Kebebasan aljabar

Di dalam aljabar abstrak, suatu himpunan bagian *S* dari suatu medan *L* dikatakan **bebas aljabar** pada suatu medan bagian *K* jika unsur-unsur *S* tidak memenuhi sembarang persamaan polinom tak-trivial yang berkoefisien di lingkup *K*.

Secara khusus, suatu himpunan berunsur satu {*α*} dikatakan bebas aljabar pada *K* jika dan hanya jika α transenden pada *K*. Secara umum, suatu unsur dari suatu himpunan bebas aljabar *S* pada *K* dikatakan transenden (berdasarkan syarat perlu) pada *K*, dan pada semua perluasan medan pada *K* yang dibangkitkan oleh unsur-unsur *S* lainnya.

## Contoh
Dua bilangan real \sqrt{\pi} dan 2\pi+1 masing-masing dikatakan sebagai bilangan transenden: mereka bukan akar dari sembarang polinom tak-trivial yang koefisien-koefisiennya merupakan bilangan rasional. Dengan demikian, tiap-tiap dua *singleton* (himpunan unsur) \{\sqrt{\pi}\} dan \{2\pi+1\} dikatakan bebas aljabar pada medan bilangan rasional \mathbb{Q}.

Meskipun demikian, himpunan \{ \sqrt{\pi}, 2\pi+1 \} *tidaklah* bebas aljabar pada bilangan rasional, karena polinom tak-trivial
:P(x,y)=2x^2-y+1
bernilai nol manakala x=\sqrt{\pi} dan y=2\pi+1.

## Kebebasan aljabar dari suatu konstanta yang diketahui
Meskipun kedua-dua \pi dan ''e'' diketahui sebagai transenden,
tidaklah diketahui apakah himpunan kedua-dua mereka ini bebas linear pada \mathbb{Q}. Faktanya, bahkan tidak diketahui jika \pi+e tak-rasional.
Nesterenko membuktikan pada tahun 1996 bahwa:
* bilangan-bilangan π, *e*π, dan Γ(1/4) dikatakan bebas aljabar pada **Q**.
* bilangan-bilangan π, *e*π√3, dan Γ(1/3) dikatakan bebas aljabar pada **Q**.
* untuk semua bilangan bulat positif *n*, bilangan-bilangan π, *e*π√n dikatakan bebas aljabar pada **Q**.

## Teorema Lindemann–Weierstrass
Teorema Lindemann–Weierstrass sering kali dapat digunakan untuk membuktikan bahwa beberapa himpunan dikatakan bebas aljabar pada **Q**. Teorema ini menyatakan bahwa ketika α1,...,α*n* merupakan bilangan aljabar yang bebas linear pada **Q**, maka *e*α1,...,*e*α*n* dikatakan bebas aljabar pada **Q**.

## Matroid aljabar
Diberikan suatu perluasan medan *L*/*K yang tidak aljabar*, lemma Zorn dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa akan selalu ada himpunan-bagian bebas aljabar yang maksimal dari *L* pada *K*. Lebih jauhnya, semua himpunan-bagian bebas aljabar yang maksimal akan memiliki kardinalitas yang sama, dikenal sebagai derajat ketransendenan suatu perluasan.

Untuk setiap himpunan *S* dari unsur-unsur *L*, semua himpunan-bagian bebas aljabar dari *S* memenuhi aksioma-aksioma yang mendefinisi himpunan-himpunan matroid yang bebas. Di dalam matroid ini, rentang (*rank*) suatu himpunan unsur-unsur adalah derajat ketransendenannya, dan lempeng (*flat*) yang dibangkitkan oleh suatu himpunan *T* dari unsur-unsur adalah irisan *L* dengan medan *K*[*T*]. Suatu matroid yang dapat dibangkitkan dengan cara ini dikatakan **matroid aljabar**. Tidak ada karakterisasi bagus yang telah diketahui untuk matroid aljabar, tetapi matroid-matroid tertentu diketahui sebagai bukan aljabar; yang terkecil adalah matroid Vámos.

Ada banyak matroid berhingga yang dapat direpresentasi oleh matriks pada medan *K*, di mana unsur-unsur matroid yang berkorespondensi dengan kolom-kolom matriks, dan sehimpunan unsur-unsur dikatakan saling bebas jika himpunan kolom-kolom yang berkorespondensi dikatakan bebas linear. Setiap matroid dengan representasi linear sedemikian dapat juga direpresentasi sebagai suatu matroid aljabar, dengan memilih suatu *indeterminate* untuk tiap-tiap baris matriks, dan dengan menggunakan koefisien-koefisien matriks di dalam tiap-tiap kolom untuk menandai tiap-tiap unsur matroid suatu kombinasi linear dari transenden-transenden ini. Kebalikannya adalah salah: tidak semua matroid aljabar memiliki representasi linear.

## Referensi

## Pranala luar
*