方程式

**方程式**（ほうていしき）とは、数学において、未知の数・関数・元などに条件を課し、その条件を満たす対象を求めるための等式的記述である。初等数学では通常、未知数を含み、その未知数が特定の値をとるときに成立する等式をいう。方程式を成り立たせる値や対象を**解**といい、それを求めることを**方程式を解く**という。

方程式は初等数学の基本概念であるとともに、代数方程式、関数方程式、微分方程式、積分方程式などの形で数学の諸分野および自然科学に広く現れる。古典的には方程式の解法が代数学の中心的課題であったが、現代では方程式の概念は代数的構造を記述する抽象的な枠組みにまで拡張されている。

## 概要
初等数学で扱う方程式の典型は、未知数 x を含む
: f(x)=g(x)
の形の等式である。これを
: f(x)-g(x)=0
と書き換えれば、方程式を解くことは式の零点を求める問題とみなすことができる。とくに多項式によって表されるものは代数方程式と呼ばれ、古くから方程式論の中心的対象であった。

しかし、現代数学において方程式の対象は数に限られない。未知の対象が関数であれば関数方程式、導関数を含めば微分方程式、積分記号の中に未知関数が現れれば積分方程式となる。また、複数の未知数に対して複数の条件を同時に課す場合には連立方程式または方程式系をなす。

方程式は、変数の属する範囲を定めて初めて厳密な意味をもつ。たとえば
: x^2-2=0
は実数の範囲では解をもつが、有理数の範囲では解をもたない。この意味で、方程式は単なる記号列ではなく、ある集合または代数的構造の上で解釈される数学的対象である。

## 基本概念
### 未知数・解・解集合
方程式に現れる値未定の記号を**未知数**または**未知元**という。未知数に値を代入して等式が成立するとき、その値を解といい、解全体の集合を**解集合**という。解は存在しないこともあれば、ただ一つ存在することも、有限個または無限個存在することもある。

### 恒等式との区別
任意の許された変数値に対して常に成り立つ等式は恒等式であり、通常の方程式とは区別される。たとえば
: (x+1)^2=x^2+2x+1
は恒等式であるが、
: x+1=0
は x=-1 のときにのみ成り立つ方程式である。

### 同値変形
方程式を解く際には、解集合を保つ変形、すなわち**同値変形**が重要となる。両辺に同じ量を加減することや、零でない量を掛けたり割ったりすることは、適切な条件のもとで同値変形となる。他方、両辺の二乗、分母払い、未知数を含む式による乗除などは、余分な解を生じさせたり解を失わせたりする可能性があるため注意を要する。

## 分類
### 代数方程式
多項式 f(x) を用いて
: f(x)=0
の形に表される方程式を**代数方程式**という。次数によって一次方程式、二次方程式、三次方程式などに分類される。

代数方程式の理論は古典代数学の主要部分を成し、とくに一般五次方程式が根号では解けないこと、および可解性が置換群の性質と深く結びつくことは、近代代数学の形成に大きな影響を与えた。

### 超越方程式
指数関数、対数関数、三角関数などを含む方程式は、一般に**超越方程式**と呼ばれる。これらは代数的な閉形式で解けるとは限らず、数値解析的手法が重要となる。

### 関数方程式
未知の対象が関数であり、関数どうしの関係式として与えられるものを**[[関数方程式]]**という。

### 微分方程式
未知関数とその導関数との関係を表す方程式を**[[微分方程式]]**という。独立変数が一つの場合は常微分方程式、二つ以上の場合は偏微分方程式という。

### 積分方程式・差分方程式
未知関数が積分記号の内部に現れるものを**[[積分方程式]]**、離散変数の前後関係を記述するものを**[[差分方程式]]**という。これらは解析学および応用数学で重要である。

### 方程式系
複数の方程式を同時に満たす未知数の組を求める問題を**連立方程式**または**方程式系**という。線型代数学では連立一次方程式が基本的対象であり、行列の理論と密接に結びつく。

## 歴史
方程式の歴史は、未知量を文字や記号で表して操作する代数学の歴史と密接に関わる。日本語辞典では、代数学は古くは方程式の解法を主対象とし、その後しだいに代数系一般の研究へと拡張された分野として説明されている。

近代的な等号記号 = は、1557年にロバート・レコードが英語の代数学書で用いたことで知られる。日本語の数学史資料によれば、レコードは二つの平行線ほど等しいものはないという趣旨からこの記号を採用し、その後1631年のハリオットらを経て普及した。

17世紀には記号代数の整備が進み、等号、不等号、未知量・既知量の記号法が方程式の記述と操作を大きく変えた。こうした記号法の整備は、方程式論を個別問題の解法から一般的理論へ進める基盤となった。

近世ヨーロッパでは三次方程式および四次方程式の解法が発見され、19世紀には一般五次方程式の可解性の問題を背景としてガロア理論が成立した。これにより方程式論は、計算技法の集積から構造的理論へと展開した。

## 抽象代数学における方程式
現代数学では、方程式は単に数の等式にとどまらず、演算記号から作られた**項**どうしの等しさとして理解されることがある。広島大学の公開講義資料では、代数系を「演算」と「それが満たす性質」によって記述する見方が示され、半群の結合法則
: (g_1\circ g_2)\circ g_3=g_1\circ(g_2\circ g_3)
が無条件等号型の公理の例として扱われている。

この観点では、群・環・体などの代数系は、それらが満たす方程式的条件によって特徴づけられる。したがって方程式の概念は、初等代数学にとどまらず、抽象代数学や普遍代数学においても基本的意義をもつ。

## 自然科学・応用数学における方程式
方程式は、自然現象を定量的に記述するための基本的手段である。たとえば力学では運動の方程式が系の時間発展を記述し、微分方程式は物理学、工学、経済学その他の諸分野で中心的な役割を担う。

また、応用数学においては厳密解の算出だけでなく、解の存在、一意性、安定性、近似解法なども重要な問題となる。

## 教育における方程式
学校数学において方程式は、未知量を文字で表し、条件を式に定式化し、それを変形して解を求めるという数学的思考を育てる基本題材である。一次方程式、二次方程式、連立方程式は、代数的処理と文章題の定式化の双方を学ぶ中核的内容となっている。

## 転用表現
日常語では「勝利の方程式」「成功の方程式」のように、ある結果を導く定型的な要因の組合せを比喩的に**方程式**と呼ぶことがある。これは数学用語の転用表現であり、厳密な数学的意味での方程式とは異なる。

## 脚注

## 参考文献
* 日本数学会編『岩波数学辞典 第4版』岩波書店、2007年。
* 中島匠一『代数方程式とガロア理論』共立出版、2006年。
* 藤崎源二郎『体とガロア理論』岩波書店、1991年。
* 長岡亮介『数学の歴史』放送大学教育振興会、2003年。
* 上野健爾監訳『カッツ 数学の歴史』共立出版、2005年。
* 林知宏「17世紀における記号代数と方程式論」『学習院高等科紀要』第9号、2011年、11-38頁。
* 遠山啓『数学入門（上・下）』岩波新書、1960年。

## 関連項目

* 等式
* 恒等式
* 代数学
* 代数方程式
* 連立方程式
* 関数方程式
* 微分方程式
* 積分方程式
* 差分方程式
* ガロア理論
* 求根アルゴリズム