Daftar identitas logaritma

Identitas logaritma atau dikenal sebagai *hukum logaritma*, ialah kumpulan rumus-rumus yang melibatkan logaritma dan bertujuan untuk mempermudah kalkulasi pada bentuk-bentuk yang cukup rumit.

Fungsi logaritma dapat didefinisikan sebagai 

: b^x = c \iff \,^b\!\log c = x.

dimana b adalah adalah basis atau bilangan pokok dari logaritma, dengan syarat 0 atau b>1, x adalah bilangan yang dilogaritmakan yang disebut dengan numerus, dan bilangan positif c adalah hasil dari logaritma yang disebut dengan antilogaritma. 

Sebagai catatan, notasi logaritma yang dipakai dalam halaman ini tetap memiliki makna yang sama dengan  \log_b x , kendatipun notasinya berbeda.

Berikut adalah **daftar identitas logaritma** beserta dengan pembuktian-pembuktiannya, antara lain:

## Sifat dasar

### Sifat trivial
Salah satu yang paling mendasar dalam identitas logaritma, ialah ^b\!\log b = 1, karena b^1 = b. Terdapat sifat dasar lain, yaitu

* ^b\!\log 1 = 0, karena b^0 = 1.
* ^b\!\log b^n = n.

Sebagai pengecualian, logaritma dengan b = 0 tidak memiliki nilai. Hasil limit dari ^b\!\log 0 = -\infty ketika b \to 0^+. Untuk memahami lebih lanjut mengenai konsep ini, lihat buktinya di sini.

### Perkalian dan pembagian

* ^b\!\log xy = \, ^b\!\log x + \, ^b\!\log y

Misalkan  ^b\!\log x = u  dan  ^b\!\log y = v . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh  x = b^u  dan  y = b^v . Maka,

: xy = b^{u+v} .

Ambil logaritma basis  a  pada kedua ruas sehingga

: ^b\!\log xy = \, ^b\!\log b^{u+v} = u + v = \, ^b\!\log x + \, ^b\!\log y \quad \blacksquare .
Sifat ini dapat diperumum ke kasus dengan numerus merupakan hasil perkalian banyak suku,

: ^b\!\log \left(\prod_{i=1}^n x_i \right) = \sum_{i=1}^n \, ^b\!\log x_i.

* ^b\!\log\left(\frac{x}{y}\right) = \, ^b\!\log x - \, ^b\!\log y 

Misalkan ^b\!\log x = u dan ^b\!\log y = v. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh x = b^u dan y = b^v. Maka,
\frac{x}{y} = b^{u-v}

Ambil logaritma basis a pada kedua ruas sehingga

:^b\!\log \frac{x}{y} = \, ^b\!\log b^{u-v} = u - v = \, ^b\!\log x - \, ^b\!\log y \quad \blacksquare .

### Penambahan dan pengurangan

* ^b\!\log(x+y) = \,^b\!\log(x) + \, ^b\!\log\left(1 + \frac{y}{x}\right)
* ^b\!\log(x-y) = \, ^b\!\log x + \, ^b\!\log\left(1 - \frac{y}{x}\right)

Lebih umumnya lagi,

: ^b\!\log\left(\sum_{i=0}^n x_i\right) = \, ^b\!\log x_0 + \, ^b\!\log\left(1 + \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{a_0}\right) = \, ^b\!\log x_0 + \, ^b\!\log\left(1 + \sum_{i=1}^n b^{\left(^b\!\log x_i - ^b\!\log x_0\right)}\right).

### Perubahan basis
Perubahan basis dapat dirumuskan sebagai

: ^b\!\log x = \frac{^p\!\log x}{^p\!\log b}

dengan syarat 0  dan p > 1 dan p \ne 1, dengan mengikuti definisi logaritma.Misal  ^b\!\log x = y . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen, kita memperoleh  b^y = x . Maka, kita tuliskan sebagai
: ^p\!\log x = ^p\!\log b^y 
Dengan menggunakan sifat sebelumnya, maka
: \begin{align} ^p\!\log x &= y \, ^p\!\log b  \\ y &= \frac{^p\!\log x}{^p\!\log b} \end{align} 
Substitusi kembali sehingga didapati
: ^b\!\log x = \frac{^p\!\log x}{^p\!\log b} \quad \blacksquare .

### Perkalian dan pembagian dalam basis logaritma

*  ^{bc}\!\log x = \frac{1}{\frac{1}{^b\!\log x}+\frac{1}{^c\!\log x}}
*  ^{\frac{b}{c}}\!\log x = \frac{1}{\frac{1}{^b\!\log x}-\frac{1}{^c\!\log x}}

### Pertukaran basis
Pertukaran basis pada logaritma dapat dirumuskan sebagai

:  ^b\!\log x = \frac{1}{^x\!\log b} .

Dengan menggunakan sifat perubahan basis, maka kita dapat memisalkan  p = x  akan memperoleh
: ^b\!\log x = \frac{^x\!\log x}{^x\!\log b} = \frac{1}{^x\!\log b} .  \blacksquare 

### Logaritma dalam eksponen

* x^{\frac{\log(\log x)}{\log x}} = \log x atau x^\frac{\log a}{\log x} = a

Menggunakan sifat perubahan basis, akan memperoleh

:x^{\frac{\log a}{\log x}} = x^{^x\!\log a} = a. \blacksquare

## Membatalkan eksponen
Sama halnya dengan penambahan dan pengurangan, maupun perkalian dan pembagian, logaritma dapat membatalkan eksponen karena kedua operasi tersebut saling invers. Secara matematis ini mengartikan,

: b^{^b\!\log x} = x karena ^b\!\operatorname{antilog}(\,^b\!\log x) = x; dan
: ^b\!\log (b^x) = x karena ^b\!\log(\,^b\!\operatorname{antilog} x) = x.

Perhatikan bahwa sifat logaritma di atas dapat kita pakai untuk membuktikan bahwa ^b\!\log x^\frac{1}{n} = \frac{1}{n} \, ^b\!\log x.

## Logaritma dengan basis lain

### Logaritma natural

* \ln 1 = 0
* \ln e = 1
* \ln e^x = x
* e^{\ln x} = x
* \ln xy = \ln x + \ln y
* \ln \frac{x}{y} = \ln x - \ln y

## Logaritma dalam kalkulus

### Limit

* \lim_{x \to 0^+} \, ^b\!\log x = -\infty
* \lim_{x \to \infty} \, ^b\!\log x = \infty

Untuk membuktikan limit tersebut, perhatikan grafik fungsi logaritma basis b sembarang (untuk b > 1). Sebagai catatan, untuk 0 ,

* \lim_{x \to 0^+} \, ^b\!\log x = \infty
* \lim_{x \to \infty} \, ^b\!\log x = -\infty

Pembuktian yang serupa terhadap limit dari fungsi logaritma alami.

* \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty
* \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty

Sebagai tambahan, berikut adalah identitas logaritma dalam limit.

* \lim_{x \to 0^+} x^c \cdot \, ^b\!\log x = 0 jika c > 0
* \lim_{x \to 0^+} \frac{^b\!\log x}{x^c} = 0 jika c > 0

### Turunan
Turunan logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai

: \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)}, dengan x > 0, b > 0, dan b \ne 1.

Perhatikan bahwa 
:y = \log_b x jika dan hanya jika x = b^y,

maka kita memperoleh
:\ln x = y \cdot \ln b.

Dengan substitusi kembali, diperoleh
:\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}.

Jika kita turunkan, maka kita mendapatkan
: \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)}
Turunan dalam basis lain, antara lain

* \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \ln x = \frac{1}{x}

### Integral
Integral logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai

: \int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x\left(\log_b(x) - \frac{1}{\ln(b)}\right) + C

Integral dalam basis lain, antara lain

* \int \ln(x) \, dx= x \ln(x) - x + C\,

Buktinya dapat kita pakai identitas integral terhadap logaritma, dengan memisalkan b = e. Ada bukti lain, ialah integrasi parsial. Dengan memisalkan u = \ln x, \mathrm dv = \mathrm dx, \mathrm du = \frac{1}{x} \, \mathrm dx dan v = x, maka

:\int \ln x \, \mathrm dx = (\ln x)(x) - \int (x)\left(\frac{1}{x}\right) \, \mathrm dx = x \ln x - \int \, \mathrm dx = x \ln x - x + C . \blacksquare

Sebagai catatan, halaman ini hanya menjelaskan dasar-dasarnya saja. Lihat Daftar integral dari fungsi logaritmik sebagai identitas tambahannya.

### Deret

* \ln(1 + x) = \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}

## Pendekatan logaritma

* \log x \approx \frac{x^x - 1}{x}
* \log(1+x) \approx x

## Bentuk pecahan berlanjut

### Logaritma alami

* 

\ln(1+x) =\cfrac{x}{1-0x+\cfrac{1^2x}{2-1x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}}



* 
\ln\left(1+\frac{x}{y}\right) = \cfrac{x} {y+\cfrac{1x} {2+\cfrac{1x} {3y+\cfrac{2x} {2+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {2+\ddots}}}}}}  = \cfrac{2x} {2y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(2y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(2y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(2y+x)-\ddots}}}}


## Lihat pula

* Daftar identitas eksponensiasi

## Rujukan