ℓ進層

代数幾何学において、**ℓ 進層**とは、ℓ 進数体 **Q**ℓ のようなねじれのない係数に対してエタール・コホモロジーの理論を適切に拡張するために用いられる概念である。
アレクサンドル・グロタンディークにより SGA 5 において導入され、その後ピエール・ドリーニュ

、
、トルステン・エケダール などにより理論が整備された。

とペーター・ショルツェはプロエタール位相を用いて ℓ 進層の理論に新たなアプローチを与えた。

## 動機

エタール・コホモロジーは、代数多様体に対する「位相的な」コホモロジー論、すなわち任意の標数で機能するようなヴェイユ・コホモロジー論を構築する目的で発展した。
そのような理論に不可欠な特徴は、標数 0 の体を係数にもつことである。
しかし、ねじれのないエタール定数層のコホモロジーは興味深い情報を含まない。
例えば、*X* が体 *k* 上の滑らかな代数多様体のとき、任意の正の整数 *i* に対して *H<sup>i</sup>*(*X*ét, **Q**) = 0 である。
一方、定数層 **Z**/*m* は、体 *k* において *m* が可逆である限り、「正しい」コホモロジーを与える。
そのため、体 *k* で可逆であるような素数 ℓ に対し、*X* の ℓ 進コホモロジーを
:H^i(X_{\text{ét}}, \mathbb{Z}_\ell) := \varprojlim_n H^i(X_{\text{ét}}, \mathbb{Z}/\ell^n),
:H^i(X_{\text{ét}}, \mathbb{Q}_\ell) := (\varprojlim_n H^i(X_{\text{ét}}, \mathbb{Z}/\ell^n)) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell
と定義する。

しかし、この定義は完全に満足のできるものではない。
位相空間に対する古典的な理論のように、**Q**ℓ ベクトル空間のを係数にもつコホモロジーを考えたい。
また、そのような局所系のなす圏とエタール基本群の **Q**ℓ 上の連続表現のなす圏の間に圏同値が存在するべきである。

上の定義の別の問題点は、*k* が分離閉体のときにしかうまく振る舞わないことである。
その場合には、逆極限に現れるすべての群は有限生成で、逆極限をとる操作は完全である。
しかし、例えば *k* が代数体の場合、コホモロジー群 *H<sup>i</sup>*(*X<sub>ét</sub>*, **Z**/ℓ*n*) が有限とも、逆極限をとる操作が完全とも限らない。
これにより関手性に問題が生じる。
例えば、H^i(X_{\text{et}}, \mathbb{Z}_\ell) を H^i((X_{k^\text{sep}})_{\text{ét}}, \mathbb{Z}_\ell) のガロア・コホモロジーに関連付けるホッホシルト・セールスペクトル系列は一般には存在しない。

以上の考察から、エタール層の逆系のなす圏を考えるというアイデアに至る。
これによって、**Q**ℓ 局所系のなす圏とエタール基本群の有限次元 **Q**ℓ ベクトル空間上の連続表現の圏の間の所望の圏同値が生じる。
また、前の段落で述べた問題も、逆系の大域切断の逆極限をとる関手の導来関手を考える、いわゆる連続エタール・コホモロジーによって解決する。

## 定義

*X* をネータースキームとする。
*X* 上の **ℓ 進層**、または **Z<sub>ℓ</sub> 層**とは、*X* 上のエタール層のなす逆系 \{\mathcal{F}_n \}_{n \geq 0} で、各 *n ≧ 0* に対して射 \mathcal{F}_{n+1} \to \mathcal{F}_n が同型 \mathcal{F}_{n+1}/\ell^{n+1}\mathcal{F}_{n+1} \cong \mathcal{F}_n を誘導するものである。

ℓ 進層 \{\mathcal{F}_n \}_{n \geq 0} は、

* 各 \mathcal{F}_n がなとき**構成可能**であるという。
* 各 \mathcal{F}_n が構成可能なのとき**滑らか** (lisse) であるという。

ℓ 進層の定義に構成可能であることを含める文献もある（例えば SGA 4 1/2）。

*X* 上の **Q**ℓ 層のなす圏を次のように定義する。

* 対象は *X* 上の **Z**ℓ 層とする。
* 2 つの **Z**ℓ 層 \mathcal{F}, \mathcal{G} に対して、射の集合 \mathrm{Hom}_{\mathbb{Q}_\ell}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) を \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}_\ell}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell と定める。

このように定義された圏の対象を *X* 上の **Q<sub>ℓ</sub> 層**と呼び、**Z**ℓ 層 \mathcal{F} で表される **Q**ℓ 層を \mathcal{F}\otimes\mathbb{Q}_\ell と表記する。

## 滑らかな ℓ 進層とエタール基本群の連続表現の対応

連結なネータースキーム *X* とその幾何学的点 *x* に対して、SGA 1 では *X* の *x* におけるエタール基本群  が、*X* の有限ガロア被覆を分類する群として定義されている。
このとき、*X* 上の滑らかな ℓ 進層のなす圏は有限生成 **Z**ℓ 加群上の  の連続表現のなす圏と同値である。
同様に、**Q**ℓ 層の場合は有限次元 **Q**ℓ ベクトル空間上の  の連続表現と対応する。
これは、代数的トポロジーにおけると基本群の連続表現の間の対応の類似である（このため、滑らかな ℓ 進層は局所系と呼ばれることがある）。

## ℓ 進コホモロジー

古典的には、スキーム *X* 上の **Z**ℓ 層 \mathcal{F} = \{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0} に対して、***X'' の <math>\mathcal{F}</math> 係数 ℓ 進コホモロジー'''は
:<math>H^i(X, \mathcal{F}) := \varprojlim_n H^i(X, \mathcal{F}_n)</math>
と定義される。
'''Z'''<sub>ℓ</sub> 層 <math>\mathcal{F}' = \{\mathcal{F}'_n\}_{n \geq 0}</math> により <math>\mathcal{F} = \mathcal{F}' \otimes \mathbb{Q}_\ell</math> と表される '''Q'''<sub>ℓ</sub> 層に対しては
:<math>H^i(X, \mathcal{F}) := H^i(X, \mathcal{F}') \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell</math>
と定義する。

しかし、これは[[導来関手]]として定義されていないため、関手性に問題が生じる。
この問題を解決するのがの連続エタール・コホモロジーである。
''X'' 上のエタール層の逆系のなす圏は[[アーベル圏]]であり[[導来関手#構成と最初の性質|十分単射的対象をもつ]]ため、関手 <math>\{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0} \mapsto \varprojlim_n \Gamma(X, \mathcal{F}_n)</math> の ''i'' 次右導来関手を考えられる。
これを逆系 <math>\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0}</math> に適用して得られるアーベル群を <math>H_{\text{cont}}^i(X, \mathcal{F})</math> と表し、***X* の <math>\mathcal{F}</math> 係数連続エタール・コホモロジー*'という。

エタール層の逆系 \mathcal{F} = \{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0} で各射 \mathcal{F}_{n+1} \to \mathcal{F}_n が全射であるものに対して、*X* の \mathcal{F} 係数連続エタール・コホモロジーはとペーター・ショルツェによるプロエタール・コホモロジーで表すことができる。

## 構成可能 ℓ 進層のなす「導来圏」

構成可能 \overline{\mathbb{Q}_\ell} 層のなす導来圏は、本質的には ℓ 進コホモロジーの場合と類似の式
:D_c^b(X, \overline{\mathbb{Q}_\ell}) := (\varprojlim_n D_c^b(X, \mathbb{Z}/\ell^n)) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \overline{\mathbb{Q}_\ell} 
で表されるようなアイデアにより定義される。

ドリーニュが最初にこのアイデアに沿った定義を与えた。
その後エケダールによってより一般的な構成が与えられた。

とショルツェは、**Q**ℓ の任意の（有限次とは限らない）代数拡大 *E* に対して、構成可能 *E* 層の導来圏 D_c^b(X, E) をプロエタール位相を備えた *X* のプロエタール景 *X*proét 上の *E* ベクトル空間の層のなすアーベル圏の導来圏 D(X_{\text{proét}}, E) の特別な対象のなす充満部分圏 D_{\text{cons}}(X_{\text{proét}}, E) として実現した。

## 関連項目

* ヴェイユ予想
* 
* プロエタール位相

## 脚注

### 注釈

### 出典

## 参考文献

*   
* 
* 
* Exposé V, VI of 
* 
* 

## 外部リンク

* Mathoverflow: A nice explanation of what is a smooth (ℓ-adic) sheaf?
* Number theory learning seminar 2016–2017
* (Pro)Étale Cohomology