Simetri dihedral dalam tiga dimensi

Dalam geometri, **simetri dihedral dalam tiga dimensi** adalah salah satu dari tiga barisan tak hingga dari grup titik dalam tiga dimensi yang memiliki grup simetri sebagai grup abstrak adalah grup dihedral Dih*n* (untuk *n*&nbsp;≥&nbsp;2).

## Jenis/Tipe
Ada 3 jenis simetri dihedral dalam tiga dimensi, masing-masing ditunjukkan di bawah ini dalam 3 notasi: notasi Schönflies, notasi Coxeter, dan notasi orbifold.

;Kiral:
**D<sub>n</sub>*, [*n*,2]+, (22*n*) urutan 2*n* – **simetri dihedral** atau **grup para-n-gonal** (grup abstrak: ''Dih<sub>n</sub>'').
;Akiral:
**D<sub>nh</sub>*, [*n*,2], (*22*n*) urutan 4*n* – **simetri prismatik** atau **grup orto-n-gonal penuh** (grup abstrak: *Dih<sub>n</sub>* × *Z*2).
**D<sub>nd</sub>* (atau *D<sub>nv</sub>*), [2*n*,2+], (2**n*) urutan 4*n* – **simetri antiprismatik** atau **grup giro-n-gonal penuh** (grup abstrak: *Dih*2*n*).

Untuk *n* yang diberikan, ketiganya memiliki lipatan-*n* simetri rotasi sekitar satu sumbu (rotasi dengan sudut 360°/*n* tidak mengubah objek), dan simetri rotasi lipatan-2 tentang sumbu tegak lurus, dari sekitar * n *. Untuk *n* = ∞, sesuai dengan tiga grup dekorasi. Notasi Schönflies digunakan dengan notasi Coxeter dalam tanda kurung, dan notasi orbifold dalam tanda kurung. Istilah horizontal (h) digunakan dengan sumbu rotasi vertikal.

Dalam 2D, grup simetri *D<sub>n</sub>* mencakup refleksi dalam garis. Ketika bidang 2D tertanam secara horizontal dalam ruang 3D, refleksi tersebut dapat dilihat sebagai pembatas pada bidang refleksi melalui bidang vertikal, atau sebagai pembatas pada bidang rotasi terhadap garis pantul, sebesar 180°. Dalam 3D, dua operasi dibedakan: grup *D<sub>n</sub>* berisi rotasi, bukan refleksi. Grup lainnya adalah simetri piramida *C<sub>nv</sub>* dengan urutan 2*n*.

Dengan simetri refleksi pada bidang tegak lurus terhadap sumbu rotasi lipatan-*n*, maka menghasilkan *D<sub>nh</sub>*, [n], (*22*n*).

*D<sub>nd</sub>* (atau *D<sub>nv</sub>*), [2*n*,2+], (2**n*) memiliki bidang cermin vertikal di antara sumbu rotasi horizontal, bukan melaluinya. Hasilnya, sumbu vertikal adalah sumbu lipatan-2*n* refleksi rotor.

*D<sub>nh</sub>* adalah grup simetri untuk sisi-*n* beraturan prisma dan juga untuk sisi-n beraturan bipiramid. *D<sub>nd</sub>* adalah grup simetri untuk sisi-*n* beraturan antiprisma, dan juga untuk sisi-n beraturan trapezohedron. *D<sub>n</sub>* adalah grup simetri dari prisma rotasi sebagian.

*n* = 1 tidak disertakan karena ketiga simetri sama dengan yang lain:
**D*1 dan *C*2: grup urutan 2 dengan rotasi 180° tunggal.
**D*1*h* dan *C*2*v*: grup urutan 4 dengan refleksi pada bidang dan rotasi 180° terhadap garis pada bidang tersebut.
**D*1*d* dan *C*2*h*: grup urutan 4 dengan refleksi pada bidang dan rotasi 180° terhadap garis tegak lurus bidang tersebut.

Untuk *n* = 2 tidak ada satu sumbu utama dan dua sumbu tambahan, tetapi ada tiga sumbu yang setara.

**D*2, [2,2]+, (222) of order 4 is one of the three symmetry group types with the Klein four-group as abstract group. It has three perpendicular 2-fold rotation axes. It is the symmetry group of a cuboid with an S written on two opposite faces, in the same orientation.
**D*2*h*, [2,2], (*222) urutan 8 adalah grup simetri balok.
**D*2*d*, [4,2+], (2*2) urutan 8 adalah grup simetri dari mis .:
**Sebuah kubus persegi dengan diagonal yang digambar pada satu sisi persegi, dan diagonal tegak lurus pada sisi lainnya.
**Sebuah tetrahedron biasa diskalakan ke arah garis yang menghubungkan titik tengah dari dua tepi yang berlawanan (*D*2*d* adalah subgrup dari ''T<sub>d</sub>''; dengan penskalaan, dengan mengurangi simetri).

## Subgrup

Untuk *D<sub>nh</sub>*, [n,2], (*22n), urutan 4n
* *C<sub>nh</sub>*, [n+,2], (n*), urutan 2n
* *C<sub>nv</sub>*, [n,1], (*nn), urutan 2n
* *D<sub>n</sub>*, [n,2]+, (22n), urutan 2n

Untuk *D<sub>nd</sub>*, [2n,2+], (2*n), urutan 4n
* *S*2*n*, [2n+,2+], (n×), urutan 2n
* *C<sub>nv</sub>*, [n+,2], (n*), urutan 2n
* *D<sub>n</sub>*, [n,2]+, (22n), urutan 2n

*D<sub>nd</sub>* is also subgroup of *D*2*nh*.

## Contoh

***D<sub>nh</sub>'', [''n''], (*22''n''):'''



***D*<sub>5*h*</sub>, [5], (*225):*'

***D''<sub>4''d''</sub>, [8,2<sup>+</sup>], (2*4):'''



***D*<sub>5*d*</sub>, [10,2<sup>+</sup>], (2*5):*'

**''D''<sub>17''d''</sub>, [34,2<sup>+</sup>],  (2*17):**

## Lihat pula
* Daftar grup simetri bola
* Grup titik dalam tiga dimensi
* Simetri siklik dalam tiga dimensi

## Referensi
*
* N.W. Johnson: *Geometries and Transformations*, (2018)  Chapter 11: *Finite symmetry groups*, 11.5 Spherical Coxeter groups
*

## Pranala luar
*Gambaran grafis dari 32 grup titik kristalografi – dalam bentuk bagian pertama (selain melewatkan *n*=5) dari 7 deret tak hingga dan 5 dari 7 grup titik 3D terpisah