K·p摂動論

固体物理学において**k&middot;p[[摂動論]]**とは、結晶のバンド構造（特に有効質量）や光学特性を計算するための半経験的な近似法のこと。k&middot;p摂動論は特にやケイン模型で用いられる。

## 背景と導出

（一電子近似における）量子力学によると、任意の固体の準自由電子は、固体中の電子のシュレーディンガー方程式は、次の定常シュレーディンガー方程式の固有状態である波動関数により描写される。
:\left(\frac{p^2}{2m}+V\right)\psi=E\psi
ここで**p**は量子力学の運動量演算子、*V*はポテンシャル、*m*は真空での電子の質量である（この方程式はスピン軌道効果を無視している。以下参照）。

結晶固体においては、*V*は結晶格子と同じ周期性を持つ周期関数である。ブロッホの定理はこの微分方程式の解が次のように書けることを示している。
:\psi_{n,\mathbf{k}}(\mathbf{x}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} u_{n,\mathbf{k}}(\mathbf{x})
ここで**k**はベクトル（波数ベクトルと呼ばれる）、*n*は離散インデックス（バンドインデックスと呼ばれる）、*u**n*,**k**は結晶格子と同じ周期性を持つ関数である。

任意の*n*において、関係する状態はバンドと呼ばれる。それぞれにバンドにおいて、波数ベクトル**k**と状態のエネルギー*E**n*,**k**の間にバンド分散と呼ばれる関係がある。この分散の計算はk·p摂動論の主な適用の1つである。

### 摂動論
周期関数*u**n*,**k**は次のシュレーディンガータイプの方程式（単純に、ブロッホタイプの波動関数によるシュレーディンガー方程式の直接展開）を満たす。
:H_{\mathbf{k}} u_{n,\mathbf{k}}=E_{n,\mathbf{k}}u_{n,\mathbf{k}}
ここでハミルトニアンは 
:H_{\mathbf{k}} = \frac{p^2}{2m} + \frac{\hbar \mathbf{k}\cdot\mathbf{p}}{m} + \frac{\hbar^2 k^2}{2m}  + V 
**k**は長さの逆数の次元を持つ3つの実数で構成されるベクトルであり、**p**は演算子のベクトルであることに留意。明確にするために
:\mathbf{k}\cdot\mathbf{p} = k_x (-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}) + k_y (-i\hbar \frac{\partial}{\partial y}) + k_z (-i\hbar \frac{\partial}{\partial z})
いずれにせよ、このハミルトニアンを2つの項の合計として書くと
:H=H_0+H_{\mathbf{k}}', \;\; H_0 = \frac{p^2}{2m}+V, \;\; H_{\mathbf{k}}' = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} + \frac{\hbar \mathbf{k}\cdot\mathbf{p}}{m}
これは摂動論の基礎である。非摂動ハミルトニアンは*H*0であり、実際には**k**&nbsp;=&nbsp;0（つまりガンマ点）における正確なハミルトニアンに等しくなる。摂動は項H_{\mathbf{k}}'である。結果の解析は**k·p**に比例する項であるため「**k·p**摂動論」と呼ばれる。この解析の結果は**k**&nbsp;=&nbsp;0でのエネルギーと波動関数における*E**n*、**k**、*u**n*,**k**の式である。

摂動項H_{\mathbf{k}}'は**k**が0に近づくにつれて徐々に小さくなることに注意。よって、k·p摂動論は小さい**k**の値に対して最も正確である。しかし、摂動展開に項が十分含まれている場合、理論がブリルアンゾーン全体の**k**の値に対してかなり正確になることがある。

### 非縮退バンドの式

**k**&nbsp;=&nbsp;0で極値をとり、スピン軌道相互作用がない非縮退バンド（**k**&nbsp;=&nbsp;0で他のバンドとは異なるエネルギーを持つバンド）に対して、**k''·''p**摂動論の結果は、（最小の非自明な次数まで）
:u_{n,\mathbf{k}} = u_{n,0}+\frac{\hbar}{m}\sum_{n' \neq n}\frac{\langle u_{n,0} | \mathbf{k}\cdot\mathbf{p} | u_{n',0} \rangle}{E_{n,0}-E_{n',0}} u_{n',0}
:E_{n,\mathbf{k}} = E_{n,0}+\frac{\hbar^2 k^2}{2m} + \frac{\hbar^2}{m^2} \sum_{n'\neq n} \frac{|\langle u_{n,0} | \mathbf{k}\cdot\mathbf{p} | u_{n',0} \rangle |^2}{E_{n,0}-E_{n',0}}
となる。
**k**は（複雑な線形演算子のベクトルではなく）実数のベクトルであるため、これらの式の行列要素は次のように書き換えられる。
:\langle u_{n,0} | \mathbf{k}\cdot\mathbf{p} | u_{n',0} \rangle = \mathbf{k} \cdot \langle u_{n,0} | \mathbf{p} | u_{n',0} \rangle
したがって、いくつかの未知のパラメータ*E**n*,0 and \langle u_{n,0} | \mathbf{p} | u_{n',0} \rangleのみを用いて任意の**k**でエネルギーを計算できる。後者は「光学行列要素」と呼ばれ、遷移双極子モーメントと密接に関係している。これらのパラメータは普通実験データから推測される。

実際には、*n*の合計は最も近い1もしくは2のバンドのみが含まれることがしばしばである（これらは（分母により）最も重要となる傾向がある）。しかし、特に大きい**k**で精度を上げるには、上で説明したものよりも多くのバンドを含める必要がある。

#### 有効質量

上記のエネルギー分散関係の式を用いて、半導体の伝導帯の有効質量に対する簡易化した式を出すことができる。伝導帯のときの分散関係を近似するには、エネルギー*E<sub>n0</sub>*を最小伝導帯エネルギー*E<sub>c0</sub>*として、分母のエネルギー差が最小となる価電子帯の最大値に近いエネルギーを持つ項のみを合計に含める（これらの項は合計に対する最大の寄与である）。この分母はバンドギャップ*E<sub>g</sub>*として近似され、次のエネルギー式になる。
:E_c(\boldsymbol k ) \approx E_{c0} +\frac{(\hbar k)^2}{2m} +\frac{\hbar ^2} \ , 
これはほとんどのIV族、III-V族、II-VI族半導体に約15%以内で適合する。

この単純な近似とは対照的に、価電子帯エネルギーの場合、スピン軌道相互作用を導入する必要があり（以下参照）、さらに多くのバンドをそれぞれ考慮する必要がある。計算はYu and Cardonaで提供される。価電子帯では動くキャリアは正孔である。重いものと軽いものの2つのタイプの正孔があり、異方性の質量を持つ。

### スピン軌道相互作用の''k''·''p''モデル

スピン軌道相互作用を含めると、*u*のシュレーディンガー方程式は
:H_{\mathbf{k}} u_{n,\mathbf{k}}=E_{n,\mathbf{k}}u_{n,\mathbf{k}}
ここで
:H_{\mathbf{k}} = \frac{p^2}{2m} + \frac{\hbar}{m}\mathbf{k}\cdot\mathbf{p} + \frac{\hbar^2 k^2}{2m}  + V + \frac{\hbar}{4 m^2 c^2} (\nabla V \times (\mathbf{p}+\hbar\mathbf{k}))\cdot \vec \sigma 
ここで\vec \sigma=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)は3つのパウリ行列からなるベクトルである。このハミルトニアンは、上記同種の摂動論解析の対象となる。

### 縮退の場合の計算
縮退もしくはほとんど縮退したバンド、特にヒ化ガリウムなどの特定の材料の価電子帯では、縮退摂動論の方法で方程式を解析することができる。この種のモデルにはやケイン模型も含まれる。

一般的に、有効ハミルトニアンH^{\rm{eff}}を導入し、一次まででこの行列要素は
:H^{\rm{eff}}_{\mathbf{k},mn}=\langle u_{m,0}|H_0|u_{n,0}\rangle + \mathbf{k}\cdot \langle u_{m,0}|\nabla _\mathbf{k} H_\mathbf{k}'|u_{n,0}\rangle
と表される。
これを解くと、波動関数とエネルギーバンドが得られる。

## 関連項目

**バンド構造**
* バンド構造
* ほとんど自由な電子
* クローニッヒ・ペニーのモデル
**バンド特性**
* バンドギャップ
* 有効質量
* 状態密度
* フェルミ面

**波動関数**
* ワニエ関数
* ブロッホ関数
**基礎理論**
* コーン–シャム方程式
* 局所密度近似

## 引用・参考文献