Teorema Green

Dalam matematika, **teorema Green** memberikan hubungan antara sebuah integral garis pada kurva tertutup sederhana *C* dan integral ganda pada bidang *D* yang dibatasi oleh *C*. Teorema ini mendapatkan namanya dari George Green  dan merupakan kasus khusus dua-dimensi dari teorema Stokes yang lebih umum.

## Teorema
Misalkan C adalah sebuah kurva tertutup sederhana di sebuah bidang, bersifat mulus bagian-demi-bagian (*piecewise*), dan berorientasi positif, dan misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh C. Jika L dan M adalah fungsi terhadap (x,\,y) yang terdefinisi pada daerah terbuka yang mencakup  dan memiliki turunan parsial yang kontinu disana, maka\oint_C (L\, dx + M\, dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) dx\, dydengan arah integrasi sepanjang C bersifat berlawanan jarum jam.

Dalam fisika, teorema Green diterapkan dalam banyak hal. Salah satunya dalam menyelesaikan integral aliran dua-dimensi, yang menyatakan bahwa jumlah aliran fluida yang keluar dari sebuah volume sama dengan jumlah aliran yang terjadi pada permukaan volume tersebut. Sedangkan dalam survey wilayah, teorema Green dapat digunakan untuk menentukan luas dan titik pusat bidang hanya dengan mengintegrasikan kelilingnya.

## Bukti ketika ''D'' adalah daerah sederhana
Berikut ini adalah bukti dari setengah teorema untuk daerah D yang disederhanakan, sebuah daerah tipe I di mana C_1 dan C_3 adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis vertikal (panjangnya bisa saja nol). Bukti yang sama juga dapat diperoleh untuk separuh teorema yang lain ketika D adalah daerah tipe II di mana C_2 dan C_4 adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis horisontal (lagi-lagi, panjangnya bisa saja nol). Dengan menyatukan kedua bagian ini, teorema ini terbukti untuk daerah tipe III (didefinisikan sebagai daerah yang merupakan gabungan tipe I dan tipe II). Kasus umum kemudian dapat disimpulkan dari kasus khusus ini dengan menguraikan D menjadi sekumpulan daerah tipe III.

Jika dapat ditunjukkan bahwa hubungandanbersifat benar, maka teorema Green berlaku untuk daerah D. Bukti persamaan () dapat diperoleh untuk daerah bertipe I, dan bukti persamaan () untuk daerah bertipe II. Teorema Green selanjutnya dapat diperoleh dengan mudah untuk daerah bertipe III.

Misalkan D adalah daerah bertipe I dan dapat dinyatakan, seperti gambar disamping kanan, olehD = \{(x,y)\mid a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}dengan g_1 dan g_2 adalah fungsi kontinu pada [a,\,b]. Dengan menghitung integral ganda pada persamaan ():Selanjutnya akan dihitung integral garis pada persamaan (). Kurva C dapat ditulis ulang sebagai gabungan empat kurva: C_1, C_2, C_3, dan C_4.

Pada C_1, persamaan parametrik x=x,\, y=g_1(x) untuk a\leq x\leq b dapat digunakan untuk menyatakan C_1. Selanjutnya\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b L(x,g_1(x))\, dx.Pada C_3, persamaan parametrik x=x,\, y=g_3(x) untuk a\leq x\leq b dapat digunakan untuk menyatakan kurva ini. Selanjutnya, \int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b L(x,g_2(x))\, dx.Integral atas C_3 bernilai negatif karena bergerak berlawanan arah dari b menuju a, sama dengan arah orientasi C yang positif (berlawanan arah jarum jam). Pada C_2 dan C_4, nilai x tidak berubah, mengartikan \int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0.Akibatnya,Menggabungkan hasil pada persamaan () dengan persamaan (), didapatkan bukti persamaan () untuk daerah bertipe I. Gaya pembuktian yang mirip dapat dibuat untuk menghasilkan () pada daerah bertipe II. Menggabungkan kedua hasil ini, akan didapatkan untuk daerah bertipe III.

## Wilayah yang terhubung banyak
**Teorema.** Misalkan \Gamma_0,\Gamma_1,\ldots,\Gamma_n berorientasi positif pada kurva Jordan yang dapat diperbaiki \mathbb{R}^2 yang memenuhi

: \begin{aligned}
\Gamma_i \subset R_0,&&\text{ji } 1\le i\le n\\
\Gamma_i \subset \mathbb{R}^2\smallsetminus \overline{R}_j,&&\text{jika }1\le i,j \le n\text{ dan }i\ne j,
\end{aligned}

dengan R_i adalah daerah bagian dalam dari \Gamma_i. Misalkan pula D sebagai D=R_0 \smallsetminus (\overline{R}_1 \cup \overline{R}_2 \cup \cdots \cup \overline{R}_n), dan p:\overline{D}\longrightarrow\mathbf{R} dan q:\overline{D}\longrightarrow\mathbf{R} adalah fungsi kontinu yang batasannya (*restriction*) di D adalah terdiferensialkan-Fréchet. Jika fungsi

: (x,y)\longmapsto\frac{\partial q}{\partial e_1}(x,y)-\frac{\partial p}{\partial e_2}(x,y)

terintegralkan Riemann atas D, maka berlaku hubungan:

: 
\begin{align}
& \int_{\Gamma_0} p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum_{i=1}^n \int_{\Gamma_i} p(x,y)\,dx + q(x,y)\,dy \\[5pt]
= {} & \int_D\left\{\frac{\partial q}{\partial e_1}(x,y)-\frac{\partial p}{\partial e_2}(x,y)\right\} \, d(x,y).
\end{align}


## Lihat pula
* Teorema Divergensi
* Teorema Stokes
## Catatan