多変数の微分

**多変数の微分**（たへんすうのびぶん）は、多変数関数を、局所的に線形写像（ヤコビ行列）で近似する手法である。本記事では、多変数微分の理論的な側面について解説する。

## 数ベクトル空間についての補足
### 数ベクトル空間
*n* 次元実数ベクトル空間 \mathbb{R}^n とは、集合としては

:\mathbb{R}^n = \left\{ \left. \left( \begin{matrix}
   x_1  \\
   \vdots   \\
   x_n  \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
   x_1,\cdots ,\in \mathbb{R}  \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.　　　　　　　　(1-2)

である。つまり *n* 個の実数 \ ,\ \cdots \ ,\  を用いて

:\left( \begin{matrix}
   x_1  \\
   \vdots   \\
   x_n  \\
\end{matrix} \right)　　(1-3)

の形で表せるもの全てを集めてきたものである。
特に、以下で定まる \mathbf{e}_i を、第 *i* 標準ベクトルという。

:\mathbf{e}_1 =\left( \begin{matrix}
   1  \\
   \vdots   \\
   0  \\
\end{matrix} \right),\ \cdots , \mathbf{e}_n =\left( \begin{matrix}
   0  \\
   \vdots   \\
   1  \\
\end{matrix} \right)　　　　(1-8)

である。

### 標準座標系
次に \mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m の標準座標系を定義する。\mathbb{R}^n に対し、

:\textit{r}_j(\mathbf{x})=\langle\mathbf{x}\ |\ \mathbf{e}_j\rangle　　　　(1-6)

とし、これを \mathbb{R}^n の第 *j* 座標関数という。ここで \langle \cdot | \cdot \rangle は内積を表す。つまり、

:\textit{r}_j\left(\left( \begin{matrix}
   x_1  \\
   \vdots   \\
   x_n  \\
\end{matrix} \right)\right)=x_j　　　　(1-7)

である。
\mathbb{R}^n 標準座標系とは、\textit{r}_1, \textit{r}_2, \cdots , \textit{r}_n の組 \langle\textit{r}_1,\textit{r}_2,\cdots ,\textit{r}_n\rangle のことである。当然、

:\textbf{x}=\left( \begin{matrix}
   x_1  \\
   \vdots   \\
   x_n  \\
\end{matrix} \right)=\sum\limits_{j=1}^{n}r_j(\mathbf{x})\textbf{e}_j　　　　(1-9)

が成立する。\mathbb{R}^m にも、同様に、\mathbf{e}_1\,\cdots ,\mathbf{e}_m や、標準座標系 \langle \textit{r}_1, \textit{r}_2, \cdots , \textit{r}_m\rangle が定まっている。

さて、次節にて、多変数ベクトル値関数を考えるが、定義域側 (\mathbb{R}^n) の標準座標系を \langle \textit{r}_1, \textit{r}_2, \cdots , \textit{r}_n\rangle と表記し、値域側 (\mathbb{R}^m) の標準座標系も \langle \textit{r}_1, \textit{r}_2, \cdots , \textit{r}_m\rangle と表記していては紛らわしいので、\mathbb{R}^n の標準座標系を \langle\textit{x}_1, \textit{x}_2, \cdots , \textit{x}_n\rangleと書くことにする。つまり、

:\begin{align}
&x_j(\mathbf{x})=r_j(\mathbf{x})\\
&y_i(\mathbf{y})=r_i(\mathbf{y})
\end{align}　　　　(1-10)

とする。
以降、「\mathbb{R}^n に、**標準**座標系 \rangle x_1, \cdots, x_n \langle が定まっているとする」と宣言した場合には、式 (1-10) のように考えることにする。

### 多変数ベクトル値関数
\mathbb{R}^n に**標準**座標系 \langle\textit{x}_1, \cdots, \textit{x}_n\rangle が定まっているとし、\mathbb{R}^m に**標準**座標系 \langle\textit{y}_1, \cdots, \textit{y}_m\rangleが定まっているとする。

\textbf D を \mathbb{R}^n の部分集合とし、

:\mathbf{f}(x_1, \dots, x_n) = \left( \begin{matrix}
   f_1(x_1, \dots, x_n)  \\
   \vdots  \\
   f_m(x_1, \dots, x_n)  \\
\end{matrix} \right)　　　　(1-1)

を、\textbf D 上で定義された \mathbb{R}^m に値を取る多変数ベクトル値関数という。

以降 f_i は \textbf{f} の第 *i* 成分を表す。f_i は以下の性質を満たす。

:f_i(\mathbf{x}) = y_i \circ \mathbf{f}(\mathbf{x}) =y_i( \mathbf{f}(\mathbf{x}))
= \langle \mathbf{e}_i|\mathbf{f}(\mathbf{x}) \rangle　　　　(1-11)
:\mathbf{f}(x_1, \dots , x_n) = \left( \begin{matrix}
   f_1(x_1,\dots,x_n)  \\
   \vdots  \\
   f_m(x_1,\dots,x_n)  \\
\end{matrix} \right) 
= \sum\limits_{i=1}^m f_i(\mathbf{x})\mathbf{e}_i

## 偏微分
### 設定
\mathbb{R}^n に、**標準**座標系 \langle\textit{x}_1, \cdots, \textit{x}_n\rangle が定まっているとし、\mathbb{R}^m に、**標準**座標系 \langle\textit{y}_1, \cdots, \textit{y}_m\rangle が定まっているとする。
\textbf D を、\mathbb{R}^n の開集合とし、

:\mathbf{f}(x_1, \dots, x_n) = \left( \begin{matrix}
   f_1(x_1, \dots , x_n)  \\
   \vdots  \\
   f_m(x_1, \dots , x_n)  \\
\end{matrix} \right)　　　　(1-1)

を、\textbf D 上で定義された \mathbb{R}^{m} に値を取る多変数ベクトル値関数とする。
ここで  は \textbf{f} の第 *i* 成分を表す。

### 偏微分の定義
\textbf{p} を \textbf D 内の点とし、\textbf{a} を \mathbb{R}^n のベクトルとする（\textbf{p} は \textbf{p}\in\textbf{D} でなければならないが \textbf{a} は \textbf{a}\notin\textbf Dであってよい）。

\textbf{p}, \textbf{a} は固定されているものとする。

このとき、\textbf{f} が \textbf{p} で \textbf{a} について偏微分可能であるとは、以下の極限値

:\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,\frac{\,\,\mathbf{f}(\mathbf{p}+t\mathbf{a})-\mathbf{f}(\mathbf{p})}{t}　　　　(1-4)

が存在することを意味する。

このとき \textbf{f}の\textbf{p}における、\textbf{a} について偏微分商、
{\left. \partial_{[\mathbf{a}]} \mathbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]}
を、以下のように定義する。

:{\left. \partial_{[\mathbf{a}]} \mathbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]}\ =\ \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,\frac{\,\,\mathbf{f}(\mathbf{p}+t\mathbf{a})-\mathbf{f}(\mathbf{p})}{t}　　　(1-5)

### 成分関数の微分可能性
\textbf{f} の第 *i* 成分 {f}_{i} は以下の等式を満たす。

:f_i(\mathbf{x}) = y_i \circ \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \langle\mathbf{e}_i\ |\ \mathbf{f}(\mathbf{x}) \rangle　　　　(1-11)

上式において \langle \cdot |\cdot \rangle は内積を意味する。

式 (1-10), (1-11) を用いて、{f}_{i} を（(1-5) の定義式通りに）\textbf{p} で \textbf{a} について偏微分することを考える。
\textbf{f} が \textbf{p} で \textbf{a} について偏微分可能ならば、f_i は \textbf{p} で \textbf{a} について偏微分可能で、

:\begin{align}
{\left. \partial_{[\mathbf{a}]} f_i \right|}_{[\mathbf{p}]}
&= \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,\frac{\,\,{f}_{i}(\mathbf{p}+t\mathbf{a})-{f}_{i}(\mathbf{p})}{t}\\
&= \textbf{e}_i \cdot
\left( \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,\,
\left( \frac{\,\,\mathbf{f}(\mathbf{p} + t\mathbf{a}) - \mathbf{f}(\mathbf{p})}{t} \right) \right)\\
&= {}^t{\textbf{e}}_{i} \cdot {\left. \partial_{[\mathbf{a}]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]}\\
&= {\left. \partial_{[\mathbf{a}]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]} \cdot \textbf{e}_i
\end{align}　　　　(1-12)

が成立する。

逆に、式(1-1)より、

:\mathbf{f}(x_1,\dots,x_n)=\left( \begin{matrix}
   f_1(x_1,\dots, x_n)  \\
   \vdots  \\
   f_m(x_1,\dots, x_n)  \\
\end{matrix} \right)
= \sum\limits_{i=1}^{m} f_i(\mathbf{x}) \mathbf{e}_i　　　　(1-13)

なので、f_1,\cdots, f_m すべてが \textbf{p} で \textbf{a} について偏微分可能であれば、\textbf{f} も微分可能で、

:=\left( \begin{matrix}
   {\left. \partial_{[\mathbf{a}]} f_1 \right|}_{[\mathbf{p}]}  \\
   \vdots   \\
   {\left. \partial_{[\mathbf{a}]} f_m \right|}_{[\mathbf{p}]}  \\
\end{matrix} \right)　　(1-14)

が成立する。これは式 (1-13) の両辺に、式 (1-5) の右辺の極限をとれば証明できる。

### 一変数関数の微分への帰着
(1-6) の各成分、つまり {\left. \partial_{[\mathbf{a}]} f_i \right|}_{[\mathbf{p}]} は、それぞれ、(1-15) に示す *t* についての一変数スカラー値関数

:f_i {}^\circ l_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]} (t) = f_i(t \mathbf{a} + \mathbf{p})　　　　　　(1-15)

を、*t* = 0 において（一変数スカラー値意味で）微分したものである。つまり、

:{\left. \partial_{[\mathbf{a}]} f_i \right|}_{[\mathbf{p}]} 
= {\left. \frac{d(f_i {}^\circ l_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]})}{dt} \right|}_{t=0} 
= {\left. \frac{d f_i(t\mathbf{a}+\mathbf{x}_0)}{dt} \right|}_{t=0}　　　　　　(1-16)

である。但し、l_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]} は、

:l_{[\mathbf{a}, \mathbf{p}]}(t) = t\mathbf{a} + \mathbf{p}　　(1-17)

で定まる \mathbb{R}^n の直線である。
また、後述の合成写像の微分法則 (3-7) を用いると (1-16) の計算はさらにすすめられる。この結果は第三節で後述する。
 
### 記号「∂f/∂x<sub>j</sub>」について
\textbf{f} の点 \mathbf{p} における「（\mathbb{R}^nの）
ベクトル \mathbf{e}_j」に対する偏微分商、即ち \partial_{[\mathbf{e}_j]} \mathbf{f}[\mathbf{p}] を、
{\left. \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_j} \right|}_{[\mathbf{p}]} 
と書く。 即ち、

:{\left. \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_j} \right|}_{[\mathbf{p}]}
= \partial_{[\mathbf{e}_{j}]} \mathbf{f}[\mathbf{p}] 
= \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,
\frac{\textbf{f}(t\mathbf{e}_{i}+\mathbf{p})-\textbf{f}(\mathbf{p})}{t}  (1-18)

と表記する。

また、\textbf{f} の第 *i* 成分、つまり  の点 \mathbf{p} における「（\mathbb{R}^n の）ベクトル \mathbf{e}_j」に対する偏微分商 \partial_{[\mathbf{e}_{j}]} f_i[\mathbf{p}] を、{\left. \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right|}_{[\mathbf{p}]} と表記する。

ここで、\textbf{e}_{1}\,\cdots ,\textbf{e}_{n} は、それぞれ \mathbb{R}^n 標準基底であり、\textbf{e}_j は、第 *j* 標準ベクトルを意味する。

### ヤコビ行列の導入
\textbf{f} が \textbf{p} において、\textbf{e}_1\,\cdots ,\textbf{e}_n 全てに対して偏微分可能であるとき、

{(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}]} = \left( \begin{matrix}
   {\left. \frac{\partial f_1}{\partial x_1} \right|}_{[\mathbf{p}]} 
   & \cdots
   & {\left. \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \right|}_{[\mathbf{p}]}  \\
   & \vdots & \\
   {\left. \frac{\partial f_m}{\partial x_1} \right|}_{[\mathbf{p}]} 
   & \cdots
   & {\left. \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \right|}_{[\mathbf{p}]}  \\
\end{matrix} \right)　　　　(1-20)

を \textbf{f} の \mathbf{p} におけるヤコビ行列という。

## 微分
### 設定
\textbf{D} を \mathbb{R}^n の開集合とし、

:\textbf{f}(\mathbf{x})=\left( \begin{matrix}
   f_1(\mathbf{x})  \\
   \vdots   \\
   f_m(\mathbf{x})  \\
\end{matrix} \right)　　　　(2-1)

を、\textbf D 上で定義された \mathbb{R}^m に値を取る多変数ベクトル値関数とする。

### 微分の定義
\textbf{p} を \textbf D 内の点とする（つまり \textbf{p}\in\textbf{D}）。このとき、\textbf{f} が \textbf{p} で微分可能であるとは、

:\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\,\left( \frac{\mathbf{f}(\mathbf{x})-\left( \mathbf{A}(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|} \right)=0　　　　(2-2)

を充たす n\times m 行列 \textbf{A} が存在することを意味する。この \textbf{A} を、\textbf{f} の \textbf{p} における微分という。

\textbf x -\textbf p=\textbf h とおくと、次のようにも表せる。

\quad \ \displaystyle \lim_{\textbf h \to \textbf 0} \dfrac{ \| f( \textbf p + \textbf h)-f( \textbf p)-A \textbf h \|}=0

### 微分の一意性
\textbf{f} が \textbf{p} で微分可能であるとき、(2-2) を満たす n\times m 行列はひとつしか存在しない。つまり、n\times m 行列 \textbf{B} が、

:\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\,\,\left( \frac{\mathbf{f}(\mathbf{x})-\left( \mathbf{B}(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|} \right)=0　　　　(2-3)

を満たすとすると、

:\textbf{A}=\textbf{B}　　　　(2-4)

が成立する。

### 微分可能性と偏微分可能性
\textbf{f} が \textbf{p} で微分可能であるとき、\textbf{f} は \textbf{p} で任意のベクトル \textbf{a} に対して偏微分可能である。実際、

::\begin{align}
&\left( \frac{\mathbf{f}(t\mathbf{a}+\mathbf{p})-\mathbf{f}(\mathbf{p})}{t} \right)-\mathbf{A}\cdot \mathbf{a}\\
&=\, \left( \frac{\textbf{f}(t\mathbf{a}+\mathbf{p})-\left( \mathbf{A}\cdot \left( \left( t\mathbf{a}+\mathbf{p} \right)-\mathbf{p} \right)+\textbf{f}(\mathbf{p}) \right)}{\left\| \left( t\mathbf{a}+\mathbf{p} \right)-\mathbf{p} \right\|} \right)\left\| \mathbf{a} \right\|
\end{align}　　(2-5)

ここで、

:\,\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,\left( \frac{\textbf{f}(t\mathbf{a}+\mathbf{p})-\left( \mathbf{A}\cdot \left( \left( t\mathbf{a}+\mathbf{p} \right)-\mathbf{p} \right)+\textbf{f}(\mathbf{p}) \right)}{\left\| \left( t\mathbf{a}+\mathbf{p} \right)-\mathbf{p} \right\|} \right)　　　　(2-6)

は、(2-2) に \mathbf{x}=\mathbf{p}+t\mathbf{a} を代入したに過ぎないため（従って (2-2) の特別な場合に過ぎない）、(2-5) の両辺の t\to 0 極限は 0 となる。従って、

:\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,\,\,\frac{\textbf{f}(t\mathbf{a}+\mathbf{p})-\textbf{f}(\mathbf{p})}{t}=\mathbf{A}\cdot \mathbf{a}　　　　(2-7)

となる。以上より \textbf{f} が \textbf{p} で微分可能であるとき、\textbf{f} は \textbf{p} で \mathbb{R}^n の任意のベクトル \textbf{a} に対して偏微分可能であることが示された。

式 (1-5), (2-6) から、\textbf{f} が \textbf{p} で微分可能ならば

:{\left. \partial_{[\mathbf{a}]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]}
=\mathbf{A}\cdot \mathbf{a}　　　　(2-8)

であることが分かる。

### ヤコビ行列の導入
式 (1-2-8) に \textbf{e}_1\,\cdots ,\textbf{e}_n を代入すると、

:{\left. \frac{\partial \textbf{f}}{\partial x_j} \right|}_{[\mathbf{p}]}=\mathbf{A} \cdot \mathbf{e}_j　　　　(2-9)

である。従って \textbf{f}の \textbf{p} での微分 \textbf{A} の第 *j* 列は、

:{\partial } \right|}_{[\mathbf{p}]}}　　　　(2-10)

第 *i* , *j* 成分は

:{\left. \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right|}_{[\mathbf{p}]}　　　　(2-11)

となる。従って、

:\mathbf{A}=\left( \begin{matrix}
   {\left. \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_1} \right|}_{[\mathbf{p}]} 
 & \cdots  
 & {\left. \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_n} \right|}_{[\mathbf{p}]}
\end{matrix} \right)
= \left( \begin{matrix}
   {\left. \frac{\partial f_1}{\partial x_1} \right|}_{[\mathbf{p}]}
 & \cdots
 & {\left. \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \right|}_{[\mathbf{p}]}  \\
   & \vdots & \\
   {\left. \frac{\partial f_m}{\partial x_1} \right|}_{[\mathbf{p}]}
 & \cdots
 & {\left. \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \right|}_{[\mathbf{p}]}  \\
\end{matrix} \right)
=　　　　(2-12)

となる。

### 誤差項の導入
「誤差項」の導入を行う。
\textbf{f} と \textbf{p} に対し、\textbf{f} の \textbf{p} における誤差項（ランダウの記号）{\textbf{o}}_{[\textbf{f},\textbf{p}]} を

\mathbf{o}_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}(\mathbf{x})
= \mathbf{f}(\mathbf{x})-\left( {(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}]} \cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right)　　　　(2-13)

によって定める。

\underset{\textbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,{\mathbf o}_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}=\mathbf{0}　　　　(2-14)

\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\frac_{[\textbf{f},\textbf{p}]} が一次の微小量であることを意味しており、思想的には重要である。

(2-16) 式と (2-13) 式を見比べると、ヤコビ行列は \textbf{f} の一次近似を表していると見ることができる。
つまり、点 \textbf{p} の近傍で \textbf{f} は

\mathbf{f}(\mathbf{x}) \simeq \mathbf{f}(\mathbf{p})+(\mathbf{p})(\mathbf{x}-\mathbf{p})　　　　(2-17)

とみなせることが分かる。

## 微分に関するいくつかの公式
### 偏微分の「方向」に関する公式
式 (2-8) から、\textbf{f} が \textbf{p} で微分可能であるとき、\textbf{f} は \textbf{p} において \mathbb{R}^n の任意のベクトル \textbf{a}, \textbf{b} と、任意の実数 \lambda , \mu に対して、

{\left. \partial_{\left[ \lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b} \right]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{x}]}
=\lambda \left( {\left. \partial_{[\mathbf{a}]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{x}]} \right) + \mu \left( {\left. \partial_{[\mathbf{b}]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{x}]} \right)　　　　(3-1)

が成立することが分かる。実際 (2-8) および行列の積の線型性から、

\begin{align}
&{\left. \partial_{[\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]}={(J\textbf{f})}_{[\mathbf{p}]}(\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b})
&=\lambda {(J\textbf{f})}_{[\mathbf{p}]}(\mathbf{a}) + \mu {(J\textbf{f})}_{[\mathbf{p}]}(\mathbf{b})
&=\lambda \left( {\left. \partial_{[\mathbf{a}]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]} \right) + \mu \left( {\left. \partial_{[\mathbf{b}]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]} \right)
\end{align}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-2)

である。

また、(2-8) から、\textbf{f} が \textbf{p} で微分可能であるとき、\textbf{f} は \textbf{p} で {\mathbb{R}^{n}} の任意のベクトル \textbf{a} に対して、

\begin{align}
&{\left. \partial_{[\mathbf{a}]}\textbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]} = {(J\textbf{f})}_{[\mathbf{p}]} \mathbf{a}
=\left( \begin{matrix}
   {\left. \frac{\partial f_1}{\partial x_1} \right|}_{[\mathbf{p}]}
 & \cdots
 & {\left. \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \right|}_{[\mathbf{p}]}  \\
   & \ddots  & \\
   {\left. \frac{\partial f_m}{\partial x_1} \right|}_{[\mathbf{p}]}
 & \cdots
 & {\left. \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \right|}_{[\mathbf{p}]}
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
   a_1  \\
   \vdots   \\
   a_n  \\
\end{matrix} \right)\\
&=\sum\limits_{j=1}^n a_i \left( {\left. \frac{\partial \textbf{f}}{\partial x_j} \right|}_{\mathbf{p}} \right)
\end{align}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-3)

が、成立することがわかる。式 (3-2), (3-3) は、ヤコビ行列の幾何学的な意味を表している。

### アフィン写像の微分
次に、アフィン写像の微分について説明する。アフィン写像とは、適当な *m×n* 行列 **A** と、*n* 次元代数数ベクトル **b** を用いて

T(\textbf{x})=\textbf{A}\textbf{x}+\textbf{b}　　(3-4)

の形で具体的な数式として書ける、{\mathbb{R}^{n}}から{\mathbb{R}^{m}}への写像のことである。(3-4)のアフィン写像は、任意の点（{\mathbb{R}}^{n}の点）\textbf{p}で微分可能で、任意の点（{\mathbb{R}}^{n}の点）\textbf{p}において、

=\textbf{A}　　(3-5)

である。逆に、任意の点\textbf{p}において　　(3-5)を充たす写像があったとすれば、それはアフィン写像である。

### 合成写像の微分
次に、合成写像の微分について説明する。\textbf{E}を{\mathbb{R}^{m}}の開集合とし、\textbf{E}は、\textbf{f}の値域を含む（つまり、\textbf{f}(\textbf{D})\subset\textbf{E}、特に\textbf{f}(\textbf{p})\in\textbf{E}とする）とする。多変数ベクトル値関数
\mathbf{g}(\mathbf{y})=\left( \begin{matrix}
   (\mathbf{y})  \\
   \vdots   \\
   (\mathbf{y})  \\
\end{matrix} \right)　　　　(3-6)

は、\textbf{E}で定義され、^{l}}に値をとるとする。このとき、\mathbf{g}と\textbf{f}との合成写像\mathbf{g}\circ \textbf{f}は、\textbf{D}で定義され、^{l}}に値をとる多変数ベクトル値関数である。

\textbf{f}が点\textbf{p}で微分可能で、\mathbf{g}が、点\mathbf{f}(\mathbf{p})で微分可能であるとき、\mathbf{g}\circ \textbf{f}も\textbf{p}で微分可能で、

=\cdot{(J\textbf{f})}_}　　　　(3-7)

ここで“\cdot”とは、行列としての積である。

■証明
\textbf{f}を点\textbf{p}で一次展開し、
\textbf{g}を点\mathbf{f}(\mathbf{p})で(2-16)同様に一次展開すると、

\mathbf{f}(\mathbf{x})=\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{f}(\mathbf{p})+_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}}(\mathbf{x})　　　　(3-8)

\mathbf{g}(\mathbf{y})=\cdot (\mathbf{y}-\mathbf{f}(\mathbf{p}))+\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\textbf{f}(\mathbf{p}))　　　　(3-9)

となるので、

\mathbf{g}\circ \textbf{f}(\textbf{x})
=\mathbf{g}(\textbf{f}(\textbf{x}))
=\cdot (\mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}))+\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\textbf{f}(\mathbf{p}))

=\cdot (\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})+_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}}(\mathbf{x}))

+\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))

=\cdot \cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})+\cdot _{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}}(\mathbf{x})+\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))

=\cdot \cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})
+\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))
+_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+\cdot _{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}}(\mathbf{x})
　　　　(3-10)

である。従って

\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\,\frac{\left( _{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+\cdot _{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}}(\mathbf{x}) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|}\,=0　　　　(3-11)

を示すを示せば終証である。

以下(3-11)を示す。

\frac{\left( _{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|}
=\,\frac{\left( _{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|}\left( \frac{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|} \right)
\,=\frac{\left( _{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}\left( \frac{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|} \right)\,
　　　　(3-12)

より、
\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( _{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|}\,=\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( _{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}\left( \frac{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|} \right)\,　　　　(3-13)

一方、

\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{\left( _{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}=\underset{\mathbf{f}(\mathbf{x})\to \mathbf{f}(\mathbf{p})}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{\left( _{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}　　　　(3-14)

は、

\underset{\mathbf{y}\to \mathbf{f}(\mathbf{p})}{\mathop{\lim }}\,\,\,\frac{\left( _{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{y}-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}　　　　(3-15)

の特殊なケースに過ぎないので、

\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{\left( _{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}=0　　　　(3-16)

さらに、

\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|} \right)\,　　　　(3-17)

は有限の値であることから、

\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{\left( _{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|}=0　　　　(3-18)

また、

\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\,\,\frac{\left( \cdot _{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}}(\mathbf{x}) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|}=0　　　(3-19)

は、

\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\,\frac{\left( \cdot _{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}}(\mathbf{x}) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|}=\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\,\left( \left( \frac_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}}(\mathbf{x})}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|} \right)\, \right)
　　　　(3-20)

であることと、線形写像の連続性から明らかである。

■

(3-7)を行列として具体的に表記すると

=\left( \begin{matrix}
    & \cdots  &   \\
   \vdots  & \vdots  & \vdots   \\
    & \cdots  &   \\
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
    & \cdots  &   \\
   \vdots  & \vdots  & \vdots   \\
    & \cdots  &   \\
\end{matrix} \right)(3-21)

となる。これから、

=_{[\textbf{f}(\textbf{p})]}}(3-22)

が分かる。

### 合成写像の偏微分
次に(3-7)の合成写像の微分法を用いて、(1-8)式の計算をさらにすすめる。(1-8)式のうち、本議論に用いるものを(3-23)にて再掲する。

=
　　　　　　(3-23)

(3-23)式の右辺に式(3-21)を適用すると、

=
=\left( ,\cdots , \right)
s\textbf{a}
=_{[s\mathbf{a}+\mathbf{b}]}}　　　(3-24)

以上より、

=_{[s\mathbf{a}+\mathbf{b}]}}　　　　　　(3-25)

### 逆写像の微分
次に、（弱いほうの）逆写像定理（逆関数定理）を示す。\textbf{E}を{\mathbb{R}^{m}}の開集合とし、\textbf{E}は、\textbf{f}の値域を含む（つまり、\textbf{f}(\textbf{D})\subset\textbf{E}、特に\textbf{f}(\textbf{p})\in\textbf{E}とする）とする。多変数ベクトル値関数

\mathbf{g}(\mathbf{x})=\left( \begin{matrix}
   (\mathbf{x})  \\
   \vdots   \\
   (\mathbf{x})  \\
\end{matrix} \right)　(3-26)

は、\textbf{E}で定義され、^{m}}に値をとるとする。さらに、\textbf{g}が\textbf{f}の逆写像、つまり

\mathbf{g}=^{-1}}　(3-27)

とする。このとき、

)}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}=　(3-28)

が成立する。標語的にいえば、「逆写像のヤコビ行列は、元の写像の逆行列」である。
これは、(3-7)の特殊な例に過ぎない。

## 導関数の導入
これまでの議論では、一点\textbf{p}を固定して、この点での微分可能性について議論してきた。本節では、領域全体での微分可能性について説明し、導関数を定義する。

\textbf Dを、{\mathbb{R}^{n}}の開集合とし、

\mathbf{f}(,,)=\left( \begin{matrix}
   (,,)  \\
   {\vdots}  \\
   (,,)  \\
\end{matrix} \right)　　　　(4-1)

を、\textbf D上で定義され、{\mathbb{R}^{m}}に値を取る多変数ベクトル値関数とする。

\textbf{a}を、{\mathbb{R}^{n}}の固定されたベクトルとする。（\textbf{a}\notin\textbf Dでもよい。）このとき、「\textbf{f}が\textbf Dで、\textbf{a}について偏微分可能である」とは\textbf D内の全ての点において、(4-1)の意味で\textbf{f}が\textbf{a}について偏微分可能であることを意味する。このとき「\textbf{f}の\textbf{a}についての偏導関数\mathbf{f}」とは、「\textbf Dの点\textbf{x}と\textbf{x}における偏微分商}を対応させる多変数ベクトル値関数」のことである。つまり、

\mathbf{f}(\textbf{x})=
}　　　　(4-2)

である。特に

\mathbf{f}(\textbf{x})=\left( \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial } \right)(\textbf{x})　　　　(4-3)

とする。

「\textbf{f}が\textbf Dで、微分可能である」とは、「\textbf D内の全ての点において、(2-2)の意味で\textbf{f}が微分可能」であることを意味する。

このとき「\textbf{f}の\textbf Dにおける導関数^{'}}」とは、「\textbf Dの点\textbf{x}と\textbf{x}における微分を対応させる行列値の関数」である。つまり、

{\mathbf{f}}'(\mathbf{x})=　　　　(4-4)

である。'}のことをJ\mathbf{f}や、T\mathbf{f}と書くこともある。
尚、「dfとヤコビ行列」で後述するように、d\textbf{f}は、文脈によっては、(4-4)と同じ意味で使われる場合がある。

また、(4-5)から、直ちに「\textbf{f}が\textbf Dで、微分可能」ならば、「\textbf{f}が\textbf Dで、任意の\textbf{a}について偏微分可能」である。しかし、この逆は成り立たない。つまり、「\textbf{f}が\textbf Dで、任意の\textbf{a}について偏微分可能」であっても、「\textbf{f}が\textbf Dで、微分可能」とは限らない。

「\textbf{f}が\textbf Dで、連続微分可能である」とは、「\textbf{f}が\textbf Dで、_{1}},\ \cdots ,\ _{j}}\cdots ,\ _{n}}全てについて偏微分可能であり、かつ_{1}},\ \cdots ,\ _{j}}\cdots ,\ _{n}}についての偏導関数がすべて\textbf Dで、連続であること」を意味する。

一見、連続微分可能性は、全微分可能性よりも弱い性質のように見えるが、実は連続微分可能性のほうが強い条件である。つまり「\textbf{f}が\textbf Dで、連続微分可能」ならば「\textbf{f}が\textbf Dで、微分可能」であるものの、「\textbf{f}が\textbf Dで、微分可能」であっても、「\textbf{f}が\textbf Dで、連続微分可能」とは限らない。

但し、「\textbf{f}が\textbf Dで微分可能であり、導関数が\textbf Dで、連続」ならば、「\textbf{f}は\textbf Dで、連続微分可能」である。

## 全微分
\mathbb{R}^n に \langle \textit{x}_1, \cdots , \textit{x}_n \rangle 座標系が定まっているとする。
式 (1-14) の \textit{x}_1, \cdots, \textit{x}_n は全て \mathbb{R}^n から \mathbb{R} への線形写像であり、従って式 (3-5) と同様の方法で微分可能で、恒等的に

\textit{x}_i' (\mathbf{x}) = {}^{t} \mathbf{e}_i　　　　(5-1)

である。ここで {}^{t} は転置を意味する。すなわち {}^{t}{\textbf{e}}_{i} とは、第 *i* 成分のみが 1 で、それ以外が 0 の 1 行 *n* 列の行列（横ベクトル）である。

式 (4-4) より \mathbf{f}'(\mathbf{x}) は、

\mathbf{f}'(\mathbf{x}) 
= \left( \left( \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_1} \right)(\mathbf{x}),\cdots ,\left( \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_n} \right)(\mathbf{x}) \right)
　　　　(5-2)

で定まる行列値関数であるため、

\mathbf{f}'(\mathbf{x}) 
= \sum\limits_{i=1}^n \left( \left( \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_i} \right)(\mathbf{x}) \right){\ }^{t}\mathbf{e}_i　　　　(5-3)

であり、

\mathbf{f}'(\mathbf{x})
= \sum\limits_{i=1}^n \left( \left( \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_i} \right)(\mathbf{x}) \right)
\left( r_i'(\mathbf{x}) \right)　　　　(5-4)

がわかる。ここで、\mathbf{f}' を d\mathbf{f}、x_i' を d x_i と書くと、

d\mathbf{f}(\mathbf{x})
=\sum\limits_{i=1}^n \left( \left( 
\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_i} 
\right)(\mathbf{x}) \right) 
\left( d x_i(\mathbf{x}) \right)　　　　(5-5)

となる。式 (5-5) において、変数を省略すると、

d\mathbf{f} = \sum\limits_{i=1}^n \left( \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_i} \right)d x_i　　　　(5-6)

となる。

## 微分の“逆問題”
### スカラーポテンシャルの定義
\textbf Dを、{\mathbb{R}^{n}}の開集合とし、

A=(,\cdots ,)　　(6-1-1)

を、\textbf D上で定義された1行n列の行列値関数とする。行列値関数とは、
各成分が関数である行列のことを意味する。

式(6-1-1)のAに対し、

{f}(x)=A　　(6-1-2)

を充たす、一変数スカラー値関数{f}を求める問題を考える。(6-1-2)の条件をみたす一変数スカラー値関数のことを、Aのスカラーポテンシャルという。

以下、1行n列の行列値関数Aがあたえられたとき、Aのスカラーポテンシャルが存在する条件を調べ、スカラーポテンシャルの構成方法（所謂ポアンカレの補助定理）について述べる。

### 偏導関数に関する「微積分学の基本定理」
\textbf Dを、{\mathbb{R}^{n}}の開集合とし、hを\textbf D上で定義された多変数スカラー値関数とする。

\textbf{p}を、\textbf D内の点とする。（つまり、\textbf{p}\in\textbf{D}）\textbf{a}を、{\mathbb{R}^{n}}のベクトルとする。（\textbf{a}\notin\textbf Dでもよい。）
このとき、

\int_{s=0}^{s=1}{\left( \left( h \right)(s\mathbf{a}+\mathbf{p}) \right)ds}=h(\mathbf{a}+\mathbf{p})-h(\mathbf{p})　　(6-2-1)

が成立する。但し、0\le s \le 1を充たす全てのsに対して、
(s\mathbf{a}+\mathbf{p})\in \textbf{D}　　(6-2-2)
が成り立っているものとする。

以下、(6-2-1)を示す。まず、

h\circ l_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]}(s)=h(s\mathbf{a}+\mathbf{p})　　　　　　(6-2-3)

で、
h(\mathbf{x})=\left( \frac{d(h{}^\circ )}{ds} \right)　　　　　　(6-2-4)
である。但し、は、(1-9)同様、

(s)=s\mathbf{a}+\mathbf{p}　　(6-2-5)

である。

(6-2-4)の右辺を、sについて（一変数関数の意味で）積分すると、

\int_{s=0}^{s=1}{\left( \frac{d(h{}^\circ )}{ds} \right)ds}=
\left[ h(s\mathbf{a}+\mathbf{p}) \right]_{s=0}^{s=1}　　(6-2-5)

従って、(6-2-1)が分かる。

### ポアンカレの補助定理の準備
(6-1-1)のAに対し、作用積分を定義する。

\mathbf{p}=\left( \begin{matrix}
     \\
   \vdots   \\
     \\
\end{matrix} \right)　　(6-3-1)

を{\mathbb{R}^{n}}の点とする。また、\textbf Dを、{\mathbb{R}^{n}}の開集合とし、さらに\textbf Dが\textbf{p}を中心に星型とする。

\textbf Dが\textbf{p}を中心に星型とは、任意の\textbf Dの点\textbf{x}と、任意のs\in[0,1]に対し、

s(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{p}\in \textbf{D}　　(6-3-2)

であることを意味する。

\textbf{p}は固定されているものとする。また、

\textbf{x}=\left( \begin{matrix}
     \\
   \vdots   \\
     \\
\end{matrix} \right)　　(6-3-3)

も固定されていると考える。

式(6-1-1)の、\textbf D上で定義された1行n列の行列値関数Aに対し、}を

}=\int_{s=0}^{s=1}{\left( A(s(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{p})\centerdot \left( \begin{matrix}
   -  \\
   \vdots   \\
   -  \\
\end{matrix} \right) \right)ds}　　(6-3-4	)

と定義する。(6-3-4)の右辺の被積分関数

A(s(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{p})\centerdot \left( \begin{matrix}
   -  \\
   \vdots   \\
   -  \\
\end{matrix} \right)　　(6-3-5)

は、sについての一変数スカラー値関数である。そして、右辺の積分は、(6-3-5)の「sについての一変数スカラー値関数」を(一変数関数の意味で)定積分したものである。また、　を、点\textbf{x}と、
実数}を対応させる多変数スカラー値関数

(\mathbf{x})}　　(6-3-6)

とする。以降、点\textbf{x}は、変数とみなす。

## 脚注
### 注釈

### 引用

## 参考文献
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