Permainan kooperatif (teori)

Dalam teori permainan, sebuah **permainan kooperatif** (atau **permainan koalisi**) adalah permainan dengan kelompok-kelompok pemain yang membentuk "koalisi" mengikat dengan penegakan perilaku kooperatif secara eksternal (misalnya melalui hukum kontrak). Hal ini berbeda dengan permainan non-kooperatif di mana tidak ada kemungkinan untuk membentuk aliansi atau semua kesepakatan harus bersifat self-enforcing (misalnya melalui ancaman kredibel).

Permainan kooperatif dianalisis dengan mempelajari koalisi yang dapat terbentuk, tindakan bersama yang dapat dilakukan kelompok, serta hasil kolektif yang diperoleh.

## Definisi Matematis
Permainan kooperatif diberikan dengan menentukan nilai untuk setiap koalisi. Secara formal, permainan koalisi terdiri dari sekumpulan pemain yang terbatas  N , disebut *koalisi besar*, dan *fungsi karakteristik*  v : 2^N \to \mathbb{R}   dari himpunan semua koalisi pemain yang mungkin hingga himpunan pembayaran yang memuaskan  v( \emptyset ) = 0  . Fungsi ini menguraikan berapa banyak keuntungan kolektif yang dapat diperoleh sekelompok pemain dengan membentuk koalisi.

## Atribut Kunci
Teori permainan kooperatif mempelajari situasi di mana pemain dapat:
* Membentuk koalisi
* Bekerja sama satu sama lain
* Membuat perjanjian mengikat

Beberapa karakteristik utamanya:
* **Kepentingan bersama**: Pemain memiliki tujuan bersama yang ingin dicapai
* **Pertukaran informasi**: Kerja sama membutuhkan komunikasi antar pemain
* **Sukarela dan saling menguntungkan**: Kesepakatan harus memberikan manfaat bagi semua pihak
* **Kontrak mengikat**: Perjanjian antar pemain bersifat wajib dan harus dipatuhi

## Subpermainan
Misalkan  S \subsetneq N  menjadi koalisi pemain yang tidak kosong. *Subpermainan*  v_S : 2^S \to \mathbb{R}  pada  S  secara alami didefinisikan sebagai :  v_S(T) = v(T), \forall~ T \subseteq S. Dengan kata lain, kita cukup membatasi perhatian kita pada koalisi yang terdapat dalam  S . Subpermainan berguna karena memungkinkan kita untuk menerapkan konsep solusi yang didefinisikan untuk koalisi besar pada koalisi yang lebih kecil.

## Sifat Matematis
### Superaditif
Fungsi karakteristik sering diasumsikan superaditif, artinya:
 v ( S \cup T ) \geq v (S) + v (T)  kapan pun  S, T \subseteq N  memuaskan  S \cap T = \emptyset . yang saling lepas.

### Monotonisitas
Koalisi yang lebih besar mendapatkan nilai lebih:
S \subseteq T \Rightarrow v (S) \le v (T).

Hal ini mengikuti dari superadditivity, yaitu jika imbalan dinormalisasi sehingga koalisi tunggal memiliki nilai nol.

### Properti untuk permainan sederhana

Suatu permainan koalisi  dianggap sebagai **permainan sederhana** apabila hasil pembayarannya hanya bernilai 1 atau 0, yaitu koalisi diklasifikasikan sebagai koalisi *menang* atau *kalah*.

Secara ekuivalen, suatu **permainan sederhana** dapat didefinisikan sebagai suatu himpunan  dari koalisi, di mana anggota-anggota dari  disebut sebagai koalisi **menang**, sedangkan koalisi lainnya disebut koalisi **kalah**.  
Dalam beberapa kajian diasumsikan bahwa suatu permainan sederhana tidak kosong atau tidak memuat himpunan kosong. Namun, dalam bidang matematika lainnya, permainan sederhana juga dikenal sebagai hipergraf atau fungsi Boolean (fungsi logika).

* Suatu permainan sederhana  disebut **monoton** apabila setiap koalisi yang memuat koalisi menang juga merupakan koalisi menang, yaitu jika S \in W dan S \subseteq T maka T \in W.
* Suatu permainan sederhana  disebut **proper** apabila komplemen (oposisi) dari setiap koalisi menang adalah koalisi kalah, yaitu jika S \in W maka N \setminus S \notin W.
* Suatu permainan sederhana  disebut **kuat** apabila komplemen dari setiap koalisi kalah adalah koalisi menang, yaitu jika S \notin W maka N \setminus S \in W.
** Jika suatu permainan sederhana  bersifat proper dan kuat, maka suatu koalisi adalah koalisi menang jika dan hanya jika komplemennya merupakan koalisi kalah, yaitu S \in W jika dan hanya jika N \setminus S \notin W. (Jika  adalah permainan koalisi sederhana yang bersifat proper dan kuat, maka berlaku v(S) = 1 - v(N \setminus S) untuk setiap .)
* Seorang **pemain veto** dalam suatu permainan sederhana adalah pemain yang termasuk dalam semua koalisi menang. Jika terdapat pemain veto, maka setiap koalisi yang tidak memuat pemain veto tersebut merupakan koalisi kalah. Suatu permainan sederhana  disebut **lemah** (*collegial*) apabila memiliki pemain veto, yaitu apabila irisan \bigcap W := \bigcap_{S \in W} S dari seluruh koalisi menang tidak kosong.
** Seorang **diktator** dalam permainan sederhana adalah pemain veto sedemikian sehingga setiap koalisi yang memuat pemain tersebut adalah koalisi menang. Diktator tidak termasuk dalam koalisi kalah mana pun. (Permainan Dictator game dalam ekonomi eksperimental tidak berkaitan dengan definisi ini.)
* Suatu **carrier** dari permainan sederhana  adalah suatu himpunan T \subseteq N sedemikian sehingga untuk setiap koalisi , berlaku S \in W jika dan hanya jika S \cap T \in W. Apabila suatu permainan sederhana memiliki carrier, maka setiap pemain yang tidak termasuk di dalamnya dapat diabaikan. Suatu permainan sederhana kadang disebut **hingga** apabila memiliki carrier berhingga, meskipun  bersifat tak hingga.
* **Bilangan Nakamura** dari suatu permainan sederhana adalah jumlah minimum koalisi menang yang memiliki irisan kosong. Menurut teorema Nakamura, bilangan ini mengukur tingkat rasionalitas dan menjadi indikator sejauh mana suatu aturan agregasi dapat menghasilkan pilihan yang terdefinisi dengan baik.

Sejumlah relasi di antara aksioma-aksioma di atas telah lama dikenal secara luas, antara lain sebagai berikut:

* Jika suatu permainan sederhana bersifat lemah, maka permainan tersebut bersifat proper.
* Suatu permainan sederhana bersifat diktatorial jika dan hanya jika permainan tersebut bersifat kuat dan lemah.

Secara lebih umum, telaah menyeluruh mengenai hubungan antara empat aksioma konvensional (monotonisitas, properti, kekuatan, dan ketidak-lemahan), sifat kehinggaan, serta keterhitungan algoritmik telah dilakukan, dan hasilnya dirangkum dalam tabel **Keberadaan Permainan Sederhana**.

Pembatasan yang diberlakukan oleh berbagai aksioma permainan sederhana terhadap **bilangan Nakamura** juga telah diteliti secara ekstensif. Secara khusus, suatu permainan sederhana yang dapat dihitung dan tidak memiliki pemain veto hanya dapat memiliki bilangan Nakamura lebih besar dari 3 apabila permainan tersebut bersifat **proper** dan **tidak kuuat**.

## Hubungan dengan Teori Non-Kooperatif
Untuk permainan strategis G, terdapat beberapa permainan kooperatif yang terkait, disebut sebagai *representasi G*. Dua representasi standar adalah:
* Permainan α-efektif
* Permainan β-efektif

## Konsep Solusi
Asumsi utama dalam teori permainan kooperatif adalah bahwa koalisi utama  N  akan terbentuk. Tantangannya adalah mengalokasikan hasil  v(N)  secara adil.

Beberapa properti konsep solusi:
* **Efisiensi**: Total pembayaran terbagi tepat
* **Rasionalitas individu**: Tidak ada pemain yang mendapat kurang dari yang bisa didapat sendiri
* **Keberadaan**: Solusi ada untuk setiap permainan
* **Keunikan**: Solusi unik untuk setiap permainan

### Himpunan Stabil
Himpunan stabil adalah kumpulan alokasi yang memenuhi:
* Stabilitas internal
* Stabilitas eksternal

### Inti Permainan
Inti (*core*) permainan adalah himpunan vektor pembayaran di mana tidak ada koalisi yang bisa mendapatkan hasil lebih baik dengan memisahkan diri.

### Nilai Shapley
Nilai Shapley adalah vektor pembayaran unik yang efisien, simetris, dan memenuhi monotonisitas.

### Kernel
Kernel permainan adalah himpunan alokasi di mana tidak ada pemain yang memiliki daya tawar lebih terhadap pemain lain.

### Dividen Harsanyi
Dividen Harsanyi mengidentifikasi surplus yang diciptakan oleh koalisi pemain.

### Nukleolus
Nukleolus adalah alokasi yang meminimalkan ketidakpuasan koalisi secara leksikografis.

## Permainan Kooperatif Konvek
Diperkenalkan oleh Shapley (1971), permainan konvek memiliki sifat "bola salju" di mana insentif untuk bergabung meningkat seiring pertumbuhan koalisi.

## Hubungan dengan Perusahaan
Keputusan strategis perusahaan dapat menciptakan nilai melalui teori permainan kooperatif, menjadikannya teori strategis perusahaan.

## Lihat Juga
* Pengambilan keputusan konsensus
* Permainan koordinasi
* Permainan hedonik

## Referensi


## Bacaan Lanjutan
* 

* 

## Pranala luar
*