Grup terurut

Dalam aljabar abstrak, **grup berurutan** adalah grup (* G *, +) dilengkapi dengan urutan parsial "≤" yaitu * translation-invariant *; dengan kata lain, "≤" memiliki properti itu, untuk semua * a *, * b *, dan *g* pada *G*, jika *a* ≤ *b* kemudian *a* + *g* ≤ *b* + *g* dan *g* +* a* ≤ *g* +* b*.

Sebuah elemen * x * dari * G * disebut **elemen positif** jika 0 ≤ *x*. Himpunan elemen 0 ≤ * x * sering dilambangkan dengan *G*+, dan itu disebut **kerucut positif ''G***. Jadi kita punya  [[jika dan hanya jika]] 

Berdasarkan definisi tersebut, kita dapat mengurangi urutan parsial menjadi sifat monad: * a * ≤ * b * jika dan hanya jika 0 ≤ -*a* + *b*.

Untuk grup umum * G *, keberadaan kerucut positif menentukan urutan pada * G *. Grup * G * adalah grup yang diurutkan sebagian jika dan hanya jika terdapat subset * H * (yaitu *G*<sup>+</sup>) dari * G * sedemikian rupa sehingga:
* 0 ∈ *H*
* jika *a* ∈ *H* dan *b* ∈ *H* kemudian *a* + *b* ∈ *H*
* if *a* ∈ *H* kemudian -*x* + *a* + *x* ∈ *H* untuk *x* dari *G*
* if *a* ∈ *H* dan -*a* ∈ *H* kemudian *a* = 0

Grup yang dipesan sebagian * G * dengan kerucut positif *G*<sup>+</sup> dikatakan *'tidak berlubang** jika '' n '' · ''g'' ∈ ''G''<sup>+</sup> untuk beberapa [[bilangan bulat]] positif '' n '' menyiratkan ''g'' ∈ ''G''<sup>+</sup>. Menjadi tidak berlubang berarti tidak ada "celah" di kerucut positif ''G''<sup>+</sup>.

Jika orde pada grup adalah [[urutan linear]], maka dikatakan sebagai [[grup urutan linear]].
Jika urutan pada grup adalah [[urutan kisi]], yaitu dua elemen memiliki batas atas terkecil, maka itu adalah **grup kisi** (singkatnya **l-group**, meskipun biasanya diketik dengan [[Jenis huruf skrip|skrip]] l: ℓ-grup).

**Grup Riesz** adalah grup terurut sebagian tidak berlubang dengan properti sedikit lebih lemah daripada grup berurutan kisi. Yaitu, grup Riesz memenuhi **properti interpolasi Riesz*': if *x*<sub>1</sub>, *x*<sub>2</sub>, *y*<sub>1</sub>, *y*<sub>2</sub> adalah elemen * G * dan *xi* ≤ *yj*, lalu ada * z * ∈ * G * dirumuskan *xi* ≤ *z* ≤ *yj*.

Jika * G * dan * H * adalah dua grup yang diurutkan sebagian, peta dari * G * hingga * H * adalah * morfisme grup yang diurutkan sebagian * jika keduanya adalah [[grup homomorfisme]] dan [[fungsi monotonik]]. Grup yang berurutan sebagian, bersama dengan gagasan morfisme ini, membentuk [[teori kategori|kategori]].

Grup yang diurutkan sebagian digunakan dalam definisi [[Valuasi (aljabar)|penilaian]] dari [[bidang (matematika)|bidang]].

== Lihat juga ==
* [[Gelanggang terurut sebagian]]
* [[Grup urutan linear]]
* [[Grup urutan siklus]]
* [[Grup urutan tertutup secara integral]]

== Referensi ==

*M. Anderson and T. Feil, *Lattice Ordered Groups: an Introduction*, D. Reidel, 1988.
*M. R. Darnel, *The Theory of Lattice-Ordered Groups*, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 187, Marcel Dekker, 1995.
*L. Fuchs, *Partially Ordered Algebraic Systems*, Pergamon Press, 1963.
*A. M. W. Glass, *Ordered Permutation Groups*, London Math. Soc. Lecture Notes Series 55, Cambridge U. Press, 1981.
*V. M. Kopytov and A. I. Kokorin (trans. by D. Louvish), *Fully Ordered Groups*, Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
*V. M. Kopytov and N. Ya. Medvedev, *Right-ordered groups*, Siberian School of Algebra and Logic, Consultants Bureau, 1996.
*V. M. Kopytov and N. Ya. Medvedev, *The Theory of Lattice-Ordered Groups*, Mathematics and its Applications 307, Kluwer Academic Publishers, 1994.
*R. B. Mura and A. Rhemtulla, *Orderable groups*, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 27, Marcel Dekker, 1977.
*T.S. Blyth, *Lattices and Ordered Algebraic Structures'', Springer, 2005, , chap. 9.
* G.A. Elliott, On the classification of inductive limits of sequences of semisimple finite-dimensional algebras, J. Algebra, 38 (1976)29-44.

## Pranala luar
* 
* http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Lattice-ordered_group