Bentuk kanonik

Dalam matematika dan ilmu komputer, **bentuk** **kanonik**, **normal**, atau **standar** dari objek matematika adalah cara standar untuk menampilkan objek tersebut sebagai ekspresi matematika. Sering kali, itu adalah salah satu yang memberikan representasi paling sederhana dari suatu objek dan yang memungkinkannya untuk diidentifikasi dengan cara unik. Perbedaan antara bentuk "kanonik" dan "normal" bervariasi dari subbidang ke subbidang. Di sebagian besar bidang, bentuk kanonik menentukan representasi *unik* untuk setiap objek, sedangkan bentuk normal hanya menentukan bentuknya, tanpa persyaratan keunikan.

Bentuk kanonik dari bilangan bulat positif dalam representasi desimal adalah barisan digit berhingga yang tidak dimulai dengan nol. Secara umum, untuk kelas objek yang dimana relasi ekuivalensi didefinisikan, sebuah **bentuk kanonik** terdiri dari pilihan objek tertentu di setiap kelas. Misalnya:

* Bentuk normal Jordan adalah bentuk kanonik untuk keserupaan matriks.
* Bentuk baris eselon adalah bentuk kanonik, ketika menganggap matriks ekuivalen dan hasil kali kirinya dengan matriks invers.

Dalam ilmu komputer, dan secara umum dalam aljabar komputer, ketika mewakili objek matematika di komputer, biasanya ada banyak cara berbeda untuk mewakili objek yang sama. Dalam konteks ini, **bentuk kanonik** adalah representasi sedemikian rupa sehingga setiap objek memiliki representasi unik (dengan kanonikalisasi menjadi proses yang dimana representasi dimasukkan ke dalam bentuk kanoniknya). Jadi, kesetaraan dua objek dapat dengan mudah diuji dengan menguji kesetaraan bentuk kanoniknya.

Terlepas dari keuntungan ini, bentuk kanonik sering bergantung pada pilihan arbitrer (seperti mengurutkan variabel), yang menimbulkan kesulitan untuk menguji kesetaraan dua objek yang menghasilkan perhitungan yang independen. Oleh karena itu, dalam aljabar komputer, *bentuk normal* adalah gagasan yang lebih lemah: Sebuah **bentuk normal** adalah representasi sedemikian rupa sehingga nol direpresentasikan secara unik. Ini memungkinkan pengujian kesetaraan dengan menempatkan perbedaan dua objek dalam bentuk normal.

**Bentuk kanonik** juga bisa berarti bentuk diferensial yang didefinisikan secara alamiah (kanonik).

## Definisi
Diberikan himpunan *S* objek dengan relasi ekuivalen *R pada S*, sebuah **bentuk kanonik** diberikan dengan menunjuk beberapa objek *S* menjadi "dalam bentuk kanonik", sedemikian rupa sehingga setiap objek yang dipertimbangkan setara dengan tepat satu objek dalam bentuk kanonik. Dengan kata lain, bentuk-bentuk kanonik dalam “S” mewakili kelas-kelas ekuivalen yang hanya sekali. Untuk menguji apakah dua objek ekuivalen, maka cukup menguji kesetaraan pada bentuk kanoniknya.
Sebuah bentuk kanonik dengan demikian menyediakan teorema klasifikasi dan sebagainya, dalam hal ini tidak hanya mengklasifikasikan setiap kelas, tetapi juga memberikan perbedaan (kanonik) perwakilan untuk setiap objek di kelas.

Secara formal, kanonikalisasi sehubungan dengan suatu relasi ekuivalensi *R* pada suatu himpunan *S* merupakan pemetaan *c*:*S*→*S* sehingga untuk semua *s*, *s*1, *s*2 ∈ *S*:
# *c*(*s*) = *c*(*c*(*s*)) &nbsp; (idempotensi),
# *s*1 *R* *s*2 jika dan hanya jika *c*(*s*1) = *c*(*s*2) &nbsp; (penegasan), dan 
# *s* *R* *c*(*s*) &nbsp; (keterwakilan). 

Properti 3 adalah; berikut dengan penerapan 2 ke 1.

Dalam istilah praktis, sering kali menguntungkan untuk dapat mengenali bentuk-bentuk kanonik. Ada juga pertanyaan algoritmik praktis yang perlu dipertimbangkan: bagaimana cara berpindahnya dari suatu objek tertentu *s* dalam *S* pada bentuk kanoniknya *s**? Bentuk kanonik umumnya digunakan untuk membuat operasi dengan kelas ekuivalen menjadi sangat efektif. Misalnya, dalam aritmetika modular, bentuk kanonik untuk kelas residu biasanya diambil sebagai bilangan bulat non-negatif terkecil di dalamnya. Operasi pada kelas secara dilakukan dengan menggabungkan perwakilan ini, dan kemudian mengurangi hasilnya menjadi residu non-negatif yang menjadi sedikit.
Persyaratan keunikan terkadang dilonggarkan, memungkinkan bentuk menjadi unik hingga beberapa relasi ekuivalen yang lebih baik, seperti memungkinkan untuk menyusun ulang istilah (jika tidak ada pengurutan alami pada istilah).

Bentuk kanonik mungkin hanya berupa konvensi, atau sebuah teorema dalam. Misalnya, polinomial secara konvensional ditulis dengan istilah dalam pangkat menurun: itu biasanya ditulis *x*2 + *x* + 30 dibanding *x* + 30 + *x*2, meskipun kedua bentuk tersebut mendefinisikan polinomial yang sama. Sebaliknya, keberadaan bentuk kanonik Jordan untuk sebuah matriks adalah sebuah teorema dalam.

## Sejarah
Menurut OED dan LSJ, istilah dalam bahasa Inggris *[[canonical]]* berasal dari kata Yunani Kuno *kanonikós* (**', "beraturan, menurut aturan") dari ''kanṓn'' (**', "tongkat, aturan"). Pengertian , , atau pola dasar telah digunakan dalam banyak disiplin ilmu. Penggunaan matematis dibuktikan dalam surat tahun 1738 dari Logan. Istilah dalam  dibuktikan dalam makalah tahun 1846 oleh Eisenstein, kemudian pada tahun yang sama Richelot menggunakan istilah *Normalform* dalam sebuah makalah, and in 1851 Sylvester writes:

Pada periode yang sama, penggunaan dibuktikan dengan Hesse ("Normalform"), Hermite ("forme canonique"), Borchardt ("forme canonique"), dan Cayley ("canonical form").

Pada tahun 1865, Kamus Sains, Sastra, dan Seni mendefinisikan bentuk kanonis sebagai:

## Contoh
Catatan: pada bagian ini, "hingga" beberapa relasi ekuivalen E berarti bahwa bentuk kanonik pada umumnya tidak unik, tetapi jika satu objek memiliki dua bentuk kanonik yang berbeda, keduanya setara dengan E.

### Notasi bilangan besar

Bentuk standar digunakan oleh banyak matematikawan dan ilmuwan untuk menulis bilangan besar yang ringkas dan mudah dipahami, yang paling menonjol adalah notasi ilmiah.

### Teori bilangan
* Representasi kanonik dari bilangan bulat positif
* Bentuk kanonis dari pecahan kontinu

### Aljabar linear

### Aljabar

### Geometri
Dalam geometri analitik:
*Persamaan sebuah garis: *Ax*&nbsp;+&nbsp;*By*&nbsp;=&nbsp;*C*, dengan  *A<sup>2</sup>*&nbsp;+&nbsp;*B*2&nbsp;=&nbsp;1 dan *C*&nbsp;≥&nbsp;0
*Persamaan sebuah lingkaran: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Sebaliknya, ada bentuk alternatif untuk menulis persamaan. Misalnya, persamaan garis dapat ditulis sebagai persamaan linear dalam titik-kemiringan dan bentuk potongan-kemiringan.

Polihedra cembung dapat dimasukkan ke dalam bentuk kanonik sehingga:
* Semua muka datar,
* Seluruh sisi bersinggungan dengan satuan bola, dan
* Pusat massa polihedra berada pada titik asal.

### Sistem terintegralkan
Setiap manifold yang bisa dibedakan memiliki berkas kotangen. Berkas tersebut selalu diberikan dengan bentuk diferensial tertentu, yang disebut bentuk satu kanonik. Bentuk ini memberikan berkas kotangen struktur manifold simplektis, dan memungkinkan medan vektor pada manifold untuk diintegrasikan melalui persamaan Euler-Lagrange, atau melalui mekanika Hamiltonian. Sistem persamaan diferensial yang bisa diintegralkan disebut sistem terintegralkan.

### Sistem dinamikal
Studi tentang sistem dinamikal tumpang tindih dengan sistem terintegralkan; terdapat ada gagasan tentang bentuk normal (sistem dinamis).

### Geometri tiga dimensi
Dalam mempelajari manifold dalam tiga dimensi, kita memiliki bentuk dasar pertama, bentuk dasar kedua dan bentuk dasar ketiga.

### Analisis fungsional

### Logika klasik

* Bentuk normal negasi
* Bentuk normal konjungtif
* Bentuk normal disjungtif
* Bentuk normal aljabar
* Bentuk normal preneks
* Bentuk normal skolem
* Bentuk kanonik Blake, juga dikenal sebagai jumlah lengkap implikan prima, jumlah lengkap, atau bentuk prima disjungtif

### Teori himpunan
* Bentuk normal Cantor dari bilangan ordinal

### Teori permainan
* Permainan bentuk normal

### Teori bukti
* Bentuk normal (deduksi alami)

### Menulis ulang sistem

Manipulasi simbolik suatu rumus dari satu bentuk ke lainnya disebut "penulisan ulang" dari rumus itu. Seseorang dapat mempelajari sifat abstrak dari penulisan ulang rumus generik, dengan mempelajari kumpulan aturan  dengan rumus yang dapat dimanipulasi secara valid. Ini adalah "aturan penulisan ulang"—bagian integral dari sistem penulisan ulang abstrak. Pertanyaan umum adalah apakah itu mungkin untuk membawa beberapa ekspresi umum ke satu bentuk umum, bentuk normal. Jika rangkaian penulisan ulang yang berbeda masih menghasilkan bentuk yang sama, maka bentuk tersebut dapat disebut bentuk normal, dengan penulisan ulang disebut konfluen. Tidak selalu mungkin untuk mendapatkan bentuk normal.

### Kalkulus Lambda
* Istilah lambda ada di bentuk normal beta jika tidak ada kemungkinan pengurangan beta; kalkulus lambda adalah kasus khusus dari sistem penulisan ulang abstrak. Dalam kalkulus lambda yang tidak diketik, misalnya, istilah (\lambda x.(x x) \; \lambda x.(x x)) tidak memiliki bentuk normal. Dalam kalkulus lambda yang diketik, setiap istilah yang terbentuk dengan baik dapat ditulis ulang ke bentuk normalnya.

### Teori graf

Dalam teori graf, cabang matematika yaitu **kanonisasi graf** adalah masalah menemukan bentuk kanonis dari graf tertentu *G*. Bentuk kanonis adalah label graf Canon(*G*) yaitu isomorfik menjadi *G*, sehingga setiap graf isomorfis terhadap *G* memiliki bentuk kanonis yang sama dengan *G*. Jadi, dari solusi untuk masalah kanonisasi graf, bisa menyelesaikan masalah isomorfisme graf: untuk menelaahnya apakah dua graf *G* dan *H* adalah isomorfik, dari hitung bentuk kanonisnya Canon(*G*) dan Canon(*H*), dan telaah apakah kedua bentuk kanonis ini identik.

### Komputasi
Dalam komputasi, reduksi data menjadi bentuk kanonis secara biasanya disebut *normalisasi data*.

Misalnya, normalisasi basis data adalah proses pengorganisasian medan, dan tabel dari basis data relasional untuk meminimalkan redundansi dan ketergantungan. 

Di bidang keamanan perangkat lunak, kerentanan adalah input berbahaya yang tidak periksa (lihat *[[injeksi kode]]*). Mitigasi untuk masalah ini sudah tepat validasi input. Sebelum validasi input dilakukan, input biasanya dinormalisasi dengan menghilangkan pengkodean (yaitu, Pengkodean HTML), dan mengurangi data masukan menjadi satu kumpulan karakter umum.

Bentuk data lain, biasanya terkait dengan pemrosesan sinyal (termasuk audio, dan pencitraan) atau pembelajaran mesin, dapat dinormalisasi untuk memberikan rentang nilai yang terbatas.

Dalam manajemen konten, konsep sumber kebenaran tunggal (SSOT) dapat diterapkan, seperti dalam normalisasi basis data secara umum dan dalam pengembangan perangkat lunak. Sistem manajemen konten yang kompeten menyediakan cara logis untuk mendapatkannya, seperti transklusi.

## Lihat pula
* Kanonikalisasi
* Dasar kanonik
* kelas kanonis
* Normalisasi
* Standardisasi

## Catatan


## Referensi
*.
*.