Derajat kebebasan (fisika dan kimia)

**Derajat kebebasan** adalah suatu parameter fisika yang independen, biasa disebut dimensi, dalam deskripsi formal merupakan keadaan suatu sistem fisika. Himpunan semua dimensi dari suatu sistem dikenal sebagai ruang fasa.

## Definisi
Dalam fisika, derajat kebebasan suatu sistem merupakan deskripsi formal dari parameter yang berkontribusi untuk keadaan dari sistem fisika.
Juga bisa didefinisikan sebagai suatu angka minimum yang diperlukan untuk menentukan koordinat posisi suatu partikel atau sistem partikel.
Dalam mekanika, partikel titik dapat bergerak secara bebas tiga arah dalam ruang. Dengan demikian, momentum suatu partikel terdiri atas tiga komponen, masing-masing disebut derajat kebebasan. Suatu sistem terdiri atas N partikel bebas sehingga memiliki total derajat kebebasan 3N.
Demikian juga dalam mekanika statistik, derajat kebebasan adalah angka skalar tunggal yang menggambarkan keadaan mikro suatu sistem. Spesifikasi semua keadaan mikro sistem adalah suatu titik dalam ruang fasa sistem.
Derajat kebebasan yang digunakan tidak bergantung pada variabel lain. Sebagai contoh, dalam model rantai ideal 3D, dua sudut yang diperlukan untuk menjelaskan masing-masing orientasi monomor.

## Contoh: Gas diatomik

Dalam ruang tiga dimensi, tiga derajat kebebasan berkaitan dengan suatu mekanika partikel. Molekul gas diatomik memiliki 6 derajat kebebasan dalam bentuk translasi, rotasi, dan vibrasi molekul. Pergerakan massa inti menyumbang 3 derajat kebebasan dan molekul meiliki satu vibrasi dan dua rotasi sudut gerak. Rotasi terjadi disekitar dua sumbu yang saling tegak lurus di antara dua atom. Rotasi disekitar ikatan atom-ato tidak dihitung.
Untuk molekul diatom menghasilkan:
:3N = 6 = 3 + 1 + 2.
Untuk molekul dengan jumlah atom N > 2, dianggap memiliki 3 rotasi derajat kebebasan.
:3 N = 3 + 3 + (3 N - 6)
dengan molekul N-atom memiliki 3 N - 6 vibrasi derajat kebebasan untuk N > 2.

Selain itu, menghitung derajat kebebasan dapat juga menggunakan nilai minimum koordinat yang diperlukan untuk menentukan posisi. Hal ini dilakukan sebagai berikut: 1. Untuk partikel tunggal diperlukan 2 koordinat pada bidang 2-D untuk menentukan posisinya dan derajat kaebebasan pada bidang 3-D adalah 3. 2. Untuk sistem yang terdiri atas 2 partikel (molekul diatomik) pada bidang 3-D dengan jarak konstan (d) memiliki derajat kebebasan 5. Satu partikel memiliki koordinat (x1,y1,z1) dan koordinat lainnya (x2) dan (y2). Persamaan untuk jarak antara 2 koordinat atom ( d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}) diperoleh nilai yang mengandung (z2). (Catatan:x1, x2, y1, y2, z1, atau z2 bisa aja tidak diketahui.)
Berlawanan dengan teorema equipartisi klasik, pada gerak vibrasi molekul biasanya kapasitas suhu dapat diabaikan. Hal ini menyebabkan derajat kebebasan dibekukan karena jarak antara energi nilai eigen melebihi energi yang sesuai dengan suhu lingkungan (kT). Dalam tabel berikut derajat kebebasan diabaikan karena efeknya yang kecil terhadap energi total. Namun, pada suhu yang sangat tinggi derajat kebebasan tidak bisa diabaikan.

## Derajat kebebasan Independen
Derajat kebebasan terdiri atas X_1, \ldots, X_N suatu sistem yang independen jika energi assosiatif diatur bisa ditulis sebagai berikut: E = \sum_{i=1}^N E_i(X_i),
di mana E_i adalah fungsi dengan variabel tunggal X_i.
example: jika X_1 and X_2 memiliki 2 derajat kebebasan, dan E adalah energi assosiatif:
:* Jika E = X_1^4 + X_2^4, dengan dua derajat kebebasan yang independen.
:* Jika E = X_1^4 + X_1 X_2 + X_2^4, dengan dua derajat kebebasan yang *tidak* independen. Istilah yang melibatkan produk X_1 dan X_2 adalah istilah kopling, yang menggambarkan interaksi antara dua derajat kebebasan.

Pada termodinamika equilibrium, X_1, \ldots, X_n semua statistik independen satu sama lain.

Untuk *i* dari 1 to *N*, dengan *i*derajat kebebasan X_i didistribusikan berdasarkan distribusi Boltzmann. Probability fungsi kerapatan mengikuti:
: p_i(X_i) = \frac{e^{-\frac{E_i}{k_B T}}}{\int dX_i \, e^{-\frac{E_i}{k_B T}}},

Pada bagian ini, seluruh artikel dengan tanda kurung \langle \rangle menunjukkan mean rata-rata jumlah.

Energi internal sistem merupakan jumlah dari rata-rata energi asosiatif untuk setiap derjat kebebasan:
:\langle E \rangle = \sum_{i=1}^N \langle E_i \rangle.

### Demonstrasi
Sebuah pertukaran energi sistem dalam bentuk panas dengan lingkungannya dan jumlah partikel dalam sistem tetap. Hal ini terkait dengan sistem dalam ansambel kanonik. Perhatikan bahwa dalam mekanika statistik, hasil yang ditunjukkan untuk sistem dalam ansambel tertentu tetap untuk sistem ini pada batas termodinamika dalam ansambel apapun. Dalam ansambel kanonik, kesetimbangan termodinamika, keadaan dari sistem didistribusikan di antara semua keadaan mikro berdasarkan distribusi Boltzmann. Jika T suhu sistem dan k_B konstanta Boltzmann, maka probabilitas fungsi kerapatan yang terkait untuk setiap keadaan mikro adalah sebagai berikut:
: P(X_1, \ldots, X_N) = \frac{e^{-\frac{E}{k_B T}}}{\int dX_1\,dX_2 \ldots dX_N e^{-\frac{E}{k_B T}}},

Penyebut pada persamaan di atas memiliki peranan penting. Dalam hal ini, terbentuk produk bergantung pada derajat kebebasan tunggal.
:P(X_1, \ldots, X_N) = p_1(X_1) \ldots p_N(X_N)

Gangguan dari multidimensional probabilitas fungsi kepadatan menjadi fungsi produk dengan satu variabel sudah cukup untuk menunjukkan bahwa X_1  \ ldots X_N  adalah statistik independen satu sama lain.

Setiap fungsi p_i adalah Konstanta Normalisasi, mengikuti bahwa p_i adalah probabiliti fungsi kerapatan dari derajat kebebasan X_i, untuk *i* dari 1 sampai *N*.

Sehingga energi internal dari sistem merupakan energi rata-rata. Energi dari derajat kebebasan E_i adalah fungsi dari variabel tunggal X_i. Jika X_1, \ldots, X_N adalah statistik independent satu sama lain, maka energi E_1(X_1), \ldots, E_N(X_N) juga statistik independen satu sama lain. Total energi internal dari sistem bisa ditulis:
: U = \langle E \rangle = \langle \sum_{i=1}^N E_i \rangle = \sum_{i=1}^N \langle E_i \rangle

## Derajat Kebebasan Kuadratik
Suatu derajat kebebasan X_i adalah kuadratik apabila the energi terkait dengan derajat kebebasan, dapat ditulis sebagai
:E = \alpha_i\,\,X_i^2 + \beta_i \,\, X_i Y ,

di mana Y adalah kombinasi linear dari setiap derajat kebebasan kuadratik.

contoh: jika X_1 dan X_2 adalah dua derajat kebebasan, dan E adalah energi asosiatif:
:* Jika E = X_1^4 + X_1^3 X_2 + X_2^4, dengan dua derajat kebebasan yang tidak independen dan non-kuadratik.
:* Jika E = X_1^4 + X_2^4, dengan dua derajat kebebasan yang independen and non-quadratik.
:* Jika E = X_1^2 + X_1 X_2 + 2X_2^2, dengan dua derajat kebebasan yang tidak independen dan kuadratik.
:* Jika E = X_1^2 + 2X_2^2, dengan dua derajat kebebasan yang independen dan kuadratik.

Sebagai contoh, dalam Newtonian mechanics, dynamics suatu sistem dengan derajat kebebasan kuadratik diatur sehingga homogen persamaan differential linear dengan koefisien konstan.

## Derajat Kebebasan Independen dan Kuadratik
X_1, \ldots, X_N adalah derajat kebebasan kuadratik dan independen apabila energi assosiatif untuk keadaan mikro suatu sistem bisa dipresentasikan sebagai berikut:
:E = \sum_{i=1}^N \alpha_i X_i^2

## Teorema Equipartisi
Pada batasan klasik mekanika statisti, pada equilibrium termodinamika, energi internal dari suatu sistem *N* derajat kebebasan independen dan kuadratik adalah:
: U = \langle E \rangle = N\,\frac{k_B T}{2}

Di sini, mean energi assosiatif dengan derajat kebebasan adalah:
:\langle E_i \rangle = \int dX_i\,\,\alpha_i X_i^2\,\, p_i(X_i) = \frac{\int dX_i\,\,\alpha_i X_i^2\,\, e^{-\frac{\alpha_i X_i^2}{k_B T}}}{\int dX_i\,\, e^{-\frac{\alpha_i X_i^2}{k_B T}}} 
:\langle E_i \rangle = \frac{k_B T}{2}\frac{\int dx\,\,x^2\,\, e^{-\frac{x^2}{2}}}{\int dx\,\, e^{-\frac{x^2}{2}}} = \frac{k_B T}{2} 

Apabila derajat kebebasan independen, energi internal dari sistem setara dengan jumlah rata-rata energi assosiatif dengan setiap derajat kebebasan, yang dapat ditunjukkan pada hasil.

## Rujukan
# "Configuration integral (statistical mechanics)". http://clesm.mae.ufl.edu/wiki.pub/index.php/Configuration integral (statistical mechanics)#Thermodynamic properties.