数学上の未解決問題

**数学上の未解決問題**（すうがくじょうのみかいけつもんだい、）とは、未だ解決されていない数学上の問題である。未解決問題の定義を「未だ証明が得られていない命題」という立場を取るのであれば、そういった問題は数学界に果てしなく存在するが、ここでは、リーマン予想のようにその証明結果が数学全域と関わりを持つような命題、P≠NP予想のようにその結論が現代科学、技術のあり方に甚大な影響を及ぼす可能性があるような命題、問いかけの単純明快さ故に数多くの数学者達が証明を試みてきたような有名な命題のみを列挙する。

## ミレニアム問題

以下7つの問題はミレニアム懸賞問題と呼ばれ、クレイ数学研究所によってそれぞれ100万ドルの懸賞金が懸けられている。
* P≠NP予想
* ホッジ予想
* ポアンカレ予想（グリゴリー・ペレルマンによって解決済み）
* リーマン予想
* ヤン-ミルズ方程式と質量ギャップ問題
* ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
* バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想（BSD予想）

## 主な未解決問題
以下、特に断りがない限り、 は自然数とし、記数法は十進法とする。

### 「―は無数に存在するか」系

* 双子素数は無数に存在するか。
**三つ子素数は無数に存在するか。
***四つ子素数は無数に存在するか。
* メルセンヌ素数は無数に存在するか。(メルセンヌ予想)
** 等価の問題として、偶数の完全数は無数に存在するか。
*合成数のメルセンヌ数  (  は素数 )は無数に存在するか
*階乗素数は無数に存在するか。
*素数階乗素数は無数に存在するか。
* 正則素数は無数に存在するか。
*幸運素数は無数に存在するか。
* カレン素数は無数に存在するか。
*ウッダル素数は無数に存在するか。
* プロス素数は無数に存在するか。
* ソフィー・ジェルマン素数は無数に存在するか。
*ピアポント素数は無数に存在するか。
*サービト素数は無数に存在するか。
* 回文素数は無数に存在するか。
* レピュニット素数は無数に存在するか。
* ハッピー素数は無数に存在するか。
* フィボナッチ素数は無数に存在するか。
*リュカ素数は無数に存在するか。
*ペル素数は無数に存在するか。
*の形の素数は無数に存在するか。（ブニャコフスキー予想）
*長さ  のカニンガム鎖は無数に存在するか。
*正の約数の総和が素数になる自然数は無数に存在するか。
*3個の素数の積であるカーマイケル数は無数に存在するか
* 調和数は無数に存在するか。
*超完全数は無数に存在するか。
*基準完全数は無数に存在するか。
*乗法的完全数は無数に存在するか。
* 友愛数は無数に存在するか。
* 婚約数は無数に存在するか。
* 社交数は無数に存在するか。
*サブライム数は無数に存在するか。
* ルース＝アーロン・ペアは無数に存在するか。

### 「―は存在するか」系

* 奇数の完全数は存在するか。
** 一般に、1以外の奇数の倍積完全数は存在するか。
*奇数の超完全数は存在するか。
* 準完全数は存在するか。
* 概完全数は2の冪(1, 2, 4, 8, 16, ...)以外に存在するか。
* 偶数と奇数の組の友愛数は存在するか。
* 互いに素な友愛数は存在するか。
* 偶数同士、奇数同士の婚約数は存在するか。
* 3個組の社交数は存在するか。
** 7個組の社交数は存在するか。
***10個組の社交数は存在するか。
* 1以外の奇数の調和数は存在するか。
* 奇数の不思議数は存在するか。
*奇数のサブライム数は存在するか。
* 合成数のフォーチュン数は存在するか。
* と の間に必ず素数は存在するか。（ルジャンドル予想）
*がともに素数である  は3以外に存在するか。
* ウォルステンホルム素数は16843と2124679以外に存在するか。
* ウィルソン素数は5, 13, 563以外に存在するか。
*平方数のトリボナッチ数は1,4,81,3136,10609以外に存在するか。
*平方数のパドヴァン数は1,4,9,16,49以外に存在するか。
* ブラウン数は(4,5), (5,11), (7,71)以外に存在するか。
* 十進数のリクレル数は存在するか。
* 6個以下の6乗数の和で表すことができる6乗数は存在するか。

### 「―は全て――か」系

*隣り合う素数の正の平方根の差は全て1未満か。（アンドリカの予想）
*4以上の偶数は全て2つの幸運数の和として表せるか。
*フェルマー数は全て平方因子を持たないのか。
*フェルマー数  (  )は全て合成数か。
*メルセンヌ数 (  は素数 )は全て平方因子を持たないのか。
* 無理数かつ代数的数である数は全て正規数か。

### 「―はいくつか」系

* 最小のシェルピンスキー数は78557か。
* シェルピンスキー数のうち、最小の素数は271129 か。
* シェルピンスキー数の最初の2個は78557、271129 か。
* 最小のリーゼル数は509203か。
* 最小のブリエ数は3316923598096294713661 か。
* 3倍完全数は6個か。
** 4倍完全数は36個か。
*** 5倍完全数は65個か。
* 倍積完全数が存在するのは何倍までか。
* 社交数が存在するのは何個組までか。

## 分野別主な未解決問題

### 数論

* 
** 一般化されたリーマン予想
*** リーマン予想
* ヒルベルトの23の問題の9番目
* ヒルベルトの23の問題の11番目
* ヒルベルトの23の問題の12番目 
*
* エルデシュ＝シュトラウス予想
* ゴールマハティヒ予想 
* マルコフ数の一意性予想
* ピライの予想
*
* モンゴメリー・オドリズコ予想
*カーマイケルのトーシェント関数予想
* ヒルベルト・ポリア予想
* カタランのアリコット数列予想
* 
* スピロ予想
* ヴォイタ予想
* ゴールマハティヒ予想
* 合同数の問題
*
* 3つの立方数の和 
* ABC予想

### 加法的整数論
 
* ゴールドバッハの予想
*
* コラッツの予想
* ビール予想
* フェルマー＝カタラン予想
*ウェアリングの問題
*切手問題
*フロベニウスの硬貨交換問題
* ランダー・パーキン・セルフリッジ予想
*
* 
* スコーレム問題

### 代数

* 
* ヒルベルトの23の問題の15番目
* ヒルベルトの23の問題の16番目 
* アダマール予想 
* ジャコブソン予想
* ケーテ予想
* 
*
*
* ボスト予想
* 

### 代数幾何

* 
* バスの予想
* 
* 中井予想
* 代数的サイクルの標準予想
* テイト予想 (代数幾何学)

### 代数的数論

* 類数問題
* スターク予想 

### 解析

* ヤコビアン予想
* レーマーの予想
*シャヌエルの予想
* ヒルベルトの23の問題の13番目
* 素数計数関数 が対数積分 より大きくなる最小の  は何か。
*（オイラーの定数）, カタランの定数, ,  フィボナッチ数列の逆数和,ブルン定数,これらは代数的無理数（代数的数であり、無理数でもある数）か、超越数か？これらの無理数度の値は何か？

### 組合せ論

* シングマスター予想
*グラハム問題

### ユークリッド幾何学

* 
*
* 
* ソファ問題
* トムソン問題
*単位正方形の有理距離問題

### 離散幾何学

* 藤村の三角形問題
* 掛谷問題

### 高次元幾何学
 
* 接吻数問題

### グラフ理論

* 根上の予想
* 
*コンウェイの問題

### 群論

*アルティン予想
* ガロアの逆問題
* バーンサイド問題
* 一般ムーンシャイン予想
* コクセター群の同型問題

### 環論

*ケーテ予想

### 計算複雑性理論

* P = L か。
* NL = L か。
*指数時間仮説

## 近年解決された主な問題

* ソファ問題（2024年）
* アインシュタイン問題（2023年）
* （2017年）
*弱いゴールドバッハ予想（2013年)
* 佐藤・テイト予想（2006年）
* ポアンカレ予想（2002年）
* カタラン予想（2002年）
* 加藤予想（2001年）
* 谷山–志村予想（1999年）
* ケプラー予想（1998年）
* ヒルベルトの23の問題の第18題（1998年）
*エルデシュの無平方予想（1996年）
* フェルマーの最終定理（1994年）
* ビーベルバッハ予想（ド・ブランジュの定理）（1985年）
* 四色定理（1977年）
* ヴェイユ予想（1974年）
* オイラー予想（1966年）
* 連続体仮説（1963年）

## 脚注

### 注釈

### 出典

## 関連項目

* ヒルベルトの23の問題
* スメイルの問題
* 数学の歴史