直交関数列

数学において**直交関数列**（ちょっこうかんすうれつ、）とは互いに直交する関数列の事である。

## 定義
区間  上で定義された複素数値関数 ,  に対し

:
\langle f, g \rangle =\int_{\alpha}^{\beta} f(x) g^{\ast}(x) \, dx


は、積分が有限値として存在するならば、内積となる。

 上の複素値関数の列  が、この内積に対し、互いに直交し、

:
\langle \phi_m, \phi_n \rangle =\int_{\alpha}^{\beta} \phi_m(x) \phi_{n}^{\ast}(x) \, dx = 0
\quad  (m \neq n)


であるとき、**直交関数列**であるという。

特に直交関数列のうち、ノルムが 、すなわち

: \|\phi\|^2 = \int_{\alpha}^{\beta} |\phi_n (x)|^2  \, dx=1

であるものものを**正規直交関数列**という。

また、実数値関数の列  とある関数  に対し、 が直交関数列をなし、

:
\int_{\alpha}^{\beta}\phi_m(x)\phi_n(x) w(x) \,dx = 0 \quad (m \neq n)


であるとき、この関数列を**重み**（荷重） の**直交関数列**という。

## 例

### 三角関数形
;余弦関数系
1と余弦関数による列{1, cos*x*, cos2*x*, cos3*x*,…}は区間 [0, &pi;] で直交関数系を成す。

*
\int_0^{\pi} 1 \, dx = \pi


*
\int_0^{\pi} 1 \cdot \cos{nx}\, dx = 0 \quad (n= 1, 2, \dots)


*
\int_0^{\pi} \cos{mx} \cdot \cos{nx}\, dx = \frac{\pi}{2}\delta_{mn} \quad (m, n= 1, 2, \dots)


;正弦関数系
正弦関数による列 {sin*x*, sin2*x*, sin3*x*,…} は区間 [0, &pi;] で直交関数系を成す。

*
\int_0^{\pi} \sin{mx} \cdot \sin{nx}\, dx = \frac{\pi}{2}\delta_{mn} \quad (m, n= 1, 2, \dots)


;三角関数系
{1, cos*x*, sin*x*, cos2*x*, sin*2x*,…} は [-&pi;, &pi;] で直交関数系を成す。

*
\int_{-\pi}^{\pi} 1 \, dx = 2\pi


*
\int_{-\pi}^{\pi} \cos{mx} \cdot \cos{nx}\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin{mx} \cdot \sin{nx}\, dx 
= \pi \delta_{mn} \quad (m,n= 1, 2, \dots)


*
\int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot  \cos{nx}\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot  \sin{nx}\, dx 
= 0 \quad (n= 1, 2, \dots)


*
\int_{-\pi}^{\pi} \cos{mx} \cdot \sin{nx}\, dx = 0 \quad (m,n= 1, 2, \dots)


### 直交多項式

#### エルミート多項式
関係式

:
H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2} \frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2} \quad (n=0,1,2,\dots)
　　

で定義されるエルミート多項式は区間 (−&infin;, &infin;) 上の重み *e*−*x*2/2 の直交関数系であり、

:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} H_m(x)H_n(x) \, dx= n! \sqrt{2\pi} \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\dots)
　　

を満たす。

#### ルジャンドル多項式
関係式

:
P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \quad (n=0,1,2,\dots)
　　

で定義されるルジャンドル多項式は区間 [−1, 1] 上の直交関数系であり、

:
\int_{-1}^1 P_m(x)P_n(x) \, dx= \frac{2}{2n+1} \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\dots)
　　

を満たす。

#### ラゲール多項式
関係式

:
L_n(x)=\frac{e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^n e^{-x}) \quad (n=0,1,2,\dots)
　　

で定義されるラゲール多項式は区間 [0, &infin;) 上の重み *e*−*x* の直交関数系を成し、

:
\int_{0}^{\infty} e^{-x} L_m(x)L_n(x) \, dx=  \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\dots)
　　

を満たす。

#### チェビシェフ多項式
関係式

:
T_n(x)=\cos{(n \operatorname{arccos}x)} \quad (n=0,1,2,\dots)
　　

で定義されるチェビシェフ多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − *x*2)−1/2 の直交関数系を成し、

:
\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  T_m(x)T_n(x) \, dx=  \frac{\pi}{2} \delta_{mn} \quad (m,n = 0,1,2,\dots)
　　

を満たす。

#### ゲーゲンバウアー多項式
関係式

:C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(-2)^n}{n!}
\frac{\Gamma(n+\alpha)\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2n+2\alpha)}
(1-x^2)^{-\alpha+1/2}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x^2)^{n+\alpha-1/2}\right]　　

で定義されるゲーゲンバウアー多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − *x*2)*&alpha;* − 1/2 の直交関数系を成し、

:
\int_{-1}^1 (1-x^2)^{\alpha-\frac{1}{2}} C_m^{(\alpha)}(x)C_n^{(\alpha)}(x)  \, dx=  \frac{\pi 2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2} \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\dots)
　　

を満たす。

## 完備関数列
直交関数列で、
:\int_{\alpha}^{\beta}f(x)e_n(x)dx=0\quad(n=1,2,\dots)\quad\Longrightarrow\quad f(x)=0
となるもののことを言う。

### 例
\{1,\cos(x),\cos(2x),\cos(3x),\dots,\sin(x),\sin(2x),\sin(3x),\dots\} （**三角関数列**）

## 関連項目
*フーリエ級数
*ルジャンドル多項式
*エルミート多項式