Objek bebas

Dalam matematika, gagasan tentang **objek bebas** adalah salah satu konsep dasar aljabar abstrak. Objek bebas bagian dari aljabar universal, dalam arti bahwa ia berkaitan dengan semua jenis struktur aljabar (dengan operasi finiter). Ini juga memiliki rumusan dalam istilah teori kategori, meskipun ini masih dalam istilah yang lebih abstrak. Contohnya termasuk grup bebas, aljabar tensor, atau kisi bebas. Secara informal, objek bebas di atas himpunan * A * dapat dianggap sebagai struktur aljabar "generik" di atas * A *: salah satu persamaan yang terdapat antara elemen objek bebas adalah persamaan yang mengikuti aksioma penentu dalam struktur aljabar.

## Definisi
Objek bebas adalah generalisasi langsung kekategori dari gagasan basis dalam ruang vektor. Fungsi linear  antara ruang vektor sepenuhnya ditentukan dari nilai berdasarkan ruang vektor *E*1. Definisi berikut menerjemahkan ke kategori.

Sebuah kategori konkret adalah kategori yang dilengkapi dengan funktor setia hingga **Himpunan**, kategori himpunan. Misalkan * C * menjadi kategori konkret dengan fungsi setia . Misalkan * X * menjadi objek dalam **Himpunan** (yaitu, * X * adalah himpunan, di sini disebut * basis *), maka * A * menjadi objek di **C**, dan  menjadi peta injeksi antara himpunan * X * dan *F*(*A*) (disebut * penyisipan kanonik *). Kemudian * A * dikatakan sebagai **objek bebas ''X*** (sehubungan dengan * i *) jika dan hanya jika memenuhi [[sifat universal]] berikut:
:objek * B * antara *'C** dan peta di antara himpunan , morfisme  dengan **C*' sehingga . Yaitu, [[Diagram komutatif|diagram]] berikut:
:::<math>
\begin{array}{c}
X \xrightarrow{\quad i \quad} F(A) \\
{}_f \searrow \quad \swarrow {}_{F(g)} \\
F(B) \quad \\
\end{array}
</math>

Dengan cara ini functor bebas yang membangun objek bebas * A * dari himpunan * X * menjadi [[adjoin kiri]] ke [[funktor fogetful]].

== Contoh ==
Pembuatan objek bebas berlangsung dalam dua langkah. Untuk aljabar yang sesuai dengan [[hukum asosiatif]], langkah pertama adalah mempertimbangkan kumpulan semua kemungkinan [[pita (ilmu komputer)|kata]] yang dibentuk dari [[alfabet (ilmu komputer)|alfabet]]. Kemudian seseorang membebankan satu himpunan [[relasi ekuivalensi]] pada kata, di mana relasinya adalah relasi yang menentukan dari objek aljabar. Objek bebas kemudian terdiri dari himpunan [[kelas kesetaraan]].

Pertimbangkan, misalnya, pembangunan grup gratis dalam dua generator. Satu dimulai dengan alfabet yang terdiri dari lima huruf <math>\{e,a,b,a^{-1},b^{-1}\}</math>. Pada langkah pertama, belum ada arti yang ditetapkan untuk "huruf" <math>a^{-1}</math> atau <math>b^{-1}</math>; pada langkah kedua. Jadi, kita bisa memulai dengan alfabet dengan lima huruf yaitu <math>S=\{a,b,c,d,e\}</math>. Dalam contoh ini, kumpulan semua kata atau string <math>W(S)</math> akan menyertakan pita seperti * aebecede * dan * abdc *, dan seterusnya, dengan panjang terbatas, dengan huruf yang disusun dalam setiap barisan yang memungkinkan.

Pada langkah berikutnya, seseorang memberlakukan satu set relasi ekuivalensi. Hubungan kesetaraan untuk [[grup (matematika)|grup]] adalah perkalian dengan identitas, <math>ge=eg=g</math>, dan perkalian invers: <math>gg^{-1}=g^{-1}g=e</math>. Menerapkan relasi ini ke pita di atas, maka

:<math>aebecede = aba^{-1}b^{-1},</math>

di mana <math> c </math> adalah pengganti untuk <math>a^{-1}</math>, dan <math> d </math> adalah pengganti untuk <math>b^{-1}</math>, sedangkan <math> e </math> adalah elemen identitas. Begitu pula yang dimiliki

:<math>abdc = abb^{-1}a^{-1} = e.</math>

Menunjukkan relasi ekuivalensi atau [[Relasi kekongruenan|kekongruenan]] dengan <math>\sim</math>, objek bebas kemudian adalah kumpulan [[kelas kesetaraan]]. Jadi, dalam contoh ini, grup gratis dalam dua generator adalah [[himpunan hasil bagi|hasil bagi]]

:<math>F_2=W(S)/\sim.</math>

Ini sering ditulis sebagai <math>F_2=W(S)/E</math> di mana <math>W(S) = \{a_1 a_2 \ldots a_n \, \vert \; a_k \in S \, ; \, n \in \mathbb{N}\}</math> adalah himpunan dari kata, dan <math>E = \{a_1 a_2 \ldots a_n \, \vert \; e = a_1 a_2 \ldots a_n \, ; \, a_k \in S \, ; \, n \in \mathbb{N}\}</math> adalah kelas ekivalensi dari identitas, setelah relasi yang mendefinisikan kelompok diberlakukan.

=== Kasus umum ===
Dalam kasus umum, hubungan aljabar tidak perlu asosiatif, dalam hal ini titik awalnya bukan himpunan semua kata, melainkan, string diselingi dengan tanda kurung, yang digunakan untuk menunjukkan pengelompokan huruf non-asosiatif. String seperti itu mungkin secara ekuivalen diwakili oleh [[pohon biner]] atau [[magma bebas]]; daun pohon adalah huruf-huruf dari alfabet.

Hubungan aljabar mungkin kemudian umum [[ariti]] atau [[relasi finiter]] pada daun pohon. Daripada memulai dengan kumpulan semua kemungkinan string dalam tanda kurung, akan lebih mudah untuk memulai dengan [[Herbrand semesta]]. Mendeskripsikan atau menghitung dengan benar konten objek bebas bisa jadi mudah atau sulit, bergantung pada objek aljabar tertentu yang dimaksud. Misalnya, grup gratis dalam dua generator dengan mudah dijelaskan. Sebaliknya, sedikit atau tidak ada yang diketahui tentang struktur [[aljabar Heyting bebas]] di lebih dari satu generator. Masalah untuk menentukan apakah dua string berbeda milik kelas ekivalen yang sama dikenal sebagai [[masalah kata (matematika)|masalah kata]].

Seperti yang disarankan dalam contoh, objek bebas terlihat seperti konstruksi dari [[sintaks]]; seseorang dapat membalikkannya sampai batas tertentu dengan mengatakan bahwa penggunaan utama sintaksis dapat dijelaskan dan dikarakterisasi sebagai objek bebas, dengan cara yang membuat 'tanda baca' yang tampak berat dapat dijelaskan (dan lebih mudah diingat).

== Aljabar universal bebas ==



Maka <math> S </math> menjadi sembarang, dan biarkan <math>\mathbf{A}</math> menjadi [[struktur aljabar]] dengan tipe <math>\rho</math> dihasilkan oleh <math> S </math>. Maka himpunan yang mendasari struktur aljabar <math>\mathbf{A}</math>, terkadang disebut semesta, jadilah <math> A </math>, dan misalkan <math>\psi: S \to A</math> menjadi sebuah fungsi. Jadi <math>(A, \psi)</math> (atau secara informal saja <math>\mathbf{A}</math>) adalah * aljabar bebas * (bertipe <math>\rho</math>) pada himpunan <math> IS </math> dari * generator gratis '' jika, untuk setiap aljabar \mathbf{B} dari tipe \rho dan fungsi \tau: S \to B, di mana  B  adalah semesta \mathbf{B}, homomorfisme \sigma: A \to B sehingga \sigma \circ \psi = \tau.

## Daftar objek bebas

Jenis objek gratis tertentu meliputi:
*aljabar bebas
** aljabar asosiatif bebas
** aljabar komutatif gratis
* kategori bebas
**kategori monoidal bebas
* grup bebas
** grup abelian bebas
** grup komutatif sebagian bebas
*Aljabar Kleene bebas
* kisi bebas
** aljabar Boolean bebas
**kisi distributif bebas
** aljabar Heyting bebas
** kisi modular bebas
* aljabar Lie bebas
*magma bebas
* modul bebas, dan khususnya, ruang vektor
* monoid bebas
** monoid komutatif bebas
**monoid komutatif sebagian bebas
* gelanggang bebas
* semigrup bebas
* semigelanggang bebas
** semigelanggang komutatif bebas
*teori bebas
* istilah aljabar
* ruang diskrit

## Lihat pula
* Himpunan generasi

## Catatan