Sistem koordinat bola

Dalam matematika, **Sistem Koordinat Bola** adalah sistem koordinat yang digunakan untuk ruang tiga dimensi di mana posisi suatu titik ditentukan oleh tiga angka dari jarak radial titik tersebut dari titik asal tetap dan nilai sudut kutub tersebut yang diukur dari arah puncak yang tetap dan ketika sudut azimut tersebut dari hasil proyeksi ortogonal pada bidang referensi yang melewati asal dan ortogonal untuk zenit, diukur dari arah referensi tetap di pesawat itu. Ini dapat dilihat sebagai versi tiga dimensi dari sistem koordinat kutub.

## Persamaan pada Sistem Koordinat Bola

Dalam geometri analitik , bola dengan pusat  dan jari jari  adalah lokus titik  sedemikian rupa sehingga
: (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.

biarkan  bilangan real dengan sebuah  dan put
:x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.
Lalu persamaan
:f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0
tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika \rho  dan disebut persamaan **bola imajiner**. Jika \rho = 0, satu-satunya solusi f(x,y,z) = 0 adalah intinya P_0 = (x_0,y_0,z_0) dan persamaannya disebut persamaan **titik bola**. Akhirnya, dalam kasus ini \rho > 0, f(x,y,z) = 0 adalah persamaan bola yang pusatnya adalah P_0 dan yang radiusnya adalah \sqrt \rho.

Jika  dalam persamaan di atas adalah nol maka  adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.

Titik-titik di bola dengan jari-jari r > 0 dan pusat (x_0,y_0,z_0) dapat diparameterisasi via
:\begin{align} x &= x_0 + r \sin \theta  \; \cos\varphi \\
y &= y_0 + r \sin  \theta \; \sin\varphi \qquad (0 \leq  \theta \leq \pi,\;  0 \leq \varphi 

Keliling  \theta  dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah *z* positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor, dan keliling  \varphi  dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x- positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada *xy-* plane.

Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan integral dari bentuk diferensial berikut:
: x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.

Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik, dan , yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.

Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar lingkaran tentang semua diameternya . Karena lingkaran adalah jenis elips khusus , bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi spheroid prolate ; diputar tentang sumbu minor, sebuah spheroid oblate.

## Konveksi utama
:

## Dalam Koordinat Kartesius
Koordinat bola dari suatu titik dalam konvensi ISO anda bisa melihat catatan dibawah ini, yaitu (khususnya untuk fisika):
*  adalah jari-jari.
*  adalah kemiringan.
*  adalah azimut koordinat Kartesius pada Koordinat Bola.

Anda dapat memporoleh dari hasil koordinat kartesius pada nilai  dengan rumusnya adalah:
: \begin{align}
 r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \\
 \varphi &= \arctan \frac{y}{x}, \\
 \theta &= \arccos\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \arccos\frac{z}{r}=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}.
\end{align}

Garis singgung iversi dilambangkan dengan nilai  harus didefinisikan dengan tepat cara mempertimbangkan kuadran yang benar dari nilai .

Sebaliknya, koordinat kartesius dapat diambil dari koordinat bola yaitu lihat catatan dibawah ini:
*  *jari jari*.
*  *inklinasi*.
*  *azimut*.
darimana , ,  adalah ...,oleh
: \begin{align}
 x &= r \sin\theta \, \cos\varphi, \\
 y &= r \sin\theta \, \sin\varphi, \\
 z &= r \cos\theta.
\end{align}

## Sistem Koordinat Tabung

----
: \begin{align}
 r &= \sqrt{\rho^2 + z^2}, \\
 \theta &= \arctan\frac{\rho}{z} = \arccos\frac{z}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}, \\
 \varphi &= \varphi.
\end{align}

----

: \begin{align}
 \rho &= r \sin \theta, \\
 \varphi &= \varphi, \\
 z &= r \cos \theta.
\end{align}
----

## Koordinat bola yang dimodifikasi

Kemungkinan cara modifikasi pada elipsoid adalah dengan menggunakan versi koordinat bola yang dimodifikasi.

Misalkan P adalah ellipsoid yang ditentukan oleh nilai level
: ax^2 + by^2 + cz^2 = d.

Koordinat yang dimodifikasi oleh koordinat bola dari titik P saat konvensi ISO dapat diperoleh dari koordinat kartesius pada nilai  oleh karena itu rumusnya adalah:

: \begin{align}
 x &= \frac{1}{\sqrt{a}} r \sin\theta \, \cos\varphi, \\
 y &= \frac{1}{\sqrt{b}} r \sin\theta \, \sin\varphi, \\
 z &= \frac{1}{\sqrt{c}} r \cos\theta, \\
 r &= ax^2 + by^2 + cz^2.
\end{align}

Elemen volume yang sangat kecil diberikan oleh:

: 
\mathrm{d}V = \left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}\right| =
 \frac{1}{\sqrt{abc}} r^2 \sin \theta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi =
 \frac{1}{\sqrt{abc}} r^2 \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\Omega.


Faktor akar kuadrat yang berasal dari properti determinan yang memungkinkan sebuah konstanta ditarik oleh kolom:

: 
\begin{vmatrix}
 ka & b & c \\
 kd & e & f \\
 kg & h & i
\end{vmatrix} =
k \begin{vmatrix}
 a & b & c \\
 d & e & f \\
 g & h & i
\end{vmatrix}.


## Integrasi dan diferensiasi dalam koordinat bola
- Dalam pengembangan -

## Jarak dalam Koordinat Bulat
- Dalam pengembangan -

## Kinematika
- Dalam pengembangan -

## Lihat pula

* Sistem koordinat
* Sistem koordinat Cartesius
* Sistem koordinat Ekliptika
* Sistem koordinat Ekuator
* Sistem koordinat Geografi
* Sistem koordinat Polar
* Sistem koordinat Silinder

## Referensi