Grup automorfisme

Dalam matematika, **grup automorfisme** dari sebuah objek * X * adalah grup yang terdiri dari automorfisme dari * X *. Misalnya, jika * X * adalah dimensi hingga ruang vektor, maka grup automorfisme dari * X * adalah grup linier umum dari * X *, grup transformasi linear yang dapat dibalik dari * X * menjadi dirinya sendiri.

Khususnya dalam konteks geometris, grup automorfisme disebut juga sebagai grup simetri. Sebuah subgrup dari grup automorfisme disebut **grup transformasi** (terutama dalam literatur lama).

## Contoh
* Grup automorfisme dari himpunan * X * adalah grup simetris dari * X *.
* A homomorfisme grup ke grup automorfisme dari himpunan * X * sama dengan aksi grup pada * X *: memang, setiap kiri * G *, trivial pada satu himpunan * X * menentukan G \to \operatorname{Aut}(X), \, g \mapsto \sigma_g, \, \sigma_g(x) = g \cdot x, dan, sebaliknya, setiap homomorfisme \varphi: G \to \operatorname{Aut}(X) mendefinisikan aksi dengan g \cdot x = \varphi(g)x.
*Misalkan  A, B  menjadi dua himpunan terbatas dari kardinal yang sama dan \operatorname{Iso}(A, B) himpunan dari semua bijeksi A \mathrel{\overset{\sim}\to} B. Kemudian \operatorname{Aut}(B), yang merupakan kelompok simetris (lihat di atas), bertindak \operatorname{Iso}(A, B) dari kiri bebas dan secara transitif; artinya, \operatorname{Iso}(A, B) adalah torsor untuk \operatorname{Aut}(B) (lih. #Dalam kategori teori).
* Grup automorfisme  G  dari grup siklik dari urutan * n * adalah isomorfis ke (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* dengan isomorfisme yang diberikan oleh \overline{a} \mapsto \sigma_a \in G, \, \sigma_a(x) = x^a. Secara khusus,  G  adalah grup abelian.
* Diberikan ekstensi bidang  L/K , grup automorfisme adalah grup yang terdiri dari automorfisme bidang * L * yang fix * K *: itu lebih dikenal sebagai grup Galois dari L/K.
* Grup automorfisme dari proyektif '' n '' - spasi di atas bidang * k * adalah grup linear proyektif \operatorname{PGL}_n(k).
* Grup automorfisme dari aljabar Lie riil berdimensi-hingga] \mathfrak{g} memiliki struktur (nyata) grup kebohongan (sebenarnya, ini bahkan grup aljabar linear: lihat di bawah). Jika * G * adalah grup Lie dengan aljabar Lie \mathfrak{g}, maka grup automorfisme dari * G * memiliki struktur grup Lie yang diinduksi dari grup automorphism dari \mathfrak{g}.
* Misalkan * P * menjadi dihasilkan secara terbatas modul proyektif di atas gelanggang * R *. Maka melekatkan \operatorname{Aut}(P) \hookrightarrow \operatorname{GL}_n(R), unique up to inner automorphisms.

## Dalam teori kategori
Grup automorfisme muncul secara alami dalam teori kategori.

Jika * X * adalah objek dalam kategori, maka grup automorfisme dari * X * adalah grup yang terdiri dari semua morfisme yang dapat dibalik dari * X * untuk dirinya sendiri. Ini adalah grup unit dari monoid endomorfisma dari * X *. (Untuk beberapa contoh, lihat PROP.)

Jika  A, B  adalah objek dalam beberapa kategori, maka himpunan \operatorname{Iso}(A, B) dari semua A \mathrel{\overset{\sim}\to} B adalah kiri \operatorname{Aut}(B)-torsi. Dalam istilah praktis, ini mengatakan bahwa pilihan yang berbeda dari titik dasar \operatorname{Iso}(A, B) dibedakan secara jelas oleh elemen dari \operatorname{Aut}(B), atau bahwa setiap pilihan titik dasar justru merupakan pilihan penyederhanaan torsi.

Jika  X_1  dan  X_2  adalah objek dalam kategori  C_1  dan  C_2 , dan jika F: C_1 \to C_2 adalah functor memetakan  X_1  ke  X_2 , kemudian  F  menginduksi homomorfisme grup \operatorname{Aut}(X_1) \to \operatorname{Aut}(X_2), karena memetakan morfisme yang dapat dibalik menjadi morfisme yang dapat dibalik.

Secara khusus, jika * G * adalah grup yang dilihat sebagai kategori dengan satu objek * atau, lebih umum, jika * G * adalah groupoid, maka setiap functor G \to C, *C* kategori, disebut aksi atau representasi * G * pada objek F(*), or the objects F(\operatorname{Obj}(G)). Objek-objek itu kemudian dikatakan sebagai objek  G  (sebagaimana mereka ditindaklanjuti G); lih. <math>\mathbb{S}</math>-object. Jika  C  adalah kategori modul seperti kategori ruang vektor berdimensi-hingga, maka  G  -objek juga disebut  G  -modul.

## Funktor grup automorfisme
Misalkan  M  menjadi ruang vektor berdimensi-hingga di atas bidang * k * yang dilengkapi dengan beberapa struktur aljabar (yaitu, * M * adalah aljabar berdimensi-hingga di atas * k *). Ini bisa berupa, misalnya, aljabar asosiatif atau aljabar Lie.

Sekarang, pertimbangkan * k * - peta linear M \to M yang mempertahankan struktur aljabar: mereka membentuk subruang vektor \operatorname{End}_{\text{alg}}(M) dari \operatorname{End}(M). Grup unit dari \operatorname{End}_{\text{alg}}(M) adalah grup automorfisme \operatorname{Aut}(M). Ketika basis pada * M * dipilih, \operatorname{End}(M) adalah ruang dari matriks kuadrat dan \operatorname{End}_{\text{alg}}(M) adalah himpunan nol dari beberapa polinomial, dan pembalikan dijelaskan lagi oleh polinomial. Karenanya, \operatorname{Aut}(M) adalah grup aljabar linear di atas * k *.

Sekarang ekstensi dasar yang diterapkan pada diskusi di atas menentukan sebuah funktor: yaitu, untuk setiap gelanggang komutatif * R * di atas * k *, pertimbangkan * R *-peta linear M \otimes R \to M \otimes R melestarikan struktur aljabar: dilambangkan dengan \operatorname{End}_{\text{alg}}(M \otimes R). Kemudian grup unit gelanggang matriks \operatorname{End}_{\text{alg}}(M \otimes R) lebih * R * adalah grup automorfisme \operatorname{Aut}(M \otimes R) dan R \mapsto \operatorname{Aut}(M \otimes R) adalah fungsi grup: fungsi dari kategori gelanggang komutatif di atas * k * ke kategori grup. Lebih baik lagi, ini diwakili oleh skema (karena grup automorfisme ditentukan oleh polinomial): skema ini disebut **skema grup automorfisme** dan dilambangkan dengan \operatorname{Aut}(M).

Secara umum, bagaimanapun, sebuah fungsi grup automorfisme mungkin tidak diwakili oleh skema.

## Lihat pula
* Grup automorfisme luar
* Struktur level, trik untuk grup automorfisme
*Grup Holonomi

## Referensi

* 
* 
* 
* 
* 

## Pranala luar
*https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme