Ræðar tölur

**Ræðar tölur** er talnamengi þeirra talna, sem tákna má sem hlutfall tveggja heilla talna þar sem seinni talan er ekki núll. Mengi þetta er táknað með stafnum \mathbb{Q} sem stendur fyrir „Quotient“ eða hlutfall á íslensku og er skilgreint með mengjaskilgreiningarhætti á eftirfarandi hátt:

:\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z} \land n \in \mathbb{Z} \land n \ne 0 \right\}

Ræðu tölurnar eru þétt hlutmengi í mengi rauntalna. Það þýðir að sérhver rauntala er markgildi samleitinnar runu af ræðum tölum. Með öðrum orðum þýðir það í hversu lítilli grennd um hverja rauntölu sem vera skal má finna ræðar tölur.

## Teljanleiki

Mengi ræðra talna er teljanlegt, sem unnt er að ímynda sér að hægt sé að stilla ræðu tölunum upp í röð. Formlegar þýðir það að unnt að smíða átæka vörpun frá \mathbb{Q} til \mathbb{N}. Þessi merkilegi eiginleiki blasir þó ekki við. Eitt af vandamálunum er að sérhver ræð tala hefur óendanlega margar jafngildar framsetningar, t.d. er 2 / 3 = 4 / 6 = 8 / 12 = \cdots.

Ein leið til að telja það hlutmengi ræðu talnanna sem er hlutfall tveggja jákvæðra heiltalna er með dúfustélsaðferð Cantors:

:
\begin{matrix}
\frac 1 1  & \rightarrow & \frac 1 2 &             & \frac 1 3  & \rightarrow & \frac 1 4  &        \\
           & \swarrow    &           & \nearrow    &            & \swarrow    &            &        \\
\frac 2 1  &             & \frac 2 2 &             & \frac 2 3  &             & \ddots     &        \\
\downarrow & \nearrow    &           & \swarrow    &            &             &            &        \\
\frac 3 1  &             & \frac 3 2 &             & \ddots     &             &            &        \\
           & \swarrow    &           &             &            &             &            &        \\
\frac 4 1  &             & \ddots    &             &            &             &            &        \\
\downarrow &             &           &             &            &             &            &        \\
\vdots     &             &           &             &            &             &            &
\end{matrix}


Upptalningin okkar á þessu hlutmengi í \mathbb{Q} væri þá eftirfarandi:
:1 ↔ \frac{1}{1},  2 ↔ \frac{1}{2},  3 ↔ \frac{2}{1}, 4 ↔ \frac{3}{1}, 5 ↔ \frac{2}{2},  6 ↔ \frac{1}{3}, o.s.frv.

Glöggur lesandi sér þó að með þessu erum við að margnúmera sumar ræðu talnanna, t.d. er \frac{1}{1} = \frac{2}{2}. Við getum þó lagað vörpunina okkar með því að númera tvær jafngildar ræðar tölur aðeins einu sinni. Í okkar tilfelli myndum við t.d. sleppa að varpa \frac{2}{2} í 5.

Að vísu höfum við með þessu ekki sýnt fram á að allt mengið \mathbb{Q} sé teljanlegt, en hugmyndin er sú sama. Eins og með svo margt annað í stærðfræðinni ráðumst við ekki beint á þetta vandamál með því að smíða vörpun með flókinni forskrift, heldur er vandamálið leyst í smærri og einfaldari verkefnum. Til að sýna fram á teljanleika \mathbb{Q} myndum við fyrst sýna fram á teljanleika \mathbb{N} \times \mathbb{N} með dúfustélsaðferðinni. Með því að sýna að sammengi tveggja teljanlegra mengja sé teljanlegt fæst svo að þar sem \mathbb{N} og eðlilega -\mathbb{N} eru teljanleg að \mathbb{Z} er teljanlegt. Þá má nota sér þessar stoðir til að sýna að \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} sé teljanlegt og því \mathbb{Q}.

## Tengt efni
* Almenn brot
* Rauntölur
* Stofnbrot, almenn brot þar sem teljarinn er einn og nefnarinn er jákvæð heiltala, til dæmis \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{45} eða \tfrac{1}{7}
* Óræðar tölur

## Tenglar
*