Pendiferensialan logaritmik

Dalam kalkulus, **pendiferensialan logaritmik** adalah metode untuk mencari turunan suatu fungsi dengan menggunakan turunan logaritmik dari fungsi f
(\ln f(x))' = \frac{f'(x)}{f(x)} \quad \implies \quad  f'(x) = f(x) \cdot (\ln f(x))'
atau bisa juga ditulis
f'(x) = \left( e^{\ln f(x)} \right)' = e^{\ln f(x)} \cdot (\ln f(x))'

Teknik ini biasanya digunakan pada kasus di mana lebih mudah untuk mencari turunan logaritmik dari suatu fungsi, dibandingkan menurunkan fungsi tersebut secara langsung. Hal ini umumnya terjadi pada kasus di mana fungsinya terdiri dari perkalian beberapa suku, sehingga transformasi logaritmik akan mengubah operasi perkalian tersebut menjadi penjumlahan (yang tentunya lebih mudah untuk dicari turunannya). Teknik ini juga berguna ketika diterapkan pada fungsi yang dipangkatkan dengan suatu fungsi lain. Metode pendiferensialan logaritmik bergantung kepada kaidah rantai beserta sifat-sifat dari logaritma (khususnya logaritma alami, yaitu logaritma dengan basis *[[e (konstanta matematika)|e]]*) untuk mengubah perkalian menjadi penjumlahan dan pembagian menjadi pengurangan.

## Gambaran Umum

Metode ini digunakan sebab sifat-sifat dari logaritma memberikan jalan cepat untuk menyederhanakan fungsi-fungsi rumit yang akan dicari turunannya. Sebelum proses pencarian turunan, sifat-sifat ini dapat dimanipulasi setelah kedua ruas dikenakan logaritma alami. Sifat-sifat logaritma yang umum digunakan ialah
\ln (ab) = \ln (a) + \ln (b), \qquad
\ln \left( \frac{a}{b} \right) = \ln (a) - \ln (b), \qquad
\ln (a^b) = b \ln(a).

## Penerapan

### Hasil kali

Untuk mencari turunan dari hasil kali dua fungsi
y(x) = f(x) \cdot g(x)
maka kedua ruas dapat dikenakan logaritma alami, sehingga operasi perkaliannya berubah menjadi penjumlahan
\begin{align}
\ln \left( y(x) \right) &= \ln \left( f(x) \cdot g(x) \right) \\
&= \ln \left( f(x) \right) + \ln \left( g(x) \right)
\end{align}
Dengan menggunakan kaidah rantai dan kaidah penjumlahan, maka diperoleh
\begin{align}
\frac{y'(x)}{y(x)} &= \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)} \\
y'(x) &= y(x) \cdot \left( \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \\
&= f(x) \cdot g(x) \cdot \left( \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \\
&= f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
\end{align}
yang merupakan kaidah darab dalam turunan.

### Hasil-bagi

Untuk mencari turunan dari hasil bagi dua fungsi
y(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}
maka kedua ruas dapat dikenakan logaritma alami, sehingga operasi pembagiannya berubah menjadi pengurangan
\begin{align}
\ln \left( y(x) \right) &= \ln \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) \\
&= \ln \left( f(x) \right) - \ln \left( g(x) \right)
\end{align}
Dengan menggunakan kaidah rantai dan kaidah penjumlahan, maka diperoleh
\begin{align}
\frac{y'(x)}{y(x)} &= \frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{g'(x)}{g(x)} \\
y'(x) &= y(x) \cdot \left( \frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \\
&= \dfrac{f(x)}{g(x)} \cdot \left( \frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \\
&= \frac{f'(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x)}{g(x)} \cdot \frac{g'(x)}{g(x)} \\
&= \frac{f'(x) \cdot g(x)}{\left( g(x) \right)^2} - \frac{f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}
\end{align}
yang merupakan kaidah hasil-bagi dalam turunan.

### Eksponen berupa fungsi
Apabila fungsinya memiliki bentuk umum
y(x) = f(x)^{g(x)}
maka dengan mengenakan logaritma alami pada kedua ruas, operasi exponen yang ada akan menjadi perkalian, sehingga didapatkan
\begin{align}
\ln \left( y(x) \right) &= \ln \left( f(x)^{g(x)} \right) \\
&= g(x) \cdot \ln \left( f(x) \right)
\end{align}
Dengan menggunakan kaidah rantai dan kaidah darab, maka diperoleh
\begin{align}
\frac{y'(x)}{y(x)} &= g'(x) \cdot \ln \left( f(x) \right) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \\
y'(x) &= y(x) \cdot \left( g'(x) \cdot \ln \left( f(x) \right) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \right) \\
&= f(x)^{g(x)} \cdot \left( g'(x) \cdot \ln \left( f(x) \right) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \right) \\
\end{align}
Hasil yang sama juga dapat diperoleh apabila fungsi y dinyatakan sebagai y(x) = e^{g(x) \cdot \ln \left( f(x) \right)} yang diikuti oleh kaidah rantai.

#### Perumuman eksponen fungsi
Dengan menggunakan notasi Pi kapital, misalkan
\begin{align}
y(x) &= (f_1 (x))^{g_1 (x)} \cdot (f_2 (x))^{g_2 (x)} \cdot \ldots \cdot (f_n (x))^{g_n (x)} \\
y(x) &= \prod_{i \, = \, 1}^n f_i (x)^{g_i (x)}
\end{align}
adalah hasil kali berhingga dari fungsi dengan eksponen fungsi.

Dengan mengenakan logaritma alami pada kedua ruas, operasi perkaliannya akan berubah menjadi operasi penjumlahan, sehingga notasi Pi kapital di atas akan berubah menjadi notasi sigma kapital.
\begin{align}
y(x) &= f_1 (x)^{g_1 (x)} \cdot f_2 (x)^{g_2 (x)} \cdot \ldots \cdot f_n (x)^{g_n (x)} \\
\ln \left( y(x) \right) &= \ln \left( (f_1 (x))^{g_1 (x)} \cdot (f_2 (x))^{g_2 (x)} \cdot \ldots \cdot (f_n (x))^{g_n (x)} \right) \\
&= \ln \left( f_1 (x)^{g_1 (x)} \right) + \ln \left( f_2 (x)^{g_2 (x)} \right) + \ldots + \ln \left( f_n (x)^{g_n (x)} \right) \\
&= g_1 (x) \cdot \ln \left( f_1 (x) \right) + g_2 (x) \cdot \ln \left( f_2 (x) \right) + \ldots + g_n (x) \cdot \ln \left( f_n (x) \right) \\
&= \sum_{i \, = \, 1}^n g_i (x) \cdot \ln \left( f_i (x) \right)
\end{align}
Apabila kedua ruas diturunkan terhadap x, maka didapatkan
\begin{align}
\frac{y'(x)}{y(x)} &= \sum_{i \, = \, 1}^n \left( g_i'(x) \cdot \ln \left( f_i (x) \right) + g_i (x) \cdot \frac{f_i' (x)}{f_i (x)} \right) \\
y'(x) &= y(x) \cdot \sum_{i \, = \, 1}^n \left( g_i'(x) \cdot \ln \left( f_i (x) \right) + g_i (x) \cdot \frac{f_i' (x)}{f_i (x)} \right) \\
&= \left( \prod_{i \, = \, 1}^n f_i (x)^{g_i (x)} \right) \cdot \sum_{i \, = \, 1}^n \left( g_i'(x) \cdot \ln \left( f_i (x) \right) + g_i (x) \cdot \frac{f_i' (x)}{f_i (x)} \right)
\end{align}

## Lihat juga

* Turunan Darboux
* Perumuman dari turunan
* Grup Lie
* Indeks artikel logaritma
* Daftar identitas logaritma
* Bentuk Maurer–Cartan

## Catatan