Afleiða (stærðfræði)

**Afleiða** falls af rauntölubreytistærð lýsir því hve ört fallgildi (úttak fallsins) breytist þegar breytistærðin (inntak falls) er örlítið hreyfð. Hún er því mælikvarði á breytingarhraða fallsins. Afleiður eru eitt af grunntækjum örsmæðareiknings og gegna mikilvægu hlutverki í fjölmörgum vísindagreinum, meðal annars eðlisfræði. 

Ein algeng hagnýting afleiða er tengd hreyfingu: Afleiða staðsetningar hluts með tilliti til tíma gefur hraða hans, þ.e hve hratt staðsetningin breytist þegar tími líður.

Afleiða falls af einni breytistærð í tilteknum punkti, ef hún er skilgreind þar, er hallatala snertilsins við feril fallsins í þeim punkti. Snertillinn veitir bestu línulega nálgunina á fallinu nær þessu inntaksgildi.  Afleiða er því oft túlkuð sem augnablikshraði, þ.e.a.s. hlutfall milli augnabliksbreytingu í háðu breytunni (fallgildinu) og augnabliksbreytingu óháðu breytunnar (breytistærðarinnar).

Afleiður falla eru reiknaðar með aðgerð sem kallast **deildun** (einnig nefnd diffrun). Andhverfa þessarar aðgerðar kallast öfug deildun eða óákveðin heildun, og felst í því að finna stofnfall. Undirstöðusetning örsmæðareiknings tengir saman deildun og heildun með því að sýna að deildun stofnfalla skili upphaflega fallinu. Deildun og heildun eru tvær grunnmeginaðferðir í örsmæðareikningi fyrir föll af einni breytistærð.

## Skilgreining

### Rithættir
Tveir mismunandi rithættir eru venjulega notaðir fyrir afleiðureikning. Þessir rithættir eru Leibniz rithátturinn sem er kenndur við Gottfried Wilhelm von Leibniz, og Lagrange rithátturinn sem er kenndur við Joseph-Louis Lagrange.

Í Leibniz rithættinum er örsmæðabreyting á x er táknuð sem dx og afleiðan af y
 m.t.t. x er skrifuð sem \frac{dy}{dx} sem gefur til kynna hlutfall milli tveggja örsmæðastærða.

Í Lagrange rithættinum er afleiða fallsins f m.t.t. breytistærðar x táknuð sem f'(x) eða f_x'(x). Lagrange rithátturinn er stundum ranglega kenndur við Newton.

### Formleg skilgreining
Látum f vera raungilt fall skilgreint á opnu bilinu í kringum punktinn a. Ef eftirfarandi markgildi er til:

\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

þá er f sagt vera deildanlegt (diffranlegt) í punktinum a og afleiða f í punktinum a er jafngilt markgildinu. Þ.e.a.s.

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

þar sem f'(a) er notað til að tákna afleiðu f í punktinum a (Lagrange rithátturinn).

Hins vegar, ef markgildið er ekki til, þá er f sagt vera ódeildanlegt (ódiffranlegt) í punktinum a og að það sé ekki til afleiða fyrir f í punktinum a.

### Annað form markgildisins
Stundum eru afleiður skilgreindar með eftirfarandi markgildi í stað markgildisins sem er gefið í formlegu skilgreiningunni að ofan:

\lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

Athugið að þetta markgildi er jafngilt markgildinu að ofan þ.a. skilgreiningarnar með þessu eða fyrra markgildinu eru jafngildar.

## Eiginleikar afleiða

### Tengsl milli samfelldni og deildanleika falla
Ef fall f er deildanlegt í punkti a, þá er það líka samfellt í punkti a.

Athugið hins vegar að það öfuga gildir ekki alltaf. Þ.e.a.s. ef fall f er samfellt í punkti a, þá er það ekki endilega deildanlegt í punkti a. Til dæmis má nefna að algildisfallið f(x)=|x| er samfellt en ekki deildanlegt í punkti 0 og Weierstrassfallið sem er samfellt en ekki deildanlegt á öllum rauntalnaásnum.

### Hærri-stigs afleiður
Látum f vera deildanlegt fall og látum f' vera afleiða þess. Afleiða f' er rituð sem f*</math> með rithætti Lagrange, ef afleiðan sjálf er deildanleg, og kallast annars-stigs afleiða <math>f</math>. Á sama hátt er afleiða seinni afleiðunnar rituð sem <math>f*', ef seinni afleiðan er sjálf deildanleg, og kallast þriðja-stigs afleiða f. Þannig kolli af kolli má skilgreina n-ta stigs afleiðuna af f sem afleiðuna af (n-1)-ta-stigs afleiðu f, ef hún er til, og hún er rituð sem f^{(n)}með rithætti Lagrange. Gefið að þær eru til, f*, f*', f^{(4)},f^{(5)}, ..., f^{(n-1)}, f^{(n)} eru kallaðar hærri-stigs afleiður.

### Beygjuskilapunktar
Punktar þar sem seinni-stigs afleiða falls breytir um formerki kallast beygjuskilapunktur. Á beygjuskilapunktinum er seinni-stigs afleiðan annað hvort 0 eða ekki til. Á beygjuskilapunkti færist fall frá því að vera kúpt yfir í að vera hvelft, eða öfugt.

## Reiknireglur
Hægt er að reikna afleiðu falls útfrá markgildisskilgreiningunni. Hins vegar er hægt að nýta sér styttri leiðir til að reikna afleiður með því að notfæra sér þekktar afleiður algengra falla ásamt deildunarreglum fyrir samsett föll. 

### Afleiður algengra falla

#### Veldaföll
Fallið f(x) = x^r þar sem r er rauntala hefur afleiðu f'(x) = rx^{r-1}.

#### Vísis- og lograföll

* Fallið f(x) = e^x hefur afleiðu f'(x) = e^x.
* Fallið f(x) = a^x hefur afleiðu f'(x) = a^x \ln(a).
* Fallið f(x) = \ln (x) hefur afleiðu f'(x) = \frac{1}{x} fyrir öll x > 0.
* Fallið f(x) = \log_a (x) hefur afleiðu f'(x) = \frac{1}{x\ln(a)} fyrir öll x > 0.

#### Hornaföll

* Fallið f(x) = \sin(x) hefur afleiðu f'(x) = \cos(x).
* Fallið f(x) = \cos(x) hefur afleiðu f'(x) = -\sin(x).
* Fallið f(x) = \tan(x) hefur afleiðu f'(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x).

#### Andhverf hornaföll

* Fallið f(x) = \arcsin(x) hefur afleiðu f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} fyrir öll x \in (-1, 1).
* Fallið f(x) = \arccos(x) hefur afleiðu f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} fyrir öll x \in (-1, 1).
* Fallið f(x) = \arctan(x) hefur afleiðu f'(x) = \frac{1}{1+x^2}.

### Deildunarreglur fyrir samsett föll

#### Fastareglan
Ef f(x) er fasti, þá er f'(x) = 0.

#### Summureglan
Látum f(x) = \alpha g(x) + \beta h(x) þar sem \alpha og \beta eru fastar. Þá er afleiðan f'(x) = \alpha g'(x) + \beta h'(x).

#### [[Margfeldisregla|Margfeldisreglan]]
Látum f(x) = g(x)h(x). Þá er afleiðan f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x).

#### [[Brotaregla|Brotareglan]]
Látum f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}. Þá er afleiðan f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^2} fyrir öll föll g og h þar sem h(x) \neq 0.

#### [[Keðjuregla|Keðjureglan]]
Látum f(x) = g(h(x)). Þá er afleiðan f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x).

## Tenglar

* Kennsluefni um afleiður úr kúrsinum Stærðfræðigreiningu I sem er kenndur í HÍ 
* *[https://www.visindavefur.is/svar.php?id=148 Hvað er heildun og deildun og hvernig nýtast þær í leik og starfi]*