二次体

**二次体** (にじたい、) は、有理数体上、2次の代数体のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 *d* を用いて、\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d}) と表現される。もし、*d* > 0 である場合、**実二次体** (real quadratic field)、*d* \mathbb{Q}(\sqrt{d}) は、*d* = &minus;11, &minus;7, &minus;3, &minus;2, &minus;1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 だけである。
*その整数環が一意分解整域となる虚二次体 \mathbb{Q}(\sqrt{d}) は、*d* = &minus;1, &minus;2, &minus;3, &minus;7, &minus;11, &minus;19, &minus;43, &minus;67, &minus;163 だけである。
*任意の二次体 *K* に対して、有理素数 *p* は、以下のいずれかを満たす。
#(p) = \mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2 (\mathfrak{p}_1,\ \mathfrak{p}_2 は、相異なる *K* の素イデアル)。　(このとき、*p* は、*K* で**完全分解**であるという。)
#(p) = \mathfrak{p}^2 (\mathfrak{p} は、*K* の素イデアル)。　(このとき、*p* は、*K* で**不分解**であるという。)
#(p) は、*K* の素イデアルである。　(このとき、*p* は、*K* で**不分岐**であるという。)

### 二次体の判別式
*二次体 \scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d}) の判別式を *D* としたとき、
:  D = \begin{cases}d & (d\equiv 1 \mod 4),\\ 4d & (d\equiv 2, 3 \mod 4).\end{cases}
従って、*d* &equiv; 1 (mod 4) のときは、\scriptstyle\{1,\ (1+\sqrt{d})/2 \}、それ以外のときは、\scriptstyle\{1,\ \sqrt{d}\} が、\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d}) の整基底となる。

### 二次体の単数
**E<sub>K</sub>* を、二次体 \scriptstyle K = \mathbb{Q}(\sqrt{d}) の単数群としたとき、
#*d* = &minus; 1 のとき：*E<sub>K</sub>* = { ± 1, ± *i* } 。
#*d* = &minus;3 のとき：*E<sub>K</sub>* = { ± 1, ± ω, ± ω2 } 　(ω = (&minus; 1 + √)/2) 。
#*d* K* = { ± 1 } 。
#*d* > 0 のとき：<math>\scriptstyle E_K = \{\pm\varepsilon_0^n | n = 0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \ldots \}</math> 　(ε<sub>0</sub> は[[代数体#基本単数系|基本単数]])。

**D* を、二次体 <math>\scriptstyle K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> の判別式とし、自然数 *x*<sup>*</sup>, *y*<sup>*</sup> を、
:*x*<sup>2</sup> &minus; *Dy*<sup>2</sup> = ± 4の最小の有理整数解としたとき、(*x*<sup>*</sup> + *y*<sup>*</sup>√)/2 は、*K* の基本単数である。

<math>\scriptstyle d\le 14</math> に対する基本単数


=== 二次体と円分体 ===
*任意の二次体 *K* に対して、ある整数 *n* が存在して、 <math>\scriptstyle K\sub\mathbb{Q}(\zeta_n)</math> 。ここで、<math>\zeta_n</math> は、1 の原始 *n* 乗根である。
:特に、*n* = 2<sup>*q*</sup> (*q* &ge; 3) とすれば、円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_n)</math> には、<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{-1}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{2}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{-2})</math> が含まれる。
*上記のことは、[[クロネッカー・ウェーバーの定理|クロネッカー＝ウェーバーの定理]]の特別な場合である。さらに、基礎体を有理数体ではなく、虚二次体にしたときに同様なことが言えるかを問うたのが、[[クロネッカーの青春の夢]](の特別な場合)である。

== 二次体と初等整数論 ==
二次体と初等整数論との関係を述べる。

=== 平方剰余の相互法則 ===
<math>\left(\frac{a}{p}\right)</math> を[[ルジャンドル記号]]とすると、次が成立する。

*平方因子を持たない素数 *a* と、*2a* と互いに素な素数 *p* に対して、
:<math>\left(\frac{a}{p}\right) = 1</math> <math>\Longleftrightarrow</math> <math>(p)</math> は、<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{a})</math> 上で、相異なる2つの素イデアルの積で表される。

:*このことから、二次体上で、どの様な素数が2つの素イデアルで分解されるかを考察することで、[[平方剰余の相互法則]]、[[平方剰余の相互法則#相互法則|第1補充法則]]、[[平方剰余の相互法則#相互法則|第2補充法則]]を示すことができる。

=== 二次形式 ===
有理整数係数の[[二次形式|二元二次形式]]の類数を *H*(*D*) (*D* は、二次形式の判別式) とし、
二次体 <math>\scriptstyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{D})</math> の(代数体としての)類数を、*hK* とすると、*H*(*D*) = *hK* である。つまり、有理整数係数の二元二次形式の類と、二次形式の判別式で作られる二次体のイデアル類とは、一対一の対応を付けることができる。

== 二次体の類数 ==
=== ディリクレの類数公式 ===
二次体 *K* の判別式を *D* とし、*&chi;* を <math>\scriptstyle (\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^{\times}</math> に対する[[レオポルト・クロネッカー|クロネッカー]]の指標とする。*K* に対する [[ディリクレのL関数|ディリクレの L 関数]]を用いて、*K* の[[代数体#類数|類数]] *hK* は
:<math>h_K = \frac{1}{\kappa}L(1, \chi)</math>
で与えられる。ただし、&kappa; は、
:<math>\kappa = \begin{cases} \frac{2\log\varepsilon_0}{\sqrt{D}} & (D > 0),\\ \frac{2\pi}{w\sqrt{-D}} & (D < 0),\end{cases}</math>
で与えられる 0 でない実数である。ここで、*w* は、*K* に含まれる 1 のベキ根の数、*&epsilon;0* は、*K* の[[代数体#基本単数系|基本単数]]とする。

さらに上式は、以下の形で有限和の形で表現することが可能である。

**K* が実二次体のとき
:<math>h_K = -\frac{1}{2\log\varepsilon_0}\sum_{a=1}^{d-1}\chi(a)\log\sin\frac{a\pi}{d}</math>.
**K* が虚二次体のとき
:<math>h_K = -\frac{w}{2d}\sum_{a=1}^{d-1}\chi(a)a</math>.

ただし、&epsilon;<sub>0</sub> は、*K* の基本単数、*d* = |*D*|、*w* は、*K* に含まれる 1 のベキ根の数とする。

これらの式を総称して*'ディリクレの類数公式**という。

類数を表す式は、他にも、[[デデキントゼータ関数|デデキントのゼータ関数]]の <math>s = 1</math> での[[留数]]で表現するものも知られている。

<math>\zeta_K(s)</math> を、二次体 ''K'' のデデキントのゼータ関数とすると、以下の式が成立する。
:<math>\kappa h_K = \operatorname{Res}_{s=1}\zeta_K(s)</math>。
ただし、&kappa; は、上記、ディリクレの類数公式で与えられた &kappa; である。

=== 類数に関するガウスの予想 ===

[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]は、二元二次形式の研究により、二次形式の類数について、いくつかの予想を残している。今日、これらを総称して、類数に関する**ガウスの予想*'という。特に、予想4 のことをガウスの予想とすることも多い。
ここでは、ガウスが挙げた予想について、二次体での言葉に翻訳して述べる。

#*K* を二次体とし、*DK*, *hK* を *K* の判別式、類数としたとき、<math>\scriptstyle |D_K|\to\infty</math> ならば、<math>\scriptstyle h_K\to\infty</math> である。
#類数が 1 である実二次体は、無限に存在する。
#与えられた自然数 *k* に対して、類数が *k* である虚二次体は有限個しか存在しない。
#類数が 1 である虚二次体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{-d})</math> は、*d* が以下の場合に限る。
::1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

予想 1 について。

予想が成立することは、1934年にハイルブロン (H. Heilbronn) が証明し、[[カール・ジーゲル|ジーゲル]] (C. L. Siegel) により、類数の増大度について、以下の様な結果が得られた。
:<math>\lim_{|D_K|\to\infty}\frac{\log h_K}{\log\sqrt} = 1</math>。

予想 2 について。

現在でも、この予想が成立するか否かは不明である。もっと一般に、類数が 1 である代数体が無限に存在するかも分かっていない。

予想 3 について。

1973年に、ザギエ (D. Zagier) とグロス (B. Gross) によって、予想が成り立つことが証明された。

予想 4 について。

この予想は、まず、ヘーグナー (K. Heegner) によって、この予想が成立することが証明されたが、彼の証明には、不備があり、その誤りが訂正されたのは1968年である。そのため、この予想を最初に証明したのは、[[アラン・ベイカー|ベイカー]] (A. Baker) とスターク (H. M. Stark) であるとされる。(1966年の証明)

その後、類数が 2 である虚二次体 がベイカーとスタークにより解決され、現在までに、類数が100以下の虚二次体が決定している。

== 注釈 ==
<references />

== 参考文献 ==
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== 外部リンク ==
* (類数が 25 以下の虚二次体のリストアップされている。しかし、*d* が二次体の判別式であることに注意)
*[http://sps.nus.edu.sg/~limchuwe/stuffs/class_num.html List of Class Numbers] (*d'' < 1000 の虚二次体の類数のリスト)

## 関連項目
*二次形式
*代数体
*円分体
*ガロア拡大での素イデアルの分解