反対称テンソル

数学および理論物理学において、テンソルが添字の対に関して**反対称** (*anti&shy;symmetric*) もしくは**歪対称** (skew-symmertic) であるとは、それら添字の入れ替えに関して符号が反転することを言う。また、**交代的** (*alternating*) であるとは、それらを等しいと置いたとき零になることを言う。の標数が  でないときこれら二つの概念は一致する（多重線型写像の項も参照）。
* 反対称: 
* 交代: 

もう少し一般に、添字集合の部分集合  に関して反対称（resp. 交代的）とは、 の任意の二元に関して反対称（resp. 交代的）となるときに言う。添字については、一般に共変添字 (covariant) も反変添字 (contra&shy;variant) も考えるものとする。例えば最初の三文字に関して反対称なテンソルとは
: T_{ijk\dots} = -T_{jik\dots} = T_{jki\dots} = -T_{kji\dots} = T_{kij\dots} = -T_{ikj\dots}
を満足するものである。

任意の添字の対の入れ替えに関して符号を反転するテンソルは**完全反対称** (completely anti&shy;symmetric)（もしくは全反対称 (totally anti&shy;symmetric)）あるいは単に**反対称テンソル**（はんたいしょうテンソル、）と言う。同様に任意の添え字の対に関して交代的なテンソルを**交代テンソル**（こうたいテンソル、）という。-次の完全反対称（あるいは交代）共変テンソルは -形式、完全反対称（あるいは交代）反変テンソルは と呼ばれる。

## 例
反対称テンソルの例には以下のようなものが挙げられる:
* 電磁気学における電磁テンソル .
* 擬リーマン多様体上の.

## 定義
ベクトル空間  に対し、その -次テンソル冪  を考える。-次（または -階）テンソル  が（完全）**反対称**であるとは
: \tau_\sigma T = \sgn(\sigma)T\quad (\forall\sigma\in\mathfrak{S}_k)
を満たすことをいう。ここで  は記号  の置換  に付随するテンソルの組み紐写像、 は  の符号である。

 の基底  を取り、-次反対称テンソル  を適当な係数を用いて
: T = \sum_{i_1,\dots,i_k=1}^N T_{i_1i_2\dots i_k} e^{i_1} \otimes e^{i_2}\otimes\cdots \otimes e^{i_k}
の形に書けば、この基底に関する  の成分  はその添字の任意の互換 に関して符号を変える、すなわち
: T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}} = \sgn(\sigma)T_{i_1i_2\dots i_k}
が任意の置換  について満足される。

 上の -次反対称テンソル全体の成す空間は、しばしば  や  で表される。 はそれ自身ベクトル空間を成し、また  が -次元ならば  の次元は二項係数を用いて
: \dim \operatorname{Alt}^k(V) = {N \choose k}
で与えられる。反対称テンソル空間  は  に対する  の直和
: \operatorname{Alt}(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty \operatorname{Alt}^k(V)
として構成される。

## テンソルの反対称成分
 は標数  の体上のベクトル空間とする。 を -次テンソルとすれば、 の反対称成分（交代成分）
は、符号付き平均化（反対称化、交代化）
: \operatorname{Alt} T = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_k} \sgn(\sigma)\tau_\sigma T
によって与えられる反対称テンソルである。和は -次対称群の全体を亙ってとる。明らかに、 が反対称テンソルであるための必要十分条件は  を満たすことである。

基底をとって考えれば、和の規約を用いて
: T = T_{i_1i_2\dots i_k}e^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes\cdots \otimes e^{i_k}
と書くとき、 の反対称成分は
: \operatorname{Alt} T = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_k} \sgn(\sigma)T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}} e^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes\cdots \otimes e^{i_k}
と書ける。右辺に現れるテンソル成分は、しばしば対称化する添字を角括弧で括って
: T_{[i_1i_2\dots i_k]} = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_k} \sgn(\sigma)T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}}
とも書かれる。例えば、 の次元は任意として、二階共変テンソル  に対し
: M_{[ab]} = \frac{1}{2!}(M_{ab} - M_{ba})
であり、また三階共変テンソル  に対して
: T_{[abc]} = \frac{1}{3!}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba})
と書ける。これはまた適当な階数の
を用いて、
: M_{[ab]} = \frac{1}{2!} \, \delta_{ab}^{cd} M_{cd} ,
: T_{[abc]} = \frac{1}{3!} \, \delta_{abc}^{def} T_{def}
と書くことができる。これは一般に、-次テンソル  に対して
: S_{[a_1 \dots a_p]} = \frac{1}{p!} \delta_{a_1 \dots a_p}^{b_1 \dots b_p} S_{b_1 \dots b_p} 
の形にまとめることができる。

## 交代テンソル積

単純テンソル  をテンソル積
: T=v_1\otimes v_2\otimes\cdots \otimes v_r
として書くとき、 の交代成分はその因子ベクトルの交代積（楔積）あるいは外積
: v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_r := \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r} \sgn(\sigma)v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma r}
と呼ばれる。一般に、交代テンソル空間  に反対称かつ結合的な積 "" を入れて多元環にすることができる。二つのテンソル  が与えられたとき、交代化作用素を用いて
: T_1\wedge T_2 = \operatorname{Alt}(T_1\otimes T_2)\quad\left(\in\operatorname{Alt}^{k_1+k_2}(V)\right)
と定義すれば、これが実際に反対称かつ結合的であることが確かめられる。

## 対称テンソルとの関係
添字  に関して反対称なテンソル  と、同じ添字に関して対称なテンソル  との縮約は恒等的に  に等しい。

一般のテンソル  に対して、その成分を  とするとき、添字  に関する対称成分および反対称成分
: \begin{align}
 U_{(ij)k\dots} &=\tfrac{1}{2}(U_{ijk\dots}+U_{jik\dots}),\\
 U_{[ij]k\dots} &=\tfrac{1}{2}(U_{ijk\dots}-U_{jik\dots})
\end{align}
に関して、（「成分」の名の示唆する通り）テンソル  は
: U_{ijk\dots}=U_{(ij)k\dots}+U_{[ij]k\dots}
なる和に分解される。

## 関連項目
* レヴィ゠チヴィタ記号
* 対称テンソル
* 反対称行列
* 外積代数
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## 引用文献

## 注

## 参考文献
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## 外部リンク
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