អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា

thumb|right|325px|

ក្នុងគណិតវិទ្យា **អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា** (តាងដោយអក្សរធំក្រិច **Γ**) ជាបន្លាយនៃអនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែលចំពោះចំនួនពិត និង ចំនួនកុំផ្លិច។ ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច z ដែលផ្នែកពិតជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាកំនត់ដោយ

:\color{blue} \Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt 

និយមន័យនេះអាចត្រូវបានគេពន្លាតចំពោះប្លង់កុំផ្លិច លើកលែងតែចំនួនគត់មិនវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើ n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះគេបាន
: \Gamma(n) = (n-1)!\, 

ទំនាក់ទំនងនេះ​បង្ហាញថា​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា​ជាប់ទាក់ទងទៅនឹង​អនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែល។ អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាផ្សារភ្ជាប់ទៅនឹងអនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែលចំពោះតំលៃ n ជាចំនួនកុំផ្លិច និង មិនមែនជាចំនួនគត់។

អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាជាសមាសភាពមួយនៅក្នុងអនុគមន៍របាយប្រូបាបផ្សេងៗ និង ត្រូវបានគេទៅអនុគមន៍ក្នុងវិស័យជាច្រើននៃប្រូបាប ស្ថិតិវិទ្យា ក៏ដូចជាក្នុងវិភាគបន្សំផងដែរ។
## និយមន័យ 
[thumb|right|250px|[តំលៃដាច់ខាត​(ម៉ូឌុល)​នៃ​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាក្នុង​ប្លង់កុំផ្លិច]] 
និមិត្តសញ្ញា \ \Gamma (z) ត្រូវបានកំនត់ដោយ អាដ្រៀន ម៉ារី ឡេហ្សង់ (Adrien-Marie Legendre ) ។ ប្រសិនបើផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច z ជាចំនួនវិជ្ជមាន (Re[z] > 0) នោះអាំងតេក្រាល
:\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt \,\!

ទាល់ជាដាច់ខាត (converges absolutely) ។ ដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក គេអាចបង្ហាញថា
:\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \,\!

សមីការអនុគមន៍នេះសិក្សាជាទូទៅនូវទំនាក់ទំនង \ n! = n(n-1)! នៃអនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែល។ យើងអាចវាយតំលៃដោយការវិភាគ \Gamma (1) \,:
: \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1 

ដាក់ទំនាក់ទំនងទាំងពីរនេះបញ្ចូលគ្នា គេបានករណីពិសេសនៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ n ៖
:\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,

## និយមន័យផ្សេងទៀត 
និយមន័យផលគុណមិនកំនត់ចំពោះអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា រៀងគ្នាតាមអឺលែរ និង វ៉េអែរស្ត្រាស (Weierstrass) គឺត្រឹមត្រូវចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច z ដែលមិនមែនជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន:
:\Gamma(z) = \lim_{n \to {+\infty}} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}

:\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}

ដែល \ \gamma ជាថេរអឺលែរ-ម៉ាសឆេរ៉ូនី (Euler-Mascheroni constant)

គេអាចបង្ហាញដោយចំៗថានិយមន័យអឺលែរផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ (1) ខាងលើ ។ អោយ z មិនស្មើនឹង  0, -1, -2, ...
:
\begin{align}
\Gamma(z+1) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^{z+1}}{(z+1) \; (z+2)\cdots(z+1+n)} \\
&= \lim_{n \to \infty} \left( z \; \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1) \; (z+2)\cdots(z+n)} \; \frac{n}{(z+1+n)}\right) \\
&= z \; \Gamma(z) \; \lim_{n \to \infty} \frac{n}{(z+1+n)} \\
&= z \; \Gamma(z) \\
\end{align}

វិធីផ្សេងទៀតវាអាចត្រូវបានគែបង្ហាញថា...

:
\Gamma(z+1) = \int_0^\infty  e^{-t^{1/z}}\,dt \,\!

## ការទាញរកទំនាក់ទំនងជាមួយហ្វាក់តូរ្យែលដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក 
វាជាការងាយក្នុងការរក \ \Gamma(1)
:\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{1-1}  dx = \int_0^\infty e^{-x}  dx = -e^{-\infty} - (-e^0) = 0 - (-1) = 1 

បន្ទាប់មកយើងទាញរកកន្សោម \ \Gamma(n + 1) ជាអនុគមន៍នៃ \ \Gamma(n):
:\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{n + 1 - 1}  dx  =  \int_0^\infty e^{-x} x ^n  dx

ដើម្បីដោះស្រាយអាំងតេក្រាលនេះ យើងប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក
:\int_0^\infty e^{-x} x ^n  dx  = \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1}  dx

យើងឃើញថា \frac{-0^n}{e^0} = \frac{0}{1} = 0 ។

តាមច្បាប់ឡួពីតាល់ (L'Hôpital's rule) យើងបាន
:\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{e^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot x^0}{e^x} = 0

ហេតុនេះតួទី១ \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty  មានលីមីតស្មើនឹង ០ ។ គេបាន

:\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1}  dx

អង្គខាងស្តាំនៃសមីការនេះមានតំលៃ \ n \Gamma(n) ។ យើងទទួលបានទំនាក់ទំនង
:\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n) 

ដោយប្រើរូបមន្ត យើងទាញបាន
:\Gamma(2) = \Gamma(1 + 1) = 1\Gamma(1) = 1!\,

:\Gamma(3) = \Gamma(2 + 1) = 2\Gamma(2) = 2 \cdot 1! = 2! = 2\,

:\Gamma(4) = \Gamma(3 + 1) = 3\Gamma(3) = 3 \cdot 2! = 3! = 6\,

:\Gamma(n + 1) = n\Gamma(n) = n\cdot(n-1)! = n!

## តំលៃពិសេស 
ខាងក្រោមនេះជាតំលៃពិសេសមួយចំនួននៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា និង ដេរីវេរបស់វា តំលៃនៃ​ \Gamma(1/2) អាចអោយគេទាញបានរូបមន្តរកតំលៃពិសេសផ្សេងទៀត។
:\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin \pi z}

ចំពោះ z=\frac{1}{2} \, គេទាញបាន:

:\Gamma(1/2) = \sqrt { \pi }

តាមរយៈតំលៃនេះគេអាចកំនត់បានតំលៃពិសេសផ្សេងទៀត
:

ហ្គាំម៉ា