正準変数

**正準変数**(せいじゅんへんすう、)とは、ハミルトン形式の解析力学において、物体の運動を記述する基本変数として用いられる一般化座標と一般化運動量の組をいう。しばしば一般化座標は文字  、一般化運動量は  で表される。正準（カノニカル、）という語は標準的、慣例的という意味を表す。ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって導入された正準変数による形式に正準（）という語を充てたのは、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビである。

ニュートン力学やラグランジュ力学においては、基本変数が一般化座標  とその時間微分である一般化速度  であったが、ハミルトン力学においては、一般化座標と一般化運動量が用いられる。ラグランジアン は一般化座標、一般化速度、時間の関数である。ここで  にルジャンドル変換
:H=p\dot{q}-L
を施すことで一般化座標、一般化運動量、時間を変数とする関数ハミルトニアンが得られ、正準方程式
:\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}
:\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}
が得られる。

## 概要
一般化座標と正準共役な一般化運動量 の組による個の変数
を系の状態を指定する独立な変数と見なしたときに、を正準変数という。このとき、一般化座標  を正準座標、一般化運動量  を正準運動量とも呼ぶ。正準変数を座標とする次元の空間を相空間という。系の状態は相空間上の1点で指定される。ハミルトニアンをとするとき、物体の運動を記述する運動方程式は

:\dot{q}^i(t)=\frac{\partial H}{\partial p_i}
:\dot{p}_i(t)=-\frac{\partial H}{\partial q^i}

で与えられる。但し、ドット記号は時間微分を表す。この方程式をハミルトンの正準方程式という。この正準方程式で時間発展が定まる力学系を自由度のハミルトン力学系、またはハミルトン系という。ハミルトン力学系での系の時間発展は相空間上の軌道で与えられる。

個の変数 を

:(z^1,\cdots, z^n, z^{n+1},\cdots, z^{2n}):=(q^1, \cdots, q^n, p_1, \cdots, p_n) 

で定義すると正準変数をまとめて、で表記することができる。列ベクトルでの表記を とすると、正準方程式は

:\dot{\boldsymbol{z}}(t)= \Omega \nabla H(\boldsymbol{z}(t)) 

となる。ここでははナブラ演算子である。は

:
\Omega=\begin{pmatrix}
0_n    & I_n \\
-I_n & 0_n
\end{pmatrix}

で定義される行列である。内のは 次の零行列、は 次の単位行列である。

## ポアソン括弧

相空間上の関数、に対し

:
\{f,g\}
:=\sum_{i=1}^n \Big(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}
 - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big)


で定義されるをポアソン括弧という。正準方程式による時間発展に対し、の時間変化は

:\frac{d}{dt}f(q(t),p(t),t)=\frac{ \partial }{\partial t}f(q(t),p(t),t) +\{ f, H\}

とハミルトニアン  とのポアソン括弧で表される。特に正準変数の時間発展を記述する正準方程式は

:\dot{q}_i(t) = \{ q_i, H\}
:\dot{p}_i(t) = \{ p_i, H\}

となる。
正準変数をまとめた表記と行列を用いるとポアソン括弧は

:\{f,g\}=\sum_{i,j} \omega_{ij} \frac{\partial f}{\partial z_i}\frac{\partial g}{\partial z_j}

となる。

## 具体例
### 荷電粒子の運動
電荷量をとする質量の荷電粒子の電磁場中における運動を考える。3次元空間での粒子の位置座標を一般化座標にとる。スカラーポテンシャルを、ベクトルポテンシャルをとすると、荷電粒子のラグランジアンは、

:
L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\dot{x}},t)=\frac{1}{2}m \boldsymbol{\dot{x}}^2 -e \phi(\boldsymbol{x},t)+e \boldsymbol{\dot{x}}\cdot \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)


で与えられる。ここでに正準共役な運動量は

:p_x :=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m \dot{x} +e A_1 (\boldsymbol{x},t)
:p_y :=\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=m \dot{y} +e A_2 (\boldsymbol{x},t)
:p_z :=\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}=m \dot{z} +e A_3 (\boldsymbol{x},t)

である。これをベクトルで表記すると

:\boldsymbol{p}=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\dot{x}}}=m \boldsymbol{\dot{x}} +e \boldsymbol{A} (\boldsymbol{x},t)

となる。ハミルトニアンは

:
\begin{align}
H(\boldsymbol{x} ,\boldsymbol{p},t)
&=\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{\dot{x}}-L \\
&=\frac{1}{2m} \bigl ( \boldsymbol{p}-e\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t) \bigr )^2 +e \phi(\boldsymbol{x},t)
\end{align}


である。

### 中心力ポテンシャルの下での運動
距離のみに依存する中心力ポテンシャルの下での質量の粒子の運動を考える。3次元空間での粒子の位置の極座標表示をとし、極座標を一般化座標にとる。このとき、粒子のラグランジアンは

: L(r, \theta, \phi,\dot{r}, \dot{\theta}, \dot{\phi})= \frac{1}{2}m \bigl ( \dot{r}^2 +r^2 \dot{\theta}^2+r^2 \sin^2{\theta}\,\dot{\phi}^2 \bigr )-V(r) 

で与えられる。に正準共役な運動量は

: p_r:= \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m \dot{r} 
: p_{\theta}:= \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=m r^2 \dot{\theta} 
: p_{\phi}:= \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}=m r^2 \sin^2{\theta} \, \dot{\phi} 

である。ハミルトニアンは

: 
\begin{align}
H(r, \theta, \phi,p_r, p_\theta, p_\phi)
&=p_r \dot{r}+p_{\theta} \dot{\theta}+p_{\phi} \dot{\phi}-L \\
&= \frac{p_r^{\, 2}}{2m}+\frac{p_{\theta}^{\, 2}}{2mr^2}+\frac{p_{\phi}^{\, 2}}{2mr^2\sin^2{\theta}}+V(r) 
\end{align}


である。

## 脚注
### 出典

## 文献
### 論文
*, in

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### 書籍
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## 関連項目
*ハミルトン力学
*ハミルトニアン
*正準変換