Bukti bahwa e irasional

Bilangan <math>e</math> diperkenalkan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1683. Lebih dari setengah abad kemudian, Euler (yang merupakan murid dari adiknya Jacob, Johann) berhasil membuktikan bahwa e adalah bilangan irasional; yang berarti, bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua bilangan bulat.

## Bukti Euler
Euler menulis bukti pertama mengenai keirasionalan e pada tahun 1737 (tetapi tulisannya baru diterbitkan tujuh tahun kemudian). Ia menghitung e sebagai pecahan berlanjut, yaitu
e = \left[ 2; \, 1, \, 2, \, 1, \, 1, \, 4, \, 1, \, 1, \, 6, \, 1, \, 1, \, 8, \, 1, \, 1, \, \ldots, \, 2n, \, 1, \, 1, \, \ldots \right]

Terdapat bukti singkat dari kesamaan di atas. Oleh karena pecahan berlanjut ini tidak berhenti dan setiap bilangan rasional memiliki pecahan berlanjut yang berhenti, maka e merupakan bilangan irasional. Perhatikan bahwa pecahan berlanjut dari e tidak bersifat periodik. Akibatnya, e bukanlah akar dari polinomial kuadratik dengan koefisien rasional; lebih lanjut, e^2 merupakan bilangan irasional.

## Bukti Fourier
Bukti yang paling terkenal ialah pembuktian melalui kontradiksi oleh Joseph Fourier, yang didasarkan pada persamaan
e = \sum_{n \, = \, 0}^{\infty} \frac{1}{n!}

Pada awalnya, e diasumsikan sebagai bilangan rasional dengan bentuk \tfrac{a}{b}. Idenya ialah menganalisis selisih yang diperbesar (pada artikel ini ditulis sebagai x) antara representasi deret dari e dengan jumlahan parsial ke-b. Dengan memilih faktorial dari b sebagai faktor skalanya, pecahan \tfrac{a}{b} dan jumlahan parsial ke-b akan berubah menjadi bilangan bulat, sehingga x haruslah bilangan bulat positif. Akan tetapi, kekonvergenan yang cepat dari representasi deretnya mengakibatkan x haruslah kurang dari 1. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka dapat disimpulkan bahwa e merupakan bilangan irasional.

Jika e merupakan bilangan rasional, maka terdapat bilangan asli a dan b sedemikian sehingga e = \tfrac{a}{b}. Didefinisikan bilangan
x := b! \left( e - \sum_{n \, = \, 0}^b \dfrac{1}{n!} \right)

### Klaim 1
Akan dibuktikan bahwa x \in \mathbb{Z}. Dengan menggunakan asumsi bahwa e = \tfrac{a}{b}, maka didapatkan
\begin{align}
x &= b! \left( e - \sum_{n \, = \, 0}^b \dfrac{1}{n!} \right) \\
&= b! \left( \dfrac{a}{b} - \sum_{n \, = \, 0}^b \dfrac{1}{n!} \right) \\
&= a(b - 1)! - \sum_{n \, = \, 0}^b \dfrac{b!}{n!}
\end{align}

Perhatikan bahwa a dan b - 1 merupakan bilangan asli, sehingga a(b - 1)! merupakan bilangan bulat. Lebih lanjut, setiap pecahan di dalam notasi Sigmanya juga merupakan bilangan bulat, sebab nilai n \leq b pada setiap sukunya. Akibatnya, dengan asumsi bahwa e merupakan bilangan rasional, maka x merupakan bilangan bulat.

### Klaim 2
Akan dibuktikan bahwa 0 . Pertama, akan ditunjukkan bahwa x > 0 dengan menggunakan definisi dari x beserta representasi deret dari e. Perhatikan bahwa
x = b! \left( \sum_{n \, = \, 0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} - \sum_{n \, = \, 0}^{b} \dfrac{1}{n!} \right) = \sum_{n \, = \, b + 1}^{\infty} \dfrac{b!}{n!} > 0
sebab setiap suku pada jumlahan di atas bernilai positif.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa x . Perhatikan bahwa
\begin{align}
x &= \sum_{n \, = \, b + 1}^{\infty} \dfrac{b!}{n!} \\
&= \dfrac{b!}{(b + 1)!} + \dfrac{b!}{(b + 2)!} + \dfrac{b!}{(b + 3)!} + \dfrac{b!}{(b + 4)!} + \, \ldots \\
&= \dfrac{1}{b + 1} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 2)} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 2)(b + 3)} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 2)(b + 3)(b + 4)} + \, \ldots \\
&
Baris keenam diperoleh melalui rumus deret geometrik. Berdasarkan hasil di atas, maka terbukti bahwa x .

Berdasarkan kedua uraian sebelumnya, klaim 2 menimbulkan kontradiksi dengan klaim 1. Akibatnya, asumsi di awal (bahwasanya e merupakan bilangan rasional) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa e merupakan bilangan irasional. Q.E.D.

## Bukti alternatif
Bukti lain dapat diperoleh dengan memperhatikan bahwa
\begin{align}
x &= \dfrac{1}{b + 1} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 2)} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 2)(b + 3)} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 2)(b + 3)(b + 4)} + \, \ldots \\
(b + 1)x &= 1 + \dfrac{1}{b + 2} + \dfrac{1}{(b + 2)(b + 3)} + \dfrac{1}{(b + 2)(b + 3)(b + 4)} + \, \ldots \\
(b + 1)x &

Hal ini mustahil terjadi, sebab b dan x merupakan bilangan bulat positif.

## Perumuman
Pada tahun 1840, Liouville mempublikasikan bukti bahwa e^2 merupakan bilangan irasional, disusul dengan bukti bahwa e^2 bukanlah akar dari polinomial derajat dua dengan koefisien rasional. Informasi tersebut mengakibatkan bahwa e^4 irasional. Isi buktinya mirip dengan bukti Fourier mengenai keirasionalan e. Pada tahun 1891, Hurwitz menjelaskan bahwa gagasan serupa juga dapat digunakan untuk membuktikan bahwa e bukanlah akar dari polinomial derajat tiga dengan koefisien rasional, yang mengakibatkan bahwa e^3 irasional. Secara umum, bilangan e^q merupakan bilangan irasional, untuk sembarang bilangan rasional tak nol q.

Pada tahun 1873, Charles Hermite membuktikan bahwa e merupakan bilangan transendental, yang berarti bahwa e bukanlah akar dari polinomial dengan koefisien rasional, dan begitu juga dengan bilangan e^{\alpha} untuk setiap bilangan aljabar tak nol \alpha.

## Lihat pula
* Karakterisasi fungsi eksponensial
* Bilangan transendental, termasuk bukti bahwa ''e'' transendental
* Teorema Lindemann–Weierstrass
* Bukti bahwa  irasional

## Catatan kaki