Lapangan (matematika)

**Medan** atau **lapangan** (juga disebut **bidang**) dalam matematika adalah suatu struktur aljabar dengan operasi seperti penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang memenuhi aksioma tertentu. Medan yang kerap kali dijumpai dan paling dikenal adalah medan bilangan rasional, medan bilangan real, dan medan bilangan kompleks.

Selain itu, terdapat medan lain yang umumnya digunakan dan dipelajari dalam matematika, terutama dalam teori bilangan dan geometri aljabar, seperti medan fungsi rasional, medan fungsi aljabar, medan bilangan aljabar, dan medan p-adik. Sebagian besar protokol kriptografi mengandalkan medan berhingga, yaitu medan dengan banyak elemen.

Relasi dua medan diekspresikan dengan gagasan tentang ekstensi medan. Teori Galois yang diprakarsai oleh Évariste Galois pada tahun 1830-an, dikhususkan untuk memahami kesimetrian ekstensi medan. Di antara hasil lainnya, teori ini menunjukkan bahwa mentriseksi segi tiga dan menguadratkan lingkaran tidak dapat dilakukan dengan jangka dan penggaris lurus. Selain itu, ini menunjukkan bahwa persamaan kuintik, secara umum, tidak berpenyelesaian secara aljabar.

Medan berfungsi sebagai gagasan dasar dalam beberapa ranah matematika. Ini mencakup berbagai cabang analisis matematika yang didasarkan pada medan dengan struktur tambahan. Teorema dasar dalam analisis bergantung pada sifat struktural medan bilangan real. Yang terpenting untuk tujuan aljabar, medan yang digunakan sebagai skalar untuk ruang vektor, yang merupakan konteks umum standar untuk aljabar linier. Medan bilangan bagian dari medan bilangan rasional, dipelajari secara mendalam di teori bilangan. Medan fungsi dapat membantu mendeskripsikan sifat objek geometris.

## Definisi
Contoh sebuah lapangan adalah himpunan bilangan rasional **Q**. Dalam **Q** terdapat empat operasi dasar: penjumlahan bersama dengan pengurangan, dan perkalian dengan pembagian. Secara intuitif, suatu lapangan adalah himpunan bilangan yang memiliki empat operasi seperti itu. Agar memenuhi syarat sebagai lapangan, operasi-operasi tersebut harus memenuhi aksioma tertentu.

Sebuah *lapangan* adalah sebuah himpunan, misalkan dinamakan *F*, bersama dengan dua operasi biner, yang biasanya dinamakan sebagai *penambahan* dan *perkalian*, masing-masing dilambangkan sebagai + dan ·, sehingga aksioma berikut berlaku:

;*Tertutup* terhadap penambahan dan perkalian
:Untuk semua *a*, *b* anggota *F*, baik *a* + *b* dan *a* · *b* ada dalam *F* (atau, dengan rumusan lebih formal, + dan . adalah operasi biner terhadap *F*).
;Sifat asosiatif penambahan dan perkalian
:Untuk semua *a*, *b*, and *c* dalam *F*, persamaan berikut berlaku: *a* + (*b* + *c*) = (*a* + *b*) + *c* dan *a* · (*b* · *c*) = (*a* · *b*) · *c*.
;*Sifat [[Sifat komutatif|komutatif]]* penjumlahan dan perkalian
:Untuk semua *a* dan *b* dalam *F*, kesamaan berikut berlaku: *a* + *b* = *b* + *a* dan *a* · *b* = *b* · *a*.
;*Unsur identitas* dalam penambahan dan perkalian
:Terdapat anggota atau unsur *F*, yang dinamakan unsur *identitas penambahan* yang dilambangkan sebagai 0, sehingga untuk semua *a* dalam *F*, *a* + 0 = *a*. Begitu pula, terdapat anggota, yang dinamakan sebagai unsur *identitas perkalian* yang dilambangkan dengan 1, sehingga untuk semua *a* dalam *F*, *a* · 1 = *a*. Unsur identitas penambahan dan perkalian disyaratkan berbeda, untuk alasan teknis.

;*Invers* penambahan dan perkalian
:Untuk setiap *a* dalam *F*, terdapat sebuah anggota, *-a* dalam *F*, sehingga *a* + (−*a*) = 0. Dengan cara yang sama, untuk setiap *a* dalam *F* selain 0, terdapat anggota *a*−1 in *F*,sehingga *a* · *a*−1 = 1. (Unsur *a*&nbsp;+&nbsp;(−*b*) dan *a*&nbsp;·&nbsp;*b*−1 masing-masing dinamakan *a*&nbsp;−&nbsp;*b* and *a*/*b*) Dengan kata lain, terdapat operasi pengurangan dan pembagian.
;*Sifat [[distributif]]* perkalian terhadap penjumlahan
:Untuk semua *a*, *b* dan *c* dalam *F*, kesamaan berikut berlaku: *a* · (*b* + *c*) = (*a* · *b*) + (*a* · *c*).

## Contoh

### Bilangan rasional

Bilangan rasional telah banyak digunakan jauh sebelum elaborasi konsep lapangan.
Itu adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai pecahan
, di mana  dan  adalah bilangan bulat, dan . Kebalikan aditif dari pecahan tersebut adalah , dan pembalikan perkalian (asalkan ) adalah , yang bisa dilihat sebagai berikut:

:  \frac b a \cdot \frac a b = \frac{ba}{ab} = 1.

Aksioma bidang yang diperlukan secara abstrak direduksi menjadi sifat standar bilangan rasional. Misalnya hukum distributivitas dapat dibuktikan sebagai berikut:
:
\begin{align}
& \frac a b \cdot \left(\frac c d + \frac e f \right) \\[6pt]
= {} & \frac a b  \cdot \left(\frac c d  \cdot \frac f f + \frac e f \cdot \frac d d \right) \\[6pt]
= {} & \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{cf}{df} + \frac{ed}{fd}\right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{cf + ed}{df} \\[6pt]
= {} & \frac{a(cf + ed)}{bdf} = \frac{acf}{bdf} +  \frac{aed}{bdf} = \frac{ac}{bd} +  \frac{ae}{bf} \\[6pt]
= {} & \frac a b \cdot \frac c d + \frac a b \cdot \frac e f.
\end{align}


### Bilangan riil dan kompleks

Bilangan riil , dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang biasa, juga membentuk bidang. Bilangan kompleks  terdiri dari ekspresi
: dengan ,
di mana  adalah unit imajiner, yaitu bilangan (non-nyata) memuaskan .
Penjumlahan dan perkalian bilangan real didefinisikan sedemikian rupa sehingga ekspresi jenis ini memenuhi semua aksioma medan dan karenanya berlaku untuk . Misalnya, penegakan hukum distributif
:
Ini langsung bahwa ini lagi-lagi merupakan ekspresi dari tipe di atas, dan bilangan kompleks membentuk bidang. Bilangan kompleks dapat direpresentasikan secara geometris sebagai titik dalam bidang. dengan koordinat kartesius yang diberikan oleh bilangan real dari ekspresi yang mendeskripsikannya, atau sebagai panah dari asal ke titik-titik ini, ditentukan oleh panjangnya dan sudut tertutup dengan beberapa. Penambahan kemudian sesuai dengan penggabungan panah ke jajaran genjang intuitif (menambahkan koordinat Kartesius), dan perkaliannya, kurang intuitif, menggabungkan putaran dan skala panah (menambahkan sudut dan mengalikan panjangnya). Bidang bilangan real dan kompleks digunakan di seluruh matematika, fisika, teknik, statistik, dan banyak disiplin ilmu lainnya.

### Bilangan konstruksibel

Di zaman kuno, beberapa masalah geometris menyangkut kelayakan (dalam) konstruksi bilangan tertentu dengan kompas dan garis lurus. Misalnya, orang Yunani tidak mengetahui bahwa secara umum tidak mungkin untuk membagi dua sudut tertentu dengan cara ini. Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan bidang bilangan konstruksibel. Bilangan konstruktif riil, menurut definisi, adalah panjang segmen garis yang dapat dibangun dari titik 0 dan 1 dalam banyak langkah tak terhingga hanya dengan menggunakan kompas dan garis lurus. Angka-angka ini, diberkahi dengan operasi bidang bilangan real, terbatas pada bilangan yang dapat dibangun, membentuk bidang, yang mencakup bidang  of angka rasional. Ilustrasi menunjukkan konstruksi akar kuadrat dari bilangan yang dapat dibangun, tidak harus terkandung di dalamnya . Menggunakan label dalam ilustrasi, buat segmen , , dan setengah lingkaran berakhir  (pusatkan di titik tengah ), yang memotong garis tegak lurus melalui  pada satu titik , pada jarak tepat h=\sqrt p dari  jika  memiliki panjang satu.

Tidak semua bilangan real dapat dibangun. Dapat ditunjukkan bahwa \sqrt[3] 2 bukanlah bilangan yang dapat dibangun, yang menyiratkan bahwa tidak mungkin untuk membangun dengan kompas dan meluruskan panjang sisi sebuah kubus dengan volume 2, masalah lain yang ditimbulkan oleh orang Yunani kuno.

### Bidang dengan empat elemen

Selain sistem bilangan yang sudah dikenal seperti rasio, ada contoh bidang lain yang kurang langsung. Contoh berikut adalah bidang yang terdiri dari empat elemen yang disebut , , , dan . Notasi  memainkan peran elemen identitas aditif (dilambangkan 0 dalam aksioma di atas), dan I adalah identitas perkalian (dilambangkan 1 dalam aksioma di atas). Aksioma medan dapat diverifikasi dengan menggunakan beberapa teori medan lagi, atau dengan perhitungan langsung. Sebagai contoh,

: , yang sama dengan , seperti yang dipersyaratkan oleh distribusi.

Bidang ini disebut bidang hingga dengan empat elemen, dan dilambangkan  or . Bagian terdiri dari  and  (disorot dengan warna merah pada tabel di sebelah kanan) juga merupakan bidang, yang dikenal sebagai * [[bidang biner]] *  atau . Dalam konteks ilmu komputer dan Aljabar Boolean,  dan  masing-masing sering dilambangkan dengan * false * dan * true *, penambahan kemudian dilambangkan XOR (eksklusif atau), dan perkalian dilambangkan AND. Dengan kata lain, struktur bidang biner adalah struktur dasar yang memungkinkan dilakukannya komputasi dengan bit.

## Gagasan dasar
Dalam bagian ini,  menunjukkan medan sembarang dan , serta  elemen sembarang dari .

### Konsekuensi dari definisi
Satu memiliki  dan . Secara khusus, seseorang dapat menyimpulkan kebalikan aditif dari setiap elemen segera setelah dia mengetahui .

Jika  kemudian  atau  harus 0, karena, jika , kemudian
. Ini berarti bahwa setiap bidang adalah domain integral.

Selain itu, properti berikut ini berlaku untuk semua elemen  dan :
:
:
:
:
:

### Aditif dan grup perkalian dari sebuah medan
Aksioma sebuah medan  adalah grup abelian di bawah tambahan. Grup ini disebut grup aditif pada bidang, dan terkadang dilambangkan dengan  ketika hanya menandai sebagai  yang hanya membingungkan.

Demikian pula, elemen *bukan nol* dari  membentuk grup abelian dalam perkalian yang disebut grup perkalian, dan dilambangkan dengan  untuk  atau .

Medan didefinisikan sebagai himpunan  dengan dua operasi yang dilambangkan sebagai penjumlahan dan perkalian sehingga  adalah grup abelian dalam penjumlahan,  adalah grup abelian dalam perkalian, dan perkalian adalah distributif di atas penjumlahan. Oleh karena itu, beberapa pernyataan dasar tentang medan diperoleh dengan menerapkan fakta umum grup. Misalnya, penjumlahan dan perkalian inversi  dan  ditentukan secara unik oleh .

Persyaratan yang mengikuti , karena 1 adalah elemen identitas grup tidak berisi 0. Jadi, gelanggang trivial yang terdiri dari satu elemen adalah bukan medan.

Setiap subgrup hingga dari grup perkalian sebuah bidang adalah siklik (lihat ).

### Karakteristik
Selain perkalian dua elemen *F*, dimungkinkan untuk mendefinisikan produk  dari elemen arbitrer  dari  dengan bilangan bulat positif  sebagai jumlah lipat-
: (yang merupakan elemen dari .)

Jika tidak ada bilangan bulat positif, maka
:,
maka  dikatakan memiliki karakteristik 0. Misalnya medan bilangan rasional  memiliki karakteristik 0 karena tidak ada bilangan bulat positif  adalah nol. Sebaliknya, jika *adalah* bilangan bulat positif  yang memenuhi persamaan ini, bilangan bulat positif terkecil dapat ditampilkan sebagai bilangan prima. Biasanya dilambangkan dengan  dan kemudian medan dikatakan memiliki karakteristik .
Misalnya, medan  memiliki karakteristik 2 dalam .

Jika  memiliki karakteristik , maka  untuk semua  dalam . Ini menjelaskan
:,
karena semua koefisien binomial lainnya yang muncul dalam rumus binomial habis dibagi . Maka,  (faktor ) adalah kuasa-, yaitu, hasil kali lipat- dari elemen . Oleh karena itu, peta Frobenius
:
kompatibel dengan penambahan dalam  (dan juga dengan perkalian), dan merupakan homomorfisme medan. Adanya homomorfisme ini membuat medan dengan karakteristik  sangat berbeda dengan bidang dengan karakteristik 0.

### Submedan dan medan utama
Sebuah *[[Ekstensi medan|submedan]]*  dari medan  adalah himpunan bagian dari  yang merupakan medan yang terkait dengan operasi medan dari . Setara dengan  adalah himpunan bagian dari  yang merupakan , dan sebagai penutupan dengan penjumlahan, perkalian, aditif invers dan perkalian invers dari elemen bukan nol. Maka , untuk semua  kedua  dan  adalah , dan untuk semua  dal5 , kedua  dan  adalah .

## Medan hingga

*Medan hingga* (juga disebut *medan Galois*) adalah medan dengan elemen hingga di mana jumlahnya yang disebut sebagai urutan medan. Contoh pengantar di atas  adalah medan dengan empat elemen. Submedan  adalah medan terkecil, karena menurut definisi medan memiliki setidaknya dua elemen berbeda .

Kolom hingga yang sederhana, dengan tatanan utama langsung diakses menggunakan aritmetika modular. Untuk bilangan bulat positif tetap , aritmetika "modulo " artinya melakukan dengan angka
:
Penambahan dan perkalian pada himpunan ini dilakukan dengan melakukan operasi yang dimaksud himpunan bilangan bulat , membagi dengan  dan mengambil sisanya sebagai hasil. Konstruksi ini menghasilkan bidang persis jika  adalah bilangan prima. Misalnya mengambil bilangan prima  hasil di bidang yang disebutkan di atas . Untuk  dan secara lebih umum, untuk setiap bilangan komposit (yaitu, bilangan apa pun  yang dapat diekspresikan sebagai produk  dari dua bilangan asli yang lebih kecil),  bukan bidang: produk dari dua elemen bukan nol adalah nol karena  pada , yang, seperti yang dijelaskan di atas, dengan  dari menjadi lapangan. Lapangan  dengan  elemen ( menjadi prima) dibangun dengan cara ini biasanya dilambangkan dengan .

Setiap bidang terbatas yang dimiliki  adalah  elemen, di mana  adalah bilangan prima dan . Pernyataan ini berlaku karena  dapat dilihat sebagai ruang vektor di atas bidang utamanya. dimensi dari ruang vektor ini harus terbatas, katakanlah , yang menyiratkan pernyataan yang ditegaskan.

Bidang dengan  elemen dapat dibuat sebagai bidang pemisah dari polinomial
:.
Bidang pemisahan seperti itu merupakan perpanjangan dari  di mana polinomial  memiliki  nol. Ini berarti  memiliki angka nol sebanyak mungkin karena derajat dari  adalah . Untuk , itu dapat diperiksa kasus per kasus menggunakan tabel perkalian di atas yang keempat elemennya  memenuhi persamaan , jadi mereka adalah nol . Sebaliknya, pada ,  hanya memiliki dua angka nol (yaitu 0 dan 1), jadi  tidak dibagi menjadi faktor linier dalam bidang yang lebih kecil ini. Menguraikan lebih lanjut pengertian teori medan dasar, dapat ditunjukkan bahwa dua bidang berhingga dengan urutan yang sama adalah isomorfik. Oleh karena itu, adalah kebiasaan untuk menyebut bidang berhingga dengan elemen , dilambangkan dengan  atau .

## Sejarah
Secara historis, tiga disiplin ilmu aljabar mengarah pada konsep bidang: soal menyelesaikan persamaan polinomial, teori bilangan aljabar, dan geometri aljabar. Langkah pertama menuju gagasan bidang dibuat pada tahun 1770 oleh Joseph-Louis Lagrange, yang mengamati bahwa mengubah angka nol  dari polinomial kubik dalam pernyataan tersebut
:
(dengan  menjadi akar persatuan ketiga) hanya menghasilkan dua nilai. Dengan cara ini, Lagrange secara konseptual menjelaskan metode solusi klasik Scipione del Ferro dan François Viète, yang melanjutkan dengan mengurangi persamaan kubik untuk  yang tidak diketahui menjadi persamaan kuadrat untuk . Bersama dengan pengamatan serupa untuk persamaan derajat 4, Lagrange menghubungkan apa yang akhirnya menjadi konsep bidang dan konsep grup. Vandermonde, juga pada tahun 1770, dan secara lebih luas, Carl Friedrich Gauss, dalam karyanya *[[Disquisitiones Arithmeticae]]* (1801), mempelajari persamaan
:
untuk bilangan prima  dan, lagi-lagi menggunakan bahasa modern, hasil siklik grup Galois. Gauss menyimpulkan bahwa regular -gon dapat dibangun jika . Berdasarkan karya Lagrange, Paolo Ruffini menyatakan (1799) bahwa persamaan kuintik s (persamaan polinomial derajat 5) tidak dapat diselesaikan secara aljabar; Namun, argumennya salah. Celah ini diisi oleh Niels Henrik Abel pada tahun 1824. Évariste Galois, pada tahun 1832, merancang kriteria yang diperlukan dan cukup agar persamaan polinomial dapat dipecahkan secara aljabar, sehingga menetapkan efek yang sekarang dikenal sebagai teori Galois. Baik Abel dan Galois bekerja dengan apa yang sekarang disebut bidang angka aljabar, tetapi tidak memahami gagasan eksplisit tentang bidang, atau pun grup.

Pada tahun 1871 Richard Dedekind diperkenalkan, untuk satu set bilangan real atau kompleks yang ditutup di bawah empat operasi aritmetika, kata Jerman * Körper *, yang berarti "tubuh" atau "korpus" (untuk menyarankan entitas yang tertutup secara organik). Istilah Inggris "field" diperkenalkan oleh .

Pada tahun 1881 Leopold Kronecker mendefinisikan apa yang dia sebut sebagai * domain rasionalitas *, yang merupakan bidang pecahan rasional dalam istilah modern. Gagasan Kronecker tidak mencakup bidang semua bilangan aljabar (yang merupakan bidang dalam pengertian Dedekind), tetapi di sisi lain lebih abstrak daripada Dedekind karena tidak membuat asumsi khusus tentang sifat elemen suatu bidang. Kronecker menafsirkan bidang seperti  secara abstrak sebagai bidang fungsi rasional . Sebelum ini, contoh bilangan transendental telah diketahui sejak karya Joseph Liouville pada tahun 1844, sampai Charles Hermite (1873) dan Ferdinand von Lindemann (1882) membuktikan transendensi  dan .

## Medan dengan struktur tambahan
Sejak medan ada di mana-mana dalam matematika dan seterusnya, beberapa penyempurnaan konsep telah disesuaikan dengan kebutuhan bidang matematika tertentu.

### Medan tatanan

Medan *F* disebut *medan tatanan* jika terdapat dua elemen yang dapat dibandingkan, sehingga  dan  dengan  dan . Misalnya, bilangan riil membentuk Medan tatanan, dengan tatanan seperti biasa . Teorema Artin–Schreier menyatakan bahwa suatu medan diurutkan jika dan hanya jika itu adalah medan riil secara formal, yang berarti bahwa persamaan kuadrat apa pun
:x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 = 0
hanya solusi . Himpunan semua kemungkinan tatanan pada medan tetap  isomorfik ke himpunan gelanggang homomorfisme dari gelanggang Witt  dari bentuk kuadrat berakhir dengan , sebagai .

Sebuah medan Archimedean adalah medan yang diurutkan sedemikian rupa sehingga untuk setiap elemen terdapat ekspresi hingga
:
yang nilainya lebih besar dari elemen itu, artinya tidak ada elemen tak hingga. Sama halnya, medan yang tidak digunakan infinitesimal (elemen lebih kecil dari semua bilangan rasional); atau, ekuivalen medan isomorfik ke submedan dari .

Bidang yang diurutkan adalah Dedekind-complete jika semua batas atas, batas bawah (lihat kelengkapan Dedekind) dan batas. Secara lebih formal, setiap himpunan bagian hingga dari  harus memiliki batas atas terkecil. Setiap medan lengkap tetap menggunakan Archimedean, karena dalam medan non-Archimedean tidak terdapat rasional yang sangat kecil atau paling tidak positif, darimana tatanannya , setiap elemen yang lebih besar dari kecil, tidak memiliki batas.

Karena setiap subkolom riil menggunakan celah seperti itu,  adalah kolom tatanan lengkap unik, hingga isomorfisme. Beberapa hasil dasar dalam kalkulus mengikuti langsung dari karakterisasi riil ini.

Hiperriil  membentuk Medan tatanan yang bukan Archimedean. Ini adalah ekstensi dari riil yang diperoleh dengan memasukkan bilangan tak hingga dan infinitesimal tak hingga. Ini lebih besar masing-masing lebih kecil dari bilangan riil. Hiperriil membentuk dasar dasar analisis non-standar.

### Medan topologi
Perbaikan lain dari pengertian bidang adalah medan topologi, di mana himpunan  adalah ruang topologi, maka semua operasi medan (penambahan, perkalian, peta  dan ) adalah peta kontinu sehubungan dengan topologi ruang.
Topologi semua medan yang dibahas di bawah ini diinduksi dari metrik, yaitu fungsi
:
yang mengukur *jarak* antara dua elemen .

Pelengkapan dari  adalah medan lain di mana "celah" di medan asli . Misalnya, bilangan irasional , misal , adalah "celah" dalam rasio  dalam arti bahwa ini adalah bilangan riil yang didekati secara acak oleh bilangan rasional , dalam arti jarak  dan  diberikan nilai mutlak .
Tabel berikut mencantumkan beberapa contoh konstruksi ini. Kolom keempat menunjukkan contoh nol urutan, yaitu, urutan yang batasnya (untuk ) adalah nol.

### Medan diferensial
Medan diferensial adalah medan yang dilengkapi dengan turunan, yaitu, memungkinkan untuk mengambil turunan elemen di medan. Misalnya, medan **R**(*X*), dengan turunan standar polinomial membentuk medan diferensial. Medan ini adalah pusat teori Galois diferensial, varian dari teori Galois yang berhubungan dengan persamaan diferensial linear.

## Gagasan terkait

Selain struktur tambahan dengan menggunakan medan, medan menerima berbagai gagasan terkait lainnya. Karena dalam medan 0 ≠ 1, medan memiliki setidaknya dua elemen. Meskipun demikian, ada konsep medan dengan satu elemen yang disarankan untuk menjadi batas medan hingga , karena  cenderung 1. Selain gelanggang pembagian, ada berbagai yang lebih lemah lainnya, struktur aljabar yang terkait dengan medan seperti medan kuasi, medan dekat dan medan semimedan.

Ada juga kelas kesesuai dengan struktur medan, yang terkadang disebut **Medan** (atau **Field**), dengan huruf besar M. Bilangan surriil membentuk medan riil, dan akan menjadi medan kecuali fakta bahwa mereka adalah kelas yang tepat, bukan satu himpunan. Angka adalah konsep dari teori permainan, untuk medan seperti itu juga.

### Gelanggang pembagian

Menjatuhkan satu atau beberapa aksioma dalam definisi medan mengarah ke struktur aljabar lainnya. Seperti disebutkan di atas, gelanggang komutatif memenuhi semua aksioma medan, kecuali untuk invers perkalian. Menjatuhkan kondisi bahwa perkalian bersifat komutatif mengarah ke konsep *[[gelanggang pembagian]]* atau *medan miring*. Gelanggang pembagian satu-satunya yang berdimensi-hingga vektor- ruang  sendiri,  (yang merupakan medan), kuaternion  (di mana perkalian tidak komutatif), dan oktonion  (di mana perkalian tidak bersifat komutatif atau asosiatif). Fakta ini dibuktikan dengan menggunakan metode topologi aljabar pada tahun 1958 oleh Michel Kervaire, Raoul Bott, dan John Milnor. Tidak adanya aljabar pembagian berdimensi ganjil lebih klasik. Ini dapat disimpulkan dari teorema bola berbulu yang diilustrasikan di sebelah kanan.

## Catatan

## Referensi

* 
* 
* , especially Chapter 13
* 
* 
* 
* 
* 
* . See especially Book 3 () and Book 6 ().
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*