ウィグナーのD行列

**ウィグナーの行列**（ウィグナーのDぎょうれつ、）は、SU(2)およびの既約表現におけるユニタリ行列である。行列の複素共役は球対称なのハミルトニアンの固有関数である。1927年にユージン・ウィグナーにより導入された。は「表現、表示」を意味するの頭文字からとられている。

## 定義
をSU(2)およびSO(3)のリー代数の生成子とする。量子力学において、これらの3つの演算子は角運動量演算子のベクトル成分である。たとえば、原子内における電子の軌道角運動量、電子のスピン角運動量、剛体回転子の角運動量として現われる。

これら全ての場合において、上の3演算子は次の交換関係を満たす。

:  [J_x,J_y] = i J_z,\quad [J_z,J_x] = i J_y,\quad [J_y,J_z] = i J_x 

ここで、は虚数単位であり、ディラック定数は1とした。

:  J^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2 

はこれらすべてのリー代数生成子と交換する。したがって、と同時に対角化することができる。

ここから球面基底、すなわち次を満たすケットからなる完全系を定義することができる。

:  J^2 |jm\rangle = j(j+1) |jm\rangle,\quad J_z |jm\rangle = m |jm\rangle

ここで、SU(2)の場合 、SO(3) の場合であり、どちらの場合でも である。

3次元回転演算子を以下のように書くこととする。

: \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) = e^{-i\alpha J_z}e^{-i\beta J_y}e^{-i\gamma J_z}

ここで、 はオイラー角である（zyz規約、右手系、右ねじの法則、active interpretationを採用する）。

**ウィグナーの行列**はこの球面基底上で回転演算子を表現する次元ユニタリ正方行列であり、以下の行列要素を持つ。

: D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma) \equiv \langle jm' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| jm \rangle =e^{-im'\alpha } d^j_{m'm}(\beta)e^{-i m\gamma}

ここで、

: d^j_{m'm}(\beta)= \langle jm' |e^{-i\beta J_y} | jm \rangle = D^j_{m'm}(0,\beta,0) 

は**ウィグナーの（小文字）行列**の行列要素である。

したがって、この基底では

:  D^j_{m'm}(\alpha,0,0) = e^{-im'\alpha } \delta_{m'm} 

は対角行列で、要素についても同様だが、要素については対角行列でない。

## ウィグナーの（小文字）行列
ウィグナーは次の式を与えた。

: d^j_{m'm}(\beta) =[(j+m')!(j-m')!(j+m)!(j-m)!]^{\frac{1}{2}} \sum_{s=s_{\mathrm{min}}}^{s_{\mathrm{max}}} \left[\frac{(-1)^{m'-m+s} \left(\cos\frac{\beta}{2}\right)^{2j+m-m'-2s}\left(\sin\frac{\beta}{2}\right)^{m'-m+2s}}{(j+m-s)!s!(m'-m+s)!(j-m'-s)!} \right]

は、分母の階乗が非負になるような範囲、すなわち s_{\mathrm{min}}=\mathrm{max}(0,m-m') から s_{\mathrm{max}}=\mathrm{min}(j+m,j-m') までの総和をとる。

注：ここで定義される行列の行列要素は実数である。よく使われるz-x-z規約のオイラー角では、上式における係数(-1)^{m'-m+s}は(-1)^s i^{m-m'}と置き換わり、半数が純虚数となる。行列の要素の実数性は量子力学的応用上好ましく、ここでz-y-z規約を採用した理由の一つである。

行列の要素はを非負としてP^{(a,b)}_k(\cos\beta)と関連づけることができる。

:  k = \min(j+m, j-m, j+m', j-m')

とし、

: k = \begin{cases}
        j+m:  & a=m'-m;\quad \lambda=m'-m\\
        j-m:  & a=m-m';\quad \lambda= 0 \\
        j+m': & a=m-m';\quad \lambda= 0 \\
        j-m': & a=m'-m;\quad \lambda=m'-m \\
\end{cases}

b=2j-2k-aかつ a,b \ge 0とすると、次の式がなりたつ。

: d^j_{m'm}(\beta) = (-1)^{\lambda} \binom{2j-k}{k+a}^{\frac{1}{2}} \binom{k+b}{b}^{-\frac{1}{2}} \left(\sin\frac{\beta}{2}\right)^a \left(\cos\frac{\beta}{2}\right)^b P^{(a,b)}_k(\cos\beta)

## ウィグナーの行列の性質
行列の複素共役が満たすさまざまな性質を簡潔にあらわすため、次の演算子(x, y, z) = (1, 2, 3)を導入する。

: \begin{align}
\hat{\mathcal{J}}_1 &= i \left( \cos \alpha \cot \beta \frac{\partial}{\partial \alpha} + \sin \alpha {\partial \over \partial \beta} - {\cos \alpha \over \sin \beta} {\partial \over \partial \gamma} \right) \\
\hat{\mathcal{J}}_2 &= i \left( \sin \alpha \cot \beta {\partial \over \partial \alpha} - \cos \alpha {\partial \over \partial \beta} - {\sin \alpha \over \sin \beta} {\partial \over \partial \gamma} \right) \\
\hat{\mathcal{J}}_3 &= - i {\partial \over \partial \alpha}
\end{align}

これらは量子力学的には空間に固定した剛体回転子の角運動量演算子を意味する。

さらに、次のような演算子を定義する。

: \begin{align}
\hat{\mathcal{P}}_1 &= i \left( {\cos \gamma \over \sin \beta}{\partial \over \partial \alpha } - \sin \gamma {\partial \over \partial \beta }- \cot \beta \cos \gamma {\partial \over \partial \gamma} \right)\\
\hat{\mathcal{P}}_2 &= i \left( - {\sin \gamma \over \sin \beta} {\partial \over \partial \alpha} - \cos \gamma
 {\partial \over \partial \beta} + \cot \beta \sin \gamma {\partial \over \partial \gamma} \right) \\
\hat{\mathcal{P}}_3 &= - i {\partial\over \partial \gamma}
\end{align}

これは量子力学的には物体に固定した剛体回転子の角運動量演算子を意味する。

これらの演算子は次の交換関係および巡回的に添字を入れ換えた相当する交換関係を満たす。

:  \left[\mathcal{J}_1, \mathcal{J}_2\right] = i \mathcal{J}_3,\quad \left[\mathcal{P}_1, \mathcal{P}_2\right] = -i \mathcal{P}_3

\mathcal{P}_i は *anomalous commutation relations*（右辺にマイナス符号がつく）を満たしている。

これら二つの組は相互に交換する。

: \left[\mathcal{P}_i, \mathcal{J}_j\right] = 0,\quad i, j = 1, 2, 3,

また、それぞれの二乗和は一致する。

: \mathcal{J}^2 \equiv \mathcal{J}_1^2+ \mathcal{J}_2^2 + \mathcal{J}_3^2 = \mathcal{P}^2 \equiv \mathcal{P}_1^2+ \mathcal{P}_2^2 + \mathcal{P}_3^2

これを陽に書き下すと以下のようになる。

: \mathcal{J}^2= \mathcal{P}^2 =-\frac{1}{\sin^2\beta} \left( \frac{\partial^2}{\partial \alpha^2} +\frac{\partial^2}{\partial \gamma^2} -2\cos\beta\frac{\partial^2}{\partial\alpha\partial \gamma} \right)-\frac{\partial^2}{\partial \beta^2} -\cot\beta\frac{\partial}{\partial \beta}

演算子 \mathcal{J}_i は行列の最初の添字（行）に作用する。

: \begin{align}
\mathcal{J}_3 D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* &=m' D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^*  \\
(\mathcal{J}_1 \pm i \mathcal{J}_2) D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* &= \sqrt{j(j+1)-m'(m'\pm 1)} D^j_{m'\pm 1, m}(\alpha,\beta,\gamma)^* 
\end{align}

演算子\mathcal{P}_i は行列の2番目の添字（列）に作用する。

: \mathcal{P}_3 D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* = m D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^*

また、\mathcal{P}_iの満たすanomalous commutation relationのため、昇降演算子は次のように通常とは符号を反転させたかたちで定義される。

: (\mathcal{P}_1 \mp i \mathcal{P}_2) D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* = \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)} D^j_{m', m\pm1}(\alpha,\beta,\gamma)^*

さらに、以下がなりたつ。

: \mathcal{J}^2 D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* =\mathcal{P}^2 D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* = j(j+1) D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^*

したがって、ウィグナーの行列（の複素共役）の行と列は\{\mathcal{J}_i\}および\{-\mathcal{P}_i\}が生成する同型リー代数の既約表現を張る。

 \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) と時間反転演算子との交換関係から帰結する、ウィグナーの行列の重要な性質として、以下がなりたつ。

: \langle jm' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| jm \rangle = \langle jm' | T^{ \dagger} \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) T| jm \rangle =(-1)^{m'-m} \langle j,-m' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| j,-m \rangle^*

もしくは

: D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma) = (-1)^{m'-m} D^j_{-m',-m}(\alpha,\beta,\gamma)^*

ここで、がであること（したがってをケットからブラに移す際に複素共役が出る）、 T | jm \rangle = (-1)^{j-m} | j,-m \rangle、(-1)^{2j-m'-m} = (-1)^{m'-m}を用いた。

さらに、対称性から以下がいえる。

: (-1)^{m'-m}D^{j}_{mm'}(\alpha,\beta,\gamma)=D^{j}_{m'm}(\gamma,\beta,\alpha) 

## 直交関係
ウィグナーの行列の要素D^j_{mk}(\alpha,\beta,\gamma)は、オイラー角の直交関数群を成す。

: \int_0^{2\pi} d\alpha \int_0^\pi d\beta \sin \beta \int_0^{2\pi} d\gamma \,\, D^{j'}_{m'k'}(\alpha,\beta,\gamma)^\ast D^j_{mk}(\alpha, \beta, \gamma) = \frac{8\pi^2}{2j+1} \delta_{m'm}\delta_{k'k}\delta_{j'j}

これはシューアの直交関係の特殊例である。

により、これらは完全系を成すことが重要である。

D^j_{mk}(\alpha,\beta,\gamma)がある球面基底 | lm \rangleを別の球面基底 \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) | lm \rangleに移すユニタリ変換であることをあらわす、次の関係式が成り立つ。

: \sum_k   D^j_{m'k}(\alpha, \beta, \gamma)^* D^j_{mk}(\alpha, \beta, \gamma)  = \delta_{m,m'},
: \sum_k   D^j_{k m'}(\alpha, \beta, \gamma)^* D^j_{km}(\alpha, \beta, \gamma)  = \delta_{m,m'}

SU(2)の指標は回転角のみに依存する類関数であることから、回転軸に依存せず次式がなりたつ。

: \chi^j (\beta)\equiv \sum_m D^j_{mm}(\beta)=\sum_m d^j_{mm}(\beta) = \frac{\sin\left (\frac{(2j+1)\beta}{2} \right )}{\sin \left (\frac{\beta}{2} \right )}

このため、群のハール測度を通じてより単純な以下の直交関係がなりたつ。

: \frac{1}{\pi} \int _0^{2\pi} d\beta \sin^2 \left (\frac{\beta}{2} \right )  \chi^j (\beta)  \chi^{j'}(\beta)=  \delta_{j'j}

また、以下の完全性関係式もなりたつ。

: \sum_j \chi^j (\beta) \chi^j (\beta')= \delta (\beta -\beta')

したがって、 のとき以下がなりたつ。

: \sum_j \chi^j (\beta) (2j+1)= \delta (\beta )

## ウィグナーの行列のクロネッカー積とクレブシュ–ゴルダン係数
クロネッカー積行列の集合、

: 
 \mathbf{D}^j(\alpha,\beta,\gamma)\otimes \mathbf{D}^{j'}(\alpha,\beta,\gamma)


はSO(3)群およびSU(2)群の可約行列表現を与える。既約成分への簡約化は以下の式により行われる。

: 
  D^j_{m k}(\alpha,\beta,\gamma) D^{j'}_{m' k'}(\alpha,\beta,\gamma) =
  \sum_{J=|j-j'|}^{j+j'}  \langle j m j' m' | J \left(m + m'\right) \rangle
               \langle j k j' k' | J \left(k + k'\right) \rangle
  D^J_{\left(m + m'\right) \left(k + k'\right)}(\alpha,\beta,\gamma)


記号\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangleはクレブシュ–ゴルダン係数である。

## 球面調和関数およびルジャンドル多項式との関係
整数に対し、行列の2番目の添字を0とした要素は、コンドン–ショートレーの位相則を用い、正規化された球面調和関数およびルジャンドル陪多項式に比例する。

: 
D^{\ell}_{m 0}(\alpha,\beta,\gamma) = \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} Y_{\ell}^{m*} (\beta, \alpha ) = \sqrt{\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}}  \, P_\ell^m ( \cos{\beta} ) \, e^{-i m \alpha }


したがって、行列について以下の関係式がなりたつ。

: 
d^{\ell}_{m 0}(\beta) = \sqrt{\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}}  \, P_\ell^m ( \cos{\beta} )


このため、球面調和関数の回転  \langle \theta, \phi| \ell m'\rangle は実質二つの回転の合成となる。

: 
 \sum^\ell_{m'=-\ell} Y_{\ell}^ {m'} (\theta, \phi )  ~ D^{\ell}_{m' ~m }(\alpha,\beta,\gamma)


両方の添字をゼロとしたとき、ウィグナーの行列の要素はルジャンドル多項式となる。

: 
  D^{\ell}_{0,0}(\alpha,\beta,\gamma) = d^{\ell}_{0,0}(\beta) = P_{\ell}(\cos\beta)


本項で用いたオイラー角の規約では、はlongitudinal angle、はcolatitudinal angle（球面極座標系における極角）である。これが分子物理学においてz-y-z規約がよく用いられる理由の一つである。ウィグナーの行列の時間反転特性からただちに次がいえる。

: 
\left( Y_{\ell}^m \right) ^* = (-1)^m Y_{\ell}^{-m}


との間には、より一般化された関係式がなりたつ。

: 
D^{\ell}_{m s}(\alpha,\beta,-\gamma) =(-1)^s \sqrt\frac{4\pi}{2{\ell}+1} {}_sY_{\ell}^m(\beta,\alpha) e^{is\gamma}


## ベッセル関数との関係
\ell \gg m, m^\primeなる極限の下では、以下がなりたつ。

: D^\ell_{mm'}(\alpha,\beta,\gamma) \approx e^{-im\alpha-im'\gamma}J_{m-m'}(\ell\beta)

ここで、J_{m-m'}(\ell\beta)はベッセル関数であり、 \ell\betaは有限とする。

## 行列の要素の一覧
ウィグナーらによる符号規約を用いると、における行列の要素d^j_{m'm}(\theta) は以下のように与えられる。

の場合、

: \begin{align}
d_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} &= \cos \frac{\theta}{2} \\[6pt]
d_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} &= -\sin \frac{\theta}{2}
\end{align}

の場合、

: \begin{align}
d_{1,1}^{1}  &= \frac{1}{2} (1+\cos \theta) \\[6pt]
d_{1,0}^{1}  &= -\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta \\[6pt]
d_{1,-1}^{1} &= \frac{1}{2} (1-\cos \theta) \\[6pt]
d_{0,0}^{1}  &= \cos \theta
\end{align}

の場合、

: \begin{align}
d_{\frac{3}{2}, \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} &=  \frac{1}{2} (1+\cos \theta) \cos \frac{\theta}{2} \\[6pt]
d_{\frac{3}{2}, \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} &= -\frac{\sqrt{3}}{2} (1+\cos \theta) \sin \frac{\theta}{2} \\[6pt]
d_{\frac{3}{2},-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} &=  \frac{\sqrt{3}}{2} (1-\cos \theta) \cos \frac{\theta}{2} \\[6pt]
d_{\frac{3}{2},-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} &= -\frac{1}{2} (1-\cos \theta) \sin \frac{\theta}{2} \\[6pt]
d_{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} &=  \frac{1}{2} (3\cos \theta - 1) \cos \frac{\theta}{2} \\[6pt]
d_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} &= -\frac{1}{2} (3\cos \theta + 1) \sin \frac{\theta}{2}
\end{align}

の場合、

: \begin{align}
d_{2,2}^{2}  &= \frac{1}{4}\left(1 +\cos \theta\right)^2  \\[6pt]
d_{2,1}^{2}  &= -\frac{1}{2}\sin \theta \left(1 + \cos \theta\right)  \\[6pt]
d_{2,0}^{2}  &= \sqrt{\frac{3}{8}}\sin^2 \theta  \\[6pt]
d_{2,-1}^{2} &= -\frac{1}{2}\sin \theta \left(1 - \cos \theta\right)  \\[6pt]
d_{2,-2}^{2} &= \frac{1}{4}\left(1 -\cos \theta\right)^2  \\[6pt]
d_{1,1}^{2}  &= \frac{1}{2}\left(2\cos^2\theta + \cos \theta-1 \right) \\[6pt]
d_{1,0}^{2}  &= -\sqrt{\frac{3}{8}} \sin 2 \theta  \\[6pt]
d_{1,-1}^{2} &= \frac{1}{2}\left(- 2\cos^2\theta + \cos \theta +1 \right)  \\[6pt]
d_{0,0}^{2}  &= \frac{1}{2} \left(3 \cos^2 \theta - 1\right)
\end{align}

ウィグナーの行列の下付き添字の交換については、以下の関係式がなりたつ。

: d_{m', m}^j = (-1)^{m-m'}d_{m, m'}^j = d_{-m,-m'}^j

## 対称性と特殊例

: \begin{align}
d_{m',m}^{j}(\pi)        &= (-1)^{j-m}  \delta_{m',-m} \\[6pt]
d_{m',m}^{j}(\pi-\beta)  &= (-1)^{j+m'}  d_{m',-m}^{j}(\beta)\\[6pt]
d_{m',m}^{j}(\pi+\beta)  &= (-1)^{j-m}  d_{m',-m}^{j}(\beta)\\[6pt]
d_{m',m}^{j}(2\pi+\beta) &= (-1)^{2j}    d_{m',m}^{j}(\beta)\\[6pt]
d_{m',m}^{j}(-\beta)     &= d_{m,m'}^{j}(\beta) = (-1)^{m'-m} d_{m',m}^{j}(\beta)
\end{align}

## 関連項目

* クレブシュ–ゴルダン係数
* 
* 

## 出典

## 外部リンク

* PDG Table of Clebsch-Gordan Coefficients, Spherical Harmonics, and d-Functions