パウリ行列

**パウリ行列**（パウリぎょうれつ、）、**パウリのスピン行列**（パウリのスピンぎょうれつ、）とは、下に挙げる3つの複素2次正方行列の組のことである。（シグマ）で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって、スピン角運動量の記述のために導入された。
:\sigma_1 = \sigma_x = \begin{bmatrix}
0 &1 \\
1 &0
\end{bmatrix}\mbox{, } \quad
\sigma_2 = \sigma_y = \begin{bmatrix}
0 &-i \\
i &0
\end{bmatrix} \mbox{, } \quad
\sigma_3 = \sigma_z = \begin{bmatrix}
1 &0 \\
0 &-1
\end{bmatrix}
添字は数学では 1, 2, 3 が、物理学では x, y, z が使われる。座標系によっては添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。

上記3つに単位行列  を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。
:\sigma_0 = I = \begin{bmatrix}
1 &0 \\
0 &1
\end{bmatrix}

## 基本的な性質
パウリ行列は次の性質を満たす。

### エルミート性・ユニタリ性
パウリ行列は
:{\sigma_k}^\dagger =\sigma_k \qquad (k=1,2,3)
を満たすエルミート行列であり、
:{\sigma_k}^\dagger \sigma_k =\sigma_k {\sigma_k}^\dagger = I \qquad (k=1,2,3)
を満たすユニタリ行列でもある。

### パウリ行列の積
パウリ行列の自乗は単位行列に等しい。
:{\sigma_1}^2 = {\sigma_2}^2 = {\sigma_3}^2 = I
また相異なるパウリ行列同士の積は次の関係を満たす。
:\sigma_1 \sigma_2 = -\sigma_2 \sigma_1 = i \sigma_3, \quad
       \sigma_2 \sigma_3 = -\sigma_3 \sigma_2 = i \sigma_1, \quad
       \sigma_3 \sigma_1 = -\sigma_1 \sigma_3 = i \sigma_2
すなわち  について
:\begin{cases}
{\sigma_i}^2 &= I = -i \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 \\
\sigma_i \sigma_j &= -\sigma_j \sigma_i \qquad (i \ne j)
\end{cases}
が成り立つ。ここでクロネッカーのデルタ  とエディントンのイプシロン  を用いれば、これらをまとめて
:\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} I + i \textstyle\sum\limits_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \sigma_k \qquad (i,j,k=1,2,3)
と書くことができる。

### 交換関係・反交換関係
パウリ行列の交換関係と反交換関係は一般的に
:\begin{align}[]
[ \sigma_i, \sigma_j ] &= \sigma_i \sigma_j - \sigma_j \sigma_i = 2i \textstyle\sum\limits_{k=1}^3 \epsilon_{ijk} \sigma_k, \\
\{ \sigma_i, \sigma_j \} &= \sigma_i \sigma_j + \sigma_j \sigma_i = 2\delta_{ij} I
\end{align}
となる。

### 固有値・固有ベクトル
それぞれのパウリ行列は、固有値  と  を持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、
:\begin{alignat}{4}
 &|\sigma_{1,+} \rangle ={}& \frac{1}\sqrt{2} &\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix},&\qquad &|\sigma_{1,-} \rangle ={} &\frac{1}\sqrt{2} &\begin{bmatrix} 1 \\
-1 \end{bmatrix} \\
 &|\sigma_{2,+} \rangle ={}& \frac{1}\sqrt{2} &\begin{bmatrix}
1 \\
i
\end{bmatrix},& &|\sigma_{2,-} \rangle ={} &\frac{1}\sqrt{2} &\begin{bmatrix}
1 \\
-i \end{bmatrix} \\
 &|\sigma_{3,+} \rangle ={} & &\begin{bmatrix}
1 \\
0 \end{bmatrix}, & &|\sigma_{3,-}\rangle ={} & &\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
\end{alignat}
である。

### トレース・行列式
パウリ行列  のトレース (Tr) は  となり、行列式 (det) は  となる。
:\begin{align}
\operatorname{Tr} (\sigma_k ) &=0 \\
\det(\sigma_k ) &=-1
\end{align}

2次単位行列  を含めた場合、
:\begin{align}
\operatorname{Tr} (\sigma_0 ) &= 2 \\
\det(\sigma_0 ) &= 1
\end{align}
である。

単位行列を含めたパウリ行列  について、
:\operatorname{Tr} (\sigma_\mu \sigma_\nu) = 2 \delta_{\mu \nu} \quad (\mu ,\nu =0,1,2,3)
が成り立つ。よって、複素2次正方行列空間  において、単位行列を含めたパウリ行列は  について、直交する。

## 複素行列の展開
複素2次正方行列空間  において、単位行列を含むパウリ行列は直交基底をなす。よって、任意の複素2次行列  は単位行列を含むパウリ行列  の線形結合として、次の形で書ける。
:A=s_0 I + s_ 1\sigma_1 + s_2 \sigma_2 + s_3 \sigma_3 = \textstyle\sum\limits_{\mu=0}^3 s_{\mu} \sigma_{\mu}

ここで複素係数  は
:s_{\mu} = \frac{1}{2} \operatorname{Tr} (A\sigma_\mu) \quad (\mu=0,1,2,3)
で与えられる。

また、任意の2次エルミート行列  は単位行列を含むパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数  は実数になる。

部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル（実ベクトル）はと呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。

## 指数関数
パウリ行列の性質
:{\sigma_i}^2 =I
から、その行列指数関数はオイラーの公式の類似である関係式
:\exp(i a \sigma_i) =I\cos a + i\sigma_i \sin a  \quad (a \in \mathbb{C})
を満たす。
さらに実ベクトル  とパウリ行列の組  に対し、
:\exp(i \vec{a} \cdot \vec{\sigma}) = I \cos + i (\vec{n} \cdot \vec{\sigma})\sin 
が成り立つ。ただし、 は
:\vec{n} =\frac{1} (a_1, a_2, a_3)
で与えられる単位ベクトルである。

 が実ベクトルの場合、 は2次特殊ユニタリ群  の元となる。これはパウリ行列に虚数単位を乗じた  が  に対応するリー代数  の基底であることによる。

## SU(2)の生成子
パウリ行列は、行列式を  とする 2次ユニタリ行列がなす2次特殊ユニタリ群  に対応するリー代数  の生成子である。パウリ行列に  を乗じた
:\begin{align}
X_1 &= -\frac{i}{2}\sigma_1 = \begin{bmatrix}
0 &-i/2 \\
-i/2 &0
\end{bmatrix} \\
X_2 &= -\frac{i}{2} \sigma_2 = \begin{bmatrix}
0 &-1/2 \\
1/2 &0
\end{bmatrix} \\
X_3 &= -\frac{i}{2} \sigma_3 = \begin{bmatrix}
-i/2 &0 \\
0 & i/2
\end{bmatrix}
\end{align}
は  の基底であり、交換関係
:[X_1, X_2] = X_3, \, [X_2, X_3] = X_1, \, [X_3, X_1] = X_2
を満たす。 はトレースが  かつ反エルミート
:\begin{align}
\operatorname{Tr}(X) &= 0 \\
X^{\dagger} &= -X
\end{align}
である元  から構成されるが、 はこの性質を満たす。コンパクトで連結な線形リー群である
 の任意の元は、リー環の指数写像によって、
:\exp(\sum\limits_{k=1}^3 t_k X_k) \quad (t_1,t_2, t_3 \in \mathbb{R})
の形で与えることができる。

## スピン角運動量

量子力学において、パウリ行列はスピン  の角運動量演算子の表現に現れる。角運動量演算子  は交換関係
:[J_1, J_2]=i \hbar J_3, \, [J_2, J_3]=i \hbar J_1, \, [J_3, J_1]=i \hbar J_2
を満たす。ただし、 はディラック定数である。エディントンのイプシロン  を用いれば、この関係式は
:[J_i, J_j] =i \hbar \textstyle\sum\limits_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} J_k
と表すことができる。ここで、
:\begin{align}
J_1^{1/2} &= \frac{\hbar}{2} \sigma_x = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix}
0 &1 \\
1 &0
\end{bmatrix} \\
J_2^{1/2} &= \frac{\hbar}{2} \sigma_y = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix}
0 &-i \\
i &0
\end{bmatrix} \\
J_3^{1/2} &= \frac{\hbar}{2} \sigma_z = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix}
1 &0 \\
0 &-1
\end{bmatrix}
\end{align}
を導入すると、これらは上記の角運動量演算子の交換関係を満たしている。 の交換関係はゼロではないため、同時に対角化できないが、この表現は  を選び対角化している。 の固有値は  であり、スピン  の状態を記述する。

## ガンマ行列の表現

パウリ行列はガンマ行列の特定の表現を構成するのに用いられる。ガンマ行列  () は反交換関係
:\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \} = \gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu = 2g^{\mu\nu} I
を満たすものとして定義される。ただし、 は単位元であり、 は4次元時空のミンコフスキー計量  である。このとき、2次単位行列  とパウリ行列により、4次正方行列
:\gamma^0 = \begin{bmatrix}
 I_2 & 0 \\
 0 & -I_2 \\
\end{bmatrix}, \, \gamma^j = \begin{bmatrix}
0 & \sigma_j \\
-\sigma_j &0
\end{bmatrix} \quad (j=1,2,3)

を導入すると、これらは上記の反交換関係を満たし、ガンマ行列の表現を与える。これをガンマ行列のディラック表現と呼ぶ。これは次の直積に対する4次正方行列表現である。
:\gamma^0 = \sigma_3 \otimes I_2, \, \gamma^j = i\sigma_2 \otimes \sigma_j \quad (j=1,2,3)

## 順時固有ローレンツ群とSL(2,C)
パウリ行列は順時固有ローレンツ群  とその普遍被覆群である2次特殊線形群  を対応づけるのに用いられる。ローレンツ群  は一般線形群  の元  で4次元時空のミンコフスキー計量  に対し、 を満たし、ミンコフスキー内積を保つものから成る。
:L= \{ \Lambda \in GL(4, \mathbb{R})| \, \Lambda^Tg\Lambda=g \}
一方、順時固有ローレンツ群  はローレンツ群の連結な正規部分群であり、00成分と行列式の符号についての条件から
:L^{\uparrow}_+ = \{ \Lambda \in L | \, \Lambda_{00} \geq 1, \det{\Lambda}=1 \}

として、定義される。ここで4元ベクトル  に対し、パウリ行列  により、2次正方行列
:X=\textstyle\sum\limits_{\mu=0}^3 \sigma_{\mu} x^{\mu} = x^0 I+ \vec{x} \cdot \vec{\sigma} = \begin{bmatrix}
x^0 + x^3 &x^1 +ix^2 \\
x^1 -ix^2 &x^0 -x^3
\end{bmatrix}
を導入する。その行列式は
:\det X=(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2
であり、ミンコフスキー内積  を与える。ここで  の元  により、変換
:X' =AXA^{\dagger}
を定義すると、
:\det X'= \det X
であり、ミンコフスキー内積を保ち、順時固有ローレンツ変換  を与える。さらに、 は同じローレンツ変換  を与えることから、これは  から  への2対1の準同型写像を与える。その核は  であり、群の同型対応
:SL(2, \mathbb{C})/\mathbb{Z}_2 \cong L^{\uparrow}_+
が成り立つ。

## 四元数の表現
パウリ行列により、四元数の2次正方行列表現を与えることができる。
:e_k= -i \sigma_k \quad (k=1,2,3)
を導入すると、関係式
:{e_1}^2 = {e_2}^2 = {e_3}^2 =-I
:e_1 e_2 = -e_2 e_1 = e_3, \, e_2 e_3 = -e_3 e_2 = e_1, \, e_3 e_1 = -e_1 e_3 = e_2
を満たす。これは四元数の基底元  が満たす関係式
:i^2 = j^2 = k^2 =-1
:ij = -ji= k, \, jk = -kj = i, \, ki = -ik = j
と対応する。四元数環  から複素行列環  への線形写像
:a1+bi+cj+dk \mapsto aI+be_1+ce_2+de_3\ \quad (a,b,c,d \in \mathbb{R})
は和と積と保ち、四元数の2次正方行列表現を与える。この像は
:M= \left\{ \begin{bmatrix}
a-di &-(c+bi) \\
c-bi &a+di
\end{bmatrix} \, \Biggl| \, a,b,c,d \in \mathbb{R} \right\} = \left\{ \begin{pmatrix}
\alpha &\beta \\
-\bar{\beta} &\bar{\alpha}
\end{pmatrix}\, \Biggl| \, \alpha, \beta \in \mathbb{C} \right\}
であり、 と  は 多元環として同型である。

## 脚注

## 参考文献
* 猪木慶治、川合光『量子力学I』 講談社 (1994) ISBN 978-4061532090
* 佐藤光『物理数学特論 群と物理（パリティ物理学コース）』丸善 (1992) ISBN 978-4621037874
* 平井武、山下博『表現論入門セミナー ―具体例から最先端にむかって』遊星社 (2003) ISBN 978-4795268982
* J.J Sakurai and Jim Napolitano, *Modern Quantum Mechanics* (2nd edition), Addison Wesley (2010) ISBN 978-0805382914

## 関連項目
*ヴォルフガング・パウリ
*ガンマ行列
*四元数