区分行列

**区分行列**（くぶんぎょうれつ）もしくは**ブロック行列** (block matrix) とは、いくつかの長方形のブロックに「区分け」された行列である。

## 区分け
例えば、4つの行列
:
A=\begin{bmatrix}
2  & -1 &  5 \\
-1 &  4 &  1 \\
 8 &  1 & -2
\end{bmatrix}
,\quad
B=\begin{bmatrix}
-3 & 6 \\
 1 & 3 \\
 4 & 1
\end{bmatrix}
, \quad
C=\begin{bmatrix}
-4 & 2 & 6
\end{bmatrix}
,\quad
D=\begin{bmatrix}
9 & 1
\end{bmatrix}

を並べてできる 4 &times; 5 行列
:
\begin{bmatrix}
 A & B\\
 C & D 
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
2  & -1 &  5 & & -3 & 6\\
-1 &  4 &  1 & &  1 & 3\\
 8 &  1 & -2 & &  4 & 1\\
   &    &    & &    &  \\
-4  & 2 &  6 & &  9 & 1
\end{bmatrix}

を、*A*, *B*, *C*, *D* を**ブロック**とする**区分行列**と呼ぶ。ブロックは**小行列**とも呼ばれる。行列をブロックに分けることを**区分け**という。

一般の区分けでは、行や列をそれぞれいくつに分割してもよい。*A**ij* たちをブロックとする区分行列
:
\begin{bmatrix}
A_{1 1} & A_{1 2} & \cdots & A_{1 q} \\
A_{2 1} & A_{2 2} & \cdots & A_{2 q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{p 1} & A_{p 2} & \cdots & A_{p q}
\end{bmatrix}

が区分けの一般的な形である。ただし、同じ行にあるブロックの行数は等しくなければならず、同じ列にあるブロックの列数は等しくなければならない。*A**i j* が *m**i* &times; *n**j* 行列である場合、この形の区分けを (*m*1, …, *m**q*; *n*1, …, *n**r*) 型と呼ぶ。

## 区分行列の積
ふたつの区分行列
:
A=\begin{bmatrix}
A_{1 1} & A_{1 2} & \cdots & A_{1 q} \\
A_{2 1} & A_{2 2} & \cdots & A_{2 q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{p 1} & A_{p 2} & \cdots & A_{p q}
\end{bmatrix}
,\quad
B=\begin{bmatrix}
B_{1 1} & B_{1 2} & \cdots & B_{1 r} \\
B_{2 1} & B_{2 2} & \cdots & B_{2 r} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
B_{q 1} & B_{q 2} & \cdots & B_{q r}
\end{bmatrix}

の区分けがそれぞれ (*l*1, …, *l**p*; *m*1, …, *m**q*) 型、(*m*1, …, *m**q*; *n*1, …, *n**r*) 型であるとき、その積 *AB* の (*l*1, …, *l**p*; *n*1, …, *n**r*) 型の区分け
:
A B=\begin{bmatrix}
C_{1 1} & C_{1 2} & \cdots & C_{1 r} \\
C_{2 1} & C_{2 2} & \cdots & C_{2 r} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
C_{p 1} & C_{p 2} & \cdots & C_{p r}
\end{bmatrix}

の各ブロックは
:C_{i j}=\sum_{k=1}^q A_{i k} B_{k j}
で与えられる。すなわち、区分行列の積は（適切に区分けされていれば）各ブロックをあたかも行列の成分のように見なして計算できる。

## 対称区分け
正方行列 *P* の区分け
:
P=\begin{bmatrix}
 A_{1 1}  & A_{1 2} & \dots & A_{1 r} \\
 A_{2 1}  & A_{2 2} & \dots & A_{2 r} \\
 \vdots  & \vdots & \ddots & \vdots \\
 A_{r 1}  & A_{r 2} & \dots & A_{r r}
\end{bmatrix}

において、主対角線上のブロック *A*1 1, *A*2 2, … *A**r r* がすべて正方行列であるとき、これを**対称区分け**という。特に、主対角線より下のブロックが全て零行列である場合、その行列式について
:
|P|=\prod_{k=1}^r |A_{k k}|

が成り立つ。よって、そのような *P* が正則であるための必要十分条件は、主対角線上のブロックが全て正則であることである。

## 2 &times; 2 の区分行列の逆行列
本節では、*A* は正則行列、*D* は正方行列とし、区分行列
:
P=\begin{bmatrix}
 A & B \\
 C & D
\end{bmatrix}

の逆行列を与える。

まず、行列式について、
:|P|=|A||D-C A^{-1}B|\,
が成り立つ。よって、*P* が正則であるための必要十分条件は、*D* − *CA*−1*B* も正則であることであり、このとき逆行列は
:
\begin{bmatrix}
 A & B \\
 C & D
\end{bmatrix}^{-1}
=\begin{bmatrix}
 A^{-1} + A^{-1} B (D-C A^{-1} B)^{-1} C A^{-1} & -A^{-1} B (D-C A^{-1} B)^{-1} \\
 -(D-C A^{-1} B)^{-1}C A^{-1} & (D-C A^{-1} B)^{-1}
\end{bmatrix}

で与えられる。*D* も正則な場合は
:
\begin{bmatrix}
 A & B \\
 C & D
\end{bmatrix}^{-1}
=\begin{bmatrix}
 (A-B D^{-1}C)^{-1} & -A^{-1} B (D-C A^{-1} B)^{-1} \\
 -(D-C A^{-1} B)^{-1}C A^{-1} & (D-C A^{-1} B)^{-1}
\end{bmatrix}

と表される。さらに *C* が零行列 *O* に等しい場合は
:\begin{bmatrix}
 A & B \\
 O & D
\end{bmatrix}^{-1}
=\begin{bmatrix}
 A^{-1}   & -A^{-1} B D^{-1} \\
 O        & D^{-1}
\end{bmatrix}

となる。

## 参考文献

*『数学入門辞典』岩波書店、2005年、ISBN 978-4000802093