Besaran pesanan ekonomis

**Besaran pesanan ekonomis** atau **kuantitas pesanan ekonomis** (Bahas Inggris: ***Economic order quantity***, disingkat **EOQ**) adalah besaran pesanan yang meminimalkan total biaya penyimpanan dan biaya pemesanan dalam manajemen inventaris. Ini adalah salah satu model penjadwalan produksi klasik tertua. Model ini dikembangkan oleh Ford W. Harris pada tahun 1913, tetapi konsultan R. H. Wilson menerapkannya secara ekstensif, dan ia serta K. Andler diberi penghargaan atas analisis mendalam mereka.
## Ikhtisar
EOQ menunjukkan jumlah unit optimal yang dipesan untuk meminimalkan total biaya yang terkait dengan pembelian, pengiriman, dan penyimpanan suatu produk.

EOQ hanya berlaku ketika permintaan suatu produk konstan selama periode waktu tertentu (misalnya setahun) dan setiap pesanan baru dikirimkan secara penuh ketika persediaan mencapai nol. Ada biaya tetap untuk setiap pesanan yang dilakukan, terlepas dari jumlah barang yang dipesan; sebuah pesanan diasumsikan hanya berisi satu jenis barang persediaan. Ada juga biaya untuk setiap unit yang disimpan, umumnya dikenal sebagai biaya penyimpanan, terkadang dinyatakan sebagai persentase dari biaya pembelian barang tersebut. Meskipun formulasi EOQ sederhana, faktor-faktor seperti tarif transportasi dan diskon kuantitas menjadi faktor dalam penerapannya di dunia nyata.

Parameter yang diperlukan untuk solusi ini adalah total permintaan untuk tahun tersebut, biaya pembelian untuk setiap barang, biaya tetap untuk memesan satu barang, dan biaya penyimpanan untuk setiap barang per tahun. Perhatikan bahwa berapa kali pesanan dilakukan juga akan memengaruhi total biaya, meskipun angka ini dapat ditentukan dari parameter lainnya.

### Variabel
*T = total biaya persediaan tahunan
*P = harga beli per unit, biaya produksi per unit
*Q = jumlah pesanan
*Q^* = jumlah pesanan optimal
*D = jumlah permintaan tahunan
*K = biaya tetap per pesanan, biaya penyiapan (bukan per unit, biasanya biaya pemesanan, pengiriman, dan penanganan. Ini bukan biaya barang)
*h = biaya penyimpanan tahunan per unit, juga dikenal sebagai biaya penyimpanan (biaya modal, ruang gudang, pendinginan, asuransi, biaya peluang (harga x bunga), dll.; biasanya tidak terkait dengan biaya produksi per unit)

### Fungsi biaya total dan turunan rumus EOQ
Rumus EOQ satu item menemukan titik minimum dari fungsi biaya berikut:

Biaya Total = biaya pembelian atau biaya produksi + biaya pemesanan + penyimpanan  biaya

Di mana:
*Biaya pembelian, Ini adalah biaya variabel barang: harga satuan pembelian × jumlah permintaan tahunan. Ini adalah P \times D.
*Biaya pemesanan: Ini adalah biaya pemesanan: setiap pesanan memiliki biaya tetap K, dan kita perlu memesan D/Q kali per tahun. Ini adalah KD/Q
*Biaya penyimpanan: rata-rata jumlah stok (antara terisi penuh dan kosong) adalah Q/2, jadi biaya ini adalah hQ/2

: T = PD + K {\frac{D}{Q}} + h {\frac{Q}{2}}.

Untuk menentukan titik minimum kurva biaya total, hitung turunan biaya total terhadap Q (asumsikan semua variabel lain konstan) dan tetapkan sama dengan 0:

: {0} = -{\frac{DK}{Q^2}}+{\frac{h}{2}}

Menentukan nilai Q akan menghasilkan Q* (jumlah pesanan optimal):

: Q^{*2}={\frac{2DK}{h}}

Oleh karena itu:

 
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}

Q* tidak bergantung pada P; ia merupakan fungsi dari hanya K, D, h.

Nilai optimal Q* juga dapat ditemukan dengan mengetahui bahwa

: T = {\frac{DK}{Q}} + {\frac{hQ}{2}} + PD ={\frac{h}{2Q}}(Q - \sqrt{2DK/h})^2 +  \sqrt{2hDK} +PD,  
di mana suku kuadrat non-negatif menghilang untuk Q = \sqrt{2DK/h},  yang menghasilkan biaya minimum T_{min} =  \sqrt{2hDK} + PD.  

### Contoh
*Kuantitas kebutuhan tahunan (D) = 10.000 unit
*Biaya per pesanan (K) = 40
*Biaya per unit (P) = 50
*Biaya penyimpanan tahunan per unit = 4
*Minat pasar = 2%

Besaran pesanan ekonomis  =  \sqrt{\frac{2D\cdot K}{h}}   = \sqrt{\frac{2\cdot 10000\cdot 40}{4 + 50 \cdot 2\%}} = \sqrt{\frac{2\cdot 10000 \cdot 40}{5}} = 400 unit

Jumlah pesanan per tahun (berdasarkan EOQ)  = {\frac{10000}{400}} = 25 

Total biaya  = P\cdot D + K (D/EOQ) + h (EOQ/2) 

Total biaya  = 50\cdot 10000 + 40\cdot (10000/400) + 5\cdot (400/2) = 502000 

Jika kita memeriksa total biaya untuk jumlah pesanan selain 400 (=EOQ), kita akan melihat bahwa biayanya lebih tinggi. Contoh: misalkan 500 unit per pesanan, maka

Total biaya  = 50\cdot 10000 + 40\cdot (10000/500) + 5\cdot (500/2) = 502050 

Demikian pula, jika kita memilih 300 untuk jumlah pesanan, maka

Total biaya  = 50\cdot 10000 + 40\cdot (10000/300) + 5\cdot (300/2) = 502083.33 

Hal ini menggambarkan bahwa jumlah pesanan ekonomis selalu menjadi kepentingan terbaik perusahaan.

## Ekstensi
### Diskon Kuantitas
Perluasan penting dari model EOQ adalah mengakomodasi diskon kuantitas. Ada dua jenis utama diskon kuantitas: (1) semua unit dan (2) inkremental. Berikut adalah contoh numerik:
*Diskon unit inkremental: Unit 1–100 berharga $30 per unit; Unit 101–199 berharga $28 per unit; Unit 200 ke atas berharga $26 per unit. Jadi, ketika 150 unit dipesan, total biayanya adalah $30 x 100 + $28 x 50.
*Diskon semua unit: pesanan 1–1000 unit berharga $50 per unit; pesanan 1001–5000 unit berharga $45 per unit; pesanan lebih dari 5000 unit berharga $40 per unit. Jadi, ketika 1500 unit dipesan, total biayanya adalah $45 x 1500.

Untuk menemukan kuantitas pesanan optimal dengan berbagai skema diskon kuantitas, seseorang harus menggunakan algoritma; algoritma ini dikembangkan dengan asumsi bahwa kebijakan EOQ masih optimal dengan diskon kuantitas. Perera dkk. (2017) menetapkan optimalitas ini dan mengkarakterisasi optimalitas (s,S) secara lengkap dalam pengaturan EOQ dengan struktur biaya umum.

### Perancangan Jadwal Diskon Kuantitas Optimal
Dengan adanya pelanggan strategis yang merespons jadwal diskon secara optimal, perancangan skema diskon kuantitas optimal oleh pemasok menjadi rumit dan harus dilakukan dengan hati-hati. Hal ini terutama terjadi ketika permintaan dari pelanggan itu sendiri tidak pasti. Efek menarik yang disebut *reverse bullwhip* terjadi ketika peningkatan ketidakpastian permintaan konsumen justru mengurangi ketidakpastian kuantitas pesanan dari pemasok.

### Biaya pemesanan kembali dan beberapa barang
Beberapa perluasan dapat dilakukan pada model EOQ, termasuk biaya pemesanan kembali dan beberapa barang. Jika pemesanan kembali diizinkan, biaya penyimpanan persediaan per siklus adalah:

: IC \int\limits_{0}^{T_1}(Q-s-\lambda t)\,dt = \frac{IC}{2 \lambda} (Q-s)^2,

di mana s adalah jumlah pemesanan kembali ketika jumlah pesanan Q dikirimkan dan \lambda adalah tingkat permintaan. Biaya pemesanan kembali per siklus adalah:

: \pi s + \hat{\pi} \int\limits_{0}^{T_2}\lambda t dt =\pi s +\frac{1}{2} \hat{\pi} \lambda T^{2}_{2} = \pi s + \frac{ \hat{\pi} s^{2}}{2\lambda},

di mana \pi dan \hat{\pi} adalah biaya pemesanan kembali, T_{2}=T-T_{1}, T adalah panjang siklus dan T_{1}=(Q-s) / \lambda. Biaya variabel tahunan rata-rata adalah jumlah biaya pemesanan, biaya penyimpanan persediaan, dan biaya pemesanan kembali:

: \mathcal{K} = \frac{\lambda}{Q} A+\frac{1}{2Q} IC (Q-s)^2+\frac{1} {Q} [ \pi \lambda s+ \frac{1}{2} \hat{\pi} s^{2}]

Untuk meminimalkan \mathcal{K}, terapkan turunan parsial sama dengan nol:

: \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial Q} =- \frac{1}{Q^2} \left[ {\lambda} A+\frac{1}{2} IC (Q-s)^2+\pi \lambda s+ \frac{1}{2} \hat{\pi} s^{2}  \right]+\frac{IC}{Q}(Q-s)=0
: \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial s} =-\frac{IC}{Q}(Q-s) +  \frac{1}{Q}  \pi \lambda  + \frac{1}{Q} \hat{\pi} s =0

Substitusi persamaan kedua ke persamaan pertama menghasilkan persamaan kuadrat berikut:

: [\hat{\pi} ^{2} + \hat{\pi} IC] s^2 +2\pi \hat{\pi} \lambda s+(\pi \lambda) ^2 -2 \lambda A IC=0

Jika \hat{\pi}=0, baik s=0 atau s=\infty adalah optimal. Dalam kasus pertama, lot optimal diberikan oleh rumus EOQ klasik, dalam kasus kedua, pesanan tidak pernah dilakukan dan biaya tahunan minimum diberikan oleh \pi \lambda. Jika \pi > \sqrt{\frac{2AIC}{\lambda}} =\delta atau \pi \lambda > K_{w} s^*=0 adalah optimal, jika \pi, maka seharusnya tidak ada sistem inventaris. Jika \hat{\pi}\ne0 menyelesaikan persamaan kuadrat sebelumnya menghasilkan:

: s^* = [\hat {\pi} + IC] ^{-1} \left ( -\pi \lambda + \left [ (2\lambda AIC) \left ( 1 + \frac{IC} {\hat{\pi}} \right)- \frac{IC}{\hat{\pi}}(\pi \lambda )^{2} \right]^{1/2} \right ) 
: Q^* = \left [ \frac{\hat{\pi}+IC}{ \hat{\pi}} \right]^{1/2} \left [ \frac{2 \lambda A}{IC} -\frac{(\pi \lambda)^2}{IC(\hat{\pi}+IC)} \right]^{1/2}

Jika terdapat pemesanan di awal, titik pemesanan ulang adalah: r^*_{h} = \mu - mQ^* - s^*; dengan m adalah bilangan bulat terbesar m \leq \frac{\tau}{T} dan μ adalah waktu tunggu permintaan.

Selain itu, interval pesanan ekonomi dapat ditentukan dari EOQ dan model kuantitas produksi ekonomi (yang menentukan kuantitas produksi optimal) dapat ditentukan dengan cara yang serupa.

Versi model ini, model Baumol-Tobin, juga telah digunakan untuk menentukan fungsi permintaan uang, di mana kepemilikan saldo uang seseorang dapat dilihat secara paralel dengan kepemilikan inventaris perusahaan.

Malakoti (2013) telah memperkenalkan model EOQ multi-kriteria di mana kriterianya dapat berupa meminimalkan total biaya, kuantitas pesanan (inventaris), dan kekurangan.

Versi yang memperhitungkan nilai waktu uang dikembangkan oleh Trippi dan Lewin.

### Kualitas tidak sempurna
Perluasan penting lainnya dari model EOQ adalah mempertimbangkan item dengan kualitas tidak sempurna.  Salameh dan Jaber (2000) adalah orang pertama yang mempelajari barang-barang tidak sempurna dalam model EOQ secara mendalam. Mereka mempertimbangkan masalah persediaan di mana permintaan bersifat deterministik dan terdapat sebagian kecil barang tidak sempurna dalam lot, yang disaring oleh pembeli dan dijual oleh mereka di akhir siklus dengan harga diskon.

## Implementasi
Dave Piasecki mengidentifikasi dua cara penerapan pendekatan EOQ:
*metode *[[lembar sebar|spreadsheet]]*, di mana EOQ untuk setiap item stok dihitung dan dicatat secara manual
*memasukkan rumus EOQ ke dalam sistem manajemen inventaris baru atau yang sudah ada.

Ia menyarankan bahwa implementasi berbasis sistem akan bermanfaat jika jumlah unit penyimpanan stok lebih dari sekitar 2000. Pembaruan data dan rumus tahunan direkomendasikan. Sistem hibrida akan melibatkan pengunduhan data ke dalam *spreadsheet* untuk tujuan perhitungan dan kemudian menerapkan kembali data ini dalam sistem inventaris.

## Kritik
Model EOQ dan saudaranya, model besaran produksi ekonomi (EPQ), telah dikritik karena "seperangkat asumsinya yang terbatas". Guga dan Musa menggunakan model tersebut untuk studi kasus bisnis Albania dan menyimpulkan bahwa model tersebut "sempurna secara teoretis, tetapi tidak terlalu cocok dari perspektif praktis perusahaan ini". Namun, James Cargal mencatat bahwa rumus tersebut dikembangkan ketika perhitungan bisnis dilakukan "dengan tangan", atau menggunakan tabel logaritma atau mistar hitung. Penggunaan *spreadsheet* dan perangkat lunak khusus memungkinkan lebih banyak fleksibilitas dalam penggunaan rumus dan penerapan "asumsi yang lebih realistis" daripada model aslinya.

## Referensi

## Bacaan lebih lanjut
* Harris, Ford W. *Operations Cost* (Factory Management Series), Chicago:  Shaw (1915)
*
* Camp, W. E. "Determining the production order quantity", Management Engineering, 1922
*
* Plossel, George. Orlicky's Material Requirement's Planning. Second Edition. McGraw Hill. 1984. (first edition 1975)
*
*
*
* Tsan-Ming Choi (Ed.)  Handbook of EOQ Inventory Problems: Stochastic and Deterministic Models and Applications, Springer's International Series in Operations Research and Management Science, 2014. .
* 
* Renewal Demand and (s, S) Optimality by Perera, Janakiraman, and Niu https://onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/poms.12795
## Pranala luar
*The EOQ Model
*Piasecki, D., Inventory Operations Consulting documents