正多角形

[395px|thumb|正多角形の一覧。（左上から）[正三角形、正四角形（正方形）、正五角形、正六角形、正七角形、…]]
幾何学やそれに関係する数学の諸分野における**正多角形**（せいたかくけい、）とは、全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形のことを指す。

正多角形は凸正多角形又は星型正多角形となる。

以下、本記事では「正多角形」を説明の都合上、「正  角形」と表することがある、このとき、\{ n \in \mathbb{Q}|n \geq 2 \}である。また、正多角形の一辺の長さを  とする。

正  角形の  の値を \infty に飛ばしたとき、正  角形は、周長・面積が一定の場合は円に、辺長が一定の場合は長さが \infty の直線に近似する。

## 定義
正多角形とは、多角形の内、等角多角形かつ等辺多角形であるものを指す。

## ユークリッド幾何学
class=skin-invert-image|thumb|緑色の線分は、正  角形を合同な二等辺三角形に  等分したときの高さ

### 一般的な特性
以下に表す性質は、凸正多角形や星型正多角形等の全ての正多角形で成り立つ。

#### 図形の対称性
正  角形の回転対称群は、ユークリッド平面上の原点中心の回転変換のうち、正  角形を自分自身に写す操作全体からなる集合である。この群は、回転角が\theta = \frac{2 \pi k}{n}(k\in \mathbb{Z})で表される、位数  の有限巡回群C_nに同型であり、構造が中心角\frac{2 \pi}{n}ラジアンの回転写像R_1を生成元とする単項生成群\{R_{1}^{k} \mid k \in \mathbb{Z}\}として定義される二次元直交群\mathbf{O(2)}の離散的な有限部分群として実現される。また、群論的な観点からは、任意の巡回群C_nは剰余群\mathbb{Z} /n \mathbb{Z}と同型であり、その抽象構造は完全に一致する。

つまり、**正 ''n'' 角形は、 ''n'' の取る値がどのような値でも、常に[[線対称]]で[[対称軸]]は ''n'' 本である。また [[回転対称性|''n'' 回対称性]]を持つ。よって、 ''n'' の取る値が[[偶数]]のときは[[点対称]]でもある。**

#### 図形の相似性
** の取る値が同一の正多角形同士は全て互いに[[図形の相似|相似]]である。**

#### 内接円と外接円
**正多角形の全ての[[頂点]]はその正多角形の[[共円|外接円の円周上にある]]。つまり、正多角形は[[円内接多角形]]である。また、全ての[[辺]]の[[中点]]はその正多角形の[[共円|内接円の円周上にある]]。つまり、正多角形は[[円外接多角形]]である。**

#### 内心・外心・重心
**正  角形の[[内心]]・[[外心]]・[[重心 (多角形)|重心]]の位置は等しい。また、  の取る値が[[偶数]]のとき、最長の[[対角線]]同士の[[交点]]と一致する。**

### が自然数の場合

#### 性質

##### 辺の平行
正  角形は、  の取る値が奇数のとき、どの辺同士も平行ではないが、

 の取る値が偶数のとき、\frac{n}{2}組の対辺は平行である。

##### その他
角の数が最小であるのは正三角形である。三角形では、辺の長さが全て等しいか、または角の大きさが全て等しい三角形は正三角形になる。しかし他の多角形では辺の長さが全て等しく、かつ角の大きさも全て等しくなければ正多角形とはならない。例えば四角形では辺の長さがすべて等しいものは菱形、角の大きさがすべて等しいものは長方形であり、正四角形（正方形）とは限らない。菱形かつ長方形である四角形が正方形となる。

#### 内角の大きさ

##### 内角の大きさを表す公式
正  角形の各内角の大きさは
:\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}（度数法）
:\frac{\pi(n-2)}{n}（弧度法）
となる。

##### 公式の証明
上記の式が成り立つことを証明する。

###### 証明1
「多角形の外角の和が360^\circである」という**[[外角|外角の和の定理]]**を利用する、正  角形は  個の等しい大きさの外角を持つため、正  角形の一つの外角の大きさは\frac{360^\circ}{n}、よって、一つの正  角形の内角の大きさは

:  \begin{align}
\ 180^\circ - \frac {360^\circ}{n} & = \frac{180^\circ n - 360^\circ}{n}\\
& = \frac {180^\circ (n - 2)}{n}\\
\end{align}

となる。

###### 証明2
まず、三角形の内角の和が180^\circであることを示す。

△において頂点を通り、辺と平行な直線を引く、そして、錯角から\angle ABC=\angle BAPと\angle ACB=\angle CAQが分かる。これにより、\angle BAP+\angle BAC+\angle CAQ=180^\circが分かり、\angle ABC=\angle BAP、\angle ACB=\angle CAQなため、\angle ABC+\angle BAC+\angle ACB=180^\circと分かる。

正  角形は個の三角形に分割でき、一つの三角形の内角の和は180^\circのため、正  角形の内角の和は、180^\circ(n-2)となる、正  角形は  個の等しい大きさの内角を持つため、正  角形の一つの内角の大きさは
:\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}
となる。

#### 面積

##### 面積を表す公式
正  角形の面積は
:A={na^2\over4}\cot{\pi\over{n}}
である。

##### 公式の証明
まず、正  角形の外心と各頂点を線分で結び、合同な  個の二等辺三角形に分割する。できた二等辺三角形は、中心角の大きさが\frac{2\pi}{n}ラジアンで、底辺の長さが  である。また、高さ   とする。分割した後、正  角形の外心から、各辺に向かって垂直二等分線を引く、すると、辺と角が二等分され、合同な個の直角三角形が分割する。できた直角三角形は、中心角の大きさが\frac{2\pi}{n}\div2=\frac{\pi}{n}ラジアンで、底辺の長さが\frac{a}{2}である。三角比の\tanを用いると、\tanの定義「\tan\theta=」より、\thetaは\frac{\pi}{n}ラジアンで対辺の長さは\frac{a}{2}、隣辺の長さは高さ  であるため、

:\tan\frac{\pi}{n}=\frac{\frac{a}{2}}{h}

という関係式が成り立つ。ここから、高さ  を求めると、

:h=\frac{a}{2\tan\frac{\pi}{n}}

となり、\frac{1}{\tan\theta}=\cot\thetaより、

:h=\frac{a}{2}\cot\frac{\pi}{n}

となる。そして、三角形の面積公式「底辺\times高さ\div2」より、

:{na^2\over4}\cot{\pi\over{n}}

となる。

#### 内接・外接
多角形  に対して、頂点が  の辺上にあり、なおかつ  の内部にあるとき、多角形は多角形  に内接するという。また、 の頂点が辺上にあり、Fの外部にある多角形は多角形  に外接するという。
:（例）：⬡において、辺AB,CD,EFの中点を頂点とする△PQRは⬡ABCDEFに内接する図形である。
以上のことを踏まえた上で、一辺の長さが  である正角形  において、** に内接する正角形で、面積が最小であるものの面積 、 に外接する正角形で、面積が最大であるものの面積 ** はそれぞれ、
:s={na^2\over4}\cot{\pi\over{n}}\cos^2{\pi\over{n}}
:S={na^2\over2\sin{2\pi\over{n}}}
と表される。

半径が一定の円に内接する正角形は、 とするとその円に近づくので、十分大きい  について「周長÷外接円の直径」を計算すると円周率の近似値が得られる。これは、初期の円周率の求め方で、円周率の歴史上の始まりに位置する。これはいわば「*正∞角形は円である*」ということである。

#### 対角線の長さ
正角形の対角線の長さの種類は
:\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor -1 = \frac{2n-5+(-1)^n}{4}
だけある（ はガウス記号）。一辺の長さを  とすると、番目に短い対角線の長さは
: {a \sin{(m+1)\pi\over{n}}\over{\sin{\pi\over{n}}}}
である。 のとき辺の長さ、 のとき最短の対角線の長さを表す。

#### コンパスと定規を用いて描けるもの

 を素数とする。正角形のうち、作図可能なものは、頂点の個数  がフェルマー素数 (3, 5, 17, 257, 65537) である場合のみであり、それぞれ正三角形、正五角形、正十七角形、正二百五十七角形、正六万五千五百三十七角形である。頂点の個数が素数でないものについては、その数を素因数分解した時に奇数の因数がフェルマー素数のみでかつ、同じものが存在しない場合、または奇数の因数が存在しない（2の冪）場合のみ作図することが可能である。
:例：正方形は、奇数の因数がないので (4=2×2) 作図することができる。正六角形や正十五角形は、奇数の因数がフェルマー素数のみなので (6=2×3, 15=3×5) 作図することができる。正九角形は、奇数の因数はフェルマー素数のみだが同じ数の重複があるので (9=3×3) 作図できない。

正十七角形の作図可能性は、1796年3月30日にカール・フリードリヒ・ガウスが発見した。さらにガウスは1801年に出版した*[[Disquisitiones Arithmeticae]]*（『ガウス整数論』）の第365条、第366条において、作図できる正多角形の必要十分条件も示している。

#### 作図可能性の比較
正多角形（正四十角形まで）が作図可能かどうかを以下に示す。なお、○は作図可能、×は作図不可能を示す。

正*p*角形（*p* は3以上の素数）、正(2*n* + 1)角形の作図に必要な値 cos() は、*n*次方程式の解として求められる。

### が有理数（自然数を除く）の場合

## 楕円幾何学

最も角が少ないのは正二角形である。二角形は必ず正二角形になる。

この幾何学上の正三角形は、内角の和は180°より大きく、ユークリッド幾何学上のルーローの三角形と同じ図形である。

## 双曲幾何学

最も角が少ないのは正三角形であり、内角の和は180°より小さい。

## 脚注

## 関連項目

### 2次元
* 正二角形
* 正三角形
* 正四角形
* 正五角形
* 正六角形
* 正七角形
* 正八角形
* 正九角形
* 正十角形
* 正十一角形
* 星型正多角形
* 正多面体
* 正多胞体
* 多角数
* 円分多項式
* 1の冪根
* オイラーのφ関数
* ピアポント素数
*