អនុគមន៍ដឺក្រេទី៣

[thumb|right|200px|ក្រាបនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣។ រឺសជាចំនុចប្រសព្វរវាងអ័ក្សអាប់ស៊ីស (x'0x)\! និងខ្សែកោង (*y* = 0)។ វាមាន[ចំនុចរបត់២។]]
នៅក្នុងគណិតវិទ្យា **អនុគមន៍ដឺក្រេទី៣** (Cubic function) ជាអនុគមន៍ដែលមានទំរង់
:f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\,
ដែល a ជាចំនួនមិនសូន្យ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ជាអនុគមន៍ដឺក្រេទី២។ អាំងត្រេក្រាលនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ជាអនុគមន៍​ដឺក្រេ​ទី​បួន​។

ប្រសិនបើអ្នកអោយ f(x)=0 \, នោះអ្នកនឹងទទួលបានទំរង់សមីការដឺក្រេទី៣

:ax^3+bx^2+cx+d=0 \,
ដែល
:a\ne 0 \,

(ប្រសិនបើ *a* = 0 នោះគេវានឹងក្លាយទៅជាសមីការដឺក្រេទី២)

## ឫសនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣
### លក្ខណៈនៃឫស
យោង​តាម​ទ្រឹស្ដី​បទតម្លៃ​កណ្ដាល គ្រប់សមីការដឺក្រេទី៣ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត មានឫសយ៉ាងហោចណាស់មួយជាចំនួនពិត។ យើងអាចបែងចែកតាមរយៈឌីស្គ្រីមីណង់(Discriminant) 

::  \Delta = -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 + 18abcd - 27a^2d^2. \,

ករណីខាងក្រោមត្រូវការពិចារណា

* បើ Δ > 0 នោះសមីការមានឫស៣ជាចំនួនពិតផ្សេងគ្នា។
* បើ Δ x^3 + ax^2 + bx +c = 0 \qquad (1) 

ជំនួសx = t - a/3​ ហើយលុបបំបាត់តួដែលមានដឺក្រេទី២​   យើងបាន

: t^3 + pt + q = 0\, , \,  p = b - \frac{a^2}3 \, ហើយ  q = c + \frac{2a^3-9ab}{27} \qquad (2) 

តាម Thomas Harriot(១៥៦០-១៦២១): ដោយជំនួស t=y-{p\over 3y} ហើយគុណអង្គទាំង២នឹង y^3 រួចធ្វើការលុបបំបាត់ផ្នែកខ្លះ នោះ y^6+q y^3-{p^3\over 27}=0 ។ ការព៌ណនាខាងក្រោមគឺជាប្រភពដើមនៃCardano និង Tartaglia ដែលមាននៅក្នុងសៀវភៅរហូតដល់សព្វថ្ងៃ។

ឧបមាថា យើងអាចរកចំនួន u\, និង v\, ដែល

: -u^3-v^3 = q \,  ហើយ -uv = \frac{p}{3} \quad (3) \,

ចំលើយចំពោះសមីការគឺអោយដោយ

t = v + u\,

ដែលអាចត្រូវគេពិនិត្យតាមរយះ ជំនួសតំលៃនេះដោយត្រង់ចំពោះ t\, ក្នុង (2)​ ។

: (v+u)^3-3uv(v+u)+(-u^3-v^3)=0  \  

ប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានដោះស្រាយ ដោយដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២ ចំពោះ *v* 

: v = -\frac{p}{3u}  

ដោយជំនួស *v* ទៅក្នុងសមីការដំបូង ក្នុង(3) 

: - u^3 + \frac{p^3}{27u^3} = q 

ដោយប្តូរទីតាំងនៃ *q* ហើយគុណនឹង 27*u*3 នោះ

: 27u^6 + 27qu^3 - p^3 = 0\, 

នេះជាសមីការដឺក្រេទី២ ចំពោះ *u*3។ បើយើងដោះស្រាយសមីការនេះ គេឃើញថា 

: u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}
: u=\sqrt[3]{-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} \quad (4) 

ចូរចាំថា មាន៦របៀបក្នុងការគណនា *u* ជាមួយ (4) ។ វាមានចំលើយ២ចំពោះឫសការេ(\pm) ហើយ ចំលើយជាចំនួនកុំផ្លិច៣ ចំពោះឫសគូប ។ គុណចំលើយគោលនឹង \tfrac{-1}{2} \pm i\tfrac{\sqrt{3}}{2} ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សញ្ញានៃឫសការេ(បូក ឬ ដក) មិនប៉ះពាល់ដល់ចំលើយចុងក្រោយទេ។ ដំបូង បើ *p* = 0 នោះ ឫសមួយអាចត្រូវជ្រើសរើសឫសការេអវិជ្ជមាន ដែលនាំអោយ *u* មិនស្មើសូន្យ  ឧទាហរណ៍​ u = -\sqrt[3]{q} ។ ទី២ បើ *p* = *q* = 0 នោះយើងមានឫសពិត៣ *x* = &minus;*a*/3 ។

សង្ខេប ចំពោះសមីការដឺក្រេទី៣​ 

:x^3 + ax^2 + bx +c = 0\ 

ចំលើយ ចំពោះ*x* ផ្តល់អោយ 

:x=-\frac{p}{3u}+u-{a\over 3}

ដែល 

:p = b - \frac{a^2}3
:q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}
:u=\sqrt[3]{-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}

បើទោះបីជាវិធីសាស្រ្តនេះធម្មតានិងឥតខ្ចោះក៏ដោយ វាខុសចំពោះឫសពិត៣ ឧទាហរណ៍ ពេល  :D 

ចំពោះករណីនេះ ទ្រឹស្តីបទផ្សេងទៀតត្រូវគេយកមកប្រើ ។

តាមពិត វិធីសាស្រ្តនេះអាចប្រើបានចំពោះករណីដែល D \!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}~~~~~~~\, ឬ -\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}

តែដោយ u\, និង v\, ត្រូវតែផ្ទៀងផ្ទាត់ \!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }-u^{3}-v^{3}=q~~~~~~~~ ហើយ -uv=\frac{p}{3}

នោះគេអាចបង្ហាញថាបើ 

\text{        }~~~~~~u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}~~~~then~~~~v^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}

ឬផ្ទុយទៅវិញ វាមិនមានបញ្ហាក្នុងការជ្រើសរើសវិធីសាស្រ្តទេ។

ដោយសរសេរឫសទាំង៣នោះចេញគេបាន

u=\left\{ \begin{align}
  & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
 & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
 & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
\end{align} \right.~~~and~~~v=\left\{ \begin{align}
  & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
 & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
 & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
\end{align} \right.

ចំណាំ ~t=u+v~ យើងទទួលយកតំលៃដែលអាចតែ៣ប៉ុណ្ណោះសំរាប់ t ពីព្រោះការបូកផ្សំគ្នា៣នៃ u និង v អាចទៅរួចបើ-uv=\frac{p}{3} គឺត្រូវតែរក្សាសុពលភាពក្នុងនាមជា - ដូចនេះ

t=\left\{ \begin{align}
  & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
 & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
 & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
\end{align} \right.

ហើយដោយ 

x=t-\frac{a}{3}

តំលៃដែលអាច៣នៃ  x គឺ 

x=\left\{ \begin{align}
  & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}-\frac{a}{3} \\ 
 & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}-\frac{a}{3} \\ 
 & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}-\frac{a}{3} \\ 
\end{align} \right.

ហើយសមីការដឺក្រេទី៣ត្រូវគេដោះស្រាយ តាមរយះ D=\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}  វិជ្ជមាន  អវិជ្ជមាន ឬ សូន្យ

បើ D វិជ្ជមាន នោះវាមានចំនួនពិតមួយ និងចំនូនកុំផ្លិចពីរជាឫស ។

បើ D អវិជ្ជមាន នោះវាមានឫស៣ជាចំនួនពិត។

បើ D = 0 នោះវាមាន ឫសមួយជាចំនួនពិត(ឫសដូចគ្នាទាំងបី) ឬ ឫសពីរជាចំនួនពិត(ឫសមួយ​ ឬ ឫសឌុប)។