Persegi Latin

Dalam kombinatorika dan rancangan percobaan, **persegi Latin** adalah persegi berukuran&nbsp;*n*&nbsp;×&nbsp;*n* yang berisi&nbsp;*n* simbol berbeda, masing-masing hanya muncul sekali pada setiap kolom dan pada setiap baris. Contoh dari persegi Latin 3×3 adalah

Istilah "persegi Latin" terinspirasi oleh makalah matematika oleh Leonhard Euler (1707–1783), yang menggunakan alfabet Latin sebagai simbol. Sembarang himpunan simbol dapat digunakan untuk membuat persegi ini: pada contoh di atas, alfabet A,&nbsp;B,&nbsp;C dapat diganti dengan barisan bilangan bulat 1,&nbsp;2,&nbsp;3.

## Sejarah
Matematikawan Korea Choi Seok-jeong pertama kali menerbitkan sebuah contoh persegi Latin berukuran 9×9, dalam upayanya membuat persegi ajaib pada tahun 1700; lebih awal 67 daripada Leonhard Euler.

## Bentuk tereduksi
Persegi Latin dikatakan *tereduksi* (juga *ternormalkan* atau *dalam bentuk standar*) jika urutan simbol pada baris pertama dan kolom pertama sama dengan urutan aslinya. Sebagai contoh, persegi Latin pada contoh di atas tidak tereduksi karena kolom pertamanya adalah A,&nbsp;C,&nbsp;B, bukan A,&nbsp;B,&nbsp;C.

Semua persegi Latin dapat direduksi dengan mempermutasi (yakni, menyusun ulang) urutan kolom dan baris. Pada persegi di atas, menukar baris kedua dengan baris ketiga akan menghasilkan persegi Latin:

Persegi Latin ini tereduksi; urutan simbol pada baris pertama dan kolom pertamanya sama dengan urutan alfabet A,&nbsp;B,&nbsp;C.

## Sifat

### Representasi larik ortogonal
Persegi Latin dapat disajikan dalam bentuk himpunan, disebut dengan *larik ortogonal*, dengan membuat tripel (r,\,c,\,s) untuk setiap elemen di persegi Latin. Pada tripel ini, r menyatakan urutan baris, c menyatakan urutan kolom, dan s menyatakan simbol pada baris ke-r dan kolom ke-c. Sebagai contoh, representasi larik ortogonal dari persegi Latin

adalah {(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 3, 2) }. Larik ortogonal umumnya ditulis dalam bentuk tabel, dengan setiap baris berisi nilai-nilai tripel, sebagai contoh:

Persegi Latin dapat didefinisikan dengan menggunakan larik ortogonal:persegi Latin adalah himpunan dari n^2 tripel (r,\,c,\,s), dengan 1\leq (r,\,c,\,s)\leq n, dan memenuhi: setiap pasangan berurut (r, c) bernilai unik, setiap pasangan (r,\,s) bernilai unik, dan setiap pasangan (c,\,s) bernilai unik.

### Banyak persegi Latin
Tidak ada rumus sederhana untuk menghitung nilai L_n, yakni banyaknya persegi Latin berukuran n\times n berisi simbol-simbol 1,\,2,\,\dots,\,n. Nilai batas atas dan batas bawah terbaik untuk L_n memiliki jarak yang besar. Salah satu hasil menyatakan bahwa \prod_{k=1}^n \left(k!\right)^{n/k}\geq L_n\geq\frac{\left(n!\right)^{2n}}{n^{n^2}}.Sebuah rumus eksplisit dan sederhana untuk banyak persegi Latin diterbitkan pada tahun 1992, tetapi sulit untuk dihitung karena banyak suku yang bertambah secara eksponensial. Rumus ini menyatakan banyaknya persegi Latin berukuran  adalah L_n = n! \sum_{\mathbf A \in B_n}^{} (-1)^{\sigma_0 (\mathbf A)} \binom{\operatorname{per} \mathbf A}{n},dengan  menyatakan himpunan semua matriks binear berukuran , \sigma_0 (\mathbf A) menyatakan banyak elemen nol di matriks \mathbf A, dan \operatorname{per} \mathbf A adalah permanen dari matriks \mathbf A.

## Catatan kaki

## Referensi

* 
* 
* 
* 

## Bacaan lebih lanjut

* 
* 
** 
** 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Pranala luar
*
* Latin Squares in the Encyclopaedia of Mathematics
*  in the Online Encyclopedia of Integer Sequences