超弾性

**超弾性**（ちょうだんせい、Hyperelasticity）とは、物体を構成する物質の力学的特性の数理的表現のひとつであり、ひずみエネルギー密度関数（単位体積あたりのひずみエネルギーを表す弾性ポテンシャル）を有することが特徴である。超弾性を有する物質を**超弾性体**とよび、ゴムの最も簡易なモデルとして登場したことに由来して、数十％～数百％の大ひずみ状態を想定している。

## 構成則
弾性とは、ある位置\boldsymbol{X}の応力がそこの変形勾配\boldsymbol{F}で決まる性質を表す。このときの応力は、第一ピオラ-キルヒホッフ応力\boldsymbol{P}を用いると、
: \boldsymbol{P} = \boldsymbol{P} ( \boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X})

と書ける。

特別な場合として、ある変形区間での応力による仕事が、初期t_0における状態とtにおける状態のみに依存して、変形の経路に非依存なとき、この性質を**超弾性**という。経路非依存性より、以下に示すポテンシャル関数\Phiが得られる。
: 
\Phi( \boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X})
=  \int_{t_0}^{t} \boldsymbol{P} ( \boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X}): \dot{\boldsymbol{F}} dt

: \dot{\Phi} = \boldsymbol{P} : \dot{\boldsymbol{F}}


\Phi(\boldsymbol{F}, \boldsymbol{X})と考えると、\dot{\Phi}は
: \dot{\Phi} = \sum_{i, J = 1}^{3} \frac{\partial \Phi}{\partial F_{iJ}} \dot{F}_{iJ}
と書ける。
これを:\dot{\Phi} = \boldsymbol{P} : \dot{\boldsymbol{F}}と比較すると、P_{iJ}は
: P_{iJ} = \frac{\partial \Phi}{\partial F_{iJ}} 
と書ける。結局、
: \boldsymbol{P}(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}),\boldsymbol{X})  = \frac{\partial \Phi((\boldsymbol{X}),\boldsymbol{X})}{\partial \boldsymbol{F}} 
と表される。ここで、
\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T\boldsymbol{F}より、\Phiを\boldsymbol{C}の関数として表す。
: \Phi( \boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X})= \Phi( \boldsymbol{C}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X})

\frac{1}{2}\dot{\boldsymbol{C}} = \dot{\boldsymbol{E}}より、第二ピオラ-キルヒホッフ応力\boldsymbol{S}について同様の式展開を行うと、
: \dot{\Phi} = \frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}} : \dot{\boldsymbol{C}}
= \frac{1}{2}\boldsymbol{S} : \dot{\boldsymbol{C}}
: \boldsymbol{S}(\boldsymbol{C}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X})
= 2\frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}}
= \frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{E}}

となる。

## 非圧縮性を有する場合
まず、\boldsymbol{C}で表記した\dot{\phi}の式を次のように変形する。
: 
\left(\frac{1}{2}\boldsymbol{S} - \frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}}\right) : \dot{\boldsymbol{C}} = 0

非圧縮性を有することから、J = 1, \dot{J} = 0を\dot{J} = \frac{1}{2}J \boldsymbol{C}^{-1}: \dot{\boldsymbol{C}}に代入して、
:
\frac{1}{2} J \boldsymbol{C}^{-1} : \dot{\boldsymbol{C}} = 0

を得る。二つの式を比較して、
: 
\frac{1}{2}\boldsymbol{S} - \frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}}
 = \gamma \frac{1}{2} J \boldsymbol{C}^{-1}
を得る。今、\gammaは任意の係数を表す。微圧縮性の場合はJのままの方が便利なので、J = 1を代入していない。変形すると、
: 
\boldsymbol{S} = 2\frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}} + \gamma J \boldsymbol{C}^{-1}

ここで、p = \frac{1}{3} \mathrm{tr} \,\boldsymbol{\sigma}と定義すると、
: 
p = \frac{1}{3} \mathrm{tr} \, \boldsymbol{\sigma} 
= \frac{1}{3} J^{-1} \boldsymbol{S}  : \boldsymbol{C} 
= \frac{2}{3} J^{-1}\frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}} : \boldsymbol{C}  +  \gamma 

上の結果から、\gammaとpは
: 
\frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}}  : \boldsymbol{C} = 0

のときにのみ一致する。これは、\Phi(\alpha \boldsymbol{C}) = \Phi(\boldsymbol{C})となるときに成立する。ここで、\hat{\boldsymbol{C}} = III_C^{-\frac{1}{3}}\boldsymbol{C}によって新たな関数\hat{\Phi}(\boldsymbol{C}) = \Phi(\hat{\boldsymbol{C}})を定義する。\hat{\Phi}(\boldsymbol{C})を用いると、\hat{\Phi}(\boldsymbol{\alpha C}) = \hat{\Phi}(\boldsymbol{C})となることが次のように示される。
: 
\hat{\Phi}(\alpha \boldsymbol{C})
= \Phi[(\mathrm{det} \,\alpha \boldsymbol{C})^{-\frac{1}{3}} (\alpha \boldsymbol{C}) ]
= \Phi[(\alpha^3 \mathrm{det} \,\boldsymbol{C})^{-\frac{1}{3}} (\alpha \boldsymbol{C}) ]
= \Phi[(\mathrm{det} \, \boldsymbol{C})^{-\frac{1}{3}} \boldsymbol{C} ]
= \hat{\Phi}( \boldsymbol{C})

ここで、
III_C = \mathrm{det} \,\boldsymbol{C}を用いた。

非圧縮性の場合、\Phi(\boldsymbol{C})を\hat{\Phi}(\boldsymbol{C})で代替できるため、\boldsymbol{S}の式は次のように表される。
: 
\boldsymbol{S} = 2\frac{\partial \hat{\Phi}}{\partial \boldsymbol{C}}+ p J \boldsymbol{C}^{-1}


偏差成分\boldsymbol{S}'は、
: 
\boldsymbol{S}' = 2\frac{\partial \hat{\Phi}}{\partial \boldsymbol{C}}

である。通常は、\Phi(\boldsymbol{C})と\hat{\Phi}(\boldsymbol{C})は等しくないが、非圧縮性を有する場合、\hat{\boldsymbol{C}} = \boldsymbol{C}より成立する。

## 参考文献
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* 社団法人　土木学会　応用力学委員会　編：いまさら聞けない計算力学の常識，丸善，2008．
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