バーンサイドの定理

数学における**バーンサイドの定理**（バーンサイドのていり、）は、位数が素数 *p* , *q* と非負整数 *a* , *b* により

:p^a q^b\ 

と書ける有限群 *G* は必ず可解群になることを主張する群論の定理である。この定理は位数が *p* と書ける有限群（''p'' 群）は必ず（冪零群であるから）可解群になる、というよく知られた主張の拡張と見做せる。これより、任意の非可換な有限単純群の位数は少なくとも3個以上の素因数を持たねばならない。

バーンサイドの定理は次のフィリップ・ホールによる名高い可解群の特徴づけの特別な場合である。
:有限群が可解群であることと、任意の素数 *p* に関してホール ''p''&prime;-部分群が存在することは同値である。

## 歴史
この定理はウィリアム・バーンサイドにより有限群の表現論を使って証明された。いくつかの特別な場合は既にバーンサイド、ジョルダン、フロベニウスといった数学者によって証明が与えられていた。ジョン・G・トンプソンは自身のN群の理論によって表現論を使わない証明が得られると指摘し、実際に位数が奇数の場合の証明、位数が偶数の場合の証明が与えられた。 は証明を簡単にした。

## 証明
背理法による。

*p* ,*q* を固定する。位数がこの形で書けるような非可解群がもし存在するなら、その中で位数が最小となるものがあるから、はじめから *G* がそのような位数最小の群であるとしてよい。

;*G* の中心 *Z*(*G*) は単位元のみからなる。また *a* も *b* も0でない。
*G* が自明でない正規部分群 *H* を持てば、位数の最小性より *H* と商群 *G*/*H* はともに可解群になるから、*G* も可解群となって矛盾する。よって *G* は単純群である。

*G* の中心 *Z*(*G*) は *G* の正規部分群だが、*G* は可換群ではあり得ないので *G* 自身とは一致せず、よって単位元のみになるしかない。

*a* または *b* が0だとすると、*G* は有限 q-群（または有限 p-群）であり、よって冪零群となり、従って可解群になって矛盾する。

;共役類の元の個数が *q<sup>d</sup>* （ *d* > 0 ）であるような *G* の元 *g* が存在する。

シローの定理より、*G* には位数 *p<sup>a</sup>* の部分群 *S* が存在する。*S* は非自明な *p*-群だから、その中心 *Z*(*S*) は非自明である。そこで単位元でない g\in Z(S) がとれる。

*g* と共役な元の個数は共役作用についての固定部分群 *G<sub>g</sub>* の指数 *G*&nbsp;:&nbsp;*G<sub>g</sub>* に等しく、それは *S* の指数 *q<sup>b</sup>* を割り切る。なぜなら *S* は *G<sub>g</sub>* の部分群だからである。

よって共役な元の個数は *q<sup>d</sup>* の形に書ける。さらに *g* は単位元でなかったから *G* において中心的でなく、整数 *d* は正である。

以下、群 *G* の複素数体 **C** 上の一般線型群における表現を考察する。

; *G* の非自明な既約表現 ρ：*G* &rarr; GL*n*(C) とその既約指標 χ で、次元 *n* が *q* で割り切れず、複素数 χ(*g*) が0にならないようなものが存在する。

(χi)1≤*i≤h* を *G* の **C** 上の既約指標全体（ χ1 は自明指標）とする。*g* は単位元 1G と共役でないから、群の指標表における直交関係より

0=\sum_{i=1}^h \chi_i(1_{G})\chi_i(g)= 1 + \sum_{i=2}^h \chi_i(1_{G})\chi_i(g)

ここで χi(*g*) は正則行列 ρ(*g*) の固有値の和に等しいが、ρ(*g*) の最小多項式は T^{\operatorname{ord}(g)} -1 を割り切るので、固有値はみな1の冪根である。よって χi(*g*) は代数的整数である。

もし、χ(*g*) が0にならないような全ての非自明な既約指標について χ(1G) が *q* で割り切れるならば
-\frac1q=\sum_{i\ge 2,~\chi_i(g)\ne 0}\frac{\chi_i(1_{G})}q\chi_i(g)
となる。ところが左辺は有理整数でない有理数だから代数的整数ではなく、右辺は代数的整数の有理整数倍の和だから代数的整数であり、矛盾する。よって望んでいた条件を満たす既約指標の存在が言えた。

;複素数 *q<sup>d</sup>*χ(*g*)/n は代数的整数である。

*G* 上の任意の有理整数値類関数 *u* に対し、群環の一般論より
\frac{1}{n}\sum_{s \in G} u_(s) \chi_i(s)
は有理整数環 **Z** 上整であり、特に *g* の共役類上で1、それ以外で0をとるような類関数 *u* を選んだときの
\frac{1}{n}\sum_{s \in G} u_(s) \chi_i(s)=\frac{q^d\chi(g)}{n}
は代数的整数である。

;複素数 χ(g)/n は代数的整数である。

*q* と *n* は互いに素だから、ベズーの補題より有理整数 *x* , *y* で
xq^d + yn=1\qquad\therefore \frac{\chi(g)}{n}=x\frac{q^d\chi(g)}{n} + y\chi(g)
を満たすものが存在する。この右辺は代数的整数の有理整数倍の和だから、代数的整数になる。

; *g* の ρ による像は単位行列の複素数倍である。

複素数 ζ := χ(g)/n は代数的整数だから、そのノルム *N*(ζ) （ ζ の **Q**上の最小多項式の根全体（共役数）を掛け合わせたもの）は0でない有理整数になる。

ζ およびその共役数はいずれも1の冪根（ρ(*g*) の固有値）の算術平均なので、絶対値は1以下である。一方それらの積 *N*(ζ) は1以上だから、絶対値はちょうど1でなければならない。

特に ζ の絶対値は1であり、これは ρ(*g*) の固有値が全て等しいことを意味する。よって ρ(*g*)  の対角化を考えると、 ρ(*g*) 自身が単位行列の複素数倍であることがわかる。

;結論
*N* を ρ の核とする。ρ(*g*) は像 Im(ρ) において中心的であるが、 *g* は *G* において中心的ではない。*G/N* と Im(ρ) が標準的に同型である（  xN \mapsto \rho (x)  ）ことを考えると、*N* は単位元以外の元を含む。ここで *G* は単純群だから、*N* は *G* と一致する。ところがこれは、 ρ は自明表現でないとしていた仮定と矛盾する。

以上よりバーンサイドの定理は証明された。Q.E.D.

## 脚注

## 参考文献
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*James, Gordon; and Liebeck, Martin (2001). *Representations and Characters of Groups* (2nd ed.). Cambridge University Press. .  See chapter 31.
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## 関連項目
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