ハウスドルフのパラドックス

**ハウスドルフのパラドックス**（英: Hausdorff paradox）とは、選択公理の仮定のもと、球面の逆説的な分解が存在することを主張した定理（疑似パラドックス）である。

つまり、選択公理を仮定すると、球面 *K* の分割 *K*&nbsp;=&nbsp;*Q*&nbsp;&cup;&nbsp;*A*&nbsp;&cup;&nbsp;*B*&nbsp;&cup;&nbsp;*C* であって、*A*, *B*, *C*, *B*&nbsp;&cup;&nbsp;*C* は互いに合同であり、*Q* は可算集合となるようなものが存在する。

いま、合同な図形に対して値が等しいような有限加法的測度が存在し、*K* の有限加法的測度が 1 であるとすると、*A* の測度は 1/2 にも 1/3 にもなり、矛盾が生じる。

この定理は、フェリックス・ハウスドルフにより、1914年に選択公理を使って証明され、『集合論基礎』(*Grundzüge der Mengenlehre*, Leipzig 1914) の巻末に採録された。フランスの数学者エミール・ボレルは、この結果を見て、選択公理に疑念を深めた。

また、1924年、ポーランドの数学者ステファン・バナッハ（バナフ）とアルフレト・タルスキは、ハウスドルフのパラドックスを援用して、バナッハ＝タルスキーのパラドックスを証明した。

## 証明の概略
### 球面の回転群の構成
\varphiをある軸の180度の回転、*z*軸の周りの120度の回転を\psiとする。
これらによって生成された群を*G*とする。

回転軸を適当に選べば、\varphi,\psiは非可換であり、その積は1とならないことを示すことができる。

\varphi,\psi,\psi^{2}の2つ以上からなる積は、以下の\alpha,\beta,\gamma,\deltaのタイプに分類される。ただし， m_{1},m_{2},\dots,m_{n}は1または2である． 


\begin{array}{ccc}
\alpha & = & \psi^{m_{1}}\varphi\psi^{m_{2}}\cdots\varphi\psi^{m_{n}}\varphi\\
\beta & = & \varphi\psi^{m_{1}}\varphi\psi^{m_{2}}\cdots\varphi\psi^{m_{n}}\\
\gamma & = & \varphi\psi^{m_{1}}\varphi\psi^{m_{2}}\cdots\varphi\psi^{m_{n}}\varphi\\
\delta & = & \psi^{m_{1}}\varphi\psi^{m_{2}}\cdots\varphi\psi^{m_{n}}
\end{array}


\alpha\ne 1であることが示されれば、\beta,\gamma,\delta \ne 1であることが分かる。


\lambda=\cos\frac{2}{3}\pi=-\frac{1}{2},\;\;\;\mu=\sin\frac{2}{3}\pi=\frac{\sqrt{3}}{2},

とすると、


\begin{array}{lcc}
(\psi) &  & \left\{ \begin{array}{l}
x'=x\lambda-y\mu\\
y'=x\mu+y\lambda\\
z'=z
\end{array}.\right.\\
(\varphi) &  & \left\{ \begin{array}{l}
x'=-x\cos\vartheta+z\sin\vartheta\\
y'=-y\\
z'=x\sin\vartheta+z\cos\vartheta
\end{array}\right.\\
(\psi\varphi) &  & \left\{ \begin{array}{l}
x'=-x\lambda\cos\vartheta+y\mu+x\lambda\sin\vartheta\\
y'=-x\mu\cos\vartheta-y\lambda+z\mu\sin\vartheta\\
z'=x\sin\vartheta+z\cos\vartheta
\end{array}\right.
\end{array}


であり、(\psi^{2}\varphi)は、(\psi\varphi)の式の\muを -\muで置き換えたものである。

(\psi^{2}\varphi)または(\psi\varphi)の*n*個の積を ^t(0, 0, 1) に作用させると、


\begin{array}{ccc}
x & = & \sin\vartheta(a\cos\vartheta^{n-1}+\ldots)\\
y & = & \sin\vartheta(b\cos\vartheta^{n-1}+\ldots)\\
z & = & c\cos\vartheta^{n}+\ldots
\end{array}


であることが分かる．

\alphaによる ^t(0, 0, 1) の変換結果の*z*座標は


z=\left({\frac{3}{2}}\right)^{n-1}\cos\vartheta^{n}+\cdots

である。右辺は\cos\varthetaの多項式であり、係数は代数的数である。\varthetaを選んで、\cos\varthetaが超越数なるようにすれば、任意の *n* > 0 に対して、*z* ≠ 1 とすることができる。

### 群''G''の分割
回転 *(G)* を3つの集合*A*, *B*, *C*に分割することができる。

* *A*が単位元*1*を持つ。
* \rhoが*A*に属するとき、\varphi\rhoは*A* + *B*に属する。
* \rhoが*A*に属するとき、\psi\rho,\psi^{2}\rhoはそれぞれ*B*, *C*に属する。

#### 手続き (1)
*1*は、*A*に属するものとする。\varphi,\psiは*B*に属するものとする。\psi^{2}は*C*に属するものとする。

#### 手続き (2)
\psi_{n}を先頭が\psi又は\psi^{2}であるような、\varphi,\psi,\psi^{2}の*n*個の積とする。

\varphi_{n}を先頭が\varphiであるような、\varphi,\psi,\psi^{2}の*n*個の積とする。

\psi_{n}が*A*, *B*, *C*に属するならば、\varphi\psi_{n}は*B*, *A*, *A*に属するようにする。

\varphi_{n}が*A*, *B*, *C*に属するならば、\psi\varphi_{n}は*B*, *C*, *A*に属するようにする。\psi^{2}\varphi_{n}は*C*, *A*, *B*に属するようにする。

このような手続きにより、*G*は3つの集合に分けることが可能である（下図参照）。


\begin{array}{c|c|ccc|ccccc|ccccc|l}
A & 1 &  &  &  & \varphi\psi & , & \varphi\psi^{2} & , & \psi^{2}\varphi & \varphi\psi\varphi &  &  &  &  & \cdots\\
B &  & \varphi & , & \psi &  &  &  &  &  & \varphi\psi^{2}\varphi & , & \psi\varphi\psi & , & \psi\varphi\psi^{2} & \cdots\\
C &  &  &  & \psi^{2} &  &  &  &  & \psi\varphi &  &  & \psi^{2}\varphi\psi & , & \psi^{2}\varphi\psi^{2} & \cdots
\end{array}

### 選択公理の適用
1と異なる*G*の要素の*K*での固定点を*Q*とする。*Q*は可算集合である。*P* = *K* - *Q*と置く。*x*の軌道をP_xとすると、P_x = P_yか、P_x \cap P_y=\emptysetのいずれか1つが成り立つ。
そして
G=\bigcup_{x\in  M} P_x

である．

選択公理により、それぞれの軌道から代表元を選ぶことができる。これを*M*とする。

このとき


\begin{array}{lcc}
A' & = & \{gx\,|\, g\in A,\, x\in M\}\\
B' & = & \{gx\,|\, g\in B,\, x\in M\}\\
C' & = & \{gx\,|\, g\in C,\, x\in M\}
\end{array}


A', B', C'を*A*, *B*, *C*と書き直すとP = A\cup B\cup Cであり、 


\varphi A=B\cup C\;,\psi A=B,\;\psi^{2}A=C


であるから、A,B,C,B\cup Cは合同となる。よって定理は証明された。

## 参考文献
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