Ruang Banach

Dalam matematika, lebih khusus lagi dalam analisis fungsional, **Ruang Banach** adalah ruang vektor bernorma lengkap. Jadi, ruang Banach adalah ruang vektor dengan metrik yang memungkinkan penghitungan panjang vektor dan jarak antara vektor dan lengkap dalam arti bahwa barisan Cauchy vektor selalu konvergen ke limit yang didefinisikan dengan baik yang ada di dalam ruang.

Spasi Banach dinamai menurut ahli matematika Polandia Stefan Banach, yang memperkenalkan konsep ini dan mempelajarinya secara sistematis pada 1920–1922 bersama dengan Hans Hahn dan Eduard Helly. 
Maurice René Fréchet adalah orang pertama yang menggunakan istilah "ruang Banach" dan Banach pada gilirannya kemudian menciptakan istilah "Ruang Fréchet."
Ruang Banach awalnya tumbuh dari studi ruang fungsi oleh Hilbert, Fréchet, and Riesz di awal abad ini. Ruang Banach memainkan peran sentral dalam analisis fungsional. Di bidang lain analisis, ruang yang diteliti sering kali merupakan ruang Banach.

## Basis Schauder

**Basis Schauder** dalam ruang Banach  adalah urutan  vektor di * X * dengan properti untuk setiap vektor  di , ada skalar yang didefinisikan * secara unik *  tergantung pada , seperti itu

: x = \sum_{n=0}^{\infty} x_n e_n, \quad \textit{yaitu} \quad x = \lim_n P_n(x), \ P_n(x) := \sum_{k=0}^n x_k e_k.

Ruang banach dengan basis Schauder harus dapat dipisahkan, karena himpunan kombinasi linier hingga yang dapat dihitung dengan koefisien rasional (katakanlah) padat.

Ini mengikuti dari Teorema Banach–Steinhaus bahwa pemetaan linier secara seragam dibatasi oleh beberapa konstanta .
Maka  menunjukkan fungsi koordinat yang menetapkan ke setiap  di  koordinat  dari  dalam ekspansi di atas.
Mereka disebut **fungsi biorthogonal**. Ketika vektor basis memiliki norma , koordinat berfungsi  bersila  di rangkap dua dari .

Sebagian besar ruang terpisah klasik memiliki basis eksplisit.
Sistem Haar  adalah dasar untuk . 
sistem trigonometri adalah basis dalam  adalah . 
Sistem Schauder adalah dasar di ruang . 
Pertanyaan apakah aljabar disk  berdasar tetap terbuka selama lebih dari empat puluh tahun, sampai Bočkarev menunjukkan pada tahun 1974 bahwa  mengakui dasar yang dibangun dari Sistem Franklin.

Karena setiap vektor  dalam ruang Banach  dengan basis adalah batas dari , dengan  dari pangkat hingga dan berbatas seragam, spasi  memenuhi properti aproksimasi terbatas. 
Contoh pertama oleh Enflo dari spasi yang gagal properti aproksimasi adalah pada saat yang sama contoh pertama dari spasi Banach yang dapat dipisahkan tanpa basis Schauder.

Robert C. James mencirikan refleksivitas di ruang Banach dengan dasar: ruang  dengan basis Schauder bersifat refleksif jika dan hanya jika basisnya adalah menyusut dan lengkap terbatas. 
Dalam hal ini, fungsi biorthogonal membentuk dasar dari rangkap .

## Produk tensor

Misalkan  dan  menjadi dua ruang vektor-. Produk tensor  dari  dan  adalah ruang vektor- dengan  dengan pemetaan bilinear  yang memiliki sifat universal berikut:

:Jika  adalah setiap pemetaan bilinear menjadi a ruang vektor- pada , lalu ada pemetaan linear yang unik  dirumu .

Gambar di bawah  pasangan  pada  dilambangkan dengan , dan disebut **tensor sederhana**.
Setiap elemen  dengan  adalah jumlah terbatas tensor sederhana tersebut.

Ada berbagai norma yang dapat ditempatkan pada hasil kali tensor ruang vektor yang mendasarinya, antara lain norma silang proyektif dan norma silang injeksi yang diperkenalkan oleh A. Grothendieck pada tahun 1955.

Secara umum, hasil kali tensor ruang komplek tidak kompleks lagi. Saat bekerja dengan ruang Banach, biasanya dikatakan bahwa **produk tensor proyektif** dari dua ruang Banach  dan  adalah * penyelesaian * X \widehat{\otimes}_\pi Y dari hasil kali tensor aljabar  dilengkapi dengan norma tensor proyektif, dan juga untuk **produk tensor injektor ** X \widehat{\otimes}_\varepsilon Y. 
Grothendieck secara khusus membuktikan bahwa

:\begin{align}
C(K) \widehat{\otimes}_\varepsilon Y &\simeq C(K, Y), \\
L^1([0, 1]) \widehat{\otimes}_\pi Y &\simeq L^1([0, 1], Y),
\end{align}

di mana  adalah ruang Hausdorff yang padat,  ruang Banach fungsi kontinu dari  ke  dan  ruang fungsi yang dapat diukur dan diintegrasikan Bochner dari  hingga , dan di mana isomorfisme adalah isometrik.
Dua isomorfisme di atas adalah ekstensi masing-masing dari peta yang mengirimkan tensor  to the vector-valued function .

### Produk Tensor dan properti aproksimasi

Misalkan  menjadi spasi Banach. Produk tensor X' \widehat \otimes_\varepsilon X diidentifikasi secara isometrik dengan penutupan di  dari himpunan operator peringkat terbatas.
Jika  memiliki properti aproksimasi, penutupan ini bertepatan dengan spasi operator kompak pada .

Untuk setiap ruang Banach , ada norma alami  peta linear

: Y \widehat\otimes_\pi X \to Y \widehat\otimes_\varepsilon X 

diperoleh dengan memperluas peta identitas produk tensor aljabar. Grothendieck menghubungkan masalah perkiraan dengan pertanyaan apakah peta ini satu-ke-satu jika  adalah rangkap dari . 
Tepatnya, untuk setiap ruang Banach , peta

: X' \widehat \otimes_\pi X \ \longrightarrow X' \widehat \otimes_\varepsilon X 

bersifat satu-ke-satu jika dan hanya jika  memiliki properti aproksimasi.

Grothendieck menduga bahwa X \widehat{\otimes}_\pi Y dan X \widehat{\otimes}_\varepsilon Y harus berbeda  dan  adalah ruang Banach berdimensi tak hingga. 
Hal ini dibantah oleh Gilles Pisier pada tahun 1983. 
Pisier membangun ruang Banach berdimensi tak hingga  maka X \widehat{\otimes}_\pi X and X \widehat{\otimes}_\varepsilon X adalah sama. Lebih lanjut, seperti contoh Enflo's, spasi ini  adalah ruang "buatan tangan" yang gagal memiliki properti aproksimasi. Di sisi lain, Szankowski membuktikan bahwa ruang klasik  tidak memiliki properti aproksimasi.

## Beberapa hasil klasifikasi

### Penokohan ruang Hilbert di antara ruang Banach
Kondisi yang diperlukan dan cukup agar norma spasi Banach  dikaitkan dengan hasil kali dalam adalah identitas jajaran genjang:

:\forall x, y \in X : \qquad \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2 \left (\|x\|^2 + \|y\|^2 \right).

Ini mengikuti, misalnya, bahwa ruang Lebesgue  adalah ruang Hilbert hanya jika . 
Jika identitas ini terpenuhi, produk dalam terkait diberikan oleh identitas polarisasi. Dalam kasus skalar nyata, ini memberikan:

:\langle x, y\rangle = \tfrac{1}{4} \left (\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 \right ).

Untuk skalar kompleks, tentukan produk dalam -linear di , antilinear di , identitas polarisasi dirumuskan:

:\langle x,y\rangle = \tfrac{1}{4} \left( \|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 + i \left (\|x+iy\|^2 - \|x-iy\|^2 \right )\right).

Untuk melihat bahwa hukum jajaran genjang cukup, kita mengamati dalam kasus nyata bahwa  adalah simetris, dan dalam kasus yang kompleks, ia memenuhi properti Simetri Hermitian dan . Hukum jajaran genjang menyiratkan bahwa  adalah aditif di .
Oleh karena itu, ia linier di atas rasio, sehingga linier oleh kontinuitas.

Beberapa karakterisasi ruang isomorfik (bukan isometrik) ke ruang Hilbert tersedia. 
Hukum jajaran genjang dapat diperpanjang hingga lebih dari dua vektor, dan diperlemah dengan diperkenalkannya pertidaksamaan dua sisi dengan konstanta : Kwapień membuktikan bahwa jika

: c^{-2} \sum_{k=1}^n \left \|x_k \right \|^2 \le \operatorname{Ave}_{\pm} \left \| \sum_{k=1}^n \pm x_k \right \|^2 \le c^2 \sum_{k=1}^n \left \|x_k \right \|^2

untuk bilangan bulat  dan semua famili vektor , maka ruang Banach  isomorfik ke ruang Hilbert. 
Maka,  menunjukkan rata-rata selama  kemungkinan pilihan tanda . 
Dalam artikel yang sama, Kwapień membuktikan bahwa validitas Teorema Parseval yang bernilai Banach untuk transformasi Fourier mencirikan ruang Banach isomorfik ke ruang Hilbert.

Lindenstrauss dan Tzafriri membuktikan bahwa ruang Banach di mana setiap subruang linier tertutup saling melengkapi (yaitu, kisaran proyeksi linier yang dibatasi) isomorfik ke ruang Hilbert. 
Buktinya bersandar pada Teorema Dvoretzky tentang penampang Euklides benda cembung simetris terpusat berdimensi tinggi. Dengan kata lain, teorema Dvoretzky menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat , setiap ruang bernorma berdimensi-hingga, dengan dimensi yang cukup besar dibandingkan dengan , berisi subruang yang hampir isometrik dengan ruang Euklides berdimensi .

### Klasifikasi metrik
Jika T:X\to Y adalah isometri dari ruang Banach  X  ke ruang Banach  Y  (dengan  X  dan  Y  adalah ruang vektor berakhir \mathbf{R}), lalu Teorema Mazur-Ulam menyatakan bahwa  T  harus berupa transformasi affine.
Secara khusus, jika T(0_X)=0_Y, ini  T  memetakan nol dari  X  ke nol dari  Y , kemudian  T  harus linear. Hasil ini menyiratkan bahwa metrik dalam ruang Banach, dan lebih umum lagi dalam ruang bernorma, sepenuhnya menangkap struktur liniernya.

### Klasifikasi topologi
Ruang Banach berdimensi hingga bersifat homeomorfik sebagai ruang topologi, jika dan hanya jika memiliki dimensi yang sama dengan ruang vektor nyata.

Teorema Anderson–Kadec (1965–66) proves that any two infinite-dimensional separable Banach spaces are homeomorphic as topological spaces. Kadec's theorem was extended by  Torunczyk, who proved bahwa dua ruang Banach bersifat homeomorfik jika dan hanya jika keduanya memiliki karakter kerapatan yang sama, kardinalitas minimum dari himpunan bagian padat.

## Contoh

Glosarium simbol:
* ;
*  adalah ruang Hausdorff komplek;
*  adalah interval tertutup dan berbatas ;
*  adalah bilangan riil dengan  maka 
*  adalah aljabar sigma dari himpunan;
*  adalah aljabar himpunan (untuk spasi yang hanya memerlukan aditif hingga, seperti ruang ba); 
*  adalah ukuran dengan variasi .

## Turunan
Beberapa konsep turunan dapat didefinisikan di ruang Banach. Lihat artikel di Turunan Fréchet dan Turunan Gateaux untuk detailnya. 
Derivatif Fréchet memungkinkan perluasan konsep dari turunan total ke ruang Banach. Turunan Gateaux memungkinkan perpanjangan turunan arah ke konveks lokal ruang vektor topologis. 
Diferensiasi Fréchet adalah kondisi yang lebih kuat daripada daya diferensiasi Gateaux.
Kuasi-turunan adalah generalisasi turunan terarah lain yang menyiratkan kondisi yang lebih kuat, tetapi kondisi yang lebih lemah dari diferensiasi Fréchet.

## Generalisasi
Beberapa ruang penting dalam analisis fungsional, misalnya ruang dari semua fungsi yang sering kali terdiferensiasi tanpa batas **R** → **R**, atau ruang dari semua distribusi pada **R**, lengkap tetapi bukan ruang vektor bernorma dan karenanya bukan ruang Banach. 
Dalam ruang Fréchet yang satu masih memiliki metrik lengkap, sementara ruang-LF adalah ruang vektor seragam lengkap yang muncul sebagai batas ruang Fréchet.

## Lihat pula

* 
** 
** 
** 
** 
** 

## Referensi

## Bibliografi
*  
* .
*  
* .
*  
* .
* 
*  
*  
*  
*  
*  
* .
* .
*  
*  
*  
* .
*  
*  
*  
*  
* .

## Pranala luar

* 
*