ლევი-ჩივიტას სიმბოლო

**ლევი-ჩივიტას სიმბოლო** — მათემატიკური სიმბოლო, რომელიც გამოიყენება ტენზორულ აღრიცხვში, რომელსაც ეს სახელი ეწოდა იტალიელი მათემატიკოსისა და ფიზიკოსის ტულიო ლევი-ჩივიტას პატივსაცემად.

## განმარტება
thumb|250px|ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს მნიშვნელობები მარჯვენა ორიენტაციის კოორდინატთა სისტემაში.

სამგანზომილებიან სივრცეში ლევი-ჩივიტას სიმბოლო შემდეგნაირად განისაზღვრება:

: \varepsilon_{ijk} = 
\begin{cases}
+1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (3,1,2) \mbox{ or } (2,3,1), \\
-1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,3,2), (3,2,1) \mbox{ or } (2,1,3), \\
0 & \mbox{if }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i
\end{cases} 

ანუ  \varepsilon_{ijk}  არის 1 თუ (*i*, *j*, *k*) წარმოადგენენ (1,2,3)-ის ლუწ გადანაცვლებას (ანუ ამ კომბინაციიდან (1,2,3)-ის მისაღებად ციფრების გადანაცვლებების ლუწი რაოდება არის საჭირო), და არის  −1 თუ ამისთვის გადანაცვლებების კენტი რაოდენობაა საჭირო. 

სამგანზომილებიან სივრცეში ლევი-ჩივიტას სიმბოლო მოიცემა შემდეგი ფორმულით:
:
  \varepsilon_{ijk} = \frac{\left( j-i \right)\left( k-i \right)\left( k-j \right)}{2} = \frac{\left( i-j \right)\left( j-k \right)\left( k-i \right)}{2}.

ანალოგიურ ფორმულას ოთხგანზომილებიანი სივრცისთვის აქვს შემდეგი სახე:

:
  \varepsilon_{ijkl} = \frac{\left( j-i \right)\left( k-i \right)\left( l-i \right)\left( k-j \right)\left( l-j \right)\left( l-k \right)}{12} .

thumb|250px|ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს ვიზუალიზაცია 3×3×3 მატრიცის სახით.
thumb|250px|მარცხენა ორიენტაციის კოორდინატთა სისტემაში ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს ილუსტრაცია. ცარიელი კუბი აღნიშნავს 0-ს, წითელი +1-ს, ხოლო ლურჯი -1-ს.

წრფივ ალგებრაში 3×3 A მატრიცის დეტერმინანტი მოიცემა შემდეგი ფორმულით:
 
:
\det A = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k}

ხოლო ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი ჩაიწერება შემდეგნაირად

:
\mathbf{a \times b} =
 \begin{vmatrix} 
 \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
 a_1 & a_2 & a_3 \\
 b_1 & b_2 & b_3 \\
 \end{vmatrix}
= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k

ან უფრო მარტივად:
:
\mathbf{a \times b} = \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k.

### კავშირი კრონეკერის სიმბოლოსთან
ლევი-ჩივიტას სიმბოლო დაკავშირებულია კრონეკერის სიმბოლოსთან. სამგანზომილებიან სივრცეში ეს კავშირი შემდეგი ფორმულებით მოიცემა: 

:
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} = \det \begin{bmatrix}
\delta_{il} & \delta_{im}& \delta_{in}\\
\delta_{jl} & \delta_{jm}& \delta_{jn}\\
\delta_{kl} & \delta_{km}& \delta_{kn}\\
\end{bmatrix},

::: = \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right) \,

:
\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}
,

და 

:
\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}

## თვისებები
1. ორ განზომილებაში, როდესაც i,j,m,n იღებს მნიშვნელობებს \{1,2\}, გვაქვს

::\begin{align}&\varepsilon_{ij} \varepsilon^{mn}  =  \delta^m_i \delta^n_j - \delta^n_i \delta^m_j \quad &&(1) \\&\varepsilon_{ij} \varepsilon^{in}  =  \delta^n_j &&(2) \\&\varepsilon_{ij} \varepsilon^{ij}  =  2 &&(3)\end{align}

2. სამ განზომილებაში, როდესაც i,j,k,m,n იღებს მნიშვნელობებს \{1,2,3\}, გვაქვს

::\begin{align}&\varepsilon_{jmn} \varepsilon^{imn}=2\delta^i_j &&(4)\\&\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{ijk}=6 &&(5)\\&\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn}=\delta^{m}_j\delta^{n}_k - \delta^{n}_j\delta^{m}_k &&(6)\end{align}

3. *n* განზომილებაში, როდესაც i_1,...,i_n,j_1,...,j_n იღებს მნიშვნელობებს \{1,...,n\},:
::\begin{align}& \varepsilon_{i_1 \dots i_n} \varepsilon^{j_1 \dots j_n} = n! \delta^{j_1}_{[ i_1} \dots \delta^{j_n}_{i_n ]}   &&(7)\\& \varepsilon_{i_1 \dots i_k~i_{k+1}\dots i_n} \varepsilon^{i_1 \dots i_k~j_{k+1}\dots j_n}= k!(n-k)!~\delta^{j_{k+1}}_{[ i_{k+1}} \dots \delta^{j_n}_{i_n ]} &&(8)\\& \varepsilon_{i_1 \dots i_n}\varepsilon^{i_1 \dots i_n} = n! &&(9)\end{align}

## მაგალითები
1. n\times n მატრიცის A=(a_{ij}) დეტერმინანტი გამოისახება შემდეგი ფორმულით

:: \det A = \varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{1i_1} \cdots a_{ni_n},

სადაც იგულისხმება, რომ ყველა  i_l სიმბოლოთი ხორციელდება აჯამვა. 

ექვივალენტურად, ეს განტოლება შეიძლება შემდეგნაირად ჩაიწეროს:

:: \det A = \frac{1}{n!} \varepsilon_{i_1\cdots i_n} \varepsilon_{j_1\cdots j_n} a_{i_1 j_1} \cdots a_{i_n j_n},

სადაც ყველა i_l და j_l ინდექსებით ხორციელდება აჯამვა 1,\ldots, n შუალედში.

2. თუ A=(A^1, A^2, A^3) და B=(B^1, B^2, B^3) არიან სამგანზომილებიანი ვექტორები, მაშინ მათი ვექტორული ნამრავლის  i-ური  გეგმილი ტოლია

:: (A\times B)^i = \varepsilon^{ijk} A^j B^k.

## იხილეთ აგრეთვე
*ვექტორული ნამრავლი
*კრონეკერის სიმბოლო

## სქოლიო
* Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, *Gravitation*, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. 

კატეგორია:წრფივი ალგებრა 
კატეგორია:ტენზორული აღრიცხვა