Pusat kongruensi Yff

Dalam geometri, **pusat kongruensi Yff** () merupakan sebuah titik khusus yang dikaitkan dengan sebuah segitiga. Titik khusus tersebut merupakan sebuah titik pusat di segitiga. Peter Yff memulai kajian pusat segitiga ini pada tahun 1987.
## Penyama kaki
**Penyama kaki** () sudut A dalam segitiga ABC merupakan suatu garis yang memotong titik P_1 dan Q_1, dengan P_1 terletak di AB dan Q_1 terletak di AC, sehingga segitiga AP_1Q_1 adalah segitiga sama kaki. Penyama kaki sudut A merupakan garis yang tegak lurus dengan garis bagi sudut A. Penyama kaki ini ditemukan oleh Peter Yff pada tahun 1963.

## Segitiga pusat Yff
Misalkan ABC menyatakan sebarang segitiga. Misalkan pula P_1Q_1 menyatakan penyama kaki sudut A, P_2Q_2 menyatakan penyama kaki sudut B, dan P_3Q_3 menyatakan penyama kaki sudut C. Misalkan A'B'C' menyatakan segitiga yang dibentuk oleh tiga penyama kaki. Empat segitiga A'P_2Q_3, Q_1B'P_3, P_1Q_2C', dan A'B'C' selalu sebangun

Terdapat sebuah himpunan tunggal dari tiga penyama kaki P_1Q_1, P_2Q_2, P_3Q_3 sehingga empat segitiga A'P_2Q_3, Q_1B'P_3, P_1Q_2C', dan A'B'C' adalah kongruen. Dalam kasus istimewa ini, segitiga A'B'C' yang dibentuk oleh tiga penyama kaki disebut **segitiga pusat Yff** dari segitiga ABC.

Lingkaran luar dari segitiga pusat Yff disebut **lingkaran pusat Yff** dari segitiga.

## Pusat kongruensi Yff

Misalkan ABC menyatakan sebarang segitiga. Misalkan P_1Q_1, P_2Q_2, P_3Q_3 menyatakan penyama kaki dari sudut A, B, C sehingga segitiga A'B'C' yang dibentuk olehnya adalah segitiga pusat Yff dari segitiga ABC. Ketiga penyama kaki  P_1Q_1, P_2Q_2, P_3Q_3 sejajar dan digeser secara kontinu, sehingga akan mengakibatkan ketiga segitiga A'P_2Q_3, Q_1B'P_3, P_1Q_2C' selalu kongruen dengan satu sama lain, sampai segitiga A'B'C' dibentuk oleh perpotongan dari penyama kaki yang mereduksi ke sebuah titik. Titik di segitiga A'B'C' yang direduksi disebut **pusat kongruensi Yff** segitiga ABC.

## Sifat-sifat

* Pusat kongruensi Yff mempunyai koordinat trilinear, yaitu  \left(\sec \left(\frac{A}{2} \right), \sec \left( \frac{B}{2} \right), \sec \left(\frac{C}{2} \right) \right)
* Sebarang segitiga ABC merupakan segitiga yang dibentuk oleh garis, dan garis tersebut secara eksternal bersinggungan dengan tiga lingkaran singgung luar dari segitiga pusat Yff dari ABC.
* Misalkan I menyatakan lingkaran dalam dari ABC. Misalkan D menyatakan sebuah titik di sisi BC sehingga \angle BID = \angle DIC, E menyatakan sebuah titik yang berada di sisi CA sehingga \angle CIE = \angle EIA, dan F menyatakan sebuah titik yang berada di sisi AB sehingga \angle AIF = \angle FIB. Maka garis AD, BE, dan CF setumpu di pusat kongruensi Yff. Dengan adanya fakta ini, akan memberikan konstruksi geometris untuk menemukan pusat kongruensi Yff.
* Terdapat sebuah komputer yang membantu pencarian sifat-sifat dari segitiga pusat Yff, dan pencarian tersebut memberikan beberapa hasil yang menarik. Hasil tersebut mempunyai kaitan dengan sifat-sifat dari segitiga pusat Yff.

## Perumuman
Konstruksi geometris untuk menemukan pusat kongruensi Yff memiliki perumuman yang menarik. Perumuman itu dimulai dengan sebarang titik P dalam bidang segitiga ABC. Kemudian, ambil titik D di sisi BC, E di CA, dan F di sisi AB, sehingga \angle BPD = \angle DPC, \angle CPE = \angle EPA, dan \angle APF = \angle FPB. Dengan demikian, perumuman tersebut menegaskan bahwa garis AD, BE, CF setumpu.

## Lihat pula

* Segitiga pusat
* Titik penyama kaki kongruen

## Referensi