複素数の偏角

[thumb|[複素数平面での複素数の絶対値 , 偏角 。]]
数学において、複素数の**偏角**（へんかく、）とは、複素数平面上で複素数が表す点の動径が表す一般角のことである。複素数  の偏角は記号で  で表す。偏角はラジアンで表す。

複素数を極形式表示することで、絶対値と偏角が得られる。これにより、複素数の乗除が簡明に行うことができる。

複素数に対する偏角は、 の任意の整数倍を足す分だけ表し方がある。つまり、多価関数である。そこで表示を一意にするには、**[[主値]]**を決め、区間  などに制限する。

 の任意の整数倍の差を除いて次の等式が成り立つ：
:
:
:(何れも )

## 定義
thumb|偏角  の2つの選び方
複素数  の**偏角**は、 と書かれ、正の実軸から動径  までの角度を反時計回りに測った角度である。弧度法で表示する。時計回りに測ると負になる。

複素数に対する偏角の表示を一意にするために、**[[主値]]**を区間  に制限する。 にすることもある。

主値を  にすると、逆正接関数  を用いて次のように表せる：
:\arg z = \begin{cases}
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} & (x > 0) \\[0.1em]
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \pi & (x  0) \\[0.1em]
-\dfrac{\pi}{2} & (x = 0 \,\land\, y 

上記の式には条件分岐が多数あるが、符号関数  やヘヴィサイドの階段関数  を用いることで次のようにまとめることもできる：
:\begin{align}
\arg z &= \begin{cases}
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \dfrac{1 - \operatorname{sgn} x}{2}( 1 + \operatorname{sgn} y - |\operatorname{sgn} y| )\pi & (x \neq 0) \\[0.1em]
(\operatorname{sgn} y)\dfrac{\pi}{2} & (x = 0 \,\land\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \{ 1 - H(x) \}\{ 2H_1(y) - 1 \}\pi & (x \neq 0) \\[0.1em]
(\operatorname{sgn} y)\dfrac{\pi}{2} & (x = 0 \,\land\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
\end{align}

 除算を含む式 と形式的に考えることで、更にまとめることもできる：
:\begin{align}
\arg z &= \begin{cases}
|\operatorname{sgn} x| \tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \dfrac{1 - \operatorname{sgn} x}{2}( 1 + \operatorname{sgn} y - |\operatorname{sgn} y| )\pi & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
|\operatorname{sgn} x| \tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \{ 1 - H_{1/2}(x) \}\{ 2H_1(y) - 1 \}\pi & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
\end{align}

あるいは、逆余弦関数  や逆正弦関数  を用いて次のように表すこともできる：
:\begin{align}
\arg z &= \begin{cases}
( 1 + \operatorname{sgn} y - |\operatorname{sgn} y| )\cos^{-1} \dfrac{x} & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
\{ 2H_1(y) - 1 \}\cos^{-1} \dfrac{x} & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
\end{align}

:\begin{align}
\arg z &= \begin{cases}
( 1 + \operatorname{sgn} x - |\operatorname{sgn} x| )\sin^{-1} \dfrac{y} + \dfrac{|\operatorname{sgn} x| - \operatorname{sgn} x}{2}( 1 + \operatorname{sgn} y - |\operatorname{sgn} y| )\pi & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
\{ 2H_1(x) - 1 \}\sin^{-1} \dfrac{y} + \{ 1 - H_1(x) \}\{ 2H_1(y) - 1 \}\pi & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
\end{align}

ここで、 は複素数の絶対値で、 である。

主値を  にするには、上記の定義で、負となる偏角の値に対しては  を加えることにすればよい。

偏角を「位相」、振幅と呼んだりすることもある。

### 基本的な性質
* |z|\cos(\arg z) = \operatorname{Re} z
* |z|\sin(\arg z) = \operatorname{Im} z
* \arg \bar{z} = -\arg z
* \arg 0 は不定

## 主値をとる偏角
275px|thumb|（青点）の主値  は  である。赤い線は分岐切断である。
主値  における偏角の値を、記号で （最初の文字を大文字）で表すことがある。表記には揺れがあり、 と  が文献によって逆になることもあることに注意。
:\arg z = \{ \operatorname{Arg} z + 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}
:\operatorname{Arg} z = \{ \arg z - 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z} \, \land \, (-\pi 

## 数値計算
複素数  の偏角は逆正接関数  で表せる。

 のとき、すなわち  のとき
:
が成り立つが、 以外の場合の偏角を逆正接関数で表すには、場合分けが必要である。 の場合はさらに  と  の場合に分ける。
:\operatorname{Arg} (x + iy) = \begin{cases}
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} & (x > 0) \\[0.2em]
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \pi & (x  0) \\[0.1em]
-\dfrac{\pi}{2} & (x = 0 \,\land\, y 
上半平面、下半平面ごとに表示することもできる：
:\operatorname{Arg} (x + iy) = \begin{cases}
\dfrac{\pi}{2} - \tan^{-1} \dfrac{x}{y} & (y > 0) \\[0.1em]
-\dfrac{\pi}{2} - \tan^{-1} \dfrac{x}{y} & (y  0 \,\land\, y = 0) \\[0.1em]
\pi & (x 
 の主値を区間  とする変種では、値が負のときに値に  を足すことで得られる。

正接の半角公式  を用いると、1つの計算式で表せる：
:\operatorname{Arg}(x + iy) = \begin{cases}
2 \tan^{-1} \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x} & (x > 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\pi & (x 
ただし、この表示は、計算の精度が上記より下がる。

この表示は、 の近くでは 不定形  に近づき、浮動小数点の計算において、計算が不安定となり、オーバーフローする可能性がある。この範囲でのオーバーフローを避けるには、もう1つの正接の半角公式  を用いて次の計算式が使われる：
:\operatorname{Arg} (x + iy) = \begin{cases}
2 \tan^{-1} \dfrac{\sqrt{x^2 + y^2} - x}{y} & (y \neq 0) \\[0.1em]
0 & (x > 0 \,\land\, y = 0) \\[0.1em]
\pi & (x 
主値  は、プログラミング言語の数学ライブラリでは関数 `[[atan2]]` あるいはその変種の言語を用いて多くの通常利用可能である。 の主値は区間  である。

## 積・商の偏角
2つの複素数の乗除は、極形式表示することにより、簡明に行うことができる。複素数  の極形式表示を
:
:
とすると、
:
:
:(何れも )
 で  が整数のとき、
:　
;例
:\begin{align}
\arg (2+i) + \arg (3+i) &= \arg (2+i)(3+i) \\
 &= \arg (5+5i) \\
 &= \dfrac{\pi}{4} \pmod {2\pi} \quad //
\end{align}

## 脚注

## 文献

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## 外部リンク
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