Fungsi Green

Dalam matematika, **Fungsi Green** adalah respons impuls dari tidak homogen linier operator diferensial yang ditentukan pada domain.

Artinya jika * L * adalah operator diferensial linier, maka

* fungsi Green * G * adalah solusi dari persamaan * LG * = * δ *, di mana * δ * adalah Fungsi delta Dirac;
* solusi dari masalah nilai awal * Ly * = * f * adalah konvolusi (* G * * * f *), di mana * G * adalah fungsi Green .

Melalui prinsip superposisi, diberi persamaan diferensial linear (ODE), *L * (solusi) = sumber, yang pertama bisa diselesaikan , untuk setiap , dan menyadari bahwa, karena sumber adalah jumlah dari fungsi delta, solusinya adalah penjumlahan fungsi Green juga, dengan linearitas  .

Fungsi Green dinamai menurut ahli matematika Inggris George Green, yang pertama kali mengembangkan konsep ini pada tahun 1830-an. Dalam studi modern tentang persamaan diferensial parsial linier, fungsi Green dipelajari sebagian besar dari sudut pandang solusi fundamental.

Di bawah teori benda banyak, istilah ini juga digunakan dalam fisika, khususnya dalam teori medan kuantum, aerodinamika, aeroakustik, elektrodinamika, seismologi dan teori medan statistik, untuk merujuk pada berbagai jenis fungsi korelasi, bahkan yang tidak sesuai. Dalam teori medan kuantum, fungsi Green berperan sebagai propagator.

## Definisi dan kegunaan
Fungsi A Green, , dari operator diferensial linear \operatorname{L} =\operatorname{L}(x) bertindak pada distribusi selama himpunan bagian dari ruang Euklides \R^n, pada satu titik , adalah solusi dari

dengan  adalah Fungsi delta Dirac. Properti dari fungsi Green ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk tersebut

Jika kernel dari  adalah non-trivial, maka fungsi Green tidak unik. Namun, dalam praktiknya, beberapa kombinasi simetri, kondisi batas dan / atau kriteria yang ditentukan secara eksternal akan memberikan fungsi Green yang unik. Fungsi Green dapat dikategorikan, menurut jenis kondisi batas yang dipenuhi, dengan bilangan fungsi Green. Selain itu, fungsi Green secara umum adalah distribusi, tidak harus fungsi dari variabel nyata.

Fungsi Green juga merupakan alat yang berguna dalam menyelesaikan persamaan gelombang s dan persamaan difusi. Dalam mekanika kuantum, fungsi Green dari Hamiltonian adalah konsep kunci dengan kaitan penting dengan konsep kepadatan keadaan.

Fungsi Green seperti yang digunakan dalam fisika biasanya didefinisikan dengan tanda yang berlawanan. Itu adalah,
:\operatorname{L} \, G(x,s) = \delta(x-s)~.
Definisi ini tidak secara signifikan mengubah salah satu properti fungsi Green karena kemerataan fungsi delta Dirac.

Jika operatornya invariansi terjemahan, yaitu kapan \operatorname{L} memiliki koefisien konstan sehubungan dengan , maka fungsi Green dapat dianggap sebagai kernel konvolusi, yaitu,
:G(x,s) = G(x-s)~.

Dalam hal ini, fungsi Green sama dengan respons impuls teori sistem invarian waktu linear.

## Motivasi

Singkatnya, jika fungsi seperti itu  dapat ditemukan untuk operator \operatorname{L}, kemudian, jika kita mengalikan persamaan (1) untuk fungsi Green dengan , dan kemudian mengintegrasikannya dengan , kita mendapatkan ,
:\int \operatorname{L}\,G(x,s)\,f(s) \, ds = \int \delta(x-s) \, f(s) \, ds = f(x)~.

Karena operator \operatorname{L} = \operatorname{L}(x) linear dan hanya bekerja pada variabel  (dan * tidak * pada variabel integrasi ), seseorang dapat mengambil operator \operatorname{L} di luar integrasi, menghasilkan
:\operatorname{L}\,\left(\int G(x,s)\,f(s) \,ds \right) = f(x)~.
Artinya

is a solution to the equation \operatorname{L} u(x) = f(x)~.

Dengan demikian, seseorang dapat memperoleh fungsi  melalui pengetahuan tentang fungsi Green dalam persamaan (1) dan suku sumber di sisi kanan dalam persamaan (2). Proses ini bergantung pada linieritas operator \operatorname{L}.

Dengan kata lain, solusi persamaan (2), , dapat ditentukan dengan integrasi yang diberikan dalam persamaan (3). Meskipun  diketahui, integrasi ini tidak dapat dilakukan kecuali  juga dikenal. Masalahnya sekarang terletak pada mencari fungsi Green  yang memenuhi persamaan (1). Untuk alasan ini, fungsi Green terkadang juga disebut solusi fundamental yang terkait dengan operator \operatorname{L}.

Tidak semua operator \operatorname{L} mengakui fungsi Green. Fungsi Green juga dapat dianggap sebagai invers kanan dari \operatorname{L}. Selain kesulitan menemukan fungsi Green untuk operator tertentu, integral dalam persamaan (3) mungkin cukup sulit untuk dievaluasi. Namun metode memberikan exac secara teoretis.

Ini dapat dianggap sebagai perluasan dari  menurut basis Fungsi delta Dirac (memproyeksikan  ke atas \delta(x - s)\,; dan superposisi solusi pada setiap proyeksi. Persamaan integral semacam itu dikenal sebagai persamaan integral Fredholm, yang studinya merupakan teori Fredholhm

## Fungsi Green untuk menyelesaikan masalah nilai batas yang tidak homogen
Penggunaan utama fungsi Green dalam matematika adalah untuk menyelesaikan masalah nilai batas non-homogen. Dalam fisika teoretis modern, fungsi Green juga biasanya digunakan sebagai propagator dalam diagram Feynman;  istilah * Fungsi Hijau * sering digunakan lebih lanjut untuk fungsi korelasi.

### Kerangka
Maka \operatorname{L} menjadi operator Sturm–Liouville, operator diferensial linear dari bentuk
:\operatorname{L}=\dfrac{d}{dx}\left[p(x) \dfrac{d}{dx}\right]+q(x)
dan maka \vec\operatorname{D} menjadi operator kondisi batas nilai vektor
:\vec\operatorname{D}\,u= \left[ \begin{matrix}
\alpha_1 u'(0)+\beta_1 u(0) \\
\alpha_2 u'(\ell)+\beta_2 u(\ell)
\end{matrix} \right]~.

Maka f(x) menjadi fungsi berlanjut pada [0,\ell]~. Selanjutnya anggaplah masalahnya
:\begin{align}
 \operatorname{L}\,u &= f \\
 \vec\operatorname{D}\,u &= \vec{0}
\end{align}
adalah "biasa", yaitu satu-satunya solusi untuk f(x) = 0 untuk semua  u(x) = 0.

### Teorema
Hanya ada satu solusi u(x) maka
: \begin{align}
 \operatorname{L}\,u & = f\\
 \vec\operatorname{D}\,u & = \vec{0}
\end{align}
and it is given by
:u(x)=\int_0^\ell f(s) \, G(x,s) \, ds~,
di mana G(x,s) adalah fungsi Green yang memenuhi kondisi berikut:
# G(x,s) kontinu dalam  x  dan s.
# Untuk x \ne s~, \quad \operatorname{L}\,G(x,s) = 0~.
# Untuk s \ne 0~, \quad \vec\operatorname{D}\,G(x,s) = \vec{0}~.
# Turunan "lompat": \quad G'(s_{0+},s) - G'(s_{0-},s) = 1 / p(s)~.
# Simetri: \quad G(x,s) = G(s,x)~.

### Fungsi Green yang maju dan terbelakang
Terkadang fungsi Green dapat dibagi menjadi dua fungsi. Satu dengan variabel positif (+) dan yang lainnya dengan variabel negatif (-). Ini adalah fungsi Green lanjutan dan terbelakang, dan ketika persamaan yang diteliti bergantung pada waktu, salah satu bagiannya adalah kausal dan yang lainnya anti-kausal. Dalam masalah ini biasanya bagian penyebab adalah yang terpenting. Ini sering kali merupakan solusi dari persamaan gelombang elektromagnetik tidak homogen.

## Menemukan fungsi Green

### Satuan
Meskipun tidak secara unik memperbaiki bentuk fungsi Green, melakukan analisis dimensi untuk menemukan satuan yang harus dimiliki fungsi Green adalah pemeriksaan kewarasan yang penting pada fungsi Green yang ditemukan melalui cara lain. Pemeriksaan cepat dari persamaan yang menentukan,
: L G(x, s) = \delta(x - s), 
menunjukkan bahwa satuan  G  tidak hanya bergantung pada satuan  L  tetapi juga pada bilangan dan satuan ruang di mana vektor posisi x dan  s  adalah elemen. Ini mengarah pada hubungan:
: G = L^{-1} \mathrm{d} x^{-1}, 
di mana G didefinisikan sebagai, "satuan fisik  G ", dan \mathrm{d} x adalah elemen volume dari ruang (atau ruangwaktu).

Misalnya, jika L = \partial_t^2 dan waktu adalah satu-satunya variabel maka: 
:L = \mathrm{waktu}^{-2},
:\mathrm{d} x  = \mathrm{waktu},\ \mathrm{dan}
:G = \mathrm{waktu}.
Jika L = \square = \frac{1}{c^2}\partial_t^2-\nabla^2, Operator d'Alembert, dan ruang memiliki 3 dimensi maka:
:L = \mathrm{panjang}^{-2},
:\mathrm{d} x = \mathrm{waktu} \mathrm{panjang}^3,\ \mathrm{and}
:G = \mathrm{waktu}^{-1} \mathrm{panjang}^{-1}.

### Ekspansi Eigenvalue
Jika operator diferensial  menerima satu set vektor eigen  (yaitu, satu set fungsi  dan skalar  such that    =  ) selesai, maka dimungkinkan untuk membangun fungsi Green dari vektor eigen dan nilai eigen ini.

"Lengkap "artinya kumpulan fungsi {  } memenuhi hubungan kelengkapan berikut,
:\delta(x-x')=\sum_{n=0}^\infty \Psi_n^\dagger(x) \Psi_n(x').

Kemudian yang berikut berlaku,

di mana \dagger mewakili konjugasi kompleks.

Menerapkan operator  ke setiap sisi persamaan ini menghasilkan relasi kelengkapan, yang telah diasumsikan.

Studi umum tentang fungsi Green yang ditulis dalam bentuk di atas, dan hubungannya dengan ruang fungsi yang dibentuk oleh vektor eigen, dikenal sebagai teori Fredholm.

Ada beberapa metode lain untuk menemukan fungsi Green, termasuk metode gambar, pemisahan variabel, dan Transformasi Laplace (Cole 2011).

### Menggabungkan fungsi Green
Dari operator diferensial L dapat difaktorkan sebagai L=L_1 L_2 maka fungsi Green dari  L  bisa dibangun dari fungsi Green untuk L_1 dan L_2:
: G(x, s) = \int G_2(x, s_1)\, G_1(s_1, s) \, \mathrm{d} s_1. 
Identitas di atas segera mengikuti dari pengambilan G(x, s) menjadi representasi dari operator kanan invers dari  L , analog dengan cara operator linear invers C, didefinisikan oleh C= (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}, diwakili oleh elemen matriksnya C_{i,j}.

Identitas selanjutnya untuk operator diferensial yang merupakan polinomial skalar dari turunannya, L = P_N(\partial_x). Teorema fundamental aljabar, dikombinasikan dengan fakta bahwa \partial_x bepergian dengan sendirinya, menjamin bahwa polinomial dapat difaktorkan, dengan menempatkan  L  dalam bentuk:
: L = \prod_{i=1}^N (\partial_x - z_i),

dengan  z_i  adalah angka nol dari P_N(z). Mengambil Transformasi Fourier dari L G(x, s) = \delta(x - s) sehubungan dengan  x  dan s gives:
: \widehat{G}(k_x, k_s) = \frac{\delta(k_x - k_s)}{\prod_{i=1}^N (ik_x - z_i)}. 
Pecahan kemudian dapat dibagi menjadi jumlah menggunakan Dekomposisi pecahan sebagian sebelum Fourier mengubah kembali ke spasi  x  dan  s . Proses ini menghasilkan identitas yang menghubungkan integral fungsi Green dan jumlah yang sama. Misalnya, jika L = (\partial_x + \gamma) (\partial_x + \alpha)^2 maka salah satu bentuk dari fungsi Green nya adalah:
: \begin{align} G(x, s) & = \frac{1}{(\alpha - \gamma)^2}\Theta(x-s) \operatorname{e}^{-\gamma(x-s)} - \frac{1}{(\alpha - \gamma)^2}\Theta(x-s) \operatorname{e}^{-\alpha(x-s)} + \frac{1}{\gamma-\alpha} \Theta(x - s) \, (x - s) \operatorname{e}^{-\alpha(x-s)} \\[5pt]
& = \int \Theta(x - s_1) (x - s_1) \operatorname{e}^{-\alpha(x-s_1)} \Theta(s_1 - s) \operatorname{e}^{-\gamma (s_1 - s)} \, \mathrm{d} s_1. \end{align}  
Sementara contoh yang disajikan dapat ditelusuri secara analitis, ini mengilustrasikan proses yang bekerja ketika integralnya tidak sepele (misalnya, ketika \nabla^2 adalah operator dalam polinomial).

### Tabel fungsi Green
Tabel berikut memberikan gambaran umum tentang fungsi Green dari operator diferensial yang sering muncul, di mana \textstyle r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \textstyle \rho = \sqrt{x^2+y^2}, \textstyle \Theta(t) adalah fungsi langkah Heaviside, \textstyle J_\nu(z) adalah fungsi Bessel, \textstyle I_\nu(z) adalah fungsi Bessel yang dimodifikasi dari jenis pertama, dan \textstyle K_\nu(z) adalah Fungsi Bessel yang dimodifikasi dari jenis kedua. Di mana waktu () muncul di kolom pertama, fungsi Green lanjutan (kausal) terdaftar.

## Contoh
**Contoh.** Temukan fungsi Hijau untuk masalah berikut, dengan Nomor fungsi Green adalah X11:

:\begin{align}
  Lu & = u* + k^2 u = f(x)\\
  u(0)& = 0, \quad u\left(\tfrac{\pi}{2k}\right) = 0.
 \end{align}</math></blockquote>

*'Langkah pertama:** Fungsi Green untuk operator linier yang ada didefinisikan sebagai solusi untuk

:<math>g''(x,s) + k^2 g(x,s) = \delta(x-s).</math>

Jika <math>x\ne s</math>, maka fungsi delta memberikan nol, dan solusi umumnya adalah

:<math>g(x,s)=c_1 \cos kx+c_2 \sin kx.</math>

Untuk <math>x<s</math>, kondisi batas di <math> x = 0 </math> menyiratkan

:<math>g(0,s)=c_1 \cdot 1+c_2 \cdot 0=0, \quad c_1 = 0</math>

 jika <math>x < s</math> and <math>s \ne \tfrac{\pi}{2k}</math>.

Untuk <math>x>s</math>, kondisi batas di <math>x=\tfrac{\pi}{2k}</math> menyiratkan

:<math>g\left(\tfrac{\pi}{2k},s\right) = c_3 \cdot 0+c_4 \cdot 1=0, \quad c_4 = 0 </math>

Persamaan <math> g (0, s) = 0 </math> dilewati karena alasan yang sama.

Untuk meringkas hasil sejauh ini:

:<math>g(x,s)= \begin{cases}
  c_2 \sin kx, & \text{for }x<s, \\
  c_3 \cos kx, & \text{for }s<x.
 \end{cases}</math>

**Tahap kedua:*' Tugas selanjutnya adalah menentukan <math>c_2</math> dan <math>c_3</math>.

Memastikan kontinuitas dalam fungsi Green di <math> x = s </math> menyiratkan

:<math>c_2 \sin ks=c_3 \cos ks</math>

Seseorang dapat memastikan diskontinuitas yang tepat pada turunan pertama dengan mengintegrasikan persamaan diferensial dari <math>x=s-\varepsilon</math> untuk <math>x=s+\varepsilon</math> dan mengambil batas sebagai <math>\varepsilon</math> pergi ke nol:

:<math>c_3 \cdot (-k \sin ks)-c_2 \cdot (k \cos ks)=1</math>

Dua persamaan kontinuitas (dis) dapat diselesaikan untuk <math> c_2 </math> dan <math>c_3</math> to obtain

: <math>c_2 = -\frac{\cos ks}{k}  \quad;\quad c_3 = -\frac{\sin ks}{k}</math>

Jadi fungsi Green untuk masalah ini adalah:

:<math>g(x,s)=\begin{cases}
  -\frac{\cos ks}{k} \sin kx, & x<s, \\
  -\frac{\sin ks}{k} \cos kx, & s<x.
 \end{cases}</math>

== Lihat pula ==

* [[Potensi Bessel]]
* [[Operator Laplace Diskret#Fungsi Dikret Green| Fungsi Diskret Green]] - ditentukan pada grafik dan grid
* [[Respon impuls]] - analog dari fungsi Green dalam pemrosesan sinyal
* [[Fungsi transfer]]
* [[Solusi mendasar]]
* [[Fungsi Green (teori benda banyak) | Fungsi hijau dalam teori benda banyak]]
* [[Fungsi korelasi (teori medan kuantum) | Fungsi korelasi]]
* [[Mualim]]
* [[Identitas Green]]
* [[Parametrix]]
* [[Persamaan integral Volterra]]
* [[Formalisme resolusi]]
* [[Formalisme Keldysh]]
* [[Teori spektral]]


== Catatan Kaki ==


== Referensi ==



* 
* <br>*Chapter&nbsp;5 contains a very readable account of using Green's functions to solve boundary value problems in electrostatics.''
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Pranala luar
* 
* 
* 
* 
* 
* Introduction to the Keldysh Nonequilibrium Green Function Technique  by A. P. Jauho
* Green's Function Library 
* Tutorial on Green's functions
* Boundary Element Method (for some idea on how Green's functions may be used with the boundary element method for solving potential problems numerically) 
* At Citizendium 
* MIT video lecture on Green's function
*