წარმოებული

**წარმოებული** — მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება. ერთი ნამდვილი ცვლადის f ფუნქციის შემთხვევაში გვიჩვენებს რაიმე x_0წერტილის მიდამოში არგუმენტის x-x_0 ცვლილებასთან შედარებით როგორია ფუნქციის მნიშვნელობის შესაბამისი ცვლილება f(x)-f(x_0). სხვა სიტყვებით, გვიჩვენებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს მოცემული x_0 წერტილის მიდამოში.

**განსაზღვრება**: ერთი ნამდვილი ცვლადის f:[a,\;b] \to R ფუნქციის **წარმოებული** x_0\in ]a,\; b[ წერტილში აღინიშნება სიმბოლოთი  f'(x_0) და

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},

თუ უკანასკნელი ზღვარი სასრულია.  როდისაც x_0=a ან x_0=b, მაშინ უკანასკნელ ტოლობაში განვიხილავთ შესაბამისად მარჯვენა და მარცხენა ზღვრებს, ხოლო რიცხვებს f'(a) და f'(b) ვუწოდებთ შესაბამისად **მარცხენა** და **მარჯვენა** წარმოებულებს. თუ  x_0 წერტილში არგუმენტისა და ფუნქციის ნაზრდებისათვის შემოვიღებთ შესაბამისად აღნიშვნებს  \Delta x=x-x_0\;\;\text{დ ა}\;\; \Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0), მაშინ წინა ტოლობა შეიძლება შემდეგი ექვივალენტური ფორმითაც ჩაიწეროს

(1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\;\;\text{ან}\;\;f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}. 

წარმოებულის განსაზღვრებიდან ცხადია, რომ ფუნქცია \varepsilon (x)= \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)
  აკმაყოფილებს ტოლობას \lim\limits_{x\to x_0}\varepsilon (x)=0 . ამიტომ უტოლობიდან |f(x)-f(x_0)|\leq |f'(x_0)(x-x_0)|+|\varepsilon (x)(x-x_0)|
 , გამომდინარეობს f 
  ფუნქციის უწყვეტობა x_0
  წერტილში. ამდენად f'(x_0) 
  წარმოებულის არსებობიდან გამომდინარეობს f 
  ფუნქციის უწყვეტობა x_0
  წერტილში. შეიძლება ფუნქცია იყოს უწყვეტი რაიმე წერტილში მაგრამ არ იყოს წარმოებადი ამ წერტილში. მაგალითად უწყვეტ ფუნქციას f(x)=|x| 
  არ გააჩნია წარმოებული f'(0) 
 . მეტიც, 1872 წელს ვაიერშტრასმა  ააგო პირველი მაგალითი უწყვეტი ფუნქციისა (ვაიერშტრასის ფუნქცია), რომელსაც არცერთ წერტილში არ გააჩნია წარმოებული.

თუ ფუნქციას f:[a,\; b]\to R   ყოველ x_0\in [a,\, b] წერტილში გააჩნია წარმოებული, მაშინ ფუნქციას, რომელიც ყოველ x_0\in [a,\, b] რიცხვს შეუსაბამებს რიცხვს f'(x_0) აღვნიშნავთ სიმბოლოთი f' და ვუწოდებთ f ფუნქციის წარმოებულს. ცნობილია, რომ ყოველ წერტილში წარმოებადი f ფუნქციის წარმოებულ f'
 ფუნქციას მხოლოდ მეორე გვარის წყვეტები შეიძლება ჰქონდეს.

თუ f'
 ფუნქცია წარმოებადია, მაშინ მისი გაწარმოებით მივიღებთ ფუნქციას f*
, რომელსაც ეწოდება f
 ფუნქციის **მეორე რიგის წარმოებული**. ანალოგიურად f*
 ფუნქციის წარმოებადობის შემთხვევაში მივიღებთ f'''
 -მესამე რიგის წარმოებულს. საზოგადოდ n-
ური რიგის წარმოებულს აღნიშნავენ სიმბოლოთი f^{(n)}
და

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f^{(n)}(x_0)=(f^{(n-1)}(x_0))'=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}\;\;\;\;(n\in N),                                       

სადაც f^{(0)}:=f
 . ხშირად, ლაგრანჟის მიერ შემოღებული f', f'', \cdots , f^{(n)}, აღნიშვნების ნაცვლად გამოიყენება ლაიბნიცის აღნიშვნები \frac{df}{dx}, \frac{d^2f}{dx^2}, \cdots , \frac{d^nf}{dx^n} შესაბამისად, ხოლო დაბალი რიგის წარმოებულებისათვის ნიუტონის მიერ შემოღებული აღნიშვნები \dot{f}, \ddot{f}.  ლაიბნიცის მიხედვით, წარმოებულის მნიშვნელობისათვის x_0 
   წერტილში გამოიყენება აღნიშვნები \frac{d^{n}f}{dx^{n}} \bigg\vert_{x=x_0} \;\;\text{ან}\;\;\;\; \frac{d^{n}f}{dx^{n}}(x_0)  .

თუ ფუნქციას გააჩნია თავის განსაზღვრის არეზე უწყვეტი წარმოებული, მას უწოდებენ ხოლმე **გლუვს**.

## წარმოებულის გეომეტრიული შინაარსი 
მინი|ნახ.1

ავაგოთ ფუნქციის გრაფიკის მხები წერტილში. ამისთვის ჯერ გავიხსენოთ მხების ლაიბნიცისეული განსაზღვრება, რომ მოცემული წირის A წერტილში გავლებული მხები არის წრფე, რომელიც გადის A და მასთან უსასრულოდ მიახლოვებულ B წერტილებზე. მოყვანილი განსაზღვრება პირდაპირ გვკარნახობს როგორ უნდა ავაგოთ მოცემული წირის მოცემულ A  წერტილზე გამავალი მხები (ნახ.1). უწყვეტი f ფუნქციის გრაფიკის A(x_0, \;f(x_0)) წერტილში მხების ასაგებად, x_0 წერტილის მცირე მიდამოში განვიხილოთ ნებისმიერი x_1:=x_0+\Delta x\;(\Delta x\not=0) წერტილი და f ფუნქციის გრაფიკზე ავიღოთ შესაბამისი B(x_0+\Delta x,\;f(x_0+\Delta x)) წერტლი. ადვილი შესამოწმებელია, რომ A და B წერტილების შემაერთებელი წრფის (გრაფიკის ქორდის) განტოლება იქნება

(2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \ell_{\text{ქორდ}}(x)=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}(x-x_0)+f(x_0)
 .
მინი|ნახ. 2

ახლა თუ x_1

  წერტილით მივუახლოვედებით x_0

  წერტილს, შესაბამისად B
  წერტილიც მიუახლოვდება A
  წერტილს და \ell_{\text{ქორდ}}
  ქორდა გადაიქცევა მხებად თუ კი ასეთი არსებობს. ანუ \ell_{\text{მხებ}}
 მხების განტოლების მისაღებად საჭიროა (2) ტოლობაში გადავიდეთ ზღვარზე x_1\to x_0 \;(\Delta x\to 0)
 , და თუ ეს ზღვარი არსებობს, (1) ტოლობის გათვალისწინებით მივიღებთ

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \ell_{\text{მხებ}}(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)
 .

უკანასკნელი ტოლობის თანახმად ფუნქციის წარმოებული წერტილში ყოფილა ამ წერტილში გავლებული მხების განტოლების k კუთხური კოეფიციენტის ტოლი, რომელიც როგორც ცნობილია განისაზღვრება ტოლობიდან k=\tan \alpha, სადაც \alpha არის კუთხე მხებსა და OX ღერძის დადებით მიმართულებას შორის (ნახ. 2), და ამიტომ სამართლიანია ტოლობა

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;    f'(x_0)=\tan \alpha.

## კავშირი ფუნქციასა და მის პირველ და მეორე წარმოებულებს შორის 
წამოებულის განსაზღვრების თანახმად თუ f'(x_0)> 0 მაშინ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}> 0                                       
 როდესაც x                                       
 საკმარისად ახლოსაა x_0                                       
 წერტილთან, რაც ნიშნავს f                                       
 ფუნქციის **მკაცრად ზრდადობას** x_0                                       
 წერტილში. ანალოგიურად თუ f'(x_0) მაშინ ფუნქცია f                                       
 **მკაცრად კლებადია** x_0                                       
 წერტილში. თუ \displaystyle f'(x_{0})=0                                       
, მაშინ f                                       
 ფუნქცია x_0                                       
 წერტილში შეიძლება იყოს როგორც ზრდადი ისე კლებადი (როდესაც წარმოებული არ იცვლის ნიშანს x_0                                       
 წერტილში, ასეთებია ვთქვათ  x_0=0  წერტილში მკაცრად ზრდადი x^3                                        
 და მკაცრად კლებადი -x^3                                       
 ფუნქციები) ან სულაც შეიძლება გააჩნდეს **ექსტრემუმი**. კერძოდ f                                       
 ფუნქციას გააჩნია ლოკალური **მაქსიმუმი** (**მინიმუმი**) თუ \displaystyle f'(x_{0})=0                                       
 და x_0                                       
 წერტილში წარმოებული ნიშანს იცვლის დადებითიდან უარყოფითზე (უარყოფითიდან დადებითზე).

აგრეთვე ადვილი საჩვენებელია, რომ თუ  f*(x_0)0)                                         
 მაშინ f  ფუნქცია **ამოზნექილია** (**ჩაზნექილია**) x_0 წერტილის გარკვეულ მცირე მიდამოში.

თუ f*(x_{0})=0                                       
 და x_0                                       
 წერტილში f* იცვლის ნიშანს, მაშინ x_0                                       
 წერტილს ეწოდება f ფუნქციის **გადაღუნვის** წერტილი.

## გაწარმოების (წარმოებულის გამოთვლის) წესები და ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები 
ელემენტარული და მათი შებრუნებული ფუნქციების წარმოებულები მოიცემა შემდეგი ცხრილით:

**1.** c'=0  (მუდმივი ფუნქციის წარმოებული ნულია); \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; **5.** (\cos x)'=-\sin x,\;\;\;(\sin x)'=\cos x ;

**2.** (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}\;(\alpha \in R) , კერძოდ x'=1; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; **6.** (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}  \;\;(x\not =\frac{\pi}{2} +\pi k),\;\;\; (\cot x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}  \;\;(x\not =\pi k);

**3**. (a^x)'=a^x \ln a\;\;(a > 0) , კერძოდ (e^x)'=e^x; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; **7.** (\arcsin x) '=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\;\;\; (\arccos x) '= - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \;\;x\in (-1,\;1);

**4.** (\log_ax)'=\frac{1}{x \ln a}\;\;(a>1) , კერძოდ (\ln x)'=\frac{1}{x}; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; **8.** (\arctan x) '=\frac{1}{1+x^2},\;\;\; (\arccot x) '= - \frac{1}{1+x^2} .

თუ f და g წარმოებადი ფუნქციებია და \alpha\in R, მაშინ გაწარმოების შემდეგი წესებია სამართლიანი:
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (\alpha f)'=\alpha f',\;\;\;\;(f+g)'=f'+g',\;\;\;\;(fg)'=f'g+fg',\;\;\;\; \Bigl(\frac{f}{g}\Bigr)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\;\;(g\not = 0),

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)=\frac{d f(y)}{dy}\bigg\vert_{y=g(x)} \frac{dg(x)}{dx},\;\;\;\;\;\; (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}.

## მრავალი ცვლადის ფუნქციის კერძო და მიმართული წარმოებულები 
ვთქვათ D\subset R^n და ყოველ x=(x_1,\cdots, x_n)\in D ვექტორს გარკვეული წესით შეესაბამება ერთადერთი y\in R, ანუ მოცემული გვაქვს n ცვლადის f:D\to R ფუნქცია. ჩავთვალოთ რომ x_i\;(1\leq i\leq n) ცვლადის გარდა ყველა სხვა ცვლადს მიენიჭა ფიქსირებული მნიშვნელობა, ანუ x_1=a_1,\cdots, x_{i-1}=a_{i-1}, x_{i+1}=a_{i+1},\cdots, x_{n}=a_{n}, მაშინ g(x_i):=f(a_1,\cdots, a_{i-1}, x_i, a_i,\cdots, a_{n}) იქნება ერთი  x_i ცვლადის ფუნქცია. თუ g ფუნქციას გააჩნია წარმოებული x_i=a_i წერტილში, მაშინ რიცხვს g'(a_i) ვუწოდებთ f ფუნქციის **კეძო წარმოებულს x_i ცვლადით a:=(a_1,\cdots, a_{i-1}, a_i, a_i,\cdots, a_{n}) წერტილში** და აღვნიშნავთ სიმბოლოთი \frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\cdots, a_{n}), ანუ

\;\;\;\;\;\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\cdots, a_{n})=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a_1,\cdots,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1}\cdots a_{n})-f(a_1,\cdots, a_{n})}{h}.

თუ ყოველ (a_1,\cdots, a_{n})\in D წერტილს შეესაბამება რიცხვი \frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\cdots, a_{n}), მივიღებთ  n ცვლადის ფუნქციას, რომელსაც ეწოდება f ფუნქციის **კეძო წარმოებული x_i ცვლადით** და აღინიშნება სიმბოლოთი \frac{\partial f(x_1,\cdots, x_{n})}{\partial x_i}, \;\;\;\;\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,\cdots, x_{n}), ან თუ ეს არ იწვევს გაუგებრობას \frac{\partial f}{\partial x_i}.
მინი|ნახ. 3
განვიხილოთ ვექტორი v:=(v_1,\cdots, v_n
). ადვილი დასანახია, რომ თუ h\to 0  (h\in R) , მაშინ ვექტორი x:=a+vh, უახლოვდება a:=(a_1,\cdots, a_{n}) ვექტორს v ვექტორის მიმართულებით, რადგან x-a=vh და v   ვექტორები კოლინეარულია (ეს განსაკუთრებით თვალნათელია თუ n=2 (იხ. ნახ. 3)) . ნათქვამიდან ცხადია რატომ ეწოდება რიცხვს

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;    D_vf(a):=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+vh)-f(a)}{h},

**f ფუნქციის წარმოებული a წერტილში v მიმართულებით.** ადვილი დასამტკიცებელია მიმართული წარმოებულის გამოსათვლელი ფორმულა

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;  D_vf(x)=(\triangledown f \cdot v)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f(x)}{\partial x_i} v_i  ,

სადაც (\quad \cdot \quad )   არის სკალარული ნამრავლი და \triangledown f =\Bigl(\frac{\partial f(x)}{\partial x_1},\cdots, \frac{\partial f(x)}{\partial x_n} \Bigr)   ანუ f   ფუნქციის გრადიენტია.

## კომპლექსური ცვლადის ფუნქციის წარმოებული 
ვთქვათ C არის კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლე, D\subset C არის არე, z_0\in D და განსაზღვრული გვაქვს კომპლექსური ცვლადის ფუნქცია f:D\to C. მაშინ

 (3)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(z_0)=\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.                                        

მნიშვნელოვანია იმის გათვალისწინება, რომ კომპლექსური ცვლადის ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრების თანახმად (3) ტოლობაში მონაწილე ზღვარი არსებობს მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ ზღვრის მნიშვნელობა დამოუკიდებელია  z                                        
-ის  z_0                                        
 რიცხვისკენ მისწრაფების გზისაგან. უკანასკნელი პირობა საკმარისად მძიმე შეზღუდვაა და განაპირობებს იმას, რომ კომპლექსური ცვლადის f(z)=u(x, y)+iv(x, y) ფუნქციას სადაც z=x+iy, გააჩნია წარმოებული  z_0=x_0+iy_0                                        
 წერტილში მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ  u                                         
 და  v                                        
 ფუნქციები დიფერენცირებადია  (x_0, y_0)                                        
 წერტილში და ამ წერტილში სრულდება ე.წ. კოში-რიმანის პირობები (ხშირად დალამბერ-ეილერის პირობებადაც მოიხსენიებენ)

 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;  \frac{\partial u(x_0, y_0)}{\partial x}=\frac{\partial v(x_0, y_0)}{\partial y},\;\;\;\frac{\partial u(x_0, y_0)}{\partial y}=-\frac{\partial v(x_0, y_0)}{\partial x}                                        
.

თუ კომპლექსური ცვლადის ფუნქცია წარმოებადია D არეში, ამბობენ რომ ის **ანალიზური** ფუნქციაა ამ არეში. აღმოჩნდა რომ თუ ფუნქცია ანალიზურია, მაშინ მას გააჩნია ნებისმიერი რიგის წარმოებულები, კერძოდ სამართლიანია შემდეგი თეორემა

**კოშის თეორემა (1842 წ.)** თუ f ფუნქცია ანალიზურია D არეში და უწყვეტია \overline{D} (D-ს ჩაკეტვა) სიმრავლეზე, მაშინ მას აქვს ნებისმიერი რიგის წარმოებული ამ არეში და სამართლიანია ინტეგრალური წარმოდგენა

 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_D}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}} d \xi\;\;\;(z\in D),                                        

სადაც  \gamma_D                                        
 არის D არის საზღვარი.

## სქოლიო 
კატეგორია:მათემატიკური ანალიზი