សញ្ញាណត្រីកោណខុនវេ

ក្នុងធរណីមាត្រ  **សញ្ញាណត្រីកោណខុនវេ** (Conway triangle notation)ដែលត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមលោក ចន ហរតុន ខុនវេ(John Horton Conway) អនុញ្ញាតអោយអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃត្រីកោណមួយ ត្រូវដាក់ជាលក្ខណៈពិជគណិត ។ គេអោយត្រីកោណដែលមានជ្រុង *a*, *b* និង *c* ហើយមានមុំក្នុង*A*, *B* និង *C* រៀងគ្នា ។ សញ្ញាណត្រីកោណខុនវេ សំដែងដោយ 

: S = bc \sin A = ac \sin B = ab \sin C \,

ដែល *S* = 2 &times; ជាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ហើយ : S_\varphi = S \cot \varphi  \,

ជាពិសេស

: S_A = S \cot A = bc \cos A= \frac {b^2+c^2-a^2} {2}\,

: S_B = S \cot B = ac \cos B= \frac {a^2+c^2-b^2} {2}\,

: S_C = S \cot C = ab \cos C= \frac {a^2+b^2-c^2} {2}\,

: S_\omega = S \cot \omega = \frac {a^2+b^2+c^2} {2}\, &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ដែល  \omega \,ជាមុំប៊្រូកាត(Brocard angle)។

: S_{\frac {\pi} {3}} = S \cot {\frac {\pi} {3}} = S \frac {\sqrt 3}{3} \,

: S_{2\varphi} = \frac {S_\varphi^2 - S^2} {2S_\varphi} \quad\quad S_{ \frac {\varphi} {2}} = S_\varphi + \sqrt {S_\varphi^2 + S^2} \, &nbsp;&nbsp; ចំពោះតំលៃរបស់ &nbsp;  \varphi &nbsp; ដែល &nbsp;  0 

: S_{\vartheta + \varphi} = \frac {S_\vartheta S_\varphi - S^2} {S_\vartheta + S_\varphi} \quad\quad S_{\vartheta - \varphi} = \frac {S_\vartheta S_\varphi + S^2} {S_\varphi - S_\vartheta}  \, 

ដូច្នេះ

: \sin A = \frac {S} {bc} = \frac {S} {\sqrt {S_A^2 + S^2}} \quad\quad \cos A = \frac {S_A} {bc} = \frac {S_A} {\sqrt {S_A^2 + S^2}} \quad\quad \tan A = \frac {S} {S_A}  \, 

លក្ខណៈសំខាន់ខ្លះៗ

: \sum_\text{cyclic} S_A = S_A+S_B+S_C = S_\omega \, 

: S^2 = b^2c^2 - S_A^2 = a^2c^2 - S_B^2 = a^2b^2 - S_C^2 \, 

: S_BS_C = S^2 - a^2S_A\quad\quad S_AS_C = S^2 - b^2S_B\quad\quad S_AS_B = S^2 - c^2S_C  \, 

: S_AS_BS_C = S^2(S_\omega-4R^2) \, 

ដែល *R* ជាកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ ហើយ  abc = 2SR \, ​ ។

: \sin A \sin B \sin C = \frac {S} {4R^2} \quad\quad \cos A \cos B \cos C = \frac {S_\omega-4R^2} {4R^2} 
: \sum_\text{cyclic} \sin A = \frac {S} {2Rr} \quad\quad \sum_\text{cyclic} \cos A = \frac {S^2-4S_\omega r^2-12Rr^3} {4Rr^3} \, &nbsp;&nbsp; ដែល  r \,  ជា កាំនៃរង្វង់ចារឹកក្នុង ហើយ &nbsp;&nbsp;  a+b+c = \frac {S} {r} \, 

រូមន្តមានប្រយោជន៍ខ្លះៗ

: \sum_\text{cyclic} a^2S_A = a^2S_A + b^2S_B + c^2 S_C = 2S^2 \quad\quad \sum_\text{cyclic} a^4 = 2(S_\omega^2-S^2) \, 

: \sum_\text{cyclic} S_A^2 = S_\omega^2 - 2S^2 \quad\quad  \sum_\text{cyclic} S_BS_C = S^2 \quad\quad \sum_\text{cyclic} b^2c^2 =  S_\omega^2 + S^2 \, 

ឧទាហរណ៍ខ្លះដោយប្រើសញ្ញាណត្រីកោណខុនវេ 

តាង*D* ជាចំនុចរវាងពីរចំនុច P និង Q  ដែលកូអរដោនេទ្រីលីនេអ៊ែរ(trilinear coordinates)របស់វា គឺ  *p**a* : *p**b* : *p**c* and *q**a* : *q**b* : *q**c* ។ តាង *K**p* = *ap**a* + *bp**b* + *cp**c* ហើយតាង *K**p* = *aq**a* + *bq**b* + *cq**c* ។ នោះ *D* អោយដោយរូបមន្ត

: D^2= \sum_\text{cyclic} a^2S_A\left(\frac {p_a}{K_p} - \frac {q_a}{K_q}\right)^2 \, 

ដោយប្រើរូបមន្តនេះ គេអាចគណនា OHដែលជាចំងាយរវាងផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ​ និងអរតូសង់  ដូចខាងក្រោម

ចំពោះផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅ  p_a = aS_A \, និង ចំពោះអរតូសង់  q_a = \frac {S_BS_C} {a} \,

: K_p= \sum_\text{cyclic} a^2S_A = 2S^2 \quad\quad K_q= \sum_\text{cyclic} S_BS_C = S^2 \,

ដូច្នេះ 

:
\begin{align}
D^2 & {} = \sum_\text{cyclic} a^2S_A\left(\frac {aS_A} {2S^2} - \frac {S_BS_C} {aS^2}\right)^2 \\
& {} = \frac {1} {4S^4} \sum_\text{cyclic} a^4S_A^3 - \frac {S_AS_BS_C} {S^4} \sum_\text{cyclic} a^2S_A + \frac {S_AS_BS_C} {S^4} \sum_\text{cyclic} S_BS_C \\
& {} = \frac {1} {4S^4} \sum_\text{cyclic} a^2S_A^2(S^2-S_BS_C) - 2(S_\omega-4R^2) + (S_\omega-4R^2) \\
& {} = \frac {1} {4S^2} \sum_\text{cyclic} a^2S_A^2 - \frac {S_AS_BS_C} {S^4} \sum_\text{cyclic} a^2S_A - (S_\omega-4R^2) \\
& {} = \frac {1} {4S^2} \sum_\text{cyclic} a^2(b^2c^2-S^2) - \frac {1} {2}(S_\omega-4R^2) -(S_\omega-4R^2) \\
& {} = \frac {3a^2b^2c^2} {4S^2} - \frac {1} {4} \sum_\text{cyclic} a^2 - \frac {3} {2}(S_\omega-4R^2) \\
& {} = 3R^2- \frac {1} {2} S_\omega - \frac {3} {2} S_\omega + 6R^2 \\
& {} = 9R^2- 2S_\omega.
\end{align}

នាំអោយ

: OH = \sqrt{9R^2- 2S_\omega \,}\,