Grup kuaternion

Dalam teori grup, **grup angka empat** Q8 (terkadang hanya dilambangkan dengan Q) adalah grup non-abelian dari urutan delapan, isomorfik ke himpunan bagian delapan elemen
\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\} dari angka empat di bawah perkalian. Ini diberikan oleh presentasi grup

:\mathrm{Q}_8 = \langle \bar{e},i,j,k \mid \bar{e}^2 = e, \;i^2 = j^2 = k^2 = ijk = \bar{e} \rangle ,

di mana e adalah elemen identitas dan  komutatif dengan elemen lain dalam grup.

Presentasi Q<sub> 8 </sub> lainnya adalah:

:\mathrm{Q}_8 = \langle a,b \mid a^4 = \mathbf {1}, a^2 = b^2, ba = a^{-1}b\rangle.

## Dibandingkan dengan grup dihedral

Grup quaternion Q 8  memiliki urutan yang sama dengan grup dihedral D<sub>4</sub>, tetapi strukturnya berbeda, seperti yang ditunjukkan oleh grafik Cayley dan siklusnya:

Dalam diagram untuk D 4 , elemen grup ditandai dengan aksinya pada huruf F dalam representasi yang menentukan **R**2. Hal yang sama tidak dapat dilakukan untuk Q 8 , karena tidak memiliki representasi yang tepat di **R**2 atau **R**3. D4 dapat direalisasikan sebagai bagian dari pemmbagi angka empat dengan cara yang sama seperti Q 8  dapat dilihat sebagai himpunan bagian dari angka empat.

## Tabel Cayley

Tabel Cayley (tabel perkalian) untuk Q 8  diberikan oleh:

## Sifat

Perhatikan bahwa * i *, * j *, dan * k * semuanya memiliki urutan empat di Q 8  dan dua di antaranya menghasilkan seluruh grup. Presentasi lainnya dari Q8 berdasarkan hanya dua elemen untuk melewati redundansi ini adalah:

:\langle x,y \mid x^4 = 1, x^2 = y^2, y^{-1}xy = x^{-1}\rangle.

Seseorang mungkin mengambil, misalnya, i = x, j = y, dan k = xy.

Grup quaternion memiliki properti yang tidak biasa sebagai Hamiltonian: Q8 non-abelian, tetapi setiap subgrup adalah normal. Every Hamiltonian group contains a copy of Q8.

Grup angka empat Q 8  dan grup dihedral D 4  adalah dua contoh terkecil dari grup non-abelian nilpoten.

Pusat dan subgrup komutator dari Q 8  adalah subgrup \{e,\bar{e}\}. Grup automorfisme dalam dari Q 8  diberikan oleh grup modulo pusatnya, yaitu grup faktor Q8/{e,}, untukmu isomorfik ke grup empat Klein V. Grup automorfisme dari Q 8  adalah isomorfik sampai S 4 , grup simetris pada empat huruf (lihat * Representasi matriks * di bawah), dan grup automorfisme luar dari Q 8  adalah S4/V, yang isomorfik ke S3.

Grup angka empat Q 8  memiliki lima kelas konjugasi, {e }, {  }, { i,  }, { j,  }, { k,  }, dan lima representasi tak tersederhanakan di atas bilangan kompleks, dengan dimensi 1,1,1,1,2:

**Representasi trivial**

**Tanda tangani representasi dengan i, j, k-kernel**: Q8 memiliki tiga subgrup normal maksimal: subgrup siklik yang dihasilkan oleh i, j, dan k. Untuk setiap subkelompok normal maksimal * N *, kita mendapatkan representasi satu dimensi yang memfaktorkan melalui 2-elemen grup hasil bagi *G*/*N*. Representasi mengirimkan elemen * N * ke 1, dan elemen di luar * N * ke -1.

**Representasi 2 dimensi**: Dijelaskan di bawah dalam * Representasi matriks *.

Tabel karakter dari Q 8  ternyata sama dengan D4: 

Karena karakter yang tidak dapat direduksi \chi_\rho pada baris di atas memiliki nilai riil, ini memberikan dekomposisi dari aljabar grup nyata dari G = Q_8 menjadi minimal dua sisi ideal: \textstyle \R[Q_8] \ = \ \bigoplus_\rho (e_\rho), di mana idempotensi e_\rho\in \R[Q_8] sesuai dengan irreducibles: \textstyle e_\rho = \frac{\dim(\rho)}\sum_{g\in G} \chi_\rho(g^{-1})g, sepertie_{\text{triv}} = \tfrac 18(e + \bar e + i +\bar i+j+\bar j+k+\bar k)

e_{i\text{-ker}} = \tfrac 18(e + \bar e + i +\bar i-j-\bar j-k-\bar k)

e_{j\text{-ker}} = \tfrac 18(e + \bar e - i -\bar i+j+\bar j-k-\bar k)

e_{k\text{-ker}} = \tfrac 18(e + \bar e - i -\bar i-j-\bar j+k+\bar k)

e_{2} = \tfrac 28(2e - 2\bar e)
= \tfrac 12(e - \bar e).Masing-masing dari cita-cita tak tersederhanakan ini isomorfik ke aljabar sederhana pusat nyata, empat pertama ke bidang nyata \R. Ideal terakhir  (e_2)  isomorfik terhadap bidang miring dari angka empat \mathbb H dengan korespondensi:\textstyle 
\frac12(e-\bar e) \longleftrightarrow 1,\ \ 
\frac12(i-\bar i) \longleftrightarrow i,\ \ 
\frac12(j-\bar j) \longleftrightarrow j,\ \ 
\frac12(k-\bar k) \longleftrightarrow k.Selanjutnya, proyeksi homomorfisme \R[Q_8]\to (e_2)\cong \mathbb{H} diberikan oleh r\mapsto re_2 memiliki ideal kernel yang dihasilkan oleh idempoten:e_2^\perp\ = \ \textstyle e_1+e_{i\text{-ker}}+e_{j\text{-ker}}+e_{k\text{-ker}} \ =\  \frac 12(e+\bar e), sehingga angka empat juga bisa diperoleh sebagai gelanggang hasil bagi \mathbb R[Q_8]/(e+\bar e)\cong \mathbb H.

Aljabar grup kompleks dengan demikian \Complex[Q_8]\cong \Complex^{\oplus 4}\oplus M_2(\Complex), di mana M_2(\Complex) \cong \mathbb{H}\otimes_{\R}\!\Complex  \cong \mathbb{H}\oplus\mathbb{H} adalah aljabar dari bikuaternion.

## Representasi matriks

Kompleks tak tersederhanakan dua dimensi representasi yang dijelaskan di atas memberikan grup kuatnion Q8 sebagai subgrup dari grup linier umum \operatorname{GL}_2(\Complex). Grup kuaternion adalah subgrup perkalian dari aljabar quaternion \mathbb H=\mathbb R1+\mathbb Ri+\mathbb Rj+\mathbb Rk= \mathbb C1+\mathbb Cj, yang memiliki representasi reguler \rho:\mathbb H\to \mathrm{M}_2(\mathbb{C}) perkalian kiri dengan sendirinya dianggap sebagai ruang vektor kompleks dengan basis \{1,j\}, sehingga z\in \mathbb H sesuai dengan **C**-pemetaan linier \rho_z:a{+}jb\mapsto z\cdot(a{+}jb). Representasi yang dihasilkan \rho:\mathrm{Q}_8 \to \mathrm{GL}_{2}(\Complex),\ g\mapsto\rho_g, diberikan oleh:

:\begin{matrix}
e \mapsto \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 1
\end{pmatrix} &
i \mapsto \begin{pmatrix}
  i &  0 \\
  0 & -i
\end{pmatrix}&
j \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & -1 \\
  1 & 0
\end{pmatrix}&
k \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & -i \\
  -i & 0
\end{pmatrix} \\
\overline{e} \mapsto \begin{pmatrix}
 -1 &  0 \\
  0 & -1
\end{pmatrix} &
\overline{i} \mapsto \begin{pmatrix}
  -i & 0 \\
  0 & i
\end{pmatrix}&
\overline{j} \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & 1 \\
  -1 &  0
\end{pmatrix}&
\overline{k} \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & i \\
  i & 0
\end{pmatrix}.
\end{matrix}


Karena semua matriks di atas memiliki determinan unit, ini adalah representasi dari Q 8  dalam grup linear khusus SL2(**C**).

Varian memberikan representasi oleh matriks kesatuan (tabel di kanan). Maka g\in Q_8 sesuai dengan pemetaan linier \rho_g:a{+}bj\mapsto (a{+}bj)\cdot  jg^{-1}j^{-1}, sehingga \rho:\mathrm{Q}_8 \to \mathrm{SU}_{2} diberikan oleh:

\begin{matrix}
e \mapsto \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 1
\end{pmatrix} &
i \mapsto \begin{pmatrix}
  i &  0 \\
  0 & -i
\end{pmatrix}&
j \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & 1 \\
  -1 & 0
\end{pmatrix}&
k \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & i \\
  i & 0
\end{pmatrix} \\
\overline{e} \mapsto \begin{pmatrix}
 -1 &  0 \\
  0 & -1
\end{pmatrix} &
\overline{i} \mapsto \begin{pmatrix}
  -i & 0 \\
  0 & i
\end{pmatrix}&
\overline{j} \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & -1 \\
  1 &  0
\end{pmatrix}&
\overline{k} \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & -i \\
  -i & 0
\end{pmatrix}.
\end{matrix}


Ada juga tindakan penting Q 8  pada ruang vektor 2 dimensi di atas bidang berhingga **F**3 = {0,1,−1}  (tabel di kanan). Representasi modular \rho:\mathrm{Q}_8 \to \mathrm{SL}(2,3) diberikan oleh

:\begin{matrix}
e \mapsto \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 1
\end{pmatrix} &
i \mapsto \begin{pmatrix}
  1 & 1 \\
  1 & \!\!\!\!-1
\end{pmatrix} &
j \mapsto \begin{pmatrix}
 \!\!\!-1 & 1 \\
  1 & 1
\end{pmatrix} &
k \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & \!\!\!\!-1 \\
  1 & 0
\end{pmatrix} \\
\overline{e} \mapsto \begin{pmatrix}
  \!\!\!-1 & 0 \\
  0 & \!\!\!\!-1
\end{pmatrix} &
\overline{i} \mapsto \begin{pmatrix}
  \!\!\!-1 & \!\!\!\!-1 \\
  \!\!\!-1 & 1
\end{pmatrix} &
\overline{j} \mapsto \begin{pmatrix}
 1 & \!\!\!\!-1 \\
  \!\!\!-1 & \!\!\!\!-1
\end{pmatrix} &
\overline{k} \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & 1 \\
  \!\!\!-1 & 0
\end{pmatrix}.
\end{matrix}

Representasi ini dapat diperoleh dari bidang ekstensi **F**9 = **F**3[*k*] = **F**31 + **F**3*k*, di mana *k*2 = −1 dan grup perkalian (**F**9)× memiliki generator ±(*k*+1), ±(*k*-1) urutan 8. Dua dimensi **F**3-ruang vektor **F**9 mengakui pemetaan linier \mu_z(a+bk)=z\cdot(a+bk) untuk * z * pada **F**9, serta Automorfisme Frobenius \phi(a+bk)=(a+bk)^3 satisfying \phi^2 = \mu_1  dan \phi\mu_z = \mu_{\phi(z)}\phi . Maka matriks representasi di atas adalah \rho(\bar e)=\mu_{-1}, \rho(i)=\mu_{k+1}\phi, \rho(j)=\mu_{k-1} \phi , dan \rho(k)=\mu_{k} .

## Grup Galois
Seperti yang ditunjukkan Richard Dean pada tahun 1981, grup kuaternion dapat ditampilkan sebagai grup Galois Gal(T/**Q**) di mana **Q** adalah bidang bilangan rasional dan T adalah bidang pemisah di atas **Q** dari polinomial
:x^8 - 72 x^6 + 180 x^4 - 144 x^2 + 36.
Pengembangan menggunakan teorema fundamental teori Galois dalam menentukan empat bidang perantara antara **Q** dan T dan grup Galois mereka, serta dua teorema tentang ekstensi siklik derajat empat di atas bidang.

## Grup angka empat digeneralisasi
**Grup kuatnion umum** Q4*n* urutan 4*n * ditentukan oleh presentasi
:\langle x,y \mid x^{2n} = y^4 = 1, x^n = y^2, y^{-1}xy = x^{-1}\rangle
untuk bilangan bulat , dengan kelompok angka empat yang biasa diberikan oleh *n* = 2. Coxeter menggunakan Q4*n* grup siklik \langle 2, 2, n\rangle, kasus khusus dari grup polihedral biner \langle \ell, m, n\rangle dan terkait dengan grup polihedral  (p, q, r)  dan grup dihedral (2,2,n). Grup quaternion umum dapat direalisasikan sebagai subgrup \operatorname{GL}_2(\Complex) dihasilkan oleh

:\left(\begin{array}{cc}
               \omega_n & 0 \\
               0 & \overline{\omega}_n
             \end{array}
          \right)
        \mbox{ and }
        \left(\begin{array}{cc}
                0 & -1 \\
                1 & 0
              \end{array}
          \right)


di mana \omega_n = e^{i\pi/n}. Ini juga dapat direalisasikan sebagai subgrup unit quaternions yang dihasilkan oleh x=e^{i\pi/n} dan y=j.

Grup quaternion umum memiliki properti bahwa setiap subgrup abelian bersiklus. Dapat diperlihatkan bahwa p-group dengan properti ini (setiap subgrup abelian adalah siklik) bisa berupa siklik atau grup quaternion umum seperti yang didefinisikan di atas. Karakterisasi lain adalah bahwa sebuah grup * p * terbatas yang di dalamnya terdapat subgrup unik dari ordo * p * adalah siklik atau 2-grup isomorfik ke grup quaternion umum. Secara khusus, untuk bidang hingga * F * dengan karakteristik ganjil, subgrup 2-Sylow dari SL2(*F*) non-abelian dan hanya memiliki satu subgrup orde 2, jadi subgrup 2-Sylow ini harus menjadi grup quaternion umum, .  Maka *p<sup>r</sup>* menjadi ukuran * F *, di mana * p * adalah bilangan prima, ukuran subgrup 2-Sylow dari SL2(*F*) adalah 2*n*, di mana .

Teorema Brauer–Suzuki menunjukkan bahwa grup yang subgrup Sylow 2-nya digeneralisasikan quaternion tidak bisa sederhana.

Terminologi lain mencadangkan nama "grup kuatnion umum" untuk kelompok siklik urutan pangkat 2, yang mengakui presentasi
:\langle x,y \mid x^{2^m} = y^4 = 1, x^{2^{m-1}} = y^2, y^{-1}xy = x^{-1}\rangle.

## Lihat pula
* sel-16
* Grup tetrahedral biner
* Aljabar Clifford
* Grup dikiklik
* Angka empat integral Hurwitz
* Daftar grup kecil

## Catatan

## Referensi
*
*
*
*
* Dean, Richard A. (1981) "A rational polynomial whose group is the quaternions", American Mathematical Monthly 88:42–5.
*
*
*
* P.R. Girard (1984) "The quaternion group and modern physics", European Journal of Physics 5:25–32.
*
*

## Pranala luar
* 
* Quaternion groups on GroupNames 
* Quaternion group on GroupProps 
* Conrad, Keith. "Generalized Quaternions"