モリーンの公式

数学における**モリーンの公式**（モリーンのこうしき、）とは, 群 *G* の有限次元ベクトル空間 *V* の表現に付随する母関数を計算する公式である. すなわち, *G* の不変多項式であって与えられた次数をもつ斉次多項式を数えるものである. 名前の由来はテオドール・モリーンである.

正確な主張は次の通り.

*G* の有限次元複素表現 *V* , および *V* 上の *n* 次斉次多項式のなすベクトル空間 R_n := \mathbb{C}[V]_n = \operatorname{Sym}^n(V^*) が与えられ, *G* が有限群であるなあらば, 無限級数(この級数は**モリーン級数**と呼ばれる)が以下のように計算できる: 

\sum_{n=0}^{\infty} \dim(R_n^G) t^n = (\# G)^{-1} \sum_{g \in G} \det(1 - tg|V^*)^{-1}.

ここで, R_n^Gは, *G* の任意の元で不変なベクトル全体からなるR_nの部分空間である. すなわち, 不変な *n* 次数形式である.

R_n^G := \left\{v \in R_n \mid g \cdot v = v\ (\forall g \in G) \right\}

したがって, その次元は 次数 *n* の不変式の個数である. もし *G* がコンパクト群ならば, ハール測度によって同様の公式が成り立つ.

## 導出
有限群*G*, *G* の有限次元複素表現 *V, n* 次斉次多項式のなすベクトル空間 R_n:=\mathbb{C}\left[V\right]_nは上記のものとし,  *G* の既約な標数を\chi_1, \dots, \chi_r書く. このとき, R_nの標数\chi_{R_n} は次のように書ける:

\chi_{R_n} = \sum_{i=1}^r a_{i, n} \chi_i.

ここで, 各 a_{i, n} は以下の内積で与えられる:

a_{i, n} = \langle \chi_{R_n}, \chi_i \rangle = (\# G)^{-1} \sum_{g \in G} \overline{\chi_i}(g) \chi_{R_n}(g) = (\# G)^{-1} \sum_{g \in G} \overline{\chi_i}(g) \sum_{|\alpha| = n} \lambda(g)^{\alpha}

ただし, \lambda(g)^{\alpha} = \prod_{i=1}^m \lambda_i(g)^{\alpha_i} であり, \lambda_1(g), \dots, \lambda_m(g) は重複を含めた g : V^* \to V^*. の固有値, 
(\# G)
 は群 *G* の位数である. 

級数を計算すると, 行列式を用いた以下のような式になる.


\begin{align}
\sum_{n = 0}^{\infty} a_{i, n} t^n &= (\# G)^{-1} \sum_{g \in G} \overline{\chi_i}(g) \sum_{\alpha} (\lambda_1(g)t)^{\alpha_1} \cdots (\lambda_m(g)t)^{\alpha_m} \\
&= (\# G)^{-1} \sum_{g \in G} \overline{\chi_i}(g) (1 - \lambda_1(g)t)^{-1} \cdots (1 - \lambda_m(g)t)^{-1} \\
&= (\# G)^{-1} \sum_{g \in G} \overline{\chi_i}(g) \det(1 - tg|V^*)^{-1}.
\end{align}

最後に \chi_i として自然な標数を定めることで定理の式を得る.

## モリーンの公式の適用例
実3次元空間 **R**3 に座標の並び替えで作用する対称群 S_3 を考えよう. 群の要素を次のように足していく.

まずは単位元(これは恒等変換に対応する)について考えて次を得る.

\det \begin{pmatrix} 1-t & 0 & 0 \\ 0 & 1-t & 0 \\ 0 & 0 & 1-t \end{pmatrix} = (1-t)^3 .

S_3には, 2つの座標を置換するような元(互換)が3つ存在する(具体的にはx-y成分, y-z成分, z-x成分の入れ替えからなる). このような元は次の項を与える.

\det \begin{pmatrix} 1 & -t & 0 \\ -t & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-t \end{pmatrix} = (1-t)(1-t^2) .

最後に, 3つの座標を置換する元(S_3においては巡回置換)が2つ存在する(具体的にはxyzの順とxzyの順の入れ替えからなる). これは次の項を与える.

 \det \begin{pmatrix} 1 & -t & 0 \\ 0 & 1 & -t \\ -t & 0 & 1 \end{pmatrix} = \left(1 - t^3 \right) .

異なる元であっても同じ共役類に属するなら同じ行列式を与えることに注意すると, モリーン級数は次のようになる.


M(t) = \frac 1 6 \left(\frac{1}{(1-t)^3} + \frac 3 {(1-t)(1-t^2)} + \frac{2}{1-t^3}\right)
= \frac{1}{(1-t)(1-t^2)(1-t^3)}.


一方で, 幾何級数 (\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots)を用いてべき級数の形に展開すると, 次の式を得る.


\begin{align}
M(t) &= (1 + t + t^2 + t^3 + \cdots)(1+ t^2 + t^4 + \cdots)(1 + t^3 + t^6 + \cdots)\\
&= 1 + t + 2t^2 + 3t^3 + 4t^4 + 5t^5 + 7t^6 + 8t^7 + 10 t^8 + 12 t^9 + \cdots
\end{align}
 

この級数の係数(1,1,2,3,4,5,7, ... )は, 互いに線型独立な3変数斉次多項式であって, 3変数の置換で不変なものの個数を教えてくれる. すなわち, 3変数の対称式の個数が分かるのである.

実際, 基本対称式として

 \sigma_1 = x + y + z 
 \sigma_2 = xy + xz + yz  
 \sigma_3 = xyz 

を考えると, 例えば5次の対称式の基底として  \sigma_3 \sigma_2, \sigma_3 \sigma_1^2, \sigma_2^2 \sigma_1, \sigma_1^3 \sigma_2,  \sigma_1^5 が得られる.  

(実は, この級数を手計算で展開すると, 各項
t^k
 が
t, t^2, t^3
 の組み合わせから作られることが分かる. これは
\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3
 の組み合わせに正確に対応し, さらに, kの1,2,3を成分とする分割にも対応する. 詳細は分割（数論）および対称群の表現論も参照のこと). 
## 脚注

## 参考文献
* David A. Cox, John B. Little, Donal O'Shea (2005), *Using Algebraic Geometry*, pp.&nbsp;295–8
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## 外部リンク

* https://mathoverflow.net/questions/58283/a-question-about-an-application-of-moliens-formula-to-find-the-generators-and-r