垂足座標

**垂足座標**（すいそくざひょう、）は、ユークリッド平面上の点と曲線に対して定義される座標である。具体的には、垂足点 () と曲線に対して、との距離と、における接線との距離（）の組  によって上の点を表す座標である。との距離と、における法線との距離の組で表す座標 () もよく使われる。ただし、である。垂足座標系によって表現された式を垂足方程式 () という。

垂足方程式によって単純に表すことのできる曲線が存在する。また、垂足方程式によって曲線の曲率などの計算を簡略化できることがある。垂足座標系は古典力学や天体力学において、力の問題を解決するのに使うことができる。

## 方程式

### 直交座標系
を直交座標系でと与え、を原点とする。点の垂足座標は次のように計算できる。

r=\sqrt{x^2+y^2}
p=\frac{x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}}{\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}}

の垂足方程式はこれらの式からを消去することによって得られる。

新たな変数を用いて、曲線を斉次多項式で表したとき、は次のようにより単純な形で書ける。

p=\frac{\frac{\partial g}{\partial z}}{\sqrt{\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^2}}

とすればもとの表示を得る。

### 極座標
を極方程式で与えたとき、をとして

p=r\sin \phi
r=\frac{dr}{d\theta}\tan \phi

と計算できる。の垂足方程式はこれらの式からを消去することによって得られる。

contrapedal coordinates への変換はとして、

\left|\frac{dr}{d\theta}\right|=\frac{r p_c}{p}

が成り立つことより行える。これは、自励微分方程式によって極方程式が、

f\left(r,\left|\frac{dr}{d\theta}\right|\right)=0

と表せるならば、垂足方程式は次の形となることを意味する。

f\left(r,\frac{rp_c}{p}\right)=0

#### 例
例として対数螺旋を挙げる。

r=a e^{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \theta}

における微分によって次の式を得る。


\frac{dr}{d\theta}= \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} a e^{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \theta}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} r


したがって、

\left|\frac{d r}{d \theta}\right|=\left|\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right| r 

が成立する。よって垂足座標系において

\frac{r}{p}p_c=\left|\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right| r \qquad \Rightarrow \qquad |\sin\alpha| p_c=|\cos\alpha| p

を得る。あるいは、を用いて、

 p=|\sin\alpha|r

である。この方法は、極方程式における階（）自励微分方程式の解となる曲線に一般化できる。極座標系で

f\left(r,|r'_{\theta}|,r*_{\theta},|r*'_{\theta}|\dots,r_\theta^{(2j)},|r_\theta^{(2j+1)}|,\dots, r_\theta^{(n)}\right)=0

と表される階自励微分方程式の解となる曲線は、垂足方程式で

f(p,p_c, p_c p_c',p_c (p_c p_c')',\dots, (p_c\partial_p)^n p)=0

と表される曲線の垂足曲線である。ただし、微分の変数はとする。

### 力の問題
古典力学における力の問題は、垂足座標系を用いれば簡単に解決することができる。

次の力学系を考える。

\ddot x=F^\prime(|x|^2)x+2 G^\prime(|x|^2){\dot x}^\perp

平面において、中心力のポテンシャルとローレンツ力のポテンシャルのもとで運動する位置と速度がそれぞれである試験粒子を述べている。

次の量はこの系において保存されている。

 L=x\cdot \dot x^\perp+G(|x|^2), \qquad c=|\dot x|^2-F(|x|^2)

このときの軌跡は、原点を垂足点とする垂足座標系において、次のように与えられる。

\frac{\left(L-G(r^2)\right)^2}{p^2}=F(r^2)+c

この形式は2017年にペトル・ブラシュケ () によって発見された。

#### 例
ケプラー問題を考える。

\ddot{x}=-\frac{M}{|x|^{3}}x

垂足座標系によって、即座に解にたどり着くことができる。

\frac{L^2}{2p^2}=\frac{M}{r}+c

ここでは粒子の角運動量、はエネルギー。また、方程式は垂足座標系において円錐曲線を表すことが分かる。

逆に試験粒子が曲線上を動くために与える必要のある力を演繹することもできる。

## 特定の曲線

### 正弦波螺旋
正弦波螺旋は次の式で書かれる曲線である。

r^n = a^n \sin(n \theta)

極接角は

\psi = n\theta

である。したがって垂足方程式は、

pa^n=r^{n+1}

となる。いくつかの正弦波曲線の垂足方程式を下の表に示した。

### 渦巻

r = c \theta^\alpha

の形で与えられる渦巻は次の式を満足する。

 \frac{dr}{d\theta}=\alpha r^{\frac{\alpha-1}{\alpha}}

したがって、その垂足座標系における表示は次のようになる。 

\frac{1}{p^2}=\frac{\alpha^2 c^{\frac{2}{\alpha}}}{r^{2+\frac{2}{\alpha}}}+\frac{1}{r^2}

下の表は特別の場合。

### サイクロイド
エピサイクロイドまたはハイポサイクロイドは次のパラメトリック方程式で表せる。

x (\theta) = (a + b) \cos \theta - b \cos \left( \frac{a + b}{b} \theta \right)
y (\theta) = (a + b) \sin \theta - b \sin \left( \frac{a + b}{b} \theta \right)

原点を垂足点とする垂足方程式は、

r^2=a^2+\frac{4(a+b)b}{(a+2b)^2}p^2

または、

p^2=A(r^2-a^2)

である。ただし、

A=\frac{(a+2b)^2}{4(a+b)b}

特別の場合を以下の表に示した。とする。

### 他の曲線
他の有名な曲線においては下の表にまとめる。

## 出典

## 参考文献
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## 外部リンク
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