Kesamaan

Dalam matematika, **kesamaan** adalah hubungan antara dua kuantitas, atau ekspresi matematika secara umum, yang menyatakan bahwa kedua kuantitas tersebut punya nilai yang sama, atau kedua ekspresi tersebut melambangkan objek matematika yang sama. Kesamaan antara  dan  ditulis dengan , dan dibaca  sama dengan . Simbol "" disebut "tanda sama dengan".

## Simbol

Simbol  kini sudah diterima secara universal dalam pengertian kesamaan dalam matematika. Simbol ini pertama kali dicatat oleh matematikawan Welsh Robert Recorde dalam *[[The Whetstone of Witte]]* (1557). Awal rupa simbol tersebut ditulis lebih panjang daripada bentuk yang saat ini. Dalam bukunya, Recorde menjelaskan simbolnya sbagai explains his symbol as "garis-garis Gemowe", namanya berasal dari bahasa Latin **' ('kembar'), Digambarkan bahwa simbol itu menggunakan dua [[Garis sejajar|garis yang sejajar]] untuk menyatakan kesamaan, karena Recorde meyakini bahwa "tidak ada dua hal yang dapat lebih sama."

Simbol Recorde awalnya tidak begitu terkenal. Setelah pendahuluan, simbol tersebut tidak digunakan lagi dalam cetakan hingga pada tahun 1618 (61 tahun kemudian), dalam Apendiks tanpa nama dalam terjemahan bahasa Inggris [[Edward Wright (matematikawan)|Edward Wright]] dalam ''[[Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio|Descriptio]]'', karya [[John Napier]]. Hingga pada tahun 1631, simbol tersebut sudah diterima banyak kalangan matematikawan di Inggris, dan menggunakan simbol tersebut menyatakan kesamaan dalam beberapa karya yang berdampak. Seterusnya, simbol tersebut digunakan beberapa matematikawan terkenal, seperti [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Leibniz]]. Karena kelazinan [[History of calculus#Newton and Leibniz|kalkulus pada kala itu juga]] yang disematkan oleh kedua matematikawan tersebut, simbol tersebut dengan cepat menyebar di seluruh Eropa.

== Sifat dasar ==

; [[Relasi refleksif|Refleksivitas]]
: Untuk setiap , maka berlaku .
; [[Relasi simetris|Simetris]]
: Untuk setiap  dan , jika , maka .
; [[Relasi transitif|Transitivitas]]
: Untuk setiap , , dan , jika  dan , maka .
; [[Substitusi (logika)#Matematika|Substitusi]]
: Secara informal, ini hanya berarti bahwa jika , maka  dapat menggantikan  dalam bentuk [[Ekspresi (matematika)|ekspresi]] atau [[rumus]] apa saja tanpa mengubah maknanya. (Untuk penjelasan formalnya, lihat ). Sebagai contoh:
; [[Penerapan fungsi|Penerapan operasi]]
: Untuk setiap  dan , dengan [[Operasi (matematika)|operasi]] <math>f(x)</math>, jika , maka <math>f(a) = f(b)</math>. Sebagai contoh:

Tiga sifat pertama pada umumnya disematkan dengan [[Giuseppe Peano]], yang telah menyajikan pernyataan tersebut secara terang-terangan sebagai sifat-sifat kesamaan yang mendasar dalam **' (1889). Namun gagasan dasarnya selalu ada, seperti Euclid's ''Elements'' () yang menyertaka 'gagasan umum': "Hal-hal yang sama dengan hal yang sama juga sama dengan hal yang lainnya" (transitif), "Hal yang bersamaan dengan satu sama lain sama dengan hal yang lain" (refleksif), di sepanjang beberapa sifat penerapan operasi untuk penambahan dan pengurangan. Sifat penerapan operasi juga dinyatakan dalam **' Terlepas dari itu, sudah menjadi kelaziman dalam [[aljabar]] setidaknya semenjak pada masa Diophantus (). Sifat substitusi pada umumnya disematkan dengan [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]] (), dan acapkali dinamai ''Hukum'' ''Leibniz''.

== Persamaan ==

[[Persamaan]] adalah kesamaan simbolik dari kedua [[Ekspresi (matematika)|ekspresi matematika]] yang dihubungkan dengan tanda sama dengan (=). [[Aljabar]] adalah cabang matematika yang melibatkan [[penyelesaian persamaan]]. Penyelesaian tersebut mencakup masalah mencari nilai suatu [[Variabel (matematika)|variabel]] yang tidak diketahui, supaya kesamaan yang dimaksud itu benar. Masing-masing nilai yang tidak diketahui supaya persamaan itu berlaku dinamakan ''solusi'' atau ''penyelesaian'', dan juga dikatakan ''memenuhi'' persamaan. Sebagai contoh, persamaan <math>x^2 - 6x + 5=0</math> memiliki nilai <math>x=1</math> dan <math>x=5</math> sebagai solusi persamaan itu. Istilah tersebut digunakan dengan serupa untuk persamaan yang tidak diketahui variabel-variabelnya. Himpunan solusi persamaan atau [[sistem persamaan]] dinamakan [[himpunan solusi]].

Dalam [[pendidikan matematika]], murid-murid diajarkan untuk mengandalkan model-model konkret dan visualisasi persammaan, seperti analogi geometri, manipulasi batang ataupun gelas, dan "mesin fungsi" yang merepresentasikan persamaan seperti [[diagram aliran]]. Adapun metode yang menggunakan [[timbangan]] sebagai pendekatan ilustrasi untuk membantu murid-murid menangkap permasalahan dasar dalam aljabar. Massa benda tidak diketahui, sehingga dilambangkan sebagai variabel. Menyelesaikan persamaan sama saja seperti menambahkan atau membuang benda pada kedua sisi timbangan sehingga tetap seimbang. Hal tersebut terus berlanjut hingga menyisakan benda di sebelah sisi timbangan yang merupakan benda yang tidak diketahui massanya.

Persamaan sering kali dianggap seperti pernyataan, atau [[Relasi (matematika)|relasi]], yang dapat berarti [[benar atau salah]]. Sebagai contoh, <math>1+1=2</math> adalah benar, sedangkan <math>1+1=3</math> salah. Persamaan yang tidak diketahui variabelnya dianggap [[Syarat kebenaran|benar dengan syarat]], sebagai contoh <math>x^2 - 6x + 5=0</math> benar ketika <math>x=1</math> atau <math>x=5</math>, sedangkan nilai lainnya salah. Adapun berbagai istilah yang berbeda mengenai hal tersebut. Dalam [[logika matematika]], persamaan adalah [[Predikat (logika)|predikat]] biner (dalam artian [[Pernyataan (logika)|pernyataan logis]] yang dapat memiliki [[variabel bebas]]) yang memenuhi [[Kesamaan#Aksioma|sifat-sifat tertentu]]. Dalam [[ilmu komputer]], persamaan didefinisikan sebagai [[Ekspresi (ilmu komputer)|ekspresi]] bernilai [[Tipe data boolean|boolean]], atau [[operator relasi]], yang menghasilkan kembali 1 untuk benar dan 0 untuk salah.

=== Identitas ===
[[Identitas (matematika)|Identitas]] adalah kesamaan yang benar untuk semua nilai dari variabel di domain yang diketahui. Suatu "persamaan" terkadang dapat berarti identitas, tetapi sering kali suatu persamaan ''menyajikan'' subhipunan ruang variabel menjadi subhimpunan yang persamaan tersebut itu benar. Sebagai contohnya adalah <math>\left(x + 1\right)\left(x + 1\right) = x^2 + 2 x + 1</math> yang berlaku benar untuk tiap [[bilangan real]] <math>x</math>. Tidak ada notasi standar yang membedakan persamaan dari identitas, atau penggunaan relasi kesamaan lainnya: seseorang harus menduga pandangan yang sesuai dari semantik ekspresi dan konteks. Kadangkala tapi tidak selalu, identitas ditulis dengan [[Triple bar|tiga garis yang sejajar]]: <math>\left(x + 1\right)\left(x + 1\right) \equiv x^2 + 2 x + 1.</math> Notasi tersebut diperkenalkan oleh [[Bernhard Riemann]] dalam pengajarannya pada tahun 1857 di **' lectures (yang diterbitkan pada tahun 1899).

Identitas dapat dipandang lain sebagai kesamaan fungsi. Alih-alih menulis f(a) = g(a) \text{ untuk semua } a, seseorang dapat menulis dengan sederhana sebagai f = g. Ini dinamakan ekstensionalitas fungsi. Dalam hal ini, sifat penerapan-operasi mengacu pada operator, operasi pada ruang fungsi (fungsi yang memetakan di antara fungsi) seperti komposisi atau turunan yang umumnya digunakan dalam kalkulus operasional. Suatu identitas dapat memiliki fungsi yang "tidak diketahui", dan identitas tersebut dapat dieselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan biasanya. Persamaan itu dinamakan persamaan fungsional. Suatu persamaan fungsional melibatkan turunan yang dinamakan persamaan diferensial.

### Definisi
Persamaan kerapkali digunakan untuk memperkenalkan istilah atau simbol baru untuk konstanta, menegaskan kesamaan, dan memperkenalkan singkatan untuk ekspresi yang rumit dilihat, yang dinamakan "*equal by definition*" atau "sama berdasarkan definisi", dan sering kali dilambangkan dengan (:=). Ini mirip seperti konsep assignment suatu variabel dalam ilmu komputer. Sebagai contoh, \mathbb{e} := \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} mendefinisikan konstanta matematika yang kira-kira sama dengan 2,7182818..., dan i^2 = -1 mendefinisikan sifat-sifat bilangan imajiner i.

Dalam logika matematika, ini dinamakan ekstensi berdasarkan definisi (menurut kesamaan) yang merupakan ekstensi konservatif dengan sistem formal. Ini dilakukan dengan mengambil persamaan yang mendefinisikan simbol konstana baru sebagia aksioma suatu teorema yang baru. Simbol yang mengartikan "sama berdasarkan definisi" tercatat pertama kali pada *Logica Matematica* (1894), karya matematikawan Italia Cesare Burali-Forti, yang menggunakan notasi (=_\text{Def}   ).

## Lihat pula
*Kesamaan logis
*Identitas (matematika)
*Persamaan
*Pertidaksamaan

## Catatan

## Referensi

## Pranala luar

*