漸化式による積分

**漸化式による積分**（ぜんかしきによるせきぶん、*Integration by reduction formulae*）は、漸化式による積分の計算方法である。この方法は、整数のパラメータを含む数式（初等関数のべき乗や、超越関数と任意次数の多項式の積が好例）が直接積分できない場合に使われる。

## 積分漸化式の求め方
積分漸化式は、置換積分、部分積分、による積分、部分分数分解による積分などの一般的な積分方法のいずれかを使用して導出できる。基本的なアイデアは、整数パラメータ（例えばべき指数）を含む関数の積分（*I<sub>n</sub>*）を、より低い値のパラメータ（低次のべき指数など）を含む積分（*I**n*-1や*I**n*-2）で表すことである。これにより、積分が一種の漸化式として表される。すなわち、積分漸化式とは積分
:I_n =\int f(x,n) \,\text{d}x  
を
:I_k =  \int f(x,k) \,\text{d}x  
を用いて表すことである。ここで
:k 
である。

## 積分の計算方法
積分*I<sub>n</sub>*を計算するには、含まれている整数パラメータを*n*として、漸化式を使用してまず (*n* – 1) や (*n* – 2) を含む積分で表す。それを積分が実際に計算できるところまで（通常は指数が０か１になるまで）繰り返す。その後、漸化式を逆にたどりながら、低い指数の積分を代入することでより高い指数の積分を求めていく。

### 例

計算手順の例を示す。

#### 余弦積分
以下の積分は、漸化式により計算できる。

:\int \cos^n x \,\text{d}x  \,\!

初めに、*I<sub>n</sub>*を以下のように定義する。

:I_n = \int \cos^n x\,\text{d}x \,\!

Inは以下のように書き換えられる。

:I_n = \int \cos^ {n-1} x \cos x \,\text{d}x \,\!

以下のように置換積分を行う。

:\cos x \,\text{d}x = \text{d} ( \sin x) \,\!

:I_n = \int \cos^{n-1} x \,\text{d}(\sin x) \!

さらに部分積分を行う。

: \begin{align} \int \cos^n x \,\text{d}x & = \cos^{n-1} x \sin x - \int \sin x \,\text{d}(\cos^{n-1} x) \\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \sin x \cos^{n-2} x\sin x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \sin^2 x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x (1-\cos^2 x )\,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x - (n-1)\int \cos^n x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n 
\end{align} \,

*I<sub>n</sub>*について解くと

:I_n \ + (n-1) I_n\ = \cos^{n-1} x \sin x\ + \ (n-1) I_{n-2}  \,

:n I_n\ = \cos^{n-1} (x) \sin x\ + (n-1) I_{n-2}  \,

:I_n \ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x\ + \frac{n-1}{n} I_{n-2} \,

これにより漸化式は

:\int \cos^n x \,\text{d}x\ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x  \!

となる。例として*n* = 5の場合、以下のように計算できる。

: I_5 = \int \cos^5 x \,\text{d}x \,\!

低い次数の*I<sub>n</sub>*を計算する。

:n=5, \quad I_5 = \tfrac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \tfrac{4}{5} I_3  \,

:n=3, \quad I_3 = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3} I_1 \,

逆代入すると、

:\because I_1\ = \int \cos x \,\text{d}x = \sin x + C_1\,

:\therefore I_3\ = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3}\sin x + C_2, \quad C_2\ = \tfrac{2}{3} C_1\,

となり、最終的に*I<sub>5</sub>*は以下のように計算される。

:I_5\ = \frac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \frac{4}{5}\left[\frac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \frac{2}{3} \sin x\right] + C\,

*C*は定数である。

#### 指数積分
積分漸化式が適用できる別の典型例として、以下のような積分がある。

:\int x^n e^{ax} \,\text{d}x \,\!

初めに、*I<sub>n</sub>*を以下のように定義する。

:I_n = \int x^n e^{ax} \,\text{d}x \,\!

以下のように置換積分を行う。

: x^n \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( x^{n+1})}{n+1}  \,\!

:I_n = \frac{1}{n+1} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}) \!

次に部分積分を行う。

:\begin{align} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}) & = x^{n+1}e^{ax} - \int x^{n+1} \,\text{d}(e^{ax}) \\
& = x^{n+1}e^{ax} - a \int x^{n+1} e^{ax}\,\text{d}x 
\end{align} \!

:(n+1) I_n = x^{n+1}e^{ax} - a I_{n+1}  \!

指数を１つずらし、*n + 1* → *n*, *n* → *n* – 1とすると、

:n I_{n-1} = x^ne^{ax} - a I_n \!

となる。*I<sub>n</sub>*について解くと

: I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ) \,\!

となる。積分漸化式は

: \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ) \!

となる。

e^{ax}を置換することによっても、上の結果を導出することができる。以下のように置換積分を行う。

: e^{ax} \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( e^{ax})}{a} \,\!

:I_n = \frac{1}{a} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}) \!

部分積分を行う。

:\begin{align} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}) & = x^{n}e^{ax} - \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n}) \\
& = x^{n}e^{ax} - n \int e^{ax} x^{n-1}\,\text{d}x 
\end{align} \!

逆代入すると

: I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ) \,\!

となり、先ほどの

: \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ) \!

と等価になる。

ここまでの導出は部分積分によって行うこともできる。

:I_n = \int x^{n} x e^{ax} \,\text{d}x \!

: u = x^{n} \text{ , }\ dv = e^{ax}

: \frac{du} {dx}\ = nx^{n-1} \text{ , }\ v = \frac{e^{ax}}{a}\ 

: I_n = \frac{x^{n}e^{ax}}{a}\ - \int nx^{n-1}\ \frac{e^{ax}}{a}\ \text{d}x\ 

: I_n = \frac{x^{n}e^{ax}}{a}\ - \frac{n}{a}\ \int x^{n-1} e^{ax} \ \text{d}x\ 

ここで

: I_{n-1} = \int x^{n-1} e^{ax} \ \text{d}x\ 

:\therefore\ I_n = \frac{x^{n}e^{ax}}{a}\ - \frac{n}{a}\ I_{n-1}

となるため、逆代入すると以下のようになる。

: I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ) \,\!

これは以下の式に等しい。

: \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ) \!

## 漸化式の表

### 有理関数
以下の要素を含む積分の例を示す。
*一次式の平方根の因子 \sqrt{ax+b}\,\!
*一次式の因子 {px+q}\,\! と一次式の平方根\sqrt{ax+b}\,\!
*二次因子 x^2+a^2\,\!
*二次因子 x^2-a^2\,\!（x>a\,\!の場合）
*二次因子 a^2-x^2\,\!（xの場合）
*(既約) 二次因子 ax^2+bx+c\,\!
*既約多項式の平方根の因子 \sqrt{ax^2+bx+c}\,\!

指数法則により以下が成り立つことに注意。
:I_{n+\frac{1}{2}} =  I_{\frac{2n+1}{2}} =\int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^{\frac{2n+1}{2}}}\,\text{d}x = \int \frac{1}{\sqrt{(ax^2+bx+c)^{2n+1}}}\,\text{d}x\,\!

### 超越関数

以下の要素を含む積分の例を示す。
*正弦(sin)因子
*余弦(cos)因子
*正弦と余弦の積や商の因子
*指数因子とxの冪乗の積や商
*指数因子と正弦/余弦因子の積

## 出典

## 参考文献

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