リー・トロッター積公式

数学において、ソフス・リー (Sophus Lie, 1875) にちなんで名づけられた**リーの積公式** () 、あるいは**トロッター積公式** (Trotter product formula)とも呼ばれる公式は、任意の実あるいは複素正方行列 ,  に対して、

:e^{A+B} = \lim_{n \rightarrow \infty} (e^{A/n}e^{B/n})^n 

が成り立つという定理である。ここで  は  の行列指数関数を表す。**リー・トロッターの積公式** (Lie–Trotter product formula)  および**トロッター・加藤の定理** (Trotter–Kato theorem)  はこれをある種の非有界線型作用素 ,  に拡張する。

## 定理
 を同じ次数の任意の実または複素正方行列、 を自然数とするとき、次の式が成立する。 

:e^{A+B} = \lim_{n \rightarrow \infty} (e^{A/n}e^{B/n})^n.

ここで  は行列指数関数による  の像であり、次の式により定義される。

:e^{A} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} A^k.
ただし、（単位行列）である。

また、行列  のノルムは次で定義するものとし、収束はこのノルムによることを意味するものとする。

:\|A\| =  \frac{1}{\sqrt{\dim A}} \sqrt{\sum_{i,j} |a_{ij}|^2}.
ただし、 は  の  成分の絶対値、 は  の次元である。係数 1/\sqrt{\dim A} は 単位行列  のノルムを 1 にするためのものであり、この係数を省いた定義を用いる文献もある(この係数が無くても、以下の論議で問題は発生しない)。

リー・トロッター積公式は、通常の指数関数における次の規則の拡張である。

:e^{x+y} = e^x e^y

この式は、x,y が任意の実数または複素数の場合に成立する。
後で使うので、この公式の証明を記しておく。

:e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} x^n

:e^{x} e^{y} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \frac{y^m}{m!}

:e^{x+y} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} (x+y)^n 

ここで二項定理 (x+y)^n = \sum_{k=0}^n {}_n\!C_k x^k y^{n-k} を使えば、

:e^{x+y} =  \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n {}_n\!C_k x^k y^{n-k}
 = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!} x^k y^{n-k}
 = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \frac{y^m}{m!}


従って e^{x} e^{y}  と e^{x+y} は一致する。

x,y を行列 A,B で置き変え、指数関数を行列指数関数で置き変えると、この規則が成立するためには、一般に A と B が可換である必要がある。しかし、リー・トロッター積公式は、A と B が可換でなくても一般に成立する(も参照)。

より一般的には、 を行列に限定せず、任意のノルム空間  上の有限なノルムを持つ線形作用素としても、この公式は成立する。ただし、上記の行列についてのノルムは、次で定義されるノルム空間  上の線形作用素  のノルム  に置き換えるものとする。

:\|A\| = \sup_{x\in V} \frac

この定義では、ノルム空間  上の恒等写像  のノルムは 1 である。

証明で使うので、ノルム \|\,\| の性質をまとめておく(証明は簡単であるので省略する)。
:(1)  \|A\| \ge 0 かつ \|A\| = 0  \leftrightarrows A = 0 
:(2)  a をノルム空間 Vの任意のスカラーとすれば \|aA\| =  |a|\,\|A\|
:(3)  \|AB\| \le \|A\| \, \|B\|  
:(4)  \|A+B\| \le \|A\| + \|B\|  
:(5)  | \, \|A\| - \|B\| \, | \le \|A-B\| 

これらは、行列のノルムでも成立する。

## 証明
ノルム空間 V 上の有限なノルムを持つ線形作用素について証明する。次の2つの補題を用いる。

;補題1
A,B をノルム空間 V 上の有限なノルムを持つ線形作用素とすると、次の関係が成り立つ。
:\| e^{A+B} - e^A e^B \| = O(\|A\|\,\|B\|)
ただし、O (\cdot) はランダウの記号である。

;補題1の証明
ノルム \|\,\| の性質 (3),(4) から、

:\| e^{A+B} - e^A e^B \| 
\le 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} {\| A \|}^n \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m!} {\| B \|}^m 


上式の右辺の各項は \|A\| および \|B\| を必ず1個以上は含んでいるので、右辺は \|A\|\,\|B\| を因数に持つ。従ってランダウの記号の定義から補題の主張のとおりとなる。

;補題1の系
自然数 N に対して、ある正の実数 M が定まり、任意の自然数 n \ge N に対して、

:\| e^{(A+B)/n} - e^{A/n} e^{B/n} \| \le M \| \frac{A}{n} \| \, \| \frac{B}{n} \|

(証明は、ランダウの記号 O (\cdot) の定義による。)

;補題2
n を自然数、x を実数とすれば、
:\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n} \right)^n = e^x
(証明略)

;定理の証明
線形作用素 A,B の多項式 f(A,B) を次のように定義する。

:f(A,B) = e^{A+B} - e^A e^B

自然数 n に対して、

:e^{A+B} = (e^{(A+B)/n})^n = (f(A/n,B/n) + e^{A/n}e^{B/n})^n

:\| e^{A+B} - (e^{A/n}e^{B/n})^n \| 
= \| (f(A/n,B/n) + e^{A/n}e^{B/n})^n - (e^{A/n}e^{B/n})^n \| 
:\le 2\sum_{k=1}^n {}_n\!C_k {\| f(A/n,B/n) \|}^k \| (e^{A/n}e^{B/n})^{n-k} \| 
:\le 2\sum_{k=1}^n {}_n\!C_k {\| f(A/n,B/n) \|}^k (e^{\|A\|/n} e^{\|B\|/n})^{n-k}


\|A\| \ge 0, \|B\| \ge 0 であるから e^{\|A\|/n} \ge 1, e^{\|B\|/n} \ge 1。従って、(e^{\|A\|/n} e^{\|B\|/n})^{n-k} \le (e^{\|A\|/n} e^{\|B\|/n})^n = e^{\|A\|} e^{\|B\|}。また補題1の系から、
:\| f(A/n,B/n) \| = \| e^{(A+B)/n} - e^{A/n} e^{B/n} \| 
\le M \| \frac{A}{n} \| \, \| \frac{B}{n} \|

以上から、

:\| e^{A+B} - (e^{A/n} e^{B/n})^n \| 
\le 2\sum_{k=1}^n {}_n\!C_k (M \| \frac{A}{n} \| \, \| \frac{B}{n} \|)^k e^{\|A\|} e^{\|B\|}
:= 2 e^{\|A\|} e^{\|B\|} \left( \left(1 + \frac{M \| A \| \, \| B \|}{n^2} \right)^n - 1 \right)


補題2から n が十分大きければ、
:\| e^{A+B} - (e^{A/n}e^{B/n})^n \| 
\le 2 e^{\|A\|} e^{\|B\|} \left( e^{\frac{M \| A \| \, \| B \|}{n}} - 1 \right)


n が大きくなれば、右辺は 0 に漸近するので、ノルムの性質 (1) から定理の主張のとおりとなる。

## 応用
この公式は、量子力学における経路積分において応用されており、この公式によってシュレーディンガー時間推進作用素 (そのジェネレーターがハミルトニアンである) を、運動エネルギー作用素 (の時間積分断片)とポテンシャルエネルギー作用素 (の時間積分断片) の交互の積の列に分離することが可能になっている。同様のアイデアは微分方程式の数値解法における分割法 (離散化) を構築する上でも使われている。

## 脚注

## 参考文献
* 
* 
* 
* 
* Sophus Lie and Friedrich Engel  (1888, 1890, 1893).  *Theorie der Transformationsgruppen* (1st edition, Leipzig; 2nd edition, AMS Chelsea Publishing, 1970) ISBN 0828402329
* .
* , pp. 35.
*
*
*
* , pp. 99.
*

## 関連項目
* リー群
* 行列指数関数
* 経路積分
* 
* 鈴木＝トロッター分解