მახასიათებელი კლასები

**მახასიათებელი კლასები** () — ალგებრულ ტოპოლოგიაში ვექტორული ფიბრაციების (ან მთავარი ფიბრაციების) ტოპოლოგიური ინვარიანტები. ისინი აკავშირებენ ფიბრაციის გლობალურ ტოპოლოგიურ სტრუქტურას საბაზო სივრცის კოჰომოლოგიებთან და ზომავენ, თუ რამდენად არის ფიბრაცია „დაგრეხილი“ (ანუ რამდენად განსხვავდება იგი ტრივიალური ფიბრაციისგან).

## ჩერნის სრული კლასი და კლასიკური ტიპები 
კლასიკურ ტოპოლოგიაში გამოიყოფა რამდენიმე ძირითადი ტიპის მახასიათებელი კლასი.

**ჩერნის კლასები** (c_i) განიხილება n-განზომილებიანი კომპლექსური ვექტორული ფიბრაციისთვის E \to X და იღებენ მნიშვნელობებს მთელრიცხოვან კოჰომოლოგიებში H^{2i}(X; \mathbb{Z}). 
**ჩერნის ტოტალური (სრული) კლასი** აღინიშნება c(E)-თი და წარმოადგენს კოჰომოლოგიების რგოლის ელემენტს, რომელიც განისაზღვრება როგორც ჯამი:
c(E) = 1 + c_1(E) + c_2(E) + \dots + c_n(E)

გარდა ჩერნის კლასებისა, არსებობს:
* **შტიფელ-უიტნის კლასები** (w_i): ნამდვილი ვექტორული ფიბრაციებისთვის მოდულო 2 კოჰომოლოგიებში, H^i(X; \mathbb{Z}_2).
* **პონტრიაგინის კლასები** (p_i): ნამდვილი ვექტორული ფიბრაციებისთვის მთელრიცხოვან კოჰომოლოგიებში H^{4i}(X; \mathbb{Z}).

## ეილერის კლასი, ტომის სივრცე და h-ორიენტაცია 
მახასიათებელი კლასების განსაზღვრებაში განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია **ეილერის კლასი** (e(E)).  ტომის სივრცე Th(E) ვექტორული ფიბრაციისთვის E \to X განისაზღვრება შემდეგნაირად: თუ ფიბრაციაზე შემოვიღებთ რიმანის მეტრიკას, შეგვიძლია განვიხილოთ ერთეულოვანი დისკების ფიბრაცია D(E) და ერთეულოვანი სფეროების ფიბრაცია S(E). ტომის სივრცე არის ფაქტორ-სივრცე:
Th(E) = D(E) / S(E)

ნებისმიერ მულტიპლიკაციურ განზოგადებულ კოჰომოლოგიის თეორიაში h^*, ეილერის კლასი განისაზღვრება ე.წ. **h-ორიენტირებული** ვექტორული ფიბრაციებისთვის.
ვექტორული ფიბრაცია E \to X (განზომილებით n) არის h-ორიენტირებული, თუ არსებობს ტომის კლასი u \in \tilde{h}^n(Th(E)), რომლის შეზღუდვაც ფიბრაციის თითოეულ ფიბრზე (რომელიც წარმოადგენს S^n სფეროს ტომის სივრცეში) არის \tilde{h}^n(S^n) ჯგუფის წარმომქმნელი h^*(pt) წერტილის კოჰომოლოგიების რგოლში. 

თუ ფიბრაცია h-ორიენტირებულია, ტომის იზომორფიზმი გვაძლევს ასახვას: \Phi: h^i(X) \to h^{i+n}(Th(E)). განზოგადებული ეილერის კლასი, თავისი განსაზღვრებით, არის ნულოვანი კვეთით   s: X \to E ინდუცირებული ტომის კლასი 
e(E) = s^*(u) \in h^n(X).

ვინაიდან ეილერის კლასი მიიღება უშუალოდ განზომილების შესაბამისი ტომის კლასიდან, იგი, განსაზღვრებით, წარმოადგენს ფიბრაციის **„უფროს“ (უმაღლესი განზომილების) მახასიათებელ კლასს**. სწორედ ამ უფროსი კლასის საფუძველზე (მაგალითად, ინდუქციურად ან გროთენდიკის პროექციული ფიბრაციების მეთოდით) ხდება დაბალი განზომილების მახასიათებელი კლასების აგება.

**h-ორიენტაციის მაგალითები:**
* **ნამდვილი ფიბრაციები:** ყოველთვის ორიენტირებადია კლასიკურ მოდულო 2 კოჰომოლოგიებში H^*(-; \mathbb{Z}_2). მთელრიცხოვან კოჰომოლოგიებში H^*(-; \mathbb{Z}) ისინი ორიენტირებადია მხოლოდ მაშინ, როცა პირველი შტიფელ-უიტნის კლასი ნულოვანია (w_1(E) = 0).
* **კომპლექსური ფიბრაციები:** ავტომატურად (კანონიკურად) ორიენტირებადია მთელრიცხოვან კოჰომოლოგიებში, ასევე კომპლექსურ K-თეორიასა და კომპლექსურ კობორდიზმში MU^*. სწორედ ეს თვისება განაპირობებს ჩერნის კლასებისა და კონერ-ფლოიდის კლასების არსებობას. უფროსი ჩერნის კლასი ემთხვევა ფიბრაციის ნამდვილი რეალიზაციის ეილერის კლასს: c_n(E) = e(E_{\mathbb{R}}).
* **სიმპლექტური ფიბრაციები:** კანონიკურად ორიენტირებადია სიმპლექტურ კობორდიზმში MSp^*. ვინაიდან ყოველი სიმპლექტური ფიბრაცია ბუნებრივად კომპლექსურიცაა და ნამდვილიც, ისინი ასევე ორიენტირებადია MU^* და H^*(-; \mathbb{Z}) თეორიებში.

## განზოგადებები და ფორმალური ჯგუფები 
როგორც მაგალითებიდან ჩანს, განზოგადებულ კოჰომოლოგიის თეორიებში (როგორიცაა მორავას K-თეორია ან კობორდიზმები) მახასიათებელი კლასები იძლევიან საშუალებას, უფრო ღრმად შევისწავლოთ მრავალნაირობათა ტოპოლოგიური და გეომეტრიული თვისებები. 

მახასიათებელი კლასების გამოთვლის ერთ-ერთი ფუნდამენტური ინსტრუმენტია **უიტნის ფორმულა** ფიბრაციათა პირდაპირი ჯამისთვის. ტოტალური კლასებისთვის იგი მულტიპლიკატიურია:
c(E \oplus F) = c(E) \smile c(F).

გამოთვლებისთვის ფართოდ გამოიყენება **გახლეჩის პრინციპი**, რომელიც ამოცანას დაიყვანს წრფივი ფიბრაციების შესწავლაზე. როდესაც საქმე გვაქვს წრფივი ფიბრაციების ტენზორულ ნამრავლთან განზოგადებულ კოჰომოლოგიის თეორიებში, უიტნის ფორმულასთან ერთად შემოდის **ფორმალური ჯგუფების** ცნება. ეს ტრიადა (გახლეჩის პრინციპი, უიტნის ფორმულა, ფორმალური ჯგუფები) ქმნის მახასიათებელი კლასების დათვლისა და მანიპულირების უაღრესად მძლავრ მათემატიკურ აპარატს.

## როლი ალგებრულ ტოპოლოგიაში 
მახასიათებელი კლასები ცენტრალურ როლს ასრულებენ თანამედროვე ალგებრულ ტოპოლოგიაში. მრავალი საინტერესო და მნიშვნელოვანი ტოპოლოგიური სივრცის — მაგალითად, გრასმანიანების, მაკლასიფიცირებელი სივრცეების (BO(n) და BU(n)) და პროექციული სივრცეების — კოჰომოლოგიების რგოლები სრულად არის წარმოქმნილი მახასიათებელი კლასებით.

## ლიტერატურა 
* John W. Milnor and James D. Stasheff, *Characteristic Classes*, Annals of Mathematics Studies, No. 76, Princeton University Press, 1974.

## იხილეთ აგრეთვე 
* ფორმალური ჯგუფური კანონი
* სიმპლექტური კობორდიზმები

კატეგორია:ალგებრაული ტოპოლოგია