ランダム効用モデル

**ランダム効用モデル**（ランダムこうようモデル、英: Random utility model, RUM）は、個人の選好を数理的に表現したものであり、選択が決定論的ではなく、確率的な状態変数に依存する場合を考慮した効用を記述するモデルのこと。**確率効用モデル**（英: Stochastic utility model）とも呼ばれる。

## 背景
古典的経済学における基本的な仮定は、合理的な個人の選択は選好関係によって導かれるというものであり、通常は効用関数によって記述できるとされる。複数の選択肢が提示されたとき、合理的な個人は効用が最大となるものを選ぶ。効用関数自体は観測できないが、その人が実際に行った選択を観察することで「逆算」できると考えられる。これが顕示選好理論の目的である。

しかし現実には、人々の行動は必ずしも合理的ではない。同じ選択肢集合に直面しても、異なる選択を行うことが多くの実証研究で示されている。外部の観察者からすると、選択はランダムに見えるかもしれない。

この行動をモデル化する方法の1つが「確率的合理性（stochastic rationality）」である。各主体には観測されない「状態」があり、それは確率変数と考えられる。この状態が与えられると主体は合理的に行動する。言い換えると、各主体は単一の選好関係ではなく、選好関係（または効用関数）の確率分布を持つと仮定する。

## 表現問題
H・D・ブロックとは次の問題を提示した。インプットとして、選択肢集合*B*から*a*を選ぶ確率を表す「選択確率」 P_{a,B} が与えられているとする。エージェントの行動を、選好関係に関する確率分布で「合理化」したい。すなわち、与えられたすべての組 a,B について、P_{a,B} = Prob[*a*が*B*内のすべての選択肢に少なくとも弱く選好される] を満たす分布を求めたい。このような分布の存在を保証する条件は何か。

は、選択肢集合が有限の場合にこの問題を解決した。選択確率から導かれる「Block–Marschak多項式」が非負である場合に限って確率分布が存在することを証明し、その構成的な解を示した。

BarberáとPattanaik は、この結果を、エージェントが単一の選択肢だけでなく集合を選ぶ場合にも拡張した。

### 一意性
H・D・ブロックとは、選択肢が3つ以下の場合、ランダム効用モデルは一意（識別可能）であると証明した。しかし、4つ以上の選択肢があると、モデルは一意でない可能性がある。例えば、ある主体がwをxより好む確率（w>x）と y を z より好む確率（y>z）は計算できても、w>x かつ y>z である確率は求められない場合がある。同じ選択確率集合を誘導するが、互いに素な台を持つ分布さえ存在する。

一意性の条件のいくつかはによって与えられている。Turansick は、一意なランダム効用表現が存在するための二つの特徴付けを提示している。

## モデル
RUMにはいくつかの種類があり、エージェントの効用の確率分布に関する仮定が異なる。代表的なモデルは Luce と Plackett によって開発された。

は計量経済学に応用され、例えば自動車価格の市場均衡分析に使われた。このモデルは機械学習や情報検索、さらに社会的選択理論において、の世論調査分析などにも応用されている。に対しては、期待値最大化法やの効率的な推定法が存在する。

## 社会的選択への応用
RUMは、単一の主体の行動をモデル化するだけでなく、社会全体の意思決定にも利用できる。社会選択理論のアプローチの1つは、コンドルセの陪審定理に初めて形式化されたように「真の順序（ground truth）」が存在するというものである。社会の各エージェントは、この真の順位に対するノイズのあるシグナルを受け取る。最良の推定法は最尤推定を用いて、個人の順位集合の尤度を最大化する社会的順位を構築することである。

コンドルセのモデルは、エージェントのペアごとの比較における誤りの確率が独立同分布であると仮定している（誤りの確率はすべて*p*）。しかし、このモデルにはいくつかの問題がある。
* 表明された選好の強さを無視する。「aをbより強く好む」場合と「わずかに好む」場合が同一に扱われる。
* 選好の循環を許容する。すなわち、a>b, b>c, c>a という確率が正である。
* 最尤推定量（）は計算が困難であり、\Theta^P_2-完全である。

RUM は代替モデルを提供する。すなわち、真の効用ベクトルが存在し、各エージェントは各選択肢に対して確率分布に基づく効用を引き、その平均値は真の効用となる。このモデルは選好の強さを捉え、選好の循環を排除する。また、ある種の確率分布（特に）の場合、最尤推定量は効率的に計算できる。

## 一般化
WalkerとBen-Akivaは、古典的なRUMをいくつかの方法で一般化し、予測の精度を高めることを目指した。

* *柔軟な撹乱項（Flexible Disturbances）*：より豊かな共分散構造を許容し、観測されない異質性やランダムなパラメータを推定する。  
* *潜在変数（Latent Variables）*：認知や態度など、観測できない構成概念の形成やその効果を明示的に表現する。  
* *潜在クラス（Latent Classes）*：嗜好パラメータ、選択集合、意思決定プロトコルに関する隠れたセグメントを捉える。  
* *顕示選好と表明選好の統合（Combining Revealed Preferences and Stated Preferences）*：この二種類のデータの利点を組み合わせる。

Blavatzkyyは、宝くじ間の選択に基づく確率効用理論を研究している。  
入力は「選択確率」の集合であり、これはエージェントがある宝くじを別の宝くじより選択する確率を示している。

## 応用
RUMの枠組みは、経済学、マーケティング、心理学、交通、環境科学など、さまざまな分野に応用できる。消費者、投票者、旅行者、その他の意思決定者の行動や選好を分析するために使用できる。また、異なる製品やサービスの需要や市場シェア、政策や介入の厚生効果を推定するためにも用いられる。

RUMには、効用関数の分布仮定や関数形に応じていくつかの種類がある。代表的な例は次の通りである：
* ロジットモデル：効用関数が観測変数に対して線形であり、非観測成分がガンベル分布に従う。このモデルは選択確率の閉じた形の式を持ち、独立同分布（IIA）を満たす。  
* ：効用関数が観測変数に対して線形で、非観測成分が正規分布に従う。このモデルには閉じた形の式はなく、IIAを満たさないが、ロジットモデルより柔軟である一方、計算はより複雑になる。  
* ネステッド・ロジットモデル：効用関数は観測変数に対して線形で、非観測成分はガンベル分布に従う。このモデルは代替肢を「ネスト」にグループ化することでIIAを緩和し、共通の特性を持つ代替肢間の相関を表現できる。  
* ：効用関数が観測変数に対して線形で、非観測成分は個人間で変化する一般的な分布に従う。このモデルは嗜好の異質性やランダムな嗜好変動を許容し、代替肢間の柔軟な代替パターンも表現できる。

RUMは、最尤法、モーメント法、またはベイズ推定など、さまざまな方法で推定できる。推定に使うデータは集計データまたは個票データのいずれでもよい。集計データは、独立変数の各組み合わせごとに集約された市場シェアや投票結果などである。個票データは、各個人の選択を記録した調査回答や購買履歴などである。

RUMは多様な領域で応用および拡張が可能である。例えば、交通手段・経路・目的地の選択、製品・ブランド・属性の選択、医療提供者・治療・保険プランの選択、教育・職業・居住地の選択、政治候補・政党・政策の選択などである。また、選択行動の動学的・戦略的・社会的側面を組み込む拡張も考えられる。

## 出典