Logaritma kompleks

Pada matematika, **logaritma kompleks** adalah generalisasi dari logaritma alami dari bilangan kompleks tak nol. Istilah ini merujuk pada salah satu dari penjelasan berikut, yang saling berhubungan:

* Logaritma kompleks dari bilangan kompleks  tak nol, yang didefinisikan sebagai bilangan kompleks , yaitu . Bilangan  diberikan oleh . Jika  dituliskan dalam bentuk polar , dengan  dan  adalah bilangan riil dan , maka  adalah satu logaritma dari . Seluruh logaritma kompleks dari  adalah bilangan dalam bentuk  untuk bilangan bulat . Nilai logaritma tersebut berjarak sama sepanjang garis vertikal pada bidang kompleks.
* Fungsi bernilai kompleks  didefinisikan pada beberapa subhimpunan  dari himpunan  dari bilangan kompleks tak nol, menyelesaikan  untuk semua  pada . Fungsi logaritma kompleks tersebut beranalogi pada fungsi logaritma riil , yaitu fungsi invers dari fungsi eksponensial riil yang maka dapat menyelesaikan  untuk seluruh bilangan riil positif . Fungsi logaritma kompleks dapat dibentuk dengan formula eksplisit yang melibatkan fungsi bernilai riil, dengan mengintegralkan , atau dengan proses pengontinuan analitik.

Tidak ada fungsi logaritma kompleks kontinu yang didefinisikan pada seluruh . Cara untuk menyelesaikannya, yaitu dengan percabangan, bidang Riemann terkait, dan invers setengah dari fungsi eksponensial kompleks. *Nilai pokok* mendefinisikan fungsi logaritma khusus  yang kontinu kecuali di sepanjang sumbu riil negatif. Pada bidang kompleks dengan menghilangkan bilangan riil negatif dan 0, ini adalah pengontinuan analitik dari logaritma alami (riil).

## Aplikasi
* Logaritma kompleks diperlukan untuk mendefinisikan eksponensiasi yang memiliki bilangan kompleks sebagai bilangan pokoknya. Yaitu, jika  dan  adalah bilangan kompleks dengan , kita dapat menggunakan nilai pokok untuk mendefinisikan . Operator  juga dapat diubah menjadi logaritma lain dari  untuk mendapatkan nilai dari , membedakan dari faktor terhadap bentuk . Ekspresi  memiliki nilai tunggal jika dan hanya jika  adalah bilangan bulat.
* Karena fungsi trigonometri dapat diekspresikan sebagai fungsi rasional dari , fungsi invers trigonometri dapat diekspresikan dalam bentuk logaritma kompleks.
* Di teknik listrik,  melibatkan logaritma kompleks.

## Generalisasi
### Logaritma dengan bilangan pokok yang lain
Seperti bilangan riil, bilangan pokok  dan antilogaritma  dapat didefinisikan sebagai bilangan kompleks, sebagai berikut:

dengan perbedaan, yaitu nilainya bergantung pada percabangan yang dipilih untuk logaritma yang didefinisikan pada  dan  (dengan ). Misalnya, menggunakan nilai pokok memberikan:

### Logaritma pada fungsi holomorfik
Jika  adalah fungsi holomorfik pada subhimpunan  dari  yang terkoneksi, maka cabang dari  pada  adalah fungsi kontinu  pada  sehingga  untuk semua  di . Fungsi  tersebut harus berupa fungsi holomorfik dengan  untuk semua  di .

Jika  adalah subhimpunan terbuka yang terkoneksi sederhana dari , dan  adalah fungsi holomorfik yang tidak hilang di mana pun pada , maka cabang dari  didefinisikan pada  dapat dibangun dengan memilih titik awal  pada , memilih logaritma  dari , dan mendefinisikan

:g(z) = b + \int_a^z \frac{f'(w)}{f(w)}\,dw

untuk setiap  pada .

## Referensi

### Kutipan

### Daftar pustaka

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*