パフィアン

**パフィアン**（ぱふぃあん、）は、偶数次の交代行列に対して定義される斉次多項式である。**[[行列式]]の[[平方根]]**に相当する。

## 概要
パフィアンという語は、その性質を研究したイギリスの数学者アーサー・ケイリーによって名づけられ、最初にパフィアンを導入したドイツの数学者に因む。

一般的には行列式の平方根は根号を使って書き表す必要があるが、偶数次の交代行列の場合は行列の要素の多項式で平方根を書き表すことができることが知られており、これがパフィアンに相当する。

表現論や組合せ論において応用されるほか、数理物理においては、可積分系の方程式のソリトン解の表示や可解格子の一種であるダイマー模型の分配関数の計算等に応用される。

## 定義
### 一般的定義
 次の交代行列  に対し、
:\operatorname{Pf}(A)= \textstyle\sum\limits_{\sigma \in F_{2n}} \sgn(\sigma) a_{\sigma(1)\sigma(2)} a_{\sigma(3)\sigma(4)} \cdots a_{\sigma(2n-1)\sigma(2n)}
で定義される  次の斉次多項式  を  次の**パフィアン**と呼ぶ。ただし、 は  次の対称群  の部分集合で、
:F_{2n}= \{ \sigma \in S_{2n}| \, \sigma(2i-1) 
を満たすものとして定義される。現れる項の重複を許すならば、
:\begin{align}
\operatorname{Pf}(A)
  &= \frac{1}{2^n n!} \textstyle\sum\limits_{\sigma \in S_{2n}} \sgn(\sigma) a_{\sigma(1)\sigma(2)} a_{\sigma(3)\sigma(4)} \cdots a_{\sigma(2n-1)\sigma(2n)} \\
  &= \frac{1}{ n!} \textstyle\sum\limits_{\sigma \in F_{2n}'} \sgn(\sigma) a_{\sigma(1)\sigma(2)} a_{\sigma(3)\sigma(4)} \cdots a_{\sigma(2n-1)\sigma(2n)}
\end{align}
という表示も可能である。ただし
:F_{2n}'= \{ \sigma \in S_{2n}| \, \sigma(2i-1) 
である。

### 外積代数による導入
ベクトル空間  の基底  を用い、外積代数  における2-形式
:\omega = \textstyle\sum\limits_{i
を定義すると、その  乗の外積は
:\wedge^{\, n} \omega = \omega \wedge \omega \wedge \cdots \wedge \omega = \frac{1}{n!} \operatorname{Pf}(A)e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_{2n}
であり、自然な形でパフィアンが現れる。これにより、パフィアンはシンプレクティック幾何や微分形式の積分理論にも自然に現れる。

### グラフによる導入
あるグラフ G 上の完全マッチングを M とする。このとき、
:\operatorname{Pf}(A)= \sum_{M}\varepsilon(M)w(M) 
である。なお、\varepsilon  はレヴィ＝チヴィタ記号、w  は重みである。

### 記法
パフィアンを表す記法としては、 のほかに、行と列の区別を排した
:\operatorname{Pf}(a_1,a_2, \cdots,a_{2n}), \,\,\, \operatorname{Pf}(1,2, \cdots, 2n) \quad ( \operatorname{Pf}(a_i, a_j)=a_{ij})
といった記法がある。また、スコットランドの数学者によって導入された行列式の記法  において右上半分だけ表示する、
: \left. \begin{matrix}
|a_{12} &a_{13} &\cdots &a_{1 2n} \\
        &a_{23} &\cdots &a_{2 2n} \\
        &       &\ddots &\vdots \\
        &       &       &a_{2n-1 2n}
\end{matrix} \right|
も用いられる。

## 性質
### 基本的な性質
最も基本的な性質は、交代行列  に対して、その行列式との間に成り立つ関係式
:\operatorname{det}(A)= ( \operatorname{Pf}(A))^2
である。奇数次の交代行列の行列式は常に  になるため、パフィアンも  になる。

また、次交代行列 , 次正方行列  に対して、
:\operatorname{Pf}({}^t\!BAB) =\operatorname{det}(B) \operatorname{Pf}(A)
が成り立つ。

また、次正方行列  について、
:\operatorname{Pf} \begin{pmatrix}
0        &B \\
-{}^t\!B &0
\end{pmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\det B.
が成り立つ。

### 展開公式
次交代行列  に対し、 から  行、 列を取り除いた 次交代行列を  と表すと
: \begin{align}
\operatorname{Pf}(A)
  &= \textstyle\sum\limits_{j=1}^{2n} (-1)^{i+j+1} a_{ij} \operatorname{Pf}(A^{(ij)}) \\
  &= \textstyle\sum\limits_{j=1}^{2n} (-1)^{i+j+1} \operatorname{Pf}(a_i, a_j) \operatorname{Pf}(a_1, \cdots, \hat{a_i}, \cdots , \hat{a_j}, \cdots, a_{2n})
\end{align}
が成り立つ。ただし、2行目において、 は、その成分を取り除くことを意味する。これは行列式における余因子展開に相当する。

## 例
便宜上、 の元である置換  を順列  の形で表すこととする。

### 2n=2（n=1）の場合
 のときの  の元は  だけであり、その符号  は  であるから、
: \operatorname{Pf}(A)=a_{12}
となる。実際、行列式は、
:\operatorname{det}(A)=(a_{12})^2=(\operatorname{{Pf}(A)})^2
となる。

### 2n=4（n=2）の場合
 の場合は、 の元は  であり、それぞれの符号  は  であるから、
:\operatorname{Pf}(A)=a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23}
となる。実際、行列式は、
:\operatorname{det}(A)=(a_{12}a_{34})^2+(a_{13}a_{24})^2+(a_{14}a_{23})^2-2a_{12}a_{13}a_{24}a_{34}-2a_{12}a_{14}a_{23}a_{34}-2a_{13}a_{14}a_{23}a_{24}=(\operatorname{{Pf}(A)})^2
となる。

## 小パフィアン
行列式に対して小行列式を考えたように、パフィアンに対しても**小パフィアン**（subpfaffian）を考えられる。I=i_1,i_2,....i_{2q-1},i_{2q}とすると、小パフィアンは、
:(\operatorname{Pf}(A))_{I}=\frac{(2q)!}{q!2^q}a_{[i_1i_2}a_{i_3i_4}...a_{i_{2q-1}i_{2q}]}
で定義される。なお、ブラケットは添え字の反対称化（交代化）を意味する省略記号である。詳しくは反対称テンソルを参照せよ。

このとき、J=j_1,j_2,....j_{2q-1},j_{2q} とすると、交代行列のコレスキー分解により、
:[A]_{I,J}=(\operatorname{Pf}(A))_{I}(\operatorname{Pf}(A))_{J}
である。

## 脚注

## 参考文献
* Thomas Muir (sir.), ''A treatise on the theory of determinants", Macmillan and Co. (1882)
* Thomas Muir (sir.), ''The theory of determinants in the historical order of development'', Macmillan and Co. (1906)
* Roe Goodman and Nolan R. Wallach, *Symmetry, Representations, and Invariants (Graduate Texts in Mathematics)* Springer (2009) ISBN 978-0387798516
* 岡田聡一『古典群の表現論と組合せ論〈上〉（数理物理シリーズ）』培風館 (2006) ISBN 978-4563006631
* 広田良吾『直接法によるソリトンの数理』岩波書店(1992) ISBN 978-4000056762
* 高崎金久『線形代数と数え上げ』日本評論社。2012年。ISBN 978-4535786806。
* 伊理正夫『線形代数汎論』朝倉書店。2009年。ISBN 978-4254117783。

## 関連項目
* 行列式

## 外部リンク
*