Diferensial (matematika)

Dalam matematika, **diferensial** mengacu pada beberapa notasi/konsep yang saling berhubungan dan berasal dari awal perkembangan ilmu kalkulus. Secara lebih matematis, istilah ini mengacu pada perubahan/selisih yang infinitesimal dan turunan dari fungsi. Istilah ini dipakai dalam berbagai cabang matematika seperti kalkulus, geometri diferensial, geometri aljabar dan topologi aljabar.

## Pendahuluan
Istilah **diferensial** adalah terjemahan dari kata bahasa Inggris *differential*. Secara informal, kata *differential* digunakan dalam kalkulus untuk merujuk suatu perubahan yang infinitesimal ("*infinitely small*", sangat kecil) pada suatu variabel. Sebagai contoh, jika  adalah suatu variabel, maka besar perubahan/selisih dari nilai  sering dinyatakan dengan \Delta x (dibaca sebagai *[[Delta (huruf)|delta]] *). Diferensial  menyatakan perubahan nilai yang sangat kecil pada variabel . Konsep dari perubahan yang sangat kecil cukup intuitif dan memiliki peran yang sangat penting dalam matematika. Ada beberapa cara berbeda untuk mendefinisikan konsep ini secara matematis.

Penggunaan turunan memungkinkan perubahan infinitesimal suatu variabel dinyatakan sebagai perubahan-perubahan infinitesimal dari variabel-variabel lain. Jika  adalah fungsi terhadap , maka diferensial  dari variabel  terhubung dengan  lewat persamaandy = \frac{dy}{dx} \,dx,dengan \tfrac{dy}{dx} \,menyatakan turunan dari  terhadap . Rumus tersebut merangkum ide intuitif bahwa turunan dari  terhadap  adalah limit dari rasio \tfrac{\Delta y}{\Delta x} saat \Delta x menjadi infinitesimal. Terdapat beberapa pendekatan untuk mendefinisikan secara matematis konsep diferensial:

# Diferensial sebagai pemetaan linear. Cara ini mendasari definisi turunan total dan turunan eksterior dalam ilmu geometri diferensial.
# Diferensial sebagai kelas ekuivalensi *germ* dari fungsi-fungsi.
# Diferensial sebagai elemen nilpoten dari gelanggang komutatif. Pendekatan ini populer dalam geometri aljabar.
# Diferensial dalam *smooth model* pada teori himpunan.
# Diferensial sebagai infinitesimals dalam sistem bilangan hiper-real, yakni perluasan bilangan real yang mengandung infinitesimal terbalikkan dan bilangan yang tak hingga besarnya. Cara ini adalah pendekatan analisis non-standar yang dikembangkan oleh Abraham Robinson.

Pendekatan-pendekatan tersebut sangat berbeda satu sama lainnya. Tetapi mereka semua memiliki ide bersifat *kuantitatif*, maksudnya tidak hanya berkata diferensial adalah sesuatu yang sangat kecil, tapi *juga seberapa* kecil dia.

### Notasi dasar
Karena kata diferensial berkembang dalam beberapa cabang kalkulus, diferensial dapat merujuk konsep "perubahan yang sangat kecil" yang berbeda. Dalam kalkulus, diferensial merujuk pada perubahan akibat mencari aproksimasi linear sebuah fungsi.  Konsep diferensial ini diperumum sebagai diferensial total pada fungsi multivariabel. Dalam pendekatan kalkulus yang tradisional, diferensial (contohnya , , ) dianggap sebagai perubahan yang sangat kecil (infinitesimal). Terdapat beberapa cara untuk mendefinisikan secara matematis konsep ini, tetapi juga cukup untuk mengganggap infinitesimal sebagai bilangan yang nilai mutlaknya lebih kecil dari sembarang bilangan real positif; sama seperti tak hingga sebagai bilangan yang lebih besar dari sembarang bilangan real.

Diferensial juga merupakan nama lain dari matriks Jacobi dari turunan parsial fungsi dari \R^n ke \R^m (khususnya ketika matriks ini dianggap sebagai peta linear). 
Kalkulus stokastik memberikan notasi diferensial stokastik dan kalkulus yang bersesuaian untuk proses stokastik.

Pada integral Riemann-Stieltjes, integrator dinyatakan sebagai diferensial dari suatu fungsi. Secara formal, diferensial yang muncul di dalam integral memiliki sifat yang tepat sama dengan diferensial. Hal ini mengartikan rumus integrasi dengan subtitusi dan integrasi secara parsial pada integral Stieltjes masing-masing berkorespodensi dengan aturan rantai dan aturan perkalian untuk diferensiasi.

## Sejarah dan penggunaan

Besaran infinitesimal ("yang sangat kecil") memainkan peranan penting dalam perkembangan kalkulus. Archimedes menggunakan konsep ini, walaupun ia tidak percaya argumentasi menggunakan infinitesimal bersifat tegas (*rigor*). Isaac Newton merujuk konsep ini sebagai *fluxions*. Tetapi, Gottfried Leibniz yang pertama mencetuskan istilah *differential* untuk besaran infinitesimal dan memperkenalkan notasi untuk mereka, yang masih digunakan saat ini.

Dalam notasi Leibniz, jika  adalah besaran yang dapat berubah (variabel), maka  menyatakan perubahan infinitesimal pada variabel . Sehingga, jika  adalah fungsi terhadap , maka turunan dari  terhadap  sering dinyatakan sebagai , yang dalam notasi Newton atau Lagrange sebagai \dot y atau y'. Penggunaan diferensial dalam bentuk ini awalnya mengundang banyak kontroversi, sebagai contoh dalam pamflet terkenal *[[The Analyst]]* oleh uskup Berkeley. Walaupun demikian, notasi ini tetap populer karena menggambarkan ide turunan dari  pada suatu titik  sebagai laju sesaat (kemiringan dari garis singgung pada grafik fungsi), yang dapat dihitung dengan mengambil limit dari rasio perubahan nilai  terhadap perubahan nilai , yakni \tfrac{\Delta y}{\Delta x}, ketika perubahan  dibuat sekecil mungkin. Analisis dimensi juga berlaku bagi diferensial, sehingga  memiliki dimensi yang sama dengan variabel .

Kalkulus berkembang menjadi cabang matematika tersendiri pada abad ke-17, walaupun beberapa bagian di dalamnya sudah ada sejak jaman kuno. Pendekatan yang digunakan [contohnya] oleh Newton dan Leibniz ditandai oleh definisi yang tak tegas (tidak matematis) pada istilah seperti diferensial dan "sekecil mungkin". Walaupun argumentasi uskup Berkeley dalam karya *[[The Analyst]]* tahun 1734 sebagian besar bersifat teologis, matematikawan modern menyadari validitas argumennya mengenai besaran infinitesimal. Pendekatan kalkulus yang modern tidak memiliki masalah teknis tersebut. Walaupun banyak hal yang tidak tegas, perkembangan kalkulus secara pesat terjadi pada abad ke-17 dan ke-18. Pada abad ke-19, Cauchy dan para matematikawan lain mulai mengembangkan pendekatan epsilon-delta untuk mendefinisikan kekontinuan, limit, dan turunan, memberikan fondasi matematis untuk kalkulus.

Pada abad ke-20, beberapa konsep baru dalam, sebagai contoh kalkulus multivariabel dan geometri diferensial, terasa memuat maksud dari definisi-definisi lawas, khususnya *differential*. Saat ini diferensial and infinitesimal menggunakan definisi baru yang lebih tegas dan matematis.

Diferensial juga digunakan dalam notasi integral karena suatu integral dapat dianggap sebagai penjumlahan tak hingga banyaknya besaran infinitesimal: Luas daerah di dalam grafik dihasilkan dengan membagi grafik menjadi tak hingga banyaknya persegi panjang yang sangat tipis, dan menjumlahkan semua luas persegi panjang tersebut. Pada ekspresi seperti\int f(x) \,dx,Simbol integral (yang merupakan huruf s yang dipanjangkan) menyatakan penjumlahan tak hingga,  menyatakan "tinggi" dari persegi panjang, sedangkan diferensial  menyatakan lebar persegi panjang yang kecilnya tak hingga.

## Pendekatan

### Pendekatan naif

Beberapa buku teks siswa dan mahasiswa menggunakan pendekatan dan nomenklatur lawas yang naif ketimbang memberikan aksioma-aksioma yang tegas, definisi, dan akibat-akibat yang sederhana. Pendekatan dalam kalkulus ini menggunakan istilah *diferensial* untuk merujuk suatu perubahan yang infinitesimal ("*infinitely small*", sangat kecil) pada suatu variabel. Sebagai contoh, jika  adalah suatu variabel, maka besar perubahan/selisih dari nilai  sering dinyatakan dengan \Delta x (dibaca sebagai *[[Delta (huruf)|delta]] *). Diferensial  menyatakan perubahan nilai yang sangat kecil pada variabel . Konsep dari perubahan yang sangat kecil cukup intuitif dan memiliki peran yang sangat penting dalam matematika, kecuali ketika siswa menjadi bingung ketika menyadari ketidakkonsistenan. Ada beberapa cara berbeda untuk mendefinisikan konsep ini secara matematis.

Penggunaan turunan memungkinkan perubahan infinitesimal suatu variabel dinyatakan sebagai perubahan-perubahan infinitesimal dari variabel-variabel lain. Jika  adalah fungsi terhadap , maka diferensial  dari variabel  terhubung dengan  lewat persamaandy = \frac{dy}{dx} \,dx,dengan \tfrac{dy}{dx} \,menyatakan turunan dari  terhadap . Rumus tersebut merangkum ide intuitif bahwa turunan dari  terhadap  adalah limit dari rasio \tfrac{\Delta y}{\Delta x} saat \Delta x menuju 0.

### Diferensial sebagai peta linear
Ada cara sederhana untuk mendefinisikan secara akurat makna diferensial, pertama menggunakan garis bilangan dengan mengganggapnya sebagai peta linear. Hal ini selanjutnya dapat diperumum ke \mathbb{R}, \mathbb{R}^n, ruang Hilbert, ruang Banach, atau secara umum, ruang vektor topologis. Kasus garis bilangan paling mudah untuk dijelaskan.

#### Diferensial sebagai peta linear pada R
Misalkan f(x) adalah fungsi bernilai real pada \mathbb{R}.  Variabel x dalam f(x) dapat dianggap sebagai sebuah fungsi ketimbang sebuah bilangan, yakni sebagai fungsi identitas pada garis bilangan, yang memetakan sebuah bilangan real p ke dirinya sendiri: x(p)=p.  Hal ini mengartikan f(x) adalah fungsi komposit f terhadap x, dengan nilai di titik p adalah f(x(p))=f(p). Diferensial \operatorname{d}f (yang tentunya bergantung pada perubahan nilai f) selanjutnya adalah sebuah *fungsi* di titik p (umumnya dinyatakan sebagai df_p) yang memetakan \mathbb{R} ke \mathbb{R} secara linear. Selanjutnya pemetaan linear dari \mathbb{R} ke \mathbb{R} dinyatakan oleh matriks berukuran 1\times 1, yang sama saja dengan sebuah bilangan, tetapi perubahan perspektif memungkinkan untuk mengganggap df_p sebagai infinitesimal dan *membandingkannya* dengan *infinitesimal* *standar* dx_p, yang dalam kasus ini adalah fungsi identitas dari \mathbb{R} ke \mathbb{R} (matriks berukuran 1\times 1 dengan elemen bernilai 1). Fungsi identitas memiliki sifat yakni jika \varepsilon bernilai sangat kecil, maka dx_p(\varepsilon) juga akan bernilai sangat kecil, memungkinkannya dianggap sebagai suatu infinitesimal. Diferensial df_p memiliki sifat yang sama, karena ia merupakan kelipatan dari dx_p, dan besar kelipatan ini, f'(p), adalah definisi dari turunan. Alhasil didapatkan  df_p=f'(p)\,dx_p, dan akibatnya df=f'\,dx.

Pendekatan di atas pada akhirnya menggunakan ide bahwa f' adalah perbandingan dari diferensial df terhadap diferensial dx. Pendekatan ini juga dapat diperumum karena berisi ide bahwa turunan dari f di titik p adalah *aproksimasi linear terbaik* dari fungsi f di titik p.

#### Diferensial sebagai peta linear pada R<sup>n</sup>
Jika f adalah fungsi multivariabel dari \mathbb{R}^n ke \mathbb{R}, maka f didefinisikan sebagai *terdiferensialkan* di titik p\in\mathbb{R}^n jika terdapat pemetaan linear  df_p dari \mathbb{R}^n ke \mathbb{R} sedemikian sehingga untuk sembarang \varepsilon>0, ada suatu lingkungan N dari p sedemikian sehigga untuk sembarang x\in N,\left|f(x) - f(p) - df_p(x-p)\right| Pendekatan yang sama dengan kasus satu dimensi dapat digunakan pada masalah ini, dengan menganggap ekspresi f(x_1, x_2, \ldots, x_n) sebagai fungsi komposit f dengan fungsi koordinat standar x_1, x_2, \ldots, x_n on \mathbb{R}^n (yakni x_j(p) menyatakan komponen ke-j dari titik p\in\mathbb{R}^n). Selanjutnya diferensial\left(dx_1\right)_p, \left(dx_2\right)_p, \ldots, \left(dx_n\right)_p pada titik p membentuk sebuah basis untuk ruang vektor dari peta-peta linear \mathbb{R}^n ke \mathbb{R}. Akibatnya, jika f terdiferensialkan pada titik p, maka *<math>\operatorname{d}f_p</math>* dapat ditulis sebagai kombinasi linear elemen-elemen basis tersebut:df_p = \sum_{j=1}^n D_j f(p) \,(dx_j)_p.Koefisien-koefisien D_j f(p) adalah (dari definisi) turunan parsial dari f di p terhadap x_1, x_2, \ldots, x_n. Dengan kata lain, jika f terdiferensialkan di keseluruhan \mathbb{R}^n, maka diferensial df dapat ditulis dengan lebih ringkas sebagai:df = \frac{\partial f}{\partial x_1} \,dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \,dx_2 + \cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n} \,dx_n.Pada kasus satu dimensi persamaan di atas menjadidf = \frac{df}{dx}dxsama seperti hasil pada kasus satu dimensi. Ide ini dapat diperumum untuk fungsi dari \mathbb{R}^n ke \mathbb{R}^m. Lebih lanjut, definisi ini lebih menguntungkan ketimbang definisi-definisi turunan yang lain karena bersifat invarian terhadap perubahan koordinat. Hal ini mengartikan ide yang sama juga dapat digunakan untuk mendefinisikan diferensial dari pemetaan mulus dari lipatan mulus.

Walaupun demikian, perlu disadari bahwa keberadaan semua turunan parsial dari f(x) di x adalah syarat perlu untuk keberadaan suatu diferensial di titik x. Namun itu bukan syarat cukup, untuk contoh penangkal, lihat turunan Gateaux.

## Referensi

## Daftar pustaka
* .
* .
* .
* .
* 
* .
* .
* .
* .
* .
*