扁平率

**扁平率**（へんぺいりつ、扁率、扁平度とも、flattening, oblateness）とは、楕円もしくは回転楕円体が、円もしくは球に比べてどれくらい扁平か（つぶれているか）を表す値である。円もしくは球では値が 0 である。つぶれるに従って値は 1 に近づく。

楕円または回転楕円体の長半径を *a*、短半径を *b* とすると、扁平率fは
:f=\frac{a-b}{a}=1-\frac{b}{a}
で定義される。  のように比の形で表すこともある。楕円率 *ε* を使えば
: 
とも書ける。

自転する天体の場合、遠心力によって赤道半径が極半径に比べて大きい扁球となる。したがって *a* が赤道半径、*b* が極半径となる。地球楕円体の扁平率としては、GRS80（測地系）のパラメータ値が用いられることが多い。

## 第一扁平率
冒頭で定義された扁平率 fは“第一扁平率”と称される。

## 第二扁平率
次のように定義される第二扁平率 f^\primeも用いられる。
:f'=\frac{a-b}{b}=\frac{f}{1-f}

## 第三扁平率
また第三扁平率 f^{\prime\prime} も用いられ、nと表記されることもある。古くはフリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルが子午線弧長の計算に用いていることが認められる。
:f*=\frac{a-b}{a+b}=\frac{f}{2-f}</math>
:<math>
\begin{align}
 n&=\frac{1-\sqrt{1-e^2}}{1+\sqrt{1-e^2}}  = \frac{1}{4} e^2 + \frac{1}{8} e^4 + \cdots\\
  e^2 &= \frac{4 n}{\left(1+n\right)^2}
\end{align}
</math>

== 離心率との関係 ==
楕円の[[離心率]]<math>e</math>との関係は、
:<math>e \triangleq \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{f(2-f)}</math>
となる。


例えば、扁平率が 0.1 の楕円の離心率はおよそ 0.43 である。離心率も扁平率と同様に、真円で 0 となり、つぶれるに従って 1 に近づくが、こちらは一般の[[円錐曲線]]に対する概念である。

== 地球の扁平率 ==

地球の扁平率としては、*'陸域**の[[測地系]]では全世界的に[[GRS80]]のパラメータ値が用いられる。日本の**陸地**測量の基準も同様である。ただし、未だに[[GRS80]]以外の古い測地系を用いている開発途上国がある。

赤道半径（＝長半径） a = 6 378 137m（正確に）

扁平率　:<math>f=\frac{1}{298.257\ 222\ 101}</math>（正確に）

この定義から、極半径 b = 6 356 752.314 140 356 m （近似値）となる。

日本では以上の基準は、日本の**陸地**における測量の基準を定めている[[測量法]]施行令第3条において、地球の赤道半径（[[測量法]]では「長半径」）と扁平率を上記の[[GRS80]]と同じ値で定義している。

=== 海図における扁平率（WGS84) ===
[[海図]]など**海域**における測量の基準としては、赤道半径（＝長半径）は同一だが、扁平率については[[WGS84]]測地系と呼ばれる別の測地系に基づくものが、全世界的に使用されている。この値は、[[GRS80]]とはごくわずかに異なっている。

:<math>f=\frac{1}{298.257\ 223\ 563}</math>

このWGS84における極半径は b = 6 356 752.314 245 179m（近似値）となり、[[GRS80]]に比べて、約0.105 mmだけ長いが、実用上は全く問題とはならない差である。

日本ではこの扁平率は、海図などの**海域**における測量の基準を定めている（[[水路業務法]]施行令第2条第2号において規定されている）。

=== 地球の赤道面の扁平率 ===
測量の基準とする[[地球楕円体]]では、[[赤道]]面は正円と仮定している。しかし、現実の地球の赤道面は正円ではない。赤道面楕円の扁平率（f1）は、

<math>f1=\frac{1}{91 026}</math>

であり、その長軸の向き（λ1）は、西経14.9291±0.0010°である。

== 他の天体の扁平率 ==

[[太陽]]は極めて球に近く、その扁平率はおよそ とされる。[[太陽系]]の[[惑星]]の扁平率は、[[水星]]が 0.0006 未満、[[金星]]が 0.0002 未満、地球が前述の通りおよそ 0.0033528、[[火星]]が 0.00589 &#177; 0.00015、[[木星]]が 0.06487 &#177; 0.00015、[[土星]]が 0.09796 &#177; 0.00018、[[天王星]]が 0.0229 &#177; 0.0008、[[海王星]]が 0.0171 &#177; 0.0013 である。自転時間が長く、密度の大きい岩石質の固体で構成されている[[地球型惑星]]で比較的小さく、自転時間が短く、密度が極めて小さいガス質の気体で構成されている[[木星型惑星]]で比較的大きい傾向にある。扁平率が大きい土星は、倍率がそれほど大きくない[[天体望遠鏡]]でも、扁平であることが視認できる。実際、土星の極半径が約 54,364km であるのに対し、赤道半径は約 60,268km である。

== 注釈 ==
<references group="注釈"/>
==出典==
<references />

== 関連項目 ==
* [[測地学]]
* [[地球楕円体]]

== 参考文献 ==
* [http://earth-info.nga.mil/GandG/publications/tr8350.2/tr8350_2.html 国家画像地図局（現 アメリカ国家地球空間情報局）技術報告8350.2], 7.3節
* König, R. and Weise, K. H. (1951): ''Mathematische Grundlagen der höheren Geodäsie und Kartographie'', Band 1, Das Erdsphäroid und seine konformen Abbildungen, Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg
* Ганьшин, В. Н. (1967): ''Геометрия земного эллипсоида'', Издательство «Недра», Москва
* Bessel, F. W. (1837): [https://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1837AN.....14..333B&amp;data_type=PDF_HIGH&amp;whole_paper=YES&amp;type=PRINTER&amp;filetype=.pdf Bestimmung der Axen des elliptischen Rotationssphäroids, welches den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am meisten entspricht], Astronomische Nachrichten, **14''', 333-346