ブロッホ群

数学において、**ブロッホ群**（）はブロッホ・ウィグナーの関数の線形関係式を記述する群であり、高次のブロッホ群は一般にブロッホ・ススリン複体のコホモロジー群として定義される。複体の名前は () と () に因む。ブロッホ群は以下に述べるように多重対数関数、双曲幾何学、代数的K理論などと密接に関係している。 

## ブロッホ・ウィグナーの関数
は  に対して次の冪級数で定義される。

:
\operatorname{Li}_{2}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k^{2}}


この冪級数から二重対数関数の積分表示

:
\operatorname{Li}_{2}(z)=-\int_{0}^{z}\log(1-t)\;\frac{dt}{t}


が得られる。ただし二重対数関数は2点  で分岐しモノドロミー（多価性）を持つため、積分表示が冪級数表示に一致するためには 0 から  への積分路は z \in \mathbb{C} \setminus \{0, 1\} の非自明なサイクルを含まないようなものをとる必要がある。（一見すると  に分岐はないように見えるが、実は  を周回したシート上に  の分岐が現れる。）この積分表示によって  は z \in \mathbb{C} \setminus \{0, 1\} の普遍被覆空間に正則に解析接続される。

ブロッホ・ウィグナーの関数は二重対数関数を用いて次のように定義される。

:D_{2}(z)=\Im(\operatorname{Li}_{2}(z))+\arg(1-z)\log\left|z\right|

 には次のような著しい性質がある。

* はモノドロミーを持たず \mathbb{C} \setminus \{0, 1\} 上の一価実解析的関数になる。
*D_{2}(z)=D_{2}\left(\frac{z-1}{z}\right)=D_{2}\left(\frac{1}{1-z}\right)=-D_{2}\left(\frac{1}{z}\right)=-D_{2}(1-z)=-D_{2}\left(\frac{z}{z-1}\right).
*D_{2}(x)+D_{2}(y)+D_{2}\left(\frac{1-x}{1-xy}\right)+D_{2}\left(1-xy\right)+D_{2}\left(\frac{1-y}{1-xy}\right)=0.

最後の恒等式は本質的に二重対数関数に対するアーベルの5項関係式である 。

## ブロッホ群の定義

 を体とし、\mathbb{Z} (K) = \mathbb{Z} [K \setminus \{0, 1\}] を K\setminus\{0,1\} の元  に対する  により **Z** 上生成された自由加群とする。また \mathcal{D}(K) を

:[x]+[y]+\left[\frac{1-x}{1-xy}\right]+[1-xy]+\left[\frac{1-y}{1-xy}\right]

の形の元の生成する  の部分加群とし、\mathcal{A}(K)=\mathbb{Z}(K)/\mathcal{D}(K) と定めよう。いまブロッホ・ウィグナーの関数の定義域を  に線形に拡張し、 に対して  と定める。すると  の 5項関係式は

:x\in\mathcal{D}(\mathbb{C})\Rightarrow D_{2}(x)=0

と言い換えられ、従って  は \mathcal{A}(\mathbb{C}) 上定義される。さて、

:d\colon\mathcal{A}(K)\longrightarrow\wedge^{2}(K^{\times})

を、x\in K\setminus\{0,1\} に対しては  と定め、これを  に線形に拡張したものとする。（ が \mathcal{A} 上 well-defined であることをみるには \mathcal{D}(K)\subset\ker d  をチェックする必要がある。）このときブロッホ群 \mathcal{B}_{2}(K)  を

:\mathcal{B}_{2}(K)=\ker d

と定義する 。松本の定理により \mathcal{K}_{2}(K) を 2次の代数的K群として \mathcal{K}_{2}(K)=\operatorname{coker} d が知られている。\mathcal{B}_{2}(\mathbb{C}) は  の線形関係式を完全に記述する群である。すなわち次が成り立つ。

:x\in\mathcal{B}_{2}(\mathbb{C})\Leftrightarrow D_{2}(x)=0.

## K<sub>3</sub> とブロッホ群の関係

 を無限体とする。このとき c=[x]+[1-x]\in \mathcal{B}_{2}(K) は  の取り方に依らない。 を無限次単項行列のなす  の部分群、 をキレンのプラス構成とすると、

:\operatorname{coker}\left[\pi_{3}(\operatorname{BGM}(K)^{+})\rightarrow\mathcal{K}_{3}(K)\right]=(2c)^{-1}\mathcal{B}_{2}(K)

が成り立つ 。ここで \mathcal{K}_{3}(K)=\pi_{3}(\operatorname{BGL}(K)^{+}) は 3次の代数的K群である。
さらに、ミルナーのK群を \mathcal{K}_{3}^{M} として、\mathcal{K}_{3}(K)_{\mathrm{ind}}=\operatorname{coker}(\mathcal{K}_{3}^{M}(K)\rightarrow\mathcal{K}_{3}(K)),\;　\operatorname{Tor}(K^{\times},K^{\times})^{\sim} を \operatorname{Tor}(K^{\times},K^{\times}) のただ一つの非自明な  拡大とする。このとき以下の完全列が知られている。

:0\longrightarrow\operatorname{Tor}(K^{\times},K^{\times})^{\sim}\longrightarrow\mathcal{K}_{3}(K)_{\mathrm{ind}}\longrightarrow\mathcal{B}_{2}(K)\longrightarrow0.

## 3次元双曲幾何学との関係

ブロッホ・ウィグナー関数 D_{2}(z) は \mathbb{C}\setminus\{0,1\}=\mathbb{C}P^{1}\setminus\{0,1,\infty\} 上の関数であり、次のような双曲幾何学的な意味を持つ。\mathbb{H}^{3} を実3次元の双曲空間とし、\mathbb{H}^{3}=\mathbb{C}\times\mathbb{R}_{>0} と半空間表示する。\mathbb{H}^{3} の無限遠点の全体 \overline{\mathbb{H}^{3}}\setminus\mathbb{H}^{3} は \mathbb{C}\cup\{\infty\}=\mathbb{C}P^{1} とみなすことができる。無限遠点のみを頂点とする四面体を理想的四面体と呼び、(p_{1},\ldots,p_{3}\in\mathbb{C}P^{1}) を無限遠点上の頂点として (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})\; で表す。四面体の(符号付き)体積を \left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle  と表す。このとき、計量の定数倍を適切にとれば、四面体の複比は、

:\left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle =D_{2}\left(\frac{(p_{0}-p_{2})(p_{1}-p_{3})}{(p_{0}-p_{1})(p_{2}-p_{3})}\right)

であり、特に D_{2}(z)=\left\langle 0,1,z,\infty\right\rangle  である。D_{2}(z) の5項関係式は、退化した理想的 4単体 (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}) の境界の体積が 0 であることと

:\left\langle \partial(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})\right\rangle =\sum_{i=0}^{4}(-1)^{i}\left\langle p_{0},\dots,\hat{p}_{i},\dots,p_{4}\right\rangle =0

とは同値である。

加えて、3次元双曲多様体 X=\mathbb{H}^{3}/\Gamma が与えられると、
: X=\bigcup^n_{j=1}\Delta(z_j)
と分解する。ここに \Delta(z_j) は、**理想四面体**であり、それらの頂点はすべて \partial\mathbb{H}^3 上の無限遠点にある。ここに z_j は \operatorname{Im} z_j>0 となるある複素数である。各々の理想四面体は、\operatorname{Im} z>0 となる複素数 z （四面体の頂点の複比となるが、）に対し 0, 1, z, \infty を頂点とする理想四面体のひとつにアイソメトリック(isometric)である。このように、四面体の体積は一つのパラメータ z にのみ依存する。 は、理想四面体 \Delta に対し vol(\Delta(z))=D_{2}(z), ただし D_{2}(z) はブロッホ・ウィグナーの二重対数、となることを示した。一般の 3次元双曲多様体に対し、理想四面体を互いに張り合わせることにより、
:vol(X)=\sum^n_{j=1}
を得る。モストウの剛性定理は、\text{Im}\ z_j>0 であるすべての j に対する四面体の体積の値が一意に定まることを保証している。

## 一般化

二重対数の代わりに、三重対数やさらに高次の多重対数を用いることで、ブロッホ群の概念は  と  により拡張された。これらの一般化ブロッホ群 \mathcal{B}_n が、代数的K理論やと関係するということが、広く予想されている。また、により定義された拡大されたブロッホ群のように、別の方向への一般化もある。

## 参考文献

*  (this 1826 manuscript was only published posthumously.)

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