Akar kuadrat dari 2

**Akar kuadrat dari dua**, juga dikenal sebagai **konstanta Pythagoras**, sering ditulis sebagai \sqrt{2}, merupakan bilangan riil yang positif, yang apabila dikalikan dengan nilai itu sendiri akan mendapatkan nomor 2. Nilai berangkanya dekat 65 tempat titik desimal adalah:
:1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799.

Akar kuadrat dari 2 adalah bilangan irasional yang pertama diketahui. Secara geometris, ia merupakan kepanjangan diagonal melintasi segi empat sama dengan sisinya memiliki panjang 1 unit; ini menurut teorema Pythagoras. Bagi pengiraan asas tanpa fungsi kendali, penganggaran \tfrac{99}{70} bagi akar kuadrat lebih elok dibandingkan penganggaran \tfrac{22}{7} bagi pi, yang merupakan bilangan irasional paling lazim digunakan.

Rasio peraknya adalah:

:1+\sqrt{2}

## Sejarah

Tablet tanah liat Babilonia YBC 7289 (c. 1800-1600 SM) memberikan perkiraan √2 dalam empat angka sexagesimal, 1 24 51 10, yang akurat untuk sekitar enam angka desimal, dan yang paling dekat mungkin tiga tempat representasi sexagesimal dari √2:

:1 +  \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}.

Anggaran awal yang hampir lain untuk nomor ini diberi dalam teks matematika India kuno, Sulbasutra (kk. 800-200 SM) seperti berikut: *Tambahkan panjang [sisi] dengan sepertiganya dan sepertiga ini dengan seperempatnya kurang sepertiga-puluh-empat bagi seperempat itu* Itu adalah,

:1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686

Anggaran India purba ini merupakan urutan ketujuh bagi anggaran tepat untuk jujukan bilangan Pell, yang boleh diterbitkan dari kembangan pecahan lanjutan untuk \sqrt{2}

Temuan dari nomor tak rasio sering berkontribusi Hippasus of Metapontum Pythagoras, yang memperkenalkan bukti ketidaknisbahan (hampir ke geometri) untuk akar kuadrat. Menurut legenda, Pythagoras percaya pada kemutlakan nomor-nomor dan tidak dapat menerima nomor tak rasio. Dia tidak bisa memalsukannya melalui logika, tetapi keyakinannya tidak dapat menerima keberadaan nomor tak rasio, maka dia menghukum Hippasus untuk mati lemas. http://www.washingtonpost.com/wp-srv/style/longterm/books/chap1/mysteryaleph.htm Legenda lain menyatakan yang dilemaskan Hippasus oleh pengikut Pythagoras
http://scienceworld.wolfram.com/biography/Hippasus.html, atau diusir dari golongan itu. http://www.washingtonpost.com/wp-srv/style/longterm/books/chap1/mysteryaleph.htm

## Algoritma terkomputerisasi
Banyak algoritma yang membuat estimasi akar kuadrat dari 2, baik dalam pernyataan rasio bilangan bulat atau dalam bentuk desimal. Algoritme paling umum untuk kasus ini, apakah menggunakannya dalam banyak komputer atau mesin penghitung, adalah metode Babylon untuk perhitungan kendali 2 yang merupakan salah satu dari metode menghitung sumber listrik. Hal itu adalah seperti berikut:

Pertama, ambil setiap tebakan, F_0; tebakan itu tidak penting karena dugaan itu hanya memengaruhi berapa banyak iterasi yang diperlukan untuk mencapai perkiraan pendekatan untuk akurasi tertentu. Kemudian, dengan menggunakan tebakan itu, lelarkannya melalui perhitungan rekursif tersebut:

:F_{n+1} = \frac{F_n + \frac{2}{F_n}}{2}.

Lebih banyak iterasi dalam algoritma ini (yaitu banyak perhitungan dilakukan dan "n" lebih besar), lebih elok anggaran akar kuadrat dari 2 yang dapat dicapai.

Nilai √2 dihitung sampai 137,438,953,444 tempat desimal oleh tim Yasumasa Kanada pada 1997.

Pada Februari 2006, catatan perhitungan √2 telah diganti dengan penggunaan komputer rumah. Shigeru Kondo menghitung sampai 200,000,000,000 tempat desimal dalam lebih kurang 13 hari dan 14 jam menggunakan 3.6&nbsp;GHz PC yang memiliki 16GB memori.

Dalam banyak-banyak konstanta dengan ekspansi desimal tidak berulang, hanya pi telah dihitung lebih akurat. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html

## Bukti ketidaknisbahan

### Pembuktian dengan penurunan tak terhingga
Satu pembuktian nomor tak rasio adalah pembuktian dengan penurunan tak terhingga. Ini juga pembuktian melalui kontradiksi, yang membawa makna pernyataan dibuktikan dengan menganggap bahwa jika apa bertentangan dengan pernyataan itu adalah benar dan dengan menunjukkan yang anggapan ini adalah salah akan memberi makna bahwa pernyataan asli itu adalah benar.

# Anggap yang √2 adalah nomor rasio, berarti ada bilangan bulat *a* dan bilangan bulat *b* yang menunjukkan *a* / *b* = √2.
# Kemudian √2 dapat ditulis sebagai pecahan tak terturunkan (fraksi yang dapat disederhanakan sebanyak mungkin) *a* / *b* yaitu *a* dan *b* adalah bilangan bulat kelipatan dan (*a* / *b*)2 = 2.
# Kemudian *a*2 / *b*2 = 2 dan *a*2 = 2 *b*2.
# Maka *a*2 adalah genap karena bersamaan dengan 2 *b*2 yaitu genap juga.
# Kemudian *a* harus genap (karena bilangan bulat ganjil kuadrat adalah ganjil).
# Karena *a* adalah genap, wujudnya bilangan bulat *k* yang memenuhi: *a* = 2*k*.
# Dengan mengganti (6) ke dalam persamaan akhir (3): 2*b*2 = (2*k*)2 adalah sama dengan 2*b*2 = 4*k*2 yang juga sama dengan *b*2 = 2*k*2.
# Disebabkan 2*k*2 genap karena *b*2 juga genap yang membawa maksud *b* adalah genap karena interger ganjil mempunyai kuasa yang ganjil.
# Dengan (5) dan (8) *a* dan *b* adalah genap keduanya, yang bertentangan dengan *a* / *b* yang tak terturunkan seperti dinyatakan dalam (2).
::***"quod erat demonstrandum"***

Mengingat adanya kontradiksi, anggapan (1) yaitu √2 nomor rasio adalah salah. Maka, bertentangan dengan pernyataan itu adalah dibuktikan benar: √2 tidak rasio.

Pembuktian ini dapat digunakan untuk setiap kendali bilangan asli untuk menunjukkan apakah nomor itu nomor asli atau nomor tidak rasio.

### Pembuktian dengan pemfaktoran unik
Pembuktian lain menggunakan pendekatan yang sama dengan teorema pemfaktoran unik:

# Anggap yang √2 adalah nomor rasio, yang berarti wujudnya interger *a* dan bilangan bulat *b* sehingga *a* / *b* = √2.
# Kemudian √2 dapat ditulis sebagai pecahan tak terturunkan (fraksi yang dapat disederhanakan sebanyak mungkin) *a* / *b* yaitu *a* dan *b* adalah bilangan bulat kelipatan dan (*a* / *b*)2 = 2.
# Lalu, *a*2 / *b*2 = 2 dan *a*2 = 2 *b*2.
# Dengan teorema anjak unik, kedua *a* dan *b* memiliki anjak perdana yang unik, yaitu *a* = 2*x**k* dan *b* = 2*y**m* bagi bilangan bulat tak negatif *x*, *y*, dan bilangan bulat ganjil tak negatif *m* and *k*.
# Maka, *a*2 = 22x*k*2 dan *b*2 = 22y*m*2.
# Masukkan kembali ke dalam (3) akan memperoleh 22*x**k*2 = 2 • 22*y**m*2 = 22*y*+1*m*2.
# Ini menyatakan yang anjak perdana dengan kekuatan genap 2 (2x) adalah sama dengan nomor berkuasa aneh 2 (2y + 1). Ini bertentangan dengan teorema anjak unik. Maka, pernyataan asli adalah salah.

### Bukti geometri

Satu lagi pembuktian melalui kontradiksi menunjukkan yang √2 adalah nomor tak rasio adalah tidak berapa diketahui. Ia juga contoh pembuktian penurunan tak terhingga. Konsep ini menggunakan konstruksi kompas dan sisi lurus klasik, membuktikan teorema ini dengan metode yang sama yang digunakan anggota geometri Yunani kuno.

Biarkan *ABC* segitiga sama kaki tegak dengan panjang miring *m* dan kaki *n*. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, *m* / *n* = √2. Katakan *m* dan *n* adalah bilangan bulat. Biarkan *m*:*n* menjadi rasio yang diberikan melalui sebutan terendah.

Lukis lengkungan *BD* dan *CE* berpusat *A*. Hubungkan *DE*. Kemudian *AB* = *AD*, *AC* = *AE* serta sudut *BAC* dan sudut *DAE* adalah sama. Maka segitiga *ABC* dan *ADE* adalah kongruen melalui SAS.

Mengingat sudut *EBF* adalah sudut tegak dan sudut *BEF* setengah sudut tegak, *BEF* juga segitiga sama kaki tegak. Maka *BE* = *m*&nbsp;-&nbsp;*n* menandai *BF* = *m*&nbsp;-&nbsp;*n*. Melalui simetri, *DF* = *m*&nbsp;-&nbsp;*n*, dan *FDC* juga segitiga sama kaki tegak. Juga *FC* = *n*&nbsp;-&nbsp;(*m*&nbsp;-&nbsp;*n*) = 2*n*&nbsp;-&nbsp;*m*.

Mengingat kita memiliki segitiga sama kaki tegak yang lebih kecil, dengan panjang miring 2*n* - *m* dan kaki *m* - *n*. Nilai ini adalah bilangan bulat yang lebih kecil dari *m* dan *n* dan dalam rasio yang sama, bertentangan dengan hipotesis yang menunjukkan bahwa *m*:*n* adalah sebutan terkecil. Maka *m* dan *n* tidak mungkin bilangan bulat, maka √2 adalah bukan rasio.

## Sifat-sifat akar kuadrat dari dua
separuh √2, sekitar 0.707106781186548, merupakan kuantitas lazim dalam geometri dan trigonometri, karena kenyataan yang vektor unit membuat sudut 45° dengan sumbu pada bidang yang memiliki koordinat

:\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Nomor ini bertepatan dengan

:\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ).

Satu sifat menarik bagi akar kuadrat dari dua ialah:

: \!\ {1 \over {\sqrt{2} - 1}} = \sqrt{2} + 1.

Ini merupakan hasil dari sifat rasio perak.

√2 juga dapat dinyatakan dalam hal salinan satuan imajiner *i* hanya menggunakan akar kuadrat dan operasi aritmetika:

:\frac{\sqrt{i}+i \sqrt{i}}{i} dan \frac{\sqrt{-i}-i \sqrt{-i}}{-i}.

## Perwakilan seri dan hasil perkalian
Pengenalan cos(p/4) = sin(p/4) = √2/2, bersama perwakilan hasil perkalian tak terhingga bagi sinus dan kosinus menyebabkan hasil perkalian seperti

:\frac{1}{\sqrt 2} = \prod_{k=0}^\infty
\left(1-\frac{1}{(4k+2)^2}\right) =
\left(1-\frac{1}{4}\right)
\left(1-\frac{1}{36}\right)
\left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots

dan

:\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} =
\left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right)
\left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right)
\left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right)
\left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots

atau setara dengan

:\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\left(1+\frac{1}{4k+1}\right)
\left(1-\frac{1}{4k+3}\right)
=
\left(1+\frac{1}{1}\right)
\left(1-\frac{1}{3}\right)
\left(1+\frac{1}{5}\right)
\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.

Nomor tersebut dapat dinyatakan dengan mengambil deret Taylor untuk fungsi trigonometri. Misalnya, seri untuk cos(p/4) adalah:

:\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2k}}{(2k)!}.

Seri Taylor untuk √(1+*x*) dengan *x* = 1 memberikan

:\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{(2k-3)!!}{(2k)!!} =
1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} -
\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots.

Konvergensi seri ini bisa dicepatkan dengan konversi Euler, menghasilkan

:\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{(k!)^2 2^{3k+1}} = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} +
\frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.

Tidak diketahui apakah √2 dapat diwakilikan dengan rumus BBP-type. Rumus BBP-type digunakan untuk π√2 dan √2 ln (1 + √2). http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/bbp-formulas.pdf

## Perwakilan pecahan lanjutan
Akar kuadrat dari dua memiliki perwakilan pecahan lanjutan seperti berikut:

: \!\ \sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \cdots}}}.

## Catatan


## Referensi

* 
* 
* 
* Gourdon, X. & Sebah, P. Pythagoras' Constant: √2. Includes information on how to compute digits of \sqrt{2}.
* Henderson, David W., *[http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html Square Roots in the Sulbasutra]*

## Pranala luar
*  The Square Root of Two to 5 million digits by Jerry Bonnell and Robert Nemiroff. May, 1994.
*  Square root of 2 is irrational, a collection of proofs
*  √2.net , enthusiast site with realtime computation