Ruang singgung Zariski

Pada geometri aljabar, **ruang singgung Zariski** () didefinisikan sebagai ruang tangen pada titik *P* di suatu varietas aljabar *V.* Konstruksi geometris ini tidak menggunakan kalkulus ataupun derivatif, dan hanya didasarkan pada aljabar abstrak. Versi konkret dari ruang singgung Zariski dapat diilustrasikan dengan menggunakan sistem persamaan linear. 

## Motivasi
Definisikan kurva *C* pada suatu bidang berdimensi dua melalui persamaan polinomial berikut,

: *F(X,Y)=0*

dan representasikan *P* sebagai titik asal (0, 0). Jika suku-suku dengan derajat total lebih daripada satu pada *F(X, Y)* dihilangkan, kita akan memeroleh "versi linear" dari *F(X, Y).* Misalkan

: *L(X,Y)=0*

adalah "versi linear" dari *F(X, Y)* yang dideskripsikan sebelumnya.

Maka, *L* bernilai konstan 0 atau merepresentasikan suatu persamaan garis. Pada kasus *L* bernilai konstan 0, ruang singgung (Zariski) dari kurva *C* di titik (0, 0) adalah seluruh bidang, yang dapat dipandang sebagai ruang afin berdimensi dua. Jika *L* merupakan garis, maka ruang tangen dari kurva *C* adalah garis *L* itu sendiri, dengan menganggap *L* sebagai ruang afin. Jika *P* bukan lagi titik asal dan merupakan sembarang titik di *C,* lebih tepat mengatakan bahwa ruang singgung di titik *P* adalah ruang afin dan *P* merupakan kandidat titik asal yang natural untuk ruang ini daripada sebagai ruang vektor. 

Pada lapangan real, ruang *L* dapat dicari dengan menggunakan turunan parsial pertama *F*. Jika turunan parsial pertama *F* terhadap *X* dan *Y* di titik *P* bernilai 0, maka *P* disebut titik singular (titik ganda, taring, atau mungkin lebih rumit). Secara umum, titik *P* disebut titik singular kurva *C*  apabila dimensi ruang singgungnya adalah dua.

## Definisi
**Ruang ko-singgung** (*cotangent space*) dari gelanggang lokal R, dengan ideal maksimal \mathfrak{m} didefinisikan sebagai

: \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2

Modul ini dapat dipandang sebagai ruang vektor-k dengan k adalah lapangan residu *<math>R/\mathfrak{m}</math>*. Dual dari ruang kotangen (sebagai ruang vektor-k) disebut ruang tangen dari R*.* 

Definisi ini merupakan perumuman contoh di atas ke dimensi yang lebih tinggi: misalkan V merupakan varietas aljabar afin dan v adalah titik di V. Secara konkret, modulo *<math>\mathfrak{m}^2</math>* pada definisi ruang kotangen dapat dipandang sebagai proses menghapus suku-suku nonlinear dari persamaan yang mendefinisikan V dalam ruang afin. Hal ini analog dengan apa yang kita lakukan pada bagian Motivasi laman ini untuk memeroleh sistem persamaan linear yang mendefinisikan ruang singgung.

Ruang singgung  T_P(X) dan ruang ko-singgung T_P^*(X) dari skema X di titik P adalah ruang (ko-)singgung dari gelanggang lokal  \mathcal{O}_{X, P}. Karena fungtor \operatorname{Spec} fungtorial, homomorfisme faktor alami f:R \to R/I menginduksi homomorfisme g:\mathcal{O}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow \mathcal{O}_{Y,P} dengan X=\operatorname{Spec} R dan P adalah suatu titik di Y=\operatorname{Spec} R/I. Homomorfisme ini digunakan untuk "memasukkan" ruang tangen T_P(Y) ke dalam ruang tangen T_{f^{-1}P}(X) . Karena homomorfisme dari lapangan bersifat injektif, homomorfisme surjektif lapangan residu yang diinduksi oleh g merupakan suatu isomorfisme. Dengan demikian, g menginduksi morfisme-k antar ruang ko-singgung yang didefinisikan melalui
: \mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2
: \cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/I)/((\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I)/I)
: \cong \mathfrak{m}_{f^{-1}P}/(\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I)
: \cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2)/\mathrm{Ker}(k).

Karena pemetaan ini adalah surjektif, transpose k^*:T_P(Y) \rarr T_{f^{-1}P}(X) bersifat injektif.

(Sering kali ruang singgung dan ko-singgung untuk manifold didefinisikan dengan cara yang analog.)

## Fungsi analitik
Misalkan V adalah subvarietas dari ruang vektor berdimensi n yang didefinisikan oleh ideal I, sehingga R=F_n/I, dengan F_n adalah gelanggang fungsi mulus/analitik/holomorfik pada ruang vektor tersebut. Ruang singgung Zariski di titik x adalah

\mathfrak{m}_x/(I+\mathfrak{m}_x^2),

dengan \mathfrak{m}_x adalah ideal maksimal yang berisi fungsi-fungsi di F_n yang lenyap di x.

## Sifat
Jika (R, \mathfrak{m}) adalah gelanggang Noether lokal, dimensi dari ruang tangen bernilai lebih besar atau sama dengan dimensi Krull dari R:

\dim m/m^2 \geq \dim R

Gelanggang R adalah **gelanggang regular** jika kesamaan terjadi. Dalam geometri aljabar, jika R adalah gelanggang lokal pada varietas V di titik v dan R merupakan gelanggang regular, maka titik v disebut titik regular. Jika v bukan merupakan titik regular, maka titik v disebut **titik singular.**

Ruang tangen Zariski juga memiliki interpretasi melalui \operatorname{Spec} k[t]/(t^2). Misalkan X adalah skema-k dan x adalah titik rasional-k di X. Maka, morfisme-k dari \operatorname{Spec} k[t]/(t^2) ke skema X dengan imej \{x\} berkorespondensi satu-satu dengan elemen yang ada pada ruang tangen Zariski di titik x.

Secara umum, dimensi ruang tangen Zariski dapatmenjadi sangat besar. Sebagai contoh, misalkan C^1(\mathbf{R}) adalah gelanggang fungsi bernilai real yang memiliki turunan yang kontinu di \mathbf{R}. Misalkan R=C^1_0(\mathbf{R}) adalah gelanggang fungsi bernilai real yang memiliki turunan yang kontinu di titik asal. Maka, R adalah gelanggang lokal dengan ideal maksimal \mathfrak{m} terdiri atas fungsi-fungsi di R yang bernilai nol di titik asal. Fungsi-fungsi berbentuk x^{\alpha} dengan \alpha \in (1, 2) membentuk himpunan bebas linear di ruang kotangen Zariski \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2, sehingga dimensi dari \mathfrak{m}/\mathfrak{m^2} memiliki dimensi minimal \mathfrak{c}, kardinalitas dari kontinuum. Maka, dimensi dari ruang tangen Zariski (\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)^* bernilai minimal 2^{\mathfrak{c}}. Di sisi lain, gelanggang fungsi mulus di suatu titik pada manifold berdimensi n merupakan ruang kotangen Zariski berdimensi-n.https://mathoverflow.net/questions/44705/cardinalities-larger-than-the-continuum-in-areas-besides-set-theory/44733#44733

## Referensi