三十七角形

**三十七角形**（さんじゅうしちかくけい、さんじゅうななかっけい、triacontaheptagon）は、多角形の一つで、37本の辺と37個の頂点を持つ図形である。内角の和は6300°、対角線の本数は629本である。

## 正三十七角形
正三十七角形においては、中心角と外角は9.729…°で、内角は170.27…°となる。一辺の長さが a の正三十七角形の面積 S は
:S = \frac{37}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{37} \simeq 108.67963 a^2

\cos (2\pi/37)を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式→三次方程式（2つ）→二次方程式と解く必要がある。

以下には、中間結果（三次方程式を1回解いた際の関係式）を示す。

:\begin{align}
\lambda_1=&2\cos\frac{2\pi}{37}+2\cos\frac{12\pi}{37}+2\cos\frac{16\pi}{37}+2\cos\frac{20\pi}{37}+2\cos\frac{22\pi}{37}+2\cos\frac{28\pi}{37} =-\frac13+\frac{\sqrt{37}}3 \sqrt[3]{\frac {-11+3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}}}  \omega^2+\frac{\sqrt{37}}3 \sqrt[3]{\frac {-11-3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}}}  \omega \\
\lambda_2=&2\cos\frac{4\pi}{37}+2\cos\frac{18\pi}{37}+2\cos\frac{24\pi}{37}+2\cos\frac{30\pi}{37}+2\cos\frac{32\pi}{37}+2\cos\frac{34\pi}{37} =-\frac13+\frac{\sqrt{37}}3 \sqrt[3]{\frac {-11+3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}}} \omega+\frac{\sqrt{37}}3 \sqrt[3]{\frac {-11-3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}}} \omega^2 \\
\lambda_3=&2\cos\frac{6\pi}{37}+2\cos\frac{8\pi}{37}+2\cos\frac{10\pi}{37}+2\cos\frac{14\pi}{37}+2\cos\frac{26\pi}{37}+2\cos\frac{36\pi}{37} =-\frac13+\frac{\sqrt{37}}3 \sqrt[3]{\frac {-11+3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}}}+\frac{\sqrt{37}}3 \sqrt[3]{\frac {-11-3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}}} \\
\end{align}


各式を3つの組に分ける。\cos\frac{k\pi}{37}と\cos\frac{2^9k\pi}{37} \left (= \cos\frac{-6k\pi}{37} \right) 

:\begin{align}
\lambda_1=& \left( 2\cos\frac{2\pi}{37}+2\cos\frac{12\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{20\pi}{37}+2\cos\frac{28\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{16\pi}{37}+2\cos\frac{22\pi}{37} \right)
 =u_1+u_2+u_3 \\
\lambda_2=& \left( 2\cos\frac{4\pi}{37}+2\cos\frac{24\pi}{37} \right)  + \left( 2\cos\frac{30\pi}{37}+2\cos\frac{32\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{18\pi}{37}+2\cos\frac{34\pi}{37} \right)=v_1+v_2+v_3 \\
\lambda_3=& \left( 2\cos\frac{10\pi}{37}+2\cos\frac{14\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{6\pi}{37}+2\cos\frac{36\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{8\pi}{37}+2\cos\frac{26\pi}{37} \right)  =w_1+w_2+w_3 \\
\end{align}


和積公式で変形する。また、\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta  の関係を使って変形する。

:\begin{align}
\lambda_1=& \left( 2\cos\frac{30\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{32\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{4\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{24\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{18\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{34\pi}{37} \right) =u_1+u_2+u_3 \\
\lambda_2=& \left( 2\cos\frac{10\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{14\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{6\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{36\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{8\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{26\pi}{37} \right) =v_1+v_2+v_3 \\
\lambda_3=& \left( 2\cos\frac{2\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{12\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{16\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{22\pi}{37} \right) + \left( 2\cos\frac{20\pi}{37} \cdot 2\cos\frac{28\pi}{37} \right) =w_1+w_2+w_3 \\
\end{align}


解と係数の関係を使って二次方程式を解くと
:
\cos\frac{2\pi}{37}=\frac{u_1+\sqrt{u_1^2-4w_1}}{4}


ここで、u_1, w_1は以下の三次方程式の解である。
:u^3-\lambda_1u^2+(\lambda_2-1)u+(\lambda_1-2)=0
:w^3-\lambda_3w^2+(\lambda_1-1)w+(\lambda_3-2)=0

三角関数、逆三角関数を用いた解は
:u_1= \frac{\lambda_1}{3} + \frac{2\sqrt{11-2\lambda_1-2\lambda_2}}{3} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos \frac{111-4\lambda_1-9\lambda_2}{62\sqrt{11-2\lambda_1-2\lambda_2}} \right) 
:w_1= \frac{\lambda_3}{3} + \frac{2\sqrt{11-2\lambda_3-2\lambda_1}}{3} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos \frac{111-4\lambda_3-9\lambda_1}{62\sqrt{11-2\lambda_3-2\lambda_1}} \right) 

平方根、立方根で表すと
:\begin{align}
u_1= \frac{\lambda_1}{3} + \frac{2\sqrt{11-2\lambda_1-2\lambda_2}}{3} \sqrt[3]{ \frac{111-4\lambda_1-9\lambda_2}{62\sqrt{11-2\lambda_1-2\lambda_2}} + i\frac{\sqrt{27(1092-253\lambda_1-205\lambda_2)}}{62\sqrt{11-2\lambda_1-2\lambda_2}} } \\
+ \frac{2\sqrt{11-2\lambda_1-2\lambda_2}}{3} \sqrt[3]{ \frac{111-4\lambda_1-9\lambda_2}{62\sqrt{11-2\lambda_1-2\lambda_2}} - i\frac{\sqrt{27(1092-253\lambda_1-205\lambda_2)}}{62\sqrt{11-2\lambda_1-2\lambda_2}} } 
\end{align}

:\begin{align}
w_1= \frac{\lambda_3}{3} + \frac{2\sqrt{11-2\lambda_3-2\lambda_1}}{3} \sqrt[3]{ \frac{111-4\lambda_3-9\lambda_1}{62\sqrt{11-2\lambda_3-2\lambda_1}} + i\frac{\sqrt{27(1092-253\lambda_3-205\lambda_1)}}{62\sqrt{11-2\lambda_3-2\lambda_1}} } \\
+ \frac{2\sqrt{11-2\lambda_3-2\lambda_1}}{3} \sqrt[3]{ \frac{111-4\lambda_3-9\lambda_1}{62\sqrt{11-2\lambda_3-2\lambda_1}} - i\frac{\sqrt{27(1092-253\lambda_3-205\lambda_1)}}{62\sqrt{11-2\lambda_3-2\lambda_1}} } 
\end{align}

### 別解
\cos (2\pi/37)を二次方程式→三次方程式→三次方程式の順で求めることもできる。
まず、以下のようにx1～x6を定める。
:\begin{align}
& x_1 = 2\cos\frac{2\pi}{37}+2\cos\frac{20\pi}{37}+2\cos\frac{22\pi}{37} \\
& x_2 = 2\cos\frac{4\pi}{37}+2\cos\frac{34\pi}{37}+2\cos\frac{30\pi}{37} \\
& x_3 = 2\cos\frac{8\pi}{37}+2\cos\frac{6\pi}{37}+2\cos\frac{14\pi}{37} \\
& x_4 = 2\cos\frac{16\pi}{37}+2\cos\frac{12\pi}{37}+2\cos\frac{28\pi}{37} \\
& x_5 = 2\cos\frac{32\pi}{37}+2\cos\frac{24\pi}{37}+2\cos\frac{18\pi}{37} \\
& x_6 = 2\cos\frac{10\pi}{37}+2\cos\frac{26\pi}{37}+2\cos\frac{36\pi}{37} \\
\end{align}

α、βを以下のように置き
:\begin{align}
& \alpha = x_1+x_3+x_5 \\
& \beta = x_2+x_4+x_6 \\
\end{align}
α、βの和と差の平方を求めると
:\begin{align}
& \alpha + \beta= -1 \\
& (\alpha - \beta)^2 = 37 \\
\end{align}
となる。よって、
:\begin{align}
& x_1+x_3+x_5=\frac{-1+\sqrt{37}}{2} \\
& x_2+x_4+x_6=\frac{-1-\sqrt{37}}{2} \\
\end{align}
さらに以下の値A,B,C,Dも三角関数の積和の公式から求まる。
:\begin{align}
\left( x_3 + \omega \cdot x_5 + \omega^2 \cdot x_1 \right)^3=& A = {\frac{-37-8\sqrt{37}-3\sqrt{3}(37+6\sqrt{37})i}{2}} \\
\left( x_3 + \omega^2 \cdot x_5 + \omega \cdot x_1 \right)^3=& B = {\frac{-37-8\sqrt{37}+3\sqrt{3}(37+6\sqrt{37})i}{2}} \\
\left( x_4 + \omega \cdot x_6 + \omega^2 \cdot x_2 \right)^3=& C = {\frac{-37+8\sqrt{37}-3\sqrt{3}(37-6\sqrt{37})i}{2}} \\
\left( x_4 + \omega^2 \cdot x_6 + \omega \cdot x_2 \right)^3=& D = {\frac{-37+8\sqrt{37}+3\sqrt{3}(37-6\sqrt{37})i}{2}} \\
\end{align}
両辺の立方根を取ると
:\begin{align}
x_3 + \omega \cdot x_5 + \omega^2 \cdot x_1=& \sqrt[3]{A} \\
x_3 + \omega^2 \cdot x_5 + \omega \cdot x_1=& \sqrt[3]{B} \\
x_4 + \omega \cdot x_6 + \omega^2 \cdot x_2=& \sqrt[3]{C} \\
x_4 + \omega^2 \cdot x_6 + \omega \cdot x_2=& \sqrt[3]{D} \\
\end{align}
以上より、x1～x6が求まる。
:\begin{align}
x_1=& \frac{\alpha+\omega \sqrt[3]A+\omega^2 \sqrt[3]B}{3} \\
x_3=& \frac{\alpha+\sqrt[3]A+\sqrt[3]B}{3} \\
x_5=& \frac{\alpha+\omega^2 \sqrt[3]A+\omega \sqrt[3]B}{3} \\
x_2=& \frac{\beta+\omega \sqrt[3]C+\omega^2 \sqrt[3]D}{3} \\
x_4=& \frac{\beta+\sqrt[3]C+\sqrt[3]D}{3} \\
x_6=& \frac{\beta+\omega^2 \sqrt[3]C+\omega \sqrt[3]D}{3} \\
\end{align}
さらに以下のy11,y12の値をx1～x6を使って求める。
:\begin{align}
\left( 2\cos\frac{2\pi}{37} + \omega \cdot 2\cos\frac{20\pi}{37} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{22\pi}{37} \right)^3 =& y_{11} = 3x_1+x_3+6(x_2+2)+3\omega(2x_1+x_4+x_5)+3\omega^2(2x_1+x_5+x_6) \\
\left( 2\cos\frac{2\pi}{37} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{20\pi}{37} + \omega \cdot 2\cos\frac{22\pi}{37} \right)^3 =& y_{12} = 3x_1+x_3+6(x_2+2)+3\omega^2(2x_1+x_4+x_5)+3\omega(2x_1+x_5+x_6) \\
\end{align}
両辺の立方根を取ると
:\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{37} + \omega \cdot 2\cos\frac{20\pi}{37} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{22\pi}{37}  =& \sqrt[3]{y_{11}} \\
2\cos\frac{2\pi}{37} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{20\pi}{37} + \omega \cdot 2\cos\frac{22\pi}{37}  =& \sqrt[3]{y_{12}} \\
\end{align}
以上より
:\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{37} = \frac{x_1+\sqrt[3]{y_{11}}+\sqrt[3]{y_{12}}}{6}
\end{align}

### 正三十七角形の作図
正三十七角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正三十七角形は折紙により作図可能である。

## 脚注

## 関連項目

## 外部リンク

* z^37=1 の解法 | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室