Kesetaraan Morita

Dalam aljabar abstrak, **Kesetaraan Morita** adalah hubungan yang didefinisikan antara gelanggang yang mempertahankan banyak sifat teori gelanggang. Nama rumus ini dinamai oleh matematikawan asal Jepang Kiiti Morita yang mendefinisikan kesetaraan dan gagasan serupa tentang dualitas pada tahun 1958.

## Motivasi
Gelanggang biasanya dipelajari dalam istilah modul, as modul dapat dilihat sebagai representasi gelanggang. Setiap gelanggang * R * memiliki * R * alami struktur modul pada dirinya sendiri di mana tindakan modul didefinisikan sebagai perkalian di dalam gelanggang, jadi pendekatan melalui modul lebih umum dan memberikan informasi yang berguna. Because of this, one often studies a ring by studying the category of modules over that ring. Kesetaraan Morita membawa sudut pandang ini ke kesimpulan alami dengan mendefinisikan cincin menjadi setara Morita jika kategori modul mereka adalah setara. Gagasan ini hanya menarik ketika berhadapan dengan gelanggang nonkomutatif, karena dapat ditunjukkan bahwa dua cincin komutatif adalah ekuivalen Morita jika dan hanya jika keduanya isomorfik.

## Definisi
Dua gelanggang * R * dan * S * (asosiatif, dengan 1) dikatakan (**Morita**) **setara** jika ada persamaan kategori (kiri) modul di atas * R *, * R-Mod *, dan kategori modul (kiri) di atas * S *, * S-Mod *. Dapat ditunjukkan bahwa kategori modul kiri * R-Mod * dan * S-Mod * adalah setara jika dan hanya jika kategori modul kanan * Mod-R * dan * Mod-S * adalah setara. Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa setiap functor dari * R-Mod * hingga * S-Mod * yang menghasilkan kesetaraan secara otomatis additive.

## Kriteria kesetaraan
Persamaan dapat dikarakterisasi sebagai berikut: if *F*:*R-Mod* \to *S-Mod* and *G*:*S-Mod*\to *R-Mod* adalah aditif (kovarian) functors, maka * F * dan * G * adalah padanan jika dan hanya jika ada keseimbangan (*S*,*R*)-bimodule *P* seperti S*P*  dan  *P*R  adalah dihasilkan secara terbatas proyektif generator dan ada isomorfisme alami dari fungtornya  \operatorname{F}(-) \cong P \otimes_R - , dan dari para funktor \operatorname{G}(-) \cong \operatorname{Hom}(_{S}P,-). Generator proyektif yang dihasilkan secara tak terbatas juga kadang-kadang disebut **progenerator** untuk kategori modulnya.

Untuk setiap kanan-tepat functor * F * dari kategori kiri - * R * modul ke kategori kiri - * S * modul yang bolak-balik dengan jumlah langsung, Teorema aljabar homologis menunjukkan bahwa ada * (S, R) * - bimodule * E * sehingga funktor \operatorname{F}(-) secara alami isomorfik ke funktor E \otimes_R -. Karena kesetaraan dengan kebutuhan tepat dan bolak-balik dengan jumlah langsung, ini menyiratkan bahwa * R * dan * S * adalah Morita setara jika dan hanya jika ada bimodule *<sub>R</sub>M<sub>S</sub>* dan *<sub>S</sub>N<sub>R</sub>* sehingga M \otimes_{S} N \cong R sebagai *(R,R)* bimodul dan N \otimes_{R} M \cong S sebagai * (S, S) * bimodules. Selain itu, * N * dan * M * terkait melalui isomorfisma bimodule * (S, R) *: N \cong \operatorname{Hom}(M_S,S_S).

Lebih konkret, dua cincin * R * dan * S * adalah Morita setara jika dan hanya jika S\cong \operatorname{End}(P_R) untuk modul progenerator *P<sub>R</sub>*,
:S\cong e\mathbb{M}_{n}(R)e 
(isomorfisma cincin) untuk beberapa bilangan bulat positif * n * dan idempotensi penuh * e * di cincin matriks Mn(*R*).

Diketahui bahwa jika * R * adalah Morita setara dengan * S *, maka cincin C (* R *) isomorfik ke gelanggang C (* S *), *R*/*J*(*R*) adalah Morita setara dengan *S*/*J*(*S*), di mana * J * (-) menunjukkan radikal Jacobson.

Sementara cincin isomorfik setara Morita, cincin setara Morita bisa nonisomorfik. Contoh mudahnya adalah bahwa gelanggang pembagian * D * adalah Morita yang setara dengan semua gelanggang matriksnya *M**n*(*D*), tetapi tidak bisa menjadi isomorfik bila * n *> 1. Dalam kasus khusus cincin komutatif, cincin ekivalen Morita sebenarnya isomorfik. Ini segera mengikuti dari komentar di atas, karena jika * R * adalah Morita setara dengan * S *, R=\operatorname{C}(R)\cong \operatorname{C}(S)=S.

## Signifikansi dalam teori-K
Jika dua Gelanggang setara dengan Morita, Ada persamaan induksi dari masing-masing kategori modul proyektif karena kesetaraan Morita akan mempertahankan urutan yang tepat (dan karenanya modul proyektif). Karena teori-K aljabar sebuah cincin ditentukan (dalam Pendekatan Quillen) dalam hal grup homotopi dari (kira-kira) ruang klasifikasi dari saraf dari kategori (kecil) modul proyektif yang dihasilkan secara halus di atas gelanggang, Cincin ekuivalen Morita harus memiliki gugus-K isomorfik.

## Referensi

* 
* 
* 
* 
* 

## Bacaan lebih lanjut
*