アーベル総和法

解析学において、**アーベル総和法**（アーベルそうわほう、）とは、級数に対し、有限値を対応させる総和法の一つ。ベキ級数におけるアーベルの定理に因む。

## 導入
複素数値の数列  に対し、級数  が値  に収束するとは、部分和

: s_n=\sum_{k=0}^{n}a_k 

が通常の数列の収束の意味で値  に収束することで定義される。一方、総和法では、通常の収束の意味を超えて、より広い形での級数の収束を定義する。

例えば、とするグランディ級数 は

:s_0=1, \, s_1=0, \,  s_2=1,\,  s_3=0, \cdots  

となり、通常の意味では収束しない。ここで、 を  を満たす複素数とし、 を各項  に収束因子として乗ずると、ベキ級数

: f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n  x^n = 1 -x +x^2 +\cdots 

は、 で

: f(x)= \frac{1}{1+x} 

に一様収束する。このとき、左極限  は収束し、

: \lim_{x \to 1 -}{f(x)}= \frac{1}{2} 

となり、級数  に値  を対応させることができる。

## 定義
複素数値の数列  に対し、ベキ級数

: f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n 

が  で収束し、左極限が

: \lim_{x \to 1 -}{f(x)}= s 

と有限値  になるとき、値  に**アーベル総和可能** (Abel summable) といい、

:\operatorname{A-}\sum_{n=0}^{\infty}a_n=s

もしくは

:\sum_{n=0}^{\infty} a_n=s \quad \operatorname{(A)}

と記す。また、このように  の級数を  の左極限  で定義する総和法を**アーベル総和法**と呼ぶ。

なお、 は部分和

: s_n=\sum_{k=0}^{n}a_k 

によって、

: f(x)=(1-x)\sum_{n=0}^{\infty} s_n x^n 

とも表すことができる。したがって、 は部分和の列  に

: \sum_{n=0}^{\infty} (1-x) x^n= (1-x) \frac{1}{1-x}=1 

を満たす因子  を乗じて、和を取っていることになる。

## 性質
アーベル総和法はチェザロ総和法より強い。すなわち、チェザロ総和可能な級数はアーベル総和可能である。より一般的に  について、-総和可能であれば、アーベル総和可能である。

## 例

: a_n=(-1)^n(n+1) \quad (n=0,1,2, \cdots)

で定義される数列  に対し、

: \sum_{n=0}^{\infty}{a_n}=1-2+3-4+ \cdots 

は通常の意味では収束せず、またチェザロ総和法でも収束しない。一方でベキ級数

: f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(n+1) x^n 

は  で収束し、

: f(x) = \frac{1}{(1+x)^2} 

となることから1/4にアーベル総和可能である。

## 拡張
### (A, &lambda;<sub>n</sub>)-総和法
 を

: 0 \leq \lambda_0 

を満たす単調増加な数列とする。ここで級数

: f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n  \exp{(- \lambda_n x)} 

が任意の  について収束し、かつ左極限  が存在し、

: \lim_{x \to +0} f(x)=s 

と有限値  になるとき、級数  は  に -総和可能という。
特に  の場合は、アーベル総和法に一致する。

### (J, p<sub>n</sub>)-総和法
アーベル総和法において、ベキ級数  は部分和の列  によって、

: 
f(x)=(1-x)\sum_{n=0}^{\infty} s_n x^n 
= \frac{\sum_{n=0}^{\infty} s_n x^n }{\sum_{n=0}^{\infty} x^n}
= \frac{\sum_{n=0}^{\infty}p_n s_n x^n }{\sum_{n=0}^{\infty}p_n x^n}
\quad (p_n=1)


と表すことができる。より一般に、数列  が

: p_n \geq 0 , \quad \sum^{\infty}_{k=n}p_k >0 

を満たし、 によって定義されるベキ級数

: p(x)=\sum_{n=0}^{\infty} p_n x^n 

が収束半径  を持つとする。このとき、

: p_s(x)=\sum_{n=0}^{\infty} p_n s_n  x^n 

が  で収束し、かつ

: \lim_{x \to r -} \frac{p_s(x)}{p(x)}=s 

が成り立つとき、値  に -総和可能という。

## タウバー型定理

一般に級数はアーベル総和であっても、通常の意味では収束しない。すなわち、ベキ級数におけるアーベルの定理の逆は成り立たない。しかしながら、級数にある種の条件を付与すれば、アーベルの定理の逆が成り立つことがある。そのような例として、1897年にオーストリアの数学者アルフレッド・タウバーが示したタウバーの定理がある。後に英国の数学者G. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはタウバーの定理を原型とする種々の拡張を与え、それらをタウバー型定理と呼んだ。

## フーリエ級数の収束
アーベル総和法はフーリエ級数の収束の議論に応用される。を長さ  の有界区間  で定義されたリーマン積分可能な複素数値関数で、かつ  を満たす周期関数とする。このとき、 は次の形のフーリエ級数展開を持つ。

:f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f_n} e^{2 n \pi i x/L} 
: \hat{f_n} =\frac{1}{L}  \int_a^b f(x) e^{-2n \pi i x/L} dx 

第一式の右辺におけるフーリエ級数が意味を持つために収束性を考える必要がある。この級数はアーベル総和可能であり、 が連続となる点において に収束する。特に  が連続関数であれば、フーリエ級数はアーベル総和の意味で一様収束する。すなわち、

: A_r(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} r^\hat{f_n} e^{2n \pi i x/L} 

を導入すると、この級数は  で収束し、かつ  が連続となる点で左極限  は  に一致する。この結果の議論はポアソン核

P_r(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} r^ e^{2n \pi i x/L} 

の性質に基づく。  上で可積分な関数、に対して、畳み込み積分を

: g *h (x)= \frac{1}{L} \int_a^b g(y)h(x-y)dy 

で定義すると、

: f * P_r (x) =A_r (x) 

であり、総和核としてのポアソン核の性質から上述のアーベル総和に関する収束性が示される。

## 脚注

## 参考文献
* G. H. Hardy, ''Divergent Series '', Clarendon Press (1949)
* Elias M. Stein and Rami Shakarchi, *Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis, Volume 1)*, Princeton Univ Prress (2003) ISBN 978-0691113845
* 石黒一男『発散級数論』森北出版 (1977) ISBN 978-4627031494
* 江沢洋『漸近解析（岩波講座　応用数学14）』岩波書店 (1995) ISBN 4000105248

## 関連項目
* アーベルの連続性定理
* ボレル総和法
* タウバー型定理