Sinus dan kosinus

{\text{hipotenusa}} \\[8pt]
&\cos(\alpha) = \frac {\text{sisi alas}} {\text{hipotenusa}} \\[8pt]
\end{align}|other_related=tan, csc, sec, cot}}

Dalam matematika, **sinus** dan **kosinus** adalah fungsi trigonometri untuk sudut. Sinus dan kosinus dari suatu sudut lancip didefinisikan dalam konteks segitiga siku-siku: nilai sinus adalah rasio dari panjang sisi segitiga yang menghadap sudut tersebut (sisi tegak) terhadap panjang sisi terpanjang segitiga (hipotenusa), sedangkan nilai kosinus adalah rasio panjang sisi segitiga yang lain (sisi alas) terhadap hipotenusa. Untuk suatu sudut x, fungsi sinus dan kosinus dituliskan sebagai \sin x and \cos x.

Lebih umum lagi, definisi sinus dan kosinus dapat diperluas ke sembarang nilai real, dalam konteks panjang suatu segmen garis pada suatu lingkaran satuan. Definisi yang lebih modern menyatakan sinus dan kosinus dalam bentuk deret tak hingga, atau solusi dari suatu persamaan diferensial, yang memungkinkan memperluasnya ke bilangan negatif dan bahkan ke bilangan kompleks.

Fungsi sinus dan kosinus umum digunakan untuk memodelkan fenomena periodik seperti bunyi dan gelombang suara, posisi dan kecepatan dari osilator harmonik, intensitas cahay matahari dan panjang hari, maupun variasi temperatur sepanjang tahun.

Fungsi sinus dan kosinus dapat dilacak kembali ke fungsi ''jyā'' dan ''koṭi-jyā ''yang digunakan pada astronomi India pada periode Gupta (*[[Aryabhatiya]]*, *[[Surya Siddhanta]]*), yang mengalami penerjemahan dari bahasa Sanskerta ke bahasa Arab, kemudian dari bahasa Arab ke bahasa Latin. Kata "sinus" berasal dari penerjemahan bahasa Latin yang salah oleh Robert of Chester untuk kata Arab *jiba*, yang selanjutnya merupakan transliterasi dari kata Sanskerta untuk setengah busur, *jya-ardha*. Kata "cosinus" (Indonesia: "kosinus") berasal dari singkatan Latin "complementi sinus" pada abad pertengahan.

## Definisi dengan segitiga siku-siku

Untuk mendefinisikan sinus dan kosinus dari suatu sudut lancip *α*, mulai dengan membentuk segitiga siku-siku yang mengandung sudut *α*; pada gambar berikut, sudut *α* pada segitiga *ABC* adalah sudut yang ingin dihitung. Ketiga sisi pada segitiga diberi nama sebagai berikut:

* *Sisi tegak* atau *sisi berlawanan* adalah sisi yang menghadap sudut *α*; dalam kasus ini adalah sisi&nbsp;*a*.
* *Hipotenusa* adalah sisi yang menghadap sudut siku-siku, dalam kasus ini adalah sisi&nbsp;*h*. Hipotenusa selalu merupakan sisi terpanjang dari sembarang segitiga siku-siku.
* *Sisi samping* adalah sisi segitiga yang tersisa, dalam kasus ini adalah sisi&nbsp;*b*. Sisi ini diapit oleh sudut *α* dan sudut siku-siku.

Setelah segitiga tersebut dibentuk, sinus dari sudut adalah panjang dari sisi tegak dibagi dengan panjang hipotenusa:

: \sin(\alpha) = \frac {\text{sisi tegak}} {\textrm{hipotenusa}}\qquad\cos(\alpha) = \frac {\text{sisi alas}}{\textrm{hipotenusa}}

Fungsi-fungsi trigometri yang lain dapat didefinisikan dengan cara yang mirip; sebagai contoh, tangen dari suatu sudut adalah rasio antara sisi tegak dengan sisi alas.

Dari definisi, nilai dari \sin(\alpha) dan \cos(\alpha) terlihat bergantung pada pemilihan segitiga siku-siku yang mengandung sudut *α*. Namun, hal ini tidak benar, karena semua segitiga siku-siku yang mengandung sudut *α* akan serupa, sehingga rasio yang didapatkan dari semua segitiga tersebut akan sama.

## Definisi dengan lingkaran satuan

Dalam trigonometri, lingkaran satuan adalah lingkaran dengan jari-jari sebesar 1 dan berpusat di titik asal (0, 0) pada sistem koordinat Kartesius. Misalkan suatu segmen garis melalui titik asal, membentuk sudut

*θ* terhadap sisi positif dari sumbu-*x*, dan memotong lingkaran satuan pada suatu titik. Nilai koordinat*-x* dan *-y* dari titik tersebut sama dengan  dan , secara berurutan.

Definisi ini konsisten dengan definisi dengan menggunakan segitiga siku-siku ketika 0 \sin(\theta) = \frac {\textrm{sisi}\,\,\textrm{tegak}} {\textrm{hipotenusa}} = \frac {\textrm{sisi}\,\,\textrm{tegak}}{1} = \textrm{sisi}\,\,\textrm{tegak}. Lebih lanjut, panjang sisi tegak dari segitiga ini adalah koordinat-*y* dari titik. Argumen yang sama dapat dibuat untuk menunjukkan \cos (\theta) = \frac {\text{sisi alas}}{\text{hipotenusa}} ketika 0 \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}, atau secara ekuivalen, sebagai kemiringan dari segmen garis.

Definisi menggunakan lingkaran satuan memiliki keuntungan bahwa nilai sudut dapat diperluas menjadi sembarang bilangan real. Hal ini juga dapat dicapai dengan menggunakan beberapa simetri, dan mengganggap sinus (dan kosinus) sebagai fungsi periodik.

## Identitas

Fungsi sinus dan kosinus terhubung secara tepat (*exact*) oleh identitas berikut, yang berlaku untuk sembarang nilai \theta (dalam radian):

: \sin(\theta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right)
: \cos(\theta) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)

### Lawan perkalian
Invers perkalian dari sinus adalah kosekan, yang ditulis sebagai , atau . Kosekan memberikan rasio panjang hipotenusa terhadap panjang sisi tegak. Serupa dengan itu, invers perkalian dari kosinus adalah sekan, yang memberikan rasio panjang hipotenusa terhadap panjang sisi samping.

: \csc(A) = \frac{1}{\sin(A)} = \frac {\text{hipotenusa}} {\text{sisi tegak}} 
: \sec(A) = \frac{1}{\cos(A)} = \frac {\text{hipotenusa}} {\text{sisi alas}} 

### Fungsi invers

Fungsi invers dari sinus adalah arcsinus (ditulis sebagai arcsin atau asin), atau invers sinus ().  Fungsi invers dari kosinus adalah arccosinus, yang ditulis sebagai arccos, acos, atau . (simbol -1 pada bentuk  dan  melambangkan invers dari suatu fungsi, bukan perpangkatan.) Karena sinus dan kosinus bukan fungsi injektif, invers mereka hanya fungsi invers secara parsial. Sebagai contoh, , tapi begitu pula dengan ,  dst. Hal ini menyebabkan arcsinus bernilai banyak: , tapi juga , , dst. Ketika hanya satu nilai yang diperlukan, nilai fungsi dapat dibatasi hanya ke cabang utama-nya saja. Dengan pembatasan ini, untuk setiap nilai *x* di domain, ekspresi  akan menghasilkan satu nilai tunggal, yang disebut nilai utama. Selang nilai (standar) untuk nilai utama berkisar dari  sampai , dan selang nilai (standar) untuk arccos berkisar dari 0 sampai .

: \theta = \arcsin \left( \frac{\text{sisi tegak}}{\text{hipotenusa}} \right) = \arccos \left( \frac{\text{sisi alas}}{\text{hipotenusa}} \right).

dengan (untuk suatu bilangan bulat *k*):

: \begin{align}
\sin(y) = x \iff & y = \arcsin(x) + 2\pi k , \text{ atau }\\
 & y = \pi - \arcsin(x) + 2\pi k\\
\cos(y) = x \iff & y = \arccos(x) + 2\pi k , \text{ atau }\\
 & y = - \arccos(x) + 2\pi k
\end{align}

Berdasarkan definisi, arcsin dan arccos memenuhi persamaan-persamaan berikut:

: \sin(\arcsin(x)) = x \qquad \cos(\arccos(x)) = x

dan

: \begin{align}\arcsin(\sin(\theta)) = \theta\quad & \text{untuk}\quad -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\\
\arccos(\cos(\theta)) = \theta\quad & \text{untuk}\quad 0 \leq \theta \leq \pi\end{align}

### Kalkulus

Turunan dari sinus dan kosinus adalah:

: \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \qquad  \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)

Sedangkan antiturunan mereka adalah:

: \int \sin(x)\,dx = -\cos(x) + C 
: \int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C 

dengan *C* menyatakan konstanta integrasi.

Sinus dan kosinus muncul sebagai solusi untuk persamaan diferensial f*(x) = -kf(x)</math>

Persamaan tersebut muncul pada banyak sistem fisik, seperti pada [[Bandul|pendulum]] maupun pada beban yang terikat pada suatu pegas. Solusi persamaan ini adalah: <math display="block">f(x) = C_1 \sin(x\sqrt{k}) + C_2\cos(x\sqrt{k})</math>

Ketika *k* = 1, solusi unik dengan f(0) = 0 dan f'(0) = 1 adalah fungsi sinus, dan solusi unik dengan f(0) = 1 dan f'(0) = 0 adalah fungsi kosinus.

=== Identitas trigonometri Pythagoras ===
Hubungan dasar antara fungsi sinus dan kosinus termuat dalam [[identitas trigonometri Pythagoras]]:

: <math>\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1</math>

dengan sin<sup>2</sup>(*x*) menyatakan (sin(*x*))<sup>2</sup>.

=== Rumus sudut ganda ===

Sinus dan kosinus memenuhi persamaan-persamaan sudut ganda berikut:

: <math>\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)</math>
: <math>\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1 = 1 - 2\sin^2(\theta)</math>

Rumus sudut ganda kosinus menyimpulkan bahwa fungsi sin<sup>2</sup> dan cos<sup>2</sup> adalah gelombang sinus yang mengalami penggeseran dan skalarisasi. Secara spesifik,

: <math>\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\qquad\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}</math>

Gambar berikut menyajikan fungsi sinus dan fungsi kuadrat sinus, masing-masing diwarnai dengan warna biru dan warna merah. Kedua grafik fungsi memiliki bentuk yang sama, tetapi memiliki jangkauan fungsi dan periode yang berbeda. Fungsi kuadrat sinus bernilai non-negatif, tetapi memiliki periode dua kali lebih cepat.

== Sifat yang berhubungan dengan kuadran ==

Tabel berikut menyajikan banyak sifat penting dari fungsi sinus (tanda fungsi, kemonotonan, dan kecekungan), disusun berdasarkan kuadran dari nilai argumen (sudut).  Untuk argumen di luar tabel, informasi yang bersesuaian dapat diperoleh dengan menggunakan sifat periodik <math>\sin(\alpha + 360^\circ) = \sin(\alpha)</math> dari fungsi sinus.




Tabel berikut menyajikan informasi dasar terkait nilai sinus dan kosinus pada batas selang kuadran.



== Definisi dengan deret ==




Turunan secara terus-menerus dari fungsi sinus di 0 dapat digunakan untuk menentukan bentuk [[deret Taylor]]-nya. Dengan hanya menggunakan geometri dan sifat dari [[limit]], dapat ditunjukkan bahwa [[turunan]] dari sinus adalah kosinus, dan turunan kosinus adalah negatif dari sinus. Hal ini mengartikan secara turunan dari sin(x) secara berurutan adalah cos(x), -sin(x), -cos(x), sin(x), dan berulang lagi dari awal. Turunan ke-(4*n*+*k*), dievaluasi di titik 0 adalah:

: <math>\sin^{(4n+k)}(0)=\begin{cases}
0 & \text{ketika } k=0 \\
1 & \text{ketika } k=1 \\
0 & \text{ketika } k=2 \\
-1 & \text{ketika } k=3
\end{cases}</math>

Dengan simbol pada tika atas (*superscript*) menyatakan turunan secara berulang. Hal ini dapat digunakan untuk menghitung ekspansi deret Taylor di titik x = 0 (dalam radian):

: <math>
\begin{align}
\sin(x) &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[8pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\[8pt]
\end{align}
</math>

Menghitung turunan untuk setiap suku menghasilkan deret Taylor untuk kosinus:

: <math>
\begin{align}
\cos(x) &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\[8pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \\[8pt]
\end{align}
</math>

=== Bentuk pecahan berulang ===
Fungsi sinus dan kosinus dapat direpresentasikan dalam bentuk [[Pecahan berulang|pecahan berulang yang diperumum]], yang dapat dihasilkan dengan menggunakan [[rumus pecahan berulang Euler]]:

: <math> \sin(x) =
\cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2\cdot3-x^2 +
\cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5-x^2 +
\cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7-x^2 + \ddots}}}}.
</math>
: <math> \cos (x) = \cfrac{1}{1 + \cfrac{x^2}{1 \cdot 2 - x^2 + \cfrac{1 \cdot 2x^2}{3 \cdot 4 - x^2 + \cfrac{3 \cdot 4x^2}{5 \cdot 6 - x^2 + \ddots}}}}.</math>
== Hukum sinus ==

[[Hukum sinus]] menyatakan bahwa untuk sembarang segitiga dengan sisi-sisi *a*, *b*, dan *c*, dan sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi tersebut secara berurutan adalah *A*, *B*, dan *C*, berlaku:<math display="block">\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}.</math>Pernyataan di atas ekuivalen dengan persamaan berikut:

: <math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,</math>

dengan *R* menyatakan radius dari [[lingkaran luar]] segitiga. Hal tersebut dapat ditunjukkan dengan membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku dan menggunakan definisi sinus.

Hukum sinus berguna untuk menghitung panjang sisi segitiga yang tidak diketahui, jika nilai dua sudut dan satu sisi diketahui. Hal ini umum terjadi ketika melakukan [[triangulasi]], suatu teknik untuk menentukan panjang yang tidak diketahui dengan mengukur dua nilai sudut yang terpisah dalam jarak yang ditentukan sebelumnya.

== Hukum kosinus ==

[[Hukum kosinus]] menyatakan bahwa untuk sembarang segitiga dengan sisi-sisi *a*, *b*, dan *c*, dan sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi tersebut secara berurutan adalah *A*, *B*, dan *C*, berlaku:<math display="block">a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) = c^2</math>Untuk kasus dengan <math>C = \pi/2</math>, nilai <math>\cos(C) = 0</math> dan hukum ini berubah menjadi [[teorema Pythagoras]]: Untuk segitiga siku-siku, berlaku hubungan <math>a^2 + b^2 = c^2,</math> dengan *c* menyatakan panjang hipotenusa.

== Nilai-nilai spesial ==


Untuk beberapa sudut *x* dalam satuan derajat, nilai dari fungsi sin(*x*) dan cos(*x*) dapat dinyatakan dengan sederhana. Berikut adalah tabel beberapa nilai sudut dan fungsi tersebut:


== Titik tetap ==


Nol adalah satu-satunya [[titik tetap]] real yang dimiliki fungsi sinus; dengan kata lain, perpotongan antara fungsi sinus dan fungsi identitas <math>f(x)=x</math> hanya terjadi di titik <math>x=0</math>. Satu-satunya titik tetap (real) dari fungsi kosinus adalah [[bilangan Dottie]]. Dengan kata lain, bilangan Dottie adalah akar real unik dari persamaan <math> \cos (x) = x.</math> Ekspansi desimal dari bilangan Dottie adalah <math>0.739085...</math>.

== Panjang busur ==
Panjang busur dari kurva sinus di antara <math>a</math> dan <math>b</math> adalah <math display="inline"> \int_a^b\!\sqrt{1+\cos^2(x)}\, dx =\sqrt{2}(\operatorname{E}(b,1/\sqrt{2})-\operatorname{E}(a,1/\sqrt{2}))</math>, dengan  <math>\operatorname{E}(\varphi,k)</math> menyatakan [[Integral eliptik|integral eliptik tak lengkap jenis kedua]] (*incomplete elliptic integral of the second kind*) dengan modulus <math>k</math>.

Panjang busur untuk satu periode penuh adalah <math display="inline">L = 4\sqrt{2\pi ^3}/\Gamma(1/4)^2 + \Gamma(1/4)^2/\sqrt{2\pi} = 7.640395578\ldots</math> dengan <math>\Gamma</math> menyatakan [[fungsi gamma]]. Solusi persamaan ini dapat dihitung dengan cepat menggunakan [[rataan arimetik-geometrik]]: <math display="inline">L=2\operatorname{M}(1,\sqrt{2})+2\pi /\operatorname{M}(1,\sqrt{2})</math>. Lebih lanjut, <math>L</math> sebenarnya adalah keliling dari elips dengan panjang sumbu semi-major sebesar <math>\sqrt{2}</math> dan panjang sumbu semi-minor sebesar <math>1</math>.

Panjang busur dari kurva sinus dari <math> 0</math> sampai <math>x</math> adalah <math>Lx/(2\pi)</math>, ditambah suatu faktor koreksi yang bernilai periodik dalam <math>x</math> dan memiliki periode <math>\pi</math>. [[Deret Fourier]] dari faktor koreksi ini dapat dituliskan dalam bentuk tertutup dengan menggunakan sutu fungsi spesial. Panjang busur kurva sinus dari <math> 0</math> sampai <math>x</math> adalah<math display="block">\left(\frac{\operatorname{M}(1,\sqrt{2})}{\pi}+\frac{1}{\operatorname{M}(1,\sqrt{2})}\right)x+\sqrt{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\tbinom{n-3/2}{n}}{2^{3n}n} {}_2F_1\left(n-\frac{1}{2},n+\frac{1}{2};2n+1;\frac{1}{2}\right)\sin (2nx),</math>dengan <math>{}_2F_1</math> menyatakan [[Fungsi hipergeometris|fungsi hipergeometrik]]. Suku-suku pada ekspresi di atas dapat diaproksimasi dengan<math display="block">
1.21600672x + 0.10317093 \sin(2x) - 0.00220445\sin(4x) + 0.00012584\sin(6x) - 0.00001011\sin(8 x) + \cdots
</math>

== Hubungan dengan bilangan kompleks ==


Sinus dan kosinus digunakan untuk menggabungkan bagian real dan bagian imajiner dari suatu [[bilangan kompleks]] dengan bentuk [[koordinat polar]] (*r*, *φ*):<math display="block"> z = r(\cos(\varphi) + i\sin(\varphi))</math>Bagian real dan bagian imajiner dari bilangan kompleks tersebut adalah:<math display="block">\operatorname{Re}(z) = r \cos(\varphi)</math>dengan *r* dan *φ* menyatakan magnitudo dan sudut dari bilangan kompleks *z*.

Untuk sembarang [[bilangan real]] *θ*, [[rumus Euler]] menyatakan bahwa:<math display="block">e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)</math>Dengan demikian, jika koordinat polar dari *z* adalah (*r*, *φ*), maka <math>z = re^{i\varphi}.</math>

=== Argumen kompleks ===


Dengan menerapkan definisi deret dari fungsi sinus dan kosinus ke suatu argumen kompleks *z*, didapatkan hubungan:

: <math>\begin{align}
\sin(z)& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \\
& = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i} \\
& = \frac{\sinh \left( i z\right) }{i} \\
& = -i \sinh \left(i z\right)\\
\cos(z)& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} \\
& = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2} \\
& = \cosh( i z) \\
\end{align}</math>

dengan sinh dand cosh adalah [[sinus dan cosinus hiperbolik]]. Kedua fungsi ini merupakan [[fungsi entire]].

Terkadang fungsi sinus dan kosinus kompleks lebih cocok dinyatakan dalam bentuk bagian real dan bagian imajiner. Pada kasus ini, persamaan-persamaan berikut dapat digunakan:

: <math>\begin{align}
\sin (x + iy) &= \sin(x) \cos(iy) + \cos(x) \sin(iy) \\
&= \sin(x) \cosh(y) + i \cos(x) \sinh(y)\\
\cos (x + iy) &= \cos(x) \cos(iy) - \sin(x) \sin(iy) \\
&= \cos(x) \cosh(y) - i \sin(x) \sinh(y)\\
\end{align}</math>

=== Grafik kompleks ===



== Sejarah ==


Walaupun ilmu trigonometri dapat dilacak jauh ke masa lalu, penggunaan [[fungsi trigonometri]] seperti yang digunakan saat ini dikembangkan pada zaman pertengahan. Fungsi [[Busur (geometri)|busur]] ditemukan oleh [[Hipparchus]] dari [[İznik|Nicaea]] (180–125 SM) dan [[Ptolemy]] dari [[Mesir Romawi]] (90–165 M). Secara spesifik, lihat [[tabel busur Ptolemy]].

Fungsi sinus dan versine (1 − kosinus) dapat dilacak ke fungsi [[Jyā, koti-jyā dan utkrama-jyā|*jyā* dan *koṭi-jyā*]] yang digunakan pada bidang [[astronomi India]] (*Aryabhatiya*, *Surya Siddhanta*) di masa [[kemaharajaan Gupta]] (320-550 M). Fungsi ini selanjutnya mengalami penerjemahan dari bahasa Sanskerta ke bahasa Arab, dilanjutkan dari bahasa Arab ke bahasa Latin.

Keenam fungsi trigonometrik yang digunakan saat ini sudah dikenal di masa [[matematika Islam]] pada abas ke-9, termasuk [[hukum sinus]] yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan segitiga. Dengan pengecualian sinus, kelima fungsi trigonometrik lain ditemukan oleh matematikawan Arab; yakni fungsi kosinus, tangen, kotangen, sekan, dan kosekan. [[Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī|Al-Khwārizmī]] (sekitar 780–850) membentuk tabel nilai sinus, kosinus, dan tangen. [[Al-Battani|Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī]] (853–929) menemukan fungsi invers dari sekan dan kosekan, dan membentuk tabel kosekan pertama kalinya untuk setiap sudut dari 1° sampai 90°.

Publikasi pertama yang menggunakan singkatan 'sin', 'cos', dan 'tan' adalah oleh matematikawan Prancis [[Albert Girard]]; singkatan ini selanjutnya disebarluaskan oleh Euler (lihat bagian dibawah). Tulisan *Opus palatinum de triangulis* oleh [[Georg Joachim Rheticus]], seorang siswa [[Copernicus]], mungkin adalah yang pertama di Eropa, yang mendefinisikan fungsi-fungsi trigonometri langsung dari segitiga siku-siku ketimbang menggunakan lingkaran. Tulisan ini juga mengikutkan tabel nilai untuk keenam fungsi trigonometrik; tulisan ini diselesaikan oleh seorang siswanya, Valentin Otho, pada tahun 1596.

Dalam suatu makalah yang diterbitkan pada tahun 1682, [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] membuktikan bahwa sin *x* bukanlah suatu [[fungsi aljabar]] dari *x*. [[Roger Cotes]] menghitung turunan dari sinus dalam karyanya *Harmonia Mensurarum* (1722). Karya *Introductio in analysin infinitorum* (1748) oleh [[Leonhard Euler]] adalah yang paling signifikan di Eropa, dalam memberikan dasar analitik mengenai fungsi-fungsi trigonometrik. Dalam karya ini, fungsi-fungsi dinyatakan sebagai deret tak hingga, menyajikan "[[rumus Euler]]", dan penggunaan singkatan *sin., cos., tang., cot., sec.,* dan *cosec* yang mirip dengan penggunaan saat ini*.*

=== Etimologi ===
Secara [[etimologi]], kata *sinus* berasal dari kata [[Sanskerta]] untuk busur, *jiva** (*jya* adalah sinonim yang lebih populer). Kata ini mengalami [[Alih aksara|transliterasi]] ke [[bahasa Arab]] sebagai *jiba* جيب, yang sebenarnya tidak memiliki arti dari bahasa Arab, dan disingkat sebagai *jb* جب . Karena bahasa Arab ditulis tanpa menggunakan vokal pendek, "jb" secara keliru diintepretasikan sebagai kata *jaib* جيب, yang berarti "dada". Ketika teks Arab diterjemahkan ke bahasa Latin oleh [[Gerard of Cremona]] pada abad ke-12, ia menggunakan kata yang setara untuk "dada", ** (yang berarti "dada" atau "teluk" atau "lipatan"). Gerard mungkin bukan yang pertama kali menggunakan terjemahan ini; Robert dari Chester sepertinya terlebih dahulu melakukannya dan terdapat bukti penggunaan pada masa yang lebih lawas. Bentuk bahasa Inggris *sine* diperkenalkan pada tahun 1590-an. Kata "cosine" berasal dari singkatan bahasa Latin masa pertengahan untuk frasa "complementi sinus".

== Implementasi perangkat lunak ==
Tidak ada standardisasi algoritma untuk menghitung fungsi sinus dan kosinus. [[IEEE 754-2008]], standar paling umum digunakan untuk komputasi [[Titik kambang|titik-kambang]] (*floating-point*), tidak membahas cara menghitung fungsi trigonometri seperti sinus. Algoritma yang dikembangkan untuk menghitung sinus dapat disesuaikan dengan menimbang aspek kecepatan, akurasi, portabilitas, maupun jangkauan input yang dapat diproses. Hal ini menyebabkan munculnya banyak algoritma berbeda, khususnya untuk menyelesaikan kasus khusus seperti menghitung input yang sangat besar, seperti <code>sin(10)</code>.

Optimisasi pemrograman yang umum, digunakan khususnya dalam grafik 3D, adalah dengan menghitung tabel nilai sinus terlebih dahulu, misalnya satu nilai untuk setiap derajat, lalu melakukan [[Interpolasi (matematika)|interpolasi linear]] dengan menggunakan dua nilai derajat yang paling dekat dengan nilai input. Hal ini memungkinkan hasil ditentukan dari pencarian tabel ketimbang melakukan perhitungan secara *real-time*. Namun pada arsitektur [[Unit Pemroses Sentral|CPU]] modern, metode ini mungkin tidak memberikan keuntungan yang berarti. Beberapa arsitektur CPU memiliki instruksi dasar untuk menghitung sinus, contohnya Intel x87 FPUs since the 80387.

Fungsi sinus dan kosinus, beserta fungsi-fungsi trigonometrik lainnya, umum tersedia pada berbagai bahasa pemrograman dan platform. Dalam komputasi, mereka umumnya dikenal sebagai <code>sin</code> dan <code>cos</code>. Pada bahasa pemrograman, <code>sin</code> dan <code>cos</code> umumnya merupakan fungsi dasar (*built-in*) atau dapat dijumpai di [[Pustaka (perangkat lunak)|pustaka]] matematika standar. Sebagai contoh, [[pustaka standar C]] mendefinisikan fungsi sinus di dalam pustaka <code>math.h</code> sebagai <code>sin([[Double-precision floating-point format|double]])</code>, <code>sinf([[Single-precision floating-point format|float]])</code>, dan <code>sinl([[long double]])</code>. Parameter untuk setiap fungsi ini adalah nilai [[Titik kambang|titik-kambang]], dalam satuan radian. Setiap fungsi akan menghasilkan [[tipe data]] yang sama dengan inputnya. Banyak fungsi trigonometrik lainnya juga didefinisikan di <code>math.h</code>, seperti kosinus, arcsinus, dan sinus hiperbolik (sinh). Mirip dengan itu, [[Python (programming language)|Python]] mendefinisikan <code>math.sin(x)</code> dan <code>math.cos(x)</code> yang termuat dalam modul <code>math</code>. Fungsi sinus dan kosinus kompleks tersedia dalam modul <code>cmath</code>, contohnya <code>cmath.sin(z)</code> .

=== Implementasi berdasarkan satuan putaran ===
Beberapa pustaka perangkat lunak memiliki implementasi sinus dan kosinus menggunakan sudut yang dinyatakan dalam setengah-[[Putaran (sudut)|putaran]]; nilai dari setengah-putaran adalah sudut sebesar 180 derajat atau <math>\pi</math> radian. Menyatakan sudut dalam satuan putaran atau setengah-putaran memiliki keuntungan akurasi dan efisiensi pada beberapa kasus. Pada [[MATLAB]], [[OpenCL]], [[R (bahasa pemrograman)|R]], [[Julia (bahasa pemrograman)|Julia]], [[CUDA]], dan [[ARM]], fungsi-fungsi ini disebut dengan <code>sinpi</code> dan <code>cospi</code>. Sebagai contoh, <code>sinpi(x)</code> akan mengevaluasi nilai to <math>\sin(\pi x),</math> dengan *x* dinyatakan dalam satuan radian.

Keuntungan akurasi timbul dari kemampuan merepresentasikan sudut-sudut penting, seperti satu putaran penuh, setengah putaran, dan seperempat putaran, dengan sempurna (*losslessly*) dalam bentuk titik-kambang (*floating-point*) biner atau titik-tetap (*fixed-point*). Sebagai kontras, menyatakan <math>2\pi</math>, <math>\pi</math>, dan <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> dalam bentuk titik-kambang biner akan selalu menyebabkan hilangnya akurasi akibat galat pemotongan. Satuan putaran juga memiliki keuntungan akurasi dan efisiensi ketika menghitung modulo satu periode. Komputasi modulo 1 putaran atau modulo 2 setengah-putaran dapat dinyatakan dengan sempurna dan dihitung dengan efisien, baik dalam bentuk titik-kambang maupun titik-tetap. Sebagai contoh, komputasi modulo 1 atau modulo 2 untuk nilai biner dalam bentuk titik-tetap hanya memerlukan operasi penggeseran bit (*bit shift*) dan operator bit-demi-bit (*bitwise*) AND.  Sebagai kontras, komputasi modulo <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> menghasilkan galat karena ketidakakuratan dalam merepresentasikan <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math>.

Untuk aplikasi yang melibatkan sensor sudut, sensor umumnya menyajikan hasil pengukuran yang kompatibel dengan satuan putaran atau setengah-putaran. Sebagai contoh, suatu sensor sudut mungkin memberikan nilai 0 sampai 4096 ketika melakukan satu putaran penuh. Jika setengah-putaran digunakan sebagai satuan pengukuran sudut, maka nilai yang diberikan sensor dapat dipetakan dengan sempurna (*lossless'') ke tipe data titik-tetap dengan 11 bit dibelakang koma. Sebagai kontras, jika radian yang digunakan untuk menghitung sudut, ketidakakuratan sebesar \frac{\pi}{2048} terjadi ketika nilai dari sensor diubah menjadi satuan radian.

## Bacaan lebih lanjut

* 
* 
* 

## Referensi