Paravektor

Nama **paravektor** digunakan untuk penjumlahan pada sebuah skalar dan sebuah vektor dalam setiap aljabar Clifford (aljabar Clifford dikenal sebagai aljabar geometris dalam komunitas fisika.)

Nama ini diberikan oleh J. G. Maks, disertasi Doktoral, Techinsche Universiteit Delft (Belanda), 1989.

Aljabar lengkap ini pada paravektor bersama dengan generalisasi kelas yang lebih tinggi yang sesuai, semua dalam konteks pada ruang Euklidean pada tiga dimensi, adalah sebuah alterntif mendekati ke aljabar ruang waktu (dalam bahasa Inggrisː *spacetime algebra*, disingkat *STA*) ysng diperkenalkan oleh David Hestenes. Aljabar alternatif ini disebut aljabar ruang fisika (dalam bahasa Inggrisː *algebra of physical space*, disingkat *APS*).

## Aksioma Fundamental
Untuk ruang Euklidean, aksioma fundamental menunjukkan bahwa produk pada sebuah vektor dengan diri sendiri adalah nilai skalar pada panjang kuadrat (positif)

:  \mathbf{v} \mathbf{v} = \mathbf{v}\cdot \mathbf{v} 

Ditulis

:  \mathbf{v} = \mathbf{u} + \mathbf{w} ,

dan memperkenalkan ini ke dalam ekspresi pada aksioma fundamental

:  
(\mathbf{u} + \mathbf{w})^2
= \mathbf{u} \mathbf{u} +
\mathbf{u} \mathbf{w} + \mathbf{w} \mathbf{u} +
\mathbf{w} \mathbf{w}, 
 

kita mendapatkan ekpresi berikut setelah membandingkan dengan aksioma fundamental lagi

:  
\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} +
2 \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} +
\mathbf{w} \cdot \mathbf{w} 
= \mathbf{u} \cdot \mathbf{u} +
\mathbf{u} \mathbf{w} + \mathbf{w} \mathbf{u} +
\mathbf{w} \cdot \mathbf{w}, 
 

yang memungkinkan untuk menidentifikasikan produk skalar dengan dua vektor sebagai

:  \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} = 
\frac{1}{2}\left( \mathbf{u} \mathbf{w} + \mathbf{w} \mathbf{u} \right). 


Sebagai konsekuensi yang penting, kita adpat menyimpulkan bahwa dua vektor orthogoal (dengan nol produk skalar) antikomutatif

:  
 \mathbf{u} \mathbf{w} + \mathbf{w} \mathbf{u} = 0


## Ruang Euklidean Tiga Dimensi
Daftar-daftar berikut mewaklili sebuah contoh pada sebuah basis yang sempurna pada ruang C\ell_3

 \{ 1, \{ \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 \}, \{ \mathbf{e}_{23},\mathbf{e}_{31},\mathbf{e}_{12} \}, \mathbf{e}_{123} \}, 

yang membentuk delapan runng dimensi, di mana inceks yang banyak menunjukkan produk pada vektor-vektor basis masing-masing, sebagai contoh

 \mathbf{e}_{23} = \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 .

Nilai pada sebuah elemen basis didefinisikan dalam perubahan pada beragam vektor, seperti

Menurut aksioma fundamental, dua vektor basis berbeda bersifat antikomutatif,

: 
 \mathbf{e}_i \mathbf{e}_j + \mathbf{e}_j \mathbf{e}_i  = 2 \delta_{ij} 


atau dengan kata lain,

: 
\mathbf{e}_i \mathbf{e}_j = - \mathbf{e}_j \mathbf{e}_i \,\,; i \neq j 


Ini berarti bahwa elemen volume \mathbf{e}_{123} kuadrat adalah -1

:  \mathbf{e}_{123}^2 = 
\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 =
 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 =
 - \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_3 = -1.
 

Bahkan, elemen volume \mathbf{e}_{123} menggantikan dengan setiap elemen lainnya pada aljabar C \ell(3), jadi bisa diidentifikasikan dengan bilangan kompleks i, kapanpun tidak ada bahayanya pada kebingungan. Faktanya, Elemen volume \mathbf{e}_{123} sepanjang dengan skalar real membentuk sebuah aljabar isomorfik ke aljabar kompleks standar. Elemen volume bisa digunakan untuk menulis ulang sebuah perubahan ekuivalen ke basis sebagai

### Paravektor
Basis paravektor menyesuaikan bahwa kombinasi sebuah skalar real dan vektor adalah

\{ 1, \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 \}  ,

di mana basis tersebut tersebut membentuk sebuah linear empat dimensi. Ruang tersebut dalam ruang Euklidean tiga dimensi C \ell_3  dapat digunakan untuk mewakili ruang-waktu pada relativitas khusus sebagai bentuk dalam aljabar ruang fisika.

Ini sangat mudah untuk menulis skalar unit sebagai 1 = \mathbf{e}_0, jadi bahwa basis yang lengkap bisa ditulis dalam sebuah perubahan padat sebagai

\{ \mathbf{e}_\mu \} ,

di mana huruf Yunani \mu  menuju dari 0  hingga 3 .

### Antiautomorfisme

#### Konjugasi pembalikan
Pembalikan anitautomorfisme dilambangkan \dagger . Aksi pada konjugasi ini adalah untuk membalikkan urutan pada produk geometri (produk antara bilangan Clifford secara umum).

(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger ,

di mana vektor dan bilangan skalar real invarian dalam konjugasi pembalikan dan dikatakan **nyata**, sebagai contohː

 \mathbf{a}^\dagger = \mathbf{a} 

 1^\dagger = 1 

Di sisi lain, trivektor dan biveektor mengubah tanda dibawah konjugasi pembalikan dan dikatakan **imajiner** yang murni. Konjugasi pembalikan diterapkan pada setiap elemen basis diberikan di bawah

#### Konjugasi Clifford
Konjugasi Clifford dilambangkan oleh sebuah palang diatas objek \bar{} . Konjugasi ini disebut **konjugasi palang**.

Konjugasi Clifford merupakan aksi kombinasi pada tingkat kerumitan dan pembalikan.

Aksi konjugasi Clifford pada sebuah paravektor adalah membalikkan tanda pada vektor, mempertahankan tanda pada bilangan skalar real, sebagai contoh

 \bar{\mathbf{a}} = -\mathbf{a} 

 \bar{1} = 1 

Ini karena kedua skalar dan vektor invarian ke pembalikan (tidak mungkin untuk membalikkan untuk urutan pada satu atau tidak sama sekali) dan skalar adalah urutan nol dan begitu juga dari vektor nilai genap dan juga melalui sebuah tanda mengubah nilai kerumitan.

Sebagai anti-automorfisme, konjugasi Clifford didistribusikan sebagai

\overline{AB} = \overline{B} \,\, \overline{A}

Konjugasi palang diterapkan setiap elemen basis diberikan dibawah ini

* Catatanː Elemen volume adalah konstanta di bawah konjugasi

### Nilai automorfisme
Nilai automorfisme pada \overline{AB}^\dagger=\overline{A}^\dagger\overline{B}^\dagger didiefinisikan sebagai aksi gabungan pada keduanya konjugasi reversi dan konjugasi Clifford dan memiliki efek untuk membalikan tanda pada multivektor nilai ganjil, sambil mempertahankan multivektor invarian nilai genap

### Subruang Invarian menurut Konjugasi
Keempat subruang spesial bisa didefinisikan dalam ruang C \ell_3berdasarkan simetrisnya dibawah reversi dan konjugasi Ckifford.

* **Subruang Skalar**ː Invarian dibawah konjugasi Clifford.
* **Subruang Vektor**ː Tanda kebalikan dibawah konjugasi Clifford.
* **Subruang Real**ː Invarian dibawah kebalikan konjugasi.
* **Subruang Imajiner**ː Membalikkan tanda dibawah kebalikan konjugasi.

Misalkan p sebagai sebuah bliangan Clifford umum, skalar yang saling melengkapi dan bagian vektor pada p diberikan oleh kombinasi simetris dan antisimetris dengan konjugasi Clifford.


\langle p \rangle_S = \frac{1}{2}(p + \overline{p}),



\langle p \rangle_V = \frac{1}{2}(p - \overline{p})
 .

Dengan cara yang sama, bagian Real dan Imajiner yang saling melengkapi diberikan oleh kombinasi simetris dan atisimetris dengan konjugasi Reversi.


\langle p \rangle_R = \frac{1}{2}(p + p^\dagger),



\langle p \rangle_I = \frac{1}{2}(p - p^\dagger)
 .

Itumungkin untuk mendefinisikan keempat persimpangan, yang tercantum di bawah

: 
\langle p \rangle_{RS} = \langle p \rangle_{SR} \equiv \langle \langle p \rangle_R \rangle_S

: 
\langle p \rangle_{RV} = \langle p \rangle_{VR} \equiv \langle \langle p \rangle_R \rangle_V

: 
\langle p \rangle_{IV} = \langle p \rangle_{VI} \equiv \langle \langle p \rangle_I \rangle_V

: 
\langle p \rangle_{IS} = \langle p \rangle_{SI} \equiv \langle \langle p \rangle_I \rangle_S


Tabel dibawah ini meringkaskan nilai yang terhadap subruang, sebagai contoh, nilai 0 bisa dilihat sebagai persimpangan pada subruang Real dan Skalar

* Catatanː Istilah "Imajiner" digunakan dalam konteks pada aljabar  dan tidak C \ell_3menyiratkan perkenalan bilangan kompleks standar sebagian perubahan.

### Subruang Tertutup terhadap Produk
Terdapat dua subruang yang tertutup terhadap produk. Mereka adalah ruang skalar dan ruang genap yang di mana isomorfis dengan aljabar terkenal pada bilangan kompleks dan kuaternion.

* Ruang skalar dibuat dari nilai 0 dan 3 adalah isomorfis dengan aljabar standar pada bilangan kompleks dengan identifikasi pada

:  \mathbf{e}_{123} = i 

* Ruang genap, dibuat dari elemen pada nilai 0 dan 2, adalah isomorfis dengan aljabar pada kuaternion dengan identifikasi pada

: -\mathbf{e}_{23} = i
: -\mathbf{e}_{31} = j
: -\mathbf{e}_{12} = k

### Produk Skalar
Diberikan dua paravektor u dan v, secara umum produk skalar adalah

 \langle u \bar{v} \rangle_S. 

Besar kuadratnya pada sebuah paravektor u adalah

 \langle u \bar{u} \rangle_S, 

di mana ini bukan sebuah perubahan bilinear tentu sama dengan nol bahan paravektor

Itu menunjukkan bahwa ruang paravektor secara otomatis mematuhi metrik pada ruang Minkowski karena \eta_{\mu \nu} = \langle \mathbf{e}_\mu \overline{\mathbf{e}}_\nu \rangle s 

dan khususnya:

 
\eta_{00} = \langle \mathbf{e}_0 \bar{\mathbf{e}}_0 \rangle =
 \langle 1 (1) \rangle_S = 1, 


 \eta_{11} = \langle \mathbf{e}_1 \bar{\mathbf{e}}_1 \rangle =
 \langle \mathbf{e}_1 (-\mathbf{e}_1) \rangle_S = - 1,



\eta_{01} = \langle \mathbf{e}_0 \bar{\mathbf{e}}_1 \rangle =
 \langle 1 (-\mathbf{e}_1) \rangle_S = 0.


### Biparavektor
Diberkan dua paravektor uu dan v, **biparavektor** B didefinisikan sebagaiː

 B = \langle u \bar{v} \rangle_V .

Basis biparavektor bisa ditulis sebagaiː

 \{ \langle \mathbf{e}_\mu \bar{\mathbf{e}}_\nu \rangle_V \},

di mana memiliki enam elemen independen, termasuk istilah real dan imajiner. Ketiga elemen real (vektor) sebagai

:  \langle \mathbf{e}_0 \bar{\mathbf{e}}_k \rangle_V = -\mathbf{e}_k ,

dan ketifa elemen imajiner (bivektor) sebagai

:  \langle \mathbf{e}_j \bar{\mathbf{e}}_k \rangle_V = -\mathbf{e}_{jk}

di mana j,k menuju dari 1 hingga 3.

Dalam aljabar ruang fisika, medan elektromagnetik diekspresikan sebagai sebuah biparavektor sebagai

: 
F = \mathbf{E} + i \mathbf{B}^{\,},


di mana keduanya elektrik dan medan magnet adalah vektor real

:  \mathbf{E}^\dagger = \mathbf{E}
:  \mathbf{B}^\dagger = \mathbf{B}

dan i  mewakili elemen volume pseudoskalar.

Contoh lain pada biparavektor adalah mewakili pada tingkat rotasi ruang waktu bisa diekspresikan sebagai

: 
W = i \theta^j \mathbf{e}_j + \eta^j \mathbf{e}_j,


dengan tiga variabel rotasi sudur biasa, yaitu \theta^j dan tiga variabel kecepatan, yaitu \eta^j

### Triparavektor
Diberikan tiga paravektor u, v, dan w, triparavektor T didefinisikan sebagaiː

 T = \langle u \bar{v} w \rangle_I .

Basisi triparavektor bisa ditulis sebagaiː

 \{ \langle \mathbf{e}_\mu \bar{\mathbf{e}}_\nu \mathbf{e}_{\lambda} \rangle_I \},

tetapi hanya terdapat empat triparavektor independen, jadi bisa diturunkan ke

 \{ i \mathbf{e}_{\rho} \} .

### Pseudoskalar
Basis pseudoskalar adalah \left \{ \langle \mathbf{e}_\mu \bar{\mathbf{e}}_\nu \mathbf{e}_\lambda \bar{\mathbf{e}}_\rho \rangle _{IS}\right \}, tetapi sebuah kalkulasi mengungkapkan bahwa itu memiliki hanya sebuah istilah tunggal. Isilah tersebut adalah elemen volume i = \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3.

Keempat nilai tersebut, diambil dari kombinasi pada pasangan tertentu menghasilkan ruang paravektor, biparavektor, dan triparavektor seperti yang ditunjukkan pada tabel berikutnya, di mana sebagai contoh, kita lihat bahwa paravektor terbuat dari nilai 0 dan 1

### Paragradien
Operator **paragradien** adalah generalisasi pada operator gradien dalam ruang paravektor. Paragradien dalam basos paravektor standar adalah

: 
 \partial = \mathbf{e}_0 \partial_0 - \mathbf{e}_1 \partial_1 - \mathbf{e}_2 \partial_2 - \mathbf{e}_3 \partial_3,


yang ini dapat memungkinkan menulis operator d'Alembert sebagai

: 
 \square = \langle \bar{\partial} \partial \rangle_S = \langle \partial \bar{\partial} \rangle_S


Operator gradien standar bisa didefinisikan secara alami sebagaiː

: 
\nabla = \mathbf{e}_1 \partial_1 + \mathbf{e}_2 \partial_2 + \mathbf{e}_3 \partial_3,


sehingga paragradien bisa ditulis sebagai

:  
 \partial = \partial_0 - \nabla,


di mana  \mathbf{e}_0 = 1 .

Penerapan pada operator paragradien harus diselesaikan dengan hati-hati, selalu berkenaan dengan non-komutatif. Sebagai contoh, sebuah turunan banyak digunakan seperti

: 
\partial e^{ f(x) \mathbf{e}_3 } = 
 (\partial f(x)) e^{ f(x) \mathbf{e}_3 } \mathbf{e}_3,


di mana f(x) adalah fungsi skalar pada koordinat.

Pararadien merupakan sebuah operator yang di mana selalu dimulai dari kiri jika fungsi adalah sebuah fungsi skalar. Namun, jika fungsi bukanlah skalar, paragradien bisa dimulai dari kanan sedemikian juga. Sebagai contoh, ekpersi berikut bisa diperpanjang sebagaiː

:  (L \partial) = 
 \mathbf{e}_0 \partial_0 L +  (\partial_1 L) \mathbf{e}_1 +
 (\partial_2 L)\mathbf{e}_2 + (\partial_3 L) \mathbf{e}_3 
 

### Paravektor Kosong sebagai Proyektor
Paravektor kosong adalah elemen yang tidk perlu nol tetapi memiliki identik ukurannya ke nol. Untuk sebuah paravektor nihil p , properti ini perlu mengimplikasikan identitas berikut

 p \bar{p} = 0.

Dalam konteks pada relativits khusus, mereka juga disebut paravektor ringan

Proyektor adalah paravektor nihil pada bentukː


P_{\mathbf k} = \frac{1}{2}( 1 + \hat{\mathbf k} ),


di mana \hat{\mathbf k} adalah vektor satuan.

Sebuah proyektor P_{\mathbf k} bentuk ini memiliki proyektor pelengkap \bar{P}_{\mathbf k}


\bar{P}_{\mathbf k} = \frac{1}{2}( 1 - \hat{\mathbf k} ),


seperti yang

 P_{\mathbf k} + \bar{P}_{\mathbf k} = 1 

Sebagai proyektor, mereka idempoten


P_\mathbf{k} = P_\mathbf{k} P_\mathbf{k} = P_\mathbf{k}P_\mathbf{k}P_\mathbf{k}=...


dan proyeksi dari satu dengan yang lain adalah nol karena mereka adalah proyektor kosong.

 P_{\mathbf k} \bar{P}_{\mathbf k} = 0. 

Vektor satuan berkaitan pada proyektor bisa diekstrasikan sebagai


\hat{\mathbf{k}} = P_\mathbf{\mathbf{k}} - \bar{P}_{\mathbf{k}},


Ini berarti bahwa \hat{\mathbf{k}} adalah sebuah operator dengan fungsi eigen P_\mathbf{k} dan \bar{P}_\mathbf{k}, dengan masing-masing nilai eigen 1 dan -1 .

Dari hasil sebelumnya, identitas berikut adalah asumsi yang sah bahwa f(\hat{\mathbf{k}}) analitik disekitar nol.


f( \hat{\mathbf{k}}) = f(1) P_{\mathbf{k}}+f(-1) \bar{P}_{\mathbf{k}}.


Ini memberikan asalnya ke properti **pacwoman**, sedemikian rupa sehingga identitas berikut terpenuhi


f( \hat{\mathbf{k}}) P_{\mathbf{k}} = f(1) P_{\mathbf{k}}
,


f( \hat{\mathbf{k}}) \bar{P}_{\mathbf{k}} = f(-1) \bar{P}_{\mathbf{k}}
.

### Basis Kosong pada Ruang Paravektor
Sebuah basis pada elemen-elemen, setiap satu dari mereka kosong, bisa dikosntruksi pada ruang C \ell_3   yang sempurna. Basis yang penting adalah sebagai berikut.

 \{ \bar{P}_3, P_3 \mathbf{e}_1, P_3, \mathbf{e}_1 P_3 \} 

sehingga sebuah paravektor sembarang

 p = p^0 \mathbf{e}_0 + p^1 \mathbf{e}_1 + p^2 \mathbf{e}_2 + p^3 \mathbf{e}_3

dapat ditulis sebagai

 p = (p^0+p^3)P_3 + (p^0 - p^3)\bar{P}_3 + (p^1+ip^2)\mathbf{e}_1 P_3 + (p^1-ip^2)P_3 \mathbf{e}_1

Pernyataan ini sangat berguna untuk beberapa sistem di mana secara alami diekspresikan dalam istilah pada variabel kerucut cahaya di mana koefisien pada P_3 dan \bar{P}_3 masing-masing.

Setiap ekspresi dalam ruang paravektor bisa ditulis dalam istilah basis kosong. Sebuah paravektor p   secara umum diparameter oleh dua skalar bilangna real \{ u,v\} dan sebuah bilangan skalar umum w  (termasuk skalar dan bilangan pseudoskalar)

 p = u \bar{P}_3 + v P_3 + w \mathbf{e}_1 P_3 + w^{\dagger}P_3 \mathbf{e}_1

paragradien dalam basis kosong adalah

 \partial = 2P_3 \partial_u + 2\bar{P}_3 \partial_v - 
2\mathbf{e}_1 P_3 \partial_{w^{\dagger}} - 2 P_3 \mathbf{e}_1 \partial_w 

## Dimensi-Dimensi yang Lebih Tinggi
Sebuah ruang Euklidean n dimensi memberikan adanya multivektor pada nilai n (vektor ke-n). Dimensi pada ruang vektor ternyata sama dengan n dan analisis kombinatorial sederhana menunjukkan bahwa dimensi pada ruang bivektor adalah {\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}}}. Secara umum, dimensi pada ruang multivektor pada nilai m adalah \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} dan dimensi pada seluruh aljabar Clifford C \ell (n) adalah 2^n.

Diberikan multivektor dengan nilai homogen baik invarian atau mengubah tanda dibawah aksi pada konjugasi reversi \dagger  . Elemen yang tetap invarian didefinisikan sebagai Hermitian dan yang mengubah tanda didefinisikan sebagai anti-Hermitian. Nilai-nilai bisa demikian juga diklasifikan sebagai berikutː

## Representasi Matriks
Aljabar pada ruang C \ell (3) isomorfik ke aljabar matriks Pauli seperti

dari basis kosong menjadiː
{ P_3} = 
 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \,; \bar{ P}_3 = 
 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \,; { P_3} \mathbf{e}_1 = 
 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} 
 \,;\mathbf{e}_1 { P}_3 =
 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.


Sebuah bliangan Clifford secara umum dalam 3D bisa diulis sebagai

: 
\Psi = \psi_{11} P_3 - \psi_{12} P_3 \mathbf{e}_1 + \psi_{21} \mathbf{e}_1 P_3 +
 \psi_{22} \bar{P}_3, 


di mana koefisien \psi_{jk} adalah elemen-elemen skalar (termasuk pseudoskalar). Indeksnya dipilih sehingga pernyataan pada bulangan Clifford dalam istilah pada matriks Pauli adalah

: 
\Psi \rightarrow 
 \begin{pmatrix}
 \psi_{11} & \psi_{12} \\ \psi_{21} & \psi_{22}
\end{pmatrix}


### Konjugasi
Konjugasi reversi diterjemahkan menjadi konjugasi Hermitian dan konjugasi palang diterjemahkan menjadi matriks berikut.

\Psi \to \begin{pmatrix} \psi_{22} & -\psi_{12} \\ -\psi_{21} & \psi_{11} \end{pmatrix} , sedemikian rupa sehingga bgian skalar diterjemahkan sebagai

: 
\langle \Psi \rangle_S \rightarrow
 \frac{ \psi_{11} + \psi_{22} }{2}\begin{pmatrix}
 1 & 0 \\ 0 & 1
 \end{pmatrix} = \frac{Tr[\psi]}{2} \mathbf{1}_{2\times 2}


Subruang sisanya diterjemakan sebagai

: 
\langle \Psi \rangle_V \rightarrow
 \begin{pmatrix}
  0 & \psi_{12} \\ \psi_{21} & 0
 \end{pmatrix} 

: 
\langle \Psi \rangle_R \rightarrow
 \frac{1}{2}
 \begin{pmatrix}
  \psi_{11}+\psi_{11}^* & \psi_{12}+\psi_{21}^* \\ 
  \psi_{21}+\psi_{12}^* & \psi_{22}+\psi_{22}^*
 \end{pmatrix} 

: 
\langle \Psi \rangle_I \rightarrow
 \frac{1}{2}
 \begin{pmatrix}
  \psi_{11}-\psi_{11}^* & \psi_{12}-\psi_{21}^* \\ 
  \psi_{21}-\psi_{12}^* & \psi_{22}-\psi_{22}^*
 \end{pmatrix} 


### Dimensi yang Lebih Tinggi
Perwakilan matriks pada sebuah ruang Euklidean dalam dimensi yang lebih tinggi bisa dikonstruksikan dalam istilah produk Kronecker pada matriks Pauli, menghasilkan dalam matriks kompleks pada dimensi 

Perwaklian 7D bisa 

## Aljabar Lie
Aljabar Clifford bisa digunakan untuk mewakili setiap aljabar Lie klasik. Secara umum, itu mungkin untuk mengidentifikasikan aljabar Lie pada grup kompak dengan menggunakan elemen anti-Hermitian, di mana bisa meluas ke non-grup kompak dengan menambahkan elemen Hermitian.

Bivektor pada sebuah ruang Euklidean n-dimensi merupakan elemen Herimtian dan bisa digunakan untuk mewakili aljabar Lie \text{Spin}(n).

Bivektor pada ruang Euklidean tiga dimensi membentuk aljabar Lie \text{Spin}(3), yang isomorfik ke aljabar Lie \text{SU}(2). Kebetulan isomorfik ini memungkinkan ke gambar sebuah penafsiran geometrik pada pernyataan pada ruang Hilbert dua dimensi dengan mengguakan bola Bloch. Salah satu dari sistem itu berputar ½ partikel.

Aljabar Lie \text{Spin}(3)  bisa diperpanjang dengan menambahkan tiga vektor kesatuan untuk membentuk sebuah aljabar Lie ke aljabar Lie \text{SL}(2,C), yang merupakan penutup ganda pada grup Lorentz \text{SO}(3,1). Isomorfis ini memungkinkan kemungkinan untuk berkembang sebuah formalism pada relativitas khusus berdasarkan \text{SL}(2,C), yang dilakukan dalam bentuk pada aljabar ruang fisika.

Hanya ada satu isomorfis kebetulan tambahan antara sebuah spin aljabar Lie dan sebuah aljabar Lie \text{SU}(N). Ini adalah isomorfis antara \text{Spin}(6) dan \text{SU}(4).

Isomorfis menarik lainnya ada antara \text{Spin}(5) dan \text{Sp}(4). Jadi, aljabar Lie \text{Sp}(4) bisa digunakan untuk menghasilkan grup \text{USp}(4). Meskipun bahwa grup ini lebih kecil daripada grup \text{SU}(4), itu terlihat cukup untuk menjangkau ruang Hilbert empat dimensi.

## Lihat pula

* Aljabar ruang fisika 
* Persamaan Dirac dalam aljabar ruang fisika

## Referensi

### Buku Teks

* Baylis, William (2002). *Electrodynamics: A Modern Geometric Approach* (2nd ed.). Birkhäuser. 
* Baylis, William, Clifford (Geometric) Algebras With Applications in Physics, Mathematics, and Engineering, Birkhauser (1999)
* [H1999] David Hestenes: New Foundations for Classical Mechanics (Second Edition). ISBN&nbsp;, Kluwer Academic Publishers (1999)
* Chris Doran and Antony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists, Cambridge, 2003

### Artikel

* 
* 
* 
*