Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

**Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz** atau **pertidaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz**, adalah salah satu pertidaksamaan yang sangat penting dan sering kali dipakai dalam matematika.
 
Pertidaksamaan untuk penjumlahan diterbitkan oleh , sedangkan pertidaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh  dan . Bukti modern untuk versi integral diberikan oleh Schwarz.

## Pernyataan pertidaksamaan
Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz mengatakan bahwa untuk semua vektor \mathbf{u} dan \mathbf{v} dari ruang hasil kali dalam berlaku benar bahwadengan \langle\cdot,\cdot\rangle adalah hasil kali dalam. Setiap hasil kali dalam menimbulkan norma, yang disebut sebagai norma terimbas dengan norma dari vektor \mathbf{u} dinyatakan dan didefinisikan dengan:\|\mathbf{u}\| := \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}sehingga norma dan hasil kali dalam tersebut berkaitan dengan mendefinisikan syarat bahwa \|\mathbf{u}\|^2 = \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle, dengan \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle selalu bernilai real non-negatif (bahkan jika hasil kali dalamnya bernilai kompleks). Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, pertidaksamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih familiar:Terlebih lagi, kedua ruas tersebut akan sama jika dan hanya jika \mathbf{u} dan \mathbf{v} adalah vektor yang tergantung linear.

## Kasus istimewa

### Lema Sadrayakan untuk bilangan real positif
Pertidaksamaan Sedrakyan, atau disebut pertidaksamaan Bergström, bentuk Engel, lema T2, atau lema Titu, mengatakan bahwa untuk bilangan real positif:\frac{\left(\sum_{i=1}^n u_i\right)^2 }{\sum_{i=1}^n v_i} \leq \sum_{i=1}^n \frac{u_i^2}{v_i} \quad \text{atau} \quad \frac{u^2_1}{v_1} + \frac{u^2_2}{v_2} + \cdots + \frac{u^2_n}{v_n} \geq \frac{\left(u_1 + u_2 + \cdots + u_n\right)^2}{v_1 + v_2 + \cdots + v_n}.Pertidaksamaan ini merupakan akibat langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, yang diperoleh dengan menggunakan hasil kali bintik di \R^n dengan memasukkanu_i' = \frac{u_i}{\sqrt{v_i}} \text{ dan } v_i' = \sqrt{v_i}. Bentuk ini sangat berguna saat pertidaksamaan tersebut melibatkan pecahan yang mempunyai pembilang berupa bilangan kuadrat.

### Ruang Euklides dimensi-
Dalam ruang Euklides \mathbb R ^n dengan hasil kali dalam standar, yaitu hasil kali bintik, pertidaksamaan Cauchy–Schwarz ditulis sebagai\left(\sum_{i=1}^n u_i v_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n u_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz dapat dibuktikan dengan menggunakan gagasan aljabar elementer. Misalkan polinomial kuadrat di x di bawah berikut adalah:0 \leq (u_1 x + v_1)^2 + \cdots + (u_n x + v_n)^2 = \left( \sum u_i^2 \right) x^2 + 2 \left( \sum u_i v_i \right) x + \sum v_i^2.Pertidaksamaan tersebut setidaknya mempunyai satu buah solusi real untuk x, sebab nilainya tak negatif. Karena itu, diskriminan dari polinomial lebih kecil daripada sama dengan nol, dalam artian,\left(\sum_i u_i v_i\right)^2 - \left(\sum_i {u_i^2}\right)  \left(\sum_i {v_i^2}\right) \leq 0,

### Ruang kompleks bidang-
Jika  \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \C^n dengan \mathbf{u} = (u_1,\dots,u_n) dan \mathbf{v} = (v_1,\dots,v_n), dan u_1,\ldots, u_n\in\mathbb C dan v_1,\ldots, v_n\in\mathbb C; serta jika hasil kali dalam di ruang vektor \C^nmerupakan hasil kali dalam kompleks kanonis (yang didefinisikan dengan \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle := u_1 \overline{v_1} + \cdots + u_{n} \overline{v_n}, dengan notasi bar pada rumus tersebut melambangkan konjugasi sekawan), maka terdapat sebuah pertidaksamaan yang dapat dinyatakan lebih eksplisit sebagai berikut:\left| \sum_{i=1}^n u_i \bar{v}_i \right|^2 \leq \sum_{j=1}^n |u_j|^2 \sum_{k=1}^n |v_k|^2,atau dengan kata lain,|u_1\bar{v}_1 + \cdots + u_n \bar{v}_n|^2 \leq (|u_1|^2 + \cdots + |u_n|^2) (|v_1|^2 + \cdots + |v_n|^2).

### 
Untuk hasil kali dalam dari fungsi bernilai kompleks terintegralkan kuadrat, didapat pertidaksamaan berikut

: \left|\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \overline{g(x)}\,dx\right|^2 \leq \int_{\mathbb{R}^n} |f(x)|^2\,dx \int_{\mathbb{R}^n} |g(x)|^2 \,dx.

Pertidaksamaan di atas ini dapat diperumum menjadi pertidaksamaan Hölder.

## Lihat pula

* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Kutipan



## Referensi

* 
* 
* 
* 
*
*  
* .
* 
* .
* 
* 
*