色差

**色差**（しきさ、）とは、色彩学において2つの色の間に定義される指標の一つである。色差が大きいほど区別しやすく、色差が小さいほど区別しにくくなる。 従来は官能評価することしかできなかった「色の差」の概念が、色差を用いることにより定量的に検討できるようになった。重要な色の判定等において、これら特性の定量化は極めて重要である。通常はデバイス非依存の色空間におけるユークリッド距離で定義される。

## ユークリッド距離
ほとんどの色差の定義は色空間における距離であり、距離の決定方法はユークリッド距離である。ある色空間がRGB (Red, Green, Blue) の組み合わせから構成され、そこで色差を計算する場合、R, G, Bからなる線形3次元空間で構成される色空間で計算する。
: \mathrm{distance} = \sqrt{ (R_2-R_1)^2+(G_2-G_1)^2 + (B_2-B_1)^2 }
単純化のため、しばしば平方根を取り除いて計算が行われる:
: \mathrm{distance}^2 = { (R_2-R_1)^2+(G_2-G_1)^2 + (B_2-B_1)^2 }
この式は、単一の色と色同士を比較し、近いかどうかを判断する目的で利用できる。しかし自乗された色差を加算していく場合、色差の分散値となってしまう。

RGB値をヒトの視覚に一致させる試みは、これまで数多く行われてきて、各成分は等しく重み付けされた（red 30%, green 59%, blue 11%）ものが考案された。しかしながら, これらの試みでは色の決定において良い結果は得られず、明るさの影響を受け、ヒトの視覚がこれらの色に対して少ない許容値を持つことがわかった。より近い近似式は係数2, 4, および 3を用いて: \sqrt{ 2 \times \Delta R^2 + 4 \times \Delta G^2 + 3 \times \Delta B^2 } より簡単な近似式は、
: \bar r = {k_C S_C}\right)^2 + \left(\frac{\Delta H^*_{ab}}{k_H S_H}\right)^2 }
ここで:
: \Delta L^* = L^*_1 - L^*_2
: C^*_1 = \sqrt{ {a^*_1}^2 + {b^*_1}^2 }
: C^*_2 = \sqrt{ {a^*_2}^2 + {b^*_2}^2 }
: \Delta C^*_{ab} = C^*_1 - C^*_2
: \Delta H^*_{ab} = \sqrt{ {\Delta E^*_{ab}}^2 - {\Delta L^*}^2 - {\Delta C^*_{ab}}^2 } = \sqrt{ {\Delta a^*}^2 + {\Delta b^*}^2 - {\Delta C^*_{ab}}^2 }
: \Delta a^* = a^*_1 - a^*_2
: \Delta b^* = b^*_1 - b^*_2
: S_L = 1
: S_C = 1+K_1 C^*_1
: S_H = 1+K_2 C^*_1
*k<sub>C</sub>* および *k<sub>H</sub>* は、通常の同じ値をとり、重み係数 *k<sub>L</sub>*、*K*1 および *K*2 は、適用用途により異なる:

幾何学的には、\Delta H^*_{ab}は弦の長さに等しく対応する。

### CIEDE2000 (delta E00)
CIE 1994の定義は、知覚的均等性を十分に確保できていなかったため、CIEは定義を見直し、5箇所の訂正を追加した:
* 青色領域 (色相角度275°付近) における問題に対処するための色相回転項 (RT) :
* 中立色の補正項(L*C*h*の違いにおける最大値)
* 明度補正項 (SL)
* 彩度補正項 (SC)
* 色相補正項 (SH)
:\Delta E_{00}^* = \sqrt{ \left(\frac{\Delta L'}{k_L S_L}\right)^2 + \left(\frac{\Delta C'}{k_C S_C}\right)^2 + \left(\frac{\Delta H'}{k_H S_H}\right)^2 + R_T \frac{\Delta C'}{k_C S_C}\frac{\Delta H'}{k_H S_H} }

:: **注:** 以下の式はラジアンでなく度を用いる; 特に*R<sub>T</sub>*への影響が大きい。
:: *k<sub>L</sub>*、 *k<sub>C </sub>*および *k<sub>H</sub>* は、通常同一値。

:\Delta L^\prime = L^*_2 - L^*_1

:\bar{L} = \frac{L^*_1 + L^*_2}{2} \quad \bar{C} = \frac{C^*_1 + C^*_2}{2}

:
  a_1^\prime = a_1^* + \frac{a_1^*}{2} \left( 1 - \sqrt{\frac{\bar{C}^7}{\bar{C}^7 + 25^7}} \right) \quad
  a_2^\prime = a_2^* + \frac{a_2^*}{2} \left( 1 - \sqrt{\frac{\bar{C}^7}{\bar{C}^7 + 25^7}} \right)


:
  \bar{C}^\prime = \frac{C_1^\prime + C_2^\prime}{2} \mbox{ and }
  \Delta{C'}=C'_2-C'_1 \quad
  \mbox{where }
    C_1^\prime = \sqrt{a_1^{'^2} + b_1^{*^2}} \quad
    C_2^\prime = \sqrt{a_2^{'^2} + b_2^{*^2}} \quad


:
  h_1^\prime=\text{atan2} (b_1^*, a_1^\prime) \mod 360^\circ, \quad
  h_2^\prime=\text{atan2} (b_2^*, a_2^\prime) \mod 360^\circ


:: **注:** 逆正接 (tan&#x2212;1) は通常コンピューター上では、atan2用いて、−π から π ラジアンの範囲での`atan2(b,a&#x27;)` により計算できる。一方で色相は0から360度の範囲であるため、変換が必要である。*a&#x27;* および *b* がゼロの場合、逆正接は不定値となる (すなわち対応する *C&#x27;* もゼロとなる)。この場合、色相角はゼロを代入する。参照のこと。

: 
  \Delta h' = \begin{cases}
    h_2^\prime - h_1^\prime & \left| h_1^\prime - h_2^\prime \right| \leq 180^\circ \\
    h_2^\prime - h_1^\prime + 360^\circ & \left| h_1^\prime - h_2^\prime \right| > 180^\circ, h_2^\prime \leq h_1^\prime \\
    h_2^\prime - h_1^\prime - 360^\circ & \left| h_1^\prime - h_2^\prime \right| > 180^\circ, h_2^\prime > h_1^\prime
  \end{cases}

:: **注:** *C&#x2032;*1 あるいは *C&#x2032;*2 がゼロの場合、&#x394;h&#x2032; は無関係となり、ゼロが代入される。 参照のこと。
Harvnb

: 
  \Delta H^\prime = 2 \sqrt{C_1^\prime C_2^\prime} \sin (\Delta h^\prime/2), \quad \bar{H}^\prime=\begin{cases}
    (h_1^\prime + h_2^\prime)/2 & \left| h_1^\prime - h_2^\prime \right| \leq 180^\circ \\
    (h_1^\prime + h_2^\prime + 360^\circ)/2 & \left| h_1^\prime - h_2^\prime \right| > 180^\circ, h_1^\prime + h_2^\prime  180^\circ, h_1^\prime + h_2^\prime \geq 360^\circ 
    \end{cases}

:: **注:** *C&#x2032;*1 あるいは *C&#x2032;*2 がゼロの場合、H&#x2032; は *h&#x2032;*1+*h&#x2032;*2 となる (2で除算しない; 本質的には、ひとつの角度が不定の場合、もう一方の角度を使って平均を取る。不定の角度がゼロであることを前提としている)。 参照のこと。インターネット上のほとんどの実装に、平均色相角の計算エラーがある、と述べている。

:
  T = 1 - 0.17 \cos ( \bar{H}^\prime - 30^\circ )
        + 0.24 \cos (2\bar{H}^\prime)
        + 0.32 \cos (3\bar{H}^\prime + 6^\circ )
        - 0.20 \cos (4\bar{H}^\prime - 63^\circ)


:
  S_L = 1 + \frac{0.015 \left( \bar{L} - 50 \right)^2}{\sqrt{20 + {\left(\bar{L} - 50 \right)}^2} } \quad
  S_C = 1+0.045 \bar{C}^\prime \quad
  S_H = 1+0.015 \bar{C}^\prime T


:R_T = -2 \sqrt{\frac{\bar{C}'^7}{\bar{C}'^7+25^7}} \sin \left[ 60^\circ \cdot \exp \left( -\left[ \frac{\bar{H}'-275^\circ}{25^\circ} \right]^2 \right) \right]

### 許容値

**許容値**は、「基準色に対してどのような色が見分けがつかないほど近いか？」を定義する。もしも2色間の距離が**知覚的均等**であれば、答えは単純に「丁度可知差異以内のすべての色」である。 このことは色域内において知覚的均等であることを前提としている。 さもないと、許容値は参照値を含む関数となってしまい、複雑化してしまう。

例えばCIE 1931 色空間は、L* (明度)　が一定の場合の許容値を表す線がマクアダムの楕円として定義されている。図で示すとおり、許容値を表す楕円のサイズは、場所によりバラバラであることがわかる。 このことにより、CIELUV と CIELAB色空間の定義へとつながった。

より一般的に、明度を変動させると、許容値は楕円体となる。上記のように距離の表現における重み付け係数を増加させると、各々の係数の軸において楕円体の体積を増やす方向に働く。

## 参照
* CIELAB

## 脚注

### 出典

## 外部リンク
* ミシェル・レオナルドによるCIE ΔE 2000の実装 は20以上のプログラミング言語で提供されています。
* Bruce Lindbloomの色差計算
* CIE dE2000色差式: Gaurav Sharma氏によるMATLABおよびExcelでの実装