ベクトルの共変性と反変性

多重線型代数やテンソル解析における**共変性**（きょうへんせい、）と**反変性**（はんへんせい、）とは、ある幾何学的または物理的な対象に基底変換を施した際に、それがどのように変化をするかを表す。物理学では、基底は基準とする座標系の軸としばしば同一視される。

## 概要

座標系のスケール変換は単位系の変更に関連する。

たとえば長さのスケールを考える。単位をメートル m からセンチメートル cm に変更する、すなわち長さの基準を 1/100倍に変える。このとき、長さの値は100倍になる。同様に位置ベクトルや速度ベクトルの各成分も  倍となる。このように、座標系の基準スケールを変えたときに、基準の変化とは逆の変化を要請することを**反変性**という。

この種のベクトルは長さや長さと他の次元の積の次元を持つ。対照的にその双対ベクトル（**余ベクトル**と呼ばれる）の次元は長さの逆か、それに別の次元を掛けたものになる。

双対ベクトルの例としては勾配が挙げられる。勾配は空間微分によって定義され、長さの逆の次元を持つ。双対ベクトルの成分は座標系のスケールが変わるときに*同じ変化を要請する*。これを**共変性**という。ベクトルおよび余ベクトルの成分は、一般の基底の変換に対しても同じような規則で変換される。

* ベクトルが基底に依存しない不変量であるためには、ベクトルの成分は基底の変化を補うように反対に変換されなければならない。言い換えれば、ベクトルの成分を変換する行列は基底を変換する行列の逆行列になっていなければならない。このようなとき、ベクトルの成分は**反変**であるという。反変な成分を持つベクトルにはたとえば、観測者に対する物体の相対的な位置や、速度、加速度、躍度など位置の時間微分がある。アインシュタインの縮約を用いると、反変成分は**上付き添字**を用いて以下のように表される。
::\boldsymbol{v} = v^i \boldsymbol{e}_i 

* 余ベクトルが基底に依存しないためには、余ベクトルの成分は基底の変換に対して、同じ余ベクトルとして表されるように、共に変化しなければならない。つまり、余ベクトルの変換は基底の変換と同じ行列によってなされる必要がある。余ベクトルの成分は**共変**であるという。共変ベクトルは、関数の勾配としてしばしば現れる。共変成分は**下付き添字**を用いて以下のように表される。
::\boldsymbol{v} = v_i \boldsymbol{e}^i 

物理学や幾何学においては、円筒座標や球座標などのがしばしば用いられる。空間の各点でのベクトルに対する基底を自然なものに取ることと、ベクトルの共変性および反変性には深い関わりがあり、ベクトルの座標表示が座標系を移したときどのように変化するかということを理解する上で特に重要である。

（共変）および （反変）という語はジェームス・ジョセフ・シルベスターによって1853年に代数的なの研究のために導入された。
不変式論の文脈ではたとえば、斉次方程式は変数変換に対して反変である。多重線型代数におけるテンソルは共変であり**かつ**反変であり得る。多重線型代数における共変性および反変性は、圏論における関手に対する用法の特別な例である。

## 定義
**共変性**と**反変性**は一般に、基底変換の下でのの成分がどのように変換されるかによって構成される。
 をスカラー体  上の  次元のベクトル空間とし、 および  を  の基底とする。また  から  への基底変換は、 の正則行列  の成分  について、次のように与えられる。

基底  を構成するベクトル  はそれぞれ、基底  を構成するベクトル  の線形結合となる。つまり、

:Y_j=\sum_i a^i_jX_i

### 反変変換
 のベクトル  は基底  を構成する各  の線形結合として一意に表される。

ここで  は  のスカラーであり、ベクトル  の基底を  にとったときの**成分** ( ) と呼ばれる。 の成分を列ベクトル  で表すと次のようになる：

:\boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}] = \begin{bmatrix}v^1[\boldsymbol{f}]\\v^2[\boldsymbol{f}]\\\vdots\\v^n[\boldsymbol{f}]\end{bmatrix}

これにより () は行列の積の形に書き直せる。

:v = \boldsymbol{f} \boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}]

ベクトル  を  を基底として表現すると、次のようになる。

:v = \boldsymbol{f}' \boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}']

ただし、ベクトル  そのものは基底の選び方によらず不変であるので、二つの表現は互いに等しい。

:\boldsymbol{f} \boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}] = v = \boldsymbol{f}' \boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}']

この の不変性と、  () の基底  と  の関係を組み合わせて、

:\boldsymbol{f} \boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}] = \boldsymbol{f} A \boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}A]

ここから次の変換規則を得る。

:\boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}A] = A^{-1}\boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}]

また、成分表示では次のように書ける。

:v^i[\boldsymbol{f}'] = \sum_j \tilde{a}^i_jv^j[\boldsymbol{f}]

ここで係数  は  の逆行列の  成分である。

ベクトル  の成分は基底を変換する行列  の逆行列によって変換されるため、ベクトルの成分は基底の変換に対して**反変である** () という。

変換  によって結び付けられる基底とベクトルの組は、矢印を使った図で次のようにラフに表現される。反対向きの矢印は反変変換を示す：
:\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{f} & \longrightarrow & \boldsymbol{f}'\\
\boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}] & \longleftarrow & \boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}']
\end{array}

### 共変変換
ベクトル空間  上の線型汎関数  は基底  の**成分**（係数体  のスカラー）を用いて一意に表すことができる。

:\alpha(X_i) = \alpha_i[\boldsymbol{f}] , \quad i=1,2,\dotsc,n

これらの成分は 基底  の元  上の  の作用である。

 から  への基底変換 () の下で、 の成分は次のように変換される。

 の成分は行ベクトル  を用いて次のように書き表せる：

:\boldsymbol{\alpha}[\boldsymbol{f}] = \bigl[ \alpha_1[\boldsymbol{f}],\alpha_2[\boldsymbol{f}],\dotsc,\alpha_n[\boldsymbol{f}] \bigr]

これより () の関係は行列の積として書き直すことができる。

:\alpha[\boldsymbol{f}A] = \alpha[\boldsymbol{f}]A

線型汎関数  の成分は基底の変換  に従って変換されるため、 の成分は基底の変換に対して**共変である** () という。

変換  によって結ばれる基底と共変ベクトルの組は矢印を使った図で次のようにラフに表される。共変性は基底の変換と同じ向きの矢印で表現される：
:\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{f} & \longrightarrow & \boldsymbol{f}'\\
\alpha[\boldsymbol{f}] & \longrightarrow & \alpha[\boldsymbol{f}']
\end{array}

行ベクトルの代わりに列ベクトルを用いて表現する場合、変換規則は転置を用いて次のように表される。
:\alpha^{\top} [\boldsymbol{f}A] = A^{\top} \alpha^{\top} [\boldsymbol{f}]

## 座標
ベクトル空間  上の基底  の選択は、
:x^i[\boldsymbol{f}](v) = v^i[\boldsymbol{f}]
によって、 上の座標関数の集合を一意に定義する。 上の座標はしたがって、
:x^i[\boldsymbol{f}A] = \sum_{k=1}^n \tilde{a}^i_kx^k[\boldsymbol{f}]
となる意味で反変である。逆に、 上の座標  のように変換される  個の量の組  は反変ベクトルを定義する。座標とは反対に変換される  個の量の組は共変ベクトルである。

この共変性と反変性の定式化は、ベクトルが接ベクトルまたは余接ベクトルとして存在するような座標空間（多様体）においてしばしば自然なものとなる。多様体上の局所座標系  が与えられたとき、座標系の基準軸は以下のベクトル場である。
:X_1 = \frac{\partial}{\partial x^1},\dots,X_n=\frac{\partial}{\partial x^n}.
これによって、座標近傍の全ての点において、座標系  に対応する基底  が定まる。

もし  が別の座標系であり、
:Y_1=\frac{\partial}{\partial y^1},\dots,Y_n=\frac{\partial}{\partial y^n},
であるならば、基底  は、座標変換のヤコビ行列の逆行列によって基底  と関係付けられる。
:\boldsymbol{f}' = \boldsymbol{f}J^{-1},\quad J=\left(\frac{\partial y^i}{\partial x^j}\right)_{i,j=1}^n
あるいは、添字を用いて書けば以下のようになる。
:\frac{\partial}{\partial y^i} = \sum_{j=1}^n\frac{\partial x^j}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^j}

接ベクトルは定義により、座標偏微分 \partial/\partial x^i の線型結合となるベクトルである。したがって接ベクトルは以下のように定義される。
:v = \sum_{i=1}^n v^i[\boldsymbol{f}] X_i = \boldsymbol{f}\ \boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}].
このようなベクトルは、座標系の変換（基底変換）に対して反変である。座標系が変更されるとき、以下が成り立つ。
:\boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}'] = \boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}J^{-1}] = J\, \boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}].
したがって、接ベクトルの成分は以下のように変換される。
:v^i[\boldsymbol{f}'] = \sum_{j=1}^n \frac{\partial y^i}{\partial x^j}v^j[\boldsymbol{f}].
これに従い、ある座標系から別の座標系へ移るときにこのように変換される座標依存の  個の量  の組を反変ベクトルと呼ぶ。

## 計量を持つベクトル空間における共変成分と反変成分
双線型形式 （計量テンソルと呼ばれる）を持つ体  上の有限次元ベクトル空間  においては、共変ベクトルと反変ベクトルの区別はほとんどない。なぜなら、双線型形式によって余ベクトルをベクトルと同一視できるからである。つまり、任意のベクトル  に対して、全てのベクトル  について
:\alpha(w) = g(v, w) 
が成り立つような余ベクトル  が一意に定まる。逆に、各余ベクトル  に対して、この式によって一意のベクトル  が定まる。このベクトルと余ベクトルの同一視のため、ベクトルの**共変成分**や**反変成分**について言及することができる。すなわち、それらは相互逆基底を用いた同じベクトルの表現に過ぎない。

 の基底  が与えられたとき、以下の式を満たす  の逆基底（双対基底）  が一意に定まる。
:Y^i(X_j) = \delta^i_j,
ここで  はクロネッカーのデルタである。これらの基底を用いれば、任意のベクトル  は2通りの方法で書き表せる。
:\begin{align}
v &= \sum_i v^i[\boldsymbol{f}]X_i = \boldsymbol{f}\,\boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}]\\
&=\sum_i v_i[\boldsymbol{f}]Y^i = \boldsymbol{f}^\sharp\boldsymbol{v}^\sharp[\boldsymbol{f}].
\end{align}

成分  は基底  におけるベクトル  の**反変成分**であり、成分  は基底  における  の**共変成分**である。基底変換に対して、
:\boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}A] = A^{-1}\boldsymbol{v}[\boldsymbol{f}],\quad \boldsymbol{v}^\sharp[\boldsymbol{f}A] = A^T\boldsymbol{v}^\sharp[\boldsymbol{f}]
となることから、この用語法は正当化される。

### ユークリッド平面
ユークリッド平面では、ドット積によってベクトルを余ベクトルと同一視できる。もし \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 が基底であれば、双対基底 \boldsymbol{e}^1,\boldsymbol{e}^2 は以下を満たす。
:\begin{align}
\boldsymbol{e}^1\cdot\boldsymbol{e}_1=1, &\quad\boldsymbol{e}^1\cdot\boldsymbol{e}_2=0\\
\boldsymbol{e}^2\cdot\boldsymbol{e}_1=0, &\quad \boldsymbol{e}^2\cdot\boldsymbol{e}_2=1.
\end{align}

したがって、 と  は互いに直交し、 と  も直交する。また、 と  の長さはそれぞれ  と  に対して正規化されている。

#### 例
例えば、互いに45°の角度をなし、長さがそれぞれ 、 であるような基底  が与えられたとする。このとき、双対基底ベクトルは以下のようになる。
*  は、 を90°回転させ（ の組が正の向きであるとする）、 となるように長さを調整したものである。
*  は、 を90°回転させ、 となるように長さを調整したものである。
これらを計算すると、以下のようになる。
:\boldsymbol{e}^1 = \frac{1}{2}\boldsymbol{e}_1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\boldsymbol{e}_2
:\boldsymbol{e}^2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2.

したがって、元の基底から逆基底（双対基底）への変換行列は、
:R = \begin{bmatrix}1/2 & -1/\sqrt{2}\\
-1/\sqrt{2} & 2
\end{bmatrix}
である。実際、以下のように確認できる。
:[\boldsymbol{e}^1\ \boldsymbol{e}^2] = [\boldsymbol{e}_1\ \boldsymbol{e}_2]\begin{bmatrix}1/2 & -1/\sqrt{2}\\
-1/\sqrt{2} & 2
\end{bmatrix}.

例えば、ベクトル
:v = \frac{3}{2}\boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2
は、以下の反変成分を持つ。
:v^1 = \frac{3}{2},\quad v^2 = 2.
共変成分は、ベクトル  の2つの表現を等置することで得られる。
:
v = v_1\boldsymbol{e}^1 + v_2\boldsymbol{e}^2 = v^1\boldsymbol{e}_1+v^2\boldsymbol{e}_2
よって、
:\begin{align}
\begin{bmatrix}v_1\\ v_2\end{bmatrix} &= R^{-1}\begin{bmatrix}v^1\\ v^2\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}4&\sqrt{2}\\ \sqrt{2}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v^1\\ v^2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6+2\sqrt{2}\\2+3/\sqrt{2}\end{bmatrix}\end{align}.

### 3次元ユークリッド空間
3次元ユークリッド空間においては、必ずしも直交せず単位長さでもない基底ベクトル  に対して、その双対基底を明示的に決定できる。反変（双対）基底ベクトルは以下のようになる。

: \boldsymbol{e}^1 = \frac{\boldsymbol{e}_2 \times \boldsymbol{e}_3}{\boldsymbol{e}_1 \cdot (\boldsymbol{e}_2 \times \boldsymbol{e}_3)} ; \qquad \boldsymbol{e}^2 = \frac{\boldsymbol{e}_3 \times \boldsymbol{e}_1}{\boldsymbol{e}_2 \cdot (\boldsymbol{e}_3 \times \boldsymbol{e}_1)}; \qquad \boldsymbol{e}^3 = \frac{\boldsymbol{e}_1 \times \boldsymbol{e}_2}{\boldsymbol{e}_3 \cdot (\boldsymbol{e}_1 \times \boldsymbol{e}_2)}.

ここで  はクロス積を表す。 と  が正規直交でなくとも、これらは互いに双対である。
:\boldsymbol{e}^i \cdot \boldsymbol{e}_j = \delta^i_j.
任意のベクトル  の反変成分は、 と反変基底ベクトルのドット積によって得られる。
: q^1 = \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{e}^1; \qquad q^2 = \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{e}^2; \qquad q^3 = \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{e}^3. \, 
同様に、 の共変成分は、 と共変基底ベクトルのドット積から得られる。
: q_1 = \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{e}_1; \qquad q_2 = \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{e}_2; \qquad q_3 = \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{e}_3. \, 
これより、 は（相互逆な）2通りの方法で表現できる。
: \boldsymbol{v} = q_i \boldsymbol{e}^i = q_1 \boldsymbol{e}^1 + q_2 \boldsymbol{e}^2 + q_3 \boldsymbol{e}^3 \, 
あるいは、
: \boldsymbol{v} = q^i \boldsymbol{e}_i = q^1 \boldsymbol{e}_1 + q^2 \boldsymbol{e}_2 + q^3 \boldsymbol{e}_3. \, 
上記の関係を合わせると、以下のようになる。
: \boldsymbol{v} = (\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{e}_i) \boldsymbol{e}^i = (\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{e}^i) \boldsymbol{e}_i \, 
そして、共変成分と反変成分の間の変換は以下のようになる。
:q_i = \boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{e}_i = (q^j \boldsymbol{e}_j)\cdot \boldsymbol{e}_i = (\boldsymbol{e}_j\cdot\boldsymbol{e}_i) q^j \, 
および、
:q^i = \boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{e}^i = (q_j \boldsymbol{e}^j)\cdot \boldsymbol{e}^i = (\boldsymbol{e}^j\cdot\boldsymbol{e}^i) q_j. \, 
共変座標、共変ベクトル、共変テンソルの添字は下付き文字となる。もし反変基底ベクトルが正規直交ならば、それらは共変基底ベクトルと等価であり、共変座標と反変座標を区別する必要はない。

### 一般のユークリッド空間
より一般に、 次元ユークリッド空間  において、基底が
:\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n
であるとき、逆基底は
:\boldsymbol{e}^i=e^{ij}\boldsymbol{e}_j
で与えられる。ここで係数  は、
:e_{ij} = \boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j
の逆行列の成分である。実際、
:\boldsymbol{e}^i\cdot\boldsymbol{e}_k=e^{ij}\boldsymbol{e}_j\cdot\boldsymbol{e}_k=e^{ij}e_{jk} = \delta^i_k
が成り立つ。任意のベクトル
: \boldsymbol{v} = q_i \boldsymbol{e}^i = q^i \boldsymbol{e}_i \, 
の共変成分と反変成分は、上記と同様に以下の関係で結ばれる。
:q_i = \boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{e}_i = (q^j \boldsymbol{e}_j)\cdot \boldsymbol{e}_i = q^je_{ji}
および、
:q^i = \boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{e}^i = (q_j\boldsymbol{e}^j)\cdot \boldsymbol{e}^i = q_je^{ji}. \, 

## 物理学における慣習
物理学の分野において、形容詞「**共変**」() はしばしば「不変」() の同義語として非公式に使用される。例えば、シュレーディンガー方程式は特殊相対性理論の座標変換の下でその形式を維持しない。そのため、物理学者はシュレーディンガー方程式を「共変ではない」と言うことがある。対照的に、クライン＝ゴルドン方程式やディラック方程式は、これらの座標変換の下で形式を維持するため、物理学者はこれらの方程式を「共変である」と言う。

「共変」のこの用法にもかかわらず、クライン＝ゴルドン方程式やディラック方程式は「不変」であり、シュレーディンガー方程式は「不変ではない」と言う方が正確である。さらに曖昧さを無くすためには、その不変性が評価される変換の種類を示すべきである（例：ローレンツ共変性）。

ベクトルの成分は反変であり、余ベクトルの成分は共変であるため、ベクトルそのものを反変、余ベクトルを共変と呼ぶことも多い。

## テンソル解析における利用
共変性と反変性の区別は、しばしば**混合性**を持つテンソルの計算において特に重要である。混合性とは、共変成分と反変成分の両方、つまりベクトル成分と双対ベクトル成分の両方を持つことを意味する。テンソルの価数 (valence) は、反変項と共変項の数である。アインシュタインの縮約記法において、共変成分は下付き添字、反変成分は上付き添字を持つ。共変性と反変性の双対性は、ベクトルやテンソル量がその成分によって表現されるときは常に介在するが、現代の微分幾何学ではテンソルを表現するために添字を用いない、より洗練された方法（基底に依存しない記法）が用いられる。

テンソル解析において、**共変**ベクトルは、対応する反変ベクトルと多かれ少なかれ互恵的に変化する。ベクトル空間内のオブジェクトの長さ、面積、体積の式は、共変および反変の添字を持つテンソルによって与えられる。座標の単純な拡大縮小の下では、この相互関係は正確である。アフィン変換の下では、ベクトルの成分は共変表現と反変表現の間で混ざり合う。

多様体上では、テンソル場は通常、2種類の複数の添字を持つ。広く使われている慣習によれば、共変添字は下付き、反変添字は上付きである。多様体が計量を持つとき、共変添字と反変添字は互いに密接に関係している。反変添字は、計量テンソルと縮約することで共変添字に変えることができる。逆は、計量テンソルの逆行列と縮約することで可能である。一般に、計量テンソルを持たない空間ではこのような関係は存在しないことに注意が必要である。さらに、より抽象的な観点からは、テンソルは単に「そこにある」ものであり、その成分（共変・反変のいずれも）は、選択された座標に依存する計算上の人工物に過ぎない。

幾何学的な説明としては、一般的なテンソルは接束（接バンドル）に属する部分と余接束（余接バンドル）に属する部分を持つため、反変添字と共変添字の両方を持つことになる。

反変ベクトルは、\frac{dx^{\mu}}{d\tau} のように変換されるものである。ここで x^{\mu} \! は固有時 \tau \! における粒子の座標である。共変ベクトルは、\frac{\partial \phi}{\partial x^{\mu}} のように変換されるものである。ここで \phi \! はスカラー場である。

## 代数学と幾何学
圏論においては、共変関手と反変関手が存在する。ベクトル空間に対してその双対空間を割り当てる操作は、反変関手の標準的な例である。多重線型代数のいくつかの構成は「混合」性を持ち、それらが関手となることを妨げている。

微分幾何学において、接束の基底に対するベクトルの成分は、基底変換と同じ線型変換で変化するときに共変であると言われる。また、逆変換で変化するときに反変であると言われる。この定義は、2つの異なるしかし関連する理由から、しばしば混乱の原因となる。
第一に、成分が共変であるベクトル（余ベクトルまたは1形式と呼ばれる）は、実際には滑らかな関数の下で引き戻し (pull back) される。つまり、滑らかな多様体に余ベクトルの空間を割り当てる操作は、実際には**反変**関手である。同様に、成分が反変であるベクトルは、滑らかな写像の下で押し出し (push forward) される。つまり、滑らかな多様体に（反変）ベクトルの空間を割り当てる操作は、**共変**関手である。
第二に、微分幾何学への古典的なアプローチにおいては、最も原始的な対象は接束の基底ではなく、座標系の変換である。反変成分を持つベクトルは、座標系の変化と同じ方法で変換される（なぜなら、座標系の変化は誘導される基底の変化とは反対向きに変化するからである）。同様に、共変成分を持つベクトルは、座標系の変化とは反対の方法で変換される。

## 関連項目
* 多重線型代数
* テンソル
* 基底変換
* :en:Active and passive transformation

## 脚注

### 注釈

### 引用

## 参考文献
* 
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* .
* .
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## 外部リンク
* 
* 
* 
* 
* Invariance, Contravariance, and Covariance