Frustum

Dalam geometri, **frustum**, atau **setengah limas** adalah suatu bagian dari bangun ruang seperti kerucut atau limas, yang terletak di antara dua bidang sejajar yang memotongnya. Dalam kasus limas, muka alas berupa poligon, dan muka sisi berupa trapesium. **Frustum siku-siku** adalah limas siku-siku atau kerucut siku-siku terpenggal, yang tegak lurus dengan garis sumbunya. Bangun terpenggal tersebut yang tidak tegak lurus dengan garis sumbunya disebut **frustum bukan siku-siku**.

## Rumus

### Volume
Rumus volume frustum persegi berbentuk limas diperkenalkan oleh matematika Mesir kuno, yang dikenal sebagai Moskow Matematika Papirus, yang ditulis pada dinasti ke-13 (sekitar 1850 SM):V = \frac{h}{3} (a^2 + a b +b^2).dengan a dan b masing-masing menyatakan panjang alas dan panjang sisi di atas, serta h menyatakan tinggi. Orang Mesir mengetahui rumus yang tepat untuk volume limas persegi penggal, tetapi belum ada bukti dari persamaan tersebut dalam papirus Moskow.

Volume frustum kerucut atau limas merupakan volume bangun ruang sebelum mengiris bagian puncaknya, yang kemudian dikurangi volume bagian puncak:V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3},dengan B_1 menyatakan luas alas, dan B_2 menyatakan luas sisi di bagian atas frustum; serta h_1 menyatakan garis tinggi yang tegak lurus dari titik puncak ke alas, dan h_2 menyatakan garis tinggi yang tegak lurus dari titik puncak ke sisi di bagian atas frustum. Dengan memisalkan bahwa\frac{B_1}{h_1^2}=\frac{B_2}{h_2^2}=\frac{\sqrt{B_1 B_2}}{h_1 h_2} = \alpha,maka rumus volume dapat dinyatakan sebagai sepertiga hasil kali kesebandingan \alpha dan selisih kubik dari h_1 dan h_2, yang ditulis sebagaiV = \frac{h_1 \alpha h_1^2 - h_2 \alpha h_2^2}{3} = \frac{\alpha}{3}(h_1^3 - h_2^3).Dengan menggunakan identitas a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2), maka diperoleh V = (h_1 - h_2)\alpha \frac{(h_1^2 + h_1 h_2 + h_2^2)}{3},dengan h = h_1 - h_2 menyatakan tinggi frustum. Kemudian, dengan mendistribusikan \alpha dan mensubstitusikan dari definisinya, rata-rata Heron dari luas B_1 dan B_2 akan memberikan rumus volume frustum lainnya, yaitu:V = \frac{h}{3}(B_1+\sqrt{B_1 B_2}+B_2).

Heron dari Aleksandria adalah seorang matematikawan yang disematkan dengan penemuannya akan rumus volume frustum ini. Dengan menggunakan rumus tersebut, Heron menemukan satuan imajiner, akar kuadrat dari negatif satu.

Secara khusus, volume frustum kerucut melingkar dirumuskan sebagaiV = \frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_1 r_2+r_2^2),dengan \pi adalah konstanta yang bernilai 3,14159265...; serta r_1 menyatakan jari-jari alas, dan r_2 menyatakan jari-jari sisi di bagian atas frustum. Volume frustum limas yang alasnya merupakan poligon (segi-n) beraturan dirumuskan sebagaiV= \frac{nh}{12} (a_1^2+a_1a_2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n},dengan a_1 menyatakan panjang alas dan a_2 menyatakan panjang sisi di bagian atas frustum.
### Luas permukaan
Untuk frustum kerucut melingkar siku-siku, dipunyai\text{Luas permukaan samping} =\pi\left(r_1+r_2\right)s =\pi\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2},dan\text{Luas permukaan total} = \pi (r_1^2+r_2^2 + (r_1+r_2)s) = \pi \left(r_1^2+r_2^2 + (r_1+r_2) \sqrt{(r_1-r_2)^2+h^2}\right),dengan r_1 menyatakan jari-jari alas, dan r_2 menyatakan jari-jari sisi di bagian atas frustum; serta s menyatakan garis tinggi miring frustum. Luas permukaan frustum siku-siku yang alasnya merupakan poligon (segi-n) beraturan dirumuskan sebagaiL = \frac{n}{4} \left[(a_1^2+a_2^2) \cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{(a_1^2-a_2^2)^2 \sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2(a_1+a_2)^2} \right],dengan a_1 dan a_2 menyatakan sisi di dua alas frustum.

## Lihat pula
* Frustum bola

## Referensi