純粋数学

**純粋数学**（じゅんすいすうがく、英：Pure mathematics）とは、数学の外部でのいかなる応用からも独立に、数学的概念を研究する分野である。これらの概念は現実世界の関心から生じうるし、その成果がのちに実務的応用に役立つこともあるが、純粋数学者の主たる動機はそのような応用ではない。むしろ、基本原理から論理的帰結を導き尽くすことの知的挑戦と審美的魅力に惹かれるのである。

純粋数学は少なくとも古代ギリシア以来の営みだが、1900年頃、直観に反する性質をもつ理論（非ユークリッド幾何学やゲオルク・カントールの無限集合論など）の導入や、見かけ上の逆説（どこでも微分不可能な連続関数、ラッセルのパラドックスなど）の発見を経て、この概念がさらに精緻化された。これにより、数学的厳密性の概念を刷新し、公理的方法を体系的に用いて数学全体を書き換える必要が生じた。こうして多くの数学者が、それ自体としての数学、すなわち純粋数学へと関心を集中させるに至った。

それでも、ほとんどの数学理論は、現実世界や、より具体的（抽象度の低い）数学理論から生じる問題に動機づけられ続けた。また、当初は全くの純粋数学に見えた多くの理論が、最終的には主として物理学や計算機科学などの応用分野で用いられるようになった。よく知られた初期の例としては、アイザック・ニュートンが万有引力の法則から、惑星が円錐曲線（古代にアポロニウスが研究した幾何学的曲線）の軌道を描くことを示したことが挙げられる。別の例としては、インターネット通信の保護に広く用いられるRSA暗号方式の基盤である大きな整数の因数分解問題がある。

したがって今日では、純粋数学と応用数学の区別は、数学を厳密に分割する線引きというよりも、哲学的観点や数学者の嗜好に関わる問題とみなされることが多い。

## 歴史
### 古代ギリシア
古代ギリシアの数学者たちは、純粋数学と応用数学を区別した最初期の人々に数えられる。プラトンは、「アリスマティック（今日の数論）」と「ロジスティック（今日の算術）」の隔たりを形成するのに寄与した。プラトンはロジスティックを隊列を整えるために必要として、商人や軍人にふさわしいものとし、アリスマティックを「生成変化の海から立ち上がり、真なる有を捉えねばならない」ゆえに哲学者にふさわしいものと考えた。

エウクレイデスは、幾何学の研究は何の役に立つのかと問う学生に対し、奴隷に3ペンスを与えるよう命じ、「学んだことから利益を得ねば気が済まぬらしい」と言ったと伝えられる。ペルガのアポロニウスは、『円錐曲線論』第4巻のいくつかの定理の有用性について問われ、次のように述べている。

さらに、第5巻序文では、円錐曲線は「それ自体のために研究するに値する」領域の一つであると論じている。

### 19世紀
ケンブリッジ大学の「サドレリアン純粋数学教授職」という職名に、純粋数学という語は刻まれている（教授職としては19世紀半ばに設置）。純粋数学を独立の分野とする考えは、この頃に現れた可能性がある。カール・フリードリヒ・ガウス（1777–1885）の世代は、純粋と応用の間に大仰な区別を設けなかった。だがその後、専門分化と職業化（とくにカール・ワイエルシュトラス流の数学解析のアプローチ）によって、その裂け目はいっそう明瞭になっていった。

### 20世紀
20世紀初頭、数学者たちは公理的方法を採用し、ダフィット・ヒルベルトの範例から強い影響を受けた。バートランド・ラッセルが提案した、命題を量化子構造で表すという純粋数学の論理的定式化は、数学の大部分が公理化され厳密な証明の単純な基準に服するようになるにつれて、いっそうもっともらしく思われるようになった。

ニコラ・ブルバキの立場に帰せられる見解によれば、純粋数学とは「証明されたもの」である。こうして「純粋数学者」は訓練によって到達可能な職業として認知されるに至った。また、純粋数学が工学教育において有用であるとする主張もある。いわく：

## 一般性と抽象化
純粋数学の中心概念の一つは一般性の理念であり、純粋数学はしばしば一般性が増大していく傾向を示す。一般性の利用と利点には、次のようなものがある。

*定理や数学的構造の一般化は、定理や構造の理解をより深めうる。
*一般性によって記述を簡素化でき、より短く追いやすい証明や議論になる。
*一般性を用いれば重複する労力を回避できる。すなわち、個別ケースをそれぞれ証明する代わりに一般結果を示したり、他分野の結果を活用できる。
*一般性は数学の異分野間の連関を促進する。とりわけ圏論は、さまざまな数学分野に現れる構造の共通性を探究することに専心する領域である。

一般性が直観に与える影響は、題材にも、個々人の嗜好や学習スタイルにも依存する。一般性はしばしば直観の妨げと見なされるが、すでに直観を持つ題材との類比を与えるときには、むしろ直観の助けにもなり得る。

一般性の代表例として、エルランゲン・プログラムがある。これは幾何学を、ある空間とそれに作用する変換群の研究として捉え直すことで、非ユークリッド幾何学に加え、トポロジーやその他の幾何の諸分野を包摂する拡張を行った。数の研究（学部初年次では「代数学」と呼ばれる）は、より進んだ段階では抽象代数学へと広がり、関数の研究（初年次では「微積分」）は、より進んだ段階で解析学や関数解析となる。これら、より抽象的な各分野には多くの下位専門があり、純粋数学と応用数学の諸領域の間には多くの接点が存在する。20世紀半ばには抽象化の急速な進展が見られた。

しかし実際には、こうした展開は物理学からの乖離を招き、とりわけ1950年から1983年にかけて顕著であった。後に、例えばウラジーミル・アーノルドはこれを「ヒルベルト過多、ポアンカレ不足」として批判した。問題はなお決着していないように見える。弦理論は抽象化の方向に引っ張る一方で、離散数学は証明へと引き戻す力を及ぼしている。

## 純粋数学と応用数学
数学者たちは、純粋数学と応用数学の区別について常にさまざまな見解を持ってきた。この論争の近代的で有名（だがおそらく誤解も多い）な例の一つが、G・H・ハーディの1940年の随想 『ある数学者の生涯と弁明』 に見られる。

ハーディは応用数学を醜く退屈なものと見なしていた、というのが広く信じられている。確かにハーディは、しばしば絵画や詩になぞらえつつ純粋数学を好んだが、彼にとって純粋と応用の区別は、応用数学が物理的真理を数学の枠組みで表現しようとするのに対し、純粋数学は物理世界から独立した真理を表現する、という点にあった。またハーディは数学の内で別の区別を設け、彼の言う「本物の数学」（「恒久的な審美的価値をもつ」）と、実用をもつ「退屈で初等的な数学」とを分けた。

ハーディはアルベルト・アインシュタインやポール・ディラックのような一部の物理学者を本物の数学者に数えたが、『弁明』執筆時点では一般相対論や量子力学を無用と見なしており、そのために実用を持つのは退屈で初等的であるという見解を保持し得たのである（アインシュタインやディラックの理論は無用のため）。さらにハーディは短く、行列論や群論の物理への応用が予期せず生じたのと同様に、いつの日か美しい「本物の」数学のある種が有用になる時が来るかもしれない、と認めてもいる。

アメリカの数学者アンディ・マジッドは次のような示唆的な見解を示している。

フリードリヒ・エンゲルスは1878年の著作『反デューリング論』で次のように論じた。「純粋数学において精神が自らの創造物や想像だけを扱うというのはまったく真実ではない。数や図形の概念は、現実世界以外のどこからも発明されたのではない」。またこうも述べる。「長方形の一辺のまわりの回転から円柱の形を導出するという考えに到達する以前に、形は不完全であれ、実在の長方形や円柱が幾つも検討されていなければならなかった。他のすべての科学と同様、数学は人間の必要から生じた……しかし、あらゆる思考領域において、発達のある段階にくると、現実世界から抽象された法則が現実世界から遊離し、外から与えられた独立の法則として、世界が従うべきものとして据えられるのである。」

## 関連項目
*応用数学
*数理科学

## 脚注