Fungsi eksponensial

**Fungsi eksponensial** adalah fungsi nonaljabar atau transcendental yang tidak dapat direpresentasikan sebagai produk, jumlah, dan perbedaan variabel yang dipangkatkan ke bilangan bulat non-negatif. Fungsi eksponensial merupakan fungsi berpangkat, yang pangkatnya memiliki variabel. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(*x*) atau *e**x*, di mana *e* adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183.

Sebagai fungsi variabel bilangan real *x*, grafik *e**x* selalu positif (berada di atas sumbu *x*) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu *x*, tetapi mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(*x*), didefinisikan untuk nilai *x* yang positif.

Secara umum, variabel *x* dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, ataupun objek matematika yang lain; lihat definisi formal di bawah ini.

## Sifat-sifat
Dengan menggunakan logaritma natural, fungsi eksponensial yang lebih generik dapat didefinisikan. Fungsi
: \!\, a^x=e^{x \ln a}
yang terdefinisikan untuk *a* > 0, dan semua bilangan real *x*, disebut juga **fungsi eksponensial dengan basis** ***a***.

Perlu diperhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku pula untuk *a* = *e*, karena
: \!\, e^{x \ln e}=e^{x \cdot 1}=e^x.

Fungsi eksponensial dapat "menterjemahkan" antara dua macam operasi, penjumlahan dan pengkalian. Ini dapat dilihat dari *rumus-rumus eksponen* sebagai berikut:
: \!\, a^0 = 1
: \!\, a^1 = a
: \!\, a^{x + y} =  a^x a^y
: \!\, a^{x y} = \left( a^x \right)^y
: \!\, {1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}
: \!\, a^x b^x = (a b)^x

Rumus-rumus di atas berlaku untuk semua bilangan real positif *a* dan *b* dan semua bilangan real *x* dan *y*. Ekspresi yang mengandung pecahan dan pengakaran pada umumnya dapat disederhanakan dengan menggunakan notasi eksponensial, karena:
: {1 \over a} = a^{-1}
dan, untuk semua *a* > 0, bilangan real *b*, dan bilangan bulat *n*&nbsp;>&nbsp;1:
: \sqrt[n]{a^b} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^b = a^{b/n}

## Turunan dan persamaan diferensial
Pentingnya fungsi eksponensial dalam matematika dan ilmu-ilmu lainnya adalah karena sifat turunannya.

: {d \over dx} e^x = e^x

Dengan kata lain, fungsi *e**x* jika diturunkan, hasilnya adalah fungsi itu sendiri. Sifat "ketidakmempanan untuk diturunkan" ini sangat unik, karena hanya fungsi inilah yang mempunyai sifat seperti ini. Sifat fungsi ini dapat diinterpretasikan sebagai berikut:
* Kemiringan (gradien) grafik fungsi ini pada semua titiknya sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut.
* Bertambahnya nilai fungsi pada *x* sama dengan nilai fungsi pada *x*
* Fungsi ini merupakan solusi dari persamaan diferensial y'=y.

Dalam ilmu-ilmu terapan, banyak persamaan diferensial yang menghasilkan fungsi eksponensial, antara lain persamaan Schrödinger, persamaan Laplace, dan persamaan untuk gerakan harmonis sederhana.

Untuk fungsi eksponensial dengan basis-basis lain (yang bukan *e*):

: {d \over dx} a^x = (\ln a) a^x

jadi, semua fungsi eksponensial adalah perkalian turunannya sendiri dengan sebuah konstanta.

## Definisi formal

Fungsi eksponensial e*x* dapat didefinisikan menurut beberapa definisi yang ekivalen, sebagai deret tak terhingga. Beberapa definisi tersebut antara lain:

: e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots

atau sebagai limit berikut ini:

: e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.

Dalam definisi di atas, n! adalah faktorial dari *n*, dan *x* dapat berupa bilangan real, bilangan kompleks, ataupun konsep-konsep matematika lainnya yang kompleks, seperti matriks bujursangkar (atau matriks persegi).

## Nilai numerik

Untuk mendapatkan nilai numerik dari fungsi eksponensial, deret tak terhingga di atas dapat ditulis menjadi:

:e^x = {1 \over 0!} + x \, \left( {1 \over 1!} + x \, \left( {1 \over 2!} + x \, \left( {1 \over 3!} + \cdots \right)\right)\right)
:= 1 + {x \over 1} \left(1 + {x \over 2} \left(1 + {x \over 3} \left(1 + \cdots \right)\right)\right)

Jika x lebih kecil dari 1, maka ekspresi di atas akan menemukan nilai numerik fungsi pada titik yang dicari dengan cepat.

## Bacaan lebih lanjut
*