CR多様体

数学において、**CR多様体**（CRたようたい、）とは，微分可能多様体で，複素数空間の中の実超曲面の幾何構造をモデル化したものである．

CR は，コーシー・リーマン，あるいは，複素 (Complex)・実 (Real) の省略形である．

## 導入
CR多様体のモデルは複素数空間 \mathbb{C}^{n} 内の領域の滑らかな境界である.

領域 \Omega \subset \mathbb{C}^{n} の滑らかな境界M について, 次で定義される(complexified)された接束 \mathbb{C} T M = TM \otimes \mathbb{C} の部分ベクトル束 L を考えよう:

L := \mathbb{C} T M \, \cap \, T^{1,0}\mathbb{C}^{n}. 

ここで, T^{1,0}\mathbb{C}^{n} は \mathbb{C}^{n} の正則接束を表すとする. このとき, L は次を満たす: 
* [L,L]\subset L,  
* L\cap\overline{L}=\{0\}.

ただし, \overline{L} は L の複素共役とする.

## 定義
**CR多様体**とは，微分可能多様体 M とその上の(complexified)された接束 \mathbb{C} T M = TM \otimes \mathbb{C} の部分ベクトル束 L で次の条件を満たすものの組 (M, L) のことである: 
* [L,L]\subset L  ( L は可積分(integrable)である ), 
* L\cap\bar{L}=\{0\}.

ここで, \overline{L} は L の複素共役とする. このとき，ベクトル束 L を多様体 M 上の**CR構造**という．

L の階数 {\rm rank}_{\mathbb{C}} \, L を**CR次元,**   \dim M - 2 \; {\rm rank}_{\mathbb{C}} \, L を**CR余次元**という．

CR余次元が1のとき, (M, L) は**超曲面型**(hypersurface type)であるという.

## 例

## 擬凸性

### レヴィ形式
M を超曲面型のCR多様体とする．**レヴィ形式** h は，直線束
:V = \frac{TM\otimes{\mathbb C}}{L\oplus\bar{L}}
に値を持つ L 上で定義された(vector valued form)で，
:h(v,w) := \frac{1}{2i}[v,\bar{w}] \mod L\oplus\bar{L},\quad v,w\in L
により与えられる．h は，可積分条件により，v と w が L  の切断へどのように拡張するかには依存せず，L 上の半双線型形式を定義する．この形式 h は，同じ形で束 L\oplus\bar{L} 上のエルミート形式へ拡張できる．この拡張された形式も，レヴィ形式と呼ばれることもある。

代わりに，レヴィ形式は双対性の言葉で特徴付けることもできる．*V* を消滅させる複素余接束の部分直線束を考えると，
:H_0M = V^* = (L\oplus\bar{L})^\perp\sub T^*M\otimes{\mathbb C}
となる．各々の切断 α∈Γ(*H<sub>0</sub> M* ) に対し，
:h_\alpha(v,w) = d\alpha(v,\bar{w}) = -\alpha([v,\bar{w}]),\quad v,w\in L\oplus\bar{L}.
とする．形式 *h*α は α を伴う複素数値エルミート形式である．

多様体が超曲面型でない場合も，レヴィ形式の一般化が存在する．ただし，この場合，値は直線束でなく，ベクトル束となる．よって，レヴィ形式ではなく，構造のレヴィ形式の集まりという。

超曲面型の抽象的CR多様体について，レヴィ形式はその上に擬エルミート計量を与える．この計量は，正則接ベクトル上で定義されているだけでなく，退化している．

### 強擬凸, 擬凸, レヴィ平坦
M が超曲面型の CR 多様体で単一の函数 F = 0 で定義されているとする．このとき，M の**レヴィ形式**((Eugenio Elia Levi)の名に因む)とは、エルミート 2-形式
:h=i\partial\bar{\partial}F|_L
のことを指す．レヴィ形式は L 上の計量を定める．M は，h が正定値であるとき，**強擬凸**(strictly pseudoconvex)と呼ばれ，h が半正定値のときは**擬凸**(pseudoconvex)と呼ばれる．CR多様体の理論の解析的な存在性と一意性の結果の多くは，レヴィ形式の強擬凸性によるものである．

この命名は擬凸領域の研究から来ている: M が \mathbb{C}^{n} 内の(強)擬凸領域の境界であることと，CR多様体として(強)擬凸であることは同値である．

## その他の話題

### 接コーシー・リーマン作用素と接コーシー・リーマン複体
まず，**接コーシー・リーマン作用素** \overline{\partial}_{b} を定義しよう．複素多様体の境界として実現されるCR多様体について，この作用素は \overline{\partial} の境界制限とみなすことができる．また，一般のCR多様体について(複素多様体の境界として実現されない場合も含めて)，定義することができる．これは Webster 接続を用いて記述される．作用素 \overline{\partial}_{b} は複体をなす，すなわち，\overline{\partial}_{b} \circ \overline{\partial}_{b} = 0 が成立する．この複体のことを**接コーシー・リーマン複体**，あるいは，コーン・ロッシ複体という．この複体とそのコホモロジー群についての基本的な文献として，Joseph. J. Kohn と Hugo Rossi によるものが挙げられる.

#### CR関数
作用素 \overline{\partial}_{b} により消える関数を**CR関数**といい，正則関数のアナロジーになっている．また，CR関数の実部を**CR多重調和関数**という．

#### コーンラプラシアン
接コーシー・リーマン複体に付随して，CR幾何学と多変数複素解析学において基本的な対象となる**コーンラプラシアン** \Box_{b} が次で定義される:

\Box_{b} := \overline{\partial}_{b} \overline{\partial}_{b}^{*} + \overline{\partial}_{b}^{*} \overline{\partial}_{b} 

ここで，\overline{\partial}_{b}^{*} は \overline{\partial}_{b} のL^{2}(M) についての形式的共役を表すとする(体積形式は，CR構造に付随する接触形式から誘導されるものとする)．作用素 \Box_{b} は，非負自己共役である．コンパクトな強擬凸CR多様体について，作用素 \Box_{b} は正の離散固有値をもつ．その核空間は，CR関数から構成されるため，無限次元である．もし，作用素 \Box_{b} の正の固有値全体が正定数により下から抑えられていた場合，閉値域をもつ．

#### 具体例
具体例として，ハイゼンベルク群(Heisenberg group)の作用素 \overline{\partial}_{b} を考察してみよう．通常のハイゼンベルク群 \mathbb{C}^{n} \times \mathbb{R} について，その上の左不変な正則ベクトル場

L_{j} := \frac{\partial}{\partial z_{j}} + i \overline{z}_{j} \frac{\partial}{\partial t}
 (j = 1,2,\dotsm,n)

を考える．ここで，(z_{1},z_{2},\dotsm,z_{n}) \in \mathbb{C}^{n}, t \in \mathbb{R} とする．このとき，関数 u *について，*

\overline{\partial}_{b} u = \sum_{j = 1}^{n} \overline{L}_{j} u \; d\overline{z}_{j}

が成立する．ここで，\overline{L}_{j} は L_{j} の複素共役を表すとする．関数については \overline{\partial}_{b}^{*} は 0 であるから，ハイゼンベルク群における関数についてのコーンラプラシアンは次で与えられる:

\Box_{b} = - \sum_{j = 1}^{n} L_{j} \overline{L}_{j}.

さて，次の交換子の計算に注意する:

[L_{j}, \overline{L}_{j}] = - 2iT.

ただし，T := \frac{\partial}{\partial t} とする. 上の等式を用いれば，簡単な計算によって，コーンラプラシアンが次のように書き換えられることがわかる:

\Box_{b} = - \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{n} (L_{j} \overline{L}_{j} + \overline{L}_{j} L_{j}) + i n T.

右辺の1番目の項は，実作用素である(実際に，コーンラプラシアンの実部となっている)．これを**サブラプラシアン**といい，\Delta_{b} で表すことが多い．部分積分から，非負であることがすぐにわかる．このとき，\Box_{b} = \Delta_{b} + inT と表すこともできる．

### CR埋め込み問題
CR幾何学の基本的な問題のひとつとして，与えられたCR多様体が，複素数空間の実部分多様体として実現できるかという問題(**CR**埋め込み**問題**)がある．

大域的なCR埋め込み問題について，実5次元以上のコンパクトな強擬凸CR多様体については，Louis Botet de Monvel により肯定的に解決された．

実3次元の場合は，反例が存在する: 3次元球面 S^{3} の自然なCR構造を摂動したものは大域的に埋め込むことができない．この例は，Rossi の例と呼ばれる(実際には, Hans Grauert により構成された).

局所的なCR埋め込み問題について，実3次元の場合には， Louis Nirenberg による反例が存在する．実7次元以上の場合は，倉西正武(実9次元以上の場合)と赤堀隆夫(実7次元の場合)により肯定的に解決された．

実5次元の場合の局所的なCR埋め込み問題は，未解決である． 
## 関連項目
*(Eugenio Elia Levi)
*擬凸性

## 脚注

## 参考文献
*. An important paper in the theory of functions of several complex variables. An English translation of the title reads as:-"*studies on essential singular points of analytic functions of two or more complex variables*".
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