レーダーのFFTアルゴリズム

**レーダーのアルゴリズム**とは、MITのリンカーン研究所のチャールズ・M・レーダーにより考案された高速フーリエ変換のアルゴリズムである 。このアルゴリズムではサイズが素数の離散フーリエ変換（DFT）を巡回畳み込みに置き換えることで計算コストを減らす（ のアルゴリズムもまたDFTを巡回畳み込みと置き換えるアルゴリズムである)。

レーダーのアルゴリズムはDFTカーネルの周期性
のみを利用しているので、このアルゴリズムは同様の特徴をもつ（素数サイズの） やに対しても適用することができる。

このアルゴリズムはデータの並び変えを少し変更し、実数データに対して更なる高速化が可能である 。また、実数データについてに対する別の最適化として、 によって示された離散ハートレイ変換を用いたアルゴリズムがある。

ウィノグラードはレーダーのアルゴリズムを拡張し、素数の冪乗のサイズのDFTに適用できるアルゴリズムを考案した (; ）。このため、レーダーのアルゴリズムは、ウィノグラードのアルゴリズムの特別なケースとみなされる。ウィノグラードのアルゴリズムは乗算的FFTアルゴリズム  とも言われる。このアルゴリズムは素数の冪乗以外のサイズにも適用できるが、合成数のサイズのDFTについては、クーリー・ターキーのFFTアルゴリズムを用いるほうがより単純で実装も容易であるため、このアルゴリズムは通常、クーリー・ターキーのアルゴリズムの再帰分割により得られたDFTのうち、大きな素数サイズのDFTにのみ適用される 。

## アルゴリズム

: X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} nk }
\qquad
k = 0,\dots,N-1. 
*N* が素数の場合、*n* =1,...,*N*&#x2013;1の添字はNを法とする乗算について群をなす。数論によるとこのような群については生成元（原始根）が存在し、これを *gとすると、すべての n は* q = 0,...,N–2 を用いて *n* = *g**q* (mod *N*) と表される。(qとnの間に全単射が存在する。) n と k の添字をこの置き換えを用いて新しい添字 q と p により表すと、定式は以下のように置き換えられる。
: X_0 =  \sum_{n=0}^{N-1} x_n,

: X_{g^{-p}} = x_0 +  \sum_{q=0}^{N-2} x_{g^q} e^{-\frac{2\pi i}{N} g^{-(p-q)} }
\qquad
p = 0,\dots,N-2. 

上式は以下に示される長さ N–1(q =0,...,N–2) の数列 *a**q* と *b**q* の巡回畳み込み積分となっている。
:a_q = x_{g^q}
:b_q = e^{-\frac{2\pi i}{N} g^{-q} }.

### 畳み込み積分の計算
 畳み込み定理 により、FFTを用いて計算することができる。また、*N*&minus;1 は合成数のため、より高速なクーリーターキー型のFFTアルゴリズムが適用できる。しかしながら、*N*&minus;1 が大きな素数の素因数をもつ場合、レーダーのアルゴリズムを再帰的に使う必要がある。その代わりに、長さ *N*&minus;1 のDFTをゼロ埋めによって2の冪乗にすることで、高速なクーリーターキーのアルゴリズムを用いることができる。ゼロ埋め後のデータサイズが最低 2(*N*&minus;1)&minus;1 以上あれば元のデータを完全に復元することができ、ゼロ埋めによる結果の変化は生じない。

畳み込み積分の計算にゼロ埋めを用いたFFTを用いることでのこのアルゴリズムは加算について O(*N*) の計算時間とそれに加えと畳み込み積分についてと O(*N* log *N*) の計算時間で実行できる。しかしながら、このアルゴリズムは付近の合成数のサイズのFFTに比べ、およそ3から10倍の時間がかかる。

畳み込み積分の計算をゼロ埋めなしのFFTで行う場合、計算時間は *N* の性質に強く依存する。最悪の場合、*N*&minus;1 が素数 *N*2 により N&minus;1= 2*N*2 と表され、また *N*2&minus;1 が素数 *N*3 により *N*2&minus;1 = 2*N*3 と表され、以下同様に続いていく場合である。このような場合、レーダーのアルゴリズムの再帰が連続することになり、O(*N*2) の計算時間がかかる可能性がある。このような性質をもつ *N* は ソフィー・ジェルマン素数と呼ばれ、上記の数列は一次の Cunningham(ビル-カニンガム)チェーンと呼ばれる。しかしながら、これまでの研究ではカニンガムチェーンの成長は log2(*N*) よりも遅いことが分かっているため、レーダーのアルゴリズムの再帰によりかかる計算時間は O(*N*2) よりかは速いと思われる。幸いにも、畳み込み計算にゼロ埋めを用いたFFTを使えば計算時間は O(*N* log *N*) のオーダーになることが保証されている。

#### プログラムの例
以下はC言語による実装例である。


```c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
int powerMod(int a, int b, int m);
int primePrimitiveRoot(int p);
void DFT(double **x, int n);
void IDFT(double **x, int n);

void FFT_prime(double **x, int n){
	int i,len,flag,pad;
	int g,ig;
	double X[2] = {0,0};
	double **b,**a,**c;
	
	/*ゼロ埋めのサイズの計算*/
	flag = 0;
	len=1;
	for(i=n-1;i>1;i>>=1){
		if(i & 1){flag=1;}
		len <<= 1;
	}
	
	if(flag){
		len <<= 2; /*2(n-1) - 1 以上の2の冪乗*/
	}else{
		len = n-1; 	/*n-1が2の冪乗の場合ゼロ埋めはしない*/
	}
	pad = len - (n-1); /*ゼロ埋めの数*/
	g = primePrimitiveRoot(n); /*nの原始根*/
	ig = powerMod(g,n-2,n); /*nの原始根の逆数*/

	/*数列 a_q の作成*/
	a = malloc(len*sizeof(double*));
	for(i=0;i<len;i++){
		a[i] = malloc(2*sizeof(double));
		/*1番目と2番目の要素の間をゼロ埋めする。*/
		if(i == 0){
			a[0][0] = x[1][0];
			a[0][1] = x[1][1];
		}else if(i <= pad){
			a[i][0] = 0;
			a[i][1] = 0;
		}else{
			a[i][0] = x[powerMod(g,i-pad,n)][0];
			a[i][1] = x[powerMod(g,i-pad,n)][1];
		}
	}

	/*数列 b_q の作成*/
	b = malloc(len*sizeof(double*));
	for(i=0;i<len;i++){
		b[i] = malloc(2*sizeof(double));
		b[i][0] = cos(2*M_PI*powerMod(ig,i,n)/n);
		b[i][1] = -sin(2*M_PI*powerMod(ig,i,n)/n);
	}

	/*離散フーリエ変換*/
	DFT(a,len);
	DFT(b,len);

	/*離散フーリエ変換されたaとbの要素ごとの積を計算し、配列cに格納する。*/
	c = malloc(len*sizeof(double*));
	for(i=0;i<len;i++){
		c[i] = malloc(2*sizeof(double));
		/*複素数の積の計算*/
		c[i][0] = a[i][0]*b[i][0] - a[i][1]*b[i][1];
		c[i][1] = a[i][0]*b[i][1] + a[i][1]*b[i][0];
	}
	
	/*逆離散フーリエ変換*/
	IDFT(c,len);
	
	/*x0をXg^-qに足す*/
	for(i=0;i<len;i++){
		c[i][0] += x[0][0];
		c[i][1] += x[0][1];
	}

	/*X0の計算*/
	for(i=0;i<n;i++){
		X[0] += x[i][0];
		X[1] += x[i][1];
	}	
	
	/*X0,Xg^-q,を元の配列xに格納する。*/
	x[0][0] = X[0];
	x[0][1] = X[1];
	
	/*添字の並び変え*/
	for(i=0;i<n-1;i++){
		x[powerMod(ig,i,n)][0] = c[i][0];
		x[powerMod(ig,i,n)][1] = c[i][1];
	}
	
	for(i=0;i<len;i++){free(a[i]);}
	free(a);
	for(i=0;i<len;i++){free(b[i]);}
	free(b);
	for(i=0;i<len;i++){free(c[i]);}
	free(c);
}

/*冪剰余を求める関数*/
int powerMod(int a, int b, int m){
	int i;
	for(i=1;b;b>>=1){
		if(b & 1){
			i = (i*a)%m;
		}
		a = (a*a)%m;
	}
	return i;
}

/*素数の最小の原始根を見つける関数*/
int primePrimitiveRoot(int p){
	int i,j,size=0;
	int *list;
	
	list = malloc((p-1)*sizeof(int));
	/*p-1の素因数を見つけ、listに格納する。*/
	for(i=2,j=p-1;i*i<=j;i++){
		if(j % i == 0){
			list[size] = i;
			size++;
			do{
				j /= i;
			}while(j%i==0);
		}
	}
	for(i=0;i<size;i++){
		list[i] = (p-1)/list[i];
	}
	for(i=2;i<=p-1;i++){
		for(j=0;j<size;j++){
			if(powerMod(i,list[j],p)==1){
				goto next;
			}
		}
		break;
	  next: ;
	}
	free(list);
	return i;
}

/*離散フーリエ変換の関数*/
void DFT(double **x, int n){
	int i,j;
	double **c;
	
	c = malloc(n*sizeof(double*));
	for(i=0;i<n;i++){
		c[i] = malloc(sizeof(double));
		c[i][0] = 0;
		c[i][1] = 0;
	}
	
	for(i=0;i<n;i++){
		for(j=0;j<n;j++){
			c[i][0] += x[j][0]*cos(2*M_PI*i*j/n) + x[j][1]*sin(2*M_PI*i*j/n);
			c[i][1] += -x[j][0]*sin(2*M_PI*i*j/n) + x[j][1]*cos(2*M_PI*i*j/n);
		}
	}
	
	for(i=0;i<n;i++){
		x[i][0] = c[i][0];
		x[i][1] = c[i][1];
	}
	
	for(i=0;i<n;i++){free(c[i]);}
	free(c);
}

/*逆離散フーリエ変換の関数*/
void IDFT(double **x, int n){
	int i,j;
	double **c;
	
	c = malloc(n*sizeof(double*));
	for(i=0;i<n;i++){
		c[i] = malloc(sizeof(double));
		c[i][0] = 0;
		c[i][1] = 0;
	}
	
	for(i=0;i<n;i++){
		for(j=0;j<n;j++){
			c[i][0] += x[j][0]*cos(2*M_PI*i*j/n) - x[j][1]*sin(2*M_PI*i*j/n);
			c[i][1] += x[j][0]*sin(2*M_PI*i*j/n) + x[j][1]*cos(2*M_PI*i*j/n);
		}
	}
	
	for(i=0;i<n;i++){
		x[i][0] = c[i][0]/n;
		x[i][1] = c[i][1]/n;
	}
	
	for(i=0;i<n;i++){free(c[i]);}
	free(c);
}
```

* 複素数データを表現するため、一列目を実数部、二列目を虚数部とした二次元配列を用いている。
* レーダーのアルゴリズムではgの逆数が生成する数列も必要であるため、フェルマーの小定理からgの逆数を求めている。
* 畳み込み積分を不変に保つゼロ埋めの手法として、aについて先頭要素とその次の要素の間にゼロを埋め、bについてはgの生成する数列がn-1の周期をもつことを自然に用いて元の数列を巡回させている。ゼロ埋めの手法はこの方法以外にも考えられる。
* 畳込み積分の計算に通常の離散フーリエ変換を用いているが、これを高速フーリエ変換のルーチンで置き換えることができる。
* 原始根を求めるアルゴリズムは原始根を参照。

## 参考文献
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