, ; \, tanx=\frac{2t}{1-t^2}\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int \frac{1}{1+sinx}\, dx \,\!
តាង​ t=tan\frac{x}{2}\!

* ករណីពិសេស

* ក/​ បើ \color{blue} R(-sinx ; cosx)=-R(sinx ; cosx)\! តាង t=cosx\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int \frac{sin^3x}{cosx+sin^2x+1}\, dx \,\!
t=cosx \Rightarrow dt=-sinxdx\!
* ខ/ បើ \color{blue} R(sinx ; -cosx)=-R(sinx ; cosx)\! តាង​ t=sinx\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int \frac{cos^5x}{sin^3x+cos^2x-sinx}\, dx \,\!
t=sinx \Rightarrow dt=cosxdx\!
* គ/ បើ \color{blue} R(-sinx ; -cosx)=R(sinx ; cosx)\! តាង​ t=tanx \Rightarrow x=arctant \Rightarrow dx=\frac{1}{1+t^2}dt\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int\frac{cos^2x}{sin^2x+4sinxcosx}\, dx \,\!
តាង t=tanx\!
## វិធីប្តូរអថេរត្រីកោណមាត្រ 
* ក/​ បើអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលមានរ៉ាឌីកាល់\sqrt{a^2-x^2}\! គេត្រូវ តាងx=acost\! ឬ x=asint\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int\sqrt{2-x^2}\,dx\, =\, \int\sqrt{\sqrt{2^2}-x^2}\,dx\,\!
តាង x=\sqrt{2}sint \Rightarrow dx=\sqrt{2}costdt\, ; \, t=arcsin\frac{x}{\sqrt{2}}\!
* ខ/ បើអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលមានរ៉ាឌីកាល់​ \sqrt{x^2-a^2}\! គេត្រូវតាង​ x=\frac{a}{cost}\! ឬ x=\frac{a}{sint}\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int\frac{x^3}{\sqrt{x^2-4}}\, dx \, \!
តាង x=\frac{2}{cost} \Rightarrow dx=\frac{2sint}{cos^2t}dt\, ; \ t=arccos\frac{2}{x}\!
==អាំងតេក្រាលរាង \color{Blue} I=\int\frac{a^'sinx+b^'cosx}{asinx+bcosx}\, dx \,\!==
គេត្រូវបំលែង​ :
\color{Red} a^'sinx+b^'cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int\frac{sinx-cosx}{sinx+2cosx}\, dx \,\!
ដោយ sinx-cosx=A(sinx+2cosx)+B(cosx-2sinx)=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx\!
\Rightarrow A=-\frac{1}{5} \, ; \, B=-\frac{3}{5}\!
==អាំងតេក្រាលរាង​ \color{Blue} I=\int\frac{a^'sinx+b^'cosx}{(asinx+bcosx)^2}\, dx \, \!==
គេត្រូវបំលែង
\color{Red} a^'sinx+b^'cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា I=\int\frac{sinx-cosx}{(2sinx+cosx)^2}\, dx \,\!
ដោយ sinx-cosx=A(2sinx+cosx)+B(2cosx-sinx)=(2A-B)sinx+(A+2B)cosx\!
គេបាន A=\frac{1}{5} \, ; \, B=-\frac{3}{5}\!
==អាំងតេក្រាលរាង​ \color{Blue} I=\int\frac{a^'sinx+b^'cosx+c^'}{asinx+bcosx+c}\, dx \,\!==
គេត្រូវបំលែង
\color{Red} a^'sinx+b^'cosx+c^'\, = \, A(asinx+bcosx+c) + B(acosx-bsinx) + C\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា  \color{Blue} I=\int\frac{sinx-2cosx+3}{sinx+2cosx-3}\, dx \,\!
ដោយ  sinx-2cosx+3\, = \, A(sinx+2cosx-3) + B(cosx-2sinx) + C\, = \, (A-2B)sinx + (2A+B)cosx-3A+C\!
គេបាន A=-\frac{3}{5} \, ; \, B=-\frac{4}{5}\, ; \, C=\frac{6}{5}\!
==អាំតេក្រាលរាង\color{blue} I=\int\frac{a^'sin^2x + 2b^'sinxcosx + c^'cos^2x}{asinx + bcosx}\, dx \,\!==
គេត្រូវបំលែង
\color{Red} a^'sin^2x + 2b^'sinxcosx + c^'cos^2x \, = \, (asinx + bcosx)(Asinx+Bcosx) + C(sin^2x + cos^2x)\!
ឧទាហរណ៍ : គណនា  I=\int\frac{sin^2x - 2sinxcosx + 3cos^2x}{sinx - cosx}\, dx \,\!
ដោយ sin^2x - 2sinxcosx + 3cos^2x \, = \, (sinx - cosx)(Asinx+Bcosx) + C(sin^2x + cos^2x)\, = \, (A+C)sin^2x + (B-A)sinxcosx + (C-B)cos^2x\!
គេបាន A=0\, ; \, B=-2\, ; \, C=1\!
## មើលផងដែរ 
* អាំងតេក្រាលកំណត់
* អាំងតេក្រាលឌុប
* អាំងតេក្រាលត្រីគុណ
* អាំងតេក្រាលខ្សែកោង
* អាំងតេក្រាលផ្ទៃ

## ឯកសារ​យោង
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:គណិតវិទ្យា
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:អាំងតេក្រាល