接続 (ベクトル束)

ベクトルバンドルの**接続**（せつぞく、）とは、微分幾何学の概念で、接ベクトルバンドルやより一般のベクトルバンドルに微分概念を定義する演算子である。接続に定義される微分概念を**[[共変微分]]**という。

接続および共変微分の概念は元々リーマン多様体上のベクトル場の微分を定義するために導入されたもので、この接続を**[[レヴィ・チヴィタ接続|レヴィ-チヴィタ接続]]**という。一般の接続概念はレヴィ-チヴィタ接続の満たす性質を自然に一般のベクトルバンドル拡張する事で得られる。

接続によって定まる重要な概念の一つとして**平行**がある。これは与えられたベクトル場の与えられた曲線に沿った共変微分がになる、という趣旨の概念で、曲線に沿って平行なベクトル場（あるいはより一般にベクトルバンドルの切断）により、曲線の起点におけるベクトルが曲線の終点曲線の起点におけるベクトルに**平行移動**されたとみなす。
これにより、（何ら構造が定義されていない）多様体では無関係なはずの点におけるベクトルと点におけるベクトルにおけるベクトルを「接続」して関係づけて考える事ができる。

接続によって定まるもう一つの重要概念として**[[曲率]]**があり、これはベクトルバンドルの「曲がり具合」を表している。特に接ベクトルバンドルの曲率は多様体それ自身の「曲がり具合」とみなせる。曲率概念は歴史的には3次元ユークリッド空間\mathbb{R}^3内の曲面に対して定義されたものだが、実は「外の空間」である\mathbb{R}^3がなくても定義できる曲面に内在的な量である事が示されたので、これを一般のリーマン多様体（の接ベクトルバンドル）、さらには一般のベクトルバンドルに対して拡張したものである。多様体に内在的な量としてみなしたとき、曲率の幾何学的意味は、閉曲線に沿ってベクトルを一周平行移動したとき、もとのベクトルとどの程度ずれるかを測った量であるとみなせる。

接続概念はゲージ理論やチャーン・ヴェイユ理論で用いられる。特にチャーン・ヴェイユ理論の特殊ケースとして、曲面に関する古典的なガウス・ボンネの定理を一般の偶数次元多様体に拡張するのに役立つ。

## 準備

### 切断とその性質
接続の概念を定義するため、ベクトルバンドル関連の概念をいくつか定義する。
定義から分かるように、**接バンドルの切断の概念は、のベクトル場の概念に一致する**。よって上のベクトル場全体の集合\mathfrak{X}(M)は\Gamma(TM)に一致する。

可微分多様体上の可微分な2つのベクトルバンドル\pi_1~:~ E_1 \to M、\pi_2~:~ E_2 \to Mに対し、写像
: \alpha ~:~ \Gamma(E_1) \to \Gamma(E_2)


を考える。実は次が成立する：また次が成立する：

### レヴィ-チヴィタ接続

一般のベクトルバンドルに対する接続を定義するため、レヴィ-チヴィタ接続について簡単に振り返る。

を\mathbb{R}^nの部分多様体とし、、を上のベクトル場とするとき、
:
\nabla_X Y := \Pr\left( {d \over dt}Y_{\exp(tX)}\Bigg|_{t=0}\right) 

により定義する。ここで\exp(tX)(u)は時刻に点u \in Mを通るの積分曲線である。実はこれらの量はの内在的な量である事、すなわち\mathbb{R}^nからに誘導されるリーマン計量（とその偏微分）のみから計算できる事が知られている。

そこで\nabla_XYをリーマン多様体(M,g)に内在的な値とみなしたものを考える事ができる。この\nabla_XYは以下の公理で特徴づけられる事が知られている：

ここで**'、**'、**'は**'上の任意の可微分なベクトル場であり、**'、**'は**'上定義された任意の実数値級関数であり、**'、**'は任意の実数であり、<math>fY</math>は点<math>u \in M</math>において<math>f(u)Y_u</math>となるベクトル場であり、<math>X(f)</math>は**'の**'方向微分であり、<math>[X,Y]</math>はである。


具体的には局所座標<math>(x^1,\ldots,x^m)</math>を使って、<math>X = X^j\tfrac{\partial}{\partial x^j} </math>、
: <math>\nabla_X Y=\left(X^j{\partial Y^i \over \partial x^j} + X^jY^k \Gamma^i_{jk}\right){\partial  \over \partial x^i}</math>
: 　　　where <math> \Gamma^i_{jk} = \frac{1}{2} g^{i\ell} \left(
{\partial g_{k\ell}\over \partial x^j} 
+ {\partial g_{\ell j}\over \partial x^k} 
- {\partial g_{jk}\over \partial x^{\ell}} \right) </math>
と書ける。<math>\Gamma^i{}_{jk}</math>を局所座標<math>(x^1,\ldots,x^m)</math>に関する**クリストッフェル記号**という。

== ベクトルバンドルの接続 ==
レヴィ-チヴィタ接続の概念を一般化したものとして、[[ベクトル束|ベクトルバンドル]]に対する**接続**の概念がある。接続の概念は[[ゲージ理論]]や[[チャーン・ヴェイユ理論]]で重要な役割を果たす。本項では、議論の一般性を確保するために接続の概念を導入するが、あくまでレヴィ-チヴィタ接続やそこから誘導される接続を主軸として話を進める。

===定義===
<math>\pi~:~E\to M</math>を可微分多様体上の可微分な実ベクトルバンドルとし（、のいずれにもリーマン計量が入っているとは限らない）、<math>\Gamma(E)</math>をの切断全体の集合とし、<math>\mathcal{X}(M):=\Gamma(TM)</math>を上のベクトル場全体の集合とする。

接続は前述した[[#リーマン幾何学の基本定理|レヴィ-チヴィタ接続の公理的特徴づけ]]の5つの性質のうち3つを使って定義される：


ここでは上の任意のベクトル場であり、はの任意の切断であり、は上定義された任意の実数値可微分関数であり、<math>fX</math>は点において<math>f(P)X_P</math>となるベクトル場であり、<math>X(f)</math>はの方向微分である。明らかにレヴィ-チヴィタ接続はアフィン接続である

なお、Koszul接続の事を**線形接続**（）と呼ぶ文献もあるが、この言葉をアフィン接続の意味で用いている文献や、接バンドルの上の[[接続 (微分幾何学)#主接続の節|接続]]の意味で用いている文献もあるので注意が必要である。

また**アフィン接続**という名称ではあるが、この接続に関する事項、例えば平行移動は線形変換になり、（線形変換以外の）アフィン変換にはならない。この名称は、この接続をカルタン接続とみなしたときにアフィン空間をモデルとするカルタンの幾何学とみなせる事による。詳細は[[カルタンの幾何学]]の項目を参照されたい。


に計量が定義されているときには、以下の概念を定義できる：また、<math>E=TM</math>の場合、すなわちが多様体上のアフィン接続である場合は以下のテンソルを定義できる：捩率テンソルの詳細は[[#捩率テンソルの節|後の節で]]述べる。

[[#リーマン幾何学の基本定理|リーマン幾何学の基本定理]]から、レヴィ-チヴィタ接続とは、（唯一の）捩れなしの計量アフィン接続として特徴づけられる。

ライプニッツ則を用いると、以下を示す事ができる：

====別定義====

<math>\nabla_{X}s</math>はに関して<math>C^{\infty}(M)</math>-線形であり、したがって点における値<math>\nabla_{X}s|_P</math>がのにおける値のみから決まる。この事に着目すると、接続を若干違った角度から定式化できる。これを見るため、に値を取る線形写像<math>\nabla s |_P</math>を
: <math>\nabla s|_P ~:~ X_P \in TM \mapsto \nabla_{X_P} s|_P \in E
</math>

と定義すると、余接ベクトル空間の定義から、

: <math>\nabla s|_P \in (T^*M \otimes E)_P
</math>

とみなせる。そこでの各点に<math>\nabla s|_P \in (T^*M \otimes E)_P
</math>を対応させる切断

: <math>\nabla s~:~P\in M \mapsto \nabla s|_P \in (T^*M \otimes E)_P
</math>

を考える事ができる。よって接続<math>\nabla</math>は、の切断に<math>T^*M \otimes E 
</math>の切断を対応させる写像

: <math>\nabla :~\Gamma(E) \to \Gamma(T^*M \otimes E)
</math>

とみなせる。この事実を用いると、接続<math>\nabla</math>を以下のようにも定義できる：上記の２つの定義は同値であるが、後者はを明示しない分数学的取り扱いが若干楽になる場合が多い。

=== 接続形式 ===
<math>(e_1,\ldots,e_m)</math>を開集合<math>U \subset M</math>上で定義されたの局所的な基底とする。接続<math>\nabla_Xs</math>はに関して局所演算子であったので、<math>\nabla</math>のへの制限<math>\nabla^U</math>を考える事ができる。以下、紛れがなければ<math>\nabla^U</math>の事を単に<math>\nabla</math>と書く。

を上のベクトル場とし、<math>s = s^je_j</math>をの切断とすると、接続の定義から

: <math>\nabla_X s =X(s^j)e_j + s^j \nabla_X e_j</math> 

である。この式は、共変微分<math>\nabla_Xs = \nabla_X(s^je_j) </math>に[[積の微分法則|ライプニッツ則]]を適用して係数部分の微分<math>X(s^j)e_j</math>と基底部分の微分<math>s^j \nabla_X e_j</math>の和として表現したものと解釈できる。

そこで以下のような定義をする：


定義から明らかに、
: <math>\nabla_X s =X(s^j)e_j + s^j \omega^i{}_j(X) e_i</math> 
である。

さらに<math>\omega^i{}_j</math>を成分で、

と表記すると、
:<math>
\nabla_Xs= \left(X^k{\partial s^i\over \partial x^k}
+ X^ks^j\Gamma_{kj}^i\right)e_i
</math>
とレヴィ-チヴィタ接続のときと同様の成分表示が得られる。<math>\Gamma_{kj}^i</math>を（局所座標<math>x=(x^1,\ldots,x^m)</math>と局所的な基底<math>e_1,\ldots,e_n</math>に関する）**接続係数**（）、あるいはレヴィ-チヴィタ接続の場合の名前を流用し、**クリストッフェル記号**という。

=== 捩率テンソル ===

本節ではアフィン接続
: <math>\nabla~:~\mathfrak{X}(M) \times \mathfrak{X}(M) \to \mathfrak{X}(M)</math>

に対し、[[#捩率テンソルの定義|先に定義した]]捩率テンソル

: <math>T_{\nabla}(X,Y):=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]</math>

の性質を述べる。

==== 意味づけ ====
「捩率」という名称に関しては[[:en:Loring W. Tu|Loring W. Tu]]によれば「<math>T_{\nabla}(X,Y)</math>を「捩率」と呼ぶうまい理由は無いように見える」が、このテンソルには以下のような意味付けが可能である。

なめらかな任意の写像<math>\alpha~:~U \subset \mathbb{R}^2 \to M</math>に対し、リー括弧の性質より<math>[\tfrac{\partial}{\partial x}\alpha,\tfrac{\partial}{\partial y}\alpha]=0</math>であることから、<math>\tfrac{\nabla}{\partial x}:=\nabla_{\tfrac{\partial}{\partial x}}</math>とすると、
: <math>T_{\nabla}(\tfrac{\partial}{\partial x}\alpha,\tfrac{\partial}{\partial y}\alpha)
= \tfrac{\nabla}{\partial x}\tfrac{\partial}{\partial y}\alpha
-
\tfrac{\nabla}{\partial y}\tfrac{\partial}{\partial x}\alpha</math>

が成立する事を示せる。すなわち**捩率テンソルは2つの微分の非可換度合いを表す量である**。

また（アフィン空間をモデルとする）[[カルタン幾何学]]においては上記のものとは異なった意味付けが可能で、（カルタン幾何学の意味での）**曲率の「並進部分」が捩率に対応**している。詳細は[[カルタン幾何学#曲率の分解の節]]および[[捩率テンソル#カルタン幾何学の章]]を参照されたい。

==== 性質 ====
捩率テンソルの性質を見る。

ここで、は上の任意の可微分なベクトル場である。

上述の定理と[[#点演算子の特徴づけ|前に述べた定理]]から、以下の系が従う：


接続<math>\nabla</math>と捩率テンソルも局所座標で
: <math>\nabla_Xs
= \left(X^{\ell}{\partial s^i\over \partial x^{\ell}}
+ X^js^k\Gamma_{jk}^i\right){\partial \over \partial x^i}
</math>
: <math>T_{\nabla}(X,Y)=T^i_{jk}X^jY^k{\partial \over \partial x^i}</math>
と書くとき、次が成立する：


よって捩率テンソルが恒等的にになる接続、すなわち**捩れなし**（）の場合、は、に対して対象なテンソルになる。このため捩れなしの接続の事を**対称**（）な接続ともいう。


[[外微分]]に対し、次が成立する：

すなわち<math>\nabla</math>が捩れなしである事は、<math>\nabla</math>が外微分と「両立」する事と同値である。

== 接続の誘導 ==
本節では、あるベクトルバンドル上定義された接続から別のベクトルバンドル上の接続を定義する方法を述べる。その過程でレヴィ-チヴィタ接続のときにも議論した曲線<math>P(t)</math>に沿った共変微分に関しても述べる。

=== 引き戻し ===
これまで同様<math>\nabla</math>を上の可微分なベクトルバンドル<math>\pi~:~E \to M</math>の接続とし、さらに<math>f~:N \to M</math>を可微分多様体からへの可微分な写像とすると、によるの引き戻し（[[:en:Pullback bundle|pullback bundle]]）
: <math>\pi'~:f^*(E) \to N</math>
を考える事ができる。


、の局所座標<math>y~:~V \subset N \to \mathbb{R}^u</math>、<math>x~:~U \subset M \to \mathbb{R}^m</math>で、<math>V \subset f^{-1}(U)</math>となるものを選び、さらに上のの基底<math>e_1,\ldots,e_n</math>を選んで接続<math>\nabla</math>を接続形式を使って
: <math>\nabla^U s = (ds^i  + s^j \omega^i{}_j) \otimes e_i</math>
と成分表示する。
<math>f^*(\nabla)</math>がwell-definedな事の証明は省略する。接続係数を使えば、
: <math>f^*(\nabla)^V_Y s = (Y^k{\partial s^i \over \partial y^k}  + Y^ks^j {\partial x^{\ell} \over \partial y^k} \Gamma^{i}_{\ell j}) e_i</math>
である。


引き戻しの特殊な場合として、が線分の場合がある。この場合写像<math>P~:~ (0,1) \to M</math>は上の曲線とみなせる。曲線<math>P(t)</math>に沿った切断に対し、
: <math>{\nabla s\over dt} := f_*\left(f^*(\nabla)_{\tfrac{d}{dt}}f^*(s)\right)</math>
を考える事ができる。<math>\tfrac{\nabla}{dt}s </math>を接続<math>\nabla</math>によって定まる**曲線P(t)に沿った切断の共変微分**という。成分で書けば

: <math>{\nabla s\over dt}
= \left({d s^i\over dt}
+ {dx^k\over dt}s^j\Gamma_{kj}^i\right)e_i </math>

となるので、レヴィ-チヴィタ接続の場合の曲線<math>P(t)</math>に沿った切断の共変微分の概念の一般化になっている事がわかる。

=== 直和・テンソル積への誘導 ===
多様体上の２つのベクトルバンドル、があり、、にはそれぞれ接続<math>\nabla^1</math>、<math>\nabla^2</math>が定義されているとする。このとき、<math>E_1 \oplus E_2</math>上に

により、接続が定義できる。また<math>E_1 \otimes E_2</math>上に

により、接続が定義できる。

=== 双対バンドルの接続とリーマン計量 ===
のベクトルバンドルに接続<math>\nabla</math>が定義されているとき、の双対バンドルに以下の性質を満たす接続<math>\nabla^*</math>を定義できる：
ここでは上の任意のベクトル場であり、はの任意の切断であり、はの任意の切断であり、<math>\langle \cdot,\cdot\rangle</math>はの双対ベクトル空間の元との元との内積である。紛れがなければを単にと書く事も多い。


にリーマン計量が定義されている場合、とは自然に同一視でき、

: <math>Xg(s_1, s_2)=g(\nabla^*_Xs_1, s_2)+g(s_1, \nabla_X s_2)
</math>

が成立する事になるが、一般には<math>\nabla^*</math>と<math>\nabla</math>は異なる。[[情報幾何学]]の分野では<math>\nabla^*</math>の事を<math>\nabla</math>の**双対接続**（）という。

次が成立する：


ここで<math>\nabla^* g=0</math>は<math>E \times E</math>上の双線形写像を自然に<math>(E\otimes E)^*</math>の元とみなしたときの共変微分である。


また簡単な計算から以下が従う：

ここで「<math>{}^t\omega</math>」はの[[転置行列]]である。

==== 複数の接続の関係 ====
接続の定義から明らかに以下の性質を示すことができる：また、2つの接続

: <math>\nabla,~\nabla' ~:~\mathfrak{X}(M) \times \Gamma(E)\to \Gamma(E)</math>

に対し、

: <math>A(X,s):=\nabla_Xs-\nabla'_Xs</math>

とすると、<math>A(X,s)</math>が、双方に関して<math>C^{\infty}(M)</math>-線形である事が示せ、したがって[[#点演算子の特徴づけ|前に述べた定理]]から<math>A</math>は<math>TM \oplus E \to E</math>というバンドル写像だとみなせる。逆に接続<math>\nabla~:~\mathfrak{X}\times \Gamma(E) \to \Gamma(E)</math>とバンドル写像<math>A~:~TM \oplus E \to E</math>が与えられると、

: <math>\nabla_Xs=\nabla'_Xs + A(X,s)</math>

も上の接続である事を確かめられる。まとめると、以下の定理が成り立つ：

<math>U \in M</math>を取り、の上の局所的な基底<math>e_1,\ldots,e_n</math>を固定し、切断を<math>s=s^ke_k</math>と成分表示すると、
: <math>\nabla'_Xs:=(Xs^j)e_j</math>
により局所的に接続を定義できるが、
: <math>A(X,s):=\nabla_Xs-\nabla'_Xs</math>
の成分表示は
: <math>A(\tfrac{\partial}{\partial x^j},e_k):=X^js^k\Gamma^i{}_{jk}e_i</math> 
とクリストッフェル記号を用いて書ける。

この事からクリストッフェル記号は<math>\nabla'_Xs:=(Xs^j)e_j</math>とのズレを表す量であると解釈できる。

== 平行移動とホロノミー群 ==

=== 平行移動 ===
<math>\nabla</math>を上の可微分なベクトルバンドル<math>\pi~:~E \to M</math>の接続とし、<math>P(t)</math>を上の[[区分的]]に滑らかな曲線とし、を<math>P(t)</math>上のの切断とする。すなわち各<math>P(t)</math>に対し、<math>s_{P(t)}\in E</math>が定義でき、<math>t \mapsto s_{P(t)}</math>が可微分であり、しかも<math>\pi(s_{P(t)})=P(t)</math>が任意のに耐いて成立するものとする。


がユークリッド空間でがその接バンドルである場合、<math>{\nabla s\over dt}={d s\over dt}= 0</math>であれば、ベクトル<math>s_{P(t)}</math>は<math>s_{P(t)}</math>の基点がによって動くだけでその大きさも向きも一定である。すなわち<math>P(t)</math>に沿って<math>s_{P(0)}</math>を「平行移動」して動かしている事になるので、一般のベクトルバンドルの場合にも<math>{\nabla s\over dt}= 0</math>である事を平行と呼ぶのである。

<math>P(t)</math>に沿った切断<math>s</math>、<math>s'</math>がいずれも<math>P(t)</math>に沿って平行であり、しかも時刻<math>t=a</math>のとき<math>s_{P(a)}=s'_{P(a)}</math>であれば、別の時刻<math>t=b</math>でも<math>s_{P(b)}=s'_{P(b)}</math>である事を容易に示すことができる。よって写像
: <math>\varphi_{a,b}~:~v=s_{P(a)}\in E_{P(a)} \mapsto s_{P(b)}\in E_{P(b)}</math>
は切断<math>s</math>の取り方によらずwell-definedである。



ユークリッド空間の場合と違い、**どの曲線に沿って平行移動したかによって平行移動の結果が異なる**事に注意されたい。すなわち曲線<math>P(t)</math>に沿った平行移動を<math>\varphi_{a,b}(v)</math>、曲線<math>Q(t)</math>に沿った平行移動を<math>\psi_{a',b'}(v)</math>とするとき、たとえ<math>P(a)=Q(a')</math>、<math>P(b)=Q(b')</math>であっても<math>\varphi_{a,b}(v)=\psi_{a',b'}(v)</math>であるとは限らない。この現象を****（）という。


<math>\varphi_{a,b}</math>の定義より、<math>\varphi_{a,b}</math>は<math>E_{P(a)}</math>から<math>E_{P(b)}</math>への写像であるとみなせるが、この写像は以下を満たす：
よって平行移動により、（接続や計量が定義されていない）多様体では本来無関係のはずの<math>E_{P(a)}</math>と<math>E_{P(b)}</math>がつながって（connect）、<math>E_{P(a)}</math>の元と<math>E_{P(b)}</math>の元を比較する事ができるようになる。**接続**（connection）という名称は、ここから来ている。


にリーマン計量が定義されているときは以下が成立する事を容易に示せる：

曲線<math>P(t)</math>上定義されたの切断<math>e_1(t),\ldots,e_n(t)</math>で、各時刻に対して<math>e_1(t),\ldots,e_n(t)</math>がの基底の基底になっており、しかも<math>e_1(t),\ldots,e_n(t)</math>が<math>P(t)</math>に沿って平行なものを<math>P(t)</math>に沿った**水平フレーム**（）という。

=== 共変微分の特徴づけ ===
これまで共変微分の概念を用いる事で平行移動の概念を定義してきたが、逆に平行移動の概念を用いて共変微分を特徴づけることができる：



ここで<math>{d \over dt}\varphi_{a,t}{}^{-1}(s(t))</math>はベクトル空間<math>E_{P(a)}</math>における微分<math>{d \over dt}\varphi_{a,t}{}^{-1}(s(t))=\lim_{t\to a}\tfrac{\varphi_{a,t}{}^{-1}(s(t))-s(a)}{t}</math>である。なお、<math>\varphi_{a,t}{}^{-1}(s(t))</math>はによらず<math>E_{P(a)}</math>に属するので、<math>E_{P(a)}</math>上の差や極限を考えることができる。




上記の定理を用いると、共変微分の成分表示に意味を持たせる事ができる。これをみるため<math>x~:~U \subset M \to \mathbb{R}^m</math>をを局所座標とし、を成分で<math>x=(x^1,\ldots,x^m)</math>とあらわし、さらに<math>e_1,\ldots,e_n</math>を上定義されたの局所的な基底とすると、
: <math>{\nabla s\over dt}(a) </math><math>= \left.{d \over dt}\varphi_{a,t}{}^{-1}(s(t))\right|_{t=a}
</math><math>= \left.{d \over dt}s^i(t)\varphi_{a,t}{}^{-1}(e_i(x(t)))\right|_{t=a}
</math><math>= {d s^i\over dt}(a)(e_i(x(a))) + s^i(a)\left.{d \over dt}\varphi_{a,t}{}^{-1}(e_i(x(t)))\right|_{t=a}
</math>
であるので、これを共変微分の成分表示
:<math>\left.{\nabla s\over dt}\right|_{t=a}
={d s^i\over dt}(a)e_i(x(a)) + s^i(a)\omega_i{}^j\left(\tfrac{dx}{dt}(a)\right)e_j(x(a)) </math>  
と比較する事で、以下が結論付けられる：


すなわち
:<math>\left.{\nabla s\over dt}\right|_{t=a}
={d s^i\over dt}(a)e_i(x(a)) + s^i(a)\omega_i{}^j\left(\tfrac{dx}{dt}(a)\right)e_j(x(a)) </math>  
の第一項、第二項はそれぞれ、<math>s=s^ie_i</math>を[[積の微分法則|ライプニッツ則]]に従って微分したときのの方の微分、の方の微分に対応していると解釈できる。

=== ホロノミー群 ===
点を固定するとき、から出て自身へと戻る各[[曲線|閉曲線]]に沿った平行移動はから自身への線形同型写像<math>\varphi_C~:~E_P \to E_P</math>を定めると、曲線の連結に対し<math>\varphi_{CC'}=\varphi_{C'}\circ\varphi_{C}</math>となるし、の逆向きの曲線を<math>\bar{C}</math>とすると、<math>\varphi_{\bar{C}}=\varphi_{C}{}^{-1}</math>となる事が容易に示せる。

よって
: <math>\mathrm{Hol}(E,\nabla,P):=\{\varphi_C\mid C</math>はから出て自身へと戻る閉曲線<math>\}</math>
とすると、<math>\mathrm{Hol}(E,\nabla,P)</math>はの自己線形同型のなす[[群 (数学)|群]]の部分群をなす。<math>\mathrm{Hol}(E,\nabla,P)</math>をにおけるの<math>\nabla</math>に関する**ホロノミー群**（）という。なお、が[[連結空間|弧状連結]]であればによらず<math>\mathrm{Hol}(E,\nabla,P)</math>が同型である事を容易に示せるので、を略して単に<math>\mathrm{Hol}(E,\nabla)</math>とも書く。


また、
: <math>\mathrm{Hol}_0(E,\nabla,P):=\{\varphi_C\mid C</math>はから出て自身へと戻る閉曲線で上0-ホモトープなもの<math>\}</math>
とすると、<math>\mathrm{Hol}_0(E,\nabla,P)</math>は<math>\mathrm{Hol}(E,\nabla,P)</math>の部分群をなす。<math>\mathrm{Hol}_0(E,\nabla,P)</math>をにおけるの<math>\nabla</math>に関する**制約ホロノミー群**（）という。が[[連結空間|弧状連結]]であればによらず<math>\mathrm{Hol}_0(E,\nabla,P)</math>が同型である事も同様に示せるので、を略して単に<math>\mathrm{Hol}_0(E,\nabla)</math>とも書く。


定義から明らかなように、<math>\mathrm{Hol}(E,\nabla,P)</math>、<math>\mathrm{Hol}_0(E,\nabla,P)</math>は上の線形同型全体のなす[[リー群]]<math>\mathrm{GL}(E_P)</math>の部分群である。実は次が成立する事が知られている：

== 測地線 ==

===定義と性質===
接バンドルにアフィン接続<math>\nabla</math>が定義されているとき、測地線の概念を以下のように定義する：


すなわち「二階微分」が常にになる曲線を測地線と呼ぶのである。平行移動の定義から、測地線とは<math>\tfrac{d}{dt}P(t)</math>が<math>P(t)</math>に沿って平行であると言い換える事もできる。

恒等的に同じ点を取る「曲線」は自明に測地線方程式を満たすが、これは通常の意味での曲線ではないので、以下このような「曲線」を測地線とは呼ばない事にする。


測地線の定義は曲線<math>P(t)</math>のパラメーターに依存して定義されている事に注意されたい。<math>P(t)</math>が測地線であっても、パラメーターを別の変数に変数変換して得られる<math>P(u)</math>は測地線になるとは限らない。実際、<math>P(t)</math>が測地線となるパラメーターは線形変換を除いて一意である：


<math>P(t)</math>が測地線となるパラメーターを**アフィン・パラメーター**という。上記の定理はアフィン・パラメーターがアフィン変換を除いて一意な事を意味する。

=== 測地線の局所的な存在性と一意性 ===
測地線方程式を成分で書くと、<math>P(t)=(x^1(t),\ldots,x^m(t))</math>として

: <math>{d^2 x^i\over dt^2}
+ {dx^j\over dt}{dx^k\over dt}\Gamma_{jk}^i=0 </math>  for <math>i=1,\ldots,m</math>

となる。ここで<math>\Gamma^i_{jk}</math>は接続係数である。この式は[[常微分方程式]]であり、常微分方程式は局所的な解の存在一意性が言えるので、次が成立する事になる：



曲線は大域的に存在するとは限らない。 たとえば<math>\mathbb{R}^2\setminus\{0\}</math>（に通常のユークリッド空間としての計量を入れた空間）において、曲線<math>c(t)=(1-t,0)</math>は<math>t < 1</math>までしか延長できない。

測地線の局所的な存在一意性が示されたので、以下の定義をする：

<math>P_v(kt)=P_{kv}(t)</math>である事を容易に確かめられるので、指数写像はwell-definedである。

=== Hopf-Rinowの定理 ===

上の定理で測地線の定義域<math>(-\varepsilon,\varepsilon)</math>を<math>\mathbb{R}</math>全域に拡張できるとは限らない。上の<math>\nabla</math>に関する任意の測地線の定義域が<math>\mathbb{R}</math>全域に拡張できるとき、<math>(M,\nabla)</math>は**測地線完備**（）、あるいは単に**完備**（）であるという。


<math>\nabla</math>がリーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続の場合は、測地線が<math>\mathbb{R}</math>全域に拡張できるか否かに関して以下の定理が知られている。



がコンパクトであれば、上の任意のリーマン計量は必ず完備な距離を定めるので、Hopf-Rinowの定理からが定めるレヴィ-チビタ接続<math>\nabla</math>に関してが測地線完備な事が従う。

しかし一般の接続<math>\nabla</math>に対してはこのような事は成立するとは限らない。実際**がコンパクトであっても、上の擬リーマン計量が定めるレヴィ-チビタ接続は測地線完備になるとは限らず**、反例としてが知られている。

=== 正規座標 ===

実は次の事実が知られている：よって<math>V:=\exp(U)</math>とすると、はの近傍で、

: <math>\exp_P{}^{-1}~:~V \subset M \to U\subset T_PM \approx \mathbb{R}^m</math>

はの周りの座標近傍とみなせる。この座標近傍をの周りの****（）という。

===同一の測地線を定めるアフィン接続===
２つのアフィン接続
：<math>\nabla, \nabla'~:~\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M) \to \mathfrak{X}(M)</math>
が上の任意の曲線に対し、
:<math>{\nabla \over dt}P(t)=0 \iff {\nabla' \over dt}P(t)=0</math>
を満たすとき、<math>\nabla</math>と<math>\nabla'</math>は**同一の測地線を定める**という。
: <math>D(X,Y):=\nabla_XY-\nabla'_XY</math> 
とし、
: <math>S(X,Y)={1\over 2}(D(X,Y)+D(Y,X))</math>
: <math>A(X,Y)={1\over 2}(D(X,Y)-D(Y,X))</math>
とする。

このとき次が成立する事が知られている：


簡単な計算により
: <math>A(X,Y)=T_{\nabla}(X,Y)-T_{\nabla'}(X,Y)</math>
である事がわかるので、次の系が従う：

なお、接続の局所座標表示
: <math>\nabla_XY=X(Y^k){\partial \over \partial x^k} + X^jY^k\Gamma^i{}_{jk}{\partial \over \partial x^i}</math>
に対し、クリストッフェル記号の添字との役割を反対にした
: <math>\nabla'_XY
 = X(Y^k){\partial \over \partial x^k}
 + X^jY^k\Gamma^i{}_{kj}{\partial \over\partial x^i}</math>
は局所座標の取り方によらずwell-definedでしかも接続の公理を満たす事が知られている。よって特に次が成立する：



===レヴィ-チヴィタ接続における測地線の特徴づけ===

レヴィ・チヴィタ接続の場合は測地線を全く別の角度から特徴づける事ができる。


測地線方程式は曲線**'の長さ\int_a^b\left\|{d u\over dt} \right\| dtを端点を固定して変分したときのオイラー・ラグランジュ方程式に等しい。ここで\|v\|:=\sqrt{g(v,v)}である。すなわち、測地線は長さに関する停留曲線（≒端点を固定した曲線のなす空間において「微分」がゼロのなる曲線）である。

また測地線方程式は曲線**'の「エネルギー」<math>\int_a^b\left\|{d u\over dt} \right\|^2 dt</math>を端点を固定して変分したときのオイラー・ラグランジュ方程式にもなっている。

===曲線の曲率===
リーマン多様体上の曲線に対し、以下の定義をする。

ここで<math>\|v\|:=\sqrt{g(v,v)}</math>である。

前述の定理から、明らかに次が従う：

なお、弧長パラメータの定義より<math>\left\|\tfrac{dP}{ds}\right\|=0</math>が常に成り立つので、
:<math>0={d \over dt}g(\tfrac{dP}{ds},\tfrac{dP}{ds})=2g(\tfrac{\nabla}{ds}\tfrac{dP}{ds},\tfrac{dP}{ds})</math>
である。よって次が従う：




なおここで定義した「曲線の曲率」は次章で定義する「（接続が定義された）多様体の曲率」とは**別概念**であるので注意されたい。実際、
* 「曲線の曲率」は曲線<math>P(s)</math>のみならず「外側の空間」があって初めて定義されるものであるのに対し、次章で述べる「多様体の曲率」の定義にはこのような「外側の空間」は必要ない。
*「曲線の曲率」はあくまで曲線の接線方向の微分を考えているのに対し、「多様体の曲率」は２つの接ベクトルがあって初めて定義されるものであり、これら２つの接ベクトルが同一の場合はになってしまう。

== 曲率 ==
本節では接続<math>\nabla</math>が定義されたベクトルバンドル<math>\pi~:~E \to M</math>の**曲率**をまず天下り的に定義し、その性質を見る。次に曲率の概念をホロノミーを使う事で特徴づける事により、曲率概念に対する空間に内在的な幾何学的解釈を与える。最後に共変外微分の概念を導入して共変外微分を使って曲率概念を特徴づける。

=== 動機 ===

曲率の概念を定義するため、モチベーションを述べる。
ベクトルバンドル<math>\pi ~:~E \to M</math>の接続<math>\nabla</math>の局所座標<math>U \subset M \to \mathbb{R}^m</math>と局所的なの基底<math>e_1,\ldots,e_n</math>における成分表示
:<math>\nabla^U_Xs= \left(X^{\ell}{\partial s^i\over \partial x^{\ell}}
+ X^js^k\Gamma_{jk}^i\right)e_i
</math>
を考える。

<math>E=TM</math>で<math>\nabla</math>がレヴィ-チヴィタ接続の場合、<math>M=\mathbb{R}^m</math>であれば、すなわちが「平たい」空間であれば、クリストッフェル記号<math>\Gamma_{jk}^i</math>は全てになる。

よって一般のベクトルバンドルの場合も、クリストッフェル記号<math>\Gamma_{jk}^i</math>が全てになる局所座標と局所基底がとれればバンドルは「平たい」とみなす事にする。


この「平たい」バンドルとのズレを測るのが曲率である。ただしクリストッフェル記号は局所座標の取り方に依存しているため、クリストッフェル記号自身を用いるのではなく、別の方法で「平たい」バンドルとのズレを測る。

ズレを測るため、クリストッフェル記号<math>\Gamma_{jk}^i</math>が全てであれば、
: <math>\nabla_X s= (Xs^i) e_i</math>
となる事に着目する。この事実から「平たい」バンドルに対しては、
: <math>\nabla_X\nabla_Ys-\nabla_Y\nabla_Xs=
(XYs^i) e_i-(YXs^i) e_i = ([X,Y]s^i)e_i =\nabla_{[X,Y]}s</math>
が常に成立する事を示せる。そこで一般の接続<math>\nabla</math>に対し、
: <math>R(X,Y)s:=\nabla_X\nabla_Ys-\nabla_Y\nabla_Xs-\nabla_{[X,Y]}s</math>
と定義すると、<math>R(X,Y)s</math>は「平たい」バンドルのときには恒等的にゼロになり、この意味において<math>R(X,Y)s</math>はバンドルの「曲がり具合」を表している考えられる。

=== 定義 ===
以上のモチベーションの元、曲率を以下のように定義する：



<math>(M,g)</math>がリーマン多様体の場合は、のレヴィ・チヴィタ接続の曲率の事を「の曲率」、「の曲率」等と呼ぶことにする。

=== リーマン多様体における特徴づけ ===

リーマン多様体<math>(M,g)</math>においては、の曲率はリーマン計量をテイラー展開したときの2次の項として特徴づける事ができる：


ここで<math>R_{ikj\ell}:=g(R(\tfrac{\partial}{\partial x^k},\tfrac{\partial}{\partial x^{\ell}})\tfrac{\partial}{\partial x^j},\tfrac{\partial}{\partial x^i})</math>である。

===曲率形式===
<math>e_1,\ldots,e_n</math>をの開集合上で定義された局所的な基底とするとき、<math>e_1,\ldots,e_n</math>に関する曲率形式を以下のように定義する：


さらに<math>(x^1,\ldots,x^m)</math>をの局所座標とし、
: <math>R(\tfrac{\partial}{\partial x^k},\tfrac{\partial}{\partial x^{\ell}})e_j=R^i{}_{jk\ell}e_i</math>
と成分分解すると、
: <math>\Omega^i{}_j(X,Y)=R^i{}_{jk\ell}X^kY^{\ell}</math>
が成立する。

===性質===
<math>\omega=(\omega^i{}_j)_{ij}</math>を同じ局所座標<math>e_1,\ldots,e_n</math>に関する接続形式すると以下が成立する：

ここで接続行列のウェッジ積<math>\omega\wedge \omega</math>は行列積<math>(\omega^i{}_k \wedge \omega^k{}_j)</math>の事である。<math>\Omega \wedge \omega</math>や<math>\Omega \wedge \Omega</math>も同様に定義する。
第二構造方程式は曲率の定義を成分で書く事で得られる。一般化されたビアンキの第二恒等式は第二構造方程式から従う。

なお、一般化されたビアンキの第二恒等式においての場合が**ビアンキの第二恒等式**（）である。

==== 成分表示 ====
<math>(x^1,\ldots,x^m)</math>をの局所座標とし、<math>e_1,\ldots,e_n</math>をの局所的な基底とすると、接続係数<math>\Gamma^i{}_{kj}</math>を用いて以下のように表すことができる：)e_j=R^i{}_{jk\ell}e_i</math>とすると、以下が成立する：
: <math>
R^i{}_{jk\ell}
= {\partial \Gamma^i{}_{\ell j} \over \partial x^k}
- {\partial \Gamma^i{}_{k j} \over \partial x^{\ell}}
+  \Gamma^i{}_{ks}\Gamma^s{}_{\ell j}
- \Gamma^i{}_{\ell s}\Gamma^s{}_{k j}
</math>
}}

====アフィン接続の場合の性質====


捩率テンソルを
: <math>T(X,Y)=\tau^i(X,Y)e_i</math>
と成分表示して得られる2-形式<math>\tau^i</math>を並べてできる縦ベクトル<math>\tau={}^t(\tau^1,\ldots,\tau^m)</math>を考える事ができる。の事を基底<math>(e_1,\ldots,e_m)</math>に関する**捩率形式**（）という。


さらに局所的な基底<math>e_1,\ldots,e_n \in TM</math>の双対基底を<math>\theta^1,\ldots,\theta^n\in T^*M</math>とすると、これらは1形式である。これらを並べた縦ベクトルを<math>\theta={}^t(\theta^1,\ldots,\theta^n)</math>とする。

このとき、次が成立する：


ビアンキの第一および第二恒等式は以下のようにも書くことができる：

ここで添字は「」で考える。すなわち「<math>\sum_{i \in \mathbb{Z}_3}</math>」は巡回和である。

さらに次が成立する：
====レヴィ-チヴィタ接続の場合の性質====

レヴィ-チヴィタ接続の場合は以下のようにも成分表示できる：
)\tfrac{\partial}{\partial x^j},\tfrac{\partial}{\partial x^i})</math>とすると)\tfrac{\partial}{\partial x^j}=R^i{}_{jk\ell}\tfrac{\partial}{\partial x^i}</math>
としたが、[[#Viaclovsky]] p.11では
: <math>R(\tfrac{\partial}{\partial x^i},\tfrac{\partial}{\partial x^j})\tfrac{\partial}{\partial x^k}=R_{ijk}{}^{\ell}\tfrac{\partial}{\partial x^{\ell}}</math>
としている。}}、以下が成立する：
: <math>
R_{ijk\ell}
= {1 \over 2}\Big(
 {\partial \over \partial x^i}{\partial \over \partial x^k}g_{j\ell}
+ {\partial \over \partial x^j}{\partial \over \partial x^{\ell}}g_{ik}
-{\partial \over \partial x^j}{\partial \over \partial x^k}g_{i\ell}
- {\partial \over \partial x^i}{\partial \over \partial x^{\ell}}g_{jk}\Big)  
</math><math> 
= {1 \over 2}\partial^2 {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} g (\tfrac{\partial}{\partial x^i},\tfrac{\partial}{\partial x^j},\tfrac{\partial}{\partial x^k},\tfrac{\partial}{\partial x^{\ell}})
</math> 
}}
ここで<math>{~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~}</math>は下記の[[:en:Kulkarni–Nomizu product|Kulkarni–Nomizu積]]である：
: <math>\begin{align}
  (h {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} k)(X,Y,Z,W) :={}
        &h(X,Z)k(Y,W) + h(Y, W)k(X, Z) \\
        &{}- h(X, W)k(Y, Z) - h(Y, Z)k(X,W)
\end{align}
</math>

次の事実が知られている：



レヴィ-チヴィタ接続<math>\nabla</math>は捩れなしなので、ビアンキの第一および第二恒等式を以下のように書く事ができる：

ここで<math>(\nabla_XR)</math>はを<math>TM \times TM \times T^*M</math>の元とみなしたときの共変微分である。



ビアンキの第二恒等式は以下のようにも書ける
:<math>(\nabla_X \mathrm{Rm})(Y,Z,V,W)+(\nabla_Y \mathrm{Rm})(Z,X,V,W)+(\nabla_Z \mathrm{Rm})(X,Y,V,W)=0</math>
ここで
: <math>\mathrm{Rm}(X,Y,Z,W):=g(R(X,Y)Z,W)</math>
であり、<math>(\nabla_X \mathrm{Rm})</math>は<math>\mathrm{Rm}</math>を<math>T^*M \otimes T^*M \otimes T^*M \otimes T^*M</math>に値を取るテンソル場とみなしたときの共変微分である。<math>\mathrm{Rm}</math>を**（リーマンの）曲率テンソル**（）という。

=== 断面曲率、リッチ曲率、スカラー曲率 ===

<math>\nabla</math>をリーマン多様体<math>(M,g)</math>のレヴィ-チヴィタ接続とし、をの点とし、<math>v,w \in T_PM</math>とし、さらに<math>e_1,\ldots,e_m</math>を<math>T_PM</math>の基底とする。


なお、書籍によっては本項のリッチ曲率、スカラー曲率をそれぞれ<math>\tfrac{1}{n-1}</math>倍、<math>\tfrac{1}{n(n-1)}</math>倍したものをリッチ曲率、スカラー曲率と呼んでいるものもあるので注意されたい。
また断面曲率は<math>K_P(v,w)</math>という記号で表記する文献も多いが、後述するガウス曲率と区別するため、本稿では<math>\mathrm{Sec}_P(v,w)</math>という表記を採用した。


定義から明らかなように、以下が成立する：



実は断面曲率は曲率テンソルを特徴づける：


==== 部分リーマン多様体における断面曲率 ====
次元リーマン多様体が別のリーマン多様体<math>\bar{M}</math>の余次元の部分リーマン多様体、すなわち<math>M \subset \bar{M}</math>、<math>\dim \bar{M} = \dim M +1</math>の場合は、以下が成立する：_u(e_i,e_j)+\kappa_i\kappa_j </math>}}ここで<math>e_1,\ldots,e_m</math>は点<math>u\in M</math>における主方向で<math>\kappa_1,\ldots,\kappa_m</math>を対応する[[主曲率]]であり、<math>\mathrm{Sec}_u(X,Y)</math>はのにおける断面曲率であり、<math>\overline{\mathrm{Sec}}_u(X,Y)</math>は<math>\bar{M}</math>のにおける断面曲率である。

よって特にが2次元リーマン多様体で<math>\bar{M}</math>が<math>\mathbb{R}^3</math>の場合はの断面曲率<math>\mathrm{Sec}_u(X,Y)</math>はガウス曲率に一致する（[[Theorema Egregium]]）。

===ホロノミーによる曲率の特徴づけ===

本節ではホロノミーを使うことで曲率概念を特徴づけ、これにより曲率概念を多様体に[[Theorema Egregium|内在的な]]幾何学的な意味付けを与える。


まず記号を定義する。これまで通り<math>\nabla</math>をベクトルバンドル<math>\pi~:~E \to M</math>の接続とし、<math>U \in \mathbb{R}^2</math>を<math>\mathbb{R}^2</math>の原点**'の開近とし、**'の元を成分で<math>(x,y)</math>と表し、<math>\xi~:~U \to M</math>を埋め込みとし、上のベクトル場、を

: <math>X=\xi_*\left(\tfrac{\partial}{\partial x}\right)</math>、<math>Y=\xi_*\left(\tfrac{\partial}{\partial x}\right)</math>

とする。<math>c(t) </math>を<math>\mathbb{R}^2
</math>上の以下のような閉曲線とする：<math>O \in \mathbb{R}^2</math>から<math>t
</math>だけ右に動き、<math>t
</math>だけ上に動き、<math>t
</math>だけ左に動き、<math>t
</math>だけ下に動く。

このとき<math>\xi\circ c(t) </math>に沿って、<math>\xi(O) 
</math>のファイバー<math>E_{\varphi(O)}
</math>の元**'を平行移動したものは、

: e_{t} = \Phi_Y^{-t}\circ\Phi_X^{-t}\circ\Phi_Y^t\circ\Phi_X^t(e)   

に等しい。ここでe' \in Eに対し、\Phi^t_X(e')  、\Phi^t_Y(e')   はそれぞれ\pi(e')  から、の積分曲線に沿ってだけ進むのに合わせてe' \in Eを平行移動したものである。

すなわち、曲率R(X,Y)は、
: R(X,Y)|_{\pi(e)}e = -\lim_{t\to 0}{\Phi_Y^{-t}\circ\Phi_X^{-t}\circ\Phi_Y^t\circ\Phi_X^t(e)  -e \over t^2}
により特徴づけられる。よって直観的には曲率R(X,Y)は（、が可換になるように拡張した場合に）、が定める平行移動の非可換度合いを表している。

### 共変外微分による曲率の特徴づけ
本節では共変外微分の概念を導入し、この概念を用いて曲率概念を特徴づける。

#### 共変外微分

まず共変外微分の概念を導入する。

\pi~:~E \to Mをベクトルバンドルとし、
: \nabla~:~\Gamma(E)\to \Gamma(T^*M \otimes E)
をの接続とし、
: \mathcal{A}^p(M):=\Gamma(\wedge^pT^*M)、\mathcal{A}^p(E):=\Gamma(E\otimes\wedge^pT^*M)
とする。

共変外微分がwell-definedである事の証明は省略する。紛れがなければ添字のを省略し、d_{\nabla}と書く。

共変外微分は以下を満たす：

共変外微分は通常の外微分と違い、
: d_{\nabla}d_{\nabla}= 0 
と**なるとは限らない**。しかし
: d_{\nabla}d_{\nabla}(s \otimes \omega)=d_{\nabla}((d_{\nabla} s) \wedge \omega + s \otimes d\omega)
= (d_{\nabla}d_{\nabla} s) \wedge \omega - d_{\nabla} s) \wedge d_{\nabla}\omega + d_{\nabla}s \wedge d\omega 
= (d_{\nabla}d_{\nabla} s) \wedge \omega

となるので、s \in \Gamma(E) = \mathcal{A}^0(E)に対してd_{\nabla}d_{\nabla} sが分かれば一般のs \otimes \omegaに対してd_{\nabla}d_{\nabla}(s \otimes \omega)が計算できる事になる。

#### 曲率の特徴づけ

実はd_{\nabla}d_{\nabla} sは曲率に一致する事が知られている：

なお、すでに述べたようにd_{\nabla}d_{\nabla} はになるとは限らないが、d_{\nabla}d_{\nabla}d_{\nabla} は必ずになる事が知られており、この事実はビアンキの第二恒等式と同値である：

## 一般の接続へ

これまで本項では共変微分を用いて接続概念を考察してきたが、 実はむしろから接続概念を定義したほうが、数学的に有利である事が示唆される。その理由は２つある。

第一に、リーマン多様体であればから定義される曲率テンソルを使って記述できた恒等式、例えば（第二）構造方程式や（第二）ビアンキ恒等式は、一般のベクトルバンドルではを使わないと記述できない（曲率の章を参照）。

第二に、接続概念において重要な役割を果たす平行移動の概念は接続形式**'と強く関係しており、ベクトルバンドル<math>E \to M</math>の底空間**'の曲線c(t)に沿って定義された局所的な基底(e_1(t),\ldots,e_m(t))を**'で微分したものが接続形式<math>\omega(\tfrac{dc}{dt}(0)) </math>に一致する。

よって特に**'が**'の計量と両立する接続の場合、**'による平行移動は回転変換、すなわちSO(n)の元なので、その微分である接続形式**はSO(n)のリー代数\mathfrak{so}(n)の元、すなわち歪対称行列である。

このように接続形式を用いるとベクトルバンドルの構造群（上の例ではSO(n)）が接続形式の構造をリー群・リー代数対応により支配している事が見えやすくなる。

上では回転群 \mathrm{SO}(m)の場合を説明したが、\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})（を自然に\mathrm{GL}_{2n}(\mathbb{R})の部分群とみなしたもの）や\mathrm{U}_n(\mathbb{C})、物理学で重要なシンプレクティック群やスピン群に対しても同種の性質が証明でき、接続形式がリー群・リー代数対応により支配されている事がわかる。

こうした事実は接続概念を直接リー群と接続形式とで記述する方が数学的に自然である事を示唆する。リー群の主バンドルの接続はこのアイデアを定式化したもので、主バンドルの接続は接続形式に相当するものを使って定義される。詳細は接続 (ファイバー束)の項目を参照されたい。

## 脚注

### 出典

### 注釈

## 関連項目

* 部分リーマン多様体の接続と曲率
* ゲージ理論
* チャーン・ヴェイユ理論
* ガウス・ボンネの定理

## 文献

### 参考文献
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### その他
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