Jumlah taktentu

Dalam matematika, operator **jumlah taktentu** atau operator **antiselisih**, dilambangkan sebagai \sum_x atau \Delta^{-1}, adalah operator linear, yang kebalikan dari operator selisih (atau selisih tentu) \Delta. Ini berhubungan dengan operasi selisih maju sebagai integral tak tentu yang berhubungan dengan turunan. Demikian juga,

: \Delta \sum_x f(x) = f(x).

Lebih eksplisit lagi, jika \sum_x f(x) = F(x) , kemudian

: F(x+1) - F(x) = f(x)

Jika F(x) adalah solusi untuk persamaan fungsional ini untuk fungsi f(x), maka F(x)+C(x) untuk setiap fungsi periodik C(x) dengan periode 1. Demikian pula, setiap penjumlahan tak tentu mewakili keluarga pada fungsi. Maka, penyelesaiannya sama dengan pengembangan dari deret Newton adalah unik untuk ke konstanta aditif C. Penyelesaian yang unik ini mewakili perubahan deret berpangkat secara formal pada operasi anti-selisihː

: \Delta^{-1}=\frac{1}{e^D - 1}

## Teorema Fundamental pada kalkulus diskrit
Penjumlahan tak hingga digunakan sebagai penjumlahan tentu dengan rumusː 

: \sum_{k=a}^b f(k)=\Delta^{-1}f(b+1)-\Delta^{-1}f(a)

## Definisi

### Rumus Penjumlahan Laplace

: \sum _x f(x)=\int_0^x f(t) dt -\sum_{k=1}^\infty \frac{c_k\Delta^{k-1}f(x)}{k!} + C 

di mana c_k=\int_0^1 \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-k+1)}dx adalah bilangan Cauchy untuk jenis yang pertama atau disebut sebagai bilangan Bernoulli untuk Jenis Kedua. 

### Rumus Newton

: \sum_x f(x)=\sum_{k=1}^\infty \binom{x}k \Delta^{k-1} [f]\left (0\right)+C=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Delta^{k-1}[f](0)}{k!}(x)_k+C

di mana (x)_k=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-k+1)} adalah faktorial menurun.

### Rumus Faulhaber

: \sum _x f(x)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n-1)} (0)}{n!} B_n(x) + C \, ,

persamaan pada ruas kanan adalah konvergen.

### Rumus Mueller
Jika \lim_{x\to{+\infty}}f(x)=0, maka

: \sum _x f(x)=\sum_{n=0}^\infty\left(f(n)-f(n+x)\right)+ C.

### Rumus Euler–Maclaurin

: \sum _x f(x)= \int_0^x f(t) dt - \frac12 f(x)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(x) + C

## Pilihan dengan suku konstanta
Sering kali, konstanta C  pada jumlah tak tentu diperbaiki dengan kondisi berikut.

Misalnya

: F(x)=\sum _x f(x)+C

Maka, konstanta C diperbaiki dengan kondisi

: \int_0^1 F(x) dx=0 

atau

: \int_1^2 F(x) dx=0 

Secara alternatif, penjumlahan Ramanujan digunakan sebagaiː

: \sum_{x \ge 1}^{\Re}f(x)=-f(0)-F(0)

atau dengan 1

: \sum_{x \ge 1}^{\Re}f(x)=-F(1).

## Penjumlahan menurut bagian
Penjumlahan tak hingga dengan bagian tertentuː

: \sum_x f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum_x (g(x)+\Delta g(x)) \Delta f(x) 

: \sum_x f(x)\Delta g(x)+\sum_x g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum_x \Delta f(x)\Delta g(x) 

Penjumlahan tentu berdasarkan bagian, yaitu:

: \sum_{i=a}^b f(i)\Delta g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum_{i=a}^b g(i+1)\Delta f(i)

## Kaidah periode
Jika T  adalah periode fungsi f(x) , maka

: \sum _x f(Tx)=x f(Tx) + C

Jika T adalah fungsi antiperiode f(x) , yaitu f(x+T)=-f(x), maka

: \sum _x f(Tx)=-\frac12 f(Tx) + C

## Penggunaan alternatif
Beberapa penulis menggunakan frasa "jumlah tak tentu" untuk mendeskripsikan sebuah penjumlahan di mana tidak diberikan nilai numerik pada indeks atas.

: \sum_{k=1}^n f(k).

Dalam kasus seperti tersebut, perubahan ekspresi tertutup F(k) untuk penjumlahan adalah solusi untuk

: F(x+1) - F(x) = f(x+1) 

disebut sebagai persamanan *teleskop*. Kebalikan dari operator selisih mundur \nabla. Berhubungan dengan operasi selisih maju menggunakan teorema fundanmental pada kalkulus diskrit yang dideskripsi sebelumnya.

## Daftar jumlah tak tentu
Inilah daftar jumlah-jumlah tak tentu pada berbagai fungsi. Tidak setiap fungsi memiliki sebuah jumlah tak tentu yang dapat diekspresikan dalam hal fungsi dasar.

### Antiselisih pada Fungsi rasional

: \sum _x a = ax + C 

: \sum _x x = \frac{x^2}{2}-\frac{x}{2} + C

: \sum _x x^a = \frac{B_{a+1}(x)}{a+1} + C,\,a\notin \mathbb{Z}^- 
: di mana B_a(x)=-a\zeta(-a+1,x), yang digeneralisasikan ke orde polinomial Bernoulli yang sebenarnya.

: \sum _x x^a = \frac{(-1)^{a-1}\psi^{(-a-1)}(x)}{\Gamma(-a)}+ C,\,a\in\mathbb{Z}^- 
: di mana \psi^{(n)}(x) adalah fungsi poligamma .

: \sum _x \frac1x = \psi(x) + C  
: di mana \psi(x) adalah fungsi digamma.

: \sum _x B_a(x)=(x-1)B_a(x)-\frac{a}{a+1} B_{a+1}(x)+C

### Antiselisih pada Fungsi eksponensial

: \sum _x a^x = \frac{a^x}{a-1} + C 

Terutama,

: \sum _x 2^x = 2^x + C 

### Antiselisih pada fungsi logaritma

: \sum _x \log_b x = \log_b \Gamma (x) + C 

: \sum _x \log_b ax = \log_b (a^{x-1}\Gamma (x)) + C 

### Antiselisih pada Fungsi Hiperbolik

: \sum _x \sinh ax = \frac{1}{2} \operatorname{csch} \left(\frac{a}{2}\right) \cosh \left(\frac{a}{2} - a x\right) + C 

: \sum _x \cosh ax = \frac{1}{2} \operatorname{csch} \left(\frac{a}{2}\right) \sinh \left(ax-\frac{a}{2}\right) + C 

: \sum _x \tanh ax = \frac1a \psi _{e^a}\left(x-\frac{i \pi }{2 a}\right)+\frac1a \psi _{e^a}\left(x+\frac{i \pi }{2 a}\right)-x + C

: di mana \psi_q(x) adalah fungsi q-digamma .

### Antiselisih pada fungsi trigonometri

: \sum _x \sin ax = -\frac{1}{2} \csc \left(\frac{a}{2}\right) \cos \left(\frac{a}{2}- ax \right) + C \,,\,\,a\ne 2n \pi 

: \sum _x \cos ax = \frac{1}{2} \csc \left(\frac{a}{2}\right) \sin \left(ax - \frac{a}{2}\right) + C \,,\,\,a\ne 2n \pi

: \sum _x \sin^2 ax = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \csc (a) \sin (a-2ax) + C \, \,,\,\,a\ne n\pi

: \sum _x \cos^2 ax = \frac{x}{2}-\frac{1}{4} \csc (a) \sin (a-2 a x) + C \,\,,\,\,a\ne n\pi

: \sum_x \tan ax = i x-\frac1a \psi _{e^{2 i a}}\left(x-\frac{\pi }{2 a}\right) + C \,,\,\,a\ne \frac{n\pi}2

: di mana \psi_q(x) adalah fungsi q-digamma .

: \sum_x \tan x=ix-\psi _{e^{2 i}}\left(x+\frac{\pi }{2}\right) + C = -\sum _{k=1}^{\infty } \left(\psi \left(k \pi -\frac{\pi }{2}+1-z\right)+\psi \left(k \pi -\frac{\pi }{2}+z\right)-\psi \left(k \pi -\frac{\pi }{2}+1\right)-\psi \left(k \pi -\frac{\pi }{2}\right)\right) + C

: \sum_x \cot ax =-i x-\frac{i \psi _{e^{2 i a}}(x)}{a} + C \,,\,\,a\ne \frac{n\pi}2

### Antiselisih pada fungsi invers hiperbolik

: \sum_x \operatorname{artanh}\, a x =\frac{1}{2} \ln \left(\frac{\Gamma \left(x+\frac{1}{a}\right)}{\Gamma \left(x-\frac{1}{a}\right)}\right) + C

### Antiselisih pada fungsi invers trigonometri

: \sum_x \arctan a x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{\Gamma (x+\frac ia)}{ \Gamma (x-\frac ia)}\right)+C

### Antiselisih pada fungsi khusus

: \sum _x \psi(x)=(x-1) \psi(x)-x+C 

: \sum _x \Gamma(x)=(-1)^{x+1}\Gamma(x)\frac{\Gamma(1-x,-1)}e+C

: di mana \Gamma(s,x) adalah fungsi gamma tidak kompleks.

: \sum _x (x)_a = \frac{(x)_{a+1}}{a+1}+C

: di mana (x)_a adalah faktorial menurun .

: \sum _x \operatorname{sexp}_a (x) = \ln_a \frac{(\operatorname{sexp}_a (x))'}{(\ln a)^x} + C  
: (lihat fungsi eksponensial super)

## Lihat pula

* Produk tak tentu 
* Kalkulus skala waktu 
* Daftar turunan dan integral dalam kalkuli alternatif

## Referensi

## Bacaan lebih lanjut

* "Persamaan Perbedaan: Pengantar dengan Aplikasi", Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001,     
* Markus Müller. Bagaimana Menambahkan Jumlah Syarat Non-Integer, dan Bagaimana Membuat Penjumlahan Tak Terbatas yang Tidak Biasa 
*   
*    
* "Persamaan dan Simulasi Beda-Hingga", Francis B. Hildebrand, Prenctice-Hall, 1968