レーマーの予想

**レーマーの予想** (Lehmer's conjecture)、**レーマーのマーラー測度の問題**(Lehmer's Mahler measure problem)としても知られている、は、(Derrick Henry Lehmer)により提起された数論の問題である。この予想は、ある絶対的な定数 \mu>1 が存在して、すべての整数係数の多項式 P(x)\in\mathbb{Z}[x] は次の性質のどちらかを満たすであろうという予想である。

* P(x) のマーラー測度 \mathcal{M}(P(x)) は \mu より大きいかまたは等しい。

* P(x) は、円分多項式もしくは単項式 x の積の整数倍である。この場合は \mathcal{M}(P(x))=1 である。（同じことであるが、P(x) のすべての根は 1 のべき根かまたは 0 である。）

マーラー測度の定義にはいくつかあって、そのうちの一つは多項式 P(x) を \mathbb{C} 上分解して
:P(x)=a_0 (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_D)
とし、
:\mathcal{M}(P(x)) = |a_0| \prod_{i=1}^{D} \max(1,|\alpha_i|)
と定義するものがある。

知られている中で最も小さな（1 よりも大きい）マーラー測度は、**レーマーの多項式**
:P(x)= x^{10}+x^9-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3+x+1
のマーラー測度であり、これはサレム数(Salem number)
:\mathcal{M}(P(x))=1.176280818\dots
である。

この例が、本当に最小の値、すなわち、レーマーの予想の \mu=1.176280818\dots であると広く信じられている。

## 動機
一変数のマーラー測度を考える。イエンセンの公式は、P(x)=a_0 (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_D) であれば、
:\mathcal{M}(P(x)) = |a_0| \prod_{i=1}^{D} \max(1,|\alpha_i|)
であることを示している。（このパラグラフを通して、m(P)=\log(\mathcal{M}(P(x)) と表すことにする。これもマーラー測度と呼ばれる。）

このことは、P が整数係数の多項式であれば、\mathcal{M}(P) が 1 以上の代数的数であり、従って、m(P)\ge0 は代数的整数の対数であることを示している。また、もし m(P)=0 であれば、P は、円分多項式、つまり、すべての根が 1 のべき根であるようなモニック多項式と、x の単項式、つまり、ある n に対してべき x^n の積となることも示している。

レーマー(Lehmer)は、モニック多項式 P に対する整数列 \Delta_n=\text{Res}(P(x), x^n-1)=\prod^D_{i=1}(\alpha_i^n-1) の研究の中で、m(P)=0 が重要な数値であることに気づいた。もし P が円の上で 0 とならない場合は \lim|\Delta_n|^{1/n}=\mathcal{M}(P) であることは明らかであるが、円の上で 0 になる場合でさえも、このステートメントが成立するのではないだろうか。これにより、彼は次の問いに至った。
:P が非円分的なとき、m(P)>c となるような定数 c>0 が存在するかどうか？
あるいは、
:c>0 が与えられた場合、 0 となる整数係数の P が存在するかどうか？
以下に見るように、いくつかの肯定的な答えが知られているが、しかし、レーマー予想は完全に証明されてはおらず、多くの興味深い問いが残っている。

## 部分的結果

P(x)\in\mathbb{Z}[x] を次数 D の既約モニック多項式とする。スミス  は、自己相反多項式でない、つまり、
:x^DP(x^{-1})\ne P(x)
であるすべての多項式に対し、レーマーの予想は正しいことを証明した。

ブランクスビー(Blanksby)とヒュー・モンゴメリー(Montgomery)は、 で、ステワート(Stewart)とは独立に、絶対的な定数 C>1 が存在し、\mathcal{M}(P(x))=1 かまたは、:\log\mathcal{M}(P(x))\ge \frac{C}{D\log D} を満たすことを証明した。

ドブロウォルスキー(Dobrowolski)  はこの結果を改善し
:\log\mathcal{M}(P(x))\ge C\left(\frac{\log\log D}{\log D}\right)^3
とした。彼は、 C ≥ 1/1200 を得て、十分大きな D に対し漸近的に C > 1-ε も得ている。ボウティエール D ≥ 2 に対し C ≥ 1/4 を得ている。

## 楕円の類似

E/K を数体 K で定義された楕円曲線とし、\hat{h}_E:E(\bar{K})\to\mathbb{R} を標準的高さ（ネロン・テイトの高さ(Néron–Tate height)とも言う）函数とする。標準的高さは、函数 (\deg P)^{-1}\log\mathcal{M}(P(x)) の楕円曲線の類似である。この高さについては、\hat{h}_E(Q)=0 であることと、Q が E(\bar{K}) の中で捩れ点(torsion point)であることとは同値である。**楕円レーマー予想**(elliptic Lehmer conjecture)は、定数 C(E/K)>0 が存在し、すべての捩れのない点 Q\in E(\bar{K}) に対して、
:\hat{h}_E(Q) \ge \frac{C(E/K)}{D}
となるという予想である。ここに D=[K(Q):K] とする。楕円曲線 E が虚数乗法を持つとドブロウォルスキーの結果の類似は、ローラン(Laurent)のおかげで、
:\hat{h}_E(Q) \ge  \frac{C(E/K)}{D} \left(\frac{\log\log D}{\log D}\right)^3
となる。任意の楕円曲線に対し、知られている最も良い結果は、ダヴィッド・マッサー(David Masser)による
:\hat{h}_E(Q) \ge  \frac{C(E/K)}{D^3(\log D)^2}
という結果である。非整数の j-不変量を持つ楕円曲線に対しては、これが改善されて、ヒンドリー(Hindry)と(Joseph H. Silverman)による
:\hat{h}_E(Q) \ge  \frac{C(E/K)}{D^2(\log D)^2}
という結果がある。

## 制限付きの結果
より強い結果が、多項式や代数的数に制限をつけた場合に得られている。

P(x) が相反ではないとき、
:M(P) \ge M(x^3 -x - 1) \approx 1.3247 
となり、これは明らかに最良の場合である。さらに、*P* の係数がすべて奇数であれば、
:M(P) \ge M(x^2 -x - 1) \approx 1.618
となる。

αを任意の代数的数とするとき、体 **Q**(α) が **Q**のガロア拡大であれば、αの最小多項式に関しレーマー予想が成り立つ。

## 参考文献

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## 外部リンク
*http://www.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/ is a nice reference about the problem.
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