open-index/open-wikipedia-markdown huggingface dataset:
ទ្រឹស្តីបទមេនេឡូស

**ទ្រឹស្តីបទមេនេឡូស** (Menelaus' theorem) ត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមតារាវិទូ និង គណិតវិទូជនជាតិក្រិចឈ្មោះ មេនេឡូសនៃអាឡិចសង់ឌ្រី (Menelaus of Alexandria)។ ទ្រឹស្តីនេះជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីត្រីកោណក្នុងប្លង់ធរណីមាត្រ។ គេអោយចំនុច A, B, C ដែលបង្កើតជាត្រីកោណ ABC និង ចំនុច D, E, F ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ (BC), (AC), (AB) នោះគេបាន D, E, F នៅលើបន្ទាត់តែមួយ(កូលីនេអ៊ែរ) លុះត្រាតែៈ
:\color{Mulberry}\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1

ឬគេអាចសរសេរជា
:{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1

## បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទ 
ស៊ុម|300px|
គេមានបីចំនុច D, E, និង F នៅលើបន្ទាត់នៃជ្រុងរៀងគ្នា (BC), (AC) និង (AB) នៃត្រីកោណ ABC ។ A' \, ជាចំនោលនៃ A \,  មកលើបន្ទាត់ (EF) ស្របនឹង (BC) ។ A' \, ជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ (EF) ដែលស្របនឹង (BC) គូសចេញពីកំពូល A ។ តាមទ្រឹស្តីបទតាលែសចំពោះត្រីកោណ FBD និង EDC គេបានទំនាក់ទំនងជារង្វាស់ពិជគណិតដូចខាងក្រោមៈ
::\frac{\overline{FB}}{\overline{FA}} = \frac{\overline{BD}}{\overline{AA'}} និង \frac{\overline{CD}}{\overline{AA'}} = \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} 

គេអាចទាញបាន
::\frac{\overline{FB}}{\overline{FA} \times \overline{BD}} = \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}\times \overline{CD}} =\frac{1}{\overline{AA'}}

វាស្មើនឹង
::\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1

ច្រាស់មកវិញ បីចំនុច D E F ស្ថិតនៅរៀងគ្នាលើ (BC), (AC) និង (AB) នៃត្រីកោណ និង
::\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1

ឧបមាថា (EF) ស្របនឹង(BC) ។ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទតាលែសចំពោះត្រីកោណ ABC គេបាន
::\frac{\overline{EA}}{\overline{EC}} =  \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}}

តាមសម្មតិកម្ម បញ្ជាក់ថា \frac{{\overline{DB}}}{{\overline{DC}}}=1 នាំអោយ \overline{DB} = \overline{DC} ។ គេបាន B=C ដែលមិនអាចទៅរួច គឺមិនពិត។

ដូចដែលបានបង្ហាញខាងលើ គេបាន

::\frac{\overline{XB}}{\overline{XC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FB}}{\overline{FA}} = 1

និងតាមសម្មតិកម្ម គេបាន
::\frac{{\overline{DB}}}{{\overline{DC}}}=\frac{{\overline{XB}}}{{\overline{XC}}}

នាំអោយ ចំនុច X=D (X ត្រួតស៊ីគ្នាលើ D) ។ ដូចនេះ D, E, F កូលីនេអ៊ែរនឹងគ្នា (នៅលើបន្ទាត់តែមួយ) ។

## សូមមើលផងដែរ 
* ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា (Ceva's theorem)

ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រត្រីកោណ
មេនេឡូស
ចម្រៀករង្វង់

thumb|300px|
**ចម្រៀករង្វង់**គឺជាបំណែកនៃរង្វង់ដែលបិទជិតដោយធ្នូ និងកាំពីរនៃរង្វង់នោះ។ ក្រឡាផ្ទៃចម្រៀករង្វង់អាចរកតាមការពិពណ៌នាដូចខាងក្រោម។

តាង \theta \, ជាមុំផ្ចិតគិតជារ៉ាដ្យង់ និង r\, ជាកាំ។ ក្រឡាផ្ទៃសរុបនៃរង្វង់គឺ \pi r^2 \, ។ ក្រឡាផ្ទៃនៃចម្រៀករង្វង់អាចទទួលបានដោយគុណក្រឡាផ្ទៃរង្វង់នឹងផលធៀបនៃមុំ និង 2\pi \, (ដោយសារតែក្រឡាផ្ទៃនៃចម្រៀករង្វង់គឺសមាមាត្រទៅនឹងមុំ និង 2\pi \, គឺជាមុំទាំងមូលនៃរង្វង់)។ ដូចនេះក្រឡាផ្ទៃនៃចម្រៀករង្វង់កំណត់ដោយៈ
:S =
\pi r^2 \cdot \frac{\theta}{2 \pi} =
r^2 \left( \frac{\theta}{2} \right) =
\color{Violet}\frac{1}{2} r^2 \theta

ប្រសិនបើ \theta \, ជាមុំផ្ចិតគិតជាដឺក្រេ នោះគេបានរូបមន្តក្រឡាផ្ទៃនៃចម្រៀករង្វង់កំណត់ដោយៈ
:S = \pi r^2 \cdot \frac{\theta}{360}

ចំពោះ \theta = 2\pi \, ចម្រៀករង្វង់គឺជារង្វង់ទាំងមូល។ នោះ L \, គឺជាប្រវែងបរិមាត្ររង្វង់ទាំងមូល ដែល L_{\theta = 2\pi} = 2\pi r \, ។  ករណីទូទៅ 0 \le \theta \le 2\pi \, ប្រវែងធ្នូនៃចម្រៀករង្វង់កំណត់ដោយ
: L = \left( \pi \cdot r \cdot \frac{\theta}{180}\right) (\theta \, គិតជាដឺក្រេ)
:  L = 2 \pi r \times \frac{\theta}{2 \pi} = r \theta (\theta \, គិតជារ៉ាដ្យង់)
:\Rightarrow \theta=\frac{L}{r}

ដូចនេះករណីគេស្គាល់ប្រវែងធ្នូ L និងមិនស្គាល់មុំ \theta \, ក្រឡាផ្ទៃ  S នៃចម្រៀករង្វង់កំណត់ដោយ
:\color{Violet} S = \frac {1}{2} rL

## រូបមន្តសង្ខេប 
ស្តាំ|300px|thumb|

## សូមមើលផងដែរ 
* រង្វង់
* កំណាត់រង្វង់
* កាំ
* អង្កត់ផ្ចិត
* ធ្នូរង្វង់
* អង្កត់ធ្នូ

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:រង្វង់និងស៊្វែរ
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រ
ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន

ស្តាំ|230 px**ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន** គឺជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីទំនាក់ទំនងរវាង​រង្វាស់មេដ្យាន​នៃត្រីកោណ​និង​រង្វាស់ជ្រុងនិមួយៗរបស់វា។ ទ្រឹស្តីបទមេដ្យានជាករណីពិសេសរបស់ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស (Apollonius' theorem) ។

## ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន 
គេមានត្រីកោណ ABC ដែល AI ជារង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល A ។ គេបានទំនាក់ដូចខាងក្រោម:

: AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2AI^2\, ឬ 

: AB^2 + AC^2 = {1 \over 2} BC^2 + 2AI^2\,

## បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទ 
លក្ខណៈនេះជាករណីធម្មតាដោយការកាត់បន្ថយនៃអនុគមន៍ស្តាលែរលេបនីស្ស (scalar function of Leibniz)​:
: AB^2 + AC^2 =(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB})^2 + (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC})^2
គេពន្លាត:
: AB^2+ AC^2 = AI^2 + IB^2 + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IB} + AI^2 + IC^2 + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IC}
ចំនុច I ជាចំនុចកណ្តាល [BC] ដូចនេះ \overrightarrow{IB} និង \overrightarrow{IC} មានទិសដៅផ្ទុយគ្នា និងIC^2 = IB^2 ដូច្នេះ
: AB^2+ AC^2 = 2AI^2 + 2IB^2 \,

## បំណកស្រាយម្យ៉ាងទៀត 
តាង H ជាចំណោលនៃកំពស់ត្រីកោណពីកំពូល A មកលើជ្រុង BC ចែកត្រីកោណ ABC ជាពីរត្រីកោណកែង BHA និង AHC ។ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករ គេបាន
: AB^2 = BH^2 + AH^2 \,
: AC^2 = AH^2 + HC^2\,
: AI^2 = IH^2 + AH^2\,
ហេតុនេះ
: AB^2 + AC^2 = BH^2 + 2AH^2 + HC^2\, 

ដោយសំដែង BH និង HC ជាអនុគមន៍នៃ BI និង IH (ដែល I ជាចំនុចគណ្តាលនៃ BC និង BI=IC) ។ កត់សំគាល់ផងដែរចំពោះ​ករណីពិសេស ជើង H នៃកំពស់គូសចេញពីកំពូល A មកលើអង្កត់ [BI] នៅចន្លោះ B និង I ប៉ុន្តែវាផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ករណី
: BH = BI - IH \,
: HC = IC + IH = BI + IH\,

ជំនួសចូលក្នុងកន្សោមខាងលើ គេបាន
: AB^2 + AC^2 = (BI-IH)^2 + 2AH^2 + (BI+IH)^2 \, 
: AB^2 + AC^2 = BI^2 - 2BI.IH+ IH^2 + 2AH^2 + BI^2 + 2BI.IH + IH^2\, 
: AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2IH^2 + 2AH^2 = 2BI^2 + 2(IH^2 + AH^2) \,
ឬគេអាចថា
: IH^2 + AH^2 = AI^2\,
ដោយជំនួសវាចូលក្នុងសមីការខាងលើគេបាន
: AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2AI^2\,
## ទ្រឹស្តីបទទី៣នៃមេដ្យាន 
ជាមួយនឹងផលគុណស្កាលែរ: AB^2 - AC^2 = 2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{IH} ដែល H គឺជាចំណោលកែងនៃ A លើ (BC) ។

ដែលទំនាក់ទំនង \left| AB^2 - AC^2 \right| = 2 BC \times IH  (ទ្រឹស្តីបទទី៣នៃមេដ្យាន)។

**តាមពិត**: AB^2 - AC^2 = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}).(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = 2\overrightarrow{AI}.(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}) = 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{CB}

ចំណោលនៃ \overrightarrow{AI} លើ \overrightarrow{BC} គឺ \overrightarrow{HI} ដែល \overrightarrow{AI}\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{HI}.\overrightarrow{CB}  = \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{IH} ។

ផលគុណស្កាលែរនៃពីរវ៉ិចទ័រស្របគ្នាគឺស្មើនឹង BC \times IH  ដែលមានទិសដៅផ្ទុយគ្នា។

## ទំរង់វ៉ិចទ័រនៃទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន 
បើ I ជាចំនុចកណ្តាល [BC] គេបាន : \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}

## លក្ខណៈទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន 
គេមានត្រីកោណ MBC ។ គេគូសបន្ទាត់មួយចេញពី M កាត់ជ្រុង [BC] ត្រង់ I ។ តាង k = \frac {IC}{IB} គេបាន

MI^2=\frac{kMB^2+MC^2}{1+k} - (IB.IC)

## សូមមើលផងដែរ 
* មេដ្យាន
* ច្បាប់ប្រលេឡូក្រាម (Parallelogram law)
* ទ្រឹស្តីបទស្តេអាត (Stewart's theorem)
* ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស (Apollonius' theorem)
* ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា (Ceva's theorem)
* ទ្រឹស្តីបទមេនេឡូស (Menelaus' theorem)

ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រត្រីកោណ
មេដ្យាន
អង្កត់ផ្ចិត

thumb|អង្កត់ផ្ចិតរង្វង់
នៅក្នុងធរណីមាត្រ, **អង្កត់ផ្ចិត**នៃរង្វង់ជាអង្កត់ដែលកាត់តាមផ្ចិតនិងមានចុងទាំង២នៅលើរង្វង់នោះ។ អង្កត់ផ្ចិតជាអង្កត់ធ្នូដែលវែងជាងគេនៅក្នុងរង្វង់។ ដើម្បីសំគាល់ថាតំលៃមួយជាប្រវែងអង្កត់ផ្ចិត នៅក្នុងបច្ចេកទេសគេសរសេរប្រវែងអង្កត់ផ្ចិតបន្ទាប់ពីសញ្ញា Ø ។

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:រង្វង់និងស៊្វែរ
វិសមភាពតូលេមី

**វិសមភាពតូលេមី** (Ptolemy's inequality) ជាវិសមភាពសិក្សាពីចំងាយរវាងបួនចំនុច​ក្នុងលំហអាហ្វីនអឺគ្លីដ។

## ពំនោលនៃវិសមភាព 

គេមានបួនចំនុច A B C និង D ក្នុងលំហអាហ្វីនអឺគ្លីដ។ គេបាន
:\color{magenta}AB\cdot CD \leq AC\cdot BD+AD\cdot BC

## សំរាយបញ្ជាក់ 
វិសមភាពនេះគឺអាចត្រូវបានគេទាញដោយផ្ទាល់ពី​វិសមភាពត្រីកោណដោយប្រើ Involution ។

តាង a b និង c ជារង្វាស់រៀងគ្នានៃ AB AC និង AD ។

យើងគណនា
:{\left\|\frac{b}{\|b\|^2}-\frac{c}{\|c\|^2}\right\|}^2 = \frac{1}{\|b\|^2}-2\frac{}{\|b\|^2\|c\|^2}+\frac{1}{\|c\|^2} =\frac{\|b-c\|^2}{\|b\|^2\|c\|^2}
: \left\|\frac{b}{\|b\|^2}-\frac{c}{\|c\|^2}\right\| =\frac{\|b-c\|}{\|b\|.\|c\|}
ដោយអនុវត្តវិសមភាពត្រីកោណចំពោះ \frac{b}{\|b\|^2} , \qquad \frac{c}{\|c\|^2},\qquad \frac{d}{\|d\|^2} គេបាន:
:\frac{\|d-c\|}{\|c\|.\|d\|} \leq \frac{\|d-b\|}{\|b\|.\|d\|}+\frac{\|b-c\|}{\|b\|.\|c\|}
គុណវិសមភាពនេះនឹង \|b\|.\|c\|.\|d\| គេបាន:
:\|b\|.\|d-c\|\leq \|c\|.\|d-b\|+\|d\|.\|b-c\|

thumb|
## ករណីពិសេស 
នៅពេលបួនចំនុចរៀងគ្នា A B C និង D បង្កើតបានជាចតុកោណប៉ោង គេបានវិសមភាព​នេះផ្ទៀងផ្ទាត់ លុះត្រាតែ​ចតុកោណប៉ោងនោះមិនមែនជាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់។

## សូមមើលផងដែរ 
* ទ្រឹស្តីបទតូលេមី
ទ្រឹស្តីបទមេអំបៅ

thumb|right|250ភស|រូបភាព​បង្ហាញ​ពី​ទ្រឹស្តីបទមេអំបៅ
**ទ្រឹស្តីបទមេអំបៅ**គឺជាទ្រឹស្តីបទនៃធរណីមាត្រអឺគ្លីដ។ ឈ្មោះរបស់វាក្លាយមកពីភាពដូចគ្នារវាងបណ្តុំនៃត្រីកោណពីរ(សូមមើលរូប) និង ស្លាបពីរនៃមេអំបៅ។

## សំរាយបញ្ជាក់ 
ខាងក្រោមនេះជាសំរាយបញ្ជាក់ផ្លូវការនៃទ្រឹស្តីបទមេអំបៅ។ 

តាង X' \, និង X'' \, ជាចំណោលកែងនៃ X \, រៀងគ្នាមកលើបន្ទាត់ (AM) និង (DM) ។ ដូចគ្នាដែរ តាង តាង Y' \, និង Y'' \, ជាចំណោលកែងនៃ Y \, រៀងគ្នាមកលើបន្ទាត់ (BM) និង (CM) ។

right|frame|

គេបាន
:: \color{Mulberry} \triangle MXX' \sim \triangle MYY'' \, 
: \Rightarrow {MX \over MY} = {XX' \over YY*} 

:: \color{Mulberry} \triangle MXX* \sim \triangle MYY' \, 
: \Rightarrow {MX \over MY} = {XX'' \over YY'} 

:: \color{Mulberry}\triangle AXX' \sim \triangle CYY' \, 
: \Rightarrow {XX' \over YY'} = {AX \over CY} 

:: \color{Mulberry} \triangle DXX* \sim \triangle BYY*\, 
: \Rightarrow {XX* \over YY*} = {DX \over BY} 

ពីសមីការខាងលើ
:  \left({MX \over MY}\right)^2 = {XX' \over YY* } \cdot {XX* \over YY'} 

:  {} = {AX.DX \over CY.BY} 

:  {} = {PX.QX \over PY.QY} 

:  {} = {(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)}

:  {} = { (PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2} 

តាមសម្មតិកម្ម M ជាចំនុចកណ្តាលនៃ PQ នោះគេបាន PM \, = MQ \,

ហេតុនេះ

: { (MX)^2 \over (MY)^2} = {(PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2} 

ដូចនេះ គេអាចសន្និដ្ឋានថា
MX = MY \, ឬ M \, គឺជាចំនុចកណ្តាលនៃ XY \, ។
ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់

thumb|right|
ក្នុង​ធរណីមាត្រ **​ចតុកោណ​ចារឹក​ក្នុង​រង្វង់** ​គឺ​ជា​ចតុកោណ​ដែល​កំពូល​និមួយៗ​របស់​វា​ស្ថិត​នៅ​លើ​រង្វង់​តែ​មួយ។ ក្នុង​ចតុកោណ​ចារឹក​ក្នុង​រង្វង់ មុំ​ឈម​គ្នា​ជា​មុំបំពេញ (មុំ​ដែល​មាន​ផល​បូក​ស្មើ ​\pi \,) ហើយ​មុំ​ក្រៅ​និមួយៗ​គឺ​ស្មើ​នឹង​មុំ​ឈម​ខាង​ក្នុង។

* ក្រលាផ្ទៃ​នៃ​ចតុកោណ​ចារឹក​ក្នុង​រង្វង់​ត្រូវ​បាន​គណនា​ប្រើ​រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា ខណៈ​ដែល​គេ​ស្គាល់​ប្រវែង​ជ្រុង​និមួយៗ​នៃ​ចតុកោណ។ ក្រលាផ្ទៃ​នេះ​​មាន​តំលៃ​អតិបរមា​​ក្នុង​ចំនោម​ចតុកោណ​ទាំងអស់​​ដែល​មាន​ប្រវែង​ជ្រុង​ដូច​គ្នា។

* ទ្រឹស្តីបទតូលេមី​សំដែង​ផល​គុណ​នៃ​រង្វាស់​​អង្កត់ទ្រូង​ទាំង​ពីរ​នៃ​ចតុកោណ​ចារឹក​ក្នុង​រង្វង់​​ជា​ផល​បូក​​នៃ​ផល​គុណ​ជ្រុង​ឈម។ 
:\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{BC}\cdot\overline{DA}=\overline{AC}\cdot\overline{BD}

* ចំពោះ​ចតុកោណប៉ោង​​មួយ​ចំនួន​ អង្កត់​ទ្រូង​ទាំង​ពីរ​រួម​គ្នា​​បង្កើត​បាន​​ត្រីកោណ​ចំនួន​បួន។ ក្នុង​ចតុកោណ​ចារឹក​ក្នុង​រង្វង់ គូរ​ឈម​គ្នា​នៃ​ត្រីកោណ​ទាំង​បួន​នេះ​គឺ​ជា​ត្រីកោណដូចគ្នា។

* ប្រភេទ​​ចតុកោណ​​ចារឹក​ក្នុង​​រង្វង់​រួម​មាន​​ចតុកោណកែង ការ៉េ ចតុកោណព្នាយ ។ ចតុកោណខ្លែង (ចតុកោណ​មាន​រាង​ដូច​ខ្លែង) អាច​ជា​​ចតុកោណ​ចារឹក​រង្វង់​​នៅ​ពេល​វា​មាន​​មុំ​ពីរ​ជា​មុំកែង។

* ផល​បូក​នៃ​រង្វាស់​មុំ​ឈម​គ្នា​នៃ​ចតុកោណ​ចារឹក​ក្នុង​រង្វង់​មាន​តំលៃ​ស្មើ​នឹង ១៨០០
::\, A+ C= 180^\circ 
::\, B+ D= 180^\circ 
::\, A+ C = B+ D= 180^\circ 

## រូបមន្ត​សំខាន់ៗ​ចំពោះ​ចតុកោណ​ចារឹក​ក្នុង​រង្វង់ 
ស៊ុម|
គេ​មាន​ចតុកោណ ABCD  ចារឹក​ក្នុង​រង្វង់ កាំ R ។ 
* ផល​គុណ​នៃ​គូរ​ឈម​និមួយៗ​នៃ​អង្កត់​ទ្រូង​គឺ​មាន​តំលៃ​ស្មើ​គ្នា។ ដូច​បង្ហាញ​ក្នុង​រូប M ជា​ចំនុច​ប្រសព្វ​រវាង​អង្កត់​ទ្រូង​ទាំង​ពីរ\overline{AC} និង \overline{BD} នៃ​ចតុកោណ នោះ​គេ​បាន
:\overline{AM}\cdot\overline{CM}=\overline{BM}\cdot\overline{DM}

## សូម​មើល​ផង​ដែរ 
* រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta's theorem) ចំពោះ​អង្កត់ទ្រូង​កែង​គ្នា​នៃ​ចតុកោណ​ចារឹក​ក្នុង​រង្វង់
តេត្រាអែត

**តេត្រាអែត**ឬ **ចតុត័ល**(Tetrahedron) is ពហុត័ល(polyhedron)ដែលបង្កើតដោយមុខបួនជាត្រីកោណ ហើយមុខបីជួបគ្នាត្រង់កំពូលនីមួយៗ ។តេត្រាអែតនិយ័តគឺជាតេត្រាអែតដែលមានមុខទាំងបួនជាត្រីកោណសម័ង្ស ហើយវាជាប្រភេទមួយនៃសូលីតប្លាតូនិច(Platonic solids)​ ។

380px|right|តេត្រាអែត

## រូបមន្តចំពោះតេត្រាអែតនិយ័ត 
ចំពោះតេត្រាអែតនិយ័តដែលមានជ្រុងប្រវែង a

## មាឌនៃតេត្រាអែត 
Video|«880px|right|តេត្រាអែត
បើV\, ជាមាឌរបស់តេត្រាអែតគេបាន

:V = \frac{1}{3} B\,h \,

ដែលB\,ជាផ្ទៃបាត និងh\,ជាកំពស់ពីបាតទៅកំពូល ។

ចំពោះតេត្រាអែតដែលមានកំពូល A(a_1;a_2;a_3) \, ; \, B(b_1;b_2;b_3)\, ; \, C(c_1;c_2;c_3)\, និង D(d_1;d_2:d_2)\, គេបាន

V=\frac{1}{6}|(\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}) \cdot \overrightarrow{A D}| \,

បើគោលតំរុយត្រូវបានជ្រើសរើសនៅត្រង់ D\, នោះ D=0\, ដូចនេះ

: V = \frac { |\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C})| } {6}

ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:គណិតវិទ្យា
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រ
សមភាពគួរកត់សំគាល់

ខាងក្រោមនេះជាសមភាពគួរកត់សំគាល់មួយចំនួនដែលគេប្រើញឹកញាប់នៅក្នុងគណិតវិទ្យា៖
ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត a និង b គេបាន៖
* (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\, 
* (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\, 
* (a-b)(a+b) = a^2 - b^2\,

* (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\,
* (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\,
* a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)\,
* a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)\,

* (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 +4ab^3 + b^4\,
* (a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 -4ab^3 + b^4\,
* a^4 + b^4 = (a^2 + ab\sqrt{2}+ b^2 ) (a^2 - ab\sqrt{2} + b^2 )\,
* a^4 - b^4 = (a - b) (a + b)(a^2 + b^2)\,

* (a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5\,
* (a - b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5\,
* a^5 + b^5 = (a + b) (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)\,
* a^5 - b^5 = (a - b) (a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)\,

* a^6 + b^6 = (a^2 + b^2) (a^4 - a^2b^2 + b^4)\, 
* a^6 - b^6 = (a + b) (a - b) (a^2 + ab + b^2) (a^2 - ab + b^2)\,

* a^7 + b^7 = (a + b) (a^6 - ab^5 + a^2b^4 - a^3b^3  + a^4b^2 - a^5b  + b^6) \,
* a^7 - b^7 = (a - b) (a^6 + ab^5 + a^2b^4 + a^3b^3 + a^4b^2 + a^5b + b^6) \,

## មើលផងដែរ 
* សមភាពប្រាម៉ាហ្គឹបតា
* សមភាពការ៉េទាំង៤របស់អឺលែរ
ទ្រឹស្តីបទប្រាម៉ាហ្គឹបតា

thumb| \overline{BD}\perp\overline{AC} និង \overline{EF}\perp\overline{BC}   \Rightarrow |\overline{AF}|=|\overline{FD}| 
ក្នុងធរណីមាត្រ **ទ្រឹស្តីបទប្រាម៉ាហ្គឹបតា** (Brahmagupta theorem) ផ្តល់នូវលក្ខខណ្ឌចាំបាច់​ក្នុងករណីអង្កត់ទ្រូង​ទាំងពីរនៃ​ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់កែងគ្នា។ 

## ទ្រឹស្តីបទ 
ប្រសិនបើអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់កែងគ្នា គេបានគ្រប់អង្កត់កែងទៅនឹងជ្រុងមួយនៃចតុកោណគូសកាត់ចំនុចប្រសព្វ​នៃអង្កត់ទ្រូង​ទៅកាន់ជ្រុងឈមរបស់វា តែងតែចែក​ជ្រុងឈមនោះ​ជាពីរអង្កត់មានរង្វាស់ស្មើគ្នាជានិច្ច។

ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវដាក់ឈ្មោះថា**ទ្រឹស្តីបទប្រាម៉ាហ្គឹបតា** ដោយផ្តល់កិត្តិយសដល់គណិតវិទូជនជាតិឥណ្ឌាឈ្មោះ ប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta) ។

**ការពិពណ៌នាបន្ថែម**៖ តាង A B C និង D ជាបួនចំនុចនៅលើរង្វង់ ដែលបន្ទាត់ (AC) និង (BD) កែងគ្នា។ តាង M ជាចំនុចប្រសព្វរវាង AC និង BD ។ គូសទំលាក់ចំនោលកែងពី M មកលើបន្ទាត់ (BC) តាងដោយ E ។ តាង F ជាចំនុចប្រសព្វជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ (EM) និង (AD) ។ នោះគេបានទ្រឹស្តីបទពោលថា **F ជាចំនុចកណ្តាលនៃ AD** ។

## សំរាយបញ្ជាក់ 
thumb|
យើងចាំបាច់ត្រូវបង្ហាញថា AF = FD \, ។ យើងនឹងបង្ហាញថា AF និង FD ពិតជាស្មើនឹង FM ។

ដើម្បីបង្ហាញថា AF = FM \, ដំបូងយើងកត់សំគាល់ឃើញថា 
: \angle FAM = \angle CBM (ព្រោះវាជាមុំចារឹកក្នុងដែលស្កាត់ដោយធ្នូដូចគ្នានៃរង្វង់)

ម្យ៉ាងទៀត \angle CBM \, និង \angle CME \, ជាមុំបន្ថែមនៃមុំ \angle BCM  \, (មុំដែលមានផលបូកធំជាង \pi \,)

: \angle AMF = \angle EMC = \angle MBC = \angle MAD

គេបានមុំ \angle  ME =\angle FMA \,

ហេតុនេះត្រីកោណ AFM គឺជាត្រីកោណសមបាត ។ ដូចនេះ AF = FM \, \qquad \color{magenta} (i) ។

ដូចគ្នាដែរចំពោះសំរាយបញ្ជាក់ថា FD = FM \, ។
: \angle AMF = \angle EMC = \angle MBC = \angle MAD 

គេបានត្រីកោណ DFM ជាត្រីកោណសមបាត ដែល FD = FM \, \qquad \color{magenta} (ii) ។

តាម \color{magenta} (i) និង \color{magenta} (ii) គេបាន AF = FD \, ។

ដូចនេះសំរាយបញ្ជាក់ត្រូវនឹងពំនោលនៃទ្រឹស្តីបទ។

## សូមមើលផងដែរ 
* រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta's formula)
* ប្រាម៉ាហ្គឹបតា (គណិតវិទូជនជាតិឥណ្ឌា)
មុំក្នុង

350px|thumb|
ក្នុងធរណីមាត្រ មុំក្នុង​គឺជាមុំ​ដែលបង្កើតដោយផ្នែកខាងចុងរួមគ្នានៃជ្រុងពីរនៃពហុកោណផ្នែកខាងក្នុង។ ពហុកោណធម្មតាត្រូវតែមានយ៉ាងហោចណាស់មុំក្នុងមួយត្រង់កំពូលរបស់វា។

ប្រសិនបើមុំក្នុងនៃពហុកោណមួយមានរង្វាស់យ៉ាងហោចណាស់ ១៨០ដឺក្រេ នោះគេថាបហុកោណនោះជាពហុកោណប៉ោង។

ផ្ទុយមកវិញ មុំក្រៅជាមុំដែលបង្កើតដោយជ្រុងមួយនៃពហុកោណ និង បន្ទាត់ផ្នែកខាងក្រៅនៃជ្រុងជាប់។
ទ្រឹស្តីបទស្តេអាត

ស្តាំ|ស៊ុម|
ក្នុងធរណីមាត្រ **ទ្រឹស្តីបទស្តេអាត** (Stewart's theorem) នាំមកនូវទំនាក់ទំនងរវាងរង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណ និង រង្វាស់អង្កត់ពីកំពូលទៅកាន់ជ្រុងឈមនឹងកំពូលនោះ។

តាង a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណ តាង p ជារង្វាស់អង្កត់ពី A ទៅចំនុចនៅលើជ្រុង BC ដែលចែកអង្កត់ BC ជាពីរមានរង្វាស់រៀងគ្នា x និង y ។ គេបាន

:  a (p^2 + x y ) = b^2 x + c^2 y \,  ឬក៏
:  ap^2 = b^2 x + c^2 y - axy  \, 

## សំរាយបញ្ជាក់ 
ហៅចំនុច P ជាចំនុចប្រសព្វរវាង a និង p ។
យើងចាប់ផ្តើមអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសចំពោះមុំបំពេញ APB និង APC ។

: b^2 = p^2 + y^2 - 2 p y \cos { \theta } \, 

: c^2 = p^2 + x^2 + 2 p x \cos { \theta }\, 

គុណសមីការទី១នឹង x និងគុណសមីការទី២នឹង y គេបាន

: x b^2 = x p^2 + x y^2 - 2 p x y \cos { \theta } \, 

: y c^2 = y p^2 + y x^2 + 2 p x y \cos { \theta }\, 

ដោយបូកសមីការទាំងពីរបញ្ចូលគ្នា យើងទទួលបានទ្រឹស្តីស្តេអាតដូចខាងក្រោម

: x b^2 + y c^2 = (x+y) p^2 + x y (x + y) \, 

## សូមមើលផងដែរ 
* ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន 
* ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស (Apollonius' theorem)

ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រ
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រត្រីកោណ
ស្តេអាត
រឹសគូប

[[រូបភាព:Cube root.svg|right|thumb|288px|ក្រាបនៃ *y* = \sqrt[3]{x} ចំពោះx \ge 0]]
ក្នុងគណិតវិទ្យា **រឹសគូប** (cubic root、root of third power) តាងដោយ \sqrt[3]{x}  ឬ x1/3 គឺជាចំនួន *a* មួយដែល *a*3&nbsp;=&nbsp;*x* ។ គ្រប់ចំនួនពិតទាំងអស់សុទ្ធតែមានរឹសគូបជាចំនួនពិតមួយ និង រឹសជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ចំនួនមួយគូរ និង គ្រប់ចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យមានរឹសគូបបីជាចំនួនកុំផ្លិចផ្សេងគ្នា។   ឧទាហរណ៍: រឹសគូបនៃ ៨ គឺ ២ ពីព្រោះ ២៣&nbsp;=&nbsp;៨ ។ គ្រប់រឹសគូបនៃ &minus;២៧*i* គឺ

:\sqrt[3]{-27i} = \begin{cases} 3i \\ \frac{3\sqrt3}{2}-\frac{3}{2}i \\ -\frac{3\sqrt3}{2}-\frac{3}{2}i \end{cases} 

ប្រមាណវិធីនៃរឹសគូបមិនមានក្ខណៈផ្តុំ ឬ លក្ខណៈបំបែកចំពោះប្រមាណវិធីបូក និងប្រមាណវិធីដកទេ។

រឹសគូបមានលក្ខណៈផ្តុំជាមួយនឹងស្វ័យគុណ និងមានលក្ខណៈបំបែកជាមួយនឹងផលគុណនិងផលចែក ប្រសិនបើមានចំនួនពិតតែមួយគត់ ប៉ុន្តែមិនជានិច្ចជាកាលទេចំពោះចំនួនកុំផ្លិច ឧទាហរណ៍៖

:(\sqrt[3]{8})^3 = 8

ប៉ុន្តែ

:\sqrt[3]{8^3} = \begin{cases} \ \ 8 \\ -4+4\sqrt{3}i \\ -4-4\sqrt{3}i \end{cases} 

## និយមន័យ 
រឹសគូបនៃចំនួន *x* គឺជាចំនួន *y* ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ

:y^3 = x \,

ប្រសិនបើ a ជាចំនួនពិត នោះរឹសគូបនៃ a មានតែមួយគត់ តាងដោយ  \sqrt[3]{a} ។
## លក្ខណៈ 
* ចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន a គេបាន
::\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}.
* រឹសគូប១ នៃ 1 តាងដោយ &omega; រឹសគូបមួយផ្សេងទៀតគឺ &omega;2។ នោះ &omega; និង &omega;2 គឺជារឹសឯកតានៃ១ ដូចគ្នា ដែលវាផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ
:: 1 + \omega + \omega{^2} = 0 \,  ។
* ប្រសិនបើ &alpha; មិនមែនជាចំនួនកុំផ្លិចស្មើសូន្យទេ នោះ &alpha; គឺមានរឹសគូបចំនួន៣ជានិច្ច។ រឹសទាំងបីស្ថិតនៅលើប្លង់កុំផ្លិច ដែលជាកំពូលនៃត្រីកោណសម័ង្ស​ប៉ះក្នុងរង្វង់​ដែលមានគល់ 0 ជាផ្ចិត និងកាំស្មើនឹង \sqrt[3] ។
វិសមភាពប៊ូល

ក្នុងទ្រឹស្តីបទប្រូបាប  **វិសមភាពប៊ូល**(Boole's inequality)ដែលត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមលោក ចច​ ប៊ូល(George Boole) ពោលថា ចំពោះសំនុំរាប់បាន ប្រូបាបដែលយ៉ាងហោចណាស់ព្រឹត្តិការណ៍មួយកើតឡើង គឺមិនធំជាងផលបូកនៃប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗទេ ។

ចំពោះសំនុំរាប់បានមួយរបស់ព្រឹត្តិការណ៍ A_1,A_2,A_3,...\, យើងបាន

:\Pr\left[\bigcup_{i} A_i\right] \leq \sum_i \Pr\left[A_i\right]\,

## វិសមភាពបុនហ្វែររ៉ូនី(Bonferroni inequalities)
វិសមភាពប៊ូលអាចត្រូវធ្វើអោយមានលក្ខណះទូទៅដើម្បីរក ចំនុចទាល់លើ​និងទាល់ក្រោម ដែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាវិសមភាពបុនហ្វែររ៉ូនី ចំពោះប្រូបាបនៃប្រជុំនៃព្រឹត្តិការណ៍ 

កំនត់ដោយ

::S_1 := \sum_{i=1}^n \Pr(A_i)\,
::S_2 := \sum_{i
ចំពោះ 2 S_k := \sum \Pr(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k} )\,

ដែលការបូកគឺយកគ្រប់ចំពោះ*k*(ដែលមានលំដាប់តគ្នា)នៃចំនួនគត់ផ្សេងៗគ្នា ។

នោះ

បើ k\, សេស k>1\,

::\Pr\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \leq \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} S_j\,

បើ k\, គូ *k* ≥ 2

::\Pr\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \geq \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} S_j\,
សមភាពការ៉េទាំង៤របស់អឺលែរ

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា, **សមភាពការ៉េទាំង៤របស់អឺលែរ** ចែងថាផលគុណនៃ២ចំនួន ដែលចំនួននីមួយៗជាផលបូកនៃការ៉េនៃ៤ចំនួនផ្សេងទៀត ក៏ជាផលបូកនៃការ៉េនៃ៤ចំនួន។ ជាពិសេសទៅទៀត

:(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=(a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2 +
:::::::::::: +(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2\,

អឺលែរ បានសរសេរពីសមភាពនេះនៅឆ្នាំ១៧៥០។ សមភាពនេះត្រូវបានប្រើដោយឡាហ្គ្រង់ ដើម្បីស្រាយបញ្ជាក់ ទ្រឹស្ដីបទការ៉េទាំង៤របស់គាត់។ 

## សូមមើលផងដែរ
* សមភាពប្រាម៉ាហ្គឹបតា
* សមភាពការ៉េទាំង៨របស់ដេហ្គេន
ទ្រឹស្តីបទស្ស៊ីបភើ

**ទ្រឹស្តីបទស្ស៊ីបភើ**(Zipper theorem) គឺជាទ្រឹស្តីបទមួយនិយាយអំពីស្វ៊ីតទ័ល។

បើ​ a_n\, និង b_n\, គឺជាស្វីតទ័លត្រង់ L\, នោះ a_1,b_1,a_2,b_2,...,a_n,b_n,...\, ទ័លត្រង់L\, ។

## សំរាយបញ្ជាក់
ឧបមាថា a_n \to L និង  b_n \to L ។ តាង  c_n\, ជាស្វ៊ីតថ្មីមួយទៀត  a_1\,, b_1\, , a_2\, , b_2\dots  a_n\, , b_n\dots 

ដូចនេះ យើងអាចតាង c_{2n-1}=a_n\, ,  c_{2n} = b_n\, ចំពោះ n \ge 1\,

ដោយ a_n\to L ចំពោះគ្រប់ \varepsilon > 0  មាន N_1\, នោះ |a_n-L|  ពេល n > N_1\,

ដោយ b_n\to L ចំពោះគ្រប់ \varepsilon > 0  មាន N_2\, នោះ |b_n-L|  ពេល n > N_2\, 

បើ  N = \max (N_1, N_2)\, នោះ |c_n-L| ពេល  n > 2N\, ហើយដូចនេះ c_n\,ទ័លត្រង់ L\, ។
ចំនួនគូ

**ចំនួន**(Even number)គឺជាចំនួនដែលចែកដាច់នឹង២ ។
ចំនួនសេស

**ចំនួនសេស**(Odd number)គឺជាចំនួនដែលចែកមិនដាច់នឹង២ ។
ទ្រឹស្ដីបទការ៉េទាំង៤របស់ឡាហ្គ្រង់

**ទ្រឹស្ដីបទការ៉េទាំង៤របស់ឡាហ្គ្រង់**ត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់នៅឆ្នាំ១៧៧០ ដោយអ្នកគណិតវិទ្យាអ៊ីតាលីឈ្មោះចូសែហ្វ ល្វី ឡាហ្គ្រង់ ត្រូវគ្នានឹង សមីកាឌីយ៉ូហ្វានទី ដែលអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើតិចនិចក្នុង​នព្វន្ឋម៉ូឌុលែរ។ ទ្រឹស្ដីនេះចែងដូចតទៅ៖

:*គ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមានអាចសរសេរជាផលបូកនៃការ៉េនៃ៤ចំនួនគត់វិជ្ជមានផ្សេងទៀត។*

ជាទូទៅ, គ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន *n*, គេអាចរកបានចំនួនគត់វិជ្ជមាន *a*,*b*,*c*,*d* ដែល៖
:n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2\,\!

អ្នកគណិតវិទ្យាបារាំងឈ្មោះ អាឌ្រីយាង ម៉ារី ឡឺហ្សង់ បានពង្រីកទ្រឹស្ដីបទនេះនៅឆ្នាំ១៧៩៨ ដោយអះអាងថា គ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន គេអាចសរសេរជាផលបូកនៃការ៉េនៃ៣ចំនួនគត់វិជ្ជមានផ្សេងទៀត​ល្កឹកណាចំនួននោះមានទំរង់ជា៖ 4^{k}(8m + 7)\,\!.

ទ្រឹស្ដីបទការ៉េទាំង៤របស់ឡាហ្គ្រង់ជាករណីពិសេសរបស់​ទ្រឹស្ដីបទនៃចំនួនពហុកោណរបស់ហ្វែរម៉ា និង របស់ ចំនោទរបស់វ៉ារីង។
សមភាពការ៉េទាំង៨របស់ដេហ្គេន

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា, **សមភាពការ៉េទាំង៨របស់ដេហ្គេន** ចែងថាផលគុណនៃ២ចំនួនដែលចំនួននីមួយៗជាផលបូកនៃការ៉េនៃ៨ចំនួនផ្សេងទៀត ក៏ជាផលបូកនៃការ៉េនៃ៨ចំនួនដែរ។ មានន័យថា៖

:(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2+a_7^2+a_8^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2+b_5^2+b_6^2+b_7^2+b_8^2)=\,

::(a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3-a_4b_4-a_5b_5-a_6b_6-a_7b_7-a_8b_8)^2+\,

::(a_2b_1+a_1b_2+a_4b_3-a_3b_4+a_6b_5-a_5b_6-a_8b_7+a_7b_8)^2+\,

::(a_3b_1-a_4b_2+a_1b_3+a_2b_4+a_7b_5+a_8b_6-a_5b_7-a_6b_8)^2+\,

::(a_4b_1+a_3b_2-a_2b_3+a_1b_4+a_8b_5-a_7b_6+a_6b_7-a_5b_8)^2+\,

::(a_5b_1-a_6b_2-a_7b_3-a_8b_4+a_1b_5+a_2b_6+a_3b_7+a_4b_8)^2+\,

::(a_6b_1+a_5b_2-a_8b_3+a_7b_4-a_2b_5+a_1b_6-a_4b_7+a_3b_8)^2+\,

::(a_7b_1+a_8b_2+a_5b_3-a_6b_4-a_3b_5+a_4b_6+a_1b_7-a_2b_8)^2+\,

::(a_8b_1-a_7b_2+a_6b_3+a_5b_4-a_4b_5-a_3b_6+a_2b_7+a_1b_8)^2\,

សមភាពនេះត្រូវបានរកឃើញដំបូងដោយ ហ្វែរឌីណាន់ ដេហ្គេន (Ferdinand Degen) នៅឆ្នាំ ១៨១៨។ សមភាពនេះត្រូវបានរកឃើញឡើងវិញដោយឡែកដោយចន ថូម៉ាស់ ហ្គ្រេវ (John Thomas Graves ) (១៨៤៣) និង អារសឺ ខេយឡេយ (Arthur Cayley) (១៨៤៥)
ម៉ាទ្រីសប្រាម៉ាហ្គឹបតា

ម៉ាទ្រីសខាងក្រោមនេះគឺត្រូវបានរកឃើញដោយលោក ប្រាម៉ាហ្គឹបតា(Brahmagupta)ដែលជាគណិតវិទូជាតិឥណ្ឌា នៅឆ្នាំ៦២៨ ។

:B(x,y) = \begin{bmatrix}
x & y \\
\pm ty & \pm x \end{bmatrix}\,

វាផ្តល់អោយ

:B(x_1,y_1) B(x_2,y_2) = B(x_1 x_2 \pm ty_1 y_2,x_1 y_2 \pm y_1,x_2)\,

ស្វ័យគុណនៃម៉ាទ្រីសគឺកំនត់ដោយ

:B^n = \begin{bmatrix}
x & y \\
ty & x \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix}
x_n & y_n \\
ty_n & x_n \end{bmatrix} \equiv B_n\,

\ x_n និង \ y_n ហៅថាពហុធាប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta polynomial)។ ម៉ាទ្រីសប្រាម៉ាហ្គឹបតាអាចពន្លាតជាចំនួនគត់អវិជ្ជមាន ។

:B^{-n} = \begin{bmatrix}
x & y \\
ty & x \end{bmatrix}^{-n} = \begin{bmatrix}
x_{-n} & y_{-n} \\
ty_{-n} & x_{-n} \end{bmatrix} \equiv B_{-n}\,
អង់រីកូ ពែរស៊ីកូ

អង់រីកូ ពែរស៊ីកូ (Enrico Persico) (៩ សីហា ១៩០០-១៧ មិថុនា ១៩៦៩) ជាអ្នករូបវិទ្យាអ៊ីតាលីល្បីម្នាក់ ដែលបានផ្សព្វផ្សាយពីមេកានិចកង់ទិចនៅអ៊ីតាលី។ លោកជាសាស្ត្រាចារ្យនៅសាកលវិទ្យាល័យទូរីន។

ពែរស៊ីកូចាប់កំនើតនៅទីក្រុងរ៉ូមនៅថ្ងៃទី៩ សីហា ១៩០០។ នៅពេលលោករៀននៅមហាវិទ្យាល័យ លោកបានស្គាល់គ្នា​​និងធ្វើជាមិត្តភក្តិជាមួយ​អង់រីកូ ហ្វែរមី។ លោកបញ្ចប់ការសិក្សានៅឆ្នាំ១៩២១ និងចូលបង្រៀននៅសាកលវិទ្យាល័យរ៉ូមនៅឆ្នាំ១៩២៦។ លោកនិងហ្វែរមី បានរួមគ្នាសរសេរពីរលកមេកានិច។ ក្រោយមកលោកប្ដូរទៅហ្វ្លូរ៉ង់ ដែលនៅទីនោះគាត់បង្រៀនពីរលកមេកានិច។ នៅចុងឆ្នាំ១៩៣០ គាត់ត្រូវបានអញ្ជើញទៅទូរីន។ លោកតែងរក្សាទំនាក់ទំនងជាមួនហ្វែរមីជានិច្ច ពីទូរីន។ លោកជាសាក្សីនៃរបកគំឃើញការពន្យឺតណឺត្រុង និងលទ្ឋផលជាលាយល័ក្ខអក្សរនៃអំនានកុងទ័រដែលហ្វែរមីប្រើសំរាប់វាស់​សកម្មភាពរបស់ណឺត្រុង​ក្នុងភាគល្អិតរបស់ប្រាក់ ដោយមាននិងមិនមានវត្តមានប៉ារ៉ាហ្វីន។ នៅឆ្នាំ១៩៤៩ ដោយធុញថប់នឹងបរិយាកាសក្រោយសង្គ្រម លោកបានសំរេចទៅនៅកាណាដា។ នៅឆ្នាំ១៩៥០ លោកត្រលប់មកទីក្រុងរ៉ូមវិញ។ លោកបានបន្តចំនាប់អារម្មណ៍​លើផ្នែកអុបតូអេឡិចត្រូនិច ដែលលោកបានបណ្តុះបណ្ដាលតាំងពីនៅកាណាដា។ នៅឆ្នាំ១៩៥៣ លោកបានដឹកនាំការសិក្សាទ្រឹស្ដីដែលទ្រទ្រង់ដល់​ការស្ថាបនា សាំងក្រូត្រុង 1.1 GeV។ គាត់ក៏បានអភិវឌ្ឈទ្រឹស្ដីបទទូទៅនៃ​ការបាញ់បញ្ចូលភាគល្អិតនៅក្នុងឧបករណ៍បង្កើនល្បឿន។

## សៀវភៅសរសេរដោយពែរស៊ីកូ 
* Gli atomi e la loro energia (១៩៥៩) (អាតូមនិងច្បាប់ថាមពល)
* Principles of particle accelerators (១៩៦៨) (គោលការណ៍នៃឧបករណ៍បង្កើនល្បឿនភាគល្អិត)
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:អ្នករូបវិទ្យាអ៊ីតាលី
វិសមភាព អឺមីត-អាដាម៉ា

ក្នុងគណិតវិទ្យា **វិសមភាពអឺមីត-អាដាម៉ា**(Hermite–Hadamard inequality)ដែលយកឈ្មោះតាមលោក ឆាលេស អឺមីត(Charles Hermite) និងលោក ចាក អាដាម៉ា(Jacques Hadamard) ហើយពេលខ្លះត្រូវគេហៅថាវិសមភាពអាដាម៉ា(Hadamard's inequality) ពោលថា បើអនុគមន៍ ƒ&nbsp;:&nbsp;[*a*,&nbsp;*b*]&nbsp;→&nbsp;**R** ប៉ោងផត នោះ

:  f\left( \frac{a+b}{2}\right) \le \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx \le \frac{f(a) + f(b)}{2}\, 

ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:គណិតវិទ្យា
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:វិសមភាព
ហ្វ្រង់កូ រ៉ាសិតទី

**ហ្វ្រង់កូ ឌីណូ រ៉ាសិតទី** (Franco Dino Rasetti) (១០ សីហា ១៩០១-៥​ ធ្នូ ២០០១) ជាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអ៊ីតាលី។ លោកនិងអង់រីកូ ហ្វែរមី បានរកឃើញមធ្យោបាយគន្លឹះ ដើម្បីធ្វើបន្ទុះនុយក្លេអ៊ែរ។ រ៉ាសិតទីបានបដិសេដមិនធ្វើការលើគំរោងម៉ាន់ហាថាន់ ដោយឈរលើគោលការណ៍សីលធម៌។

រ៉ាសិតទីចាប់កំនើតនៅ **កាស្ទីហ្គ្លីយ៉ូនេ ដែល ឡាហ្គោ** ប្រទេសអ៊ីតាលី។ នៅឆ្នាំ១៩៤៧ លោកបានទៅនៅសហរដ្ឋអាមេរិក​ ហើយនៅឆ្នាំ១៩៥២ ក៏ក្លាយជាពលរដ្ឋអាមេរិកដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ លោកទទួលមរណភាពនៅ វ៉ារ៉ែម ប្រទេសបែលហ្ស៊ីក ក្នុងជន្មាយុ១០០ឆ្នាំ។

## រង្វាន់ 
* ឆ្នាំ១៩៣១ ៖ មេដាយ Matteucci (បណ្ឌិតសភាវិទ្យាសាស្ត្រអ៊ីតាលី)
* ឆ្នាំ១៩៥២ ៖ មេដាយ Charles Doolittle Walcott ដោយ បណ្ឌិតសភាវិទ្យាសាស្ត្រជាតិសហរដ្ឋអាមេរិក
អេដូអារដូ អាម៉ាល់ឌី

**អេដូអារដូ អាម៉ាល់ឌី** (Edoardo Amaldi) (៥ កញ្ញា ១៩០៨ - ៥ ធ្នូ ១៩៨៩) ជាអ្នករូបវិទ្យាអ៊ីតាលី។
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:រូបវិទូអ៊ីតាលី
អេមីល្យូ ហ្គីណូ សេហ្គ្រែ

**អេមីល្យូ ហ្គីណូ សេហ្គ្រែ** (Emilio Gino Segrè) (១ កុម្ភៈ ១៩០៥ - ២២ មេសា ១៩៨៩) ជាអ្នករូបវិទ្យាជនជាតិអ៊ីតាលី និងជាជ័យលាភីរង្វាន់ណូបែលផ្នែករូបវិទ្យា។ លោកជាមួយនឹង អូវិន ឆេមបឺឡែន (Owen Chamberlain) បានរកឃើញអង់ទីភាគល្អិត អនុអាតូមិចឈ្មោះអង់ទីប្រូតុង។

## ជីវប្រវត្តិ 
សេហ្គ្រែចាប់កំនើតនៅ ទីវ៉ូលី ក្បែរទីក្រុងរ៉ូម និងបានចុះឈ្មោះចូលរៀនផ្នែកវិស្វកម្មនៅសាកលវិទ្យាល័យរ៉ូម។ លោកបានប្ដូរមុខជំនាញទៅផ្នែករូបវិទ្យាវិញនៅឆ្នាំ១៩២៧ និងបានទទួលសញ្ញាប័ត្រថ្នាក់បណ្ឌិតនៅឆ្នាំ១៩២៨។ គ្រូរបស់លោកគឺអង់រីកូ ហ្វែរមី។

បន្ទាប់ពីចប់ភារកិច្ចកងទ័ពពីឆ្នាំ១៩២៨ដល់ឆ្នាំ១៩២៩ លោកបានចូលធ្វើការជាមួយ អុតតូ ស្ទើន នៅ ហាំបួក (អាល្លឺម៉ង់) បន្ទាប់មកជាមួយ ភាធើ ហ្ស៊ីម៉ាន់នៅអាំស្ទើដាំ (ហុល្លង់)ក្នុងនាមជាបុគ្គលិកមូលនិធិរ៉ក់ហ្វែលឡឺនៅឆ្នាំ១៩៣០។ សេហ្គ្រែត្រូវបានតែងតាំងជាសាស្ត្រាចារ្យជំនួយផ្នែករូបវិទ្យា​នៅសាកលវិទ្យាល័យរ៉ូម ពីឆ្នាំ១៩៣២ដល់ឆ្នាំ១៩៣៦។ ពីឆ្នាំ១៩៣៦ដល់ឆ្នាំ១៩៣៨ លោកធ្វើជានាយកបន្ទប់ពិសោធន៍រូបវិទ្យានៅសាកលវិទ្យាល័យប៉ាលើម៉ូ។ នៅឆ្នាំ១៩៣៦ លោកបានរកឃើញធាតុតិចនេចូម ដែលជាធាតុគីមីបានដោយការសំយោគដោយមនុស្ស ដំបូងគេ។

ខណៈពេលដែលសេហ្គ្រែធ្វើទស្សនកិច្ចរដូវក្ដៅនៅកាលីហ្វរនៀនៅឆ្នាំ១៩៣៨ រដ្ឋាភិបាលហ្វាស៊ីសរបស់មូសូលីនីបានអនុម័តច្បាប់ហាមប្រាមមិនអោយ​ជនជាតិជ្វីហ្វមានតំនែងក្នុងសាកលវិទ្យាល័យ។ ដោយខ្លួនជានជនជាតិជ្វីហ្វ សេហ្គ្រែបានស្ថិតក្នុងភាពអន្តោប្រវេសន៍ក្នុងរយៈពេលមិនកំនត់។ លោកបានចូលធ្វើជាអ្នកជំនួយការស្រាវជ្រាយក្នុង​បន្ទប់ពិសោធន៍វិទ្យុសកម្មបឺឃើលេយ និងធ្វើជាគ្រូរូបវិទ្យានៅសាកលវិទ្យាល័យកាលីហ្វរនៀ។ ពេលនៅបឺឃើលេយ គាត់បានជួយរកឃើញធាតុ អាស្តាទីន និងអ៊ីសូតូប ភ្លុយតូនីញ៉ូម-239 (ភ្លុយតូនីញ៉ូម-239 ត្រូវបានគេប្រើសំរាប់ផលិតគ្រាប់បែកបរមាណូដែលទំលាក់នៅ​ណាហ្គាសាគី)។

ពីឆ្នាំ១៩៤៣ ដល់ ១៩៤៦ លោកធ្វើការនៅ បន្ទប់ពិសោធន៍ជាតិឡូសអាឡាម៉ូស ក្នុងឋានៈជាអ្នកដឹកនាំក្រុម នៃគំរោងម៉ាន់ហាថាន់។ នៅឆ្នាំ១៩៤៤ លោកក្លាយជាពលរដ្ឋអាមេរិកដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ លោកបានបង្រៀនៅសាកលវិទ្យាល័យកូឡុំបៀ សាកលវិទ្យាល័យអ៊ីលីណយ និង សាកលវិទ្យាល័យរីយ៉ូ ដឺ ចានេរ៉ូ។ នៅឆ្នាំ១៩៥៩ លោកជាមួយនឹង អូវិន ឆេមបឺឡែន (Owen Chamberlain) បានរកឃើញអង់ទីប្រូតុង ដែលជាភាគល្អិតមានម៉ាស់ស្មើប្រូតុងតែមានបន្ទុកផ្ទុយគ្នា។ នៅឆ្នាំដដែលនោះលោកបានទទួលរង្វាន់ណូបែលផ្នែករូបវិទ្យា​សំរាប់របកគំហើញនេះ។
ពេលត្រលប់ទៅបឺឃើលេយវិយ លោកក្លាយជាសាស្ត្រាចារ្យរូបវិទ្យានិងប្រវត្តិសាស្ត្រវិទ្យាសាស្ត្រ រហូតដល់ឆ្នាំ១៩៧២។ នៅឆ្នាំ១៩៧៤ លោកបានត្រលប់ទៅកាន់សាកលវិទ្យាល័យរ៉ូមវិញ ក្នុងឋានៈជាសាស្ត្រាចារ្យរូបវិទ្យានុយក្លេអ៊ែរ។

នៅឆ្នាំ១៩៧០ សេហ្គ្រែបានបោះពុម្ភសៀវភៅជីវប្រវត្តិរបស់អង់រីកូ ហ្វែរមី (Enrico Fermi: Physicist, University of Chicago Press)។ សេហ្គ្រែបានទទួលមរណភាពនៅអាយុ៨៤ឆ្នាំដោយជំងឺខ្សោយបេះដូង។

ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:រូបវិទូអ៊ីតាលី
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ជ័យលាភីរង្វាន់ណូបែល ផ្នែករូបវិទ្យា
មធ្យមស្តូឡារស្គី

**មធ្យមស្តូឡារស្គី**នៃ២ចំនួនពិតវិជ្ជាមាន x,y \; កំនត់ដោយ៖
:
\begin{matrix}
S_p(x,y)
&=&
\lim_{(\xi,\eta)\to(x,y)} 
\left({\frac{\xi^p-\eta^p}{p (\xi-\eta)}}\right)^{1\over p-1}
\\
&=&
\begin{cases}
x & \mbox{if }x=y \\
\left({\frac{x^p-y^p}{p (x-y)}}\right)^{1\over p-1} & \mbox{else}
\end{cases}
\end{matrix}
.

វាត្រូវបានទាញចេញពី ទ្រឹស្ដីបទតំលៃកណ្ដាល ដែលចែងថាកំនាត់បន្ទាត់ដែលកាត់ក្រាបអនុគមន៍អាចធ្វើដេរីវេ f \; ត្រង់ ( x, f(x) ) \; និង ( y, f(y) ) \; មានមេគុណប្រាប់ទិសដូចគ្នានឹងបន្ទាត់ប៉ះក្រាបត្រង់ចំនុចណាមួយ \xi នៅលើចន្លោះ[x,y]។
: \exists \xi\in[x,y]\ , f'(\xi) = \frac{f(x)-f(y)}{x-y} 

មធ្យមស្តូឡារស្គីបានដោយ
: \xi = f'^{-1}\left(\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right) 
ពេលគេយក f(x) = x^p។

## ករណីពិសេស 
*\lim_{p\to -\infty} S_p(x,y) ជាតំលៃអប្បបរមា។
*S_{-1}(x,y) \; ជាមធ្យមធរណីមាត្រ។
*\lim_{p\to 0} S_p(x,y) ជាមធ្យមលោការីត។ គេអាចទាញវាពីទ្រឹស្ដីបទតំលៃកណ្ដាល​ ដោយយក f(x) = \ln x \;
*S_{\frac{1}{2}}(x,y) ជាមធ្យមស្វ័យគុណ ដែលមាននិទស្សន្ត \frac{1}{2}។
*\lim_{p\to 1} S_p(x,y) ជាមធ្យមអ៊ីដង់ទ្រិច។ គេអាចទាញវាចេញពីទ្រឹស្ដីបទតំលៃកណ្ដាល ដោយយក f(x) = x\cdot \ln x។
*S_2(x,y) ជាមធ្យមនព្វន្ឋ។
*S_3(x,y) = QM(x,y,GM(x,y)) \; ជាទំនាក់ទំនងរវាងមធ្យមកាដ្រាទិច និង មធ្យមធរណីមាត្រ។
*\lim_{p\to\infty} S_p(x,y) ជាតំលៃអតិបរមា។

## ជាទូទៅ 
គេអាចអោយនិយមន័យជាទូទៅនៃមធ្យមស្តូឡារស្គី ចំពោះអថេរ n+1 ដូចតទៅ៖
:S_p(x_0,\dots,x_n) = {f^{(n)}}^{-1}(n!\cdot f[x_0,\dots,x_n]) ចំពោះ f(x)=x^p \;.

ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:មធ្យម
កម្ពស់ត្រីកោណ

ក្នុងធរណីមាត្រ **កម្ពស់**នៃត្រីកោណជាបន្ទាត់កាត់តាមកំពូលនៃត្រីកោណនិងកែងទៅនឹងជ្រុងឈមនៃកំពូលនោះ (មានន័យថាវាបង្កើតបាន*មុំកែង*) ។ ចំណុចប្រសព្វរវាងជ្រុងឈមនិងកម្ពស់ហៅថាជើងនៃកម្ពស់។ ជ្រុងឈមនេះហៅថាបាតនៃកម្ពស់។ ប្រវែងនៃកម្ពស់ជាចំងាយរវាងបាតនិងកពូល។

ក្នុងត្រីកោណសមបាត (ត្រីកោណដែលមានជ្រុងពីរមានរង្វាស់ស្មើគ្នា) កម្ពស់របស់វាមិនមានប្រវែងស្មើគ្នាទេ ដែលជើងរបស់វាជាចំណុចកណ្ដាលនៃបាត។

កម្ពស់នៃត្រីកោណអាចត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីគណនាក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណ។ ក្រឡាផ្ទៃត្រីកោណអាចគណនាបានដោយយកប្រវែងកម្ពស់គុណនឹងបាត រួចចែកនឹង២។ តាមរយៈអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ វាអាចត្រូវបានស្គាល់ប្រវែងជ្រុងមួយនៃត្រីកោណ។

ក្នុងត្រីកោណកែង កម្ពស់ដែលមានអ៊ីប៉ូតេនុសជាបាត ចែកអ៊ីប៉ូតេនុសជាពីរមានរង្វាស់ p និង q ។ ប្រសិនបើយើងតាង h ជាកម្ពស់ នោះគេបានទំនាន់ទំនង់៖
:: \color{Fuchsia}h^2 = pq \,  
thumb|250px|right|
__មាតិកា__
## អរតូសង់ 
thumb|300px|right|
កម្ពស់ទាំងបីនៃត្រីកោណប្រសព្វគ្នាចំណុចមួយ ហៅថា**អរតូសង់នៃត្រីកោណ**។ អរតូសង់នៃត្រីកោណគឺស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុងនៃត្រីកោណ លុះត្រាតែត្រីកោណនោះមានមុំមួយជាមុំទាល (មុំដែលធំជាង ៩០០) ។

បួនចំណុចក្នុងប្លង់ ដែលចំណុចមួយក្នុងចំនោមចំណុចទាំងបួននេះជាអរតូសង់នៃត្រីកោណបង្កើតដោយចំណុចបីផ្សេងពីចំណុចនេះហៅថាប្រព័ន្ធអរតូសង់ ឬ ចតុកោណអរតូសង់។

តាង A, B, C ជាមុំនៃត្រីកោណ ABC និងតាង a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| \, ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណនេះ។ អរតូសង់នេះមានកូអរដោនេទ្រីលីនេអ៊ែរ \sec A : \sec B : \sec C \, និងកូអរដោនេបារីសង់
: ((a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2) : (a^2+b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2) : (a^2-b^2+c^2)(-a^2+b^2+c^2)) \,

## ទ្រឹស្តីបទបន្ថែមមួយចំនួនអំពីកម្ពស់ 
### ចំពោះត្រីកោណសម័ង្ស
ចំពោះចំណុចនៅក្នុងត្រីកោណសម័ង្ស ផលបូកនៃរង្វាស់ជ្រុងកែងទៅនឹងជ្រុងទាំងបីស្មើនឹងកម្ពស់នៃត្រីកោណ។
### កាំនៃរង្វង់ចារឹកក្នុង
គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុងរៀងគ្នា a, b, c និងកម្ពស់រៀងគ្នា **α, β, η** ។ គេបានទំនាក់ទំនងរវាងកម្ពស់និងកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្នុងសំដែងដោយ
:::\tfrac{1}{r}=\tfrac{1}{\alpha}+\tfrac{1}{\beta}+\tfrac{1}{\eta}  
## សូមមើលផងដែរ 
* ត្រីកោណ
* មេដ្យាន
* រង្វង់អយល័រ (ឬរង្វង់អឺលែរ)
វិធីសាស្រ្តស៊េរីស្វ័យគុណ

ក្នុងគណិតវិទ្យា​ ​ **វិធីសាស្រ្តស៊េរីស្វ័យគុណ**(power series method) គឺជាវិធីសាស្រ្តរកចំលើយរបស់ស៊េរីស្វ័យគុណ អោយទៅជាសមីការឌីផេរ៉ងើស្យែ ។

## វិធីសាស្រ្ត
ចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់២

: a_2(z)f''(z)+a_1(z)f'(z)+a_0(z)f(z)=0\;\!

ឧបមាថា *a*2 មិនសូន្យគ្រប់ *z* ។ នោះយើងអាចចែកវាហើយទទួលបាន 

: f''+{a_1(z)\over a_2(z)}f'+{a_0(z)\over a_2(z)}f=0

ហើយឧបមាទៀតថា *a*1/*a*2 និង *a*0/*a*2 គឺជាអនុគមន៍អាណាលីទីក(analytic function អនុគមន៍ទាល់) ។

វិធីសាស្រ្តស៊េរីស្វ័យគុណទទួលបានទំរង់នៃចំលើយនៃស៊េរីស្វ័យគុណ 

:f=\sum_{k=0}^\infty A_kz^k

បើ *a*2 ស្មើសូន្យ ចំពោះ *z*ខ្លះ នោះវិធីសាស្រ្តហ្រ្វូបេនៀស ដែលជាវិធីសាស្រ្តផ្នែកមួយនៃវិធីសាស្រ្តនេះ គឺត្រូវនឹងចំនុចទោល ។

## ឧទាហរណ៍
យើងក្រលេកមើល សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអឺមីត(Hermite differential equation) 

: f''-2zf'+\lambda f=0;\;\lambda=1

យើងអាចបង្កើតចំលើយរបស់ស៊េរី

: f=\sum_{k=0}^\infty A_kz^k
: f'=\sum_{k=0}^\infty kA_kz^{k-1}
: f*=\sum_{k=0}^\infty k(k-1)A_kz^{k-2}

ជំនួសវាចូលទៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល 

: \sum_{k=0}^\infty k(k-1)A_kz^{k-2}-2z\sum_{k=0}^\infty kA_kz^{k-1}+\sum_{k=0}^\infty A_kz^k=0
: =\sum_{k=0}^\infty k(k-1)A_kz^{k-2}-\sum_{k=0}^\infty 2kA_kz^k+\sum_{k=0}^\infty A_kz^k

សំរួលការបូកចំពោះតួដំបូង

: =\sum_{k+2=0}^\infty (k+2)((k+2)-1)A_{k+2}z^{(k+2)-2}-\sum_{k=0}^\infty 2kA_kz^k+\sum_{k=0}^\infty A_kz^k
: =\sum_{k=-2}^\infty (k+2)(k+1)A_{k+2}z^k-\sum_{k=0}^\infty 2kA_kz^k+\sum_{k=0}^\infty A_kz^k
: =(0)(-1)A_{0}z^{-2} + (-1)(0)A_{1}z^{-1}+\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1)A_{k+2}z^k-\sum_{k=0}^\infty 2kA_kz^k+\sum_{k=0}^\infty A_kz^k
: =\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1)A_{k+2}z^k-\sum_{k=0}^\infty 2kA_kz^k+\sum_{k=0}^\infty A_kz^k
: =\sum_{k=0}^\infty \left((k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_k\right)z^k

ឥឡូវ បើស៊េរីនេះជាចំលើយ មេគុណទាំងអស់ត្រូវតែស្មើសូន្យ ដូចនេះ

: (k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_k=0\;\!

យើងអាចរៀបវាឡើងវិញ ដើម្បីទទួលបានទំនាក់ទំនងចំពោះ​ *A**k*+2 ។

: (k+2)(k+1)A_{k+2}=-(-2k+1)A_k\;\!
: A_{k+2}={(2k-1)\over (k+2)(k+1)}A_k\;\!

ឥឡូវយើងបាន

: A_2 = {-1 \over (2)(1)}A_0={-1\over 2}A_0,\, A_3 = {1 \over (3)(2)} A_1={1\over 6}A_1

យើងអាចកំនត់  *A*0 និង *A''1 បើវាមានលក្ខខណ្ឌដើម  ឧទាហរណ៍ បើយើងមានសំនួរដែលមានតំលៃដើម ។

ដូចនេះ យើងបាន

: A_4={1\over 4}A_2  = \left({1\over 4}\right)\left({-1 \over 2}\right)A_0 = {-1 \over 8}A_0

: A_5={1\over 4}A_3  = \left({1\over 4}\right)\left({1 \over 6}\right)A_1 = {1 \over 24}A_1

: A_6={7\over 30}A_4 = \left({7\over 30}\right)\left({-1 \over 8}\right)A_0 = {-7 \over 240}A_0

: A_7={3\over 14}A_5 = \left({3\over 14}\right)\left({1 \over 24}\right)A_1 = {1 \over 112}A_1

ហើយចំលើយរបស់ស៊េរីគឺ

: f=A_0x^0+A_1x^1+A_2x^2+A_3x^3+A_4x^4+A_5x^5+A_6x^6+A_7x^7+\cdots

: =A_0x^0+A_1x^1+{-1\over 2}A_0x^2+{1\over 6}A_1x^3+{-1 \over 8}A_0x^4+{1 \over 24}A_1x^5+{-7 \over 240}A_0x^6+{1 \over 112}A_1x^7+\cdots

: =A_0x^0+{-1\over 2}A_0x^2+{-1 \over 8}A_0x^4+{-7 \over 240}A_0x^6+A_1x+{1\over 6}A_1x^3+{1 \over 24}A_1x^5+{1 \over 112}A_1x^7+\cdots

ដែលយើងអាចបំបែកវាទៅជាផលបូកនៃចំលើយរបស់ស៊េរីឯករាជ្យលីនេអែពីរ

: f=A_0(1+{-1\over 2}x^2+{-1 \over 8}x^4+{-7 \over 240}x^6+\cdots)+A_1(x+{1\over 6}x^3+{1 \over 24}x^5+{1 \over 112}x^7+\cdots)

ដែលអាចសំរួលដោយការប្រើនៃស៊េរីស្វ័គុណដែលមានប្រភាគនៃមេគុណបន្តលំដាប់(hypergeometric series) ។
ប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់

**ចំនុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់**(Line-plane intersection) អាចជាសំនុំទទេ ចំនុចមួយ ឬបន្ទាត់មួយ ។

## ទំរង់ប៉ារ៉ាម៉ែត
បន្ទាត់មួយត្រូវរៀបរាប់ដោយគ្រប់ចំនុចដែលជាទិសដៅដែលផ្តល់ ពីចំនុចមួយ ។ ដូចនេះ បន្ទាត់អាចសំដែងរាងជា

:\mathbf{l}_a + (\mathbf{l}_b - \mathbf{l}_a)t, \quad t\in \mathbb{R}\, 

ដែល \mathbf{l}_a=(x_a, y_a, z_a) និង \mathbf{l}_b=(x_b, y_b, z_b) ជាចំនុចពីរផ្សេងគ្នានៅលើបន្ទាត់ ។

ដូចគ្នាដែរ ចំពោះប្លង់

:\mathbf{p}_0 + (\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_0)u + (\mathbf{p}_2-\mathbf{p}_0)v, \quad u,v\in\mathbb{R} 

ដែល  \mathbf{p}_k=(x_k,y_k,z_k),
k=0,1,2 ជាបីចំនុចស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ហើកូលីនេអ៊ែ(ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ) ។

ចំនុចដែលជាប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់ ត្រូវគេរៀបរាប់ដោយដាក់សមីការបន្ទាត់ស្មើនឹងសមីការប្លង់ ក្នុងទំរង់ជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត

:\mathbf{l}_a + (\mathbf{l}_b - \mathbf{l}_a)t = \mathbf{p}_0 + (\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_0)u + (\mathbf{p}_2-\mathbf{p}_0)v

វាអាចត្រូវគេសំរួលជា

:\mathbf{l}_a - \mathbf{p}_0 =  (\mathbf{l}_a - \mathbf{l}_b)t + (\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_0)u + (\mathbf{p}_2-\mathbf{p}_0)v\,

ដែលអាចដាក់ក្នុងទំរង់ម៉ាទ្រីស ជា

: \begin{bmatrix} x_a - x_0 \\ y_a - y_0 \\ z_a - z_0 \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} x_a - x_b & x_1 - x_0 & x_2 - x_0 \\ y_a - y_b & y_1 - y_0 & y_2 - y_0 \\ z_a - z_b & z_1 - z_0 & z_2 - z_0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ u \\ v \end{bmatrix} 

ចំនុចប្រសព្វគឺ

:\mathbf{l}_a + (\mathbf{l}_b - \mathbf{l}_a)t

បើបន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់ នោះវ៉ិចទ័រ\mathbf{l}_b - \mathbf{l}_a, \mathbf{p}_1-\mathbf{p}_0 និង \mathbf{p}_2-\mathbf{p}_0 ជាលីនេអ៊ែពឹងពាក់គ្នា ហើយម៉ាទ្រីសជាម៉ាទ្រីសទោល ។ ចំលើយនេះកើតឡើងក្នុងករណីបន្ទាត់ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ។

បើចំលើយផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ t \in [0,1], នោះចំនុចប្រសព្វស្ថិតនៅលើបន្ទាត់រវាង \mathbf{l}_a និង \mathbf{l}_b ។

បើចំលើយផ្ទៀងផ្ទាត់

:u,v \in [0,1], \;\;\; (u+v) \leq 1\,

នោះចំនុចប្រសព្វស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ហើយស្ថិតនៅក្នុងត្រីកោណដែលបង្កើតដោយបីចំនុច 

\mathbf{p}_0, \mathbf{p}_1 និង \mathbf{p}_2 ។

បញ្ហានេះជាទូទៅត្រូវគេដោះស្រាយដោយសំដែងវា ក្នុងទំរង់ម៉ាទ្រីស និង​ម៉ាទ្រីសច្រាស 

: \begin{bmatrix} t \\ u \\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_a - x_b & x_1 - x_0 & x_2 - x_0 \\ y_a - y_b & y_1 - y_0 & y_2 - y_0 \\ z_a - z_b & z_1 - z_0 & z_2 - z_0 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} x_a - x_0 \\ y_a - y_0 \\ z_a - z_0 \end{bmatrix}\,

## ទំរង់ពិជគណិត
សមីការប្លង់អាចត្រូវគេកំនត់ដោយ

:\mathbf{p}\cdot\mathbf{n}=d

ដែល \mathbf{p}=(x,y,z) ជាចំនុចមួយនៅលើប្លង់ ហើយ\mathbf{n} ជាវ៉ិទ័រណរម៉ាល់នឹងប្លង់ ។ វ៉ិចទ័រណរម៉ាល់អាចត្រូវរកឃើញដោយ

(\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_0) \times (\mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_0) and d=\mathbf{p}_0\cdot\mathbf{n} ។

ដោយដាក់បញ្ចូលសមីការបន្ទាត់ វាអោយ

:(\mathbf{l}_a+t(\mathbf{l}_b-\mathbf{l}_a))\cdot\mathbf{n}=d\,

និង

:t={-d-\mathbf{l}_a\cdot\mathbf{n} \over (\mathbf{l}_b-\mathbf{l}_a)\cdot\mathbf{n}}\, ។

ក្នុងរាងជាកូអរដោនេ បើ  \mathbf{n}=(a,b,c) នោះសមីការប្លង់សំដែងដោយ 

:a x+b y+c z=d\,

និង

:t={-d-a x_a - b y_a - c z_a \over a (x_b-x_a)+ b (y_b-y_a) + c(z_b-z_a)}\,

បើទិសដៅនៃបន្ទាត់ (\mathbf{l}_b-\mathbf{l}_a) កែងនឹងវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ភាគបែងស្មើនឹងសូន្យ ។ បើ បន្ទាត់ស្ថិតក្នុងប្លង់ នោះទាំងភាគបែង និងភាគយកស្មើនឹងសូន្យ សមីការផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់តំលៃនៃ t ។
ទ្រឹស្តីបទកូស៊ី-អាដាម៉ា

ក្នុងគណិតវិទ្យា **ទ្រឹស្តីបទកូស៊ី-អាដាម៉ា**គឺជាលទ្ធផលនៃវិភាគកុំផ្លិចដែលដាក់ឈ្មោះតាមលោក អូហ្គាស្ទីន ល្វី កូស៊ី(Augustin Louis Cauchy) និង លោក​ ចាកគឹះ អាដាម៉ា(Jacques Hadamard) ដែលជាគណិតវិទូជាតិបារាំង ។

## ពំនោលនៃទ្រឹស្តីបទ 
ពិចារណាលើស៊េរីស្វ័យគុណក្នុងអថេរចំនួនកុំផ្លិចz\,នៃទំរង់

:f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z-a)^{n}\,

ដែល a,c_n\in\mathbb{C}\, ។

នោះ កាំនៃភាពទាល់នៃស៊េរីនៃ *f* គឺផ្តល់ដោយ

:\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \big( | c_{n} |^\frac{1}{n} \big)\,

ដែលលីមីតធំបំផុតកំនត់ដោយ

:\limsup_{n\to\infty} u_n:=\lim_{n\to\infty}\sup\{u_k:k\geq n\}

ដែលតំលៃធំបំផុតគឺតំលៃទាល់របស់សំនុំមួយ ។

ចំនាំ

: \frac{1}{0} := \infty

ចំពោះទ្រឹស្តីបទនេះ ។

ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:គណិតវិទ្យា
ឆិវ៉ា
ច្បាប់ប្រលេឡូក្រាម

right|thumb|
**ច្បាប់ប្រលេឡូក្រាម**ចែងថា**ផលបូកនៃការ៉េនៃរង្វាស់ជ្រុងទាំងបួន​នៃប្រលេឡូក្រាម​ស្មើនឹង​ផលបូកនៃ​ការ៉េនៃរង្វាស់អង្កត់ទ្រូង**។ ជាមួយនឹងសម្មតិកម្មផ្តល់អោយបង្ហាញក្នុងរូបខាងស្តាំ គេបានទំនាក់ទំនង៖

: \color{blue}AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=AC^2+BD^2 \,

ក្នុងករណីប្រលេឡូក្រាមជាចតុកោណកែង អង្កត់ទ្រូងទាំងពីរគឺមានរង្វាស់ស្មើគ្នា គេបានច្បាប់ប្រលេឡូក្រាម​ក្លាយទៅជាទ្រឹស្តីបទពីតាករ។ ប៉ុន្តែជាទូទៅ ការ៉េនៃរង្វាស់អង្កត់ទ្រូងទាំងពីរជាផលបូកការ៉េនៃរង្វាស់ជ្រុងពីរទៀត។

ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រ
ចលនានៅក្នុងរូបវិទ្យា

300px|right|
នៅក្នុងមេកានិច, **ចលនា**ជាបំលាស់ទីនៃអង្គធាតុមួយធៀបនឹងចំនុចនឹងមួយនៅក្នុងលំហ នៅខណៈកំនត់មួយ។

## ប្រភេទចលនា 
នៅក្នុងមេកានិចញូតុន គេចែកប្រភេទចលនាដូចតទៅ៖
* **ចលនាដាច់ខាត** ៖ ចលនារបស់អង្គធាតុមួយគិតធៀបទៅនឹង**តំរុយដាច់ខាត**ដែលនៅនឹងថ្កល់
* **ចលនាធៀប** ៖ ចលនារបស់អង្គធាតុមួយគិតធៀបទៅនឹងតំរុយសមញ្ញដទៃទៀត (ក្រៅពីតំរុយដាច់ខាត) ដែលមិននៅនឹងថ្កល់
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការបែកចែកបែបនេះលែងមានសុពលភាពហើយ តាំងពីពេល ហង់រី ព័ងការ៉េ បានអះអាងមិនប្រើសញ្ញាណ*តំរុយដាច់ខាត*
ហើយជាពិសេសទៅទៀតតាំងពីពេលអាល់បឺត អែងស្ដែងបានប្រកាសនូវគោលការណ៍រ៉ឺឡាទីវីតេ។

ចលនាពិសេសៗផ្សេងៗ៖
* ចលនាត្រង់ ៖ ចលនាដែលគន្លងជាបន្ទាត់ត្រង់
* ចលនាត្រង់ស្មើ ៖ ចលនាដែល(វ៉ិចទ័រ)ល្បឿនថេរ
* ចលនាត្រង់ប្រែប្រួលស្មើ ៖ ចលនាដែល(វ៉ិចទ័រ)សំទុះថេរ
* ចលនាវង់ ៖ ចលនាដែលគន្លងជារង្វង់
* ចលនាវង់ស្មើ ៖ ចលនាវង់ដែលមានល្បឿនមុំថេរ
* ចលនាវង់ប្រែប្រួលស្មើ ៖ ចលនាវង់ដែលមានសំទុះមុំថេរ
* ចលនារំកិល
* ចលនារង្វិល
* ចលនាលំញ័រ ៖ ចលនាដែលអង្គធាតុញ័រទៅមកកាត់តាមទីតាំងលំនឹងរបស់វា
* ចលនាប៊្រោន ៖ ចលនាចៃដន្យ

## ចលនាដែលមនុស្សមិនអាចសង្កេតបានដោយភ្នែកទទេ 
### សកល 
លំហពេល (សសៃរបស់សកល) តាមពិតទៅរីកធំឡើងជាលំដាប់។ ជាពិសេសទៅទៀតគឺថាសកលយឺតដូចជាកៅស៊ូកងអញ្ចឹង។ ការផ្ទៀងផ្ទាត់ពីការពន្យល់នេះត្រូវបានផ្ដល់ដោយ អិដវីន ហាប់បល ដែលបានបកស្រាយថាកាឡាក់ស៊ីទាំងអស់និងវត្ថុនៅក្នុងអវកាសឆ្ងាយៗទាំងឡាយ​កំពុងធ្វើចលនាចាកឆ្ងាយពីយើង (ច្បាប់របស់ហាប់បល) នៅក្នុងបាតុភូតដែលគេហៅថា ពង្រីកសកល។

### កាឡាក់ស៊ី 
កាឡាក់ស៊ីមីលគីវេយ កំពុងតែធ្វើចលនាក្នុងលំហដោយល្បឿនមិនគួរអោយជឿមួយ។ វាត្រូវបានផ្ដល់ថាមពលដោយកំលាំងសល់ពីបន្ទុះប៊ីកបាង។ តារាវិទូជាច្រើននាក់ជឿថាកាឡាក់ស៊ីមីលគីវេយកំពុងធ្វើចលនា​ដោយល្បឿនប្រហែល 600 km/s ធៀបនឹងកាឡាក់ស៊ីដទៃទៀតដែលនៅក្បែរ។
### ប្រព័ន្ឋព្រះអាទិត្យ 
កាឡាក់ស៊ីមីលគីវេយកំពុងតែវិលជុំវិញផ្ចិតដ៏ខាប់របស់វា។ ហេតុនេះ ប្រព័ន្ឋព្រះអាទិត្យកំពុងតែធ្វើចលនាជារង្វង់​នៅក្នុងដែនទំនាញរបស់កាឡាក់ស៊ី។
### ផែនដី 
ផែនដីកំពុងធ្វើចលនាវិលជុំវិញខ្លួនឯងដោយល្បឿន 0.4651 km/s ចំពោះចំនុចលើអេក្វាទ័រ។ ម្យ៉ាងទៀតផែនដីក៏វិលជុំវិញព្រះអាទិត្យដោយល្បឿនប្រហែល 30 km/s។
### ទ្វីប 
ទ្រឹស្ដីរសាត់ទ្វីបប្រាប់ថាទ្វីបកំពុងធ្វើចលនារំកិល ដោយឥទ្ឋិពលរបស់ចរន្តវិលវល់នៃម៉ងតូ ក្នុងល្បឿនប្រហែល 2.54 cm ក្នុងមួយឆ្នាំ។ ចលនាដែលលឿនជាងគេគឺចលនាផ្លាកកូកូស (75 mm/ឆ្នាំ) និងផ្លាកប៉ាស៊ីហ្វិក (52–69 mm/ឆ្នាំ)។ ចលនាដែលយឺតជាងគេគឺផ្លាកអឺរ៉ាស៊ី (21 mm/ឆ្នាំ)។
### នៅក្នុងរាងកាយមនុស្ស 
បេះដូងមនុស្សលោតក្នុងចង្វាក់ស្មើមួយ ដើម្បីបញ្ជូនឈាមក្នុងរាងកាយ។ នៅក្នុងសសៃវ៉ែន និង អាកទែរ ធំៗ ឈាមរត់ក្នុងល្បឿនប្រហែល 0.33 m/s។
### ភាគល្អិត 
នៅក្នុងអាតូម អេឡិចត្រុងធ្វើចលនាជុំវិញណ្វៃយ៉ូក្នុងល្បឿនប្រហែល​ 242,000 m/s។​ ហើយផ្សំឡើងពី អេឡិចត្រុង(ធ្វើចលនាជុំវិញណ្វៃយ៉ូ) និង ប្រូតុង(ណ្វៃយ៉ូ)។

### ពន្លឺ 
ពន្លឺមានលក្ខណៈជារលកផង និងជាហ្វូតុង ផង។ វាមានចលនាក្នុងល្បឿនប្រហែល 300,000 km/s។ វាជាល្បឿនលឿនបំផុត​ដែលមនុស្សស្គាល់ ហើយបើតាមអែងស្តែង ល្បឿននេះជាល្បឿនកំរិត ដែលគ្មានអ្វីផ្សេងទៀតអាចធ្វើចលនាលឿនជាងនេះទេ។

ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ស៊ីនេម៉ាទិច
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:មេកានិច
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:រូបវិទ្យា
ក្រលាផ្ទៃ

**ក្រឡាផ្ទៃ**ជារង្វាស់បរិមាណឬទំហំនៃផ្ទៃ (ផ្ទៃជាផ្ទាំងឬតំបន់) ដែលខ័ណ្ឌដោយខ្សែកោងបិទជិត។ 
right|200px
## ខ្នាតក្រឡាផ្ទៃ៥០០ម២ 
ខ្នាតសម្រាប់វាស់ក្រឡាផ្ទៃរួមមាន
:* ម៉ែត្រការ៉េ (ម២ ឬ m២ ) ជាខ្នាតក្នុងប្រព័ន្ធអន្តរជាតិ SI
:* អារ (a) = ១០០ម៉ែត្រការ៉េ (១០០ម២)
:* ហិចតា (ha) = ១០០អារ (១០០a) = ១០០០០ម២
:* គីឡូម៉ែត្រការ៉េ (គម២ ឬ km២) = ១០០ហិចតា = ១០០០០អារ = ១០០០០០០ម៉ែត្រការ៉េ
:* មេកាម៉ែត្រការ៉េ (Mm២) = ១០១២ ម៉ែត្រ
:* ម៉ាយល៍ការ៉េ = 2.5899881103 km²

## រូបមន្តក្រឡាផ្ទៃសំខាន់ 
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ក្រឡាផ្ទៃ
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រ
ព្រះបាទឥសានវរ្ម័នទី១

## ព្រះបាទស្រីឦសានវម៌្មទី១ (ឆ្នាំ៦១៥-ឆ្នាំ៦៣៥នៃគ.ស) 
ព្រះអង្គជាបុត្ររបស់ព្រះបាទស្រីមហេន្ទ្រវម៌្មទី១ ព្រះអង្គបានបន្តនយោបាយពង្រីកទឹកដីពីព្រះរាជបិតាទៅលើអាណាចក្រភ្នំ។ ព្រះអង្គបានកសាងសិលាចារឹកនៅប្រាសាទបាយ៉ង់កោរ ប្រាសាទសំបូរព្រៃគុកនិងសិលាចារឹកអង្គជំនីក។ ព្រះអង្គបានកសាងរាជធានីឦសានបូរតាមដងស្ទឹងសែននៃខេត្តកំពង់ធំ។ ព្រះអង្គបានវាយយករាជធានីនរវរនគរនៅស្រុកអង្គរបូរីនៃខេត្តតាកែវ។ ព្រះអង្គបានវាយយកក្រុងអនិន្ទិតបូរ(កំពង់ធំ) ចក្រាង្កបូរ (ជីក្រែង សៀមរាប) អមោឃបូរ (បាត់ដំបង) ភីមបូរ(បាត់ដំបង)និងអមរិន្ទ្របូរ(ប្រាសាទអកយំ)។ ព្រះអង្គបានគ្រប់គ្រងទំនាបទន្លេមេណាម(ប្រទេសថៃ) សិលាចារឹកនៅខេត្តប៊ីន នៅខាវណយខាវរ៉ាង និងវាយយកអាណាចក្រមននៅទ្វារវតី។ ព្រះអង្គបានចង់ស្ពានមេត្រីជាមួយប្រទេសចម្ប៉ាផងដែរ។ ដើម្បីរឹតចំណងមិត្តភាពព្រះអង្គបានបញ្ជូនទូតទៅប្រទេសចិនច្រើនលើកគឺឆ្នាំ៦១៦-ឆ្នាំ៦២៨នៃគ.ស និងបានរៀបរាជាភិសេតបុត្រីរបស់ព្រះអង្គនាម សាវ៌ានិ ជាមួយព្រះអង្គម្ចាស់ចាម្ប៉ាមួយអង្គ។ ព្រះអង្គទ្រង់ឡើងសោយរាជ្យដោយមានព្រះនាមថា ព្រះបាទស្រីឥសានវរ្ម័ន ដែលមាន័យថាព្រះឦសាន ជាអ្នកការពារ ឬជាព្រះរាជាជាអ្នកការពារ។ ទ្រង់បានប្រកាសថា ព្រះអង្គជាដៃគូររបស់ចក្រៈ(ព្រះឥន្ទ្រ)អំពីកម្លាំង និងជាដៃគូររបស់ហរិ(ព្រះវិស្ណុ)អំពីកិត្តិគុណ ជាព្រះធិរាជលើស្តេចទាំងបី និងជាម្ចាស់នៃរាជធានីមិនរង្គើទាំងបី តាមមើលទៅគឺចក្រានកបូរ អមោឃរបូរ និងភីមបូរ ដែលទ្រង់ដណ្តើមយកបាន ប៉ុន្តែទុកឱ្យស្តេចរាជធានីនីមួយៗជាអ្នកគ្រប់គ្រងដដែលគ្រាន់តែស្តេចទាំងនៅជាចំណុះព្រះអង្គ។ ព្រះរាជាអង្គនេះគឺជាស្តេចវាតទឹកដីដូចជាព្រះរាជាមុនដែរ។ ទ្រង់បានពង្រើកអាណាចក្ររបស់ព្រះអង្គពាសពេញទឹកដីទាំងហ្វូណន។ ព្រះអង្គមានរាជធានី ដែលមានឈ្មោះតាមព្រះអង្គគឺឥសានបូរ ដែលមានន័យថា រាជធានីរបស់ព្រះបាទស្រីឦសានវម៌្មទី១ ប្រហែលជាព្រះអង្គមានរាជធានីផ្សេងទៀត រាជធានីឥសានបូរនេះគ្រាន់តែជារាជធានីបណ្តោះអាសន្ន ហើយឥសានបូរជាឈ្មោះហៅក្រៅ។ ឯកសារប្រវត្តិសាស្រ្តចិន និយាយថារាជធានីនេះមានផ្ទះ២មុឺនខ្នង និងមានសាលប្រជុំមួយនៅកណ្តាលជាកន្លែងដែលព្រះរាជាធ្វើសវនាការ។ ព្រះរាជាគ្រងនៅក្នុងសាលាខាងលើរាល់៣ថ្ងៃម្តង ប្រថាប់លើគ្រែលម្អទៅដោយគ្រឿងក្រអូប៥យ៉ាង និងត្បូងមានតម្លៃ៧ប្រភេទ នៅពីក្រោយបុស្បុកមួយធ្វើអំពីក្រណាត់។ សសរទ្របុស្បុកនេះធ្វើឈើមានតម្លៃ តែងលម្អទៅដោយភ្លុក និងផ្កាមាស។
## ឯកសារយោង
ធ្នូរង្វង់

thumb|280px|
thumb|280px|ធ្នូ AB + ធ្នូ CD = ធ្នូ BC + ធ្នូ AD 
ក្នុងធរណីមាត្រ ធ្នូនៃរង្វង់គឺជាខ្សែកោងដែលភ្ជាប់ដោយពីរចំនុចផ្សេងគ្នា។ ក្នុងរូបខាងស្តាំ 
* ទ្រង់ទ្រាយ OAB ហៅថាចំរៀករង្វង់
* មុំ \angle AOB = \theta ហៅថាមុំផ្ចិត
* \widehat{AB} ហៅថាធ្នូរង្វង់
* អង្កត់ \, [OA] និង \, [OB] ហៅថាកាំរង្វង់ 
* ចំនុច O ហៅថាផ្ចិតរង្វង់

ប្រវែងធ្នូរង្វង់ដែលមានកាំ \, r និង មុំផ្ចិត \theta \, (គិតជារ៉ាដ្យង់) កំនត់ដោយរូបមន្ត
::\color{blue} L = r\theta \,

រូបមន្តបានមកពីទំនាក់ទំនង
::\frac{L}{P}=\frac{\theta}{2\pi}\,\!

ដែល
:: \, P = 2\pi r ជាបរិមាត្ររង្វង់

គេបាន
::\frac{L}{2\pi r}=\frac{\theta}{2\pi}\,\!

ដោយរក\, L ជាអនុគមន៍នៃ \, \theta គេបាន
::L=\theta r\,\! 

នៅពេលដែលចំនុចចុងសងខាងនៃធ្នូជាចំនុចចុងសងខាងនៃអង្កត់ផ្ចិតរង្វង់ គេអាចហៅធ្នូថាជាកន្លះរង្វង់។

----

គេមានបួនចំនុចA B C និង D នៅលើរង្វង់តែមួយ។ ប្រសិនបើអង្កត់ធ្នូ [AC] និង [BD] កែងគ្នា នោះគេបានផលបូកររវាងង្វាស់ធ្នូដែលឈមគ្នាមានតំលៃស្មើគ្នា។

:: \, [AC] \perp [BD] \quad  \Rightarrow  \quad \widehat{AD} +  \widehat{CB} = \widehat{DC}+ \widehat{BA}

## សូមមើលផងដែរ 
* ចំរៀករង្វង់
* រង្វង់
* អង្កត់ធ្នូ
* អង្កត់ផ្ចិត
* ក្រលាផ្ទៃរង្វង់
* ក្រលាផ្ទៃ
* អង្កត់

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ខ្សែកោង
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:រង្វង់និងស៊្វែរ
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រ
ចំណែកថ្នាក់នៃភាវៈរស់

ចំណែកថ្នាក់នៃភាវៈរស់
ចំណែកថ្នាក់នៃភាវៈរស់ គឺជាការបែងចែកប្រភេទវត្ថុ ឬភាវៈរស់ទៅតាមលក្ខណៈដូចគ្នា។

## ភាវះរស់មួយប្រភេទមានស្តែម៉ាតូកូនីពូជចំនួន 300 ធ្វើមីតូស 3ដងបន្តបន្ទាប់គ្នា។ 
អ្នកដែលបង្កើតប្រព័ន្ធចំណែកថ្នាក់មុនដំបូងគេ គឺ លោកអារីស្តូត ជនជាតិក្រិច ជាទស្សនៈវិទូ។
២០០០ឆ្នាំមុន ទស្សនៈវិទូម្នាក់បានបង្កើតប្រព័ន្ធមួយនៃការធ្វើចំណែកថ្នាក់ភាវៈរស់ ដោយបានហៅឈ្មោះភាវៈរស់ថា វត្តិករសាស្ត្រ (taxonomy) ។
អារីស្តូត បានបង្កើតប្រព័ន្ធ វត្តិករសាស្ត្រ ហើយបែងចែកភាវៈរស់ជា២រជ្ជៈ គឺ រជ្ជៈសត្វ និង រជ្ជៈរុក្ខជាតិ។ ចំណែកថ្នាក់បានពឹងផ្អែកទៅលើទីកន្លែងរស់នៅ និងទម្រង់របស់វា។ រជ្ជៈគឺជាក្រុមធំជាងគេបង្អស់នៃ តាក់សូណូមី។
## ការហៅឈ្មោះភាវៈរស់តាមវិទ្យាសាស្ត្រ
ការូលុសលីណេ គ្រូពេទ្យជនជាតិស៊ុយអែត ជាជីវវិទូ បានប្រព័ន្ធចំណែកថ្នាក់មួយរបស់ភាវៈរស់ ដោយផ្អែកលើភាពប្រហាក់ប្រហែលគ្នានៃទម្រង់សាព៌ាង្គកាយ ទំហំ រូបរាង ពណ៌សម្បុរ និងរបៀបចាប់អាហារ។
ប្រព័ន្ធចំណែកថ្នាក់របស់លោក លីណេ ហៅឈ្មោះភាវៈរស់ទាំងអស់ដោយពាក្យពីរម៉ាត់ថាជាឈ្មោះវិទ្យាសាស្ត្រ ឬឈ្មោះឡាតាំងរបស់ភាវៈរស់។
*ពាក្យទី១៖ ឈ្មោះរបស់ពួក (អក្សរធំ)
*ពាក្យទី២៖ ឈ្មោះពិសេសរបស់ភាវៈរស់ (អក្សរតូច)។
## ចំណែកថ្នាក់ទំនើប
ប្រព័ន្ធចំណែកថ្នាក់ទំនើបខុសពីប្រព័ន្ធចំណែកថ្នាក់អារីស្តូត និង លីណេ ដោយសារប្រព័ន្ធចំណែកថ្នាក់ទំនើប សិក្សាតាមតារាងប្រវត្តិ និងការវិវត្តរបស់ភាវៈរស់។
*ក- ប្រព័ន្ធនៃរជ្ជៈទាំងប្រាំ
រជ្ជៈទាំងប្រាំមាន រជ្ជៈសត្វ រជ្ជៈផ្សិត រជ្ជៈរុក្ខជាតិ រជ្ជៈប្រូទីស និង រជ្ជៈម៉ូណេរ៉ា។
ប្រព័ន្ធចំណែកថ្នាក់នៃរជ្ជៈទាំងប្រាំ ផ្អែកទៅលើ ណ្វៃយ៉ូ កោសិកា អាហារ និង បំលាស់ទី។
ការហៅឈ្មោះដោយពាក្យពីរម៉ាត់ចំពោះអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ គឺមិនធ្វើឲ្យភ័ន្តច្រឡំទេ ព្រោះភាវៈរស់ពីរមិនមានឈ្មោះវិទ្យាសាស្ត្រដូចគ្នាឡើយ។
*ខ- ក្រុមផ្សេងៗនៅក្នុងរជ្ជៈ
រជ្ជៈនីមួយៗត្រូវបែងចែកជា សាខា → ថ្នាក់ → លំដាប់ → អំបូរ → ពួក → ប្រភេទ ៕
{| class="wikitable"
|-
! 
! ម៉ូណេរ៉ា(វេត្រាណូ)
! ប្រូទីស
! ផ្សិត
! រុក្ខជាតិ
! សត្វ
|-
| ប្រភេទកោសិកា
| ប្រូការីយ៉ូត
| អឺការីយ៉ូត
| អឺការីយ៉ូត
| អឺការីយ៉ូត
| អឺការីយ៉ូត
|-
| សាព៌ាង្គកាយកើត
ពីកោសិកា
មួយឬច្រើន
| កោសិកាមួយ
| កោសិកា
មួយឬ ច្រើន
| កោសិកា
មួយឬ ច្រើន
| កោសិកាច្រើន
| កោសិកាច្រើន
|-
| បំលាស់ទី
| ខ្លះផ្លាស់ទី
| ខ្លះផ្លាស់ទី
| មិនផ្លាស់ទី
| មិនផ្លាស់ទី
| ផ្លាស់ទី
|-
| ការចិញ្ចឹមជីវិត
| ខ្លះផលិតអាហារ
ដោយខ្លួនឯង
ហើយខ្លះស្រូបយក
អាហារពីសព៌ាង្គកាយដទៃ
| ខ្លះផលិតអាហារ
ដោយខ្លួនឯង
ហើយខ្លះស្រូបយក
អាហារពីសព៌ាង្គកាយដទៃ
| ស្រូបយកអាហារ
ពីសាព៌ាង្គកាយដទៃ
(សាកសពឬ សាព៌ាង្គរស់)
| ផលិតអាហារដោយខ្លួនឯង
| ស៊ីរុក្ខជាតិ និងសត្វដទៃ
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ជីវវិទ្យា
ចលនាអក្សរសិល្ប៍ខ្មែរ

ចលនាអក្សរសិល្ប៍ខ្មែរ ត្រូវបានបែងចែកជា៤ផ្នែកគឺ ចលនាអក្សរសិល្ប៍ប្រែប្រួលតាមឥទ្ធិពលសាសនា ៖

## ពុទ្ធនិយម
ខ្លឹមសាររឿងបានបង្ហាញពីជាតិកំណើតព្រះពោធិសត្វ ការសរជាតិ ឬខ្លឹមសារមួយចំនួនបម្រើទ្រឹស្តី ឬពាក្យទូន្មានរបស់ព្រះពុទ្ធអង្គ។ ការដោះស្រាយទំនាស់គឺប្រើធម៌អហិង្សា ខន្តី ការមិនតបតដោយកម្រោល។ គេចែក​អក្សរសិល្ប៍ពុទ្ធនិយម ជាបីទៀត​គឺ​៖ **ពុទ្ធនិយមសុទ្ធសាធ** មាន​នៅក្នុង​រឿងទសជាតក ដូចជា​ សុវណ្ណសាមជាតក ព្រះវេស្សន្តរជាតក ជាដើម​ និង **ពុទ្ធនិយមក្លាយ** មាន​នៅក្នុង​រឿងបញ្ញាសជាតក ដូចជា រឿងសពសិទ្ធ រឿងក្រុងសុរាម្រិត និង "ពុទ្ធនិយមហួសហេតុ'' ជាដើម ​។

## ព្រហ្មណ៍និយម
ខ្លឹមសាររឿងបានបង្ហាញពីការបង្ក្រាបនៃសភាវៈល្អ ទៅលើ សភាវៈអាក្រក់។ ការដោះស្រាយគឺដោយប្រើសង្គ្រាមវេទមន្ត មហិទ្ធិរិទ្ធសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាទំនាស់។ ឧទា. រឿងរាមកេរ្តិ៍ រឿងរាមាយណ:... ។

## អក្សរសិល្ប៍ខេមរនិយម
រឿងនេះបានបង្ហាញពីបញ្ហានានាច្រើនករណី ដែលកើតមានឡើងនៅក្នុងសង្គមមនុស្ស ដូចជាបញ្ហាស្នេហា ប្រពៃណី ទំនៀមទម្លាប់ ជំនឿ សាសនា ជីវភាពរស់នៅក្នុងសង្គម។ វិធីដោះស្រាយក្នុងរឿងច្រើនប្រើសមត្ថភាពផ្ទាល់ខ្លួន។ ឧទា. រឿងកុលាបប៉ៃលិន រឿងផ្កាស្រពោន រឿងទុំទាវ... ។

## អក្សរសិល្ប៍បរទេសនិយម
ខ្លឹមសារនៃរឿងបានបង្ហាញពីបញ្ហាទំនាក់ទំនង រឿងរ៉ាវផ្សេងៗនៅ ប្រទេសដទៃ ឬក៏ជារឿងដែលធ្វើការបកស្រាយ ប្រែមកពីភាសាគេ មកជាភាសាជាតិខ្មែរ នៅរក្សាខ្លឹមសារដដែល។ ការដោះស្រាយរឿងស្របតាមស្ថានភាពពិតៗនៅជាតិសាសន៍នោះ។ ឧទា. រឿងក្តី រឿងកិត្តិយសនិងស្នេហា... 

## ឯកសារយោង
សៀវភៅរឿងអក្សរសិល្ប៏ខ្មែរ ឬរឿងនិទានខ្មែរ។