Notasi anak panah atas Knuth

**Notasi anak panah atas Knuth** adalah salah satu cara untuk merepresentasikan bilangan bulat yang sangat besar. Notasi ini diciptakan oleh Donald Knuth pada tahun 1976. Dalam makalahnya pada tahun 1947,  R. L. Goodstein memperkenalkan urutan operasi spesifik yang sekarang disebut hiperoperasi, yang mana perkalian dianggap sebagai iterasi atau perulangan dari penjumlahan, perpangkatan adalah iterasi dari perkalian, iterasi selanjutnya adalah tetrasi, kemudian pentasi, dan seterusnya, di mana notasi anak panah Knuth dapat digunakan. misalnya:

* Anak panah tunggal \displaystyle (\uparrow) mewakili eksponenisasi yang merupakan perkalian berulang.
{\displaystyle 2\uparrow 4=H_{3}(2,4)=2\times (2\times (2\times 2))=2^{4}=16}
* Anak panah ganda \displaystyle (\uparrow \uparrow) mewakili tetrasi yang merupakan eksponenisasi yang berulang.
{\displaystyle 2\uparrow 4=H_{3}(2,4)=2\times (2\times (2\times 2))=2^{4}=16}
* Anak panah tripel \displaystyle (\uparrow \uparrow \uparrow) mewakili pentasi yang merupakan tetrasi yang berulang.{\displaystyle {\begin{aligned}2\uparrow \uparrow \uparrow 4=H_{5}(2,4)=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 4)\\&=\underbrace {2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow \dots ))} \;=\;\underbrace {\;2^{2^{\cdots ^{2}}}} \\&\;\;\;\;\;2\uparrow \uparrow 4{\mbox{ angka }}2\;\;\;\;\;{\mbox{(65,536 angka 2)}}\\\end{aligned}}}

Definisi umum dari notasi anak panah adalah sebagai berikut, di mana {\displaystyle { \mbox{di mana } (a\geq 0,n\geq 1,b\geq 0)}}:

{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(a,b)=a[n+2]b.}

Di sini, \displaystyle \uparrow^n merupakan singkatan dari anak panah yang berjumlah n sebagai contoh:

{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=2\uparrow ^{4}3.}

dan kurung siku adalah notasi lain dari hiperoperasi

## Pengenalan
Hiperoperasi secara alami memperluas operasi aritmetika dari operasi yang lebih kecil seperti Perkalian yang merupakan iterasi, lelaran, perulangan atau Rekursi dari penjumlahan. yang direpresentasikan dengan notasi dibawah ini:

Penambahan dengan bilangan asli didefinisikan dengan penjumlahan yang berulang

\displaystyle { H_1 (a,b)= a+ b = \underbrace{ a+1+\cdots+1 }_{b\ kali}}

Misalnya 

\displaystyle {5+3  = 5 + 1+ 1+1=8}

Perkalian merupakan iterasi atau perulangan dari penjumlahan 

\displaystyle { H_2 (a,b)= a\times b = \underbrace{ a+a+\cdots+a }_{b\ kali}}

Misalnya:

4\times 3 = 3+3+3+3 = 12

Perpangkatan adalah iterasi dari perkalian, dalam notasi Knuth dilambangkan dengan satu anak panah:

H_3 (a,b)= a\uparrow b= a^b = \underbrace{ a\times a\times\cdots\times a }_{b\ kali}

Misalnya:

4\uparrow 3= 4^3 = { 4\times 4\times 4} 

Tetrasi merupakan Iterasi dari perpangkatan, yang merupakan perpangkatan yang berulang, dilambangkan dengan dua anak panah:

H_4(a,b)= a\uparrow\uparrow b=\ ^b\!a=\underbrace{ a^{a^{.^{.^{.^{.^a}}}}}}_{b\ kali}=\underbrace {a\uparrow(a\uparrow ({...\uparrow a))}}_{b\ kali}

Misalnya:

{\displaystyle {\begin{matrix}H_4(a,b)= 4\uparrow \uparrow 3=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^{256}&\approx &1.34078079\times 10^{154}&\\&{\mbox {4 sebanyak 3 tingkat}}&&{\mbox{3 angka 4}}\end{matrix}}}

Berdasarkan definisi ini dapat diketahui bahwa anak panah ganda (\uparrow \uparrow) ini mewakili perpangkatan dengan tingkat sebanyak n tingkat, maka

3 \uparrow \uparrow 2 = 3^{3} = 27

3 \uparrow \uparrow 3 = 3^{3^{3}} = 3^{27} = 7.625.597.484.987 

3 \uparrow \uparrow 4 = 3^{3^{3^{3}}} = 3^{7625597484987} \approx 1,2580143 \times 10^{3638334640024}

3 \uparrow \uparrow 5 = 3^{3^{3^{3^3}}} = 3^{3^{3^{27}}} = 3^{3^{7625597484987}} = 3^{1,2580143 \times 10^{3638334640024}} 

Dan seterusnya, Walaupun bilangan ini sudah terlihat sangat besar. Hiperoperasi tidak berhenti disitu. Iterasi selanjutnya seperti pentasi, heksasi, dan lain-lain dilakukan dengan menambah jumlah anak panah pada notasi anak panah knuth:

Pentasi, mendefinisikan iterasi dari tetrasi. Direpresentasikan dengan panah tripel atau rangkap tiga (\uparrow \uparrow \uparrow) :

H_5(a,b)= a\uparrow\uparrow\uparrow b=\underbrace {a\uparrow\uparrow(a\uparrow\uparrow(...\uparrow\uparrow a))}_{b\ kali}

Heksasi mendefinisikan iterasi dari pentasi. Direpresentasikan dengan panah tripel atau rangkap empat (\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow) :

H_6(a,b) = a\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b=\underbrace {a\uparrow\uparrow\uparrow(a\uparrow\uparrow\uparrow(...\uparrow\uparrow\uparrow a))}_{b\ kali}

Jadi, notasi anak panah-n didefinisikan sebagai deret anak panah (n-1):

a\underbrace{\uparrow\uparrow ...\uparrow}_n b =\underbrace {a\underbrace{\uparrow ... \uparrow}_{n-1}(a\underbrace{\uparrow ...\uparrow}_{n-1}(...\underbrace{\uparrow ...\uparrow}_{n-1} a))}_{b\ kali}

Sebagai contoh:

{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}

{\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3{\mbox{ sebanyak }} 3\uparrow 3\uparrow 3 \end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&{\mbox{3 sebanyak 7,625,597,484,987 tingkat}}\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3^{3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}}}} \\&{\mbox{3 sebanyak 7,625,597,484,987 tingkat}}\end{matrix}}}

## Notasi
Terdapat notasi versi simpel yang lebih pendek, dengan menggunakan a\uparrow^nb, contohnya a\uparrow^4b=a\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b= H_6(a,b). Tapi perlu diingat bentuk ini tidak sama dengan notasi hiperoperasi, misalnya dalam hiperoperasi contoh tersebut seharusnya bernama tetrasi karena *n*-nya adalah empat, bukan heksasi yang *n*-nya enam. Dalam hiperoperasi notasi tersebut berbentuk a\uparrow^{n-2}b, contohnya a\uparrow ^5 b=a\uparrow\uparrow\uparrow b=H_7(a,b), dan diberinama pentasi sesuai dengan *n*-nya yaitu lima.

Notasi anak panah dipilih karena beberapa hal seperti bahasa pemrograman dan e-mail berupa teks tidak mendukung simbol pangkat. Jika suatu pengodean karakter tidak memiliki simbol anak panah dapat digunakan simbol "caret" atau Superskrip (^).

Notasi alternatif lainnya adalah notasi anak panah berantai yang diciptakan John Horton Conway dan digunakan untuk melambangkan angka yang sangat besar, lebih besar dari notasi Knuth:

a\uparrow^n b=a \rightarrow b\rightarrow n

### Merepresentasi notasi anak panah knuth dalam bentuk menara daya
notasi a \uparrow \uparrow b  dapat direpresentasikan dengan menggunakan menara daya atau tetrasi yang berarti a pangkat a sebanyak b kali.

{\displaystyle a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow a))=a^{a^{a^{a}}}}

Menambahkan satu anak panah lagi akan menghasilkan menara daya bertumpuk yang menunjukkan jumlah anak panah untuk tingkat yang lebih tinggi diatasnya.

{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a))=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}}

Melanjutkan dari notasi ini, a \uparrow \uparrow \uparrow b bisa digambar dengan titik di antara menara dengan informasi tambahan mengenai berapa jumlah tingkat menara yang disigkat menjadi titik.

{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}

Lebih-lebih lagi, anak panah 4. a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b dapat ditulis dengan menumpuk menara anak panah tripel  sebanyak b kali.

{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a))=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a}

Dan lebih lanjut, lagi secara umum akan direpresentasikan setidaknya seperti ini:

{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\cdots \right\}a} _{b}}

Cara ini dapat terus dilakukan untuk merepresentasi (a \uparrow)^nb sebagai eksponenisasi iterasi dari eksponenisasi untuk a,b dan n. Meskipun ini akan semakin sulit dilakukan.

#### Menggunakan tetrasi
Notasi Rudy Rucker ^ba membuat representasi notasi anak panah knuth menjadi sedikit lebih mudah sambil terus menggunakan menara daya (representasi geometris)

^ab = b \uparrow \uparrow a

{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{b}}

{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}

Dan akhirnya, bilangan keempat dari Fungsi Ackerman, 4 (\uparrow)^44 dapat direpresentasikan dengan:

{\displaystyle \underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{4}}}=\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{^{^{^{4}4}4}4}}}

## Penyederhanaan
Saat bilangan yang dibahas terlalu besar, dan jumlah anak panah terlalu panjang untuk ditulis, operator \uparrow ^n dapat sangat membantu, n dapat merepresentasikan jumah panah yang ada. Jika bilangan tersebut masih terlalu besar maka Notasi anak panah berantai Conway dapat digunakan, notasi panah berantai tiga mungkin sama dengan notasi anak panah knuth, tapi jika rantai mencapai 4 anak panah, ini akan sangat jauh lebih kuat daripada anak panah Knuth.

{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&a[n+2]b&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knuth)}}&&{\mbox{(hiperoperasi)}}&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}}

6 \to 4 \to 2 = 6[4]4 = 6 \uparrow \uparrow 4 =  \underbrace {6^{6^{.^{.^{.^{6}}}}}} _{4} = 6^{6^{6^{6}}} = 6^{6^{46656}}

{\displaystyle 10\uparrow (3\times 10\uparrow (3\times 10\uparrow 15)+3)}= 
{\displaystyle \underbrace {100000...000} _{\underbrace {300000...003} _{\underbrace {300000...000} _{15}}}} = {\displaystyle 10^{3\times 10^{3\times 10^{15}}+3}}

Fungsi yang tumbuh lebih cepat dari ini oun dapat dikategorikan menggunakan analisis ordinal yang disebut hierarki cepat bertumbuh Hierarki cepat bertumbuh menggunakan iterasi fungsi dan diagonalisasi yang berurutan untuk secara sistematis membuat fungsi yang tumbuh lebih cepat dari beberapa fungsi dasar. f(x) untuk hierarki cepat bertumbuh dapat menggunakan f_0(x)=x+1, f_1(x) menunjukkan perkalian, f_2(x) sudah menunjukkan eksponensial, f_3(x) menunjukkan iterasi eksponenisasi berupa tetrasi. Kemudian 
{\displaystyle f_{\omega }(x)} sebanding dengan Fungsi Ackermann ,\displaystyle {f_{\omega +1 } }sudah berada di luar jangkauan panah bertingkat, tetapi masih dapat digunakan untuk memperkirakan Bilangan Graham , dan sebanding dengan notasi panah berantai Conway yang bisa dipanjangjan sepanjang apapun.

Semua fungsi ini dapat dihitung. Bahkan fungsi yang dapat dihitung lebih cepat, seperti Deret Goodstein dan Deret TREE yang memerlukan penggunaan ordinal besar, dapat terjadi dalam konteks kombinatorik dan teori pembuktian tertentu. Ada fungsi yang tumbuh sangat cepat, seperti Fungsi Busy Beaver , yang sifatnya akan sepenuhnya berada di luar jangkauan panah atas, atau bahkan analisis berbasis ordinal apa pun.

## Definisi
Tanpa referensi dari hiperoperasi, Notasi anak panah atas Knuth masih dapat dijabarkan dengan rumus formal matematika.

{\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a^{b},&{\text{jika }}n=1;\\1,&{\text{jika }}n>1{\text{ dan }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{jika kondisi tidak ada yang terpenuhi}}\end{cases}}} 

Di mana Bilangan bulat \text{a, b, n} adalah {\displaystyle {a\geq 0, \text{ } n\geq 1,\text{ } b\geq 0}}.

Definisi ini menggunakan eksponenisasi (a \uparrow ^1b = a \uparrow b = a^b ) sebagai kasus atau tingkatan dasar, dan tetrasi (a \uparrow ^2b = a \uparrow \uparrow b) sebagai eksponenisasi yang diulang(iterasi). ini setara dengan tingkatan hiperoperasi kecuali suksesi, penjumlahan dan perkalian.

Seseorang juga dapat memilih perkalian ( a \uparrow ^0 b = a \times b )sebagai kasus dasar dan ulangi dari sana. Kemudian eksponensial menjadi perkalian berulang. Definisi formalnya adalah:

{\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a\times b,&{\text{jika }}n=0;\\1,&{\text{jika }}n>0{\text{ dan }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{jika kondisi tidak terpenuhi }}\end{cases}}}

Di mana Bilangan bulat \text{a, b, n} adalah {\displaystyle {a\geq 0, \text{ } n\geq 0,\text{ } b\geq 0}}.

Namun perlu dicatat bahwa simplifikasi Notasi anak panah Knuth tidak mendefinisikan "panah nol" (\uparrow ^0), notasi ini daspat diperluas ke indeks (n \geq -2) sedemikian rupa sehingga sesuai dengan seluruh rangkaian hiperoperasi kecuali untuk jeda dalam pengindeksan:

{\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ dengan }}n\geq 0.}

Operasi panah ke atas adalah termasuk operasi asosiatif kanan. Yaitu di mana operasi  a \uparrow b \uparrow c, dipahami sebagai a \uparrow (b \uparrow c), alih-alih (a \uparrow b) \uparrow c Jika ambiguitas bukan masalah, tanda kurung terkadang dihilangkan.

## Tabel nilai bilangan

### Menghitung 0↑<sup>n</sup>b
Menghitung {\displaystyle 0\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(0,b)=0[n+2]b} akan menghasilkan:

* 0, jika *n* = 0  
* 1, jika *n* = 1 dan *b* = 0
* 0, jika *n* = 1 dan *b* > 0  
* 1, jika *n* > 1 dan *b* genap (termasuk juga ketika b = 0)
* 0, jika *n* > 1 dan *b* ganjil

### Menghitung 1↑<sup>n</sup>b
Menghitung angka 1 dengan cara mengalikannya, memangkatkannya atau bahkan menumpuknya dengan tetrasi akan selalu menghasilkan angka 1.

### Menghitung 2↑<sup>n</sup>b
Komputasi 2 \uparrow ^n b dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel yang berukuran tak terbatas. di sini hanya ditampilan angka-angka 2^bpada baris paling atas, dan isi kolom kiri dengan nilai 2. 

### Menghitung 3↑<sup>n</sup>b
Komputasi 3 \uparrow ^n b dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel yang berukuran tak terbatas. di sini hanya ditampilan angka-angka 3^bpada baris paling atas, dan isi kolom kiri dengan nilai 3. 

### Menghitung 4↑<sup>n</sup>b
Komputasi 4 \uparrow ^n b dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel yang berukuran tak terbatas. di sini hanya ditampilan angka-angka 4^bpada baris paling atas, dan isi kolom kiri dengan nilai 4.

### Menghitung 10↑<sup>n</sup>b
Komputasi 10 \uparrow ^n b dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel yang berukuran tak terbatas. di sini hanya ditampilan angka-angka 10^bpada baris paling atas, dan isi kolom kiri dengan nilai 10. 

## Pranala luar
* 
* Robert Munafo, *[http://www.mrob.com/pub/math/largenum.html Large Numbers]*

## Referensi