Subgrup normal

Dalam aljabar abstrak, **subgrup normal** (juga dikenal sebagai **subgrup invarian** atau **subgrup konjugasi sendiri**) adalah subgrup yang invarian di bawah konjugasi oleh anggota grup yang merupakan bagiannya. Dengan kata lain, subgrup  dari grup  adalah normal dalam  jika dan hanya jika   untuk  dan . Notasi umum untuk relasi ini adalah N \triangleleft G.

Subkelompok normal penting karena mereka (dan hanya mereka) dapat digunakan untuk membangun kelompok hasil bagi dari grup tertentu. Selanjutnya, subgrup normal dari  tepatnya adalah kernel dari homomorfisme grup dengan domain , yang berarti bahwa mereka dapat digunakan untuk mengklasifikasikan homomorfisme tersebut secara internal.

Évariste Galois adalah orang pertama yang menyadari pentingnya keberadaan subgrup normal.

## Definisi
Subgrup  dari grup  disebut **subgrup normal** dari  jika itu invarian di bawah konjugasi; yaitu, konjugasi elemen  dengan elemen  selalu dalam .  Notasi umum untuk relasi ini adalah N \triangleleft G.

### Kondisi yang setara
Untuk setiap subgrup  dari , kondisi berikut adalah ekuivalen ke {{math | * N *} } menjadi subgrup normal dari . Oleh karena itu, salah satu dari mereka dapat dianggap sebagai definisi:

* Gambar konjugasi  oleh salah satu elemen  adalah himpunan bagian dari .'
* Gambar konjugasi  oleh elemen apa pun dari  sama dengan .
* Untuk  di , koset kiri dan kanan  dan  adalah sama.
* Himpunan kohimpunan kiri dan kanan dari  di  bertepatan.
* Produk dari elemen koset kiri  sehubungan dengan  dan elemen kohimpunan kiri  sehubungan dengan  adalah elemen kohimpunan kiri dari  dengan : , jika  dan  maka .
*  adalah union dari kelas konjugasi dari .
*  diawetkan oleh automorfisme batin dari .
* Ada beberapa homomorfisme grup  pada kernel adalah .
* Untuk n\in N dan g\in G, komutator [n,g] = n^{-1}g^{-1}ng pada .
* Setiap dua elemen bolak-balik terkait hubungan keanggotaan subkelompok normal: .

## Contoh
* Subgrup sepele hanya terdiri dari elemen identitas  dan  itu sendiri selalu merupakan subgrup normal dari . Jika ini adalah satu-satunya subgrup normal, maka  dikatakan sederhana.
*Setiap subgrup  dari grup abelian  adalah normal, karena gN = \{gn\}_{n\in N} = \{ng\}_{n\in N} = Ng. A grup yang bukan abelian tetapi setiap subgrupnya normal disebut grup Hamilton.
* pusat grup adalah subkelompok normal.
* Secara lebih umum, setiap subgrup karakteristik adalah normal, karena konjugasi selalu merupakan automorfisme.
*Subgrup komutator [G,G] adalah subgrup normal dari G.
*Grup terjemahan adalah subgrup normal dari grup Euclidean dalam dimensi apa pun. Artinya: menerapkan transformasi kaku, diikuti oleh terjemahan, dan kemudian transformasi kaku terbalik, memiliki efek yang sama sebagai terjemahan tunggal (meskipun biasanya terjemahan yang berbeda dari yang kita gunakan sebelumnya). Sebaliknya, subkelompok dari semua rotasi tentang asal adalah * bukan * subkelompok normal dari grup Euclidean, selama dimensinya minimal 2: mula-mula menerjemahkan, lalu memutar tentang asal, lalu menerjemahkan kembali biasanya tidak akan menetapkan asal dan oleh karena itu tidak akan memiliki efek yang sama seperti rotasi tunggal tentang asal.
* Dalam Grup Kubus Rubik, subgrup yang terdiri dari operasi yang hanya mempengaruhi orientasi potongan sudut atau potongan tepi adalah normal.

## Sifat

* Jika  adalah subgrup normal dari , dan  adalah subgrup dari  berisi , maka  adalah subgrup normal dari .
* Subgrup normal dari subkelompok normal dari suatu kelompok tidak harus normal dalam kelompok tersebut. Artinya, normalitas bukanlah hubungan transitif. Grup terkecil yang menunjukkan fenomena ini adalah grup dihedral berorde 8. Namun, subgrul karakteristik dari subkelompok normal adalah normal. Sebuah kelompok yang normalitasnya transitif disebut T-grup.
* Dua grup  dan  adalah subgrup normal dari produk langsung .
* Jika grup  adalah produk setengah langsung G = N \rtimes H,, maka  adalah normal dalam , meskipun  tidak perlu menjadi normal dalam .
* Normalitas dipertahankan di bawah homomorfisme dugaan, yaitu jika  adalah homomorfisme kelompok dugaan dan  adalah normal di , lalu gambar  normal dalam .
* Normalitas dipertahankan dengan mengambil gambar terbalik, i.e. if  adalah homomorfisme grup dan  normal dalam , maka gambar terbalik  pada .
* Normalitas dipertahankan pada pengambilan produk langsung, yaitu jika N_1 \triangleleft G_1 dan N_2 \triangleleft G_2, maka N_1\times N_2\; \triangleleft \;G_1\times G_2.
* Setiap subgrup indeks 2 adalah normal. Secara lebih umum, subgrup, , dari indeks hingga, , pada  berisi subgrup, , normal di  dan pembagi indeks  disebut normal core. Khususnya, jika  adalah bilangan prima terkecil yang membagi urutan , maka setiap subgrup indeks {{math | * p *} } normal.
* Fakta bahwa subgrup normal dari  adalah kernel homomorfisme grup yang didefinisikan pada * G * menjelaskan beberapa pentingnya subgrup normal; mereka adalah cara untuk mengklasifikasikan secara internal semua homomorfisme yang didefinisikan dalam sebuah grup. Misalnya, grup terbatas non-identitas adalah sederhana jika dan hanya jika isomorfik untuk semua gambar homomorfik non-identitasnya, sebuah grup berhingga adalah sempurna jika dan hanya jika grup tersebut tidak memiliki subgrup normal dari prime indeks, dan sebuah grup adalah tidak sempurna jika dan hanya jika subgrup turunan tidak ditambah dengan subgrup normal yang sesuai.

### Kisi subgrup normal
Diberikan dua subgrup normal,  dan , dari , persimpangannya N\cap Mand their product  N M = \{nm \mid n \in N\; \text{ dan }\; m \in M\} juga merupakan subgrup normal dari .

Subgrup normal dari  membentuk kisi di bawah subset inclusion dengan least element, , dan elemen terbesar, . bertemu dari dua subgrup normal,  dan , dalam kisi ini adalah perpotongannya dan join adalah hasil kali mereka.

Kisi tersebut adalah lengkap dan modular.

## Subgrup normal, grup hasil bagi dan homomorfisme

Jika  adalah subgrup normal, kita bisa mendefinisikan perkalian koset sebagai berikut:(a_1 N)(a_2 N) := (a_1 a_2)N.Relasi ini mendefinisikan pemetaan G/N\times G/N\to G/N. Untuk menunjukkan bahwa pemetaan ini terdefinisi dengan baik, perlu dibuktikan bahwa pemilihan elemen perwakilan a_1, a_2 tidak mempengaruhi hasil. Untuk tujuan ini, pertimbangkan beberapa elemen perwakilan lainnya a_1'\in a_1 N, a_2'\in a_2 N. Maka ada n_1, n_2\in N mendefinisikan a_1'=a_1 n_1, a_2'=a_2 n_2. Oleh karena itu a_1' a_2' N = a_1 n_1 a_2 n_2 N =a_1 a_2 n_1' n_2 N=a_1 a_2 N,di mana kami menggunakan N adalah subgrup * normal *, dan oleh karena itu ada n_1'\in N karena n_1 a_2 = a_2 n_1'. Ini membuktikan bahwa produk ini adalah pemetaan antar kohimpunan yang terdefinisi dengan baik.

Dengan operasi ini, himpunan coset itu sendiri adalah sebuah grup, yang disebut grup hasil bagi dan dilambangkan dengan . Ada homomorfisme alami, , given by . Homomorfisme ini memetakan  N  ke dalam elemen identitas , yang merupakan kohimpunan , that is, \ker(f)=N.

Secara umum, homomorfisme grup,  mengirim subgrup dari  ke subgrup dari . Juga, preimage dari setiap subgrup dari  adalah subgrup dari . Kami menyebut preimage dari grup trivial  di  **[[kernel (algebra)|kernel]]** dari homomorfisme dan dilambangkan dengan . Ternyata, kernel selalu normal dan citra , , selalu isomorfik menjadi  (the teorema isomorfisme pertama). Nyatanya, korespondensi ini adalah bijection antara himpunan semua kelompok hasil bagi dari , , dan himpunan semua gambar homomorfik dari  (hingga isomorfisme). Juga mudah untuk melihat bahwa kernel peta hasil bagi, , adalah  itu sendiri, jadi subgrup normal tepatnya adalah kernel homomorfisme dengan domain .

## Lihat pula

### Operasi membawa subkelompok ke subkelompok
* Normalizer
* Penutupan konjugasi
* Inti normal

### Properti subkelompok yang saling melengkapi (atau berlawanan) dengan normalitas
* Subgrup tidak normal
* Subgrup kontranormal
* Subgrup abnormal
*Subgrup yang menormalkan sendiri

### Properti subkelompok lebih kuat dari normalitas
* Subgrup karakteristik
* Subgrup dengan karakteristik penuh

### Properti subkelompok lebih lemah dari normalitas
* Subgrup subnormal
* Subgrup Ascendant
* Subgrup keturunan
* Subgrup Kuasinormal
* Subgrup seminormal
* Konjugasi subgrup yang dapat diubah
* Subgrup modular
* Subgrup pronormal
*Subgrup paranormal
* Subgrup polinormal
* Subgrup C-normal

### Gagasan terkait dalam aljabar
* Ideal (teori gelanggang)

## Catatan

## Referensi

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

## Bacaan lebih lanjut
* I. N. Herstein, *Topics in algebra.*  Second edition. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ont., 1975. xi+388 pp.

## Pranala luar
* 
* Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics
* Robert Ash: Group Fundamentals in ''Abstract Algebra. The Basic Graduate Year''
* Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups
* John Baez, What's a Normal Subgroup?