数論的関数

**数論的関数**（すうろんてきかんすう、）とは、定義域が正整数である複素数を値に持つ関数のことである。

複素数の無限数列 \{ a_n \}_{n\ge 1} は n\mapsto a_n という対応で、数論的関数とみなすことができる。

## 素因数分解に関連する関数
正整数  に対して

n = \prod_{p\ \text{prime}} p^{\nu_p(n)}\quad (\nu_p(n)\ge 0)

と素因数分解する。

この項では、a(n) が \{ a(p^k) | k\ge 0,\ p\ \text{prime}\} によって得られる数論的関数について述べる。 

### 加法的関数
互いに素である正整数  と  に対して、a(mn) = a(m)+a(n) が成立するとき、**加法的関数**（）という。

つまり、

a(n) = \sum_{p;\operatorname{prime}} a(p^{\nu_p(n)})

が成立する関数である。

特に、任意の正整数  と  に対して、f(mn) = f(m)+f(n) が成立するとき、**完全加法的関数**（）という。つまり完全加法的関数とは

a(n) = \sum_{p\ \text{prime}} \nu_p(n)a(p)

が成立する数論的関数である。

#### 例
* 対数関数: \log n 
* *n* の相異なる素因数の個数を表す \omega(n)
** \omega(n) = \#\{ p| \nu_p(n)\ne 0 \}
* *n* の重複度を数えた素因数の個数を表す \Omega(n)
** \Omega(n) = \sum_{p;\operatorname{prime}}\nu_p(n)
* 素数 *p* に対して、*n* を割る最大指数を表す、\nu_p(n)

### 乗法的関数
互いに素である正整数 *m* と *n* に対して、f(mn) = f(m)f(n) が成立するとき、**[[乗法的関数]]** (multiplicative function)という。

つまり、
 a(p^{\nu_p(n)})
}}
が成立する関数である。

特に、任意の正整数 *m* と *n* に対して、f(mn) = f(m)f(n) が成立するとき、**完全乗法的関数** (completely multiplicative function)という。つまり、完全乗法的関数とは
 a(p)^{\nu_p(n)}
}}
が成立する数論的関数である。

#### 例
* 約数関数 σ*x*(*n*) は乗法的関数であるが、完全乗法的関数ではない。

## q進展開に関連する関数
*q* を 2以上の正整数とする。

このとき、任意の正整数 *n* に対して

と *q* 進展開する。

この項では、a(n) が \scriptstyle\{ a(bq^j) | j\ge 0,\ b = 0,\ 1,\ldots,\ q-1\} によって得られる数論的関数について述べる。

### q加法的関数
\scriptstyle a(n)=\sum_{j\ge 0}a(b_j(n)q^j) を満たすとき、**q加法的関数** (q-additive function)という。

特に、*q*加法的関数 a(n) が \scriptstyle a(bq^j)=a(b) \scriptstyle(j\ge 0,\ b = 0,\ 1,\ldots,\ q-1) を満たすとき、**強q加法的関数** (strongly q-additive function)という。

#### 例
* sum of digits 関数 \textstyle s_q(n) = \sum_{j\ge 0}b_j(n)
* digit counting 関数 e_q(b;n) = \#\{ j | b_j(n) = b \} 但し、*b* は \scriptstyle 1,2,\ldots,q-1 のいずれか。

### q乗法的関数
\scriptstyle a(n)=\prod_{j\ge 0}a(b_j(n)q^j) を満たすとき、**q乗法的関数** (q-multiplicative function)という。

特に、*q*乗法的関数 a(n) が \scriptstyle a(bq^j)=a(b) \scriptstyle(j\ge 0,\ b = 0,\ 1,\ldots,\ q-1) を満たすとき、**強q乗法的関数** (strongly q-multiplicative function)という。

#### 例
* トゥエ＝モース数列 a(n) = (-1)^{e_2(1;n)}
* product of digits 関数 \textstyle p_q(n) = \prod_{j=0}^rb_j(n)\ \ \ \ \ (b_r(n)\ne 0,\ b_j(n) = 0\  (j>r))

## その他の数論的関数
(1) 素数に関係する関数
* 素数計数関数: \pi(n)
* フォン・マンゴルト関数: \Lambda(n)
** \Lambda(n) = \begin{cases}\log p & (n=p^m,\ m\ge 1,\ p;\operatorname{prime}) \\ 0 & (n\ne p^m) \end{cases}
* \textstyle\vartheta(n) = \sum_{p\le n,\ p;\operatorname{prime}}\log p
* \textstyle\psi(n) = \sum_{p^m\le n,\ p;\operatorname{prime}}\log p

(2) 数の表現・分割

* *n* を２つの平方数の和で表す表し方の数を与える r_2(n)
* *n* を正整数の和で表す表し方の数を与える p(n)
* ウェアリングの問題
** 全ての正整数が *s* 個の *k* 乗数の和で表される様な *s* の最小値 g(k)
** 十分大きな全ての正整数が *s* 個の *k* 乗数の和で表される様な *s* の最小値 G(k)

## 性質
### 代数的性質
数論的関数 \scriptstyle f(n),\ g(n) に対して、ディリクレ積 f*g を

と定めると、f*g は数論的関数となる。従って、数論的関数全体集合は多元環となる。

乗法的関数 \scriptstyle f(n),\ g(n) に対して、ディリクレ積 f*g で得られた数論的関数は乗法的関数となる。

数論的関数 f(n) が、ある正数 *C* と、数論的関数 g(n) が存在して、\scriptstyle f(n)= C^{g(n)} と表されるとする。すると、f(n) が(完全)乗法的関数である必要十分条件は、g(n) は(完全)加法的関数である。

### 位数
(1) 最大位数

数論的関数 a(n) に対して、ある単純な形をした *n* の関数 \psi(n) が存在して

が成立するとき、a(n) の**最大位数**は \psi(n) であるという。
 
(2) 平均位数

数論的関数 a(n) に対して、ある単純な形をした *n* の関数 \psi(n) が存在して

が成立するとき、a(n) の**平均位数**は \psi(n) であるという。

従って、a(n) は、だいたい \psi(n) であると思われるが、数論的関数の多くは、値の振る舞いが複雑であり、a(n) がほぼ \psi(n) である様な *n* は正整数のなかで少数であることも珍しいことではない。

(3) 正規位数

任意の正数 &varepsilon; とほとんど全ての正整数 *n* に対して

が成立するとき、a(n) の**正規位数**は \psi(n) であるという。

平均位数と正規位数は、常に存在する訳ではない。
平均位数は持つが正規位数はもたない、その逆で、平均位数は持たないが正規位数を持つ数論的関数が存在する。

### 例
(1) 約数関数 d(n)

最大位数は、

であり、平均位数は \log n である。
さらに \log d(n) の正規位数は log2\log\log n である。
従って、任意の正数 &epsilon; とほとんど全ての正整数 *n* に対して

が成立する。

つまり、ほとんど全ての正整数に対して、d(n) の値は、平均位数よりも小さい。

(2) 約数和関数 \sigma(n)

最大位数は

であり、平均位数は \pi^2n/6 である。

(3) オイラー関数 \varphi(n)

最大位数は n-1 であり、平均位数は 6n/\pi^2 である。

(4) *n* の相異なる素因数の個数を表す関数 \omega(n)

平均位数および正規位数は共に \log\log n である。

(5) *n* の重複を込めた素因数の個数を表す関数 \Omega(n)

平均位数および正規位数は共に \log\log n である。

(6) 素数の個数を表す \pi(n)

正規位数は、n/\log n である。

## 出典

## 注釈

## 参考文献
* 
* 
* 

## 関連項目
*関数
*数列