Mekanika kuantum

**Mekanika kuantum** adalah cabang dasar fisika yang digunakan untuk menjelaskan sistem atom dan subatom. Konsep mekanika kuantum digunakan untuk menggantikan mekanika klasik.  Mekanika kuantum berada dalam superposisi kuantum sehingga tidak bersesuaian dengan fisika klasik. Mekanika kuantum digunakan untuk menyusun kerangka acuan matematika untuk fisika atom, fisika molekular, kimia komputasi, kimia kuantum, fisika partikel, dan fisika nuklir. Konsep utama yang dikemukakan dalam mekanika kuantum adalah teori medan kuantum dan fisika kuantum dan relativitas umum. Pernyataan umum dari mekanika kuantum adalah bahwa energi itu tidak berkesinambungan, tetapi tersusun dalam paket atau kuanta yang diskrit.

Sejarah mekanika kuantum berkembang dari penyelesaian Max Planck tahun 1900 pada masalah radiasi benda-hitam (dilaporkan 1859) dan paper Albert Einstein tahun 1905 yang menawarkan teori berbasis-kuantum untuk menjelaskan efek fotolistrik (dilaporkan 1887). Teori kuantum lama dipahami secara mendalam pada pertengahan 1920-an.

Teori ini dirumuskan dalam berbagai rumus matematika yang dikembangkan. Salah satunya, sebuah fungsi matematika yaitu fungsi gelombang, memberikan informasi mengenai amplitudo probabilitas dari posisi, momentum, dan properti fisik lainnya dari sebuah partikel.

Aplikasi penting dari teori kuantum diantaranya adalah magnet superkonduktor, diode pancaran cahaya (LED), laser, transistor dan semikonduktor seperti prosesor mikro, pencitraan penelitian dan medis seperti *[[magnetic resonance imaging]]* dan mikroskop elektron.

Dalam Teori Type Of Multiverse dijelaskan bahwa Dunia Mekanika Kuantum menunjukkan ada-nya banyak Alam Semesta yang bercabang dari setiap peristiwa Kuantum. Semua hasil dari setiap peristiwa Kuantum menghasilkan Alam Semesta terpisah. Terkadang muncul juga berbagai pendapat dari ilmuwan, profesor, guru, mahasiswa, ataupun murid seperti Edzel Lanvin Hennessy, bahwa sebagian besar teori mekanika kuantum tidak akan pernah secara sempurna diselesaikan.

## Sejarah

Penyelidikan sains tentang cahaya dimulai pada abad ke-17 dan 18, ketika para ilmuwan seperti Robert Hooke, Christiaan Huygens dan Leonhard Euler mengajukan teori gelombang cahaya berbasis pengamatan eksperimen. Tahun 1803, Thomas Young, polymath berkebangsaan Inggris, melakukan percobaan celah-ganda yang nantinya ia jelaskan pada paper berjudul *[[On the nature of light and colours]]*. Percobaan ini memainkan peranan penting dalam dukungan pada teori gelombang cahaya.

Tahun 1838, Michael Faraday menemukan sinar katode. Penelitian ini kemudian diikuti oleh pernyataan masalah radiasi benda-hitam tahun 1859 yand dikemukakan oleh Gustav Kirchhoff, petunjuk oleh Ludwig Boltzmann tahun 1877 bahwa keadaan energi sebuah sistem fisika dapat berupa diskret, dan hipotesis kuantum tahun 1900 oleh Max Planck. Pada tahun 1900, Max Planck memperkenalkan ide bahwa energi teradiasi dan terserap dalam "kuanta" diskret (atau paket-paket energi). Ide ini secara khusus digunakan untuk menjelaskan sebaran intensitas radiasi yang dipancarkan oleh benda hitam.

Tahun 1896, Wilhelm Wien secara empiris menentukan hukum distribusi radiasi benda-hitam, kemudian dikenal dengan nama Hukum Wien. Ludwig Boltzmann secara independen juga mendapatkan hasil ini dengan beberapa pertimbangan dari persamaan Maxwell. Namun, hasilnya hanya valid pada frekuensi tinggi dan mengabaikan radiansi pada frekuensi rendah. Nantinya, Planck memperbaiki model ini menggunakan interpretasi statistik Boltzmann untuk termodinamika dan mengajukan apa yang saat ini disebut sebagai Hukum Planck, yang mengarah pada pengembangan mekanika kuantum.

Pada tahun 1905, Albert Einstein menjelaskan efek fotolistrik dengan menyimpulkan bahwa energi cahaya datang dalam bentuk kuanta yang disebut foton. Sekitar tahun 1900-1910, teori atom dan teori korpuskular cahaya pertama kali diterima sebagai fakta sains; teori ini secara berurutan dapat dilihat sebagai teori kuantum dari zat dan radiasi elektromagnetik.

Di antara mereka yang pertama kali mempelajari fenomena kuantum di alam adalah Arthur Compton, C. V. Raman, dan Pieter Zeeman, masing-measing mereka memiliki nama efek kuantum dari nama mereka. Robert Andrews Millikan mempelajari efek fotolistrik secara eksperimen, dan Albert Einstein mengembangkan teori untuk itu. Pada waktu yang sama, Ernest Rutherford secara eksperimen menemukan model atom nuklir, dan Niels Bohr mengembangkan teori struktur atom miliknya, yang nantinya dikonfirmasi oleh eksperimen Henry Moseley. Tahun 1913, Peter Debye memperluas teori struktur atom Niels Bohr, memperkenalkan orbit elips, konsep yang juga diperkenalkan oleh Arnold Sommerfeld. Teori-teori di atas, meskipun sukses, tetapi sangat fenomenologikal: tidak ada penjelasan jelas untuk kuantisasi. Mereka dikenal sebagai *teori kuantum lama*.

Menurut Planck, tiap elemen energi (*E*)* *berbanding lurus dengan frekuensinya (*ν*):
: E = h \nu\ 

dengan *h* adalah konstanta Planck.

Planck secara berhari-hati bersikukuh bahwa ini hanyalah aspek *proses* absopsi dan emisi radiasi sederhana dan tidak ada hubungannya dengan *realitas fisika* radiasi itu sendiri. Nyatanya, ia menganggap hipotesis kuantumnya adalah trik matematika untuk mendapatkan jawaban yang benar. Meski begitu, tahun 1905 Albert Einstein menerjemahkan hipotesis kuantum Planck dan menggunakannya untuk menjelaskan efek fotolistrik, di mana cahaya sinar pada beberapa benda dapat melepas elektron dari material. Ia memenangkan Hadiah Nobel Fisika tahun 1921 untuk penelitiannya ini.

Einstein lebih jauh mengembangkan ide ini untuk menunjukkan bahwa gelombang elektromagnetik seperti cahaya juga dapat dijelaskan sebagai partikel (nantinya disebut foton), dengan kuantum energi diskret yang tergantung dari frekuensinya.

Dasar-dasar mekanika kuantum didirikan selama pertengahan awal abad ke-20 oleh Max Planck, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Louis de Broglie, Arthur Compton, Albert Einstein, Erwin Schrödinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Enrico Fermi, Wolfgang Pauli, Max von Laue, Freeman Dyson, David Hilbert, Wilhelm Wien, Satyendra Nath Bose, Arnold Sommerfeld, dan lain-lain. Interpretasi Kopenhagen Niels Bohr diterima secara luas.

Pada tahun 1920-an, pengembangan dalam mekanika kuantum menjadikannya rumusan standar untuk fisika atom. Musim panas 1925, Bohr dan Heisenberg memublikasikan hasil yang mendekati teori kuantum lama. Untuk menyebut perilaku seperti-partikel dalam beberapa proses dan pengukuran, kuanta cahaya akhirnya disebut foton (1926).

Pada tahun 1930, mekanika kuantum semakin disatukan dan diformalkan melalui hasil kerja David Hilbert, Paul Dirac dan John von Neumann dengan penekanan lebih ke pengukuran,  dan spekulasi filosofis mengenai 'pengamat'nya. Semenjak itu muncul pada disiplin ilmu baru seperti kimia kuantum, elektronika kuantum, optika kuantum, dan sains informasi kuantum. Pengembangan modern-nya yang spekulatif diantaranya teori senar dan teori gravitasi kuantum. Teori ini juga memberikan kerangka dasar bagi tabel periodik modern, dan menjelaskan perilaku atom selama berikatan kimia dan aliran elektron pada semikonduktor, dan oleh karena itu memainkan peranan penting dalam banyak teknologi modern.

Meski mekanika kuantum didirikan untuk menjelaskan dunia benda amat kecil, namun teori ini juga diperlukan untuk menjelaskan beberapa fenomena makroskopik seperti superkonduktor, dan superfluida.

Kata *kuantum* berasal dari bahasa Latin yang berarti "seberapa besar" atau "seberapa banyak". Dalam mekanika kuantum ia merujuk pada suatu satuan diskret yang nempel pada besaran fisika tertentu seperti energi sebuah atom pada waktu diam (lihat Gbr 1). Ditemukan bahwa partikel merupakan paket-paket energi diskret dengan properti seperti-gelombang mendorong bidang fisika yang mempelajari sistem atom dan subatom yang saat ini dikenal dengan mekanika kuantum. Bidang ini memberikan kerangka matematika bagi banyak bidang fisika dan kimia lainnya, termasuk diantaranya fisika benda terkondensasi, fisika fasa padat, fisika atom, fisika molekuler, fisika komputasi, kimia komputasi, kimia kuantum, fisika partikel, kimia nuklir, dan fisika nuklir. Beberapa aspek dasar teori ini masih dipelajari sampai sekarang.

Mekanika kuantum penting untuk menjelaskan perilaku sistem pada skala atom atau lebih kecil. Jika sifat fisika atom hanya dijelaskan oleh mekanika klasik, elektron tidak akan mengorbit nukleus, karena elektron yang mengorbit melepas radiasi (akibat gerak melingkar) dan akhirnya akan bertabrakan dengan nukleus karena kehilangan energi ini. Kerangka ini tidak dapat menjelaskan stabilitas atom. Pada nyatanya, elektron mengelilingi nukleus dengan orbital gelombang-partikel yang tak tentu, tak pasti dan *probabilistik*, melawan asumsi lama mekanika klasik dan elektromagnetisme.

Mekanika kuantum pada awalnya dikembangkan untuk memberikan penjelasan dan deskripsi yang lebih baik tentang atom, terutama perbedaannya dalam spektrum cahaya yang dilepaskan oleh isotop dari elemen kimia yang berbeda, juga partikel subatomik. Singkatnya, model atom mekanika kuantum dengan sukses yang tidak dapat dijelaskan mekanika klasik dan elektromagnetisme.

Secara luas, mekanika kuantum menggabungkan 4 kelas fenomena di mana fisika klasik tak dapat menjelaskannya:

* kuantisasi properti fisika tertentu
* quantum entanglement
* azas ketidakpastian
* dualitas gelombang-partikel

### Eksperimen penemuan
* Penelitian radiasi benda hitam antara 1850 dan 1900, yang tidak dapat dijelaskan tanpa konsep kuantum.
* Henri Becquerel menemukan radioaktivitas (1896)
* Joseph John Thomson - eksperimen tabung sinar kathoda (menemukan elektron dan muatan negatifnya) (1897)
* Robert Millikan - eksperimen tetesan minyak, membuktikan bahwa muatan listrik terjadi dalam *[[kuantum|kuanta]]*, (1909)
* Ernest Rutherford - eksperimen lembaran emas menggagalkan model puding plum atom yang menyarankan bahwa muatan positif dan masa atom tersebar dengan rata. (1911)
* Otto Stern dan Walter Gerlach melakukan eksperimen Stern-Gerlach, yang menunjukkan sifat kuantisasi partikel spin (1920)
* Clyde L. Cowan dan Frederick Reines meyakinkan keberadaan neutrino dalam eksperimen neutrino (1955)

## Perumusan matematika

Perumusan matematis mekanika kuantum dikembangkan oleh Paul Dirac, David Hilbert, John von Neumann, dan Hermann Weyl. Keadaan yang mungkin dari suatu sistem mekanika kuantum dilambangkan sebagai vektor satuan (disebut sebagai *vektor keadaan*).

Dalam mekanika kuantum, keadaan sebuah sistem pada waktu tertentu dijelaskan dengan fungsi gelombang kompleks, juga disebut dengan vektor keadaan pada vektor ruang kompleks. Prinsip ketidakpastian Heisenberg mengkuantifisasi ketidakmampuan dalam mencari lokasi partikel secara presisi.

Selama pengukuran, di sisi lain, perubahan fungsi gelombang awal ke fungsi gelombang berikutnya tak dapat ditentukan, tak dapat diprediksi (acak). Simulasi evolusi-waktu dapat dilihat disini.

Persamaan gelombang berubah seiring waktu. Persamaan Schrödinger menjelaskan bagaimana fungsi gelombang berubah terhadap waktu, mirip seperti hukum kedua Newton pada mekanika klasik. Persamaan Schrödinger memprediksi bahwa pusat paket gelombang akan berpindah melalui ruang pada kecepatan konstan (seperti partikel klasik tanpa gaya yang bekerja padanya). Namun, paket gelombang juga menyebar seiring waktu, berarti posisi menjadi tak tentu.

## Aplikasi
Mekanika kuantum telah sukses dalam menjelaskan berbagai fitur di alam semesta. Mekanika kuantum sering kali menjadi satu-satunya alat yang ada yang dapat menjelaskan perilaku individu dari partikel subatomik yang membentuk segala bentuk zat (elektron, proton, neutron, foton, dsb). Mekanika kuantum memengaruhi teori dawai, kandidat untuk teori segala sesuatu (lihat reduksionisme).

Mekanika kuantum juga sangat penting untuk memahami bagaimana atom individu bergabung secara kovalen membentuk molekul. Aplikasi mekanika kuantum ke kimia dikenal dengan kimia kuantum. Mekanika kuantum relativistik secara matematis dapat menjelaskan sebagian besar kimia. Mekanika kuantum dapat memberikan penjelasan kuantitatif pada proses ikatan ion dan ikatan kovalen dengan secara eksplisit menunjukkan molekul mana yang secara energi lebih menarik ke yang lain beserta besaran energinya. Lebih jauh lagi, sebagian besar perhitungan kimia komputasi modern mengandalkan mekanika kuantum.

Banyak teknologi modern beroperasi pada skala di mana efek kuantum berpengaruh signifikan.

### Elektronik
Banyak peralatan modern didesain menggunakan mekanika kuantum. Beberapa contohnya adalah laser, transistor (juga mikrocip), mikroskop elektron, dan magnetic resonance imaging (MRI). Penelitian semikonduktor mendorong penemuan diode dan transistor, bagian-bagian yang tak dapat dipisahkan dari sistem elektronika, komputer, dan peralatan telekomunikasi modern. Aplikasi lainnya adalah diode pancaran cahaya (LED) yang merupakan sumber cahaya dengan efisiensi tinggi.

Banyak peralatan elektronik beroperasi dengan efek *[[penerowongan kuantum|quantum tunneling]]*. Bahkan muncul pada saklar lampu yang sederhana. Saklar tidak akan bekerja jika elektron tidak dapat melewati terowongan kuantum melalui lapisan oksidasi pada permukaan kontak logam. Cip memori kilat pada USB drive menggunakan quantum tunneling untuk menghapus sel memorinya. Beberapa peralatan resistansi diferensial negatif juga menggunakan efek quantum tunneling, seperti *[[resonant tunneling diode]]*. Tidak seperti diode biasa, arusnya dibawa oleh *[[resonant tunneling]]* melalui 2 hambatan potensial (lihat gambar di samping). Perilaku resistensi negatifnya hanya dapat dipahami dengan mekanika kuantum: Ketika kondisi terbatas naik mendekati tingkat Fermi, arus terowongan meningkat. Ketika sudah lewat, arusnya turun. Mekanika kuantum penting untuk mendesain peralatan seperti ini.

### Kriptografi
Para ilmuwan saat ini sedang meneliti untuk mencari metode paling baik untuk memanipulasi keadaan kuantum. Usaha yang saat ini dilakukan adalah pengembangan kriptografi kuantum, yang secara teoretis dapat menjamin pengiriman informasi secara aman.

### Komputasi kuantum
Rencana yang lebih jauh adalah pengembangan komputer kuantum, yang rencananya digunakan untuk melakukan tugas komputasi tertentu dengan kecepatan jauh melebihi komputer biasa. Alih-alih menggunakan bit biasa, komputer kuantum menggunakan qubits, dapat digunakan di keadaan superposisi. Topik penelitian lainnya yang sedang dilakukan adalah teleportasi kuantum yang berkutat dengan teknik untuk mengirim informasi kuantum pada jarak yang bebas.

### Efek kuantum skala makro
Meski mekanika kuantum pada umumnya digunakan pada zat dan energi pada tataran atomik, beberapa sistem berperilaku mekanika kuantum pada skala besar. Superfluiditas, aliran fluida tanpa friksi pada temperatur mendekati absolut nol, adalah salah satu contoh yang umum. Begitu juga dengan fenomena superkonduktivitas, aliran elektron gas tanpa friksi pada material berkonduksi (arus listrik) pada temperatur yang cukup rendah. fractional quantum hall effect is a topological ordered state which corresponds to patterns of long-range quantum entanglement. Keadaan dengan susunan topologi yang berbeda (atau pola yang berbeda dari keterlibatan jarak jauh) tidak dapat berubah menjadi satu sama lain tanpa transisi fase.

### Teori kuantum
Teori kuantum juga memberikan deskripsi akurat bagi banyak fenomena yang sebelumnya tidak dapat dijelaskan, seperti radiasi benda-hitam dan stabilitas orbital elektron pada atom. Ilmu ini juga memberikan gambaran pada banyak sistem biologi seperti reseptor bau dan struktur protein. Penelitian terbaru mengenai fotosintesis telah memberikan bukti bahwa korelasi kuantum memainkan peranan penting pada proses dasar pada tanaman dan banyak organisme lainnya. Fisika klasik sering kali juga dapat memberikan perkiraan yang baik seperti fisika kuantum, umumnya pada kasus dengan partikel jumlah besar atau bilangan kuantum besar. Karena perumusan klasik jauh lebih sederhana dan mudah untuk dihitung daripada perumusan kuantum, perkiraan klasik digunakan dan lebih dipilih ketika sebuah sistem cukup besar untuk menjadikan efek mekanika kuantum menjadi kecil.

## Contoh

### Partikel bebas
Anggap ada sebuah partikel bebas. Dalam mekanika kuantum, terdapat dualitas gelombang-partikel, sehingga properti partikel dapat dijelaskan seperti properti gelombang. Oleh karena itu, keadaan kuantumnya dapat dinyatakan sebagai gelombang bentuk bebas dan meluas ke segala ruang sebagai fungsi gelombang. Posisi dan momentum partikel dapat diamati. Prinsip ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa posisi dan momentum tak dapat diukur simultan secara presisi. Namun, kita dapat mengukur posisi (saja) dari partikel yang bergerak bebas, menciptakan posisi eigenstate dengan fungsi gelombang yang sangat besar (Delta Dirac) pada posisi *x* tertentu, dan nol pada tempat lainnya. Jika kita melakukan pengukuran posisi pada fungsi gelombang ini, resultan *x* akan mendapat probabilitas 100% (presisi sempurna). Hal ini disebut posisi eigenstate-atau, dalam istilah matematikanya, *generalized position eigenstate ([[Distribusi (matematika)|eigendistribusi]])*. Jika partikel berada pada posisi eigenstate, maka momentumnya tidak diketahui. Begitu juga, jika partikel berada pada momentrum eigenstate, maka posisinya tidak diketahui.
Jika momentum eigenstate memiliki bentuk gelombang datar, maka dapat ditunjukkan bahwa panjang gelombang sama dengan *h/p*, dengan *h* adalah konstanta Planck dan *p* adalah momentum eigenstate.

### Potensial berupa Step

Potensial pada kasus ini dinyatakan sebagai:

:V(x)= \begin{cases} 0, & x 

Penyelesaiannya adalah superposisi pada gelombang bergerak ke kiri dan kanan:

:\psi_1(x)= \frac{1}{\sqrt{k_1}} \left(A_\rightarrow e^{i k_1 x} + A_\leftarrow e^{-ik_1x}\right)\quad x\psi_2(x)= \frac{1}{\sqrt{k_2}} \left(B_\rightarrow e^{i k_2 x} + B_\leftarrow e^{-ik_2x}\right)\quad x>0

di mana vektor gelombang berhubungan dengan energi melalui

:k_1=\sqrt{2m E/\hbar^2}, dan
:k_2=\sqrt{2m (E-V_0)/\hbar^2}

dengan koefisien A dan B ditentukan dari kondisi batas dan menerapkan turunan kontinu pada persamaan.

Tiap sisi persamaan dapat diterjemahkan sebagai komponen gelombang yang ditransmisi, memungkinkan perhitungan koefisien transmisi dan refleksi. Kebalikan dengan mekanika klasik, *incident particle* dengan energi lebih besar daripada step potensial direfleksikan secara parsial.

### Partikel dalam sumur potensial tak hingga

Partikel yang berada dalam sumur potensial tak hingga satu-dimensi adalah contoh yang secara matematis paling sederhana di mana batasannya mengarah ke kuantisasi tingkat energi. Dalam kasus ini energi potensial didefinisikan bernilai nol di antara batasan posisi tertentu, dan energi potensial bernilai tak terhingga di luar batasan posisi tersebut, hal ini berakibat pada partikel terkungkung pada wilayah di mana energi potensialnya bernilai nol. Untuk kasus pada arah-x satu dimensi, persamaan Schrödinger dapat dituliskan

:  - \frac {\hbar ^2}{2m} \frac {d ^2 \psi}{dx^2} = E \psi.

Dengan operator diferensial didefinisikan sebagai

:  \hat{p}_x = -i\hbar\frac{d}{dx} 

persamaan sebelumnya ini mengingatkan pada energi kinetik klasik,

:  \frac{1}{2m} \hat{p}_x^2 = E,

dengan \psi pada kasus ini memiliki energi E yang serupa dengan energi kinetik partikel.

Penyelesaian umum persamaan Schrödinger untuk partikel pada wilayah dengan energi potensial tak terhingga adalah

:  \psi(x) = 0, \qquad\qquad\qquad\qquad x>L,~~~~x

Penyelesaian umum persamaan Schrödinger untuk partikel pada wilayah dengan energi potensial bernilai nol adalah

:  \psi(x) = A e^{ikx} + B e ^{-ikx} , \qquad\qquad 0

atau, dari rumus Euler,

:  \psi(x) = C \sin kx + D \cos kx.\!

Nilai *C*, *D*, dan *k* dapat dicari dengan menyadari bahwa partikel tidak mungkin berada di luar sumur potensial, dan bahwa fungsi gelombang  \psi(x)  haruslah kontinu, sehingga pada  dan  fungsi gelombang harus sama dengan nol.

:\psi(0) = 0 = C\sin 0 + D\cos 0 = D\!

dan . Pada ,

: \psi(L) = 0 = C\sin kL.\!

di mana *C* tidak mungkin nol karena jika semua koefisiennya bernilai nol, artinya partikel tidak mungkin berada di manapun. Karena , *kL* haruslah kelipatan bilangan bulat dari π,

:k_n = \frac{n\pi}{L}\qquad\qquad n=1,2,3,\ldots.

Sehingga fungsi gelombangnya tak gayut waktunya adalah

:\psi_n(x) =\begin{cases}
C \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \quad & 0 

Nilai *C* bisa dicari melalui normalisasi fungsi gelombang ini.

Energi untuk tingkat ke-n adalah

:E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2} = \frac{n^2h^2}{8mL^2}.

### Osilator harmonis

Seperti pada fisika klasik, potensial untuk osilator harmonis kuantum dinyatakan dengan

:V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2,

sehingga persamaan Schrödinger tak gayut waktu untuk bentuk potensial ini adalah

: -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}\psi(x) + \frac{1}{2}m\omega^2x^2 \psi(x) = E \psi(x). 

Solusi dari persamaan differensial ini bisa didapat dengan beberapa metode, salah satunya adalah dengan menggunakan metode operator tangga yang diajukan oleh Paul Dirac. Eigenstate energi dari sistem dengan potensial ini adalah

:  \psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n\,n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot e^{
- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar}} \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right), \qquad 

:n = 0,1,2,\ldots.

dengan *H<sub>n</sub>* adalah polinomial Hermite

:H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right),

dan tingkat energinya adalah
: E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right).

Ini adalah contoh penggambaran kuantifikasi energi untuk keadaan terikat.

## Bukti dari mekanika kuantum

Mekanika kuantum sangat berguna untuk menjelaskan perilaku atom dan partikel subatomik seperti proton, neutron dan elektron yang tidak mematuhi hukum-hukum fisika klasik. Atom biasanya digambarkan sebagai sebuah sistem di mana elektron (yang bermuatan listrik negatif) beredar seputar nukleus atom (yang bermuatan listrik positif). Menurut mekanika kuantum, ketika sebuah elektron berpindah dari tingkat energi yang lebih tinggi (misalnya dari n=2 atau kulit atom ke-2 ) ke tingkat energi yang lebih rendah (misalnya n=1 atau kulit atom tingkat ke-1), energi berupa sebuah partikel cahaya yang disebut foton, dilepaskan. Energi yang dilepaskan dapat dirumuskan sbb:

:E = hf\!

keterangan:
* E\! adalah energi (J)
* h\! adalah tetapan Planck, h = 6.63 \times 10^{-34}\! (Js), dan
* f\! adalah frekuensi dari cahaya (Hz)

Dalam spektrometer massa, telah dibuktikan bahwa garis-garis spektrum dari atom yang di-ionisasi tidak kontinu, hanya pada frekuensi/panjang gelombang tertentu garis-garis spektrum dapat dilihat. Ini adalah salah satu bukti dari teori mekanika kuantum.

## Referensi

## Daftar pustaka

The following titles, all by working physicists, attempt to communicate quantum theory to lay people, using a minimum of technical apparatus.
* Chester, Marvin (1987) *Primer of Quantum Mechanics*. John Wiley. ISBN 0-486-42878-8
* 
* Richard Feynman, 1985. **, Princeton University Press. ISBN 0-691-08388-6. Four elementary lectures on quantum electrodynamics and quantum field theory, yet containing many insights for the expert.
* Ghirardi, GianCarlo, 2004. *Sneaking a Look at God's Cards*, Gerald Malsbary, trans. Princeton Univ. Press. The most technical of the works cited here. Passages using algebra, trigonometry, and bra–ket notation can be passed over on a first reading.
* N. David Mermin, 1990, "Spooky actions at a distance: mysteries of the QT" in his *Boojums all the way through*. Cambridge University Press: 110-76.
* Victor Stenger, 2000. *Timeless Reality: Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes*. Buffalo NY: Prometheus Books. Chpts. 5-8. Includes cosmological and philosophical considerations.
More technical:
* Bryce DeWitt, R. Neill Graham, eds., 1973. *The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics*, Princeton Series in Physics, Princeton University Press. ISBN 0-691-08131-X
*  The beginning chapters make up a very clear and comprehensible introduction.
* Hugh Everett, 1957, "Relative State Formulation of Quantum Mechanics", *Reviews of Modern Physics* 29: 454-62.
* 
*  A standard undergraduate text.
* Max Jammer, 1966. *The Conceptual Development of Quantum Mechanics*. McGraw Hill.
* Hagen Kleinert, 2004. *Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets*, 3rd ed. Singapore: World Scientific. Draft of 4th edition.
* Gunther Ludwig, 1968. *Wave Mechanics*. London: Pergamon Press. ISBN 0-08-203204-1
* George Mackey (2004). *The mathematical foundations of quantum mechanics*. Dover Publications. ISBN 0-486-43517-2.
* Albert Messiah, 1966. *Quantum Mechanics* (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons. Cf. chpt. IV, section III.
* 
* Scerri, Eric R., 2006. *The [[Periodic Table]]: Its Story and Its Significance*. Oxford University Press. Considers the extent to which chemistry and the periodic system have been reduced to quantum mechanics. ISBN 0-19-530573-6
* 
* 
* Hermann Weyl, 1950. *The Theory of Groups and Quantum Mechanics*, Dover Publications.
* D. Greenberger, K. Hentschel, F. Weinert, eds., 2009. *Compendium of quantum physics, Concepts, experiments, history and philosophy*, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg.

## Pranala luar
* 3D animations, applications and research for basic quantum effects (animations also available in commons.wikimedia.org (Université paris Sud))
* Quantum Cook Book by R. Shankar, Open Yale PHYS 201 material (4pp)
* The Modern Revolution in Physics - an online textbook.
* J. O'Connor and E. F. Robertson: A history of quantum mechanics.
* Introduction to Quantum Theory at Quantiki.
* Quantum Physics Made Relatively Simple: three video lectures by Hans Bethe
* H is for h-bar.
* Quantum Mechanics Books Collection: Collection of free books
;Materi belajar
* Quantum Physics Database - Fundamentals and Historical Background of Quantum Theory. 
* Doron Cohen: Lecture notes in Quantum Mechanics (comprehensive, with advanced topics).
* MIT OpenCourseWare: Chemistry .
* MIT OpenCourseWare: Physics . See 8.04 
* Stanford Continuing Education PHY 25: Quantum Mechanics by Leonard Susskind, see course description Fall 2007
* 5½ Examples in Quantum Mechanics
* Imperial College Quantum Mechanics Course. 
* Spark Notes - Quantum Physics. 
* Quantum Physics Online: interactive introduction to quantum mechanics (RS applets).
* Experiments to the foundations of quantum physics with single photons. 
* AQME: Advancing Quantum Mechanics for Engineers&nbsp;— by T.Barzso, D.Vasileska and G.Klimeck online learning resource with simulation tools on nanohub
* Quantum Mechanics by Martin Plenio
* Quantum Mechanics by Richard Fitzpatrick
* Online course on ''Quantum Transport''

;FAQ
* Many-worlds or relative-state interpretation.
* Measurement in Quantum mechanics. 

;Media
* PHYS 201: Fundamentals of Physics II by Ramamurti Shankar, Open Yale Course
* Lectures on Quantum Mechanics by Leonard Susskind
* Everything you wanted to know about the quantum world&nbsp;— archive of articles from *[[New Scientist]]*.
* Quantum Physics Research from *[[Science Daily]]*
* 
* Audio: Astronomy Cast Quantum Mechanics&nbsp;— June 2009. Fraser Cain interviews Pamela L. Gay.

;Filosofi
* 
*