定常波

**定常波**（ていじょうは、**standing wave**または**stationary wave**）とは、波長・周期(振動数または周波数)・振幅・速さ(速度の絶対値)が同じで進行方向が互いに逆向きの2つの波が重なり合うことによってできる、波形が進行せずその場に止まって振動しているようにみえる波動のことである。**定在波**(ていざいは)ともいう。

## 特徴
#各点は同じ位相・周期で振動する。そのため全ての点の変位が0になる時刻および全ての点の変位が最大になる時刻が存在する。
#媒質中の各点はそれぞれの位置に応じた振幅で振動する。
#全く振動せず振幅が0になる点および振幅が最大になり変位が最も揺れ動く点が現れる。前者を**節**(*node*)、後者を**腹**(*anti-node*)という。重なり合う2つの波の波長を*λ*とすると、節および腹はそれぞれ*λ/2*ごとに現れる。
#腹における振幅は元の波の2倍になる。
#各点の振動の周期は元の波と同じである。

## 正弦定常波
波長・周期・振幅・速さが等しく互いに逆向きの2つの正弦波を考える。
*y_1(x,t)=A\sin\left\{\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)+\delta_1\right\}=A\sin\left\{2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)+\delta_1\right\}=A\sin(\omega t-kx+\delta_1)
*y_2(x,t)=A\sin\left\{\omega\left(t+\frac{x}{v}\right)+\delta_2\right\}=A\sin\left\{2\pi\left(\frac{t}{T}+\frac{x}{\lambda}\right)+\delta_2\right\}=A\sin(\omega t+kx+\delta_2)
ただし*A*は振幅、*ω*は角周波数、*v*は伝播速度、*δ<sub>1</sub>*,*δ<sub>2</sub>*はそれぞれの初期位相で*T*は周期、*λ*は波長、*k*は波数で*x*,*t*は媒質上の位置および時刻である。

この節では、これら2つの正弦波によってつくられる正弦定常波

について述べる。
### 特徴
#各点は同じ位相・周期で単振動する。そのため全ての点の変位が0になる時刻*t<sub>min</sub>*および全ての点の変位が最大になる時刻*t<sub>max</sub>*が存在する。
#媒質中の各点はそれぞれの位置に応じた振幅*A<sub>x</sub>*で振動する。
#節*x<sub>min</sub>*と腹*x<sub>max</sub>*はそれぞれ一定の間隔*Δx=λ/2*ごとに現れる。
#隣り合う節と腹の間隔も一定値となりその値は*Δx'=λ/4*となる。
#腹における振幅*A<sub>max</sub>*は*2A*となる。
#各点の単振動の周期*τ*は*T*となる。

*t<sub>min</sub>*、*t<sub>max</sub>*、*x<sub>min</sub>*、*x<sub>max</sub>*、*Δx*、*Δx*'、*A<sub>x</sub>*、*A<sub>max</sub>*、*τ*はそれぞれ以下の式で表される。

:t _{\mathrm{min}}=\frac{nT}{2}-\frac{\delta_1+\delta_2}{2\omega}
:t _{\mathrm{max}}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{T}{2}-\frac{\delta_1+\delta_2}{2\omega}
:x _{\mathrm{min}}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda}{2}+\frac{\delta_1-\delta_2}{2k}
:x _{\mathrm{max}}=\frac{n\lambda}{2}+\frac{\delta_1-\delta_2}{2k}
:\mathit{\Delta}x=\frac{\lambda}{2}
:\mathit{\Delta}x'=\frac{\lambda}{4}
:A _{\mathrm{max}}=2A
:\tau=T

正弦定常波の様子は下図のようになる。ただし青線が定常波、赤線と緑線は合成前の2つの進行波である。

### 導出
上記の特徴は以下のように証明できる。

三角関数の和積公式を用いると
:\begin{align}y&=A\sin(\omega t-kx+\delta_1)+A\sin(\omega t+kx+\delta_2)\\
&=2A\sin\left(\omega t+\dfrac{\delta_1+\delta_2}{2}\right)\cos\left(kx-\dfrac{\delta_1-\delta_2}{2}\right)
\end{align}

上式で*x*を固定して*y*を位置*x*における変位*y(t)*としてみてみよう。このとき

とすると、*y(t)*は**振幅''A<sub>x</sub>''で単振動をしている**ことがわかる。(次式)

この単振動の位相はxによらないので**各点の単振動は同位相である**ことがわかる。また、この単振動の角周波数は*ω=2π/T*なので、この単振動の周期*τ*は

次に*t*を固定して*y*を時刻*t*における波形*y(x)*としてみてみよう。

とすると、*y(x)*は

で表される波形を*y*軸方向に*A<sub>t</sub>*倍したもの

であることがわかる。したがって**波形は''x''軸方向に進行しない**ことがわかる。そのため**節や腹が現れる**。

節における振幅*A<sub>max</sub>*は*A<sub>x</sub>*の最大値であるので
=\mbox{max}\left\{A_x\right\}=\mbox{max}\left\{2A\cos\left(kx-\frac{\delta_1-\delta_2}{2}\right)\right\}=2A}}

また、*t<sub>min</sub>*、*t<sub>max</sub>*、*x<sub>min</sub>*、*x<sub>max</sub>*はそれぞれ以下の方程式を満たす。

:A_{t _{\mathrm{min}}}=2A\sin\left(\omega t _{\mathrm{min}}+\dfrac{\delta_1+\delta_2}{2}\right)=0\quad\Longleftrightarrow\quad\omega t _{\mathrm{min}}+\dfrac{\delta_1+\delta_2}{2}=n\pi
:A_{t _{\mathrm{max}}}=2A\sin\left(\omega t _{\mathrm{max}}+\dfrac{\delta_1+\delta_2}{2}\right)=2A\quad\Longleftrightarrow\quad\omega t _{\mathrm{max}}+\dfrac{\delta_1+\delta_2}{2}=\frac{2n+1}{2}\pi
:A_{x _{\mathrm{min}}}=2A\cos\left(kx _{\mathrm{min}}-\frac{\delta_1-\delta_2}{2}\right)=0\quad\Longleftrightarrow\quad kx _{\mathrm{min}}-\frac{\delta_1-\delta_2}{2}=\frac{2n+1}{2}\pi
:A_{x _{\mathrm{max}}}=2A\cos\left(kx _{\mathrm{max}}-\frac{\delta_1-\delta_2}{2}\right)=2A\quad\Longleftrightarrow\quad kx _{\mathrm{max}}-\frac{\delta_1-\delta_2}{2}=n\pi

ただしnは任意の整数である。

これらを解くと

:t _{\mathrm{min}}=\frac{n\pi}{\omega}-\frac{\delta_1+\delta_2}{2\omega}=\frac{nT}{2}-\frac{\delta_1+\delta_2}{2\omega}
:t _{\mathrm{max}}=\frac{2n+1}{2}\frac{\pi}{\omega}-\frac{\delta_1+\delta_2}{2\omega}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{T}{2}-\frac{\delta_1+\delta_2}{2\omega}
:x _{\mathrm{min}}=\frac{2n+1}{2}\frac{\pi}{k}+\frac{\delta_1-\delta_2}{2k}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda}{2}+\frac{\delta_1-\delta_2}{2k}
:x _{\mathrm{max}}=\frac{n\pi}{k}+\frac{\delta_1-\delta_2}{2k}=\frac{n\lambda}{2}+\frac{\delta_1-\delta_2}{2k}

したがって節と節(腹と腹)の間隔*Δx*は

また、隣り合う節と腹の間隔*Δx*'は
-x _{\mathrm{min}}\right|=\left|\left\{\frac{n\lambda}{2}+\frac{\delta_1-\delta_2}{2k}\right\}-\left\{\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda}{2}+\frac{\delta_1-\delta_2}{2k}\right\}\right|=\frac{\lambda}{4}}}

## 定常波の発生
定常波の原因となる互いに異なる方向に進行する2つの波は、同一の波源から発生していることが多い。なぜなら、同じ振幅で同じ振動数の波源が自然に存在することは稀であるし、あるとしてもその波源から発生する波動が1次元波や平面波でないかぎり、2つの波源からの距離が異なる位置では減衰によって振幅が異なってしまい、定常波が発生しないからである。1つの波源から定常波を発生させる2つの波動が発生する状況には以下のようなものがある。
### 反射波による定常波
波の進行方向に対して垂直な面で波が反射すると、もとの波(**入射波**)と進行方向が逆向きの**反射波**が発生する。この入射波と反射波が合成することにより定常波が発生する。進行方向に対して垂直な面とはすなわち波面のことである。したがって波面が形成される面に反射壁をつくることによって定常波を発生させることができる。

反射を利用すれば1次元波や平面波以外の波でも定常波を生成することができる。たとえば3次元の球面波ならば波源を中心とした球面壁により、同じく3次元の円筒波ならば波源を中心とした円筒面により、2次元の円形波ならば波源を中心とした円形の囲いで定常波をつくることができる。
### 閉曲線上での定常波

弦のような線上で波を発生させると、波源から互いに逆向きの2つの波が発生する。これを閉曲線上で行うとこれら2つの波はその閉曲線を半周した後にぶつかり合い、定常波ができる条件を整える。このとき、閉曲線の長さ*L*が波長*λ*の自然数倍となっていると、位相が各位置で一致するので安定した定常波を得ることができる。すなわち

を満たすような波長*λ<sub>n</sub>*をもつ波の場合のみ定常波ができる。
振動数を*ν*、速さを*c*とすると

となる。したがって

を満たす振動数*ν<sub>n</sub>*を閉曲線上に与えると定常波ができる。この*ν<sub>n</sub>*を**[[固有振動数|固有振動]]**という。

*L*が*λ*の整数倍になっていなければ、位相がずれてしまうので互いに打ち消しあって、定常波は生成されない。

## 定常波による現象

### 共振・共鳴
1次元波または平面波において、進行方向に対して垂直な2つの壁面(端)をつくることにより共振または共鳴とよばれる現象がおきる。この2つの端に挟まれた部分では、一方の端で反射された波が再びもう一方の端で反射される。この繰り返しにより振幅が非常に増幅された定常波ができる。このとき、ある特定の波長をもつ波動の場合のみ安定した定常波を得ることができる。そのため、特定の振動数でのみ振幅の大きな波をつくることができる。この振動数を**固有振動数**という。固有振動数のうち最も小さな振動数の振動を**基本振動**といい、特に音波の場合、**基音**という。この原理は楽器などに利用されている。

共振・共鳴においては、端が節もしくは腹となる。より具体的には、固定端の場合は節、自由端の場合は腹となる。
したがって、固有振動数*ν<sub>n</sub>*は端に挟まれた部分の長さ*L*とある一定の関係式を満たすが、どのような関係式を満たすかは両端の種類(固定端か自由端か)に左右される。

#### 両側固定端・両側自由端の場合

両側とも固定端もしくは自由端の場合、両端とも節となるので定常波を起こす波長*λ<sub>n</sub>*は以下の関係式を満たす。

したがって

#### 片側固定端・自由端の場合

一方の端が固定端、もう一方の端が自由端の場合、両端が節と腹となるので*λ<sub>n</sub>*は以下の関係式を満たす。

したがって

基本振動は*n=1*の場合である。

### 量子条件
ボーアの原子模型において、原子核を周回する電子は原子軌道上に定常波として安定して存在していると考えられている。

ボーアの量子条件は以下の式

(ただし*m<sub>e</sub>*、*v<sub>n</sub>*、*r<sub>n</sub>*、*h*はそれぞれ電子の質量、電子の速さ、軌道半径、プランク定数)

で表されているが、これにド・ブロイ波の式

を応用すると次式が得られる。

この式において*λ<sub>e</sub>*は電子の物質波としての波長である。これは前節で述べた閉曲線上での定常波の式を満たしており、すなわち電子は定常波として原子軌道上に安定して存在できることを意味している。

## 関連項目
*反射
*固有振動数
*共振
*共鳴
*ボーアの原子模型
*定在波比（SWR）
*スタンディングウェーブ現象
*縄跳び - 縄の回転を定常波にすることによって片手を離す「MICリリース」という技がある。