マッカイグラフ

**マッカイグラフ**（）とは、有限群  と有限次元複素線型表現  から定まる箙であり、 のの構造に関連する情報を表している。箙の各頂点は  の既約指標 , &hellip;,  に対応し、 次元表現  の指標  とのテンソル積  が
: \chi \otimes \chi_i = \sum_j n_{ij} \, \chi_j
と分解されるとき、頂点  から  へ  本の矢を描く。
一般線型群  の有限部分群  に対して、  のマッカイグラフとは  の自然表現のマッカイグラフを指す。

表現  のカルタン行列  は  と定義される。ここで  は  次単位行列であり、 は隣接行列  である。 が  の元ならベクトル  はカルタン行列  の固有値  に対応する固有ベクトルである。

（）に由来するマッカイ対応（）とは、特殊線型群  の有限部分群のマッカイグラフと拡張ディンキン図形との間に一対一の対応があることを述べたものである。この関係は、単純リー代数の に現れる。

## 定義
*G*を有限群とし、*V*を*G*の表現とする。 \chi  をその指標とする。\{\chi_1,\ldots,\chi_k\}を*G*の既約表現とする。

:	\chi\otimes\chi_i = \sum_j n_{ij} \, \chi_j,

であるとき、*G*のマッカイグラフ\Gamma_Gを次のように定義する:

* *G*の各既約表現は\Gamma_Gの頂点に対応する。
* *n<sub>ij</sub>* > 0であるとき、\chi_iから\chi_jへ有向辺を張る。そして、その辺の重みは*n<sub>ij</sub>*とする: \chi_i\xrightarrow{n_{ij}}\chi_j.
* もし *n<sub>ij</sub>* = *n<sub>ji</sub>*である場合 \chi_i  と  \chi_j に、矢印の代わりに辺を張る。加えて、もし*n<sub>ij</sub>* = 1であれば、 対応する辺に重みは書かない。

*n<sub>ij</sub>*は内積を考えることにより計算できる。以下の式が成り立つ:  

:n_{ij} = \langle \chi\otimes\chi_i, \chi_j\rangle = \frac{1}\sum_{g\in G} \chi(g)\chi_i(g)\overline{\chi_j(g)},

ここで、\langle \cdot, \cdot \rangleは指標たちの内積 である。

GL(2, **C**)の有限部分群のマッカイグラフは、そのカノニカルな表現のマッカイグラフとして定義される。 

SL(2, **C**)の有限部分群については、カノニカルな表現は自己双対であり、従って*n<sub>ij</sub>* = *n<sub>ji</sub>*が任意の*i*,*j*について成り立つ。故に、SL(2, **C**)の有限部分群のマッカイグラフは無向グラフとなる。 

実は、マッカイ対応により、SL(2, **C**)の有限部分群と拡張コクセター・ディンキン図形の間にA-D-E型の一対一対応関係がある。 

*V*のカルタン行列*C*を次のように定義する: 

:C = (d\delta_{ij} - n_{ij})_{ij},

ここで \delta_{ij} はクロネッカーのデルタである。

## いくつかの結果
* 有限群 *G* の表現 *V* が忠実であるのは、*V* のマッカイグラフは連結であるとき、かつそのときに限る。
* SL(2, **C**)の有限部分群のマッカイグラフは自己ループをもたない。すなわち、*n<sub>ii</sub>* = 0が全ての*i*について成り立つ。
* SL(2, **C**)の有限部分群のマッカイグラフの有向辺の重みは常に1かそれより小さい。

## 例
**G* = *A* × *B*とし、*A*と*B*のカノニカルな既約表現*c<sub>A</sub>*と*c<sub>B</sub>*があるとする。\chi_i, *i* = 1, ..., *k*が*A*の既約表現で、\psi_j, *j* = 1, ..., *ℓ*が*B*の既約表現であるとしたとき、

:: \chi_i\times\psi_j\quad 1\leq i \leq k,\,\, 1\leq j \leq \ell

: はA\times Bの既約表現で、\chi_i\times\psi_j(a,b) = \chi_i(a)\psi_j(b), (a,b)\in A\times Bである。この場合、以下が成り立つ。 

::\langle (c_A\times c_B)\otimes (\chi_i\times\psi_\ell), \chi_n\times\psi_p\rangle = \langle c_A\otimes \chi_k, \chi_n\rangle\cdot \langle c_B\otimes \psi_\ell, \psi_p\rangle.

: 故に、*G*のマッカイグラフの\chi_i\times\psi_jと \chi_k\times\psi_\ellに辺があるのは、 *A*のマッカイグラフの\chi_iと\chi_kに辺があり、かつ*B*のマッカイグラフの\psi_jと\psi_\ellの間に辺があるときに限る。このとき、*G*のマッカイグラフの辺の重みはAとBのマッカイグラフの対応する辺の重みの積となる。

* フェリックス・クラインは、SL(2, **C**)の有限部分群が二項正多面体群であることを示した。マッカイ対応は、この二項多面体群のマッカイグラフと拡張ディンキン図形の間に一対一の対応があることを述べている。例えば、\overline{T}としよう。SL(2, **C**)の各部分群SU(2, **C**)の各部分群と共役である。SU(2, **C**)の行列を考えよう:

::
S = \left( \begin{array}{cc}
i & 0 \\
0 & -i \end{array} \right) , 
V = \left( \begin{array}{cc}
0 & i \\
i & 0 \end{array} \right), 
U = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{cc}
\varepsilon & \varepsilon^3 \\
\varepsilon & \varepsilon^7 \end{array} \right),


: ここで*ε*は1の8乗根である。すると、\overline{T} は*S*, *U*, *V*により生成される。言い換えると、次が成り立つ:  

::\overline{T} = \{U^k, SU^k,VU^k,SVU^k \mid k = 0,\ldots, 5\}.

: \overline{T}の共役類は次の通り: 

:: C_1 = \{U^0 = I\},
:: C_2 = \{U^3 = - I\},
:: C_3 = \{\pm S, \pm V, \pm SV\},
:: C_4 = \{U^2, SU^2, VU^2, SVU^2\},
:: C_5 = \{-U, SU, VU, SVU\},
:: C_6 = \{-U^2, -SU^2, -VU^2, -SVU^2\},
:: C_7 = \{U, -SU, -VU, -SVU\}.

: \overline{T}の指標表は

: ここで \omega = e^{2\pi i/3}である。カノニカルな表現は&nbsp;*c*によって表される。内積を考えることで、\overline{T}のマッカイグラフは\tilde{E}_6の拡張コクセター・ディンキン図形であることが分かる。

## 関連事項

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## 脚注

## 参考文献

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*  EuDML 203220
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## 外部リンク
* nLab: McKay correspondence
* nLab: McKay quiver