RSA ალგორითმი

**ალგორითმი Rivest Shamir Adleman** ანუ **RSA** — კრიპტოგრაფიის ასიმეტრიული ალგორითმი (public სიტყვა-გასაღები), მნიშვენელოვან გამოყენებას ჰპოვებს ელექტრონულ კომერციაში, განსაკუთრებით საიდუმლო მონაცემების გაცვლა-გამოცვლისათვის ინტერნეტში. ეს ალგორითმი შეიქმნა რონ რივესტის, ადი შამირის და ლენ ადლემანის მიერ 1977 წელს, საიდანაც მოდის მისი სახელწოდება.

## ძირითადი ფუნქციონირება 
ეს ალგორითმი იყენებს ორი ტიპის სიტყვა-გასაღებს: public, ტექსტის დასაშიფრად და private დაშიფრული 
ტექსტის გასაშიფრად. public სიტყვა-გასაღები ხელმისაწვდომია ყველასთვის ვინც შიფრავს ინფორმაციას, private კი ხელმისაწვდომია მხოლოდ მისთვის ვინც შექმნა ორივე სიტყვა-გასაღები.
მაგალითად: ვთქვათ, ორ ადამიანს სურს საიდუმლო მონაცემების გაცვლა. ერთ-ერთი მათგანი, ჯემალი ქმნის ორივე სიტყვა-გასაღებს, შემდეგ public-ს უგზავნის სხვებს ბაკურს,ბეგლარას.... რომელთაც შეუძლიათ დაშიფრონ ტექსტი მოცემული public სიტყვა-გასაღებით,შემდეგ უგზავნიან ჯემალს რომელსაც შეუძლია გაშიფროს თავისი private სიტყვა-გასაღებით.

## უფრო დაწვრილებით ფუნქციონირების შესახებ 
ამ ალგორითმის ავტორები იყენებენ Z/Zn რგოლს და ფერმას მცირე თეორემას, რაც საშუალებას იძლევა მივიღოთ სპეციალური ფუნქციები(function trap) ანუ, ფუნქციები რომელთაც ერთადერთი მნიშვნელობები აქვთ breach secret-ზე. ეს მეთოდი გავრცელებულია და ფართო გამოყენებას ჰპოვებს(მაგ. ფრანგული საბანკო კარტა, კომერციული ვებ-გვერდები...). RSA აკეთებს გამოთვლას Z/Zn ჯგუფებში. მისი ალგორითმი მათემატიკურ პრინციპს ემყარება.

## სიტყვა-გასაღებების შექმნა 
# ვიღებთ ორ განსხვავებულ პირველ მარტივ რიცხვს p და q;
# შემდეგ n-ს, (n=pq);
# გამოვთვლით ეილერის ინდიკატორს n : \varphi(n) = (p-1)(q-1)
# ვიღებთ e-ს, ისეთ პირველ მთელ რიცხვს, რომელსაც \varphi(n) იყენებს როგორც დაშიფვრის ხარისხს.
# რადგანაც e მარტივია, ბეზუს თეორიიდან გამოდის რომ, იგი არის ინვერსიული mod \varphi(n) არსებობს ისეთი მთელი d რომლისთვისაც ed \equiv1\pmod{\varphi(n)}. d არის გაშიფვრის მაჩვენებელი.

(n,e) წყვილი არის public სიტყვა-გასაღები, ხოლო (n,d)-private სიტყვა-გასაღები.

## ტექსტის დაშიფვრა 
ვთქვათ M არის მთელი რიცხვი (MC \equiv M^e \pmod{n}

## ტექსტის გაშიფვრა 
C-ს გასაშიფრად ვიყენებთ d-ს (*e* mod \varphi(n)-ის ინვერსიას) და გამოვთვლოთC^d \pmod{n}\,
გვექნება:
:C^d \pmod{n} \equiv (M^e)^d \pmod{n} \equiv M^{ed} \pmod{n}\,

რადგანაც ed \equiv 1 \pmod{\varphi(n)} მოდულით გაყოფის განმარტებით გვექნება:
:ed = 1 + k \varphi(n) = 1 + k(p-1)(q-1), სადაც k \in \mathbb N.

ნებისმიერი მთელი M-თვის:

:  M^{1+k(p-1)(q-1) }\equiv M \pmod p\,
და 
: M^{1+k(p-1)(q-1) }\equiv M \pmod q\,.

* მართლაც, თუ M-ის და p-ის გამყოფები ურთიერთგანსხვავებულნი არიან, მაშინ ფერმას თეორემის მიხედვით d, M^{p-1} \equiv  1 \pmod p\, მაშასადამე M^{k(p-1)(q-1)} \equiv  1 \pmod p\, puis M^{1+k(p-1)(q-1)} \equiv  M \pmod p\,
* si M n'est pas premier avec p, comme p est un nombre premier, cela signifie que M est multiple de p donc M^{1+k(p-1)(q-1)} \equiv  0  \equiv M \pmod p\,

თუ არა და, რადგანაც p არის მარტივი რიცხვი, გამოდის რომ M არის p-ს ჯერადი და
M^{1+k(p-1)(q-1)} \equiv  0  \equiv M \pmod p\,

:M^{1+k(p-1)(q-1)} - M  \, არის p-ს და q-ს ჯერადი, გაუსის ლემის მიხედვით მტკიცდება რომ, M^{1+k(p-1)(q-1)} - M  \,არის *pq*-ს ჯერადი ანუ n-ის, და გვექნება

:  C^d \equiv M^{ed} \equiv M^{1+k(p-1)(q-1)} \equiv M \pmod n\,

დგინდება, რომ ტექსტის დასაშიფრად საჭიროა ვიცოდეთ *e* და *n*. გასაშიფრად პირიქით - *d* და *n.*

იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ *e* და *n*, *d*-ის საშუალებით, დაგვჭირდება *e* mod (*p* - 1)(*q* - 1 ) , აგრეთვე გვჭირდება ვიცოდეთ *p* და *q*-ს მნიშვნელობები.

## დაპროგრამება-დანერგვა 
როცა RSA მეთოდის გამოყენებასთან გვაქვს საქმე, თავს იჩენს შემდეგი პრობლემები:

* დიდი მარტივი რიცხვის არჩევა.
* M = c^e \mod{n} -ის გამოთვლა

დიდი მარტივი რიცხვის არჩევის მეთოდი არის შემდეგი: ვიღებთ ბიტების შემთხვევით მიმდევრობას (მაგ.:2048), შემდეგ ვამოწმებთ primality test(ალგორითმი რომელიც ამოწმებს მარტივია თუ არა რიცხვი)-ით. ამას მოსდევს კიდევ ერთი პრობლემა: მეთოდი, რომელიც აქ შეგვეძლო გამოგვეყენებინა, მაგალითად, ერასტოთენეს პირზმა, არის ძალიან ნელი. ამიტომ გამოიყენება სხვადასხვა primality probabilistic ტესტი(მაგ.: ფერმას primality).

ეს ტესტი არ გვაძლევს უეჭველ პასუხს რომ რიცხვი მარტივია, მაგრამ დაზუსტებით გვეუბნება, რომ დიდია ალბათობა რომ იგი მარტივი იყოს. ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ primality deterministic-ის ტესტი (polynomial-ის შემთხვევაში, რომელიც იძლევა აგრეთვე იმის საშუალებას, რომ დავაზუსტოდ მარტივია თუ არა რიცხვი (მაგ.: AKS-ის ალგორითმი).ეს უკანასკნელი ნაკლებად სწრაფია, თუმცა დანამდვილებით ამტკიცებს რიცხვის მარტივობას.

M = c^e \mod{n} შეიძლება საკმაოდ გრძელი გამოდგეს, თუ მას ცუდად ავიღებთ. გასაგებია ისიც რომ ჯერ c^e-ს გამოთვლა და შემდეგ მისი მოდულით გაყოფა n-ზე ცუდი იდეაა, რადგანაც ბევრ დროს მოითხოვს. ძირითადად, მაინც მამოიყენება მოდულლური ექსპონენცია.

აგრეთვე შესაძლებელია private სიტყვა-გასაღების განსხვავებული სახით შენახვა, რომელიც იძლევა უფრო სწრაფად გაშიფვრის საშუალებას ჩინური ნაშთის თეორემის დახმარებით.

## უსაფრთხოება 
## პროგრამები 
## თავდასხმები 
### Wiener-ის თავდასხმა 
Wiener-ის თავდასხმა(1989) მოქმედებს მაშინ როდესაც d ნაკლებია N^{\frac{1}{4}}. ხოლო d-ს პოვნა შესაძლებელია \frac{e}{N} უწყვეტი ფუნქციის გაშლით.

### Hastad-ის თავდასხმა 
Hastad-ის თავდასხმა, ერთ-ერთი პირველი თავდასხმა(აღმოჩენილი 1985 წ.), მოქმედებს როდესაც public e საკმაოდ პატარაა.როდესაც ხდება გაგზავნილი ტექსტური შეტყობინების დაჭერა, ჩინური ნაშთის თეორემის საშუალებით შესაძლებელია მისი თავდაპირველი სახის აღდგენა.

## ქრონომეტრიული თავდასხმა 
## თავდასხმა არჩევითი შიფრაციით 
## იხილეთ აგრეთვე 
* დაშიფვრა
* სიმეტრიული დაშიფვრა
* ასიმეტრიული დაშიფვრა
* აუთენტიფიკაცია
* ციფრული ხელწერა
* DSA (Digital Signature Algorithm)
* RSA-ს გამოძახება

## ლიტერატურა 
* კრიფტოგრაფია, თეორია და პრაქტიკა, დუგლას სტინსონი, მეორე გამოცემა, Vuibert 2003
* გამოყენებითი კრიპტოგრაფია, ბრიუს შნეიერი, მეორე გამოცემა, Vuibert, იანვარი 2001, ISBN 2-7117-8676-5.
* კრიპტოგრაფია, პრინციპი, პიერ ბართელემი, რობერტ როლანდი, პასკალ ვერონი, ჰერმეს ლავუაზიე, 2005, ISBN 2-7462-1150-5

## რესურსები ინტერნეტში 
* რობერტ როლანდის ლექციები (ლუნინის მათემატიკის ინსტიტუტი) RSA-ს ფაილების შესახებ.

კატეგორია:კრიპტოგრაფია