Deret Taylor

**Deret Taylor** dalam matematika adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor. Deret Taylor mendapat nama dari matematikawan Inggris Brook Taylor. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai **deret Maclaurin**, dari nama matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin

## Definisi
Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks *f*(*x*) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks *a* adalah deret pangkat

:f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f*(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots </math>

yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

:<math> \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}</math>

dengan *n*! melambangkan [[faktorial]] *n* dan *f*<sup>&nbsp;(*n*)</sup>(*a*) melambangkan nilai dari turunan ke-*n* dari *f* pada titik *a*. Turunan kenol dari *f* didefinisikan sebagai *f* itu sendiri, dan  dan 0! didefinisikan sebagai&nbsp;1.

Dalam kasus khusus di mana *a* = 0, deret ini disebut juga sebagai *'Deret Maclaurin*'.

==Kesalahan perkiraan dan konvergensi==





Gambar di sebelah kanan adalah perkiraan yang akurat dari  sekitar intinya . Kurva merah muda adalah polinomial derajat tujuh:

:<math>\sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}.\!</math>

Kesalahan dalam perkiraan tersebut tidak lebih dari nilai . Secara khusus, untuk nilai , kesalahannya kurang dari&nbsp;0.000003.

Sebaliknya, ditampilkan juga gambar dari fungsi logaritma natural pada nilai  dan beberapa [[polinomial Taylor]] di sekitar nilai . Perkiraan tersebut menyatu dengan fungsi dari ; di luar wilayah tersebut polinomial Taylor derajat yang lebih tinggi berada *lebih buruk* perkiraan untuk fungsi tersebut. Hal tersebut mirip dengan [[Fenomena anak tangga]].

*Masalah* yang terjadi saat mendekati fungsi dengan nilai  Pada Polinomial Taylor dari derajat disebut *sisa* atau *residual* dan dilambangkan dengan fungsinya . [[Teorema Taylor]] dapat digunakan untuk mendapatkan batasan ukuran sisanya.

Secara umum, deret Taylor sama sekali tidak perlu [[deret konvergen|menggunakan konvergen]]. Dan sebenarnya himpunan fungsi dengan deret Taylor konvergen adalah [[himpunan kecil]] di [[ruang Fréchet]] dari [[fungsi mulus]]. Dan bahkan jika deret Taylor memiliki fungsi  konvergen, batasnya secara umum tidak perlu sama dengan nilai fungsinya . Misalnya Fungsi
:<math>
f(x) = \begin{cases}
e^{-\frac{1}{x^2}}&\text{if } x\neq0\\
0&\text{if } x=0
\end{cases}
</math>


Secara lebih umum, setiap urutan bilangan real atau kompleks dapat muncul sebagai [[koefisien]] dalam deret Taylor dari fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata, konsekuensi dari [[lemma Borel]].  Akibatnya, [[radius konvergensi]] deret Taylor bisa menjadi nilai nol. Bahkan ada fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata yang deret Taylor-nya memiliki radius konvergensi 0 di mana-mana.



==Generalisasi==
Namun demikian, ada generalisasi dari deret Taylor yang konvergen ke nilai fungsi itu sendiri untuk setiap [[fungsi terikat|terikat]] dari [[fungsi kontinu]] pada nilai , menggunakan kalkulus [[beda hingga]]. Secara khusus, seseorang memiliki teorema berikut, karena [[Einar Hille]], bahwa untuk apa saja ,
:<math>\lim_{h\to 0^+}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\frac{\Delta_h^nf(a)}{h^n} = f(a+t).</math>
Darimana nilai  adalah  Pada operator perbedaan hingga dengan ukuran langkah . Deret tersebut persis seperti deret Taylor, kecuali perbedaan yang terbagi muncul sebagai pengganti diferensiasi: deret ini secara formal mirip dengan [[deret Newton]]. Saat fungsinya  bersifat analitik di , istilah dalam deret bertemu dengan istilah deret Taylor, dan dalam pengertian ini menggeneralisasi deret Taylor biasa.

Secara umum, untuk urutan tak terbatas apa pun , identitas deret pangkat berikut berlaku:
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{u^n}{n!}\Delta^na_i = e^{-u}\sum_{j=0}^\infty\frac{u^j}{j!}a_{i+j}.</math>
Jadi secara khusus,
:<math>f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} e^{-\frac{t}{h}}\sum_{j=0}^\infty f(a+jh) \frac{\left(\frac{t}{h}\right)^j}{j!}.</math>

[[Hukum jumlah besar]] menyiratkan bahwa identitas memegang.

==Daftar seri Maclaurin dari beberapa fungsi umum==

Beberapa ekspansi penting seri Maclaurin menyusul. Semua perluasan tersebut valid untuk argumen yang kompleks .

=== Fungsi eksponensial ===

[[Fungsi eksponensial]] pada <math>e^x</math> (dengan basis [[e (matematika)|]]) memiliki deret Maclaurin
:<math>e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots </math>.
Hal tersebut menyatu untuk nilai .

=== Logaritma natural ===
[[Logaritma natural]] (dengan basis [[e (matematika)|]]) memiliki deret Maclaurin
:<math>\begin{align}
\ln(1-x) &= - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n = -x - \frac{x^2}2 - \frac{x^3}3 - \cdots , \\
\ln(1+x) &= \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \cdots .
\end{align}</math>


=== Deret geometris ===

[[Deret geometris]] dan turunannya memiliki deret Maclaurin

:<math>\begin{align}
\frac{1}{1-x} &= \sum^\infty_{n=0} x^n \\
\frac{1}{(1-x)^2} &= \sum^\infty_{n=1} nx^{n-1}\\
\frac{1}{(1-x)^3} &= \sum^\infty_{n=2} \frac{(n-1)n}{2} x^{n-2}.
\end{align}</math>
Semuanya konvergen untuk <math>|x| < 1</math>.  Ini adalah kasus khusus dari of [[#Binomial series|binomial series]] diberikan di bagian selanjutnya.

== Deret Binomial ==

[[Deret Binomial]] adalah deret pangkat

:<math>(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n</math>

yang koefisiennya adalah [[koefisien binomial]] umum

: <math>\binom{\alpha}{n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.</math>

(Jika , produk ini adalah [[produk kosong]] dan memiliki nilai 1.) Menyatu <math>|x| < 1</math> untuk bilangan real atau kompleks apa pun .

Darimana nilai , ini pada dasarnya adalah deret geometri tak hingga yang disebutkan di bagian sebelumnya. Kasus khusus  dan  berikan fungsi [[akar kuadrat]] dan [[pembalikan perkalian|pembalikan]]:

:<math>\begin{align}
(1+x)^\frac12 &= 1 + \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{8}x^2 + \tfrac{1}{16}x^3 - \tfrac{5}{128}x^4 + \tfrac{7}{256}x^5 - \ldots, \\
(1+x)^{-\frac12} &= 1 -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{8}x^2 - \tfrac{5}{16}x^3 + \tfrac{35}{128}x^4 - \tfrac{63}{256}x^5 + \ldots.
\end{align}</math>

Jika hanya [[pendekatan linier|suku linier]] yang dipertahankan, ini disederhanakan menjadi [[perkiraan binomial]].

== Perkiraan dalam fungsi ==
=== Fungsi trigonometri ===
[[Fungsi trigonometri]] biasa dan inversnya memiliki deret Maclaurin berikut:
:<math>\begin{align}
\sin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\cos x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\tan x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\sec x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} &&=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\arcsin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots && \text{for }|x| \le 1\\[6pt]
\arccos x &=\frac{\pi}{2}-\arcsin x\\&=\frac{\pi}{2}- \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}&&=\frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}-\frac{3x^5}{40}-\cdots&& \text{for }|x| \le 1\\[6pt]
\arctan x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} &&=x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}-\cdots && \text{for }|x| \le 1,\ x\neq\pm i
\end{align}</math>

Semua sudut diekspresikan dalam [[radian]]. Angka-angka  muncul dalam perluasan  adalah [[angka Bernoulli]]. Hal itu  dalam perluasan  adalah [[nomor Euler]].

=== Fungsi hiperbolik ===
[[Fungsi hiperbolik]] memiliki deret Maclaurin yang terkait erat dengan deret untuk fungsi trigonometri yang sesuai:
:<math>\begin{align}
\sinh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} &&= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\cosh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} &&= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\tanh x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n \left(4^n-1\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\operatorname{arsinh} x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} && && \text{for }|x| \le 1\\[6pt]
\operatorname{artanh} x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} && && \text{for }|x| \le 1,\ x\neq\pm 1
\end{align}</math>

Angka-angka  muncul di seri untuk  adalah [[angka Bernoulli]].

==Deret Taylor sebagai definisi==

Secara klasik, [[fungsi aljabar]] s didefinisikan oleh persamaan aljabar, dan [[fungsi transendental]] s (termasuk yang dibahas di atas) ditentukan oleh beberapa properti yang mendukungnya, seperti [[persamaan diferensial]]. Misalnya, [[fungsi eksponensial]] adalah fungsi yang sama dengan turunannya sendiri di mana-mana, dan mengasumsikan nilai 1 di asalnya. Namun, seseorang dapat mendefinisikan [[fungsi analitik]] dengan deret Taylor-nya.


==Deret Taylor dalam beberapa variabel==

Deret Taylor juga dapat digeneralisasikan ke fungsi lebih dari satu variabel dengan

:<math>\begin{align}
T(x_1,\ldots,x_d) &= \sum_{n_1=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty  \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\ldots,a_d) \\
&= f(a_1, \ldots,a_d) + \sum_{j=1}^d \frac{\partial f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j} (x_j - a_j) + \frac{1}{2!} \sum_{j=1}^d \sum_{k=1}^d \frac{\partial^2 f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k} (x_j - a_j)(x_k - a_k) \\
& \qquad \qquad + \frac{1}{3!} \sum_{j=1}^d\sum_{k=1}^d\sum_{l=1}^d \frac{\partial^3 f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k \partial x_l} (x_j - a_j)(x_k - a_k)(x_l - a_l) + \cdots
\end{align}</math>

Dari contoh di atas, untuk suatu fungsi <math>f(x,y)</math> yang bergantung pada dua variabel,  dan , seri Taylor ke urutan kedua tentang intinya  adalah

:<math>f(a,b) +(x-a) f_x(a,b) +(y-b) f_y(a,b) + \frac{1}{2!}\Big( (x-a)^2 f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b) f_{xy}(a,b) +(y-b)^2 f_{yy}(a,b) \Big)</math>

di mana subskrip menunjukkan masing-masing [[turunan parsial]].

Ekspansi deret Taylor orde dua dari fungsi nilai skalar lebih dari satu variabel dapat ditulis secara kompak sebagai

:<math>T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} D f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2!} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} \left \{D^2 f(\mathbf{a}) \right \} (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots,</math>

Darimana  adalah [[gradien]] dari nilai  dievaluasi pada  dan  adalah [[matriks Hessian]]. Menerapkan [[notasi multi-indeks]] deret Taylor untuk beberapa variabel menjadi

:<math>T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \geq 0}\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\alpha}{\alpha !} \left({\mathrm{\partial}^{\alpha}}f\right)(\mathbf{a}),</math>

yang harus dipahami sebagai versi [[multi-indeks]] yang masih lebih disingkat dari persamaan pertama paragraf ini, dengan analogi penuh untuk kasus variabel tunggal.

=== Contoh ===

Untuk menghitung ekspansi deret Taylor orde dua di sekitar titik  dari fungsi tersebut
:<math>f(x,y)=e^x\ln(1+y),</math>

yang pertama menghitung semua turunan parsial yang diperlukan:

:<math>\begin{align}
f_x &= e^x\ln(1+y) \\[6pt]
f_y &= \frac{e^x}{1+y} \\[6pt]
f_{xx} &= e^x\ln(1+y) \\[6pt]
f_{yy}  &= - \frac{e^x}{(1+y)^2}  \\[6pt]
f_{xy} &=f_{yx} =  \frac{e^x}{1+y} .
\end{align}</math>

Mengevaluasi turunan ini di asalnya akan menghasilkan koefisien Taylor

:<math>\begin{align}
f_x(0,0) &= 0 \\
f_y(0,0) &=1 \\
f_{xx}(0,0) &=0 \\
f_{yy}(0,0) &=-1 \\
f_{xy}(0,0) &=f_{yx}(0,0)=1.
\end{align}</math>

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus umum

:<math>T(x,y) = f(a,b) +(x-a) f_x(a,b) +(y-b) f_y(a,b) +\frac{1}{2!}\Big( (x-a)^2f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b) +(y-b)^2 f_{yy}(a,b) \Big)+ \cdots</math>

menghasilkan

:<math>\begin{align}
T(x,y) &= 0 + 0(x-0) + 1(y-0) + \frac{1}{2}\Big( 0(x-0)^2 + 2(x-0)(y-0) + (-1)(y-0)^2 \Big) + \cdots \\
&= y + xy - \frac{y^2}{2} + \cdots
\end{align}</math>

Setelah  bersifat analitik , kita punya
:<math>e^x\ln(1+y)= y + xy - \frac{y^2}{2} + \cdots, \qquad |y| < 1.</math>

== Contoh ==
Deret Maclaurin untuk setiap [[polinomial]] adalah polinomial itu sendiri.

Deret Maclaurin untuk  merupakan [[deret geometri]]

:<math>1+x+x^2+x^3+\cdots\!</math>

maka deret Taylor untuk *x*<sup>−1</sup> pada  adalah

:<math>1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.\!</math>

Dengan melakukan [[integral|integrasi]] deret Maclaurin di atas, dapat dihitung deret Maclaurin untuk , di mana log melambangkan [[logaritma natural]]:

:<math>-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4-\cdots\!</math>

dan deret Taylor yang bersangkutan untuk log(*x*) pada  adalah

:<math>(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3-\frac{1}{4}(x-1)^4+\cdots,\!</math>

dan lebih umum, deret Taylor yang bersangkutan untuk log(*x*) pada suatu *a* = *x*<sub>0</sub> adalah:

: <math> \log ( x_0 ) + \frac{1}{x_0} ( x - x_0 ) - \frac{1}{x_0^2}\frac{( x - x_0 )^2}{2} + \cdots.</math>

Deret Taylor untuk [[fungsi eksponensial]] e<sup>*x*</sup> pada *a*&nbsp;= 0 adalah

:<math>1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots\! = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.</math>

Ekspansi di atas berlaku karena derivatif e<sup>*x*</sup> terhadap x juga adalah e<sup>*x*</sup> dan e<sup>0</sup> sama dengan&nbsp;1. Ini menyisakan elemen  pada numerator dan *n'' pada denominator untuk setiap elemen dalam jumlah tak terhingga.

## Lihat pula
* Teorema Taylor
* Deret pangkat
* Teorema nilai purata

## Referensi

* 
* 
* 

## Pranala luar
* 
* Taylor Series Representation Module by John H. Mathews
* "Discussion of the Parker-Sochacki Method "
* minea.org
* Another Taylor visualisation  - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
* Taylor series revisited for numerical methods pada Numerical Methods for the STEM Undergraduate