ベクトル解析の公式の一覧

**ベクトル解析の公式の一覧**（ベクトルかいせきのこうしきのいちらん）では、3次元空間におけるベクトル解析の公式の一覧を与える。

## 内積と外積
ここで \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C} は任意のベクトルである。また重複添え字については和を取る（アインシュタインの縮約記法）。\epsilon_{i j k} はレヴィ＝チヴィタ記号、\theta は \mathbf{A}, \mathbf{B} がなす角である。

内積
:\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_i B_i = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z = | \mathbf{A} | | \mathbf{B} | \cos \theta
:\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}
外積
:\mathbf{A} \times \mathbf{B} = ( \epsilon_{i j k} A_j B_k ) \mathbf{e}_i = ( A_y B_z - A_z B_y ) \mathbf{e}_x + ( A_z B_x - A_x B_z ) \mathbf{e}_y + ( A_x B_y - A_y B_x ) \mathbf{e}_z
:\mathbf{A} \times \mathbf{B} = - \mathbf{B} \times \mathbf{A}
:| \mathbf{A} \times \mathbf{B} | = | \mathbf{A} | | \mathbf{B} | \sin \theta
スカラー三重積
:\mathbf{A} \cdot ( \mathbf{B} \times \mathbf{C} ) = \mathbf{B} \cdot ( \mathbf{C} \times \mathbf{A} ) = \mathbf{C} \cdot ( \mathbf{A} \times \mathbf{B} )
ベクトル三重積
:\mathbf{A} \times ( \mathbf{B} \times \mathbf{C} ) = ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{C} ) \mathbf{B} - ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} ) \mathbf{C}
ヤコビ恒等式
:\mathbf{A} \times ( \mathbf{B} \times \mathbf{C} ) + \mathbf{B} \times ( \mathbf{C} \times \mathbf{A} ) + \mathbf{C} \times ( \mathbf{A} \times \mathbf{B} ) = 0
四重積
:( \mathbf{A} \times \mathbf{B} ) \cdot ( \mathbf{C} \times \mathbf{D} ) = ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{C} ) ( \mathbf{B} \cdot \mathbf{D} ) - ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{D} ) ( \mathbf{B} \cdot \mathbf{C} )
:( \mathbf{A} \times \mathbf{B} ) \times ( \mathbf{C} \times \mathbf{D} ) = [ \mathbf{A} \cdot ( \mathbf{C} \times \mathbf{D} ) ] \mathbf{B} - [ \mathbf{B} \cdot ( \mathbf{C} \times \mathbf{D} ) ] \mathbf{A}

## 微分公式
ここで \mathbf{A}, \mathbf{B} は任意のベクトル場, f は任意のスカラー場である。

:\mathbf{\nabla} \cdot ( f \mathbf{A} ) = \mathbf{\nabla} f \cdot \mathbf{A} + f \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A}
:\mathbf{\nabla} ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} ) = ( \mathbf{B} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{A} + ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{B} + \mathbf{A} \times ( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times ( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} )
:\mathbf{\nabla} \cdot ( \mathbf{A} \times \mathbf{B} ) = \mathbf{B} \cdot ( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} ) - \mathbf{A} \cdot ( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} )
:\mathbf{\nabla} \times ( f \mathbf{A} ) = \mathbf{\nabla} f \times \mathbf{A} + f \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}
:\mathbf{\nabla} \times ( \mathbf{A} \times \mathbf{B} ) = ( \mathbf{B} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{A} - ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{B} + \mathbf{A} ( \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} ) - \mathbf{B} ( \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} )
:\mathbf{\nabla} \times \mathbf{\nabla} f = \vec{0}
:\mathbf{\nabla} \cdot ( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} ) = 0
:\mathbf{\nabla} \times ( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} ) = \mathbf{\nabla} ( \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} ) - \mathbf{\nabla}^2 \mathbf{A}

ヘルムホルツ分解
:\mathbf{B} = \mathbf{\nabla} f + \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}

## 積分公式
ここで \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C} は任意のベクトル場, f, g は任意のスカラー場である。また, V は空間領域, \partial V はその境界, S は面, \mathbf{n} はその法線ベクトル (S = \partial V の場合 \mathbf{n} は外向きに取る), d\mathbf{S} = \mathbf{n} dS は面要素ベクトルである。閉曲線 \partial S に関する線積分 d\mathbf{r} は法線 \mathbf{n} に対応する向きとする。

ガウスの発散定理および関連する公式（最後の等式はグリーンの定理である）
:\int_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} \, dV = \oint_{\partial V} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}
:\int_V \mathbf{\nabla} f \, dV = \oint_{\partial V} f \, d\mathbf{S}
:\int_V \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} \, dV = \oint_{\partial V} d\mathbf{S} \times \mathbf{A}
:\int_V ( f \mathbf{\nabla}^2 g - g \mathbf{\nabla}^2 f ) dV = \oint_{\partial V} ( f \mathbf{\nabla} g - g \mathbf{\nabla} f ) \cdot d\mathbf{S}
ストークスの定理および関連する公式
:\int_S ( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} ) \cdot d\mathbf{S} = \oint_{\partial S} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r}
:\int_S d\mathbf{S} \times \mathbf{\nabla} f = \oint_{\partial S} f d\mathbf{r}
:\int_S ( d\mathbf{S} \times \mathbf{\nabla} ) \times \mathbf{A} = \oint_{\partial S} d\mathbf{r} \times \mathbf{A}

## 曲線座標
曲線座標における勾配、発散、回転、ラプラシアン、物質微分の公式。

### 円柱座標
円柱座標 ( r, \theta, z ) と直交座標 ( x, y, z ) の変換
:\left\{ \begin{array}{l} 
  x = r \cos \theta \\
  y = r \sin \theta \\
  z = z
\end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l}
  r = \sqrt{ x^2 + y^2 } \\
  \theta = \tan^{-1} \frac{ y }{ x } \\ 
  z = z 
\end{array} \right.
単位基底ベクトル
:\mathbf{e}_r = \cos \theta \mathbf{e}_x + \sin \theta \mathbf{e}_y
:\mathbf{e}_\theta = - \sin \theta \mathbf{e}_x + \cos \theta \mathbf{e}_y
:\mathbf{e}_z = \mathbf{e}_z
計量
:ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + dz^2
体積要素
:dV = r \, dr \, d\theta \, dz
勾配
:\mathbf{\nabla} f = \frac{ \partial f }{ \partial r } \mathbf{e}_r + \frac{ 1 }{ r } \frac{ \partial f }{ \partial \theta } \mathbf{e}_\theta+ \frac{ \partial f }{ \partial z } \mathbf{e}_z
発散
:\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} = \frac{ 1 }{ r } \frac{ \partial }{ \partial r } ( r A_r ) + \frac{ 1 }{ r } \frac{ \partial A_\theta }{ \partial \theta } + \frac{ \partial A_z }{ \partial z }
回転
:\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} = 
\left( \frac{ 1 }{ r } \frac{ \partial A_z }{ \partial \theta } - \frac{ \partial A_\theta }{ \partial z } \right) \mathbf{e}_r 
+ \left( \frac{ \partial A_r }{ \partial z } - \frac{ \partial A_z }{ \partial r } \right) \mathbf{e}_\theta 
+ \left[ \frac{ 1 }{ r } \frac{ \partial }{ \partial r } ( r A_\theta ) - \frac{ 1 }{ r } \frac{ \partial A_r }{ \partial \theta } \right] \mathbf{e}_z
ラプラシアン (スカラー場)
:\mathbf{\nabla}^2 f = 
\frac{ 1 }{ r } \frac{ \partial }{ \partial r } \left( r \frac{ \partial f }{ \partial r } \right) 
+ \frac{ 1 }{ r^2 } \frac{ \partial^2 f }{ \partial \theta^2 } 
+ \frac{ \partial^2 f }{ \partial z^2 }
ラプラシアン (ベクトル場)
:[ \mathbf{\nabla}^2 \mathbf{A} ]_r = \mathbf{\nabla}^2 A_r - \frac{ 2 }{ r^2 } \frac{ \partial A_\theta }{ \partial \theta } - \frac{ A_r }{ r^2 }
:[ \mathbf{\nabla}^2 \mathbf{A} ]_\theta = \mathbf{\nabla}^2 A_\theta + \frac{ 2 }{ r^2 } \frac{ \partial A_r }{ \partial \theta } - \frac{ A_\theta }{ r^2 }
:[ \mathbf{\nabla}^2 \mathbf{A} ]_z = \mathbf{\nabla}^2 A_z
物質微分
:[ ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{B} ]_r = ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla} ) B_r - \frac{ A_\theta B_\theta }{ r }
:[ ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{B} ]_\theta = ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla} ) B_\theta + \frac{ A_\theta B_r }{ r }
:[ ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{B} ]_z = ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla} ) B_z

### 球座標
球座標 ( r, \theta, \phi ) と直交座標 ( x, y, z ) の変換
:\left\{ \begin{array}{l} 
  x = r \sin \theta \cos \phi \\
  y = r \sin \theta \sin \phi \\
  z = r \cos \theta
\end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 
  r = \sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 } \\
  \theta = \cos^{-1} \frac{ z }{ r } \\
  \phi = \tan^{-1} \frac{ y }{ x }
\end{array} \right.
単位基底ベクトル
:\mathbf{e}_r = \sin \theta \cos \phi \mathbf{e}_x + \sin \theta \sin \phi \mathbf{e}_y + \cos \theta \mathbf{e}_z
:\mathbf{e}_\theta = \cos \theta \cos \phi \mathbf{e}_x + \cos \theta \sin \phi \mathbf{e}_y - \sin \theta \mathbf{e}_z
:\mathbf{e}_\phi = - \sin \phi \mathbf{e}_x + \cos \phi \mathbf{e}_y
計量
:ds^2 = dr^2 + r^2 ( d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2 )
体積要素
:dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi
勾配
:\mathbf{\nabla} f = 
\frac{ \partial f }{ \partial r } \mathbf{e}_r 
+ \frac{ 1 }{ r } \frac{ \partial f }{ \partial \theta } \mathbf{e}_\theta 
+ \frac{ 1 }{ r \sin \theta } \frac{ \partial f }{ \partial \phi } \mathbf{e}_\phi
発散
:\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} = 
\frac{ 1 }{ r^2 } \frac{ \partial }{ \partial r } ( r^2 A_r ) 
+ \frac{ 1 }{ r \sin \theta } \frac{ \partial }{ \partial \theta } ( \sin \theta A_\theta ) 
+ \frac{ 1 }{ r \sin \theta } \frac{ \partial A_\phi }{ \partial \phi }
回転
:\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} = 
\frac{ 1 }{ r \sin \theta } \left[ \frac{ \partial }{ \partial \theta } ( \sin \theta A_\phi ) - \frac{ \partial A_\theta }{ \partial \phi } \right] \mathbf{e}_r 
+ \frac{ 1 }{ r } \left[ \frac{ 1 }{ \sin \theta } \frac{ \partial A_r }{ \partial \phi } - \frac{ \partial }{ \partial r } ( r A_\phi ) \right] \mathbf{e}_\theta 
+ \frac{ 1 }{ r } \left[ \frac{ \partial }{ \partial r } ( r A_\theta ) - \frac{ \partial A_r }{ \partial \theta } \right] \mathbf{e}_\phi
ラプラシアン (スカラー場)
:\mathbf{\nabla}^2 f = \frac{ 1 }{ r^2 } \frac{ \partial }{ \partial r } \left( r^2 \frac{ \partial f }{ \partial r } \right) 
+ \frac{ 1 }{ r^2 \sin \theta } \frac{ \partial }{ \partial \theta } \left( \sin \theta \frac{ \partial f }{ \partial \theta } \right) 
+ \frac{ 1 }{ r^2 \sin^2 \theta } \frac{ \partial^2 f }{ \partial \phi^2 }
ラプラシアン (ベクトル場)
:[ \mathbf{\nabla}^2 \mathbf{A} ]_r = \mathbf{\nabla}^2 A_r - \frac{ 2 }{ r^2 } \frac{ \partial A_\theta }{ \partial \theta } - \frac{ 2 }{ r^2 \sin \theta } \frac{ \partial A_\phi }{ \partial \phi } - \frac{ 2 A_r }{ r^2 } - \frac{ 2 \cot \theta A_\theta }{ r^2 }
:[ \mathbf{\nabla}^2 \mathbf{A} ]_\theta = \mathbf{\nabla}^2 A_\theta + \frac{ 2 }{ r^2 } \frac{ \partial A_r }{ \partial \theta } - \frac{ 2 \cot \theta }{ r^2 \sin \theta } \frac{ \partial A_\phi }{ \partial \phi } - \frac{ A_\theta }{ r^2 \sin^2 \theta }
:[ \mathbf{\nabla}^2 \mathbf{A} ]_\phi = \mathbf{\nabla}^2 A_\phi + \frac{ 2 }{ r^2 \sin \theta } \frac{ \partial A_r }{ \partial \phi } + \frac{ 2 \cot \theta }{ r^2 \sin \theta } \frac{ \partial A_\theta }{ \partial \phi } - \frac{ A_\phi }{ r^2 \sin^2 \theta }
物質微分
:[ ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{B} ]_r = ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla} ) B_r - \frac{ A_\theta B_\theta + A_\phi B_\phi }{ r }
:[ ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{B} ]_\theta = ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla} ) B_\theta + \frac{ A_\theta B_r }{ r } - \frac{ A_\phi B_\phi \cot \theta }{ r }
:[ ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{B} ]_\phi = ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla} ) B_z + \frac{ A_\phi B_r }{ r } + \frac{ A_\phi B_\theta \cot \theta }{ r }

### 直交曲線座標
3次元ユークリッド空間 \mathbb{R}^3 の曲線座標 x^i について、その座標系で計量が
:ds^2 = \sum_{i = 1}^3 h_i ( x )^2 ( dx^i )^2
という対角形になるとき、これを直交曲線座標と呼ぶ。この座標系に付随する規格化された基底ベクトルを \mathbf{e}_i とする。

体積要素
:dV = h dx^1 dx^2 dx^3 , \ \ h = h_1 h_2 h_3
勾配
:\mathbf{\nabla} f = \sum_{i = 1}^3 \frac{ 1 }{ h_i } \frac{ \partial f }{ \partial x^i } \mathbf{e}_i
発散
:\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} = \sum_{i = 1}^3 \frac{ 1 }{ h } \frac{ \partial }{ \partial x^i } \left( \frac{ h }{ h_i } A_i \right)
回転
:\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} = \sum_{i = 1}^3 \mathbf{e}_i \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \epsilon_{i j k} \frac{ h_i }{ h } \frac{ \partial ( h_k A_k ) }{ \partial x^j }
ラプラシアン (スカラー場)
:\mathbf{\nabla}^2 f = \sum_{i = 1}^3 \frac{ 1 }{ h } \frac{ \partial }{ \partial x^i } \left( \frac{ h }{ h_i^2 } \frac{ \partial f }{ \partial x^i } \right)
物質微分
:[ ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{B} ]_i = \sum_{k = 1}^3 \left[ \frac{ A_k }{ h_k } \frac{ \partial B_i }{ \partial x_k } + \left( A_i \frac{ \partial h_i }{ \partial x_k } - A_k \frac{ \partial h_k }{ \partial x_i } \right) \frac{ B_k }{ h_k h_i } \right]

## 脚注