Integral Dirichlet

Dalam matematika, ada beberapa integral yang dikenal sebagai **Integral Dirichlet**, setelah ahli matematika Jerman Peter Gustav Lejeune Dirichlet, salah satunya adalah integral tak wajar dari fungsi sinc di atas garis nyata positif:

: \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} \,dx = \frac{\pi}{2}.

Integral ini bukanlah absolut konvergen, artinya \Biggl| \frac{\sin x}{x} \Biggl| bukan Lebesgue-integrable, sehingga integral Dirichlet tidak terdefinisi dalam arti integral Lebesgue. Hal ini, bagaimanapun, didefinisikan dalam arti integral Riemann yang tidak tepat atau Riemann yang digeneralisasikan atau integral Henstock–Kurzweil.  Nilai integral (dalam pengertian Riemann atau Henstock) dapat diturunkan dengan berbagai cara, termasuk transformasi Laplace, integrasi ganda, membedakan di bawah tanda integral, integrasi kontur, dan kernel Dirichlet.

## Evaluasi

### Transformasi Laplace
Maka f(t) menjadi fungsi yang dapat didefinisikan t \geq 0. Maka Transformasi Laplace diberikan oleh

:\mathcal{L} \{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt,

bila integral itu ada.

Properti dari Transformasi laplace berguna untuk mengevaluasi integral tak wajar adalah

: \mathcal{L} \Biggl [  \frac{f(t)}{t} \Biggl] = \int_{s}^{\infty} F(u) \,du,


asalkan \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(t)}{t}.

Seseorang dapat menggunakan properti ini untuk mengevaluasi integral Dirichet sebagai berikut:

: 
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt &= \lim_{s \rightarrow 0} \int_{0}^{\infty} e^{-st}\frac{\sin t}{t} \, dt =\lim_{s \rightarrow 0}\mathcal{L} \Biggl [  \frac{\sin t}{t} \Biggl] \\[6pt]
&= \lim_{s \rightarrow 0}\int_{s}^{\infty} \frac{du}{u^2 + 1} = \lim_{s \rightarrow 0} \arctan u \Biggl |_{s}^{\infty} \\[6pt]
&= \lim_{s \rightarrow 0} \Biggl[ \frac{\pi}{2} - \arctan (s)\Biggl] = \frac{\pi}{2},
\end{align}


lantaran \mathcal{L}\{\sin t\} = \frac{1}{s^2 + 1} adalah transformasi Laplace dari fungsi tersebut \sin t. (Lihat bagian 'Membedakan di bawah tanda integral' untuk penurunan.)

### Integrasi ganda

Mengevaluasi integral Dirichlet menggunakan transformasi Laplace setara dengan mencoba mengevaluasi integral pasti ganda yang sama dalam dua cara berbeda, dengan pembalikan urutan integral, yaitu:

:
\left( I_1 = \int_0^\infty \int _0^\infty e^{-st} \sin t \,dt \,ds \right) = \left( I_2 = \int_0^\infty \int _0^\infty e^{-st} \sin t \,ds \,dt \right),
:\left( I_1 = \int_0^\infty \frac{1}{s^2 + 1} \,ds = \frac{\pi}{2} \right) = \left( I_2 = \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} \,dt \right), \text{ provided } s > 0.


### Diferensiasi di bawah tanda integral (trik Feynman)
Pertama, tulis ulang integral sebagai fungsi dari variabel tambahan a. Maka

:f(a)=\int_0^\infty e^{-a\omega} \frac{\sin \omega} \omega \, d\omega.

Untuk mengevaluasi integral Dirichlet, kita perlu menentukanf(0).

Diferensialkan sehubungan dengan a dan terapkan hukum Leibniz untuk membedakan di bawah tanda integral untuk mendapatkan

:
\begin{align}
\frac{df}{da} & = \frac{d}{da}\int_0^\infty e^{-a\omega} \frac{\sin \omega}{\omega} \, d\omega = \int_0^\infty \frac{\partial}{\partial a}e^{-a\omega}\frac{\sin \omega} \omega \, d\omega \\[6pt]
& = -\int_0^\infty e^{-a\omega} \sin \omega \, d\omega.
\end{align}


Sekarang, gunakan rumus Euler e^{i\omega}=\cos \omega + i\sin \omega, sinusoid dapat dinyatakan dalam fungsi eksponensial kompleks. Jadi kami punya

: 
\sin(\omega) = \frac{1}{2i} \left( e^{i \omega} - e^{-i \omega}\right).


oleh karena itu,

:
\begin{align}
\frac{df}{da} & = -\int_0^\infty e^{-a\omega} \sin \omega \, d\omega = -\int_{0}^{\infty} e^{-a\omega} \frac{e^{i\omega} - e^{-i\omega}}{2i} d\omega \\[6pt]
&= -\frac{1}{2i} \int_{0}^{\infty} \left[ e^{-\omega(a-i)} - e^{-\omega(a + i)} \right] d\omega \\[6pt]
&= -\frac{1}{2i} \left [ \frac{-1}{a - i} e^{-\omega (a - i)} - \frac{-1}{a + i} e^{-\omega (a + i)}\right] \Biggl|_0^{\infty} \\[6pt]
&= -\frac{1}{2i} \left[ 0 - \left( \frac{-1}{a - i} + \frac{1}{a + i} \right) \right] = -\frac{1}{2i} \left( \frac{1}{a - i} - \frac{1}{a + i} \right) \\[6pt]
&= -\frac{1}{2i} \left( \frac{a + i - (a -i)}{a^2 + 1} \right) = -\frac{1}{a^2 + 1}.
\end{align}


Integrasi sehubungan dengan a memberikan

: f(a) = \int \frac{-da}{a^2 + 1} = A - \arctan a,

di mana A adalah konstanta integrasi yang akan ditentukan. Karena \lim_{a \to \infty} f(a) = 0, A = \lim_{a \to \infty} \arctan (a) = \frac{\pi}{2}, menggunakan nilai pokok. Maka ini berarti

: f(a) = \frac{\pi}{2} - \arctan{a}.

Akhirnya, untuk a = 0, kita punya f(0) = \frac{\pi}{2} - \arctan(0) = \frac{\pi}{2}, seperti sebelumnya.

### Integrasi kompleks
Hasil yang sama dapat diperoleh dengan integrasi kompleks. Mempertimbangkan

: f(z) = \frac{e^{iz}} z.

Sebagai fungsi dari variabel kompleks z, ia memiliki kutub sederhana di asalnya, yang mencegah penerapan lemma Jordan, yang hipotesis lainnya terpenuhi.

Tentukan kemudian fungsi baru

: g(z) = \frac{e^{iz}}{z + i\varepsilon}.

Kutub telah dipindahkan dari sumbu sebenarnya, sehingga g(z) dapat diintegrasikan sepanjang setengah lingkaran radius R yang berpusat di z = 0 dan ditutup pada sumbu nyata. Seseorang kemudian limitnya \varepsilon \rightarrow 0.

Integral kompleks adalah nol menurut teorema residu, karena tidak ada kutub di dalam jalur integrasi

: 0 = \int_\gamma g(z) \,dz = \int_{-R}^R \frac{e^{ix}}{x + i\varepsilon} \, dx + \int_0^\pi \frac{e^{i(Re^{i\theta} + \theta)}}{Re^{i\theta} + i\varepsilon} iR \, d\theta.

Istilah kedua lenyap saat R pergi ke tak terhingga. Adapun integral pertama, seseorang dapat menggunakan satu versi teorema Sokhotski–Plemelj untuk integral di atas garis nyata: untuk fungsi bernilai kompleks  yang ditentukan dan dapat terus terdiferensiasi pada garis nyata dan konstanta nyata a dan b with a  seseorang menemukan

: \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^b \frac{f(x)}{x \pm i \varepsilon}\,dx = \mp i \pi f(0) + \mathcal{P} \int_a^b \frac{f(x)}{x} \,dx,

di mana \mathcal{P} menunjukkan nilai pokok Cauchy. Kembali ke kalkulasi awal di atas, seseorang dapat menulis

: 0 = \mathcal{P} \int \frac{e^{ix}}{x} \, dx - \pi i.

Dengan mengambil bagian imajiner di kedua sisi dan mencatat fungsinya \sin(x)/x bahkan, kita dapatkan

:\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} \,dx = 2 \int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} \,dx.

Akhirnya,
: \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx = \frac \pi 2.

Atau, pilih sebagai kontur integrasi untuk f gabungan jari-jari setengah lingkaran bidang atas \varepsilon dan R bersama dengan dua segmen dari garis nyata yang menghubungkannya. Di satu sisi, integral kontur adalah nol, terlepas dari \varepsilon dan R; di sisi lain, sebagai \varepsilon \to 0 dan R \to \infty bagian imajiner integral menyatu 2 I + \Im\big(\ln 0 - \ln(\pi i)\big) = 2I - \pi (maka \ln z adalah cabang dari logaritma pada setengah bidang atas), yang mengarah ke I = \frac{\pi}{2}.

### Kernel Dirichlet
Maka
:
D_n(x) = 1 + 2\sum_{k=1}^n \cos(2kx) = \frac{\sin[(2n+1)x]}{\sin(x)}

menjadi kernel Dirichlet.

Segera setelah itu
\int_0^{\frac{\pi}{2}}D_n(x) dx = \frac{\pi}{2}.


menjelaskan

:f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin(x)} & x \neq 0 \\[6pt]
0 & x = 0
\end{cases}


Jelasnya, f adalah kontinu jika  x \neq 0 , untuk melihat keberlanjutannya di 0 terapkan Aturan L'Hopital:

: 
\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x) - x}{x\sin(x)} = 
\lim_{x\to 0} \frac{\cos(x) - 1}{\sin(x) + x\cos(x)} = 
\lim_{x\to 0} \frac{-\sin(x)}{2\cos(x) - x\sin(x)} = 0.


Karenanya, f memenuhi persyaratan Riemann-Lebesgue Lemma. Ini berarti

:
\lim_{\lambda \to \infty} \int_a^b f(x)\sin(\lambda x)dx = 0 \Rightarrow
\lim_{\lambda \to \infty} \int_a^b \frac{\sin(\lambda x)}{x}dx = 
    \lim_{\lambda \to \infty} \int_a^b \frac{\sin(\lambda x)}{\sin(x)}dx.


(Bentuk Lemma Riemann-Lebesgue yang digunakan di sini dibuktikan dalam artikel yang dikutip.)

Pilih batasan a = 0 and b = \pi/2. Maka kami ingin mengatakan

:
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t}dt
= & \lim_{\lambda \to \infty} \int_0^{\lambda\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(t)}{t}dt \\[6pt]
= & \lim_{\lambda \to \infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\lambda x)}{x}dx \\[6pt]
= & \lim_{\lambda \to \infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\lambda x)}{\sin(x)}dx \\[6pt]
= & \lim_{n\to \infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin((2n+1)x)}{\sin(x)}dx \\[6pt]
= & \lim_{n\to \infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} D_n(x) dx = \frac{\pi}{2}
\end{align}


In order to do so, however, we must justify switching the real limit in \lambda to the integral limit in n.  This is in fact justified if we can show the limit does exist, which we do now.

Using integration by parts, we have:

:
\int_a^b \frac{\sin(x)}{x}dx = 
\int_a^b \frac{d(1-\cos(x))}{x}dx = 
\left. \frac{1-\cos(x)}{x}\right|_a^b + \int_a^b \frac{1-\cos(x)}{x^2}dx


Now, as a \to 0 and  b \to \infty the term on the left converges with no problem. See the list of limits of trigonometric functions.  We now show that  \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^2}dx  is absolutely integrable, which implies that the limit exists.

First, we seek to bound the integral near the origin. Using the Taylor-series expansion of the cosine about zero,

:
1 - \cos(x) = 1 - \sum_{k\geq 0}\frac{x^{2k}}{2k!} = -\sum_{k\geq 1}\frac{x^{2k}}{2k!}.


Therefore,

:
\left|\frac{1 - \cos(x)}{x^2}\right| 
  =  \left|-\sum_{k\geq 0}\frac{x^{2k}}{2(k+1)!}\right|
\leq \sum_{k\geq 0} \frac{|x|^k}{k!}
  =  e^.


Splitting the integral into pieces, we have

:
     \int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right|dx
\leq \int_{-\infty}^{-\varepsilon} \frac{2}{x^2}dx + 
     \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} e^dx + 
     \int_{\varepsilon}^{\infty} \frac{2}{x^2}dx
\leq K,


for some constant K > 0.  This shows that the integral is absolutely integrable, which implies the original integral exists, and switching from \lambda to n was in fact justified, and the proof is complete.

## Lihat pula

* Distribusi Dirichlet
* Prinsip Dirichlet
* Fungsi Sin
* Integral Fresnel

## Catatan

## Pranala luar

*