ペトル=ダグラス=ノイマンの定理

幾何学において、**ペトル–ダグラス–ノイマンの定理**（ペトル–ダグラス–ノイマンのていり、）は、平面上の任意の多角形と正多角形に関する定理である。1905年と1908年、プラハとドイツにおけるカレル・ペトルの出版による発表が初出であり、その後、それぞれ1940年と1941年にジェス・ダグラスとベルンハルト・ノイマンによって、独自に再発見された。命名はStephen B Grayによる。ペトル=ダグラス=ノイマンの定理は、**ダグラスの定理**（Douglas's theorem）、**ダグラス–ノイマンの定理**（Douglas–Neumann theorem）、**ナポレオン–ダグラス–ノイマンの定理**（Napoleon–Douglas–Neumann theorem）、**ペトルの定理**（Petr's theorem）、**PDN定理**（PDN-theorem）などとも呼ばれる。

ペトル=ダグラス=ノイマンの定理はナポレオンの定理、ヴァン・オーベルの定理の一般化となっている。

## 内容
ペトル=ダグラス=ノイマンの定理の主張は以下のとおりである。

## 三角形の場合

とすることで、を満たす整数は1のみである。つまり任意の三角形のそれぞれの辺上に頂角120°の二等辺三角形を作ったとき、それら頂点からなる三角形であるナポレオンの三角形と呼ばれる正三角形の中心が、元の三角形の重心と一致する。これはナポレオンの定理である。

## 四角形の場合
四角形の場合、なので*k*は1,2である。したがって二等辺三角形の頂角は以下のようになる。

\frac{(2\times 1\times\pi)}{4}=\frac{\pi}{2}=90^{\circ} \quad (k=1) 
\frac{(2\times 2\times\pi)}{4}=\pi=180^{\circ} \quad (k=2) 

ペトル=ダグラス=ノイマンの定理によれば四角形は正方形である。の順序によって、二つの方法でを作成できる。ただし頂角πの二等辺三角形の頂点は底辺の中点とする。

### A<sub>1</sub>をπ/2、A<sub>2</sub>をπとした場合の作図
を、頂角かつ、四角形の辺を底辺とする二等辺三角形の頂点が成す四角形とする。はの辺の中点が成す四角形で、正方形となる。

の頂点はのそれぞれ辺を一辺とする正方形の中心である。また、はのヴァリニョンの平行四辺形であり、その同値条件からは対角線の長さが等しい且つ直交する四角形であることが分かる。すなわちこれは、ヴァン・オーベルの定理である。

### A<sub>1</sub>をπ、A<sub>2</sub>をπ/2とした場合の作図
は四角形のヴァリニョンの平行四辺形である。ペトル=ダグラス=ノイマンの定理よりをのそれぞれの辺を底辺とする、頂角の三角形の頂点が成す四角形は正方形である。すなわちこれは、テボーの問題Iである。

### 四角形におけるペトル=ダグラス=ノイマンの定理の画像

## 五角形の場合

五角形においては、よりで二等辺三角形の頂角は以下のようになる。

\frac{(2\times 1\times\pi)}{5}=\frac{2\pi}{5}=72^{\circ} \quad (k=1) 
\frac{(2\times 2\times\pi)}{5}=\frac{4 \pi}{5}=144^{\circ} \quad (k=2) 
\frac{(2\times 3\times\pi)}{5}=\frac{6\pi}{5}=216^{\circ} \quad (k=3) 

ペトル=ダグラス=ノイマンの定理によれば、 は正五角形である。3つの角の順序によって下の表の様に6つの正五角形ができる。

## 定理の証明
この定理の証明はn角形の頂点を複素数で表すことから始まる。 複素''n''次元空間の列ベクトルでn角形Aを以下の様に表す。

A=\begin{pmatrix} 
a_1  \\ 
a_2  \\
\vdots \\
a_n
\end{pmatrix}

多角形*B*をAのそれぞれの辺を底辺とする頂角の二等辺三角形の頂点の成すn角形として、以下の様に置く。

B=\begin{pmatrix} 
b_1  \\ 
b_2  \\
\vdots \\
b_n
\end{pmatrix}

ここで*i*を虚数単位、eをネイピア数として、とおくと

\alpha(a_r-b_r)=a_{r+1}-b_r

が成り立つので

b_r=(1-\alpha)^{-1}(a_{r+1}-\alpha a_r)

を得る。をに変換する行列、線型作用素をとする（とする）。また*I*をの単位行列として*B*を以下のように表せる。

B=(1-\alpha)^{-1}(S-\alpha I)A

つまりj番目の過程で得られる多角形がと以下の関係にあることを意味する。

A_{j+1}=(1-\omega^{\sigma_{j}})^{-1}(S-\omega^{\sigma_{j}}I)A_j \quad \ldots (1)

ここでは1の原始n乗根で、は整数列の *j*番目の項である。

下記のように、からすべての作用素を掛け合わせたものは、行列 が巡回行列であるため、積は順列*σ*の順序に依らない。

\prod_{j=1}^{n-2}(1-\omega^{j})^{-1}(S-\omega^{j}I)

多角形が正多角形であることを示すには、*P*の辺が隣の辺をで回転したものであること、つまり

p_{r+1}-p_{r}=\omega(p_{r+2}-p_{r+1})

を示さなければならない。

この条件は以下の様にまとめられる。

(S-I)(I-\omega S)P=0または、(S-I)(S-\omega^{n-1}I)P=0 \quad (\because \omega^{n}=1)

が正多角形であることは、次のような計算を施すことで示すことができる。

(S-I)(S-\omega^{n-1}I)A_{n-2}
=(S-I)(S-\omega^{n-1}I)(1-\omega)^{-1}(S-\omega I)(1-\omega^{2})^{-1}(S-\omega^{2}I)\ldots (1-\omega^{n-2})^{-1}(S-\omega^{n-2}I)A_{0}
=\prod_{j=1 }^{n-2}\Bigl((1-\omega^{j})^{-1}\Bigr)\cdot\prod_{j=0}^{n-1}\Bigl((S-\omega^{j}I)\Bigr)\cdot A_{0}
=\prod_{j=1}^{n-2}\Bigl((1-\omega^{j})^{-1}\Bigr)\cdot(S^n-I)A_{0}
=0 \quad (\because S^n=I)

幾何中心が一致する事を示すには、すべての頂点の相加平均を求めればよい。Aをn個の成分をもつベクトルとして、幾何中心を複素内積によって表すことを考えると、として

c_{A}=EA

である。式(1)の両辺に*E*をかけると、

c_{A_{j+1}}=EA_{j+1}=(1-\omega^{\sigma_{j}})^{-1}E(S-\omega^{\sigma_{j}}I)A_j=(1-\omega^{\sigma_{j}})^{-1}(1-\omega^{\sigma_{j}})EA_j=EA_j=c_{A_j}

を得る。したがってすべての幾何中心は一致する。

## 出典

## 外部リンク
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