Grup selang-seling

Dalam matematika, **grup selang-seling** () adalah grup dari permutasi genap dari himpunan hingga. Grup selang-seling pada himpunan elemen n disebut **grup selang-seling derajat** n, atau **grup selang-seling pada huruf** n dan dilambangkan dengan \mathrm{A}_n or \operatorname{Alt}(n).

## Sifat dasar
Untuk n > 1, grup \operatorname{A}_n adalah subgrup komutator dari grup simetris S_n dengan indeks 2 dan karena itu memiliki \frac{n!}{2} elemen (di mana ! melambangkan faktorial). Ini adalah kernel dari tanda tangan kehomomorfan grup \sgn \colon S_n \to \{1, -1\}  dijelaskan di bawah grup simetrik.

Grup \mathrm{A}_n adalah abelian jika dan hanya jika n \le 3 dan sederhana jika dan hanya jika n = 3 atau n \ge 5.  \mathrm {A}_5 adalah grup sederhana takAbel terkecil, memiliki urutan 60, dan grup takterpecahkan terkecil.

Grup \mathrm A_4 memiliki grup empat Klein V sebagai subgrup normal wajar, yaitu identitas dan transposisi ganda \{(), (12)(34), (13)(24), (14,23)\}, itulah kernel dari surjeksi \mathrm A_4 ke \mathrm A_3 = \mathrm Z_3. Kita memiliki urutan persis V \to \mathrm A_4 \to \mathrm A_3 = \mathrm Z_3. Dalam Teori Galois, peta ini, atau lebih tepatnya peta berpadanan \mathrm S_4 \to \mathrm S_3, berpadanan dengan mengasosiasikan Penyelesai Lagrange kubik ke kuartik, yang memungkinkan polinomial kuartik untuk diselesaikan dengan radikal, seperti yang ditetapkan oleh Lodovico Ferrari.

## Kelas konjugasi
Seperti dalam grup simetris, dua elemen \mathrm{A}_n yang sekawan oleh elemen \mathrm{A}_n harus memiliki bentuk siklus yang sama. Kebalikannya belum tentu benar. Jika bentuk siklus hanya terdiri dari siklus dengan panjang ganjil tanpa ada dua siklus yang panjangnya sama, di mana siklus dengan panjang satu dimasukkan ke dalam tipe siklus, maka tepat ada dua kelas konjugasi untuk bentuk siklus ini .

Contoh:
* Kedua permutasi (123) dan (132) tidak sekawan dalam \mathrm A_3, meskipun mereka memiliki bentuk siklus yang sama, dan oleh karena itu sekawan di \mathrm S_3 .
*Permutasi (123) (45678) tidak sekawan dengan kebalikannya (132)(48765) pada \mathrm A_8, meskipun kedua permutasi tersebut memiliki bentuk siklus yang sama, sehingga keduanya sekawan dalam \mathrm S_8.

## Hubungan dengan grup simetrik
:*Lihat [[Grup simetrik#Hubungan dengan grup alternatif|Grup simetris]]*.

## Pembangkit dan relasi
\mathrm{A}_n dihasilkan oleh siklus-3, karena siklus-3 dapat diperoleh dengan menggabungkan pasangan transposisi. Himpunan pembangkit ini sering digunakan untuk membuktikan bahwa \mathrm{A}_n adalah sederhana untuk n \ge 5.

## Grup automorfisme

Untuk n > 3, kecuali untuk n = 6, grup automorfisme dari \mathrm{A}_n adalah grup simetris \mathrm S_n, dengan grup automorfisme dalam \mathrm{A}_n dan grup automorfisme luar \mathrm Z_n; automorfisme luar berasal dari konjugasi oleh permutasi ganjil.

Untuk n = 1 dan n = 2, grup automorfisme adalah trivial. Untuk n = 3 grup automorfisme adalah \mathrm Z_2, dengan grup automorfisme dalam dan grup automorfisme luar trivial \mathrm Z_2.

Grup automorfisme luar \mathrm A_6 adalah grup empat Klein V = \mathrm Z_2 \times \mathrm Z_2, dan terkait dengan automorfisme luar \mathrm S_6. Automorfisme luar ekstra di \mathrm A_6 menukar siklus-3 (seperti (123)) dengan elemen bentuk 3^2 (seperti (123)(456)).

## Isomorfisme istimewa
Terdapat beberapa isomorfisme istimewa antara beberapa grup kecil bergantian dan grup tipe Lie kecil, khususnya grup linear khusus proyektif. Ini adalah:
* \mathrm A_4 isomorfik untuk \operatorname{PSL}_2 (3) and grup simetrik
*dari simetri tetrahedrai kiral
* \mathrm A_5 isomorfik untuk \operatorname{PSL}_2 (4), \operatorname{PSL}_2 (5), dan kelompok simetri kiral simetri ikosahedral. (Lihat untuk isomorfisme taklangsung dari \operatorname {PSL} _{2}(\mathrm F_5) \to \mathrm A_5 menggunakan klasifikasi grup sederhana berorde 60, dan di sini untuk bukti langsung).
* \mathrm A_6 isomorfik untuk \operatorname{PSL}_2 (9) dan \operatorname{PSp}_4 (2)^\prime.
* \mathrm A_8 isomorfik untuk \operatorname{PSL}_4 (2).

Lebih jelasnya, \mathrm A_3 isomorfik bagi grup siklik \mathrm Z_3, dan \mathrm A_0, \mathrm A_1, dan \mathrm A_2 isomorfik ke grup trivial (yang juga \operatorname{SL}_1(q) = \operatorname{PSL}_1(q) untuk q).

## Contoh <math>\mathrm S_4</math> dan <math>\mathrm A_4</math>

## Contoh <math>\mathrm A_5</math> sebagai subgrup rotasi ruang-3

\mathrm A_5 adalah grup isometri dodekahedron dalam 3 ruang, jadi ada wakilan \mathrm A_5 \to \operatorname{SO}_3(\mathbb{R})

Dalam gambar ini verteks polihedra mewakili elemen grup, dengan pusat bola mewakili elemen identitas. Setiap verteks mewakili rotasi pada sumbu yang menunjuk dari pusat ke verteks tersebut, dengan sudut yang sama dengan jarak dari titik asal, dalam radian. Verteks dalam polihedron yang sama berada dalam kelas sekawan yang sama. Karena persamaan kelas sekawan untuk  \mathrm A_5  adalah 1 + 12 + 12 + 15 + 20 = 60, kita mendapatkan empat polihedra (taktrivial) berbeda.

Simpul dari setiap polihedron berada dalam korespondensi bijektif dengan elemen kelas sekawannya, dengan pengecualian kelas sekawan siklus-(2,2), yang diwakili oleh sebuah ikosidodekahedron di permukaan luar, dengan verteks antipodal yang diidentifikasi satu sama lain. Alasan redundansi ini adalah bahwa rotasi terkait oleh  \pi  radian, sehingga dapat diwakili oleh vektor dengan panjang  \pi  di salah satu dari dua arah. Jadi kelas dari siklus-(2,2) mengandung 15 elemen, sedangkan ikosidodekahedron memiliki 30 verteks.

Dua kelas sekawan dari dua belas siklus-5 dalam  \mathrm A_5  diwakili oleh dua ikosahedra, dari jari-jari berturut-turut, \frac{2\pi}{5} dan \frac{4\pi}{5}. Automorfisme luar taktrivial pada \operatorname{Out}(\mathrm A_5)\simeq \mathrm Z_2 mempertukarkan kedua kelas ini dan ikosahedra berpadanan.

## Catatan

## Referensi

* 
*
*

## Pranala luar
* 
*