ファウルハーバーの公式

**ファウルハーバーの公式**（ファウルハーバーのこうしき、Faulhaber's formula）は、最初の *n* 個の ''k'' 乗数の和
:S_k(n):=1^k+2^k+\dotsb+n^k
を、ベルヌーイ数を用いて *n* の多項式で表す公式である。冪乗和についての研究をした、17世紀のドイツの数学者の名が冠されているが、ベルヌーイ数を発見して初めて公式を与えたのは関孝和およびヤコブ・ベルヌーイである。「ファウルハーバーの公式」という呼称は必ずしも一般的ではなく、**ベルヌーイの公式**、または内容を直接的に表現して**冪乗和の公式**などと呼ばれることもある。

## 公式
ベルヌーイ数を定義するには複数の方法があるが、ここでは
:B_0=1,\quad \sum_{i=0}^{k} (-1)^i{k+1 \choose i}B_i=0\quad (k=1,2,\cdots)
によって帰納的にベルヌーイ数 *B**j* (*j* = 0, 1, 2, …) を定める。ここに、
:{n \choose m}=\frac{n!}{(n-m)!\,m!}
は二項係数である。

このとき、
:S_k(n)=\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^k {k+1 \choose j}B_jn^{k+1-j} \quad (k=0,1,\cdots)
が成り立つ。特に、*S**k*(*n*) を *n* の多項式で表したときの、最高次の項は *n**k*+1/(*k* + 1)、一次の項は *B**k**n*、定数項は 0 である。

### 略式の表示
ファウルハーバーの公式は一見複雑に見えるが、二項定理と似ていることに着目すれば、略式の表示を与えることができる。例えば、(*n* + *B*)2 を二項展開すると *n*2*B*0 + 2*n*1*B*1 + *n*0*B*2 であるが、*n* の冪はそのままの意味にとり、*B* の冪は添え字を下付きにしたベルヌーイ数を意味するものと考える。言い換えると、*n*2*B*0 + 2*n*1*B*1 + *B*2 を略式で (*n* + *B*)2 と表すことを許すものと約束する。このとき、ファウルハーバーの公式は
:1^k+2^k+\dotsb+n^k=\frac{(n+B)^{k+1}-B^{k+1}}{k+1}
と表現できる。

より正確に記述するために、多項式環 **Q**[*b*] から *Q* への線型写像 *T* を *T*(*b**j*) = *B**j* で定義しておけば、公式は
:S_k(n)=\frac{T((n+b)^{k+1}-b^{k+1})}{k+1}
と表せる。

なお、略式の表示を許せば、ベルヌーイ数の定義も
:B_0=1,\quad (B-1)^{k+1}=B^{k+1}\quad (k=1,2,\cdots)
と簡潔に表現できる。

## 例
はじめのいくつかのベルヌーイ数は *B*0 = 1, *B*1 = 1/2, *B*2 = 1/6, *B*3 = 0, *B*4 = &minus;1/30 であるから、例えば
:\begin{align}S_4(n)&=\frac{(n+B)^5-B^5}{5}=\frac{n^5B_0+5n^4B_1+10n^3B_2+10n^2B_3+5nB_4}{5} \\ &=\frac{1}{5}\left( n^5+\frac{5}{2}n^4+\frac{5}{3}n^3-\frac{1}{6}n \right)\end{align}
などと計算される。同様にして、6乗和までは以下のようになる。
:\begin{align}S_0(n)&=n \\
S_1(n)&=\frac{n^2+n}{2}=\frac{1}{2}n(n+1) \\
S_2(n)&=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\
S_3(n)&=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2 \\
S_4(n)&=\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30}=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \\
S_5(n)&=\frac{2n^6+6n^5+5n^4-n^2}{12}=\frac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1) \\
S_6(n)&=\frac{6n^7+21n^6+21n^5-7n^3+n}{42}=\frac{1}{42}n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1) \end{align}

なお、日本の中等教育において数列を扱う際には、(*x* + 1)*k* &minus; *x**k* の展開式を利用して、帰納的に冪乗和の公式が得られることを教え、*S*0(*n*), *S*1(*n*), *S*2(*n*), *S*3(*n*) は公式として記憶するよう指導することが一般的である。

## 歴史

1乗和と2乗和については、アルキメデスの時代から知られていた。3乗和に関して
:1^3+2^3+\dotsb+n^3=(1+2+\dotsb+n)^2
が成り立つことは、歴史上たびたび再発見されている。1世紀の数学者ニコマコスは「*n* 番目の立方数は *n* 個の連続した奇数の和である」ことを証明なしに述べており、既知の結果「最初の *m* 個の奇数の和は *m* の平方に等しい」と合わせると、3乗和の公式を知っていたとも見なせる。西暦500年頃、アリヤバータは3乗和の公式を明示的に与えた。西暦1000年頃、アル＝カラジは図形および数学的帰納法を用いて3乗和の公式を証明した。同じくイスラムの数学者イブン・アル・ハイサムは、4乗和の公式を与えたが、その方法を用いれば何乗和でも求めることができる。

フェルマーは、求積法のために冪乗和が重要なことを認識し、一般的な公式およびその証明を得たと述べたが、詳細は明らかにしなかった。一方、ファウルハーバーは *Academia Algebrae*（1631年）において17乗和までの公式を与えた。彼は一般的な公式を与えるまでには至らなかったが、*S**k*(*n*) は、*k* が奇数のときは *S*1(*n*) の多項式で書け、*k* が偶数のときは *S*2(*n*) で割れてその商がやはり *S*1(*n*) の多項式で書けることを指摘した。実際、例えば
:\begin{align} S_3(n)&=(S_1(n))^2 \\
S_4(n)&=\frac{S_2(n)(6S_1(n)-1)}{5} \\
S_5(n)&=\frac{4S_1(n)^3-S_1(n)^2}{3} \\
S_6(n)&=\frac{S_2(n)(12S_1(n)^2-6S_1(n)+1)}{7} \end{align}
などとなる。この事実は後にヤコビが再発見し、厳密な証明を与えた。

ベルヌーイ数を用いて一般的な冪乗和の公式を与えた初めての文献は、1712年の関孝和『括要算法』および1713年のヤコブ・ベルヌーイ『推測術』(*Ars Conjectandi*) である。共に遺稿であり（関は1708年没、ベルヌーイは1705年没）、どちらが先に公式を発見したのかは不明である。ベルヌーイは、公式を用いて 1 から 1000 までの10乗の和を計算し、8分の1時間もかからずに 91, 409, 924, 241, 424, 243, 424, 241, 924, 242, 500 を得た、と述べている。

## 注釈


## 出典

## 参考文献
* 荒川恒男、金子昌信、伊吹山知義『ベルヌーイ数とゼータ関数』牧野書店、2001年 ISBN 978-4795201392 -- 特に第1章。公式の厳密な証明が与えられている。
* ジョン・ホートン・コンウェイ、著、根上生也訳『数の本』シュプリンガー・フェアラーク東京、2001年 ISBN 978-4431707707 -- 特に第4章「ベルヌーイ数」の節。公式の略式の証明が与えられている。
** John H. Conway and Richard Guy, *The Book of Numbers*, Springer, 1996 ISBN 978-0387979939
* L. E. Dickson, *History of the Theory of Numbers, Volume ll: Diophantine Analysis*, Dover Publications, 2005 ISBN 978-0486442334
* ヴィクター・カッツ著、上野健爾他訳『数学の歴史』共立出版、2005年 ISBN 978-4320017658
** Victor J. Katz, *History of Mathematics*, 3rd edition, Addison Wesley, 2008 ISBN 978-0321387004
* 日本数学協会「関孝和没後300年記念懸賞問題」数学文化第9号 pp. 13-16、2008年 ISBN 978-4535602397

## 外部リンク
* 
* 東北大学和算資料データベース