調和共役 (幾何学)

射影幾何学において、**調和共役**（ちょうわきょうやく、）は、実射影直線における以下の点の関係のことである。

: 同一直線上にある三点 についてをその直線上にない点、をそれぞれあるを通る直線との交点とする。またとの交点をとする。との交点をの,に対する**調和共役点**という。

は複比の不変性やデザルグの定理により、点や直線の取り方に依らない。

またこのときの複比については が成り立つ。

平面幾何学では{P,Q}調和共役（{P,Q}-harmonic conjugate）と書かれることもある。

## 複比の基準
は**調和点列**（Harmonic range）または**調和列点**と呼ばれている。に対するの内分比との外分比は常に等しい。つまり以下が成り立つ。\overline{AC}:\overline{BC} = \overline{AD}:\overline{DB} \, .線分比について符号付き距離を導入すると複比は以下の式で表される。

: (A,B;C,D) = \frac{\overline{AC}}{\overline{AD}} \left/ \frac{\overline{BC}}{-\overline{DB}} \right. , 

調和点列の複比は常に-1である。

: (A,B;C,D) = \frac{\overline{AC}}{\overline{AD}} \times \frac{\overline{BD}}{\overline{BC}} = -1 .

複比を取る4点の選びは6通りあり、選び方によって複比の値は変わってしまう。しかし、調和点列の場合、のいずれかとなる。これらは**調和比**（harmonic cross-ratio）と呼ばれる。

実数直線状の点について点の**分割比**（division ratio）は以下の式で表される。t(x) = \frac {x - a} {x - b} .ならば、は負の値を取る。逆にの外であれば正の値を取る。複比は分割比を用いて(c,d;a,b) = \tfrac{t(c)}{t(d)} と書くことができる。ならば、とは,に対する調和共役である。

調和共役の関係にある2つの点との距離が、調和点列の分比である点の軌跡はアポロニウスの円と呼ばれる。

## 中点の調和共役

との中点に対しての分割比は-1である。t(x) = \frac{x-a}{x-b} = -1.複比の基準によれば、中点の調和共役点はを満たさなければならない。しかし無限の概念を使わねば、を定義することができない。\lim_{y \to \infty} t(y) = 1,中点の調和共役点は実数直線上の無限遠点として定義される。

## 完全四角形
調和共役とは深い関係にある。完全四角形の調和共役による表現はH. S. M.コクセターによって提唱された。

: どの3点も共線でない4点を結んでできる6つの直線のからできる図形を**完全四角形**または**完全四辺形**という。

最初に調和共役を用いたカール・フォン・シュタウトは著作「」の中で、調和共役を初等幾何学の概念から射影幾何学の概念へ発展させた。

ジョン・ウェスレー・ヤングによれば、完全四角形によって中点を定義することができる。

: 2直線  についてそれぞれ平行な直線, を描く。  の交点は無限遠点、の交点無限遠点である。完全四角形 の対角線は直線と、上の無限遠点である。平行四辺形の対角線の交点は対角線を二等分することより、 の調和共役点はの中点である。

## 円錐曲線

円錐曲線と上にないについて、を通る直線との交点をそれぞれ,とする。直線が動くとき、 の,に対する調和共役点は、ある直線上を動く。この時を**極**（pole）、調和共役点の動く直線をの**極線**（polar line）と言う。

### 反転幾何学

特に円の場合、調和共役は円による反転と等しい。これはSmogorzhevskyの定理の一つである。

: 円,  が垂直に交わっているとき,の中心を結ぶ直線との2つの交点はについて、反転の関係にある。また、の中心,と直線の側の交点に対して,の中心を結ぶ直線との2つ交点は調和共役の関係にある。

### 円錐曲線とヨアヒムスタールの方程式
Cを以下の式で表される楕円とする。

: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1.

楕円の外にある点 P(x_0,y_0) について、Pを通る直線Lが楕円とA,Bで交わっている。  A の座標を (\xi,\eta)とする。L上の点Q(x,y)を、AがPQを1:\lambdaに内分する、楕円の内部に位置する点とすると、以下が成り立つ。

:  PA=\sqrt{(x_0-\xi)^2+(y_0-\eta)^2}=1, \;\;\; AQ=\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2}= \lambda.

これらの方程式を𝜉と𝜂について解く代わりに、以下の式が解であることを代入によって調べることができる。

: (\xi,\eta)=\bigg(\frac{\lambda x+x_0}{\lambda +1}, \frac{\lambda y+y_0}{\lambda +1}\bigg).

AがC上にあることは以下の式から確かめられる。

: \frac{1}{a^2}\bigg(\frac{\lambda x+x_0}{\lambda +1}\bigg)^2 + \frac{1}{b^2}\bigg(\frac{\lambda y+y_0}{\lambda +1}\bigg)^2 = 1,
: \lambda^2\bigg(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\bigg) + 2\lambda\bigg(\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}-1\bigg) + \bigg(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}-1\bigg)=0.

この等式は\lambdaのヨアヒムスタールの方程式（Joachimsthal's Equation）と呼ばれる。この方程式の2つの根\lambda_1,\lambda_2はP,Qに対するA,Bの位置を決定する。

: QA=\frac{1}{\lambda_1+1}(x-x_0, y-y_0), \;\; PA=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+1}(x_0-x, y_0-y)QB=\frac{1}{\lambda_2+1}(x-x_0, y-y_0), \;\;  PB=\frac{\lambda_2}{\lambda_2+1}(x_0-x, y_0-y).
:
: \frac{PB}{PA}\frac{QA}{QB}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}.

上の等式の両辺が-1と等しいならば

: \frac{QA}{PA}=-\frac{QB}{PB}.

このとき PQに対するA の内分比とBの外分比は等しい。すなわちこれは調和比である。

:\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}-1=0.

この等式は P(x_0,y_0)を極とする極線を表す。

## 出典

## 参考文献
* Juan Carlos Alverez (2000) Projective Geometry, see Chapter 2: The Real Projective Plane, section 3: Harmonic quadruples and von Staudt's theorem.
* Robert Lachlan (1893) An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry, link from Cornell University Historical Math Monographs.
* Bertrand Russell (1903) Principles of Mathematics, page 384.
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## 外部リンク
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