Aljabar nonasosiatif

Sebuah **aljabar nonasosiatif** (atau **aljabar distributif**) adalah aljabar atas medan dimana operasi perkalian biner tidak beranggap sebagai asosiatif. Artinya, struktur aljabar *A* adalah aljabar nonasosiatif atas medan *K* jika itu adalah ruang vektor atas *K* dan kelengkapan dengan operasi perkalian biner bilinear-*K* pada *A* × *A* → *A* yang mungkin atau mungkin tidak asosiatif. Contohnya termasuk aljabar Lie, aljabar Jordan, oktonion, dan ruang Euklidean tiga dimensi kelengkapan dengan operasi produk silang. Karena perkalian tidak mengasumsikan asosiatif, penggunaan tanda kurung untuk menunjukkan urutan perkalian diperlukan. Misalnya, ekspresi (*ab*)(*cd*), (*a*(*bc*))*d* dan *a*(*b*(*cd*)) apabila semua dapat menghasilkan jawaban yang berbeda.

Meskipun penggunaan "nonasosiatif" ini berarti bahwa asosiatif tidak mengasumsikan, itu tidak berarti bahwa asosiatif tidak diperbolehkan. Dengan kata lain, "nonasosiatif" berarti "belum tentu asosiatif", seperti halnya "non-komutatif" berarti "belum tentu komutatif" untuk gelanggang nonkomutatif.

Aljabar adalah *[[aljabar unital|unital]]* atau *uniter* jika memiliki elemen identitas *e* dengan *ex* = *x* = *xe* untuk semua *x* dalam aljabar. Misalnya, oktonion adalah unital, tetapi aljabar Lie bukan unital.

Struktur aljabar nonasosiatif dari *A* dipelajari dengan asosiasi dengan aljabar asosiatif lain yang merupakan subaljabar dari aljabar penuh endomorfisme-*K* pada *A* sebagai ruang vektor *K*.  Dua seperti itu adalah **[[aljabar turunan]]** dan **(asosiatif) aljabar menyelubungi**, yang terakhir dalam arti "aljabar asosiatif terkecil *A*".

Lebih umum, beberapa penulis mempertimbangkan konsep aljabar nonasosiatif atas gelanggang komutatif *R*: Sebuah modul-''R'' kelengkapan dengan operasi perkalian biner bilinear-*R*. Jika sebuah struktur memenuhi semua aksioma gelanggang selain dari asosiatif (misalnya, aljabar *R*), maka secara alami adalah sebuah aljabar-\mathbb{Z}, jadi beberapa penulis menyebut aljabar-\mathbb{Z} nonasosiatif sebagai **gelanggang nonasosiatif**.

## Aljabar dengan identitas

Struktur seperti gelanggang dengan dua operasi biner dan tidak ada batasan lain adalah kelas yang luas, yang terlalu umum untuk dipelajari.
Untuk alasan ini, jenis aljabar nonasosiatif yang terkenal memenuhi identitas, atau sifat, yang menyederhanakan perkalian.
Ini termasuk yang berikut.

### Sifat biasa

Misalkan ,  dan  menyatakan elemen arbitrer aljabar  atas medan .
Misal pangkat ke bilangan bulat positif (bukan nol) didefinisikan secara rekursif oleh  dan lainnya  (pangkat kanan) atau  (pangkat kiri) tergantung pada penulis.

* Unital: apabila terdapat elemen  sehingga ; dalam hal ini kita dapat mendefinisikan .
* Asosiatif: .
* Komutatif: .
* Antikomutatif: .
* Identitas Jacobi:  atau  tergantung pada penulisannya.
* Identitas Jordan:  atau  tergantung pada penulisannya.
* Alternatif:  (alternatif kiri) dan  (alternatif kanan).
* Fleksibel: .
* Asosiasi pangkat ke- pada :  untuk semua bilangan bulat  sehingga .
** Asosiatif pangkat ketiga: .
** Asosiatif pangkat keempat:  (bandingkan dengan *komutatif pangkat empat* di bawah).
* Asosiatif pangkat: subaljabar yang dihasilkan oleh elemen adalah asosiatif, yaitu, *asosiasi pangkat * untuk semua .
* Pangkat komutatif ke- pada :  untuk semua bilangan bulat  sehingga .
** Komutatif pangkat ketiga: .
** Komutatif pangkat keempat:  (bandingkan dengan *asosiatif pangkat keempat* atas).
* Komutatif pangkat: subaljabar yang dihasilkan oleh elemen apa pun adalah komutatif, yaitu, *komutatif pangkat * untuk semua .
* Nilpoten dari indeks : produk dari elemen , dalam asosiasi, tidak untuk beberapa elemen :  dan terdapat elemen  sehingga  untuk asosiasi tertentu.
* Nol dari indeks : *pangkat asosiatif* dan  dan apabila elemen  sehingga .

### Relasi di antara sifat

Untuk  dari karakteristik:
* *Asosiatif* adalah *alternatif*.
* Setiap dua dari tiga sifat *alternatif kiri*, *alternatif kanan*, dan *fleksibel*, adalah yang ketiga.
** Jadi, *alternatif* adalah *fleksibel*.
* *Alternatif* adalah *identitas Jordan*.
* *Komutatif* adalah *fleksibel*.
* *Antikomutatif* adalah *fleksibel*.
* *Alternatif* adalah *pangkat asosiatif*.
* *Fleksibel* adalah *pangkat asosiatif ketiga*.
* *Pangkat asosiatif kedua* dan *pangkat komutatif kedua* adalah hakiki.
* *Pangkat asosiatif ketiga* dan *pangkat komutatif ketiga* adalah ekuivalen.
* *Pangkat asosiasi ke-* adalah *pangkat komutatif ke- *.
* *Nok dari indeks 2* adalah *antikomutatif*.
* *Nol dari indeks 2* adalah *identitas Jordan*.
* *Nilpoten indeks 3* adalah *identitas Jacobi*.
* *Nilpoten indeks * adalah *nol indeks * dengan .
* *Unital* dan *nol indeks * bukan kompatibel.

Jika  atau :
* *Identitas Jordan* dan *komutatif* adalah *pangkat asosiatif*.

Jika :
* *Alternatif kanan* adalah *pangkat asosiatif*.
** Demikian pula, *alternatif kiri* adalah *kekuatan asosiatif*.
* *Unital * dan * identitas Jordan* adalah *fleksibel*.
* *Identitas Jordan* dan *fleksibel* adalah *pangkat asosiatif*.
* *Komutatif* dan *antikomutatif* adalah *nilpoten indeks 2*.
* *Antikomutatif* adalah *nol dari indeks 2*.
* *Unital* dan *antikomutatif* bukan kompatibel.

Jika :
* *Unital* dan *identitas Jacobi* bukan kompatibel.

Jika }:
* *Komutatif* dan  (salah satu dari dua identitas yang mendefinisikan *pangkat asosiatif keempat*) adalah *pangkat asosiatif*.

Jika :
* *Pangkat asosiatif ketiga* dan  (salah satu dari dua identitas yang mendefinisikan *pangkat asosiatif keempat*) adalah *pangkat asosiatif*.

Jika :
* *Komutatif* dan *antikomutatif* adalah ekuivalen.

### Asosiasi

**Asosiasi** pada *A* adalah peta multilinear-*K* [\cdot,\cdot,\cdot] : A \times A \times A \to A diberikan oleh

: .

Ini mengukur tingkat nonasosiasi dari A, dan apabila digunakan untuk mengekspresikan beberapa kemungkinan identitas yang dipenuhi oleh *A*.

Misalkan ,  dan  menyatakan elemen aljabar sebarang.
* Asosiatif: .
* Alternatif:  (alternatif kiri) dan  (alternatif kanan).
** Ini menyatakan bahwa mengubah dua suku maka hal itu mengubah tanda: ; konversinya hanya berlaku jika .
* Fleksibel: .
** Ini menyatakan bahwa mengubah istilah ekstrem mengubah tanda: ; konversinya hanya berlaku jika .
* Identitas Jordan:  atau  tergantung penulisannya.
* Pangkat asosiatif ketiga: .

**Inti** adalah himpunan elemen yang terkait dengan semua elemen lain: yaitu,  di *A* sebagai

: .

Inti adalah subgelanggang asosiatif dari *A*.

### Pusat

**Pusat** dari *A* adalah himpunan elemen komutatif dan terkait dengan suatu di *A*, yang merupakan perpotongan dari 
: C(A) = \{ n \in A \ | \ nr=rn \, \forall r \in A \, \} 
dengan inti. Ternyata untuk elemen *C(A)* cukup dua himpunan ([n,A,A], [A,n,A] , [A,A,n]) adalah \{0\} untuk yang ketiga juga merupakan himpunan nol.

## Contoh

* Ruang Eullides **R**3 dengan perkalian yang diberikan oleh perkalian silang vektor adalah contoh aljabar yang antikomutatif dan bukan asosiatif. Produk silang juga memenuhi identitas Jacobi.
* Aljabar Lie adalah aljabar yang memenuhi antikomutatifitas dan identitas Jacobi.
* Aljabar medan vektor pada lipatan terdiferensiasi (jika *K* adalah **R** atau bilangan kompleks **C**) atau sebuah variasi aljabar (untuk umum *K*);
* Aljabar Jordan adalah aljabar yang memenuhi hukum komutatif dan identitas Jordan.
* Setiap aljabar asosiatif memunculkan aljabar Lie dengan menggunakan komutator sebagai tanda kurung Lie. Sebenarnya setiap aljabar Lie apabila dikonstruksi dengan cara ini, atau merupakan subaljabar dari aljabar Lie yang dibuat dengan cara ini.
* Setiap aljabar asosiatif pada medan karakteristik selain 2 memunculkan aljabar Jordan dengan mendefinisikan perkalian yang baru *x*y* = (*xy*+*yx*)/2. Berbeda dengan kasus aljabar Lie, tidak semua aljabar Jordan dapat dibuat dengan cara ini. Apabila yang bisa disebut *khusus*.
* Aljabar alternatif adalah aljabar yang memenuhi sifat alternatif. Contoh aljabar alternatif yang paling penting adalah oktonion (aljabar atas riil), dan generalisasi oktonion atas medan lain. Semua aljabar asosiatif adalah alternatif. Hingga isomorfisme, satu-satunya alternatif riil dengan dimensi hingga, aljabar pembagian (lihat di bawah) adalah riil, kompleks, kuaternion dan oktonion.
* Pangkat aljabar asosiatif, adalah aljabar yang memenuhi pangkat identitas asosiatif. Contohnya mencakup semua aljabar asosiatif, semua aljabar alternatif, aljabar Jordan pada medan selain GF(2) (lihat bagian sebelumnya), dan sedenion.
* Aljabar kuaternion hiperbolik atas **R**, yang merupakan aljabar eksperimental sebelum adopsi ruang Minkowski untuk relativitas khusus.

Lebih banyak kelas aljabar:

* Aljabar bertingkat. Ini mencakup sebagian besar aljabar yang menarik bagi aljabar multilinear, seperti aljabar tensor, aljabar simetris, dan aljabar eksterior pada ruang vektor yang diberikan. Aljabar bertingkat dapat digeneralisasi ke aljabar filter.
* Aljabar pembagian, dimana terdapat invers perkalian. Aljabar pembagian alternatif dimensi hingga atas medan bilangan riil diklasifikasikan. Ini adalah bilangan riil (dimensi 1), bilangan kompleks (dimensi 2), kuaternion (dimensi 4), dan oktonion (dimensi 8). Kuaternion dan oktonion tidak komutatif. Dari aljabar ini, semuanya asosiatif kecuali oktonion.
* Aljabar kuadrat, yang mengartikan *xx* = *re* + *sx*, untuk beberapa elemen *r* dan *s* di medan dasar, dan *e* unital untuk aljabar. Contohnya mencakup semua aljabar alternatif dimensi hingga, dan aljabar matriks riil 2-kali-2. Hingga isomorfisme, satu-satunya alternatif, aljabar riil kuadrat tanpa pembagi nol adalah riil, kompleks, kuaternion, dan oktonion.
* Aljabar Cayley–Dickson (dimana *K* adalah **R**), yang dimulai dengan:
** **C** (aljabar komutatif dan asosiatif);
** Kuaternion **H** (aljabar asosiatif);
** oktonion (sebuah aljabar alternatif);
** sedenion, dan barisan tak hingga dari aljabar Cayley-Dickson (pangkat aljabar asosiatif).
* Aljabar hiperkompleks adalah aljabar unital **R** dimensi-hingga, sehingga termasuk aljabar Cayley-Dickson dan lainnya.
* Aljabar Poisson dipertimbangkan dalam kuantisasi geometrik. Apabila membawa dua perkalian, mengubahnya menjadi aljabar komutatif dan aljabar Lie dengan cara yang berbeda.
* Aljabar genetik adalah aljabar nonasosiatif yang digunakan dalam genetika matematika.
*Sistem rangkap tiga

## Sifat

Ada beberapa sifat yang mungkin familiar dari teori gelanggang, atau dari aljabar asosiatif, yang tidak selalu benar untuk aljabar nonasosiatif. Tidak seperti kasus asosiatif, elemen dengan invers perkalian (dua sisi) mungkin juga merupakan pembagi nol. Misalnya, semua elemen bukan-nol dari sedenion memiliki invers dua sisi, tetapi beberapa di antaranya juga merupakan pembagi nol.

## Aljabar nonasosiatif bebas
**Aljabar nonasosiatif bebas** pada himpunan *X* atas medan *K* didefinisikan sebagai aljabar dengan basis yang terdiri dari semua monomial nonasosiatif, produk formal hingga dari elemen kurung penahan *X*. Produk dari monomial *u*, *v* dengan (*u*)(*v*). Aljabar adalah unital apabila jika mengambil produk kosong sebagai monomial.

Kurosh membuktikan bahwa setiap subaljabar dari aljabar nonasosiatif bebas adalah bebas.

## Aljabar terkait
Sebuah aljabar *A* atas medan-*K* khususnya adalah ruang vektor-*K* dan dengan demikian apabila mempertimbangkan aljabar asosiatif End*K*(*A*) dari endomorfisme ruang vektor linear-*K* dari *A*. Apabila mengasosiasikan struktur aljabar pada *A* dua subaljabar End*K*(*A*), **aljabar turunan** dan **(asosiatif) sampul aljabar**.

### Aljabar turunan

Sebuah *[[turunan (aljabar abstrak)|turunan]]* pada *A* adalah peta-*D* dengan sifat

:D(x \cdot y) = D(x) \cdot y + x \cdot D(y) \ . 

Turunan pada *A* sebagai bentuk subruang Der*K*(*A*) di End*K*(*A*). Komutator dari dua turunan merupakan turunan terus, sehingga braket Lie diberikan oleh Der*K*(*A*) struktur aljabar Lie.

### Sampul aljabar
Ada peta linear *L* dan *R* yang melekat pada setiap elemen *a* dari aljabar *A*:

:L(a) : x \mapsto ax ; \ \  R(a) : x \mapsto xa \ . 

*Sampul aljabar asosiatif* atau *aljabar perkalian* dari *A* adalah aljabar asosiatif yang dihasilkan oleh peta linear kiri dan kanan. *pusat* dari *A* adalah pemusat aljabar sampul dalam aljabar endomorfisme End*K*(*A*). Sebuah aljabar adalah *pusat* jika pusat massanya terdiri dari kelipatan skalar *K* dari identitas.

Beberapa identitas yang mungkin dipenuhi oleh aljabar nonasosiatif dapat dengan mudah diekspresikan dalam bentuk peta linear:
* Komutatif: setiap *L*(*a*) sama dengan kesesuaian *R*(*a*);
* Asosiatif: setiap *L* komuter dengan *R*;
* Fleksibel: setiap *L*(*a*) komutatif dengan *R*(*a*);
* Jordan: setiap *L*(*a*) komutatif dengan *R*(*a*2);
* Alternatif: setiap *L*(*a*)2 = *L*(*a*2) dan juga untuk kanan.

*Wakilan kuadrat* *Q* didefinisikan oleh:

:Q(a) : x \mapsto 2a \cdot (a \cdot x) - (a \cdot a) \cdot x \ 

atau ekuivalen

:Q(a) = 2 L^2(a) - L(a^2) \ . 

Artikel tentang aljabar sampul universal menjelaskan konstruksi kanonik dari aljabar sampul, serta teorema tipe-PBW. Untuk aljabar Lie, aljabar bungkus tersebut memiliki sifat universal, yang tidak berlaku, secara umum, untuk aljabar nonasosiatif. Contoh yang terkenal adalah, aljabar Albert, aljabar Jordan tidak menyampul oleh konstruksi kanonik dari aljabar yang sampul untuk aljabar Jordan.

## Lihat pula
* Daftar aljabar
* Magma nonasosiatif komutatif, yang memunculkan aljabar nonasosiatif

## Kutipan

## Catatan

## Referensi
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*