მდგრადი კოჰომოლოგია

**მდგრადი კოჰომოლოგია** () — ალგებრულ ტოპოლოგიასა და ტოპოლოგიურ მონაცემთა ანალიზში (TDA) გამოყენებული გამოთვლითი მეთოდი, რომელიც წარმოადგენს მდგრადი ჰომოლოგიის (Persistent homology) დუალურ ვერსიას. იგი შეისწავლის ტოპოლოგიური მახასიათებლების (კომპონენტების, ხვრელების, სიცარიელეების) ევოლუციას სივრცის ფილტრაციის პროცესში. 

მდგრადი კოჰომოლოგიის მთავარი უპირატესობა ჰომოლოგიურ მიდგომასთან შედარებით არის ალგორითმული გამოთვლის მაღალი სისწრაფე და მულტიპლიკაციური სტრუქტურის — ფიალა-ნამრავლის (Cup product) არსებობა, რაც ტოპოლოგიური სივრცეების უფრო ღრმა ანალიზის საშუალებას იძლევა.

## უჯრედოვანი კომპლექსი და ფილტრაცია 
პერსისტენტული მეთოდები ეფუძნება ტოპოლოგიური სივრცის დისკრეტიზაციას, რაც ხშირად უჯრედოვანი (CW) ან სიმპლექსური კომპლექსების საშუალებით ხორციელდება. 

სივრცე X არის უჯრედოვანი კომპლექსი, თუ იგი მიიღება ინდუქციური პროცესით, სადაც n-განზომილებიანი ჩონჩხი (skeleton) X^n იგება X^{n-1}-ზე n-განზომილებიანი უჯრედების e^n_\alpha მიწებებით. მიწებების ასახვა მოიცემა როგორც \varphi_\alpha : S^{n-1} \to X^{n-1}.

მდგრადობის თეორიის ფუნდამენტური კონცეფციაა კომპლექსის **ფილტრაცია** — ქვეკომპლექსების ზრდადი მიმდევრობა:
\emptyset = X_0 \subset X_1 \subset X_2 \subset \dots \subset X_m = X

## მდგრადი კოჰომოლოგიის ჯგუფები 
ვთქვათ G არის აბელური ჯგუფი (პრაქტიკულ გამოთვლებში ხშირად გამოიყენება ველი G = \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_p ან \mathbb{R}). ფილტრაციაში ჩართვის ასახვები \iota_{i,j} : X_i \hookrightarrow X_j (სადაც i \le j) კოჰომოლოგიური ფუნქტორის კონტრავარიანტულობის გამო ინდუცირებენ შეზღუდვის ჰომომორფიზმებს:
\iota^*_{i,j} : H^n(X_j; G) \to H^n(X_i; G)
შესაბამისად, ისრები მიმართულია ფილტრაციის საპირისპიროდ.

**მდგრადი (პერსისტენტული) კოჰომოლოგიის ჯგუფი** განისაზღვრება როგორც შეზღუდვის ჰომომორფიზმის ანასახი:
H^{n, i, j} = \text{im}\left( H^n(X_j; G) \to H^n(X_i; G) \right)
ეს ჯგუფი აღწერს იმ კოჰომოლოგიურ კლასებს X_i-ში, რომლებიც ფართოვდებიან უფრო დიდ X_j სივრცეზე და არ ტრივიალურდებიან ამ გადასვლისას.

**მდგრადი კოჰომოლოგია** () — ალგებრულ ტოპოლოგიასა და ტოპოლოგიურ მონაცემთა ანალიზში (TDA) გამოყენებული გამოთვლითი მეთოდი, რომელიც წარმოადგენს მდგრადი ჰომოლოგიის (Persistent homology) დუალურ ვერსიას. იგი შეისწავლის ტოპოლოგიური მახასიათებლების (კომპონენტების, ხვრელების, სიცარიელეების) ევოლუციას სივრცის ფილტრაციის პროცესში. 

მდგრადი კოჰომოლოგიის მთავარი უპირატესობა ჰომოლოგიურ მიდგომასთან შედარებით არის ალგორითმული გამოთვლის მაღალი სისწრაფე და მულტიპლიკაციური სტრუქტურის — ფიალა-ნამრავლის (Cup product) არსებობა, რაც ტოპოლოგიური სივრცეების უფრო ღრმა ანალიზის საშუალებას იძლევა.

## უჯრედოვანი კომპლექსი და ფილტრაცია 
პერსისტენტული მეთოდები ეფუძნება ტოპოლოგიური სივრცის დისკრეტიზაციას, რაც ხშირად უჯრედოვანი (CW) ან სიმპლიციალური კომპლექსების საშუალებით ხორციელდება. 

სივრცე X არის უჯრედოვანი კომპლექსი, თუ იგი მიიღება ინდუქციური პროცესით, სადაც n-განზომილებიანი ჩონჩხი (skeleton) X^n იგება X^{n-1}-ზე n-განზომილებიანი უჯრედების e^n_\alpha მიწებებით. მიწებების ასახვა მოიცემა როგორც \varphi_\alpha : S^{n-1} \to X^{n-1}.

მდგრადობის თეორიის ფუნდამენტური კონცეფციაა კომპლექსის **ფილტრაცია** — ქვეკომპლექსების ზრდადი მიმდევრობა:
\emptyset = X_0 \subset X_1 \subset X_2 \subset \dots \subset X_m = X

## მდგრადი კოჰომოლოგიის ჯგუფები 
ვთქვათ G არის აბელური ჯგუფი (პრაქტიკულ გამოთვლებში ხშირად გამოიყენება ველი G = \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_p ან \mathbb{R}). ფილტრაციაში ჩართვის ასახვები \iota_{i,j} : X_i \hookrightarrow X_j (სადაც i \le j) კოჰომოლოგიური ფუნქტორის კონტრავარიანტულობის გამო ინდუცირებენ შეზღუდვის ჰომომორფიზმებს:
\iota^*_{i,j} : H^n(X_j; G) \to H^n(X_i; G)
შესაბამისად, ისრები მიმართულია ფილტრაციის საპირისპიროდ.

**მდგრადი (პერსისტენტული) კოჰომოლოგიის ჯგუფი** განიმარტება როგორც შეზღუდვის ჰომომორფიზმის ანასახი:
H^{n, i, j} = \text{im}\left( H^n(X_j; G) \to H^n(X_i; G) \right)
ეს ჯგუფი აღწერს იმ კოჰომოლოგიურ კლასებს X_i-ში, რომლებიც ფართოვდებიან უფრო დიდ X_j სივრცეზე და არ ტრივიალურდებიან ამ გადასვლისას.

## დაბადების და სიკვდილის ინდექსები 
უნივერსალური კოეფიციენტების თეორემის თანახმად (როდესაც კოეფიციენტები აღებულია ველიდან), მდგრადი კოჰომოლოგიის პერსისტენტობის დიაგრამები ზუსტად ემთხვევა მდგრადი ჰომოლოგიის დიაგრამებს. თუმცა, კონტრავარიანტულობის გამო, კლასების ევოლუციის ალგებრული მექანიზმი დუალურია:

* **დაბადების ინდექსი (Birth Index, b):** კოჰომოლოგიური კლასი იბადება ფილტრაციის b ეტაპზე (სივრცეში X_b), თუ გაჩნდა ახალი კოციკლი, რომელიც X_b-ში დამატებულ უჯრედზე არანულოვან მნიშვნელობას იღებს.
* **სიკვდილის ინდექსი (Death Index, d):** b ეტაპზე დაბადებული კლასი კვდება d ეტაპზე (d > b), თუ ეს კოციკლი ვეღარ ფართოვდება (ვეღარ გრძელდება) X_d სივრცეზე. ეს ხდება მაშინ, როდესაც X_d-ში ემატება ახალი უჯრედი, რომლის საზღვარიც კლავს იმ ჰომოლოგიურ ციკლს, რომელსაც მოცემული კოციკლი აფასებდა. 

შესაბამისად, კოჰომოლოგიური კლასის *დაბადება* უკავშირდება ახალი კოციკლის შექმნას, ხოლო *სიკვდილი* — მისი შემდგომი გაფართოების შეუძლებლობას. თუ კლასი ფილტრაციის ბოლომდე ინარჩუნებს გაფართოების უნარს, მისი სიკვდილის ინდექსია d = \infty. სხვაობას d - b ეწოდება კლასის **პერსისტენტობა**.

## ფიალა-ნამრავლი (\smile) და რგოლური სტრუქტურა 
ჰომოლოგიისგან განსხვავებით, კოჰომოლოგიას გააჩნია ბუნებრივი მულტიპლიკაციური სტრუქტურა. კომუტატიური R რგოლისთვის **ფიალა-ნამრავლი** (Cup product) არის ბილინიური ოპერაცია კოჰომოლოგიებზე:
\smile : H^p(X; R) \times H^q(X; R) \to H^{p+q}(X; R)

მდგრადი კოჰომოლოგიის კონტექსტში, ფილტრაციაში ჩართვის ასახვებით ინდუცირებული შეზღუდვის ჰომომორფიზმები ინარჩუნებენ ამ რგოლურ სტრუქტურას. კერძოდ, ნებისმიერი კლასებისთვის \alpha \in H^p(X_j; R) და \beta \in H^q(X_j; R) სრულდება:
\iota^*_{i,j}(\alpha \smile \beta) = \iota^*_{i,j}(\alpha) \smile \iota^*_{i,j}(\beta)
ეს თვისება უმნიშვნელოვანესია, რადგან ის მკვლევარებს აძლევს საშუალებას დააკვირდნენ არა მხოლოდ ცალკეული ტოპოლოგიური კლასების სასიცოცხლო ციკლს, არამედ მათი ნამრავლების ევოლუციასაც, რაც აუცილებელია რთული ტოპოლოგიური სივრცეების გასამიჯნად.

## მაგალითი 
განვიხილოთ წრეწირის S^1 ტრიანგულაცია სამი წვეროთი და სამი წიბოთი და ავაგოთ ფილტრაცია \mathbb{Z}_2 კოეფიციენტებით:
# **X_1**: მოცემულია სამი იზოლირებული 0-უჯრედი (წვერო) v_1, v_2, v_3.  აქ H^0(X_1) \cong \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 და H^1(X_1) = 0.
# **X_2**: ემატება ორი 1-უჯრედი (წიბო) e_{12} და e_{23}. სივრცე ხდება რკალის სეგმენტი.  შეზღუდვა H^0(X_2) \to H^0(X_1) სამ დამოუკიდებელ 0-კოციკლს აერთიანებს ერთში. H^1(X_2) = 0.
# **X_3**: ემატება ბოლო წიბო e_{31}, მიიღება სრული S^1.  H^0(X_3) \cong \mathbb{Z}_2 და H^1(X_3) \cong \mathbb{Z}_2. წარმოიქმნება ახალი 1-კოციკლი.

ამ ფილტრაციაში 1-განზომილებიანი "ხვრელი" ჩნდება ფილტრაციის ბოლო ეტაპზე (X_3) და არასდროს ქრება (ვრცელდება მუდმივად). მისი სასიცოცხლო ციკლი იწყება დაბადების ინდექსით b=3 და გრძელდება უსასრულოდ. პერსისტენტობის დიაგრამაზე იგი აისახება (3, \infty) წერტილით.

## იხილეთ აგრეთვე 
* ალგებრული ტოპოლოგია
* კოჰომოლოგია
* ბეტის რიცხვი
* უჯრედოვანი კომპლექსი (ან CW კომპლექსი)

## ლიტერატურა 
* Edelsbrunner, H., & Harer, J. (2010). *Computational Topology: An Introduction*. American Mathematical Society.
* Carlsson, G. (2009). *Topology and Data*. Bulletin of the American Mathematical Society, 46(2), 255-308.
* de Silva, V., Morozov, D., & Vejdemo-Johansson, M. (2011). *Dualities in persistent (co)homology*. Inverse Problems, 27(12), 124003.

კატეგორია:ალგებრული ტოპოლოგია
კატეგორია:ჰომოლოგიის თეორია
კატეგორია:გამოყენებითი მათემატიკა

## ფიალა-ნამრავლი (\smile) და რგოლური სტრუქტურა 
ჰომოლოგიისგან განსხვავებით, კოჰომოლოგიას გააჩნია ბუნებრივი მულტიპლიკაციური სტრუქტურა. კომუტატიური R რგოლისთვის **ფიალა-ნამრავლი** (Cup product) არის ორადწრფივი ოპერაცია კოჰომოლოგიებზე:
\smile : H^p(X; R) \times H^q(X; R) \to H^{p+q}(X; R)

მდგრადი კოჰომოლოგიის კონტექსტში, ფილტრაციაში ჩართვის ასახვებით ინდუცირებული შეზღუდვის ჰომომორფიზმები ინარჩუნებენ ამ რგოლურ სტრუქტურას. კერძოდ, ნებისმიერი კლასებისთვის \alpha \in H^p(X_j; R) და \beta \in H^q(X_j; R) სრულდება:
\iota^*_{i,j}(\alpha \smile \beta) = \iota^*_{i,j}(\alpha) \smile \iota^*_{i,j}(\beta).
ეს თვისება უმნიშვნელოვანესია, რადგან ის მკვლევარებს აძლევს საშუალებას დააკვირდნენ არა მხოლოდ ცალკეული ტოპოლოგიური კლასების სასიცოცხლო ციკლს, არამედ მათი ნამრავლების ევოლუციასაც, რაც აუცილებელია რთული ტოპოლოგიური სივრცეების გასამიჯნად.

## მაგალითი 
განვიხილოთ წრეწირის S^1 ტრიანგულაცია სამი წვეროთი და სამი წიბოთი და ავაგოთ ფილტრაცია \mathbb{Z}_2 კოეფიციენტებით:
# **X_1**: მოცემულია სამი იზოლირებული 0-უჯრედი (წვერო) v_1, v_2, v_3.  აქ H^0(X_1) \cong \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 და H^1(X_1) = 0.
# **X_2**: ემატება ორი 1-უჯრედი (წიბო) e_{12} და e_{23}. სივრცე ხდება რკალის სეგმენტი.  შეზღუდვა H^0(X_2) \to H^0(X_1) სამ დამოუკიდებელ 0-კოციკლს აერთიანებს ერთში. H^1(X_2) = 0.
# **X_3**: ემატება ბოლო წიბო e_{31}, მიიღება სრული S^1.  H^0(X_3) \cong \mathbb{Z}_2 და H^1(X_3) \cong \mathbb{Z}_2. წარმოიქმნება ახალი 1-კოციკლი.

ამ ფილტრაციაში 1-განზომილებიანი "ხვრელი" ჩნდება ფილტრაციის ბოლო ეტაპზე (X_3) და არსად ქრება. მისი სასიცოცხლო ციკლი იწყება დაბადების ინდექსით b=3 და გრძელდება უსასრულოდ. პერსისტენტობის დიაგრამაზე იგი აისახება (3, \infty) წერტილით.

## იხილეთ აგრეთვე 
* ალგებრული ტოპოლოგია
* კოჰომოლოგია
* ბეტის რიცხვი
* უჯრედოვანი კომპლექსი (ან CW კომპლექსი)

## ლიტერატურა 
* Edelsbrunner, H., & Harer, J. (2010). *Computational Topology: An Introduction*. American Mathematical Society.
* Carlsson, G. (2009). *Topology and Data*. Bulletin of the American Mathematical Society, 46(2), 255-308.
* de Silva, V., Morozov, D., & Vejdemo-Johansson, M. (2011). *Dualities in persistent (co)homology*. Inverse Problems, 27(12), 124003.

კატეგორია:ალგებრული ტოპოლოგია
კატეგორია:ჰომოლოგიის თეორია
კატეგორია:გამოყენებითი მათემატიკა