Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga

Dalam geometri, **lingkaran dalam** segitiga merupakan lingkaran terbesar yang terisi di dalam segitiga; ini bersinggung (merupakan garis singgung dengan) tiga sisi. Pusat dari lingkaran adalah pusat segitiga disebut pusat lingkaran dalam segitiga.

Sebuah **pusat lingkaran singgung luar** dari segitiga merupakan sebuah lingkaran yang terletak di luar segitiga, singgung dengan satu sisinya singgung dengan perluasan dari dua lainnya. Setiap segitiga memiliki tiga pusat lingkaran singgung luar yang berbeda, setiap garis singgung dengan salah satu dari sisi-sisi segitiga.

Pusat dari lingkaran dalam, disebut **pusat lingkaran dalam**, dapat ditemukan sebagai perpotongan dari tiga garis bagi dalam. Pusat lingkaran singgung luar merupakan perpotongan dari garis bagi dalam dari satu sudut (di verteks A, sebagai contohnya) dan garis bagi luar dari dua lainnya. Pusat dari lingkaran singgung luar ini disebut **pusat lingkaran singgung luar** relatif terhadap verteks A, atau **pusat lingkaran singgung luar** A. Karena garis bagi dalam dari sebuah sudut tegak lurus dengan garis bagi luarnya, ini mengikuti bahwa pusat dari lingkaran dalam bersama-sama dengan tiga pusat lingkaran singgung luarnya membentuk sebuah sistem ortosentrik.

Semua poligon beraturan memiliki garis singgung lingkaran dalam untuk semua sisi, tetapi tidak semua poligon; yang ada poligon singgung.

Lihat pula: Garis singgung dengan lingkaran

## Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam
Andaikan \triangle ABC memiliki sebuah lingkaran dalam dengan jari-jari r dan pusat I . Misalkan a menjadi panjangnya BC, b adalah panjang AC, dan c panjangnya AB. Juga misalkan T_A, T_B, dan T_C menjadi titik singgung di mana lingkaran dalam menyinggung BC, AC, dan AB.

### Pusat lingkaran dalam

Pusat lingkaran dalam merupakan titik di mana garis bagi dalam \angle ABC, \angle BCA, \text{ dan } \angle BAC bertemu.

Jarak dari verteks A  ke pusat lingkaran dalam I   adalah

d(A, I) 
  = c \frac{\sin\left(\frac{B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{C}{2}\right)}
  = b \frac{\sin\left(\frac{C}{2}\right)}{\cos\left(\frac{B}{2}\right)}

#### Koordinat trilinear
Korodinat trilinear untuk sebuah titik dalam segitiga merupakan nisbah dari semua jarak ke sisi-sisi segitiga. Karena pusat lingkaran dalam adalah jarak yang sama dari semua sisi-sisi dari segitiga, koordinat trilinear untuk pusat lingkaran dalam adalah

1 : 1 : 1

#### Koordinat barisentrik
Koordinat barisentrik untuk sebuah titik dalam sebuah segitiga memberikan bobot sehingga titiknya adalah rerata berbobot dari posisi verteks segitiga. Koordinat barisentrik untuk pusat lingkaran dalam diberikan oleh

a : b : c

di mana a , b , dan c  adalah panjang sisi-sisi dari segitiga, atau dengan setara (menggunakan hukum sinus) oleh

\sin(A) : \sin(B) : \sin(C)

di mana A , B, dan C adalah sudut-sudut pada tiga verteksnya.

#### Koordinat Cartesius
Koordinat Cartesius dari pusat lingkaran dalam adalah sebuah rerata berbobot dari koordinat dari tiga verteks menggunakan panjang sisi dari segitiga relatif terhadap keliling (yaitu, menggunakan koordinat barisentrik yang diberikan di atas, ternormalkan untuk menjumlahkan kesatuannya) sebagai bobot. Bobotnya positif sehingga pusat lingkaran dalam terletak di dalam segitiga ketika dinyatakan di atas. Jika ketiga verteksnya terletak di (x_a,y_a), (x_b,y_b), dan (x_c,y_c), dan sisi-sisinya berlawanan dengan verteks-verteks ini memiliki padanan panjang a , b , dan c , maka pusat lingkaran dalamnya di

\left(\frac{a x_a + b x_b + c x_c}{a + b + c}, \frac{a y_a + b y_b + c y_c}{a + b + c}\right)
  = \frac{a\left(x_a, y_a\right) + b\left(x_b, y_b\right) + c\left(x_c, y_c\right)}{a + b + c}

#### Jari-jari
Jari-jari lingkaran dalam r  dalam sebuah segitiga dengan sisi-sisi panjang a , b , c  diberikan oleh

r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}

..., di mana s = \frac{a+b+c}{2} Lihat rumus Heron

#### Jarak ke verteks
Melambangkan pusat lingkaran dalam \triangle ABC  sebagai I  , jarak dari pusat lingkaran dalam ke verteks digabungkan dengan panjang dari sisi-sisi segitiga mematuhi persamaannya

\frac{IA \cdot IA}{CA \cdot AB} + \frac{IB \cdot IB}{AB \cdot BC} + \frac{IC \cdot IC}{BC \cdot CA} = 1

Sebagai tambahan,

IA \cdot IB \cdot IC = 4Rr^2

di mana R dan r  masing-masing adalah radius lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam segitiga.

#### Sifat-sifat lainnya
Kumpulan pusat-pusat segitiga dapat diberikan struktur grup di bawah perkalian secara koordinat mengenai koordinat trilinear, dalam grup ini, pusat lingkaran dalam membentuk elemen identitas.

### Lingkaran dalam dan sifat-sifat radiusnya

#### Jarak antara verteks dan titik singgung paling terdekat
Jarak dari sebuah verteks ke dua titik singgung paling terdekat adalah sama; misalnya:

d\left(A, T_B\right) = d\left(A, T_C\right) = \frac{1}{2}(b + c - a)

#### Sifat-sifat lainnya
Andaikan titik-titik singgung dari lingkaran dalam membagi sisi-sisi menjadi panjang x dan y, y dan z, serta z dan x. Maka lingkaran dalam memiliki jari-jari

r = \sqrt{\frac{xyz}{x + y + z}}

dan luas dari segitiganya adalah

\Delta = \sqrt{xyz(x + y + z)}

Jika tingginya dari sisi-sisi panjang a , b , dan c  adalah h_a, h_b, dan h_c, maka jari-jari lingkaran dalam r  adalah sepertiga dari purata harmonik tinggi ini; yaitu,

 r = \frac{1}{\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}}

Darab dari jari-jari lingkaran dalam r  dan jari-jari lingkaran luar R dari sebuah segitiga dengan sisi-sisi a , b , dan c  adalah

rR = \frac{abc}{2(a + b + c)}

Beberapa hubungan di sekitar sisi-sisi, jari-jari lingkaran dalam, dan jari-jari lingkaran luar adalah:

\begin{align}
     ab + bc + ca &=  s^2 +  (4R + r)r \\
  a^2 + b^2 + c^2 &= 2s^2 - 2(4R + r)r
\end{align}

Setiap garis melalui sebuah segitiga yang kedua luas segitiga dan kelilingnya terbelah dua menuju ke pusat lingkaran segitiga (pusat lingkaran dalamnya). Terdapat baik satu, dua, atau tiga ini untuk suatu segitiga yang diberikan.

Melambangkan pusat dari lingkaran dalam \triangle ABC  sebagai I  , kita mempunyai

\frac{IA \cdot IA}{CA \cdot AB} + \frac{IB \cdot IB}{AB \cdot BC} + \frac{IC \cdot IC}{BC\cdot CA} = 1

dan

IA \cdot IB \cdot IC = 4Rr^2

Jari-jari lingkaran dalam tidak lebih besar daripada sepersembilan jumlah dari tinggi.

Jarak kuadrat dari pusat I   ke pusat lingkaran luar O diberikan oleh

OI^2 = R(R - 2r)

dan jarak dari pusat lingkaran dalam dengan pusat N dari lingkaran sembilan adalah

IN = \frac{1}{2}(R - 2r) 

Pusat lingkaran dalam terletak di segitiga tengah (yang verteks-verteksnya merupakan titik tengah dari sisinya).

#### Hubungan dengan luas dari segitiga
Jari-jari dari lingkaran dalam berkaitan dengan luas dari segitiga. Nisbah dari luas lingkaran dalam dengan luas segitiga lebih kecil atau sama dengan \frac{\pi}{3\sqrt{3}}, dengan persamaannya berlaku hanya untuk segitiga sama sisi.

Andaikan \triangle ABC   memiliki sebuah lingkaran dalam dengan jari-jari r   dan pusat I   . Misalkan a   menjadi panjang BC, b menjadi panjang AC, dan c menjadi panjang AB . Sekarang, lingkaran dalam singgung dengan AB  pada suatu titik T_C , dan demikian \angle AT_C I adalah siku-siku. Demikian, \triangle IAB memiliki alas dengan panjang c dan tinggi r, dan jadi memiliki luas \frac{1}{2}cr. Dengan cara yang serupa, \triangle IAC memiliki luas \frac{1}{2}br dan \triangle IBC memiliki luas \frac{1}{2}ar. Karena ketiga segitiga ini memisahkan \triangle ABC, kita lihat bahwa luas \Delta dari \triangle ABC adalah:

\Delta = \frac{1}{2} (a + b + c)r = srdan

r = \frac{\Delta}{s}

di mana \Delta adalah luas dari \triangle ABC dan s = \frac{1}{2}(a + b + c) adalah semiperimeternya.

Untuk sebuah rumus yang alternatif, anggap \triangle IT_CA. Ini adalah segitiga siku-siku dengan satu sisinya sama dengan r dan sisi lainnya sama dengan r \cot \left(\frac{A}{2}\right). Kesamaannya benar untuk \triangle IB'A. Segitiga yang besar dikomposisi enam segitiga dan luas totalnya adalah:

\Delta = r^2 \left(\cot\left(\frac{A}{2}\right) + \cot\left(\frac{B}{2}\right) + \cot\left(\frac{C}{2}\right)\right)

### Segitiga dan titik Gergonne

**Segitiga Gergonne** (dari  \triangle ABC) didefinisikan oleh tiga titik singgung dari lingkaran dalam pada tiga sisi. Titik singgung berlawanan  A dilambangkan T_A , dll.

Segitiga Gergonne, \triangle T_A T_B T_C, juga dikenal sebagai **segitiga kontak** atau **segitiga singgung dalam** dari  \triangle ABC. Luasnya adalah

K_T = K\frac{2r^2 s}{abc}

di mana K, r  , dan s adalah luasnya, jari-jari dari lingkaran dalam dari segitiga asalnya, dan a  , b  , serta c   adalah panjang sisi dari segitiga asalnya. Ini adalah luas yang sama seperti yang dari segitiga singgung luar.

Tiga garis AT_A, BT_B, dan CT_C memotong dalam sebuah titik tunggal disebut **titik Gergonne**, dilambangkan sebagai G_e (pusat segitiga X_7). Titik Gergonne terletak di cakram ortosentroidal terbuka tertusuk di pusatnya sendiri, dan dapat menjadi suatu titik di situ.

Titik Gergonne dari sebuah segitiga memiliki sebuah bilangan sifat-sifat, termasuk bahwa ini adalah sebuah titik simedian dari segitiga Gergonne.

Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung dalam diberikan oleh

\begin{align}
\text{verteks } T_A &= 0 : \sec^2 \left(\frac{B}{2}\right) : \sec^2\left(\frac{C}{2}\right) \\
\text{verteks } T_B &= \sec^2 \left(\frac{A}{2}\right) : 0 : \sec^2\left(\frac{C}{2}\right) \\
\text{verteks } T_C &= \sec^2 \left(\frac{A}{2}\right) : \sec^2\left(\frac{B}{2}\right) : 0
\end{align}

Koordinat trilinear untuk titik Gergonne diberikan oleh

atau, dengan setara, oleh Hukum Sinus

\frac{bc}{b + c - a} : \frac{ca}{c + a - b} : \frac{ab}{a + b - c}

## Lingkaran singgung luar dan pusat lingkaran singgung luar

Sebuah **lingkaran singgung luar** dari segitiga adalah sebuah lingkaran yang terletak di luar segitiga, bersinggung dengan satu sisinya dan singgung dengan perluasan dari keduanya. Setiap segitiga memiliki tiga lingkaran yang berbeda, setiap singgung ke satu dari sisi-sisi segitiga.

Pusat sebuah lingkaran singgung luar merupakan perpotongan dari garis bagi dalam satu sudut (di verteks A  , contohnya) dan garis bagi luar dari dua lainnya. Pusat lingkaran singgung ini disebut **pusat lingkaran singgung luar** relatif terhadap verteks dari A  , atau **pusat lingkaran singgung luar** dari A  . Karena garis bagi dalam sudut tegak lurus dengan garis bagi luarnya, ini mengikuti bahwa pusat dari lingkaran dalam bersama dengan tiga pusat lingkaran singgung luar membentuk sebuah sistem ortosentrik.

### Koordinat trilinear pusat lingkaran singgung luar
Saat pusat lingkaran dalam \triangle  ABC memiliki koordinat trilinear 1:1:1, pusat lingkaran singgung luar memiliki trilinear -1:1:1, 1:-1:1, dan 1:1:-1.

### Jari-jari pusat lingkaran singgung luar
Jari-jari dari lingkaran singgung luar disebut **jari-jari lingkaran singgung luar***.*

Jari-jari lingkaran singgung luar dari lingkaran singgung luar berlawanan A   (jadi menyentuh BC , berpusat di J_A ) adalah

r_a = \frac{rs}{s - a} = \sqrt{\frac{s(s - b)(s - c)}{s - a}}..., di mana s = \frac{1}{2}(a+b+c).

Lihat rumus Heron

#### Penurunan rumus pusat lingkaran singgung luar

Misalkan lingkaran singgung di sisi AB bersinggung di sisi AC diperpanjang di G, dan misalkan jari-jari lingkaran singgung luar menjadi r_c dan pusatnya mnejadi J_c. Maka J_c G  merupakan sebuah tinggi dari \triangle ACJ_c, jadi \triangle ACJ_c memiliki luas \tfrac{1}{2}br_c. Dengan menggunakan argumen yang serupa,  \triangle BCJ_c  memiliki luas \tfrac{1}{2}ar_c dan \triangle ABJ_c memiliki luas \tfrac{1}{2}cr_c. Demikian luasnya \Delta dari \triangle ABC adalah

: \Delta = \frac{1}{2}(a + b - c)r_c = (s - c)r_c.

Jadi, oleh simetri, melambangkan r sebagai jari-jari lingkaran dalam,

: \Delta = sr = (s - a)r_a = (s - b)r_b = (s - c)r_c.

Oleh Hukum Kosinus, kita memiliki

: \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

Menggabungkan ini dengan identitas \sin^2 A + \cos^2 A = 1, kita memiliki

: \sin(A) = \frac{\sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2 b^2 + 2b^2 c^2 + 2 a^2 c^2}}{2bc}

Tetapi \Delta = \tfrac{1}{2}bc \sin(A), dan demikian

:\begin{align}
  \Delta &= \frac{1}{4} \sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2 c^2 + 2 a^2 c^2} \\
         &= \frac{1}{4} \sqrt{(a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)} \\
         & = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)},
\end{align}

yang merupakan rumus Heron.

Menggabungkan ini dengan sr = \Delta, kita memiliki

:r^2 = \frac{\Delta^2}{s^2} = \frac{(s - a)(s - b)(s - c)}{s}.

Dengan cara yang serupa, (s - a)r_a = \Delta memberikan

:r_a^2 = \frac{s(s - b)(s - c)}{s - a}

dan

:r_a = \sqrt{\frac{s(s - b)(s - c)}{s - a}}.

#### Sifat-sifat lainnya
Dari rumus di atas salah satunya dapat melihat bahwa lingkaran singgun luar selalu lebih besar dari lingkaran dalam dan bahwa lingkaran singgung paling terbesar merupaakan salah satu bersinggung dengan sisi terpanjang serta lingkaran singgung luar bersinggung dengan sisi terpendek. Lebih lanjut, menggabungkan rumus-rumus ini menghasilkan:

\Delta = \sqrt{r r_a r_b r_c}

### Sifat-sifat lingkaran singgung luar lainnya
Lambung lingkar dari lingkaran singgung luar secara internal menyinggung dengan setiap dari lingkaran singgung luar dan dengan demikian merupakan sebuah lingkaran Apollonius. Jari-jari lingkaran Apollonius ini adalah \frac{r^2 + s^2}{4r} di mana  r adalah jari-jari lingkaran dalam dan s adalah semiperimeter dari segitiga.

Hubungan berikut berlaku di antara jari-jari lingkaran dalam  r, jari-jari lingkaran luar R , semiperimeter s, dan jari-jari lingkaran singgung luar r_a, r_b, r_c:

\begin{align}
              r_a + r_b + r_c &= 4R + r \\
  r_a r_b + r_b r_c + r_c r_a &= s^2 \\
        r_a^2 + r_b^2 + r_c^2 &= \left(4R + r\right)^2 - 2s^2
\end{align}

Lingkaran melalui pusat-pusat dari tiga lingkaran singgung luar memiliki jari-jari 2R.

Jika H adalah titik tinggi dari \triangle ABC   , maka

\begin{align}
          r_a + r_b + r_c + r &= AH + BH + CH + 2R \\
  r_a^2 + r_b^2 + r_c^2 + r^2 &= AH^2 + BH^2 + CH^2 + (2R)^2
\end{align}

### Segitiga Nagel dan titik Nagel

**Segitiga Nagel** atau **segitiga singgung luar** \triangle ABC dilambangkan oleh verteks-verteks  T_A , T_B, dan T_C yang terdapat tiga titik di mana lingakran singgung luar menyinggung rujukan \triangle ABC dan di mana  T_A adalah lawannya dari A, dst. \triangle T_A T_B T_C ini juga dikenal sebagai **segitiga singgung luar**  \triangle ABC  . Lingkaran luar dari singgung luar \triangle T_A T_B T_C  disebut **lingkaran Mandart**.

Tiga garis AT_A , BT_B, dan CT_C  disebut pembagi dari segitiga, mereka membagi garis setiap keliling dari segitiga,

AB + BT_A = AC + CT_A = \frac{1}{2}\left( AB + BC + AC \right)

Pembaginya memotong dalam sebuah titik tunggal, titik Nagel segitiga N_a (atau pusat segitiga X_8).

Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung luar diberikan oleh

\begin{align}
\text{verteks } T_A &= 0 : \csc^2\left(\frac{B}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right) \\
\text{verteks } T_B &= \csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : 0 : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right) \\
\text{verteks } T_C &= \csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{B}{2}\right) : 0
\end{align}

Koordinat trilinear untuk titik Nagel diberikan oleh

\csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : \csc^2 \left(\frac{B}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right)

atau, dengan setara, oleh Hukum Sinus,

\frac{b + c - a}{a} : \frac{c + a - b}{b} : \frac{a + b - c}{c}

Titik Nagel merupakan sekawan isotomik dari titik Gergonne.

## Konstruksi yang berkaitan

### Lingkaran sembilan titik dan titik Feuerbach

Dalam geometri, **lingkaran sembilan titik** merupakan sebuah lingkaran yang dapat dikonstruksikan untuk suatu segitiga yang diberikan. Ini dinamakan demikian  karena ini lewat melalui sembilan titik konsiklik bermakna didefinisikan dari segitiga. Sembilan titik ini adalah:

* Titik tengah setiap sisi dari segitiga
* Kaki dari setiap tinggi
* Titik tengah dari ruas garis dari setiap verteks-verteks segitiga ke titik tinggi (di mana tiga ketinggiannya bertemu; ruas garis ini terletak pada masing-masing ketinggiannya).

Pada tahun 1822, Karl Feuerbach menemukan bahwa setiap lingkaran sembilan titik segitiga secara eksternal bersinggungan dengan tiga lingkaran singgung luarnya dan secara internal bersinggung dengan lingkaran dalamnya; hasil ini diknel sebagia teorema Feuerbach. Dia membuktikan bahwa:

Pusat segitiga di mana singgung lingkaran dalam dan lingkaran sembilan disebut titik Feuerbach.

### Segitiga pusat dalam dan pusat singgung luar
Titik perpotongan dari garis bagi sudut dalam \triangle  ABC  dengan ruas  BC ,  CA , dan  AB  adalah verteks-verteks dari **segitiga pusat dalam**. Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga pusat dalam diberikan oleh

\begin{align}
\left( \text{lawan dari verteks }A\right) &= 0 : 1 : 1 \\
\left( \text{lawan dari verteks }B\right) &= 1 : 0 : 1 \\
\left( \text{lawan dari verteks }C\right) &= 1 : 1 : 0
\end{align}

**Segitiga pusat singgung luar** dari sebuah segitiga acuan memiliki verteks-verteks pada pusat dari lingkaran singgung luar segitiga acuan. Sisinya pada garis bagi sudut luar dari segitiga acuan (lihat gambar pada halaman di atas). Koordinat trilinear untuk verteks-verteks mengenai segitiga pusat singgung luar diberikan oleh

\begin{align}
(\text{hadapan verteks} \, A) = -1 :  1 :  1 \\
(\text{hadapan verteks} \, B) =  1 : -1 :  1 \\
(\text{hadapan verteks} \, C) =  1 :  1 : -1
\end{align}

## Persamaan untuk empat lingkaran
Misalkan x:y:z menjadi sebuah titik peubah dalam koordinat trilinear, dan misalkan u = \cos^2 \left( \frac{A}{2}\right), v = \cos^2 \left( \frac{B}{2} \right), dan w = \cos^2 \left(\frac{C}{2} \right). Keempat lingkaran digambarkan di atas diberikan dengan setara oleh baik dari dua persamaan yang diberikan:

* Lingkaran dalam:

\begin{align}
  u^2 x^2 + v^2 y^2 + w^2 z^2 - 2vwyz - 2wuzx - 2uvxy &= 0 \\
  \pm\sqrt{x}\cos\left(\frac{A}{2}\right) \pm \sqrt{y}\cos\left(\frac{B}{2}\right) \pm \sqrt{z}\cos\left(\frac{C}{2}\right) &= 0
\end{align}

* Lingkaran singgung luar A:

\begin{align}
  u^2 x^2 + v^2 y^2 + w^2 z^2 - 2vwyz + 2wuzx + 2uvxy &= 0 \\
  \pm\sqrt{-x}\cos\left(\frac{A}{2}\right) \pm \sqrt{y}\cos\left(\frac{B}{2}\right) \pm \sqrt{z}\cos\left(\frac{C}{2}\right) &= 0
\end{align}

* Lingkaran singgung luar B:

\begin{align}
  u^2 x^2 + v^2 y^2 + w^2 z^2 + 2vwyz - 2wuzx + 2uvxy &= 0 \\
  \pm\sqrt{x}\cos\left(\frac{A}{2}\right) \pm \sqrt{-y}\cos\left(\frac{B}{2}\right) \pm \sqrt{z}\cos\left(\frac{C}{2}\right) &= 0
\end{align}

* Lingkaran singgung luar C:

\begin{align}
  u^2 x^2 + v^2 y^2 + w^2 z^2 + 2vwyz + 2wuzx - 2uvxy &= 0 \\
  \pm\sqrt{x}\cos\left(\frac{A}{2}\right) \pm \sqrt{y}\cos\left(\frac{B}{2}\right) \pm \sqrt{-z}\cos\left(\frac{C}{2}\right) &= 0
\end{align}

## Teorema Euler
Teorema Euler menyatakan bahwa dalam sebuah segitiga:

(R - r)^2 = d^2 + r^2

di mana R dan r adalah jari-jari lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam masing-masing, dan d adalah jarak antara pusat lingkaran luar dan pusat lingkaran dalam.

Untuk lingkaran singgung luar, persamaannya menyerupai:

\left(R + r_\text{ex}\right)^2 = d_\text{ex}^2 + r_\text{ex}^2

di mana r_\text{ex} merupakan jari-jari mengenai salah satu dari lingkaran singgung luar, dan d_\text{ex} adalah jarak antara pusat lingkaran luar dan pusat lingkaran singgung luarnya.

## Perampatan dengan poligon lainnya
Beberapa (tapi tidak semua) segi empat memiliki sebuah lingkaran dalam. Ini disebut segi empat singgung. Di antaranya banyak sifat-sifat yang mungkin paling terpenting adalah bahwa dua pasangannya mengenai sisi berhadapan memiliki jumlah yang sama. Ini disebut teorema Pitot.

Lebih umumnya, sebuah poligon dengan suatu jumlah sisi bahwa memiliki sebuah lingkaran dalam (yaitu, salah satunya yang bersinggung dengan setiap sisi disebut sebuah poligon singgung.

## Lihat pula

* 
* – ;Lingkaran yang lewat melalui semua verteks-verteks poligon
* 
*  – Luas segitiga dari jarak sisi dan verteksnya untuk suatu garis singgung ke lingkaran dalamnya
*  – Sebuah irisan runjunt yan lewat melalui verteks segiiga atau garis singgung ke sisinya
* 
* 
* 
* 
*  – Sebuah pernyataan mengenai sifat-sifat lingkaran dalam dan lingkaran luar.

## Catatan


## Referensi

* 
* 
* 
* 

## Pranala luar

* Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
* 

### Interaktif

* Pusat lingkaran dalam segitiga&nbsp; &nbsp;Lingkaran dalam segitiga&nbsp;&nbsp;Lingkaran segi banyak beraturan&nbsp; &nbsp;Dengan animasi interaktif
* Membangun sebuah pusat lingkaran dalam/lingkaran dalam segitiga dengan jangka dan sejajar
* Teorema Lingkaran Dalam Sama di Cut-the-Knot
* Lima Teorema Lingkaran Dalam di Cut-the-Knot
* Pasangan Lingkaran Dalam di sebuah Segi Empat di Cut-the-Knot
* An interactive Java applet for the incenter