メリン変換

数学における**メリン変換**（メリンへんかん、）とは、両側ラプラス変換の乗法版と見なされる積分変換である。この変換はディリクレ級数の理論と密接に関連しており、数論や漸近展開の理論においてよく用いられる。ラプラス変換、フーリエ変換、ガンマ関数や特殊関数の理論と関係している。

この変換の名はフィンランドの数学者の名にちなむ。

## 定義
局所可積分な関数 *f* のメリン変換は

:\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx 

により定義される。
任意の小さな正の数 \epsilon に対して、 x\to +0 のとき f(x)=O(x^{-a-\epsilon}) 、 x\to +\infty のとき f(x)=O(x^{-b+\epsilon}) と評価できるならば、上の積分は絶対収束する。さらに、 \left\{\mathcal{M}f\right\}(s) は a で解析的な関数となる。

また、メリン逆変換は

:\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} x^{-s} \varphi(s)\, ds 

により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った線積分を意味している。ここで、 *c* は a を満たす任意の実数である。
このような逆が存在するための条件は、で与えられている。

## 他の変換との関係
両側ラプラス変換は、メリン変換を用いて
: \left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x) \right\}(s)
と表すことが出来る。反対に、メリン変換は両側ラプラス変換により
:\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s)
と表される。

メリン変換は、積分核 *x**s* を用いた、乗法的ハール測度 \frac{dx}{x} についての積分と考えることが出来る。ここで \frac{dx}{x} は拡張 x \mapsto ax について不変であり、したがって \frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x} が成り立つ。一方、両側ラプラス変換は加法的ハール測度 dx についての積分と考えられる。ここで dx は移動不変であり、したがって d(x+a) = dx が成り立つ。

同様にフーリエ変換もメリン変換を用いて表すことが出来、またその逆も出来る。もし両側ラプラス変換を上述のように定義するなら、

:\left\{\mathcal{F} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(is) 
= \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(is) 

が成立する。反対に

:\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} 
f(e^{-x})\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(-is) 

も成立する。メリン変換はまた、やを、の意味におけるポアソン母関数と結び付ける。

## 例
### カヘン-メリン積分
c>0、\Re(y)>0 および上の y^{-s} に対して、

:e^{-y}= \frac{1}{2\pi i}
\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) y^{-s}\;ds

が成立する。ここで \Gamma(s) はガンマ関数である。この積分は**カヘン-メリン積分**として知られている。

### 数論
数論における重要な応用例として、単関数 f(x)=\begin{cases} 0  & x  1 \end{cases} 
に対し 
:\mathcal M f (s)= \frac 1 {s+a} 
が成立する、ということが挙げられる。

### ゼータ関数
メリン変換を用いることで、リーマンゼータ関数 \zeta(s
) についての公式を得ることができる。f(x) = \frac{1}{e^x-1}としたとき\mathcal M f (s) = \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx = \int_0^\infty \frac{x^{s-1}e^{-x}}{1-e^{-x}}dx = \int_0^\infty x^{s-1}\sum_{n=1}^\infty e^{-nx}dx  = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty x^{s-1}e^{-nx} dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x} dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{\Gamma(s)}{n^s} = \Gamma(s) \zeta(s) よって

\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx  

## ''L''<sup>2</sup> 上のユニタリ作用素として
ヒルベルト空間の研究において、メリン変換は少し異なった方法で定められる。L^2(0,\infty) （Lp空間を参照されたい）の関数に対して、基本帯（fundamental strip）は常に \tfrac{1}{2}+i\mathbb{R} を含む。そのため、線形作用素 \tilde{\mathcal{M}} を

:\tilde{\mathcal{M}}\colon L^2(0,\infty)\to L^2(-\infty,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}+is} f(x)\,dx 

によって定義することが出来る。言い換えると、集合

:\{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s):=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\{\mathcal{M}f\}(\tfrac{1}{2}-is) 

を定義することが出来る。この作用素は通常 \mathcal{M} とシンプルに記述され、「メリン変換」と呼ばれる。しかしここでは、上での記述と区別するために \tilde{\mathcal{M}} を記号として用いる。このときにより、\tilde{\mathcal{M}} は可逆であって、その逆は

:\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\colon L^2(-\infty,\infty) \to L^2(0,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\varphi\}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}-is} \varphi(s)\,ds 

と得られることが分かる。さらにこの作用素は等長であること、すなわち \|\tilde{\mathcal{M}} f\|_{L^2(-\infty,\infty)}=\|f\|_{L^2(0,\infty)} がすべてのf\in L^2(0,\infty) に対して成立することが分かる（この性質のために係数 1/\sqrt{2\pi} が用いられている）。したがって、\tilde{\mathcal{M}} はユニタリ作用素である。

## 確率論において
確率論におけるメリン変換は、確率変数の積の分布の研究によく用いられる。*X* を確率変数とし、} をその正の部分、} をその負の部分としたとき、*X* のメリン変換は
: 
    \mathcal{M}_X(s) = \int_0^\infty  x^s dF_{X^+}(x) + \gamma\int_0^\infty x^s dF_{X^-}(x),
  
として定義される。ここで *γ* は、 を満たすもの（formal indeterminate）である。この変換は、複素帯領域 }（ただし）内のすべての *s* に対して存在する。

確率変数 *X* のメリン変換 \scriptstyle\mathcal{M}_X(it) は、その分布関数 *F<sub>X</sub>* を一意に定める。確率論におけるメリン変換が持つ重要な性質として、次が挙げられる: *X* および *Y* を二つの独立な確率変数としたとき、それらの積のメリン変換は、それぞれのメリン変換の積と等しい。すなわち、
: 
    \mathcal{M}_{XY}(s) = \mathcal{M}_X(s)\mathcal{M}_Y(s)
  
が成立する。

## 応用
メリン変換は、そのスケール不変性のため、計算機科学の分野で広く用いられている。あるスケール変換を施された関数のメリン変換の絶対値は、もとの関数の絶対値と等しい。このスケール不変性は、フーリエ変換のシフト不変性とも同様である。時間に関してシフトされた関数のフーリエ変換の絶対値は、もとの関数のそれと等しい。

この性質は、画像認識を行う際に役に立つ。物体の画像は、その物体がカメラに近づいたり離れたりするだけで簡単にスケールが変わってしまうからである。

## その他の例
* ディリクレ級数へのメリン逆変換の応用について述べたものに、ペロンの公式がある。
* メリン変換は素数計数関数の解析に用いられる。またリーマンゼータ関数の議論にも現れる。
* メリン逆変換は主にリース平均に現れる。
* メリン変換はオーディオ・タイムスケール-ピッチ調整に使うことが出来る。

## 関連項目
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*ペロンの公式

## 注釈


## 参考文献

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* Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
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## 外部リンク
* Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, *[https://algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.]*
* Antonio Gonzáles, Marko Riedel *[https://groups.google.com/g/es.ciencia.matematicas/c/z8wR-9Xuqkg#eab2e1423902ced1 Celebrando un clásico], newsgroup es.ciencia.matematicas*
* Juan Sacerdoti, *[http://www.fi.uba.ar/materias/61107/Apuntes/Eu00.pdf Funciones Eulerianas]* (in Spanish).
* Mellin Transform Methods, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
* Antonio De Sena and Davide Rocchesso, *[https://www.di.univr.it/documenti/ArticoloConferenza/allegato/allegato082603.pdf A FAST MELLIN TRANSFORM WITH APPLICATIONS IN DAFX]*