Morfisma

Dalam matematika, **morfisma** (atau **morfisme**) adalah konsep teori kategori yang melakukan generalisasi pada peta dengan struktur terpelihara, seperti homomorfisme antara struktur aljabar, fungsi dari satu himpunan ke himpunan lain, dan fungsi kontinu antara ruang topologi. Meskipun banyak contoh morfisme ada pada peta dengan struktur terpelihara, morfisme tidak harus berupa peta, tetapi dapat disusun dalam cara yang mirip dengan komposisi fungsi .

Morfisme dan objek adalah bagian dari suatu kategori. Morfisme, juga disebut *peta* atau *panah*, menghubungkan dua objek yang disebut *sumber* dan *target* morfisme. Terdapat suatu operasi parsial yang berlaku pada suatu kategori dengan target objek pertama yang sama dengan sumber objek kedua yang sama yang disebut sebagai *komposisi*. Komposisi dari beberapa morfisme berperilaku seperti komposisi fungsi (komposisi bersifat asosiatif saat didefinisikan, dan keberadaan morfisme identitas untuk setiap objek).

Morfisme dan kategori sering muncul dalam banyak kajian matematika kontemporer. Awalnya, keduanya diperkenalkan untuk kajian aljabar homologi dan topologi aljabar. Morfisme dan kategori termasuk dalam teknik dasar teori skema Grothendieck, suatu proses generalisasi geometri aljabar yang berlaku juga pada teori bilangan aljabar .

## Definisi
Kategori *C* terdiri atas dua kelas, satu kelas  dan satu lagi kelas . Terdapat dua objek yang dihubungkan dengan tiap morfisme,  dan . Suatu *Morfisme* *f* *dari* *X* *ke* *Y* apabila morfisme dengan sumber *X* memiliki target *Y* ; pada umumnya dinotasikan sebagai  atau , notasi terakhir lebih cocok digunakan dalam diagram komutatif .

Dalam kategori umumnya, objek-objek adalah himpunan (sering kali memiliki beberapa struktur tambahan) dan morfisme adalah fungsi dari satu objek ke objek lainnya. Oleh karena itu, sumber dan target suatu morfisme sering disebut *domain* dan *kodomain*.

Morfisme memiliki operasi biner parsial, yang disebut  . Komposisi dari dua morfisme *f* dan *g* didefinisikan secara tepat ketika target dari *f* adalah sumber dari *g*, dan dilambangkan  (atau terkadang hanya *gf* ). Sumber  adalah sumber *f*, dan target  adalah target *g* . Komposisi tersebut memenuhi dua aksioma:

; 
: Untuk setiap object *X*, terdapat suatu morfisme  yang disebut ***morfisme identitas*** pada *X*, sehingga untuk tiap morfisme  memiliki .
; Asosiatif
:   berlaku saat seluruh komposisi didefinisikan, i.e. ketika target *f* merupakan sumber dari *g*, dan target dari *g* merupakan sumber dari *h*.

Untuk kategori konkret (kategori yang objeknya merupakan himpunan, mungkin dengan struktur tambahan, dan morfismenya merupakan fungsi dengan struktur terpelihara), morfisme identitas hanyalah fungsi identitas, dan komposisi hanyalah komposisi fungsi biasa.

Komposisi morfisme sering kali direpresentasikan dengan diagram komutatif . Misalnya,

: 

Kumpulan semua morfisme dari *X* sampai *Y* dilambangkan dengan  atau cukup  dan disebut **himpunan hom** antara *X* dan *Y* . Beberapa penulis menuliskan ,  atau  . Istilah hom-set tampaknya merupakan istilah yang keliru, karena kumpulan morfisme tidak harus berupa suatu himpunan; kategori di mana  merupakan himpunan untuk semua objek *X* dan *Y* disebut kecil lokal . Karena himpunan-hom mungkin bukan himpunan, sebagian orang lebih suka menggunakan istilah "kelas-hom"

Domain dan kodomain sebenarnya merupakan bagian dari informasi yang menentukan suatu morfisme. Misalnya, dalam kategori himpunan, di mana morfisme adalah fungsi, dua fungsi mungkin identik sebagai himpunan pasangan terurut (mungkin memiliki rentang yang sama), sementara memiliki kodomain yang berbeda. Kedua fungsi tersebut berbeda dari sudut pandang teori kategori. Oleh karena itu, banyak penulis yang mensyaratkan agar kelas-hom  harus terpisah . Dalam praktiknya, hal ini bukan masalah karena jika ketidakterhubungan ini tidak berlaku, hal itu dapat dipastikan dengan menambahkan domain dan kodomain ke morfisme (misalnya, sebagai komponen kedua dan ketiga dari tripel terurut).

## Beberapa morfisme khusus

### Monomorfisme dan epimorfisme
Suatu morfisme  disebut monomorfisme jika  menyiratkan  untuk semua morfisme *g* 1,  . Monomorfisme dapat disebut *mono* secara singkat, dan kita dapat menggunakan *monik* sebagai kata sifat. Morfisme *f* mempunyai **invers kiri** atau merupakan **monomorfisme split** jika ada morfisme  sehingga  . Oleh karena itu  bersifat idempoten ; artinya,  . Invers kiri *g* juga disebut **retraksi** dari *f* .

Morfisme dengan invers kiri selalu merupakan monomorfisme, tetapi kebalikannya tidak berlaku secara umum; sebuah monomorfisme mungkin gagal memiliki invers kiri. Dalam kategori konkret, fungsi yang mempunyai invers kiri bersifat injektif . Jadi dalam kategori konkret, monomorfisme sering kali, tetapi tidak selalu, bersifat injektif. Kondisi menjadi sebuah injeksi lebih kuat daripada kondisi menjadi sebuah monomorfisme, tetapi lebih lemah daripada kondisi menjadi sebuah monomorfisme terbagi.

Sesuai dengan monomorfisme, morfisme  disebut epimorfisme jika  menyiratkan  untuk semua morfisme *g* 1,  . Epimorfisme dapat disebut *epi* secara singkat, dan kita dapat menggunakan *epik* sebagai kata sifat. Morfisme *f* mempunyai **invers kanan** atau merupakan **epimorfisme split** jika ada morfisme  sehingga  . Invers siku-siku *g* juga disebut sebagai **bagian** dari *f* . Morfisme yang mempunyai invers siku-siku selalu merupakan epimorfisme, tetapi kebalikannya tidak berlaku secara umum, karena epimorfisme bisa saja tidak mempunyai invers siku-siku.

Jika suatu monomorfisme *f* terbagi dengan invers kiri *g*, maka *g* adalah epimorfisme terbagi dengan invers kanan *f* . Dalam kategori konkret, suatu fungsi yang memiliki invers kanan adalah surjektif . Jadi dalam kategori konkret, epimorfisme sering kali, tetapi tidak selalu, bersifat surjektif. Kondisi menjadi surjeksi lebih kuat daripada kondisi menjadi epimorfisme, tetapi lebih lemah daripada kondisi menjadi epimorfisme terbagi. Dalam kategori himpunan, pernyataan bahwa setiap surjeksi mempunyai bagian setara dengan aksioma pilihan .

Morfisme yang merupakan epimorfisme dan monomorfisme disebut **bimorfisme** .

### Isomorfisme
Sebuah morfisme  disebut isomorfisme jika terdapat morfisme  sehingga  dan  . Jika suatu morfisme memiliki invers kiri dan invers kanan, maka kedua invers tersebut sama, sehingga *f* merupakan isomorfisme, dan *g* disebut sebagai **invers** dari *f* . Morfisme invers, jika ada, bersifat unik. Invers *g* juga merupakan isomorfisme, dengan invers *f* . Dua objek yang memiliki isomorfisme di antara keduanya disebut isomorfik atau ekuivalen.

Walaupun setiap isomorfisme merupakan bimorfisme, namun bimorfisme belum tentu merupakan isomorfisme. Misalnya, dalam kategori ring komutatif inklusi  merupakan suatu bimorfisme yang bukan merupakan suatu isomorfisme. Akan tetapi, morfisme apa pun yang merupakan epimorfisme dan monomorfisme *terbagi*, atau keduanya monomorfisme dan epimorfisme *terbagi*, pastilah suatu isomorfisme. Suatu kategori, seperti suatu **Himpunan**, di mana setiap bimorfisme merupakan suatu isomorfisme dikenal sebagai **kategori seimbang** .

### Endomorfisme dan automorfisme
Sebuah morfisme  (yaitu, morfisme dengan sumber dan target yang identik) adalah endomorfisme dari *X.* **Endomorfisme split** adalah endomorfisme idempoten *f* jika *f* menerima dekomposisi  dengan  . Secara khusus, amplop Karoubi dari suatu kategori membagi setiap morfisme idempoten.

Automorfisme adalah morfisme yang merupakan endomorfisme dan isomorfisme. Dalam setiap kategori, automorfisme suatu objek selalu membentuk suatu grup, yang disebut grup automorfisme objek tersebut.

## Contoh

* Untuk struktur aljabar yang umum dibahas dalam aljabar, seperti grup, gelanggang, modul, dan sebagainya, morfisme yang digunakan biasanya adalah homomorfisme, sedangkan pengertian isomorfisme, automorfisme, endomorfisme, epimorfisme, dan monomorfisme adalah sama dengan yang telah didefinisikan di atas. Namun, dalam kasus ring, "epimorfisme" sering dianggap sebagai sinonim dari " surjeksi ", walaupun ada epimorfisme ring yang tidak surjektif (misalnya, ketika menanamkan bilangan bulat dalam bilangan rasional ).
* Dalam kategori ruang topologi, morfisme adalah fungsi kontinu dan isomorfisme disebut homeomorfisme . Ada bijeksi (yaitu isomorfisme himpunan) yang bukan homeomorfisme.
* Dalam kategori lipatan terdiferensialkan, morfismenya adalah fungsi halus dan isomorfismenya disebut difeomorfisme .
* Dalam kategori kategori kecil, morfismenya adalah funktor .
* Dalam kategori funktor, morfisme merupakan transformasi alami .

Untuk contoh lebih lanjut, lihat Teori kategori .

## Referensi


## Bibliografi

* .
*  Now available as free on-line edition (4.2MB PDF).