逆三角関数の原始関数の一覧

本項は逆三角関数を含む式の原始関数の一覧である。さらに完全な原始関数の一覧は、原始関数の一覧を参照のこと。

以下の全ての記述において、*a* は 0 でない実数とする。また、*C* は積分定数とする。

## 逆正弦関数の積分

:\int\arcsin x\,dx=
  x\arcsin x+
 {\sqrt{1-x^2}}+C

:\int\arcsin ax\,dx=
x\arcsin ax+
  \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+C

:\int x\arcsin ax\,dx=
  \frac{x^2\arcsin ax}{2}-
  \frac{\arcsin ax}{4a^2}+
  \frac{x\sqrt{1-a^2x^2}}{4\,a}+C

:\int x^2\arcsin ax\,dx=
  \frac{x^3\arcsin ax}{3}+
  \frac{\left(a^2x^2+2\right)\sqrt{1-a^2x^2}}{9\,a^3}+C

:\int x^m\arcsin ax\,dx=
  \frac{x^{m+1}\arcsin ax}{m+1}\,-\,
  \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)

:\int(\arcsin ax)^2\,dx=
  -2\,x+x\,(\arcsin ax)^2+
  \frac{2\sqrt{1-a^2x^2}\arcsin ax}{a}+C

:\int(\arcsin ax)^n\,dx=
  x\,(\arcsin ax)^n\,+\,
  \frac{n\sqrt{1-a^2x^2}\,(\arcsin ax)^{n-1}}{a}\,-\,
  n\,(n-1)\int(\arcsin ax)^{n-2}\,dx

:\int(\arcsin ax)^n\,dx=
  \frac{x\,(\arcsin ax)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,+\,
  \frac{\sqrt{1-a^2x^2}\,(\arcsin ax)^{n+1}}{a\,(n+1)}\,-\,
  \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int(\arcsin ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

## 逆余弦関数の積分
:\int\arccos x\,dx=
  x\arccos x-
  {\sqrt{1-x^2}}+C

:\int\arccos ax\,dx=
  x\arccos ax-
  \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+C

:\int x\arccos ax\,dx=
  \frac{x^2\arccos ax}{2}-
  \frac{\arccos ax}{4\,a^2}-
  \frac{x\sqrt{1-a^2x^2}}{4\,a}+C

:\int x^2\arccos ax\,dx=
  \frac{x^3\arccos ax}{3}-
  \frac{\left(a^2x^2+2\right)\sqrt{1-a^2x^2}}{9\,a^3}+C

:\int x^m\arccos ax\,dx=
  \frac{x^{m+1}\arccos ax}{m+1}\,+\,
  \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)

:\int(\arccos ax)^2\,dx=
  -2\,x+x\,(\arccos ax)^2-
  \frac{2\sqrt{1-a^2x^2}\arccos ax}{a}+C

:\int(\arccos ax)^n\,dx=
  x\,(\arccos ax)^n\,-\,
  \frac{n\sqrt{1-a^2x^2}\,(\arccos ax)^{n-1}}{a}\,-\,
  n\,(n-1)\int(\arccos ax)^{n-2}\,dx

:\int(\arccos ax)^n\,dx=
  \frac{x\,(\arccos ax)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,-\,
  \frac{\sqrt{1-a^2x^2}\,(\arccos ax)^{n+1}}{a\,(n+1)}\,-\,
  \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int(\arccos ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

## 逆正接関数の積分

:\int\arctan x\,dx=
  x\arctan x-
  \frac{\ln(x^2+1)}{2}+C

:\int\arctan ax\,dx=
  x\arctan ax-
  \frac{\ln(a^2x^2+1)}{2\,a}+C

:\int x\arctan ax\,dx=
  \frac{x^2\arctan ax}{2}+
  \frac{\arctan ax}{2\,a^2}-\frac{x}{2\,a}+C

:\int x^2\arctan ax\,dx=
  \frac{x^3\arctan ax}{3}+
  \frac{\ln(a^2x^2+1)}{6\,a^3}-\frac{x^2}{6\,a}+C

:\int x^m\arctan ax\,dx=
  \frac{x^{m+1}\arctan ax}{m+1}-
  \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2x^2+1}\,dx\quad(m\ne-1)

## 逆余接関数の積分

:\int\arccot x\,dx=
  x\arccot x+
  \frac{\ln\left(x^2+1\right)}{2}+C

:\int\arccot ax\,dx=
  x\arccot ax+
  \frac{\ln\left(a^2x^2+1\right)}{2\,a}+C

:\int x\arccot ax\,dx=
  \frac{x^2\arccot ax}{2}+
  \frac{\arccot ax}{2\,a^2}+\frac{x}{2\,a}+C

:\int x^2\arccot ax\,dx=
  \frac{x^3\arccot ax}{3}-
  \frac{\ln\left(a^2x^2+1\right)}{6\,a^3}+\frac{x^2}{6\,a}+C

:\int x^m\arccot ax\,dx=
  \frac{x^{m+1}\arccot ax}{m+1}+
  \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2x^2+1}\,dx\quad(m\ne-1)

## 逆正割関数の積分

:\int\arcsec x\,dx=
  x\arcsec x-\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+C

:\int\arcsec ax\,dx=
  x\arcsec ax-
  \frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x\arcsec ax\,dx=
  \frac{x^2\arcsec ax}{2}-
  \frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x^2\arcsec ax\,dx=
  \frac{x^3\arcsec ax}{3}\,-\,
  \frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,-\,
  \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,C

:\int x^m\arcsec ax\,dx=
  \frac{x^{m+1}\arcsec ax}{m+1}\,-\,
  \frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)

## 逆余割関数の積分

:\int\arccsc x\,dx= 
  x\arccsc x \, + \,
 \ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|\,+\,C=
  x\arccsc x\,+\,
 \operatorname{arccosh}(x)\,+\,C 

:\int\arccsc ax\,dx=
  x\arccsc ax+
  \frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x\arccsc ax\,dx=
  \frac{x^2\arccsc ax}{2}+
  \frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x^2\arccsc ax\,dx=
  \frac{x^3\arccsc ax}{3}\,+\,
  \frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,
  \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,C

:\int x^m\arccsc ax\,dx=
  \frac{x^{m+1}\arccsc ax}{m+1}\,+\,
  \frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)