リースの拡張定理

数学における**リースの拡張定理**（リースのかくちょうていり、）は、の研究の際にリース・マルツェルによって証明された定理である。

## 定理の内容

*E* を実ベクトル空間とし、*F*&nbsp;&sub;&nbsp;*E* をその部分ベクトル空間とする。また *K*&nbsp;&sub;&nbsp;*E* を凸錐とする。

線型汎函数 *&phi;*:&nbsp;*F*&nbsp;&rarr;&nbsp;**R** が *K*-正（*K*-positive）であるとは、錐 *K* 内のすべての点に対してそれが 0 以上の値を返すこと、すなわち、次を満たすことを言う：

:\phi(x) \geq 0 \quad \text{for} \quad x \in F \cap K.

線型汎函数 *&psi;*:&nbsp;*E*&nbsp;&rarr;&nbsp;**R** が *&phi;* の *K*-正拡張（*K*-positive extension）であるとは、それが *&phi;* の定義域においては *&phi;* に等しく、錐 *K* 内のすべての点に対して 0 以上の値を返すこと、すなわち、次を満たすことを言う：

:\psi|_F = \phi \quad \text{and} \quad \psi(x) \geq 0\quad \text{for} \quad x \in K.

一般に *F* 上の *K*-正線型汎函数は、*E* 上の *K*-正線型汎函数に拡張できるとは限らない。二次元の場合、そのような反例として、*x*-軸の負の開区間を除いた上半平面として *K* を取る場合が挙げられる。このとき *F* が実軸であるなら、正の線型汎函数 *&phi;*(*x*,&nbsp;0)&nbsp;=&nbsp;*x* はその平面上の正の汎函数へ拡張することは出来ない。

しかし、次の仮定の下ではそのような拡張は存在する：すべての *y*&nbsp;&isin;&nbsp;*E* に対して、*y*&nbsp;&minus;&nbsp;*x*&nbsp;&isin;*K* を満たすある *x*&isin;*F* が存在する。すなわち、*E*&nbsp;=&nbsp;*K*&nbsp;+&nbsp;*F* である。

## 証明

超限帰納法により、dim&nbsp;*E*/*F*&nbsp;=&nbsp;1 の場合のみを考えれば十分である。

ある *y*&nbsp;&isin;&nbsp;*E*/*F* を選ぶ。汎函数

: 
\psi|_F = \phi, \quad 
\psi(y) = \sup \left\{ \phi(x) \, \mid \, x \in F, \, y - x \in K \right\}


を定め、線型性によって *&psi;* を *E* へ拡張する。*&psi;* は *K*-正であることを示す。

*K* 内のすべての点 *z* は、*x*&nbsp;&isin;&nbsp;*F* に対し、*x*&nbsp;+&nbsp;*y* あるいは *x*&nbsp;&minus;&nbsp;*y* のいずれかの正の線型倍である。一つ目の場合、*z*&nbsp;=&nbsp;*a*(*y*&nbsp;+&nbsp;*x*) となるので、*y*&minus;&nbsp;*(*&minus;*x)*&nbsp;=&nbsp;*z*/*a*&nbsp; は *K* に属するとともに &minus;*x*&nbsp; は &nbsp;*F*&nbsp; に属する。したがって

: \psi(y) \geq \psi(-x) = - \psi(x) 

となり、*&psi;*(*z*)&nbsp;&ge;&nbsp;0 である。二つ目の場合、*z*&nbsp;=&nbsp;*a*(*x*&nbsp;&minus;&nbsp;*y*) なので、*y*&nbsp;=&nbsp;*x*&nbsp;&minus;&nbsp;*z*/*a* となる。今、*z*1&nbsp;=&nbsp;*y*&nbsp;&minus;&nbsp;*x*1&nbsp;&isin;&nbsp;*K* および *&psi;*(*x*1)&nbsp;&ge;&nbsp;&psi;(*y*)&nbsp;&minus;&nbsp;*&epsilon;* を満たすものとして *x*1&nbsp;&isin;&nbsp;*F* を定める。このとき

: \psi(x) - \psi(x_1) = \psi(x-x_1) = \psi(z_1 + z/a) = \phi(z_1 + z/a) \geq 0

であり、したがって *&psi;*(*z*)&nbsp;&ge;&nbsp;&minus;*a*&nbsp;*&epsilon;* である。これは任意の *&epsilon;*&nbsp;>&nbsp;0 に対して成立するため、*&psi;*(*z*)&nbsp;&ge;&nbsp;0 となる。

## 系：クレインの拡張定理

*E* を実線型空間とし、*K*&nbsp;&sub;&nbsp;*E* を凸錐とする。**R**&nbsp;*x*&nbsp;+&nbsp;*K*&nbsp;=&nbsp;*E* を満たすものとして *x*&nbsp;&isin;&nbsp;*E*/(&minus;*K*) を定める。このとき、ある *K*-正線型汎函数 *&phi;*:&nbsp;*E*&nbsp;&rarr;&nbsp;**R** が存在して *&phi;*(*x*)&nbsp;>&nbsp;0 となる。

## ハーン＝バナッハの定理との関係

ハーン＝バナッハの定理は、リースの拡張定理より導出することが出来る。

*V* を線型空間とし、*N* を *V* 上の劣線型函数とする。*&phi;* は部分空間 *U*&nbsp;&sub;&nbsp;*V* 上の汎函数で *N* によって支配されるもの、すなわち

: \phi(x) \leq N(x), \quad x \in U 

が成立するものとする。ハーン＝バナッハの定理では、この *&phi;* が *N* によって支配される *V* 上のある線型汎函数へ拡張できることが主張されている。

この事実をリースの拡張定理より導くために、凸錐 *K*&nbsp;&sub;&nbsp;**R**&times;*V* を次のように定める。

: K = \left\{ (a, x) \, \mid \, N(x) \leq a \right\}.

**R**&times;*U* 上の汎函数 *&phi;*1 を次で定める。

: \phi_1(a, x) = a - \phi(x).

*&phi;*1 は *K*-正であり、*K*&nbsp;+&nbsp;(**R**&nbsp;&times;&nbsp;*U*)&nbsp;=&nbsp;**R**&nbsp;&times;&nbsp;*V* となることが分かる。したがって *&phi;*1 は **R**&times;*V* 上の *K*-正汎函数 *&psi;*1 に拡張することが出来る。このとき

: \psi(x) = - \psi_1(0, x) 

が求める *&phi;* の拡張である。実際、*&psi;*(*x*)&nbsp;>&nbsp;*N*(*x*) であるなら (*N*(*x*),&nbsp;*x*)&nbsp;&isin;&nbsp;*K* が得られるが、これは

: \psi_1(N(x), x) = N(x) - \psi(x) 

となり、矛盾が生じる。

## 注釈

## 参考文献
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