អាំងតេក្រាលកំនត់

## និយមន័យ
members.dirtgame.netright|200px
right|200px
* គេមានអនុគមន៍ f(x) ដែលជាប់នៅចន្លោះ [a, b], គេចែកចន្លោះ[a, b] ជា n ផ្នែកស្មើៗគ្នាតាមលំដាប់ x0(=a), x1, x2, ..., xn(=b) និង តាង \frac{b-a}{n} = \bigtriangleup x នោះគេបាន

::\int_{-a}^{b} f(x)\, dx\,\!  = \lim_{n \to \infty} \sum^{n-1}_{k=0} f(x_k)  \bigtriangleup x = \lim_{n \to \infty} \sum^n_{k=1} f(x_k)  \bigtriangleup x  

* ប្រសិនបើ b=a នោះគេបាន 
::\int_{a}^{a} f(x)\, dx\,\!  = 0 
:ប្រសិនបើ b \int_{a}^{b} f(x)\, dx\,\!  = - \int_{b}^{a} f(x)\, dx 

## រូបមន្ត Newton-Leibnitz 
គេអោយអនុគមន៍ f(x) ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើ [a, b] និង F(x) ជាព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍ f(x)។ គេបាន
\int_{a}^{b} f(x)\, dx\,\!  = [F(x)]{_a^b} = F(b) - F(a)\! 

## លក្ខណៈនៃអាំងតេក្រាលកំនត់

គ្រប់ចំនួនពិត C គេបាន
# \int_{a}^{b} Cf(x)\, dx\,\!  = C \int_{a}^{b} f(x)\, dx 
# \int_{a}^{b} f(x)\, dx\,\!  = - \int_{b}^{a} f(x)\, dx 
# \int_{a}^{b} {(f(x) \pm g(x))}\, dx\,\!  = \int_{a}^{b} f(x)\, dx \pm \int_{a}^{b} g(x)\, dx
# ប្រសិនបើ f(x) ≤ g(x) នៅចន្លោះ [a, b] គេបាន \int_{a}^{b} f(x)\, dx\,\!  \le \int_{a}^{b} g(x)\, dx 
# \int_{a}^{b} f(x)\, dx\,\! =  \int_{a}^{b} f(u)\, du =  \int_{a}^{b} f(t)\, dt 
# f(x) ជាអនុគមន៍ជាប់ នោះគេបាន  \frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\, dt\,\! =  f(x) 

## អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក 
#:គេអោយ u=u(x) និង v=v(x) ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើចន្លោះ [a, b] នោះគេបាន  \int_{a}^{b} u\, dv\,\!  = [u.v]{_a^b} - \int_{a}^{b} v\, du
#: \int_{a}^{b} f(x).g'(x)\, dx\,\!  = [f(x).g(x)]{_a^b} - \int_{a}^{b} f'(x).g(x)\, dx
#: \int_{a}^{b} f(x)\, dx\,\!  = [x.f(x)]{_a^b} - \int_{a}^{b} x.f'(x)\, dx

## វិធីសាស្ត្រគណនាអាំងតេក្រាលកំនត់មួយចំនួន 
**ក) គណនាអាំងតេក្រាលដែលមានរាង**  \color{blue} I = \int_{a}^{b} \frac{U(x)}{\ {U(x)+ V(x)}}\, dx

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង  \color{Red} J = \int_{a}^{b} \frac{V(x)}{\ {U(x)+ V(x)}}\, dx

គេបាន **I + J = b - a** និង **I - J = ...?** រួចគណនា I ដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធ 
\begin{cases}
    I + J = b - a \\
   I - J = ...? 
\end{cases}

**សំគាល់**: គេប្រើវិធីសាស្រ្តនេះគណនាអាំងតេក្រាលដែលមានរាង

 \color{blue} I = \int_{a}^{b} \frac{U(sin x)}{\ {U(sin x)+ U(cos x)}}\, dx និង  \color{blue} J = \int_{a}^{b} \frac{U(cos x)}{\ {U(sin x)+ U(cos x)}}\, dx ដែល a + b = \frac{\pi}{2}

រឺ  \color{blue} I = \int_{a}^{b} \frac{U(tan x)}{\ {U(tan x)+ U(cot x)}}\, dx និង  \color{blue} J = \int_{a}^{b} \frac{U(cot x)}{\ {U(tan x)+ U(cot x)}}\, dx ដែល a + b = \frac{\pi}{2}

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង t = \frac{\pi}{2} - x រួចគណនា I, J ដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
\begin{cases}
    I + J = b - a \\
   I = J 
\end{cases}

**ខ) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើ [-a, a]**។ គេតាង  \color{Red} I = \int_{-a}^{a} f(x)\, dx
# បង្ហាញថាបើ f ជាអនុគមន៍គូលើ [-a, a] នោះគេបាន  I = 2 \int_{0}^{a} f(x)\, dx
# បង្ហាញថាបើ f ជាអនុគមន៍សេសលើ [-a, a] នោះគេបាន I = 0 

:-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេមាន  \color{blue} I = \int_{-a}^{0} f(x)\, dx + \int_{0}^{a} f(x)\, dx 

:ចំពោះ \color{blue} \int_{-a}^{0} f(x)\, dx គេតាង   t = - x 

**គ) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើ [a, b]**។ គេបាន  \color{blue} \int_{a}^{b} f(x)\, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x)\, dx 
:-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង   t = a + b - x 

**សំគាល់**: គេច្រើនប្រើវិធីសាស្រ្តនេះដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែល:
:  a + b = \pi  រឺ   a + b = \frac{\pi}{2}  រឺ   a + b = \frac{\pi}{4} 

**ឃ) គេអោយ f ជាអនុគមន៍ជាប់ និងជាអនុគមន៍ខួបមានខួប T**។ បង្ហាញថា  \color{blue} \int_{a}^{a+T} f(x)\, dx = \int_{a-T}^{a} f(x)\, dx
:-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង t = x - T

**ង) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់**។ បង្ហាញថា:  \color{blue} \int_{a}^{2a} f(x)\, dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(2a-x)]\, dx
:-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេមាន  \int_{a}^{2a} f(x)\, dx = \int_{0}^{a} f(x)\, dx +  \int_{a}^{2a} f(x)\, dx

ចំពោះ  \int_{a}^{2a} f(x)\, dx  គេតាង t = 2a - x

**ច) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់**ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ f(a+b-x) = f(x)ដែល a, b ជាចំនួនគេស្គាល់ជាមុន។ បង្ហាញថា   \int_{a}^{b} xf(x)\, dx = \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x)\, dx 
:-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង t = a + b -x

**ឆ) គេអោយ b ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន និង f ជាអនុគមន៍ជាប់និងជាអនុគមន៍គូលើ[-a, a]**។ បង្ហាញថា  \int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{b^x+1}\, dx =  \int_{0}^{a} f(x)\, dx 
:-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេមាន  \int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{b^x+1}\, dx = \int_{-a}^{0} \frac{f(x)}{b^x+1}\, dx +\int_{0}^{a} \frac{f(x)}{b^x+1}\, dx  

ចំពោះ \int_{-a}^{0} \frac{f(x)}{b^x+1}\, dx គេតាង t = -x

## អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយចំនួន 

: គេមាន n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន
#    \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^n x\, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^n x\, dx
#  ក). ប្រសិនបើ n ជាចំនួនគូ នោះគេបាន  
::: \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^n x\, dx = \frac{n-1}{n}.\frac{n-3}{n-2}.......\frac{3}{4}.\frac{1}{2}.\frac{\pi}{2}
:ខ). ប្រសិនបើ n ជាចំនួនសេស នោះគេបាន  
::: \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^n x\, dx = \frac{n-1}{n}.\frac{n-3}{n-2}.......\frac{2}{3}.1

**សំរាយបញ្ជាក់**

1. តាង  x = \frac{\pi}{2} - t , \quad \frac{dx}{dt} = -1 នោះគេបាន t = \frac{\pi}{2} នៅពេល x = 0 \, និង t = 0 \, នៅពេល x = \frac{\pi}{2}
:\therefore \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \sin^n(\frac{\pi}{2}-t)(-1)dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(\frac{\pi}{2}-t) dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n t dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx

2.  តាង I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^nxdx \quad ចំពោះ n \ge 2 \quad គេបាន
:\begin{align} I_n  &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}x(-\cos x)' dx = [\sin^{n-1}x(-\cos x)]_0^{\frac{\pi}{2}} + (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x \cdot \cos^2 x dx \\ &=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)dx = (n-1)I_{n-2} - (n- 1)I_n \end{align}
:\therefore nI_n = (n-1)I_{n-2} \qquad \Rightarrow I_n = \frac{n-1}{n} \cdot I_{n-2} \qquad \circledast

គេបាន I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = -[\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 , \quad I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} dx = \frac{\pi}{2} 

ដូចនេះគេបាន\circledast \qquad កំនត់ដោយ

* ប្រសិនបើ n ជាចំនួនគូ គេបាន  I_n = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \cdots \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}
* ប្រសិនបើ n ជាចំនួនសេស គេបាន I_n = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \cdots \frac{2}{3} \cdot 1

ឧទាហរណ៍៖ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x dx = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{15} , \qquad \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 xdx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4 xdx = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3}{16} \pi 

## សូមមើលផងដែរ 
*អាំងតេក្រាលមិនកំនត់
*អាំងតេក្រាលឌុប
*អាំងតេក្រាលត្រីគុណ
*អាំងតេក្រាលខ្សែកោង
*អាំងតេក្រាលផ្ទៃ