Filtrasi (matematika)

Dalam matematika, **filtrasi** \mathcal{F} adalah keluarga indeks (S_i)_{i \in I} dari subobjek dari struktur aljabar  S  tertentu, dengan indeks  i  menjalankan beberapa himpunan indeks terurut total I, persoalan ke syaratnya bahwa

:jika i\leq j di I, maka S_i\subset S_j.

Jika indeks  i  adalah parameter waktu dari suatu proses stokastik, maka filtrasi dapat diartikan sebagai semua informasi historis tetapi bukan hasil yang tersedia tentang stokastik, dengan struktur aljabar  S_i  semakin kompleks seiring berjalannya waktu. Oleh karena itu, proses yang diadaptasi ke filtrasi \mathcal{F}, juga disebut **non-antisipasi**, yaitu yang tidak bisa **melihat ke masa depan**.

Kadang-kadang, seperti dalam aljabar filtrasi, ada persyaratan bahwa  S_i  menjadi subaljabar sehubungan dengan beberapa operasi, tetapi tidak untuk operasi lain (katakanlah, perkalian), jika S_i \cdot S_j \subset S_{i+j}, di mana himpunan indeks adalah bilangan asli; ini adalah analogi dengan aljabar bertingkat.

Terkadang, filtrasi diharapkan memenuhi persyaratan tambahan bahwa union dari  S_i  menjadi keseluruhan S, atau (dalam kasus yang lebih umum, ketika gagasan persatuan tidak masuk akal) bahwa homomorfisme kanonik dari limit langsung dari S_i pada S adalah sebuah isomorphism. Apakah persyaratan ini diasumsikan atau tidak, biasanya bergantung pada penulis teks dan sering kali dinyatakan secara eksplisit. Artikel ini* tidak * memaksakan persyaratan ini.

Ada juga gagasan tentang **filtrasi menurun**, yang diperlukan untuk memenuhi S_i \supseteq S_j sebagai pengganti S_i \subseteq S_j (dan, terkadang, \bigcap_{i\in I} S_i=0 daripada \bigcup_{i\in I} S_i=S). Sekali lagi, ini tergantung pada konteks bagaimana tepatnya kata "filtrasi" harus dipahami. Filtrasi menurun tidak sama dengan kofiltrasi (yang terdiri dari objek hasil bagi bukan subobjek).

Gagasan ganda tentang filtrasi disebut * kofiltrasi *.

Filtrasi banyak digunakan di aljabar abstrak, aljabar homologis (di mana mereka terkait secara penting pada urutan spektral), dan dalam teori pengukuran dan teori probabilitas untuk urutan bersarang σ-aljabar. Dalam analisis fungsional dan analisis numerik, terminologi lain biasanya digunakan, seperti skala ruang atau spasi bersarang.

## Definisi

Jika T \subset \R satu himpunan indeks dan (\Omega, \mathcal A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Selanjutnya, jadikan untuk  t \in T  maka sub-σ-aljabar  \mathcal F_t  dari  \mathcal A  diberikan.

Kemudian keluarga σ-aljabar dirumuskan
: \mathbb F = (\mathcal F_t)_{t \in T} 

filtrasi (dalam  \mathcal A  atau pada  (\Omega, \mathcal A, P) ), jika disusun dalam urutan menanjak, yaitu:
:Untuk semua  s, t \in T  dengan  s \leq t  berlaku \mathcal{F}_s \subseteq \mathcal{F}_t .

Adalah  \mathbb F=(\mathcal{F}_t)_{t \in T} filtrasi (\Omega, \mathcal A, (\mathcal F_t)_{t \in T}, P) juga disebut * ruang probabilitas filtrasi *.

Demikian pula, pem-*filter*-an juga dapat ditentukan untuk set indeks semi-terurut  T .

## Contoh

Pertimbangkan ruang probabilitas sebagai contoh  (\Z, \mathcal P (\Z), P)  dengan himpunan dasar yang dapat dihitung \Z, yang secara default dilengkapi dengan daya yang ditetapkan sebagai σ-aljabar, pemfilteran yang mungkin adalah misalnya
: \mathcal F_n:=\sigma (\mathcal P (\{-n, \dots, n \})) .

Ini memodelkan informasi yang pada langkah ke-n kali satu telah pindah ke n langkah menjauh dari asalnya dan akan, misalnya, menjadi filter yang sesuai untuk yang simetris sederhana.

## Lihat pula
* Filtrasi alami
* Filtrasi (teori probabilitas)
* Filter (matematika)

## Catatan

## Referensi
*