半直積

群論において、群の**半直積**（はんちょくせき、）とは、ふたつの群から新たな群を作り出す方法の一種。
群の直積の一般化であり、通常の直積をその特別な場合として含む。

## 定義
### 内部半直積
ふたつの群 ,  に対して  の  による**内部半直積**とは、次の性質を満たす群  のことで、  と表す。
*  は群  の正規部分群かつ  は群  の部分群であって、 を満たす
*  と  は自明な共通部分をもつ：

 を群とし、 をその部分群、 を正規部分群 () とすると、以下は同値である。
* *G* = *NH* かつ *N* ∩ *H* = 1.
* *G* のすべての元は積 *nh* (*n* ∈ *N*, *h* ∈ *H*) として一意的に書ける。
* *G* のすべての元は積 *hn* (*h* ∈ *H*, *n* ∈ *N*) として一意的に書ける。
* 自然な埋め込み  を自然な射影  と合成すると、*H* と商群  の間の同型写像となる。
* *H* 上恒等写像で核が *N* の群準同型  が存在する。

### 外部半直積
 を正規部分群  と部分群  の（内部）半直積であるとする。 を  のすべての自己同型からなる群とする。次で定義される写像  は群準同型である。, ただしすべての  と  に対し、．（ は  の正規部分群であるから  であることに注意。）, ,  の三つ組は以下で示すように  を同型の違いを除いて決定する。

2つの群  と （与えられた群の部分群である必要はない）と群準同型  が与えられると、次のように定義される、 に関する  と  の（**外部**）**半直積**と呼ばれる新しい群 N\rtimes_{\varphi}H を構成することができる。
* 集合としては、N\rtimes_{\varphi}H はデカルト積  である。
* N\rtimes_{\varphi}H の元の乗法は、準同型 \varphi によって決定される。演算は  と  に対して
::(n_1, h_1)*(n_2, h_2) = (n_1\varphi_{h_1}(n_2), h_1h_2)
:によって定義される
::*\colon (N\times H)\times(N\times H)\to N\rtimes_{\varphi} H
:である。

これは群を定め、単位元は  で、 の逆元は  である。対  全体は  と同型な正規部分群をなし、対  全体は  に同型な部分群をなす。群全体はこれら2つの部分群の内部半直積になっている。

逆に、群  と正規部分群  と部分群  が与えられていて、 のすべての元  が一意的に , ただし , , の形に書けるとしよう。 を 、ただしすべての  に対して
:\varphi_h(n) = hnh^{-1},
によって与えられる準同型とする。すると  は半直積 N\rtimes_{\varphi}H に同型である。同型写像は積  を対  に送る。 において次が成り立ち
:(n_1h_1)(n_2h_2) = n_1 h_1 n_2 h_1^{-1}h_1h_2 = (n_1\varphi_{h_1}(n_2))(h_1h_2)
これは上の写像が確かに同型であることを示しておりまた N\rtimes_{\varphi}H の乗法の規則の定義の説明もしている。

直積は半直積の特別な場合である。これを見るためには、 を自明な準同型、すなわち  のすべての元を  の恒等自己同型に送るものとしよう。すると N\rtimes_{\varphi}H は直積  N \times H である。

### ホモロジー代数的定義
群  の 群  による半直積とは、分裂する短完全列
: 1 \to N \to G \to H \to 1 
を持つような群  のことである。ここで、短完全列が分裂するとは切断  が存在することである。（つまり半直積  とは群  の群  による群の拡大のなかで「もっとも単純なもの」である。）

## 導入
定義は直観的にやや分かりにくく、奇妙に見えるかもしれないが、分かりやすい例として、n次元ユークリッド空間におけるアフィン変換群 をあげることができる。 次元アフィン変換
: (A,b)\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n;\; (A,b)x =  Ax + b
は  次元一般線型変換 A \in  \mathit{GL}(n, \mathbb{R})  と 次元の並進変換 b \in \mathbb{R}^n  を合成したものであり、この変換の全体は群を成し、これを \operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n) で表し、 次元**アフィン変換群**と呼ぶ。2つのアフィン変換 (A_1, b_1) と (A_2, b_2) の合成変換を考えると、
: (A_1, b_1)(A_2, b_2)x = (A_1, b_1) (A_2 x + b_2) = A_1 A_2 x + A_1 b_2 + b_1 
である。従って、アフィン変換群 \operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n) の群演算は、
: (A_1, b_1)(A_2, b_2) = (A_1 A_2,  A_1 b_2 + b_1) 
となり、\mathit{GL}(n, \mathbb{R}) と \mathbb{R}^n  の単純な直積群ではないことが分かる。しかし \mathit{GL}(n, \mathbb{R}) と \mathbb{R}^n  は共に \operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n) の部分群を成し、とくに \mathbb{R}^n  は正規部分群になる。
このような関係をさらに一般化したものが半直積である。

## 例
### 直積
直積群は半直積群でもある。

### 二面体群
位数  の二面体群  は位数  の巡回的正規部分群  の位数  の巡回群  による半直積である。
:
 D_{2n} = \langle\, r, s \mid r^n = s^2 = 1,~s^{-1}rs = r^{-1} \,\rangle

:
 C_n := \langle r \rangle,~C_2 := \langle s \rangle,~D_{2n} = C_n \rtimes C_2


### 標準ボレル部分群
一般線型群の上三角行列からなる部分群  を取る。
 を対角成分がすべて  からなる群  の部分群とし、
 を対角行列からなる群  の部分群とする。このとき次が成り立つ。
: B = U \rtimes T

### アフィン変換群
正則アフィン変換からなる群  も半直積の例である。

### 運動群
 次元ユークリッド空間の運動群  は並進部分群  と直交群  の半直積  である。

### 半直積で表せない例
位数  の四元数群  は自身より小さなふたつの群の半直積で表すことはできない。

## 性質
### 位数
位数はそれぞれの積である。
: \vert N \rtimes H \vert = \vert N \vert \vert H \vert 
### 埋め込み
もとの群は半直積群に埋め込まれる。
つまり、ふたつの単射準同型写像  と  がある。
さらに  の単射準同型像は  の正規部分群で、その剰余群は  と同型である。

### 異なる作用における同型
一般に、ふたつの異なる群作用  が非同型な半直積群を定めるとは限らない。
もし  が巡回群で作用  が単射かつ  を満たすならば  である。

## 関連項目
* 直積
* 輪積
* シューア・ツァッセンハウスの定理 （有限群論における基本的な定理）
* 群の拡大 （）

## 脚注

## 参考文献
* 

* 
* R. Brown, Topology and groupoids, Booksurge 2006. ISBN 1-4196-2722-8