ヤコビ行列

多変数微分積分学およびベクトル解析における**ヤコビ行列**（ヤコビぎょうれつ、）あるいは単に**ヤコビアン**または**関数行列**（かんすうぎょうれつ、）は、一変数スカラー値関数における接線の傾きおよび一変数ベクトル値函数の勾配の、多変数ベクトル値関数に対する拡張、高次元化である。名称はカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに因む。多変数ベクトル値関数  のヤコビ行列は、 の各成分の各軸方向への方向微分を並べてできる行列で

:J_f = D_x f = \frac{\partial f}{\partial x} = \begin{bmatrix}
 \cfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
 \vdots & \ddots & \vdots \\
 \cfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial f_m}{\partial x_n} 
\end{bmatrix}\quad \left(f=\begin{bmatrix}f_1(x_1,\ldots,x_n)\\\vdots\\f_m(x_1,\ldots,x_n)\end{bmatrix}\right)
のように表される。

ヤコビ行列の行列式は、**ヤコビ行列式** (**') あるいは単に**ヤコビアン**または**関数行列式**と呼ばれる。ヤコビ行列式は変数変換に伴う[[面積分|面積要素]]や[[体積要素]]の[[無限小]]変化の比率を符号つきで表すもので、しばしば[[重積分]]のに現れる。

これらは[[多変数微分積分学]]、[[多様体論]]などで基本的な役割を果たすほか、[[最適化問題]]等の応用分野でも重要な概念である。

== 定義 ==
 を  次元[[ユークリッド空間]]  の[[開集合]]とし、 を  上で定義され、 に値を取る [[Ck級| 級]][[写像|関数]]とする。
点  における  の**ヤコビ行列**は、
:<math>\frac{\partial f}{\partial x}(p) = \begin{bmatrix}
 \cfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(p) & \cdots & \cfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(p) \\
 \vdots & \ddots & \vdots \\
 \cfrac{\partial f_m}{\partial x_1}(p) & \cdots & \cfrac{\partial f_m}{\partial x_n}(p) 
\end{bmatrix}</math>
なる  行列をいう。これをしばしば  や  あるいは ,  などと表す。

 の場合、ヤコビ行列は正方行列となり、その[[行列式]]を考えることができる。ヤコビ行列の行列式  を**ヤコビ行列式**、**関数行列式**あるいは簡単に**ヤコビアン'''と呼ぶ。ヤコビ行列式も ,  あるいは ,  などとも書かれる。

## 性質
ヤコビ行列は、実関数に関する微分係数および導函数の自然な拡張となっている。つまり、 のとき、-型行列とその唯一の成分である実数とを同一視することにより、ヤコビ行列の概念は微分係数および導函数の概念に一致する。

 が点  において任意の偏微分を持つならば  においてヤコビ行列は存在する。しかし、 の偏微分可能性だけでは  の微分可能性は言えないから、ヤコビ行列が存在しても  は  において必ずしも全微分可能でない。

 が  上の点  で微分可能、すなわち
: \lim_{x\to p}\dfrac{\|f(x)-f(p)-\mathit{df}(x-p)\|}{\|x- p\|} =0
なる線型写像  が存在するとき、この線型写像  の標準基底に関する表現行列は  の  におけるヤコビ行列  によって与えられる（すなわち、 のベクトルの各成分への射影  に対して
: f_i := \pi_i \circ f 
と書けば、点  におけるヤコビ行列  は 
:  \bigg(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\bigg|_{x=p}\bigg)_{i=1,\ldots,m \atop j=1,\ldots,n}　
と書くことができる）。またこれは  が  の全域で微分可能であるとき、 に対して  を対応させる写像  は  の全微分であると言っても同じことである。

 が点  において微分可能であるとき、点  におけるヤコビ行列  は、 が  に十分近いとき
: f(x)=f(p)+J_f(p)(x-p)+o(\|x-p\|)
なる関係を満足する（ここで  はランダウの記号）という意味で  の  における一次近似であり、接空間の間の線型写像とみなせる。この線型写像の合成は行列積と等価であり、 が  を含む領域  から  への関数であり、 において微分可能であるとき、
: J_{g \circ f}(p) = J_g(f(p)) \cdot J_f(p)
が成り立つ。これは、合成関数の微分に相当する。

### 逆関数の定理
ここでは、 が  上で級  であるとする。

 のとき、 の  におけるヤコビ行列は正方行列であるが、ヤコビ行列が正則行列である場合、 は 局所的に全単射となり、その逆関数は  級であり、 でのヤコビ行列は  の逆行列となる。
つまり、 を含むある領域  について、 の  への制限
: h := f|_{D'}\colon D' \to f(D') 
が  級全単射で、
: J_{h^{-1}}(h(p)) = (J_h(p))^{-1}
となる。

一方、 が退化している（階数が落ちる）場合には、以下の二つの状況がありうる。
*  は  のまわりで局所的に全単射だが、逆関数が  にて微分不可能
*;例:  は 0 付近で全単射だが、逆関数は 0 で微分不可能
*  は  のまわりで局所的にも全単射でない
*;例:  は 0 付近で局所的にも全単射でない

この時、 を特異点、または臨界点という。ヤコビ行列及びヤコビアンは、特異点を見つけるのにしばしば用いられる。

## 多様体論におけるヤコビ行列

ここでは、多様体間の写像のヤコビ行列について述べる。

 をそれぞれ  次元、 次元の  多様体で、 をその間の  級写像だとする。このとき、 の点  での微分  は、点  における  の接ベクトル空間  と、点  における  の接ベクトル空間  の間の線型写像となる。 のまわりの  の局所座標  および  のまわりの  の局所座標  を定めると、それぞれの接ベクトル空間における基底が定まる。
この基底に関する  の表現行列を  の  におけるヤコビ行列と呼ぶ。

写像の微分は局所座標に依存しないが、ヤコビ行列は局所座標の選び方に依存する。ただし、同じ写像の、局所座標の選び方を変えたヤコビ行列同士は互いに共役である。

この定義は、冒頭の定義の拡張となっている。（の開集合）、 とし、それぞれに自明な局所座標を選ぶことによって、冒頭の定義と一致する。

## 極座標系に関する具体例

ここでは、いくつかの極座標系から直交座標系への座標変換で、ヤコビアンがどのようになるか述べる。

### 円座標
円座標は、直交座標への座標変換  を与えるから、ヤコビアンは
:|J_f| = \left| \frac{\partial (x , y)}{\partial (r, \theta)} \right| = \begin{vmatrix}
 \cos\theta & -r\sin\theta \\
 \sin\theta &  r\cos\theta
\end{vmatrix}= r
となる。従って、特異点は  となる点、即ち  である。これは直交座標での  を表す。

### 円柱座標
円柱座標は、直交座標への座標変換  を与えるから、ヤコビアンは
:|J_f| =\begin{vmatrix}
  \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\
  \sin\theta &  r\cos\theta & 0 \\
  0          &  0           & 1
\end{vmatrix}= r
となる。従って、円座標のときと同じく、特異点は  となる点、即ち  である。これは直交座標での  すなわち &ndash;軸を表す。

### 球座標
球座標は、直交座標への座標変換  を与えるから、ヤコビアンは
:|J_f| =\begin{vmatrix}
  \sin\theta\cos\phi &  r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\
  \sin\theta\sin\phi &  r\cos\theta\sin\phi &  r\sin\theta\cos\phi \\
  \cos\theta         & -r\sin\theta         &  0
\end{vmatrix}= r^2 \sin\theta
となる。従って、特異点は  または  となる点、即ち  と  である。これは直交座標での  すなわち &ndash;軸を表す。

## 脚注

### 注釈

### 出典

## 参考文献
*
*
*
**
*
*

## 関連項目
* ヘッセ行列