ミンコフスキーの定理

**ミンコフスキーの定理**（）は凸体の中の格子点の存在に関する定理で、原点に関して対称な凸集合は体積が十分大きいとき、必ず原点以外の格子点を有することを主張している。ヘルマン・ミンコフスキーによって証明され、二次形式の研究に用いられた。
凸体と格子点の関係に関する研究は数の幾何学へと発展し、二次形式のほか、代数体の単数やイデアル類群の性質の研究、ディオファントス近似など数論の様々な領域に応用されている。

## 内容
*L* を ***R**** n* 上の格子とし、 *d* (*L*) を *L* に対応する行列の行列式とする。
***R****n* 内の、原点に関して対称で体積が 2^n d(L) より大きい凸集合は、その内部に原点とは異なる *L* 上の点を有する。

特に体積が 2*n* より大きい、原点に関して対称な ***R****n* 内の凸集合は必ず原点とは異なる整数点を有する。

## 証明
***R**** n* の部分集合 *S* に対して *V* (*S*) を *S* の体積とする。
まず、次のから証明する。

### ブリクフェルトの定理
*S* を体積が *d* (*L*) より大きな凸集合とすると、*S* は *L* を法として互いに合同な2点をもつ。つまり
:\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2\in L\setminus\{\mathbf{0}\}
となる \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\in S がとれる。これは次のように証明できる。

*L* の基底 \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n をとり
:F=\{a_1 \mathbf{u}_1+a_2 \mathbf{u}_2+\cdots +a_n \mathbf{u}_n : 0\leq a_1, a_2, \ldots, a_n 
をこの基底に対する *L* の基本領域とすると
:V(F)=d(L)
が成り立つ。
:\mathbf{v}=b_1 \mathbf{u}_1+b_2 \mathbf{u}_2+\cdots +b_n \mathbf{u}_n
に対して
: f(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^n (b_i-\lfloor b_i \rfloor)\mathbf{u}_i
を対応させる。
*f* は ***R**** n* から *F* への写像で、
:f(\mathbf{v})-\mathbf{v}=\sum_{i=1}^n \lfloor b_i \rfloor \mathbf{u}_i\in L
が成り立つ。さらに *f* は平行移動の貼り合わせであらわされるから、
*f* が *S* 上で単射ならば V(f(S))=V(S) となるはずである。しかし
*f* の像は *F* に含まれるから
:V(S)>d(L)=V(F)\geq V(f(S))
となる。よって *f* は *S* 上単射ではないので
:f(\mathbf{v}_1)=f(\mathbf{v}_2)
となる点 \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\in S がとれる。
:f(\mathbf{v}_1)-\mathbf{v}_1, f(\mathbf{v}_2)-\mathbf{v}_2\in L
だから
:\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\in S, \mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\in L
である。

### ミンコフスキーの定理の証明
*S* を ***R****n* 内の、原点に関して対称で体積が 2^n d(L) より大きい凸集合とする。
:T=\frac{1}{2}S=\left\{\frac{1}{2}\mathbf{v}: \mathbf{v}\in S\right\}
とおく。V(S)>2^n d(L) だから V(T)=V(S)/2^n>d(L) なので
ブリクフェルトの定理より
:\mathbf{w}_1-\mathbf{w}_2\in L\setminus\{\mathbf{0}\}
となる2点 \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2\in T がとれる。
\mathbf{v}_1=2\mathbf{w}_1, \mathbf{u}=2\mathbf{w}_2\in S が成り立ち、
*S* は原点に関して対称だから \mathbf{v}_2=-\mathbf{u}=-2\mathbf{w}_2\in S も成り立つ。
*S* は凸集合なので \mathbf{v}=\frac{1}{2}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)\in S である。一方で
:\frac{1}{2}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\mathbf{w}_1-\mathbf{w}_2\in L\setminus\{\mathbf{0}\}
であるから *S* は原点とは異なる *L* 上の点 \mathbf{v} を有する。

## 系
ミンコフスキーの定理の系として、一次形式に関する次の定理が導かれる。

:l_i=\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \qquad (i=1, 2, \ldots, n)
を *n* =*r* +2*s* 個の一次形式とし、そのうち *l*1, *l*2, ..., *l**r* は実係数を持ち、 *l* *r* +*j* と *l* *r* +*s* +*j* ( *j* = 1, 2, ..., *s* ) は互いに共役なものとする。さらに係数の行列式 &Delta; &ne; 0 とする。

ここで *k*1, *k*2, ..., *k**r* +*s*  が実数で
:k_1 k_2 \cdots k_r (k_{r+1} k_{r+2} \cdots k_{r+s})^2\geq \left(\frac{2}{\pi}\right)^s |\Delta| 
を満たすならば、
:|l_i|\leq k_i \qquad (i=1, 2, \ldots, r+s)
となる整数 *x*1, *x*2, ..., *x**n* が存在する。

また *k*1, *k*2, ..., *k**r* +*s*  が実数で
:k_1 k_2 \cdots k_r (k_{r+1} k_{r+2} \cdots k_{r+s})^2\geq \left(\frac{4}{\pi}\right)^s\frac{n!}{n^n} |\Delta|
を満たすならば、
:\prod_{i=1}^n |l_i|\leq |\Delta|
となる整数 *x*1, *x*2, ..., *x**n* が存在する。

## 応用
ミンコフスキーはこの定理を二次形式の簡約化に用いた。さらに、整数を二次形式によって現す問題にも応用されている。
たとえばフェルマーの二平方定理は円盤内のある格子上の点の問題に、ラグランジュの四平方定理は4次元空間の超球体内のある格子上の点の存在に帰着させることで、ミンコフスキーの定理を用いて証明することができる。

ミンコフスキーの定理の系から、*r* 個の実共役と 2*s* 個の（つまり *s* 対の共役対からなる）複素共役をもつ *n* =*r* +2*s* 次の、判別式 &Delta; をもつ代数体の イデアル類群のそれぞれの類はノルムが
:\left(\frac{4}{\pi}\right)^s\frac{n!}{n^n} |\Delta|
を超えない（整）イデアルを含むことが従う。これを**ミンコフスキー限界**という。

### 二平方定理の証明
上記のようにミンコフスキーの定理からフェルマーの二平方和定理を証明することができる。
実際 *p* を 4n+1 の形の素数とすると
:t^2+1\equiv 0\pmod{p}
となる *t* がとれる（*p* を法として位数4の剰余類から数をひとつ選べばよい）。
:y\equiv tx\pmod{p}
となる点 (x, y) 全体は
(1, t), (0, p) を基底とする格子 *L* と一致し、d(L)=p が成り立つ。
原点を中心とする半径 \sqrt{2p} の開円盤は面積 2\pi p>4p の、原点に関して対称な凸集合であるからミンコフスキーの定理より、原点とは異なる *L* の格子点 (a, b) を含む。
:b\equiv ta\pmod{p}
であるから
:a^2+b^2\equiv a^2(1+t^2)\equiv 0\pmod{p}
である。一方 (a, b) は原点ではなく、かつ原点からの距離は \sqrt{2p} より小さいから
:0
である。よって
:p=a^2+b^2
が成り立ち、 *p* は2つの平方数の和であらわされる。

## 脚注


## 関連項目
*数の幾何学
*離散幾何学
*球充填

## 参考文献
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* ※旧版: The MacMillan, 1939
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