算術幾何平均

数学において**算術幾何平均**（さんじゅつきかへいきん、Arithmetic-geometric mean）とは、2 つの複素数（しばしば正の実数）に対して算術平均（相加平均）と幾何平均（相乗平均）を繰り返し用いて作られる数列の極限のこと。

## 定義
|\arg(b/a)|\ne\pi である複素数 a,\ b について

と定めれば数列 \{a_n\} と \{b_n\} は同じ値に収束する。その極限を a,\ b の算術幾何平均と呼ぶ。ただし、幾何平均 b_n の根号の符号は算術平均 a_n の側にあるものを選ぶものとする。

\real(b/a)>0 の場合、算術幾何平均は次式の楕円積分で表される。
}}
\real(b/a)=0 の場合は、次式になる。
\\
&=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\sin^2\theta}}\\
&=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\left(\frac{a+b}{2}\right)\sqrt{1-\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2\sin^2\theta}}\\
\end{align}}}

## 概要
a,\ b が正の実数である場合、

が成り立ち（相加・相乗平均の関係式）、

となることから

という関係が成り立っている。{*a**n*} は下に有界な単調減少数列であり、{*b**n*} は上に有界な単調増加数列であるので、それぞれが収束する。{*a**n*} の極限を &alpha; とし、{*b**n*} の極限を &beta; とすると定義の漸化式から

が両立しなければならない。2 式とも整理すれば &alpha; = &beta; となるので、2 つの数列 {*a**n*},  {*b**n*} は *n* &rarr; &infin; とした極限で同じ値に収束することが確かめられる。

## 性質
正の定数 c > 0 に対し

が成り立つ。

この数列の収束は

を満たすので、1回のステップで精度が2倍になる。

また次のことが知られている。
.
}}
右辺の積分は、楕円積分であり簡単には積分できない。しかし、算術幾何平均の収束が速いので、数値計算による円周率の計算に用いられることがある。

## 証明
複素数 a,\ b の算術幾何平均が収束することは、以下によって証明できる。

\left|a_n-b_n\right|となるように b_n の根号の符号を決めると約束したので、

である。d_n を a_n の階差とすれば
{\sqrt{\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}}}}
である。したがって、級数 \sum{d_n} は絶対収束する。すなわち、数列 \{a_n\} は収束し、数列 \{b_n=2a_{n+1}-a_n\} は \{a_n\} と同じ値に収束する。

算術幾何平均と楕円積分の関係は以下によって証明できる。ただし、a,\ b は正の実数とする。
\\
&=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}}\\
&=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}\\
\end{align}}}
x=\tan\theta と置換すると、
\\
&=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{a^2x^2+b^2x^2+b^2x^4+a^2}}\\
&=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{(a+b)^2x^2+(bx^2-a)^2}}\\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x\sqrt{\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{bx^2-a}{2x}\right)^2}}\\
\end{align}}}
t=\frac{bx^2-a}{2\sqrt{ab}\;x} と置換することによって、
{\sqrt{ab+abt^2}}\right)dt=\frac{x}{\sqrt{1+t^2}}dt
\begin{align}I(a,b)
&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{\left(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+abt^2\right)\left(1+t^2\right)}}\\
&=\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{\left(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+abt^2\right)\left(1+t^2\right)}}\\
&=I\left(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}\right)
\end{align}}}
となる。したがって、
=\frac{\pi}{2M(a,b)}\\
\end{align}}}

a,\ b が複素数である場合は、積分路 t=\frac{bx^2-a}{2\sqrt{ab}\;x} と実軸との間に（留数をもつ）極がないことを確かめなければならない。
u=\real\left(b/a\right), v=\image\left(b/a\right) とすれば、
}
&=\frac{(b/a)x^2-1}{(1+b/a)x}=\frac{(u+iv)x^2-1}{(1+u+iv)x}\\
&=\frac{(ux^2-1+ivx^2)(1+u-iv)}{\left((1+u)^2+v^2\right)x}\\
&=\frac{(u+u^2+v^2)x^2-(1+u)+ivx^2+iv}{(1+2u+u^2+v^2)x}\\
\end{align}}}
これに x^2=\frac{1+u}{u+u^2+v^2} を代入すると
}
&=\frac{iv\frac{1+2u+^2+v^2}{u^2+v^2+u}}{(1+2u+u^2+v^2)\sqrt{\frac{1+u}{u+u^2+v^2}}}\\
&=\frac{iv}{\sqrt{(1+u)(u+u^2+v^2)}}\\
\end{align}}}
であり、u>0 となるように幾何平均の根号の符号を決めると約束したので、積分路は極 \pm i\,\frac{a+b}{2} の間（原点に近いところ）を通る。また、u'=\real\left(\sqrt{b/a}\right), v'=\image\left(\sqrt{b/a}\right) とすると、
{2x}=\frac{(u'+iv')^2x^2-1}{(u'+iv')x}\\
&=\frac{(u'^2+v'^2)(u'+iv')x^2-(u'-iv')}{2(u'^2+v'^2)x}\\
\end{align}}}
これに x^2=\frac{1}{u'^2+v'^2} を代入すれば
\\
\end{align}}}
であるから、積分路は極 \pm{i} の間を通る。

## 算術調和平均
|\arg(b/a)|\ne\pi である複素数 a,\ b について算術平均と調和平均を繰り返して得られる数列

である。つまり、算術調和平均は a,\ b の幾何平均に等しい。このことは

から明らかである。

## 調和幾何平均
|\arg(b/a)|\ne\pi である複素数 a,\ b について幾何平均と調和平均を繰り返して得られる数列

である。つまり、調和幾何平均と算術幾何平均の積は幾何平均の自乗に等しい。このことは、a_n,\ b_n を逆数にして

から明らかである。

## 関連項目
*平均