Daftar deret matematika

Berikut adalah **daftar deret matematika** yang berisi tentang rumus untuk penjumlahan terhingga dan tak terhingga. Ini dapat digunakan bersama-sama dengan alat-alat lain untuk menghitung penjumlahan.

* Di sini, 0^0 dianggap memiliki nilai 1
* B_n(x) adalah polinomial Bernoulli.
* B_n adalah bilangan Bernoulli, dan di sini, B_1 = -\frac{1}{2},
* E_n adalah bilangan Euler.
* \zeta(s) adalah fungsi zeta Riemann.
* \Gamma(z) adalah fungsi gamma.
* \psi_n(z) adalah fungsi poligamma
* \operatorname{Li}_s(z) adalah polilogaritma.
* \binom{n}{k} adalah koefisien binomial
* \exp (x) melambangkan eksponensial dari x

## Penjumlahan pangkat
Lihat rumus Faulhaber

* \sum_{k=0}^m k^{n-1}=\frac{B_n(m+1)-B_n}{n}

Beberapa nilai pertamanya adalahː

* \sum_{k=1}^m k=\frac{m(m+1)}{2}
* \sum_{k=1}^m k^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}=\frac{m^3}{3}+\frac{m^2}{2}+\frac{m}{6}
* \sum_{k=1}^m k^3

=\left[\frac{m(m+1)}{2}\right]^2=\frac{m^4}{4}+\frac{m^3}{2}+\frac{m^2}{4}

Lihat konstanta zeta.

* \zeta(2n)=\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^{2n}}=(-1)^{n+1} \frac{B_{2n} (2\pi)^{2n}}{2(2n)!} 

Beberapa nilai pertamanya adalahː

* \zeta(2)=\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6} (Masalah Basel)
* \zeta(4)=\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^4}=\frac{\pi^4}{90}
* \zeta(6)=\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^6}=\frac{\pi^6}{945}

## Deret pangkat

### Polilogaritma orde rendah
Penjumlahan terhingga

* \sum_{k=i}^{n} z^k = \frac{z^{i}-z^{n+1}}{1-z}, (deret geometrik)
* \sum_{k=1}^n k z^k = z\frac{1-(n+1)z^n+nz^{n+1}}{(1-z)^2}
* \sum_{k=1}^n k^2 z^k = z\frac{1+z-(n+1)^2z^n+(2n^2+2n-1)z^{n+1}-n^2z^{n+2}}{(1-z)^3} 
* \sum_{k=1}^n k^m z^k = \left(z \frac{d}{dz}\right)^m \frac{1-z^{n+1}}{1-z}

Penjumlahan tak terhingga, sah untuk \left| z \right|  (lihat polilogaritma)

* \operatorname{Li}_n(z)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{z^k}{k^n}

Berikut ini adalah sebuah sifat yang berguna untuk menghitung polilogaritma urutan bilangan bulat rendah secara rekursif dalam bentuk tertutup:

* \frac{d}{dz}\operatorname{Li}_n(z)=\frac{\operatorname{Li}_{n-1}(z)}{z}
* \operatorname{Li}_{1}(z)=\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k}=-\ln(1-z)
* \operatorname{Li}_{0}(z)=\sum_{k=1}^\infty z^k=\frac{z}{1-z}
* \operatorname{Li}_{-1}(z)=\sum_{k=1}^\infty k z^k=\frac{z}{(1-z)^2}
* \operatorname{Li}_{-2}(z)=\sum_{k=1}^\infty k^2 z^k=\frac{z(1+z)}{(1-z)^3}
* \operatorname{Li}_{-3}(z)=\sum_{k=1}^\infty k^3 z^k =\frac{z(1+4z+z^2)}{(1-z)^4}
* \operatorname{Li}_{-4}(z)=\sum_{k=1}^\infty k^4 z^k =\frac{z(1+z)(1+10z+z^2)}{(1-z)^5}

### Fungsi eksponensial

* \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} = e^z
* \sum_{k=0}^\infty k\frac{z^k}{k!} = z e^z (bandingkan rata-rata distribusi Poisson)
* \sum_{k=0}^\infty k^2 \frac{z^k}{k!} = (z + z^2) e^z (bandingkan momen kedua distribusi Poisson)
* \sum_{k=0}^\infty k^3 \frac{z^k}{k!} = (z + 3z^2 + z^3) e^z
* \sum_{k=0}^\infty k^4 \frac{z^k}{k!} = (z + 7z^2 + 6z^3 + z^4) e^z
* \sum_{k=0}^\infty k^n \frac{z^k}{k!} = z \frac{d}{dz} \sum_{k=0}^\infty k^{n-1} \frac{z^k}{k!}\,\! = e^z T_{n}(z)  dengan T_{n}(z) adalah polinomial Touchard.

### Fungsi trigonometrik, trigonometrik invers, hiperbolik, dan hiperbolik invers

* \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sin z
* \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sinh z
* \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)!}=\cos z
* \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k}}{(2k)!}=\cosh z
* \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\tan z, |z|
* \sum_{k=1}^\infty \frac{(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\tanh z, |z|
* \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\cot z, |z|
* \sum_{k=0}^\infty \frac{2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\coth z, |z|
* \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k-1}(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\csc z, |z|
* \sum_{k=0}^\infty \frac{-(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\operatorname{csch} z, |z|
* \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kE_{2k}z^{2k}}{(2k)!}=\operatorname{sech} z, |z|
* \sum_{k=0}^\infty \frac{E_{2k}z^{2k}}{(2k)!}=\sec z, |z|
* \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} z^{2k}}{(2k)!}=\operatorname{ver}z (versinus)
* \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} z^{2k}}{2(2k)!}=\operatorname{hav}z (haversinus)
* \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^2(2k+1)}=\arcsin z, |z|\le1
* \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^2(2k+1)}=\operatorname{arcsinh} {z}, |z|\le1
* \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kz^{2k+1}}{2k+1}=\arctan z, |z|
* \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{2k+1}=\operatorname{arctanh} z, |z|
* \ln2+\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}(2k)!z^{2k}}{2^{2k+1}k(k!)^2}=\ln\left(1+\sqrt{1+z^2}\right), |z|\le1

### Penyebut faktorial yang dimodifikasi

* \sum^{\infty}_{k=0} \frac{(4k)!}{2^{4k} \sqrt{2} (2k)! (2k+1)!} z^k = \sqrt{\frac{1-\sqrt{1-z}}{z}}, |z|
* \sum^{\infty}_{k=0} \frac{2^{2k} (k!)^2}{(k+1) (2k+1)!} z^{2k+2} = \left(\arcsin{z}\right)^2, |z|\le1 
* \sum^{\infty}_{n=0} \frac{\prod_{k=0}^{n-1}(4k^2+\alpha^2)}{(2n)!} z^{2n} + \sum^{\infty}_{n=0} \frac{\alpha \prod_{k=0}^{n-1}[(2k+1)^2+\alpha^2]}{(2n+1)!}  z^{2n+1} = e^{\alpha \arcsin{z}}, |z|\le1 

### Koefisien binomial

* (1+z)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} z^k, |z| (lihat teorema binomial)
* \sum_{k=0}^\infty {2z}, |z|\leq\frac{1}{4}, menghasilkan fungsi bilangan Catalan
* \sum_{k=0}^\infty {2k \choose k} z^k = \frac{1}{\sqrt{1-4z}}, |z|, menghasilkan fungsi koefisien binomial pusat
* \sum_{k=0}^\infty {2k + \alpha \choose k} z^k = \frac{1}{\sqrt{1-4z}}\left(\frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z}\right)^\alpha, |z|

### Bilangan harmonik
(Lihat bilangan harmonik yang didefinisikan H_n = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j} )

*  \sum_{k=1}^\infty H_k z^k = \frac{-\ln(1-z)}{1-z}, |z|
*  \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k+1} z^{k+1} = \frac{1}{2}\left[\ln(1-z)\right]^2, \qquad |z|
*  \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} H_{2k}}{2k+1} z^{2k+1} = \frac{1}{2} \arctan{z} \log{(1+z^2)}, \qquad |z|
*  \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^{2n} \frac{(-1)^k}{2k+1} \frac{z^{4n+2}}{4n+2} = \frac{1}{4} \arctan{z} \log{\frac{1+z}{1-z}},\qquad  |z|

## Koefisien binomial

* \sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n
* \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} = 0, dengan n \ge 1
* \sum_{k=0}^n {k \choose m} = { n+1 \choose m+1 }
* \sum_{k=0}^n {m+k-1 \choose k} = { n+m \choose n } (lihat multihimpunan)
* \sum_{k=0}^n {\alpha \choose k}{\beta \choose n-k} = {\alpha+\beta \choose n} (lihat identitas Vandermonde)

## Fungsi trigonometrik
Penjumlahan fungsi sinus dan kosinus muncul dalam deret Fourier.

* \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(k\theta)}{k}=\frac{\pi-\theta}{2}, 0
* \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos(k\theta)}{k}=-\frac{1}{2}\ln(2-2\cos\theta), \theta\in\mathbb{R}
* \sum_{k=0}^\infty \frac{\sin[(2k+1)\theta]}{2k+1}=\frac{\pi}{4}, 0, 
* B_n(x)=-\frac{n!}{2^{n-1}\pi^n}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^n}\cos\left(2\pi kx-\frac{\pi n}{2}\right), 0
* \sum_{k=0}^n \sin(\theta+k\alpha)=\frac{\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}\sin(\theta+\frac{n\alpha}{2})}{\sin\frac{\alpha}{2}}
* \sum_{k=0}^n \cos(\theta+k\alpha)=\frac{\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}\cos(\theta+\frac{n\alpha}{2})}{\sin\frac{\alpha}{2}}
* \sum_{k=1}^{n-1} \sin\frac{\pi k}{n}=\cot\frac{\pi}{2n}
* \sum_{k=1}^{n-1} \sin\frac{2\pi k}{n}=0
* \sum_{k=0}^{n-1} \csc^2\left(\theta+\frac{\pi k}{n}\right)=n^2\csc^2(n\theta)
* \sum_{k=1}^{n-1} \csc^2\frac{\pi k}{n}=\frac{n^2-1}{3}
* \sum_{k=1}^{n-1} \csc^4\frac{\pi k}{n}=\frac{n^4+10n^2-11}{45}

## Fungsi rasional

* \sum_{n=a+1}^{\infty} \frac{a}{n^2 - a^2} = \frac{1}{2} H_{2a}
* \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2+a^2}=\frac{1+a\pi\coth (a\pi)}{2a^2}
* \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac {1}{n^4+4a^4} = \dfrac{1}{8a^4}+\dfrac{\pi(\sinh(2\pi a)+\sin(2\pi a))}{8a^3(\cosh(2\pi a)-\cos(2\pi a))}
* Suatu deret tak terhingga dari setiap fungsi rasional n dapat direduksi menjadi suatu deret terhingga dari fungsi poligamma, dengan menggunakan dekomposisi pecahan parsial. Fakta ini juga berlaku pada deret terhingga dari fungsi rasional, yang memungkinkan hasilnya dihitung dalam waktu konstanta bahkan jika deret tersebut memiliki banyak suku.

## Fungsi eksponensial

* \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{p}}\sum_{n=0}^{p-1}\exp \left(\frac{2\pi i n^2 q}{p} \right)=\dfrac{e^{\pi i/4}}{\sqrt{2q}}\sum_{n=0}^{2q-1}\exp \left(-\frac{\pi i n^2 p}{2q} \right)(lihat relasi Landsberg–Schaar)
* \displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2} = \frac{\sqrt[4] \pi}{\Gamma\left(\frac 3 4\right)}

## Lihat pula

* Deret (matematika)
* Daftar integral
* 
* Deret Taylor
* Teorema binomial
* Deret Gregory
* On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

## Catatan

## Referensi

* Banyak buku-buku dengan sebuah daftar integral juga memiliki sebuah daftar deret.