Ákveða

Í línulegri algebru er **ákveða** marglínuleg vörpun D: \mathbb{R}^n_n \rightarrow \mathbb{R}, sem varpar *n×n* ferningsfylki (eða *n* mörgum *n*-víðum vigrum) yfir í rauntölu, oft táknuð með *det*. Fyrir sérhverja jákvæða heiltölu *n* er til nákvæmlega ein ákveða á mengi *n×n* fylkja, sem ákvarðast ótvírætt útfrá eftirtöldum eiginleikum:

# Vörpunin er línuleg í hverjum vigri.
#: D(\mathbf{v}_1, \ldots ,\mathbf{v}_i + \mathbf{v}_i^\prime, \ldots, \mathbf{v}_n) = D(\mathbf{v}_1, \ldots , \mathbf{v}_i, \ldots , \mathbf{v}_n) + D(\mathbf{v}_1, \ldots , \mathbf{v}_i^\prime, \ldots , \mathbf{v}_n)
, \quad
D(\mathbf{v}_1, \ldots , c\mathbf{v}_i, \ldots , \mathbf{v}_n) =cD(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n),
þar sem *c* er tala.
# Ef línuvigrar fylkisins víxlast skiptir vörpunin um formerki:
#: D(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_i,\ldots , \mathbf{v}_j, \ldots , \mathbf{v}_n) = -D(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_j, \ldots, \mathbf{v}_i, \ldots, \mathbf{v}_n)
# Sé \mathcal{E} = \{ \mathbf{e}_1,\ldots , \mathbf{e}_n \} venjulegur grunnur fyrir \mathbb{R}^n er ákveða fjölskyldunnar 1:
#: D(\mathcal{E}) = 1

Ákveðan D(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots , \mathbf{v}_n) er táknuð 
\det\left|\begin{matrix} 
  - \mathbf{v}_1 - \\ 
  \vdots \\
  - \mathbf{v}_n - \\
\end{matrix}\right|

Þ.e, vigrum fjölskyldunnar er raðað sem línuvigrar fylkis *A*, og ákveðan af A er \det{A}

## Ákveður ''2×2'' fylkja
Ákveða *2×2* fylkis er skilgreind sem D(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \det\left|\begin{matrix} 
a & b \\
c & d \\
\end{matrix}\right| = ad - bc fyrir vigrana \mathbf{x} = {a \choose b} og \mathbf{y} = {c \choose d}.

Ákveða *2×2* fylkis jafngildir flatarmáli samsíðungs með hliðarvigranna *x* og *y*.

## Ákveður ''3×3'' fylkja

Notast er við reglu Sarrusar við að reikna út ákveðu *3×3* fylkis A = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{bmatrix} er skilgreind sem
:det(A) = a \det\begin{vmatrix}e & f \\ h & i \\ \end{vmatrix} - b \det\begin{vmatrix}d & f \\ g & i \\ \end{vmatrix} + c \det\begin{vmatrix}d & e \\ g & h \\ \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - afh - bdi - ceg.

Krossfeldi þrívíðra vigra er skilgreint út frá *3×3* ákveðu.

## Almennar reglur um ákveður
* \det(A^c) = \det(A)^c
* \det{AB} = \det{A}\det{B}
* \det{A} \ne 0 ef og aðeins ef *A* er andhverfanlegt fylki.
* Séu einhverjar tvær línur í *A* eins er \det{A} = 0 (Sjá *[[Hornalínugeranleiki]]* og *[[Reiknirit Gauss]]*)
* Sé einhver lína í *A* með núll í öllum stökum er \det{A} = 0
* Sé *A* *n×n* efra þríhyrningsfylki er \det{A} = \prod_{i=1}^n a_{ii}, þ.e. margfeldi stakanna á hornalínunni.
* \det{A^{-1}} = \frac{1}{\det{A}}
* \det{A^\mathbf{T}} = \det{A} (sjá bylt fylki)
* \det{A} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n þar sem að \lambda_1 ... \lambda_n eru eiginvigrar *A*.
* A = \frac{1}{\det{A}} C^\mathbf{T}, þar sem *C* er hjáþáttafylki *A*.
* \det{A} = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+b}a_{ib} \det{A_{ib}} = \sum_{i=1}^n a_{ib}C_{ib}  = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+b}a_{bi} \det{A_{bi}} = \sum_{i=1}^n a_{bi}C_{bi} fyrir fasta tölu *b < n*. Þá er C_{xy} *xy*-hjáþáttur fylkisins A, og A_{xy} er fylkið *A* þar þar sem að *x*-ta lína og *y*-ti dálkur hafa verið fjarlægð. a_{xy} eru þá stakið í *x*-tu línu, *y*-ta dálki í *A*.

## Tengt efni
* Regla Sarrusar