Archimedes

**Archimedes dari Sirakusa** ( ; ) adalah seorang matematikawan Yunani Kuno, fisikawan, insinyur, astronom, dan penemu dari kota Sirakusa di Sisilia. Meskipun hanya sedikit rincian hidupnya yang diketahui, berdasarkan karya-karyanya yang bertahan, ia dipandang sebagai salah satu ilmuwan terkemuka pada zaman antikuitas klasik, dan salah satu matematikawan terhebat sepanjang masa. Archimedes mengantisipasi kalkulus dan analisis modern dengan menerapkan konsep infinitesimal dan metode penghabisan untuk menurunkan dan membuktikan secara ketat banyak teorema geometri, termasuk luas lingkaran, luas permukaan dan volume dari sebuah bola, luas sebuah elips, luas di bawah parabola, volume segmen paraboloida putar, volume segmen hiperboloida putar, dan luas sebuah spiral.

Pencapaian matematika Archimedes lainnya meliputi penurunan hampiran pi (), mendefinisikan dan menyelidiki spiral Archimedes, serta merancang sistem yang menggunakan eksponensiasi untuk menyatakan bilangan yang sangat besar. Ia juga merupakan salah satu orang pertama yang menerapkan matematika pada fenomena fisik, dengan berkarya dalam bidang statika dan hidrostatika. Pencapaian Archimedes di bidang ini meliputi pembuktian hukum tuas, penggunaan luas konsep pusat gravitasi, dan pernyataan hukum apungan yang dikenal sebagai prinsip Archimedes. Dalam astronomi, ia melakukan pengukuran diameter semu Matahari dan ukuran alam semesta. Ia juga disebutkan telah membangun perangkat planetarium yang memperagakan gerakan benda-benda langit yang diketahui, dan mungkin merupakan pendahulu dari mekanisme Antikythera. Ia juga dikreditkan dengan merancang mesin-mesin inovatif, seperti pompa sekrup, katrol majemuk, dan mesin perang pertahanan untuk melindungi kampung halamannya, Sirakusa, dari invasi.

Archimedes wafat selama pengepungan Sirakusa, ketika ia dibunuh oleh seorang prajurit Romawi meskipun ada perintah bahwa ia tidak boleh disakiti. Cicero menggambarkan kunjungannya ke makam Archimedes, yang di atasnya terpasang sebuah bola dan sebuah silinder yang diminta Archimedes untuk ditempatkan di sana guna melambangkan penemuan matematika yang paling ia hargai.

Berbeda dengan penemuannya, tulisan-tulisan matematika Archimedes kurang dikenal pada zaman antikuitas. Matematikawan Alexandria membaca dan mengutipnya, namun kompilasi komprehensif pertama baru dibuat sekitar  oleh Isidore dari Miletus di Konstantinopel Bizantium, sementara komentar Eutocius atas karya-karya Archimedes pada abad yang sama membukanya bagi pembaca yang lebih luas untuk pertama kalinya. Pada Abad Pertengahan, karya Archimedes diterjemahkan ke dalam bahasa Arab pada abad ke-9 dan kemudian ke dalam bahasa Latin pada abad ke-12, serta menjadi sumber gagasan yang berpengaruh bagi para ilmuwan selama Renaisans dan dalam Revolusi Ilmiah. Penemuan karya-karya Archimedes pada tahun 1906 dalam Palimpsest Archimedes telah memberikan wawasan baru tentang bagaimana ia memperoleh hasil-hasil matematikanya.

## Biografi

Rincian kehidupan Archimedes masih samar; sebuah biografi Archimedes yang disebutkan oleh Eutocius konon ditulis oleh sahabatnya, Heraclides Lembus, namun karya tersebut telah hilang, dan kesarjanaan modern meragukan bahwa karya itu ditulis oleh Heraclides sejak awal.

Berdasarkan pernyataan cendekiawan Yunani Bizantium John Tzetzes bahwa Archimedes hidup selama 75 tahun sebelum wafatnya pada tahun 212SM, Archimedes diperkirakan lahir  di kota pelabuhan Sirakusa, Sisilia, yang pada masa itu merupakan koloni swapraja di Magna Graecia. Dalam *[[Penghitung Pasir]]*, Archimedes menyebutkan nama ayahnya sebagai Phidias, seorang astronom yang tidak diketahui hal lain mengenainya; Plutarch menulis dalam *[[Parallel Lives|Kehidupan Paralel]]*-nya bahwa Archimedes berkerabat dengan Raja Hiero II, penguasa Sirakusa, meskipun Cicero dan Silius Italicus menyiratkan bahwa ia berasal dari kalangan sederhana. Tidak diketahui pula apakah ia pernah menikah atau memiliki keturunan, atau apakah ia pernah mengunjungi Iskandariyah, Mesir, semasa mudanya; meskipun karya-karya tulisnya yang bertahan, yang ditujukan kepada Dositheus dari Pelusium, seorang murid astronom Aleksandria Conon dari Samos, dan kepada kepala perpustakaan Eratosthenes dari Kirene, menyiratkan bahwa ia menjalin hubungan kolegial dengan para cendekiawan yang berbasis di sana. Dalam kata pengantar *Tentang Spiral* yang ditujukan kepada Dositheus, Archimedes mengatakan bahwa "bertahun-tahun telah berlalu sejak kematian Conon." Conon dari Samos hidup sekitar 280–220 SM, yang menunjukkan bahwa Archimedes mungkin sudah berusia lanjut ketika menulis beberapa karyanya.

### Mahkota emas

Kisah lain mengenai masalah yang dipercaya diselesaikan oleh Archimedes dalam pengabdiannya kepada Hiero II adalah "masalah mahkota." Menurut Vitruvius, yang menulis sekitar dua abad setelah kematian Archimedes, Raja Hiero II dari Sirakusa telah memesan sebuah mahkota emas untuk sebuah kuil bagi para dewa abadi, dan telah menyediakan emas murni untuk digunakan oleh si pandai emas. Namun, sang raja mulai curiga bahwa pandai emas tersebut telah menukar sebagian emas dengan perak yang lebih murah dan menyimpan sebagian emas murni untuk dirinya sendiri, dan, karena tidak dapat membuat si pandai emas mengaku, ia meminta Archimedes untuk menyelidikinya. Kemudian, saat masuk ke dalam bak mandi, Archimedes konon menyadari bahwa permukaan air di dalam bak naik semakin tinggi seiring semakin dalam ia membenamkan diri, dan, menyadari bahwa efek ini dapat digunakan untuk menentukan volume mahkota emas tersebut, ia begitu gembira hingga berlari ke jalanan dalam keadaan telanjang, lupa berpakaian, sambil berteriak "Eureka!", yang berarti "Aku telah menemukan[nya]!" Menurut Vitruvius, Archimedes kemudian mengambil sebongkah emas dan sebongkah perak yang masing-masing beratnya sama dengan mahkota tersebut, dan, dengan menempatkan masing-masing di dalam bak mandi, menunjukkan bahwa mahkota tersebut memindahkan lebih banyak air daripada emas dan lebih sedikit daripada perak, yang membuktikan bahwa mahkota tersebut adalah emas yang dicampur dengan perak.

Penuturan berbeda diberikan dalam *Carmen de Ponderibus*, sebuah puisi didaktik Latin anonim abad ke-5 tentang timbangan dan ukuran yang pernah dikaitkan dengan ahli tata bahasa Priscian. Dalam puisi ini, bongkahan emas dan perak diletakkan di atas piringan neraca, dan kemudian seluruh alat tersebut direndam ke dalam air; perbedaan densitas antara emas dan perak, atau antara emas dan mahkota, menyebabkan neraca menjadi miring sesuai dengan perbedaannya. Berbeda dengan kisah bak mandi yang lebih terkenal yang diberikan oleh Vitruvius, kisah puitis ini menggunakan prinsip hidrostatika yang sekarang dikenal sebagai prinsip Archimedes yang ditemukan dalam risalahnya *[[Tentang Benda Mengapung]]*, di mana sebuah benda yang direndam dalam fluida mengalami gaya apung yang setara dengan berat fluida yang dipindahkannya. Galileo Galilei, yang menemukan neraca hidrostatik pada tahun 1586 karena terinspirasi oleh karya Archimedes, menganggap "kemungkinan besar metode inilah yang diikuti Archimedes, karena, selain sangat akurat, metode ini didasarkan pada demonstrasi yang ditemukan oleh Archimedes sendiri."

### Meluncurkan ''Syracusia''
Sebagian besar karya teknik Archimedes kemungkinan muncul dari pemenuhan kebutuhan kota asalnya, Sirakusa. Athenaeus dari Naucratis dalam karyanya *[[Deipnosophistae]]* mengutip seseorang bernama Moschion untuk deskripsi tentang bagaimana Raja Hiero II memesan rancangan sebuah kapal raksasa, *[[Syracusia]]*, yang konon merupakan kapal terbesar yang pernah dibangun pada zaman antikuitas klasik dan, menurut catatan Moschion, kapal tersebut diluncurkan oleh Archimedes. Plutarch menuturkan kisah yang sedikit berbeda, yang mengisahkan bahwa Archimedes sesumbar kepada Hiero bahwa ia mampu memindahkan beban besar apa pun, yang pada saat itu Hiero menantangnya untuk memindahkan sebuah kapal. Kisah-kisah ini memuat banyak rincian fantastis yang tidak masuk akal secara historis, dan para penulis cerita ini memberikan gagasan yang saling bertentangan mengenai bagaimana tugas ini diselesaikan: Plutarch menyatakan bahwa Archimedes merakit sistem katrol katrol majemuk, sementara Hero dari Alexandria mengaitkan sesumbar yang sama dengan penemuan *baroulkos* oleh Archimedes, sejenis derek. Pappus dari Alexandria justru mengaitkan prestasi ini dengan penggunaan keuntungan mekanis oleh Archimedes, prinsip pengungkitan untuk mengangkat benda-benda yang jika tidak demikian akan terlalu berat untuk dipindahkan, dan menyematkan padanya ucapan yang sering dikutip: "Beri aku tempat untuk berpijak, dan aku akan menggerakkan Bumi."

Athenaeus, yang kemungkinan mengacaukan rincian catatan Hero tentang baroulkos, juga menyebutkan bahwa Archimedes menggunakan sebuah "sekrup" untuk membuang potensi air yang bocor melalui lambung *Syracusia*. Meskipun perangkat ini terkadang disebut sebagai sekrup Archimedes, alat ini kemungkinan sudah ada jauh sebelum masanya, dan tak satu pun dari orang-orang yang hidup sezaman dengannya yang menggambarkan penggunaannya (Philo dari Bizantium, Strabo, dan Vitruvius) mengaitkan penemuan itu dengannya.

### Mesin perang

Reputasi terbesar yang diraih Archimedes pada zaman antikuitas adalah berkat pertahanan kotanya dari bangsa Romawi selama Pengepungan Sirakusa. Menurut Plutarch, Archimedes telah membangun mesin-mesin perang untuk Hiero II, namun tidak pernah diberi kesempatan untuk menggunakannya semasa hidup Hiero. Namun, pada tahun 214 SM, selama Perang Punisia Kedua, ketika Sirakusa beralih persekutuan dari Roma ke Kartago, tentara Romawi di bawah pimpinan Marcus Claudius Marcellus berusaha merebut kota tersebut, Archimedes konon secara pribadi mengawasi penggunaan mesin-mesin perang ini dalam pertahanan kota, yang sangat menghambat bangsa Romawi, yang baru dapat merebut kota tersebut setelah pengepungan yang panjang. Tiga sejarawan berbeda, Plutarch, Livy, dan Polybius memberikan kesaksian mengenai mesin-mesin perang ini, menggambarkan katapel yang disempurnakan, derek yang menjatuhkan potongan timbal berat ke kapal-kapal Romawi atau yang menggunakan cakar besi untuk mengangkat kapal keluar dari air, lalu menjatuhkannya kembali hingga tenggelam.

Sebuah kisah yang jauh lebih tidak mungkin, yang tidak ditemukan dalam satu pun dari tiga catatan paling awal (Plutarch, Polybius, atau Livy) menggambarkan bagaimana Archimedes menggunakan "cermin pembakar" untuk memfokuskan sinar matahari ke kapal-kapal Romawi yang menyerang, sehingga membakarnya. Catatan paling awal yang menyebutkan kapal-kapal dibakar, oleh satiris abad ke-2 M Lucian dari Samosata, tidak menyebutkan cermin, dan hanya mengatakan bahwa kapal-kapal itu dibakar dengan cara buatan, yang mungkin menyiratkan bahwa proyektil berapi digunakan. Penulis pertama yang menyebutkan cermin adalah Galen, yang menulis belakangan pada abad yang sama. Hampir empat ratus tahun setelah Lucian dan Galen, Anthemius, meskipun skeptis, mencoba merekonstruksi geometri pemantul hipotetis Archimedes. Perangkat yang dimaksud, yang terkadang disebut "sinar panas Archimedes", telah menjadi subjek perdebatan yang berkelanjutan mengenai kredibilitasnya sejak masa Renaisans. René Descartes menolaknya sebagai kepalsuan, sementara para peneliti modern telah berusaha menciptakan kembali efek tersebut hanya dengan menggunakan sarana yang tersedia bagi Archimedes, dengan hasil yang beragam.

### Kematian

Terdapat beberapa catatan yang berbeda mengenai kematian Archimedes selama penjarahan Sirakusa setelah kota itu jatuh ke tangan Romawi: Catatan tertua, dari Livy, mengatakan bahwa, ketika sedang menggambar bangun-bangun geometri di atas debu, Archimedes dibunuh oleh seorang prajurit Romawi yang tidak mengetahui siapa dirinya. Menurut Plutarch, prajurit tersebut memerintahkan Archimedes untuk ikut bersamanya, namun Archimedes menolak, dengan alasan bahwa ia harus menyelesaikan pemecahan masalahnya, dan prajurit itu pun membunuh Archimedes dengan pedangnya. Kisah lain dari Plutarch menceritakan bahwa Archimedes sedang membawa instrumen matematika sesaat sebelum dibunuh karena seorang prajurit mengira benda-benda itu adalah barang berharga. Penulis Romawi lainnya, Valerius Maximus (fl. 30 M), menulis dalam *Memorable Doings and Sayings* bahwa kata-kata terakhir Archimedes saat prajurit itu membunuhnya adalah "...tetapi sambil melindungi debu dengan tangannya, ia berkata 'Aku mohon padamu, jangan ganggu ini.'" yang mirip dengan kata-kata terakhir yang kini umum disematkan padanya, "Jangan ganggu lingkaran-lingkaranku," yang sebenarnya tidak muncul dalam sumber-sumber kuno mana pun.

Marcellus dilaporkan murka atas kematian Archimedes, karena ia menganggapnya sebagai aset ilmiah yang berharga (ia menyebut Archimedes sebagai "Briareus geometri") dan telah memerintahkan agar ia tidak disakiti. Cicero (106–43 SM) menyebutkan bahwa Marcellus membawa dua planetarium yang dibangun Archimedes ke Roma, yang dikonstruksi oleh Archimedes dan yang menunjukkan pergerakan Matahari, Bulan, dan lima planet, yang salah satunya ia sumbangkan ke Kuil Kebajikan di Roma, dan yang lainnya konon ia simpan sebagai satu-satunya jarahan pribadi dari Sirakusa. Pappus dari Alexandria melaporkan tentang risalah Archimedes yang kini telah hilang, *Tentang Pembuatan Bola*, yang mungkin membahas tentang konstruksi mekanisme-mekanisme ini. Membangun mekanisme semacam ini akan membutuhkan pengetahuan yang canggih tentang roda gigi diferensial, yang pernah dianggap berada di luar jangkauan teknologi yang tersedia pada zaman kuno, namun penemuan mekanisme Antikythera pada tahun 1902, perangkat lain yang dibangun  SM yang dirancang dengan tujuan serupa, telah mengonfirmasi bahwa perangkat semacam ini telah dikenal oleh orang Yunani kuno, dengan beberapa sarjana menganggap perangkat Archimedes sebagai pendahulunya.

Saat menjabat sebagai kuestor di Sisilia, Cicero sendiri menemukan apa yang diduga sebagai makam Archimedes di dekat gerbang Agrigentine di Sirakusa, dalam kondisi terbengkalai dan tertutup semak belukar. Cicero memerintahkan agar makam tersebut dibersihkan dan ia dapat melihat ukiran serta membaca beberapa bait syair yang telah ditambahkan sebagai prasasti. Makam tersebut memuat sebuah pahatan yang menggambarkan bukti matematika favorit Archimedes, yaitu bahwa volume dan luas permukaan bola adalah dua pertiga dari silinder yang melingkupinya, termasuk alas-alasnya.

## Matematika
Meskipun ia sering dianggap sebagai perancang perangkat mekanik, Archimedes juga memberikan kontribusi pada bidang matematika, baik dalam menerapkan teknik para pendahulunya untuk memperoleh hasil baru, maupun mengembangkan metode baru miliknya sendiri.

### Metode penghabisan

Dalam *[[Kuadratur Parabola]]*, Archimedes menyatakan bahwa proposisi tertentu dalam ''Elemen'' Euklides yang mendemonstrasikan bahwa luas sebuah lingkaran sebanding dengan diameternya dibuktikan menggunakan lema yang kini dikenal sebagai sifat Archimedes, yaitu bahwa "kelebihan luas wilayah yang lebih besar di antara dua wilayah tak setara dibandingkan dengan yang lebih kecil, jika ditambahkan pada dirinya sendiri, dapat melebihi wilayah terbatas mana pun yang diberikan." Sebelum Archimedes, Eudoxus dari Cnidus dan matematikawan terdahulu lainnya menerapkan lema ini, sebuah teknik yang kini disebut sebagai "metode penghabisan," untuk mencari volume tetrahedron, silinder, kerucut, dan bola, yang pembuktiannya diberikan dalam buku XII ''Elemen'' Euklides.

Dalam *[[Pengukuran Lingkaran]]*, Archimedes menggunakan metode ini untuk menunjukkan bahwa luas lingkaran sama dengan segitiga siku-siku yang alas dan tingginya sama dengan jari-jari dan keliling lingkaran tersebut. Ia kemudian menghampiri rasio antara jari-jari dan kelilingnya, yaitu nilai , dengan menggambar segi enam beraturan yang lebih besar di luar lingkaran dan segi enam beraturan yang lebih kecil di dalam lingkaran, lalu secara progresif menggandakan jumlah sisi dari setiap poligon beraturan, sembari menghitung panjang sisi setiap poligon pada setiap langkah. Seiring bertambahnya jumlah sisi, poligon tersebut menjadi hampiran yang lebih akurat bagi sebuah lingkaran. Setelah empat langkah demikian, ketika poligon-poligon tersebut masing-masing memiliki 96 sisi, ia mampu menentukan bahwa nilai  terletak di antara 3 (sekitar 3,1429) dan 3 (sekitar 3,1408), konsisten dengan nilai sebenarnya yaitu sekitar 3,1416. Dalam risalah yang sama, ia juga menegaskan bahwa nilai akar kuadrat dari 3 terletak di antara  (sekitar 1,7320261) dan  (sekitar 1,7320512), yang mungkin ia turunkan dari metode serupa.

Dalam *[[Kuadratur Parabola]]*, Archimedes menggunakan teknik ini untuk membuktikan bahwa luas yang dibatasi oleh sebuah parabola dan sebuah garis lurus adalah  kali luas segitiga dalam yang bersesuaian seperti yang ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan, dengan menyatakan solusi masalah tersebut sebagai deret geometri tak hingga dengan rasio umum :

:\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3}. \;

Jika suku pertama dalam deret ini adalah luas segitiga tersebut, maka suku kedua adalah jumlah luas dua segitiga yang alasnya adalah dua garis sekan yang lebih kecil, dan yang titik sudut ketiganya adalah perpotongan antara parabola dengan garis yang sejajar dengan sumbu parabola dan melewati titik tengah alas, dan seterusnya. Pembuktian ini menggunakan variasi deret  yang berjumlah&nbsp;.

Ia juga menggunakan teknik ini untuk mengukur luas permukaan bola dan kerucut, menghitung luas elips, dan mencari luas yang dimuat dalam sebuah spiral Archimedes.

### Metode mekanik

Selain mengembangkan karya para matematikawan terdahulu dengan metode penghabisan, Archimedes juga memelopori teknik baru menggunakan hukum tuas untuk mengukur luas dan volume bangun ruang menggunakan sarana fisik. Ia pertama kali memberikan garis besar pembuktian ini dalam *Kuadratur Parabola* bersamaan dengan pembuktian geometrisnya, namun ia memberikan penjelasan yang lebih lengkap dalam *[[Metode Teorema Mekanik]]*. Menurut Archimedes, ia membuktikan hasil-hasil dalam risalah matematikanya terlebih dahulu menggunakan metode ini, dan kemudian bekerja secara mundur, menerapkan metode penghabisan hanya setelah ia menghitung nilai hampiran untuk jawabannya.

### Bilangan besar
Archimedes juga mengembangkan metode untuk merepresentasikan bilangan besar.

Dalam *[[Penghitung Pasir]]*, Archimedes merancang sistem penghitungan berdasarkan myriad, istilah Yunani untuk angka 10.000, guna menghitung jumlah yang lebih besar daripada butiran pasir yang dibutuhkan untuk mengisi alam semesta. Ia mengusulkan sistem bilangan menggunakan pangkat dari myriad di atas myriad (100 juta, yaitu 10.000 x 10.000) dan menyimpulkan bahwa jumlah butiran pasir yang diperlukan untuk mengisi alam semesta adalah 8 vigintiliun, atau 8. Dengan melakukan hal tersebut, ia mendemonstrasikan bahwa matematika dapat merepresentasikan bilangan yang besar secara sembarang.

Dalam *[[Masalah ternak Archimedes|Masalah Ternak]]*, Archimedes menantang para matematikawan di Perpustakaan Iskandariyah untuk menghitung jumlah ternak dalam Kawanan Ternak Matahari, yang melibatkan penyelesaian sejumlah persamaan Diophantine simultan. Versi yang lebih sulit dari masalah ini, di mana beberapa jawabannya diharuskan berupa bilangan kuadrat, dan jawabannya adalah bilangan yang sangat besar, kira-kira 7,760271.

### Benda padat Archimedes

Dalam sebuah karya yang hilang yang dijelaskan oleh Pappus dari Alexandria, Archimedes membuktikan bahwa terdapat tepat tiga belas poliedra semireguler.

## Tulisan-tulisan

Archimedes membuat karyanya dikenal melalui korespondensi dengan para matematikawan di Iskandariyah, yang aslinya ditulis dalam Yunani Dorik, dialek Sirakusa kuno.

### Karya yang bertahan
Daftar berikut diurutkan secara kronologis berdasarkan kriteria terminologis dan historis baru yang ditetapkan oleh Knorr (1978) dan Sato (1986).

#### ''Pengukuran Lingkaran''

Ini adalah karya pendek yang terdiri dari tiga proposisi. Karya ini ditulis dalam bentuk korespondensi dengan Dositheus dari Pelusium, yang merupakan murid dari Conon dari Samos. Dalam Proposisi II, Archimedes memberikan hampiran nilai pi (), menunjukkan bahwa nilainya lebih besar dari  (3,1408...) dan lebih kecil dari  (3,1428...).

#### ''Penghitung Pasir''

Dalam risalah ini, yang juga dikenal sebagai ***Psammites***, Archimedes menemukan bilangan yang lebih besar daripada jumlah butiran pasir yang dibutuhkan untuk mengisi alam semesta. Buku ini menyebutkan teori heliosentris Tata Surya yang diajukan oleh Aristarchus dari Samos, serta gagasan kontemporer tentang ukuran Bumi dan jarak antara berbagai benda langit, dan berupaya mengukur diameter semu Matahari. Dengan menggunakan sistem bilangan berdasarkan pangkat myriad, Archimedes menyimpulkan bahwa jumlah butiran pasir yang diperlukan untuk mengisi alam semesta adalah 8 dalam notasi modern. Surat pengantarnya menyatakan bahwa ayah Archimedes adalah seorang astronom bernama Phidias. *Penghitung Pasir* adalah satu-satunya karya yang bertahan di mana Archimedes membahas pandangannya tentang astronomi.

Archimedes membahas pengukuran astronomis Bumi, Matahari, dan Bulan, serta model alam semesta heliosentris Aristarchus, dalam *Penghitung Pasir*. Tanpa menggunakan trigonometri ataupun tabel tali busur, Archimedes menentukan diameter semu Matahari dengan terlebih dahulu mendeskripsikan prosedur dan instrumen yang digunakan untuk melakukan pengamatan (sebatang tongkat lurus dengan pasak atau alur), menerapkan faktor koreksi pada pengukuran ini, dan akhirnya memberikan hasilnya dalam bentuk batas atas dan batas bawah untuk memperhitungkan kesalahan pengamatan.

Ptolemaeus, mengutip Hipparchus, juga merujuk pada pengamatan titik balik matahari Archimedes dalam *Almagest*. Hal ini menjadikan Archimedes sebagai orang Yunani pertama yang diketahui telah mencatat tanggal dan waktu titik balik matahari secara ganda pada tahun-tahun yang berurutan.

#### ''Tentang Keseimbangan Bidang''

Terdapat dua buku dalam *Tentang Keseimbangan Bidang*: buku pertama memuat tujuh postulat dan lima belas proposisi, sedangkan buku kedua memuat sepuluh proposisi. Dalam buku pertama, Archimedes membuktikan hukum tuas, yang menyatakan bahwa:

Deskripsi awal mengenai prinsip tuas ditemukan dalam sebuah karya oleh Euklides dan dalam *[[Masalah Mekanik (Aristoteles)|Masalah Mekanik]],* yang berasal dari sekolah Peripatetik para pengikut Aristoteles, yang kepenulisannya oleh beberapa orang dikaitkan dengan Archytas.

Archimedes menggunakan prinsip-prinsip yang diturunkan tersebut untuk menghitung luas dan pusat gravitasi dari berbagai bangun geometri termasuk segitiga, jajaran genjang, dan parabola.

#### ''Kuadratur Parabola''

Dalam karya yang terdiri dari 24 proposisi yang ditujukan kepada Dositheus ini, Archimedes membuktikan dengan dua metode bahwa luas yang dibatasi oleh sebuah parabola dan sebuah garis lurus adalah 4/3 kali luas segitiga dengan alas dan tinggi yang sama. Ia mencapai hal ini melalui dua metode berbeda: pertama dengan menerapkan hukum tuas, dan kedua dengan menghitung nilai deret geometri yang menjumlah hingga tak hingga dengan rasio 1/4.

#### ''Tentang Bola dan Silinder''

Dalam risalah dua jilid yang ditujukan kepada Dositheus ini, Archimedes memperoleh hasil yang paling ia banggakan, yaitu hubungan antara sebuah bola dan sebuah silinder terlingkup dengan tinggi dan diameter yang sama. Volumenya adalah 3 untuk bola, dan 23 untuk silinder. Luas permukaannya adalah 42 untuk bola, dan 62 untuk silinder (termasuk kedua alasnya), di mana  adalah jari-jari bola dan silinder tersebut.

#### ''Tentang Spiral''

Karya yang terdiri dari 28 proposisi ini juga ditujukan kepada Dositheus. Risalah ini mendefinisikan apa yang sekarang disebut spiral Archimedes. Ini adalah tempat kedudukan titik-titik yang bersesuaian dengan lokasi dari waktu ke waktu dari sebuah titik yang bergerak menjauhi titik tetap dengan kecepatan konstan di sepanjang garis yang berputar dengan kecepatan sudut konstan. Secara ekuivalen, dalam koordinat kutub modern (, ), hal ini dapat dideskripsikan dengan persamaan \, r=a+b\theta dengan bilangan real  dan .

Ini adalah contoh awal dari sebuah kurva mekanis (kurva yang dilacak oleh sebuah titik yang bergerak) yang dipertimbangkan oleh seorang matematikawan Yunani.

#### ''Tentang Konoida dan Spheroida''

Ini adalah sebuah karya dalam 32 proposisi yang ditujukan kepada Dositheus. Dalam risalah ini, Archimedes menghitung luas dan volume dari penampang kerucut, bola, dan paraboloida.

#### ''Tentang Benda Mengapung''

Terdapat dua buku dari *Tentang Benda Mengapung*. Dalam buku pertama, Archimedes menjabarkan hukum  fluida dan membuktikan bahwa air akan mengambil bentuk bola di sekeliling pusat gravitasi.

Prinsip Archimedes mengenai gaya apung diberikan dalam karya ini, yang dinyatakan sebagai berikut:

Setiap benda yang terendam seluruhnya atau sebagian dalam fluida akan mengalami gaya angkat ke atas yang sama besar dengan, namun berlawanan arah dengan, berat fluida yang dipindahkan.

Pada bagian kedua, ia menghitung posisi keseimbangan dari penampang paraboloida. Ini mungkin merupakan idealisasi dari bentuk lambung kapal. Beberapa penampangnya mengapung dengan alas di bawah air dan puncaknya di atas air, mirip dengan cara gunung es mengapung.

#### ''Ostomachion''

Juga dikenal sebagai **Loculus Archimedes** atau **Kotak Archimedes**, ini adalah sebuah teka-teki potong-susun yang mirip dengan Tangram, dan risalah yang menggambarkannya ditemukan dalam bentuk yang lebih lengkap di dalam Palimpsest Archimedes. Archimedes menghitung luas dari 14 kepingan, yang dapat disusun untuk membentuk sebuah persegi. Reviel Netz dari Universitas Stanford berargumen pada tahun 2003 bahwa Archimedes berusaha menentukan berapa banyak cara kepingan-kepingan tersebut dapat disusun menjadi bentuk persegi. Netz menghitung bahwa kepingan-kepingan tersebut dapat dibuat menjadi persegi dengan 17.152 cara. Jumlah susunannya adalah 536 jika solusi yang setara melalui rotasi dan pencerminan dikecualikan. Teka-teki ini merepresentasikan contoh masalah awal dalam kombinatorika.

Asal-usul nama teka-teki ini tidak jelas, dan telah disarankan bahwa nama tersebut diambil dari kata dalam Bahasa Yunani Kuno untuk "tenggorokan" atau "kerongkongan", *stomachos* (). Ausonius menyebut teka-teki ini , sebuah kata majemuk Yunani yang dibentuk dari akar kata  () dan  ().

#### Masalah ternak

Dalam karya ini, yang ditujukan kepada Eratosthenes dan para matematikawan di Aleksandria, Archimedes menantang mereka untuk menghitung jumlah ternak dalam Kawanan Ternak Matahari, yang melibatkan penyelesaian sejumlah persamaan Diophantine simultan. Gotthold Ephraim Lessing menemukan karya ini dalam sebuah manuskrip Yunani yang terdiri dari puisi 44 baris di Perpustakaan Herzog August di Wolfenbüttel, Jerman, pada tahun 1773. Terdapat versi yang lebih sulit dari masalah ini di mana beberapa jawabannya diharuskan berupa bilangan kuadrat. A. Amthor pertama kali memecahkan versi masalah ini pada tahun 1880, dan jawabannya adalah bilangan yang sangat besar, kira-kira 7,760271.

#### ''Metode Teorema Mekanik''

Sebagaimana *[[Masalah ternak Archimedes|Masalah Ternak]]*, *Metode Teorema Mekanik* ditulis dalam bentuk surat kepada Eratosthenes di Iskandariyah.

Dalam karya ini Archimedes menggunakan metode baru, sebuah bentuk awal dari prinsip Cavalieri, untuk menurunkan kembali hasil-hasil dari risalah yang dikirimkan kepada Dositheus (*Kuadratur Parabola*, *Tentang Bola dan Silinder*, *Tentang Spiral*, *Tentang Konoida dan Spheroida*) yang sebelumnya telah ia buktikan menggunakan metode penghabisan, dengan menggunakan hukum tuas yang ia terapkan dalam *Tentang Keseimbangan Bidang* guna mencari pusat gravitasi suatu objek terlebih dahulu, dan menalarnya secara geometris dari sana agar dapat menurunkan volume objek dengan lebih mudah. Archimedes menyatakan bahwa ia menggunakan metode ini untuk menurunkan hasil-hasil dalam risalah yang dikirim kepada Dositheus sebelum ia membuktikannya secara lebih ketat dengan metode penghabisan, dengan menyatakan bahwa mengetahui kebenaran suatu hasil sebelum membuktikannya secara ketat adalah hal yang berguna, sebagaimana Eudoxus dari Cnidus terbantu dalam membuktikan bahwa volume kerucut adalah sepertiga volume silinder dengan mengetahui bahwa Democritus telah menegaskannya sebagai kebenaran berdasarkan argumen bahwa hal ini benar karena fakta bahwa piramida memiliki volume sepertiga dari prisma persegi panjang dengan alas yang sama.

Risalah ini dianggap hilang hingga ditemukannya Palimpsest Archimedes pada tahun 1906.

### Karya-karya apokrif

*[[Buku Lema]]* atau *Liber Assumptorum* karya Archimedes adalah sebuah risalah yang memuat 15 proposisi mengenai sifat-sifat lingkaran. Salinan teks tertua yang diketahui berada dalam bahasa Arab. T. L. Heath dan Marshall Clagett berpendapat bahwa karya tersebut tidak mungkin ditulis oleh Archimedes dalam bentuknya yang sekarang, karena karya tersebut mengutip Archimedes, yang menyiratkan adanya modifikasi oleh penulis lain. *Lema* mungkin didasarkan pada karya Archimedes terdahulu yang kini telah hilang.

Atribusi lain yang meragukan terhadap karya Archimedes meliputi puisi Latin *[[Carmen de ponderibus et mensuris]]* (abad ke-4 atau ke-5), yang menggambarkan penggunaan neraca hidrostatik untuk memecahkan masalah mahkota, dan teks abad ke-12 *[[Mappae clavicula]]*, yang berisi instruksi tentang cara melakukan pengujian kadar logam dengan menghitung berat jenisnya.

### Karya yang hilang
Banyak karya tulis Archimedes yang tidak bertahan atau hanya tersisa dalam bentuk fragmen yang telah disunting secara besar-besaran: Pappus dari Alexandria menyebutkan *Tentang Pembuatan Bola*, serta sebuah karya mengenai poliedra semireguler, dan karya lain mengenai spiral, sementara Theon dari Alexandria mengutip sebuah pernyataan mengenai pembiasan dari karya *Katoptrika* yang kini telah hilang. *Prinsip*, yang ditujukan kepada Zeuxippus, menjelaskan sistem bilangan yang digunakan dalam *[[Penghitung Pasir]]*; terdapat pula *Tentang Neraca* dan *Tentang Pusat Gravitasi*.

Para cendekiawan di dunia Islam abad pertengahan juga mengaitkan Archimedes dengan sebuah rumus untuk menghitung luas segitiga dari panjang sisi-sisinya, yang kini dikenal sebagai rumus Heron karena kemunculan pertamanya yang diketahui adalah dalam karya Heron dari Alexandria pada abad ke-1 M, dan mungkin telah dibuktikan dalam karya Archimedes yang hilang dan tidak lagi ada saat ini.

### Palimpsest Archimedes

Pada tahun 1906, profesor Denmark Johan Ludvig Heiberg mengunjungi Konstantinopel untuk memeriksa sebuah perkamen kulit kambing setebal 174 halaman yang berisi doa-doa, yang ditulis pada abad ke-13, setelah membaca transkripsi pendek yang diterbitkan tujuh tahun sebelumnya oleh Papadopoulos-Kerameus. Ia mengonfirmasi bahwa naskah tersebut memang sebuah palimpsest, yaitu dokumen dengan teks yang ditulis di atas karya lama yang telah dihapus. Palimpsest dibuat dengan cara mengerik tinta dari karya-karya yang sudah ada dan menggunakannya kembali, sebuah praktik umum pada Abad Pertengahan karena mahalnya harga velum. Karya-karya lama dalam palimpsest tersebut diidentifikasi oleh para sarjana sebagai salinan abad ke-10 dari risalah Archimedes yang sebelumnya hilang. Palimpsest ini memuat tujuh risalah, termasuk satu-satunya salinan *Tentang Benda Mengapung* yang bertahan dalam bahasa Yunani asli. Ini adalah satu-satunya sumber yang diketahui untuk *Metode Teorema Mekanik*, yang dirujuk oleh Suidas dan diperkirakan telah hilang selamanya. *Stomachion* juga ditemukan dalam palimpsest ini, dengan analisis teka-teki yang lebih lengkap daripada yang ditemukan dalam teks-teks sebelumnya.

Risalah-risalah dalam Palimpsest Archimedes meliputi:
* *[[Tentang Keseimbangan Bidang]]*
* *[[Tentang Spiral]]*
* *[[Pengukuran Lingkaran]]*
* *[[Tentang Bola dan Silinder]]*
* *[[Tentang Benda Mengapung]]*
* *[[Metode Teorema Mekanik]]*
* *[[Stomachion]]*
* Pidato-pidato oleh politisi abad ke-4 SM Hypereides
* Sebuah komentar mengenai *[[Kategori (Aristoteles)|Kategori]]* karya Aristoteles
* Karya-karya lain

Perkamen tersebut tersimpan selama ratusan tahun di sebuah perpustakaan biara di Konstantinopel sebelum dijual kepada seorang kolektor pribadi pada tahun 1920-an. Pada tanggal 29 Oktober 1998, naskah itu dijual dalam pelelangan kepada pembeli anonim dengan harga total $2,2 juta. Palimpsest tersebut kemudian disimpan di Museum Seni Walters di Baltimore, Maryland, di mana naskah itu menjalani serangkaian pengujian modern termasuk penggunaan cahaya ultraviolet dan  untuk membaca teks yang tertimpa.

Kini naskah tersebut telah dikembalikan kepada pemilik anonimnya.

## Warisan

Terkadang disebut sebagai bapak matematika dan fisika matematika, para sejarawan sains dan matematika hampir secara universal sepakat bahwa Archimedes adalah matematikawan terbaik dari zaman antikuitas.

### Antikuitas klasik
Reputasi yang dimiliki Archimedes atas penemuan mekanisnya pada masa antikuitas klasik terdokumentasi dengan baik; Athenaeus menuturkan dalam *[[Deipnosophistae]]*-nya bagaimana Archimedes mengawasi pembangunan kapal terbesar yang diketahui pada zaman kuno, *[[Syracusia]]*, sementara Apuleius berbicara tentang karyanya dalam katoptrika. Plutarch pernah mengklaim bahwa Archimedes memandang rendah mekanika dan berfokus terutama pada geometri murni, namun pendapat ini secara umum dianggap sebagai kesalahan karakterisasi oleh kesarjanaan modern, yang dibuat-buat untuk mendukung nilai-nilai Platonis Plutarch sendiri alih-alih menyajikan gambaran akurat mengenai Archimedes, dan, tidak seperti penemuannya, tulisan-tulisan matematika Archimedes kurang dikenal pada zaman antikuitas di luar karya-karya matematikawan Iskandariyah. Kompilasi komprehensif pertama baru dibuat sekitar  oleh Isidore dari Miletus di Konstantinopel Bizantium, sementara komentar-komentar Eutocius atas karya-karya Archimedes di awal abad yang sama membukanya bagi pembaca yang lebih luas untuk pertama kalinya.

### Abad pertengahan
Karya Archimedes diterjemahkan ke dalam bahasa Arab oleh Thābit ibn Qurra (836–901 M), dan ke dalam bahasa Latin melalui bahasa Arab oleh Gerard dari Cremona (c. 1114–1187). Terjemahan langsung dari bahasa Yunani ke bahasa Latin kemudian dilakukan oleh William dari Moerbeke (c. 1215–1286) dan Iacobus Cremonensis (c. 1400–1453).

### Renaisans dan Eropa modern awal

Selama Renaisans, *[[Editio princeps]]* (Edisi Pertama) diterbitkan di Basel pada tahun 1544 oleh Johann Herwagen yang memuat karya-karya Archimedes dalam bahasa Yunani dan Latin, yang menjadi sumber gagasan yang berpengaruh bagi para ilmuwan selama Renaisans dan kembali berpengaruh pada abad ke-17.

Leonardo da Vinci berulang kali mengungkapkan kekagumannya kepada Archimedes, dan mengaitkan penemuannya Architonnerre dengan Archimedes. Galileo Galilei menyebutnya "manusia super" dan "guruku", sementara Christiaan Huygens berkata, "Saya rasa Archimedes tidak dapat disandingkan dengan siapa pun", dan secara sadar menirunya dalam karya-karya awalnya. Gottfried Wilhelm Leibniz berkata, "Barang siapa yang memahami Archimedes dan Apollonius tidak akan terlalu mengagumi pencapaian orang-orang terkemuka di masa kemudian".

Numismatis dan arkeolog Italia Filippo Paruta (1552–1629) dan Leonardo Agostini (1593–1676) melaporkan adanya koin perunggu di Sisilia dengan potret Archimedes di sisi muka dan sebuah silinder serta bola dengan monogram ARMD dalam bahasa Latin di sisi belakang. Meskipun koin tersebut kini telah hilang dan tanggalnya tidak diketahui secara pasti, Ivo Schneider mendeskripsikan sisi belakangnya sebagai "sebuah bola yang bertumpu pada alas – mungkin gambaran kasar dari salah satu planetarium yang diciptakan oleh Archimedes," dan menyarankan bahwa koin itu mungkin dicetak di Roma untuk Marcellus yang "menurut laporan kuno, membawa dua bola Archimedes bersamanya ke Roma".

### Dalam matematika modern

Pahlawan Gauss adalah Archimedes dan Newton, dan Moritz Cantor, yang belajar di bawah bimbingan Gauss di Universitas Göttingen, melaporkan bahwa ia pernah berkomentar dalam percakapan bahwa "hanya ada tiga matematikawan pembawa zaman baru: Archimedes, Newton, dan Eisenstein". Demikian pula, Alfred North Whitehead berkata bahwa "pada tahun 1500 Eropa mengetahui lebih sedikit dibandingkan Archimedes yang meninggal pada tahun 212 SM." Sejarawan matematika Reviel Netz, yang menggemakan pernyataan Whitehead tentang Plato dan filsafat, mengatakan bahwa "Sains Barat hanyalah serangkaian catatan kaki bagi Archimedes," menyebutnya "ilmuwan paling penting yang pernah hidup." dan Eric Temple Bell, menulis bahwa "Daftar tiga matematikawan 'terbesar' sepanjang sejarah mana pun akan menyertakan nama Archimedes. Dua orang lainnya yang biasanya dikaitkan dengannya adalah Newton dan Gauss. Beberapa orang, dengan mempertimbangkan kekayaan relatif—atau kemiskinan—matematika dan ilmu fisika di zaman masing-masing tempat para raksasa ini hidup, dan memperkirakan pencapaian mereka dengan latar belakang zaman mereka, akan menempatkan Archimedes di urutan pertama."

Penemuan karya-karya Archimedes yang sebelumnya hilang pada tahun 1906 dalam Palimpsest Archimedes telah memberikan wawasan baru tentang bagaimana ia memperoleh hasil-hasil matematikanya.

Medali Fields untuk pencapaian luar biasa dalam matematika memuat potret Archimedes, beserta ukiran yang mengilustrasikan pembuktiannya mengenai bola dan silinder.

Inkripsi di sekeliling kepala Archimedes adalah kutipan yang dikaitkan dengan penyair abad ke-1 M Manilius, yang berbunyi dalam bahasa Latin: *Transire suum pectus mundoque potiri* ("Melampaui diri sendiri dan menguasai alam semesta").

### Pengaruh budaya
Kapal uap laik laut pertama di dunia dengan baling-baling sekrup adalah SS ''Archimedes'', yang diluncurkan pada tahun 1839 dan dinamai untuk menghormati Archimedes dan karyanya mengenai sekrup tersebut.

Archimedes juga muncul pada prangko yang diterbitkan oleh Jerman Timur (1973), Yunani (1983), Italia (1983), Nikaragua (1971), San Marino (1982), dan Spanyol (1963).

Seruan Eureka! yang dikaitkan dengan Archimedes adalah semboyan negara bagian California. Dalam hal ini, kata tersebut merujuk pada penemuan emas di dekat Sutter's Mill pada tahun 1848 yang memicu Demam Emas California.

Terdapat sebuah kawah di Bulan yang dinamai Archimedes () untuk menghormatinya, serta sebuah pegunungan bulan, Montes Archimedes ().

## Lihat pula

* Arbelos
* Titik Archimedes
* Bilangan Archimedes
* Paradoks Archimedes
* Metode perhitungan akar kuadrat
* Salinon
* Meriam uap
* Lingkaran kembar
* Zhang Heng

## Catatan
### Catatan kaki

### Kutipan

## Referensi
### Kesaksian kuno
* Plutarch, Life of Marcellus
* 

### Sumber modern
* 
* 
* 

## Bacaan lanjutan

*Clagett, Marshall. 1964–1984. *Archimedes in the Middle Ages* 5 volumes. Madison, WI: University of Wisconsin Press.
*Clagett, Marshall. 1970. . In Charles Coulston Gillispie, ed. *[[Dictionary of Scientific Biography]]*. Vol. 1 (Abailard–Berg). New York: Charles Scribner's Sons. .
*Gow, Mary. 2005. **'. [[Enslow Publishing]]. .
*Hasan, Heather. 2005. **'. Rosen Central. .
*Netz, Reviel. 2004–2017. *The Works of Archimedes: Translation and Commentary*. 1–2. Cambridge University Press. Vol. 1: "The Two Books on the Sphere and the Cylinder". . Vol. 2: "On Spirals". .
* Netz, Reviel, and William Noel. 2007. *The Archimedes Codex*. Orion Publishing Group. .
*Pickover, Clifford A. 2008. *Archimedes to Hawking: Laws of Science and the Great Minds Behind Them*. Oxford University Press. .
*Simms, Dennis L. 1995. *Archimedes the Engineer*. Continuum International Publishing Group. .
*Stein, Sherman. 1999. **. Mathematical Association of America. .

## Pranala luar

* *[https://www.wilbourhall.org/index.html#archimedes Heiberg's Edition of Archimedes].* Texts in Classical Greek, with some in English.
* 
* 
* 
* 
* 
* The Archimedes Palimpsest project at The Walters Art Museum in Baltimore, Maryland
* 
* 
* Testing the Archimedes steam cannon