Teori roda

Sebuah **roda** merupakan tipe aljabar, dalam arti aljabar universal, di mana pembagian selalu terdefinisi. Khususnya, pembagian oleh nol menjadi berarti. Bilangan real dapat dijabarkan menjadi sebuah roda, seperti halnya gelanggang komutatif.

Istilah *roda* terinspirasi oleh gambar topologis \odot dari garis proyektif bersama dengan titik tambahan \bot = \frac{0}{0}.

## Definisi
Sebuah roda merupakan sebuah strukur aljabar (W,0,1,+,\cdot, /), di mana

* W merupakan sebuah himpunan,
* 0 dan 1 merupakan elemen dari himpunan tersebut,
* + dan \cdot merupakan operator biner,
* / merupakan sebuah operator uner,

dan memenuhi sebagai berikut:

* Penjumlahan dan perkalian adalah komutatif dan asosiatif, dengan 0 dan 1 sebagai masing-masing identitasnya.
* //x = x (/ adalah involusi)
* /(xy) = /y/x (/ adalah perkalian)
* xz+yz=(x+y)z+0z
* (x+yz)/y = x/y + z+0y
* 0\cdot0=0
* (x+0y)z=xz+0y
* /(x+0y)=/x+0y
* 0/0+x=0/0

## Aljabar roda
Roda menggantikan pembagian biasa sebagai operator biner dengan perkalian, dengan sebuah operator uner diterapkan ke satu argumen /x mirip (tapi tak identis) dengan invers perkalian x^{-1}, sehingga a/b menjadi tulisan cepat untuk a \cdot /b = /b \cdot a, tetapi bukan baik a \cdot b^{-1} maupun b^{-1} \cdot a umumnya, dan memodifikasi aturan aljabar sehingga

* 0x\ne 0 dalam kasus umum
* x-x\ne0 dalam kasus umum
* x/x\ne 1 dalam kasus umum, karena /x tidak sama dengan invers perkalian dari x.

Jika terdapat sebuah elemen a sehingga 1+a=0, maka kita dapat mendefinisikan negasi dengan -x = ax dan x-y=x+(-y).

Identitas lainnya yang dapat diturunkan ialah

* 0x+0y=0xy
* x-x=0x^2
* x/x=1+0x/x

Dan, untuk x dengan 0x=0 dan 0/x=0 kita mendapatkan yang biasa

* x-x=0
*

Jika negasi dapat didefinisikan seperti di atas, maka subhimpunan \{x \, | \, 0x = 0 \} merupakan sebuah gelanggang komutatif, dan setiap gelanggang komutatif seperti sebuah subhimpunan dari sebuah roda. Jika x adalah sebuah elemen terbalikkan dari teori gelanggang, maka x^{-1} = x. Dengan demikian, setiap kali x^{-1} masuk akal, ini sama dengan /x, tetapi yang terakhir selalu didefinisikan, bahkan ketika x=0.

## Contoh

### Roda pecahan
Misalkan A menjadi sebuah gelanggang komutatif, dan misalkan S menjadi sebuah submonoid perkalian dari A. Mendefinisikan relasi kekongruenan \sim_S pada A \times A melalui

(x_1,x_2) \sim_S (y_1,y_2) berarti bahwa terdapat suatu s_x,s_y \in S sehingga (s_x x_1, s_x x_2) = (s_y y_1, s_y y_2).

Mendefinisikan *roda pecahan* dari A yang terhadap S sebagai kuosien A \times A~/ \sim_S (dan melambangkan kelas kesetaraan berisi (x_1,x_2) sebagai [x_1,x_2] dengan operasi

0 = [0_A,1_A] (identitas tambahan)

1=[1_A,1_A]  (identitas perkalian)

/[x_1,x_2] = [x_2,x_1]  (operasi timbal-balik)

[x_1,x_2] + [y_1,y_2] = [x_1y_2 + x_2y_1,x_2y_2]  (operasi penambahan)

[x_1,x_2] \cdot [y_1,y_2] = [x_1y_1,x_2y_2] (operasi perkalian)

### Garis proyektif dan bola Riemann
Kasus khusus di atas dimulai dengan sebuah medan menghasilkan sebuah garis proyektif diperpanjang menjadi sebuah roda dengan berdampingan sebuah elemen \bot, di mana 0/0 = \bot. Garis proyektif merupakan sendirinya sebagai ekstensi dari medan asli oleh sebuah unsur \infty, di mana z/0 = \infty untuk setiap elemen z \ne 0 dalam medan. Namun, 0/0 masih takterdefinisi pada garis proyektif, tetapi terdefinisi dalam ekstensinya menjadi sebuah roda.

Dimulai dengan bilangan real, "garis" proyektif padanan secara geometris sebuah lingkaran, dan kemudian titik tambahan 0/0 memberikan bentuk yang merupakan sumber dari istilah "roda". Atau dimulai dengan bilangan kompleks sebagai gantinya, "garis" proyektif padanan merupakan sebuah bola (bola Riemann), dan kemudian titik tambahan memberikan sebuah versi 3 dimensi dari sebuah roda.

## Kutipan

## Referensi

*  (a draft)
*  (also available online here).
* 
*