1/6公式

**1/6公式、6分の1公式**（ろくぶんのいちこうしき）は、定積分に関する以下の等式である。

\int _{\alpha }^{\beta}\mathrm{d}x\left( x-\alpha \right) \left( x-\beta \right)=-\dfrac{1}{6} \left( \beta -\alpha \right) ^{3} 

## 導出
\begin{aligned}
\int_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}x\left( x-\alpha \right) \left( x-\beta \right) &=\int ^{\beta }_{\alpha }\mathrm{d}x\left\{ x^{2}-\left( \alpha +\beta \right) x+\alpha \beta \right\} \\ 
                                                                                 &= \left[ \dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2}\left( \alpha +\beta \right) x^{2}+\alpha \beta x\right] _{\alpha }^{\beta }\\
                                                                                 &= \dfrac{1}{3}\beta ^{3}-\dfrac{1}{2}\left( \alpha +\beta \right) \beta ^{2}+\alpha \beta ^{2}-\dfrac{1}{3}\alpha ^{3}+\dfrac{1}{2}\left( \alpha+\beta \right) \alpha ^{2}-\alpha ^{2}\beta \\
                                                                                 &= \dfrac{1}{3}\beta ^{3}-\dfrac{1}{2}\alpha \beta ^{2}-\dfrac{1}{2}\beta ^{3}+\alpha \beta ^{2}-\dfrac{1}{3}\alpha ^{3}+\dfrac{1}{2}\alpha^{3}-\dfrac{1}{2}\alpha ^{2} \beta -\alpha ^{2}\beta \\
                                                                                 &= -\dfrac{1}{6}\beta ^{3}+\dfrac{1}{2}\alpha \beta ^{2}-\dfrac{1}{2}\alpha ^{2}\beta +\dfrac{1}{6}\alpha ^{3} \\
                                                                                 &= -\dfrac{1}{6}\left( \beta ^{3}-3\alpha ^{2}\beta +3\alpha \beta ^{2}-\alpha ^{3}\right) \\
                                                                                 &= -\dfrac{1}{6}\left( \beta -\alpha \right) ^{3}
\end{aligned}
                                                                          

次のように工夫して計算することもできる。

\begin{aligned}
\int _{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}x\left( x-\alpha \right) \left( x-\beta \right)&= \int _{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}x\left( x-\alpha \right) \left\{ \left( x-\alpha \right) +\left( \alpha-\beta \right) \right\}\\ 
                                                                                 &= \int _{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}x\left\{ \left( x-\alpha \right) ^{2}+\left( \alpha -\beta \right) \left( x-\alpha \right) \right\}\\
                                                                                 &= \left[ \dfrac{1}{3}\left( x-\alpha \right) ^{3}- \dfrac{1}{2} \left( \beta -\alpha \right) \left( x-\alpha \right) ^{2}\right] _{\alpha }^{\beta } \\
                                                                                 &= \dfrac{1}{3} \left( \beta -\alpha \right) ^{3}-\dfrac{1}{2} \left( \beta -\alpha \right) ^{3} \\
                                                                                 &= -\dfrac{1}{6}\left( \beta -\alpha \right) ^{3}
\end{aligned}

また、部分積分を用いて計算することもできる。

\begin{aligned}
\int _{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}x\left( x-\alpha \right) \left( x-\beta \right)&= \left[ \dfrac{1}{2}\left( x-\alpha \right) ^{2}\left( x-\beta \right) \right] _{\alpha }^{\beta }-\int _{\alpha }^{\beta }\!\mathrm{d}x\ \dfrac{1}{2}\left( x-\alpha \right) ^{2} \\
                                                                                 &= -\left[ \dfrac{1}{6}\left( x-\alpha \right) ^{3}\right] _{\alpha }^{\beta } \\
                                                                                 &= -\dfrac{1}{6}\left( \beta-\alpha \right) ^{3}
\end{aligned}

## 利用
放物線と直線で囲まれた図形の面積を素早く求めることができる。

例えば、xy平面上の放物線y=x^2+4x-5と直線y=2x-2で囲まれた図形の面積を求めるためには\int _{-3}^{1}\mathrm{d}x\left( -x^{2}-2x+3 \right)の計算が必要になるが、これを\int _{-3}^{1}\mathrm{d}x- \left( x+3\right) \left( x-1\right)と変形すると1/6公式により\dfrac{1}{6}\left( 1+3\right) ^{3}=\dfrac{32}{3}となり、素早く計算することができる。

また、1/6公式の応用として、

* 放物線y=ax^{2}+bx+cと直線の交点のx座標を\alpha,\beta (\alphaとおくと、この放物線と直線で囲まれた部分の面積は\dfrac{\left| a\right| }{6}\left( \beta -\alpha \right) ^{3}と計算できる。

* 放物線y=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}とy=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}の交点のx座標を\alpha,\beta (\alphaとおくと、この2つの放物線で囲まれた部分の面積は\dfrac{\left| a_{1}-a_{2}\right| }{6}\left( \beta -\alpha \right) ^{3}と計算できる。

1/6公式の一般化として、\int _{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}x\ \left( x-\alpha \right) ^{m}\left( \beta -x\right) ^{n}=\dfrac{m!\cdot n!}{\left( m+n+1\right) !}\left( \beta -\alpha \right) ^{m+n+1}がある。

## その他
途中計算の記述が不要であるマークシート試験において、積分計算に使われることがある。

大阪大学の2022年度の文系の数学の入試問題において、1/6公式に似た等式を証明する問題が出題された。

## 出典