Analisis kompleks

Dalam matematika, **analisis kompleks** (), merupakan cabang analisis matematis yang membahas fungsi dari bilangan kompleks (yakni mengkaji tidak hanya satu bilangan, melainkan dua bilangan, yakni bilangan riil dan bilangan imajiner).

Analisis kompleks biasanya dikenal sebagai **teori fungsi variabel kompleks** atau **teori fungsi peubah kompleks**.

## Konsep analisis kompleks
Konsep analisis kompleks ini hampir mirip dengan konsep analisis real. Berikut ini merupakan konsep-konsep analisis kompleks, diantaranya

### Bilangan kompleks

Dalam matematika, khususnya analisis kompleks, bilangan kompleks merupakan himpunan bilangan yang terdiri dua himpunan bilangan, yakni bilangan riil dan imajiner. Mengenai definisi bilangan kompleks, kita misalkan z adalah bilangan kompleks, sehingga dapat didefinisikan

:z = \{a + bi \mid a, b \in \R \}

serta himpunannya didefinisikan sebagai

:\C = \{z \mid z = (a,b); a, b \in \R\},

di mana a adalah bagian riil, dinotasikan \Re(z) dan bi adalah bagian imajiner, dinotasikan \Im(z), atau \operatorname{Re}(z) dan \operatorname{Im}(z).

### Fungsi elementer
Pada konsep ini akan diperkenalkan fungsi elementer, yakni fungsi suku banyak, fungsi rasional, fungsi eksponensial, fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik, fungsi logaritma (beserta inversnya), dan fungsi aljabar dan transenden.

#### Fungsi suku banyak
Dalam analisis kompleks, fungsi suku banyak didefinisikan sebagai

:P(z) = a_0z^{n-1} + a_1 z^n + \dots + a_n

di mana a_0 \ne 0, a_1, \dots, a_n adalah konstanta kompleks dan n adalah bilangan bulat positif yang dinamakan derajat suku polinom P(z). Mengingat kembali, fungsi rasional adalah fungsi yang mana setiap pembilang dan penyebutnya berupa fungsi polinomial. Misalkan P dan Q adalah fungsi polinomial dengan variabel kompleks sehingga

:R(z) = \frac{a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}}{c_{0}z^{m}+c_{1}z^{m-1}+\cdots +c_{m}}

adalah fungsi rasional bilangan kompleks, dengan kasus khusus diperoleh

:R(z) = \frac{az + b}{cz + d}, \quad ad - bc \ne 0

adalah suatu transformasi linear atau dinamakan transformasi bilinear.

#### Fungsi eksponensial
Dalam cabang ini, eksponensial dapat memperluas deret kuasa fungsi eksponensial dari bilangan riil ke bilangan kompleks. Untuk suatu bilangan riil \theta,

:\begin{aligned}
e^{i \theta} &= \sum_{n = 0}^\infty \frac{(i \theta)^n}{n!} \\
 &= 1 + i\theta + \frac{1}{2!}(i \theta)^2 + \frac{1}{3!} (i \theta)^3 + \frac{1}{4!} (i \theta)^4 + \cdots \\
 &= \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^4}{4!} - \cdots \right) + i \left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} - \frac{\theta^5}{5!} - \cdots \right)
\end{aligned}

Karena \cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot x^{2n}}{(2n)!} dan \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!} (lihat disini mengenai hubungan fungsi trigonometri dengan deret), maka

:e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta

Hubungan fungsi eksponensial dengan bilangan kompleks ini dapat kita sebut sebagai rumus Euler.

#### Fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik beserta inversnya
Mengenai fungsi trigonometri cukup kita turunan rumus Euler, sehingga didapati

:\sin z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2i} dan \cos z = \frac{e^{iz} + e^{iz}}{2}

Sifat-sifat mengenai fungsi trigonometri dalam bilangan riil berlaku juga dalam bilangan kompleks. Karena fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik (beserta inversnya) berhubungan, maka berlaku juga dalam bilangan kompleks.

#### Fungsi logaritma

Dalam konsep ini, fungsi ini berupa generalisasi logaritma alami terhadap bilangan kompleks bukan nol. Misalkan w = \log z, di mana z = e^{a+bi} = e^a \cdot e^{bi} dan persamaan ini ekuivalen dengan

:e^a = \left|w \right| \quad \text{ dan } \quad e^b = \frac{w}.

Dengan substitusi, maka diperoleh

:w = \log e^a + \log e^{bi} = \log |w| + i \arg w

di mana b = \arg w.

### Limit dan kekontinuan
Suatu fungsi f(z) terdefinisi atau mempunyai limit L untuk z mendekati z_0 dituliskan sebagai

:\lim_{z \to z_0} f(z) = L.

Definisi limit dapat kita agak-agihkan lebih lanjut menggunakan definsi limit (ε,δ).

### Turunan
Turunan dalam analisis kompleks mirip dengan turunan dalam analisis riil. Namun, karena halaman ini membahas tentang analisis kompleks, kita akan menganggap z adalah bilangan kompleks. Menurut definisi, jika diturunkan di z_0, maka turunan f dirumuskan

:f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 - \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z} atau f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}.

### Integral
Dalam analisis kompleks, integral mirip dengan analisis riil (termasuk juga dengan kalkulus), yakni cabang dari analisis matematis yang menyelidiki fungsi dari bilangan kompleks. Dengan memisalkan f(t) adalah fungsi kompleks dengan variabel riil t di mana f(t) = u(t) + i \cdot v(t) sehingga u(t) dan v(t) kontinu di interval [a,b]. Kita dapat menuliskannya sebagai

:\int_a ^b f(t)\, \mathrm dt = \int_a ^b u(t) \, \mathrm dt + i \int_a ^b v(t) \, \mathrm dt.
Integral dalam cabang ini dibagi menjadi:

* **Integral lintasan**, yaitu suatu integral yang didefinisikan dalam bentuk f(z) sepanjang lintasan C dari z_1 hingga ke z_2. Ini dapat ditulis sebagai

\int_C f(z) \, \mathrm dz atau \int_{z_1} ^{z_2} f(z) \, \mathrm dz.

* **[[Integral kontur]]**, metode menghitung integral tertentu di sepanjang lintasan dalam bidang kompleks.
* **[[Teorema integral Cauchy]]** atau dikenal **[[teorema Cauchy–Goursat]]** adalah pernyataan penting tentang integral garis terhadap fungsi holomorfik dalam bidang kompleks. Teorema ini berbunyi

*

### Residu

Residu dalam analisis kompleks ialah bilangan kompleks yang sebanding dengan integral kontur dari fungsi meromorfik di sepanjang lintasan yang melintasi salah satu singularitasnya. Biasanya dilambangkan sebagai \operatorname{Res}(f,c) atau \operatorname{Res}_c f. Misal f adalah fungsi yang analitik di titik z_0, yang dapat diekspansi ke dalam deret Laurent yang berbentuk

:f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z - z_0)^n.

Pada koefisien a_{-1}, terdapat pada suku deret Laurent yang berbentuk \frac{1}{z - z_0} dinamakan residu f pada z_0. Ini ditulis dengan

:a_{-1} = \operatorname{Res}(f,z_0).

#### Teorema residu Cauchy

Teorema residu (kadangkala disebut teorema residu Cauchy) merupakan teorema yang cukup penting untuk menghitung integral garis fungsi analitik terhadap kurva tertutup dan kerap kala dipakai untuk menghitung integral riil dan deret takhingga juga. Diberikan C adalah lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif, dengan eksepsi pada berhingga banyaknya titik z_1,\dots,z_n yang masing-masing merupakan singularitas terasing f. Maka,

:\int_C f(z) \, \mathrm dz = 2\pi i \sum_{k = 1}^n \operatorname{Res}(f,z_k)
atau kita tuliskan sebagai
:\int_C f(z) \, \mathrm dz = 2 \pi i \sum_{k = 1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} f(z).

### Pemetaan konformal

Pemetaan konformal (terkadang disebut juga sebagai transformasi konformal atau pemetaan bihomorfik) merupakan suatu pemetaan yang mempertahankan besar dan arah sudut. Pemetaan ini juga didefinisikan sebagai suatu teknik dalam matematika (terutama analisis kompleks) yang digunakan untuk mentransformasikan suatu permasalahan matematika beserta penyelesaiannya ke bentuk lain.

Dengan meninjau diberikan suatu pemetaan, w = f(z) = f(x + iy), beserta sebarang dua kurva C_1, C_2 pada bidang z berpotongan pada titik (x_0,y_0) dipetakan berturut-turut sebagai kurva C_1 dan C_2 pada bidang w yang berpotongan di (u_0,v_0) antara kurva C_1 dan C_2, maka pemetaan w = f(z) = f(x + iy) konformal pada (x_0,y_0).

## Dimensi fraktal dalam bilangan kompleks

Dimensi fraktal merupakan dimensi dengan rasio yang memberikan kompleksitas indeks statistik dengan membandingkan bagaimana detail dalam pola fraktal berubah skalanya pada saat diukur. Namun, halaman ini membahas dimensi fraktal dalam bilangan kompleks, salah satu himpunan yang terkenal adalah himpunan Julia dan himpunan Mandelbrot.

### Himpunan Julia

Himpunan Julia, himpunan yang pertama kali diselidiki matematikawan Prancis, Gaston Julia, merupakan salah satu contoh himpunan fraktal yang didefinisikan pada bilangan kompleks dan dibangun dari iterasi-iterasi fungsi kompleks. Salah satu fungsi yang sederhana yang membangun himpunan Julia adalah

: z_{n+1} = z_n^2 + c, \quad c \in \C.

Dalam dinamika kompleks, himpunan Julia sangat terkait erat dengan himpunan Mandelbrot.

### Himpunan Mandelbrot

Himpunan Mandelbrot, dinamai dari Benoît Mandelbrot (matematikawan berkebangsaan Prancis dan Amerika Serikat) merupakan kumpulan titik-titik c pada bidang kompleks yang dibangun dengan mengiterasikan fungsi z_{n+1} = z_n^2 + c dengan nilai awal z bernilai 0.
Berkas:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|Himpunan Mandelbrot
Berkas:Animation of the growth of the Mandelbrot set as you iterate towards infinity.gif|Animasi himpunan Mandelbrot berdasarkan jumlah iterasi statis per piksel
Berkas:Mandelbrot sequence new.gif|Himpunan Mandelbrot, yang diperbesar sehingga terdapat himpunan yang serupa.
Berkas:Logistic Map Bifurcations Underneath Mandelbrot Set.gif|Himpunan Mandelbrot berdasarkan visualisasi secara vertikal.


## Hubungan analisis kompleks dengan cabang lainnya
Analisis kompleks berguna terhadap cabang matematika lainnya, diantaranya: geometri aljabar, hubungan di mana metode transendental ke geometri aljabar, bersama dengan lebih banyak aspek geometri analisis kompleks, yaitu geometri kompleks; teori bilangan, salah satunya hipotesis Riemann, berasal dari Masalah Milenium. Masalah ini diperluas ke seluruh bidang kompleks melalui kontinuasi analitik.; dan kombinatorik analitik, di mana cabang ini dapat diterapkan pada ekspansi binomial pada bilangan kompleks, seperti deret Taylor, deret Laurent, dan teorema binomial.

Namun, hubungan analisis kompleks masih berkaitan dengan cabang fisika, di antaranya: hidrodinamika atau dinamika fluida, di mana bilangan kompleks dapat diterapkan ke dalam kasus penghitungan potensial untuk aliran inkompresibel dimensi 2.; termodinamika, di mana hipotesis Riemann berhubungan dengan mekanika statistik, lihat gas Riemann bebas (en); dan mekanika kuantum, bilangan kompleks dapat diterapkan pada dualitas gelombang partikel, kontroversi kucing Schrödinger, studi kasus spin dan dadu, percobaan celah ganda (berupa contoh pedagogik), dan lain sebagainya.
*

## Lihat pula

* Analisis real atau analisis riil, cabang yang membahas analisis mengenai bilangan riil.
* Daftar topik analisis kompleks, meliputi topik yang berkenaan dengan analisis kompleks.

## Referensi