Rumus Vieta

Dalam matematika, **rumus Vieta** atau **teorema Vieta** adalah sekumpulan rumus yang menghubungkan antara koefisien pada polinomial dengan hasil penjumlahan dan perkalian dari nilai akar-akarnya. Rumus ini dinamai dari François Viète (yang lebih sering dirujuk dengan nama latinnya, yaitu "Franciscus Vieta").

## Rumus dasar
Misalkan n \in \mathbb{N} dan a_n \neq 0. Menurut teorema dasar aljabar, maka setiap polinomial yang berderajat n dengan koefisien bilangan riil
P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \, \ldots \, + a_1 x + a_0
dapat dinyatakan sebagai
P(x) = a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \left( x - x_3 \right) \ldots \left( x - x_n \right)
dengan x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n merupakan bilangan-bilangan kompleks yang tidak harus berbeda. Rumus-rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlahan dari hasil kali akar x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n sebagai berikut:
\begin{align}
- \dfrac{a_{n - 1}}{a_n} &= x_1 + x_2 + \ldots + x_{n - 1} + x_n \\
\dfrac{a_{n - 2}}{a_n} &= x_1 x_2 + x_1 x_3 + \cdots + x_1 x_n \\
&\phantom{=} + x_2 x_3 + x_2 x_4 + \cdots + x_2 x_n + \cdots + x_{n - 1} x_n \\
&\phantom{=} \vdots \\
\left( -1 \right)^n \dfrac{a_0}{a_n} &= x_1 x_2 x_3 \cdot \ldots \cdot x_n
\end{align}
Dengan menggunakan notasi Sigma dan notasi Pi kapital, maka rumus-rumus Vieta dapat juga ditulis sebagai
\begin{align}
- \dfrac{a_{n - 1}}{a_n} &= \sum_{i \, = \, 1}^n x_i \\
\dfrac{a_{n - 2}}{a_n} &= \sum_{1 \leq i 
Perhatikan bahwa i_1 sampai dengan i_k diurutkan dengan urutan naik agar menjamin setiap hasil kali dari k akar digunakan tepat satu kali.

Ruas kanan dari rumus Vieta disebut sebagai polinomial simetri elementer dalam n variabel.

## Perumuman gelanggang
Rumus Vieta sering digunakan pada polinomial dengan koefisien pada suatu ranah integral R. Maka, hasil bagi \dfrac{a_i}{a_n} akan termuat pada lapangan pecahan dari R (dan mungkin saja pada R itu sendiri, jika a_n merupakan elemen unit pada R) dan akarnya x_i diambil pada perluasan lapangan yang tertutup secara aljabar. Biasanya, R merupakan gelanggang bilangan bulat, lapangan pecahannya merupakan lapangan bilangan rasional, dan lapangan yang ditutup secara aljabarnya merupakan lapangan bilangan kompleks.

Rumus-rumus Vieta sangatlah berguna, sebab rumus-rumus tersebut memberikan hubungan antar akar-akar dari suatu polinomial tanpa harus mencari nilai akar-akarnya.

Untuk polinomial atas gelanggang komutatif yang bukan merupakan ranah integral, rumus Vieta hanya berlaku ketika a_n bukan merupakan pembagi nol dan P(x) dapat difaktorkan menjadi a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right). Sebagai contoh, fungsi kuadrat
P(x) = x^2 - 1
memiliki empat akar dalam gelanggang bilangan bulat modulo 8, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Rumus-rumus Vieta akan bernilai salah jika dipilih x_1 = 1 dan x_2 = 3, sebab P(x) \neq \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right). Akan tetapi, P(x) dapat difaktorkan menjadi \left( x - 1 \right) \left( x - 7 \right) atau \left( x - 3 \right) \left( x - 5 \right), dan rumus-rumus Vieta akan berlaku apabila dipilih \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix} atau \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}.

## Contoh
Rumus Vieta saat diterapkan pada polinomial kuadrat dan kubik:

Akar-akar x_1 dan x_2 dari polinomial kuadrat P(x) = ax^2 + bx + c akan memenuhi persamaan
\begin{align}
x_1 + x_2 &= - \dfrac{b}{a} \\
x_1 x_2 &= \dfrac{c}{a}
\end{align}

Persamaan pertama dapat digunakan untuk mencari nilai minimum (atau maksimum) dari fungsi P; lihat .

Akar-akar x_1, x_2 dan x_3 dari polinomial kubik P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d akan memenuhi persamaan
\begin{align}
r_1 + r_2 + r_3 &= -\frac{b}{a} \\
r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 &= \frac{c}{a} \\
r_1 r_2 r_3 &= -\frac{d}{a}
\end{align}

## Bukti
### Bukti langsung
Menurut teorema dasar aljabar, jika x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n merupakan akar-akar dari polinomial
P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0
maka P(x) dapat dinyatakan sebagai
P(x) = a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)
Akibatnya, diperoleh persamaan
a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)
Rumus Vieta dapat dibuktikan dengan menjabarkan ekspresi di ruas kanan, dan membandingkan koefisien dari masing-masing pangkat dari x.

Secara formal, jika ekspresi \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right) dijabarkan, maka terdapat tepat n pilihan biner pada setiap suku (ikutkan x atau - x_i). Jika k pilihan digunakan untuk memilih x sebagai faktor pada suku hasil penjabarannya, maka sisa n - k faktor lainnya haruslah - x_i. Akibatnya, suku yang diperoleh memiliki bentuk umum \left( -1 \right)^{n - k} \left( x_1 \right)^{b_1} \left( x_2 \right)^{b_2} \cdot \ldots \cdot \left( r_n \right)^{b_n} x^k, dengan b_i bernilai 0 atau 1, tergantung apakah r_i menjadi bagian dari hasil kali atau tidak. Secara geometris, hal ini dapat diartikan sebagai simpul dari suatu hiperkubus. Pengelompokkan suku-suku yang sama berdasarkan derajat x nya akan menghasilkan polinomial simetris elementer dalam x_i.

### Induksi matematika
Rumus-rumus Vieta juga dapat dibuktikan menggunakan induksi sebagai berikut.
#### Hipotesis
Misalkan
# P(x) adalah polinomial berderajat n
# P(x) memiliki akar-akar kompleks \left\{ x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n \right\}
# P(x) memiliki koefisien kompleks \left\{ a_0, \, a_1, \, a_2, \, \ldots, \, a_n \right\}, dengan a_n \neq 0
maka
P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 = a_n \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)
#### Kasus dasar (n = 2)
Menurut teorema dasar aljabar, maka diperoleh persamaan
a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = a_2 \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right)
Dengan menggunakan sifat distributif, diperoleh
\begin{align}
a_2 x^2 + a_1 x + a_0 &= a_2 \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \\
&= a_2 \left( x - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2 \right) \\
&= a_2 \left( x - \left( x_1 + x_2 \right) x + x_1 x_2 \right)
\end{align}
sehingga kasus dasar terbukti.
#### Langkah induksi
Diasumsikan hipotesisnya bernilai benar untuk suatu nilai n = k, dengan k \geq 2. Akan diperiksa kebenaran hipotesis untuk n = k + 1.
P(x) = a_{n + 1} x^{n + 1} + a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0
Berdasarkan teorema faktor, maka \left( x - x_{n + 1} \right) dapat difaktorkan dari P(x), dengan sisa bagi 0. Hal ini mengakibatkan
\begin{align}
P(x) &= a_{n + 1} x^{n + 1} + a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \\
&= a_{n + 1} \left( x^{n + 1} + \dfrac{a_n}{a_{n + 1}} x^n + \dfrac{a_{n - 1}}{a_{n + 1}} x^{n - 1} + \ldots + \dfrac{a_1}{a_{n + 1}} x + \dfrac{a_0}{a_{n + 1}} \right) \\
&= a_{n + 1} \left( x - x_{n + 1} \right) \cdot \dfrac{x^{n + 1} + \tfrac{a_n}{a_{n + 1}} x^n + \tfrac{a_{n - 1}}{a_{n + 1}} x^{n - 1} + \ldots + \tfrac{a_1}{a_{n + 1}} x + \tfrac{a_0}{a_{n + 1}}}{x - x_{n + 1}} \\
&= a_{n + 1} \left( x - x_{n + 1} \right) \left( x^n + c_{n - 1} x^{n - 1} + \, \ldots \, + c_1 x + c_0 \right) \\
&= a_{n + 1} \left( x - x_{n + 1} \right) \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right) \\
&= a_{n + 1} \left( x \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right) \right. \\
&\phantom{= a_{n + 1}} \left. - x_{n + 1} \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right) \right) \\
&= a_{n + 1} \left( x^{n + 1} - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n + x_{n + 1} \right) x^n + \ldots + \left( -1 \right)^{n + 1} x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n x_{n + 1} \right)
\end{align}
#### Kesimpulan
Oleh karena hipotesisnya bernilai benar untuk kasus n = k + 1, maka hipotesisnya bernilai benar untuk sembarang n \in \mathbb{N} \setminus \left\{ 1 \right\}.
a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 = a_n \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)
Dengan membagi kedua ruas dengan x_n, maka kebenaran rumus-rumus Vieta terbukti.

## Sejarah
Sesuai dengan namanya, rumus-rumus ini ditemukan oleh matematikawan asal Prancis abad ke-16 François Viète, untuk kasus akar positif.

Menurut pendapat matematikawan asal Inggris abad ke-18 Charles Hutton, seperti yang dikutip oleh Funkhouser, prinsip utama (tidak hanya untuk akar riil positif) pertama kali dipahami oleh matematikawan Prancis abad ke-17 Albert Girard:
...[Girard ialah] orang pertama yang memahami doktrin umum dari pembentukan koefisien pangkat dari jumlahan akar-akar beserta hasil kalinya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahan perpangkatan akar-akar dari sembarang persamaan.

## Lihat juga

* Bagian primitif dan konten
* Aturan tanda Descartes
* Identitas Newton
* Teorema Gauss-Lucas
* Sifat geometris dari akar polinomial
* Teorema akar rasional
* Polinomial simetris dan polinomial simetri elementer

## Referensi

* 
* 
* 
* 

## Pranala luar
*