Kehomomorfan grup

Dalam matematika, diberikan dua grup, (*G*, ∗) dan (*H*, ·), sebuah **kehomomorfan grup** dari (* G *, ∗) ke (* H *, ·) adalah fungsi *h* : *G* → *H*, * u * dan * v * dengan * G * dirumuskan
: h(u*v) = h(u) \cdot h(v) 

dimana operasi grup di sisi kiri persamaan adalah * G * dan di sisi kanan * H *.

Dari sifat ini, bahwa * h * elemen identitas *e<sub>G</sub>* dari * G * ke elemen identitas *e<sub>H</sub>* dari * H *,
: h(e_G) = e_H

dan invers ke invers dalam arti  
: h\left(u^{-1}\right) = h(u)^{-1}. \,

Maka, dikatakan bahwa * h * "sesuai dengan struktur grup".

Notasi lama untuk kehomomorfan *h*(*x*) maka *x**h* atau *x**h*, sebagai indeks atau subskrip umum. Dalam teori automata, terkadang kehomomorfan ditulis dibagian kanan argumen tanpa tanda kurung, sehingga *h*(*x*) menjadi * x h *.

Dalam bidang matematika di mana grup dengan struktur tambahan, *kehomomorfan* berarti peta struktur grup tetapi juga struktur ekstra. Misalnya, kehomomorfan grup topologi harus menggunakan kontinu.

## Intuisi
Tujuan dari definisi kehomomorfan grup adalah untuk menciptakan fungsi pada struktur aljabar. Definisi yang setara dari kehomomorfan grup adalah: Fungsi *h* : *G* → *H* adalah kehomomorfan grup

*a* ∗ *b* = *c* dirumuskan *h*(*a*) ⋅ *h*(*b*) = *h*(*c*).

Grup * H * dalam beberapa hal memiliki struktur aljabar dengan *G* dan kehomomorfan* h *.

## Jenis
;Monomorfisme: Kehomomorfan grup yaitu injeksi (atau, satu-ke-satu); yaitu, perbedaan.
;Epimorfisme: Kehomomorfan grup yaitu surjektif (atau, ke); yaitu mencapai setiap titik di kodomain.
;Isomorfisme: Suatu kehomomorfan grup yaitu bijektif; yaitu, injeksi dan surjektif. Kebalikannya juga merupakan kehomomorfan grup. Dalam hal ini, grup * G * dan * H * disebut * isomorfik *; mereka hanya berbeda dalam notasi elemennya dan identik untuk semua tujuan praktis.
;Keendomorfan: Kehomomorfan, *h*: *G* → *G*; ranah dan kodomain adalah sama. Juga disebut keendomorfan dari * G *.
;Keautomorfan: Keendomorfan bersifat bijektiva, dan karenanya merupakan isomorfisme. Himpunan semua keautomorfan dari grup *G*, dengan komposisi fungsional sebagai operasi, membentuk grup itu sendiri, *grup keautomorfan * dari* G.* Dilambangkan dengan Aut(*G*). Sebagai contoh, kelompok keautomorfan (**Z**, +) hanya mengandung dua elemen, transformasi identitas dan perkalian dengan −1; itu isomorfik untuk **Z**/2**Z**.

## Galeri dan kernel

Mendefinisikan * [[kernel (aljabar)|kernel]] dari h * menjadi himpunan elemen pada * G * yang dipetakan ke identitas ke * H *
:  \operatorname{ker}(h) \equiv \left\{u \in G\colon h(u) = e_{H}\right\}.

dan * [[galeri (matematika)|galeri]] dari h * dirumuskan
:  \operatorname{im}(h) \equiv h(G) \equiv \left\{h(u)\colon u \in G\right\}.

Kernel dan Galeri kehomomorfan dapat diartikan sebagai mengukur dekat menjadi isomorfisme. teorema isomorfisme pertama menyatakan bahwa citra suatu kelompok kehomomorfan, *h*(*G*) isomorfik ke grup hasil bagi *G*/ker *h*.

Kernel h adalah subgrup normal dari * G * dan galeri h adalah subgrup dari * H *:
: \begin{align}
  h\left(g^{-1} \circ u \circ g\right) &= h(g)^{-1} \cdot h(u) \cdot h(g) \\
                                       &= h(g)^{-1} \cdot e_H  \cdot h(g) \\
                                       &= h(g)^{-1} \cdot h(g) = e_H.
\end{align}

Jika dan hanya jika }, kehomomorfan, * h *, adalah '' grup monomorfisme ''; yaitu, * h * adalah injektif (satu-ke-satu). Injeksi secara langsung memberikan bahwa ada elemen unik di kernel, dan elemen unik di kernel memberikan injeksi:
:\begin{align}
                  &&                           h(g_1) &= h(g_2) \\
  \Leftrightarrow &&         h(g_1) \cdot h(g_2)^{-1} &= e_H \\
  \Leftrightarrow && h\left(g_1 \circ g_2^{-1}\right) &= e_H,\  \operatorname{ker}(h) = \{e_G\} \\
  \Rightarrow     &&               g_1 \circ g_2^{-1} &= e_G \\
  \Leftrightarrow &&                              g_1 &= g_2 
\end{align}

## Contoh
* Pertimbangkan grup siklik **Z**/3**Z** = {0, 1, 2} dan kelompok bilangan bulat **Z** dengan penambahan. Peta *h* : **Z** → **Z**/3**Z** dengan *h*(*u*) = *u* mod 3 adalah kehomomorfan grup. Ini surjektif dan kernelnya terdiri dari semua bilangan bulat yang habis dibagi 3.

* Peta eksponensial menghasilkan kehomomorfan grup dari grup bilangan riil **R** dengan penambahan ke grup bilangan real bukan-nol **R*** dengan perkalian. Kernel adalah {0} dan gambar terdiri dari bilangan riil positif.
* Peta eksponensial juga menghasilkan kehomomorfan grup dari grup bilangan kompleks **C** dengan tambahan grup bilangan kompleks bukan nol **C*** dengan perkalian. Peta bersifat surjektif dan memiliki kernel {2π*ki* : *k* ∈ **Z**}, seperti yang bisa dilihat dari Rumus Euler. Field seperti **R** dan **C** yang memiliki kehomomorfan dari grup aditif ke grup perkaliannya disebut bidang eksponensial.

## Kategori grup
Jika  dan  adalah kehomomorfan grup, maka . Hal ini menunjukkan bahwa kelas dari semua grup, bersama dengan kehomomorfan grup sebagai morfisme, membentuk suatu kategori.

## Kehomomorfan grup abelian
Jika * G * dan * H * adalah abelian (yaitu, Komutatif) grup, maka himpunan  dari semua kehomomorfan grup dari * G * hingga * H * adalah grup abelian itu sendiri: jumlah  dari dua kehomomorfan didefinisikan oleh
:(*h* + *k*)(*u*) = *h*(*u*) + *k*(*u*)&nbsp;&nbsp;&nbsp; pada * u * ke * G *.
Komutatif* H * diperlukan untuk membuktikan  sekali lagi merupakan kehomomorfan kelompok.

Penambahan kehomomorfan dengan komposisi kehomomorfan dalam pengertian berikut: maka * f * adalah , *h*, *k* adalah elemen dari , dan * g * termasuk , maka 
: &nbsp;&nbsp; dan &nbsp;&nbsp; .
Karena komposisinya asosiatif, ini menunjukkan bahwa himpunan End(* G *) dari semua keendomorfan dari grup abelian membentuk gelanggang, yang * [[gelanggang keendomorfan]] * dari * G *. Misalnya, cincin endomorfisma dari grup abelian yang terdiri dari jumlah langsung dari salinan * m * dari **Z**/*n***Z** isomorfik terhadap gelanggang * m *-oleh-* m * matriks dengan entri dalam **Z**/*n***Z**. Menunjukkan bahwa kategori semua grup abelian dengan kehomomorfan grup membentuk kategori preadditif; keberadaan jumlah langsung dan kernel menjadikan kategori ini contoh prototipe dari sebuah kategori abelian.

## Lihat pula

*Teorema dasar kehomomorfan
*Gelanggang homomorfisme

## Referensi
*
* 

## Pranala luar
*