Akar satuan

Dalam matematika, **akar kesatuan** adalah setiap bilangan kompleks yang dipangkatkan dengan setiap bilangan bulat positif  menghasilkan nilai 1. Akar kesatuan banyak dipakai dalam cabang matematika, khususnya di cabang teori bilangan, teori karakter grup, dan transformasi Fourier diskret.

Dalam aljabar abstrak, akar kesatuan dapat didefinisikan di setiap medan. Jika karakteristik medan bernilai nol, maka akarnya yang merupakan bilangan kompleks juga merupakan bilangan aljabar. Untuk medan dengan karakteristik yang bernilai positif, akar-akarnya merupakan milik medan hingga, dan sebaliknya, setiap anggota taknol dari medan hingga merupakan akar kesatuan. Setiap medan tertutup secara aljabar mengandung setidaknya ada  akar kesatuan ke-, kecuali ketika  adalah kelipatan dari karakteristik medan (yang bernilai positif).

## Definisi umum
Akar satuan ke-**', dengan  adalah bilangan bulat positif, adalah sebuah bilangan  yang memenuhi [[persamaan]]
:<math>z^n = 1. </math>
Terdapat pengecualian bahwa kalau ditentukan, akar satuan dapat dianggap [[bilangan kompleks]] (termasuk bilangan 1, dan bilangan −1 jika  itu [[paritas (matematika)|genap]], yang merupakan bilangan kompleks dengan [[bilangan kompleks|bagian imajiner]]nya 0), dan dalam kasus ini, akar satuan ke- ialah

:<math>\exp\left(\frac{2k\pi i}{n}\right)=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n},\qquad k=0,1,\dots, n-1.</math>

==Sifat dasar==
Setiap perpangkatan bilangan bulat dari akar satuan ke- juga merupakan akar satuan ke-, sebab
:<math>(z^k)^n = z^{kn} = (z^n)^k = 1^k = 1.</math>
Hal ini juga berlaku untuk pangkat negatif. Lebih jelasnya, [[invers perkalian]] dari akar satuan ke- adalah [[konjugat kompleks]]nya, yang sama-sama merupakan akar satuan ke-:
:<math>\frac{1}{z} = z^{-1} = 1 \cdot z^{-1} = z^n \cdot z^{-1} = z^{n-1} = \bar z.</math>

==Sifat pada grup==
===Grup semua akar satuan===
Hasil perkalian dan [[invers perkalian]] dari dua akar satuan juga merupakan akar satuan. Bahkan, jika  dan , maka , dan , dengan  adalah [[kelipatan persekutuan terkecil]] dari  dan .

Oleh karena itu, himpunan akar satuan membentuk [[grup abelian]] terhadap perkalian. [[Grup (matematika)|group]] ini merupakan [[subgrup torsi]] dari [[grup lingkaran]].

===Grup akar satuan ke-===
Untuk bilangan bulat **', hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan ke- juga merupakan akar satuan ke-. Oleh karena itu, akar satuan ke- membentuk gruo abelian terhadap perkalian.

## Ekspresi trigonometri

Rumus de Moivre, yang valid untuk setiap bilangan riil  dan bilangan bulat , adalah

:\left(\cos x + i \sin x\right)^n = \cos nx + i \sin nx.

Substitusi  menghasilkan akar satuan primitif ke- – yaitu

:\left(\cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}\right)^{\!n} = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1,
akan tetapi
:\left(\cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}\right)^{\!k} = \cos\frac{2k\pi}{n} + i \sin\frac{2k\pi}{n} \neq 1
untuk . Dengan kata lain, 
:\cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}
merupakan akar satuan primitif ke-.

Dalam bidang kompleks, rumus ini menunjukkan kalau akar satuan ke- berada pada sudut sebuah segi- beraturan di dalam lingkaran satuan, dengan satu sudut di 1 (lihat gambar  dan  di kanan).

Rumus Euler

:e^{i x} = \cos x + i \sin x,

yang valid untuk setiap bilangan riil , bisa digunakan untuk mengubah akar satuan ke- dalam bentuk

:e^{2\pi i \frac{k}{n}}, \quad 0 \le k 

## Grup siklik
Akar satuan ke- membentuk grup siklik dengan orde  terhadap perkalian, dan bahkan grup ini mencakup semua subgrup berhingga dari grup perkalian dalam bidang kompleks.

## Catatan