Squircle

**squircle**（スクワークル）は、正方形と円の中間的な図形である。少なくとも2つの「スクワークル」の定義が用いられており、1つはスーパー楕円に基づくもの、もう1つは光学分野の研究から生まれたものである。「スクワークル」という言葉は、「square」（正方形）と「circle」（円）のかばん語である。スクワークルはデザインや光学に応用されてきた。

## スーパー楕円に基づくスクワークル
デカルト座標系において、スーパー楕円は次の方程式で定義される。
\left|\frac{x - a}{r_a}\right|^n + \left|\frac{y - b}{r_b}\right|^n = 1,
ここで  と  はそれぞれ長半径と短半径、 と  は楕円の中心の  座標と  座標、 は正の数である。ここから、典型的なスクワークルは  かつ  のスーパー楕円として定義される。その方程式は以下の通りである。
\left|x - a\right|^4 + \left|y - b\right|^4 = r^4
ここで  はスクワークルの半径である。これを円の方程式と比較するとよい。スクワークルが原点を中心とするとき、 となり、これはラメの特殊な四次曲線と呼ばれる。

このスクワークルの内部の面積は、ベータ関数  またはガンマ関数  を用いて次のように表現できる。
 \mathrm{Area} = 4\int_{0}^{r}\sqrt[4]{r^4-x^4}dx=4r\int_{0}^{r}\sqrt[4]{1-\frac{x^4}{r^4}}dx=4r^2\int_{0}^{1}\sqrt[4]{1-u^4}du=\sqrt[4]{4}r^2\int_{0}^{\frac{1}{4}}v^{-\frac{3}{4}}\sqrt[4]{1-4v}dv= 

r^2\int_{0}^{1}(1-w)^{\frac{1}{4}}w^{-\frac{3}{4}}dw=r^2\int_{0}^{1}(1-w)^{\frac{5}{4}-1}w^{\frac{1}{4}-1}dw=r^2\cdot\text{B}\left(\frac{1}{4},\frac{5}{4}\right)=4 r^2 \frac{\left(\operatorname{\Gamma} \left(1+\frac14\right)\right)^2}{\operatorname{\Gamma} \left(1+\frac24\right)} = 


\frac{8r^2 \left(\operatorname{\Gamma} \left(\frac54\right)\right)^2 }{ \sqrt{\pi} } = \varpi \sqrt{2}\, r^2 \approx 3.708149\, r^2,

ここで  はスクワークルの半径、 \varpi  はレムニスケート周率である。

### ''p'''-ノルム表記
-ノルム  を  上で用いると、スクワークルは次のように表現できる。
 \left\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_c\right\|_p = r 
ここで 、 はスクワークルの中心を示すベクトル、 である。実質的に、これは中心から距離  にある点の「円」であるが、距離の定義が異なる。比較として、通常の円は  の場合であり、正方形は  の場合（上限ノルム）、回転した正方形は  の場合（タクシーノルム）で与えられる。これにより、 における**球立方体**（**spherical cube**）や**[[#スフューブ|スフューブ]]**（**sphube**）、あるいはより高次元の**ハイパースフューブ**（**hypersphube**）への一般化が容易になる。 の値を変えることでより一般的なスクワークルを定義でき、そこから三角法の類似物である「スクワークル三角法（squigonometry）」が発展した。

## フェルナンデス・グアスティーのスクワークル
もう一つのスクワークルは光学分野の研究から生まれた。これは上記のスーパー楕円に関連するスクワークルと区別するため、著者の一人にちなんでフェルナンデス・グアスティーのスクワークル（Fernández-Guasti squircle）または FG スクワークルと呼ばれることがある。この種のスクワークルは、原点を中心として、次の方程式で定義される。
 x^2 + y^2 - \frac{s^2}{r^2} x^2 y^2 = r^2 
ここで  はスクワークルの半径、 は四角さのパラメータ（squareness parameter）、 と  は区間  内にある。 の場合、この方程式は円になり、 の場合は正方形になる。この方程式により、無限大を用いることなく、円から正方形への滑らかなパラメータ化が可能となる。

### 極座標形式
FG スクワークルの中心から縁までの動径距離 \rho は、円の半径と回転角を用いて次のように媒介変数表示できる。

\rho = \frac{r\sqrt{2}}{s|\sin{2\theta}|} \sqrt{1-\sqrt{1-s^2 \sin^2{2\theta}}}

実際には、コンピュータで描画する際、\theta=\frac{n \pi}{2}（nは任意の整数）の場合に不定形 \frac{0}{0} となるのを避けるため、角度の引数 2\theta に 0.001 のような微小な値を加えるか、これらの場合に \rho=r と設定することができる。

### 四角さの線形化
FG スクワークルにおける四角さのパラメータ s は 0 と 1 の間に制限されるが、その結果としてスクワークルの「角」は内側の円と正方形の角との間で非線形な補間となる。s_L を意図する角の線形補間された位置とすると、以下の関係式によって s_L を s に変換し、スクワークルの公式に用いることで、正しく補間されたスクワークルが得られる。

s = 2 \frac{\sqrt{(3-2\sqrt{2})s_L^2-(2-\sqrt{2})s_L}}{(1-(1-\sqrt{2})s_L)^2}

## 周期的なスクワークル
もう一つの種類のスクワークルは三角法から生じる。このタイプのスクワークルは  上で周期的であり、次の方程式を持つ。

\cos\left(\frac{s \pi x}{2 r}\right) \cos\left(\frac{s \pi y}{2 r}\right) = \cos\left(\frac{s \pi }{2 }\right) 

ここで  はスクワークルの短半径、 は四角さのパラメータ、 と  は区間  内にある。 が極限において 0 に近づくと、方程式は円になる。 のとき、方程式は正方形になる。

## 類似の図形

### 角丸四角形

スクワークルに似た図形として**角丸四角形**（*rounded square*）がある。これは、4つの円の四分円を分離し、その端を直線で結ぶか、あるいは正方形の4辺を分離し、四分円でつなぐことによって生成できる。このような図形はスクワークルと非常によく似ているが、同一ではない。角丸四角形の構築は概念的にも物理的にも単純かもしれないが、スクワークルの方が方程式は単純であり、はるかに容易に一般化できる。この結果の一つとして、スクワークルや他のスーパー楕円は容易に拡大・縮小することができる。これは、例えば入れ子状のスクワークルを作成したい場合に便利である。

### 切頂円

もう一つの類似図形は**[[切頂]]円**（*truncated circle*）である。これは、正方形と、それと中心を共有する円との共通部分の境界である。この円の直径は、正方形の一辺の長さより大きく、かつ正方形の対角線の長さより短い（これにより、各図形が他方の内部に含まれない内部点を持つことになる）。このような図形は、スーパー楕円や角丸四角形が持つ接線の連続性を欠いている。

### 角丸立方体
**角丸立方体**（*rounded cube*）はスーパー楕円体の観点から定義することができる。

### スフューブ

「スクワークル」という名称と同様に、**スフューブ**（*sphube*）は「sphere」（球）と「cube」（立方体）のかばん語である。これはスクワークルの3次元版である。3次元におけるFGスクワークルの方程式は次のようになる。

x^2 + y^2 + z^2 - \frac{s^2}{r^2}(x^2 y^2 + y^2 z^2 + x^2 z^2 - \frac{s^2}{r^2}x^2 y^2 z^2) = r^2

極座標では、スフューブは次のように媒介変数表示される。

x = \frac{r \cos\theta\ \cos\phi}{\sqrt{1-s\cos^2\theta\sin^2\phi - s\sin^2\theta}}
y = \frac{r \cos\theta\ \sin\phi}{\sqrt{1-s\cos^2\theta\cos^2\phi - s\sin^2\theta}}
z = \frac{r \sin\theta}{\sqrt{1 - s\cos^2\theta}}

この場合、四角さのパラメータ  はスクワークルの場合と全く同じようには振る舞わないが、それでも  が 0 のときは曲面は球となり、 が 1 に近づくにつれて鋭い角を持つ立方体に近づく。

## 用途

スクワークルは光学において有用である。2次元の正方形の開口部を光が通過するとき、回折パターンにおける中心の斑点は、スクワークルやスーパー円でよく近似することができる。長方形の開口部が用いられる場合、その斑点はスーパー楕円で近似できる。

スクワークルは皿の製造にも用いられてきた。スクワークル型の皿は、同じ半径の円形の皿よりも面積が広く（したがってより多くの食べ物を載せられる）、それでいて長方形や正方形の食器棚で同じスペースしか占めない。

多くのノキアの携帯電話モデルは、スクワークル型のタッチパッドボタンを採用して設計されており、第2世代のMicrosoft Zuneも同様であった。Appleは、iOS、iPadOS、macOSのアイコンや、一部のApple製ハードウェアのホームボタンに、スクワークルの近似形（実際には5次のスーパー楕円）を使用している。Android Oreoで導入されたアダプティブアイコンの形状の一つはスクワークルである。Samsungは、AndroidソフトウェアオーバーレイであるOne UIや、Samsung Experience、TouchWizにおいて、スクワークル型のアイコンを使用している。

イタリアの自動車メーカーであるフィアットは、第3世代パンダの内外装デザインに多数のスクワークルを用いた。

## 脚注

## 関連項目
*  (Squigonometry)
* アステロイド
* 楕円
* 楕円体
* 空間
* オーバル
*  (Squround)
* 

## 外部リンク

*  by 
* スーパー円とスーパー楕円のオンライン計算機
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