Матрица (математика)

**Матрица** (,  — аналық) —
:математикада кез келген жиынның элементтерінен құрылған және **m** жол мен **n** бағаннан тұратын тік төртбұрышты А кестесі. Матрицаны түзетін нысандар оның **элементтері** деп аталады. Матрицаның элементтері оның жолдары немесе бағаналарының бойымен орналасады. Матрицаның элементтері **а<sub>іj</sub>** түрінде қос индекспен өрнектеледі, мұндағы бірінші индекс** і** — Матрицаның аіj элементі орналасқан* жолының нөмірін*, екінші индекс **j** — оның аіj элементі орналасқан *бағананың нөмірін* көрсетеді. Матрица символдық түрде не *дөңгелек жақша*, не қос *тік сызық* арқылы өрнектеледі. Мұндай матрицаны **(m n)** өлшемді *тікбұрышты* матрица деп, ал егер **m=n** болса, *квадрат* матрица деп, **n санын оның реті** деп атайды. thumb|Матрица

**Матрицаны қысқаша былай белгілейді: (а<sub>іj</sub>)**  . 

Жолдарының саны мен бағаналары санының бірі немесе екеуі де шексіз болатын матрицаны **шексіз матрица** деп түсінеміз. Бір ғана жолдан немесе бір ғана бағанадан тұратын матрицалар да болады. 

аіі диагональ элементтері ғана нөлден өзгеше болатын квадрат матрицаны ** диагональ М.** деп аталып, **dіag(а<sub>1</sub> … а<sub>n</sub>)** таңбасымен белгіленеді. Диагональ матрицаның барлық элементтері **(а<sub>і</sub>=1)** болса,** бірлік матрица** деп аталады. Егер барлық **(а<sub>і</sub>=а)** болса, онда **скаляр матрица** шығады. Барлық элементтері **нөлге тең М. нөлдік М.** деп аталады.

Жолдары мен бағаналарын ауыстыру арқылы алынған матрица **транспозицияланған матрица** деп аталып,** А** немесе **АТ** арқылы белгіленеді. Егер матрицаның элементтерін комплекс түйіндеске ауыстырсақ, онда **комплекс түйіндес матрицасы** шығады. Егер А транспозицияланған матрица элементтерін комплекс түйіндеске ауыстырсақ, онда **А матрицамен түйіндес болатын А* матрицасы** шығады. 

Квадрат матрицаның **анықтауышы |A|** немесе **det A** деп белгіленеді.
thumb|Үшбұрыштығы матрица
Матрицаларға амалдар қолдану. Матрицаға *қосу, көбейту алгебралық амалдар* қолданылады. А тікбұрышты (m n) матрицасының санына көбейтіндісі деп барлық аіj элементтерін
санына көбейткенде шығатын матрицаны айтады: . Бұл амалдар: **А+В=В+А, А+(В+С)=(А+В)+С, ( + )А= = А+ А, (А+В)= А+ В, ( А)=( )А** қасиеттерін қанағаттандырады.
Матрицаның қосындысы оның құрау-шыларының қосындысына тең. Матрицаны **көбейту амалы 1-көбейткіш бағаналарының саны 2-көбейткіш жолдарының санына тең тік бұрышты матрицалар үшін** ғана орындалады. **(m p)** өлшемді А матрицаның **(p n)** өлшемді В матрицасына көбейтіндісі элементтері **с<sub>іj</sub>=а<sub>і1</sub>b<sub>1j</sub>+а<sub>і2</sub>b<sub>2j</sub>+ +…+а<sub>іp</sub>b<sub>pj</sub>, і=1,…,m, j=1,…,n** болатын **(m n)** өлшемді C матрицасы болып табылады. Матрицаларға енгізілген үш амал сандарға қолданылатын амалға жақын. АВ және ВА матрицаларының көбейтіндісі бірінші ретті квадрат М. үшін ғана анықталады және көбейткіштердің ретіне де байланысты, яғни **АВ=ВА орындалмай қалуы** да мүмкін. Егер **АВ=ВА** болса, онда **А және В матрицалары
ауыспалы** деп аталады. *Әрбір көбейткіші нөлден өзгеше болса да, екі матрицаның көбейтіндісі нөлдік матрицаға тең болуы мүмкін.* Сонда М. үшін **(АВ) =А В , , (AB)*= =В*А*** ережелері орындалады.

Екі квадрат матрицаның көбейтіндісінің анықтауышы көбейтілетін матрицалар анықтауышының көбейтіндісіне тең. Егер *анықтауышы нөлге тең болмаса*, онда **А=(аіj)** квадрат матрицасы өзгеше емес деп, ал кері жағдайда ерекше матрица деп аталады. Кез келген өзгеше емес матрицаның **АА–1=Е** теңдеуімен анықталатын бір ғана **кері А–1 матрицасы** болады. Бірдей n ретті А және В квадрат матрицалары ұқсас матрицалар деп аталады. Матрицаны басқышты (баспалдақты) түрге келтіру.Қандай да бір В матрицасын элементар түрлендірулер арқылы бас диагональдың сол жақ төменгі бөлігіндегі элементтерді нөлге айналдырады. Пайда болған матрица басқышты (баспалдақты) матрица деп аталады. Басқышты матрицадағы бұрыштық элементтерді қамтитын нөлден өзгеше жолдар сызықтық тәуелсіз. Бұдан басқышты матрицаның рангы оның бұрыштық элементтер санына тең болатыны туындайды. Мұндай жағдайда түрлендірулер көмегімен кез келген матрицаны оның рангын өзгертпйтіндей етіп басқышты матрица түріне келтіруге және оның рангын еш қиындықсыз есептеп табуға болады және нәтижеге келтіретін түрлендірулер элементар түрлендірулер деп аталады.
К өрісіндегі коэффициенттері **а<sub>0</sub>, а<sub>1</sub>, …, a<sub>n</sub>** болатын **n дәрежелі** кез келген **P<sub>n</sub>(t)=а<sub>0</sub>tn+ +а<sub>1</sub>tn-1+…+а<sub>n</sub>-1t+а<sub>n</sub>** көпмүшесі Х квадрат М-нан **P<sub>n</sub>(Х)= а<sub>0</sub>Х<sub>n</sub>+а<sub>1</sub>Х<sub>n-1</sub>+…+а<sub>n-1</sub> Х+а<sub>n</sub>Е**функциясын анықтайды. Егер f(t) аналит. функциясы барлық комплекс жазықтықта жинақталатын қатары арқылы анықталатын болса, онда функция М-нан қарастырылады. Бұл қатар кез келген квадрат М. үшін жинақты болады. М. сызықтық алгебрада, векторлық кеңістікте сызықтық бейнелеуді зерттегенде, сызықтық және квадраттық тұлғаларда, сызықтық теңдеулер системасында қолданылады. М-ны матем. анализде дифференц.теңдеулерді интегралдау жүйесіне, ықтималдықтар теориясында, кванттық механикада, т.б. пайдаланады.

## Тарихы
Матрица ұғымы 19 ғ-дың ортасында ирланд математигі У.Гамильтон (1805 — 1865), ағылшын математигі А.Кэли (1821 — 1895) және Дж.Сильвестер (1814 — 1897) еңбектерінде берілген. Матрица теориясының негізін 19 ғ-дың 2-жартысы мен 20 ғ-дың басында ВейерштрассК.Вейерштрасс (1815 — 1897) пен неміс математигі Ф.Фробениус (1849 — 1917) қалаған.

:Металл өңдеуде — штамптауда, престеуде қолданылатын тесігі не ойығы бар жұмыс құралы.
:Полиграфияда — литера құюда, стереотиптерді дайындау-да қолданылатын (әдетте, латуннан, қоладан жасалған) ойығы бар қалып. *Е. Байсалов*

## Дереккөздер

Матрица теориясы
Санат:Сызықтық алгебра