Grup disiklik

Dalam teori grup, **grup disiklik** (notasi **Dic***n* or **Q**4*n*, ⟨*n*,2,2⟩) adalah jenis tertentu dari grup non-abelian dari urutan 4*n* (*n* > 1). Ini adalah ekstensi dari grup siklik dari order 2 oleh grup siklik dari order 2*n*, memberikan nama * di-sklilik *. Dalam notasi urutan tepat grup, ekstensi ini dapat dinyatakan sebagai:

:1 \to C_{2n} \to \mbox{Dic}_n \to C_2 \to 1. \, 

Secara lebih umum, diberikan grup abelian hingga dengan elemen urutan-2, seseorang dapat mendefinisikan grup disiklik.

## Definisi
Untuk setiap bilangan bulat * n * > 1, grup siklik Dic*n* dapat didefinisikan sebagai subgrup dari unit kuaternion yang dihasilkan oleh

:\begin{align} a & = e^{i\pi/n} = \cos\frac{\pi}{n} + i\sin\frac{\pi}{n} \\
                      x & = j
       \end{align}


Secara lebih abstrak, seseorang dapat mendefinisikan grup siklik Dic*n* sebagai grup dengan presentasi berikut

:\operatorname{Dic}_n = \langle a,x \mid a^{2n} = 1,\ x^2 = a^n,\ x^{-1}ax = a^{-1}\rangle.\,\!

Beberapa hal yang perlu diperhatikan yang mengikuti dari definisi ini:
* *x*4 = 1
* *x*2*a**k* = *a**k*+*n* = *a**k**x*2
* if *j* = ±1, then *x**j**a**k* = *a*−*k**x**j*.
* *a**k**x*−1 = *a**k*−*n**a**n**x*−1 = *a**k*−*n**x*2*x*−1 = *a**k*−*n**x*.

Jadi, setiap elemen Dic*n* dapat ditulis secara unik sebagai *a**k**x**j*, dimana 0 ≤ *k* a^k a^m = a^{k+m}
* a^k a^m x = a^{k+m}x
* a^k x a^m = a^{k-m}x
* a^k x a^m x = a^{k-m+n}
Ini mengikuti itu Dic*n* memiliki urutan 4*n *.

Ketika * n * = 2, grup disiklik adalah isomorfik ke grup kuaternion * Q *. Lebih umum lagi, ketika * n * adalah pangkat 2, grup disiklik isomorfik ke grup kuaternion umum.

## Sifat

Untuk setiap * n *> 1, grup siklik Dic*n* adalah grup non-abelian dengan urutan 4*n *. (Untuk kasus degenerasi * n * = 1, grup Dic1 adalah grup siklik *C*4, yang tidak dianggap siklik.)

Maka *A* =  menjadi subgrup Dic*n* dihasilkan oleh * a *. Maka * A * adalah grup siklik berurutan 2*n*, jadi [Dic*n*:*A*] = 2. Sebagai subgrup dari indeks 2 secara otomatis menjadi subgrup normal. Grup hasil bagi Dic*n*/*A* adalah grup siklik berurutan 2.

Dic*n* adalah dapat diselesaikan; perhatikan bahwa * A * adalah normal, dan menjadi abelian, dengan sendirinya dapat dipecahkan.

## Grup dihedral biner

Grup disiklik adalah grup polihedral biner - ini adalah salah satu kelas subkelompok dari Grup pin Pin -(2), yang merupakan subgrup dari Spin group Spin (3), dan dalam konteks ini dikenal sebagai **grup dihedral biner**.

Koneksi dengan grup siklik biner *C*2*n*, grup siklik *C**n*, dan grup dihedral Dih*n* dengan urutan 2*n* diilustrasikan dalam diagram di sebelah kanan, dan paralel dengan diagram yang sesuai untuk grup Pin. Coxeter menulis * grup dihedral biner * sebagai ⟨2,2,*n*⟩ dan * grup siklik biner * dengan tanda kurung siku, ⟨*n*⟩.

Ada kemiripan yang dangkal antara gugus disiklik dan gugus dihedral; keduanya adalah semacam "pencerminan" dari grup siklik yang mendasarinya. Namun, presentasi dari grup dihedral akan memiliki *x*2 = 1, instead of *x*2 = *a**n*; dan ini menghasilkan struktur yang berbeda. Secara khusus, Dic*n* bukan merupakan produk semidirect dari * A * dan , karena * A * ∩  tidak trivial.

Gugus siklik memiliki involusi yang unik (yaitu elemen orde 2), yaitu *x*2 = *a**n*. Perhatikan bahwa elemen ini terletak di pusat dari Dic*n*. Memang, pusat hanya terdiri dari elemen identitas dan *x*2. Jika kita menambahkan relasi *x*2 = 1 untuk presentasi Dic*n* one mendapatkan presentasi dari grup dihedral Dih2*n*, jadi kelompok hasil bagi Dic*n*/2> isomorfik untuk Dih*n*.

Ada 2-ke-1 homomorfisme alami dari kelompok satuan quaternions ke 3-dimensi grup rotasi dijelaskan di kuaternion dan rotasi spasial. Karena grup disiklik dapat disematkan di dalam satuan quaternions, seseorang dapat bertanya apa gambarnya di bawah homomorfisme ini. Jawabannya hanyalah kelompok simetri dihedral Dih*n*. Karena alasan ini, kelompok disiklik juga dikenal sebagai **grup dihedral biner**. Perhatikan bahwa grup disiklik tidak berisi subkelompok isomorfik apa pun Dih*n*.

Konstruksi pra-gambar analog, menggunakan Pin+(2) dari Pin−(2), menghasilkan gugus dihedral lain, Dih2*n*, bukan grup siklik.

## Generalisasi
Misalkan * A * menjadi grup abelian, memiliki elemen tertentu * y * di * A * dengan urutan 2. Grup * G * disebut **grup disiklik umum**, ditulis sebagai **Dic(''A'', ''y'')**, jika itu dihasilkan oleh * A * dan elemen tambahan * x *, dan sebagai tambahan kami memilikinya [*G*:*A*] = 2, *x*2 = *y*, dan untuk *a* in *A*, *x*−1*ax* = *a*−1.

Karena untuk grup siklik berorde genap, selalu ada elemen unik dari orde 2, kita dapat melihat bahwa grup siklik hanyalah tipe spesifik dari grup disiklik umum.

## Lihat pula
* grup polihedral biner
* grup siklik biner, ⟨*n*⟩, urutan 2*n*
* grup tetrahedral biner, 2T=⟨2,3,3⟩, urutan 24
* grup oktahedral biner, 2O=⟨2,3,4⟩, urutan 48
* grup ikosahedral biner, 2I=⟨2,3,5⟩, urutan 120

## Referensi

* .
* 

## Pranala luar
* Dicyclic groups on GroupNames