Тригонометриялық үйлесімдіктер

**[[Тригонометрия]]лық үйлесімдіктер** — ортақ анықталу облысындағы барлық аргументтері үшін орындалатын тригонометриялық функциялардың математикалық өрнектері.

## Негізгі тригонометриялық формулалар

**(1)** формула Пифагор теоремасының салдары болып табылады. **(2)** жіне **(3)** формулалар **(1)** формуланы ~ \cos^2 \alpha мен ~ \sin^2 \alpha сәйкесінше бөлгенде шығады.

## Аргументтерді қосу формуласы

**(7)** Формула  **(5)** формуласын **(6)** формуласына бөлгенде шығады. Ал **(8)** — **(6)** формуласын **(5)** формуласына
 = 
:  = \frac { \cos^2( \alpha) - \sin^2( \beta)}{ \cos( \alpha) \cos( \beta) +  \sin( \alpha) \sin( \beta)} =
:  = \frac { \cos^2( \alpha) - \sin^2( \beta) + \cos^2( \alpha) \cos^2( \beta) - \cos^2( \alpha) \cos^2( \beta) + \sin^2( \alpha) \sin^2( \beta) - \sin^2( \alpha) \sin^2( \beta) }{ \cos( \alpha) \cos( \beta) +  \sin( \alpha) \sin( \beta)} =
:  = \frac { \cos^2( \alpha) (1 - \cos^2( \beta)) - \sin^2( \beta) (1 - \sin^2( \alpha)) +  \cos^2( \alpha) \cos^2( \beta) - \sin^2( \alpha) \sin^2( \beta) }{ \cos( \alpha) \cos( \beta) +  \sin( \alpha) \sin( \beta)} =
:  = \frac { \cos^2( \alpha) \sin^2( \beta) - \cos^2( \alpha) \sin^2( \beta) +  \cos^2( \alpha) \cos^2( \beta) - \sin^2( \alpha) \sin^2( \beta) }{ \cos( \alpha) \cos( \beta) +  \sin( \alpha) \sin( \beta)} =
:  = \frac {( \cos( \alpha) \cos( \beta) - \sin( \alpha) \sin( \beta))( \cos( \alpha) \cos( \beta) +  \sin( \alpha) \sin( \beta))}{ \cos( \alpha) \cos( \beta) +  \sin( \alpha) \sin( \beta)} .

Сонымен:
:   \cos( \alpha + \beta) =  \cos( \alpha) \cos( \beta) - \sin( \alpha) \sin( \beta).

(15)тен шығатыны:

:  (CD) = \frac {\cos( \alpha) - \cos( \beta)  \cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha + \beta)} \qquad \qquad (21) 

Ал (16) пен (17) өрнектерінен:

:  (CD) = \sin( \beta) \frac{\sin( \alpha + \beta)}{ \cos( \alpha +  \beta) }\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (22) 

(21) мен (22) теңдеулерінің оң жақтарын теңестірсек табатынымыз  \sin( \alpha + \beta):
:  \sin( \alpha + \beta) = \frac{ \cos ( \alpha) - \cos( \beta) \cos( \alpha +  \beta)}{ \sin( \beta)}\qquad \qquad \qquad 
  \cos( \alpha +  \beta) мәнін қоямыз:
:  \sin( \alpha + \beta) = \frac{ \cos ( \alpha) - \cos( \beta)( \cos( \alpha) \cos( \beta) - \sin( \alpha) \sin( \beta))}{ \sin( \beta)} = 
:  = \frac{ \cos ( \alpha) -  \cos( \alpha) \cos^2( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \sin( \beta)} = 
:  = \frac{ \cos ( \alpha)(1 -  \cos^2( \beta)) + \sin( \alpha) \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \sin( \beta)} = 
:  = \frac{ \cos ( \alpha) \sin^2( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \sin( \beta)} 

Сонымен:
:   \sin( \alpha + \beta) =  \sin( \alpha) \cos( \beta) + \cos( \alpha) \sin( \beta) .
}}

## Қос бұрыш формуласы

Қос бұрыш формулалары **(5)**, **(6)** , **(7)** және **(8)** формулаларынан β =α десек шығады:

## Үш бұрыштың формуласы

## Дәреже төмендету формулалары

Дәреже төмендету формулалары **(24)** формулаларынан шығады:

## Функциялар көбейтіндісін түрлендіру формулалары

## Функциялар қосындысы формулалары

## Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу

*  \sin x = a. 
:: Егер |a|>1 — нақты шешуі жоқ.
:: Егер |a| \leqslant 1 — мына x=(-1)^n \arcsin a + \pi n;\ n \in \mathbb Z. түрдегі сандар шешімі болып табылады

*  \cos x = a.
:: Егер |a|>1 — нақты шешуі жоқ.
:: Егер |a| \leqslant 1 — мына x=\pm \arccos a + 2 \pi n;\ n \in \mathbb Z. түрдегі сандар шешімі болып табылады

*  \operatorname{tg}\, x = a.
:: Мына  x=\operatorname{arctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z. түрдегі сандар шешімі болып табылады

*  \operatorname{ctg}\, x = a.
:: Мына x=\operatorname{arcctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z. түрдегі сандар шешімі болып табылады

## Әмбебап тригонометриялық алмастыру
Үйлесімдіктер тек екі жағы  (яғни \alpha\neq \pi +2 \pi n) бар болғанда ғана мағыналы болады.
*  \sin\alpha = \frac{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}

*  \cos\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}

*  \operatorname{tg}\, \alpha = \frac{2\,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}

## Қосымша аргумент (Юнис тәсілі)

 a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin \left(x \pm \arcsin{\frac{b} \sqrt{a^2 + b^2}}\right)

 a \cos x \pm b \sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos \left(x \mp \arccos{\frac{a} \sqrt{a^2 + b^2}}\right)

## Тригонометриялық функциялардың комплекс түріндедегі түрі

Эйлер формуласы кез келген нақты x үшін келесі теңдік орындалады дейді:
: ~e^{ix}=\cos x+i\sin x,
мұндағы e — натурал логарифм негізі,
: i — жалған бірлік.

Эйлер формуласымен \sin x пен \cos x функцияларын былай анықтауға болады:
: \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},
: \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.
Содан:
: \operatorname{tg}\, x = \frac{i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}
: \operatorname{ctg}\, x = \frac{i(e^{ix}+e^{-ix})}{e^{ix}-e^{-ix}}

Санат:Тригонометрия