合同ゼータ関数

数学において、 個の元をもつ有限体  上で定義された非特異射影代数多様体  の**合同ゼータ関数** (congruent zeta function) （または**局所ゼータ関数** (local zeta function)）とは、 を  の  次拡大体  上の  の（有理）点の数（定義方程式の解の個数）としたとき、
:Z(V, s) = \exp\left(\sum_{m = 1}^\infty \frac{N_m}{m} (q^{-s})^m\right)
で定義される。変数変換  を行うと、これは  の形式的冪級数として
:
\mathit{Z} (V,u) = \exp 
\left( \sum_{m=1}^{\infty} N_m \frac{u^m}{m} \right)

で定義される。

あるいは同じことだが、 
:
(1)\ \ \mathit{Z} (V,0) = 1
:(2)\ \ \frac{d}{du} \log \mathit{Z} (V,u) = \sum_{m=1}^{\infty} N_m u^{m-1}
が定義に採用されることもある。

言い換えると、合同ゼータ関数  とは、有限体  上で  を定義する方程式の  の  次拡大体  における解の数の生成母関数が、 の対数微分となるような関数とも定義できる。

## 定式化
有限体  が与えられたとき、自然数  に対し、拡大次数が  である体  が同型を除き一意に存在する。 上の多項式からなる方程式系、あるいは、代数多様体  が与えられると、 における解の数  を数えることができ、その生成母関数
:G(t) = N_1t + N_2t^2/2 + N_3t^3/3 +\dotsb
を作ることができる。

局所ゼータ関数  の定義は、 が  に等しくなるようにする。つまり、
:Z(t) = \exp (G(t))
とする。

 だから  である。また、 はア・プリオリに形式的冪級数である。

 の対数微分
:Z'(t)/Z(t)
は、生成母関数  の微分
:G'(t) = N_1 +N_2t^1 + N_3t^2 +\dotsb
に等しい。

## 例
まず、一点からなる多様体を考え、多様体の定義方程式を  とする。この定義方程式は、拡大次数  がどのような値であっても、方程式の解の数は、 となる。このことから全ての  に対し、形式的べき級数の各係数が  である場合と、 を一点からなる多様体として取ることとが対応する。従って、
:G(t) = -\log(1 - t)
は、 に対する対数の展開であり、
:Z(t) = \frac{1}{(1 - t)}
となる。

さらに興味深い例は、 を  上の射影直線(projective line)としたときである。 が  個の元を持つとすると、この多様体は  個の点を持ち、この  個は無限遠点と考えるべきである。このことから、
:N_k = q^k + 1
となり、が充分小さいとき、
:G(t) = -\log(1 - t) -\log(1 - qt)
となることが分かる。

この場合には、
:Z(t) = \frac{1}{(1 - t)(1 - qt)}
となる。

これらの関数を最初に研究したのは、1923年のエミール・アルティン(Emil Artin)であった。彼は、超楕円曲線の場合の結果を得て、さらに曲線一般への適用として、理論の主要な点を予想とした。この理論は、F. K. シュミット(F. K. Schmidt)とヘルムート・ハッセ(Helmut Hasse)により開発された。 局所ゼータ関数の非自明で最初な例は、カール・フリードリヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)の**[[:en:Disquisitiones Arithmeticae|Disquisitiones Arithmeticae]]**の論文 358 により、暗に与えられていた。虚数乗法をもつ有限体上の楕円曲線の特別な例は、円分の方法(cyclotomy)により、それらの解の個数を数えることができる。

定義やいくつかの例については、も参照。

## 動機
 と  の定義の間の関係は、多くの方法で説明することができる（例えば、以下の  の無限積の公式を参照）。実際は、（一般の代数多様体に対しても、）この方法は、 が有限体上の楕円曲線  の場合のように、 は  の有理関数となっている。

関数  は多重のとなっていて、**大域的ゼータ関数**(global zeta function)を得る。これらは、異なる有限体を意味していて、 が全ての素数を渡るときの体  の族の全体を意味している。これらの関係の中で、変数  は  が代入される。この  はディリクレ級数に使われる伝統的な複素数変数である。詳細はハッセ・ヴェイユのゼータ関数を参照。

このように理解すると、例で使われた 2つの場合の  の積は、\zeta(s) と \zeta(s)\zeta(s-1) となる。

## 有限体上の曲線のリーマン予想

 上の非特異な射影曲線  に対し、 を曲線  の種数とし、 を曲線を定義する次数  の多項式とすると、
:Z(t) = \frac{P(t)}{(1 - t)(1 - qt)}
となる。
:P(t)=\prod^{2g}_{i=1}(1-\omega_i u)
と書くと、**有限体上の曲線のリーマン予想**は、
:|\omega_i|=q^{1/2}
となるということを言う。

例えば、楕円曲線の場合は、2つの根を持っていて、根の絶対値が  であることを容易にしめすことができる。楕円曲線のハッセの定理は、2つの根が同じ絶対値を持ち、このことは（楕円曲線の）点の数の直接的な結果であることを言っている。

アンドレ・ヴェイユ(André Weil)は1940年頃、このことを一般的な場合に証明した (*Comptes Rendus* note, April 1940) が、代数幾何学を建設するために多くの時間を注ぎ込んだ。このことから、彼はヴェイユ予想へ至り、グロタンディエク(Grothendieck)はこの予想の解決のため、スキーム論を開発し、最終的に予想は後に、ドリーニュ(Deligne)により証明されることとなった。一般論の基本公式については、エタールコホモロジーを参照。

## ゼータ関数の一般的公式
:Z(X,t)=\prod_{i=0}^{2\dim X}\det\big(1-t \mbox{Frob}_q |H^i_c(\overline{X},{\Bbb Q}_\ell)\big)^{(-1)^{i+1}}.
この式は、フロベニウス写像に対するレフシェッツ不動点定理の結果である。

ここに X は、 個の元を持つ有限体  上の有限タイプの分離的スキームであり、 は \overline{X} のコンパクトな台を持つ幾何学的フロベニウス作用である。\overline{X} は  の代数的閉体への X のリフトである。このことは、ゼータ関数が  の有理関数であることを示している。

 の無限積公式は、
:Z(X, t)=\prod\ (1-t^{\deg(x)})^{-1}
である。ここに、積は  の閉点  全てを渡り、 は  の次数である。局所ゼータ関数  は  の変数変換を通して、複素数変数  の関数と見ることができる。

上で議論した  が多様体  の場合は、閉点は \overline{V} 上の点  の同値類  のこととなり、2つの点の同値とは  上で共役なこととなる。 の次数は  の座標により生成される  の拡大次数である。無限積  の対数微分は、容易に、上で議論した生成母関数と見なすことができる。すなわち、
:N_1 +N_2t^1 + N_3t^2 +\cdots
である。

## 関連項目
*ゼータ函数
*ヴェイユ予想
*楕円曲線

## 脚注

## 参考文献
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