პტოლემეს თეორემა

მარჯვნივ|მინი| პტოლემეს თეორემა: \definecolor{V}{RGB}{148,0,211} \definecolor{B}{RGB}{0,0,255} \definecolor{R}{RGB}{204,0,0}
{\color{V}AC}\cdot{\color{V}BD}={\color{B}AB}\cdot{\color{B}CD}+{\color{R}BC}\cdot{\color{R}AD}
ევკლიდეს გეომეტრიაში **პტოლემეს თეორემა** არის მიმართება ჩახაზული ოთხკუთხედის (ოთხკუთხედი, რომლის წვეროები ძევს საერთო წრეზე) ოთხ გვერდსა და ორ დიაგონალს შორის. თეორემა ბერძენი ასტრონომისა და მათემატიკოსის პტოლემეს სახელს ატარებს. 

თუ ჩახაზული ოთხკუთხედის წვეროები არის *A*, *B*, *C* და *D* თანმიმდევრობით (ნახაზი 1), მაშინ თეორემა ამბობს, რომ:

: AC\cdot BD = AB\cdot CD+BC\cdot AD

ეს კავშირი შეიძლება სიტყვიერად გამოიხატოს შემდეგნაირად:

: *თუ ოთხკუთხედი ჩახაზულია, მაშინ მისი დიაგონალების სიგრძის ნამრავლი ტოლია მოპირდაპირე გვერდების წყვილების სიგრძეთა ნამრავლების ჯამის.*

დამატებით, პტოლემეს თეორემა პირიქითაც მუშაობს:

: *ოთხკუთხედში, თუ მისი ორი წყვილი მოპირდაპირე გვერდების სიგრძის ნამრავლების ჯამი უდრის მისი დიაგონალების სიგრძის ნამრავლს, მაშინ ოთხკუთხედი შეიძლება ჩაიხაზოს წრეში, ანუ ის არის ჩახაზული ოთხკუთხედი .*

### ტოლგვერდა სამკუთხედი 
მარჯვნივ|მინი| ნახ. 2. ტოლგვერდა სამკუთხედი
პტოლემეს თეორემის გაგრძელებაა წრეში ჩახაზული ტოლგვერდა სამკუთხედის შემთხვევა (ნახაზი 2).

მანძილი წრეზე დასმული რომელიმე წერტილიდან სამკუთხედის ყველაზე შორეულ წვერომდე უდრის მანძილების ჯამს ამ წერტილიდან ორ უახლოეს წვერომდე:

:  qs=ps+rs \Rightarrow q=p+r. 

### კვადრატი 
ნებისმიერი კვადრატი შეიძლება ჩაიხაზოს წრეში, რომლის ცენტრიც არის კვადრატის ცენტრი. თუ მისი გვერდების სიგრძე უდრის a-ს (ნახაზი 3), მაშინ პითაგორას თეორემის მიხედვით დიაგონალის სიგრძე უდრის a\sqrt{2}. პტოლემეს მიმართება კი ჭეშმარიტია:

:a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}=a\cdot a + a \cdot a

### მართკუთხედი 
მარჯვნივ|მინი| ნახ. 3. კვადრატი
უფრო ზოგადად, თუ ოთხკუთხედი არის მართკუთხედი a და b გვერდებით და d დიაგონალით, მაშინ პტოლემეს თეორემა დასულია პითაგორას თეორემამდე. ამ შემთხვევაში წრის ცენტრი ემთხვევა დიაგონალების გადაკვეთის წერტილს. დიაგონალების ნამრავლი არის d^2, პტოლემეს მიმართების მარჯვენა მხარე არის ჯამი a^2 + b^2.

### ხუთკუთხედი 
[მარჯვნივ|მინი| ნახ. 4. [ოქროს კვეთა|ოქროს კვეთი გამომდინარეობს პტოლემეს თეორემის ამგვარი გამოყენებიდან]]
უფრო საინტერესო მაგალითია კავშირი გვერდის *a* სიგრძეს 5 ქორდასა და *b* სიგრძის 3 ქორდას შორის წესიერ ხუთკუთხედში (იხ. ნახაზი 3). კვადრატის შევსებით, მიმართება იძლევა ოქროს კვეთას : 

: \begin{array}{rl}
     b \cdot b         \,\;\;\qquad\quad\qquad =&\!\!\!\! a \! \cdot \! a + a \! \cdot \! b
\\    b^2 \;\; - ab            \quad\qquad =&\!\!   a^2
\\ \frac{b^2}{a^2} \;\; - \frac{ab}{a^2}    \;\;\;\qquad =&\!\!\!    \frac{    a^2 }{a^2}
\\ \left(\frac{b}{a}\right)^2 - \frac{b}{a} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 =&\!\!   1 + \left(\frac{     1 }{ 2}\right)^2
\\ \left(\frac{b}{a}     -         \frac{1}{2}\right)^2   =&\!\!  \quad \frac{     5 }{ 4}
\\ \frac{b}{a}     -        \frac{1}{2} \;\;\; =&\!\!\!\! \pm \frac{  \sqrt{5}}{ 2}
\\ \frac{b}{a} > 0 \, \Rightarrow \, \varphi = \frac{b}{a} =&\!\!\!\!   \frac{1 + \sqrt{5}}{ 2}
\end{array}

## პტოლემეს უტოლობა 
მინი| ეს *არ* არის ჩახაზული ოთხკუთხედი. ტოლობა აქ არასოდეს შესრულდება.
პტოლემეს თეორემაში განტოლება არასოდეს არის ჭეშმარიტი არაციკლური ოთხკუთხედების მიმართ. პტოლემეს უტოლობა ამ ფაქტის გაგრძელებაა და ის თეორემის უფრო ზოგადი ფორმაა. თუ მოცემულია *ABCD* ოთხკუთხედი, მაშინ:

: \overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{DA} \ge \overline{AC}\cdot \overline{BD}

სადაც ტოლობა მოქმედებს მხოლოდ მაშინ, თუკი ოთხკუთხედი ჩახაზულია. ეს განსაკუთრებული შემთხვევა პტოლემეს თეორემის ტოლფასია.

## სქოლიო 
კატეგორია:პლანიმეტრია