円分体

**円分体** (えんぶんたい、) は、有理数体に、1 の m(>2) 乗根 \textstyle \zeta(\ne\pm 1) を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを**円体**ともいう。

以下において、特に断らない限り、\zeta_n = e^{2\pi i/n} とする。

## 性質
* 3 以上の整数 *m* に対して、円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m) の拡大次数 \textstyle  [\mathbb{Q}(\zeta_m):\mathbb{Q}] は、\textstyle \varphi(m) である。但し、\textstyle \varphi(n) はオイラー関数である。
* 任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。
* 3 以上の整数 *m* に対して、\textstyle  m = p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r} (\textstyle  p_1,\ldots,\ p_r は、相異なる素数、\textstyle  e_1,\ldots,e_r\geqq 1) と素因数分解すると、
:: \mathbb{Q}(\zeta_m) は、\mathbb{Q}(\zeta_{p_1^{e_1}}),\ldots,\ \mathbb{Q}(\zeta_{p_r^{e_r}}) の合成体であり、
:: \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}\cong (\mathbb{Z}/p_1^{e_1}\mathbb{Z})^{\times}\times\cdots\times (\mathbb{Z}/p_r^{e_r}\mathbb{Z})^{\times}
: が成立する。また、円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m) で分岐する有理素数は、\textstyle  p_1,\ldots,\ p_r に限る。
* \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m)\cap\mathbb{R} = \mathbb{Q}(\zeta_m + 1/\zeta_m) である。この\textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m + 1/\zeta_m) を、**最大実部分体**または**実円分体**という。
* 一意分解整域となる円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m) \textstyle (m\not\equiv 2 \pmod{4})は、*m* が 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 の場合だけである。
** 特に、23 以上の素数 *p* に対しては、円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_p) は一意分解整域でない。
* 類数が 2 である円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m) \textstyle (m\not\equiv 2 \pmod{4}) は、*m* = 39, 56 だけである。
* 円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m) に含まれる代数的整数の集合は、\textstyle \mathbb{Z}[\zeta_m] である。

## 円分体の判別式
*m* を 3 以上の整数として、円分体を \textstyle  K = \mathbb{Q}(\zeta_m) とする。

(1) *m* が素数のとき

*K* の判別式は、(-1)^{(m-1)/2}m^{m-2} である。

(2) m = p^h (*p* は素数、*h* は 2 以上の整数)のとき

*K* の判別式は、\textstyle \varepsilon p^{p^{h-1}(h(p-1)-1)} である。但し、
: \varepsilon = \begin{cases}-1 & (p=h=2,\mbox{ or }p\equiv 3 \pmod 4), \\ +1 & (p = 2, \, h\geqq 3,\mbox{ or }p\equiv 1 \pmod 4). \end{cases}

(3) \textstyle  m = p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r} (\textstyle  r\geqq 2,\ p_1,\ldots,\ p_r は相異なる素数、\textstyle  e_1,\ldots,e_r\geqq 1) であるときには

円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_{p_i^{e_i}}) の判別式を D_i とすると、
*K* の判別式は、
: \prod_{i=1}^r D_i^{\varphi(m)/\varphi(p_i^{e_i})}
である。

## アーベル拡大体の埋め込み

**クロネッカー＝ウェーバーの定理** (Kronecker-Weber's theorem)

*K* が有理数体上のアーベル拡大体のとき、ある整数 \textstyle  m\geqq 3 が存在して、
: K\sub\mathbb{Q}(\zeta_m) となる。

例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。

クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。

## 円分体と初等整数論
### フェルマーの最終定理
素数 *p* に対して、
: x^p + y^p = z^p
の左辺を、\textstyle \mathbb{Q}(\zeta_p) 上で分解すると、
: (x + y)(x + \zeta_p y)\cdots (x + \zeta_p^{p-1} y) = z^p
となる。
ラメ (G. Lamé)、コーシー (A. Cauchy)らは、上記左辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、**左辺の分解が一意的である**ことが前提になっており、p=23 のとき、それが成立しないことを示した。
そのため、p=23 (円分体の性質にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。

クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。

クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、**[[正則素数]]**と呼ばれる。
* 素数 *p* は、円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_p) の類数を割り切らない。

正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。

**クンマーの補題**

素数 *p* が正則素数であれば、円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_p) の単数 &epsilon; を、\textstyle \varepsilon\equiv a\ (\operatorname{mod}\ (1-\zeta_p)^p) となる有理整数 *a* が存在するようにとると、 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_p) の単数 \textstyle \varepsilon_0 が存在して、\textstyle \varepsilon = \varepsilon_0^p と表される。

正則素数についての詳細は、正則素数 を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理を参照のこと。

### 平方剰余の相互法則
ガウス (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示した。さらに、\textstyle \mathbb{Q}(\zeta_3),\ \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_4) 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。
高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論の結果を用いて、高木、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。

## 円分体の類数
### 円分体の類数の性質
以下において、*p* を奇素数とする。

円分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m) の類数を h(m)、最大実部分体 \textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m+1/\zeta_m) の類数を h_2(m) とすると、
h(m) = h_1(m)h_2(m) (h_1(m) は有理整数)と表すことができる。
このとき、h_1(m) を**第1因子**または**相対類数**、h_2(m) を**第2因子**または**実類数**という。

第1因子については、以下の様な性質がある。

* 素数 *p* に対して、*p* が h(p) を割り切る必要十分条件は、*p* が第1因子を割り切ることである。
: つまり、第1因子が *p* で割り切れないならば、*p* は正則素数である。
: この性質により、第1因子はフェルマーの最終定理との関連で多くの研究がなされている。
* 素数 *p* に対して、*p* が第1因子を割り切る必要十分条件は、p^2 が、\textstyle \sum_{j=1}^{p-1}j^{2k} を割り切る様な整数 *k* \textstyle  (1\leqq k\leqq (p-3)/2) が存在することである。
* h_1(p) が奇数であるならば、h_2(p) は奇数である。

クンマーは、第1因子の増大度に対して、\textstyle \lim_{p\to\infty}h_1(p)/\gamma(p) = 1 と予想した。
但し、\textstyle \gamma(p) = p^{(p+3)/4}/(2^{(p-3)/2}\pi^{(p-1)/2}) 。

この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。
: \lim_{p\to\infty}\frac{\log(h_1(p)/\gamma(p))}{\log p} = 0 。

第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。

* *q* を素数とし、n>1 とする。p = (2qm)^2+1 が素数であるならば、h_2(p)>2 である。

ヴァンディヴァー (H. S. Vandiver)は、*p* は h_2(p) を割り切らないと予想した(**ヴァンディヴァー予想**)。現在でも、この予想が正しいかは不明である。

### 円分体の類数公式

円分体の類数を求めるには、h(m)=h_1(m)h_2(m) より、第1因子と第2因子を求めればよい。

* 第1因子
** h_1(m) = \frac{\delta}{(2m)^{\frac{1}{2}\varphi(m)-1}}\prod_{\chi\in S}\sum_{n=1}^{m-1}\chi(n)n 。
:: ここで、
:: \delta = \begin{cases} 1 & (m\not\equiv 0 \pmod 4), \\ \frac{1}{2} & (m\equiv 0 \pmod 4), \end{cases}
:: *S* は、\chi(-1) = -1 を満たす、法 *m* に関する指標の集合とする。

: 特に、*m* が素数 *p* の場合、以下の形で表される。
:* h_1(p) = \frac{1}{(2p)^{(p-3)/2}}\left|\prod_{\chi\in S}\sum_{k=1}^{p-1}\chi(k)k\right| 。

: *m* が素数のとき、以下の様な式がある。
:* h_1(p) = \frac{1}{(2p)^{(p-3)/2}}|G(\eta)G(\eta^2)\cdots G(\eta^{p-2})|
:: ここで、&eta; は、1 の原始 p-1 乗根とし、\textstyle  G(X) = \sum_{j=0}^{p-2}g_jX^j 。
:: 但し、*g* を、法 *p* に対する原始根としたとき、\textstyle  j=0,1,\ldots,p-2 に対して、\textstyle  1\leqq g_j\leqq p-1 は、\textstyle  g^j\equiv g_j\ (\operatorname{mod}\ p) を満たす正整数とする。

:* *p* の倍数ではない整数 *r* に対して、\textstyle  1\leqq R(r)\leqq p-1 を、\textstyle  r\equiv R(r)\ (\operatorname{mod}\ p) を満たすようにとる。
:: また、\textstyle  1\leqq r'\leqq p-1 を、\textstyle  rr'\equiv 1\ (\operatorname{mod}\ p) を満たすようにとる。
:: M_p = (R(rs'))_{r,s=1,2,\ldots,(p-1)/2} とおくと、
:: h_1(p) = \frac{1}{p^{(p-3)/2}}|\det M_p| である。

* 第2因子
** h_2(m) = \frac{2^{\frac{1}{2}\varphi(m)-1}}{R}\prod_{\chi\in T}\sum_{n=1}^{[\frac{m-1}{2}]}\chi(n)\log|1-\zeta_m^n| 。
:: ここで、*R* は、\textstyle \mathbb{Q}(\zeta_m) の単数基準、*T* は、\chi(-1) = 1 を満たす、法 *m* に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。

: 特に、*m* が素数 *p* の場合、以下の形で表される。
:* h_2(p) = \frac{2^{(p-3)/2}}{R}\prod_{k=1}^{(p-3)/2}\left|\sum_{j=0}^{(p-3)/2}\eta^{2k^j}\log|1-\zeta_p^{g^j}|\right| 。
:: ここで、&eta; は、1 の原始 p-1 乗根、*g* は、法 *p* に対する原始根とする。

: *m* が素数のとき、以下の様な式がある。
:* \textstyle  k=2,3,\ldots,(p-1)/2 に対して、\delta_k = \sqrt{\textstyle \frac{(1-\zeta_p^k)(1-\zeta_p^{-k})}{(1-\zeta)(1-\zeta^{-1})}}  とおく。
:: *g* を法 *p* に関する原始根とし、\delta=\delta_g とおく。
:: また、&sigma; を、\textstyle \sigma(\zeta_p) = \zeta_p^g を満たす、\textstyle \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}) の生成元とする。
::: M = (\log\sigma^{i+j}(\delta))_{i,j=0,1,\ldots,(p-5)/2}
:: とおくと、
::: h_2(p) = \frac{2^{(p-3)/2}}{R}|\det M| 。
:: 但し、*R* は、\textstyle \mathbb{Q}(\zeta_p)の単数基準とする。

## 脚注

### 注釈

### 出典

## 参考文献

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
** 
* 
** 
* 
* 

## 関連項目

* 1の冪根
* 円分多項式
* ガロア理論
* 代数体

## 外部リンク
* 
* 
*