Barisan harmonik (matematika)

Dalam matematika, **progresi harmonik** (atau **barisan harmonik**) adalah sebuah barisan yang diambil dari invers perkalian dari suatu barisan aritmetika. Secara sederhana, deret harmonik adalah barisan yang kebalikannya membentuk barisan aritmetika.

Ekuivalennya, suatu **barisan disebut barisan harmonik** jika setiap suku merupakan rata-rata harmonik dari suku-suku tetangganya.

Sebagai karakterisasi ekuivalen yang ketiga, barisan harmonik adalah urutan takhingga dari bentuk

:  \frac{1}{a},\ \frac{1}{a+d},\ \frac{1}{a+2d},\ \frac{1}{a+3d}, \cdots,

di mana *a* adalah bilangan bukan nol dan −*a*/*d* adalah bukan suatu bilangan asli, atau suatu barisan berhingga dari bentuk

:  \frac{1}{a},\ \frac{1}{a+d},\ \frac{1}{a+2d},\ \frac{1}{a+3d}, \cdots,\ \frac{1}{a+kd},

di mana *a* adalah bilangan bukan nol, *k* adalah suatu bilangan asli, dan −*a*/*d* adalah bukan suatu bilangan asli atau lebih besar dari *k.*

## Contoh
Berikut ini  adalah suatu bilangan asli, secara berurut: \ n = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots\ 

* 1, \tfrac{\ 1\ }{2},\ \tfrac{\ 1\ }{3},\ \tfrac{\ 1\ }{4},\ \tfrac{\ 1\ }{5},\ \tfrac{\ 1\ }{6},\ \ldots \ , \ \tfrac{\ 1\ }{n},\ \ldots \  dinamakan **barisan harmonik**
* 12, 6, 4, 3, \ \tfrac{12}{\ 5\ },\ 2,\ \ldots\ ,\ \tfrac{12}{\ n\ },\ \ldots\ 
* 30, −30, −10, −6, \ -\tfrac{30}{\ 7\ },\ \ldots\ ,\ \tfrac{30}{\ \left( 3\ -\ 2 n \right)\ },\ \ldots\ 
* 10, 30, −30, −10, −6, \ \ldots\ ,\ \tfrac{30}{\ \left( 5\ -\ 2 n \right)\ },\ \ldots\ 

## Jumlah dari barisan harmonik

Barisan harmonik tidak terbatas tidak dapat dijumlahkan (karena penjumlahannya takhingga).

Tidak mungkin suatu barisan harmonik dari pecahan satuan yang berbeda (selain dari kasus trivial di mana a = 1 dan k = 0) akan menghasilkan bilangan bulat. Alasannya adalah setidaknya satu penyebut dari deret tersebut akan habis dibagi oleh suatu bilangan prima yang tidak habis dibagi penyebut lainnya.

## Penggunaan dalam geometri
Jika titik-titik kolinier A, B, C, dan D sedemikian sehingga D adalah konjugat harmonik dari C terhadap A dan B, maka jarak dari salah satu titik ini ke tiga titik lainnya membentuk barisan harmonik. Secara khusus, masing-masing barisan
AC,&nbsp;AB,&nbsp;AD; BC,&nbsp;BA,&nbsp;BD; CA,&nbsp;CD,&nbsp;CB; dan DA,&nbsp;DC,&nbsp;DB adalah barisan harmonik, di mana masing-masing jarak ditandai berdasarkan orientasi garis yang tetap.

Dalam sebuah segitiga, jika garis tinggi segitiga berada dalam barisan aritmetika, maka sisi-sisinya berada dalam progresi harmonik.

## Menara miring Lire

Contoh yang sangat bagus dari barisan harmonik adalah Menara miring Lire. Di dalamnya, balok-balok yang seragam ditumpuk di atas satu sama lain untuk mencapai jarak menyamping atau lateral maksimum yang cukup. Balok-balok tersebut ditumpuk 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, … dengan jarak menyamping di bawah balok asli atau sebelumnya. Hal ini memastikan bahwa pusat gravitasi berada tepat di tengah-tengah menara sehingga tidak runtuh. Sedikit saja penambahan berat pada menara akan menyebabkan menara menjadi tidak stabil dan runtuk.

## Lihat juga

* Barisan Geometri
* Deret harmonik
* Daftar jumlah resiprokal
* Harmonisa  (dalam musik)

## Referensi

* *Mastering Technical Mathematics* by Stan Gibilisco, Norman H. Crowhurst, (2007) p.&nbsp;221
* *Standard mathematical tables* by Chemical Rubber Company (1974) p.&nbsp;102
* *Essentials of algebra for secondary schools* by Webster Wells (1897) p.&nbsp;307