open-index/open-wikipedia-markdown huggingface dataset:
ប្រាសាទក្រោលគោ

**ប្រាសាទក្រោលគោ**គឺជាប្រាសាទបុរាណបែបព្រះពុទ្ធសាសនាខ្មែរដែលត្រូវបានកសាងឡើងនៅចុងសតវត្សទី១២ រជ្ជកាលព្រះបាទជ័យវរ្ម័នទី៧។ ប្រាសាទនេះមានទីតាំងស្ថិតនៅចំងាយ២គីឡូម៉ែត្រពីប្រាសាទតាសោម នៅខាងស្តាំដៃ ចុះពីផ្លូវប្រហែល ៩០០ម៉ែត្រ។ ប្រាសាទនេះមានប្រាង្គតែមួយស្ថិតនៅលើលានរាងកាកបាទ និងមានបណ្ណាល័យមួយធ្វើអំពីថ្មបាយក្រៀម និង ថ្មភក់បែមុខទៅទិសខាងត្បូង។ កំពែងប្រាសាទធ្វើអំពីថ្មបាយក្រៀមដែលមានគោបុរៈនៅទិសខាងកើត និងមានគូទឹកព័ទ្ធជុំវិញ។ ប្រាសាទមានទីតាំងស្ថិតនៅខាងជើងប្រាសាទនាគព័ន្ធ។ 

ប្រាសាទដែលកសាងនៅឡើងនៅចុង សតវត្សទី១២ ក្នុងរជ្ជកាលព្រះបាទជ័យវរ្ម័នទី៧ ជាប្រាសាទព្រះពុទ្ធសាសនា។ បច្ចុប្បន្នប្រាសាទក្រោលគោ ហាក់ដូចជាមានសភាពស្ងប់ស្ងាត់ មិនសូវមានភ្ញៀវទេសចរទៅទស្សនា ដូចប្រាសាទនានានោះឡើយ។

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ខេត្តសៀមរាប
ក្រោលគោ
ការអនុវត្តន៍អាំងតេក្រាលកំនត់

## រូបមន្តរកក្រលាផ្ទៃដោយប្រើអាំងតេក្រាលកំនត់ 
### រូបមន្តគ្រឹះនៃក្រលាផ្ទៃ
'*** S = \int_a^b y dx = \int_a^b f(x) dx \, 
: ជាទូទៅ
: \color{blue} S = \int_a^b |f(x)| dx \, 

***' S = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx  \, 
: ជាទូទៅ
: \color{blue} S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx \, 

### ការគណនាក្រលាផ្ទៃដោយប្រើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
ប្រព័ន្ធសមីការ

\begin{cases}
    x = f(t) \\
    y = g(t) \\
\end{cases}

&nbsp;&nbsp;&nbsp;ដែល t ជាអថេរប៉ារ៉ាម៉ែត្រ គេបាន
:  S = \int_a^b |y| dx \, = \int_\alpha^\beta |y| \frac {dx}{dt} dt 

### ក្នុងកូអរដោនេប៉ូលែរ
: \color{blue} S = \int_\alpha^\beta \frac{1}{2} r^2 d\theta \, = \int_\alpha^\beta \frac{1}{2} [f(\theta)]^2 d\theta 

### ទំនាក់ទំនងនៃអាំងតេក្រាលឌុប
ក្រលាផ្ទៃនៃដែនកំនត់ D នៅលើប្លង់ xy កំនត់ដោយ

: \color{blue}   \int_D dS \, = \iint_D dxdy \,

## រូបមន្តរកមាឌដោយប្រើអាំងតេក្រាលកំនត់ 
### មាឌតាមរយៈក្រលាផ្ទៃមុខកាត់
:\color{blue} V = \int_a^b S(x) dx

### មាឌនៃសូលីដបរិវត្តន៍
មាឌនៃសូលីដវិលជុំវិញអ័ក្ស x នៅចន្លោះ  a \le x \le b \, នៃ  y = f(x) \, កំនត់ដោយ

: V = \pi \int_a^b y^2 dx = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx
### គណនាមាឌនៃសូលីដដោយប្រើអាំងតេក្រាលឌុប
សូលីដដែលមានផ្ទៃបាតជាដែនកំនត់ D នៅលើប្លង់ xy និង ស៊ីឡាំងមានទ្រនុងស្របនឹងអ័ក្ស z 
right|250px
: z = f(x, y) \, \, ដែល (f(x, y) \equiv 0 \,

នោះគេបានមាឌនៃកំណាត់សូលីដកំនត់ដោយ
: V =  \iint_D z dxdy = \iint_D f(x, y) dxdy \,

### គណនាមាឌនៃសូលីដដោយប្រើអាំងតេក្រាលបីជាន់
ក្រលាផ្ទៃនៃលំហំដែលមានដែនកំនត់ D កំនត់ដោយ

: V =  \iiint_D dV = \iiint_D dxdydz \,  

## គណនាប្រវែងខ្សែកោង 
* ប្រវែងអង្កត់ធ្នូនៃខ្សែកោង y = f(x) \,
: \color{blue} s = \int_a^b \sqrt{1+ (\frac{dy}{dx})^2} \,\,\, dx = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \,\,\, dx 

* អង្កត់ធ្នូនៃខ្សែកោងដែលមានរាងជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
: ប្រព័ន្ធសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃខ្សែកោង 

\begin{cases}
    x = f(t) \\
    y = g(t) \\
\end{cases}

&nbsp;&nbsp;ដែល   \alpha \le t \le \beta \, 

គេបាន
: \color{blue} s = \int_\alpha^\beta \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+ (\frac{dy}{dt})^2} \,\,\, dt = \int_\alpha^\beta \sqrt{[f'(t)]^2+ [g'(t)]^2} \,\,\, dt 

* ប្រវែងអង្កត់ធ្នូក្នុងកូអរដោនេប៉ូលែរ

គេមានខ្សែកោង  r = f(\theta) \,\,\, (\alpha \le \theta \le \beta)  គេបាន
: \color{blue} s = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} \,\,\,d\theta 

__លាក់មាតិកា__
អាំងតេក្រាលឌុប

## លក្ខណៈនៃអាំងតេក្រាលឌុប 
# \iint_D [f(x, y) \pm g(x, y)] dxdy = \iint_D f(x, y) dxdy \pm \iint_D g(x, y) dxdy 
# \iint_D kf(x, y) dxdy = k\iint_D f(x, y) dxdy 
# D = D_1 \cup D_2 , \,\, D_1 \cap D_2 = \varnothing \,\,\, (សំនុំទទេ) នោះគេបាន  \iint_D f(x, y) dxdy = \iint_{D_1} f(x, y) dxdy + \iint_{D_2} f(x, y) dxdy
# ប្រសិនបើ f(x, y) \le g(x, y) \,\,\, នៅលើដែនកំនត់ D គេបាន   \iint_D f(x, y) dxdy \le  \iint_D g(x, y) dxdy 

## វិធីសាស្រ្តប្តូរអថេរ 
### វិធីសាស្រ្តទូទៅ

ដោយយោងតាមការប្តូរ

\begin{cases}
  x = \varphi (u, v) \\
  y = \psi (u, v)
\end{cases}

ដែនកំនត់ K នៃប្លង់ uv ឆ្លុះគ្នានឹងដែនកំនត់ D នៃប្លង់ xy និងដេទែមីណង់យ៉ាកូបី
::: J = \frac{\delta (x, y)}{\delta (u, v)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix} = x_uy_v -x_vy_u > 0

នោះគេបាន \iint_D f(x, y) dxdy = \iint_K f(\varphi(u, v), \psi(u, v))\, J\,dudv

**ឧទាហរណ៍**៖ គណនាអាំងតេក្រាលនៃ \iint_D (x+y) dxdy, \qquad D: 0 \le x - 2y \le 1 , \qquad 0 \le x + 3y \le 1

**ដំណោះស្រាយ**៖

តាង x - 2y = u, \qquad x + 3y = v គេបាន
::x = \frac{1}{5}(3u + 2v), \qquad y = \frac{1}{5}(-u+v)

: ដេទែមីណង់យ៉ាកូបី J = \begin{vmatrix}x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{vmatrix}  = \frac{1}{5}

:M: 0 \le u \le 1, \qquad 0 \le v \le 1

គេបាន

\begin{align} \iint_D (x+y)dxdy &= \iint_M \frac{1}{5}(2u+3v) \cdot \frac{1}{5} dudv \\ & = \frac{1}{25} \int_0^1(\int_0^1 (2u+3v)dv)du \\ &= \frac{1}{25} \int_0^1[2uv + \frac{3}{2}v^2]_{v=0}^{v=1} du \\ & = \frac{1}{25} \int_0^1(2u+ \frac{3}{2}) du = \frac{1}{25}[u^2 + \frac{3}{2}u]_0^1 \\ & = \frac{1}{25} \cdot \frac{5}{2} = \frac{1}{10} \end{align}

### ក្នុងកូអរសោនេប៉ូលែ 

តាង \begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{cases}\,  នោះគេបាន J = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r\,\,\, និង   \iint_D f(x, y) dxdy = \iint f(r\cos\theta, r\sin\theta)r\, drd\theta

**ឧទាហរណ៍១**៖ គណនាអាំងតេក្រាលឌុបនៃ \iint_D xy dxdy \, ដែល   D = \begin{Bmatrix} (x, y)|(x-1)^2 + y^2  \le 1 \,\,\, y \ge 0 \end{Bmatrix}

**ដំណោះស្រាយ**

តាង  x= r\cos \theta , \,\, y = r\sin \theta  និង J = r \, គេបាន
: D: (r\cos \theta - 1)^2 + (r\sin \theta)^2 \le 1
::\Rightarrow r^2 - 2r\cos \theta \le 0
::\Rightarrow 0 \le r \le 2\cos \theta
::\Rightarrow \cos\theta \ge 0 , \,\, r\sin\theta \ge 0
::\Rightarrow 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}

M = \begin{Bmatrix} (r, \theta)| 0 \le r \le 2\cos\theta , \, \, 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\end{Bmatrix}

ហេតុនេះ

: \begin{align} \iint_D xy dxdy &= \iint_M (r\cos\theta)(r\sin\theta)rdrd\theta \\ & =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \sin\theta(\int_0^{2\cos\theta}r^3dr)\,d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\sin\theta [\frac{1}{4}r^4 ]{_0^{2\cos\theta}}d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\sin\theta\cdot4\cos^4\theta d\theta \\ & = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^5\theta\sin\theta d\theta \\ & = 4 \begin{bmatrix}-\frac{1}{6}\cos^6\theta \end{bmatrix}_0^{\frac{\pi}{2}} \\ & = 4\cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \end{align}

|}
ឃុំត្រើយស្លា

'***ជាឃុំមួយស្ថិតនៅក្នុងស្រុកស្អាង ខេត្តកណ្តាល។ នេះមាន **៩*'ភូមិ៖

## ឯកសារយោង
## សូមមើលផងដែរ
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ខេត្តកណ្តាល
ប្រាសាទបេងមាលា

## ប្រវត្តិប្រាសាទ 
**ប្រាសាទបេងមាលា**មានទីតាំងស្ថិតនៅភូមិបេងមាលា ស្រុកស្វាយលើ ខាងកើតជើងភ្នំគូលេន ខាងកើតប្រហែល ៧៧គីឡូម៉ែត្រពីក្រុងសៀមរាប។ ប្រាសាទនេះមានលក្ខណៈស្រដៀងនឹងប្រាសាទអង្គរវត្ត និងត្រូវបានស្ថាបនាឡើងដោយព្រះបាទសូរ្យវរ្ម័នទី២ ដែរ។ ប្រាសាទនេះមានគូទឹកដ៏ធំមានប្រវែង ១២០០ x ៩០០ម៉ែត្រ។ ប្រាសាទបឹងមាលាត្រូវបានសាងសង់នៅចុងសតវត្សរ៍ទី ១១និងដើមសតវត្សរ៍ទី១២ លើផៃ្ទដីទំហំ ១៤ហិកតា ដើម្បីឧទ្ទិសថ្វាយដល់ព្រះអាទិទេពក្នុងព្រហ្មញ្ញសាសនា និកាយវិស្ណុនិយម។ ដោយហេតុថាទ្រង់ទ្រាយប្រាសាទនេះប្រហាក់ប្រហែលប្រាសាទអង្គរវត្តនោះ ដូចេ្នះរាល់វត្ថុបំណង និងស្ថាបត្យកម្មក៏ត្រូវមានលក្ខណៈដូចគ្នា។ ប្រាសាទអង្គរវត្តដែលប្រវត្តិសាស្រ្តចារទុកថាជាស្នា
ព្រះហស្ថរបស់ព្រះបាទសូរ្យវរ្ម័នទី២នោះ សាងឡើងដើម្បីឧទ្ធិសថ្វាយព្រះវិស្ណុដោយមានកសិណទឹក (គូទឹក )ព័ទ្ធជុំវិញរាប់គីឡូម៉ែត្រខណ្ឌទីតាំងប្រាសាទ ឲ្យក្លាយជាកោះមួយនោះ ដូច្នេះប្រាសាទបេងមាលាក៏ត្រូវតែមានន័យដូចគ្នាដែរ។ ប្រាសាទបេងមាលាស្ថាបនាឡើងអំពីថ្មភក់ និងថ្មបាយកៀមដែលមានទ្រង់ទ្រាយប្រហាក់ប្រហែលប្រាសាទអង្គរវត្តដែលបុរាណវិទូមួយចំនួនយល់ថា ប្រាសាទបេងមាលាជាប្លង់មេឬថា បុព្វបុរសខែ្មរ ចាប់កសាងប្រាសាទនេះសិនមុននឹង ឈានទៅកសាងប្រាសាទអង្គរវត្តដ៏ល្បីល្បាញដោយមើលតាមគំរូដើម។ អ្វីដែលស្ថាបត្យករខែ្មរជំនាន់នោះធ្វើដោយខានមិនបានគឺការជីកកសិណទឹកនៅជុំវិញប្រាសាទដើម្បីយកអាចម៍ដីទៅចាក់គ្រឹះប្រាសាទការពារកុំឲ្យបាក់ស្រុត ក៏ដូចជាការយកទឹកសម្រាប់ប្រើប្រាស់ផង។ទន្ទឹមនឹងនោះកសិណទឹកនីមួយៗបានក្លាយទៅជានិមិត្តរូបនៃសមុទ្រទឹកដោះ និវេសនដ្ឋានព្រះអាទិទេពក្នុងព្រហ្មញ្ញសាសនា។

## រូបភាព 

ឯកសារ:07-Beng Mealea-nX-38.jpg
ឯកសារ:07-Beng Mealea-nX-30.jpg
ឯកសារ:07-Beng Mealea-nX-31.jpg
ឯកសារ:07-Beng Mealea-nX-48.jpg
ឯកសារ:07-Beng Mealea-nX-29.jpg
ឯកសារ:Beng Melea 005.jpg
ឯកសារ:07-Beng Mealea-nX-22.jpg

## ឯកសារយោង 
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ខេត្តសៀមរាប
បឹងមាលា
ប្រាសាទលាក់នាង

**ប្រាសាទលាក់នាង**មានទីតាំងស្ថិតនៅស្ទើរតែជាប់ប្រាសាទប្រែរូប​ផ្នែកខាងឥសានមានចំងាយប្រហែល ១០០ម៉ែត្រ នៅខាងកើតផ្លូវចូលទៅភូមិតាព្រៃ។ ប្រាសាទនេះត្រូវបានកសាងឡើងអំពីឥដ្ឋបែរមុខទៅទិសខាងកើត​នៅភាគទី២ នៃសតវត្សទី១០ ក្នុងឆ្នាំ៩៦០ ដោយព្រះបាទរាជេន្រ្ទវរ្ម័ន ដើម្បីឧទ្ទិសថ្វាយដល់ព្រហ្មញ្ញសាសនា។ 

លាក់នាង
លានស្តេចគំលង់

**លានស្តេចគំលង់** ឬ**ព្រះលានស្តេចគំលង់** ស្ថិតនៅចន្លោះផ្លូវពីប្រាសាទបាយ័នទៅទ្វារដីឆ្នាំង នៅខាងធ្វេងដៃជាប់ខាងជើងលានជល់ដំរី។ លាននេះត្រូវបាន​ស្ថាបនាឡើងនៅចុង​សតវត្សទី១២ ដោយព្រះបាទជ័យវរ្ម័នទី៧ មានគ្រឹះប្រវែង ២៥ម៉ែត្រ និង មានកំពស់ ៦ម៉ែត្រ។ ឈ្មោះនៃលាននេះគឺយោងទៅ​តាម​រូបសំណាក់ស្តេចគំលង់​ដែលគង់នៅលើរានហាល​នៃលាន។ រូបសំណាក់នោះអង្គុយលុតជង្គង់ខាងស្តាំ។ រូបសំណាក់សព្វថ្ងៃនេះជា​រូបចំលងទេ រីឯរូបពិតគឺត្រូវបានដាក់តាំងនៅ​ក្នុងសារមន្ទីរជាតិនៅទីក្រុងភ្នំពេញ។**លានស្តេចគំលង់** ឬ**ព្រះលានស្តេចគំលង់បានជាគេហៅបែបនេះក៏មកពីរូបចម្លាក់និងរឿងព្រេង។**  

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ខេត្តសៀមរាប
វត្តសារាវន្ត

**វត្តសារាវន្ត**ឬ**វត្តសារាវ័នតេជោ**ស្ថិតនៅចន្លោះផ្លូវលេខ១៧៨និង១៧២ កាត់ទទឹងមុខ វត្តដោយផ្លូវលេខ១៩ក្នុងទឹកដីនៃសង្កាត់ជ័យជំនះ ខណ្ឌដូនពេញ រាជធានីភ្នំពេញ។ វត្តសារាវ័នតេជោ សព្វថៃ្ងនេះកាលពីដំបូងឡើយគឺជាទីព្រៃលិចទឹកមួយឈ្មោះថា "បឹងរាំង"។ ទីបឹងនេះ ក្រោយមកក៏ ក្លាយ​ទៅជាទីទួលមួយដែលមានដើមរាំងភ្នំ និងដើមរាំងទឹកដុះមីរដេរដាសទ្រប់ទ្រុល។ នៅសម័យលោកយាយពេញ​កសាងទីទួលវត្តភ្នំឲ្យក្លាយជាវត្តអារាមសម្រាប់តម្កល់ព្រះពុទ្ធរូប ដែល​គាត់​យកបានមកពីរូងដើមគគីរអណែ្តតទឹកនោះ គឺជាសម័យ​ដែលមានមនុស្សម្នា​ជាច្រើនបានមករស់​ក្នុងតំបន់ផេ្សងៗនៃក្រុងភ្នំពេញសព្វថៃ្ង។ នៅសម័យនោះជាសម័យនៃការនិយម មគធៈភាសា និងសំស្រឹ្កត ហេតុដូចេ្នះហើយទើបអ្នកចំណូលថ្មីដែលមករស់នៅ​តំបន់វត្តសារាវ័ន​កាលពីសម័យនោះហៅ​ទីទួលនោះជាភាសាបាលីថា**ទួលសាលវ័ន**។ 

នៅពាក់កណ្តលសតវត្សទី១៥ពោលគឺក្នុងរវាងឆ្នាំ១៤០០នៃគ.សជាសម័យកាល ដែលមានការរីកចម្រើនខាងផែ្នកពុទ្ធសាសនា។ ជំនាន់នោះ នៅតំបន់ទនេ្លច្រាបឈាម (ទនេ្លចតុមុខសព្វថៃ្ង) ស្ទើរតែគ្មានវត្តអារាមនោះទេ គឺមានត្រឹមតែជាទួលអស់លោក ឬរោងឧបោសថសម្រាប់ធ្វើពិធីបុណ្យសាសនាតែប៉ុណ្ណោះ ហេតុដូចេ្នះហើយទើបទីអារាម"សារាវ័នតេជោ "ត្រូវបានកកើត​ទៅជាវត្ត​នៅក្នុងអំឡុងឆ្នាំ១៤២២ ពោលគឺរហូតមកដល់បច្ចុប្បន្ននេះមានអាយុកាលប្រមាណ៤៨៦ឆ្នាំហើយ និងមានសង្ឃបាលអ្នកគ្រប់គ្រងទីអារាមនេះ ជាព្រះគ្រូជាតាបស ជាសង្ឃនាយក និងជា​ចៅអធិការចំនួន១៤អង្គផងដែរ។ បើគិតរហូតមកដល់សព្វថៃ្ងនេះទីអារាម"សារាវ័នតេជោ"ត្រូវបានចាត់ទុកថា ជាទីអារាមព្រះពុទ្ធសាសនា ដ៏ចំណាស់មួយក្នុងទឹកដីនៃខណ្ឌដូនពេញ រាជធានីភ្នំពេញក្នុងចំណោមវត្តទាំង៧។ វត្ត "សារាវ័នតេជោ"ត្រូវបានគេដឹងថាមានកំណើតឡើងក្រោយការកកើតវត្តភ្នំដូនពេញ និងវត្តចំនួន៣ទៀតកាលពីគ.ស១៣៧២ មានដូចជាវត្តកោះ វត្តលង្កា និងវត្តព្រះពុទ្ធឃោសាចារ្យ។ 

ទាក់ទិនដល់ប្រវត្តិនៃឈ្មោះរបស់ទីអារាម"​សារាវ័នតេជោ"នេះ​ ចាប់តាំងពីក្រោយពេលដែលព្រះចៅពញាយ៉ាត បានមកគង់ប្រថាប់នៅរាជធានីចតុមុខមង្គលសកលកម្ពុជាធិបតី នាថៃ្ងអង្គារ ខែពិសាខ ឆ្នាំខាល គ.ស១៤៣៤នោះ ព្រះអង្គបានទតឃើញថា មណ្ឌលសីមានេះនៅមានថ្លុក ស្ទឹង បឹងបួ អូរត្រពាំងក្រហេងក្រហូងជាច្រើនពុំរាបស្មើហេតុដូចេ្នះហើយទើប ព្រះអង្គ​បានត្រាស់​បង្គាប់​ឲ្យឧកញ៉ាតេជោស្រី ដែលជាចៅហ្វាយខេត្តសំរោងទង (ខេត្តកំពង់ស្ពឺសព្វថៃ្ង)កេណ្ឌប្រជានុរាស្រ្តឲ្យមកជីកយកអាចម៍ដីតាមទីវាលទំនាប ដែល​ស្ថិត​នៅ​ខាងត្បូង​ទីតាំងវត្តភ្នំដូនពេញ ទៅ​ចាក់បំពេញនៅក្រោមជើងភ្នំដូនពេញ ពិសេសនៅក្នុងបរិវេណនៃព្រះបរមរាជវាំង ហើយព្រះអង្គ ព្រមទាំងបានត្រាស់ បញ្ជាឲ្យ​គេចាក់​អាចម៍ដីបំពេញ និងបង្អាប់ឲ្យ​ទីតាំងនេះបានរាបស្មើ រហូត​ដល់មាត់ទនេ្លចតុមុខថែមទៀតផង និងបានដាក់នាមផ្លូវមុខវាំងនោះថា"ផ្លូវកំពង់រាប" ។ ឯទីវាលទំនាបដែលគេជីកយកអាចម៍ដីនោះ ក៏បានក្លាយទៅ​ជាបឹងមួយមានឈ្មោះថា​"បឹងឧកញ៉ាតេជោ"​ ហើយទីទួលសាលវ័នក៏ត្រូវបានក្លាយទៅ​ជាកនែ្លងបោះជំរំរបស់អ្នកឧកញ៉ាតេជោស្រី សម្រាប់ត្រួតពិនិត្យកម្លាំងពលករដែលបានកេណ្ឌមកពីនិគមផេ្សងៗ ហើយក្រោយ​មក​ក៏​បាន​ក្លាយឈ្មោះ​ដែលអ្នកងារបានហៅថា " ទួលតេជោ " ហើយនៅពេលដែលទីទួលនេះ បានក្លាយជាទីអារាមនោះ​ក៏មាននាមបញ្ញត្តិថា"វត្តសារាវ័នតេជោ"រហូតដល់សព្វថៃ្ង។ គួរបញ្ជាក់បនែ្ថម ទៀត​ថាចំពោះព្រះវិហាររបស់ទីអារាម"សារាវ័នតេជោ"ត្រូវបានកសាងឡើងនៅឆ្នាំ១៨៩២ ហើយបានធ្វើការជួសជុលធំម្តងកាលពីអំឡុងឆ្នាំ១៩៥២ ក៏ប៉ុនែ្តនៅរក្សារចនាប័ទដើមទាំងអស់គ្មានការផ្លាស់ប្តូរនោះទេ។

## ឯកសារពិគ្រោះ 
## តំនភា្ជប់
វិសមភាព វេតស្សឹនបុក

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា  **វិសមភាពវេតស្សឹនបុក**(Weitzenböck's inequality)និយាយចំពោះជ្រុងa, b, c និង​ផ្ទៃ\Delta នៃត្រីកោណមួយ។​ វិសមភាពសំដែងដោយ​៖

: a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}\, \Delta\, 

សមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែ ត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស​។ 

## សំរាយបញ្ជាក់
សំរាយបញ្ជាក់នៃវិសមភាពនេះ គឺត្រូវបានដាក់ជាសំនួរនៅក្នុងគណិតវិទ្យាអូឡាំព្យាឆ្នាំ១៩៦១។ លទ្ធផលគឺមិនពិបាកណាស់ណាទេ ដោយប្រើរូបមន្តហេរុងចំពោះផ្ទៃនៃត្រីកោណមួយ។ 

:
\begin{align}
\Delta & {} = \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4} \\
& {} = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}
\end{align}

### វិធីសាស្រ្តទី១
: 
\begin{align}
{} & (a^2 - b^2)^2 + (b^2 - c^2)^2 + (c^2 - a^2)^2 \geq 0 \\
{} \iff & 2(a^4+b^4+c^4) - 2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2) \geq 0 \\
{} \iff & \frac{4(a^4+b^4+c^4)}{3} \geq \frac{4(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)}{3} \\
{} \iff & \frac{(a^4+b^4+c^4) + 2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)}{3} \geq 2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4) \\
{} \iff & \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{3} \geq (4\Delta)^2
\end{align}

លទ្ធផលទទួលបានដោយគ្រាន់តែបំពាក់ឫសការេលើអង្គទាំង២ ។ ចំពោះវិសមភាពទី១ យើងឃើញថា សមភាពកើតឡើងនៅពេលដែល a = b = c ហើយត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស។

### វិធីសាស្រ្តទី២
: 
\begin{align}
& & a^2 + b^2 + c^2 & \geq & & ab+bc+ca \\
\iff & & 3(a^2 + b^2 + c^2) & \geq & & (a + b + c)^2 \\
\iff & & a^2 + b^2 + c^2 & \geq & & \sqrt{3 (a+b+c)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3} \\
\iff & & a^2 + b^2 + c^2 & \geq & & \sqrt{3 (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \\
\iff & & a^2 + b^2 + c^2 & \geq & & 4 \sqrt3 \Delta
\end{align}

សមភាពកើតឡើងនៅពេលដែល *a*&nbsp;=&nbsp;*b*&nbsp;=&nbsp;*c* ហើយត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស។
ត្រីកោណសម័ង្ស

right|Equilateral triangle
នៅក្នុងធរណីមាត្រ ត្រីកោណសម័ង្សគឺជាត្រីកោណដែលមានជ្រុងទាំង៣ស្មើគ្នា និងមានមុំទាំង៣ក៏ស្មើគ្នាដែរ។ មុំនីមួយៗស្មើ៦០° ។ 

## លក្ខណះ 
* ផ្ទៃនៃត្រីកោណសម័ង្សដែលមានជ្រុងa\,\! គឺ a^2\frac{\sqrt{3}}{4} ។

* បរិមាត្រគឺP=3a\,\! ។

* កាំនៃរង្វង់ចរឹកក្រៅគឺr=a\frac{\sqrt{3}}{3} ។

* កាំនៃរង្វង់ចរឹក្នុងគឺ r=a\frac{\sqrt{3}}{6} ។

* កំពស់គឺ a\frac{\sqrt{3}}{2} ។
* 
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:គណិតវិទ្យា
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រ
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ត្រីកោណ
កំណាព្យ ព្រំ ម៉ាញ

## លោក ព្រំ ម៉ាញ 
លោក ព្រំ ម៉ាញ សិល្បករ​ខ្មែរ​ខាង​ផ្នែក​ចម្រៀង​អាយ៉ៃ​ល្ខោន ភាពយន្ត​និង​ទូរទស្សន៍​ដ៏​ល្បីល្បាញ អាយុ ៥៨​ឆ្នាំ ទើប​បាន​ទទួល​គោរម្យងារ​ពី​លោក​នាយក​រដ្ឋមន្ត្រី ហ៊ុន សែន ឡើង​ជា​វីរ​សិល្បករ​ដំបូង​បំផុត​នៃ​ព្រះរាជាណាចក្រ​ខ្មែរ។
                      ពាក្យប្រដៅក្មេងប្រុសស្រី
ខ្ញុំឭគេថា			នៅតាមសាលា		ក្មួយៗក្មេងស្ទាវ
គេចពីថ្នាក់រៀន		ញៀនថ្នាំឈាមរាវ		ប្រុសស្រីវ័យស្ទាវ
​                        រាវរាក់គិតខ្លី។
ដូចចាស់លោកថា		វ័យវឌ្ឍនាកា		ជំទង់ជិតម្ភៃ
ចង់សាកចង់ល		យក៍អ្វីដែលថ្មី		ខុសត្រូវម្ដេចក្ដី
                        វ័យរាក់មិនជ្រៅ។
ពិតណាស់ដូចថា		តម្រាប់តម្រា		តម្រង់ត្រង់ផ្លូវ
មនុស្សម្នាដើរវាង		រេរាងអង់នៅ		ផ្លូវល្អមិនទៅ	
                        សម្ដៅច្រាំងជ្រោះ។
ពាក្យពិតរែងស្លែង		នំបន្លំក្លែង		តែងល្អតែឈ្មោះ
លេបចូលកាលណា		ខ្ដៅសាពេញពោះ		ខុសល្វីងស្ដៅស្រុស
                        កែគ្រុនឥតត្រួយ។
ម្នាលក្មួយព្រលឹង		បើចាំក្មួយដឹង		ក្រែងហួសពេលជួយ
ទើបចង់ផ្ដែផ្ដាំ		ចាំជាជំនួយ	        បើខូចអ្នកមួយ	
                        ព្រួយឥតស្រឡះ។
ក្រោកឡើងស្ងួនភ្ងា		លុបលាងភក្ត្រា		ចម្រះរឿងចាស់
លះបង់ចោលទៅ		កុំនៅផ្ដេសផ្ដាស		ក្រោកសុំពរព្រះ
                        ប្រោសអ្នកជាថ្មី។	
ស្វែងរកអនាគត		ដើម្បីរំលត់		ពត់ចិត្តអប្រិយ
អ្នកអស់ឧបាយ		ក្នុងកាយប្រុសស្រី		អ្នកនឹងមានជ័យ
                       គ្រងខ្លួនឯងបាន។		ដោយលោកគ្រូ ព្រហ្មម៉ាញ់
សរសេរដោយ៖ ប៉ាវ សុគុណ

## កំណាព្យ​ 
# ខ្ញុំ​ឮ​គេ​ថា នៅ​តាម​សាលា ក្មួយៗ​ក្មេង​ស្ទាវ គេច​ពី​ថ្នាក់​រៀន ញៀន​ថ្នាំ​ឈាម​រាវ ប្រុស​ស្រី​វ័យ​ស្ទាវ រាវ​រាក់​គិត​ខ្លី។ 
# ពិត​ណាស់​ដូច​ថា វ័យ​វឌ្ឍនាការ ជំទង់​ជិត​២០ ចង់​សាក​ចង់​ល យក​អ្វី​ដែល​ថ្មី ខុស​ត្រូវ​ម្ដេច​ក្ដី វ័យ​រាក់​មិន​ជ្រៅ។ 
# ពិត​ណាស់​ដូច​ថា តម្រាប់​តម្រា តម្រង់​ត្រង់​ផ្លូវ មនុស្ស​ម្នា​ដើរ​វាង រេ​រាង​អង់​នៅ ផ្លូវ​ល្អ​មិន​ទៅ សំដៅ​ច្រាំង​ជ្រោះ។ 
ពាក្យ​ពិត​រែង​ស្លែង នំ​បន្លំ​ក្លែង តែង​ល្អ​តែ​ក្រៅ លះលង់​ចោល​ទៅ កុំ​នៅ​ផ្ដេសផ្ដាស ក្រោក​សុំ​ពរ​ព្រះ ប្រោស​អ្នក​ជា​ថ្មី។ 
ស្វែង​រក​អនាគត ដើម្បី​រំលត់ ពត់​ចិត្ត​អប្រិយ លះ​អស់​ឧបាយ ក្នុង​កាយ​ប្រុស​ស្រី អ្នក​ហ្នឹង​មានជ័យ គ្រង​ខ្លួន​ឯង​បាន»៕

## ឯកសារយោង 
ស្ដេច​កំប្លែង ព្រំ ម៉ាញ ទទួល​ងារ​ជា​វីរ​សិល្បករ​នៃ​ប្រទេស​កម្ពុជា​ចុះផ្សាយក្នុង ds RFA
ប្រាសាទចៅសាយទេវតា

ប្រាសាទចៅសាយទេវតា ត្រូវបានស្ថាបនាឡើងដោយព្រះបាទសូរ្យវរ្ម័នទី២ នៅចុងសតវត្សទី១១ និង ដើមសតវត្សទី១២ ដើម្បីឧទ្ទិសថ្វាយដល់ព្រហ្មញ្ញសាសនា។ ប្រាសាទនេះនិងប្រាសាទធម្មនន្ទមានរូបរាងប្រហាក់ប្រហែលគ្នា។ ប្រាសាទនេះស្ថិតលើអក្សត្រង់ ដែលមានបួនគោបុរៈ បណ្ណាល័យ (ហោត្រ័យ)មានចំនួន២ និងប៉មសំខាន់មួយ។ ប្រាសាទបែរមុខទៅទិសខាងកើត ដែលផ្លូវដើមខាងកើតឆ្ពោះទៅកាន់ស្ទឹងសៀមរាប។ ប្រាសាទនេះមានភាពទ្រុឌទ្រោមយ៉ាងខ្លាំងរហូតដល់ឆ្នាំ១៩៦០ នៅពេលគោបុរៈ ឬក្លោងទ្វារខាងលិចបានជុសជុសដោយសាលាបារាំងចុង
បូព៌ាប្រទេស និងបន្ទាប់មកត្រូវបានជុសជុលឡើងវិញដោយអ្នកជំនាញប្រទេសចិនបានចប់រួចរាល់នៅឆ្នាំ២០០៩។
## ប្រវត្តិប្រាសាទ 
**ប្រាសាទចៅសាយទេវតា**ស្ថិតនៅខាងត្បូងទល់មុខប្រាសាទធម្មនន្ទ។ ប្រាសាទនេះត្រូវបានស្ថាបនាឡើងដោយព្រះបាទសូរ្យវរ្ម័នទី២ នៅចុងសតវត្សទី១១ និង ដើមសតវត្សទី១២ ដើម្បីឧទ្ទិសថ្វាយដល់ព្រហ្មញ្ញសាសនា។ ប្រាសាទនេះនិងប្រាសាទធម្មនន្ទមានរូបរាងប្រហាក់ប្រហែលគ្នា។ ឈ្មោះចៅសាយទេវតាមានប្រភពបញ្ជាក់ច្បាស់លាស់ទេ។ តែបើតាមការសន្និដ្ឋានរបស់អ្នកស្រុក ឈ្មោះនៃប្រាសាទនេះជាឈ្មោះរបស់មេទ័ពម្នាក់ដែលមានស្នាដៃល្អ ក្នុងការធ្វើសឹកសង្រ្គាម ឬ ក៏ឈ្មោះដែលមានស្នាដៃក្នុងការធ្វើអ្វីមួយ។ ឈ្មោះនៃប្រាសាទនេះ អ្នកស្រុកហៅសព្វថ្ងៃនេះថា ចៅសាយៗ មិនមានពាក្យទេវតានៅខាងចុងទេ នេះគឺជាទំលាប់របស់ខ្មែរដែលច្រើនប្រើឈ្មោះខ្លី មិនចូលចិត្តឈ្មោះវែងៗ។ ប្រាសាទនេះមានទំហំបណ្តោយប្រវែង៥០ម៉ែត្រ និងទទឹងប្រវែង៤០ម៉ែត្រ។ ប្រាសាទមានទីតាំងស្ថិតនៅប្រហែល៥០០ម៉ែត្រពីក្លោងទ្វាររាជធានីអង្គរធំខាងត្បូង។ ប្រាសាទនេះ និងប្រាសាទមានទីតាំងក្បែរប្រាសាទធ្មនន្ទ ដែលនៅចំហៀងផ្លូវ និងមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នា តែប្រាសាទចៅសាយទេវតាកសាងមុនប្រាសាទធម្មនន្ទ។ ប្រាសាទនេះស្ថិតលើអក្សត្រង់ ដែលមានបួនគោបុរៈ បណ្ណាល័យ (ហោត្រ័យ)មានចំនួន២ និងប៉មសំខាន់មួយ។ ប្រាសាទបែរមុខទៅទិសខាងកើត ដែលផ្លូវដើមខាងកើតឆ្ពោះទៅកាន់ស្ទឹងសៀមរាប។ ប្រាសាទនេះមានភាពទ្រុឌទ្រោមយ៉ាងខ្លាំងរហូតដល់ឆ្នាំ១៩៦០ នៅពេលគោបុរៈ ឬក្លោងទ្វារខាងលិចបានជុសជុសដោយសាលាបារាំងចុងបូព៌ាប្រទេស និងបន្ទាប់មកត្រូវបានជុសជុលឡើងវិញដោយអ្នកជំនាញប្រទេសចិនបានចប់រួចរាល់នៅឆ្នាំ២០០៩។ 

=កម្រងរូបភាព=

ឯកសារ:Angkor Chau Say Tevoda 2009.jpg
ឯកសារ:Chau Say Tevoda2012.jpg
ឯកសារ:607Chau Say Tevoda.jpg
ឯកសារ:Chau Say Tevoda 2009.jpg
ឯកសារ:CambodgeChauSayTevoda.JPG
ឯកសារ:ស្ត្រីនៅប្រាសាទចៅសាយទេវតា - woman at Chau Say Tevoda.jpg
ឯកសារ:នៅប្រាសាទចៅសាយទេវតា១ - at Chau Say Tevoda 1.jpg
ឯកសារ:នៅប្រាសាទចៅសាយទេវតា - at Chau Say Tevoda.jpg

## ឯកសារយោង 
ចៅសាយទេវតា
វត្តភ្នំយ៉ាត

**វត្តភ្នំយ៉ាត**មានទីតាំងស្ថិតនៅលើកំពូលភ្នំយ៉ាត ក្នុងក្រុងប៉ៃលិន ដែលត្រូវបានគេចាត់ទុកថា ជានិមិត្តរូបមួយរបស់ក្រុងប៉ៃលិនដែលស្ថិតនៅភាគពាយ័ព្យរបស់ប្រទេសកម្ពុជា។ វត្តនេះបានត្រូវកសាងឡើងនៅក្នុងចន្លោះឆ្នាំ១៩៩៧ មកដល់ឆ្នាំ២០០០។ ចាប់ពីមាត់ទ្វាររហូតដល់កនែ្លងកសាងវិហារនៅលើកំពូលភ្នំ មានកាំជណ្តើរចំនួន២៤៤កាំ។ បច្ចុប្បន្ននេះ​នៅលើ​**កំពូលភ្នំយ៉ាត​**មានព្រះវិហារមួយ និងមានដើមឈើដែលគេដាំចំនួនប្រមាណ ៥៤០ដើម  នៅខាងមុខវិហារនោះ មានចេតិយមួយកនែ្លង ដែលគេអះអាងថា​ជាចេតិយ​របស់**នាងឃុននារី** ដែលជាឈ្មោះ​តួឯក​ដែលគេធ្លាប់ ឭនៅក្នុងរឿងប្រលោមលោកកុលាបប៉ៃលិន ប៉ុនែ្តមិនមានអ្នកណាអះអាងពិតប្រាកដឡើយ។  ក្រៅពីនោះ​មានអាស្រម​របស់លោកយាយយ៉ាត​ដែលគេជឿថា ជាម្ចាស់ស្រុកដើមមួយរូបនៅប៉ៃលិន។
ប្រាសាទលិង្គ

**ប្រាសាទលិង្គ**មានទីតាំងស្ថិតនៅក្នុង ភូមិកោះកេរ្តិ៍ ឃុំស្រយង់ ស្រុកគូលែន ខេត្តព្រះវិហារ។ ប្រាសាទនេះគឺជាប្រាង្គប្រាសាទមួយ​ក្នុងចំណោមប្រាសាទតូចៗ​ជាច្រើនដែលនៅព័ទ្ធជុំវិញ​ប្រាង្គប្រាសាទក្នុងអតីតរាជធានីកោះកេរដែលបុព្វបុរសដូនតាខែ្មរ បានកសាងឡើងក្នុងរជ្ជកាលព្រះបាទជ័យវរ្ម័នទី៤ នាសតវត្សទី១០ ដើម្បីឧទ្ទិស​ដល់ព្រហ្មញ្ញសាសនា​ដែលក្នុងនោះ​មាន​អាទិទេព​ដូចជា​ព្រះឥសូរ ព្រះវិស្ណុ ព្រះព្រហ្មជាដើមរហូតដល់ពេលបច្ចុប្បន្ននេះ ​​ប្រជាពលរដ្ឋនៅទីតំបន់នោះនៅតែធ្វើការគោរពបូជាជារៀងរហូតមក ហើយបច្ចុប្បន្ន​ទីតំបន់នោះ​បានក្លាយ​ទៅ​ជា​រមណីយដ្ឋានប្រាសាទកោះកេរដែលត្រូវបានភ្ញៀវទេសចរជាតិ និងអន្តរជាតិមានការចាប់អារម្មណ៍យ៉ាងខ្លាំង។

## សូមមើលផងដែរ 
* បញ្ជីរាយនាមប្រាសាទខ្មែរ

លិង្គ
រូបមន្តតង់សង់កន្លះមុំ

__លាក់មាតិកា__
## រូបមន្ត
តាង

:t = \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{1-\cos(\varphi)}{\sin(\varphi)}

នោះគេបាន

និង

ដោយត្រឡប់រូបមន្តអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលចំពោះ *t* និងរក &phi; ជាអនុគមន៍នៃ *t*, គេបានទំនាក់ទំនងអាកតង់សង់ជាអនុគមន៍នៃលោការីតនេពែរដូចខាងក្រោម
:\tan^{-1}t = \frac{1}{2i}\ln\frac{1+it}{1-it}

## បំរើបំរាស់ក្នុងការគណនា
តាង

:t=\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)

យើងបាន

* dt=\sec^2\left( { \varphi \over 2 } \right)\,{ d\varphi \over 2}   
* \varphi=2\arctan(t)

យើងបាន

:d\varphi = {{2\,dt} \over {1 + t^2}}

## សញ្ញាណអ៊ីពែបូលីក
ចំនុចមួយនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃអ៊ីពែបូលកំនត់ដោយ (cosh&nbsp;&theta;,&nbsp;sinh&nbsp;&theta;)។ ដោយធ្វើចំណោលចំនុចទៅលើអ័ក្ស *y* ពីចំនុចកណ្តាល (&minus;1,&nbsp;0) កំនត់ដូចតទៅ៖

:t = \tanh\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sinh(\theta)}{\cosh(\theta)+1} = \frac{\cosh(\theta)-1}{\sinh(\theta)}

ជាមួយនឹងសញ្ញាណ

និង

រក &theta; ជាអនុគមន៍នៃ *t* នាំអោយ គេបានទំនាក់ទំនងរវាងអាកតង់សង់អ៊ីពែបូលនិងលោការីតនេពែរ៖

:\tanh^{-1}t = \frac{1}{2}\ln\frac{1+t}{1-t}

## អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់ 
ដោយប្រៀបធៀបសញ្ញាណអ៊ីពែបូលីកទៅនឹងសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ គេសំគាល់ឃើញថាពួកវាជាប់ទាក់ទងនឹងអនុគមន៍នៃ t ដូចគ្នា។ 

:t = \tan\frac{\varphi}{2} = \tanh\frac{\theta}{2}

គេបាន

:\varphi = 2\tan^{-1}\tanh\frac{\theta}{2} \equiv \mbox{gd}(\theta)

អនុគមន៍ gd(\theta) \, ហៅថាអនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់។ អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់ផ្តល់ទំនាក់ទំនងផ្ទាល់រវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនិងអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក តែមិនជាប់ទាក់ទងនឹងចំនួនកុំផ្លិចទេ។

## តង់សង់មធ្យម 
:  \tan\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)
= \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}
= -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta} 

ដោយកំនត់ &alpha; ឬ &beta; អោយស្មើសូន្យ។
ប្រាសាទព្រះពិធូរ

## ប្រវត្តិប្រាសាទ 
រូបភាពតូច
ប្រាសាទព្រះពិធូរជាឈ្មោះរូបនៃប្រាសាទតូចៗ ដែលមានឈ្មោះផ្សេងគ្នា ហើយសៀវភៅបរទេសភាគច្រើនសរសេរថា ប្រាសាទក្រុមព្រះពិធូរ។ ក្រុមនៃប្រាសាទាំងនេះស្ថិតនៅស្ទើរចំពីមុខនៃប្រាសាទទេពប្រណម ហើយស្ថិតនៅខាងជើងនៃប្រាសាទសួគ៌ព្រ័ត្រ។ តាមរយៈបច្ចេកទេសសំណង់ប្រាសាទទាំងនេះ  បញ្ជាក់ថា  ប្រាសាទនេះត្រូវបានស្ថាបនាឡើងនៅដើមសតវត្សទី១២ ក្នុងរាជ្យព្រះបាទសូរ្យវរ្ម័នទី២ គោរពដល់ព្រហ្មញ្ញសាសនា លើកឡែងតែប្រាសាទព្រះពុទ្ធសាសនាមួយ គឺប្រាសាទតាទួរ ដែលានចម្លាក់ព្រះពុទ្ធរូបនៅសតវត្សទី១៣-១៦ (មានស្លាកស្នាមព្រះពុទ្ធសាសនាជាច្រើននៅប្រាសាទនេះ)។ 
## ប្រាង្គលេខ១ 
ប្រាង្គលេខមួយស្ថិតនៅផ្នែកខាងមុខគេបង្អស់ ហើយមានព្រះពន្លាទ្រដោយសសរនៅខាងមុខ។ ប្រាង្គនេះស្ថិតនៅលើខឿនខ្ពស់មួយ ដែលមានជណ្តើរឡើងចុះបែរមុខទៅទិសខាងទាំងបួន។ នៅជុំវិញផ្នែកខាងក្រោមខឿនមានផ្ទាំងថ្មភក់ជាច្រើនស្ថិតនៅរាយប៉ាយ ចំណែកនៅផ្នែកខាងលើនៃប្រាង្គពុំមានអ្វីចាប់អារម្មណ៍ក្រៅតែពីមានផ្តែរមួយស្ថិតនៅពីមុខប្រាង្គបែរទៅទិសខាងលិចនៃទ្វារដើរចូលដែលមានចម្លាក់រឿហកូរសមុទ្រទឹកដោះស្រដៀងទៅនឹងចម្លាក់នៅលើផ្តែររបស់ប្រាង្គលេខ៤។ 
## ប្រាង្គលេខ២ 
ប្រាង្គលេខ២ស្ថិតនៅខាងក្រោយប្រាង្គលេខ១។ ប្រាង្គនេះមានទ្វារបើចំហនៅទិសទាំងបួន សង់នៅលើខឿនខ្ពស់មួយដែលមានកំពែងព័ន្ធជុំវិញ។ នៅលើជញ្ជាំងរបស់ប្រាង្គមានចម្លាក់ក្បាច់ដ៏ល្អស្អាតជាពិសេសរូបចម្លាក់ឆ្មាំយាមនៅសងខាងបង្អួច និងទ្វារដែលមានរចនាបថស្រដៀងទៅនឹងប្រាសាទបន្ទាយស្រីស្ទើបេះដាក់។ នៅលើខ្លោងទ្វារខាងលិច ខាងត្បូង និងខាងកើតមានចម្លាក់ផ្តែរសម្អរូបផ្សេងៗគ្នាក្នុងនោះមានដូចជា៖
ចម្លាក់ផ្តែរនៅខ្លោងទ្វារខាងកើត៖ មានចម្លាក់ទេពមួយគង់លើកាលា។ ចម្លាក់នៅលើផ្តែរនៃខ្លោងទ្វារខាងលិចមានចម្លាក់រូបព្រះឥសូរដៃដប់ ទ្រង់ឈររាំសម្តែងបដិហារនៅលើក្បាលកាលា នៅសង់ខាងព្រះអង្គមានរូបអាទិទេពចំនួនពីរគឺព្រះវិស្ណុដៃបួន និងព្រះព្រហ្មដៃបួន ហើយនៅក្បែរនោះមានព្រះគណេសខ្លួនជាមនុស្សក្បាលជាដំរី។ ចម្លាក់ផ្តែរខ្លោងទ្វារខាងជើង មានចម្លាក់រឿងកូរសមុទ្រទឹកដោះ។ នៅក្នុងចម្លាក់មានរូបអាទិទេព និងអសុរឈរកាន់ខ្លួននាគវ៉ាសុកិ រីឯផ្នែកកណ្តាលដងខ្លួននាគមានរូបព្រះវិស្ណុដៃបួនគង់នៅព្រះអធិបតី ហើយនៅផ្នែកខាងក្រោមព្រះវិស្ណុមានរូបតូចៗ មួយចំនួនដែលជាប្រភេទរតនភណ្ឌកើតចេញពីការកូរសមុទ្រទឹកដោះនោះរួមមាន ព្រះនាងលក្ស្មី ក្បាលដំរី សេះ រូបទេពផ្សេងៗ  រូបអណ្តើក នៅខាងក្រោមក្បាលដំរី។ នៅលើដីផ្នែកខាងលិចនៃខឿន មានចម្លាក់ហោជាងមួយស្តីអំពី ព្រះវិស្ណុគង់លើគ្រុឌ។ ចំណែកនៅផ្នែកខាងជើង ឆៀងខាងកើតនៃខឿនមានចម្លាក់សេះក្បាលបីនៅលើផ្ទាំងថ្មមួយ រូបនេះប្រហែលជាយានជំនិះរបស់ព្រះច័ន្ទ។ 
## ប្រាង្គទី៣ 
ប្រាង្គទី៣ស្ថិតនៅភាគខាងជើងនៃប្រាង្គទី២ហើយមានព្រះពន្លាមួយនៅចំពីមុខប្រាង្គនៃទិសខាងលិច។ ប្រាង្គនេះមានសភាពទ្រុឌទ្រោម និងផ្ទាំងថ្មភក់ធ្លាក់រាយប៉ាយនៅលើដី។ នៅផ្នែកខាងលើនៃប្រាង្គមានផ្ទាំងចម្លាក់ខ្លះស្ថិតនៅលើស្លាប់ខាងជើង ដែលបង្ហាញអំពិស្តេចយក្សបាណៈដៃដប់ ជិះរាជរថធ្វើចម្បាំងជាមួយនឹងព្រះក្រិស្ណៈគង់ល់បក្សីគ្រុឌ។ ចំណែកឯស្លាបនៃទ្វារខាងត្បូងមានចម្លាក់រឿងស្តីអំពីព្រះវិស្ណុដៃ៤ក្នុងទម្រង់ជាអាវតាព្រហ្មតឿឈ្មោះវាមនៈឈានជើងបីជំហានសង្រ្គោះភពទាំងបីពីការគ្រប់គ្រងរបស់ស្តេចយក្សក្រុងពាលី។
## ប្រាង្គលេខ៤ និងលេខ៥ 
ប្រាង្គលេខ៤នេះមិនសូវមានលក្ខណៈទាក់ទាញ ក្រៅពីមានព្រះសិវលិង្គមួយដ៏ធំមានបីថ្នាក់នៅផ្នែកខាងលើនៃប្រាង្គ។ ចំណែកឯប្រាង្គលេខ៥មានទីតាំងស្ថិតនៅខាងក្រោយប្រាង្គលេខ២និងលេខ៣។ ប្រាង្គមានសភាពធំទូលាយ និងមានជណ្តើរឡើងចុះពីថ្នាក់ដែលបានបង្ហាញអំពីលក្ខណៈខុសប្លែក និងគួឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាងប្រាង្គទាំងបួនឯទៀត។ 
## ឯកសារយោង 
ព្រះពិធូរ
ប្រាសាទព្រះប៉ាលីឡៃ

## ប្រវត្តិប្រាសាទ 
រូបភាពតូច|ប្រាង្គកណ្តាលប្រាសាទបាលិលេយ្យ
ប្រាសាទព្រះបាលិលេយ្យមានទីតាំងស្ថិតនៅខាងជើងប្រាសាទភិមានអាកាស និងនៅខាងក្រោយប្រាសាទទេពប្រណម។ ប្រាសាទនេះត្រូវបានកសាងឡើងនៅចុងសតវត្សទី១២ ដែលជាស្នាដៃរបស់ព្រះបិតាព្រះបាទជ័យវរ្ម័នទី៧ គឺព្រះបាទធរណីន្ទ្រវរ្ម័នទី២ (១១៥០ - ១១៦០) ដើម្បីឧទ្ទិសថ្វាយដល់ព្រះពុទ្ធសាសនា។ ប្រាសាទនេះមានទ្វារបើកបួនទិសដែលប្រាង្គស្ថិតនៅខាងលើគ្រឹះបីជាន់ មានជណ្តើរឡើងគ្រប់ទិស។ នៅតាមហោជាង និង ផ្តែរទ្វារនៃប្រាសាទនេះសុទ្ធសឹងជាចម្លាក់របស់ព្រះពុទ្ធសាសនា។ ចម្លាក់នៅខាងកើតគឺរូបព្រះពុទ្ធចូលនិពា្វន ខាងត្បូងរូបព្រះពុទ្ធតាំងសមាធិ និងខាងជើងគឺរូបព្រះពុទ្ធឈរច្រត់ដៃលើសត្វដំរីមួយ។ ប្រាសាទនេះមានព្រះពន្លាកិត្តិយសមួយសាងអំពីថ្មភក់លម្អដោយបង្កាន់នាគក្បាលប្រាំ និងចម្លាក់តោបែរទៅទិសខាងកើត។ នៅចុងនៃព្រះពន្លាមានរូបបដិមាព្រះពុទ្ធសាងអំពីថ្មភក់ដ៏ធំមួយទ្រង់គង់ក្នុងទម្រង់យកព្រះធរណីជាសាក្សី។ ប្រាសាទបាលិលេយ្យមានប្រាង្គធំមួយសង់នៅលើខឿនដែលមានកាំជណ្តើរបែរទៅទិសសំខាន់ទាំងបួន ហើយមានកំពែងព័ទ្ធជុំវិញ ប៉ុន្តែនៅសេសសល់ជារាងកំពែងនៅផ្នែកខាងកើតដែលសង់អំពីថ្មបាយក្រៀមលាយឡំ និងមានការលម្អដោយថ្មភក់នៅខ្លោងទ្វារប៉ុណ្ណោះ។ ខ្លោងទ្វារនោះមានលម្អផ្តែរ និងហោជាងដែលមានចម្លាក់រឿងពុទ្ធប្រវត្តិនោះរួមមាន៖

## ខ្លោងទ្វារកណ្តាលបែរទៅទិសខាងកើត 
មានចម្លាក់ហោជាងស្តីអំពីព្រះពុទ្ធទ្រង់ឈរប្រហែលជាលើកដៃមួយចំហៀងដាក់ត្រឹមដើមទ្រូង ដើម្បីសម្តែងការទទួលពីអ្នកគោរពបូជាព្រះអង្គ។ ចំណែកផ្តែរនៅខាងក្រោមហោជាងនេះមានបង្ហាញអំពីរូបព្រះពុទ្ធចូលបរិព្វានដោយយកដៃស្តាំទ្រព្រះកេស និងដាក់ដៃឆ្វេងដាក់សណ្តូកលើព្រះកាយ ហើយពីក្រោមព្រះអង្គមានក្រុមសាវ័នកំពុងតែយំទួញសោកស្តាយចំពោះការបាត់បង់ព្រះអង្គ។ រូបនេះស្ថិតនៅលើក្បាលកាលា។
## ខ្លោងទ្វារខាងជើងបែរទៅទិសខាងកើត និងខាងលិច
មានចម្លាក់ហោជាងស្តីអំពីក្រុមសត្វស្វានិងដំរីគោរពបូជាថ្វាយម្ហូបចង្ហាន់ចំពោះព្រះពុទ្ធ។ ចំណែកនៅក្លោងទ្វារខាងលិចមានចម្លាក់អ្នកគោរពថ្វាយតង្វាយចំពោះព្រះអង្គ។
## ចម្លាក់ហោជាងពីរជាន់នៅទិសខាងជើង 
ចម្លាក់ជាន់ក្រោមបង្ហាញពីរូបព្រះពុទ្ធប្រោសដំរីឈ្មោះនាឡាគិរី ដែលត្រូវបានទេវទត្តប្រលែងក្នុងបំណងឱ្យព្រេច(ជាន់)ព្រះពុទ្ធខណៈព្រះអង្គកំពុងនិមន្តបិណ្ឌបាត្រក្នុងក្រុងរាជគ្រឹះ។ ទោះជាយ៉ាងនេះក្តី ពេលនោះដំរីដ៏កំណាចនេះចូលទៅដល់ចំពោះព្រះភ័ក្ត្រព្រះអង្គ វាបានបែរជាមិនហ៊ានព្រេច ព្រះអង្គដូចជាទេវទត្តសង្ឃឹមទុកឡើយ មិនតែប៉ុណ្ណោះ វាត្រឡប់ទៅជាស្លូតបាក់បបខ្លបខ្លាចលែងកាចទៅវិញ ដោយសារព្រះវិជិតមារជាម្ចាស់ទ្រង់ផ្សាំងវាដោយមេត្តាបារមីរបស់ព្រះអង្គ។ ចំណែកនៅផ្នែកខាងលើបង្ហាញពីបរុសពីរនាក់កំពុងកាន់របស់អ្វីម្យ៉ាងដាក់ពន្លទៅលើព្រះកេសរបស់ព្រះពោធិសត្វនៅក្នុងរឿងព្រះតេមិយជាតក។
## ឯកសារយោង 
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ខេត្តសៀមរាប
ព្រះប៉ាលីឡៃ
រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ

**រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ** ឬ **រង្វង់ឯកតា**​គឺជារង្វង់ដែលមានកាំមានរង្វាស់ស្មើ ១ និង ផ្ចិតរបស់វាស្ថិតនៅត្រង់គល់ O (០, ០) ក្នុងតំរុយអរតូណរម៉េនៃប្លង់អឺគ្លីដ។ សមីការរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ​ក្នុង​តំរុយអរតូណរមេ៖ \color{blue} x^2 + y^2  = 1 \, ។

## អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ 
[Unit circle|right|thumb|200px|រូបភាពនៃ​រង្វង់​ត្រីកោណមាត្រ​។ អថេរ t ជារង្វាស់[មុំ]] 
តាង O (0, 0) ជាផ្ចិតនៃរង្វង់ក្នុងតំរុយអរតូណរមេ (O, \vec{i},\vec{j}) នៃ \mathbb{R}^2

ឧបមាថាគេមានចំនុច M មួយនៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រដែលមានកូអរដោនេ (x, y) \,​ និង វ៉ិចទ័រ \vec{u}=\overrightarrow{OM} ។ ប្រសិនបើ ចំនួនពិត t ជារង្វាស់នៃមុំ
\left(\widehat{\vec{i},\vec{u}}\right) ដូចនេះ
:\begin{align} & \begin{cases}x = \cos(t) \\y = \sin(t)\end{cases} \\ \Rightarrow &\begin{cases}x^2 = \cos^2 (t) \\y^2 = \sin^2 (t)\end{cases} \\ \Rightarrow & \quad  x^2 + y^2 = \cos^2 (t) + \sin^2 (t)  \end{align}

តាមលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ \forall t\in\R, \quad \cos^2 (t) + \sin^2 (t) = 1 \,

ដូចនេះ x^2 + y^2  = 1 \,

រង្វង់ត្រីកោណមាត្រអាចកំនត់អោយយើងដឹងថាអនុគមន៍ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុសជាអនុគមន៍ខួប ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ទំនាក់ទំនង៖

:\forall t\in\R,\ \forall k\in\mathbb{Z},\quad \cos(t) = \cos(2k\pi+t) 
:\forall t\in\R,\ \forall k\in\mathbb{Z},\quad \sin(t) = \sin(2k\pi+t).

កណ្តាល
អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់

thumb|270px|right|អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់ដែលមានអាស៊ីមតូត y=\pm \frac{\pi}{2} គូសជាពណ៌ខៀវ
អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់ (Gudermannian Function) ត្រូវបានគេយកឈ្មោះតាមអ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិអាល្លឺម៉ង់ ឈ្មោះគ្រីស្តុប ហ្គុឌែរម៉ាន់ (Christoph Gudermann) (១៧៩៨ - ១៨៥២) ។ អនុគមន៍នេះផ្តល់នូវទំនាកទំនងរវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និង អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក ដោយមិនប្រើប្រាស់ចំនួនកុំផ្លិច។

វាកំនត់ដោយ

:\begin{align}{\rm{gd}}(x)&=\int_0^x\frac{dp}{\cosh(p)}\\
&=\arcsin\left(\tanh(x)\right)
 =\mbox{arccsc}\left(\coth(x)\right)\\
&=\arccos\left(\mbox{sech}(x)\right)
 =\mbox{arcsec}\left(\cosh(x)\right)\\
&=\arctan\left(\sinh(x)\right)
 =\mbox{arccot}\left(\mbox{csch}(x)\right) \\
&=2\arctan\left(\tanh\left(\frac{x}{2}\right)\right)
=2\arctan(e^x)-\frac{\pi}{2}
\end{align}\,\!

សញ្ញាណខាងក្រោមក៍ផ្ទៀងផ្ទាត់៖

:\begin{align}{\color{white}\dot{{\color{black}
\sin(\mbox{gd}(x))}}}&=\tanh(x);\quad
\csc(\mbox{gd}(x))=\coth(x);\\
\cos(\mbox{gd}(x))&=\mbox{sech}(x);\quad\,
\sec(\mbox{gd}(x))=\cosh(x);\\
\tan(\mbox{gd}(x))&=\sinh(x);\quad\,
\cot(\mbox{gd}(x))=\mbox{csch}(x);\\
{}_{\color{white}.}\tan\left(\frac{\mbox{gd}(x)}{2}\right)&=\tanh\left(\frac{x}{2}\right)
\end{align}\,\!

thumb|270px|right|អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់ច្រាស់

អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់ច្រាស់ កំនត់ដោយ

:\begin{align}
\mbox{arcgd}(x)&={\rm {gd}}^{-1}(x)=\int_0^x\frac{dp}{\cos(p)}\\
&={}\mbox{arccosh}(\sec(x))=\mbox{arctanh}(\sin(x))\\
&={}\ln\left(\sec(x)(1+\sin(x))\right)\\
&={}\ln(\tan(x)+\sec(x))=\ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\\
&={}\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)} \end{align}\,\!

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់ និង អនុគមន៍ច្រាស់របស់វាគឺ

:\frac{d}{dx}\;\mbox{gd}(x)=\mbox{sech}(x);\quad\frac{d}{dx}\;\mbox{arcgd}(x)=\sec(x)\,\!

ហ្គុឌែរម៉ាន់
សញ្ញាណលោការីត

## តំលៃពិសេស 
*\log_a1 = 0\,
*\log_aa = 1\,

## ផលគុណ ផលចែក និងអិចស្ប៉ូ 
*\log_c(a\cdot b) = \log_ca + \log_cb\,
*\log_c\left(\frac{a}{b}\right) = \log_ca - \log_cb\,
*\forall r\in\R,\ \log_c(a^r) = r\cdot\log_ca\,

*\log_c(a + b) = \log_c(c^{(\log_ca - \log_cb)} + 1 )+ \log_cb ចំពោះ a>b \,
*\log_c(a - b) = \log_c(c^{(\log_ca - \log_cb)} - 1 )+ \log_cb ចំពោះ a>b \,

### លក្ខណៈច្រាស់ 
*a^{\log_ab} = b\,
*ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត r \, គេបាន \log_a (a^r) = r \,

រូបមន្តមុនត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយ​សមីការរកអញ្ញត្តិដែលមានស្វ័យគុណ។

## វិធីសាស្រ្តប្តូរគោលនៃលោការីត 
:\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\,

រូបមន្តនេះមានសារៈសំខាន់សំរាប់គណនាលោការីតដោយប្រើម៉ាស៊ីនគណនា។ 

:\log_ab\cdot\log_cd = \log_ad\cdot\log_cb

{{សំរាយបញ្ជាក់|style=border-color:skyblue|ខ្លឹមសារ=
រូបមន្តនេះគឺសំរួលដល់ការប្តូរគោលនៃលោការីត 

តាមសម្មតិម្ម: \log_ab\cdot\log_cd = \log_ad\cdot\log_cb

:\iff \frac{\log_cb}{\log_ca} \cdot \frac{\log_ad}{\log_ac} = \log_ad\cdot\log_cb (ប្តូរគោលខាងធ្វេង)
:\iff \frac{\log_cb}{\frac{\log_aa}{\log_ac}} \cdot \frac{\log_ad}{\log_ac} = \log_ad\cdot\log_cb (ប្តូរគោលនៃ \log_ca \,)
:\iff \frac{\log_cb\cdot\log_ac}{\log_aa} \cdot \frac{\log_ad}{\log_ac} = \log_ad\cdot\log_cb \, 
:\iff \frac{\log_cb\cdot\log_ad}{\log_aa} = \log_ad\cdot\log_cb (សំរួល \log_ac \,)
:\iff \log_ab\cdot\log_cd = \log_ad\cdot\log_cb\, (សំរួល \log_aa \,)
}}

## លីមីត 
:\lim_{x\to 0} \log_a x = -\infty ចំពោះ a > 1 \,
:\lim_{x\to 0} \log_a x = +\infty  ចំពោះ 0
:\lim_{x\to+\infty} \log_a x = +\infty  ចំពោះ a>1 \,
:\lim_{x\to +\infty} \log_a x = -\infty  ចំពោះ 0
:\lim_{x\to 0}\ \log_a (x)\cdot x^b = 0  ចំពោះ b \, ចំនួនសន្និទានវិជ្ជមាន
:\lim_{x\to +\infty} \frac{\log_a x}{x^b} = 0  ចំពោះ b \, ចំនួនសន្និទានវិជ្ជមាន

## ដេរីវេ 
:(\log_ax)' = \frac{1}{x\ln a}

ក្នុងករណីពិសេស គោល e ៖
:(\ln x)' = \frac1x

## ព្រីមីទីវ 
:\int\log_ax\;\mathrm dx = x\cdot\left[\log_ax-\frac{1}{\ln a}\right]
លំហាត់ស៊្វីត

**១)** គេឲ្យស្វ៊ីត (u_n) \, កំនត់ដោយ u_0 = e^4 \, និង u^3_{n+1} \cdot e^2 = u^2_n , \forall n \in \mathbb{N} ដែល e \approx 2,718 ។ (v_n) \, ជាស្វ៊ីតមួយទៀតកំនត់ដោយ 3v_n = 2 + \ln u_n , \quad \forall n \in \mathbb{N}  ។
:ក - ចូរបង្ហាញថា  (v_n) \, ជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រ
:ខ - គណនាជាអនុគមន៍នៃ n
::S_1=v_0+v_1+v_2+\cdots +v_n
::S_2=\ln(u_0\cdot u_1 \cdot u_1 \cdot u_2 \cdots u_n)

**២)** គេអោយស្វ៊ីត (u_n)_{n\in \mathbb{N}^*} កំនត់ដោយ \begin{cases}u_1=1 , u_2=2 \\ u_{n+2}=\frac{2}{5}u_{n+1}+\frac{3}{5}u_n \end{cases}
តាង t_n=u_n-u_{n+1} \, បង្ហាញថា (t_n) \, ជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រ និងគណនា \lim_{n \to +\infty} u_n

**៣)** គណនាចំនួនពិត b, c, d ដើម្បីអោយស្វ៊ីត \{a_n\} \, កំនត់ដោយ
::a_n=\frac{n+b}{cn+d} \quad (n=1; 2; 3; \cdots \cdots)

ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌខាងក្រោម:
:a_1=\frac{1}{3} ; a_2=\frac{3}{8} និង  \lim_{n \to \infty}a_n=\frac{1}{2}

**៤)** a ជាចំនួនវិជ្ជមានខុសពី ១ ។ គេអោយស្វ៊ីតនៃចំនួនពិត u_0, u_1 , \cdots , u_n, \cdots \, ដែលកំនត់ដោយទំនាក់ទំនង u_n= au^2_{n-1}  និង u_0 = 1 \,
:ក - គេតាង u_n= a^{v_n+b} ។ បង្ហាញថាគេអាចកំនត់ចំនួន b បានដើម្បីអោយស្វ៊ីត v_n \, ជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រ ។
:ខ - គណនា u_n \, ជាអនុគមន៍នៃ a និង n

**៦)** គេអោយស្វ៊ីត \{u_n\} \, កំនត់ដោយ u_1=\sqrt{2} ; u_{n+1}=\sqrt{2+u_n} , n=1;2;3;\cdots\cdot ។ កំនត់រក u_n \, ជាអនុគមន៍នៃ n ។

**៥)** គេអោយស្វ៊ីតនៃចំនួនពិត (u_n)\, មួយកំនត់ដោយ:
::u_1=a, u_2=b, u_3=\frac{1}{2}(u_1+u_2), \cdots , u_n=\frac{1}{2}(u_{n-2}+u_{n-1})
# បង្ហាញថាស្វ៊ីតនៃចំនួនពិតដែលមានតួទូទៅ v_n=u_n-u_{n-1} \, ជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រ។
# គណនា u_n \, ជាអនុគមន៍នៃ a, b និង n ។ ទាញរកលីមីតនៃ u_n \, កាលណា n \to \infty \, ។

**៧)** គេមានស្វ៊ីត (U_n)_{n\in \mathbb{N}^*} កំនត់ដោយ
:\begin{cases}U_1=1 \\ (U_{n+1})^2=4u_n \end{cases} និង U_n>0; \forall n\in \mathbb{N}^*

គេមានស្វ៊ីតមួយទៀត (V_n) \, កំនត់ដោយ V_n=\ln(u_n)-\ln4 \,
# ចូរបង្ហាញថា (V_n) \, ជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រ ដោយប្រាប់រេសុង និង តួទី១ របស់វា។
# សរសេរ V_n \, ជាអនុគមន៍នៃ n ។ រួចទាញរក U_n \, ។ គណនា \lim_{n \to +\infty}U_n 

**៧)** (U_n) \, ជាស្វ៊ីតកំនត់ដោយ U_0=5 \, និងទំនាក់ទំនង U_{n+1}=5U_n-7n; \forall n\in \mathbb{N}

គេមានស្វ៊ីតមួយទៀត (V_n) \, កំនត់ដោយ V_n=U_n-\frac{7}{4}n-\frac{7}{16}; \forall n \in \mathbb{N} \,
# បង្ហាញថា (V_n) \, ជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រ
# គណនា S_n=U_0+U_1+U_2+\cdots+U_n \,

**៨)** គេអោយស្វ៊ីត (U_n) \, មួយកំនត់ដោយ: \begin{cases}U_0 \in \mathbb{R} \\ \forall n \in \mathbb{N}: U_{n+1}=\frac{1}{11}U_n+1800 \end{cases}
# កំនត់ U_0 \, ដើម្បីអោយ (U_n) \, ជាស្វ៊ីតថេរ
# សន្មត U_0=1 \, គេកំនត់ស្វ៊ីត (V_n) \, មួយដែលមានតួទូទៅ V_n=U_n+b \, ។ 
## ចូរកំនត់តំលៃ b ដើម្បីអោយ (V_n)\, ជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រ។ 
## ចំពោះតំលៃ b ដែលរកឃើញខាងលើ ចូរគណនាលីមីតនៃស្វ៊ីត (U_n) \, និង (V_n) \,
៩)គេឲ្យស្វ៊ីតនៃចំនួនពិត (a_n) \,កំណត់ដោយ  a_1=4 \,និង a_{n+1}=3a_{n}-4(n-1) \,។

ក-តាង b_n=a_{n}-2n+1 \, . រកប្រភេទនៃស្វ៊ីតនេះ ?
ខ-គណនាb_n \, និងa_n \, ជាអនុគមន៍នៃn ។

( By  www.mathtoday.wordpress.com)។

១0)គេអោយស្វ៊ីត  កំនត់ដោយ a_{1}=2 ; a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{4a_{n}+1}}{2}, n=1;2;3;\cdots\cdot ។
 
ក-គេតាង b_{n+1}=\sqrt{4a_{n}+1}, n=1;2;3;\cdots\cdot ។
រកប្រភេទនៃស្វ៊ីតនេះ?

ខ-គណនាb_n \, និងa_n \, ជាអនុគមន៍នៃn ។
(by Lim Phalkun www.mathtoday.wordpress.com).
កម្លាំង

* **កំលាំង**ជាបុព្វហេតុធ្វើអោយអង្គធាតុផ្លាស់ប្តូរចលនារឺខូចទ្រង់ទ្រាយ ។

* ផលសងប្រវែងស្រេចនិង​ប្រវែងដើមនៃរ៉ឺសរហៅថាសាច់លូតនៃរ៉ឺសរ​ ។

* កំលាំងសមាមាត្រនឹងសាច់លូតនៃអង្គធាតុក្នុងកំរិតព្រំដែននៃភាពយឺត ។

គេសរសេរ F = K \cdot x\, (Fកំលាំងដែលមានអំពើ ; Kថេរសមាមាត្រ ; xសាច់លូត) ។

* កំរិតយឺតនៃអង្គធាតុជាតំនឹងអប្បបរមា ដែលជាបុព្វហេតុនាំអោយមានកំហូចរូបរាង ។

* បើគេទាញកៅស៊ូអោយយឺត កៅស៊ូរងកំលាំងពីរផ្ទុយគ្នា បញ្ជាក់ថាកៅស៊ូខូចទ្រង់ទ្រាយដោយតំនឹង ។

* បើអង្គធាតុមួយរងកំលាំងសង្កត់ពីរឈមគ្នា អង្គធាតុខូចទ្រង់ទ្រាយដោយបណ្ណែន ។

* បើអង្គធាតុមួយរងកំលាំងដែលធ្វើអោយផ្នែកមួយនៃអង្គធាតុផ្លាស់ទីធៀបទៅផ្នែកផ្សេងទៀត គេថាអង្គធាតុខូចទ្រង់ទ្រាយដោយបំលាស់ទី ។

សំគាល់ :

* ថេរសមាមាត្រ k\, គិតជា N/m\, ។

* កំរិតយឺតនៃរូបធាតុគិតជា N/m^2\, ។

ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ឌីណាមិច
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:មេកានិច
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:រូបវិទ្យា
ហិណ្ឌូសាសនា

[រូបភាពតូច|(ពីឆ្វេងទៅស្តាំ។) [ព្រះម៉ែលក្ម្សី-ព្រះនរាយណ៍-ព្រះសិវៈ-បូជាចារ្នាគ(បាត)ព្រះមហេសីពីរនាក់នៃព្រះគណេស។-ព្រះគណេស-ព្រះសិវលិង្គ-ព្រះម៉ែទុគា-ព្រះនាងសរស្វតី.]]
**សាសនាហិណ្ឌូ** (;;) គឺជា​សាសនា​ដ៏​ចំណាស់​មួយ ដែល​ចាប់កំណើត​នៅ​ឧបទ្វីប​ឥណ្ឌា ដែល​បន្តវេន​ពី​លទ្ធិ​វេទនិយម និង​ព្រហ្មនិយម​។ ហិណ្ឌូ​ត្រូវ​បាន​គេ​សន្មត​ថា​ជា​សាសនា​ចំណាស់​ជាង​គេ​បំផុត​លើ​ពិភពលោក បើ​រាប់​ចាប់ពី​សម័យ​វេទនិយម​មក និង​ជា​សាសនា​ធំ​ជាង​គេ​ទីបី​លើ​លោក បន្ទាប់ពី​សាសនាគ្រិស្ដ និង​សាសនាឥស្លាម ដែល​មាន​សាសនិក​ប្រហែល​មួយពាន់លាន​នាក់ ក្នុង​នោះ​ប្រមាណ ៩០៥ លាន​នាក់​នៅ​ប្រទេស​ឥណ្ឌា​។ ប្រទេស​ផ្សេងទៀត​ដែល​មាន​អ្នក​កាន់​សាសនាហិណ្ឌូ​មាន នេប៉ាល់, ស្រីលង្កា, ឥណ្ឌូនេស៊ី (កោះ​បាលី), ម៉ាឡេស៊ី, សិង្ហបុរី, Mauritius, Fiji, Suriname, Guyana, Trinidad and Tobago, កាណាដា និង​សហរដ្ឋអាមេរិក។.
ប្រាសាទទេពប្រណម្យ

## ប្រវត្តិប្រាសាទ 
**ប្រាសាទទេពប្រណម្យ** មានទីតាំងស្ថិតនៅខាងជើងនៃលានស្តេចគំលង់និងខាងលិចផ្លូវទៅខ្លោងទ្វារដីឆ្នាំង។ប្រាសាទនេះកសាងឡើងនៅក្នុងរជ្ជកាលព្រះបាទយសោវរ្ម័នទី ១។ផ្នែកផ្សេងៗនៃប្រាសាទនេះគឺត្រូវបានកសាងឡើងនៅក្នុងពេលផ្សេងៗពីគ្នាគឺចាប់ពីចុងសតវត្សរ៍ទី ០៩ ដល់ទី ១៣។ប្រាសាទនេះកាលពីដើមឡើយគឺជាវត្តព្រះពុទ្ធសាសនារបស់ព្រះបាទយសោវរ្ម័នទី ១  នៅចុងសតវត្សរ៍ទី ០៩។ប្រាសាទទេពប្រណម្យគឺជាទីកន្លែងដែលមានរូបព្រះអង្គុយប្រណម្យប៉ុន្តែសព្វថ្ងៃនេះរូបនោះបានបាត់ទៅហើយ។**ទេព**ជាពាក្យសំស្រ្កឹតមានន័យថា**ព្រះ**។**ប្រណម្យ**ក៏ជាពាក្យសំស្រ្កឹតដែរដែលមានន័យថា**សំពះឬលុតជង្គត់ឱនគោរព**។លើសពីនេះអាស្រមស្ថិតនៅខាងត្បូងបារាយណ៍ខាងកើតដែលបានកសាងឡើងនៅចុងសតវត្សរ៍ទី ០៩ នៅក្នុងរជ្ជកាលព្រះបាទយសោវរ្ម័នទី ១ និងប្រាសាទនេះបានបញ្ជាក់ថាព្រះពុទ្ធសាសនាមានតាំងពីសម័យនោះផងដែរ។

**វត្តទេពប្រណម្យ**គឺជាបុរាណស្ថានព្រះពុទ្ធសាសនាដ៏សំខាន់មួយនៅក្នុងរាជធានីអង្គរធំដែលស្ថិតនៅខាងជើងលានស្តេចគំលង់តាមផ្លូវឆ្ពោះទៅប្រាសាទបាលិលេយ្យ ខេត្តសៀមរាប បើគេធ្វើដំណើរពីប្រាសាទបាយ័នឆ្ពោះទៅខ្លោងទ្វារដីឆ្នាំគឺស្ថិតនៅខាងឆ្វេងដៃ។ទីតាំងនេះមានអ្នកបុរាណវិទ្យាមកសិក្សាច្រើនលើករួចមកហើយរូបភាពទាំងអស់នេះអាចជាការរួមចំណែកដ៏សំខាន់មួយនៅក្នុងការយល់ដឹងបន្ថែមអំពីការជួសជុលបុរាណស្ថាននិងបរិបទព្រះពុទ្ធសាសនាសម័យក្រោយអង្គរឬសម័យកណ្ដាល។តាមរូបភាពសាលាបារាំងចុងបូព៌ាប្រទេសបានបង្ហាញថារូបសំណាកព្រះពុទ្ធត្រាស់ដឹងធ្វើពីថ្មភក់ដ៏ធំនេះធ្លាប់ត្រូវបានជួសជុលដោយដូនតាខ្មែរនាសម័យអាណានិគមបារាំង។មែនទែនទៅឈ្មោះ**ទេពប្រណម្យ**គឺយកទៅតាមឈ្មោះព្រះពុទ្ធលើកព្រះហស្ថទាំង ០២ ប្រណម្យដែលស្ថិតនៅខាងក្រោយខឿនឧបោសថដែលអ្នកខ្លះមិនទាំងចាប់អារម្មណ៍ថាមានរូបសំណាកនៅទីនោះផងបើសិនជាមិនចាប់អារម្មណ៍។**វត្តទេពប្រណម្យ វត្តតាំងតុ វត្តព្រះសិអារ្យមេត្រី វត្តព្រះអង្គកងជុំ វត្តព្រះវិហារប្រាំពីរល្វែង វត្តព្រះឥន្ទ្រទេព**ជាដើមសុទ្ធតែជាខឿនឧបោសថព្រះពុទ្ធសាសនាថេរវាទ។
## រូបថត 
## ឯកសារយោង
ប្រាសាទត្រាវ

**ប្រាសាទត្រាវ**មានទីតាំងស្ថិតនៅក្នុង ភូមិគោកដូង ឃុំគោកដូង ស្រុកអង្គរជុំ ខេត្តសៀមរាប ចំងាយ៤០គីឡូម៉ែត្រពីទីរួមខេត្តសៀមរាប។ ប្រាសាទត្រាវសាងបែរមុខទៅទិសខាងកើត ស្ថិតនៅលើទីទួលមួយដោយមានកសិណទឹក ព័ទ្ធជុំវិញ និងជ្រកពីក្រោមរុក្ខា ចោលម្លប់ត្រឈឹងត្រឈៃ។ នៅពីមុខប្រាសាទ មានផ្លូវចូលមានជណ្តើរខ្លោងទ្វារ និងមានរូបសំណាក​តោទ្វារ១គូ​ដែល​នៅ​សល់​តែដងខ្លួនប៉ុណ្ណោះ ឯក្បាលត្រូវជនទុច្ចរិត លួចដាប់យកទៅបាត់។  នៅតាមជញ្ជាំងក៏មានក្បូរក្បាច់រចនា លើថ្មភក់ យ៉ាងវិចិត្រ ប៉ុនែ្តបានជ្រុះរប៉ាត់រប៉ាយរបេះក្បាច់ ដោយសារ​តែសង្រ្គាម​អូសបន្លាយ ខ្វះកិច្ចអភិរក្ស និងត្រូវឈ្មួញរកស៊ីជួញក្បាលអ្នកតាចាំតែបំផ្លាញគ្មានស្រណោះ។  តាមការពិនិត្យល្អិតល្អន់ទៅប្រាសាទនេះ នៅតែរក្សាបានលក្ខណៈស្ថាបត្យកម្មខែ្មរសុទ្ធសាធ ប៉ុនែ្តពុំដឹងថា បានកសាងនៅក្នុងរជ្ជកាលសេ្តចអង្គណាឡើយ គ្រាន់តែឭតាមរយៈការតំណាលតៗ គ្នាប៉ុណ្ណោះថា កកើតឡើងនៅដើមសម័យអង្គរ បើគិតទៅមានអាយុជាង ១ពាន់ឆ្នាំហើយ ។
សិលាចារឹកប្រាសាទត្រាវ ចារឹកឡើងនៅលើមេទ្វារ ហើយកំពុងស្ថិតនៅទីតាំងដើមនៅឡើយ​។ សិលាចារឹកនេះ ចុះបញ្ជីលេខ K.249 ចារឹកជាភាសាខ្មែរបុរាណ មានចំនួន ១៧ បន្ទាត់ ដែលរៀបរាប់អំពីព្រឹត្តិការណ៍នយោបាយនៅមហាសករាជឆ្នាំ១០៣១ ត្រូវនឹងគ្រឹស្តសករាជឆ្នាំ១១០៩ ត្រូវនឹងរជ្ជកាលព្រះបាទស្រីធរណីន្រ្ទវរ្ម័នទី១ (គ.ស.១១០៧ – ១១១៣)។ សិលាចារឹកប្រាសាទត្រាវ សិក្សាដំបូងគេបង្អស់ដោយលោក Aymonier និងសិក្សាឡើងវិញដោយលោក Coedès។ អត្ថន័យជារួមរបស់សិលាចារឹកប្រាសាទត្រាវ រៀបរាប់អំពីក្រុមមន្រ្តីជាច្រើននាក់ក្នុងរាជ្យព្រះបាទស្រីធរណីន្រ្ទវរ្ម័នដែលមានគោរម្យងារជា ខ្លោញពល ខ្លោញភូតាស កំស្តែង តេងតួន នាំគ្នាធ្វើបញ្ជីកត់ត្រាឈ្មោះខ្ញុំបម្រើ និងភោគផលដែលបានពីដីខ្លោញពលធម្មសីលសម្រាប់ប្រើប្រាស់ជាតង្វាយក្នុងកិច្ចបូជាដល់ព្រះលិង្គបុរ ព្រះកន្លោងជាម្ចាស់ (ក្សត្រីអង្គណាមួយដែលចូលទិវង្គត) អាស្រមនៅស្តុកព្រីង និងព្រះនៅច្បារឫស្សី។ ដូច្នេះហើយ ជាសន្និដ្ឋានជារួមមក ប្រាសាទត្រាវ គឺជាសាសនដ្ឋានព្រហ្មញ្ញសាសនាមួយកន្លែងដែលបានស្ថាបនាកសាងឡើងនៅក្នុងស.វ.ទី១០ ពោល គឺរវាងរជ្ជកាលព្រះបាទរាជេន្រ្ទវរ្ម័ន (គ.ស.៩៤៤ – ៩៦៧) ឬព្រះបាទស្រីជ័យវរ្ម័នទី៥ (គ.ស.៩៦៨ – ១០០០)។ ប៉ុន្តែ សិលាចារឹកដែលចារឹកនៅលើមេទ្វារ គឺចារឹកឡើងនៅសម័យក្រោយនាស.វ.ទី១២ ដោយមន្រ្តីមួយចំនួនដែលធ្លាប់បម្រើដល់ព្រះបាទស្រីធរណីន្រ្ទវរ្ម័នទី១ (គ.ស.១១០៧ – ១១១៣)។ យោងទៅតាមការសិក្សារបស់ប្រវត្តិវិទូជាច្រើនសន្និដ្ឋានថា​ ព្រះបាទស្រីធរណីន្រ្ទវរ្ម័នទី១ ទំនងមិនបានឡើងសោយរាជ្យនៅតំបន់អង្គរ (រាជធានីស្រីយសោធរបុរ) នោះទេ ពោល គឺទ្រង់ទំនងសោយរាជ្យនៅតំបន់ភិមាយ (ក្រុងមហីធរបុរ)​ ដូចនឹងស្តេចអង្គមុនដែលជាព្រះអនុជរបស់ទ្រង់ដែរ (ព្រះបាទស្រីជ័យវរ្ម័នទី៦)។
## សូមមើលផងដែរ 
* បញ្ជីរាយនាមប្រាសាទខ្មែរ

ត្រាវ
មធ្យមនព្វន្ធ

**មធ្យមនព្វន្ធ**នៃស៊េរីស្ថិតិមួយ ជាផលធៀបរវាងផលបូកធាតុក្នុងស៊េរី​ជាមួយចំនួនរបស់ធាតុ។
រូបមន្តគណិតវិទ្យារបស់វាត្រូវបានផ្ដល់ដូចតទៅ៖
: \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + .. .. + x_n}{n} = {1 \over n} \sum_{i = 1}^n{x_i}

ចំពោះស៊េរីដែលមានធាតុមានប្រេកង់ រូបមន្តសរសេរ៖
: \bar{x} = x_1 f_1 + x_2 f_2 + .. .. + x_n f_n = \sum_{i = 1}^n{x_i \times f_i}

មធ្យមនព្វន្ធនៃអនុគមន៍របាយ *f* មួយនៃតំលៃអថេរជាប់ក្នុងចន្លោះស្កាលែរកំនត់មួយ [*x0*, *x1*] សរសេរ៖
: \bar{f}_{x_0}^{x_1} = \int_{x = x_0}^{x_1}{x.f(x).dx}, ដែល \int_{x = x_0}^{x_1}{f(x).dx} = 1

បើសិនអនុគមន៍របាយ *f* កំនត់នៅគ្របើតំលៃពិតរបស់អថេរជាប់របស់វា នោះគេអាចសរសេរ៖
: \bar{f} = \int_{x = -\infin}^{+\infin}{x.f(x).dx}, ដែល \int_{x = -\infin}^{+\infin}{f(x).dx} = 1.

មធ្យមនព្វន្ធនៃ២ចំនួន a និង b សរសេរ៖ A=\dfrac{a+b}{2}

karuna was heree (((o(*ﾟ▽ﾟ*)o)))
ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស

thumb|right|300px|

|thumb|right|350px| m=n(=1) បៃតង + ខៀវ = ក្រហម
ក្នុងធរណីមាត្រ **ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស**(Apollonius' theorem) គឺជាទ្រឹស្តីបទមួយដែលទាក់ទងទៅនឹងធាតុខ្លះៗនៃត្រីកោណមួយ ។ គេមាន ត្រីកោណ ABC បើ D ជាចំនុចមួយនៅលើ BC ដែលវាចែក BC ជាប្រភាគ n : m (ឬ m\cdot BD = n\cdot DC) នោះគេបាន

:mAB^2 + nAC^2 = mBD^2 + nDC^2 + (m+n)AD^2\, 

## ករណីពិសេស
* ពេល m = n (=1) \, នោះ AD ជាមេដ្យានដែលចោលលើ BC  នោះទ្រឹស្តីបទក្លាយទៅជាទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន៖

::AB^2 + AC^2 = BD^2 + DC^2 + 2AD^2 \,  

* ពេល AB = AC នោះ ត្រីកោណជាត្រីកោណសមបាត ។ នោះទ្រឹស្តីបទក្លាយទៅជា

:: AD^2 + BD^2 = AB^2 (= AC^2)\,

ចំពោះ ត្រីកោណABC\,  បើAD\, ជាមេដ្យាន នោះ AB^2 + AC^2 = 2(AD^2+BD^2)\,\!

ដើម្បីបង្ហាញចំពោះទ្រឹស្តីបទនេះ  តាងAX\, ជាចំណោលកែងទៅនឹងBC\, ពីចំនុច A\, ។ តាមទ្រឹស្តីបទពីតាករ  ចំពោះត្រីកោណកែងABX\, និង ACX\, គេបាន

: AB^2 = AX^2 + BX^2\,

:  = AX^2 + (BD+DX)^2\,

:  = AX^2 + BD^2 + DX^2 + 2.BD.DX\qquad (i)

និង 

: AC^2 = AX^2 + CX^2\,

:  = AX^2 + (CD-DX)^2\,

:  = AX^2 + CD^2 + DX^2 - 2.CD.DX \qquad (ii)

ដោយបូកបញ្ចូលសមីការ(i) និង (ii)

: AB^2 + AC^2\,\!

:  = AX^2 + BD^2 + DX^2 + 2.BD.DX + AX^2 + CD^2 + DX^2 - 2.CD.DX\,\!

:  = 2(AX^2 + DX^2 + BD^2)\,

ដោយ BD=DC,\,

: 2.BD.DX=2.DC.DX\,\!

:  = 2(AX^2 + DX^2) + 2BD^2\,\!

:  = 2(AD^2 + BD^2)\,\!

ដោយ AXD\, គឺជាមុំកែង

ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្ហាញ ។
មធ្យមអ៊ីដង់ទ្រិច

**មធ្យមអ៊ីដង់ទ្រិច** នៃ២ចំនួនពិតវិជ្ជមាន x,y កំនត់ដោយ៖
:
\begin{matrix}
I(x,y)
&=&
\frac{1}{e}\cdot
\lim_{(\xi,\eta)\to(x,y)}
\sqrt[\xi-\eta]{\frac{\xi^\xi}{\eta^\eta}}
\\
&=&
\lim_{(\xi,\eta)\to(x,y)}
\exp\left(\frac{\xi\cdot\ln\xi-\eta\cdot\ln\eta}{\xi-\eta}-1\right)
\\
&=&
\begin{cases}
x & \mbox{if }x=y \\
\frac{1}{e} \sqrt[x-y]{\frac{x^x}{y^y}} & \mbox{else}
\end{cases}
\end{matrix}
.

វាអាចទាញចេញពីទ្រឹស្ដីបទតំលៃកណ្ដាល ដោយសិក្សាពីកំនាត់ក្រាបនៃអនុគមន៍ x \mapsto x\cdot \ln x។
ទ្រឹស្តីបទរូទ

right|260px
ក្នុងធរណីមាត្រ **ទ្រឹស្តីបទរូទ** (Routh's theorem) ពោលដូចខាងក្រោមៈ

តាង \triangle{ABC} ជាត្រីកោណដែលមានក្រឡាផ្ទៃ A_{ABC} \, ។ តាង \mathrm{F}, \mathrm{D} និង \mathrm{E} គឺជាចំណុចនៅលើជ្រុងរៀងគ្នា \overline{AB}, \overline{BC} និង \overline{AC} ដែលផលធៀប \frac{AF}{BF} = r , \quad \frac{BD}{CD}=s, \quad \frac{CE}{AE}=t

និងតាង \mathrm{I}, \mathrm{G} និង \mathrm{H} ជាចំណោលរៀងគ្នានៃ \overline{AD} និង \overline{CF}, \overline{AD} និង \overline{BE}, និង \overline{BE} និង \overline{CF} ដែល
: I=AD\cap CF, \quad G= AD \cap EB  និង H=BE\cap CF
**នោះគេបានក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណ  \triangle{GHI}** កំណត់ដោយ

:{\color{Violet} A_{GHI}} ={\color{magenta} \frac{(rst-1)^2}{(st+s+1)(rt+t+1)(rs+r+1)}} {\color{Fuchsia}A_{ABC}}

## បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទ 
តាមទ្រឹស្តីបទមេនេឡូស យើងបាន
: \frac{s}{1}\cdot \frac{t+1}{1}\cdot \frac{EG}{GB}=1\Longleftrightarrow EG: GB=1: st+s

ហេតុនេះ
:\frac{A_{GAB}}{A_{ABC}}=\frac{AE}{AC}\cdot \frac{BG}{BE}=\frac{1}{t+1}\cdot \frac{st+s}{st+s+1}=\frac{s}{st+s+1}
:\Rightarrow {\color{RoyalBlue}A_{GAB}}=\frac{s}{st+s+1}\cdot A_{ABC} \qquad \color{Violet}(i)
ដូចគ្នាដែរ
: \frac{A_{HBC}}{A_{ABC}}=\frac{t}{tr+t+1}\qquad \Rightarrow {\color{RoyalBlue}A_{HBC}} = \frac{t}{tr+t+1} \cdot A_{ABC}\qquad \color{Violet}(ii)

: \frac{A_{ICA}}{A_{ABC}}=\frac{r}{rs+r+1}\qquad \Rightarrow {\color{RoyalBlue}A_{ICA}} = \frac{r}{rs+r+1} \cdot A_{ABC}\qquad \color{Violet}(iii)

គេបានក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណ **\triangle{GHI}** កំណត់ដោយ
: A_{GHI}=A_{ABC}-(A_{GAB}+A_{HBC}+A_{ICA}) \qquad \color{magenta} (*)

ជំនួស \color{Violet} (i) , (ii) , (iii) \, ក្នុង \color{magenta} (*) \, គេបាន

\begin{align} A_{GHI}&=A_{ABC}-\{\frac{s}{st+s+1}\cdot A_{ABC}+\frac{t}{tr+t+1} \cdot A_{ABC}+ \frac{r}{rs+r+1} \cdot A_{ABC}\}\\ &=\{1-\frac{s}{st+s+1}- \frac{t}{tr+t+1}-\frac{r}{rs+r+1}\}\cdot A_{ABC}\\ &=\frac{(st+s+1)(tr+t+1)(rs+r+1)-s(tr+t+1)(rs+r+1)-t(st+s+1)(rs+r+1)-r(st+s+1)(tr+t+1)}{(st+s+1)(tr+t+1)(rs+r+1)} \cdot A_{ABC} \end{align}

ពន្លាតកន្សោមភាគយក គេបានទ្រឹស្តីបទរូទ (Routh's theorem)
:{\color{Violet} A_{GHI}} ={\color{magenta} \frac{(rst-1)^2}{(st+s+1)(rt+t+1)(rs+r+1)}} {\color{Fuchsia}A_{ABC}}
មធ្យមហែងស៍

**មធ្យមហែងស៍**នៃពីរចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមាន A និង B ត្រូវបានអោយនិយមន័យដោយ Bhatia គឺថា៖ 
:H_x(A, B) = \frac{A^x B^{1-x} + A^{1-x} B^x}{2}. 

ដែល 0 &le; *x* &le; 1/2 ។

ចំពោះតំលៃផ្សេងគ្នានៃ x មធ្យមហែងស៍នេះបន្ថែមបន្ថយរវាងមធ្យមនព្វន្ឋ (x = 0) និង មធ្យមធរណីមាត្រ (x = 1/2) គឺថាចំពោះ 0  \sqrt{A B} = H_{1/2}(A, B) . 
 
## សូមមើលផងដែរ
*មធ្យម
*វិសមភាព Muirhead
អ៊ីប៉ូតេនុស

[200px|frame|right|[ត្រីកោណកែង និងអ៊ីប៉ូតេនុសរបស់វា *h* ជាមួយនឹងរង្វាស់ជ្រុងជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស c1 និង c2]]
**អ៊ីប៉ូតេនុស**​ជាជ្រុងដែលមានរង្វាស់វែងជាងគេ និង ជាជ្រុងដែលឈមនឹងមុំកែង នៃត្រីកោណកែង។ គេអាចរកប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុស​ដោយ​អនុវត្ត​​ទ្រឹស្តីបទពីតាករ ដែលពោលថា **ការ៉េនៃរង្វាស់អ៊ីប៉ូតេនុសស្មើនឹងផលបូកការ៉េនៃរង្វាស់ជ្រុងពីរទៀត**។ រង្វាស់អ៊ីប៉ូតេ​តែងតែវែងជាងប្រវែងនៃជ្រុងពីរទៀតជានិច្ច ហើយវាក៏ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC ដែរ។

:h^2 = a^2 + b^2 \qquad \Rightarrow h= \sqrt{a^2 + b^2}
វិសមភាពភីដូ

ក្នុងធរណីមាត្រ **វិសមភាពភីដូ** (Pedoe's inequality) ត្រូវបានគេយកឈ្មោះតាមអ្នកគណិតវិទូ និង ធរណីមាត្រវិទូជនជាតិអង់គ្លេស​ឈ្មោះ ដាន្យែល ភីដូ (Daniel Pedoe)។ វិសមភាពនេះពោលថា ប្រសិនបើ a, b, និង c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃ​ត្រីកោណ​ដែលមាន​ក្រលាផ្ទៃ f និង A, B, និង C គឺជារង្វាស់នៃជ្រុងនៃ​ត្រីកោណ​ដែលមាន​ក្រលាផ្ទៃ F នោះគេបាន

:\color{Violet}A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)\geq 16Ff\,

ហើយវិសមភាពនេះក្លាយជាសមភាព​លុះត្រាតែត្រីកោណ​ទាំងពីរដូចគ្នា។

ចូរកត់សំគាល់ថាកន្សោមនៅអង្គខាងធ្វេងនៃ​វិសមភាព​គឺមិនត្រឹមតែស៊ីមេទ្រីក្រោមចំលាស់ទាំង​៦​នៃសំនុំនៃគូ \{ (A,a), (B,b), (C,c) \} \, នោះទេ ថែមទាំង​(ប្រហែលជាមិនច្បាស់លាស់ទេ) វានៅដដែល(មិនផ្លាស់ប្តូរ) ប្រសិនបើ​ a អាចប្តូរជាមួយនឹង A, b អាចប្តូរជាមួយនឹង B ហើយ c អាចប្តូរជាមួយនឹង C បាន។ ម្យ៉ាងវិញទៀត វាជាអនុគមន៍ស៊ីមេទ្រីនៃគូត្រីកោណ។

វិសមភាពភីដូ​ជាវិសមភាពទូទៅនៃ​វិសមភាពវេតស្សឹនបុក (Weitzenböck's inequality)។
## សំរាយបញ្ជាក់ 
តាមរូបមន្តហេរុងចំពោះត្រីកោណទាំងពីរគេបាន
:\begin{align} 16f^2 & =(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4) \\ & \Rightarrow 16f^2+2a^4+2b^4+2c^4 = (a^2+b^2+c^2)^2 \end{align}

:\begin{align} 16F^2 & =(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^2+B^2+C^2)^2-2(A^4+B^4+C^4) \\ & \Rightarrow 16F^2+2A^4+2B^4+2C^4 = (A^2+B^2+C^2)^2 \end{align}
ដោយប្រើវិសមភាពកូស៊ី គេបាន
:\begin{align} 16Ff+2A^2a^2+2B^2b^2+2C^2c^2 & \leq \sqrt{(16F^2+2A^4+2B^4+2C^4)}\sqrt{(16f^2+2a^4+2b^4+2c^4)} \\ & \leq \sqrt{(A^2+B^2+C^2)^2}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2} \\ & \leq (A^2+B^2+C^2)(a^2+b^2+c^2) \\ & \leq A^2(a^2+b^2+c^2)+B^2(a^2+b^2+c^2)+C^2(a^2+b^2+c^2) \end{align}

ជាលទ្ធផល
:\begin{align}16Ff & \leq  A^2(a^2+b^2+c^2)-2a^2A^2+B^2(a^2+b^2+c^2)-2b^2B^2+C^2(a^2+b^2+c^2)-2c^2C^2 \\ & \leq  A^2(a^2+b^2+c^2-2a^2)+B^2(a^2+b^2+c^2-2b^2)+C^2(a^2+b^2+c^2-2c^2) \\ &  \leq A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2) \end{align}

ដូចនេះ
:\therefore \quad \color{Violet}A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)\geq 16Ff\,

វិសមភាពក្លាយជាសមភាពលុះត្រាតែ
::\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\sqrt{\frac{f}{F}} 

## តំនភ្ជាប់ក្រៅ
*វិសមភាពភីដូ (Pedoe's inequality)
វិសមភាពអូណូ

ក្នុងគណិតវិទ្យា **វិសមភាពអូណូ** (Ono's inequality) ជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីត្រីកោណ​ក្នុងប្លង់អឺគ្លីដ។ ក្នុងទំរង់ដើមរបស់វាដែលប៉ាន់ប្រមាណដោយអូណូ (Ono) ក្នុងឆ្នាំ១៩១៤ គឺថាវិសមភាពមិនផ្ទៀងផ្ទាត់ទេ​ ប៉ុន្តែវាផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះត្រីកោណដែលមានមុំទាំងបី​ជាមុំស្រួច ដូចដែលត្រូវបានបង្ហាញដោយ បាលីត្រែនដ៍ (Balitrand ) ក្នុងឆ្នាំ១៩១៦។

## ពំណោលវិសមភាព 
ឧបមាគេមានត្រីកោណដែលមានមុំទាំងបីជាមុំស្រួចក្នុងប្លង់អឺគ្គីដ ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a, b និង c និង មានក្រលាផ្ទៃ A នោះគេបាន

:\color{Mulberry}27 (b^2 + c^2 - a^2)^2 (c^2 + a^2 - b^2)^2 (a^2 + b^2 - c^2)^2 \leq (4 A)^6

វិសមភាពនេះមិនផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះត្រីកោណទូទៅទេ ដែលបានបង្ហាញដោយប្រឆាំងនឹងសម្មតិកម្ម a = \frac{3}{4}, b = \frac{1}{2}, c = 1 ។

អូណូ
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រត្រីកោណ