Supermanifold

Dalam fisika dan matematika, **supermanfiold** adalah generalisasi dari konsep lipatan berdasarkan ide yang berasal dari supersimetri. Beberapa definisi sedang digunakan, beberapa di antaranya dinyatakan di bawah ini.

## Definisi informal
Sebuah definisi informal umumnya digunakan di catatan fisika dan pengenalan kuliah. Itu mendefinisikan **supermanifold** sebagai sebuah lipatan dengan koordinasi bosonik dan fermionik. Secara lokal, itu tersusun dari grafik koordinat yang membuatnya terlihat seperti "datar", superruang Euklidean. Koordinat-koordinat lokal ini sering kali dilambangkan dengan

: (x,\theta,\bar{\theta})

Di mana x  adalah (bernilai bilangan real) koordinat ruang waktu, \theta dan \bar{\theta} adalah "arah" spasial nilai Grassmann.

Interpretasi fisik dari koordinat nilai Grassmann merupakan subjek dari diskusi; eksperimen eksplisit mencari untuk supersimetri tidak memberikan hasil yang positif. Bagaimanapun, penggunaan variabel Grassmann memperkenankan untuk penyederhanaan yang besar dari sebuah bilangan dari hasil matematis yang penting. Ini termasuk, diantaranya definisi yang padat dari integral fungsional, perawatan yang tepat dari hantu-hantu dalam kuantisasi BRST, pembatalan ketakterhinggaan dalam teori medan kuantum. Karya tulis pada teori indeks Atiyah-Singer, dan penggunaan terbaru untuk simetri cermin.

Penggunaan dari koordinat nilai Grassmann telah muncul bidang dari supermatematika, di mana sebagian besar geometri bisa digeneralisasikan menjadi superekuivalen, termasuk geometri Riemann dan sebagian besar teori dari grup Lie dan aljabar Lie (seperti superaljabar Lie, dan sebagainya). Bagaimanapun, masalah pun tetap, termasuk ekstensi yang tepat dari kohomologi deRham ke supermanifold.

## Definisi

Tiga definisi yang berbeda dari supermanifold sedang digunakan. Salah satu definisinya adalah sebagai berkas di atas ruang bercincin, ini terkadang disebut "pendekatan aljabar-geometri". Pendekatan ini memiliki keanggunan matematis, tetapi bisa belum tentu dalam berbagai perhitungan dan pemahaman berdasarkan intuisi. Pendekatan yang kedua bisa disebut "pendekatan konkret"; karena mampu dengan sederhana dan tentu saja menggeneralisasikan sebuah kelas konsep yang luas dari matematika biasa. Hal itu membutuhkan penggunaan dari sebuah bilangan tak terhingga dari generator supersimetris dalam definisi tersebut; bagaimanapun, semua kecuali bilangan terbatas dari generator tidak membawa konten, seperti pendekatan konkret membutuhkan penggunaan dari topologi kasar yang membuat hampir semua dari mereka ekuivalen. Dengan heran, kedua definisi ini, salah satunya dengan bilangan terbatas dari generator supersimetris, dan salah satunya dengan bilangan tak terbatas dari generator ekuivalen.

Pendekatan ketiga mendeskripsikan supermanifold sebagai topos dasar dari superpoin. Pendekatan ini masih menjadi topik penelitian aktif.

### Aljabar-geometriː sebagai ikatan
Meskipun supermanifold merupakan kasus spesial dari manifold nonkomutatif, struktur lokalnya membuat mereka lebih cocok untuk mempelajari dengan alat dari standar geometri diferensial dan ruang bercincin lokal

Sebuah supermanifold \mathbf{M}  dari dimensi (p,q)  adalah sebuah ruang topologi M dengan sebuah berkas dari superaljabar, biasanya dilambangkan O_\mathbf{M}  atau C^{\infty}(\mathbf{M}) , yang secara lokal isomorfik C^\infty(\mathbb{R}^p)\otimes\Lambda^\bullet(\xi_1,\dots\xi_q), di mana yang terakhir adalah aljabar Grassmann dari generator q.

Sebuah supermanifold \mathbf{M}  dari dimensi (1,1)  terkadang disebut permukaan super-Riemann.

Menurut sejarah, pendekatanini berhubungan dengan Felix Berezin, Dimitry Leites, dan Bertram Kostant.

### Konkretː sebagai lipatan mulus
Sebuah definisi lainnya menggambarkan supermanifold dengan cara yang mirip dengan lipatan terdiferensial, kecuali bahwa ruang model \mathbb{R}^p  telah diganti oleh *superruang model* \mathbb{R}^p_c\times\mathbb{R}^q_a.

Untuk membenarkan definisi ini, sangat sulit untuk menjelaskan apa itu \mathbb{R}_c dan \mathbb{R}_c\mathbb{R}_c. Ini diberikan sebagai subruang real genap dan ganjil dari ruang satu dimensi dari bilangan Grassmann,, yang menurut konvensi, dihasilkan oleh bilangan terhitung tak terbatas dari variabel antikomutatif, yaitu ruang satu dimensi yang diberikan oleh \mathbb{C}\otimes\Lambda(V), di mana V adalah tak terbatas dimensi. Sebuah anggota z diistilahkan *real* jika z=z^*; anggota real terdiri dari hanya sebuah bilangan genap dari generator Grassmann membentuk ruang \mathbb{R}_c dari *bilangan-c*, sementara anggota real terdiri dari hanya sebuah bilangan ganjil dari generator Grassmann membentuk ruang \mathbb{R}_c dari *bilangan-a*. Catatan bahwa bilangan-c komutatif, sementara bilangan-a antikomutatif. Ruang \mathbb{R}^p_c dan \mathbb{R}^q_a  yang kemudian didefinisikan sebagai produk Kartesius lipatan-p dan lipatan-q dari \mathbb{R}_c dan \mathbb{R}_a.

Sama seperti kasus dari manifold biasa, supermanifold kemudian didefinisikan sebagai kumpulan dari diagram yang direkatkan dengan fungsi transisi yang berbeda. Definisi ini dalam diagram membutuhkan bahwa fungsi transisi memiliki struktur mulus dan Jacobian bukan nol. Ini bisa hanya diselesaikan jika diagram individual menggunakan topologi yang jauh lebih kasar daripada ruang vektor topologi di aljabar Grassmann. Topologi ini diperoleh \mathbb{R}^p_c  ke \mathbb{R}^p dan kemudian menggunakan topologi biasa dengan itu. Hasil topologi *bukan* ruang Hausdorff, tetapi bisa disebut "proyektif Hausdorff".

Definisi ini ekuivalen untuk yang pertama tidak semuanya jelas; bagaimanapun, ini adalah penggunaan dari topologi kasar yang membuatnya seperti itu, dengan menerjemahkan sebagian besar "poin" identik. Yaitu,\mathbb{R}^p_c\times\mathbb{R}^q_a  dengan topologi kasar pada dasarnya isomorfik ke \mathbb{R}^p\otimes\Lambda^\bullet(\xi_1,\dots\xi_q).

Menurut sejarah, pendekatan ini berhubungan dengan Alice Rogers, Bryce DeWitt dan dikerjakan oleh Kadczyk dan Pilch.

## Sifat-sifat
Tidak seperti manifold biasa, supermanifold tidak sepenuhnya tersusun dari satu titik. Sebagai gantinya, salah satu mengambil dua sudut pandang yang struktur dari supermanifold \mathbf{M}   yang terdapat di dalam berkas O_\mathbf{M} dari "fungsi mulus". Dalam dua sudut pandang, sebuah pemetaan injektif berkorespondensi ke injeksi dari berkas.

Pendekatan alternatif untuk kedua sudut pandang menggunakan pengarah tujuan.

Jika \mathbf{M}   adalah sebuah supermanifold dari dimensi (p,q)  , maka ruang yang mendasari M  mewarisi struktur dari lipatan diferensial yang berkas dari fungsi mulus adalah O_\mathbf{M}/I, di mana I adalah ideal yang dihasilkan oleh semua fungsi ganjil. Demikian juga M  adalah submanifold dari \mathbf{M}  .

## Contoh

* Misalkan M  adalah manifold, *Bundel tangen ganjil* \Pi T M adalah supermanifold yang diberikan oleh berkas \Omega(M) dari pembentukan diferensial di M .
* Lebih umum, misalkan E \to M menjadi bundel vektor. Lalu \Pi E adalah supermanifold yang diberikan oleh berkas \Gamma(\Lambda E^*). Faktanya, \Pi adalah functor dari kategori dari bundel vektor ke kategori dari supermanifold.
* Supergrup Lie merupakan contoh dari supermanifold.

## Teorema Batchelor
Teorema Batchelor menyatakan bahwa setiap supermanifold isomorfik nonkanonik ke supermanifold dari bentuk \Pi E . Kata "nonkanonis" mencegah salah satu dari kesimpulan bahwa supermanifold hanya dimuliakan bundel vektor; meskipun functor peta surjektif \Pi    ke kelas isomorfis dari supermanifold, ini tidak bertentangan dari kategori. Ini dipublikasikan oleh Marjorie Batchelor dalam 1979.

Bukti dari teorema Batchelor mengandalkan cara penting pada keberadaan partisi dari persatuan, jadi ini tidak berlaku untuk supermanifold analisis real atau kompleks.

## Struktur simplektis ganjil

### Bentuk simplektis ganjil
Dalam berbagai penerapan fisika dan geometri, supermanifold dilengkapi dengan struktur simplektis ganjil Grassmann. Semua objek geometris di supermanifold bertingkat. Secara khusus, bundel dari dua bentuk dilengkapi dengan penilaian. Sebuah bentuk simplektis ganjil \omega di supermanifold tertutup, bentuk ganjil, menginduksikan pasangan nondegenerasi pada TM. Seperti supermanifold yang disebut manifold-P. Dimensi bertingkatnya diperlukan (n,n), karena bentuk simplektis ganjil menginduksikan sebuah pasangan dari variabel ganjil dan genap. Ada versi dari teorema Darboux untuk manifold-P, yang memperkenankan salah satunya untuk melengkapi manifold-P secara lokal dengan sebuah kumpulan dari koordinat-koordinat di mana bentuk simplektis ganjil \omega ditulis sebagai

: \omega = \sum_{i}  d\xi_i \wedge dx_i , 

di mana x_i adalah koordinat-koordinat genap, dan \xi_i adalah koordinat-koordinat ganjil. (Sebuah bentuk simplektis ganjil jangan bingung dengan sebuah bentuk simplektis genap Grassmann pada sebuah supermanifold. Sebaliknya, versi Darboux dari sebuah bentuk simplektis genap adalah

: \sum_i dp_i \wedge dq_i+\sum_j \frac{\varepsilon_j}{2}(d\xi_j)^2, 

di mana p_i , q_i adalah koordinat-koordinat genap, \xi_i adalah koordinat-koordinat ganjil dan \varepsilon_j adalah +1 atau -1.)

### Antikurung
Diberikan 2-bentuk simplektis ganjil \omega  didefinisikan kurung Poisson dikenal sebagai **antikurung** dari dua fungsi F dan G pada sebuah supermanifold oleh

:: \{F,G\}=\frac{\partial_rF}{\partial z^i}\omega^{ij}(z)\frac{\partial_lG}{\partial z^j}.

Di sini \partial_r dan \partial_l adalah turunan kanan dan kiri masing-masing dan z  adalah koordinat-koordinat dari supermanifold. Dilengkapi dengan tanda kurung ini, aljabar dari fungsi pada supermanifold menjadi sebuah aljabar antikurung.

Sebuah transformasi koordinat bahwa mempertahankan antikurung disebut transformasi-P. Jika Berezinian dari transformasi-P.sama dengan satu maka itu disebut transformasi-SP.

### Manifold-P dan SP
Menggunakan teorema Darboux untuk bentuk simplektis ganjil bisa menunjukkan bahwa manifold-P dibangun untuk himpunan terbuka dari superruang \mathcal{R}^{n | n} direkatkan bersama oleh transformasi-P. Manifold dikatakan manifold-SP jika fungsi transisi ini bisa dipilih menjadi transformasi-SP. Dengan jelas, salah satu mendefinisikan manifold-SP sebagai supermanifold dengan 2-bentuk ganjil non-degenerasi \omega   dan fungsi densitas \rho yang setiap pengatur koordinat ada koordinat Darboux di mana \rho  secara identik sama dengan satu.

### Laplacian
Salah satunya mungkin mendefinisikan operator Laplacian dari manifold-SP sebagai operator yang mengambil fungsi H ke satu setengah divergensi dari lapangan vektor Hamiltonian yang sesuai. Secara eksplisit salah satunya mendefinisikan

::: \Delta H=\frac{1}{2\rho}\frac{\partial_r}{\partial z^a}\left(\rho\omega^{ij}(z)\frac{\partial_l H}{\partial z^j}\right).

Dalam koordinat Darboux definisi ini diturunkan menjadi

:::: \Delta=\frac{\partial_r}{\partial x^a}\frac{\partial_l}{\partial \theta_a}

di mana x^a dan \theta_a adalah koordinat genap dan ganjil yang di mana

:::: \omega=dx^a\wedge d\theta_a.

Laplacian adalah nol dan nilpoten

:::: \Delta^2=0.

Salah satunya mendefinisikan kohomologi dari fungsi H  terhadap Laplacian. Dalam , Albert Schwarz telah membuktikan bahwa integral dari sebuah fungsi H  melalui submanifold Lagrangian L yang bergantung hanya pada kelas kohomologi dari H  dan pada kelas homologi dari bagian dari L dalam bagian dari supermanifold sekelilingnya.

## SUSI
Struktur sebelum SUSI pada sebuah supermanifold dari dimensi (n,m)  adalah distribusi dimensi-m ganjil P \subset TM. Dengan seperti distribusi salah satu mengaitkan tensor Frobenius S^2 P \mapsto TM/P  (ketika P ganjil, simetris miring tensor Frobenius adalah sebuah operator simetris). Jika tensor ini nondegenerasi, misalnya terletak di lintasan terbuka dari GL(P)\times GL\left(\frac{TM}{P}\right), M  disebut *manfiold-SUSI*. struktur SUSI dalam dimensi (1,k) sama dengan struktur kontak.

## Lihat pula

* Superruang
* Supersimetri
* Supergeometri
* Manifold bertingkat
* Formalisme Batalin-Vilkovisky

## Referensi

* Joseph Bernstein, "Lectures on Supersymmetry (notes by Dennis Gaitsgory)", *Quantum Field Theory program at IAS: Fall Term*
* A. Schwarz, "", ArXiv hep-th/9205088
* C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez, *The Geometry of Supermanifolds* (Kluwer, 1991) 
* L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, *Connections in Classical and Quantum Field Theory* (World Scientific, 2000)  ()

## Pranala luar

* Super manifolds: an incomplete survey at the Manifold Atlas.