序数的効用

**序数的効用**（じょすうてきこうよう、英: Ordinal utility）とは、主体の選好を序数尺度で表現する効用の概念である。序数的効用理論は、「どちらの選択肢がより好ましいか」を問うことは意味があるが、「どれだけ好ましいか」や「どの程度良いか」を問うことは意味がないと主張する。確実性の下での消費者の選択理論はすべて、通常、序数的効用の観点から表現される。

例えば、ジョージが「*A*を*B*より好み、*B*を*C*より好む」と言うとしよう。このとき、ジョージの選好は関数 *u_1* によって次のように表現できる。

:u_1(A)=9, \; u_1(B)=8, \; u_1(C)=1

しかし、基数的効用に批判的な立場からは、この関数が伝える意味のある情報は u_1(A)>u_1(B)>u_1(C) という順序だけであり、具体的な数値そのものには意味がないとされる。したがって、ジョージの選好は次の関数 *u_2* によっても同様に表現できる。

:u_2(A)=9, \; u_2(B)=2, \; u_3(C)=1

関数 u_1とu_2は序数的に等価であり、どちらもジョージの選好を同じように表現する。

序数的効用は基数的効用理論と対照される。後者は、選好間の差も重要であると仮定する。u_1においては*A*と*B*の差は*B*と*C*の差よりも小さいが、u_2においては逆である。したがって、u_1とu_2は基数的には等価ではない。

序数的効用の概念は、ヴィルフレド・パレートによって1906年に初めて導入された。

## 表記
世界のすべての状態の集合を X とし、ある主体がその上で選好関係を持つとする。弱い選好関係は \preceq で表すのが一般的であり、A \preceq B は「主体は少なくとも A と同じ程度に B を望む」と読む。

無差別関係を表す略記として記号 \sim が用いられ、次のように定義される。A\sim B \iff (A\preceq B \land B\preceq A)、すなわち「主体は A と B の間で無差別である」。

強い選好関係を表す略記として \prec が用いられ、A\prec B \iff (A\preceq B \land  B\not\preceq A) と定義される。このとき、

:A \preceq B \iff u(A) \leq u(B)

が成り立つ。

## 関連概念
### 無差別曲線による表現

数値的な関数を定義する代わりに、主体の選好関係は無差別曲線によって図示的に表現することができる。これは特に財が2種類 *x* と *y* の場合に有用である。このとき、それぞれの無差別曲線は点 (x,y) の集合を示し、もし (x_1,y_1) と (x_2,y_2) が同じ曲線上にあれば、(x_1,y_1) \sim (x_2,y_2) が成立する。

以下は無差別曲線の例である。

各無差別曲線は、2財または2サービスの数量の組合せを表す点の集合であり、それらの組合せについて消費者は等しく満足する。原点から遠い曲線ほど効用水準は大きい。

曲線の傾き（XをYに対する限界代替率の負値）は、同じ効用水準を維持するために、個人がどの割合で財Xと財Yを交換する意思があるかを示す。消費者が限界代替率逓減を持つと仮定すれば、この曲線は原点に対して凸となる。消費者分析を無差別曲線（序数的アプローチ）で行っても、基数的効用理論に基づく場合と同じ結果が得られる。すなわち、消費者は任意の2財間の限界代替率がそれらの財の価格比に等しい点で消費を行う（均等限界効用の原理）。

### 顕示選好
顕示選好理論は、現実世界においてどのように序数的選好関係を観察するかという問題を扱う。顕示選好理論の課題の一部は、個人が特定の財の組合せを選んだときに、より好まれなかったために放棄された財の組合せをどのように特定するかにある。

## 序数的効用関数の存在に必要な条件
\preceq に関して、効用関数が存在するためにはいくつかの条件が必要である。

* 推移律: A \preceq B かつ B \preceq C ならば A \preceq C。
* 完備性: 任意の束 A,B\in X に対して、A\preceq B か B\preceq A あるいはその両方が成り立つ。
** 完備性は反射律も意味する: 任意の A\in X に対して A \preceq A。

これらの条件が満たされ、かつ集合 X が有限であれば、各要素に適切な数値を割り当てるだけで \prec を表現する関数 u を構築することは容易である。これは X が可算無限集合の場合も同様である。さらに、値域を (-1,1) にとる効用関数を帰納的に構成することも可能である。

ただし、X が無限の場合にはこれらの条件だけでは不十分である。例えば、辞書式選好は推移的かつ完備であるが、いかなる効用関数によっても表現することはできない。この場合に必要となる追加条件は連続性である。

## 連続性
選好関係が「B が A より好まれる」場合に、B や A からの小さな偏差ではその順序が逆転しないとき、その選好関係は*連続的*と呼ばれる。形式的には、集合 X 上の選好関係が以下のいずれかの同値な条件を満たすとき、連続的と呼ばれる。

# 任意の A\in X に対して、集合 \{(A,B)|A\preceq B\} が X\times X における積位相で閉集合となる（この定義は X が位相空間であることを要する）。
# 任意の数列 (A_i,B_i) に対して、すべての *i* について A_i\preceq B_i かつ A_i \to A および B_i \to B ならば A\preceq B が成り立つ。
# 任意の A,B\in X で A\prec B の場合、A の周りの球と B の周りの球が存在し、その球の中の任意の a と b に対して a\prec b が成り立つ（この定義は X が距離空間であることを要する）。

選好関係が連続的効用関数によって表されるならば、それは明らかに連続的である。によれば、その逆もまた成り立つ。
::すべての連続かつ完備な選好関係は、連続的な序数的効用関数によって表現できる。

例えば、辞書式選好は連続ではない。(5,0)\prec (5,1) であるが、(5,1) の周囲の球には x の点が含まれ、これらは (5,0) より劣る。このことは、これらの選好が効用関数で表現できないという上述の事実と一致する。

## 一意性
任意の効用関数 *v* に対して、それが表現する選好関係は一意である。しかし逆は成り立たない。1つの選好関係は多様な効用関数によって表現可能である。同じ選好は、*v* の任意の単調増加変換による効用関数で表現できる。すなわち、

:v(A) \equiv f(v(A))

ただし f: \mathbb{R}\to \mathbb{R} が単調増加関数である場合、関数 *v* と *f(v)* は同一の無差別曲線の写像を生み出す。

この等価性は次のように簡潔に表現できる。
::序数的効用関数は「単調増加変換まで一意」である。

対照的に、基数的効用関数は「単調アフィン変換まで一意」である。すべてのアフィン変換は単調であるため、2つの関数が基数的に等価であれば序数的にも等価であるが、その逆は必ずしも成り立たない。

## 単調性
集合 X が非負の実数からなる2次元ベクトル全体であると仮定する。このとき、X の要素 (x,y) は、例えばリンゴとバナナのように2財からの消費量を表す。

ある選好関係 \preceq が*単調増加的*である、すなわち「多いほど常に良い」と仮定する。

:x  
:y

このとき、効用関数 *v* が存在すれば、その偏微分は正となる。つまり、
::「単調増加的な選好関係を表す効用関数は単調増加的である」。

## 限界代替率
ある人が束 (x_0,y_0) を持ち、これと束 (x_0-\lambda\cdot\delta,y_0+\delta) の間で無差別だとする。これは、\delta 単位の y を得るために \lambda\cdot\delta 単位の x を放棄しても良いことを意味する。この比率を \delta\to 0 とした極限で保つとき、\lambda を点 (x_0,y_0) における x と y の限界代替率（Margimal Rate of Substitution, MRS）と呼ぶ。

このMRSの定義は序数的選好関係のみに基づいており、数値的効用関数に依存しない。もし効用関数で表現可能でかつ微分可能であれば、MRSはその導関数から計算できる。

:MRS = \frac{v'_x}{v'_y}.

例えば、効用関数が v(x,y)=x^a\cdot y^b の場合、MRS = \frac{ay}{bx} となる。また v(x,y)=a\cdot \log{x} + b\cdot \log{y} でも同じMRSが得られる。これは、両者が互いに単調増加変換の関係にあり、同じ選好関係を表しているためである。

一般に、MRSは点 (x_0,y_0) によって異なる場合がある。例えば、(9,1) では x が多く y が少ないためMRSは低く、(9,9) や (1,1) ではMRSが高いこともありうる。

## 線形性
ある選好関係のMRSが束に依存しない場合、すなわちすべての (x_0,y_0) においてMRSが同じ場合、無差別曲線は線形であり、次の形になる。

:x+\lambda y = \text{const},

このとき選好関係は次の線形効用関数で表現できる。

:v(x,y)=x+\lambda y.

（もちろん \sqrt{x+\lambda y} や (x+\lambda y)^2 のような非線形関数でも表現可能だが、最も単純なのは線形関数である。）

## 準線形性
MRSが y_0 に依存するが x_0 には依存しない場合、選好関係は準線形効用関数で表現できる。

:v(x,y)=x+\gamma v_Y(y)

ここで v_Y は単調増加関数である。MRSが関数 \lambda(y) であるとき、v_Y の候補はその積分として求められる。

:v_Y(y)=\int_{0}^{y}{\lambda(y') dy'} 

この場合、すべての無差別曲線は平行であり、互いに水平移動で移し合える。

## 二財の加法性
より一般的な効用関数の一形態は加法的関数である。
:v(x,y)=v_X(x)+v_Y(y)

与えられた選好が加法的効用関数で表現可能かどうかを確認する方法はいくつか存在する。

### 二重消去性（Double cancellation property）
選好が加法的であるならば、単純な算術計算から次のことが導かれる。
:(x_1,y_1)\succeq (x_2,y_2) かつ  
:(x_2,y_3)\succeq(x_3,y_1) が成り立つならば  
:(x_1,y_3)\succeq(x_3,y_2) が成り立つ。  

この「二重消去性」の性質は、加法性のための必要条件である。

によって、この性質は十分条件でもあることが示されている。すなわち、ある選好関係が二重消去性を満たすならば、それは加法的効用関数で表現できる。

### 対応するトレードオフ性（Corresponding tradeoffs property）
選好が加法的関数で表される場合、単純な算術計算から次の関係が導かれる。
:MRS(x_2,y_2)=\frac{MRS(x_1,y_2)\cdot MRS(x_2,y_1)}{MRS(x_1,y_1)}  

この「対応するトレードオフ性」の性質は加法性の必要条件であり、かつ十分条件でもある。

## 3財以上での加法性

財が3つ以上ある場合、効用関数の加法性の条件は、驚くことに2財の場合よりも*単純*である。これはの帰結である。加法性に必要な条件は、**選好的独立（preferential independence）**である。

財の部分集合 A が、別の部分集合 B に対して「選好的に独立」であるとは、B の値を一定に保ったときの A 内での選好関係が、その一定値の取り方に依存しないことをいう。たとえば財が *x*、*y*、*z* の3つあるとする。部分集合 {*x*,*y*} が {*z*} に対して選好的独立であるとは、任意の x_i,y_i,z,z' について
:(x_1,y_1, z)\preceq (x_2,y_2, z) \iff (x_1,y_1, z')\preceq (x_2,y_2, z')
が成り立つことをいう。  
このとき、単に
:(x_1,y_1)\preceq (x_2,y_2)
（*z* を一定とした上で）と言い換えられる。

選好的独立は、独立財の状況では自然である。例えば、リンゴとバナナのバスケット間の選好は、靴や靴下の保有数に依存しないだろうし、その逆も同様である。

Debreu の定理によれば、すべての部分集合がその補集合に対して選好的独立であれば、その選好関係は加法的価値関数で表現できる。以下では、このような加法的価値関数をどのように構成できるかを示すことで、この結果の直観的な説明を与える。 証明では *x*、*y*、*z* の3財を仮定する。各財の価値関数 v_x, v_y, v_z について、0点・1点・2点の3点を定める方法を示す。その他の点は同様に定め、連続性を用いれば全域で良定義になる。

**0点**：任意の x_0,y_0,z_0 を選び、それらを価値関数のゼロに割り当てる。
:v_x(x_0)=v_y(y_0)=v_z(z_0)=0

**1点**：x_1>x_0 を任意に選び、(x_1,y_0,z_0)\succ(x_0,y_0,z_0) を満たすようにする。これを単位に設定する。
:v_x(x_1)=1
さらに y_1 と z_1 を、次の無差別関係が成り立つように選ぶ。
:(x_1,y_0,z_0)\sim(x_0,y_1,z_0)\sim(x_0,y_0,z_1)  
この無差別関係は、*y* と *z* の単位を *x* に合わせてスケールする役割を果たす。これら3点の値は 1 とすべきなので、
:v_y(y_1)=v_z(z_1)=1
と割り当てる。

**2点**：ここで選好的独立の仮定を用いる。(x_1,y_0) と (x_0,y_1) の関係は *z* に依存せず、同様に (y_1,z_0) と (y_0,z_1) の関係は *x* に、(z_1,x_0) と (z_0,x_1) の関係は *y* に依存しない。よって
:(x_1,y_0,z_1)\sim(x_0,y_1,z_1)\sim(x_1,y_1,z_0)
が成り立つ。これは、これら3点で関数 *v* が同じ値 2 を取り得ることを意味する。x_2, y_2, z_2 を
:(x_2,y_0,z_0)\sim(x_0,y_2,z_0)\sim(x_0,y_0,z_2)\sim(x_1,y_1,z_0)
を満たすように選び、
:v_x(x_2)=v_y(y_2)=v_z(z_2)=2
と割り当てる。

**3点**：ここまでの割当が整合的であることを示すには、合計値が 3 となるすべての点が互いに無差別であることを示せばよい。ここでも選好的独立を用いる。(x_2,y_0) と (x_1,y_1) の関係は *z* に依存しない（他の組合せも同様）。したがって
:(x_2,y_0,z_1)\sim(x_1,y_1,z_1)
が成り立ち、他の組合せについても同様である。ゆえに 3 点の定義は整合的である。

この手順を帰納的に続ければ、各財の関数を整数点で定義でき、さらに連続性により実数全体へ拡張できる。

上の証明の「1点」における暗黙の仮定は、3つの財がいずれも「本質的（essential）／選好に関与（preference relevant）」であることである。 これは、あるバンドルから特定の財の量を増やすと、その新しいバンドルが厳密に優るような状況が存在することを意味する。

3財以上の場合の証明も同様である。実際には、すべての部分集合が補集合に対して選好的独立であることを調べる必要はなく、線形個数の財ペアについて確認すれば十分である。たとえば財が m 種あり、j=1,...,m とすると、すべての j=1,...,m-1 について、2財 \{x_j,x_{j+1}\} が残りの m-2 財に対して選好的独立であることを確認すればよい。

### 加法表現の一意性
加法的な選好関係は、さまざまな加法的効用関数で表現できる。しかし、それらの関数は互いに類似している。すなわち、（同一の選好関係を表す効用関数は いずれも単調増加変換の関係にあるだけでなく）互いに単調増加な線形変換の関係にある。 要するに、  
::加法的な序数効用関数は、*単調増加な線形変換まで一意*である。

## 序数効用と基数効用の比較
以下の表は、経済学で一般的な2種類の効用関数を比較したものである。

## 関連項目

* 選好
* 消費者理論
* 限界効用
* 束論
* 凸選好
* 

## 出典

## 外部リンク
* Lexicographic preference relation cannot be represented by a utility function.（Economics.SE）
* Recognizing linear orders embeddable in R2 ordered lexicographically.（Math.SE）
* マレー・N・ロスバード、「Towards a Reconstruction of Utility and Welfare Economics」