シングマスター予想

**シングマスター予想** (シングマスターよそう、) は、「パスカルの三角形において1以外の数字の出現回数には上限が存在する」という組み合わせ数学の予想である。名前の由来は1971年にこの予想を提唱したイギリスの数学者に由来する。

1より大きい任意の整数  について、この数はパスカルの三角形において上から  行までにしか出現しないため、1より大きい数の出現が有限であることは明らかである。シングマスター予想は、この出現回数がある有限の数を越えないことを主張している。

なお、1は明らかにパスカルの三角形において無限回出現し、上記の事実から1はパスカルの三角形で無限回出現する唯一の数である。

## 主張
整数  に対して、 をパスカルの三角形における  の出現回数とする。 シングマスター予想の主張は、ある ( に依存しない) 有限の数  が存在して  が成り立つことである。

ランダウのOを用いると、予想の主張は以下の通りになる。

: N(a) = O(1)
## 既知の上限
パスカルの三角形における出現数  について、以下のことがすでに知られている。
*  N(a) = O(\log a)すなわち、ある係数  が存在して、十分大きな  について N(a) が成り立つ。
* N(a) = O\left(\frac{\log a}{\log \log a}\right)
*N(a) = O\left(\frac{(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^3}\right)
*  0  に対して、十分大きい  を取る (このとき  は  に依存して取る)。このとき、\tbinom{n}{m}=a を満たす  の組は、次の不等式で制限される範囲内には高々4個しか存在しない。\exp \left(\log(n)^{\tfrac{2}{3}+\varepsilon} \right) \le m \le n - \exp \left(\log(n)^{\tfrac{2}{3}+\varepsilon} \right) 
* 「 が十分大きいとき、 と  の間に素数が存在する」というを仮定すると、任意の \varepsilon > 0  について N(a) = O\left( \log(a)^{\tfrac{2}{3}+\varepsilon}\right) 

## シングマスターの無限族

シングマスターは、 と  に関するディオファントス方程式{n+1 \choose k+1} = {n \choose k+2}について、これが無限に多くの解を持つことを証明した。この方程式の解は、非負整数  を用いて次のように表される。\begin{align}
n &= F_{2i+2} F_{2i+3} - 1\\
k &= F_{2i}F_{2i+3}-1
\end{align}ここで  は  番目のフィボナッチ数 () である。

このとき、等しくなる両辺の値を  とおくと、a = \binom{a}{1} = \binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k+2} = \binom{n}{n-k-2} = \binom{n+1}{n-k} = \binom{a}{a-1}となり、パスカルの三角形に (少なくとも) 6回登場する数の族を得る。これをシングマスターの無限族と呼ぶ。

## 例

* 2 は1回だけ現れる。それより大きい整数は2回以上現れる。
* 3, 4, 5 はそれぞれ2回現れる。ちょうど2個現れる整数は無限にある。
* 全ての奇素数は2回現れる。
* 6 は3回現れる。3回現れる整数も無限個ある。
* {p \choose 2} (pは、 p>3 を満たす素数)の形で表せる数は4回現れる。
* 以下の例のようにちょうど6回現れる数も無限にある。120 = {120 \choose 1} ={120 \choose 119} = {16 \choose 2} ={16 \choose 14} = {10 \choose 3} ={10 \choose 7}210 = {210 \choose 1} ={210 \choose 209} = {21 \choose 2} ={21 \choose 19} = {10 \choose 4}={10 \choose 6}1540 = {1540 \choose 1} ={1540 \choose 1539} = {56 \choose 2} ={56 \choose 54} = {22 \choose 3} = {22 \choose 19}7140 = {7140 \choose 1} ={7140 \choose 7139} = {120 \choose 2} ={120 \choose 118} = {36 \choose 3} = {36 \choose 33}11628 = {11628 \choose 1} = {11628 \choose 11627} = {153 \choose 2} = {153 \choose 151} = {19 \choose 5} = {19 \choose 14}24310 = {24310 \choose 1} = {24310 \choose 24309} = {221 \choose 2} = {221 \choose 219} = {17 \choose 8} = {17 \choose 9}

* 3003は8回現れる最小かつ現在唯一知られている数である。3003 = {3003 \choose 1} = {78 \choose 2} = {15 \choose 5} = {14 \choose 6} = {14 \choose 8} = {15 \choose 10} = {78 \choose 76} = {3003 \choose 3002} 3003はシングマスターの無限族によって求められる数でもある。シングマスターの無限族における次の数は a_3 = 61218182743304701891431482520 である (OEIS: )。a_3 = {a_3 \choose 1} = {a_3 \choose a_3-1} = {104 \choose 39} = {104 \choose 65} = {103 \choose 40} = {103 \choose 63}
* Benjamin　M. M. de Wegerは、上記の120、210、1540、7140、11628、24310およびシングマスターの無限族以外にパスカルの三角形で5回以上出現する数は存在しないと予想している。

* *n* がパスカルの三角形に現れる回数は、

: ∞, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, ... 

* Abbott, Erdős, and Hanson (1974)は、 *x* 以下のパスカルの三角形に3回以上現れる整数の数は、*O*(*x*1/2)であることを示した。

## 未解決問題
9回以上現れる数、3003以外の8回現れる数が存在するかどうかは知られていない。上限は8と予想できるが、シングマスターは10または12と予想していた。

また、5回または7回現れる数が存在するかどうかも未解決である。関連する数列  において等式*N*(*a*) = 5 をみたす&nbsp;*a*があるかどうかわからないことが言及されている。

## 脚注

### 脚注

### 出典


## 参考文献
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## 関連項目
* 二項係数
* パスカルの三角形