Bentuk turunan

Dalam statistika, dan khususnya dalam ekonometrika, **bentuk turunan** dari sistem persamaan adalah hasil dari penyelesaian sistem untuk variabel endogen. Ini memberikan yang terakhir sebagai fungsi dari variabel eksogen, jika ada. Dalam ekonometrika, persamaan model bentuk struktural diestimasi dalam bentuk yang diberikan secara teoretis, sedangkan pendekatan alternatif untuk estimasi adalah dengan terlebih dahulu menyelesaikan persamaan teoretis untuk variabel endogen untuk mendapatkan persamaan bentuk turunan, dan kemudian memperkirakan persamaan bentuk turunan.

Misalkan Y adalah vektor variabel yang akan dijelaskan (variabel endogen) oleh model statistik dan *X* adalah vektor variabel penjelas (eksogen). Selain itu biarkan \varepsilon menjadi vektor istilah kesalahan. Maka ekspresi umum dari suatu **bentuk struktural** adalah f(Y, X, \varepsilon) = 0 , di mana f adalah sebuah fungsi, kemungkinan dari vektor ke vektor dalam kasus model persamaan ganda. **Bentuk turunan** dari model ini diberikan oleh Y = g(X, \varepsilon), dengan g sebagai fungsi.

## Bentuk struktural dan tereduksi
Variabel eksogen adalah variabel yang tidak ditentukan oleh sistem. Jika kita mengasumsikan bahwa permintaan tidak hanya dipengaruhi oleh harga, tetapi juga oleh variabel eksogen, *Z*, kita dapat mempertimbangkan struktur model penawaran dan permintaan

: **Penawaran:**    Q = a_S +   b_S P + u_S,
: **Permintaan:**   a_D +  b_D P  + c Z + u_D,

di mana istilahnya adalah kesalahan acak (penyimpangan jumlah yang ditawarkan dan diminta dari yang tersirat oleh sisa setiap persamaan). Dengan mencari Q dan P *yang* tidak diketahui (variabel endogen), model struktural ini dapat ditulis ulang dalam bentuk turunan:

: Q = \pi_{10} + \pi_{11} Z + e_Q,
: P = \pi_{20} + \pi_{21} Z + e_P,

di mana parameternya \pi_{ij} tergantung pada parameternya a_i , b_i, c dari model struktural, dan di mana kesalahan bentuk dikurangi e_i masing-masing bergantung pada parameter struktural dan pada kedua kesalahan struktural. Perhatikan bahwa kedua variabel endogen tergantung pada variabel eksogen *Z* .

Jika model bentuk tereduksi diestimasi menggunakan data empiris, diperoleh nilai estimasi untuk koefisien \pi_{ij}, beberapa parameter struktural dapat dipulihkan: Dengan menggabungkan dua persamaan bentuk tereduksi untuk menghilangkan *Z* , koefisien struktural model sisi suplai (a_S dan b_S) dapat diturunkan:

: a_S = (\pi_{10}\pi_{21} - \pi_{11}\pi_{20}) / \pi_{21} ,
: b_S = \pi_{11} / \pi_{21} .

Namun perlu dicatat, bahwa ini masih tidak memungkinkan kita untuk mengidentifikasi parameter struktural dari persamaan permintaan. Untuk itu, diperlukan variabel eksogen yang dimasukkan dalam persamaan penawaran model struktural, tetapi tidak dimasukkan dalam persamaan permintaan.

## Kasus linier umum
Misalkan *y* adalah vektor kolom dari variabel endogen *M.* Dalam kasus di atas dengan *Q* dan *P*, kita mendapatkan *M* = 2. Misalkan *z* adalah vektor kolom dari variabel eksogen *K* ; dalam kasus di atas *z* hanya terdiri dari *Z*. Model linier struktural adalah

: A y = B z + v,

di mana v adalah vektor guncangan struktural, dan *A* dan *B* adalah matriks; *A* adalah persegi *M*  × *M* matriks, sedangkan *B* adalah *M* × *K* . Bentuk tereduksi dari sistem tersebut adalah:

: y = A^{-1}Bz+ A^{-1}v = \Pi z + w,

dengan vektor w dari kesalahan bentuk tereduksi yang masing-masing bergantung pada semua kesalahan struktural, di mana matriks *A* harus nonsingular agar bentuk tereduksi ada dan unik. Sekali lagi, setiap variabel endogen bergantung pada potensi setiap variabel eksogen.

Tanpa batasan pada *A* dan *B* , koefisien *A* dan *B* tidak dapat diidentifikasi dari data pada *y* dan *z* : setiap baris model struktural hanyalah hubungan linier antara *y* dan *z* dengan koefisien yang tidak diketahui. (Ini lagi-lagi masalah identifikasi parameter. Persamaan bentuk tereduksi *M* (baris persamaan matriks *y* = Π *z di* atas) dapat diidentifikasi dari data karena masing-masing hanya berisi satu variabel endogen.

## Lihat juga
*Sistem persamaan linear
*Persamaan simultan

## Bacaan lanjut

* 
* 
* 
* 
* 

## Pranala luar

*