単位法

電気工学のの分野において、**単位法**（たんいほう、）とは、系統の諸量を、定義された基準値に対する比率（分数）として表現する方法である。諸量を単位法で表すと、変圧器の一次側から二次側（またはその逆）へ換算しても値が変化しないため、計算が簡略化される。これは、多数の変圧器が存在する電力系統解析において大きな利点となる。さらに、機器の容量が大きく異なっていても、機器定格を基準とした単位法でインピーダンスを表すと、同種の機器であればその値は狭い範囲に収まるという特徴がある。単位法の値をボルト、オーム、アンペアといった実数に変換するには、その単位法が参照している基準値を知る必要がある。単位法は、、短絡評価、の研究などに用いられる。

単位法の主な考え方は、絶対値の大きな差を基準関係の中に吸収することである。これにより、系統内の要素の表現がより均一になる。

単位法は、電力、電圧、電流、インピーダンス、およびアドミタンスの単位を提供する。インピーダンスとアドミタンスを除き、任意の2つの単位は独立しており、基準値として選択できる。通常は電力と電圧が選択される。すべての量は、選択された基準値の倍数として指定される。例えば、基準電力は変圧器の定格電力、あるいは系統内の電力値を扱いやすくするために任意に選択された電力である。基準電圧は母線の公称電圧などが選ばれる。異なる種類の量であっても、同じ記号（**pu**）でラベル付けされるため、その量が電圧なのか電流なのか、あるいは他の測定単位なのかを明確にする必要がある。

## 目的

単位法を使用する理由はいくつかある。

* 同種の装置（発電機、変圧器、送電線）であれば、絶対的なサイズに関わらず、自身の定格に基づいた単位法によるインピーダンスや損失は似たような値になる。このため、単位法データを用いることで、大きな誤りがないか迅速にチェックできる。通常範囲外の単位法数値がある場合は、エラーの可能性を調査する価値がある。
* 製造メーカーは通常、装置のインピーダンスを単位法で指定する。
* 三相計算において、定数 \textstyle \sqrt{3}  の使用頻度が減る。
* 単位法による量は、電圧レベルに関わらず、変圧器のどちら側でも同じ値になる。
* 共通の基準に正規化することで、手計算と自動計算の両方が簡略化される。
* 自動計算手法の数値的安定性が向上する。
* 単位法によるデータ表現は、相対的な大きさに関する重要な情報をもたらす。

単位法は、電力系統の手計算による解析を容易にするために開発された。現在、電力系統解析はコンピュータで行われているが、結果は依然として、便宜上の系統共通基準に基づいた単位法で表現されることが多い。

## 基準量
一般的に、電力と電圧の基準値が選択される。基準電力は、モータや発電機などの単一の機器の定格が選ばれる場合がある。系統全体の研究を行う場合、基準電力は通常、10 MVAや100 MVAといった、扱いやすいが選ばれる。基準電圧は系統の公称定格電圧が選ばれる。他のすべての基準量は、これら2つの基準量から導出される。基準電力と基準電圧が決まれば、基準電流と基準インピーダンスは電気回路の法則によって一意に決定される。基準値は大きさ（スカラー量）のみであるべきだが、単位法の値はフェーザ（ベクトル量）である。複素電力、電圧、電流、インピーダンスなどの位相角は、単位法への変換によって影響を受けない。

単位法を用いる目的は、異なる変圧器間の換算を簡略化することにある。したがって、電圧とインピーダンスの単位法を求める手順を説明することは適切である。まず、変圧器の各端の基準電力（*S*）を同じにする。すべての *S* が同じ基準に設定されれば、各変圧器の基準電圧と基準インピーダンスを容易に得ることができる。その後、インピーダンスと電圧の実数を単位法計算の定義に代入することで、単位法における解を得る。単位法の値がわかっている場合は、基準値を掛けることで実数を得ることができる。

慣例として、基準量については以下の2つのルールが採用される。

* 基準電力の値は、対象とする電力系統全体で共通とする。
* 変圧器の両側における電圧基準の比は、変圧器の定格電圧比と同じになるように選択する。

これら2つのルールにより、単位法によるインピーダンスは、変圧器の一方の側から他方の側に換算しても不変となる。これにより、変圧器モデルから理想変圧器を排除することができる。

## 単位間の関係

単位法における単位間の関係は、そのシステムが単相か三相かによって異なる。

### 単相

独立した基準値が電力と電圧であると仮定すると、以下のようになる。

: P_{\text{base}} = 1 \text{ pu}
: V_{\text{base}} = 1 \text{ pu}

あるいは、電力の基準値が無効電力または皮相電力で与えられる場合もあり、その場合はそれぞれ以下のようになる。

: Q_{\text{base}} = 1 \text{ pu}

または

: S_{\text{base}} = 1 \text{ pu}

残りの単位は、式 S = IV、P = S\cos(\phi)、Q = S\sin(\phi)、および  \underline{V} = \underline{I} \underline{Z}（オームの法則）を用いて、電力と電圧から導出できる。ここで Z は  \underline{Z} = R + j X = Z\cos(\phi) + j Z\sin(\phi) で表される。

: I_{\text{base}} = \frac{S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}} = 1 \text{ pu}
: Z_{\text{base}} = \frac{V_{\text{base}}}{I_{\text{base}}} = \frac{V_{\text{base}}^{2}}{I_{\text{base}}V_{\text{base}}} = \frac{V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}} = 1 \text{ pu}
: Y_{\text{base}} = \frac{1}{Z_{\text{base}}} = 1 \text{ pu}

### 三相

電力と電圧は単相システムと同様に指定される。しかし、三相システムにおいてこれらの用語が通常表す内容の違いにより、導出される単位の関係式は異なる。具体的には、電力は（相電力ではなく）総電力として与えられ、電圧は線間電圧である。
三相システムでも式 P = S\cos(\phi) と Q = S\sin(\phi) は成立する。皮相電力 S は、現在 S_{\text{base}}= \sqrt{3}V_{\text{base}} I_{\text{base}} となる。

: I_{\text{base}} = \frac{S_{\text{base}}}{V_{\text{base}} \times \sqrt{3}} = 1 \text{ pu}
: Z_{\text{base}} = \frac{V_{\text{base}}}{I_{\text{base}} \times \sqrt{3}} = \frac^2}}{S_{\text{base}}} = 1 \text{ pu}
: Y_{\text{base}} = \frac{1}{Z_{\text{base}}} = 1 \text{ pu}

## 単位法の例

単位法の使用例として、500 MW程度の電力を扱い、送電に138 kVの公称電圧を使用する三相送電システムを考える。任意に S_{\mathrm{base}} = 500, \mathrm{MVA} を選択し、公称電圧 138 kV を基準電圧 V_{\mathrm{base}} として使用する。このとき、以下のようになる。

: I_{\text{base}} = \frac{S_{\text{base}}}{V_{\text{base}} \times \sqrt{3}} = 2.09 \mathrm{kA}
: Z_{\text{base}} = \frac{V_{\text{base}}}{I_{\text{base}} \times \sqrt{3}} = \frac{V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}} = 38.1 \Omega
: Y_{\mathrm{base}} = \frac{1}{Z_{\mathrm{base}}} = 26.3 \mathrm{mS}

例えば、ある母線における実際の電圧が 136 kV と測定された場合、以下のようになる。

: V_{\mathrm{pu}} = \frac{V}{V_{\mathrm{base}}} = \frac{136 \mathrm{kV}}{138 \mathrm{kV}} = 0.9855 \mathrm{pu}

## 単位法公式集
以下の単位法公式の表は、Beemanの『Industrial Power Systems Handbook』を基に構成されている。

## 変圧器において
単位法における電圧、電流、インピーダンスは、変圧器の一次側、二次側のどちらに換算しても同じ値になることが示される。

例えば電圧について、変圧器の2つの側（側1と側2）の単位法電圧が同じであることを証明できる。ここで、両側の単位法電圧をそれぞれ *E*1pu および *E*2pu とする。

:
\begin{align}
E_\text{1,pu}&=\frac{E_{1}}{V_\text{base1}}\\
&= \frac {N_{1}E_{2}}{N_{2}V_\text{base1}} \\
&= \frac {N_{1}E_{2}}{N_{2} \frac{N_{1}}{N_{2}} V_\text{base2}}\\
&= \frac {E_{2}} {V_\text{base2}}\\
&= E_\text{2,pu}\\
\end{align}

（出典：Alexandra von Meier Power System Lectures, UC Berkeley）

*E*1 および *E*2 は、側1および側2のボルト単位の電圧である。*N*1 は側1のコイルの巻き数、*N*2 は側2のコイルの巻き数である。*V*base1 および *V*base2 は、側1および側2の基準電圧である。
:  V_\text{base1}=\frac{N_{1}}{N_{2}}V_\text{base2}

電流についても、両側の単位法電流が同じであることを以下のように証明できる。
:
\begin{align}
I_\text{1,pu}&=\frac{I_{1}}{I_\text{base1}}\\
&= \frac {N_{2}I_{2}}{N_{1}I_\text{base1}} \\
&= \frac {N_{2}I_{2}}{N_{1} \frac{N_{2}}{N_{1}} I_{base2}}\\
&= \frac {I_{2}} {I_\text{base2}}\\
&= I_\text{2,pu}\\
\end{align}

（出典：Alexandra von Meier Power System Lectures, UC Berkeley）

ここで、*I*1,pu および *I*2,pu はそれぞれ側1および側2の単位法電流である。このとき、基準電流 *I*base1 と *I*base2 は、*V*base1 と *V*base2 の関係とは逆の関係になる。

:
\begin{align}
I_\text{base1} &= \frac{S_\text{base1}} {V_\text{base1}}\\
S_\text{base1} &= S_\text{base2}\\
V_\text{base2} &= \frac{N_{2}}{N_{1}} V_\text{base1}\\
I_\text{base2} &= \frac{S_\text{base2}} {V_\text{base2}}\\
I_\text{base1} &= \frac{S_\text{base2}} { \frac{N_{1}}{N_{2}} V_\text{base2}}\\
&= \frac{N_{2}}{N_{1}} I_\text{base2}\\
\end{align}


この関係の理由は、エネルギー保存の法則（電力保存）によるものである。
:*S*base1 = *S*base2

変圧器の単位法形式における全負荷銅損は、その抵抗の単位法値に等しい。


\begin{align}
P_\text{cu,FL}&=\text{全負荷銅損}\\
&= I_{R1}^2R_{eq1}\\
\end{align}



\begin{align}
P_\text{cu,FL,pu}&=\frac{P_\text{cu,FL}}{P_\text{base}}\\
&= \frac {I_{R1}^2R_{eq1}} {V_{R1}I_{R1}}\\
&= \frac {R_\text{eq1}} {V_{R1}/I_{R1}}\\
&= \frac {R_\text{eq1}} {Z_{B1}}\\
&= R_\text{eq1,pu}\\
\end{align}


したがって、抵抗を単位法形式で表すことは、それが全負荷銅損をも表すことになるため、より有用であると言える。

上述の通り、単位法システム内には、エンジニアが任意の単位法システムを指定できる2つの自由度がある。その自由度とは、基準電圧（*V*）と基準電力（*S*）の選択である。慣例として、変圧器の両側に対して単一の基準電力（*S*）が選択され、その値は変圧器の定格電力に等しくなる。また慣例として、変圧器のそれぞれの側に対して、それぞれの定格電圧に等しい2つの異なる基準電圧（*V* および *V*）が選択される。このように基準量を選択することで、上述のように変圧器を回路から事実上取り除くことができる。

例：
定格 10 kVA、240/100 V の変圧器を考える。二次側のインピーダンスは 1∠0° Ω であるとする。二次側の基準インピーダンスは以下のようになる。


\begin{align}
Z_\text{base,2}&=\frac{V_\text{base,2}^2}{S_\text{base}}\\
&= \frac {(100\text{ V})^2} {10000\text{ VA}}\\
&= \text{1 }\Omega\\
\end{align}


これは、二次側の単位法インピーダンスが 1∠0° Ω / 1 Ω = 1∠0° pu であることを意味する。このインピーダンスを一次側に換算すると、インピーダンスは以下のようになる。


\begin{align}
Z_{2}&=\left(\frac{240}{100}\right)^2\times\text{1∠0° }\Omega\\
&= \text {5.76∠0° }\Omega\\
\end{align}


一次側の基準インピーダンスも二次側と同様に計算される。


\begin{align}
Z_\text{base,1}&=\frac{V_\text{base,1}^2}{S_\text{base}}\\
&= \frac {(240\text{ V})^2} {10000\text{ VA}}\\
&= \text{5.76 }\Omega\\
\end{align}


これは、単位法インピーダンスが 5.76∠0° Ω / 5.76 Ω = 1∠0° pu となることを意味し、予想通り変圧器の反対側から計算した場合と同じになる。

変圧器を解析するためのもう一つの有用なツールは基準変更公式である。これを用いることで、ある基準電圧と基準電力のセットに基づく基準インピーダンスから、別のセットに基づく基準インピーダンスへと移行できる。これは、二次側電圧が 1.2 kV の変圧器が、定格電圧が 1 kV である別の変圧器の一次側に接続されているような、現実のアプリケーションで特に有用となる。公式は以下の通りである。


\begin{align}
Z_\text{pu,new}&=Z_\text{pu,old} \times \frac{Z_\text{base,old}}{Z_\text{base,new}}=Z_\text{pu,old} \times \left(\frac{V_\text{base,old}}{V_\text{base,new}}\right)^2\times\left(\frac{S_\text{base,new}}{S_\text{base,old}}\right)\\
\end{align}


## 参考文献

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