Aljabar Bose–Mesner

Dalam matematika, **aljabar Bose–Mesner** merupakan himpunan khusus matriks yang muncul dari struktur kombinatorial yang dikenal sebagai skema asosiasi, Kaidah-kaidahnya menggabungkan (lebih tepatnya, membentuk hasil kali atau darab dari) matriks tersebut, sehingga membentuk aljabar asosiatif atau lebih tepatnya, aljabar komutatif uniter. Kaidah tersebut berbunyi:
:*Hasil dari suatu darab juga merupakan himpunan matriks,
:*ada matriks identitas dalam himpunan, dan
:*darab matriksnya adalah komutatif.

Aljabar Bose–Mesner dapat diterapkan ke dalam cabang fisika hingga model spin. Selain itu, aljabar ini juga dapat diterapkan ke dalam cabang statistika hingga desain eksperimen. Aljabar ini dinamai dari dua orang matematikawan yang bernama R. C. Bose dan Dale Marsh Mesner.

## Definisi
Misalkan *X* adalah himpunan elemen *v* dan misalkan partisi dari subhimpunan 2-anggota dari *X* adalah himpunan bagian takkosong *n*, *R*1, ..., *R**n* sehingga:
* diberikan x \in X, jumlah dari y \in X sehingga \{x,y\} \in R_i hanya bergantung pada *i* (dan bukan pada *x*). Bilangan ini akan dilambangkan dengan vi, dan
* diberikan x,y \in X dengan \{x,y\} \in R_k, jumlah dari z \in X sehingga \{x,z\} \in R_i dan \{z,y\} \in R_j hanya bergantung pada *i*, *j* dan *k* (dan bukan pada *x* dan *y*). Bilangan ini akan dilambangkan dengan p^k_{in}.
Struktur pada definisi tersebut dapat diperkuat dengan menambahkan semua pasangan elemen berulang *X* dan mengumpulkannya dalam himpunan bagian *R*0. Hal ini memungkinkan parameter *i*, *j*, dan *k* mengambil nilai nol, dan memisalkan untuk setiap *x*,*y* atau *z* adalah sama.

Himpunan dengan partisi yang diperkuat tersebut biasanya disebut skema asosiasi. Seseorang dapat melihat skema asosiasi sebagai partisi dari tepi graf lengkap (dengan himpunan simpul *X*) ke dalam kelas-*n* yang biasanya dianggap sebagai kelas warna. Dalam representasi ini, terdapat gelung di setiap simpul dan semua gelung menerima warna ke-0 yang sama.

Skema asosiasi juga dapat direpresentasikan secara aljabar, dengan cara memisalkan *D**i* adalah matriks yang didefinisikan sebagai:
: (D_i)_{x,y} = \begin{cases} 
1,& \text{jika } \left(x,y\right)\in R_{i},\\ 
0,& \text{jika tidak.}  \end{cases} \qquad (1)

Lalu, misalkan \mathcal{A} adalah ruang vektor yang terdiri dari semua matriks \sideset{}{_{i=0}^{n}}\sum a_{i}D_{i} dengan kompleks a_{i}. Maka, definisi dari skema asosiasi ekuivalen dengan pernyataan yang mengatakan bahwa D_{i} adalah *v* × *v* pada matriks-(0,1) yang memenuhi sifat berikut:

# D_i adalah simetris,
# \sum_{i=0}^n D_{i}=J  (semuanya adalah matriks satuan),
# D_0=I,
# D_i D_j = \sum_{k=0}^n p^k_{ij} D_k = D_j D_i,\qquad i,j=0,\ldots,n.

Entri ke-(*x*,*y*) dari ruas kiri 4 adalah jumlah dua jalur berwarna dengan panjang yang menghubungkan *x* dan *y* (menggunakan "warna" *i* dan *j*) dalam graf. Perhatikan bahwa baris dan kolom D_i mengandung 1 di v_i:

: D_i J=J D_i = v_i J. \qquad (2)

Sifat yang ke-1 mengatakan bahwa matriksnya adalah simetris. Sifat yang ke-2 mengatakan bahwa. D_{0},\ldots,D_{n} adalah bebas linear, dan dimensi \mathcal{A} adalah n+1. Dan sifat yang keempat mengatakan bahwa \mathcal{A} tertutup terhadap perkalian, dan perkaliannya selalu asosiatif. Aljabar komutatif \mathcal{A} yang memiliki sifat asosiatif ini, disebut juga sebagai **aljabar Bose–Mesner** dari skema asosiasi. Karena matriks pada \mathcal{A} adalah simetris dan bertukar satu sama lain, maka matriks tersebut dapat didiagonalisasi secara bersamaan. Artinya, ada matriks S sehingga untuk setiap A\in\mathcal{A}, terdapat matriks diagonal \Lambda_{A} dengan S^{-1}A S=\Lambda_{A}. Hal ini mengartkan bahwa \mathcal{A} adalah semi-sederhana dan memiliki basis unik dari idempoten primitif J_{0},\ldots,J_{n}. Matriks kompleks *n* × *n* ini memenuhi sifat-sifat berikut.

: 
J_i^2 =J_i, i=0,\ldots,n, \qquad (3)


: 
J_i J_k=0, i\neq k, \qquad (4)


: 
\sum_{i=0}^n J_i = I. \qquad (5)


**Aljabar Bose–Mesner** memiliki dua basis yang berbeda. Yang kepertama, basisnya terdiri dari matriks idempoten D_i, dan yang kedua, basisnya terdiri dari matriks idempoten taktereduksikan E_k. Menurut definisi, ada bilangan kompleks yang terdefinisi dengan baik, sehingga

: 
D_{i}=\sum_{k=0}^n p_i (k) E_k, \qquad (6)


dan

: 
|X|E_{k}=\sum_{i=0}^n q_k\left(i\right)D_i. \qquad (7)


Bilangan-*p* p_i (k) dan bilangan-*q* q_k(i) memainkan peran penting dalam teori. Bilangan tersebut memenuhi kaitan ortogonalitas yang terdefinisi dengan baik. Bilangan-*p* adalah nilai eigen dari matriks kedampingan D_i.

## Teorema

Nilai eigen dari p_i(k) dan q_k(i), memenuhi syarat-syarat ortogonalitas. Syarat-syarat tersebut adalah

: 
\sum_{k=0}^n \mu_i p_i (k)p_\ell (k)=v v_i \delta_{i \ell}, \quad(8)


: 
\sum_{k=0}^n \mu_i q_k (i) q_\ell (i)=v \mu_k \delta_{k \ell}. \quad(9)


Dan juga,

: 
\mu_j p_i (j) = v_i q_ j (i),\quad i,j=0,\ldots,n. \quad(10)


Dalam notasi matriks,

: 
P^T \Delta_\mu P=v\Delta_v, \quad(11)

dan
: 
Q^T \Delta_v Q=v\Delta_\mu, \quad(12)


dengan \Delta_v = \operatorname{diag} \{v_0,v_1,\ldots,v_n\} dan \Delta_\mu = \operatorname{diag} \{\mu_0,\mu_1,\ldots,\mu_n\}.

## Bukti teorema

Nilai eigen dari D_i D_\ell adalah p_i (k)p_\ell (k) dengan perkalian \mu_k. Hal ini menyiratkan bahwa

: 
v v_i \delta_{i\ell} = \operatorname{trace}D_i D_\ell = \sum_{k=0}^n \mu_i p_i(k) p_\ell (k), \quad(13)


yang membuktikan Persamaan \left(8\right) dan Persamaan \left(11\right),

: 
Q = v P^{-1} = \Delta_v^{-1} P^T \Delta_\mu, \quad(14)


yang memberikan Persamaan (9), (10) dan (12).\Box

Ada analogi antara perluasan skema asosiasi dan perluasan dari Medan berhingga. Kasus yang paling menariknya adalah kasus dimana skema yang diperluas didefinisikan pada kuasa Kartesius ke-n X=\mathcal{F}^{n} dari satu himpunan \mathcal{F} dimana skema asosiasi \left(\mathcal{F},K\right) dasar didefinisikan. skema asosiasi pertama yang didefinisikan pada X=\mathcal{F}^{n} disebut kuasa Kronecker ke-n \left(\mathcal{F},K\right)_{\otimes}^{n} pada \left(\mathcal{F},K\right). Selanjutnya ekstensi didefinisikan pada himpunan yang sama X=\mathcal{F}^{n} dengan mengumpulkan kelas \left(\mathcal{F},K\right)_{\otimes}^{n}. Kuasa Kronecker sesuai dengan gelanggang polinomial F\left[X\right] yang pertama kali didefinisikan pada medan \mathbb{F}, sedangkan skema ekstensi sesuai dengan medan ekstensi yang diperoleh sebagai hasil bagi. Contoh skema yang diperluas adalah skema Hamming.

Skema asosiasi dapat digabungkan, tetapi menggabungkan mereka mengarah ke skema asosiasi non-simetris, sedangkan semua kode biasa adalah subgrup dalam simetris skema Abelian.

## Lihat pula
* Skema asosiasi

## Catatan

## Referensi
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*