Perkalian titik kurva eliptis

**Perkalian skalar kurva eliptik** adalah operasi pertambahan berulang sebuah titik di sepanjang kurva eliptik dengan dirinya sendiri. Perhitungan ini dipakai dalam kriptografi kurva eliptik (ECC) sebagai cara untuk membuat fungsi satu arah. Nama yang terkenal luas adalah **perkalian titik kurva eliptik**. Namun, nama itu bisa memberikan makna yang kurang tepat, yakni perkalian antara dua titik.

## Dasar-dasar
Diberikan kurva *E* yang didefinisikan sebagai  dalam medan berhingga. Perkalian titik didefinisikan sebagai pertambahan berulang sebuah titik dalam kurva tersebut. Operasi ini ditulis sebagai  dengan *n* bilangan bulat dan titik  berada pada kurva *E*. Kurva jenis ini disebut juga kurva Weierstrass.

Keamanan ECC modern bergantung pada kesulitan untuk mencari *n* dari  bila diketahui nilai *P* dan *Q* jika *n* besar. Masalah tersebut dikenal sebagai masalah logaritma diskret kurva eliptik. Masalah ini muncul karena penjumlahan dua titik (atau dengan dirinya sendiri) menghasilkan titik pada kurva yang tidak memiliki hubungan yang jelas dengan letak titik sebelumnya. Hasil *nP* bisa ada di mana saja.

Masalah tersebut bisa digambarkan seperti menambahkan sekian menit pada jarum jam *n* kali. Bila *n* kecil, letak jarum asal bisa dicari. Namun, setelah ribuan kali, bahkan jutaan kali, letak jarum asal bisa di mana saja. Untuk membaliknya, yaitu mencari nilai *n*, kita hanya bisa mencoba nilai *n* satu demi satu yang, kalau *n* sangat besar, akan sulit dilakukan.

## Operasi titik

Ada tiga operasi yang sering dipakai untuk titik pada kurva eliptik, yaitu pertambahan titik, penggandaan titik, dan negasi titik.

### Titik di takhingga
Titik di takhingga (\mathcal{O}) adalah elemen identitas dalam aritmetika kurva eliptik. Penambahan titik dengannya menghasilkan titik itu sendiri, termasuk titik di takhingga sendiri.

: \begin{align}
\mathcal{O} + \mathcal{O} &= \mathcal{O} \\
\mathcal{O} + P &= P
\end{align}

Titik di takhingga juga ditulis sebagai 0.

### Negasi titik
Negasi sebuah titik adalah titik yang, bila ditambahkan kepada titik tersebut, menghasilkan titik di takhingga (\mathcal{O}).

: P + (-P) = \mathcal{O}

Untuk kurva eliptik, negasi titiknya adalah titik yang sama, tetapi nilai *y*-nya diganti jadi lawannya (negatifnya).

: \begin{align}
(x, y) + (-(x, y)) &= \mathcal{O} \\
(x, y) + (x, -y) &= \mathcal{O} \\
(x, -y) &= -(x, y)
\end{align}

### Pertambahan titik
Pertambahan dua titik yang berbeda, *P* dan *Q*, didefinisikan sebagai negasi dari titik hasil perpotongan kurva *E* dengan garis lurus yang dibentuk oleh *P* dan *Q*. Hasilnya disimbolkan dengan *R*.

: \begin{align}
P + Q &= R \\
(x_p, y_p) + (x_q, y_q) &= (x_r, y_r)
\end{align}

Untuk kurva eliptik , titik *R* dapat dihitung sebagai berikut:

: \begin{align}
\lambda &= \frac{y_q - y_p}{x_q - x_p} \\
x_r &= \lambda^2 - x_p - x_q \\
y_r &= \lambda(x_p - x_r) - y_p
\end{align}

Persamaan di atas berlaku untuk dua titik yang berbeda dan tiada yang berupa titik di takhingga.

### Penggandaan titik
Ketika titik *P* dan *Q* berhimpit, pertambahannya mirip di atas. Namun, karena tidak jelas gradien garis lurus yang melintasi titik tersebut, dipakailah limitnya, yaitu gradien garis singgung kurva *E* di *P*:

: \lambda = \frac{3x_p^2 + a}{2y_p}

dengan *a* adalah koefisien *x* seperti persamaan di atas.

## Perkalian titik
 

## Lihat pula
* Kurva eliptik
* Kriptografi kurva eliptik

## Daftar pustaka
* 
*