Perubahan basis

Dalam aljabar linear, basis terurut memungkinkan setiap elemen pada sebarang ruang vektor berdimensi n dinyatakan dalam bentuk vektor koordinat, yakni suatu barisan n-skalar yang disebut [koordinat]. Untuk dua basis berbeda dari suatu ruang vektor, vektor koordinat yang menyatakan elemen v atas basis pertama, umumnya berbeda dengan vektor koordinat yang menyatakan elemen yang sama, tetapi atas basis yang kedua. **Perubahan basis** adalah tindakan mengubah penyataan-pernyataan matematika pada suatu basis, ke pernyataan-pernyataan yang sepadan pada basis yang lain.

Perubahan basis tersebut dihasilkan dari *rumus perubahan-basis* yang menyatakan koordinat-koordinat relatif pada satu basis dalam bentuk koordinat-koordinat relatif basis yang lainnya. Menggunakan matriks, rumus ini dapat dituliskan sebagai

: \mathbf x_\mathrm{lama} = \mathbf{A} \,\mathbf x_\mathrm{baru},

dengan "lama" dan "baru" masing-masing merujuk pada basis lama dan basis baru, \mathbf x_\mathrm{lama} dan \mathbf x_\mathrm{baru} adalah vektor kolom dari koordinat vektor yang sama menurut kedua basis, dan \mathbf{A} adalah *matriks perubahan-basis* (juga disebut *matriks transisi*) yang kolom-kolomnya menyatakan koordinat vektor-vektor basis lama di basis baru.

Artikel ini fokus membahas ruang vektor dimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan disini juga berlaku pada ruang vektor dimensi tak-hingga.

## Contoh
Misalkan kita ingin menentukan vektor koordinat pada ruang vektor Euklides \mathbb R^2, yang dihasilkan dari rotasi sebesar t. Ruang vektor sebelum dirotasi memiliki basis standar \mathbf{v}_1= (1,0) dan \mathbf{v}_2= (0,1);   sebut ini sebagai basis "lama". Setelah ruang vektor dirotasi, setiap elemen dalam basis tersebut ikut berotasi, dan berubah menjadi \mathbf{w}_1=(\cos t,\,\sin t) dan \mathbf{w}_2=(-\sin t,\,\cos t); sebut ini sebagai basis "baru". Lalu, matriks perubahan basis akibat rotasi dapat dituliskan sebagai\begin{bmatrix}

\cos t& -\sin t\\

\sin t& \cos t

\end{bmatrix}.Rumus perubahan basis menyatakan bahwa, jika (y_1,\, y_2) adalah koordinat baru hasil rotasi dari vektor koordinat (x_1,\,  x_2), maka

: \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

\cos t& -\sin t\\

\sin t& \cos t

\end{bmatrix}\,\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}.

Sehingga,

: x_1=y_1\cos t - y_2\sin t \qquad\text{dan}\qquad x_2=y_1\sin t + y_2\cos t. 

Hubungan tersebut dapat dibuktikan dengan menunjukkan (x_1,\,  x_2) dan (y_1,\, y_2) merujuk pada objek yang sama,

: \begin{align}

x_1\mathbf{v}_1+x_2\mathbf{v}_2 &= (y_1\cos t - y_2\sin t) \mathbf{v}_1  + (y_1\sin t + y_2\cos t) \mathbf{v}_2\\

    &= y_1 (\cos (t) \mathbf{v}_1 + \sin(t)\mathbf{v}_2) + y_2 (-\sin(t) \mathbf{v}_1 +\cos(t) \mathbf{v}_2)\\

    &=y_1\mathbf{w}_1+y_2\mathbf{w}_2.

\end{align}

## Rumus perubahan basis
Misalkan B_\mathrm{lama}=(\mathbf{v}_1,\, \ldots,\,\mathbf{v}_n) adalah basis dari suatu ruang vektor dimensi hingga **' atas suatu [[Lapangan (matematika)|lapangan]] **'. Seorang dapat mendefinisikan n elemen baru \mathbf{w}_j (dengan j=1,\,\dots,\, n) berdasarkan koordinat vektor tersebut a_{i,j}, atas B_\mathrm{lama}\colon 

: \mathbf{w}_j=\sum_{i=1}^n a_{i,j}\mathbf{v}_i.

Misalkan

: \mathbf{A}=\left(a_{i,j}\right)_{i,j}

sebagai matriks yang kolom ke-**'-nya dibentuk dari koordinat <math>\mathbf{w}_j</math>. (Di bagian ini dan seterusnya, indeks **' selalu digunakan untuk merujuk baris di \mathbf{A} dan \mathbf{v}_i, sedangkan indeks **' selalu digunakan untuk merujuk kolom di <math>\mathbf{A}</math> dan <math>\mathbf{w}_j;</math> konvensi ini berguna untuk menghindari kesalahan dalam perhitungan). Barisan terurut <math>B_\mathrm {baru}=(\mathbf{w}_1,\,\ldots,\,\mathbf{w}_n) </math> disebut basis dari **' jika dan hanya jika matriks \mathbf{A} terbalikkan, atau setara dengan itu, jika determinannya tidak bernilai nol. Dalam kasus ini, \mathbf{A} disebut *matriks perubahan basis* dari basis B_\mathrm{lama}  ke basis B_\mathrm {baru}.

Untuk sebarang elemen \mathbf{z}\in V, misalkan (x_1, \ldots, x_n)  adalah koordinat \mathbf{z} atas B_\mathrm{lama} , dan (y_1, \ldots, y_n)  adalah koordinatnya atas B_\mathrm {baru}, kita memiliki hubungan\mathbf{z}=\sum_{i=1}^nx_i\mathbf{v}_i =\sum_{j=1}^ny_j\mathbf{w}_j.Dengan menjabarkan hubungan tersebut,\begin{align}

\mathbf{z}&=\sum_{j=1}^n y_j\mathbf{w}_j\\

 &=\sum_{j=1}^n \left(y_j\sum_{i=1}^n a_{i,j}\mathbf{v}_i\right)\\

 &=\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_{i,j} y_j \right) \mathbf{v}_i.

\end{align}kita dapatkanx_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j}y_j\qquad\text{untuk } i=1,\,\ldots,\,n. Dalam bentuk matriks, *rumus perubahan basis* adalah\mathbf x = \mathbf A\,\mathbf y,dengan \mathbf x dan \mathbf y masing-masing adalah vektor kolom dari koordinat \mathbf z atas s B_\mathrm{lama}  dan atas B_\mathrm {baru}.

## Catatan kaki


## Referensi


## Daftar pustaka

* 

* 

* 

## Pranala luar

* ''MIT Linear Algebra Lecture on Change of Basis'' oleh MIT OpenCourseWare

* *[https://www.youtube.com/watch?v=1j5WnqwMdCk Khan Academy Lecture on Change of Basis]* oleh Khan Academy