Grup divisibel

Dalam matematika, terutama di bidang teori grup, **grup divisibel** atau disebut juga **grup yang dapat dibagi** adalah grup abelian di mana setiap elemen dapat, dalam arti tertentu, dibagi dengan bilangan bulat positif, atau lebih tepatnya, setiap elemen adalah kelipatan *n* untuk setiap bilangan bulat positif *n*.  Grup terpisahkan penting dalam memahami struktur grup abelian, terutama karena mereka adalah grup abelian injektif.

## Definisi
Grup abelian  (G, +)  adalah **divisibel** jika, untuk setiap bilangan bulat positif  n  dan setiap g \in G, disana terdapat y \in G adalah ny=g.  Kondisi yang setara adalah: untuk bilangan bulat positif  n , nG=G, karena keberadaan  y  untuk setiap  n  dan  g  menyiratkan bahwa n G\supseteq G, dan ke arah lain n G\subseteq G benar untuk setiap kelompok. Kondisi ketiga yang setara adalah bahwa grup abelian  G  dapat dibagi jika dan hanya jika  G  adalah objek injeksi dalam kategori grup abelian]; untuk alasan ini, grup yang dapat dibagi kadang-kadang disebut **grup injektif**.

Grup abelian adalah  p -**habis dibagi** untuk bilangan prima p jika untuk g \in G, terdapat y \in G sehingga py=g.  Sama halnya, grup abelian adalah  p -habis dibagi jika dan hanya jika pG=G.

## Contoh
* Bilangan rasional \mathbb Q membentuk kelompok yang dapat dibagi di bawah penambahan.
* Lebih umum lagi, grup aditif yang mendasari dari setiap ruang vektor di atas habis dibagi \mathbb Q.
* Setiap hasil bagi dari grup yang dapat dibagi habis. Jadi, habis dibagi \mathbb Q/\mathbb Z.
* Kompenen prima-p \mathbb Z[1/p]/\mathbb Z pada \mathbb Q/ \mathbb Z, yang mana isomorfik ke * p *-grup kuasiklik habis dibagi \mathbb Z[p^\infty].
* Grup perkalian dari bilangan kompleks \mathbb C^* is divisible.
* Setiap grup abelian eksistensial tertutup (dalam pengertian teori model) dapat dibagi.

## Sifat
* Jika grup yang dapat dibagi adalah subkelompok dari grup abelian maka itu adalah penjumlahan langsung dari grup abelian itu.
* Setiap grup abelian dapat disematkan dalam grup yang dapat dibagi.
* Grup yang dapat dibagi non-sepele bukan dihasilkan secara terbatas.
* Selanjutnya, setiap grup abelian dapat disematkan dalam grup yang dapat dibagi sebagai subgrup penting dengan cara yang unik.
* Sebuah grup abelian habis dibagi jika dan hanya jika itu adalah habis dibagi-* p * untuk setiap prima * p *.
* Misalkan  A  menjadi gelanggang. Jika  T  adalah grup yang dapat dibagi, maka \mathrm{Hom}_{\mathbf{Z}\text{-Mod}} (A,T) adalah injektif dalam kategori dari modul A .

## Teorema struktur grup habis

Karena * G * menjadi grup yang dapat dibagi. Kemudian subgrup torsi Tor(*G*) dari * G * habis dibagi. Karena grup yang dapat dibagi adalah modul injeksi.

:G = \mathrm{Tor}(G) \oplus  G/\mathrm{Tor}(G).

Sebagai hasil bagi dari grup yang dapat dibagi, *G*/Tor(*G*) habis dibagi. Selain itu, ini bebas torsi. Jadi, ini adalah ruang vektor di atas **Q** dan ada himpunan * I * sehingga

:G/\mathrm{Tor}(G) = \bigoplus_{i \in I} \mathbb Q = \mathbb Q^{(I)}.

Struktur subgrup torsi lebih sulit ditentukan, tetapi dapat dilihat bahwa untuk semua bilangan prima * p * ada  I_p  sedemikian rupa sehingga

:(\mathrm{Tor}(G))_p = \bigoplus_{i \in I_p} \mathbb Z[p^\infty] = \mathbb Z[p^\infty]^{(I_p)},

dimana (\mathrm{Tor}(G))_p adalah komponen utama Tor(*G*).

Jadi, jika **P** adalah himpunan bilangan prima,

:G = \left(\bigoplus_{p \in \mathbf P} \mathbb Z[p^\infty]^{(I_p)}\right) \oplus \mathbb Q^{(I)}.

Kardinalitas dari himpunan * I * dan *I**p* untuk * p * ∈ * 'P' * secara unik ditentukan oleh grup * G *.

## Amplop injektif

Seperti yang dinyatakan di atas, setiap grup abelian * A * dapat disematkan secara unik dalam grup yang dapat dibagi * D * sebagai subgrup penting.  Grup yang dapat dibagi * D * ini adalah **amplop injektif** dari * A *, dan konsep ini adalah injeksi hull dalam kategori grup abelian.

## Lihat pula
* Objek injektif
* Modul injektif

## Catatan

## Referensi
* With an appendix by David A. Buchsbaum; Reprint of the 1956 original 
*
* 
*   Chapter 13.3.
* 
* 
*
* 
*
*