分裂補題

数学、より具体的にはホモロジー代数学において、**分裂補題**（ぶんれつほだい、splitting lemma）は次のようなものである。任意のアーベル圏において、短完全列に対する以下のステートメントは同値である。

写像が *q* と *r* の短完全列
:0 \rightarrow A \overset{q}{\longrightarrow} B \overset{r}{\longrightarrow} C \rightarrow 0
が与えられたとし、追加の矢印 *t* と *u* を存在しないかもしれない写像に対して書く。
:0 \rightarrow A  B  C \rightarrow 0.

このとき以下のステートメントは同値である。
;1. 左分裂 (left split): 写像 *t*: *B* → *A* が存在して *tq* は *A* 上恒等写像である。
;2. 右分裂 (right split): 写像 *u*: *C* → *B* が存在して *ru* は *C* 上恒等写像である。
;3. 直和 (direct sum): *B* は *A* と *C* のに同型で、*q* は *A* の自然な入射に一致し、*r* は *C* への自然な射影に一致する。

短完全列は上のステートメントのどれかが成り立てば*分裂する* (split) という。

（「写像」という言葉は考えているアーベル圏の射を意味し、集合の間の写像ではない。）

**注意**： 完全列 0 \rightarrow A \longrightarrow A \oplus C \longrightarrow C \rightarrow 0 は分裂するとは限らない。

この補題によって第一同型定理を精密化することができる。
* 第一同型定理は上記の短完全列において C \cong B/q(A) （すなわち "C" は "r" の余像あるいは "q" の余核に同型である）ということを述べている。
* 列が分裂すれば、B = q(A) \oplus u(C) \cong A \oplus C であり、第一同型定理は単に *C* の上への射影である。

それは線型代数学の（V \cong \ker T \oplus \operatorname{im}\,T の形での）階数・退化次数の定理の圏論的一般化である。

: *See also [[:en:Splitting_lemma_(functions)|splitting lemma]] in  [[:en:singularity theory|singularity theory]].*

## 証明
まず、(3) から (1) と (2) が従うことを示すためには、(3) を仮定し *t* として直和から *A* への自然な射影をとり、*u* として *C* から直和への自然な入射をとる。

(1) ならば (3) を示すために、*B* の任意の元は集合 (ker *t* + im *q*) に入っていることに注意する。これは *B* のすべての *b* に対して *b* = (*b* - *qt*(*b*)) + *qt*(*b*) であることから従う。*qt*(*b*) は明らかに im *q* の元であり (*b* - *qt*(*b*)) は 
:*t*(*b* - *qt*(*b*)) = *t*(*b*) - *tqt*(*b*) = *t*(*b*) - (*tq*)*t*(*b*) = *t*(*b*) - *t*(*b*) = 0
だから ker *t* に入っている。

次に、im *q* と ker *t* の共通部分は 0 である、なぜならば *q*(*a*) = *b* なる *A* の元 *a* が存在して *t*(*b*) = 0 であれば、0 = *tq*(*a*) = *a* であるから *b* = 0 である。

このことより *B* は im *q* と ker *t* の直和である。したがってすべての *B* の元 *b* に対して *b* は一意的に *A* の元 *a* と ker *t* の元 *k* であって *b* = *q*(*a*) + *k* なるもので識別できる。

完全性から ker *r* = im *q* である。部分列 *B* → *C* → 0 から *r* は上への写像である。それゆえ任意の *C* の元 *c* に対して *b* = *q*(*a*) + *k* が存在して *c* = *r*(*b*) = *r*(*q*(*a*) + *k*) = *r*(*k*)。したがって任意の *C* の元 *c* に対して ker *t* の元 *k* が存在して *c* = *r*(*k*), and *r*(ker *t*) = *C*。

*r*(*k*) = 0 であれば *k* は im *q* に入る。im *q* と ker *t* の共通部分は 0 であるから、*k* = 0 である。したがって射の制限 *r* : ker *t* → *C* は同型射であり ker *t* は *C* に同型である。

最後に、im *q* は 0 → *A* → *B* の完全性により *A* と同型である。なので *B* は *A* と *C* の直和に同型であり (3) が証明される。

(2) ならば (3) を示すために、同様の議論をする。*B* の任意の元は集合 ker *r* + im *u* に入る。すべての *B* の元 *b* に対し *b* = (*b* - *ur*(*b*)) + *ur*(*b*) であってこれは ker *r* + im *u* に入っている。ker *r* と im *u* の共通部分は 0 である、なぜならば *r*(*b*) = 0 かつ *u*(*c*) = *b* であれば 0 = *ru*(*c*) = *c*。

完全性から im *q* = ker *r* で、*q* は単射だから、im *q* は *A* と同型で、*A* は ker *r* と同型である。*ru* は全単射だから、*u* は単射でありしたがって im *u* は *C* と同型である。なので *B* は再び *A* と *C* の直和である。

### 他の証明
http://math.stackexchange.com/questions/748699/abstract-nonsense-proof-of-the-splitting-lemma/753182#753182

## 非可換群
ここに述べられた形では、分裂補題はアーベル圏でない群の圏全体においては成り立たない。

### 部分的には正しい
それは部分的には正しい。群の短完全列が左分裂あるいは直和であれば（条件1または3）、条件のすべてが成り立つ。直和に対してはこれは明らかである。直和成分から入射あるいはそれへ射影できるからだ。左分裂列に対しては、写像 t \times r\colon B \to A \times C が同型を与えるので、*B* は直和（条件3）であり、したがって同型を逆にして自然な入射 C \to A \times C と合成すれば *r* を分裂させる入射 C \to B を得る（条件2）。

しかしながら、群の短完全列が右分裂であっても（条件2）、左分裂あるいは直和である必要はない（条件1も3も従わない）。問題は右分裂の像が正規である必要はないことだ。この場合に正しいのは、*B* は、一般には直積ではないが、半直積ではあるということである。

### 反例
反例を構成するために、最小の非アーベル群である3文字の対称群 B\cong S_3 をとる。*A* で交代部分群を表し、C=B/A\cong\{\pm 1\} とする。*q* と *r* をそれぞれ包含写像と符号写像とすると、
:0 \rightarrow A \stackrel{q}{\longrightarrow} B \stackrel{r}{\longrightarrow} C \rightarrow 0 \,
は短完全列である。S_3 はアーベルでないので、条件 (3) は成り立たない。しかし条件 (2) は成り立つ。*u*: *C* → *B* を生成元を任意の2次の巡回置換に写すことで定義できる。完全にするために条件 (1) が成り立たないことに言及しよう。任意の写像 *t*: *B* → *A* はすべての2-サイクルを単位元に写さなければならない、なぜならば写像は群準同型でなければならないが、2-サイクルの位数は2であり *A* の元の位数は単位元を除いて *A* は S_3 の交代部分群すなわち位数3の巡回群なので3であるがそれで割り切れない。なので *t* は自明な写像で、それゆえ *tq*: *A* → *A* も自明であり、恒等写像ではない。

## 参考文献

* Saunders Mac Lane: *Homology*. Reprint of the 1975 edition, Springer Classics in Mathematics, ISBN 3-540-58662-8, p.16
* Allen Hatcher: *Algebraic Topology*. 2002, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, p.147