Limit langsung

Dalam matematika, **limit langsung** adalah cara untuk membangun objek (biasanya besar) dari banyak objek (biasanya lebih kecil) yang disatukan dengan cara tertentu. Objek ini mungkin grup, gelanggang, ruang vektor atau dalam objek umum dari kategori. Cara mereka disatukan ditentukan oleh sistem homomorfisme (homomorfisme kelompok, homomorfisme gelanggang, atau secara umum morfisme dalam kategori) di antara objek-objek yang lebih kecil. Limit langsung benda A_i, di mana  i  berkisar di beberapa himpunan terarah I, dilambangkan dengan \varinjlim A_i . (Ini adalah sedikit penyalahgunaan notasi karena menekan sistem homomorfisme yang penting untuk struktur batas.)

Batas langsung adalah kasus khusus dari konsep kolom di teori kategori. Limit langsung adalah ganda sampai limit invers yang juga merupakan kasus khusus limit dalam teori kategori.

## Definisi formal
Pertama kami akan memberikan definisi untuk struktur aljabar seperti grup dan modul, dan kemudian definisi umumnya, yang bisa digunakan dalam setiap kategori

### Limit langsung objek aljabar
Dalam bagian ini objek dipahami terdiri dari himpunan yang mendasari dengan struktur aljabar yang diberikan, sepertikelompok, gelanggang, modul (di atas gelanggang tetap), aljabar (di atas bidang tetap), dll. Dengan pemikiran ini, * [[homomorfisme]] * dipahami dalam pengaturan yang sesuai (grup homomorfisme, dll.) .

Karenanya \langle I,\le\rangle jadilah kumpulan diarahkan dipesan sebagian (perhatikan bahwa tidak semua pengarang memerlukan  untuk diarahkan). Maka  menjadi keluarga objek indeks oleh I\, dan   f_{ij}\colon A_i \rightarrow A_j  menjadi homomorfisme untuk semua i \le j dengan properti berikut:
# f_{ii}\, adalah identitas A_i\, , dan
#**Kondisi kompatibilitas **: f_{ik}= f_{jk}\circ f_{ij} untuk i\le j\le k; maka adalah A_{i} \xrightarrow{f_{ij}}  A_{j} \xrightarrow{f_{jk}} A_{k} \;\; \text{ adalah sama dengan } \;\; A_{i} \xrightarrow{f_{ik}} A_{k}.

Setelah itu pasangan \langle A_{\bull}, f_{ij} \rangle disebut **sistem langsung melalui <math> I </math>**. Peta  disebut **ikatan**, **menghubungkan**, **transisi**, atau **menghubungkan** **peta**/**morfisme** dari sistem. Jika peta ikatan dipahami atau jika tidak perlu memberikan simbol (misalnya seperti dalam pernyataan beberapa teorema) maka peta ikatan akan sering dihilangkan (yaitu tidak tertulis); untuk alasan ini adalah umum untuk melihat pernyataan seperti "maka A_{\bull} menjadi sistem langsung. " 

### Limit langsung dalam kategori sebarang
Batas langsung dapat ditentukan dalam sembarang kategori \mathcal{C} melalui sifat universal. Maka \langle X_i, f_{ij}\rangle menjadi sistem langsung dari objek dan morfisme \mathcal{C} (seperti yang didefinisikan di atas). Sebuah **target** atau **kocone** adalah sepasang \langle X, \phi_i\rangle di mana X\, adalah objek pada \mathcal{C} dan \phi_i \colon X_i \rightarrow X adalah morfisme untuk masing-masing i \in I seperti yang \phi_i = \phi_j \circ f_{ij} bilamana i \le j. **limit** dari sistem langsung \langle X_i, f_{ij}\rangle is a **secara universal menolak target** \langle X, \phi_i\rangle dalam arti itu \langle X, \phi_i\rangle adalah target dan untuk setiap target \langle Y, \psi_i\rangle, ada morfisme yang unik  u\colon X\rightarrow Y seperti yang u\circ \phi_i=\psi_i untuk setiap * i *. Diagram berikut

kemudian akan perjalanan untuk semua *i*, *j*.

Limit langsung sering kali dilambangkan
:X = \varinjlim X_i
dengan sistem langsung \langle X_i, f_{ij}\rangle dan morfisme kanonik \phi_i dipahami.

Tidak seperti objek aljabar, tidak setiap sistem langsung dalam kategori arbitrer memiliki batas langsung. Namun, jika ya, batas langsungnya unik dalam arti yang kuat: diberi batas langsung lain *X*′ ada *unik* isomorfisme *X*′ → *X* yang beralih dengan morfisme kanonik.

## Sifat-sifat
Batas langsung ditautkan ke limit invers melalui

:\mathrm{Hom} (\varinjlim X_i, Y) = \varprojlim \mathrm{Hom} (X_i, Y).

Properti penting adalah bahwa mengambil batasan langsung dalam kategori modul adalah fungsi tepat. Ini berarti bahwa jika Anda mulai dengan sistem terarah dari urutan persis pendek 0 \to A_i \to B_i \to C_i \to 0 dan membentuk limit langsung, Anda mendapatkan urutan persis yang pendek 0 \to \varinjlim A_i \to \varinjlim B_i \to \varinjlim C_i \to 0.

## Terminologi
Dalam literatur ditemukan istilah "batas terarah", "batas induktif langsung", "colimit terarah", "garis batas langsung "dan" batas induktif "untuk konsep batas langsung yang didefinisikan di atas. Istilah" batas induktif "bersifat ambigu, karena beberapa penulis menggunakannya untuk konsep umum kolom.

## Catatan

## Referensi

*  
*  
* 
*  
*  
*