Perpangkatan bilangan dua

**Perpangkatan bilangan dua**, (atau **perpangkatan angka dua**, **perpangkatan nilai dua**) adalah bilangan dengan basis adalah 2 dan n adalah bilangan bulat.

Ketika n adalah bilangan bulat taknegatif ― dengan kata lain, bilangan cacah ― maka perpangkatan bilangan dua merupakan bilangan basis 2 yang dikali sebanyak n kali.

: \underset{n}{\underbrace{2 \times \cdots \times 2}} = 2^n.

## Tabel nilai
Tabel berikut merupakan nilai-nilai perpangkatan bilangan dua, untuk n adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 22.

Tabel berikut juga merupakan nilai-nilai bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua, untuk n adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 8.

## Dalam aljabar

### Segitiga Pascal

Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan segitiga Pascal. Pada barisan pertama, jumlah bilangannya adalah 1 yang sama saja dengan 2^0. Lalu dilanjutkan pada barisan kedua, jumlah bilangannya adalah 1 + 1 = 2 = 2^1. Ini terus berlanjut hingga memperoleh pola untuk 2^n, yaitu:

: 2^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}.

## Dalam teori bilangan

### Sistem bilangan biner
Perpangkatan bilangan dua dapat dipakai dalam sistem bilangan biner, yakni sistem bilangan yang terdiri dari digit "0" dan "1". Contoh hubungan sistem bilangan biner dengan Perpangkatan bilangan dua dapat dilihat di tabel bawah ini.

Seperti yang dilihat, jumlah digit dalam bilangan biner bergantung pada nilai n. Contohnya, 2^1 dikonversikan menjadi 10 dalam bilangan biner, dengan jumlah digit 0 adalah 1. 2^2 dikonversikan menjadi 100, dengan jumlah digit 0 adalah 2. Hal ini terus berlanjut untuk n bilangan bulat taknegatif.

### Bilangan Mersenne

Perpangkatan bilangan dua dapat diterapkan pada bilangan Mersenne, dengan bentuk M_n \equiv 2^n - 1. Jika n = p (di mana p bilangan prima), maka bilangan tersebut merupakan bilangan prima Mersenne, yakni M_p = 2^p - 1.

#### Bilangan prima terbesar yang diketahui
Saat ini, bilangan prima terbesar yang diketahui ditemukan oleh *Great Internet Mersenne Prime Search* (atau diabreviasikan sebagai GIMPS) merupakan bilangan prima yang terdiri dari 24.862.048 digit, yakni 2^{82.589.933} - 1. Bilangan prima tersebut ditemukan pada September 2021.

## Dalam teori himpunan

### Himpunan kuasa
Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan himpunan kuasa S (dinotasikan \wp(S)), yaitu himpunan yang anggotanya merupakan subhimpunan S dengan banyak anggota himpunan kuasa S sama dengan dua dipangkatkan dengan jumlah anggota S. Ini dituliskan secara matematis:

: \wp(S) = 2^{n(S)}.

### Hipotesis kontinum
Dalam teori himpunan, hipotesis kontinum merupakan hipotesis yang dinyatakan dalam sebuah persamaan bilangan alef.

: 2^{\aleph_0} = \aleph_1.

## Kaitan dengan masalah yang belum terpecahkan

### Barisan keirasionalan
Perpangkatan bilangan dua juga berkaitan dengan masalah yang belum terpecahkan. Contohnya, bilangan 2^{2^n}membentuk barisan keirasionalan, lihat tabel bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua. Maka, untuk setiap barisan bilangan bulat positif x_i, deret

: \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{2^{2^i} x_i}

konvergen menuju bilangan irasional. Karena 2^{2^n} merupakan barisan dengan pertumbuhan tercepat, deret tersebut merupakan barisan keirasionalan dengan pertumbuhan terlambat yang diketahui.
## Lihat pula

* Perpangkatan bilangan 10
* Perpangkatan bilangan tiga

## Catatan kaki dan rujukan

### Catatan kaki


### Rujukan



### OEIS