ダゴスティーノのK二乗検定

**ダゴスティーノのK二乗検定**（ダゴスティーノのKにじょうけんてい、英：D'Agostino's K-squared test）とは、統計学において正規性からの逸脱についての適合度検定である。ある標本が正規分布母集団由来かどうかを検定する。この検定は標本尖度と標本歪度の変換に基づいている。この検定は歪んだ分布や尖った分布に対してのみ検出力を持つ。

## 歪度と尖度
以下では、*n*を標本数、*x<sub>i</sub>*を*i*番目の標本、*g*1を標本歪度、*g*2を標本尖度、*m<sub>j</sub>*を*j*次標本中心モーメント、そして\bar{x}を標本平均とする。（正規性の検定に関する文献では極めて頻繁に、歪度を√*β*1、尖度を*β*2と表記することに注意されたい。例えば√*β*1は負の値をとりうるため、こうした表記は勝手が悪い。）

標本歪度と標本尖度は以下の式で定義される。

\begin{align}
    & g_1 = \frac{ m_3 }{ m_2^{3/2} } = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^3}{\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^2 \right)^{3/2}}\ , \\
    & g_2 = \frac{ m_4 }{ m_2^{2} }-3 = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^4}{\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^2 \right)^2} - 3\ .
  \end{align}

これらの統計量はともに分布の理論的な歪度と尖度の推定量となりうる。（Wikipedia英語版Consistent estimatorも参照。）そのうえ、標本が確かに正規分布由来であるならば、歪度と尖度の正確な有限標本分布自体の平均*μ*1、分散*μ*2、歪度*γ*1、尖度*γ*2を分析することができる。がこの分析を実施し、以下の数式を導いた。

標本歪度*g*1の分布の平均*μ*1(*g*1)、分散*μ*2(*g*1)、歪度*γ*1(*g*1)及び尖度*γ*2(*g*1):
: \begin{align}
    & \mu_1(g_1) = 0, \\
    & \mu_2(g_1) = \frac{ 6(n-2) }{ (n+1)(n+3) }, \\
    & \gamma_1(g_1) \equiv \frac{\mu_3(g_1)}{\mu_2(g_1)^{3/2}} = 0, \\
    & \gamma_2(g_1) \equiv \frac{\mu_4(g_1)}{\mu_2(g_1)^{2}}-3 = \frac{ 36(n-7)(n^2+2n-5) }{ (n-2)(n+5)(n+7)(n+9) }.
  \end{align}

標本尖度*g*2の分布の平均*μ*1(*g*2)、分散*μ*2(*g*2)、歪度*γ*1(*g*2)及び尖度*γ*2(*g*2):
: \begin{align}
    & \mu_1(g_2) = - \frac{6}{n+1}, \\
    & \mu_2(g_2) = \frac{ 24n(n-2)(n-3) }{ (n+1)^2(n+3)(n+5) }, \\
    & \gamma_1(g_2) \equiv \frac{\mu_3(g_2)}{\mu_2(g_2)^{3/2}} = \frac{6(n^2-5n+2)}{(n+7)(n+9)} \sqrt{\frac{6(n+3)(n+5)}{n(n-2)(n-3)}}, \\
    & \gamma_2(g_2) \equiv \frac{\mu_4(g_2)}{\mu_2(g_2)^{2}}-3 = \frac{ 36(15n^6-36n^5-628n^4+982n^3+5777n^2-6402n+900) }{ n(n-3)(n-2)(n+7)(n+9)(n+11)(n+13) }.
  \end{align}

## 変換された標本歪度と標本尖度
標本歪度*g*1と標本尖度*g*2は共に漸近的に正規分布となる。しかし、特に*g*2は、分布限界への収束率が極めて遅い。例えば標本数*n*が5000でさえ標本歪度*g*2の分布の歪度*γ*1(*g*2)と尖度*γ*2(*g*2)は共におよそ0.3である。正規分布の歪度と尖度が0であることから、0.3という値は無視できない。こうした状況を改善するために*g*1と*g*2の分布ができる限り標準正規分布に近づくように*g*1と*g*2を変換する。

特に は以下に示す*g*1の変換式を提案した。
: 
    Z_1(g_1) = \delta\cdot \ln\!\left( \frac{g_1}{\alpha\sqrt{\mu_2}} + \sqrt{\frac{g_1^2}{\alpha^2\mu_2} + 1}\right),
  

ここで定数*α*と*δ*は以下の式で計算される。
:\begin{align}
    & W^2 = \sqrt{ 2\gamma_2 + 4 } - 1, \\
    & \delta = 1 / \sqrt{\ln W}, \\
    & \alpha^2 = 2 / (W^2-1), \\
  \end{align}

ここで、*μ*2 = *μ*2(*g*1)は*g*1の分散、*γ*2 = *γ*2(*g*1)は尖度である。（式は前項と同様。）

同様には*g*2の変換式を提案した。この式は標本数が20以上で合理的に機能する。
: 
    Z_2(g_2) = \sqrt{\frac{9A}{2}} \left\{1 - \frac{2}{9A} - \left(\frac{ 1-2/A }{ 1+\frac{g_2-\mu_1}{\sqrt{\mu_2}}\sqrt{2/(A-4)} }\right)^{\!1/3}\right\},
  
ここで、
: 
    A = 6 + \frac{8}{\gamma_1} \left( \frac{2}{\gamma_1} + \sqrt{1+4/\gamma_1^2}\right),
  
また、*μ*1 = *μ*1(*g*2), *μ*2 = *μ*2(*g*2), *γ*1 = *γ*1(*g*2)はPearsonが計算した値である。

## 包括的な''K''<sup>2</sup>統計量
統計量*Z*1と*Z*2は包括的な検定を生成するために結合することができる。統計量*Z*1と*Z*2は分布のひずみととがりに起因する正規性からの逸脱を検出できる。
: 
    K^2 = Z_1(g_1)^2 + Z_2(g_2)^2\,
  
正規性という帰無仮説が正しいならば、*K*2は自由度2のカイ二乗分布に漸近する。

統計量*g*1及び*g*1は独立ではなく無相関であるにすぎないことに注意されたい。それゆえ*g*1及び*g*1を変換した量*Z*1及び*Z*2もまた独立でなく、カイ二乗に近似することの有効性に疑問を投げかける。シミュレーションによると帰無仮説のもとでは*K*2検定統計量は下表のような性質をもつ。

## 参考文献

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## 関連項目
以下に挙げる検定はいずれも分布の正規性を検定する手法である。
* ジャック-ベラ検定 - ダゴスティーノのK二乗検定と同様に歪度及び尖度に基づき正規性を検定する。
* シャピロ-ウィルク検定
* アンダーソン-ダーリング検定
* コルモゴロフ-スミルノフ検定