オイラーの公式

数学の複素解析における**オイラーの公式**（オイラーのこうしき、）とは、複素指数関数と三角関数の間に成り立つ、以下の恒等式のことである：
:e^{iz} = \cos z +i\sin z
ここで z は任意の複素数、 e はネイピア数、 i は虚数単位、 \cos は余弦関数、 \sin は正弦関数である。

特に、 z = \varphi (\in \R) とする場合がよく使われ、この場合、e^{i\varphi} は、絶対値 1, 偏角 \varphi [\mathrm{rad}]の複素数に等しい。
225px|thumb|オイラーの公式の図形的な表現。複素数平面において、複素数  は、単位円周上の偏角  の点を表す。

オイラーの公式は、複素解析をはじめとする数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要である。物理学者のリチャード・P・ファインマンはこの公式を評して*「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」* だと述べている。

## 概要
この公式の名前は、18世紀の数学者レオンハルト・オイラーに因むが、最初の発見者はロジャー・コーツとされる。コーツは1714年に
: \log\left(\cos x + i\sin x \right)=ix \ 
を発見したが、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。1740年頃、オイラーは、コーツの公式を基に、指数関数と三角関数の級数展開を比較することによって、オイラーの公式を証明し、1748年に発表した。

オイラーの公式を導入することにより、極形式の複素数は、より簡素な表記に変換することができる。すなわち、複素数の極形式  は  に等しい。また、特に、 のとき、
:e^{i\pi} +1=0
が導かれる。この関係式は**[[オイラーの等式]]**  と呼ばれる。

オイラーの公式により、余弦関数および正弦関数は、双曲線関数に変換することができる：
:\cos \theta = \cosh i \theta
:\sin \theta = \tfrac{1}{i} \sinh i \theta
応用上では、三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式やフーリエ級数などが利用しやすくなる。

## 指数関数と三角関数
実関数としての指数関数 , 三角関数 ,  をそれぞれマクローリン展開すると

となる。これらの冪級数の収束半径が  であることは、ダランベールの収束判定法によって確認することができる。従ってこれらの級数は、変数  を複素数全体に拡張することができ、広義一様収束する。つまりこれらの級数によって表される関数は整関数である。解析接続すると、一致の定理より、複素数全体での正則関数としての拡張は一意であり、この収束冪級数で表される。

ここで、  の  を  に置き換え、和の順番を変えずに実部と虚部に分ければ、
:\begin{align}
e^{ix}
&= \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{i^n}{n!} x^n \\
&= \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{i^{2n}}{(2n)!}x^{2n} + \sum\limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{i^{2n+1}}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\
&= \textstyle\sum\limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + i \sum\limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\
&=  \cos x + i\sin x
\end{align}
が得られる。（ここでは、和の交換は行ってないので絶対収束性についての言及は不要。）

この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、複素数の世界では密接に結びついていることを表している。例えば、三角関数の加法定理は、指数法則 に対応していることが分かる。

オイラーの公式により、三角関数を複素指数関数で表すことができる。余弦関数、正弦関数は
:\begin{align}
\cos z &= \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \\
\sin z &= \frac{e^{iz} -e^{-iz}}{2i}
\end{align}
となる。

## 証明
この公式には、上記の冪級数展開による証明の他にも異なる幾通りかの証明が知られている。ここにいくつかの例を挙げる。ただし、以下の微分を用いた証明については、実変数を複素数変数におき換えても、これらの議論が成立していることを、別途で証明する必要がある（複素関数論）。

### 微分による証明

### 微分方程式による証明

### 2階線型微分方程式による証明
{n^{2k}}
となる。よって
:\cos x = \sum^{\infin}_{k=0} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}
が得られる。
同様に  について考えれば
:
\sin x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k+1}
\left (\cos \frac{x}{n}\right)^n \left (\tan \frac{x}{n} \right)^{2k+1}

より
:\sin x = \sum^{\infin}_{k=0} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}
が得られる。
ここで、 の極限を取った際の誤差項の挙動を考えると
:\cos \frac{x}{n} = 1+a_n
とおけば
:\begin{align}
\left(\cos \frac{x}{n} \right)^n 
&= \left(1+a_{n} \right)^n\\ 
&= 1+na_n +\binom{n}{2} {a_n}^2+ \dotsb
\end{align}
であるから、 が小さいとき、 乗すると誤差はおよそ  倍されるが、 が  よりも早く  に近づくときには、極限に影響しない。
本議論において
:\begin{align}
a_n &=\cos \frac{x}{n}-1\\
&=-2\sin^2 \frac{x}{2n}
\end{align}
であるから
:a_n \sim -\frac{x^2}{2n^2}
となる。
したがって、ランダウの記号を用いて漸近挙動を示せば
:\cos \frac{x}{n}=1+O\left(\frac{1}{n^2}\right).
ゆえに
:\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{n} \right)^n=1.
ここで、ド・モアブルの定理に立ち返って
:\cos n\theta+i\sin n\theta = (\cos \theta+i\sin \theta)^n.
上記式において  とおくと
:\cos x+i\sin x = \left(\cos \frac{x}{n}+i\sin \frac{x}{n}\right)^n.
ここで、 の極限をとったとき
:\cos \frac{x}{n}+i\sin \frac{x}{n}=1+\frac{ix}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)
であるから
:\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{n}+i\sin \frac{x}{n}\right)^n
= \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = e^{ix}.
よって
:e^{ix} = \cos x + i\sin x
が得られる。
|drop=no}}

## 脚注

### 参照

### 注釈

## 参考文献

*
* 
* 
* 
** - 注記：2004年6月にシュプリンガー・ジャパンより出版された同名書籍の再出版。
*
* 
* 
**

## 関連項目

*オイラーの等式
*極座標系
*純虚指数函数（複素指数函数を使わないで極形式を表示する）
*ド・モアブルの定理（指数法則の一つが成り立つことを表している）
*微分方程式
*フーリエ級数
*複素指数函数
*複素対数函数（オイラーの公式は複素数の対数関数に関する研究から発見された）

## 外部リンク
* 
*