余因子行列

数学の線形代数学において、次正方行列  の**余因子行列**（よいんしぎょうれつ、）あるいは**古典随伴行列**（こてんずいはんぎょうれつ、）とは、成分が 余因子である行列の転置行列のことであり、記号で \operatorname{adj}(A), \operatorname{Cof}(A), \widetilde{A} などで表す。これは次正方行列になる。

単に 成分が 余因子である行列（転置をしない）を「余因子行列」と呼ぶ場合もある。随伴行列や随伴作用素とは異なる。

余因子行列により、正則行列の逆行列を具体的に成分表示することができる。

## 定義
可換環  上の 次正方行列  の**余因子行列**とは、成分が 余因子である 次正方行列のことであり、記号で \operatorname{adj}(A), \widetilde{A} などで表す。

 の 小行列式を  で表すことにする。これは、 の第行、第列を除いてできる 次小正方行列の行列式である：
:\operatorname{adj}(A) = (b_{i,j}), \quad b_{i,j} =(-1)^{i+j} M_{j,i}
 の 余因子を  で表すと、
:\widetilde{a}_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{i,j}
:\operatorname{adj}(A) = (b_{i,j}), \quad b_{i,j} = (\widetilde{a}_{j,i})
 を余因子展開は、 の余因子行列  により、次のように表せる：
:A\widetilde{A} = \widetilde{A}A = (\det (A))I
ここで  は単位行列である。

 が特に正則行列のとき、 の逆行列は余因子行列  で表せる：
:A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \widetilde{A}

## 例
### 1次
次正方行列  の余因子行列は、 が零行列でないときは、次単位行列
:I = \begin{bmatrix}1\end{bmatrix}
である。\operatorname{adj}(0) は慣習上  とする。

### 2次
次正方行列
:A = \begin{bmatrix}
a &b \\
c &d
\end{bmatrix}
の余因子行列は
:
\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix}
d  &-c \\
-b &a
\end{bmatrix}
なお、この 次の場合は \operatorname{adj}\operatorname{adj} A=A が成り立つ。

### 3次
次正方行列
:A = \begin{bmatrix}
a_{11} &a_{12} &a_{13} \\
a_{21} &a_{22} &a_{23} \\
a_{31} &a_{32} &a_{33}
\end{bmatrix}
の余因子行列を考える。成分に 余因子を並べたものは、
:
C = \begin{bmatrix}
+\begin{vmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33} \end{vmatrix}
 &-\begin{vmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \end{vmatrix}
 &+\begin{vmatrix} a_{21} &a_{22} \\
 a_{31} &a_{32} \end{vmatrix} \\
 & & \\
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} &a_{33} \end{vmatrix}
 &+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} &a_{33} \end{vmatrix}
 &-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} &a_{32} \end{vmatrix} \\
 & & \\
+\begin{vmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{22} &a_{23} \end{vmatrix}
 &-\begin{vmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{21} &a_{23} \end{vmatrix}
 &+\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{vmatrix}
\end{bmatrix},
ここで
:\begin{vmatrix}
a_{im} &a_{in} \\
a_{jm} &a_{jn}
\end{vmatrix}=\det\begin{bmatrix}
a_{im} &a_{in} \\
a_{jm} &a_{jn}
\end{bmatrix}=\det\begin{vmatrix}
a_{im} &a_{in} \\
a_{jm} &a_{jn}
\end{vmatrix}
である。余因子行列はこれの転置行列であるから、
:\operatorname{adj}(A) = C^\mathsf{T} = \begin{bmatrix}
+\begin{vmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33} \end{vmatrix}
 &-\begin{vmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{32} &a_{33} \end{vmatrix}
 &+\begin{vmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{22} &a_{23} \end{vmatrix} \\
 & & \\
-\begin{vmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \end{vmatrix}
 &+\begin{vmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{31} &a_{33} \end{vmatrix}
 &-\begin{vmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{21} &a_{23} \end{vmatrix} \\
 & & \\
+\begin{vmatrix} a_{21} &a_{22} \\ a_{31} &a_{32} \end{vmatrix}
 &-\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{31} &a_{32} \end{vmatrix}
 &+\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{vmatrix}
\end{bmatrix}

### 数値計算
例えば、実3次正方行列
:A= \begin{bmatrix}
-3 &2  &-5 \\
-1 &0  &-2 \\
 3 &-4 &1
\end{bmatrix}
の余因子行列は、
:\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}
-8 &18 &-4 \\
-5 &12 &-1 \\
 4 &-6 & 2
\end{bmatrix}
となる。実際、余因子行列の 成分は 余因子であり、それは 小行列式（第3行、第2列を除いた小行列の行列式）に符号を掛けたものに等しい：
:(-1)^{3+2}\operatorname{det}\begin{bmatrix}
-3 &-5 \\
-1 &-2
\end{bmatrix}=-(-3 \cdot -2 - -5 \cdot -1)=-1

## 性質
 を 次正方行列とする。
* \operatorname{adj}(O) = O（ は零正方行列）
* \operatorname{adj}(I) = I（ は単位行列）
* \operatorname{adj}(cA) = c^{n-1}\operatorname{adj}(A)（ はスカラー）
* \operatorname{adj}(A^\mathsf{T}) = \operatorname{adj}(A)^\mathsf{T}（ は転置を表す）
* \det(\operatorname{adj}(A)) = (\det A)^{n-1}
*  が正則なら、\operatorname{adj}(A) = (\det A) A^{-1}
*:これから次が導かれる：
**  は正則で、その逆行列は
** .
*  の各成分は  の成分の多項式である。特に、実数体または複素数体上では、 の各成分は、 の成分の滑らかな関数である。 
複素数体上では、
* \operatorname{adj}(\overline{A}) = \overline{\operatorname{adj}(A)}（ は複素共役を表す）
* \operatorname{adj}A^* = (\operatorname{adj}A)^*（ は随伴行列を表す）
 をもう1つの 次正方行列とする。
*\operatorname{adj}(AB) = \operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)
この証明には、2つの方法がある。1つは、コーシー・ビネの公式により直接計算する方法である。もう1つの方法は、正方行列  に余因子展開の等式を利用する方法である：
:\begin{align}
 (\det AB)\widetilde{AB} &=(\det A)I \times (\det B)I \times \widetilde{AB} \\
 &=(\det A)I \times \widetilde{B}B \times \widetilde{AB} \\
 &=\widetilde{B} \times (\det A)I \times B \times\widetilde{AB} \\
 &=\widetilde{B} \times \widetilde{A}A \times B \times \widetilde{AB} \\
 &=\widetilde{B}\widetilde{A} \times (AB)\widetilde{AB} \\
 &=\widetilde{B}\widetilde{A} \times \det(AB)I \\
 &=\det(AB)\widetilde{B}\widetilde{A} \\
\end{align}
両辺を多項式として　 で割ると  を得る。（証明終）

これより、行列の冪乗について次が成り立つ：
*\operatorname{adj}(A^k) = (\operatorname{adj} A)^k（ は  以上の整数）
** が正則なら、この等式は  が負の整数の場合についても成り立つ。
*A\operatorname{adj}(A+B)B=B\operatorname{adj}(A+B)A
::等式
:::(A+B)\operatorname{adj}(A+B)B = \det(A+B)B = B\{\operatorname{adj}(A+B)\}(A+B)
::から導かれる。
*  のとき、
*  のとき、
::（ のある小行列式は  でない、故に  は  でなく、したがって、階数は  以上である。等式  は、 の核の次元は  以上であることを意味する。故に、 の階数は  以下である。）
::このとき、 は次のように表せる：
::（ は A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{o} かつ {}^tA\boldsymbol{y} = \boldsymbol{o} を満たすベクトルである）

### 列の置き換えとクラメルの公式

 の列ベクトル表示を
:A = (\boldsymbol{a}_1 \ \cdots \ \boldsymbol{a}_n)
とし、 を 次列ベクトルとする。固定された  に対し、 の第 列を  で置き換えた行列を次の記号で定義する：
:(A \stackrel{j}{\leftarrow} \boldsymbol{b})\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \begin{pmatrix}
\boldsymbol{a}_1 &\cdots &\boldsymbol{a}_{j-1} &\boldsymbol{b} &\boldsymbol{a}_{j+1} &\cdots & \boldsymbol{a}_n
\end{pmatrix}
この行列の行列式を第列に関して余因子展開し、それらを集めてできる列ベクトルは、積  に等しくなる：
:\left(\det(A \stackrel{j}{\leftarrow} \boldsymbol{b})\right)_{j=1}^n = \operatorname{adj}(A)\boldsymbol{b}
この等式は、具体的な結果を生む。線形方程式系
:A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}
を考える。 を正則と仮定する。この方程式に左から  を掛け、 で割ると
:\boldsymbol{x} = \frac{1}{\det A} (\operatorname{adj}A) \boldsymbol{b}
ここでクラメルの公式を適用すると、
:x_i = \frac{\det(A \stackrel{i}{\leftarrow} \boldsymbol{b})}{\det A}
ここで  は  の第成分である。

### 固有多項式
 の固有多項式を
:p(s) = \det(sI-A) = \textstyle\sum\limits_{i=0}^n p_i s^i \in R[s]
とすると、
 の第一差商は、次対称式になる：
:\Delta p(s,t) = \frac{p(s)-p(t)}{s-t} = \textstyle\sum\limits_{0 \le j+k
 の余因子行列積は、ケイリー・ハミルトンの定理  より、
:\operatorname{adj}(sI-A) = \Delta p(sI,A)
特に、 の レゾルベントは次の式で定義される：
:R(z;A) = (zI-A)^{-1}
さらに上記の等式より、これは次の式に等しい：
:R(z;A) = \frac{\Delta p(zI, A)}{p(z)}

### ヤコビの公式

行列式を微分すると、ヤコビの公式 (Jacobi's formula) により、余因子行列が現れる。 は連続的微分可能なら、
:\frac{d}{dt}(\det A(t)) = \operatorname{tr}\left(\operatorname{adj}(A(t)) A'(t)\right)
これより、行列式の全微分は、余因子行列の転置になる：
:d(\det A)_{A_0} = \operatorname{adj}(A_0)^{\mathsf{T}}

### ケイリー・ハミルトンの定理

 を線形変換  の固有多項式とする。ケイリー・ハミルトンの定理とは、 を  に置き換えて得られる正方行列が零行列になることをいう：
:p_A (A) = O
定数項を分離し両辺に  を掛けることで、余因子行列は  と  の係数だけで表される。完全指数関数的ベル多項式を使うと、これらの係数は の冪の跡の項で具体的に表せ、次のようになる：
:\operatorname{adj}(A) = \textstyle\sum\limits_{s=0}^{n-1} A^s \sum\limits_{k_1, \cdots, k_{n-1}} \prod\limits_{\ell=1}^{n-1} \dfrac{(-1)^{k_\ell+1}}{\ell^{k_\ell}k_{\ell}!}\operatorname{tr}(A^\ell)^{k_\ell}
ここで  は  の次数、総和  の , 数列  は次の 1次ディオファントス方程式を満たしながら取るものとする：
:s+\textstyle\sum\limits_{\ell=1}^{n-1} \ell k_\ell = n-1
特に 次の場合は、次のようになる：
:\operatorname{adj}(A)=I_2\left(\operatorname{tr} A\right) -A
次の場合は
:\operatorname{adj}(A)=\frac{1}{2}I_3\left( (\operatorname{tr}A)^2-\operatorname{tr}A^2\right) -A\left(\operatorname{tr} A\right) + A^2
次の場合は
:\operatorname{adj}(A)=
\frac{1}{6}I_4 \left((\operatorname{tr}A)^3 -3\operatorname{tr}A\operatorname{tr}A^2 +2\operatorname{tr}A^3 \right)
- \frac{1}{2} A\left((\operatorname{tr}A)^2 -\operatorname{tr}A^2 \right)
+ A^2 \left(\operatorname{tr}A\right)
- A^3
上記の表示式は、 の固有多項式を効率良く求めることのできる、Faddeev–LeVerrier algorithmの最後の段階からも直接導出することができる。

## 外積代数との関係
余因子行列は、外積代数の抽象的な用語を使うことで表示することができる。 を 次元ベクトル空間とする。ベクトルの外積により双線形対が得られる：
:V \times \wedge^{n-1} V \to \wedge^n V
ベクトルの外積は完全対である。それ故、それは同型写像を引き起こす：
:\phi \colon V\ \xrightarrow{\cong}\ \operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} V, \wedge^n V)
明示すると、この対は、 を \phi_{\boldsymbol{v}} に写す：
:\phi_\boldsymbol{v}(\alpha) = \boldsymbol{v} \wedge \alpha \qquad (\alpha \in \wedge^{n-1} V)
 を線形変換とする。 の次外冪による引き戻しは線形変換空間の射を作る。このとき  の**余因子変換**は次の合成で定義される：
:V\ \xrightarrow{\phi}\ \operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} V, \wedge^n V)\ \xrightarrow{(\wedge^{n-1} T)^*}\ \operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} V, \wedge^n V)\ \xrightarrow{\phi^{-1}}\ V
 に 基底  が与えられていて、 のこの基底に関する表現行列は  であるとき、 の余因子変換は  の余因子行列である。何故正しいのか考えてみるに、\wedge^{n-1} \mathbb{R}^n の基底を取る：
:\{ \boldsymbol{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\boldsymbol{e}_k \wedge \dots \wedge \boldsymbol{e}_n \}_{k=1}^n
 の基底元  を固定する。 の \phi による像は、\wedge^{n-1} \mathbb{R}^n の基底ベクトルの移る先を決定する：
:\phi_{\boldsymbol{e}_i}(\boldsymbol{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\boldsymbol{e}_k \wedge \dots \wedge \boldsymbol{e}_n)
= \begin{cases}
 (-1)^{i-1} \boldsymbol{e}_1 \wedge \dots \wedge \boldsymbol{e}_n, &\text{if}\ k=i, \\
0 &\text{otherwise.}
\end{cases}
この基底で、 の 次外冪 (\wedge^{n-1} T)^* は次のように表せる：
:\boldsymbol{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\boldsymbol{e}_j \wedge \dots \wedge \boldsymbol{e}_n \mapsto \textstyle\sum\limits_{k=1}^n (\det A_{jk}) \,\boldsymbol{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\boldsymbol{e}_k \wedge \dots \wedge \boldsymbol{e}_n
これらのそれぞれの項の \phi_{\boldsymbol{e}_i} による像は、 の項を除いて  になる。それ故、\phi_{\boldsymbol{e}_i} の引き戻しは次の線形写像になる：
:\boldsymbol{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\boldsymbol{e}_j \wedge \dots \wedge \boldsymbol{e}_n \mapsto (-1)^{i-1} (\det A_{ji}) \boldsymbol{e}_1 \wedge \dots \wedge \boldsymbol{e}_n
これは次に等しくなる：
:\textstyle\sum\limits_{j=1}^n (-1)^{i+j} (\det A_{ji})\phi_{\boldsymbol{e}_j}
\phi の逆写像を適用することより、 の余因子変換は次の式で与えられる線形変換であると分かる：
:\boldsymbol{e}_i \mapsto \textstyle\sum\limits_{j=1}^n (-1)^{i+j}(\det A_{ji})\boldsymbol{e}_j
故に、その表現行列は  の余因子行列である。

 に内積と体積形式が与えられていたら、この写像  はさらに分解される。この場合、 はホッジ双対と双対化の合成ととらえることができる。特に、 が体積形式のとき、それは内積とともに同型写像を引き起こす：
:\omega^\vee \colon \wedge^n V \to \mathbb{R}
これは同型写像を引き起こす：
:\operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} \mathbb{R}^n, \wedge^n \mathbb{R}^n) \cong \wedge^{n-1} (\mathbb{R}^n)^\vee
 は次の線型汎函数に一致する：
:(\alpha \mapsto \omega^\vee(\mathbf{v} \wedge \alpha)) \in \wedge^{n-1} (\mathbb{R}^n)^\vee
ホッジ双対の定義により、この線型汎函数は  と双対である。つまり、 は  と見なせる。

## 高階余因子行列
 を 次正方行列とし、 を固定する。 の **階余因子行列**とは、\textstyle\binom{n}{r} 次正方行列であり、 で表す。その成分は  の  個元からなる部分集合  から番号を取るものとする。 はそれぞれ  の補集合を表すものとする。A_{I^c, J^c} は、行番号、列番号がそれぞれ  から取られる、 の小行列を表すとする。 の  成分は次の式で定義される：
:(-1)^{\sigma(I) + \sigma(J)} \det A_{J^c, I^c}
ここで  はそれぞれ  の元の総和を表すとする。

高階余因子行列の基本的な性質として以下がある：
* 
* 
* 
* 
* \operatorname{adj}_r (A) C_r (A) = C_r (A) \operatorname{adj}_r (A) = (\det A) I_{\binom{n}{r}}（ は 次複合行列を表す）
高階余因子行列は通常の余因子行列と同様に、抽象代数学の言葉を用いても定義できる。V, \wedge^{n-1} V をそれぞれ \wedge^r V, \wedge^{n-r} V に置き換えることでできる。

## 余因子行列の反復合成
正則行列  について、余因子行列の反復合成を取ることにより、次余因子行列を考えることができる：
:\underbrace{\operatorname{adj}\cdots\operatorname{adj}}_k \,A = (\det A)^{\frac{(n-1)^k-(-1)^k}n} A^{(-1)^k}
:\det(\underbrace{\operatorname{adj}\cdots\operatorname{adj}}_k \,A) = (\det A)^{(n-1)^k}

例えば、
:\operatorname{adj} \operatorname{adj} A = (\det A)^{n-2} A
:\det(\operatorname{adj} \operatorname{adj} A) = (\det A)^{(n-1)^2}

## 関連項目
* 小行列式
* 余因子展開
* ケイリー・ハミルトンの定理
* クラメルの公式
* :en:Trace diagram
* :en:Jacobi's formula
* :en:Faddeev–LeVerrier algorithm

## 参照

## 参考文献
* Roger A. Horn and Charles R. Johnson (2013), *Matrix Analysis*, Second Edition. Cambridge University Press, 
* Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), *Topics in Matrix Analysis*. Cambridge University Press, 

## 外部リンク
* Matrix Reference Manual
*Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) - © Rene Vapenik 2008 Compute Adjugate matrix up to order 8
* adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } } - Wolfram|Alpha