Persamaan Born–Landé

**Persamaan Born–Landé** adalah cara menghitung energi kisi kristal senyawa ionik. Pada tahun 1918 Max Born dan Alfred Landé mengusulkan bahwa energi kisi dapat diturunkan dari potensial elektrostatik dari kisi ionik dan istilah energi potensial repulsif.

:E =- \frac{N_AMz^+z^- e^2 }{4 \pi \epsilon_0 r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right)

dengan:
**N*A =  konstanta Avogadro;
**M* = konstanta Madelung, terkait dengan geometri kristal;
**z*+ = jumlah muatan kation
**z*− = jumlah muatan anion
**e* = muatan elementer, 1,6022&nbsp;C
**&epsilon;*0 = permitivitas ruang hampa
*:4π*&epsilon;*0 = 1,112&nbsp;C2/(J·m)
**r*0 = jarak ke ion terdekat
**n* = eksponen Born, biasanya bilangan antara 5 dan 12, yang ditentukan secara eksperimen dengan menentukan kompresibilitas padatan, atau diturunkan secara teoretis.

## Derivasi
Kisi ion dimodelkan sebagai rakitan bola elastis keras yang dikompresi bersama-sama oleh saling tarik muatan elektrostatik pada ion. Mereka mencapai jarak kesetimbangan teramati yang terpisah karena penyeimbangan tolakan jarak pendek.

### Potensial elektrostatik
Energi potensial elektrostatik, *E*pasangan, antara pasangan ion yang sama tetapi berlawanan muatan adalah:

:E_\text{pasangan} = -\frac{z^2 e^2 }{4 \pi \epsilon_0 r}

dengan
:*z* = besar muatan salah satu ion
:*e* = muatan elementer, 1,6022 C
:*ε*0 = permitivitas ruang hampa
::4*ε*0 = 1,112 C2/(J·m)
:*r* = jarak yang memisahkan pusat ion

Untuk kisi sederhana yang terdiri dari ion dengan muatan yang sama tetapi berlawanan dalam rasio 1:1, interaksi antara satu ion dan semua ion kisi lainnya perlu dijumlahkan untuk menghitung *E*M, kadang-kadang disebut energi Madelung atau energi kisi:

:E_\text{M} = -\frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 r}

dengan
:*M* = konstanta Madelung, yang berhubungan dengan geometri kristal
:*r* = jarak terdekat antara dua ion dengan muatan berlawanan

### Istilah repulsif
Born dan Landé menyarankan bahwa interaksi tolakan antara ion kisi akan berbanding lurus dengan  sehingga istilah energi repulsif, *E*R, akan dinyatakan:

:E_\text{R} = \frac{B}{r^n}

dengan
:*B* = skala konstan kekuatan interaksi repulsif
:*r* = jarak terdekat antara dua ion dengan muatan berlawanan
:*n* = eksponen Born, angka antara 5 dan 12 yang menyatakan ketajaman halangan repulsif

### Energi total
Energi potensial intensif total suatu ion dalam kisi dapat dinyatakan sebagai jumlah dari potensial Madelung dan potensial repulsif:

:E(r) = -\frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 r} + \frac{B}{r^n}

Meminimalkan energi ini sehubungan dengan *r* menghasilkan pemisahan kesetimbangan *r*0 dalam hal konstanta yang tidak diketahui *B*:

:\begin{align}
\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}r} &= \frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 r^2} - \frac{n B}{r^{n+1}} \\
0 &= \frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 r_0^2} - \frac{n B}{r_0^{n+1}} \\
r_0 &= \left( \frac{4 \pi \epsilon_0 n B}{z^2 e^2 M}\right) ^\frac{1}{n-1} \\
B &= \frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 n} r_0^{n-1}
\end{align}

Dengan mengevaluasi energi potensial intensif minimum dan menggantikan ekspresi untuk B dalam hal *r*0 menghasilkan persamaan Born–Landé:

:E(r_0) = - \frac{M z^2 e^2 }{4 \pi \epsilon_0 r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right)

## Energi kisi terhitung
Persamaan Born–Landé menghasilkan ide energi kisi suatu sistem.
  
:

## Eksponen Born
Eksponen Born biasanya antara 5 dan 12. Nilai pendekatan eksperimen sebagai berikut:

:

## Lihat juga
*
*Persamaan Born–Mayer

## Referensi