レヴィ・チヴィタ接続

**レヴィ-チヴィタ接続**（レヴィ-チヴィタせつぞく、）は、幾何学領域で使われる微分演算子であり、リーマン多様体上に**共変微分**という操作を定め、記号ナブラ\nablaで表される事が多い。レヴィ-チヴィタ「接続」という名称はより一般的なファイバーバンドルの接続概念の特殊な場合になっている事により、接続概念から定義される「平行移動」（後述）を用いる事で、上の相異なる2点を「接続」してこれら2点における接ベクトルを比較可能になる。レヴィ-チヴィタ接続において定義される概念の多くは一般のファイバーバンドルの接続に対しても定義できる。レヴィ-チヴィタ接続の名称はイタリア出身の数学者トゥーリオ・レヴィ-チヴィタによる。

リーマン計量を持たない多様体において、上で定義された曲線c(t)の一階微分c'(t)は接ベクトル空間T_{c(t)}Mの元として定義する事ができるが、二階微分はそのように定義する事はできない。レヴィ-チヴィタ接続\nablaは、Mがリーマン多様体である場合に対し、c'(t)などの接ベクトルをさらに微分する「共変微分」という手段を与える。

リーマン多様体がユークリッド空間\mathbb{R}^Nの部分多様体の場合は、\mathbb{R}^Nにおける（通常の意味の）微分をに射影したものを考える事ができるが、実はこのように定義した共変微分はMの内在的な量である事、すなわちすなわち\mathbb{R}^Nからに誘導されるリーマン計量とその偏微分のみで記述可能である事が知られている。このため\mathbb{R}^Nの部分空間とは限らない一般のリーマン多様体Mに対しても、リーマン計量とその偏微分を用いて微分概念を定義する事が可能であり、これがMにおける共変微分である。

以上の議論により、リーマン多様体がユークリッド空間\mathbb{R}^Nの部分多様体の場合において、（\mathbb{R}^N上でニュートン力学が成立しているとすれば）、c'(t)の共変微分の直観的意味は、 の鉛直方向に無限に大きい束縛力が働いているためMの鉛直方向の加速度がキャンセルされる状況下におけるc(t)の加速度を表している。  一方、一般相対性理論では がリーマン多様体ではなく擬リーマン多様体（の特集ケースであるローレンツ多様体）である場合において、共変微分に対してこれとは別の物理的解釈を与えている。以下、本稿で特に断りなく「物理的に」と言った場合はニュートン力学の方の物理的解釈を意味するものとするが、必要に応じて一般相対性理論の方の解釈についても触れる。 

これまでc'(t)の共変微分を考えてきたが、より一般に、v(t)をc(t)上定義された のベクトル場（すなわち各時刻に対し、v(t)はv(t)\in T_{c(t)}Mを満たす。例えばv(t)=c'(t)）とするとき、レヴィ-チヴィタ接続\nablaは共変微分{\nabla \over dt}v(t)\in T_{c(t)}M
を定義可能である。さらにこれを自然に一般化する事により、２つのベクトル場X、Yに対し、YのX方向の共変微分\nabla_X Yを定義できる。 

## がの部分リーマン多様体である場合の共変微分
本節では\mathbb{R}^Nの部分リーマン多様体に対す共変微分を定義し、次節でそれを一般のリーマン多様体に拡張する。 を\mathbb{R}^Nの部分リーマン多様体、c(t)を上の曲線、さらにv(t)をc(t)上定義された のベクトル場（すなわち各時刻に対し、v(t)はv(t)\in T_{c(t)}Mを満たす。例えばv(t)はc(t)の微分）とする。このとき

: {\nabla \over dt}v(t):=\mathrm{Pr}_{c(t)}\left({d \over dt} v_{c(t)}\right) 


をv(t)のc(t)に沿った**共変微分**という。ここで\mathrm{Pr}_{c(t)}は点c(t)におけるに対する接空間（と自然に同一視可能なT_{c(t)}M ）への射影をとる操作である。

また、を上のベクトル場とするとき、

: 
\nabla_XY|_P := {\nabla \over dt}Y_{\exp(tX)(P)}


と定義し、YのX方向の共変微分\nabla_X Yを定義できる。ここで\exp(tX)(P) は時刻に点P \in Mを通るの積分曲線である。

上に定義した２つの量はの内在的な量である事、すなわち\mathbb{R}^nからに誘導されるリーマン計量（とその偏微分）のみから得られる事が言える： \right)     ...()}}ここでv(t)=v^i(t)\tfrac{\partial}{\partial x^i}であり、g_{k\ell}=g(\tfrac{\partial}{\partial x^{k}},\tfrac{\partial}{\partial x^{\ell}})であり、(g^{i\ell})_{i\ell}は(g_{\ell j})_{\ell j}の逆行列である。すなわち\delta^i{}_jをクロネッカーのデルタとするとき、g^{i\ell}g_{\ell j}=\delta^i{}_jである。
{\partial x^k}(x(t))
はの\vec{y}(x(t))における接平面に属しているので、

:\mathrm{Pr}_{c(0)}\left({d\over dt}\vec{v}(t)\right)

={dv^k(t)\over dt}{\partial \vec{y} \over \partial x^k}(x(t))+v^k(t){dx^j(t)\over dt}\mathrm{Pr}_{t=0}\left({\partial^2 \vec{y} \over \partial x^j\partial x^k}(x(t))\right)
     ...()
が成立する。よって後は
\mathrm{Pr}_{c(0)}\left(\tfrac{\partial^2 \vec{y}}{\partial x^j\partial x^k}(x(t))\right)
の具体的な形を決定すれば良い。そのためには成分で
:
\mathrm{Pr}_{c(0)}\left({\partial^2 \vec{y} \over \partial x^j\partial x^k}(x(t))\right) 

=a^i_{jk}(t){\partial \vec{y}\over \partial x^i}(x(t))
       ...()
と書いて係数のa^i_{jk}(t)を決定すればよい。以下記号を簡単にするため「a^i_{jk}(t)」を単に「a^i_{jk}」と書き、偏微分から「x(t)」を省略する。すると、
:
a^i_{jk}g_{i\ell}=a^{i}_{jk}\left\langle {\partial \vec{y}\over \partial x^i},{\partial \vec{y}\over \partial x^{\ell}} \right\rangle

=\left\langle\mathrm{Pr}_{c(0)}\left({\partial^2 \vec{y} \over \partial x^j\partial x^k}\right),
{\partial \vec{y}\over \partial x^{\ell}}
\right\rangle 

=\left\langle{\partial^2 \vec{y} \over \partial x^j\partial x^k},
{\partial \vec{y}\over \partial x^{\ell}}
\right\rangle

であるので、
:
a^i_{jk}=g^{i\ell}\left\langle{\partial^2 \vec{y} \over \partial x^j\partial x^k},
{\partial \vec{y}\over \partial x^{\ell}}
\right\rangle
       ...()
である。一方ライプニッツ則より
:
{\partial g_{k\ell}\over \partial x^j}=
{\partial \over \partial x^j}
\left\langle {\partial \vec{y}\over \partial x^k},{\partial \vec{y}\over \partial x^{\ell}}\right\rangle

=
\left\langle {\partial^2 \vec{y}\over \partial x^j\partial x^k},{\partial \vec{y}\over \partial x^{\ell}}\right\rangle
+
\left\langle {\partial \vec{y}\over \partial x^k},{\partial^2 \vec{y}\over \partial x^j\partial x^{\ell}}\right\rangle

であるので、添字をサイクリックに入れ替えることで以下の3式を得る：
:
\begin{align}
{\partial g_{k\ell}\over \partial x^j}&=
\left\langle {\partial^2 \vec{y}\over \partial x^j\partial x^k},{\partial \vec{y}\over \partial x^{\ell}}\right\rangle
+
\left\langle {\partial \vec{y}\over \partial x^k},{\partial^2 \vec{y}\over \partial x^j\partial x^{\ell}}\right\rangle \\
{\partial g_{\ell j}\over \partial x^k}&=
\left\langle {\partial^2 \vec{y}\over \partial x^k\partial x^{\ell}},{\partial \vec{y}\over \partial x^{j}}\right\rangle
+
\left\langle {\partial \vec{y}\over \partial x^{\ell}},{\partial^2 \vec{y}\over \partial x^k\partial x^{j}}\right\rangle \\
{\partial g_{jk}\over \partial x^{\ell}}&=
\left\langle {\partial^2 \vec{y}\over \partial x^{\ell}\partial x^j},{\partial \vec{y}\over \partial x^{k}}\right\rangle
+
\left\langle {\partial \vec{y}\over \partial x^j},{\partial^2 \vec{y}\over \partial x^{\ell}\partial x^{k}}\right\rangle
\end{align}

第1式と第2式の和から第3式を引くと、右辺の第2項同士が打ち消し合うため、
:
{\partial g_{k\ell}\over \partial x^j} 
+ {\partial g_{\ell j}\over \partial x^k} 
- {\partial g_{jk}\over \partial x^{\ell}} 
= 2\left\langle   {\partial^2 \vec{y}\over \partial x^j \, \partial x^k},{\partial\vec {y}\over \partial x^{\ell}}  \right\rangle

が得られる。
よって
\Gamma^i_{jk}
の定義と()より、
:
a^i_{jk}=\Gamma^i_{jk}

が結論付けられる。よって()、()、()から
:\mathrm{Pr}_{c(0)}\left({d\over dt}\vec{v}(t)\right)

={dv^k(t)\over dt}{\partial \vec{y} \over \partial x^k}+v^k(t){dx^j(t)\over dt}\Gamma^i_{jk}{\partial \vec{y} \over \partial x^i}


=\left({dv^i(t)\over dt}+\Gamma^i_{jk}{dx^j(t)\over dt}v^k(t)\right){\partial \vec{y} \over \partial x^i}

|drop=yes}}

同様にX=X^i\tfrac{\partial}{\partial x^i}、Y=Y^i\tfrac{\partial}{\partial x^i}とすると、以下が成立する：

## 一般のリーマン多様体における共変微分とその特徴づけ

### 定義
前節で述べたように\tfrac{\nabla}{dt} v(t)やはに内在的な量なので、一般のリーマン多様体に対しても、()、()、()式をもってこれらの量を定義できる：

レヴィ-チヴィタ接続の定義は()、()、()式に登場する局所座標(x^1,\ldots,x^m)に依存しているが、局所座標によらずwell-definedである事を証明できる。

レヴィ・チヴィタ接続の事を**リーマン接続**（）もしくは**リーマン・レヴィ-チヴィタ接続**（）とも呼ぶ。

レヴィ-チヴィタ接続の定義から明らかに以下の事実が従う：

すなわち、共変微分{\nabla \over \mathrm{d}t}v(t)、\nabla_XYはユークリッド空間\mathbb{R}^mにおける微分概念{\mathrm{d} \over \mathrm{d} t}v(t)、XYを一般のリーマン多様体に拡張したものである。

#### クリストッフェル記号
レヴィ-チヴィタ接続を局所座標(x^1,\ldots,x^m)で表したとき、()式で定義される\Gamma^i{}_{jk}を局所座標(x^1,\ldots,x^m)に関する**[[クリストッフェル記号]]**という。クリストッフェル記号は
: \nabla_ {\partial  \over \partial x^k}= \Gamma^i_{jk}{\partial  \over \partial x^i}

を満たす係数である。

クリストッフェル記号は以下の座標変換則を満たす：

 {\partial  \over \partial x^k}= \Gamma^i_{jk}{\partial  \over \partial x^i}
であるので、ライプニッツ則から
: \Gamma^i_{jk}{\partial  \over \partial x^i}
=
\nabla_{\partial_{x^j}} {\partial  \over \partial x^k}
 = \nabla_{\partial_{x^j}} 
 \left(
 {\partial y^u \over \partial x^k}
 {\partial  \over \partial y^u}
 \right)
  = 
 {\partial y^u \over \partial x^j\partial x^k}
 {\partial  \over \partial y^u}
 + 
 {\partial y^u \over \partial x^k}
 \nabla_{\partial_{x^j}} 
 {\partial  \over \partial y^u} 
が成立する。上式の第二項は
: 上式第二項 = 
 {\partial y^u \over \partial x^k}
 {\partial y^t \over \partial x^j}
 \nabla_{\partial_{y^t}} 
 {\partial  \over \partial y^u}  = 
 {\partial y^u \over \partial x^k}
 {\partial y^t \over \partial x^j}
 \nabla_{\partial_{y^t}} 
 \bar{\Gamma}_{tu}^s
 {\partial  \over \partial y^s} 

を満たすので、以上をまとめると、

: \Gamma^i_{jk}{\partial  \over \partial x^i}  = 
 {\partial y^u \over \partial x^j\partial x^k}
 {\partial  \over \partial y^u}
 + 
 {\partial y^u \over \partial x^k}
 {\partial y^t \over \partial x^j}
 \nabla_{\partial_{y^t}} 
 \bar{\Gamma}_{tu}^s
 {\partial  \over \partial y^s} 
両辺に{\partial x^i \over \partial y^s}を乗じて各成分を見る事により定理が示される。
|drop=yes}}

証明からわかるように、この変換則はライプニッツ則から従っている。また、上の定理から特に、クリストッフェル記号は（物理学用語の意味での）テンソルではない。

### リーマン幾何学の基本定理
レヴィ-チヴィタ接続は以下の性質により特徴づけられる：ここで**'、**'、**'は**'上の任意の可微分なベクトル場であり、**'、**'は**'上定義された任意の実数値級関数であり、**'、**'は任意の実数であり、<math>fY</math>は点<math>u \in M</math>において<math>f(u)Y_u</math>となるベクトル場であり、<math>X(f)</math>は**'の**'方向微分であり、<math>[X,Y]</math>はである。すなわち、
: <math>[X,Y] :=XY - YX = X^i{\partial Y^j \over \partial x^i}{\partial  \over \partial x^j} - Y^i{\partial X^j \over \partial x^i}{\partial \over \partial x^j}
</math>

定義に関していくつか注釈を述べる。第一に、条件1のように、任意の級関数に対して線形性が成り立つことを<math>C^{\infty}(M)</math>-**線形**であるという。一般に**C^{\infty}(M)**-線形な汎関数は、一点の値のみでその値が決まる事が知られている。例えばレヴィ-チヴィタ接続の場合、点<math>P \in M</math>における<math>\nabla_X Y</math>の値はのみに依存し以外の点におけるの値には依存しない。

第二に、5番目の条件は[[レヴィ・チヴィタ接続#テンソルの共変微分|後述するテンソル積の共変微分]]を用いると、

: <math>\nabla_Z g = 0</math>

とも書ける。

最後に、上に挙げた5つの条件のうち、最初の3つを満たす微分演算子を[[アフィン接続]]といい、レヴィ-チヴィタ接続を一般化した概念として知られている。

===Koszulの公式===

上述した特徴づけを使うと、レヴィ-チヴィタ接続の成分によらない具体的な表記を得る事ができる。


=== 二階共変微分 ===
<math>X</math>、<math>Y</math>、<math>Z</math>を<math>M</math>上の３つのベクトル場とする**二階共変微分**<math>\nabla^2_{X,Y}Z</math>とは、[[積の微分法則|ライプニッツ則]]が成立するように<math>\nabla_X(\nabla_Y Z)</math>に補正を加えたものである。すなわち、<math>\nabla_X(\nabla_Y Z)</math>が「<math>Y</math>部分を共変微分したもの」<math>\nabla_{\nabla_XY}Z</math>と「それ以外の部分を共変微分したもの」<math>\nabla^2_{X,Y}Z</math>の和になるように二階共変微分を定義する。ここで<math>\nabla_{\nabla_XY}Z</math>は<math>W=\nabla_XY</math>により<math>Z</math>を共変微分した<math>\nabla_{W}Z</math>の事である。
上述の定義に対して２つ注意を述べる。第一に、三階以上の共変微分も原理的にはライプニッツ則により同様に定義可能であるものの、定義が煩雑になる。そこで[[#テンソル場の二階共変微分|後の章]]で一般のテンソルに対する二階以上の共変微分を定義する際にはテンソル代数を使う事により、前述した「それ以外の部分の共変微分」という直観をより直接的に定義し、その定義が上述の定義と一致する事を見る。

第二に、<math>M</math>がユークリッド空間の場合は<math>\nabla_XY=XY</math>であった（[[レヴィ・チヴィタ接続#ユークリッド空間における共変微分|前述]]）ので、ユークリッド空間においては<math>\nabla_X(\nabla_Y Z)</math>も<math>\nabla_{\nabla_XY}Z</math>も<math>XYZ</math>に等しく、したがって二階共変微分<math>\nabla^2_{X,Y}Z</math>は<math>0</math>となる。よって二階共変微分はユークリッド空間ではない一般のリーマン多様体において初めて意味を持つ概念である。

==== 規約 ====
本項では文献に従い二階共変微分を「<math> \nabla^2_{X,Y} Z </math>」と書いたが、文献ではこれと同じ物を「<math> \nabla^2_{Y,X} Z </math>」のように<math>X</math>、<math>Y</math>を逆順に表記している。また、我々は文献に従い、「<math> \nabla^2_{X,Y} Z </math>」という記号を使ったが、文献によっては「<math> \nabla^2_{X,Y} Z </math>」の事を「<math> \nabla_{X}\nabla_{Y} Z </math>」と書くものもある。この値は<math>Z</math>に<math>\nabla_Y</math>、<math>\nabla_X</math>を順に作用させた<math> \nabla_{X}(\nabla_{Y} Z)  </math>とは異なるので注意されたい。

=== 略記法 ===

文章の前後関係から局所座標が分かるときは<math>\tfrac{\partial}{\partial x^i}</math>の事を
:<math>\partial_{x^i}</math>、<math>\partial_i</math>
等と略記し、<math>\nabla_{\partial_j} Y</math>の事を
: <math>\nabla_j Y</math>、
と略記する。さらに<math>Y^i{}_{;j}</math>を<math>\nabla_j Y</math>の成分表示
;<math>\nabla_j Y = Y^i{}_{;j} \partial_i</math>
により定義する。一方、関数の偏微分<math>\partial_jf</math>は
: <math>f_{,j}</math>
と「,」をつけて略記する。したがって<math>Y=Y^i\partial_i</math>とすれば、
: <math>Y^i{}_{;j}=Y^i{}_{,j}+Y^k\Gamma^i{}_{jk}</math>

が成立する。なお、
: <math>Y^i{}_{;j,k}</math>
は<math>\nabla_j(\nabla_k Y )</math>の番目の係数**ではなく**、上述した二階共変微分<math>\nabla^2_{\partial_j,\partial_k} Y </math>の番目の係数を意味するので注意されたい。

== ==


=== 定義 ===
リーマン多様体<math>(M,g)</math>上の曲線<math>c(t)</math>上定義された上のベクトル場<math>v(t)</math>が

: <math>{\nabla \over dt}v(t)=0</math>

を恒等的に満たすとき、<math>v(t)</math>は<math>c(t)</math>上**平行**であるという。また、<math>c(t_0)</math>上の接ベクトル<math>w_0 \in T_{c(t_0)}M</math>と<math>c(t_1)</math>上の接ベクトル<math>w_1 \in T_{c(t_1)}M </math>に対し、<math>v(t_0)=w_0</math>、<math>v(t_1)=w_1 </math>を満たす<math>c(t)</math>上の平行なベクトル場<math>v(t)</math>が存在するとき、<math>w_1</math>は<math>w_0</math>を<math>c(t)</math>**に沿って平行移動**（ <math>c(t)</math>）した接ベクトルであるという。

[[ユークリッド空間]]の平行移動と異なる点として、**どの経路c(t)に沿って平行移動したかによって結果が異なる事**があげられる。この現象を****（）という。

右図はホロノミーの具体例であり、接ベクトルを大円で囲まれた三角形に沿って一周したものを図示しているが、一周すると元のベクトルと90度ずれてしまっている事が分かる。

=== 性質 ===
**c(t)**に沿って<math>w_0 \in T_{c(0)}M</math>を<math>c(t)</math>まで平行移動したベクトルを<math>\varphi_{c,t}(v) \in T_{c(t)}M</math>とすると<math>\varphi_{c,t}~:~ T_{c(0)}M \to T_{c(t)}M </math>は線形変換であり、しかも計量を保つ。すなわち以下が成立する：



実は平行移動の概念によってレヴィ-チヴィタ接続を特徴づける事ができる：
=== ホロノミー群 ===
とくに点<math>u \in M</math>から自身までの上の閉曲線<math>c(t)</math>に沿って一周する場合、接ベクトル<math>v \in T_uM  </math>を平行移動した元を<math>\varphi_{c}(v)</math>と書くことにすると、
: <math>\mathrm{Hol}(\nabla,P) := \{\phi_c \mid c</math>はから自身までの区分的になめらかな閉曲線<math>\}</math>
は（合成関数で積を定義するとき）<math>T_uM  </math>上の[[直交群]]の（[[閉集合|閉]]とは限らない）部分リー群になる。<math>\mathrm{Hol}(\nabla, P) </math>をレヴィ-チヴィタ接続に関する**（***'）'''という。が[[弧状連結]]であれば<math>\mathrm{Hol}(\nabla, P) </math>は点によらず同型である。

== ==


をユークリッド空間<math>\mathbb{R}^N</math>の次元部分多様体とし、上に曲線<math>c(t)</math>を取り（図の青の線）、<math>c(t)</math>に沿ってを次元平面<math>\mathbb{R}^n \subset \mathbb{R}^N</math>上[[滑りとねじれのない転がし|「滑ったり」「ねじれたり」することなく転がした]]ときにできる曲線の軌跡を<math>\tilde{c}(t)</math>とする（図の紫の線）。

を転がすと、時刻に<math>c(t)</math>が<math>\mathbb{R}^n</math>に接した瞬間に<math>T_{c(t)}M</math>が<math>\mathbb{R}^n</math>に重なるので、自然に写像

: <math>\varphi_t~:~ T_{c(t)}M \to \mathbb{R}^n </math>

が定義できる。この写像を使うと、のレヴィ・チヴィタ接続の幾何学的意味を述べることができる：すなわち、曲線<math>c(t)</math>に沿った<math>v(t)</math>の共変微分を<math>\mathbb{R}^n</math>に移したものは、<math>v(t)</math>を<math>\mathbb{R}^n</math>に移したものを通常の意味で微分したものに一致する。この事実から特に、レヴィ-チヴィタ接続による平行移動と<math>\mathbb{R}^n</math>における通常の意味での平行移動の関係を示すことができる：

== 接続形式 ==
<math>(e_1,\ldots,e_m)</math>を<math>M</math>の接バンドル<math>TM</math>の局所的な基底とし、、を上のベクトル場とし、<math>Y = Y^je_j</math>とすると、レヴィ-チヴィタ接続の定義から

: <math>\nabla_X Y =X(Y^j)e_j + Y^j \nabla_X e_j</math> 

である。この式は、共変微分<math>\nabla_XY = \nabla_X(Y^je_j) </math>に[[積の微分法則|ライプニッツ則]]を適用して成分部分の微分<math>X(Y^j)e_j</math>と基底部分の微分<math>Y^j \nabla_X e_j</math>の和として表現したものと解釈できる。

そこで以下のような定義をする：


定義から明らかに

: <math>\omega^i{}_j(e_k) =\Gamma^i{}_{kj}</math> 

が成立する。

接続概念において重要な役割を果たす平行移動の概念は接続形式と強く関係しており、底空間の曲線<math>c(t)</math>に沿って定義された局所的な基底<math>(e_1(t),\ldots,e_m(t))</math>をで微分したものが接続形式<math>\omega(\tfrac{dc}{dt}(0)) </math>に一致する。

レヴィ・チヴィタ接続による平行移動は回転変換、すなわち<math>SO(m)</math>の元なので、その微分である接続形式は<math>SO(m)</math>のリー代数<math>\mathfrak{so}(m)</math>の元、すなわち[[交代行列|歪対称行列]]である：


このように接続形式を用いるとベクトルバンドルの構造群（上の例では<math>SO(m)</math>）が接続形式の構造をリー群・リー代数対応により支配している事が見えやすくなる。

上では回転群<math> \mathrm{SO}(m)</math>の場合を説明したが、（レヴィ-チヴィタ接続とは限らない）一般の接続概念に対し、[[物理学]]で重要な他の群、例えば[[斜交群|シンプレクティック群]]や[[スピン群]]に対して同種の性質が証明でき、接続形式がリー群・リー代数対応により支配されている事がわかる。

こうした事実は接続概念を直接リー群と接続形式とで記述する方が数学的に自然である事を示唆する。[[接続 (微分幾何学)#主バンドルの接続|リー群の主バンドルの接続]]はこのアイデアを定式化したもので、主バンドルの接続は接続形式に相当するものを使って定義される。詳細は[[接続 (ファイバー束)]]の項目を参照されたい。

== 測地線 ==


=== 定義 ===
リーマン多様体<math>(M,g)</math>上の曲線<math>c(t)</math>で'''測地線方程式'''

: <math>{\nabla \over dt}{d \over dt}c(t)=0</math>

を恒等的に満たすものを'''[[測地線]]'''という。2階微分は物理的には[[加速度]]であるので、測地線とは加速度が恒等的にである曲線、すなわちユークリッド空間における[[直線]]を一般化した概念であるとみなせる。


リーマン多様体上の曲線の、弧長パラメータによる「二階微分」の長さ

: <math>\left\|{\nabla \over ds}{d c\over ds}\right\|</math>

をにおける<math>c(s)</math>の'''測地線曲率'''（）、あるいは単に'''曲率'''（）という。よって測地線は、曲率がの曲線と言い換える事ができる。

=== 存在性と一意性 ===
[[常微分方程式]]の局所的な解の存在一意性から、点<math>P \in M</math>における接ベクトル<math>v\in T_PM</math>に対し、ある<math>\varepsilon > 0</math>が存在し、
: <math> c(0)=P </math>、<math> \tfrac{dc}{dt}(0)=v </math>

を満たす測地線<math>c(t)</math>が<math>(-\varepsilon,\varepsilon)</math>上で一意に存在する。この測地線を

: <math>\exp(tv)</math>

と書く。

しかし測地線は任意の長さに延長できるとは限らない。たとえば<math>\mathbb{R}^2\setminus\{0\}</math>（に通常のユークリッド空間としての計量を入れた空間）において、測地線<math>c(t)=(1-t,0)</math>は<math>t < 1</math>までしか延長できない。任意の測地線がいくらでも延長できるとき、リーマン多様体は'''測地線完備'''であるという。



測地線が<math>\mathbb{R}</math>全域に拡張できるか否かに関して以下の定理が知られている。

=== 特徴づけ ===
測地線の概念を全く違った角度から特徴づける事ができる。

==== 弧長の停留曲線 ====
このことを示すため、いくつか記号を導入する。<math>(M,g)</math>をリーマン多様体とし、<math>\nabla</math>を<math>(M,g)</math>上のレヴィ-チヴィタ接続とする。 <math>x~:~U\subset M \to \mathbb{R}^m</math>を''''の局所座標とし、<math>x</math>を成分で<math>x=(x^1,\ldots,x^m)</math>と表す。

<math>U</math>上の滑らかな曲線<math>P(t)</math>を考え、<math>P(t)</math>を局所座標<math>x~:~U\subset M \to \mathbb{R}^m</math>で表したものを<math>x(t)=(x^1(t),\ldots,x^m(t))\subset \mathbb{R}^m</math>とする。さらに <math>\eta~:~[a,b] \to  \mathbb{R}^m</math> を滑らかな写像で<math>\eta(a)=\eta(b)=0</math>となるものとし、<math>\varepsilon>0</math>に対して曲線

: <math>x_{\varepsilon, \eta}(t):=x(t)+\varepsilon \eta(t)</math>

を考える。ここで和や定数倍は<math>x(t)</math>、<math>\eta(t)</math>を<math>\mathbb{R}^m</math>の元と見たときの和や定数倍である。

そして、

: <math>L(x,v):=\sqrt{g_x(v,v)}</math>

と定義し[[弧長|弧長積分]]

: <math>S_{x,\eta}(\varepsilon):=\int_a^b L\left(x_{\varepsilon,\eta}(t),\tfrac{d x_{\varepsilon,\eta}}{dt}(t)\right)dt</math>

を考える。「停留曲線」は直観的には滑らかな曲線全体の空間での「微分」が''''になるという事である。

[[変分法]]の一般論から次が成立する：\left(x(t), \frac{d x}{dt}(t)\right)
 \right)
 =\frac{\partial L}{\partial x_{\ell}}\left(x(t), \frac{d x}{dt}(t)\right) 
</math>   for <math>j=1,\ldots,m</math>}}曲線<math>x(t)</math>の弧長

: <math>s=\int_a^t \sqrt{g_x\left({dx\over dt},{dx\over dt}\right)}dt</math>

によって<math>x(t)</math>をパラメトライズする事を'''弧長パラメーター'''表示という。実は次が成立する：\left(x(t), \frac{d x}{dt}(t)\right)
=
 \frac{\partial }{\partial v_{\ell}}\sqrt{g(\dot{x},\dot{x})}
=
  {1 \over \sqrt{g(\dot{x},\dot{x})}}g_{i\ell}\dot{x}^i 
=
g_{i\ell}
{dx^i \over ds}

</math>
より、
: <math>
 {d\over dt}\frac{\partial L}{\partial v_{\ell}}\left(x(t), \frac{d x}{dt}(t)\right)
=
{ds \over dt}{d \over ds}\left(
g_{i\ell}{dx^i \over ds}
\right)
=
{ds \over dt}
\left(
{\partial g_{i\ell} \over \partial x^j}
{dx^i \over ds}
{dx^j \over ds}
+ 
g_{i\ell}{d^2x^i \over ds^2}
\right)

</math>

である。一方右辺は

: <math>
\frac{\partial L}{\partial x_{\ell}}\left(x(t), \frac{d x}{dt}(t)\right) 
= 
{1 \over 2\sqrt{g(\dot{x},\dot{x})}}
{\partial g_{jk}\over \partial x^{\ell}}\dot{x}^j\dot{x}^k
= 
{1 \over 2}
{\partial g_{jk}\over \partial x^{\ell}}
{dx^j \over ds}
{dx^k \over ds}
{ds \over dt}
</math>
である。よって両辺を見比べることで、
: <math>
{\partial g_{i\ell} \over \partial x^j}
{dx^i \over ds}{dx^j \over ds}
+ 
g_{i\ell}{d^2x^i \over ds^2}
=
{1\over 2}
{\partial g_{jk}\over \partial x^{\ell}}
{dx^j \over ds}
{dx^k \over ds}

</math>

左辺第一項の添字のをに代えて整理する事で、

: <math>
g_{i\ell}{d^2x^i \over ds^2}
+
{1\over 2}
\left(
{2\partial g_{k\ell} \over \partial x^j}
-
{\partial g_{jk}\over \partial x^{\ell}}
\right)
{dx^j \over ds}{dx^k \over ds}
=0
</math>
よって、
: <math>
{d^2x^i \over ds^2}
+
{g^{i\ell}\over 2}
\left(
{2\partial g_{k\ell} \over \partial x^j}
-
{\partial g_{jk}\over \partial x^{\ell}}
\right)
{dx^j \over ds}{dx^k \over ds}
=0
</math> 
ここで<math>\ell</math>との添字の付け替えにより
: <math>
{\partial g_{k\ell} \over \partial x^j}
{dx^j \over ds}
{dx^k \over ds}
=
{\partial g_{j\ell} \over \partial x^k}
{dx^k \over ds}
{dx^j \over ds}

</math> 
なので、
: <math>
{d^2x^i \over ds^2}
+
{g^{i\ell}\over 2}
\left(
{\partial g_{k\ell} \over \partial x^j}
+
{\partial g_{j\ell} \over \partial x^k}
-
{\partial g_{jk}\over \partial x^{\ell}}
\right)
{dx^j \over ds}{dx^k \over ds}
=0
</math> 
となる。クリストッフェル記号の定義から定理は証明された。|title=証明|drop=yes}}

==== エネルギーの停留曲線 ====
上では測地線が

: <math>L(x,v):=\sqrt{g_x(v,v)}</math>
: <math>S_{x,\eta}(\varepsilon):=\int_a^b L(x_{\varepsilon,\eta}(t),\tfrac{d x_{\varepsilon,\eta}}{dt}(t))dt</math>

に対して停留曲線になる事を示したが、'''エネルギー'''

: <math>\bar{L}(x,v):={g_x(v,v) \over 2}</math>

から得られる

: <math>\bar{S}_{x,\eta}(\varepsilon):=\int_a^b \bar{L}(x_{\varepsilon,\eta}(t),\tfrac{d x_{\varepsilon,\eta}}{dt}(t))dt</math>

に対しても停留曲線は測地線になっている事が知られている。

しかもこの事実は''''が正定値や非退化でなくても成立する：{\partial v_{\ell}}\left(x(t), \frac{d x}{dt}(t)\right)
 \right)
 =\frac{\partial \bar{L}}{\partial x_{\ell}}\left(x(t), \frac{d x}{dt}(t)\right) 
</math>   for <math>j=1,\ldots,m</math>
を満たす。|}}この事実は[[擬リーマン多様体]]を基礎に置く[[一般相対性理論]]では、運動エネルギーを最小にする曲線、すなわち自由落下曲線が測地線になる事を含意する。

=== 正規座標 ===
測地線の局所的存在性から、点<math>P\in M</math>における接ベクトル空間の原点の近傍<math>0_P \in U \subset T_P M</math>の任意の元<math>v \in U</math>に対し、測地線<math>\exp_P(t v)</math>が存在する。必要ならを小さく取り直す事で写像
: <math>v \in U \mapsto \exp_P(v) \in M</math>

が中への同型になるようにする事ができる。ベクトル空間の開集合からへの中への同型なので、<math>v \in U \mapsto \exp_P(v) \in M</math>をの点の周りの局所座標と見なす事ができる。この局所座標をの点における***'（）という。

\mathbb{R}^nにおいて、Y(x)=(Y^1(x),\ldots,Y^n(x))のX=(X^1,\ldots,X^n)方向の**[[方向微分]]**は
: \left(X^i{\partial Y^1 \over  \partial x^i},\ldots,X^i{\partial Y^n \over  \partial x^i}\right)
である。正規座標において、共変微分は方向微分と一致する：

なお、後述するテンソルの共変微分に関しても、正規座標においては方向微分に一致する。

## 曲率

### 動機
レヴィ-チヴィタ接続を成分で書いた

: \nabla_X Z=\left(X^j{\partial Z^i \over \partial x^j}+X^jZ^k\Gamma^i_{jk}\right){\partial  \over \partial x^i} 

より、M=\mathbb{R}^mであれば、すなわち*M*が「平たい」空間であれば、クリストッフェル記号は全てになる。

この「平たい」空間とのズレを測るのが曲率である。ただしクリストッフェル記号は局所座標の取り方に依存しているため、クリストッフェル記号自身を用いるのではなく、別の方法で「平たい」空間とのズレを測る。

ズレを測るため、クリストッフェル記号\Gamma_{jk}^iが全てであれば、

: \nabla_X Z= X(Z^i) \tfrac{\partial}{\partial x^i} 

となる事に着目する。この事実から「平たい」空間では、

: \nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ=
XY(Z^i) {\partial \over \partial x^i}-YX(Z^i) {\partial \over \partial x^i}  = [X,Y](Z^i){\partial \over \partial x^i} =\nabla_{[X,Y]}Z 

が常に成立する事を示せる。そこで

: R(X,Y)Z:=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z

と定義すると、R(X,Y)Zはが「平たい」ときには恒等的にゼロになり、この意味においてR(X,Y)Zはの「曲がり具合」を表している考えられる。

### 定義と性質

#### 定義

ここで[X,Y]はである。
は、、のいずれに関しても**<math>C^{\infty}(M)</math>**-線形である事が知られており、したがって、各P \in Mに対し、

: R_P~:~(X,Y,Z) \in T_PM \times T_PM \times T_PM \mapsto R(X,Y)Z \in T_PM  

というテンソルとみなせる。

前述した二階共変微分を使うと曲率テンソルは以下のように書ける事も知られている：

すなわち、曲率テンソルは二階共変微分の非可換度合いとして特徴づけられる。

#### 規約
一部の文献では符号を反転したR(X,Y)Z := -(\nabla_X\nabla_YZ - \nabla_Y\nabla_XZ - \nabla_{[X,Y]}Z) を曲率と呼んでいるので注意されたい。

本項の規約では後述する断面曲率の定義において分子をg_P(R_P(v,w)w,v)のように不自然な順番でv、wを並べる必要があるが、文献の規約であればg_P(R_P(v,w)v,w)と自然な順番で並べられるので有利である。

#### 性質
次の事実が知られている：

ここで(\nabla_XR)はが3つの接ベクトル、、を引数にとって1つの接ベクトルR(X,Y)Wを返す事から、をテンソル積T^*M \otimes T^*M \otimes T^*M \otimes TMの元とみなしたときの共変微分である。テンソル積に対する共変微分の定義は後述する。

#### 成分表示
曲率はクリストッフェル記号\Gamma^i{}_{jk}を用いて以下のように表すことができる：)\tfrac{\partial}{\partial x^j}=R^i{}_{jk\ell}\tfrac{\partial}{\partial x^i}と成分表示すると)\tfrac{\partial}{\partial x^j}=R^i{}_{jk\ell}\tfrac{\partial}{\partial x^i}
としたが、#Viaclovsky p.11では
: R(\tfrac{\partial}{\partial x^i},\tfrac{\partial}{\partial x^j})\tfrac{\partial}{\partial x^k}=R_{ijk}{}^{\ell}\tfrac{\partial}{\partial x^{\ell}}
としている。}}、以下が成立する：
: 
R^i{}_{jk\ell}
= {\partial \Gamma^i{}_{\ell j} \over \partial x^k}
- {\partial \Gamma^i{}_{k j} \over \partial x^{\ell}}
+  \Gamma^i{}_{km}\Gamma^m{}_{\ell j}
- \Gamma^i{}_{\ell m}\Gamma^m{}_{k j}
}}
以下のようにも成分表示できる：
)\tfrac{\partial}{\partial x^j},\tfrac{\partial}{\partial x^i})とすると、以下が成立する：
: 
R_{ijk\ell}
= {1 \over 2}\Big(
 {\partial \over \partial x^i}{\partial \over \partial x^k}g_{j\ell}
+ {\partial \over \partial x^j}{\partial \over \partial x^{\ell}}g_{ik}
-{\partial \over \partial x^j}{\partial \over \partial x^k}g_{i\ell}
- {\partial \over \partial x^i}{\partial \over \partial x^{\ell}}g_{jk}\Big)  
 
= {1 \over 2}\partial^2 {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} g (\tfrac{\partial}{\partial x^i},\tfrac{\partial}{\partial x^j},\tfrac{\partial}{\partial x^k},\tfrac{\partial}{\partial x^{\ell}})
 
}}
ここで{~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~}は下記のKulkarni–Nomizu積である：
: \begin{align}
  (h {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} k)(X,Y,Z,W) :={}
        &h(X,Z)k(Y,W) + h(Y, W)k(X, Z) \\
        &{}- h(X, W)k(Y, Z) - h(Y, Z)k(X,W)
\end{align}


#### 特徴づけ
点P \in Mを原点とする正規座標(x^1,...,x^m)を使うと曲率は以下のように特徴づけられる：ここでR_{ikj\ell}:=g(R(\tfrac{\partial}{\partial x^k},\tfrac{\partial}{\partial x^{\ell}})\tfrac{\partial}{\partial x^j},\tfrac{\partial}{\partial x^i})である。

また、

: \xi~:~U \subset \mathbb{R}^2 \to M

を任意のなめらかな関数とし、

: X:=\xi_*\left(\tfrac{\partial}{\partial x^1}\right)、Y:= \xi_*\left(\tfrac{\partial}{\partial x^2}\right)

とし、\varphi^X_t(Q):=\mathrm{exp}_Q(tX)、\varphi^Y_t(Q):=\mathrm{exp}_Q(tY)に沿った平行移動を

: (\varphi^X_*)_t~:~T_QM \to T_{\varphi_t(Q)}M、(\varphi^Y_*)_t~:~T_QM \to T_{\psi_t(Q)}M

とすると、曲率を以下のように特徴づけられる：この定理は一般のベクトルバンドルに対する接続においても成立する。

### 断面曲率、リッチ曲率、スカラー曲率
\nablaをリーマン多様体(M,g)のレヴィ-チヴィタ接続とし、をの点とし、v,w \in T_PMとし、さらにe_1,\ldots,e_mをT_PMの基底とする。なお、書籍によっては本項のリッチ曲率、スカラー曲率をそれぞれ\tfrac{1}{n-1}倍、\tfrac{1}{n(n-1)}倍したものをリッチ曲率、スカラー曲率と呼んでいるものもあるので注意されたい。 また断面曲率はK_P(v,w)という記号で表記する文献も多いが、後述するガウス曲率と区別するため、本稿では\mathrm{Sec}_P(v,w)という表記を採用した。

定義から明らかなように、以下が成立する：実は断面曲率は曲率テンソルを特徴づける：

#### 部分リーマン多様体における断面曲率

次元リーマン多様体が別のリーマン多様体\bar{M}の余次元の部分リーマン多様体、すなわちM \subset \bar{M}、\dim \bar{M} = \dim M +1の場合は、以下が成立する：_u(e_i,e_j)+\kappa_i\kappa_j }}ここでe_1,\ldots,e_mは点u\in Mにおける主方向で\kappa_1,\ldots,\kappa_mを対応する主曲率であり、\mathrm{Sec}_u(X,Y)はのにおける断面曲率であり、\overline{\mathrm{Sec}}_u(X,Y)は\bar{M}のにおける断面曲率である。

よって特にが2次元リーマン多様体で\bar{M}が\mathbb{R}^3の場合はの断面曲率\mathrm{Sec}_u(X,Y)はガウス曲率に一致する：

### 定曲率空間
定曲率空間では曲率が下記のように書ける：上記の定理より、必要ならリーマン計量を\tfrac{1}{\sqrt}倍する事で、任意の定曲率空間は、曲率が、、もしくはの定曲率空間と「相似」である事がわかる。

曲率が、、の定曲率空間については以下の事実が知られている：よって被覆空間の一般論から以下の系が従う：

## 
本節ではテンソルに対する共変微分を定義する。

### 1-形式の共変微分
(M,g)はリーマン多様体なので、の接ベクトル空間と余接ベクトル空間は自然に同一視できる。この同型写像を
: X \in TM \overset{\sim}{\mapsto} X^{\flat} \in T^*M  

: \alpha \in T^*M \overset{\sim}{\mapsto} \alpha^{\sharp} \in TM  
と書くことにする（Musical isomorphism）。

ここでは上のベクトル場である。すると上のベクトル場に対しライプニッツ則
: X(\alpha(Y)) = (\nabla_X \alpha)(Y) + \alpha(\nabla_XY)  
が成り立ち、局所座標(x^1,\ldots,x^m)で書けば、
: \nabla_X \alpha=\left(X^j{\partial \alpha_k \over \partial x^j} 
- \alpha_i X^j \Gamma^i_{jk}\right)dx^k

### -テンソル場の共変微分

#### 定義
より一般に、を上の-テンソル場の共変微分はライプニッツ則により定義する。

また微分形式に関しては
: \bigwedge_i T^*M \subset \bigotimes_i T^*M 
と見なすことによりテンソル積の共変微分を用いて微分形式の共変微分を定義できる。

#### 具体例
上の-形式、すなわち上の関数f~:~M \to \mathbb{R}の共変微分は
: \nabla_Xf = Xf  
である。またを-形式とし、c(t)を\tfrac{dc}{dt}(0)=X_{c(0)} を満たす曲線とすると、\nabla_X \alpha は通常の微分
: (\nabla_X\alpha)(Y_1,\ldots,Y_k)|_{c(0)}= \frac{d}{dt}(\alpha_{c(t)}(Y_1|_{c(t)},\ldots,Y_{k}|_{c(t)})) 
にほかならない。

### 

#### 定義
を上の-テンソル場とし、ベクトル場にの-テンソル場としての共変微分を対応させる写像を
:  \nabla T 
と書くと、 \nabla T  は-テンソル場とみなせる。同様にを-テンソル場とし、ベクトル場にの-テンソル場としての共変微分を対応させる写像を \nabla T' とする。-テンソル場全体の集合を\Gamma(r,s) と書き、合成
:  \Gamma(r,s) \overset{\nabla}{\to} \Gamma(r,s+1) \overset{\nabla}{\to} \Gamma(r,s+2) 
により定義される写像を
:  \nabla^2 T  
と書き、 \nabla^2 T  をの**二階共変微分**（）という。三階以上の共変微分も同様に定義できる。

二階共変微分 \Gamma(r,s) \overset{\nabla}{\to} \Gamma(r,s+1) \overset{\nabla}{\to} \Gamma(r,s+2) で１つ目に増えた引数にベクトル場、２つ目に増えた引数にベクトル場を代入した-テンソル場を
:  \nabla^2_{X,Y} T  
と書く。

#### 性質
定義から明らかなように \nabla^2_{X,Y} T  は双線形性
:  \nabla^2_{X,Y} T = X^iY^j\nabla^2_{\partial_{x^i},\partial_{x^j}} T   
を満たす。このことからも分かるように \nabla^2_{X,Y} T  と \nabla_{X}(\nabla_Y T)  は別の値であり、両者は
:  \nabla_X(\nabla_Y T) 
= \nabla^2_{X,Y} T + \nabla_{\nabla_XY}T   
という関係を満たす。すなわち、本章で定義した二階共変微分は前の章で書いた二階共変微分の別定義を満たす。

#### リッチの公式

なお、(R(X,Y) \lrcorner \alpha)(Z):= \alpha(R(X,Y)Z)と定義すれば、最後の式は
:  \nabla^2_{X,Y} \alpha - \nabla^2_{Y,X} \alpha =-R(X,Y) \lrcorner \alpha 
と書ける。

一般の(r,s)-テンソルの場合の公式は上記の公式にライプニッツ則を適用する事で得られる。例えば(2,0)-テンソルに対しては、
:  \nabla^2_{X,Y} Z_1\otimes Z_2 - \nabla^2_{Y,X} Z_1\otimes Z_2 =(R(X,Y) Z_1) \otimes Z_2 + Z_1 \otimes R(X,Y)Z_2 
であるし、(1,1)-テンソルに対しては、下記のとおりである：
:  \nabla^2_{X,Y} Z\otimes \alpha
 - \nabla^2_{Y,X} Z \otimes \alpha
 = (R(X,Y) Z) \otimes \alpha
  - Z \otimes R(X,Y) \lrcorner \alpha 

## リーマン多様体上のベクトル解析
本節では勾配、発散、ラプラシアンという、ユークリッド空間におけるベクトル解析で定義されている演算子をリーマン多様体上でも定義する。

### ホッジ作用素、余微分

リーマン多様体上のベクトル解析を展開するための準備としてホッジ作用素と余微分を定義する。をの次元とする。が向き付け可能なとき、上にリーマン計量から定まる体積形式をとする。\alpha \in \wedge^k T^*Mを微分形式とするとき
: \beta \wedge \alpha  
= g(\beta,*\alpha) dV 
が任意の\beta \in \wedge^{m-k} T^*Mに対して成立するような*\alpha \in \wedge^{m-k} T^*Mが存在する。*\alphaをの**ホッジ双対**といい、に*\alphaを対応させる作用素
: *~:~ \alpha \in \wedge^k TM \mapsto *\alpha \in \wedge^{m-k} TM 
を**ホッジ作用素**という。

さらに\alpha \in \wedge^k T^*Mの**余微分**を
: \delta\alpha := (-1)^{m(k+1)+1}*d*\alpha 
により定義する。ここでは外微分であり、をの次元である。外微分および余微分はレヴィ-チヴィタ接続による共変微分と以下の関係を満たす：
ここで\iota_{e_i}はによる
: (\iota_X\alpha)(X_1,\ldots,X_{n-1}) := \alpha(X,X_1,\ldots,X_{n-1})
である。

### 勾配
上の関数f~:~M \to \mathbb{R}に対し、fの**勾配**を以下のように定義する。

ここではの外微分であり、「{}^{\sharp} 」は計量によるとの同型写像であり、\nabla fは関数の(0,0)-テンソルとみなしてテンソル場の共変微分\nabla_X f =Xfを考え、前節のように\nabla f を定義したものであり、g^{ij}は局所座標(x^1,\ldots,x^m)におけるリーマン軽量gの成分表示g^{ij}=g(\tfrac{\partial}{\partial x^i},\tfrac{\partial}{\partial x^j})である。

### 発散
上のベクトル場の発散を以下のように定義する：

     {\partial \over \partial x^i} 
     (\sqrtX^i)  

は
: （Y \mapsto -\nabla_YX）のトレース=-{\partial X^i \over \partial x^i} - \sum_j\Gamma^i{}_{ij}X_j 
と等しい。この値を\mathrm{div} X と書き、の**発散**（）という。

}}
ここでは余微分であり、「\flat」は計量によるとの同型写像であり、\mathrm{det}gは局所座標(x^1,\ldots,x^m)におけるリーマン軽量gの成分表示をg^{ij}=g(\tfrac{\partial}{\partial x^i},\tfrac{\partial}{\partial x^j})としたときの行列(g^{ij})_{ij}の行列式である。

発散のマイナスの符号は規約の問題で、ここに述べたものからマイナスの符号を取ったものを発散と呼ぶこともある。

### ヘッシアン
上の関数f~:~M \to \mathbb{R}に対し、前節のように\nabla f を定義すると、\nabla f = df である。前節同様2階共変微分\nabla^2_{X,Y} f   
を定義する。

ヘッシアンは
: \nabla^2_{X,Y} f =  \nabla^2_{Y,X} f 
を満たすことを証明できるので、ヘッシアンは対称2次形式である。

### ラプラシアン
これまで同様に記号を取るとき、リーマン多様体上の関数fのラプラシアンを以下のように定義する：

     {\partial \over \partial x^i} 
     (\sqrtg^{ij}{\partial f \over \partial x^j})  
と定義し、を****（）、あるいは単に**ラプラシアン**という。
}}

発散の定義でマイナスの符号がつく規約を採用した関係で、通常のラプラシアンとは符号が反対になっている事に注意されたい（この章で後述する他のラプラシアンも同様）。

上述したラプラシアンの定義を微分形式に拡張する事ができるが、拡張方法は（同値ではない）２通りの方法がある。

#### ホッジ・ラプラシアン
関数に対するラプラシアンが\Delta f = \delta d f と書けていた事に着目し、微分形式に対し、以下のようにラプラシアンを定義する：

なお、２つ目の等号はdd=\delta\delta=0を使った。が0次の微分形式、すなわち上の関数の場合はd \delta  \alpha=0 なので、関数の場合に対するホッジ・ラプラシアンはラプラス・ベルトラミ作用素に一致する。

#### ボホナー・ラプラシアン

関数に対するラプラシアンが-\mathrm{tr}(\nabla^2 f)  と書けることに着目し、微分形式のもう一つのラプラシアンを以下のように定義する：

ここでe_1,\ldots,e_nは接ベクトル空間の局所的な正規直交基底である。E := \wedge^k T^*Mとするとき、余ベクトル空間の内積g~:~T^*M \times T^*M \to \mathbb{R}が誘導する写像g~:~T^*M \otimes T^*M \to \mathbb{R} を考え、合成
: \Gamma(T^*M \otimes E) \overset{\nabla}{\to} \Gamma(T^*M \otimes T^*M \otimes E) \overset{g}{\to} \Gamma(E) \overset{\times (-1)}{\to} \Gamma(E) 
\nabla^*と書く。ここで\Gamma(E)はに値を取るテンソル場の集合である。すると
: \Delta^B \alpha := \nabla^*\nabla \alpha  
が成立する。

#### ヴァイツェンベック・ボホナーの公式

２つのラプラシアンは以下の関係を満たす：

ここでは曲率テンソルであり、(\iota_{e_j}R(e_i,e_j) \lrcorner\alpha)(X_1,\ldots,X_{n-1}) =\alpha(R(e_i,e_j)e_j,X_1,\ldots,X_{n-1})である。

上記の公式を**ヴァイツェンベック・ボホナーの公式**（）あるいは**ヴァイツェンベックの公式**（）という。

特にが1-形式であれば、以下が成立する：
: \Delta^H \alpha - \Delta^B \alpha = \mathrm{Ric}(\alpha)  
ここで\mathrm{Ric}(\alpha)はリッチ曲率\mathrm{Ric}(X,Y)を使って
: \mathrm{Ric}(\alpha)(X)=\mathrm{Ric}(X,\alpha^{\sharp}) 
により定義される1-形式であり、「\sharp」は計量によるとの同型写像である。

## 擬リーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続
最後に一般相対性理論で重要な擬リーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続について述べる。ここで**擬リーマン多様体<math>(M,g)</math>**とはリーマン多様体と同様、各点u \in Mに対してに関してなめらかで非退化な二次形式g_u~:~T_uM \times T_uM  \to \mathbb{R} を対応させるが、に正定値性を要求しないものである。このようなを**擬リーマン計量**という。Mの次元をmとするとき、擬リーマン多様体で特にgの行列としての符号数が(m-1,1)になるものを特に**[[ローレンツ多様体]]**と呼び、一般相対性理論で時空間はm=4の場合のローレンツ多様体として定式化される。

擬リーマン多様体(M,g)の場合もが正定値とは限らないだけで、リーマン多様体の場合と同じ式でレヴィ-チヴィタ接続を定義できる。またリーマン多様体の場合と同じ公理によってレヴィ-チヴィタ接続を特徴づける事も可能である。

平行移動、共変微分、測地線、正規座標、曲率といった概念も同様に定義でき、平行移動はを保つ線形写像となる。

一方、リーマン多様体のものとの違いとしては、Hopf-Rinowの定理が成り立たない事が挙げられる。リーマン多様体の場合、がコンパクトであればは距離空間として完備なのでHopf-Rinowの定理からは測地線完備になる。しかし**がコンパクトであっても、上の擬リーマン計量が定めるレヴィ-チビタ接続は測地線完備になるとは限らず**、反例としてが知られている。

また擬リーマン多様体では\|v\| := \sqrt{g(v,v)}が定義できるとは限らないので、測地線を長さ\int_a^b\left\|{d u\over dt} \right\| dtの停留曲線として特徴づける事はできない。しかしエネルギー\int_a^b\left\|{d u\over dt} \right\|^2 dtは擬リーマン多様体でも定義でき、測地線をエネルギーの停留曲線として特徴づけられる。一般相対性理論においては、これはエネルギーを極小にする曲線が自由落下の軌道である事を意味する。

## 歴史
レヴィ・チヴィタ接続は、トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ(Tullio Levi-Civita)の名前に因んでいるが、接続に相当する概念はエルヴィン・クリストッフェル(Elwin Bruno Christoffel)によってそれ以前に導入されていた。レヴィ・チヴィタは、(Gregorio Ricci-Curbastro)とともに、クリストッフェルの記号を用いて平行移動の概念を定義し、平行移動と曲率との関係を研究した。それによってホロノミーの現代的定式化を開発した。

レヴィ・チヴィタによる曲線に沿ったベクトルの平行移動や内在的微分という概念は、元々M^n \subset \mathbf{R}^{\frac{n(n+1)}{2}}  という特別な埋め込みに対して考えられた。しかし、実際にはそれらは抽象的なリーマン多様体にたいしても意味をなす概念である。何故ならば、クリストッフェルの記号は任意のリーマン多様体上で意味を持つからである。

1869年、クリストッフェルは、ベクトルの内在的微分の各成分は反変ベクトルと同様な変換にしたがうことを発見した。この発見はテンソル解析の真の始まりである。1917年になって初めて、レヴィ・チヴィタによって、アフィン空間に埋め込まれた曲面の内在的微分が、周囲のアフィン空間での通常の微分の接方向成分として解釈された。

## 注
### 出典

### 注釈

## 文献

### 参考文献

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
** 
** 
### 歴史的な文献

* 
* 

## 関連項目

* 部分リーマン多様体の接続と曲率
* (Weitzenböck connection)

## 外部リンク

* 
* MathWorld: Levi-Civita Connection
* PlanetMath: Levi-Civita Connection
* Levi-Civita connection at the Manifold Atlas