Operator Almost Mathieu

**Operator Almost Mathieu** merupakan operator dalam fisika matematika yang berkaitan dengan studi efek Hall kuantum. Operator ini dinamai berdasarkan kemiripannya dengan Operator Mathieu** yang diperkenalkan oleh  Émile Léonard Mathieu. Operator tersebut didefinisikan oleh persamaan

:  [H^{\lambda,\alpha}_\omega u](n) = u(n+1) + u(n-1) + 2 \lambda \cos(2\pi (\omega + n\alpha)) u(n), \, 

bertindak sebagai operator swa-adjung (*self-adjoint operator*) pada ruang Hilbert ℓ2(Z). Parameter yang digunakan terdiri atas α,ω∈T serta λ>0. Dalam matematika murni, operator ini menjadi salah satu contoh operator Schrödinger ergodik yang telah dianalisis secara luas. Tiga masalah dalam daftar lima belas masalah Schrödinger menurut Barry Simon berkaitan langsung dengan operator ini. Dalam fisika, operator Almost Mathieu digunakan dalam pemodelan transisi logam–isolator, termasuk dalam Model Aubry-André. Untuk kasus λ=1, operator ini sering disebut sebagai persamaan Harper.

## Masalah sepuluh martini
Struktur spektrum operator Almost Mathieu menjadi dasar *Ten Martini Problem*. Dugaan awalnya diajukan oleh Mark Kac yang menawarkan hadiah berupa sepuluh martini untuk pembuktian dugaan berikut:

Dugaan ini kemudian dikenal sebagai *Dry Ten Martini Problem* oleh Barry Simon karena sifatnya lebih kuat daripada versi lemahnya. Versi lemah dugaan tersebut, yaitu *Ten Martini Problem*, menyatakan bahwa 

## Tipe Spektral
Jika \alpha merupakan bilangan rasional, operator H^{\lambda,\alpha}_\omegabersifat periodik. Berdasarkan teori Floquet, spektrumnya dalam kasus ini sepenuhnya absolut kontinu.

Jika \alpha merupakan bilangan irasional, transformasi \omega \mapsto \omega + \alpha bersifat minimal sehingga spektrum operator tidak bergantung pada  \omega . Berdasarkan sifat ergodik, dukungan bagi bagian spektrum absolut kontinu, kontinyu singular, dan titik murni hampir pasti tidak bergantung pada  \omega . Hasil-hasil yang telah diperoleh meliputi :

* Untuk 0  ,  H^{\lambda,\alpha}_\omega spektrum hampir pasti absolut kontinu.  (merupakan salah satu masalah Simon)
* Untuk \lambda= 1 ,  H^{\lambda,\alpha}_\omegaspektrum hampir pasti kontinyu singular bagi setiap α irasional.
* Untuk \lambda > 1 , H^{\lambda,\alpha}_\omega spektrum hampir pasti titik murni dan menampilkan lokalisasi Anderson. Lokalisasi Anderson.  (Di ketahui bahwa hampir pasti tidak dapat digantikan dengan pasti.) 

Keadaan spektrum yang bersifat singular untuk \lambda \geq 1  berikut (melalui karya Yoram Last dan Simon) mengikuti batas bawah eksponen Lyapunov  \gamma(E) :

: \gamma(E) \geq \max \{0,\log(\lambda)\}. \,

Untuk nilai E dalam spektrum, batas bawah ini menjadi persamaan yang dikenal sebagai rumus Aubry–André, dibuktikan oleh Jean Bourgain dan Svetlana Jitomirskaya.

## Struktur spektrum

Operator Almost Mathieu memiliki spektrum berbentuk himpunan Cantor untuk setiap α irasional dan λ>0. Pernyataan ini dibuktikan oleh Avila dan Jitomirskaya sebagai penyelesaian *Ten Martini Problem*. Sebelum pembuktian tersebut, sejumlah hasil parsial telah diperoleh secara generik maupun hampir pasti terhadap parameter.

Ukuran Lebesgue dari spektrum operator almost Mathieu  diketahui memenuhi:

:  \operatorname{Leb}(\sigma(H^{\lambda,\alpha}_\omega)) = |4 - 4 \lambda| \, 

untuk setiap  \lambda > 0 . Untuk  \lambda = 1  hasil ini menyatakan bahwa spektrum memiliki ukuran nol, suatu usulan yang pertama kali diajukan oleh Douglas Hofstadter. Untuk   \lambda \neq 1  , rumus tersebut ditemukan secara numerik oleh Aubry dan André dan dibuktikan secara formal oleh Jitomirskaya dan Krasovsky serta sebagian oleh Last untuk sebagian besar parameter. Kajian spektrum untuk  \lambda = 1  menghasilkan visualisasi yang dikenal sebagai kupu-kupu Hofstadter atau *Hofstadter’s butterfly*, yang merepresentasikan struktur spektrum sebagai suatu himpunan fraktal.

## Referensi