Integral kuadratik

Dalam matematika, **integral kuadratik** adalah integral dengan bentuk umum
:\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c}

di mana nilai a \neq 0. Integral di atas dapat diselesaikan dengan melengkapkan kuadrat sempurna pada bagian penyebut, yaitu sebagai berikut

:\begin{align}
\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} &= \int \frac{4a}{4 a^2 x^2 + 4ab x + 4ac} \, dx \\
&= \int \frac{4a}{\left( 2ax \right)^2 + (2ax)(b) + b^2 - b^2 + 4ac} \, dx \\
&= \int \frac{4a}{\left( 2ax + b \right)^2 - \left( b^2 - 4ac \right)} \, dx \\
\end{align}

## Kasus Diskriminan Positif
Diasumsikan nilai diskriminan b^2 - 4ac > 0. Dalam kasus ini, didefinisikan variabel pembantu
* 2ax + b = t
* b^2 - 4ac = k^2

yang mengakibatkan 2a \, dx = dt dan k = \sqrt{b^2 - 4ac}. Dari sini, integral kuadratiknya menjadi
:\begin{align}
\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} &= \int \frac{4a}{\left( 2ax + b \right)^2 - \left( b^2 - 4ac \right)} \, dx \\
&= \int \frac{2}{t^2 - k^2} \, dt \\
&= \int \frac{2}{(t - k)(t + k)} \, dt
\end{align}

Dengan menggunakan teknik dekomposisi pecahan parsial, perhatikan bahwa
:\frac{2}{(t - k)(t - k)} = \frac{1}{k} \left( \frac{1}{t - k} - \frac{1}{t + k} \right)

Sehingga diperoleh
:\begin{align}
\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} &= \int \frac{2}{(t - k)(t + k)} \, dt \\
&= \int \frac{1}{k} \left( \frac{1}{t - k} - \frac{1}{t + k} \right) \, dt \\
&= \frac{1}{\sqrt{b^2 - 4ac}} \left( \ln \left| t - k \right| - \ln \left| t + k \right| \right) + \text{konstanta} \\
&= \frac{1}{\sqrt{b^2 - 4ac}} \ln \left| \frac{t - k}{t + k} \right| + \text{konstanta} \\
&= \frac{1}{\sqrt{b^2 - 4ac}} \ln \left| \frac{2ax + b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2ax + b + \sqrt{b^2 - 4ac}} \right| + \text{konstanta}
\end{align}

## Kasus Diskriminan Nol
Pada kasus ini, informasi nilai b^2 - 4ac = 0 akan mempermudah pengerjaan integral kuadratiknya, karena
:\begin{align}
\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} &= \int \frac{4a}{\left( 2ax + b \right)^2 - \left( b^2 - 4ac \right)} \, dx \\
&= \int \frac{4a}{\left( 2ax + b \right)^2} \, dx
\end{align}

Dengan menggunakan substitusi t = 2ax + b (yang berarti dt = 2a \, dx), maka
:\begin{align}
\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} &= \int \frac{4a}{\left( 2ax + b \right)^2} \, dx \\
&= \int \frac{2}{t^2} \, dt \\
&= - \frac{2}{t} + \text{konstanta} \\
&= - \frac{2}{2ax + b} + \text{konstanta}
\end{align}

## Kasus Diskriminan Negatif
Dikarenakan nilai diskriminan b^2 - 4ac , maka suku kedua pada bagian penyebut dari
:\begin{align}
\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} &= \int \frac{4a}{\left( 2ax + b \right)^2 - \left( b^2 - 4ac \right)} \, dx \\
&= \int \frac{4a}{\left( 2ax + b \right)^2 + \left( 4ac - b^2 \right)} \, dx
\end{align}
bernilai positif, sehingga akan digunakan substitusi
* 2ax + b = \sqrt{4ac - b^2} \tan t
* 2a \, dx = \sqrt{4ac - b^2} \sec^2 t \, dt
* \tan^2 t + 1 = \sec^2 t (lihat identitas Pythagoras)

Akibatnya,
:\begin{align}
\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} &= \int \frac{4a}{\left( 2ax + b \right)^2 + \left( 4ac - b^2 \right)} \, dx \\
&= \int \frac{2}{\left( \sqrt{4ac - b^2} \tan t \right)^2 + \left( 4ac - b^2 \right)} \cdot \sqrt{4ac - b^2} \sec^2 t \, dt \\
&= \int \frac{2}{\left( 4ac - b^2 \right) \left( \tan^2 t + 1 \right)} \cdot \sqrt{4ac - b^2} \sec^2 t \, dt \\
&= \frac{2}{\sqrt{4ac - b^2}} \int \dfrac{\sec^2 t}{\sec^2 t} \, dt \\
&= \frac{2}{\sqrt{4ac - b^2}} t + \text{konstanta} \\
&= \frac{2}{\sqrt{4ac - b^2}} \arctan \left(\frac{2ax + b}{\sqrt{4ac - b^2}}\right) + \text{konstanta}.
\end{align}

## Referensi
* Weisstein, Eric W. "Quadratic Integral." From *MathWorld*--A Wolfram Web Resource, wherein the following is referenced:
*