常微分方程式

**常微分方程式**（じょうびぶんほうていしき、）とは、微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数  の未知関数  に対して、（既知の）関数  を用いて

: F(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots,x^{(n)}(t))=0 \quad \left(x^{(k)}(t) := \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}t^k}x(t),\,\mathrm{for}~\,k=0,1,\dots,n\right)

という形にできるような関数方程式を常微分方程式と呼ぶ。 は未知関数  の  階の導関数である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトルの記法を用いて表せば次のようになる。
:\boldsymbol{F}(t,\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{x}^{(1)}(t),\dots,\boldsymbol{x}^{(n)}(t)) = \boldsymbol{0} \quad
\left(\boldsymbol{x}^{(k)}(t) := \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}t^k}\boldsymbol{x}(t),\,\mathrm{for}~\,k=0,1,\dots,n\right).
ここで  は
:\begin{align}
&\boldsymbol{F}(t,\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{x}^{(1)}(t),\dots,\boldsymbol{x}^{(n)}(t))
=\left(F_1(t,\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{x}^{(1)}(t),\dots,\boldsymbol{x}^{(n)}(t)),\dots,F_r(t,\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{x}^{(1)}(t),\dots,\boldsymbol{x}^{(n)}(t))\right),\\
&\boldsymbol{x}(t)=\left(x_1(t),\dots,x_m(t)\right)
\end{align}
を表す。この方程式系はしばしば連立常微分方程式と呼ばれる。

また、多くの  階常微分方程式は次のような形に書くことができる。

: x^{(n)}(t)=f(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots,x^{(n-1)}(t)) \quad \left(x^{(k)}(t) := \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}t^k}x(t),\,\mathrm{for}~\,k=0,1,\dots,n\right).

常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。

## 線型常微分方程式

常微分方程式が
:\frac{d^n x}{dt^n} + a_{n-1}(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_0(t)x = b(t)
の形に表されるとき線型であるという。ただし、 および  は を変数とする既知の関数である。 の方程式は特に**斉次** () な方程式と呼ばれ、そうでない方程式は**非斉次** () な方程式と呼ばれる。

## 非線型常微分方程式
線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、ローレンツ方程式やパンルヴェ方程式などがある。一方、求積法で解ける形の非線型方程式も数多く知られている。
以下に例を挙げておく 。

### 1階非線型常微分方程式

:y=x\frac{\;dy\;}{dx}+x^{n}f\Bigl(\frac{\;dy\;}{dx}\Bigr).
              

:y=x\frac{\;dy\;}{dx}+y^{n}f\Bigl(\frac{\;dy\;}{dx}\Bigr).
              

ここに、 は実数であり、 は既知関数である。
:\frac{x^{n}}\right).　  は実数，ただし，， は既知関数。
            

:\frac{{d}y}{{d}x}=\frac{\,{d}A(x)\,}{{d}x}F\!\left(\frac{y}{A(x)}\right).　 ， は既知関数。
           

:\frac\Bigr).　  は実数，ただし，， は既知関数。

:x\frac{{d}^{\,2}y}{{d}x^2}+(1+f(y))\frac{{d}y}{{d}x}=0.　  () は既知関数。
       

:x\frac{{d}^{\,2}y}{{d}x^2}+(\alpha + \gamma{}y^n)\frac{{d}y}{{d}x}=0.　　&alpha;, &gamma;,  は実数．ただし，。
           

:\frac\right).　　 は既知関数。\alpha, \beta, \gamma, k, \ell, m は実数．ただし，\gamma\ell - \beta{m}=0。
 

## 連立常微分方程式
連立常微分方程式（simultaneous ordinary differential equations）は、
1 つの独立変数  と複数の未知関数  およびその導関数により構成される複数の方程式の組である。例えば、比較的簡単な例として、 の 2 つの未知関数を  とする。それらの一階の導関数を  として、

:F\left(t,x_1,x_2,x'_1(t), x'_2(t)\right)=0,
:G\left(t,x_1,x_2,x'_1(t), x'_2(t)\right)=0

は一つの連立常微分方程式である。ただし、 は既知関数である。

一般の連立常微分方程式は、1 つの独立変数と  個の未知関数およびその  階の導関数を含み、複数個の**常微分方程式**の組になる。

: F_{k}\left(t;x_1,\dots,x_m;x^{(1)}_1,\dots,x^{(1)}_m;\dots;x^{(n)}_1,\dots,x^{(n)}_m\right)=0, \qquad k=1,2,\dots,r.

ここで  は、未知関数  の  階の導関数である ()。
なお、連立常微分方程式を常微分方程式系（）と呼ぶこともある。
これら  個の**常微分方程式**すべてを満足する関数の組  をその解という。

具体的な例を一つ示す。独立変数  の未知関数を  とし、 を定数とすると、

: \frac{\,dy\,}{dx}=az+b,
: \frac{dz}{\,dx\,}=cy+d

は、一階の連立常微分方程式の例である。一般的な連立常微分方程式は、求積法で解くのは困難であるが、一般性を含む連立常微分方程式の例として、求積法で解ける連立常微分方程式が多少知られている。
一例を挙げておく。
:\begin{cases}
\; \, \displaystyle  F \! \left(y,  \; \; \frac{\,dz\,}{dx}\right)=0,\\[3ex]
\; \, \displaystyle  G \! \left(z, \; \; \frac{\,dw\,}{dx}\right)=0,\\[3ex]
\; \, \displaystyle  H \! \left(w, \; \; \frac{\,dy\,}{dx}\cdot\left(\frac{\,dw\,}{dx}\right)^{\!\! -1}\;\right)=0.
\end{cases}
 は独立変数であり、 は  を変数とする未知関数である。また、 を既知関数とする。

## 出典

## 関連文献
### 和書
* 藤原松三郎：「常微分方程式論」、岩波書店 (1930年)．
** 藤原松三郎「常微分方程式論」岩波書店 (1930年) の現代仮名遣い版
* 吉江琢児：「微分方程式論」、共立出版 (1947年).
* フォーサイス(著)、粟野保、末岡清市、石津武彦(共訳)：「微分方程式」上巻、朝倉書店 (1947年).
* 福原満州雄：「微分方程式 上」、朝倉書店 (初版：1951年3月10日)。復刊版はISBN 4-254-11691-8 (2004年12月1日)。
* 福原満州雄：「微分方程式 下」、朝倉書店（初版：1952年6月25日）。復刊版はISBN 4-254-11692-6 (2004年12月1日)。
* 占部実：「微分方程式」、共立出版 (基礎数学講座8) (1955年11月20日).
* 齋藤利弥：「常微分方程式論」、朝倉書店(近代数学講座5) (1967年8月25日).
* コーエン、高野一夫（訳）：「コーエンの微分方程式：リー群論の応用」、森北出版（1971年5月15日）。POD版はISBN 978-4-627-07079-0 (2011年6月）.
* 吉田耕作：「微分方程式の解法 第2版」、岩波書店（岩波全書189）（1978年2月23日）。初版は1954年4月28日。
* 福原満洲雄：「常微分方程式 第2版」、岩波書店(岩波全書 116) (1980年5月23日). POD版はISBN 978-4-00-029015-9（2000年4月).
* レフ・セミョーノヴィチ・ポントリャーギン、千葉克裕(訳)：「常微分方程式 新版」、共立出版 (1981年2月).
* 高野恭一：「常微分方程式」、朝倉書店、ISBN 978-4-25411436-2 (初版1994年2月20日). 復刊版はISBN 978-4-254-11844-5 (2019年12月).
* 伊藤秀一：「常微分方程式と解析力学」、共立出版（共立講座 21世紀の数学 第11巻）、, （1998年1月）.
* J.J.グレイ：「リーマンからポアンカレにいたる 線型微分方程式と群論」、シュプリンガ－フェアラーク東京、ISBN 4-431-70938-X（2002年12月10日）.
* 柴田正和：「常微分方程式の局所漸近解析」、森北出版 （2010年8月）.
* 大谷光春：「常微分方程式論」、サイエンス社 (2011年).
* 坂井秀隆：「常微分方程式」、東京大学出版会、ISBN 978-4-13-062960-7（2015年8月24日）.
* 岩見真吾、佐藤佳、竹内康博 ：「ウイルス感染と常微分方程式」、共立出版（シリーズ: 現象を解明する数学 / 三村昌泰, 竹内康博, 森田善久 編集）（2017年4月).

### 洋書
* Hartman, Philip (2002) [1964], *Ordinary differential equations, Classics in Applied Mathematics*, 38, Philadelphia: :en:Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-510-1, MR 1929104
* Ince, Edward L. (1944) [1926], *Ordinary Differential Equations*, :en:Dover Publications, New York, ISBN 978-0-486-60349-0, MR 0010757
* Witold Hurewicz, *Lectures on Ordinary Differential Equations*, :en:Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8
* Teschl, Gerald (2012). *Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems*. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
* Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, *Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations* (2nd ed.), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
* Grimshaw, R. (2017). *Nonlinear ordinary differential equations*. Routledge.
* Arnolʹd, V. I., *Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations*. :en:Springer Science & Business Media.
* Arnolʹd, V. I., *Ordinary differential equations*. Springer.
* Wolfgang Walter, *Ordinary differential equations*. Springer.
* Logemann, H., & Ryan, E. P. (2014). *Ordinary differential equations: Analysis, qualitative theory and control*. Springer.
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* Chicone, C. (2006). *Ordinary differential equations with applications*. Springer Science & Business Media.
* Jeremy J. Gray: *Linear Differential Equations and Group Theory from Riemann to Poincaré* (2nd Ed.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4773-5 (2008).
* Fritz Schwarz: *Algorithmic Lie Theory for Solving Ordinary Differential Equations*, Chapman & Hall, ISBN 1-58488-889-X (2008).

## 関連項目

*媒介変数
*変数分離
*求積法
*複雑系
### 方程式
*パンルヴェ方程式
*リッカチ方程式
*フックス型微分方程式
*ガウスの微分方程式
*ベッセル関数
*ルジャンドルの微分方程式
*微分方程式
*線型微分方程式
*複素微分方程式
*偏微分方程式

### 数値計算
*NAG数値計算ライブラリ
*硬い方程式
*常微分方程式の数値解法
**ルンゲ・クッタ法
**線型多段法
**狙い撃ち法