Luas permukaan

**Luas permukaan** dari suatu bangun ruang adalah suatu ukuran dari jumlah luas yang menyelimuti permukaan suatu objek. Definisi matematis dari luas permukaan di hadapan permukaan yang melengkung jauh lebih terlibat daripada definisi dari panjang busur dari kurva-kurva satu dimensi, atau dari luas permukaan untuk polihedra (yaitu, objek dengan permukaan poligonal datar), untuk yang luas permukaan adalah jumlah dari luas-luas permukaannya. Permukaan halus, seperti sebuah bola, luas permukaan ditugaskan menggunakan reprsentasi mereka sebagai permukaan parametrik. Definisi ini dari luas permukaan berdasarkan metode dari kalkulus infinitesimal dan melibatkan turunan parsial dan integral ganda.

Sebuah definisi umum dari luas permukaan dicari oleh Henri Lebesgue dan Hermann Minkowski pada pergantian abad keduapuluh. Pekerjaan mereka dipimpi untuk mengembangkan teori pengukuran geometris, yang mempelajari berbaga gagasan-gagasan dari luas permukaan untuk objek tidak beraturan dari setiap dimensi. Sebuah contoh yang penting adalah konten Minkowski dari sebuah permukaan.

## Definisi
Selagi luas dari banyak permukaan sederhana sudah diketahui sejak zaman dahulu, definisi yang akurat dari luas membutuhkan banyak perhatian. Ini seharusnya menyediakan suatu fungsi  S \mapsto A(S) yang memberikan suatu bilangan real positif ke suatu kelas permukaan tertentu yang memenuhi beberapa syarat. Sifat yang paling fundamental dari luas permukaan adalah **keaditifan** (*additivity*), yang berbunyi bahwa luas keseluruhannya adalah penjumlahan dari luas bagian-bagian. Dalam penjelasan yang lebih tepatnya, jika suatu permukaan S  adalah gabungan dari banyak bagian-bagian mulus S_1,\dots,S_r yang tak bertumpang tindih, kecuali di batas bagian-bagian tersebut, maka  A(S) = A(S_1) + \cdots + A(S_r). 

Luas permukaan dari bangun yang berbentuk poligon datar harus sesuai dengan luas yang didefinisikan secara geometris. Oleh karena luas permukaan adalah gagasan geometris, luas dari permukaan yang kongruen harus sama dan luasnya harus bergantung hanya pada bangun permukaannya, tetapi tidak pada posisinya dan orientasi di dalam ruang. Hal Ini mengartikan bahwa luas permukaan invarian di bawah grup gerakan Euklides. Sifat-sifat ini mencirikan luas permukaan sebagai suatu kelas permukaan geometris yang sangat besar, yang dikenal dengan sebutan *piecewise smooth*. Permukaan tersebut tersusun atas banyak potongan yang dapat dinyatakan dengan bentuk parametrik S_D: \vec{r}=\vec{r}(u,v), \quad (u,v)\in D dengan fungsi kontinu terdiferensialkan \vec{r}. Luas dari suatu potongan individual didefinisikan dengan rumus A(S_D) = \iint_D\left |\vec{r}_u\times\vec{r}_v\right | \, du \, dv. 

Dengan demikian, luas dari S_D diperoleh dengan mengintegrasikan panjang dari vektor normal \vec{r}_u\times\vec{r}_v ke permukaan di atas daerah D yang sesuai di bidang uv parametrik. Luas dari suatu permukaan diperoleh dengan menjumlahkan luas dari bagian-bagiannya dengan menggunakan keaditifan dari luas permukaan. Rumus utamanya dapat ditentukan untuk kelas permukaan yang berbeda, yang dinyatakan secara khusus untuk rumus luas grafik z = f(x,y) dan permukaan benda putar.

Salah satu kehalusan luas permukaan, jika dibandingkan dengan panjang busur kurva, adalah luas permukaan itu tidak bisa didefinisikan secara sederhana sebagai limit dari luas bentuk-bentuk polihedral mendekati sebuah diberikan permukaan mulus. Itu didemonstrasikan oleh Hermann Schwarz yang sudah untuk tabung, pilihan yang berbeda untuk mendekati permukaan datar dapat meyebabkan nilai pembatas yang berbeda, contoh ini dikenal sebagai lentera Schwarz.

Berbagai pendekatan untuk sebuah definisi umum luas permukaan dikembangkan di akhir abad kesembilanbelas dan awal abad keduapuluh oleh Henri Lebesgue dan Hermann Minkowski. Sedangkan untuk permukaan mulus sedikit demi sedikit, terdapat sebuah gagasan alami yang unik dari luas permukaan, jika sebuah permukaan sangat tidak teratur, atau kasar, maka itu mungkin tidak memungkinkan untuk menetapkan sebuah luas sama sekali. Sebuah contoh khas diberikan oleh sebuah permukaan dengan paku yang tersebar dengan cara yang padat. Banyak permukaan dari jenis ini terjadi dalam studi tentang fraktal. Perpanjangan dari gagasan luas yang sebagian memenuhi fungsinya dan dapat didefinisikan bahkan untuk permukaan tidak teratur yang sangat buruk dipelajari dalam teori pengukur geometris.

## Rumus umum

### Rasio luas permukaan dari sebuah bola dan tabung dari jari-jari dan tinggi yang sama

Diberikan rumus di bawah dapat digunakan untuk menunjukkan bawa luas permukaan dari sebuah bola dan tabung dari jari-jari dan tinggi yang sama dalam rasio **2 ː 3**, sebagai berikut.

Misalkan jari-jari menjadi r  dan tinggi menjadi h  (yang 2r  untuk

bola).

\begin{array}{rlll}
\text{Luas permukaan bola}   & = 4 \pi r^2      &                    & = (2 \pi r^2) \times 2 \\
\text{Luas permukaan tabung} & = 2 \pi r (h + r) & = 2 \pi r (2r + r) & = (2 \pi r^2) \times 3
\end{array}

Penemuan rasio ini dikreditkan ke Archimedes.

## Dalam kimia

Luas permukaan penting dalam kinetika kimia. Meningkatkan luas permukaan dari sebuah substansi umumnya meningkatkan laju dari sebuah reaksi kimia. Sebagai contoh, besi dalam bubuk halus akan terbakar, sedangkan dalam balok padat cukup stabil untuk digunakan dalam struktur. Untuk penerapan yang berbeda, sebuah luas permukaan minimal atau maksimal mungkin diinginkan.

## Dalam biologi

Luas permukaan pada sebuah organisme pentinh dalam beberapa pertimbangan, seperti regulasi suhu tubuh dan pencernaan. Hewan-hewan menggunakan gigi mereka untuk menggiling makanan menjadi partikel-partikel kecil, meningkatkan luas permukaan yang tersedia untuk pencernaan. Jaringan epitel yang melapisi saluran pencernaan mengandung mikrovilli, sangat meningkatkan luas yang tersedia untuk penyerapan. Gajah memiliki telinga yang besar, memungkinikan mereka untuk mengatur suhu tubuh mereka sendiri. Dalam kasus lain, hewan-hewan perlu meminimalkan luas permukaan, sebagai contoh, orang-orang akan melipat lengan mereka di atas dada mereka ketika dingin untuk meminimalkan kehilangan panas.

Rasio luas permukaan terhadap volume (SA:V) dari sebuah sel memaksakan batas atas ukuran, sebagai volume meningkat jauh lebih cepat daripada luas permukaan, demikian membatasi laju difusi zat dari interior melintasi ke ruang interstisial atau sel lainnya. Memang, mewakili sebuah sel sebagai sebuah bidang yang ideal dengan jari-jari r   , volume dan luas permukaan, masing-masing, V = \frac{4}{3}\pi r^3  dan SA = 4 \pi r^2. Luas permukaan yang dihasilkan ke rasio volume karena itu \frac{3}{r}. Demikian, jika sebuah sel memiliki sebuah jari-jari 1 μm, rasio SA:V adalah 3, sedangkan jika jari-jari dari sel 10 μm, maka rasio SA:V adalah 0.03. Demikian, luas permukaan turun dengan tajam dengan meningkatkan volume.

## Lihat pula

* Panjang perimeter
* Teori BET, teknik untuk pengukuran dari luas permukaan material
* Trigonometri bola
* Permukaan integral

## Referensi


* 

## Pranala luar

* Surface Area Video  at Thinkwell