極限 (圏論)

数学の一分野圏論において、**極限**とは積や引き戻しや逆極限といった普遍的な構成たちの根底にある性質を捉えた抽象概念である。双対的に**余極限**とは非交和、直和、余積、、直極限のような構成を一般化したものである。

極限と余極限は、強く関連した概念である普遍性や随伴関手と同様に、高度に抽象化された存在である。これらを理解するために、一般化される前の特定の概念を先に学ぶのがよい。

## 定義
圏*C*における極限と余極限は*C*上の図式に関して定義される。形式的には、形が*J*である*C*における**[[図式 (圏論)|図式]]**は*J*から*C*への関手
:*F* : *J* &rarr; *C*
のことである。圏*J*は添字圏であるとみなし、図式*F*は*C*の対象と射を*J*の形に並べたものとみなす。*J*の実際の対象や射は特に意味はなく―それらの繋がり方だけが意味を持っている。

圏*J*として使われるものは、多くの場合、小さい圏であり、有限であることもある。図式が**小さい**、**有限である**などは圏*J*がそうであることをいう。

### 極限
*F* : *J* → *C* を*C*における形が*J*の図式であるとする。*F*への錐とは、*C*の対象*N*と、*J*の対象*X*で添え字付けられた射の族ψ*X* : *N* → *F*(*X*)の組(*N*, ψ)のうち、全ての*J*の射*f* : *X* → *Y*が*F*(*f*) o ψ*X* = ψ*Y*を満たすものをいう。

図式*F* : *J* → *C*の**極限**とは*F*への錐(*L*, φ)であって、他のどの*F*への錐(*N*, ψ)に対しても、*一意*な射*u* : *N* → *L*が存在して、*J*の全ての対象*X*がφ*X* o *u* = ψ*X*を満たすようにできるものをいう。

このとき、錐(*N*, ψ)は錐(*L*, φ)を経由して一意な分解射*u*により分解されるという。射*u*は**仲介射**であると呼ばれることもある。

極限は普遍性によって特徴付けられる(下記を参照)ので、普遍錐であるということもできる。他の普遍性と同様に、上の定義は一般性が釣り合った状態であることを述べている。つまり、極限対象*L*は各錐がこれを経由して分解できるほどに一般性を持ち、分解が*一意*であるのに十分な具体性も持っている。

極限は*F*への錐の圏の終対象であると特徴付けることもできる。

図式が極限を持たないこともある。しかし、もし図式が極限を持つならば、それは本質的に一意である。すなわち、同型による違いを除いて一意である。このことが*F*の唯一の (the) 極限と呼ぶことのある理由である。

### 余極限
極限と錐の双対概念が余極限と余錐である。上の定義における射の向きを全て逆にすることで定義を得ることもできるが、ここでは実際に書いてみることにする。

図式*F* : *J* → *C*からの**[[余錐]]**とは、*C*の対象*N*と、*J*の各対象*X*で添え字付けられた射の族
:ψ*X* : *F*(*X*) → *N*
の組(*N*, ψ)のうち、*J*の各射*f* : *X* → *Y*がψ*Y* o *F*(*f*)= ψ*X*を満たすもののことである。

図式*F* : *J* → *C*の**余極限**とは*F*からの余錐(*L*, \phi)であって、*F*からの他の余錐(*N*, ψ)についていつでも、一意的な射*u* : *L* → *N*が存在して、全ての*J*の対象*X*が*u* o \phi*X* = ψ*X*を満たすことをいう。

余極限は*[[普遍余錐]]*であり、*F*からの余錐の圏における始対象として特徴付けることができる。

極限の場合と同様に、図式*F*が余極限を持てば、それは同型を除いて一意である。

### 他の定義
極限と余極限は図式を使わずに、対象と射の集まりが与えられれば定義することができる。この場合の定義も上と同じである(上の定義では*J*の射の合成を全く使わなかったことに注意)。しかしながら、この定義は何も新しい情報をもたらさない。対象と射の集まりは(大きくなりうる)有向グラフ*G*を定める。そして、*J*を*G*の生成する自由圏とすると、*G*の像を包含する普遍的な図式*F* : *J* → *C*が存在する。この図式の極限(余極限)はもとの対象と射の集まりの極限(余極限)と同じになる。

**弱極限**と**弱余極限**は極限と余極限の定義から仲介射の一意性を除いたものをいう。

## 例
### 極限
極限の定義は実際によく使われている多くの構成を十分に包摂する一般的なものである。以下では図式*F* : *J* → *C*の極限(*L*, φ)について考える。

***[[終対象]]**。*J*が空な圏である場合は、形が*J*である図式はただひとつであり、それは空である(集合論の空写像と同様である)。空な図式の錐は*C*の勝手なひとつの対象のことであり、*F*の極限は他のどの対象もそれを経由して一意に分解する。これは*終対象*の定義そのものである。
***[[積 (圏論)|積]]**。*J*が離散圏の場合は、図式*F*はたんに*J*で添え字付けられた*C*の対象の族である。*F*の極限*L*はこれらの対象の*積*と呼ばれる。錐を構成する射の族 φ*X* : *L* → *F*(*X*) は積からの*射影*と呼ばれる。例えば集合の圏においては、積は直積集合であり、射影は各因子への自然な射影のことである。
****冪**。積の特別な場合として、図式*F*の対象関数が*C*の対象*X*への定数関数であるとする。この図式の極限を*X*の*J*乗と呼び、*X**J*と記す。
***[[等化子]]**。*J*の対象が二つであり、恒等射以外には対象*1*から対象*2*への平行な二つの射からなる場合は、形が*J*である図式は*C*における平行な射の対である。このような図式の極限はこれらの射の*等化子*と呼ばれる。
****[[核 (圏論)|核]]**。*核*は等化子の特別な場合で、射の片方がゼロ射であるときをいう。
***[[引き戻し (圏論)|引き戻し]]**。図式*F*が三つの*C*の対象*X*と*Y*と*Z*を選び、恒等射でない射は*f* : *X* → *Z*と*g* : *Y* → *Z*のみであるとする。*F*の極限*L*は*引き戻し*または*ファイバー積*と呼ばれる。
***[[逆極限]]**。*J*を有向半順序集合とし(*i* ≤ *j*に対して射*i* → *j*を追加した小さな圏とみなす)、*F* : *J*op → *C*を図式とする。*F*の極限は(まぎらわしいが)*逆極限*、*射影極限*、*有向極限*と呼ばれる。
**J* = **1**のとき、すなわち、ひとつの対象とひとつの射からなる圏であるとき、形が*J*の図式は本質的には*C*のひとつの対象*X*のことである。対象*X*への錐はたんに*X*を余ドメインとする射である。射*f* : *Y* → *X*が図式*X*の極限であるのは、*f*が同型射のときであり、またそのときに限る。より一般的に、*J*が始対象*i*を持つ圏であるとき、形が*J*である任意の図式は極限をもち、それは*F*(*i*)に同型な対象のことである。このような同型は*F*への普遍錐を一意に定める。
***位相的な極限**。関数の極限はフィルター極限の特別な場合であり、圏論的な極限とは次のような関係がある。*X*を位相空間とし、*F*は*X*上のフィルターの集合とし、*x* ∈ *X*を点とし、*V*(*x*) ∈ *F*を*x*の近傍フィルターとし、*A* ∈ *F*をひとつのフィルターとし、F_{x,A}=\{G\in F \mid V(x)\cup A \subset G\} を*x*に収束する*A*より細かいフィルターの集合とする。フィルターの集合*F*には*A* ⊆ *B*にたいして射*A* → *B*を与えることで、圏の構造を持たせることができる。入射I_{x,A}:F_{x,A}\to Fは以下の同値性をもつ関手となる。

:: *x*が*A*の位相的な極限であるのは、*A*がI_{x,A}の圏論的な極限であるときであり、またそのときに限る

### 余極限
余極限の例は上の例の双対で与えられる。
***[[始対象]]**は空な図式の余極限である
***[[余積]]**は離散圏で添え字付けられた図式の余極限である
****余冪**は離散圏からの定数図式の余極限である
* **[[余等化子]]**は平行な射の対の余極限である
** **[[余核]]**は射と平行なゼロ射の余等化子である
* **[[押し出し (圏論)|押し出し]]**は共通のドメインを持つ射の対の余極限である
* **[[順極限]]**は有向集合で添え字付けられた図式の余極限である

## 性質
### 極限の存在性
勝手な図式 *F* : *J* → *C* は*C*に極限(または極限)を持つこともあるし、持たないこともある。さらに、*F*への錐すらないこともあり、このときは普遍錐ももちろん存在しない。

圏*C*が** ''J''の形の極限を持つ**というのは、形が*J*の任意の図式の極限が*C*で存在することをいう。特に、圏*C*が
***積を持つ**とは全ての*小さな*離散圏*J*に対して、*J*の形の極限を持つことを言う(大きな積を持つ必要はない)
***等化子を持つ**とは\bullet\rightrightarrows\bulletの形の極限を持つことである(つまり、全ての平行な射の対は等化子を持つ)
***引き戻しを持つ**とは\bullet\rightarrow\bullet\leftarrow\bulletの形の極限を持つことである(つまり、共通の余ドメインを持つ全ての射の対は引き戻しを持つ)
***[[完備圏|完備]]**であるとは小さな極限をすべて持つことである(つまり、全ての小さい圏*J*の形の極限を持つ)

双対的な定義も可能である。圏が** ''J''の形の余極限を持つ**とは、形が*J*である全ての図式が*C*で余極限を持つことである。**[[余完備圏]]**は全ての小さな余極限を持つ圏のことである。

**極限の存在定理**とは、圏*C*が等化子を持ち、クラスOb(*J*)とクラスHom(*J*)で添え字付けられた全ての積を持つならば、*C*は*J*の形の全ての極限を持つという定理である。この場合、図式 *F* : *J* → *C* の極限は二つの射
:s,t : \prod_{i\in\mathrm{Ob}(J)}F(i) \rightrightarrows \prod_{f\in\mathrm{Hom}(J)} F(\mathrm{cod}(f))
の等化子として構成することができる。ここで、*s*と*t*は
:\begin{align}
s &= \bigl( F(f)\circ\pi_{F(\mathrm{dom}(f))}\bigr)_{f\in\mathrm{Hom}(J)} \\
t &= \bigl( \pi_{F(\mathrm{cod}(f))}\bigr)_{f\in\mathrm{Hom}(J)}.
\end{align}
で与えられる。

双対的に余等化子と余積を使った**余極限の存在定理**も同様に成り立つ。これらの定理は*J*の形の全ての(余)極限が存在することの十分条件ではあるが、必要条件ではない。

### 普遍性
極限と余極限は重要な普遍構成である。*C*を圏とし、*J*を小さな添え字圏とする。関手圏*C**J*は形が*J*である*C*の図式全体からなる圏と考えることができる。*[[対角関手]]*
:\Delta : \mathcal C \to \mathcal C^{\mathcal J}
とは*C*の対象*N*を値が*N*である定数関手 Δ(*N*) : *J* → *C*に対応させる関手のことをいう。すなわち、*J*の各対象*X*にたいして、Δ(*N*)(*X*) = *N*であり、*J*の各射 *f* にたいして、Δ(*N*)(*f*) = id*N* である。

図式*F*: *J* → *C*が与えられたとき(*C**J*の対象だと思うことで)、自然変換ψ : Δ(*N*) → *F* (これはたんに圏*C**J*の射のことである)は*N*から*F*への錐と同じものである。ψのコンポーネントは射 ψ*X* : *N* → *F*(*X*) である。双対的に、自然変換ψ : *F* → Δ(*N*) は*F*から*N*への余錐と同じものである。

極限と余極限の定義は次の形に言い直すことができる。
**F*の極限はΔから*F*への普遍射である
**F*の余極限は*F*からΔへの普遍射である

### 随伴
普遍的構成が持つように、極限と余極限も自然に関手性を持っている。言い換えると、形が*J*(*J*は小さいとする)である*C*における全ての図式が極限を持つとすると、**極限関手**
:\mathrm{lim} : \mathcal{C}^\mathcal{J} \to \mathcal{C}
が存在する。ここで、この関手は各図式をその極限に写し、各自然変換η : *F* → *G*は対応する普遍錐と可換である一意な射lim η : lim *F* → lim *G*に写すものとする。この関手は対角関手
Δ : *C* → *C**J*.
の右随伴関手である。この随伴は*N*からlim *F*へのすべての射からなる集合と*N*から*F*へのすべての錐からなる集合の間の全単射
:\mathrm{Hom}(N,\mathrm{lim}F) \cong \mathrm{Cone}(N,F)
で与えられる。これは変数*N*と*F*に関して自然である。この随伴の余単位射 (counit) はlim *F*から*F*への普遍錐そのものである。添え字圏*J*が連結である(そして空でない)場合は、随伴の単位射 (unit) はlimがΔの左逆になるような同型射である。これは*J*が連結でない場合は正しくない。例えば、*J*が離散圏である場合、単位射のコンポーネントは対角射 δ : *N* → *N**J* である。

双対的に、形が*J*(*J*は小さいとする)である*C*の全ての図式が余極限を持つとき、**余極限関手**
:\mathrm{colim} : \mathcal{C}^\mathcal{J} \to \mathcal{C}
が存在し、各図式をその余極限に写す。この関手は対角関手Δ : *C* → *C**J*の左随伴であり、自然な全単射
:\mathrm{Hom}(\mathrm{colim}F,N) \cong \mathrm{Cocone}(F,N).
が存在する。この随伴の単位射は*F*からcolim *F*への普遍余錐である。*J*が連結で(空でない)とき、余単位射はcolimがΔの左逆となるような同型射である。

極限関手も余極限関手も共変関手であることに注意すること。

### 関手の表現としての極限
圏*C*における極限や余極限はHom関手によって集合の圏**Set**における極限と関連付けることができる。このことは、部分的には、共変Hom関手Hom(*N*, &ndash;) : *C* → **Set**が*C*における極限を保存することから導かれる。双対性により、反変Hom関手は余極限を極限に写す。

図式*F* : *J* → *C*が*C*に極限 lim *F* を持つとすると、
:\mathrm{Hom}(N,\mathrm{lim} F)\cong\mathrm{lim}\,\mathrm{Hom}(N,F-)
が存在し、変数*N*に関して自然である。ここで、関手Hom(*N*, *F*&ndash;)はHom関手Hom(*N*, &ndash;)と*F*の合成である。この同型は極限錐の選び方から一意に決まる。

上の関係を使うことで、*C*における*F*の極限を定義することが可能である。まず、関手Hom(*N*, *F*&ndash;)の極限は*N*から*F*へのすべての錐の集合
:\mathrm{lim}\,\mathrm{Hom}(N,F-) = \mathrm{Cone}(N,F).
と同一視することができることが分かる。写像の族π*X* : Cone(*N*, *F*) → Hom(*N*, *FX*)をπ*X*(ψ) = ψ*X*で定めると、極限錐を得る。*C*の対象*L*と自然同型Φ : Hom(&ndash;, *L*) → Cone(&ndash;, *F*)に対して、*L*は極限錐がΦ*L*(id*L*)である*F*の極限である。格好良く書くと、*F*の極限は関手Cone(&ndash;, *F*) : *C* → **Set**の表現であるということになる。

双対的に、図式*F* : *J* → *C*が*C*に余極限colim *F*を持つとすると、標準同型
:\mathrm{Hom}(\mathrm{colim} F, N)\cong\mathrm{lim}\,\mathrm{Hom}(F-,N)
が存在し、変数*N*に関して自然であり、余極限錐の選択から一意に決まる。Hom(*F*&ndash;, *N*)の極限と集合Cocone(*F*, *N*)を同一視することにより、この関係から図式*F*の余極限を関手Cocone(*F*, &ndash;)の表現として定義することができる。

### 集合の極限と余極限の交換
*I*を有限な圏とし、*J*を小さいとする。任意の二項関手

:*F* : *I* &times; *J* &rarr; **Set**

に対して、自然変換

:\mathrm{colim}_J\,\mathrm{lim}_I F(i, j) \rightarrow \mathrm{lim}_I\,\mathrm{colim}_J F(i, j).

が存在する。言い換えると、**Set**におけるフィルター余極限と有限極限は交換する。

## 関手と極限
*C*の図式*F* : *J* → *C*と関手*G* : *C* → *D*について、合成することにより(図式は単なる関手であるので)図式*GF* : *J* → *D*を得る。このとき、以下は自然な疑問である。
: *GF*の極限は*F*のそれとどのような関係があるのか？

### 極限の保存
関手*G* : *C* → *D*はCone(*F*)からCone(*GF*)への写像を誘導する。すなわち、Ψを*N*から*F*への錐とすると、*G*Ψは*GN*から*GF*への錐となる。関手*G*が** ''F''の極限を保存する**とは、(*L*, φ)が*F*の極限であるときはいつでも、(*GL*, *G*φ)が*GF*の極限となることをいう。(注意: *F*の極限が存在しない場合も、*G*は*F*の極限を保存する(空虚な真))

関手*G*が** ''J''の形の全ての極限を保存する''とは、''G''が任意の図式''F'' : ''J'' → ''C''の極限を保存することをいう。例えば、''G''は積を保存する、等化子を保存する、引き戻しを保存する等のように使用する。**連続関手**とは全ての''小さな''極限を保存する関手をいう。

同様の定義は余極限についても可能である。例えば、関手''G''は''F''の余極限を保存するとは、(''L'', φ)が''F''の余極限のときはいつでも、''G''(''L'', φ)が''GF''の余極限となることをいう。**余連続関手**とは全ての''小さな''余極限を保存する関手をいう。

''C''が[[完備圏]]であるならば、上記の極限の存在定理により、関手''G'' : ''C'' → ''D''が連続であることは、(小さい)積と等化子を保存することと同値となる。双対的に、''G''が余連続であることは、(小さい)余積と余等化子を保存することと同値である。

[[随伴関手]]について、全ての右随伴関手は連続であり全ての左随伴関手は余連続であるという重要な性質がある。随伴関手は豊富に存在しているので、連続関手や余連続関手のたくさんの例を得られる。

与えられた図式''F'' : ''J'' → ''C''と関手''G'' : ''C'' → ''D''にたいして、''F''と''GF''が特定の極限をもつならば、標準射
:τ<sub>''F''</sub> : ''G'' lim ''F'' → lim ''GF''
が存在して、対応する極限錐の選択ごとに一意である。関手''G''が''F''の極限を保存することは、この写像が全単射であることと同値である。もし圏''C''と''D''が''J''の形の全ての極限を持っているならば、limは関手であり、τ<sub>''F''</sub>は自然変換
:τ : ''G'' lim → lim ''G''<sup>''J''</sup>.
のコンポーネントである。関手''G''が''J''の形の全ての極限を保存することは、τが自然同型であることと同値である。この意味で、関手''G''は(標準自然同型の違いを除いて)''極限と交換する''ということができる。

極限や余極限の保存という概念は''共変''関手にだけ適用できる。反変関手についての対応する概念は余極限を極限に写す、もしくは極限を余極限に写すというものになる。

=== 極限の持ち上げ ===
関手''G'' : ''C'' → ''D''が図式''F'' : ''J'' → ''C''の**極限を持ち上げる**とは、(''L'', φ)が''GF''の極限であるときはいつでも、''F''の極限(''L''&prime;, φ&prime;)が存在して、''G''(''L''&prime;, φ&prime;) = (''L'', φ)が成り立つことをいう。関手''G''が** *J*の形の極限を持ち上げる**とは、''J''の形の全ての図式の極限を持ち上げることをいう。これは、積を持ち上げる、等化子を持ち上げる、引き戻しを持ち上げる等のように使用することができる。最後に、''G''が**極限を持ち上げる**とは、全ての極限を持ち上げることをいう。余極限の持ち上げについても双対的な定義が可能である。

関手''G''が図式''F''に対して**一意に極限を持ち上げる**とは、''F''の極限であり''G''(''L''&prime;, φ&prime;) = (''L'', φ)となるような、逆像(''L''&prime;, φ&prime;)がただひとつ存在することをいう。''G''が一意に極限を持ち上げることは、それが極限を持ち上げるであることと同値である。

極限を持ち上げることは、極限を保存することと明らかに関係している。''G''が図式''F''の極限を持ち上げて、''GF''が極限を持つとすると、''F''もまた極限を持ち、''G''は''F''の極限を保存する。さらに、
*''G''が''J''の形の極限を持ち上げ、''D''が''J''の形の極限を持つならば、''C''は''J''の形の極限を持ち、''G''はこれらの極限を保存する
*''G''が小さな極限を持ち上げ、''D''が完備であるならば、''C''も完備であり、''G''は連続である
ことが従う。双対的に余極限に対しても同様に成り立つ。

=== 極限の創出と反映 ===
''F'' : ''J'' → ''C''を図式とする。関手''G'' : ''C'' → ''D''が
*''F''の**極限を創出する**とは、(''L'', φ)が''GF''の極限のときはいつでも、''F''への錐(''L''&prime;, φ&prime;)であって、''G''(''L''&prime;, φ&prime;) = (''L'', φ)を満たし、さらに、この錐が''F''の極限となるものがただひとつ存在することをいう
*''F''の**極限を反映する**とは、各''F''への錐について、その''G''による像が''GF''の極限であるときはいつでも''F''の極限であることをいう
双対的に、余極限の創出と反映を定義することもできる。

以下が同値であることが容易に示せる。
*関手''G''は極限を創出する
*関手''G''は一意に極限を持ち上げ、極限を反映する
一意に極限を持ち上げるが、極限を創出も反映もしない関手の例も存在する。

=== 例 ===
* 全ての共変 ''C'' → **Set** は極限を保存する(一方、余極限を保存するとは限らない)。特に連続である。
*  ''U'' : **Grp** → **Set**は全ての小さな極限とフィルター余極限を創出する(そして保存する)。しかしながら、''U''は余積を保存しない。これは代数的な忘却関手に典型的に起きる状況である。
*  ''F'' : **Set** → **Grp** (これは集合''S''に''S''上の[[自由群]]を割り当てる)は忘却関手 ''U'' の左随伴であり、そのため連続である。このことはふたつの自由群''G''と''H''の[[自由積]]が''G''と''H''の生成集合の[[非交和]]で生成される自由群であることを説明できる。
* 包含関手 **Ab** → **Grp** は極限を創出するが余積は保存しない(ふたつの可換群の余積は[[直和]]である)。
* 忘却関手 **Top** → **Set** は一意に極限と余極限を持ち上げるがどちらも創出しない。
* **Met**<sub>''c''</sub> を[[連続関数]]を射とする[[距離空間]]の圏とする。忘却関手 **Met**<sub>''c''</sub> → **Set''' は有限極限を持ち上げるが、一意には持ち上げない。

## 用語に関する注意
古い用語では極限のことを「逆極限」や「射影極限」と呼び、余極限を「順極限」や「帰納極限」と呼ぶ。これは多くの混乱の原因となった。

現代的な用語を覚えるいくつかの方法がある。最初に、
*余核
*余積
*余等化子
*余ドメイン
は余極限の一種であり、
*核
*積
*等化子
*ドメイン
は極限の一種である。次に、「余」という接頭辞は「\operatorname{Hom}の最初の変数」を暗に示している。「コホモロジー」や「余ファイブレーション」のような用語は最初の変数、つまり二項関手\operatorname{Hom}の反変な側の変数ととても強く関連している。

## 参考文献

*
* 日本語訳: 

## 外部リンク
*Interactive Web page  which generates examples of limits and colimits in the category of finite sets. Written by Jocelyn Paine.