シュレーフリ記号

**シュレーフリ記号**（シュレーフリきごう、）は、正多胞体を {p,q,r,...} の形で記述する記法。なお日本語では**シュレーフリの記号**とも言うが、とはあまり言わない。19世紀スイスの幾何学者ルートヴィヒ・シュレーフリ ( (en), 1814-1895) が発案した。

正多胞体とは、正多角形・正多面体の一般次元への一般化である。なお、線分は1次元、正多角形は2次元、正多面体は3次元の正多胞体とみなす。また、星型正多胞体と正空間充填形を正多胞体に含めて述べる（ただし、正空間充填形は1つ上の次元の正多胞体とみなす）。たとえば、3次元では星型正多面体と正平面充填形を正多面体に含める。

一様多胞体を記述できる**拡張シュレーフリ記号** () を含めてシュレーフリ記号と言うこともあるが、ここではまず狭義のシュレーフリ記号について述べ、拡張シュレーフリ記号については最後に述べる。

## 定義
次のように再帰的に適用される。
#線分のシュレーフリ記号は {} である。
#正*p*角形のシュレーフリ記号は {*p*}である。
#*n* ≧ 3 のとき、各ピークに *n* - 1 次元正多胞体のファセット {*p*1, *p*2, ... ,*p**n* - 2} が *q* 個集まった *n* 次元正多胞体のシュレーフリ記号は {*p*1, *p*2, ... ,*p**n* - 2, *q* } である。

ピーク (peak)、リッジ (ridge)、ファセット (facet) とは、*n* 次元多胞体のそれぞれ *n* - 3、*n* - 2、*n* - 1 次元要素 (element) である。例えば、多面体（3次元多胞体）に対しては頂点（0次元要素）・辺（1次元要素）・面（2次元要素）、4次元多胞体に対しては辺（1次元要素）・面（2次元要素）・セル（3次元要素）である。

ある低次元要素に集まるファセットの様子は、その要素の次元が高いほど単純である。ただし、最も高次元なリッジに集まるファセットは、単純すぎて常に2個であり（たとえば、正多面体の辺には常に2面が集まる）、正多胞体の性質を現さない。そこで、次に高次元な、ピークに集まるファセットの個数を使えば、最も簡潔に多胞体の性質を表すことができる。

非整数は 5/2 のようにスラッシュを使った分数で記述する。分母（先の例では2）は、星型多角形の密度を表す。ピークに集まるファセットも、星型多角形のように密度を持ちえ、その場合分数表記される。

## 性質
*n*次元正多胞体とそのシュレーフリ記号 {*p*1,*p*2,...,*p**n* - 1} には以下の性質がある。

*数値の個数は *n* - 1 個である。
*正多胞体では数値は全て整数だが、星型正多胞体では1つが分数である。
*3次元以上の狭義の正多胞体では、数値は 3, 4, 5 の3種類しか現れない（星型正多胞体では5/2、ユークリッド空間充填形では6が加わる）。5次元以上では3, 4の2種類しか現れない。
**m* 次元要素は *m* 次元正多胞体 {*p*1,*p*2,...,*p**m* - 1} である。
**m* 次元要素の近傍の適切な *n* - *m* - 1 次元超断面（*n* - *m* - 1 次元超平面との共通部分、断面の一般次元への拡張）は、 *n* - *m* - 1 次元正多胞体 {*p**m* + 2,*p**m* + 3,...,*p**n* - 1} である。
*双対多胞体は {*p**n* - 1,*p**n* - 2,...,*p*1} である。

特に、正多面体とそのシュレーフリ記号 { *p*, *q* } には以下の性質がある。
*面は正 *p* 角形である。
*各頂点には *q* 個の面が集まっている。つまり、頂点近傍の適切な平面での断面は正 *q* 多角形である。つまり、頂点を切頭すると正 *q* 多角形が現れる。
*双対多面体は { *q*, *p* } である。

## 例
### 2次元多角形
*正*n*角形 - {*n*}
*正*n*/*m*角形 - {*n*/*m*}

### 2次元多角形による平面充填
*正三角形による平面充填形 - {3,6}
*正方形による平面充填形 - {4,4}
*正六角形による平面充填形 - {6,3}

### 3次元多面体
*正四面体 - {3,3}
*正六面体（立方体） - {4,3} 
*正八面体 - {3,4}
*正十二面体 - {5,3}
*正二十面体 - {3,5}
*小星型十二面体 - {5/2,5}
*大十二面体 - {5,5/2}
*大星型十二面体 - {5/2,3}
*大二十面体 - {3,5/2}

### 3次元多面体による空間充填
*立方体による空間充填形 - {4,3,4}

### 4次元多胞体
*正五胞体 - {3,3,3}
*正八胞体 - {4,3,3}
*正十六胞体 - {3,3,4}
*正二十四胞体 - {3,4,3}
*正百二十胞体 - {5,3,3}
*正六百胞体 - {3,3,5}
*大壮星型百二十胞体（great grand stellated 120-cell） - {5/2,3,3}
*壮六百胞体（grand 600-cell） - {3,3,5/2}
*大星型百二十胞体（great stellated 120-cell） - {5/2,3,5}
*壮百二十胞体（grand 120-cell） - {5,3,5/2}
*壮星型百二十胞体（grand stellated 120-cell） - {5/2,5,5/2}
*小星型百二十胞体（stellated 120-cell） - {5/2,5,3}
*二十面体百二十胞体（icosahedral 120-cell） - {3,5,5/2}
*大二十面体百二十胞体（great icosahedral 120-cell） - {3,5/2,5}
*大壮百二十胞体（great grand 120-cell） - {5,5/2,3}
*大百二十胞体（great 120-cell） - {5,5/2,5}

### 4次元多胞体による4次元空間充填
*正八胞体による4次元空間充填形 - {4,3,3,4}
*正十六胞体による4次元空間充填形 - {3,3,4,3}
*正二十四胞体による4次元空間充填形 - {3,4,3,3}

### 一般次元 (n≧5)
* *n*-正単体 - {3,3,...,3} (3 が *n*-1 個)
* *n*-正測体 - {4,3,3,...,3} (3 が *n*-2 個)
* *n*-正軸体 - {3,3,...,3,4} (3 が *n*-2 個)
* *n*-正測体による *n*-次元空間充填形 - {4,3,3,...,3,4} (3 が *n*-2 個)

## 直積
複数のシュレーフリ記号を { ... } × { ... } × ... × { ... } と記載することで、直積集合を表現できる。

### 3次元の例
*正''p''角柱（特にアルキメデスの*p*角柱） - {} × {*p*} （{*p*} × {} でも可）
*直方体（特に立方体） - {} × {} × {}

## 拡張シュレーフリ記号

シュレーフリ記号を拡張した拡張シュレーフリ記号は、一様多胞体を表すことができる。拡張シュレーフリ記号を含めてシュレーフリ記号ということもある。

一様多胞体とは、各ファセットが1次元低い一様多胞体（必ずしも合同ではない）で、各頂点の近傍が合同な多胞体である。たとえば、一様多面体（3次元一様多胞体）には正多面体、半正多面体、アルキメデスの正角柱、アルキメデスの反正角柱、およびそれらを一般化した星型多面体が含まれる。

なお、一様多胞体は各頂点の近傍が合同なため、拡張シュレーフリ記号以外に、ディンキン図形（コクセター・ディンキン図形）や頂点形状でも記述できる（ただし、4次元以上の一様多胞体の頂点形状を簡潔に記述することは難しい）。一様多面体はワイソフ記号でも記述できる。またすでに述べたとおり、アルキメデスの正角柱（およびその高次元への一般化）はシュレーフリ記号の直積でも記述できる。

### 3次元の例
*アルキメデスの*p*角柱 - t{2,p} 
*アルキメデスの反*p*角柱 - s{2,p} （正式には s\begin{Bmatrix} 2 \\ p \end{Bmatrix}）