アポロニウスの円

**アポロニウスの円**（アポロニウスのえん）は、2定点A・Bをとり、点PをAP:BPが一定となるように（但しAP≠BP）したときの点Pの軌跡である。ペルガのアポロニウスの名前を残すが、起源はより古いと思われる。例えば、既にアリストテレス『気象論』第三巻で虹の形状を論じるのに用いられている。

## 証明
### 初等幾何による証明
350px

点PをAP:BPが一定となるようにしたときの点Pの軌跡のうち、線分ABの上の点をQ、ABの延長線上の点をRとすると、
:AQ:QB=AP:PB
:AR:RB=AP:PB
内角と外角の二等分線の関係の逆より、PQとPRはそれぞれ∠APBの内角と外角の二等分線である。
よって、∠QPR=90°
ゆえに、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円である。

### ベクトルによる証明（1）
*m*, *n* を互いに異なる正の実数とする。線分ABを *m* ： *n* に内分する点を Q、外分する点をRとすると、
:\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n+m},\ \overrightarrow{\mathrm{PR}} = \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n-m}.
このとき、
:\mathrm{PA} : \mathrm{PB} = m : n.
:\Leftrightarrow n|\overrightarrow{\mathrm{PA}}| = m|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|.
:\Leftrightarrow n^2|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|^2 = m^2|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|^2.
:\Leftrightarrow (n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}})\cdot (n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}})=0.
:\Leftrightarrow \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n+m}\cdot \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n-m}=0.
:\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}} =0.
:\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \vec{0} \vee \overrightarrow{\mathrm{PR}} =\vec{0} \vee \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PR}}.
:\Leftrightarrow \mathrm{P}=\mathrm{Q} \vee \mathrm{P}=\mathrm{R} \vee \angle{\mathrm{QPR}}=90^\circ.
したがって、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円になる。

### ベクトルによる証明（2）
線分QRの中点をOとすると、
:\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}, \ \overrightarrow{\mathrm{OR}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}.
したがって、
:\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot  \overrightarrow{\mathrm{PR}} = 0.
:\Leftrightarrow (\overrightarrow{\mathrm{PO}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{PO}}+\overrightarrow{\mathrm{OR}}) = 0.
:\Leftrightarrow (\overrightarrow{\mathrm{PO}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{PO}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}) = 0.
:\Leftrightarrow |\overrightarrow{\mathrm{PO}}|^2 = \left( \frac{1}{2}\right)^2|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|^2.
:\Leftrightarrow \mathrm{PO} = \frac{1}{2}\mathrm{QR}.
これより、点Pの軌跡は線分QRの中点Oを中心とする半径 \frac{1}{2}\mathrm{QR} の円、すなわち線分QRを直径とする円になる。

### アポロニウスの円の中心
線分QRの中点をOとすると、点Oはアポロニウスの円の中心となり、
:\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{PO}} &= \frac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{PR}}}{2} \\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n+m}+\frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n-m} \right) \\ &= \frac{(n-m)(n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}})+(n+m)(n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}})}{2(n+m)(n-m)} \\ &= \frac{2n^2\overrightarrow{\mathrm{PA}}-2m^2\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{2(n^2-m^2)} \\ &= \frac{n^2\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m^2\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n^2-m^2}.\end{align}
すなわち、点Oは線分ABを m^2 : n^2 に外分する点になる。

### アポロニウスの円の半径
アポロニウスの円の半径を *r* とする。ここで平方完成

:\begin{align}\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}} &= \frac{\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}}{2} \\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n-m}-\frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n+m} \right) \\ &= \frac{(n+m)(n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}})-(n-m)(n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}})}{2(n+m)(n-m)} \\ &= \frac{2mn\overrightarrow{\mathrm{PA}}-2mn\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{2(n^2-m^2)} \\ &= \frac{mn(\overrightarrow{\mathrm{PB}}-\overrightarrow{\mathrm{PA}})}{m^2-n^2} \\ &= \frac{mn}{m^2-n^2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\end{align}

定義より、

:\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AR}} &= \overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PA}} \\ &= \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n-m}-\overrightarrow{\mathrm{PA}} \\ &= \frac{m}{n-m}(\overrightarrow{\mathrm{PA}}-\overrightarrow{\mathrm{PB}}) \\ &= \frac{m}{m-n}\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \\ \overrightarrow{\mathrm{QB}} &= \frac{n}{m+n}\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \\ \overrightarrow{\mathrm{AO}} &= \overrightarrow{\mathrm{PO}}-\overrightarrow{\mathrm{PA}} \\ &= \frac{n^2\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m^2\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n^2-m^2}-\overrightarrow{\mathrm{PA}} \\ &= \frac{m^2}{n^2-m^2}(\overrightarrow{\mathrm{PA}}-\overrightarrow{\mathrm{PB}}) \\ &= \frac{m^2}{m^2-n^2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \\ \overrightarrow{\mathrm{BO}} &=
\overrightarrow{\mathrm{PO}}-\overrightarrow{\mathrm{PB}} \\ &= \frac{n^2\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m^2\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n^2-m^2}-\overrightarrow{\mathrm{PB}} \\ &= \frac{n^2}{n^2-m^2}(\overrightarrow{\mathrm{PA}}-\overrightarrow{\mathrm{PB}}) \\ &= \frac{n^2}{m^2-n^2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\end{align}

したがって、
:r = \left|\frac{mn}{m^2-n^2}\right|\cdot\mathrm{AB} = \frac{\mathrm{AR}\cdot \mathrm{QB}}{\mathrm{AB}} = \sqrt{\mathrm{OA}\cdot \mathrm{OB}}.

## アポロニウスの問題に対する解
アポロニウスの問題に対する解はアポロニウスの円とも呼ばれる。

## 関連項目
* アポロニウスの円束
* アポロニウスのギャスケット
* アポロニウスの問題

## 外部リンク

*アポロニウスの円の中心について - 『数研通信』33号
*アポロニウスの円の中心と半径
*アポロニウスの円～定義を少し広げる試み～
*高校数学で注意して欲しいこと　2. 軌跡
*角の二等分線の性質を狩る
*
*アポロニウスの接円問題の探究 - 筑波大学数学教育研究室 代数・幾何・微積　For All プロジェクト