Tindakan grup (matematika)

Dalam matematika, **tindakan grup** padaruang adalah homomorfisme grup dari grup tertentu ke dalam grup transformasi ruang. Demikian pula, tindakan kelompok pada struktur matematika adalah kelompok homomorfisme dari suatu kelompok ke dalam grup automorfisme dari struktur. Dikatakan bahwa grup * bertindak * pada ruang atau struktur. Jika suatu grup bertindak pada suatu struktur, biasanya juga akan bertindak atas objek yang dibangun dari struktur. Misalnya, kelompok Isometri Euklid bekerja pada Ruang Euklidean dan juga pada gambar yang digambar di dalamnya. Secara khusus, ia bekerja pada himpunan dari semua segitiga. Demikian pula, kelompok simetri dari sebuah polihedron bekerja pada simpul, tepi, dan wajah dari polyhedron.

Tindakan grup pada ruang vektor (berdimensi-hingga)] disebut wakilan dari grup. Ini memungkinkan salah satunya untuk mengidentifikasi banyak grup dengan subkelompok , kelompok matriks yang dapat dibalik dengan dimensi atas bidang .

Grup simetris  bertindak pada setiap himpunan dengan elemen  dengan menggunakan elemen himpunan. Meskipun grup dari semua permutasi dari suatu himpunan secara formal bergantung pada himpunan tersebut, konsep tindakan kelompok memungkinkan salah satunya untuk mempertimbangkan satu grup untuk mempelajari permutasi dari semua himpunan dengan kardinal yang sama.

## Definisi

### Tindakan grup kiri
Jika adalah grup dengan elemen identitas , dan  adalah himpunan, maka (* kiri *) * tindakan grup *  dari  pada  adalah sebuah fungsi

:\alpha\colon G \times X \to X,

(dengan  sering disingkat menjadi  atau  jika tindakan yang dipertimbangkan sudah jelas dari konteksnya)

yang memenuhi dua tindakanoma berikut:

:

untuk  dan  pada  dan  pada .

Grup  dikatakan bertindak atas  (dari kiri). Himpunan  bersama dengan tindakan disebut *himpunan*- (*kiri*).

Dari dua tindakanoma ini, dapat disimpulkan bahwa untuk  tetap di , fungsi dari  ke yang memetakan  ke  adalah bijeksi, dengan bijeksi terbalik untuk peta yang sesuai . Oleh karena itu, salah satunya dapat secara setara mendefinisikan tindakan grup  pada  sebagai homomorfisme grup dari  ke grup simetris  dari semua bias dari  ke dirinya sendiri.

### Tindakan grup kanan
Demikian juga, * tindakan kelompok kanan * dari  pada  adalah fungsi

:\alpha\colon X \times G \to X,

(dengan  sering disingkat menjadi  atau  jika tindakan yang dipertimbangkan jelas dari konteksnya)

yang memenuhi tindakanoma analogi:

:

untuk  dan  pada  dan  pada .

Perbedaan antara tindakan kiri dan kanan terletak pada urutan perkalian  yang bekerja pada . Untuk tindakan kiri,  tindakan pertama, diikuti oleh  detik. Untuk tindakan yang benar,  tindakan pertama, diikuti oleh  detik. Karena rumusnya , tindakan kiri dapat dibangun dari tindakan kanan dengan menyusun dengan operasi kebalikan dari grup. Juga, tindakan kanan grup  pada  bisa dianggap sebagai tindakan kiri dari grup berlawanan  pada . Jadi cukup untuk hanya mempertimbangkan tindakan kiri tanpa kehilangan keumuman.

## Tipe tindakan

Tindakan* G *pada* X* disebut:
* **' jika ''X'' adalah [[himpunan kosong]] dan jika untuk setiap pasangan '' x '', '' y '' pada '' X '' maka '' g '' pada '' G '' dirumuskan . Misalnya, tindakan grup simetris '' X '' bersifat transitif, tindakan [[grup linear umum]] atau [[grup linear khusus]] ruang vektor '' V '' pada  bersifat transitif, tetapi tindakan [[grup ortogonal]] dari [[ruang Euklides]] '' E '' tidak transitif pada  (ini transitif pada [[unit bola]] dari '' E '', meskipun).
* **' (atau **') jika untuk setiap dua '' g '' yang berbeda, '' h '' pada '' G '' dengan '' x '' pada '' X '' sehingga ; atau setara, jika untuk  pada '' G '' ada '' x '' di '' X '' seperti itu .  Dengan kata lain, dalam tindakan kelompok yang setia, elemen '' G '' yang berbeda menyebabkan permutasi yang berbeda dari '' X ''. Dalam istilah aljabar, grup '' G '' bertindak tepat pada '' X '' jika dan hanya jika homomorfisme yang sesuai dengan grup simetris, , memiliki trivial [[kernel (aljabar)|kernel]]. Jadi, untuk tindakan yang setia, '' G '' [[Embedding|embed]] ke [[grup permutasi]] pafa '' X ''; khusus, '' G '' isomorfik untuk citra Sym(''X''). Jika'' G'' tidak bertindakan tepat pada '' X '', kita dapat dengan mudah memodifikasi grup untuk mendapatkan tindakan yang tepat. Jika kita mendefinisikan , maka '' N '' adalah [[subgrup normal]] dari '' G ''; memang, itu adalah inti dari homomorfisme . [[Grup faktor]] ''G''/''N'' bertindakan tepat pada '' X '' dengan menetapkan . tindakan asli ''G'' pada'' X'' sesuai jika dan hanya jika . Kumpulan terkecil di mana tindakan yang sesuai dapat didefinisikan dapat sangat bervariasi untuk grup dengan ukuran yang sama. Sebagai contoh:
** Tiga grup ukuran 120 adalah grup simetris ''S''<sub>5</sub>, [[grup ikosahedral]], dan [[grup siklik]] <math>\mathbb{Z}/120\mathbb{Z}</math>.himpunan terkecil di mana tindakan yang sesuai dapat didefinisikan masing-masing berukuran 5, 12, dan 16.
** [[Grup abelian]] ukuran 2<sup>'' n ''</sup> menyertakan grup siklik <math>\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}</math> serta <math>(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n</math> ([[produk langsung]] dari '' n '' salinan <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>), tetapi yang terakhir bertindak dengan sesuai pada himpunan ukuran 2''n '', sedangkan yang pertama tidak dapat bertindak dengan sesuai pada himpunan yang lebih kecil dari dirinya sendiri.
* **' (atau *semiberaturan* atau *titik tetap bebas*) jika, diberikan * g *, *h* dengan* G*, adanya *x *di* X * dengan  menyiratkan . Setara: jika * g * adalah elemen grup dan terdapat * x * di * X * dengan  (yaitu, jika * g * memiliki setidaknya satu titik tetap), maka * g * adalah identitasnya. Perhatikan bahwa tindakan bebas pada himpunan yang tidak kosong adalah tepat.
* **' (atau **' atau * transitif tajam *) jika transitif dan bebas; Ini sama dengan mengatakan bahwa untuk setiap dua * x *, * y * dalam * X * tepat ada satu * g * dalam * G * sehingga .  Dalam hal ini, * X * disebut sebagai ruang homogen utama untuk* G* atau torsi* G*. tindakan grup *G * pada dirinya sendiri dengan perkalian kiri adalah teratur, dan dengan demikian sesuai juga. Setiap grup, oleh karena itu, dapat disematkan dalam grup simetris pada elemennya sendiri, Sym(* G *). Hasil ini dikenal sebagai Teorema Cayley.
* **' jika '' X '' memiliki setidaknya '' n '' elemen, dan untuk semua yang berbeda ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'' dan berbeda ''y''<sub>1</sub>, ..., ''y<sub>n</sub>'', jika '' g '' pada '' G '' dirumuskan  untuk .  tindakan 2-transitif juga disebut **', tindakan 3-transitif disebut juga * transitif tiga kali*, dan seterusnya. tindakan tersebut menentukan kelas menarik dari subkelompok dalam grup simetris: Grup 2-transitif dan lebih umum perkalian grup transitif. Tindakan grup simetris pada himpunan dengan elemen* n * selalu* n *-transitif; tindakan dari grup selang-seling adalah (*n* - 2)-transitif.
* **' jika memang ada satu seperti '' g ''.
* **' jika transitif dan tidak mempertahankan partisi non-sepele dari * X *. Lihat grup permutasi primitif untuk detailnya.
* *Bebas secara lokal * jika* G* adalah grup topologi, dan ada lingkungan *U *dari *e* dalam *G* sedemikian rupa sehingga pembatasan tindakan menjadi* U* bebas; yaitu jika   untuk beberapa * x * dan beberapa * g * di * U * lalu .

Selanjutnya, jika *G *bekerja pada ruang topologi * X *, maka tindakannya adalah:

**[[Himpunan pengembaraan|Pengembaraan]]* jika setiap titik *x* pada *X *memiliki lingkungan *U * sehingga \{g \in G : g \cdot U \cap U \neq \emptyset\} is terhingga. Misalnya, tindakan \mathbb Z^n pada \mathbb R^n oleh translasi mengembara. tindakan grup pengembaraan pada setengah bidang Poincaré juga mengembara.
*Jika * X * adalah ruang kompak lokal dan untuk setiap himpunan bagian kompak *K*&thinsp;⊂&thinsp;*X* thehimpunan \{g \in G: gK \cap K \neq \emptyset \} terbatas. Tindakan mengembara yang diberikan di atas juga terputus-putus. Di sisi lain, tindakan \mathbb Z pada \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} given by n\cdot (x, y) = (2^n x, 2^{-n} y) wendering dan bebas tetapi tidak terputus-putus dengan benar.
***' jika '' G '' adalah grup topologi dan peta dari <math>G \times X \rightarrow X \times X : (g,x) \mapsto (g \cdot x,x)</math> adalah [[Peta layak|layak]]. Jika '' G '' adalah [[Grup diskrit|diskrit]] maka kesesuaian setara dengan diskontinuitas yang tepat untuk tindakan '' G ''.
* Dikatakan memiliki '' orbit diskrit '' jika orbit setiap '' x '' dalam '' X '' di bawah tindakan '' G '' diskrit dalam '' X ''.
*'' tindakan ruang '' jika setiap titik '' x '' di '' X '' memiliki lingkungan '' U '' sedemikian rupa sehingga <math>\{g \in G : g \cdot U \cap U \neq \emptyset\} = \{ e \} </math>.

Jika ''X ''adalah[[Nol elemen#modul Nol|bukan nol]] [[modul (matematika)|modul]] atas [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] ''R'' dan tindakan'' G'' adalahlinear-''R'' maka dikatakan
* ''Taktereduksikan'' jika tidak ada submodul invarian wajar taknol.

==Orbit dan penstabil ==


Pertimbangkan grup '' G '' yang bertindak pada himpunan '' X ''.'' Orbit ''dari suatu elemen'' x ''dalam'' X '' adalah himpunan elemen dalam'' X ''di mana ''x '' dapat dipindahkan oleh elemen ''G'' . Orbit'' x'' adalah dengan:

:<math> G\cdot x = \left\{ g\cdot x \mid g \in G \right\}.</math>

Sifat yang menentukan dari grup menjamin bahwa himpunan orbit (titik '' x '') '' X '' di bawah tindakan '' G '' membentuk [[partisi himpunan|partisi]] dari ''X''. [[Relasi ekivalen|Relasi setara]] terkait ditentukan dengan mengatakan  [[jika dan hanya jika]] terdapat '' g '' di '' G '' dengan . Orbitnya kemudian [[kelas ekivalen|kelas setara]] es di bawah hubungan ini; dua elemen '' x '' dan '' y '' setara jika dan hanya jika orbitnya sama, yaitu, .

Tindakan kelompok adalah [[Tindakan grup (matematika)#Jenis aksi|transitif]] jika dan hanya jika ia memiliki tepat satu orbit, yaitu, jika ada '' x '' dalam '' X '' dengan . This is the case if and only if  untuk '' semua '' '' x '' dalam '' X '' (mengingat bahwa '' X '' tidak kosong).

Himpunan semua orbit '' X '' di bawah tindakan '' G '' ditulis sebagai ''X''/''G'' (atau, lebih jarang: ''G''\''X''), dan disebut '' hasil bagi '' dari tindakan tersebut. Dalam situasi geometris ini bisa disebut **', sedangkan dalam situasi aljabar itu bisa disebut ruang **', dan ditulis '' X<sub> G </sub> '', berbeda dengan invarian (titik tetap), dilambangkan ''X<sup>G</sup>'': varian koin adalah '' hasil bagi '' sedangkan invariannya adalah '' himpunan bagian. '' Terminologi dan notasi koinvarian digunakan terutama dalam [[kelompok kohomologi]] dan [[grup homologi]], yang menggunakan konvensi superskrip/subskrip yang sama.

=== Himpunan bagian varian ===
Jika '' Y '' adalah [[himpunan bagian]] dari '' X '', salah satunya akan menulis '' GY '' untukhimpunan tersebut . Himpunan bagian '' Y '' dikatakan '' invarian di bawah G '' jika  (yang setara dengan ). Dalam hal ini, '' G '' juga beroperasi pada '' Y '' dengan membatasi tindakannya menjadi '' Y ''. Himpunan bagian '' Y '' disebut '' tetap di bawah G '' jika  untuk '' g '' di '' G '' dan semua '' y '' di '' Y ''. Setiap himpunan bagian yang ditetapkan di bawah '' G '' juga invarian di bawah '' G '', tetapi tidak sebaliknya.

Setiap orbit adalah himpunan bagian invarian dari '' X '' di mana ''G'' bertindak [[#Jenis tindakan|secara transitif]]. Sebaliknya, setiap himpunan bagian invarian dari '' X '' adalah gabungan orbit. Tindakan '' G '' pada '' X '' adalah '' transitif '' jika dan hanya jika semua elemen setara, artinya hanya ada satu orbit.

Elemen '' G-invarian '' dari '' X '' adalah  dirumuskan  untuk . Himpunan dari semua '' x '' dilambangkan ''X<sup>G</sup>'' dan disebut '' G-invarians '' dari '' X ''. Ketika '' X '' adalah [[Modul-G]], ''X<sup>G</sup>'' adalah grup zeroth [[grup kohomologu|kohomologi]] dari '' G '' dengan koefisien dalam '' X '', dan kelompok kohomologi yang lebih tinggi adalah [[functor turunan]] dari [[functor]] dari '' G ''-invarian.

=== Titik tetap dan subgrup penstabil ===
Diberikan '' g '' dalam '' G '' dan '' x '' dalam '' X '' dengan , dikatakan bahwa "'' x '' adalah titik tetap dari '' g ''" atau "'' g '' memperbaiki '' x ''". Untuk setiap '' x '' dalam '' X '', **subkelompok penstabil** dari '' G '' sehubungan dengan '' x '' (juga disebut '' grup isotropi '' atau '' kelompok kecil '') adalah himpunan semua elemen di '' G '' yang memperbaiki '' x '':
:<math>G_x = \{g \in G \mid g \cdot x = x\}.</math>
Ini adalah [[subgrup]] dari '' G '', meskipun biasanya bukan yang normal. Tindakan '' G '' pada '' X '' adalah [[#Jenis aksi|bebas]] jika dan hanya jika semua penstabil trivial. Kernel '' N '' dari homomorfisme dengan grup simetris, , diberikan oleh [[persimpangan (teori himpunan)|persimpangan]] dari penstabil ''G<sub>x</sub>'' untuk '' x '' dalam '' X ''. Jika '' N '' sepele, tindakan tersebut dikatakan sesuai (atau efektif).

Misalkan '' x '' dan '' y '' menjadi dua elemen dalam '' X '', dan biarkan '' g '' menjadi elemen grup sedemikian rupa sehingga . Kemudian dua grup penstabil ''G<sub>x</sub>'' dan ''G<sub>y</sub>'' dihubungkan oleh . Bukti: menurut definisi,  jika dan hanya jika . Menerapkan '' g ''<sup> −1 </sup> ke kedua sisi persamaan ini akan menghasilkan ; itu adalah, . Inklusi yang berlawanan mengikuti dengan cara yang sama dengan mengambil  dan seandainya .

Hal di atas mengatakan bahwa penstabil unsur-unsur dalam orbit yang sama adalah [[kelas konjugasi|konjugasi]] satu sama lain. Jadi, untuk setiap orbit, kita dapat mengasosiasikan [[kelas konjugasi]] dari subkelompok '' G '' (yaitu, himpunan semua konjugasi dari subgrup). Misalkan <math> (H) </math> menunjukkan kelas konjugasi '' H ''. Kemudian orbit '' O '' bertipe <math>(H)</math> jika penstabil <math> G_x </math> dari beberapa/sesuatu '' x '' pada '' O '' milik <math> (H) </math>. Jenis orbit mtindakanmal sering disebut [[jenis orbit utama]].

===  dan lema Burnside ===
Orbit dan penstabil terkait erat. Untuk tetap '' x '' dalam '' X '', pertimbangkan peta ''f'':''G'' → ''X'' diberikan oleh ''g'' ↦ ''g''·''x''. Menurut definisi gambar ''f''(''G'') dari peta ini adalah orbit '' G ''·'' x ''. Syarat dua elemen untuk memiliki citra yang sama adalah
:<math>f(g)=f(h)\iff g\cdot x=h \cdot x \iff g^{-1}h \cdot x=x \iff g^{-1}h \in G_x \iff h \in gG_x</math>.
Dengan kata lain, <math> f(g) = f (h) </math> '' jika dan hanya jika '' <math> g </math> dan <math> h </math> berada di tempat yang sama [[kohimpunan]] untuk subgrup penstabil <math>G_x</math>. Jadi, [[Serat (matematika)|serat]] <math>f^{-1}(\{y\})</math> dari '' f '' di atas setiap '' y '' di '' G '' · '' x '' terkandung dalam koset tersebut, dan setiap koset tersebut juga muncul sebagai serat. Oleh karena itu '' f '' mendefinisikan ''bijeksi'' antara himpunan <math> G/G_x </math> kohimpunan untuk subgrup penstabil dan orbit '' G '' · '' x '', yang mengirimkan <math>gG_x \mapsto g \cdot x</math>. Hasil ini dikenal sebagai '' teorema penstabil orbit ''.

Jika '' G '' berhingga maka teorema penstabil orbit, bersama dengan [[Teorema Lagrange (teori grup)|Teorema Lagrange]], memberikan
:<math>|G\cdot x| = [G\,:\,G_x] = |G| / |G_x|,</math>
dengan kata lain panjang orbit '' x '' kali urutan penstabilnya adalah urutan grup. Secara khusus yang menyiratkan bahwa panjang orbit adalah [[pembagi]] dari ordo grup.

: **Contoh:** Misalkan '' G '' menjadi sekelompok orde utama '' p '' yang bekerja pada himpunan '' X '' dengan elemen '' k ''. Karena setiap orbit memiliki elemen 1 atau '' p '', setidaknya ada <math>k \bmod p</math> orbit dengan panjang 1 yang merupakan '' G '' elemen invarian.

Hasil ini sangat berguna karena dapat digunakan untuk menghitung argumen (biasanya dalam situasi di mana '' X '' juga terbatas).


: **Contoh:*'  Kita dapat menggunakan teorema penstabil orbit untuk menghitung automorfisme dari sebuah [[Graf (matematika diskret)|graf]]. Pertimbangkan [[grafik kubik]] seperti yang digambarkan, dan biarkan * G * menunjukkan grup [[Graf keautomorfan|keautomorfan]]. Kemudian *G *bertindak pada himpunan verteks {1, 2, ..., 8}, dan tindakan ini bersifat transitif seperti yang dapat dilihat dengan menyusun rotasi di sekitar pusat [[kubus]]. Jadi, dengan teorema penstabil orbit, <math>|G| = |G\cdot1||G_1| = 8|G_1|</math>. Menerapkan teorema sekarang ke penstabil * G *<sub> 1 </sub>, kita bisa mendapatkan <math>|G_1| = |(G_1)\cdot2||(G_1)_2|</math>. Setiap elemen * G * yang menetapkan 1 harus mengirim 2 ke 2, 4, atau 5. Sebagai contoh automorfisme tersebut pertimbangkan rotasi di sekitar sumbu diagonal melalui 1 dan 7 oleh <math>2\pi/3</math> yang membolehkan 2,4,5 dan 3,6,8, dan fix 1 dan 7. Jadi, <math>\left|(G_1)\cdot2\right| = 3</math>. Menerapkan teorema untuk ketiga kalinya memberikan <math>|(G_1)_2| = |((G_1)_2)\cdot3||((G_1)_2)_3|</math>. Setiap elemen * G * yang menetapkan 1 dan 2 harus mengirim 3 ke 3 atau 6. Mencerminkan kubus di bidang melalui 1,2,7 dan 8 adalah automorfisme yang mengirim 3 hingga 6, jadi <math>\left|((G_1)_2)\cdot3\right| = 2</math>. Salah satunya juga melihat bahwa <math>((G_1)_2)_3</math> hanya terdiri dari automorfisme identitas, karena setiap elemen dari * G * yang memperbaiki 1, 2 dan 3 juga harus memperbaiki semua simpul lainnya, karena mereka ditentukan oleh kedekatannya dengan 1, 2 dan 3. Menggabungkan perhitungan sebelumnya, sekarang kita bisa mendapatkan <math>|G| = 8\cdot3\cdot2\cdot1 = 48</math>.

Hasil yang terkait erat dengan teorema penstabil orbit adalah [[lema Burnside]]:
:<math>|X/G|=\frac{1}\sum_{g\in G} |X^g|,</math>

dimana *X*<sup>g</sup> himpunan titik tetap oleh *g *. Hasil ini terutama digunakan ketika* G *dan *X *terbatas, bila dapat diartikan sebagai berikut: jumlah orbit sama dengan jumlah rata-rata titik yang ditetapkan per elemen grup.

Menetapkan grup *G *, himpunan perbedaan formal dari* G* hingga, himpunan membentuk [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] yang disebut [[gelanggang Burnside]] dari *G *, di mana penjumlahan sesuai dengan [[disjoint union]], dan perkalian dengan [[produk Kartesius]].

== Tindakan grup dan grupoid ==
Gagasan tindakan kelompok dapat diletakkan dalam konteks yang lebih luas dengan menggunakan * tindakan groupoid * <math>G'=G \ltimes X</math> terkait dengan tindakan kelompok, sehingga memungkinkan teknik dari teori grupoid seperti presentasi dan [[fibrasi]]. Selanjutnya, penstabil tindakan adalah kelompok puncak, dan orbit tindakan adalah komponen, dari tindakan grupoid. Untuk lebih jelasnya, lihat buku *Topologi dan groupoids * yang direferensikan di bawah ini

tindakan groupoid ini hadir dengan morfisme * p *: * G ′ * → * G * yang merupakan* morfisme yang menutupi grupoid*. Hal ini memungkinkan adanya hubungan antara morfisme tersebut dan [[peta peliputan]] dalam topologi.

== Galeri ==
<gallery widths="200px" heights="180">
Berkas:Octahedral-group-action.png|Orbit segitiga bola fundamental (ditandai merah) di bawah aksi grup oktahedral penuh.
Berkas:Icosahedral-group-action.png|Orbit segitiga bola fundamental (ditandai dengan warna merah) di bawah aksi grup ikosahedral penuh.
</gallery>

== Lihat pula ==
* [[Tindakan grup terukurkan]]
* [[Graf gain|Graf *gain*]]
* [[Grup dengan operator]]
* [[Tindakan monoid]]

== Referensi ==
=== Catatan ===


=== Kutipan ===


=== Lain ===
* 
* Brown, Ronald (2006). [http://arquivo.pt/wayback/20160514115224/http://www.bangor.ac.uk/r.brown/topgpds.html *Topology and groupoids''], Booksurge PLC, .
*Categories and groupoids, P.J. Higgins , downloadable reprint of van Nostrand Notes in Mathematics, 1971, which deal with applications of groupoids in group theory and topology.
*
* 
*
* 

## Pranala luar
* 
*