平方完成

[250px|thumb|平方完成の過程を示したアニメーション。([:File:Completing the square.ogv|Details, animated GIF version)]]
**平方完成**（へいほうかんせい、）とは、二次式（二次関数）を式変形して a(x-h )^2 の形を作り、一次の項を見かけ上なくすことである。この式変形は全ての二次式に可能で、一意に決まる。
:ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k \quad (a \neq 0)
x-h の h を除けば、つまり x-h=t と変換すれば
:a t^2 +k
の形に帰着される。このことより、以下のことが導出できる：
* 二次方程式の解を求める（→二次方程式の解の公式）
* 二次関数のグラフの頂点の座標を求める
* 微分積分学で、冪指数に一次の項を含むガウス積分の計算
* ラプラス変換の計算
また、平方完成の考え方を応用して解く手法も見られる（#類似の手法）。

## 概観
二次式 ax^2 + bx + c \ (a \neq 0) において、一次の項「+ \; \! \; \! bx」があるのとないのでは、応用上の取り扱いが大きく異なる。

変数 x が x-h の形になる代わりに一次の項がなくなれば、h の違いだけで済むことができる。

ここでは、**二次の係数（最高次係数）**が  の場合とそうでない場合に分けてみる。

;二次の係数（最高次係数）が  の場合
:x^2 + bx + c
の一次の項「+ \; \! \; \! bx」をなくして x^2 を (x-h )^2 の形にする。
:(x-h )^2 = x^2 -2hx + h^2
より、一次の係数を比較すると
:b = -2h
:h=-\frac{b}{2}
これにより、 の平方完成は次の式になる：
:x^2 + bx + c = \left( x+ \frac{b}{2} \right)^2 - \frac{b^2}{4} + c

;二次の係数（最高次係数）が  でない場合
:ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)
の一次の項「+ \; \! \; \! bx」をなくして x を x-h にする。

二次の係数が  の場合で得られた等式
:x^2 + bx = \left( x+ \frac{b}{2} \right)^2 - \frac{b^2}{4}
を利用する。
:\begin{align}
ax^2 + bx + c &= a \left( x^2 + \frac{b}{a} x \right)+c \\
 &= a \left\{ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \right\} +c \\
 &= a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} +c \\
 &= a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 -4ac}{4a}
\end{align}
つまり、一次以上の項を二次の係数  で括ることにより、二次の係数が  の場合を利用している。

## 二次形式の平方完成
1変数の二次式の平方完成を踏まえて、一般の  変数二次式に対しても、平方完成ができる。例えば二変数なら
:a x^2 +bxy + cy^2 +dx+ey+f \quad (abc \neq 0)
である。これは二次形式
:\begin{pmatrix}
x &y
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a            &\frac{b}{2} \\
\frac{b}{2} &c
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
x &y
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
d \\
e
\end{pmatrix} +f \quad (abc \neq 0)
の形で書ける。

一般の  変数二次式は、 を対称行列として
:{}^t x Ax + {}^t x b + c = {}^t (x-h) A(x-h) + k \quad \left( h = -\frac{1}{2} A^{-1}b, \quad k = c - \frac{1}{4} {}^t b A^{-1} b \right)
で書ける。

 が対称でないときは  と  の式が
:h = -(A + {}^t A )^{-1} b, \quad k = c - {}^t h Ah = c - {}^t b \, (A + {}^t A )^{-1} A \, (A + {}^t A )^{-1} b
とやや一般になるが同じ式で書ける。

## 幾何学的解釈
250px|right
二次方程式
:x^2 + bx = a
を平方完成により解くことを考える。この過程を、面積図で表すと次のようになる。

 は一辺が  の正方形の面積、 は縦横が  の長方形の面積に等しい。面積  の長方形を2等分割して、長さ  の辺で正方形と貼り合わせる。すると、正方形の角が欠けた形になる。

欠けている角に一辺が  の正方形を補うと、全体が正方形になる。したがって、両辺に  を加えると、平方  が完成する。

## 類似の手法
平方完成とは、 の形の式に第三項  を加えて完全平方式を作る操作である。 が先に与えられていても、中間項  または  を加えることにより完全平方式を得ることができる。

### 相反式の平方完成
正の実数  に対して、自身とその逆数の和は
:\begin{align}
x + \frac{1}{x} &= \left(x - 2 + \frac{1}{x} \right) + 2 \\[5pt]
                &= \left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 + 2
\end{align}
このように平方完成すると、正の数とその逆数の和は常に  以上であることが示される。

### 複二次式の因数分解
複二次式
:x^4 + 324
を因数分解することを考える。この式は (x^2)^2 + 18^2 と見ることができるから、中間項  を考え、
:\begin{align}
x^4 + 324 &= (x^4 + 36x^2 + 324 ) - 36x^2 \\
 &= (x^2 + 18)^2 - (6x)^2 \\
 &= (x^2 + 18 + 6x)(x^2 + 18 - 6x) \\
 &= (x^2 + 6x + 18)(x^2 - 6x + 18)
\end{align}
と因数分解できる。

## 二次方程式の解

## 二次関数のグラフ

二次関数 y=ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0) の -座標平面におけるグラフは、平方完成することによりその様子がよく分かる。

関数式 ax^2 + bx + c を平方完成して
:y = a(x-h)^2 + k
これのグラフは、放物線 y = ax^2 を 軸方向に h、軸方向に k 平行移動したものであると分かる。特に、頂点（停留点）があり、その座標は
:(h, k)
であることが分かる。軸の方程式は
:x=h
である。
: の場合、 で最小値  をとる。
: の場合、 で最大値  をとる。

## 応用
### 積分
不定積分
:\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}
の被積分関数に平方完成を適用すれば、より基本的な積分
:\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right| +C
または
:\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} +C
に帰着できる（Cは積分定数）。

### 複素数
 を複素数とするとき、
:|z|^2 - b^* z - bz^* + c
:（ は複素数、 は実数）
:（ はそれぞれ  の複素共役）
は常に実数である。このことは、複素数に対する恒等式  を用いて、式を以下のように変形すると分かる：
:\begin{align}
|z|^2 - b^* z - bz^* + c &= zz^* - b^* z - bz^* + bb^* - bb^* + c \\
 &= z( z^* - b^* ) - b(z^* - b^* ) - |b|^2 + c \\
        &= (z-b)(z^* -b^* ) - |b|^2 + c \\
        &= (z-b)(z-b)^* - |b|^2 + c \\
        &= |z-b|^2 - |b|^2 + c
\end{align}

別の例として、 を実数とするとき、
:ax^2 + by^2
は、 のとき、複素数の絶対値の平方を用いて書くことができる。実際に、z = \sqrt{a}\,x + i \sqrt{b}\,y と置けば
:\begin{align}
|z|^2 &= z z^* \\
      &= (\sqrt{a}\,x + i \sqrt{b}\,y)(\sqrt{a}\,x - i \sqrt{b}\,y) \\
      &= ax^2 + by^2
\end{align}
となる。

### 冪等行列
正方行列  が冪等とは  が成り立つことである。
:M = \begin{pmatrix}
a & b \\
b & 1-a
\end{pmatrix}
は、a^2 + b^2 = a ならば冪等行列である。平方完成により
:(a - \tfrac{1}{2})^2 + b^2 = \tfrac{1}{4}
 が実行列なら、これは -平面において中心 、半径  の円の方程式である。角度  を用いて書けば、
:M = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 - \cos \theta &\sin\theta \\
\sin \theta     &1 + \cos \theta
\end{pmatrix}
と媒介変数表示できる。

## 参考文献

*Algebra 1, Glencoe, , pp.539-544
*Algebra 2, Saxon, , pp.214-214, 241-242, 256-257, 398-401

## 外部リンク

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* How to Complete the Square, Education Portal Academy
* 平方完成のやり方といくつかの発展形 - 高校数学の美しい物語