三角形

初等幾何学における**三角形**（さんかくけい、さんかっけい、拉: triangulum, 独: Dreieck, 英, 仏: triangle,（古風）trigon）は、同一直線上にない3点と、それらを結ぶ3つの線分からなる多角形。その3点を三角形の**頂点**、3つの線分を三角形の**辺**という。

## 記法・定義
3点 A, B, C を頂点とする三角形は記号 △ を用いて △ABC と表記する。記号△はなどが16世紀に使うようになった。

三角形の 2辺がなす角をその三角形の**内角**という。
class=skin-invert-image|thumb|図1：内角と外角
図1においては、∠ABC が内角の 1つとなる。三角形は 3つの内角をもち、その和は平面上では2直角（180度）となる（本稿はユークリッド幾何学における三角形を論じる）。

また、∠ACD のように、1つの辺と、他の辺の延長が作る角を三角形の**外角**という。三角形の 1つの頂点（内角）に対して、内角をはさむ2辺以外の辺をその頂点（内角）の**対辺**という。また、三角形の 1つの辺に対して、辺の両端以外の頂点（内角）をその辺の**対頂点（対角）**という。

一般に、三角形の頂点やその頂点の内角を表すには、大文字のアルファベットを用いる。特に、内角（内角の大きさ）を表すときには、頂点の前に記号 ∠ をつけるか、頂点の文字を斜体にして表すのが慣例である。たとえば、図2 の頂点 B を持つ内角（内角の大きさ）を ∠B、または *B* と表す。

辺（辺の長さ）を表すには、対頂点（向かい合う頂点）の文字に対応する小文字のアルファベットで表すことが行われる。たとえば、図2 の角 *B* の対辺 CA は、*b* と表す。この記法は、18世紀のオイラーの頃から使われるようになった。

### 三角形の3辺となる条件
三角形のどの辺の長さも他の二辺の長さの和より小さい。すなわち、三角形を構成する3辺の長さを  とするとき、次の三つの不等式が成り立つ。
* 
* 
* 
この関係は三角不等式として一般化される。
逆に、この不等式が三つとも成り立てば、 を3辺の長さとする三角形を作ることができる。

### 辺の大小と内角の大小
* 
* 
* 
特に、三角形の最長辺（最短辺）と最大内角（最小内角）は向かい合う関係にある。

### 三角形の底辺と高さ（中線と中点連結）
三角形の 3つの辺のうちの一つを底辺としたとき、その対頂点から底辺またはその延長に下ろした垂線が、三角形によって切り取られる線分（線分の長さ）を、三角形の**高さ**という。底辺をどの辺と見るかによって、三角形には 3つの高さがある。

三角形の高さは、底辺と対頂点の距離に等しい。

底辺の中点と、対頂点を結ぶ線分を、三角形の**中線**という。底辺をどの辺と見るかによって、1つの三角形には 3本の中線がある。

三角形の中線は、三角形の面積を二等分する。

底辺を除く 2辺それぞれの中点を結ぶ線分を、三角形の**中点連結**という。底辺をどの辺と見るかによって、1つの三角形には 3つの中点連結がある。

三角形の中点連結は、底辺と平行で、長さは底辺の半分に等しい（中点連結定理）。

## 三角形の種類
class=skin-invert-image|thumb|left|図2：鋭角三角形（不等辺三角形）
三角形は、その辺や角の大きさにより、いくつかの方法で分類することができる。
* 大きさが 0度より大きく 90度より小さい角を鋭角という。
* 大きさが 90度である角を直角という。
* 大きさが直角 90度より大きく、平角 180度より小さい角を鈍角という。
三角形の内角の和は 180度なので、三角形の内角で 90度以上のものは高々1個である。三角形の内角は、すべて鋭角であるか、直角1個と鋭角2個であるか、鈍角1個と鋭角2個、のいずれかである。
class=skin-invert-image|thumb|図3：鈍角三角形
三角形を内角の大きさで分類するとき、内角が全て鋭角である三角形を**[[鋭角三角形]]**（図2）、1つの内角が直角である三角形を**[[直角三角形]]**（図4）、1つの内角が鈍角である三角形を**[[鈍角三角形]]**（図3）という。

また、三角形を辺の長さで分類するとき、3つの辺の長さがすべて異なる三角形を**不等辺三角形**（図2）という。

2つの辺の長さが等しい三角形を**[[二等辺三角形]]**（図5）という。

二等辺三角形のうち、直角三角形の直角をはさむ 2つの辺が等しいものを**[[直角二等辺三角形]]**（図6）という。

二等辺三角形のうち、3つの辺の長さがすべて等しい三角形を**[[正三角形]]**（図7）という。

### 直角三角形
class=skin-invert-image|thumb|left|図4：直角三角形
1つの内角が直角である三角形を**直角三角形**と呼ぶ。直角三角形の頂点のうち、内角が直角である頂点を直角頂と呼ぶ（図4）。

直角三角形の直角以外の内角 2つは 90度未満となり、これらを直角三角形の鋭角と呼ぶ。それらの和は直角に等しい。

直角三角形の直角の対辺を**斜辺**という。斜辺は、直角三角形の 3つの辺の中で最も長い辺である。斜辺でない 2辺を、**直角をはさむ 2辺**と呼ぶ。

直角をはさむ 2辺  と、斜辺  の間には、次の関係が成り立つ（ピタゴラスの定理）。 
: 
逆に、 の 3辺  が上の等式を満たすならば、 は辺  を斜辺とする直角三角形となる（ピタゴラスの定理の逆）。

### 二等辺三角形
class=skin-invert-image|thumb|left|図5：二等辺三角形
二等辺三角形において、長さの等しい 2つの辺を**等辺**といい、残りの 1つの辺を二等辺三角形の**底辺**と呼ぶ。2つの等辺のなす角を**頂角**といい、残りの 2つの内角を**底角**という。頂角の対辺が底辺であり、底辺の両端の角が底角である。また、二等辺三角形で**頂点**と言った場合、特に底辺の対頂点を指す。

 が  の二等辺三角形であれば、底角  であり（二等辺三角形の底角の性質）、逆に、 の 2角が  であれば、 の二等辺三角形となる（二等辺三角形の成立条件）。
class=skin-invert-image|thumb|図6：直角二等辺三角形
二等辺三角形は線対称な図形であり、頂角の二等分線、底辺の垂直二等分線、頂点から底辺に引いた中線はすべて対称軸上に乗る。

二等辺三角形のうち、頂角が直角であるものを**直角二等辺三角形**という。直角二等辺三角形においては、直角をはさむ 2辺を等辺、底辺を斜辺と呼ぶこともできる。2つの鋭角ないし底角の大きさは、それぞれ 45度となる（図6）。

### 正三角形
class=skin-invert-image|thumb|left|図7：正三角形
二等辺三角形のうち、等辺と底辺の長さが等しいものを**正三角形**という。（図7）

正三角形の内角は全て等しく 60度となる。逆に、ある内角が 60度である二等辺三角形は正三角形である。

正三角形は正多角形の一種である。正多角形とは、全ての辺が等しく、全ての内角が等しい多角形と定義されるが、正三角形に限って3辺が等しいことのみで定義される。

正三角形には、対称軸が 3本ある。正三角形の**[[重心]]**、**[[外心]]**、**[[内心]]**、**[[垂心]]**、**[[フェルマー点]]**は、全て一致する。

## 三角形の面積
平面図形である多角形には内部と外部があり、面積を考えることができる。中でも基本的である三角形の面積の求め方は、基本的なものだけでもいくつかが知られている。どの式で求めるかは、分かっている量（辺の長さや内角など）に応じて使い分ければよい。

### 底辺・高さによる式
1つの辺、またはその延長線と直角に交わる直線をその辺に立てた**垂線**といい、垂線と、その辺またはその延長の交点を**垂線の足**または**垂足**という。1つの辺に立てた垂線が、それに対する頂点を通るとき、垂線の足とその頂点を結んだ線分をその三角形の**高さ**という。高さは 3つの辺それぞれに対して定義できる。頂点 A の対辺  に対する高さを  とするとき、面積  は
: S = \frac{1}{2} a h_a …①
で求められる。

### 3辺による式
3辺の長さを  とするとき、面積  は
: S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} …②
となるが、少し複雑なので、
: s = \frac{1}{2} (a+b+c)（半周長）
とおくと、
: S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} …③
で求められる。これをヘロンの公式と呼ぶ。

しかし、数値計算する上で、上記でない形式の方が計算しやすい場合もある。 のうち少なくとも1つは無理数だが  は整数の場合は、 とおくと、
: S=\frac{1}{4} \sqrt{2(BC+CA+AB)-(A^2+B^2+C^2)} …③'
が有用である。

### 2辺夾角による式
1つの内角を 、それをはさむ2辺の長さを  とするとき、面積  は
: S = \frac{1}{2} ab \sin C …④
で求められる。

この等式は、高さおよびsinの定義により、①から導くことができる。（①の h_a は④の b \sin C に等しいため）

### 1辺両端角（2角夾辺）による式
1辺の長さを 、その両端の内角を  とするとき、面積  は
: S = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin (B+C)} …⑤
または
: S = \frac{a^2}{2 (\cot B + \cot C)} …⑥
で求められる。

### 内接円・傍接円による式
内接円の半径を 、3辺  に接する傍接円の半径をそれぞれ  とするとき、面積  は
: S = \sqrt{r r_a r_b r_c \vphantom{A}} …⑦
で求められる。

### 直交座標による式
2次元直交座標平面で、原点を含む 3点  を頂点とする三角形の場合、面積  は
: S = \frac{1}{2} |x_{\text{A}} y_{\text{B}} - x_{\text{B}} y_{\text{A}}| …⑧
で求められる。

一般の 3点  を頂点とする三角形の場合、面積  は
: S = \frac{1}{2} |(x_{\text{A}} - x_{\text{C}} )( y_{\text{B}} - y_{\text{C}} ) - (x_{\text{B}} - x_{\text{C}} )( y_{\text{A}} - y_{\text{C}} )| …⑨
で求められる。

### 極座標による式
2次元極座標平面で、原点を含む 3点  を頂点とする三角形の場合、面積  は
: S = \frac{1}{2} r_{\text{A}} r_{\text{B}} \sin |\theta_{\text{A}} - \theta_{\text{B}}| …⑩
で求められる。

## 五心

三角形は**内心**、**外心**、**垂心**、**重心**、**傍心**をもつ。これらを併せて**五心**という。

外心を 、重心を 、垂心を  とおくと、3点  は一直線上にあり（この直線をオイラー線と呼ぶ）、また  である。

### 内心
class=skin-invert-image|thumb|left|図8：三角形の内心（ が内心である）
三角形の内角の二等分線 3本は 1点で交わる。これらの交点を三角形の内心という。三角形には、その内部に内心が 1つだけある。内心は各辺との距離が等しく、その距離を半径として、内心を中心とする円が描ける。この円を三角形の**内接円**といい、全ての辺に接する。三角形の内接円は、接点を除き三角形の内部にある。

### 外心
class=skin-invert-image|thumb|left|図9：三角形の外心（ が外心である）
三角形の辺の垂直二等分線 3本は 1点で交わる。これらの交点を外心という。外心は各頂点との距離が等しく、その距離を半径として、外心を中心とする円を描くことができる。この円を三角形の**外接円**といい、全ての頂点を通る。

三角形の外接円は、頂点を除き三角形の外部にあるが、外心は三角形の内部にあるとは限らない。鈍角三角形の場合は三角形の外部にあり、直角三角形の場合は斜辺の中点が外心となる。

### 垂心
class=skin-invert-image|thumb|left|図10：三角形の垂心（ が垂心である）
三角形の頂点から対辺に下ろした垂線を**高さ**といい、どの辺を底辺とするかによって三角形には高さが 3本ある。3本の高さは 1点で交わり、これらの交点を垂心という。三角形は 1つの垂心を持つが、垂心が三角形の内部にあるとは限らない。鈍角三角形の場合は三角形の外部にあり、直角三角形の場合は直角頂が垂心となる。

### 重心
class=skin-invert-image|thumb|left|図11：三角形の重心（ が重心である）
三角形の底辺の中点と対頂点を結ぶ線分を**中線**といい、どの辺を底辺とするかによって三角形には中線が 3本ある。3本の中線は 1点で交わり、これらの交点を重心という。三角形はその内部に、1つの重心をもつ。重心は中線を  に内分する。

### 傍心
class=skin-invert-image|thumb|left|図12：三角形の傍心（傍心は  である）
三角形の 1つの内角と他の 2つの外角の二等分線は 1点で交わる。これらの交点を傍心（ぼうしん）という。三角形に傍心は 3つある。傍心は 1辺、他の2辺の延長線との距離が等しく、傍心を中心として半径がその距離である円を**傍接円**という。

三角形の 3つの辺またはその延長線上と距離が等しい点は、内心と傍心の併せて 4点ある。

## 五心の位置ベクトル
三角形の五心（重心、内心、傍心、外心、垂心）の位置ベクトル \boldsymbol{p} は、頂点の位置ベクトル \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} を用いて、一般式
:\boldsymbol{p} = \frac{w_{\text{A}} \boldsymbol{a} + w_{\text{B}} \boldsymbol{b} + w_{\text{C}} \boldsymbol{c}}{w_{\text{A}} + w_{\text{B}} + w_{\text{C}}}
で表される。ここで w_{\text{A}}, w_{\text{B}}, w_{\text{C}} は重みであり、中心ごとに次の表の通りとなる。S はヘロンの公式でも得られる三角形の面積。

:a\equiv\overline{\text{BC}} = \sqrt{(\vec{\text{BC}}, \vec{\text{BC}})},
:b\equiv\overline{\text{CA}} = \sqrt{(\vec{\text{CA}}, \vec{\text{CA}})},
:c\equiv\overline{\text{AB}} = \sqrt{(\vec{\text{AB}}, \vec{\text{AB}})},
:\begin{align}
16S^2 &= 16s(s-a)(s-b)(s-c) \\
      &= 2(b^2 c^2 + c^2 a^2 + a^2 b^2)-(a^4 + b^4 + c^4)
\end{align}
:ただし、
::s = \frac{a + b + c}{2}.

## 合同条件

2つの三角形を移動して重ね合わせることができるとき、この 2つの三角形は合同である。ここで移動とは、平行移動、回転移動、対称移動からいくつかを合成したものである。

ある 2つの三角形について、以下の条件のうち 1つでも満たしていれば、その 2つの三角形は合同となる。これを三角形の合同条件という。この条件は「三つの条件のうち、どれかが与えられれば三角形は決定される」、「相似の特別な場合である」（これは一般の多角形についても成り立つ）と解釈することもできる。

;三辺相等 (SSS)：3組の辺がそれぞれ等しい
;二辺夾角（二辺夾角相等／SAS）：2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
;二角夾辺（二角夾辺相等／一辺両端角相等／ASA）：2組の角とそれらに挟まれる辺がそれぞれ等しい：（1組の辺と両端の角がそれぞれ等しい）

また、三角形の内角の和が一定（180度）であることを考えれば、"ASA" において与えられる2角は、辺を挟む 2角でなくともよいことが分かる。

class=skin-invert-image|thumb|図13：2辺と 1角が等しいが合同ではない三角形の例
一方で、"SAS" においては、ただ単に 2辺と 1角が等しいだけは、合同とは限らない。例を図13 に示す。図13 では、 と  について、 であるが、合同でない。

特に、1角が直角である場合は、加えて次の合同条件も成立する。
;斜辺一辺（斜辺一辺相等／RSS）：斜辺と他の 1辺がそれぞれ等しい
;斜辺一鋭角（斜辺一鋭角相等／RAS）：斜辺と 1つの鋭角がそれぞれ等しい

## 相似条件

ある2つの三角形について、以下の条件のうち1つでも満たしていれば、その2つの三角形は相似である。
;三辺比相等：3組の辺の比がそれぞれ等しい
;二辺比夾角（二辺比夾角相等）：2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
;二角相等：2組の角がそれぞれ等しい

「三辺比相等」については、三角形の3辺の連比が等しいことを指す場合もある。
:a:b:c=a':b':c' \Leftrightarrow a:a'=b:b'=c:c'
よりこれらは同値である。ただし、日本の初等中等教育においては、3連比を導入していない段階では、この表現は避けられることがある。

特に、正三角形、直角二等辺三角形は、3つの内角の組が一定であるから、それぞれが互いに相似である。

## 三角形（トライアングル）を含む語
* パスカルの三角形/タルタリアの三角形
* ライプニッツの調和三角形
* ハインリッヒの三角形
* シェルピンスキーの三角形
* 三角州
* 三角測量 - 三角点
* 三角貿易
* 三角町
* トライアングル（打楽器）
* 鉄のトライアングル
* 地域名
** 黄金の三角地帯
** バミューダ・トライアングル
** ドラゴン・トライアングル
** ポリネシアン・トライアングル
** スンニー・トライアングル
* ナチ強制収容所のバッジ
** ピンク・トライアングル
** パープル・トライアングル
** ブラック・トライアングル
* 夏の大三角
* 冬の大三角
* 春の大三角
* さんかく座
* みなみのさんかく座

## 脚注

## 関連項目

*中点三角形
*三角関数
*三角形の中心
*外接円
*正弦定理
*余弦定理
*中線定理
*合同数
*ルーローの三角形
*六点円
*モーリーの定理
*オイラー線
*ド・ロンシャン点
*傍心三角形
*九点円
*三角 (記号)
*三角形に関する不等式の一覧
*三角形に関する項目の一覧