連分数

**連分数**（れんぶんすう、）とは、分母に更に分数を含む分数である。分子が全て 1 であるものは特に**単純連分数**または**正則連分数**（）ともいう。単に連分数といえば、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形をとる。
:x=a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3}}}
ここで *a* は整数、それ以外の *a* は正の整数である。正則連分数は、最大公約数を求めるユークリッドの互除法から自然に生ずるものであり、古くからペル方程式の解法にも利用された。

下記のような記法もある。
*x=a_0+\frac{1}{a_1+}\, \frac{1}{a_2+}\,\frac{1}{a_3}
*x=[a_0;a_1,a_2,a_3]

また、極限の概念により、分数を無限に連ねたものも考えられる。
:[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots]=\lim_{n\to\infty}[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots,a_n]
二次無理数（整数係数二次方程式の根である無理数）の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。逆に、正則連分数展開が循環する数は二次無理数である。

## 計算方法
求めたい数を *ω* とおく。

*ω* が整数でなければ、*ω* を超えない最大の整数を *a* とし、次のように *ω* を定める。
:\omega_0=a_0+\frac1{\omega_1}

*ω* が整数でなければ、*ω* を超えない最大の整数を *a* とし、 次のように *ω* を定める。
:\omega_1=a_1+\frac1{\omega_2}

以降も同様。
:\omega_{n-1}=a_{n-1}+\frac1{\omega_n}

この操作を繰り返し、*n* 段までの連分数を求める。*ω* が有理数であれば、*n* は有限である。 *ω* が無理数であれば、無限の連分数となる。
:\begin{align}
\omega_0&=a_0+\cfrac1{a_1+\cfrac1{a_2+\cfrac1{\ddots\,a_{n-1}+\cfrac1{\omega_n}}}}
\\
&=[a_0;a_1,a_2,\dots,a_n]
\end{align}

ただし上述のように、*ω* が二次無理数であり、かつその場合に限り、循環する連分数になる。

\frac{p_n}{q_n}=[a_0; a_1,a_2,\dots,a_{n-1}] は *ω* に収束する。すなわち上記の作業を繰り返すことによりいくらでも実数 *ω* に近い有理数を求めることができる。また、*ω* と連分数の差は
:\left|\omega_0-\frac{p_n}{q_n}\right|
となる。

*p* と*q* にユークリッドの互除法を適用すると、割り算の商として数列 *a*, *a*, ... , *a* の*n* 個の整数が順番に現れる。上記の数列 *p*, *q* の定義は互除法の操作を逆にたどったものともいえる。

また、*p*, *q* は整数であるから、ユークリッドの互除法の帰結より、*p* と *q* は互いに素である。つまり連分数 \frac{p_n}{q_n} は既約分数である。

さらに |*p**q<sub>n</sub>* &minus; *pq*| = 1 である。また、*p* と *p* および、*q* と *q* も互いに素である。

なお数列*a* が全て 1 の場合、数列*p*, *q* はともにフィボナッチ数列 (*F* = 0, *F* = 1) である。すなわち
:\frac{p_n}{q_n} =\frac{F_{n+1}}{F_n}
である。そして、上で記したようにこの連分数は黄金比に収束する。ゆえに**隣り合うフィボナッチ数の比は黄金比に収束する**ことが分かる。

また、アレクサンドル・ヒンチンによると、ほとんど全ての実数について、正則連分数の場合、*a*以外の係数の幾何平均はある極限、つまりに接近する。\lim_{n \rightarrow \infty } \left( a_1 a_2 ... a_n \right) ^{1/n} = 
K_0 = 2.6854520010\dots

ただし、この定数は代数的無理数なのか超越数なのかについては、まだ分かっていない。

## 無理数の連分数展開の例
### 黄金数
&varphi; は *x* − *x* − 1 = 0 の正の解である。&varphi; を超えない最大の整数が 1 であることを考慮して、この方程式を下記のように変形する。
:\begin{align}
x^2&=x+1
\\
x&=1+\frac1 x
\end{align}

右辺の *x* に右辺自体を丸ごと代入して再帰的な形に変形できる。そのため、連分数 [1; 1, 1, 1, ...] を得られる。
:\begin{align}
x&=1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1\ddots}}}
\\
&=[1;1,1,1,\dots]
\\
\varphi&=[1;1,1,1,\dots]
\end{align}

より一般的には、*x* − *nx* = 1 の正の解を次のように表すことができる。
:
\begin{align}
x&=n+\cfrac1{n+\cfrac1{n+\cfrac1{n+\cfrac1\ddots}}}
\\
&=[n;n,n,n,\dots]
\\
&=\frac1 2\left(n+\sqrt{n^2+4}\right)
\end{align}

### その他の二次無理数
以下は二次無理数であるため、循環する連分数展開を持つ。

*2 の正の平方根
:\begin{align}
\sqrt2&=[1;\overline2]
\\
&=[1;2,2,2,\dots]
\end{align}

*2 の負の平方根
:\begin{align}
-\sqrt2&=[-2;1,1,\overline2]
\\
&=[-2;1,1,2,2,2,\dots]
\end{align}

*3 の正の平方根
:\begin{align}
\sqrt3&=[1;\overline{1,2}]
\\
&=[1;1,2,1,2,1,2,\dots]
\end{align}

*黄金数の逆数
:\begin{align}
\varphi^{-1}&=[0;\overline1]
\\
&=[0;1,1,1,\dots]
\end{align}

*白銀数
:\begin{align}
1+\sqrt2&=[2;\overline2]
\\
&=[2;2,2,2,\dots]
\end{align}

*白銀数の逆数
:\begin{align}
\frac1{1+\sqrt2}&=-1+\sqrt2
\\
&=[0;\overline2]
\\
&=[0;2,2,2,\dots]
\end{align}

### 超越数
*ネイピア数は超越数であり、その連分数展開は循環しないものの一定の規則性を持つ。
:ネイピア数 *e* = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...]()
*円周率の正則連分数展開には規則性がないと考えられている。
:円周率  = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, ...]（）
*円周率の正則でない連分数で規則性を持つものが存在する。
:\pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\cfrac{11^2}{\ddots \,}}}}}}
:\cfrac{4}{\pi} =1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\cfrac{5^2}{11+\cfrac{6^2}{\ddots \,}}}}}}

## 力学系としての連分数

## 脚注

## 参考文献
; 洋書
* William B. Jones and W.J. Thron: *Continued Fractions : Analytic Theory and Its Applications*, Addison-Wesley (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 11), ISBN 0-20113510-8 (1980). # Cambridge Univ. Press から2009年に再刊行。
* William B. Jones, W. J. Thron, Haakon Waadeland (Eds.): *Analytic Theory of Continued Fractions*, Proc. Seminar-Workshop held at Loen, Norway, 1981, Springer(LNM 932), ISBN 978-3-54039276-7 (1982).
* Wolfgang J. Thron(Ed.): *Analytic Theory of Continued Fractions II*, Proc. Seminar-Workshop held in Pitlochry and Aviemore, Scotland June 13–29, 1985, Springer(LNM 1199),ISBN	978-3-54038817-3 (1986).
* Lisa Jacobsen (Ed): *Analytic Theory of Continued Fractions III*, Proc. Seminar-Workshop, held in Redstone, USA, June 25-July 5, 1988, Springer, ISBN 978-3-54046820-2 (1989).
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* Oleg Karpenkov: *Geometry of Continued Fractions*, Springer, ISBN 978-3-642-39367-9 (2013年).
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* Hubert Stanley Wall: *Analytic Theory of Continued Fractions*, Dover Publications, ISBN 978-0-48682369-0 (2018年).　※ 初版は Chelsea Pub. (1948年）；デジタル化画像(Internet archive) url="https://archive.org/details/dli.ernet.16804/mode/2up".
* Tomas Sauer: *Continued Fractions and Signal Processing*, Springer, ISBN 978-3-030-84360-1 (2021年9月).
* Gabriela Ileana Sebe and Dan Lascu: *Metrical and Ergodic Theory of Continued Fractions*, Birkhäuser, ISBN 978-3-03186633-3 (2025年5月）.
; 和書
*

*
*
* ※ 主に第1章だが他の章も関係あり。
* L.A.リュステルニク、他　(著) ; 宮本敏雄、松野武、須斎由太郎(共訳)：「解析学 1：関数・極限・級数・連分数」、総合図書 (現代応用数学ハンドブック 1)、(1972年10月30日).
* 高橋磐郎、室谷義昭：「数値計算とその応用」、コロナ社（応用数学講座5）、ISBN 4-339-06024-0 (1979年7月15日）－ 第1章、第2章、第4章。
*
* Daniel Duverney、塩川宇賢(訳)：「数論：講義と演習」、森北出版、ISBN 4-627-08142-1 (2006年3月31日). ※ 第3章："連分数"、第4章:"正則連分数"など。
** - ハーディ＆ライト(2001)の復刊。
*
*
**第38章 おお，なんて美しい関数だこと（299-311頁）
**第39章 連分数のでんぐり返り世界（312-326頁）
**第40章 連分数，平方根，そしてペル方程式（327-341頁）
*
* 木田雅成：「連分数」、近代科学社(大学数学スポットライト・シリーズ)、ISBN 978-4-76490643-3 (2022年1月28日)。
* 杉山健一：「連分数と楕円積分」、共立出版、ISBN 978-4-320-11575-0 (2025年2月25日)。

## 関連項目
*クリストファー・ヘイブンズ - アメリカの殺人犯。獄中で連分数の論文を書いた。

## 外部リンク
*
*Continued fraction-Rosetta Code