Интегралдық теңдеулер

**Интералдық теңдеулер** - ішінде белгісіз функцияны интегралдау кездесетін теңдеулер.
## Интегралдық теңдеулерді санаттау

### Сызықтық Интегралдық теңдеулер
Бұл белгісіз функция сызықтық түрде берілетін Интегралдық теңдеулер:
: \varphi(x)=\lambda\int K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x),
мұндағы \varphi(x) — искомая функция, f(x), K(x,\;s) — белгілі функциялар, \lambda — параметр. K(x,\;s) функциясы Интегралдық теңдеудің *ядросы* болып табылады. Ядросы мен бос мүшесінің түрлеріне қарай сызықтық Интегралдық теңдеулерді тағы жіктеуге болады.

#### Фредгольм теңдеулері

##### 2-ші түрдегі Фредгольм Интегралдық теңдеулері
Фредгольмның 2-ші түрдегі Интегралдық теңдеулері былай анықталады:

: \varphi(x)=\lambda\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x).
Интегралдау шектері шекті немесе шексіз болуа мүмкін. Анымалылар мына теңсіздікді қанағаттандырады: a\leqslant x,\;s\leqslant b, ал ядросы мен бос мүшелері үздіксіз болу керек: K(x,\;s)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b),\;f(x)\in C([a,\;b]), немесе келесі шарт орындалу керек:
: \int\limits_a^b\int\limits_a^b|K(x,\;s)|^2\,dx\,ds
Соңғы шартты қанағаттандыратын ядролар *фредгольмдік* деп те аталады. Егер [a,\;b] интервалында f(x)\equiv 0 болса, онда теңдеу **біртекті**, әйтпесе **біртексіз интегралдық теңдеу** деп аталады.

##### 1-ші түрдегі Фредгольм теңдеулері
1-ші түрдегі Фредгольм теңдеулері де 2-ші түрдегі секілдіге ұқсас, айырмашылығы - бұнда интерграл сыртында белгісіз функциясы бар бөлігі жоқ:
: \int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x),
ал ядро мен бос мүшесі Фредгольмның 2-ші түрдегі теңдеулері шартын қанағаттандырады.

#### [[Вольтерра Вито|Вольтерра]] теңдеулері

##### 2-ші түрдегі Вальтерра теңдеулері
Вольтерра теңдеулері Фредгольм теңдеулерінен интегралдау шектерінің бірі айнымалы болғанында:
: \varphi(x)=\lambda\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x),\qquad a\leqslant x\leqslant b.

##### 1-ші түрдегі Вальтерра теңдеулері
Фредгольм теңдеулеріндегідей 1-ші түрдегі Вольтерра теңдеулерінде интеграл сыртындағы беймәлім функция жоқ:
: \int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x).
Егер келесідегідей ядросын анықтаса Вольтерра теңдеулері Фредгольм теңдеулерінің жекеше түрі деп қарастырса да болады:
: \mathcal{K}(x,\;s)=\begin{cases}K(x,\;s), & a\leqslant s\leqslant x, \\
0, & x
Дегенмен Вольтерра теңдеулерінің кейбір қасиеттері Фредгольм теңдеулеріне жарамайды.

### Сызықтық емес теңдеулер
Бұндай теңдеулердің шексіз түрелін келтіруге болады. Төменде тек маңызды әрі қолданбалы түрлері анықталған.

#### Урысон теңдеулері

: \varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant\varphi\leqslant M).
Тұрақты M — оң сан, алдын ала анықтау кей жағдайда мүмкін емес.

#### Гаммерштейн теңдеулері

Гаммерштейн теңдеуі Урысон теңдеулерінің жекеше маңызды түрі:
: \varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)F(s,\;\varphi(s))\,ds,
мұндағы K(x,\;s) — фредгольмдік ядро.

#### Ляпунов — Лихтенштейн теңдеулері
Ляпунов — Лихтенштейн аттарымен айтарлықтай сызықтық емес операторлары бар теңдеулерді айтады, мысалы:
: \varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b K_{[1]}(x,\;s)\varphi(s)\,ds+\mu\int\limits_a^b\int\limits_a^b K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi(x)\varphi(z)\,ds\,dz+\ldots

#### Вольтерра сызықтық емес теңдеулері
: \varphi(x)=\int\limits_a^x F(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,
мұндағы функция F(x,\;s,\;\varphi) барлық айнымалылары бойыншща үзіліссіз.
## Дереккөздер


Санат:Интегралдық есептеу
Санат:Интегралдық теңдеулер