ブロッホ＝ドミニシスの定理

統計物理学において、**ブロッホ＝ドミニシスの定理**（）とは、量子多体系における熱平均で定義された多点相関関数を、2点相関関数の組み合わせ和に分解する定理。場の量子論の真空期待値に関するウィックの定理に対し、有限温度の系での類似版に相当しており、**ウィックの定理**とも呼ばれる。物理学者 松原武生によって、温度グリーン関数の理論展開ともに導入された。定理の名は、最初に完全な証明を与えた物理学者C. ブロッホとC. T. ドミニシスに因む。

## 概要
*A* を生成演算子*a<sub>&alpha;</sub>*&dagger;、または消滅演算子*a<sub>&alpha;</sub>*、もしくはそれらを虚時間で相互作用表示したものとする。ここで、相互作用表示において、非摂動系の自由ハミルトニアンは

:
H_0=\sum_{\alpha}\varepsilon_{\alpha} a_{\alpha}^{\, \dagger} a_{\alpha}


のように2次形式で表されているとする。また平均値\langle \cdot \rangle_0はe^{- \beta (H_0 - \mu N)}による非摂動系でのグランドカノニカル分布の熱平均を表すものとする。

このとき、この熱平均で定義される*n*点相関関数は、*n*が偶数である場合のみゼロにならず、

:
\langle A_1A_2 \cdots A_n \rangle_0 
=\left\{\begin{matrix}
0 &  \quad (n:\mbox{odd}) \\
\sum_{m=2}^{n}(\pm 1)^{m} \langle A_1A_m \rangle_0 \langle A_2 \cdots A_{m+1}A_{m-1} \cdots A_n \rangle_0 &  \quad (n:\mbox{even}) 
\end{matrix}\right. 


が成り立つ。ここで現れる2点相関関数は**縮約**（contraction）と呼ばれる。また、(±1)mの項はフェルミ粒子での演算子の順番の並べ替えにおいて、隣合う演算子同士を置き換える際に生じる符号の反転を表しており、符号は正がボーズ粒子、負がフェルミ粒子に対応するものとする。以降、本項に現れる複合の符号は全て、上がボーズ粒子、下がフェルミ粒子に対応するものとする。

さらに、*n*が偶数であるときは、この結果を繰り返し適用することで、

:
\langle A_1A_2 \cdots A_n \rangle_0 =\sum_{P}'(\pm 1)^P
\langle A_{i_1}A_{i_2} \rangle_0 \langle A_{i_3}A_{i_4} \rangle_0
\cdots \langle A_{i_{n-1}}A_{i_n} \rangle_0


と全ての演算子の縮約の組み合わせ和に分解できる。ここで、*P* は(1, 2, …, *n*)→(*i*1, *i*2, …, *i<sub>n</sub>*)なる置換を表し、和&Sigma;'において、ここの縮約で対となる演算子は、*i<sub>k</sub>*-1 k*を満たし、全体としては*i*<sub>1</sub> < *i*<sub>3</sub> < …< *in*の順序が満たされる項について和をとるものする。また、(±1)<sup>*P*</sup>は、フェルミ粒子の隣合う演算子同士の並べ替えの際に付与する正負の符号の変化を表し、ボーズ粒子については+1、フェルミ粒子については演算子の並べ替えの回数に応じた符号（置換の符号）を与えるものとする。これを*'ブロッホ＝ドミニシスの定理**または**ウィックの定理*'と呼ぶ。

縮約について、記法

:<math>
A^{\bullet}B^{\bullet}:=\langle AB \rangle_0
</math>

を導入すれば、全ての可能な縮約の組み合わせをとるというブロッホ＝ドミニシスの定理は

:<math>
\langle A_1A_2 \cdots A_n \rangle_0 
= A_1^{\bullet}A_2^{\bullet}A_3^{\bullet \bullet} \cdots A_n^{\bullet \bullet\bullet}
 +A_1^{\bullet}A_2^{\bullet \bullet}A_3^{\bullet} \cdots A_n^{\bullet \bullet\bullet}
 +A_1^{\bullet}A_2^{\bullet \bullet}A_3^{\bullet \bullet} \cdots A_n^{\bullet\bullet\bullet} 
 +\cdots
</math>

とも表すことができる。但し、複数個の演算子の縮約については、

:<math>
\begin{align}
A^{\bullet}B^{\bullet \bullet}C^{\bullet}D^{\bullet \bullet}
 &= \pm (A^{\bullet}C^{\bullet})(B^{\bullet \bullet}D^{\bullet \bullet})
  = \pm \langle AC \rangle_0 \langle BD \rangle_0 \\
A^{\bullet}B^{\bullet \bullet}C^{\bullet \bullet}D^{\bullet}
 &= (A^{\bullet}D^{\bullet})(B^{\bullet \bullet}C^{\bullet \bullet})
  = \langle AD \rangle_0 \langle BC \rangle_0
\end{align}
</math>

のように、同じ右付き添え字の演算子同士の縮約を行い、さらにフェルミ粒子の場合には演算子の入れ替えの回数に応じた符号を与えるものとする。

*A* =*A* (&tau;)が虚時間での相互作用表示の演算子であるとし、虚時間に対する[[時間順序積]]をとる場合にも、同様にブロッホ＝ドミニシスの定理

:<math>
\langle T_{\tau} [A_1(\tau_1)A_2(\tau_2) \cdots A_n(\tau_n)] \rangle_0
 =\sum_{P}'(\pm 1)^P
\langle T_{\tau} [A_{i_1}(\tau_{i_1})A_{i_2}(\tau_{i_2})] \rangle_0 \langle T_{\tau} [A_{i_3}(\tau_{i_3})A_{i_4}(\tau_{i_4})] \rangle_0
\cdots \langle T_{\tau} [A_{i_{n-1}}(\tau_{i_{n-1}})A_{i_n}(\tau_{i_n})] \rangle_0
</math>

が成り立つ。

この場合も縮約について、

:<math>
A(\tau_a)^{\circ}B(\tau_b)^{\circ}:=\langle T_{\tau}[A(\tau_a)B(\tau_b)] \rangle_0
</math>

となる記法を導入すれば、

:<math>
\begin{align}
\langle T_{\tau}[A_1(\tau_1)A_2(\tau_2) \cdots A_n(\tau_n)] \rangle_0 
 =& A_1(\tau_1)^{\circ}A_2(\tau_2)^{\circ}A_3(\tau_3)^{\circ \circ} \cdots A_n(\tau_n)^{\circ \circ \circ} \\
& +A_1(\tau_1)^{\circ}A_2(\tau_2)^{\circ \circ}A_3(\tau_3)^{\circ} \cdots A_n(\tau_n)^{\circ \circ \circ} 
 +A_1(\tau_1)^{\circ}A_2(\tau_2)^{\circ \circ}A_3(\tau_3)^{\circ \circ} \cdots A_n(\tau_n)^{\circ \circ \circ} 
 +\cdots
\end{align}
</math>

と表すことができる。

== 具体例 ==
ブロッホ＝ドミニシスの定理により、3点相関関数、4点相関関数について

:<math>
\langle ABC \rangle_0 = 0
</math>
:<math>
\begin{align}
\langle ABCD \rangle_0
&= A^{\bullet}B^{\bullet}C^{\bullet \bullet}D^{\bullet \bullet}
 +A^{\bullet}B^{\bullet \bullet}C^{\bullet}D^{\bullet \bullet}
 +A^{\bullet}B^{\bullet \bullet}C^{\bullet \bullet}D^{\bullet} \\
&= \langle AB \rangle_0 \langle CD \rangle_0 \pm \langle AC \rangle_0 \langle BD \rangle_0
 + \langle AD \rangle_0 \langle BC \rangle_0 
\end{align}
</math>

が成り立つ。

時間順序積をとる場合にも同様に
:<math>
\langle T_{\tau} [ A(\tau_a)B(\tau_b)C(\tau_c) ] \rangle_0 = 0
</math>
:<math>
\begin{align}
\langle T_{\tau}[A(\tau_a)B(\tau_b)C(\tau_c)D(\tau_d)] \rangle_0
=& A(\tau_a)^{\circ} B(\tau_b)^{\circ} C(\tau_c)^{\circ \circ} D(\tau_d)^{\circ \circ} \\
 & +A(\tau_a)^{\circ} B(\tau_b)^{\circ \circ} C(\tau_c)^{\circ} D(\tau_d)^{\circ \circ}
 +A(\tau_a)^{\circ} B(\tau_b)^{\circ \circ} C(\tau_c)^{\circ \circ} D(\tau_d)^{\circ} \\
=& \langle T_{\tau}[A(\tau_a)B(\tau_b)] \rangle_0 \langle T_{\tau}[C(\tau_c)D(\tau_d)] \rangle_0 \\
 & \pm \langle T_{\tau}[A(\tau_a)C(\tau_c)] \rangle_0 \langle T_{\tau}[B(\tau_b)D(\tau_d)] \rangle_0 
+ \langle T_{\tau}[A(\tau_a)D(\tau_d)] \rangle_0 \langle T_{\tau}[B(\tau_b)C(\tau_c)] \rangle_0
\end{align}
</math>

が成り立つ。

== 理論の背景 ==
[[量子多体系]]における[[温度グリーン関数]]の理論では、温度グリーン関数によって系の様々な物理量を求めることができるともに、[[摂動]]計算を系統的に行うことができる。ここで演算子*A*, *B* の温度グリーン関数は
:<math>
G_{AB}(\tau,\tau'):=-\langle T_{\tau}[A(\tau)B(\tau')] \rangle
</math>
で定義される2点相関関数である。但し、記号<math>\langle \cdots \rangle</math>は

:<math>
\langle \cdots   \rangle
=\frac{ \mathrm{Tr} \{e^{-\beta (H-\mu N)}\cdots \} }{ \mathrm{Tr} \{ e^{-\beta (H-\mu N)} \} }
=\frac{ \mathrm{Tr} \{e^{-\beta K}\cdots \} }{ \mathrm{Tr} \{ e^{-\beta K} \} }
\quad (K:=H-\mu N)
</math>

で定義されるグランドカノニカル分布での熱平均であり、*H* は[[ハミルトニアン]]、*N* は[[数演算子]]、*&beta;*は[[逆温度]]、*&mu;*は[[化学ポテンシャル]]を表す。また*A* (*&tau;*)は

:<math>
\begin{align}
A(\tau) &= e^{+K\tau}Ae^{-K\tau} \\
A(\tau)^{\dagger} &= e^{+K\tau}A^{\dagger}e^{-K\tau}
\end{align}
</math>

で定義される[[虚時間]]*&tau;*=i*t* についての[[ハイゼンベルク表示]]の演算子である。*T&tau;*は虚時間についての時間順序積であり、

:<math>
T_\tau \{ A_1(\tau_1)A_2(\tau_2) \} 
=\left\{\begin{matrix}
A_1(\tau_1)A_2(\tau_2) &  \quad (\tau_1> \tau_2) \\
\pm A_2(\tau_2)A_1(\tau_1) &  \quad (\tau_2> \tau_1) 
\end{matrix}\right. 
</math>

を意味する。

一般に温度グリーン関数の計算において、相互作用にある系では、

:<math>H=H_0+V \,</math>

とハミルトニアンを可解な非摂動項と相互作用を含む摂動項に分け、[[相互作用表示]]の演算子

:<math>
\begin{align}
A_I(\tau) &= e^{+K_0\tau}Ae^{-K_0\tau} \\
A_I(\tau)^{\dagger} &= e^{+K_0\tau}A^{\dagger}e^{-K_0\tau} \quad
(K_0:=H_0-\mu N)
\end{align}
</math>

に対して、摂動計算を行うことが必要となる。このとき、摂動計算において、

:<math>
\langle A_{1I}(\tau_1) \cdots A_{nI}(\tau_n)  \rangle_0
=\frac{ \mathrm{Tr} \{ e^{-\beta K_0}A_{1I}(\tau_1) \cdots A_{nI}(\tau_n) \} }{ \mathrm{Tr} \{ e^{-\beta K_0} \} } 
</math>

という高次の相関関数が現れる。ブロッホ＝ドミニシスの定理は、こうした多点相関関数を縮約

:<math>
\begin{align}
\langle a_{\alpha}^{\,\dagger} a_{\alpha'} \rangle_0
&=\frac{\delta_{\alpha \alpha'}}{1\mp e^{\beta \varepsilon_{\alpha}} } \\
\langle a_{\alpha} a_{\alpha'}^{\,\dagger} \rangle_0
&=\frac{\delta_{\alpha \alpha'}}{1 \mp e^{-\beta \varepsilon_{\alpha}} } \\
\langle a_{\alpha}^{\,\dagger} a_{\alpha'}^{\,\dagger} \rangle_0
&=0 \\
\langle a_{\alpha} a_{\alpha'} \rangle_0 
&=0 
\end{align}
:</math>

に分解し、実際の計算を可能にする。

== ガウス過程との関係 ==
ブロッホ＝ドミニシスの定理は、古典系における[[ガウス過程]]の持つ性質を量子系に拡張したものに相当する
。実際、分布が

:<math>
P_n(x_1, \cdots , x_n)=\frac{1}{\sqrt{\det{A}}} 
\exp{\bigl ( -\sum_{i,j}A_{ij}(x_i-\langle X_i \rangle)(x_j-\langle X_j \rangle) \bigr )}
</math>

で与えられるガウス過程を考えると

:<math>
\langle X_1X_2 \cdots X_n \rangle=\sum_{\operatorname{all \,\, partition}}\prod \langle X_{i_1} \cdots X_{i_m} \rangle_c
</math>

が成り立つ。ここで<…>はこの分布に対する[[期待値]]、<…><sub>c</sub>は[[キュムラント]]を表すものとする。
また、右辺の和は、*X*<sub>1</sub>,…,*X*<sub>n</sub>をいくつかの集まりに分割する全ての組み合わせにわたってとるものである。例えば、3点相関関数、4点相関関数については、

:<math>
\begin{align}
\langle X_1 X_2  \rangle 
=& \langle X_1 X_2 \rangle_c + \langle X_1 \rangle_c \langle X_2 \rangle_c \\
 \langle X_1 X_2 X_3 \rangle
=&  \langle X_1 X_2 X_3 \rangle_c + \langle X_1 \rangle_c \langle X_2 X_3 \rangle_c
 + \langle X_2 \rangle_c \langle X_1 X_3 \rangle_c 
 + \langle X_3 \rangle_c \langle X_1 X_2 \rangle_c 
+\langle X_1 \rangle_c \langle X_2  \rangle_c \langle X_3 \rangle_c 
\end{align}
</math>

である。

さらに全ての*Xi*について、⟨*Xi*⟩=0であるとするならば、ブロッホ＝ドミニシスの定理と同様に*n*点相関関数は、*n''が偶数である場合のみゼロにならず、

:
\begin{align}
\langle X_1 X_2 \cdots X_n \rangle 
&= \sum_{\operatorname{all\,\, pair}} \prod \langle X_{i} X_{j} \rangle \\
&= \sum_{P}' \langle X_{i_1 }X_{i_2} \rangle \langle X_{i_3} X_{i_4} \rangle
\cdots \langle X_{i_{n-1}} X_{i_n} \rangle
\end{align}


と2点相関関数の組み合わせ和に分解される。

## 脚注

## 参考文献
;論文
* 
* 
* 
* 

;書籍
*  
*  
*  
* 
* 

## 関連項目
* 場の量子論 - ウィックの定理
* 量子多体系 - 温度グリーン関数