Arg max

Dalam matematika, **argumen dari maksimum** (*arguments of the maxima,* disingkat sebagai **arg max** atau **argmax**), adalah titik, atau elemen, pada domain suatu fungsi yang menghasilkan nilai terbesar dari fungsi tersebut. Berbeda dengan maksimum global yang merujuk pada nilai *keluaran* terbesar dari sebuah fungsi, argmax merujuk pada nilai *input* (argumen) dari fungsi, yang ketika dievaluasi akan menghasilkan nilai keluaran terbesar fungsi tersebut.

## Definisi
Untuk sebarang himpunan X, himpunan Y dengan urutan total, dan sebuah fungsi f:X\to Y, nilai \operatorname{argmax} pada suatu subset S dari X didefinisikan sebagai \operatorname{argmax}_S f := \underset{x \in S}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{x \in S ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ untuk setiap } s \in S \}.

Pada kasus S = X atau S jelas dari konteks pembicaraan, umumnya S tidak ditulis; sebagai contoh:\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{ x ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ for all } s \in S \}.Dalam kata lain, \operatorname{argmax} merupakan himpunan titik x yang menyebabkan f(x) menghasilkan nilai maksimum (jika nilainya ada). \operatorname{Argmax} dapat berupa himpunan kosong, singleton, atau himpunan berisi banyak elemen.

Pada bidang analisis konveks dan analisis variasi, definisi yang sedikit berbeda digunakan untuk kasus khusus ketika Y = [-\infty,\infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm\infty \} adalah bilangan real yang diperluas (*extended real numbers*). Dalam kasus khusus ini, jika nilai f secara identik sama dengan \infty pada S, maka \operatorname{argmax}_S f := \varnothing (dengan kata lain, \operatorname{argmax}_S \infty := \varnothing). Sedangkan pada kasus lainnya \operatorname{argmax}_S f didefinisikan sama dengan definisi pada umumnya, yang juga dapat ditulis sebagai: \operatorname{argmax}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \inf {}_S f \right\}Perlu ditekankan bahwa persamaan yang melibatkan \inf {}_S f *hanya* berlaku ketika f tidak identik dengan \infty pada subset 

### Arg min
Istilah \operatorname{argmin} (atau \operatorname{arg\,min}) yang merujuk pada **argumen dari minimum**, didefinisikan serupa seperti \operatorname{argmax}. Sebagai contoh,

: \underset{x \in S}{\operatorname{arg\,min}} \, f(x) := \{ x \in S ~:~ f(s) \geq f(x)  \text{ untuk setiap } s \in S \}

adalah titik-(titik) x yang menyebabkan f(x) menghasilkan nilai terkecilnya. Operator ini adalah komplemen dari  Pada kasus khusus Y = [-\infty,\infty] = \R \cup \{ \pm\infty \} merupakan bilangan real yang diperluas, jika nilai f identik dengan -\infty pada S maka \operatorname{argmin}_S f := \varnothing (dengan kata lain, \operatorname{argmin}_S -\infty := \varnothing). Sedangkan pada kasus lainnya (yakni nilai f tidak sama dengan -\infty) , \operatorname{argmin}_S f punya definisi yang sama dengan definisi pada umumnya. Selain itu, argmin juga memenuhi:

: \operatorname{argmin}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \sup {}_S f \right\}.

## Contoh
Sebagai contoh, jika f(x) didefinisikan sebagai 1 - |x|, maka f akan mencapai nilai maksimum 1 hanya pada titik x = 0. Dengan demikian,

: \underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, (1 - |x|) = \{ 0 \}.

Operator \operatorname{argmax} berbeda dengan operator \max. Operator \max ketika diterapkan pada fungsi akan menghasilkan nilai maksimum dari fungsi tersebut, bukan *himpunan titik* yang membuat fungsi menghasilkan nilai maksimum tersebut. Secara lebih formal,

: \max_x f(x) adalah elemen dari himpunan \{ f(x) ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ untuk setiap } s \in S \}.

## Sifat
Ada beberapa operasi yang tidak mengubah himpunan yang dihasilkan oleh argmax. Karena argmax didefinisikan oleh sebuah pertidaksamaan, operasi-operasi berikut pada dasarnya berupa operasi yang mengawetkan pertidaksamaan. Berikut adalah beberapa contohnya:

# Jika \theta adalah sebuah konstanta, maka \operatorname{argmax} f(x) = \operatorname{argmax} f(x) + \theta
# Jika \theta > 0, maka \operatorname{argmax} f(x) = \operatorname{argmax} \theta f(x)
# Jika \theta , maka \operatorname{argmax} f(x) = \operatorname{argmin} \theta f(x)
# Jika \operatorname{argmax} f(x) > 0, maka \operatorname{argmax} f(x) = \operatorname{argmin} \frac{1}{f(x)}
# Jika fungsi g monotonik secara tegas, yakni \alpha  menyebabkan g(\alpha) , terdapat hubungan \operatorname{argmax} g(f(x)) = \operatorname{argmax} f(x)

Sifat terakhir sering digunakan dalam perhitungan yang melibatkan probabilitas. Perkalian probabilitas dapat ditransformasi menjadi penjumlahan log-probabilitas dengan menerapkan fungsi monotonik tegas \log(x). Dengan kata lain \operatorname{argmax} \prod_{i=1}^n p_i(x) = \operatorname{argmax} \sum_{i=1}^n \log p_i(x)

## Referensi

## Pranala luar

*