Barisan aritmetika-geometrik

Dalam matematika, **barisan aritmetika-geometrik** adalah hasil dari perkalian suku-demi-suku pada barisan aritmetika dengan suku barisan geometri yang bersesuaian. Secara matematis, suku ke-n dari barisan aritmetika-geometrik adalah hasil kali dari suku ke-n dari barisan aritmetika dengan suku ke-n dari barisan geometrik. Barisan aritmetika-geometrik muncul pada berbagai aspek, seperti perhitungan nilai harapan dalam teori peluang.

Alternatifnya, barisan aritmetika-geometrik dapat didefinisikan sebagai barisan dengan bentuk umum
:u_{n + 1} = r \, u_n + cr^n
untuk suatu nilai c dan r. Dari bentuk di atas, maka terlihat bahwa barisan aritmetika-geometrik adalah kasus spesial dari relasi perulangan linier.
* Jika r = 1, maka barisan aritmetika-geometrik akan menjadi barisan aritmetika
* Jika c = 0, maka barisan aritmetika-geometrik akan menjadi barisan geometrik

## Suku barisan

Dari definisi di atas, misalkan bagian yang berwarna biru menyatakan barisan aritmetika dengan nilai awal a dan beda b, dan bagian yang berwarna merah menyatakan barisan geometri dengan nilai awal k dan rasio r. Maka, beberapa suku pertama dari barisan aritmetika-geometrik ialah:

:
\begin{align}
u_1 &= \color{blue}{a} \color{red}{k} \\
u_2 &= \color{blue}{(a + b)} \color{red}{(kr)} \\
u_3 &= \color{blue}{(a + 2b)} \color{red}{(kr^2)} \\
&\vdots \\
u_n &= \color{blue}{(a + (n - 1)b)} \color{red}{(kr^{n - 1})}
\end{align}


### Contoh
Sebagai contoh, barisan

:\dfrac{\color{blue}{1}}{\color{red}{2}}, \, \dfrac{\color{blue}{2}}{\color{red}{4}}, \, \dfrac{\color{blue}{3}}{\color{red}{8}}, \, \dfrac{\color{blue}{4}}{\color{red}{16}}, \, \dfrac{\color{blue}{5}}{\color{red}{32}}, \ldots 

dapat dikonstruksikan dengan memilih \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} dan \begin{bmatrix} k \\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1/2 \end{bmatrix}.

## Jumlahan berhingga
Jumlahan n suku pertama dari barisan aritmetika-geometrik memiliki bentuk tertutup
:\begin{align}
S_n &= \frac{ak - (a + nd) \, kr^n}{1 - r} + \frac{dbr \, (1 - r^n)}{(1-r)^2}\\
&= \frac{A_1 G_1 - A_{n+1} G_{n+1}}{1 - r} + \frac{dr}{(1-r)^2} \, (G_1 - G_{n + 1}).
\end{align}

### Bukti
#### Deret Teleskopik
Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan S_n, dengan indeks n menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Akan digunakan notasi A_n untuk menyatakan suku ke-n dari barisan aritmetika, dan notasi G_n untuk menyatakan suku ke-n dari barisan geometri. Dengan menggunakan informasi bahwa A_i = A_{i - 1} + b dan G_i = r \, G_{i - 1}, perhatikan bahwa
:\begin{array}{rcccrcrcccrcrc}
S_n & = & A_1 \, G_1 & + & A_2 \, G_2 & + & A_3 \, G_3 & + & \ldots & + & A_n \, G_n & & & \\
r S_n & = & \phantom{A_1 \, G_1} & + & A_1 \, G_2 & + & A_2 \, G_3 & + & \ldots & + & A_{n - 1} \, G_n & + & A_n \, G_{n + 1} & - \\
\hline
(1 - r) \, S_n & = & A_1 \, G_1 & + & b \, G_2 & + & b \, G_3 & + & \ldots & + & b \, G_n & - & A_n \, G_{n + 1} & \\
\end{array}

Sehingga diperoleh
:\begin{align}
(1 - r) \, S_n &= A_1 \, G_1 + b \, G_2 + b \, G_3 + \, \ldots \, + b \, G_n - A_n \, G_{n + 1} \\
&= A_1 \, G_1 - A_n \, G_{n + 1} + b \, G_2 + b \, G_3 + \, \ldots \, + b \, G_n \\
&= A_1 \, G_1 - A_n \, G_{n + 1} - b \, G_{n + 1} + b \, G_2 + b \, G_3 + \, \ldots \, + b \, G_n + b \, G_{n + 1} \\
&= A_1 \, G_1 - \left( A_n + b \right) \, G_{n + 1} + b \left( G_2 + G_3 + \, \ldots \, + G_n + G_{n + 1} \right) \\
&= A_1 \, G_1 - A_{n + 1} \, G_{n + 1} + b \cdot \frac{G_2 - G_{n + 2}}{1 - r} \\
S_n &= \frac{A_1 \, G_1 - A_{n + 1} \, G_{n + 1}}{1 - r} + \frac{br}{(1 - r)^2} \left( G_1 - G_{n + 1} \right)
\end{align}

Oleh karena A_n = a + (n - 1)b dan G_n = kr^{n - 1}, maka rumus S_n di atas dapat ditulis ulang sebagai
:S_n = \frac{ak - (a + nb)(kr^n)}{1 - r} + \frac{bkr(1 - r^n)}{(1 - r)^2}

#### Penjabaran Langsung
Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan S_n, dengan indeks n menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Perhatikan bahwa S_n dapat dituliskan sebagai
:

Dengan menuliskan S_n menggunakan cara di atas, maka terlihat bahwa nilai S_n diperoleh dari hasil penjumlahan kolom per kolom. Akan tetapi, perspektif di atas juga menunjukkan bahwa menjumlahkan baris per baris akan menghasilkan jawaban yang sama, sebab suku yang dijumlahkan melalui kedua cara tersebut tidak berubah, dan hasilnya pasti berhingga. Jika penjabaran suku di atas dijumlahkan secara horizontal, maka

:\begin{align}
S_n &= ak \left( 1 + r + r^2 + \, \ldots \, + r^{n - 1} \right) + bk \left( r + r^2 + \, \ldots \, + r^{n - 1} \right) + bk \left( r^2 + \, \ldots \, + r^{n - 1} \right) + \, \ldots \, + bkr^{n - 1} \\
&= ak \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} + bk \cdot \frac{r - r^n}{1 - r} + bk \cdot \frac{r^2 - r^n}{1 - r} + \, \ldots \, + bk \cdot \frac{r^{n - 1} - r^n}{1 - r} \\
&= ak \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} + bk \left( \frac{r}{1 - r} - \frac{r^n}{1 - r} + \frac{r^2}{1 - r} - \frac{r^n}{1 - r} + \, \ldots \, + \frac{r^{n - 1}}{1 - r} - \frac{r^n}{1 - r} \right) \\
&= ak \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} + bk \left( \frac{r}{1 - r} - \frac{r^n}{1 - r} + \frac{r^2}{1 - r} - \frac{r^n}{1 - r} + \, \ldots \, + \frac{r^{n - 1}}{1 - r} - \frac{r^n}{1 - r} + \frac{r^n}{1 - r} - \frac{r^n}{1 - r} \right) \\
&= ak \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} + bk \left( \frac{r + r^2 + \, \ldots \, + r^n}{1 - r} - \frac{nr^n}{1 - r} \right) \\
&= \frac{ak - akr^n}{1 - r} + bk \left( \frac{r - r^{n + 1}}{(1 - r)^2} - \frac{nr^n}{1 - r} \right) \\
&= \frac{ak}{1 - r} - \frac{(a)(kr^n)}{1 - r} + \frac{bkr(1 - r^n)}{(1 - r)^2} - \frac{(nb)(kr^n)}{1 - r}
\end{align}

#### Kalkulus Diferensial
Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan S_n, dengan indeks n menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Dengan menggunakan sifat linier dari turunan, perhatikan bahwa
:\begin{align}
S_n &= \sum_{i \, = \, 1}^n A_i \, G_i \\
&= \sum_{i \, = \, 1}^n (a + (i - 1)b)(kr^{i - 1}) \\
&= \sum_{i \, = \, 0}^{n - 1} (a + ib)(kr^i) \\
&= \sum_{i \, = \, 0}^{n - 1} akr^i + \sum_{i \, = \, 0}^{n - 1} ibkr^i \\
&= ak \sum_{i \, = \, 0}^{n - 1} r^i + (0)bkr^0 + \sum_{i \, = \, 1}^{n - 1} ibkr^i \\
&= ak \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} + bkr \sum_{i \, = \, 1}^{n - 1} ir^{i - 1} \\
&= ak \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} + bkr \sum_{i \, = \, 1}^{n - 1} \left( \frac{\text{d}}{\text{d} r} r^i \right) \\
&= ak \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} + bkr \, \frac{\text{d}}{\text{d} r} \left( \sum_{i \, = \, 1}^{n - 1} r^i \right) \\
&= ak \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} + bkr \, \frac{\text{d}}{\text{d} r} \left( \frac{r}{1 - r} - \frac{r^n}{1 - r} \right) \\
&= \frac{ak - akr^n}{1 - r} + bkr \, \left( \frac{1}{(1 - r)^2} - \frac{nr^{n - 1}}{1 - r} - \frac{r^n}{(1 - r)^2} \right) \\
&= \frac{ak}{1 - r} - \frac{(a)(kr^n)}{1 - r} - \frac{(nb)(kr^n)}{1 - r} + \frac{bkr(1 - r^n)}{(1 - r)^2} \\
\end{align}
yang merupakan hasil yang sama dengan dua metode sebelumnya.

## Deret takhingga
Jika \left| r \right| , maka r^n akan mendekati 0 apabila nilai n cukup besar. Sehingga, nilai dari deret aritmetika-geometrik (disimbolkan dengan S) ialah
:\begin{align}
S &= \sum_{i \, = \, 1}^\infty u_i \\
&= \lim_{n \, \to \, \infty} \sum_{i \, = \, 1}^\infty u_i \\
&= \lim_{n \, \to \, \infty} S_n \\
&= \lim_{n \, \to \, \infty} \frac{ak}{1 - r} - \underbrace{\frac{(a + nb)(kr^n)}{1 - r}}_{\text{mendekati } 0} + \frac{bkr(1 - r^n)}{(1 - r)^2} \\
&= \frac{ak}{1 - r} + \frac{bkr}{(1 - r)^2} \\
&= \frac{A_1 \, G_1}{1 - r} + \frac{br}{(1 - r)^2} \, G_1
\end{align}

Jika r berada di luar jangkauan di atas, maka deretnya termasuk
* Deret divergen menuju \pm \infty, saat r > 1, atau saat r = 1 (dimana deretnya menjadi deret aritmetika takhingga) serta a \neq 0 dan b \cdot k \neq 0
** Jika a = 0 dan b \cdot k = 0, semua nilai suku nya akan menjadi 0, sehingga nilai deret takhingga tidak divergen.
* Deret selang-seling, saat nilai r \leq -1

### Tangga Jibril
Jika A_n = n dan k = 1, maka jumlahan dari barisan takhingga ini dikenal dengan sebutan *tangga Jibril*:

:\sum_{i \, = \, 1}^{\infty} ir^i = \frac{r}{(1 - r)^2} \qquad \text{dengan } \, 0 

### Contoh Penerapan : Perhitungan Nilai Harapan
Saat suatu koin adil dilempar, peluang untuk mendapatkan "gambar" adalah \dfrac{1}{2}. Apabila P(X = k) menyatakan peluang munculnya "gambar" untuk pertama kalinya setelah k lemparan, maka diperoleh
:\begin{align}
P(X = k) &= \left( \frac{1}{2} \right)^{k - 1} \cdot \frac{1}{2} \\
&= \left( \frac{1}{2} \right)^k
\end{align}

Karena L_k menyatakan peluang munculnya "gambar" untuk pertama kalinya setelah k lemparan, maka lemparan pertama sampai lemparan ke-(k - 1) haruslah muncul "angka". Oleh karena lemparan koin bersifat saling bebas, maka rumus peluang koin adil yang dilempar adalah \left( \frac{1}{2} \right)^{k - 1}.

Dikarenakan lemparan terakhir haruslah muncul "gambar", maka rumus peluangnya harus dikalikan dengan peluang munculnya "gambar", sehingga didapatkan
:\begin{align}
P(X = k) &= \left( \frac{1}{2} \right)^{k - 1} \cdot \frac{1}{2} \\
&= \left( \frac{1}{2} \right)^k
\end{align}

Dengan menggunakan rumus di atas, maka ekspektasi banyaknya koin yang harus dilempar sebelum mendapat "gambar" dapat dicari dengan
:E(X) = \sum_{k \, = \, 1}^{\infty} k \cdot P(X = k) = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \frac{5}{32} + \ldots

yang merupakan deret aritmetika-geometrik takhingga, dengan \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} dan \begin{bmatrix} k \\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1/2 \end{bmatrix}. Dengan rumus deret aritmetika-geometrik, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa jumlahan di atas konvergen ke E(X) = 2

## Referensi

## Bacaan lanjutan
* 
*