超関数

数学において**超関数**（ちょうかんすう、）は、関数の概念を一般化するもので、いくつかの理論が知られている。

古典的な微積分学では、関数の微分は関数が滑らかであることを要求するため、不連続関数を微分することはできない。また、点電荷のような離散的な物理現象を通常の関数で記述することは困難である。超関数論は、このような古典的な枠組みでは扱えなかった対象を統一的に扱うことを可能にする。超関数の重要な利点として、不連続関数の微分やディラックのデルタ関数のような「特異な」対象を、滑らかな関数と同じ枠組みで扱えることが挙げられる。

超関数の応用範囲は極めて広く、偏微分方程式論、フーリエ解析、信号処理など数学の多くの分野で基本的な道具となっているほか、物理学や工学においても広く利用されている。

超関数の応用例としては主に、不連続関数の微分、デルタ関数、アダマール有限部分積分、緩増加関数のフーリエ変換などが挙げられる。

超関数の起源は演算子法に見ることができるが、直接的には、セルゲイ・ソボレフやローラン・シュヴァルツらの仕事がその始まりである。
1935年にソボレフが、部分積分を形式的に用いて、微分方程式の解の拡張をしたのをはじめ、何人かの数学者によって微分の拡張が行われ始め、1940年代末にはシュワルツがこれらを超関数の理論としてまとめた。1958年に佐藤幹夫が層コホモロジーの理論を応用して、シュワルツらとは別の見地に立った超関数論を組み立てた。超関数論に重要な影響を与えたのは、偏微分方程式や群の表現の理論などからの技術的な要請であった。

## 概要
「超関数」の導入は、ディラックのデルタ関数のような通常の関数の概念では許されない「関数」をもそれを「超関数」として扱うことで通常の関数と統一的に扱うことを可能にし、不連続関数の「微分」や偏微分方程式の「弱解」などに合理的根拠を与えるなど、解析演算の自由度を著しく高めた。

実際に超関数を用いるには、まず通常の関数に対応する要素をもち、かつさらに広い要素にも対処できる一つの数学的表現を定め、それを超関数と定義する。そして例えば関数を微分するなどの演算も対応する超関数の表現に対する操作として定義し直す。

代表的な例として、ヘヴィサイドの階段関数 *H*(*x*)（*x* smooth と特異成分 *F*singular への射影を適当な方法で与えることによって構成することができる。すなわち、超関数 *F*, *G* の積は
# FG=F_{\mathrm{smooth}}\,G_{\mathrm{smooth}}+F_{\mathrm{smooth}}\,G_{\mathrm{singular}}+F_{\mathrm{singular}}\,G_{\mathrm{smooth}}
なる形で与えられる。このような規則を主となる関数空間とその上に作用する作用素空間の両方に適用するのである。こうして定義される乗法は結合性を持つものとなり、符号関数は平方が（座標の原点を含めて）至る所 1 であるような関数となるように定義される。ここで、(1) 式の右辺において特異部分同士の積となる項が**現れない**ことに留意すべきである（このおかげで特にディラックデルタの平方は &delta;(*x*)2 = 0 を満たす）。この定式化は（積を考えない）通常の超関数論を特別の場合として含むものになっているが、構成される環は非可換になる（例えば、符号超関数とデルタ超関数とは反交換的である）。この代数の応用として提案されているものはほとんどなかった。

### 超関数の乗法
**超関数の乗法**の問題は、シュワルツ超関数論の限界であり、非線型問題では深刻になる。

これに対する手法は今日様々提示されているが、最も簡明なものはエゴロフ (Yu. V. Egorov) による超関数の定義に基づくものであろう。別な方法として、コロンボ (J.-F. Colombeau) の構成に基づく結合微分環を構成するものがある（を参照されたい）。これらは、「緩やかな」関数列(有向点族)を「無視できる」関数列で割った商空間、  
:G = M / N
である。ただし、「緩やかな」や「無視できる」は列の添字に関する増加に関して言う。

### コロンボ代数
簡単な例は **N** 上の多項式スケール
: s = \{ a_m:\mathbb{N}\to\mathbb{R},\, n\mapsto n^m ;\; m\in\mathbb{Z} \}
を用いて得られる。このとき、任意の半ノルム代数 (*E*,&thinsp;*P*) に対して、商空間
:G_s(E,P)= \frac{
\{ f\in E^{\mathbb N}\mid\forall p\in P,\exists m\in\mathbb Z:p(f_n)=o(n^m)\}
}{
\{ f\in E^{\mathbb N}\mid\forall p\in P,\forall m\in\mathbb Z:p(f_n)=o(n^m)\}
}
が構成できる。特に、(*E*,&thinsp;*P*) = (**C**, &#x7c;&bull;&#x7c;) であるとき、コロンボの超複素数が得られる（これは「無限大」および「無限小」を含んで、なおも厳密な四則演算が展開できるようなもので、超実数とよく似ている）。また、 (*E*,&thinsp;*P*) = (*C*∞(**R**),&thinsp;{*p**k*}) のときは（ただし、*p**k* は、*k*-階以下の全ての導関数についての、半径 *k* の球体上での値の上限）、コロンボの単純化代数が得られる。

### シュワルツ超関数の埋め込み
この代数にはシュワルツ超関数 *T* ∈ *D' * が、入射
: j(T)=(\phi_n*T)_n+N
を通じてすべて「含まれる」と考えられる。ここで、*は畳み込みであり、
: \phi_n(x)=n\phi(nx)
が成立する。ただしこの入射は、軟化子 &phi;、つまり*C*∞-級で、積分が1で原点 0 における各階の導関数が消える関数、の取り方に依存するという意味で、**標準的でない**。標準的な埋め込みを得るには、添字集合を少し変更して **N** × *D*(**R**) とし、*D*(**R**) 上の適当な（*q* のオーダーを除いてモーメントが消えているような関数の成す）フィルター基を考える必要がある。

### 超関数の層構造
(*E*,&thinsp;*P*) をある位相空間 *X* 上の半ノルム代数の（前）層とすると、*G<sub>s</sub>*(*E*,&thinsp;*P*) もこの性質を持つ。これにより、制限の概念が定義され、部分層に関する意味で超関数の台が定義できる。特に、
* 部分層 {0} に対して、この意味での台は通常の意味での台（つまり、関数の零点集合に含まれる最大の開集合の補集合）となる。
* 部分層 *E*（の標準定値入射での埋め込み）に対して、特異台と呼ばれるものが得られる。これはくだけた表現をすれば、（*E* = *C*∞ の場合は）超関数が滑らかな関数にならないような集合の閉包である。
といったようなことが成り立つ。

### 超局所解析
フーリエ変換は、（成分ごとに）コンパクトな台を持つ超関数に対しても（矛盾なく）定義可能である。これにはシュワルツ超関数に対する構成と同じ方法を用いたり、ラース・ヘルマンダーの波面集合を用いたりすればよい。

超局所解析の特に重要な応用として、特異点の伝播の解析がある。

## 各種の超関数論
一般に超関数論と言われる理論には、たとえばヤン・ミクシンスキーによる「畳み込み商」を用いた演算子法なども含まれる。これは畳み込みの代数が整域を成すような関数環の商体を用いる方法である。あるいは、佐藤超関数の理論も挙げられる。これは解析関数の境界値として層の理論を用いて定義される。

## 位相群
ブリュアは、今日シュワルツ＝ブリュア関数として知られる、局所コンパクト群上の試験関数のクラスを導入した。局所コンパクト群は関数の定義域としては典型的である多様体よりも進んだ概念である。これが最もよく応用されるのは数論、特にアデール代数群の理論においてである。アンドレ・ヴェイユはテイトの修士論文を、これを用いて書き直し、イデール群上のゼータ超関数を特徴付けた。また、''L''-関数の明示公式にもこれを応用した。

## 超切断
このような話をさらに推し進めて、滑らかなベクトル束の**超切断**（一般化された切断）を考えることができる。これはシュワルツのように試験対象の双対対象を構成する方法によるもので、試験対象としてコンパクト台を持つバンドルの滑らかな切断を用いる。最も発展したのは、微分形式の双対にあたる微分カレントの理論である。これらの概念は、微分形式からド・ラムのコホモロジーが生じるのと同じ仕方で、ホモロジー的な特質を持つ。これにより、ストークスの定理を非常に一般な形で定式化することができるようになる。

## 佐藤の超関数

シュワルツ理論の成功に刺激され、佐藤幹夫は**[[佐藤の超関数]]**  のアイデアを導き出した。佐藤の超関数は正則関数の抽象的境界値として定義される。直感的には、複素平面の上半平面で正則な関数  と下半平面で正則な関数  との実軸上での差、 として定義される。

厳密な理論は、多変数複素関数の成す層係数のコホモロジー理論を用いて、代数的手法によって展開される。こうした代数的手法の解析学への導入は、今日、D加群等に代表される代数解析学や、余接バンドル上で  や  等を用いる超局所解析学をもたらした。また、物理学におけるファインマン積分のような形式的方法を厳密な数学の理論へと変えることができたのである。

## 脚注

## 参考文献
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**  - 超関数を関数列の極限として定義する手法で解説。
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* 山中健：「線形位相空間と一般関数」、共立出版 (1966年12月20日).
* 森本光生：「佐藤超関数入門」、共立出版、(1976年7月20日).
* エス・ゲー・クレイン（編）：「増訂新版　関数解析」、文一総合図書(1976年8月10日)の第10章「超関数」.
* 金子晃：「超函数入門 」、東大出版会（UP応用数学選書）第2版（1990年1月25日）※初版は1980年8月30日。
* 金子晃：「超函数入門 」、東大出版会（UP応用数学選書）(1982年5月).
* 松澤忠人、原優、小川吉彦：「積分論と超関数論入門」、学術図書出版、ISBN 4-87361-201-2 (1996年5月10日).
* 青木貴史、片岡清臣、山崎晋：「超函数・FBI変換・無限階擬微分作用素」、共立出版、ISBN 4-320-01695-5 (2004年6月10日).
* 吉田耕作：「[復刊] 超函数論」、共立出版（2009年10月9日）※　初版は1956年。
* 金子晃：「超函数入門 [新版]」東大出版会（2018年9月）.
* 小松彦三郎：「超関数論入門」、岩波書店（ペーパーバック版、2019年9月10日).

## 関連文献
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## 関連項目
* シュワルツの超関数
* 佐藤の超関数
* ディラックのデルタ関数
* 部分積分
* 微分方程式
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* ベッポ・レヴィ空間
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