Grup dasar

Dalam bidang matematika dan topologi aljabar, **grup dasar** dari ruang topologi adalah grup kelas kesetaraan di bawah homotopi dengan gelung dalam ruang. Informasi tentang bentuk dasar, atau lubang, dari ruang topologi. Grup dasar adalah grup homotopi yang pertama dan yang sederhana. Grup dasar adalah homotopi invarian dari ruang topologi setara homotopi (atau dalam kasus dari homeomorfik) dengan isomorfik.

## Intuisi

Dimulai dari ruang (misalnya, permukaan), dan beberapa titik, dan semua gelung dan titik jalur ke titik awal. Dua gelung dapat digabungkan dengan: gelung pertama ke gelung kedua.
Dua gelung setara jika salah satu dapat dideformasi menjadi gelung lainnya tanpa putus. Himpunan gelung dengan metode penggabungan dan ekuivalen di antara grup dasar untuk ruang.

## Sejarah
Henri Poincaré mendefinisikan grup dasar pada tahun 1895 dalam makalah "Situs Analisis". Konsep tersebut muncul dalam teori permukaan Riemann, dalam karya Bernhard Riemann, Poincaré, dan Felix Klein. Sifat monodromi dari fungsi bernilai kompleks, serta klasifikasi permukaan tertutup topologi lengkap.

## Definisi

*X* adalah ruang topologi, contoh tipikal adalah permukaan digambarkan di sebelah kanan. Selain itu,  x_0  adalah titik di *X* yang disebut *titik dasar*. Gagasan dari definisi grup homotopi adalah untuk mengukur berapa kurva pada *X* yang dideformasi satu sama lain. Definisi tergantung pada pengertian homotopi gelung, yang akan dijelaskan terlebih dahulu.

### Homotopi gelung
Ruang topologi *X* dari *[[Jalur (topologi)|gelung]] berbasis <math> x_0 </math>* didefinisikan sebagai fungsi kontinu (juga dikenal sebagai peta kontinu)
:\gamma \colon [0, 1] \to X
sehingga titik awal \gamma(0) dan titik akhir \gamma(1) adalah x_0.

*[[Homotopi]]* adalah interpolasi kontinu antara dua gelung. Lebih tepatnya, homotopi antara dua gelung \gamma, \gamma' \colon [0, 1] \to X (berbasis titik  x_0 ) adalah peta kontinu
:h \colon [0, 1] \times [0, 1] \to X,
maka
* h(0, t) = x_0 untuk t \in [0, 1], bagian titik awal homotopi adalah  x_0  untuk t (sebagai parameter waktu).
* h(1, t) = x_0 untuk t \in [0, 1], bagian titik akhir tetap  x_0  untuk t.
* h(r, 0) = \gamma(r), h(r, 1) = \gamma'(r) untuk r \in [0, 1].

Jika homotopi *h* dari \gamma dan \gamma' adalah *homotopik*. Relasi "\gamma adalah homotopik \gamma'" dengan hubungan setara pada himpunan kelas kesetaraan dengan:
:\pi_1(X, x_0) := \{ \text{semua gelung }\gamma \text{ berdasarkan }x_0 \} / \text{homotopi}.
Himpunan (dengan struktur grup yang dijelaskan di bawah) tersebut adalah *grup dasar* dari ruang topologi X pada titik dasar  x_0 . Tujuan dari kelas kesetaraan dari gelung hingga homotopi, sebagai lawan dari himpunan gelung (yang disebut ruang gelung dari *X*) adalah titik akhir, meskipun berguna untuk berbagai tujuan dari objek yang besar dan berat.

### Struktur grup

Dengan definisi di atas, \pi_1(X, x_0) adalah satu himpunan, grup (dan karena *grup* dasar) menggunakan rangkaian gelung. Lebih tepatnya, dua gelung \gamma_0, \gamma_1, hasilkali didefinisikan sebagai gelung
:\begin{align}
  \gamma_0 \cdot \gamma_1 \colon [0, 1] &\to X \\
  (\gamma_0 \cdot \gamma_1)(t) &= \begin{cases}
        \gamma_0(2t) & 0 \leq t \leq \tfrac{1}{2} \\
    \gamma_1(2t - 1) & \tfrac{1}{2} \leq t \leq 1.
  \end{cases}
\end{align}
Dengan demikian, gelung \gamma_0 \cdot \gamma_1 pertama mengikuti gelung \gamma_0 dengan "dua kali kecepatan" dan kemudian mengikuti  \gamma_1  dengan "dua kali kecepatan".

hasilkali dari dua kelas homotopi gelung [\gamma_0] dan [\gamma_1] kemudian didefinisikan sebagai [\gamma_0 \cdot \gamma_1]. Dapat ditunjukkan, hasilkali tidak bergantung pada pilihan perwakilan dan oleh karena itu operasi yang terdefinisi dengan himpunan \pi_1(X, x_0). Operasi \pi_1(X, x_0) ke dalam grup elemen netral gelung konstan  x_0  untuk *t*. Invers dari gelung (kelas homotopi) adalah gelung yang sama, tetapi dilintasi dalam oposisi
:\gamma^{-1} (t) := \gamma(1-t).
Tiga gelung berbasis \gamma_0, \gamma_1, \gamma_2, hasilkali
:(\gamma_0 \cdot \gamma_1) \cdot \gamma_2
adalah gabungan dari gelung \gamma_0 sehingga \gamma_1 dengan kecepatan kuadurupel, maka \gamma_2 dengan kecepatan ganda,
:\gamma_0 \cdot (\gamma_1 \cdot \gamma_2)
melintasi ke lintasan yang sama (dalam urutan yang sama), tetapi \gamma_0 dengan kecepatan ganda, dan \gamma_1, \gamma_2 dengan kecepatan rangkap empat. Jadi, karena perbedaan kecepatan, kedua jalur tersebut tidak identik. Aksioma asosiatif
:[\gamma_0] \cdot \left([\gamma_1] \cdot [\gamma_2]\right) = \left([\gamma_0] \cdot [\gamma_1]\right) \cdot [\gamma_2]
oleh karena itu sangat bergantung pada jalur homotopi. Kedua komposit di atas adalah homotopik, misalnya, pada gelung yang melintasi ketiga gelung \gamma_0, \gamma_1, \gamma_2 dengan kecepatan tripel. Himpunan gelung berbasis hingga homotopi, digunakan dengan operasi di atas karenanya \pi_1(X, x_0) ke grup.

### Ketergantungan pada titik dasar
Meskipun grup dasar pada umumnya bergantung pada pilihan titik dasar, ternyata hingga isomorfisme (sebenarnya, bahkan hingga isomorfisme *dalam*), pilihan tidak bedanya dengan ruang *X* adalah jalan koneksi. Untuk ruang terhubung dengan jalur, banyak penulis menggunakan \pi_1(X) dari \pi_1(X, x_0).

## Contoh konkret

Bagian ini mencantumkan beberapa contoh dasar dari kelompok dasar. Pertama, ruang Euklides (\R^n) atau himpunan bagian cembung dari  \R^n,  kelas gelung homotopi dan karena grup dasar adalah grup trivial dengan satu elemen. Maka, domain bintang dan ruang kontras memiliki grup dasar trivial. Dengan demikian, grup dasar tidak membedakan antara ruang.

### Bola-2

Ruang koneksi dengan grup dasar trivial disebut koneksi sederhana.
Misalnya, bola-2 S^2 = \left\{(x, y, z) \in \R^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1\right\} digambarkan di sebelah kanan, dan juga bidang berdimensi tinggi koneksi dengan mudah. Gambar tersebut mengilustrasikan homotopi satu gelung tertentu ke gelung konstan. gelung \gamma sehingga (x, y, z) \in S^2 yaitu  pada gambar \gamma. Namun, karena gelung \gamma([0, 1]) = S^2 (dari kurva Peano, misalnya), bukti lengkap analisis cermat dengan alat dari topologi aljabar dengan Teorema Seifert–van Kampen atau Teorema pendekatan seluler.

### Lingkaran

Lingkaran (juga dikenal sebagai bola-1)
:S^1 = \left\{(x, y) \in \R^2 \mid x^2 + y^2 = 1\right\}
Sebaliknya, kelas homotopi dari gelung lingkaran (positif atau negatif, bergantung pada arah belitan). Hasil kali gelung sekitar *m* dan gelung sekitar *n* adalah gelung sekitar  m + n . Oleh karena itu, grup dasar dari lingkaran adalah isomorfik grup aditif dari bilangan bulat (\Z, +),. Fakta ini dapat digunakan untuk memberikan pembuktian teorema titik tetap Brouwer dan teorema Borsuk–Ulam di dimensi 2.

### Gambar delapan

Grup dasar dari gambar delapan adalah grup bebas pada dua huruf. Gagasan untuk membuktikannya adalah sebagai berikut: memilih titik dasar untuk menjadi titik pertemuan kedua lingkaran (bertitik hitam pada gambar di sebelah kanan), buhul \gamma diuraikan sebagai
:\gamma = a^{n_1} b^{m_1} \cdots a^{n_k} b^{m_k}
dimana *a* dan *b* adalah dua gelung di sekitar setengah gambar seperti yang digambarkan, dan eksponen n_1, \dots, n_k, m_1, \dots, m_k adalah bilangan bulat. Maka \pi_1\left(S^1\right), grup dasar dari gambar delapan adalah *bukan* abelian: dua cara *a* dan *b* tidak homotopik:
:[a] \cdot [b] \ne [b] \cdot [a].

Secara lebih umum, grup dasar dari lingkaran buket dari lingkaran *r* adalah grup bebas pada huruf *r*.

Grup dasar dari jumlah baji dari dua ruang terhubung jalur *X* dan *Y* dihitung sebagai hasilkali bebas dari grup dasar:
:\pi_1(X \vee Y) \cong \pi_1(X) * \pi_1(Y).
Dirampat dengan pengamatan diatas karena gambar delapan adalah jumlah irisan dua lingkaran.

Grup dasar dari gambar bidang titik ''n'' merupakan grup bebas dengan pembangkit n. pembangkit ke-i adalah kelas gelung yang menuju di sekitar lubang ke-i dengan tampa menuju ke lubang lainnya.

### Grafik
Grup dasar didefinisikan untuk struktur diskret. Secara khusus, pertimbangkan graf terhubung G(V,E), dengan verteks v_0 dengan V. Gelung dalam G adalah siklus yang dimulai dan diakhiri v_0. Misalkan T menjadi pohon rentangan dari G. Gelung sederhana G tepat satu sisi E \setminus T; gelung G adalah rangkaian gelung sederhana tersebut. Oleh karena itu, grup dasar dari grafik adalah grup bebas, dimana jumlah pembangkit persis dengan jumlah sisi E \setminus T .Bilangan sama dengan |E| - |V| + 1.

Misalnya, G memiliki 16 verteks yang disusun dalam 4 baris terdiri dari 4 verteks, dengan sisi yang menghubungkan verteks berdekatan secara horizontal atau vertikal. Maka G memiliki 24 sisi secara keseluruhan, dan jumlah sisi pohon rentangan adalah 16 - 1 = 15, jadi grup dasar dari G adalah grup bebas dengan 9 pembangkit. Perhatikan bahwa G memiliki 9 "lubang", dengan buket dari 9 lingkaran, memiliki grup dasar yang sama.

### Grup buhul

*[[Grup buhul]]* adalah definisi grup dasar dari komplemen dari buhul K dengan \R^3. Misalnya, grup buhul dari buhul semanggi dikenal sebagai grup kepangan  B_3,  contoh lain dari grup dasar takabelian. Presentasi Wirtinger secara eksplisit mendeskripsikan grup buhul dalam istilah pembangkit dan relasi berdasarkan diagram buhul. Oleh karena itu, grup buhul memiliki beberapa kegunaan dalam teori buhul untuk membedakan buhul: jika \pi_1\left(\R^3 \setminus K\right) bukan isomorfik untuk beberapa grup buhul \pi_1\left(\R^3 \setminus K'\right) dari buhul lain K', maka K tidak diubah menjadi K'. Jadi buhul semanggi tidak berubah menjadi lingkaran (juga dikenal sebagai buhul trivial), karena buhul terakhir memiliki grup buhul \Z. Namun, buhul tidak dideformasi menjadi satu, tetapi memiliki grup buhul isomorfik.

### Permukaan berorientasi
Grup dasar dari permukaan orientasi genus ''n'' dapat dihitung dalam istilah pembangkit dan relasi sebagai
:\left\langle A_1, B_1, \ldots, A_n, B_n \left| A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1} \cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1} \right. \right\rangle.

Torus menjadi genus 1 grup dasarnya adalah
:\left\langle A_1, B_1 \left| A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1} \right. \right\rangle \cong \Z^2.

### Grup topologi
Grup dasar dari grup topologi *X* (dengan titik dasar sebagai elemen netral) selalu komutatif. Secara khusus, kelompok dasar dari grup Lie adalah komutatif. Maka, struktur grup pada *X* ke \pi_1(X) dengan struktur grup: dua gelung \gamma dan \gamma' dengan X, gelung \gamma \star \gamma' dapat ditentukan dengan menggunakan perkalian grup dalam X:
:\left(\gamma \star \gamma'\right)(x) = \gamma(x) \cdot \gamma'(x).
Operasi biner \star himpunan gelung adalah bebas *priori* dari yang dijelaskan di atas. Namun, argumen Eckmann–Hilton menunjukkan bahwa sebenarnya setuju dengan rangkaian gelung atas.

Pemeriksaan bukti menunjukkan \pi_1(X) adalah abelian untuk setiap ruang-H dari X, yaitu perkalian tidak menggunakan invers takasosiatif. Sebagai contoh, grup dasar dari sebuah ruang lingkaran dari ruang topologi *Y*, X = \Omega(Y), adalah abelian. Ide terkait mengarah pada perhitungan Heinz Hopf dari kohomologi grup Lie.

## Kefungtorialan
Jika f\colon X \to Y adalah peta kontinu, x_0 \in X dan y_0 \in Y dengan f(x_0) = y_0, maka gelung X dengan titik dasar  x_0  dengan f ke gelung Y dengan titik dasar y_0. Operasi serasi dengan hubungan kesetaraan homotopi dan dengan komposisi gelung. Homomorfisme kelompok yang dihasilkan, disebut homomorfisme terinduksi, sebagai \pi(f) maka:

:f_* \colon \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, y_0).

Pemetaan dari peta kontinu hingga homomorfisme grup serasi dengan komposisi peta dan morfisme identitas. Dalam kategori teori, pembentukan asosiasi ke ruang topologi grup dasar adalah funktor

:\begin{align}
   \pi_1 \colon \mathbf{Top}_* &\to \mathbf{Grp} \\
   (X, x_0) &\mapsto \pi_1(X, x_0)
 \end{align}

dari kategori ruang topologi dengan titik dasar ke kategori grup. Funktor peta homotopik relatif terhadap titik dasar: jika f,g \colon X \to Y adalah peta kontinu dengan f(x_0) = g(x_0) = y_0, serta f dan g adalah homotopik \{x_0\}, maka f_* = g_*. Sebagai akibatnya, dua ruang terhubung lintasan setara memiliki grup dasar isomorfik:

:X \simeq Y \Rightarrow \pi_1(X, x_0) \cong \pi_1(Y, y_0).

Misalnya, penyertaan lingkaran di bidang citra
:S^1 \subset \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}
adalah kesetaraan homotopi dan isomorfisme grup dasarnya.

Funktor grup dasar dari hasilkali ke produk dan koproduk ke kohasilkali. Artinya, jika X dan Y adalah terhubung lintasan, maka

:\pi_1 (X \times Y, (x_0, y_0)) \cong \pi_1(X, x_0) \times \pi_1(Y, y_0).

## Lihat pula
* Grup dasar Orbifold

## Catatan

## Referensi

*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* Peter Hilton and Shaun Wylie, *Homology Theory*, Cambridge University Press (1967) [warning: these authors use *contrahomology* for cohomology]
* 
* 
* 
* 
* 
* Deane Montgomery and Leo Zippin, *Topological Transformation Groups*, Interscience Publishers (1955)
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Pranala luar
*
* Dylan G.L. Allegretti, ''Simplicial Sets and van Kampen's Theorem'' : A discussion of the dasar groupoid of a topological space and the dasar groupoid of a simplicial set
* Animations to introduce dasar group by Nicolas Delanoue
* Sets of base points and dasar groupoids: mathoverflow discussion 
* Groupoids in Mathematics