Grup-p

Dalam matematika, khususnya teori grup, pada bilangan prima *p*, a **grup-''p*** adalah [[Grup (matematika)|grup]] di mana [[Urutan elemen grup|urutan]] dari setiap elemen adalah [[Daya (matematika)|daya]] dari * p *. Artinya, untuk setiap elemen * g * dari grup-* p * * G *, terdapat [[bilangan bulat nonnegatif]] * n * sehingga produk dari *pn* salinan * g *, dan tidak lebih sedikit, sama dengan [[elemen identitas]]. Urutan elemen yang berbeda mungkin kekuatan yang berbeda dari * p *.

[[Grup Abelian|Abelian]] * p * - grup juga disebut *'primer-*p*** atau hanya **primer**.

Sebuah [[grup terbatas]] adalah grup '' p '' jika dan hanya jika [[Urutan grup|urutan]] (jumlah elemennya) adalah pangkat dari '' p ''. Diberikan grup terbatas '' G '', [[Teorema Sylow]] menjamin keberadaan [[subgrup]] dari '' G '' dengan urutan '' p<sup> n </sup> '' untuk setiap [[prime power]] '' p<sup> n </sup> '' yang membagi urutan '

Sisa artikel ini membahas grup '' p '' terbatas. Untuk contoh grup abelian '' p '' tak hingga, lihat [[Grup Prüfer]], dan untuk contoh grup [[Grup sederhana|sederhana]] '' p '' tak terbatas, lihat [[Grup monster Tarski]].

== Sifat ==

Setiap grup-'' p '' adalah [[grup periodik|periodik]] karena menurut definisi setiap elemen memiliki [[urutan hingga]].

Jika '' p '' adalah bilangan prima dan '' G '' adalah segrup urutan ''p''<sup>''k''</sup>, kemudian '' G '' memiliki subgrup biasa ''p''<sup>''m''</sup> untuk setiap 1 ≤ ''m'' ≤ ''k''.  Ini diikuti oleh induksi, menggunakan [[Teorema Cauchy (teori grup)|Teorema Cauchy]] dan [[Teorema Korespondensi (teori grup)|Teorema Korespondensi]] untuk grup. Sketsa buktinya adalah sebagai berikut: karena [[pusat grup|pusat]] '' Z '' dari '' G '' adalah [[grup trivial|non-trivial]] (lihat di bawah), menurut [[Teorema Cauchy (teori grup)|Teorema Cauchy]] '' Z '' memiliki subgrup '' H '' dari urutan '' p ''. Menjadi pusat di '' G '', '' H '' selalu normal di '' G ''.  Sekarang kita dapat menerapkan hipotesis induktif ke '' G/H '', dan hasilnya mengikuti Teorema Korespondensi.

== Pusat non-trivial ==
Salah satu hasil standar pertama yang menggunakan [[persamaan kelas]] adalah bahwa pusat grup '' p '' berhingga non-trivial, tidak boleh menjadi subgrup trivial.

This forms the basis for many inductive methods in ''p''-groups.

Misalnya, [[normalizer]] '' N '' dari [[subgrup yang tepat]] '' H '' dari '' p '' terbatas, grup '' G '' dengan benar berisi '' H '', karena untuk [[contoh counter]] dengan ''H'' = ''N'', pusat '' Z '' ada di '' N '', dan begitu juga di '' H '', tetapi kemudian ada contoh yang lebih kecil ''H''/''Z'' yang normalnya masuk ''G''/''Z'' adalah ''N''/''Z'' = ''H''/''Z'', menciptakan keturunan yang tak terbatas. Sebagai akibatnya, setiap grup '' p '' yang terbatas adalah [[grup nilpoten|nilpoten]].

Di arah lain, setiap [[subgrup normal]] dari '' p '' terbatas - kelompok memotong pusat secara non-sepele seperti yang dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan elemen '' N '' yang diperbaiki ketika '' G '' bekerja pada '' N '' melalui konjugasi. Karena setiap subgrup pusat normal, Oleh karena itu, setiap subkelompok normal minimal dari grup '' p '' terbatas adalah pusat dan memiliki urutan '' p ''. Memang, [[socle (matematika)|socle]] dari grup '' p '' berhingga adalah subkelompok dari pusat yang terdiri dari elemen pusat urutan '' p ''.

Jika '' G '' adalah grup '' p '' -, maka ''G''/''Z'', dan karena itu juga memiliki pusat non-trivial. Preimage dalam '' G '' dari pusat '' G ''/'' Z '' disebut [[Pusat (teori grup)#Pusat yang lebih tinggi|pusat kedua]] dan grup ini memulai pusat atas. Menggeneralisasi komentar sebelumnya tentang socle, sebuah '' p '' yang terbatas, grup dengan urutan '' p<sup> n </sup> '' berisi subgrup normal dari order '' p<sup> i </sup> '' dengan 0 ≤ ''i'' ≤ ''n'', dan subgrup normal manapun ''p<sup>i</sup>'' terkandung di pusat '' i '' ''Z''<sub>''i''</sub>. Jika subgrup normal tidak terdapat di ''Z''<sub>''i''</sub>, lalu perpotongannya dengan ''Z''<sub>''i''+1</sub> memiliki ukuran setidaknya ''p''<sup>''i''+1</sup>.

== Automorfisme ==
Grup [[automorfisme grup|automorfisme]] grup '' p '' dipelajari dengan baik. Sama seperti setiap grup '' p '' yang terbatas memiliki pusat non-trivial sehingga [[grup automorfisme dalam]] adalah hasil bagi grup yang tepat, setiap grup '' p '' terbatas memiliki non-trivial [[grup automorfisme luar]]. Setiap automorfisme dari '' G '' menginduksi automorfisme ''G''/Φ(''G''), di mana Φ(''G'') adalah [[subgrup Frattini]] dari '' G ''. Hasil bagi G/Φ(''G'') adalah [[grup abelian dasar]] dan [[grup automorfisme]] adalah [[grup linear umum]], jadi sangat dipahami. Peta dari kelompok automorfisme '' G '' ke dalam kelompok linier umum ini telah dipelajari oleh [[William Burnside|Burnside]], yang menunjukkan bahwa kernel dari peta ini adalah grup '' p ''. 

== Lihat pula ==
* [[Grup elementer]]
* [[Peringkat Prüfer]]
* [[Grup-P reguler]]

== Referensi ==

**Catatan buku'''

*
*
*
* — An exhaustive catalog of the 340 non-abelian groups of order dividing 64 with detailed tables of defining relations, constants, and lattice presentations of each group in the notation the text defines. "Of enduring value to those interested in finite groups" (from the preface).
*
*
*