Magma (aljabar)

Dalam aljabar abstrak, **magma**, **biner** atau **grupoid** adalah jenis dasar dari struktur aljabar. Magma terdiri dari himpunan dengan operasi biner tunggal tertutup menurut definisi.

## Sejarah dan istilah
Istilah *groupoid* ditemukan pada tahun 1927 oleh Heinrich Brandt yang menggambarkan Brandt groupoid (dari bahasa Jerman *Gruppoid*). Istilah ini kemudian digunakan oleh B. A. Hausmann dan Øystein Ore (1937). Dalam beberapa ulasan makalah Zentralblatt tidak setuju dengan istilah yang berlebihan ini. Groupoid Brandt adalah grupoid dalam arti yang digunakan dalam teori kategori dalam arti yang digunakan oleh Hausmann dan Ore. Namun, buku dalam teori semigrup, termasuk Clifford dan Preston (1961) dan Howie (1995) menggunakan grupoid. Hollings (2014) menulis bahwa istilah * groupoid * adalah "mungkin paling sering digunakan dalam matematika modern" dalam arti yang digunakan dalam teori kategori.

Menurut Bergman dan Hausknecht (1996):
 Hal ini juga muncul dalam buku oleh Bourbaki *[[Éléments de mathématique]]*, Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970.

## Definisi
Magma adalah himpunan M dengan operasi \bullet di mana elemen a, b \in M ke elemen a \bullet b. Simbol \bullet adalah *placeholder* umum untuk operasi yang ditentukan. Untuk magma, himpunan dan operasi (M,\bullet) menggunakan sebagai berikut (dikenal sebagai *magma *atau * aksioma ketertutupan*):

: Untuk a, b dan M, hasil operasi a \bullet b adalah M.

Dan dalam notasi matematika:
: a,b \in M \implies a \cdot b \in M.

Jika \bullet operasi parsial, maka (M,\bullet) disebut **magma parsial** atau disebut juga grupoid parsial.

## Morfisme magma
Sebuah morfisme magma adalah sebuah fungsi, f \colon M \to N, memetakan magma M ke magma N, yang di mana operasi biner:

:f(x \bullet _M y) = f(x) \bullet_N f(y)

di mana \bullet_M dan \bullet_N menunjukkan operasi biner pada M dan N.

## Notasi dan kombinatorik
Operasi magma, dan takasosiatif, urutan dinotasikan dengan tanda kurung. Maka operasi \bullet dihilangkan dan dinotasikan dengan penjajaran:
: (a \bullet (b \bullet c)) \bullet d = (a(bc))d

Singkatan untuk mengurangi jumlah tanda kurung, di mana operasi paling dalam dan tanda kurung dihilangkan, diganti hanya dengan penjajaran, xy \bullet z = (x \bullet y) \bullet z. Sebagai contoh, di atas menjadi ekspresi berikut:
:(a \bullet bc)d.
Penggunaan tanda kurung adalah notasi prefiks, di mana ekspresi ditulis \bullet \bullet a \bullet bcd. Maka, notasi postfiks (Notasi Polandia invers) di mana ekspresi ditulis abc\bullet \bullet d \bullet, di mana urutan dari kiri ke kanan (tanpa Currying).

Himpunan dari untai yang terdiri dari simbol yang menunjukkan elemen magma, dan himpunan tanda kurung disebut bahasa Dyck. Jumlah total berbeda untuk menulis aplikasi n dari operator magma dari bilangan Catalan, C_n.  Jadi, C_2 = 2, yang mana hanya pernyataan (ab)c dan a(bc) adalah dua untuk tiga elemen magma dengan dua operasi: C_3 = 5: ((ab)c)d, (a(bc))d, (ab)(cd), a((bc)d), dan a(b(cd)).

Terdapat n^{n^2} magma dengan elemen n adalah 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ...  dan magma dengan elemen 0, 1, 2, 3, 4, .... Jumlah magma takisomorfik adalah 1, 1, 10, 3330, 178981952, ...  dan jumlah magma takisomorfik dan takantiisomorfik adalah 1, 1, 7, 1734, 89521056, ... .

## Magma bebas
**Magma bebas**, M_X, himpunan X adalah magma yang digunakan untuk X (yaitu, tidak memiliki hubungan atau aksioma pada pembangkit; lihat objek bebas). Hal ini dijelaskan sebagai himpunan takasosiatif pada X dengan tanda kurung dan menjajarkannya dalam urutan yang sama. Contohnya:
:(a \bullet b) = (a)(b)
:(a \bullet (a \bullet b)) = (a)((a)(b))
:(a \bullet a) \bullet b = ((a)(a))(b)
M_X dapat dijelaskan sebagai himpunan kata takasosiatif X dengan tanda kurung dipertahankan.

Hal ini juga dapat dilihat dalam istilah yang dikenal di ilmu komputer, sebagai magma pohon biner dengan daun label elemen X. Operasi menggabungkan pohon di akarnya, maka peran mendasar dalam sintaks.

Magma bebas memiliki sifat universal, jika f \colon X \to N adalah fungsi dari X ke magma, N, maka perluasan dari f ke morfisme magma, f'
: f' \colon M_X \to N.

## Jenis magma
Magma kadang dipelajari; beberapa jenis magma, bergantung pada aksioma apa yang harus dipenuhi oleh operasi tersebut. Jenis magma yang umum dipelajari meliputi:
;Grup semu: Magma di mana pembagian selalu mungkin
;Gelung: Kuasigrup dengan elemen identitas
;Semigrup: Magma yang di mana operasinya asosiatif
;Semigrup balikan: Semigrup dengan balikan.
;Semikisi: Semigrup operasinya komutatif dan idempoten
;Monoid: Semigrup dengan elemen identitas
;Grup: Sebuah monoid dengan elemen invers, atau ekuivalennya, gelung asosiatif, atau kuasigroup asosiatif yang tidak kosong
;Grup Abelian: Grup yang operasinya bersifat komutatif

Perhatikan bahwa pembagian dan pembatalan adalah sifat pembatalan.

## Penggolongan berdasarkan sifat

Magma (S,\bullet), dengan x, y, u, z \in S, disebut

;Medial: Jika identitas, xy \bullet uz \equiv xu \bullet yz
;Semimedial kiri: Jika identitas, xx \bullet yz \equiv xy \bullet xz
;Semimedial kanan: Jika identitas, yz \bullet xx \equiv yx \bullet zx
;Semimedial: Jika keduanya semimedial kiri dan kanan
;Distributif kiri: Jika memenuhi identitas, x \bullet yz \equiv xy \bullet xz
;Distributif kanan: Jika memenuhi identitas, yz \bullet x \equiv yx \bullet zx
;Autodistributif: Jika keduanya distributif kiri dan kanan
;Komutatif: Jika memenuhi identitas, xy \equiv yx
;Idempoten: Jika identitas, xx \equiv x
;Unipoten: Jika identitas, xx \equiv yy
;Nolpoten: Jika identitas, xx \bullet y \equiv xx \equiv y \bullet xx
;Alternatif: Jika identitas xx \bullet y \equiv x \bullet xy dan x \bullet yy \equiv xy \bullet y
;Daya-asosiatif: Jika submagma yang dihasilkan oleh suatu elemen bersifat asosiatif
;Fleksibel: jika xy \bullet x \equiv x \bullet xy
;Semigrup, atau asosiatif: Jika identitas, x \bullet yz \equiv xy \bullet z
;Uner kiri: Jika identitas, xy \equiv xz
;Uner kanan: Jika identitas, yx \equiv zx
;Semigrup dengan perkalian nol, atau semigrup nol: Jika identitas, xy \equiv uv
;Unital: Jika memiliki elemen identitas

## Kategori magma
Kategori magma, dilambangkan **Mag**, adalah kategori objek dari magma, dan morfisme adalah homomorfisme magma. Kategori **Mag** memiliki produk langsung, dan funktor inklusi:  sebagai magma trivial, dengan operasi oleh projeksi: x \, \mathrm T \, y = y.

Sifat adalah injeksi endomorfisme yang digunakan automorfisme dari magma perluasan, kolimit dari (urutan tetapan) keendomorfan.

Karena himpunan satuan (\{^*\},^*) adalah objek nol dari **Mag**, dan karena **Mag** adalah aljabar **Mag** pada kompleks.

## Perampatan
Lihat grup ''n''-er.

## Lihat pula
* Kategori magma
* Objek magma otomatis
* Aljabar universal
* Sistem aljabar komputer magma, dinamai menurut objek artikel ini.
* Magma takasosiatif komutatif
* Struktur aljabar yang semua aksioma adalah identitas
* Aljabar grupoid
* Himpunan Hall

## Referensi

* 
* 
* 
* 

## Bacaan lebih lanjut
*