フレシェ分布

|最頻値=m+s\left(\frac{\alpha}{1+\alpha}\right)^{1/\alpha}
|分散=\begin{cases}
                  \ s^2\left(\Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)- \left(\Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)\right)^2\right)  & \text{for } \alpha>2  \\
                  \ \infty              & \text{otherwise}
                \end{cases}
|歪度=\begin{cases}
                  \ \frac{\Gamma\left(1-\frac {3}{\alpha}\right)-3\Gamma\left(1-\frac {2}{\alpha}\right)\Gamma\left(1-\frac {1}{\alpha}\right)+2\Gamma^3\left(1-\frac {1}{\alpha} \right)}{\sqrt{ \left( \Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)-\Gamma^2\left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right)^3 }}  & \text{for } \alpha>3  \\
                  \ \infty              & \text{otherwise}
                \end{cases}
|尖度=\begin{cases}
                  \ -6+ \frac{\Gamma \left(1-\frac{4}{\alpha}\right) -4\Gamma\left(1-\frac{3}{\alpha}\right) \Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)+3 \Gamma^2\left(1-\frac{2}{\alpha} \right)} {\left[\Gamma \left(1-\frac{2}{\alpha}\right) - \Gamma^2 \left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right]^2}  & \text{for } \alpha>4  \\
                  \ \infty              & \text{otherwise}
                \end{cases}
|エントロピー= 1 + \frac{\gamma}{\alpha} + \gamma +\ln \left( \frac{s}{\alpha} \right) , ここで \gamma はオイラー・マスケローニ定数。
|モーメント母関数= モーメント k が \alpha>k　ならば存在する。
|特性関数= 
}}

**フレシェ分布**（) は逆ワイブル分布としても知られている。フレシェ分布は、ガンベル分布（タイプIの極値分布）、ワイブル分布（タイプIIIの極値分布）とともに、一般化極値分布（）の特別なケースである。フレシェ分布はタイプIIの極値分布と呼ばれる。

フレシェ分布の名称は、フレシェ分布を発見した数学者モーリス・ルネ・フレシェに由来する。

## 研究の発展

モーリス・ルネ・フレシェは、1927年に、Fréchet (1927) において、最大値の漸近分布を考察している。フレシェ分布の研究は、さらに、ロナルド・フィッシャーとL・H・C・ティペットの1928年の共著論文によってなされている。Fisher and Tippett (1928) は、極値分布がガンベル分布（タイプI）、フレシェ分布、ワイブル分布（タイプIII）の3つのいずれか1つのみであることを示した。エミール・ユリウス・ガンベルは、フレシェ分布を含む極値分布の研究を詳細に行い、1958年に極値統計学の書籍をまとめた。

## 定義と性質

フレシェ分布の累積分布関数は
:F(x)=\Pr(X \le x)=e^{-x^{-\alpha}} \text{ if } x>0. 
である (Alves & Neves 2011) 。ここで、*&alpha;*&nbsp;>&nbsp;0は、形状パラメータである。フレシェ分布の確率密度関数は
:  f(x)=\alpha x^{-\alpha-1} \; e^{-x^{-\alpha}} 
となる。

フレシェ分布の期待値と分散は以下の通りとなる (Alves & Neves 2011)。
* 期待値はE[X]=\Gamma(1-\tfrac{1}{\alpha}) \text{ if } \alpha>1 となる。
* 分散は\text{Var}(X)=\Gamma(1-\tfrac{2}{\alpha})-\big(\Gamma(1-\tfrac{1}{\alpha})\big)^2 \text{ if } \alpha>2 となる。
ここで、\Gamma\left( \right)はガンマ関数であり、
:\Gamma(z) :=\int_{0}^{\infty} x^{z-1} e^{-x} d x 
である。

ガンベル分布（タイプI）、フレシェ分布（タイプII）、ワイブル分布（タイプIII）は、一般化極値分布として単一の分布関数で表現できる。

## 一般化フレシェ分布

位置パラメータ *m*（最小値）と尺度パラメータ*s*&nbsp;>&nbsp;0を含めることで、フレシェ分布を一般化することができる。
一般化フレシェ分布の累積分布関数は
: F(x)=\Pr(X \le x)=e^{-\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-\alpha}} \text{ if } x>m.
である。
一般化フレシェ分布の確率密度関数は
: f(x)=\frac{\alpha}{s} \; \left(\frac{x-m}{s}\right)^{-1-\alpha} \; e^{-(\frac{x-m}{s})^{-\alpha}}
となる。

## 応用例

; 水文学
: フレシェ分布は、1日当たり降水量の年間最大値のような極端な現象に適用される。
; 金融
: フレシェ分布は、市場収益をモデル化するために使われてきた。
; 国際経済学（貿易論）
: リカード・モデルを連続財・多数国モデルに拡張した著名な研究 Eaton and Kortum (2002) は、国*i*の各財を生産する効率性 (Z_{i}) の分布が次のフレシェ分布に従うと仮定した。
:: F_{i}(z)=\Pr(Z_{i} \le z)=e^{-T_{i} z^{-\theta}}
: ここで、\theta>1 が形状パラメータ（定義式の\alpha）に相当する。\theta が小さいほど、効率性の分散が大きくなり、比較優位の役割が大きくなる。T_{i}>0 は、分布の場所を左右する追加的なパラメータである。T_{i}が大きいほど、効率性が高められ、絶対優位が強くなる。

## 脚注

### 注釈

### 出典

## 参考文献
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## 関連項目
* 確率分布
* 極値分布
* ガンベル分布（タイプIの極値分布）
* ワイブル分布（タイプIIIの極値分布）
* モーリス・ルネ・フレシェ