Logaritma alami dari 2

Nilai desimal dari logaritma natural dari 2 (urutan  kira-kira

:\ln 2 \approx 0.693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458.

Logaritma dari 2 dalam basis lainnya diperoleh dengan rumus

:\log_b 2 = \frac{\ln 2}{\ln b}

Logaritma umum secara khusus adalah 

:\log_{10} 2 \approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195.

Invers dari bilangannya ini adalah logaritma biner dari 10:

:\log_2 10 =\frac{1}{\log_{10} 2} \approx 3.321\,928\,095 

Dengan menggunakan teorema Lindemann–Weierstrass, logaritma natural dari setiap bilangan asli selain 0 dan 1 (lebih umumnya, dari setiap positif bilangan aljabar selain 1) adalah sebuah bilangan transenden.

## Wakilan deret

### Faktorial bolak-balik menaik

* \ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\cdots. Ini dikenal "deret harmonik bolak-balik".
* \ln 2 = \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}.
* \ln 2 = \frac{5}{8} +\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}.
* \ln 2 = \frac{2}{3} +\frac{3}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}.
* \ln 2 = \frac{131}{192} +\frac{3}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}.
* \ln 2 = \frac{661}{960} +\frac{15}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.

### Faktorial konstanta menaik biner

* \ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n}.
* \ln 2 = 1 -\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)}.
* \ln 2 = \frac{1}{2} + 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}.
* \ln 2 = \frac{5}{6} - 6 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}
* \ln 2 = \frac{7}{12} + 24 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}.
* \ln 2 = \frac{47}{60} - 120 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.

### Wakilan deret lainnya

* \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \ln 2.
* \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(4n^2-1)} = 2\ln 2 -1.
* \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(4n^2-1)} = \ln 2 -1.
* \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(9n^2-1)} = 2\ln 2 -\frac{3}{2}.
* \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-2n} = \ln 2.
* \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^2-4n} = \ln 2.
* \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{3n+1} = \frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}.
* \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{3n+2} = -\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}.
* \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)} = \frac{2\ln 2}{3}.
* \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sum_{k=1}^n k^2} = 18 - 24 \ln 2 menggunakan \lim_{N\rightarrow \infty} \sum_{n=N}^{2N} \frac{1}{n} = \ln 2.
* \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4k^2-3k} = \ln 2 + \frac{\pi}{6}  (jumlah timbal-balik dari bilangan dekagonal).

### Melibatkan fungsi zeta Riemann

* \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^n}[\zeta(n)-1] = \ln 2 -\frac{1}{2}.
* \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2n+1}[\zeta(n)-1] = 1-\gamma-\frac{\ln 2}{2}.
* \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{2n-1}(2n+1)}\zeta(2n) = 1-\ln 2.

(\gamma adalah konstanta Euler−Mascheroni dan \zeta adalah fungsi zeta Riemann.)

### Wakilan tipe-BBP
:\ln 2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^\infty \left(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12}\right) \frac{1}{16^k}

(Lihat lebih banyak mengenai wakilan tipe Bailey−Borwein−Plouffe (BBP).) 

Menerapkan ketiga deret umum untuk logaritma natural ke 2 secara langsung memberikan:

* \ln 2 = \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}.
* \ln 2 = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{2^{n}n}.
* \ln 2 = \frac{2}{3} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{9^{k}(2k+1)}.

Menerapkannya untuk \textstyle{2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}} memberikan:

* \ln 2 = \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2^n n} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{3^n n}.
* \ln 2 = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{3^n n} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{4^n n}.
* \ln 2 = \frac{2}{5} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{25^{k}(2k+1)} + \frac{2}{7} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{49^{k}(2k+1)}.

Menerapkannya untuk 2 = \left(\sqrt{2}\right)^2 memberikan:

* \ln 2 = 2 \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(\sqrt{2} + 1)^n n}.
* \ln 2 = 2 \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{(2 + \sqrt{2})^n n}.
* \ln 2 = \frac{4}{3 + 2 \sqrt{2}} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{(17 + 12 \sqrt{2})^{k}(2k+1)}.

Menerapkannya untuk \textstyle 2 = { \left( \frac{16}{15} \right) }^{7} \cdot { \left( \frac{81}{80} \right) }^{3} \cdot { \left( \frac{25}{24} \right) }^{5} memberikan:

* \ln 2 = 7 \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{15^n n} + 3 \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{80^n n} +  5 \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{24^n n}.
* \ln 2 = 7 \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{16^n n} + 3 \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{81^n n} +  5 \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{25^n n}.
* \ln 2 = \frac{14}{31} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{961^{k}(2k+1)} + \frac{6}{161} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{25921^{k}(2k+1)} + \frac{10}{49} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{2401^{k}(2k+1)}.

## Wakilan sebagai integral
Logaritma natural dari 2 sering terjadi sebagai hasil integrasi. Beberapa rumus eksplisit untuknya termasuk

* \int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \int_1^2 \frac{dx}{x} = \ln 2.

* \int_0^\infty e^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x} \, dx= \ln 2.

* \int_0^\frac{\pi}{3} \tan x \, dx=2\int_0^\frac{\pi}{4} \tan x \, dx = \ln 2.

## Wakilan lainnya
Pengembangan Piercenya adalah 

:\ln 2 = 1 -\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12} -\cdots

Pengembangan Engelnya adalah 

:\ln 2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\cdots

Pengembangan kotangennya adalah 

:\ln 2 = \cot({\arccot(0) -\arccot(1) + \arccot(5) - \arccot(55) + \arccot(14187) -\cdots})

Pengembangan pecahan berlanjutnya adalah 

:\ln 2 = \left[ 0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 10, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 3, 1,...\right]

yang menghasilkan aproksimasi rasional, beberapa yang pertama adalah 0, 1, \textstyle{\frac{2}{3}}, \textstyle{\frac{7}{10}}, \textstyle{\frac{9}{13}}, dan \textstyle{\frac{61}{88}}.

Pecahan berlanjut yang digeneralisasi ini:

:\ln 2 = \left[ 0;1,2,3,1,5,\tfrac{2}{3},7,\tfrac{1}{2},9,\tfrac{2}{5},...,2k-1,\frac{2}{k},...\right], dapat diekspresikan sebagai

:\ln 2 = \cfrac{1} {1+\cfrac{1} {2+\cfrac{1} {3+\cfrac{2} {2+\cfrac{2} {5+\cfrac{3} {2+\cfrac{3} {7+\cfrac{4} {2+\ddots}}}}}}}}
= \cfrac{2} {3-\cfrac{1^2} {9-\cfrac{2^2} {15-\cfrac{3^2} {21-\ddots}}}}

## Bootstrap logaritma lainnya
Diberikan sebuah nilai dari \ln 2, sebuah skema menghitung logaritma dari bilangan bulat lainnya adalah untuk mentabulasi logaritma dari bilangan prima dan di lapisan berikutnya, logaritma dari bilangan komposit c berdasarkan faktorisasinya

:c=2^i3^j5^k7^l\cdots\rightarrow \ln(c)=i\ln(2)+j\ln(3)+k\ln(5)+l\ln(7)+\cdots

Ini memakai

DI lapisan ketiga, logaritma bilangan rasional r = \frac{a}{b} dihitung dengan menggunakan \ln(r) = \ln(a) - \ln(b), dan logaritma akar melalui \ln \sqrt[n]{c} = \frac{1}{n} \ln c.

Logaritma dari 2 berguna dalam arti bahwa pangkat dari 2 tersebar agak padat, mencari 2^i yang mendekati dengan pangkat b^j dari bilangan b   lainnya relatif mudah, dan representasi deret \ln b dengan menggabungkan 2 ke b dengan perubahan logaritmik.

### Contoh
Jika p^s = q^t + d dengan beberapa d, maka \frac{p^s}{q^t} = 1 + \frac{d}{q^t} dan karena itu

:s\ln(p)-t\ln(q) = \ln\left(1+\frac{d}{q^t}\right) = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m+1}\frac{(\frac{d}{q^t})^m}{m} = \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{2n+1} {\left(\frac{d}{2 q^t + d}\right)}^{2n+1}

Memilih q = 2 mewakili \ln(p) oleh \ln 2  dan sebuah deret dari sebuah parameter \frac{d}{q^t} yang ingin tetap kecil untuk konvergen cepat. Mengambil 3^2 = 2^3 + 1, sebagai contoh, menghasilkan

:2\ln(3) = 3\ln 2 -\sum_{k\ge 1}\frac{(-1)^k}{8^{k}k} = 3\ln 2 + \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{2n+1} {\left(\frac{1}{2 \cdot 8 + 1}\right)}^{2n+1}:

Ini sebenarnya baris ketiga dalam tabel ekspansi tipe ini:

Dimulai dari logaritma natural dari q = 10, salah satunya dapat menggunakan parameter-parameter ini:

## Digit yang diketahui
Ini adalah sebuah tabel catatan terbaru dalam menghitung digit \ln 2  . Mulai Desember 2018, ini telah dihitung lebih banyak digit dari setiap logaritma natural  dari sebuah bilangan asli, kecuali 1.

## Lihat pula

* Aturan 72#Penggabungan kontinu, di mana \ln 2   sangat menonjol
* Waktu-paruh#Rumus untuk waktu-paruh dalam peluruhan eksponensial, di mana \ln 2   sangat menonjol
* Persamanan Erdős–Moser, semua penyelesaian harus datang dari sebuah konvergen dari \ln 2  .

## Referensi

* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Pranala luar

* 
* 
*