Produk setengah langsung

Dalam matematika, khususnya dalam teori grup, konsep **produk setengah langsung** adalah generalisasi dari produk langsung. Ada dua konsep yang terkait erat dari produk setengah langsung: 
* produk setengah langsung * dalam * adalah cara tertentu di mana grup dapat terdiri dari dua subgrup, salah satunya adalah subgrup normal.
* produk setengah langsung * luar * adalah cara untuk membangun grup baru dari dua grup tertentu dengan menggunakan produk Kartesius sebagai himpunan dan operasi perkalian tertentu.
Seperti halnya produk langsung, terdapat persamaan alami antara produk semidirect bagian dalam dan luar, dan keduanya biasa disebut hanya sebagai "produk setengah langsung".

Untuk grup hingga, teorema Schur-Zassenhaus memberikan kondisi yang cukup untuk keberadaan dekomposisi sebagai produk semidirect (juga dikenal sebagai membelah ekstensi).

## Definisi produk setengah langsung bagian dalam

Diberikan grup  dengan elemen identitas , sebuah subgrup  , dan subgrup normal , pernyataan berikut ini setara:
*  adalah produk dari subgrup, , dan subgrup ini memiliki persimpangan yang sepele: .
* Untuk , pada  dan  sebagai .
* Untuk , pada  dan  sebagai .
* Komposisi  dari embedding natural  dengan proyeksi alami  adalah isomorfisme antara  dan grup hasil bagi .
* Terdapat homomorfisme  itu adalah identitas pada  dan yang kernel adalah . Dengan kata lain, ada urutan yang tepat terpisah
::  1 \to N \to G \to H \to 1 

: grup (yang juga dikenal sebagai ekstensi grup dari N by H).
 
Jika salah satu dari pernyataan ini berlaku (dan karenanya semuanya berlaku, dengan kesetaraannya), kami mengatakan  adalah **produk setengah langsung** dari  dan , ditulis

:G = N \rtimes H atau G = H \ltimes N, 

atau bahwa  * split * over ; satu juga mengatakan bahwa  adalah **setengah langsung** dari  yang bekerja pada , atau bahkan produk setengah langsung dari  dan . Untuk menghindari ambiguitas, disarankan untuk menentukan subgrup yang normal.

## Hasilkali setengah langsung dalam dan luar

Pertama-tama mari kita pertimbangkan produk semidirect bagian dalam. Dalam kasus ini, untuk grup  G , pertimbangkan subgrup normalnya  dan subgrup  (belum tentu normal). Asumsikan bahwa
kondisi pada daftar di atas tahan. Karena  menunjukkan grup dari semua automorfisme dari , yang merupakan grup dalam komposisi. Bangun homomorfisme grup  didefinisikan dengan konjugasi  untuk semua  di  dan  pada . Ekspresi  sering ditulis sebagai  untuk singkatnya. Dengan cara ini kita dapat membuat grup G'=(N,H) dengan operasi grup didefinisikan sebagai  (n_1, h_1) \cdot (n_2, h_2) = (n_1 \varphi(h_1)(n_2),\, h_1 h_2) = (n_1 \varphi_{h_1}(n_2),\, h_1 h_2) dari  pada  dan  in . Subkelompok  dan  menentukan isomorfisme  hingga, seperti yang akan kita tunjukkan nanti. Dengan cara ini, kita bisa membuat grup  dari subgrupnya. Konstruksi semacam ini disebut *produk setengah langsung bagian dalam*'.

Sekarang mari kita pertimbangkan hasil kali setengah langsung luar. Diberikan dua grup apa saja  dan  dan satu kelompok homomorfisme , kita bisa membuat grup , disebut **produk setengah langsung luar** dari  dan  sehubungan dengan , defined as follows:

Mendefinisikan grup di mana elemen identitasnya adalah  dan kebalikan dari elemen  adalah .  membentuk subkelompok normal isomorfik menjadi , sementara  membentuk subkelompok isomorfik ke . Grup lengkap adalah produk setengah-langsung dari dua subgrup tersebut dalam pengertian yang diberikan sebelumnya.

Sebaliknya, misalkan kita diberi grup  dengan subgrup normal  dan subgrup , sedemikian rupa sehingga setiap elemen  dari  dapat ditulis secara unik dalam bentuk  di mana  terletak di  dan  ada di . Maka  jadilah homomorfisme (tertulis ) given by
:\varphi_h(n) = hnh^{-1}
untuk .

Maka  isomorfik pangkat semidirect . Isomorfisme  didefinisikan dengan baik
oleh  karena keunikan dekomposisi .

Di , kami punya
:
  (n_1 h_1)(n_2 h_2) = n_1 h_1 n_2(h_1^{-1}h_1) h_2 =
    (n_1 \varphi_{h_1}(n_2))(h_1 h_2)

Jadi, untuk  dan  maka
:
\begin{align}
\lambda(ab) & = \lambda(n_1 h_1 n_2 h_2) = \lambda(n_1 \varphi_{h_1} (n_2) h_1 h_2) = (n_1 \varphi_{h_1} (n_2), h_1 h_2) = (n_1, h_1) \bullet (n_2, h_2) \\[5pt]
& = \lambda(n_1 h_1) \bullet \lambda(n_2 h_2) = \lambda(a) \bullet \lambda(b),
\end{align}

yang membuktikan bahwa  adalah homomorfisme. Karena  jelas merupakan epimorfisme dan monomorfisme, maka itu memang merupakan isomorfisme. Ini juga menjelaskan definisi aturan perkalian di .

Produk langsung adalah kasus khusus dari produk semidirect. Untuk melihat ini, maka  menjadi homomorfisme yang sepele (yaitu, mengirim setiap elemen  ke automorfisme identitas ) lalu  adalah produk langsung .

Versi lemma pemisah untuk grup menyatakan bahwa grup  isomorfik untuk produk semidirect dari dua grup  dan  jika dan hanya jika terdapat urutan tepat pendek

: 1 \longrightarrow N \,\overset{\beta}{\longrightarrow}\, G \,\overset{\alpha}{\longrightarrow}\, H \longrightarrow 1

dan homomorfisme grup  seperti yang , peta identitas di . Pada kasus ini,  diberikan oleh , dimana
:\varphi_h(n) = \beta^{-1}(\gamma(h)\beta(n)\gamma(h^{-1})).

## Contoh

### Grup dihedral
Grup dihedral  dengan  elemen isomorfik ke produk semidirect dari grup siklik  dan . Di sini, elemen non-identitas  para  dengan elemen pembalik; ini adalah automorfisme karena  adalah abelian. presentasi untuk grup ini adalah:
:\langle a,\;b \mid a^2 = e,\; b^n = e,\; aba^{-1} = b^{-1}\rangle.

#### Grup siklik
Secara lebih umum, produk semidirect dari dua grup siklik  dengan generator  dan  dengan generator  diberikan oleh satu relasi ekstra, , dengan  dan  coprime; yaitu presentasi:
:\langle a,\;b \mid a^m = e,\;b^n = e,\;aba^{-1} = b^k\rangle.

Jika  dan  coprime,  adalah generator  dan , karenanya penyajiannya:
:\langle a,\;b \mid a^m = e,\;b^n = e,\;aba^{-1} = b^{k^{r}}\rangle

memberikan gruo isomorfik ke yang sebelumnya.

### Grup dasar dari lubang Klein
Grup fundamental dari lubang Klein dapat disajikan dalam bentuk
:\langle a,\;b \mid aba^{-1} = b^{-1}\rangle.

dan oleh karena itu merupakan produk setengah langsung dari kelompok bilangan bulat, , dengan . Homomorfisme yang sesuai  diberikan oleh .

### Matriks segitiga atas
Grup \mathbb{T}_n dari atas matriks segitiga dengan bukan nol determinan, yaitu dengan entri bukan nol pada diagonal, memiliki dekomposisi menjadi perkalian setengah langsung
\mathbb{T}_n \cong \mathbb{U}_n \rtimes \mathbb{D}_n dimana
\mathbb{U}_n adalah subkelompok matriks dengan hanya  1  pada diagonal, yang disebut kelompok matriks satuan atas, dan \mathbb{D}_n adalah subgrup dari matriks diagonal.
Grup aksi \mathbb{D}_n pada \mathbb{U}_n diinduksi oleh perkalian matriks. Jika kita mengatur

A = \begin{bmatrix}
x_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & x_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & x_n
\end{bmatrix}
dan B = \begin{bmatrix}
1 & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\
0 & 1 & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}

maka perkalian matriks adalah
:AB = 
\begin{bmatrix}
x_1 & x_1a_{12} & x_1a_{13} & \cdots & x_1a_{1n} \\
0 & x_2 & x_2a_{23} & \cdots & x_2a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x_n
\end{bmatrix}.
Ini memberikan tindakan grup yang diinduksi m:\mathbb{D}_n\times \mathbb{U}_n \to \mathbb{U}_n
:m(A,B) = \begin{bmatrix}
1 & x_1a_{12} & x_1a_{13} & \cdots & x_1a_{1n} \\
0 & 1 & x_2a_{23} & \cdots & x_2a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}.
Sebuah matriks dalam \mathbb{T}_n dapat diwakili oleh matriks dalam \mathbb{U}_n dan \mathbb{D}_n. Karenanya \mathbb{T}_n \cong \mathbb{U}_n \rtimes \mathbb{D}_n.

### Grup isometri pada bidang
Grup Euklides dari semua gerakan kaku (isometri) dari pesawat (peta  sedemikian rupa sehingga jarak Euclidean antara  dan  sama dengan jarak antara  dan  untuk semua  dan  di ) isomorfik ke produk semidirect dari grup abelian  (yang menjelaskan terjemahan) dan grup  dari ortogonal  matriks (yang mendeskripsikan rotasi dan refleksi yang menjaga asal tetap). Menerapkan terjemahan dan kemudian rotasi atau refleksi memiliki efek yang sama seperti menerapkan rotasi atau refleksi terlebih dahulu dan kemudian terjemahan oleh vektor terjemahan yang diputar atau dipantulkan (yaitu menerapkan konjugasi dari terjemahan aslinya). Ini menunjukkan bahwa kelompok terjemahan adalah subkelompok normal dari grup Euklides, bahwa grup Euklides adalah produk setengah langsung dari kelompok terjemahan dan , dan bahwa homomorfisme yang sesuai  diberikan oleh perkalian matriks: .

### Grup ortogonal O(n)
Grup ortogonal  dari semua ortogonal riil  matriks (secara intuitif himpunan dari semua rotasi dan refleksi dari  - ruang dimensi yang menjaga asal tetap) isomorfik ke produk semidirect grup  (terdiri dari semua matriks ortogonal dengan determinan , secara intuitif rotasi ruang dimensi ) dan . Jika kami mewakili  sebagai kelompok perkalian matriks , di mana  adalah refleksi dari  ruang dimensi yang menjaga asal tetap (yaitu, matriks ortogonal dengan determinan  mewakili involusi), maka  diberikan oleh  untuk * H * pafa  dan  in . Dalam kasus non-sepele ( bukanlah identitas) ini berarti bahwa  adalah operasi konjugasi oleh refleksi (dalam ruang 3 dimensi sumbu rotasi dan arah rotasi digantikan oleh "bayangan cermin" mereka).

### Grup kristalografi
Dalam kristalografi, kelompok ruang dari kristal terpecah sebagai hasilkali setengah langsung dari kelompok titik dan kelompok terjemahan jika dan hanya jika kelompok ruangnya adalah . Kelompok ruang non-simorfik memiliki kelompok titik yang bahkan tidak terdapat sebagai bagian dari kelompok ruang, yang bertanggung jawab untuk banyak komplikasi dalam analisis mereka.

## Bukan contoh
Ada banyak grup yang tidak dapat diekspresikan sebagai produk semi langsung dari grup namun berisi subgrup normal non-trivial. Tentu saja, setiap grup sederhana tidak dapat dinyatakan sebagai produk semi-langsung, tetapi ada beberapa contoh balasan yang umum juga. Perhatikan bahwa meskipun tidak setiap grup  G  dapat diekspresikan sebagai ekstensi terpisah dari  H  oleh  A , ternyata kelompok seperti itu dapat disematkan ke dalam produk karangan bunga A\wr H oleh teorema embedding universal.

### Z<sub>4</sub>
Grup siklik \mathbb{Z}_4 bukan grup sederhana karena memiliki subgrup orde 2, yaitu \{0,2\} \cong \mathbb{Z}_2 adalah subkelompok dan hasil bagi mereka adalah \mathbb{Z}_2, jadi ada ekstensi0 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_2 \to 0If the extension was split, then the group G in0 \to \mathbb{Z}_2 \to G \to \mathbb{Z}_2 \to 0would be isomorphic to \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2.

### Q<sub>8</sub>
Grup dari delapan angka empat \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\} where ijk = -1 and i^2 = j^2 = k^2 = -1, adalah contoh lain dari grup yang memiliki subkelompok non-sepele tetapi masih belum terpecah. Misalnya, subgrup yang dibuat oleh  i  bersifat isomorfik \mathbb{Z}_4 dan normal. Ini juga memiliki subkelompok pesanan  2  yang dihasilkan oleh  -1 . Ini berarti  Q_8  harus menjadi ekstensi terpisah0 \to \mathbb{Z}_4 \to Q_8 \to \mathbb{Z}_2 \to 0 yang tidak bisa terjadi. Hal ini dapat ditunjukkan dengan menghitung kelompok kohomologi kelompok pertama \mathbb{Z}_2 dengan koefisien dalam \mathbb{Z}_4, begitu H^1(\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_4) \cong \mathbb{Z}/2 dan mencatat dua kelompok dalam ekstensi ini \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4 dan grup dihedral  D_8 . Tapi, karena tidak satu pun dari grup ini isomorfik dengan  Q_8 , grup quaternion tidak dipisahkan. Tidak adanya isomorfisme ini dapat diperiksa dengan mencatat ekstensi trivial adalah abelian sedangkan  Q_8  adalah non-abelian, dan mencatat satu-satunya subgrup normal adalah \mathbb{Z}_2 dan \mathbb{Z}_4, tetapi  Q_8  memiliki tiga subgrup isomorfik \mathbb{Z}_4.

## Notasi

Biasanya produk semidirect dari grup  yang bekerja pada grup  (dalam banyak kasus dengan konjugasi sebagai subgrup dari grup yang sama) dilambangkan dengan  atau . Namun, beberapa sumber boleh menggunakan simbol ini dengan arti yang berlawanan. Dalam kasus tindakan  harus dibuat eksplisit, salah satunya juga menulis . Salah satu cara berpikir tentang  simbol adalah kombinasi dari simbol untuk subkelompok normal () dan simbol untuk hasil kali (). Barry Simon, dalam bukunya tentang teori representasi kelompok, menggunakan notasi yang tidak biasa N\circledS_{\varphi}H untuk produk semidirect.

Unicode mencantumkan empat varian:

:

Di sini deskripsi Unicode dari simbol waktu mengatakan "faktor normal benar", berbeda dengan arti biasanya dalam praktik matematika.

Dalam LaTeX, perintah \rtimes dan \ltimes menghasilkan karakter yang sesuai.

## Lihat pula
* Aljabar Affine Lie
* Konstruksi Grothendieck, konstruksi kategoris yang menggeneralisasi produk semidirect
*Holomorph
* Lie aljabar semidirect sum
* Produk setengah sub
* Produk karangan bunga
* Produk Zappa–Szép

## Catatan

## Referensi

* R. Brown, Topology and groupoids, Booksurge 2006.