直交曲線座標

数学において、**直交曲線座標**（ちょっこうきょくせんざひょう）、**直交座標**（ちょっこうざひょう、）とは、座標超曲面同士が互いに直交するようなd個の座標**q** = (*q*1, *q*2, ..., *q**d*)の組として定義される（注：上付き添え字は指数ではなく添え字 (Einstein notation) を意味する）。ある座標*q**k*に対する座標超曲面とは、*q**k*が定数となる超曲面（場合によっては曲線、曲面）のことである。たとえば、3次元のデカルト座標系 (x, y, z) では「x = 定数」、「y = 定数」、「z = 定数」は座標超曲面であるが、これらが互いに直角に交るので、直交座標系である。直交曲線座標は曲線座標の特殊な例である。

## 動機

ベクトル同士の演算や物理法則の導出は、通常、デカルト座標系 () で行うのが最も簡単であるが、量子力学における場の理論、流体力学、等角性を保持する地図投影（正角図法）、電気力学、プラズマ物理学、化学種や熱の拡散等において生じるような境界値問題においては、デカルト座標ではない直交座標（非デカルト直交座標、即ち直交座標）がよく用いられる。

非デカルト直交座標の利点は、問題の対称性に合わせて座標を選ぶことができる点である。例えば、地面（あるいは他の障害物）から遠く離れた場所での爆発による圧力波は、デカルト座標では3次元空間に依存するが、球座標では問題はほぼ1次元となる（圧力波は時間と中心からの距離のみに依存するため）。デカルト座標では偏微分方程式を含む2次元の境界値問題を解かなければならないが、円筒座標では偏微分方程式を用いずとも、常微分方程式で表現可能1次元の問題に帰着される。

一般的な () ではなく、直交曲線座標を好まれる理由は、これを用いたほうが単純であるからである。直交しない座標では多くの複雑な問題が発生する。例えば、直交曲線座標では、多くの問題が変数分離によって解決されることがある。変数分離とは、複雑なd次元の問題を、「既知の関数で解くことができるd個の1次元の問題」に変換する数学的手法である。多くの方程式は、ラプラス方程式やヘルムホルツ方程式に還元することができる。ラプラス方程式は、下表13番に示す座標系（トロイダル座標を除く下表14番に示す座標）で変数分離可能であり、ヘルムホルツ方程式は、下表11番の座標系で変数分離可能である。

直交曲線座標は、計量テンソルの非対角項を決して持たない。つまり、無限小の2乗距離、即ち  *ds*2 は、常に、「無限小の座標変位の2乗の総和」として書くことができる。

即ち、:
ds^2 = \sum_{k=1}^d \left( h_k \, dq^{k} \right)^2


ここで、*d* は次次元を表す。
また、スケーリング関数（スケールファクター、h-パラメータ）
:
h_{k}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{kk}(\mathbf{q})} = |\mathbf e_k|

は、計量テンソルの対角成分の平方根（後述する局所基底ベクトル () \mathbf e_kの長さ）に等しい。これらのスケーリング関数 *h**i* は新しい座標における微分演算子、例え 勾配、ラプラシアン、発散や回転を計算する上でも使用される。

2次元の直交曲線座標の一例を生成する簡単な方法として、標準的なデカルト座標が定める2次元格子の共形写像による方法がある。非ゼロの複素微分を持つ正則関数 *w* = *f*(*z*) は共形写像を生成する。得られた複素数をと書くと、元の定数 *x* と *y* の直線と同じように定数 *u* と *v* の曲線は直交する。

3次元以上の直交曲線座標の一例を生成する方法の一つとして、直交する2次元座標系から、新しい次元に投影する（「円筒座標」）か、2次元座標系をその対称軸の1つを中心に回転させる方法がある。 しかし、2次元座標系を射影したり回転させたりしても得られない3次元の直交曲線座標系もあり、例えばはそのような例である。より一般的な直交曲線座標は、いくつかの必要な座標面から出発し、その直交軌道を考えることで得られることがある。

## 基底ベクトル
### 共変基底（Covariant basis）
デカルト座標では、基底ベクトルは固定（一定）である。より一般的なでは、座標によって空間の点が指定され、そのような点ごとに基底ベクトルの集合が束ねられるが、それは一般に一定ではない。直交曲線座標の特徴は、基底ベクトルが変化しても、互いに対して常に直交していることである。言い換えれば

:\mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = 0 \quad \text{if} \quad i \neq j

これらの基底ベクトル「ある座標を変化させ、他の座標を固定して得られる曲線の接ベクトル」として定義される。即ち、
:\mathbf e_i = \frac{\partial \mathbf r}{\partial q^i}

ここで **r'' は何らかの点を表し、''q'' <sup>''i''</sup> は基底ベクトルを抽出した座標である。つまり、1つの座標以外を固定して曲線を得、固定しない座標を[[パラメトリック曲線]]のように変化させ、パラメータ（変化する座標）に対する曲線の微分を、その座標の基底ベクトルとする。

なお、ベクトルは必ずしも等しい長さとは限らない。座標のスケールファクターとして知られる便利な関数は、単に基底ベクトル <math>{\mathbf e}_i</math> の長さ <math>h_i</math> (下表参照) である。スケールファクターは[[Lamé coefficients]]と呼ばれることもあるが、[[弾性|弾性論]]における[[ラメ定数]]と混同しないように注意のこと。

単位ベクトル([[正規化]]基底ベクトル)をハット付きで表記し、これは、上記の <math>{\mathbf e}_i</math> を、その長さで割ることで得られる。
:<math>\hat{\mathbf e}_i = \frac{\partial q^i} dq^i </math>
|| [[Infinitesimal]] [[length]]
<math>d\ell = \sqrt{d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r}} = \sqrt{(h_1 \, dq^1)^2 + (h_2 \, dq^2)^2 + (h_3 \, dq^3)^2} </math>
|-
|[[面積要素]]
|| [[Normal (geometry)|Normal]] to coordinate surface ''q<sup>k</sup>'' = constant:
<math> \begin{align}
d\mathbf{S} & = (h_i dq^i \hat{\mathbf{e}}_i) \times (h_j dq^j \hat{\mathbf{e}}_j) \\
& = dq^i dq^j \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^j}\right)\\
& = h_i h_j dq^i dq^j \hat{\mathbf{e}}_k 
\end{align}</math>
|| Infinitesimal [[surface (mathematics)|surface]]
<math> dS_k = h_ih_j \, dq^i \, dq^j</math>
|-
|[[体積要素]]
||N/A
||Infinitesimal [[volume]]
<math>\begin{align}
dV & = |(h_1 \, dq^1 \hat{\mathbf{e}}_1) \cdot (h_2 \, dq^2 \hat{\mathbf{e}}_2) \times (h_3 \, dq^3 \hat{\mathbf{e}}_3)| \\
& = |\hat{\mathbf{e}}_1 \cdot \hat{\mathbf{e}}_2 \times \hat{\mathbf{e}}_3| h_1 h_2 h_3 \, dq^1 \, dq^2 \, dq^3\\
& = h_1 h_2 h_3 \, dq^1 \, dq^2 \, dq^3 \\
& = J \, dq^1 \, dq^2 \, dq^3
\end{align}</math>
|-
|}

ここで、

:<math>J = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^1} \cdot \left(\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^2} \times \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^3} \right) = 
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(q^1, q^2, q^3)} = h_1 h_2 h_3>0</math>

は[[ヤコビ行列式]]で、これは「デカルト座標における無限小の立方体 d''x''d''y''d''z''」から、「無限小の曲った立方体」への体積の変形という幾何学的解釈を持つものである。ただしここで ヤコビ行列式は正と仮定してあることに注意する （一般にはヤコビ行列式は0でなければよいので負の値も許される）。以下ではヤコビ行列式が正の場合のみ考える。

===積分===
上に示した線素を用いると、ベクトル **F** の経路 <math>\scriptstyle\mathcal P</math> に沿った[[線積分]]は次のようになる。
:<math>\int_{\mathcal P} \mathbf F \cdot d\mathbf r =
\int_{\mathcal P} \sum_i F_i \mathbf e^i \cdot \sum_j \mathbf e_j \, dq^j = \sum_i \int_{\mathcal P} F_i \, dq^i
</math>

1つの座標''q<sub>k</sub>''を一定にして記述した面の面積の無限小要素は、以下のように変換され、
:<math>dA_k = \prod_{i \neq k} ds_i = \prod_{i \neq k} h_i \, dq^i</math>

同様に、体積要素も以下のように変換される。
:<math>dV = \prod_i ds_i = \prod_i h_i \, dq^i</math>

ここで、大きな記号Π（πの大文字）は、[[総乗]]を示す。即ち、すべてのスケールファクターの積はヤコビ行列式に等しいことを意味している。

例として、3次元の''q''<sup>1</sup> = ''定数''で定まる面<math>\scriptstyle\mathcal S</math>上のベクトル値関数''F''の[[面積分]]は次のようになる。

:<math>\int_{\mathcal S} \mathbf F \cdot d\mathbf A =
\int_{\mathcal S} \mathbf F \cdot \hat{\mathbf n} \ d A =
\int_{\mathcal S} \mathbf F \cdot \hat{\mathbf e}_1 \ d A =
\int_{\mathcal S} F^1 \frac{h_2 h_3}{h_1} \, dq^2 \, dq^3
</math>

ただし、**F**<sup>1</sup>/''h''<sub>1</sub>は、''F''の、この表面に垂直な成分である。

==Differential operators in three dimensions==

これらの演算は応用上共通なので、本節ではすべてのベクトル成分を正規化基底を用いて以下のように示す。
<math>F_i = \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{e}}_i</math>.

:

上記の式は、[[レヴィ＝チヴィタ記号]]を用いてより簡潔に書くことができる。<math>\epsilon_{ijk}</math>とヤコビ行列式<math>J = h_1 h_2 h_3>0</math>で、繰り返し添字に対する和を考える。
:

また、スカラー場の勾配は正準偏導関数を含むヤコビ行列式 **J*' で表現できることに注意。
:<math>\mathbf{J} = \left[\frac{\partial \phi}{\partial q^1}, \frac{\partial \phi}{\partial q^2}, \frac{\partial \phi}{\partial q^3}\right]</math>
upon a [[change of basis]]:
:<math>\nabla \phi = \mathbf{S} \mathbf{R}^T \mathbf{J}^T</math>
where the rotation and scaling matrices are:
:<math>\mathbf{R} = [\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3] </math>
:<math>\mathbf{S} = \mathrm{diag}([h_1^{-1}, h_2^{-1}, h_3^{-1}]). </math>

==直交曲線座標の表==

通常の直交曲線座標の他に、いくつかのやや珍しい直交曲線座標を以下に表に示す。 [[Interval notation]] is used for compactness in the coordinates column.

:

==関連項目==
* 
* [[Geodetic coordinates]]
* [[テンソル]]
* [[ベクトル場]]
* [[Skew coordinates]]

==脚注==



==参考文献==
* Korn GA and [[Theresa M. Korn|Korn TM]]. (1961) *Mathematical Handbook for Scientists and Engineers*, McGraw-Hill, pp.&nbsp;164–182.
* 
* Margenau H. and Murphy GM. (1956) *The Mathematics of Physics and Chemistry*, 2nd. ed., Van Nostrand, pp.&nbsp;172–192.
* Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud (2003) *Tensor Analysis'', pp.&nbsp;81 – 88.