Rentang linear

Dalam aljabar linear, **rentang linear** atau **span** dari sebarang himpunan S berisi vektor-vektor (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor di S. Rentang linear dari S umum disimbolkan dengan \text{span}(S). Sebagai contoh, dua vektor yang saling bebas linear akan merentang suatu bidang. Rentang dapat dikarakterisasikan sebagai irisan dari semua subruang (vektor) yang mengandung S, maupun sebagai subruang yang mengandung S. Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk matroid dan modul.

Untuk menyatakan bahwa suatu ruang vektor V adalah rentang linear dari subset S, beberapa pernyataan berikut umum digunakan: S merentang V, S adalah *himpunan merentang* dari V, V direntang/dibangkitkan oleh S, atau S adalah pembangkit atau himpunan pembangkit dari V.

## Definisi
Untuk sebarang ruang vektor V atas lapangan K, rentang dari suatu himpunan S yang beranggotakan vektor-vektor (tidak harus berhingga) didefinisikan sebagai irisan W dari semua subruang dari V yang mengandung S. Irisan W disebut sebagai subruang yang *direntang oleh* S, atau oleh vektor-vektor di S. Kebalikannya, S disebut *himpunan merentang* dari W, dan kita katakan S *merentang <math>W.</math>* 

Rentang dari S juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua kombinasi linear terhingga dari vektor-vektor di S. Secara matematis, ini dituliskan sebagai \operatorname{span}(S) =  \left \{ {\left.\sum_{i=1}^k \lambda_i \mathbf v_i \;\right|\; k \in \N, \mathbf v_i  \in S, \lambda _i  \in K} \right \}.Pada kasus S berukuran tak-hingga, syarat kombinasi linear yang tak-terhingga (yakni, keadaan ketika kombinasi menggunakan konsep penjumlahan tak-hingga, dengan mengasumsikan penjumlahan seperti itu dapat didefinisikan) tidak disertakan dalam definisi.

## Contoh
Ruang vektor riil \mathbb R^3 dapat direntang oleh himpunan \{(-1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\} . Himpunan ini juga merupakan suatu basis dari \mathbb R^3. Jika (-1,0,0) digantikan dengan (1,0,0), himpunan tersebut merupakan basis standar dari \mathbb R^3. Contoh himpunan pembangkit lain dari \mathbb R^3 adalah \{(1,2,3),\, (0, 1, 2),\, (-1, \tfrac{1}{2}, 3),\, (1, 1, 1)\}, tetapi himpunan ini bukan basis karena bersifat bergantung linear.

Himpunan \{(1, 0, 0),\,(0, 1, 0),\,(1,1,0)\} bukan himpunan merentang dari \mathbb R^3, karena rentangnya adalah subruang semua vektor di \mathbb R^3 yang komponen terakhirnya bernilai 0. Subruang tersebut juga direntang oleh himpunan \{(1,0,0),\,(0,1,0)\},   karena (1,1,0) adalah kombinasi linear dari (1,0,0) dan (0,1,0).

Himpunan kosong adalah himpunan merentang dari \{(0, 0, 0)\},  karena himpunan kosong adalah subset dari semua subruang vektor yang mungkin di \mathbb R^3, dan \{(0, 0, 0)\}  adalah irisan dari semua subruang tersebut.

Himpunan semua monomial x^n, dengan n adalah bilangan bulat non-negatif, merentang ruang polinomial.

## Teorema

### Kesetaraan antar definisi
Untuk sebarang ruang vektor V atas lapangan K, himpunan semua kombinasi linear dari subset S dari V, adalah subruang terkecil dari V yang mengandung S.

: *Bukti.* Pertama kita tunjukkan bahwa \text{span}(S) adalah subruang dari V. Karena S adalah subset dari V, kita cukup membuktikan bahwa vektor \mathbf 0 anggota dari \text{span}(S),  bahwa \text{span}(S) dibawah penjumlahan, dan bahwa \text{span}(S) tertutup dibawah perkalian skalar. Misalkan S = \{ \mathbf v_1, \mathbf v_2, \ldots, \mathbf v_n \}, mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di V ada di \text{span}(S),  karena \mathbf 0 = 0 \mathbf v_1 + 0 \mathbf v_2 + \cdots + 0 \mathbf v_n.   Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari S akan menghasilkan kombinasi linear dari S:(\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n) + (\mu_1 \mathbf v_1 + \cdots + \mu_n \mathbf v_n) = (\lambda_1 + \mu_1) \mathbf v_1 + \cdots + (\lambda_n + \mu_n) \mathbf v_n,dengan semua \lambda_i, \mu_i \in K, dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari S dengan sebarang skalar c \in K akan menghasilkan kombinasi linear dari S: c(\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n) = c\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + c\lambda_n \mathbf v_n. Alhasil, \text{span}(S) adalah subruang dari V.

: Misalkan W adalah subruang V yang mengandung S. Perhatikan bahwa S \subseteq \operatorname{span} S, karena semua \mathbf{v}_i merupakan kombinasi linear dari S (secara langsung). Karena W tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar, maka setiap kombinasi linear \lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n harus berada di W. Akibatnya, \text{span}(S) terkandung di semua subruang dari V yang mengandung S. Lebih lanjut, irisan semua subruang tersebut, yakni subruang terkecil, sama dengan himpunan semua kombinasi linear dari S.

### Kardinalitas himpunan merentang setidaknya sebesar himpunan bebas linear
Sebarang himpunan S yang merentang ruang vektor V harus memiliki anggota setidaknya sebanyak jumlah anggota pada sebarang himpunan bebas linear dari V.

: *Bukti.* Misalkan S = \{ \mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_m \} adalah suatu himpunan merentang dan W = \{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_n \} adalah himpunan vektor-vektor yang saling bebas linear di V. Kita akan menunjukkan bahwa m \geq n.

: Karena S merentang V, maka S \cup \{ \mathbf w_1 \} juga harus merentang V, dan \mathbf w_1 harus merupakan hasil kombinasi linear dari S. Akibatnya S \cup \{ \mathbf w_1 \} bergantung linear, dan kita dapat membuat satu vektor dari S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi anggota S lainnya. Vektor ini tidak mungkin \mathbf{w}_i karena W bebas linear. Himpunan yang dihasilkan proses ini adalah \{ \mathbf w_1, \mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_{i-1}, \mathbf v_{i+1}, \ldots, \mathbf v_m \}, yang merupakan himpunan merentang bagi V. Kita ulangi proses ini sebanyak n kali, yang tahap ke-p-nya akan menghasilkan himpunan hasil gabungan \{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_p \} dan m-p vektor dari S.

: Dapat dipastikan sampai tahap ke-n akan selalu ada suatu \mathbf{v}_i untuk dibuang dari S, akibatnya \mathbf{v}_i setidaknya sama banyaknya dengan \mathbf{w}_i; dengan kata lain, m \geq n. Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan bukti kontradiksi dengan menganggap m  Saat tahap ke-m, kita memiliki himpunan \{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \} dan kita dapat menambahkan vektor baru \mathbf w_{m+1}. Tapi karena \{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \} adalah himpunan merentang dari V, vektor \mathbf w_{m+1} adalah kombinasi linear dari \{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \}. Ini adalah kontradiksi, karena W bersifat bebas linear. 

### Himpunan merentang dapat disederhanakan menjadi suatu basis
Misalkan V adalah ruang vektor dimensi terhingga. Sebarang himpunan vektor yang merentang V dapat disederhanakan menjadi suatu basis bagi V, dengan membuang vektor dari keanggotaannya jika diperlukan (maksudnya, ketika ada vektor yang bergantung linear pada vektor-vektor lainnya). Jika aksioma pemilihan berlaku, teorema ini juga berlaku untuk kasus V berdimensi tak-hingga. Teorema ini juga mengartikan sebarang basis adalah himpunan merentang terkecil, ketika V berdimensi hingga.

## Catatan kaki


## Daftar pustaka

### Buku

* 
* 
* 
* 
* 
* Lay, David C. (2021) *Linear Algebra and Its Applications (6th Edition)*. Pearson.

### Situs web

* 
* 
* 

## Pranala luar

* Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
*