Þríhyrningur

**Þríhyrningur** er tvívíð rúmmynd, sem myndast af þremur punktum, sem ekki eru á beinni línu. Þríhyrningar hafa þrjá *hornpunkta* og þrjár *hliðar* og stysta hliðin liggur andspænis hvassasta horninu og stærsta hliðin á móti gleiðasta horninu.

## Gerðir þríhyrninga
* Þríhyrningur, sem hefur allar hliðarnar jafnlangar, kallast jafnhliða þríhyrningur. Í slíkum þríhyrningi eru öll hornin jafnstór. 
* Séu tvær hliðanna jafnlangar en sú þriðja af annarri lengd, kallast hann ***jafnarma þríhyrningur***. 
* Þríhyrningur sem hefur þrjár mismunandi hliðarlengdir (og þar af leiðandi þrjár mismunandi hornastærðir) kallast ***ójafnarma þríhyrningur***. 







JafnhliðaJafnarmaÓjafnarma



* Sé stærsta hornið í þríhyrningi hvasst (90°) kallast hann ***gleiðhyrndur***.








RétthyrndurGleiðhyrndurHvasshyrndur


&nbsp;\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{}


&nbsp;Skáhyrndir



Mikilvægasta gerð þríhyrninga eru rétthyrndir þríhyrningar. Öllum þríhyrningum, hvort sem þeir eru rétthyrndir eða ekki, er unnt að skipta í tvo rétthyrnda þríhyrninga með því að draga hæð frá stærsta horninu.

## Einslaga þríhyrningar
Ef tveir þríhyrningar hafa jafn stór horn, kallast þeir **[[einslögun|einslaga]]** eða **einshyrndir þríhyrningar**; hliðarnar þurfa ekki að vera jafn langar, en í einslaga þríhyrningum eru hlutföll á milli samsvarandi hliða jöfn.

Út frá einslaga rétthyrndum þríhyrningum er fundin skilgreining hornafallanna og nokkrar reglur um samband skammhliðanna og hæðar á langhlið, skammhliðar, langhliðar og ofanvarps skammhliðarinnar á langhliðina og samband skammhliðanna við langhlið (regla Pýþagórasar).

Þríhyrningar eru að jafnaði merktir þannig, að hornpunktar þeirra eru táknaðir með upphafsstöfunum A, B og C. Sú hlið, sem liggur á móti hornpunktinum A (á milli B og C) er táknuð með a. Hliðin á móti B er táknuð með b og sú sem er á móti C er táknuð með c. Ef þríhyrningurinn er rétthyrndur er C að jafnaði notað á rétta hornið (C=90°). Góð venja er að merkja minnsta hornið með A og stærsta hornið með C, en það er að sjálfsögðu ekki nauðsynlegt. Sé þessi aðferð notuð er einfalt að leiða í ljós að **60°< C < 180°**, það er að segja að stærð stærsta horns í þríhyrningi er alltaf meiri en 60° og minni en 180°. Hornasumma þríhyrnings er 180°, **A+B+C=180°**.

## Flatarmál þríhyrnings
Flatarmál þríhyrnings er afskaplega mikilvægt í flatarmyndafræði, vegna þess að öllum tvívíðum myndum, sem hafa beinar hliðarlínur, má skipta niður í þríhyrninga. Þess vegna er hægt að reikna flatarmál allra slíkra mynda ef hægt er að reikna flatarmál þríhyrninga almennt.
Hér verður lýst nokkrum aðferðum til þess að finna flatarmál þríhyrnings:
* Séu ***grunnlína*** (g) og ***hæð*** á hana (h) þekktar, finnst flatarmálið sem **F=gh/2** (grunnlína sinnum hæð deilt með tveimur).
* Séu ***tvær hliðar*** þekktar og ***stærð hornsins á milli þeirra*** (segjum b og c og hornið A), finnst flatarmálið sem **F=bc sin(A)/2** (hálft margfeldi tveggja hliða og sínuss af horninu á milli þeirra).
* Séu ***hnit hornpunkta þríhyrningsins*** gefin, má finna tvo vigra sem hafa sama upphafspunkt og liggja eftir hliðum þríhyrningsins, t. d. vigrana **AB** og **AC**. Flatarmálið er hálft krossmargfeldi þessara vigra, það er að segja **F=|AB||AC|sin(A)/2**, þar sem táknið **|AB|** þýðir lengd vigursins **AB**.
* Séu ***lengdir allra hliða*** þekktar, a, b og c er hægt að nota reglu Herons. Þá er fyrst fundið hálft ummál þríhyrningsins (a+b+c)/2 og það kallað s. Síðan er flatarmálið reiknað þannig: **F=[s(s-a)(s-b)(s-c)]<sup>0,5</sup>**.

Fleiri aðferðir eru til, til dæmis er hægt að nota ákveðu fylkis.

.

## Punktar, línur og hringir í sambandi við þríhyrning
* Lína, sem dregin er frá hornpunkti, hornrétt á hliðina á móti því horni, kallast ***hæð***. Í sérhverjum þríhyrningi eru þrjár hæðir, sem allar skerast í einum punkti. Sá punktur kallast ***miðja*** (orthocenter) þríhyrningsins og er að jafnaði merktur með O. 
* Lína, sem dregin er frá hornpunkti til miðpunkts mótlægrar hliðar, kallast ***miðlína***. Í sérhverjum þríhyrningi eru þrjár miðlínur, sem skerast allar í sama punkti. Sá punktur kallast ***þyngdarpunktur*** (centroid) eða ***massamiðja*** þríhyrningsins.
* Lína, sem dregin er frá hornpunkti þannig að hún skipti horninu í tvo jafna hluta, kallast ***helmingalína*** hornsins. Í hverjum þríhyrningi eru augljóslega þrjár helmingalínur. Þær skerast allar í einum punkti. Sá punktur er miðpunktur innritaðs hrings, sem snertir allar hliðar þríhyrningsins innanvert.
* Lína, sem dregin er hornrétt á hlið í gegnum miðpunkt hennar, kallast ***miðnormall***. Miðnormalar eru þrír og skerast allir í sama punkti. Sá punktur er miðpunktur umritaðs hrings, sem sker alla hornpunkta þríhyrningsins.

## Níu punkta hringur
Í gegnum fótpunkta hæðanna og miðpunkta hliðanna gengur hringur, sem kallast ***níu punkta hringur*** eða Feuerbach-hringur. Hann gengur einnig í gegnum þá þrjá punkta, sem eru mitt á milli O og hornpunkta þríhyrningsins (O=orthocenter, skurðpunktur allra hæðanna).

## Euler-lína
Þyngdarpunkturinn, skurðpunktur hæðanna, skurðpunktur miðnormalanna og miðpunktur Feuerbach-hringsins liggja allir á einni og sömu línunni, sem kennd er við stærðfræðinginn Leonhard Euler, og kallast Euler-lína. Skurðpunktur helmingalínanna (= miðpunktur innritaða hringsins) liggur venjulega ekki á Euler-línunni.

## Formúlur

### Flatarmál

F = \frac{g\cdot h} 2

## Heimildir

*