一般ディリクレ級数

**一般ディリクレ級数**（いっぱんでぃりくれきゅうすう、）とは、

複素数列 \scriptstyle\{a_n\}_{n\ge 0}、無限大に発散する狭義の単調増加列 \scriptstyle\{\lambda_n\}_{n\ge 0} および複素数 *s* に対して、

で表される級数のことをいう。**指数型のディリクレ級数**または**広義のディリクレ級数**ともいう。

特に、\lambda_n = \log n のとき、

であり、(通常)ディリクレ級数となる。

また、\lambda_n = n、z = e^{-s} とすると、

と、ベキ級数になる。

*s* を変数とみなし、一般ディリクレ級数の収束性を問わないとき、**形式的一般ディリクレ級数** (formal general Dirichlet series)という。

## 収束性
### 収束軸
任意の一般ディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。
# 任意の複素数 *s* に対して、一般ディリクレ級数は収束する。
# 任意の複素数 *s* に対して、一般ディリクレ級数は発散する。
# 一般ディリクレ級数が \scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma_c を満たす複素数 *s* に対して収束し、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s  を満たす複素数 *s* に対して発散する様な実数 \scriptstyle\sigma_c が存在する。

この \scriptstyle\sigma_c を一般ディリクレ級数の**収束軸** (line of convergence)または**収束座標** (abscissa of convergence)という。
収束軸について、一般ディリクレ級数が常に収束するときは \scriptstyle-\infty、常に発散する場合は \scriptstyle+\infty と定める。

収束軸の値の求め方

一般ディリクレ級数

の収束軸 \scriptstyle\sigma_c の値は、以下の様に求められる。
* \textstyle s_n = \sum_{k=1}^na_k が発散する場合
*: \sigma_c = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log |s(n)|}{\lambda_n} 。
* \textstyle s_n = \sum_{k=1}^na_k が収束する場合
*: \sigma_c = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log|a_n + a_{n+1} + \cdots|}{\lambda_n} 。

また、

という式も知られている。

### 絶対収束性
一般の級数のときと同じく、

が収束するとき、一般ディリクレ級数

は絶対収束するという。

絶対収束する複素数 *s* に対する、\operatorname{Re}\ s の下限を**絶対収束軸** (line of absolute convergence)または**絶対収束座標** (abscissa of absolute convergence)という。
絶対収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で絶対収束するときは \scriptstyle-\infty、常に絶対収束しない場合は \scriptstyle+\infty と定める。

ディリクレ級数の場合、ある点で収束すれば絶対収束する点が存在するが(ディリクレ級数の絶対収束性を参照)、ある点で収束しても、すべての点で絶対収束しない一般ディリクレ級数が存在する。

例えば
e^{-s\log\log n}
}}
は、すべての複素数 *s* に対して収束するが、絶対収束することはない。

一般に、収束軸が有限の値 \scriptstyle\sigma_c を持ち、

が有限の値 &alpha; をとるならば、絶対収束軸 \scriptstyle\sigma_a は有限の値を持ち、\scriptstyle 0\le\sigma_a - \sigma_a \le \alpha であることが知られている。

絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。

一般ディリクレ級数

の絶対収束軸 \scriptstyle\sigma_a の値は、以下の様に求められる。
* \textstyle s_n = \sum_{k=1}^n|a_k| が発散する場合
*: \sigma_a = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log s(n)}{\log n} 。
* \textstyle s_n = \sum_{k=1}^n|a_k| が収束する場合
*: \sigma_a = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log(|a_n| + |a_{n+1}| + \cdots)}{\log n} 。

また、

が成り立つ。

### 一様収束性
一般ディリクレ級数を

として、*s* を変数とする関数とみなすと、f(s) の一様収束性が問題となる。

一般ディリクレ級数の一様収束性について、収束軸 \scriptstyle\sigma_c および絶対収束軸 \scriptstyle\sigma_a が有限の値であるならば、
このとき、
 
を満たす実数 \scriptstyle\sigma_u が存在して、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s>\sigma_u を満たす複素数 *s* に対して、f(s) は一様収束するが、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s  を満たす複素数 *s* に対して、f(s) は一様収束しない。　

この \scriptstyle\sigma_u を、**一様収束軸** (line of uniform convergence)または**一様収束座標** (abscissa of uniform convergence)という。
一様収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で一様収束するときは \scriptstyle-\infty、常に一様収束しない場合は \scriptstyle+\infty と定める。

一様収束軸の値は、収束軸・絶対収束軸とは異なる方法で求められる。

ディリクレ級数

の一様収束軸 \scriptstyle\sigma_u の値は、以下の様に求められる。

ここで、

## 解析的性質
### 正則性
一般ディリクレ級数

は、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma で収束するならば、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma で正則である。さらに、f(s) の微分は

で与えられる。

\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma で正則である様な &sigma; の下限を \scriptstyle\sigma_r とおくと。

但し、

### 一般ディリクレ級数の一意性
2つのディリクレ級数

が、ある開領域内で収束し、そこで、f(s) = g(s) が成立するならば、すべての *n* に対して、a_n = b_n である。

### 一般ディリクレ級数の係数
収束軸 \scriptstyle\sigma_c が有限の値もしくは \scriptstyle-\inftyである、一般ディリクレ級数

に対して、&omega; を \scriptstyle\lambda_n  を満たす様にとり、\scriptstyle c>\max(\sigma_c,\ 0) とする。このとき
{z}dz
}}
が成立する。但し、積分路は、すべての \lambda_k を通らない様にとる。

さらに、\scriptstyle x > \sigma_c であるならば、

### 一般ディリクレ級数の零点の個数
&epsilon;、 &delta;、*T* を任意の正数とする。

収束軸 \scriptstyle\sigma_c が有限の値である一般ディリクレ級数

に対して、\scriptstyle\sigma\ge \sigma_c+\varepsilon,\ T を満たす複素数 s=\sigma+it のうち、f(s) = 0 を満たすものの個数を N(T) とおくと、
N(T) は有限の値であり、

が成立する。

## 注釈


## 参考文献
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## 関連項目
*級数
*冪級数
*ディリクレ級数