米田の補題

**米田の補題**（よねだのほだい、）とは、局所小圏  について、共変あるいは反変hom関手 ,  から集合値関手  への自然変換と、値となる集合  の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。

米田の補題は、普遍性という概念の根幹に関わる重要な補題であり、また、圏論において「間違いなく最も重要な結果である」「もしかしたら最も利用されているただ1つの結果かもしれない」と言われている。

## 語源
「米田の補題」という名称は、米田信夫に因んでソーンダース・マックレーンにより名付けられた。その主張は、マックレーンによれば、米田の仕事に早くから現れていたという。ただし、によれば、この補題が初めて (明示的に) 論文に登場したのは  である。

## 概要

### 主張の内容
 を局所小圏とする。すなわち  の各対象 ,  に対して  は集合であるとする。対象  を固定するとき、共変hom関手  は対象  に対して、集合  を割り当て、射  に対して写像  を割り当てる関手であった。

ここで、  を集合値関手としたとき、 から  への自然変換は集合  の要素と1対1対応する、という主張が米田の補題である。すなわち、米田の補題は  から  への自然変換の全体が集合  と書けて、**米田写像**（Yoneda map）と呼ばれる全単射y:\mathop{\mathrm{Nat}}(H^A,F)\cong F(A)が存在し、この同型は  と  について自然であるということを主張する。また、 が反変関手  である場合も、反変hom関手  との間にy:\mathop{\mathrm{Nat}}(H_A,F)\cong F(A)という全単射が存在して、これは  と  について自然となる。このことはどちらも米田の補題と呼ばれる。

### 米田写像の対応
関手  は共変 () とする。このとき、共変hom関手  から  への自然変換  は、任意の  の射  に対して \tau_Y\circ H^A(f)=Ff\circ\tau_X が定義から成り立つ。いま、 の場合に、 での恒等射  がどのように写るかを追うことで、等式\tau_Y(f)=Ff(\tau_X(\mathrm{id}_A))を得る。ここから、自然変換  の情報は \tau_X(\mathrm{id}_A)\in F(A)  から全て得られることがわかる。

## 証明
自然変換  に対して y(\tau):=\tau_A(\mathrm{id}_A)\in F(A) と置く。 の  に対する「単射性」および「全射性」を示すことで全単射写像の存在を示す。

**単射性**： に対して、自然変換  が存在して  であったとする。このとき、任意の射  に対して  は \tau_Y(a)=Ff(a) を満たす。これにより  の全てのコンポーネントが一意に定まる、すなわちそのような  は一意に定まるため、 は単射である。

**全射性**： を任意に固定する。 の対象  それぞれに対して、写像  を \tau_X(f)=Ff(a) で定める。このとき、 と  に対して Ff(\tau_X(g))=F(f\circ g)(a)=\tau_Y(f\circ g) が成り立つことから、 はある自然変換  のコンポーネントである。定義から  であるため  が成り立つ。すなわち  は全射である。

## 補題の帰結

### 普遍性
集合値関手  が、ある  と自然同型であるとき、 を表現可能関手 (representable functor) といい、 は  の表現対象 (representing object) あるいは単に  の表現という。 が表現可能関手であるとき、米田の補題の帰結として次の主張が成り立つ。

逆に、上記定理の条件を満たす  と  の組を  の普遍要素 (universal element) と呼ぶ。より一般に、関手  と  に対して、 の  への普遍性 (universality) とは、 と  の射  の組であって、任意の  と  の射  に対して、 の射  がただ1つ存在して、 が成り立つことを言う。

普遍要素の性質は一点集合からの普遍性と言えて、普遍性は  の普遍要素として表現できるため、普遍性・普遍要素・表現可能関手はそれぞれ互いの概念を包含する。

### 米田埋め込み
米田写像の自然性から、対象  に関手 、あるいは  を割り当てる操作は、関手

H^\bull:\mathbf{C}^{\mathrm{op}}\to[\mathbf{C},\mathbf{Set}]\quad(H_\bull:\mathbf{C}\to[\mathbf{C}^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]) を構成する。米田の補題から \mathop{\mathrm{Nat}}(H^A,H^B)\cong H^B(A)=\mathop{\mathrm{hom}}(A,B) であるため、 () は忠実充満であることが言える。このことから、 () を**米田埋め込み** (Yoneda embedding) とも呼ぶ。米田埋め込みは  や  などの記号によって表されることもある。

関手  に対して、 の「要素の圏」(category of elements)  とは、、 の組とその関係を保つ  の射からなる圏 (すなわち、米田埋め込み  を用いたコンマ圏 ) のことである。 から  の情報を取り出す関手を  と表すとき、 は  の余極限 (と同型) である。つまり、任意の集合値関手は表現可能関手による余極限として表される。

### 前層の部分対象分類子

有限の極限を持つ圏  上のとは  からの反変関手  のことであり、このとき前層の圏を  で表す。圏  のとは、(存在するならば)  の対象  とモノ射  (は終対象) であって、任意のモノ射  に対して、 かつその可換図式が引き戻しとなるような \chi_j:X\to\Omega がただ1つ存在するようなものを言う。

前層の圏  への米田埋め込みを  で表すとする。いま、 に部分対象分類子  が存在するならば、特に  () について\mathrm{Hom}_{\hat{\mathbf{C}}}(YC,\Omega)=\mathop{\mathrm{Nat}}(\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(\_,C),\Omega)\cong\Omega(C)が成り立つ (右の同型が米田の補題から従う)。部分対象分類子の定義から、左辺の集合は  の部分対象の集合と互いに1対1対応する。従って、等式全体が  について自然であることから、 は必ず部分対象分類子を持ち、それは表現可能な前層  の部分対象を調べればよいことがわかる。

## 豊穣圏での補題
豊穣圏とは、通常の圏におけるhom集合 (すなわち対象の間の射の集合) の代わりに、順序集合、加法群、その他の対象 (一般には、あるモノイダル圏  の対象として記述される) を割り当てるような一般化した構造であり、例えばこの意味で通常の圏は -豊穣圏、2-圏は -豊穣圏と言える。豊穣圏の理論では、 の条件によって (具体的には完備かどうかによって) 米田の補題は強いものと弱いものに分けられる。

ただし、[]において、-豊穣圏は対象の集まりが集合であることが定義で定められている。また、豊穣圏の理論において「関手圏」 のhom対象  にあたるものは、関手  のである。[A,V](A(K,\_),F):=\int_{x\in A}V(A(K,x),Fx)
## 脚注



## 参考文献
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** (再版) 
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*  邦訳：『圏論の基礎』
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## 関連項目
* 図式スキーム
* ホモロジー代数
* アーベル圏