ベート数

数学、特に集合論において、**ベート数**とはヘブライ文字 のב（ベート）を用いて \beth_0, \beth_1, \beth_2, \beth_3, \dots と表される無限基数の列である。ベート数はアレフ数 \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \dots と関連するが、一般連続体仮説が真でない限り、アレフ数では表されるがベート数では表されない数が存在する。

## 定義
ベート数は超限再帰を用いて定義される:

* \beth_0 = \aleph_0
* \beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_\alpha}
* \beth_\lambda = \sup\Bigl\{ \beth_\alpha : \alpha 

ここで、\alpha は順序数、\lambda は極限順序数である。

基数 \beth_0 = \aleph_0 は任意の可算無限集合（例えば自然数全体の集合 \mathbb{N}）の濃度である。よって \beth_0 = |\mathbb{N}| となる。

なお、\alpha を順序数、A_\alpha を濃度が \beth_\alpha = |A_\alpha| であるような集合としたとき、

* \mathcal{P}(A_\alpha) は A_\alpha の冪集合（すなわち、A_\alpha の部分集合全体の集合）を表す。

* 集合 2^{A_\alpha} \subset \mathcal{P}(A_\alpha \times 2) は A_\alpha から \{0, 1\} への写像全体の集合を表す。

* 基数 2^{\beth_\alpha} は基数の冪を表す。

* \beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_\alpha} = \left| 2^{A_\alpha} \right| = |\mathcal{P}(A_\alpha)| は A_\alpha の冪集合の濃度を表す。

以上の定義より、

:\beth_0, \beth_1, \beth_2, \beth_3, \dots

はそれぞれ

:\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N})), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))), \dots

の濃度であって、2番目のベート数 \beth_1 は連続体濃度 \mathfrak{c} に等しく、3番目のベート数 \beth_2 は連続体濃度をもつ集合の冪集合の濃度である。

カントールの定理によって上の列の各集合は前の集合よりも真に大きい濃度をもつ。無限極限順序数 \lambda に対して、対応するベート数は \lambda よりも真に小さいすべての順序数に対するベート数の上限として定義される。

:\beth_{\lambda}=\sup\{ \beth_{\alpha}:\alpha

この定義は以下と同値である。

:\beth_\lambda = |\bigcup \Bigl\{ A_{\alpha} : \alpha 

フォン・ノイマン宇宙 V_{\omega+\alpha} \! は濃度 \beth_{\alpha} \! をもつことも証明できる。

## アレフ数との関係
選択公理を仮定すると、無限濃度は全順序であり、任意の2つの濃度は常に比較可能である。したがって、定義により、\aleph_0 と \aleph_1 の間に無限濃度は存在せず、
:\beth_1 \ge \aleph_1
であることが従う。この議論を繰り返すことによって（超限帰納法参照）すべての順序数 \alpha に対して
\beth_\alpha \ge \aleph_\alpha 
である。

連続体仮説は次と同値である。
:\beth_1=\aleph_1.

一般連続体仮説が言っているのはこのように定義されたベート数の列はアレフ数の列と同じである、すなわちすべての順序数 \alpha に対して
\beth_\alpha = \aleph_\alpha 
であるということである。

## 具体例
### ベート・ヌル
これは \aleph_0（アレフ・ヌル）と定義されるから、濃度が \beth_0 の集合には次のものがある。

* 自然数全体 \mathbb{N}
* 有理数全体 \mathbb{Q}
* 代数的数全体
*計算可能数全体と帰納的集合
* 整数からなる有限集合全体の集合

### ベート・ワン

濃度が \beth_1 の集合には次のものがある。

* 超越数全体
* 無理数全体
* 実数全体 \mathbb{R}
* 複素数全体 \mathbb{C}
* ユークリッド空間 \mathbb{R}^n
* 自然数全体の集合の冪集合（自然数全体の集合のすべての部分集合からなる集合）
* 整数からなる数列全体の集合（すなわちすべての関数 \mathbb{N} → \mathbb{Z} からなる集合で、しばしば \mathbb{Z}^\mathbb{N} と表記される）
* 実数列全体 \mathbb{R}^\mathbb{N}
* \mathbb{R} から \mathbb{R} へのすべての連続関数からなる集合
* 有限個の実数からなる集合全体

### ベート・ツー
\beth_2（英語では *beth two* と読む）は 2^\mathfrak{c}（2 の c 乗、*two to the power of c*）とも呼ばれる。

濃度が \beth_2 の集合には次のものがある。

* 実数全体の集合の冪集合、つまり実数直線の部分集合の数、あるいは実数からなる集合の数
* 自然数全体の集合の冪集合の冪集合
* \mathbb{R} から \mathbb{R} への関数すべてからなる集合（\mathbb{R}^\mathbb{R}）
* \mathbb{R}^m から \mathbb{R}^n へのすべての関数からなる集合
* 自然数全体の集合から自然数全体の集合へのすべての写像からなる集合の冪集合、つまり自然数列の集合の数
* \mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{N} の

### ベート・オメガ
\beth_\omega（*beth omega*）は最小の非可算である。

## 一般化
より一般的な記号 \beth_\alpha(\kappa)、ここで \alpha は順序数で \kappa は基数、が時折用いられる。それは次のように定義される。
:\beth_0(\kappa)=\kappa,
:\beth_{\alpha+1}(\kappa)=2^{\beth_{\alpha}(\kappa)},
:\beth_{\lambda}(\kappa)=\sup\{ \beth_{\alpha}(\kappa):\alpha if λ is a limit ordinal.

なので
:\beth_{\alpha}=\beth_{\alpha}(\aleph_0).

ZF において、任意の濃度 \kappa と \mu に対して、ある順序数 \alpha が存在して、

:\kappa \le \beth_{\alpha}(\mu).

そして ZF において、任意の濃度 \kappa と順序数 \alpha, \beta に対して

:\beth_{\beta}(\beth_{\alpha}(\kappa)) = \beth_{\alpha+\beta}(\kappa).

したがって、のないZermelo–Fraenkel 集合論において、選択公理はあってもなくても、任意の濃度 \kappa と \mu に対して、等式

:\beth_{\beta}(\kappa) = \beth_{\beta}(\mu)

がすべての十分大きい順序数 \beta に対して成り立つ（つまり、ある順序数 \alpha が存在して、すべての順序数 \beta ≥ \alpha に対して等式が成り立つ）。

これは ur-element をもつ Zermelo–Fraenkel 集合論においても選択公理はあってもなくても、ur-element が pure set（推移閉包が ur-element を全く含まないような集合）と等濃な集合をなすと仮定すれば、成り立つ。選択公理を仮定すれば、ur-element からなる任意の集合はある pure set と等濃である。

## 参考文献

* T. E. Forster, *Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe*, Oxford University Press, 1995 &mdash; *Beth number* is defined on page 5.
*  See pages 6 and 204–205 for beth numbers.
*  See page 109 for beth numbers.

## 脚注