Fylki (stærðfræði)

**Fylki** í stærðfræði á við *[[stærðfærðilegt viðfang]]*, sem samanstendur úr stæðum, t.d. tölum eða föllum, og lýtur línlegri algebru. Almennt má túlka fylki sem töflu, þar sem hver hólf töflunnar hefur eitt stak. Stærð fylkis er *fjöldi lína × fjöldi dálka*, þannig að *2×3* fylki hefur tvær línur og þrjá dálka. *m×n* fylki yrði skrifað svona:

:
\left[ \begin{matrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{matrix} \right]


þar sem að a_{ij} er talan í *i*-tu röð og *j*-ta dálki. Hver tala í fylkinu er kallað stak. Hægt er að túlka eina línu sem *m*-víðan vigur, eða einn dálk sem *n*-víðan vigur. Þá er vigur línu kallaður **línuvigur** og vigur dálks kallaður **dálkvigur**. Út frá þessu má leiða skilgreininguna að *fylki er röðuð [[n-nd|*n*-nd]] vigra*, rétt eins og vigur er röðuð *n*-nd talna.

Ef fylki hefur jafn marga dálka og línur (*n×n*) er það kallað **ferningsfylki** eða **ferningslaga fylki**. Ef stökin á hornalínunni (frá efra vinstra horni að neðra hægra horni) eru einu stökin sem hafa ekki gildið 0, þá er fylkið kallað **[[hornalínufylki]]**. Ef stökin ofan við aðalhornalínuna eru öll núll, en ekki neðan við hana, þá kallast fylkið **[[neðra þríhyrningsfylki]]**. Öfugt gildir, að ef stökin neðan við aðalhornalínuna eru öll núll en ekki ofan við hana, þá er fylkið **[[efra þríhyrningsfylki]]**. 

Hér eru nokkur dæmi um fylki:

## Reikniaðgerðir fylkja
### Samlagning
Leggja má fylki saman ef og aðeins ef að þau eru jafn stór. Þá eru samsvarandi stök lögð saman með einföldum hætti:


\left[ \begin{matrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{matrix} \right] +

\left[ \begin{matrix}
 b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
 b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{matrix} \right] =

\left[ \begin{matrix}
 a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{11} \\
 a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{11} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\
\end{matrix} \right]


**Dæmi:**
:\left[ \begin{matrix} 5 & 2 \\ 1 & 7 \\ 3 & 6 \end{matrix} \right]
+ \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 0 & 4 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right]
= \left[ \begin{matrix} 8 & 3 \\ 1 & 11 \\ 11 & 15 \end{matrix} \right]


### Margföldun

Hægt er að margfalda saman tvö fylki því og þá aðeins að fjöldi dálka í fyrra fylkinu sé jafn fjölda lína í seinna fylkinu. Þ.e., hægt er að margfalda saman *m×r* fylki og *r×n* fylki. Köllum slík fylki A og B. Þá er hægt að margfalda saman A og B: AB.

Varúðar skal gætt við margföldun fylkja, þar sem að víxlregla gildir ekki um margföldun þeirra: AB \ne BA. Margföldun BA er heldur ekki möguleg nema að m = n, í þessu dæmi. Þó svo að margföldun sé ekki víxlin eru til tilfelli þar sem að tvö fylki margfölduð saman skila sömu niðurstöðu á hvorn vegin sem margfaldað er, en það er hrein tilviljun.

Margfeldi fylkja er skilgreind þannig að fyrir A\cdot B = C er stakið c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i1}b_{1j} + ... + a_{r1}b_{rj} . Þ.e., stakið jafngildir innfeldinu af *i*-ta línuvigrinum í A og *j*-ta dálkvigrinum í B.

**Reiknireglur margföldunar eru:**
* A(BC) = (AB)C (tengiregla)
* t(AB) = (tA)B = A(tB) = (AB)t (tengiregla; *t* er rauntala)
* A(B + C) = AB + AC (dreifiregla)
* (A + B)C = AC + BC (dreifiregla)

### Aðrar aðgerðir
Deiling fylkja er ekki skilgreind.

## Andhverfa fylkja
*Aðalgrein: [[Andhverfanlegt fylki]]*

Ferningsfylki er eina tegund fylkja sem geta átt sér andhverfu, en með því skilyrði að ákveða fylkisins sé ekki núll og að metorð þess sé jafnt stærðinni (*n*). Ýmis önnur jafngild skilyrði eru til staðar. Sé ferningsfylki margfaldað við andhverfu fæst einingarfylki.

## Saga fylkja
Fylki voru fyrst notuð af Gottfried Wilhelm von Leibniz á 17. öld. William Hamilton notaði fylki við skilgreiningu á fertölum.

## Tengt efni
* Bylting fylkis
* LU-þáttun
* Núllvalda fylki
* Frumfylki
* Línuleg jöfnuhneppi
* Þríhyrningsfylki