分位数

**分位数**（ぶんいすう）、**分位点**（ぶんいてん）、**分位値**（ぶんいち）、**クォンタイル** () は、統計の代表値の1種である。

実数 q \in [0, 1] に対し、***q'' 分位数''' () は、分布を <math>q : 1 - q</math> に分割する値である。

ある種の正の[[整数]] <math>m</math> に対し、分布を <math>m</math> 等分する <math>m - 1</math> 個の値、つまり、<math>i = 1, \dotsc, m - 1</math> に対する <math>i / m</math> 分位数を、***m* 分位数*'（ただし m は漢数字）という。i = 1, \dotsc, m - 1 番目の *m* 分位数を**第 ''i'' ''m'' 分位数**といい、また、m 等分された分布の k = 1, \dotsc, m 番目の部分を、**第 ''k'' ''m'' 分位**、または単に**第 ''k'' 分位**という。

ただし、英語のには、等分割する値（）の意味と、そのようにして分割された群（）の二つの意味がある。

## 定義
### 変量統計における分位数
n 個のデータ x に対する *q* 分位数 Q_q は、昇順にソートしたデータを x_{1} \leq x_{2} \leq \dotsb \leq x_{n} とすると、
:\begin{align}
  Q_q &= x(1 - q + q n) \\
  x(t) &= \begin{cases} 
    x_t,  & \text{if } t \in \mathbb{N} \\
    (\lceil t \rceil - t) x_{\lfloor t \rfloor} + (t - \lfloor t \rfloor) x_{\lceil t \rceil}, & \text{if } t \notin \mathbb{N}
  \end{cases}
\end{align}
と定義される。ここで、\lfloor \cdot \rfloor は床関数、\lceil \cdot \rceil は天井関数、\mathbb{N} は自然数の集合である。

関数 x(t),\ 1 \le t \le n は、数列 x_{1, \dotsc, n} の線形内挿数関数への拡張である。関数 x(\cdot) の引数 1 - q + q n は、範囲 [1, n] を q : 1 - q に内分している。

### 確率分布の分位数
1次元確率分布 f(x) に対する *q* 分位数 Q_{q} は
:\int_{-\infty}^{Q_q} f(x) dx \ge q,\ \int_{Q_q}^\infty f(x) dx \ge 1 - q
を満たす値として定義される。この式は、累積分布関数 F(x) または確率 P(X) を使って、
:\int_{-\infty}^{Q_q} dF(x)\ \ge q,\ \int_{Q_q}^\infty dF(x)\ \ge 1 - q

または

:P(X \le Q_q) \ge q,\ P(X \ge Q_q) \ge 1 - q
とも表せる。

## 特別な分位数
いくつかの *q* に対する *q* 分位数には、特別な名称がある。

### 中央値

1 / 2 分位数を、中央値、メディアン ()という。中央値は、平均値に代わり、分布を代表する値として使われる。

### 四分位数
q / 4 分位数を、第 *q* 四分位数、第 *q* 四分位点、第 *q* 四分位値、第 *q* ヒンジ () という。1 / 4 分位数（第1四分位数）を下側四分位数、3 / 4 分位数（第3四分位数）を上側四分位数ともいう。

単に四分位数といったばあい、第1・第3四分位数を表す。第2四分位数は中央値である。これらは、分布の統計的ばらつきを表すのに使う。

第1・第3四分位数の差 Q_{3 / 4} - Q_{1 / 4} は、**四分位範囲**（）といい、分布のばらつきの代表値である。分布の代表値として平均値の代わりに中央値を使うときは、IQRを標準偏差や分散の代わりに使う。中央値同様、頑強で、外れ値や極端に広い裾野の影響を受けにくい。

\text{IQR} / 2 を**四分位偏差**、\text{IQR} / \text{IQR}_{N(0, 1)} \approx 0.7413 ~ \text{IQR} を**正規四分位範囲**（）といい、IQRの代わりに使うことがある。ここで、\text{IQR}_{N(0, 1)} \approx 1.3490 は、標準正規分布のIQRである。正規分布の正規四分位範囲は、標準偏差に等しい。なお係数0.7413を近似値として使うことがある。

四分位数の簡易な求め方として、中央値より上の値の中央値と、中央値より下の値の中央値を使う場合がある。この値を特にヒンジ (hinge) と呼び、それぞれ上側ヒンジ・下側ヒンジ、または、第1・第3ヒンジ（第2ヒンジは中央値）と呼ぶ。ヒンジは、（厳密に計算した）四分位数とは、中央値から離れる方向に少しだけずれる。データ数が多ければずれは小さくなる 。

### 三分位数・五分位数・十分位数
q / 3 分位数を、第 *q* 三分位数、第 *q* 三分位点、第 *q* 三分位値 () という。

q / 5 分位数を、第 *q* 五分位数、第 *q* 五分位点、第 *q* 五分位値 () という。

q / 10 分位数を、第 *q* 十分位数、第 *q* 十分位点、第 *q* 十分位値 () という。

### パーセンタイル
q / 100 分位数を、*q* パーセンタイル、（第）*q* 百分位数、（第）*q* 百分位点、（第）*q* 百分位値、*q* パーセント点、*q* %点 () という。

1 - q / 100 分位数を上側 *q* パーセント点という。これと対比するときには、q / 100 分位数は下側 *q* パーセント点という。また、平均が0の対称分布に対し、1 / 2 + q / 200 分位数を両側 *q* パーセント点という。このとき、絶対値が両側 *q* パーセント点以内に、分布の *q* %が含まれている。

### 最大値・最小値
0分位数は最小値、1分位数は最大値である。最大値と最小値の差は**範囲**あるいは**レンジ**（）と呼ばれ、分布のばらつきを表す代表値の一種である。

## 五数要約

分布の特徴を最大値、最小値、中央値、上側・下側ヒンジの5つの値、つまり、0, 0.25, 0.5, 0.75, 1分位数で要約することを、五数要約という。五数要約は、しばしば箱ひげ図で図示される。

## 日本産業規格
日本産業規格では、分位点を、「p分位点とは，分布関数が p に一致するか，又はpより小さな値から p より大きな値に飛ぶときの確率変数の値。確率p を 100p% で表すときは 100p パーセント点 () という。備考1. 確率変数のある区間内で分布関数が一定値pとなる場合は，その区間内の任意の値がp分位点とされる。ただし，0\leqq p\leqq 1である。
2.  p=1/2に対応する確率変数の値をメディアン中央値 () という。3. p=1/4およびp=3/4に対応する確率変数の値を四分位点 () という。」と定義している。

## 脚注

## 参考文献
* 

## 外部リンク
* Quartiles in Elementary Statistics 15種類の定義がされている