ビネ・コーシーの恒等式

代数学における**ビネ・コーシーの恒等式** (びね・こーしーのこうとうしき、)とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネおよび オーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する、次の恒等式
:\left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^n a_i c_i \right) \left( \textstyle\sum\limits_{j=1}^n b_j d_j \right) = \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^n a_i d_i \right) \left( \textstyle\sum\limits_{j=1}^n b_j c_j \right) + \textstyle\sum\limits_{1\le i 
:(a_i, b_i, c_i, d_i \in \mathbb{K} \ (i=1,\cdots,n))
のことである。ここで、\mathbb{K} は実数や複素数(より一般的には可換環)を表す。

 かつ 
とすれば、実数に対するが得られる。これはユークリッド空間 \mathbb{R}^n におけるコーシー＝シュワルツの不等式を強化したものである。

## 証明
右辺第2項を展開すると
:\begin{align}
&\textstyle\sum\limits_{1\le i 
となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算の可換性を用いている。)

## ビネ・コーシーの恒等式とスカラー4重積
*n* = 3, \mathbb{K}=\mathbb{R} のとき
:\begin{align}
\left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^n a_i c_i \right) \left( \textstyle\sum\limits_{j=1}^n b_j d_j \right) - \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^n a_i d_i \right) \left( \textstyle\sum\limits_{j=1}^n b_j c_j \right)
&= (a_1 b_2 - a_2 b_1 )(c_1 d_2 - c_2 d_1 ) \\
&+(a_2 b_3 - a_3 b_2 ) (c_2 d_3 - c_3 d_2 )\\
&+(a_1 b_3 - a_3 b_1 ) (c_1 d_3 - c_3 d_1 ) \\
(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{d})(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})
  &= (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_3 (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d})_3 \\
  &+(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_1(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d})_1 \\
  &+(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_2(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d})_2
\end{align}
すなわち、クロス積のスカラー四重積の公式
:(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \quad (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d} \in \mathbb{R}^3)
が得られる。（この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。）

この式をスカラー三重積の性質を使って変形すれば
:\begin{align}
\{(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}\}\cdot\boldsymbol{d}
  &= \left\{ (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b} - (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{a} \right\} \cdot\boldsymbol{d} \\
\therefore~ (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}
  &= (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b} - (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{a}
\end{align}
とベクトル三重積の公式が得られる。

また、 とおくと、
:\|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\|^2 = \|\boldsymbol{a}\|^2 \|\boldsymbol{b}\|^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2 \quad (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^3)
と、ベクトル解析におけるラグランジュの恒等式が得られる。

## 一般化
以下の定理はコーシー・ビネの公式として知られている一般化である：

 を自然数とし、集合  を  と表記する。 を非負整数として、 を 行列、 を 行列とする。
 を  から  個を選んだ部分集合とし、 を  の 個の**列**から  に含まれる添字の**列**を取り出して得られた 行列、 を  の 個の**行**から  に含まれる添字の**行**を取り出して得られた 行列とする。

行列である積  の行列式は
:\det(AB) = \textstyle\sum\limits_{\scriptstyle S\subset[n]\atop\scriptstyle|S|=m} \det(A_S)\det(B^S)
となる。ただし、和において、 は、 の部分集合で要素数が  のものすべてを取るとする。


特別な場合として、 として
:A=\begin{pmatrix}
a_1 &\dots &a_n \\
b_1 &\dots &b_n
\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}
c_1    &d_1    \\
\vdots &\vdots \\
c_n    &d_n
\end{pmatrix}
を適用すれば
:\begin{vmatrix}
\sum\limits_{i=1}^n a_ic_i &\sum\limits_{i=1}^n a_id_i \\
\sum\limits_{i=1}^n b_ic_i &\sum\limits_{i=1}^n b_id_i
\end{vmatrix} = \textstyle\sum\limits_{1 \le i 
となり、ビネ・コーシーの恒等式が得られる。

## 脚注

## 参考文献
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## 関連項目

*行列式
*コーシー・ビネの公式
*三重積 (ベクトル解析)
*四重積 (ベクトル解析)
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## 外部リンク
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