Theorema Egregium

**Theorema Egregium**（ラテン語。音訳：テオーレーマ・エーグレギウム。直訳：卓越した定理）はカール・フリードリヒ・ガウスにより証明された定理で、曲面のガウス曲率が曲面の内在的な量（リーマン計量）のみで書けることを主張する。

日本語では

* 「最も素晴らしい定理」
* 「驚異の定理」
* 「Gaussの基本定理」
* 「抜群の定理」

などと訳されることもあるが、egregiumには「驚異の」という意味はない。英語では「Remarkable Theorem」（注目すべき定理）と意訳することもある。

## 語源
「Theorema Egregium」という語はこの定理を示したガウスの原論文から来ている（太字引用者）：

## 概要

を3次元ユークリッド空間\mathbb{R}^3内の曲面とし、を上の点とする。点においての「最も曲がっている方向」の曲がり具合と「最も曲がっていない方向」の曲がり具合の積を点におけるの**[[ガウス曲率]]**という。（ただし図のようにが鞍点になっている場合は、逆方向の曲がりをマイナスの曲がり具合と解釈する。よってこの場合の「最も曲がっていない方向」とは「逆向きに最も曲がっている方向」である）。

ガウス曲率はその定義より、\mathbb{R}^3におけるの曲がり具合を利用して定義されている為、\mathbb{R}^3においてがどのような形になっているかが一見重要に見える。

しかし実は**ガウス曲率はの「外の空間」である<math>\mathbb{R}^3</math>とは無関係に計算できる、というのがTheorema Egregiumの趣旨**である。具体的にはガウス曲率はの距離空間としての構造（厳密にはリーマン計量）のみから計算できる。

したがって、\mathbb{R}^3内でを変形しても、その変形がの距離構造を変えない限り、ガウス曲率は変わらない。例えば（＝懸垂面）と（＝螺旋面）は見た目は大きく異なるが、両者の距離構造は同じなので、ガウス曲率は変わらない。

このように「外の空間」とは無関係にの情報だけを用いて計算できる量をに**内在的な**()量であるという。Theorema Egregiumは、ガウス曲率がの内在的な量であることを意味している。

Theorema Egregiumを使うと、地球の地図を書くとき**距離を歪ませない正確な地図は書けないことが示せる**。実際、もし正確な地図が書けるなら、地球と地図（すなわち球面と平面）の距離構造は同一なので、Theorema Egregiumより両者のガウス曲率は等しくなければならないが、球面のガウス曲率は半径をとするとであり、平面のガウス曲率はであることが知られているので、これは矛盾である。

なお、ガウスがTheorema Egregiumなどの曲面論（）を研究したきっかけは、国家の測量を依頼されたためであった。

ベルンハルト・リーマンはTheorema Egregiumに着目することにより、「外の空間」なしの次元曲面、すなわち次元**[[リーマン多様体]]**を定義し、これが今日の微分幾何学の研究の嚆矢となった。

さらにアルベルト・アインシュタインは、重力の座標変換則がリーマン多様体のそれとよく似ていることに着目し、宇宙をリーマン多様体の類似物（擬リーマン多様体）と見なすことで一般相対性理論を確立した。

## 厳密な定式化
### 古典的な定式化
Theorema Egregiumは以下のように定式化できる：

なお、第一基本形式は現代的な言い方では「リーマン計量」と呼ばれる。

具体的には第一基本形式を
:  I = E \, du^2 + 2F \, du \, dv + G \, dv^2. \,
とするとき、ガウス曲率はブリオスキの公式
: K =\frac{\det \begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\\frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix}- \det \begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\\frac{1}{2}E_v & E & F\\\frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix}}{(EG-F^2)^2} 

により記述できる。ここではの-偏微分を表す。

### 現代的な定式化
リーマン多様体の言葉を使うと、Theorema Egregiumを以下のように再定式化できる。
M \subset \mathbb{R}^3を\mathbb{R}^3の級部分多様体とし、に\mathbb{R}^3の内積から誘導されるリーマン計量を入れ、が定めるレヴィ・チヴィタ接続（共変微分）をとし、リーマンの曲率テンソルを
:R(X,Y)Z:=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z
により定義する。

各点P \in Mに対し、のに関する正規直交基底e_1,e_2を選び、におけるの**断面曲率**を
: \mathrm{Sec}_P:=g(e_1,R(e_1,e_2)e_2)
により定義する。断面曲率はe_1,e_2の選び方によらずwell-definedであることが知られている。

このときTheorema Egregiumは以下のように再定式化できる：

断面曲率はに内在的な量（リーマン計量）のみから定義したので、断面曲率はに内在的な量である。よって上記の定理はガウス曲率がに内在的であることを示している。

## 高次元の場合
をリーマン多様体の部分多様体とする。がにおいて**余次元1であれば**、第二基本形式が実数値の双線形写像になり、第二基本形式の固有値・固有ベクトルとして主曲率\kappa_1,\ldots,\kappa_mおよびそれに対応する主方向e_1,\ldots,e_mが定義できる。さらに全ての主曲率の積としてガウス曲率K=\kappa_1\cdots\kappa_mが定義できる。（なおガウス曲率は第二基本形式の行列式に等しい）。

このとき、以下が成立する：(e_i,e_j)+\kappa_i\kappa_j|note=断面曲率と主曲率の関係}}ここで\mathrm{Sec}_P(\cdot,\cdot)、\overline{\mathrm{Sec}}_P(\cdot,\cdot)はそれぞれ**'、の断面曲率である。

**が曲率の定曲率空間であれば**、

: <math>\mathrm{Sec}(e_i,e_j)=c+\kappa_i\kappa_j</math>

であり、<math>\mathrm{Sec}_P(e_i,e_j)</math>がに内在的な量であることも言える：よって特に以下が従う：一方、奇数次元のガウス曲率は**'に内在的な量では**ない**が、以下が成り立つことが知られている：
以上のことから、**'が偶数の場合には<math>\bar{M}_c</math>における**'のガウス曲率をリーマン曲率で書きあらわすことができる。\bar{M}_cが曲率0の場合は、具体的にはリーマン曲率から定まる**オイラー形式**がガウス曲率と一致する。

このオイラー形式はガウス・ボンネの定理の高次元化にも役に立ち、オイラー形式を積分したものがオイラー数に一致する、という形で高次元のガウス・ボンネの定理を記述できる。

詳細は部分リーマン多様体の接続と曲率の項目を参照されたい。

## 脚注
### 注釈

### 出典

## 文献
### 参考文献
* 
* 
* 
* 
* 
### 原論文
* ラテン語：
** 
* 英訳
** ウェブ
*** 
*** Carl Friedrich Gauss, *[https://books.google.co.jp/books?id=a1wTJR3kHwUC&dq=&redir_esc=y&hl=ja General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825]*, (1902) The Princeton University Library.
** 書籍
*** Carl Friedrich Gauss (Author), Adam Hiltebeitel (Translator), James Morehead (Translator), *General Investigations Of Curved Surfaces* Unabridged (Paperback), Wexford College Press, 2007, ISBN 978-1-929148-77-6.
*** Carl Friedrich Gauss (Author), Peter Pesic (Editor), *General Investigations of Curved Surfaces* (Paperback), Dover Publications, 2005, ISBN 978-0-486-44645-5.

## 関連項目
* カール・フリードリヒ・ガウス
* 曲率
* 曲面
* 微分幾何学

## 外部リンク
*