クラウジウス・モソッティの関係式

**クラウジウス・モソッティの関係式**（クラウジウス・モソッティのかんけいしき、）とは、微視的（分子）スケールの物理量である分極率と、巨視的スケールの物理量である誘電率との間に成り立つ関係式である。ルドルフ・クラウジウスおよびにちなむ。クラウジウス・モソッティの関係式は、以下のように書き下される。

: P_m = \frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} - 1}{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2} \frac{M_m}{\rho} = \frac{N_{\mathrm{A}}}{3 \, \varepsilon_0} \alpha

ここで、以下の物理量および物理定数を用いた。

* はモル誘電分極モーメント（単位はモル体積m3/mol）
* はモル質量（kg / mol）
* は密度（kg / m 3）
* はアボガドロ定数
* は真空の誘電率

この関係式は、永久双極子モーメントをもたず、双極子モーメントが誘電分極モーメントのみで構成される非極性物質について成り立つ。永久双極子を持つ材料の場合、が用いられる。

## 導出
巨視的な誘電分極モーメントは、すべての誘起双極子モーメント\vec{p}_{\text{ind}}の和を体積で割った値（すなわち双極子密度）である。

: \vec{P} = N\vec{p}_{\text{ind}} = N\alpha \vec{E}_{\text{loc}}

ここでは粒子の数密度、は分極率、は粒子の位置における局所電場強度である。

巨視的な物理量である電気感受率\chiおよび誘電率\varepsilon_{\mathrm{r}}と誘電分極モーメントとの間には以下のような関係式が成り立つ。

: \vec{P} = \chi \varepsilon _{0}\vec{E} = \left( \varepsilon_{\mathrm{r}} - 1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E}

これらの式をつなげて、次の式が得られる。

: \left( \varepsilon_{\mathrm{r}} - 1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E} = N\alpha \vec{E}_{\text{loc}}

ここからさらに記述を進めるためには、局所電場強度を記述する必要がある。

希薄気体においては、誘導双極子モーメントは互いに影響を与えず、局所電場強度は印加された外場と等しくなる&nbsp;&nbsp;。したがって次の式が得られる。

: \left( \varepsilon_{\mathrm{r}} -1 \right) = \frac{N}{\varepsilon _{0}}\alpha 

密度の高い誘電体においては、近傍の誘導双極子モーメントの作る電界の影響も受けるため、局所電場強度は印加された外場と等しくなくなる。

: \vec{E}_{\text{loc}}=\vec{E}+\vec{E}_{\text{L}}

: \vec{E}：外部から印加される電界＋誘電体表面に発生する分極電界（脱電電界）、
: \vec{E}_{\text{L}} = \vec{P}/(3\varepsilon_0)：念頭にある分子周りの架空球面上の分極電荷が作る電場（ローレンツの局所電場）

したがって、局所電場密度は以下の式にしたがう。

: \vec{E}_{\text{loc}} = \vec{E} + \frac{1}{3\varepsilon _{0}}\vec{P} = \vec{E} + \frac{\left( \varepsilon_{\mathrm{r}} - 1 \right)\varepsilon _{0}}{3\varepsilon _{0}}\vec{E} = \frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2}{3} \vec{E}

これを前述の式に代入して、以下を得る。

: \left( \varepsilon_{\mathrm{r}} - 1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E} = N\alpha \frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2}{3} \vec{E}

移項して整理すると、下式を得る。

: \frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} - 1}{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2} = \frac{N\alpha }{3\varepsilon _{0}}

について解けば以下の式を得る。

: \varepsilon_{\mathrm{r}} = 1 + \chi _{e} = 1 + \frac{3N\alpha }{3\varepsilon _{0}-N\alpha }

ここで、数密度を巨視的な物理量、密度、モル質量M_m、アボガドロ定数N_{\mathrm{A}}で表わすと以下のように書ける。

: N = \frac{N_{A}\rho }{M_{m}}

これを上式に代入すると、クラウジウス・モソッティの関係式が得られる。

: \frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} - 1}{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2} \frac{M_m}{\rho} = \frac{N_{\mathrm{A}}}{3 \varepsilon_0} \alpha

について解けば以下の式を得る。

: \varepsilon_{\mathrm{r}} = 1 + \chi _{e} = 1 + \frac{3 N_{\mathrm{A}} \rho \alpha }{3M_{m}\varepsilon _{0} - N_{\mathrm{A}}\rho \alpha }

## ローレンツ・ローレンツ方程式

ローレンツ・ローレンツの式とは、クラウジウス・モソッティの関係式にを代入し、誘電率の代わりに屈折率と分極率との関係を表わした下式をいう。

:  \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} = \frac{N\alpha }{3\varepsilon _{0}} 

クラウジウス・モソッティの方程式と同様、この方程式は均一な固体および液体に対して成り立つ。

大抵の気体については n^2 \approx 1 がなりたつことから、以下がいえる。

:  n^2 - 1 \approx \frac{N\alpha }{\varepsilon _{0}}

また、 {n^2 -1}\approx 2(n-1) を用いれば次式を得る。

:  n - 1 \approx \frac{N\alpha }{2\varepsilon _{0}}

この式は、常圧下の気体について適用できる。また、モル屈折率を用いれば気体の屈折率は以下のように書ける。

:  n \approx \sqrt{1 + \frac{3 A p}{R T}}

ここで、 は気体の圧力、は気体定数、絶対温度であり、気体の状態方程式からを用いた。また、をモル濃度とすると、が成り立つことも用いている。消衰係数を取り入れた複素屈折率については以下の式が成り立つ。

:  m \approx1+ c\frac{N_\mathrm{A} \cdot \alpha }{2\varepsilon _{0}}

したがって、虚数部、すなわち消衰係数は、モル濃度および吸光度に比例する。

:  k \approx c\frac{N_\mathrm{A} \cdot \alpha'' }{2\varepsilon _{0}}

したがって、ランベルト・ベールの法則をローレンツ・ローレンツの式から導出することができる。同様に、希薄溶液の屈折率の変化も、モル濃度におおよそ比例する。 

## 参考文献
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## 出典