重畳加算法

**重畳加算法**（ちょうじょうかさんほう、、略称：OA, OLA）とは、非常に長い信号 \mathbf{x} と FIRフィルタ \mathbf{h} の離散畳み込み \mathbf{h} * \mathbf{x} を分割して（効率的に）処理する手法である。

:
\begin{align}
y[n]	= (\mathbf{h} * \mathbf{x})[n]
	=  \sum_{m=0}^{M-1} h[m] \cdot x[n-m]
\end{align}

ここで信号 x[n] は n=1,\ldots,N_x、フィルタ h[m] は m=0,\ldots,M-1 以外で0、また M である。

重畳加算法の基本アイデアは、長い信号 \mathbf{x} を区間長 L で区切り、複数の短い断片 \mathbf{x}_k と フィルタ \mathbf{h} に関する複数の畳み込みに分割して、FFTの積として効率的に計算することにある。

:\begin{align}
x_k[n]\ & \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ 
    \begin{cases}
	x[n+kL],& n=1,2,\ldots,L\\
	0,	& \textrm{otherwise}
    \end{cases}\\
x[n]	& = \sum_{k} x_k[n-kL], \\
\end{align}

離散畳み込み (\mathbf{h} * \mathbf{x})[n] は、各区間の畳み込みの総和で表せる:

:\begin{align}
y[n]	  = (\mathbf{h} * \mathbf{x})[n]
	& = \sum_{m=0}^{M-1} \left(h[m] \cdot \sum_{k} x_k[n-m-kL]\right) \\
	& = \sum_{k} (\mathbf{h} * \mathbf{x}_k)[n - kL] \\
\end{align}

ここで各区間の畳み込み y_k[n] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ (\mathbf{h} * \mathbf{x}_k)[n] は 領域 [1, *L*+*M*-1] 以外で 0 であり、任意の N \ge (L+M-1) に関し、領域 [1, N] における \mathbf{x}_k と \mathbf{h} の N点巡回畳み込みと等価である。

重畳加算法のアドバンテージは、この巡回畳み込みが畳み込み定理により、次のような FFTの積の逆FFT として効率的に計算できる事にある:

ここで \textrm{FFT}と\textrm{IFFT}は（ブロック長 N の）高速フーリエ変換と逆高速フーリエ変換である。
FFTアルゴリズムによっては、（巡回畳み込み計算のために）FFTブロック長 N を調整する事が理に適っている。例えばCooley-Tukey型FFTアルゴリズム (radix-2アルゴリズム) を使う場合、2の冪乗のブロック長を選ぶと有利である:

:N = L + M - 1 = 2^p, \quad p \in \mathbb{N}

## アルゴリズム
frame|none|図1: 重畳加算法

図1に、重畳加算法のアイデアを示す。
# 信号 \mathbf{x}（長さNx）を区間長　L　で区切り、オーバーラップの無い k 個の断片の列\mathbf{x}_kを得る。
# 各区間について、断片 \mathbf{x}_k（長さ≦L）と フィルタ \mathbf{h} (長さM) のFFT結果の積をとり逆FFTして、区間毎の畳み込み結果 \mathbf{y}_k (長さ≦L+M-1) を得る。（なお畳み込み結果は、元信号（区間長L）と比べてフィルタの長さ -1 だけ長くなり、オーバーラップが生じる）
# 最終的な出力信号は、図に示すように、各区間の結果\mathbf{y}_k のオーバーラップ（重畳）部を加算しながら連結して得られる。
区間長Lは、FFT開発初期にはしばしば効率上の理由でFFTのブロック長Nが2の冪乗をとるよう調整されたが、更なる研究開発の結果、Nを大きな素数で素因数分解する効率的変換方法が明らかにされ、このパラメータに対する計算上の敏感さは低減された。 ()
アルゴリズムの疑似コードは以下の通りである:
     **アルゴリズム 1** (*重畳加算法(OLA)による線形畳み込み*)
     使用するFFTアルゴリズムに応じてFFTブロック長 N と 分割区間長 L に最適値を設定
     H = FFT(h,N)       (*ゼロ・パディングしたFFT* )
     i = 1
     **while** i (*オーバーラップ区間を加算* )
         i = i+L
     **end**

## 巡回畳み込みへの応用

一般に信号 \mathbf{x} が周期的でその周期が N_x の場合、畳み込み結果y[n]も周期的で同じ周期をとる。
# 1周期分のy[n]は、ちょうど1周期分の信号 x[n] (長さNx) と フィルタh[n] (長さM) の畳み込みで得られる。ここでは前述のアルゴリズム 1を使う。畳み込み結果y[n]は、区間 [*M*, *Nx*] で正しい。
# 先頭のM-1個(区間[1, *M*-1])の値に、末尾のM-1個(区間[*Nx*+1, *Nx*+*M*-1])の値を加算すれば、区間 [1, *Nx*] が正しい畳み込み結果を表すようになる。
変更した疑似コードは以下の通りである:
    **アルゴリズム 2** (*重畳加算法(OLA)による巡回畳み込み*)
    アルゴリズム 1 を評価
    y(1:M-1) = y(1:M-1) + y(Nx+1:Nx+M-1)
    y = y(1:Nx)
    **end**
   【参考】英語版記事初版のアルゴリズム 2
    (*アルゴリズム 1 の必要範囲を引用* )
        使用するFFTアルゴリズムに応じてFFTブロック長 N と 分割区間長 L に最適値を設定
        H = FFT(h,N)       (*ゼロ・パディングしたFFT* )
    (*ここまで引用* )
    ML = floor((N-1)/L)    (*未使用* )
    i = Nx-L+1
    k = N - L
    while k >= 1
        il = i+L-1
        yt = IFFT( FFT(x(i:il,N)) * H )
        y(1:k) = y(1:k) + yt(N-k+1:N)
        k  = k-L
        i  = i-L
    end

## 計算量

畳み込みの計算コストは、操作に関わる複素数乗算の回数と関連付ける事ができる。主要な計算量はFFT演算によるもので、Radix-2アルゴリズム()を長さN_x=Nの信号に適用する場合およそ C = (N\log_2{N})/2回の複素数乗算が行われる。重畳加算法における複素数乗算の回数は、FFTとフィルタ乗算とIFFTを考慮して:

:C_{OA}=\left\lceil \frac{N_x}{N-M+1}\right\rceil
N\left(\log_2 N+1\right)\,

なお巡回行列版のM_Lセクション () の追加コストは、通常とても小さいので単純化のために無視できる。

FFTのブロック長 N の最適値は、\log_2{M}\le n\le \log_2{N_x} の範囲で動かしてC_{OA}\left(N=2^n\right)の最小値を整数nを(数値的に)探す事で得られる。Nが2の冪乗であれば、FFTを効率的に計算できる。Nの値が定まれば、信号\mathbf{x}を最適に区切る区間長L=N-M+1が定まる。
比較のため、普通の巡回畳み込みの計算量も示しておく:

:C_S=N_x\left(\log_2 N_x+1\right)\,

したがって重畳加算法の計算量はほぼ O(N_x\log_2{N})でスケールし、他方、普通の巡回畳み込みの計算量はほぼ O(N_x\log_2{N_x})である。() しかしながら、この種の推計は複素数乗算の計算量だけ考慮しており、アルゴリズムに関わる他の処理は度外視している。各アルゴリズムに要する計算時間の直接測定こそ、より大きな関心事である。
図2に、による標準的な巡回畳み込みの計算時間と、*アルゴリズム 2*の形の重畳加算法による同様な畳み込みの計算時間の比を示す; 縦軸は信号長N_xの対数表示、横軸はフィルタ長N_h=Mの対数表示で、計算時間の比を等高線で示している。両アルゴリズムはMatlabで実装した。青い太線は、重畳加算法の方が標準巡回畳み込みより速い(比>1)領域の境界線である。このケースでは重畳加算法は標準的手法より最大約3倍高速だった。

## 脚注

## 参考文献
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## 関連項目
*（(Overlap-save method）