エルミート多様体

数学における **エルミート多様体**（）とはリーマン多様体の複素微分幾何における類似である。より正確には、エルミート多様体とは、各点の正則接空間にエルミート内積を持ち、それらが滑らかに変化する複素多様体のことを指す。また、エルミート多様体を複素構造を保つリーマン計量を持つ実多様体として定義することもできる。

複素構造は、本質的には可積分条件をもつ概複素構造であり、この条件は多様体上にユニタリ構造（(U(n) structure))をもたらす。可積分条件を落とすと、**概エルミート多様体**を得る。

任意の概エルミート多様体上に、計量と概複素構造にのみ依存する**基本2形式**(fundamental 2-form)と呼ばれる微分形式を定めることができる。基本2形式は常に非退化である。これが閉形式である（すなわちシンプレクティック形式である）という追加の可積分条件を課すことにより、**概ケーラー構造**(almost Kähler structure)を得る。もし概複素構造と基本2形式の両方が可積分であれば、 ケーラー構造を持つ。

## 形式的定義

滑らかな多様体(smooth manifold) M 上の複素ベクトル束 E における**エルミート計量**(Hermitian metric)とは、各々のファイバー上で滑らかに変化する正定値エルミート形式である。そのような計量は滑らかな切断
:h \in \Gamma(E\otimes\bar E)^*
であって、E_p の任意の元 \zeta,\eta に対し
:h_p(\eta, \bar\zeta) = \overline{h_p(\zeta, \bar\eta)}
であり、E_p の任意の 0 でない元 \zeta に対し
:h_p(\zeta,\bar\zeta) > 0
を満たすような切断として表すことができる。

**エルミート多様体**(Hermitian manifold)は、その(holomorphic tangent space)上にエルミート計量を持つ複素多様体である。同様に、**概エルミート多様体**(almost Hermitian manifold)は、その正則接空間上にエルミート計量を持つ概複素多様体である。

エルミート多様体上では、計量は正則局所座標 (z^\alpha) を用いて
:h = h_{\alpha\bar\beta}\,dz^\alpha\otimes d\bar z^\beta
と表わされる。ここに h_{\alpha\bar\beta} は正定値エルミート行列の成分である。

## リーマン計量と随伴形式

（概）複素多様体 M 上のエルミート計量 h は、基礎多様体上にリーマン計量 g を定義する。計量 g は h の実部
:g = {1\over 2}(h+\bar h)
で定義される。

形式 g は(complexified)接バンドル TM^\mathbf{C} 上の対称双線型形式である。g は自身の共役と等しいので、TM 上の実形式の複素化となる。TM 上での g の対称性と正定値性は、対応する h の性質から従う。局所正則座標では、計量 g は
:g = {1\over 2}h_{\alpha\bar\beta}\,(dz^\alpha\otimes d\bar z^\beta + d\bar z^\beta\otimes dz^\alpha)
と表わすことができる。

h には次数 (1,1) の複素微分形式 \omega を付随させることもできる。形式 \omega は h の虚部のマイナス1倍
:\omega = {i\over 2}(h-\bar h)
として定義される。再び、\omega はその共役と等しいので、これは TM 上の実形式の複素化である。形式 \omega は、**随伴 (1,1)-形式**(associated (1,1) form)、**基本形式**(fundamental form)、あるいは**エルミート形式**(Hermitian form)と様々な呼ばれ方をする。局所正則座標では、\omega は
:\omega = {i\over 2}h_{\alpha\bar\beta}\,dz^\alpha\wedge d\bar z^\beta
と表わされる。

座標表現から明らかなように、3つの形式 h、g、\omega のうち1つが与えられれば、他の2つも一意に定まる。リーマン計量 g と付随する形式 \omega とは概複素構造 J により次のように関係している: すべての複素接ベクトル u と v に対し、
:\begin{align}\omega(u,v) &= g(Ju,v),\\ g(u,v) &= \omega(u,Jv).\end{align}
エルミート計量 h は g と \omega から等式
:h = g - i\omega
によって復元できる。3つの形式 h、g、\omega は概複素構造 J を保つ。すなわち、すべての複素接ベクトル u と v に対し、
:\begin{align}
h(Ju,Jv) &= h(u,v) \\
g(Ju,Jv) &= g(u,v) \\
\omega(Ju,Jv) &= \omega(u,v)\end{align}
である。

従って、（概）複素多様体 M 上のエルミート構造は、
# 上記のエルミート計量 h
# 概複素構造 J を保つリーマン計量 g
# J を保つ非退化 2-形式 \omega ですべての 0 でない実接ベクトル u に対し \omega(u,Ju) > 0 の意味で正定値
のいずれかで特定することができる。

多くの著者が g 自身をエルミート計量と呼んでいることに注意する。

## 性質

すべての（概）複素多様体にはエルミート計量が入る。このことはリーマン計量についての同様の命題から直ちに従う。概複素多様体 M 上の任意のリーマン計量 g が与えられると、明らかに概複素構造 J と整合するような新しい計量 g' を、次のように構成することができる:
:g'(u,v) = \frac{1}{2}\left(g(u,v) + g(Ju,Jv)\right).

概複素多様体 M 上のエルミート計量を選ぶことは、M 上の(U(n)-structure)を選ぶことと同値である。つまり、GL(n,\mathbb{C}) からユニタリ群 U(n) への M の枠束(frame bundle)の構造群の縮小(reduction of the structure group)である。概エルミート多様体上の**ユニタリ枠**(unitary frame)は、エルミート計量に関して正規直交系をなす複素線型枠である。M の(unitary frame bundle)は、すべてのユニタリ枠の主 U(n)-バンドルである。

すべてのエルミート多様体 M は、g により決定されるリーマン体積形式である標準体積形式を持つ。この形式は、随伴 (1,1)-形式 \omega によって
:\mathrm{vol}_M = \frac{\omega^n}{n!} \in \Omega^{n,n}(M)
として与えられる。ここに \omega^n は \omega と自身との n 重のウェッジ積である。従って、体積形式は M 上の実 (n,n)-形式である。局所正則座標では、体積形式は
:\mathrm{vol}_M = \left(\frac{i}{2}\right)^n \det(h_{\alpha\bar\beta})\, dz^1\wedge d\bar z^1\wedge \cdots \wedge dz^n\wedge d\bar z^n
により与えられる。

エルミート計量は、正則ベクトルバンドル上でも考えることができる。

## ケーラー多様体

エルミート多様体の最も重要なクラスは、ケーラー多様体である。ケーラー多様体は、エルミート形式 \omega が閉形式
:d\omega = 0
となるエルミート多様体である。この場合、形式 \omega を**ケーラー形式**と呼ぶ。ケーラー形式はシンプレクティック形式なので、ケーラー多様体は自然にシンプレクティック多様体となる。

随伴する (1,1)-形式が閉である概エルミート多様体は、自然に**概ケーラー多様体**と呼ぶ。任意のシンプレクティック多様体には、概ケーラー多様体をなすような整合的な概複素構造が入る。

### 可積分性
ケーラー多様体は可積分条件を満たす概エルミート多様体である。この条件はいくつかの同値な方法で述べることができる。

(M,g,\omega,J) を実 2n 次元の概エルミート多様体とし、\nabla を g のレヴィ・チヴィタ接続とすると、以下は M がケーラーとなる同値な条件である。
* \omega が閉で、J が可積分である
* \nabla J=0
* \nabla\omega=0
* \nabla の(holonomy group)が J に関するユニタリ群 U(n) に含まれる

これらの条件の同値性は、ユニタリ群の「3 から 2(2 out of 3)」の性質に対応する。

特に、M がエルミート多様体であれば、条件 d\omega=0 が一見、非常に強く見える条件 \nabla\omega=\nabla J=0 と同値である。ケーラー多様体の理論の豊かさは、これらの性質によるところもある。

## 参考文献

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