Q-類似

**-類似**（きゅーるいじ、）とは、理論に  の極限で、元の理論に一致するように径数  を導入するような拡張のことをいう。-拡張（）などとも呼ばれる。

そのような拡張は何通りも考えうるが、-数や、-微分や-積分を用いる-解析学の定義に基づいた拡張が一般的に用いられ、解析学や組合せ論、特殊関数、量子群などの分野に応用されている。

## 概要
### -数
最も基本的な -数  （-整数や-ブラケット（）とも呼ばれる）とは、自然数  の -類似であって、 の極限で  となるように
:
 [n]_{q} := \frac{1-q^{n}}{1-q} = \sum_{k=0}^{n-1}q^{k}

と定義される。ただし、文献によっては、とくに量子群の文脈では、q \mapsto q^{-1} で不変な
:
 [n]_{q} := \frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}

あるいは
:
 [n]_{q} := \frac{q^{n/2}-q^{-n/2}}{q^{1/2}-q^{-1/2}}

と定義される。この記事では最初の定義を用いるが、他の定義でも後述の -階乗や-二項係数は -数を用いて同様に定義される。

### -階乗
また-階乗  （）は、-数によって
:
 [n]_{q}! := \prod_{k=1}^{n}[k]_{q} = \frac{(q; q)_{n}}{(1-q)^{n}}

と定義される。ただし  は-ポッホハマー記号を表す。

このとき  を  次の対称群、 を置換  の転倒数として、
:
 [n]_{q}! = \sum_{\sigma\in S_{n}}q^{\operatorname{inv}(\sigma)}

が成り立つ。これは q\to 1 の極限で、通常の階乗 n! が n 個のものを並べる順列の総数を表すことに対応している。
また有限体  上の一般線型群  の位数は
:
 \vert \operatorname{GL}(n, q) \vert = [n]_q!(q - 1)^nq^\binom{n}{2}

と表せる。

### -二項係数
-二項係数（）は、二項係数の -類似で、
:
\binom{n}{k}_{q}:=\frac{[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}

によって定義される。 が素数のべきのとき、-二項係数は有限体  上の  次元線型空間内における  次元部分空間の数に等しい。

より一般に -多項係数は  のとき
:
 \binom{n}{k_1, \dotsc, k_m}_q = \frac{[n]_q!}{[k_1]_q! \dotsm [k_m]_q!}

によって定義される。
このとき
:
 \binom{n}{k_1, \dotsc, k_m}_q = \binom{n}{k_1}_q \binom{n - k_1}{k_2}_q \dotsm \binom{n - k_1 - \dotsb - k_{m - 1}}{k_m}_q

:
 \binom{n}{k}_q = \binom{n - 1}{k}_q + q^{n - k}\binom{n - 1}{k - 1}_q

のようなよく知られた等式の類似が成り立つ。

### -二項定理

-二項定理は、二項定理の-類似であり、
:\prod_{k=0}^{n-1}(1-q^{k-1}x)
について、a = q^{-n}とするとき、
:\sum_{n=0}^\infty \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}x^n = \frac{(ax;q)_\infty}{(x;q)_\infty}
によって定義される。

これは、後述の-超幾何級数を用いて、
:_1\phi_0\left[\begin{matrix}a\\-\end{matrix};q,x\right]
と表すことができる。　

また、-二項係数を用いて、
:\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}_{q}q^{\frac{k(k-1)}{2}}(-x)^k
と表すこともできる。

### -ポッホハマー記号

-ポッホハマー記号（，-シフト因子，-シフト階乗とも呼ばれる）は、ポッホハマー記号（昇冪）の-類似であり、-類似の計算において頻繁に現れ、有限積あるいは無限積を簡略化して表記するために用いられる。
:(a;q)_\infty := \prod_{k=0}^\infty (1-aq^k)
によって定義され、有限積については、
:(a;q)_n := \frac{(a;q)_\infty}{(aq^n;q)_\infty}
と定義される。とくにのときは、
:(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)
が成り立つ。

第二引数（基底と呼ばれる）がのときは、(a;q)_n = (a)_nと略記され、複数の引数を持つ-ポッホハマー記号は、(a,b,c;q)_n = (a;q)_n(b;q)_n(c;q)_nと分解される。

以下のように の極限を求めれば、ポッホハマー記号に一致する。
:\lim_{q \to 1}\frac{(q^a;q)_n}{(1-q)^n} = \lim_{q \to 1}\frac{1-q^a}{1-q}\frac{1-q^{a+1}}{1-q}\cdots\frac{1-q^{a+n-1}}{1-q}
:= \lim_{q \to 1}[a]_q[a+1]_q\cdots[a+n-1]_q = a(a+1)\cdots(a+n-1) = (a)_n

## -解析学

### -微分
-微分（-差分とも呼ばれる）は微分の -類似で、任意の関数  について -微分を
:
 d_q(f(x)) := f(qx) - f(x)

によって定義する。さらに導関数の -類似である -導関数は
:
 D_q(f(x)) := \frac{d_q(f(x))}{d_q(x)} = \frac{f(qx) - f(x)}{(q - 1)x}

によって定義される。

-導関数を求める演算は線形性を持つが、ライプニッツ則は の極限のみで成り立つ。
:D_q(f(x)+g(x)) = D_q(f(x)) + D_q(g(x))
:D_q(f(x)g(x)) = f(x)D_q(g(x)) + D_q(f(x))g(qx)

その他にも、以下のような性質が知られている。
:D_q x^n = [n]_q x^{n-1}
:D_q^m x^n = \frac{[n]_q!}{[n-m]_q!}x^{n-m}

### -積分
-積分（）は、積分の-類似であり、不定積分は、
:\int f(x)d_q x := (1-q)\sum_{n=0}^\infty f(xq^n)xq^n
によって定義され、定積分は、
:\int_0^a f(x)d_q x := (1-q)a\sum_{n=0}^\infty f(aq^n)q^n
:\int_b^a f(x)d_q x := \int_0^a f(x)d_q x - \int_0^b f(x)d_qx
:\int_0^\infty f(x)d_q x := (1-q)\sum_{n=-\infty}^\infty f(q^n)q^n
:\int_{-\infty}^\infty f(x)d_q x := (1-q)\sum_{n=-\infty}^\infty (f(q^n)+f(q^{-n}))q^n
によって定義される。

-積分は-微分の逆演算であり、
:D_q\int_0^a f(x)d_q x
:= \frac{1}{(1-q)a}\left( (1-q)a\sum_{n=0}^\infty f(aq^n)q^n - (1-q)aq\sum_{n=0}^\infty f(aq^{n+1})q^n \right)
:= \sum_{n=0}^\infty f(aq^n)q^n - \sum_{n=0}^\infty f(aq^{n+1})q^{n+1}
:= f(a)
となることからも確かめられる。

## 初等関数の-類似
### -指数関数
-指数関数は、指数関数の-類似であり、
:e_q(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{[n]_q!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n(1-q)^n}{(q;q)_n}
によって定義され、次のような同値の定義が用いられることもある。
:e_q(x) := \frac{1}{((1-q)x;q)_\infty}

指数関数の導関数が指数関数であるのと同様に、
:D_q e_q(x) = e_q(x)
が成り立つ。

とくに、可換性を持たず、qab = baを満たすような量子平面上の変数について、次のような指数法則が成り立つことが知られている。
:e_q(x + y) = e_q(x)q_q(y)

### -対数関数
-対数関数は、対数関数の-類似であり、
:\log_q(x) := (1-q)(x-1)\sum_{n=0}^\infty \frac{q^n}{1+(x-1)q^n}
によって定義されるが、これは-指数関数の逆関数ではなく、これとは異なる定義も複数存在する。

また、で用いられる-指数関数および-対数関数は、-類似とは全く異なる点に注意が必要である。

### -三角関数
-三角関数は、三角関数の-類似であり、-指数関数を用いて、
:\sin_q(x) := \frac{e_q(xi)-e_q(-xi)}{2i} = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{[2n+1]_q!}
:\cos_q(x) := \frac{e_q(xi)+e_q(-xi)}{2} = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{[2n]_q!}
によって定義され、通常の三角関数と同様に正接、余接、正割、余割関数の-類似も定義される。

また、テータ関数を用いた次の定義も存在する。
:\sin_q(x) := \frac{\vartheta_1(x,e^{\frac{\pi^2}{\log{q}}})}{\vartheta_2(\frac{\pi}{2},e^{\frac{\pi^2}{\log{q}}})}
:\cos_q(x) := \frac{\vartheta_1(x,e^{\frac{\pi^2}{\log{q}}})}{\vartheta_2(0,e^{\frac{\pi^2}{\log{q}}})}

## 特殊関数の-類似
### -ガンマ関数
-ガンマ関数は、ガンマ関数の-類似であり、
:\Gamma_q(x) = \frac{(q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty}(1-q)^{1-x}
によって定義される。

通常のガンマ関数のように、
:\Gamma_q(x+1) = [x]_q\Gamma_q(x)
が成り立ち、またが自然数のとき、
:\Gamma_q(x) = [x-1]_q!
が成り立つ。

その他にも、以下のような性質が知られている。
:\Gamma_q\left(x + \frac{2\pi i}{\log{q}}\right) = (1-q)^{-\frac{2\pi i}{\log{q}}}\Gamma_q(x)
:\Gamma_q\left(x + \frac{\pi i}{\log{q}}\right) = 2\frac{(1-q)^{-x}}{(1+q)^{1-x}}\Gamma_q\left(\frac{\pi i}{\log{q}}\right)\frac{\Gamma_{q^2}(x)}{\Gamma_q(x)}

また、-ベータ関数は、ベータ関数の-類似であり、-ガンマ関数を用いて、
:\Beta_q(x,y) := \frac{\Gamma_q(x)\Gamma_q(y)}{\Gamma_q(x+y)}
と定義される。

さらに、-円周率は、円周率の-類似であり、
:\pi(q) := \sqrt[4]{q} \Gamma_{q^2}\left(\frac{1}{2}\right)^2
によって定義される。

### -ポリガンマ関数
-ポリガンマ関数は、ポリガンマ関数の-類似であり、-ガンマ関数を用いて、
:\psi_q^{(m)}(x) = \frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}\ln{\Gamma_q(x)}
によって定義され、以下のような性質が成り立つことが知られている。
:\psi_q^{(0)}(x+1) = \psi_q(x)-\frac{q^x}{1-q^x}\ln{q}
:\psi_q^{(m)}\left(x + \frac{2\pi i}{\log{q}}\right) = \psi_q^{(m)}(x)
:\psi_q\left(x \pm \frac{\pi i}{\log{q}}\right) = \psi_{q^2}(x) - \psi_q(x) + \log{\frac{1+q}{1-q}}
:\psi_q^{(m)}\left(x \pm \frac{\pi i}{\log{q}}\right) = \psi_{q^2}^{(m)}(x) - \psi_q^{(m)}(x)

また、-オイラー定数は、オイラー定数の-類似であり、-ポリガンマ関数を用いて、
:\gamma^{(m)}(q) := \frac{(-1)^{m+1}}{m!}\psi^{(m)}_q(1)
と定義される。

### -超幾何級数

-超幾何級数は、超幾何級数の-類似であり、
:{}_r\phi_s\left[\begin{matrix}a_1,\cdots, a_r\\b_1,\cdots,b_s\end{matrix};q;z\right] := \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1,\cdots,a_r;q)_n}{(a_1,\cdots,a_r,q;q)_n}\left((-1)^nq^{\left(\frac{n}{2}\right)}\right)^{1+s-r}x^n
によって定義される。

とくに、ガウスの超幾何関数の-類似は、
:{}_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q;z\right] = {}_2\varphi_1(a,b;c;z|q) := \sum_{n=0}^\infty \frac{(q^a;q)_n(q^b;q)_n}{(q^c;q)_n(q;q)_n}x^n
によって定義される。

## 脚注
### 出典

## 参考文献
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## 関連項目
* 一元体
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* qポッホハマー記号
* q二項定理
* q超幾何級数
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## 外部リンク
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