Тейлор қатары

**Тейлор қатары** – функцияны көрсеткішті функциялар шексіз қосындысы ретінде жазу. Тейлор қатарының дербес қосындылары болып Тейлор көпмүшелігі саналады. Rn(x)=f(x)-Sn(x) Тейлор қатарының қалдық мүшесі, мұндағы Sn(x) – Тейлор қатарының алғашқы n+1 мүшесінің қосындысы. болғанда Тейлор қатары f(x) функциясына жинақты болады, яғни формуласы шығады. Бұл формуланы 1715 жылы ағылшын математигі Б.Тейлор (1685 – 1731) тапқан, х0=0 болған кезде Маклорен қатары шығады. Осыған сүйене отырып, негізгі элементар функциялардың Тейлор қатарына жіктелуін жазуға болады.

## Анықтама

f(x) {a} нүктесі төңірегінде шексіз дифференциалдана алатын функция болсын. Формальды қатар
: \sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k
f функциясының a нүктесіндегі Тейлор қатары деп аталады.
### Тейлор формуласы
Теорема:

* f(x) U(a, \epsilon) a нүктесінің белгілі төңірегінде n+1 туындысы болсын 
* *Пусть <math> x\in U(a, \epsilon) </math>
* *Пусть p — кез келген оң сан,
онда:
x  үшін \exists нүктесі \xi\in (x,a) немесе x > a болғанда \xi\in (a,x)  :

f(x) = f(a) + \sum_{k=1}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi)

## Кейбір функциялар үшін Маклорен қатарлары

Экспонента:

: \mathrm{e}^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}, x\in\mathbb{C}

Натурал логарифм:

: \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} =  \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(- 1)^{n+1}x^n}{n}, барлық  \left| x \right|  үшін

Биномдық жіктеу:

(1+x)^\alpha  = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n, барлық  \left| x \right|  үшін және барлық ~\alpha, комплекс ан үшін, мұндағы

: {\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\!

Жекеше түрі:

* квадраттық түбір:

: \sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n, барлық |x| үшін

: \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} x^n, барлық  |x|  үшін

* Шекті геометриялық қатар:

: \frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n,  барлық  x \not = 1,\ m\in\mathbb{N}_0\! үшін

Тригонометриялық функциялар:

: \sin x =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}, x\in\mathbb{C}

: \cos x =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}, x\in\mathbb{C}

: \operatorname{tg}\ x =  x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}, барлық 
 \left| x \right|  үшін, мұндағы B_{2n} — Бернулли сандары

: \sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} барлық  \left| x \right| 

: \arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} барлық  \left| x \right|  үшін

: \operatorname{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} барлық  \left| x \right|  үшін

Гиперболалық функция:

: \operatorname{sh}\, \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}, x\in\mathbb{C}

: \operatorname{ch}\, \left(x\right) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}, x\in\mathbb{C}

: \operatorname{th}\,\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} барлық  
\left|x\right|  үшін

: \operatorname{arsh}\, \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} барлық  \left| x \right|  үшін

: \operatorname{arth}\, \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1} барлық  \left| x \right|  үшін

## Сілтемелер


Санат:Математикалық талдау
Санат:Қатарлар
Санат:Көпмүшеліктер