Homologi (matematika)

Dalam matematika, istilah **homologi**, awalnya dikenalkan pada topologi aljabar, memiliki tiga penggunaan yang saling berhubungan. Penggunaan paling langsung terhadap istilah ini adalah mengambil *homologi dari [[kompleks rantai]]*, yang menghasilkan barisan grup Abelian yang disebut sebagai *grup homologi*. Operasi ini memungkinkan penggunaan nama *homologi* dan *teori homologi* pada berbagai tipe dari objek matematika. Terakhir, karena banyak teori homologi untuk ruang topologis yang menghasilkan jawaban yang sama, matematikawan sering menyebutkan tentang *homologi dari ruang topologis*. Terdapat pula gagasan tentang kohomologi dari kompleks korantai yang memunculkan beberapa teori kohomologi, sebagai tambahan terhadap gagasan kohomologi dari ruang topologis.

## Homologi dari kompleks rantai
Untuk mendapatkan homologi dari kompleks rantai, kita dapat memulai dengan **kompleks rantai,** yang adalah barisan  dari grup Abelian  (yang elemennya disebut sebagai rantai) yang maka komposisi dari dua peta berurutan adalah nol:

:  C_\bullet: \cdots \longrightarrow
C_{n+1} \stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}
C_n \stackrel{d_n}{\longrightarrow}
C_{n-1} \stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}
\cdots, \quad d_n \circ d_{n+1}=0.

Grup homologi  ke- dari kompleks rantai ini adalah grup hasil bagi  dari siklus batas modulo, dengan grup siklus  ke- diberikan dengan subgrup kernel , dan grup batas  ke- diberikan sebagai bayangan subgrup . Kita juga dapat memberikan tambahan struktur pada kkompleks rantai, misalnya dengan menambahkan grup  menjadi modul terhadap gelanggang koefisien , dan mengambil peta batas  menjadi modul homomorfisme , menghasilkan grup homologi  yang juga merupakan . Perkakas dari aljabar homologis dapat juga digunakan menghubungkan grup homologi dari beberapa kompleks rantai yang berbeda.

## Teori homologi
Untuk mengasosiasikan *teori homologi* pada objek matematika lainnya, kita pertama harus membuat "resep" untuk mengasosiasikan kompleks rantai pada objek tersebut, dan lalu mengambil homologi pada kompleks rantai tersebut. Agar homologi teori menjadi valid, seluruh kompleks rantai yang diasosiasikan pada objek matematika tersebut harus memiliki homologi yang sama. Hasil teori homologi tersebut seringkali dinamakan berdasarkan tipe dari kompleks rantai yang dibuat. Misalnya, homologi tunggal, homologi Morse, homologi Khovanov, dan homologi Hochschild masing-masing didapatkan dari kompleks rantai tunggal, Morse, Khovanov, dan Hochschild. Pada kasus lain, misalnya grup homologi, terdapat berbagai metode umum untuk menghitung grup homologi yang sama.

Pada area teori kategori, teori homologi adalah tipe dari fungtor dari kategori dari objek matematika yang dipelejari pada kategori grup Abelian dan grup homomorfisme, atau lebih umumnya pada kategori yang sesuai dengan kompleks rantai yang diasosiasikan. Kita dapat memformulasikan teori homologi sebagai fungtor yang diturunkan pada kategori abelian yang sesuai. Hal ini dapat dilakukan untuk mengukur kegagalan dari fungtor yang sesuai sebagai eksak. Kita dapat mendeskripsikan konstruksi terakhir tersebut lebih eksplisit menurut resolusi, atau lebih abstrak dari perspektif Kategori yang diturunkan atau kategori model.

Terlepas dari bagaimana mereka diformulasikan, teori homologi membantu memberikan informasi tentang struktur dari objek matematika yang diasosiasikan padanya, dan kadang dapat membantu membedakan objek yang berbeda.

## Contoh informal

Homologi dari ruang topologis  adalah himpunan dari invarian topologis dari  yang direpresentasikan oleh *grup homologinya*:

H_0(X), H_1(X), H_2(X), \ldots

dengan grup homologi  ke- mendeskripsikan, secara informal, jumlah lubang pada  dengan batas dimensi . Sebuah lubang batas dimensi 0 secara sederhana adalah celah antara dua komponen. Konsekuensinya,  mendeskripsikan komponen yang terhubung jalur dari .

Sebuah bola satu dimensi  adalah lingkaran. Hal ini memiliki satu komponen yang terkoneksi dan satu lubang batas satu dimensi, tetapi tidak ada lubang dengan dimensi lebih tinggi. Grup homologi yang sesuai diberikan sebagai

H_k\left(S^1\right) = \begin{cases}
  \Z & k = 0, 1 \\
 \{0\} & \text{lainnya}
\end{cases}

dengan  adalah grup dari bilangan bulat dan  adalah grup trivial. Grup  merepresentasikan Grup abelian yang dihasilkan hingga, dengan satu  tunggal merepresentasikan lubang satu dimensi yang terkandung pada lingkaran.

Bola dua dimensi  memiliki satu komponen terkoneksi, tidak ada lubang batas dimensi satu, dan sebuah lubang batas dimensi dua, dan tidak ada lubang dimensi lebih tinggi. Grup homologi yang sesuai adalah 

H_k\left(S^2\right) = \begin{cases}
  \Z & k = 0, 2 \\
 \{0\} & \text{lainnya}
\end{cases}

Secara umum, untuk bola berdimensi  , grup homologi adalah

H_k\left(S^n\right) = \begin{cases}
  \Z & k = 0, n \\
 \{0\} & \text{lainnya}
\end{cases}

Bola dua dimensi  adalah cakram pejal. Bola ini memiliki komponen jalur-terhubung, tapi tidak seperti lingkaran, tidak memiliki lubang dimensi lebih tinggi. Grup homologi yang sesuai adalah trivial kecuali untuk . Secara umum, untuk sebuah bola berdimensi  ,

H_k\left(B^n\right) = \begin{cases}
  \Z & k = 0 \\
      \{0\} & \text{lainnya}
\end{cases}

Torus didefinisikan sebagai produk dari dua lingkaran . Torus memiliki satu komponen jalur terhubung, dua lubang satu dimensi independen (diindikasikan ooleh lingkaran dengan merah dan biru) dan satu lubang dua dimensi sebagai interior dari torus. Grup homologi yang sesuai adalah
H_k(T^2) = \begin{cases}
 \Z & k = 0, 2 \\
 \Z \times \Z & k = 1 \\
 \{0\} & \text{lainnya}
\end{cases}

Jika produk  dari ruang topologis  ditulis sebagai , maka secara umum, untuk torus berdimensi  ,

H_k(T^n) = \begin{cases}
 \Z^\binom{n}{k} & 0 \le k \le n \\
 \{0\} & \text{lainnya}
\end{cases}

(Lihat **' dan **' untuk lebih detailnya).

Dua lubang dimensi 1 independen membentuk generator independen pada grup Abelian yang dibuat terbatas, diekspresikan sebagai produk grup .

Untuk bidang proyektif , sebuah perhitungan sederhana (dengan  adalah grup siklik dengan orde 2):

H_k(P) = \begin{cases}
    \Z & k = 0 \\
  \Z_2 & k = 1 \\
 \{0\} & \text{lainnya}
\end{cases}

 menyesuaikan, seperti contoh sebelumnya, kepada fakta bahwa terdapat sebuah komponen terkoneksi tunggal.  adalah fenomena baru: secara intuitif, hal ini sesuai dengan fakta bahwa terdapat sebuah "pengulangan" yang tidak dapat dikecilkan, tapi jika kita membuat pengulangan tersebut dua kali, ia menjadi dapat dikecilkan menjadi nol. Fenomena ini disebut sebagai **torsi**.

## Lihat pula

## Catatan kaki

## Referensi

## Bacaan lebih lanjut
* 
* 
* 
* .
* . Detailed discussion of homology theories for simplicial complexes and manifolds, singular homology, etc.
* 
* 
* .
* .
* .
* 
* .