Integral lipat

Dalam matematika (khususnya dalam cabang kalkulus multivariabel), **integral lipat** merupakan integral tentu dari fungsi variabel real banyak, contohnya seperti  atau . Integral dari fungsi dua variabel pada daerah di bidang bilangan real (\mathbb{R}^2) disebut **integral lipat dua**, dan integral dari fungsi tiga variabel pada daerah di ruang tiga dimensi bilangan real (\mathbb{R}^3) disebut **integral lipat tiga**.

## Pengenalan
Integral tentu dari fungsi positif satu variabel yang mewakili luas daerah antara grafik fungsi dan sumbu-. Mirip dengan sebelumnya, **integral lipat dua** dari fungsi positif dua variabel mewakili volume daerah antara permukaan yang didefinisikan melalui fungsi (di bidang Kartesius berdimensi tiga, dengan ) dan bidang yang memuat domain fungsinya. Integral lipat akan memberikan hipervolume dari fungsi multidimensi jika ada banyaknya variabel.

Pengintegralan banyak dari fungsi dalam variabel :  pada domain  biasanya diwakili oleh simbol integral bersarang yang dihitung dalam urutan yang terbalik (integral paling sebelah kiri dihitung terakhir), ditunjukkan oleh fungsi dan argumen integran dalam urutan wajar (integral pada argumen paling sebelah kanan dihitung terakhir). Domain pengintegralannya mewakili secara simbolis untuk setiap argumen pada simbol integral, atau disingkat oleh variabel di simbol integral paling sebelah kanan:

: \int \cdots \int_\mathbf{D}\, f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,dx_1 \!\cdots dx_n 

Karena konsep antiturunan hanya didefinisikan untuk fungsi satu variabel real, definisi integral taktentu biasanya tidak langsung memperluas ke integral lipat.

## Definisi secara matematis
Untuk , misalkan  adalah domain *[[hyperrectangle]]* berdimensi , dengan interval "setengah terbuka". Maka, secara matematis didefinisikan sebagai

:T= [ a_1, b_1) \times [ a_2, b_2) \times \cdots \times [ a_n, b_n) \subseteq \R^n.

Partisi masing-masing interval  dengan keluarga hingga  dari subinterval tak-bertindih , dengan masing-masing subinterval tertutup di sebelah kiri dan terbuka di sebelah kanan. Maka, keluarga hingga dari *subrectangle*  yang dinyatakan sebagai

:C=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n

merupakan partitisi dari . Dalam artian, *subrectangle*  tak bertindih dan gabungan dari interval tersebut adalah . Agar dapat menjelaskan lebih lanjut, misalkan  adalah fungsi yang didefinisikan oleh . Misalkan pula partisi  dari  seperti yang didefinsikan sebelumnya, sehingga  adalah keluarga dari *subrectangle* , dinyatakan sebagai . Secara matematis, ditulis sebagai

:T=C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_m

Kita dapat menghitung hampiran dari total volume berdimensi  dengan batas bawahnya adalah *hyperrectangle*  berdimensi  dan batas atasnya adalah grafik  berdimensi . Hal ini dapat ditunjukkan melalui jumlah Riemann:

:\sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}(C_k)

dengan  adalah titik di  dan  merupakan hasilkali dari panjang interval yang hasilkali Kartesius adalah , juga dikenal sebagai ukuran dari .

**Diameter** suatu *subrectangle*  merupakan panjang interval paling terbesar, dengan hasilkali Cartesiusnya adalah . Diameter dari partisi  yang diberikan dinyatakan sebagai diameter terpanjang dari *subrectangle* dalam partisi. Secara intuitif, ketika diameter dari partisi  dibatasi lebih kecil dan lebih kecil lagi, jumlah *subrectangle*  semakin besar, dan ukuran  dari masing-masing *subrectangle* semakin kecil. Fungsi  dikatakan **terintegralkan Riemann** jika limit

:S=\lim_{\delta \to 0} \sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m} (C_k)

ada, dengan limitnya mengambil semua partisi  yang mungkin dari diameter setidaknya .

Jika  adalah terintegralkan Riemann, maka  disebut **integral Riemann** dari  pada  dan dinyatakan sebagai

: \int \cdots \int_T\, f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,dx_1 \!\cdots dx_n 

atau bentuk integral di atas sering kali disingkat sebagai

: \int_T\!f(\mathbf{x})\,d^n\mathbf{x}.

dengan  mewakili  kelipatan  dan  merupakan diferensial volume berdimensi .

Integral Riemann suatu fungsi yang didefinsikan pada batas sembarang himpunan berdimensi  dapat didefinisikan dengan memperluas fungsi tersebut menjadi sebuah fungsi yang didefinisikan pada persegi panjang setengah terbuka, dengan nilainya nol berada di luar domain fungsi aslinya. Maka, integral dari fungsi asli pada domain asli dinyatakan menjadi integral dari fungsi yang diperluas pada domain berupa persegi panjang, jika ada.

Integral Riemann berdimensi  disebut **integral lipat**.

### Sifat-sifat
Ada banyak sifat integral lipat yang sama dengan sifat integral dari fungsi satu variabel seperti linearitas, komutitativitas, kemonotonan, dan sebagainya. Sifat yang penting mengenai integral lipat adalah bahwa nilai suatu integral adalah bebas dari urutan integran terhadap syarat-syarat tertentu. Sifat populer ini dikenal sebagai teorema Fubini.

### Kasus istimewa
Ada berbagai kasus istimewa terkait dengan integral lipat. **Integral lipat dua** dari  di  ditulis

: l = \iint_T f(x,y)\, dx\, dy 

untuk kasus  sedangkan **integral lipat tiga** dari  di  ditulis

: l = \iiint_T f(x,y,z)\, dx\, dy\, dz

untuk kasus T \subseteq \R^3.

Perhatikan bahwa menurut konvensi, integral lipat ganda mempunyai dua tanda integral, sedangkan integral lipat tiga mempunyai tiga tanda integral.

## Metode-metode pengintegralan
Pada beberapa kasus, penyelesaian masalah terkait dengan integral lipat melibatkan sebuah pencarian mengenai cara untuk mereduksi integral lipat menjadi integral teriterasi, sebuah deret dari integral satu variabel, yang masing-masing integral dapat diselesaikan langsung. Namun, hal ini dibenarkan melalui teorema Fubini, asalkan fungsinya kontinu. Terkadang metode ini dapat memperoleh hasil pengintegralan dengan menguji langsung tanpa melakukan perhitungan apapun.

Berikut adalah beberapa contoh-contoh terkait metode-metode pengintegralan:

### Fungsi konstan integran
Ketika integrannya adalah fungsi konstan , integral dari fungsi tersebut sama dengan hasil kali dari  dan ukuran domain pengintegralan. Jika  dan domainnya merupakan subdaerah dari , maka integral memberikan luas daerah. Namun jika domainnya merupakan subdaerah dari , maka integral memberikan volume daerah.
**Contoh.** Misalkan  dan

:D = \left\{ (x,y) \in \R^2 \ : \ 2 \le x \le 4 \ ; \ 3 \le y \le 6 \right\}

maka integral darinya adalah

:\int_3^6 \int_2^4 \ 2 \ dx\, dy =2\int_3^6 \int_2^4 \ 1 \ dx\, dy= 2\cdot\operatorname{luas}(D) = 2 \cdot (2 \cdot 3) = 12,

karena menurut definisi, diperoleh:

:\int_3^6 \int_2^4 \ 1 \ dx\, dy=\operatorname{luas}(D).

### Metode menggunakan simetri
Ketika domain pengintegralan adalah simetri terhadap asalnya, yang terhadap salah satu variabel pengintegralan, dan integran adalah fungsi ganjil terhadap variabel tersebut, maka integralnya sama dengan nol, ketika integral pada dua bagian domain memiliki nilai mutlak yang sama, namun dengan tanda yang berlawanan. Ketika integran adalah fungsi genap terhadap variabel tersebut, maka integralnya dua kali integral pada satu bagian domain, ketika integral pada dua bagian domain adalah sama.

**Contoh 1.** Tinjau fungsi  diintegralkan pada domain

:T=\left \{ ( x,y) \in \R^2 \ : \ x^2+y^2\le 1 \right \},

sebuah cakram berjari-jari 1 yang berpusat di titik asalnya dengan batas yang ditentukan.

Dengan menggunakan sifat linearitas, integral dari fungsi tersebut dapat diurai menjadi tiga bagian integral:

:\iint_T \left(2\sin x - 3y^3 + 5\right) \, dx \, dy = \iint_T 2 \sin x \, dx \, dy - \iint_T 3y^3 \, dx \, dy + \iint_T 5 \, dx \, dy

Fungsi  adalah fungsi ganjil di variabel  dan cakram  simetri terhadap sumbu-, sehingga nilai dari integral pertama adalah 0. Mirip contoh sebelumnya, fungsi  adalah fungsi ganjil dari, dan  simetri terhadap sumbu-, dan seterusnya hingga mencapai hasil akhir, yaitu nilai dari integral ketiga. Jadi, integral aslinya sama dengan 5 kalinya dari luas cakram, yaitu 5**'.</blockquote>

<blockquote>**Contoh 2.** Tinjau fungsi  dan ketika mengintegralkan daerah [[Bola (matematika)|bola]] berjari-jari 2, yang berpusat di titik asli,
:<math>T = \left \{ ( x,y, z) \in \R^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 \le 4 \right \},</math>
maka "bola" tersebut simetri dengan tiga sumbu. Namun, hal ini cukup mengintegralkannya terhadap sumbu- untuk memperlihatkan bahwa hasilnya adalah 0, karena fungsinya adalah ganjil dari variabel tersebut.</blockquote>



== Contoh ==
=== Integral ganda di atas persegi panjang ===
Mari kita asumsikan bahwa kita ingin mengintegrasikan fungsi multivariabel  di suatu wilayah :
:<math>A = \left \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \ : \ 11 \le x \le 14 \ ; \ 7 \le y \le 10 \right \} \mbox{ dan } f(x,y) = x^2 + 4y\,</math>

Dari sini kami merumuskan integral iterasi

:<math>\int_7^{10} \int_{11}^{14} (x^2 + 4y) \, dx\, dy </math>

Integral bagian dalam dilakukan terlebih dahulu, berintegrasi dengan  dan mengambil  sebagai konstanta, karena ini bukan [[variabel integrasi]]. Hasil integral ini, yang merupakan fungsi yang hanya bergantung pada , kemudian diintegrasikan sehubungan dengan .

:<math>\begin{align}
\int_{11}^{14} \left(x^2 + 4y\right) \, dx & = \left [\frac13 x^3 + 4yx \right]_{x=11}^{x=14} \\
&= \frac13(14)^3 + 4y(14) - \frac13(11)^3 - 4y(11) \\
&= 471 + 12y \end{align}</math>

Kami kemudian mengintegrasikan hasilnya sehubungan dengan .

:<math>\begin{align}
\int_7^{10} (471 + 12y) \ dy & = \Big[471y + 6y^2\Big]_{y=7}^{y=10} \\
&= 471(10)+ 6(10)^2 - 471(7) - 6(7)^2 \\
&= 1719 \end{align}</math>

Dalam kasus di mana integral ganda dari nilai absolut fungsi berhingga, urutan integrasi dapat dipertukarkan, yaitu, ''x'' pertama dan mengintegrasikan sehubungan dengan ''y'' pertama menghasilkan hasil yang sama. Itulah [[Teorema Fubini]]. Misalnya, melakukan perhitungan sebelumnya dengan urutan terbalik memberikan hasil yang sama:

:<math> \begin{align}
\int_{11}^{14} \int_{7}^{10} \, \left(x^2 + 4y\right) \, dy\, dx & = \int_{11}^{14} \Big[x^2 y + 2y^2 \Big]_{y=7}^{y=10} \, dx \\
&= \int_{11}^{14} \, (3x^2 + 102) \, dx \\
&= \Big[x^3 + 102x \Big]_{x=11}^{x=14} \\
&= 1719. \end{align}</math>

=== Integral ganda di atas domain normal ===


Pertimbangkan wilayahnya (lihat grafik di contoh):
:<math>D = \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \ : \ x \ge 0, y \le 1, y \ge x^2 \}</math>
Hitung

:<math>\iint_D (x+y) \, dx \, dy.</math>

Domain ini normal dalam kaitannya dengan ''x'' dan ''y'' sumbu. Untuk menerapkan rumus, diperlukan untuk menemukan fungsi yang menentukan ''D'' dan interval di mana fungsi ini didefinisikan. Dalam hal ini kedua fungsi tersebut adalah:

:<math>\alpha (x) = x^2\text{ and }\beta (x) = 1</math>

sedangkan interval diberikan oleh perpotongan fungsi dengan ''x''&nbsp;=&nbsp;0, jadi interval dari [''a'',&nbsp;''b''] = [0,&nbsp;1] (normalitas telah dipilih sehubungan dengan sumbu ''x'' untuk pemahaman visual yang lebih baik).

Sekarang dimungkinkan untuk menerapkan rumus:

:<math>\iint_D (x+y) \, dx \, dy = \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 (x+y) \, dy = \int_0^1 dx \ \left[xy + \frac{y^2}{2} \right]^1_{x^2}</math>

(pada awalnya integral kedua dihitung dengan mempertimbangkan '' x '' sebagai konstanta). Operasi yang tersisa terdiri dari penerapan teknik dasar integral:

:<math>\int_0^1 \left[xy + \frac{y^2}{2}\right]^1_{x^2} \, dx = \int_0^1 \left(x + \frac{1}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2} \right) dx = \cdots = \frac{13}{20}.</math>

Bila kita memilih normalitas sehubungan dengan sumbu '' y '' - kita dapat menghitung

:<math>\int_0^1 dy \int_0^{\sqrt{y}} (x+y) \, dx.</math>

dan mendapatkan nilai yang sama.


=== Menghitung volume ===
Menggunakan metode yang dijelaskan sebelumnya, dimungkinkan untuk menghitung volume beberapa padatan umum.
* **Tabung**: Volume tabung dengan tinggi  dan dasar lingkaran jari-jari  dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta  di atas alas lingkaran, menggunakan koordinat kutub.
::<math>\mathrm{Volume} = \int_0^{2\pi} d \varphi\, \int_0^R h \rho \, d \rho = 2 \pi h \left[\frac{\rho^2}{2}\right]_0^R = \pi R^2 h</math>

Ini sesuai dengan rumus volume sebuah [[prisma]]

::<math>\mathrm{Volume} = \text{luas alas} \times \text{tinggi}. </math>

* **Bola**: Volume bola dengan jari-jari  dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas bola, menggunakan koordinat bola.

::<math>\begin{align} \text{Volume} &= \iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz \\
&= \iiint_D 1 \, dV \\
&= \iiint_S \rho^2 \sin \varphi \, d\rho\, d\theta\, d\varphi \\
&= \int_0^{2\pi} \, d \theta \int_0^{ \pi } \sin \varphi\, d \varphi \int_0^R \rho^2\, d \rho \\
&= 2 \pi \int_0^\pi \sin \varphi\, d \varphi \int_0^R \rho^2\, d \rho \\
&= 2 \pi \int_0^\pi \sin \varphi \frac{R^3}{3 }\, d \varphi \\
&= \frac23 \pi R^3 \Big[-\cos \varphi\Big]_0^\pi = \frac43 \pi R^3.
\end{align}</math>

* **Tetrahedron** (segitiga [[piramida]] atau 3 - [[simpleks]]): Volume tetrahedron dengan puncaknya pada titik asal dan tepi panjang  sepanjang -, - dan -sumbu dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas tetrahedron.

::<math>\begin{align} \text{Volume} &= \int_0^\ell dx \int_0^{\ell-x}\, dy \int_0^{\ell-x-y }\, dz \\
&= \int_0^\ell dx \int_0^{\ell-x } (\ell - x - y)\, dy \\
&= \int_0^\ell \left( l^2 - 2 \ell x + x^2 - \frac{(\ell-x)^2 }{2}\right)\, dx \\
&= \ell^3 - \ell \ell^2 + \frac{\ell^3}{3 } - \left[\frac{\ell^2 x}{2} - \frac{ \ell x^2}{2} + \frac{x^3}{6 }\right]_0^ \ell \\
&= \frac{\ell^3}{3} - \frac{\ell^3}{6} = \frac{ \ell^3}{6}\end{align}</math>

:Hal ini sesuai dengan rumus volume sebuah [[piramida]]

::<math>\mathrm{Volume} = \frac13 \times \text{luas dasar} \times \text{tinggi} = \frac13 \times \frac{\ell^2}{2} \times \ell = \frac{ \ell^3}{6}.</math>



== Beberapa integral tak wajar ==
Dalam kasus domain tidak terikat atau fungsi tidak terikat di dekat batas domain, kita harus memperkenalkan **integral tidak tepat rangkap dua** atau **integral tidak tepat rangkap tiga'''.

## Lihat pula
* Teorema analisis utama yang menghubungkan beberapa integral:
** Teorema divergensi
** Teorema Stokes
** Teorema Green

## Referensi

## Pranala luar
* e
*