Fungsi hiperbolik invers

Dalam matematika, **fungsi hiperbolik invers** merupakan fungsi invers dari fungsi hiperbolik.

## Notasi
Asal-usul prefiks **ar-** berasal dari singkatan dari notasi fungsi hiperbolik yang serupa (seperti, arsinh dan arcosh) berdasarkan ISO 80000-2. Prefiks **arc-** yang berasal dari fungsi hiperbolik yang serupa (seperti, arcsinh dan arccosh) juga sering kali dipakai berdasarkan penamaan fungsi invers trigonometri. Namun sayangnya, pemakaian kedua prefiks tersebut keliru sebab prefiks *arc* merupakan singkatan dari *arcus*, sedangkan prefiks *ar* merupakan singkatan dari *area* (). Karena itu, fungsi hiperbolik secara tidak langsung dikaitkan dengan busur.

Notasi seperti , , dst. juga dipakai sebagai penggantinya. Namun sayangnya, superskrip −1 membingungkan para pembaca karena dapat diartikan sebagai perpangkatan atau fungsi invers (sebagai contoh, bandingkan  dengan 

## Definisi fungsi invers hiperbolik dalam logaritma
Karena fungsi hiperbolik merupakan fungsi rasional dari , dengan derajat pada pembilang maupun penyebut setidaknya bernilai dua, fungsi-fungsi tersebut dapat diselesaikan dalam bentuk  dengan menggunakan rumus kuadratik. Maka, dengan mengambil logaritma alami akan memberikan ekspresi berikut untuk fungsi hiperbolik invers.

## Rumus penambahan

: \operatorname{arsinh} u \pm \operatorname{arsinh} v = \operatorname{arsinh} \left(u \sqrt{1 + v^2} \pm v \sqrt{1 + u^2}\right)

: \operatorname{arcosh} u \pm \operatorname{arcosh} v = \operatorname{arcosh} \left(u v \pm \sqrt{(u^2 - 1) (v^2 - 1)}\right)

: \operatorname{artanh} u \pm \operatorname{artanh} v = \operatorname{artanh} \left( \frac{u \pm v}{1 \pm uv} \right)

: \operatorname{arcoth} u \pm \operatorname{arcoth} v = \operatorname{arcoth} \left( \frac{1 \pm uv}{u \pm v} \right)

: \begin{align}\operatorname{arsinh} u + \operatorname{arcosh} v & = \operatorname{arsinh} \left(u v + \sqrt{(1 + u^2) (v^2 - 1)}\right) \\
                                                                      & = \operatorname{arcosh} \left(v \sqrt{1 + u^2} + u \sqrt{v^2 - 1}\right) \end{align}

## Identitas lainnya

: 
\begin{align}
2\operatorname{arcosh}x&=\operatorname{arcosh}(2x^2-1)      &\quad \hbox{ for }x\geq 1 \\
4\operatorname{arcosh}x&=\operatorname{arcosh}(8x^4-8x^2+1) &\quad \hbox{ for }x\geq 1 \\
2\operatorname{arsinh}x&=\operatorname{arcosh}(2x^2+1)      &\quad \hbox{ for }x\geq 0 \\
4\operatorname{arsinh}x&=\operatorname{arcosh}(8x^4+8x^2+1) &\quad \hbox{ for }x\geq 0 
\end{align}


: 
\ln(x) = \operatorname{arcosh} \left( \frac{x^2 + 1}{2x}\right)  = \operatorname{arsinh} \left( \frac{x^2 - 1}{2x}\right)
= \operatorname{artanh} \left( \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right)


## Komposisi dari fungsi hiperbolik dan fungsi hiperbolik invers

: \begin{align}
 &\sinh(\operatorname{arcosh}x) = \sqrt{x^{2} - 1}  \quad \text{untuk} \quad |x| > 1 \\
 &\sinh(\operatorname{artanh}x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{untuk} \quad -1  1
\end{align}

## Komposisi dari fungsi invers hiperbolik dan fungsi trigonometri

: 
  \operatorname{arsinh} \left( \tan  \alpha \right)
= \operatorname{artanh} \left( \sin  \alpha  \right)
= \ln\left( \frac{ 1 + \sin  \alpha }{ \cos  \alpha } \right)
= \pm \operatorname{arcosh} \left( \frac {1} {\cos \alpha  }\right)


: 
  \ln \left( \left| \tan  \alpha \right|\right)
= -\operatorname{artanh} \left( \cos  2 \alpha  \right)


## Konversi

: 
  \ln x = \operatorname{artanh} \left( \frac{x^2-1}{x^2+1}\right)
= \operatorname{arsinh} \left( \frac{x^2-1}{2 x}\right)
= \pm \operatorname{arcosh} \left( \frac{x^2+1}{2 x}\right)


: 
  \operatorname{artanh} x
= \operatorname{arsinh} \left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)
= \pm \operatorname{arcosh} \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)


: 
  \operatorname{arsinh} x
= \operatorname{artanh} \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)
= \pm \operatorname{arcosh} \left( \sqrt{1+x^2}\right)


: 
  \operatorname{arcosh} x
= \left| \operatorname{arsinh} \left( \sqrt{x^2-1}\right) \right|
=  \left| \operatorname{artanh} \left(  \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}
\right) \right|


## Turunan

: 
\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsinh} x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \text{ untuk semua bilangan real } x\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcosh} x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \text{ untuk semua bilangan real } x>1\\
\frac{d}{dx} \operatorname{artanh} x & {}= \frac{1}{1-x^2}, \text{ untuk semua bilangan real } |x|1\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech} x & {}= \frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}, \text{ untuk semua bilangan real } x \in (0,1)\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch} x & {}= \frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}, \text{ untuk semua bilangan real } x\text{, kecuali } 0\\
\end{align}

Sebagai contoh, misalkan 
\theta = \operatorname{arsinh} x, maka \frac{d\,\operatorname{arsinh} x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.dengan 
\sinh^2 \theta = (\sinh \theta)^2.

## Ekspansi deret
Ekspansi deret dapat diperoleh untuk fungsi-fungsi di atas:

: \begin{align}\operatorname{arsinh} x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} \pm\cdots \\
                       & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {2n+1} , \qquad \left| x \right| 

: \begin{align}\operatorname{arcosh} x & = \ln(2x) - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right) \\
                      & = \ln(2x) - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {2n} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align} 

: \begin{align}\operatorname{artanh} x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {2n+1} , \qquad \left| x \right| 

: \begin{align}\operatorname{arcsch} x = \operatorname{arsinh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} \pm\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {2n+1} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align} 

: \begin{align}\operatorname{arsech} x = \operatorname{arcosh} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) \\
                      & = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 

: \begin{align}\operatorname{arcoth} x = \operatorname{artanh} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {2n+1} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align} 

Ekspansi asimtotik untuk fungsi 
\operatorname{arsinh} x dinyatakan dengan

: \operatorname{arsinh} x = \ln(2x) + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac} \frac{1}

## Referensi


## Bibilografi

* Herbert Busemann and Paul J. Kelly (1953) *Projective Geometry and Projective Metrics*, page 207, Academic Press.

## Pranala luar

*