Fungsi Lambert W

Dalam matematika, **Fungsi Lambert **, juga disebut **fungsi omega** atau **logaritma produk**, adalah multinilai fungsi, yaitu cabang dari hubungan terbalik fungsi , dengan  adalah salah satu bilangan kompleks dan  adalah fungsi eksponensial.

Untuk setiap bilangan bulat  ada satu cabang, dilambangkan dengan , yang merupakan fungsi bernilai kompleks dari satu argumen kompleks.  dikenal sebagai cabang utama. Fungsi-fungsi ini memiliki properti berikut: jika  dan  adalah bilangan kompleks, maka
:w e^{w} = z

memegang jika dan hanya jika

:w=W_k(z) \ \ \text{ untuk beberapa bilangan bulat } k.

Saat berhadapan dengan bilangan real saja, kedua cabang tersebut  dan  cukup: untuk bilangan real  dan  persamaan
:y e^{y} = x
bisa diselesaikan untuk  hanya jika ; kita mendapatkan  jika  dan dua nilai  dan  jika .

Relasi Lambert  tidak bisa diekspresikan dalam istilah fungsi dasar. Ini berguna dalam kombinatorik, misalnya, dalam pencacahan pohon. Ini dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai persamaan yang melibatkan eksponensial (misalnya maksimum dari Planck, Bose–Einstein, dan Distribusi Fermi-Dirac) dan juga terjadi dalam larutan penundaan diferensial, seperti . Dalam biokimia, dan khususnya kinetika enzim, solusi bentuk terbuka untuk analisis kinetika waktu-kursus dari kinetika Michaelis–Menten dijelaskan dalam istilah fungsi Lambert .

:

## Istilah
Fungsi Lambert  dinamai Johann Heinrich Lambert. Cabang utama  dilambangkan dengan  di Perpustakaan Digital Fungsi Matematika, dan cabangnya  dilambangkan dengan  di sana.

Konvensi notasi yang dipilih di sini (dengan  dan ) mengikuti referensi kanonis pada fungsi Lambert  oleh Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey dan Knuth.

Nama "logaritma produk" dapat dipahami sebagai berikut: Karena fungsi invers dari  disebut logaritma, masuk akal untuk memanggil fungsi invers dari produk  sebagai "logaritma produk". Ini terkait dengan Konstanta Omega, yang sama dengan .

## Sejarah

Lambert pertama kali mempertimbangkan *Persamaan Transendental Lambert* terkait pada 1758, yang mengarah ke artikel oleh Leonhard Euler pada tahun 1783 yang membahas kasus khusus .

Fungsi yang dianggap Lambert adalah 
: x = x^m + q.

Euler mengubah persamaan ini menjadi bentuk
: x^a - x^b = (a - b) c x^{a + b}.

Kedua penulis mendapatkan solusi seri untuk persamaan mereka.

Setelah Euler menyelesaikan persamaan ini, dia mempertimbangkan kasusnya . Mengambil batasan dia menurunkan persamaan
: \ln x = c x^a.

Dia kemudian meletakkan  dan memperoleh solusi deret konvergen untuk persamaan yang dihasilkan, mengekspresikan * x * dalam suku-suku * c *.

Setelah mengambil turunan sehubungan dengan  dan beberapa manipulasi, diperoleh bentuk standar dari fungsi Lambert.

Pada tahun 1993, ketika dilaporkan bahwa fungsi Lambert  memberikan solusi yang tepat untuk kuantum-mekanik model fungsi delta sumur Dirac untuk muatan yang sama—masalah mendasar dalam fisika — Tanpa biji dan pengembang sistem aljabar komputer Maple melakukan pencarian perpustakaan dan menemukan bahwa fungsi ini ada di mana-mana.

Contoh lain di mana fungsi ini ditemukan adalah di kinetika Michael–Menten.

Meskipun sudah menjadi pengetahuan cerita rakyat bahwa fungsi Lambert  tidak dapat diekspresikan dalam istilah fungsi dasar (Liouvillian), bukti terbitan pertama tidak muncul hingga 2008.

## Sifat dasar, cabang dan jangkauan

Ada banyak sekali cabang dari fungsi , dilambangkan dengan , untuk bilangan bulat ;  menjadi cabang utama (atau kepala sekolah).   didefinisikan untuk semua bilangan kompleks * z * sementara  dengan  didefinisikan untuk semua bukan nol * z *. Kita punya   dan   untuk semua .

Titik cabang untuk cabang utama ada di , dengan potongan cabang yang meluas ke  sepanjang sumbu negatif nyata. Potongan cabang ini memisahkan cabang utama dari dua cabang  dan .  Di semua cabang  dengan , ada titik bercabang di  dan sebuah cabang dipotong di sepanjang sumbu nyata negatif.

Fungsi  semuanya injektif dan rentangnya terputus-putus. Rentang dari seluruh fungsi multinilai  adalah bidang kompleks.  Bayangan dari sumbu nyata adalah gabungan dari sumbu nyata dan kuadratrik dari Hippias, kurva parametrik .

### Invers

Plot rentang di atas juga menggambarkan daerah dalam bidang kompleks tempat hubungan inbers sederhana ' adalah benar. *f*=*ze<sup>z</sup>* menyiratkan bahwa ada * n * seperti itu , di mana * n * akan bergantung pada nilai * z *. Nilai bilangan bulat * n * akan berubah secara tiba-tiba saat *ze<sup>z</sup>* berada di potongan cabang  yang berarti itu , kecuali untuk  di mana tempatnya .

Menetapkan  di mana * x * dan * y *. Mengekspresikan * e <sup> z </sup> * dalam koordinat polar, terlihat bahwa:

:
\begin{align}
ze^z  & = (x+i y)e^x(\cos(y)+i \sin(y)) \\
& = e^x (x \cos(y)-y \sin(y)) + i e^x (x \sin(y)+y \cos(y)) \\
\end{align}


Untuk n \neq 0, cabang dipotong untuk  akan menjadi sumbu nyata non-positif sehingga:
:x \sin(y)+y \cos(y)=0 \Rightarrow x=-y/\tan(y) 
dan
:(x \cos(y)-y \sin(y))e^x \leq 0
Untuk n = 0, cabang dipotong untuk  akan menjadi sumbu nyata dengan -\infty  sehingga ketimpangan menjadi:
:(x \cos(y)-y \sin(y))e^x \leq -1/e

Di dalam wilayah yang dibatasi oleh hal di atas, tidak akan ada perubahan yang terputus-putus  dan wilayah tersebut akan menentukan di mana fungsi * W * dapat dibalik: yaitu .

## Kalkulus

### Turunan
Dengan diferensiasi implisit, seseorang dapat menunjukkan bahwa semua cabang dari  memenuhi persamaan diferensial

:z(1 + W) \frac{dW}{dz} = W \quad \text{untuk } z \neq -\frac{1}{e}.

( bukan dapat dibedakan untuk .) Akibatnya, kami mendapatkan rumus berikut untuk turunan dari *W*:

:\frac{dW}{dz} = \frac{W(z)}{z(1 + W(z))} \quad \text{untuk } z \not\in \left\{0, -\frac{1}{e}\right\}.

Menggunakan identitas , kami mendapatkan rumus setara berikut:
:\frac{dW}{dz} = \frac{1}{z + e^{W(z)}} \quad \text{untuk } z \neq -\frac{1}{e}.

Di asalnya kita punya
:W'_0(0)=1.

### Antiturunan
Fungsi , dan banyak ekspresi yang melibatkan , bisa terintegrasi menggunakan substitusi , yaitu :

: \begin{align}
\int W(x)\,dx &= x W(x) - x + e^{W(x)} + C\\
& = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C.
\end{align}
(Persamaan terakhir lebih umum dalam literatur tetapi tidak berlaku pada ). Salah satu konsekuensi dari ini (menggunakan fakta bahwa ) adalah identitas
:\int_{0}^{e} W_0(x)\,dx = e - 1.

## Ekspansi asimtotik
Deret Taylor dari  sekitar 0 dapat ditemukan menggunakan Teorema inversi Lagrange dan diberikan oleh

:W_0(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n =x-x^2+\tfrac{3}{2}x^3-\tfrac{8}{3}x^4+\tfrac{125}{24}x^5-\cdots.

Radius konvergensi adalah , seperti yang dapat dilihat oleh uji rasio. Fungsi yang ditentukan oleh deret ini dapat diperluas menjadi fungsi holomorfik yang ditentukan pada semua bilangan kompleks dengan potongan cabang sepanjang interval ; fungsi holomorfik ini mendefinisikan cabang utama dari fungsi Lambert .

Untuk nilai besar dari ,  asimtotik dengan
:\begin{align}
W_0(x) &= L_1 - L_2 + \frac{L_2}{L_1} + \frac{L_2\left(-2 + L_2\right)}{2L_1^2} + \frac{L_2\left(6 - 9L_2 + 2L_2^2\right)}{6L_1^3} + \frac{L_2\left(-12 + 36L_2 - 22L_2^2 + 3L_2^3\right)}{12L_1^4} + \cdots \\[5pt]
&= L_1 - L_2 + \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^l \left[ \begin{smallmatrix} l + m \\ l + 1 \end{smallmatrix} \right]}{m!} L_1^{-l-m} L_2^m,
\end{align}
di mana , , dan  adalah sebuah Bilangan Stirling dari jenis pertama non-negatif. Mempertahankan hanya dua istilah pertama dari ekspansi,
:W_0(x) = \ln x - \ln \ln x + o(1).

Cabang real lainnya, , didefinisikan dalam interval ,memiliki pendekatan dalam bentuk yang sama ketika *x* mendekati nol, dengan dalam kasus ini  dan .

Itu menunjukkan yang dipegang oleh batas berikut (batas atas hanya untuk *x* ≥ *e*):
:\ln x -\ln \ln x + \frac{\ln \ln x}{2\ln x} \le W_0(x) \le \ln x - \ln\ln x + \frac{e}{e - 1} \frac{\ln \ln x}{\ln x}.

Pada tahun 2013, itu sudah dibuktikan bahwa cabang  bisa dibatasi sebagai berikut:
:-1 - \sqrt{2u} - u  0.

### Bilangan bulat pangkat dan kompleks
Bilangan bulat pangkat dari  juga mengakui ekspansi deret Taylor (atau Laurent) sederhana:

:
W_0(x)^2 = \sum_{n=2}^\infty \frac{-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n - 2)!} x^n = x^2 - 2x^3 + 4x^4 - \tfrac{25}{3}x^5 + 18x^6 - \cdots.


Secara lebih umum, untuk , Rumus inversi Lagrange diberikan

:
W_0(x)^r = \sum_{n=r}^\infty \frac{-r\left(-n\right)^{n - r - 1}}{(n - r)!} x^n,

yang, secara umum, merupakan rangkaian urutan Laurent . Dengan kata lain, yang terakhir dapat ditulis dalam bentuk perluasan kekuatan Taylor :

:
\left(\frac{W_0(x)}{x}\right)^r = e^{-r W_0(x)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{r\left(n + r\right)^{n - 1}}{n!} \left(-x\right)^n,

yang berlaku untuk semua r \in \Complex dan \left|x\right|.

## Identitas

Beberapa identitas mengikuti dari definisi tersebut:
:\begin{align}
W_0(x e^x) &= x & \text{for } x &\geq -1,\\
W_{-1}(x e^x) &= x & \text{for } x &\leq -1.
\end{align}
Perhatikan itu, karena  tidak injeksi, tidak selalu begitu , mirip dengan fungsi trigonometri terbalik. Untuk diperbaiki  dan , persamaan  memiliki dua solusi di , salah satunya tentu saja . Kemudian, untuk  dan , serta untuk  dan ,  adalah solusi lainnya.

Beberapa identitas lainnya:
:
\begin{align}
& W(x) \cdot e^{W(x)} = x, \quad\text{karena itu:}\\[5pt]
& e^{W(x)} = \frac{x}{W(x)}, \qquad e^{-W(x)} = \frac{W(x)}{x}, \qquad e^{n W(x)} = \left(\frac{x}{W(x)}\right)^n.
\end{align}


:\ln W_0(x) = \ln x - W_0(x) \quad \text{untuk } x > 0.

: W_0\left(x \ln x\right) = \ln x \quad\text{dan}\quad e^{W_0\left(x \ln x\right)} = x \quad \text{untuk } x \geq \frac1e . 
: W_{-1}\left(x \ln x\right) = \ln x \quad\text{dan}\quad e^{W_{-1}\left(x \ln x\right)} = x \quad \text{untuk } x \leq \frac1e . 

:
\begin{align}
& W(x) = \ln \frac{x}{W(x)} &&\text{untuk } x \geq -\frac1e, \\[5pt]
& W\left( \frac{nx^n}{W\left(x\right)^{n-1}} \right) = n W(x) &&\text{untuk } n, x > 0
\end{align}


::(yang dapat diperpanjang ke  dan  lainnya jika cabang yang benar dipilih).

:W(x) + W(y) = W\left(x y \left(\frac{1}{W(x)} + \frac{1}{W(y)}\right)\right) \quad \text{untuk } x, y > 0.

Mengganti  dalam definisi:
:\begin{align}
W_0\left(-\frac{\ln x}{x}\right) &= -\ln x &\text{for } 0 & e.
\end{align}

Dengan eksponensial iterasi Euler :
:\begin{align}h(x) & = e^{-W(-\ln x)}\\
                         & = \frac{W(-\ln x)}{-\ln x} \quad \text{untuk } x \neq 1.
\end{align}

## Nilai khusus
Untuk sembarang bilangan aljabar bukan nol ,  adalah bilangan transendental. Memang, jika  adalah nol, maka  harus nol juga, dan jika  bukan nol dan aljabar, lalu menurut teorema Lindemann–Weierstrass,  harus transendental, menyiratkan itu  juga harus transendental.

Berikut ini adalah nilai khusus dari cabang utama:

:W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{i\pi}{2}.

:W\left(-\frac{1}{e}\right) = -1.

:W\left(-\frac{\ln a}{a}\right)= -\ln a  \quad \left(\frac{1}{e}\le a\le e\right).

:W\left(2 \ln 2 \right) = \ln 2.

:W(0) = 0.

:W(1) = \Omega = \left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dt}{\left(e^t-t\right)^2 + \pi^2}\right)^{-1} - 1\approx 0.56714329\ldots (konstanta Omega).

:W(1) = e^{-W(1)} = \ln\left(\frac{1}{W(1)}\right) = -\ln W(1).

:W(e) = 1.

:W\left(e^{1+e}\right) = e.

:W(-1) \approx -0.31813+1.33723i.

## Representasi

Cabang utama dari fungsi Lambert dapat diwakili oleh integral yang tepat, karena Poisson:
:-\frac{\pi}{2}W(-x)=\int_0^\pi\frac{\sin\left(\tfrac32 t\right)-xe^{\cos t}\sin\left(\tfrac52 t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^2e^{2\cos t}}\sin\left(\tfrac12 t\right)\,dt \quad \text{untuk } |x| 

Di domain yang lebih luas , representasi yang jauh lebih sederhana ditemukan oleh Mező:
:
W(x) = \frac{1}{\pi} \operatorname{Re} \int_0^\pi \ln\left(\frac{e^{e^{it}} - xe^{-it}}{e^{e^{it}} - xe^{it}}\right) \,dt.


Representasi pecahan berlanjut berikut juga berlaku untuk cabang utama:
:
W(x) = \cfrac{x}{1+\cfrac{x}{1+\cfrac{x}{2+\cfrac{5x}{3+\cfrac{17x}{10+\cfrac{133x}{17+\cfrac{1927x}{190+\cfrac{13582711x}{94423+\ddots}}}}}}}}.

Juga, jika \left|W(z) \right|:
:
W(x) = \cfrac{x}{\exp \cfrac{x}{\exp \cfrac{x}{\ddots}}}.

Gantinya, jika \left| W(z) \right| > e , maka
:
W(x) = \ln \cfrac{x}{\ln \cfrac{x}{\ln \cfrac{x}{\ddots}}}.


## Plot

Berkas:LambertWRe.png|z = \operatorname{Re}(W_0(x + iy))
Berkas:LambertWIm.png|z = \operatorname{Im}(W_0(x + iy))
Berkas:LambertWAbs.png|z=\left|W_0(x + iy)\right|
Berkas:LambertWAll.png|Superimposisi dari tiga plot sebelumnya


## Lihat pula
* Fungsi Wright Omega
* Persamaan trinomial Lambert
* Teorema inversi Lagrange
* Matematika eksperimental
* Metode Holstein–Herring
* model
* Ross'  lemma

## Catatan

## Referensi
* 
* 
*  (Lambert function is used to solve delay-differential dynamics in human disease.)
* 
* 
* 
* Veberic, D., "Having Fun with Lambert ''W''(''x'') Function" arXiv:1003.1628 (2010) ; 
* 

## Pranala luar

* National Institute of Science and Technology Digital Library – Lambert  
* MathWorld – Lambert -Function 
* Computing the Lambert  function
* Corless et al. Notes about Lambert  research 
* GPL C++ implementation  with Halley's and Fritsch's iteration.
* Special Functions  of the GNU Scientific Library  – GSL