დისპერსია

ალბათობის თეორიასა და მათემატიკურ სტატისტიკაში **დისპერსია** წარმოადგენს მონაცემთა გაფანტულობის საზომს. შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია ეწოდება რიცხვს, რომელიც გამოხატავს, თუ რამდენადაა გაფანტული შემთხვევითი სიდიდის მნიშვნელობები მისი მათემატიკური ლოდინიდან. დისპერსია წარმოადგენს მეორე რიგის ცენტრალურ მომენტს.

## განმარტება 
თუ \scriptstyle X შემთხვევითი სიდიდეა, მაშინ მისი დისპერსია აღინიშნება, როგორც \scriptstyle D(X) და

: \begin{align}
        \operatorname{D}(X) &= \operatorname{E}[(X - \mu)^2]\,.
\end{align}  

სადაც \mu=E[X] არის \scriptstyle X შემთხვევითი სიდიდის ლოდინი. შემდგომი მარტივი გარდაქმნებით დისპერსია შესაძლებელია შემდეგ სახეზე იქნას მიყვანილი:

: \begin{align}
     \operatorname{D}(X) 
      &= \operatorname{E}[(X - \mu)^2] \\
      &= \operatorname{E}[X^2 - 2\mu X + \mu^2] \\
      &= \operatorname{E}[X^2] - 2\mu\,\operatorname{E}[X] + \mu^2 \\
      &= \operatorname{E}[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 \\
      &= \operatorname{E}[X^2] - \mu^2 \\
      &= \operatorname{E}[X^2] - (\operatorname{E}[X])^2.
  \end{align}

როგორც წესი, დისპერსია აღინიშნება, როგორც \scriptstyle\sigma_X^2 ან, თუ ცხადია, რომელი შემთხვევითი სიდიდის დისპერსიაზეა ლაპარაკი, უბრალოდ \scriptstyle\sigma^2 (სიგმა კვადრატი), სადაც \scriptstyle\sigma საშუალო სტანდარტული გადახრაა. დასავლურ ლიტერატურაში მიღებულია ტერმინი „ვარიაცია“ და შემდეგი ფორმალური ჩაწერა: \operatorname{Var}(X).

## თვისებები 
* დისპერსია ყოველთვის არაუარყოფითია: D[X] \geqslant 0;
* თუ შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია სასრულია, მაშინ მისი მათემატიკური ლოდინიც სასრულია;
* თუ შემთხვევითი სიდიდე მუდმივია, მაშინ მისი დისპერსია ნულის ტოლია: D[a] = 0. სამართლიანია შებრუნებულიც: თუ D[X]=0, მაშინ X =E[X] თითქმის ყველგან;
* ორი შემთხვევით სიდიდის ჯამის დისპერსია შემდეგნაირად გამოითვლება:
*: \! D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2\,\text{cov}(X, Y), სადაც \! \text{cov}(X, Y) — ამ შემთხვევით სიდიდეთა კოვარიაციაა;
* ზოგადად, ნებისმიერი რაოდენობა შემთხვევითი სიდიდეების წრფივი კომბინაციისთვის სამართლიანია შემდეგი ტოლობა:
*: \! D\left[\sum_{i=1}^n c_i X_i\right] = \sum_{i=1}^n c_i^2 D[X_i] + 2\sum_{1 \leqslant i , სადაც c_i \in \R;
: კერძოდ, \displaystyle D[X_1 + ... + X_n] = D[X_1] + ... + D[X_n], თუ შემთხვევითი სიდიდეები \displaystyle X_1 , ... , X_n დამოუკიდებლებია (ამ შემთხვევაში მათი კოვარიაცია ნულის ტოლია);
* D\left[aX\right] = a^2D[X];
* D\left[-X\right] = D[X];
* D\left[X+b\right] = D[X].

## მაგალითი 
ვთქვათ, მოცემულია \displaystyle [0,1] სეგმენტზე თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი სიდიდე \displaystyle X, ანუ განაწილების სიმკვრივეს აქვს შემდეგი სახე:

: 
f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
1, & x\in [0,1] \\
0, & x \not\in [0,1].
\end{matrix}
\right.

გამოვთვალოთ ამ შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია.
: E\left[X^2\right] = \int\limits_0^1\!x^2\, dx = \left. \frac{x^3}{3}\right\vert_0^1 = \frac{1}{3},
: E\left[X\right] = \int\limits_0^1\! x\, dx = \left. \frac{x^2}{2}\right\vert_0^1 = \frac{1}{2}.
საბოლოოდ:
: D[X] = E\left[X^2\right] - (E[X])^2 = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}.

## იხილეთ აგრეთვე 
* შერჩევითი დისპერსია
* საშუალო სტანდარტული გადახრა
* მომენტი
* კოვარიაცია
* მათემატიკური ლოდინი

## ლიტერატურა 
* *ე. ნადარაია, რ. აბსავა, მ. ფაცაცია*, ალბათობის თეორია – თსუ, 2005
* *Ширяев А.Н*, Вероятность - Наука, Москва, 1989 ISBN 5-02-013955-6

## რესურსები ინტერნეტში 
* მათემატიკა, მარტივად ამოხსნის ხელოვნება  

კატეგორია:ალბათობის თეორია
კატეგორია:მათემატიკური სტატისტიკა