捩れ (代数学)

抽象代数学において、**捩れ**（ねじれ、）は、群の場合は、有限位数の元を言い、また環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。捩れという言葉は、捩れた図形のホモロジー群に有限位数の元が現れることに由来する。

## 定義
捩れは群の元と環上の加群の元とに対してそれぞれ定義される。任意のアーベル群は整数環 **Z** の上の加群と見ることができ、この場合は 2つの捩れの考え方は一致する。

### 群に対して
群 *G* の元 *g* は、有限位数を持つとき、つまり、正の整数が存在し、*g**m* = *e* となるようなとき、群の**捩れ元**  と呼ぶ。ここで *e* は群の単位元を、 *g**m* は *m* 個の *g* のコピーの積を表す。群は、すべての元が捩れ元であるとき、**捩れ群** 、あるいは**周期群**  といい、捩れ元が単位元のみ場合を**捩れのない群**  という。アーベル群 *A* の捩れ元全体 *T* は部分群をなし、**捩れ部分群**  と呼ばれる。このとき *A*/*T* は捩れのない群である。

### 加群に対して
環 *R* 上の加群 *M* の元 *m* は、環の正則元 *r* が存在して、*m* を零化する、すなわち  となるとき、加群の**捩れ元**  という。加群 *M* の捩れ元すべてからなる集合を *t*(*M*) と表す。

環 *R* 上の加群 *M* は、*t*(*M*) = *M* であるとき、**捩れ加群**  と呼ばれ、*t*(*M*) = 0 であるとき、**[[捩れのない加群|捩れがない]]**  と言う。*t*(*M*) が *M* の部分加群をなすとき、*t*(*M*) を**捩れ部分加群**  という。環 *R* が可換であれば、*t*(*M*) は捩れ部分加群である。*R* が非可換であれば *t*(*M*) は部分加群になるとは限らない。*R* が右であることと、*t*(*M*) がすべての右 *R* 加群に対して *M* の部分加群であることとは同値である。右ネーター域は Ore であるので、これは、*R* が右ネーター域の場合を含んでいる。

より一般的に、*M* を環 *R* 上の加群とし、*S* を *R* の積閉集合とする。このとき標準的な写像 *M* &rarr; *M**S* の核を *t**S*(*M*) と表す。*t**S*(*M*) = *M* のとき、つまり *M* のすべての元 *m* は、*S* のある元 *s* によって零化されるとき、*M* は ***S''-捩れ'''  と呼ばれる。また ''t''<sub>''S''</sub>(''M'') = 0 のとき、''M'' は***S*-捻れなし*'  という。特に、*S* を環 *R* の正則元全体の集合ととると上記の定義が再現される。

## 例
### 群に対して
* 任意の有限群は周期的で有限生成である。は、逆に、任意の有限生成の周期群は必ず有限であるかという問題である。（答えは、たとえ周期が固定されていても、一般には否定的である。）
*行列式が 1 の 2×2 整数行列の群 SL(2, **Z**) を中心で割ったモジュラー群 **Γ** において、任意の非自明な捩れ元は、位数 2 で元 *S* に共役であるか、あるいは、位数 3 で元 *ST* に共役であるかのいずれかである。この場合、捩れ元全体は部分群をなさない。例えば、*S*・*ST* = *T* であるが、この位数は無限大である。
* mod 1 での有理数からなるアーベル群 **Q**/**Z** は周期的である。類似して、一変数多項式環 *R*&nbsp;=&nbsp;**K**[*t*] 上の加群 **K**(*t*)/**K**[*t*] は pure torsion である。これらの例を次のように一般化することができる。*R* が可換整域で *Q* がその分数体であれば、*Q*/*R* は捩れ *R*-加群である。
* 加法群 **R**/**Z** の捩れ部分群は **Q**/**Z** であり、一方、加法群 **R** や **Z** は捩れがない。の部分群による商が捩れなしであるのは、ちょうど、その部分群がであるときである。

### 加群に対して
* *M* を任意の環 *R* 上の自由加群とすると、定義より直ちに、*M* は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 **K** 上のベクトル空間は **K** 上の加群と見たとき、捩れがない。
* 有限次元ベクトル空間 *V* に作用する線型作用素 *L* を考える。*V* を自然な方法で *F*[*L*]-加群と見ると、（多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって）*V* は捩れ *F*[*L*] 加群である。

## 主イデアル整域の場合
*R* を（可換）主イデアル整域とし、*M* を有限生成 ''R''-加群とすると、主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理は、同型を除き加群 *M* の詳細な記述を与える。特に、この定理は、
:  M \simeq F\oplus t(M), 
であることを言っている。ここに *F* は（*M* のみに依存する）有限な階数の自由 *R*-加群であり、 *t*(*M*) は *M* の捩れ部分加群である。系として、有限生成で捩れのない *R* 上の任意の加群は自由である。この系はより一般の可換整域に対しては*成り立たず*、2変数多項式環 *R*&nbsp;=&nbsp;**K**[*x*,&nbsp;*y*] に対してさえ成り立たない。有限生成でない加群に対しては、上の直和分解は正しくない。アーベル群の捩れ部分群はその直和因子になるとは限らない。

## 捩れと局所化
*R* を可換な整域で、*M* を *R*-加群と仮定する。また、*Q* を環 *R* の分数体とする。すると、*M* からにより与えられる *Q*-加群 
:  M_Q = M \otimes_R Q 
を考えることができる。*Q* は体であるから、*Q* 上の加群はベクトル空間である（無限次元かもしれない）。*M* から *M**Q* へのアーベル群の標準的な準同型が存在し、この準同型の核は捩れ部分加群 *t*(*M*) である。より一般に、*S* を環 *R* の積閉部分集合とすると、*R* 加群 *M* の局所化
:  M_S = M \otimes_R R_S
を考えることができる。これは、局所化 *R**S* 上の加群である。*M* から *M**S* への標準的な準同型が存在し、その核がちょうど *M* の *S*-捩れ部分加群となる。したがって、*M* の捩れ部分加群は、「局所化したときに消える」元全体の集合と解釈することができる。同じ解釈が、非可換な場合にも、Ore 条件を満たす環に対して、あるいはより一般に、右支配的集合 *S* と右 *R*-加群 *M* に対して、成り立つ。

## ホモロジー代数における捩れ
捩れの概念はホモロジー代数において重要な役割を果たす。*M* と *N* を可換環 *R* 上の加群とすると、Tor函手は *R*-加群 Tor(*M*, *N*) の族を与える。*R*-加群 *M* の *S*-捩れ *t**S*(*M*) は、標準的に Tor(*M*,&nbsp;*R**S*/*R*) と同型となる。この函手を表す記号 Tor はこの代数的な捩れとの関係を反映している。非可換環の場合でも *S* が右支配的集合である限りは、同じ結果が成り立つ。

## アーベル多様体

アーベル多様体の捩れ元は、**捩れ点**、あるいは、古い用語では、**分割点**と呼ばれる。楕円曲線上では、捩れ元は(division polynomials)の項として計算される。

## 脚注
### 注

### 出典

## 参考文献
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*Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985,  ISBN 0-8176-3065-1
*Irving Kaplansky, "Infinite abelian groups", University of Michigan, 1954.
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## 関連項目
* 解析的トーション
* 数論力学
* 平坦加群
* 加群の局所化
* アーベル群のランク
* レイ・シンガーのトーション
* 捩れ部分群
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* 普遍係数定理