積分方程式

**積分方程式**（せきぶんほうていしき、Integral equation）は、数学において、未知の関数が積分の中に現れるような方程式である。積分方程式と微分方程式には密接な関係があり、そのどちらでも問題を定式化することができる場合もある。

積分方程式は次の3種類の分類方法がある。この分類によれば、8種類の積分方程式が存在する。

# 積分の上限および下限が固定の場合、**[[フレドホルム積分方程式]]**と呼ばれる。また、積分の上限・下限の片方が変数の場合、**[[ヴォルテラ積分方程式]]**と呼ばれる。
# 未知の関数が積分の中にのみ現れる場合、**第一種積分方程式**と呼ばれ、未知の関数が積分の中にも外にも現れる場合、**第二種積分方程式**と呼ばれる。
# 既知の関数 *f* （下記参照）が恒等的に 0 の場合、**同次積分方程式**と呼ばれ、*f* が 0 でない場合、**非同次積分方程式**と呼ばれる。

4種類の積分方程式（同次・非同次方程式をまとめた）の例として以下のように書ける。
ただし \phi は未知の関数、*f* は既知の関数、*K* は既知の2変数関数で**積分核**と呼ばれる。&lambda; は未知の係数で、線型代数学における固有値と同じ役割をする。

;第一種フレドホルム積分方程式：
: f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\phi(t)\,dt 
;第二種フレドホルム積分方程式：
: \phi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x,t)\,\phi(t)\,dt 
;第一種ヴォルテラ積分方程式：
: f(x) = \int_a^x K(x,t)\,\phi(t)\,dt 
;第二種ヴォルテラ積分方程式：
: \phi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\phi(t)\,dt 

積分方程式は多くの応用において重要である。積分方程式に出会う問題としては、弦や膜、棒における放射エネルギー変換や振動などが挙げられる。振動問題は微分方程式によって解かれることもある。

## 固有値問題の一般化としての積分方程式
ある種の斉次線型積分方程式は、固有値問題の連続極限とみなすことができる。固有値問題は、\mathbf{M} を行列、\mathbf{v} を固有ベクトル、\lambda を対応する固有値として、
: \sum _j M_{i,j} v_j = \lambda v_i^{}
と書くことができる。

添字 i、j を連続変数 x、y で置き換えて連続極限を取ると、j に関する総和は y に関する積分、行列 M_{i,j} とベクトル v_j はそれぞれ積分核 K(x,y) と固有関数 \varphi(y) に置き換えられて、線型斉次第二種フレドホルム積分方程式
: \int \mathrm{d}y\, K(x,y)\varphi(y) = \lambda \varphi(x)
が得られる。

一般に、K(x,y) は超関数であってもよい。超関数 K が x=y でのみ台 (support) を持つ場合は、微分方程式の固有値問題に帰着される。

## 出典

## 参考文献
### 和書

*日本数学会：「岩波数学辞典（第3版）」、岩波書店 、ISBN 4-00-080016-7（1985年）。
*竹内端三：「積分方程式論」、共立出版 (1947年)。NDLJP:1078609
*吉田耕作：「積分方程式論」、岩波全書、ISBN 4-00-021283-4 (1950年)。
*溝畑茂：「積分方程式入門」、朝倉書店（1968年）。
*上村豊：「積分方程式：逆問題の視点から」、共立出版、ISBN 4-320-01691-2 (2001年10月15日)。

### 洋書
* Harry Bateman: *History and Present State of the Theory of Integral Equations*, Report of the British Association (1910). 
* Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov: *Handbook of Integral Equations*. :en:CRC Press, Boca Raton, ISBN 0-8493-2876-4 (1998).
* M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko: *Problems and Exercises in Integral Equations*, Mir Publishers, Moscow (1971).
* Smithies, F. : *Integral Equations*, Cambridge: :en:Cambridge University Press, (1958).
* Wazwaz, A. M. : *Linear and Nonlinear Integral Equations*. Berlin: Springer (2011).
* Kondo, J. : *Integral Equations*, Oxford, England: Clarendon Press (1992).

#### 非線型積分方程式
* Davis, H. T. : *Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations*, New York: Dover (1962).
* Precup, R. : *Methods in Nonlinear Integral Equations*, Springer Science & Business Media (2013).

#### 線型積分方程式
* Kress, R. : *Linear Integral Equations*, New York: Springer-Verlag (1989).
* Lovitt, W. V. : *Linear Integral Equations*, New York: Dover (1950).
* Mikhlin, S. G. : *Linear Integral Equations*, New York: Gordon & Breach (1961).

#### 積分方程式に対する数値解析
* Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P.: chapter 19: "Integral Equations and Inverse Theory", *Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing* (3rd ed.), New York: :en:Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 (2007).
* Kendall E. Atkinson: *The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind*, Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics (1997).
* Delves, L. M., & Mohamed, J. L. : *Computational Methods for Integral Equations*, CUP Archive (1988).
* Baker, C. T. H.: *The Numerical Treatment of Integral Equations*, Oxford, England: Clarendon Press (1977).
* R.S. Anderssen: *The Application and Numerical Solution of Integral Equations*, Sijthoff & Noordhoff (1980)

## 関連項目

*ヒルベルト空間
*フレドホルム積分方程式
*ヴォルテラ積分方程式

## 外部リンク
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