サイクロイド

**サイクロイド**（）とは、円がある規則にしたがって回転するときの円上の定点が描く軌跡として得られる平面曲線の総称である。一般にサイクロイドといえば定直線上を回転するものを指すことが多い。**擺線**（はいせん）とも呼ばれる。

ファイル:Cycloid f.gif|サイクロイドの図示
ファイル:Cycloid.png|サイクロイド (, )
ファイル:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|サイクロイド（青）、その（赤）および縮閉線（緑）。


## 定義および性質
定直線に沿って円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡を**サイクロイド**という（→生成アニメーション）。サイクロイドはトロコイドの一種と見なすことができる。半アーチ分の伸開線は、自身と合同なサイクロイドとなる。逆に言うと、サイクロイドの縮閉線は、自身と合同なサイクロイドとなる。

円が  が非負の側で  軸上を転がるとき、動円の半径を 、回転角を  とすると、原点を通るサイクロイドの媒介変数表示は
:\begin{cases}
 x = r_\mathrm m(\theta - \sin \theta), \\ 
 y = r_\mathrm m (1 - \cos \theta).
\end{cases}
となる。このとき、
* \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy/\mathrm d\theta}{\mathrm dx/\mathrm d\theta}=\frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}
* \frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dx}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac{1}{r_\mathrm m(1 - \cos \theta)^2}
* 媒介変数  の地点における曲率半径は
:4r_{\mathrm m}\left| \sin \frac{\theta}{2} \right|.

* "円が1回転したときの定点の軌跡" の長さを  とすると、
:\begin{align}
  l &= \int_0^{2\pi} \sqrt{\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm d\theta}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm d\theta}\right)^2} {\mathrm d\theta} \\
    &= \int_0^{2\pi} r_\mathrm m \sqrt{2 - 2\cos\theta}\, {\mathrm d\theta} \\
    &= 2r_\mathrm m\int_0^{2\pi} \sin \frac{\theta}{2}\, {\mathrm d\theta} \\
    &= 8r_\mathrm m.
\end{align}（= "当該円の半径" の 8倍）

* "円が1回転したときの定点の軌跡" と "-軸" で囲まれた部分の面積を  とすると、
:\begin{align}
  S &= \int_{0}^{2 \pi r_\mathrm m} y \, {\mathrm dx} = \int_{0}^{2 \pi} r_{\mathrm m}^{2}(1 - \cos\theta)^2 {\mathrm d\theta} \\
    &= 4r_{\mathrm m}^{2}\int_{0}^{2 \pi}\sin^4\frac{\theta}{2}\, {\mathrm d\theta} \\
    &= 3\pi r_{\mathrm m}^{2}.
\end{align}（= "当該円の面積" の 3倍）
* *x*軸まわりの回転体の体積を  とすると、
:\begin{align}
  V_x &= \pi\int_{0}^{2 \pi r_\mathrm m} y^2 \, {\mathrm dx} = \pi\int_{0}^{2 \pi} r_{\mathrm m}^{3}(1 - \cos\theta)^3 {\mathrm d\theta} \\
      &= 8\pi r_{\mathrm m}^{3}\int_{0}^{2 \pi}\sin^6\frac{\theta}{2}\, {\mathrm d\theta} \\
      &= 5\pi^{2} r_{\mathrm m}^{3}.
\end{align}
* *x*軸まわりの回転体の表面積を  とすると、
:\begin{align}
  S_x &= 2\pi\int_0^{2\pi} r_\mathrm m (1 - \cos \theta)\sqrt{\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm d\theta}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm d\theta}\right)^2} {\mathrm d\theta} \\
      &= 8\pi r_{\mathrm m}^{2}\int_{0}^{2 \pi}\sin^3\frac{\theta}{2}\, {\mathrm d\theta} \\
      &= \frac{64}{3}\pi r_{\mathrm m}^{2}.
\end{align}
* サイクロイドの微分方程式は
:\left( \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} \right)^2 = \frac{2r_\mathrm {m}}{y}-1, \quad \frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2} = -\frac{r_\mathrm {m}}{y^2}.

## 応用分野

* 
* サイクロイド振り子 - 任意振幅に対して等時性を担保する振り子

## 参考文献
* 

## 関連項目
* エピサイクロイド
* ハイポサイクロイド
* 曲線
* 最速降下曲線
* スピログラフ
* シャープ - AQUOSケータイシリーズに採用した、画面が横になる仕組みをサイクロイドスタイルと命名。サイクロイドスタイルと共にサイクロイドも同社の登録商標または商標となっている
* サイクロイド (ストリートファイター) - ゲーム『ストリートファイターEX』シリーズに登場する架空の人造人間

## 外部リンク
* 
* 
* Cycloids at :en:cut-the-knot
* A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves, monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by Cornell University Library.
* 
* *[https://demonstrations.wolfram.com/CycloidCurves/ Cycloid Curves]* by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, Wolfram Demonstrations Project.