体球調和関数

物理学と数学において、**体球調和関数**（たいきゅうちょうわかんすう、）は球面座標系でのラプラス方程式の解を指す。原点で0になる正則な（regular）体球調和関数 R^m_\ell(\boldsymbol{r}) と、原点が特異点となる非正則な（irregular）体球調和関数 I^m_{\ell}(\boldsymbol{r}) の2種がある。いずれの関数集合もポテンシャル論で重要な役割を演じ、また適当にスケーリングすることで球面調和関数が得られる。
: 
R^m_{\ell}(\boldsymbol{r}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}}\; r^\ell Y^m_{\ell}(\theta,\varphi)

: 
I^m_{\ell}(\boldsymbol{r}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} \; \frac{ Y^m_{\ell}(\theta,\varphi)}{r^{\ell+1}}


## 導出および球面調和関数との関係
空間ベクトル **r** の球面極座標として *r*, θ, φ を導入すると、ラプラス方程式は以下の形になる。
: \nabla^2\Phi(\boldsymbol{r}) =  \left(\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2}r - \frac{\hat l^2}{r^2}\right)\Phi(\boldsymbol{r}) = 0 , \qquad \boldsymbol{r} \ne \boldsymbol{0},

ここで *l*2 は無次元化した角運動量演算子
: \boldsymbol{\hat l} = -i\, (\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\nabla}) 

の2乗である。

知られているように、球面調和関数 *Y<sub>l</sub><sup>m</sup>* は演算子 *l*2 の固有関数である。
:
\hat l^2 Y^m_{\ell}\equiv \left[ \hat{l}_x^2 +\hat{l}_y^2+\hat{l}_z^2\right]Y^m_{\ell}  = \ell(\ell+1) Y^m_{\ell}.


Φ(**r**) = *F*(*r*) *Y<sub>l</sub><sup>m</sup>* をラプラス方程式に代入し、両辺を球面調和関数で割ると、以下の動径方向の方程式とその一般解が得られる。

:
\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r F(r) = \frac{\ell(\ell+1)}{r^2} F(r)
\Longrightarrow F(r) = A r^\ell + B r^{-\ell-1}.


ラプラス方程式の解のうち一部が正則な体球調和関数
: 
R^m_{\ell}(\boldsymbol{r}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}}\; r^\ell Y^m_{\ell}(\theta,\varphi), 

であり、また一部が非正則な体球調和関数
: 
I^m_{\ell}(\boldsymbol{r}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} \; \frac{ Y^m_{\ell}(\theta,\varphi)}{r^{\ell+1}} .

である。

### ラカーの正規化
の正規化（Racah's normalization、またはシュミットの準正規化（Schmidt's semi-normalization））はいずれの関数にも適用でき、単位（"1"）への正規化の代わりに
:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\, d\theta \int_0^{2\pi} d\varphi\; R^m_{\ell}(\boldsymbol{r})^*\; R^m_{\ell}(\boldsymbol{r}) 
=  \frac{4\pi}{2\ell+1} r^{2\ell}

とするものである（非正則な体球調和関数についても同様）。応用上多くの場合、ラカーの正規化因子は微分の下で形を変えないため便利である。

## 加法定理
正則な体球調和関数を平行移動したものは、次のように有限項に展開される。
: R^m_\ell(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{a}) = \sum_{\lambda=0}^\ell\binom{2\ell}{2\lambda}^{1/2} \sum_{\mu=-\lambda}^\lambda R^\mu_{\lambda}(\boldsymbol{r}) R^{m-\mu}_{\ell-\lambda}(\boldsymbol{a})\;
\langle \lambda, \mu; \ell-\lambda, m-\mu| \ell m \rangle,

ここでクレブシュ–ゴルダン係数は次式で与えられる。
:
\langle \lambda, \mu; \ell-\lambda, m-\mu| \ell m \rangle
= \binom{\ell+m}{\lambda+\mu}^{1/2} \binom{\ell-m}{\lambda-\mu}^{1/2} \binom{2\ell}{2\lambda}^{-1/2}.


類似の展開が非正則な体球調和関数に対しても行え、無限級数に展開される。
: I^m_\ell(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{a}) = \sum_{\lambda=0}^\infty\binom{2\ell+2\lambda+1}{2\lambda}^{1/2} \sum_{\mu=-\lambda}^\lambda R^\mu_{\lambda}(\boldsymbol{r}) I^{m-\mu}_{\ell+\lambda}(\boldsymbol{a})\;
\langle \lambda, \mu; \ell+\lambda, m-\mu| \ell m \rangle

ここで  |r| \le |a| とする。ブラケットで囲まれた因子は再びクレブシュ–ゴルダン係数である。
:
\langle \lambda, \mu; \ell+\lambda, m-\mu| \ell m \rangle
= (-1)^{\lambda+\mu}\binom{\ell+\lambda-m+\mu}{\lambda+\mu}^{1/2} \binom{\ell+\lambda+m-\mu}{\lambda-\mu}^{1/2}
\binom{2\ell+2\lambda+1}{2\lambda}^{-1/2}.


### 参考文献

加法定理は著者によって様々な方法で証明されている。例えば、以下の2文献にはそれぞれの証明が載っている。
* R. J. A. Tough and A. J. Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. **10**, p.&nbsp;1261 (1977)
* M. J. Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. **11**, p.&nbsp;L23 (1978)

## 実関数形式

±*m* についての簡単な線形結合によって、体球調和関数は実数値関数の集合に変換される。デカルト座標系で表示された実の正則体球調和関数は、*x*, *y*, *z* についての *l* 次斉次多項式である。これらの明示的に書かれた多項式は、例えば（球面座標で書かれた）原子軌道や実数値のに現れ、重要である。以下でその導出を行う。

### 線形結合

先述と同じ定義で、 
:
R_\ell^m(r,\theta,\varphi) = (-1)^{(m+|m|)/2}\; r^\ell \;\Theta_{\ell}^ (\cos\theta)
 e^{im\varphi}, \qquad -\ell \le m \le \ell,

ただし
:
\Theta_{\ell}^m (\cos\theta) \equiv \left[\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \,\sin^m\theta\, \frac{d^m P_\ell(\cos\theta)}{d\cos^m\theta}, \qquad m\ge 0,

ここで  P_\ell(\cos\theta) は *l* 次のルジャンドル多項式である。

この *m* に依存した位相はコンドン・ショートレー位相（Condon–Shortley phase）として知られている。

実の正則体球調和関数は次のように定義される。
:
\begin{pmatrix}
C_\ell^{m} \\
S_\ell^{m}
\end{pmatrix}
\equiv \sqrt{2} \; r^\ell \; \Theta^{m}_\ell
\begin{pmatrix}
\cos m\varphi\\ \sin m\varphi
\end{pmatrix} 
=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
(-1)^m  & \quad 1 \\
-(-1)^m i & \quad i 
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
R_\ell^{m} \\
R_\ell^{-m}
\end{pmatrix},
\qquad m > 0.

また *m* = 0 に対しては
:
C_\ell^{0} \equiv R_\ell^{0} .

線形変換はユニタリ行列によるものなので、正規化因子は実数値の場合も複素数値の場合も同じになる。

### ''z''-依存因子

*u* = cos*&theta;* と書くと、ルジャンドル多項式の *m* 階導関数は次のような *u* の多項式で書ける。
:
\frac{d^m P_\ell(u)}{du^m} =
\sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} \gamma^{(m)}_{\ell k}\; u^{\ell-2k-m}

ここで
:
\gamma^{(m)}_{\ell k} = (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \frac{(\ell-2k)!}{(\ell-2k-m)!}.

*z* = *r* cos*&theta;* だから、この導関数には適当な *r* の冪乗を掛ければ *z* のシンプルな多項式になる。
:
\Pi^m_\ell(z)\equiv
r^{\ell-m} \frac{d^m P_\ell(u)}{du^m} =
\sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} \gamma^{(m)}_{\ell k}\; r^{2k}\; z^{\ell-2k-m}.


### (''x'',''y'')-依存因子

次に、*x* = *r* sin*&theta;*cos*&phi;* と *y* = *r* sin*θ*sin*φ* に注意すると
:
r^m \sin^m\theta \cos m\varphi = \frac{1}{2} \left[  (r \sin\theta e^{i\varphi})^m 
+ (r \sin\theta e^{-i\varphi})^m \right] =
\frac{1}{2} \left[  (x+iy)^m + (x-iy)^m \right]

同様に
:
r^m \sin^m\theta \sin m\varphi = \frac{1}{2i} \left[  (r \sin\theta e^{i\varphi})^m 
- (r \sin\theta e^{-i\varphi})^m \right] =
\frac{1}{2i} \left[  (x+iy)^m - (x-iy)^m \right].

これらより、次のように定義する。
:
A_m(x,y) \equiv
\frac{1}{2} \left[  (x+iy)^m + (x-iy)^m \right]= \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \cos (m-p) \frac{\pi}{2}

:
B_m(x,y) \equiv
\frac{1}{2i} \left[  (x+iy)^m - (x-iy)^m \right]= \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \sin (m-p) \frac{\pi}{2}.


### まとめ

:
C^m_\ell(x,y,z) = \left[\frac{(2-\delta_{m0}) (\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \Pi^m_{\ell}(z)\;A_m(x,y),\qquad m=0,1, \ldots,\ell

:
S^m_\ell(x,y,z) = \left[\frac{2 (\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \Pi^m_{\ell}(z)\;B_m(x,y)
,\qquad m=1,2,\ldots,\ell.


### 低次の関数のリスト

*l = 5* 以下の関数の明示式を記す。ここで 
:\bar{\Pi}^m_\ell(z) \equiv \left[\tfrac{(2-\delta_{m0}) (\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \Pi^m_{\ell}(z) .

----
:
 \begin{align}
 \bar{\Pi}^0_0 & = 1   &
      \bar{\Pi}^1_3 & = \frac{1}{4}\sqrt{6}(5z^2-r^2)  &
            \bar{\Pi}^4_4 & = \frac{1}{8}\sqrt{35}  \\
 \bar{\Pi}^0_1 & = z   &
      \bar{\Pi}^2_3 & = \frac{1}{2}\sqrt{15}\; z    &
            \bar{\Pi}^0_5 & = \frac{1}{8}z(63z^4-70z^2r^2+15r^4) \\
 \bar{\Pi}^1_1 & = 1   &
      \bar{\Pi}^3_3 & = \frac{1}{4}\sqrt{10}        &
            \bar{\Pi}^1_5 & = \frac{1}{8}\sqrt{15} (21z^4-14z^2r^2+r^4) \\
 \bar{\Pi}^0_2 & = \frac{1}{2}(3z^2-r^2) &
      \bar{\Pi}^0_4 & = \frac{1}{8}(35 z^4-30 r^2 z^2 +3r^4 ) &
            \bar{\Pi}^2_5 & = \frac{1}{4}\sqrt{105}(3z^2-r^2)z \\
 \bar{\Pi}^1_2 & = \sqrt{3}z &
      \bar{\Pi}^1_4 & = \frac{\sqrt{10}}{4} z(7z^2-3r^2) &
            \bar{\Pi}^3_5 & = \frac{1}{16}\sqrt{70} (9z^2-r^2) \\
 \bar{\Pi}^2_2 & = \frac{1}{2}\sqrt{3}  &
      \bar{\Pi}^2_4 & = \frac{1}{4}\sqrt{5}(7z^2-r^2)  &
            \bar{\Pi}^4_5 & = \frac{3}{8}\sqrt{35} z  \\
 \bar{\Pi}^0_3 & = \frac{1}{2} z(5z^2-3r^2) &
      \bar{\Pi}^3_4 & = \frac{1}{4}\sqrt{70}\;z  &
            \bar{\Pi}^5_5 & = \frac{3}{16}\sqrt{14} \\
 \end{align}

----  
低次の A_m(x,y)\, と  B_m(x,y)\, は次の通りである。

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## 参考文献

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