漸近展開

**漸近展開**（ぜんきんてんかい、）とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学 (例えば複素解析や特殊関数に対する数値解析など) では重要な手法の一つであり、確率論の基礎として用いることがある。

## 漸近級数
関数 \scriptstyle f(x)\! を定義域が実数の領域で定義された関数とし、x_0 を  \scriptstyle f(x)\! の定義域内の点とする。

関数列 \scriptstyle\{ \varphi_n(x) \}_{n\ge 0} が次の条件を満たすとき、**漸近関数列**という。
* \varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_{n}(x))\ \ \ (x\to x_0)\ \ \ \ (n = 0,\ 1,\ 2,\ldots)

実数列 \scriptstyle\{ a_n \}_{n\ge 0} が存在して、任意の正整数 *n* に対し

が成立するとき、

を \scriptstyle f(x)\! の**漸近級数**といい、

と表す。

さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、**ポアンカレの意味での漸近級数**または**狭義の漸近級数**という。
* 任意の正整数 *n*、\scriptstyle f(x)\! の定義域内の *x* に対して
:: \left|f(x) - \sum_{k=0}^n a_k\varphi_k(x)\right| 
: が成立する。

漸近関数列が \scriptstyle\{ (x-x_0)^n \}_{n\ge 0} \scriptstyle(|x_0| または  \scriptstyle\{ x^{-n} \}_{n\ge 0} \scriptstyle(|x_0|=\infty) の形の漸近級数を、**漸近冪級数**という。

与えられた漸近関数列を用いて、\scriptstyle f(x)\! の漸近級数を得ることを**漸近展開**といい、
\scriptstyle f(x)\! の漸近級数 \textstyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x) が存在する場合、
\scriptstyle f(x)\! は漸近展開

を持つという。

## 性質
### 一意性
任意の関数 \scriptstyle f(x)\! に対して、\scriptstyle f(x)\! に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。例えば
* 1/(x-1)\sim\sum_{k=1}^{\infty}x^{-k}\ \ \ \ (x\to\infty)
* 1/(x-1)\sim\sum_{k=1}^{\infty}(x^2+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to\infty)

しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯１つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。 

さらに、漸近級数の各係数は

で与えられる。

### 和と積
点 x_0 の近傍で定義された関数 \scriptstyle f(x),\ g(x) は、漸近関数列 \scriptstyle\{ \varphi_n(x) \}_{n\ge 0} に対する漸近展開

を持つとする。このとき、任意の &alpha;、&beta; に対して

が成立する。

さらに、漸近関数列が \scriptstyle\{ \varphi(x)^n \}_{n\ge 0} \scriptstyle(\varphi(x)\to\infty\ (x\to x_0)) である場合、 

が成立する。

### 項別微分
一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。
項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。

漸近関数列 \scriptstyle\{ \varphi_n(x) \}_{n\ge 0} は各 *n* に対して、x_0 の近傍で微分可能であり、関数列 \scriptstyle\{ \varphi'_n(x) \}_{n\ge 0} が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。 

\scriptstyle f(x)\! は、x_0 の近傍で微分可能であり、

となる漸近展開を持ち、\scriptstyle f'(x)\! が漸近関数列 \scriptstyle\{ \varphi'_n(x) \}_{n\ge 0} を用いて漸近展開することができるのであれば 

が成立する。

### 項別積分
\scriptstyle|x_0| とし、\scriptstyle f(x)\! の漸近展開を

とする。定積分

が各 *n* に対して存在するならば、

が存在して、

が成立する。

\scriptstyle x_0=\infty のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。
例えば、漸近級数が漸近冪級数
\ \ \ (x\to\infty)
}}
を持つ場合、
\ \ \ (x\to\infty)
}}
とする必要がある。

## 例
### スターリングの公式の一般化
ガンマ関数は

という漸近展開を持つ。特に、*x* が正整数のときは階乗の漸近展開を与え、スターリングの公式よりも精密な近似級数になっている。
### 合流型超幾何関数
合流型超幾何関数 (:en:confluent hypergeometric function):
:_1F_1(\alpha;\gamma;z):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_n}{(\gamma)_n\;n!}z^n,\quad z\in\mathbb{C}
は次の漸近展開を持つ。
:_1F_1(\alpha;\gamma;z)\sim\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)}(\exp(-\mathrm{i}\pi)z)^{-\alpha}\left[1+\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\frac{(\alpha)_k(\alpha-\gamma+1)_k}{k!}\frac{1}{z^k}\right]+\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)}\exp(z)z^{\alpha-\gamma}\left[1+\sum_{k=1}^\infty\frac{(\gamma-\alpha)_k(1-\alpha)_k}{k!}\frac{1}{z^k}\right],\quad-\frac{\pi}{2}
\argは複素数の偏角であり、(\alpha)_kはポッホハマー記号である。

### 補誤差関数
補誤差関数
\int_x^{\infty} e^{-t^2} dt
}}
は、以下の様な漸近展開を持つ。
{\sqrt{\pi}x}\left(\ 1 - \frac{1}{2x^2} + \frac{1\cdot 3}{2^2x^4} - \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2^3x^6} + \cdots\right)\ \ \ (x\to\infty)
}}

### 指数積分
指数積分
{t}dt
}}
の漸近展開は、
\ \ \ \ (x\to\infty)
}}
で与えられる。

### ラプラス変換
\scriptstyle f(x)\! を何回でも微分可能な関数としたとき、\scriptstyle f(x)\! のラプラス変換 

の漸近展開は、
\ \ \ \ (x\to\infty)
}}
で与えられる。

### 微分方程式の解
微分方程式

の解は
{1+xt}dt
}}
で与えられ、

という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の \scriptstyle x\ne 0 で収束しないが、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。

求積法等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。

### 調和級数
調和級数は
{2k n^{2k}}=\ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots,}}

という漸近展開を持つ。ここで、\gammaはオイラー・マスケローニ定数、B_{k} はベルヌーイ数である。

## 脚注

### 注釈

### 出典


## 学習用図書

### 和書
* 
* 
* 
* 
* 柴田正和：「常微分方程式の局所漸近解析：特異点・臨界点が解の大域的性質を明らかにする」、森北出版、ISBN 978-4-627-07651-8 (2010年8月10日).
* 江沢洋：「漸近解析入門」、岩波書店、ISBN 978-4-00-006279-4
*伏見康治：「確率論及統計論」(第I章:数学的補助手段,3節：漸近展開）(1948年）；現代工学社から1977年に復刻版「確率論および統計論」、ISBN 978-4-87472012-7。https://web.archive.org/web/20160327114852/http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/2049-4 (2013年8月29日).

### 洋書
* Erdélyi, A.: *Asymptotic expansions*, Dover Publications, ISBN 0-486-60318-0 (1956年).
* Bruijn N.G.: *Asymptotic Methods in Analysis*, Dover Publications, ISBN 0-486-64221-6 (1958年). 
* Dingle, R. B. (1973). *Asymptotic expansions: their derivation and interpretation*. London: :en:Academic Press.
* Bleistein, Norman and Handelsman Richard A.: *Asymptotic Expansions of Integrals*, Dover Publications, ISBN 0-486-65082-0 (1975年).
* Olver, F. (1997). *Asymptotics and special functions*. AK Peters/CRC Press.
* Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). *Complex variables: introduction and applications*. :en:Cambridge University Press.
* Carrier, G. F., Krook, M., & Pearson, C. E. (2005). *Functions of a complex variable: Theory and technique*. :en:Society for Industrial and Applied Mathematics.
* Bender, C. M., & Orszag, S. A. (2013). *Advanced mathematical methods for scientists and engineers I: Asymptotic methods and perturbation theory*. :en:Springer Science & Business Media.
* Paris, R.B.: *Hadamard Expansions and Hyperasymptotic Evaluation: An Extension of the Method of Steepest Descents*, Cambridge University Press(Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 141), ISBN 978-1-107-00258-6 (2011年).

## 関連項目
*級数
*テイラー展開
*微分方程式
*メリン変換