レーン＝エムデン方程式

宇宙物理学や流体力学において、**レーン＝エムデン方程式**（レーン＝エムデンほうていしき、Lane–Emden equation）は、球対称な密度分布を示す力学平衡にある自己重力流体を記述する微分方程式である。名称は宇宙物理学者のとに由来する。

## 解説
ポリトロピック指数*n* のレーン＝エムデン方程式は以下の微分方程式として表される。

:  \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0 

ここで、&xi;は半径*r* を無次元化した変数

:  r = \alpha \xi =\left(\frac{(n+1)P_c}{4 \pi G \rho_c^2} \right)^{\frac{1}{2}} \xi 

であり、&theta;は密度&rho;を無次元化した変数

:  \rho = \rho_c \theta^n \,

である。ただし、*G* は万有引力定数、*P<sub>c</sub>* は球対称な流体の中心圧力、&rho;*c* は中心密度であり、ポリトロピック指数*n* は圧力と密度の関係式（ポリトロピックな関係式）

:  P = K \rho^{1 + \frac{1}{n}} 

を満たす（ただし、*K* は定数）。この式を満たす球対称な流体はポリトロープと呼ばれる。

### 境界条件
この方程式は2階の常微分方程式であるから、一意的な解を求めるためには以下の2つの境界条件が必要である。

* \theta(0)=1 \,
* \left( \frac{d \theta}{d \xi} \right)_{\xi=0} = 0 \,

第1式は球体の中心（*r* =0すなわち&xi;=0）における密度が有限の値&rho;c を持つことを意味している。第2式は球体の中心で重力がゼロ（*m* →0）になるのと同時に圧力勾配もゼロ(*dP/dr* =0)となり、さらに圧力と密度はポリトロピックな関係によって結ばれているので、密度勾配もゼロとなることを意味している。

## 導出
レーン＝エムデン方程式を導出するため、系が球対称であり静水圧平衡が成立することを仮定する。そのような系では、圧力勾配による外向きの力と、万有引力による内向きの力が釣り合うので

:  \frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr} = - \frac{Gm}{r^2} 

が成立する(静水圧平衡の式)。ここで*m* は*r* の関数であり、原点を中心とする半径*r* の球の中に含まれる質量を表す。すなわち*m* と&rho;の間には

*  m(r) = \int_0^r 4\pi r^2 \rho (r) dr \,
*  \frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho \,

の関係がある。そのため、静水圧平衡の式の両辺に*r* 2 を掛けてから*r* で微分すると

:  \frac{d}{dr} \left({ \frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr} }\right) = -G\frac{dm}{dr} = -4\pi G r^2 \rho 

となる。ここでさらに、圧力が密度のべき乗に比例するというポリトロープの関係式

:  P = K \rho^{1 + \frac{1}{n}} 

を仮定すれば、

:  \begin{align} 
 \frac{d}{dr} \left({ \frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr} }\right)
 &= K \left({ 1+\frac{1}{n} }\right) \frac{d}{dr} \left({ r^2 \rho ^{\frac{1}{n}-1} \frac{d\rho}{dr} }\right) \\
 &= -4\pi G r^2 \rho \\
\end{align} 

となり、&rho;(*r* )についての微分方程式が得られる。最後に、*r* と&rho;を無次元数&xi;と&theta;でつぎのように表す。

*  r = \alpha \xi =\left(\frac{(n+1)K\rho_c^{\frac{1}{n}-1}}{4 \pi G} \right)^{\frac{1}{2}} \xi 
*  \rho = \rho_c \theta^n . \,

&rho;c は定数であるが、上で定めた&theta;の境界条件より&rho;c は*r* =0における密度に等しいことが分かる。これらを代入すれば、求める方程式

:  \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0 

が得られる。なおポリトロープの関係式より、*r* =0における圧力*P<sub>c</sub>* と、&rho;c との間には

:  P_c = K\rho_c^{1+\frac{1}{n}} 

の関係があることも分かる。

## 方程式の解

レーン＝エムデン方程式は*n* =0,1,5の場合にのみ、解析的に解くことが可能である。その他の*n* に対する解は数値計算によって求められる。*n* =0,1,5に対する解は以下のようになる。

ここで、&xi;1は&theta;=0となるときの&xi;である。この値は物理的に重要で、&theta;=0が成り立つとき、圧力と密度もゼロ（*P* =0, &rho;=0）となるので、この位置を星や流体の表面であると考えれば、&xi;1を用いて中心からの半径を求めることができる。

## 物理現象への適用例
レーン＝エムデン方程式を実際の物理現象に適用する例として、ポリトロープと見做せる球対称な星の半径と質量の導出を解説する。

### 星の半径
ポリトロープの半径*R* は、&xi;の定義式へ&theta;=0となるときの&xi;、すなわち&xi;1を代入すれば求められる。
:  R = \alpha \xi_1 =\left(\frac{(n+1)P_c}{4 \pi G \rho_c^2} \right)^{\frac{1}{2}} \xi_1 

### 星の質量
ポリトロープの質量*M* は、半径*r* の関数としての密度&rho;(*r* )を空間積分した後、*r* →&alpha;&xi;と置き換えて計算すればよい。
:  M = \int_0^{R}4\pi\rho r^2 \ dr = \int_0^{\xi_1}4\pi\rho\alpha^3 \xi^2 \ d\xi = 4\pi\rho_c \alpha^3 \int_0^{\xi_1} \theta^n \xi^2 \ d\xi 
ここで、レーン＝エムデン方程式を代入し、&theta;*n* を書き換えると、
:  M = 4\pi\rho_c \alpha^3 \int_0^{\xi_1} \left\{ -\frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) \right\} \xi^2 \ d\xi = 4\pi\rho_c \alpha^3  \left\{ -\xi_1^2 \left( \frac{d\theta}{d\xi} \right)_{\xi=\xi_1} \right\}
となる。さらに、&alpha;の定義を用いれば、
:  M = \left(\frac{(n+1)^3P_c^3}{4 \pi G^3 \rho_c^4} \right)^{\frac{1}{2}}  \left\{ -\xi_1^2 \left( \frac{d\theta}{d\xi} \right)_{\xi=\xi_1} \right\}
となる。

この表記から、*n* =5の場合は&xi;1→∞となるが、質量自体は有限の値をとることが分かる。

## 参照

## 関連項目
*白色矮星
*チャンドラセカール限界
*静水圧平衡

## 外部リンク
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