Aljabar Lie

Dalam matematika, **aljabar Lie** (pengucapan  "Lee") adalah ruang vektor \mathfrak g bersama dengan operasi yang disebut **braket Lie**, peta bilinear bergantian \mathfrak g \times \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g, \  (x, y) \mapsto [x, y] adalah bagian dari identitas Jacobi. Ruang vektor \mathfrak g dengan operasi ini adalah aljabar non-asosiatif, yang berarti bahwa kurung Lie belum tentu asosiatif.

Aljabar Lie berkaitan erat dengan grup Lie, yaitu grup dengan lipatan halus: setiap grup Lie memunculkan aljabar Lie, yang merupakan ruang singgung identitasnya. Sebaliknya, untuk aljabar Lie berdimensi-hingga di atas bilangan riil atau kompleks, ada yang sebagai penghubung dengan grup Lie hingga penutupan (teorema ketiga Lie). Korespondensi ini memungkinkan untuk mempelajari struktur dan klasifikasi grup Lie dalam kaitannya dengan aljabar Lie.

Dalam fisika, grup Lie sebagai grup simetri dari sistem fisik, dan aljabar Lie (vektor tangen dekat identitas) sebagai gerakan simetri yang sangat kecil. Jadi aljabar Lie dan representasi mereka digunakan secara luas dalam fisika, terutama dalam mekanika kuantum dan fisika partikel.

Contoh dasar adalah ruang vektor tiga dimensi \mathfrak{g}=\mathbb{R}^3 dengan operasi braket yang ditentukan oleh produk silang [x,y]=x\times y. Simetris-miring dari x\times y = -y\times x, dan asosiatif, maka identitas Jacobi:
: x\times(y\times z) \ =\ (x\times y)\times z \ +\  y\times(x\times z). 
Ini adalah aljabar Lie dari grup Lie rotasi ruang, dan setiap vektor v\in\R^3 dapat digambarkan sebagai rotasi yang sangat kecil di sekitar sumbu *v*, dengan kecepatan yang sama dengan besaran *v*. Braket Lie adalah ukuran non-komutatif antara dua rotasi: karena rotasi berjalan dengan sendirinya, maka memiliki sifat [x,x]=x\times x = 0.

## Sejarah
Aljabar Lie diperkenalkan untuk mempelajari konsep transformasi infinitesimal oleh Marius Sophus Lie pada tahun 1870-an, dan ditemukan secara independen oleh Wilhelm Killing di tahun 1880-an. Nama *aljabar Lie* diberikan oleh Hermann Weyl pada tahun 1930-an; dalam teks yang lebih lama, istilah *grup infinitesimal* digunakan.

## Definisi
### Definisi aljabar Lie
Aljabar Lie adalah ruang vektor \,\mathfrak{g} di beberapa bidang  dengan operasi biner [\,\cdot\,,\cdot\,]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g} disebut braket Lie memenuhi aksioma berikut:

* Bilinearitas,
:: [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], 
:: [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y] 
:untuk skalar *a*, *b* dalam *F* dan elemen *x*, *y*, *z* dalam \mathfrak{g}.

* Alternatif,
:: [x,x]=0\ 
:untuk *x* dalam \mathfrak{g}.

* Identitas Jacobi,
::  [x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] = 0 \ 
:untuk *x*, *y*, *z* dalam \mathfrak{g}.

Menggunakan bilinearitas untuk memperluas kurung Lie  [x+y,x+y]  dan menggunakan alternativitas menunjukkan  [x,y] + [y,x]=0\  untuk elemen *x*, *y* dalam \mathfrak{g} yang menunjukkan bilinearitas dan alternativitas sebagai
* Antikomutatif,
::  [x,y] = -[y,x],\  
:untuk semua elemen *x*, *y* dalam \mathfrak{g}. Jika karakteristik bidang bukan 2 maka antikomutatifitas sebagai alternatif.

Untuk menunjukkan aljabar Lie dengan huruf fraktur huruf kecil seperti \mathfrak{g, h, b, n}. Jika aljabar Lie dikaitkan dengan grup Lie, maka aljabar tersebut dilambangkan dengan versi fraktur grup: misalnya aljabar Lie SU(''n'') adalah \mathfrak{su}(n).

### Generator dan dimensi
Elemen aljabar Lie \mathfrak{g} dikatakan generator jika subaljabar terkecil yang menggunakan elemen ini adalah \mathfrak{g}. *Dimensi* dari aljabar Lie adalah dimensinya sebagai ruang vektor di atas *F*. Kardinalitas himpunan pembangkit minimal dari aljabar Lie tetap kurang dari atau sama dengan dimensinya.

Lihat klasifikasi aljabar Lie berdimensi rendah untuk contoh kecil lainnya.

### Subaljabar, ideal dan homomorfisme
Braket Lie tidak harus menggunakan asosiatif, artinya [x,y],z]</math> tidak harus menggunakan <math>[x,y,z. Namun, aljabar fleksibel. Meskipun demikian, istilah gelanggang asosiatif dan aljabar biasanya diterapkan pada aljabar Lie. *Subaljabar Lie* adalah subruang \mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g} sebagai penutupan di bawah braket Lie. *Ideal* \mathfrak i\subseteq\mathfrak{g} adalah subaljabar yang menggunakan kondisi yang lebih sederhana:

:[\mathfrak{g},\mathfrak i]\subseteq \mathfrak i.

Aljabar Lie *homomorfisme* adalah peta linear kompatibel dengan tanda kurung Lie:

: \phi: \mathfrak{g}\to\mathfrak{g'}, \quad \phi([x,y])=[\phi(x),\phi(y)] \ \text{for all}\ 
x,y \in \mathfrak g. 

Gelanggang asosiatif sebagai ideal adalah kernel homomorfisme; menggunakan aljabar Lie \mathfrak{g} dan ideal \mathfrak i untuk menghasilkan *aljabar fungtor* atau *aljabar hasil bagi* \mathfrak{g}/\mathfrak i, dan teorema isomorfisme pertama berlaku untuk Lie aljabar.

Karena barket Lie adalah sejenis komutator lebih kecil kecil dari grup Lie, maka dua elemen x,y\in\mathfrak g *diubah* jika braket: [x,y]=0.

Subaljabar pemusat dari himpunan bagian S\subset \mathfrak{g} adalah himpunan elemen dengan *S*: yaitu, \mathfrak{z}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x, s] = 0 \ \text{ untuk } s\in S\}. Pemusat dari \mathfrak{g} adalah *pusat*  \mathfrak{z}(\mathfrak{g}). Demikian pula, untuk subruang *S*, subaljabar penormal dari *S* adalah \mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x,s]\in S \ \text{ untuk}\ s\in S\}. Dengan halnya, jika *S* adalah subaljabar Lie, \mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S) adalah subaljabar terbesar sehingga S adalah ideal dari \mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S).

#### Contoh
Untuk \mathfrak{d}(2) \subset \mathfrak{gl}(2), komutator dari dua elemen maka \mathfrak{d}(2) adalah subaljabar kecuali ideal. Maka, karena setiap ruang sub-vektor satu dimensi dari aljabar Lie menghasilkan struktur aljabar Lie abelian induksi, yang umumnya tidak ideal. Untuk aljabar Lie sederhana, semua aljabar Lie abelian tidak menjadi ideal.

### Jumlah langsung dan produk setengah langsung
Untuk dua Aljabar Lie \mathfrak{g^{}} dan \mathfrak{g'}, jumlah langsung Aljabar Lie adalah ruang vektor
\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'}terdiri dari \mathfrak{}(x,x'), \,x\in\mathfrak{g}, \ x'\in\mathfrak{g'}, dengan operasi tersebut

: [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),

sehingga salinan \mathfrak g, \mathfrak g': [(x,0), (0,x')] = 0. Maka \mathfrak{g} menjadi aljabar Lie dan \mathfrak{i} ideal dari \mathfrak{g}. Jika peta kanonik \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i} (yaitu, menerima bagian), maka \mathfrak{g} dikatakan sebagai produk setengah langsung dari \mathfrak{i} dan \mathfrak{g}/\mathfrak{i}, \mathfrak{g}=\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\ltimes\mathfrak{i}. Lihat pula jumlah setengah langsung dari aljabar Lie.

Teorema Levi mengatakan bahwa aljabar Lie berdimensi-hingga adalah perkalian setengah langsung dari akar dan subaljabar komplementernya (Levi subaljabar).

### Turunan
'' Turunan '' pada aljabar Lie \mathfrak{g} (atau pada aljabar non-asosiatif) adalah peta linear \delta\colon\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g} yang mematuhi hukum Leibniz, yaitu,
:\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]

untuk x,y\in\mathfrak g. * Turunan batin * yang terkait dengan x\in\mathfrak g adalah pemetaan adjoin \mathrm{ad}_x didefinisikan oleh \mathrm{ad}_x(y):=[x,y]. (Ini adalah derivasi sebagai konsekuensi dari identitas Jacobi.) **Turunan luar** adalah derivasi yang tidak berasal dari representasi adjoin aljabar Lie. Jika \mathfrak{g} adalah setengah sederhana, setiap turunan adalah dalam.

Turunan membentuk ruang vektor \mathrm{Der}(\mathfrak g), yang merupakan subaljabar Lie dari \mathfrak{gl}(\mathfrak{g}); braketnya adalah komutator. Turunan dalam membentuk subaljabar Lie dari \mathrm{Der}(\mathfrak g).

#### Contoh
Misalnya, aljabar Lie ideal \mathfrak{i} \subset \mathfrak{g} representasi adjoin \mathfrak{ad}_\mathfrak {g} dari \mathfrak{g} bertindak sebagai turunan luar pada \mathfrak{i} karena [x,i] \subset \mathfrak{i} untuk x \in \mathfrak{g} dan i \in \mathfrak{i}. Untuk aljabar Lie \mathfrak{b}_n dari matriks segitiga atas dalam \mathfrak{gl}(n), dari ideal \mathfrak{n}_n dari matriks segitiga atas (di mana satu-satunya elemen bukan nol berada di atas diagonal matriks). Misalnya, komutator elemen dalam \mathfrak{b}_3 dan \mathfrak{n}_3 givesmenunjukkan turunan luar dari \mathfrak{b}_3 dalam \text{Der}(\mathfrak{n}_3).

### Jumlah langsung dan produk setengah langsung
Untuk dua aljabar Lie \mathfrak{g^{}} dan \mathfrak{g'}, jumlah langsung Aljabar Lie adalah ruang vektor
\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'}terdiri dari semua \mathfrak{}(x,x'), \,x\in\mathfrak{g}, \ x'\in\mathfrak{g'}, dengan operasi tersebut

: [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),

maka salinan \mathfrak g, \mathfrak g' komutatif satu sama lain: [(x,0), (0,x')] = 0. Maka \mathfrak{g} sebagai aljabar Lie dan \mathfrak{i} ideal \mathfrak{g}. Jika peta kanonik \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i} membagi (yaitu, menerima bagian), lalu \mathfrak{g} dikatakan sebagai produk setengah langsung dari \mathfrak{i} dan \mathfrak{g}/\mathfrak{i}, \mathfrak{g}=\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\ltimes\mathfrak{i}. Lihat pula jumlah setengah langsung dari aljabar Lie.

Teorema Levi digunakan aljabar Lie berdimensi-hingga adalah hasil kali setengah-langsung dari akar dan subaljabar komplementernya (subaljabar Levi).

### Turunan
''Turunan'' pada aljabar Lie \mathfrak{g} (atau pada aljabar non-asosiatif) adalah peta linear \delta\colon\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g} yang mematuhi hukum Leibniz, yaitu,
:\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]

untuk semua x,y\in\mathfrak g. *Turunan batin* yang terkait dengan x\in\mathfrak g adalah pemetaan adjoin \mathrm{ad}_x didefinisikan oleh \mathrm{ad}_x(y):=[x,y]. Jika \mathfrak{g} adalah setengah sederhana, setiap turunan adalah dalam.

Turunan membentuk ruang vektor \mathrm{Tur}(\mathfrak g) yang merupakan subaljabar Lie dari \mathfrak{gl}(\mathfrak{g}); braketnya adalah komutator. Turunan dalam membentuk subaljabar Lie dari \mathrm{Tur}(\mathfrak g).

#### Contoh
Misalnya, aljabar Lie ideal \mathfrak{i} \subset \mathfrak{g} representasi adjoin \mathfrak{ad}_\mathfrak {g} dari \mathfrak{g} bertindak sebagai turunan luar pada \mathfrak{i} since [x,i] \subset \mathfrak{i} untuk semua x \in \mathfrak{g} dan i \in \mathfrak{i}. Untuk aljabar Lie \mathfrak{b}_n dari matriks segitiga atas dalam \mathfrak{gl}(n), menggunakan ideal \mathfrak{n}_n dari matriks segitiga atas (dimana satu-satunya elemen bukan nol berada di atas diagonal matriks). Misalnya, komutator elemen dalam \mathfrak{b}_3 dan \mathfrak{n}_3 diberikan olehmenunjukkan turunan luar dari \mathfrak{b}_3 dalam \text{Tur}(\mathfrak{n}_3).

### Membagi aljabar Lie
Misalkan *V* adalah ruang vektor berdimensi-hingga di atas bidang *F*, \mathfrak{gl}(V) aljabar Lie transformasi linear dan \mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{gl}(V) sebuah subaljabar Lie. Maka \mathfrak{g} sebagai **membagi** jika akar dari polinomial karakteristik dari semua transformasi linear dalam \mathfrak{g} berada di bidang dasar *F*. Lebih umum, aljabar Lie berdimensi-hingga \mathfrak{g} dikatakan terpecah jika memiliki subaljabar Cartan yang gambarnya di bawah representasi adjoin \operatorname{ad}: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak g) adalah aljabar Lie terpisah. Bentuk riil terpisah dari aljabar Lie setengah sederhana kompleks (lihat #Bentuk riil dan pengkompleksan) adalah contoh membagi aljabar Lie riil. Lihat pula membagi aljabar Lie untuk informasi lebih lanjut.

### Basis ruang vektor
Untuk kalkulasi praktis, sering kali lebih mudah untuk memilih basis ruang vektor eksplisit untuk aljabar. Konstruksi umum untuk basis ini digambarkan dalam artikel konstanta struktur.

### Definisi menggunakan notasi teori-kategori

Meskipun definisi di atas cukup untuk pemahaman konvensional tentang Lie aljabar, setelah dipahami, wawasan tambahan dapat diperoleh dengan menggunakan notasi umum untuk teori kategori, yaitu dengan mendefinisikan aljabar Lie dalam istilah peta linear—yaitu, morfisme dari kategori ruang vektor tanpa mempertimbangkan elemen individu. Dalam bagian ini, bidang dimana aljabar didefinisikan karakteristik berbeda dari dua.)

Untuk definisi kategori-teoretis dari aljabar Lie, diperlukan dua kepangan isomorfisme. Jika  adalah ruang vektor, *pertukaran isomorfisme* \tau: A\otimes A \to A\otimes A didefinisikan oleh 
:\tau(x\otimes y)= y\otimes x.
*Kepangan siklik-permutasi* \sigma:A\otimes A\otimes A \to A\otimes A\otimes A  didefinisikan sebagai
:\sigma=(\mathrm{id}\otimes \tau)\circ(\tau\otimes \mathrm{id}),
dimana \mathrm{id} adalah morfisme identitas.
Sama halnya, \sigma didefinisikan oleh
:\sigma(x\otimes y\otimes z)= y\otimes z\otimes x.

Dengan notasi ini, aljabar Lie dapat didefinisikan sebagai objek A dalam kategori ruang vektor dengan morfisme 
:[\cdot,\cdot]:A\otimes A\rightarrow A 
yang memenuhi dua persamaan morfisme
:[\cdot,\cdot]\circ(\mathrm{id}+\tau)=0,
dan
:[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot]\otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} +\sigma+\sigma^2)=0.

## Contoh
### Ruang vektor
Setiap ruang vektor V sebagai tanda kurung siku nol yang identik menjadi aljabar Lie. Aljabar Lie satu dimensi di atas bidang adalah abelian, dengan sifat dari kurung Lie.

### Aljabar asosiatif dengan tanda kurung komutator
* Pada aljabar asosiatif A di atas bidang F dengan perkalian (x, y) \mapsto xy, braket Lie dapat ditentukan dengan komutator [x,y] = xy - yx. Dengan tanda kurung ini, A adalah aljabar Lie. Aljabar asosiatif *A* disebut *aljabar pembungkus* dari aljabar Lie (A, [\,\cdot\, , \cdot \,]). Setiap aljabar Lie dapat digabungkan ke aljabar yang muncul dari aljabar asosiatif dengan aljabar pembungkus universal.
* Aljabar asosiatif endomorfisma dari ruang-*F* vektor V dengan braket Lie di atas dilambangkan \mathfrak{gl}(V).
* Untuk ruang vektor berdimensi hingga V = F^n, contoh sebelumnya, aljabar Lie dari matriks *n*×*n*, dinotasikan \mathfrak{gl}(n, F) atau \mathfrak{gl}_n(F), dengan braket [X,Y]=X\cdot Y-Y\cdot X, dimana \cdot menunjukkan perkalian matriks. Aljabar Lie dari grup linear umum yang terdiri dari matriks invers.

### Matriks khusus
Dua subaljabar dari \mathfrak{gl}_n(F) adalah:

* Matriks jejak nol membentuk aljabar Lie linear khusus \mathfrak{sl}_n(F), aljabar Lie dari grup linear khusus \mathrm{SL}_n(F).
* Matriks condong-Hermitian membentuk aljabar Lie kesatuan \mathfrak u(n), aljabar Lie dari satuan grup *U*(*n*).

### Aljabar matriks Lie

Kompleks grup matriks adalah grup Lie yang terdiri dari matriks G\subset M_n(\mathbb{C}) dimana perkalian *G* adalah perkalian matriks. Aljabar Lie \mathfrak g ruang matriks merupakan vektor bersinggungan dengan *G* dalam ruang linear M_n(\mathbb{C}): terdiri dari turunan kurva halus dalam *G* dengan identitas: Braket Lie dari \mathfrak{g} adalah komutator matriks, [X,Y]=XY-YX. Dengan aljabar Lie, kita dapat memulihkan grup Lie sebagai citra pemetaan matriks eksponensial \exp: M_n(\mathbb{C})\to M_n(\mathbb{C}) didefinisikan oleh \exp(X) = I + X + \tfrac{1}{2!}X^2+\cdots, yang menyatu untuk setiap matriks  X : yaitu, G=\exp(\mathfrak g).

Berikut ini adalah contoh aljabar Lie dari grup matriks Lie:

* Grup linear khusus {\rm SL}_n(\mathbb{C}) terdiri dari  matriks dengan determinan 1. Aljabar Lie \mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})terdiri dari  matriks dengan entri kompleks dan jejak 0. Demikian pula, mendefinisikan grup Lie riil {\rm SL}_n(\mathbb{R}) dan aljabar Lie \mathfrak{sl}_n(\mathbb{R}).
* Grup uniter U(n) terdiri dari *n*&nbsp;×&nbsp;*n* matriks uniter (sebagai U^*=U^{-1}). Aljabar Lie \mathfrak{u}(n) terdiri dari matriks adjoin (X^*=-X).
* Grup ortogonal khusus \mathrm{SO}(n), terdiri dari matriks ortogonal determinan-satu riil (A^{\mathrm{T}}=A^{-1}). Aljabar Lie \mathfrak{so}(n) terdiri dari matriks simetris-miring riil (X^{\rm T}=-X). Grup ortogonal penuh \mathrm{O}(n), tanpa determinan-satu kondisi, terdiri dari \mathrm{SO}(n) dan komponen terhubung yang terpisah, maka memiliki aljabar Lie *sama dengan* \mathrm{SO}(n). Demikian pula, mendefinisikan versi kompleks dari grup dan aljabar ini, hanya dengan entri matriks kompleks.

### Dua dimensi

* Pada setiap bidang F hingga isomorfisme, satu aljabar Lie nonabelian dua dimensi. Dengan generator *x, y,* braketnya didefinisikan sebagai  \left [x, y\right ] = y. Ini sebagai grup affine dalam satu dimensi.

:Ini diwujudkan dengan matriks: 
:: x= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right), \qquad y=   \left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right).   
Maka
: \left( \begin{array}{cc} 1 & c\\ 0 & 0 \end{array}\right)^{n+1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & c\\ 0 & 0 \end{array}\right)
untuk setiap bilangan asli n dan c melihat bahwa elemen grup Lie yang dihasilkan adalah matriks segitiga atas 2 × 2 dengan satuan diagonal lebih rendah:
:: \exp(a\cdot{}x+b\cdot{}y)= \left( \begin{array}{cc} e^a & \tfrac{b}{a}(e^a-1)\\ 0 & 1 \end{array}\right) = 1 + \tfrac{e^a-1}{a}\left(a\cdot{}x+b\cdot{}y\right). 

### Tiga dimensi
* Aljabar Heisenberg {\rm H}_3(\mathbb{R}) is a aljabar Lie tiga dimensi yang dihasilkan elemen , , dan  dengan tanda kurung Lie

::[x,y] = z,\quad [x,z] = 0, \quad [y,z] = 0.
:Ini diwujudkan sebagai ruang dari matriks segitiga 3 × 3, dengan tanda kurung komutator Lie:
::
x = \left( \begin{array}{ccc}
0&1&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
y = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
z = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right)~.\quad


:Setiap elemen dari grup Heisenberg dengan demikian dapat direpresentasikan sebagai produk dari generator grup, yaitu, matriks eksponensial dari generator aljabar Lie, 
::\left( \begin{array}{ccc}
1&a&c\\
0&1&b\\
0&0&1
\end{array}\right)= e^{by} e^{cz} e^{ax}~.


* Aljabar Lie \mathfrak{so}(3) dari grup SO(3) direntang oleh tiga matriks
::
F_1 = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&0\\
0&0&-1\\
0&1&0
\end{array}\right),\quad
F_2 = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&1\\
0&0&0\\
-1&0&0
\end{array}\right),\quad
F_3 = \left( \begin{array}{ccc}
0&-1&0\\
1&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right)~.\quad

:Relasi pergantian di antara generator adalah
::[F_1, F_2] = F_3,
:: [F_2, F_3] = F_1,
:: [F_3, F_1] = F_2.

:Tiga dimensi ruang Euklides \mathbb{R}^3 dengan kurung Lie diberikan oleh perkalian silang dari vektor sebagai relasi pergantian yang sama seperti di atas: dengan demikian, isomorfik untuk \mathfrak{so}(3). Aljabar Lie keekuivalen secara unitar dengan operasi komponen momentum sudut spin biasa untuk partikel spin-1 dalam mekanika kuantum.

### Dimensi tak hingga

* Kelas penting aljabar Lie berdimensi tak hingga muncul di topologi diferensial. Ruang halus bidang vektor pada lipatan diferensial *M* membentuk aljabar Lie, dimana kurung Lie didefinisikan sebagai komutator bidang vektor. Salah satu cara untuk mengekspresikan tanda kurung Lie adalah melalui formalisme turunan Lie, yang mengidentifikasi bidang vektor *X* dengan operasi diferensial parsial urutan pertama *L**X* sebagai fungsi halus dengan membiarkan *L**X*(*f*) menjadi turunan arah dari fungsi *f* ke *X*. Braket Lie [*X*,*Y*] dari dua bidang vektor adalah bidang vektor yang ditentukan melalui fungsi dengan rumus:
 	
::  L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f).\,

* Aljabar Kac–Moody adalah kelas besar aljabar Lie berdimensi tak hingga yang strukturnya sangat mirip dengan kasus berdimensi hingga di atas.
* Aljabar Moyal adalah aljabar Lie berdimensi tak hingga yang berisi semua aljabar Lie klasik sebagai subaljabar.
* Aljabar Virasoro adalah yang terpenting dalam teori pita.

## Wakilan

### Definisi
Diberikan ruang vektor *V*, misal \mathfrak{gl}(V) menunjukkan aljabar Lie yang terdiri dari semua endomorfisma linear dari *V*, dengan tanda kurung yang diberikan oleh [X,Y]=XY-YX. Sebuah *wakilan* dari aljabar Lie \mathfrak{g} dengan *V* adalah homomorfisme aljabar Lie
:\pi: \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V).

Wakilan sebagai *setia* jika kernelnya nol. Teorema Ado untuk setiap aljabar Lie berdimensi-hingga memiliki wakilan setia dengan ruang vektor berdimensi-hingga.

### Wakilan adjoin
Untuk aljabar Lie \mathfrak{g}, maka didefinisikan wakilan \operatorname{ad}\colon\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})
given by \operatorname{ad}(x)(y) = [x, y] adalah wakilan pada ruang vektor \mathfrak{g} yang merupakan wakilan adjoin.

### Tujuan teori wakilan
Salah satu aspek penting dari studi Lie aljabar (terutama aljabar Lie semi-sederhana) adalah studi tentang wakilan. Memang, sebagian besar buku yang tercantum di bagian referensi mencurahkan sebagian besar halaman untuk teori wakilan. Meskipun teorema Ado adalah hasil yang penting, tujuan utama dari teori wakilan bukanlah untuk menemukan wakilan yang tepat dari aljabar Lie yang diberikan \mathfrak{g}. Dalam kasus semi-sederhana untuk wakilan adjoin adalah setia. Sebaliknya, tujuannya adalah untuk memahami *semua* kemungkinan wakilan \mathfrak{g}, hingga gagasan alami tentang kesetaraan. Dalam kasus semi sederhana di atas bidang karakteristik nol, teorema Weyl untuk setiap wakilan berdimensi-hingga adalah jumlah langsung dari wakilan yang tidak dapat direduksi (tidak memiliki subruang invarian nontrivial). Wakilan yang tidak dapat direduksi, pada gilirannya, diklasifikasikan dengan teorema dengan bobot tertinggi.

### Teori wakilan dalam Fisika
Teori wakilan aljabar Lie memegang peranan penting dalam berbagai bagian teori fisika. Operasi di ruang negara bagian yang memenuhi relasi pergantian alami tertentu. Relasi pergantian ini biasanya berasal dari kesimetrian masalah—khususnya, mereka adalah relasi aljabar Lie dari grup kesimetrian yang relevan. Contohnya adalah operasi momentum sudut dimana relasi pergantinya adalah aljabar Lie \mathfrak{so}(3) dari grup rotasi SO(3). Biasanya, ruang satuan sangat jauh dari tidak dapat direduksi di bawah operasi terkait, tetapi seseorang dapat mencoba untuk menguraikannya menjadi bagian-bagian yang tidak dapat direduksi. Dalam melakukannya, untuk mengetahui wakilan tak tersederhanakan dari aljabar Lie yang diberikan. Dalam studi tentang kuantum atom hidrogen, misalnya, buku teks mekanika kuantum memberikan (tanpa menyebutnya demikian) klasifikasi wakilan tak tersederhanakan dari aljabar Lie \mathfrak{so}(3).

## Relasi grup Lie

Meskipun aljabar Lie dipelajari dengan hak sendiri, secara historis sebagai sarana untuk mempelajari grup Lie.

Menguraikan secara singkat relasi antara grup Lie dan aljabar Lie. Setiap grup Lie memunculkan aljabar Lie yang ditentukan secara kanonik (atau secara konkret, *ruang tangen pada identitas*). Sebaliknya, untuk aljabar Lie berdimensi-hingga \mathfrak g, grup Lie terhubung G dengan aljabar Lie \mathfrak g. Ini adalah teorema ketiga Lie; lihat rumus Baker–Campbell–Hausdorff. Grup Lie tidak ditentukan secara unik, tetapi dua grup Lie dengan aljabar Lie yang sama adalah *isomorfik lokal*, dan khususnya memiliki sampul universal yang sama. Misal grup ortogonal khusus SO(3) dan grup uniter khusus SU(2) ditolak aljabar Lie yang sama, isomorfik menjadi \mathbb{R}^3 dengan produk silang, tetapi SU(2) adalah penutup ganda SO(3) yang terhubung sederhana.

## Bentuk dan kerumitan riil
Diberikan aljabar Lie kompleks \mathfrak g, aljabar Lie riil \mathfrak{g}_0 dikatakan sebagai *[[bentuk riil]]* dari \mathfrak g jika kompleksifikasi \mathfrak{g}_0 \otimes_{\mathbb R} \mathbb{C} \simeq \mathfrak{g} isomorfik untuk \mathfrak{g}. Bentuk rill tidak harus unik; sebagai contoh, \mathfrak{sl}_2 \mathbb{C} memiliki dua bentuk riil \mathfrak{sl}_2 \mathbb{R} dan \mathfrak{su}_2.

Diberikan aljabar Lie kompleks berdimensi-hingga setengah sederhana \mathfrak g, *[[bentuk terpisah]]* adalah bentuk riil yang terbagi; yaitu, ia memiliki subaljabar Cartan melalui representasi adjoin dengan nilai eigen riil. Ada bentuk perpecahan dan unik (hingga isomorfisme). *[[Bentuk kompak]]* adalah bentuk riil yang merupakan aljabar Lie dari grup Lie kompak. Ada bentuk yang kompak dan unik.

## Lie aljabar dengan struktur tambahan
Aljabar Lie dapat dilengkapi dengan beberapa struktur tambahan yang dianggap kompatibel dengan braket. Misalnya, aljabar Lie bertingkat adalah aljabar Lie dengan struktur ruang vektor bertingkat. Jika ia juga dilengkapi dengan diferensial (sehingga ruang vektor bergradasi yang mendasari adalah kaidah kompleks), maka ia disebut aljabar Lie bergradasi diferensial.

Sebuah aljabar Lie sederhana adalah benda sederhana dalam kategori aljabar Lie; dengan kata lain, itu diperoleh dengan mengganti himpunan yang mendasari dengan himpunan sederhana (jadi mungkin lebih baik dianggap sebagai keluarga Lie aljabar).

## Gelanggang Lie
* Gelanggang Lie * muncul sebagai generalisasi dari aljabar Lie, atau melalui studi deret tengah bawah grup. Gelanggang Lie didefinisikan sebagai gelanggang non-asosiatif dengan perkalian yaitu antikomutatif dan memenuhi identitas Jacobi. Lebih spesifiknya kita bisa mendefinisikan gelanggang Lie  L  menjadi grup abelian dengan operasi [\cdot,\cdot] yang memiliki properti berikut:

* Bilinearitas:

:: [x + y, z] = [x, z] + [y, z], \quad  [z, x + y] = [z, x] + [z, y] 

:untuk *x*, *y*, *z* &isin; *L*.

* * Identitas Jacobi *:

::  [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 \quad 

:untuk *x*, *y*, *z* dalam *L*.

* Untuk *x* dalam *L*:

:: [x,x]=0 \quad 

Gelanggang Lie tidak perlu grup Lie sebagai tambahan. Semua aljabar Lie adalah contoh gelanggang Lie. Semua gelanggang asosiatif dapat dibuat menjadi gelanggang Lie dengan menentukan operator braket [x,y] = xy - yx.  Sebaliknya, pada aljabar Lie mana pun, ada cincin yang sesuai, yang disebut aljabar pembungkus universal.

## Lihat pula

* Representasi adjoin dari aljabar Lie
* Aljabar Lie Anyonic
* Aljabar Lie Chiral
* Aljabar Lie bebad
* Indeks aljabar Lie
* Aljabar Lie kohomologi aljabar
* Ekstensi aljabar Lie
* Representasi aljabar Lie
* Bialjabar Lie
* Koaljabar Lie
* Operator Lie
* Fisika partikel dan teori representasi

* Superaljabar Lie
* Aljabar Poisson
* Aljabar pra-Lie
* Grup kuantum
* Braket Aljabar
* Aljabar Lie semu-Frobenius
* Aljabar semu-Lie
* Aljabar Lie Terbatas
* Relasi Serre
* Simetri Aljabar Lie 
* Kohomologi Gelfand–Fuks

## Keterangan

## Referensi

## Sumber
* 
* 
* 
* Erdmann, Karin & Wildon, Mark. *Introduction to Lie Algebras*, 1st edition, Springer, 2006. 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Pranala luar
* 
*