倍数

数学において、数  の**倍数**（ばいすう、英:multiple）とは、 を整数倍した数、あるいはそれらの総称である。つまり、
:
を指す。 ならば、 の倍数は無数に存在する。

 を整数に限ると、 の倍数とは「 で割り切れる整数」のことであり、 の約数（「 を割り切る整数」）と対比されることも多いが、倍数は  が整数でなくても定義できる。

倍数の中で  以外は符号の違いだけの組が現れるので、
:
と表すこともある。とくに  が正の整数で負の数を考えない、あるいは本質的でない場合は（正の）倍数として
:
だけを考えることも多い。

整数全体からなる集合 \mathbb{Z} を用いると、 の倍数は a\mathbb{Z} である。

## 例

* の倍数は 
**偶数に等しい。
* の倍数は 
* は  のいずれの倍数でもある。
** の正の約数は  であることによる。

## 数学的性質
### 整数に関する性質
* だけ倍数の個数が有限（ のみ）である。（したがって  の倍数を考えることはあまり意味がない）
* は全ての数の倍数である。
*全ての数は自分自身の倍数である。
*全ての整数は  と  の倍数である。
*偶数とは  の倍数のことである。偶数は「2つの等しい整数の和で表せる数」とも定義できるが、この定義は  の倍数であることと同値である。
* が整数のとき、 が  の倍数であることは、 が  の約数であることと同じ意味である。
*整数 ,  に対して、 が  で割り切れることと、 の倍数が  の倍数に含まれることは同値である。すなわち、
:a\mid b\Leftrightarrow b\mathbb{Z} \subset a\mathbb{Z}
* 以上の整数はある素数の倍数である。
*素数の倍数全体は、 以外の整数全体に等しい。
:（→素数が無数に存在することの証明#フュルステンベルグ）
* の倍数かつ  の倍数であるものを  と  の公倍数という（3個以上の場合でも同様）。 は  と  の公倍数である。公倍数のうち最小の正の数を最小公倍数という。
** と  の公倍数は  と  の最小公倍数の倍数である。
* の倍数の倍数は  の倍数である。
*,  が 共に  の倍数ならば、（,  は整数）は共に  の倍数である。
**特に、 は  の倍数である
*有理整数環 \mathbb{Z} で二項関係を x-y\in a\mathbb{Z} で定義すると、これは同値関係になる。
**その商集合 \mathbb{Z} / a\mathbb{Z} は加法に関するアーベル群である。（→同値関係#商集合の例）

### 整除性の判定法
**整除性の判定法**（せいじょせいのはんていほう, , , , ）は、ある整数を別の整数で割った商が整数となるか（余りがゼロであるか）を、割り算を直接実行することなく判別する裏技である。**倍数の判定法**ともいう。

様々なN進法における倍数判定の方法として、以下の方法が挙げられる。

; 一の位の数で判定
: 一の位がMであればMの倍数、という方法。
; 各桁の和（数字和）で判定
: 一桁の最後の数（10-1）の倍数は、各桁の和が10-1に収まれば10-1の倍数、という方法。六進数での5の倍数、九進数での（2、4、）8の倍数、十進数での（3、）9の倍数、十六進数での（3、5、）15の倍数、二十五進数の（2、3、4、6、8、12）24の倍数など。
; 下P桁で判定
: 下二桁がabであればMの倍数、下三桁がabcであればMの倍数…、という方法。
; 11が合成数の場合
: 11となる数が合成数の場合、二桁数abがあれば a-b または b-a の差が11の約数Mになっている場合に、Mの倍数となる、という方法。例：八進数での9（= 11）の倍数（3 = 11）、二十進数での3の倍数と7の倍数（3×7 = 11）、三十二進数での3の倍数と11の倍数（33 = 11）など。
; 一の位をa倍
: 乗算表の二桁数abから逆算して、一の位bをa倍する方法。十進数における7の倍数（7×3 = **2**1）、十二進数における5の倍数（5×5 = **2**1）、十六進数における11の倍数（3×B ＝ **2**1）、四十進数における3 の倍数（3×3×3×3 ＝ **2**1）など。
: 乗算表の最後の数｛(10-1) = a1｝の場合は、一の位をa倍して、「整数第二位以上」と「一の位をa倍」の差をa1で割って余りが0になればa1の倍数、という方法。十進数での3 = **8**1の倍数など。
; 「整数第三位以上」に「下二桁をa倍」を加算
: 「整数第三位以上」に「下二桁をa倍」を加算し、その和をMで割って余りが0ならばMの倍数、という方法。六進数での15（11）の倍数、十進数での3 = 243 の倍数など。

素因数が複数になる場合には、上記の倍数判定方法を組み合わせることになる。

とりわけ、六進数と十進数では、素因数に2, 3, 5が含まれる倍数の判定が容易である。これは、六進数では10 = 2×3 = 5+1 となり、十進数では 10 = 2×5 = 3+1 となり、"10"の素因数と"10-1"の素因数に2, 3, 5のどれかが含まれているからである（その上に10の素因数も複数ある）。例えば、2×3×5 = 1400 = 360の倍数も、六進数だと「下三桁が200, 400, 000のどれかで、各桁の和が5の倍数」で計3種類（1400, 3200, 5000, 10400…）、十進数だと「一の位が0、整数第二位～第三位で4の倍数が現れ、各桁の和が9の倍数」で計25種類（**36**0, **72**0, 1**08**0, 1**44**0,1**800**,2**160**,2**520**…）となる。

#### 十進数での例
十進数での倍数判定法がいくつか存在する。

割る数Mが51以上の倍数判定法の例を以下に示す。
*一の位を5倍して、整数第二位以上と一の位の5倍の差を求め、その差が 0、またはその差を 51 で割って余りが 0 であれば、その数は 51 の倍数である。
*一の位を8倍して、整数第二位以上と一の位の8倍の差を求め、その差が 0、またはその差を 81 で割って余りが 0 であれば、その数は 81 の倍数である。
*下から2桁ごとに区分し、各区分を合計した時の数が 99 で割り切れれば、その数は 99 の倍数である。
*下から4桁ごとに区分し、各区分を合計した時の数が 101 で割り切れれば、その数は 101 の倍数である。
*下三桁が 125 の倍数（つまり 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 000）ならば、その数は 125 の倍数である。

これら以外にも、先述の倍数判定法を組み合わせることにより、これ以外の整数の倍数であるか判定することができる。一般に、整数Nが N = a*b*c*…*n と表せるとき、a, b, c,･･･, n の倍数判定法をパスした整数はNの倍数である。

*4の倍数判定法と27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は108の倍数である。
*5の倍数判定法と37の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は185の倍数である。
*3の倍数判定法、5の倍数判定法、16の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は240の倍数である。
*2の倍数判定法、7の倍数判定法、27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は378の倍数である。
*8の倍数判定法、9の倍数判定法、11の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は792の倍数である。

## 出典

## 参考文献
* 
* 
* 

## 関連項目
*倍
*倍数詞
*公倍数
*最小公倍数
*偶数
*約数
*倍数比例の法則
*倍数性