Matriks terbalikkan

Dalam aljabar linear, sebuah matriks persegi \mathbf{A} berukuran n \! \times \! n **terbalikkan** (*invertible*) atau **tidak singular**, jika terdapat matriks persegi \mathbf{B} dengan ukuran yang sama dengan \mathbf{A}, dan memenuhi hubungan:

:\mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}_n \  
dengan \mathbf{I}_n melambangkan matriks identitas berukuran n \! \times \! n, dan perkalian yang dilakukan merupakan perkalian matriks yang umum. Jika hubungan tersebut berlaku, maka matriks \mathbf{B} disebut sebagai *balikan* atau *invers* (multiplikatif) dari matriks \mathbf{A}, dan diberi lambang \mathbf {A}^{-1}.

Matriks persegi tidak dapat dibalik disebut dengan matriks **singular**. Matriks persegi bersifat singular jika dan hanya jika nilai determinannya 0. Matriks yang bukan matriks persegi (berukuran m \! \times \! n dan m \ne n) tidak memiliki invers. Namun dalam beberapa kasus, matriks tersebut mungkin memiliki invers kiri atau invers kanan. Jika matriks \mathbf{A} berukuran m \! \times \! n dengan rank n (nilai n\leq m), maka \mathbf{A} memiliki invers kiri. Invers kiri ini adalah sebuah matriks \mathbf{B} berukuran n \! \times \! m yang memenuhi hubungan \mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{I}_n. Sedangkan jika rank matriks \mathbf{A} adalah m (nilai m\leq n), maka \mathbf{A} memiliki invers kanan; yakni sebuah matriks \mathbf{B} berukuran n \! \times \! m yang memenuhi hubungan \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{I}_m.

## Sifat

### Teorema matriks terbalikkan
Sifat keterbalikkan sebuah matriks berhubungan erat dengan banyak sifat lain yang dimiliki matriks tersebut. Misalkan \mathbf{A} adalah matriks persegi berukuran n \! \times \! n, dengan entri-entri adalah elemen dari suatu lapangan K (misalnya, lapangan bilangan real \mathbb{R}). Semua pernyataan berikut ekuivalen, dalam artian antara matriks \mathbf{A} memenuhi *semua* pernyataan, atau matriks \mathbf{A} tidak memenuhi satupun pernyataan yang ada.

* Matriks \mathbf{A} terbalikkan. Dengan kata lain, matriks \mathbf{A} memiliki sebuah invers (atau tidak singular).
* Ada sebuah matriks \mathbf{B} berukuran n \! \times \! n yang memenuhi \mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}_n \  
* Matriks \mathbf{A} dapat diubah menjadi matriks identitas \mathbf{I}_n lewat serangkaian operasi baris elementer, atau lewat serangkaian operasi kolom elementer.
* Matriks \mathbf{A} dapat dinyatakan sebagai perkalian (dengan jumlah terhingga) matriks-matriks elementer
* Matriks \mathbf{A} memiliki n posisi pivot. Posisi pivot adalah nilai 1 pertama sebuah baris pada matriks bentuk eselon baris tereduksi (*reduced row echelon form*).
* Persamaan \mathbf{Ax}=\mathbf{0} hanya memiliki solusi trivial, yakni \mathbf{x}=\mathbf{0}
* Persamaan \mathbf{Ax}=\mathbf{b} tepat memiliki satu solusi, untuk semua \mathbf{b} \in K^n
* Transformasi linear \mathbf{x} \mapsto \mathbf{Ax} adalah sebuah bijeksi dari K^n ke K^n
* Kernel dari \mathbf{A} trivial; dengan kata lain hanya mengandung vektor nol sebagai elemennya, sehingga \operatorname{Ker}(\mathbf{A})=\{\mathbf{0}\}
* Determinan dari \mathbf{A} sama dengan 0.
* Bilangan 0 bukan nilai eigen dari matriks \mathbf{A}
* Rank \mathbf{A} penuh; dengan kata lain, \operatorname{Rank}\mathbf{A}=n 
* Kolom-kolom dari \mathbf{A} saling bebas linear. Ini mengartikan tidak mungkin menyatakan sebuah kolom matriks \mathbf{A} sebagai kombinasi penjumlahan kolom-kolom yang lain.
* Span dari kolom-kolom matriks \mathbf{A} adalah K^n. Artinya, himpunan semua kombinasi linear dari kolom-kolom \mathbf{A} akan sama dengan K^n
* Ruang kolom dari matriks \mathbf{A} adalah K^n. Ruang kolom adalah ruang vektor yang dibentuk oleh kolom-kolom matriks \mathbf{A}
* Kolom-kolom matriks \mathbf{A} membentuk sebuah basis bagi K^n
* Transpos dari \mathbf{A}, yakni matriks \mathbf{A}^\text{T} juga terbalikkan. Hal ini mengartikan baris-baris dari matriks \mathbf{A} juga memenuhi sifat-sifat yang sama dengan kolom-kolom matriks.
* Matriks \mathbf{A} memiliki invers kiri (yakni matriks \mathbf{B} sehingga \mathbf{BA}=\mathbf{I}) dan invers kanan  (yakni matriks \mathbf{C} sehingga \mathbf{AC}=\mathbf{I}). Lebih lanjut, nilai kedua invers tersebut sama, \mathbf{B}=\mathbf{C}=\mathbf{A}^{-1}

### Hubungan dengan adjugat
Adjugat dari suatu matriks \mathbf A dapat digunakan untuk mencari invers dari \mathbf A, dengan menggunakan hubungan:

Jika \mathbf A memiliki invers, maka

: \mathbf A^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf A)} \operatorname{adj}(\mathbf A).

### Sifat-sifat lain
Selain sifat-sifat pada bagian-bagian sebelumnya, matriks \mathbf A berukuran n\times n yang terbalikkan juga memiliki beberapa sifat berikut:

* (\mathbf A^{-1})^{-1} = \mathbf A;
* (k \mathbf A)^{-1} = k^{-1}\mathbf A^{-1} untuk sembarang skalar k yang tidak sama dengan 0;
* (\mathbf A^\text{T})^{-1} = (\mathbf A^{-1})^\text{T};
* \det(\mathbf A^{-1}) = \frac{1}{\det (\mathbf A^{-1})};
* Untuk sembarang matriks \mathbf B yang dapat dibalik dan yang berukuran sama dengan \mathbf A, akan berlaku (\mathbf {AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}. Hal ini dapat diperumum untuk kasus matriks-matriks \mathbf A_1,\, \dots,\, \mathbf A_k berukuran n\times n dan dapat dibalik, yang akan memiliki hubungan (\mathbf A_1 \mathbf A_2 \dotsi \mathbf A_{k-1} \mathbf A_k)^{-1} = \mathbf A_k^{-1} \mathbf A_{k-1}^{-1} \dotsi \mathbf A_2^{-1} \mathbf A_1^{-1}
* Jika \mathbf A memiliki kolom-kolom yang saling ortonormal, maka (\mathbf {Ax})^{+} = \mathbf x^+ \mathbf A^{-1}; dengan ^+ menyatakan invers Moore–Penrose dan \mathbf x adalah vektor;

:

## Referensi

## Pranala luar
* 
* Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas di Google books
* The Matrix Cookbook