三次曲線

数学において、**三次曲線**（さんじきょくせん、）、特にユークリッド幾何学における**平面三次曲線**（）は以下のような三次方程式によって定義される代数曲線である。

: F(x,y,z)=0

ここで(x:y:z)は射影平面上の斉次座標、またはアフィン空間の非斉次座標でとした座標で、は三次の斉次多項式、すなわち以下のような0でない三次単項式の線形結合とする。

: x^3,y^3,z^3,x^2y,x^2z,y^2x,y^2z,z^2x,z^2y,xyz

これら10個の項から成ることより、三次曲線は任意の可換体上で9次元の射影空間を成す。また三次曲線を満たす1点は1つの線形条件を課す。したがって9つの点を通る三次曲線はただ一つに決定される。 5つの点で決定する円錐曲線と比較してみると、2つの三次曲線が9つの点を通るならば、それらは束を成し、さらなる性質を持つこととなる（ケイリー＝バッハラッハの定理）。

三次曲線には特異点を持つものもあり、射影直線におけるパラメトリック方程式となる。一方、 特異点を持たない三次曲線は複素数のような代数的閉体上に9つの変曲点を持つ。これは、三次曲線を再定義するヘッセ行列の同次座標をと掛け合わせることにより示すことができる（ベズーの定理）。しかし、これらの点のうちは実射影平面上にあるのは3点だけであり、他の点は実射影平面上で曲線を描いても見ることはできない。特異点を持たない三次曲線の9つの変曲点は、そのうちの2つを通るすべての直線がちょうど3つの変曲点を含むという性質を持っている。

実射影平面上にある変曲点はニュートンによって研究され、非特異な三次曲線の実点が1つか2つの「オーバル」を通ることが発見された。 これらのオーバルのうちの1つは、すべて射影直線を横切るので、ユークリッド平面に描いたときには見ることができず、3つの実変曲点を含む、1本または3本の無限の分岐として現れる。もう1つのオーバルは、存在するとしても変曲点を含まず、オーバルか2つの無限の分岐のように見える。 円錐曲線の断面の様に直線はオーバルを最大2点で切断する。

非特異な三次曲線は上の楕円曲線でもある。楕円曲線は普通、ワイエルシュトラスの楕円関数を変形したもので研究されており、三次関数の平方根で作られた有理関数上で定義されている。これはワイエルシュトラス標準形の無限遠点としてはたらく-有理点に依存する。が有理数体のとき多くの三次曲線はそのような点を持たない。

尖点や二重点など、特異的な三次曲線の特異点は限られている。 そのような3次曲線は、2次曲線と直線、または3つの直線に退化する。したがって2次曲線と直線の場合は、2つのニ重点または、3つの直線の場合はまたは3つのニ重点か1つの三重点（共点）を持つ。

## 三角形の三次曲線
の辺について a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| とする。の有名な三次曲線は様々な三角形の中心を通る。以下は斉次座標である三線座標と重心座標を用いる。

三線座標から重心座標への変換は以下の様に行われれる。

: x \to bcx, \quad y \to cay, \quad z \to abz;

重心座標から三線座標への変換は以下の様に行われれる。

: x \to ax, \quad y \to by, \quad z \to cz.

三次曲線の多くは以下の形式で表される。

: f(a,b,c,x,y,z) + f(b,c,a,y,z,x) + f(c,a,b,z,x,y) = 0.

この式は下記のような上の式を略した表記を用いることもある。

: \sum_{\text{cyclic}} f(x,y,z,a,b,c) = 0 .

また**'の[[等角共役|等角共役点]]をとする。このとき三線座標において <math>X = x:y:z</math> ならば <math>X^* = \tfrac{1}{x}:\tfrac{1}{y}:\tfrac{1}{z}</math>が成り立つ。

=== ノイベルグ三次曲線 ===


三線座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - 2\cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 </math>

重心座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 2a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>

[[ノイベルグ三次曲線]]（Neuberg cubic）はが直線上（**'はオイラー無限遠点、オイラー線方向の無限遠点）にあるような点の軌跡、つまりがオイラー線と平行になるような点の軌跡である。を辺で鏡映した点をとし、とが配景なの軌跡とも定義される。

ノイベルグ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、フェルマー点、等力点、オイラー無限遠点などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは**[http://bernard-gibert.fr/files/Resources/neubergs.pdf K001]**と登録されている。

### 17点三次曲線（Thomson Cubic）

三線座標: \sum_{\text{cyclic}} bcx(y^2-z^2)= 0 

重心座標: \sum_{\text{cyclic}} x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 

17点三次曲線はが直線（は重心）上にあるような点**'の軌跡である。

17点三次曲線は頂点、内心と傍心、重心、外心、垂心、[[類似重心]]、辺の中点などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは**K002** として登録されている。

=== ダルブー三次曲線 ===


三線座標:<math>\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - \cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 </math>

重心座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} (2a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 3a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>

ダルブー三次曲線（Darboux Cubic）はが直線上（は[[ド・ロンシャン点]]）にあるような点**'の軌跡である。ダルブー三次曲線上のの垂足三角形はチェバ三角形で、チェバ三角形の元の点はリュカ三次曲線を成す。また、 の垂足三角形はの反チェバ三角形と配景的で、その配景の中心はトムソン三次曲線を成す。

ダルブー三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、ドロンシャン点、頂点の外接円に対する対蹠点などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは、**[http://bernard-gibert.fr/Exemples/k004.html K004]** として登録されている。

### ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線
三線座標: \sum_{\text{cyclic}} \cos(B-C)x(y^2-z^2)= 0 

重心座標: \sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 

ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線（Napoleon-Feuerbach cubic）はが直線上（,九点円の中心）にある点**'の軌跡である。

ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、[[ナポレオン点]]などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは **K005** として登録されている。

=== リュカ三次曲線 ===


三線座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} \cos(A)x(b^2y^2- c^2z^2)= 0 </math>

重心座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} (b^2+c^2-a^2)x(y^2-z^2)= 0 </math>

リュカ三次曲線（Lucas cubic）は のチェバ三角形がダルブ―三次曲線上の点の垂足三角形となるような点の軌跡である。

リュカ三次曲線は頂点、反中点三角形の頂点、[[シュタイナー楕円|シュタイナー外接楕円]]の焦点、重心、垂心、[[ジェルゴンヌ点]]、[[ナーゲル点]]、ド・ロンシャン点 などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは**K007** として登録されている。

=== 第一ブロカール三次曲線 ===

三線座標:<math>\sum_{\text{cyclic}} bc(a^4-b^2c^2)x(y^2+z^2)= 0 </math>

重心座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^4-b^2c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 </math>

 を第一[[ブロカール三角形]]（1st Brocard cubic）、.をそれぞれと の交点とする。このときが共線となるような点の軌跡を第一ブロカール三次曲線と言う。

第一ブロカール三次曲線は頂点、第一,第三ブロカール点の頂点、重心、類似重心、[[シュタイナー点]]などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは **K017**として登録されている。

=== 第二ブロカール三次曲線 ===
三線座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} bc(b^2-c^2)x(y^2+z^2)= 0 </math>

重心座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} (b^2-c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 </math>

第二ブロカール三次曲線（2nd Brocard cubic）は直線の、,を通る[[接円錐曲線|外接円錐曲線]]に対する極が[[中心線 (幾何学)#ブロカール軸|ブロカール軸]]上にあるような点**'の軌跡である。頂点、重心、類似重心、フェルマー点、等力点、パリー点、第二,第四ブロカール三角形の頂点を通る。

Cubics in the Triangle Planeでは **[http://bernard-gibert.fr/Exemples/k018.html K018]**として登録されている。

### 1st equal areas cubic

三線座標: \sum_{\text{cyclic}} a(b^2-c^2)x(y^2-z^2)= 0 

重心座標: \sum_{\text{cyclic}} a^2(b^2-c^2)x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 

1st equal areas cubicは のチェバ三角形とのチェバ三角形の面積が等しくなるような点の軌跡である。が直線 上(,シュタイナー点)にあるような点の軌跡とも定義される。

1st equal areas cubicは内心と傍心、シュタイナー点 、第一,第二ブロカール点を通る。

Cubics in the Triangle Planeでは **[http://bernard-gibert.fr/Exemples/k021.html K021]**として登録されている。

### 2nd equal areas cubic
三線座標: (bz+cx)(cx+ay)(ay+bz) = (bx+cy)(cy +az)(az+bx) 

重心座標:\sum_{\text{cyclic}} a(a^2-bc)x(c^3y^2 - b^3z^2) = 0 

2nd equal areas cubicは三線座標で X = x:y:z ,  X_Y = y:z:x, X_Z = z:x:y. とし、とのチェバ三角形の面積が等しくなるような点の軌跡である。

2nd equal areas cubicは内心、重心、類似重心 *X*(31), *X*(105), *X*(238), *X*(292), *X*(365), *X*(672), *X*(1453), *X*(1931), *X*(2053)などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは **[http://bernard-gibert.fr/Exemples/k155.html K155]**として登録されている。

## 出典

## 関連

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* 楕円曲線
* アーネシの曲線
* Catalogue of Triangle Cubics

## 参考文献

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* . See Chapter 8 for cubics.
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## 外部リンク

* A Catalog of Cubic Plane Curves (archived version)
* Points on Cubics
* Cubics in the Triangle Plane
* Special Isocubics in the Triangle Plane (pdf), by Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert
*  lecture in July 2016, ICMS, Edinburgh at conference in honour of Dusa McDuff's 70th birthday