ローレンツ力

**ローレンツ力**（ローレンツりょく、）は、電磁場中で運動する荷電粒子が受ける力のことである。
名前はヘンドリック・ローレンツに由来する。

## 概要
電場 \boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{x}) と磁束密度（磁場） \boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{x}) の空間中を運動する荷電粒子（位置 \boldsymbol{r}(t)、速度 \boldsymbol{v}(t)、電荷 q）に作用する電磁気的な力 \boldsymbol{F}(t) は
:\boldsymbol{F}(t) = q\boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{r}(t)) + q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r}(t))
 = q \big\{ \boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{r}(t)) + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r}(t)) \big\}
であり、この \boldsymbol{F} を**ローレンツ力**と言う。ここで、「×」はベクトル積である。

上式で右辺第一項は電場中で荷電粒子が受ける力でありクーロン力とも呼ばれる。なお、第二項は磁場中で荷電粒子が受ける力 
:q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}
であるが、ローレンツ力という用語がこの項のみを指すものとされる場合もある。

荷電粒子が加速度運動している場合、その荷電粒子自身による電磁場の効果が存在するが、その影響はごく小さい場合が多いので通常は無視されるか、ごく小さなものとして扱われる。
（参考: 制動放射、ラーモアの公式 放射の反作用、:en:Abraham–Lorentz force）

## ローレンツ力の向き
ローレンツ力の向きについて、電場による力(q\boldsymbol{E})は電場と平行である。
また、磁場による力(q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})は右手の法則に従い、下図のようにフレミングの左手の法則で表される。

また、右手の姿で示す方法もある。

## ローレンツ力と仕事
ローレンツ力のする仕事は
: \mathrm{d}W = \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} = q (\boldsymbol{E} +\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} 
である。
ここで、磁場による力の項は、
: \mathrm{d}W_{\mathrm{m}} = q (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} = q (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}) \cdot \boldsymbol{v} ~ \mathrm{d}t
 = 0 
であり、磁場は仕事をしない。

電場による力の項は、
: \mathrm{d}W_{\mathrm{e}} = q \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} = q \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{v} ~ \mathrm{d}t 
 = w\, \mathrm{d}t 
である。この電場による仕事量は、巨視的に見るとジュール熱に相当する。

磁場による力は速度と直交する方向に生じるので、運動の向きを変えるだけで粒子の運動エネルギーは変化しない。エネルギーの移動は電場により生じている。

## ローレンツ力と電磁力
電荷 *q<sub>i</sub>* の時刻 *t* における位置を ***r'''<sub>i</sub>(t)''、速度を ***v**<sub>i</sub>(t)'' とすると、[[電荷密度]] ''&rho;''、[[電流密度]] ***j*** は、
:<math>\begin{align}
\rho(t, \boldsymbol{x})
 &= \sum_i q_i \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t)) \\
\boldsymbol{j}(t, \boldsymbol{x})
 &= \sum_i q_i \boldsymbol{v}_i(t) \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t))
\end{align}</math>
と表すことができる。&delta;(''x'')は[[ディラックのデルタ関数]]である。

ローレンツ力***F***は多数の粒子系に対しては
:<math>\boldsymbol{F}(t)
 = \sum_i q_i \left(
 \boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{r}_i(t))
 + \boldsymbol{v}_i(t) \times \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{r}_i(t))
 \right)</math>
となる。ここで、電場***E***と磁束密度***B*'''を
:\begin{align}
\boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{r}_i(t))
 &= \int \mathrm{d}^3x\, \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t))
 \boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{x}) \\
\boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{r}_i(t))
 &= \int \mathrm{d}^3x\, \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t))
 \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{x})
\end{align}
として、和と積分を入れ替えると、
:\boldsymbol{F}(t)
 = \int \mathrm{d}^3x\, \left(
 \rho(t, \boldsymbol{x}) \boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{x})
 + \boldsymbol{j}(t, \boldsymbol{x}) \times \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{x})
 \right)
このようにミクロな粒子に作用する力(ローレンツ力)から、マクロな粒子系に作用する力(クーロン力及びアンペール力)が導かれた。

## 相対論的な表示
ローレンツ力を相対論的に記述すると
:\dot{p}_\mu = -q\dot{X}^\nu F_{\nu\mu}(X)
となる。
ここで  は粒子の相対論的な位置、 は粒子の相対論的な4元運動量、ドットは運動のパラメータによる微分である。
 は電場と磁場を合わせた電磁場テンソルで、その成分は具体的に
:(F_{01}, F_{02}, F_{03}) =(-E_1/c, -E_2/c, -E_3/c),~
(F_{23}, F_{31}, F_{12}) =(B_1, B_2, B_3)
と表される。

位置の微分は非相対論的な速度  によって
:\dot{X}^\mu = (c\dot{t}, \dot{t}\boldsymbol{v})
と表される。
従って、この式の空間成分は
:\dot{\boldsymbol{p}} =q\dot{t} \boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{r})
 +q\dot{t}\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r})
となる。非相対論的な力  は
:\boldsymbol{f} =\frac{d\boldsymbol{p}}{dt}
 = \frac{\dot{\boldsymbol{p}}}{\dot{t}}
 = q\boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{r})
 +q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r})
となる。

## 関連項目
* マクスウェルの方程式
* フレミング左手の法則
* 電磁気学