ディガンマ関数

数学において、**ディガンマ関数**（でぃがんまかんすう、）あるいは**プサイ関数**（ぷさいかんすう、）とはガンマ関数の対数微分で定義される特殊関数。ポリガンマ関数の一種である。

## 定義
ガンマ関数 
\Gamma(z) 
 に対し、その対数微分

:
\psi(z) 
 = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \ln{\Gamma(z)}  = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} 


を**ディガンマ関数**と呼ぶ。

ディガンマ関数は、
z = 0,-1,-2,\ldots(z\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{Z}^+)
 で一位の極をもち，それらの点を除く全複素平面では解析的になる。

## 基本的性質

ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示

:
\frac{1}{\Gamma(z)}=\lim_{n \to \infty} \frac{z(z+1)\cdots(z+n)}{n^z n!}


を対数微分することで、ディガンマ関数における

:
\psi(z)=\lim_{n \to \infty} 
\left \{ \ln{n}-\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{z+k} \right \} 


という表示を得る。特に 
z = 1 
とすれば、次の特殊値

:
\psi(1)=\lim_{n \to \infty} 
\left \{ \ln{n}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \right \} 
=-\gamma


を得る。但し、
\gamma = 0.5772\ldots 
 はオイラーの定数である。

また、ディガンマ関数は次の漸化式を満たす。

:
\psi(z+1) = \psi(z) + \frac{1}{z}


この関係式から、一般に

:
\psi(z+n) = \psi(z) +\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{z+k-1}


であり、特に 
z = 1 
とすれば、特殊値

:
\psi(n+1) = -\gamma +\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}


が得られる。

## 級数表示

ディガンマ関数とその導関数は 
z\neq0,-1,-2,-3,\ldots(z \in \mathbb{C}\setminus\{0,\mathbb{Z}^-\}) 
 で次の級数表示を持つ。

:
\psi(z) = -\gamma -\sum_{n=0}^{\infty} \biggl ( 
\frac{1}{z+n} - \frac{1}{n+1} \biggr )
= -\gamma +\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z-1}{(n+1)(z+n)} 


:
\psi^{(k)}(z) = (-1)^{k+1} k\,! \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(z+n)^{k+1}}


これらの級数は、ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示

:
\frac{1}{\Gamma(z)}= z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty}
\biggl ( 1+ \frac{z}{n} \biggr ) e^{-z/n}


の対数微分から導かれるものである、

また、
z = 0 
 でのテイラー展開により、
|\,z\,| の領域で次のように級数表示される。

:
\psi(z+1) = -\gamma +\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n 
\zeta(n) z^{n-1}


ただし、
\zeta(n) 
 はリーマンゼータ関数を表す。

## 積分表示


\mathrm{Re}(z)>0
 のとき、ディガンマ関数は次の積分表示を持つ。

*
\psi(z) = \int_{0}^{\infty} \biggl ( e^{-s}-\frac{1}{(1+s)^z}
\biggr) \frac{\mathrm{d}s}{s}


*
\psi(z) = \int_{0}^{\infty} \biggl ( \frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-zs}}{1-e^{-s}}
\biggr) \mathrm ds


*
\psi(z)
 = -\gamma +  \int_{1}^{\infty} \frac{s^{z-1}-1}{s^z (s-1)}\mathrm ds


*
\psi(z+1) = \ln{z}-\frac{1}{2z}
- \int_{0}^{\infty} \biggl (
\frac{1}{2} \operatorname{coth} \left(\dfrac{s}{2}\right)-  \frac{1}{s}  
\biggr ) e^{-zs} \mathrm ds


但し、\coth\left(\frac{s}{2}\right) は双曲線余接関数を表す。

また、ディガンマ関数同士の差について、以下が成り立つ。

*
\psi(y) -\psi(x)
 =  \int_{0}^{1} \frac{u^{x-1}-u^{y-1}}{1-u}\mathrm du


## 相反公式

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。

:
\psi(1-z)-\psi(z) = \pi \operatorname{cot}( \pi z) 


但し、
\cot(\pi z) 
 は余接関数を表す。

## 漸近展開


z\to\infty\,(|\arg z| のとき、ディガンマ関数は次の漸近展開をもつ。

:
\begin{align}
\psi(z) 
& \sim \ln{z}- \frac{1}{2z}- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}}{2nz^{2n}} \\
& = \ln{z}- \frac{1}{2z}- \frac{1}{12z^2}+ \frac{1}{120z^4}- \frac{1}{252z^6} +\cdots
\end{align}


但し、
B_{2n}
 はベルヌーイ数である。

## 特殊値

ディガンマ関数は、正の整数において、次の値をとる。
*
\psi(1) = -\gamma 


*
\psi(n) = -\gamma + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}
= -\gamma + H_{n-1} \qquad \{\,n\mid\,n\in\mathbb{Z}^+\setminus\{1\}\,\}


但し、
H_{n-1}
は調和数を表す。

また、正の半整数において、次の値をとる。

*
\psi(1/2) = -\gamma -2 \ln{2} 


*
\psi(n+1/2) = -\gamma  -2 \ln{2} 
+ 2  \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+1} \qquad \{\,n\mid\,n\in\mathbb{Z}^+\,\}


## 脚注

## 参考文献
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, *[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]*.  Dover (1965) 
* E. T. Whittaker and G. N. Watson, *A Course of Modern Analysis*. Cambridge University Press (1927; reprinted 1996) 
* George B. Arfken and Hans J. Weber, *Mathematical Methods for Physicists*, Academic Press; ジョージ．ブラウン・アルフケン、ハンス．J・ウェーバー (著)、 権平健一郎、神原武志、小山直人 (翻訳) 『基礎物理数学第4版Vol．3　特殊関数』 講談社 (2001) 

## 関連項目
* ガンマ関数
* ポリガンマ関数