ニュートン・ガウス線

幾何学において、**ニュートン・ガウス線**（ニュートン・ガウスせん、）あるいは単に**ニュートン線**は、の3つの対角線の中点を結ぶ直線である。

凸四角形の2つの対角線の中点を結ぶ直線であるニュートン線とは区別される。四角形の辺を延長して、完全四辺形を作れば、四角形のニュートン線は完全四辺形のニュートン・ガウス線となる。
 

## 完全四辺形

にある（どれも平行でないかつ共点でない）4つの直線は、を成す。このは4本の直線とその6つの交点から成る。この6点のうち任意の2点を端点とする線分が、もと4直線の交点以外で交わるように、6つの交点を3組に分割することができる。この3つの線分を完全四辺形の対角線という。

### ニュートン・ガウス線の存在証明

完全四辺形の対角線の中点が共線であることはとても有名な定理である。証明方法も多く存在しており、例えば面積や楔積、ガウス・ボーデンミラーの定理を用いるものなどがある。ここでは、1920年のHillyerによるメネラウスの定理を用いた証明を紹介する。

対角線がであるような完全四辺形について、線分の中点をそれぞれとする。明らかには共線である。同様にとも共線であるから、三角形の相似より次の関係式が成立する。

: \frac{\overline{RL}}{\overline{LQ}} = \frac{\overline{BA}}{\overline{AC}}, \quad \frac{\overline{QN}}{\overline{NP}} = \frac{\overline{A'C'}}{\overline{C'B}}, \quad \frac{\overline{PM}}{\overline{MR}} = \frac{\overline{CB'}}{\overline{B'A'}}.


ただし、直線とにメネラウスの定理を用いて、3つの式の右辺の積は-1となる。したがって左辺の積は-1となるから、にメネラウスの定理の逆を使用して、点 は共線である。

## 円に内接する四角形への応用
BarbuとPatrascuによる、円に内接する四角形から作られる完全四辺形のニュートン・ガウス線を用いた定理を挙げる。

### 等しい角

円に外接する四角形の対角線の交点を、対辺の交点を、 の中点を、の中点をとする（図1）。

#### 定理
の中点をとすれば、完全四辺形のニュートン・ガウス線と直線によって決定される角はと等しい。

##### 証明
三角形 の相似を示す。

とからが分かる。また、\tfrac{\overline{BE}}{\overline{PN}} = \tfrac{\overline{FC}}{\overline{PM}} = 2である。

円に外接する四角形の性質より、

: \begin{align}
\angle EDF &= \angle ADF + \angle EDA, \\
           &= \angle ACB + \angle ABC, \\
           &= \angle EAC.
\end{align}

したがって。

をの外接円の半径として、正弦定理を使用することにより、

: \frac {\overline{BE}}{\overline{FC}}=\frac {2R_1\sin \angle EDB}{2R_2\sin \angle FDC}=\frac {R_1}{R_2}=\frac {2R_1\sin \angle EBD}{2R_2\sin \angle FCD} = \frac{\overline{DE}}{\overline{DF}}.

 と より\tfrac{\overline{PN}}{\overline{PM}} = \tfrac{\overline{DE}}{\overline{DF}}。の相似から。

##### 備考
の中点をとすれば、同様にしてが成立する。

### 等角共役線

#### 定理
完全四辺形のニュートン・ガウス線のを通る平行線は、における直線の等角共役線である。

##### 証明
三角形 は相似であるから、である。完全四辺形のニュートン・ガウス線のを通る平行線との交点をとする。

 と より、,  。

したがって、

: \begin{align}
\angle CEE' &= \angle DEF - \angle E'EF, \\
            &= \angle PNM - \angle FNM, \\
            &= \angle PNF = \angle BEF.
\end{align}

### ニュートン・ガウス線を共有する2つの共円四角形

#### 補題
とを、点のそれぞれ直線における直交射影とする。

四角形, は円に内接する。

##### 証明
前項で示したように、。 点とはそれぞれ直角三角形の外心であるからとが成立する。

したがって、

: \begin{align} 
\angle PGN + \angle PMN 
& = (\angle PGF + \angle FGN) + \angle PMN  \\[4pt] 
& = \angle PFG + \angle GFN + \angle EFD \\[4pt] 
&= 180^\circ 
\end{align}.

よっては円に内接する。同様にして、も円に内接する。

#### 定理
の延長線は、それぞれとで交わるとする。 

完全四辺形 , のニュートン・ガウス線は一致する。

##### 証明
2つの完全四辺形は対角線を共有する。は双方のニュートン・ガウス線上に位置する。四角形が円に内接することと、その円の中心がであることより、はとである。

 が合同ならば、はの垂直二等分線上に位置するから、 直線は線分の中点を含むみ、完全四辺形のニュートン・ガウス線となる。

の合同を示す。の中点がであることより、は平行四辺形である。

したがって

: \begin{align}
& \overline{MP} = \overline{QF} = \overline{HQ}, \\
& \overline{GP} = \overline{PF} = \overline{MQ}, \\
& \angle MPF = \angle FQM.
\end{align}

更に、

: \angle FPG = 2 \angle PBG = 2 \angle DBA = 2 \angle DCA = 2 \angle HCF = \angle HQF.

よって、

: \begin{align}
\angle MPG &= \angle MPF + \angle FPG, \\
           &= \angle FQM + \angle HQF, \\
           &= \angle HQF + \angle FQM, \\
           &= \angle HQM.
\end{align}

したがって、二辺夾角相等よりは は合同。

##### 備考
が合同であることから、 の外接円も合同である。

## 他の性質
*ニュートン・ガウス線の無限遠点の等角共役点は、完全四辺形のミケル点である。さらに、そのシムソン線は、ニュートン・ガウス線と直交する。
*5つの線から成る5つの完全四辺形のニュートン・ガウス線は共点である。

## 歴史
ニュートン・ガウス線はアイザック・ニュートンとカール・フリードリヒ・ガウスの名を冠する。この定理の最初の枠組みはニュートン線における定理、ニュートンの定理であり、ニュートンは四角形に内接する円錐曲線の中心はニュートン・ガウス線上にあることを示した。 

ガウスとボーデンミラー（Bodenmiller）は、完全四辺形の対角線を直径とする3つの円は共軸であることを示した（ガウス・ボーデンミラーの定理）。

## 出典

## 参考文献
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** (オンライン版) "Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle". *HathiTrust*. Retrieved 28 May 2019.
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## 外部リンク
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