フィンスラー多様体

**フィンスラー多様体**（フィンスラーたようたい、）とは、可微分多様体  であって各接空間  でミンコフスキー汎関数  (のときもある) が与えられ、任意の滑らかな曲線  の長さが
:L(\gamma) = \int_a^b F\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\,\mathrm{d}t
であるものと定義される、微分幾何学の概念である。

正接ノルムが内積から誘導されていないことから、フィンスラー多様体はリーマン多様体よりも一般的な概念と言える。

フィンスラー多様体は、2点間の距離がそれらを結ぶ曲線の最小長で定義されるときintrinsicな準距離空間になる。

ポール・フィンスラーがこの幾何学を研究し、がそのことにちなんでフィンスラー多様体と名付けた。

## 定義
フィンスラー多様体は、可微分多様体  であって、接束上の連続非負関数  であるフィンスラー計量が の各点  に対して、以下の性質をもつものである：
* （劣加法性） で  に正接する 2 つの任意ベクトル  に対して 。
* （正の斉次性）任意の  に対して 。
* （正定値性） でない限り 。
つまり、 は接空間  上のである。フィンスラー計量  は「滑らか」である必要がある。より正確には
*  は  の零切断の補集合で滑らか。

劣加法の条件は次の**強い凸性条件**に置き換えることができる：
* 各接線ベクトル  について、 での  のヘッセ行列は正定値である。

ここで、 における  のヘッシアンは対称な双線型形式
:\mathbf{g}_v(X, Y) := \frac{1}{2}\left.\frac{\partial^2}{\partial s\partial t}\left[F(v + sX + tY)^2\right]\right|_{s=t=0}
である。これは  における  の基本テンソルとも呼ばれる。強い凸性は、 の場合に厳密な不等式による劣加法性を意味する。  が強い凸性を持つならばそれは接空間のミンコフスキーノルムである。

さらに、
* 任意の接ベクトル  に対して 
のとき、フィンスラー計量は**可逆**であるという。可逆なフィンスラー計量は接空間の (通常の意味での) ノルムを定義する。

## 例
* 有限次元のノルム線型空間の滑らかな部分多様体 (開部分集合を含む) は、ベクトル空間のノルムが原点の外側で滑らかならばフィンスラー多様体である。
* （擬リーマン多様体ではない）リーマン多様体はフィンスラー多様体の特殊なケースである。

### ランダース多様体
 をリーマン多様体とし、 を  上の微分 1 形式で
:\|b\|_a := \sqrt{a^{ij}b_i b_j} 
を満たすものとする。ここで  は  の逆行列である。アインシュタインの縮約記法を用いている。すると
:F(x, v) := \sqrt{a_{ij}(x)v^i v^j} + b_i(x)v^i
は  上の**ランダース計量**を定義し、 は非可逆フィンスラー多様体の特殊なケースであるランダース多様体である。

### 滑らかな準距離空間
 を準距離とする。つまり  は可微分多様体であり、 は  の微分構造と次の意味での互換性をもつ：
*  の任意の点  の近傍で滑らかな  のチャート  と定数  が存在して、任意の  に対して次が成り立つ：
*:  \frac{1}{C}\|\phi(y) - \phi(x)\| \leq d(x, y) \leq C\|\phi(y) - \phi(x)\|.
* 関数  がいくつかpunctureされた対角の近傍の中で滑らか。

するとフィンスラー関数  を
:F(x, v) := \lim_{t \to 0+} \frac{d(\gamma(0), \gamma(t))}{t}
で定義できる。ここで  は  の任意の曲線で  かつ  を満たす。このように得られたフィンスラー関数  は  の接空間で非対称な（通常は非ミンコフスキー）ノルムに制限される。もともとの準距離から誘導されたintrinsicな計量  は
:d_L(x, y) := \inf\left\{\ \left.\int_0^1 F\left(\gamma(t), \dot\gamma(t)\right) \, dt \ \right| \ \gamma\in C^1([0, 1], M) \ , \ \gamma(0) = x \ , \ \gamma(1) = y \ \right\}
で復元でき、実際、任意のフィンスラー関数  からこの式によって  上のintrinsicな準計量  を定義できる。

## 測地線
 の均一性により、 上の微分可能な曲線  の長さ
:L[\gamma] := \int_a^b F\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\mathrm{d}t
は、正方向の再パラメーター化の下で不変である。等速曲線  は、もしその十分に短いセグメント  が  から  までの長さを最小化するなら、フィンスラー多様体の測地線である。同様に、もしエネルギー汎関数
:E[\gamma] := \frac{1}{2}\int_a^b F^2\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\mathrm{d}t
が固定端点  をもつ微分可能な曲線  上でその汎関数微分が消えるという意味で定常なら、 は測地線である。

### フィンスラー多様体上の正準スプレー構造
エネルギー汎関数  のオイラー・ラグランジュ方程式は  の局所座標系  で
:
  g_{ik}\Big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\Big)\ddot\gamma^i(t) + \left(
               \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}\Big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\Big) -
    \frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\Big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\Big)
  \right) \dot\gamma^i(t)\dot\gamma^j(t) = 0

である。ここで 、また  は次で定義される基本テンソルの座標表現である：
:
g_{ij}(x,v) := g_v\left(\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_x, \left.\frac{\partial}{\partial x^j}\right|_x\right).


 に関して  にを仮定すると、行列  は正則であり、その逆行列は  と表される。すると  が  の測地線である必要十分条件は、接曲線 } が } 上で次式によって局所的に定義された滑らかなベクトル場  の積分曲線であることである：
:
\left.H\right|_{(x, v)} := \left.v^i\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_{(x,v)}\!\! - \left.2G^i(x, v)\frac{\partial}{\partial v^i}\right|_{(x,v)},

ここで局所スプレー係数  は次式で与えられる：
:
G^i(x, v) := \frac{1}{4}g^{ij}(x, v)\left(2\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^\ell}(x, v) - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^j}(x, v)\right)v^k v^\ell.


} 上のベクトル場  は  および  を満たす。ここで  は } のおよび正準ベクトル場である。したがって定義より  は  上のである。スプレー  は垂直投影を介してファイバー束  に非線形接続を定義する。
:v: T(\mathrm{T}M \setminus \{0\}) \to T(\mathrm{T}M \setminus \{0\});\quad v := \frac{1}{2}\big(I + \mathcal{L}_H J\big).

リーマン多様体の場合と同様、と非線形共変微分に関して、一般的なスプレー構造  に対するヤコビ方程式のバージョン
:D_{\dot\gamma}D_{\dot\gamma}X(t) + R_{\dot\gamma}\left(\dot\gamma(t), X(t)\right) = 0
が存在する。

### 測地線の一意性と最小化の性質
により、 上には長さを最小化する曲線が (少なくとも十分に近い近傍で) 常に存在する。 長さを最小化する曲線は正の値で再パラメータ化して測地線にすることが常にでき、どの測地線も  に対してオイラー・ラグランジュ方程式を満たさなければならない。 の強い凸性を仮定すると、積分曲線の一意性により、任意の  に対して  および  を満たす最大の測地線  が一意に存在する。

 が強い凸性をもつなら、測地線  は、 に沿って  に共役する最初の点  まで、近くの曲線間で長さを最小化し、リーマン多様体の場合のように、 の場合、の近くに から  までのより短い曲線が常に存在する。

## 脚注

## 参考文献
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* 
* (Reprinted by Birkhäuser (1951))
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## 外部リンク
* 
* The (New) Finsler Newsletter