Fungsi theta

Dalam matematika, **Fungsi theta** adalah fungsi khusus dari beberapa variabel kompleks. Mereka penting di banyak bidang, termasuk teori varietas abelian dan ruang moduli, dan bentuk kuadrat. Mereka juga telah diterapkan pada teori soliton. Ketika digeneralisasi menjadi aljabar Grassmann, mereka juga muncul di teori medan kuantum.

Bentuk fungsi theta yang paling umum adalah yang terjadi dalam teori fungsi eliptik. Sehubungan dengan salah satu variabel kompleks (secara konvensional disebut ), fungsi theta memiliki properti yang mengekspresikan perilakunya sehubungan dengan penambahan periode fungsi eliptik terkait, menjadikannya fungsi kuasiperiodik. Dalam teori abstrak ini berasal dari bundel garis kondisi keturunan.

## Fungsi theta Jacobi

Ada beberapa fungsi yang terkait erat yang disebut fungsi jacobi theta, dan banyak sistem notasi yang berbeda dan tidak kompatibel untuk fungsi tersebut. **Fungsi theta Jacobi** (dinamai Carl Gustav Jacob Jacobi) merupakan fungsi yang ditentukan untuk dua variabel kompleks  dan , di mana  dapat berupa bilangan kompleks apa pun dan  adalah rasio setengah periode, terbatas pada bidang setengah atas, yang berarti ia memiliki bagian imajiner positif. Itu diberikan oleh rumus

:\begin{align} 
\vartheta(z; \tau) &= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp \left(\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z\right) \\
&= 1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \left(e^{\pi i\tau}\right)^{n^2} \cos(2\pi n z) \\
&= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}\eta^n 
\end{align}

di mana  adalah ''nome'' dan . Ini adalah bentuk Jacobi. Pada , ini adalah deret Fourier untuk 1-periodik seluruh fungsi dari . Karenanya, fungsi theta adalah 1-periodik in :

:\vartheta(z+1; \tau) = \vartheta(z; \tau).

Ternyata juga menjadi  kuasiperiodik dalam , dengan

:\vartheta(z+\tau;\tau) = \exp[-\pi i (\tau + 2 z)] \vartheta(z;\tau).

Jadi, secara umum,

:\vartheta(z+a+b\tau;\tau) = \exp\left(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z\right) \vartheta(z;\tau)

untuk semua bilangan bulat  dan .

## Fungsi pembantu

Fungsi theta Jacobi yang didefinisikan di atas terkadang dipertimbangkan bersama dengan tiga fungsi theta tambahan, dalam hal ini ditulis dengan subskrip 0 ganda:

:\vartheta_{00}(z;\tau) = \vartheta(z;\tau)

Fungsi bantu (atau setengah periode) ditentukan oleh

:\begin{align}
\vartheta_{01}(z;\tau)& = \vartheta \left(z+\tfrac12;\tau\right)\\[3pt]
\vartheta_{10}(z;\tau)& = \exp\left(\tfrac14\pi i \tau + \pi i z\right)\vartheta\left(z + \tfrac12\tau;\tau\right)\\[3pt]
\vartheta_{11}(z;\tau)& = \exp\left(\tfrac14\pi i \tau + \pi i\left(z+\tfrac12\right)\right)\vartheta\left(z+\tfrac12\tau + \tfrac12;\tau\right).
\end{align}

Notasi ini mengikuti Riemann dan Mumford; Formulasi asli Jacobi adalah dalam istilah nome  daripada . Dalam notasi Jacobi  adalah fungsi tertulis:

:\begin{align}
\theta_1(z;q) &= -\vartheta_{11}(z;\tau)\\
\theta_2(z;q) &= \vartheta_{10}(z;\tau)\\
\theta_3(z;q) &= \vartheta_{00}(z;\tau)\\
\theta_4(z;q) &= \vartheta_{01}(z;\tau)
\end{align}

Definisi di atas dari fungsi Jacobi theta sama sekali tidak unik. Lihat Fungsi jacobi theta (variasi notasi) untuk pembahasan lebih lanjut.

Bila kita mengatur  dalam fungsi theta di atas, kita mendapatkan empat fungsi dari  saja, yang ditentukan pada setengah bidang atas (terkadang disebut konstanta teta.) Mak ini dapat digunakan untuk mendefinisikan berbagai bentuk modular, dan untuk mengukur kurva tertentu; khususnya, **identitas Jacobi** adalah

:\vartheta_{00}(0;\tau)^4 = \vartheta_{01}(0;\tau)^4 + \vartheta_{10}(0;\tau)^4

yang merupakan kurva Fermat dari derajat empat.

## Identitas Jacobi
Identitas Jacobi menggambarkan bagaimana fungsi theta berubah di bawah kelompok modular, yang dihasilkan oleh  dan . Persamaan untuk transformasi pertama mudah ditemukan sejak menambahkan satu ke  dalam eksponen memiliki efek yang sama seperti penjumlahan  ke  (). Untuk yang kedua, maka

:\alpha = (-i \tau)^\frac12 \exp\left(\frac{\pi}{\tau} i z^2 \right).

Kemudian

:\begin{align}
\vartheta_{00}\!\left(\frac{z}{\tau}; \frac{-1}{\tau}\right)& = \alpha\,\vartheta_{00}(z; \tau)\quad&
\vartheta_{01}\!\left(\frac{z}{\tau}; \frac{-1}{\tau}\right)& = \alpha\,\vartheta_{10}(z; \tau)\\[3pt]
\vartheta_{10}\!\left(\frac{z}{\tau}; \frac{-1}{\tau}\right)& = \alpha\,\vartheta_{01}(z; \tau)\quad&
\vartheta_{11}\!\left(\frac{z}{\tau}; \frac{-1}{\tau}\right)& = -i\alpha\,\vartheta_{11}(z; \tau).
\end{align}

## Fungsi theta dalam istilah ''nome''
Alih-alih mengekspresikan fungsi theta dalam istilah  dan , kita dapat mengungkapkannya dalam istilah argumen  dan ''nome'' , di mana  dan . Dalam bentuk ini, fungsinya menjadi

:\begin{align}
\vartheta_{00}(w, q)& = \sum_{n=-\infty}^\infty  (w^2)^n q^{n^2}\quad&
\vartheta_{01}(w, q)& = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n (w^2)^n q^{n^2}\\[3pt]
\vartheta_{10}(w, q)& = \sum_{n=-\infty}^\infty (w^2)^{n+\frac12} q^{\left(n + \frac12\right)^2}\quad&
\vartheta_{11}(w, q)& = i \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n (w^2)^{n+\frac12} q^{\left(n + \frac12\right)^2}.
\end{align}

Kita melihat bahwa fungsi theta juga bisa didefinisikan dalam istilah  dan , tanpa referensi langsung ke fungsi eksponensial. Oleh karena itu, rumus-rumus ini dapat digunakan untuk mendefinisikan fungsi Theta di atas bidang lain di mana fungsi eksponensial mungkin tidak dapat didefinisikan di mana-mana, seperti bidang bilangan -adic.

## Wakilan integral
Fungsi Jacobi theta memiliki wakilan integral berikut:

:\begin{align}
\vartheta_{00} (z; \tau) &= -i\int_{i-\infty}^{i+\infty} e^{i \pi \tau u^2} \frac{\cos(2uz + \pi u)}{\sin(\pi u)} \mathrm{d}u; \\[6pt]
\vartheta_{01} (z; \tau) &= -i\int_{i-\infty}^{i+\infty} e^{i \pi \tau u^2} \frac{\cos (2uz)}{\sin (\pi u)} \mathrm{d}u; \\[6pt]
\vartheta_{10} (z; \tau) &= -ie^{iz + \frac14 i \pi\tau} \int_{i-\infty}^{i+\infty} e^{i\pi\tau u^2} \frac{\cos(2uz + \pi u + \pi \tau u)}{\sin (\pi u)} \mathrm{d}u; \\[6pt]
\vartheta_{11} (z; \tau) &= e^{iz + \frac14 i \pi \tau} \int_{i-\infty}^{i+\infty} e^{i\pi\tau u^2} \frac{\cos(2uz + \pi \tau u)}{\sin(\pi u)} \mathrm{d}u.
\end{align}

## Nilai eksplisit
Lihat Yi (2004).

:\begin{align}
\varphi(e^{-\pi x}) &= \vartheta(0; ix) = \theta_3(0;e^{-\pi x}) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-x \pi n^2}\\[8pt]
\varphi\left(e^{-\pi} \right) &= \frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma\left(\frac34\right)} \\[8pt]
\varphi\left(e^{-2\pi}\right) &= \frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma\left(\frac34\right)} \frac{\sqrt[4]{6+4\sqrt2}}{2}\\[8pt]
\varphi\left(e^{-3\pi}\right) &= \frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma\left(\frac34\right)} \frac{\sqrt[4]{27+18\sqrt3}}{3}\\[8pt]
\varphi\left(e^{-4\pi}\right) &= \frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma\left(\frac34\right)} \frac{\sqrt[4]{8}+2}{4}\\[8pt]
\varphi\left(e^{-5\pi}\right) &= \frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma\left(\frac34\right)} \frac{\sqrt[4]{225+ 100\sqrt5}}{5}\\[8pt]
\varphi\left(e^{-6\pi}\right) &= \frac{\sqrt[3]{3\sqrt{2}+3\sqrt[4]{3}+2\sqrt{3}-\sqrt[4]{27}+\sqrt[4]{1728}-4}\cdot\sqrt[8]{243{\pi}^2}}{6\sqrt[6]{1+\sqrt6-\sqrt2-\sqrt3}{\Gamma\left(\frac34\right)}} = \frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma\left(\frac34\right)} \frac{\sqrt{\sqrt[4]{1}+\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{4}+\sqrt[4]{9}}}{\sqrt[8]{1728}} \\[8pt]
\varphi\left(e^{-7\pi}\right) &= \frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma\left(\frac34\right)} \sqrt{\frac{\sqrt{13+\sqrt{7}}+\sqrt{7+3\sqrt{7}}}{14}\cdot \sqrt[8]{28}} = \frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma\left(\frac34\right)} \frac{\sqrt[4]{7+4\sqrt{7}+5\sqrt[4]{28}+\sqrt[4]{1372}}}{\sqrt{7}}\\[8pt]
\varphi\left(e^{-8\pi}\right) &= \frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma\left(\frac34\right)} \frac{\sqrt[8]{128}+\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4} \\[8pt]
\varphi\left(e^{-9\pi}\right) &= \frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma\left(\frac34\right)} \frac{\left(1+\left(1+\sqrt{3}\right)\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\right)}{3} \\[8pt]
\varphi\left(e^{-10\pi}\right) &= \frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma\left(\frac34\right)} \frac{\sqrt{20+\sqrt{450}+\sqrt{500}+10\sqrt[4]{20}}}{10} \\[8pt]
\varphi\left(e^{-12\pi}\right) &= \frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma\left(\frac34\right)} \frac{\sqrt{\sqrt[4]{1}+\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{4}+\sqrt[4]{9}+\sqrt[4]{18}+\sqrt[4]{24}}}{2\sqrt[8]{108}} \\[8pt]
\varphi\left(e^{-16\pi}\right) &= \frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma\left(\frac34\right)} \frac{\left(4+ \sqrt[4]{128}+ \sqrt[4]{1024\sqrt[4]{8} + 1024\sqrt[4]{2}} \right)}{16}
\end{align}

## Beberapa identitas deret

Dua identitas seri berikutnya dibuktikan oleh István Mező:

:\begin{align}
\vartheta_4^2(q)&=iq^{\frac14}\sum_{k=-\infty}^\infty q^{2k^2-k}\vartheta_1\left(\frac{2k-1}{2i}\ln q,q\right),\\[6pt]
\vartheta_4^2(q)&=\sum_{k=-\infty}^\infty q^{2k^2}\vartheta_4\left(\frac{k\ln q}{i},q\right).
\end{align}
These relations hold for all . Specializing the values of , we have the next parameter free sums

:\begin{align}
\sqrt{\frac{\pi\sqrt{e^\pi}}{2}}\cdot\frac{1}{\Gamma^2\left(\frac34\right)}&=i\sum_{k=-\infty}^\infty e^{\pi\left(k-2k^2\right)} \vartheta_1 \left(\frac{i\pi}{2}(2k-1),e^{-\pi}\right),\\[6pt]
\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot\frac{1}{\Gamma^2\left(\frac34\right)}&=\sum_{k=-\infty}^\infty\frac{\vartheta_4\left(ik\pi,e^{-\pi}\right)}{e^{2\pi k^2}}
\end{align}

## Nol dari fungsi theta Jacobi
Semua angka nol dari fungsi theta Jacobi adalah angka nol sederhana dan diberikan sebagai berikut:

:\begin{align}
\vartheta(z,\tau) = \vartheta_3(z,\tau) &= 0 \quad &\Longleftrightarrow&& \quad z &= m + n \tau + \frac{1}{2} + \frac{\tau}{2}
\\[3pt]
\vartheta_1(z,\tau) &= 0 \quad &\Longleftrightarrow&& \quad z &= m + n \tau
\\[3pt]
\vartheta_2(z,\tau) &= 0 \quad &\Longleftrightarrow&& \quad z &= m + n \tau + \frac{1}{2}
\\[3pt]
\vartheta_4(z,\tau) &= 0 \quad &\Longleftrightarrow&& \quad z &= m + n \tau + \frac{\tau}{2}
\end{align}
di mana ,  adalah bilangan bulat acak.

## Kaitannya dengan fungsi zeta Riemann
Relasi

:\vartheta\left(0;-\frac{1}{\tau}\right)=(-i\tau)^\frac12 \vartheta(0;\tau)

digunakan oleh Riemann untuk membuktikan persamaan fungsional untuk fungsi zeta Riemann, dengan menggunakan transformasi Mellin

:\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) = \frac{1}{2}\int_0^\infty(\vartheta(0;it)-1)t^\frac{s}{2}\frac{\mathrm{d}t}{t}

yang dapat ditampilkan sebagai invarian di bawah substitusi  oleh . Integral terkait untuk  diberikan dalam artikel di Fungsi zeta Hurwitz.

## Kaitannya dengan fungsi ''q''-gamma

Fungsi theta keempat dan dengan demikian yang lainnya juga terhubung erat ke fungsi gamma- Jackson melalui relasi

:\left(\Gamma_{q^2}(x)\Gamma_{q^2}(1-x)\right)^{-1}=\frac{q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)^3_\infty\left(q^2-1\right)} \vartheta_4\left(\frac{1}{2i}(1-2x)\log q,\frac{1}{q}\right). 

## Hubungan dengan fungsi eta Dedekind
Maka  menjadi Dedekind eta function, dan argumen dari fungsi theta sebagai nome . Then,

:\begin{align}
\theta_2(0,q) = \vartheta_{10}(0;\tau) &= \frac{2\eta^2(2\tau)}{\eta(\tau)},\\[3pt]
\theta_3(0,q) = \vartheta_{00}(0;\tau) &= \frac{\eta^5(\tau)}{\eta^2\left(\frac{1}{2}\tau\right)\eta^2(2\tau)} = \frac{\eta^2\left(\frac{1}{2}(\tau+1)\right)}{\eta(\tau+1)}, \\[3pt]
\theta_4(0,q) = \vartheta_{01}(0;\tau) &= \frac{\eta^2\left(\frac{1}{2}\tau\right)}{\eta(\tau)},
\end{align}

dan,

:\theta_2(0,q)\,\theta_3(0,q)\,\theta_4(0,q) = 2\eta^3(\tau).

Lihat pula Fungsi modular Weber.

## Modulus elips
Modulus eliptik adalah
:k(\tau) = \frac{\vartheta_{10}(0,\tau)^2 }{\vartheta_{00}(0,\tau)^2} 
dan modulus eliptik komplementernya adalah
:k'(\tau) = \frac{\vartheta_{01}(0,\tau)^2 }{\vartheta_{00}(0,\tau)^2} 

## Solusi untuk persamaan panas

## Kaitannya dengan kelompok Heisenberg
Fungsi Jacobi theta tidak berubah di bawah aksi subkelompok diskrit dari kelompok Heisenberg. Pembalikan ini disajikan dalam artikel di representasi theta dari kelompok Heisenberg.

## Catatan

## Referensi
*
*
*. *(for treatment of the Riemann theta)*
*
*
*
*
*
* *(history of Jacobi's  functions)*

## Bacaan lebih lanjut
*
*
* Ackerman, M. Math. Ann. (1979) 244: 75. "On the Generating Functions of Certain Eisenstein Series " Springer-Verlag
Harry Rauch with Hershel M. Farkas: Theta functions with applications to Riemann Surfaces, Williams and Wilkins, Baltimore MD 1974, .

## Pranala luar
*