Selang bersarang

Dalam matematika, suatu **barisan selang tersarang**, **barisan selang bersarang**, atau **barisan selang susut** dapat dipahami secara intuitif sebagai sekumpulan terurut selang-selang I_n dengan bilangan asli n sebagai indeks. Suatu barisan selang \langle I_n \rangle disebut sebagai selang bersarang jika memenuhi dua kondisi berikut:
# Setiap selang pada barisan akan termuat pada selang sebelumnya. Secara simbolis, maka I_{n + 1} \subseteq I_n untuk setiap n \in \mathbb{N}
# Panjang selangnya bisa sependek apapun (yang berarti panjangnya akan kurang dari setiap ambang batas \varepsilon setelah suatu indeks N)

Dengan kata lain, batas kiri selang I_n hanya dapat bertambah (a_{n + 1} \geq a_n) dan batas kanannya hanya dapat berkurang (b_{n + 1} \leq b_n).

Secara historis - jauh sebelum ada yang mendefinisikan selang bersarang dalam buku ajar - orang-orang secara implisit mengonstruksikan selang bersarang untuk perhitungan konkret. Misalnya, bangsa Babilonia kuno menemukan metode untuk menghitung akar kuadrat dari suatu bilangan. Selain itu, Archimedes mengonstruksikan barisan segi banyak yang mengapit lingkaran dengan diameter 1 satuan dari luar dan dari dalam, untuk memperoleh batas atas dan batas bawah dri keliling lingkarannya, yaitu bilangan pi \pi.

## Motivasi historis
Seperti yang telah disinggung pada bagian pembuka dari artikel ini, selang tersarang (dan algoritma-algoritma terkait) secara historis digunakan sebagai metode untuk melakukan perhitungan spesifik. Beberapa variasi dan interpretasi modern dari teknik-teknik kuno ini di antaranya ialah:

### Perhitungan akar kuadrat
Untuk menghitung nilai akar kudrat dari suatu bilangan x > 1, jelas bahwa 1 \leq \sqrt{x} \leq x (yang dituliskan dalam notasi teori himpunan, maka \sqrt{x} \in \left[ 1, \, x \right]), sehingga dipilih selang I_1 = \left[ 1, \, x \right]. Jika diketahui bilangan kuadrat sempurna selanjutnya (yaitu suatu k \in \mathbb{N} yang memenuhi pertidaksamaan k^2 > x), maka dapat dipilih selang I_1 = \left[ 1, \, k \right].

Selang-selang I_n = \left[ a_n, \, b_n \right] lainnya (dengan n \in \mathbb{N}) dapat didefinisikan secara rekursif dengan membandingkan titik tengah dari I_n (yaitu titik m_n = \tfrac{a_n + b_n}{2}) dengan nilai \sqrt{x}. Terdapat dua kasus yang perlu ditinjau, yaitu:
# Jika (m_n)^2 \geq x, maka berlaku rantai pertidaksamaan \begin{align}
x &\leq (m_n)^2 \\
\sqrt{x} &\leq m_n \\
a_n \leq \sqrt{x} &\leq m_n \leq b_n
\end{align} sehingga pada kasus ini, dapat dipilih I_{n + 1} = \left[ a_n, \, m_n \right].
# Jika (m_n)^2 \leq x, maka berlaku rantai pertidaksamaan \begin{align}
(m_n)^2 &\leq x \\
m_n &\leq \sqrt{x} \\
a_n \leq m_n &\leq \sqrt{x} \leq b_n
\end{align} sehingga pada kasus ini, dapat dipilih I_{n + 1} = \left[ m_n, \, b_n \right].
Kedua kasus di atas menjamin bahwa \sqrt{x} \in I_{n + 1}. Melalui konstruksi ini, selang-selangnya bersarang dan panjang selang pada setiap langkah rekursinya ialah setengah panjang semula. Akibatnya, nilai batas bawah dan batas atas dari \sqrt{x} dapat mencapai sembarang tingkat keakuratan yang diperlukan (jika diberikan waktu perhitungan yang cukup).

Jika 0 , maka \tfrac{1}{y} > 1, sehingga nilai \sqrt{y} dapat dicari dengan menggunakan algoritma di atas melalui pengubahan variabel x := \tfrac{1}{y}, lalu menghitung timbal-baliknya setelah tingkat ketelitian yang diinginkan telah tercapai.

#### Contoh
Untuk mengilustrasikan algoritma ini, maka akan digunakan \sqrt{5} sebagai contoh. Perhatikan bahwa 1^2 , sehingga dapat didefinisikan I_1 := \left[ 1, \, 3 \right] sebagai selang pertama, sebab \sqrt{5} termuat pada selang tersebut. Langkah selanjutnya ialah menghitung titik tengah selang untuk menentukan apakah kuadrat nilainya kurang dari 5 atau lebih dari 5, dan memilih batas selang selanjutnya berdasarkan hasil tersebut, sebelum prosesnya diulang:

: 

Setiap kali titik tengah berikutnya dihitung, rentang nilai yang mungkin untuk \sqrt{5} dapat dipersempit sehingga nilai-nilai yang terdapat pada selangnya akan semakin mendekati nilai sebenarnya dari \sqrt{5}, yaitu 2.236067977 \ldots. Dengan kata lain, setiap perubahan beruntun dari batas selang yang memuat \sqrt{5} akan meningkatkan presisi perkiraan nilai \sqrt{5}, baik dengan menaikkan batas bawah selangnya, maupun dengan menurunkan batas atas selangnya.

Prosedur ini dapat diulang sebanyak yang diperlukan untuk mencapai tingkat ketelitian yang diinginkan. Secara teori, maka nilai sebenarnya dari akar kuadrat ini dapat digapai dengan mengulangi langkahnya tanpa henti.

#### Metode Heron
Metode Babilonia menggunakan algoritma yang lebih efisien untuk menghasilkan hampiran dari \sqrt{x} (dengan x > 0) dengan lebih cepat. Deskripsi modern yang menggunakan selang bersarang mirip dengan algoritma di atas, namun alih-alih menggunakan barisan titik-titik tengah, barisan yang digunakan ialah \langle c_n \rangle dengan relasi perulangan
c_{n + 1} := \dfrac{1}{2} \left( c_n + \dfrac{x}{c_n} \right) \qquad \qquad \forall n \in \mathbb{N}
dan sembarang nilai awal c_1 > 0. Barisan ini menghasilkan barisan selang
\begin{align}
I_1 &= \left[ 0, \, k \right] && k^2 > x \\
I_n :&= \left[ \tfrac{x}{c_n}, \, c_n \right]
\end{align}
yang memberikan batas bawah dan batas atas yang akurat dari \sqrt{x} dengan lebih cepat. Pada penerapannya, cukup barisan \langle c_n \rangle yang perlu diperhatikan, yang akan konvergen ke \sqrt{x} (dan begitu juga batas bawah selangnya). Algoritma ini merupakan kasus khusus dari metode Newton.

### Pengukuran lingkaran Archimedes

Seperti yang terlihat pada gambar di bagian kanan, batas bawah dari keliling lingkaran dapat diperoleh melalui keliling segi banyak beraturan dalam lingkaran dan batas atas dari keliling lingkaran dapat diperoleh melalui keliling segi banyak beraturan luar lingkaran. Jika lingkarannya berdiameter 1 satuan, maka berdasarkan definisi dari \pi (yaitu rasio antara keliling lingkaran dengan jari-jarinya), keliling lingkarannya ialah \pi satuan.

Sekitar tahun 250 SM, Archimedes menggunakan segi enam beraturan untuk mencari hampiran nilai \pi, yang panjang sisinya (dan akibatnya, kelilingnya) secara langsung dapat dicari dari panjang diameter lingkarannya. Selain itu, telah ditemukan cara untuk mencari panjang sisi dari segi-2n beraturan dari panjang sisi segi-n yang telah diketahui. Dengan menggandakan banyaknya sisi dari bangun segi banyak nya hingga mencapai 96 sisi, Archimedes memperoleh pertidaksamaan \tfrac{223}{71} . Batas atas dari pertidaksamaan tersebut (yaitu \tfrac{22}{7} \approx 3.143 masih sering digunakan sebagai hampiran kasar tetapi pragmatis dari \pi.

Sekitar tahun 1600an, metode Archimedes masih menjadi standar emas untuk menghitung nilai \pi dan pernah digunakan oleh matematikawan Belanda Ludolph van Ceulen untuk menghitung lebih dari tiga puluh digit dari \pi, yang memakan waktu puluhan tahun.

### Penerapan lainnya
Penggunaan awal dari barisan selang bersarang dapat ditemukan dalam pelopor kalkulus, yaitu turunan dan pengintegralan. Dalam ilmu komputer, barisan selang bersarang digunakan untuk perhitungan numerik. Sebagai contoh, metode bagi-dua dapat digunakan untuk mencari akar dari fungsi-fungsi kontinu.

## Konstruksi bilangan riil
Dalam analisis matematis, selang bersarang menyediakan satu metode untuk memperkenalkan bilangan riil secara aksiomatik sebagai pelengkapan dari himpunan semua bilangan rasional, suatu hal diperlukan untuk membahas konsep dari kekontinuan dan keterdiferensialan. Secara historis, penemuan kalkulus diferensial dan integral oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz dari akhir 1600an merupakan tantangan besar bagi para matematikawan yang mencoba untuk membuktikan metode mereka secara cermat; terlepas kesuksesannya dalam fisika, perekayasaan, dan rumpun ilmu pengetahuan lainnya. Deskripsi aksiomatik dari selang bersarang (atau aksioma lain yang setara) telah menjadi fondasi yang penting untuk pemahaman modern mengenai kalkulus.

Untuk konteks pada artikel ini, \mathbb{R} yang dilengkapi dengan operasi + dan \cdot merupakan lapangan terurut Archimedes, yang berarti aksioma urutan dan sifat Archimedes berlaku.

### Definisi
Misalkan \langle I_n \rangle menyatakan barisan selang tertutup, yaitu I_n = \left[ a_n, \, b_n \right], dengan \left| I_n \right| := b_n - a_n menyatakan panjang selang I_n. Barisan \langle I_n \rangle disebut sebagai **barisan selang bersarang** jika
# \qquad \left( \forall n \in \mathbb{N} \right) \left( I_{n + 1} \subseteq I_n \right)
# \qquad \left( \forall \varepsilon > 0 \right) \left( \exists N \in \mathbb{N} \right) \left( \left| I_N \right| 

Jika dideskripsikan dengan menggunakan kata, sifat 1 berarti selang-selangnya bersarang berdasarkan indeknya, sedangkan sifat 2 memformalkan gagasan "panjang selang yang menyusut mendekati 0", yang berarti untuk sembarang konstanta \varepsilon > 0, dapat ditemukan suatu selang (dengan indeks N) yang panjangnya kurang dari bilangan \varepsilon. Perlu dicatat bahwa sifat 1 juga mengakibatkan setiap selang dengn indeks n > N akan memenuhi pertidaksamaan \left| I_n \right| .

#### Catatan
Beberapa penulis menggunakan istilah *selang susut* menyebut barisan-barisan selang yang memenuhi kedua sifat di atas. Pada kasus ini, barisan selang bersarang merujuk kepada barisan yang hanya memenuhi sifat 1.

### Aksioma kelengkapan
Jika \langle I_n \rangle adalah barisan selang bersarang, maka pasti terdapat suatu bilangan riil yang termuat pada setiap selang I_n. Dalam notasi formal, aksioma ini menjamin bahwa
\bigcap_{n \, = \, 1}^{\infty} I_n \neq \varnothing

#### Teorema selang bersarang

#### Catatan
# Aksioma ini bersifat fundamental untuk bilangan riil, dalam artian bahwa irisan dari suatu barisan selang bersarang \bigcap_{n \, = \, 1}^{\infty} I_n bisa saja menghasilkan himpunan kosong, misalnya apabila hanya melibatkan bilangan rasional.
# Aksioma ini ekuivalen dengan kewujudan dari infimum dan supremum, kekonvergenan dari barisan Cauchy, dan teorema Bolzano–Weierstrass. Ini artinya salah satu dari keempat hal tersebut harus diperkenalkan sebagai aksioma, dan tiga lainnya dapat kemudian dibuktikan sebagai teorema.

## Akibat langsung dari aksioma
### Kewujudan akar
Dengan memperumum algoritma di atas untuk akar kuadrat, maka dapat dibuktikan bahwa pada bilangan riil, persamaan x = y^k dengan k \in \mathbb{N} dan x > 0 dapat diselesaikan sebagai y = \sqrt[k]{x}. Hal ini berarti terdapat suatu bilangan riil tunggal y > 0 sedemikian sehingga x = y^k. Dibandingkan dengan bagian di atas, barisan yang diperoleh ialah barisan selang bersarang untuk akar ke-k dari x (yaitu y) dengan memeriksa apakah titik tengah m_n dari selang ke-n kurang dari atau lebih dari (m_n)^k.

### Kewujudan infimum dan supremum pada himpunan terbatas
#### Definisi
Diberikan suatu himpunan X \subseteq \mathbb{R} dan suatu bilangan riil a dan b sedemikian sehingga berlaku
b \leq x \leq a \qquad \qquad \forall x \in X
Bilangan s = \sup \! \left( X \right) disebut sebagai **supremum dari <math>X</math>** jika
# s merupakan batas atas dari X, yaitu \left( \forall x \in X \right) \left( x \leq s \right)
# s merupakan batas atas terkecil dari A, yaitu \left( \forall c 
sedangkan bilangan i = \inf \! \left( X \right) disebut sebagai **infimum dari <math>X</math>** jika
# i merupakan batas bawah dari X, yaitu \left( \forall x \in X \right) \left( i \leq x \right)
# i merupakan batas bawah terbesar dari X, yaitu \left( \forall c > i \right) \left( \exists x \in X \right) \left( x 

#### Teorema

Dengan sedikit modifikasi argumen, maka dapat ditunjukkan bahwa setiap himpunan tak kosong X \subseteq \mathbb{R} yang terbatas ke bawah akan memiliki infimum.

#### Catatan
Kewujudan infimum dan supremum pada himpunan terbatas merupakan akibat dari kelengkapan \mathbb{R}. Hal ini mengakibatkan kewujudan infimum dan supremum pada himpunan terbatas ekuivalen dengan sifat selang bersarang, yang berarti salah satu di antara kedua hal tersebut dapat diperkenalkan sebagai sebuah aksioma.

### Akibat lanjutan
Setelah mendefinisikan kekonvergenan dan titik akumulasi dari suatu barisan secara formal, maka teorema Bolzano–Weierstrass dapat dibuktikan dengan menggunakan selang bersarang. Selanjutnya, fakta bahwa barisan Cauchy bersifat konvergen (dan setiap barisan konvergen merupakan barisan Cauchy) dapat dibuktikan. Hal ini kemudian menjadi bukti sifat kelengkapan di atas, yang menunjukkan ekuivalensi antara kewujudan dari infimum dan supremum, sifat selang bersarang, kekonvergenan dari barisan Cauchy, dan teorema Bolzano–Weierstrass.

## Diskusi lanjutan dari aspek terkait
Tanpa menjelaskan apa yang dimaksud dari kata "selang" I_n, hasil irisan \bigcap_{n \, = \, 1}^{\infty} I_n (yaitu himpunan seluruh titik yang termuat pada setiap selang) mungkin saja himpunan kosong \varnothing, suatu titik pada garis bilangan (yang dikenal dengan istilah singleton) \left\{ x \right\}, atau suatu selang.

Kemungkinan dari irisan kosong dapat diilustrasikan melalui barisan selang terbuka berikut:
I_n = \left( 0, \, \tfrac{1}{n} \right) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid 0 
Pada kasus ini, irisan \bigcap_{n \, = \, 1}^{\infty} I_n merupakan himpunan kosong, sebab untuk sembarang x > 0, terdapat suatu n \in \mathbb{N} sedemikian sehingga berlaku \tfrac{1}{n} , yaitu sembarang nilai n yang memenuhi pertidaksamaan n > \tfrac{1}{x}. Akibatnya, sekecil apapun nilai x > 0 nya, terdapat suatu selang I_n pada barisan, sedemikian sehingga x \not \in I_n, yang mengakibatkan hasil irisannya haruslah kosong.

Keadaan tersebut berubah jika selang I_n merupakan selang tertutup, misalnya
I_n = \left[ 0, \, \tfrac{1}{n} \right] = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq \tfrac{1}{n} \right\}
Jika x > 0, maka terdapat suatu selang pada barisan \langle I_n \rangle yang tidak memuat x, tetapi untuk x = 0, pertidaksamaan 0 \leq x \leq \tfrac{1}{n} bernilai benar untuk setiap n \in \mathbb{N}. Dalam kasus ini, maka \bigcap_{n \, = \, 1}^{\infty} I_n = \left\{ 0 \right\}.

## Lihat juga
* Bagi-dua
* Teorema irisan Cantor

## Referensi

* .
* .
* .
*