Matriks dasar

Dalam matematika, **matriks dasar** atau **matriks elementer** adalah matriks identitas yang mengalami satu operasi baris elementer. Operasi baris elementer dapat berupa pertukaran dua baris, perkalian suatu baris dengan skalar, dan penambahan suatu baris dengan kelipatan suatu baris yang lain. Matriks elementer menghasilkan grup linear umum GL*n*(**F**) dengan **F** adalah lapangan. Perkalian kiri (pra-perkalian) suatu matriks dengan matriks dasar mewakili **operasi baris dasar**, sedangkan perkalian kanan (pasca-perkalian) mewakili **operasi kolom dasar**.

Operasi baris elementer digunakan dalam eliminasi Gauss untuk menyederhanakan matriks menjadi bentuk eselon reduksi. Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan operasi ini untuk menyederhanakan matriks lebih lanjut menjadi bentuk eselon baris tereduksi.

## Operasi baris elementer

Ada tiga jenis operasi baris elementer yang dapat dilakukan pada suatu matriks. Operasi-operasi yang serupa, tetapi dilakukan pada kolom-kolom matriks disebut dengan operasi kolom elementer. Misalkan R_i menyatakan baris ke-i dari suatu matriks, jenis operasi-operasi baris tersebut adalah:

;Pertukaran baris: Suatu baris pada matriks dapat ditukar dengan baris lain.
: R_i \leftrightarrow R_j

;Perkalian baris: Setiap elemen pada suatu baris dapat dikalikan dengan konstanta bukan nol. Operasi ini juga dikenal sebagai *penskalaan* suatu baris.
: kR_i \rightarrow R_i,\ \mbox{dengan } k \neq 0

;Penambahan baris: Suatu baris dapat diganti menjadi penjumlahan baris itu dengan suatu kelipatan dari baris lain.
: R_i + kR_j \rightarrow R_i, \mbox{dengan } i \neq j 

## Matriks elementer
Ada tiga jenis matriks elementer, masing-masing dihasilkan dengan melakukan satu operasi baris elementer—atau secara ekuivalen, satu operasi kolom elementer—pada matriks identitas.  Jika \mathbf E adalah matriks elementer akibat suatu jenis operasi baris elementer, menerapkan operasi baris elementer yang sama ke matriks \mathbf A akan menghasilkan yang sama dengan mengalikan \mathbf Adengan matriks elementer di sebelah kiri; dengan kata lain, *<math>\mathbf {EA}</math>*.

### Transformasi pertukaran baris

Jenis pertama operasi baris pada suatu matriks \mathbf A adalah menukar baris ke-i dengan baris ke-j. Matriks elementer \mathbf T_{i,j} yang bersesuaian dengan operasi ini adalah matriks yang dihasilkan dengan menukar baris ke-i dengan baris ke-j matriks identitas:

: \mathbf T_{i,j} = \begin{bmatrix}
  1 &        &   &        &   &        &   \\
    & \ddots &   &        &   &        &   \\
    &        & 0 &        & 1 &        &   \\
    &        &   & \ddots &   &        &   \\
    &        & 1 &        & 0 &        &   \\
    &        &   &        &   & \ddots &   \\
    &        &   &        &   &        & 1
\end{bmatrix}

Jadi, matriks \mathbf T_{i,j}\mathbf A adalah matriks yang dihasilkan dari menukar baris ke-i dengan baris ke-j  matriks \mathbf A.

Ada beberapa sifat dari matriks elementer jenis ini. Pertama, invers dari matriks ini adalah dirinya sendiri; dengan kata lain, \mathbf T_{i,j}^{-1} = \mathbf T_{i,j}. Karena determinan matriks identitas sama dengan 1, dapat ditunjukkan bahwa \det (\mathbf T_{i,j})=-1. Hal ini mengartikan untuk sembarang matriks persegi \mathbf A, berlaku hubungan \det (\mathbf T_{i,j} \mathbf A )=-\det(\mathbf A)

### Transformasi perkalian baris
Tipe operasi baris selanjutnya adalah mengalikan setiap elemen baris ke-i matriks \mathbf A dengan skalar m yang tidak bernilai nol (umumnya berupa bilangan real). Matriks elementer yang bersesuaian adalah matriks identitas, tapi elemen diagonal ke-i-nya bernilai m:

: \mathbf D_i(m) = \begin{bmatrix}
  1 &        &   &   &   &        &   \\
    & \ddots &   &   &   &        &   \\
    &        & 1 &   &   &        &   \\
    &        &   & m &   &        &   \\
    &        &   &   & 1 &        &   \\
    &        &   &   &   & \ddots &   \\
    &        &   &   &   &        & 1
\end{bmatrix}

Jadi, matriks \mathbf D_i(m)\mathbf A adalah matriks yang dihasilkan dari mengalikan baris ke-i matriks \mathbf A dengan m.

Ada beberapa sifat matriks elementer jenis ini. Pertama, invers matriks ini juga merupakan matriks diagonal, dengan \mathbf D_i(m) ^{-1} = \mathbf D_i(\tfrac 1m).  Lebih lanjut, determinan dari matriks elementer ini sama dengan m. Akibatnya, untuk sembarang matriks persegi \mathbf A berlaku hubungan \det (\mathbf D_i(m)\mathbf A)= m\det(\mathbf A).

### Transformasi penambahan baris
Tipe terakhir operasi baris pada matriks \mathbf A adalah menambahkan baris ke-j yang dikalikan dengan suatu skalar m ke baris ke-i. Matriks elementer yang bersesuaian dengan operasi baris ini adalah matriks identitas, tapi elemen ke-(i,\,j) bernilai m:

: \mathbf L_{i,j}(m) = \begin{bmatrix}
  1 &        &   &        &   &        &   \\
    & \ddots &   &        &   &        &   \\
    &        & 1 &        &   &        &   \\
    &        &   & \ddots &   &        &   \\
    &        & m &        & 1 &        &   \\
    &        &   &        &   & \ddots &   \\
    &        &   &        &   &        & 1
\end{bmatrix}

Jadi, \mathbf L_{i,j}(m)\mathbf A adalah matriks yang dihasilkan dari menambahkan m kali baris ke-j  ke baris ke-i matriks \mathbf A. Sedangkan \mathbf {AL}_{i,j}(m) adalah matriks yang dihasilkan dari menambahkan  m kali kolom ke-i ke kolom ke-j matriks \mathbf A.

Matriks elementer ini memiliki beberapa sifat. Pertama, invers matriks ini juga berbentuk matriks segitiga, dengan  \mathbf L_{i,j}(m) ^{-1} = \mathbf L_{i,j}(-m). Determinan matriks elementer ini bernilai 1, yang mengartikan \det (\mathbf L_{i,j}(m)\mathbf A)= \det(\mathbf A) untuk sembarang matriks persegi \mathbf A.

## Referensi
* 
* 
* 

* 
* 
* 
*