テータ関数

**テータ関数**（テータかんすう、）は、
:\vartheta(z, \tau) := \sum^{\infty}_{n=-\infty}e^{\pi i n^{2} \tau + 2 \pi i n z}. 
で定義される関数のことである。それ以外にも、指標付きのテータ関数 \vartheta_{ab}(z,\tau)、ヤコビのテータ関数、楕円テータ関数 \vartheta_{i}(z, \tau) と呼ばれる一連のテータ関数が存在する。
指標付きのテータ関数や楕円テータ関数は、その定義にいくつかの流儀があり、同じ記号を使いながら違ったものを指していることがあるので注意が必要である。
これらの関数は、 の関数と見た場合には擬二重周期を持ち楕円関数に関係し、 の関数と見た場合はモジュラー形式に関係する。

## テータ関数の定義
テータ関数は次のように定義される関数のことを指す。
:\vartheta(z, \tau) := \sum^{\infty}_{n=-\infty}e^{\pi i n^{2} \tau + 2 \pi i n z}. 
テータ関数を  の関数と見た場合、周期  の周期関数である。
:\vartheta(z + 1, \tau) = \vartheta(z, \tau).
一般には以下の等式を満たす。
:\vartheta(z + m \tau + n, \tau) = e^{- \pi i m^{2} \tau - 2 \pi i m z} \vartheta(z, \tau).

## ヤコビのテータ関数の定義
ヤコビのテータ関数は狭義の意味では次の関数のことを指す。
:
\begin{align}
\Theta(u)
&:= \left(\frac{2 k' K}{\pi}\right)^{1/2}\exp\left(\int^{u}_0 \mathrm{d}t~ Z(t)\right),\\
\Theta_{1}(u)
&:= \Theta(u + K).
\end{align}

ただし、k':=\sqrt{1 - k^{2}\,} は補母数、K = K(k) は
第1種完全楕円積分、Z(u) はヤコビのツェータ関数
:
\begin{align}
Z(u) &:=  \mathcal{E}(u) - \frac{E(k) u}{K(k)},\\
\mathcal{E}(u) &:= \int^{u}_{0} \mathrm{d}t\, \mathrm{dn}^{2} t
= \int^{\mathrm{sn} u}_{0} \mathrm{d}t \sqrt{\frac{1 - k^{2} t^{2}}{1 - t^{2}}}
= \int^{\mathrm{am} u}_{0} \mathrm{d}\theta \sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} \theta},
\end{align}

\mathcal{E}(u) はヤコビのイプシロン関数、
E(k) は第2種完全楕円積分、
\mathrm{sn}\, u = \mathrm{sn}(u , k), dn\, u = dn(u, k) は
ヤコビの楕円関数、\mathrm{am}\, u = \mathrm{am} (u, k) は振幅関数である。

また、ヤコビのエータ関数
:
\begin{align}
H(u) &:= -i \exp\left((2 u + i K') \pi i /(4 K)\right) \Theta(u + i K'),
\quad i := \sqrt{-1\,},\\
H_{1}(u) &:= H(u + K),
\end{align}

を含めて、\Theta(u), \Theta_{1}(u), H(u), H_{1}(u) のことをヤコビのテータ関数と呼ぶこともある。ただし、K' := K(k') である。ヤコビのテータ関数は、後述の楕円テータ関数と以下の関係で結ばれている。
:
\begin{align}
\Theta(u) &= \vartheta_{0}(u/(2 \omega_{1})),\quad \Theta_{1}(u) = \vartheta_{3}(u / (2 \omega_1)),\\
H(u) &= \vartheta_{1}(u/(2 \omega_{1}),\quad H_{1}(u) = \vartheta_{2}(u/(2 \omega_{1})),
\end{align}

ただし、\omega_{1} は、楕円関数の基本周期の半分で、\tau = \omega_{3}/ \omega_{1} である（2 \omega_{1}, 2 \omega_{3} が楕円関数の基本周期に相当する）。

物理の教科書では後述の \vartheta_{i}(z, \tau) をヤコビのテータ関数と呼んでいるが、やや不正確な言い方である。

## 指標付きのテータ関数の定義
以下のように定義された、添え字を 2 つ持つテータ関数のことを**指標付きのテータ関数**と呼ぶ。
:\vartheta_{a,b}(z, \tau) :=\sum^\infty_{n=-\infty} e^{\pi i (n + a)^{2} \tau + 2 \pi i(n + a)(z + b)},\quad a,b \in \mathbb{R}.
なお、指標付きのテータ関数の定義には 2 つの流儀があって統一的に用いられていないため、文献を読むときには注意しなければならない
。
この記事で使われているのは、 で使われているのと同じ定義である。

## 楕円テータ関数の定義
楕円テータ関数（だえんテータかんすう、）は、以下のように定義された関数である。
ただし、\mathrm{Im}\,\tau > 0, q := e^{\pi i \tau} である。
:\begin{align}
\vartheta_{1}(v, \tau)
&:= - \vartheta_{11}(v, \tau)
= - \sum_{n=-\infty}^{\infty}
e^{\pi i \tau \left(n + \frac{1}{2}\right)^{2} + 2 \pi i \left(n + \frac{1}{2}\right)
\left(v + \frac{1}{2}\right)}\\
&=2\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n} q^ \cos 2 n \pi v,\\
\end{align}
楕円テータ関数にも定義に 2 つの流儀があり、注意が必要である。
フルヴィッツ・クーランの「楕円関数論」の定義では添え字が  から  ではなく、
 から  である。
その場合は \vartheta_{1}(v , \tau), \vartheta_{2}(v, \tau), \vartheta_{3}(v, \tau) の定義は変わらず、
\vartheta_{0}(v, \tau) := \vartheta_{4}(v, \tau) で定義される。
文脈から  あるいは  が明らかな場合は \vartheta_i(v) あるいは \vartheta_i(\tau) と書き、更に\vartheta_i=\vartheta_i(0,\tau) と書く。Mathematica では、\pi v のことを  と書いている。

## 擬二重周期
テータ関数は擬二重周期を持つ。
:\begin{align}\vartheta_1(v+1;\tau)
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^\\
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^\\
&=-\vartheta_1(v;\tau)\\
\end{align}
:\vartheta_2(v+1;\tau)=-\vartheta_2(v;\tau)
:\vartheta_3(v+1;\tau)=\vartheta_3(v;\tau)
:\vartheta_4(v+1;\tau)=\vartheta_4(v;\tau)

:\begin{align}\vartheta_1(v+\tau;\tau)
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^\\
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^\\
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^\\
&=-e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_1(v;\tau)
\end{align}
:\vartheta_2(v+\tau;\tau)=e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_2(v;\tau)
:\vartheta_3(v+\tau;\tau)=e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_3(v;\tau)
:\vartheta_4(v+\tau;\tau)=-e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_4(v;\tau)

## 無限乗積表示と零点
ヤコビの三重積の公式により、
:\begin{align}
\vartheta_1(v;\tau)
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^\\
&=-ie^e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=2e^\right)\left(1-2e^{2m{\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{4m{\pi}i{\tau}}\right)}\\
\end{align}
:\begin{align}
\vartheta_2(v;\tau)
&=2e^\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=2e^\right)\left(1+2e^{2m{\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{4m{\pi}i{\tau}}\right)}\\
\end{align}
:\begin{align}
\vartheta_3(v;\tau)
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+2e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)}\\
\end{align}
:\begin{align}
\vartheta_4(v;\tau)
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-2e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)}\\
\end{align}

|e^{2m{\pi}i{\tau}}|であるから\vartheta_3(v;\tau)の零点は
:\begin{align}
\cos{2{\pi}v}&=-\frac{e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}+e^{-(2m-1){\pi}i{\tau}}}{2}\\
\cos{2{\pi}v}&=\frac{e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+{\pi}i}+e^{-(2m-1){\pi}i{\tau}-{\pi}i}}{2}\\
2{\pi}v&=\left((2m-1){\pi}{\tau}+{\pi}\right)\pm2{\pi}n\\
v&=\frac{2n'+1}{2}+\frac{2m'+1}{2}\tau
\end{align}
である。他の関数の零点も同様にして求められる。
:\begin{align}
&\vartheta_1(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=n+m\tau\\
&\vartheta_2(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=\frac{2n+1}{2}+m\tau\\
&\vartheta_3(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=\frac{2n+1}{2}+\frac{2m+1}{2}\tau\\
&\vartheta_4(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=n+\frac{2m+1}{2}\tau\\
\end{align}

## テータ定数
 のときのテータ関数の値を**テータ定数**（）あるいは**テータ零値**（）という。これは定数といいながら実は  の関数である。

:\begin{align}
\vartheta_2=\vartheta_2(0;\tau)
&=2e^\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^2}\\
\end{align}
:\begin{align}
\vartheta_3=\vartheta_3(0;\tau)
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\
\end{align}
:\begin{align}
\vartheta_4=\vartheta_4(0;\tau)
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\
\end{align}

\vartheta_1=\vartheta_1(0;\tau)=0であるから、代わりに導関数を用いる。
:\begin{align}
\vartheta_1'&=\left[\frac{d}{dv}\vartheta_1(v;\tau)\right]_{v=0}\\
&=2e^\right)^3}+2e^\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=2{\pi}e^\right)^3}\\
\end{align}

c=\pi\vartheta_2\vartheta_3\vartheta_4/\vartheta_1'とすると
:\begin{align}c
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1-e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\
\end{align}
となるが、オイラーの分割恒等式により、
:\prod_{m=1}^{\infty}\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)=\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^{-1}
であるから  であり、故に \vartheta_1'=\pi\vartheta_2\vartheta_3\vartheta_4 である。

## 恒等式
テータ関数の間で次の恒等式が成立する。
:\vartheta_3\left(v+\frac{1}{2},\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}n^2+2\pi{in}(v+1/2)}=\vartheta_4(v,\tau)
:\vartheta_2\left(v+\frac{1}{2},\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}(n+1/2)^2+2\pi{i(n+1/2)}(v+1/2)}=-\vartheta_1(v,\tau)
:\vartheta_3\left(v+\frac{\tau}{2},\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}n^2+2\pi{in}(v+\tau/2)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}(n+1/2)^2-\pi{i\tau}/4+2\pi{i(n+1/2)v}-\pi{iv}}=e^{-\pi{i\tau}/4}e^{-\pi{iv}}\vartheta_2(v,\tau)
擬二重周期と併せて
:\vartheta_1\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\pm\vartheta_2(v;\tau)
:\vartheta_2\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\mp\vartheta_1(v;\tau)
:\vartheta_3\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\vartheta_4(v;\tau)
:\vartheta_4\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\vartheta_3(v;\tau)
:\vartheta_1\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=\pm{i}e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_4(v;\tau)
:\vartheta_2\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_3(v;\tau)
:\vartheta_3\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_2(v;\tau)
:\vartheta_4\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=\pm{i}e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_1(v;\tau)

次の恒等式はヤコビの虚数変換式という。
:
\begin{align}
\vartheta_{1} \left(\frac{v}{\tau}, -\frac{1}{\tau}\right) &= i e^{-i \pi /4} \tau^{1/2} e^{\pi i v^{2}/\tau} \vartheta_1 \left(v, \tau\right),\\
\vartheta_{2} \left(\frac{v}{\tau}, -\frac{1}{\tau}\right) &= e^{-i \pi /4} \tau^{1/2} e^{\pi i v^{2}/\tau} \vartheta_{4} \left(v, \tau \right),\\
\vartheta_{3} \left(\frac{v}{\tau}, -\frac{1}{\tau}\right) &= e^{-i \pi / 4} \tau^{1/2} e^{\pi i v^{2}/\tau} \vartheta_{3} \left(v, \tau \right),\\
\vartheta_{4} \left(\frac{v}{\tau}, -\frac{1}{\tau}\right) &= e^{-i \pi /4} \tau^{1/2} e^{\pi i v^{2}/\tau} \vartheta_{2} \left(v, \tau \right).
\end{align}


他に  を変換するものとして
:\vartheta_3\left(v,\tau+1\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}(\tau+1)n^2+2\pi{i}nv}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}e^{\pi{i}\tau{n^2}+2\pi{i}nv}=\vartheta_4(v,\tau)
:\begin{align}\vartheta_3\left(v,\tau\right)
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{n^2}+2\pi{i}nv}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n)^2}+2\pi{i}(2n)v}+\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n+1)^2}+2\pi{i}(2n+1)v}\qquad({n}\mapsto{2n,2n+1})\\
&=\vartheta_3\left(2v,4\tau\right)+\vartheta_2\left(2v,4\tau\right)
\end{align}
:\begin{align}\vartheta_4\left(v,\tau\right)
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}e^{\pi{i}\tau{n^2}+2\pi{i}nv}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n)^2}+2\pi{i}(2n)v}-\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n+1)^2}+2\pi{i}(2n+1)v}\qquad({n}\mapsto{2n,2n+1})\\
&=\vartheta_3\left(2v,4\tau\right)-\vartheta_2\left(2v,4\tau\right)
\end{align}

:\begin{align}\vartheta_3\left(0,\tau\right)^2
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{m^2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{n^2}}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(m^2+n^2)}}\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((m+n)^2+(m-n)^2\right)/2}\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m)^2+(2n)^2\right)/2}+\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m+1)^2+(2n+1)^2\right)/2}\qquad(\left\lfloor\textstyle\frac{m+n}{2}\right\rfloor\mapsto{m},\left\lfloor\textstyle\frac{m-n}{2}\right\rfloor\mapsto{n})\\
&=\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2+\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2
\end{align}
:\begin{align}\vartheta_4\left(0,\tau\right)^2
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}e^{\pi{i}\tau{m^2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}e^{\pi{i}\tau{n^2}}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m+n}e^{\pi{i}\tau{(m^2+n^2)}}\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m+n}e^{\pi{i}\tau\left((m+n)^2+(m-n)^2\right)/2}\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m)^2+(2n)^2\right)/2}-\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m+1)^2+(2n+1)^2\right)/2}\qquad(\left\lfloor\textstyle\frac{m+n}{2}\right\rfloor\mapsto{m},\left\lfloor\textstyle\frac{m-n}{2}\right\rfloor\mapsto{n})\\
&=\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2-\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2
\end{align}
:\begin{align}\vartheta_2\left(0,\tau\right)^2
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(m+1/2)^2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(n+1/2)^2}}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{\left((m+1/2)^2+(n+1/2)^2\right)}}\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((m+n+1)^2+(m-n)^2\right)/2}\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m+1)^2+(2n)^2\right)/2}+\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m+2)^2+(2n+1)^2\right)/2}\qquad(\left\lfloor\textstyle\frac{m+n}{2}\right\rfloor\mapsto{m},\left\lfloor\textstyle\frac{m-n}{2}\right\rfloor\mapsto{n})\\
&=2\vartheta_3\left(0,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)
\end{align}
これにより
:\begin{align}\vartheta_3\left(0,\tau\right)^4-\vartheta_4\left(0,\tau\right)^4
&=\left(\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2+\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2\right)^2-\left(\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2-\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2\right)^2\\
&=4\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2\\
&=\vartheta_2\left(0,\tau\right)^4
\end{align}

## ランデンの公式
次の恒等式は**ランデンの公式**  という。
:\vartheta_4(0,2\tau)\vartheta_4(2v,2\tau)=\vartheta_3(v,\tau)\vartheta_4(v,\tau)
:\vartheta_4(0,2\tau)\vartheta_1(2v,2\tau)=\vartheta_2(v,\tau)\vartheta_1(v,\tau)
第一式の右辺を展開すれば
:\begin{align}\vartheta_3(v,\tau)\vartheta_4(v,\tau)
&=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}n^2+2\pi{inv}}\right)\left(\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}e^{\pi{i\tau}m^2+2\pi{imv}}\right)\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}e^{\pi{i\tau}(n^2+m^2)+2\pi{i(n+m)v}}\\
\end{align}
となるが、{n}\pm{m} が奇数の項は {n}\gtrless{m} で打ち消し合うから
:\begin{align}\vartheta_3(v,\tau)\vartheta_4(v,\tau)
&=\sum_{n'=-\infty}^{\infty}\sum_{m'=-\infty}^{\infty}(-1)^{n'-m'}e^{2\pi{i\tau}(n'^2+m'^2)+4\pi{in'v}}\qquad({n}\mapsto{n'+m'},{m}\mapsto{n'-m'})\\
&=\left(\sum_{n'=-\infty}^{\infty}(-1)^{n'}e^{2\pi{i\tau}n'^2+4\pi{in'v}}\right)\left(\sum_{m'=-\infty}^{\infty}(-1)^{m'}e^{2\pi{i\tau}m'^2}\right)\\
&=\vartheta_4(2v,2\tau)\vartheta_4(0,2\tau)
\end{align}
となり、左辺を得る。第二式は第一式に v'=v+\textstyle\frac{\tau}{2} を代入して得られる。

## 加法定理
例えば
:\begin{align}\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^ とすれば
:\vartheta_4\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)=\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)-\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)
となる。これらにより
:\begin{align}\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)
&=\left(\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)+\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)\right)\left(\vartheta_3^{\;2}\left(0,2\tau\right)+\vartheta_2^{\;2}\left(0,2\tau\right)\right)\\
&=\left(\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)+\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(0,2\tau\right)\right)\left(\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)\vartheta_3\left(0,2\tau\right)+\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)\right)\\
&\quad+\left(\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(0,2\tau\right)-\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)\right)\left(\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)\vartheta_3\left(0,2\tau\right)-\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)\right)\\
&=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)
\end{align}
が得られ、同様にして数十もの恒等式が得られる。
:\begin{align}
&\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_1\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_2\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_4\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
\end{align}

:\begin{align}
&\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_1\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_2\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_4\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
\end{align}

:\begin{align}
&\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_1\left(x-y,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_2\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_4\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
\end{align}

:\begin{align}
&\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_4(0,\tau)=\vartheta_1\left(x,\tau\right)\vartheta_2\left(x,\tau\right)\vartheta_3(y,\tau)\vartheta_4(y,\tau)+\vartheta_3\left(x,\tau\right)\vartheta_4\left(x,\tau\right)\vartheta_1(y,\tau)\vartheta_2(y,\tau)\\
&\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_4(0,\tau)=\vartheta_1\left(x,\tau\right)\vartheta_3\left(x,\tau\right)\vartheta_2(y,\tau)\vartheta_4(y,\tau)+\vartheta_2\left(x,\tau\right)\vartheta_4\left(x,\tau\right)\vartheta_1(y,\tau)\vartheta_3(y,\tau)\\
&\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_2(0,\tau)=\vartheta_1\left(x,\tau\right)\vartheta_4\left(x,\tau\right)\vartheta_3(y,\tau)\vartheta_2(y,\tau)+\vartheta_3\left(x,\tau\right)\vartheta_2\left(x,\tau\right)\vartheta_1(y,\tau)\vartheta_4(y,\tau)\\
\end{align}

 とすれば
:\begin{align}
&\vartheta_1\left(2z,\tau\right)\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_4(0,\tau)=2\vartheta_1\left(z,\tau\right)\vartheta_2(z,\tau)\vartheta_3(z,\tau)\vartheta_4(z,\tau)\\
&\vartheta_2\left(2z,\tau\right)\vartheta_2^{\;3}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;4}\left(z,\tau\right)-\vartheta_1^{\;4}\left(z,\tau\right)=\vartheta_3^{\;4}\left(z,\tau\right)-\vartheta_4^{\;4}\left(z,\tau\right)\\
&\vartheta_3\left(2z,\tau\right)\vartheta_3^{\;3}(0,\tau)=\vartheta_3^{\;4}\left(z,\tau\right)+\vartheta_1^{\;4}\left(z,\tau\right)=\vartheta_2^{\;4}\left(z,\tau\right)+\vartheta_4^{\;4}\left(z,\tau\right)\\
&\vartheta_4\left(2z,\tau\right)\vartheta_4^{\;3}(0,\tau)=\vartheta_4^{\;4}\left(z,\tau\right)-\vartheta_1^{\;4}\left(z,\tau\right)=\vartheta_3^{\;4}\left(z,\tau\right)-\vartheta_2^{\;4}\left(z,\tau\right)\\
\end{align}
などが得られ、更に  とすれば
:\vartheta_3^{\;4}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;4}\left(0,\tau\right)+\vartheta_4^{\;4}\left(0,\tau\right)
が得られる。

## 対数微分
無限乗積表示
:\vartheta_1(v,\tau)=2e^\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}
の対数微分により
:\begin{align}\frac{\vartheta_1'(v,\tau)}{\vartheta_1(v,\tau)}&=\frac{\partial}{\partial{v}}\log\vartheta_1(v,\tau)\\
&=\frac{\pi\cos\pi{v}}{\sin\pi{v}}-2\pi{i}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{e^{2m\pi{i\tau}}e^{2\pi{iv}}}{1-e^{2m\pi{i\tau}}e^{2\pi{iv}}}+2\pi{i}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{e^{2m\pi{i\tau}}e^{-2\pi{iv}}}{1-e^{2m\pi{i\tau}}e^{-2\pi{iv}}}\\
&=\pi\cot\pi{v}-2\pi{i}\sum_{m=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}e^{2mn\pi{i\tau}}e^{2\pi{inv}}\right)+2\pi{i}\sum_{m=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}e^{2mn\pi{i\tau}}e^{-2\pi{inv}}\right)\\
&=\pi\cot\pi{v}-2\pi{i}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{m=1}^{\infty}e^{2mn\pi{i\tau}}\right)\left(e^{2\pi{inv}}-e^{-2\pi{inv}}\right)\\
&=\pi\cot\pi{v}+4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{2n\pi{i\tau}}}{1-e^{2n\pi{i\tau}}}\sin2\pi{nv}\\
\end{align}
である。同様に
:\begin{align}
\frac{\vartheta_2'(v,\tau)}{\vartheta_2(v,\tau)}&=-\pi\tan\pi{v}+4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac}{1-e^{2n\pi{i\tau}}}\sin2\pi{nv}\\
\frac{\vartheta_3'(v,\tau)}{\vartheta_3(v,\tau)}&=4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac}{1-e^{2n\pi{i\tau}}}\sin2\pi{nv}\\
\frac{\vartheta_4'(v,\tau)}{\vartheta_4(v,\tau)}&=4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n\pi{i\tau}}}{1-e^{2n\pi{i\tau}}}\sin2\pi{nv}\\
\end{align}
である。

## 出典

## 参考文献
* 
* 
* 

## 関連項目
* ヤコビ
* リーマン
* 代数幾何学
* 超弦理論
* ラマヌジャン
* 
* 
* 
* ヤコビの楕円関数#テータ関数を用いた定義