マルチンゲール戦略

**マルチンゲール戦略**（マルチンゲールせんりゃく、）、**マルチンゲール法**（マルチンゲールほう）、または単に**マルチンゲール**（）は賭博における戦略の一つ。18世紀のフランスで考案され人気となった。コインが表を出せばギャンブラーが賭け金を勝ち取り、裏を出せば失うというゲームのために設計された戦略であり、この戦略のもとではギャンブラーは負けるたびに賭け金を倍額としていく。このため、賭けに勝った際にそれまでの負けを全て取り返した上で負け始まる直前の賭け金と同額の利潤が得られる。このことから、この戦略はサンクトペテルブルクのパラドックスと類似点がある。

何度もギャンブルを行えば、いずれほとんど確実に表が出るので、ギャンブラーが無限の財産を持ち、かつ単一の賭けで得られる金額に制限がない限り、マルチンゲール戦略は確実に利益をもたらす。しかしながら、現実のギャンブラーの財産は有限であり、負けが込んだ時の賭け金は指数関数的成長をするので、マルチンゲール法を選択した不運なギャンブラーは賭け金によって破産し、壊滅的な損失を被る可能性がある。この戦略をとるギャンブラーは、通常わずかな正味報酬を得るため一見合理的に見える。しかし、ギャンブラーが壊滅的な損失を被るわずかな確率が、期待される利益と正確に相殺されるため、ギャンブラーの期待値は依然としてゼロである。現実的には、カジノのハウスエッジの影響で、この戦略の期待値はマイナスになる。さらに、連続した負けが続く確率は一般的な直感よりも高いため、マルチンゲール戦略はギャンブラーを短期間で破産させる可能性がある。

マルチンゲール戦略はルーレットにも応用されている。これは、黒のポケットと赤のポケットとのどちらに落ちるかの確率がほぼ50%であるからである。

## 直感的分析
マルチンゲール戦略の類の戦略全てが最終的に失敗する根本的な理由は、過去の賭けの結果に関するいかなる情報も、偶然以上の精度で将来の賭けの結果を予測するために利用することはできないからというものである。数学の用語では、これはそれぞれの勝負で勝つか負けるかの結果は独立同分布の確率変数であるという仮定に対応し、実際この仮定は多くの現実的な状況で有効である。 この仮定から導かれる帰結として、一連の賭けの期待値は、その一連の中で起こりうる全ての賭けについて、潜在的な賭けの期待値にプレイヤーがその賭けを行う確率を掛けたものの総和に等しい。そして、ほとんどのカジノではどのゲームでもギャンブラーの利得の期待値が負になるように設計されているので、一連の賭けの期待値も負になる。

(現実と同様に)収益や賭け金に上限があるかぎり、マルチンゲール戦略は停止時間が無制限であっても不利益をもたらす。マルチンゲール法が必勝戦略となるのは、ギャンブラーの財産が無限で、一度の賭けにおける賭け金に上限がなく、さらに無限にギャンブルを続けられるという理想的な状況に限られる。

## 数学的分析
賭け金や資金、信用枠に制限がある場合にマルチンゲール戦略を採用した場合に最終的には不利益を被ることは、を用いて証明できる。

しかしながら、それらの制限を取り払った場合、マルチンゲール戦略は、ギャンブラーに必ず利益をもたらす。これは、コイン投げの回数が無限に近づくにつれて、少なくとも1回は表が出る確率が1に近づくためである。

## 1ラウンドあたりの数学的分析
マルチンゲール法の「1ラウンド」を、

* 0回以上の連続した敗北の後、1回勝つまでの一連の賭け
* または、連敗の末にギャンブラーがマルチンゲールを続行できるだけの持ち金を失うまでの一連の賭け

と定義する。すなわち、ある賭けでギャンブラーが勝ったら、ギャンブラーは状況を「リセット」し、新しいラウンドを始めると考える。これにより、マルチンゲール戦略のもとでの一連の賭けの結果の列を、独立したラウンドの列に分割することができる。このもとで、1ラウンドあたりの期待値を分析する。

一回の勝負(ラウンドではない)でギャンブラーが負ける確率を q 、ラウンド開始時の賭け金を Bとする。さらに、ギャンブラーは n 回連続で負けた際の次の賭け金を用意できないとする。言い換えれば、 n 回連続で負けたギャンブラーは破産するものとする。

ギャンブラーが n 回連続で負け続ける確率は q^n である。この時、ギャンブラーのラウンド開始時からの損失は

: \sum_{i=1}^n B \cdot 2^{i-1} = B(2^{n} - 1)

である。一方、連敗が n 回になる前にストップする確率は 1-q^nであり、その場合何回連敗していようとギャンブラーの利得は B である。したがって、1ラウンドあたりのギャンブラーの利得の期待値は

: (1-q^n) \cdot B - q^n \cdot B (2^n - 1) = B (1 - (2q)^n)

である。

もしギャンブラーが負ける可能性の方が高い(すなわち、q>1/2 である)場合、期待値に出現する 1-(2q)^n は、任意の n>0 で負となる。したがって、ギャンブラーが負ける確率が勝つ確率よりも高いような全てのゲームで、平均的にはギャンブラーは1ラウンドごとに損をする。ラウンド開始時の賭け金を増やすことは、ただ平均損失を増やすだけの効果しかもたらさない。

具体例として、あるギャンブラーが63単位の賭け金を持ち、最初の賭けで1単位を賭けたとする。このギャンブラーがマルチンゲール戦略を取る場合、負けるたびに賭け金は倍増し、6回目で当初の持ち金を全て賭けることになる。

あるゲームで勝利した場合、ギャンブラーはその時点までの総賭け金に対して1単位の純利益を得る。そうした場合、ギャンブラーはもう一度最初1単位の賭けから再スタートするものとする。

ここで、q の具体的な値として q=10/19 を採用する。これはアメリカ式ルーレットで赤もしくは黒のポケットにボールが落ちることに賭ける状況の確率に一致する。

この具体例では、6回連続で賭けに負けマルチンゲール戦略が続行不可能となる確率は (10/19)^6=2.1256\ldots%である。一方、1単位の利得を得られる確率は 1-(10/19)^6=97.8744\ldots%である。また、1ラウンドあたりの期待値は1-(2\times10/19)^6=-0.360374\ldots単位であり、0より小さい。

特殊な状況下では、この戦略が理にかなう場合がある。実際、ギャンブラーが63単位持っていて、ちょうど1単位だけ利得を得たい場合は、この戦略を取ることで(2.1256%の確率で全持ち金を失うというリスクのもとで) 97.8744% の確率でその目標が達成される。この確率の値はそのような状況では最善の確率であることが示されている。しかしながら、より高い利得を目標とする場合は、マルチンゲール戦略が最善戦略とはならない場合がある。

## 代替的な数学的分析
ここまでの議論は期待値に関する計算に基づくものであった。しかし、マルチンゲール戦略を利用したときに、破綻を回避しながら資金を倍増させる可能性はどの程度あるか？という問題を考えることもできる。

この戦略を取る多くのギャンブラーは戦略が破綻するほど連敗する可能性は極めて低いと見積もり、戦略を忍耐強く守り続ければ徐々に資金を増やせると信じている。

しかし、実際には資金が倍になる前に戦略が破綻する確率は直感的に感じるそれよりも遥かに大きい。実際、先ほど定義した文字を利用して、B=1 かつ 最初の資金が 2^n-1 であるようなマルチンゲール戦略を採用して、一度も戦略が破綻することなく資金を 2^{n+1}-1 とできる確率は(1-q^n)^{2^n}となる。これは先ほどの n=6,q=10/19 の例では 25.2829% ほどでしかない。その一方で、64ラウンドの一度でもマルチンゲール戦略が破綻する確率は 74.7171% あり、その全てのケースでギャンブラーの資金は初期資金(63単位)以下となる。  

一般的に q>1/2 の場合、マルチンゲール戦略のもとで資金を 2^n-1 から 2^{n+1}-1 へとできる確率 (1-q^n)^{2^n}は n が大きくなるほど小さくなっていき、最終的に 0 へと収束する。すなわち、倍増させようとする元の資金が大きければ大きいほど、先に破綻する確率の方が大きい。q=1/2 の場合はこの確率は n が大きくなるごとに増加し、最終的には 1/e\approx 36.7879\ldots% へと収束するが、それでも資金を倍加させる確率よりもマルチンゲール法が破綻する可能性の方が高い。

なお、マルチンゲール戦略を利用して途中で破綻した場合にわずかに手元に残る資金を無視するのであれば、素直に持ち金全額を賭け金とした方が破産する確率が低い場合もある。実際、先のn=6,q=10/19 の例では、64ラウンドのマルチンゲール戦略で最終的な資金が倍となる確率は約25%であるが、素直に63単位全額を賭け金とした場合に勝つ確率は 1-q=9/19=47.3684\ldots% と、約2倍の差がある。

## 反マルチンゲール
古典的なマルチンゲール戦略では、ギャンブラーは負けるたびに賭け金を増やすことで、それまでの負けの分を取り返そうとする。それに対して、賭けに勝つたびに賭け金を増やし、負けたら賭け金を減らすという方向性の戦略を考えることもできる。そのような戦略は反マルチンゲール ()ないし逆マルチンゲール ()と呼ばれる。この戦略のもとでは、ギャンブラーは勝ちが続く「好調時」には利益を得られ、逆に負けが続く「不調時」には損失を抑えられると考えられている。しかし実際には、反マルチンゲールでは利益を生み出せないことができない。

## 関連項目
* サンクトペテルブルクのパラドックス
* コンコルド効果

## 参考文献