Alpha–beta変換

電気工学において、**<math>\alpha\beta</math>（<math>\alpha\beta\gamma</math>）変換**（、**クラーク変換**としても知られる）は、三相回路の解析を簡略化するために採用される数学的な変換だ。概念的にはdq0変換に似ている。\alpha\beta\gamma変換の非常に有用な応用の一つに、三相インバータの空間ベクトル変調制御に使用される基準信号の生成がある。

## 歴史
1937年と1938年に、は不平衡三相問題に関する修正計算手法の論文を発表し、それが特に有用であることが明らかになった。

## 定義

エディス・クラークによって使用された、三相電流に適用される\alpha\beta\gamma変換は以下の通りだ。

: \begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}   =  i_{\alpha\beta\gamma}(t) = Ti_{abc}(t) = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}
ここで、i_{abc}(t)は一般的な三相電流シーケンスであり、i_{\alpha\beta\gamma}(t)は変換Tによって得られる対応する電流シーケンスである。
逆変換は以下のようになる。

: \begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}  =  i_{abc}(t) = T^{-1}i_{\alpha\beta\gamma}(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1\\
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}.

上記のクラーク変換は、適用される電気変数の振幅を保持する。実際に、三相対称正相電流シーケンスを考えてみよう。
:
\begin{align}
i_a(t)=&\sqrt{2}I\cos\theta(t),\\
i_b(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)-\frac23\pi\right),\\
i_c(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)+\frac23\pi\right),
\end{align}

ここで、Iはi_a(t), i_b(t), i_c(t)の実効値であり、\theta(t)は時間とともに変化する一般的な角度である（一般性を失うことなく\omega tに設定することも可能）。この電流シーケンスにTを適用すると、以下の結果が得られる。
:
\begin{align}
i_{\alpha}=&\sqrt2 I\cos\theta(t),\\
i_{\beta}=&\sqrt2 I\sin\theta(t),\\
i_{\gamma}=&0,
\end{align}

最後の式は、平衡電流を想定しているために成り立つ。上記に示されるように、\alpha\beta\gamma基準座標系における電流の振幅は、自然座標系における振幅と同じになる。

### 電力不変変換

上述の変換を用いたクラーク領域で計算される有効電力および無効電力は、標準の基準座標系で計算されるものとは一致しない。これは、Tがユニタリ行列ではないためだ。有効電力と無効電力を保持するためには、代わりに以下の変換を考慮する必要がある。
:i_{\alpha\beta\gamma}(t) = Ti_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix},
これはユニタリ行列であり、逆行列はその随伴行列（転置行列）と一致する。
この場合、変換後の電流振幅は標準基準座標系のものとは一致せず、以下のようになる。
:
\begin{align}
i_{\alpha}=&\sqrt3 I\cos\theta(t),\\
i_{\beta}=&\sqrt3 I\sin\theta(t),\\
i_{\gamma}=&0.
\end{align}

最終的に、この場合の逆変換は以下の通りだ。
:
i_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}.


### 簡略化された変換
平衡システムではi_a(t)+i_b(t)+i_c(t)=0であり、したがってi_\gamma(t)=0となるため、簡略化された変換を考えることもできる。

:\begin{align}
i_{\alpha\beta}(t) &= \frac23 \begin{bmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12\\
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}\\
&= \begin{bmatrix} 1 & 0\\
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{3}}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\end{bmatrix}
\end{align}

これは単に元のクラーク変換から3番目の式を除いたものであり、対応する逆変換は以下のようになる。

:i_{abc}(t) = \frac32\begin{bmatrix} \frac23 & 0 \\
-\frac{1}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\
-\frac{1}{3} & -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\end{bmatrix}

## 幾何学的解釈

\alpha\beta\gamma変換は、3つの相量（電圧または電流）を2つの静止軸であるアルファ軸とベータ軸へ投影したものと考えることができる。
システムが平衡していれば、I_a+I_b+I_c=0という方程式は変換におけるI_{\gamma}の式と等価であるため、情報は失われない。システムが平衡していない場合、I_{\gamma}項には投影の誤差成分が含まれることになる。したがって、I_{\gamma}がゼロであればシステムが平衡している（つまり、完全にアルファ・ベータ座標空間内に存在する）ことを示し、システムが平衡しているという前提で動作する2座標計算においては無視することができる。クラーク変換の優れている点は、この前提のおかげで3成分システムを2成分システムに落とし込めることだ。

これを理解する別の方法は、I_a+I_b+I_c=0という方程式がユークリッド3座標空間における平面を定義していると考えることだ。アルファ・ベータ座標空間は、この平面によって定義される2座標空間として理解できる。つまり、アルファ軸とベータ軸はI_a+I_b+I_c=0で定義される平面上に存在している。

これはまた、クラーク変換を使用するためにはシステムが平衡していることを確認しなければならず、さもなければその後の2座標計算に誤りが生じることを意味する。これは、三相の量が測定され、測定誤差が生じる可能性があるアプリケーションにおける実用的な検討事項である。

### dq0変換

dq0変換は概念的に\alpha\beta\gamma変換に似ている。\alpha\beta\gamma変換が静止した2軸基準座標系への相量の投影であるのに対し、dq0変換は回転する2軸基準座標系への相量の投影と考えることができる。

## 関連項目

* 対称座標法
* Y-Δ変換
* ベクトル制御

## 参考文献

; 全般的な参照

* C.J. O'Rourke et al.  "A Geometric Interpretation of Reference Frames and Transformations: dq0, Clarke, and Park," in IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 34, no. 4, pp. 2070-2083, Dec. 2019.