ディラック方程式

**ディラック方程式**（ディラックほうていしき、）は、フェルミ粒子を記述するディラック場が従う基礎方程式である。ポール・ディラックにより相対論的量子力学として導入され、場の量子論に受け継がれている。

## 歴史
非相対論的なシュレーディンガー方程式を、相対論へ対応するための拡張として、最初クライン-ゴルドン方程式が考案された。これは負のエネルギー解と負の確率密度の問題が生じた（この問題は、その後の場の量子論においては回避される）。また、クライン-ゴルドン方程式にはスピンが出てこない問題もあった（これはクライン-ゴルドン方程式に従うスカラー場がスピンを持たない粒子を記述する為である）。

ポール・ディラックは1928年に**ディラック方程式**を基礎方程式とする（特殊）相対論的量子力学を見出した。ディラック方程式からは負の確率密度は生じず、スピンの概念が自然に現れる。

しかし、ディラック方程式からは、自然界には存在しないような負のエネルギーの状態が現れるという問題があった。そこで、オスカル・クラインは、ある種の強いポテンシャルのもとで正エネルギーの電子が負エネルギー状態へ遷移しうることを示して、理論から負エネルギー状態を完全に排除することが困難であることを指摘した。

1930年にディラックは「真空とは、負エネルギーの電子が完全に満たされた状態である」とする**[[ディラックの海]]**の概念（**空孔理論**、）を考案した。ディラックの海では負エネルギーの電子が取り除かれた「空孔」が生じることがあるが、ディラックは当初この空孔による粒子を陽子であると考えた。後に空孔は陽電子であることが指摘された（ヘルマン・ワイル、ロバート・オッペンハイマーによる）。ディラックの海の空孔は正のエネルギーを持ち、反粒子に対応する。光による電子と陽電子の生成は、真空中の負エネルギー電子が光を吸収して正エネルギー状態へ遷移し、あとに空孔を残す現象として説明される。1932年のデヴィッド・アンダーソンによる陽電子の発見により、ディラックの海は現実の現象を説明する優れた理論とされた。

その後、リチャード・P・ファインマン等により拡張、解釈の見直しが図られた（相対論的な場の量子論）。その結果、ディラックの海を考えなくとも、電子と陽電子を対称に扱うことができるようになった。

## ディラック方程式
クライン・ゴルドン方程式は2階の時間微分を含むことが問題であるため、微分演算子を線形になるように定義する。(\alpha^0 {\partial \over \partial (ct)}+\alpha^k{\partial \over \partial x^k}+\beta {mc \over \hbar})\psi(t,x)=0この方程式が見たさなければならない条件を見出し、この係数、\alpha^0,\alpha^k,\betaを決める。この方程式の解がクライン・ゴルドン方程式を満たすとして、(\alpha^0 {\partial \over \partial (ct)}+\alpha^k{\partial \over \partial x^k}+\beta {mc \over \hbar})^2 \psi(t,x)=0がクライン・ゴルトン方程式の形のように一致するよう定める。展開すると、
(\alpha^0)^2 {\partial^2 \over \partial (ct)^2}
+ \alpha^k \alpha^l {\partial^2 \over \partial x^k \partial x^l}
+ \beta^2 {m^2 c^2 \over \hbar^2}
+ (\alpha^0 \alpha^k + \alpha^k \alpha^0) {\partial^2 \over \partial (ct)\, \partial x^k}
+ (\alpha^0 \beta + \beta \alpha^0) {m \over \hbar} {\partial \over \partial t}
+ (\alpha^k \beta + \beta \alpha^k) {m c \over \hbar} {\partial \over \partial x^k}
係数を比較すると、(\alpha^0)^2=-1,\alpha^k\alpha^l=\delta^{kl},\beta^2=-1,\alpha^0\alpha^k+\alpha^k\alpha^0=\alpha^0\beta+\beta\alpha^0=\alpha^k\beta+\beta\alpha^k=0まとめるために、\alpha^\mu=(\alpha^k,\alpha^0)と置くと、{\alpha^\mu,\alpha^nu}=2\eta^{\mu\nu},{\alpha^\mu\beta}=0,\beta^2=-1であり、ここで、ηはミンコフスキー計量である。括弧積は反交換子である。方程式の左からβをかけると条件\beta^2=-1から、新たに(\beta\alpha^0 {\partial \over \partial (ct)}+\beta\alpha^k{\partial \over \partial x^k}-{mc \over \hbar})\psi(t,x)=0であり、\gamma^0=-i\beta\alpha^0,\gamma^i=-i\beta\alpha^0と置き、微分演算子もまとめれば、ディラック方程式は、(i\gamma^\mu\partial_\mu+{mc \over \hbar})\psi(t,x)=0となる。
 

ディラック方程式は \hbar=1,c=1 とする自然単位系では

と表される。&psi; は4成分スピノルの場（ディラック場）である。

m は &psi; の質量である。&mu;=0,1,2,3 についてはアインシュタインの縮約記法を用いる。微分\partial_\mu は

である。
\gamma^\mu は**[[ガンマ行列]]**（ディラック行列）と呼ばれる 4&times;4行列で

を満たす。\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1) はミンコフスキー空間の計量テンソルである。ディラック方程式は3次元的に書けば

となる。移項して左から \gamma^0 を掛ければ

と表すことができる。
ただし \alpha^j=\gamma^0\gamma^j, \beta=\gamma^0 である。ここでH=-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla+\beta m はディラックのハミルトニアンと呼ばれる。

\alpha^\mu,\betaの反交換関係を\gamma^\muの反交換関係に置き換えると、{\gamma^\mu,\gamma^\nu}=-2\eta^{\mu\nu}となり、これを**ディラック代数**という。

## ディラックの着想
相対論的な量子力学の基礎方程式として考案されたクライン-ゴルドン方程式

は、時間について2階の微分方程式であることから負の確率密度を生じ、確率解釈が困難となる問題を抱えていた。これを時間について1階の微分方程式

に帰着させるべく、ディラックは空間成分についての2階微分を1階微分に分解した関係式

を満たすように４つの係数 **&alpha;**=(&alpha;1, &alpha;2, &alpha;3)、&beta; を与えることを考えた。このとき、&alpha;i(i=1,2,3)、&beta;に要求される代数関係は

となるが、こうした性質を満たすには係数は行列でなくてはならない。

## ローレンツ共変性
ディラック方程式は相対論的な方程式であり、ローレンツ共変性を持つ。

即ち、ローレンツ変換
:x^\mu \rightarrow x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu
:\psi_a(x) \rightarrow \psi'_a(x) = [D(\Lambda)]_a{}^b\,\psi_b(\Lambda^{-1}x)

(&mu;,&nu;=0,1,2,3は時空の4成分、a, b = 1,2,3,4 はスピノルの4成分)に対して、

:(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi'(x)=0

となる。ディラックスピノルの変換性をあらわす4&times;4行列 D(&Lambda;) は

:[D(\Lambda)]_a{}^c \,[\gamma^\mu]_c{}^d \,[D(\Lambda)^{-1}]_d{}^b
 = (\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu[\gamma^\nu]_a{}^b 

によって定まる。

ワイル表示においては行列式 1 の2&times;2行列 M を用いて

:D(\Lambda) = 
\begin{pmatrix}
M & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & (M^\dagger)^{-1} \\
\end{pmatrix}

:M \sigma^\mu M^\dagger
 = (\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu\sigma^\nu

と書くことができる。例えば、z-方向のブーストの場合は

:\Lambda^\mu{}_\nu = 
\begin{pmatrix}
\cosh\beta & 0 & 0 & \sinh\beta \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\sinh\beta & 0 & 0 & \cosh\beta \\
\end{pmatrix}

:M = 
\begin{pmatrix}
e^{-\beta/2} & 0 \\
0 & e^{\beta/2} \\
\end{pmatrix}

となる。
## 出典


## 参考文献
;原論文
* 

## 関連項目
*相対性理論
*量子力学
*場の量子論
*運動方程式
**クライン＝ゴルドン方程式 - スピン0の相対論的ボース粒子。スカラー場。

**マクスウェル方程式 - スピン1、質量0の相対論的ボース粒子。ベクトル場。
**プロカ方程式 - スピン1、質量が0でない相対論的ボース粒子。ベクトル場。
**ラリタ＝シュウィンガー方程式 - スピン3/2。ベクトル・スピノル場（**ラリタ＝シュウィンガー場**）。
**アインシュタイン方程式 - スピン2。
**マクシモン - 修正ディラック方程式