Derivajo

En matematiko, la **derivajo** di funciono en punto es la signata mezuro dil rapideso a qua ta funciono chanjas kande sua varianto chanjas. Por funcioni kun multa varianti, on dicas dil partala derivajo per raporto a l’un di sua varianti.

Sur la grafo di la funciono, to korespondas a sua inklineso en ta punto.

## Formala defino

Sive f reala funciono kun reala valori.

On apelas *procento di augmento di <math>f</math> en <math>x_0</math>* la quanto :

:t_{x_0}(h) = {f(x_0+h)-f(x_0) \over h}

Kad t_{x_0}(h) havas limito kande h tendencas vers 0, on dicas ke f es derivebla en x_0, e sua derivajo egalesas la limito di ta procento ce di augmento. On notas lore :

:f'(x_0) = \lim_{h \to 0} t_{x_0}(h) = \lim_{h \to 0}{f(x_0+h)-f(x_0) \over h}

Funciono per qua la derivajo existas en punto es dicinta derivebla en ta punto.

La derivajo povas anke esar definita sur da funcioni altra ke reala a reala valori.

Exemple, reala funciono f kun valori en \R^n, es derivebla en x_0 se e sole se omna sua koordinati es derivebla en x_0 ; e sua derivajo es la funciono do la koordinati es la derivadi di koordinati di f.

## Funciono derivajo

La derivadala es ante locala nociono (derivadala en punto), ma se funciono es derivebla sur omna intervalo, on povas definar sua *derivadala funciono* sur l'intervalo en questiono. La derivadala funciono, notita f'\, (pronuncita *« f prime »*) o \frac{df}{dx}, mantenas en tota punti la valoro dil derivajo di f\, en ta punto.

Funciono egala a sua derivajo es nomizita exponentala funciono.

f'(x)\, povas facile kalkular su de expresiono f(x)\, uzanta mikra nombro di algebrala normi deduktita dil defino donita ante. La normi plu ordinare uzata esas:

## derivajo di ordinara funcioni
### derivajo di funcioni potenco, log, exp

### Derivadi des [[trigonometrika funciono|trigonometrika funcioni]]

* Se f(x) = \sin(x)\, alors f'(x) = \cos(x)\,
Demonstro :

* Se f(x) = \cos (x)\, alors f'(x) = -\sin (x)\,
Demonstro :

* Se f(x) = \tan(x)\, alors f'(x) = \sec^2 (x)\,
Demonstro :
* Se f(x) = \operatorname{cotan} (x)\, alors f'(x) = -\operatorname{cosec}^2 (x)\,
Demonstro :
* Se f(x) = \sec (x)\, alors f'(x) = \sec (x) \cdot \tan (x)\,
Demonstro :
* Se f(x) = \operatorname{cosec} (x)\, lore f'(x) = -\operatorname{cosec} (x) \cdot \operatorname{cotan} (x)\,

### Derivadi dil inverso di trigonometrika funciono

* Se f(x) = \arcsin(x)\,, lore f'(x) = {1 \over \sqrt{1-x^2}}
* Se f(x) = \arcsin(\varphi(x))\,, lore f'(x) = {\phi'(x) \over{\sqrt{1-\phi (x)^2}}} 
* Se f(x) = \arccos(x)\,, lore f'(x) = {-1 \over \sqrt{1-x^2}}
* Se f(x) = \arccos(\varphi(x))\,, lore f'(x) = {-\phi'(x) \over{\sqrt{1-\phi (x)^2}}} 
* Se f(x) = \arctan(x)\,, lore f'(x) = {1 \over{1+x^2}}
* Se f(x) = \arctan(\varphi(x))\,, lore f'(x) = {\phi'(x) \over{1+\phi(x) ^2}} 

## derivajo di ordino n

On definas la derivajo di ordino n per funciono n foye derivebla per rekurenta:

\frac{d^{n+1}f}{dx^{n+1}}=\frac{d}{dx} \frac{d^n f}{dx^n}

\frac{d^n f}{dx^n} es egale notita f^{(n)}.

### formulizo di Leibniz

Se f, g esas de la funcioni n foye derivebla, lore :

(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} { n \choose k } f^{(k)}g^{(n-k)}.

En partikulara per n=2, 
:(fg)*=f*g+2f'g'+fg*\,\!</math>.

Notez la notinda analogeso kun la formulizo pri la binomio di Newton.

=== Notizo di Leibniz ===

== Derivadi di procento di ligita varieso ==

=== La derivadi en fiziko, en kemio ed en geometrio ===

== Analiso di funciono derivajo ==

Trovinta la valori di x ube derivajo valas 0 o ne existas, trovesas la [[krizala nombro|krizala nombri]] di la funciono. La krizala nombro di f posibligas trovar implicite sua maximi e sua minimi. A efektigar la [[testo dil prima derivajo]], on konstruktas [[tabelo di varianto]] ; se la signalilo di la funciono derivajo pasas di plu a min ante krizala nombro, on havas maximo e se la signalilo di la funciono derivajo pasas di min a plu ante la krizala nombro, on havas minimo.
Pluse, kande la signalilo dil prima derivajo es pozitiva, la funciono acensas ; se ol es negativa, ol decensas. On ne konkluzas nulo se a krizala punto la funciono ne chanjas lua signalilo. En derivadinta la prima derivajo, on havas la [[duesma derivajo]]. A efektigar la [[testo dil duesma derivajo]], trovesas la krizala nombri dil prima derivajo per lokizar en mem tabelo ; kande on observas chanjeso di signalilo dil duesma derivajo ante to krizala nombro o nombri, on dicas ke on havas un (o di) [[punto di inflexo]]. La punto di inflexo markizas chanjeso dil konkaveso di la funciono derivajo. Pozitiva signalilo dil duesma derivajo signifikas ke la funciono es *'konkava adsupre** e negativa signalilo dil duesma derivajo signifikas ke la funciono es **konkava adinfre'''.
 
Kande konocesas la chanji en la konkaveso e l'extremi di la funcioni, do on povas trovar skiso di grafiko.

## derivajo ed optimiseso

Metodo por maxim bone uzar rendimento per helpo di diferenciala kalkulo:

1ma - Matematikala

a) Defini e desegno : on definas la ne-konocata varianti ed on reprezentas li sur skemo.

b) Skribas la objektala funciono a du varianti e precizigar se on riserchas maximo o minimo en la donita situo.

c) trovar la relato inter la du varianti.

d) Skribas la objektala funciono a un varianto e precizigar la domeno di la funciono.

2ma - Analiso.

a) Derivar la funciono por obtenar la prima derivajo.

b) trovar la krizala nombri di la funciono, ube la prima derivajo valas zero o ne existas en la intervali di domeno.

c) Efektigar la testo dil prima derivajo o la testo dil duesma derivajo por determinar la maximo o la minimo dil situo.

3ma - On formulizas la respondo di konciza fasono por raporto a la questiono.

## Derivadi ed asimptoti

Tanta foye kam on determinas l'asimptoti di la funciono, on povas notar li en la tabelo di varieso por trasar adequate la skiso dil grafiko.