Teorema Moessner

Dalam teori bilangan, **teorema Moessner** atau **keajaiban Moessner** adalah algoritma aritmetika yang menghasilkan barisan takhingga dari perpangkatan bilangan asli
1^n, \, 2^n, \, 3^n, \, 4^n, \, 5^n, \, \ldots \qquad \qquad n \in \mathbb{N}
melalui manipulasi aljabar barisan bilangan asli secara rekursif. Algoritma ini pertama kali diterbitkan oleh Alfred Moessner pada tahun 1951. Bukti pertama dari validitas algoritma ini diberikan oleh Oskar Perron pada tahun yang sama

Sebagai contoh, untuk n = 2, maka dengan menghilangkan setiap bilangan genap pada barisan bilangan asli, diperoleh barisan bilangan ganjil
1, \, 3, \, 5, \, 7, \, 9, \, 11, \, \ldots
kemudian dibentuk barisan "jumlah dari n bilangan ganjil pertama", maka didapatkan barisan
\begin{align}
&1, \, 1 + 3, \, 1 + 3 + 5, \, 1 + 3 + 5 + 7, \, 1 + 3 + 5 + 7 + 9, \ldots \\
&1, \, 4, \, 9, \, 16, \, \ldots \\
&1^2, \, 2^2, \, 3^2, \, 4^2, \, \ldots
\end{align}

## Pernyataan teorema
Berikut adalah isi pernyataan dari teorema Moessner:
# Pilih sembarang n \in \mathbb{N}.
# Pandang barisan bilangan asli 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, \ldots namun hilangkan setiap bilangan pada posisi yang berkelipatan n.
# Konstruksikan barisan jumlahan parsial dari bilangan-bilangan yang tersisa.
# Hilangkan setiap bilangan pada posisi yang berkelipatan n - 1 dari barisan yang terbentuk pada langkah ketiga.
# Ulangi langkah ketiga dan keempat. Secara umum, untuk barisan ke-k, hilangkan setiap bilangan pada posisi yang berkelipatan n - k + 1 dari barisan ke-(k - 1).
# Prosedur ini berhenti pada barisan ke-n. Barisan ini ialah barisan 1^n, \, 2^n, \, 3^n, \, 4^n, \, 5^n, \, \ldots

### Contoh
Barisan pertama ialah barisan bilangan asli

1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9, \, 10, \, 11, \, 12, \, 13, \, 14, \, \ldots

Untuk n = 4, hilangkan setiap bilangan pada posisi yang berkelipatan 4

\begin{align}
&1, \, 2, \, 3, \, \cancel{4}, \, 5, \, 6, \, 7, \, \cancel{8}, \, 9, \, 10, \, 11, \, \cancel{12}, \, 13, \, 14, \, \ldots \\
&1, \, 2, \, 3, \, 5, \, 6, \, 7, \, 9, \, 10, \, 11, \, 13, \, 14, \, 15, \, 17, \, 18, \, \ldots
\end{align}

kemudian pandang barisan jumlahan parsial dari barisan tersebut

\begin{align}
&1, \, 2, \, 3, \, 5, \, 6, \, 7, \, 9, \, 10, \, 11, \, 13, \, 14, \, 15, \, 17, \, 18, \, \ldots \\
&1, \, 1 + 2, \, 1 + 2 + 3, \, 1 + 2 + 3 + 5, \, 1 + 2 + 3 + 5 + 6, \, \ldots \\
&1, \, 3, \, 6, \, 11, \, 17, \, 24, \, 33, \, 43, \, 54, \, 67, \, 81, \, \ldots
\end{align}

lalu hilangkan setiap bilangan pada posisi yang berkelipatan 3.

\begin{align}
&1, \, 3, \, \cancel{6}, \, 11, \, 17, \, \cancel{24}, \, 33, \, 43, \, \cancel{54}, \, 67, \, 81, \, \ldots \\
&1, \, 3, \, 11, \, 17, \, 33, \, 43, \, 67, \, 81, \, 113, \, \ldots
\end{align}

kemudian pandang barisan jumlahan parsial dari barisan tersebut

\begin{align}
&1, \, 3, \, 11, \, 17, \, 33, \, 43, \, 67, \, 81, \, 113, \, \ldots \\
&1, \, 1 + 3, \, 1 + 3 + 11, \, 1 + 3 + 11 + 17, \, 1 + 3 + 11 + 17 + 33, \, \ldots \\
&1, \, 4, \, 15, \, 32, \, 65, \, 108, \, 175, \, 256, \, 369, \, \ldots
\end{align}

lalu hilangkan setiap bilangan pada posisi yang berkelipatan 2.

\begin{align}
&1, \, \cancel{4}, \, 15, \, \cancel{32}, \, 65, \, \cancel{108}, \, 175, \, \cancel{256}, \, 369, \, \ldots \\
&1, \, 15, \, 65, \, 175, \, 369, \, 671, \, \ldots
\end{align}

Terakhir, pandang barisan jumlahan parsial dari barisan tersebut

\begin{align}
&1, \, 15, \, 65, \, 175, \, 369, \, 671, \, \ldots \\
&1, \, 1 + 15, \, 1 + 15 + 65, \, 1 + 15 + 65 + 175, \, 1 + 15 + 65 + 175 + 369, \ldots \\
&1, \, 16, \, 81, \, 256, \, 625, \, \ldots
\end{align}

yang merupakan barisan dari perpangkatan 4

1^4, \, 2^4, \, 3^4, \, 4^4, \, 5^4, \, \ldots

### Variasi
Jika bilangan yang dihilangkan ialah bilangan dengan posisi bilangan segitiga dari setiap barisan, maka prosedur serupa akan menghasilkan barisan bilangan faktorial

1!, \, 2!, \, 3!, \, 4!, \, 5!, \, \ldots

## Referensi

## Pranala luar
*