Pemusat dan penormal

Dalam matematika, khususnya teori grup, **pemusat** (disebut juga **komutan**) dari subset * S * dari grup * G * adalah himpunan elemen * G * yang komutatif dengan setiap elemen * S *, dan **penormal** dari * S * adalah himpunan elemen yang memenuhi kondisi yang lebih lemah. Pemusat dan penormal dari * S * adalah subgrup dari * G *, dan dapat memberikan wawasan tentang struktur * G *.

Definisi juga berlaku untuk monoid dan semigrup.

Dalam teori cincin, pemusat **himpunan bagian dari [[gelanggang (matematika) | gelanggang]]** didefinisikan sehubungan dengan operasi semigrup (perkalian) gelanggang. Pemusat dari bagian dari gelanggang * R * adalah subgelanggang dari * R *. Artikel ini juga membahas pemusat dan penormal di Aljabar Lie.

Idealizer dalam semigrup atau gelanggang adalah konstruksi lain yang sejajar dengan pemusat dan penormal.

## Definisi
### Grup dan semigroup
**pemusat** dari himpunan bagian * S * dari grup (atau semigroup) * G * didefinisikan sebagai

:\mathrm{C}_G(S)=\{g \in G \mid gs=sg \text{ for all } s \in S\}.

Jika tidak ada ambiguitas tentang grup tersebut, * G * dapat dihilangkan dari notasi. Jika *S*&nbsp;=&nbsp;{*a*} adalah himpunan tunggal, dirumuskan denagn C*G*(*a*) bukannya C*G*({*a*}). Notasi lain yang kurang umum untuk pemusat adalah Z(* a *), yang sejajar dengan notasi untuk pusat.  Dengan notasi terakhir ini, seseorang harus berhati-hati untuk menghindari kebingungan antara **pusat** dari sebuah grup *G*, Z(*G*), dan * pemusat * dari * elemen * *g* in *G*, Z(*g*).

**Penormal** dari * S * dalam grup (atau semigrup) * G * didefinisikan sebagai

:\mathrm{N}_G(S)=\{ g \in G \mid gS=Sg \}.

Definisi tersebut serupa tetapi tidak identik. Jika * g * di centralizer dari * S * dan * s * ada di * S *, maka itu , tapi jika * g * ada di penormal, maka  untuk beberapa * t * pada * S *, dengan * t * mungkin berbeda dari * s *. Artinya, elemen sentralisator * S * dengan * S *, tetapi elemen penormal * S * hanya perlu ngelaju dengan * S sebagai satu himpunan *. Ketentuan notasi yang sama yang disebutkan di atas untuk pemusat juga berlaku untuk penormal. Penormal tidak boleh bingung dengan penutupan normal.

### Gelanggang, aljabar di atas bidang, gelanggang Lie, dan aljabar Lie
Jika * R * adalah gelanggang atau aljabar di atas bidang, dan * S * adalah himpunan bagian dari * R *, maka pemusat dari * S * persis seperti yang didefinisikan untuk grup, dengan * R * di tempat * G *.

Jika \mathfrak{L} is a aljabar Lie (atau gelanggang Lie) dengan produk Lie [* x *, * y *], lalu pemusat dari himpunan bagian * S * dari \mathfrak{L} didefinisikan sebagai

:\mathrm{C}_{\mathfrak{L}}(S)=\{ x \in \mathfrak{L} \mid [x,s]=0 \text{ for all } s\in S \}.
Definisi pemusat untuk gelanggang Lie dikaitkan dengan definisi gelanggang dengan cara berikut. Jika * R * adalah cincin asosiatif, maka * R * dapat diberi produk braket . Tentu  jika dan hanya jika . Jika kita menunjukkan himpunan * R * dengan produk braket sebagai L* R *, maka jelaskan * pemusat gelanggang * dari * S * pada * R * sama dengan * Pemusat gelanggang Lie * dari * S * pada L*R*.

Penormal dari subset * S * dari aljabar Lie (atau gelanggang Lie) \mathfrak{L} didefinisikan oleh
:\mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S)=\{ x \in \mathfrak{L} \mid [x,s]\in S \text{ for all } s\in S \}.
Meskipun ini adalah penggunaan standar dari istilah "penormal" dalam aljabar Lie, konstruksi ini sebenarnya adalah pengidealisasi dari himpunan * S * pada \mathfrak{L}. Jika * S * adalah subgrup aditif dari \mathfrak{L}, kemudian \mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S) adalah subgelanggang Lie terbesar (atau subaljabar Lie, tergantung kasusnya) di mana * S * adalah Lie ideal.

## Sifat
### Semigrup
Misalkan  S' menunjukkan pemusat dari  S  di semigroup A, yaitu S'=\{x\in A\mid sx=xs\ \mbox{for}\ \mbox{every}\ s\in S\}. Kemudian S' membentuk subgrup dan S' = S** = S***</math>, yaitu komutan adalah dengan [[bikomutan]].

=== Grup ===
Sumber:
* Pemusat dan penormal * S * keduanya merupakan subgrup dari * G *.
* Jelas, *'C**<sub>''G''</sub>(''S'')&nbsp;⊆&nbsp;**N**<sub>''G''</sub>(''S''). Faktanya, **C**<sub>''G''</sub>(''S'') merupakan [[subgrup normal]] dari **N**<sub>''G''</sub>(''S'').
* **C**<sub>''G''</sub>(**C**<sub>''G''</sub>(''S'')) berisi '' S '', tapi **C**<sub>''G''</sub>(''S'') tidak perlu mengandung '' S ''. Penahanan terjadi tepat ketika '' S '' adalah abelian.
* Jika '' H '' adalah subgrup dari '' G '', maka **N**<sub>''G''</sub>(''H'') berisi '' H ''.
* Jika '' H '' adalah subgrup dari '' G '', maka subgrup terbesar dari '' G '' di mana '' H '' normal adalah subgrup **N**<sub>''G''</sub>(H).
* Jika '' S '' adalah himpunan bagian dari '' G '' sehingga semua elemen '' S '' saling berpindah-pindah, maka subgrup terbesar dari '' G '' yang pusatnya berisi '' S '' adalah subgrup **C**<sub>''G''</sub>(S).
* Sebuah subgrup '' H '' dari sebuah grup ''G'' disebut **** ''G'' if **N**<sub>''G''</sub>(''H'') = ''H''.
* Tepat di tengah '' G ''  **C**<sub>''G''</sub>(G) dan '' G '' adalah [[grup abelian]] jika dan hanya jika **C**<sub>''G''</sub>(G) = Z(''G'') = ''G''.
* Untuk himpunan tunggal, **C**<sub>''G''</sub>(''a'') = **N**<sub>''G''</sub>(''a'').
* Secara simetri, jika '' S '' dan '' T '' adalah dua himpunan bagian dari '' G '', ''T''&nbsp;⊆&nbsp;**C**<sub>''G''</sub>(''S'') jika dan hanya jika ''S''&nbsp;⊆&nbsp;**C**<sub>''G''</sub>(''T'').
* Untuk subgrup '' H '' dari grup ''G'', **teorema N/C** menyatakan bahwa [[grup faktor]] **N**<sub>''G''</sub>(''H'')/**C*'<sub>*G*</sub>(*H*) adalah [[isomorfisme grup | isomorfik]] menjadi subgrup dari Aut(*H'').

## Lihat pula
* Komutator
* Teorema pemusat ganda
* Idealizer
* Pengganda dan pemusat (ruang Banach)
* Subgrup penstabil

## Catatan


## Referensi
*
*
*