Kelas grup

**Kelas grup** adalah teoretis himpunan grup yang menggunakan sifat jika *G* dalam koleksi maka grup isomorfik ke *G* juga dalam koleksi. Konsep dari grup yang menggunakan sifat khusus tertentu (misalnya keterbatasan atau komutatifitas).  Karena teori himpunan tidak menggunakan "grup himpunan", maka dengan konsep yang lebih umum dari *[[Kelas (teori himpunan)|kelas]]*.

## Definisi
**Kelas grup** \mathfrak{X}~ adalah kumpulan grup sehingga jika G\in\mathfrak{X}~ dan G\cong H~ maka H\in\mathfrak{X}~. Grup di kelas \mathfrak{X}~ disebut sebagai **grup**-\mathfrak{X}.

Untuk himpunan grup \mathfrak{I}~, dilambangkan dengan (\mathfrak{I}) kelas terkecil dari grup \mathfrak{I}. Khususnya untuk grup  G ,  (G)  menunjukkan kelas isomorfismenya.

## Contoh
Contoh paling umum dari kelas grup adalah:
* \emptyset: kelas grup kosong
* \mathfrak{C}: kelas grup siklik.
* \mathfrak{A}~: kelas grup Abelian.
* \mathfrak{U}~: kelas terbatas grup solvabel
* \mathfrak{N}~: kelas dari grup nilpoten
* \mathfrak{S}~: kelas dari hingga grup divisibel
* \mathfrak{I}~: kelas terbatas grup sederhana
* \mathfrak{E}~: kelas grup hingga
*  \mathfrak{G}~: kelas berkas dari grup

## Produk kelas grup
Dua kelas grup \mathfrak{X}~ dan \mathfrak{Y}~ didefinisikan sebagai **produk kelas**

\mathfrak{X}\mathfrak{Y}~=(G|G \text{ sebagai subgrup normal } N\in\mathfrak{X} \text{ dengan } G/N\in\mathfrak{Y})

Konstruksi ini memungkinkan untuk secara rekursif mendefinisikan **pangkat kelas** dengan

\mathfrak{X}^0=(1) dan \mathfrak{X}^n=\mathfrak{X}^{n-1}\mathfrak{X}

Harus dicatat bahwa operasi biner pada kelas kelas grup bukan asosiatif atau komutatif. Misalnya, pertimbangkan grup alternatif dari derajat 4 (dan urutan 12); grup ini milik kelas (\mathfrak{C}\mathfrak{C})\mathfrak{C} karena memiliki sebagai subgrup V_4 dengan \mathfrak{C}\mathfrak{C} dan selanjutnya A_4/V_4\cong C_3 adalah \mathfrak{C}. Namun  A_4  tidak memiliki subgrup siklik normal non-trivial, jadi A_4\not\in\mathfrak{C}(\mathfrak{C}\mathfrak{C}). Maka \mathfrak{C}(\mathfrak{C}\mathfrak{C})\not=(\mathfrak{C}\mathfrak{C})\mathfrak{C}.

Namun dari definisi untuk tiga kelas grup \mathfrak{X}, \mathfrak{Y}, dan \mathfrak{Z},

\mathfrak{X}(\mathfrak{Y}\mathfrak{Z})\subseteq(\mathfrak{X}\mathfrak{Y})\mathfrak{Z}

## Peta kelas dan operasi penutupan
**Peta kelas** **c** adalah peta kelas grup \mathfrak{X} ke kelas grup c\mathfrak{X}. Peta kelas dikatakan sebagai operasi penutupan jika sifat berikutnya:
# **c** adalah ekspansif: \mathfrak{X}\subseteq c\mathfrak{X}
# **c** adalah idempoten: c\mathfrak{X}=c(c\mathfrak{X})
# **c** adalah monotonik: jika \mathfrak{X}\subseteq\mathfrak{Y} maka c\mathfrak{X}\subseteq c\mathfrak{Y}

Beberapa contoh operasi penutupan yang paling umum adalah:

* S\mathfrak{X}=(G|G\leq H, \ H\in\mathfrak{X})
* Q\mathfrak{X}=(G|\text{maka }H\in\mathfrak{X} \text{ dan epimorfisme dari }H \text{ ke }G)
* N_0\mathfrak{X}=(G| \text{ maka }K_i\ (i=1,\cdots,r)\text{ subnormal di }G\text{ dengan }K_i\in\mathfrak{X}\text{ dan }G=\langle K_1,\cdots,K_r\rangle)
* R_0\mathfrak{X}=(G| \text{ maka }N_i\ (i=1,\cdots,r)\text{ normal di }G\text{ dengan }G/N_i\in\mathfrak{X}\text{ dan }\bigcap\limits_{i=1}^rNi=1)
* S_n\mathfrak{X}=(G|G\text{ adalah subnormal di }H\text{ untuk beberapa }H\in\mathfrak{X})

## Lihat pula
* Pembentukan

## Referensi

*
*