Himpunan terurut parsial

Dalam matematika, terutama teori urutan, **himpunan terurut parsial** () atau **poset** memformalkan dan memperumum konsep intuitif dari suatu urutan, pengurutan, atau susunan elemen-elemen dari sebuah himpunan. Poset terdiri dari sebuah himpunan bersama dengan relasi biner yang menunjukkan, untuk pasangan elemen-elemen tertentu dalam himpunan, salah satu elemen mendahului elemen yang lain dalam urutan. Relasi itu sendiri disebut "urutan parsial". Kata *parsial *digunakan untuk menandakan bahwa semua pasangan elemen tidak perlu dibandingkan. Artinya, mungkin saja ada pasangan elemen yang tidak mendahului satu sama yang lain di dalam poset. Urutan parsial memperumum konsep urutan total, yakni urutan di mana setiap pasangan dapat dibandingkan.

Satu contoh familiar dari himpunan yang tersusun sebagian adalah sekumpulan orang yang diurutkan berdasarkan silsilah keturunan. Beberapa pasang orang memiliki relasi keturunan, tetapi pasangan orang lainnya (misal, sesama saudara kandung) tidak dapat dibandingkan, karena tidak ada yang menjadi keturunan dari yang lain.

## Definisi
Urutan parsial mendefinisikan konsep perbandingan. Dua elemen x dan y dapat berada di salah satu dari empat hubungan yang disjoin satu sama lainnya: antara x x=y, x>y, atau x dan y tidak dapat dibandingkan.

Sebuah himpunan yang dilengkapi urutan parsial disebut *himpunan terurut parsial* (juga disebut *poset*). Istilah "himpunan terurut" terkadang digunakan, selama konteks urutan yang dimaksud jelas. Alasannya, himpunan terurut total juga dapat disebut "himpunan terurut", khususnya di bidang matematika yang lebih lazim menemui struktur tersebut ketimbang poset. Relasi urutan pada sebuah poset dapat divisualisasikan lewat diagram Hasse poset tersebut.

Secara formal, relasi urutan parsial adalah sebuah relasi homogen yang bersifat transitif dan antisimetris. Ada dua subdefinisi umum untuk relasi urutan parsial, yakni relasi urutan parsial yang reflektif dan yang tak-reflektif, yang masing-masing disebut dengan "tak-tegas" dan "tegas". Kedua definisi ini dapat digabungkan dalam korespodensi satu-satu; sehingga setiap urutan parsial tegas berhubungan dengan tepat satu urutan parsial tak-tegas, dan sebaliknya. Istilah *urutan parsial* umumnya mengacu pada versi tak-tegas dari relasi urutan.

### Urutan parsial tak-tegas
Urutan parsial *reflektif*, *lemah*, atau *tak-tegas*, adalah relasi homogen ≤ pada sebuah himpunan P yang bersifat reflektif, antisimetris, dan transitif. Dengan kata lain, untuk setiap a, b, c \in P, akan berlaku:

# Relasi reflektif: a \leq a, maksudnya, setiap elemen berelasi dengan dirinya sendiri.
# Relasi antisimetri: jika a \leq b dan b \leq a maka a = b, mengartikan tidak ada dua elemen berbeda yang saling mendahului.
# Relasi transitif: jika a \leq b  dan b \leq c maka a \leq c.

Urutan parsial tak-tegas juga dikenal sebagai pratatanan antisimetris.

### Urutan parsial tegas
Urutan parsial *irreflektif*, *kuat*, atau *tegas*, adalah relasi homogen P yang bersifat reflektif, antisimetris, dan transitif. Dengan kata lain, urutan ini memenuhi sifat-sifat berikut, untuk semua a, b, c \in P:

# Relasi irreflektif: Tidak a , maksudnya, tidak ada elemen yang berelasi dengan dirinya sendiri (relasi ini juga disebut anti-reflektif).
# Relasi antisimetri: Jika a  maka tidak b .
# Relasi transitif: Jika a  dan b  maka a .

Sifat irreflektif dan transitif bersamaan mengimplikasikan sifat asimetri. Selain itu, sifat asimetri juga menyebabkan sifat irreflektif. Dengan kata lain, relasi yang transitif bersifat asimetri jika dan hanya jika juga bersifat irreflektif. Hal ini mengakibatkan definisi diatas tidak berubah bahkan jika relasi irreflektif atau asimetri (namun tidak keduanya) tidak disertakan. Urutan parsial tegas juga dikenal sebagai pratatanan tegas.

### Korespodensi relasi tegas dan tak-tegas

Urutan parsial tegas dan tak-tegas pada himpunan P memiliki hubungan yang erat. Urutan parsial tak-tegas \leq dapat diubah menjadi urutan parsial tegas dengan menghilangkan semua hubungan yang memiliki bentuk a \leq a; artinya, himpunan parsial tegas adalah himpunan  dengan \Delta_P := \{ (p, p) : p \in P \} adalah relasi identitas pada P \times P dan \;\setminus\; menyatakan operasi pengurangan pada himpunan. Urutan parsial tegas  pada P dapat diubah menjadi urutan parsial tak-tegas dengan menggabungkannya dengan realsi identitas; yakni \leq\; := \;\Delta_P\; \cup \;. Akibatnya, jika \leq adalah urutan parsial tak-tegas, maka urutan parsial tegas  yang berkorespodensi dengannya adalah  *[[irreflexive kernel]]*:a Sebalinya, jika \leq yang berkorespodensi dengannya *[[reflexive closure]]*:a \leq b \text{ if } a 

## Notasi
Poset dapat disajikan sebagai rangkap-3 (P,\leq,, dengan \leq adalah relasi parsial tak-tegas pada P,   adalah relasi parsial tegas yang berkorespodensi pada P (*[[irreflexive kernel]]* dari \leq). Simbol \geq digunakan untuk menunjukkan dual dari \leq, dan  >  untuk menunjukkan dual dari  .

Salah satu dari empat relasi parsial \leq,  pada suatu himpunan akan secara unik menentukan tiga relasi yang lain. Akibatnya, bentuk (P,\leq) atau (P, dapat digunakan sebagai notasi, dan berasumsi bahwa relasi-relasi yang lain akan didefinisikan secara wajar. Pendefinisian menggunakan urutan parsial tak-tegas \leq adalah yang paling umum. Beberapa penulis menggunakan simbol selain \leq, seperti \sqsubseteq dan \preceq, untuk membedakannya dengan urutan total.

Ketika mengacu pada urutan parsial, \leq sebaiknya tidak dianggap sebagai komplemen dari  > . Relasi  >  adalah konvers *irreflexive kernel* dari \leq, yang akan selalu berupa subset komplemen dari \leq, tetapi  >  sama dengan komplemen dari \leq  jika, dan hanya jika, \leq adalah urutan total.

## Contoh

### Urutan pada produk Kartesius dari himpunan urutan sebagian
Untuk meningkatkan kekuatan, yaitu, penurunan set pasangan, tiga dari kemungkinan pesanan parsial pada Produk Kartesius dari dua set yang dipesan sebagian adalah (lihat gambar):
*urutan leksikografis: (*a*,*b*) ≤ (*c*,*d*) jika *a* *Z* *b* jika dan hanya jika:
* *a*, *b* ∈ *X* dengan *a* ≤*X* *b*, atau
* *a*, *b* ∈ *Y* dengan *a* ≤*Y* *b*, atau
* *a* ∈ *X* dan *b* ∈ *Y*.

Jika dua poset urutan rapi, maka jumlah ordinalnya juga.
Operasi penjumlahan ordinal adalah salah satu dari dua operasi yang digunakan untuk membentuk urutan parsial deret-paralel, dan dalam konteks ini disebut komposisi seri. Operasi lain yang digunakan untuk membentuk tatanan ini, penyatuan dua himpunan yang terurut sebagian (tanpa hubungan keteraturan antara unsur satu himpunan dan unsur himpunan lainnya) disebut dalam komposisi paralel konteks ini.

## Pemetaan antar poset
Diberikan dua set yang dipesan sebagian (*S*, ≤) dan (*T*, ≤), sebuah fungsi *f*: *S* → *T* disebut **[[pengawetan urutan]]**, atau **[[Fungsi monotonik#Monotonisitas dalam teori urutan|monoton]]**, atau **isoton**, jika untuk * x * dan * y * pada * S *, *x* ≤ *y* menyiratkan *f*(*x*) ≤ *f*(*y*).
Jika (*U*, ≤) juga merupakan himpunan yang dipesan sebagian, dan keduanya *f*: *S* → *T* dan *g*: *T* → *U* menjaga keteraturan, komposisi mereka *g*∘*f*&thinsp;: *S* → *U* juga menjaga ketertiban.
Sebuah fungsi *f*: *S* → *T* disebut **urutan refleksi** jika untuk * x * dan * y * pada * S *, *f*(*x*) ≤ *f*(*y*) menyiratkan *x* ≤ *y*.
Jika * f * baik untuk menjaga ketertiban maupun mencerminkan ketertiban, maka ini disebut **[[urutan pembenaman]]** dari (*S*, ≤) menjadi (*T*, ≼).
Dalam kasus terakhir, * f * harus injektif, karena *f*(*x*) = *f*(*y*) menyiratkan *x* ≤ *y* dan *y* ≤ *x*. Jika ada urutan pembenaman antara dua himpunan terurut parsial* S *dan* T*, satunya dikatakan bahwa *S *dapat menjadi **terbenam** ke dalam* T *. Jika urutan pembenaman *f*: *S* → *T* adalah bijektif, ini disebut * '[[isomorfisme tatanan]]' *, dan urutan parsial (*S*,≤) dan (*T *,≤) dikatakan menjadi **isomorfik**. Ordo isomorfik memiliki struktur serupa diagram Hasse (lih. Gambar kanan). Dapat ditunjukkan bahwa jika peta pelestarian pesanan *f*: *S* → *T* dan *g*: *T* → *S* dirumuskan *g*∘*f* dan *f*∘*g* menghasilkan fungsi identitas pada *S * dan *T *, lalu *S* dan* T* adalah urutan-isomorfik.
Misalnya, pemetaan *f*: ℕ → ℙ(ℕ) dari himpunan bilangan asli (diurutkan berdasarkan pembagian) ke himpunan daya dari bilangan asli (diurutkan berdasarkan set inklusi) dapat ditentukan dengan mengambil setiap bilangan ke himpunan pembagi utama. Ini menjaga keteraturan: jika * x * membagi * y *, maka setiap pembagi utama dari * x * juga merupakan pembagi utama dari * y *. Namun, ini bukan injektif (karena memetakan 12 dan 6 ke {2, 3}) atau mencerminkan urutan (karena 12 tidak membagi 6). Mengambil alih-alih setiap bilangan ke himpunan pangkat utama -nya mendefinisikan peta *g*: ℕ → ℙ(ℕ) yaitu memelihara ketertiban, mencerminkan ketertiban, dan karenanya merupakan penyematan pesanan. Ini bukan isomorfisme urutan (karena misalnya tidak memetakan nomor apa pun ke himpunan {4}), tapi bisa dibuat dengan membatasi kodomain menjadi *g*(ℕ). Gambar kanan menunjukkan subhimpunan dari ℕ dan gambar isomorfiknya di bawah * g *. Konstruksi isomorfisme-tatanan semacam itu ke dalam himpunan daya dapat digeneralisasikan ke kelas luas tatanan parsial, disebut kekisi distributif, lihat "Teorema wakilan Birkhoff".

## Konsep yang berkaitan

### Ekstrema
Ada beberapa pengertian tentang elemen "terbesar" dan "terkecil" dalam sebuah poset * P *, terutama:
* Elemen terbesar dan elemen terkecil: Sebuah elemen * g * dalam * P * adalah elemen terbesar jika untuk setiap elemen * a * dalam * P *, *a*&nbsp;≤&nbsp;*g*. Sebuah elemen * m * dalam * P * adalah elemen terkecil jika untuk setiap elemen * a * dalam * P *, * a * ≥ * m *. Poset hanya dapat memiliki satu elemen terbesar atau terkecil.
* Elemen maksimal dan elemen minimal: Elemen * g * di P adalah elemen maksimal jika tidak ada elemen * a * di * P * sehingga * a *> * g *. Demikian pula, elemen * m * di * P * adalah elemen minimal jika tidak ada elemen * a * di P sehingga * a * * pada himpunan * X * adalah **ekstensi** dari urutan parsial lain ≤ on * X * asalkan untuk semua elemen * x * dan * y * dari * X * , setiap kali * x * ≤ * y *, hal itu juga terjadi *x*&nbsp;≤*&nbsp;*y*. A ekstensi linier adalah ekstensi yang juga merupakan tatanan linear (yaitu total). Setiap pesanan parsial dapat diperpanjang menjadi pesanan total (prinsip perpanjangan urutan).

Dalam ilmu komputer, Algoritma untuk menemukan ekstensi linier dari urutan parsial (diwakilkan sebagai jangkauan urutan grafik asiklik terarah) disebut penyortiran topologis.

## Dalam teori kategori
Setiap poset (dan setiap set praorder) dapat dianggap sebagai kategori di mana, untuk objek * x * dan * y *, paling banyak ada satu morfisme dari * x * hingga * y *. Lebih eksplisit lagi, maka hom(*x*, *y*) = {(*x*, *y*)} if *x* ≤ *y* (dan sebalik himpunan kosong) dan (*y*, *z*)∘(*x*, *y*) = (*x*, *z*). Kategori seperti itu kadang disebut *[[Kategori posetal|posetal]] *.

Poset adalah ekuivalen satu sama lain jika dan hanya jika poset tersebut isomorfik. Dalam poset, elemen terkecil, jika ada, adalah objek awal, dan elemen terbesar, jika ada, adalah objek terminal. Selain itu, setiap set yang dipesan sebelumnya setara dengan poset. Akhirnya, setiap subkategori poset adalah isomorfisme tertutup.

## Urutan parsial dalam ruang topologi

Jika * P * adalah himpunan terurut parsial yang juga telah diberi struktur ruang topologi, maka biasanya diasumsikan bahwa  \{ (a,b) : a \le b \}  adalah subhimpunantertutup dari topologi ruang produk P \times P. Di bawah asumsi ini, hubungan urutan parsial berperilaku baik pada batas dalam arti jika a_i \to a, dan b_i \to b, dan untuk  i , &thinsp;  a_i \le b_i , kemudian  a \le b .

## Lihat pula

* Antimatroid, formalisasi urutan pada satu set yang memungkinkan kelompok urutan yang lebih umum daripada poset
* Himpunan kausal, pendekatan berbasis poset untuk gravitasi kuantum
* Grafik komparabilitas
* Urutan kompleks
* Himpunan terarah
* Poset dinilai
* Aljabar insiden
* kisi
* Poset hingga secara lokal
* Fungsi Mbius pada posets
* Himpunan nested
* Politico urutan
* Grup urutan
* Topologi poset, sejenis ruang topologi yang dapat didefinisikan dari poset manapun
* Kontinuitas Scott - kontinuitas fungsi antara dua orde parsial.
* Semikisi
* Semiorder
* Dominasi stokastik
* Pengurutan lemah – urutan parsial ketat "<" di mana relasi   bersifat transitif.
* Total urutan
* Pohon (struktur data set inclusion)
* Lemma Zorn

## Catatan

## Referensi
* 
* 
* 
* 

## Pranala luar

* 
*