მაქსველის განტოლებები

**მაქსველის განტოლებები** — ოთხი კერძო წარმოებულიანი დიფერენციალური განტოლებისგან შემდგარი სისტემა, რომელიც აკავშირებს ელექტრულ და მაგნიტურ ველებს მათ წყაროებთან: მუხტის სიმკვრივესთან და დენის სიმკვრივესთან. ამ განტოლებებიდან შესაძლებელია იმის ჩვენება, რომ სინათლე არის ელექტრომაგნიტური ტალღა. ცალ-ცალკე ამ ოთხ განტოლებას ეწოდება გაუსის კანონი, გაუსის კანონი მაგნეტიზმისთვის, ფარადეის ინდუქციის კანონი და ამპერის კანონი მაქსველის კორექტირებით. განტოლებათა სისტემას სახელი ეწოდა ბრიტანელი ფიზიკოსის ჯეიმზ კლარკ მაქსველის პატივსაცემად.

მაქსველის განტოლებათა სისტემაში შემავალი ოთხი განტოლება, ლორენცის ძალასთან ერთად შეადგენენ კლასიკური ელექტროდინამიკის კანონების სრულ სისტემას. აღსანიშნავია, რომ ლორენცის ძალის გამოსახულება ასევე მაქსველის მიერ იქნა მიღებული *ელექტრომამოძრავებელი ძალის განტოლების* სახელწოდებით.

## ზოგადი აღწერა 
ამ თავში მოცემულია მაქსველის განტოლებების კონცეპტუალური აღწერა და მათ შორის ურთიერთკავშირის მოკლე ანალიზი. განტოლებების მათემატიკური ფორმულირება მოცემულია შემდეგ თავებში. მაქსველის განტოლებათა სისტემა შედგება შემდეგი კანონებისგან:

* გაუსის კანონი - აღწერს მუხტის მიერ ელექტრული ველის გენერაციას.

* გაუსის კანონი მაგნეტიზმისთვის ამტკიცებს, რომ ბუნებაში არ არსებობს (ელექტრული მუხტის ანალოგიური) *მაგნიტური მუხტი* (რომელსაც ხშირად მაგნიტურ მონოპოლს უწოდებენ). ამის სანაცვლოდ, მაგნიტური ველი გენერირდება დიპოლური კონფიგურაციებს მიერ, რომელსაც არ აქვს ჯამური *მაგნიტური მუხტი*. მაგნეტიზმისთვის გაუსის კანონის ექვივალენტური ფორმულირება ასეთია: მაგნიტური ნაკადი რომელიც განჭოლავს ნებისმიერ ჩაკეტილ ზედაპირს ნულის ტოლია.

[right|thumb|250|[მაგნიტურ გულარიანი მეხსიერება (1954წ) არის ამპერის კანონის პრაქტიკული გამოყენებსი შედეგი. თითოეული მაგნიტური გულარი ინახავს ერთ ბიტ ინფორმაციას.]]

* ფარადეის ინდუქციის კანონი აღწერს დროში ცვლადი მაგნიტური ველის მიერ ელექტრული ველის გაჩენას. ეს მოვლენა, რომელსაც ელექტრომაგნიტური ინდუქცია ეწოდება საფუძვლად უდევს ელექტრული გენერატორის მუშაობას. მაგნიტის მოძრაობით იღებენ ცვლად მაგნიტურ ველს, რომელიც თავის მხრივ აგენერირებს სადენის ხვიებში ელექტრულ ველს.

* ამპერის კანონი მაქსველის კორექტირებით ამტკიცებს, რომ მაგნიტური ველი შეიძლება ორი მიზეზის გამო გაჩნდეს: ელექტრული დენით (ამპერის კანონი) და დროში ცვლადი ელექტრული ველით (*მაქსველის კორექტირება*).

ამპერის კანონის მაქსველის კორექტირება (წანაცვლების დენი) განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია. ამ კორექტირების მიხედვით ცვლადი მაგნიტური ველი აგენერირებს ელექტრულ ველს. მაშასადამე, მაქსველის განტოლებათა სისტემა უშვებს სპეციფიკური თვითშეთანხმებულიამონახსენის, ელექტრომაგნიტური ტალღის არსებობას ვაკუუმში.

## მათემატიკური ფორმულირება 
ქვემოთ მოცემულია მაქსველის განტოლებები SI სისტემაში. მექანიკის განტოლებებისგან განსხვავებით ელექტროდინამიკის განტოლებების სახე დამოკიდებულია არჩეულ ერთეულთა სისტემაზე.)

ქვემოთ მოცემულია მაქსველის განტოლებების ორი ექვივალენტური სახე. პირველ ფორმულირებაში ხდება ე.წ.  *ბმული (შიდა) მუხტისა* და *ბმული (შიდა) დენის* (ჩნდება დიელექტრიკებსა და დამაგნიტებულ მატერიალებში) გამოყოფა ე.წ. *თავისუფალი მუხტსა* და *თავისუფალი დენისგან*. ასეთი გაყოფა სასარგებლოა დიელექტრიკებსა და დამაგნიტებულ ნივთიერებებში ელექტრული ველების ანალიზის დროს. მეორე მიდგომაყველა სახის მუხტს თანაბრად განიხილავს (და ოპერირებს ცნებით *სრული მუხტი* და შესაბამისად *სრული დენი*). მეორე მიდგომა უფრო ფუნდამენტურია, მაგრამ როგორც წესი უფრო რთულ გათვლებს მოიცავს.

ქვემოთ მოყვანილ ცხრილში თავმოყრილია მაქსველის განტოლელებში წარმოდგენილი ყველა ფიზიკური სიდიდის დასახელება და ერთეული SI სისტემაში:

## მაქსველის განტოლებები გარემოში 
### ბმული (შიდა) მუხტი და დენი 
thumb|300px|*მარცხნივ:* იმის ილუსტრაცია, რომ მიკროსკოპული დიპოლების მოწესრიგებსი შედეგად იქმნება სივრცეში გაყოფილი, მაკროსკოპული მუხტების გადანაწილება (საპირისპირო ზედაპირებზე შეიქმნა ორი დამუხტული ზედაპირი). საზღვრებს შიგნით სხვადასხვა მიკრო დიპოლების წვლილი ბათილდება, ხოლო საზღვარზე არა.; *მარჯვნივ:* ილუსტრაცია, როგორ ქმნის მიკროსკოპული დენების მარყუჟების ერთობლიობა მაკროსკოპული დენის მარყუჟს. საზღვრებს შიგნით სხვადასხვა მიკრო მარყუჟების წვლილი ბათილდება, ხოლო საზღვარზე არა.

როდესაც ელექტრული ველი მოდებულია დიელექტრიკზე, მისი თითოეული მოლეკულა მცირედ დეფორმირდება, ისე რომ იგი ქმნის ელექტრულ დიპოლს - ბირთვი მცირედ  წაინასვლებს ველის მიმართულებით, ხოლო ელექტრონის საშუალო მდებარეობა მცირედ წაინაცვლებს ველის საპირისპირო მიმართულებით. ამ მოვლენას სხეულის პოლარიზაცია ეწოდება. იდეალიზირებულ შემთხვევაში (იხ. სურათი) ეს გადახრები იდენტურია და იწვევს დადებითი მუხტის თავმოყრას ერთ მხარეს, ხოლო ურყოფითი მუხტისას მეორე მხარეს (მუხტის მაკროსკოპული გაყოფა), მიუხედავად იმისა, რომ სხეულში არსებული ყველა მუხტი კვლავ ბმულია კონკრეტულ მოლეკულასთან. მოცულობითი პოლარიზაცია  **P** არის შიდა (ბმული) მუხტის პოლარიზაციის შედეგი.

ამის მსგავსად, ისეთ მატერიალებზე, რომლის ატომებს ახასიათებთ არანულოვანი მაგნიტური მომენტი (რომელიც შეიძლება წარმოვიდგინოთ, როგორც მიკროსკოპული დენის მარყუჟები), მაგნიტური ველის მოქმედებისას ხდება ამ მიკროსკოპული დენების მოწესრიგება, რაც აჩენს ჯამურ, მაკროსკოპულ, ბმულ (შიდა) დენს. ამ უკამასკნელის აღწერა შესაძლებელია გარკვეული **M** ვექტორული ველის შემოყვანით.

ეს განხილვა გვიჩვენებს, რომ ბევრ პრაქტიკულ ამოცანაში ატომების მიკრისკოპული დინამიკა შეიძლება დამაკმაყოფილებლად იქნას აღწერილი გამარტივებული მიდგომის ფარგლებში, მიკროსკოპული თვისებების დეტალების დაკონკრეტების გარეშე.

### მატერიალური განტოლებები 
იმისთვის, რომ მაქსველის განტოლებათა სისტემამ მიიღოს ჩაკეტილი სახე და შეძაძლებელი გახდეს მისი ამოხსნა, საჭიროა დამატებით თანაფარდობების შემოტანა, რომლებიც ერთმანეთთნ დააკავშირებს **D** და **E** ველებს ერთი მხრივ, **H** და **B** ველებს მეორე მხრივ.

ასეთი კავშირების საჭიროების მოთხოვნა არის იმ ფაქტის მანიფესტაცია, რომ მაქსველის განტოლებების ამოხსნა გარემოში შეუძლებელია, თუ არ არსებობს ინფორმაცია იმის შესახებ, როგორ რეაგირებს განსახილველი გარემოს ბმული მუხტი და დენი მასზე მოდებულ ელექტრომაგნიტურ ველზე. *თავისუფალ* მუხტზე და დენზე მოდებული ველის მოქმედება განისაზღვრება ლორენცის ძალით, მაშინ როდესაც ბმული მუხტზე ველის მოქმედების აღწერა ბევრად უფრო რთულია, და *დამაგნიტებისა* და *პოლარიზაციის* ვექტორებით განისაზღვრება.

საჭირო კავშირი ელექტრომაგნიტურ ველებს შორის შეიძლება იყოს განსაზღვრული როგორც ემპირიულად (დადგენილი იქნას ექსპერიმენტულად), ასევე თეორიულად (დადგენილი იქნას სტატისტიკური მექანიკის, მყარი ტანის ფიზიკისა და თეორიული ფიზიკის სხვა დარგების გამოყენებით). მას შემდეგ, რად ამა თუ იმ გზით, დადგენილია თუ როგორ რეაგირებს გარე ელექტრომაგნიტურ ველზე ბმული მუხტი და დენი, მაქსველის განტოლებები შეიძლება ჩაწერილი იქნას მხოლოდ **E** და **B** ველების მეშვეობით.

#### დიელექტრიკული და მაგნიტური სხეულების არარსებობის შემთხვევაში 
თუ განსახილველი პრობლემა არ მოიცავს მაგნიტურ სხეულებსა და დიელექტრიკებს, მაშინ საძიებელ კავშირს მარტივი სახე აქვს:

:\mathbf{D} = \epsilon_0\mathbf{E}, \;\;\; \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0

სადაც ε0 არის ელექტრული მუდმივა, ხოლო μ0 კი არის მაგნიტური მუდმივა.

#### წრფივი მატერიალების შემთხვევა 
წრფივ, იზოტროპულ და არადისპერსიულ გარემოში სხვადასხვა ველებს შორის კავშირს ასევე მარტივი სახე აქვს:
:\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}, \;\;\; \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu
სადაც ε და μ არიან მუდმივები (დამოკიდებული კონკრეტულ ნივთიერებაზე) რომლებსაც შესაბამისად დიელექტრიკული შეღწევადობა და მაგნიტური შეღწევადობა ეწოდებათ.

#### ზოგადი შემთხვევა 
რეალური სხეულებისთვის მატერიალურ განტოლებებში შემავალი ველები ხშირად არ არის ერთმანეთის პირდაპირ პროპორციული, თუმცა ხშირად მიახლოებით შეიძლება ისევ ჩაიწეროს როგორც:
:\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}, \;\;\; \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu
თუმცა ε და μ როგორც წესი არ არიან მუდმივები და შეიძლება დამოკოდებული იყვნენ: 
* ველის სიდიდეზე (არაწრფივი გარემო); 
* ველის მიმართულებაზე (ანიზოტროპული გარემო). ასეთ დროს ε და μ აღარ არიან სკალარული სიდიდეები და წარმოადგენენ მოერე რანგის ტენზორებს;
* ველის ვცლილების სიხშირეზე (დისპერსიული გარემო). ასეთ დროს ε და μ დამოკიდებულია სიხშირეზე.

ამის გარდა ε და μ შეიძლება დამოკიდებული იყოს: 
* მატერიალს შიგნით მდებარეობაზე (სივრცულად არაერთგვაროვანი გარემო); 
* ველების ისტორიაზე (ანუ დროში არა მხოლოდ ველის მნიშვნელობაზე დროის განსახილველ მომენტში, არამედ უფრო ადრეულ მომენტებშიც); 
ასეთ შემთხვევაში მატერიალურ განტოლებებს გაცილებით უფრო რთული ფორმა აქვს:
:\mathbf{D}(\mathbf{r}, t) = \epsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{P}(\mathbf{r}, t)
:\mathbf{H}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) - \mathbf{M}(\mathbf{r}, t)
:\mathbf{P}(\mathbf{r}, t) = \epsilon_0 \int d^3 \mathbf{r}' d t'\;
\hat{\chi}_{\mathrm{elec}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{E})\, \mathbf{E}(\mathbf{r}', t')
:\mathbf{M}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{\mu_0} \int d^3 \mathbf{r}' d t' \;
\hat{\chi}_{\mathrm{magn}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{B})\, \mathbf{B}(\mathbf{r}', t').

### მაქსველის განტოლებები წრფივ გარემოში 
თუ წრფივი გარემოს მატერიალურ განტოლებებს მაქსველის განტოლებებში ჩავსვამთ, მივიღებთ:
:\nabla \cdot (\epsilon \mathbf{E}) = \rho_f 
:\nabla \cdot \mathbf{B} = 0    
:\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
:\nabla \times (\mathbf{B} / \mu) = \mathbf{J}_f + \epsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}.

ეს განტოლებები იდენტურია **E** და **B** ველების მეშვეობით ზემოთ მოყვანილი ფორმისა, იმ განსხვავებით, რომ ელექტრული მუდმივა შეიცვალა გარემოს დიელექტრიკული შეღწევადობით, ხოლო მაგნიტური მუდმივა მაგნიტური შეღწევადობით. გარდა ამისა, ახლა მუხტიდა და ელექტრული დენის ქვეშ იგულისხმება მხოლოდ *თავისუფალი* მუხტი და დენი.

### მაქსველის განტოლებები ვაკუუმში 
თუ განვიხილავთ შემთხვევას, როდესაც არ გვაქვს არც ბმული და არც თავისუფალი მუხტები და დენები, მაშინ მაქსველის განტოლებები მიიღებს სახეს:

:\nabla \cdot \mathbf{E} = 0

:\nabla \cdot \mathbf{B} = 0

:\nabla \times \mathbf{E} =  - \frac{\partial\mathbf{B}} {\partial t}

:\nabla \times \mathbf{B} = \ \    \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}.

ამ სისტემის ერთ-ერთი შესაძლო ამონახსენია გავრცელებადი ბრტყელი ტალღა, რომლისთვისაც ელექტრული და მაგნიტური ველები ერთიერთმართობულია როგორც ერთმანეთის, ასევე ტალთის გავცელების მიმართულების, ხოლო გავრცელების სიჩქარე არის
:c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}. \  

მაქსველის განტოლებები იძლევა ფიზიკურ ახსნას, თუ რატომ ვრცელდება ასეთი ტიპის ტალღები სივრცეში: ცვლადი მაგნიტური ველი აგენერირებს ცვლად ელექტრულ ველს ფარადეის ინდუქციის კანონის შესაბამისად, ხოლო ელექტრული ველი, თავის მხრივ, აგენერირებს ცვლად მაგნიტურ ველს (მაქსველის მიერ შესწორებული ამპერის კანონის შესაბამისად). ეს ურთიერთკავშირი განაპირობებს იმას, რომ ასეთ ტალღებს (ელექტრომაგნიტური ტალღა) შეუძლიათ გავრცელება სივრცეში ე.წ. სინათლის *c* სიჩქარით.

## გაუსის ერთეულებში 
ზემოთ ყველა განტოლება მოცემული იყო SI სისტემაში. ალტერნატიულ სანტიმეტრი-გრამი-წამი ერთეულთა სისტემაში არსებობს ელექტრომაგნიტური ფიზიკური სიდიდეების ერთეულთა რამდენიმე შესაძლო განსაზღვრება. მათ შორის ყველაზე პოპულარულ, გაუსის ერთეულთა სისტემაში მაქსველის განტოლებებს აქვს სახე:

: \nabla \cdot \mathbf{D} = 4\pi\rho_f

: \nabla \cdot \mathbf{B} = 0

: \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}

: \nabla \times \mathbf{H} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} + \frac{4\pi}{c} \mathbf{J}_f

სადაც  *c* არის სინათლის სიჩქარე ვაკუუმში. ელექტრომაგნიტური ველისთვის ვაკუუმში გვექნება:

:\nabla \cdot \mathbf{E} = 0

:\nabla \cdot \mathbf{B} = 0

:\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}

:\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. 

ამ ერთეულთა სისტემაში კავშირი ელექტრული ველის ინდუქციას,  ელექტრული ველის დაძაბულობასა და პლარიზაციის სიმკვრივეს შორის ასეთია:
: \mathbf{D} = \mathbf{E} + 4\pi\mathbf{P}.
ხოლო კავშირს მაგნიტურ ინდუქციას, მაგნიტური ველის დაძაბულობასა და დამაგნიტებას შორის აქვს შემდეგი სახე:
:\mathbf{B} = \mathbf{H} + 4\pi\mathbf{M}.

წრფივ გარემოში შეიძლება შემოღებული იქნას ელექტრული და მაგნიტური მგრძნობიარობა, ისე რომ :
: \mathbf{P} = \chi_e \mathbf{E}, &nbsp;&nbsp;&nbsp; \mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}.
კავშირს ელექტრულ და მაგნიტურ მგრძნობიარობასა და დიელექტრიკულ შეღწევადობასა და მაგნიტურ შეღწევადობას შორის აქვს სახე
: \ \epsilon = 1+4\pi\chi_e, &nbsp;&nbsp;&nbsp; \ \mu = 1+4\pi\chi_m
ასე რომ
: \mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E}, &nbsp;&nbsp;&nbsp; \mathbf{B} = \mu \mathbf{H}.
ვაკუუმში ეს თანაფარდობები კიდევ უფრო მარტივდება 
:\ \epsilon=\mu=1, და შესაბამისად გვაქვს **D**=**E**,  **B**=**H**.

ლორენცის ძალას გაუსის ერთეულთა სისტემაში აქვს სახე::

: \mathbf{F} = q \left(\mathbf{E} + \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B}\right),

სადაც  q \  არის ნაწილაკის მუხტი, ხოლო  \mathbf{v} \  მისი სიჩქარე.

## ფარდობითობის სპეციალური თეორია 
მაქსველის განტოლებებს ახლო კავშირი აქვთ  ფარდობითობის სპეციალურ თეორიასთან: ერთი მხრივ ისტორიულად მაქსველის განტოლებებმა უმნიშვნელოვანესი როლი შეასრულეს ამ თეორიის განვითარებაში, ხოლო მერეს მხრივ ფარდობითობის თეორია მაქსველის განტოლებების მათემატიკურად კომპაქტურად ჩაწერის საშუალებას იძლევა  (კოვარიანტული ტენზორების მეშვეობით).

### მაქსველის განტოლებების კოვარიანტული ფორმა 
ფარდობითობის სპეციალურ თეორიაში იმის ხაზგასასმელად, რომ მაქსველის განტოლებებს ერთი და იგივე ფორმა აქვთ ათვლის ნებისმიერ ინერციულ სისტემაში, მათ წერენ ე.წ. კოვარიანტული სახით ოთხვექტორების მეშვეობით.

ასეთი ფორმულირების ერთ-ერთი ინგრედიენტია ელექტრომაგნიტური ველის ტენზორი, მეორე რანგის კოვარიანტული, ანტისიმეტრიული ტენზორი, რომელიც აერთიანებს ელექტრული და მაგნიტური ველის კომპონენტებს:
:F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix}
0 &  \frac{-E_x}{c} &  \frac{-E_y}{c} &  \frac{-E_z}{c} \\
\frac{E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\
\frac{E_y}{c}  & -B_z & 0 & B_x \\
\frac{E_z}{c} & B_y & -B_x & 0
\end{matrix} \right)

იგივე ტენზორის ზედა ინდექსებით ასეთი სახე აქვს
:F^{\mu \nu} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, \eta^{\mu \alpha} \, F_{\alpha \beta} \, \eta^{\beta \nu} = \left( \begin{matrix}
0 &  \frac{E_x}{c} &  \frac{E_y}{c} &  \frac{E_z}{c} \\
\frac{-E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\
\frac{-E_y}{c}  & -B_z & 0 & B_x \\
\frac{-E_z}{c} & B_y & -B_x & 0
\end{matrix} \right).

მაქსველის განტოლებების კოვარიანტული ფორმულირების მოერე ინგრედიენტია დენის ოთხვექტორი:
J^{\alpha} = (c\rho,\vec{J})
სადაც \rho არის მუხტის სიმკვრივე, ხოლო **J** არის დენის სიმკვრივე.

ამ სიდიდეების გამოყენებით მაქსველის განტოლებები  (SI სისტემაში) ასე ჩაიწერება:
:\mu_{0} \, J^{\beta} \, = \, {\partial F^{\beta\alpha} \over {\partial x^{\alpha}}  } \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, \partial_{\alpha} F^{\beta\alpha} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, {F^{\beta\alpha}}_{,\alpha} \,

და
:0 = \partial_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \partial_{\beta} F_{\gamma\alpha} + \partial_{\alpha} F_{\beta\gamma} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\    {F_{\alpha\beta}}_{,\gamma} + {F_{\gamma\alpha}}_{,\beta} +{F_{\beta\gamma}}_{,\alpha}. 

პირველი ტენზორული განტოლება არის მაქსველის ორი არაერთგვაროვანი განტოლების ექვივალენტური (გაუსის კანონი და ამპერის კანონი), ხოლო მეორე განტოლება ექვივალენტურია იგივობის
:0 = \epsilon^{\delta\alpha\beta\gamma} {F_{\beta\gamma}}_{,\alpha}  

სადაც \, \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} არის ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს კონტრავარიანტული ვერსია და
:  { \partial \over { \partial x^{\alpha} }   } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \partial_{\alpha} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  {}_{,\alpha} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right)

არის ოთხ-გრადიენტი.

## პოტენციალები 
მაქსველის განტოლებების ჩაწერა კიდევ ერთი ალტერნატიული ფორმითაა შესაძლებელი ელექტრული პოტენციალისა და მაგნიტური პოტენციალის ცნებების გამოყენებით.

გაუსის კანონი მაგნეტიზმისთვის გვაძლევს:
:\nabla\cdot\mathbf{B} = 0.
შესაბამისად ჰელმჰოლცის გაშლა საშუალებას გვაძლევს წარმოვადგინოთ **B** როგორც რაღაცა ვექტორული **A** ველის (მაგნიტური პოტენციალი) როტორი:
:\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}.

ამ განტოლების ფარადეის ინდუქციის კანონში ჩასმა გვაძლევს :
:\nabla\times \left( \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right) = 0.
ჰელმჰოლცის თეორემის თანახმად ეს სიდიდე შეიძლება წარმოდგენილი იქნას როგორც რაღაცა სკალარული \varphi ფუნქციის (ელექტრული პოტენციალი) გრადიენტი:
:\mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = -\nabla \varphi.

ამ განტოლებების მაქსველის დარჩენილ ორ განტოლებასთან კომბინირებით მივიღებთ:

:\mathbf E = - \mathbf \nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}
:\mathbf B = \mathbf \nabla \times \mathbf A
:\nabla^2 \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A \right ) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}
:\left ( \nabla^2 \mathbf A - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} \right ) - \mathbf \nabla \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf J.

მიღებული განტოლებათა სისტემა მაქსველის განტოლებების ექვივალენტურია. მეტიც, ასეთი ფორმულირება გარკვეული აზრით ამარტივებს განტოლებებს, რადგან ელექტრული ველის დაძაბულობასა და მაგნიტური ინდუქციას როგორც ვექტორულ ველებს სამ-სამი კომპონენტი აქვთ (სულ 6 უცნობი ფუნქცია), მაშინ როდესაც ელექტრულ და მაგნიტურ პოტენციალებს ერთად სულ 4 დამოუკიდებელი კომპონენტი აქვთ.

## იხილეთ აგრეთვე 
* გაუსის კანონი
* ბიო-სავარის კანონი
* გაუსის კანონი მაგნეტიზმისთვის
* ელექტროდინამიკა
* ლორენცის ძალა

## სქოლიო 
კატეგორია:ელექტროდინამიკა