超現実数

数学における**超現実数**（ちょうげんじつすう、）の体系は、全順序付けられた真のクラスとして実数のみならず（任意の正実数よりも絶対値が大きい）無限大および（任意の正実数よりも絶対値が小さい）無限小まで含む。超現実数の体系は、四則演算（加減乗除）など実数が持つ多くの性質を共有しており、順序体を成す 超現実数をフォンノイマン&ndash;ベルナイス&ndash;ゲーデル集合論 (NBG) において定式化するならば、超現実数体は（有理数体、実数体、有理函数体、レヴィ゠チヴィタ体、準超実数体、超実数体などを含む）すべての順序体をその部分体として実現できるという意味で普遍的な順序体となる。超現実数は、すべての超限順序数も（その算術まで込めて）含む。あるいはまた、（NBGの中で構成した）超実体の極大クラスが超現実体の極大クラスに同型であることが示せる（を持たない理論では必ずしもそうならないし、またそのような理論において超現実数体が普遍順序体になるとも限らないことに注意する）。

## 概念史
1907年にハンス・ハーンは、形式冪級数の一般化としてを導入した。またフェリックス・ハウスドルフは、順序数 に対する と呼ばれる順序集合を導入し、それと両立する順序群や順序体の構造を求めることができるかを問うた。 は修正された形のハーン級数を用いて適当な順序数  に対してそのような順序体を構成し、 をすべての順序数全体の成すクラスを亙って動かすことで、超現実数体に同型な順序体のクラスを与えた。

それとは別の定義および構成法が、ジョン・ホートン・コンウェイにより、囲碁の寄せについての研究から導かれている。コンウェイの構成法は1974年にドナルド・クヌースの著書 *Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness* に取り入れられた。対話形式で書かれたこの本においてクヌースは、コンウェイが単に「数」と呼んでいたものに「超現実数」という新たな名を付けた。のちにコンウェイもクヌースのこの造語を受け入れ、1976年には超現実数を用いてゲームを解析する **' を著した。

== 概観 ==
コンウェイの構成法では、超現実数は、大小関係を表す順序 （二つの超現実数  に対し  または  が成立する。 かつ  がともに成立するとき  と  は同値であると言い、同じ数を表すものと理解する）を伴って、段階を踏んで構成される。各段階における数は、既に構成された既知の超現実数からなる部分集合の[[順序対|対]]の形をしており、そのような数からなる部分集合  が与えられ、 のすべての元が  のすべての元よりも真に小さいときに、対  は  のすべての元と  のすべての元との間に値を持つ中間数を表すものとなる。

このとき、全く異なる部分集合の対が結局は同じ数を定義するということが起こり得る &mdash;たとえ  かつ  となる場合であってさえも、二つの対  が同じ数を定義しうる&mdash;（同様の現象は、[[有理数]]を整数の商として定義するときにもあったことである。例えば  と  は同じ有理数の異なる表現である）。ゆえに厳密を期すならば、超現実数とはそのような同じ数を指す  なる形式の表現からなる[[同値類]]のことと言うべきである。

構成の緒段（第零世代）では、既存の数は何もないのだから、表現には空集合しか用いようがない。表現  は  および  が空集合という意味であり、これを  と呼ぼう。段階を踏んでいけば <math display="block">\{0\mid {}\} =: 1,\quad \{1\mid {}\} =: 2,\quad \{2\mid {}\} =: 3,\quad \ldots</math> や <math display="block">\{{}\mid 0\} =: -1, \quad \)\cdot r(1 + \sum_{\alpha <\beta} s_\alpha \omega_{a_\alpha})</math> () の形に持ち込んでやれば、各因数は上で既に与えたやり方で対数が計算できる形になっているから、それら対数の和が一般の対数となる。
*** （ の場合と異なり）一般の  の帰納的定義は存在しないが、部分的にはそのような帰納的定義も与えられる。この方法では、（対数が指数函数の逆函数であるという事実を参照することなしに）陽に計算することができる。
* 指数函数は任意の有限冪函数よりもずっと大きい。
** 任意の正の無限大  と有限な  に対して  は無限大である。
** 任意の整数  と超現実数  に対し  が成り立つ。この強い制約条件は実[[指数体]]に対する Ressayre の公理の一つになっている。
*  は実指数体に対する Ressayre の公理系をすべて満足する。
** この指数函数を備えた超現実数の全体は、実指数体のになる。
** 順序イプシロン数  に対し、 より小さい誕生日を持つ超現実数の全体は、指数について閉じた体を成し、同様に実指数体の初等拡大のひとつとなる。

=== 例 ===
超現実数の指数函数は、本質的には  の正冪上での振る舞い（すなわち、上で見た函数 ）が分かれば（有限値に対してはよく知られた指数函数であるから、その振る舞いと合わせて）決定される。前者の例のみ以下に与えるが、加えてその変域の大部分において  が満足される（例えば、実数成分が正と任意の有限数の場合や、適当な回数反復した  の冪の塔  の場合はそうである）。
* .
*  および .
* .
** ここからわかるように、先に見た「 の冪」を函数とみたものは  とは両立しない。両立するのであれば、 の値は  となることが要求される（[[#一般の冪|次項]]も参照）。
* .
* .

=== 一般の冪 ===
一般の冪は  として定義することができ、 のような式の解釈が与えられる。この場合でもやはり（特に  を底とするときには）この定義と「[[#ω の冪|''ω'' の冪]]」として与えられるものとは絶対に区別をつけるべきものである。

== 超現複素数 ==
**超現複素数** (''surcomplex number'') は、二つの超現実数  に対して （ は[[虚数単位]]）の形をした数を言う。超現実数の全体は（それが真のクラスとなることを除いて）[[代数閉体]]を成す。それは[[有理数]]体にな[[超越元]]の成す適当な真クラスを添加して生成される体の[[代数閉包]]に同型である。この事実は、任意に固定した集合論の中で、体の[[同型を除いて]]超現複素数を特徴付けるものである。

== ゲーム ==

超現実数の定義には一つの制約条件「 の各元は  の各元よりも真に小さい」があった。この制限を落とせばより一般のクラスとして**ゲーム*' (*game*) を生成することができる。任意のゲームは以下の規則に従って構成される:
; :  がともにゲームから成す集合であるとき、 はゲームである。.

加法、減法および大小比較は、すべて超現実数とゲームの両方に共通の仕方で定義される。

任意の超現実数はゲームとなるが、任意のゲームは超現実数であるとは限らない（例えばゲーム  は超現実数ではない）。ゲーム全体の成すクラスは超現実数全体よりも一般であり、より簡素な定義を持つ代わりに、超現実数の持つよい性質のいくつかは抜け落ちてしまう。例えば、超現実数全体の成すクラスは[[可換体|体]]を成すが、ゲーム全体の成すクラスはそうでない。あるいは超現実数の全体は[[全順序]]（任意の二つの超現実数は、等しいかさもなくば一方が他方より大きい）を持つが、ゲームの全体には[[半順序]]（ゲームの対で相等しくも何れか一方が他方よりも大きいということもないものが存在する）しか入らない。各超現実数は正または負さもなくば零の何れかになるが、各ゲームは正・負・のほかに（ のように零と比較不能なもの）が生じる。

ゲームにおける一手 (move) はその手番においてプレイヤーが （先手; left player の場合）または （後手; right player の場合）から利用できるゲームを選び、その選んだゲームを相手プレイヤーに渡すという形で作用する。選択できるものが空となり手を打てないプレイヤーは負け (lost) である。正のゲームは先手の勝利を、負のゲームは後手の勝利をそれぞれ表し、零ゲームは後手の手番をファジーゲームは先手の手番を意味する。

 が超現実数であるとき、 ならば必ず  が成り立つが、 がゲームのときには  でも必ずしも  であるとは言えない。ここでの等号 "" は「値が等しい」(equality) という意味であって、「同一」(identity) という意味ではないことに注意。

== 組合せゲーム理論への応用 ==
超現実数はそもそも[[囲碁]]の研究に動機づけられたものであり、定番ゲームと超現実数の間には様々な関連性がある。この節では便宜のために、数学的対象  のことはゲーム (Game)、[[チェス]]や[[囲碁]]のような遊興のことは遊技 (game) と呼び分けることにする。

ここで考えたい遊技は以下のような性質を持つものである:
* プレイヤー（試技者）は二人（便宜上 *Left* と *Right* とする）
* [[決定論]]的（ゲームの各手番はランダム要素なしにプレイヤーのメイクする選択で完全に決まる）
* （プレイヤーの隠し札や隠しマスのような）秘匿された情報はない
* プレイヤーには交互に手番 (turn) が回ってくる（遊技によって、一回の手番に複数手 (move) を許すものも許さないものもある）
* 遊技の各取組（一番）は有限回の手数で終了しなければならない
* プレイヤーに正規の指し手が何も残されていない状態になったら即座に取組は終了しそのプレイヤーの負けとなる

大抵の遊技にとって、初期盤面配置はどちらかのプレイヤーに大きな有利となることはないが、試技の進行の過程で一方のプレイヤーが勝利に近づくにつれて、盤面はそのプレイヤーに明らかに有利となっていく。遊技の分析のためには、ゲームを任意の盤面に結び付けるのが有効である。与えられた盤面の値がゲーム  であるとは、 は Left の単一手で達成可能な盤面の値全体の成す集合、 は Right の単一手で達成可能な盤面の値全体のなす集合となるように与えるものとする。

零ゲーム  は  がともに空集合となるゲームであるから、次の手を打つプレイヤーが即座に負けである。二つのゲーム  の和は、 というゲームとして定義され、これは各プレイヤーが手番ごとに試技 (play) を行うゲームを選べることに対応するが、正規の手が打てなくなったプレイヤーが負けとなることは変わらない。例えば、二人のプレイヤーがチェス盤を二面使って指す場面を想像しよう、プレイヤーは交互に手を指すけれども、各手番においてどちらの盤面で指すかは完全にプレイヤーの自由にゆだねられる（どちらを選んでも選んだ方に一手を打てるだけで、選ばなかった盤面には何も干渉できない）というのがゲームの和の解釈である。ゲーム  に対して、 とは  なるゲームのことで、これは二人のプレイヤーがその役割を入れ替えたものになっている。任意のゲーム  に対して  となることは容易にわかる（ここで、ゲームの差  は  で定義する）。

このようにゲームを実際の遊技に結び付ける単純な方法でも、非常に興味深い結果が得られる。二人の完璧なプレイヤーがひとつの遊技を与えられた盤面から始めるとき、その初期盤面に付随するゲームが  であるとすると、任意のゲームを以下の四種に分類できる:
*  ならば Left が勝つ（どちらが先手・後手かに関わらず）
*  ならば Right が勝つ（どちらが先手・後手かに関わらず）
*  ならば後手が勝つ
*  ならば先手が勝つ

より一般に、 とは  となることと定義する、 についても同様。ここに、記法  とは  と  が比較不能という意味で、 の何れも不成立ということと等価である。比較不能な遊技は、加えられた手によってどちらのプレイヤーが優勢となるかが変わるため、互いに混迷している (*confused*) ということもある。零ゲームと混迷しているゲームはと言い、正・負・零とは対立する。ファジーゲームの例には、 が挙げられる。

遊技の終盤近くはときどき、相互に干渉しない複数の小さな遊技に分解する（その中の一つにしかプレイヤーの打てる手がないという場合を除いて）。例えば、囲碁において、盤面は徐々に碁石で埋まっていき、プレイヤーが手を指せる空所はいくつかの小さな島に分けられていくだろう。各島は、それ自体が区分けされた小さな盤面上の一つの囲碁のように見える。これらの小さな遊技のそれぞれを分析することができたなら、そのような分解は有効であって、そしてそれらの分析結果を繋ぎ合わせて遊技全体に対する分析を得る。しかし、そうやって分析することができると安易には言えないようにも思われる。例えば、先手必勝の二つの小さな遊技があったとして、しかしそれらを組み合わせて一つの大きな遊技としたとき、それが先手必勝の遊技であるかはもはや分からない。幸運にも、これを分析する方法がある。それには次の注目すべき定理を用いる:
; 定理: 一つの大きな遊技をふたつのより小さな遊技に分解するとき、その小さな遊技に付随するゲームを  および  とすれば、もとの大きな遊技に付随するゲームは  である。

小さな遊技の組み合わせとなる遊技は、それら小さい遊技のと呼ばれ、定理はここで定義したゲームの加法が、それら遊技の選言和をとることに等価であることを述べている。

歴史的なことを言えば、コンウェイは本項とは逆順に超現実数の理論を発展させたのであった。コンウェイは、囲碁の寄せを分析し、相互干渉しない小遊技の分析を繋ぎ合わせてそれらの選言和の分析とする何らかの方法があれば有用であるという実感を得ていた。そうしたことからコンウェイはゲームの概念とそれらに対する加法演算を発明した。そこからさらに符号反転および大小比較の定義へと開発は動いて行き、ゲームからなるある種のクラスが興味深い性質を持つことをコンウェイは指摘している。それが超現実数全体の成すクラスである。最終的に乗法演算を開発するに至って、超現実数の全体が実際にひとつの体を成すことおよびそれが実数の全体と順序数の全体をともに含む体系となることが証明された。

== 別の実現法について ==
surreal number という名称は  が初めて用いたものだが、それ以前あるいは以後にもいくつか異なる構成法が生み出されている。

=== 符号展開 ===
==== 定義 ====
今日では超現実数の「符号展開」(*sign-expansion*) や「符号列」(*sign-sequence*) と呼ばれているやり方において、超現実数は[[定義域]]が適当な[[順序数]]で終域が  であるような函数を言う。これはコンウェイのLR列と同値である。

この意味の超現実数の上で定義された二項述語「より単純」("simpler than") は、 が  より単純であるというのを、 が  の[[真部分集合]]となること、すなわち  かつ  となることと定められる。

超現実数に対して、[[二項関係]]  を[[辞書式順序]]として（ただし、「定義されない値」("undefined value") は  より大きく  より小さいものと約束する）。すると  となるのは以下の何れかひとつが満足されるときである:
*  が  より単純かつ ;
*  が  より単純かつ ;
* 適当な数  が存在して、 は  より簡単かつ .

あるいは同じことだが、 と置けば、 となるための必要十分条件は、 となるから、超現実数  に対し、 となるための必要十分条件は以下の何れか一つが満足されることである:
* ;
* ;
* .

超現実数  に対し、 とは  となることと定める。また  は  であること、および  は  が成り立つことを意味するものとする。

この関係  は[[推移的関係|推移的]]であり、任意の超現実数  に対して  のうちただ一つのみが成り立つ（）。これは  が（真のクラスを成すことを除いて）[[全順序]]であることを意味する。

超現実数の集合  が  を満たすとき、超現実数  が一意に存在して
*  かつ
* 超現実数  が  を満たすならば必ず  または  は  より単純
とできる。さらに言えば、 は  から超限帰納法によって構成可能である。 は  と  の間にあるもっとも単純な超現実数となる。この唯一の数  を  で表す。

超現実数  に対し、その左集合  および右集合  を
* ,
* 
と定義すれば、 が成り立つ。

このもう一つの実現法が優位である点は、等価性 (equality) が（帰納的に定義された関係ではなく）恒等関係 (identity) として書けることである。しかし、コンウェイによる超現実数の実現と異なり、この符号展開はあらかじめ順序数の全体が構成されている必要がある（コンウェイの実現では順序数も超現実数の特別の場合として一緒に構成されたのであった）。

それでも、順序数をあらかじめ構成する必要を除いた同様の構成法も作ることができる。実例として、定義域が超現実数の部分集合で推移律  を満たし、値域が  であるような函数のクラスとして超現実数の全体を再帰的に定義する方法が挙げられる。この場合「より単純」という関係は非常に簡単に定義される&mdash; が  より簡単とは  を満たすときに言う。全順序付けは  を順序対の集合と見て（函数は通常の通り定義したものとして）定義される。 であるか、さもなくば超現実数  は  または  の定義域に属す（あるいは両方に属すこともあるが、この場合符号は不一致でなければならない）から、 となるのは  または  の何れかまたは両方が成り立つときである。これら函数を符号列に変換することは難しくない&mdash; の元をその単純さの順（つまり、包含関係の順）に並べて、 に対して並べた元の順番に符号を書き下したものを割り当てればよい。そうすると、順序数の全体は値域が  であるような超現実数として自然に生じる。

==== 加法および乗法 ====
二つの超現実数  に対しその和  は、 および  に関する帰納法により、 で定義される。ただし
* ,
* .

加法単位元は  で与えられる（つまり、超現実数  は定義域が順序数の  である唯一の函数である）。また、超現実数  の加法逆元は  かつ  に対して <math display="inline"> (-x)(\alpha) := \begin{cases} -1 & (x(\alpha) = +1)\\ +1 & (x(\alpha) = -1)\end{cases}</math> で与えられる超現実数  である。

これにより、超現実数  が[[正の数|正]]であるための必要十分条件は、 かつ  となることであり、同様に  が[[負の数|負]]であるための必要十分条件は  かつ  となることであるとわかる。

二つの超現実数  の積  は、 および  に関する帰納法により、 で定義される。ただし
* ,
* .

乗法単位元は  で与えられる（つまり、超現実数  は定義域が順序数の  で  を満たす函数を言う）。

==== コンウェイの実現との対応 ====
コンウェイの実現を符号展開へ写す写像は  で与えられる。ただし、 とする。

その逆写像として、符号展開による実現をコンウェイの実現へ写すには  を  と与えればよい。

=== 公理的アプローチ ===
具体的な構成から完全に離れて、超現実数に対する別なアプローチが  によって与えられた。これは構成法ではなく、超現実数を実現するどのような構成法もが満足する公理系の集合を与えるものである。と極めて同様に、この公理系は[[同型を除いて]]一意な存在を保証するものである。

三つ組  が超現実数系 (surreal number system) であるとは、以下の公理をすべて満足するときに言う:

*  は  上の[[全順序]]である;
*  は  から順序数全体の成すクラスの[[全射|上への写像]]である（この写像  を  上の「誕生日函数」と呼ぶ）;
*  の部分クラス  が任意の  に対して  を満たす（このとき、アリングの語法で  は  に関する「コンウェイ切断」("Conway cut") と呼ばれる）ならば、 が一意に存在して、 が極小かつ任意の  に対して  とできる。（この公理はしばしば「コンウェイの単純性定理」("Conway's Simplicity Theorem") と呼ばれる）
これらに加えて、
* 順序数  が  よりも大きいならば、 である（アリングはこの公理まで満足する系を「完全超現実数系」("full surreal number system") と呼んでいる）。

コンウェイのオリジナルの構成も、符号展開による構成も、ともにこれら公理系を満足する。

与えられたこれら公理系から  はコンウェイによるオリジナルの  の定義を導き、超現実数の算術を展開した。

=== 単純さの階層 ===
超現実数を、単純さ (simplicity) を先祖 (ancestor) のラベルに持つ極大二分擬木 (pseudo-tree) およびその順序関係によって構成する方法は  による。通常の木の定義と異なるのは、各頂点の先祖は整列集合を成すが、極大元（直前の先祖）は持たないかもしれないことである。すなわち、先祖集合の順序型は自然数だけではなく一般順序数となりうる。この構成もまたアリングの公理系を満足し、符号列表現に容易に引き写せる。

=== ハーン級数 ===
 もまた超現実数体が実係数体（各級数の和の値は超現実数として解釈する）に順序体として同型となることを証明した（この級数表現は、上述した[[#標準形|超現実数の標準形]]に対応するものである）。これにより、超現実数をより従来的な順序体論的アプローチに結び付けることができる。

この同型により超現実数が写された先の体は、コンウェイ標準形における最高次項の冪指数の加法逆元を付値とする付値体である（例えば ）。したがって、この体の付値環は有限超現実数（実数または実数に無限小成分を加えたもの）すべてからなる。ここで付値として冪指数の符号を反転させるのは、コンウェイ標準形における冪指数が逆整列集合を成していることと、それに対しハーン級数が値群における（正順の）整列部分集合によって定式化されていることによるものである。

== 超実数との関係 ==
 はコンウェイの極大超現実数体と[[フォンノイマン&ndash;ベルナイス&ndash;ゲーデル集合論|NBG]]における極大[[超実数|超実体]]との間に同型を構成した。

== 関連項目 ==

* [[超実数]]
* [[超準解析]]

== 注 ==

=== 注釈 ===

=== 出典 ===

== 参考文献 ==
* 
* 
* 
* 
* 
* 

== 関連文献 ==
* [[Donald Knuth]]'s original exposition: *Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness*, 1974, . More information can be found at [http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/sn.html the book's official homepage].
* An update of the classic 1976 book defining the surreal numbers, and exploring their connections to games: John Conway, *On Numbers And Games*, 2nd ed., 2001, .
* An update of the first part of the 1981 book that presented surreal numbers and the analysis of games to a broader audience:  Berlekamp, Conway, and Guy, *Winning Ways for Your Mathematical Plays*, vol. 1, 2nd ed., 2001, .
* [[Martin Gardner]], *Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers,*  W. H. Freeman & Co., 1989, , Chapter 4.  A non-technical overview; reprint of the 1976 *Scientific American* article.
* Polly Shulman, [http://discovermagazine.com/1995/dec/infinityplusonea599 "Infinity Plus One, and Other Surreal Numbers"],  *Discover*, December 1995.
* A detailed treatment of surreal numbers: Norman L. Alling, *Foundations of Analysis over Surreal Number Fields*, 1987, .
* A treatment of surreals based on the sign-expansion realization: Harry Gonshor, *An Introduction to the Theory of Surreal Numbers*, 1986, .
* A detailed philosophical development of the concept of surreal numbers as a most general concept of number: [[Alain Badiou]], *Number and Numbers'',  New York: Polity Press, 2008,  (paperback),  (hardcover).
*  The surreal numbers are studied in the context of homotopy type theory in section 11.6.

## 外部リンク
* Hackenstrings, and the 0.999... ?= 1 FAQ, by A. N. Walker, an archive of the disappeared original
* A gentle yet thorough introduction by Claus Tøndering
* 
* Good Math, Bad Math: Surreal Numbers, a series of articles about surreal numbers and their variations