Sígild aflfræði

**Sígild aflfræði** (stundum kölluð **klassísk aflfræði**) er eðlisfræði, sem fæst við krafta sem verka á hluti. Oft er talað um hana sem „Aflfræði Newtons“ eftir lögmálum, sem við hann eru kennd, um hreyfingu „sígildra“ hluta. Sígild aflfræði er skipt niður í tvo hluta, stöðufræði (sem fjallar um hluti í kyrrstöðu) og hreyfifræði (sem fjallar um hluti á hreyfingu).

Sígild aflfræði lýsir hversdagslegum hlutum nokkuð vel. Hún bregst hinsvegar þegar hlutir ferðast um á hraða nálægt ljóshraða, þá þarf að notast við afstæðilega aflfræði. Þegar kerfi eru svo lítil að taka þarf tillit til skammtafræði hluta eða þegar kerfi eru bæði lítil og ferðast um á hraða nálægt ljóshraða, þá tekur afstæðilega skammtasviðsfræði-kenningin við. Samt sem áður þá er sígild aflfræði gagnleg vegna þess að hún er mun einfaldari í notkun en hinar kenningarnar og er góð nálgun á mjög marga hluti. Sígild aflfræði getur lýst hreyfingu stórra hluta eins og bolta, reikistjarna og líka nokkurra smárra hluta eins og lífrænna sameinda.

Þótt sígild aflfræði sé nokkurnvegin samkvæm öðrum „sígildum“ kenningum eins og rafsegulfræði og varmafræði, þá kom fram ósamræmi á milli kenninga og tilrauna á seinni hluta 19. aldar, sem aðeins nútímakenningar geta útskýrt. Sérstaklega þá segir klassísk óafstæðileg rafsegulfræði að ljóshraðinn sé fasti miðað við ljósvaka, sem er erfitt að skýra í heimi sígildrar aflfræði og leiddi til þróunar á takmörkuðu afstæðiskenningunni. Sameining sígildrar aflfæði og sígildrar varmafræði leiðir til svokallaðrar þversagnar Gibbs, þar sem óreiða er ekki vel skilgreind stærð og einnig til útfjólubláa stórslyssins þar sem svarthlutur sendir frá sér óendanlega mikla orku. Tilraunir til lausna á þessum vandamálum leiddu til þróunar á skammtafræði.

## Lýsing kenningarinnar

Hér verða kynnt grunnhugtök sígildarar aflfræði. Til einföldunar er skoðað kerfi „punktagnar“, sem er eind (hlutur) þar sem stærð eindarinnar er nánast núll. Hreyfing punktagnar er skilgreind af fáum kennistærðum: staðsetningu, massa og kröftunum sem virka á hana. Við munum ræða hverja þessa kennistærð.

Þeir hlutir sem sígild aflfræði getur lýst eru ekki punktagnir heldur hafa endanlega stærð. Punktögnum eins og t.d. rafeindum er lýst með skammtafræði. Hlutir með endanlega stærð hafa flóknara hegðunarmynstur en punktögn, vegna þess að innri hegðun þeirra getur breyst - t.d. bolti getur snúist á meðan hann flýgur í gegnum loftið. Hinsvegar munum við geta notað niðurstöður okkar fyrir punktagnir til að rannsaka slíka hluti með því að hugsa um þá eins og safn mjög margra punktagna sem allar hafa áhrif hver á aðra. Við getum þá sýnt að slíkir samansettir hlutir hegða sér eins og punktagnir, gerandi ráð fyrir að þeir séu smáir miðað við lengdirnar sem um ræðir í vandamálinu, sem gefur til kynna að notkun okkar á punktögnum sé leyfileg í útleiðslu sígildarar aflfræði.

### Staðsetning og afleiður hennar

Staðsetning punktagnar er skilgreind með tilliti til einhvers punktar í rúminu, sem er oftast kallaður upphafspunktur, **O**. Staðsetning er skilgreind sem vigur **r** frá **O** til agnarinnar. Almennt séð þarf ögnin ekki að vera kyrr svo **r** er fall af *t*, tímanum sem er liðinn frá einhverjum ákveðnum upphafstíma. Fyrir daga afstæðiskenningar Einsteins var tíminn álitinn altækur í öllum viðmiðunarkerfum.

#### Hraði

Hraði er skilgreindur sem hlutfall breytingar á staðsetningu og þess tíma sem breytingin tekur, eða afleiða staðsetningarvigursins með tilliti til tíma 

: \mathbf{v} = {d\mathbf{r} \over dt}.

Í sígildri aflfræði er hægt að leggja saman og draga frá hraða án nokkurra vandkvæða, þetta breytist þegar hlutir eru komnir á ljóshraða eða nálgast hann. T.d. ef bíll er að ferðast í austur á hraða 60 km/klst og fer fram úr öðrum bíl sem einnig ferðast austur en er á hraða 50 km/klst þá er fyrri bíllinn á hraða 60 - 50 = 10 km/klst hraða í austur átt frá sjónarhóli bílsins sem tekið er framúr. Frá sjónarhóli bílsins sem ekur hraðar er hinn bíllinn að ferdast í vestur á hraðanum 10 km/klst (eða í austur á hraðanum -10km/klst).

Stærðfræðilega, ef við skilgreinum hraða fyrri hlutarins í dæminu hér að ofan sem vigurinn **b** = *v***d** og skilgreinum hraða seinni hlutarins sem vigurinn **u** = *u***e**, þar sem *v* er stærð hraða fyrri hlutarins, *u* er stærð hraða seinni hlutarins og **d** og **e** eru einingavigrar í hreyifátt hvors hlutar fyrir sig, þá er hraði fyrri hlutarins eins og hann er séður frá seinni hlutnum:

:**v**' = **v** - **u**

Sömuleiðis er hraði seinni hlutarins séð frá fyrri hlutnum:

:**u**' = **u** - **v**

Þegar báðir hlutir ferðast í sömu átt er hægt að einfalda jöfnurnar niður í:

:**v**' = ( *v* - *u* ) **d**

Eða, með því að hunsa stefnu (af því að báðir hreyfast í sömu átt), er hægt að gefa mismuninn á hröðunum með mismuninum á stærð hraðanna:

:*v*' = *v* - *u*

#### Hröðun

Hröðun, eða hlutfall breytingar á hraða með tilliti til tíma er skilgreind sem:

: \mathbf{a} = {d\mathbf{v} \over dt}.

Þegar hlutur hægir á sér er talað um neikvæða hröðun. Í því tilfelli hafa hraðavigurinn og hröðunarvigurinn mismunandi stefnu. T.d. þegar bolta er hent upp í loft þá er hraðavigurinn í sömu stefnu og boltinn er að fara (þ.e. beint upp) en hröðunarvigurinn hefur stefnu í þveröfuga átt (þ.e. beint niður).

#### Viðmiðunarrammar (hnitakerfi)

Eftirfarandi yrðingar um atburði í tveim viðmiðunarrömmum, *S* og *S*' er hægt að leiða út. *S*' ferðast með hraða *u* miðað við *S*.

* **v**' = **v** - **u** (hraði eindar séð frá *S*' er hægari um *u* en séð frá *S*)
* **a**' = **a** (hröðun eindar er sú sama í öllum viðmiðunarrömmum)
* **F**' = **F** (þar sem **F** = *m***a**) (kraftur á eind er sá sami í öllum viðmiðunarrömmum; sjá Hreyfilögmál Newtons)
* ljóshraði er ekki fasti
* jöfnur Maxwells eru ekki eins í öllum viðmiðunarrömmum.

### Kraftar; Annað lögmál Newtons

Annað lögmál Newtons gefur samband á milli massa og hraða eindar og vigurstærðar sem er þekkt undir nafninu kraftur. Gerum ráð fyrir að *m* sé massi eindar og **F** sé vigursumma allra krafta sem virka á eindina (þ.e. heildar kraftur), þá segir annað lögmál Newtons að

: \mathbf{F} = {d(m \mathbf{v}) \over dt}.

Stærðin *m***v** er kölluð skriðþungi. Venjulega er massinn *m* fasti og annað lögmál Newtons er hægt að skrifa á einfaldari hátt

: \mathbf{F} = m \mathbf{a}

þar sem **a** er hröðunin eins og hún var skilgreind fyrir ofan. Það er ekki alltaf satt að *m* sé óháð tíma. T.d. minnkar massi eldflaugar jafnóðum þegar eldsneytið brennur upp. Undir slíkum kringumstæðum er ofangreind jafna röng og nota verður rétt form ofangreindrar jöfnu.

Annað lögmál Newtons dugar ekki eitt og sér til að lýsa hreyfingu eindar. Við þurfum einnig að hafa lýsingu á kraftinum **F**, sem er hægt að fá með því að athuga hvaða hlutir hafa áhrif á eindina og hún á þá. T.d. er hægt að lýsa dæmigerðum hömlunarkrafti sem falli af hraða eindarinnar:

: \mathbf{F}_{\rm R} = - \lambda \mathbf{v}

þar sem λ (lambda) er jákvæður fasti. Þegar við höfum fengið slíkar jöfnur fyrir sérhvern kraft sem virkar á eindina þá stingum við þeim inn í annað lögmál Newtons og fáum venjulega diffurjöfnu, sem er kölluð hreyfijafna eindarinnar. Gerum nú ráð fyrir að núningskraftur sé eini krafturinn sem virkar á eindina. Þá er hreyfijafnan

: - \lambda \mathbf{v} = m \mathbf{a} = m {d\mathbf{v} \over
dt}.

Þetta er hægt að heilda sem gefur

: \mathbf{v} = \mathbf{v}_0 e^{- \lambda t / m}

þar sem **v**0 er upphafshraði eindarinnar. Þetta þýðir að hraði eindarinnar minnkar veldisvaxandi í átt að núlli með auknum tíma. Þessa jöfnu er hægt að heilda aftur til að fá staðsetninguna **r** sem fall af tíma.

Mikilvægir kraftar eru meðal annars þyngdarkrafturinn og Lorentz krafturinn í rafsegulfræði. Þar að auki er oft hægt að nota þriðja lögmál Newtons til að finna út hvaða kraftar virka á eind. Ef við vitum t.d. að eind A virkar á aðra eind B með krafti **F**, þá virkar eind B á eind A með jafn stórum krafti **F** en í andstæða átt og því sett mínus fyrir framan hann -**F**.

### Orka

Ef kraftur **F** virkar á eind og færir hana til um δ**r** þá er vinnan sem er framkvæmd gefin með stigstærðinni

: \delta W = \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} .

Gerum ráð fyrir að massi eindarinnar sé fasti og δ*W*H sé heildarvinnan framkvæmd á eindina, sem við fáum með því að leggja saman vinnuna sem er framkvæmd af hverjum krafti fyrir sig. Frá öðru lögmáli Newtons getum við sýnt að

: \delta W_{\rm total} = \delta T \,,

þar sem *T* er kölluð hreyfiorka. Fyrir punkteind er hún skilgeind sem

: T = {m |\mathbf{v}|^2 \over 2}.

Fyrir hluti sem eru samsettir úr mörgum minni eindum er hreyfiorka hlutarins summan af hreyfiorku hverrar eindar fyrir sig.

Krafta sem eru þekktir sem „geymdir kraftar“ má skrifa sem stigul af stigfalli, sem kallast stöðuorka og er táknað með *V*:

: \mathbf{F} = - \nabla V.

Gerum ráð fyrir að allir kraftar sem virka á eind séu geymdir og *V* sé heildar stöðuorkan, fengin með því að leggja saman allar stöðuorkur sem tilheyra hverjum krafti. Þá er

: \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} = - \nabla V \cdot \delta
\mathbf{r} = - \delta V
: \Rightarrow - \delta V = \delta T
: \Rightarrow \delta (T + V) = 0.

Þessi niðurstaða er þekkt sem lögmálið um varðveislu orkunnar, og segir að heildar orka, E = T + V sé fasti í tíma. Þetta er mjög mikilvæg niðurstaða því oftast eru kraftar geymdir.

### Frekari niðurstöður

Lögmál Newtons veita margar mikilvægar niðurstöður fyrir samansetta hluti. Sjá hverfiþungi.

Til eru tvær aðrar útgáfur af sígildri aflfræði: aflfræði Lagrange og aflfræði Hamiltons. Þær eru jafngildar aflfræði Newtons en eru oft þægilegri í notkun til að leysa vandamál. Þessar, og aðrar nútímalegar útgáfur, tala yfirleitt ekki um krafta heldur um stærðir eins og orku til að lýsa aflfræðilegum kerfum.

## Saga

Grikkir og þá sérstaklega Aristóteles voru fyrstir til að koma með þá tillögu, að náttúrunni væri stjórnað af sértækum lögmálum.

Einn af fyrstu vísindamönnunum sem kom með þannig lögmál var Galileo Galilei sem gerði hina frægu tilraun að láta tvær misþungar fallbyssukúlur falla af skakka turninum í Pisa. (Kenningin og tilraunin sýndu að þær lentu samtímis.) Þó að deilt sé um það hvort hann hafi í raun framkvæmt þessa tilraun, þá er vitað að hann framkvæmdi aðrar tilraunir með því að rúlla boltum á skábretti; kenning hans (sem var rétt) um hraðaða hreyfingu var greinilega fengin frá niðurstöðum þessara tilrauna.

Newton var fyrstur til að leggja til hin þrjú lögmál hreyfingar (tregðulögmálið, annað lögmálið sem nefnt er að ofan, og lögmálið um átak og gagntak) og sanna að þessi lögmál stýrðu bæði hlutum á jörðunni og í geimnum.

Newton þróaði líka örsmæðareikninginn sem er nauðsynlegur til að framkvæma þá útreikninga sem þörf er fyrir í klassískri aflfræði.

Eftir Newton varð viðfangsefnið meira stærðfræðilegt og sértækt.