ハーシャッド数

**ハーシャッド数**（ハーシャッドすう、）とは、自然数の数字和（各位の和）が元の数の約数に含まれている自然数である。

例えば、315の約数は (1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 63, 105, 315) であって、各位の和は 3 + 1 + 5 = 9 である。9は315の約数なので、315はハーシャッド数である。

ハーシャッド数はインドの数学者 D. R. カプレカル（英語表記: D. R. Kaprekar、カプレカー数の考案者でもある）によって定義され、サンスクリット語の  （喜び）と  （与える）が語源である。イヴァン・ニーベンの名を冠し、ニーベン数（Niven number）とも呼ばれる。

ハーシャッド数は無数に存在し、そのうち最小の数は1である。十進法でのハーシャッド数を1から小さい順に列記すると
:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, …（）

## 定義
自然数 *X* を *n* 進法で *m* 桁の数とする。右端から *k* 桁目の数字を *a<sub>k</sub>* (*k* = 1, 2, 3, …, *m*) とすると、
:X = \sum_{k=1}^{m} a_k n^{k-1}
である。
:X = A\sum_{k=0}^{m} a_k
を満たす自然数 *A* が存在するとき、*X* は *n* 進法での**ハーシャッド数**である。

## 性質
*n* 進法の場合、1 から *n* までの数および *n**k*（*k* は自然数）は必ずハーシャッド数である。特に 1, 2, 4, 6 の 4 数だけは何進法においてもハーシャッド数となる。

ハーシャッド数は 1 桁の素数と 10 自体が素数である場合を除いて全て合成数である。

H. G. Grundman は1994年に、十進法では 21 個以上の連続する自然数が全てハーシャッド数になるような組はないことを証明した。また彼は 20 個の連続する自然数が全てハーシャッド数になる最小の組を見つけ、それらは 1044363342786 を超える数である。二進法では 4 つの連続する自然数が全てハーシャッド数であるような組は無数に存在し、三進法では 6 つの連続する自然数が全てハーシャッド数であるような組が無数に存在する。これらの事実は T. Cai によって1996年に証明された。一般的にそれらの数の組は *n* 進法で *N* &times; *n**k* &minus; *n* から *N* &times; *n**k* + (*n* &minus; 1) までの連続する 2*n* 個の数である。ここで *N* はある定数で *k* は比較的大きな数である。

数の間に 0 が連続して続く数を使って無数にハーシャッド数を作ることができる。例えば 21 を使うと、21, 201, 2001, 20001 などは全てハーシャッド数になる。

自然数 *x* 以下のハーシャッド数の個数を *N*(*x*) とおくと、どんな正の数 ε に対しても以下の式が成り立つ。
:x^{1-\varepsilon} \ll N(x) \ll \frac{x\log\log x}{\log x}
これは Jean-Marie De Koninck と Nicolas Doyon によって証明された。De Koninck、Doyon、Kátai はまた
:N(x) = (c+o(1))\frac{x}{\log x}
を証明した。ただし *c* =  log10 = 1.1939… である。

各位の和 (ハーシャッド数の基数、数字和) が1, 3, 9となる数はすべてハーシャッド数である。特に10の累乗数はすべてハーシャッド数である。

## 一覧

上記の一覧表でも明確な通り、ハーシャッド数は3の倍数 (基数、自然数ともに) に多いことがわかる。

* 各基数における最小のハーシャッド数は 、2番目は  を参照。
* 各基数 *n* における *n* 番目のハーシャッド数は  を参照。

## 各種数列
* ハーシャッド数がフィボナッチ数である数は
:1, 2, 3, 5, 8, 21, 144, 2584, …（） 

* ハーシャッド数が三角数である数は
:1, 3, 6, 10, 21, 36, 45, 120, 153, 171, 190, 210, 300, …（）

* ハーシャッド数が平方数である数は
:1, 4, 9, 36, 81, 100, 144, 225, 324, 400, 441, 576, 900, 1296, 1521, …（）

* ハーシャッド数が楔数である数は
:30, 42, 70, 102, 110, 114, 190, 195, 230, 266, 285, 322, 370, 399, 402, …

* ハーシャッド数が五角数である数は
:1, 5, 12, 70, 117, 210, 247, 330, 715, 782, 1080,…（）

* ハーシャッド数が立方数である数は
:1, 8, 27, 216, 512, 1000, 1728, 4913, 5832, 8000, 13824, …（）

* 立方数になるハーシャッド数のうち、各位の和の基数と *n* の *n* が等しい数は
:1, 512, 4913, 5832, 17576, 19683 （）

* ハーシャッド数が回文数である数は
:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 111, 171, 222, 252, 333, 414, 444, 555, …（）

* ハーシャッド数が半素数である数は
:4, 6, 9, 10, 21, 111, 133, 201, 209, 247, 407, …（）

* ハーシャッド数のうち、(元の数) ÷ (各位の和)で求められた商がまたハーシャッド数になり、最後には1となる数がある。その数は
:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 18, 21, 24, 27, 36, 42, 45, 48, 54, 63, 72, 81, 84, 108, 162, 216, 243, 324, 378, 405, …（）
:（例：216 ÷ (2+1+6) = 24 → 24 ÷ (2+4) = 4 → 4 ÷ 4 = 1）

* ハーシャッド数でかつ各位の積で割り切れる数（ズッカーマン数）は
:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 24, 36, 111, 112, 132, 135, 144, 216, 224, 312, 315, 432, 612, 624, 735, 1116, …（）
:（例：216 ÷ (2+1+6) = 24、216 ÷ (2×1×6) = 18）

* ハーシャッド数で各位の和かつ因数分解の合計も基数に等しい数（スミス数）は
:4, 27, 378, 576, 588, 645, 648, 666, 690, 825, 915, 1872, 1908, 1962, 2265, 2286, 2484, 2556, 2688, 2934,…（）
: （例①：4 = 2、2 × 2 = 2 + 2 = 4
: 例②：378 (18) = 2 × 3 × 7、2 + 3 × 3 + 7 = 3 + 7 + 8 = 18
: 例③：645 (15) = 3 × 5 × 43、3 + 5 + 4 + 3 = 6 + 4 + 5 = 15）

* 2の累乗数でハーシャッド数になるのは1桁の1～8（2～2）と512（2）のみ。3の累乗数でハーシャッド数になるのは
:1, 3, 9, 27, 81, 243, 19683, 59049, 177147,…（）
:であり、5の累乗数では1桁の1, 5と、390625のみである。
:素数の累乗数の中でハーシャッド数になるのは
:2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 27, 81, 243, 512, 2401, 4913,…（）

* 階乗数のうちハーシャッド数でない最小の数は 432! である。

## 関連項目
* ズッカーマン数 - 各位の総乗が約数となる数

## 脚注


## 参考文献

## 外部リンク
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