普遍性

数学において**普遍性**（、または ）とは、ある特定の状況下において一意に射（あるいは準同型、構造を保つ写像）を定めるような抽象的性質で、それが特定の構成（例えば直積や直和、加群のテンソル積、距離空間の完備化など）を特徴づけるようなものをいう。

普遍性の具体例となる構成には他にも、様々な構成における、核や余核、順極限および逆極限、群に対するアーベル化、集合や様々な空間に対する引き戻しや、ストーン－チェックのコンパクト化などが存在する。

このような構成は個別の数学の分野において議論されていたが、横断的な議論を試みたのは1948年のピエール・サミュエルの論文によって初めて行われ、その後ブルバキによって広められたとされる。

## 概要
*U* : *D* &rarr; *C* を 圏 *D* から圏 *C* への関手とし、*X* を*C* の対象とする。*X* から *U* への**普遍射** （universal morphism） は、*D* の対象 *A* と*C*の射 &phi; : *X* &rarr; *U*(*A*) からなる対(*A*, &phi;)で表され、かつ以下の**普遍性**（universal property）を満たす。
* *Y* が*D*の対象で *f* : *X* &rarr; *U*(*Y*) が *C* の射であるような場合、常に *D* の射 *g* : *A* &rarr; *Y* が一意に存在して、次の図を可換にする。
center|XからUへの普遍射

射 *g* の存在は、直感的には(*A*, &phi;)が「十分に一般的」であることを示しながら、一方で射の一意性は、(*A*, &phi;)が「過度に一般的ではない」事を表している。さらに、次の関係も成り立つ。
:Hom_D(A,Y) \cong Hom_C(X, U(Y))

また、上述の定義で全ての射を逆向きにすることで、圏論的な双対を考えることができる。*U* から *X* への**普遍射**は、*D*の対象*A* と*C*の射  &phi; : *U*(*A*) &rarr; *X* の対(*A*, &phi;)で表され、かつ以下の**普遍性**を満たす。
**Y* が *D*の対象で *f* : *U*(*Y*) &rarr; *X* が*C*の射であるような場合、常に *D* の射*g* : *Y* &rarr; *A* が一意に存在して、次の図を可換にする。
center|UからXへの普遍射

ここで、人によっては一方を*普遍射*と呼び、もう一方を*余普遍射*（co-universal property）と呼ぶ場合もある事に注意されたい。どちらがどちらかはその人次第である。

## 表現可能関手による定義
エミリー・リール（）は『Category Theory in Context』において、圏  の対象  に対する普遍性（）を次のように定義している：

定義を言い換えると、 の普遍性とは、(表現可能)関手  と  を用いて米田の補題から定まる自然変換  が自然同型であるという性質のことである。

圏  が小さなhom集合を持つ（各対象  について  である）とき、前節で定義した普遍射は普遍要素の特別な場合である。また逆に、普遍要素は普遍射の特別な場合である。

## 例

### ベクトル空間のテンソル積
体  上のベクトル空間  について、任意の双線形写像  に対して  を満たす準同型  がただ1つ存在するような -ベクトル空間  と双線形写像  の組が、同型を除いてただ1つ存在する。このときの  を  と表し、 と  のテンソル積と呼ぶ。

テンソル積を特徴づけるこの性質もまた普遍性と呼ばれる。実際、テンソル積の普遍性から、圏論的な普遍性が次のように与えられる：いま、 からの双線形写像の集合を与える対応は関手  （ とは -ベクトル空間とその間の線形写像からなる圏）を定める。このとき、テンソル積の普遍性から自然同型  が定まり、従って  は表現可能関手である。双線形写像  はこのとき、同型  によって恒等射が写る先として定まる。

また、カノニカルな双線形写像  は一点集合からの写像  によっても表される。いま、任意の  と に対して、テンソル積の性質から  が成り立つような準同型  がただ1つ定まる。従って  は一点集合から  への普遍射である。

### 剰余群への射影
群  の正規部分群  について、剰余群  への射影を  で表す。群準同型  について、 が  の核  ( が  の単位元となる  の元の集合) に含まれるとき、群の準同型定理によって  を満たす群準同型  がただ1つ存在することがわかる。

(小さな) 群とその間の群準同型からなる群の圏を  で表す。群  に対して、群準同型  であって  を満たすものの集合を  とおくと、この対応は関手  をなす。準同型定理の主張から、任意の  に対して同型  が存在して、さらに唯一性からこの同型は  について自然であることがわかる。

以上のことから、剰余群  と剰余群への射影  は普遍性を持っていることがわかる。普遍性の帰結として、商群についての他のすべての性質は、これ以上余集合（剰余群の通常の構成で使われる  の各要素）に言及しなくてよくなる。

### ファン・カンペンの定理
位相空間 (X,\mathcal{O}_X) は、2つの開部分集合 U,V\in\mathcal{O}_X によって覆われるものとする。すなわち、X=U\cup V が成り立つとする。このとき、共通部分 U\cap V からの包含写像 U\cap V\xrightarrow{i}U\xrightarrow{j'}X と U\cap V\xrightarrow{j}V\xrightarrow{i'}X による可換図式は、位相空間の圏  において普遍性を持つ。すなわち、連続写像  と  が  を満たすとき、 と  を満たすような連続写像  がただ1つ存在する。

よい条件（U\cap V は空でなく弧状連結）の下で、この図式から誘導される基本群のなす図式は同様に普遍性を持つ。これを (基本群に関する)ファン・カンペンの定理と呼ぶ。

## さまざまな普遍性

### 随伴関手との関係
(*A*1, &phi;1) を *X*1 から *U* への普遍射、 (*A*2, &phi;2) を *X*2 から *U* への普遍射とする。普遍性から、任意の射 *h* : *X*1 &rarr; *X*2 に対して一意な射 *g* : *A*1 &rarr; *A*2 が存在して、次の図式を可換にする。
center

もし *全ての* *C* の対象 *X**i*  に*U* への普遍射が認められるならば、*X<sub>i</sub>* \mapsto *A<sub>i</sub>* 及び *h* \mapsto *g* によって*C* から *D* への関手 *V*が定義される。 これに伴って、&phi;*i* は 1*C* （*C* の恒等関手） から *U V* への自然変換を定義する。関手 (*V*, *U*) は随伴関手の対となる。（*V* は *U* の左随伴、及び *U* は *V* の右随伴）

同様の言明は *U* からの普遍射という双対な状況においても適用できる。全ての *C* における *X*  について、関手 *V* : *C* &rarr; *D* が得られ、これは *U* への右随伴になっている。（つまり *U* は *V* の左随伴である。）

実際、このような方法で全ての随伴関手の対を普遍的構成から得られる。*F* と *G* を単位（unit）&eta; と余単位（co-unit）&epsilon; （定義は随伴関手の記事を参考のこと）によって構成される随伴関手の対とする。このとき、任意の対象 *C* と *D* への普遍射が得られる。
* *C* の各対象 *X* に対し、 (*F*(*X*), &eta;*X*) は *X* から *G* への普遍射である。つまり、任意の *f* : *X* &rarr; *G*(*Y*) に対して一意な *g* : *F*(*X*) &rarr; *Y* が存在して以下の図式を可換にする。
* *D* の各対象 *Y* に対し、 (*G*(*Y*), &epsilon;*Y*) は *F* から *Y* への普遍射である。つまり、任意の *g* : *F*(*X*) &rarr; *Y* に対して一意な *f* : *X* &rarr; *G*(*Y*) が存在して以下の図式を可換にする。

center 

普遍的構成は随伴関手の対より更に一般的である。普遍的構成は最適化問題のようなもので、この問題が *C* 中の全ての対象 （同様に、*D* の全ての対象）について解を持つとき、かつそのときのみ随伴関手の対が得られる。 

## 脚注

## 参考文献
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