Teorema faktor

Dalam aljabar, **teorema faktor** adalah teorema yang menghubungkan faktor-faktor dari suatu polinomial dengan nilai dari akar-akarnya. Lebih tepatnya, jika f(x) merupakan polinomial univariat, maka (x - a) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika nilai f(a) = 0 (atau dengan kata lain, a merupakan akar dari polinomial f). Teorema ini adalah kasus khusus dari teorema sisa polinomial.

Teorema ini berasal dari sifat dasar operasi penjumlahan dan perkalian. Dengan demikian, teorema faktor juga berlaku ketika elemen a dan setiap koefisien dari f(x) merupakan anggota dari sembarang gelanggang komutatif, tidak hanya lapangan.

## Faktorisasi polinomial

Dua masalah yang sering melibatkan teorema faktor ialah pemfaktoran polinomial dan pencarian nilai akar dari suatu persamaan polinomial; teorema faktor mengakibatkan bahwa kedua masalah ini pada dasarnya setara.

Teorema faktor juga digunakan untuk menyingkirkan nilai-nilai akar yang telah diketahui dari polinomial yang diberikan, sembari membiarkan nilai-nilai akar yang belum diketahui, sehingga menghasilkan polinomial berderajat lebih rendah yang nilai-nilai akarnya mungkin saja lebih mudah untuk dicari. Secara umum, metodenya ialah sebagai berikut:
# Dengan menggunakan teorema akar rasional, tentukan kandidat nilai akar a dari polinomial f(x) berdasarkan koefisien utamanya (yaitu a_n) serta suku konstantanya (yaitu a_0).
# Gunakan teorema faktor untuk menyimpulkan bahwa (x - a) merupakan faktor dari f(x).
# Carilah polinomial g(x) = \dfrac{f(x)}{x - a} dengan menggunakan pembagian bersusun atau pembagian sintetik.
# Simpulkan bahwa setiap nilai akar x \neq a dari f(x) juga merupakan akar dari g(x). Oleh karena derajat polinomial g ialah satu kurangnya dari derajat polinomial f, maka lebih "sederhana" untuk mencari nilai-nilai akar yang tersisa dengan meninjau polinomial g(x).
Proses ini dilanjutkan hingga polinomial f terfaktorkan sepenuhnya, dimana semua faktornya taktereduksi pada \mathbb{R}[x] atau \mathbb{C}[x].

### Contoh
Untuk mencari faktor-faktor dari p(x) = x^3 + 7x^2 + 8x + 2, perhatikan bahwa konstanta pada p(x) ialah 2 sedangkan koefisien utamanya ialah 1, sehingga berdasarkan teorema akar rasional, terdapat 4 kandidat akar rasional dari p(x), yaitu \pm 1 dan \pm 2. Setelah melalui proses coba-coba, maka diperoleh -1 sebagai akar dari polinomial p(x):
p(-1) = (-1)^3 + 7(-1)^2 + 8(-1) + 2 = -1 + 7 - 8 + 2 = 0
Akibatnya, (x - (-1)) (atau (x + 1)) merupakan faktor dari p(x). Dengan membagi p(x) oleh (x - 1), maka diperoleh polinomial x^2 + 6x + 2, sehingga dapat disimpulkan bahwa p(x) = (x^2 + 6x + 2)(x + 1)

Faktor kuadrat dari p(x) dapat difaktorkan lebih lanjut dengan menggunakan rumus kuadrat, yang menghasilkan akar-akar kuadrat -3 \pm \sqrt{7}. Dengan demikian, tiga faktor linier dari p(x) ialah x + 1, x - (-3 + \sqrt{7}), dan x - (-3 - \sqrt{7}).

## Bukti
Terdapat beberapa cara untuk membuktikan teorema faktor.

Jika x - a merupakan faktor dari f(x), maka jelas bahwa f(a) = 0, sehingga semua pembuktian berikut akan membahas bagian kedua dari teorema faktor.

### Bukti 1
Pertama, akan ditunjukkan bahwa teorema faktor berlaku untuk kasus a = 0. Dengan kata lain, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap polinomial f(x) dengan f(0) = 0, maka terdapat suatu polinomial g(x) sedemikian sehingga f(x) = x \cdot g(x). Diketahui bahwa f(x) adalah suatu polinomial, maka f memiliki bentuk umum
f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \ldots + c_n x^n
Berdasarkan bentuk umum tersebut, perhatikan bahwa f(0) = c_0. Oleh karena f(0) = 0, maka diperoleh c_0 = 0. Akibatnya, diperoleh
\begin{align}
f(x) &= c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \ldots + c_n x^n \\
&= c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \ldots + c_n x^n \\
&= x \left( c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + \ldots + c_n x^{n - 1} \right)
\end{align}
sehingga dengan memilih g(x) sebagai polinomial c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + \ldots + c_n x^{n - 1}, maka teorema faktor untuk kasus a = 0 terbukti benar.

Selanjutnya, akan dibuktikan teorema faktor untuk sembarang nilai a dengan memanfaatkan kebenaran kasus a = 0. Diketahui bahwa f(x) adalah suatu polinomial dengan f(a) = 0. Perhatikan bahwa polinomial f(x + a) memiliki akar di x = 0. Berdasarkan kasus sebelumnya, maka terdapat suatu polinomial h(x) sedemikian sehingga f(x + a) = x \cdot h(x). Akibatnya,
f(x) = f((x - a) + a) = (x - a) \cdot h(x - a)
Dengan kata lain, terbukti bahwa (x - a) merupakan faktor dari f(x).

### Bukti 2
Jika R adalah gelanggang komutatif, maka untuk sembarang k \in \mathbb{N} dan untuk setiap x, y \in R, berlaku identitas
x^k - y^k = (x - y) \left( x^{k - 1} + x^{k - 2} y + x^{k - 3} y^2 + \ldots + x^2 y^{k - 3} + xy^{k - 2} + y^{k - 1} \right)
Hal ini dapat dibuktikan dengan menjabarkan ruas kanan dari persamaan tersebut.

Diambil sembarang gelanggang komutatif R dan sembarang polinomial f(x) \in R[x]. Oleh karena f(x) adalah polinomial, maka f(x) dapat dinyatakan sebagai
f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \ldots + c_n x^n
Diketahui bahwa f(a) = 0. Akibatnya, didapatkan

\begin{array}{rccccccccccclcr}
f(x) & = & c_0 & + & c_1 x & + & c_2 x^2 & + & c_3 x^3 & + & \ldots & + & c_n x^n & & \\
f(a) & = & c_0 & + & c_1 a & + & c_2 a^2 & + & c_3 a^3 & + & \ldots & + & c_n a^n & & - \\
\hline
f(x) - f(a) & = & 0 & + & c_1 (x - a) & + & c_2 (x^2 - a^2) & + & c_3 (x^3 - a^3) & + & \ldots & + & c_n (x^n - a^n)
\end{array}

Dengan menggunakan notasi Sigma serta identitas x^k - y^k yang telah dibahas sebelumnya, maka

\begin{align}
f(x) - f(a) &= \sum_{k \, = \, 1}^{n} c_n (x^k - a^k) \\
f(x) &= \sum_{k \, = \, 1}^{n} c_n (x - a) \left( x^{k - 1} + x^{k - 2} a + x^{k - 3} a^2 + \ldots + x^2 a^{k - 3} + xa^{k - 2} + a^{k - 1} \right) \\
&= (x - a) \cdot \sum_{k \, = \, 1}^{n} c_n (x^{k - 1} + x^{k - 2} a + x^{k - 3} a^2 + \ldots + x^2 a^{k - 3} + xa^{k - 2} + a^{k - 1})
\end{align}

sehingga terbukti bahwa (x - a) merupakan faktor dari f(x).

### Bukti 3
Diberikan suatu polinomial F(x) sedemikian sehingga F(a) = 0. Berdasarkan teorema pembagian polinomial, maka terdapat suatu polinomial H(x) dan S(x) sedemikian sehingga
F(x) = (x - a) \cdot H(x) + S(x)
dengan \deg(S) . Oleh karena \deg(x - a) = 1, maka S merupakan suatu fungsi konstan. Dengan menyubstitusikan x = a ke persamaan di atas, perhatikan bahwa F(a) = S(a). Diketahui bahwa F(a) = 0 dan S merupakan suatu fungsi konstan, maka didapatkan S(x) = 0 untuk setiap nilai x. Akibatnya,
F(x) = (x - a) \cdot H(x)

Pembagian bersisa di atas dapat dilakukan pada setiap gelanggang komutatif, sebab (x - a) merupakan polinomial monik, sehingga proses pembagian bersusun polinomialnya tidak melibatkan operasi pembagian pada koefisien-koefisien polinomialnya.

## Referensi