Grup hasil bagi

**Grup hasil bagi** adalah grup, yang menggunakan konstruksi standar dari grup tertentu G dengan bantuan sebagai pembagi normal N \trianglelefteq G terbentuk. Maka dilambangkan dengan  G/N  dan merupakan himpunan dari kelas minor.

## Konstruksi

Elemen-elemen dari G/N adalah kelas minor sehubungan dengan N, maka
:G/N := \{ gN : g \in G \}.
Koneksi batin \circ\colon G/N \times G/N \rightarrow G/N didefinisikan sebagai:
:(gN) \circ (hN) := (gh)N.
Dengan bantuan properti pembagi normal  N  seseorang dapat menunjukkan bahwa tautan ini adalah terdefinisi dengan baik dan  (G / N, \ circ)  adalah grup. Grup ini disebut *grup hasil bagi* dari  G  hingga N. Elemen netral dari  G/N  adalah  N  dan elemen terbalik ke  gN  diberikan g^{-1}N. 

Produk (gN) \circ (hN) = (gh)N setuju dengan produk kompleks (gN)\cdot(hN) pertandingan. Sebaliknya, seseorang dapat menunjukkan bahwa subgrup  U  dari sebuah grup (G,\cdot) adalah pembagi normal, jika untuk semua  g, h \in G  persamaan (gU)\cdot(hU)= (gh)U.

Dalam grup abelian setiap subgrup adalah subgrup normal. Jadi, setelah setiap subgrup, dapat dibentuk kelompok faktor di sana, yang selanjutnya adalah Abelian.

urutan dari grup faktor  G/N  tepatnya adalah jumlah kelas sekunder dari  N . Angka ini disebut *[[Indeks (teori grup) | Indeks]]* oleh  N  pada  G  dan dengan  (G:N)  ditunjuk. Jika  G  adalah grup berhingga, maka berdasarkan Teorema Lagrange (G:N)=|G/N| = \tfrac.

## Bilangan bulat genap dan ganjil
Pertimbangkan grup bilangan bulat **Z** (di bawah tambahan) dan subgrup 2**Z** yang terdiri dari semua integer genap. Ini adalah subgrup normal, karena **Z** adalah abelian. Hanya ada dua koset: himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil, dan oleh karena itu grup hasil bagi **Z**/2**Z** adalah grup siklik dengan dua elemen. Kelompok hasil bagi ini isomorfik dengan himpunan  dengan tambahan modulo 2; secara informal, kadang-kadang dikatakan demikian **Z**/2**Z** *memadai* himpunan  dengan tambahan modulo 2.

**Contoh dijelaskan lebih lanjut...**

Maka  \gamma(m)=  sisa dari  m \in \Z  saat membagi dengan  2 .
Kemudian  \gamma(m)=0  jika  m  adalah genap dan  \gamma(m)=1  when  m  adalah ganjil.
Menurut definisi  \gamma ,  inti dari  \gamma ,
ker( \gamma )  = \{ m \in \Z : \gamma(m)=0 \} ,  adalah himpunan dari semua bilangan bulat genap.
Maka  H= ker(\gamma).
Kemudian  H  adalah subgrup, karena identitasnya di  \Z , which is  0 , dalam  H ,
jumlah dari dua integer genap adalah genap dan karenanya jika  m  dan  n  berada di  H ,  m+n  dalam  H  (penutupan)
dan jika  m  genap,  -m  juga genap dan  H  berisi inversnya.
Menetapkan  \mu : \to \Z_2  sebagai  \mu(aH)=\gamma(a)  ke  a\in\Z 
dan  adalah grup hasil bagi dari koset kiri;  =\{H,1+H\} .  
Dengan cara yang telah kami tentukan  \mu ,   \mu(aH)   adalah  1  jika  a  ganjil dan  0  jika  a  genap. 
Jadi,  \mu  adalah isomorfisme dari  ke  \Z_2 .

## Quotients dari grup Lie
Jika *<math>G</math>* adalah grup lie dan *<math>N</math>* adalah subgrup Lie normal *<math>G</math>*, hasil bagi  juga merupakan grup Lie. Dalam kasus ini, grup asli * <math> G </math> * memiliki struktur sebuah fiber bundle (khususnya, sebuah utama '' <math> N </math> ''-bundel), dengan ruang dasar  dan serat *<math>N</math>*.

Untuk subgruo Lie non-normal *<math>N</math>*, ruang  dari coset kiri bukanlah sebuah grup, tetapi hanya sebuah lipatan yang dapat dibedakan di mana * <math> G </math> * bertindak. Hasilnya dikenal sebagai ruang homogen.

Jika subgrup * <math> N </math> * ditutup (dalam arti topologi daripada aljabar kata tersebut), kemudian dimensi kelompok Lie atau ruang homogen  banding  \mathrm{dim}\ G - \mathrm{dim}\ N.

## Sifat universal dari grup hasil bagi

Jika  H  adalah pembagi normal dari  G , maka pemetaannya adalah \pi\colon G \rightarrow G/H dengan g \mapsto gH dengan kernel  H  a epimorphism, jadi subjektif homomorfisme. Sifat universal sekarang mengatakan, bahwa untuk setiap homomorfisme grup \varphi\colon G \rightarrow G' mit H \subseteq ker(\varphi) persis satu grup homomorfisme \varphi'\colon G/H \rightarrow G' mit  \varphi = \varphi' \circ \pi  existiert. 

Contoh: jika \pi\colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} proyeksi natural dari bilangan bulat ke kelas sisa modulo 6. Maka \varphi\colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} Homomorfisme grup.
Lalu grup lie 6\mathbb{Z} pada inti \varphi dan \varphi'\colon \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} menghasilkan:

\varphi'([0]_6) = [0]_3 

\varphi'([1]_6) = [1]_3

\varphi'([2]_6) = [2]_3

\varphi'([3]_6) = [0]_3

\varphi'([4]_6) = [1]_3

\varphi'([5]_6) = [2]_3.

## Lihat pula
* Ekstensi grup
* Kategori hasil bagi
* Urutan persis pendek

## Catatan

## Referensi
* 
*