行列の階数

線型代数学における行列の**階数**（かいすう、; **ランク**）は、行列の特徴を表す最も基本的な数の一つ。行列に同伴する線型方程式系および線型変換がどのくらい「非退化」であるかを示す数である。行列の階数には幾つもの同値な定義がある。

例えば、行列  の階数 （あるいは  または丸括弧を落として ）は、 の列空間（列ベクトルの張るベクトル空間）の次元に等しく、また  の行空間の次元とも等しい。行列の階数は、対応する線型写像の階数である。

行列の階数の概念はジェームス・ジョセフ・シルベスターが考えた。

## 定義
任意の行列  について、以下はいずれも同値である。
*   の列ベクトルの線型独立なものの最大個数（ の列空間の次元）
*   の行ベクトルの線型独立なものの最大個数（ の行空間の次元）
*   に基本変形を施して階段行列  を得たとする。このときの  の零ベクトルでない行（または列）の個数（階段の段数とも表現される）
* 表現行列  の線型写像の像空間の次元。詳しくは#線型写像の階数を参照。
*   の 0 でないような小行列式の最大サイズ
*   の特異値の数

文献により、上記の条件のいずれかを以って行列  の階数は定義される。

### 注意
いま  の列空間の次元を「列階数」、行空間の次元を「行階数」と呼べば、線型代数学における基本的な結果の一つとして、列階数と行階数は常に一致するという事実が成立するから、それらを単に  の階数と呼ぶことができる。これについて、 はベクトルの線型結合の基本性質に基づく四文証明を与えた（これは任意の体上で有効である）。また、 は実数体上の行列に対して有効な、直交性を用いたエレガントな別証明を与えている。両証明とも教科書  に出ている。

## 性質
 を  行列とする。また、  を表現行列  の線型写像とする。
### 一般の体上
*  行列の階数は非負整数で、 の何れも超えない。すなわち  が成り立つ。特に  のとき、 は**最大階数**（*full rank*; **フルランク**; **充足階数**、完全階数）を持つとかフルランク行列などといい、さもなくば は (rank deficient; 階数不足) であるという。  
*  が零行列のときかつその時に限り .
*  が単射となるための必要十分条件は、（これを  は**列充足階数**を持つという）となることである。
*  が全射となるための必要十分条件は、 となる（ が**行充足階数**を持つ）ことである。
*  が正方行列（つまり ）のとき、 が正則であるための必要十分条件は、（ が充足階数）となることである。
*  を任意の  行列として  が成り立つ。
**  が行充足階数  行列ならば  が成り立つ。
**  が列充足階数  行列ならば  が成り立つ。

*  となるための必要十分条件は、 正則行列  と  正則行列  が存在して XAY =\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} が成立することである。ただし  は  単位行列である。右辺の行列は一意的に定まり  の**階数標準形**と呼ばれる。
* （  は転置行列）
* 階数・退化次数の定理が成立

; シルベスターの階数不等式:  行列  と  行列  に対し 
  \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \leq \operatorname{rank}(A B)
 が成り立つ。
; フロベニウスの不等式: 行列の積  がいずれも定義されるとき、
  \operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \le \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC)
 が成り立つ。
; 劣加法性:  は同じ型の行列として \operatorname{rank}(A+ B) \le \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) が成り立つ。この帰結として、 の行列は の行列  個の和に書くことができ、また  個より少ない-行列の和には書けない。

### 特定の体上
*  が実数体上の行列であるとき、 の階数は対応するグラム行列の階数に等しい。すなわち、実行列  に対し \operatorname{rank}(A^{\top}A) = \operatorname{rank}(AA^{\top}) = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^{\top}) が成り立つ。これは各々の核空間が等しいことを見れば示される。グラム行列の核は  となるベクトル  からなる。このときさらに  も成り立つ。
*  が複素数体上の行列であるとき、 の複素共軛行列を , 共軛転置行列を  と書けば、
  \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\overline{A}) = \operatorname{rank}(A^\mathrm{T}) = \operatorname{rank}(A^*) = \operatorname{rank}(A^*A) = \operatorname{rank}(AA^*)
 が成り立つ。

## 階数の計算
例えば、行列
: 
M = 
\begin{bmatrix}
 4 & 2 & 1 \\
 5 & 4 & 1 \\
 1 & 2 & 0 \\
\end{bmatrix}

は、基本変形を行うことによって
: 
M \iff 
\begin{bmatrix}
 1 & 2 & 3 \\
 0 & 4 & 5 \\
 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}

と書けるから、 の階数は  である。実際、[第 2 行] = [第 1 行] + [第 3 行] であるから、2 行目の行ベクトルは線型独立でない。ここで、1 行目と 3行目は明らかに線型独立であるから、 である。

浮動小数点を用いたコンピューター上の数値計算においては、この基本変形を用いたりLU分解を用いることで階数を求める方法は、精度が落ちることもあり用いられない。替わりに、特異値分解（SVD）やQR分解を用いて求められる。

## 線型写像の階数
 をベクトル空間とし、線型写像  が与えられたとき、 の像   の次元を線型写像  の**階数**と呼び、 や  などで表す。 や  は一般に無限次元であっても、像の次元  が有限であれば線型写像の階数の概念は意味を持つ。とくに階数有限なる線型写像にはトレースが定義できて、古典群の表現論などで重要な役割を果たす。

 や  が有限次元ならば、行列表現によって  は表現行列  の共軛類が対応する。このとき、線型写像の階数と行列の階数との間には  という関係が成り立つが、行列の階数が正則行列を掛けることに関して不変であることから、この等式の成立は表現行列  のとり方に依らない。

ベクトル空間  に対して  が  次元とすれば、線型写像  の階数は    以下である。実際に、 となるとき、線型写像  は**非退化**（ひたいか、）であるという。そうでないときには、像  は  で  へ写される元の分だけ「つぶれている」と考えられ、線型写像  の核
:\ker f := \{ v \in V \mid f(v)=0\} 
の次元  を  の**退化次数**と呼ぶ。 の退化次数を  や  などで表すことがある。次の公式
: \dim V = \operatorname{rank} f + \operatorname{null}\, f. 
が成立し、**階数と退化次数の関係式**あるいは簡単に**[[階数・退化次数の定理|階数・退化次数公式]]**などと呼ばれる。

## 脚注

### 注釈

### 出典

## 外部リンク
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*