四重積 (ベクトル解析)

**四重積**（よんじゅうせき）とは3次元ユークリッド空間における4つのベクトルの積であり、ベクトル解析における**スカラー四重積**と**ベクトル四重積**の総称である。

## スカラー四重積
**スカラー四重積**は2つのクロス積のドット積である。
:
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})

ここで ***a***, ***b***, ***c***, ***d*** は3次元ユークリッド空間のベクトルである。

幾何学的には ***a***, ***b*** で張られた面積ベクトルと ***c***, ***d*** で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。

以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
:
\begin{align}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})
&= (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d})
 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d}) (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \\
&= \det \begin{pmatrix} 
      \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} & \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d}\\
      \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} & \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}
   \end{pmatrix}
\end{align}

が成り立つ。

### 証明
スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
:
\begin{align}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})
&= ((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}) \cdot \boldsymbol{d}\\
&= ((\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})\boldsymbol{b} - (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})\boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{d}\\
&= (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d})
 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d}) (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})  
\end{align}

と導ける。

あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
:
  \sum_{1\le i 
を既知とすれば、*n*=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
:
\|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\|^2 = 
  \|\boldsymbol{a}\|^2 \|\boldsymbol{b}\|^2
- (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^2

も有用な公式でと呼ばれる。

## ベクトル四重積
**ベクトル四重積**は2つのクロス積のクロス積である。
:
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})

ここで ***a***, ***b***, ***c***, ***d*** は3次元ユークリッド空間のベクトルである。

幾何学的には ***a***, ***b*** で張られた面と ***c***, ***d*** で張られた面の交線に平行なベクトルを表す。

ベクトル三重積の公式を使えば
: 
\begin{align}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} ) \times (\boldsymbol{c}\times \boldsymbol{d}) 
&= [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{d}] \boldsymbol{c} 
-  [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \boldsymbol{d} \\
&= [\boldsymbol{a},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}] \boldsymbol{b} 
-  [\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}] \boldsymbol{a} \\
\end{align}

が得られる。ただし [***a***, ***b***, ***c***] = ***a***・(***b***×***c***) である。

2つの異なる右辺が導かれるのは左辺を ***X***×(***c***×***d***) とみて展開したか (***a***×***b***)×***Y*** とみて展開したかで異なるからである。幾何学的には、交線はそれぞれの平面に含まれるので、点を表すパラメータ表示が2通りあることを意味する。

2つの右辺が等しいことより恒等式
:
  [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \boldsymbol{r} = 
  [\boldsymbol{r},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \boldsymbol{a}
+ [\boldsymbol{a},\boldsymbol{r},\boldsymbol{c}] \boldsymbol{b} 
+ [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{r}] \boldsymbol{c} 

が得られる。

これは [***a***, ***b***, ***c***]≠0 の場合、基底 {***a***, ***b***, ***c***} (正規直交基底とは限らない)における ***r*** の成分表示が
:
\left( 
{ [\boldsymbol{r},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \over [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] },
{ [\boldsymbol{a},\boldsymbol{r},\boldsymbol{c}] \over [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] },
{ [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{r}] \over [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] }
\right)

であること示す。

あるいは、(***a*** ***b*** ***c***)を縦ベクトルを並べてできる3×3行列としたときの連立方程式
:
(\boldsymbol{a}~ \boldsymbol{b}~ \boldsymbol{c}) \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \boldsymbol{r}

に対するクラメルの公式
:
\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = 
{1 \over 
  \det (\boldsymbol{a}~ \boldsymbol{b}~ \boldsymbol{c})
}
\begin{pmatrix} 
  \det (\boldsymbol{r}~ \boldsymbol{b}~ \boldsymbol{c})\\
  \det (\boldsymbol{a}~ \boldsymbol{r}~ \boldsymbol{c})\\
  \det (\boldsymbol{a}~ \boldsymbol{b}~ \boldsymbol{r})
\end{pmatrix}

と同じである。

なお、
: 
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} ) \times (\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{c}) 
= [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \boldsymbol{a}

が先の公式の特別な場合として導かれるが、この等式は以下のように導くこともできる。

***a*** と ***b*** で作られる平面と、 ***a*** と ***c*** で作られる平面との交線は ***a*** に平行であることは自明である。また、***a*** と ***b*** と ***c*** が一次従属 ([***a***, ***b***, ***c*** ]=0) すなわち共面であるとき、2つの平面は平行なので左辺は0になる。このことから、右辺は [***a***, ***b***, ***c*** ]***a*** の定数倍であることが導かれる。右手系の正規直交基底を代入することで比例定数が1であることがわかるので、等式が得られる。


## 参考文献
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## 関連項目
*三重積 (ベクトル解析)
*ビネ・コーシーの恒等式
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## 脚注