Хаос теориясы

thumb|400px|''x'' → ''rx''(1 — ''x'') үшін бифуркациялық диаграмма
**Хаос теориясы** — белгілі бір жағдайларда хаос деп аталатын құбылысқа ұшырайтын кейбір сызықты емес динамикалық жүйелердің мінез-құлқын сипаттайтын математикалық аппарат. Мұндай жүйенің мінез-құлқы кездейсоқ болып көрінеді, тіпті жүйені сипаттайтын модель детерминистік болса да.

Мұндай жүйелердің мысалдары атмосфера, турбуленттік ағындар, кейбір түрлері жүрек аритмиясы, биологиялық популяциялар, қоғам коммуникация жүйесі және оның ішкі жүйелері ретінде: экономикалық, саяси, психологиялық (мәдени-тарихи және интер-мәдени) және басқа да әлеуметтік жүйелер. Оларды зерттеу, қол жетімді қайталанатын қатынастарды аналитикалық зерттеумен қатар, әдетте математикалық модельдеу жүреді.

Хаос теориясы — математика мен физиканы байланыстыратын зерттеу саласы.

## Негізгі мәліметтер
Хаос теориясы күрделі жүйелер бастапқы жағдайларға өте тәуелді және қоршаған ортадағы кішігірім өзгерістер күтпеген салдарға әкелуі мүмкін дейді.

Хаотикалық мінез-құлқы бар математикалық жүйелер детерминистік, яғни белгілі бір қатаң заңға бағынады және белгілі бір мағынада реттелген. "Хаос" сөзінің бұл қолданылуы оның әдеттегі мағынасынан өзгеше. Физиканың жеке саласы-теория кванттық хаос - кванттық механика заңдарына бағынатын детерминистік емес жүйелерді зерттейді.

Теорияның алғашқы бастаушылары — француз физигі және философы Анри Пуанкаре (қайтару теоремасы), кеңестік математиктер А. Н. Колмогоров, В. И. Арнольд және неміс математигі Ю. К. Мозер.

## Хаос ұғымы
Тұрмыстық контексте «хаос» сөзі "тәртіпсіздік жағдайында болу"дегенді білдіреді. Хаос теориясында *хаотикалық* сын есім дәлірек анықталған. Хаостың жалпы қабылданған әмбебап математикалық анықтамасы болмаса да, жиі қолданылатын анықтама хаотикалық деп жіктелген динамикалық жүйенің келесі қасиеттері болуы керек дейді:
# Ол бастапқы жағдайларға сезімтал болуы керек.
# Оның топологиялық араластыру қасиеті болуы керек.
# Оның мерзімді орбитасы барлық жерде тығыз болуы керек.

Хаостың пайда болуының нақты математикалық шарттары келесідей:

Жүйе сызықтық емес сипаттамаларға ие болуы керек, жаһандық тұрақты болуы керек, бірақ кем дегенде бір тұрақсыз тербелмелі тепе-теңдік нүктесі болуы керек, ал  жүйелер кем дегенде 1,5 болуы керек.

Сызықтық жүйелер ешқашан ретсіз болмайды. Динамикалық жүйенің хаотикалық болуы үшін ол сызықты емес болуы керек. Пуанкаре — Бендиксон теоремасы бойынша жазықтықтағы үздіксіз динамикалық жүйе хаотикалық бола алмайды. Үздіксіз жүйелер арасында хаотикалық мінез-құлық тек кеңістіктік емес жүйелерге ие (кем дегенде үш өлшеу немесе Евклид емес геометрия болуы керек). Алайда, белгілі бір кезеңдегі дискретті динамикалық жүйе хаотикалық мінез-құлықты тіпті бір өлшемді немесе екі өлшемді кеңістік да көрсете алады.

### Бастапқы шарттарға сезімталдық
Бастапқы жағдайларға сезімталдық жүйе болашақта бастапқыда бір-біріне жақын орналасқан барлық нүктелер айтарлықтай ерекшеленетінін білдіреді траектория.

Осылайша, ағымдағы траекторияның кездейсоқ өзгеруі оның болашақ мінез-құлқындағы айтарлықтай өзгерістерге әкелуі мүмкін. Соңғы екі қасиет іс жүзінде бастапқы жағдайларға сезімталдықты білдіретіні дәлелденді (хаостың балама, әлсіз анықтамасы жоғарыда аталған тізімдегі алғашқы екі қасиетті ғана қолданады).

Бастапқы жағдайларға сезімталдық «көбелек әсері» деп аталады. Бұл Термин «болжау: Бразилияда көбелектің қанаттарының ұшуы Техас штатында торнадо тудырады» мақаласына байланысты пайда болды, оны Эдвард Лоренц 1972 жылы американдық «ғылымды алға жылжыту қауымдастығына» Вашингтонда берді. Көбелектің қанаттарының ұшуы жүйенің бастапқы күйіндегі кішігірім өзгерістерді білдіреді, бұл ауқымды өзгерістерге әкелетін оқиғалар тізбегін тудырады.

### Топологиялық араластыру
Хаос динамикасындағы топологиялық араластыру жүйенің кеңеюінің осындай схемасын білдіреді, оның бір саласы кеңеюдің белгілі бір кезеңінде кез-келген басқа аймаққа қолданылады. Хаотикалық жүйенің мысалы ретінде "араластыру" математикалық ұғымы түрлі-түсті бояулар мен сұйықтықтарды араластыруға сәйкес келеді.

### Қыр-сырын анықтау
Танымал жұмыстарда бастапқы жағдайларға сезімталдық көбінесе хаостың өзімен шатастырылады. Бет өте жұқа, өйткені ол өлшеу өлшемдерін таңдауға және жүйенің белгілі бір кезеңіндегі қашықтықты анықтауға байланысты. Мысалы, бастапқы мәндерді екі есе көбейтетін қарапайым динамикалық жүйе қарастырайық. Мұндай жүйе барлық жерде бастапқы жағдайларға сезімтал тәуелділікке ие, өйткені бастапқы кезеңдегі кез-келген екі көрші нүкте кейіннен бір-бірінен едәуір қашықтықта болады. Алайда, оның мінез-құлқы тривиалды, өйткені нөлден басқа барлық нүктелер шексіздік бейім және бұл топологиялық араластыру емес. Хаосты анықтауда назар тек жабық жүйелермен шектеледі, онда кеңейту және бастапқы жағдайларға сезімталдық араластырумен біріктіріледі.

Жабық жүйелер үшін де бастапқы жағдайларға сезімталдық жоғарыда айтылған мағынада хаоспен бірдей емес. Мысалы, тор, бұрыштар (*x*, *y*) 0-ден 2π - ге дейінгі мәндермен берілген Тор (беті) / тор қарастырайық. Кез келген нүкте (*x*, *y*) бейнелеу (2*x*, *y* + *a*), мұндағы *a*/2π мәні иррационал болып табылады. Дисплейдегі бірінші координаттар екі еселенуі бастапқы жағдайларға сезімталдықты көрсетеді. Алайда, екінші координатаның иррационалды өзгеруіне байланысты периодты орбита жоқ — сондықтан жоғарыда аталған анықтамаға сәйкес карта хаотикалық емес.

Санат:Ғылыми теориялар
Санат:Классикалық механика