ワグスタッフ素数

数論において、**ワグスタッフ素数**（）は、

:p={{2^q+1}\over 3}

の形をした素数 *p* である。ただし *q* は別の素数である。ワグスタッフ素数は、数学者のにあやかって名付けられた。Prime Pages では、が  の 1990年 の学会での講演において、この素数を名付けた事に言及している。ワグスタッフ素数は新メルセンヌ予想と関連しており、暗号理論への応用を持っている。

## 主な素数
最初の3つのワグスタッフ素数は、3, 11, 43 である。なぜならば

:
\begin{align}
3 & = {2^3+1 \over 3}, \\[5pt]
11 & = {2^5+1 \over 3}, \\[5pt]
43 & = {2^7+1 \over 3}.
\end{align}


## 知られているワグスタッフ素数
最初のいくつかのワグスタッフ素数は以下のものである。
:3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, … 

2013年10月の時点で、ワグスタッフ素数か確率的素数（PRP)になるとわかっている指数qを、小さい順に並べると以下のようになる。
:3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, …, 13347311, 13372531 

2010年2月に、Tony Reix が次のワグスタッフ確率的素数を発見した。
: \frac{2^{4031399}+1}3
これは 1,213,572 桁の数であり、当時見つかっていた中で3番目に大きい確率的素数であった。

2013年9月、Ryan Propper はさらに2つのワグスタッフ確率的素数の発見を知らせた。
: \frac{2^{13347311}+1}3
と
: \frac{2^{13372531}+1}3
である。いずれも400万桁よりわずかに多い桁数をもった確率的素数である。4031399 と 13347311 の間にワグスタッフ確率的素数を生み出す指数があるのかどうか、今のところ知られていない。

## 素数判定
これらの数は *q* の値が 83339 までのときは素数であることが証明されている。 *q* > 83339 のときは確率的素数である。 *q* = 42737 のときに素数であることの証明は François Morain によって、 Opteron processor上で 743  間ワークステーションのいくつかのネットワーク上で動作している分散された  を実行することによって、2007 年になされた。それはその発見から2009年3月まででは ECPP による素数の証明では3番目に大きい素数であった。

今のところ知られているアルゴリズムで、ワグスタッフ数が素数であることを最も早く証明できるものは、ECPP である。

Jean Penné による LLR (Lucas-Lehmer-Riesel) ツールは、 Vrba-Reix test の手段でワグスタッフ確率的素数を見つけるために使われる。それはワグスタッフ数を法とした x^2-2 のもとでの digraph の周期性に基づいた PRP テストである

## 一般化
より一般的な次の形の数を考えることが自然である
:Q(b,n)=\frac{b^n+1}{b+1}
ただし底は b \ge 2 である。n が奇数のときには
:\frac{b^n+1}{b+1}=\frac{(-b)^n-1}{(-b)-1}=R_n^{(-b)}
であるので、これらの一般化されたワグスタッフ数は、負の底 -b をもったレピュニット数のケースと考えられることがある。

いくつかの特定の b の値について、（非常に小さい n に対して例外があるかもしれないがそれを除いて）すべての Q(b,n) は、「代数的な」分解のために合成数である。具体的には、b が奇数の指数をもった完全冪の形（例えば 8, 27, 32, 64, 125, 128, 216, 243, etc. ）であれば、m が奇数のとき x^m+1 が x+1 で割り切れるという事実によって、これらの特殊な場合には Q(a^m, n) は a^n+1 で割り切れる。別のケースは *k* を正の整数として b=4k^4 のときである（例えば 4, 64, 324, 1024, 2500, 5184, etc. ）。このとき  がある。

しかしながら、b が代数的な分解をもたないときは、Q(b,n) が素数になる n が無数に存在するという予想を立てることができる。（b ≤ 300 に対しては、素数や PRP が知られていない 9 つの底 97, 103, 113, 175, 186, 187, 188, 220, and 284 が存在し、PRP は知られているが素数であることが証明されていないような 7 つの底 53, 124, 150, 182, 205, 222, and 296 が存在する。リストを見よ。すべての *n* が奇素数であることに注意せよ。）

*b* = 53, 124, 150, 182, 205, 222, 296 に対しては確率的素数しか存在ない。

*b* = 97, 103, 113, 175, 186, 187, 188, 220, 284 に対しては素数も PRP も知られていない。

代数的な分解のために、*b* = 8, 27, 32, 64, 125, 243 に対しては素数が存在しない。（*b* = 1 の場合はすべて 1 だが 1 は素数でない）

すべての奇素数がリストにあることが期待される。

b=10 に対して、素数は次のように現れる。9091, 909091, 909090909090909091, 909090909090909090909090909091, … 。また、これらの *n* は次のようになる。5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ... 。

Q(b, prime(n)) が素数になるような最小の底 *b* は
:2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, ... (この列は *n* = 2 で始まる) 

## 脚注

## 外部リンク
*
*Chris Caldwell, ''The Top Twenty: Wagstaff'' at The Prime Pages.
* Renaud Lifchitz, "An efficient probable prime test for numbers of the form (2<sup>''p''</sup>&nbsp;+&nbsp;1)/3".
* Tony Reix, "Three conjectures about primality testing for Mersenne, Wagstaff and Fermat numbers based on cycles of the Digraph under ''x''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;2 modulo a prime".
*repunit in base -50 to 50