បារីសង់

ក្នុងធរណីមាត្រ បារីសង់ (barycenter, centroid) នៃវត្ថុX ក្នុងលំហដែលមានវិមាត្រn គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃគ្រប់ប្លង់ដែលបែងចែកវត្ថុX ជាពីរផ្នែកដែលមានម៉ូម៉ង់ស្មើគ្នាចំពោះប្លង់។ ជាធម្មតា វាត្រូវបានគេហៅថា មធ្យមនៃគ្រប់ចំណុចនៃX ។

បារីសង់នៃសំណុំចំណុចអាចត្រូវគេគណនា តាមមធ្យមនព្វន្ឋ (arithmetic mean) នៃកូអ័រដោណេ (coordinate) របស់ចំណុច។

## បារីសង់របស់ត្រីកោណ និង តេត្រាអែត
បារីសង់របស់ត្រីកោណ (triangle) មួយ គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃមេដ្យាន (median) ទាំង៣របស់ត្រីកោណនោះ។

បារីសង់ចែកមេដ្យាននីមួយៗតាមផលធៀប  2:1​ មានន័យថាវាស្ថិតនៅ \frac{1}{3}\,នៃកម្ពស់រវាងជ្រុងនីមួយៗ និង ចំណុចឈម (ដូចបង្ហាញក្នុងរូប)។

បើត្រីកោណបង្កើតឡើងដោយរបាយស្មើសាច់ នោះបារីសង់ជាទីប្រជុំទម្ងន់​នៃត្រីកោណ។ កូអ័រដោណេដេកាត (Cartesian coordinate system) របស់វា គឺជាមធ្យមនៃកូអ័រដោណេរបស់កំពូលទាំង៣ ។ ដូចនេះ បើកំពូលទាំង៣មានកូអ័រដោណេ(x_a, y_a)   (x_b, y_b) និង  (x_c, y_c) នោះបារីសង់មានកូអ័រដោណេ :\Big(
  \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_a+x_b+x_c),\;
  \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (y_a+y_b+y_c) \Big) 
= \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_a, y_a)
+ \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_b, y_b)
+ \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_c, y_c)

បារីសង់របស់តេត្រាអែត (tetrahedron, triangular pyramid) គឺជាប្រសព្វនៃគ្រប់អង្កត់បន្ទាត់ដែលភ្ជាប់កំពូលនីមួយៗ ទៅនឹងបារីសង់របស់មុខឈម។ អង្កត់បន្ទាត់ទាំងនេះចែកបារីសង់តាមផលធៀប 3:1 ។

## បង្ហាញថាបារីសង់នៃត្រីកោណមួយចែកមេដ្យាននីមួយៗតាមផលធៀប 2:1​
តាងមេដ្យាន *AD*  *BE* និង *CF* នៃត្រីកោណ*ABC* ប្រសព្វគ្នាត្រង់ *G* ដែលជាបារីសង់នៃត្រីកោណ ហើយតាងបន្ទាត់ត្រង់ *AD* មានពន្លាតដល់ចំណុច *O* ដែល
: AG = GO \, ។

នោះ ត្រីកោណ *AGE* និង *AOC* ជាត្រីកោណដូចគ្នា (*AO* ស្មើ២ដង *AG* ហើយ *AC*​ ស្មើ២ដង *AE*) ដូចនេះ *OC* ស្របនឹង  *GE* ។ ដោយ *GE* ជាពន្លាតនៃ *BG*  ដូចនេះ *OC* ស្របនឹង *BG* ។ សម្រាយដូចគ្នា គេបាន *OB* ស្របនឹង *CG* ។ 

*GBOC* ជាប្រលេឡូក្រាម (parallelogram) ។ អង្កត់ទ្រូងរបស់ប្រលេឡូក្រាមប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច *D*  ។ គេបាន *GD* = *DO* 

:  GO = GD + DO = 2GD \,

ដូចនេះ  AG = GO = 2GD \,

ឬ  AG:GD = 2:1 \,

ទាំងនេះពិតចំពោះគ្រប់មេដ្យាន។ 

## បារីសង់របស់ពហុកោណ
បារីសង់នៃពហុកោណបិទជិតដែលកំណត់ដោយ  N កំពូល *( xi , yi )* អាចត្រូវបានគេគណនាដូចខាងក្រោម ។ កំពូល *( xN , yN )* ដូចនឹង *( x0 , y0 )* ។

ផ្ទៃរបស់គឺ

: A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{N-1} (x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)

នោះ បារីសង់របស់ពហុកោណគឺ
: C_x = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)

: C_y = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)

## បារីសង់នៃសំណុំចំណុច
គេឱ្យ សំណុំចំណុច x_1,x_2,\ldots,x_k in \mathbb{R}^n ។ បារីសង់Cរបស់វា គឺកំណត់ដោយ

:C = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_k}{k} ។

## បារីសង់នៃផ្ទៃ
បារីសង់នៃផ្ទៃ គឺស្រដៀងនឹងទីប្រជុំនៃម៉ាស (center of mass) នៃអង្គធាតុ។ បើអង្គធាតុជាអូម៉ូសែន (homogeneous) ទីប្រជុំទម្ងន់​នៃម៉ាសគឺជាបារីសង់។

ចំពោះរូបធាតុ២ គេបានសមីការ

:  \overline{y} = \dfrac{\overline{y_1}A_1 + \overline{y_2}A_2}{A_1 + A_2}

\overline{y} ជាចម្ងាយពីអ័ក្សកូអ័រដោណេទៅបារីសង់នៃផ្ទៃអង្គធាតុ។ A ជាផ្ទៃនៃផ្នែករបស់អង្គធាតុ។ អនុគមន៍ទូទៅសម្រាប់គណនាបារីសង់ 

:  \overline{x} = \frac{\sum \overline{x_i}A_i}{\sum A_i}

:  \overline{y} = \frac{\sum \overline{y_i}A_i}{\sum A_i}

ចម្ងាយពីអ័ក្ស (y'oy) ទៅបារីសង់ គឺ \overline{x} ។ ចម្ងាយពីអ័ក្ស (x'ox) ទៅបារីសង់ គឺ \overline{y} ។ កូអ័រដោណេរបស់បារីសង់ (\overline{x} , \overline{y}) ។ 

## រូបមន្តអាំងតេក្រាល
អាប់ស៊ីស (abscissa) ​របស់បារីសង់នៃប្លង់ឱ្យដោយអាំងតេក្រាល

:C_x = \frac{\int x f(x) \; dx}{\int f(x) \; dx}

## បារីសង់របស់កោណ និង ពីរ៉ាមីត
បារីសង់របស់កោណ ឬ ពីរ៉ាមីតគឺស្ថិតនៅលើអង្កត់បន្ទាត់ដែលភ្ជាប់កំពូលទៅនឹងបាតនៃបារីសង់​ ហើយចែកអង្កត់នោះជាផលធៀប ៣:១ ។