Relasi perulangan

Dalam matematika, **relasi perulangan** adalah persamaan yangrekursif mendefinisikan array nilai urutan atau multidimensi, sekali satu atau lebih istilah awal diberikan; setiap suku selanjutnya dari barisan atau larik didefinisikan sebagai fungsi dari suku-suku sebelumnya.

Syarat **[[#Hubungan persamaan perbedaan didefinisikan secara sempit|persamaan perbedaan]]** terkadang (dan untuk tujuan artikel ini) mengacu pada jenis relasi perulangan tertentu. Namun, "persamaan perbedaan" sering digunakan untuk merujuk ke relasi perulangan dengan * apa saja *.

## Definisi
*Relasi perulangan* adalah persamaan yang mengekspresikan setiap elemen dari urutan sebagai fungsi dari yang sebelumnya. Lebih tepatnya, dalam kasus di mana hanya elemen sebelumnya yang terlibat, relasi perulangan memiliki bentuk
:u_n=\varphi(n, u_{n-1})\quad\text{untuk}\quad n>0,
di mana 
:\varphi:\mathbb N\times X \to X
adalah sebuah fungsi, di mana  adalah himpunan yang harus dimiliki elemen-elemen urutan. Untuk apapun u_0\in X, ini mendefinisikan urutan unik dengan  u_0  sebagai elemen pertamanya, yang disebut nilai awal.

Sangat mudah untuk mengubah definisi untuk mendapatkan urutan mulai dari indeks 1 atau lebih tinggi.

Ini mendefinisikan relasi perulangan *orde pertama*. Relasi perulangan * orde* memiliki bentuk 
:u_n=\varphi(n, u_{n-1}, u_{n-2}, \ldots, u_{n-k})\quad\text{for}\quad n\ge k,

di mana \varphi: \mathbb N\times X^k \to X adalah fungsi yang melibatkan  elemen berurutan dari urutan tersebut.
Dalam kasus ini, nilai awal  diperlukan untuk menentukan urutan.

## Contoh
### Faktorial
Faktorial ditentukan oleh relasi perulangan
:n!=n(n-1)!\quad\text{untuk}\quad n>0,
dan kondisi awal
:0!=1.

### Peta logistik
Contoh relasi perulangan adalah peta logistik:

:x_{n+1} = r x_n (1 - x_n),

dengan konstanta tertentu * r *; mengingat istilah awal *x*0 setiap suku berikutnya ditentukan oleh relasi ini.

Memecahkan relasi perulangan berarti memperoleh solusi bentuk tertutup: fungsi non-rekursif dari * n *.

### Bilangan Fibonacci
Pengulangan urutan dua yang dipenuhi oleh Bilangan Fibonacci adalah pola dasar dari relasi perulangan linier yang homogen dengan koefisien konstan (lihat di bawah). Urutan Fibonacci ditentukan menggunakan pengulangan

:F_n = F_{n-1}+F_{n-2}

dengan kondisi awal (nilai benih)

:F_0 = 0
:F_1 = 1.

Secara eksplisit, pengulangan menghasilkan persamaan
:F_2 = F_1 + F_0
:F_3 = F_2 + F_1
:F_4 = F_3 + F_2
etc.

Kami mendapatkan urutan angka Fibonacci, yang dimulai
:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Pengulangan dapat diselesaikan dengan metode yang dijelaskan di bawah ini menghasilkan rumus Binet, yang melibatkan pangkat dua akar dari karakteristik polinomial *t*2&nbsp;=&nbsp;*t*&nbsp;+&nbsp;1; fungsi pembangkit dari barisan tersebut adalah fungsi rasional
:  \frac{t}{1-t-t^2}.

### Koefisien binomial
Contoh sederhana dari relasi perulangan multidimensi diberikan oleh koefisien binomial \tbinom{n}{k}, yang menghitung jumlah cara memilih elemen * k * dari satu set elemen * n *.
Mereka dapat dihitung oleh relasi perulangan
:\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k},
dengan kasus dasar \tbinom{n}{0}=\tbinom{n}{n}=1. Menggunakan rumus ini untuk menghitung nilai semua koefisien binomial menghasilkan larik tak hingga yang disebut segitiga Pascal. Nilai yang sama juga dapat dihitung secara langsung dengan rumus berbeda yang bukan merupakan pengulangan, tetapi membutuhkan perkalian dan bukan hanya penambahan untuk menghitung:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

## Hubungan persamaan perbedaan didefinisikan secara sempit
Diberikan urutan urutan \left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty dari bilangan riil: **perbedaan pertama** \Delta(a_n) didefinisikan sebagai

:\Delta(a_n) = a_{n+1} - a_n.

**Perbedaan kedua** \Delta^2(a_n) didefinisikan sebagai

:\Delta^2(a_n) = \Delta(a_{n+1}) - \Delta(a_n),

yang dapat disederhanakan menjadi

:\Delta^2(a_n) = a_{n+2} - 2a_{n+1} + a_n.

Lebih umum lagi: **''k''-perbedaan** dari urutan *a<sub>n</sub>* ditulis sebagai \Delta^k(a_n) didefinisikan secara rekursif sebagai

:\Delta^k(a_n) = \Delta^{k-1}(a_{n+1}) - \Delta^{k-1}(a_n)=\sum_{t=0}^k \binom{k}{t} (-1)^t a_{n+k-t}.

(Urutan dan perbedaannya terkait dengan transformasi binomial.) Definisi yang lebih ketat dari * persamaan perbedaan adalah persamaan yang terdiri dari a<sub>n</sub>* dan itu *k*th perbedaan. (Definisi yang lebih luas digunakan secara luas memperlakukan "persamaan perbedaan" sebagai sinonim dengan "hubungan rekurensi". Lihat contoh persamaan perbedaan rasional dan persamaan perbedaan matriks)

Sebenarnya, mudah dilihat bahwa,

:a_{n+k} = 
{k\choose 0}a_n + {k\choose 1} \Delta(a_n)  + \cdots + {k\choose k} \Delta^k(a_n).


Dengan demikian, persamaan perbedaan dapat didefinisikan sebagai persamaan yang melibatkan 
*a<sub>n</sub>*, *a<sub>n-1</sub>*, *a<sub>n-2</sub>* dll. (atau dengan kata lain
*a<sub>n</sub>*, *a<sub>n+1</sub>*, *a<sub>n+2</sub>* dll.)

Karena persamaan perbedaan adalah bentuk pengulangan yang sangat umum, beberapa penulis menggunakan kedua istilah tersebut secara bergantian. Misalnya persamaan selisih

:3\Delta^2(a_n) + 2\Delta(a_n) + 7a_n = 0

setara dengan hubungan perulangan

:3a_{n+2} = 4a_{n+1} - 8a_n.

Dengan demikian seseorang dapat menyelesaikan banyak relasi perulangan dengan menyusunnya kembali sebagai persamaan perbedaan, dan kemudian menyelesaikan persamaan perbedaan, analog dengan bagaimana seseorang memecahkan persamaan diferensial biasa. Namun, bilangan Ackermann adalah contoh relasi perulangan yang tidak memetakan ke persamaan diferensial, apalagi titik pada solusi persamaan diferensial.

Lihat kalkulus skala waktu untuk penyatuan teori persamaan perbedaan dengan persamaan diferensial.

Persamaan penjumlahan s berhubungan dengan persamaan perbedaan karena persamaan integral berhubungan dengan persamaan diferensial.

### Dari urutan ke kisi
Hubungan pengulangan variabel tunggal atau satu dimensi adalah tentang urutan (yaitu fungsi yang ditentukan pada kisi satu dimensi). Relasi pengulangan multi-variabel atau n-dimensi adalah tentang kisi berdimensi-n. Fungsi yang ditentukan pada n-grid juga dapat dipelajari dengan **persamaan perbedaan parsial**.

## Stabilitas

### Stabilitas pengulangan tingkat tinggi linier
Pengulangan linear order *d*,

:a_n = c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2}+\cdots+c_da_{n-d},  

memiliki persamaan karakteristik

:\lambda^d - c_1 \lambda^{d-1} - c_2 \lambda^{d-2} - \cdots - c_d \lambda^0 =0. 

Pengulangannya adalah stabil, yang berarti bahwa iterasi menyatu secara asimtotik ke nilai tetap, jika dan hanya jika nilai eigen (yaitu, akar dari persamaan karakteristik), baik nyata maupun kompleks, semuanya kurang dari kesatuan dalam nilai absolut.

### Stabilitas pengulangan matriks orde pertama linear

Dalam persamaan perbedaan matriks orde pertama

:[x_t - x^*] = A[x_{t-1}-x^*]

dengan vektor keadaan * x * dan matriks transisi * A *, * x * menyatu secara asimtotik ke vektor keadaan mapan * x * * jika dan hanya jika semua nilai eigen dari matriks transisi *A* (apakah nyata atau kompleks) memiliki nilai absolut yang kurang dari 1.)

## Hubungan dengan persamaan diferensial
Saat menyelesaikan sebuah persamaan diferensial biasa secara numerik, seseorang biasanya menemukan relasi perulangan. Misalnya, saat memecahkan masalah nilai awal

:y'(t) = f(t,y(t)), \ \ y(t_0)=y_0,

dengan metode Euler dan ukuran langkah * h *, seseorang menghitung nilainya

:y_0=y(t_0), \ \ y_1=y(t_0+h), \ \ y_2=y(t_0+2h), \ \dots

oleh nilai

:\, y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n), t_n = t_0 + nh 

Sistem persamaan diferensial orde pertama linier dapat didiskritisasi secara analitis menggunakan metode yang ditunjukkan dalam artikel diskritisasi.

## Lihat pula

* Urutan Holonomis
* Fungsi berulang
* Polinomial ortogonal
* Rekursi
* Rekursi (ilmu komputer)
* Generator Fibonacci Tertinggal
* Master teorema (analisis algoritma)
* Lingkaran titik segmen bukti
* Pecahan berlanjut
* Kalkulus skala waktu
* Prinsip kombinatorial
* Respon impuls tak hingga
* Integrasi dengan rumus pengurangan
* Induksi matematika

## Catatan

## Referensi
* 
* 
* 
* 
* Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. *[[Introduction to Algorithms]]*, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 1990. . Chapter 4: Recurrences, pp.&nbsp;62–90.
*
*
* chapter 7.
*  Chapter 9.1: Difference Equations.
* 
*  at EqWorld - The World of Mathematical Equations.
*  at EqWorld - The World of Mathematical Equations.
*

## Pranala luar
* 
* 
*  OEIS index to a few thousand examples of linear recurrences, sorted by order (number of terms) and signature (vector of values of the constant coefficients)