連続の方程式

**連続の方程式**（れんぞくのほうていしき、、連続方程式、連続の式、連続式などとも言う）は物理学で一般的に適用できる方程式で、「原因もなく物質が突然現れたり消えたりすることはない」という自然な考え方を表す。

保存則と密接に関わっている。
## 狭義
狭義には、流体力学における質量保存則
 + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0 

:（&rho;は密度、***v*** は流れの速度、*t* は時間である。&nabla;はナブラを参照。）}}

あるいは、この式を非圧縮性流体に適用した

を指す。
## 広義
広義には、スカラー物理量 *q* についての保存則

あるいは、更に一般化して、*q* の輸送方程式（一般の保存則）

を指すこともある。

## 広義の連続の方程式の導出

広義の連続の式をフラックス形式あるいは一般の保存則という。*q* をあるスカラー物理量、&Omega;を固定された有界積分領域、&part;&Omega;を&Omega;の境界である閉曲面とする。

*q* についての連続の式は、
: 領域 &Omega; における *q* の単位時間あたりの**増加量** {\mathrm{d}M\over\mathrm{d}t} と 境界 &part;&Omega; における *q* の単位時間あたりの**流出量**（流量） *J* との**和**は、 領域&Omega;における *q* の単位時間あたりの**湧き出し量** *S* に**等しい**。
::{\mathrm{d}M\over\mathrm{d}t} + J = S
と表現できる。

ここで *q* は連続的に分布する量であり、上述の量はすべて何らかの「密度量」で表現できなければいけない。そこで、*q* の密度 &rho;、*q* の流束 ***j*** 、*q* の湧き出し密度 &sigma; を導入すると、
:
\begin{align}
    M &= \int_\Omega \rho \,\mathrm{d}V\\ 
    J &= \oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\ 
    S &= \int_\Omega \sigma \mathrm{d}V  
\end{align}

と表せる。ここで、d***S*** は、境界 &part;&Omega; 上の微小素片における外向きの面積ベクトルであり、第2式は流束と面積ベクトルとの積の総和が境界を通って流れ出す *q* の流量であることを表している。

これにより連続の式は
:
    {\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}\int_\Omega \rho \,\mathrm{d}V 
    + \oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} 
    = \int_\Omega \sigma \mathrm{d}V  

となる。

ガウスの定理を使って第2項を体積積分で書き換え、第1項の時間微分と体積積分を交換すると
:
    \int_\Omega \left\{
         {\partial\rho\over\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} - \sigma
     \right\}\mathrm{d}V
    = 0

となるので、微分形
:{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = \sigma 
が得られる。

特に、湧き出しがないときの連続の式
:{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0 
を保存形、あるいは、*q* の保存則の微分形と呼ぶ。

## 流体における連続の式
### 質量保存則
速度が ***v*** で表される流れを考える。&rho;を質量密度、***j*** を質量の流束とする。流れ、すなわち、移流あるいは対流は速度 ***v*** での物質の移動であるので、流束は
:
\boldsymbol{j}=\rho\boldsymbol{v}

となる。

質量保存則から連続の式は
:{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\left(\rho\boldsymbol{v}\right) = 0 
となる。

### 輸送定理による導出
速度が ***v*** で表される流れにおける連続の方程式は、質量保存則とレイノルズの輸送定理を用いても導ける。
:
0= {\mathrm{d}\over\mathrm{d}t} \int_{\Omega(t)}  \rho\, dV 
= \int_{\Omega(t)} \left(
{D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v}
\right) dV

ここで、{D \over Dt} は実質微分であり、&Omega;(*t* ) は流れと共に移動する任意の積分領域とする。1番目の等式は質量保存則を、2番目の等式はレイノルズの輸送定理を表している。

これより、
:{D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} = 0
が成立する。

この式は、実質微分の定義
:
{D \over Dt}\equiv{\partial \over \partial t}+\boldsymbol{v}\cdot\nabla
 
と公式
:
\nabla\cdot\left(\rho\boldsymbol{v}\right)
=\rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} 
+ \boldsymbol{v}\cdot\nabla \rho

を使って、
: 
{\partial \rho \over {\partial t}} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0 

と等価であることがわかる。

### 非圧縮性流体についての連続の方程式
連続の方程式
:{D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} = 0
に対して、非圧縮性流体の性質（密度が一定であること）を付加すると、非圧縮性流体における連続の式が導き出される。密度が一定というのは、空間的に一様という意味ではなく、変形していく領域内で一定という意味である。つまり、\frac{D \rho}{D t} = 0 となるので、&rho;&ne; 0 であることから、
:
\nabla\cdot\boldsymbol{v}
 = 0

を得る。この式を非圧縮性条件ともいう。

この条件を満たす流れにおいて、流れていく流体要素の体積は不変である。

## 電磁気学における連続の方程式
### 電荷保存則
電磁気学における連続の式とは電荷の保存則の微分形である。&rho; を電荷密度、***j*** を電流密度とすれば、連続の式は
:
    {\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0

となる。

### 変位電流
マクスウェルの方程式において、電荷の保存則を満たすためにオリジナルのアンペールの式
:
\nabla \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{j}

に変位電流を導入する必要があった。修正されたアンペールの式
:
\nabla \times \boldsymbol{H} = {\partial \boldsymbol{D} \over \partial t} + \boldsymbol{j}

において、両辺に発散 &nabla;&middot; を作用させると、左辺はゼロとなるので、
:
\nabla \cdot {\partial \boldsymbol{D} \over \partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j} = 0

となり、ガウスの式
:
\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho

を代入することで連続の式が得られる。

### 四元電流
電荷の保存則を表す連続の式は四元電流を使うことで、ローレンツ共変でコンパクトな形にすることができる。四元電流 *J*&mu; (&mu;= 0, 1, 2, 3) を
:
    J^\mu = \left(c \rho, \boldsymbol{j} \right)

と表す。ここで *c* は光速である。微分演算子
:
    \partial_\mu = \left(\frac{1}{c} {\partial \over \partial t} , \nabla \right)

を定義すると、連続の式は
:
    \partial_\mu J^\mu = 0

と表現できる。ただし、添字におけるアインシュタインの規約を採用した。

## 量子力学
量子力学における連続の式は確率の保存則を表す。

&Psi;(***r*** , *t* ) を規格化された波動関数とする。確率密度 &rho;、確率流束 ***j*** を
:
\begin{align} 
\rho &= \Psi^{*} \Psi\\
\boldsymbol{j} &= \frac{\hbar}{2m\mathrm{i}} \left [ 
  \Psi^{*}  \nabla \Psi  - \Psi      \nabla \Psi^{*} 
\right ]
\end{align}

と定義すると、シュレディンガー方程式
:    
\mathrm{i}\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} =  -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + U\Psi

を用いて、確率に対する連続の式
:
    {\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0

が得られる。

### 連続の式の導出
シュレディンガー方程式とその複素共役の式
: 
\begin{align} 
 \mathrm{i}\hbar \frac{\partial \Psi    }{\partial t} &= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + U\Psi,\\
-\mathrm{i}\hbar \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t} &= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi^{*} + U\Psi^{*} 
\end{align}

それぞれに &Psi;* , &Psi; をそれぞれ掛けて2式の差を取ると
: 
 \mathrm{i}\hbar \Psi^{*}\frac{\partial \Psi    }{\partial t}
+\mathrm{i}\hbar \Psi    \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}
 = 
-\frac{\hbar^2}{2m}\Psi^{*}\nabla^2 \Psi 
+\frac{\hbar^2}{2m}\Psi    \nabla^2 \Psi^{*}

更に
: 
 \mathrm{i}\hbar \frac{\partial \left(\Psi^{*}\Psi \right)}{\partial t}
 = 
-\frac{\hbar^2}{2m}
   \nabla \cdot \left( 
        \Psi^{*}\nabla \Psi - \Psi    \nabla \Psi^{*}
   \right)

となり、連続の式
:
  {\partial\rho \over \partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j} = 0

ただし、
:
\begin{align}
  \rho &= \Psi^{*} \Psi\\
  \boldsymbol{j} &= \frac{\hbar}{2m\mathrm{i}} \left [ 
        \Psi^{*} \nabla \Psi 
      - \Psi     \nabla \Psi^{*} 
  \right ]
\end{align}

が得られる。

## 拡散方程式
ブラウン運動などのミクロスケール由来の現象による物質の質量輸送現象を考える。このとき、経験則であるフィックの法則（フィックの第一法則）により流束は
:
\boldsymbol{j}= -\kappa \nabla \rho

と密度の勾配で与えられる。係数 &kappa; は拡散係数と呼ばれ、次元 \mathrm{L}^2\ \mathrm{T}^{-1} をもつ。拡散係数が定数の時、連続の式から拡散方程式
:
{\partial \rho \over \partial t} = \kappa \nabla^2 \rho

が得られる。

## 脚注

### 出典