Kaidah darab

Dalam kalkulus, **kaidah darab** (), atau sering disebut **hukum Leibniz** (lihat turunan), adalah kaidah yang menentukan turunan dari hasil kali (darab) fungsi yang terdiferensialkan.

Kaidah ini dapat dituliskan sebagai:

:(fg)'=f'g+fg' \,

atau dalam notasi Leibniz:

:{d\over dx}(uv)=u{dv\over dx}+v{du\over dx}.

## Penemuan oleh Leibniz
Kaidah ini ditemukan oleh Gottfried Leibniz yang mendemonstrasikannya dengan menggunakan diferensial. Argumen Leibniz mengatakan: jika *u*(*x*) dan *v*(*x*) adalah dua fungsi *x* yang terdiferensialkan, maka diferensial dari *uv* adalah

: 
\begin{align}
d(uv) & {} = (u + du)(v + dv) - uv \\
& {} = u\,dv + v\,du + du\,dv.
\end{align}


Oleh karena (*du*)(*dv*) adalah "dapat diabaikan" (i.e. paling tidak kuadratis pada *du* dan *dv*), Leibniz berkesimpula bahwa

:d(uv) = v\,du + u\,dv \,

dan ini merupakan bentuk diferensial dari kaidah darab. Jika kita membaginya dengan *dx*, kita mendapatkan

:\frac{d}{dx} (uv) = v \left( \frac{du}{dx} \right) + u \left( \frac{dv}{dx} \right)

yang dapat ditulis dengan "notasi prima" sebagai

:(uv)' = v u' + u v'. \,

## Pembuktian kaidah darab

Pembuktian yang cermat dari kaidah darab dapat diberikan menggunakan sifat-sifat limit dan definisi turunan sebagai limit dari hasil bagi beda Newton.

Misalkan

: h(x) = f(x)g(x),\,

dan *f* and *g* masing-masing terdiferensialkan pada bilangan tetap *x*. Maka

:h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)

Perbedaannya:

: f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2) 

adalah luas daerah persegi panjang besar dikurangi luas daerah persegi panjang kecil seperti yang digambarkan

Kita ketahui bahwa daerah berbentuk-L di atas dapat dibagi lagi menjadi dua persegi panjang, maka jumlah daerah tersebut dapat ditulis:

: f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3) 

(Ilustrasi di atas tidak akan berlaku pada beberapa kasus khusus karena *f*(*w*) tidak seperlunya lebih besar dari *f*(*x*) dan *g*(*w*) tidak seperlunya lebih besar dari *g*(*x*). Walaupun begitu, persamaan (2) dan (3) dapat dievaluasi dengan mudah menggunakan aljabar.)

Oleh karena itu, persamaan (1) adalah sama dengan

:\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)

Jika semua limit pada (5) ada, maka persamaan (4) sama dengan

: \left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right)
+ \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right).
\qquad\qquad(5)  

Sekarang

:\lim_{w\to x}f(x) = f(x)\,

karena *f*(*x*) tetaplah konstan ketika *w* → *x*;

: \lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x) 

karena *g* terdiferensialkan pada *x*;

: \lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x) 

karena *f* terdiferensialkan pada *x*;

: \lim_{w\to x} g(w) = g(x)\, 

karena *g* kontinu pada *x* (Teorema lainnya mengatakan fungsi yang terdiferensialkan haruslah kontinu)

Kita dapat berkesimpulan bahwa persamaan (5) sama dengan

: f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,

## Pembuktian alternatif: menggunakan logaritma
Misalkan *f* = *uv* dan *u* dan *v* adalah positif. Maka

:\ln f = \ln u + \ln v.\,

Diferensialkan dua sisi:

:{1 \over f} {d \over dx} f = {1 \over u} {d \over dx} u + {1 \over v} {d \over dx} v

kalikan sisi kiri dengan *f* dan sisi kanan dengan *uv*,

:{d \over dx} f = v {d \over dx} u + u {d \over dx} v.

Pembuktian ini dapat dilihat di http://planetmath.org/encyclopedia/LogarithmicProofOfProductRule.html . Perlu diperhatikan bahwa karena *u*, *v* haruslah kontinu, asumsi positif tidak akan menghilangkan kerampatan (generality).

Pembuktian ini bergantung pada kaidah rantai dan sifat-sifat fungsi logaritma natural.

## Pembuktian alternatif: menggunakan kaidah rantai

Kaidah darab dapat dianggap sebagai kasus khusus dari kaidah rantai untuk beberapa variable.

:  {d (ab) \over dx} = \frac{\partial(ab)}{\partial a}\frac{da}{dx}+\frac{\partial (ab)}{\partial b}\frac{db}{dx} = b \frac{da}{dx} + a \frac{db}{dx}.

## Perumuman
### Hasil kali dari lebih dari dua faktor

Kaidah darab dapat diperumum ke hasil kali yang memiliki lebih dari dua faktor. Misalkan untuk tiga faktor:

:\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}.

Untuk sekumpulan fungsi f_1, \dots, f_k:

:\frac{d}{dx} \prod_{i=1}^k f_i(x)
 = \left(\sum_{i=1}^k \frac{\frac{d}{dx} f_i(x)}{f_i(x)}\right)
   \prod_{i=1}^k f_i(x).

### Turunan lebih tinggi

Kaidah ini juga dapat dirampatkan menjadi kaidah Leibniz untuk turunan lebih tinggi dari hasil kali dua faktor: jika *y* = *uv* dan *y*(*n*) menandakan turunan ke-*n* dari *y*, maka

:y^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} u^{(n-k)}(x)\; v^{(k)}(x).

Lihat pula koefisien binomial dan teorema binomial yang mirip dengan perampatan ini.

### Turunan parsial lebih tinggi

Untuk turunan parsial lebih tinggi:

:{\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv)
= \sum_S {\partial^ u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-|S|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}

dengan indeks *S* adalah deret 2*n* dari subhimpunan dari {1,&nbsp;...,&nbsp;*n*}. Misalkan *n* =&nbsp;3:

:\begin{align} &{}\quad {\partial^3 \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv)  \\  \\
&{}= u \cdot{\partial^3 v \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_1}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_2\,\partial x_3} +  {\partial u \over \partial x_2}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_3}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_2} \\  \\
&{}\qquad + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_2}\cdot{\partial v \over \partial x_3}
+ {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_2}
+ {\partial^2 u \over \partial x_2\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_1}
+ {\partial^3 u \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3}\cdot v. \end{align}

### Kaidah darab pada ruang Banach

Jika *X*, *Y*, dan *Z* adalah ruang Banach (yang meliputi ruang Euclide) dan *B*: *X* × *Y* → *Z* adalah operator bilinear kontinu. Maka *B* terdiferensialkan dan turunannya pada titik (*x*,*y*) di *X* × *Y* adalah peta linear *D*(*x*,*y*)*B*: *X* × *Y* → *Z*
: (D_\left( x,y \right)\,B)\left( u,v \right) = B\left( u,y \right) + B\left( x,v \right)\qquad\forall (u,v)\in X \times Y.

### Turunan dalam aljabar abstrak

Dalam aljabar abstrak, kaidah darab digunakan untuk men*defnisi*kan apa yang disebut sebagai turunan dan tidak sebaliknya.

### Untuk fungsi vektor

Dalam fungsi vektor, kaidah darab akan berubah sedikit dikarenakan sifat antikomutatif pada hasil kali vektor. Sehingga:
:(fg)'=f'g+fg' \,
dan bukannya
:(fg)'=f'g+g'f \,, walaupun ini adalah benar pada perkalian skalar.

## Lihat pula
* Kaidah hasil bagi
* Kaidah timbal balik
* Kaidah rantai
* Integrasi parsial
* Diferensial
* Turunan (aljabar abstrak)

## Referensi