ハール測度

解析学における**ハール測度**（ハールそくど、）は、局所コンパクト位相群上で定義される正則不変測度である。ハンガリーの数学者アルフレッド・ハールにその名を因む。

## 定義
*G* を局所コンパクト群、**B** を *G* のコンパクト集合全体から生成される完全加法族とする。零でない非負値完全加法的集合関数 &mu;: **B** &rarr; **R**+ &cup; {&infin;} で、以下の条件
# *G* のコンパクト集合 *K* の測度 &mu;(*K*) は有限値をとる。
# *G* の開集合 *O* の測度はコンパクト集合 *K* &sub; *O* で内側から近似される（&mu;(*O*) = sup &mu;(*K*)）。
# *G* の任意の部分集合 *S* の測度 &mu;(*S*) は開集合 *O* &sup; *S* で外側から近似される（&mu;(*S*) = inf &mu;(*O*)）。
# *G* の元 *g* による左移動作用に関して任意の集合 *S* の測度は不変である（&mu;(*g*(*S*)) = &mu;(*S*)）。
を全て満たすものを測度空間 (*G*, **B**) 上の**左ハール測度**と呼ぶ。一般に条件の 2-3 が満たされる測度は正則  であるといい、また不変性をいう条件 4 を右移動作用に関する不変性あるいは両側不変性に取り替えて、**右ハール測度**や**ハール測度**が定義される。

局所コンパクト群上に左（あるいは右）ハール測度は必ず存在して、しかも正定数倍の違いを除いて一意に定まる（二つの左ハール測度 &mu;, &mu;&prime; があれば &mu; = *c* &mu;&prime; となる正の定数 *c* が取れ、また右不変なものに関しても同様である）。逆元を取る作用により左不変測度は右不変測度に、右不変測度は左不変測度にそれぞれ移される。

## 不変汎関数
局所コンパクト群 *G* 上のコンパクト台を持つ複素数値連続関数のなすベクトル空間を *C**c*(*G*) とし、その連続的双対空間を *M*(*G*) とする。不変ハール測度は不変正値汎関数（**ハール汎関数**とも呼ばれる）と一対一に対応するので、しばしば不変ハール測度と不変ハール汎関数とを同一視して扱われる。

実際に、局所コンパクト群 *G* とその上の左ハール測度 &mu; に対して *C**c*(*G*) の元  *f* の &mu; に関する積分を対応させる汎関数
:\Phi\colon f \mapsto \int_G f(x)d\mu(x)
は左不変ハール汎関数であり、逆に左不変ハール汎関数 &Phi; が与えられたとき、左ハール測度 &mu; で &Phi; の各 *f* &isin; *C**c*(*G*) ので値 &Phi;(*f*) を *f* の &mu; に関する積分として実現するものが取れる。ただし、複素数値汎関数が正値あるいは非負値であるとは、*G* 上の関数 *f*(*x*) が正値（恒等的に非負）ならば
:\int_G f(x) d\mu(x) \ge 0
となることを言う。また、汎関数が左不変であるとは、*G* の元 *g* の *G* における左移動作用の構造移行
:\int_G f(gx)d\mu(x) = \int_G (L_{g^{-1}}f)(x)d\mu(x)
  =\int_G f(x)d(L_{g}\mu)(x)

によって汎関数の空間 *M*(*G*) への左移動作用を定めるとき *L**g*&mu; = &mu; が *G* の任意の元 *g* でなりたつことをいう。左不変性を右不変性、両側不変性に取り替えたものも同様に定める。

## 例
通常の位相と加法に関する位相群 **R***n* における通常のルベーグ測度 *dx* や通常の位相と乗法に関する位相群 **R** の乗法的なルベーグ測度 *dx*/*x* はハール測度である。

有限群 *G* の平均化作用素
:f(x) \mapsto \frac{1}\sum_{g\in G} f(xg)
を積分の形で
:\int_G f(x)d\mu(x) = \frac{1}\sum_{g\in G} f(g)
と書いたときの *d*&mu; はハール測度である。もう少し一般に、離散位相を持つ位相群上の数え上げ測度はハール測度を与える。

## モジュラー函数
局所コンパクト群 *G* とその上の左ハール測度 &mu; および *G* の元 *g* に対し、*g* による右移動 *R**g* で &mu; を移した *R**g*&mu; はやはり左不変測度である。したがってハール測度の一意性から
:R_g\mu = \Delta_G(g)\mu
となる *G* 上の正値函数 &Delta;*G* が存在する。これを "群 *G* 上の**モジュラー函数** と呼ぶ。モジュールは絶対値 1 の複素数全体の成すコンパクト群 *T*1 を表現加群とする *G* の表現（群の指標）を与え、その意味で**モジュラー指標**  と呼ばれることもある。また、
:\Delta_G^{-1}\mu(x) = \mu(x^{-1})
は右ハール測度であり、この式はハール測度 &mu; の取り方には依らないから、この意味でモジュール &Delta;*G* は「左右のハール測度のずれ」を測るものであるとみることもできる。特に &Delta;*G* が恒等的に 1 に等しいとき、局所コンパクト群 *G* は両側不変なハール測度を持ち**ユニモジュラー**  であるといわれる。
* アーベル群が必ずユニモジュラーであることは直ちにわかる。
* コンパクト群は、連続像がコンパクトであることと正数全体の成す乗法群  の有界な部分群が  に限ることとの二者からやはり必ずユニモジュラーになる。

局所コンパクト群 *G* 上の左ハール測度 &mu; と自己同型 &phi; があれば、&phi;&minus;1(&mu;) (&phi;&minus;1(*d*&mu;(x)) := *d*&mu;(&phi;(*x*))) はやはり左不変測度であり &phi;&minus;1(&mu;) = *a*&mu; なる正定数がある。このとき、mod(&phi;) = *a* と記して "自己同型 &phi; の" **母数**、**モジュール**などと呼ぶ。これはハール測度のとり方によらない（とくに右不変ハール測度から定義しても同じ値が現れる）ことが確かめられる。
* 左移動作用 *L**s* のモジュール mod*G*(*s*) := mod(*L**s*)はちょうど &Delta;*G*(*s*) の逆数になる。

*K* が局所コンパクト体ならば、*K* の左正則表現の作用素、つまり乗法群 *K*&times;の元 *s* による加法群 *K* への左移動作用
:L_s\colon x \mapsto sx
は加法群 *K* 上の自己同型であるのでそのモジュールを考えることができるが、これを mod*K*(*s*) と記す：
:\mathrm{mod}_K(s) := \mathrm{mod}(L_s).
さらに、mod*K*(0*K*) = 0*K* と置いて *K* 上の関数に拡張すると、これは正の実数全体への連続函数となる。

この局所コンパクト体上のモジュールは絶対値の概念の自然な一般化である。実際、実数体 **R** 上のルベーグ測度 *dx* に対して任意の区間 (*a*, *b*) 上の関数 *f*(*x*) を与えるとき
:\int_a^b f(x)d(sx) = \begin{cases}
  s\int_{s^{-1}b}^{s^{-1}a} f(x)dx = -s\int_{s^{-1}a}^{s^{-1}b} f(x)dx & (s  0).
\end{cases}
となるので、*a* &rarr; &minus;&infin;, *b* &rarr; &infin; とすれば
:\int_{\mathbb{R}}f(x)d(sx) = |s| \int_{\mathbb{R}}f(x)dx
となり、*d*(*sx*) = |*s*| *dx* すなわち、mod**R**(*s*) = |*s*| が得られる。また、体の拡大あるいは有限階数の多元環の拡大 *L*/*K* が与えられるとき、*N**L*/*K* を拡大の被約ノルムとして
:\mathrm{mod}_L = \mathrm{mod}_K \circ N_{L/K}
が成り立つ。特に、**C** を複素数体、**H** を四元数体とすると、それぞれの標準的な絶対値 |&bull;| に対して
:
  \mathrm{mod}_{\mathbb{C}}(c) = |c|^2, \quad
  \mathrm{mod}_{\mathbb{H}}(q) = |q|^4

などとなる。とくに、局所コンパクト体はモジュールを付値として局所体の構造を持つ。

## 注記


## 参考文献

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## 外部リンク
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