三角形に関する不等式の一覧

**[[三角形]]に関する[[不等式]]**（triangle inequalities）の一覧。辺だけでなく、周長、半周長、角、三角法、面積、内半径、外半径や角の二等分線、頂垂線の長さなども不等式内に含まれることがある。

特に断りのない限り、ユークリッド平面上の三角形の不等式について言及する。

## 変数の表記
以下に、本記事で扱う三角形の各値の表記を並べる。

* 三角形の辺長
* 周長、半周長
* 角（それぞれ辺の対角）
* 面積
* 中線の長さ
* 頂垂線の長さ
* 角の二等分線の長さ
* 垂直二等分線の長さ（中点から他の辺との交点まで）
* 内半径と傍接円半径
* 外半径

## 辺長
**[[三角不等式]]**a または、\max(a, b, c)

変形すれば、\frac{3}{2} \le \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} ここで右辺は極限値、つまり三角形を線分へ退化させた場合に等号が成立する。また左辺はネスビットの不等式。

: 3\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right) \geq 2\left( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right) +3.

: abc \geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c). \quad 

: \frac{1}{3} \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2} 

: \sqrt{a+b-c} + \sqrt{a-b+c} + \sqrt{-a+b+c} \leq \sqrt{a}+\sqrt{b} + \sqrt{c}.

: a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geq 0.

が鈍角であるとき、

: a^2+b^2 

が鋭角であるとき、

: a^2+b^2 > c^2.

が直角であるとき、ピタゴラスの定理。

: a^2+b^2 > \frac{c^2}{2},

二等辺三角形が線分へ退化するときこの等号が成立する。

重心が内接円の内側にあるとき、

: a^2 

ただし、三角不等式より、上の式は常に成立する。

: \frac{3abc}{ab+bc+ca} \leq \sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3},

これは調和平均、相乗平均、相加平均の関係式である。等号成立条件は。

**ガーファンクルの不等式**（Garfunkel's Inequality）によれば、三角形の頂点と、それぞれ内心と重心を結ぶ線分と内接円の交点が成す三角形について、重心の方の三角形の周長は、内心の方の三角形の周長以上である。

## 角

: \cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}  

: (1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C) \geq \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C

: \cos ^4\frac{A}{2} + \cos ^4\frac{B}{2} + \cos ^4\frac{C}{2} \leq \frac{s^3}{2abc}

この式の等号成立条件は三角形が正三角形であること。

: a+b+c \ge 2\sqrt{bc} \cos A + 2 \sqrt{ca} \cos B + 2\sqrt{ab} \cos C 

: \sin A + \sin B + \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2} 

: \sin ^2 A + \sin ^2 B + \sin ^2 C \leq \frac{9}{4}  

: \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C  \leq \left(\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\right)^3 \leq\left(\sin\frac{A+B+C}{3}\right)^3 =\sin^3\left(\frac{\pi}{3}\right)= \frac{3\sqrt{3}}{8}  

: \sin A+\sin B \cdot \sin C \leq \varphi

ここで \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} つまり黄金比。

: \sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}  \leq \frac{1}{8}  

: \tan ^2 \frac{A}{2} + \tan ^2 \frac{B}{2} + \tan ^2 \frac{C}{2} \geq 1  

: \cot A + \cot B + \cot C \geq \sqrt{3}  

: \sin A \cdot \cos B +\sin B \cdot \cos C+\sin C \cdot \cos A \leq \frac{3\sqrt{3}}{4}

について、

: \max\left(\sin \frac{A}{2}, \sin \frac{B}{2}, \sin \frac{C}{2} \right) \le \frac{1}{2} \left(1+\sqrt{1-\frac{2r}{R}} \right)

等号成立条件は三角形が頂角60°以上の二等辺三角形であること。

: \min\left(\sin \frac{A}{2}, \sin \frac{B}{2}, \sin \frac{C}{2} \right) \ge \frac{1}{2} \left(1-\sqrt{1-\frac{2r}{R}} \right)

等号成立条件は三角形が頂角60°以下の二等辺三角形であること。

: \frac{r}{R}-\sqrt{1-\frac{2r}{R}} \le \cos A \le \frac{r}{R}+\sqrt{1-\frac{2r}{R}}

左辺との等号成立条件はの頂角60°超過の三角形であること。右辺との等号成立条件はの頂角60°以下の三角形であること。

次の不等式は角と辺の関係式である。

: A>B \quad \text{if and only if} \quad a > b

また、とは同値。

外角定理によれば、次の式が成立する。三角形の内部の点について、

: \angle BDC > \angle A

鋭角三角形について、

: \cos^2A+\cos^2B+\cos^2C 

ただし、鋭角三角形については、逆向きの不等式が成立する。

更に鈍角三角形でない三角形について、

: \frac{2R+r}{R}\le \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{A-C}{2}\right)+\cos\left(\frac{B}{2}\right)\right)

等号成立条件は。

**[[M・S・クラムキン|クラムキン]]の不等式**によれば、任意の実数と非負整数について、

x^2+y^2+z^2\geq 2(-1)^{n+1}(yz\cos(nA)+za\cos(nB)+xy\cos(nC))

**フランダースの不等式**（Flanders's inequality）またはAbi-Khuzam Inequalityによれば、次の式が成立する。

\sin A\sin B\sin C\leq(\frac{3\sqrt{3}}{2\pi})^3 ABC

等号成立は正三角形の場合。

フランダースの定理の類似物として**Yffの不等式**がある。ここではブロカール角。

8\omega^3\leq ABC

## 面積
***'によれば、

: <math>a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}\cdot T, </math>

等号成立条件は三角形が正三角形であるとき。また、この不等式は[[ハドヴィッガー・フィンスラー不等式]]の不等式の[[系 (数学)|系]]である。

: <math>a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} + 4 \sqrt{3} \cdot T .</math>

: <math>ab+bc+ca \geq 4\sqrt{3} \cdot T</math>

または、

: <math>T \leq \frac{abc}{2}\sqrt{\frac{a+b+c}{a^3+b^3+c^3+abc}} \leq \frac{1}{4}\sqrt[6] \frac{3(a+b+c)^3(abc)^4}{a^3+b^3+c^3}  \leq \frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^{2/3}.</math>

最右辺の[[上界 (数学)|上界]]と[[相加相乗平均の関係式|AM-GM不等式]]を用いれば、三角形の[[等周定理|等周不等式]]を得る。

: <math>T \leq \frac{\sqrt{3}}{36}(a+b+c)^2 = \frac{\sqrt{3}}{9}s^2</math> 

これを三角形の周長に置き換えれば

: <math>p^2 \ge 12\sqrt{3} \cdot T,</math>

を得る。等号成立条件は正三角形であるとき。また、次式はこの不等式のより強力な不等式である。

: <math>T \le \frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^{2/3}.</math>
[[等周定理|等周不等式]]によれば、

<math>4\pi T \le (a+b+c)^{2}.</math>

更に、'''[[ボンネゼンの不等式]]'''はこの上の不等式より強力である。

: <math> \pi^2 (R-r)^2 \leq (a+b+c)^2-4\pi T. </math>

また、面積と辺長について

: <math>\frac{9abc}{a+b+c} \ge 4\sqrt{3} \cdot T</math> 

を得る。等号成立は正三角形。半周長を用いれば次の式が成立する。

: <math>38T^2 \leq 2s^4-a^4-b^4-c^4</math>

また、

: <math>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} < \frac{s}{T}.</math>

'''[[オノの不等式]]'''は鋭角三角形について成り立つ。

: <math>27 (b^2 + c^2 - a^2)^2 (c^2 + a^2 - b^2)^2 (a^2 + b^2 - c^2)^2 \leq (4 T)^6.</math>

内接円の面積と三角形の面積の比について、次の式が成り立つ。

: <math>\frac{\text{Area of incircle}}{\text{Area of triangle}} \leq \frac{\pi}{3\sqrt{3}}</math>

等号成立は正三角形。

基準三角形とそれに内接する三角形について、以下の不等式が成立する。

: <math>\frac{\text{Area of inscribed triangle}}{\text{Area of reference triangle}} \leq \frac{1}{4}.</math>

基準三角形と内心三角形について、以下の不等式が成立する。

: <math>\frac{3abc}{4(a^3+b^3+c^3)} \leq \frac{\text{Area of triangle} \,DEF}{\text{Area of triangle} \, ABC} \leq \frac{1}{4}.</math>

三角形の[[重心]]を通る直線は三角形を、基準三角形の4/9以上の面積を持つ三角形に分ける。

== 中線と重心 ==
[[中線]]は頂点と、その対辺の中点を通る直線である。中線の長さについて、次の式が成り立つ

: <math>\frac{3}{4}(a+b+c) < m_a+m_b+m_c < a+b+c.</math>

さらに、

: <math>\left( \frac{m_a}{a} \right)^2 + \left( \frac{m_b}{b} \right)^2  + \left( \frac{m_c}{c} \right)^2 \geq \frac{9}{4},</math>

等号成立は正三角形。内半径については次の式が成り立つ。

: <math>\frac{m_am_bm_c}{m_a^2+m_b^2+m_c^2} \geq r.</math>

中線を含む外接円の弦の長さをとすれば、次の式が成立する。

: <math>\frac{M_a}{m_a} + \frac{M_b}{m_b} + \frac{M_c}{m_c} \geq 4.</math>

三角形の重心を、[[擬調和三角形|circum-medial triangle]]をとすれば、

: <math>GU+GV+GW \geq AG+BG+CG</math>

: <math>GU \cdot GV \cdot GW \geq AG \cdot BG \cdot CG;</math>

が成立する。加えて、

: <math>\sin GBC+\sin GCA+\sin GAB \leq \frac{3}{2}.</math>

鋭角三角形について、

: <math>m_a^2+m_b^2+m_c^2 > 6R^2</math>

ただしは外半径。鈍角三角形では不等式の向きが逆になる。

を[[内心]]と各頂点の距離とすると、

: <math>\frac{IA^2}{m_a^2}+\frac{IB^2}{m_b^2}+\frac{IC^2}{m_c^2} \leq \frac{4}{3}.</math>

中線の長さを持つ三角形を作ることができる。つまり、

: <math>m_a < m_b+m_c, \quad m_b<m_c+m_a, \quad m_c< m_a+m_b.</math>

更に、

: <math>\max\{bm_c +cm_b, \quad cm_a +am_c,\quad am_b +bm_a\} \le \frac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt{3}}.</math>

== 頂垂線 ==
[[頂垂線 (三角形)|頂垂線]]の長さについて、次の不等式が成立する。

: <math>h_a+h_b+h_c \leq \frac {\sqrt{3}}{2}(a+b+c)</math>

: <math>h_a^2+h_b^2+h_c^2 \le \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2).</math>

加えて、<math>a\geq b \geq c,</math>として

: <math>a+h_a \geq b+h_b \geq c+h_c.</math>

更に、

: <math>\frac{h_a^2}{(b^2+c^2)}\cdot \frac{h_b^2}{(c^2+a^2)} \cdot \frac{h_c^2}{(a^2+b^2)} \leq \left(\frac{3}{8} \right)^3.</math>

内角の二等分線の長さを、内半径と外半径をそれぞれとすると、

: <math>\frac{h_a}{t_a}+\frac{h_b}{t_b}+\frac{h_c}{t_c} \geq \frac{R+4r}{R}.</math>

頂垂線の長さの逆数の長さを持つ三角形を作ることができる。つまり

: <math>\frac{1}{h_a}<\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}, \quad \frac{1}{h_b}<\frac{1}{h_c}+\frac{1}{h_a},  \quad \frac{1}{h_c}<\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}.</math>

== 内角の二等分線と内心 ==
内角の二等分線の長さ、つまり頂点と、その内角の二等分線と対辺の交点の距離をそれぞれとする。次の式が成立する。

: <math>t_a+t_b+t_c \leq \frac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)</math>

他の長さを用いれば

: <math>h_a \leq t_a \leq m_a</math>

となる。更に、 

: <math>\sqrt{m_a}+\sqrt{m_b}+\sqrt{m_c} \geq \sqrt{t_a}+\sqrt{t_b}+\sqrt{t_c}</math>

: <math>\frac{h_a}{t_a}+\frac{h_b}{t_b}+\frac{h_c}{t_c}\geq 1+\frac{4r}{R}</math>

を内角の二等分線を含む外接円の弦の長さとする。このとき、

: <math>T_aT_bT_c \geq \frac{8\sqrt{3}}{9}abc,</math>

等号成立は正三角形。また、

: <math>T_a+T_b+T_c \leq 5R +2r</math>

等号成立条件は三角形が正三角形であるとき。更に、次の式が成立する。

: <math>T_a+T_b+T_c \geq \frac{4}{3}(t_a+t_b+t_c).</math>

内心をとする。

: <math>6r \leq AI+BI+CI \leq \sqrt{12(R^2-Rr+r^2)}.</math>

各辺の中点を''''とすると、

: <math>IL^2+IM^2+IN^2 \geq r(R+r).</math>

正三角形でない三角形の内心を、[[幾何中心|重心]]を、[[外心]]を、を、[[垂心]]をとすれば、それらの距離や成す角について以下の式が成立する。

: <math>IG<HG,</math>

: <math>IH<HG,</math>

: <math>IG<IO,</math>

: <math>IN < \frac{1}{2}IO;</math>

: <math>\angle IOH < \frac{\pi}{6}.</math>

: <math>IG < \frac{1}{3}v,</math>

ただしは最も長い中線の長さ。

: <math>\angle OIH </math> > <math> \angle GIH</math>  > 90° , <math> \angle OGI </math> > 90°.

鈍角三角形について、

: <math>OI^2+IH^2 < OH^2, \quad GI^2+IH^2 < GH^2, \quad OG^2+GI^2 < OI^2,</math>

[[オイラー]]によって示された次の式は上の2つ目の不等式より、強力である。

: <math>  OI^2 < OH^2 - 2 \cdot IH^2 <  2\cdot OI^2.</math>

内角の二等分線の長さの大小と角の大小は対応する。

: <math>\text{If} \quad A>B \quad \text{then} \quad t_a<t_b.</math>

== 垂直二等分線 ==
以下では、三角形の辺の二等分線の三角形の内部における長さを扱う。ただし <math>a \geq b \geq c,</math>とする。このとき、 

: <math>p_a \geq p_b</math>

かつ

: <math>p_c \geq p_b.</math>

== 任意の点における不等式 ==

=== 内部の点 ===
点を三角形の内部の点とする。

: <math>2(PA+PB+PC) > AB+BC+CA > PA+PB+PC,</math>

更に一般的に、<math> AB</math>（）が最短辺とすれば、

: <math>PA+PB+PC \leq AC+BC. </math>

'''[[トレミーの不等式]]'''によれば、

: <math>PA \cdot BC + PB \cdot CA > PC \cdot AB</math>

を並び替えても成立する。

の三角形の辺に対する垂足をとすれば、

: <math>PA \cdot PB \cdot PC \geq (PD+PE)(PE+PF)(PF+PD).</math>

'''[[エルデシュ・モーデルの不等式]]'''によれば、 

: <math>\frac{PA+PB+PC}{PD+PE+PF} \geq 2</math>

等号成立条件は正三角形の場合。

更に強い不等式に'''[[バローの不等式]]'''がある。の二等分線との交点をとして、

: <math>\frac{PA+PB+PC}{PU+PV+PW} \geq 2.</math>

他のエルデシュ・モーデルの不等式より強い不等式に、[[外接三角形]]に対するの垂足をとして、

: <math>PH + PK + PL \ge 2(PD + P E + P F ).</math>

がある。また、

: <math>\frac{PH}{a^2}+\frac{PK}{b^2}+\frac{PL}{c^2}\ge \frac{1}{R}</math>

が成り立つ。ほかにも次の不等式がある。

: <math>\frac{PA^2}{PE\cdot PF}+\frac{PB^2}{PF\cdot PD}+\frac{PC^2}{PD\cdot PE} \geq 12;</math>

: <math>\frac{PA}{\sqrt{PE\cdot PF}}+\frac{PB}{\sqrt{PF\cdot PD}}+\frac{PC}{\sqrt{PD\cdot PE}}\geq 6;</math>

: <math>\frac{PA}{PE+PF}+\frac{PB}{PF+PD}+\frac{PC}{PD+PE}\geq 3.</math>

: <math>(b+c)PA+(c+a)PB+(a+b)PC \geq 8T</math>

: <math>\frac{PA}{a}+\frac{PB}{b}+\frac{PC}{c} \geq \sqrt{3}.</math>

: <math>2(PL+PM+PN) \leq 3PG+PA+PB+PC \leq s + 2(PL+PM+PN) .</math>

任意の正の数（は1以下）について、

: <math>k_1\cdot (PA)^t + k_2\cdot (PB)^t + k_3\cdot (PC)^t \geq 2^t \sqrt{k_1k_2k_3} \left(\frac{(PD)^t}{\sqrt{k_1}} + \frac{(PE)^t}{\sqrt{k_2}} + \frac{(PF)^t}{\sqrt{k_3}} \right),</math>

''t'' > 1 ならば、

: <math>k_1\cdot (PA)^t + k_2\cdot (PB)^t + k_3\cdot (PC)^t \geq 2 \sqrt{k_1k_2k_3} \left(\frac{(PD)^t}{\sqrt{k_1}} + \frac{(PE)^t}{\sqrt{k_2}} + \frac{(PF)^t}{\sqrt{k_3}} \right).</math>

=== 内部または、外部の点 ===
任意の点に関する不等式は多数存在する。

: <math>PA+PB+PC \geq 6r.</math>

''k'' = 0, 1, ..., 6について、

: <math>PA^3+PB^3+PC^3 + k \cdot (PA \cdot PB \cdot PC) \geq8(k+3)r^3</math>

: <math>PA^2+PB^2+PC^2 + (PA \cdot PB \cdot PC)^{2/3} \geq 16r^2;</math>

: <math>PA^2+PB^2+PC^2 + 2(PA \cdot PB \cdot PC)^{2/3} \geq 20r^2;</math>

''k'' = 0, 1, ..., 9について、

: <math>PA^4+PB^4+PC^4 + k(PA \cdot PB \cdot PC)^{4/3} \geq 16(k+3)r^4</math>

: <math>(PA \cdot PB)^{3/2} + (PB \cdot PC)^{3/2} + (PC \cdot PA)^{3/2} \geq 12Rr^2;</math>

: <math>(PA \cdot PB)^{2} + (PB \cdot PC)^{2} + (PC \cdot PA)^{2} \geq 8(R+r)Rr^2;</math>

: <math>(PA \cdot PB)^{2} + (PB \cdot PC)^{2} + (PC \cdot PA)^{2} \geq 48r^4;</math>

: <math>(PA \cdot PB)^{2} + (PB \cdot PC)^{2} + (PC \cdot PA)^{2} \geq 6(7R-6r)r^3.</math>

三角形について、を各辺の中点として、

: <math>PA+PB+PC \le 2(PD+PE+PF)+3PG.</math>

== 円の半径 ==

=== 内接円と外接円の半径 ===
[[オイラーの定理 (平面幾何学)|'''オイラーの不等式''']]によれば[[外接円]]と[[内接円]]の半径をそれぞれとして、

: <math>\frac{R}{r} \geq 2,</math>

等号成立条件は正三角形のとき。

より強い不等式に次の形がある。

: <math>\frac{R}{r} \geq \frac{abc+a^3+b^3+c^3}{2abc} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-1 \geq \frac{2}{3} \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right) \geq 2.</math>

別の形では

: <math>\frac{r}{R} \geq \frac{4abc-a^3-b^3-c^3}{2abc},</math>

右辺は正の値にも負の値にもなり得る。

更に別の形には、次のようなものがある。

: <math> \frac{R}{r} \geq \frac{(b+c)}{3a}+\frac{(c+a)}{3b}+\frac{(a+b)}{3c} \geq 2</math>

: <math>\left( \frac{R}{r} \right)^3 \geq \left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right) \left( \frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right) \geq 8.</math>

: <math> \frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}\leq \frac{4}{9}\left(\frac{R}{r}-2\right).</math>

: <math>\frac{R}{r} \geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca};</math>

: <math>a^3+b^3+c^3 \leq 8s(R^2-r^2)</math>

面積との関係には次の式が挙げられる。

: <math>r(r+4R) \geq \sqrt{3} \cdot T</math>

: <math>s\sqrt{3} \leq r+4R</math> 

: <math>s^2 \geq 16Rr - 5r^2</math> 

: <math>\begin{align}
&2R^2+10Rr-r^2-2(R-2r)\sqrt{R^2-2Rr} \leq s^2 \\
&\quad\leq 2R^2+10Rr-r^2+2(R-2r)\sqrt{R^2-2Rr}
\end{align}</math>

次の二つの不等式は、 最右辺は60°以上の頂角を持つ二等辺三角形で、最左辺は60°以下の頂角を持つ二等辺三角形で成立する。更に正三角形の場合すべての等式が成立する。

: <math>(R-d)^2-r^2 \le 4R^2 r^2\left(\frac{(R+d)^2-r^2}{(R+d)^4} \right) \le \frac{a^2}{4} \le Q \le (R+d)^2-r^2,</math>

ただし外心が内接円外にあるとき <math>Q=R^2</math>、内接円内にある時 <math>Q=4R^2 r^2 \left(\frac{(R-d)^2-r^2}{(R-d)^4}\right)</math>。外心が内接円内にある必要十分条件は、

: <math>\frac{R}{r} <\sqrt{2}+1.</math>
である。
: <math>\frac{9r}{2T} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{9R}{4T}.</math>

'''Blundonの不等式'''によれば

: <math>s \leq (3\sqrt{3}-4)r+2R.</math>

鋭角三角形について、

: <math>s > 2R+r.</math>

内心を、circummidarc triangle の頂点をとして、

: <math>\frac{AI}{ID} + \frac{BI}{IE} + \frac{CI}{IF} \geq 3.</math>

角について、 

: <math>\cos A \cdot \cos B \cdot \cos C \leq \left( \frac{r}{R\sqrt{2}} \right)^2.</math>

三角形の頂点で外接円に接しさらに対辺と接する円の半径をそれぞれ<math>R_A , R_B , R_C</math>として

: <math>\frac{4}{R}\le \frac{1}{R_A}+\frac{1}{R_B}+\frac{1}{R_C}\le \frac{2}{r}</math>

また、 

: <math>\frac{9}{2}r\le R_A+R_B+R_C \le 2R+\frac{1}{2}r</math>

どちらも等号成立条件は正三角形であるとき。

=== 外半径と線分長 ===
外半径をとする。

: <math>18R^3\geq (a^2+b^2+c^2)R+abc\sqrt{3}</math>

: <math>a^{2/3}+b^{2/3}+c^{2/3} \leq 3^{7/4}R^{3/2}.</math>

: <math>a+b+c \leq 3\sqrt{3} \cdot R,</math>

: <math>9R^2 \geq a^2+b^2+c^2,</math>

: <math>h_a+h_b+h_c \leq 3\sqrt{3} \cdot R</math>

: <math>m_a^2+m_b^2+m_c^2 \leq \frac{27}{4}R^2</math>

: <math>\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a} \geq \frac{2T}{R}</math>

外心を、外心の[[チェバ線|チェバ三角形]]の頂点をとして、

: <math>OU+OV + OW \geq \frac{3}{2}R.</math>

垂心をとして、鋭角三角形について

: <math>OH < R,</math>

鈍角三角形については、不等号の向きが逆となる。

二つの[[ブロカール点]]をとして

: <math>R \ge 2B_1B_2.</math>
'''ライプニッツの不等式'''（Leibniz’s Inequality）によれば、

<math>a^2+b^2+c^2\leq 9R^2</math>

=== 内接円と外接円の半径と不等式 ===
を内接円の半径、を各傍接円の半径として

: <math>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{\sqrt{3}}{2r},</math>

: <math>9r \leq h_a+h_b+h_c</math>

: <math>\sqrt{r_a^2+r_b^2+r_c^2} \geq 6r</math>

: <math>\sqrt{s}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \leq \sqrt{2}(r_a+r_b+r_c)</math>

: <math>\frac{abc}{r} \geq \frac{a^3}{r_a}+\frac{b^3}{r_b}+\frac{c^3}{r_c}.</math>

: <math>\frac{r_ar_b}{m_am_b}+\frac{r_br_c}{m_bm_c}+\frac{r_cr_a}{m_cm_a} \geq 3.</math>

鋭角三角形の内心と垂心の距離について、

: <math>IH < r\sqrt{2},</math>

鈍角三角形では不等号が逆になる。

更に鋭角三角形について

: <math>r^2+r_a^2+r_b^2+r_c^2 < 8R^2,</math>

同様に鈍角三角形では不等号が逆になる。

内角の二等分線と対辺の交点をそれぞれとして、

: <math>\frac{1}{4} < \frac{AI\cdot BI \cdot CI}{AU \cdot BV \cdot CW} \leq \frac{8}{27}.</math>

cicummidarc triangleの頂点をとして、

: <math>\frac{1}{IX}+\frac{1}{IY}+\frac{1}{IZ} \geq \frac{3}{R}</math>

更に、

: <math>0\leq (IX-IA)+(IY-IB)+(IZ-IC) \leq 2(R-2r). </math>

[[ジェルゴンヌ点|接触三角形]]について、

: <math>EF^2+FD^2+DE^2 \leq \frac{s^2}{3}</math>

== 内接図形 ==

=== 内接する六角形 ===
3つの辺が三角形の辺でその角対辺が3辺と平行である、三角形に内接し[[円外接多角形|円に外接する六角形]]の周長について

: <math>\text{Perimeter of hexagon} \leq \frac{2}{3}(\text{Perimeter of triangle}).</math>

=== 内接する三角形 ===
辺上の点によってできる4つの三角形について、以下の式が成立する。また、等号成立条件はが各中点であるとき。

: <math>\text{Area(DEF)} \ge \min(\text{Area(BED), Area(CFE), Area(ADF)}).</math>

=== 内接する正方形 ===
鋭角三角形は3つの内接する[[正方形]]を持つ。それぞれ1辺が三角形の辺に含まれ、その端点でない頂点が三角形の他2辺上にある（[[直角三角形]]はそのような正方形をただ1つ持つ）。3つのうち2つの、辺の長さを（）とすれば

: <math>1 \geq \frac{x_a}{x_b} \geq \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0.94.</math>

更に、その面積について、

: <math>\frac{\text{Area of triangle}}{\text{Area of inscribed square}} \geq 2.</math>

== オイラー線 ==
二等辺三角形でない三角形について、[[オイラー線]]と内心の距離を、最長の中線と辺の長さをそれぞれ、半周長をとして、次の不等式が成立する。

: <math>\frac{d}{s} < \frac{d}{u} < \frac{d}{v} < \frac{1}{3}.</math>

すべての比について、その[[最大値]]は最右辺の1/3である。

== 直角三角形 ==
斜辺、他二辺の長さをIとする直角三角形について、次の式が成立する。等号成立条件は直角二等辺三角形であるとき。

: <math>a+b \leq c\sqrt{2}.</math>

内接円半径について、次の式が成立する。

: <math>2r \leq c(\sqrt{2}-1),</math>

直角からの頂垂線について、

: <math>h_c \leq \frac{\sqrt{2}}{4}(a+b).</math>

== 二等辺三角形 ==
底辺、等辺、頂角でない角の二等分線の長さをとする[[二等辺三角形]]について、次の式が成立する。

: <math>\frac{2ac}{a+c} > t > \frac{ac\sqrt{2}}{a+c}.</math>

== 正三角形 ==
正三角形と、その外接円上にない任意の点について、次の式が成立する（'''[[ポンペイウの定理]]'''）。<math display="block">PA+PB > PC, \quad PB+PC > PA, \quad PC+PA > PB.</math>

が外接円上にある場合、[[ファン・スコーテンの定理]]である。

任意の点において、三角形の各辺の距離と各頂点との距離が次の式を満たす場合、は正三角形である。<math display="block">4(PD^2+PE^2+PF^2) \geq PA^2+PB^2+PC^2.</math>

== 二つの三角形 ==
***'によれば、面積、辺長の三角形と面積、辺長の三角形について、以下の不等式が成立する。

: d^2(b^2+c^2-a^2)+e^2(a^2+c^2-b^2)+f^2(a^2+b^2-c^2)\geq 16TS,

等号成立条件は二つの三角形が相似であるとき。

Hinge theoremによれば、2つの三角形の二辺が合同であるとき、その成す角の大きさと3つ目の辺の大小は一致する。 つまり（それぞれ辺長が、）について、ならば、

:  c>f.

逆も成立する。

任意の2つの三角形の角の余接について、次の式が成立する。

: \cot A (\cot E + \cot F) + \cot B(\cot F+\cot D) + \cot C(\cot D + \cot E) \geq 2.

## 非ユークリッド平面
楕円幾何学のように、球面三角形の内角について、次の式が成り立つ。

: \angle A+\angle B+\angle C >180^\circ.

この不等式はにもたらされる。

## 関連項目

* 不等式の一覧
* 三角形関連の記事の一覧

## 出典