Bilangan Liouville

Dalam teori bilangan, **bilangan Liouville** ialah suatu bilangan riil x dengan sifat bahwa untuk setiap bilangan asli n, terdapat suatu pasangan terurut bilangan asli \left( p, \, q \right) dengan q > 1 sedemikian sehingga
0 

Pertidaksamaan tersebut mengakibatkan bahwa bilangan Liouville memiliki suatu barisan hampiran bilangan rasional yang sangat baik. Pada tahun 1884, Joseph Liouville membuktikan bahwa terdapat batas pada seberapa baik suatu bilangan aljabar dapat dihampiri oleh bilangan rasional, dan beliau mendefinisikan bilangan Liouville secara spesifik agar bilangan tersebut memiliki hampiran rasional yang lebih baik dibandingkan bilangan lain pada rentang tersebut. Liouville juga memberikan contoh-contoh dari bilangan Liouville yang membuktikan keberadaan bilangan transendental untuk pertama kalinya. Salah satu contoh dari bilangan tersebut ialah **konstanta Liouville**
L = 0, \! 11000100000000000000000100 \ldots
dimana digit ke-n setelah koma desimal ialah 1 jika n merupakan faktorial dari suatu bilangan asli, dan 0 untuk digit-digit lainnya. Telah diketahui bahwa  dan walau merupakan bilangan transendentalbukan merupakan bilangan Liouville.

## Kewujudan bilangan Liouville (konstanta Liouville)
Bilangan Liouville dapat ditunjukkan keberadaannya dengan konstruksi eksplisit.

Diberikan sembarang bilangan bulat b \geq 2 dan sembarang barisan \langle a_k \rangle sedemikian sehingga
# nilai a_k \in \left\{ 0, \, 1, \, 2, \, \ldots, \, b - 1 \right\} untuk setiap k \in \mathbb{N}, dan
# terdapat takhingga banyaknya nilai k \in \mathbb{N} sedemikian sehingga a_k \neq 0.
Didefinisikan bilangan
x := \sum_{n \, = \, 1}^{\infty} \dfrac{a_n}{b^{n!}}
Pada kasus khusus ketika b = 10 dan a_k = 1 untuk setiap k \in \mathbb{N}, bilangan x disebut sebagai **konstanta Liouville**:
L = 0, \! {\color{red}11} 000 {\color{red}1} 00000000000000000 {\color{red}1} 00 \ldots

Berdasarkan definisi dari x, maka representasi x dalam basis b ialah
x = \left( 0, \! a_1 a_2 000 a_3 00000000000000000 a_4 00 \ldots \right)_b
dengan suku ke-n berada pada posisi n! setelah tanda koma. Oleh karena digit-digit dari representasi x dalam basis b tidak periodik, maka x merupakan bilangan irasional. Akibatnya, untuk setiap bilangan rasional \tfrac{p}{q}, maka berlaku
\left| x - \dfrac{p}{q} \right| > 0

Diambil sembarang n \in \mathbb{N}. Nilai p dan q dapat dipilih sebagai berikut
\begin{align}
q &= b^{n!} \\
p &= q \sum_{k \, = \, 1}^{n} \dfrac{a_k}{b^{k!}} = \sum_{k \, = \, 1}^{n} a_k b^{n! - k!}
\end{align}
sehingga didapatkan
\begin{align}
\left| x - \dfrac{p}{q} \right| &= \left| \sum_{k \, = \, 1}^{\infty} \dfrac{a_k}{b^{k!}} - \sum_{k \, = \, 1}^{n} \dfrac{a_k}{b^{k!}} \right| \\
&= \left| \sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{a_k}{b^{k!}} \right| \\
&= \sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{a_k}{b^{k!}} && \text{(Lihat catatan 1)} \\
&\leq \sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{b - 1}{b^{k!}} && \text{(Lihat catatan 2)} \\
&
yang menunjukkan bahwa x merupakan bilangan Liouville.

### Catatan pembuktian
# Pada baris kedua, perhatikan bahwa k, a_k, dan b bernilai nonnegatif. Akibatnya, setiap suku dari deret takhingga \sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{a_k}{b^{k!}} juga bernilai nonnegatif, sehingga tanda mutlak pada baris kedua dapat dihilangkan.
# Pada baris ketiga, ingat bahwa a_k \in \left\{ 0, \, 1, \, 2, \, \ldots, \, b - 1 \right\} untuk setiap k \in \mathbb{N}. Akibatnya, nilai jumlahan terbesar akan terjadi ketika a_k = b - 1 untuk setiap k \in \mathbb{N}, sehingga diperoleh pertidaksamaan \sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{a_k}{b^{k!}} \leq \sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{b - 1}{b^{k!}} Deret pada baris ketiga diarahkan menjadi deret pada baris keempat sebab bentuk umum dari suku-suku pada deret \displaystyle \sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{a_k}{b^{k!}} mirip dengan deret geometrik \sum_{k \, = \, 0}^{\infty} \dfrac{1}{b^k} = \dfrac{b}{b - 1} sehingga dengan memunculkan deret yang pembilangnya ialah b - 1 dan menggeser indeks dari jumlahannya dari k = n + 1 menjadi k = 0, maka b - 1 pada bagian pembilang dan bagian penyebut akan saling mengeliminasi, yang harapannya akan membuat hasil akhir pecahannya mendekati bentuk \dfrac{1}{q^n} = \dfrac{1}{b^{\text{pangkat} \, \times \, n}}
# Pada baris keempat, ingat bahwa nilai b \geq 2. Akibatnya, pertidaksamaan \sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{1}{b^{k!}}  merupakan pertidaksamaan sejati, sebab untuk setiap k \geq n + 1, terdapat k(k!) - 1 suku yang bernilai positif di atara \dfrac{1}{b^{k!}} dan \dfrac{1}{b^{(k + 1)!}} yang termuat pada deret \displaystyle \sum_{k \, = \, (n + 1)!}^{\infty} \dfrac{1}{b^k} tetapi tidak termuat pada deret \displaystyle \sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{1}{b^{k!}}. Dengan kata lain, pertidaksamaan \sum_{k \, = \, n}^{\infty} \dfrac{1}{b^{k!}}  merupakan pertidaksamaan sejati, sebab barisan (n + 1)!, \, (n + 2)!, \, (n + 3)!, \, (n + 4)!, \, \ldots merupakan barisan bagian dari barisan (n + 1)!, \, (n + 1)! + 1, \, (n + 1)! + 2, \, (n + 1)! + 3, \, \ldots
# Pada baris kesembilan, ingat bahwa n \in \mathbb{N} dan b \geq 2. Akibatnya, \begin{align}
1 &\leq n! \\
b^1 &\leq b^{n!} \\
\dfrac{b}{b^{(n + 1)!}} &\leq \dfrac{b^{n!}}{b^{(n + 1)!}}
\end{align} Pertidaksamaan tersebut dipilih sebab pecahan \dfrac{b}{b^{(n + 1)!}} harus dimanipulasi menjadi sesuatu dengan bentuk \dfrac{1}{b^{\text{pangkat} \, \times \, n}}. Pertidaksamaan tersebut memungkinkan proses eliminasi dari (n + 1)! dan bagian pembilang, menggunakan sifat bahwa (n + 1)! - n! = n(n!), sehingga bagian penyebutnya memiliki bentuk ideal untuk substitusi q = b^{n!}.

## Keirasionalan bilangan Liouville

## Ketransendentalan bilangan Liouville

Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan terlebih dahulu menyelidiki sifat dari bilangan irasional aljabar. Sifat ini pada dasarnya menyatakan bahwa bilangan aljabar irasional tidak dapat dihampiri dengan baik oleh bilangan rasional, dan syarat untuk "dihampiri dengan baik" akan menjadi lebih sulit untuk penyebut yang lebih besar. Walaupun bilangan Liouville merupakan bilangan irasional, bilangan Liouville tidak memiliki sifat ini, sehingga bukan merupakan bilangan aljabar dan harus bersifat transendental. Lema berikut ini biasanya dikenal sebagai **teorema Liouville (mengenai penghampiran Diophantine)**, meskipun terdapat beberapa hasil yang dikenal sebagai teorema Liouville.


Oleh karena f(\alpha) = 0 dan f \! \left( \tfrac{p}{q} \right) \neq 0, maka kedua ruas dari persamaan tersebut bernilai tak nol, sehingga \left| f'(c) \right| > 0. Akibatnya,
\begin{align}
\alpha - \dfrac{p}{q} &= \dfrac{f(\alpha) - f \! \left( \tfrac{p}{q} \right)}{f'(c)} \\
\alpha - \dfrac{p}{q} &= - \dfrac{1}{f'(c)} \cdot f \! \left( \tfrac{p}{q} \right) \\
\left| \alpha - \dfrac{p}{q} \right| &= \dfrac{1}{\left| f'(c) \right|} \left| f \! \left( \tfrac{p}{q} \right) \right| \\
&= \dfrac{1}{\left| f'(c) \right|} \left| a_0 + a_1 \dfrac{p}{q} + a_2 \dfrac{p^2}{q^2} + a_3 \dfrac{p^3}{q^3} + \ldots + a_n \dfrac{p^n}{q^n} \right| \\
&= \dfrac{1}{\left| f'(c) \right| q^n} \underbrace{\left| a_0 q^n + a_1 p q^{n - 1} + a_2 p^2 q^{n - 2} + a_3 p^3 q^{n - 3} + \ldots + a_n p^n \right|}_{\geq \, 1} \\
&\geq \dfrac{1}{M q^n} \cdot 1 \\
&> \dfrac{A}{q^n}
\end{align}
dengan 0 .}}

 \\
&= \dfrac{1}{b^m \cdot b^n} \\
&\leq \dfrac{1}{2^m \cdot b^n} \\
&\leq \dfrac{A}{b^n}
\end{align}
yang bertentangan dengan hasil dari teorema Liouville. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di
awalbahwa terdapat suatu bilangan Liouville yang merupakan bilangan aljabarbernilai salah, sehingga terbukti bahwa setiap bilangan Liouville merupakan bilangan transendental.}}

## Ketakterhitungan himpunan semua bilangan Liouville
Pandang bilangan
\begin{align}
3&.1400010000000000000000050000 \ldots \\
3&.14 \! \left( 3 \; \text{nol} \right) \! 1 \! \left( 17 \; \text{nol} \right) \! 5 \! \left( 95 \; \text{nol} \right) \! 9 \! \left( 599 \; \text{nol} \right) \! 2 \! \left( 4319 \; \text{nol} \right) \! 6 \, \ldots
\end{align}
yaitu bilangan yang setiap digitnya setelah koma desimal ialah angka nol, kecuali pada posisi n!, yang nilai digitnya sama dengan digit ke-n dari representasi desimal bilangan.

Telah ditunjukkan sebelumnya bahwa bilangan tersebutbeserta setiap bilangan desimal takberakhir lainnya, dengan digit-digitnya diatur menyerupai contoh di atasmemenuhi definisi dari bilangan Liouville. Oleh karena himpunan semua bilangan desimal takberakhir memiliki kardinalitas kontinum, maka himpunan semua bilangan Liouville juga demikian.

## Lihat juga
* Bilangan Brjuno
* Konstanta Markov
* Penghampiran Diophantus

## Referensi

## Pranalaa luar
*  The Beginning of Transcendental Numbers