Distribusi t Student

\ 
| type = density
| cdf        = \begin{matrix}
     \ \frac{\ 1\ }{ 2 } + x\ \Gamma \left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right) \times \\[0.5em]
     \frac{\ { {}_{2}F_1 }\!\left(\ \frac{\ 1\ }{ 2 },\ \frac{\ \nu+1\ }{ 2 };\ \frac{ 3 }{\ 2\ };\ 
           -\frac{~ x^2\ }{ \nu }\ \right)\ }
     {\ \sqrt{\pi\nu}\ \Gamma \left(\frac{\ \nu\ }{ 2 }\right)\ }\ ,
     \end{matrix}
     dengan \ {}_{2}F_1\!(\ ,\ ;\ ;\ )\  adalah fungsi hipergeometris
| mean       = \ 0\  untuk \ \nu > 1\ , lainnya tak terdefinisi
| median     = \ 0\ 
| mode       = \ 0\ 
| variance   = \textstyle\ \frac{ \nu }{\ \nu-2\ }\  untuk \ \nu > 2\ ,  untuk \ 1  lainnya tak terdefinisi
| skewness   = \ 0\  for \ \nu > 3\ , lainnya tak terdefinisi
| kurtosis   =\textstyle\ \frac{ 6 }{\ \nu-4\ } for \ \nu > 4\ , ∞ for \ 2  otherwise undefined
| entropy    = \ \begin{matrix}
         \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \left[\ \psi \left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right)
               - \psi \left(\frac{\ \nu\ }{ 2 } \right)\ \right] \\[0.5em]
+ \ln \left[ \sqrt{\nu\ }\ {\mathrm B} \left(\ \frac{\ \nu\ }{ 2 },\ \frac{\ 1\ }{ 2 }\ \right)\right]\ {\scriptstyle\text{(nats)}}\ 
\end{matrix} dengan
:  \psi( )\  adalah fungsi digamma,
: \ {\mathrm B}(\ ,\ )\  adalah fungsi beta.
| mgf        = tidak terdefinisi
| char       = \textstyle\frac{\ \left(\ \sqrt{\nu\ }\ |t|\ \right)^{\nu/2}\ K_{\nu/2}\left(\ \sqrt{\nu\ }\ |t|\ \right)\ }{\ \Gamma(\nu/2)\ 2^{\nu/2 - 1}\ }\  for \ \nu > 0\ 
* \ K_\nu(x)\  adalah adalah bentuk kedua dari fungsi Bessel yang dimodifikasi
| ES         = \ \mu + s\ \left(\ \frac{\ \left(\ \nu + (T^{-1}(1-p))^2 \right)\ \ \times\ \tau\left( T^{-1}(1-p) \right)\ }{\ (\nu-1)(1-p)\ }\ \right)\ 
dengan \ T^{-1}(\ )\  adalah invers dari bentuk standar CDF &nbsp;Student, dan \ \tau(\ )\  adalah bentuk standar dari PDF  Student.
}}

Pada teori peluang dan statistika, **distribusi ''t'' Student** (atau lebih sederhana **distribusi ''t***)  adalah [[Sebaran probabilitas|sebaran peluang]] yang menggeneralisasikan [[Distribusi normal|distribusi normal standar]]. Seperti distribusi normal, distribusi  simetris di sekitar nol dan memiliki bentuk bel.

Namun, distribusi  memiliki ekor yang lebih berat, dengan massa ekor bergantung pada parameter derajat kebebasan . Untuk , distribusi  Student  menjadi [[distribusi Cauchy]] standar, dengan ekor yang sangat "gemuk". Sementara itu, untuk , distribusi  menjadi distribusi normal standar  yang memiliki ekor yang "tipis".

Distribusi  Students memainkan peran penting pada banyak analisis statistika, termasuk [[Uji t Student|uji  Student]] untuk menguji [[signifikansi statistika]] dari perbedaan antara dua [[Rata-rata|rerata]] sampel, pembangunan [[selang kepercayaan]] untuk perbedaan antara dua rerata populasi, dan pada [[analisis regresi]] linear.

Pada bentuk *skala lokalisasi distribusi * , distribusi ini menggeneralisasi distribusi normal dan juga muncul pada [[analisis Bayes]] pada data dari keluarga  keika dimarjinalkan oleh parameter variasi.

== Definisi ==

=== Fungsi kepekatan probabilitas ===
*'Distribusi ** **Student*' memiliki [[fungsi kepekatan probabilitas]] (*probability density function*; PDF) sebagai berikut:<blockquote><math> f(t)\ =\ \frac{ 1 }{\ \sqrt{\nu\ }\ {\mathrm B}\!\left( \frac{\ 1\ }{ 2 },\ \frac{\ \nu\ }{ 2 }\right)\ } \; \left(\ 1 + \frac{\ t^2\ }{ \nu }\ \right)^{-(\nu+1)/2}\ ,</math></blockquote>dengan  adalah jumlah [[Derajat kebebasan (statistika)|derajat kebebasan]] dan  adalah [[fungsi gamma]]. Definisi ini juga dapat ditulis sebagai berikut:<blockquote><math>\ \frac{\ \Gamma\!\left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 }\right)\ }{\ \sqrt{\pi\ \nu\ }\; \Gamma\!\left( \frac{\ \nu\ }{ 2 }\right)\ }\ =\ \frac{ 1 }{\ 2 \sqrt{\nu\ }\ }\ \cdot\ \frac{\ (\nu - 1)\cdot(\nu -3)\cdots 5 \cdot 3\ }{\ (\nu -2)\cdot(\nu -4) \cdots 4 \cdot 2\ } ~.</math></blockquote>dengan  adalah [[fungsi beta]]. Pada beberapa nilai bilangan bulat derajat kebebasan  , kita dapat:

Untuk  dan genap,<blockquote><math>\ \frac{\ \Gamma\!\left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right)\ }{\ \sqrt{\pi\ \nu\ }\ \Gamma\!\left( \frac{\ \nu\ }{ 2 } \right)}\ =\  \frac{ 1 }{\ \pi \sqrt{\nu\ }\ }\ \cdot\ \frac{(\nu -1)\cdot(\nu -3)\cdots 4 \cdot 2\ }{\ (\nu -2)\cdot(\nu -4)\cdots 5 \cdot 3\ } ~.</math></blockquote>Untuk  dan ganjil,<blockquote><math>\int_{-\infty}^t f(u)\ \operatorname{d}u ~=~ \frac{1}{2} + t\ \frac{\ \Gamma\!\left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right)\ }{\ \sqrt{\pi\ \nu\ }\ \Gamma\!\left( \frac{ \nu }{\ 2\ }\right)\ } \ {}_{2}F_1\!\left(\ \frac{1}{2}, \frac{\ \nu+1\ }{2}\ ; \frac{ 3 }{\ 2\ }\ ;\ -\frac{~ t^2\ }{ \nu }\ \right)\ ,</math></blockquote>Fungsi kerapatan probabilitas bernilai [[Distribusi simetris|simetris]] dan bentuknya terlihat seperti bel selayaknya variabel yang terdistribusi normal dengan rerata 0 dan variasi 1, tetapi dengan bentuk yang sedikit lebih rendah dan lebar. Ketika nilai derajat kebabsannya meningkat, distribusi  mendekati distribusi normal dengan rerata 0 dan variasi 1. Untuk alasan ini, parameter  juga disebut sebagai parameter normalisasi.

Gambar berikut memperlihatkan kerapatan dari distribusi  ketika nilai  meningkat. Distribusi normal diperlihatkan dengan warna biru sebagai perbandingan. Catat bahwa distribusi  (garis merah) menjadi lebih dekat dengan distribusi normal saat nilai  meningkat.


=== Fungsi distribusi kumulatif ===
[[Fungsi distribusi kumulatif]] (*cumulative distribution function*; CDF) dapat dituliskan dalam bentuk , bentuk fungsi beta tidak lengkap. Untuk ,<blockquote><math>F(t) = \int_{-\infty}^t\ f(u)\ \operatorname{d}u ~=~ 1 - \frac{1}{2} I_{x(t)}\!\left( \frac{\ \nu\ }{ 2 },\ \frac{\ 1\ }{ 2 } \right)\ ,</math></blockquote>dengan<blockquote><math>x(t) = \frac{ \nu }{\ t^2+\nu\ } ~.</math></blockquote>Nilai lain dapat dihitung dengan simetris. Persamaan alternatif, berlaku untuk , adalah<blockquote><math> f(t)\ =\ \frac{\ \Gamma\!\left(\frac{\ \nu+1\ }{ 2 }\right)\ }{\ \sqrt{\pi\ \nu\ }\; \Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)} \; \left(\ 1 + \frac{~ t^2\ }{ \nu }\ \right)^{-(\nu+1)/2}\ ,</math></blockquote>dengan  adalah salah satu contoh dari [[fungsi hipergeometris]].

Untuk informasi lebih lanjut tentang fungsi distribusi kumulatif invers, lihat 

=== Kasus khusus ===
Beberapa nilai  memberikan bentuk sederhana dari distribusi  Students.



==Catatan kaki==


==Referensi==
*
*
*
*

==Pranala luar==
*
*[http://jeff560.tripod.com/s.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S)] *(Remarks on the history of the term "Student's distribution")''
* First Students on page 112.
*Student's t-Distribution,