コホモロジー

数学、とくにホモロジー論と代数トポロジーにおいて、**コホモロジー** (cohomology) とはコチェイン複体から定義されるアーベル群の列を意味する一般的な用語である。つまり、コホモロジーは**コチェイン**、コサイクル、そしてコバウンダリの抽象的な研究として定義される。コホモロジーは、を、ホモロジーがもっているよりも洗練された代数的構造をもつ位相空間に割り当てる手法と見ることができる。コホモロジーはホモロジーの構成の代数的な双対から生じる。より抽象的でない言葉で言えば、基本的な意味でのコチェインは'量'をホモロジー論の**[[鎖複体|チェイン]]**に割り当てる。

位相幾何学におけるその起源から、このアイデアは20世紀後半の数学において主要な手法となった。**チェイン**についての位相的不変関係としての**ホモロジー**の最初の考えから、ホモロジーとコホモロジーの理論の応用の範囲は幾何学と抽象代数学に渡って拡がった。その名称によって、**コホモロジー**、反変理論、の方が**ホモロジー**よりも多くの応用において自然なものであるという事実が隠されがちである。基本的なレベルではこれは幾何学的な状況において関数とを扱う。空間 *X* と *Y*、そして *Y* 上のある種の関数 *F* が与えられたとすると、任意の写像 *f* : *X* → *Y* に対して、*f* との合成は *X* 上の関数 *F* o *f* を引き起こす。コホモロジー群はまたしばしば自然な積、カップ積をもっており、環の構造を与える。この特徴のために、コホモロジーはホモロジーよりも強い不変量である。ホモロジーでは区別できないある種の代数的対象をコホモロジーでは区別可能なのである。

## 定義
代数トポロジーにおいて、空間のコホモロジー群は次のように定義できる（Hatcher を参照）。位相空間 *X* が与えられたとき、チェイン複体

: \cdots \rightarrow C_n \stackrel{ \partial_n}{\rightarrow}\ C_{n-1} \rightarrow \cdots 

を、特異ホモロジー（あるいは単体的ホモロジー）の定義でのように、考えよ。ここで、*C<sub>n</sub>* は *X* における特異 *n*-単体の形式的線型結合で生成される自由アーベル群であり、∂*n* は *n* 次バウンダリ作用素である。

さて各 *C<sub>n</sub>* をその双対空間 *C*<sub>n</sub>* = Hom(*C<sub>n</sub>, G*) で置き換え、∂*n* を転置
: \delta^n\colon C_{n-1}^* \rightarrow C_{n}^*
で置き換えて、コチェイン複体
: \cdots \leftarrow C_{n}^*  \stackrel{ \delta^n}{\leftarrow}\ C_{n-1}^*  \leftarrow \cdots 
を得る。すると***G'' に係数をもつ ''n'' 次コホモロジー群''' (the ''n''<sup>th</sup> cohomology group with coefficients in ''G'') が Ker(δ<sup>''n''+1</sup>)/Im(δ<sup>''n''</sup>) で定義され、''H<sup>n</sup>''(''C''; ''G'') と表記される。''C*<sub>n</sub>'' の元は ***G* に係数をもつ特異 *n*-コチェイン*' (singular *n*-cochain) と呼ばれ、δ*n* は**コバウンダリ作用素** (coboundary operator) と呼ばれる。Ker(δ*n*+1), Im(δ*n*) の元はそれぞれ **コサイクル** (cocycle)、**コバウンダリ** (coboundary) と呼ばれる。

上記の定義は、特異ホモロジーで用いられる複体に限らず、一般のチェイン複体に対しても適用可能なことに注意しよう。一般コホモロジー群の研究はホモロジー代数学の発達の主要な動機であった。そしてそれ以来、広く様々な設定における応用が見つかってきた（下記参照）。

*C*<sub>n-1</sub>* の元 &phi; が与えられると、転置の性質から *C*<sub>n</sub>* の元として \delta^n(\varphi) = \varphi \circ \partial_n であることが従う。この事実を使うとコホモロジーとホモロジー群の関連付けを以下のように使える。Ker(δ*n*) のすべての元 &phi; は ∂*n* の像を含む核をもつ。なので &phi; を Ker(∂*n*−1) に制限することができ、∂*n* の像による商をとり Hom(*H<sub>n</sub>, G*) の元 *h*(φ) を得る。&phi; が δ*n*−1 の像にも含まれていれば、*h*(φ) は 0 である。なので Ker(δ*n*) による商をとることができ、次の準同型を得る。
:h: H^n (C; G) \rightarrow \text{Hom}(H_n(C),G).
この写像 *h* は全射であり次の分裂短完全列があることを証明できる。
:0 \rightarrow \ker h \rightarrow H^n(C; G) \stackrel{h}{\rightarrow} \text{Hom}(H_n(C),G) \rightarrow 0.

## 歴史
コホモロジーは現代の代数トポロジーにおいて基本的であるが、その重要性はホモロジーの発展後の約40年間は認識されていなかった。
アンリ・ポアンカレ は彼のポアンカレ双対定理の証明において　*双対セル構造* の概念を用いたが、それはコホモロジーのアイデアの起源を含んでいた。しかしこのことは後になって分かった。

コホモロジーには様々な前身があった。1920年代中ごろ、と ソロモン・レフシェッツ は多様体上のサイクルの交叉理論を作った。*n* 次元多様体 *M* において、共通部分が空でない *p*-サイクルと *q*-サイクルは、にあれば、共通部分 (*p*&nbsp;+&nbsp;*q*&nbsp;&minus;&nbsp;*n*)-サイクルをもつ。これによってホモロジー類の積を定義することができる。

:*H**p*(*M*) &times; *H**q*(*M*) &rarr; *H**p*+*q*−*n*(*M*).

アレクサンダーは1930年までに最初のコチェインの概念を、*X**p*+1 における対角線の小さい近傍に関連がある空間 *X* 上の *p*-コチェインに基づいて、定義していた。

1931年に、ジョルジュ・ド・ラームはホモロジーと外微分形式を関連付けて、ド・ラームの定理を証明した。この結果は今ではコホモロジーの言葉でより自然に解釈して理解される。

1934年に、レフ・ポントリャーギン はポントリャーギンの双対定理を証明した。これは位相群に関する結果である。これは（いくらか特別なケースとして）群指標の言葉によるポアンカレ双対との解釈を提供した。

モスクワの1935年のコンフェレンスで、アンドレイ・コルモゴロフ と Alexander の両者は、コホモロジーを導入してコホモロジーの積の構造を構成しようと試みた。

1936年、ノーマン・スティーンロッドは を双対化することによって を構成する論文を出版した。

1936年から1938年にかけて、ハスラー・ホイットニーと はカップ積（コホモロジーを次数環にする）とキャップ積を発展させ、ポワンカレ双対がキャップ積の言葉で述べられることを理解した。彼らの理論はまだ有限セル複体に制限されていた。

1944年、サミュエル・アイレンベルグ は技術的な制限を克服し、 特異ホモロジーとコホモロジーの現代的な定義を与えた。

1945年、アイレンベルグ とスティーンロッド はを述べ、ホモロジーやコホモロジーの理論を定義した。彼らの1952年の本 **' において、彼らは存在するホモロジーとコホモロジーの理論は確かに彼らの公理を満たすことを証明した。

1948年、は アレクサンダーと [[アンドレイ・コルモゴロフ]]の仕事をもとにして を発達させた。

== コホモロジー論 ==

=== アイレンバーグ–スティーンロッド理論 ===
''コホモロジー論'' (cohomology theory) は[[位相空間]]と[[連続関数]]のペアの[[圏 (数学)|圏]]（あるいは[[CW複体]]の圏のような圏の部分圏）から[[アーベル群]]と群[[準同型]]の圏へのを満たす反変[[関手]]の一群である。

この意味でのいくつかのコホモロジー理論は：
*
*[[特異コホモロジー]]
*[[ド・ラームコホモロジー]]
*[[層係数コホモロジー#定義|チェックコホモロジー]]


=== 公理と一般化されたコホモロジー論 ===

コホモロジー群を定義する方法には様々なものがある（例えば[[特異コホモロジー]]、、、あるいは[[層係数コホモロジー]]）。これらはいくつかの奇妙な空間に対しては異なる答えを与えるが、それがすべて一致するような空間の大きなクラスが存在する。これは公理的に最も容易に理解される。として知られている性質のリストがあり、それらの性質を共有する任意の2つの構成は少なくとも例えばすべての有限[[CW複体]]において一致する。

公理の1つはいわゆる次元公理である。''P'' がただ1つの点であれば、すべての ''n'' ≠ 0 に対して ''H<sub>n</sub>''(''P'') = 0 であり、''H''<sub>0</sub>(''P'') = **Z** である。次元 0 に任意のアーベル群 ''A'' を許すことによって少し一般化することができるが、非零次元において群は自明であることをなお主張する。これらの公理を満たす群の系は本質的に1つしかないことが再びわかる。これは <math>H_*(X;A)</math> と表記される。各群 ''H<sub>k</sub>''(''X'') がある ''r<sub>k</sub>'' &isin; **N**に対して **Z**<sup>''r<sub>k</sub>''</sup> と同型であるようなよくあるケースにおいて、単に <math>H_k(X;A)=A^{r_k}</math> である。一般に、''H<sub>k</sub>''(''X'') と <math>H_k(X;A)</math> の間の関係はほんの少しだけ複雑で、再び[[普遍係数定理]]によってコントロールされる。

さらに重要なことには、次元公理を完全に落とすことができる。すべての他の公理を満たす群を定義する異なる方法がたくさんある。例えば次のものがある。
*  <math>\pi^S_k(X)</math>
* [[コボルディズム]]群の様々な異なるバージョン。<math>MO_*(X), MSO_*(X), MU_*(X)</math> など。このうち最後（[[:en:complex cobordism|complex cobordism]] として知られている）は特に重要である。[[ダニエル・キレン|Daniel Quillen]] による定理によっての理論とつながりがあるためである。
* [[K-理論]]の様々な異なるバージョン。<math>KO_*(X)</math>（実周期的 K-理論）、<math>kO_*(X)</math>（実 connective）、<math>KU_*(X)</math>（複素周期的）、<math>kU_*(X)</math>（複素 connective）など。
* 、、Morava E-理論、そして形式群の代数を使って定義される他の理論。
* の様々なバージョン。
これらは一般化されたホモロジー論 (generalised homology theories) と呼ばれる。それらは普通のホモロジーよりもはるかに多くの情報をもっているが、計算するのは大変なことがしばしばある。それらの研究は（によって）に強く結びついている。

コホモロジー論 ''E'' は <math>E^*(X)</math> が[[次数環]]であるときに**乗法的*' (multiplicative) という。

=== 他のコホモロジー論 ===
より広い意味での*コホモロジー*の理論は以下を含む
。

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* [[エタールコホモロジー]]
* 
* [[ガロワコホモロジー|Galois コホモロジー]]
* 
* [[群コホモロジー]]
* 
* 
* 
* [[コバノフホモロジー|Khovanov ホモロジー]]
* [[リー環のコホモロジー|Lie環コホモロジー]]
* 
* 
* 
* 
* [[量子コホモロジー]]
* 
* 
* 
* 
* 
* 


== 関連項目 ==
* 

== 脚注 ==



== 参考文献 ==
*[[Allen Hatcher|Hatcher, A.]] (2001) "[http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Algebraic Topology]", *Cambridge U press*, England: Cambridge, p.&nbsp;198, ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0.
*Hazewinkel, M. (ed.), *Encyclopaedia of Mathematics: An Updated and Annotated Translation of the Soviet "Mathematical Encyclopaedia"*; Reidel, Dordrecht, Netherlands: 1988; p.&nbsp;68. ISBN 1-55608-010-7
*: or see .
*E. Cline, B. Parshall, L. Scott and W. van der Kallen, (1977) "Rational and generic cohomology" *Inventiones Mathematicae* 39&thinsp;(2), pp.&nbsp;143–163.
*Asadollahi, Javad and Salarian, Shokrollah (2007) "Cohomology theories for complexes"  *Journal of Pure & Applied Algebra'' 210&thinsp;(3), pp.&nbsp;771–787.