Transpos konjugat

Dalam matematika, **transpos konjugat** () atau **transpose Hermite** () dari suatu matriks \mathbf{A} dengan entri-entri kompleks adalah matriks yang dihasilkan dengan melakukan transpos dari \mathbf{A} lalu mengambil konjugat kompleks dari setiap entrinya (konjugat kompleks dari a+ib adalah a-ib, untuk sembarang bilangan real a dan b). Nama lain dari transpos konjugat dari suatu matriks adalah **konjugat Hermite**, **matriks adjoin**, dan **transjugat** (*transjugate*). Matriks hasil operasi ini umum dinyatakan sebagai \mathbf{A}^\mathrm{H} atau \mathbf{A}^*.

Untuk matriks real, transpos konjugat akan sama dengan operasi transpos biasa, \mathbf{A}^\mathrm{H} = \mathbf{A}^\mathsf{T}.

## Definisi
Transpos konjugat dari suatu matriks \mathbf{A} berukuran m \times n secara formal didefinisikan sebagai

\left(\mathbf{A}^\mathrm{H}\right)_{ij} = \overline{\mathbf{A}_{ji}}

dengan indeks ij menyatakan entri ke-(i,j) dari matriks, untuk 1 \le i \le n dan 1 \le j \le m, dan *overbar* menyatakan konjugat kompleks pada skalar. Definisi tersebut juga dapat ditulis sebagai

\mathbf{A}^\mathrm{H} = \left(\overline{\mathbf{A}}\right)^\mathsf{T} = \overline{\mathbf{A}^\mathsf{T}}

dengan \mathbf{A}^\mathsf{T} menyatakan transpos, dan  \overline{\mathbf{A}} menyatakan matriks dengan entri-entri yang dikonjugasi kompleks. Transpos konjugat dari matriks \mathbf{A} dapat dinyatakan oleh beberapa simbol berikut:

* \mathbf{A}^*, dan \mathbf{A}^\mathrm{H}, yang umum digunakan dalam aljabar linear,
* \mathbf{A}^\dagger, umum digunakan dalam fisika kuantum, dan
* \mathbf{A}^+, walau simbol ini lebih sering digunakan untuk invers Moore–Penrose

Dalam beberapa konteks, \mathbf{A}^* menyatakan matriks dengan yang entrinya hanya dikonjugasi kompleks dan tidak mengalami transpos matriks

## Contoh
Misalkan kita ingin menghitung transpos konjugat dari matriks \mathbf{A} berikut:

: \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2 - i & 5 \\ 1 + i & i & 4-2i \end{bmatrix}

Pertama kita melakukan transpos pada matriks,

: \mathbf{A}^\mathsf{T} = \begin{bmatrix} 1 & 1 + i \\ -2 - i & i \\ 5 & 4-2i\end{bmatrix}

lalu kita mencari konjugat kompleks dari setiap entri pada matriks:

: \mathbf{A}^\mathrm{H} = \begin{bmatrix} 1 & 1 - i \\ -2 + i & -i \\ 5 & 4+2i\end{bmatrix}

## Motivasi
Transpos konjugat dapat dianggap sebagai perumuman konsep konjugat kompleks. Bilangan kompleks dapat direpresentasikan sebagai matriks real berukuran 2×2, yang juga memenuhi sifat penjumlahan dan perkalian matriks:a + ib \equiv \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}.Dengan demikian, perkalian bilangan *kompleks* z di \mathbb{C}dapat dianggap sebagai transformasi linear pada diagram Argand (dilihat sebagai ruang vektor *real* \mathbb{R}^2) oleh matriks *real* berukuran 2&#xD7;2. Lebih lanjut, konjugat kompleks dari z dapat dilakukan dengan melakukan transpos pada representasi matriks berukuran 2&#xD7;2-nya.

Hal ini mengartikan matriks berentri kompleks berukuran m\times n juga dapat direpresentasikan dengan baik oleh matriks berentri real berukuran 2m\times2n. Transpos konjugat muncul secara alami sebagai akibat mentranspos matriks real ini — yang dapat dilihat kembali sebagai matriks kompleks berukuran n\times m.

## Sifat-sifat

* (\mathbf{A} + \mathbf{B})^\mathrm{H} = \mathbf{A}^\mathrm{H} + \mathbf{B}^\mathrm{H} untuk sembarang matriks \mathbf{A} dan \mathbf{B} yang memiliki ukuran yang sama.
* (z\mathbf{A})^\mathrm{H} = \overline{z} \mathbf{A}^\mathrm{H} untuk sembarang bilangan kompleks z dan sembarang matriks \mathbf{A} berukuran m\times n.
* (\mathbf{A}\mathbf{B})^\mathrm{H} = \mathbf{B}^\mathrm{H} \mathbf{A}^\mathrm{H} untuk sembarang matriks \mathbf{A} berukuran m\times n dan sembarang matriks \mathbf{B} berukuran n\times p. Ingat bahwa urutan dari faktor dibalik.
* \left(\mathbf{A}^\mathrm{H}\right)^\mathrm{H} = \mathbf{A} funtuk sembarang matriks \mathbf{A} berukuran m\times n, dengan kata lain, transpos konjugat adalah suatu involusi.
* Jika \mathbf{A} adalah matriks persegi, maka \det\left(\mathbf{A}^\mathrm{H}\right) = \overline{\det\left(\mathbf{A}\right)} dengan \operatorname{det}(A) menyatakan determinan dari \mathbf{A} .
* Jika \mathbf{A} adalah matriks persegi, maka \operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^\mathrm{H}\right) = \overline{\operatorname{tr}(\mathbf{A})} dengan \operatorname{tr}(A) menyatakan trace dari \mathbf{A}.
* \mathbf{A} terbalikkan jika dan hanya jika \mathbf{A}^\mathrm{H} juga terbalikkan, dan dalam kasus tersebut, \left(\mathbf{A}^\mathrm{H}\right)^{-1} = \left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{\mathrm{H}}.
* Nilai-nilai eigen dari \mathbf{A}^\mathrm{H} adalah konjugat kompleks dari nilai-nilai eigen dari \mathbf{A}.
* \left\langle \mathbf{A} x,y \right\rangle_m = \left\langle x, \mathbf{A}^\mathrm{H} y\right\rangle_n  untuk sembarang matriks \mathbf{A} berukuran m\times n, sembarang vektor x \in \mathbb{C}^n , dan sembarang vektor y \in \mathbb{C}^m . Dalam persamaan ini, \langle\cdot,\cdot\rangle_m menyatakan hasil kali dalam kompleks pada  \mathbb{C}^m , dan serupa untuk notasi \langle\cdot,\cdot\rangle_n.

Beberapa jenis matriks persegi juga dapat didefinisikan lewat transpos konjugatnya. Suatu matriks persegi \mathbf{A} dengan entri-entri a_{ij} disebut

* Hermite, jika \mathbf{A}=\mathbf{A}^\mathrm{H}; yakni ketika a_{ij} = \overline{a_{ji}}.
* *Skew Hermitian* atau *antihermitian* jika \mathbf{A}=-\mathbf{A}^\mathrm{H}; yakni, a_{ij} = -\overline{a_{ji}}.
* Normal jika \mathbf{A}^\mathrm{H} \mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{A}^\mathrm{H}.
* Uniter jika \mathbf{A}^\mathrm{H} = \mathbf{A}^{-1}, atau secara ekuivalen \mathbf{A}\mathbf{A}^\mathrm{H} = \mathbf{I}, atau secara ekuilvalen \mathbf{A}^\mathrm{H}\mathbf{A} = \mathbf{I}.

Bahkan jika \mathbf{A} bukan matriks persegi, kedua matriks \mathbf{A}^\mathrm{H}\mathbf{A} dan \mathbf{A}\mathbf{A}^\mathrm{H} merupakan matriks Hermite, lebih tepatnya matriks semidefinit positif.

## Referensi


## Pranala luar

*