ワトソンの五重積

数学において次の恒等式を**ワトソンの五重積** (ワトソンのごじゅうせき、Watson Quintuple Product) という。
:\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}z^{-1})(1-q^{4m-2}z^{2})(1-q^{4m-2}z^{-2})

## 証明
ヤコビの三重積により
:\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nq^{n(n+1)}z^{n}=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}z^{-1})
:\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nq^{2n^2}z^{2n}=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{4m})(1-q^{4m-2}z^{2})(1-q^{4m-2}z^{-2})
オイラーの五角数定理により
:\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nq^{2n(3n-1)}=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{4m})

これらを用いて五重積の公式を書き直せば
:\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^mq^{2m(3m-1)}\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\sum_{j=-\infty}^{\infty}(-1)^jq^{j(j+1)}z^{j}\sum_{k=-\infty}^{\infty}(-1)^kq^{2k^2}z^{2k}
となるので、この両辺が等しいことを証明する。左辺は
:\begin{align}L
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}q^{2m(3m-1)+n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}q^{2m(3m-1)+n(3n+1)}z^{3n}-\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}q^{-2m(-3m-1)-n(-3n+1)}z^{3n-1}\qquad({m,n}\mapsto{-m,-n})\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{k-n}q^{(3n-2k)(3n+1-2k)+2k^2}z^{3n}-\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{k-n}q^{(3n-1-2k)(3n-2k)+2k^2}z^{3n-1}\qquad(m\mapsto{k-n})\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{3n-k}q^{(3n-2k)(3n+1-2k)+2k^2}z^{3n}+\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{3n-1-k}q^{(3n-1-2k)(3n-2k)+2k^2}z^{3n-1}\\
\end{align}
さて
:\begin{align}0
&=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}q^{m(m+1)}-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}q^{n(n+1)}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}q^{m(m+1)}\qquad(n\mapsto{-(m+1)})\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}(q^6)^{m(m-1)}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{2n-2}q^{3n^2-3n+2}z^{3n-2}\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m+2n-2}q^{6m(m-1)+3n^2-3n+2}z^{3n-2}\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{3n-2-k}q^{(3n-2-2k)(3n-1-2k)+2j^2}z^{3n-2}\qquad(m\mapsto{n-k})\\
\end{align}
であるから
:\begin{align}L=L+0
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n-k}q^{(n-2k)(n+1-2k)+2k^2}z^{n}\qquad({3n,3n-1,3n-2}\mapsto{n})\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{\infty}(-1)^{k+j}q^{j(j+1)+2k^2}z^{j+2k}\qquad({n}\mapsto{j+2k})\\
&=\sum_{j=-\infty}^{\infty}(-1)^{j}q^{j(j+1)}z^{j}\sum_{k=-\infty}^{\infty}(-1)^{k}q^{2k^2}z^{2k}\\
\end{align}
となり、右辺を得る。

## 関連項目
* ジョージ・ネビル・ワトソン (en)
* ヤコビの三重積
* ファルカシュの七重積 ()

## 出典

## 参考文献
* Bailey, W. N. (1951), "On the simplification of some identities of the Rogers-Ramanujan type", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 1: 217–221, , , MR 0043839
* Gordon, Basil (1961), "Some identities in combinatorial analysis", The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Second Series, 12: 285–290, , , MR 0136551
* Carlitz, L.; Subbarao, M. V. (1972), "A simple proof of the quintuple product identity", Proceedings of the American Mathematical Society, 32: 42–44, , , , MR 0289316
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## 関連文献
### 和文
* , 平成29年度 (第39回) 数学入門公開講座テキスト (京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日～8月3日開催)
* 
*  (五重積公式について解説がある)

### 英文
* Subbarao, M. V., & Vidyasagar, M. (1970). On Watson’s quintuple product identity. Proceedings of the American Mathematical Society, 26(1), 23-27.
* Hirschhorn, M. D. (1988). A generalisation of the quintuple product identity. Journal of the Australian Mathematical Society, 44(1), 42-45.
* Alladi, K. (1996). The quintuple product identity and shifted partition functions. :en:Journal of Computational and Applied Mathematics, 68(1-2), 3-13.
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* Chu, W., & Yan, Q. (2007). Unification of the quintuple and septuple product identities. The electronic journal of combinatorics.