Кері тригонометриялық функциялар

**Кері тригонометриялық функциялар** (*аркфункциялар*;  — доға) — тригонометриялық функцияларға кері функциялар. Керi тригонометриялық функцияларға алты функция жатады (*әр тригонометриялық функцияларға сәйкес*).

* арксинус (белгіленуі: \arcsin x)
* арккосинус (белгіленуі: \arccos x)
* арктангенс (белгіленуі: \operatorname{arctg} x; шетелдiк әдебиеттерде \arctan x)
* арккотангенс (белгіленуі: \operatorname{arcctg} x; шетелдiк әдебиеттерде \operatorname{arccot} x немес \operatorname{arccotan} x)
* арксеканс (белгіленуі: \operatorname{arcsec} x)
* арккосеканс (белгіленуі: \operatorname{arccosec} x; шетелдiк әдебиеттерде \operatorname{arccsc} x)

## Негiзгi байланыстар
: \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}
: \operatorname {arctg} x + \operatorname {arcctg} x = \frac{\pi}{2}

## Арксинус
thumb|<math>~y = \arcsin x</math> фунциясының графигі.
y=\arcsin x өспелі функция болып табылады.

* \sin (\arcsin x) = x\qquad , егер -1 \leqslant x \leqslant 1,
* \arcsin(\sin y) = y\qquad , егер -\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2},
* D(\arcsin x)=[-1; 1]\qquad (анықталу облысы),
* E(\arcsin x) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\qquad (мәндер облысы).

### Қасиеттері

* \arcsin (-x) = -\arcsin x \qquad (тақ функция).
* \arcsin x>0 \, , егер 0 
* \arcsin x = 0\, , егер ~x=0.
* \arcsin x  , егер -1 \leqslant x 
* \arcsin x = \left\{\begin{matrix} \arccos \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 
\\ -\arccos \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 
\end{matrix}\right.
* \arcsin x = \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} 
* \arcsin x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 

### Алуынуы

## Арккосинус
thumb|<math>~y=\arccos x</math>  фунциясының графигі.
**Арккосинус** - косинуске Kepi функция. Арккосинус *Arccos z* деп белгіленеді. Арккосинус - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арккосинус логарифм және квадрат түбір арқылы мына 
::**Arccos z =** \frac{1}{i}\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)

### Қасиеттері

### Алуынуы

## Арктангенс
thumb|500px|<math>~y=\operatorname{arctg}\, x</math> фунциясының графигі.
**Арктангенс** - тангенске Kepi функция. Арктангенс *Arctg z* деп белгіленеді. Арктангенс - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арктангенс - логарифм арқылы мына формула бойынша өрнектеледі:
::**Arctg z =** \frac{1}{2i}\operatorname{Ln}\frac{1+iz}{1-iz}
### Қасиеттері

### Алуынуы

## Арккотангенс
500px|thumb|<math>~y=\operatorname{arcctg}\, x</math>  фунциясының графигі.
**Арккотангенс** - котангенске кері функция. Арккотангенс* Arcctg z* - деп белгіленеді. Арккотангенс - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арккотангенс - логарифм арқылы мына формула бойынша өрнектеледі: 
::**Arcctg z =** \frac{1}{2i}\operatorname{Ln}\frac{z+i}{z-i}
### Қасиеттері

### Алуынуы

## Арксеканс
\mathop{\operatorname{arcsec}}\, (x)\, = \operatorname{arccos} \left( \frac{1}{x}\right)\,
**Арксеканс** - секанске кері функция. Арксеканс *Arcsec z* деп белгіленеді. Арксеканс - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арксеканс логарифм және квадрат түбір арқылы мына формула бойынша өрнектеледі:
::**Arcsec z =** \frac{1}{i}\operatorname{Ln}\left(\frac{1}{z} + \frac{1}{z^2-1}\right)

## Арккосеканс
\mathop{\operatorname{arccosec}}\, (x)\, = \arcsin \left( \frac{1}{x}\right)\,
**Арккосеканс** - косеканске кері функция. Арккосеканс *Arccosec z* деп белгіленеді. Арккосеканс көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. z-тің нақты мәндерінде Арккосеканс [-π/2;π/2] аралығында жататын бірмәнді тармағы арккосеканс бас мәні деп аталады. Логарифмдік функция арқылы Арккосеканс мына формула арқылы өрнектеледі:
::**Arccosec z =** \frac{1}{i}\operatorname{Ln}\left(\frac{1}{z}+\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}\right)

## Кері тригонометриялық функциялар туындылары

(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
(\arccos x)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.
(\operatorname{arctg}\, x)' = \frac{1}{\ 1+x^2}.
(\operatorname{arcctg}\, x)' = -\frac{1}{\ 1+x^2}.

## Кері тригонометриялық функциялар интегралдары
Нақты және комплексті *x* үшін:
: 
\begin{align}
\int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C,\\
\int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C,\\
\int \operatorname{arctg}\,x\,dx &{}= x\,\operatorname{arctg}\,x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\

\int \operatorname{arcctg}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arcctg}\, x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C,\\
\int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C.
\end{align}

Нақты *x* ≥ 1 үшін:
: 
\begin{align}
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C,\\
\int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C.
\end{align}

### Анықталмаған интегралдар

## Шексіз қатарларға жіктеу

## Геометрияда қолдану

## Тағы қараңыз

## Дереккөздер

Санат:Тригонометрия