Deret konvergen

Dalam matematika, deret takhingga () adalah hasil jumlah suku-suku dari suatu barisan takhingga bilangan. Lebih tepatnya, diberikan suatu barisan takhingga \left( a_0 , a_1 , a_2 , \ldots \right). Maka, dapat dikonstruksikan deret takhingga  sebagai berikut
:S = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots = \sum_{k=0}^\infty a_k.

Hasil penjumlahan parsial ke- (yang dinotasikan dengan ) adalah hasil jumlah  suku pertama barisan tersebut; yaitu,
:S_n = \sum_{k=1}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n

Sebuah deret takhingga akan **konvergen** jika barisan \left( S_1 , S_2 , S_3 , \dots \right) dari jumlahan parsialnya mendekati suatu limit; itu artinya, saat menambahkan suku a_{k + 1} ke S_k, maka hasil jumlahan parsial akan semakin dekat dengan limitnya. Lebih tepatnya, deret tersebut konvergen, jika terdapat suatu bilangan \ell sedemikian sehingga untuk setiap sembarang bilangan positif \varepsilon yang kecil, terdapat bilangan bulat N (yang cukup besar) sedemikian sehingga untuk setiap n \geq N, maka

:\left| S_n - \ell \right| 
Jika deretnya konvergen, bilangan \ell (yang bernilai tunggal) disebut sebagai *hasil jumlah deretnya*.

Setiap deret yang tidak konvergen disebut sebagai deret divergen.

## Contoh dari deret konvergen dan divergen

* Barisan invers perkalian dari bilangan bulat positif menghasilkan deret divergen (deret ini biasa dikenal dengan deret harmonik) :
*: {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty
* Barisan invers perkalian dari bilangan bulat positif yang berganti tanda (selang seling) menghasilkan deret konvergen (deret ini biasa dikenal dengan deret harmonik selang seling) :
*: {1 \over 1} - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots = \ln (2)
* Barisan invers perkalian dari bilangan prima menghasilkan deret divergen (sehingga himpunan bilangan prima termasuk "besar"; lihat divergensi dari jumlah invers bilangan prima) :
*: {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 5} + {1 \over 7} + {1 \over 11} + {1 \over 13} + \cdots \rightarrow \infty
* Barisan invers perkalian dari bilangan segitiga menghasilkan deret konvergen :
*: {1 \over 1} + {1 \over 3} + {1 \over 6} + {1 \over 10} + {1 \over 15} + {1 \over 21} + \cdots = 2
* Barisan invers perkalian dari bilangan faktorial menghasilkan deret konvergen (lihat e) :
*: \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + \cdots = e - 1
* Barisan invers perkalian dari bilangan kuadrat sempurna menghasilkan deret konvergen (deret ini dikenal sebagai masalah Basel) :
*: {1 \over 1} + {1 \over 4} + {1 \over 9} + {1 \over 16} + {1 \over 25} + {1 \over 36} + \cdots = {\pi^2 \over 6}
* Barisan invers perkalian dari perpangkatan 2 menghasilkan deret konvergen (sehingga himpunan perpangkatan 2 bernilai "kecil") :
*: {1 \over 1} + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + {1 \over 32} + \cdots = 2
* Barisan invers perkalian dari perpangkatan setiap bilangan <math>n > 1</math> menghasilkan deret konvergen :
*: {1 \over 1} + {1 \over n} + {1 \over n^2} + {1 \over n^3} + {1 \over n^4} + {1 \over n^5} + \cdots = {n \over n-1}.
* Barisan invers perkalian dari perpangkatan 2 yang berganti tanda juga menghasilkan deret konvergen :
*: {1 \over 1} - {1 \over 2} + {1 \over 4} - {1 \over 8} + {1 \over 16} - {1 \over 32} + \cdots = {2 \over 3}
* Barisan invers perkalian dari perpangkatan setiap bilangan n > 1 menghasilkan deret konvergen :
*: {1 \over 1} - {1 \over n} + {1 \over n^2} - {1 \over n^3} + {1 \over n^4} - {1 \over n^5} + \cdots = {n \over n + 1}.
* Barisan invers perkalian dari bilangan Fibonacci menghasilkan deret konvergen (lihat konstanta ψ):
*: \frac{1}{1} +  \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \cdots = \psi.

## Uji kekonvergenan

Terdapat beberapa metode untuk menentukan apakah suatu deret itu konvergen atau divergen.

**[[Uji perbandingan langsung|Uji perbandingan]]**. Suku-suku pada barisan \left \{ a_n \right \} akan dibandingkan dengan barisan lain \left \{ b_n \right \}. Jika, 0 \leq a_n \leq b_n untuk setiap *n*, dan \sum_{n = 1}^\infty b_n konvergen, maka \sum_{n = 1}^\infty a_n juga demikian.

Akan tetapi, jika 0 \leq b_n \leq a_n untuk setiap *n*, dan \sum_{n = 1}^\infty b_n divergen, maka demikian juga \sum_{n = 1}^\infty a_n

**[[Uji rasio]]**. Diasumsikan untuk setiap *n*, a_n tidak sama dengan nol. Misalkan terdapat suatu nilai r sedemikian sehingga

:\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = r

* Jika *r* r = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|}

:dengan "lim sup" adalah limit superior (hasilnya mungkin saja r = \infty)

* Jika *r* f(n) = a_n adalah fungsi positif dan monoton turun. Jika

:\int_{1}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx 

maka deretnya konvergen. Tetapi jika integralnya divergen, maka deretnya juga demikian.

**[[Uji perbandingan limit]]**. Jika \left \{ a_n \right \}, \left \{ b_n \right \} > 0, and nilai limit \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} ada dan bukan nol, maka \sum_{n = 1}^\infty a_n konvergen jika dan hanya jika \sum_{n=1}^\infty b_n konvergen.

**[[Uji deret selang-seling]]**, dikenal juga dengan *kriteria Leibniz*. Suatu deret selang-seling dalam bentuk \sum_{n = 1}^\infty (-1)^n \, a_n akan konvergen, kika \left \{ a_n \right \} merupakan fungsi monoton turun, dan \lim_{n \to \infty} a_n = 0

**[[Uji kondensasi Cauchy]]**. Jika \left \{ a_n \right \} merupakan barisan positif yang monoton turun, maka
 \sum_{n = 1}^\infty a_n  konvergen jika dan hanya jika  \sum_{k = 1}^\infty 2^k a_{\left\{ 2^k \right\}}  konvergen.

**[[Uji Dirichlet]]**

**[[Uji Abel]]**

## Konvergensi bersyarat dan mutlak

Untuk setiap barisan \left \{ a_1 ,\ a_2 ,\ a_3,\dots \right \}, nilai a_n \leq \left| a_n \right| untuk setiap *n,* sehingga

:\sum_{n = 1}^\infty a_n \leq \sum_{n = 1}^\infty \left| a_n \right|

Ini mengartkan bahwa jika \sum_{n = 1}^\infty \left| a_n \right| konvergen, maka \sum_{n=1}^\infty a_n juga konvergen (sayangnya, ini tidak berlaku untuk sebaliknya).

Jika deret \sum_{n = 1}^\infty \left| a_n \right| konvergen, maka deret \sum_{n = 1}^\infty a_n disebut konvergen mutlak. Sebagai contoh, Deret Maclaurin dari fungsi eksponensial termasuk konvergen mutlak, untuk setiap input variabel bilangan kompleks.

Jika deret \sum_{n = 1}^\infty a_n konvergen tetapi deret \sum_{n = 1}^\infty \left| a_n \right| divergen, maka deret \sum_{n = 1}^\infty a_n disebut konvergen bersyarat. Sebagai contoh, deret Maclaurin dari fungsi logaritma \ln \left( 1 + x \right) termasuk konvergen bersyarat untuk nilai .

Teorema deret Riemann menyatakan bahwa jika suatu deret konvergen bersyarat, maka dimungkinkan untuk menyusun ulang suku-suku deretnya dengan cara tertentu sehingga deretnya konvergen ke nilai apapun, atau bahkan divergen.

## Lihat juga
* Daftar deret matematika

## Pranala luar
* 
* Weisstein, Eric (2005). Teorema deret Riemann. Diakses tanggal 16 Mei 2005.