弱位相

**弱位相**（じゃくいそう、）とは、ノルム空間上に定義される位相の一つである。体上のノルム空間にはノルムから定まる位相（**ノルム位相**。弱位相と区別するため**強位相**とも呼ばれる）があるが、弱位相はこれよりも弱い（強くない）位相であり、上の値有界線形写像（すなわちの共役空間の元）が全て連続になる最弱な位相である。なお弱位相は位相空間論におけるの特別な場合に当たる。

強位相に関するものと区別するため、弱位相に関する連続性、収束性、コンパクト性はそれぞれ**弱連続性**、**弱収束性**、**弱コンパクト性**と呼ばれる。

本項では弱位相の関連概念である**＊弱位相**についても述べる。

## 定義
以下、を実数体\mathbb{R}もしくは複素数体\mathbb{C}とする。

一方、のノルムにより定まる位相の事を**ノルム位相**という。

ノルム空間上の線型写像が有界である必要十分条件は、その線型写像がノルム位相連続である事である。したがっての元はノルム位相に関して必ず連続である。

それに対しの元を連続にする最弱の位相であるので、以下が従う：

この為、ノルム位相の事をの**強位相**（）ともいう。

弱位相は、として、より具体的に定義することもできる。 の点 、、 に対して、
: U(x_0, \alpha, \varepsilon) = \{ x \in X \mid |\alpha(x) - \alpha(x_0)| 
という形の集合（の元）を考える。これら全ての集合の有限個の共通部分がなす集合族を開基とする位相が、 上の弱位相である。

の係数体（=\mathbb{R},~\mathbb{C}）の位相は上の絶対値をノルムと見なしたときのノルム位相と一致する事から、弱位相を以下のようにも特徴づけられる：

 |\alpha(x)|

により定義すると、上の弱位相はセミノルムの族(\|\cdot\|_{\alpha})_{\alpha\in X^*}により誘導される位相と一致する。
}}
よって特に、に弱位相を入れた空間は局所凸である。したがって弱位相は最も粗い極位相（弱位相 (極位相)を参照）でもある。

また、ノルム空間の共役空間  が  の点を分離する（すなわち、任意の  に対し  となる  が存在する。これはハーン＝バナッハの定理の帰結である）ことから、弱位相はハウスドルフ性を満たす。

### 弱収束・強収束
弱位相による収束は、以下のように定義される。

弱位相における点列（もしくはより一般に有向点族）の収束を**弱収束**といい、
: x_n \overset{\text{w}} x
:x_n \longrightarrow x （弱）
: x_n \rightharpoonup x
: \underset{n\to \infty}{\text{w-lim}} x_n=x

等と表記する。

一方ノルム位相に対する収束（**ノルム収束**）は**強収束**とも呼ばれ、弱収束と区別するため

: x_n \overset{\text{s}} x
:x_n \longrightarrow x （強）
: \underset{n\to \infty}{\text{s-lim}} x_n=x

等と表記する。

### ヒルベルト空間における強収束と弱収束の関係
ヒルベルト空間においては弱収束する点列が強収束するための必要十分条件が以下のように与えられる：

## ＊弱位相
ノルム空間の共役空間には、**[[作用素ノルム]]**
:\|\alpha\|_*=\sup_{x\in X\setminus\{0\}}

が定義でき、このノルムからノルム位相が定まる。また自身も作用素ノルムに関してノルム空間であることからには弱位相も入り、定義よりこれはの共役空間（**二重共役空間**）に属する写像を全て連続にする最弱の位相である。

さらにには下記の＊弱位相も入る：

各  に対し  は  上の有界線形写像、すなわち  となる。写像 J: x \mapsto \mu_x は  から  への線形な等長埋め込み（**自然な埋め込み**と呼ばれる）であり、J(X) \subset X^{**} と見なせる。

ハーン＝バナッハの定理の帰結として、 の元（の  による像）は  の点を分離する（すなわち、任意の  に対し \mu_x(\alpha) = \alpha(x) \neq 0 となる  が存在する）ため、＊弱位相はハウスドルフ性を満たす。

 の定義（ 上の全ての有界線形写像）は  の弱位相を誘導するのに対し、＊弱位相は J(X) \subset X^{**} という（真の）部分集合のみによって誘導されるため、以下が従う：

つまりに入る位相は強い順からノルム位相、弱位相、＊弱位相である。

なお、定義より明らかに次が従う：

位相空間論の言葉を使うと、＊弱位相を別の角度から特徴づける事ができる。そのためにまず定義を述べる：

このとき次が従う：

### ＊弱収束
＊弱位相による収束は、以下のように定義される。

＊弱位相における点列（ないしより一般的な有向点族）の収束を**＊弱収束**（）もしくは**汎弱収束**といい、
: \alpha_n \overset{\text{w}^*} \alpha
: \alpha_n \overset{*}{\rightharpoonup} \alpha
: \underset{n\to \infty}{\text{w}^*\text{-lim}} \alpha_n=\alpha

等と表記する。

## 具体例

[-\pi,\pi]区間上の複素数値2乗可積分関数のなすヒルベルト空間H=[''L''<sup>2</sup>([-π,π])](https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93)を例に強収束と弱収束の違いを見る。なお、ヒルベルト空間は再帰的な事が知られているので、弱位相と＊弱位相は同一である。

(\varphi_n)_{n\in\mathbb{Z}}をの完全正規直交基底とする。例えば
:\varphi_n(x)={1\over \sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{inx} \quad (n \in \mathbb{Z})
とすると、(\varphi_n)_{n\in\mathbb{Z}}が完全正規直交基底になる事が知られている（フーリエ展開を参照）。

ここで、点列 (\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}}（または n \to \infty の極限）を考える。(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}} の正規直交性から、n, m \in \mathbb{N}, n \neq mに対し
: \|\varphi_n-\varphi_m\|^2 = \langle \varphi_n-\varphi_m, \varphi_n-\varphi_m \rangle = \|\varphi_n\|^2 - \langle \varphi_n, \varphi_m \rangle - \langle \varphi_m, \varphi_n \rangle + \|\varphi_m\|^2 = 1 - 0 - 0 + 1 = 2
: よって \|\varphi_n-\varphi_m\|=\sqrt{2}
であるので、(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}}はコーシー列ではなく、よってのとき強収束の極限は存在しない。

しかし(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}}は0に弱収束する。

理由は下記の通りである。ヒルベルト空間の共役空間の任意の元には、リースの表現定理により、
: \alpha(\xi)=\langle \xi,\psi\rangle \quad (\xi \in H)
を満たすが（内積の第一引数に関して線形、第二引数に関して共役線形を仮定した場合）一意に存在する。

(\varphi_n)_{n\in\mathbb{Z}}は完全正規直交基底であるから、 は次のようにフーリエ展開できる。
:\psi=\sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k\varphi_k (a_k = \langle \varphi_k, \psi \rangle)
ここで \psi \in H であるから、パーセバルの等式（またはベッセルの不等式）より \sum_{k \in \mathbb{Z}} |a_k|^2 = \|\psi\|^2  が成り立つ。この級数が収束することから、
:\lim_{|k|\to\infty} a_k=0
である。

以上の事から任意の（に対応する ）に対し、
:\alpha(\varphi_n)=\langle \varphi_n,\psi\rangle=\langle \varphi_n, \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k\varphi_k \rangle = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \overline{a_k} \langle \varphi_n, \varphi_k \rangle = \overline{a_n}
（ここで \langle \cdot, \cdot \rangle の連続性と \varphi_n の直交性を用いた）。
よって、のとき（|n| \to \infty のとき a_n \to 0 なので）、
:\alpha(\varphi_n)=\overline{a_n}\to 0
となり、
:\underset{n\to\infty}{\text{w-lim}}\varphi_n = 0
が成立する。

## 性質
### バナッハ＝アラオグルの定理
ノルム位相に対してはリースの補題から直接的に次の事実が従う：したがって無限次元の場合、の閉単位球はノルム位相に関してコンパクトではない。しかし、の閉単位球は＊弱位相に関してはコンパクトになる：この定理はチコノフの定理に基づいて非構成的に示せる。なおノルム空間が（ノルム位相に関して）可分な場合、 の閉単位球  上の＊弱位相は距離化可能であり（#距離化可能性の節を参照）、その場合は（点列コンパクト性を利用した）より直接的な証明が可能である。

バナッハ＝アラオグルの定理は単位閉球に関するものであるが、スカラー倍写像の連続性から、任意の半径の（ノルム）閉球も＊弱位相に関してコンパクトであることが従う。

バナッハ＝アラオグルの定理の重要な帰結として、回帰的空間の弱コンパクト性がある。
が回帰的（すなわち、自然な埋め込み J: X \to X^{**} が全射）である場合、  は  （に弱位相を入れた空間）から  （に＊弱位相を入れた空間）への同相写像となる。このため、 上の弱位相と  上の＊弱位相は同一視できる。
このこととバナッハ＝アラオグルの定理（を  の共役空間  に適用したもの）から、以下の系が従う。

に対しL<sup>p</sup>空間や&#8467;<sup>p</sup>空間は回帰的なので、上記の定理が適用できる。しかし回帰的でない場合には上述の定理に反例があり、例えばに収束する複素数列全体に&#8467;∞ノルムを入れた空間の閉単位球は弱位相に関してコンパクトではない。

（したがって ）が無限次元である場合、弱*位相における（ノルム）有界閉集合には内点が無く、有界閉集合上の点は必ず境界点になる事である。これはすなわち、無限次元空間では、たとえ閉単位球がコンパクトであっても弱*位相をいれたが局所コンパクトにはなっていない事を意味する。

### 距離化可能性

ノルム空間  の弱位相、およびその共役空間  の＊弱位相の距離化可能性については、以下の性質が知られている。

## 一般化
弱位相の概念は下記のように一般化できる：

この一般化は、本項で定義した弱位相および＊弱位相を、双対組の概念を用いて以下のように含んでいる。
*  の弱位相（）: 一般化の定義で  はそのまま、 とし、双線型写像を b(x,\alpha)=\alpha(x) と定義する。このとき、1番目の定義（ 上の位相）が  の弱位相に一致する。
*  の＊弱位相（）: 一般化の定義で  を 、 を  と読み替え、双線型写像を b(\alpha, x)=\alpha(x) と定義する。このとき、1番目の定義（この場合は  上の位相）が  の＊弱位相に一致する。

### 弱作用素位相
*X* と *Y* を位相ベクトル空間とするとき、連続線型作用素の空間 *L*(*X*,*Y*) に下記のように弱作用素位相を定義できる：

*X* 上の弱位相の場合と同様、上の弱作用素位相もセミノルムによって特徴づけられる：

連続線形写像の空間上には弱作用素位相以外にも強作用素位相、など複数の位相が入る。詳細は作用素位相を参照されたい。

## 関連項目
* ：弱位相におけるコンパクト集合
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## 出典

## 参考文献
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