折り紙公理

**折り紙公理**（おりがみこうり、折紙公理）は折り紙幾何学の一連の規則であり、紙を折るときに理論上厳密に可能である、基本的な操作を記述している。紙は厚さが無いものとし、伸縮しないものとする。折りの操作は平面で完結し、全ての折り線は直線であると仮定する。。

公理は最初、1989年にジャック・ジュスタン (Jacques Justin) によって発見された。その後公理1から6は藤田文章によって1991年に再度発見された。また、公理7は羽鳥公士郎（はとり こうしろう）によって2001年に再発見された。またロバート・J・ラングも公理7を再発見している。

## 7つの公理
公理1から6は**藤田の折り紙公理**または**藤田の公理**として知られる。公理7は羽鳥公士郎によって再発見された。公理は以下である:

#2点*p*1, *p*2が与えられたとき、2点を通るただ1つの折り方がある。
#2点*p*1, *p*2が与えられたとき、*p*1を*p*2に重ねるただ1つの折り方がある。
#2本の直線*l*1, *l*2が与えられたとき、*l*1を*l*2に重ねるような折り方がある。
#1点*p*1と1本の直線*l*1が与えられたとき、*l*1に垂直で*p*1を通るただ1つの折り方がある。
#2点*p*1, *p*2と1本の直線*l*1が与えられたとき、*p*1を*l*1上に重ね、*p*2を通る折り方がある。
#2点*p*1, *p*22本の直線*l*1, *l*2が与えられたとき、*p*1を*l*1上に重ね、かつ*p*2を*l*2上に重ねる折り方がある。
#1点*p*と2本の直線*l*1, *l*2が与えられたとき、*p*を*l*1に重ね、*l*2に垂直な折り方がある。

注目すべき点は、折り紙公理5は0, 1, 2個の解を持つ場合があり、公理6は0, 1, 2, 3個の解を持つ場合があることである。座標を導入して代数方程式として表せば、個々の操作は未知数を含む最大で3次の多項式の根を求めていることになる。通常の定規とコンパスによる作図の個々の操作は最大で2次の式を解くものだったことと比較すると、折り紙公理はそれらを含みかつそれらよりも広範な能力をもつといえることがわかっている。実際、折り紙の幾何学（オリガメトリー、origametry）ではある種の3次方程式、例えば角の三等分や立方体倍積などの問題を解くことができる。ただし、公理6の折り方を実際に行う際には、紙の“滑らせ”、言い換えるとネイシス (ネウシスとも。, ) を必要とする。これは古典的なコンパスと定規による作図では認められていないものである。コンパスと定規による作図にも印つき定規()の滑らせとしてネイシスを導入すれば、任意の角の三等分が可能となる。

## 詳細
### 公理 1
2点*p*1, *p*2が与えられたとき、2点を通るただ1つの折り方がある。

媒介変数表示では、この2点を通る折り線の直線の方程式は以下のように表せる。

:F(s)=p_1 +s(p_2 - p_1)

### 公理 2
2点*p*1, *p*2が与えられたとき、*p*1を*p*2に重ねるただ1つの折り方がある。

この折り方は線分*p*1*p*2の垂直二等分線を求めていることに等しい。これは以下の4工程で折ることができる。

#公理1を用い、2点*p*1, *p*2を通る直線を求める。この直線はP(s)=p_1+s(p_2-p_1)と表される。
#*P*(*s*)の中点*p*midを求める。
#*P*(*s*)に垂直なベクトル***v***perpを求める。
#よって媒介変数表示による折り線の方程式は以下のように表せる。
:F(s)=p_\mathrm{mid} + s\cdot\boldsymbol{v}^{\mathrm{perp}}

### 公理 3
2本の直線*l*1, *l*2が与えられたとき、*l*1を*l*2に重ねるような折り方がある。

これは*l*1と*l*2がつくる角の二等分線を求めていることに等しい。*p*1と*p*2を*l*1上の任意の点とし、*q*1と*q*2を*l*2上の任意の点とする。更に***u***と***v***をそれぞれ*l*1と*l*2の単位方向ベクトルとすると、以下のように表される。

:\boldsymbol{u} = (p_2-p_1) / \left|(p_2-p_1)\right|
:\boldsymbol{v} = (q_2-q_1) / \left|(q_2-q_1)\right|

2直線が平行でないならば、2直線の交点は以下のように表せる。

:p_\mathrm{int} = p_1+s_\mathrm{int}\cdot\boldsymbol{u}

ここで

:s_\mathrm{int} = -\frac{\boldsymbol{v}^{\perp} \cdot (p_1 - q_1)} {\boldsymbol{v}^{\perp} \cdot \boldsymbol{u}}

二等分線の1つの方向は以下である。

:\boldsymbol{w} = \frac{
\left|\boldsymbol{u}\right| \boldsymbol{v} +
\left|\boldsymbol{v}\right| \boldsymbol{u}}
{\left|\boldsymbol{u}\right| +
\left|\boldsymbol{v}\right|}

よって媒介変数表示による折り線の方程式は以下のように表せる。

:F(s) = p_\mathrm{int} + s\cdot\boldsymbol{w}

二等分線はもう1つあり、これは最初の二等分線に垂直で*p*intを通るものである。このもう1つの二等分線でも、要求された条件「*l*1を*l*2に重ねる」を満たすことができる。交点の位置によってはどちらか片方の折り方をすることができない。

2直線が平行な場合、2直線は交点をもたない。このときの折り線は*l*1と*l*2の中間にある、*l*1と*l*2に平行な線となる。

### 公理 4
1点*p*1と1本の直線*l*1が与えられたとき、*l*1に垂直で*p*1を通るただ1つの折り方がある。

これは*p*1を通る*l*1の垂線を求めることに等しい。直線*l*1に垂直なベクトルを***v***とするとき、媒介変数表示による折り線の方程式は以下で表せる。

:F(s) = p_1 + s\cdot\boldsymbol{v}

### 公理 5
2点*p*1, *p*2と1本の直線*l*1が与えられたとき、*p*1を*l*1上に重ね、*p*2を通る折り方がある。

これは、*p*2を中心として*p*1を通るような円と直線*l*1との交点を求め、その交点に*p*1を重ねる折り方である。一般に、直線と円との交点の個数は0, 1, 2個の場合があり、それに応じて、この公理による折り方がなかったり、1通りだったり、2通りあったりする。

直線上の2点(*x*1, *y*1), (*x*2, *y*2)がわかっている場合、直線は媒介変数によって以下で表される。

:x = x_1 + s(x_2 - x_1)
:y = y_1 + s(y_2 - y_1)

中心がp_2 = (x_c, y_c)で半径r = \left|p_1 - p_2\right|の円を定義する。この円の方程式は以下である。

:(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = r^2

直線と円との交点を決定するために、円の方程式中の*x*, *y*を前述の直線の方程式で置き換え、以下を得る。

:(x_1 + s(x_2-x_1) - x_c)^2 + (y_1 + s(y_2 - y_1) - y_c)^2 = r^2

これは*s*についての2次方程式であり、整理すれば次のように表せる。

:as^2 + bs + c = 0

ここで

:a = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2
:b = 2(x_2 - x_1)(x_1 - x_c) + 2(y_2 - y_1)(y_1 - y_c)
:c = x_c^2 + y_c^2 + x_1^2 + y_1^2 - 2(x_c x_1 + y_c y_1)-r^2。

この2次方程式の解を書き下すと次のようになる。

:\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

判別式*b*2 － 4*ac* 1, *d*2とすると、以下の0, 1, 2本の線分を得る。

:m_1 = \overline{p_1 d_1}
:m_2 = \overline{p_1 d_2}

折り線*F*1(*s*)は*m*1の垂直二等分線で、*p*1を直線上の*d*1に重ねる。同様に、折り線*F*2(*s*)は*m*2の垂直二等分線で、*p*2を直線上の*d*2に重ねる。この折り方は公理2を応用することで容易に得ることができる。媒介変数表示による折り線の方程式は以下のように表せる。

:F_1(s) = p_1 +\frac{1}{2}(d_1-p_1)+s(d_1-p_1)^{\perp}
:F_2(s) = p_1 +\frac{1}{2}(d_2-p_1)+s(d_2-p_1)^{\perp}

### 公理 6
2点*p*1, *p*22本の直線*l*1, *l*2が与えられたとき、*p*1を*l*1上に重ね、かつ*p*2を*l*2上に重ねる折り方がある。

この公理は2つの放物線の共通接線を求めることに等しく、3次方程式を解くことに等しいと見なせる。2つの放物線はそれぞれ*p*1と*p*2に焦点をもち、また*l*1と*l*2を準線とする。

### 公理 7
1点*p*と2本の直線*l*1, *l*2が与えられたとき、*p*を*l*1に重ね、*l*2に垂直な折り方がある。

羽鳥公士郎がこの公理を再発見し、ロバート・J・ラングがこれら7つの折り方で折り紙公理が完全であることを証明した。

## これ以外の操作を認める例

通常、折り紙公理といえば上述した6つないし7つの操作を指す。一方で、これら以外の折り方を含めた体系が研究されることもある。

### 多重折り

## 参照文献

*　

*Origami Geometric Constructions （英語） by Thomas Hull
*A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers （英語） by Roger C. Alperin
*
*折り紙による作図 羽鳥公士郎による簡単な解説