一般化双曲型分布

**一般化双曲型分布**（いっぱんかそうきょくがたぶんぷ、）は、（GIG分布）によるとして定義される連続確率分布で、1977年ににより導入された。GH分布は金融市場のモデル化によく使われている。

## 一次元一般化双曲型分布
### 確率密度関数
一般化双曲型分布の確率密度関数は以下の式で与えられる。
:\begin{align}
gh(x;\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu ) = 
    &a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )(\delta^2 +(x-\mu )^2)^{(\lambda -\frac{1}{2} )/2} \\
    &\times K_{\lambda -1/2} (\alpha \sqrt{\delta^2 +(x-\mu )^2} )\exp (\beta (x-\mu))
\end{align}
ここで、
:
    a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )= 
    \frac{(\alpha^2 - \beta^2)^{\lambda/2}}{\sqrt{2\pi} \alpha^{\lambda -1/2} \delta^{\lambda} K_{\lambda} (\delta \sqrt{\alpha^2 -\beta^2})} 

: は、第3種の変形ベッセル関数。
:\mu 位置 (location) パラメータ（実数）
:\lambda （実数）
:\alpha （実数）
:\beta 歪度 (skewness) /非対称性 (asymmetry) パラメータ（実数）
:\delta 尺度 (scale) パラメータ（実数）
:x \in (-\infty; +\infty)
: のとき、\delta \ge 0,\; |\beta |
: のとき、\delta >0,\; |\beta |
: のとき、\delta >0,\; |\beta | \le \alpha

### モーメント
本節では、以下
:\begin{align}
  \zeta_u &= \delta \sqrt{\alpha^2 -(\beta +u)^2} \\
  \zeta   &= \zeta_{u=0} 
\end{align}
とする。

#### 期待値
期待値は以下の式で与えられる。
:\begin{align}
E(X) &=\mu +\frac{\delta \beta}{\sqrt{\alpha^2 - \beta^2}}
            \frac{K_{\lambda+1} (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}{K_{\lambda}(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})} \\[0.5em]
     &=\mu +\frac{\delta^2 \beta}{\zeta}
            \frac{K_{\lambda+1} (\zeta )}{K_{\lambda} (\zeta )}
\end{align}

#### 分散
分散は以下の式で与えられる。
:\begin{align}
    \operatorname{Var} (X) &=
         \frac{\delta}{\sqrt{\alpha^2 - \beta^2}}
         \frac{K_{\lambda+1} (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2} )}{K_\lambda (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2} )} +\frac{\delta^2 \beta^2}{(\alpha^2 -\beta^2)}
         \left[
              \frac{K_{\lambda+2} (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}{K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
         - \left(
              \frac{K_{\lambda +1}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}{K_{\lambda} (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
         \right)^2 \right]
         \\
         &=
         \frac{\delta^2}{\zeta}
         \frac{K_{\lambda+1}(\zeta )}{K_\lambda(\zeta)}
       + \frac{\delta^4 \beta^2}{\zeta^2}
         \left[
              \frac{K_{\lambda+2}(\zeta)}{K_{\lambda}(\zeta)}
            - \left(
                   \frac{K_{\lambda+1}(\zeta)}{K_{\lambda}(\zeta)}
              \right)^2
         \right]
\end{align}

### モーメント母関数
モーメント母関数は以下の式で与えられる。
:\begin{align}
    M_{GH} (u) &= \exp (u \mu) \left(
                    \frac{\alpha^2 - \beta^2}{(\alpha^2 -(\beta + u)^2)}
                \right)^{\lambda/2}
                \frac{K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 -(\beta + u)^2})}
                     {K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})} \\[0.5em]
              &= \exp(u \mu ) \left(
                \frac{\zeta}{\zeta_u}
                \right)^{\lambda}
                \frac{K_{\lambda}(\zeta_u )}
                     {K_{\lambda}(\zeta )}
\end{align}

### 特性関数
特性関数は以下の式で与えられる。
:\varphi (u)=\exp (i u \mu)
                \left(
                     \frac{\alpha^2 - \beta^2}{(\alpha^2 -(\beta + iu)^2)}
                \right)^{\lambda/2}
                \frac{K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 -(\beta + iu)^2})}
                     {K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}


## 特別なケース
### の場合
 (HYP) となる。導出には、ベッセル関数の性質を利用する。
:確率密度関数
:\begin{align}
gh(x;1,\alpha,\beta,\delta,\mu)
    &= \mathrm{hyp}(x; \alpha, \beta, \delta, \mu) \\
    &= \frac{\sqrt{\alpha^2 -\beta^2}}{2\delta \alpha K_1 (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
       \exp (-\alpha \sqrt{\delta^2 +(x-\mu)^2} +\beta (x-\mu))
\end{align}

λ=1, α=1, β=0, δ=0 の場合はラプラス分布 Laplace(μ, 1) となる。

### の場合
 (NIG) となる。導出には、ベッセル関数の性質を利用する。
:確率密度関数
:\begin{align}
gh(x;-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu) 
    &= \operatorname{nig} (x;\alpha ,\beta ,\delta ,\mu ) \\
    &= \frac{\alpha \delta}{\pi}
       \exp (\delta \sqrt{\alpha^2 -\beta^2} + \beta (x-\mu ))
       \frac{K_1 (\alpha \sqrt{\delta^2 +(x-\mu)^2})}{\sqrt{\delta^2 +(x-\mu )^2}}
\end{align}

### の場合
正規逆ガウス分布 (NIG) の特別な場合として、コーシー分布となる。

### の場合
自由度  の非対称なスチューデントのt分布となる。
:\begin{align}
gh(x;&\lambda=\frac{-\nu}{2},\alpha \to |\beta |,\beta ,\delta ,\mu ) \\
     &= \frac{\delta^{\nu} |\beta |^{(\nu + 1)/2} K_{(v+1)/2}\left(\sqrt{(\delta^2 + (x - \mu )^2 )\beta^2} \right) \exp (\beta (x - \mu ))}
           {2^{(v-1)/2} \Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right) \sqrt{\pi} \left( \sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2} \right)^{(\nu +1)/2}}
\end{align}

### の場合
自由度  の（対称な）スチューデントのt分布となる。
:\begin{align}
gh(x; &\lambda =\frac{-\nu}{2} ,\alpha =0,\beta =0,\delta =\sqrt{\nu} ,\mu ) \\
    &=\frac{\Gamma \left( \frac{\nu +1}{2} \right)}{\sqrt{\pi} \delta \Gamma\left( \frac{\nu}{2} \right)}
       \left[ 1+\frac{(x-\mu )^2}{\delta^2} \right]^{-\frac{\nu +1}{2}} \\
    &=\frac{\Gamma \left( \frac{\nu +1}{2} \right)}
            {\sqrt{\pi \nu} \Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right)}
       \left( 1+\frac{(x-\mu)^2}{\nu} \right)^{-\frac{\nu +1}{2}}
\end{align}

### の場合
平均 、分散  の正規分布となる。

## 参考文献

* , Karsten Prause, Oktober 1999.
* , Ernst Eberlein and Ernst August v. Hammerstein, revised April 2003.
* , Ole Eiler Barndorff-Nielsen and  Robert Stelzer, April 25, 2004.
* Moments of the Generalized Hyperbolic Distribution(PDF), David Scott, Department of Statistics, The University of Auckland, July 3, 2008.
* , Scott, David J, Wurtz, Diethelm, Dong, Christine and Tran,
Thanh Tam, Dec 09, 2009.

* 、増田 弘毅、統計数理 (2002) 第 50 巻 第 2 号 165–199 ©2002 統計数理研究所 特集「ファイナンス統計学」

## 脚注

 K_{-\frac{1}{2}} (x)=K_{\frac{1}{2}} (x)=\sqrt{\frac{\pi}{2}} x^{-\frac{1}{2}} \exp (-x)

## 外部リンク
* Wolfram Demonstration Project - Generalized Hyperbolic Distribution（GH確率密度関数のグラフを見ることができる。）