Limit fungsi

**Limit** suatu **[[fungsi (matematika)|fungsi]]** merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.

Suatu fungsi memetakan keluaran *f(x)* untuk setiap masukan *x*. Fungsi tersebut memiliki limit *L* pada titik masukan *p* bila *f(x)* "dekat" pada L ketika *x* dekat pada *p*. Dengan kata lain, *f(x)* menjadi semakin dekat kepada *L* ketika *x* juga mendekat menuju *p*. Lebih jauh lagi, bila *f* diterapkan pada tiap masukan yang *cukup* dekat pada *p*, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan *L*. Bila masukan yang *dekat* pada *p* ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi *f* dikatakan tidak memiliki limit.

Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19.

## Sejarah
Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta. Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.

Cauchy membahas limit dalam karyanya *Cours d'analyse* (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an, dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.

Notasi tertulis menggunakan singkatan **lim** dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya *A Course of Pure Mathematics* pada tahun 1908.

## Definisi
Berikut beberapa definisi limit fungsi yang umum diterima.

### Fungsi pada garis [[bilangan riil]]
Bila *f*: **R** \rightarrow **R** terdefinisi pada garis bilangan riil, dan *p, L* \in **R** maka kita menyebut **limit ''f'' ketika ''x'' mendekati ''p'' adalah ''L***, yang ditulis sebagai:

:<math> \lim_{x \to p}f(x) = L </math>

[[jika dan hanya jika]] untuk setiap *ε* > *0* terdapat *δ* > *0* sehingga |*x* - *p*|< *δ* mengimplikasikan bahwa |*f* (*x*) - *L* | < *ε* . Di sini, baik *ε* maupun *δ* merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit tidak tergantung pada nilai *f* (*p*)

=== Limit searah ===


Masukan *x* dapat mendekati *p* dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai

:<math> \lim_{x \to p^+}f(x) = L </math>

atau

:<math> \lim_{x \to p^-}f(x) = L </math>

Bila kedua limit ini sama nilainya dengan *L*, maka *L* dapat diacu sebagai *'limit *f(x)* pada *p* **. Sebaliknya, bila keduanya tidak bernilai sama dengan ''L'', maka limit ''f(x)'' pada ''p'' tidak ada.

Definisi formal adalah sebagai berikut. Limit ''f''(''x'') saat ''x'' mendekati ''p'' dari atas adalah ''L'' bila, untuk setiap ε > 0, terdapat sebuah bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga |''f''(''x'') - L| < ε pada saat 0 < ''x'' - ''p'' < δ. Limit ''f''(''x'') saat ''x'' mendekati ''p'' dari bawah adalah ''L'' bila, untuk setiap ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga |''f''(''x'') - L| < ε bilamana 0 < ''p'' - ''x'' < δ.

Bila limitnya tidak ada terdapat osilasi matematis tidak nol.

=== Limit fungsi pada ketakhinggaan ===


Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-∞, +∞}, ditambahkan pada garis bilangan riil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini bukanlah bilangan, tetapi berguna dalam memerikan kelakuan limit pada kalkulus dan analisis.

Bila ''f''(''x'') adalah fungsi riil, maka **limit *f* saat *x* mendekati tak hingga** adalah ''L'', dilambangkan sebagai:

:<math> \lim_{x \to \infty}f(x) = L,</math>

jika dan hanya jika untuk semua ''ε'' > ''0'' terdapat ''S'' > 0 sedemikian rupa sehingga |''f'' (''x'') - ''L''| < ''ε'' bilamana ''x > S''.

Dengan cara yang sama, **limit *f* saat *x* mendekati tak hingga adalah tak hingga*', dilambangkan oleh

:<math> \lim_{x \to \infty}f(x) = \infty,</math>

jika dan hanya jika bila untuk semua *R* > 0 terdapat *S* > sedemikian sehingga *f*(*x*) > *R* bilamana *x > S''.

## Rumus biasa
\begin{matrix}
\lim\limits_{x \to p} & (f(x) + g(x)) &= & \lim\limits_{x \to p} f(x) + \lim\limits_{x \to p} g(x) \\
\lim\limits_{x \to p} & (f(x) - g(x)) &= & \lim\limits_{x \to p} f(x) - \lim\limits_{x \to p} g(x) \\
\lim\limits_{x \to p} & (f(x) \cdot g(x)) &= & \lim\limits_{x \to p} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to p} g(x) \\
\lim\limits_{x \to p} & (f(x) / g(x)) &=  & \lim\limits_{x \to p} f(x) / \lim\limits_{x \to p} g(x) \\
\lim\limits_{x \to p} & (f(x))^n &= & \lim\limits_{x \to p} f(x))^n \\
\lim\limits_{x \to p} & \sqrt[n]{(f(x)} &= & \sqrt[n]{\lim\limits_{x \to p} f(x)} \\
\end{matrix}

## Rumus
\begin{matrix}
\lim\limits_{x \to 0} & \frac{x}{\sin x} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} & \frac{x}{\tan x} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} & \frac{\sin x}{x} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} & \frac{\tan x}{x} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to \infty} & x \sin (\frac{1}{x}) & = 1 \\
\lim\limits_{x \to \infty} & x \tan (\frac{1}{x}) & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} & \frac{ax}{\sin bx} & = \frac{a}{b} \\
\lim\limits_{x \to 0} & \frac{ax}{\tan bx} & = \frac{a}{b} \\
\lim\limits_{x \to 0} & \frac{\sin ax}{bx} & = \frac{a}{b} \\
\lim\limits_{x \to 0} & \frac{\tan ax}{bx} & = \frac{a}{b} \\
\lim\limits_{x \to \infty} & p^x & = 0, \qquad -1 

## Lihat pula
* Aturan L'Hôpital

## Rujukan