Fungsi poligamma

Dalam matematika, **fungsi poligamma urutan** m  adalah fungsi meromorfik pada bilangan kompleks \C  didefinisikan sebagai turunan ke (m + 1) pada logaritma dari fungsi gammaː

: \psi^{(m)}(z) := \frac{d^m}{dz^m} \psi(z) = \frac{d^{m+1}}{dz^{m+1}} \ln\Gamma(z),

Dengan demikian

: \psi^{(0)}(z) = \psi(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}

berlaku di mana \psi(z) adalah fungsi digamma dan \Gamma (z) adalah fungsi gamma. Mereka holomorfik pada \C \backslash -\N_0. Di semua bilangan bulat bukan positif, fungsi poligamma ini memiliki sebuah kutub urutan m + 1. Fungsi \psi^{(1)}(z) terkadang disebut fungsi trigamma.

## Representasi integral
Ketika m > 0 dan \operatorname{Re}(z) > 0, fungsi poligamma sama dengan

: \begin{align}
\psi^{(m)}(z)
&= (-1)^{m+1}\int_0^\infty \frac{t^m e^{-zt}}{1-e^{-t}}\,dt \\
&= -\int_0^1 \frac{t^{z-1}}{1-t}(\ln t)^m\,dt.
\end{align}

Ini mengekspresikan fungsi poligamma sebagia transformasi Laplace dari \frac{(-1)^{m+1}t^{m}}{(1-e^{-t})}. Itu diikuti dari teorema Bernstein pada fungsi monoton bahwa, untuk m > 0 dan real x  dan tak negatif, (-1)^{m+1} \psi^{(m)}(x) adalah fungsi sepenuhnya monoton.

Pengaturan m = 0 pada rumus di atas tidak memberikan sebuah representasi integral dari fungsi digamma. Fungsi digamma memiliki sebuah representasi integral, karena Gauss, yang mirip dengan kasus m = 0 di atas tetapi yang memiliki sebuah istilah tambahan \frac{e^t}{t}

## Relasi pengulangan
Itu memenuhi relasi perulangan

: \psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + \frac{(-1)^m\,m!}{z^{m+1}}

yang – ditinjau untuk argumen bilangan bulat positif – mengarah ke sebuah presentasi dari jumlah kebalikan dari pangkat dari bilangan asliː

: \frac{\psi^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!} =  \zeta(1+m) - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^{m+1}} = \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k^{m+1}} \qquad m \ge 1

dan

: \psi^{(0)}(n) = -\gamma\ + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}

untuk semua n \in \N. Seperti fungsi log-gamma, fungsi poligamma bisa digeneralisasikan dari domain \N (lihat bilangan asli) tunggal ke bilangan real positif hanya karena relasi pengulanga mereka dan salah satunya diberikan fungsi-nilai, katakan \psi^{(m)}(1), kecuali dalam kasus m = 0  di mana kondisi tambahan dari monotonisitas yang ketat pada \R ^+ masih dibutuhkan. Ini adalah sebuah akibat trivial dari teorema Bohr–Mollerup untuk fungsi gamma di mana secara ketat konveksitas logaritmik pada \R ^+   dimnita tambahannya. Kasus m = 0   harus diperlakukan berbeda karena \psi^{(0)} tidak dapat dinormalisasi pada takhingga (jumlah dari timbal balik tidak konvergen).

## Relasi refleksi

: (-1)^m \psi^{(m)} (1-z) - \psi^{(m)} (z) = \pi \frac{d^m}{d z^m} \cot{(\pi z)} = \pi^{m+1} \frac{P_m(\cos(\pi z))}{\sin^{m+1}(\pi z)}

di mana P_m  adalah sebuah derajat polinomial ganjil atau genap \left| m - 1 \right| dengan koefisien bilangan bulat dan mengarah koefisien (-1)^m\lceil 2^{m - 1} \rceil. Mereka mematuhi persamaan rekursi

: \begin{align} P_0(x) &= x \\ P_{m+1}(x) &= - \left( (m+1)xP_m(x)+\left(1-x^2\right)P'_m(x)\right).\end{align}

## Teorema perkalian
Teorema perkalian memberikan

: k^{m+1} \psi^{(m)}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1} \psi^{(m)}\left(z+\frac{n}{k}\right)\qquad m \ge 1

dan

: k \psi^{(0)}(kz) = k\log(k) + \sum_{n=0}^{k-1}
\psi^{(0)}\left(z+\frac{n}{k}\right)

untuk fungsi digamma.

## Representasi deret
Fungsi poligamma memiliki representasi deret

: \psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\, m! \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^{m+1}}

yang berlaku untuk m > 0     dan setiap kompleks z tidak sama dengan bilangan bulat negatf. Representasi ini bisa ditulis lebih kompak dalam bentuk fungsi zeta Hurwitz sebagai

: \psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\, m!\, \zeta (m+1,z).

Sebagai kemungkinan lain, fungsi zeta Hurwitx bisa dipahami untuk menggeneralisasikan poligamma ke sebarang, urutan bilangan bulat.

Satu deret lagi dapat diperbolehkan untuk fungsi poligamma. Seperti yang diberikan oleh Schlömilch,

: \frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z}  \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n}}.

Ini adalah hasil dari teorema faktorisasi Weierstrass. Dengan demikian, fungsi gamma sekarang dapat didefinisikan sebagaiː

\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^\frac{z}{n}.

Sekarang, logaritma alami dari fungsi gamma dengan muda direpresentasikanː

: \ln \Gamma(z) = -\gamma z - \ln(z) + \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{z}{n} - \ln\left(1 + \frac{z}{n}\right) \right).

Akhrinya, kita sampai di sebuah representasi penjumlahan untuk fungsi poligammaː

: \psi^{(n)}(z) = \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\ln \Gamma(z) = -\gamma \delta_{n0} - \frac{(-1)^n n!}{z^{n+1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{k} \delta_{n0} - \frac{(-1)^n n!}{(k+z)^{n+1}}\right)

di mana \delta_{n0} adalah delta Kronecker.

Juga transenden Lerch

: \Phi(-1, m+1, z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(z+k)^{m+1}}

bisa dilambangkan dalam istilah fungsi poligamma

## Deret Taylor
Deret Taylor pada z = 1 adalah

: \psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^{m+k+1} \frac {(m+k)!}{k!} \zeta (m+k+1) z^k \qquad m \ge 1

dan

: \psi^{(0)}(z+1)= -\gamma +\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\zeta (k+1) z^k

yang konvergen untuk \left| z \right| . Disini, \zeta adalah fungsi zeta Riemann. Deret ini mudah diturunkan dari korespondensi deret Taylor untuk fungsi zeta Hurwitx. Deret ini dapat digunakan untuk menurunkan sebuah bilangan deret zeta rasional.

## Ekspansi asimtotik
Deret tak konvergen ini bisa digunakan untuk mendapatkan sebuah nilai aproksimasi secepatnya dengan sebuah ketepatan numerik tertentu untuk argumen-argumen yang besarː

:  \psi^{(m)}(z) \sim (-1)^{m+1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(k+m-1)!}{k!}\frac{B_k}{z^{k+m}} \qquad m \ge 1

dan

:  \psi^{(0)}(z) \sim \ln(z) - \sum_{k=1}^\infty \frac{B_k}{k z^k}

di mana kita memilih B_1 = \frac{1}{2}, yaitu bilangan Bernoulli dari jenis kedua.

## Pertidaksamaan
Kotangen hiperbolik memenuhi pertidaksamaan

: \frac{t}{2}\operatorname{coth}\frac{t}{2} \ge 1,

dan ini menyiratkan bahwa fungsi

: \frac{t^m}{1 - e^{-t}} - \left(t^{m-1} + \frac{t^m}{2}\right)

adalah tak negatif untuk semua m \ge 1 dan t \ge 0. Ini mengikuti bahwa transformasi Laplace dari fungsi ini benar-benar monoton. Dengan representasi integral di atas, kita menyimpulkan bahwa

: (-1)^{m+1}\psi^{(m)}(x) - \left(\frac{(m-1)!}{x^m} + \frac{m!}{2x^{m+1}}\right)

benar-benar monoton. Pertidaksamaan konveksitas e^t \ge 1 + t menyiratkan bahwa

: \left(t^{m-1} + t^m\right) - \frac{t^m}{1 - e^{-t}}

adalah tak negatif untuk semua m \ge 1 dan t \ge 0, sehingga argumen transformasi Laplace yang serupa menghasilkan monotonisitas

: \left(\frac{(m-1)!}{x^m} + \frac{m!}{x^{m+1}}\right) - (-1)^{m+1}\psi^{(m)}(x)

yang lengkap.

Oleh karena itu, untuk semua m \ge 1, dan x > 0,

: \frac{(m-1)!}{x^m} + \frac{m!}{2x^{m+1}} \le (-1)^{m+1}\psi^{(m)}(x) \le \frac{(m-1)!}{x^m} + \frac{m!}{x^{m+1}}.

## Lihat pula

* Faktorial
* Fungsi digamma
* Fungsi gamma
* Fungsi poligamma umum
* Fungsi trigamma

## Referensi

*