クレブシュ–ゴルダン係数

量子力学において**クレブシュ–ゴルダン係数**（クレブシュ–ゴルダンけいすう、CG係数、）または**ウィグナー係数**は、角運動量の合成で生じる係数の組である。2つの角運動量の和によって出来た角運動量の固有状態を得るために必要となる。

より数学的にはCG係数は表現論、特にコンパクトリー群において、既約表現の数とタイプが抽象的に分かっており、既約表現のテンソル積を既約表現に直和分解する場合に使われる。
で同様の問題について研究したドイツの物理学者（1833&ndash;1872）と（1837&ndash;1912）にちなんで命名された。

古典力学では、CG係数やSO(3)群に関連するものは球面調和関数の乗算によってもっと直接的に定義される。量子力学的なスピンの導入はこのアプローチから行える。

クレブシュ–ゴルダン係数は全角運動量固有状態を結合していないテンソル積基底で展開したときの展開係数である。この定義の意味は角運動量演算子、角運動量固有状態、角運動量固有状態のテンソル積を定義することで明らかとなる。

角運動量の形式的な定義から、クレブシュ–ゴルダン係数における漸化式がわかる。係数の具体的な数値を定めるためには、位相則を選びださなければならない。

以下の定式化ではディラックのブラケット記法を使う。また位相則としてコンドン–ショートレーの位相則を用いる。

## 定義
全角運動量の固有状態は、カップリングしてない基底の完全性関係を使って展開できる。
:
  |(j_1j_2)JM\rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2}
  |j_1m_1j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle

この展開係数\langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangleを**クレブシュ–ゴルダン係数**と呼ぶ。

演算子
:
  \hat{\textrm{J}}_z = \textrm{j}_z \otimes 1 + 1 \otimes \textrm{j}_z

を定義式の両辺に作用させると、クレブシュ–ゴルダン係数は
:
M = m_1 + m_2.\,

の時のみ 0 にならない。

### 特別な場合
J=0におけるクレブシュ–ゴルダン係数は以下で与えられる。
:
  \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | 0 0\rangle  = \delta_{j_1,j_2}\delta_{m_1,-m_2}
\frac{(-1)^{j_1-m_1}}{\sqrt{2j_2+1}}

J=j_1+j_2とM=Jにおけるクレブシュ–ゴルダン係数は以下で与えられる。
:
   \langle j_1 j_1 j_2 j_2 | (j_1+j_2) (j_1+j_2)\rangle = 1


j_1 = j_2 = J/2とm_2 = -m_1におけるクレブシュ–ゴルダン係数は以下で与えられる。
:
   \langle j_1 m_1 j_1 -m_1 | 2j_1 0\rangle = \frac{(2j_1)!^2}{(j_1 - m_1)! (j_1 + m_1)! \sqrt{(4 j_1)!}}


j_1 = j_2 = m_1 = -m_2におけるクレブシュ–ゴルダン係数は以下で与えられる。
:
   \langle j_1 j_1 j_1 -j_1 | J 0\rangle = (2j_1)! \sqrt{\frac{2J+1}{(J+2j_1+1)!(2j_1 - J)!}}


## 具体的な形
クレブシュ–ゴルダン係数の具体的な形と数値はを参照。

## 角運動量演算子
角運動量演算子は、以下の交換関係を満たすエルミート演算子\hat{j}_x、\hat{j}_y、\hat{j}_zで定義される。
:
  [\hat{j}_k,\hat{j}_l] = \hat{j}_k \hat{j}_l - \hat{j}_l \hat{j}_k = i\hbar \sum_m
\varepsilon_{kl m}\hat{j}_m \quad\quad (k,l,m \in (x,y,z))

ここで\varepsilon_{klm}はエディントンのイプシロンである。
3つの演算子を合わせたものを「ベクトル演算子」と呼ぶ。

:
\hat{\mathbf{j}} = [\hat{j}_x,\hat{j}_y,\hat{j}_z]


この考えを発展させると、\hat{\mathbf{j}}の自分自身の内積の演算子を定義できる。

:
\mathbf{\hat{j}}^2 = \hat{j}_x^2+\hat{j}_y^2+\hat{j}_z^2 \ 


これはである。

また「上昇演算子」（\hat{j}_{+}）と「下降演算子」（\hat{j}_{-}）を以下のように定義する。

:
\hat{j_\pm} = \hat{j_x} \pm i \hat{j_y} \ 


### 角運動量演算子の同時固有ベクトル
上記の定義から分かるように、\mathbf{\hat{j}}^2は\hat{j}_x、\hat{j}_y、\hat{j}_zと交換する。
:
  [\mathbf{\hat{j}}^2, \hat{j}_k] = 0 \quad\quad (k = x,y,z)

２つのエルミート演算子が交換する場合、同時固有ベクトルが存在する。
\mathbf{\hat{j}}^2と\hat{j}_zは交換するので、それらの同時固有ベクトルを|j\,m\rangleとすると以下を満たす。
:
\mathbf{\hat{j}}^2 |j\,m\rangle = \hbar^2 j(j+1) |j\,m\rangle \quad\quad (j=0,\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \ldots)

:
\hat{j}_z|j\,m\rangle = \hbar m |j\,m\rangle \quad\quad\quad\quad\quad (m = -j, -j+1, \ldots , j.)

m \ の値は昇降演算子で変化する。
:
  \hat{j}_\pm |j\,m\rangle = C_\pm(j,m) |j\,m\pm 1\rangle

ここで
:
  C_\pm(j,m) = \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)} = \sqrt{(j\mp m)(j\pm m + 1)}

位相因子はC_\pm(j,m)の定義に含まれている。位相則はコンドン-ショートレーの位相則に従っている。

角運動量演算子はエルミート演算子なので固有状態（固有ベクトル）は完全系をなす。固有状態は以下のように規格直行化されているとする。
:
  \langle j_1\,m_1 | j_2\,m_2 \rangle = \delta_{j_1,j_2}\delta_{m_1,m_2}


## テンソル積空間
V_1を以下の状態で張られる2j_1+1次元ベクトル空間とする。
:
  |j_1 m_1\rangle\quad (m_1=-j_1,-j_1+1,\ldots j_1)

V_2を以下の状態で張られる2j_2+1次元ベクトル空間とする。
:
  |j_2 m_2\rangle\quad (m_2=-j_2,-j_2+1,\ldots j_2)

これらの空間のテンソル積V_{12}\equiv V_1\otimes V_2は(2j_1+1)(2j_2+1)次元のカップリングしていない基底を持つ。
:
  |j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv |j_1 m_1\rangle \otimes |j_2 m_2\rangle \quad (m_1=-j_1,\ldots j_1, \quad m_2=-j_2,\ldots j_2)

V_{12}で作用する角運動量演算子は以下で定義される。
:
  (\textrm{j}_i \otimes 1)|j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv (j_i|j_1m_1\rangle) \otimes |j_2m_2\rangle

:
  (1 \otimes \textrm{j}_i) |j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv |j_1m_1\rangle \otimes j_i|j_2m_2\rangle
\quad\quad (i = x,y,z)

全角運動量演算子は以下で定義される。
:
  \hat{\textrm{J}}_i \equiv \textrm{j}_i \otimes 1 + 1 \otimes \textrm{j}_i\quad\quad (i = x,y,z.)

全角運動量演算子は以下の交換関係を満たす。
:
  [\hat{\textrm{J}}_k,\hat{\textrm{J}}_l] =  i\hbar\epsilon_{klm}\hat{\textrm{J}}_m  \quad \quad (k,l,m \in (x,y,z))

よって全角運動量の同時固有状態が存在する。
:
  \hat{\mathbf{J}}^2 |(j_1j_2)JM\rangle = \hbar^2 J(J+1) |(j_1j_2)JM\rangle

:
  \hat{\textrm{J}}_z |(j_1j_2)JM\rangle = \hbar M |(j_1j_2)JM\rangle \quad \quad \quad (M=-J,\ldots,J)

これはJが以下を満たさなければならないことに由来する。
:
  |j_1-j_2| \leq J \leq j_1+j_2

全角運動量の同時固有状態の総数はV_{12}の次元と等しい。
:
  \sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} (2J+1) = (2j_1+1)(2j_2+1)

全角運動量の同時固有状態はV_{12}の正規直交基底を作る。
:
  \langle J_1 M_1 | J_2 M_2 \rangle = \delta_{J_1J_2}\delta_{M_1M_2}


## 漸化式
漸化式はによって発見された。
以下で定義される全角運動量昇降演算子をクレブシュ–ゴルダン係数の定義式の両辺に作用させる。
:
  \hat{\textrm{J}}_\pm = \textrm{j}_\pm \otimes 1 + 1 \otimes \textrm{j}_\pm

左辺は、
:
  \hat{\textrm{J}}_\pm|(j_1j_2)JM\rangle = C_\pm(J,M) |(j_1j_2)JM\pm 1\rangle =
  C_\pm(J,M)\sum_{m_1m_2}|j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\pm 1\rangle

右辺は、
:
  \begin{align}
  \hat{\textrm{J}}_\pm  & \sum_{m_1m_2} |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle\\
  & =\sum_{m_1m_2}\left[ C_\pm(j_1,m_1)|j_1 m_1\pm 1\rangle |j_2m_2\rangle
                     +C_\pm(j_2,m_2)|j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\pm 1\rangle \right]
                \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle \\
 &= \sum_{m_1m_2} |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \left[
   C_\pm(j_1,m_1\mp 1) \langle j_1 {m_1\mp 1} j_2 m_2|J M\rangle
   +C_\pm(j_2,m_2\mp 1) \langle j_1 m_1 j_2 {m_2\mp 1}|J M\rangle \right]
 \end{align}

ここで
: C_\pm (j,m) = \sqrt{ j(j+1) - m(m\pm 1) } 
よってクレブシュ–ゴルダン係数についての漸化式が得られる。
:
  C_\pm(J,M) \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\pm 1\rangle
  = C_\pm(j_1,m_1\mp 1) \langle j_1 {m_1\mp 1} j_2 m_2|J M\rangle
   + C_\pm(j_2,m_2\mp 1) \langle j_1 m_1 j_2 {m_2\mp 1}|J M\rangle

漸化式のC_+についてM=Jでは、
:
  0 = C_+(j_1,m_1-1) \langle j_1 {m_1-1} j_2 m_2|J J\rangle
      + C_+(j_2,m_2-1) \langle j_1 m_1 j_2 m_2-1|J J\rangle

コンドン-ショートレーの位相則における係数\langle j_1 j_1 j_2 J-j_1|J J\rangleは正の実数である。
最後の方程式では、他のすべてのクレブシュ–ゴルダン係数\langle j_1 m_1 j_2 m_2|J J\rangleがある。
規格化は
状態|(j_1j_2)JJ\rangleのノルムに相当する、二乗の合計が１でなければならないという条件から行われる。

漸化式のC_-はM=J-1の全てのクレブシュ–ゴルダン係数を見つけるために使われる。
この式を繰り返し使うと全ての係数が得られる。
CG係数を得る手続きによって（コンドン–ショートレーの位相則において）CG係数がすべて実数であることがわかる。

## 直交関係
これらのことは、代わりの表現を導入することで簡潔に書ける。
:
  \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle \equiv \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle

第一の直交関係は
:
  \sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{M=-J}^{J}
  \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle\langle J M|j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle=
  \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle
   = \delta_{m_1,m_1'}\delta_{m_2,m_2'}

(完全性関係 1\equiv \sum_x | x \rangle\langle x|を用いた )

第二の直交関係は
:
  \sum_{m_1m_2} \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle
                \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J' M'\rangle
  = \langle J M | J' M'\rangle  
   = \delta_{J,J'}\delta_{M,M'}


## 対称性
:
\begin{align}
\langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle \\
& = (-1)^{j_1+j_2-J}
\langle j_1\, {-m_1} j_2 \, {-m_2}|J \, {-M}\rangle \\
& = (-1)^{j_1+j_2-J} \langle j_2 m_2 j_1 m_1|J M\rangle \\
& = (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_2 +1}}  \langle j_1 m_1 J \, {-M}| j_2\,{-m_2} \rangle \\
& = (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_1 +1}}  \langle J \, {-M} j_2 m_2| j_1 \, {-m_1} \rangle \\
& = (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_2 +1}}  \langle J M  j_1 \, {-m_1} | j_2 m_2 \rangle \\
& = (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_1 +1}}  \langle j_2 \, {-m_2} J M | j_1 m_1 \rangle
\end{align}

これらの関係を得る便利な方法は、クレブシュ–ゴルダン係数を以下の式で3j記号に変換することである。
3j記号の対称性はより簡潔である。

量子数が整数または半整数になりうるので、位相因子を簡単にする場合は注意が必要である。
例えば(-1)^{2j}は整数jで１に等しく、半整数jで−１に等しい。
しかし以下の関係は、どちらの場合でも有効である。
:
(-1)^{4j} = (-1)^{2(j-m)} = 1 \ 


同じクレブシュ–ゴルダン係数に現れるj_1、j_2,、Jでは
:
(-1)^{2(j_1+j_2+J)} = (-1)^{2(m_1+m_2+M)} = 1


## 3-jm記号との関係
クレブシュ–ゴルダン係数は、より便利な対称関係をもつ3-jm記号と以下のような関係がある。
:
  \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle =
  (-1)^{j_1-j_2+m_3}\sqrt{2j_3+1}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & -m_3
\end{pmatrix}


## ウィグナーのD行列との関係

:
  \int_0^{2\pi} d\alpha \int_0^\pi \sin\beta d\beta \int_0^{2\pi} d\gamma
  D^J_{MK}(\alpha,\beta,\gamma)^\ast D^{j_1}_{m_1k_1}(\alpha,\beta,\gamma) D^{j_2}_{m_2k_2}(\alpha,\beta,\gamma)
  = \frac{8\pi^2}{2J+1}  \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | J M \rangle \langle j_1 k_1 j_2 k_2 | J K \rangle


## その他の性質

:\sum_m (-1)^{j-m} \langle j m j {-m} | J 0 \rangle = \sqrt{2j+1} ~ \delta_{J0}


## SU(N) クレブシュ–ゴルダン係数
任意の群と表現でのクレブシュ–ゴルダン係数は知られていない。
しかし特殊ユニタリ群でのクレブシュ–ゴルダン係数を得るアルゴリズムが作られている。
 
http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Papers/ClebschGordan/SU(N)クレブシュ–ゴルダン係数の一覧を算出するウェブサイト を参照。

## 関連項目

* 3j記号
* ラカーのW係数
* 6j記号
* 9-j記号
* 球面調和関数
* ルジャンドルの陪多項式
* 角運動量
* 角運動量の合成
* 全角運動量量子数
* 方位量子数
* 
* ウィグナーのD行列


## 参考書

* 
* 
* 
* 
* 
* 

## 参考文献



## 外部リンク
* PDF Table of Clebsch–Gordan Coefficients, Spherical Harmonics, and d-Functions
* Clebsch–Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator
* Downloadable Clebsch–Gordan Coefficient Calculator for Mac and Windows
* Web interface for tabulating SU(N) Clebsch–Gordan coefficients