Relasi biner

**Relasi biner** dalam matematika, singkatnya **relasi**, adalah hubungan antara dua elemen himpunan . Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkret maupun secara matematis.

## Definisi
Jika terdapat himpunan *A* dan himpunan *B* (*A* bisa sama dengan *B*), maka relasi *R* dari *A* ke *B* adalah himpunan bagian dari *A*×*B*.
:R_{AB} \subseteq A \times B

## Relasi dan fungsi proposisi
Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.

Sebagai contoh, pandang himpunan *B* = { *apel, jeruk, mangga, pisang* } dengan himpunan *W* = { *hijau, kuning, orange*}. Suatu relasi *R* dari *A* ke *B* didefinisikan sebagai *R* = {(*apel, hijau*), (*jeruk, orange*), (*mangga, hijau*), (*pisang, kuning*)}. Terdapat fungsi proposisi *w*(*x, y*) = "*x* berwarna *y*", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(*apel, hijau*), (*jeruk, orange*), (*mangga, hijau*), (*pisang, kuning*)}, yang tidak lain adalah relasi *R*.

## Relasi A×A
Sebuah relasi *A*×*A*, yaitu relasi dari himpunan *A* kepada *A* sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:
* Refleksif
* Irefleksif
* Simetrik
* Anti-simetrik
* Transitif
Kita menyebut relasi *R* dari *A* kepada *A* sebagai relasi *R* dalam *A*.

### Relasi refleksif

Sebuah relasi *R* dalam *A* disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen *A* berhubungan dengan dirinya.
:\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R 
atau
:\forall_{a \in A}\quad a R a 
Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “*x* selalu bersama *y*.”, dengan *x* dan *y* adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

### Relasi irefleksif
Relasi *R* dalam *A* disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen *A* tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.
:\forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R 
atau
:\forall_{a \in A}\quad \lnot(a R a) 
Contoh relasi irefleksif adalah relasi “*x* mampu mencukur rambut *y* dengan rapi sempurna.”, dengan *x* dan *y* adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur *a* yang mampu mencukur rambutnya sendiri.

Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi  adalah irefleksif.

### Relasi simetrik
Relasi *R* dalam *A* disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota *A* berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika *a* terhubung dengan *b*, maka *b* juga terhubung dengan *a*. Jadi terdapat hubungan timbal balik.
:\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R
atau
:\forall_{a, b \in A}\quad a R b \rightarrow b R a
Sebuah relasi “x+y genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang *x* dan *y* yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai *y* dan *x*, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

### Relasi anti-simetrik
Jika setiap *a* dan *b* yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi *a* dan *b* berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.
:\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \notin R)
atau
:\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow (a R b \rightarrow \lnot (b R a))
Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.
:\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \wedge (b,a) \in R \rightarrow a=b
atau
:\forall_{a, b \in A}\quad a R b \wedge b R a \rightarrow a=b
Relasi \leq bersifat anti-simetrik, karena 5 \leq 6 mengakibatkan \lnot (6 \leq 5). Demikian juga jika ada *p* dan *q* yang terhadap mereka berlaku p \leq q dan q \leq p berarti p = q.

### Relasi transitif
Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika *a* berhubungan dengan *b*, dan *b* berhubungan dengan *c*, maka *a* berhubungan dengan *c* secara langsung.

:(a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R

atau

:\forall_{a, b, c \in A} {a R b \wedge b R c \rightarrow a R c}

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

## Relasi khusus
### Relasi ekuivalensi

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekuivalens jika relasi tersebut bersifat:
* Refleksif
* Simetrik, dan
* Transitif
Relasi ekuivalens memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekuivalens atau kelas kesetaraan.

### Orde parsial
Orde parsial adalah relasi yang bersifat:
* Refleksif
* Anti-simetrik, dan
* Transitif

## Lihat pula
* Teori himpunan
* Himpunan
* Fungsi
* Kelas kesetaraan