Matriks Jacobi

Dalam kalkulus vektor, **matriks Jacobi** atau **matriks Jacobian** adalah matriks berisi semua turunan parsial pertama dari fungsi multivariabel bernilai vektor. Matriks ini dinamai dengan nama matematikawan Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851). Beberapa notasi untuk matriks ini adalah , , \nabla \mathbf{f}, dan \tfrac{\partial(f_1,..,f_m)}{\partial(x_1, ..,x_n)}. Jika matriks ini berupa matriks persegi, yakni ketika fungsi memiliki banyak variabel yang sama dengan banyak komponen vektor yang dihasilkannya, determinan matriks ini disebut sebagai **determinan Jacobi** atau **determinan Jacobian**. Matriks dan determinan (jika ada) umumnya hanya disebut sebagai Jacobian di dalam literatur.

Matriks Jacobi merepresentasikan diferensial dari fungsi  di setiap titik  terdiferensialkan. Jika fungsi terdiferensialkan di titik , matriks ini dapat digunakan untuk menghasilkan fungsi linear terbaik yang menghampiri nilai fungsi di sekitar . Fungsi linear ini disebut sebagai *turunan* atau *[[turunan total]]* dari  di . Jika materiks Jacobi berbentuk persegi, determinannya memberikan informasi penting mengenai sifat lokal dari . Determinan Jacobi juga muncul dalam proses perubahan variabel integral lipat.

Pada fungsi multivariabel bernilai real, yakni ketika f:\R^n\to\R , matriks Jacobi tereduksi menjadi vektor baris \nabla^{\mathrm T} f.  Vektor ini adalah transpos dari gradien , sehingga  \mathbf{J}_{f} = \nabla^T f .  Pada kasus yang lebih khusus, yakni fungsi satu variabel bernilai real, , matriks Jacobi tereduksi menjadi turunan dari fungsi .

## Matriks Jacobi
Matriks Jacobi dari fungsi multivariabel bernilai vektor memperumum konsep gradien fungsi multivariabel bernilai real; yang selanjutnya merupakan perumuman dari konsep turunan fungsi satu variabel bernilai real. Misalkan \mathbf f:\R^n\to\R^m adalah fungsi yang semua turunan parsial pertamanya terdefinisi di \R^n. Fungsi ini memetakan titik \mathbf x di \R^n dengan vektor \mathbf f (\mathbf x) di \R^m. Matriks Jacobi \mathbf J dari fungsi \mathbf f didefinisikan sebagai matriks berukuran m\times n adalah matriks yang elemen ke--nya adalah \mathbf J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}, atau secara eksplisit,

: \mathbf J = \begin{bmatrix}
  \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_n}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
  \nabla^{\mathrm T} f_1 \\
  \vdots \\
  \nabla^{\mathrm T} f_m
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
    \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\
    \vdots                             & \ddots & \vdots\\
    \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}
\end{bmatrix}.

Simbol \nabla^{\mathrm T} f_i  menyatakan vektor baris hasil transpos dari gradien fungsi komponen ke-i. Beberapa penulis mendefinisikan matriks Jacobi sebagai  transpos dari bentuk yang disajikan di atas. Jika fungsi terdiferensialkan di suatu titik, diferensialnya dapat digunakan untuk menyusun matriks Jacobi. Namun, fungsi tidak perlu terdiferensialkan supaya matriks Jacobinya terdefinisi, karena hanya turunan-turunan parsial pertama dari fungsi yang perlu terdefinisi.

Untuk setiap titik \mathbf p \in \R^n di mana fungsi \mathbf f terdiferensialkan, matriks Jacobi dapat dianggap sebagai ukuran perubahan yang dilakukan fungsi di sekitar titik tersebut. Sebagai contoh, jika \mathbf f(x,\,y) digunakan untuk mentransformasi sebuah gambar secara mulus, matriks Jacobi \mathbf{J_f}(x,\,y) menjelaskan bagaimana gambar di lingkungan titik (x,\,y) berubah bentuk. Transformasi linear yang direpresentasikan oleh \mathbf{J_f}(\mathbf p) adalah hampiran linear terbaik dari nilai fungsi \mathbf f di sekitar \mathbf p, dalam artian

: \mathbf f(\mathbf x) - \mathbf f(\mathbf p) = \mathbf J_{\mathbf f}(\mathbf p)(\mathbf x - \mathbf p) + o(\|\mathbf x - \mathbf p\|) \quad (\text{dengan } \mathbf{x} \to \mathbf{p}),

dengan o(||\mathbf x - \mathbf p||) adalah besaran yang menuju nol jauh lebih cepat daripada jarak antara \mathbf x dan \mathbf p ketika \mathbf x bergerak menuju \mathbf p. Hampiran ini tereduksi menjadi polinomial Taylor untuk fungsi satu variabel bernilai real, yakni

: f(x) - f(p) = f'(p) (x - p) + o(x - p) \quad (\text{dengan } x \to p).

Akibatnya, matriks Jacobi dapat dianggap sebagai "turunan pertama" dari fungsi multivariabel bernilai vektor. Pada kasus fungsi multivariabel bernilai skalar, matriks Jacobi dari gradien fungsi tersebut dikenal sebagai matriks Hesse; matriks ini dapat dianggap sebagai "turunan kedua" dari fungsi, sedangkan gradien dianggap sebagai "turunan pertama".

Komposisi dua fungsi yang terdiferensialkan, misalnya \mathbf f:\R^n\to\R^m dan \mathbf g:\R^m\to\R^k, memenuhi sifat aturan rantai. Dalam hal ini,  \mathbf{J}_{\mathbf{g} \circ \mathbf{f}}(\mathbf{x}) = \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{f}(\mathbf{x})) \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}) untuk titik \mathbf x di \R^n.

## Determinan Jacobi
Fungsi \mathbf f:\R^n\to\R^n memiliki matriks Jacobi berupa matriks persegi, sehingga matriks tersebut juga memiliki determinan. Determinan ini disebut dengan *determinan Jacobi*, *determinan Jacobian*, atau *Jacobian*. Determinan Jacobi di suatu titik memberikan informasi penting mengenai perilaku fungsi \mathbf f di sekitar titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi terdiferensialkan secara mulus memiliki invers di sekitar titik \mathbf p \in \R^n, jika determinan Jacobi di \mathbf p tidak bernilai 0. Contoh itu adalah teorema invers fungsi. Lebih lanjut, jika determinan Jacobi di \mathbf p bernilai positif, maka fungsi \mathbf f akan mempertahankan orientasi di sekitar \mathbf p. Sebaliknya jika determinan tersebut bernilai negatif, maka fungsi \mathbf f membalikkan orientasi. Nilai mutlak dari determinan Jacobi di \mathbf p memberikan besaran perubahan volume di sekitar \mathbf p akibat pemetaan oleh \mathbf f; ini adalah alasan determinan Jacobi muncul dalam rumus subtitusi integral.

Determinan Jacobi digunakan dalam membuat variabel subtitusi ketika menghitung integral lipat fungsi atas suatu daerah di domain fungsi tersebut. Dalam penerapan ini, determinan Jacobi digunakan sebagai faktor pengali pada integral, yang mengoreksi perubahan koordinat akibat subtitusi variabel. Determinan Jacobi juga digunakan untuk menentukan kestabilan titik kesetimbangan pada sistem persamaan diferensial, dengan memberikan hampiran perilaku fungsi di sekitar titik kesetimbangan. Hal ini digunakan contohnya untuk menentukan kestabilan kesetimbangan tanpa-penyakit pada permodelan penyakit (*disease modelling*).

## Contoh

### Contoh 1
Misalkan sebuah fungsi \mathbf f:\R^2\to\R^2 yang memetakan (x,\,y)\mapsto(f_1(x,y),\,f_2(x,y)) lewat persamaan

 \mathbf f\left(\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} f_1(x,y)\\f_2(x,y)\end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}  x^2 y \\5 x + \sin y
  \end{bmatrix}.

Fungsi-fungsi komponen dari \mathbf f adalah f_1(x, y) = x^2 y dan f_2(x, y) = 5 x + \sin y,  sehingga matriks Jacobi dari \mathbf f adalah\mathbf J_{\mathbf f}(x, y) = \begin{bmatrix}
  \dfrac{\partial f_1}{\partial x} & \dfrac{\partial f_1}{\partial y}\\[1em]
  \dfrac{\partial f_2}{\partial x} & \dfrac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
  2 x y & x^2    \\
  5     & \cos y \end{bmatrix}dan determinan Jacobi dari fungsi adalah\det(\mathbf J_{\mathbf f}(x, y)) = 2 x y \cos y - 5 x^2 .

### Contoh 2
Contoh ini menunjukkan bahwa matriks Jacobi tidak perlu berupa matriks persegi. Matriks Jacobi dari fungsi \mathbf F: \R^3 \to \R^4 dengan komponen-komponen

: \begin{align}
y_1 &= x_1 \\
y_2 &= 5 x_3 \\
y_3 &= 4 x_2^2 - 2 x_3 \\
y_4 &= x_3 \sin x_1
\end{align}

adalah

\mathbf J_{\mathbf F}(x_1, x_2, x_3) = \begin{bmatrix}
  \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[1em]
  \dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[1em]
  \dfrac{\partial y_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[1em]
  \dfrac{\partial y_4}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_3} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 5 \\
  0 & 8 x_2 & -2 \\
  x_3\cos x_1 & 0 & \sin x_1 \end{bmatrix}.

### Contoh 3
Berikut adalah penggunaan determinan Jacobi dalam perubahan koordinat polar-Kartesius pada integral lipat. Transformasi koordinat polar (r,\,\varphi) ke koordinat Kartesius (x,\,y) dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi \mathbf F:\R^+\times[0,2\pi)\to\R^2 dengan komponen\begin{align}
x &= r \cos \varphi ; \\
y &= r \sin \varphi .
\end{align}Matriks Jacobi dari fungsi transformasi tersebut adalah

: \mathbf J_{\mathbf F}(r, \varphi) = \begin{bmatrix}
  \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial\varphi}\\[1em]
  \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial\varphi} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
  \cos\varphi & - r\sin \varphi \\
  \sin\varphi &   r\cos \varphi \end{bmatrix}

dan determinannya sama dengan r. Determinan ini digunakan sebagai faktor koreksi ketika mengubah sistem koordinat yang digunakan integral:\iint_{\mathbf F(A)} f(x, y) \,dx \,dy = \iint_A f(r \cos \varphi, r \sin \varphi) \, r \, dr \, d\varphi .

### Contoh 4
Contoh ini meninjau efek perubahan orientasi fungsi dan hubungannya dengan determinan Jacobi. Determinan Jacobi dari fungsi \mathbf F: \R^3 \to \R^3 dengan komponen-komponen

: \begin{align}
  y_1 &= 5x_2 \\
  y_2 &= 4x_1^2 - 2 \sin (x_2x_3) \\
  y_3 &= x_2 x_3
\end{align}

adalah

: \begin{vmatrix}
  0 & 5 & 0 \\
  8 x_1 & -2 x_3 \cos(x_2 x_3) & -2 x_2 \cos (x_2 x_3) \\
  0 & x_3 & x_2
\end{vmatrix} = -8 x_1 \begin{vmatrix}
  5 & 0 \\
  x_3 & x_2
\end{vmatrix} = -40 x_1 x_2.

Dari determinan ini terlihat bahwa \mathbf F membalikkan orientasi pada titik-titik dengan tanda x_1 dan x_2 yang sama. Fungsi juga dapat diinvers secara lokal, kecuali pada titik-titik dengan x_1=0 atau x_2=0. Secara intuitif, jika \mathbf F diterapkan pada suatu objek kecil berdimensi tiga di titik (1,\,2,\,3), orientasi objek tersebut akan terbalik, dan volume objek tersebut akan mengembang kurang lebih 40\times1\times=80 kali volume semula.

## Referensi

## Bacaan lebih lanjut

* 
* 
* 

## Pranala luar

* Mathworld Penjelasan lebih teknis mengenai matriks dan determinan Jacobi