Galat generalisasi

Untuk aplikasi Pemelajaran terarah dalam pemelajaran mesin dan teori pemelajaran statistik, **galat generalisasi** atau **kesalahan generalisasi**(bahasa Inggris:  *generalization error*), juga dikenal sebagai *galat luar sampel* (*out-off-sample error*) atau risiko (*risk*) adalah suatu ukuran sejauh mana suatu algoritma mampu memprediksi nilai dengan akurat untuk data yang sebelumnya tidak terlihat. Karena algoritma pemelajaran dievaluasi pada data sampel yang terbatas, proses evaluasi algoritma pemelajaran dapat dipengaruhi oleh galat pengambilan sampel. Oleh karena itu, pengukuran kesalahan prediksi  saat ini mungkin tidak memberikan banyak informasi tentang kemampuan prediksi pada data baru. Galat generalisasi dapat diminimalkan dengan menghindari *[[overfitting]]* dalam algoritma pemelajaran. Kinerja algoritma pemelajaran mesin direpresentasikan oleh grafik yang menunjukkan nilai estimasi galat generalisasi selama proses pemelajaran yang disebut sebagai kurva pembelajaran.

## Definisi
Dalam masalah pembelajaran,tujuannya adalah mengembangkan fungsi f_n(\vec{x}) yang memprediksi nilai keluaran y untuk setiap data masukan \vec{x}. Subskrip n menunjukkan bahwa fungsi f_n dikembangkan berdasarkan kumpulan data sebanyak n titik data. **Galat generalisasi** atau **kerugian** (*expected loss*) yang diharapkan atau risiko  (*risk*) I[f] dari suatu fungsi tertentu f pada semua nilai mungkin dari \vec{x} dan y adalah nilai harapan dari fungsi kerugian V(f):

:  I[f] = \int_{X \times Y} V(f(\vec{x}),y) \rho(\vec{x},y) d\vec{x} dy, 

di mana \rho(\vec{x},y) adalah distribusi probabilitas bersama yang tidak diketahui untuk \vec{x} dan y.

Tanpa mengetahui distribusi probabilitas bersama \rho, mustahil untuk menghitung I[f]. Sebagai gantinya, kita dapat menghitung galat pada data sampel, yang disebut sebagai **galat empiris** (atau **risiko empiris**). Diberikan n titik data, galat empiris dari suatu fungsi kandidat f adalah:

: 
P_G = P(I[f_n] - I_n[f_n] \leq \epsilon) \geq 1 - \delta_n 


Sebuah algoritma dikatakan menggeneralisasi jika:

:  \lim_{n \rightarrow \infty} I[f] - I_n[f] = 0

Yang sangat penting adalah **galat generalisasi** I[f_n] dari fungsi yang tergantung pada data f_n yang ditemukan oleh suatu algoritma pembelajaran berdasarkan sampel. Sekali lagi, untuk distribusi probabilitas yang tidak diketahui, I[f_n] tidak dapat dihitung. Sebagai gantinya, tujuan dari banyak masalah dalam teori pembelajaran statistik adalah untuk membatasi atau menggambarkan perbedaan antara galat generalisasi dan galat empiris secara probabilitas:

:  I_n[f] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n V(f(\vec{x}_i),y_i) 

Artinya, tujuannya adalah untuk menggambarkan probabilitas 1 - \delta_n bahwa galat generalisasi kurang dari galat empiris ditambah dengan batas galat \epsilon ((umumnya tergantung pada \delta dan n).
Secara khusus, jika suatu algoritma bersifat simetris (urutan input tidak memengaruhi hasil), memiliki kerugian terbatas, dan memenuhi dua kondisi stabilitas, maka algoritma tersebut akan menggeneralisasi. Kondisi stabilitas pertama, stabilitas validasi silang tinggalkan satu (*leave-one-out cross-validation*), menyatakan bahwa untuk menjadi stabil, kesalahan prediksi untuk setiap titik data ketika validasi silang tinggalkan satu digunakan harus konvergen ke nol saat n\rightarrow \infty. Kondisi kedua, stabilitas harapan kesalahan tinggalkan satu (juga dikenal sebagai stabilitas hipotesis jika beroperasi dalam norma <math>L_1</math> terpenuhi jika prediksi pada titik data yang ditinggalkan tidak berubah ketika satu titik data dihapus dari himpunan data latih.

Kondisi ini dapat diformulasikan sebagai

### ''Leave-one-out cross-validation Stability''
Suatu algoritma L dikatakan memiliki stabilitas CVloo, jikalau untuk setiap n memiliki suatu\beta_{CV}^{(n)} dan \delta_{CV}^{(n)} yang sedemikian sehingga:

: \forall i\in\{1,...,n\}, \mathbb{P}_S\{|V(f_{S^i},z_i)-V(f_S,z_i)|\leq\beta_{CV}^{(n)}\}\geq1-\delta_{CV}^{(n)}

dan \beta_{CV}^{(n)} dan \delta_{CV}^{(n)} menuju nol sebagaimana n menuju takhingga.

### ''Expected-leave-one-out error Stability''
Sebuah algoritma L memiliki stabilitas Eloo_{err} jikalau untuk setiao n memiliki suatu \beta_{EL}^mdan \delta_{EL}^m sedemikian sehingga:

: \forall i\in\{1,...,n\}, \mathbb{P}_S\left\{\left|I[f_S]-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^N V\left(f_{S^{i}},z_i\right)\right|\leq\beta_{EL}^{(n)}\right\}\geq1-\delta_{EL}^{(n)}

dengan \beta_{EL}^{(n)} dan \delta_{EL}^{(n)}menuju nol untuk n\rightarrow\infty.

Untuk *leave-one-out stability* di norma L_1, hal ini sama dengan stabilitas hipotesis:

:  \mathbb{E}_{S,z}[|V(f_S,z) - V(f_{S^i},z)|] \leq \beta_H^{(n)} 

dengan \beta_H^{(n)} menuju nol sebagaimana n menuju takhingga.

### Algoritma yang terbukti stabil
Sejumlah algoritma telah terbukti stabil dan sebagai hasilnya memiliki batasan pada galat generalisasinya. Daftar algoritma-algoritma ini dan makalah-makalah yang membuktikan stabilitasnya tersedia di sini.

## Relasi terhadap ''overfitting''

Konsep galat generalisasi dan *overfitting* saling berkaitan erat. *Overfitting* terjadi ketika fungsi yang dipelajari f_S menjadi sensitif terhadap noise dalam sampel. Akibatnya, fungsi tersebut akan berperforma baik pada himpunan latih, tetapi tidak akan berperforma baik pada data lain dari distribusi probabilitas bersama x dan y. Oleh karena itu, semakin besar *overfitting*, semakin besar pula galat generalisasi.

Jumlah overfitting dapat diuji menggunakan metode validasi silang (*cross-validation*),yang membagi sampel menjadi simulasi sampel latih dan sampel uji. Model kemudian dilatih pada sampel latih dan dievaluasi pada sampel uji. Sampel uji sebelumnya tidak terlihat oleh algoritma dan mewakili sampel acak dari distribusi probabilitas bersamaf x dan y. Sampel uji ini memungkinkan kita untuk mendekati kesalahan yang diharapkan dan sebagai hasilnya mendekati suatu bentuk galat generalisasi tertentu.

Banyak algoritma yang ada untuk mencegah *overfitting*. Algoritma minimisasi dapat memberikan penalti pada fungsi yang lebih kompleks (dikenal sebagai regularisasi Tikhonov), atau ruang hipotesis dapat dibatasi, baik secara eksplisit dalam bentuk fungsi atau dengan menambahkan batasan pada fungsi minimisasi (regularisasi Ivanov).

Pendekatan untuk menemukan fungsi yang tidak *overfit* bertentangan dengan tujuan menemukan fungsi yang cukup kompleks untuk menangkap karakteristik khusus dari data. Ini dikenal sebagai *[[:en:Bias–variance_tradeoff|bias-variance tradeoff]]*. Menjaga fungsi untuk tetap sederhana untuk menghindari *overfitting* dapat memperkenalkan bias dalam prediksi yang dihasilkan, sementara memungkinkannya menjadi lebih kompleks dapat menyebabkan *overfitting* dan variasi yang lebih tinggi dalam prediksi. Tidak mungkin untuk meminimalkan keduanya secara bersamaan.

## Referensi


## Bacaan lanjutan

* 
* 
* Mohri, M., Rostamizadeh A., Talwakar A., (2018) *Foundations of Machine learning*, 2nd ed., Boston: MIT Press.
* Moody, J.E. (1992), "The Effective Number of Parameters: An Analysis of Generalization and Regularization in Nonlinear Learning Systems", in Moody, J.E., Hanson, S.J., and Lippmann, R.P., *Advances in Neural Information Processing Systems* 4, 847–854.
* White, H. (1992b), *Artificial Neural Networks: Approximation and Learning Theory*, Blackwell.