Hipotesis Riemann

Dalam matematika, **hipotesis Riemann** merupakan dugaan bahwa fungsi zeta Riemann memiliki akar-akar hanya pada bilangan genap negatif dan pada bilangan kompleks dengan bagian nyata . Banyak yang mengganggap hipotesis ini merupakan pertanyaan belum terjawab paling penting dalam matematika murni. Hipotesis ini memiliki peran penting dalam teori bilangan karena mengimplikasi hasil-hasil mengenai distribusi bilangan prima. Hipotesis ini diusulkan , dalam tesisnya mengenai distribusi bilangan prima.

Hipotesis Rieman dan beberapa perumumannya, seperti konjektur Goldbach dan konjektur prima kembar, membentuk masalah Hilbert kedelapan dalam daftar dua puluh tiga masalah belum terjawab David Hilbert. Hipotesis ini juga termasuk dalam daftar masalah Milenium Prize, yang menawarkan satu juta dollar AS untuk siapapun yang dapat menyelesaikan masalah tersebut. 

Persamaan zeta Riemann ζ(*s*) adalah sebuah fungsi dengan argumen berupa sembarang bilangan kompleks selain 1, dan nilai fungsi tersebut juga berupa bilangan kompleks. Fungsi ini memiliki akar-akar pada bilangan genap negatif; yakni \zeta(s) = 0 ketika s bernilai −2, −4, −6,&nbsp;.... Akar-akar ini disebut *akar-akar sederhana* (trivial). Fungsi zeta juga memiliki akar pada nilai-nilai s yang lain, yang disebut dengan akar-akar tak-sederhana (nontrivial). Hipotesis Riemann memperhatikan lokasi dari akar-akar tak-sederhana ini, dan menyatakan bahwa:Akibatnya, jika hipotesis ini benar, semua akar tak-sederhana akan terletak pada garis kritis \frac{1}{2} + it, dengan t merupakan bilangan real dan iadalah unit imajiner.

## Fungsi zeta Riemann

Fungsi zeta Riemann terdefinisi pada bilangan kompleks s dengan bagian real lebih besar dari 1, lewat deret takhingga yang konvergen absolut\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots.Leonhard Euler telah mempelajari deret ini pada tahun 1730-an untuk nilai real s, bersamaan dengan solusi mengenai masalah Basel. Ia juga membuktikan deret itu sama dengan darab (perkalian) Euler

: \zeta(s) = \prod_{p \text{ prima}} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdot \frac{1}{1-11^{-s}} \cdots

dengan darab takhingga dilakukan atas semua bilangan prima p.

Hipotesis Riemann membahas akar-akar diluar daerah konvergensi dari deret itu dan darab Euler. Untuk dapat memahami maksud dari hipotesis, diperlukan kontinuasi (perluasan) analitik dari fungsi untuk mendapatkan bentuk yang valid untuk semua bilangan kompleks s. Karena fungsi zeta termasuk meromofik, semua pilihan cara untuk melakukan kontinuasi analitik ini akan menghasilkan bentuk yang sama, sebagai akibat dari teorema identitas. Langkah pertama dalam proses kontinuasi ini adalah pengamatan bahwa fungsi zeta dan fungsi eta Dirichlet memenuhi hubungan

: \left(1-\frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) = \eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots,

pada daerah konvergensi mereka masing-masing. Akan tetapi, fungsi deret eta pada ruas kanan tidak hanya konvergen untuk bilangan kompleks dengan bagian real lebih besar dari 1, tapi juga untuk sembarang s dengan bagian real positif. Akibatnya, fungsi zeta dapat didefinisikan ulang sebagai \eta(s)/(1-2/2^s), memperluas domain dari \text{Re}(s)>1 menjadi \text{Re}(s)>0, kecuali untuk titik-titik yang menyebabkan 1-2/2^s bernilai nol. Titik-titik tersebut memiliki bentuk s = 1 + 2\pi in/\log 2 dengan n dapat berupa sembarang bilangan bulat bukan-nol. Fungsi zeta dapat diperluas lebih lanjut untuk titik-titik tersebut dengan menggunakan limit, menghasilkan nilai yang hingga untuk sembarang nilai s dengan bagian real positif; kecuali untuk kutub sederhana s=1.

Pada daerah berbentuk pita 0, perluasan dari fungsi zeta ini akan memenuhi persamaan fungsional

: \zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s).

Fungsi \zeta(s) juga dapat didefinisikan untuk bilangan kompleks s yang tersisa (yakni \text{Re}(s)\leq0 dan s\neq0) dengan menggunakan fungsi ini di luar pita, lalu membuat \zeta(s) bernilai sama dengan ruas kanan kapanpun s memenuhi \text{Re}(s)\leq0 (dan s\neq0).

Jika s merupakan bilangan genap negatif, maka \zeta(s)=0 karena faktor \sin(\frac{\pi s}{2}) bernilai nol; ini adalah *akar-akar sederhana* dari fungsi zeta. Argumen ini tidak berlaku ketika s berupa bilangan genap positif karena akar dari fungsi sinus tercoret dengan kutub-kutub dari fungsi gamma. Nilai \zeta(s)=-\frac{1}{2} tidak terdefinisi lewat persamaan fungsional, tetapi lewat nilai limit \zeta(s) ketika s menuju nol. Persamaan fungsional juga menyimpulkan bahwa fungsi zeta tidak memiliki akar pada titik-titik selain akar-akar sederhana; mengartikan semua akar-akar tak-sederhana terletak pada pita kritis 0.

## Catatan

## Referensi
Terdapat beberapa buku nonteknis mengenai hipotesis Riemann, seperti , , , , dan . Buku-buku seperti , , ,  dan  memberikan pengenalan secara matematis, sedangkan ,  dan  berupa monografi yang lebih lanjut.

* 
* 
* 
* 
*  Reprinted in .
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*
* 
*  Reprinted in .
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  Reprinted in .
*  Reprinted in .
* 
*  Reprinted in .
*  Review
* 
* . Reprinted 1990, , 
* 
*  (Reprinted by Dover 2003)
* 
*
*
*
*
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*.
* 
* 
* 
* 
*
*  Reprinted in .
* 
* .
* .
* 
* 
* 
* 
*  This unpublished book describes the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.
* 
* 
* 
* 
*
* 
* . In *Gesammelte Werke*, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). Original manuscript (with English translation). Reprinted in  and 
* 
* 
* 
* ; see also announcement on Tao's blog, January 19, 2018
* 
* 
* 
*  Reprinted in .
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  Reprinted in .
* 
* 
*  Reprinted in .
* 
*  Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil 
* 
* 
* 
* 

### Eksposisi populer

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* Frenkel, Edward (2014), The Riemann Hypothesis Numberphile, Mar 11, 2014 (video)