リース函数

数学において**リース函数**（リースかんすう、）とは、リーマン予想との関係でリース・マルツェルによって定義された、次の冪級数で与えられる整函数のことを言う：
:{\rm Riesz}(x) = -\sum_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{(k-1)! \zeta(2k)}.
F(x) = \frac12 {\rm Riesz}(4 \pi^2 x) とすれば、双曲余接のゼロを中心としたローラン級数展開の係数としてそれは定義される。もし
:\frac{x}{2} \coth \frac{x}{2} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n = 1 + \frac{1}{12} x^2 - \frac{1}{720}x^4 + \cdots
であるなら、*F* は次で定義される。
:F(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{c_{2k}(k-1)!} = 12x - 720x^2 + 15120x^3 - \cdots

ζ(2k) の値は k が増加するにつれて 1 に近付き、リース函数に対する級数を x\ \exp(-x) に対する級数と比較することで、それは整函数を定義することが分かる。また *F* は
: F(x) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{\overline{k+1}}x^{k}}{B_{2k}} \ 
で定義されることもある。

n^{\overline{k}} はドナルド・クヌースの記法における上昇階乗であり、*B**n* はベルヌーイ数である。この級数は代替的な項の一つであり、函数は *x* が負の方向に増大するにつれて負の無限大へと発散する。正の *x* についてはより興味深く、繊細な問題となる。

## リース指標

1/2 より大きい任意の冪乗 *e* に対して、次が成立する。

:\operatorname{Riesz}(x) = O(x^e)\qquad (\text{as }x\to\infty)

ただしこの右辺はランダウの記号であり、値は正および負のいずれの方向についても考えられている。リースは、上の式が 1/4 より大きい任意の *e* について成り立つことはリーマン予想と同値であることを示した。ただしその同じ論文においては、やや悲観的な次の注釈も見られる «*Je ne sais pas encore decider si cette condition facilitera la vérification de l'hypothèse*»。

## リース函数のメリン変換

リース函数は、メリン変換を介してリーマンゼータ函数と関連付けられる。今

:{\mathbf M}({\rm Riesz}(z)) = \int_0^\infty {\rm Riesz(z)} z^s \frac{dz}{z}

とすれば、\Re(s)>-1 のときに

:\int_0^1 {\rm Riesz}(z) z^s \frac{dz}{z}

は収束し、一方 \Re(s)  であれば成長条件により

:\int_1^\infty {\rm Riesz}(z) z^s \frac{dz}{z}

は収束することが分かる。これを組み合わせることで、リース函数のメリン変換は帯状領域 -1  の上で定義されることが分かる。この領域上では、\frac{\Gamma(s+1)}{\zeta(-2s)} = {\mathbf M}({\rm Riesz}(z))  が成り立つ。

するとメリン逆変換により、リース函数を式

:{\rm Riesz}(z) = \int_{c - i \infty}^{c+i \infty} \frac{\Gamma(s+1)}{\zeta(-2s)} z^{-s} ds 

で表すことが出来る。ここで c は -1 と -1/2 の間の値である。リーマン予想が真であるなら、この積分の直線を -1/4 よりも小さい任意の値へと移動することが出来る。したがってリース函数の成長率の 4 乗根と、リーマン予想との同値性が分かる。

J. garcia（脚注を参照）は、を使うことで f(x) に関する次の積分表現を得た。

: \exp(-x)-1= \int_{0}^{\infty} \frac{f(t)}{t}\rho ( \sqrt{x/t}) dt  

ここで  \rho (x) =x-\lfloor x\rfloor  は 'x' の小数部分である。

## リース函数の計算

*F* のマクローリン級数の係数の絶対値は、40番目の項 -1.753 において最大値を取るまで増加である。一方、109番目の項において絶対値は 1 よりも小さくなる。はじめの 1000 個の項を取ることで、|z|  に対する F(z) の非常に精確な値を得ることが出来る。しかしこの計算を行う際には、次数 1000 の多項式を、大きな分子あるいは分母の係数に対する有理数演算か、100 位を超える浮動小数点計算によって求める必要が生じうる。いずれの方法も、数値計算的に簡単なものではない。

その他の計算手法として、収束加速法（acceleration of convergence）が挙げられる。今

:{\rm Riesz}(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{(k-1)! \zeta(2k)}

である。ζ(2k) は k が増大するにつれて 1 に近付くため、この級数は

:\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{(k-1)!} = x \exp(-x)

に近付く。実際、リースは次の式を示していた：\ {\sum_{n=1}^\infty \rm Riesz(x/n^2) = x \exp(-x)}。

収束加速法に対するクンマーの方法を使うことで、収束率の改善された

:{\rm Riesz}(x) = x \exp(-x) - \sum_{k=1}^\infty \left(\zeta(2k) -1\right) \left(\frac{(-1)^{k+1}}
{(k-1)! \zeta(2k)}\right)x^k

が得られる。

この手順を続けることで、収束に関するより良い性質を備える、リース函数に対する新たな級数を得ることが出来る：

:{\rm Riesz}(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{(k-1)! \zeta(2k)}
= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{(k-1)!} \left(\sum_{n=1}^\infty \mu(n)n^{-2k}\right)
: \sum_{k=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}\left(x/n^2\right)^k}{(k-1)!}= x \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^2} \exp\left(-\frac{x}{n^2}\right).

ここで μ はメビウス函数であり、項の再構成は絶対収束によって正当化される。再びクンマーの方法を適用することで、

:{\rm Riesz}(x) = x \left(\frac{6}{\pi^2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^2}\left(\exp\left(-\frac{x}{n^2}\right) - 1\right)\right)

と表すことが出来る。この項は終局的には、*n* の 1/4 乗によって減少となる。

上述の級数は至る所で絶対収束し、したがって項毎に微分可能であるため、導関数に関する次の式が得られる：

:{\rm Riesz}'(x) = \frac{x} - x\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^4} \exp\left(-\frac{x}{n^2}\right)\right).

この式は次のように整理できる：

:{\rm Riesz}'(x) = \frac{x} + x\left(-\frac{90}{\pi^4} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^4} \left(1-\exp\left(-\frac{x}{n^2}\right)\right)\right).

マレク・ウォルフは  において、リーマン予想を想定しながら、十分大きな x に対して次の式を示している：

:{\rm Riesz}(x) =  const\times x^{1/4} \sin\left(\phi-\frac{1}{2}\gamma_1\log(x)\right).

ここで \gamma_1=14.13472514... はゼータ函数のはじめの非自明なゼロ点の虚部である。また  const=
7.7750627...\times 10^{-5} および \phi=-0.54916...= (-31,46447^{\circ}) である。これは Herbert Wilf によって 1964 年に証明された  リース函数のゼロ点と一致する。

## 注釈


## 参考文献
* Titchmarsh, E. C., *The Theory of the Riemann Zeta Function*, second revised (Heath-Brown) edition, Oxford University Press, 1986, [*Section* **14.32**]
* Jose Javier garcia Moreta * Borel Resummation & the Solution of Integral Equations* Prespace time Journal Vol 4, No 4 (2013)Math Physics, Modified GR Solutions & Explorations of Natural Constants http://www.prespacetime.com/index.php/pst/issue/view/42