Limit invers

Dalam matematika, **limit invers** (), atau disebut juga sebagai **limit proyektif** () adalah konstruksi yang memungkinkan seseorang untuk "merekatkan" beberapa objek terkait, cara yang tepat dari proses perekatan yang ditentukan dengan morfisme di antara objek. Limit invers dapat didefinisikan dalam kategori, dan merupakan kasus khusus dari konsep limit dalam teori kategori.

## Objek aljabar
Pemahaman terkait limit invers dimulai dengan definisi **sistem invers** (atau sistem proyektif) dari grup dan homomorfisme. Misalkan (, ≤) adalah poset terarah atau  (tidak semua penulis memerlukan  untuk diarahkan). Misalkan  adalah keluarga dari kelompok dan misalkan diperoleh keluarga homomorfisme f_{ij}: A_j \to A_i untuk semua i \leq j (perhatikan urutannya), dengan sifat berikut:
# f_{ii} adalah identitas pada A_i,
#f_{ik} = f_{ij} \circ f_{jk} untuk semua i \leq j \leq k.

Maka pasangan \left( A_{\bull}, \left( f_{ij} \right)_{i\leq j\in I} \right) disebut sistem invers dari grup dan morfisme atas  I , dan morfisme f_{ij} disebut morfisme peralihan dari sistem. 

**Limit invers** dari sistem invers ((A_i)_{i\in I}, (f_{ij})_{i\leq j\in I}) didefinisikan sebagai subgrup tertentu dari darab langsung dari *<math>A_i</math>*:

:A = \varprojlim_{i\in I}{A_i} = \left\{\left.\vec a \in \prod_{i\in I}A_i \;\right|\; a_i = f_{ij}(a_j) \text{ untuk semua } i \leq j \text{ in } I\right\}.

Limit invers  A  dilengkapi dengan *proyeksi alami* () \pi _i \colon A \to A_i yang memilih komponen dari darab langsung ke-i untuk setiap  i  di  I .

Konstruksi yang sama dapat dilakukan jika  A_i  adalah himpunan, semigrup, ruang topologi, gelanggang, modul (atas *fixed ring*), aljabar (atas *fixed ring*), dsb,. dan homomorfisme adalah morfisme dalam kategori padanan. Limit invers juga merupakan bagian dalam kategori tersebut.

## Definisi umum

Sama seperti definisi sebelumnya, limit invers dapat didefinisikan secara abstrak dalam kategori sebarang dengan menggunakan sifat universal. Misalkan (X_i,f_{ij}) adalah sistem invers dari objek dan morfisme di kategori C. Limit invers dari sistem invers merupakan objek X di C dan juga dengan morfisme \pi_i \colon X \to X_i (yang disebut *proyeksi*) memenuhi sifat \pi_i = f_{ij} \circ \pi_j untuk semua i \le j. Pasangan (X,\pi_i) harus universal, dalam artian bahwa untuk setiap pasangan lain (Y,\psi_i), maka ada morfisme unik u:Y \to X sehingga diagram berikut 



komutatif untuk setiap i \le j. Jadi, limit invers sering kali dinyatakan sebagai 
:X = \varprojlim X_i
dengan sistem invers . 

Limit invers dari sistem invers tertentu tidak ada dalam beberapa kategori. Namun jika ada, maka dikatakan unik dalam pernyataan kuat berikut: diberikan dua limit invers dan  dari sistem invers, maka terdapat isomorfisme *unik* X' \to X yang bersifat komutatif dengan peta proyeksi.

## Fungtor yang diturunkan dari limit invers

Untuk suatu kategori Abel C, fungtor limit invers
:\varprojlim:C^I\rightarrow C
eksak kiri. Jika I terurut (tidak hanya terurut sebagian) dan terhitung, dan C adalah kategori \operatorname{Ab} dari grup Abel, maka syarat Mittag-Leffler adalah syarat pada morfisme pengalihan f_{ij} yang menjamin ketepatan \varprojlim. Secara khusus, Eilenberg mengonstruksi suatu fungsi
:\varprojlim{}^1:\operatorname{Ab}^I\rightarrow\operatorname{Ab}
sehingga jika (A_i.f_{ij}), (B_i.g_{ij}), dan (C_i.h_{ij})  adalah tiga sistem invers dari grup Abel, dan
:0\rightarrow A_i\rightarrow B_i\rightarrow C_i\rightarrow0
adalah barisan eksak pendek dari sistem invers, maka
:0\rightarrow\varprojlim A_i\rightarrow\varprojlim B_i\rightarrow\varprojlim C_i\rightarrow\varprojlim{}^1A_i
merupakan barisan eksak di \operatorname{Ab}.

## Lihat pula

* Limit langsung

## Referensi

## Bibliografi
*  
* 
*  
*  
*  
* 
* 
* 
* 
* 
* Section 3.5 of