確率の公理

**コルモゴロフの公理**は、1933年にアンドレイ・コルモゴロフが導入した、確率論の基礎となる公理である。これらの公理は依然として確率論の基盤となっており、数学、物理科学、および現実世界の確率の事例の理解にとりわけ重要である。ベイズ確率を形式化する代替的アプローチは、によって与えられる。

## コルモゴロフによる公理系
まず、コルモゴロフ自身による公理系を解説し、次節で現代の定義について解説する。

\Omega は、根元事象と呼ばれる要素の集合、\mathfrak{F} は \Omega の部分集合から構成される族であり、その要素は事象と呼ばれる。P は \mathfrak{F} 上の集合関数とする。以下の5公理を満たす系(\Omega, \mathfrak{F}, P) を確率空間と呼ぶ。
:1. \mathfrak{F} は有限個の要素による集合和、集合差、共通部分について閉じている。
:2. \mathfrak{F} は \Omega を含む。すなわち \Omega \in \mathfrak{F}.
:3. P は非負の実数値をとる。すなわち、P:\mathfrak{F} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}
:4. P(\Omega) = 1.
:5. A, B \in \mathfrak{F} が互いに素な集合 (Disjoint sets) ならば、P(A \cup B) =P(A) + P(B).（有限加法性）

さらに \Omega が無限集合の場合には次の連続性の公理を導入する。
:6. \mathfrak{F} の減少列 A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots が、\textstyle\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n =\emptyset を満たすならば、\lim_{n\to\infty} P(A_n) =0.

公理5と6より、次の一般化加法定理（完全加法牲）が導かれる。

;一般化加法定理
:集合列 \{ A_n \}_{n\in \mathbb{N}} は、互いに素であり、\textstyle\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathfrak{F} ならば、
:: P\bigl( \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i \bigr) = \sum\limits_{i=1}^\infty P(A_i).

一般化加法定理を満たす P は、\mathfrak{F} が生成する完全加法族（σ-集合体）上の非負かつ完全加法的な集合関数に一意的に拡張可能である。

## 公理
以上の議論をまとめて、現代では以下のように要約する。

\Omega は任意の集合、\mathfrak{F} は \Omega 上の完全加法族（σ-集合体）（あるいは有限加法族）、P は \mathfrak{F} 上の集合関数とする。P が次の3条件を満たすとき、P は (\Omega, \mathfrak{F}) 上の確率測度となり、\Omega は標本空間、\mathfrak{F} は事象空間と呼ばれる。

### 第一の公理
事象の確率は非負の実数を取る。
: P: \mathfrak{F} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}
ここで \mathfrak{F} は事象空間である。従って確率測度 P は、測度の中でも特に、有限値しか取らない。負の確率を取る理論では、第一の公理は緩和される。

### 第二の公理
これは、の仮定である。すなわち、標本空間全体において、少なくとも1つの根元事象が起こる確率は1となる。
: P(\Omega) = 1.

### 第三の公理
これは、σ-加法性の仮定である。互いに素な集合 (Disjoint sets) の任意の可算個の列（と同義）E_1, E_2, \cdots \in \mathfrak{F} は、下記を満たす。
:: P \Bigl( \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i \Big) = \sum\limits_{i=1}^\infty P(E_i).
単に有限加法的な確率空間を考えている研究者もおり、この場合、\mathfrak{F} は完全加法族ではなく有限加法族であることだけが要求される。一般に、は第三の公理を緩和する。

## 結果
コルモゴロフの公理から、確率を研究する上でその他の有用な法則を演繹することができる。これらの法則の証明は、第三の公理の力と、残りの2つの公理との相互作用を深い洞察をもって描き出す手順となる。即座に導ける4つの系とその証明を以下に示そう。

### 単調性
: A\subseteq B \Longrightarrow P(A)\leq P(B).
AがBの部分集合の場合、Aの確率はBの確率以下となる。

#### ''単調性の証明''
単調性を作るため、E_1=A, E_2=B\setminus A とする。ただし、A\subseteq Bとし、i\geq 3 に対して E_i=\varnothing とする。集合列  \{ E_i \}_{i \in \mathbb{N}} は互いに素であり、\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i=B となることは自明である。したがって、第三の公理から次が得られる。
: P(A)+P(B\setminus A)+\sum_{i=3}^\infty P(E_i)=P(B).
第一の公理により、この左辺の各項は非負であり、有限値 P(B) に収束するため、P(A)\leq P(B) および P(\varnothing)=0 が得られる。

### 空集合の確率
: P(\varnothing)=0.
事象が非可算の場合において、逆に確率が0でも事象が \varnothing とは限らない。

#### ''空集合の確率の証明''
1つ前の証明で、P(\varnothing)=0 は示されている。ただし、この結論は背理法で示される。
:P(B)=P(A)+P(B\setminus A)+\sum_{i=3}^\infty P(E_i)
は収束するから、P(\varnothing)=:a とおくと、
:\sum_{i=3}^\infty P(E_i)=\sum_{i=3}^\infty P(\varnothing)=\sum_{i=3}^\infty a = \begin{cases}
 0      &(a=0) \\
 \infty &(a>0)
\end{cases}
も収束する。a>0 と仮定すると、右辺は発散し、矛盾するから、a= P(\varnothing) =0 となる。

### 余事象の法則
P\left(A^{c}\right) = P(\Omega\setminus A) = 1 - P(A)

#### ''余事象の法則の証明''
A, A^c は排反であり、A \cup A^c = \Omega
 である。よって、
:P(A \cup A^c)=P(A)+P(A^c) *（公理3に従う）*
そして P(A \cup A^c)=P(\Omega)=1*（公理2に従う）*
: \Rightarrow P(A)+P(A^c)=1
:\therefore P(A^c)=1-P(A)

### 確率の値域
単調性から即座に次が従う。
: 0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.

#### ''有界性の証明''
\varnothing \subset E \subset \Omega に単調性の性質を使うと、P(\varnothing)=0 より、
:0\leq P(E)\leq 1

## その他の性質
もう一つの重要な性質は下記である。
: P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).
これは、確率の加法定理と呼ばれる。つまり*、AまたはBが*起こる確率は*、Aが*起こる確率と*Bが*起こる確率の和から*AとB*の両方が起こる確率を引いたものである。この証明は次の通りである。

まず、
: P(A\cup B) = P(A) + P(B\setminus A)*（公理3による）*
であるから、
: P(A \cup B) = P(A) + P(B\setminus (A \cap B)) （B \setminus A = B\setminus (A \cap B) であるため）
また、
: P(B) = P(B\setminus (A \cap B)) + P(A \cap B)
P(B\setminus (A \cap B)) を消去すれば、求める結果が得られる。

加法定理の任意の数の集合への拡張は、包除原理である。

また、加法定理においてBを*A*の余事象*A*とすると
: P\left(A^{c}\right) = P(\Omega\setminus A) = 1 - P(A)
つまり、事象が発生し*ない*確率（つまり余事象）は、1から発生する確率を引いたものである。

## 簡単な例：コイントス
一回のコイントスを考え、コインが表 (H) または裏 (T) のいずれかで着地するものとする（両方は起きえない）。コインが公正であるかどうかに関して仮定はしない。

この場合、下記のように定義できよう。
: \Omega = \{H,T\}
: F = \{\varnothing, \{H\}, \{T\}, \{H,T\}\}
コルモゴロフの公理から次が分かる。
: P(\varnothing) = 0
表でも裏でもない確率は0となる。
: P(\{H,T\}^c) = 0
表か裏か*いずれか*の確率は、1となる。
: P(\{H\}) + P(\{T\}) = 1
また、上記の通り、表の確率と裏の確率の合計は1である。

## 参照項目
* ボレル集合
* 完全加法族
* 集合論
* 条件付き確率
* 

## 注釈

## 出典

## 参考文献
* 
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* 
* Mizarシステムにおける確率の正式な定義、および正式に証明されている[定理の一覧](http://mmlquery.mizar.org/cgi-bin/mmlquery/emacs_search?input=(symbol+Probability+%7C+notation+%7C+constructor+%7C+occur+%7C+th)+ordered+by+number+of+ref)。