ピタゴラスの定理

初等幾何学におけるは、直角三角形の3辺の長さの間に成り立つ関係について述べた重要な定理である。

すなわち、斜辺以外の2辺上の2つの正方形（右図の赤と青の正方形）の面積の和は、斜辺上の正方形（右図の紫の正方形）の面積に等しくなる。斜辺の長さを , 他の2辺の長さを  とすると、
:c^2=a^2+b^2
という等式の形で述べることができる。

現在の日本ではとも呼ばれている。

またこの定理の逆、すなわちに「c^2=a^2+b^2ならば三角形が直角三角形である」という主張も正しい。

伝統的に、この定理はピタゴラスやピタゴラス教団と結びつけられてきた。しかし現代では、ピタゴラスがこの定理の発見や再発見、証明に関与したとは考えられていない。また、おそらくはギリシャ以外の地（メソポタミアやインド）で最初に発見されたと考えられている。この定理は中国をふくめ、世界各地で古くから知られており、測量などの応用でも盛んに使われた。

 で特に全てが自然数であるものは、本質的に可算個あることが知られており、ピタゴラス数と呼ばれている。

## 定理の概要
直角三角形において、斜辺の長さを 、直角をはさむ 2辺の長さをそれぞれ   とすると、次の等式が成り立ち、「ピタゴラスの定理」と呼ばれる：
:a^2 + b^2 = c^2
すなわち、斜辺上の正方形の面積は、残りの二つの辺の上の正方形の面積を足し合わせたものに等しい。

ピタゴラスの定理によって、直角三角形において2辺の長さが分かっていれば、残りの1辺の長さを計算することができる。ここで  はいずれも正であるから、
:a = \sqrt{c^2 - b^2}
:b = \sqrt{c^2 - a^2}
:c = \sqrt{a^2 + b^2}
となる。ここで  は負でない平方根を表す。

余弦定理は、この定理を一般の三角形に適用できるよう、一般化したものである：任意の三角形において、1つの内角の大きさとそれをはさむ2辺の長さから残りの辺（対辺）の長さを計算できる。特にここで考えている内角が直角の場合、余弦定理はピタゴラスの定理そのものである。

### ピタゴラスの定理の逆
この定理の逆、すなわちに「c^2=a^2+b^2ならば三角形は直角三角形である」という主張も正しい。例えば、a=3、b=4、c=5の三角形は、必ず直角三角形になる。これを用いると、辺の長さから三角形が直角三角形かどうかを判定できる。また、直角の作図にも利用できる。

### 座標幾何学での応用
ピタゴラスの定理を用いると、点の座標から（ユークリッド空間中の）2点間の距離（、ユークリッド距離）を求めることができる。もしも、座標系が正規直交座標系であるなら、2点間の距離は、2点の各座標の差の 2乗の総和の平方根となる。ここで、空間の次元は任意である。

### ピタゴラスの基本三角関数公式

ピタゴラスの定理は、三角関数についての非常に重要な関係式**ピタゴラスの基本三角関数公式** 　と同値である。
:\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
ただし、長さがaの辺と斜辺（長さｃ）との間の角度を\thetaとした。また、\cos\theta=a/c、\sin\theta=b/cと定義した。

## 歴史
[260px|thumb|[バビロニア数学について記された粘土板プリンプトン322]]

「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」といった伝承が伝えられるなど、本定理はピタゴラスと結びつけられてきた。しかし、本定理と同じ内容の主張は、ピタゴラスが生まれる前から広く知られていた。

判明している最初期のものは、ピタゴラスが生まれる1000年以上前のバビロン第1王朝時代ごろ（紀元前20世紀から16世紀の間）とされる。バビロニアの粘土板『プリンプトン322』には、ピタゴラスの定理に関わる要素が数多く含まれている。YBC 7289の裏面にはそれらしい記述がある。この他、この関係式を応用して問題を解いた計算の過程が記された粘土板がいくつも発見されている。ただし、いずれも具体例についての計算が書かれているだけで、一般的にこの事実を述べたものは残っていない。とはいえ、様々な状況に適用されていることなどから、一般的な関係を把握していたという推測がなされている。なお、メソポタミアにおいては、本定理の主張は長方形の対角線と二辺の間の関係と認識されていたようである。

古代エジプト数学にはピタゴラス数についての記述があり、ナイル川の氾濫のあとで土地を元どおり区割りする際に、直角を取るため 3:4:5の直角三角形が利用された可能性がある。紀元前2000年から1786年ごろに書かれた古代エジプトエジプト中王国のパピルス "" では、この三角形を用いたらしき計算が記されているが、一部が破損している。また、一般的なケースについての記載はない。

ギリシャにこれらの先行の発見がどの程度影響したのかは、よくわからない。いずれにせよ、ギリシャにおける再発見（あるいは導入？）、および証明においても、ピタゴラスは関与していないと考える研究者が多数派である 。

紀元前3世紀に書かれた「ユークリッド原論」の中でピタゴラスの定理に該当するものは、第1巻の47番目の命題である。(なお、ピタゴラスの定理の逆は、その次、すなわち48番目の命題。）ここでは、昔から経験則として知られていたこの法則に、幾何学的な証明を与えている。しかし「原論」中ではピタゴラスについて何も言及がなく、この定理にも名前がついていない。

この定理がピタゴラス学派の業績であると述べる現存する最古の文献は、紀元5世紀のプロクロスによる『ユークリッド原論第一巻註解』である。同書の「第47番の命題」に関する記述は、定理の歴史的背景や、ピタゴラス派による研究について言及し、彼らがこの定理の証明をおこなったこと、さらに牡牛を生贄に捧げて祝ったと書く。後世においてこの定理をピタゴラスの業績とする根拠は、プロクロスの注解による。

インドの紀元前5-8世紀に書かれた『シュルバ・スートラ』などにも定理に関わる文章が見られる。しかし、これはバビロニア数学の影響を受けた結果ではないかという推測もされているが、結論には至っていない。

[250px|thumb|『[周髀算経』の注釈書におけるピタゴラスの定理の証明（）]]
中国古代においては、『周髀算経』（紀元前2世紀前後）や『九章算術』の数学書でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を**勾股定理**、**商高定理**等と呼んで説明している。

[250px|thumb|[レオナルド・ダ・ヴィンチによるピタゴラスの定理の証明。橙色の部分を 度回転し、緑色の部分は裏返して図の位置にできる。]]
 
### 日本での呼称
日本の和算でも、中国での呼称を用いて等と呼んでいた。「勾（鈎）・股・弦」とはそれぞれ、 としたときの  を表している。

日本の明治時代の中等学校の教科書では「ピュタゴラスの定理」と呼ばれていた。

現在、ピタゴラスの定理は「三平方の定理」とも呼ばれているが、「三平方の定理」と呼ばれるようになったのは1942年（昭和17年）の太平洋戦争開始後のことである。

このときに「鉤股弦の定理」とする案などもあったが、末綱恕一（東大教授）の発案で「三平方の定理」に改められたとされる。

## 一般化
### 角の一般化

第二余弦定理
:
はピタゴラスの定理を  の場合として含む。
つまり、第二余弦定理はピタゴラスの定理を一般の三角形に対して拡張した定理になっている。

### 長さから面積への一般化

3次元空間内に平面があるとき、その閉領域  の面積は、 平面、 平面、 平面への射影の面積  を用いて
:S^2={S_x}^2+{S_y}^2+{S_z}^2
と表される。これは高次元へ一般化できる。

### ピタゴラス数の指数の一般化

指数の  の部分を一般化すると
:
となる。 の場合、自明（つまり  の少なくとも1つが 0）や既知解（原始ピタゴラス数の定数倍）を除いても、整数解は実質無数に存在するが、 の場合は非自明な整数解は存在しない。

### 計量ベクトル空間
 において角Cが直角だとする。CからA、CからB,AからBにむかう幾何ベクトルを\vec a、\vec b,　\vec cとする。すると、ピタゴラスの定理は次のように表現できる。
:\Vert \vec c \|^2 = \Vert \vec a \|^2 + \Vert \vec b \|^2
ただし、\Vert \vec c \|は幾何ベクトル\vec cの長さ（ノルム）である。

幾何ベクトルとは限らない、一般の実数上の計量ベクトル空間においても、上記と同様の関係がなりたつ。（次元は無限次元でもよい。）

すなわち、\vec c := \vec b - \vec aとし、ノルムを\Vert \vec c \|^2:=\vec c \cdot \vec c で定義すると、
:\begin{align}
\Vert \vec c \|^2
&= \vec c \cdot \vec c \\
&= (\vec b - \vec a) \cdot (\vec b - \vec a) \\
&= \Vert \vec b \|^2 - 2\vec b \cdot \vec a + \Vert \vec a \|^2 \\
\end{align}
である。

ここで、\vec a、\vec bが直交する、すなわち\vec b \cdot \vec a = 0と仮定する。すると、直ちに\Vert \vec c \|^2 = \Vert \vec a \|^2 + \Vert \vec b \|^2が導かれる。

逆に、\Vert \vec c \|^2 = \Vert \vec a \|^2 + \Vert \vec b \|^2が成立することを仮定すると、\vec b \cdot \vec a = 0が導かれる。これは、ピタゴラスの定理の逆に対応する。

また、\vec a、\vec bの間の角度\thetaを等式
\cos\theta=\vec b \cdot \vec a/\Vert \vec b \|\Vert \vec a \|で定義すると、 
:
\Vert \vec c \|^2=\Vert \vec b \|^2 - 2\Vert \vec b \|\Vert \vec a \| \cos\theta + \Vert \vec a \|^2 

である。これは、第二余弦定理に対応する。

### 情報幾何学におけるピタゴラスの定理
情報幾何学、あるいは統計多様体の理論の基本的な定理の一つに「ピタゴラスの定理」がある。すなわち、双対平坦な空間において、カルバック・ライブラー情報量などの正準ダイバージェンスは、これを距離の2乗に見立てるとピタゴラスの定理と同様の関係式を満たす。なお、ユークリッド距離の2乗は、適切な接続のもと正準ダイバージェンスとみなすことができる。よって、ユークリッド幾何のピタゴラスの定理は情報幾何学のピタゴラスの定理の特殊な例と考えることができる。

## ピタゴラスの定理の証明
この定理には数百通りもの異なる証明がある。

### 相似による証明
250px|thumb|相似を用いた証明
頂点  から斜辺  に下ろした垂線の足を  とする。 と  は相似である。ゆえに
:\text{AC}:\text{AH} = \text{AB}:\text{AC} 
である。よって
:\text{AB}\times\text{AH} = \text{AC} \times \text{AC} = b^2 
であり、同様に
:\text{AB}\times\text{BH} = a^2
である。一方、
:c^2 =\text{AB}\times\text{AB}=\text{AB}\times(\text{AH} + \text{BH}) =\text{AB}\times\text{AH}+\text{AB}\times\text{BH}

であるから、
:c^2=b^2+a^2
を得る。

この証明の中の計算は、三角比を用いると見通しがよくなる：
:\begin{align}
c^2 &= c \times c \\
    &= c \times ( \text{AH} + \text{BH} ) \\
    &= c \times (b \cos A + a \cos B) \\
    &= b \times c \cos A+a \times c \cos B \\
    &= b \times b +a \times a \\
    &= a^2 + b^2.
\end{align}

#### 歴史的な背景
本証明は、16世紀に書かれた、ユークリッド『原論』を再編して書かれた幾何学の解説書にみられる。また、 、、 が相似であることは、ユークリッド『原論』第VI巻·命題８で述べられている。

#### アインシュタインの証明
この証明のように、 、、 が相似であることに着目した証明の別種に、アインシュタインが思いついた証明がある。これは、
* の面積がとの面積の和であること
*、、の面積の比率がc^2:b^2:a^2であること
を用いる。

### 合同による証明

\bigtriangleupABC と\bigtriangleup CDE が合同になるように，図のように D ,E を取る。また、b とする。

わかりやすいように整理すると、a が隣辺、b が対辺、c が斜辺の長さを示す。

四角形 ACBD の面積 S を二通りの方法で表す。

* AB と CD は直交するので， S={1 \over 2}AB\times CD= {c^2 \over 2}　

* \bigtriangleup BCD の面積は {a^2 \over 2}，\bigtriangleupACD の面積は {b^2 \over 2} より S={1 \over 2} (a^2+b^2)

よって、

{c^2 \over 2} = {1 \over 2} (a^2+b^2)

両辺に2をかけて

c^2=a^2+b^2

以上2つの式より三平方の定理を得る。

### 外接円を用いた証明
297px|thumb|外接円を用いた証明
 のとき、斜辺 を直径とする円 を描くことができる。

このとき点 から直径 に下ろした垂線の足を  とし、 に対して三平方の定理を証明する。 とする。

 なので、
:
:
:
:
:

### 正方形を用いた証明
250px|thumb|正方形を用いた証明
 と合同な4個の三角形を右図のように並べると、外側に一辺が  の正方形（以下「大正方形」）が、内側に一辺が  の正方形（以下「小正方形」）ができる。
:（大正方形の面積）=（小正方形の面積）+（直角三角形の面積）× 4
である。大正方形の面積は , 小正方形の面積は , 直角三角形1個の面積は \frac{1}{2}ab である。これらを代入すると、
:(a+b)^2 = c^2 + \frac{1}{2} ab \times 4
整理して
:a^2+b^2=c^2
を得る。

Pythag anim.gif|正方形を用いた証明の視覚化
Pythagoras-2a.gif|正方形を用いた証明2
Pythagorean proof.png|正方形を用いた証明3

250px|thumb

### 内接円を用いた証明
 において、内接円の半径  を用いて面積  を表すと
:
となるが、より、
:
:
となるから、 に ,  を代入すると
:\frac{1}{2} ab = \frac{1}{4} (a+b-c)(a+b+c)
整理すると
:a^2+b^2=c^2
が得られる。

### 三角関数の加法定理を用いた証明
三角関数の加法定理は、本定理を使わないで、初等幾何的に証明できる（三角関数#性質）。三角関数の加法定理を使うと、
:\begin{align}
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta &= \cos \theta \cos \theta + \sin \theta \sin \theta \\
  &= \cos( \theta - \theta ) \\
  &= \cos 0 =1
\end{align}
または
:\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \sin \theta \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) + \cos \theta \sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \frac{\pi}{2} =1
が得られる。
また、加法定理から導かれる半角公式を適用すると
:\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}
:\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}
したがって
:\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
が得られる。

この式に\cos\theta=a/c、\sin\theta=b/cを代入すると、
:a^2+b^2=c^2
が得られる。

### 回転行列を用いた証明
平面において原点を中心とする角  の回転の表現行列は
:R(\theta)=\begin{bmatrix}
\cos \theta &-\sin \theta \\
\sin \theta &\cos \theta
\end{bmatrix}
であるが、このことも本定理を用いないで証明が可能である。ただし、加法定理とは同値の主張であるから、すでに述べた「加法定理による証明」（とくに、その第一の証明）と独立した証明にはなっていない。

（単位行列）であるが、この式の左辺を直接計算すると
:\begin{align}
R(\theta) \cdot R(-\theta)
  &= \begin{bmatrix}
\cos \theta&-\sin \theta \\
\sin \theta&\cos \theta
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\cos \theta &\sin \theta \\
-\sin \theta &\cos \theta
\end{bmatrix} \\
  &= \begin{bmatrix}
\cos^2 \theta+\sin^2 \theta&\cos \theta\sin \theta-\sin \theta \cos \theta \\
\sin \theta \cos \theta-\cos \theta\sin \theta&\sin^2 \theta+\cos^2 \theta
\end{bmatrix} \\
  &= \begin{bmatrix}
\sin^2 \theta+\cos^2 \theta &0 \\
0 &\sin^2 \theta+\cos^2 \theta
\end{bmatrix}
\end{align}
となる。したがって
:\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
が得られる。

この式に\cos\theta=a/c、\sin\theta=b/cを代入すると、
:a^2+b^2=c^2
が得られるa^2+b^2=c^2
が成立すれば、 は  の直角三角形となるが成立する。以下にその証明を述べる。

#### ピタゴラスの定理に依存しない証明
250px|thumb|ピタゴラスの定理に依存しない証明
 が  を満たすとする。線分  を  に内分する点を  とすると
:\begin{align}
\text{AD}
&= c \times \frac{b^2}{b^2+a^2} \\
&= c \times \frac{b^2}{c^2} \\
&= \frac{b^2}{c}
\end{align}
である。これより
:\text{AC} : \text{AD} =b:\frac{b^2}{c} = c:b = \text{AB} : \text{AC}
であるから2辺比夾角相等より \triangle \text{ACD} \sim \triangle \text{ABC}。
:\therefore \angle \text{ADC} = \angle \text{ACB}
同様に
:\angle \text{BDC} = \angle \text{BCA}
となるから

となる。

 より

一方

であるから、,  より

,  より
:\angle \text{ACB} = \frac{\pi}{2}
ゆえに  は  の直角三角形である。

#### 同一法を用いた証明
thumb|ピタゴラスの定理を用いた証明
 である直角三角形  において、 とすれば、ピタゴラスの定理より

が成り立つ。
一方、仮定から  において

が成り立っている。,  より
:c^2=c'\,^2
 より
:c=c'
したがって、3辺相等から
:\triangle \text{ABC} \equiv \triangle \text{A}'\text{B}'\text{C}'
。ゆえに  は  の直角三角形である。

#### 対偶を用いた証明
 において  であると仮定する。頂点  から直線  に下ろした垂線の足を  とし、 とする。

 の場合、直角三角形  においてピタゴラスの定理より
:\begin{align}
c^2 &= (a-d)^2+h^2 \\
    &= a^2-2ad+d^2+h^2
\end{align}
であり、同様に直角三角形  では
:b^2=d^2+h^2
である。よって
:c^2 = a^2-2ad+b^2 
となる。

 の場合も同様に考えて
:\begin{align}
c^2
&= (a+d)^2+h^2\\
&= a^2+2ad+d^2+h^2\\
&= a^2+2ad+b^2
\end{align}
ゆえに
:c^2 > a^2+b^2
となる。

よっていずれの場合も
:a^2+b^2 \ne c^2
である。対偶を取って、 ならば  である。

なお、この証明から分かるように、
* 
* 
* 
という対応がある。

#### 余弦定理を用いた証明
250px|thumb|余弦定理を用いた証明
ピタゴラスの定理は既知とすると、それより導かれる余弦定理を用いることができる。 において、 とおくと、余弦定理より
:c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
一方、仮定より
:a^2+b^2=c^2
であるから
:\cos C=0
となる。三角形の内角の和は  であるから  より、
:C = \cos^{-1} 0 = \frac{\pi}{2}
ゆえに  は  の直角三角形である。

## ピタゴラスの基本三角関数公式の証明

以下では、ピタゴラスの基本三角関数公式 、すなわち
:
\cos^2\theta+\sin^2\theta=1 

の証明を述べる。

もしも、三角関数\cos、\sinを\cos\theta=a/c、\sin\theta=b/cと初等幾何学的に定義すると、この等式はピタゴラスの定理と同値である。証明は、ピタゴラスの定理を表す等式の両辺をa^2で割り、\cos、\sinの定義を代入すればよい。

一方、三角関数は上記のような幾何的な定義以外の定義もある(三角関数#定義)。幾何的な描像を用いずに、三角関数を冪級数や積分などを用いたり、あるいは複素数の偏角と実部、虚部との関係としても定義できる。このような定義を用いると、以下に述べるように、ピタゴラスの基本三角関数公式をピタゴラスの定理を経由せずに証明することができる。

ただし、そのような三角関数の定義をした場合には、例えば\cosの定義はもはや\cos\theta=a/cではないので、この式から直ちにピタゴラスの定理が導かれるわけではない。

### オイラーの公式を用いた証明
三角関数と指数関数は冪級数によって定義されているものとする。（指数法則やオイラーの公式の証明に本定理が使用されない定義であればよい。）

[定義]

任意の0でない複素数  に対し、 だから
:\begin{align}
z
&= |z|e^{i\theta} \\
&= |z|(\cos\theta+i \sin\theta) \\
\end{align}
となる実数  が存在する。
このように絶対値  と偏角 θ で表したものを  の「極表示」といい、  を円の半径または、動径の長さもしくは、斜辺という。

[証明]

まず が任意の複素数  に対して成り立つことを（3通りの方法で）示す。

オイラーの公式より
:\begin{align}
1 &=e^0=e^{i\theta-i\theta}=e^{i\theta}e^{-i\theta} \\
  &=(\cos \theta+i\sin \theta)(\cos \theta-i\sin \theta) \\
  &=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta
\end{align}
または
:\begin{align}
\sin^2 \theta+\cos^2 \theta
  &=\left( \frac{e^{i\theta} -e^{-i\theta}}{2i} \right)^2 +\left( \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \right)^2 \\
  &=\frac{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}-2}{-4} +\frac{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}+2}{4} \\
  &=1
\end{align}
もしくは、オイラーの公式から三角関数の半角の公式を導出する。
:\begin{align}
\sin^2 \theta
  &=\left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} \right)^2 \\
  &=\frac{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}-2}{-4} \\
  &=\frac{1-\cos2\theta}{2}\ ,\\
\cos^2 \theta
  &=\left( \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \right)^2 \\
  &=\frac{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}+2}{4} \\
  &=\frac{1+\cos2\theta}{2} \ .
\end{align}
:

### 三角関数の微分公式を用いた証明
正弦および余弦関数を微分すれば

,  および微分公式より
:(\sin^2 \theta +\cos^2 \theta )'=2\sin \theta \cos \theta + 2 \cos \theta (-\sin \theta )=0
したがって
:\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =C
ここで  は定数である。 を代入すると  であるので、 が得られる。よって

が得られる。

### 三角関数の不定積分を用いた証明
下記のように関数を定める。
:f(\theta)=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta .
上記を漸化式を利用して不定積分すると
:\begin{align}
\int f(\theta) d\theta &= \int (\sin^2 \theta) d\theta + \int (\cos^2 \theta) d\theta \\
  &=\left( {1 \over 2}\theta - {1 \over 2}\sin\theta\cos\theta + C_1 \right ) + \left( {1 \over 2}\theta + {1 \over 2} \sin\theta\cos\theta + C_2 \right) \\
  &= \theta + C
\end{align}
である。微分積分学の基本定理を考慮し、これを微分すると
:\frac{d}{d\theta} \int f(\theta) d\theta = f(\theta) = \frac{d}{d\theta}(\theta + C ) = 1
である。したがって
:f(\theta)=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta =1.

### 冪級数展開を用いた証明
三角関数は級数によって定義されているものとし、 と  の自乗をそれぞれ計算すると
:\begin{align}
\sin^2 \theta
  &= \left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\theta^{2n+1} \right\}^2 \\
  &=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \frac{(-1)^{n-k}}{(2n-2k+1)!}\theta^{2n+2} \\
  &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \theta^{2n+2}}{(2n+2)!} \sum_{k=0}^n \binom{2(n+1)}{2k+1} \\
  &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \theta^{2n}}{(2n)!} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n}{2k+1} \\
  &=- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \theta^{2n}}{(2n)!} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n}{2k+1} \\
\cos^2 \theta
  &=\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\theta^{2n} \right\}^2 \\
  &=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k)!} \frac{(-1)^{n-k}}{(2n-2k)!} \theta^{2n} \\
  &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \theta^{2n}}{(2n)!} \sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k} \\
  &=1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \theta^{2n}}{(2n)!} \sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k}
\end{align}
となる。ここで二項定理より
:\begin{align}
\sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k} - \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n}{2k+1}
  &= \sum_{m=0}^{2n} (-1)^m {2n \choose m} \\
  &=(1-1)^{2n} =0
\end{align}
である。したがって
:\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
が得られる。

### 三角関数と双曲線関数を用いた証明
任意の  に対し
:\begin{align}
\sin^2 iz + \cos^2 iz
&= (i\sinh z)^2 + \cosh^2 z \\
&= \cosh^2 z - \sinh^2 z \\
&=1
\end{align}
である。よって任意の  に対して
:\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
が成り立つ。

## ピタゴラス数

3辺の長さが何れも整数である直角三角形は、ピタゴラスの定理の項目の中で古くから知られた。例えば、紀元前1800年ごろのバビロニアの粘土板には、3辺の長さの表（例えば  のようなもの）が出ている。

 を満たす自然数の組  を**ピタゴラス数** () という。特に、 が互いに素であるピタゴラス数  は**[[原始ピタゴラス数]]**  と呼ばれる。全てのピタゴラス数は原始ピタゴラス数で  の正の整数倍  で表されるから、ピタゴラス数のリストを知るには、原始ピタゴラス数が本質的である。

ピタゴラス数  が原始的であるためには、3つのうちある2つが互いに素であれば十分である。原始ピタゴラス数の小さい方のリストは、 で、 とすると次の通りである：
:(, , ) = (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

### ピタゴラス数の性質

ピタゴラス数  には、次の性質がある。
*  または  は  の倍数
*  または  は  の倍数
*  または  または  は  の倍数
** したがって、積  は  の倍数である。
自然数の組  が原始ピタゴラス数であるためには、ある自然数  が
*  は互いに素
* 
*  と  の偶奇が異なる（一方が偶数で他方が奇数）
を満たすとして、
:  または 
であることが必要十分である。上記の  は無数に存在し重複がないので、原始ピタゴラス数は無数に存在し、すべての原始ピタゴラス数を重複なく列挙できる。

例えば
: のとき 
: のとき 
: のとき 
である。 を満たす原始ピタゴラス数を  の昇順に並べた一覧表は以下のようになる。

また、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーは一般のピタゴラス数  に対して、（直角三角形の面積）は平方数でないことを無限降下法により証明した。

### Jesmanowicz 予想
1956年に Jesmanowicz が次の予想を提出した：
: を原始ピタゴラス数、 を自然数とする。方程式：
::(an)^x+(bn)^y=(cn)^z
:の自然数解  は
::x=y=z=2
:のみである。

### 特別なピタゴラス数
* 直角をはさむ2辺  が連続する原始ピタゴラス数は
:（）
:である。この問題はフランスの数学者ピエール・ド・フェルマーが出題し、解も発見した。
* 斜辺  と他の2辺の和  が両方とも平方数になる最小のピタゴラス数は
:
:である。この問題はピエール・ド・フェルマーが出題し、解も発見した。
* ピタゴラス数 () において  の差が 1 で、 が平方数になるのは  に限られる。
:
* 3辺の長さが  の直角三角形と、周の長さと面積の両方が同じ値となる、すべての辺の長さが整数である二等辺三角形が存在するならば、そのような直角三角形は全て相似であり、最小の () の値は、 である。

## 脚注

### 注釈

### 出典

## 参考文献
* 
* 
* 
*  &mdash; 原題：**.
*  &mdash; 原題：
* 
*  &mdash; 原題：.
* 
* 
*斎藤憲「証明の発明と発展 ―ギリシャ数学の創始・発展とその遺産」『科学史研究』第59巻第296号、2020年、387-393頁、doi:10.34336/jhsj.59.296_387
*Netz, Reviel (2022). A New History of Greek Mathematics
*Sidoli, Nathan (2014). “Research on Ancient Greek Mathematical Sciences,1998-2012”. From Alexandria, Through Baghdad. 
*Friberg, Jöran.(2000)  A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts,  Springer
*Barrow-Green, J., Gray, J., and Wilson, R. (2019). The History of Mathematics: A Source-based Approach, Volume 1, Ams/Maa Textbooks, 45, American Mathematical Society.
*Høyrup, J. (1999). Pythagorean "rule" and "theorem": mirror of the relation between Babylonian and Greek Mathematics. In J. Renger (Ed.), Babylon : Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne: 2. Internationales Colloquium der Deutschen Orient-Gesellschaft 24.-26. März 1998 in Berlin SDV Saarländische Druckerei und Verlag GmbH.
## 関連項目

* 計量テンソル
* 算数チャチャチャ
* ピタゴラス
* プリンプトン322
* ユークリッド原論
* フェルマーの最終定理
* ピタゴラス三体問題

## 外部リンク
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