ឧទាហរណ៍នៃការគណនាដេរីវេ

## ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថេរ
គេមានចំនួនពិតថេរ C ។ សន្មតអនុគមន៍ថេរ f មានតំលៃស្មើ C គេបាន៖

:\forall x\in\mathbb{R}, \forall h\in\mathbb{R^*}, \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =  \frac{C-C}{h} = 0
ដូច្នេះ
:\color{blue}\forall x\in\mathbb{R}, f'(x)  =  \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0 ។

**ដេរីវេនៃអនុគមន៍ចំនួនថេរគឺស្មើសូន្យ**។

**ឧទាហរណ៍**៖គណនាដេរីនៃ f(x) = 25 ។

: f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-25}{h} =  \lim_{h\rightarrow 0} \frac{(25-25)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{0}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} 0 = 0

## ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី១
គេមានក្រាបនៃអនុគមន៍ f(x) = 5x - 1 ។ គណនាមេគុណប្រាប់ទិសនៃក្រាប f(x) ត្រង់ចំនុចដែលមានកូអរដោនេ (2,6)។ 

គេបាន
:
\begin{align}
f'(2) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}           \\
      &= \lim_{h\to 0}\frac{5(2+h)-1-(5\cdot 2-1)}{h} \\
      &= \lim_{h\to 0}\frac{10+5h-1-10+1}{h}            \\
      &= \lim_{h\to 0}\frac{5h}{h}                    \\
      &= 5
\end{align}

ដូចនេះតំលៃនៃមេគុណប្រាប់​ត្រង់ចំនុចមួយ​នៃអនុគមន៍ជាតំលៃដេរីវេនៃអនុគមន៍​ត្រង់ចំនុចនោះ។

## ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី២ (អនុគមន៍ការ៉េ)
ឧបមាថាគេមានអនុគមន៍ *f* កំនត់លើ \mathbb{R} ដោយ
:\forall x\in\mathbb{R}, f(x)=x^2

:\forall x\in\mathbb{R}, \forall h\in\mathbb{R}^*,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}

គេអាចកំនត់មេគុណប្រាប់ទិសនៃខ្សែកោងតាមរយៈដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍មេគុណប្រាប់ទិសនៃខ្សែកោង f(x) = x2 កំនត់ដោយ

:

ចំពោះគ្រប់តំលៃ *x*, មេគុណប្រាប់ទិសនៃអនុគមន៍ f(x)=x^2 \, គឺ f'(x)=2x \, ។
## ដេរីវេនៃអនុគមន៍ពហុធាដឺក្រេទី n 
**សំរាយបញ្ជាក់** : 

គេមានអនុគមន៍ f:

f(x)=x^{n}\,
កំនត់លើ {I}\,

h\not=0

\forall a\in{I},\forall {(a+h)}\in{I}\,

t(h)= \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

t(h)=\frac{(a+h)^n-a^n}{h}

t(h)=\frac{(a^n+na^{n-1}h+p_3a^{n-2}h^{2}+p_4a^{n-3}h^{3}...p_{n}ah^{n-1}+p_{n+1}h^{n})-a^n}{h}

ដែលមេគុណ p_i ត្រូវបានអោយដោយត្រីកោណប៉ាស្កាល់ ( p_1=1 និង p_2=n)។  គេអាចបំបាត់ a^{n} តាម h ។

t(h)=na^{n-1}+p_3a^{n-2}h+p_4a^{n-3}h^{2}...p_{n}ah^{n-2}+p_{n+1}h^{n-1}\,

ដូចនេះ : f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}t(h)= na^{n-1}

សំគាល់: អនុគមន៍គ្រប់ n អាចអោយគេរកបាននូវដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាស់ និងរឺសទី n  របស់វា។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើ n នោះអនុគមន៍នឹងមិនមានដេរីវេត្រង់ ០ ទេ។

### ឧទាហរណ៍ដេរីវេរីនៃអនុគមន៍ពហុធាដឺក្រេទី៣
ចូរគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម

'***. y=2x^3+6x^2-4x+\frac{9}{\pi} \,

****. y=-x^3-5x^2+\frac{2}{3}x-1 \,

****. y=\frac{5}{17}x^3+x^2-2x+e \,

**ដេរីវេ**:

***'.. y=2x^3+6x^2-4x+\frac{9}{\pi}\,

y'=(2x^3)'+(6x^2)'-(4x)'+\left ( \frac{9}{\pi} \right )'\,

y'=6x^2+12x-4+0\,

y'=2(3x^2+6x-2)\,

''''''.. y=-x^3-5x^2+\frac{2}{3}x-1\,

y'=-(x^3)'-(5x^2)'+\left (\frac{2}{3}x\right )'-(1)'\,

y'=-3x^2-10x+\frac{2}{3}-0\,

y'=-3x^2-10x+\frac{2}{3}\,

''''''. y=\frac{5}{17}x^3+x^2-2x+e\,

y'=\left (\frac{5}{17}x^3\right )'+(x^2)'-(2x)'+(e)'\,

y'=\frac{5\times 3x^2}{17}+2x-2+0\,

y'=\frac{15x^2}{17}+2x-2\,

## ដេរីវេនៃអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញារឹស √ 
ឧបមាគេមានអនុគមន៍ f (x) = \sqrt {x}

:\forall x\in\mathbb{R}_+^*, \forall h\in\mathbb{R}^*,h>-x,  f'(x)= \quad\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}

:=\frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}

: = \frac{x+h - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}

គេបាន

:\forall x\in\mathbb{R}_+^*, f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}= \frac{1}{2 \sqrt{x}}

ម្យ៉ាងទៀត
:\forall h\in\mathbb{R}_+^*, \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=+\infty

ដូច្នេះ  *f* គ្មានដេរីវេត្រង់ ០ ទេ។

* ដូចគ្នាដែរចំពោះឧទាហរណ៍ខាងលើ ប៉ុន្តែឥឡូវយើងរកដេរីវេនៃដេរីវេ (មានន័យថារកដេរីវេទី២នៃអនុគមន៍  f(x) = \sqrt{x}  )
ឧបមាថាគេមាន  f(x) = \sqrt{x} :

នោះគេបានដេរីវេទី២នៃ f(x) កំនត់ដោយ
:
\begin{align}
f''(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h} \\
       &= \lim_{h\to 0} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x+h}}-\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{h} \\
       &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{2h}\left(\frac{1}{\sqrt{x+h}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \\
       &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{2h}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+h}}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}} \right) \\
       &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{2h}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+h}}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}} \times \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x+h}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+h}}\right) \\
       &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{2h}\left(\frac{x - (x+h)}{x\sqrt{x+h} + (x+h)\sqrt{x} } \right) \\
       &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{2}\left(\frac{-1}{x\sqrt{x+h} + (x+h)\sqrt{x} } \right) \\
       &= \frac{1}{2}\left(\frac{-1}{x\sqrt{x} + x\sqrt{x} } \right) \\
       &= -\frac{1}{4 x \sqrt{x}}
\end{align}

## ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលមានស្វ័យគុណជាចំនួនពិត b 
គេមានអនុគមន៍ y ដែល
:y(x)=ax^b \qquad a\not=0,b\in\R

នោះគេបានដេរីវេបន្តបន្ទាប់នៃ y កំនត់ដោយ
:
\begin{align}
y'(x) & = abx^{b-1} \\
y*(x) & = ab(b-1)x^{b-2} \\
y*'(x) & = ab(b-1)(b-2)x^{b-3} \\
y^{(4)}(x) & = ab(b-1)(b-2)(b-3)x^{b-4} \\
      \cdots &    \cdots \cdots \cdots  \cdots \\
y^{(n)}(x) & = ab(b-1)(b-2)(b-3) \cdots (b-n+1)x^{b-n} \\
                & = a\prod_{k=0}^{n-1}(b-k) \cdot x^{b-n} \\
\end{align}

ដូចនេះគេបានដេរីវេទី n នៃ y  ត្រូវបានផ្តល់អោយនៅលើចន្លោះកំនត់ជាក់លាក់ដោយកន្សោមខាងក្រោម៖
:\forall n\in\N^*\qquad:\qquad y^{(n)}(x)=a\prod_{k=0}^{n-1}(b-k) \cdot x^{b-n}

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ដេរីវេ