ガウシアンビーム

光学において、 **ガウシアンビーム**（）とは、の電場および強度（放射照度）分布が近似的にガウス分布とみなせる電磁波をいう。多くのレーザーはその光軸への垂直面内の強度分布がガウス分布に近いビームを発しており、このようなレーザーでは共振器が基本横モード、または「TEM00 モード」で発振しているという。回折限界のレンズで屈折させたとき、ガウシアンビームは別の（パラメータの違う）ガウシアンビームへと変換されるため数学的に取り扱いやすく、レーザー光学における数理モデルとして広く採用されている。

ガウシアンビームがヘルムホルツ方程式の近軸近似の下での解であることは数学的に示すことができる。この解はガウス関数の形をとっており、ビームの電場の複素振幅を表わす。この形のビームの大きな特質として、電場と磁場が電磁波として一体となり伝播するため、電場と磁場のどちらか片方のみによってビームの特徴を記述できることが挙げられる。

ガウシアンビームが伝播するときの特徴は、スポットサイズと曲率半径、グイ位相というわずかなパラメータで記述できる。

近軸近似の下でのヘルムホルツ方程式には別の解も存在する。デカルト座標を用いて方程式を解くと、エルミート・ガウシアンモードと呼ばれる一連の解が得られ、円筒座標系を用いて解くとラゲール・ガウシアンモードと呼ばれる一連の解が得られる。どちらの解に対しても、最低次の解はガウシアンビームを表わし、高次の解は共振器の高次の横モードに対応する。

## 数学的形式
ガウシアンビームはの一つである。このモードの複素電場強度の数学的表式は近軸ヘルムホルツ方程式を解くことで得られ、以下のような表式を得る。

ここに、変数は以下のように定義する。
:  はビームの中心軸からの距離
:  はビーム径の最も収束している点（ビームウェスト）からの中心軸方向の距離
:  は虚数単位 ()
:  は波数（単位はラジアン毎メートル）
: 
:  はスポットサイズ（電界強度および放射照度が中心軸上の値からそれぞれ 1/*e* および 1/*e*2 になる半径）
:  はビームウェストでのスポットサイズ
: は波面の曲率半径
:  はガウシアンビームに見られる特別な寄与であるグイ位相シフト
厳密には時間依存因子  もかかっているが、上の式では省略されている。

対応する時間平均強度分布は以下のように表わされる。

ここで  はビームウェストの中心における放射照度であり、定数  はビームの伝播している媒質の特性インピーダンスである。自由空間においては、  となる。

## ビームパラメータ
ガウシアンビームのふるまいと形状は以下にしめす一連の**ビームパラメータ**により記述される。

### ビーム幅またはスポットサイズ
自由空間を伝播するガウシアンビームにおいては、スポットサイズ（半径）  は*ビームウェスト*とよばれる光軸上のある点で最小値  をとる。波長  のビームの、ビームウェストから光軸にそって距離  の点におけるスポットサイズは以下のように与えられる。
 \right)}^2 }}}
ここで -軸の原点はビームウェストと一致するようにとることとし、

はレイリー範囲と呼ばれる量である。

### レイリー範囲と共焦点パラメータ
ビームウェストからレイリー範囲  だけ離れた点ではビーム幅  は以下のように与えられる。

この二つの点の間の距離は「共焦点パラメータ」もしくはビームの「焦点深度」と呼ばれる。

### 曲率半径
 はビームを構成する波面の「」であり、以下のような位置の関数として与えられる。
{z} \right)}^2 } \right]}}

### 発散角
パラメータ  は  のときには  に比例するものと見なせる。このことは、ビームウェストから離れればビームは円錐形とみなせることを意味する。直線  とビームの中心軸  との成す角度は、ビームの「発散角」と呼ばれ、以下のように与えられる。

ここで、の単位はラジアンである。

ビームウェストから遠いときのビームの拡がり角は以下のように与えられる。

発散角はビームウェストサイズ  に反比例するため、より焦点サイズの小さいガウシアンビームは伝播するにつれてより速く拡がっていくことになる。逆に言えば、レーザービームの平行性を高く保つためには、半径は大きくしなければならない。このビーム幅と発散角との間の関係は回折に起因する。非ガウシアンビームでもこの効果はみられるが、ガウシアンビームはビーム幅と発散角との積が可能な限り小さい特殊例である。

ガウシアンビームモデルは近軸近似に基いているため、波面がおよそ 30°以上傾いた場合には適用できなくなる。上の発散角についての式より、ガウシアンビームモデルが  より大きなビームウェストサイズを持つときのみに適用できることになる。

はビームパラメータ積 (beam parameter product, BPP) により評価できる。ガウシアンビームについては、 BPP は発散角とビームウェストサイズ  の積である。実際のビームの BPP はビームの最小直径と遠地点における発散角を実測して積をとることにより求められる。実際のビームの BPP と、同波長の理想的なガウシアンビームにおける BPP の比は  と呼ばれる。ガウシアンビームにおいては、  の値は1である。実際のビームはかならず1より大きい  値を持つが、高品質なビームでは非常に1に近い値となる。

ガウシアンビームの開口数は  で定義される。ここで、  はビームの伝播する媒質の屈折率である。この定義式より、レイリー散乱は開口数により次の式で表わすことができることが導かれる。

### グイ位相
光軸上の「縦位相の遅れ」、もしくはグイ位相シフトは以下のように表わされる。

グイ位相シフトはガウシアンビームがビームウェストから離れた片側からもう片側に伝播するとき、平面波と同じ通常の位相シフト  の他に  だけ位相がずれることを示している。

### 複素ビームパラメータ
ガウシアンビームのスポットサイズと曲率半径についての情報を次の一つの複素ビームパラメータ  により表わすことができる。

この逆数  をとると、以下の式のように  と ,  との関係が顕わに示される。

複素ビームパラメータはガウシアンビームの解析において、特にを用いた光共振器の解析において重要である。

潜在的に楕円の、または非点収差をもつビームの振幅  は次のように二つの関数の積として表わせる。

ここで、 

: ,  はそれぞれ ,  方向の複素ビームパラメータである。
通常のの場合、  が成り立ち、  とすれば下の式を得る。

e^{im\phi}{}_{1}F_{1}\left(-\frac{p}{2}, |m|+1;\frac{r^2}{\Zeta(\Zeta+i)}\right)
}}
ここで  は整数、  は実数、  はガンマ関数、  は合流型超幾何関数である。

超幾何ガウシアン (, HyGG) モードの部分集合として、ベッセル・ガウシアンモード、修正指数ガウシアンモード、修正ラゲール・ガウシアンモードがある。

超幾何ガウシアンモードは過完備基底系を成し、直交基底系ではない。このモードは全体としては複雑な分布を持つが、瞳面 () においては非常に単純な分布を示す。

## 脚注

## 参考文献
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* Chapter 5, "Optical Beams," pp.&nbsp;267.
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* Chapter 3, "Beam Optics," pp.&nbsp;80&ndash;107.
* Chapter 16.
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## 関連項目
* ベッセルビーム
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## 外部リンク
* Gaussian Beam Propagation - IDEX Optics & Photonics Technical Guide
* Gaussian Beam Optics Tutorial, Newport