Monomorfisme

Dalam konteks aljabar abstrak atau aljabar universal, **monomorfisme** adalah injeksi homomorfisme. Sebuah monomorfisme dari  dengan  sering dilambangkan dengan notasi  .

Dalam pengaturan yang lebih umum dari teori kategori, **monomorfisme** (juga disebut **morfisme monik** atau **mono**) adalah pembatal-kiri morphism. Artinya, anak panah  seperti itu untuk semua objek  dan semua morfisme ,
: f \circ g_1 = f \circ g_2 \implies g_1 = g_2.

Monomorfisme adalah generalisasi kategorikal dari fungsi injeksi s (juga disebut "fungsi satu-ke-satu"); dalam beberapa kategori, pengertian tersebut bertepatan, tetapi monomorfisme lebih umum, seperti pada contoh di bawah.

Dual kategorikal dari monomorfisme adalah epimorfisme, yaitu, monomorfisme dalam kategori * C * adalah epimorfisme dalam kategori ganda *C*op. Setiap bagian adalah monomorfisme, dan setiap retraksi adalah epimorfisme.

## Kaitannya dengan kemampuan terbalik
Morfisme pembalik kiri harus monik: jika * l * adalah kebalikan kiri untuk *f* (artinya * l * adalah morfisme dan l \circ f = \operatorname{id}_{X}), maka * f * adalah monik, maka
: f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow l\circ f\circ g_1 = l\circ f\circ g_2 \Rightarrow g_1 = g_2.

Morfisme yang dapat dibalikkan kiri disebut * '[[Bagian (teori kategori)|split mono]]' * atau **bagian**. 

Namun, monomorfisme tidak perlu dibalik. Misalnya, dalam kategori **Grup** dari semua grup dan homomorfisme grup di antara mereka, jika * H * adalah subgrup dari * G * lalu penyertaan  selalu monomorfisme; tetapi * f * memiliki invers kiri dalam kategori jika dan hanya jika * H * memiliki komplemen normal di * G *. 

Morfisme  monic jika dan hanya jika peta induksi , mendefinisikan oleh  untuk semua morfisme , adalah injeksi untuk semua objek * Z *.

## Contoh
Setiap morfisme dalam kategori konkret yang fungsi yang mendasari adalah monomorfisme; dengan kata lain, jika morfisme benar-benar berfungsi di antara himpunan, maka morfisme apa pun yang merupakan fungsi satu-ke-satu akan menjadi monomorfisme dalam arti kategoris. Dalam kategori himpunan hal yang sebaliknya juga berlaku, jadi monomorfisme persisnya adalah morfisme injektif. Kebalikannya juga berlaku di sebagian besar kategori aljabar yang terjadi secara alami karena adanya objek bebas pada satu generator.

Secara umum tidak benar bahwa semua monomorfisme harus injektif dalam kategori lain; yaitu, ada pengaturan di mana morfisme adalah fungsi antar himpunan, tetapi seseorang dapat memiliki fungsi yang tidak bersifat injektif namun merupakan monomorfisme dalam arti kategori. Misalnya, dalam kategori * 'Div' * habis grup (abelian) dan homomorfisme grup di antara mereka terdapat monomorfisme yang tidak suntik: consider, misalnya, peta hasil bagi , di mana **Q** adalah rasio di bawah tambahan, **Z** bilangan bulat (juga dianggap sebagai grup di bawah penambahan), dan **Q**/**Z** adalah sesuai grup hasil bagi.  Ini bukan peta suntik, karena misalnya setiap bilangan bulat dipetakan ke 0. Namun demikian, ini adalah monomorfisme dalam kategori ini. Ini mengikuti dari implikasinya , yang sekarang akan kami buktikan. Jika , where *G* adalah beberapa kelompok yang dapat dibagi, dan , setelah itu .  Sekarang perbaiki beberapa .  Tanpa kehilangan keumuman, kita dapat berasumsi demikian  (jika tidak, pilih - * x *). Lalu, biarkan , karena * G * adalah grup yang dapat dibagi, ada beberapa  seperti  maka akan menjadi .  Dari ini, dan , maka rumusnya adalah

:0 \leq \frac{h(x)}{h(x) + 1} = h(y) 

Karena , Kita merumuskan , dan dengan cara .  Maka itu merumuskan , seperti yang diinginkan.

## Konsep terkait
Di antara konsep berguna lainnya adalah *epimorfisme biasa*, *epimorfisme ekstrem*, *epimorfisme langsung*, *epimorfisme kuat*, dan *epimorfisme terbagi*. 

* Sebuah epimorfisme dikatakan **biasa** jika merupakan penggabung dari beberapa pasangan morfisme paralel.
* Sebuah epimorfisme \varepsilon dikatakan **ekstrem** jika di setiap representasi \varepsilon=\mu\circ\varphi, dimana \mu adalah monomorfisme, morfisme \mu secara otomatis menjadi isomorfisme.
* Sebuah epimorfisme \varepsilon dikatakan **langsung** jika dalam setiap representasi \varepsilon=\mu\circ\varepsilon', dimana \mu adalah monomorfisme dan \varepsilon' adalah epimorfisme, morfisme \mu secara otomatis menjadi isomorfisme.
*  Sebuah epimorfisme \varepsilon:A\to B dikatakan **kuat** jika ada monomorphism \mu:C\to D dan morfisme apapun \alpha:A\to C dan \beta:B\to D seperti yang \beta\circ\varepsilon=\mu\circ\alpha, ada morfisme \delta:B\to C seperti yang \delta\circ\varepsilon=\alpha dan \mu\circ\delta=\beta.
* Sebuah epimorfisme \varepsilon dikatakan **terbelah** jika ada morfisme \mu seperti yang \varepsilon\circ\mu=1 (dalam hal ini \mu disebut invers sisi kanan untuk \varepsilon).

Ada juga gagasan ' epimorfisme homologis* dalam teori cincin. Morfisme  *f*: *A* → *B* of cincin adalah epimorfisme homologis jika merupakan epimorfisme dan menginduksi [[fungsi penuh dan setia]] pada [[kategori turunan]]:
D(*f*) : D(*B*) → D(*A*).

Morfisme yang merupakan monomorfisme dan epimorfisme disebut [[bimorfisme]]. Setiap isomorfisme adalah bimorfisme tetapi kebalikannya tidak benar secara umum. Misalnya, peta dari [[interval setengah terbuka]] [0,1) ke [[lingkaran satuan]] S<sup>1</sup>. 

Epimorfisme digunakan untuk mendefinisikan [[objek hasil bagi]] abstrak dalam kategori umum: dua epimorfisme *f*<sub>1</sub> : *X* → *Y*<sub>1</sub> dan *f*<sub>2</sub> : *X* → *Y*<sub>2</sub> dikatakan * setara * jika terdapat isomorfisme * j *: *Y*<sub>1</sub> → *Y*<sub>2</sub> with *j*&nbsp;*f*<sub>1</sub> = *f*<sub>2</sub>. Ini adalah [[hubungan kesetaraan]], dan kelas kesetaraan didefinisikan sebagai objek hasil bagi dari *X''.

## Lihat pula
* Menyematkan (matematika)
* Dekomposisi nodal
* Subobjek

## Catatan

## Referensi
*
*
*
*
*

## Pranala luar

*
*