Kategori ruang topologi

Dalam matematika, **kategori ruang topologi**, sering dilambangkan **Top**, adalah kategori yang objek adalah ruang topologi dan morfisme adalah peta kontinu. kategori komposisi dari dua peta kontinu pada kontinu, dan fungsi identitas kontinu. Studi tentang **Top** dan sifat ruang topologi menggunakan teknik teori kategori dikenal sebagai **topologi kategorikal**.

Beberapa penulis menggunakan nama **Top** untuk kategori dengan manifold topologi atau dengan ruang kompak sebagai objek dan peta kontinu sebagai morfisme.

## Sebagai kategori konkrit
Seperti banyak kategori, kategori **Top** adalah kategori konkret, yang berarti objek himpunan dengan struktur tambahan (yaitu topologi) dan morfismenya adalah fungsi yang menjaga struktur ini
:*U* : **Top** &rarr; **Himpunan**
ke kategori himpunan yang menetapkan ke setiap ruang topologi himpunan yang mendasari dan ke setiap peta pada fungsi kontinu yang mendasari.

Functor pelupa * U * memiliki adjoin kiri
:*D* : **Himpunan** &rarr; **Top**
yang melengkapi himpunan tertentu dengan topologi diskrit, dan adjoin kanan
:*I* : **Himpunan** &rarr; **Top**
yang melengkapi himpunan tertentu dengan topologi indiskrit. Kedua fungsi ini sebenarnya invers kanan menjadi * U * (artinya * UD * dan * UI * sama dengan identitas funktor pada **Himpunan**). Selain itu, karena setiap fungsi antara ruang diskrit atau antara ruang tak berlainan adalah kontinu, kedua fungsi ini memberikan embedding penuh dari **Himpunan** ke **Top**.

**Top** adalah model dari apa yang disebut kategori topologi. Kategori ini dicirikan oleh fakta bahwa setiap sumber terstruktur (X \to UA_i)_I memiliki initial awal unik ( A \to A_i)_I. Dalam **Top** initial awal diperoleh dengan menempatkan topologi awal pada sumbernya. Kategori topologi memiliki banyak sifat yang sama dengan **Top** (seperti kelengkapan serat, fungsi diskrit dan tidak terpisah, dan pengangkatan batas yang unik).

## Limit dan kolimit

Kategori **Top** adalah kompleks, yang berarti bahwa semua limit dan kolimit kecil **Top**. Faktanya, fungsi pelupa * U * : **Top** → **Himpunan** secara unik mengangkat limit. Oleh karena itu, (ko)limit di * 'Atas' * diberikan dengan menempatkan topologi pada (ko)limit yang sesuai di **Himpunan**.

Secara khusus, jika * F * adalah diagram di **Top' l'' dan  (''L'', ''φ'' : ''L'' → ''F'') adalah batas '' UF '' di '' 'Set' '', batas yang sesuai dari '' F '' di **Top** diperoleh dengan menempatkan [[topologi awal]] di (''L'', ''φ'' : ''L'' → ''F''). Dually, kolimit dalam **Top** diperoleh dengan menempatkan [[topologi akhir]] pada kolom yang sesuai di **Himpunan**.

Tidak seperti banyak kategori '' aljabar '', fungsi pelupa ''U'' : **Top** → **Himpunan** tidak membuat atau mencerminkan batasan karena biasanya akan ada [[kerucut (teori kategori)|kerucut]] non-universal di **Top** yang mencakup kerucut universal di **Himpunan*'.

== Referensi ==
* [[Horst Herrlich|Herrlich, Horst]]: *Topologische Reflexionen und Coreflexionen*. Springer Lecture Notes in Mathematics 78 (1968).
* Herrlich, Horst: *Categorical topology 1971–1981*. In: General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra 5, Heldermann Verlag 1983, pp.&nbsp;279–383.
* Herrlich, Horst & Strecker, George E.: [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-0468-7_15 Categorical Topology – its origins, as exemplified by the unfolding of the theory of topological reflections and coreflections before 1971]. In: Handbook of the History of General Topology (eds. C.E.Aull & R. Lowen), Kluwer Acad. Publ. vol 1 (1997) pp.&nbsp;255–341.
* Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). [http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf *Abstract and Concrete Categories'']  (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. . (now free on-line edition).