傾き (数学)

数学における平面上の直線の**傾き**（かたむき、）あるいは**勾配**（こうばい、）は、その傾斜の具合を表す数値である。ただし、鉛直線に対する傾きは定義されない。一般的な用語として水平は傾いているとは言われないが、数学では「傾き０」とされ水平も傾きに含まれる。

傾きは普通、直線上の2点間の**変化の度合い**、すなわち **' の**変化量**に対する **' の変化量の比率として定義される。また、同値な定義として、傾き **' は傾斜角を **' として
:m=\tan \theta
と書くことができる。

曲線上の微分可能な1点に対しても、傾斜の具合を表す数値（**微分係数**）が、傾きの考え方により定義できる。

傾きの概念は、地理学および土木工学における斜度や勾配（たとえば道路など）に直接応用される。

## 定義
**'平面上の直線の傾きは、**'座標の増加量に対する **'座標の増加量の比率と定義される。式で書けば、直線の傾き **' は
:m=\frac{\Delta y}{\Delta x}
で記述される。ここで、ギリシア文字 "Δ"（デルタ）は、数学において「増加量」や「増分」を表す符牒としてよく用いられる。

増加量とは差のことなので、直線上の2点を任意に取り、それらを (**', **'), (**', **') とする。このとき、**' は
:<math>m=\frac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1}</math>
で求められる。

これらの等式から分かるように、鉛直線（**'軸に平行な直線）の傾きは、ゼロ除算となり、定義されない。

（例）

直線が2点 P(1, 2), Q(13, 8) を通るとする。増加量として、 に対する  の増加量と考えるか、 に対する  の増加量と考えるかで符号の違いが現れるが、それらの商である傾きとしてはどちらも変わらない。ここでは  に対する  の増加量を考える。
:**'の増加量 ''Δ'' = 13 &minus; 1 = 12
:**'の増加量 *Δ* = 8 &minus; 2 = 6
傾き **' とは、**'座標の増加量 *Δ* に対する **'座標の増加量 ''Δ'' の比率のことなので、
:<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1} =\frac{8-2}{13-1}=\frac{6}{12} =\frac{1}{2}</math>
である。

直線が2点 <math>P(4, 15)</math>, <math>Q(3, 21)</math> を通るならば、傾きは
:<math>m =\frac{21-15}{3-4} =\frac{6}{-1} =-6</math>
である。

== 傾斜角による記述 ==
傾斜の度合いを表す傾きは、**傾斜角**と関係が深い。たとえば、傾き 1 の直線の傾斜角は 45° である。傾き &minus;1 ならば、傾斜角を 0°～180° の範囲で考えると 135°、&minus;90°～90° の範囲で考えると &minus;45° である。なお、鉛直線の傾きは定義されなかったが、傾斜角は定義され、90° である。

傾斜角とは、直線と **'軸の正の部分が作る角（反時計回りが正の向き）と定義される。取り得る範囲として 0° ≤ **' < 180° または &minus;90° < **' ≤ 90° の2つの流儀がある（状況に応じて使い分ける）。

直線の傾きを **'、傾斜角を **' とすると、2つの間には、三角法における正接函数を用いて
:m=\tan \theta \ (\iff \theta =\arctan m)
の関係がある。

## 性質
*異なる2直線が平行であるための必要十分条件は、それらの傾きが等しいこと、または、傾きがともに定義されないことである。
*異なる2直線が直交するための必要十分条件は、傾きの積が &minus;1、または、傾きが 0 と定義されない場合であることである。
::たとえば、傾き \tfrac{2}{7} の直線に垂直な直線の傾きは -\tfrac{7}{2} である。
*傾き *m* の直線と傾き *m' *の直線が作る角 *θ* は
::\tan \theta =\pm \frac{m-m'}{1+mm'}
:で求められる（三角関数の加法定理）。

## 1次関数における傾き
### 傾き・切片
**' は **' の一次関数であるとする。このとき、**' と **' には **' = **' + **' と表される関係があり、そのグラフは直線となる。この直線の傾きは **' に等しい。
:（証明）
:**' = **' + **' のグラフ上の任意の2点 ,  を取る。,  の **'座標をそれぞれ **', **' とすると、,  の座標は
: (**', **' + **'),  (**', **' + **')
:である。
:**'の増加量 **' = **' &minus; **'
:**'の増加量 **' = (**' + **') &minus; (**' + **')
:= **' &minus; **'
:= **' (**' &minus; **')
:傾き **' は、
:m=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{a(x_2 -x_1)}{x_2 -x_1} =a（証明終）
1次関数 **' = **' + **' において、**' を傾きと呼ぶのに対して、**' を** **'[[切片 (数学)|切片]]**と呼ぶ。1次関数の **'切片は、グラフ（直線）が **' 軸と交わる点の **' 座標に等しい。したがって、**' = **' + **' の形の方程式を「傾き・切片標準形」と呼ぶこともある。

1次関数 **' = **' + **' のグラフは、**'軸平行の直線にはなりえないことに注意が必要である。

### 1次関数の決定
1次関数の傾き **' と直線上の1点 (**', **') が既知ならば、1次関数の方程式は
:<math>y-y_1 =m(x-x_1)</math>
で与えられる（これを「点・傾き標準形」と呼ぶことがある）。

（例）

1次関数のグラフが2点 (2, 8), (3, 20) を通るとする。1次関数の傾き **' は 
:\frac{20-8}{3-2} =12
だから、直線の方程式は1点・傾き標準形で
:**' &minus; 8 = 12(**' &minus; 2)
と求まる。これはつまり
:**' = 12**' &minus; 16
である。

### 直線の一般形
前述の通り、1次関数のグラフは全ての直線を表さない。2変数線型方程式の一般形
:ax+by+c=0
は全ての直線を表す。**' ≠ 0 ならば、傾きが存在し、<math>-\tfrac{a}{b}</math> である。

=== 直線の切片形 ===
<math>\frac{x}{a} +\frac{y}{b} =1</math> の形の方程式は切片形と呼ばれる。このとき **' は **' の1次関数で、
:**'切片が **'
:**'切片が **'
となる。この直線の傾きは <math>-\tfrac{b}{a}</math> である。

== 方向ベクトルとの関係 ==
直線の傾きが **' であることは、その直線の方向ベクトルが (1, **') であることと同値である。

== 微分係数 ==

[[曲線]]上の1点に対しても、そこで微分可能ならば、傾斜の具合を表す数値としての傾きが定義できる。

**' と **' を曲線上の2点間のそれぞれ **'座標、**'座標の増加量とすると、その2点を通る直線（[[弦 (数学)|弦]]という）の傾き **' は
:m=\frac{\Delta y}{\Delta x}
である。この2点間を狭めたときの **' の[[極限]]が、そこを直線として近似した傾きと考えられる。これは[[接線]]の傾きであり、**微分係数**と呼ばれる。場所 **' を変数とした
:\frac{dy}{dx} =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}
を、曲線の**導関数**と呼ぶ。

微分係数が定義できない例としては、次のような例がある。
*三角屋根型
****' = |**'| における **' = 0
*振動型
**<math>y=\left\{ \begin{array}{ll}
x\sin \frac{1}{x} &(x\neq 0)\\
0 &(x=0)
\end{array} \right.</math>（これは **' = 0 で連続である）における ** = 0
**ワイエルシュトラス関数

## 関連項目
*勾配 (ベクトル解析): 多変数への一般化
*平面における直線の標準形
*縦断勾配