連接環

**連接環**（れんせつかん、、）の概念はネーター環の概念よりも弱い。それにも関わらず連接環は注目すべき性質を有する。それは次のように要約できる。そのような環上の有限表示加群は加群の圏の充満部分アーベル圏をなす（一方ネーター環上これは有限型加群に対して同じことが正しい）。位相空間上の環の連接層の概念も定義される。

## 連接環

### 定義

* R を環とし M を R-加群とする。次が完全列になるような自由加群 L_{1} と L_{0} が存在する

::L_{1}\longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0

これは M の**表示** (présentation) と呼ばれる。加群 M は L_{0} が有限型であれば*有限型* (type fini) であり、L_{0} と L_{1} が両方とも有限型であれば**有限表示** (présentation finie) と呼ばれる。

* R-加群 M は有限型でありかつ M のすべての有限型部分加群が有限表示であるときに**連接** (cohérent) と呼ばれる。

* 環 R は有限型の R のすべての左イデアルが有限表示であるときに**左連接** (cohérent à gauche) と呼ばれる。右連接環も同様に定義され、**連接環** (anneau cohérent) は右連接である左連接環である。

* 例えば可換ネーター環に係数を持つ無限個の不定元を持つ多項式環は連接であるが、ネーターではない。

### 性質

R を環とする。

* M を左 R-加群とする。以下の条件は同値である：
# M は左連接である。
# M は有限型でありすべての整数 n\geq 0 に対して左 R-加群のすべての準同型 R^{n}\longrightarrow M の核は有限型である。
# M は有限型でありすべての有限型左 R-加群 N に対してすべての準同型 f:N\rightarrow M に対して \ker (f) は有限型である。

* さらに、以下の条件は同値である：

# R は左連接である。
# 有限型左自由 R-加群のすべての有限型部分加群は有限表示である。
# すべての有限表示左 R-加群は連接である。
# すべての整数 n に対して左 R-加群のすべての準同型 R^{n}\longrightarrow R の核は有限型である。

* 左ネーター環は左連接である。

### 連接シルヴェスター環

* R をとする。この環が右連接であるのは、R に元を持つすべての有限縦ベクトル（あるいは行列）の右零化域が自由であるとき、かつそのときに限る。

* 例えば、右ベズー環は右連接シルヴェスター環である。

* 可換シルヴェスター環 R が連接であるのは R がGCD環であるとき、かつそのときに限る。

* D を複素平面の単連結開集合とする。D 内の有界解析関数のハーディ環 H^{\infty }\left(D\right) はベズー環でない連接シルヴェスター環である。

## グロタンディーク圏における一般化

### グロタンディーク圏

次のようなアーベル圏 \mathfrak{C} を**グロタンディーク圏** (catégorie de Grothendieck) と呼ぶ。任意の余積があり、生成元の族 \left( G_{i}\right) _{i\in I} を持ち、次の条件 AB5) を満たす： A が \mathfrak{C} の対象であり A' が  A の部分対象でありそして \left( A_{i}\right) _{i\in I} が A の部分対象の増大フィルター族であれば、

::\bigcup\nolimits_{i\in I}\left( A^{\prime }\cap A_{i}\right) =A^{\prime
}\cap \left( \bigcup\nolimits_{i\in I}A_{i}\right).

### 例

* 環 R 上の左加群の圏 _{R}Mod は生成元として加群 _{R}R を持つグロタンディーク圏である。

* X を位相空間、\mathcal{O}_{X} を X 上の環の層、_{\mathcal{O}_{X}}\mathbf{Mod} を X 上の左 \mathcal{O}_{X}-加群のの圏とする。この圏 _{\mathcal{O}_{X}}\mathbf{Mod} はグロタンディーク圏である。_{\mathcal{O}_{X}}\mathbf{Mod} における生成元の族は faisceaux induits \left. \mathcal{O}_{X}\right\vert U からなる、ただし U は X の開集合全部の集合を表記する。

### 連接対象
 
* \mathfrak{C} をグロタンディーク圏とする。\mathfrak{C} の対象 A は次のとき**有限型** (type fini) と呼ばれる。\bigcup\nolimits_{i\in I}A_{i}=A なる A の増大フィルターのすべての族 \left( A_{i}\right) _{i\in I} に対して、A_{i}=A となる添え字 j が存在する。\mathfrak{C} の対象 A は次のとき**連接** (cohérent) と呼ばれる。有限型でありかつすべての射 f:B\rightarrow A、ただし B は有限型、に対して \ker (f) は有限型である。

* \mathfrak{C} を生成元として対象 G を持つグロタンディーク圏とし

::0\longrightarrow A^{\prime }\longrightarrow A\longrightarrow A^{\prime
\prime }\longrightarrow 0

を \mathfrak{C} における短完全列とする。この列の 2 つの対象が連接であれば、3 つ目の対象も連接である。さらに、対象 A が有限型であるのは、完全列

::  \coprod\nolimits_{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0

ただし J\subset I は添え字の有限集合、が存在するとき、かつそのときに限り、A が連接であるのはそれが有限型でありすべての射 \coprod\nolimits_{i\in J}G_{i}\longrightarrow A、ただし J\subset I は有限、に対して完全列

:: \coprod\nolimits_{i\in K}G_{i}\longrightarrow \coprod\nolimits_{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0

ただし K\subset I は有限、が存在するとき、かつそのときに限る。

すべての連接対象からなる \mathfrak{C} の充満部分圏は、Coh\mathfrak{C} と表記されるが、アーベルであり、入射 Coh\mathfrak{C}\longrightarrow\mathfrak{C} は完全である。

### 例

* 圏 _{R}Mod において有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）加群全体である。

* 圏 _{\mathcal{O}_{X}}\mathbf{Mod} において、有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）\mathcal{O}_{X}-加群全体である。

### 環の連接層
* 環 \mathcal{O}_{X} の層は次のとき左**連接** (cohérent) と呼ばれる。すべての開集合 U\subset X と左 \left. \mathcal{O}_{X}\right\vert U-加群のすべての準同型写像 \left. \mathcal{O}_{X}^{n}\right\vert U\longrightarrow \left. \mathcal{O}
_{X}\right\vert U に対して、この準同型の核は有限型である。

* すると以下の結果が成り立つ： \mathcal{O}_{X} を左連接環の層とする。左 \mathcal{O}_{X}-加群の層 \mathcal{F} が連接であるためには、次が必要かつ十分である。局所的に、それは左 \mathcal{O}_{X}-加群の準同型 \mathcal{O}_{X}^{q}\longrightarrow \mathcal{O}_{X}^{p} の余核に同型である、すなわち、X のすべての空でない開集合 U に対して完全列

:: \left. \mathcal{O}_{X}^{q(U)}\right\vert U\longrightarrow \left. \mathcal{O}
_{X}^{p(U)}\right\vert U\rightarrow \left. \mathcal{F}\right\vert
U\longrightarrow 0

:が存在する。

## 脚注と参考文献
### 脚注

### 参考文献

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