モーデルの定理

数学における**モーデルの定理**（モーデルのていり、）とは、有理数体 **Q** 上の楕円曲線 *E* の有理点と無限遠点 *O* のなすアーベル群 *E*(**Q**) が有限生成になる、という定理である。有限生成アーベル群の基本定理から有限生成アーベル群は次に同型であることが知られている。
:\mathbb{Z}^{\oplus r}\oplus T\qquad (r\ge 0)
ここで T は有限アーベル群（ねじれ部分群）である。（*r* は *E* の階数（ランク）と呼ばれ、関連する予想にミレニアム懸賞問題のBSD予想がある。）

有限生成アーベル群 *E*(*Q*) の場合、ねじれ部分群 *T* は次のいずれかに同型となる（メイザーのねじれ定理）。
:\text{(i)} \; \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \qquad (1 \le n \le 10 \, \text{ or } \, n=12)
:\text{(ii)} \; \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\;\oplus\;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\qquad (n = 2,4,6,8) 

モーデルの定理は後にアンドレ・ヴェイユによって代数体上のアーベル多様体の有理点のなす群に関するモーデル・ヴェイユの定理へと拡張された。

## 概要
以下モーデルの定理を正確に述べるために少し準備をする。

### モーデルの弱定理 (weak Mordell theorem)
これは *E*(**Q**)/2*E*(**Q**) が有限群であるという定理である。一般にアーベル群 *A* が有限生成ならば *A*/2*A* は有限群になるので、これは *E*(**Q**) が有限生成となるための必要条件になっている。ここで、一般には *A*/2*A* が有限群でも *A* が有限生成になるとは限らないことに注意しなければならない（反例として、**Q**/2**Q** = {0} だが **Q** は有限生成でないことがあげられる）。

### 有理点の高さ

有理数 *x* について高さ *H*(*x*) を次のように定義する。*x* = *m*/*n* (*n*, *m* ∈ **Z** で、*n* と *m* は互いに素）と既約分数で表示したとき
:H ( x ) = \max \{ \left| n \right| ,\left| m \right| \} 
また *P* ∈ *E*(**Q**), *P* ≠ *O* に対して *H*(*P*) を *P* の *ｘ* 座標の高さとし、*H*(*O*) = 1 と定義する。

このとき次の2つの条件を満たす正数 *C* が存在することが知られている。
: (1) *E*(**Q**) に属するすべての *P* に対して C \cdot H(2P)\ge H(P)^4 
: (2) *E*(**Q**) に属するすべての *P*, *Q* に対して C \cdot H(P) \cdot H(Q) \ge min\{H(P+Q),H(P-Q)\} 
いま *f* を *E*(**Q**) から *E*(**Q**)/2*E*(**Q**) の上への自然な準同型
:f \colon E ( \mathbb{Q} ) \to E ( \mathbb{Q} ) /2 E ( \mathbb{Q} )　 
とし *E*(**Q**) の部分集合 *A* の *f* による像が *E*(**Q**)/2*E*(**Q**) であるとする。（すなわち *f*: *A* → *E*(**Q**)/2*E*(**Q**) が全射。いま *A* に演算は定義しない。）

このときモーデルの弱定理より *A* が有限集合でも構わないことがわかる。そこで  A = \{Q_1,Q_2,\cdot \cdot \cdot,Q_n \} とする。ここで正数 *M* を
: M = \max \{ C,H(Q_1),H(Q_2),\cdot \cdot \cdot,H(Q_n) \} 
と定めると次のモーデルの定理が成り立つ
:*E*(**Q**) は {*P* ∈ *E*(**Q**), *H*(*P*) ≦ *M*} によって生成される。
高さの定義よりこれは有限集合でなので、結局 *E*(**Q**) は有限生成であることが分かる。

## モーデル・ヴェイユの定理

**モーデル・ヴェイユの定理**(Mordell–Weil theorem)は、数体 K の上のアーベル多様体 A に対し、A の K-有理点の群 A(K) が、**モーデル・ヴェイユ群**(Mordell-Weil group)と呼ばれる有限生成アーベル群であるという定理である。A が楕円曲線で K が有理数体 **Q** の場合を**モーデルの定理**と言い、1908年頃にアンリ・ポアンカレ(Henri Poincaré)により提示された疑問に答えたもので、1922年にルイス・モーデル(Louis Mordell)により証明された。

**接する弦のプロセス**(tangent-chord process)（三次曲線(cubic cuve)における加法定理の一種）は、17世紀より知られている。フェルマー(Fermat)のは無限降下法は良く知られていたが、モーデルは（無限降下法の）証明の重要な段階である商群 E(**Q**)/2E(**Q**) を証明することに成功した。確かにこの群の有限性は、E(**Q**) が有限生成であることの必要条件であり、このことはアーベル群のランクが有限であることを意味していて、本質的に難しいことであることが判明している。このことの証明は、E の点の二重性の直接の解析により初めて可能となる。

数年後、アンドレ・ヴェイユ(André Weil)はこの問題を取り上げ、数体上の高い種数を持つ曲線のヤコビ多様体へ一般化し、1928年に彼の博士論文として出版した。一層抽象的な方法が要求され、同一の構造を持つ証明が遂行された。証明の後半は、A(K) の点の「サイズ」の限界を意味するある種類の高さ函数を必要とした。座標の測り方として、高さは対数的であり、従って大まかに言うと、(homogeneous coordinates)の集合を書き下すことに何デジット必要かという疑問であった。アーベル多様体では、射影多様体として表現されていることから、何の**前提**も必要ない。

証明の前半も後半も、その後のテクニックの前進により大きく改善され、ガロアコホモロジーでは降下法が適用され、最良の高さ函数は、二次形式であることが研究により示されている。

## 今後の課題

未だに解決されていない問題はいくつかある。

*ランクの計算。未だにランクの計算問題に答えることが求められて、いつも有効とは限らない。
*ランクの意味付け、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想を参照。
*代数曲線 C のヤコビ多様体の中の A とすると、A(K) と C の交叉は無限か？（C = A でなければ、ファルティングス(Faltings)によりファルティングスの定理として証明された。）
*同じ脈絡で、C が A の無限個の捩れ点を持つことが可能か？（楕円曲線の場合以外は、レノー(Raynaud)によりマーニン・マンフォード予想が証明され、従って無限個の捩れ点を持つことが否定された。）

## 脚注

## 関連項目
*アーベル多様体の数論
*ファルティングスの定理

## 参考文献
* 
*A. Weil, *L'arithmétique sur les courbes algébriques*, Acta Math 52, (1929) pp.&nbsp;281&ndash;315, reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0-387-90330-5
*L.J. Mordell, *On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees*, Proc Cam. Phil. Soc.  21, (1922) p.&nbsp;179.
*J. H. Silverman, *The arithmetic of elliptic curves*, ISBN 0-387-96203-4 second edition