形式的冪級数

数学において、**形式的冪級数**（けいしきてきべききゅうすう、）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（ を不定元として）
:\sum_{n=0}^\infty X^n=1+X+X^2+X^3+\dotsb+X^n+\dotsb
は（多項式ではない）冪級数である。

## 定義
 を可換とは限らない環とする。 に係数をもち  を変数（不定元）とする（一変数）**形式的冪級数** (formal power series) とは、各  () を  の元として、
:\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dotsb
の形をしたものである。ある  が存在して  のとき  となるようなものは多項式と見なすことができる。

形式的冪級数全体からなる集合  に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを**形式的冪級数環**という。和と積の定義は以下のようにする。
:\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n + \sum_{n=0}^{\infty} b_n X^n &:= \sum_{n=0}^{\infty} (a_n + b_n) X^n \\
\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n X^n\right) &:= \sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\right) X^n
\end{align}
すなわち和と積は形式的に定義し、環の元と不定元は可換であるとする。

### より形式的な定義
 を非負整数全体の集合とし、配置集合  すなわち  から  への関数（ に値を持つ数列）全体を考える。この集合に対し
:\begin{align}
(a_n)_{n\in\mathbb{N}}+(b_n)_{n\in\mathbb{N}} &:= (a_n+b_n)_{n\in\mathbb{N}} \\
(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\cdot(b_n)_{n\in\mathbb{N}} &:= \left(\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\right)_{n\in\mathbb{N}}
\end{align}
によって演算を定めると、 は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環  である。

ここでの  は上の  と対応する。

### 合成
定数項が 0 の形式的冪級数は、別の冪級数に代入することができる。すなわち、f(X):=\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n,\;g(X):=\sum_{m=1}^{\infty}b_mX^m とすると、 は  次以下の項をもたないので、合成
:f(g(X))=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\{g(X)\}^n
が意味をもつ。例えば
:\exp(\log(1+t))=1+t
は形式的冪級数としても正しい等式である。

## 性質
以下では  を単位元をもつ可換環とし、f=\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n\in AX とする。
*  が  の単元であることと  が  の単元であることは同値である。
*  が冪零であれば、すべての  は冪零である。逆は一般には成り立たないが、 がネーター環であれば成り立つ。
*  がネーター環であれば、 もネーター環である。
*  が整域であれば、 も整域である。
*  が  のジャコブソン根基に属することと、 が  のジャコブソン根基に属することは同値である。

## 形式微分
f=\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n に対し、f' := \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot a_nX^{n-1} を *f* の**[[形式微分]]**という。,  に対し、,  などが成り立つ。

これは（複素あるいは実の）収束冪級数と考えると項別微分に相当するものである。

## 一般化
### 形式的ローラン級数
有限個の負冪も許したものは**形式的ローラン級数**と呼ばれる。正確には次の形のものである。 を自然数、各  を可換環  の元として、
:\sum_{n=-N}^{\infty} a_n X^n.
このような元全体は環をなし、**形式的ローラン級数環**といい、 と表記する。とくに  が体  であるとき、 も体であり、これは  の商体でもある。

### 多変数の形式的冪級数
任意の個数（無限個でもよい）の不定元をもった形式的冪級数を定義することができる。 が添え字集合であり  を  に対し不定元  全体の集合とすれば、単項式  は  の元の任意の有限個の（重複を許した）積である。係数を環  にもつ  の形式的冪級数は単項式  の集合から対応する係数  への任意の写像によって決定され、\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha と表記される。すべてのそのような形式的冪級数からなる集合を  と表記し、以下のように環の構造を与える。

:\left(\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha\right)+\left(\sum_\alpha d_\alpha X^\alpha\right):=\sum_\alpha(c_\alpha+d_\alpha)X^\alpha

および

:\left(\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha\right)\times\left(\sum_\alpha d_\alpha X^\alpha\right):=\sum_{\alpha,\beta} c_\alpha d_\beta X^{\alpha+\beta}

一変数の場合と同様に、 である。

 の場合には、 とも書かれる。 である。

#### 性質

* 多項式とは異なり、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。
: しかし、例えば次のようなときには意味を持つ。可換環  はイデアル  による  進距離で完備であるとする。このとき a_1,\dots,a_n\in I であれば、\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha\in AX_1,\dots,X_n の X_1, \dots, X_n に a_1, \dots, a_n を代入したものは収束する。
* ネーター環  上の多項式環  の、\mathfrak{m}=(X_1,\dots,X_n) による完備化は、 と同型である。これは B_\mathfrak{m} の \mathfrak{m}B_\mathfrak{m} 進位相による完備化とも同型である。
*  がネーター環であれば、 もネーター環であり、 が整域であれば  も整域である。 が体であれば、 は正則局所環 である。

## 参考文献
*.
* Werner Balser: *Formal Power Series and Linear System of Meromorphic Ordinary Differential Equations*, Springer, ISBN 0-387-98690-1 (2000).
* 荒川恒男、金子昌信、伊吹山知義　『ベルヌーイ数とゼータ関数』　牧野書店、2001年。ISBN 978-4-7952-0139-2。
* 雪江明彦、『代数学3 代数学のひろがり』、日本評論社、2011年、ISBN 978-4-535-78661-5