Faktorial

Dalam matematika, **Faktorial** dari bilangan bulat positif dari  yang dilambangkan dengan , adalah produk dari semua bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan :
:n! = n  \times  (n-1)  \times (n-2)  \times  (n-3) \times \cdots \times  3 \times  2 \times  1 \,. 
Sebagai contoh,
:5! = 5  \times  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 120 \,. 

Nilai 0! adalah 1, menurut konvensi untuk produk kosong.

Operasi faktorial digunakan sebagai bidang matematika, terutama di kombinatorik, aljabar, dan analisis matematika. Penggunaannya yang paling dasar menghitung kemungkinan urutan dan permutasi dari  
yang berada di objek yang berbeda.

Faktorial pada fungsi juga dapat berupa nilai ke argumen non-bilangan bulat sambil mempertahankan properti terpentingnya dengan cara mendefinisikan , di mana  adalah fungsi gamma; ini tidak ditentukan saat  adalah bilangan bulat negatif.

## Sejarah

Faktorial digunakan untuk menghitung permutasi setidaknya sejak abad ke-12, oleh para sarjana Matematika India.  Pada tahun 1677, Fabian Stedman mendeskripsikan faktorial yang diterapkan pada mengubah dering, seni musik yang melibatkan dering dari banyak lonceng yang disetel.  Setelah menggambarkan pendekatan rekursif, Stedman memberikan pernyataan faktorial (menggunakan bahasa aslinya):

notasi dari  diperkenalkan oleh matematikawan asal Prancis bernama Christian Kramp pada tahun 1808.

## Pengertian

Fungsi faktorial didefinisikan sebagai:

:n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{untuk semua }n\ge1.

Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk n \ge 0
:n! = \begin{cases} n \cdot (n-1)!, & \mbox{untuk }  n \ge 1  \\ 1,  & \mbox{untuk } n = 0. \end{cases}

Untuk *n* yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung *n!* menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari *n!* bisa dihitung menggunakan rumus Stirling:
:n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \frac{n^n}{e^n}.

Juga terdapat definisi analitik untuk faktorial, yaitu menggunakan fungsi gamma:
: \Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t 
:n! = \Gamma(n+1)

## Definisi
Fungsi faktorial ditentukan oleh produk, yaitu:

:n!  = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n,

diatas merupakan bilangan bulat dari .  Ini dapat ditulis dalam notasi perkalian pi sebagai:

:n!  = \prod_{i = 1}^n i.

Hal tersebut mengarah menuju relasi pengulangan:

: n! = n \cdot (n-1)! .

Sebagai contoh, 
: \begin{align}
 5! &=  5 \cdot  4! \\
 6! &=  6 \cdot  5! \\
50! &= 50 \cdot 49!
\end{align}
dan seterusnya.

### Faktorial nol
Faktorial dari  adalah , atau dalam simbol, .

Ada beberapa motivasi untuk definisi ini:
* Untuk nilai , definisi dari  sebagai perkalian melibatkan hasil kali tanpa bilangan sama sekali, dan begitu juga contoh dari konvensi yang lebih luas bahwa produk dari tidak ada faktor yang sama dengan identitas perkalian (lihat Produk kosong).
* Hanya ada satu permutasi dari nol objek (tanpa ada yang diubah, satu-satunya penataan ulang adalah tidak melakukan apa-apa).
* Karena membuat banyak identitas di kombinatorik berlaku untuk semua ukuran yang berlaku. Banyaknya cara untuk memilih 0 elemen dari himpunan kosong diberikan oleh koefisien binomial
::\binom{0}{0} = \frac{0!}{0!0!} = 1. 
: Secara lebih umum, jumlah cara untuk memilih semua elemen  di antara himpunan  adalah
::\binom{n}{n} = \frac{n!}{n!0!} = 1. 
* Hal ini memungkinkan untuk ekspresi ringkas dari banyak rumus, seperti fungsi eksponensial, sebagai deret pangkat:
::  e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}.
* Hal ini dapat memperluas hubungan pengulangan ke 0.

## Aplikasi
Meskipun fungsi faktorial berakar pada kombinatorik, rumus yang melibatkan faktorial terjadi di banyak bidang matematika.
* Terdapat nilai  dengan cara yang berbeda untuk menyusun  objek yang berbeda menjadi sebuah urutan, permutasi dari objek tersebut.
* Sering kali faktorial muncul di penyebut rumus untuk menjelaskan fakta bahwa pengurutan harus diabaikan. Contoh klasik menghitung nilai  kombinasi (himpunan bagian dari elemen nilai ) dari himpunan dengan elemen . Seseorang bisa mendapatkan kombinasi seperti itu dengan memilih  sebagai permutasi: secara berturut-turut memilih dan menghapus satu elemen himpunan,  kali, dengan total
::(n-0)(n-1)(n-2)\cdots\left(n-(k-1)\right) = \frac{n!}{(n-k)!} = n^{\underline k}
:Namun, hal ini menghasilkan kombinasi  dalam urutan tertentu yang ingin dinyalakan; karena setiap  - kombinasi diperoleh dengan  cara yang berbeda, jumlah yang benar dari  kombinasi adalah
::\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1} = \frac{n^{\underline k}}{k!}=  \frac{n!}{(n-k)!k!} = \binom {n}{k}.
:Nomor ini diketahui sebagai koefisien binomial, karena ia juga merupakan koefisien dari  pada . Syarat n^{\underline k} sering disebut faktorial jatuh (dilafalkan "*n* menjadi penurunan *k*").
* Faktorial terjadi di aljabar karena berbagai alasan, seperti melalui koefisien yang telah disebutkan dari rumus binomial, atau melalui rata-rata lebih dari permutasi untuk simetri operasi tertentu.
* Faktorial juga muncul di kalkulus; misalnya, mereka muncul di penyebut suku-suku rumus Taylor, di mana mereka digunakan sebagai persyaratan kompensasi karena  turunan dari  setara dengan .
* Faktorial juga digunakan secara ekstensif di teori probabilitas dan teori bilangan (lihat di bawah).
* Faktorial dapat berguna untuk memfasilitasi manipulasi ekspresi. Misalnya jumlah  permutasi dari  dapat ditulis sebagai
::n^{\underline k}=\frac{n!}{(n-k)!}\,;
:meskipun ini tidak efisien sebagai cara untuk menghitung bilangan itu, ini dapat berfungsi untuk membuktikan sifat simetri dari koefisien binomial:
::\binom nk=\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!} = \frac{n^{\underline{n-k}}}{(n-k)!} = \binom n{n-k}\,.
* Fungsi faktorial dapat ditampilkan, menggunakan aturan pangkat, sebagai
::n! = D^n\,x^n = \frac{d^n}{dx^n}\,x^n
:dimana  adalah Notasi Euler untuk  turunan dari .

## Tingkat pertumbuhan dan perkiraan untuk yang besar ''''

Seiring bertambahnya , faktorial  Meningkat lebih cepat daripada semua polinomial dan fungsi eksponensial (tetapi lebih lambat dari n^n dan fungsi eksponensial ganda) masuk .

Sebagian besar perkiraan untuk *n*! didasarkan pada perkiraan logaritma natural
:\ln n! = \sum_{x=1}^n \ln x \,.

Grafik fungsi  ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan. Ini terlihat kira-kira linear untuk semua nilai wajar dari , tetapi intuisi ini salah. Kami mendapatkan salah satu perkiraan paling sederhana untuk  dengan membatasi jumlah dengan integral dari atas dan bawah sebagai berikut:

: \int_1^n \ln x \, dx \leq \sum_{x=1}^n \ln x \leq \int_0^n \ln (x+1) \, dx

yang memberi kami perkiraan

: n\ln\left(\frac{n}{e}\right)+1 \leq \ln n! \leq (n+1)\ln\left( \frac{n+1}{e} \right) + 1 \,.

Karenanya  (lihat Notasi Big). Hasil ini memainkan peran kunci dalam analisis kompleksitas komputasi dari algoritma pengurutan (lihat jenis perbandingan). Dari batas  disimpulkan di atas kita mendapatkan

:\left(\frac ne\right)^n e \leq n! \leq \left(\frac{n+1}e\right)^{n+1} e \,.

Terkadang praktis untuk menggunakan perkiraan yang lebih lemah tetapi lebih sederhana. Menggunakan rumus di atas, dengan mudah ditunjukkan bahwa untuk semua  kita punya , dan untuk semua  kita punya .

Untuk  besar kita mendapatkan perkiraan yang lebih baik untuk bilangan  Menggunakan pendekatan Stirling:

:n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\,.

Ini sebenarnya berasal dari deret asimtotik untuk logaritma, dan faktorial  terletak di antara pendekatan ini dan pendekatan berikutnya:

:\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

Perkiraan lain untuk  Diberikan oleh Srinivasa Ramanujan 

:\begin{align}
\ln n! &\approx n\ln n - n + \frac {\ln\Bigl(n\bigl(1+4n(1+2n)\bigr)\Bigr)}{6} + \frac {\ln\pi}{2} \\[6px]
\Longrightarrow \; n!&\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1 +\frac 1{2n} +\frac 1{8n^2}\right)^{1/6} \,.
\end{align}

Baik pendekatan ini maupun perkiraan Stirling memberikan kesalahan relatif pada urutan , tapi Ramanujan sekitar empat kali lebih akurat. Namun, jika kita menggunakan istilah koreksi *dua* dalam pendekatan tipe Stirling, seperti dengan pendekatan Ramanujan, kesalahan relatifnya akan teratur. :

:n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\exp\left({\frac 1{12n}-\frac 1{360n^3}}\right) \,.

## Teori bilangan
Faktorial memiliki banyak penerapan dalam teori bilangan. Secara khusus,  Harus habis dibagi semua bilangan prima hingga dan termasuk . Sebagai konsekuensi,  adalah bilangan komposit jika dan hanya jika
:(n-1)! \equiv 0 \pmod n.

Hasil yang lebih kuat adalah Teorema Wilson, yang menyatakan bahwa
:(p-1)! \equiv -1 \pmod p
if and only if  is prime.

Rumus Legendre memberikan kelipatan bilangan prima  yang terjadi dalam faktorisasi prima dari  Sebagai
:\sum_{i=1}^\infty \left \lfloor \frac n {p^i} \right \rfloor
or, equivalently, 
:\frac{n - s_p(n)}{p - 1},
di mana  menunjukkan jumlah dari basis standar  digit .

Menambahkan 1 ke faktorial  Menghasilkan bilangan yang hanya habis dibagi oleh bilangan prima yang lebih besar dari . Fakta ini dapat digunakan untuk membuktikan Teorema Euklides bahwa bilangan prima tidak terbatas.  Bentuk prima  disebut prima faktorial.

## Serangkaian timbal balik
kebalikan dari faktorial menghasilkan deret konvergen yang jumlahnya basis eksponensial:
:\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24}  + \frac{1}{120} + \cdots = e\,.
Meskipun jumlah deret ini adalah bilangan irasional, kita bisa mengalikan faktorial dengan bilangan bulat positif untuk menghasilkan deret konvergen dengan jumlah yang rasional:
:\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {(n+2)n!} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8} + \frac{1}{30} + \frac{1}{144} + \cdots=1\,.
Konvergensi deret ini ke 1 dapat dilihat dari fakta bahwa jumlah parsial adalah \frac{k!-1}{k!}.
Oleh karena itu, faktorial tidak membentuk urutan irasionalitas.

## Lihat pula
*Faktorion
* Ledakan Kombinatorial
* Pendekatan Stirling
* Fungsi Gamma
* Notasi panah hiperfaktorial
* Faktoradik
* Permutasi
* Kombinasi

## Referensi

## Pranala luar
* "factorielle.free.fr" 
* Online kalkulator faktorial