普遍係数定理

**普遍係数定理**（ふへんけいすうていり、）とは、単項イデアル整域上定義されたホモロジーやコホモロジーから、-加群を係数とするホモロジーやコホモロジーを求める一連の定理の総称である。

定理は-加群として自由な任意のチェイン複体に対して成立し、したがって特に特異ホモロジー・コホモロジーのような位相幾何学的な背景を持つホモロジー・コホモロジーに対して成立する。

## 概要
本稿では以下の４種類の普遍係数定理を紹介する：

# Torに関するホモロジーの普遍係数定理
# Torに関するコホモロジーの普遍係数定理
# Extに関するホモロジーの普遍係数定理
# Extに関するコホモロジーの普遍係数定理

、をそれぞれ上のチェイン複体、コチェイン複体とし、を-加群とするとき、これらはそれぞれ以下の用途で利用できる（用語や記号の説明は「準備」の章を参照）：

# H_*(C_*)からH_*(C_*\otimes_R M)を求める
# H^*(C^*)からH^*(C^*\otimes_R M)を求める
# H_*(C_*)からH^*(C_*;M)を求める
# H^*(C^*)からH_*(C^*;M)を求める

ここで
:H^*(C_*;M)=H^*(\mathrm{Hom}(C_*,M))
はの係数のコホモロジーである。

の係数のホモロジーが
:H_*(C_*;M):=H_*(C_*\otimes_R M)
と定義されていた事を用いると、1つ目の普遍係数定理により

* H_*(C_*)からH_*(C_*;M)を求める

ができるようになる。一方、2つ目の普遍係数定理を使って

* H^*(C^*)からH^*(C^*;M)を求める

事をしようとすると、一般にはH^*(\mathrm{Hom}(C_*,R)\otimes_R M)とH^*(C_*,M)=H^*(\mathrm{Hom}(C_*,M))とが等しくならない事が原因でうまくいかない。このため、これら２つが等しくなる事を保証するため、若干の仮定を追加する必要がある。詳しくは後述する。

## 
本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必要な概念である関手、関手を定義する。

### ホモロジー

を可換環とするとき、整数を添え字として持つ-加群C_nと写像\partial_n~:~C_n \to C_{n-1}の組C_* := (C_n,\partial_n)_{n\in\mathbb{Z}}で、
: \partial_{n-1}\circ \partial_n =0


となるもの上の'''チェイン複体'''といい、
: H_n(C_*):=\mathrm{Ker}(\partial_n)/\mathrm{Im}(\partial_{n+1})
をC_*の次の**ホモロジー加群**という。 H_*(C_*):=(H_n(C_*))_nとする。

### コホモロジー
可換環に対し、C^* = (C^n,\delta^n)_{n\in\mathbb{Z}}でD_* := (C^{-n}, \delta^{-n})_{n\in\mathbb{Z}}が上のチェイン複体になるものを**コチェイン複体**といい、
: H^n(C^*):=H_n(D_*)

をC^*の次の**コホモロジー加群**という。 H^*(C^*):=(H^n(C^*))_nとする。

### 係数のホモロジー・コホモロジー
これまで同様が単項イデアル整域とし、を-加群する。上のチェイン複体C_* := (C_n,\partial_n)_{n\in\mathbb{Z}}に対し、
: \partial_n{}^* ~:~\mathrm{Hom}_R(C_{n},M) \to \mathrm{Hom}_R(C_{n+1},M), ~~c \mapsto c \circ \partial_{n+1} 

と定義すると
: \partial_{n+1}{}^*\circ\partial_n{}^*=0


であるので\mathrm{Hom}_R(C_*,M):=(\mathrm{Hom}_R(C_*,M),\partial_n{}^*)_{n\in\mathbb{Z}}はコチェイン複体である。\mathrm{Hom}_R(C_*,M)をに関するC_* の**双対コチェイン複体**（）という。

### 関手

を単項イデアル整域とし、、を-加群とする。さらに短完全系列
: 0 \longrightarrow A \overset{\iota}{\longrightarrow} B \overset{p}{\longrightarrow} M \to 0
で、が自由-加群であるものを選び、
: 0 \longrightarrow A \otimes_R N\overset{\iota\otimes_R 1_N}{\longrightarrow}  B \otimes_R N \overset{p\otimes_R 1_N}{\longrightarrow} M \otimes_R N  \longrightarrow 0
を考えると必ずしも完全系列にならない。そこで
: \mathrm{Tor}_R(M,N):=\mathrm{Ker}(\iota\otimes_R 1_N)
と定義する。\mathrm{Tor}_R(M,N)の定義は、の取り方に依存しているが、実は、を別のものに取り替えて定義した\mathrm{Tor}_R(M,N)と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。

\mathrm{Tor}_R(\cdot,\cdot)の事を**関手**という。

なお、が単項イデアル整域とは限らない一般の環の場合にもが定義できるが本項では割愛する。また\mathrm{Tor}_R(M,N)の事を\mathrm{Tor}^1_R(M,N)と表記し、より一般に\mathrm{Tor}^n_R(M,N)（）を定義する場合もあるが、これも本項では割愛する。これらに関する詳細はTor関手の項目を参照されたい。

関手は以下の性質を満たす。

が単項イデアル整域であるので、、が有限生成である場合、有限生成加群の基本定理から、はと複数のの直和で書け、も同様である。上述の1., 2.からは直和に関して分解できるので、上述の3., 5.を使うと、これらに対するを容易に計算できる。

### 関手
のときと同様、を単項イデアル整域とし、、を-加群とし、さらに短完全系列
: 0 \longrightarrow A \overset{\iota}{\longrightarrow} B \overset{p}{\longrightarrow} M \to 0
で、が自由-加群であるものを選ぶ。そして
: 0 \longrightarrow \mathrm{Hom}_R(M,N) \overset{p^*}{\longrightarrow} \mathrm{Hom}_R(B,N) \overset{\iota^*}{\longrightarrow} \mathrm{Hom}_R(A) \to 0
を考えると必ずしも完全系列にはならない。そこで
: \mathrm{Ext}_R(M,N):=\mathrm{Coker}_R(\iota^*)
と定義する。ここでは余核である。すなわち、f~:~X \to Yに対し、\mathrm{Coker}(f)=Y/\mathrm{Im}(f)である。

\mathrm{Ext}_R(M,N)の定義は、の取り方に依存しているが、実は、を別のものに取り替えて定義した\mathrm{Ext}_R(M,N)と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。

\mathrm{Ext}_R(\cdot,\cdot)の事を**関手**という。

また\mathrm{Ext}_R(M,N)に関しても\mathrm{Tor}_R(M,N)と同様、が一般の環の場合に対しても定義できるし、\mathrm{Ext}^n_R(M,N)が定義できて\mathrm{Ext}_R(M,N)=\mathrm{Ext}^1_R(M,N)であるが、本項では説明を割愛する。詳細はExt関手の項目を参照されたい。

関手は以下を満たす：

の場合と同様、が有限生成-加群であれば、これらの性質からを具体的に計算できる。

## に関する普遍係数定理

### ホモロジーの場合
次の定理が成立することが知られている：
を上のチェイン複体で、各に対しC_nが-加群として自由なものとする。このとき
: 0 \to H_n(C_*) \otimes_R  M \overset{\alpha}{\to} H_n(C_*\otimes M) \overset{\beta}{\to} \operatorname{Tor}_R(H_{n-1}(C_*),M) \to 0

が短完全系列となる、が存在する。

しかもこの短完全系列はC_*およびに関して自然である。さらにこの短完全系列は（自然ではなく）分裂する。
|note=に関する普遍係数定理}}

上記の定理では[c]\otimes_R m\in H_n(C_*) \otimes_R M \mapsto [c \otimes_R  m] \in H_n(C_* \otimes_R M)と具体的に書ける。

なお、係数環 が\mathbb{Z}でが\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}の場合は、上記の定理はの特別な場合に相当する。

R=\mathbb{Z}で各H_n(C_*)が有限生成加群である場合はホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、H_n(C_*)は自由加群部分と素数に対するT_{n,p}=\{x\in H_n(C_*) \mid \exists m>0~:~ p^mx=0 \}の和で書ける。（有限個の素数を除いてT_{n,p}=0である）。ここで前述したTorの性質を利用すると、以下がわかる：

### コホモロジーの場合
チェイン複体とコチェイン複体は添字の向きが違うだけなので、コチェイン複体に関しても同様の事実が従う：

この短完全系列がC^*、に関して自然である事や分裂する事も前述の定理と同様である。

またR=\mathbb{Z}で各H^n(C_*)が有限生成加群である場合は、ホモロジー場合と同様の形で具体的に書ける。

### 係数のホモロジー・コホモロジーに対する普遍係数定理

上述のコチェイン複体関する普遍係数定理をを係数に持つコホモロジー（例えばを係数にもつ特異コホモロジー）に適用する場合は注意が必要である。

#### ホモロジーの場合
に係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、
: H_n(C_*;M)=H_n(C_*\otimes_R M)
: H_n(C_*;R)=H_n(C_*\otimes_R R)=H_n(C_*)
なので、前述のホモロジーに関する普遍係数定理のH_n(C_*\otimes_R M)、H_n(C_*)を単純に置き換える事で、以下の系が従う：

#### コホモロジーの場合

一方、**を係数を持つコホモロジー加群の場合は若干の注意が必要**である。実際、C^*:=\mathrm{Hom}_R(C_*,R)としてやると、
: H^n(C_*;R)=H^n(\mathrm{Hom}(C_*,R))=H^n(C^*)
であるが、H^n(C_*;M)の方は
: H^n(C^*;M)=H^n(\mathrm{Hom}(C_*,M))
であり、コホモロジーの普遍係数定理における
: H^n(C^*\otimes_R M)=H^n(\mathrm{Hom}(C_*,R)\otimes_R M)
とは異なるので単純に置き換える事ができない。しかし適切な条件下ではこれら２つが等しくなり、を係数に持つコホモロジー加群の普遍係数定理を示す事ができる：

を上のチェイン複体で各に対し、C_nが-加群として自由なものとする。

このときが上有限生成であるかもしくは全てのに対してH_n(C_*;R)が上有限生成であれば、任意のに対して以下が完全系列になる、が存在する:

: 0 \to H^n(C_*;R)\otimes_R  M \overset{\alpha}{\to} H^n(C_*;M) \overset{\beta}{\to} \mathrm{Tor}_R(H^{n+1}(C_*;R),M)\to 0.
}}

## に関する普遍係数定理
関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。

前に述べたように、チェイン複体C_* の双対コチェイン複体\mathrm{Hom}_R(C_*,M):=(\mathrm{Hom}_R(C_*,M),\partial_n{}^*)_{n\in\mathbb{Z}}に対し、を係数に持つコホモロジー加群を H^n(C_*;M)=H^n(\mathrm{Hom}_R(C_*;M))により定義する。

このとき以下の定理がしたがう：
を上のチェイン複体で各に対し、C_nが-加群として自由なものする。このとき、
: 0 \to \operatorname{Ext}_R(H_{n-1}(C_*),M) \overset{\beta}{\to} H^n(C_*; M) \overset{\alpha}{\to} \operatorname{Hom}_R(H_n(C_*), M)\to 0
が短完全系列となる、が存在する。

しかもこの短完全系列はC_*およびに関して自然である。さらにこの短完全系列は（に関して自然だがC_*に関しては自然ではなく）分裂する。
|note=に関する普遍係数定理}}

上述の定理においては[\varphi]\in H^n(C_*;M)=H^n(\textrm{Hom}_R(C_*,M))に対し、[c] \in H^n(C_*) \mapsto \varphi(c)\in Mという\operatorname{Hom}_R(H_n(C_*), M)の元を対応させる写像である。

R=\mathbb{Z}で各H_n(C_*)が有限生成加群である場合はコホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、H_n(C_*)は自由加群部分と捩れ部分群部分T_nの和で書ける。この事実との性質を利用すると、以下がわかる：

上記により\mathbb{Z}-係数コホモロジーさえ分かってしまえば、後はに関する普遍係数定理により他の係数のコホモロジーも求まる。

H_n(C_*)が有限生成であれば、上述の普遍係数定理でホモロジーとコホモロジーの役割を反転させた定理も成立する：
を上のチェイン複体で各に対し、C_nが-加群として自由で、しかもH_n(C_*)が有限生成-加群であるものとする。
このとき、
: 0 \to \operatorname{Ext}_R(H^{n+1}(C_*),M) \overset{\beta}{\to} H_n(C_*; M) \overset{\alpha}{\to} \operatorname{Hom}_R(H^n(C_*), M)\to 0
が短完全系列となる、が存在し、この短完全系列は分裂する。
|note=}}

上述の定理において、は[z]\otimes m \in H_n(C_*\otimes_R M)=H_n(C_*;M)に対し、[f]\in H^n(C_*)\mapsto f(z) m\in Mという\mathrm{Hom}(H^n(C_*),M)の元を対応させる写像である。

## 関連項目
*キネットの定理

## 脚注

### 出典

### 注釈

## 参考文献

*引用文献
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その他
**Allen Hatcher, *Algebraic Topology*, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage.
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## 外部リンク
*Universal coefficient theorem with ring coefficients Mathematics