円周率を含む数式

**[[円周率]]を含む[[数式]]**（えんしゅうりつをふくむすうしき）を分野別にまとめる。数式自体または円周率、円周率の近似のいずれかの記事において重要性が確立されているものだけを述べる。

## ユークリッド幾何学
; 円の外周（円周）  と直径  の関係
: C =\pi d
; 円の面積  と半径  の関係
: A = \pi r^2
; 球の体積  と半径  の関係
: V = \frac{4}{3}\pi r^3
; 球の表面積  と半径  の関係
: S = 4\pi r^2

## 物理学

; 宇宙定数
: \Lambda =  \rho
; ハイゼンベルクの不確定性原理
:  \Delta x\, \Delta p \ge \frac h {4\pi} 
; 一般相対性理論のアインシュタイン方程式
:  R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu} 
; クーロンの法則
:  F = \frac{4 \pi \varepsilon_0 r^2}
; 振幅が小さい範囲での振り子の周期
: T \approx 2\pi \sqrt\frac L g 
; 座屈のオイラーの式
: F =\frac{\pi^2EI}{L^2}

## 円周率を得るための数式

### 積分

: \int_{-\infty}^\infty \operatorname{sech}(x) \, dx = \pi 

: \int_{-\infty}^\infty \int_t^\infty e^{-1/2t^2-x^2+xt} \, dx \, dt = \int_{-\infty}^\infty \int_t^\infty e^{-t^2-1/2x^2+xt} \, dx \, dt = \pi

: \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac \pi 2 
:
: \int_{0}^1 {1 \over 1+x^2}\,dx = \frac \pi4 

: \int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi

: \int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2} = \pi （逆正接関数）

: \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}  （ガウス積分）

: \oint\frac{dz} z = 2\pi i （コーシーの積分定理）

: \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x} x \,dx=\pi 

: \int_0^1 {x^4(1-x)^4 \over 1+x^2}\,dx = {22 \over 7} - \pi （円周率が22/7より小さいことの証明）

### 効率的な級数

: \sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{(2k+1)!!} = \sum_{k=0}^\infty\frac{2^k k!^2}{(2k+1)!} = \frac \pi 2 

: 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}=\frac 1 \pi  （Chudnovsky algorithm）

: \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}=\frac 1 \pi  （シュリニヴァーサ・ラマヌジャン）

: \frac{12}{\sqrt{(1249638720+159999840\sqrt{61})^{3}}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(6n)!(1657145277365+212175710912\sqrt{61}+(107578229802750+3773980892672\sqrt{61})n)}{(3n)!(n!)^{3}(1249638720+159999840\sqrt{61})^{n}}=\frac{1}{\pi}(Borwein)

: \frac{\sqrt{3}}{6^5} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{((4k)!)^2(6k)!}{9^{k+1}(12k)!(2k)!} \left( \frac{127169}{12k + 1} - \frac{1070}{12k + 5} - \frac{131}{12k + 7} + \frac{2}{12k + 11}\right)=\pi

以下は、円周率の任意の桁を2進数で求められる効率的な数式である。

: \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)=\pi （ベイリー＝ボールウェイン＝プラウフの公式）

: \frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac \left( - \frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac{1}{10n+9} \right)=\pi

### 他の級数

:\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} （バーゼルの問題、リーマンゼータ関数）

: \zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}

:\zeta(2n) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2n}}\, = \frac{1}{1^{2n}} + \frac{1}{2^{2n}} + \frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{4^{2n}} + \cdots = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} , ただし *B*2*n* は ベルヌーイ数）

: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n - 1}{4^n}\, \zeta(n+1) = \pi

:\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^1 = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \arctan{1} = \frac{\pi}{4} （ライプニッツ公式）

: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \cdots=\frac{\pi^2}{12}

: \sum_{n=1}^{\infty} \frac1{(2n)^2} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{8^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{24}

: \sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^2 = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{8}

: \sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^3 = \frac{1}{1^3} - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \cdots = \frac{\pi^3}{32}

: \sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^4 = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \frac{1}{7^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{96}

: \sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^5 = \frac{1}{1^5} - \frac{1}{3^5} + \frac{1}{5^5} - \frac{1}{7^5} + \cdots = \frac{5\pi^5}{1536}

: \sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^6 = \frac{1}{1^6} + \frac{1}{3^6} + \frac{1}{5^6} + \frac{1}{7^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{960}

:  \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(4n+1)(4n+3)} = \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 7} +\frac{1}{9\cdot 11} +\cdots=\frac{\pi}{8}

:  \pi =  + \frac + \frac + \frac - \frac + \frac + \frac + \frac + \frac - \frac + \frac + \frac - \frac + \cdots  &nbsp; （オイラー、1748年）

: この式では、最初の2つの項の後、符号は次のように決定される。分母が4m - 1で表される素数である場合、符号は正であり。分母が4m + 1で表される素数である場合、符号は負である。 合成数の場合、符号はその素因数分解した素数の符号の積に等しい。

: また

: \sum_{n=1}^\infty \frac{F_{2n}}{n^2 \binom{2n}{n}}=\frac{4\pi^2}{25\sqrt5}

: ただし F_n は*n*番目のフィボナッチ数。

### マチンの公式

: \frac{\pi}{4} = \arctan 1

: \frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3}

: \frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{2} - \arctan\frac{1}{7}

: \frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{7}

: \frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}  （マチンの公式）

: \frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}

: \frac{\pi}{4} = 6 \arctan\frac{1}{8} + 2 \arctan\frac{1}{57} + \arctan\frac{1}{239}

: \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}

: \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}

: \frac{\pi}{2} = \sum_{n=0}^\infty \arctan\frac{1}{F_{2n+1}} = \arctan\frac{1}{1} + \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{5} + \arctan\frac{1}{13} + \cdots 

ただし F_n は*n*番目のフィボナッチ数。

### 級数
円周率を含む級数

(x)_n  は階乗冪。

### 無限積

:  \frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdot \frac{17}{16} \cdot \frac{19}{20} \cdot \frac{23}{24} \cdot \frac{29}{28} \cdot \frac{31}{32}  \cdot\,\cdots  (オイラー）
: 全ての奇素数を分子とし、それに最も近い4の倍数を分母とした分数の総乗。

:  \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{4}{3} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{36}{35} \cdot \frac{64}{63} \cdot\,\cdots = \frac{\pi}{2}  （ウォリス積を参照）

: \prod_{n=1}^{\infty} \cos \frac{90^\circ}{2^n} = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot\, \cdots = \frac2\pi （ビエトの公式）

### 連分数

: 
\pi= {3 + \cfrac{1^2}{6 + \cfrac{3^2}{6 + \cfrac{5^2}{6 + \cfrac{7^2}{6 + \ddots\,}}}}}


: 
\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{3 + \cfrac{2^2}{5 + \cfrac{3^2}{7 + \cfrac{4^2}{9 + \ddots}}}}}


: 
\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2 + \ddots}}}}}

: 
2\pi = {6 + \cfrac{2^2}{12 + \cfrac{6^2}{12 + \cfrac{10^2}{12+ \cfrac{14^2}{12 + \cfrac{18^2}{12 + \ddots}}}}}}


### その他

:n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n （スターリングの近似）

: e^{i \pi} +1 = 0 （オイラーの等式）

: \sum_{k=1}^{n} \varphi (k) \sim \frac{3n^2}{\pi^2} （オイラーのトーティエント関数）

: \sum_{k=1}^{n} \frac {\varphi (k)} {k} \sim \frac{6n}{\pi^2} （オイラーのトーティエント関数）

: \Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi} （ガンマ関数）

: \pi = \frac{\Gamma\left({1/4}\right)^{4/3} \operatorname{agm}(1, \sqrt{2})^{2/3}}{2} （agmは算術幾何平均）

: \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (n\;\bmod\;k) = 1-\frac{\pi^2}{12} （mod は剰余演算）

:  \pi = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4}{n^2} \sum_{k=1}^n \sqrt{n^2 - k^2}  （単位円の面積とリーマン和を参照）

:  \pi = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{4n}}{n {2n\choose n}^2}  （スターリングの近似）

## 参考文献

## 関連文献

* Peter Borwein, *[http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/PAPERS/P159.pdf The Amazing Number Pi]*
* Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Saito Takeshi: *Number Theory 1: Fermat's Dream.* American Mathematical Society, Providence 1993, .