エンビー・フリー

**エンビー・フリー**（英: Envy free）とは、公平な分割の基準の一つであり、同等の権利を持つ複数人に資源を配分する際に、それぞれの人が自分の取り分を、他の誰の取り分と比べても少なくとも同等（自分の評価において）とみなせることを求めるものである。言い換えれば、誰も嫉妬（エンビー）を感じない配分である。

## 一般的な定義
ある資源を複数のエージェントに分け、各エージェント i が取り分 X_i を受け取るとする。各エージェント i は、可能な取り分に対して個別の選好関係 \succeq_i を持つ。配分がエンビー・フリーであるとは、すべての i と j について
:::X_i \succeq_i X_j
が成り立つことを言う。

エンビー・フリーの同義語として**ノー・エンビー**（No envy）がある。

選好が価値関数 V_i で表される場合、この定義は次と同値である。
:::V_i(X_i) \geq V_i(X_j)

別の言い方をすれば、エージェント i がエージェント j を*羨む（エンビーを感じる）*のは、i が自分の取り分よりも j の取り分を好むときであり、
:::X_i \prec_i X_j
:::V_i(X_i) 
となる。誰も他者を羨まないとき、その配分はエンビー・フリーである。

## 特別な場合
エンビー・フリーの概念は、1958年にジョージ・ガモフとマーヴィン・スターンによって導入された。彼らは、異質な資源である*ケーキ*を、嗜好の異なる *n* 人の子どもに、誰も他者を羨まないように分けられるかを問うた。*n*=2 のときはアルゴリズムで可能だが、*n*>2 では問題ははるかに難しくなる。を参照のこと。

ケーキ分割では、EF とは各子どもが自分の取り分が少なくとも他のどの取り分よりも*大きい*と信じることを意味する。これに対し、*雑用（不快財）の分割*では、各エージェントが自分の取り分が少なくとも他のどの取り分よりも*小さい*と信じることを意味する（いずれも、誰も自分の取り分を他者の取り分と交換したいと思わないことが肝要である）。を参照のこと。

エンビー・フリーは、1967年にによって資源配分の経済学に導入された。この問題では単一の異質な資源ではなく複数の同質資源を扱う。エンビー・フリー自体は各資源を 1/*n* ずつ配れば容易に達成できるが、経済学的にはこれをパレート効率性と両立させることが課題となる。この課題はとにより最初に定式化された。を参照のこと。

分割する資源が離散（不可分）である場合、たとえ資源が1個・人数が2人でもエンビー・フリーが達成不可能なことがある。この問題への対処として次の方法がある。
* 少ない価値の品を受け取った者に補償するため、参加者間で金銭移転を行う（例：、）。
* 少数の品を分割（共有）する（例：）。
* 近似的な公平を求める。を参照のこと。
* 部分的なエンビー・フリー配分を、できるだけ大きなサイズで求める。を参照のこと。
* 無作為化を用い、期待値の意味でエンビー・フリー（「事前（ex-ante）」）な配分を求める。を参照のこと。

## 関連概念
**強エンビー・フリー**は、各エージェントが自分の消費バンドル（消費計画）を他のどの消費バンドルよりも厳密に好むことを要求する。

**超エンビー・フリー**（Super envy-freeness）は、各エージェントが全体価値の 1/*n* を厳密に自分の消費バンドルより劣るとみなし、かつ 1/*n* を他の各消費バンドルよりも厳密に好むことを要求する。明らかに、超エンビー・フリー ⇒ 強エンビー・フリー ⇒ エンビー・フリー、の含意が成り立つ。

**グループ・エンビー・フリー**（Coalitional envy-freeness）はエンビー・フリーの強化であり、同じ人数の任意のグループ同士で、自分たちの配分の方が少なくとも同等に良いと各グループが感じることを要求する。より弱い要件として、各個人がどの他者の連合も羨まないことを求める場合があり、これは**厳密エンビー・フリー**と呼ばれることがある。

**確率優越エンビー・フリー**（SD-エンビー・フリー、必要エンビー・フリーとも）は、アイテムに対して順序選好のみを報告する設定での強化であり、その順序と整合的なあらゆる加法的評価についてエンビー・フリーが成り立つことを求める。すなわち、各エージェントは、自身の順序選好のに従って、他者の消費バンドルより自分の消費バンドルを少なくとも良いとみなすべきである。近似版の SD-EF1（「1アイテムまでの」SD-EF）はで達成できる。

**正当化可能な嫉妬なし**（No justified envy）は、学生-学校など両側が選好を持つ二者マッチング市場における弱化である。学生Aが学生Bに*正当化可能な嫉妬*を抱くのは、AがBに割り当てられた学校を好み、かつその学校がBよりAを好むときである。

**事前（ex-ante）エンビー・フリー**は、で用いられる弱化である。この設定では各エージェントはアイテムの*くじ（ロッタリー）*を受け取り、割当が事前エンビー・フリーとは、誰も他人のくじの期待効用を自分のくじより高く評価しないことを言う。**事後（ex-post）エンビー・フリー**は、くじの実現結果のひとつひとつがエンビー・フリーであることを指す。明らかに、事後エンビー・フリー ⇒ 事前エンビー・フリー だが、逆は成り立たない場合がある。

**局所エンビー・フリー**（**ネットワーク化エンビー・フリー**、**社会的エンビー・フリー**）は、ソーシャル・ネットワークに基づくエンビー・フリーの弱化である。人々はネットワーク上の近隣（隣接）ノードの配分しか知り得ないと仮定し、そのため隣人に対してのみ嫉妬し得る。完全グラフの場合が標準のエンビー・フリーに相当する。

**メタ・エンビー・フリー**は、最終的な配分だけでなく、手続（プロトコル）における各自の目標に関しても互いに羨まないことを要求する。を参照のこと。

**エンビー最小化**は、エンビー・フリーが不可能な場合でも、（さまざまに定義され得る）嫉妬の量を最小にすることを目的とする最適化問題である。不可分財の配分で用いられるエンビー・フリーの近似概念については、を参照。

## 比例性とエンビー・フリーの含意関係
（PR）とエンビー・フリー（EF）は独立の性質だが、状況によっては一方が他方を含意することがある。

評価が加法的集合関数で、ケーキ全体を分割する場合、次が成り立つ。
* 参加者が2人のとき、PR と EF は同値である。
* 参加者が3人以上のとき、EF は PR を含意するが、その逆は一般に成り立たない。例えば、3人それぞれが「自分の取り分は自分の主観で 1/3 ある」と思っていても、アリスの見方ではボブの取り分が 2/3 の価値を持つことがあり得る。

評価が劣加法的集合函数に限られる場合でも、EF は依然として PR を含意するが、PR は2人の場合でももはや EF を含意しない：アリスには自分の取り分が 1/2 の価値に見えても、ボブの取り分はそれ以上の価値に見えることがあり得る。逆に、評価がのみの場合には、2人では PR が EF を含意する一方、EF は2人でも PR を含意しない：アリスには自分の取り分が 1/4 に見えても、ボブの取り分はそれより価値が低く見えることがあり得る。同様に、ケーキの全体を分けない場合には、EF はもはや PR を含意しない。含意関係は次の表に要約される。

## 関連項目
* 
*  — エンビー・フリーと他の公平基準の相対的重要性を調べる研究。

## 出典