Transpos

Dalam aljabar linear, **transpos** dari sebuah matriks adalah operator yang membalikkan posisi matriks sepanjang diagonal utamanya; dengan kata lain, operator ini menukar setiap baris dan kolom pada matriks , menjadi kolom dan baris matriks baru, yang umum dikenal sebagai . transpos dari sebuah matriks diperkenalkan pada tahun 1858 oleh matematikawan Inggris Arthur Cayley.

## Transpos dari sebuah matriks

### Definisi
Transpos dari sebuah matriks , yang dinyatakan sebagai , , , A^{\intercal}, , , , atau , dapat dibentuk dengan tiga cara berikut:

# Merefleksikan  sepanjang diagonal utamanya untuk mendapatkan ;
# Menulis setiap baris dari  sebagai kolom dari ;
# Menulis setiap kolom dari  sebagai baris dari .

Secara lebih formal, elemen baris ke- dan kolom ke- dari  adalah elemen baris ke- dan kolom ke- dari :

: \left[\mathbf{A}^\operatorname{T}\right]_{ij} = \left[\mathbf{A}\right]_{ji}.

Jika  adalah matriks berukuran , maka matriks  berukuran .

Untuk kasus matriks persegi, notasi  juga dapat menyatakan pangkat  dari matriks . Untuk menghindari kerancuan ini, banyak penulis menggunakan tika atas kiri, yakni, mereka menulis transpos sebagai . Notasi ini menguntungkan karena tanda kurung tidak diperlukan untuk operasi yang melibatkan perpangkatan, karena : menulis  tidak menimbulkan kerancuan.

Artikel ini menghindari kerancuan tersebut dengan tidak pernah menggunakan simbol  sebagai nama variabel.

Terdapat beberapa definisi matriks yang melibatkan transpos:

### Contoh

* \begin{bmatrix}
    1 & 2
  \end{bmatrix}^{\operatorname{T}}
  = \,
  \begin{bmatrix}
    1   \\
    2
  \end{bmatrix}


* 
  \begin{bmatrix}
    1 & 2  \\
    3 & 4
  \end{bmatrix}^{\operatorname{T}}
  =
  \begin{bmatrix}
    1 & 3  \\
    2 & 4
  \end{bmatrix}


* 
  \begin{bmatrix}
    1 & 2 \\
    3 & 4 \\
    5 & 6
  \end{bmatrix}^{\operatorname{T}}
  =
  \begin{bmatrix}
     1 & 3 & 5\\
     2 & 4 & 6
  \end{bmatrix}


### Sifat
Misal  dan  adalah matriks dan  adalah sebuah skalar. Berikut adalah beberapa sifat dari operator transpos: \mathbf{b},
atau juga dapat ditulis sebagai  dalam notasi Einstein.|Jika semua elemen  adalah bilangan real, maka  adalah matriks semidefinit-positif.|\left(\mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^{-1} = \left(\mathbf{A}^{-1}\right)^\operatorname{T}.
: Transpos dari matriks yang dapat dibalik juga berupa matriks yang dapat dibalik, dan inversnya adalah transpos dari invers matriks awalnya. Notasi   terkadang digunakan untuk mewakili kedua ekpresi yang setara tersebut.|Jika  adalah matriks persegi, maka nilai-nilai eigennya sama dengan nilai-nilai eigen dari transposnya, karena mereka berdua memiliki polinomial karakteristik yang sama.}}

### Hasil kali
Jika matriks  berukuran  dan  adalah transposnya, maka hasil perkalian matriks antara keduanya menghasilkan dua matriks persegi:  yang berukuran  dan  yang berukuran . Lebih lanjut, kedua matriks ini simetrik. Elemen-elemen pada hasil perkalian matriks  adalah hasil kali dalam baris dari  dengan kolom dari . Namun karena kolom pada  adalah baris pada , setiap elemen di  adalah hasil kali dalam dua baris matriks . Jika  adalah elemen di matriks hasil perkalian, nilainya berasal dari baris ke- dan ke- di . Nilai elemen  juga didapatkan dari kedua baris yang sama, sehingga , dan menyebabkan  simetris. Dengan alasan yang serupa, hasil perkalian  juga matriks simetris.

Bukti yang lebih cepat mengenai kesimetrisan matriks  didapatkan dari fakta transpos matriks tersebut adalah dirinya sendiri:

: \left(\mathbf{A} \mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^\operatorname{T} = \left(\mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^\operatorname{T} \mathbf{A}^\operatorname{T}= \mathbf{A} \mathbf{A}^\operatorname{T} .

### Implementasi transpos matriks di komputer

Di komputer, kita dapat menghindari melakukan transpos matriks secara eksplisit di memori cukup dengan mengakses data dalam urutan yang berbeda. Sebagai contoh, pustaka untuk aljabar linear, seperti BLAS, umumnya menyediakan pilihan untuk menyatakan sebuah matriks perlu dibaca dalam urutan operasi transpos, untuk menghindari perpindahan data yang tidak diperlukan.

Namun, ada beberapa keadaan yang mengharuskan atau menguntungkan untuk melakukan transpos matriks secara eksplisit di memori. Sebagai contoh, matriks yang disimpan dalam *row-major order*, memiliki baris matriks yang *contiguous* di memori, tetapi kolom matriksnya tidak. Jika matriks banyak melakukan operasi yang melibat kolom-kolom, sebagai contoh algoritma transformasi Fourier cepat, melakukan transpos matriks agar kolom-kolomnya *contiguous* mungkin dapat meningkatkan peformanya karena *memory locality* yang tinggi.

Idealnya, kita mengharapkan operasi transpos dilakukan dengan menggunakan penyimpanan sementara yang sedikit. Hal ini berujung pada permasalahan melakukan transpos matriks berukuran *n*&nbsp;×&nbsp;*m* *in-place*, dengan O(1) penyimpanan sementara yang jauh lebih kecil daripada *mn*. Pada kasus *n*&nbsp;≠&nbsp;*m*, hal ini melibatkan permutasi elemen-elemen matriks yang rumit dan tidak mudah diterapkan secara *in-place*. Karena hal itu, metode transpos matriks *in-place* yang efisien banyak diteliti pada bidang ilmu komputer mulai pada akhir tahun 1950-an. Beberapa algoritme telah dikembangkan dalam hal tersebut.

## Referensi

## Daftar pustaka

* 
* .
* 
* 
* 
* 

## Pranala luar

* Gilbert Strang (Spring 2010) Linear Algebra dari MIT Open Courseware