四十二角形

**四十二角形**（よんじゅうにかくけい、よんじゅうにかっけい、tetracontadigon）は、多角形の一つで、42本の辺と42個の頂点を持つ図形である。内角の和は7200°、対角線の本数は819本である。

## 正四十二角形
正四十二角形においては、中心角と外角は8.571…°で、内角は171.428…°となる。一辺の長さが a の正四十二角形の面積 S は
:S = \frac{42}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{42} \simeq 140.11276 a^2

\cos (2\pi/42)を平方根と立方根で表すことが可能である。
:\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{42} =& \cos\frac{\pi}{21} \\
=& \frac{1}{12}\sqrt{72+72\cos\frac{2\pi}{21}} \\
=& \frac{1}{12}\sqrt{72+72 \cdot \frac{1+\sqrt{21}+\sqrt[3]{154-30\sqrt{21}+\left(42\sqrt{3}-18\sqrt{7}\right)i}+\sqrt[3]{154-30\sqrt{21}+\left(18\sqrt{7}-42\sqrt{3}\right)i}}{12}} \\
=& \frac{1}{12}\sqrt{72+6 \left({1+\sqrt{21}+\sqrt[3]{154-30\sqrt{21}+\left(42\sqrt{3}-18\sqrt{7}\right)i}+\sqrt[3]{154-30\sqrt{21}+\left(18\sqrt{7}-42\sqrt{3}\right)i}}\right)} 
\end{align}


:\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{42} =& \cos\frac{2\pi}{3 \cdot 14} \\
=& \frac {1}{2} \cdot \left( \sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{14}+i\cdot\sin\frac{2\pi}{14}} + \sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{14}-i\cdot\sin\frac{2\pi}{14}} \right)\\
=& \frac {1}{2} \cdot \sqrt[3]{\tfrac{\sqrt{3\left(20+2\sqrt[3]{28-84i\sqrt{3}}+2\sqrt[3]{28+84i\sqrt{3}}\right)}}{12}+i\cdot\tfrac{\sqrt{3\left(28-2\sqrt[3]{28-84i\sqrt{3}}-2\sqrt[3]{28+84i\sqrt{3}}\right)}}{12}} + \frac {1}{2} \cdot \sqrt[3]{\tfrac{\sqrt{3\left(20+2\sqrt[3]{28-84i\sqrt{3}}+2\sqrt[3]{28+84i\sqrt{3}}\right)}}{12}-i\cdot\tfrac{\sqrt{3\left(28-2\sqrt[3]{28-84i\sqrt{3}}-2\sqrt[3]{28+84i\sqrt{3}}\right)}}{12}} 
\end{align}


;関係式
以下のように定義すると
:\begin{align}
& \alpha=2\cos\frac{2\pi}{42}+2\cos\frac{10\pi}{42}+2\cos\frac{34\pi}{42} = \frac{-1+\sqrt{21}}{2} \\
& \beta=2\cos\frac{22\pi}{42}+2\cos\frac{26\pi}{42}+2\cos\frac{38\pi}{42} = \frac{-1-\sqrt{21}}{2} \\
\end{align}
\alpha,\betaは以下の関係式より求められる。
:\begin{align}
& \alpha+\beta=-1 \\
& (\alpha-\beta)^2=21 \\
\end{align}

三次方程式の係数を求めると
:\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{42} \cdot 2\cos\frac{10\pi}{42}+2\cos\frac{10\pi}{42} \cdot 2\cos\frac{34\pi}{42}+2\cos\frac{34\pi}{42} \cdot 2\cos\frac{2\pi}{42}= -\alpha-1 \\
& 2\cos\frac{2\pi}{42} \cdot 2\cos\frac{10\pi}{42} \cdot 2\cos\frac{34\pi}{42} = \beta-2 \\
\end{align}

解と係数の関係より
:
x^3-\alpha x^2 + (-\alpha-1) x - (\beta-2)=0


変数変換、関係式より
:
x=y+\alpha/3,\quad \beta = -1 -\alpha,\quad \alpha^2=5-\alpha,\quad \alpha^3=6\alpha-5


整理すると
:
y^3 - \frac{2\alpha+8}{3} x + \frac{15\alpha+46}{27}=0


三角関数、逆三角関数を使用した解は
:
x=\frac {\alpha}{3} + \frac{2\sqrt{2\alpha+8}}{3}\cos\left( \frac13 \arccos \frac{-(15\alpha+46)}{2({2\alpha+8})^\frac32} \right)


平方根と立方根で表すと
:\begin{align}
& x=\frac {\alpha}{3} + \frac{\sqrt{2\alpha+8}}{3}\sqrt[3]{ \frac{-(15\alpha+46)}{2({2\alpha+8})^\frac32}+i\frac{\sqrt{189(\alpha+3)}}{2({2\alpha+8})^\frac32} }+ \frac{\sqrt{2\alpha+8}}{3}\sqrt[3]{ \frac{-(15\alpha+46)}{2({2\alpha+8})^\frac32}-i\frac{\sqrt{189(\alpha+3)}}{2({2\alpha+8})^\frac32} } \\
& x=\frac {\alpha}{3} + \frac{1}{6}\sqrt[3]{ {-4(15\alpha+46)}+i \cdot 4\sqrt{189(\alpha+3)} }+ \frac{1}{6}\sqrt[3]{ -4(15\alpha+46)-i\cdot 4\sqrt{189(\alpha+3)} } 
\end{align}

αの値((-1+√21)/2)を代入して、整理すると
:
\cos\frac{2\pi}{42} = \frac{-1+\sqrt{21}+\sqrt[3]{-154-30\sqrt{21}+\left(42\sqrt{3}+18\sqrt{7}\right)i}+\sqrt[3]{-154-30\sqrt{21}-\left(42\sqrt{3}+18\sqrt{7}\right)i}}{12}


### 正四十二角形の作図
正四十二角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正四十二角形は折紙により作図可能である。

## 脚注

## 関連項目
* 七角形
* 二十一角形

## 外部リンク