クライン-ゴルドン方程式

**クライン–ゴルドン方程式** (クライン–ゴルドンほうていしき、) は、スピン0の相対論的な自由粒子を表す場（**クライン–ゴルドン場**）が満たす方程式である。スウェーデン人物理学者オスカル・クラインとドイツ人物理学者ヴァルター・ゴルドンにちなんで名づけられた。

## 概要
質量*m* の自由粒子を表すクライン–ゴルドン場を\phi(\boldsymbol{x},t)とすると、クライン–ゴルドン方程式は

: 
\left [
\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2
+\biggl ( \frac{mc}{\hbar} \biggr )^2
\right ]
\phi(\boldsymbol{x},t) = 0

と表される。ただし、&nabla;2はラプラス作用素、*c* は光速度、\hbarはプランク定数を2&pi;で割った定数(ディラック定数)である。クライン–ゴルドン方程式は、ローレンツ変換に対して形を変えない、相対論的に不変な方程式である。

ここで、ダランベールの演算子

: \square \equiv \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 

と新たな量

: \mu \equiv \frac{mc}{\hbar}

を導入すれば、クライン–ゴルドン方程式は

: (\square+\mu^2)\phi(\boldsymbol{x},t) = 0

と簡明に表すことができる。

なお、クライン–ゴルドン方程式の記述においては、c=1, \hbar=1とする自然単位系が採用されることも多い。

## 歴史
量子論の形成において、相対論的波動方程式は波動力学の基礎を築いたエルヴィン・シュレーディンガーによって、最初に考察された。シュレーディンガーは、波動力学の基礎方程式を導出する過程の中で、相対論的な方程式を考えたが、これは水素原子のスペクトル構造を正しく与えることができず、1926年に非相対論的なシュレーディンガー方程式を導くに至った。また、ルイ・ド・ブロイはド・ブロイ波の理論の中で、粒子性と波動性を持つ物質場を相対論的に論じた。

シュレーディンガー方程式による量子力学の定式化が成功を収めて間もなく、非相対論的なシュレーディンガー方程式の相対論的な方程式への拡張として、クライン–ゴルドン方程式がオスカル・クライン、ヴァルター・ゴルドンによって提案された。また、同時期にウラジミール・フォック、J. Kudar、テオフィル・ド・ドンデらも同様な提案を行った。

しかしながら、当初、クライン–ゴルドン方程式が記述する\phi(\boldsymbol{x},t)は波動関数として解釈されたため、いくつかの問題を抱えていた。\phi(\boldsymbol{x},t)を波動関数と見なした場合、クライン–ゴルドン方程式は時間について二階の微分方程式であり、確率密度が負の値を取りうるため、量子力学における確率解釈が困難であった。また、正のエネルギーの解に加えて、負のエネルギーの解が現れるため、粒子が安定な状態をとれない問題を抱えていた。こうした問題から、クライン–ゴルドン方程式は一旦、理論から放棄されることとなった。

1928年にポール・ディラックは、この確率解釈の困難を解消すべく、クライン–ゴルドン方程式に代わる基礎方程式として、時間について一階の微分方程式であるディラック方程式を導いた。ディラック方程式にも負のエネルギーが現れるものの、これは波動関数ではなく、正負の電荷をもつスピン1/2のフェルミ粒子の場（ディラック場）を記述する方程式と理解され、相対論的量子力学の基礎方程式と位置付けられるようになった。

ディラック方程式のみならず、クライン–ゴルドン方程式が、相対論的な場が満たす正しい方程式であることは、1934年にウォルフガング・パウリとヴィクター・ワイスコップによって示された。パウリとワイスコップは、正準量子化したスピン0のボース粒子の場の満たす方程式がクライン–ゴルドン方程式であることを明らかにした。後に、クライン–ゴルドン方程式を満たすスカラー場の理論は、パイ中間子の理論の発展に寄与することとなった。

## 導出
相対論的な粒子のエネルギーを\epsilon、運動量を*p* とすると、

:  \epsilon^2 =\, m^2 c^4 + c^2 p^2 

が成り立つ。ただし、*m* は粒子の静止質量、*c* は光速度である。ここで、非相対論的量子力学とのアナロジーによって、
 \vec{p} = -i \hbar \nabla および \epsilon = i \hbar {\partial \over {\partial t} } という置き換えをすると、

:  \left(i \hbar {\partial \over {\partial t} } \right)^2 = m^2 c^4 + c^2 (-i \hbar \nabla)^2 

となる。この式を、クライン-ゴルドン場\phi(\boldsymbol{x},t)に作用する演算子に対する等式とみなすと、

:  - \hbar^2 {\partial^2 \over {\partial t^2} } \phi(\boldsymbol{x},t) = - \hbar^2 c^2 \nabla^2 \phi(\boldsymbol{x},t) + m^2 c^4 \phi(\mathbf{x},t) 

を得る。上式の両辺を\hbar^2 c^2 で割り、整理すると、クライン–ゴルドン方程式が得られる。

## 変分原理による導出
物理における他の基礎方程式と同様に、クライン–ゴルドン方程式も作用積分に対する変分から導くことができる（変分原理）。
クライン–ゴルドン方程式において、作用積分
: I=\int d^4x \, \mathcal{L}(x) \quad (x=(t, \mathbf{x})\,)
のラグランジアン密度は、
: 
\mathcal{L}(x)
=\frac{\hbar^2}{2}(\partial_{\mu} \phi)(\partial^{\mu} \phi)-\frac{1}{2} m^2 c^2 \phi^2

:: 
=\frac{\hbar^2}{2}
\left \{
\frac{1}{c^2} \biggl ( \frac{\partial \phi}{\partial t}\biggr )^2
-\biggl ( \frac{\partial \phi}{\partial x}\biggr )^2
-\biggl ( \frac{\partial \phi}{\partial y}\biggr )^2
-\biggl ( \frac{\partial \phi}{\partial z}\biggr )^2
\right \}
-\frac{1}{2} m^2 c^2 \phi^2

で与えられる。ただし、添え字&mu;についてはアインシュタインの記法に従った和を取るものとする。このとき、場の量に対するオイラー＝ラグランジュ方程式
: 
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}-
\partial_\mu \biggl ( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}
\biggr ) =0

より、上述のクライン–ゴルドン方程式が導かれる。

## 脚注

## 参考文献
* J. J. Sakurai, *Advanced Quantum Mechanics*, Addison Wesley(1967) ISBN 978-0201067101
* Silvan S. Schweber, *An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory*, Dover Publications (2005) ISBN 978-0486442280

## 関連項目
* 相対論的量子力学
* 波動方程式 - 電信方程式
* クライン＝ゴルドン方程式 - スピン0の相対論的ボース粒子。スカラー場。
*ディラック方程式 - スピン1/2の相対論的フェルミ粒子。スピノル場。
*マクスウェル方程式 - スピン1、質量0の相対論的ボース粒子。ベクトル場。
*プロカ方程式 - スピン1、質量が0でない相対論的ボース粒子。ベクトル場。
*ラリタ＝シュウィンガー方程式 - スピン3/2。ベクトル・スピノル場（**ラリタ＝シュウィンガー場**）。
*アインシュタイン方程式 - スピン2。