Ukuran pencacahan

Dalam matematika, lebih tepatnya teori ukur, **ukuran pencacahan** adalah cara yang intuitif untuk memberikan ukuran pada sembarang himpunan – "ukuran" dari suatu himpunan bagian ialah banyaknya elemen pada himpunan bagian tersebut, jika himpunan bagiannya merupakan himpunan berhingga, dan takhingga <math>\infty</math> jika himpunan bagiannya merupakan himpunan takhingga.

ukuran pencacahan dapat didefinisikan pada sembarang ruang terukur (yaitu, sembarang himpunan X beserta suatu aljabar sigma) namun sering kali digunakan untuk himpunan terhitung.

Dengan notasi formal, setiap himpunan X dapat diubah menjadi suatu ruang terukur dengan mengambil himpunan kuasa dari X sebagai aljabar sigma \mathcal{F}; dengan kata lain, seluruh himpunan bagian dari X merupakan himpunan terukur. Ukuran pencacahan \mu pada ruang terukur \left( X, \, \mathcal{F} \right) ini ialah suatu fungsi \mu \colon \mathcal{F} \to \left[ 0, \, \infty \right] dengan definisi
\mu \! \left( A \right) = \begin{cases}
\left| A \right| &\text{jika } A \text{ himpunan berhingga} \\
\infty &\text{jika } A \text{ himpunan takhingga}
\end{cases}
untuk setiap A \in \mathcal{F}, dengan \left| A \right| menyatakan kardinalitas dari himpunan A.

Ukuran pencacahan pada \left( X, \, \mathcal{F} \right) bersifat berhingga sigma jika dan hanya jika ruang X merupakan himpunan terhitung.

## Pengintegralan pada <math>\mathbb{N}</math> dengan ukuran pencacahan
Diberikan suatu ruang ukuran \left( \mathbb{N}, \, \mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right), \, \mu \right), dengan \mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right) menyatakan himpunan seluruh himpunan bagian dari \mathbb{N} dan \mu adalah ukuran pencacahan. Ambil sembarang fungsi terukur f \, \colon \, \mathbb{N} \to \left[ 0, \, \infty \right]. Oleh karena fungsi f terdefinisi pada \mathbb{N}, maka dengan menggunakan fungsi indikator, fungsi f dapat dinyatakan titik-demi-titik sebagai
\begin{align}
f \! \left( x \right) &= \sum_{n \, = \, 1}^{\infty} f \! \left( n \right) \cdot 1_{\left\{ n \right\}} \! \left( x \right) \\
&= \lim_{k \, \to \, \infty} \sum_{n \, = \, 1}^{k} f \! \left( n \right) \cdot 1_{\left\{ n \right\}} \! \left( x \right) \\
&= \lim_{k \, \to \, \infty} F_k \! \left( x \right)
\end{align}
dengan F_k \! \left( x \right) := \sum_{n \, = \, 1}^{k} f \! \left( n \right) \cdot 1_{\left\{ n \right\}} \! \left( x \right). Perhatikan bahwa setiap fungsi F_k merupakan fungsi terukur, dan berlaku pertidaksamaan
\begin{align}
f \! \left( k + 1 \right) \cdot 1_{\left\{ k + 1 \right\}} \! \left( x \right) &\geq 0 \\
\left( \sum_{n \, = \, 1}^{k} f \! \left( n \right) \cdot 1_{\left\{ n \right\}} \! \left( x \right) \right) + f \! \left( k + 1 \right) \cdot 1_{\left\{ k + 1 \right\}} \! \left( x \right) &\geq \sum_{n \, = \, 1}^{k} f \! \left( n \right) \cdot 1_{\left\{ n \right\}} \! \left( x \right) \\
F_{k + 1} \! \left( x \right) &\geq F_k \! \left( x \right)
\end{align}
Oleh karena setiap fungsi F_k merupakan fungsi sederhana
\begin{align}
\int_{\mathbb{N}} F_k \! \left( x \right) \, \text{d} \mu &= \int_{\mathbb{N}} \left( \sum_{n \, = \, 1}^{k} f \! \left( n \right) \cdot 1_{\left\{ n \right\}} \! \left( x \right) \right) \, \text{d} \mu \\
&= \sum_{n \, = \, 1}^{k} f \! \left( n \right) \, \mu \! \left( \left\{ n \right\} \right) \\
&= \sum_{n \, = \, 1}^{k} f \! \left( n \right) \cdot 1 \\
&= \sum_{n \, = \, 1}^{k} f \! \left( n \right)
\end{align}
maka menurut teorema kekonvergenan monoton,
\begin{align}
\int_{\mathbb{N}} f \, \text{d} \mu &= \lim_{k \, \to \, \infty} \int_{\mathbb{N}} F_k \, \text{d} \mu \\
&= \lim_{k \, \to \, \infty} \sum_{n \, = \, 1}^{k} f \! \left( n \right) \\
&= \sum_{n \, = \, 1}^{\infty} f \! \left( n \right)
\end{align}

## Konstruksi umum
Ukuran pencacahan merupakan kasus khusus dari suatu konstruksi umum. Dengan menggunakan notasi di atas, setiap fungsi f \, \colon \, X \to \left[ 0, \, \infty \right) dapat digunakan untuk mendefinisikan ukuran \mu pada ruang terukur \left( X, \, \mathcal{F} \right) melalui
\mu \! \left( A \right) = \sum_{a \, \in \, A} f \! \left( a \right) \qquad \text{ untuk setiap } A \subseteq X
Jika A merupakan himpunan takterhitung, maka jumlahan takterhitung dari bilangan-bilangan riil didefinisikan sebagai supremum dari semua himpunan bagian berhingga, yaitu
\sum_{c \, \in \, I \, \subseteq \,\mathbb{R}} c := \sup_{H \subseteq I, \, |H| 
Jika f(x) = 1 untuk setiap x \in X, maka \mu merupakan ukuran pencacahan.

## Lihat juga
* Ukuran pencacahan acak
* Fungsi himpunan

## Refereni