円に外接する四角形

300px|thumb|円に外接する四角形とその内接円
平面幾何学において、**円に外接する四角形**（えんにがいせつするしかくけい、）または**円外接四辺形**、**接線四辺形** () は、すべての辺が四角形の内部にある円と接している凸四角形である。この円とその中心、半径をそれぞれ内接円、内心、内半径という。円に外接する四角形は円外接多角形の一つである。

英語では  などと言われる場合もある。しかしこの語は円に内接する四角形を指す場合が多く混同を避けるため、あまり使われない。

任意の三角形は内接円を持つが、内接円を持つ四角形は特殊な四角形である。例えば、正方形でない長方形は内接円を持たない。 四角形が円に外接する必要十分条件は後述のピトーの定理などがある。

## 特殊な四角形
円に外接する四角形の例として凧形、特にひし形がある。

内接円だけでなく外接円も持つ四角形は双心四角形と呼ばれる。双心四角形の例として直角凧形がある。双心四角形は円に外接し、2本の対接点連結が直交するものに限られる。

円に外接する台形は接線台形と呼ばれることもある。

## 接点
300px|thumb|円に外接する四角形（青）と、その接触四角形（緑）。赤い線は対接点連結であり、接触四角形（緑）の対角線である。
円に外接する四角形 の頂点 から内接円に引いた**接線長**（接点との距離、) をそれぞれ  とする。頂点から引いた2本の接線の長さは等しい。 

円に外接する四角形と内接円の接点4点を頂点とする四角形は**接触四角形** () と呼ばれ円に内接する四角形である。

対辺上の接点を結ぶ線分（図では ）は (**) と呼ばれる。これは接触四角形の対角線である。

## 特徴づけ
四角形が円に外接することは、その内角の二等分線4本の内、ある3本が1点で交わることと同値であり、その交点は四角形の内心である。

ピトーの定理によれば、円に外接する四角形の2組の対辺の長さの和は等しい。またその長さは四角形の半周長である。
a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2} = s
逆に  ならばその四角形は円に外接する。

台形でない凸四角形 において、対辺 の延長の交点を 、対辺 の延長の交点を  とする。 四角形 が円に外接することと、次の式が成り立つことは同値である：
BE+DF=DE+BF \quad \mathrm{or} \quad AE-EC=AF-FC
800px|frameless|center
他に、四角形が円に外接する必要十分条件は、 と  の内接円が外接することである。

1954年、Iosifescu は凸四角形が円に外接する必要十分条件を次のように、対角線と辺のなす角で表した：
\tan\frac{\angle ABD}{2} \cdot \tan\frac{\angle BDC}{2} = \tan\frac{\angle ADB}{2} \cdot \tan\frac{\angle DBC}{2}
thumb|四角形において、赤で描かれた円のうち向かい合うものの半径の積が等しいことは、四角形（青）が円（破線）に外接する必要十分条件である。
さらに、4辺が  の凸四角形が円に外接することは
R_a R_c = R_b R_d
と同値である。ここで  はそれぞれ辺  とその隣接する辺の延長で接する円の半径である。

他の特徴づけとして、対角線で分割してできる4つの三角形を用いるもの、傍接円に関するものなどがある。

## 面積
### 三角法を用いない公式
円に外接する四角形の面積 は、内半径と半周長の積である（一般の円外接多角形で成り立つ）：
\begin{align}
  K &= r \cdot s \\
    &=r(a+c)=r(b+d)=r(e+f+g+h)
\end{align}
また、4辺 と2つの対角線の長さ  で表すと次の式になる：
\begin{align}
  K &= \frac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-(ac-bd)^2}\\
    &= \frac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-(e-g)^2(f-h)^2}
\end{align}
接線長 のみで表すと次の式になる：
K=\sqrt{(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}
 と  を両方用いれば、次のようにも表せる：
K=\sqrt{abcd-(eg-fh)^2}
さらに、この四角形が円に内接もするならば  が従い、双心四角形の面積公式 \sqrt{abcd} となる。

### 三角法による公式
辺の長さと三角法を使う面積公式は、以下のようなものがある：
K = \sqrt{abcd} \sin \frac{A+C}{2} = \sqrt{abcd} \sin \frac{B+D}{2}
円に外接する四角形の辺長が与えられたとき、その面積が最大となるのは、対角の和が180°となるとき、つまり円に外接する（双心四角形となる）ときである。また微分幾何学を用いることによっても証明できる。

2つの隣接辺と角によって表すこともできる：
K = ab \sin\frac{B}{2} \csc\frac{D}{2} \sin\frac{B+D}{2}
対角線のなす角  を用いた、次のような面積公式もある：
\begin{align}
  K &= \frac{1}{2}|(ac-bd)\tan\theta|\\
    &= \frac{1}{2}|(e-g)(f-h)\tan\theta|
\end{align}
ただし凧形では  は 90°であるから上の式は成り立たない。

さらに、四角形の頂点と内心 の距離を用いたものもある：
K = \left( IA\cdot IC+IB\cdot ID \right) \sin\frac{A+C}{2}

### 不等式
上記の公式から円に外接する四角形の面積  と辺長 について
K\le\sqrt{abcd}
が成り立つ。等号成立条件は四角形が双心四角形である場合。

T. A. Ivanova (1976) によれば、内半径と半周長について
s\ge 4r
が成り立つ。等号成立条件は四角形が正方形である場合。この式と  から
K\ge 4r^2
が導かれる。

### 分割
200px|thumb|円に外接する四角形
円に外接する四角形の内接円と各辺の接点と内心を結ぶ半径は、四角形を4つの直角凧形に分割する。

円に外接する四角形を面積と周長の等しい2つの多角形に分ける直線は、内心を通る。

## 内半径
円に外接する四角形 の内半径は、面積  を半周長  で割ったものである（一般の円外接多角形で成り立つ）：
\begin{align}
  r &=\frac{K}{s}\\
    &=\frac{K}{a+c}=\frac{K}{b+d}=\frac{K}{e+f+g+h}
\end{align}
円に外接する四角形の各辺長が与えられたとき、その内半径が最大となる四角形は双心四角形である。

接線長 で表すと次の式となる：
r=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}
各頂点と内心 の距離  で表すと次の式になる：
r=2\sqrt{\frac{(\sigma-uvx)(\sigma-vxy)(\sigma-xyu)(\sigma-yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}
ただし \sigma :=\tfrac{1}{2}(uvx+vxy+xyu+yuv) 

内心と辺により作られる三角形  の内半径をそれぞれ  とすると、次の式が成り立つ：
\frac{r_1 r_3 - r_2 r_4}{(r_1 + r_3)-(r_2 + r_4)} = \frac{r}{2}
対角線によって作られる  の内半径をそれぞれ  とすると、次の式が成り立つ：
r=\frac{G+\sqrt{G^2-4r_1r_2r_3r_4(r_1r_3+r_2r_4)}}{2(r_1r_3+r_2r_4)}
ただし G=r_1r_2r_3+r_2r_3r_4+r_3r_4r_1+r_4r_1r_2.

## 角の大きさ
円に外接する四角形 について、内角の正弦は接線長 で表せ、次のようになる：
\sin\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}},
\sin\frac{B}{2} = \sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}},
\sin\frac{C}{2} = \sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}},
\sin\frac{D}{2} = \sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}.
対辺上の接点を結ぶ直線 のなす角の正弦は、次のように表せる：
\sin \varphi =\sqrt{\frac{(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}

## 対角線の長さ
対角線の長さ は、接線長 で表すと、次のようになる：
p=\sqrt{\frac{e+g}{f+h}\Big((e+g)(f+h)+4fh\Big)},
q=\sqrt{\frac{f+h}{e+g}\Big((e+g)(f+h)+4eg\Big)}.

## 接点連結の長さ
円に外接する四角形の対接点連結の長さ は、接線長 で表すと次のようになる：
k=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}},
l=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}
ここで四角形の4辺の  について  より
\frac{k^2}{l^2} = \frac{bd}{ac}
である。2つの対接点連結には以下の性質がある。
* 双心四角形ならば直交する。
* 凧形ならば長さが等しい。

円に外接する四角形 について、 が  よりも短ければ、 間の対接点連結は  間の対接点連結より長い。

 と内接円の接点をそれぞれ 、 と  の交点を  とする。\tfrac{BW}{DY} と \tfrac{BM}{DM} は等しい。

## 共線点
[thumb|円に外接する四角形（青）の[ニュートン線（赤）。ニュートン線は内心、対角線の中点、対辺の延長の交点 を結ぶ線分（緑）の中点 を通る。]]
一般の四角形 において、対角線 の中点をそれぞれ  とする。対辺 と  の延長の交点を 、対辺 と  の延長の交点を  とする。線分 の中点を  とする。このとき3点 は共線である（ニュートン・ガウス線、あるいは単にニュートン線）が、特に四角形 が円 に外接するならば、内心 もニュートン線上にある。

一般に、四角形に内接する楕円（）の中心は、そのニュートン線上にある。

また接触四角形の対辺の交点を  とすると、 は共線である。これは、パスカルの定理の特殊な場合（極限）である。

内接円と4辺 の接点をそれぞれ  とする。 の等長共役点を  とする （例えば ）。円に外接する四角形のナーゲル点は直線 の交点として定義される。 はどちらも四角形の周長を二等分する。さらに四角形のナーゲル点、質量中心、内心は共線で  が成り立つ。この線はナーゲル線と呼ばれる。

[thumb|円に外接する四角形を、内心と辺で作られる三角形4個に分割すると、小三角形の[垂心4個（紫）、元の四角形の対角線（緑）の交点は共線である。]]
円に外接する四角形 の内心を 、対角線の交点を 、 の垂心をそれぞれ  とすると、5点 は共線である。

## 共点と垂線
2つの対角線と2つの対接点連結は共点である。これは、六角形におけるブリアンションの定理の極限として証明することもできる。実際に、頂点を順に  とすると、 がそれぞれ共線となるように四角形 に退化させると、極限としては  は接点となり、対角線, 対接点連結 が共点となるからである。

対辺 の交点 と  の交点 とを結ぶ直線 と、対角線の交点 と内心 を結ぶ直線 は直交する。

## 内心に関する性質
円に外接する四角形の内心はニュートン線上にある。

円に外接する四角形 の内心 と頂点の距離について次の式が成り立つ：
\frac{AB}{CD} = \frac{IA\cdot IB}{IC\cdot ID},\quad\quad \frac{BC}{DA} = \frac{IB\cdot IC}{ID\cdot IA}
これらから次の式が成り立つ：
AB\cdot BC = IB^2+\frac{IA\cdot IB\cdot IC}{ID}
また、次の式が成り立つ：
IA\cdot IC+IB\cdot ID=\sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}
ひし形でない外接四角形 において、対角線 の中点をそれぞれ  とすると、次の式が成り立つ：
\frac{IM_p}{IM_q} = \frac{IA\cdot IC}{IB\cdot ID}=\frac{e+g}{f+h}
ただし  はそれぞれ  から引いた接線長である。

このことから、ひし形でない外接四角形において、下の3個は同値である：
* 内心と幾何中心が一致する
* e+g=f+h
* IA \cdot IC = IB \cdot ID
円に外接する四角形をとみなすとき、四角形が凸であれば、一辺と4辺長をそれぞれ固定したままで動かしても、依然ある円に外接し続ける。例えば正方形を辺長を保ったまま動かしても、ひし形になるだけで、ある円に外接する。このように動かすとき、四角形の内心は半径が  の円を描く。ただし、 は四角形の4辺長、 は半周長である。

## 対角線による分割
[240px|thumb|円に外接する四角形は、対角線で分割してできる三角形の内接円4個によっても[特徴づけ (数学)|特徴づけることができる（チャオとシメオノフ、など）。]]
凸四角形 において、対角線の交点を  とする。四角形 が円に外接するとき、4つの三角形 についての多くの性質を持つ。

 の内半径をそれぞれ  とする。チャオとシメオノフは四角形が円に外接することと次の式の成立が同値であることを証明した。
\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_4}
ただし、この性質は Vaynshtejn が5年早く発表していた。この問題の解決は、Vasilyev と Senderov の証明した性質が使われた。四角形の辺を底辺と見たときの、4つの三角形の高さをそれぞれ  とする。四角形が円に外接することと、次の式が成り立つことは同値である：
\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_4}
傍接円についても同様の性質がある。 の  に関する傍接円の半径をそれぞれ  とする。四角形が円に外接することと、次の式が成り立つことは同値である：
\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_d}
さらにこれらの三角形の外接円の半径をそれぞれ  とすると
R_1 + R_3 = R_2 + R_4
が成り立つことも、四角形が円に外接する必要十分条件となる。

1996年、Vaynshtejn は美しい性質を初めて証明し、いくつかの雑誌やウェブサイトで掲載された。それは、凸四角形が対角線によって4つの三角形に分割されていて、それらの三角形の内心が共円ならば、その四角形は円に外接する、というものである。このとき、4つの内心を頂点とする四角形は円に内接する直交対角線四角形である。対角線の交点の角内にある傍接円に関しても、同様の性質が成り立ち、4つの傍心を頂点とする四角形は円に内接する四角形となる。

凸四角形 とその対角線の交点 について、角 あるいは角 内の  の傍心が共円であることと、四角形が円に外接することは同値である。傍接円半径をそれぞれ  とすると、次の式が成り立つこともまた、四角形が円に外接する必要十分条件となる：
\frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_c} = \frac{1}{R_b} + \frac{1}{R_d}
さらに次の式が成り立つこともそれらと同値である。
\frac{a}{\triangle(APB)} + \frac{c}{\triangle(CPD)} = \frac{b}{\triangle(BPC)} + \frac{d}{\triangle(DPA)}
ただし  でその三角形の面積を表す。

 とする。以下の式の成立も、四角形が円に外接する必要十分条件である。
ap_2q_2 + cp_1q_1 = bp_1q_2 + dp_2q_1
または
\frac{(p_1+q_1-a)(p_2+q_2-c)}{(p_1+q_1+a)(p_2+q_2+c)}=\frac{(p_2+q_1-b)(p_1+q_2-d)}{(p_2+q_1+b)(p_1+q_2+d)}
または
\frac{(a+p_1-q_1)(c+p_2-q_2)}{(a-p_1+q_1)(c-p_2+q_2)}=\frac{(b+p_2-q_1)(d+p_1-q_2)}{(b-p_2+q_1)(d-p_1+q_2)}

## 特殊な四角形である条件
円 に外接する四角形 において、内接円と4辺 の接点をそれぞれ  とする。

### 台形
円に外接する四角形 において、次の条件は互いに同値である：
* AD \; / \! / \; BC（ と  は平行）
* \angle AIB = 90^{\circ} \ \mathrm{or} \ \angle CID = 90^{\circ}
* WA\cdot WB=YC\cdot YD

### 凧形
円に外接する四角形が凧形であるための十分条件として、以下がある。
* 1組の隣り合う辺が等しい。
* 1組の向かい合う接線長が等しい。
* 1組の対角が等しい。
* 内心が、ある対角線上にある。（このときこの対角線は対称軸となる）
* ある対角線が周長または面積を二等分する。
* 対角線が、ある対角線の中点で交わる。
* 2組の対辺の長さの積が等しい。
* 対角線が直交する。
* 2組の対辺の中点を結んだ線分 (bimedians) の長さが等しい。
* 2本の対接点連結の長さが等しい。

### ひし形
円に外接する四角形がひし形であるための十分条件として、以下がある。
* 平行四辺形である。
* 2組の向かい合う接線長がそれぞれ等しい。
* 対角線の交点が内心に一致する。

### 双心四角形
thumb|双心四角形。その接触四角形（桃）の対角線は直交する。
双心四角形である、つまり外接円も持つための十分条件には以下のようなものがある。
* WY \perp XZ（言い換えると、対接点連結が直交、接触四角形が直交対角線四角形）
* AW\cdot CY=BW\cdot DY
* \frac{AC}{BD}=\frac{AW+CY}{BX+DZ}
また、円に外接する四角形で4辺の長さが順に与えられているとき、その中で内半径が最大であるものは双心四角形である。

## 出典

## 関連項目
* 内接円
* 傍接四角形
* 外接三角形
* 円外接多角形

## 外部リンク
*