Penyelesaian persamaan

Dalam matematika, **penyelesaian persamaan** atau **menyelesaikan persamaan** berarti menemukan solusinya, yang merupakan nilai (angka, fungsi, himpunan, dsb.) yang memenuhi syarat yang dinyatakan oleh persamaan, yang umumnya terdiri dari dua ekspresi yang dihubungkan dengan tanda sama dengan. Ketika mencari solusi, satu atau lebih variabel ditetapkan sebagai variabel yang *[[Indeterminisme|tidak diketahui]]*. Penyelesaian atau solusi adalah pemberian nilai kepada variabel yang tidak diketahui yang menjadikan persamaan dalam persamaan tersebut benar. Dengan kata lain, solusi adalah nilai atau kumpulan nilai (satu untuk setiap variabel yang tidak diketahui) sehingga, ketika disubstitusikan untuk variabel yang tidak diketahui, persamaan tersebut menjadi persamaan. Solusi persamaan sering disebut **akar persamaan**, khususnya, tetapi tidak hanya untuk, persamaan polinomial. Himpunan semua solusi persamaan adalah himpunan penyelesaiannya.

Persamaan dapat diselesaikan secara numerik atau simbolik. Penyelesaian persamaan secara numerik berarti bahwa hanya angka yang diterima sebagai solusi. Penyelesaian persamaan secara simbolik berarti bahwa ekspresi dapat digunakan untuk merepresentasikan solusi.

Misalnya, persamaan  dipecahkan untuk  yang tidak diketahui dengan ekspresi , karena mensubstitusikan  untuk  dalam persamaan menghasilkan , pernyataan tersebut benar. Dimungkinkan juga untuk menganggap variabel  sebagai yang tidak diketahui, dan kemudian persamaan dipecahkan dengan . Atau  dan  keduanya dapat diperlakukan sebagai yang tidak diketahui, dan kemudian ada banyak solusi untuk persamaan tersebut; solusi simboliknya adalah , di mana variabel **' dapat mengambil nilai apa pun. Membuat solusi simbolik dengan angka-angka tertentu menghasilkan solusi numerik; misalnya,  menghasilkan  (yaitu, ), dan  menghasilkan .

Perbedaan antara variabel yang diketahui dan variabel yang tidak diketahui umumnya dibuat dalam pernyataan masalah, dengan frasa seperti "persamaan dalam  dan ", atau "selesaikan untuk  dan ", yang menunjukkan variabel yang tidak diketahui, di sini  dan . Namun, umumnya **', **', **', ... dicadangkan untuk menunjukkan variabel yang tidak diketahui, dan menggunakan **', **', **, ... untuk menunjukkan variabel yang diketahui, yang sering disebut parameter. Ini biasanya terjadi ketika mempertimbangkan persamaan polinomial, seperti persamaan kuadrat. Namun, untuk beberapa masalah, semua variabel dapat berperan sebagai salah satu dari keduanya.

Tergantung pada konteksnya, penyelesaian persamaan dapat berupa pencarian solusi apa pun (cukup dengan menemukan satu solusi), semua solusi, atau solusi yang memenuhi sifat-sifat lebih lanjut, seperti termasuk dalam interval tertentu. Ketika tugasnya adalah menemukan solusi yang *terbaik* berdasarkan beberapa kriteria, ini adalah masalah optimasi. Memecahkan masalah optimasi pada umumnya tidak disebut sebagai "penyelesaian persamaan", karena, pada umumnya, metode penyelesaian dimulai dari solusi tertentu untuk menemukan solusi yang lebih baik, dan mengulangi proses tersebut hingga akhirnya menemukan solusi terbaik.

## Selayang pandang
Satu bentuk umum dari persamaan adalah sebagai berikut.
:f \left( x_1, \dots, x_n \right) = c 

dengan  adalah fungsi,  adalah variabel yang tidak diketahui, dan  adalah konstanta. Solusinya adalah elemen prabayangan fungsi (fiber) dari:

:f^{-1}(c)=\bigl\{(a_1,\dots,a_n)\in D\mid f\left(a_1,\dots,a_n\right)=c\bigr\},

dengan  adalah ranah dari fungsi . Himpunan penyelesaian dapat berupa himpunan kosong (tidak ada penyelesaian), sebuah  (hanya terdapat satu penyelesaian), hingga, atau takhingga (terdapat penyelesaian dengan jumlah takhingga).

Misalnya, sebuah persamaan seperti

:3x+2y=21z,

dengan  adalah variabel yang tidak diketahui. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mengurangi kedua ruas persamaan dengan  untuk mendapatkan:

:3x+2y-21z=0

Pada kasus ini, persamaan tersebut tidak hanya memiliki *satu* penyelesaian, tetapi himpunan penyelesaian yang berjumlah takhingga, yang dapat dituliskan dengan notasi ungkapan himpunan sebagai:

:\bigl\{(x,y,z)\mid 3x+2y-21z=0\bigr\}.

Salah satu penyelesaiannya adalah . Dua lainnya adalah  dan . Terdapat bidang unik pada ruang tiga dimensi yang menyentuh tiga titik tersebut pada sistem koordinat tersebut. Setiap titik pada bidang tersebut adalah penyelesaian dari persamaan di atas.

## Lihat pula
* Solusi yang tidak relevan dan hilang
* Persamaan simultan
* Persamaan koefisien
* Pemecahan persamaan geodesik
* Penyatuan (ilmu komputer) — memecahkan persamaan yang melibatkan ekspresi simbolik