Үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шеңберлер

## Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің орталығы
Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің орталығы – үш орта перпендикулярдың қиылысу нүктесі және ол үшбұрыштың **бірінші тамаша нүктесі**  болып табылады *(1 - сурет)*.

 
Үш орта перпендикулядың бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеу үшін келесі теорема қолданылады.

*Теорема:*
 Кесіндінің орта перпендикулярында жататын кез-келген нүкте берілген кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта жатады.  *(3 - сурет)*
 
m  ─ АВ кесіндісіне жүргізілген орта перпендикуляр, ал  О нүктесі ─ осы кесіндінің ортасы болсын *(2- сурет)*.  m түзуінің бойынан кез-келген бірақ О нүктесінен басқа бір Р нүктесі алынсын. Р нүктесі мен АВ кесіндісінің ұштары қосылды.

*Дәлелдеу керек:* АР = ВР

*Дәлелдеуі:* АРВ үшбұрышын қарастырса, m түзуінде жатқан РО кесіндісі үшбұрыштың АВ табанына жүргізілген әрі медианасы, әрі биіктігі болып табылады. Осыдан, бұл үшбұрыш тең бүйірлі үшбұрыш және АВ ─ оның табаны. Демек, АР мен РВ үшбұрыштың бүйір қабырғалары, және олар тең, яғни АР = ВР. Дәлелденді.
Теореманы тағы басқа жолмен де дәлелдеуге болады: ОАР және ОВР тікбұрыштары екі катеті бойынша тең (ОА = ОВ, ОР ─ ортақ катет). Сондықтан, АР = ВР. Дәлелденді. *(3- сурет)*

*Кері теорема*: 
 Кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта жатқан әр нүкте кесіндіге жүргізілген орта перпендикулярдың бойында жатады. *(5 - сурет)"
 
АВ кесіндісінің ұштарынан бірдей қашықтықта жататын кез-келген N нүктесін қарастырып, оның m түзуінде  жататынын дәлелдеу керек *(4 - сурет).*

 
*Дәлелдеу керек* : N нүктесі m түзуінде жатады.

*Дәлелдеуі*: АNВ үшбұрышы қарастырылады: АN = NВ. Демек, АNВ үшбұрышы тең бүйірлі ұшбұрыш, сәйкесінше АВ ─ оның табаны. Демек үшбұрыштың N төбесінен табанына жүргізілген NО – оның әрі биіктігі, әрі медианасы. Осыдан, NО ─ АВ кесіндісінің орта перпендикуляры, яғни m түзуінде жатады. Дәлелденді. *(5 - сурет)"

*Салдары:*
 Үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген орта перпендикулярлар бір нүктеде қиылысады.  *(7- сурет )*

*Дәлелдеуі:* АВС үшбұрышы, m және n ─ орта перпендикуляр, және олар О нүктесінде қиылысады *(6 - сурет)*.        Жоғарыда дәлелденген теорема бойынша, АО = ОВ және ОВ = ОС.       Бұдан,      АО = ОС. Демек, О нүктесі АС-ның орта перпендикулярында жатады, яғни, m, n және р орта перпендикулярлары бір нүктеде қиылысады. Дәлелденді *(7 - сурет*). ,
## Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің орталығы

Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің орталығы - ішкі бұрыштардың үш биссектрисасының қиылысу нүктесі, және ол үшбұрыштың **[[Инцентр|екінші тамаша нүктесі]]** болып табылады. *(8 сурет).*

Үш биссектрисаның бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеу үшін келесі теорема қолданылады.

*Теорема:* 
 Жазыңқы емес бұрыштың биссектрисасының бойындағы кез-келген нүкте оның қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатады. *(10- сурет)*
 

АВС бұрышының В бұрышынан шыққан m биссектриса бойынан кез келген D нүктесі алынды (9- сурет). Осы нүктеден АВ және АС қабырғаларына сәйкесінше DH және DN перпендикулярлары жүргізілді.

*Дәлелдеу керек:* DH = DN

*Дәлелдеуі:* ∆BHD және ∆BND тікбұрышты үшбұрыштары қарастырылады (9- сурет). Олар сүйір бұрышы және гипотенузасы бойынша тең ( BD – ортақ қабырғалары, 1 және 2 бұрыштары тең, BHD және BND – тік бұрыштар). Бұдан, сәйкесінше олардың DH және DN катеттері де тең, яғни DH = DN. Дәлелденді *(10- сурет).*

*Кері теорема:* 
 Бұрыш қабырғаларынан бірдей қашықтықта және бұрыштың ішінде жататын әрбір нүкте осы бұрыштың биссектрисасында жатады.   *(12- сурет)*
 
АВС бұрышының ішінен оның АВ және ВС қабырғаларынан тең қашықтықта жататын кез-келген D нүктесі алынды (11- сурет).

*Дәлелдеу керек:* ВD түзуі АВС бұрышының биссектрисасы.

*Дәлелдеуі:* D нүктесінен АВ және АС қабырғаларына сәйкесінше DH және DN перпендикулярлары жүргізілді. Гипотенуза мен катет бойынша ∆BHD және ∆BND тікбұрышты үшбұрыштары  тең (BD – ортақ гипотенуза, берілгені бойынша DH =DN, BHD және BND – тік бұрыштар). Бұдан, сәйкесінше олардың HВD және NВD бұрыштары тең, яғни ВD ─ АВС бұрышының биссектрисасы. Дәлелденді *(12- сурет)*.

*Салдары:*
 Үшбұрыштың биссектрисалары бір нүктеде қиылысады. *(14- сурет)*

*Дәлелдеуі:* О нүктесі ─ АА1 және ВВ1 биссектрисаларының қиылысу нүктесі (13- сурет).
  О нүктесінен АВ, ВС, АС қабырғаларына сәйкесінше ОК, ОL, OM перпендикулярларын түсіреміз. Жоғарыда дәлелденген теорема бойынша, ОК = OM, ОК = ОL. Сондықтан, ОМ = ОL, яғни О нүктесі АСВ бұрышының қабырғаларынан бірдей қашықтыұта, бұдан О нүктесі осы бұрыштың СС1 биссектрисасында жатады.  Сондықтан да АВС үшбұрышының барлық үш биссектрисасы да бір О нүктесінде қиылысатыны дәлелденді *(14- сурет)*. 
  

Санат:Үшбұрыш геометриясы
Санат:Шеңберлер