Produk karangan bunga

Dalam teori grup, **hasilkali karangan bunga** atau **darab [[karangan bunga]]** () adalah hasil kali khusus dari dua grup, berdasarkan hasilkali setengah langsung. hasilkali karangan bunga digunakan dalam klasifikasi grup permutasi dan juga menyediakan cara untuk membangun contoh grup yang menarik.

Diberikan dua grup A dan H, terdapat dua variasi hasilkali karangan bunga: **hasilkali karangan bunga takterbatas** A \operatorname{Wr} H (juga ditulis A \wr H dengan simbol LaTeX **\wr**) dan **hasilkali karangan bunga terbatas** A \operatorname{wr} H. Diberikan himpunan Ω dengan ''tindakan-''<math>H</math>, terdapat generalisasi dari hasilkali karangan bunga yang dilambangkan dengan A \operatorname{Wr}_\Omega H atau A \operatorname{wr}_\Omega H.

Gagasan tersebut masuk dalam kelompok semigrup dan merupakan konstruksi sentral dalam teori struktur Krohn–Rhodes dari semigrup hingga.

## Definisi

Misalkan A dan H menjadi grup dan \Omega satu himpunan dengan Hbertindak di atasnya (dari kanan). Misalkan K menjadi hasilkali grup langsung

: K = \prod_{\omega \in \Omega} A_\omega

dari salinan A_\omega := A diindeks oleh himpunan \Omega. Elemen K dapat dilihat sebagai sembarang urutan (a_\omega) dari elemen A diindeks oleh \Omega dengan perkalian sesekomponen. Kemudian tindakan H pada \Omega meluas secara alami menjadi tindakan H pada grup K oleh

:  h (a_\omega) := (a_{h^{-1}\omega}).

Kemudian **hasilkali karangan bunga takterbatas** A \operatorname{Wr}_\Omega H dari A oleh H adalah hasilkali setengah langsung K \rtimes H. Subgrup K dari A \operatorname{Wr}_\Omega H disebut **basis** dari hasilkali karangan bunga.

**Hasilkali karangan bunga terbatas** A \operatorname{wr}_\Omega H dibuat dengan cara yang sama seperti hasil kali karangan bunga tidakterbatas, kecuali yang menggunakan jumlah langsung

: K = \bigoplus_{\omega \in \Omega} A_\omega

sebagai dasar hasil kali karangan bunga. Dalam hal ini elemen K adalah urutan (a_\omega) elemen diA diindeks oleh \Omega yang semuanya kecuali banyak a_\omega adalah elemen identitas dari A.

Dalam kasus yang paling umum, salah satunya membutuhkan \Omega := H, di mana H bekerja secara alami dengan perkalian sebelah kiri. Dalam hal ini, hasil kali karangan bunga yang tidak dibatasi dan dibatasi dapat dilambangkan dengan A \operatorname{Wr} H dan A \operatorname{wr} H. Ini disebut hasil kali karangan bunga **beraturan**.

## Notasi dan konvensi

Struktur hasil kali karangan bunga dari A oleh H bergantung pada himpunan* <math>H</math> *dari \Omega dan jika \Omega tak terbatas, itu juga tergantung pada apakah salah satunya menggunakan hasil kali karangan bunga yang dibatasi atau tidak dibatasi. Namun, dalam literatur, notasi yang digunakan mungkin kurang dan perlu diperhatikan keadaannya.

* Dalam literatur, A \wr_\Omega H dapat diartikan sebagai hasilkali karangan bunga takterbatas A \operatorname{Wr}_\Omega H atau hasilkali karangan bunga terbatas A \operatorname{wr}_\Omega H.
* Demikian, A \wr H dapat diartikan sebagai hasilkali karangan bunga beraturan takterbatas A \operatorname{Wr} H atau hasilkali karangan bunga beraturan terbatas A \operatorname{wr} H.
* Dalam literatur, himpunan-Hdari \Omega dapat dihilangkan dari notasi meskipun \Omega \ne H.
* Dalam kasus khusus bahwa H = S_n adalah grup simetrik derajat n adalah hal yang umum dalam literatur untuk mengasumsikannya \Omega = \{1,\dots,n\} (dengan tindakan alami S_n) dan kemudian hilangkan \Omega dari notasi. Yaitu, A \wr S_n biasanya menunjukkan A \wr_{(1,\dots,n)} S_n bukan hasilkali karangan bunga beraturan A \wr_{S_n} S_n. Dalam kasus pertama, grup basisnya adalah hasilkali dari n salinan dari A, dalam kasus terakhirnya adalah hasilkali dari n! salinan dari *<math>A</math>* (dimana ! melambangkan faktorial).

## Sifat

### Perjanjian hasil kali karangan bunga yang tidak terbatas dan terbatas pada terhingga <math>\Omega</math>
Karena hasil kali langsung hingga adalah sama dengan jumlah langsung grup hingga, ini mengikuti bahwa hasi lkali karangan bunga tak terbatas A \operatorname{Wr}_\Omega H dan terbatas A \operatorname{wr}_\Omega H setuju jika himpunan-H* dari* \Omega terbatas. Khususnya, ini benar ketika \Omega = H.

### Sub grup
A \operatorname{wr}_\Omega Hselalu merupakan subgrup dari A \operatorname{Wr}_\Omega H.

### Kekardinalan
Jika A*, *H dan \Omega adalah terhingga, maka

\left|A \wr_\Omega H \right| = \left| A \right|^\left|\Omega \right| \left| H \right|.
### Teorema pembenaman semesta

Jika G adalah ekstensi dari A oleh H*, *maka terdapat subgrup hasilkali karangan bunga tak terbatas A \wr H yang isomorfik denganG. Ini juga dikenal sebagai *teorema pembenaman Krasner–Kaloujnine*. Teorema Krohn–Rhodes melibatkan apa yang pada dasarnya setara dengan semigrup ini.****

## Tindakan kanonik hasilkali karangan bunga

Jika grup A bertindak pada himpunan \Lambda, maka ada dua cara kanonik untuk membangun himpunan dari \Omega dan \Lambda yang mana A \operatorname{Wr}_\Omega H (and therefore also *A*&nbsp;wrΩ&nbsp;*H*) can act.

* Tindakan hasilkali karangan bunga **takprimitif** pada Λ&nbsp;×&nbsp;Ω.

: Jika ((*a**ω*),*h*)&nbsp;∈&nbsp;*A*&nbsp;WrΩ&nbsp;*H* and (*λ*,*ω*&prime;)&nbsp;∈&nbsp;Λ&nbsp;×&nbsp;Ω, then

:: ((a_\omega), h) \cdot (\lambda,\omega') := (a_{h(\omega')}\lambda, h\omega'). 

* Tindakan hasilkali karangan bunga **primitif** di ΛΩ.

: Elemen pada Λ Ω  adalah urutan (λω) diindeks dari himpunan * H * Ω. Diberikan sebuah elemen ((*a*ω), *h*) ∈&nbsp;*A*&nbsp;WrΩ&nbsp;*H* operasinya pada (*λ**ω*)&nbsp;∈&nbsp;ΛΩ is given by

:: ((a_\omega), h) \cdot (\lambda_\omega) :=  (a_{h^{-1}\omega}\lambda_{h^{-1}\omega}).

## Referensi

## Pranala luar
* Wreath product in *[[Encyclopedia of Mathematics]]*. 
* Some Applications of the Wreath Product Construction.