Kalkulus diskret

**Kalkulus diskret** atau **kalkulus fungsi diskret** adalah studi matematis tentang perubahan *inkremental*, dengan cara yang sama seperti geometri adalah studi tentang bentuk dan aljabar adalah studi tentang generalisasi operasi aritmetika. Kata *kalkulus* adalah kata Latin, yang awalnya berarti "kerikil kecil"; karena kerikil tersebut digunakan untuk perhitungan, makna kata ini telah berkembang dan saat ini biasanya berarti metode komputasi. Sementara itu, **[[kalkulus]]**, yang awalnya disebut **kalkulus infinitesimal** atau "kalkulus infinitesimal", adalah studi tentang perubahan *kontinu*.

Kalkulus diskret memiliki dua titik masuk, yaitu kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Kalkulus diferensial berkaitan dengan laju perubahan inkremental dan kemiringan kurva linear sepenggal. Kalkulus integral berkaitan dengan akumulasi kuantitas dan luas di bawah kurva konstan sepenggal. Kedua sudut pandang ini saling terkait satu sama lain melalui teorema dasar kalkulus diskret.

Studi tentang konsep perubahan dimulai dengan bentuk diskretnya. Perkembangannya bergantung pada suatu parameter, yaitu pertambahan \Delta x dari variabel bebas. Jika kita menghendaki, kita dapat membuat pertambahan tersebut semakin kecil dan kecil dan menemukan padanan kontinu dari konsep-konsep ini sebagai *limit*. Secara informal, limit dari kalkulus diskret ketika \Delta x\to 0 adalah kalkulus infinitesimal. Meskipun ia berfungsi sebagai landasan diskret bagi kalkulus, nilai utama dari kalkulus diskret terletak pada aplikasinya.

## Dua konstruksi awal
**Kalkulus diferensial diskret** adalah studi tentang definisi, properti, dan aplikasi dari hasil bagi beda suatu fungsi. Proses menemukan hasil bagi beda disebut *diferensiasi*. Diberikan suatu fungsi yang terdefinisi pada beberapa titik pada garis bilangan real, hasil bagi beda pada titik tersebut adalah cara untuk mengodekan perilaku fungsi dalam skala kecil (yaitu, dari titik tersebut ke titik berikutnya). Dengan menemukan hasil bagi beda suatu fungsi pada setiap pasangan titik berurutan dalam domainnya, dimungkinkan untuk menghasilkan fungsi baru, yang disebut *fungsi hasil bagi beda* atau hanya *hasil bagi beda* dari fungsi aslinya. Dalam istilah formal, hasil bagi beda adalah suatu operator linear yang mengambil suatu fungsi sebagai masukannya dan menghasilkan fungsi kedua sebagai keluarannya. Ini lebih abstrak daripada banyak proses yang dipelajari dalam aljabar dasar, di mana fungsi biasanya memasukkan angka dan mengeluarkan angka lain. Sebagai contoh, jika fungsi penggandaan diberi masukan tiga, maka ia mengeluarkan enam, dan jika fungsi kuadrat diberi masukan tiga, maka ia mengeluarkan sembilan. Turunan, bagaimanapun, dapat mengambil fungsi kuadrat sebagai masukan. Ini berarti bahwa turunan mengambil semua informasi dari fungsi kuadrat—seperti bahwa dua dipetakan ke empat, tiga dipetakan ke sembilan, empat dipetakan ke enam belas, dan seterusnya—dan menggunakan informasi ini untuk menghasilkan fungsi lain. Fungsi yang dihasilkan dengan mendiferensiasikan fungsi kuadrat ternyata mendekati fungsi penggandaan.

Misalkan fungsi-fungsi terdefinisi pada titik-titik yang dipisahkan oleh suatu pertambahan \Delta x=h>0:
:a, a+h, a+2h, \ldots, a+nh,\ldots

"Fungsi penggandaan" dapat dinyatakan sebagai g(x)=2x dan "fungsi kuadrat" sebagai f(x)=x^2. "Hasil bagi beda" adalah laju perubahan fungsi selama salah satu interval [x,x+h] yang didefinisikan oleh rumus:
:\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Ia mengambil fungsi f sebagai masukan, yaitu semua informasi—seperti bahwa dua dipetakan ke empat, tiga dipetakan ke sembilan, empat dipetakan ke enam belas, dan seterusnya—dan menggunakan informasi ini untuk menghasilkan fungsi lain, yaitu fungsi g(x)=2x+h. Untuk memudahkan, fungsi baru ini dapat didefinisikan pada titik-titik tengah dari interval di atas:
:a+h/2, a+h+h/2, a+2h+h/2, ..., a+nh+h/2,...
Karena laju perubahan adalah untuk seluruh interval [x,x+h], titik mana pun di dalamnya dapat digunakan sebagai acuan atau, lebih baik lagi, seluruh interval itu sendiri yang menjadikan hasil bagi beda sebagai 1-korantai.

Notasi yang paling umum untuk hasil bagi beda adalah:
:\frac{\Delta f}{\Delta x}(x+h/2)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Jika masukan fungsi mewakili waktu, maka hasil bagi beda mewakili perubahan terhadap waktu. Sebagai contoh, jika f adalah fungsi yang mengambil waktu sebagai masukan dan memberikan posisi bola pada waktu itu sebagai keluaran, maka hasil bagi beda dari f adalah bagaimana posisi berubah terhadap waktu, yaitu kecepatan bola.

Jika suatu fungsi bersifat linear (yaitu, jika titik-titik pada grafik fungsi terletak pada garis lurus), maka fungsi tersebut dapat ditulis sebagai y=mx + b, di mana x adalah variabel bebas, y adalah variabel terikat, b adalah perpotongan sumbu y, dan:
:m= \frac{\text{rise}}{\text{run}}= \frac{\text{perubahan } y}{\text{perubahan } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

Ini memberikan nilai eksak untuk kemiringan suatu garis lurus.

Jika fungsinya tidak linear, namun, maka perubahan y dibagi perubahan x bervariasi. Hasil bagi beda memberikan makna yang tepat pada gagasan perubahan keluaran terhadap perubahan masukan. Secara konkret, misalkan f adalah suatu fungsi, dan tentukan titik x dalam domain f. (x, f(x)) adalah sebuah titik pada grafik fungsi. Jika h adalah pertambahan x, maka x + h adalah nilai x berikutnya. Oleh karena itu, (x+h, f(x+h)) adalah pertambahan dari (x, f(x)). Kemiringan garis antara dua titik ini adalah
:m = \frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h) - x} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.
Jadi m adalah kemiringan garis antara (x, f(x)) dan (x+h, f(x+h)).

Berikut adalah contoh khusus, hasil bagi beda dari fungsi kuadrat. Misalkan f(x)=x^2 adalah fungsi kuadrat. Maka:
:\begin{align}\frac{\Delta f}{\Delta x}(x) &={(x+h)^2 - x^2\over{h}} \\
&={x^2 + 2hx + h^2 - x^2\over{h}} \\
&={2hx + h^2\over{h}} \\
&= 2x + h .
\end{align}


Hasil bagi beda dari hasil bagi beda disebut *hasil bagi beda kedua* dan terdefinisi pada
:a+h, a+2h, a+3h, \ldots, a+nh,\ldots
dan seterusnya.

**Kalkulus integral diskret** adalah studi tentang definisi, properti, dan aplikasi dari jumlah Riemann. Proses menemukan nilai suatu jumlah disebut *integrasi*. Dalam bahasa teknis, kalkulus integral mempelajari suatu operator linear tertentu.

*Jumlah Riemann* menerima masukan berupa fungsi dan menghasilkan keluaran berupa fungsi, yang memberikan jumlah aljabar luas antara bagian grafik masukan dan sumbu-x.

Contoh motivasinya adalah jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu.
:\text{jarak} = \text{kecepatan} \cdot \text{waktu}

Jika kecepatan konstan, hanya perkalian yang diperlukan, tetapi jika kecepatan berubah, kita mengevaluasi jarak yang ditempuh dengan memecah waktu menjadi banyak interval waktu pendek, kemudian mengalikan waktu yang berlalu di setiap interval dengan salah satu kecepatan dalam interval itu, dan kemudian menjumlahkan (suatu jumlah Riemann) dari jarak yang ditempuh di setiap interval.

Ketika kecepatan konstan, total jarak yang ditempuh selama interval waktu tertentu dapat dihitung dengan mengalikan kecepatan dan waktu. Sebagai contoh, melaju dengan kecepatan tetap 50 mph selama 3 jam menghasilkan total jarak 150 mil. Pada diagram di kiri, ketika kecepatan dan waktu konstan digambarkan, kedua nilai ini membentuk persegi panjang dengan tinggi sama dengan kecepatan dan lebar sama dengan waktu yang berlalu. Oleh karena itu, hasil kali kecepatan dan waktu juga menghitung luas persegi panjang di bawah kurva kecepatan (konstan). Hubungan antara luas di bawah kurva dan jarak yang ditempuh ini dapat diperluas ke wilayah berbentuk tidak beraturan *apa pun* yang menunjukkan kecepatan yang bervariasi secara inkremental selama periode waktu tertentu. Jika batang-batang pada diagram di kanan mewakili kecepatan yang bervariasi dari satu interval ke interval berikutnya, jarak yang ditempuh (antara waktu yang diwakili oleh a dan b) adalah luas wilayah yang diarsir s.

Jadi, interval antara a dan b dibagi menjadi sejumlah segmen yang sama, panjang setiap segmen diwakili oleh simbol \Delta x. Untuk setiap segmen kecil, kita memiliki satu nilai fungsi f(x). Sebut nilai itu v. Maka luas persegi panjang dengan alas \Delta x dan tinggi v memberikan jarak (waktu \Delta x dikalikan kecepatan v) yang ditempuh pada segmen itu. Terkait dengan setiap segmen adalah nilai fungsi di atasnya, f(x) = v. Jumlah semua persegi panjang tersebut memberikan luas antara sumbu dan kurva konstan sepenggal, yang merupakan total jarak yang ditempuh.

Misalkan suatu fungsi terdefinisi pada titik-titik tengah dari n interval dengan panjang yang sama \Delta x=h>0, sehingga h=\frac{a-b}n:
:a+h/2, a+h+h/2, a+2h+h/2,\ldots, a+nh-h/2.
Maka jumlah Riemann dari a ke b=a+nh dalam notasi sigma adalah:
:\sum_{i=0}^{n-1} f(a+ih+h/2)\, \Delta x.
Karena perhitungan ini dilakukan untuk setiap n, fungsi baru terdefinisi pada titik-titik:
:a, a+h, a+2h, \ldots, a+nh,\ldots

**Teorema dasar kalkulus** menyatakan bahwa diferensiasi dan integrasi adalah operasi yang saling berkebalikan. Lebih tepatnya, ini menghubungkan hasil bagi beda dengan jumlah Riemann. Ini juga dapat diartikan sebagai pernyataan yang tepat dari fakta bahwa diferensiasi adalah kebalikan dari integrasi.

Teorema dasar kalkulus: Jika suatu fungsi f terdefinisi pada suatu partisi interval [a, b], b=a+nh, dan jika F adalah suatu fungsi yang hasil bagi bedanya adalah f, maka kita memiliki:
:\sum_{i=0}^{n-1} f(a+ih+h/2)\, \Delta x = F(b) - F(a).
Selanjutnya, untuk setiap m=0,1,2,\ldots,n-1, kita memiliki:
:\frac{\Delta}{\Delta x}\sum_{i=0}^m f(a+ih+h/2)\, \Delta x = f(a+mh+h/2).

Ini juga merupakan prototipe solusi dari suatu persamaan beda. Persamaan beda menghubungkan suatu fungsi yang tidak diketahui dengan beda atau hasil bagi bedanya, dan lazim ditemukan dalam sains.

## Sejarah
Sejarah awal kalkulus diskret adalah sejarah kalkulus. Ide-ide dasar seperti hasil bagi beda dan jumlah Riemann muncul secara implisit atau eksplisit dalam definisi dan pembuktian. Namun, setelah limit diambil, mereka tidak pernah terlihat lagi. Meskipun demikian, hukum tegangan Kirchhoff (1847) dapat dinyatakan dalam istilah turunan luar diskret satu dimensi.

Selama abad ke-20, kalkulus diskret tetap terkait erat dengan kalkulus infinitesimal terutama bentuk diferensial tetapi juga mulai menarik dari topologi aljabar seiring perkembangan keduanya. Kontribusi utama datang dari individu-individu berikut:
* Henri Poincaré: triangulasi (subdivisi barycentric, triangulasi dual), lema Poincaré, bukti pertama Teorema Stokes umum, dan banyak lagi.
* L. E. J. Brouwer: teorema aproksimasi simplisial.
* Élie Cartan, Georges de Rham: gagasan tentang bentuk diferensial, turunan luar sebagai operator linear bebas koordinat, eksakta/ketertutupan bentuk.
* Emmy Noether, Heinz Hopf, Leopold Vietoris, Walther Mayer: modul dari rantai, operator batas, kompleks rantai.
* J. W. Alexander, Solomon Lefschetz, Lev Pontryagin, Andrey Kolmogorov, Norman Steenrod, Eduard Čech: gagasan awal korantai.
* Hermann Weyl: hukum Kirchhoff dinyatakan dalam istilah operator batas dan operator cobatas.
* W. V. D. Hodge: operator bintang Hodge, dekomposisi Hodge.
* Samuel Eilenberg, Saunders Mac Lane, Norman Steenrod, J. H. C. Whitehead: pengembangan ketat teori homologi dan kohomologi termasuk kompleks rantai dan korantai, hasil kali cangkir.
* Hassler Whitney: korantai sebagai integran.

Perkembangan terbaru kalkulus diskret, dimulai dengan Whitney, telah didorong oleh kebutuhan pemodelan terapan.

## Aplikasi
Kalkulus diskret digunakan untuk pemodelan baik secara langsung maupun tidak langsung sebagai diskretisasi kalkulus infinitesimal di setiap cabang ilmu fisika, ilmu aktuaria, ilmu komputer, statistika, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, demografi, dan di bidang lain di mana pun suatu masalah dapat dimodelkan secara matematis. Ini memungkinkan seseorang untuk beralih dari laju perubahan (non-konstan) ke perubahan total atau sebaliknya, dan sering kali dalam mempelajari suatu masalah kita mengetahui salah satunya dan mencoba menemukan yang lain.

Fisika secara khusus menggunakan kalkulus; semua konsep diskret dalam mekanika klasik dan elektromagnetisme terkait melalui kalkulus diskret. Massa suatu benda dengan kerapatan yang diketahui yang bervariasi secara inkremental, momen inersia benda tersebut, serta energi total suatu benda dalam medan konservatif diskret dapat ditemukan dengan menggunakan kalkulus diskret. Contoh penggunaan kalkulus diskret dalam mekanika adalah hukum kedua gerak Newton: secara historis dinyatakan secara tegas menggunakan istilah "perubahan gerak" yang menyiratkan hasil bagi beda, yang mengatakan *Perubahan momentum suatu benda sama dengan gaya resultan yang bekerja pada benda tersebut dan searah dengannya.* Umumnya dinyatakan saat ini sebagai Gaya = Massa × Percepatan, ini menggunakan kalkulus diskret ketika perubahannya bersifat inkremental karena percepatan adalah hasil bagi beda kecepatan terhadap waktu atau hasil bagi beda kedua dari posisi spasial. Mulai dari mengetahui bagaimana suatu benda dipercepat, kita menggunakan jumlah Riemann untuk menurunkan lintasannya.

Teori Maxwell tentang elektromagnetisme dan teori relativitas umum Einstein telah dinyatakan dalam bahasa kalkulus diskret.

Kimia menggunakan kalkulus dalam menentukan laju reaksi dan peluruhan radioaktif (peluruhan eksponensial).

Dalam biologi, dinamika populasi dimulai dengan laju reproduksi dan kematian untuk memodelkan perubahan populasi (pemodelan populasi).

Dalam teknik, persamaan beda digunakan untuk merencanakan jalur pesawat ruang angkasa di lingkungan tanpa gravitasi, untuk memodelkan perpindahan panas, difusi, dan perambatan gelombang.

Analog diskret dari teorema Green diterapkan dalam instrumen yang dikenal sebagai planimeter, yang digunakan untuk menghitung luas permukaan datar pada gambar. Sebagai contoh, ini dapat digunakan untuk menghitung jumlah area yang ditempati oleh hamparan bunga atau kolam renang berbentuk tidak beraturan saat merancang tata letak sebidang properti. Ini dapat digunakan untuk menghitung jumlah domain persegi panjang dalam gambar secara efisien, untuk dengan cepat mengekstrak fitur dan mendeteksi objek; algoritma lain yang dapat digunakan adalah tabel area yang dijumlahkan.

Di bidang kedokteran, kalkulus dapat digunakan untuk menemukan sudut percabangan optimal pembuluh darah untuk memaksimalkan aliran. Dari hukum peluruhan untuk eliminasi obat tertentu dari tubuh, ini digunakan untuk menurunkan aturan dosis. Dalam kedokteran nuklir, ini digunakan untuk membangun model transportasi radiasi dalam terapi tumor yang ditargetkan.

Dalam ekonomi, kalkulus memungkinkan penentuan keuntungan maksimal dengan menghitung biaya marjinal dan pendapatan marjinal, serta pemodelan pasar.

Dalam pemrosesan sinyal dan pembelajaran mesin, kalkulus diskret memungkinkan definisi operator yang sesuai (misalnya, konvolusi), optimasi level set, dan fungsi kunci lainnya untuk analisis jaringan saraf pada struktur graf.

Kalkulus diskret dapat digunakan bersama dengan disiplin matematika lainnya. Sebagai contoh, ini dapat digunakan dalam teori probabilitas untuk menentukan probabilitas suatu variabel acak diskret dari fungsi kerapatan yang diasumsikan.

## Kalkulus beda dan jumlah
Misalkan suatu fungsi (sebuah 0-korantai) f terdefinisi pada titik-titik yang dipisahkan oleh suatu pertambahan \Delta x=h>0:
:a, a+h, a+2h, \ldots, a+nh,\ldots
*Beda* (atau turunan luar, atau operator cobatas) dari fungsi tersebut diberikan oleh:
:\big(\Delta f\big)\big([x,x+h]\big)=f(x+h)-f(x).
Ini terdefinisi pada setiap interval di atas; ini adalah sebuah 1-korantai.

Misalkan sebuah 1-korantai g terdefinisi pada setiap interval di atas. Maka *jumlah*nya adalah sebuah fungsi (sebuah 0-korantai) yang terdefinisi pada setiap titik oleh:
:\left(\sum g\right)\!(a+nh) = \sum_{i=1}^{n} g\big([a+(i-1)h,a+ih]\big).

Berikut adalah properti-propertinya:
* **Aturan konstanta**: Jika c adalah sebuah konstanta, maka
::\Delta c = 0
* **[[Linearitas diferensiasi|Linearitas]]**: jika a dan b adalah konstanta,
::\Delta (a f + b g) = a \,\Delta f + b \,\Delta g,\quad \sum (a f + b g) = a \,\sum f + b \,\sum g
* **[[Aturan hasil kali]]**:
:: \Delta (f g) = f \,\Delta g + g \,\Delta f + \Delta f \,\Delta g 
* **[[Teorema dasar kalkulus]] I**:
:: \left( \sum \Delta f\right)\!(a+nh) = f(a+nh)-f(a) 
* **Teorema dasar kalkulus II**:
:: \Delta\!\left(\sum g\right) = g 

Definisi-definisi tersebut diterapkan pada **[[graf (matematika)|graf]]** sebagai berikut. Jika suatu fungsi (sebuah 0-korantai) f terdefinisi pada simpul-simpul sebuah graf:
:a, b, c, \ldots 
maka *[[turunan luar]]*nya (atau diferensial) adalah beda, yaitu fungsi berikut yang terdefinisi pada sisi-sisi graf (1-korantai):
:\left(df\right)\!\big([a,b]\big) = f(b)-f(a).
Jika g adalah sebuah 1-korantai, maka *[[integral]]*nya pada suatu barisan sisi \sigma dari graf adalah jumlah nilai-nilainya pada semua sisi \sigma ("integral lintasan"):
:\int_\sigma g = \sum_{\sigma} g\big([a,b]\big).

Berikut adalah properti-propertinya:
* **Aturan konstanta**: Jika c adalah sebuah konstanta, maka
::dc = 0
* **Linearitas**: jika a dan b adalah konstanta,
::d(a f + b g) = a \,df + b \,dg,\quad \int_\sigma (a f + b g) = a \,\int_\sigma f + b \,\int_\sigma g
* **Aturan hasil kali**:
::d(f g) = f \,dg + g \,df + df \,dg
* **Teorema dasar kalkulus I**: jika sebuah 1-rantai \sigma terdiri dari sisi-sisi [a_0,a_1],[a_1,a_2],...,[a_{n-1},a_n], maka untuk setiap 0-korantai f
::\int_\sigma df = f(a_n)-f(a_0)
* **Teorema dasar kalkulus II**: jika graf tersebut adalah sebuah pohon, g adalah sebuah 1-korantai, dan sebuah fungsi (0-korantai) didefinisikan pada simpul-simpul graf tersebut oleh
::f(x) = \int_\sigma g
:di mana sebuah 1-rantai \sigma terdiri dari [a_0,a_1],[a_1,a_2],...,[a_{n-1},x] untuk suatu a_0 tetap, maka
::df = g

Lihat referensi.

## Referensi