Urutan total

Dalam matematika, sebuah **total** atau **urutan** (atau **tatanan**) **linear** adalah tatanan parsial di mana dua elemen dapat dibandingkan. Artinya, urutan total adalah relasi biner \leq pada beberapa himpunan X, yang memenuhi berikut ini untuk semua a, b dan c dalam X:

# a \leq a (refleksif).
# Jika a \leq b dan b \leq c maka a \leq c (transitif)
# Jika a \leq b dan b \leq a maka a = b (antisimetris)
# a \leq b atau b \leq a (terhubung, sebelumnya disebut total).

Jumlah tatanan terkadang disebut **sederhana**, **koneks**, atau **tatanan penuh**.

Satu himpunan yang dilengkapi dengan urutan total adalah **himpunan berurutan total**; istilah **himpunan berurutan sederhana**,  **himpunan berurutan linear**, dan **loset** dan penggunaannya. Istilah *kaidah* terkadang didefinisikan sebagai sinonim dari *himpunan berurutan total*, tetapi secara umum mengacu pada himpunan bagian berurutan total dari himpunan berurutan sebagian.

Perpanjangan urutan parsial tertentu ke urutan total disebut ekstensi linear dari urutan parsial tersebut.

## Urutan total batasan dan non-batasan

Sebuah **** pada himpunan X adalah urutan parsial batasan X di mana dua elemen dapat dibandingkan. Artinya, urutan total adalah relasi biner  pada beberapa himpunan X, yang memenuhi berikut ini untuk semua a, b dan c dalam X:

# a  bukan merupakan irrefleksif.
# Jika a  dan b  maka a  merupakan transitif.
# Jika a \neq b, maka a  atau b  merupakan terhubung.

Untuk setiap urutan total (non-batasan) \leq berada dalam relasi terkait dengan  yang disebut *urutan total batasan* \leq untuk mendefinisikan dalam dua cara yang setara:
* a  jika a \leq b dan a \neq b (reduksi refleksif).
* a  jika bukan b \leq a (yaitu,  adalah komplemen dari konversi dari \leq).

Sebaliknya, penutupan refleksif dari urutan total ketat  adalah urutan total (non-batasan).

## Contoh
* Himpunan bagian dari himpunan berurutan total  seluruhnya untuk pembatas urutan pada . 
* Urutan unik pada himpunan kosong , adalah urutan total.
* Setiap himpunan bilangan kardinal atau bilangan ordinal yang merupakan urutan rapi.
* Jika  adalah himpunan dan  sebuah fungsi injeksi dari  ke himpunan berurutan total maka  sebagai induksi pengurutan total pada  dengan menyetel  jika dan hanya jika .
* Tatanan leksikografis dengan produk Kartesius dari suatu grup himpunan tatanan total, indeks oleh himpunan terurut rapi yang merupakan tatanan total.  
* Himpunan bilangan riil yang diurutkan oleh hubungan biasa "kurang dari atau sama dengan" (≤) atau "lebih besar dari atau sama dengan" (≥) diurutkan total, dan karenanya himpunan bagian dari bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan rasional. Masing-masing dapat ditampilkan sebagai "contoh awal" unik sebagai tatanan isomorfisma hingga dari himpunan tatanan total dengan sifat tertentu, tatanan total  adalah *inisial* untuk sifat, jika, setiap  memiliki sifat, dan tatanan isomorfisme dari  ke himpunan bagian dari :
** Bilangan asli sebagai bentuk himpunan terurut total tidak kosong awal tanpa batas atas.
** Bilangan bulat sebagai bentuk himpunan terurut total tidak kosong awal tanpa batas atas atau pun batas bawah.
** Bilangan rasional sebagai bentuk himpunan terurut total awal yang padat dalam bilangan riil. Selain itu, pengurangan refleksif \{a\vee b, a\wedge b\} = \{a, b\} for all *a*, *b*.

Maka, kita menulis *a* ≤ *b* jika dan hanya jika a = a\wedge b. Oleh karena itu, himpunan tatanan total adalah kisi distributif.

### Urutan total hingga
Argumen pencacahan sederhana akan memverifikasi bahwa setiap himpunan terurut total hingga tidak kosong, dan karenanya setiap Himpunan bagian tidak kosong yang memiliki elemen terkecil. Jadi, setiap urutan total hingga adalah urutan rapi. Baik dengan pembuktian langsung atau dengan mengamati bahwa setiap urutan sumur urutan isomorfik ke ordinal satu mungkin menunjukkan bahwa setiap total order hingga urutan isomorfik ke segmen awal dari bilangan asli yang diurutkan oleh  lebih besar dari yang mungkin kita lihat pada topologi urutan pada **N** induksi oleh , dalam hal ini keduanya identik tetapi tidak secara umum.

Induksi topologi urutan oleh urutan total dapat ditampilkan secara turun-temurun normal.

### Kelengkapan
Sebuah himpunan berurutan total dikatakan **[[Kelengkapan (teori tatanan)|kelengkapan]]** jika setiap himpunan bagian tidak kosong yang memiliki batas atas, dan batas atas terkecil. Misalnya, himpunan bilangan riil **R** sebagai kelengkapan, tetapi himpunan bilangan rasional **Q** bukan kelengkapan. Dengan kata lain, berbagai konsep kelengkapan (jangan disamakan dengan "total") tidak terbawa pada pembatas. Misalnya, di atas bilangan riil, sifat dari relasi adalah bahwa setiap himpunan bagian tidak kosong *S* dari **R** dengan batas atas dalam **R** memiliki batas atas terkecil (juga disebut supremum) di **R**. Namun, untuk bilangan rasional supremum ini belum tentu rasional, sehingga sifat yang sama tidak berpegang pada restriksi relasi ≤ dengan bilangan rasional.

Ada sejumlah hasil yang mengaitkan sifat topologi urutan dengan kelengkapan X:
* Jika topologi urutan terhubung pada *X*, maka *X* adalah kelengkapan.
* *X* yang terhubung di bawah topologi urutan jika dan hanya jika kelengkapan dan tidak ada *celah* dalam *X*. Kesenjangannya adalah dua titik *a* dan *b* di *X* dengan *a* (A_1,\le_1) dan (A_2,\le_2), terdapat urutan alami \le_+ dalam himpunan A_1\cup A_2, yang disebut jumlah dari dua tatanan atau terkadang hanya A_1+A_2: 
: Untuk x,y\in A_1\cup A_2, x\le_+ y memegang jika dan hanya jika salah satu dari yang berikut ini membekukan:
:# x,y\in A_1 dan x\le_1 y
:# x,y\in A_2 dan x\le_2 y
:# x\in A_1 dan y\in A_2
Secara intuitif, ini berarti bahwa elemen dari himpunan kedua ditambahkan di atas elemen dari himpunan pertama.

Secara umum, jika (I,\le) adalah satu himpunan indeks berurutan total, dan untuk setiap i\in I struktur (A_i,\le_i) adalah urutan linear, di mana himpunan A_i adalah perpisahan pasangan, maka total urutan alami pada \bigcup_i A_i didefinisikan oleh
: Untuk x,y\in \bigcup_{i\in I} A_i, x\le y memegang jika: 
:# Beberapa i\in I dengan  x\le_i y 
:# atau beberapa i in I dengan  x\in A_i,  y\in A_j

## Urutan pada produk Kartesius dari himpunan berurutan total
Untuk meningkatkan kekuatan, yaitu, mengurangi penggunaan himpunan pasangan, tiga dari kemungkinan urutan pada produk Kartesius dari dua himpunan berurutan total adalah:
* Urutan leksikografis: (*a*,*b*) ≤ (*c*,*d*) jika dan hanya jika *a* *n*, masing-masing yang menjadi sebagai ruang vektor terurut.

Lihat pula contoh himpunan berurutan sebagian.

Fungsi riil dari variabel riil *n* yang ditentukan pada subset dari **R***n* mendefinisikan urutan batas lemah dan praorder total pada himpunan bagian tersebut.

## Struktur terkait
Relasi biner antisimetris, transitif, dan refleksif namun tidak total adalah urutan parsial.

Sebuah grup dengan urutan total kompatibel adalah grup terurut total.

Hanya ada beberapa struktur nontrivial yang dapat didefinisikan sebagai reduksi dari suatu tatanan total. Melupakan hasil orientasi dalam relasi keantaraan. Melupakan lokasi hasil akhir dalam urutan siklik. Melupakan kedua hasil data dalam relasi pemisahan.

## Lihat pula

* Gelanggang Artinian
* Teori order
* Urutan rapi
* Masalah Suslin
* Garis senegaranya
* Permutasi
* Urutan prefiks - urutan parsial total ke bawah

## Catatan

## Referensi
* 
* 
* 
* George Grätzer (1971). *Lattice theory: first concepts and distributive lattices.* W. H. Freeman and Co.  
* John G. Hocking and Gail S. Young (1961). *Topology.* Corrected reprint, Dover, 1988.  
* 
* 

## Pranala luar
*