Integral Berezin

Dalam fisika matematis, **Integral Berezin**, dinamai dari Felix Berezin, (juga dikenal sebagai **Integral Grassmann**, dinamai dari Hermann Grassmann) adalah sebuah cara untuk mendefinisikan integral pada fungsi-fungsi pada variabel Grassmann (anggota dari aljabar eksterior). Itu bukan sebuah integral dalam maksud integral Lebesgue, kata "integral" digunakan karena integral Berezin memiliki sifat-sifat analogi dari integral Lebesgue dan karena memperpanjang integral lintasan dalam fisika, yang di mana itu digunakan sebagai sebuah penjumlahan atas sejarah pada fermion.

## Definisi
Misalkan \Lambda^n adalah aljabar eksterior dari polinomial dalam anggota antikomutatif \theta_1,\dots, \theta_n dari bidang bilangan kompleks. (Urutan dari generator \theta_1,\dots, \theta_n tetap dan mendefinisikan awal dari aljabar eksterior.)

### Satu variabel
*Integral Berezin* melebihi variabel tunggal Grassmann \theta = \theta_1 didefinisikan menjadi sebuah fungsional linear

: \int [af(\theta)+bg(\theta)] \, d\theta = a\int f(\theta) \, d\theta + b\int g(\theta) \, d\theta, \quad a,b \in \Complex

...di mana kita mendefinisikan...

: \int \theta \, d\theta = 1, \qquad \int \, d\theta = 0 

sehinggaː

: \int \frac\partial{\partial\theta}f(\theta)\,d\theta = 0.

Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik dan menyiratkan

: \int (a\theta+b)\, d\theta = a, \quad a,b \in \Complex. 

Perhatikan bahwa f(\theta) = a \theta + b merupakan fungsi yang paling umum dari \theta karena variabel Grassmann kuadrat ke nol, jadi f(\theta) tidak dapat memiliki istilah tak nol melebihi urutan linear.

### Beberapa variabel
*Integral Berezin* dari \Lambda^n didefinisikan sebagai fungsi linear unik \int_{\Lambda^n} \mathrm{d}\theta dengan sifat-sifat berikut.

: \int_{\Lambda^n}\theta_{n}\cdots\theta_{1}\,\mathrm{d}\theta=1,
: \int_{\Lambda^n}\frac{\partial f}{\partial\theta_{i}}\,\mathrm{d}\theta=0,\ i=1,\dots,n

untuk setiap f \in \Lambda^n, di mana \frac{\partial}{\partial \theta_i} berarti turunan parsial kiri atau kanan. Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik.

Perhatikan bahwa konvensi yang berbeda dalam literaturː Beberapa penulis mendefinisikan sebaliknya

: \int_{\Lambda^n}\theta_{1}\cdots\theta_{n}\,\mathrm{d}\theta:=1.

Rumus

: \int_{\Lambda^n}f(\theta) \mathrm{d}\theta=\int_{\Lambda^1}\left( \cdots \int_{\Lambda^1}\left(\int_{\Lambda^1}f(\theta) \, \mathrm{d}\theta_{1}\right) \, \mathrm{d}\theta_2 \cdots \right)\mathrm{d}\theta_n

mengekspresikan hukum Fubini. Di sisi kanan, bagian dalam integral pada sebuah monomial f = g(\theta ' )\theta_1 diatur menjadi g(\theta '), di mana \theta'=\left(\theta_{2},\ldots,\theta_{n}\right), integral dari f=g (\theta') menghilang. Integral dengan terhadap \theta_2 dihitung dalam cara yang sama dan sebagainya.

### Perubahan dari variael Grassmann
Misalkan \theta_{i}=\theta_{i}\left(\xi_{1},\ldots,\xi_{n}\right),\ i=1,\ldots,n, adalah polinomial ganjil dalam beberapa variabel anitsimetris \xi_1,\dots,\xi_n. Matriks Jacobian bisa ditulis

di mana \frac{\partial}{\partial \xi_j} merujuk turunan sebelah kanan (\frac{\partial(\theta_1\theta_2)}{\partial\theta_2} = \theta_1, \; \frac{\partial(\theta_1\theta_2)}{\partial \theta_1} = -\theta_2). Rumus untuk perubahan koordinat terbaca

: \int f(\theta)\mathrm{d}\theta=\int f(\theta( \xi))(\det D)^{-1}\mathrm{d}\xi.

## Mengintegrasikan variabel genap dan ganjil

### Definisi
Sekarang pertimbangkan aljabar \Lambda^{m \mid n} dari fungsi dari variabel komutatif real x = x_1, \dots, x_m dan variabel antikomutatif \theta_{1},\ldots,\theta_{n} (yaitu disebut superaljabar bebas dari dimensi (m|n)). Berdasarkan intuitif, sebuah fungsi f=f(x,\theta) \in\Lambda^{m\mid n}  adalah sebuah fungsi dari variabel m  genap (bosonik, komutatif) dan dari variabel n ganjil (fermionik, antikomutatif). Lebih formal, sebuah anggota f = f(x,\theta) \in\Lambda^{m\mid n}  adalah sebuah fungsi dari argumen x yang bervariasi di himpunan terbuka X \subset \mathbb{R}^m dengan nilai di aljabar \Lambda^n . Andaikan bahwa fungsi ini kontinuitas dan menghilang dalam komplemen dari sebuah himpunan kompak K \subset \mathbb{R}^m. Integral Berezin adalah

: \int_{\Lambda^{m\mid n}}f(x,\theta)\mathrm{d}\theta \mathrm{d}x=\int_{\R^{m}}\mathrm{d}x\int_{\Lambda^{n}}f(x,\theta)\mathrm{d}\theta.

### Perubahan variabel genap dan ganjil
Misalkan sebuah transformasi koordinat diberikan oleh x_{i}=x_{i} (y,\xi),\ i=1,\ldots,m;\ \theta_{j}=\theta_{j} (y,\xi),j=1,\ldots, n, di mana x_i genap dan \theta_j adalah polinomial ganjil dari \xi bergantung pada variabel genap y. Matriks Jacobian dari transformasi ini memiliki bentuk kompleksː

: \mathrm{J}=\frac{\partial(x,\theta)}{\partial (y,\xi)}= \begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix},

di mana setiap turunan genap \frac{\partial}{\partial y_j} komuter dengan semua anggota dari aljabar \Lambda^{m \mid n} , turunan ganjil komuter dengan anggota genap dan antikomuter dengan anggota ganjil. Entri dari blok diagonal A = \frac{\partial x}{\partial y} dan D = \frac{\partial \theta}{\partial \xi} adalah genap dan entri dari blok off-diagonal B = \frac{\partial x}{\partial \xi}, C = \frac{\partial \theta}{\partial y}, di mana \frac{\partial}{\partial \xi_j}  lagi berarti *turunan kanan*.

Kita sekarang perlu Berezinian (atau superdeterminan) dari matriks \mathrm{J}, yang di mana fungsi genap

: \mathrm{Ber~J}=\det\left( A-BD^{-1}C\right) \det D^{-1}

mendefinisikan ketika fungsi \det D invertible (artinya matriks yang dapat dibalik) dalam \Lambda^{m \mid n} . Andaikan bahwa fungsi real x_i = x_i(y,0) mendefinisikan pemetaan invertible mulus F : Y \to X dari himpunan terbuka X, Y dalam \mathbb{R}^m dan bagian linear dari \xi \mapsto \theta = \theta(y, \xi)  invertible untuk setiap y \in Y . Hukum transformasi secara umum untuk inegral Berezin menunjukkan

: \int_{\Lambda^{m\mid n}}f(x,\theta)\mathrm{d}\theta\mathrm{d}x=\int_{\Lambda^{m\mid n}}f(x(y,\xi),\theta (y,\xi)) \varepsilon \mathrm{Ber~J~d} \xi\mathrm{d}y =\int_{\Lambda^{m\mid n}}f (x(y,\xi),\theta (y,\xi))\varepsilon\frac{\det\left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}\mathrm{d}\xi\mathrm{d}y,

di mana \varepsilon=\mathrm{sgn}\left(\det \left(\frac{\partial x(y,0)}{\partial y} \right) \right) adalah tanda dari awalnya  pemetaan F. Superposisi f(x(y,\xi),\theta(y,\xi)) mendefinisikan dalam cara yang jelas, jika fungsi x_{i}(y,\xi) tidak bergantung pada \xi. Dalam kasus umum, kita tulis x_{i}(y,\xi) = x_i(y,0) + \delta_i, di mana \delta_{i}, i=1,\ldots,m adalah anggota nilpoten genap dari \Lambda^{m \mid n}  dan himpunan

: f(x(y,\xi),\theta) =f(x(y,0),\theta) +\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x(y,0),\theta) \delta_{i}+\frac{1}{2} \sum_{i,j} \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(x(y,0),\theta) \delta_{i}\delta_{j}+ \cdots,

di mana deret Taylor terbatas.

## Rumus yang berguna
Rumus berikut untuk integral Gaussian digunakan kerap kali dalam rumus integral lintasan dari teori medan kuantumː

*\int \exp\left[-\theta^TA\eta\right]\ \mathrm{d}\theta \ \mathrm{d}\eta = \det A 

dengan A menjadi sebuah matriks n \times n yang kompleks.

\int \exp\left[- \tfrac{1}{2} \theta^T M \theta\right] \, \mathrm{d} \theta = \begin{cases} \mathrm{Pf}\, M & n \mbox{ genap} \\ 0 & n \mbox{ ganjil} \end{cases}

dengan M menjadi sebuah matriks miring simetris n \times n  yang kompleks, dan \text{Pf} \ M menjadi Pfaffian dari MM , yang memenuhi (\text{Pf}\ M)^2 = \det M.

Rumus di atas, notasi \mathrm{d}\theta = \mathrm{d}\theta_1 \cdots \mathrm{d}\theta_n  digunakan. Dari rumus-rumus ini, rumus berguna lainnya berikutː

*\int \exp\left[-\left(\theta^TA\eta +\theta^T J + K^T \eta \right)\right] \,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\eta = \det A \,\,\exp[-K^T A^{-1} J ] 

dengan A  menjadi sebuah matriks n \times n  invertible. Catatan bahwa integral-integral ini semuanya dalam bentuk dari fungsi partisi.

## Sejarah
Teori matematika dari integral dengan variabel komuter dan antikomuter ditemukan dan dikembangkan oleh Felix Berezin. Beberapa wawasan awal yang penting dibuat oleh David John Candlin di tahun 1956. Penulis lainnya berkontribusi pengembangan ini, termasuk ahli limu fisika Khalatnikov (meskipun makalahnya memiliki kesalahan), Matthews dan Salam, dan Martin.

## Literatur

* Theodore Voronov: *Geometric integration theory on Supermanifolds*, Harwood Academic Publisher, 
* Berezin, Felix Alexandrovich: *Introduction to Superanalysis*, Springer Netherlands, 

## Lihat Pula

* Supermanifold
* Berezinian

## Referensi