Aksioma peluang

**Aksioma peluang** standar adalah fondasi dari teori peluang yang diperkenalkan oleh matematikawan Andrey Kolmogorov pada tahun 1933. Aksioma-aksioma ini tetap menjadi pokok dan memiliki kontribusi langsung pada matematika, ilmu fisika, dan kasus-kasus peluang dalam kehidupan nyata.

Terdapat beberapa pendekatan lainnya (yang ekuivalen) dalam memformalkan peluang. Para ahli Bayesian sering kali memotivasi aksioma Kolmogorov dengan menggunakan teorema Cox sebagai gantinya.

## Aksioma Kolmogorov
Aksioma Kolmogorov dapat dirangkum sebagai berikut: Diberikan suatu ruang ukuran \left( X, \, \mathcal{F}, \, P \right), dengan P \! \left( A \right) menyatakan peluang terjadinya kejadian A dan P \! \left( X \right) = 1, maka tripel \left( X, \, \mathcal{F}, \, P \right) adalah ruang peluang, dengan X sebagai ruang sampel, \mathcal{F} sebagai ruang kejadian, dan P sebagai ukuran peluang.

### Tak negatif
Peluang dari suatu kejadian adalah suatu bilangan riil tak negatif.
P \! \left( A \right) \geq 0 \qquad \forall A \in \mathcal{F}

Teori yang mengunakan nilai peluang negatif melonggarkan aksioma pertama.

### Unitaritas
Peluang terjadinya suatu kejadian sederhana pada ruang sampel ialah 1.
P \! \left( X \right) = 1

Dengan menggabungkan aksioma pertama dan kedua, maka nilai peluang P \! \left( A \right) pasti berhingga, berbeda dengan teori ukur secara umum.

### [[fungsi himpunan aditif-sigma|Aditif-sigma]]
Setiap barisan himpunan terhitung \langle A_n \rangle yang bersifat saling lepas (atau dengan kata lain, himpunan kejadian-kejadian yang saling lepas) akan memenuhi persamaan berikut.
P \! \left( A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \ldots \right) = P \! \left( A_1 \right) + P \! \left( A_2 \right) + P \! \left( A_3 \right) + \ldots
Dengan menggunakan notasi Sigma dan notasi gabungan besar, maka
P \! \left( \bigcup_{n \, = \, 1}^{\infty} A_n \right) = \sum_{n \, = \, 1}^{\infty} P \! \left( A_n \right)

Beberapa penulis hanya mensyaratkan ruang peluang aditif berhingga, yang dalam kasus tersebut, cukup diperlukan himpunan aljabar, daripada aljabar sigma.

## Sifat-sifat peluang
Berdasarkan aksioma Kolmogorov di atas, maka dapat dibuktikan beberapa sifat peluang. Bukti dari sifat-sifat ini mengilustrasikan seberapa kuatnya aksioma ketiga, beserta interaksinya dengan dua aksioma pertama.

Diberikan suatu ruang peluang \left( X, \, \mathcal{F}, \, P \right) dan diambil sembarang A, \, B \in \mathcal{F}. Beberapa sifat peluang antara lain:

### Monoton
Jika A \subseteq B, maka
P \! \left( A \right) \leq P \! \left( B \right)

*Bukti:*

Perhatikan himpunan A dan himpunan B \setminus A. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka
\begin{array}{ccccl}
A & \cap & \left( B \setminus A \right) & = & \varnothing \\
A & \cup & \left( B \setminus A \right) & = & B \\
\hline
P \! \left( A \right) & + & P \! \left( B \setminus A \right) & = & P \! \left( B \right)
\end{array}
Pada baris kedua, gabungan dari himpunan A dan himpunan B \setminus A adalah himpunan B, sebab diketahui bahwa A \subseteq B. Berdasarkan aksioma tak negatif, maka diperoleh
\begin{align}
P \! \left( B \setminus A \right) &\geq 0 \\
P \! \left( B \right) - P \! \left( A \right) &\geq 0 \\
P \! \left( B \right) &\geq P \! \left( A \right)
\end{align}
sehingga terbukti bahwa P \! \left( A \right) \leq P \! \left( B \right) apabila A \subseteq B.

### Peluang dari himpunan kosong
P \! \left( \varnothing \right) = 0
Dalam banyak kasus, \varnothing bukanlah satu-satunya kejadian dengan nilai peluang 0.

*Bukti:*

Salah satu sifat dari himpunan kosong adalah
\varnothing \subseteq A
Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka
\begin{array}{ccccl}
A & \cap & \varnothing & = & \varnothing \\
A & \cup & \varnothing & = & A \\
\hline
P \! \left( A \right) & + & P \! \left( \varnothing \right) & = & P \! \left( A \right)
\end{array}
Dengan mengurangi kedua ruas pada persamaan di atas dengan P \! \left( A \right), maka terbukti bahwa
P \! \left( \varnothing \right) = 0

### Peluang komplemen
P \! \left( A' \right) = 1 - P \! \left( A \right)
dengan A' menyatakan komplemen dari himpunan A

*Bukti:*

Perhatikan himpunan A dan A'. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka
\begin{array}{ccccl}
A & \cap & A' & = & \varnothing \\
A & \cup & A' & = & X \\
\hline
P \! \left( A \right) & + & P \! \left( A' \right) & = & P \! \left( X \right)
\end{array}
Berdasarkan aksioma Unitaritas, maka P \! \left( X \right) = 1, sehingga persamaan di atas dapat dituliskan sebagai
\begin{align}
P \! \left( A \right) + P \! \left( A' \right) &= 1 \\
P \! \left( A' \right) &= 1 - P \! \left( A \right)
\end{align}

### Nilai numerik
0 \leq P \! \left( A \right) \leq 1

*Bukti:*

Telah diperoleh sebelumnya bahwa peluang bersifat monoton. Akibatnya,
\begin{align}
\varnothing &\subseteq A \subseteq X \\
P \! \left( \varnothing \right) &\leq P \! \left( A \right) \leq P \! \left( X \right) \\
0 &\leq P \! \left( A \right) \leq 1
\end{align}

### Aturan penjumlahan
P \! \left( A \cup B \right) = P \! \left( A \right) + P \! \left( B \right) - P \! \left( A \cap B \right)

*Bukti:*

Perhatikan himpunan A \cap B dan B \setminus A. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka didapatkan
\begin{array}{ccccl}
\left( A \cap B \right) & \cap & \left( B \setminus A \right) & = & \varnothing \\
\left( A \cap B \right) & \cup & \left( B \setminus A \right) & = & B \\
\hline
P \! \left( A \cap B \right) & + & P \! \left( B \setminus A \right) & = & P \! \left( B \right)
\end{array}

Sekarang perhatikan himpunan A dan himpunan B \setminus A. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka didapatkan
\begin{array}{ccccl}
A & \cap & \left( B \setminus A \right) & = & \varnothing \\
A & \cup & \left( B \setminus A \right) & = & A \cup B \\
\hline
P \! \left( A \right) & + & P \! \left( B \setminus A \right) & = & P \! \left( A \cup B \right)
\end{array}

Berdasarkan kedua persamaan di atas, maka diperoleh
\begin{align}
P \! \left( B \setminus A \right) + P \! \left( A \cap B \right) &= P \! \left( B \right) \\
P \! \left( B \setminus A \right) &= P \! \left( B \right) - P \! \left( A \cap B \right) \\
P \! \left( A \right) + P \! \left( B \setminus A \right) &= P \! \left( A \right) + P \! \left( B \right) - P \! \left( A \cap B \right) \\
P \! \left( A \cup B \right) &= P \! \left( A \right) + P \! \left( B \right) - P \! \left( A \cap B \right)
\end{align}

Rumus ini dapat diperluas untuk lebih dari dua himpunan, yang dikenal dengan prinsip inklusi-eksklusi.

## Lihat juga
* Aljabar Borel
* Peluang bersyarat
* Statistika Intuitif
* Teori himpunan
* Aljabar sigma

## Referensi

## Bacaan lanjutan
*  
*