Teorema Midy

Dalam matematika, **Teorema Midy**, dinamai dari ahli matematika Prancis E. Midy, adalah sebuah pernyataan tentang ekspansi desimal dari pecahan *a*/*p* di mana *p* adalah suatu bilangan prima dan *a*/*p* memiliki bilangan desimal berulang dengan periode genap . Jika periode dari representasi desimal *a*/*p* adalah 2*n*, sehingga

\frac{a}{p}=0.\overline{a_1a_2a_3\dots a_na_{n+1}\dots a_{2n}}

maka digit pada paruh kedua dari periode desimal berulang merupakan komplemen 9 dari digit yang bersesuaian pada paruh pertamanya. Dengan kata lain,

a_i+a_{i+n}=9  a_1\dots a_n+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^n-1. 

Sebagai contoh,

\frac{1}{13}=0.\overline{076923}\text{ dan }076+923=999.  \frac{1}{17}=0.\overline{0588235294117647}\text{ dan }05882352+94117647=99999999. 

## Teorema Midy yang diperluas
Jika *k* adalah suatu pembagi dari *h* (di mana *h* adalah banyaknya digit periode dari ekspansi desimal *a*/*p* (di mana *p* kembali merupakan bilangan prima)), maka teorema Midy dapat digeneralisasi sebagai berikut. **Teorema Midy yang diperluas** menyatakan bahwa jika bagian berulang dari ekspansi desimal *a*/*p* dibagi menjadi angka-angka yang masing-masing terdiri dari *k* digit, maka jumlahnya merupakan kelipatan dari 10*k* – 1.

Sebagai contoh, \frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421} 
memiliki periode 18. Membagi bagian berulang menjadi angka-angka 6 digit dan menjumlahkannya menghasilkan 052631+578947+368421=999999.
Demikian pula, membaginya menjadi angka-angka 3 digit dan menjumlahkannya menghasilkan 052+631+578+947+368+421=2997=3\times999.

## Teorema Midy pada basis lain
Teorema Midy dan perluasannya tidak bergantung pada sifat khusus ekspansi desimal, melainkan bekerja sama baiknya pada basis *b* apa pun, asalkan kita mengganti 10*k* – 1 dengan *b**k* – 1 dan melakukan penjumlahan dalam basis *b*.

Sebagai contoh, dalam oktal


\begin{align}
& \frac{1}{19}=0.\overline{032745}_8 \\[8pt]
& 032_8+745_8=777_8 \\[8pt]
& 03_8+27_8+45_8=77_8.
\end{align}


Dalam dozenal (menggunakan dua dan tiga terbalik untuk sepuluh dan sebelas)

: 
\begin{align}
& \frac{1}{19}=0.\overline{076\mathcal{E}45}*{12} [8pt]
& 076*{12}+\mathcal{E}45_{12}=\mathcal{EEE}*{12} [8pt]
& 07*{12}+6\mathcal{E}*{12}+45*{12}=\mathcal{EE}_{12}
\end{align} 

## Pembuktian Teorema Midy
Pembuktian singkat dari teorema Midy dapat diberikan menggunakan hasil dari teori grup. Namun, teorema Midy juga dapat dibuktikan menggunakan aljabar elementer dan aritmetika modular:

Misalkan *p* bilangan prima dan *a*/*p* pecahan antara 0 dan 1. Misalkan ekspansi *a*/*p* pada basis *b* memiliki periode *ℓ*, sehingga


\begin{align}
& \frac{a}{p} = [0.\overline{a_1a_2\dots a_\ell}]_b \\[6pt]
& \Rightarrow\frac{a}{p}b^\ell = [a_1a_2\dots a_\ell.\overline{a_1a_2\dots a_\ell}]_b \\[6pt]
& \Rightarrow\frac{a}{p}b^\ell = N+[0.\overline{a_1a_2\dots a_\ell}]_b=N+\frac{a}{p} \\[6pt]
& \Rightarrow\frac{a}{p} = \frac{N}{b^\ell-1}
\end{align}


di mana *N* adalah bilangan bulat yang ekspansinya dalam basis *b* adalah string *a*1*a*2...*a**ℓ*.

Perhatikan bahwa *b**ℓ* – 1 merupakan kelipatan *p* karena (*b**ℓ* – 1)*a*/*p* adalah bilangan bulat. Juga *b**n* – 1 bukan kelipatan *p* untuk nilai *n* yang lebih kecil dari *ℓ*, karena jika tidak periode berulang dari *a*/*p* akan kurang dari *ℓ*.

Sekarang misalkan *ℓ* = *hk*. Maka *b**ℓ* – 1 merupakan kelipatan dari *b**k* – 1. (Untuk melihat ini, gantikan *x* untuk *b**k*; maka *b**ℓ* = *x**h* dan *x* – 1 adalah faktor dari *x**h* – 1.) Misalkan *b**ℓ* – 1 = *m*(*b**k* – 1), sehingga

\frac{a}{p}=\frac{N}{m(b^k-1)}.

Tetapi *b**ℓ* – 1 merupakan kelipatan *p*; *b**k* – 1 **bukan** kelipatan *p* (karena *k* kurang dari *ℓ* ); dan *p* prima; sehingga *m* harus merupakan kelipatan *p* dan

\frac{am}{p}=\frac{N}{b^k-1}

adalah bilangan bulat. Dengan kata lain,

N\equiv0\pmod{b^k-1}. 

Sekarang bagi string *a*1*a*2...*a*ℓ menjadi *h* bagian sama panjang *k*, dan biarkan ini merepresentasikan bilangan bulat *N*0...*N**h*–1 dalam basis *b*, sehingga


\begin{align}
N_{h-1} & = [a_1\dots a_k]_b \\
N_{h-2} & = [a_{k+1}\dots a_{2k}]_b \\
& {}\  \   \vdots \\
N_0 & = [a_{l-k+1}\dots a_l]_b
\end{align}


Untuk membuktikan teorema Midy yang diperluas pada basis *b*, kita harus menunjukkan bahwa jumlah dari *h* bilangan *N**i* merupakan kelipatan dari *b**k* – 1.

Karena *b**k* kongruen dengan 1 modulo *b**k* – 1, maka setiap pangkat *b**k* juga kongruen dengan 1 modulo *b**k* – 1. Maka

N=\sum_{i=0}^{h-1}N_ib^{ik}=\sum_{i=0}^{h-1}N_i(b^{k})^i \Rightarrow N \equiv \sum_{i=0}^{h-1}N_i \pmod{b^k-1} \Rightarrow \sum_{i=0}^{h-1}N_i \equiv 0 \pmod{b^k-1}

yang membuktikan teorema Midy yang diperluas di basis *b*.

Untuk membuktikan teorema Midy yang asli, ambil kasus khusus di mana *h* = 2. Perhatikan bahwa *N*0 dan *N*1 keduanya direpresentasikan oleh string *k* digit pada basis *b*, sehingga keduanya memenuhi

0 \leq N_i \leq b^k-1. 

*N*0 dan *N*1 tidak mungkin keduanya sama dengan 0 (jika tidak *a*/*p* = 0) dan tidak mungkin keduanya sama dengan *b**k* – 1 (jika tidak *a*/*p* = 1), sehingga

0 

dan karena *N*0 + *N*1 adalah kelipatan dari *b**k* – 1, maka dapat disimpulkan bahwa

N_0+N_1 = b^k-1. 

## Korolari
Dari hal di atas, \frac{am}{p} adalah bilangan bulat

Maka m \equiv 0 \pmod p

Dan untuk k = \frac{\ell}{2}

b^{\ell/2}+ 1 \equiv 0 \pmod p 

Untuk k = \frac{\ell}{3} dan merupakan bilangan bulat

b^{2\ell/3} + b^{\ell/3} + 1 \equiv 0 \pmod p 

dan seterusnya.

## Referensi

## Sumber

*Rademacher, H. dan Toeplitz, O. *The Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur*. Princeton, NJ: Princeton University Press, hlm. 158–160, 1957. 
*E. Midy, "De Quelques Propriétés des Nombres et des Fractions Décimales Périodiques". College of Nantes, France: 1836.
*Ross, Kenneth A. "Repeating decimals: a period piece". *Math. Mag.* 83 (2010), no. 1, 33–45. 

## Pranala luar

*