ギンツブルグ-ランダウ理論

**ギンツブルグ-ランダウ理論**は、1950年にロシアで発表された超伝導を説明する現象論で、ランダウの相転移の理論と平均場理論を基にしている。Ψで表される秩序（オーダー）パラメータと呼ばれる超伝導の秩序の程度を表すパラメータを用いたのが特徴で、ベクトルポテンシャルAによるギンツブルグ-ランダウ方程式で表される。

この理論では、系のヘルムホルツの自由エネルギーについて、変分法によってその平衡状態を求めたとき、或る温度以下では電子対凝縮が起きた状態の方がエネルギーが低いことが示された。すなわち個々の電子として存在するよりも、もうひとつの電子と対を成す方がより安定である事を示した。この電子対は7年後に提唱されたBCS理論におけるクーパー対に相当する。またこの方程式から得られるパラメーターの比から第一種・第二種超伝導体の区別を与える。
この理論によって、それまでの現象論であるロンドン理論の不足が補われた。ギンツブルグは本業績により2003年ノーベル物理学賞を受賞。ミクロ理論は、J.バーディーンらによるBCS理論(1957)。

## 自由エネルギー
ギンツブルクとランダウは、超伝導を平均場理論を用いて考える際、秩序パラメータを複素数のマクロ波動関数とした。自由エネルギーは
: F = F_n + \alpha |\psi|^2 + \frac{\beta}{2} |\psi|^4 + \frac{1}{2m} \left| \left(-i\hbar\nabla - 2e\mathbf{A} \right) \psi \right|^2 + \frac}
と、侵入した磁場の空間変動の特徴的な長さである磁場侵入長：
:\lambda = \sqrt{\frac{m}{4 \mu_0 e^2 \psi_0}}
がある。これらの比\kappa = \lambda / \xiはギンツブルグ・ランダウパラメータと呼ばれ、磁場をかけたときの超伝導体の振る舞いを決定づける。
\kappa では第一種超伝導体に、
\kappa > 1/\sqrt{2}では第二種超伝導体になる。

## 線形ギンツブルグ-ランダウ方程式
臨界磁場近傍など、秩序パラメータが小さいと考えられる場合は、\betaの項を落とすことができて
: \alpha \psi + \ \frac{1}{2m} \left(-i\hbar\nabla - 2e\mathbf{A} \right)^2 \psi = 0 
という線形化されたギンツブルグ-ランダウ方程式を得る。これはシュレーディンガー方程式と同じ形式をしているので、その解法を利用することができる。

## ギンツブルグ-ランダウモデルの飽和

飽和を考えに入れると、第二種の超伝導に対し、ダスグプタ(Dasgupta)とハルペリン(Halperin)が示したように、相転移形は普通の状態では、第二オーダーである。一方、ハルペリン(Halperin)、ルベンスキー(Lubensky)、マ(Ma)が示したように、第一種超伝導は第一オーダーである。

## ギンツブルグ-ランダウ理論に基づく超伝導の分類

ギンツブルグとランダウのもともとの論文では、通常の状態と超伝導の状態の間をとりもつエネルギーに依存する 2つのタイプの超伝導が観察された。ギンツブルグとランダウの理論からの発見で最も重要な理論は、1957年に(Alexei Abrikosov)による発見である。彼は、ギンツブルグ-ランダウ理論を使い、超伝導の合金と薄膜の実験の説明をした。彼は、強い磁場の中の第二種の超伝導を発見し、場は磁束の量子化された六角形の格子状のチューブを貫通する。これを彼に因み(Abrikosov vortices)と言う。

## 弦理論の中のランダウ-ギンツブルグ理論
素粒子物理学では、唯一の古典的真空状態と(degenerate critical point)のあるポテンシャルエネルギーを持つ場の量子論は、ランダウ-ギンツブルグ理論と呼ばれる。時空の次元が 2 である N=(2,2) 超対称性理論への一般化は、カムラン・ヴァッファと(Nicholas Warner)の1988年11月の論文で提案され、この一般化は(superpotential)が退化する臨界点をもつことを意味している。同じ月に、ブライアン・グリーン(Brian Greene)とともに、これらの理論がくりこみ群やカラビ・ヤウ多様体上のシグマモデルと関係づいていると議論した 。また、エドワード・ウィッテン(Edward Witten)は、彼の1993年の論文 の中で、ランダウ-ギンツブルグ理論とカラビ・ヤウ多様体上のシグマモデルは、同じ理論の異なる相(phase)であると議論した。これらのモデルは、後日、ブレーンの構成のようなモノポールをもつ 4次元のゲージ理論の低エネルギー力学として記述することに使われている

## 脚注

## 参考文献
### 論文

* V.L. Ginzburg and L.D. Landau, *Zh. Eksp. Teor. Fiz.* **20**, 1064 (1950). English translation in: L. D. Landau, Collected papers (Oxford: Pergamon Press, 1965) p.&nbsp;546
* A.A. Abrikosov, *Zh. Eksp. Teor. Fiz.* **32**, 1442 (1957) (English translation: *Sov. Phys. JETP* **5** 1174 (1957)].)  Abrikosov's original paper on vortex structure of Type-II superconductors derived as a solution of G–L equations for κ > 1/√2
* L.P. Gor'kov, *Sov. Phys. JETP* **36**, 1364 (1959)
* A.A. Abrikosov's 2003 Nobel lecture: pdf file or video
* V.L. Ginzburg's 2003 Nobel Lecture: pdf file or video
*

### 書籍

* D. Saint-James, G. Sarma and E. J. Thomas, *Type II Superconductivity* Pergamon (Oxford 1969)
* M. Tinkham, *Introduction to Superconductivity*, McGraw–Hill (New York 1996)
* de Gennes, P.G., *Superconductivity of Metals and Alloys*, Perseus Books, 2nd Revised Edition (1995), ISBN 0-201-40842-2 (this book is heavily based on G–L theory) 
* Hagen Kleinert, *Gauge Fields in Condensed Matter*, Vol. I World Scientific (Singapore, 1989);  Paperback ISBN 9971-5-0210-0 (*also available online [http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/kleiner_reb1/contents1.html here]*)
* 神保秀一、森田善久：「ギンツブルクーランダウ方程式と安定性解析」、岩波書店（岩波数学叢書）、ISBN 978-4-00-007561-9 (2009年5月28日).