テンソル積

数学の分野である線形代数において、**テンソル積**（）とは一般には相異なるベクトル空間の元v^{(1)} \in V^{(1)},\ldots, v^{(N)} \in  V^{(N)}に対して定義される積v^{(1)}\otimes \cdots \otimes v^{(N)}の事、もしくはこのような積の有限線形和全体のなす空間**<math>V^{(1)}\otimes \cdots \otimes V^{(N)}</math>**の事である。テンソル積v^{(1)}\otimes \cdots \otimes v^{(N)} は各成分に対して線形であり、しかもある種の普遍性を満たすものとして定義される。

なお、上ではV^{(i)}がベクトル空間の場合を考えたが、より一般に環上の加群に対してもテンソルやテンソル積を考える事ができる。

テンソル積の概念の原型はハスラー・ホイットニーによる1938年の論文"Tensor products of Abelian groups."が初出である。

**<math>V^{(1)} \otimes \cdots \otimes V^{(N)}</math>**の元を**テンソル**というが、「テンソル」という言葉には
# 上述の意味
# プログラミング言語その他で用いられる用語で、複数の添字をつけた値の組（例えば(T_{i,j,k})_{i,j,k} ）の事。テンソルフローなど。
# 主に物理学やその応用分野で用いられる用語で、上下に複数の添字をつけた値の組（例えば(T^i{}_j{}^k)_{i,j,k} ）で、座標変換に対し適切な変換則をみたすもの。ベクトル空間がVとその双対空間のケースにおいて、1の意味のテンソルの成分表示。

といった意味がある。

本稿では1の意味について解説し、3の意味についても簡単に触れる。3の意味に関する詳細はテンソルの項目を参照されたい。

## 概要
数学の分野である線形代数において、複数個のベクトル空間**<math>V^{(1)},\ldots,V^{(N)}</math>**の**テンソル積**（）V^{(1)}\otimes \cdots \otimes V^{(N)}とは、v^{(1)} \in V^{(1)}, \ldots, v^{(N)} \in V^{(N)}を用いて
: v^{(1)} \otimes \cdots \otimes v^{(N)} 
という形の元の有限個の線形和として書けるもの全体からなるベクトル空間の事であり、**<math>V^{(1)} \otimes \cdots \otimes V^{(N)}</math>**の元を**テンソル**と呼ぶ。またv^{(1)} \otimes \cdots \otimes v^{(N)} の事をv^{(1)},\ldots,v^{(N)}の**テンソル積**と呼ぶ。

テンソル積はベクトル空間の定義体Kを明示して
: **<math>V^{(1)} \otimes_K \cdots \otimes_K V^{(N)}</math>** 
とも表記する。

テンソル積は以下の２つの性質によって特徴づけられる：

# 多重線型性：**<math>V^{(1)} \otimes \cdots \otimes V^{(N)}</math>**の元でv^{(1)} \otimes \cdots \otimes v^{(N)}の形に書けているものはv^{(1)},\ldots,v^{(N)}のいずれに対しても線形である。
# 普遍性：**<math>V^{(1)} \otimes \cdots \otimes V^{(N)}</math>**は多重線形性を持つv^{(1)} \otimes \cdots \otimes v^{(N)}の有限個の線形和として表されるベクトル空間としては「最大」のものである。

多重線形性を２つの元のテンソル積v \otimes wに対して具体的に説明すると、多重線形性（この場合は2つのテンソル積なので「双線形性」と呼ばれる）とは

# (av+bv')\otimes w = a v\otimes w + b\otimes w
# v \otimes (aw + b w') = a v \otimes w + b v \otimes w'

の両方が任意のv, v' \in V、任意のw, w' \in W、および任意のスカラーa, b \in Kに対して成立する事を言う。ここでKはベクトル空間の定義体である。

上では複数個のベクトル空間の場合に対しテンソル積を定義したが、より一般に複数個の環上の加群に対してもテンソル積が定義可能な事が知られている。

### 成分表示
各V_iが有限次元ベクトル空間であるとし、e^{(i)}_1,\ldots, e^{(i)}_{n_i} をV^{(i)}の基底とすると、２つのベクトル空間のテンソル積V_1 \otimes V_2において双線形性を用いる事により、任意のテンソル\tau \in V^{(1)} \otimes V^{(2)}は必ず
: \tau = \sum_{i,j}a^{i,j}e^{(1)}_{i} \otimes  e^{(2)}_{j}  where a^{i,j} \in K
と書き表す事ができる事を証明できる。したがって各V^{(i)}の基底を固定した場合、テンソル\tau \in V^{(1)} \otimes V^{(2)}は行列(a^{i,j})_{i,j}と１対１に対応する。

より一般にm個のテンソル積**<math>V^{(1)} \otimes \cdots \otimes V^{(N)}</math>**の元\tauは
: \sum_{i_1,\ldots, i_m}a^{i_1,\ldots, i_m}e^{(1)}_{i_1} \otimes \cdots \otimes e^{(m)}_{i_m} 
と書き表す事ができる事を証明できる。

\tauを別の基底で表したときの係数をb^{j_1 \ldots, j_m}とすると、a^{i_1 \ldots, i_m}とb^{j_1 \ldots, j_m}は基底変換による変換則で関係づけられる。したがってこれらの値は本稿の冒頭で述べたテンソルの3つの意味の3番目の意味のテンソルである。

なお、V^{(i)}として何らかのベクトル空間の双対空間を用いることもあり、その場合にはa^{i_1 \ldots, i_m}添字を上ではなく下に書く習慣である（代わりに基底の添字を上に書く）。

## 構成的定義と基本的性質
テンソル積を定義する手法として
* 構成的定義
* 普遍性を用いた定義

の２つがある。本章では構成的定義の方を説明し、さらにテンソル積の基本性質について述べる。普遍性を用いた定義については次章で述べる。

### 定義
簡単のため２つのベクトル空間のテンソル積を述べるが、m個のベクトル空間のテンソル積も同様に定義できる。また本章で述べた定義と同様にして環上の加群のテンソル積も定義できる。

Kを体とし、V、WをK上のベクトル空間とする。v\in V、w \in Wに対し
: v \boxtimes w 
という記号を用意し、このような記号の形式的な（有限個の）線形和
: \sum_i a^{i,j} v_i \boxtimes w_j  …() 

全体の集合をV \boxtimes Wと書くと、V \boxtimes Wは自然にK上のベクトル空間をなす。

S \subset V \boxtimes Wを以下のいずれかの形で書ける元全体の集合とする：

# (av + b v')\boxtimes w - (a v \boxtimes w  + b v' \boxtimes w)       …()
# v \boxtimes (a w + b w') - ( a v \boxtimes w + b v \boxtimes w')       …()
ここでa、bはKの任意の元であり、v、v'はVの任意の元であり、w、w'はWの任意の元である。３つ以上のベクトル空間のテンソル積に関しても同様に定義できる。

### 基本的性質

#### 多重線形性
Sの定義である()、()より、次が成立する。

ここでa、bはKの任意の元であり、v、v'はVの任意の元であり、w、w'はWの任意の元である。

上記の性質は「\otimes」の左側、右側の双方において線形性が成り立つ事を意味している。この性質をテンソル積の**双線形性**（）という。２つとは限らない複数のベクトル空間のテンソル積v^{(1)} \otimes \cdots \otimes v^{(N)}に関しても同様の事が言え、これを**多重線形性**（）という。

本稿の概要においてテンソル積とは多重線形性と普遍性を満たす事だと説明したが、その「多重線形性」がここで説明したものである。普遍性については普遍性によるテンソル積の定義を説明するときに説明する。

#### テンソル積の具体的表記
V \boxtimes Wの元が必ず()の形に書けていた事から次がしたがう：

#### 基底による表現
e_1,\ldots,e_mをVの基底、f_1,\ldots,f_nをWの基底とし、v \in V、w \in Wをこれらの基底を使って\textstyle v=\sum_i v^ie_i、\textstyle w=\sum_j w^jf_jと表記すると、双線形性から
: v \otimes w = \sum_{i,j}v^iw^je_i\otimes f_j 
と書ける。V \otimes Wの元は必ずv \otimes wの形の元の線形和で書けるので、以上の事からV \otimes Wの元は必ず
: \sum_{i,j}a^{i,j} e_i\otimes f_j 
の形に書ける事がわかる。実は以下が成立する：
上の定理からわかるように、V、Wの基底を一組固定すると、\sum_{i,j}a^{i,j} e_i\otimes f_jという形の元が行列(a^{i,j})_{i,j} と１対１に対応する。

３つ以上のベクトル空間のテンソル積でも同様のことが成立する事を数学的帰納法により容易に証明できる。例えば３つのベクトル空間のテンソル積V \otimes W \otimes U の場合は任意の元は
: \sum_{i,j,k}a^{i,j,k} e_i\otimes f_j \otimes h_k 
のように一意に書け、この元は行列の代わりに(a^{i,j,k})_{i,j,k} と１対１対応する。

この意味において、**基底を固定した場合の**テンソル積は行列の拡張概念であり、N 個のベクトル空間のテンソル積は定義体K の元をN 次元的に並べたN 次元配列であると解釈できる。基底を変えれば、テンソル積とN 次元配列の対応関係は変わる。

#### 単純テンソル
V、Wのテンソル積V \otimes Wには
: v \otimes w + v' \otimes w'
など複数のテンソル積の和として書けるものも含まれる。そこで１つのテンソル積のみで書けるV \otimes Wの元を****もしくは**基本テンソル**と呼ぶ。３つ以上のベクトル空間のテンソル積に対しても同様。

前節の最後で述べたように、V、Wの基底を固定したとき、V \otimes Wに属する各テンソルは行列と１対１に対応するが、基本テンソルは
: (v^iw^j)_{i,j}
のよう書ける行列と対応している事を容易に示す事ができる。

#### 物理学におけるテンソル

物理学では数学の言葉使いとは若干異なり、「複数の添字をもっている量で適切な変換則を満たすもの」といった意味で「テンソル」という言葉を用いている。

これは物理学ではこれまで説明してきた（数学の意味での）テンソル概念と違い、個々の基底\{e_i\}_i、を固定したうえでそれぞれの基底に対する物理量の成分表示(a^{i,j})_{i,j}（＝「複数の添字を持っている量」）をスタートラインとしている事に起因する。（以下、(a^{i,j})_{i,j}がa^{i,j}e_i\otimes e_jの係数である場合を説明する）。

そしてこのような量が基底によらず同一の（数学の意味での）テンソルの成分表示になっているかを座標変換により確認する。すなわち、基底\{e_i\}_i、\{\hat{e}_s\}_sにおける物理量の成分表示がそれぞれ(a^{i,j})_{i,j}、(\hat{a}^{s,t})_{s,t}であり、基底\{e_i\}_i、\{\hat{e}_s\}_s間の座標変換がe_i = b_i{}^s\hat{e}_sであるとき、(a^{i,j})_{i,j}、(\hat{a}^{s,t})_{s,t}が「適切な変換則」

: \hat{a}^{s,t} = a^{i,j}b_i{}^s b_j{}^t

を満たす事を確認し、そのことをもってその物理量は（物理学の意味での）**テンソル**であるという。

### 添字の上下とアインシュタインの縮約記法

#### 添字の上下
Vをベクトル空間、V^*をその双対空間とする。Vの元を書き表すときは
: \sum_i a^{i} v_i 
のようにスカラーa^i \in Kの添字を上付き、ベクトルv_i \in Vの添字を下付きに表す習慣である。一方V^*の元を書き表すときは逆に
: \sum_i a_{i} v^i 
のようにスカラーa_i \in Kの添字を下付き、ベクトルv^i \in V^*の添字を上付きにする習慣である。

なお、（Vが有限次元ベクトル空間であれば）二重に双対を取ったV^{**}はV自身と等しいので、V、V^*のうちどちらを「もとの空間」、どちらを「双対空間」とするかはその場の議論で着目しているのがどちらの空間であるかによる。本稿では特に断りがなければV^*のように「*」がついている方を双対空間とみなす事にする。

これまで本稿では登場するベクトル空間が双対空間ではない事を想定して添字をつけていたが、V \otimes W^*のように双対空間が登場するテンソル積の場合はその元を
: \sum_i a^i{}_j v_i \otimes w^j 
のように上述のルールにしたがって添字の上下をつける必要がある。

#### アインシュタインの縮約
テンソルを書き表す際、

: \sum_{i,j}a^{i,j} v_i w_j

のように上付きの添字と下付きの添字で同一の記号が登場する（この例ではi、j双方ともこの条件に該当）ときは和の記号を省略し

: a^{i,j} v_i w_j

と表記するという規約（'''アインシュタインの縮約'''）があり、本稿でも以下これを採用する。

なお、同じ添字であっても上付き同士、下付き同士の場合は和を省略できない。例えば\textstyle \sum_{ij} a^{ij} b_i c^j では2つのjはいずれも上付きなので\textstyle \sum_{j} a^{ij} b_i c^j とは書けるが\textstyle a^{ij} b_i c^j とは書けない。

## 普遍性による定義
テンソル積の定義には、これまで紹介してきた構成的定義の他に普遍性を用いた定義がある。本章ではこの普遍性による定義を紹介する。そして前述した構成的定義によるテンソル積はこの普遍性による定義を満たす事、普遍性による定義を満たすテンソル積は自然な同型を除いて一意である事を見る。よって構成的定義と普遍性による定義は実質的に同一である。なお、ここでは２つのベクトル空間のテンソル積のみを紹介するが、３つ以上の場合も同様に定義できる。

これまで同様Kを体とし、V、WをK上のベクトル空間とする。

### 準備：多重線形写像
普遍性による定義を与えるための準備として、多重線型写像の概念を導入する。可読性の観点からここでは双線形写像（＝空間が２つの場合の多重線型写像）の定義しか与えないが、多重線型写像も同様に定義できる。

**多重線形写像**（）は上述の定義を有限個のベクトル空間からの写像に自然に拡張したものである。

双線形写像の具体例としては、ベクトル空間の定義体Kが実数体\mathbb{R}でありV=W=\mathbb{R}^n、Z=\mathbb{R}とし、\varphiとして内積
:\varphi~:~ (a,b) \in V \times W \to \sum_ia_ib_i \in Z 

を考えると\varphiは双線形写像になる。ここでa=(a_1,\ldots,a_n)、b=(b_1,\ldots,b_n)である。この例に限らず、対称双線型形式はいずれも\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^nから\mathbb{R}への双線形写像である。

### 定義のアイデア
定義を述べる前にその直観的意味を説明する。
:h~:~ V \times W \to  Z 

を任意の双線形写像とし、
:v \circledast w :=h(v,w) 

と定義すると、v \circledast w はh の双線形写像から

# (av+bv') \circledast w = a v \circledast w + b v' \circledast w 
# v \circledast (aw+bw') = a v \circledast w + b v \circledast w' 

というテンソル積と同様の性質を満たす。したがってh の像h(V\times W) \subset Z はV とW のテンソル積に類似したものになる。

しかしこのようなテンソル積の類似物は真のテンソル積よりも「小さい」ものになる。実際、前節で述べた内積の例だと、h(V\times W) は1次元しかない。したがってこのようなテンソル積の類似物の中で「最も大きい」ものを真のテンソル積V \otimes Wであると定義する。

この「最も大きい」は上述したような任意のhおよびZに対し、\varphi(v,w) := v \otimes wとしたとき、写像\tilde{h} ~:~ V \otimes W \to Z で
:h=\tilde{h}\circ \varphi 

であるもの、すなわち任意のv \in V、w \in Wに対し
:v \circledast w =\tilde{h}(v \otimes w) 

であるものが一意に存在する事を持って定義する。（なぜ「一意」なのかは次節で説明する）。

どのようにh、Zを選んでもh(V\times W) の元であるv \circledast w が必ずV \otimes Wの元であるv \otimes wで表現できるのであるから、V \otimes Wが「最も大きい」ものであるといえる。

### 定義
テンソル積を以下のように定義する：
紛れがなければ\varphiを省略し、V \otimes WをVとWの**テンソル積**であるという。

上述の定義に関して２つ注意点を述べる。第一に、上記の定義において写像\tilde{h}が一意であるという条件はV \otimes Wがv \otimes wという形の元の有限和として書ける事を保証するために必要である。実際、「一意」という条件を外すのであれば、そのような形に書けない元をも含むような、V \otimes Wよりもさらに大きい空間が条件を満たしてしまう。例えば((V \otimes W) \times K,\varphi')も上記のテンソル積の条件を満たす事を容易に示せる。ここで\varphi'は\varphi'(\tau,k) = \varphi(\tau)により定義される写像である。

第二に、３個以上のベクトル空間のテンソル積も上の定義と同様に定義できるのみならず、環上の加群のテンソル積、位相ベクトル空間のテンソル積、ヒルベルト空間のテンソル積なども上の定義で「ベクトル空間」となっているところをそれぞれ加群、位相ベクトル空間、ヒルベルト空間に置き換える事で定義できる。（環上の加群の場合はさらに定義体Kを環に置き換える必要がある）。

なお、こうした位相ベクトル空間やヒルベルト空間におけるテンソル積は、これらの空間を位相や距離のないベクトル空間とみなしたときのテンソル積と同じものになるとは限らない。例えば２つのヒルベルト空間の（ヒルベルト空間としての）テンソル積は、これらの空間を距離のないベクトル空間としてテンソル積を取ったもの自身ではなく、それを完備化したものに一致する。

### 存在性と実質的な一意性

#### 存在性
構成的定義によるテンソル積は普遍性による定義を満たす。よって特に普遍性による定義を満たすテンソル積が存在する。

上で「v \otimes w 」という記号も構成的定義によるテンソル積のほうの意味で用いている事に注意されたい。

#### 実質的な一意性
普遍性による定義を満たすテンソル積は自然な同型を除いて一意である。
ここで２つのベクトル空間X、Yが**自然に同型**であるとはX、Yの間の同型写像がXやYの基底の取り方によらず定義可能である事を指す。上述した（自然な同型を除いた）一意性を用いる事により、

* V \otimes W \cong W \otimes V
* V\otimes W \otimes U\cong V\otimes(W \otimes U)\cong (V \otimes W)\otimes U

といった性質を示す事ができる。圏論的には、これはベクトル空間の圏が（＝ある種のテンソル積を持つ圏）の例となることを意味している。

### 線型写像のテンソル積
X、Yをベクトル空間とし、f~:~V \to X 、g~:~W \to Yを線形写像とし、f \times g~:~ (v,w) \in V \times W \to (f(v),g(w)) \in X \times Yとし、さらにt~:~ (v,w) \in V \times W \mapsto v \otimes w \in V \otimes W とする。

Z=X \times Y と合成写像
:h~:~ V \times W \overset{f \times g}{\to} X \times Y \overset{t}{\to} X \otimes Y  

に対してV \otimes W  の普遍性による定義を用いることにより、線形写像\tilde{h}~:~  V \otimes W \to  X \otimes Y  で
:h(v,w)=\tilde{h}(v \otimes w) 

が任意の(v,w) \in V \times Wに対して成立するものを構成できる。
３つ以上のテンソル積のケースも同様に定義できる。

f \otimes gは具体的には以下のような写像になる：
:f \otimes g ~:~ \sum_i v_i \otimes w_i \in V \otimes W \mapsto \sum_i f(v_i) \otimes g(w_i) \in X \otimes Y 
圏論的には、ベクトル空間の圏を\mathrm{Vec} とすると、ベクトル空間のテンソル積を取る行為、線形写像のテンソル積を取る行為をそれぞれ\mathrm{Vec} \times \mathrm{Vec} の対象と射に\mathrm{Vec} の対象と射を対応させる行為だとみなす事で、テンソル積\mathrm{Vec} \times \mathrm{Vec} から\mathrm{Vec} へのであるとみなせる。

## 具体例

### 線形写像、多重線型写像
V、WをK上の有限次元ベクトル空間とし、\mathrm{Hom}(V,W)をVからWへの線形写像全体の空間とする。このとき次が成立する。

具体的には、(a,w) \in V^* \times Wに対し双線形写像
: v \in V \mapsto a(v)w \in W
を対応させる写像を\Phi~:~~V^* \times W \to \mathrm{Hom}(V,W)とすると、普遍性による定義より\Phiが誘導する写像
: \tilde{\Phi}~:~V^* \otimes W \to \mathrm{Hom}(V,W)
が両者の同型写像になる。

なお、上ではV、Wが双方とも有限次元である事を仮定したが、実はV、Wのいずれか一方のみが有限次元の場合も上記の定理は成立する事が知られている。

V_1,\ldots,V_N,WをK上の有限次元ベクトル空間とすると、上と同様の証明により以下が成立する事も証明できる：
(V_1\times\cdots\times V_N,W)はV_1{}^*\otimes \cdots \otimes V_N{}^* \otimes Wとベクトル空間として自然に同型である。
}}
さらにV、W、UをいずれもK上のベクトル空間とすると、以下も示す事ができる：

具体的にはF \in \mathrm{Hom}(V \otimes W,U)とv \in Vに対し、
:F_v ~:~w \in W \mapsto F(v\otimes w) \in U
と定義すると、
: F \in \mathrm{Hom}(V \otimes W,U) \mapsto F_v \in \mathrm{Hom}(V,\mathrm{Hom}(W,U))
が自然な同型写像になる。圏論の言葉で言えば、これはHom函手の左随伴性に相当する。

### 係数拡大

Vを体K上のベクトル空間とし、LをKの拡大体とするとき、

: V_L:=L\otimes_K V

とすると、V_Lには自然にL上ベクトル空間の構造が入る。ここでテンソル積はLをK上ベクトル空間とみなしたときのものである。V_LをVのLへの**係数拡大**という。

具体的にはV_Lの加法はK上ベクトル空間としての加法であり、Lの元によるスカラー倍は

: a \cdot (b\otimes v) := (a b)\otimes v

により定義する。ここでa,b \in L、v \in Vである。

係数拡大について２つ注意を述べる。第一に、\{e_{\lambda}\}_{\lambda}をVの基底とすると、\{1 \otimes_K e_{\lambda} \}_{\lambda}がV_Lの基底になることを容易に示せるので、VのK上の次元とV_LのL上の次元は等しい。

第二に係数拡大は環上の加群に対しても同様にできるが、その中でも特に（上述の記号で言えば）環Kが整域であるときLとしてKの商体を取る事で加群から商体上のベクトル空間を作る事ができる。

### 群の表現のテンソル積
Gを群とし、Kを体とし、V_1,\ldots,V_NをK上ベクトル空間とし、GのV_1,\ldots,V_Nへの表現
: \rho_i~:~ G\to GL(V_i) (i=1,\ldots,n)

が与えられたとき、g \in Gに対しV_1 \otimes \cdots \otimes V_n上の線形自己同型写像

: v_1 \otimes \cdots \otimes v_n \mapsto\rho_1(g)v_1\otimes\dotsb\otimes \rho_n(g)v_n

を対応させる事で、

GのV_1\otimes \ldots \otimes V_Nへの表現

: \rho_1\otimes\dotsb\otimes \rho_n~:~ G\to GL(V_1\otimes\dotsb\otimes V_n)
を構成できる。この\rho_1\otimes\dotsb\otimes \rho_nを表現\rho_1,\ldots,\rho_nのテンソル積と呼ぶ。

### テンソル空間

ベクトル空間Vとその双対空間V^*をそれぞれm個、n個テンソル積してできるベクトル空間

:  T^m_n(V) = \underbrace{ V\otimes \dots \otimes V}_{m \text{ copies}} \otimes \underbrace{ V^*\otimes \dots \otimes V^*}_{n \text{ copies}}

を(m,n)**-テンソル空間**という。テンソル空間にはテンソル積による自然な同型

: T^m_n(V)\otimes T^r_s(V) \overset{\sim}{\to} T^{m+r}_{n+s}(V)
が定められる。

テンソル積の普遍性より、写像

: (v,\alpha) \in V \times V^* \mapsto \alpha(v) \in K
が(1,1)**-**テンソル空間に誘導する写像

: v\otimes \alpha \in V \otimes V^* \mapsto \alpha(v) \in K
を'''縮約写像'''と呼び、v \otimes \alphaに縮約写像を適応した結果をv \otimes \alphaの**縮約**という。

(m,n)**-**テンソル空間Vのi個目のコピーとV^*のj個目のコピーに縮約写像を適用する事で、

: T^p_q(V) \to T^{p-1}_{q-1}(V)

を定義できる。

## テンソル積を用いた概念

### テンソル代数

Vを体K上のベクトル空間とする。非負整数kに対しVのk個のテンソル積
: \otimes^k V:=\underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{k}
をVのk次の**テンソル冪**という。テンソル冪には
: V^{\otimes k}、\overset{k}{\otimes} V

という記号を用いる場合もある。

上の定義において、\otimes^0 V = Kとみなす。

Vのテンソル代数にはテンソル積により積構造が入り、この積によりK上の次数付き多元環となる。

AをK上の任意の多元環とし、f~:~V \to Aを任意の線形写像とすると、fを
: v_1 \otimes \cdots \otimes v_n \mapsto f(v_1)\cdots f(v_n)
となるように自然に拡張する事で、Vのテンソル代数からAへの写像
: f_* ~:~ \otimes V \to A
を誘導する（テンソル代数の普遍性）。

### 対称積

#### 概要
Vを体K上のベクトル空間とし、kを非負整数とする。このときVのk次の**対称積**\odot^k Vとはテンソル冪\otimes^k Vにおけるテンソル積を「対称化」して得られるベクトル空間の事である。

より正確に言うと、\odot^k V は
: v_1 \odot \cdots \odot v_k   where v_1,\ldots, v_k \in V 
という形の元の有限個の線形和で表せる元全体の集合である。v_1 \odot \cdots \odot v_k はテンソル積と同様、各成分に対して線形性を満たすが、テンソル積とは違い、成分を入れ替える事ができる。たとえばk=2 なら
: v_1 \odot v_2 = v_2 \odot v_1 
である。

なお、対称積はv_1 \odot v_2 という記号のほか、v_1 \bullet v_2 、v_1 \vee v_2などの記号が使われる事もある。

#### 構成的な定義
対称積もテンソル積と同様、構成的な手法による定義と普遍性による定義が存在する。本節では構成的な手法を紹介する。

\mathcal{S}_nをn次の対称群とするとき、v_1,\ldots,v_n \in Vと置換\sigma \in \mathcal{S}_nを用いて
: v_1 \otimes \cdots \otimes v_k - v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(k)} 
の形に書ける\otimes^k Vの元全体の集合をS_k とする。

#### 普遍性による定義
対称積の普遍性による定義を導入するため、以下の概念を導入する。

対称積の定義は、テンソル積の定義では「任意の多重線形写像」であったところを「任意の対称な多重線形写像」に置き換える事により得られる：

#### 対称代数
対称代数の有限個和全体の集合
: \odot V := \bigoplus_{k=0}^{\infty} \odot^k V   
を**対称代数**（）と呼ぶ。対称代数は対称積に関して対称な多元環をなす。

### 交代積

#### 概要
対称積が積の順序交換が可能な積であったのに対し、**交代積<math>\wedge^k V</math>**は順序を交換すると符号が反転する積である。より正確に言うと

より正確に言うと、**<math>\wedge^k V</math>**は
: v_1 \wedge \cdots \wedge v_k   where v_1,\ldots, v_k \in V 
という形の元の有限個の線形和で表せる元全体の集合である。v_1 \wedge \cdots \wedge v_k はテンソル積と同様、各成分に対して線形性を満たすが、成分を入れ替えると符号が反転する。たとえばk=2 なら
: v_1 \wedge v_2 = - v_2 \wedge v_1 
である。交代積は'''外積'''（）あるいは**グラスマン積**（）とも呼ばれる。

#### 構成的な定義
交代積構成的な手法による定義と普遍性による定義が存在する。本節では構成的な手法を紹介する。

\mathcal{S}_nをn次の対称群とするとき、v_1,\ldots,v_n \in Vと置換\sigma \in \mathcal{S}_nを用いて
: v_1 \otimes \cdots \otimes v_k - \mathrm{sgn}(\sigma)v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(k)} 
の形に書ける\otimes^k Vの元全体の集合をA_k とする。ここで\mathrm{sgn}(\sigma) は置換\sigma の符号数である。

#### 普遍性による定義
交代積の普遍性による定義は、対称積で「対称な多重線型写像」としていたところを「交代多重線型写像」に置き換えるだけである。

#### 交代代数
交代代数の有限個和全体の集合
: \wedge V := \bigoplus_{k=0}^{\infty} \wedge^k V   
を**[[外積代数|交代代数]]**と呼ぶ。対称代数は対称積に関して歪対称な多元環をなす。交代代数は**グラスマン代数**、**外積代数**とも呼ばれる。

なお、交代代数の定義で直和を無限大までとしているが、V  がn  次元であればn+1  個以上の交代積は必ず0  になることが知られているので、実際はn  までの直和でよい。

## 関連項目
* 加群のテンソル積: 可換環 **' 上の加群に関してはベクトル空間のテンソル積と同じ形の関係式による商加群として（あるいは同じ形の普遍性により）加群のテンソル積が定義され、ふたたび **'-加群となる。**' が非可換環の場合には、スカラー倍に関する条件を少し変えて加群の間のテンソル積が定義されるが、それは単なるアーベル群（-加群）として得られる。
* [[代数のテンソル積|多元環のテンソル積]]: 単位的可換環 **' 上の多元環 **' に対し、**' 上の加群としてのテンソル積には、 となるような乗法が一意的に定義できて ** 上の多元環となる。
* 加群の層のテンソル積
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テンソル積の最も一般の形はモノイド圏におけるモノイド積 (monoidal product) として定式化することができる。
## 注

### 注釈


### 出典


## 参考文献

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## 外部リンク

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