平均 (数学)

数学における**平均**（へいきん、）とは、複数の数または量の集まりに対し、一定の規則に従って単一の代表値を対応させる概念である。広義には、与えられた値の集合の中間的または代表的な性質を表す量の総称であり、狭義にはしばしば**算術平均**を指す。平均には複数の種類が存在し、どの平均を採用するのが適切かは、対象となる量の構造、保存したい関係、応用上の目的によって異なる。

平均の概念は初等数学や統計学にとどまらず、解析学、確率論、数理統計学、不等式論、情報科学、計量学など広い分野で重要な役割を果たす。統計学では中心傾向を表す代表値として、確率論では期待値として、解析学では冪平均や準算術平均のような一般化された平均として扱われる。

## 概説
平均は、複数の値を一つの値に要約する操作の総称である。ただし、その要約法は一意ではない。たとえば、加法的に合成される量の代表には算術平均が自然である一方、倍率や成長率の代表には幾何平均、単位当たり量や逆数的構造をもつ量の統合には調和平均が適切となることがある。したがって平均は単なる計算規則ではなく、対象のもつ数学的構造を反映する概念である。

古典的には、算術平均・幾何平均・調和平均の三つが特に重要視され、後には二乗平均、加重平均、冪平均、準算術平均など、多様な平均が研究されるようになった。これらの相互関係、大小関係、特徴付けは、不等式論および関数方程式論の主要な研究対象となっている。

## 定義
有限個の実数
:x_1,x_2,\dots,x_n
に対し、**平均**とは通常、これらから 1 個の実数
:M(x_1,\dots,x_n)
を与える写像であって、少なくとも次のような性質のいくつかを備えたものをいう。

* 全ての引数が等しいとき、その値自身を返す（**冪等性**）
* 引数の順序を入れ替えても値が変わらない（**対称性**）
* 値が最小値と最大値の間にある（**内部性**）
* 各引数について単調である（**単調性**）

数学において「平均」と呼ばれる対象は一種類ではなく、このような性質を満たす多くの関数から成る。最も基本的な例は算術平均である。

## 基本的性質
平均として自然に要請される性質には、次のようなものがある。これらは全ての平均に共通するわけではないが、古典的平均の多くはその大部分を満たす。

### 対称性
平均は通常、入力値の並び順に依存しない。すなわち任意の置換 \sigma に対し、
:M(x_1,\dots,x_n)=M(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})
が成り立つ。

### 冪等性
全ての値が同一である場合、その共通値が平均となる。すなわち
:M(x,\dots,x)=x
である。

### 内部性
平均は与えられた値の範囲を外れないことが多い。すなわち
:\min(x_1,\dots,x_n)\leq M(x_1,\dots,x_n)\leq \max(x_1,\dots,x_n)
が成り立つ。

### 単調性
いずれかの引数を増加させたとき、平均値が減少しないという性質である。

### 斉次性
ある平均では、全ての引数を同じ正の定数倍すると平均も同じ倍率で変化する。算術平均・幾何平均・調和平均・冪平均はこの意味で正の斉次性をもつ。

## 主な平均

### 算術平均
**算術平均**（arithmetic mean）は
:\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
で定義される。これは最も基本的な平均であり、日常語としての「平均」はしばしばこれを指す。加法的に合成される量を代表させるのに自然であり、統計学では標本の中心を表す代表値として広く用いられる。

幾何学的には、数直線上の点 x_1,\dots,x_n に等しい重みを与えたときの重心として解釈できる。

### 加重平均
各値 x_i に正の重み w_i を与えたとき、**加重算術平均**は
:\frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i}
で定義される。重みは頻度、重要度、標本サイズ、信頼度、不確かさの逆数などを表すことがあり、統計学・計量学・実験科学で広く用いられる。

### 幾何平均
正の実数
:x_1,\dots,x_n
の**幾何平均**（geometric mean）は
:\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}
で定義される。これは乗法的な変化や比率の平均化に適しており、成長率や収益率の代表値として重要である。

### 調和平均
正の実数
:x_1,\dots,x_n
の**調和平均**（harmonic mean）は
:\frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}
で定義される。これは逆数の算術平均の逆数であり、速度、密度、単位当たり量など、逆数的構造をもつ量の平均化に自然に現れる。

### 二乗平均
**二乗平均**（quadratic mean, root mean square）は
:\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2}
で定義される。信号の実効値、偏差の大きさ、物理量の振幅評価などで重要である。

## 冪平均
正の実数に対し、実数 p\neq 0 に対する**冪平均**（power mean, generalized mean）は
:M_p(x_1,\dots,x_n)=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{1/p}
で定義される。極限を含めると、p=1 は算術平均、p=2 は二乗平均、p=-1 は調和平均、p\to 0 で幾何平均となる。

冪平均は多くの古典的平均を統一的に扱う枠組みであり、一般に
:p
が成り立つ。これは**冪平均不等式**と呼ばれる。

その特別な場合として、正の実数について
:\mathrm{HM}\leq\mathrm{GM}\leq\mathrm{AM}\leq\mathrm{QM}
が成り立つ。これは調和平均・幾何平均・算術平均・二乗平均の大小関係を表す基本的不等式である。等号成立は全ての値が等しい場合に限られる。

## 準算術平均
単調連続関数 f を用いて
:M_f(x_1,\dots,x_n)=f^{-1}\left(\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n}\right)
と定義される平均を**準算術平均**（quasi-arithmetic mean）または**コルモゴロフ＝ナグモ平均**という。これは算術平均・幾何平均・調和平均などを統一的に含む広いクラスである。たとえば、f(x)=x なら算術平均、f(x)=\log x なら幾何平均、f(x)=1/x なら調和平均が得られる。

準算術平均は、平均の公理的研究において中心的な位置を占める。連続性・単調性・対称性などの条件のもとで得られる平均の特徴付けと深く結びついており、平均概念の一般理論を与える重要なクラスである。

## 統計学における平均
統計学では、平均は**中心傾向**を表す代表値の一つである。標本
:x_1,\dots,x_n
に対して
:\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
で定義される量を**標本平均**という。母集団の平均を推定する基本的な統計量であり、記述統計および推測統計の双方で中心的役割を担う。

ただし、算術平均は外れ値の影響を受けやすい。そのため、分布が大きく歪む場合や極端値の影響を抑えたい場合には、中央値や最頻値、あるいは切断平均・加重平均などが用いられることもある。

## 確率論における平均
確率論では、確率変数の平均に対応する概念を**期待値**という。離散型確率変数 X が値 x_i を確率 P(X=x_i) でとるとき、
:\operatorname{E}[X]=\sum_i x_i P(X=x_i)
で定義される。これは各値をその生起確率で重み付けした加重平均である。

連続型確率変数の場合、期待値は確率密度関数 f(x) を用いて
:\operatorname{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx
で与えられる。等確率な有限個の結果からなる場合、期待値は通常の算術平均に一致する。

## 平均の公理的観点
平均は単なる計算公式の集まりではなく、一定の公理を満たす写像として抽象的に研究される。たとえば、対称性・単調性・連続性・冪等性・内部性などを備えた関数の分類や、部分集合ごとの平均と全体の平均との整合性に関する研究が行われてきた。こうした観点から、準算術平均は特に重要な一般クラスを成す。

## 歴史
平均の概念の起源は古代ギリシア数学に求められる。特に算術平均・幾何平均・調和平均の三つは、古典的数学において早くから重要視され、比や比例、音楽理論、幾何学的構成と深く結びついていた。後世には、商業計算、天文学、誤差論、統計学の発展とともに、平均は単なる比の理論を超えて「代表値」を与える一般概念へと拡張された。

19世紀から20世紀にかけて、統計学の発展により算術平均は記述統計および推測統計の中核概念として定着した。他方、不等式論および関数方程式論の発展により、冪平均や準算術平均などの一般化された平均が体系的に研究されるようになった。

## 応用
平均は、観測値の要約、複数の測定結果の統合、収益率や成長率の集約、信号の実効値評価、確率変数の代表的な大きさの記述など、広範な応用をもつ。どの平均が適切であるかは、対象が加法的な量であるか、乗法的な量であるか、逆数的構造をもつか、あるいは外れ値にどの程度敏感であってよいかによって決まる。したがって平均の選択は、数学的にも実務的にも重要な意味をもつ。

## 脚注

## 参考文献
* 
* 
* 

## 関連項目
* 算術平均
* 加重平均
* 幾何平均
* 調和平均
* 二乗平均
* 冪平均
* 準算術平均
* 期待値
* 中央値
* 最頻値
* 中心傾向
* 算術平均幾何平均不等式