接続 (微分幾何学)

微分幾何学において**接続**（せつぞく、）とは、多様体のファイバーバンドル上に**平行移動**の概念を定義する事ができる数学的構造である。ただし数学的な取り扱いを容易にするため、平行移動の概念で直接的に接続を定義するのではなく、実質的に等価な別概念を用いて接続を定義する。

接続概念はゲージ理論やチャーン・ヴェイユ理論で用いられる。特にチャーン・ヴェイユ理論の特殊ケースとして、曲面に関する古典的なガウス・ボンネの定理を一般の偶数次元多様体に拡張するのに役立つ。

接続は元々はクリストッフェル並びにレヴィ-チヴィタ、リッチによってリーマン多様体上に導入された概念（レヴィ-チヴィタ接続）であるが、一般のベクトルバンドル上の接続（Koszul接続）や主バンドルの接続（主接続）にも拡張され、さらに一般のファイバーバンドルの接続へと拡張された。ただし実際に研究が進んでいるのは、ベクトルバンドルとその主バンドルに対する接続概念である。

以下、本項では特に断りがない限り、多様体、関数、バンドル等は全て級の場合を考える。よって紛れがなければ「級」を省略して単に多様体、関数、バンドル等という。また特に断りがない限りベクトル空間は実数体上のものを考える。

## 概要
多様体上のベクトル場と上のc(t)に対し、のc(t)に沿った「方向微分」を定義することを考える。 

ユークリッド空間に倣い、 
:
\lim_{\Delta t \to 0}{Y_{c(t + \Delta t)}- Y_{c(t)}  \over \Delta t}

とする定義がありえるものの、一般的には、多様体上の 
c(t + \Delta t)
 と 
c(t)
 は座標系を共有しないため、両点における量の差 
 Y_{c(t + \Delta t)}- Y_{c(t)}
 は、なんら意味を持たない。しかし**<math>
Y_{c(t + \Delta t)}
</math>を<math>
c(t)
</math>まで「平行移動」できれば**、平行移動の結果**<math>
\tau_t{}^{t+\Delta t}(Y_{c(t + \Delta t)})
</math>**と
Y_{c(t)}
の差を取る事で「方向微分」を定義でき、これをのc(t)に沿った**共変微分**\tfrac{\nabla}{dt} Y_{c(t)} という。

逆にc(t)に沿った共変微分\tfrac{\nabla}{dt} Y_{c(t)} が定義できていれば、
:
\frac{\nabla}{dt} Y_{c(t)}=0

が恒等的に成立している事をもって、はc(t)に沿って**平行**と呼ぶことで平行の概念を定義できる。

このように平行移動と共変微分は実質的に同値な概念であり、多様体のベクトル場に対して平行移動・共変微分を定義できる構造を多様体（の接バンドル）の**接続**という。

接続概念から定まる平行移動により、（何ら構造が定義されていない）多様体では無関係なはずの点c(t+ \Delta t)におけるベクトル
Y_{c(t + \Delta t)}
をc(t)におけるベクトル
Y_{c(t)}
と「接続」して関係づける事ができ、これが「接続」という用語の語源である。

上では接バンドルに対する接続を説明したが、より一般にベクトルバンドルの接続、あるいはさらに一般にファイバーバンドルの接続を考える事ができる。上述のように平行移動と共変微分は実質的に同値な概念なので、平行移動・共変微分のうち、定義しやすい方をもとにして接続概念を定義すればよい。

そこでベクトルバンドルの場合は共変微分を、一般のファイバーバンドルの場合は平行移動をベースにして接続概念を定義する。

接続によって定まるもう一つの重要概念として**[[曲率]]**があり、これはファイバーバンドルの「曲がり具合」を表している。特に接ベクトルバンドルの曲率は多様体それ自身の「曲がり具合」とみなせる。曲率概念は歴史的には3次元ユークリッド空間\mathbb{R}^3内の曲面に対して定義されたものだが、実は「外の空間」である\mathbb{R}^3がなくても定義できる曲面に内在的な量である事が示されたので、これを一般のリーマン多様体（の接ベクトルバンドル）、さらには一般のファイバーバンドルに対して拡張したものである。多様体に内在的な量としてみなしたとき、曲率の幾何学的意味は、閉曲線に沿ってベクトルを一周平行移動したとき、もとのベクトルとどの程度ずれるかを測った量であるとみなせる。

## ベクトルバンドルの接続
本節ではまずリーマン多様体の接続であるレヴィ-チヴィタ接続の定義を述べ、次により一般的なベクトルバンドルに対する接続の定義を述べる。

### レヴィ-チヴィタ接続の定義

**'を<math>\mathbb{R}^n</math>の部分多様体とし、<math>c(t)</math>を**'上の曲線とし、さらにv(t)をc(t)上定義された**'のベクトル場とし（すなわち各時刻**'に対し、v(t)はv(t)\in T_{c(t)}Mを満たすとし）、

: {\nabla \over dt}v(t):=\mathrm{Pr}_{c(t)}\left({d \over dt} v_{c(t)}\right) 


と定義する。ここでは**'の点における<math>\mathbb{R}^n</math>内の接平面（と自然に同一視可能な）への射影である。また**'、**'を**'上のベクトル場とするとき、

: 
\nabla_XY|_P := {\nabla \over dt}Y_{\exp(tX)(P)}


と定義する。ここで\exp(tX)(P) は時刻**'に点<math>P \in M</math>を通る**'の積分曲線である。実はこれらの量は**'の内在的な量である事、すなわち<math>\mathbb{R}^n</math>から**'に誘導されるリーマン計量（とその偏微分）のみから計算できる事が知られている。

具体的にはに局所座標(x^1,\ldots,x^m)を取ると、以下のように書ける（アインシュタインの縮約で表記）：

:: {\nabla  \over dt}v(t)=\left({d \over dt}v^i(t)+{d x^j(t) \over dt}v^k(t)\Gamma^i_{jk}\right){\partial  \over \partial x^i}  \nabla_X Y=\left(X^j{\partial Y^i \over \partial x^j} + X^jY^k \Gamma^i_{jk}\right){\partial  \over \partial x^i}
:: 　　　where  \Gamma^i_{jk} = \frac{1}{2} g^{i\ell} \left(
{\partial g_{k\ell}\over \partial x^j} 
+ {\partial g_{\ell j}\over \partial x^k} 
- {\partial g_{jk}\over \partial x^{\ell}} \right) 

そこで\tfrac{\nabla}{dt}v(t)や\nabla_XYをリーマン多様体(M,g)に内在的な値とみなしたものを考える事ができる。\nabla_XYは以下の公理で特徴づけられる事が知られている：

ここで**'、**'、**'は**'上の任意の可微分なベクトル場であり、**'、**'は**'上定義された任意の実数値級関数であり、**'、**'は任意の実数であり、<math>fY</math>は点<math>u \in M</math>において<math>f(u)Y_u</math>となるベクトル場であり、<math>X(f)</math>は**'の**'方向微分であり、<math>[X,Y]</math>はである。


<math>\tfrac{\nabla}{dt}v(t)</math>は<math>\nabla_XY</math>を曲線上に制限したものとして定義できる。

=== ベクトルバンドルの接続の定義 ===
<math>\pi~:~E\to M</math>を可微分多様体上のベクトルバンドルとし（、のいずれにもリーマン計量が入っているとは限らない）、<math>\Gamma(E)</math>をの切断全体の集合とし、<math>\mathcal{X}(M):=\Gamma(TM)</math>を上のベクトル場全体の集合とする。

ベクトルバンドルの接続は前述した[[#リーマン幾何学の基本定理|レヴィ-チヴィタ接続の公理的特徴づけ]]の5つの性質のうち3つを使って定義される。


ここで、は上の任意のベクトル場であり、、、はの任意の切断であり、、は実数であり、、、は上定義された任意の実数値可微分関数であり、<math>fs</math>は点において<math>f(u)s_u </math>となるの切断であり、<math>X(f)</math>はの方向微分である。

上述の定義から、一般のベクトルバンドルの接続もレヴィ-チヴィタ接続と同様、

:: <math>\nabla_X s =\left(X^j{\partial s^i \over \partial x^j} + X^js^k \Gamma^i_{jk}\right)e_i</math>
という形で書ける。ここで<math>(x^1,\ldots,x^m)</math>はの局所座標であり、<math>(e_1,\ldots,e_n)</math>はの局所的な基底である。ただしもちろんレヴィ-チヴィタ接続と違い<math>\Gamma^i{}_{jk}</math>は計量で書けるとは限らない。


さらに以下の定義をする：


[[#リーマン幾何学の基本定理|リーマン幾何学の基本定理]]から、レヴィ-チヴィタ接続とは、唯一の計量と両立する捻れなしのアフィン接続として特徴づけられる。

==== 曲線上の微分 ====
の曲線<math>c(t)=(x^1(t),\ldots,x^m(t))</math>上に切断<math>s(t)</math>が定義されているとき、接続の成分表示の<math>X=X^i\tfrac{\partial}{\partial x^i}</math>を形式的に<math>\tfrac{dc}{dt} = \tfrac{dx^i}{dt}\tfrac{\partial}{\partial x^i} </math>に置き換えた
: <math>{\nabla \over dt} s
= \left({dx^j \over dt}{\partial s^i \over \partial x^j} + {dx^j \over dt}s^k \Gamma^i_{jk}\right){\partial  \over \partial x^i}</math>
を、**曲線c(t)に沿った共変微分**という。この定義は基底の取り方によらず[[well-defined]]である。

== 平行移動 ==
<math>\pi~:~E\to M</math>をベクトルバンドルとし、の曲線<math>c(t)</math>上定義された上のベクトル場<math>v(t)</math>が
: <math>{\nabla \over dt}v(t)=0</math> 
を恒等的に満たすとき、<math>v(t)</math>は<math>c(t)</math>上**平行**であるという。また、<math>c(t_0)</math>上の接ベクトル<math>w_0 \in T_{c(t_0)}M</math>と<math>c(t_1)</math>上の接ベクトル<math>w_1 \in T_{c(t_1)}M </math>に対し、<math>v(t_0)=w_0</math>、<math>v(t_1)=w_1 </math>を満たす<math>c(t)</math>上の平行なベクトル場<math>v(t)</math>が存在するとき、<math>w_1</math>は<math>w_0</math>を<math>c(t)</math>**に沿って平行移動**（ <math>c(t)</math>）した接ベクトルであるという。


[[ユークリッド空間]]の平行移動と異なる点として、**どの経路c(t)に沿って平行移動したかによって結果が異なる事**があげられる。この現象を****（）という。

右図はホロノミーの具体例であり、接ベクトルを大円で囲まれた三角形に沿って一周したものを図示しているが、一周すると元のベクトルと90度ずれてしまっている事が分かる。


**c(t)**に沿って<math>w_0 \in T_{c(0)}M</math>を<math>c(t)</math>まで平行移動したベクトルを<math>\varphi_{c,t}(v) \in T_{c(t)}M</math>とすると<math>\varphi_{c,t}~:~ T_{c(0)}M \to T_{c(t)}M </math>は線形変換である。また共変微分は平行移動で特徴づけられる：



上述のように平行移動があれば共変微分が定義できるので、一般のファイバーバンドルではむしろ平行移動に基づいて接続概念を定義する。


上に計量が定義されていてしかもが計量と両立しているとすると、以下が成立する：


== 接続形式 ==
本章では接続の「接続形式」という概念を述べる。本章で述べるように、むしろ接続形式から接続を定義したほうが数学的な構造を探る上で有利な点があり、このアイデアに沿って接続を定式化したのが[[#主接続の節|後の章]]で述べる主バンドルの接続概念である。

=== 定義 ===
<math>(e_1,\ldots,e_m)</math>を開集合<math>U \subset M</math>上で定義されたの局所的な基底とするとき、接続形式を以下のように定義する：接続形式が与えられれば
: <math>\nabla_X s =X(s^j)e_j + s^j \omega^i{}_j(X) e_i</math>
により接続を再現できるので、この意味において接続形式は接続の情報をすべて含んでいる。

=== 性質 ===
接続概念において重要な役割を果たす平行移動の概念は接続形式**'と強く関係しており、底空間**'の曲線<math>c(t)</math>に沿って定義された局所的な基底<math>(e_1(t),\ldots,e_n(t))</math>を**'で微分したものが接続形式\omega(\tfrac{dc}{dt}(0)) に一致する。

よって特に（レヴィ・チヴィタ接続などの）**'が**'の計量と両立する接続の場合、**'による平行移動は回転変換、すなわち<math>SO(n)</math>の元なので、その微分である接続形式**'はSO(n)のリー代数\mathfrak{so}(n)の元、すなわち歪対称行列である：

このように接続形式を用いるとベクトルバンドルの構造群（上の例ではSO(n)）が接続形式の構造をリー群・リー代数対応により支配している事が見えやすくなる。

上では回転群 \mathrm{SO}(n)の場合を説明したが、\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})（を自然に\mathrm{GL}_{2n}(\mathbb{R})の部分群とみなしたもの）や\mathrm{U}_n(\mathbb{C})、物理学で重要なシンプレクティック群やスピン群に対しても同種の性質が証明でき、接続形式がリー群・リー代数対応により支配されている事がわかる。

こうした事実は接続概念を直接リー群と接続形式とで記述する方が数学的に自然である事を示唆する。後で説明する、リー群の主バンドルに対する接続はこのアイデアを定式化したもので、主バンドルの接続は接続形式に相当するものを使って定義される。

そこで本項では、まずベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の両方を包括する概念であるファイバーバンドルの接続概念を導入する。この概念は「そもそも平行移動とは何か」を直接的に定式化したもので、この概念それ自身が接続形式の言葉で記述されるわけではない。

そして次にファイバーバンドルの接続概念を用いて主バンドルの接続概念を定義すると同時に、主バンドルの接続を接続形式の言葉で再定式化し、ベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の接続形式の言葉で記述する。

## ファイバーバンドルの接続

主バンドルの接続を定義する前準備として、一般のファイバーバンドルに対する接続を定義する。後述するように、主バンドルの接続はファイバーバンドルに対する接続で群作用に対して普遍になるものである。

すでに述べたように研究が進んでいるのばベクトルバンドルの接続なので、そのような目的のためにはこの一般の接続概念は必要ない。しかしファイバーバンドルの接続により、ベクトルバンドルの接続と次章に述べる主バンドルの接続とを統一的な視点から語る事ができるようになり、主バンドルの接続に基づいてベクトルバンドルの接続の性質をそれに対応する主バンドルの接続と対応付けて調べる事ができる。

### 定義に至る背景

\pi~:~E \to Mをベクトルバンドルとし、をこのバンドルのKoszul接続とする。上の任意の曲線と上の任意の切断で平行なものに対し、を上の曲線とみなしたときに\tfrac{ds}{dt}が入るの部分空間を「**水平部分空間**」と呼ぶ。

以上のように接続から水平部分空間が定まるが、逆に水平部分空間の情報があれば接続を再現できる事も知られている。

このことからベクトルバンドルの場合は接続概念は水平部分空間の概念は等価なので、一般のファイバーバンドルに対する接続を水平部分空間の概念を用いて定義する事にする。

### 定義
以上の考察を元に、ファイバーバンドルの接続を定義する。そのためにまず「垂直部分空間」という概念を定義する。\pi~:~E \to Mをファイバーを持つファイバーバンドルとし、をの元とするとしが誘導する写像を\pi_*~:~TE \to TMとするとき、
: \mathcal{V}_e:=\{\xi \in T_eE \mid \pi_*(\xi)=0\} = T_e(E_{\pi(e)})
を、におけるの**垂直部分空間**（）という。そしてファイバーバンドルの接続を以下のように定義する：

### 名称に関して
ファイバーバンドルの接続のことを**エーレスマン接続**（）と呼ぶ場合があるが、主バンドルに対する接続の事を「エーレスマン接続」と読んでいる書籍もあるので注意が必要である。なお主バンドル上においても**両者の概念は同値ではなく**、ファイバーバンドルの接続のうち構造群の作用に関して不変なものを主バンドルの接続と呼ぶ。

両者の区別のため、一般のファイバーバンドルの接続を**一般の接続**（）、主バンドルの接続を**主接続**（）と呼ぶ場合がある。

またファイバーバンドルの接続のうち、完備なもののみを「エーレスマン接続」と呼ぶ場合もある。なおエーレスマン自身による定義では完備性を仮定していた。

### 平行移動、共変微分

#### 平行移動
\pi~:~E \to Mをファイバーバンドルとし、\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}をその接続とする。

接続の定義から、
: \pi_*|_{\mathcal{H}_e}:|~\mathcal{H}_e \to T_{\pi(e)}M
はベクトル空間としての同型であるので、この逆写像
: \mathrm{Lift}_e~:~T_{\pi(e)}M \to \mathcal{H}_e
を考える事ができる。\mathrm{Lift}_e(v)をv \in T_{\pi(e)}Mのへの**水平リフト**（）という。水平リフトの定義から明らかなように、切断s(t)が平行である必要十分条件は
: \tfrac{d}{dt}s(t)=\mathrm{Lift}_{s(t)}\left(\tfrac{d}{dt}c(t)\right)
を満たす事である。

#### 共変微分
同様に上の曲線c(t)に沿った切断s(t)に対し、s(t)のc(t)**に沿った共変微分**を

: \frac{\nabla}{dt}s(t)=\frac{d}{dt}s(t) - \mathrm{Lift}_{s(t)}(\frac{d}{dt}c(t))

により定義する。この事からすなわち、**共変微分<math>\tfrac{\nabla}{dt}s(t)</math>とは、平行移動からのズレを表す量である**事がわかる。

### 一般の接続からベクトルバンドルの接続へ
ベクトルバンドルのKoszul接続から一般の接続概念が得られる事をすでに見たが、逆にベクトルバンドル上の（一般の）接続が定める共変微分がKoszul接続の公理を満たす条件は以下の通りである：Koszul接続から一般の接続概念を誘導する方法と（上記の定理の条件を満たす）一般の接続概念からKoszul接続を誘導する方法は「逆写像」の関係にあり、上記の定理の条件を満たす一般の接続概念とKoszul接続は1:1に対応する。

## 主バンドルの接続

### 定義
主バンドルの接続は、ファイバーバンドルの接続で群作用に対して不変になるものである。すなわち、ここで\mathcal{V}_pは**垂直部分空間**\mathcal{V}_e:=\{\xi \in T_eP \mid \pi_*(\xi)=0\} = T_e(P_{\pi(e)})であり、(R_g)_*はg\in Gのへの右からの作用R_g ~:~p \in P \to pg \in Pがに誘導する写像である。\mathcal{H}_pをにおける**水平部分空間**という。

### リー代数を使った定式化
本節では、前節で定義した主バンドルの接続概念をリー代数を使って特徴づける。後述するようにこちらの定義が自然にベクトルバンドルの接続と対応する。

そのために基本ベクトル場の概念を導入する。**'をリー群とし、<math>\mathfrak{g}</math>をそのリー代数とし、さらに<math>\pi~:~P \to M</math>を**'-主バンドルとするとき、リー代数の元A \in \mathfrak{g}と点p\in Pに対し、

: \underline{A}_p:=\left.\frac{d}{dt}(p\cdot \mathrm{exp}(tA))\right|_{t=0}\in  T_p P 

により、上のベクトル場\underline{A}を定義する。\underline{A}をに対応する上の****（）という。

基本ベクトル場の定義より明らかに各p \in Pに対し、写像

: \zeta_p~:~A\in \mathfrak{g} \mapsto \underline{A}_p \in \mathcal{V}_p

は全単射であるので、**'の写像の逆写像を考えることができる。この逆写像を分解<math>T_p P = \mathcal{V}_p \oplus \mathcal{H}_p</math>の垂直部分空間への射影<math>V_p~:~T_p P \to \mathcal{V}_p</math>と合成する事で、

: <math>T_p P \underset{V_p}{\to} \mathcal{V}_p \underset{\zeta_p{}^{-1}}{\overset{\sim}{\to}} \mathfrak{g}</math>

を作る事ができる。この写像を<math>\mathfrak{g}</math>に値を取る1-形式とみなしたものを

: <math>\omega_p</math>

とし、各点**'に**'を対応させる**'上の\mathfrak{g}値1-形式の場**'を**接続形式**（）という。

以上の議論から明らかに垂直射影から**'が定まり、逆に**'から垂直射影が定まるので**'によって接続概念を定式化できる：

ここで(R_g)_*はg\in Gのへの右からの作用R_g ~:~p \in P \to pg \in Pがに誘導する写像であり、は**[[随伴表現]]**（）

: \mathrm{Ad}(g)~:~\tfrac{dh}{dt}(0) \in \mathfrak{g} \mapsto \left. \tfrac{d}{dt}gh(t)g^{-1}\right|_{t=0}  \in \mathfrak{g}
である。

主バンドルとしての接続から前述の方法での接続形式が定まり、逆に接続形式がになる方向を水平方向とすることでに主バンドルとしての接続が再現できるので、両者の定義は同値である。

## ベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の関係性

本節では接続形式の章で述べたアイデアに基づいて、ベクトルバンドルの接続（Koszul接続）と主バンドルの接続（主接続）の関係を述べる。

接続形式の章で見た\mathrm{SO}(n)のケースだけでなく\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) の部分リー群に対して両者の関係性を示すため、本章ではまず「-フレーム」、および「-」という概念を導入する。「-フレーム」はが\mathrm{SO}(n)の場合は正規直交基底に相当するものであり、-フレームバンドルは-フレームを束ねてできるバンドルであり、自然に-主バンドルとみなせる。

次に本章ではのフレームバンドル上の接続からのKoszul接続が定まる事を見る。そして構造群を持つベクトルバンドルの接続がと「両立する」事を定義し、最後に-フレームバンドルの接続の接続形式とベクトルバンドルのと両立する接続の接続形式が1対1の関係にある事を見る。

### フレームバンドル
#### 定義
「-フレーム」とは正規直交基底の概念を一般化したもので、が\mathrm{SO}(n)の場合、-フレームが正規直交基底に相当する。

ここでe'_1,\ldots,e'_nは\mathbb{R}^nの標準的な基底であり、ge_iは線形変換g \in G \subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})をに作用させたものである。

構造群を持つベクトルバンドルの定義から、-フレームの定義はバンドルチャートの取り方によらずwell-definedである。

F^G(E)_uをu \in M上の-フレーム全体の集合とすると、
:
F^G(E) := \bigcup_{u\in M}F^G(E)_u

は自然に上の-主バンドルをなし、
F^G(E)
を構造群に関する**フレームバンドル**という{\to}  \{u\} \times \mathbb{R}^n \approx \mathbb{R}^n
がに属する事を持って-フレームを定義しているが、この定義は本項で述べたものと同値である。|group=注}}。

### 主接続からKoszul接続の誘導
\pi~:~E \to Mをを構造群を持つベクトルバンドルとし、F_G(E)をそのフレームバンドルとする。さらに-主バンドル
F^G(E)
に接続形式が\omega=(\omega^i{}_j)_{ij}の接続が入っているとする。開集合U \subset M上定義されたの局所的な基底e=(e_1,\ldots,e_n)に対し、
: \hat{\omega}:=e^*(\omega) 
を、をからへの写像と見たときの接続形式のへの引き戻しとし、\hat{\omega} を\hat{\omega}=(\hat{\omega}^i{}_j)_{i,j} と成分表示する。

### 構造群と接続の両立
を\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) の部分リー群とする。構造群を持つベクトルバンドルの接続（Koszul接続）がと両立する事を以下のように定義する。直観的には平行移動がの元で書ける事を意味する：定義より明らかに以下が従う：接続がと両立する事は、接続形式がのリー代数に入っている事と同値である：接続形式の章では平行移動が常に\mathrm{SO}(n)の元で表せるときに接続形式が\mathrm{SO}(n)のリー代数に入っている事を示したが、上記の定理はこの事実を\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) の任意の部分リー群に対して示したものである。

### ベクトルバンドルの接続から主接続の接続へ
と両立する接続はフレームバンドルの接続に対応している：本章の成果をまとめると、以下の結論が得られる：

### 共変微分の対応関係
ベクトルバンドルE \to Mの切断**'が与えられたとき、<math>F_G(M)</math>上の関数

: <math>\psi_s~:~(e_1,\ldots,e_n)\in F_G(M) \mapsto (s^1,\ldots,s^n) \in \mathbb{R}^n</math>, where <math>s =s^ie_i</math>

を定義できる。このとき次が成立する：ここで<math>\mathrm{Lift}(X)\psi_s</math>は<math>F_G(M)</math>上のベクトル場<math>Y:=\mathrm{Lift}(X)</math>により<math>F_G(M)</math>上の<math>\mathbb{R}^n</math>値関数<math>\psi_s</math>の各成分を微分した<math>Y(\psi_s)</math>の事である。

== 曲率 ==
=== 一般のファイバーバンドルの曲率 ===

ファイバーバンドル<math>\pi~:~E \to M</math>の**接続**()<math>\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>が与えられているとき、の接ベクトル空間は<math>T_e E = \mathcal{V}_e \oplus \mathcal{H}_e</math>と分解できた。そこで
:<math>V_e~:~T_eE \to \mathcal{V}_e</math>、<math>H_e~:~T_eE \to \mathcal{H}_e</math>

をそれぞれ垂直部分空間、水平部分空間への射影とする。曲率概念はこの**'、**'を使って定義する：ここで<math>[\cdot,\cdot]</math>はである。は<math>C^{\infty}(E)</math>-線形であり、よっては双線形写像

: <math>\Omega~:~TE \times TE \to \mathcal{V}</math>

であるとみなせる。 

[[フロベニウスの定理 (微分トポロジー)|フロベニウスの定理]]を用いると、曲率形式が恒等的に0である事は超平面の族<math>\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>が**可積分**である事と同値である事を示せる。したがって**曲率形式は水平部分空間　\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}が可積分ではない度合いを表す量である**。

=== 主接続の曲率 ===

本節では、主接続の場合に対し、上記で定義した曲率形式をリー代数の言葉で書き換える。をリー群とし、<math>\mathfrak{g}</math>をのリー代数とし、さらに<math>\pi~:~P \to M</math>を-主バンドルとし、をの主接続とする。リー代数<math>\mathfrak{g}</math>におけるリー括弧を使って

: <math>[\omega,\omega]_{\mathfrak{g}}(X,Y):=[\omega(X),\omega(Y)]_{\mathfrak{g}}</math>

と定義し、さらに[[#主接続の節|前の章]]と同様、リー代数の元に基本ベクトル場を対応させる写像

: <math>\zeta_p~:~A\in \mathfrak{g} \mapsto \underline{A}_p \in \mathcal{V}_p</math>

を考える。紛れがなければ添字**'を省略し単に**'と書く。 \in \mathfrak{g}</math>

紛れがなければ<math>\zeta{}^{-1}(\Omega)</math>を単にと書き、接続形式の**曲率形式**という。|note=主バンドルの接続の曲率}}

=== ベクトルバンドルの接続の曲率 ===


==== 定義 ====
Koszul接続が定義されたベクトルバンドルの曲率を以下のように定義する：

は、、に関して<math>C^{\infty}(M)</math>-線形であり、よっては各点<math>P\in M</math>に対し、

: <math>R_P \in T^*M \otimes T^*M \otimes E^* \otimes E</math>

を対応させるテンソル場とみなせる。


さらにKoszul接続の曲率形式を以下のように定義する：

==== 一般の接続の曲率形式との関係 ====
[[接続 (ファイバー束)#ベクトルバンドルの接続から一般の接続へ|すでに述べたように]]ベクトルバンドル<math>\pi~:~E \to M</math>上のKoszul接続には、それと対応するファイバーバンドルとしての接続<math>\{V_e\}_{e\in E}</math>が定義可能であるが、上述したKoszul接続の曲率は[[接続 (ファイバー束)#ファイバーバンドルの曲率の節|前述した]]一般のファイバーバンドルの曲率形式<math>\Omega(\xi,\eta)=-V([H(\xi),H(\eta)])</math>と以下の関係を満たす。ここでは水平部分空間への射影である。よって特にKoszul接続の曲率形式<math>\hat{\Omega}_e</math>とは以下の関係を満たす：

: <math>\Omega^i{}_j(X,Y) = -\langle e^i,V(\mathrm{Lift}_{e_j}(X),\mathrm{Lift}_{e_j}(Y))\rangle</math>

ここで<math>e=(e_1,\ldots,e_n)</math>であり、<math>(e^1,\ldots,e^n)</math>はその双対基底である。

==== 主接続の曲率との関係 ====
<math>E \to M</math>のフレームバンドル<math>F_G(M)</math>の曲率形式とKoszul接続の曲率形式は以下の関係を満たす：

== ホロノミー群 ==

本節では特に断りのない限り、<math>\pi~:~E \to M</math>を**完備な'''接続\mathcal{H}=\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}が定義されたファイバーバンドルでが連結なものとする。ここで接続が完備であるとは、上の任意の曲線c(t)上にc(0)からc(1)までの平行移動を常に定義可能な事を指す。

### 定義

x_0\in Mをの点とし、c(t)\in Mをから自身への区分的になめらかな閉曲線とすると、接続が完備なのでのファイバーE_{x_0}の任意の元に対し、をc(t)\in Mに沿って一周平行移動してできた元を\varphi_c(e) \in E_{x_0}とする事で、E_{x_0}上の可微分同相写像
: \varphi_{c}~:~E_{x_0} \to E_{x_0}
を定義できる。

### ホロノミーリー代数

u \in Mにおける接ベクトルv \in T_uM に対し、 e \in E_uにvのでの水平リフトを対応させる
:  e \in E_{u} \mapsto \mathrm{Lift}_e(v) \in \mathcal{H}_e \subset T_eE
をファイバーE_{u}上の切断とみなしたものを\mathrm{Lift}(v_u) と書く。

2つのベクトルv_u,w_u \in T_u M に対し、\mathrm{Lift}(v_u) 、\mathrm{Lift}(w_u) はいずれもE_{u}上のベクトル場なので、曲率形式に対して、
: \Omega(\mathrm{Lift}(v_u),\mathrm{Lift}(w_u)) \in VE =T E_{u}
を定義でき、これはE_{u}上のベクトル場とみなせる。さらにu_0 \in Mをfixし、からu_0までつなぐ曲線c(t)に沿って\Omega(\mathrm{Lift}(v_u),\mathrm{Lift}(w_u)) を平行移動したものを\Omega_{c}(\mathrm{Lift}(v_u),\mathrm{Lift}(w_u)) と書く。

実は以下の定理が成立する。なお、以下の定理は主バンドルに対するAmbrose–Singerの定理を任意のファイバーバンドルに一般化したものである：

## 接続の歴史
接続は、歴史的にはまずリーマン幾何学において見出された。接続の概念のはじまりをどこに置くかについては諸説あるが、クリストッフェルの研究をその淵源とする見方がある。クリストッフェルは1869年の論文で、座標変換の導関数が満たす関係式の研究を通じ、現在クリストッフェル記号とよばれる量を発見した。これを用いて、リッチはその学生であるレヴィ＝チヴィタとともに、彼らがとよんだ、共変微分を用いる今でいうテンソル解析の計算の手法をつくりあげた。

レヴィ＝チヴィタはまた、1916年に、リーマン幾何学における接ベクトルの平行移動の概念を発見し、これが共変微分によって記述されることをみつけた（レヴィ-チヴィタ接続の名前はこのことによる）。1918年にワイルはそれを一般化して、アフィン接続の概念に到達した。ここで「接続」にあたる語（）がはじめて使用された。

それからすぐに、エリ・カルタンによって、さらなる一般化が行われた。カルタンはクラインのエルランゲン・プログラムの局所化を試みていたのである。1920年代にカルタンは、微分形式を用いた記述によって、現在と呼ばれるものを発見していった。カルタンのこの仕事により、リーマン幾何学だけでなく、、射影幾何学などのさまざまな幾何学を研究するための基礎が築かれた。

しかしカルタンの記述は、微分幾何学の他の基本的概念の整備が進んでいない当時、理解されづらいものだった。その仕事をよりわかりやすいものにして発展させるために、カルタンの学生にあたるCharles Ehresmannは、1940年代から主バンドルやファイバーバンドルを研究した。1951年の論文でEhresmannは、主バンドルの接続を、を用いる方法と微分形式による方法の両方で定義した（ファイバーバンドルの接続）。

その一方で、1950年にJean-Louis Koszulは、ベクトル束の接続の代数的定式化を与えた（ベクトルバンドルの接続）。Koszulの定式化によると、クリストッフェル記号を明示的に用いる必要は必ずしもなくなり、接続の取り扱いは容易になった。

## 関連項目
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*：対角線の無限小近傍からの(descent)であるデータとみなすことができる。
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## 注
### 出典

### 注釈

## 文献

### 参考文献

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*　上記の２つの書籍の英語版
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### 歴史的な文献
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## 外部リンク
*Connections at the Manifold Atlas