円柱座標変換

**円柱座標変換**（えんちゅうざひょうへんかん）とは、3次元ユークリッド空間（数ベクトル空間)の、非線形な座標変換の一つである。円柱座標変換の逆写像のことを、円柱座標系という。円柱座標系は、極座標系の一種である。

円柱座標変換は、電子レンズなど、軸対称な系の計算によく用いられる。

## 定義
### 定義
円柱座標変換&Phi;とは、
:\left( \begin{matrix}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{matrix} \right)=\Phi (r,\theta ,\zeta )=\left( \begin{matrix}
   r\cos \theta   \\
   r\sin \theta   \\
   \zeta   \\
\end{matrix} \right)　　(1-1-1)

で表される、*r* -&theta;-&zeta;空間から*x* -*y* -*z* 空間への多変数ベクトル値関数のことである。式（1-1-1）で定義された&Phi;に相似変換、場合によっては正則なアフィン変換を施したものも、円柱座標変換ということがあるので、特に混乱が生じる場合には（1-1-1）で定義された&Phi;を標準的な円柱座標変換ということにする。

### r-&theta;-&zeta;空間、x-y-z空間の正体
数学的には、*r* -&theta;-&zeta;空間、*x* -*y* -*z* 空間は、共に3次元実数ベクトル空間（\mathbb{R}^{3}）である。*r* -&theta;-&zeta;空間においては、第一軸方向を*r* 方向（*r* 軸）、第二軸方向を&theta;方向（&theta;軸）、第三軸方向を&zeta;方向（&zeta;軸）とする。*x* -*y* -*z* 空間においても同様に、第一軸方向を*x* 方向（*x* 軸）、第二軸方向を*y* 方向（*y* 軸）、第三軸を*z* 方向（*z*軸）とする。この三軸によって定まる座標系を、「*x* -*y* -*z* 空間の標準座標系」（*O-xyz* 系）という。

### 定義域
式(1-1-1)の円柱座標変換*Φ* は*r* -*θ*-*ζ*空間のすべての点において、矛盾なく定義がされている。例えば、
:\Phi (-3,2\pi ,7)=\left( \begin{matrix}
-3 \\
0  \\
7
\end{matrix} \right)　　(1-3-1)
のように、どのような (*r*, *θ*, *ζ*) に対しても、ただ一つの行き先を定めることができる。

しかし、本記事では特段の断りがない限り、*Φ* の定義域は式(1-3-2) に定める領域 *V* に制限されているものとする。*V* は、*r* -*θ*-*ζ* の部分集合であり、閉集合である（開集合ではない）。

V=\left\{ \left. \begin{pmatrix}
r \\
\theta \\
\zeta
\end{pmatrix} \left| \ \begin{array}{l}
0\le r \\
0\le \theta \le 2\pi \\
-\infty 　　(1-3-2)

つまり、*Φ* に代入されるものは、
:\left\{ \begin{array}{l}
0\le r \\
0\le \theta \le 2\pi \\
-\infty 　　(1-3-3)
のすべての条件を満たす点全てに限って考えることにする。

*Φ* の定義域を式(1-3-2) の *V* に制限してもよい理由は、全射性が保たれていることによる。

### 円柱座標系との関係

*x* -*y* -*z* 空間に、標準座標系（*O-xyz* 系；「*r* -&theta;-&zeta;空間、*x* -*y* -*z* 空間の正体」の項参照）が定められているとする。このとき、円柱座標系*P* とは、

:\left( \begin{matrix}
   r  \\
   \theta  \\
   \zeta  \\
\end{matrix} \right)=
P (x,y ,z)=\left( \begin{matrix}
   \sqrt+}  \\
   \theta (x,y,z)  \\
   z  \\
\end{matrix} \right)　　(1-4-1)

で表される、*x* -*y* -*z* から*r* -&theta;-&zeta;空間への多変数ベクトル値関数のことである。但し、&theta;(*x* , *y* , *z*) は、以下の定義式(1-4-2)で与えられるスカラー値関数である。&theta;(*x* , *y* , *z*) の定義域は*x* -*y* -*z* 空間の原点以外である。その他の成分は、*x* -*y* -*z* 空間全域で定義されている。従って、円柱座標系*P* の定義域は、*x* -*y* -*z* 空間の原点以外である。

:\theta (x,y,z)=\left\{ \begin{matrix}
   (y/x) & (x>0,y>0)  \\
   \frac{\pi}{2} & (x=0,y>0)  \\
   \pi+(y/x) & (x　　(1-4-2)

円柱座標系は、以下の手順で、幾何学的に理解することもできる。

*任意の点Pからxy平面に下した垂線の足をQとする。
*線分OQの長さをrとする。
*線分QPの長さを&zeta;とする。
*x軸と線分OQのなす角度を&theta;とする。

また、円柱座標系と円柱座標変換は、相互に逆変換となっている。

## 微分
### 微分
円柱座標変換の偏導関数は、

:\frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta,\zeta)=\left( \begin{matrix}
   \cos\theta  \\
   \sin\theta  \\
   0  \\
\end{matrix} \right)　　(2-1-1)

:\frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta )=\left( \begin{matrix}
   -r\sin (\theta )  \\
   r\cos (\theta )  \\
   0  \\
\end{matrix} \right)　　(2-1-2)

:\frac{\partial \Phi }{\partial \zeta}(r,\theta,\zeta)=\left( \begin{matrix}
   0  \\
   0  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)　　(2-1-3)

である。これらの定義域は、*r* -&theta;-&zeta;空間全域である。

従って、円柱座標変換の点 (*r* , &theta;, &zeta;) におけるヤコビ行列*J* &Phi;(*r* , &theta;, &zeta;) およびヤコビアン det(*J* &Phi;(*r* , &theta;, &zeta;)) は以下のようになる。ヤコビ行列、ヤコビアン共に定義域は*r* -&theta;-&zeta;空間全域である。

:(r,\theta ,\zeta )=\left( \begin{matrix}
   \cos \theta  & -r\sin \theta  & 0  \\
   \sin \theta  & r\cos \theta  & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)　　(2-1-4)

:\det ((r,\theta ,\zeta ))=\left|\begin{matrix}
   \cos \theta  & -r\sin \theta  & 0  \\
   \sin \theta  & r\cos \theta  & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right|=r　　(2-1-5)

従って、円座標のときと同じく、特異点（ヤコビアンが 0 となる点）は、*r* = 0 となる点全て、つまり (0, &theta;, &zeta;) の形であらわされる点全てである。これらの点は全て*x* -*y* -*z* 空間上では*z* 軸に移る。

### 法線
標準的な円柱座標変換&Phi;に対し、**N**r , **N**&theta; , **N**&zeta; を以下のように定義し、それぞれ*r* 法線、&theta;法線、&zeta;法線と呼ぶ。これらの定義域は、*r* -&theta;-&zeta;空間全域である。

:_{r}}(r,\theta ,\zeta )=\frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right) \right\|}=\left( \begin{matrix}
  \cos\theta   \\
  \sin\theta   \\
   0  \\
\end{matrix} \right)　　(2-2-1)
:_{\theta }}(r,\theta ,\zeta )=\frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right) \right\|}=\left( \begin{matrix}
  -\sin\theta   \\
  \cos\theta   \\
   0  \\
\end{matrix} \right)　　(2-2-2)
:_{z}}(r,\theta,\zeta)=\frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta,\zeta) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta,\zeta) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta,\zeta) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta,\zeta) \right) \right\|}=\left( \begin{matrix}
   0  \\
   0  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)　　(2-2-3)

ここで、“&times;”はベクトル積を意味する。これらの幾何学的な意味は、後述するが、幾何学的な意味でも、これらは法線になっている。

## 円柱と円柱座標
この節では、後述の説明のために記号を定義する。
### 円柱と円柱座標
*M* を、x-y-z空間で半径*r*0 、高さ*z*0の**ふたと底のある、中身のつまった円柱**（以降「ソリッド円柱」と呼ぶ）とする。式で書くと

:M=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
   +\le   \\
   0\le z\le   \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.　　(3-1-1)

である。さらに、「ソリッド円柱」に該当するもの全ては、この*M* に相似変換を加えれば集合として実現できるので、以下は、*M* のみについて考える。

次に、この*M* を、円柱座標変換&Phi;と*r* -&theta;-&zeta;空間内の直方体（六面体）*L* を用いてパラメータ付け（パラメトライズ）することを考える。*r* -&theta;-&zeta;空間内の直方体*L* を

:L=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
   r  \\
   \theta   \\
   \zeta   \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
   0\le r\le   \\
   0\le \theta \le 2\pi   \\
   0\le \zeta \le   \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.　　(3-1-2)

と定義する。*L* の3辺の長さはそれぞれ、*r*0 , &theta;0 , 2&pi;である。*M* は、*L* の&Phi;による像集合である。すなわち

:M=\Phi(L)　　(3-1-3)

である。上式の等号は、集合として等しいことを意味する。

### 円柱表面
式(3-1-1)のソリッド円柱*M* の表面を\partial Mと書き、円柱表面、円筒面、*M* の表面、あるいは*M* の境界面と呼ぶ。表面&part;*M* は、以下の&Delta;1 , &Delta;2 , &Delta;3 に分割することができる。

:=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
   +\le   \\
   z=0  \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.　　(3-2-1)
:=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
   +=  \\
   0\le z\le   \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.　　(3-2-2)
:=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
   +\le   \\
   z=  \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.　　(3-2-3)

&Delta;1 , &Delta;2 , &Delta;3 をそれぞれ、下面、側面、上面という。

逆に言うと、&Delta;1 , &Delta;2 , &Delta;3 を貼り合わせたものが&part;*M* である。集合演算を用いると、
:\partial M= {\Delta}_{1}\cup{\Delta}_{2}\cup{\Delta}_{3}　　(3-2-4)
のようになる。

次に、&Delta;1 , &Delta;2 , &Delta;3 を、円柱座標変換を利用してパラメトライズすることを考える。*D*1 , *D*2 , *D*3 を以下のように定める。

:=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
   r  \\
   \theta   \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
   0\le r\le   \\
   0\le \theta \le 2\pi   \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.　　(3-2-5)

:=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
   \theta \\
   \zeta   \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
   0\le \theta \le 2\pi   \\
   0\le \zeta \le   \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.　　(3-2-6)

:=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
   r  \\
   \theta   \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
   0\le r\le   \\
   0\le \theta \le 2\pi   \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.　　(3-2-7)

*D*1 , *D*2 , *D*3 は、それぞれ*r* -&theta;平面、&theta;-&zeta;平面、*r* -&theta;平面の部分集合となっている。また、*D*1 と*D*3 は集合として全く等しいものである。

また、*x* -*y* -*z* 空間に値を取るベクトル値関数**I**1 , **I**2 , **I**3 を以下のように定義する。**I**1 , **I**2 , **I**3 の定義域は、本来的にはそれぞれ*r* -&theta;平面、&theta;-&zeta;平面、*r* -&theta;平面であるが、ここでは、それぞれの定義域を*D*1 , *D*2 , *D*3 に制限して考えることにする。これら**I**1 , **I**2 , **I**3 を、それぞれ&Delta;1 , &Delta;2 , &Delta;3 のパラメータと呼ぶ。

:\left( \begin{matrix}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{matrix} \right)=_{1}}(r,\theta )=\Phi (r,\theta ,0)=\left( \begin{matrix}
   r\cos\theta   \\
   r\sin\theta   \\
   0  \\
\end{matrix} \right)　　(3-2-8)
:\left( \begin{matrix}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{matrix} \right)=_{2}}(\theta ,\zeta )=\Phi (,\theta ,\zeta )=\left( \begin{matrix}
   \cos\theta   \\
   \sin\theta   \\
   \zeta   \\
\end{matrix} \right)　　(3-2-9)
:\left( \begin{matrix}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{matrix} \right)=_{3}}(r,\theta )=\Phi (r,\theta ,)=\left( \begin{matrix}
   r\cos (-\theta )  \\
   r\sin (-\theta )  \\
     \\
\end{matrix} \right)　　(3-2-10)

&Delta;1 , &Delta;2 , &Delta;3 は、それぞれ*D*1 , *D*2 , *D*3 の**I**1 , **I**2 , **I**3 による像集合となっている：

:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
=_{1}}()\\
=_{2}}() \\
=_{3}}() \\
\end{array} \right.　　(3-2-11)

ここで、“＝”は集合としての等号である。例えば、&Delta;1 = **I**1(*D*1) とは、&Delta;1 と**I**1 (*D*1) が集合として等しいことを意味している。

&Delta;1 , &Delta;2 , &Delta;3 それぞれの法線ベクトルを、**N**&Delta;1 , **N**&Delta;2 , **N**&Delta;3と書く：

:_}}(r,\theta )
= \frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,0) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,0) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,0) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,0) \right) \right\|}
= _{\zeta }}(r,\theta ,)
= \left( \begin{matrix}
   0  \\
   0  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)　　(3-2-12)
:_}}(\theta ,\zeta )
= \frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }({r}_{0},\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }({r}_{0},\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right) \right\|}
= _{r}}(r,\theta ,\zeta )
= \left( \begin{matrix}
   -\sin\theta   \\
   \cos\theta   \\
   0  \\
\end{matrix} \right)　　(3-2-13)
:_}}(r,\theta )
= \frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta_{0}) \right)\times \left( -\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta } \right)(r,\theta ,\zeta_{0}) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta_{0}) \right)\times \left( -\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta } \right)(r,\theta ,\zeta_{0}) \right) \right\|}
= -_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta_{0})
= \left( \begin{matrix}
   0  \\
   0  \\
   -1  \\
\end{matrix} \right)　　(3-2-14)

**N**&Delta;1 , **N**&Delta;2 , **N**&Delta;3 の定義域は、それぞれ*D*1 , *D*2 , *D*3 である。ここで、**N**&theta;に平行なものがないことに注意されたい。

## ベクトル場
*x* -*y* -*z* 空間で定義されたベクトル場**X** を*x* -*y* -*z* 座標系について表示すると

:\mathbf{X}(x,y,z)=\left(
  \begin{array}{c}
{X}_{x}(x,y,z)\\
{X}_{y}(x,y,z)\\
{X}_{z}(x,y,z)\\
  \end{array}
\right)　　(4-1-1)

となる。これを円柱座標表示に変換することを考える。まず、スカラー値関数*X<sub>r</sub>* (*r* , &theta;, &zeta;) , *X*&theta; (*r* , &theta;, &zeta;) , *X*&zeta; (*r* , &theta;, &zeta;) を、

:\left\{ \begin{matrix}
   =\mathbf{X}\cdot _{r}}  \\
   =\mathbf{X}\cdot _{\theta }}  \\
   =\mathbf{X}\cdot _{z}}  \\
\end{matrix} \right.　(4-1-2)

と定義する。正確に書くと

:\left\{ \begin{matrix}
   X_r     (r,\theta,\zeta) = \mathbf{X}\left(\Phi(r,\theta,\zeta)\right) \cdot {\mathbf{N}_r}     (r,\theta,\zeta) \\
   X_\theta(r,\theta,\zeta) = \mathbf{X}\left(\Phi(r,\theta,\zeta)\right) \cdot {\mathbf{N}_\theta}(r,\theta,\zeta) \\
   X_\zeta (r,\theta,\zeta) = \mathbf{X}\left(\Phi(r,\theta,\zeta)\right) \cdot {\mathbf{N}_\zeta} (r,\theta,\zeta) 
\end{matrix} \right.　(4-1-3)

である。ここで、・は内積を意味する。定義式(4-1-3)から明らかなように、これらの定義域は*r* -&theta;-&zeta;空間全域（*r* = 0 となる点を含む）である。

ここで以下が成立する。”\circ”は、合成関数の意味である。

:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
=({X}_{x}\circ\Phi)\cos\theta + ({X}_{y}\circ\Phi)\sin \theta  \\ 
=-({X}_{x}\circ\Phi)\sin\theta + ({X}_{y}\circ\Phi)\cos \theta  \\ 
=
     \\
     \\
     \\
\end{array} \right)=\left( \begin{matrix}
   \cos \theta  & \sin \theta  & 0  \\
   -\sin \theta  & \cos \theta  & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{array}{*{35}{l}}
   \circ \Phi   \\
   \circ \Phi   \\
   \circ \Phi   \\
\end{array} \right)　　　(4-1-5)

となる。また、

:=\left( \begin{matrix}
   \cos \theta  & \sin \theta  & 0  \\
   \sin \theta  & \cos \theta  & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)　　　(4-1-6)

を(4-1-5)の両辺に掛けあわせ（た後に、左辺と右辺を入れ替え）ると、

:\left( \begin{array}{*{35}{l}}
   \circ \Phi   \\
   \circ \Phi   \\
   \circ \Phi   \\
\end{array} \right)=\left( \begin{matrix}
   \cos \theta  & -\sin \theta  & 0  \\
   \sin \theta  & \cos \theta  & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{array}{*{35}{l}}
     \\
     \\
     \\
\end{array} \right)　　　(4-1-7)

がわかり、従って、-->
またはこれを逆に解くと
:\left\{\begin{array}{*{35}{l}}
 \circ \Phi =\cos\theta -\sin \theta   \\
 \circ \Phi =\sin\theta +\cos \theta   \\
\circ \Phi =  \\
\end{array} \right.　　　(4-1-5)

が分かる。

また、次の等式が*r* = 0 となる点を含むすべての (*r* , &theta;, &zeta;) に対して成立する。

:\mathbf{X}(\Phi (r,\theta ,z))=( _{r}})(r,\theta ,z)+( _{\theta }})(r,\theta ,z)+(_{z}})(r,\theta ,z)　　　(4-1-6)

式(4-1-6)を、ベクトル場の円柱座標表示という。より正確な言い方をすると、「*x* -*y* -*z* 空間で定義されたベクトル場**X** の円柱座標表示」という。

## 積分
### 体積分
ここでは*x* -*y* -*z* 空間で定義されたスカラー値関数*f* の、式(3-1-1)の円柱*M* 内部での積分

:{\int}_{M}f\ dxdydz　　(5-1-1)

の計算方法を説明する。円柱*M* について

:M=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
x  \\
y  \\
z  \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
   +\le   \\
   0\le z\le   \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
   -r_0 \le x \le r_0 \\
   -\sqrt{r_0^2-x^2} \le y \le \sqrt{r_0^2-x^2}\\
   0 \le z \le z_0 
\end{matrix} \right. \right\} \right.　　(5-1-2)

が成立することに注意すると、*f* の積分は以下のように累次積分に帰着されることが分かる。

:\int_{M}{f\ dxdydz}
= \int_{z=-}^{z=}{\int_{x=-}^{x=r}{\int_{y=-\sqrt-}}^{y=\ \sqrt-}}{\ f(x,y,z)\ dxdydz}}}　　(5-1-3)

また、式(3-1-2)の直方体*L* に対し*M* = &Phi;(*L* )（式(3-1-3)）であることと、ヤコビアン（式(2-1-5)）に注意して、積分の変数変換公式を用いると、

:\begin{align}\int_{M}^{f\ dxdydz}
&= \int_{L} {(f\circ\Phi)\cdot (\det J\Phi )\ drd\theta d\zeta } \\
&= {\int_{r=0}^{r=}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }\int_{\zeta =-}^{\zeta =}{\ r\cdot \left( f\circ \Phi  \right)(r,\theta ,\zeta )\ drd\theta d\zeta }}}
\end{align}　　(5-1-4)

が分かる。

以上、まとめると、

:\begin{align}
\int_{M} {f\ dxdydz}
&= \int_{z=-z_0}^{z=z_0} {\int_{x=-r_0}^{x=r}{\int_{y=-\sqrt{r_0^2-x^2}}^{y=\ \sqrt{r_0^2-x^2}}{\ f(x,y,z)\ dxdydz}}} \\
&= \int_{r=0}^{r=r_0}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\int_{\zeta =-z_0}^{\zeta =z_0}{\ r\cdot \left( f\circ \Phi  \right)(r,\theta ,\zeta )\ dr d\theta d\zeta }}}
\end{align}　(5-1-5)

がわかる。

### 面積分
ここでは、ベクトル場の円柱表面&part;*M* 上での面積分の計算方法を説明する。

*x* -*y* -*z* 空間で定義されたベクトル場**X** に対して、円柱面&part;*M* 上の面積分を
:\int_{\partial \mathbf{M}}{\mathbf{X}} = \int_}{\mathbf{X}}+\int_}{\mathbf{X}}+\int_}{\mathbf{X}}　　　(5-2-1)

で定める。但し、右辺の各項は

:\int_}{\mathbf{X}}=\int_{r=0}^{r=}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left( \mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial _{1}}}{\partial r}\times \frac{\partial _{1}}}{\partial \theta } \right) \right)}}\ d\theta dr　　　(5-2-2)

:\int_}{\mathbf{X}}=\int_{\zeta =0}^{\zeta =}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left( \mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial _{2}}}{\partial \theta }\times \frac{\partial _{2}}}{\partial \zeta } \right) \right)}}\ d\theta d\zeta　　　(5-2-3)

:\int_}{\mathbf{X}}=\int_{r=0}^{r=}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left( \mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial _{3}}}{\partial r}\times \frac{\partial _{3}}}{\partial \theta } \right) \right)}}\ d\theta dr　　　(5-2-4)

である。ここで、

:\mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial _{1}}}{\partial r}\times
\frac{\partial _{1}}}{\partial \theta } \right)
= \mathbf{X}\cdot \frac{\left( \frac{\partial _{1}}}{\partial r}\times \frac{\partial _{1}}}{\partial \theta } \right)}{\left\| \frac{\partial _{1}}}{\partial r}\times \frac{\partial _{1}}}{\partial \theta } \right\|}\left\| \frac{\partial _{1}}}{\partial r}\times \frac{\partial _{1}}}{\partial \theta } \right\|
= \left( \mathbf{X}\cdot _{\zeta }} \right)\left\| \frac{\partial _{1}}}{\partial r}\times \frac{\partial _{1}}}{\partial \theta } \right\|
= r\cdot 　(5-2-5)

同様に、

:\mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial _{2}}}{\partial \theta }\times \frac{\partial _{2}}}{\partial \zeta } \right) = \cdot 　　　(5-2-6)

:\mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial _{3}}}{\partial \theta }\times \frac{\partial _{3}}}{\partial \zeta } \right) = -r\cdot 　　　(5-2-7)

なので、

:\int_}{\mathbf{X}}=\int_{r=0}^{r=}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\cdot (r,\theta ,)}}\ d\theta dr　　　(5-2-8)

:\int_}{\mathbf{X}}=\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }\cdot (,\theta ,\zeta )}\ d\theta d\zeta　　　(5-2-9)

:\int_}{\mathbf{X}}=\int_{r=0}^{r=}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{-r\cdot(r,\theta ,0)}}\ d\theta dr　　　(5-2-10)

である。従って、

\int_{\partial \mathbf{M}}{\mathbf{X}}=\int_{r=0}^{r=}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }r{\left( (r,\theta ,)-(r,\theta ,0) \right)d\theta dr}}\ \ +\int_{\zeta =0}^{\zeta =}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }(,\theta ,\zeta )}}\ d\theta d\zeta　　　(5-2-11)

が分かる。

### ガウスの発散定理
*x* -*y* -*z* 空間で定義されたベクトル場**X** に対して、

:\int_{\partial M}{\mathbf{X}}=\int_{M}{\operatorname{div}\textbf{X}\ dxdydz}　　　(5-3-1)

が成立する。この事実を、**円柱面におけるガウスの[[発散定理]]**という。ここで、

:\operatorname{div}\mathbf{X} = \left( \frac{\partial }{\partial x} \right)+\left( \frac{\partial }{\partial y} \right)+\left( \frac{\partial }{\partial z} \right)　　　(5-3-2)

はベクトル場**X** の発散である。以下、証明を行う。

#### 証明の準備
(5-1-5)、(5-2-2)、(5-2-3)、(5-2-4)より、

:\int_{\zeta =0}^{\zeta =}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }(,\theta ,\zeta )}}\ d\theta d\zeta 
= \int_{M}{\left( \left( \frac{\partial }{\partial x} \right)+\left( \frac{\partial }{\partial y} \right)\  \right)dxdydz}　　　(5-3-3)

:\int_{r=0}^{r=}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\left( (r,\theta ,)-(r,\theta ,0) \right)}}\ \ d\theta dr 
= \int_{M}{\left( \frac{\partial }{\partial z} \right)dxdydz}　　　(5-3-4)

を示せばよいことがわかる。

#### x,y成分についての証明
まず、式(5-3-3)を示す。

*x* -*y* 平面上の曲線*c* (*t* ) を、
:c(t)=\left( \begin{matrix}
   \cos t  \\
   \sin t  \\
\end{matrix} \right)　　　(5-3-5)
とする。また、変数*z* を固定して考えることで、*x* -*y* 平面上の二次元ベクトル場

:\mathbf{A}\left( x,y \right)=\left( \begin{matrix}
   a\left( x,y \right)  \\
   b\left( x,y \right)  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   -(x,y,z)  \\
   (x,y,z)  \\
\end{matrix} \right)　　　(5-3-6)
を考える。また、平面曲線と、二次元ベクトル場に対しては、(5-3-6)に対するグリーンの定理：

:\int_{c}^{A}=\int_{x=-}^{x=}{\int_{-\sqrt^{2}-}}^{\sqrt^{2}-}}{\left( \frac{\partial b}{\partial x}-\frac{\partial a}{\partial y} \right)dxdy}}　　　(5-3-7)
が成立することは、既知とする。

このとき
:\begin{align}
\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{r_0 X_r(r_0,\theta ,\zeta )}\ d\theta
&= \int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\left((X_x \circ \Phi )r_0\cos\theta + (X_y\circ \Phi)r_0\sin\theta \right)}\ d\theta \\
&= \int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\left(X_x(r_0 \cos\theta, r_0 \sin\theta, \zeta)r_0 \cos\theta +X_y(r_0\cos\theta, r_0\sin\theta, \zeta)r_0\sin\theta  \right)}\ d\theta \\
&= \int_{t=0}^{t=2\pi}{\left( \begin{matrix}
   -X_y(r_0 \cos t,r_0 \sin t,\zeta )  \\
   X_x(r_0 \cos t,r_0 \sin t,\zeta )  \\
\end{matrix} \right)}\ \cdot \left( \begin{matrix}
   -r_0 \sin t  \\
   r_0 \cos t  \\
\end{matrix} \right)dt \\
&= \int_{t=0}^{t=2\pi }{\left( \begin{matrix}
   a\circ c(t)  \\
   b\circ c(t)  \\
\end{matrix} \right)}\ \cdot \left( \frac{dc}{dt} \right)dt \\
&= \int_{x=-}^{x=}{\int_{y=-\sqrt^{2}-}}^{y=\sqrt^{2}-}}{\left( \frac{\partial b}{\partial x}-\frac{\partial a}{\partial y} \right)dydx}} \\
&= \int_{x=-}^{x=}{\int_{y=-\sqrt^{2}-}}^{y=\sqrt^{2}-}}{\left( \frac{\partial (x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial (x,y,z)}{\partial y} \right)dydx}}
\end{align}　　　(5-3-8)

が成り立つ。従って、

:\int_{\zeta =0}^{\zeta =}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }(,\theta ,\zeta )}}\ d\theta d\zeta
= \int_{z=0}^{z=}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }(,\theta ,z)}}\ d\theta dz

:\int_{z=0}^{z=}{\int_{x=-r}^{x=r}{\int_{y=-\sqrt-}}^{y=\sqrt-}}{\left( \frac{\partial (x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial (x,y,z)}{\partial y} \right)dydx}}}dz　　　(5-3-9)

#### z成分について
次に、

:\int_{r=0}^{r=}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\left( (r,\theta ,)-(r,\theta ,0) \right)}}\ \ d\theta dr
= \int_{M}{\left( \frac{\partial }{\partial z} \right)dxdydz}　　　(5-3-10)

を示す。

:\int_{z=0}^{z=}{\frac{\partial (r,\theta ,\zeta )\ }{\partial \zeta }d\zeta }
=(r,\theta ,)-\ (r,\theta ,0)　　　(5-3-11)

なので、

:\begin{align}
\int_{r=0}^{r=r_0}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{r\left(X_\varsigma(r,\theta ,\zeta_0)-X_\zeta(r,\theta ,0) \right)\ \ d\theta}dr}
&= \int_{r=0}^{r=r_0}{r\left(\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\left(X_\varsigma(r,\theta,\zeta_0)-X_\zeta(r,\theta,0) \right)d\theta}\right)\ \ dr}\\
&= \int_{r=0}^{r=r_0}{r\left(\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\int_{\zeta =0}^{\zeta =\zeta_0}{\frac{\partial X_\zeta(r,\theta,\zeta)}{\partial \zeta}d\zeta}d\theta}\right)\ dr} \\
& =\int_{r=0}^{r=r_0}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\int_{\zeta =0}^{\zeta =\zeta_0}{\left(\frac{\partial X_\zeta(r,\theta,\zeta)}{\partial \zeta} \right)r d\zeta}d\theta}dr} \\
&= \int_{r=0}^{r=r_0}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\int_{\zeta =0}^{\zeta =\zeta_0}{\left( \left( \frac{\partial X_z}{\partial z} \right){}^\circ \Phi (r,\theta ,\zeta ) \right)r d\zeta}d\theta}dr} \\
&= \int_{r=0}^{r=r_0}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\int_{\zeta =0}^{\zeta =\zeta_0}{\left( \left( \frac{\partial X_z}{\partial z} \right){}^\circ \Phi (r,\theta ,\zeta ) \right)\left( \det (J\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right)d\zeta} d\theta}dr} \\
&= \int_{z=0}^{z=\zeta_0}{\int_{x=-r}^{x=r}{\int_{y=-\sqrt{r^2-x^2}}^{y=\sqrt{r^2-x^2}}{\left( \frac{\partial X_z(x,y,z)}{\partial z} \right)dy}dx}dz}
\end{align}　　　(5-3-12)

&#x25A0;

## スカラー関数に作用する微分作用素
### x-y-z空間における偏微分
*f* を、*x* -*y* -*z* 空間で定義されたスカラー値関数とする。このとき、*r* &ne; 0 をみたす任意の (*r* , &theta;, &zeta;) に対して以下の(6-1-1)～(6-1-3)の等式が成立する：

:\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))
= \cos \theta \left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right)(r,\theta ,z) \right)
- \frac{\sin \theta}{r}\left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z) \right)　(6-1-1)

:\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))
= \sin\theta \left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right)(r,\theta ,z) \right)
+ \frac{\cos\theta}{r}\left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z) \right)　(6-1-2)

:\left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)(\Phi (r,\theta ,z))
= \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \zeta } \right)(r,\theta ,z)　(6-1-3)

上記の3式は、しばしば略記的に以下のように表記される：

:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)=\cos\theta \left( \frac{\partial f}{\partial r} \right)-\frac{\sin\theta}{r}\left( \frac{\partial f}{\partial \theta } \right)  \\
   \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)=\sin\theta \left( \frac{\partial f}{\partial r} \right)+\frac{\cos\theta}{r}\left( \frac{\partial f}{\partial \theta } \right)  \\
   \left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)=\left( \frac{\partial f}{\partial \zeta } \right)  \\
\end{array} \right.　(6-1-4)

### 勾配作用素

勾配 grad ：
:\begin{align}
(\operatorname{grad}f)(x,y,z) &= \left( \begin{matrix}
   (\partial f/\partial x)(x,y,z)  \\
   (\partial f/\partial y)(x,y,z)  \\
   (\partial f/\partial z)(x,y,z)  \\
\end{matrix} \right) \\
&= \left( \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)(x,y,z) \right)\left( \begin{matrix}
   1  \\
   0  \\
   0  \\
\end{matrix} \right) + \left( \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)(x,y,z) \right)\left( \begin{matrix}
   0  \\
   1  \\
   0  \\
\end{matrix} \right) + \left( \left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)(x,y,z) \right)\left( \begin{matrix}
   0  \\
   0  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)\end{align}         (6-2-1)
を円柱座標変換すると

．．．

以下、証明を行う。(grad *f* )(&Phi;(*r* , &theta;, &zeta;)) と、**N**r (*r* , &theta;, &zeta;) の内積を取ると、

:\begin{align}
\left[ \left(\operatorname{grad}f \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right]\cdot \left( _{r}}(r,\theta ,\zeta ) \right)
=& \left( \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )),\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )),\left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right)\left( \begin{matrix}
   \cos\theta   \\
   \sin\theta   \\
   0  \\
\end{matrix} \right) \\
=& \cos\theta \left( \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right)+\sin\theta \left( \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right) \\
=& \cos\theta \left[ \cos\theta \left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right)(r,\theta ,z) \right)-\frac{\sin\theta}{r}\left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z) \right) \right]\\
&+ \sin\theta \left[ \sin\theta \left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right)(r,\theta ,z) \right)+\frac{\cos\theta}{r}\left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z) \right) \right]\\
=& \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right)(r,\theta ,z)
\end{align}　(6-2-2)

であり、同様に、**N**&theta;(*r* , &theta;, &zeta;) , **N**&zeta;(*r* , &theta;, &zeta;) についても、

:\left[ \left(\operatorname{grad}f \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right]\cdot \left( _{\theta }}(r,\theta ,\zeta ) \right)=\frac{1}{r}\left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z)        (6-2-3)
:\left[ \left(\operatorname{grad}f \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right]\cdot \left( _{\zeta }}(r,\theta ,\zeta ) \right)=\left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \zeta } \right)(r,\theta ,\zeta )        (6-2-3)

が成り立つ。従って「ベクトル場の円柱座標表示」と同様にして、上の等式が示せる。

### ラプラシアン
ラプラシアンについても、*r* &ne; 0 をみたす任意の(*r* , &theta;, &zeta;) に対して以下の等式が成立する。

:\left( \Delta f \right)\left( \Phi (r,\theta ,\zeta ) \right)=
\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left( r\left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right) \right)(r,\theta,\zeta)
+\frac{1}}\left( \frac(f\circ \Phi )}{\partial } \right)(r,\theta,\zeta)
+\left( \frac(f\circ \Phi )}{\partial } \right)(r,\theta,\zeta)         (6-2-3)

## ベクトル場に作用する微分作用素
### 発散
*X* を、*x* -*y* -*z* 空間で定義されたベクトル場とするとき、発散 div の円柱座標系表示として以下の等式が成立する。

:(\operatorname{div}X)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))
= \frac{1}{r}\left( \frac{\partial (r\cdot )}{\partial r} \right)(r,\theta ,\zeta )+\frac{1}{r}\left( \frac{\partial }{\partial \theta } \right)(r,\theta ,\zeta )+\left( \frac{\partial }{\partial z} \right)(r,\theta ,\zeta )

### 回転
回転 rot の円柱座標系表示については、次の等式が成立する。

:(\operatorname{rot}X)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))
= \left((r,\theta ,\zeta ) 
+ \left((r,\theta ,z) \right)_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta ) 

ただし
:(r,\theta ,z)=\frac{1}{r}\left( \frac{\partial }{\partial r} \right)(r,\theta ,z)-\left( \frac{\partial }{\partial \zeta } \right)(r,\theta ,z)
:(r,\theta ,z)=\left( \frac{\partial }{\partial \zeta } \right)(r,\theta ,z)-\left( \frac{\partial }{\partial r} \right)(r,\theta ,z)
:(r,\theta ,z)=\frac{1}{r}\left( \frac{\partial (r)}{\partial r} \right)(r,\theta ,z)-\frac{1}{r}\left( \frac{\partial }{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z)
である。

## 曲線・運動
### 運動
*x* -*y* -*z* 空間における運動を表す曲線

:c(t)=\left(
  \begin{array}{l}
x(t)\\
y(t)\\
z(t)\\
  \end{array}
\right)       (8-1-1)

が、*r* -&theta;-&zeta;空間に値を取る曲線

:\gamma(t)=\left(
\begin{array}{l}
r(t)\\
\theta(t)\\
z(t)\\
\end{array}
\right)       (8-1-2)

と、円柱座標変換&Phi:を用いて、

:c(t)=\Phi(\gamma(t))       (8-1-3)

と表せるとき、&gamma;(*t* ) を「曲線*c* (*t* ) の円柱座標表示」、あるいは「運動*c* (*t* ) の円柱座標表示」と呼ぶ。

式(8-1-3)は、

:\left\{
\begin{array}{l}
x=r\cos\theta\\
y=r\sin\theta\\
z=z\\
\end{array}
\right.       (8-1-4)

の両辺を時刻*t* に関する関数と考えること、つまり、

:\left\{
\begin{array}{l}
x(r(t),\theta(t),z(t))=r(t)\cos\theta(t)\\
y(r(t),\theta(t),z(t))=r(t)\sin\theta(t)\\
z(r(t),\theta(t),z(t))=z(t) \\
\end{array}
\right.       (8-1-5)

と考えることと同じである。

### 速度ベクトル
*x* -*y* -*z* 空間における運動を表す曲線*c* (*t* ) の速度ベクトル**v**(*t* )：

:v(t)=\left(\frac{dc}{dt}\right)(t)       (8-2-1)

について以下が成立する。

:\left(
\begin{array}{l}
 {v}_{x}(t)\\
 {v}_{y}(t)\\
 {v}_{z}(t)\\
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{l}
(dx/dt)(t)\\
(dy/dt)(t)\\
(dz/dt)(t)\\
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta(t)-r(t)\cdot((d\theta /dt)(t))\cdot\sin\theta(t)\\
\sin\theta(t)-r(t)\cdot((d\theta /dt)(t))\cdot\cos\theta(t)\\
(dz/dt)(t)\\
\end{array}
\right)      (8-2-2)

但し*v<sub>x</sub>* , *v<sub>y</sub>* , *v<sub>z</sub>* は、それぞれ**v**(*t* ) の*x* 成分、*y* 成分、*z* 成分を意味する。

また、
:\left\{
\begin{array}{l}
{v}_{r}(t)=v(t)\cdot{\textbf{N}}_{r}(c(t))\\
{v}_{\theta}(t)=v(t)\cdot{\textbf{N}}_{\theta}(c(t))\\
{v}_{z}(t)=v(t)\cdot{\textbf{N}}_{z}(c(t))\\
\end{array}
\right.      (8-2-3)

のように定義すると、

:\mathbf{v}(t)=(t)_{r}}(c(t))+(t)_{\theta }}(c(t))+(t)_{z}}(t)      (8-2-4)

である。また、以下が成立する。

:\left\{
\begin{array}{l}
{v}_{r}(t)=(dr/dt)(t)\\
{v}_{\theta}(t)=r(t)\cdot((d\theta /dt)(t))\\
{v}_{z}(t)=(dz/dt)(t)\\
\end{array}
\right.     (8-2-4)

### 加速度ベクトル
同様に曲線*c* (*t* ) の加速度ベクトル**a**(*t* ) ：
:\textbf{a}(t)=
\left(
\begin{array}{l}
\frac{d\textbf{v}}{dt}
\end{array}
\right)(t)    (8-3-1)

については以下が成立する。

:\mathbf{a}(t)=(t)_{r}}(c(t))+(t)_{\theta }}(c(t))+(t)_{z}}(c(t))    (8-3-2)

但し*a<sub>x</sub>* , *a<sub>y</sub>* , *a<sub>z</sub>* は、それぞれ **a**(*t* ) の*x* 成分、*y* 成分、*z* 成分を意味する。また、

:\left\{
\begin{array}{l}
{a}_{r}(t)=a(t)\cdot{\textbf{N}}_{r}(c(t))\\
{a}_{\theta}(t)=a(t)\cdot{\textbf{N}}_{\theta}(c(t))\\
{a}_{z}(t)=a(t)\cdot{\textbf{N}}_{z}(c(t))\\
\end{array}
\right.    (8-3-2)
である。

さらに、以下が成立する。

\left\{ \begin{array}{l}
(t)=[((r/d)(t))-]  \\
(t)=[2((dr/dt)(t))(((d\theta /dt)(t)))+(r(t))((\theta /d)(t))]  \\
(t)=(z/d)(t)  \\
\end{array}\right.    (8-3-4)

## 脚注