カタランの定数

数学において、**カタランの定数** （カタランのていすう、）とは、ディリクレベータ函数  を用いて以下のように定義される定数である。

: G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} - \cdots,

その数値はおよそ

: 

とされる（）。

 が無理数・超越数なのかは未だに分かっていない。 は「無理数や超越数であるかどうかが（そうであると強く推測されながらも）今だ明らかでない最も基礎的な定数」だと言われている。

カタランの定数は、級数の数値計算のために素早く収束する級数を発見し、1865年にその回顧録を出版したウジェーヌ・カタランに因んで名付けられた。

## 適用事例
* 低次元トポロジーにおいて、カタランの定数はイデアルな双曲八面体の体積の1/4であり、したがってホワイトヘッド環の補集合の双曲体積の1/4である。また、ボロミアン環の補集合の体積の1/8である。
* 組み合わせ数学と統計力学において、上のドミノタイリングや全域木、ハミルトン路の数え上げと関連している。
* 数論において、カタランの定数はハーディ・リトルウッドのF予想での   という形で表される素数の個数の漸近式に現れる。しかしながら、この形式をした素数が無限個存在するかどうかすら未解決（の1つ）である。
* 渦巻銀河のの計算においてカタランの定数が現れる。
* 双曲線正割分布において、分布のエントロピーはカタランの定数の 4/\pi 倍である。
* グーデルマン関数 y=\operatorname{gd}x のグラフ、*y*軸および漸近線で囲まれる領域（のうち有限領域であるほう）の面積は、カタランの定数の4倍に等しい。

## 既知の桁
カタランの定数  の既知の桁数は、ここ数十年で飛躍的に増加した。これはコンピュータの性能の向上およびアルゴリズムの改善によるものである。

## 積分表示
Seán Stewart が述べたように、「カタランの定数と等しい、あるいはカタランの定数で表現できる定積分は非常に多く、いくらでも存在するかのようである」。そのうちいくつかを以下に示す。
\begin{align}
G &= -\frac{1}{\pi i}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln\ln \tan x \ln \tan x \,dx \\[3pt]
G &= \iint_{[0,1]^2} \! \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy \\[3pt]
G &= \int_0^1\int_0^{1-x} \frac{1}{1 -x^2-y^2} \,dy\,dx \\[3pt]
G &= \int_1^\infty \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt = -\int_0^1 \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt = \frac{1}{2} \int_{0}^\frac{\pi}{2} \frac{t}{\sin t} \,dt = \frac{1}{4} \int_0^ \csc \sqrt{t} \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^\frac{\pi}{4} \ln \cot t \,dt = \int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2} \ln \tan t \,dt = -\int_0^\frac{\pi}{4} \ln \tan t \,dt \\[3pt]
G &= \frac{1}{2} \int_0^\frac{\pi}{2} \ln \left( \sec t +\tan t \right) \,dt = \frac{1}{2} \int_0^\frac{\pi}{2} \operatorname{gd}^{-1}t \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^1 \frac{\arccos t}{\sqrt{1+t^2}} \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^1 \frac{\operatorname{arcsinh} t}{\sqrt{1-t^2}} \,dt \\[3pt]
G &= \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\arctan t}{t\sqrt{1+t^2}} \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^\infty \arccot e^{t} \,dt = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^0 \left(\operatorname{gd}t+\frac{\pi}{2}\right) \,dt \\[3pt]
G &= \frac{1}{16} \left(\pi^2 + 4\int_1^\infty \arccsc^2 t \,dt\right) \\[3pt]
G &= \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{t}{\cosh t} \,dt  \\[3pt]
G &= \frac{\pi}{2} \int_1^\infty \frac{\left(t^4-6t^2+1\right)\ln\ln t}{\left(1+t^2\right)^3} \,dt \\[3pt]
G &= 1 + \lim_{\alpha\to{1^-}}\!\left\{\int_0^{\alpha}\!\frac{\left(1+6t^2+t^4\right)\arctan{t}}{t\left(1-t^2\right)^2}\,dt
+  2\operatorname{artanh}{\alpha} - \frac{\pi\alpha}{1-\alpha^2} \right\} \\[3pt]
G &= 1 - \frac18 \iint_{\R^2}\!\!\frac{x\sin\left(2xy/\pi\right)}{\,\left(x^2+\pi^2\right)\cosh x\sinh y\,}dxdy \\[3pt]
G &= \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt[4]{x} \left(\sqrt{x} \sqrt{y}-1\right)}{(x+1)^2 \sqrt[4]{y} (y+1)^2 \log (x y)}dxdy
\end{align}

このうち、最後の3式はの積分と関連している。

 を楕円率  の函数とした第一種完全楕円積分とすると、次の式が成り立つ。
 G = \frac{1}{2} \int_0^1 \mathrm{K}(k)\,dk 

 を楕円率  の函数とした第二種完全楕円積分とすると、次の式が成り立つ。
 G = -\frac{1}{2}+\int_0^1 \mathrm{E}(k)\,dk 

ガンマ函数  を用いて
\begin{align}
G &= \frac{\pi}{4} \int_0^1 \Gamma\left(1+\frac{x}{2}\right)\Gamma\left(1-\frac{x}{2}\right)\,dx \\
&= \frac{\pi}{2} \int_0^\frac12\Gamma(1+y)\Gamma(1-y)\,dy
\end{align}

次の積分はとして知られる特殊函数であり、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンによって詳しく研究された。
 G = \operatorname{Ti}_2(1)=\int_0^1 \frac{\arctan t}{t}\,dt 

## 他の特殊函数との関係
 はとして知られる第二ポリガンマ函数の分数変数に対応する従属変数として現れる。
\begin{align}
\psi_1 \left(\tfrac14\right) &= \pi^2 + 8G \\
\psi_1 \left(\tfrac34\right) &= \pi^2 - 8G
\end{align}

サイモン・プラウフはトリガンマ函数、 およびカタランの定数の間で成立する（グラフ上の道として表現可能な）無限個の恒等式を与えている。

カタランの定数はクラウゼン函数、、逆正弦積分、バーンズの  函数などとの関係や、前述の函数を用いた積分・級数においてよく現れる。

一例として、を閉じた形（つまりはクラウゼン函数）で表し、そのクラウゼン函数をバーンズの  函数で表すことで次の式が得られる。
G=4\pi \log\left( \frac{ G\left(\frac{3}{8}\right) G\left(\frac{7}{8}\right) }{ G\left(\frac{1}{8}\right) G\left(\frac{5}{8}\right) } \right) +4 \pi \log \left( \frac{ \Gamma\left(\frac{3}{8}\right) }{ \Gamma\left(\frac{1}{8}\right) } \right) +\frac{\pi}{2} \log \left( \frac{1+\sqrt{2} }{2 \left(2-\sqrt{2}\right)} \right)

と関連した**レルヒ超越函数** （）を
\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac { z^n} {(n+\alpha)^s}
と定義すると、次の関係が成り立つ。
 G = \tfrac{1}{4}\Phi\left(-1, 2, \tfrac{1}{2}\right)

## 収束の早い級数
以下の2公式は収束の早い級数を含んでおり、数値計算に適している。
\begin{align}
G & = 3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}
\left(-\frac{1}{2(8n+2)^2}+\frac{1}{2^2(8n+3)^2}-\frac{1}{2^3(8n+5)^2}+\frac{1}{2^3(8n+6)^2}-\frac{1}{2^4(8n+7)^2}+\frac{1}{2(8n+1)^2}\right)- \\
& \qquad -2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}}
\left(\frac{1}{2^4(8n+2)^2}+\frac{1}{2^6(8n+3)^2}-\frac{1}{2^9(8n+5)^2}-\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2}-\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2}+\frac{1}{2^3(8n+1)^2}\right)
\end{align}
G = \frac{\pi}{8}\log\left(2 + \sqrt{3}\right) + \frac{3}{8}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2 \binom{2n}{n}}
2公式の理論的基盤はそれぞれブロードハースト（Broadhurst）およびラマヌジャンによって与えられている。カタラン定数の早い評価アルゴリズムはE・カラツバ（Karatsuba）によって構築された。これらの級数を用いることで、今日ではアペリーの定数  に匹敵する速さでカタランの定数を計算できる。

以下は Guillera および Pilehrood によるを利用した級数である。

:G = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty }\frac{(-8)^{k}(3k+2)}{(2k+1)^{3}{\binom{2k}{k}}^{3}}

:G = \frac{1}{64}\sum_{k=1}^{\infty }\frac{256^{k}(580k^2-184k+15)}{k^3(2k-1)\binom{6k}{3k}\binom{6k}{4k}\binom{4k}{2k}}

:G = -\frac{1}{1024}\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-4096)^k(45136k^4-57184k^3+21240k^2-3160k+165)}{k^3(2k-1)^3}\left( \frac{(2k)!^6(3k)!^3}{k!^3(6k)!^3} \right)

これらのは  となる。

## 連分数
 は次のように表せられる。
:G=\cfrac{1}{1+\cfrac{1^4}{8+\cfrac{3^4}{16+\cfrac{5^4}{24+\cfrac{7^4}{32+\cfrac{9^4}{40+\ddots}}}}}}
より単純な連分数表記を以下に示す。
:G=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{88+\ddots}}}}}}
この連分数の項が無限個存在することは  が無理数であることと同値であり、未解決のままである。

## 関連項目
* ギーゼキング多様体
* 
* 数学定数
* リーマンゼータ函数の特殊値

## 脚注

## 関連文献
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## 外部リンク
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* （100の異なる恒等式が掲載されている。） (Provides over one hundred different identities).
* （グラフ化された関係が掲載されている）
* （上から300,000桁の値が掲載されている）
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* 
* "Catalan constant: Series representations". Wolfram Functions Site.
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