ハーンの分解定理

数学における**ハーンの分解定理**（ハーンのぶんかいていり、）とは、オーストリアの数学者であるハンス・ハーンの名にちなむ定理で、可測空間 (*X*, *Σ*) およびその σ-代数 *Σ* 上で定義される符号付測度 *&mu;* が与えられたとき、次を満たすような二つの可測集合 *P* および *N* が *Σ* 内に存在するということを述べたものである：

# *P*&nbsp;∪&nbsp;*N* = *X* および *P*&nbsp;∩&nbsp;*N* = ∅.
# *E* ⊆ *P* を満たすような *Σ* 内の各 *E* に対して *&mu;*(*E*) ≥ 0 が成り立つ。すなわち、*P* は *&mu;* に対するである。
# *E* ⊆ *N* を満たすような Σ 内の各 *E* に対して *&mu;*(*E*) ≤ 0 が成り立つ。すなわち、*N* は *&mu;* に対する負集合である。

このような分解は本質的に一意である。すなわち、上の三つの条件を満たすような他の任意の可測集合のペア (*P′*, *N′*) に対して、対称差 *P*&nbsp;Δ&nbsp;*P′* および *N*&nbsp;Δ&nbsp;*N′* は、そのすべての可測な部分集合が測度 0 であるという強い意味において、*&mu;*-零集合である。そのようなペア (*P*, *N*) は、符号付測度 *&mu;* の**ハーン分解**（Hahn decomposition）と呼ばれる。

## ジョルダン測度分解

ハーンの分解定理の一つの帰結として、すべての符号付測度 *&mu;* には、ある二つの正の測度 *&mu;*+ および *&mu;*– の差 *&mu;* = *&mu;*+ &minus; *&mu;*– で表せるような分解が唯一つ存在するという**ジョルダンの分解定理**（Jordan decomposition theorem）が存在する。ここで、そのような二つの測度 *&mu;*+ および *&mu;*– のいずれか一つは有限であり、*E* ⊆ *N* ならば *&mu;*+(*E*) = 0、*E* ⊆ *P* ならば *&mu;*&minus;(*E*) = 0 が任意の *&mu;* のハーン分解 (*P*, *N*) に対して成り立つ。*&mu;*+ および *&mu;*– はそれぞれ、*&mu;* の**正の部分**（positive part）および**負の部分**（negative part）と呼ばれる。そのようなペア (*&mu;*+, *&mu;*–) は、*&mu;* の**ジョルダン分解**（Jordan decomposition）と呼ばれる（あるいはしばしば、**ハーン＝ジョルダン分解**と呼ばれる）。そのような二つの測度は、次のように定義することが出来る。
:\mu^+(E):=\mu(E\cap P)\,
および
:\mu^-(E):=-\mu(E\cap N).\,
ただし *E* は *Σ* 内の任意の集合で、(*P*, *N*) は *&mu;* の任意のハーン分解である。

ハーン分解は「本質的に」一意であるに過ぎなかったが、ジョルダン分解は一意であることに注意されたい。

ジョルダン分解には次のような系が存在する：ある有限符号付測度 *&mu;* のジョルダン分解 (*&mu;*+, *&mu;*&minus;) が与えられた時、*Σ* 内の任意の *E* に対して
:
\mu^+(E) = \sup_{B\in\Sigma, B\subset E} \mu(B) 

および
:
\mu^-(E) = -\inf_{B\in\Sigma, B\subset E} \mu(B) 

が成立する。また、有限な非負測度のペア (*&nu;*+, *&nu;*–) に対して *&mu;* = *&nu;*+ &minus; *&nu;*– であるなら、
:
\nu^+ \geq \mu^+ \text{ and } \nu^- \geq \mu^- 

が成立する。この最後の式は、ジョルダン分解が *&mu;* のある非負の測度の差への「極小」分解であることを意味する。これはジョルダン分解の「極小性」（minimality property）と呼ばれる。

**ジョルダン分解の証明：** ジョルダン測度分解の存在、一意性および極小性に関する初等的な証明については、Fischer (2012) を参照されたい。

## ハーンの分解定理の証明

**準備：** *&mu;* は &minus;∞ の値を取らないものと仮定する（そのような値を取る場合は、&minus;*&mu;* について考えることとする）。上述のように、*Σ* 内のある集合 *A* が負集合であるとは、そのすべての *Σ* 内の部分集合 *B* に対して *&mu;*(*B*)&nbsp;≤&nbsp;0 が成立することを言う。

**主張：** *Σ* 内のある集合 *D* に対して *&mu;*(*D*)&nbsp;≤&nbsp;0 が成立すると仮定する。このとき、*&mu;*(*A*)&nbsp;≤&nbsp;*&mu;*(*D*) を満たすようなある負集合 *A*&nbsp;⊆&nbsp;*D* が存在する。

**主張の証明：** *A*0 = *D* とする。帰納的に、自然数 *n* に対してある集合 *A<sub>n</sub>*&nbsp;⊆&nbsp;*D* が構成されているものとする。今、

:t_n=\sup\{\mu(B): B\in\Sigma,\, B\subset A_n\}

は、*A<sub>n</sub>* 内のすべての可測部分集合 *B* についての *&mu;*(*B*) の上限を表す。この上限は先験的に無限大であることもあり得る。*t<sub>n</sub>* の定義において、空集合 ∅ も *B* であり得るため、*&mu;*(∅)&nbsp;=&nbsp;0 であることから、*t<sub>n</sub>*&nbsp;≥&nbsp;0 が従う。*t<sub>n</sub>* の定義より、次を満たすような *B<sub>n</sub>*&nbsp;⊆&nbsp;*A<sub>n</sub>* が Σ 内に存在する：

:\mu(B_n)\ge \min\{1,t_n/2\}.

今 *A**n*+1 = *A<sub>n</sub>* ＼ *B<sub>n</sub>* とする。また

:A=D\setminus\bigcup_{n=0}^\infty B_n 

を定める。集合 (*B<sub>n</sub>*)*n*≥0 は互いに素な *D* の部分集合であるため、符号付測度 *&mu;* のσ-加法性より

:\mu(A)=\mu(D)-\sum_{n=0}^\infty\mu(B_n)\le\mu(D)-\sum_{n=0}^\infty\min\{1,t_n/2\} 

が従う。この不等式より *&mu;*(*A*)&nbsp;≤&nbsp;*&mu;*(*D*) が従う。今 *A* は負集合ではないと仮定する。すると *Σ* に属する *A* の部分集合 *B* で *&mu;*(*B*)&nbsp;>&nbsp;0 を満たすようなものが存在する。このとき、すべての *n* に対して *t<sub>n</sub>* ≥ *&mu;*(*B*) が成立するため、右辺の級数は +∞ へと発散するが、これは *&mu;*(*A*) = –∞ を意味し、はじめの *&mu;* の定め方に矛盾する。したがって、*A* は負集合でなくてはならない。

**分解の構成：** *N*0 = ∅ とする。帰納的に *N<sub>n</sub>* が与えられたとし、次を定義する。

:s_n:=\inf\{\mu(D):D\in\Sigma,\, D\subset X\setminus N_n\}.

これは *X* \ *N<sub>n</sub>* 内のすべての可測な部分集合 *D* についての *&mu;*(*D*) の下限である。この下限は先験的に –∞ となることもあり得る。*D* は空集合であることもあり、*&mu;*(∅)&nbsp;=&nbsp;0 であるため、*s<sub>n</sub>*&nbsp;≤&nbsp;0 となる。したがって Σ に属する *D<sub>n</sub>* で、*D<sub>n</sub>* ⊆ *X* ＼ *N<sub>n</sub>* および

:\mu(D_n)\le \max\{s_n/2, -1\}\le 0 

を満たすようなものが存在する。上述の主張より、*&mu;*(*A<sub>n</sub>*) ≤ *&mu;*(*D<sub>n</sub>*) を満たすようなある負集合 *A<sub>n</sub>* ⊆ *D<sub>n</sub>* が存在する。*N**n*+1 = *N<sub>n</sub>*&nbsp;∪&nbsp;*A<sub>n</sub>* を定める。また

:N=\bigcup_{n=0}^\infty A_n 

とする。集合 (*A<sub>n</sub>*)*n*≥0 は互いに素であるため、*&mu;* の σ-加法性より、Σ に属するすべての *B*&nbsp;⊆&nbsp;*N* に対して

:\mu(B)=\sum_{n=0}^\infty\mu(B\cap A_n)

が成立する。特にこのことは、*N* が負集合であることを意味する。今 *P* = *X* ＼ *N* を定義する。もし *P* が正集合でないのなら、Σ に属するある *D*&nbsp;⊆&nbsp;*P* に対して *&mu;*(*D*)&nbsp;n* ≤ *&mu;*(*D*) が成立することから、

:<math>\mu(N)=\sum_{n=0}^\infty\mu(A_n)\le\sum_{n=0}^\infty\max\{s_n/2, -1\}=-\infty </math>

となるが、これは *&mu;* の定め方に矛盾する。したがって、*P* は正集合である。

*'一意性の証明：'''

(N',P') を X の他のハーン分解とする。このとき P\cap N' は正集合でもあり、負集合でもある。したがって、この集合に含まれるすべての可測な部分集合の測度は 0 である。同様のことが N\cap P' に対しても成り立つ。今

:P\,\triangle\,P'=N\,\triangle\,N'=(P\cap N')\cup(N\cap P') 

であることから、証明は完成される。Q.E.D.

## 参考文献

* 
* 

## 外部リンク
* Hahn decomposition theorem at PlanetMath.
* 
* [Jordan decomposition of a signed measure](http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Jordan_decomposition_(of_a_signed_measure)) at Encyclopedia of Mathematics