Jarak Euklides

Dalam matematika, **jarak Euklides** atau **metrik Euklides** adalah jarak garis lurus "biasa" antara dua titik dalam ruang Euklides. Dengan jarak ini, ruang Euklides menjadi ruang metrik. Norma yang terkait disebut **norma Euklides**. Literatur lampau menyebutnya dengan **metrik Pythagoras**. Bentuk umum dari norma Euklides adalah norma L2 atau jarak L2.

## Definisi
Jarak Euklides antara titik **p** dan **q** adalah jarak ruas garis yang menghubungkan mereka (disimbolkan \overline{\mathbf{p}\mathbf{q}}).

Dalam koordinat Kartesius, jika **p**&nbsp;=&nbsp;(*p*1,&nbsp;*p*2,...,&nbsp;*p**n*) dan **q**&nbsp;=&nbsp;(*q*1,&nbsp;*q*2,...,&nbsp;*q**n*) adalah dua titik dalam ruang Euklides berdimensi *n*, jarak Euklides (d) dari **p** ke **q** (atau sebaliknya) dihitung dengan rumus Pythagoras seperti berikut.

Letak titik pada ruang Euklides berdimensi *n* adalah vektor Euklides, maka **p** dan **q** dapat digambarkan sebagai vektor Euklides yang berpangkal di titik acuan  dan berujung di letak mereka (**p** dan **q**). Norma Euklides (alias panjang Euklides) atau magnitudo suatu vektor adalah panjang vektor tersebut:

:  \left\| \mathbf{p} \right\| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + \cdots + p_n^2} = \sqrt{\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}}

dengan \mathbf{p} \cdot \mathbf{p} adalah operasi produk skalar antara **p** dan **p**.

Hubungan antara titik **p** dan **q** bisa juga memiliki arah (misalnya, dari **p** ke **q**). Hubungan tersebut dapat digambarkan sebagai vektor berikut.

: \mathbf{q} - \mathbf{p} = (q_1 - p_1, q_2 - p_2, \cdots, q_n - p_n)

Dalam ruang berdimensi dua atau tiga, hal tersebut biasa digambarkan dengan sebuah panah dari **p** ke **q**. Dalam ruang apa pun, ia dapat bermakna sebagai letak **p** terhadap **q**. Panah itu bisa disebut vektor perpindahan.

Jarak Euklides antara **p** dan **q** hanyalah panjang Euklides dari vektor perpindahannya:

yang ekuivalen dengan persamaan (1) dan persamaan berikut:

:  \left\| \mathbf{q} - \mathbf{p} \right\| = \sqrt{ \left\| \mathbf{p} \right\|^2 + \left\| \mathbf{q} \right\| ^2 - 2 \mathbf{p}\cdot\mathbf{q}}.

### Satu dimensi
Jarak antara dua titik pada garis bilangan adalah selisih dari koordinatnya. Misalkan *p* dan *q* adalah titik pada garis bilangan, maka jarak antara keduanya adalah

: \sqrt{(q - p)^2} = |q - p|.

### Dua dimensi
Pada bidang Euklides, misalkan **p**&nbsp;=&nbsp;(*p*1,&nbsp;*p*2) dan **q**&nbsp;=&nbsp;(*q*1,&nbsp;*q*2), maka jarak antara keduanya adalah

: d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sqrt{(q_1 - p_1)^2 + (q_2 - p_2)^2}.

Rumus tersebut ekuivalen dengan rumus Pythagoras.

### Tiga dimensi
Dalam ruang Euklides tiga dimensi, jarak keduanya adalah

: d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sqrt{(q_1 - p_1)^2 + (q_2 - p_2)^2 + (q_3 - p_3)^2}.

### ''n'' dimensi
Secara umum, untuk ruang berdimensi *n*, jarak keduanya adalah

: d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2 + \cdots + (p_i - q_i)^2 + \cdots + (p_n - q_n)^2} = \sqrt{\sum_{i = 1}^n {(p_i - q_i)^2}}.

## Kuadrat jarak Euklides
Nilai kuadrat dari jarak Euklides juga menjadi perhatian. Berikut persamaannya:

: d^2(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = (p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2 + \cdots + (p_i - q_i)^2 + \cdots + (p_n - q_n)^2.

Kuadrat jarak Euklides tidak termasuk metrik karena tidak memenuhi pertidaksamaan segitiga. Teorema Pythagoras lebih sederhana dalam bentuk kuadrat (karena tidak memerlukan tanda akar). Misalkan \mathbf{pq} \perp \mathbf{qr}, maka

: d^2(\mathbf{p}, \mathbf{r}) = d^2(\mathbf{p}, \mathbf{q}) + d^2(\mathbf{q}, \mathbf{r})

atau

: \overline{\mathbf{p}\mathbf{r}}^2 = \overline{\mathbf{p}\mathbf{q}}^2 + \overline{\mathbf{q}\mathbf{r}}^2.

### Contoh penerapan
Dalam ilmu komputer, terutama grafika komputer, simulasi, dan pengembangan permainan video, penggunaan jarak Euklides biasa dan fungsi norma (pada kasus tertentu) kadang-kadang dianggap kurang optimal karena membutuhkan operasi akar kuadrat. Algoritme yang menggunakan perbandingan jarak dapat menggunakan kuadrat jarak Euklides alih-alih jarak Euklides. Misalkan berlaku d(\mathbf{a}, \mathbf{b}) > d(\mathbf{c}, \mathbf{d}), maka d^2(\mathbf{a}, \mathbf{b}) > d^2(\mathbf{c}, \mathbf{d}) juga berlaku dan dapat dipakai.

## Lihat pula
* Jarak Chebyshev
* Jarak Mahalanobis
* Jarak Manhattan
* Jarak Minkowski

## Referensi

## Bacaan lebih lanjut
* 
*