Gerak melingkar

**Gerak melingkar** () adalah gerak suatu benda yang membentuk lintasan berupa lingkaran mengelilingi suatu titik tetap. Agar suatu benda dapat bergerak melingkar ia membutuhkan adanya gaya yang selalu *membelokkan*-nya menuju pusat lintasan lingkaran. Gaya ini dinamakan gaya sentripetal. Suatu gerak melingkar beraturan dapat dikatakan sebagai suatu gerak dipercepat beraturan, mengingat perlu adanya suatu percepatan yang besarnya tetap dengan arah yang berubah, yang selalu mengubah arah gerak benda agar menempuh lintasan berbentuk lingkaran.

## Besaran gerak melingkar
Besaran-besaran yang mendeskripsikan suatu gerak melingkar adalah \theta\!, \omega\! dan \alpha\! atau berturur-turut berarti sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut. Besaran-besaran ini bila dianalogikan dengan gerak linier setara dengan posisi, kecepatan dan percepatan atau dilambangkan
berturut-turut dengan r\!, v\! dan a\!.

### Turunan dan integral
Seperti halnya kembarannya dalam gerak linier, besaran-besaran gerak melingkar pun memiliki hubungan satu sama lain melalui proses integrasi dan diferensiasi.

:\int \omega\ dt = \theta \quad \leftrightarrow \quad \omega = \frac{d\theta}{dt}

:\int \alpha\ dt = \omega \quad \leftrightarrow \quad \alpha = \frac{d\omega}{dt}

:\int \int \alpha\ dt^2 = \theta \quad \leftrightarrow \quad \alpha = \frac{d^2\theta}{dt^2}

### Hubungan antar besaran sudut dan tangensial

Antara besaran gerak linier dan melingkar terdapat suatu hubungan melalui R\! khusus untuk komponen tangensial, yaitu

:\theta = \frac{r_T}{R}\ \, \ \ \omega = \frac{v_T}{R}\ \, \ \ \alpha = \frac{a_T}{R}

Perhatikan bahwa di sini digunakan r_T\! yang didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh atau tali busur yang telah dilewati dalam suatu selang waktu dan bukan hanya posisi pada suatu saat, yaitu

:r_T \approx |\overrightarrow{r}(t+\Delta t)-\overrightarrow{r}(t)|\!

untuk suatu selang waktu kecil atau sudut yang sempit.

## Jenis gerak melingkar

Gerak melingkar dapat dibedakan menjadi dua jenis, atas keseragaman kecepatan sudutnya \omega\!, yaitu:

* gerak melingkar beraturan, dan
* gerak melingkar berubah beraturan.

### Gerak melingkar beraturan
Gerak Melingkar Beraturan (**GMB**) adalah gerak melingkar dengan besar kecepatan sudut \omega\! tetap. Besar Kecepatan sudut diperolah dengan membagi kecepatan tangensial v_T\! dengan jari-jari lintasan R\!.

:\omega = \frac {v_T} R

Arah kecepatan linier v\! dalam GMB selalu menyinggung lintasan, yang berarti arahnya sama dengan arah kecepatan tangensial v_T\!. Tetapnya nilai kecepatan v_T\! akibat konsekuensi dar tetapnya nilai \omega\!. Selain itu terdapat pula percepatan radial a_R\! yang besarnya tetap dengan arah yang berubah. Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal, di mana arahnya selalu menunjuk ke pusat lingkaran.

:a_R = \frac {v^2} R = \frac {v_T^2} R

Bila T\! adalah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan satu putaran penuh dalam lintasan lingkaran \theta = 2\pi R\!, maka dapat pula dituliskan

:v_T = \frac {2\pi R} T \!

Kinematika gerak melingkar beraturan adalah

:\theta(t) = \theta_0 + \omega\ t

dengan \theta(t)\! adalah sudut yang dilalui pada suatu saat t\!, \theta_0\! adalah sudut mula-mula dan \omega\! adalah kecepatan sudut (yang tetap nilainya).

Ciri-ciri gerak melingkar beraturan:
* Besar kelajuan linearnya tetap
* Besar kecepatan sudutnya tetap
* Besar percepatan sentripetalnya tetap
* Lintasannya berupa lingkaran

### Gerak melingkar berubah beraturan
Gerak Melingkar Berubah Beraturan (**GMBB**) adalah gerak melingkar dengan percepatan sudut \alpha\! tetap. Dalam gerak ini terdapat percepatan tangensial a_T\! (yang dalam hal ini sama dengan percepatan linier) yang menyinggung lintasan lingkaran (berhimpit dengan arah kecepatan tangensial v_T\!).

:\alpha = \frac {a_T} R

Kinematika GMBB adalah

:\omega(t) = \omega_0 + \alpha\ t \!

:\theta(t) = \theta_0 + \omega_0\ t  + \frac12 \alpha\ t^2 \!

:\omega^2(t) = \omega_0^2 + 2 \alpha\ (\theta(t) - \theta_0) \!

dengan \alpha\! adalah percepatan sudut yang bernilai tetap dan \omega_0\! adalah kecepatan sudut mula-mula.

Ciri-ciri gerak melingkar berubah beraturan:
* Besar kelajuan linearnya berubah
* Besar kecepatan sudutnya berubah
* Besar percepatan sentripetalnya berubah
* Lintasannya berupa lingkaran

## Persamaan parametrik
Gerak melingkar dapat pula dinyatakan dalam persamaan parametrik dengan terlebih dahulu mendefinisikan:

* titik awal gerakan dilakukan (x_0,y_0)\!
* kecepatan sudut putaran \omega\! (yang berarti suatu GMB)
* pusat lingkaran (x_c,y_c)\!

untuk kemudian dibuat persamaannya.

Hal pertama yang harus dilakukan adalah menghitung jari-jari lintasan R\! yang diperoleh melalui:

:R = \sqrt{(x_0 - x_c)^2 + (y_0 - y_c)^2} \!

Setelah diperoleh nilai jari-jari lintasan, persamaan dapat segera dituliskan, yaitu

:x(t) = x_c + R \cos(\omega t + \phi_x) \!

:y(t) = y_c + R \sin(\omega t + \phi_y) \!

dengan dua konstanta \phi_x \! dan \phi_y \! yang masih harus ditentukan nilainya. Dengan persyaratan sebelumnya, yaitu diketahuinya nilai (x_0,y_0)\!, maka dapat ditentukan nilai \phi_x \! dan \phi_y \!:

:\phi_x = \arccos \left( \frac{x_0 - x_c}{R} \right)\!

:\phi_y = \arcsin \left( \frac{y_0 - y_c}{R} \right)\!

Perlu diketahui bahwa sebenarnya

:\phi_x = \phi_y \!

karena merupakan sudut awal gerak melingkar.

### Hubungan antar besaran linier dan angular

Dengan menggunakan persamaan parametrik, telah dibatasi bahwa besaran linier yang digunakan hanyalah besaran tangensial atau hanya komponen vektor pada arah angular, yang berarti tidak ada komponen vektor dalam arah radial. Dengan batasan ini hubungan antara besaran linier (tangensial) dan angular dapat dengan mudah diturunkan.

### Kecepatan tangensial dan kecepatan sudut

Kecepatan linier total dapat diperoleh melalui

:v  = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

dan karena batasan implementasi persamaan parametrik pada gerak melingkar, maka

:v_T  = v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

dengan

:v_x  = \dot{x} = \frac{dx}{dt}

:v_y  = \dot{y} = \frac{dy}{dt}

diperoleh

:v_x  = -\omega R \sin(\omega t + \phi_x) \!

:v_y  = \omega R \cos(\omega t + \phi_x) \!

sehingga

:v_T  = \sqrt{(-\omega)^2 R^2 \sin^2(\omega t + \phi_x) + \omega^2 R^2 \cos^2(\omega t + \phi_x)}\!

:v_T  = \omega R \sqrt{\sin^2(\omega t + \phi_x) + \cos^2(\omega t + \phi_x)}\!
:v_T  = \omega R\!

### Percepatan tangensial dan kecepatan sudut

Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, percepatan linier total dapat diperoleh melalui

:a  = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}

dan karena batasan implementasi persamaan parametrik pada gerak melingkar, maka

:a_T  = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}

dengan

:a_x  = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2}

:a_y  = \ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}

diperoleh

:a_x  = -\omega^2 R \cos(\omega t + \phi_x) \!

:a_y  = -\omega^2 R \sin(\omega t + \phi_x) \!

sehingga

:a_T  = \sqrt{(-\omega)^4 R^2 \cos^2(\omega t + \phi_x) + \omega^4 R^2 \sin^2(\omega t + \phi_x)}\!

:a_T  = \omega^2 R \sqrt{\cos^2(\omega t + \phi_x) + \sin^2(\omega t + \phi_x)}\!
:a_T  = \omega^2 R\!

### Kecepatan sudut tidak tetap

Persamaan parametric dapat pula digunakan apabila gerak melingkar merupakan GMBB, atau bukan lagi GMB dengan terdapatnya kecepatan sudut yang berubah beraturan (atau adanya percepatan sudut). Langkah-langkah yang sama dapat dilakukan, akan tetapi perlu diingat bahwa

:\omega \rightarrow \omega(t) = \int \alpha dt = \omega_0 + \alpha t \!

dengan \alpha\! percepatan sudut dan \omega_0\! kecepatan sudut mula-mula. Penurunan GMBB ini akan menjadi sedikit lebih rumit dibandingkan pada kasus GMB di atas.

Persamaan parametrik di atas, dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih umum, yaitu:

:x(t) = x_c + R \cos \theta \!

:y(t) = y_c + R \sin \theta \!

di mana \theta = \theta(t) \! adalah sudut yang dilampaui dalam suatu kurun waktu. Seperti telah disebutkan di atas mengenai hubungan antara \theta \!, \omega \! dan \alpha \! melalui proses integrasi dan diferensiasi, maka dalam kasus GMBB hubungan-hubungan tersebut mutlak diperlukan.

#### Kecepatan sudut

Dengan menggunakan aturan rantai dalam melakukan diferensiasi posisi dari persamaan parametrik terhadap waktu diperoleh

:v_x(t) = - R \sin \theta\ \frac{d\theta}{dt} =  - \omega(t) R \sin \theta \!

:v_y(t) = R \cos \theta \ \frac{d\theta}{dt} = \omega(t) R \cos \theta \!

dengan

:\frac{d\theta}{dt} = \omega(t) = \omega_0 + \alpha\ t \!

Dapat dibuktikan bahwa

:v(t) = v_T(t) = \sqrt{v_x^2(t) + v_y^2(t)} = \omega(t) R \!

sama dengan kasus pada GMB.

## Gerak berubah beraturan

Gerak melingkar dapat dipandang sebagai gerak berubah beraturan. Bedakan dengan gerak lurus berubah beraturan (GLBB). Konsep kecepatan yang berubah kadang hanya dipahami dalam perubahan besarnya, dalam gerak melingkar beraturan (GMB) besarnya kecepatan adalah tetap, akan tetapi arahnya yang berubah dengan beraturan, bandingkan dengan GLBB yang arahnya tetap akan tetapi besarnya kecepatan yang berubah beraturan.

## Lihat pula
* Gerak jatuh bebas
* Gerak lurus
* Gerak peluru
* Gerak vertikal

## Referensi

## Pranala luar
* Circular Motion Lecture – a video lecture on CM