Polinomial simetri elementer

Dalam matematika, khususnya dalam aljabar komutatif, **polinomial simetris elementer** adalah jenis blok penyusun dasar untuk polinomial simetris, dalam arti polinomial simetris dapat diekspresikan sebagai polinomial dalam polinomial simetris elementer. Artinya, semua polinomial simetris  dari ekspresi penambahan dan perkalian konstanta dan polinomial simetris dasar. Polinomial simetris dasar derajat  dalam variabel  untuk bilangan bulat nonnegatif , dan dibentuk dengan menjumlahkan semua produk berbeda dari variabel berbeda .

## Definisi

Polinomial simetris dasar dalam variabel  , ditulis sebagai  untuk , didefinisikan oleh
:\begin{align}
  e_0 (X_1, X_2, \dots,X_n) &= 1,\\[10pt]
  e_1 (X_1, X_2, \dots,X_n) &= \sum_{1 \leq j \leq n} X_j,\\
  e_2 (X_1, X_2, \dots,X_n) &= \sum_{1 \leq j 
dan diakhiri dengan
: e_n (X_1, X_2, \dots,X_n) = X_1 X_2 \cdots X_n.
Maka, untuk  yaitu
:  e_k (X_1 , \ldots , X_n )=\sum_{1\le  j_1 
maka  jika .

Maka, bilangan bulat non-negatif  kurang dari atau sama dengan , satu polinomial simetris dasar dengan derajat  dalam variabel . Untuk membentuk satuan derajat , kita ambil jumlah dari semua hasil kali dari  himpunan bagian dari . (Sebaliknya, jika seseorang melakukan operasi yang sama menggunakan variabel *multihimpunan*, yaitu variabel dengan pengulangan di polinomial simetris homogen kompleks.)

Partisi bilangan bulat (yaitu, urutan bilangan bulat positif tidak hingga) , satu mendefinisikan polinomial simetris , juga disebut polinomial simetris elementer, oleh
: e_\lambda (X_1, \dots,X_n) = e_{\lambda_1}(X_1, \dots, X_n) \cdot e_{\lambda_2}(X_1, \dots, X_n) \cdots e_{\lambda_m}(X_1, \dots, X_n).

Terkadang notasi  digunakan sebagai pengganti .

## Contoh
Berikut daftar polinomial simetris dasar  untuk empat nilai positif pertama dari . (Dalam,  juga salah satu polinomial.)

Untuk :
:e_1(X_1) = X_1.

Untuk : 
:\begin{align}
 e_1(X_1,X_2)  &= X_1 + X_2,\\  
 e_2(X_1,X_2) &= X_1X_2.\,\\
\end{align}

Untuk :
:\begin{align}
 e_1(X_1,X_2,X_3) &= X_1 + X_2 + X_3,\\ 
 e_2(X_1,X_2,X_3) &= X_1X_2 + X_1X_3 + X_2X_3,\\
 e_3(X_1,X_2,X_3) &= X_1X_2X_3.\,\\
\end{align}

Untuk :
:\begin{align}
 e_1(X_1,X_2,X_3,X_4) &= X_1 + X_2 + X_3 + X_4,\\
 e_2(X_1,X_2,X_3,X_4) &= X_1X_2 + X_1X_3 + X_1X_4 + X_2X_3 + X_2X_4 + X_3X_4,\\
 e_3(X_1,X_2,X_3,X_4) &= X_1X_2X_3 + X_1X_2X_4 + X_1X_3X_4 + X_2X_3X_4,\\
 e_4(X_1,X_2,X_3,X_4) &= X_1X_2X_3X_4.\,\\
\end{align}

## Sifat
Polinomial simetris dasar muncul sesaat memperluas faktorisasi linear dari polinomial monik: dari identitas 
:\prod_{j=1}^n ( \lambda - X_j)=\lambda^n - e_1(X_1,\ldots,X_n)\lambda^{n-1} + e_2(X_1,\ldots,X_n)\lambda^{n-2} + \cdots +(-1)^n e_n(X_1,\ldots,X_n).
Artinya, mengganti nilai numerik dari variabel , monik polinomial univariat (dengan variabel ) nilai yang diganti  dan koefisien hingga adalah polinomial simetris elementer. Relasi antara akar dan koefisien polinomial ini disebut rumus Vieta.

Polinomial karakteristik dari matriks persegi adalah contoh rumus Vieta. Akar dari polinomial adalah nilai eigen dari matriks. Maka, mensubstitusikan nilai eigen ke polinomial simetris elementer, hingga tanda koefisien dari polinomial karakteristik, yaitu invarian. Secara khusus, jejak (jumlah elemen diagonal) adalah nilai dari , dan dengan jumlah nilai eigen. Maka, determinan adalah hingga tanda suku konstanta dari karakteristik polinomial; determinan adalah nilai . Jadi determinan dari matriks persegi adalah hasil kali dari nilai eigen.

Himpunan polinomial simetris dasar dalam variabel  menghasilkan gelanggang dari polinomial simetris dalam . Lebih khusus lagi, gelanggang polinomial simetris dengan koefisien bilangan bulat sama dengan gelanggang polinomial integral . (Lihat di bawah untuk pernyataan dan bukti yang lebih umum.) Hal ini adalah salah satu dasar dari teori invarian. Untuk sistem lain dari polinomial simetris dengan properti serupa lihat jumlah pangkat polinomial simetris dan polinomial simetris homogen kompleks.

## Teorema dasar dari polinomial simetris

Untuk sembarang komutatif gelanggang , gelanggang polinomial simetris dalam variabel  dengan koefisien  dari . Gelanggang polinomial pada polinomial simetris elementer * n *  untuk . (Note that  tidak termasuk polinomial ini; karena , tidak dapat menjadi anggota himpunan * sembarang * elemen yang secara aljabar independen.)

Artinya polinomial simetris  representasi
: P(X_1,\ldots, X_n)=Q\big(e_1(X_1 , \ldots ,X_n), \ldots, e_n(X_1 , \ldots ,X_n)\big) 
untuk beberapa polinomial . Cara lain untuk mengatakan hal yang sama adalah bahwa homomorfisme gelanggang dari  ke  for  mendefinisikan isomorfisme antara  and .

### Sketsa bukti
Teorema dapat dibuktikan untuk polinomial homogen simetris dengan induksi matematika ganda sehubungan dengan jumlah variabel  dan, untuk , sehubungan dengan derajat dari polinomial homogen. Kasus umum kemudian diikuti dengan pemisahan polinomial simetris arbitrer menjadi komponen homogen (simetris).

Dalam kasus  hasilnya jelas karena setiap polinom dalam satu variabel secara otomatis simetris.

Asumsikan teorema telah terbukti untuk semua polinomial untuk  variabel dan semua polinomial simetris dalam variabel  dengan derajat . Setiap polinomial simetris homogen  dalam  dapat diuraikan sebagai jumlah dari polinomial simetris homogen
: P(X_1,\ldots,X_n)= P_{\text{lanari}} (X_1,\ldots,X_n)  + X_1 \cdots X_n \cdot Q(X_1,\ldots,X_n). 
Di sini "bagian lacunary"  didefinisikan sebagai jumlah dari semua monomial di  himpunan bagian dari variabel  ke , yaitu, di mana setidaknya satu variabel  ditemukan.

Karena  simetris, bagian lacunary ditentukan oleh suku-suku yang hanya berisi variabel , yaitu, tidak menggunakan . Lebih tepatnya: Jika  dan  adalah dua polinomial simetris homogen di  memiliki derajat, dan jika koefisien dari  sebelum setiap monomial yang hanya berisi variabel  sama dengan koefisien yang sesuai dari , maka  dan  memiliki bagian lacunary yang sama. (Karenaarena setiap monomial yang dapat muncul di bagian lacunary harus kekurangan setidaknya satu variabel, dan dapat diubah dengan permutasi variabel menjadi monomial yang hanya berisi variabel .)

## Lihat pula
* Polinomial simetris
* Polinomial simetris homogen kompleks
* Polinomial Schur
* Identitas Newton
* Teorema Master MacMahon
* Fungsi simetris
* Teori representasi

## Referensi
* 
*