多角数定理

とは「すべての自然数は高々  個の  角数の和である」という数論の定理である。

特に  の場合を（ガウスの）三角数定理、 の場合を（ラグランジュの）四平方定理という。

多角数定理は1638年にフェルマーによって定式化された。三角数定理は1796年にガウスによって、四平方定理は1772年にラグランジュによってそれぞれ証明された。一般の多角数定理の証明は1813年にコーシーによって与えられている。

## 多角数
*k* 番目の *m* 角数とは、次の公式
:P_m(k)=\frac{(m-2)k^2-(m-4)k}{2}
で与えられる数のことである。直観的には、たとえば石を、一辺に *k* 個ある正 *m* 角形の形に敷き詰めて並べることができるとき、石の総数が *k* 番目の *m* 角数になっている。

これは古代ギリシャ人たちが名づけた名前であって、素数はどのような図形にも並べることができないことから、直線数とも呼ばれていた。

例えば、三角数とは 1, 3, 6, 10, 15, … のことである。また四角数は平方数の列 1, 4, 9, 16, … に他ならない。1番目の *m* 角数は 1 であり、2番目の *m* 角数は *m* である。

## 精密化
*N* = 2*m* - 1 を表すには *P**m*(2) + (*m* - 1)*P**m*(1) とするより他にないから、*m* 個未満の *m* 角数の和では表されない自然数がある。*N* = 9*n* + 8 は二個の三角数の和で表されない（法 9 の計算で自明）から、三個未満の三角数の和で表されない自然数は無数にある。*N* = 8*n* + 7 は三個の四角数の和で表されない（法 8 の計算で自明）から、四個未満の四角数の和で表されない自然数は無数にある。しかし、五角数以上について、*m* 個未満の *m* 角数で表されない自然数は有限個である。*m* &ge; 6 のとき、十分に大きな自然数 *N* &ge; 108(*m* - 2) は *m* - 1 個の *m* 角数の和で表される。また、*m* &ge; 5 が奇数のとき、十分に大きな自然数 N\ge\tfrac{4(m-2)^3}{14-4\sqrt{3}} は四個の *m* 角数の和で表される。また、*m* &ge; 6 が偶数のとき、十分に大きな奇数の自然数 N\ge\tfrac{(m-2)^3}{14-4\sqrt{3}} は四個の *m* 角数の和で表される。

## 証明
### 三角数
三平方和定理により
:8N+3=(2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2 \,
と表されるから
:N=\frac{x(x+1)}{2}+\frac{y(y+1)}{2}+\frac{z(z+1)}{2}
となる *x*, *y*, *z* が存在する。したがって、全ての自然数は高々三個の三角数の和に表される。

### 四角数
四角数の場合については、ラグランジュの四平方定理と等価である。

### 五角数以上
十分大きな *N* に対してのみ証明する。*m* &ge; 5, *N* &ge; 108(*m* - 2) とすれば
:\sqrt{\frac{8N}{m-2}-8}-\sqrt{\frac{6N}{m-2}-3}>3.86>\frac{23}{6}
であるから
:0
となる二個の奇数 2*d* &plusmn; 1 が存在する。
*N* &equiv; *b* + *r* (mod *m* - 2) となるように
:b\in\{2d\pm1\},\ r\in\{e\in\mathbb{Z}|0\le{e}\le{m-4}\}
を選び、
:a=2\left(\frac{N-b-r}{m-2}\right)+b
とする。*a*, *b* は共に奇数であるから、4*a* - b2 &equiv; 4 - 1 &equiv; 3 (mod 8) であり、三平方和定理により、
:4a-b^2=x^2+y^2+z'^2 \,
となる三個の奇数 *x* &ge; *y* &ge; *z*&prime;&ge; 0 が存在する。*b* + *x* + *y* - *z* &equiv; 0 (mod 4) となるように *z* = &plusmn; *z*&prime;の符号を決め、
:w_1=\frac{b+x+y-z}{4}
:w_2=w_1-\frac{y-z}{2}=\frac{b+x-y+z}{4}
:w_3=w_1-\frac{x-z}{2}=\frac{b-x+y+z}{4}
:w_4=w_1-\frac{x+y}{2}=\frac{b-x-y-z}{4}
とすれば
:w_1+w_2+w_3+w_4=b \,
:w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2=\frac{b^2+x^2+y^2+z^2}{4}=a
:\begin{align}N
&=\frac{(m-2)a-(m-4)b}{2}+r\\
&=\frac{(m-2)(w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2)-(m-4)(w_1+w_2+w_3+w_4)}{2}+r\\
&=P_m(w_1)+P_m(w_2)+P_m(w_3)+P_m(w_4)+rP_m(1)
\end{align}
となる。ただし
:P_m(k)=\frac{(m-2)k^2-(m-4)k}{2}
とする。0 &le; *r* &le; *m* - 4 であるから、*w**n* &ge; 0 であれば *N* &ge; 108(*m* - 2) が高々 *m* 個の *m* 角数で表されることになる。以下において *w**n* &ge; 0 であることを証明する。
:b
であるから
:\begin{align}b^2-4a&=b^2-4\left(2\left(\frac{N-b-r}{m-2}\right)+b\right)\\
&=\left(b-2\left(\frac{m-4}{m-2}\right)\right)^2-4\left(\frac{m-4}{m-2}\right)^2-8\left(\frac{N-r}{m-2}\right)\\
&
である。同時に
:b>\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{6N}{m-2}-3}>\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)+\sqrt{\frac{6N-6r}{m-2}-3}=b*\qquad(\Leftarrow{m\ge5})</math>
であるから
:<math>\begin{align}b^2+2b+4-3a&=b^2+2b+4-3\left(2\left(\frac{N-b-r}{m-2}\right)+b\right)\\
&=\left(b-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)\right)^2-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)^2-6\left(\frac{N-r}{m-2}\right)+4\\
&>\left(b-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)\right)^2-6\left(\frac{N-r}{m-2}\right)+3\\
&>\left(b*-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)\right)^2-6\left(\frac{N-r}{m-2}\right)+3=0\\
\end{align}
である。4*a* - *b*2 = *x*2 + *y*2 + *z*2 を固定して *x* + *y* + *z* が最大となるのは *x* = *y* = *z* のときであるから
:x+y+z\le\sqrt{3(4a-b^2)}
:b-x-y-z>-4 \,
*w*4 は整数であるから
:w_4=\frac{b-x-y-z}{4}\ge0
*x* &ge; *y* &ge; |*z*| により
:{w_1}\ge{w_2}\ge{w_3}\ge{w_4}\ge{0}
である。

## 平方数と三角数の和
三平方和定理により、8*N* + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから
:8N+1=(2x+1)^2+(2y)^2+(2z)^2 \,
:N=\frac{x(x+1)}{2}+\left(\frac{y+z}{2}\right)^2+\left(\frac{y-z}{2}\right)^2
となる *x*, *y*, *z* が存在する。法 8 で考え、*y*, *z* は共に偶数か共に奇数である。したがって、全ての自然数は高々一個の三角数と二個の平方数の和で表される。同じく三平方和定理により、4*N* + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから
:4N+1=(2x+1)^2+(2y)^2+(2z)^2 \,
:N=\frac{(2x+1)^2+(2y)^2+(2z)^2-1}{4}=\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+\frac{(x-y)(x-y+1)}{2}+z^2
となる *x*, *y*, *z* が存在する。したがって、全ての自然数は高々二個の三角数と一個の平方数の和で表される。

2008年4月23日、Oh, Sunらは「すべての正整数は、平方数と奇数の平方数と三角数との和として表せる」ことを示したと発表した。

## 注釈

## 出典

## 関連記事

*二個の平方数の和
*三個の平方数の和
*四平方定理
*ウェアリングの問題