遅延ポテンシャル

電磁気学における**遅延ポテンシャル**（ちえんぽてんしゃる、）は、真空におけるの解の一つで、与えられた電荷分布と電流分布によって作られる電磁場を表す。

## 概要
### 概要
遅延ポテンシャル

は、真空における（後述の式(1-2-4)）の解の一つで、以下の式(1-1-1)で与えられる。本節では、必要に応じたいくつかの数学的補足

をしながら、遅延ポテンシャルについて論じる。

:
\boldsymbol{A}_{\mathrm{ret}}(\boldsymbol{r},t) =
\dfrac{\mu_0}{4\pi} \int \dfrac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s},{t}_{\mathrm{ret}})} \cdot\mathrm{d} \boldsymbol{s}
　(1-1-1a)
:
\varphi_{\mathrm{ret}}(\boldsymbol{r},t) =
 \dfrac{1}{4\pi \epsilon_0} \int \dfrac{\rho(\boldsymbol{s},{t}_{\mathrm{ret}})} \mathrm{d} \boldsymbol{s}
　(1-1-1b)

ここで、d*s* は、微小体積要素を表す。また、tretは、遅滞時間を表し、以下の式で与えられる。
:t_{\mathrm{ret}}:= t - \frac{c}　(1-1-2)
電磁場は、光速
c
で伝播する。光速は有限な速度である。従って、過去に発生した原因（電流、電荷分布）と、それに起因して未来に起こる結果（電磁波の観測）との間には、時間遅れが生じる。遅滞時間は、この時間遅れを表現している。

### ジェフィメンコ方程式との関係
遅延ポテンシャルに対して、
:\boldsymbol{B}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A}(1-1-3a)
:\boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}-\operatorname{grad}[\phi]　(1-1-3b)

とすると、ジェフィメンコ方程式 即ち

:\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}, t) 
= \frac{\mu_0}{4 \pi} 
{\int}_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}} 
\left(
\frac{
\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s}, {t}_{\mathrm{ret}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|^3} 
+ \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|^2 c}\frac{\partial 
\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s}, {t}_{\mathrm{ret}})}{\partial t} 
\right) \times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}) \mathrm{d}^3 \boldsymbol{s}　(1-1-4a)

:\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t) = 
\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} 
{\int}_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}  
\left( 
\left( 
\left(
\frac{\rho(\boldsymbol{s}, {t}_{\mathrm{ret}})}
\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int_{\omega=-\infty}^{\omega=\infty}
\exp(i(\omega t - k|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|))
\hat{\boldsymbol{i}} (\boldsymbol{s},\omega)\ d\omega
\right)
 \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}
　　(2-6-6b)
:
=\frac{4\pi}
\int_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}
\frac{1}
\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int_{\omega=-\infty}^{\omega=\infty}
\exp(i\omega  \left(t -\frac{c}\right))
\hat{\boldsymbol{i}} (\boldsymbol{s},\omega)\ d\omega
\right)
 \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}
　　(2-6-6c)
:
=\frac
\int_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}
\frac{1}
\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int_{\omega=-\infty}^{\omega=\infty}
\exp(i\omega t_{\mathrm{ret}})
\hat{\boldsymbol{i}} (\boldsymbol{s},\omega)\ d\omega
\right)
 \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}
　　　(2-6-6d)
:=\dfrac{\mu_0}{4\pi} {\int}_{\boldsymbol{s}\in \mathbb{R}^{3}}
 \dfrac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s},{t}_{\mathrm{ret}})}\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{s}　　　(2-6-6e)

を得る。ここで、(2-6-6a) から(2-6-6b)の式変形では、\omegaに依存しない項を”\int \ d\omega”の外に括りだしている。 
(2-6-6b) から　(2-6-6c)の式変形では、 式(2-3-4)、即ち k=\omega/cを考慮した。
また、　(2-6-6d)から、 (2-6-6e)の式変形は、(2-1-5b) に、tretを代入したものである。

### STEP7
STEP6で得られた一般解から、ふるまいの悪い解を棄却する。
式(2-6-1) の先進ポテンシャル\hat{\boldsymbol{A}}_{\mathrm{adv}}
の物理学的意味を解釈すると、
位置\boldsymbol{s}の電流素片

:
{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s},{t}_{\mathrm{adv}})} \mathrm{d} \boldsymbol{s}
　(2-7-1)

が、位置\boldsymbol{r}に作り出す
ベクトルポテンシャルが、

:
\dfrac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s},{t}_{\mathrm{adv}})}
\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{s}
　(2-7-2)

であり、これを全\boldsymbol{s}にわたって積分したものが、位置で\boldsymbol{r}におけるベクトルポテンシャルで
あると解されよう。

同様に、式(2-6-2)の遅延ポテンシャル\hat{\boldsymbol{A}}_{\mathrm{ret}}

:
{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s},{t}_{\mathrm{ret}})} \cdot\mathrm{d} \boldsymbol{s}
　(2-7-3)

が、位置**r**に作り出す
ベクトルポテンシャルが、

:
\dfrac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s},{t}_{\mathrm{ret}})}
\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{s}
　(2-7-4)

であり、これを全**s**にわたって積分したものが、位置で**r**におけるベクトルポテンシャルで
あると解されよう。

式(2-7-2),式(2-7-4)いずれの場合にも電流素片の影響が、電流素片の置かれた場所**s**
と、位置（観測点**s**との間の距離に逆比例して球対称に広がっていることが判り、非常にもっともらしい。

遅延ポテンシャルにおいては式(2-7-4)のように、観測点の、時刻tにおけるベクトルポテンシャルに
影響を与える電流素片が、観測点の時刻よりも前の時刻のものであるしかも、影響が光速で伝播するとしたときに非常につじつまの合う時間遅れが生じていてさらにもっともらしい。

一方で、式(2-7-2)では、観測点の、時刻tにおけるベクトルポテンシャルに
影響を与える電流素片が、観測点の時刻よりも後（未来）の時刻のものである
ことになり、非常に振る舞いが悪い。

大げさに言えば、先進ポテンシャルの影響があるとすると、
観測点**r**の観測者は、
未来の情報を観測（予測ではなく）出来るということを意味する。
このようなことは、非現実的で、時空因果律の観点からも
おかしい。したがって、先進ポテンシャルは棄却すべきである。

以上から、式(2-6-2) の**A**retのみが生き残るべきであると結論される。

## 数学的補足
### 一変数フーリエ変換の一般論
一変数フーリエ変換の定義には、（係数のつけ方によって）諸派あるが、以下の式で定義する流儀が恐らく最もスタンダードであろう。変数tについての一変数スカラー値の関数f(t)に対し、
:\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\int}_{t=-\infty}^{t=\infty}\ f(t)\exp{(-i\omega t)} \ dt　(S1-1)
を、fのフーリエ変換と言う。

この時、
:f(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\int}_{\omega=-\infty}^{\omega=\infty}\ \hat{f}(\omega)\exp{(i\omega u)} \ d\omega 　(S1-2)
が成り立つ。これを、フーリエ逆変換という。（尚、厳密に言えば上式はの＝は「等しい」という意味ではなく、「至る所等しい」ことを意味する。）

### ベクトル場の代数演算と微分作用素
ベクトル解析の公式のうち、特に、ベクトル場に代数演算を施したものに、微分作用素を作用させた場合に成り立つ公式について、本記事で用い、かつ、あまり本に載っていないものについて、簡潔にまとめる。例えば、藤本P64付近を参照のこと。

#### (1) <F|∇>について
以下の記述は、例えば、を参照のこと。
F=(f_1,f_2,f_3)をベクトル場とする。このとき、
:
\left\langle\ \boldsymbol{F}\ |\ \nabla \ \right\rangle :=
{f}_{1}{\partial \over \partial {x}_{1}}  +  {f}_{2}{\partial \over \partial {x}_{2}} + {f}_{3}{\partial \over \partial {x}_{3}} 
 　(S2-1-1)
と定義する。ここで、∇は、
:\nabla := \boldsymbol{\hat{x}} {\partial \over \partial x}  + \boldsymbol{\hat{y}} {\partial \over \partial y} + \boldsymbol{\hat{z}} {\partial \over \partial z} 　(S2-1-3)
を意味する。のことを、”F・∇”と書くこともある。

Gを、ベクトル場としたとき、をGに作用させると、
:\left\langle\ \boldsymbol{F}\ |\ \nabla \ \right\rangle \boldsymbol{G}=
{f}_{1}{\partial{g}_{1} \over \partial {x}_{1}}  +  
{f}_{2}{\partial{g}_{2} \over \partial {x}_{2}} + 
{f}_{3}{\partial{g}_{3} \over \partial {x}_{3}}
=(J[\boldsymbol{G}])\cdot\boldsymbol{F}
 　(S2-1-4)

が成り立つ。ここで、J[**G**]は、Gのヤコビ行列（ヤコビアンではない）を意味する。

#### (2)rot とスカラー倍、ベクトル積
F,Gを、ベクトル場、fを、スカラー値関数とする。このとき、以下が成り立つ。
:\operatorname{rot}[f\boldsymbol{F}]=\operatorname{grad}[f]\times\boldsymbol{F}+f\cdot \operatorname{rot}[\boldsymbol{F}] 　(S2-2-1)

:
\operatorname{rot}[\boldsymbol{F}\times\boldsymbol{G}]=
\left\langle\ \boldsymbol{G}\ |\ \nabla \ \right\rangle \boldsymbol{F}
-\left\langle\ \boldsymbol{F}\ |\ \nabla \ \right\rangle \boldsymbol{G}
+\boldsymbol{F}\operatorname{div}[\boldsymbol{G}]
-\boldsymbol{G}\operatorname{div}[\boldsymbol{F}]
 　(S2-2-2)

#### (3)div とスカラー倍、ベクトル積
F,Gを、ベクトル場、fを、スカラー値関数とする。このとき、
:
\operatorname{div}
\left[
f\boldsymbol{F}
\right]
=\left\langle 
\boldsymbol{F}|\operatorname{grad}[f]
\right\rangle+
f\operatorname{div}[\boldsymbol{F}]
 　(S2-3-1)
 

#### ラプラシアンについて
ラプラシアン
:\Delta={\nabla}^{2}
=\frac{\partial {x}^{2}}+
\frac{\partial {y}^{2}}+
\frac{\partial {z}^{2}}
(S2-4-1)

は、スカラー作用素なので、スカラー場に作用できるが、
ベクトル場の各成分関数に対して作用すると考えることにより、
ベクトル場にも作用できる。

ラプラシアンが、スカラー場fに作用する際には、以下の等式が成立する
:\Delta[f]=\operatorname{div}[\operatorname{grad}[f]](S2-4-2)

ラプラシアンが、ベクトル場Xに作用する際には、以下の等式が成立する。
:\Delta[X]=\operatorname{grad}[\operatorname{div}[X]]-\operatorname{rot}[\operatorname{rot}[X]](S2-4-3)

上式の詳細な導出過程は、例えば、
http://www.treeman9621.com/ChimeraMeam2/CMT03/VectorAnalysis.html
を参照のこと。

### 球面座標変換について
微分作用素の座標変換の使用例は例えば、
,等の文献を参照のこと。
#### 球面座標変換の概要
球面座標変換とは，以下の(S3-1-1)で定まる
:\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} 
=\Phi(r,\theta,\rho)= \begin{pmatrix}r\sin\theta\cos\rho\\r\sin\theta\sin\rho\\r\cos\theta\end{pmatrix}
　　(S3-1-2)

r-θ-ρ空間内に定義域を持ち、x-y-z空間に値を取る、多変数ベクトル値関数のことである。

球面座標変換の像空間について考える。Iをr -θ-ρ空間内の、
:I=[0,r]\times[0,2\pi]\times[0,2\pi]　　(S3-1-4)
で定まる（中身の詰まった）直方体としたとき、前記のΦは、は、r-θ-ρ空間内の直方体Iを、
x-y-z空間内の半径rの（中身の詰まった）球
:\text{Ball}(r)　　(S3-1-4)
に移す変換である。ここで、[0,r]等はみな閉区間を表し、×は、ここでは直積を表すものとする。

#### 微分作用素の球面座標変換
「x-y-z空間上の微分作用素Ｄに対しΦによる座標変換を施したもの」をLとしたとき、
Lは、r-θ-ρ空間上の微分作用素で、**任意のhに対し**以下の式(2-3-2)の関係が満たされる（逆に言えばそうなるようなLを求めることが微分作用素の座標変換である）。

:L[h\circ\Phi]=(D[h])\circ\Phi　　(S3-2-1)

但し、式S(3-2-1)のhは、「作用されるもの」（x-y-z空間上の関数、ベクトル場等）で、
\circは、合成を表す。以下、本節では、便宜のため式S(3-2-1)のような関係にある
LとＤのことを、**「LとＤの間にはΦ関係がある」**と言うことにする。

x-y-z空間上の微分作用素Ｄと、r-θ-ρ空間上の微分作用素Lとの間に式(S3-2-1)の意味でΦ関係があったとする。

このとき、例えば、hが、x-y-z空間上で定義されたスカラー値関数（スカラー場）としたとき、
Lは、x-y-z空間上で定義されたスカラー場h=h(x,y,z)に対しては、
直接的に作用することはできない。しかし、前記hとΦとの合成関数は、「r-θ-ρ上で定義されたスカラー場」であるため、Lは、h\circ\Phi には、作用できる。このとき、式(2-3-2)の左辺と右辺の意味は、それぞれ、
:左辺「Lを、h\circ\Phi に作用させたもの」
:右辺「『Ｄをhに作用させることによって得られたＤ[h]』と、Φを合成したもの」
という意味である。

同様に、例えば、Xが、x-y-z空間上で定義されたベクトル場であったとするとき、x-y-z空間上の微分作用素Ｄと、r-θ-ρ空間上の微分作用素Lとの間に式(2-3-2)の意味でΦ関係があったとする。即ち、

:L[\boldsymbol{X}\circ\Phi]=(\Delta[\boldsymbol{X}])\circ\Phi　　式(S3-2-1’)

が成り立ったとする。このとき、Lは、x-y-z空間上で定義されたベクトル場**X**=**X** (x,y,z)に対しては、直接的に作用することはできない。

しかし、前記**X**とΦとの合成関数は、「r-θ-ρ上で定義されたベクトル場」であるため、Lは、
**X**には、作用できる。
このとき、式(2-3-2’)の左辺と右辺の意味は、それぞれ、
:左辺：Lを、\boldsymbol{X}\circ\Phi に作用させたもの
:右辺：『ＤをＸに作用させることによって得られたＤ[Ｘ]』と、Φを合成したもの
という意味である。

### 分数関数の微分
首記の件について解説する。必要に応じ、例えば北川p27,P39付近を参照のこと。

#### 分数関数の微分(1)
分数関数の偏微分と勾配ベクトル場について解説する。\mathbb{R}^{3}上の点
\mathfrak{R}=(x,y,z)
\boldsymbol{r}=({x}_{\boldsymbol{r}},{y}_{\boldsymbol{r}},{z}_{\boldsymbol{r}}),
\boldsymbol{s}=({x}_{\boldsymbol{s}},{y}_{\boldsymbol{s}},{z}_{\boldsymbol{s}})
を考える。

|{\mathfrak{R}}|\neq 0において、
:
\frac{\partial }{\partial x}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{\partial }{\partial {x}}
\left[
{
({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})
}^{-1/2}
\right]
=\frac{-1}{2}(2{x})
{
({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})
}^{-3/2}
=\frac{-x
}
　(S4-1-1a)

が成り立つ。同様に、
:
\frac{\partial }{\partial y}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{-y}
　(S4-1-1b)
:
\frac{\partial }{\partial z}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{-z}
　(S4-1-1c)
:
\operatorname{grad}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{-\mathfrak{R}}
　(S4-1-1d)

である。従って、式(S4-1-1)それぞれに、
{\mathfrak{R}}=\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}を代入すると
|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|\neq 0において、

:
\frac{\partial }{\partial {x}_{\boldsymbol{r}}}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{
-({x}_{\boldsymbol{r}}-{x}_{\boldsymbol{s}})
}
　(S4-1-2a)
:
\frac{\partial }{\partial {y}_{\boldsymbol{r}}}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{
-({y}_{\boldsymbol{r}}-{y}_{\boldsymbol{s}})
}
　(S4-1-2b)
:
\frac{\partial }{\partial {z}_{\boldsymbol{r}}}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{
-({z}_{\boldsymbol{r}}-{z}_{\boldsymbol{s}})
}
　(S4-1-2c)
:
\operatorname{grad}_{\boldsymbol{r}}\left[\frac{1}\right]
=\frac{
-(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})
}
　(S4-1-2d)

が得られる。同様に、式(S4-1-1)それぞれに、
{\mathfrak{R}}=\boldsymbol{s}-\boldsymbol{r}を代入すると
|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|\neq 0において、

:
\frac{\partial }{\partial {x}_{\boldsymbol{s}}}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{
({x}_{\boldsymbol{r}}-{x}_{\boldsymbol{s}})
}
　(S4-1-3a)
:
\frac{\partial }{\partial {y}_{\boldsymbol{s}}}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{
({y}_{\boldsymbol{r}}-{y}_{\boldsymbol{s}})
}
　(S4-1-3b)
:
\frac{\partial }{\partial {z}_{\boldsymbol{s}}}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{
({z}_{\boldsymbol{r}}-{z}_{\boldsymbol{s}})
}
　(S4-1-3c)
:
\operatorname{grad}_{\boldsymbol{s}}\left[\frac{1}\right]
=\frac{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})}
　(S4-1-3d)

も判る（(S4-1-2) と符号が逆転していることに注意）。

#### 分数関数の微分(2)
\mathbb{R}^{3}上の点
\mathfrak{R}=(x,y,z)
\boldsymbol{r}=({x}_{\boldsymbol{r}},{y}_{\boldsymbol{r}},{z}_{\boldsymbol{r}}),
\boldsymbol{s}=({x}_{\boldsymbol{s}},{y}_{\boldsymbol{s}},{z}_{\boldsymbol{s}})
を考える。

|{\mathfrak{R}}|\neq 0において、
:
\frac{\partial}{\partial {x}_{\boldsymbol{r}}}
\left[\frac{1}{
^{2}
}\right]
=\frac{\partial}{\partial {x}}
\left[
{
({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})^{-1}
}
\right]

:
=(-2{x})
{
({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})
}^{-2}
=\frac{-2({x})}{
^{4}
}　(S4-2-1a)

が成り立つ。同様に、
:
\frac{\partial }{\partial y}
\left[\frac{1}\right]=\delta(|\mathfrak{R}|)　(S4-3-1)　

\mathbb{R}^{3}上の点\mathfrak{R}=(x,y,z)を考える。

式(S2-4-2)(以下の式(S4-3-2)）及び、式(S4-1-1d) (以下の式(S4-3-3)）を考え合わせると、
:\Delta=\nabla\cdot\nabla=\text{div}\,\text{grad}　(S4-3-2)　
:\operatorname{grad}\left[\frac{1}\right]=\frac{-\mathfrak{R}}  (S4-3-3)

: \Delta\left[\frac{-1}\right]=
\operatorname{div} \left[\frac{-\mathfrak{R}}\right]
=\frac{\partial }{\partial {x}}\left[\frac{x}\right]
+\frac{\partial }{\partial {y}}\left[\frac{y}\right]
+\frac{\partial }{\partial {z}}\left[\frac{z}\right]
　(S4-3-4)
が判る。式(S4-3-4)の右辺をさらに計算することを考える。

|{\mathfrak{R}}|\neq 0において、積の微分及び、後述の式(S4-3-6)を考えると、

:
\frac{\partial }{\partial {x}}
\left[\frac{x}{|\mathfrak{R}|^{3}}\right]
=\frac{1}{|\mathfrak{R}|^{3}}+x\frac{\partial }{\partial {x}}
\left[\frac{1}{|\mathfrak{R}|^{3}}\right]
=\frac{1}{|\mathfrak{R}|^{3}}-
\frac{3{x}^{2}}} (S4-3-5a)

:何となれば、
::
\frac{\partial }{\partial {x}}
\left[\frac{1}{|\mathfrak{R}|^{3}}\right]
=\frac{\partial }{\partial {x}}
\left[ ({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})^{-3/2}\right]
=2x*(-3/2)* ({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})^{-5/2}
=\frac{-3x}{|\mathfrak{R}|^{5}}
 (S4-3-6)

同様に、
:\frac{\partial }{\partial {y}}
\left[\frac{y}{|\mathfrak{R}|^{3}}\right]
=\frac{1}{|\mathfrak{R}|^{3}}-
\frac{3{y}^{2}}}　　(S4-3-5b)
:
\frac{\partial }{\partial {z}}
\left[
\frac{z}{|\mathfrak{R}|^{3}}
\right]
=\frac{1}{|\mathfrak{R}|^{3}}-
\frac{3{z}^{2}}　　(S4-3-5c)

式(S4-3-5a),(S4-3-5b),(S4-3-5c)を足し合わせると、|{\mathfrak{R}}|\neq 0において、
:\operatorname{div}_{\boldsymbol{r}}\left[\frac{\boldsymbol{r}}\right]=
\frac{3}{|\mathfrak{R}|^{3}}-\frac{3^{2}}=0　 (S4-3-6)
が得られた。

### 超関数の取り扱い
#### ディラックのデルタと、重積分
一般のn変数関数（関数はベクトル値関数であってよい)fの定義域をΩとしたとき、

:f(\boldsymbol{r})={\int}_{\boldsymbol{s}\in \Omega} f(\boldsymbol{s}){\delta}^{n}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})\ {d}^{n}s\ =f*{\delta}^{n} 　(S5-1-1)

であることが知られている。ここで、上式の"*"は、合成積(乗算ではない)である。また、δnは、n変数のδ関数である。詳細は、川村P46の式(2.53)を参照のこと。厳密な議論は、例えば、加藤P137付近を参照のこと。

#### 発散微分とディラックのデルタ
首記の件について述べる。必要に応じ、例えば、川村P51 式(2.69)を参照のこと。

式(S4-3-6)より、 **原点(r=0)を除いて**、
::\operatorname{div}_{\boldsymbol{r}}\left[\frac{\boldsymbol{r}}\right]=\frac{3}{|\boldsymbol{r}|^{3}}-\frac{3^{2}}=0 　(S5-2-1)
:である。従って、\operatorname{div}_{\boldsymbol{r}}の体積積分は、原点を含む領域である限り、任意の領域で積分しても同じ値である。従って、
積分が簡単となりそうな、「原点(r=0)を中心とする、半径1の球**体**」
**Ball(1)**上での体積積分を考える。ここで、{S}^{2}(1)は、半径1の球**面**

球体**Ball(1)**に対し、ガウスの発散定理を用いると、
:::{\int}_{\boldsymbol{r}\in Ball(1)} \operatorname{div}_{\boldsymbol{r}}\left[\frac{\boldsymbol{r}}\right]\ d^{3}r 
={\int}_{\boldsymbol{r}\in {S}^{2}(1)} 
\frac{\boldsymbol{r}}{
^{3}
}\ d({S}^{2}(1))
=4\pi 　(S5-2-2)
:となる。

一方で、δ3、即ち3変数のδ関数に対し、以下が成り立つ。
:::{\int}_{\boldsymbol{r}\in Ball(1)} {\delta}^{3}(\boldsymbol{r})\ d^{3}r 
=1　(S5-2-3)

従って、式(S5-2-2)、(S5-2-3)より、
::\operatorname{div}_{\boldsymbol{r}}\left[\frac{\boldsymbol{r}}\right]=
4\pi\delta(\boldsymbol{r}) 　(S5-2-4)
であることが判る。以上の議論を平行移動させると、
:\operatorname{div}_{\boldsymbol{r}}\left[\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}}\right]=4\pi\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}) 　(S5-2-5)
であることが判る。

## 参考文献・脚注等
### 脚注

### 参考文献

### 関連項目
*ベクトルポテンシャル
*スカラーポテンシャル
*ジェフィメンコ方程式
*グリーン関数