Frumtala

**Frumtala** (eða **prímtala**) er náttúruleg tala, sem er stærri en 1 og er ekki margfeldi tveggja smærri náttúrulegra talna. Talan 1 er ekki skilgreind sem frumtala þar sem hún er eining og gengur því upp í sérhverja náttúrulega tölu. Samsettar tölur (eða þáttanlegar tölur) eru andstæður frumtalna en það eru tölur sem hafa jákvæðan deili annan en 1 og sjálfa sig.

## Nokkrar staðreyndir um frumtölur
* Þær frumtölur sem eru lægri en 100 eru: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
* Til eru óendanlega margar frumtölur. Ef svo væri ekki getum við látið P = \{ p_1, p_2, \dots, p_n \} tákna mengi með endanlegan fjölda staka sem innihéldi allar frumtölurnar. Skoðum töluna t = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n + 1. Sérhver frumtala í P skilar þá 1 í leif þegar henni er deilt í t. En þá er t annað hvort frumtala sjálf sem er stærri en þær sem eru í P, eða þá að hún er margfeldi frumtalna sem eru ekki meðal þeirra í P. Hvoru tveggja er mótsögn, svo það fær ekki staðist að P sé mengi allra frumtalna. Þessi sönnun er kennd við Evklíð og byggir á annarri sönnun, undirstöðusetningu reikningslistarinnar, um að allar náttúrlegar tölur stærri en 2 megi rita sem margfeldi frumtalna.
* Það hefur ekki fundist lokuð formúla fyrir frumtölur. Stærsta frumtala sem fundist hefur er Mersenne frumtalan 2^{57885161}-1, sem fannst árið 2013. (Upplýsingar frá nóvember 2015, en.W).
* Frumtölur sem eru samliggjandi oddatölur, eins og til dæmis 17 og 19, 71 og 73 o.s.frv., eru nefndar **tvíburafrumtölur** (enska: twin primes).
* Tala í tugakerfinu sem endar á 5 eða sléttri tölu getur ekki verið frumtala (nema hún sé 2 og 5). Ef þversumma tölunnar er deilanleg með 3 þá er talan sjálf deilanleg með 3. (T.d. er talan 5217 deilanleg með 3 því 5+2+1+7=15 er deilanleg með 3).
* Sé deilt með 6 í frumtölu, sem er stærri en 5, verður afgangurinn alltaf annað hvort 1 eða 5. Því ef leifin er slétt er talan sjálf slétt, og ef afgangurinn er 3 má deila tölunni sjálfri með 3.
* Litla setning Fermats segir að ef p er frumtala, og a er ósamþátta p, þá er a^{p-1} \equiv 1 (\text{mod } p). Hún er gjarnan notuð til að sýna fram á að tala sé ekki frumtala. Almennari útgáfa hennar er notuð til að sýna fram á virkni RSA dulkóðunarkerfisins.
* Með frumþáttun má finna frumþætti náttúrlegra talna, en frumþættirnir eru einstakir fyrir hverja tölu.

## Vöxtur frumtalna og umfang reikninga
* Ef við lítum á p_1, p_2, \dots sem óendanlega runu frumtalna, þá segir frumtalnasetningin okkur að frumtalan p_n sé u.þ.b. n \cdot \ln(n), og að matið batnar eftir því sem n stækkar.
* Þær eru mikið notaðar í dulkóðun. Sem dæmi eru þær undirstaða öryggis RSA reikniritsins, þar sem það að þátta tölu er talið vera erfitt og núverandi aðferðir ganga út á að hreinlega prófa alla mögulega þætti (sjá hér að neðan).
* Hægt er að ganga úr skugga um hvort tala t sé frumtala með því að prófa að deila sérhverri frumtölu p \leq \sqrt{t} í t og athuga hvort leifin sé 0. Það nægir að athuga frumtölur á þessu bili ef þær upplýsingar eru til staðar. Sem dæmi er hægt að athuga hvort talan 143 sé frumtala með því skoða hvort einhver frumtalnanna 2, 3, 5, 7 og 11 gangi upp í 143. Við skoðum ekki 13 þar sem \sqrt{t} . Í ljós kemur að 11 gengur 13 sinnum upp í 143, svo talan er ekki frumtala. Ástæðan fyrir því að kvarðatrótin nægir er sú að ef einhver tala b > \sqrt{t} gengur upp í t, þá er talan a = \frac t b  svo leit okkar fram að kvarðatrótinni af t myndi finna þáttinn a.
* Reikniritið að ofan tekur O(\sqrt{n}) tíma sem er ekki margliða í stærð inntaksins (þ.e. fjöldi bita í n). Árið 2004 sýndu þrír nemendur við IIT Kanpur, þeir Agrawal, Kayal og Saxena, fram á að unnt er að athuga hvort tala sé frumtala eða ekki í tíma sem er margliða í fjölda bita í n.

Talið er að zetufall Riemanns geti gefið mikilvægar upplýsingar um dreifingu frumtalna.

## Heimildir
* Manindra Agrawal, Neeraj Kayal og Nitin Saxena. „PRIMES is in P“, *Annals of Mathematics*, **160 (2)** (2004): bls. 781-793.

## Tenglar
* Fun With Prime Numbers