Векторлық көбейтінді

thumb|right|250px|Векторлық көбейтінді үшөлшемді кеңістікте.
\mathbf a векторы мен \mathbf b векторының \R^3 кеңістігіндегі **векторлық көбейтіндісі** деп келесі шарттарды қанағаттандарытын \mathbf c векторын айтады:
* \mathbf c векторының ұзындығы \mathbf a және \mathbf b векторларының ұзындықтарының және олардың арасындағы \varphi бұрышының синусының көбейтіндісіне тең: \left| \mathbf c \right| = \left| \mathbf a \right| \left| \mathbf b \right| \sin \varphi;
* \mathbf c векторы әр \mathbf a және \mathbf b векторларына ортогональ ;
* \mathbf c векторыны \mathbf{abc} векторлар үштігі оң болатындай бағытталған;
* \R^7 кеңістігі үшін \mathbf{a,b,c} векторлар үштігінің ассоциативтігі орындалу қажет.
Белгілеуі:
:  \mathbf c = \left[ \mathbf a \mathbf b \right] = \left[ \mathbf a,\; \mathbf b \right] = \mathbf a \times \mathbf b

Векторлық көбейтіндіні алғаш рет 1846 жылы енгізген  — У. Гамильтон. 
[right|thumb|250px|[Оң қол ережесімен векторлық көбейтінді бағытын анықтау]]
## Қасиеттері

### Геометриялық қасиеттері
right|thumb|250px|1 сурет: Параллелограмм ауданы векторлық көбейдінді модуліне тең.
thumb|250px|2 сурет: Параллелепипед көлемін есептеудегі векторлардың векторлық және скаляр көбейтінділері; пунктир сызықтар  '''c''' векторының '''a × b'''векторына және '''a'''-ның '''b × c''' векторына проекцияларын көрсетеді, алдымен скаляр көбейтінділерді есептейді.
* Екі нөлдік емес векторлардың коллинеарлығы үшін олардың векторлық көбейтіндісінің нөл болуы қажет және жеткілікті.
* Векторлық көбейтінді [\mathbf{ab}] модулі ортақ нүктеге келтірілген \mathbf a және \mathbf b (1 суретті қара) векторларымен тұрғызылған  параллелограммның S  ауданына тең 
* Егер\mathbf e — \mathbf a және \mathbf b векторларына ортогональ бірлік вектор болса, ал \mathbf a, \mathbf b, \mathbf e — оң үштік, S — \mathbf a және \mathbf b векторларымен тұрғызылған параллелограмм болса, онда келесі формула орындалады:
: 
  [ \mathbf a,\; \mathbf b ] = S\, \mathbf e
  
* Егер \mathbf c — кез келген вектор, \pi — осы вектор жатқан кез келген жазықтық, \mathbf e — осы жазықтықтағы бірлік вектор және бірлік вектор \mathbf c векторына ортогональ, \mathbf g — \pi жазықтығына ортогональ бірлік вектор және \mathbf {ecg} үштік векторлары оң болса, онда \pi жазықтығында жатқан кез келген \mathbf a векторы үшін келесі өрнек орындалады
: 
  \left[ \mathbf a,\; \mathbf c \right] = \mathrm{Pr}_{ \mathbf e }\,  \mathbf a \left| \mathbf c \right| \mathbf g.
  
* Векторлық және скаляр көбейтінділерді пайдалан отырып **a**, **b** және **c** векторларымен тұрғызылған (бір нүктеге келтіріліп, 2 суретті қара) параллелепипед көлемін есептеуге болады . Бұндай үш вектор көбейтіндісін аралас деп атайды.
: V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|.
Суретте көрсетілгендей көлем екі әдіспен есептеледі: геометриялық нәтижесі тіпті «скаляр» және «векторлық» көбейткіштерді орындарымен ауыстырғаннан да өзгермейді:
: V =\mathbf{a \times b \cdot c} = \mathbf{a \cdot b \times c} \ . 
### Алгебралық қасиеттері

## Декарттық координаттардағы өрнектелулері
Егер екі \mathbf a және \mathbf b векторлары өз тікбұрышты декарттық координаттарымен анықталған болса, дәлірек айтқанда — ортокелтірілген базисте

:  \mathbf a = (a_x,\; a_y,\; a_z) 
: \mathbf b = (b_x,\; b_y,\; b_z) 

ал координаттар жүйесі оң болса, онда олардың векторлық көбейтіндісі былай өрнектеледі

: 
[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = (a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x).


Формуланы жаттау үшін матрица анықтауышын пайдаланған жөн:

: 
[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}


немесе
: 
[ \mathbf a,\; \mathbf b ]_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{i j k} a_j b_k,

мұндағы\varepsilon_{i j k} — Леви-Чивит белгісі.

Егер координаттар жүйесі теріс болса, онда

: 
[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = (a_z b_y - a_y b_z,\; a_x b_z - a_z b_x,\; a_y b_x - a_x b_y).


Жаттау үшін дәл солай:

: 
[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = - \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}


немесе
: 
[ \mathbf a,\; \mathbf b ]_i = - \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{i j k} a_j b_k.


## Дереккөздер


Санат:Векторлық талдау
Санат:Аналитикалық геометрия