フォイエルバッハの定理

幾何学において、**フォイエルバッハの定理**（フォイエルバッハのていり、、）は、三角形の九点円と内接円および傍接円とが接することを述べる定理である。1822年に定理を示したカール・フォイエルバッハの名を冠する。

平面幾何学の中で最も美しい定理の一つと評価されている。現在までに様々な証明や拡張が見つかっている。

なお、九点円と呼ばれる円の存在を単にフォイエルバッハの定理と呼ぶこともある。
## 主張

三角形の辺の各中点、頂点と垂心の中点、三角形の頂点から対辺に降ろした垂線の足は共円である。この円を**[[九点円]]**という。半径は、外接円の半径の半分である。

三角形の3辺に、内接する円を**[[内接円]]**という。三角形の3辺の1つと内部で接し、2つと外部で接する円を**[[傍接円]]**という。

非正三角形の九点円と内接円は内接する。また九点円と傍接円は外接する。これを**フォイエルバッハの定理**という。内接円と九点円の接点は、**[[フォイエルバッハ点]]**と呼ばれる。

正三角形の九点円と内接円は一致するため、厳密にいえば、正三角形に対して内接円と九点円は接するということはない。これは、正三角形の場合は例外として排除するか、極限の場合として見ることで解決できる。

## 証明
フォイエルバッハの定理の証明にはさまざまなものが知られ、現代でも新たな証明が発見されている。自動定理証明を用いるものも存在する。フォイエルバッハの定理の証明を数学の一分野と見なす数学者がいるとも言われる。

井上義夫は31の証明を直線・円の理論を用いた証明、中心の距離の計算による証明、方冪の理論を用いた証明、反転幾何学を用いた証明、その他初等幾何学的な証明に分類している。

次の証明はケイシーの定理、特にパーサーの定理を使うものである。

について、の中点をそれぞれ、と内接円の接点をそれぞれ**'とする。

<math display="block">\overline{EF}=\dfrac{a}{2}, \quad\overline{FD}=\dfrac{b}{2}, \quad\overline{DE}=\dfrac{c}{2},
\quad\overline{DX}=\left| \dfrac{b-c}{2} \right|,
\quad\overline{EY}=\left| \dfrac{c-a}{2} \right|,
\quad\overline{YZ}=\left| \dfrac{a-b}{2} \right|</math>

が計算できる。適切に符号を選ぶことで、

<math display="block">\overline{DX}\cdot\overline{EF}\pm\overline{EY}\cdot\overline{FD}\pm\overline{FZ}\cdot\overline{DE}=0</math>

とすることができるため、ケイシーの定理の逆より、内接円と九点円は接する。同様にして傍接円と九点円が接することも証明できる。


J. P. テイラーなどによる[[反転幾何学]]を使った証明を紹介する。

の中点をそれぞれ、の二等分線との交点を、からに降ろした垂線の足を、内心を、それぞれと内接円・傍接円の接点を、九点円の直径をとする。

が成立する。中心、半径の円による反転を施すと、内接円と傍接円は自身に移り、九点円はに垂直なを通る直線に移動する。この直線との成す角は


である。今、をを通る内接円の接線とすると、反転より、この直線は傍接円とも接する。更にと

で交わる。したがって九点円の反転像は直線である。ゆえに九点円は内接円及び傍接円と接する。


次の証明では、三角形の[[図形の相似|相似]]を利用して内心と九点円中心の距離を計算する。

の[[外心]]、内心、[[垂心]]、九点円中心をそれぞれ、外接円半径と内接円半径をそれぞれ、からに降ろした垂線の足を、と内接円の接点を、の中点をそれぞれとする。

の二等分線が三角形の外接円と再び交わる点は弧の中点である（[[南極定理]]参照）。

[[トリリウムの定理]]から、。

の中点はともにであるので。ゆえには平行。

からに降ろした垂線の足を、半直線と九点円の弧の交点をとする。

を通るの平行線とそれぞれの交点をとして、。ととは相似なので

と、との相似による式<math>YM^2=R\cdot XY </math>より、

今、[[ピタゴラスの定理]]より、

よって九点円と内接円は接する。

相似などを用いた円の中心の距離の計算による証明は上記の方法以外にもいくつかの方法がある（出典などを参照されたい）。


[[シムソン線]]による特徴づけを用いた解法も存在する。

の外心と内心を結ぶ直線と外接円の交点を、からそれぞれ各辺に降ろした垂線の足を、のシムソン線の交点を、各辺の中点をそれぞれ、内接円と各辺の接点をとする。

である。は九点円上にある。シムソン線は垂直に交わるから、。

[[平行線と比の定理]]より、。したがって。

ここで、ある2円について、方べきの比が一定な点の軌跡は2円の共軸円である。2円を内接円と点円とすると、九点円は内接円と点円の共軸円である。今、は九点円上にあるから、[[根軸]]はにおける九点円の接線であり、内接円もこの接線に接する。
ゆえに内接円と九点円はで接する。


の内接円との接点を、の二等分線との交点を、の中点を、からに降ろした垂線の足を、を通りとは異なる内接円の接線の内接円との接点を、が内接円と再び交わる点を、における九点円の接線をとする。

より、とは平行。
より、は[[共円]]。ゆえに。したがっては九点円上にある。

さらに、をとなるように配置すると、は内接円及び九点円の接線となる。したがって、内接円と九点円はで接する。


== 一般化・拡張 ==
フォイエルバッハの定理の[[一般化]]・拡張もまた様々なものが知られている。

=== ロビンソン ===
1857年、ジョン・ジョシュア・ロビンソンは ''The Lady's and Gentleman's Diary'' で次の定理を示した。


=== ハート ===


1861年、[[アンドルー・サール・ハート]]は、3辺が[[直線]]でなくとも類似の定理が成立することを示した。ハートの定理は、ラーモアの示した定理の様に、[[非ユークリッド幾何学|非ユークリッド平面]]上の三角形の4つの外接円がある円に接するということに他ならない。

=== フォントネー ===


次の定理は、1867年に[[ジョン・グリフィス (数学者)|グリフィス]]、1880年にヴェイユ、1889年に[[W. S. マッケイ]]、1905年に[[ジョルジュ・フォントネー]]が示したものである。


を内心か傍心とすればフォイエルバッハの定理となる。が外心と共線になるようなは[[マッケイ三次曲線]]上にある。

一般に、等角共役な2点の垂足円と九点円の2交点は、三角形の3頂点とそれぞれを通る[[直角双曲線]]の中心である。

=== ロジャース ===

1930年、[[レナード・ジェームス・ロジャース|レナード・ジェームズ・ロジャース]]は、''[[Mathematical Gazette]]'' において、[[円錐曲線]]の[[準円|連合準円]]を用いて、一般化を行った。1897年に[[V・ラマスワミ・エイヤール]]も、同様の結果を導出している。

内接円錐曲線の2焦点が外心と共線であるとき、フォントネーの定理を得る。

[[荻野修作]]は、フォントネーの定理やロジャースの定理の拡張を2つ示している。次はその1つ目の定理である。

の成す角が、0, 180度ならば、ロジャースの定理を得る。がに一致すれば、1907年にペレ、1933年に[[フランク・モーリー]]が著書 ''Inversive Geometry'' で示した、フォントネーの定理の拡張になる。ペレによれば、このときは、それぞれ中点三角形に内接しを[[放物線|準線]]とする放物線の焦点である。

ロジャースの定理において円錐曲線が外心を通る場合、その準円は九点円だけでなく外接円に接触する。また、ナラヤナン（Narayanan）は、外心を通る場合のロジャースの定理について外心を任意の点に拡張している。

=== ラオ ===
次の定理はの雑誌にて、M. Bhimasena Rao（ラオ）がW. S. マッケイらの垂足円への拡張から類推して、「Contact circle」と呼ばれるものに拡張したものである。

を内心か傍心とすれば、フォイエルバッハの定理を得る。が類似重心と共線になるようなはグレーベ三次曲線K102上にある。
[[逸見伝三郎]]、[[濱田隆資]]らは、この定理の拡張を示している。ランガスワミは垂足円と Contact circle を統一的に扱うことを試みている。また、ラオは自身でも更なる拡張を示している。

が類似重心ならば、が垂心となり、垂心は[[垂足三角形|垂心三角形]]の内心であるから、元のラオの拡張となる。

ラオなど雑誌への寄稿者は、他にもフォイエルバッハの定理に関する定理を残している。次の定理はその一例。

=== ハミルトン ===
[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン]]は、2つの[[内接円錐曲線]]の第四共通[[接線]]（3辺と異なる接線）と[[三線極線]]を用いて拡張を行った。

を[[シュタイナーの内接楕円]]、を内接円としたとき、は重心、の三線極線は[[無限遠直線]]で、は2つの[[虚円点]]を通るため円になって、フォイエルバッハの定理が導かれる。

を重心、を放物線とすると、1939年にデ・チッコが得た定理となる。

この性質から、フォイエルバッハ点は、シュタイナーの内接楕円と内接円の第四共通接線と内接円の接点であることが分かる。

=== ブリカール ===
1907年、[[ラウル・ブリカール]]は、''[[Nouvelles Annales de Mathématiques]]'' において、有向直線を用いた拡張を発表した。


の成す三角形を[[中点三角形]]にすると、フォイエルバッハの定理を得る。

2024年には、それぞれの成す三角形との成す三角形が前者の三角形の重心で相似であるときの場合について Keita Miyamoto が再発見し、さらにこの場合に4つの円に接する円との内接円との接点はフォイエルバッハ点であることを示している。

=== ヴォンドラチェク ===
1933年、ヴォンドラチェクは円錐曲線の交点を用いて一般化した。

=== 濱田 ===
1943年、[[東北数学雑誌]]において[[濱田隆資]]は[[根軸|根円]]を用いて拡張を行った。2021年には、Tran Quang HungとNguyen Thi Thuy Duongも同様の定理を得ている。

1925年、J. P. Gabbattは、一般に任意の点の辺に対する垂足を[[反転幾何学|反転]]によって移すような、辺の中点を中心とする3円の根円と、九点円の2交点は、と外心を結ぶ直線の[[直極点]]であることを示した。更に、3円の中心が、辺の中点以外（外心以外の垂足三角形の頂点）では成立しないことも示している。
=== プロタソフ ===
V. プロタソフ（Protasov）は segment theorem と称した定理の特殊な場合としてフォイエルバッハの定理を示している。

基準三角形において、の中点をと置く。をの内接円、を九点円とすれば元の定理を演繹できる。
=== グエンとレ ===
2023年、Nguyen Ngoc GiangとLe Viet Anは3つの一般化を示した。次の定理はその一つである。


グエンとレの論文の Remark 12 ではにて Nguyen Van Lich と Telv Cohlの示した一般化が紹介されている。

=== モーリー ===
1916年、[[フランク・モーリー]]は雑誌 ''[[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]'' において、三級曲線（任意の点から実あるいは虚の接線を3本引くことができる[[代数曲線]]）への拡張を発表した。

=== マルグーズー ===
1919年、マルグーズー（Malgouzou）は、[[三次曲線]]への拡張を示したが、複雑な手順を要しており、また、ハートの定理のように、直接的な拡張とはなっていない。

が3直線へ[[退化 (数学)|退化]]したとき、フォイエルバッハの定理を間接的に得る。Gabbattはマルグーズーの一般化をさらに空間へ一般化している。

[[ユークリッド空間]]や、[[双曲幾何学|双曲平面]]などの[[非ユークリッド空間|非ユークリッド平面]]、[[ミンコフスキー空間|ミンコフスキー平面]]、[[ヒルベルト空間|ヒルベルト平面]]、あるいは[[九点円錐曲線]]や[[有限体]]などへの拡張なども示されている。
== 応用 ==
フォイエルバッハの定理は美しくはあるものの、定理を使用することはほとんどなく、役に立たないと評される。
一方、初等幾何学において多くの応用に重要とされるとも言われる。例えば、次のような応用例がある。

三角形の内心、九点円中心、重心をそれぞれとする。（[[補点 (三角形)|補点]]の関係）より。

4円の接触という点で派生した定理としてエメリャノフの円定理（）がある。の外心をとする。との交点にてと接し、更にの外接円と接するような三角形の外側の円と、の内接円に接するような円が存在する。これをエメリャノフの円定理という。4円に接する円と内接円の接点は[[フォイエルバッハ点]]となる。

特殊な場合から派生した定理もある。[[直角三角形]]の九点円は直角を持つ頂点を通る。チャン・クアン・フン（）はこの場合の円の接触を任意の三角形に拡張した。のの二等分線が外接円と再び交わる点を中心とする、の内接円ととの接点を通る円と、外接円との共通弦ととのそれぞれの交点とを通る円は円に接する。

== 歴史 ==



フォイエルバッハの定理の歴史はの九点円に関する作品に詳しい。の書籍にも、フォイエルバッハの定理の歴史や作品がまとめられている。

フォイエルバッハの定理は、1822年のドイツの数学者カール・フォイエルバッハのモノグラフ ''Eigenschaften einiger merkwiirdigen Punkte des geridlinigen Dreiecks'' の§57で初めて証明された。フォイエルバッハによる証明は九点円の中心と内心の距離を[[三角法]]を用いて計算する方法による。この発見はフォイエルバッハの名声を構成する要素の一つとなっている。1828年、[[ヤコブ・シュタイナー]]は ''[[Annales de Gergonne]]'' でフォイエルバッハの功績について知らぬまま定理について述べた。その後シュタイナーは論文 ''Die geometrischen Con structionen, ausgefuhrt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises'' の最後の脚注でフォイエルバッハにこの定理を帰した。

フォイエルバッハの論文は即座に広まらなかったため、再発見をする者も存在した。1842年、フランスの数学者[[オルリー・テルケム]]が解析的な証明でフォイエルバッハの定理を再発見した。[[初等幾何学]]的証明は、雑誌 ''[[Nouvelles Annales de Mathématiques|Nouvelles Annales]]'' における1850年のJ. メンションの作品で示された。1854年に、W. H. レヴィが **' において、2つ目の初等的証明を示した。同年同雑誌で、 T. T. ウィルキンソンは、を成す4つの三角形の内接円と傍接円の延べ16円が、九点円に接するという問題を投げかけた。これは、1855年の同雑誌で解決された。1860年頃、イギリスの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってフォイルバッハの定理が再発見された。1860年6月17日、ジョージ・サーモンは、*[[The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics]]* で、フォイエルバッハの定理について、次の様に述べた。
" The following elementary theorems may interest some of the readers of the Quarterly Journal..."
1864年、ジョン・ケイシーは、*Quarterly Journal* で、現在ケイシーの定理と呼ばれる定理を用いてフォイエルバッハの定理を示した。ケイシーの書籍 *Sequel to Euclid* にも、証明が示されている。

ハインリヒ・シュレーターは1868年にその時点で定理を拡張できるような証明方法がないことを述べた。1874年の論文ではフォイエルバッハやケイシー、の証明をあくまで代数的で明確さに欠けると指摘し、自身で純粋幾何学的な証明を行った。

1882年、ヴィルヘルム・フィードラーは 円点投象法（Zyklographie）と呼ばれる空間的な手法によって証明を試みた。フィードラーの証明は一部不足があった。この不足は1911年にによって修正され、更に1922年、によって単純な解法が示された。

他に、C. Leudesdorf（1884）、サミュエル・ロバーツ（1887）、ヴィクトル・テボー（1910）など多くの数学者が、フォイエルバッハの定理を独自に証明している。

日本では、和算の時代においてフォイエルバッハの定理に到達することはできなかった。明治時代に入り、澤山勇三郎がフォイエルバッハの定理を約20通りの方法で証明した。

## 脚注
### 注釈

### 出典

## 参考文献

### The Mathematical Gazette
The Mathematical Gazette（）にはフォイエルバッハの定理を扱うものが数多く存在する。

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### 他
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## 関連項目

* フォイエルバッハ双曲線
* アポロニウス点
* モーリーの定理 - フォイエルバッハの定理と同様、初等幾何学において美しさを評価されている定理。
* マルファッティの円 - 三角形の接円問題の一つ。
* 六円定理 - 同上。
* テボーの定理
## 外部リンク

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* Feuerbach's Theorem: What Is It About? - Cut The Knot
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