Relasi ekuivalensi

Dalam matematika, **relasi ekuivalensi** adalah relasi biner yang bersifat refleksif, simetris dan transitif. Relasi "sama dengan" merupakan contoh dasar dari relasi ekuivalensi, di mana untuk sembarang objek , , dan :
*  (sifat reflektif),
* jika  maka  (sifat simetris), dan
* jika  dan  maka  (sifat transitif).

Sebagai akibat dari sifat refleksif, simetris, dan transitif, semua relasi ekuivalensi dapat menghasilkan partisi dari himpunan pendasar menjadi kelas-kelas ekuivalensi yang saling lepas. Dua anggota dari suatu himpunan disebut ekuivalen jika dan hanya jika mereka merupakan anggota kelas ekuivalensi yang sama.

## Notasi
Berbagai notasi digunakan untuk menunjukkan bahwa dua anggota himpunan  dan  bersifat ekuivalen terhadap relasi ekuivalen ; biasanya "" dan "", yang digunakan ketika  bersifat tersirat, dan variasi "", "", atau "" untuk menyebutkan  secara tersurat. Sifat tidak ekuivalen bisa ditulis "" atau "a \not\equiv b".

## Definisi
Suatu relasi biner ~ pada himpunan *X* disebut merupakan relasi ekuivalensi jika dan hanya jika bersifat reflektif, simetris dan transitif. Artinya, untuk semua *a*, *b* dan *c* dalam *X*:
**a* ~ *a*. (Reflektivitas)
**a* ~ *b* jika dan hanya jika *b* ~ *a*. (Simetri)
*jika *a* ~ *b* dan *b* ~ *c* maka *a* ~ *c*. (Transitivitas)

*X* bersama dengan relasi ~ disebut sebuah setoid. Kelas ekuivalensi dari a di bawah ~, dilambangkan dengan [a], didefinisikan sebagai [a] = \{b\in X \mid a\sim b\}.

## Contoh

### Contoh sederhana
Anggap himpunan \{a,\, b, \, c\} memiliki relasi ekuivalensi \{(a,a),\,(b,b),\,(c,c),\,(b,c),\,(c,b)\}. Himpunan [a]=\{a\}  dan [b]=[c]=\{b,c\} adalah kelas ekuivalensi dari relasi ini.

Himpunan dari semua kelas ekuivalensi untuk relasi ini adalah \{\{a\},\,\{b,\,c\}\}. Himpunan ini adalah partisi dari himpunan \{a,\, b, \, c\}.

### Relasi ekuivalensi
Relasi-relasi berikut adalah contoh lain dari relasi ekuivalensi:

* "sama dengan" pada himpunan bilangan. Sebagai contoh, \tfrac{1}{2} sama dengan \tfrac{4}{8}.
* "memiliki tanggal ulang tahun yang sama dengan" pada himpunan orang-orang.
* "kongruen dengan" pada himpunan semua segitiga.
* "kongruen modulo *n* dengan" pada bilangan bulat.
* "Memiliki nilai mutlak yang sama dengan" pada himpunan bilangan real.
* "Memiliki nilai kosinus yang sama dengan" pada himpunan semua sudut.

### Relasi yang bukan ekuivalensi

* Relasi "≥" antara dua bilangan real bersifat reflektif dan transitif, tetapi tidak simetris. Sebagai contoh, 7 ≥ 5 tidak mengakibatkan 5 ≥ 7.
* Relasi "memiliki faktor pembagi bersama yang lebih besar dari 1 dengan" antara dua bilangan bulat yang lebih besar dari 1, bersifat reflektif dan simetris, tetapi tidak transitif. Sebagai contoh, bilangan 2 dan 6 sama-sama memiliki faktor bersama yang lebih besar dari 1 (yakni angka 2), bilangan 6 dan 3 juga memiliki bersama yang lebih besar dari 1 (yakni angka 3), tetapi 2 dan 3 tidak memiliki faktor bersama yang lebih besar dari 1.

## Kelas ekuivalensi, himpunan hasil bagi, dan partisi
Anggap a,\,b \in X. Ada beberapa definisi

### Kelas ekuivalensi

Sebuah subhimpunan Y dari X
, dengan a \sim b tetap berlaku untuk semua a,\,b \in Y namun tidak pernah ketika a\in Y \ \ \text{dan} \ \ b\notin Y, disebut sebagai sebuah **kelas ekuivalensi ''<math>\sim
</math>*** dari <math>X
</math>. Anggap <math>[a] := \{x\in X \,|\, a\sim x\}</math> menyatakan kelas ekuivalensi yang berisi elemen <math>a
</math>. Semua elemen di <math>X
</math> yang saling ekuivalen menjadi anggota pada kelas ekuivalensi yang sama.

=== Himpunan hasil bagi ===

Himpunan semua kelas ekuivalensi ***<math>\sim
</math>*** dari <math>X
</math>, yang dinyatakan sebagai <math>X/\mathord{\sim} := \{[x] \mid x \in X\}</math> , adalah [[himpunan hasil bagi]] ***<math>\sim
</math>*** dari <math>X
</math>. Jika ***<math>X
</math>*** adalah [[ruang topologi]]s, ada cara mudah mengubah <math>X/\mathord{\sim}</math> menjadi ruang topologis. Lihat [[ruang hasil bagi]] untuk detailnya.

== Teorema dasar relasi ekuivalensi ==
Salah satu hasil penting yang menghubungkan relasi ekuivalensi dan partisi adalah:

* Relasi ekuivalensi *\sim
* pada himpunan <math>X
</math> mempartisi himpunan <math>X
</math> tersebut.
* Kebalikannya, untuk setiap partisi himpunan <math>X
</math>, terdapat suatu relasi ekuivalensi *\sim
'' yang sesuai pada himpunan X
.

Anggap Y
 sebagai partisi dari X
. Pada kedua kasus, sebuah himpunan di Y
 adalah kelas ekuivalensi \sim
 dari X
. Karena setiap elemen di X
 terletak di tepat satu himpunan di Y
, dan karena setiap himpunan di Y
 identik ke kelas ekuivalensi \sim
 dari X
, maka setiap elemen di X
 terletak di tepat satu kelas ekuivalensi \sim
 dari X
. Dengan demikian, terdapat bijeksi antara himpunan semua relasi ekuivalensi di X
 dengan himpunan semua partisi dari X
.

## Referensi


## Pranala luar
* 
* Equivalence relation di PlanetMath