Kernel (aljabar linear)

Dalam matematika, khususnya aljabar linear dan fungsi analisis, **kernel** dari sebuah peta linear (*linear map*) adalah himpunan semua vektor dalam domain pemetaan yang dipetakan ke vektor nol. Artinya, bagi suatu peta linear  yang memetakan ruang vektor *V* ke ruang vektor *W*, kernel dari *L* adalah himpunan semua elemen **v** dari *V* yang memenuhi persamaan , dengan **0** menandakan vektor nol dari *W.* Hal ini dinyatakan secara simbolis sebagai:

:\ker(L) = \left\{ \mathbf{v}\in V \mid L(\mathbf{v})=\mathbf{0} \right\}\text{.} 
Kernel juga dikenal dengan istilah ***null space*** atau **''nullspace**.*

== Sifat ==

Kernel <math>L</math> adalah suatu [[subruang linear]] dari [[domain]] <math>V</math>. Dalam peta linear <math>L\colon V \to W</math>, dua elemen di <math>V</math> akan memiliki citra yang sama di <math>W</math>, [[jika dan hanya jika]] selisih kedua elemen tersebut juga terletak di dalam kernel <math>L</math>; atau secara matematis:
:<math>L(\mathbf{v}_1) = L(\mathbf{v}_2)\;\Leftrightarrow\;L(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)=\mathbf{0} </math>.

Hal ini mengakibatkan citra dari <math>L</math> [[Isomorfisme|isomorfik]] ke [[Ruang hasil bagi (aljabar linear)|ruang hasil bagi]] <math>V</math> dengan kernel; atau secara matematis:
:<math>\mathop{\mathrm{im}}(L) \cong V / \ker(L)</math>.
 Pada kasus <math>V</math>  memiliki [[dimensi]] yang hingga, hubungan ini menyiratkan [[Teorema kenolan peringkat|teorema *rank-nullity*]]:
:<math>\dim(\ker L) + \dim(\mathop{\mathrm{im}} L) = \dim(V)</math>.
Dalam hubungan ini, istilah  atau  merujuk pada besar dimensi citra dari <math>L</math>, sedangkan  atau  merujuk pada besar dimensi kernel dari <math>L</math>.

Jika *V* adalah ruang hasil kali dalam, hasil bagi <math>V / \ker (L)</math> dapat diidentifikasi dengan komplemen [[ortogonal]] dalam *V* dari <math>\ker(L)</math>. Ini adalah [[generalisasi|perumuman]] untuk operator linear dari ruang baris, atau [[kocitra]] dari sebuah [[Matriks (matematika)|matriks]].

== Representasi sebagai perkalian matriks ==
Misalkan peta linear <math>A</math> diwakili oleh [[Matriks (matematika)|matriks]] <math>\mathbf A</math> berukuran <math>m\!\times\!n</math>, dengan entri-entri berasal dari [[Lapangan (matematika)|lapangan]] <math>K</math> (biasanya <math>\mathbb{R}</math> atau <math>\mathbb{C}</math>), dan beroperasi pada vektor kolom <math>\mathbf x</math> dengan <math>n</math> komponen di atas lapangan <math>K</math>. Kernel dari peta linear ini adalah himpunan solusi dari persamaan <math>\mathbf{Ax} = \mathbf{0}</math>, dengan <math>\mathbf{0}</math> adalah [[vektor nol]]. [[Dimensi]] dari kernel <math>A</math> disebut *'nolitas** dari <math>A</math>. Dengan menggunakan [[Notasi ungkapan himpunan|notasi himpunan]], kernel <math>A</math> dapat ditulis sebagai<math display="block">\operatorname{N}(A)=\operatorname{Null}(A)=\operatorname{ker}(A) = \left\{ \mathbf{x}\in K^n | \mathbf{Ax} = \mathbf{0} \right\}. </math>Lebih lanjut, persamaan matriks tersebut setara dengan [[sistem persamaan linear]]:
:<math>A\mathbf{x}=\mathbf{0} \iff
\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& 0      \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& 0      \\
\vdots\;\;\; &&     && \vdots\;\;\; &&              && \vdots\;\;\; &&     &&& \;\vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& 0\text{.}      \\
\end{alignat}</math>
Dengan demikian, anggota dari kernel dari <math>\mathbf{A}</math> adalah solusi yang ditetapkan ke sistem persamaan di atas.

=== Sifat subruang ===

Kernel dari [[Matriks (matematika)|matriks]] ''<math>A</math>'' (dengan ordo <math>m\!\times\!n</math>) atas medan <math>K</math> adalah [[subruang linear]] dari <math>\mathbf{K}^n</math>. Artinya, kernel dari ''<math>A</math>'', himpunan <math>\operatorname{Null}(A)</math>, mengikuti tiga sifat berikut:
# <math>\operatorname{Null}(A)</math> selalu memiliki [[vektor nol]], karena <math>A\mathbf{0} = \mathbf{0}</math>.
# Jika <math>x \in \operatorname{Null}(A)</math> dan <math>y \in \operatorname{Null}(A)</math>, maka <math>x + y \in \operatorname{Null}(A)</math>. Sifatnya mengikuti distributisi [[perkalian matriks]] terhadap penambahan.
# Jika <math>x \in \operatorname{Null}(A)</math> dan <math>c</math> adalah sebuah [[skalar]] <math>c \in K</math>, maka <math>c\mathbf{x} \in \operatorname{Null}(A)</math>, karena <math>A(c\mathbf{x}) = c(A\mathbf{x}) = c\mathbf{0} = \mathbf{0}</math>.

=== Ruang baris matriks ===

Hasil kali <math>A\mathbf{x}</math> ini dapat ditulis dalam bentuk ''darab bintik'' atau titik hasil kali dari vektor sebagai berikut:
:<math>A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{x} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{x} \end{bmatrix}</math>.

Dalam hal ini, <math>\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_m</math> menunjukkan baris matriks ''<math>A</math>''. Ini mengikuti <math>\mathbf{x}</math> adalah kernel dari ''<math>A</math> '', jika dan hanya jika **\mathbf{x}** adalah [[ortogonal]] (atau tegak lurus) untuk setiap baris vektor dari ''<math>A</math>''(karena ortogonal didefinisikan sebagai memiliki titik hasil kali dari <math>0</math>).

[[Ruang baris]], atau kocitra, dari [[Matriks (matematika)|matriks]] ''<math>A</math>'' adalah [[Rentang linear|rentang]] dari baris vektor ''<math>A</math>''. Dengan alasan di atas, kernel dari ''<math>A</math>'' adalah [[komplemen ortogonal]] untuk ruang baris. Artinya, vektor** \mathbf{x} ** terletak pada kernel dari ''<math>A</math>'', jika dan hanya jika tegak lurus terhadap setiap vektor di ruang baris ''<math>A</math>''.

Dimensi ruang baris ''<math>A</math>'' disebut [[Peringkat (aljabar linier)|peringkat]] dari ''<math>A</math>'', dan dimensi dari kernel ''<math>A</math>'' disebut **pembatalan** ''<math>A</math>''. Jumlah ini terkait dengan urutan pembatalan [[teorema]]
:<math>\operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n</math>.

=== Ruang null kiri ===
**Ruang null kiri**, atau [[kokernel]], matriks ''<math>A</math>'' terdiri dari semua kolom vektor **\mathbf{x}** sehingga <math>\mathbf{x}^\top A = \mathbf{0}^\top</math>, di mana <math>\top</math> menunjukkan [[transpose]] dari matriks.  Ruang null kiri ''<math>A</math>'' adalah sama dengan kernel <math>A^\top</math>. Ruang null kiri ''<math>A</math>'' adalah pelengkap ortogonal untuk [[ruang kolom]] dari ''<math>A</math>'', dan ganda ke [[kokernel]] dari transformasi linear terkait. Kernel, Ruang baris, kolom ruang, dan ruang kosong di sebelah kiri ''<math>A</math>'' adalah empat subruang fundamental terkait dengan matriks ''A''.

=== Sistem non-homogen persamaan linear ===
Kernel juga memainkan peran dalam solusi untuk sistem non-homogen persamaan linear:
:<math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}</math> atau <math>\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1      \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2      \\
\vdots\;\;\; &&     && \vdots\;\;\; &&              && \vdots\;\;\; &&     &&& \;\vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m      \\
\end{alignat}</math>
Jika <math>\mathbf{u}</math> dan <math>\mathbf{v}</math> adalah dua kemungkinan solusi untuk persamaan di atas, maka
:<math>A(\mathbf{u}-\mathbf{v}) = A\mathbf{u} - A\mathbf{v} = \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{0}\,</math>
Dengan demikian, perbedaan dua solusi untuk persamaan <math>A\mathbf{x} = \mathbf{b}</math> terletak di kernel <math>A</math>.

Ini mengikuti bahwa setiap solusi untuk persamaan <math>A\mathbf{x} = \mathbf{b}</math> dapat dinyatakan sebagai jumlah solusi tetap **\mathbf{v}** dan elemen sebarang dari kernel.  Artinya, solusi yang ditetapkan ke persamaan ''<math>A\mathbf{x} = \mathbf{b}</math> adalah''
:<math>\left\{ \mathbf{v}+\mathbf{x} \mid A \mathbf{v}=\mathbf{b} \land \mathbf{x}\in\operatorname{Null}(A) \right\}</math>,
Secara geometrik, ini mengatakan bahwa solusi diatur untuk <math>A\mathbf{x} = \mathbf{b}</math> adalah terjemahan [[geometri]] dari kernel ''<math>A\mathbf{x} = \mathbf{b}</math>'' oleh vektor **\mathbf{v}*'.

== Contoh ==
* Jika <math>L\colon \R^m \to \R^n</math>, maka kernel dari <math>L</math> adalah solusi yang ditetapkan ke [[sistem persamaan linear]].  Seperti yang diilustrasikan di atas, jika <math>L</math> adalah operator:
::<math>L(x_1,x_2,x_3) = (2x_1 + 3x_2 + 5x_3,\; -4x_1 + 2x_2 + 3x_3)</math>
:maka kernel *L* adalah serangkaian solusi untuk persamaan
::<math>\begin{alignat}{7}
    2x_1 &\;+\;& 3x_2 &\;+\;& 5x_3 &\;=\;& 0 \\
   -4x_1 &\;+\;& 2x_2 &\;+\;& 3x_3 &\;=\;& 0
\end{alignat}</math>
* Misalkan <math>C[0,1]</math> melambangkan [[ruang vektor]] semua fungsi bernilai riil kontinu pada interval <math>[0,1]</math>, dan mendefinisikan <math>L\colon C[0,1] \to \R</math> berdasarkan kaidah
::<math>L(f) = f(0.3)</math>,
:maka kernel <math>L</math> terdiri dari semua fungsi <math>f \in C[0,1]</math> untuk <math>f(0.3) = 0</math>.
* Misalkan <math>C^\infty(\R)</math> menjadi ruang vektor dari banyaknya fungsi terdiferensialkan <math>\R \to \R</math>, dan misalkan <math>D\colon C^\infty(\R) \to C^\infty(\R)</math> adalah operator [[diferensial]]:
::<math>D(f) = \frac{df}{dx}</math>,
:maka kernel <math>D</math> terdiri dari semua fungsi dalam <math>C^\infty(\R)</math> yang turunannya adalah nol, yaitu himpunan semua [[fungsi konstan]].
* Misalkan <math>\R^\infty</math> menjadi [[produk langsung|hasil kali langsung]] dari banyaknya salinan <math>\R</math>, dan misalkan <math>s\colon \R^\infty \to \R^\infty</math> adalah [[Operator diferensial|operator diferensiasi]].
::<math>s(x_1,x_2,x_3,x_4,\ldots) = (x_2,x_3,x_4,\ldots),</math>
:maka kernel <math>s</math> adalah subruang berdimensi satu yang terdiri dari semua vektor <math>(x_1,0,0,\dots)</math>.
* Jika <math>V</math> adalah [[ruang hasil kali dalam]] dan <math>W</math> adalah subruang, maka kernel dari [[proyeksi (aljabar linier)|proyeksi (aljabar linear)]] <math>V \to W</math>  adalah [[komplemen ortogonal]] untuk *W* di *V*. 
== Perhitungan oleh eliminasi Gauss ==
Sebuah basis aljabar linear dari kernel matriks dapat dihitung oleh [[eliminasi Gauss]].

Untuk tujuan ini, mengingat [[Matriks (matematika)|matriks]] *A*,  ordo <math>m\!\times\!n</math>, membangun baris pertama ditambah matriks <math> \left[\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}\right]</math>, di mana <math>I</math> adalah [[matriks identitas]] <math>n\!\times\! n</math>.

Komputasi [[bentuk eselon kolom]] oleh eliminasi Gauss (atau metode lain yang sesuai), akan mendapatkan matriks <math> \left[\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}\right]</math>. Basis dari kernel *A* terdiri dalam kolom taknol <math>C</math> sehingga kolom yang sesuai <math>B</math> adalah matriks atau kolom nol.

Sebenarnya, perhitungan dapat dihentikan segera setelah matriks atas di bentuk eselon kolom: sisa perhitungan terdiri dalam mengubah dasar ruang vektor yang dihasilkan oleh kolom yang bagian atas adalah [[Matriks nol|nol]].

Sebagai contoh, misalkan:
:<math>A=\left[ \begin{array}{cccccc}
1 & 0 & -3 & 0 &  2 & -8 \\
0 & 1 &  5 & 0 & -1 & 4 \\
0 & 0 &  0 & 1 & 7 & -9 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \,\right] </math>, maka <math> \left[\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & -3 & 0 &  2 & -8 \\
0 & 1 &  5 & 0 & -1 & 4 \\
0 & 0 &  0 & 1 & 7 & -9 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right] </math>.
Tempatkan bagian atas di bentuk eselon kolom dengan operasi kolom pada seluruh matriks
:<math> \left[\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{cccccc}
1 & 0 &  0 & 0 &  0 & 0 \\
0 & 1 &  0 & 0 &  0 & 0 \\
0 & 0 &  1 & 0 &  0 & 0 \\
0 & 0 &  0 & 0 &  0 & 0 \\
\hline
1 & 0 &  0 & 3 & -2 & 8 \\
0 & 1 &  0 & -5 & 1 & -4 \\
0 & 0 &  0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 &  1 & 0 & -7 & 9 \\
0 & 0 &  0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 &  0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right] </math>

Tiga kolom terakhir *B* adalah kolom nol. Oleh karena itu, tiga vektor terakhir dari *C*,
:<math>\left[\!\! \begin{array}{r} 3 \\ -5 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right],\;
\left[\!\! \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 0 \\ -7 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right],\;
\left[\!\! \begin{array}{r} 8 \\ -4 \\ 0 \\ 9 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] </math>
adalah basis dari kernel <math>A</math>.

Bukti bahwa metode menghitung kernel: karena operasi kolom sesuai dengan pasca-perkalian oleh matriks terbalikkan, fakta bahwa <math> \left[\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}\right]</math> dikurangi ke <math> \left[\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}\right]</math> berarti bahwa ada ada matriks terbalikkan <math>P</math> sehingga <math> \left[\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}\right] P = \left[\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}\right] </math> dengan <math>B</math> dalam bentuk eselon kolom. Jadi <math>AP=B</math>, <math>IP=C </math>, dan <math> AC=B </math>. Sebuah kolom vektor <math>v</math> termasuk dalam kernel <math>A</math> (yaitu <math>Av=0</math>) jika dan hanya <math>Bw=0,</math> di mana <math>w=P^{-1}v=C^{-1}v.</math> Ketika <math>B</math> berada di bentuk eselon kolom, <math>Bw=0</math>, jika dan hanya jika entri bukan nol dari <math>w</math> berpadanan dengan kolom nol dari <math>B.</math> Mengalikan dengan <math>C</math>, salah satunya dapat disimpulkan bahwa ini adalah kasus jika dan hanya <math>v=Cw</math> adalah [[kombinasi linear]] dari kolom yang sesuai dari <math>C.</math>

===Komputasi titik mengambang===
Untuk matriks yang entri-nya [[bilangan titik kambang]], masalah komputasi kernel masuk akal hanya untuk matriks yang jumlah baris sama dengan peringkat *bilangan titik kambang*: karena [[kesalahan perbatasan]], matriks *titik kambang'' telah hampir selalu peringkat penuh, bahkan ketika peringkat matriks pendekatannya jauh lebih kecil.

## Lihat pula

* Kernel (aljabar)
* Himpunan nol
* Sistem persamaan linear
* Ruang baris dan kolom
* Reduksi baris
* Empat subruang dasar
* Ruang vektor
* Subruang linear
* Operator linear
* Ruang fungsi
* Altrnatif Fredholm

## Referensi

## Bibliografi

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Pranala luar

* 
* Khan Academy, Introduction to the Null Space of a Matrix