ラグランジュの定理 (群論)

群論において、**ラグランジュの定理**（英語：Lagrange's theorem）とは、次のような定理である。

 に関しては#同値類による指数を参照。

## 定義
### 部分群による同値関係
群  の要素  に関して、群  の部分群  の要素  を用いて、 となるとき、 と定義する。 の単位元を  とすると、 は部分群だから  であり、 となるので、 である。 のとき、 は部分群だから  となるので、 のとき、 となり  である。 に関して、 ならば  だから  となる。 は部分群なので、 となるから  である。したがって、 は同値関係になる。

### 同値関係による同値類
部分群  に関して、同値関係  による同値類  は  になるから、 に等しくなる。これを  の  による**左剰余類**（left coset）という。同値関係  による同値類  の集合  を  と書く。

部分群  が有限群の場合は  と表すことができて、左剰余類  は  となる。

### 同値類の間の同型写像
部分群  から同値類  への写像  を  と定義するとき、 とすると、 となるから、左から  を掛けて  となるので、写像  は単射になる。写像  による部分群  の像が  だから写像  は全射になり、全単射になる。したがって、写像  の逆写像   は  となる。これより、同値類  から同値類  への写像  を  と定義すると写像  は全単射になる。したがって、任意の二つの同値類  と  は同型となり、 となる。

### 同値類による指数
左剰余類の集合  の要素の個数（濃度）である  を  における  の**指数**（index of a subgroup  in a group ）と呼び、 または  または  と書く。

 が有限集合の場合は、 と表すことができて、 となる。

 が有限群の場合は、以下のように書ける：
:\begin{align}H &= \{h_{1}, h_{2}, h_{3}, \dotsc, h_{m}\},\\
a_{1}H &= \{a_{1}h_{1}, a_{1}h_{2}, a_{1}h_{3}, \dotsc, a_{1}h_{m}\},\\
a_{2}H &= \{a_{2}h_{1}, a_{2}h_{2}, a_{2}h_{3}, \dotsc, a_{2}h_{m}\}, \\
a_{3}H &= \{a_{3}h_{1}, a_{3}h_{2}, a_{3}h_{3}, \dotsc, a_{3}h_{m}\}, \\
\cdots \\
a_{k}H &= \{a_{k}h_{1}, a_{k}h_{2}, a_{k}h_{3}, \dotsc, a_{k}h_{m}\}, \\
G/H &= \{a_{1}H, a_{2}H, a_{3}H, \dotsc, a_{k}H\}, \\
G &= a_{1}H \cup a_{2}H \cup a_{3}H \cup \cdots \cup a_{k}H \ \ (i \neq j \Rightarrow a_{i}H \cap a_{j}H = \emptyset).
\end{align}

## 証明
有限群  の部分群  を  とすると、
:H = \{h_{1}, h_{2}, h_{3}, \dotsc, h_{m}\}.
左剰余類  は  に等しくなるので、
:aH = \{ah_{1}, ah_{2}, ah_{3}, \dotsc, ah_{m}\}.

このとき、 の要素  に  を対応させる写像を  とすると、 のとき、左から  を掛けて、 となるので、写像  は単射になる。

写像  は  を  に写すから  は全射となるので、全単射になる。したがって、  と  とは同じ個数の要素を待つから、 となる。

したがって、 の  による類別を考えると、以下のようになる。
:\begin{align}a_{1}H &= \{a_{1}h_{1}, a_{1}h_{2}, a_{1}h_{3}, \dotsc, a_{1}h_{m}\},\\
a_{2}H &= \{a_{2}h_{1}, a_{2}h_{2}, a_{2}h_{3}, \dotsc, a_{2}h_{m}\}, \\
a_{3}H &= \{a_{3}h_{1}, a_{3}h_{2}, a_{3}h_{3}, \dotsc, a_{3}h_{m}\}, \\
\cdots \\
a_{k}H &= \{a_{k}h_{1}, a_{k}h_{2}, a_{k}h_{3}, \dotsc, a_{k}h_{m}\}, \\
G/H &= \{a_{1}H, a_{2}H, a_{3}H, \dotsc, a_{k}H\}, \\
G &= a_{1}H \cup a_{2}H \cup a_{3}H \cup \cdots \cup a_{k}H \ \ (i \neq j \Rightarrow a_{i}H \cap a_{j}H = \emptyset).
\end{align}
このとき、 となるので、 となる。 となるので、
:|G| = [G : H] \cdot|H|.
Q.E.D.

## 拡張
ラグランジュの定理は群  における3つの部分群の指数の間に成り立つ等式に拡張できる。
以下では、 が群  の部分群であるとき、 または  と表し、 が群  の部分群であり、かつ  が群  の部分群であるとき、 または  と表す。

 のとき  （ は群  の単位元）とおくと  および  が成り立つ。したがって、元々の等式  を得る。

## 応用
### 系(1)
ラグランジュの定理には、次のような系がある。

;証明: が有限群の場合は、指数 （ における  の左剰余類の個数）が正の整数になるので、ラグランジュの定理から系が従う。

### 系(2)

;証明:群  の任意の元  で生成される巡回群 ⟨⟩を考えればよい。巡回群 ⟨⟩は  の部分群になるので、その位数 |⟨⟩| は群  の位数  を割り切ることになる。

### 素数位数の有限群

;証明: より、群  の単位元  以外の元を  とすると、 が生成する巡回群  は群  の部分群になるから、その位数  は素数  の約数になる。したがって、 または  になる。 の場合は、 となり不適。 の場合は群  の位数と等しくなるので、 となり題意は示された。

### フェルマーの小定理

;証明:位数  の巡回群  の乗法群  は位数  の有限群になるから、 の任意の元を  とすると、ラグランジュの定理の系(2) より、 が成り立つ。したがって、 のとき  が素数  で割り切れるから、 となる。よって、 のとき、 が成り立つので、 を得る。

より一般に、合成数  についても乗法群  を考えれば、オイラーの定理を導くこともできる。

## 逆
ラグランジュの定理の逆が成立するか問うことができる。つまり、位数  の有限群  と  を割り切る自然数  が与えられたとき「位数が  である  の部分群が存在するか」という問いである。よく知られているように、これは一般には存在しない。位数12である4次の交代群  が位数6である部分群をもたないので、（群  の位数が最小の）反例を与えるからである。 一方、特別な状況では逆が成立することが知られている。その最たる例はシローの定理である。つまり位数  を割り切る素数  のべきで最大のもの  を考えると、位数  の部分群（シロー部分群）が存在する。もうすこし一般に  が  を割り切るならば、位数  の部分群が存在することもわかる。（コーシーの定理も参照のこと。）

## 歴史

ラグランジュは代数方程式の解法に関連して、多項式上の置換の理論でこの定理を証明しているが、これは現在の言い方でいう対称群の場合にあたる。当時はまだ群の概念が整備されていなかったので、ラグランジュ自身が群一般で考えていたわけではない。ただその性質は容易に抽象群へと拡張されるもので、現在でもそのままラグランジュの定理と呼ばれている。群論の定理としては、歴史上最初に出現したものである。

## 脚注

### 注釈

### 出典

## 参考文献
*
*
*
*
* 
* 

## 関連項目

*コーシーの定理 (群論)
*ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ
*シローの定理

## 外部リンク
*ラグランジェの定理 - 物理のかぎしっぽ
*
*
### 動画
* - AKITOの特異点
*
*