Keserupaan matriks

Dalam aljabar linear, dua matriks persegi \mathbf{A} and \mathbf{B} berukuran n\times n disebut **serupa** jika ada matriks terbalikkan \mathbf{P} yang memenuhi hubungan\mathbf{B}= \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}.Matriks-matriks yang serupa merepresentasikan pemetaan linear yang sama dibawah dua basis yang (mungkin) berbeda, dengan \mathbf{P} menjadi matriks perubahan basis. Transformasi \mathbf{A} \mapsto \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P} disebut *transformasi keserupaan* atau *konjugasi* dari matriks \mathbf{A}. Dalam grup linear umum, konsep keserupaan sama dengan konjugasi, dan matriks-matriks serupa juga disebut dengan konjugat. Akan tetapi, untuk suatu subgrup **' dari grup linear umum, konsep konjugasi dapat lebih ketat daripada keserupaan, karena mengharuskan <math>\mathbf{P}</math> berada di **'.

## Gambaran umum
Saat mendefinisikan suatu transformasi linear, terkadang ada keadaan ketika perubahan basis dari transformasi tersebut, dapat menghasilkan bentuk yang lebih sederhana. Sebagai contoh, matriks yang merepresentasikan rotasi di \R^3 dengan sumbu rotasi yang tidak sejajar dengan sumbu koordinat, mungkin rumit untuk dihitung. Akan tetapi, jika sumbu rotasi sejajar dengan sumbu-** positif, matriks tersebut dapat dituliskan sebagai\mathbf{S}= \begin{bmatrix}
  \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
  \sin\theta &  \cos\theta & 0 \\
           0 &           0 & 1
\end{bmatrix},dengan \theta menyatakan sudut dari rotasi. Di sistem koordinat yang baru ini, transformasi dapat dituliskan sebagai\mathbf{y}'= \mathbf{S} \mathbf{x}',dengan \mathbf{x}' dan \mathbf{y}' masing-masing menyatakan vektor awal dan vektor hasil transformasi. Sedangkan di sistem koordinat lama, transformasi ini ditulis sebagai \mathbf{y} = \mathbf{T} \mathbf{x},dengan vektor \mathbf{x} dan \mathbf{y}, dan matriks tranformasi \mathbf T yang tidak diketahui, berada di basis lama. Untuk menyatakan \mathbf T menggunakan matriks transformasi yang lebih sederhana, kita menggunakan matriks perubahan basis \mathbf{P} yang memetakan \mathbf{x} dan \mathbf{y} menjadi \mathbf{x}' = \mathbf{P}\mathbf{x} dan \mathbf{y}' = \mathbf{P}\mathbf{y}, sehingga:\begin{align}
  &            &  \mathbf{y}' &= \mathbf{S}\mathbf{x}'  \\[1.6ex]
  &\Rightarrow & \mathbf{P} \mathbf{y} &= \mathbf{S} \mathbf{P} \mathbf{x} \\[1.6ex]
  &\Rightarrow &   \mathbf{y} &= \left(\mathbf{P}^{-1} \mathbf{S} \mathbf{P}\right) \mathbf{x} = \mathbf{T} \mathbf{x}.
\end{align}Alhasil, matriks transformasi di basis awal, \mathbf T, dapat dihitung dengan mudah sebagai \mathbf{T} = \mathbf{P}^{-1}\mathbf{S}\mathbf{P}. Dengan kata lain, transformasi keserupaan bekerja dalam tiga langkah: ubah masalah ke basis yang baru (\mathbf{P}), lakukan transformasi yang lebih sederhana (\mathbf{S}), lalu kembali ke basis yang lama (\mathbf{P}^{-1}).

## Sifat-sifat
Keserupaan adalah salah satu relasi ekuivalensi pada ruang matriks persegi. Karena matriks-matriks yang serupa jika dan hanya jika mereka menyatakan operator linear yang sama menurut basis-basis yang (mungkin) berbeda, matriks-matriks yang serupa memiliki semua sifat dari operator yang mereka nyatakan:

* Rank
* Polinomial karakteristik, dan nilai-nilai yang dapat diperoleh dari polinomial tersebut, seperti:
** Determinan
** Teras
** Nilai-nilai eigen, dan kegandaan aljabar mereka.
* Kegandaan geometrik dari nilai-nilai eigen (namun tidak ruang-ruang eigen, karena itu berubah akibat perubahan basis oleh \mathbf{P})
* Polinomial minimal
* Bentuk normal Frobenius
* Bentuk normal Jordan, hingga permutasi dari blok-blok Jordan
* Indeks nilpoten

Hubungan-hubungan ini mengakibatkan, untuk sebarang matriks \mathbf{A}, pencarian matriks "bentuk normal" \mathbf{B} yang serupa dengan \mathbf{A} dapat lebih disukai karena penelitian terkait matriks \mathbf{A} dapat dimudahkan dengan menelitik matriks \mathbf{B} yang lebih sederhana.

Keserupaan matriks-matriks tidak bergantung pada lapangan yang digunakan: jika K adalah sublapangan dari lapangan L, dan \mathbf{A} dan \mathbf{B} adalah matriks atas K, maka \mathbf{A} dan \mathbf{B} saling serupa atas K jika dan hanya jika mereka juga saling serupa atas L. Hal ini diakibatkan bentuk kanonik rasional atas K juga merupakan bentuk kanonik rasional atas L. Akibatnya, bentuk-bentuk Jordan yang ada di lapangan yang lebih besar, untuk menentukan keserupaan dari matriks-matriks.

## Lihat pula

* Bentuk kanonik
* Kekongruenan matriks
* Kesetaraan matriks

## Referensi

### Kutipan


### Pustaka

*  (Similarity is discussed many places, starting at page 44.)