Moving average

Dalam statistika, **moving average** (**rata-rata bergerak**) adalah perhitungan untuk menganalisis poin data dengan membuat serangkaian rata-rata subhimpunan berbeda dari kumpulan data lengkap. Ini juga disebut **moving mean** (**MM**) atau rolling mean dan merupakan jenis filter respons impuls hingga. Variasinya meliputi: bentuk sederhana (simple), dan kumulatif (cumulative), atau berbobot (weighted form).

Dengan serangkaian angka dan ukuran subhimpunan tetap, elemen pertama rata-rata bergerak diperoleh dengan mengambil rata-rata dari subhimpunan tetap awal dari serangkaian angka tersebut. Kemudian subhimpunan tersebut dimodifikasi dengan “pergeseran ke depan”; yaitu, menghilangkan angka pertama dari deret dan memasukkan nilai berikutnya dalam deret.

Rata-rata bergerak sering digunakan dengan data deret waktu untuk meratakan fluktuasi jangka pendek dan menonjolkan tren atau siklus jangka panjang - dalam hal ini perhitungan tersebut kadang-kadang disebut rata-rata waktu. Batasan antara jangka pendek dan jangka panjang bergantung pada aplikasi, dan parameter rata-rata bergerak akan disesuaikan sesuai dengan itu. Rata-rata bergerak juga digunakan dalam ekonomi untuk menganalisis produk domestik bruto, tenaga kerja, atau rangkaian waktu makroekonomi lainnya. Ketika digunakan dengan data non-rangkaian waktu, rata-rata bergerak menyaring komponen frekuensi tinggi tanpa hubungan khusus dengan waktu, meskipun biasanya ada semacam urutan yang diimplikasikan. Secara sederhana, hal ini dapat dianggap sebagai penyaringan data.

## Rata-rata bergerak sederhana

Dalam aplikasi keuangan, **Simple Moving Average** (SMA) adalah mean tak tertimbang dari *n* data sebelumnya. Namun, dalam sains dan teknik, mean biasanya diambil dari jumlah data yang sama di kedua sisi nilai pusat. Ini memastikan bahwa variasi rata-rata selaras dengan variasi dalam data daripada bergeser tepat waktu. Contoh rata-rata berjalan berbobot sama sederhana untuk sampel harga penutupan n-hari adalah rata-rata harga penutupan n hari sebelumnya. Jika harga seperti itu

: \begin{align}
  \overline{p}_\text{SM} &= \frac{p_M + p_{M-1} + \cdots + p_{M-(n-1)}}{n} \\
      &= \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} p_{M-i}.
\end{align}

Saat menghitung nilai-nilai yang berurutan, nilai baru masuk ke dalam penjumlahan, dan nilai terlama keluar, yang berarti bahwa penjumlahan penuh setiap kali tidak diperlukan untuk kasus sederhana ini:

: \overline{p}_\text{SM} = \overline{p}_{\text{SM},\text{prev}} + \frac{1}{n} (p_M - p_{M-n}).

Jangka waktu yang dipilih bergantung pada jenis pergerakan minat, seperti jangka pendek, menengah, atau panjang. Dalam istilah keuangan, level rata-rata bergerak dapat diartikan sebagai dukungan di pasar yang sedang jatuh atau perlawanan di pasar yang sedang naik.

Jika data yang digunakan tidak berpusat di sekitar mean, rata-rata bergerak sederhana tertinggal di belakang titik datum terakhir dengan setengah lebar sampel. SMA juga dapat dipengaruhi secara tidak proporsional oleh titik datum lama yang putus atau data baru yang masuk. Salah satu karakteristik SMA adalah jika datanya memiliki fluktuasi periodik, maka penerapan SMA periode itu akan menghilangkan variasi tersebut (rata-rata selalu berisi satu siklus lengkap). Namun, siklus yang teratur sempurna jarang ditemui.

## Rata-rata bergerak eksponensial
**Rata-rata bergerak eksponensial** (Inggris: **Exponential moving average**) atau disingkat **EMA**, juga dikenal sebagai rata-rata bergerak tertimbang eksponensial (EWMA), adalah filter respons impuls tak terbatas orde pertama yang menerapkan faktor penimbangan yang berkurang secara eksponensial. Faktor penimbangan untuk setiap data lama berkurang secara eksponensial, tetapi tidak pernah mencapai nol. Formulasi ini sesuai dengan Hunter (1986).

Terdapat juga implementasi multivariat dari EWMA, yang dikenal sebagai MEWMA.

## Rata-rata bergerak tertimbang
Rata-rata tertimbang (Inggris: **Weighted moving average**) atau disingkat **WMA** adalah rata-rata yang menggunakan faktor pengali untuk memberikan bobot yang berbeda pada data di posisi yang berbeda dalam jendela sampel. Secara matematis, rata-rata bergerak tertimbang adalah konvolusi data dengan fungsi bobot tetap. Salah satu aplikasinya adalah menghilangkan pixelasi dari gambar grafis digital. Ini juga dikenal sebagai Anti-aliasing.

Di bidang keuangan, dan lebih spesifiknya dalam analisis data keuangan, WMA memiliki arti khusus sebagai bobot yang berkurang secara progresif aritmetika. Dalam rata-rata bergerak tertimbang (WMA) n-hari, hari terakhir memiliki bobot *n*, hari kedua terakhir n-1, dan seterusnya, hingga satu.

\text{WMA}_{M} = { n p_{M} + (n-1) p_{M-1} + \cdots + 2 p_{((M-n)+2)} + p_{((M-n)+1)} \over n + (n-1) + \cdots + 2 + 1}

Pembilang adalah bilangan segitiga yang sama dengan  \frac{n(n + 1)}{2}. Dalam kasus yang lebih umum, penyebutnya selalu merupakan jumlah dari bobot-bobot individu.

Saat menghitung WMA pada nilai-nilai berturut-turut, selisih antara pembilang dari \text{WMA}_{M+1} dan \text{WMA}_{M} is np_{M+1} - p_{M} - \dots - p_{M-n+1}. Jika kita menyatakan jumlah p_{M} + \dots + p_{M-n+1} by \text{Total}_{M}, maka

\begin{align}
    \text{Total}_{M+1} &= \text{Total}_M + p_{M+1} - p_{M-n+1} \\[3pt]
\text{Numerator}_{M+1} &= \text{Numerator}_M + n p_{M+1} - \text{Total}_M \\[3pt]
      \text{WMA}_{M+1} &= { \text{Numerator}_{M+1} \over n + (n-1) + \cdots + 2 + 1}
\end{align}

Grafik di sebelah kanan menunjukkan bagaimana bobot berkurang, mulai dari bobot tertinggi untuk data terbaru hingga nol. Hal ini dapat dibandingkan dengan bobot dalam rata-rata bergerak eksponensial yang akan dijelaskan selanjutnya.

## Referensi