本質的スペクトル

数学の分野において、ある有界作用素の**本質的スペクトル**（ほんしつてきスペクトル、）とは、そのスペクトルのある部分集合であり、大雑把に言うと、「可逆であることにひどく失敗した」タイプの条件によって定義されるものである。

## 自己共役作用素の本質的スペクトル

以下の正式な定義において、*X* はヒルベルト空間とし、*T* は *X* 上の有界自己共役作用素とする。

### 定義

通常 σess(*T*) と記述される *T* の**本質的スペクトル**は、
: \lambda\, I - T 
がフレドホルム作用素でないような全ての複素数 λ の集合として定義される。

ここで、ある作用素がフレドホルムであるとは、その値域が閉で、その核と余核が有限次元であるようなもののことを言う。また、*I* は *X* 上の恒等作用素を表し、したがって *X* 内の全ての *x* に対して *I*(*x*) = *x* が成立する。

### 性質

本質的スペクトルは常に閉集合であり、スペクトルの部分集合である。*T* は自己共役であるため、そのスペクトルは実軸上に含まれる。

本質的スペクトルは、コンパクトな摂動に対して不変である。すなわち、*K* を *X* 上のコンパクト作用素としたとき、*T* の本質的スペクトルと、*T*&nbsp;+ *K* の本質的スペクトルは一致する。この事実は、なぜ**本質的**スペクトルと呼ばれるかという問いに答えるものである。もともと、ワイル (1910) はある微分作用素の本質的スペクトルを、境界条件に依存しないスペクトルとして定義していた。

本質的スペクトルに対する「ワイルの条件」とは、次のようなものである。はじめに、ある数 λ が *T* の**スペクトル**に属するための必要十分条件は、||ψ*k*||&nbsp;=&nbsp;1 および
: \lim_{k\to\infty} \left\| T\psi_k - \lambda\psi_k \right\| = 0 
を満たすようなある列 {ψ*k*} が存在することであるとされる。さらにその λ が**本質的スペクトル**であるとは、上の条件を満たすような列が存在するが、それは収束する部分列を含まないことを言う。例えば、\{\psi_k\} が正規直交列である場合などが考えられ、そのような列は**特異列**（singular sequence）と呼ばれる。

### 離散スペクトル

本質的スペクトルはスペクトル σ の部分集合であり、その補集合は**離散スペクトル**と呼ばれる。すなわち、
: \sigma_{\mathrm{discr}}(T) = \sigma(T) \setminus \sigma_{\mathrm{ess}}(T). 
が成立する。

ある数 λ が離散スペクトルに含まれるとは、それが重複度有限の孤立固有値であることを言う。それはすなわち、空間
: \{ \psi \in X : T\psi = \lambda\psi \} 
の次元が有限であるが非ゼロであること、および μ ∈ σ(*T*) かつ |μ&minus;λ|  0 が存在することを意味する。

## 一般的な有界作用素の本質的スペクトル

一般の場合、*X* はバナッハ空間で、*T* は *X* 上の有界作用素を表すものとする。様々な文献において、本質的スペクトルの異なる定義が与えられており、それらは同値ではない。
# 第1の本質的スペクトル σess,1(*T*) は、λI &minus; *T* が半フレドホルム作用素でないような全ての λ の集合として与えられる。ここである作用素が半フレドホルムであるとは、その値域が閉であり、その核あるいは余核が有限次元であることを言う。
# 第2の本質的スペクトル σess,2(*T*) は、λI &minus; *T* の値域が閉でないか、λI &minus; *T* の核が無限次元であるような全ての λ の集合として与えられる。
# 第3の本質的スペクトル σess,3(*T*) は、λI &minus; *T* がフレドホルム作用素でないような全ての λ の集合として与えられる。ここである作用素がフレドホルムであるとは、その値域が閉であり、その核および余核が有限次元であることを言う。
# 第4の本質的スペクトル σess,4(*T*) は、λI &minus; *T* が指数ゼロのフレドホルム作用素でないような全ての λ の集合として与えられる。ここでフレドホルム作用素の指数とは、その核の次元と余核の次元の差のことを言う。
# 第5の本質的スペクトル σess,5(*T*) は、レゾルベント集合 **C** \ σ(*T*) と共通部分を持たない **C** \ σess,1(*T*) の全ての成分と、σess,1(*T*) との合併として与えられる。

上のどの定義に対しても、作用素の本質的スペクトルは閉集合である。さらに、
: \sigma_{\mathrm{ess},1}(T) \subset \sigma_{\mathrm{ess},2}(T) \subset \sigma_{\mathrm{ess},3}(T) \subset \sigma_{\mathrm{ess},4}(T) \subset \sigma_{\mathrm{ess},5}(T) \subset \sigma(T) \subset \mathbf{C} 
が成立するが、どの包含関係も狭義である可能性がある。しかしながら、自己共役作用素に対しては、上の全ての定義に対する本質的スペクトルは一致する。

本質的スペクトルの「半径」を
: r_{\mathrm{ess},k}(T) = \max \{ |\lambda| : \lambda\in\sigma_{\mathrm{ess},k}(T) \} 
で定義する。スペクトルは異なる可能性があるが、その半径は全ての *k* に対して等しい。

*k* = 1,2,3,4 に対して、本質的スペクトル σess,*k*(*T*) はコンパクトな摂動の下で不変であるが、*k* = 5 に対してはそのような事実は成立しない。*k* = 4 の場合は、コンパクトな摂動に独立なスペクトルの部分を与えるものである。すなわち、
: \sigma_{\mathrm{ess},4}(T) = \bigcap_{K \in K(X)} \sigma(T+K) 
が成立する。ここで *K*(*X*) は *X* 上の全てのコンパクト作用素の集合を表す。

第2の定義はワイルの条件を一般化したものである。すなわち、σess,2(*T*) は、特異列が存在しないような全ての λ の集合として与えられる。

## 参考文献
自己共役作用素の場合は、次の文献で議論されている。
*Michael Reed and Barry Simon (1980), *Functional Analysis,* Academic Press, San Diego. ISBN 0-12-585050-6.

一般的な作用素のスペクトルに関する議論は、次の文献に見られる。
*D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), *Spectral theory and differential operators,* Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.

本質的スペクトルの本来の定義は、次の文献まで遡る。
*H. Weyl (1910), Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen, *Mathematische Annalen* **68**, 220&ndash;269.