Bayangan (matematika)

Dalam matematika, **bayangan** () fungsi adalah himpunan dari semua nilai *output* (keluaran) yang dapat dihasilkan.

Lebih umumnya lagi, ketika mencari fungsi f yang diketahui di setiap anggota subhimpunan A dari domainnya akan menghasilkan sebuah himpunan, dan hal tersebut dikatakan sebagai "**bayangan** *<math>A</math>* di bawah fungsi." Mirip seperti sebelumnya, **prabayangan** () subhimpunan B dari kodomain f adalah himpunan semua anggota dari domain yang memetakan ke anggota B.

Bayangan dan prabayangan tidak hanya dapat didefinisikan untuk fungsi, tetapi juga untuk relasi biner.

## Definisi
Kata "bayangan" digunakan dalam tiga cara. Dalam definisi ini, f \colon X \to Y menyatakan fungsi f yang memetakan dari himpunan X ke himpunan Y.

;Bayangan anggota
: Jika  x  anggota dari X, maka bayangan x di bawah f, dinotasikan  f(x) , adalah nilai keluaran f untuk argumen x. 

;Bayangan subhimpunan
: Misalkan f\colon X \rightarrow Y adalah fungsi. Bayangan di bawah f dari subhimpunan A \subseteq X adalah himpunan semua f(a) untuk a\in A, diberi notasi f[A]. Definisi ini dapat ditulis menggunakan notasi ungkapan himpunan, yaitu:f[A] = \{ f(x) \mid x \in A \}.Dengan demikian, akan menyebabkan f[\,\cdot\,] : \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y), dengan \mathcal P(S) menyatakan himpunan kuasa dari himpunan S, himpunan yang mengandung semua subhimpunan S. Lihat  di bawah.

;Bayangan fungsi
: Bayangan fungsi adalah bayangan dari seluruh daerah asal fungsi, atau dikenal sebagai ''range'' fungsi. Akan tetapi, hindari penggunaan kata "range" sebab dapat diartikan sebagai kodomain f.

;Perumuman bayangan fungsi ke relasi biner
: Jika R menyatakan sebarang relasi biner di perkalian Cartesius X dan Y, dinotasikan X \times Y, maka himpunan \{y \in Y \mid xRy \text{ untuk beberapa } x \in X \} disebut bayangan atau *range*  R . Himpunan \{x \in X \mid xRy \text{ untuk beberapa } y \in Y \} disebut daerah asal R.

## Prabayangan fungsi
Misalkan f adalah fungsi yang dipetakan dari X ke Y. **Prabayangan** dari hmpunan B \subseteq Y di bawah f, diberi notasi f^{-1}[B], adalah subhimpunan X yang didefinisikan denganf^{-1}[ B ] = \{ x \in X \,:\, f(x) \in B \}.Terdapat notasi lain untuk prabayangan fungsi, seperti f^{-1}(B) dan f^{-}(B). Prabayangan fungsi dari himpunan singleton, yang dilambangkan dengan f^{-1}[\{ y \}] atau f^{-1}[y], juga disebut sebagai fiber, atau fiber atas y, atau himpunan aras dari y. Himpunan dari semua fiber atas anggota Y merupakan keluarga himpunan dengan indeks Y.

## <span id="Notasi">Notasi</span> untuk bayangan dan prabayangan
Pemakaian notasi di bagian sebelumnya dapat membingungkan. Oleh karena itu, terdapat notasi alternatif yang memberikan nama eksplisit  untuk bayangan dan prabayangan sebagai fungsi di antara himpunan kuasa:
;Notasi panah
: f^\rightarrow:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(Y) dengan f^\rightarrow(A) = \{ f(a)\;|\; a \in A\}
: f^\leftarrow:\mathcal{P}(Y)\rightarrow\mathcal{P}(X) dengan f^\leftarrow(B) = \{ a \in X \;|\; f(a) \in B\}
;Notasi bintang
: f_\star:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(Y) sebagai pengganti f^\rightarrow
: f^\star:\mathcal{P}(Y)\rightarrow\mathcal{P}(X) sebagai pengganti f^\leftarrow
;Notasi lain
: Notasi lain untuk f[A] yang digunakan dalam logika matematika dan teori himpunan adalah 'f^{\prime\prime} A. 
## Sifat-sifat

### Sifat-sifat umum

Untuk setiap fungsi f : X \rightarrow Y dan semua himpunan bagian A \subseteq X and B \subseteq Y, berlaku sifat-sifat berikut:

Juga:

* f(A) \cap B = \varnothing jika dan hanya jika A \cap f^{-1}(B) = \varnothing

### Fungsi banyak

Untuk fungsi f : X \rightarrow Y dan g : Y \rightarrow Z dengan subhimpunan A \subseteq X dan C \subseteq Z, berlaku sifat-sifat berikut:

* (g \circ f)(A) = g(f(A))
* (g \circ f)^{-1}(C) = f^{-1}(g^{-1}(C))

### Subhimpunan daeral asal atau kodomain banyak

Untuk fungsi f : X \rightarrow Y dan subhimpunan A_1,A_2 \subseteq X and B_1,B_2 \subseteq Y, berlaku sifat-sifat berikut:

Hasil tersebut tidak hanya mengaitkan bayangan dan prabayangan dengan pasang subhimpunan, tetapi juga mengaitkannya dengan aljabar irisan dan gabungan (Boole) untuk setiap koleksi subhimpunan:

* f\left(\bigcup_{s\in S}A_s\right) = \bigcup_{s\in S} f(A_s)
* f\left(\bigcap_{s\in S}A_s\right) \subseteq \bigcap_{s\in S} f(A_s)
* f^{-1}\left(\bigcup_{s\in S}B_s\right) = \bigcup_{s\in S} f^{-1}(B_s)
* f^{-1}\left(\bigcap_{s\in S}B_s\right) = \bigcap_{s\in S} f^{-1}(B_s)
S dapat berupa himpunan tak terhingga, bahkan tak terhitung.)

Fungsi bayangan invers adalah homomorfisme kekisi terhadap aljabar himpunan bagian seperti yang dijelaskan sebelumnya, sedangkan fungsi bayangan hanyalah homomorfisme semikekisi (dalam artian, tidak selalu mempertahankan irisan himpunan).

## Lihat pula
* Kernel fungsi
* Inversi himpunan

## Catatan

## Referensi
* 
* .
*  
* 

* 
*