Subgrup

Dalam teori grup, subhimpunan dari suatu grup *<math>G</math>* adalah **subgrup** dari *<math>G</math>* jika anggota dari subhimpunan tersebut membentuk suatu grup terhadap operasi yang sama di grup *<math>G</math>*

Diberikan suatu grup G di bawah operasi biner *. Maka suatu himpunan bagian H dari *<math>G</math>* disebut **subgrup** dari G jika *<math>H</math>* juga membentuk grup di bawah operasi *. Lebih tepatnya, *<math>H</math>* adalah subgrup dari *<math>G</math>* jika restriksi dari * ke H \times H adalah operasi grup di *<math>H</math>*. Biasanya ini dilambangkan H \le G, dibaca sebagai "*<math>H</math>* adalah subgrup dari *<math>G</math>*".

**Subgrup trivial** dari setiap grup adalah subgrup yang hanya mengandung elemen identitas \{e\}.

## Pengujian
Misalkan *<math>G</math>* adalah grup, dan *<math>H</math>* adalah subgrup dari *<math>G</math>*.  Untuk saat ini, asumsi bahwa operasi grup *<math>G</math>* ditulis dalam notasi bentuk perkalian, yakni jukstaposisi.

* Maka *<math>H</math>* adalah subgrup dari *<math>G</math>* jika dan hanya jika *<math>H</math>* adalah himpunan tak kosong dan tertutup di bawah perkalian dan invers. Maksud dari "tertutup di bawah perkalian" disini adalah untuk setiap elemen a dan b di *<math>H</math>*, hasil kali ab ada di *<math>H</math>*. "Tertutup di bawah invers" berarti untuk setiap elemen a di *<math>H</math>*, inversnya a^{-1} ada di *<math>H</math>*. Dengan menggabungkan dua persyaratan tersebut, maka untuk setiap elemen a dan b di *<math>H</math>*, elemen ab^{-1} berada di *<math>H</math>*. Alangkah lebih mudahnya untuk menguji masing-masing kedua persyaratan ketertutupan tersebut.
* Ketika *<math>H</math>* adalah himpunan tertinggi, pengujiannya dapat disederhanakan sebagai berikut: *<math>H</math>* adalah subgrup jika dan hanya jika *<math>H</math>* adalah himpunan tak kosong dan tertutup di bawah operasi perkalian. Persyaratan tersebut sendiri menyiratkan bahwa untuk setiap elemen a dari *<math>H</math>* menghasilkan subgrup siklik terhingga dari *<math>H</math>*, katakanlah orde n, dan kemudian invers dari a adalah a^{n-1}.

Jika operasi grup dilambangkan sebagai operasi penambahan, maka "ketertutupan di bawah hasil kali" baiknya digantikkan dengan "ketertutupan di bawah penambahan", yang mensyaratkan bahwa untuk setiap elemen a dan b di *<math>H</math>*, penjumlahan a + b berada di dalam *<math>H</math>*, dan "tertutup di bawah invers" digantikan dengan menyatakan, untuk setiap a di *<math>H</math>*, inversnya -a ada di *<math>H</math>*.

## Koset dan teorema Lagrange

Diberikan subgrup *H* dan beberapa *a* di G, kita mendefinisikan **kiri [[coset]]** *aH* = {*ah* : *h* in *H*}. Karena *a* bisa dibalik, peta φ : *H* → *aH*  diberikan pada φ(*h*) = *ah* adalah bijeksi. Lebih jauh, setiap elemen *G* terkandung tepat di satu koset kiri * H *; koset kiri adalah kelas kesetaraan yang sesuai dengan relasi ekivalen *a*1 ~ *a*2 jika dan hanya jika *a*1−1*a*2 ada di *H*. Jumlah koset kiri *H* disebut indeks dari *H* dalam *G* dan dilambangkan dengan [*G* : *H*].

Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk grup berhingga *G* dan subgrup *H*, 
: [ G : H ] = { |G| \over |H| } 
di mana |*G*| dan  |*H*| menunjukkan urutan dari *G* dan *H*, masing-masing. Secara khusus, urutan setiap subkelompok *G* (dan urutan setiap elemen *G*) harus berupa pembagi dari  |*G*|.

## Contoh: Subgrup Z<sub>8</sub>
Maka *G* jadikan grup siklik ke Z8 maka hasil elemen
:G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}
dan yang operasi grupnya adalah penambahan modulo delapan. Tabel Cayley adalah

Grup ini memiliki dua subgrup nontrivial: *J*={0,4} and *H*={0,2,4,6}, di mana *J* juga merupakan subgrup dari *H*.  Tabel Cayley untuk * H * adalah kuadran kiri atas tabel Cayley untuk * G *. Grup * G * adalah siklik, dan juga subgrupnya.

## Contoh: Subgrup S<sub>4 </sub>([[grup simetris]] pada 4 elemen)

Setiap grup memiliki subgrup kecil sebanyak elemen netral pada diagonal utama:

The trivial group and two-element groups Z2. These small subgroups are not counted in the following list.

### 12 elements

### 8 elements

### 6 elements

### 4 elements

### 3 elements

## Lihat pula
* Subgrup Cartan
* Subgrup pas
* Subgrup stabil
* Subgrup titik tetap
* Tes subgrup

## Catatan


## Referensi
** 
**