可積分系

数学や物理学では、**可積分系** (かせきぶんけい、) と名付けられた様々な考え方が知られている。

微分可能な系の一般論では、**[[#フロベニウス可積分性 (過剰決定微分方程式系)|フロベニウス可積分性]]** () が過剰な決定系として知られている。ハミルトン力学系の古典理論では、**[[#ハミルトニアン系とリウヴィル可積分性|リウヴィル可積分性]]** () がある。より一般的には、微分方程式の可積分性は、相空間の不変部分多様体による () の存在に関係している。これらの考え方の各々は、葉層のアイデアを応用しているが、同じではない。量子力学や統計力学模型の設定には**完備可積分性** () や**完全可積分性** () という考え方もある。可積分系は、微分作用素の代数幾何学へ引き戻して考える場合もある。

## フロベニウス可積分性 (過剰決定微分方程式系)
微分方程式系は、定義された空間の上に最大積分多様体によりを持つとき、フロベニウスの意味で、**可積分**であると言う。フロベニウスの定理は、系が完全に積分可能であることと、系が外微分形式の下に閉じていることをは同値であることを言っている（微分方程式系の可積分条件の記事には最大積分多様体の葉層について詳しいことがあるので参照）。

## 一般の力学系
微分可能な力学系では、**可積分性**の考え方は不変な、正規な葉層の存在を意味する。つまり、その葉層は可能な限りの最も小さな次元のフローに対して不変なである。このように、可積分性の度数という変数の考えは、不変な葉層の葉の次元に依存している。この考え方は、以下で説明するように**リウヴィルの意味で完全可積分性**として知られる、ハミルトン力学系の場合に精密化されている。この意味での可積分性が最も頻繁に使われる。

可積分性の考え方は格子のような離散系へも応用可能である (**離散可積分系、discrete integrable systems**)。この定義は微分方程式や有限の差分方程式の系である**発展方程式** ()へ適用することができる。

可積分と非可積分な力学系の違いは、**規則的な運動** 対 カオス運動 の数値的な意味付けを持つので、系が明らかに完全形式に積分することができるどうかという問題を超えた本質的な性質を持っている。

## ハミルトニアン系とリウヴィル可積分性
ハミルトン力学系の特別な設定では、リウヴィル (Joseph Liouville) の意味で可積分性の考え方がある。**リウヴィル可積分性** () の意味とは、葉層不変量に付随するハミルトンのベクトル場が接空間をはるような相空間の正規な葉層が存在することを言う。言い換えると、ポアソン可換な（つまり、系のハミルトニアンとポアソン括弧が互に可換であり、従って互いに掛け合うと消滅するものが存在する相空間の上の函数である）不変量の**最大集合**が存在することを言う。

有限次元では、相空間がシンプレクティックな場合（すなわち、ポアソン代数の中心が定数のみからなる）、偶数次元  と（ハミルトニアン自身を含む）べき零なポアソン可換不変部分の最大数が  となっているはずである。葉層の葉は、シンプレクティック形式の観点から全等方(totally isotropic)であり、そのような最大で等方な葉層を**[[シンプレクティック多様体#ラグランジアン部分多様体、あるいはその他の部分多様体|ラグラジアン部分多様体]]**と呼ばれる。全ての**主動** () なハミルトン系（つまり、ハミルトニアンもポアソン括弧も明確には時間依存ではないような系であり、**ハミルトニアン**自体がフローに沿ったエネルギーを持っている）は少なくとも一つは不変量を持っている。もしエネルギーレベルがコンパクトであれば、ラグラジアン葉層の葉はトーラスとなり、この葉の上の自然な線型座標は「角度」変数と呼ばれる。標準的な -形式のサイクルを**作用**変数と呼び、結果として得られる標準座標を**[[作用・角変数]]** () と呼ぶ（以下を参照）。

***' () と'''最大超可積分性'''の考え方の間の差異のように、リウヴィルの意味の'''完全可積分性'''と'''部分的可積分性'''の間にも差異がある。本質的には、これらの差異は葉層の葉の次元に対応している。不変量と可換な独立したポアソンの括弧の数が最大よりも小さなとき（しかし、自律係の場合は 1 よりも大きい）、この系を'''部分的可積分'''という。さらに汎函数として独立な不変量がポアソンの括弧と交換可能な最大数を超えているとき、従って葉層構造の不変量の葉の次元が  よりも小さいとき、'''超可積分'''という。1 次元の正規な葉（曲線）があると、この系は'''最大超可積分''' () という。


== 作用角度変数 ==
有限次元のハミルトン系が、リユーヴィルの意味で完全可積分系であり、エネルギーレベル集合がコンパクトのとき、フローと不変葉層の葉は、[[トーラス]]となる。従って、上に述べたように、[[相空間]]の[[正準座標]]の特別な集合は、不変トーラスが[[作用 (物理学)|作用]]変数の結合レベル集合であるような[[作用・角変数]](action-angle variable)として知られている。従って、これらのハミルトニアンフローの完全集合（運動は固定）をもたらし、角度変数は自然なトーラス上の周期座標である。不変トーラス上のこれらの正準座標で表された運動は、角度変数では線型である。


== ハミルトン&ndash;ヤコビのアプローチ ==
[[解析力学]]における[[正準変換]]理論では、[[ハミルトン-ヤコビ方程式|ハミルトン-ヤコビの方法]]があり、そこではハミルトン方程式の解は付随する[[ハミルトン-ヤコビ方程式]]の第一番目の'''完全解'''と考えられる。古典的なことばでは、このことは'''完全に無視できる変数''' () となる座標の正準な集まりへの変換を決定すると記述することができる。


== ソリトンと逆散乱法 ==
1960年代の遅く、（浅い水の流れで 1次元非散逸[[流体力学]]を記述する）[[KdV方程式]]において、強い安定性を持った[[ソリトン]]が[[偏微分方程式]]の局所化された解として発見された。この発見により、これらの方程式を無限次元可積分であるハミルトン系として見なすことで、古典可積分係への関心が復活した。これらの研究は、そのような「可積分」系に非常に豊富なアプローチをもたらし、(inverse scattering transform)やより一般的には'''逆スペクトルの方法'''として研究された。（(Riemann–Hilbert problem)として扱われることも多い。）そこでは、[[積分方程式]]の解を通して、[[フーリエ解析]]のように局所的な方法が非局所的な線型性へと一般化される。


この方法の基本的なアイデアは、[[相空間]]での位置により決定される線型作用素を導入することで、この線型作用素は問題の[[力学系]]の下で発展し、（適切に一般化された意味での）スペクトルが不変となるというアイデアである。ある場合には、これが不変量となっていて、運動の積分を完全積分系としている。[[KdV方程式]]のような無限自由度の系の場合は、この方法では'''リウヴィル可積分性'''(Liouville integrability)の性質を完全に満たすことはないが、しかし、適切な境界条件を定義すると、スペクトル変換が'''完全に無視しうる座標'''への変換であると解釈することができる。そこでは、逆散乱の量が[[正準座標]]の二重化した無限集合の半分を構成し、フローがこれらを線型化する。ある意味では、有限個でしかない「位置」変数が角度変数であり、残る部分が非コンパクトとなっているにもかかわらず、このことを作用角度変数への変換とみなすことができる。


== 量子可積分系 ==
'''量子可積分系'''(quantum integrable systems)という考え方もある。[[量子論]]的な設定では、[[相空間]]上の函数が[[ヒルベルト空間]]上の[[自己共役作用素]]に置き換わり、'''ポアソン可換な函数'''(Poisson commuting functions)が'''可換な[[作用素 (関数解析学)|作用素]]'''(commuting operators)へ置き換わる。

量子可積分系を説明するために、[[自由粒子]]の設定を考えるとよい。ここに全ての力学は一体（問題）となる。量子系は力学が二体（問題）に還元されるときに積分できると言われる。[[ヤン・バクスター方程式]]([[楊振寧|Yang]]-[[:en:Rodney Baxter|Baxter]] equation)は、この還元性の結果であり、[[保存量]]の無限個の集まりを与えるトレースで同一視することをもたらす。このアイデアの全ては、明白な解を得る代数的[[ベーテ仮設]](Bethe Ansatz)を使うことができる(Quantum inverse scattering method)の中に組み込まれている。量子可積分模型の例は、(Lieb-Liniger Model)や[[ハバード模型]] (Hubbard model)や、([[ヴェルナー・ハイゼンベルク|Heisenberg]] model)のいくつかの変形がある。


== 完全可解模型 ==
物理学では、完全可解系は、本質的には無限次元の設定であり、'''完全可解模型'''または'''完全可解モデル'''(exactly solvable models)と呼ばれる。このことは、ハミルトニアンの意味での可積分性とより一般的な[[力学系]]の意味との間の区別を不明確なものにしている。

'''完全可解模型'''の考え方は[[統計力学]]の中にもあり、量子可積分系と古典可積分系の間にはより密接な関係がある。2つの密接に関連する方法：現代的な意味では'''[[ヤン・バクスター方程式]]'''に基づいた[[ベーテ仮設]]によるアプローチと、***'は、**逆スペクトル法**の量子的な類似物である。これら 2つのアプローチは、統計力学での可解模型の研究においては、等しく重要である。

## よく知られている古典可積分系のリスト
**1. 古典力学系（有限次元相空間）：**

* n 次元の中の調和振動子
* 中心力運動（）
* 2つの中心をもつニュートンの万有引力による運動
* コマ(:en:Lagrange, Euler, and Kovalevskaya tops)

**2. 可積分格子模型**

* (Toda lattice)

* (Volterra lattice)

**3. 1 + 1 次元のPDEの可積分系**

* KdV方程式 (Korteweg–de Vries equation)
* mKdV方程式 (modified Korteweg–de Vries equation)
* (Sine–Gordon equation)
* 非線形シュレディンガー方程式 (Nonlinear Schrödinger equation)
*  (AKNS system)

**4. 2 + 1 次元のPDEの可積分系**

* KP方程式(Kadomtsev–Petviashvili equation)
*  (Davey–Stewartson equation)

**5. 高次元のPDEの可積分系**

* 自己双対ヤン・ミルズ方程式 (Self-dual Yang–Mills equations)
* 接ラックス・ペア可積分系 (Integrable systems with contact Lax pairs)

## 定義に関する注意点
ここまで可積分系に関して説明してきたが、**可積分系 (特に離散可積分系) に厳密な定義はない**。**可積分系を厳密に定義することが目標なのである**。そのため、**人によって定義が異なる**こともあるし、一口に「可積分系の専門家」といっても**人によって学問的バックグラウンドは異なる**。これを踏まえた上で、京都大学数理解析研究所で開催される可積分系の研究集会では可積分系をキーワードに、**「[[常微分方程式]]論、[[確率論]]、[[組み合わせ論]]、[[実解析]]、[[応用数学|応用数理]]、[[代数幾何学]]、[[微分幾何学]]、[[数論]]など幅広い分野の研究者の情報交換」**を目的としている。

## 関連項目
### 関連分野
* 力学系
* 統計力学
* 解析力学
* 数理物理
* ソリトン
* 可積分アルゴリズム
* パンルヴェ方程式
* 広田の方法
* 佐藤理論

### 研究者
#### 海外
* ピーター・ラックス (ラックス・ペアで知られる)
* 楊振寧

#### 日本
* 戸田盛和
* 広田良吾
* 佐藤幹夫
* 神保道夫
* 三輪哲二
* 薩摩順吉

## 脚注

### 出典

## 参考文献
### 洋書
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* A.T. Fomenko, *Symplectic Geometry. Methods and Applications.* Gordon and Breach, 1988. Second edition 1995, ISBN 978-2-88124-901-3.
* A.T. Fomenko, A. V. Bolsinov *Integrable Hamiltonian Systems: Geometry, Topology, Classification*. Taylor and Francis, 2003, ISBN 978-0-415-29805-6.
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### 和書
* 中村佳正、他：「可積分系の応用数理」、裳華房、ISBN 4-7853-1520-2 (2000年6月)。
* 中村佳正：「可積分系の機能数理」、共立出版、ISBN 978-4-320-01804-4 (2006年4月10日)。
* 高崎金久：復刊「可積分系の世界：戸田格子とその仲間」、共立出版、ISBN 978-4-320-11042-7（2013年7月25日）。
* 中村佳正、他：「可積分系の数理」、朝倉書店（解析学百科II）、ISBN 978-4-254-11727-1 (2018年3月20日)。

#### 応用可積分系の文献
* 田中俊一、伊達悦朗：「KdV方程式：非線型数理物理入門」、紀伊國屋書店（1979年7月30日).
* 広田良吾：「直接法によるソリトンの数理」、岩波書店、（1992年10月12日）.
* Michéle Audin：「コマの幾何学：可積分系講義」、共立出版、ISBN 4-320-01655-6 (2000年3月10日).
* 中村佳正：「可積分系の応用数理」、裳華房、ISBN 4-7853-1520-2 (2000年6月10日).
* 高崎金久：「可積分系の世界：戸田格子とその仲間」、共立出版、 (2001年3月30日).
* 広田良吾、高橋大輔：「差分と超離散」、共立出版、ISBN 4-320-01729-3 (2003年2月25日).
* 中村佳正：「可積分系の機能数理」、共立出版、ISBN 4-320-01804-4 (2006年4月10日).
* 三輪哲二、神保道夫、伊達悦朗：「ソリトンの数理」、岩波書店、ISBN 978-4-00-005612-0 (2007年2月20日).
* 時弘哲治：「箱玉系の数理」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11733-2 (2010年1月25日).
* 井ノ口順一：「曲線とソリトン」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11734-9（2010年3月10日).
* 井ノ口順一：「曲面と可積分系」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11768-4 (2015年10月25日).
* 戸田盛和：「非線形格子力学」、岩波書店 (1978年12月5日). ※オンデマンド版あり、ISBN 978-4-00-730483-5 (2016年9月13日）。

#### 離散可積分系の文献
* 、九州大学産業技術数理研究センター第9回ワークショップ、離散可積分系・離散微分幾何チュートリアル
* 、九州大学産業技術数理研究センター第9回ワークショップ、離散可積分系・離散微分幾何チュートリアル
* 、九州大学産業技術数理研究センター第9回ワークショップ、離散可積分系・離散微分幾何チュートリアル

## 外部リンク
* 
* 
* 可積分系 - 理学のキーワード - 東京大学 大学院理学系研究科・理学部
* "SIDE - Symmetries and Integrability of Difference Equations" (離散可積分系に関する国際研究集会)
* 無限可積分系メーリングリスト-京都大学
* 格子ソリトンの発見、日本物理学会