エーレンフェストの定理

**エーレンフェストの定理**（エーレンフェストのていり、）は、量子力学における重要な定理のひとつで、大まかにいえば『シュレーディンガー方程式の期待値を取ることで古典力学における運動方程式（に大変よく似たもの）が得られる』ことを主張している。この定理はオランダの物理学者ポール・エーレンフェストにより提唱され、量子力学と古典力学の対応を論じるときによく用いられる。

## 定理の主張
量子系の座標のrの期待値とそれに共役な運動量pの期待値とが時間とともにどのように変化するかを計算し、{d \over dt}\langle r\rangle={1 \over m}\int \psi^*{\hbar \over i}\nabla\psi d^3r,{d \over dt}\langle p\rangle=-\int \psi^*(\nabla V)\psi d^3r=-\langle\nabla V\rangle=\langle F\rangleより、それぞれ、{d \over dt}\langle r\rangle={1 \over m}\langle p\rangle　（1）　　　　　{d \over dt}\langle p\rangle=-\langle\nabla V \rangle=\langle F\rangle（2）

が得られる。これは、古典論の運動方程式、

{dr \over dt}={1 \over m}p         {dp \over dt}=-\nabla V

とよく似ている。rの期待値とpの期待値が時間とともにどのように変化していくかという関係、（1）の式と（2）の式をエーレンフェストの定理という。

## 証明
まず、期待値の定義より
: 
\begin{align}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle \mathbf r \rangle
&= \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\int \psi^*(\mathbf r,t) \mathbf r \psi(\mathbf r,t) \mathrm d \mathbf r \\
&= \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{\partial \psi}{\partial t}\right]\mathrm d \mathbf r
\end{align}
を得る。ここでシュレーディンガー方程式より
: \begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{\partial \psi}{\partial t}\right]\mathrm d \mathbf r
&= \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[-\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi^*)\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi)\right]\mathrm d \mathbf r \\
&= \frac{1}{i\hbar}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\int\left[-\left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi^*\mathbf r \psi + \psi^* \mathbf r \left\{\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi\right]\mathrm d \mathbf r \\
&= \frac{1}{i\hbar}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi - \psi^* \mathbf r \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi\right]\mathrm d \mathbf r \\
&= -\frac{i\hbar}{2m}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi - \psi^* \mathbf r \nabla^2 \psi\right]\mathrm d \mathbf r
\end{align}
部分積分と、積分範囲が空間全体にわたること、及び波動関数は無限遠では0となるという仮定を用いると
: \begin{align}
\int\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi\ \mathrm d \mathbf r
&= [\nabla\psi^*\mathbf r \psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla\psi^* \nabla(\mathbf r \psi)\mathrm d \mathbf r \\
&= -[\psi^*\nabla(\mathbf r \psi)]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^*\nabla^2(\mathbf r \psi) \mathrm d \mathbf r \\
&= \int \psi^*\nabla(\nabla \mathbf r \psi + \mathbf r \nabla \psi) \mathrm d \mathbf r \\
&= \int \left[ \psi^*\nabla \psi + \psi^* \nabla( \mathbf r \nabla \psi) \right] \mathrm d \mathbf r \\
&= \int \left[ 2\psi^*\nabla \psi + \psi^* \mathbf r \nabla^2 \psi \right] \mathrm d \mathbf r
\end{align}
これらを用いると
: m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int \psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r=-i\hbar\int \left[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{\partial \psi}{\partial t}\right] \mathrm d \mathbf r
再度シュレーディンガー方程式を用いて
: \begin{align}
-i\hbar\int \left[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{\partial \psi}{\partial t}\right] \mathrm d \mathbf r
&= -i\hbar\int \left[ -\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi^*) \nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi)\right] \mathrm d \mathbf r \\
&= \int \left[ \left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi^* \nabla \psi - \psi^*\nabla \left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi\right] \mathrm d \mathbf r \\
&= -\frac{\hbar^2}{2m}\int \left [ \nabla^2\psi^*\nabla\psi-\psi^*\nabla^3\psi \right ] \mathrm d \mathbf r + \int \left[ U(\mathbf r) \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla(U(\mathbf r) \psi)\right]\mathrm d \mathbf r
\end{align}
また部分積分を使うと、
: \begin{align}\int \nabla^2\psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r
&= [\nabla\psi^*\nabla\psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla \psi^* \nabla^2 \psi \mathrm d \mathbf r \\
&= - [\psi^* \nabla^2 \psi]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r \\
&= \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r 
\end{align}
加えて
: \begin{align}
U \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla(U \psi)
&= U \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla U \psi - U \psi^* \nabla \psi \\
&= -\psi^*\nabla U \psi
\end{align}
を用いると、
: m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-\int \psi^* \nabla U \psi \mathrm d \mathbf r
を得る。この右辺の積分は、期待値の導出法から\nabla Uの期待値であるから、
: m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-\langle \nabla U \rangle
となる。

## 脚注

### 出典

## 関連項目

* 古典物理学