バナッハ＝アラオグルの定理

**バナッハ＝アラオグルの定理**（バナッハ＝アラオグルのていり、）あるいは**アラオグルの定理**として知られる定理は、ノルム空間の共役空間の閉単位球が＊弱位相に関してコンパクトになるという定理である。

この定理の背景を簡単に述べると、関数解析学では無限次元のノルム空間を多用し、やその共役空間の元は何らかの集合上の実数値ないし複素数値の関数のなすベクトル空間である事が多い。しかしが無限次元の場合、やの閉単位球はノルム位相に関してはコンパクトにならない事が知られており、これが原因で有限次元とは異なり、や上の有界な点列が（ノルム位相に関して）収束部分列を持つことが保証されない。これは例えば微分方程式をノルムに関して近似する解を求めた上でとした場合、その極限（すなわち微分方程式の解そのもの）が存在する事が保証されない事を意味する。微分方程式の振る舞いの記述を主たる適用先とする関数解析学において、これは致命的である。

しかしバナッハ＝アラオグルの定理は閉単位球が＊弱位相に関してコンパクトである事を保証しているので、弱位相の意味での近似解を求めれば、(f_{\varepsilon})_{\varepsilon>0}が収束部分列を持つ事が保証され、その収束部分列の極限が微分方程式の解になっている事を証明する道が開かれる。

この定理は、オブザーバブルの代数の状態の集合を表現するときに物理学的に応用される。すなわち、任意の状態はいわゆる純粋状態の凸線型結合として表現される。

この定理は可分な場合に対して1932年にステファン・バナフによって示され、一般の場合は1940年ににより示された。

## 定理
以下、ベクトル空間の係数体は\mathbb{R}もしくは\mathbb{C}であるとする。

### 準備
本節ではバナッハ＝アラオグルの定理の記述に必要な概念を定義する。

によりノルムが入る。
|name=定義|note=**[[ノルム線型空間|ノルム空間]]の[[双対空間|共役空間]]**}}の**閉単位球**は上述の作用素ノルム\|\cdot\|_{V^*}に対して定義される：
:B^*:=\{\alpha\in V^*\mid \|\alpha\|_{V^*}\le 1\}

なお、上の作用素ノルム\|\cdot\|_{V^*}はに**ノルム位相**（=ノルムが定める距離から定まる位相）を定めるが、バナッハ＝アラオグルの定理はノルム位相ではなく以下で述べる＊弱位相に関する定理である：

最後に位相空間のコンパクト性は以下のように定義される：)_{\gamma\in\Gamma}とが存在し、(x_{\lambda_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}はに収束する
* の任意の開被覆\mathcal{S}に対し、\mathcal{S}のある有限部分集合\mathcal{T}が存在し、\mathcal{T}はを被覆する。ここでの開被覆\mathcal{S}とは、の開集合の族で\cup_{O\in \mathcal{S}}O=Xを満たすものを指す。|name=定義・定理|note=**[[位相空間]]の[[コンパクト空間|コンパクト性]]**}}

ノルム位相に対してはリースの補題から直接的に次の事実が従う：
したがって無限次元の場合、の閉単位球はノルム位相に関してコンパクトではない。

### 定理の記述
これに対し、の閉単位球は＊弱位相に関してはコンパクトになるというのがバナッハ・アラオグルの定理の主張である：この定理はチコノフの定理に基づいて非構成的に示せる。なおノルム空間が（ノルム位相に関して）可分な場合には、可分なノルム空間の共役空間の閉単位球が＊弱位相に関して距離化可能である事を利用してより直接的にに証明可能である。

{|\nu(x)|\over \|x\|_{V}} \le 1 \text{ and }\nu(0)=0
なので、作用素ノルム\|\cdot\|_{V^*}の定義より、
: \mu(B^*)= \bigg\{ \nu \in D^V \bigg|\nuは線形\bigg\}

が従う。よってが閉集合である事を示すには収束する任意の有向点族(\alpha_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}\subset B^*に対し、その極限がを満たす事を示せばよい。そこで、を任意に取ると、
: \alpha_{\infty}(ax+by)
=(\lim_{\lambda\to\infty}\alpha_{\lambda})(ax+by)
\underset{\text{(1)}}{=}\mu_{ax+by}(\lim_{\lambda\to\infty}\alpha_{\lambda})
\underset{\text{(2)}}{=}
\lim_{\lambda\to\infty}\mu_{ax+by}(\alpha_{\lambda})
\underset{\text{(3)}}{=}
a\lim_{\lambda\to\infty}\alpha_{\lambda}(x)+b\lim_{\lambda\to\infty}\alpha_{\lambda}(y)
=a\alpha_{\infty}(x)+b\alpha_{\infty}(y)

が成立する。ここで

* (1)は\mu_{x}
の定義から従う。
* (2)は＊弱位相が(\mu_{x})_{x\in V}
を全て連続にする最弱の位相である事から従う。
* (3)は\mu_{x}
の定義、およびにおける和や定数倍の連続性から従う。

よってが示され、定理が証明された。
|title=一般の場合の証明|drop=yes}}
\subset B^*を選んで固定し、(\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}}が内に収束する部分列を持つ事を示せば良い。

は可分なので、の稠密部分集合(x_i)_{i\in\mathbb{N}}\subset Vが存在する。今、
:\alpha_n \in B^*\Rightarrow   \|\alpha_n\|_{V^*}\le 1 \Rightarrow |\alpha_n(x_i)|\le |x_i|
が成立するので、各に対し、数列(\alpha_n(x_i))_{n\in\mathbb{N}}\subset Kは上有界であり、したがって収束部分列を持つ。

よって各に対して順に(\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}}の部分列を取っていくことで任意のに対して(\alpha_{n_m}(x_i))_{m\in\mathbb{N}}がに関して収束するような(\alpha_{n_m})_{m\in\mathbb{N}}を選ぶ事ができる。

次に我々は、(x_i)_{i\in\mathbb{N}}\subset Vがで稠密な事を利用して、任意のに対し(\alpha_{n_m}(x))_{m\in\mathbb{N}}がコーシー列である事を示す。は（が完備であるかどうかによらず）必ず完備なので、これにより(\alpha_{n_m}(x))_{m\in\mathbb{N}}の収束性が従う。

そこでとを任意に固定すると、(x_i)_{i\in\mathbb{N}}はの稠密性より、
: \|x-x_i\|\le \varepsilon
を満たすが存在する。よって任意の、\ell\in \mathbb{N}に対し、
: 
\begin{align}
&|\alpha_{n_m}(x)-\alpha_{n_\ell}(x)|\\
&\le |\alpha_{n_m}(x)-\alpha_{n_m}(x_i)|+|\alpha_{n_m}(x_i)-\alpha_{n_\ell}(x_i)|+|\alpha_{n_\ell}(x_i)-\alpha_{n_\ell}(x)|\\
&\le \|\alpha_{n_m}\|_{V^*}\|x_i-x\|_{V}+|\alpha_{n_m}(x_i)-\alpha_{n_\ell}(x_i)|+\|\alpha_{n_\ell}\|_{V^*}\|x_i-x\|_{V}\\
&\le |\alpha_{n_m}(x_i)-\alpha_{n_\ell}(x_i)|+2\varepsilon
\end{align}

が成立する。最後の不等式は\alpha_{n_m},\alpha_{n_\ell}\in B^*と\|x-x_i\|_{V}\le \varepsilonを用いた。

各固定されたに対し(\alpha_{n_m}(x_i))_{m\in\mathbb{N}}は収束列であり、したがってコーシー列であるので、上記の事から、
:0\le \overline{\lim}_{m,\ell\to\infty}|\alpha_{n_m}(x)-\alpha_{n_\ell}(x)|\le 2\varepsilon
が成立する。よっての任意性より、
:\lim_{m,\ell\to\infty}|\alpha_{n_m}(x)-\alpha_{n_\ell}(x)|=0
が任意のに対して成立する。よって任意のに対し(\alpha_{n_m}(x))_{m\in\mathbb{N}}はコーシー列であり、したがっての完備性より収束列である。

最後に、
:\alpha~:~V\to K
を、に(\alpha_{n_m}(x))_{m\in\mathbb{N}}の収束先を対応させる写像とする。この写像がの元であり、しかも(\alpha_{n_m})_{m\in\mathbb{N}}の収束先である事を示せば、定理が証明される。

がの元である事を示すため、の条件を順に示す。まず\alpha_{n_m}の線形性より\alphaの線形性が従う。しかも任意のと任意のに対し、あるm_0\in\mathbb{N}以上のに対して
: |\alpha(x)|\le |\alpha(x)-\alpha_{n_m}(x)|+|\alpha_{n_m}(x)|\le \varepsilon + |x|
が\alpha_{n_m}\in B^*から従うので、の任意性から |\alpha(x)|\le  |x|、すなわち\alpha\in B^*\subset V^*が従う。

の定義より、\lim_{m\to\infty}|\alpha_{n_m}(x)-\alpha(x)|=0が任意のに対して従い、これは(\alpha_{n_m})_{m\in\mathbb{N}}がに＊弱収束する事を意味する。
|title=可分な場合の別証明|drop=yes}}

バナッハ＝アラオグルの定理は半径1の閉球に対するものだが、任意の半径の閉球もコンパクトになる事が容易に示せる。また＊弱位相はハウスドルフ性を満たす事が知られており、コンパクトな空間の閉部分集合はコンパクトなので、以下の系が成立する：なお、が回帰的（すなわちが成立する空間）であれば上の＊弱位相と弱位相は同一になるので、下記の系が従う：に対しL<sup>p</sup>空間や&#8467;<sup>p</sup>空間は回帰的なので、上記の定理が適用できる。しかし回帰的でない場合には上述の定理に反例があり、例えばに収束する複素数列全体に&#8467;∞ノルムを入れた空間の閉単位球は弱位相に関してコンパクトではない。

注意しなければならないのは、＊弱位相における有界閉集合には内点が無く、有界閉集合上の点は必ず境界点になる事である。これはすなわち、たとえ閉単位球がコンパクトであっても＊弱位相をいれたが局所コンパクトにはなっていない事を意味する。

。

## 一般化：ブルバキ＝アラオグルの定理

**ブルバキ＝アラオグルの定理**（Bourbaki-Alaoglu theorem）は、ニコラ・ブルバキによる局所凸位相ベクトル空間上の双対位相へのバナッハ＝アラオグルの定理の一般化である。

ノルム線型空間の場合、近傍の極はその双対空間において閉かつノルム有界である。例えば、単位球の極はその双対において閉単位球である。したがって、ノルム位相空間（したがってバナッハ空間）に対して、ブルバキ＝アラオグルの定理はバナッハ＝アラオグルの定理と同値である。

## 帰結
* ノルムについて閉じている凸集合は弱閉である（ハーン=バナッハの定理）ため、ヒルベルト空間あるいは回帰的バナッハ空間における有界凸集合のノルム閉包は、弱コンパクトである。
* *B(H)* における閉かつ有界集合は、弱作用素位相に関してプレコンパクトである（弱作用素位相は、トレースクラス作用素の集合 *B(H)* の前双対に関する弱 * 位相であるよりも弱い）。したがって、作用素の有界列は弱集積点を持つ。したがって *B(H)* は、弱作用素あるいは超弱位相が備えられたとき、ハイネ＝ボレルの性質を持つ。
たない。

## 関連項目
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* クレイン＝ミルマンの定理

## 注釈

## 参考文献
*  See section 3.15, p.&nbsp;68.
*  See Theorem 23.5, p.&nbsp;264.
*  See §20.9.
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** 翻訳版：

## 関連図書
*  See Chapter 5, section 3.
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