Vektor satuan

**Vektor satuan** adalah suatu vektor yang ternormalisasi, yang berarti panjangnya bernilai 1. Umumnya dituliskan dalam menggunakan *topi* (bahasa Inggris: *Hat*), sehingga: {\hat{u}} dibaca "u-topi" ('u-hat').

Suatu **vektor ternormalisasi** {\hat{u}} dari suatu vektor **u** bernilai tidak nol, adalah suatu vektor yang berarah sama dengan **u**, yaitu:
:\mathbf{\hat{u}} = \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|},

di mana ||**u**|| adalah norma (atau panjang atau besar) dari **u**. Istilah *vektor ternormalisasi* kadang-kadang digunakan sebagai sinonim dari *vektor satuan*. Dalam gaya penulisan yang lain (tidak menggunakan **huruf tebal**) adalah dengan menggunakan panah di atas suatu variabel, yaitu

:\hat{u} = \frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} = \frac{\vec{u}}{u}.

Di sini \!\vec{u} adalah vektor yang dimaksud dan \! u adalah besarnya.

## Vektor

### Posisi vektor
; \vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j

: \vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2 \\
    a_3
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k

### Panjang vektor
; Berada di R^2

: Panjang vektor a dalam posisi (a_1, a_2) adalah \left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}
: Panjang vektor b dalam posisi (b_1, b_2) adalah \left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}
: Panjang vektor c dalam posisi (a_1, a_2) dan (b_1, b_2) adalah \left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}

; Berada di R^3

: Panjang vektor a dalam posisi (a_1, a_2,a_3) adalah \left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}
: Panjang vektor b dalam posisi (b_1, b_2,b_3) adalah \left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}
: Panjang vektor c dalam posisi (a_1, a_2,a_3) dan (b_1, b_2,b_3) adalah \left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}

; Jumlah dan selisih kedua vektor
\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt 

### Operasi aljabar pada vektor
* Penjumlahan dan pengurangan
terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang 
: \vec c = \vec a + \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 + b_1} \\
    {a_2 + b_2}
  \end{pmatrix}

: \vec c = \vec a - \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 - b_1} \\
    {a_2 - b_2}
  \end{pmatrix}

* Perkalian
# skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor  \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k maka vektor k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)

# titik dua vektor
Jika vektor  \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k dan vektor  \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k maka \vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

# titik dua vektor dengan membentuk sudut
Jika \vec a dan \vec b vektor tak nol dan sudut \alpha di antara vektor \vec a dan \vec b maka perkalian skalar vektor \vec a dan \vec b adalah \vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha

# silang dua vektor
Jika vektor  \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k dan vektor  \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k maka \vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)
: \left[\begin{array}{rrr|rr}
    \hat i & \hat j & \hat k & \hat i & \hat j \\
    a_1 & a_2 & a_3 & a_1 & a_2 \\
    b_1 & b_2 & b_3 & b_1 & b_2 \\
  \end{array}\right]


# silang dua vektor dengan membentuk sudut
Jika \vec a dan \vec b vektor tak nol dan sudut \alpha di antara vektor \vec a dan \vec b maka perkalian skalar vektor \vec a dan \vec b adalah \vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \times \left| \vec b \right| sin \alpha

### Sifat operasi aljabar pada vektor
# \vec a + \vec b = \vec b + \vec a
# (\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)
# \vec a + 0 = 0 + \vec a
# k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b
# (k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a
# \vec a + (- \vec a) = 0
# \vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a
# (\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)
# \vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a
# k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b
# (k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)
# \vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2
# \vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a
# \vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)
# (\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)
# \vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)
# \vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c
# k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b

### Hubungan vektor dengan vektor lain
* Perkalian titik
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor \vec a dengan vektor \vec b maka
: \vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}
: \vec a \cdot \vec b =  0

; Sejajar
Jika vektor \vec a sejajar dengan vektor \vec b maka
: \vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}
: \vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|

: \vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}
: \vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|

* Perkalian silang
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor \vec a dengan vektor \vec b maka
: \vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}
: \vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|

: \vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}
: \vec a \times  \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|

Jika \beta > {90}^{\circ} maka dua vektor tersebut searah

Jika \beta  maka vektor saling berlawanan arah

; Sejajar
Jika vektor \vec a sejajar dengan vektor \vec b maka
: \vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}
: \vec a \times \vec b =  0

### Sudut dua vektor
Jika vektor \vec a dan vektor \vec b sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}

### Panjang proyeksi dan proyeksi vektor
: Panjang proyeksi vektor \vec a pada vektor \vec b adalah \left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}
: Proyeksi vektor \vec a pada vektor \vec b adalah \vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b

### Metode
; segitiga
: \vec R = \vec a + \vec b

; jajar genjang
: \vec R = |\vec a - \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 - 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}

### Perbandingan
; Aturan jajar genjang 
: Posisi vektor
: \vec N = \frac {ms + nr}{m + n}

: Berada di R^2
: \vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})

: Berada di R^3
: \vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})

; Satu garis 
* Perbandingan posisi dalam adalah m:n
: Posisi vektor
:: \vec N = \frac {ms + nr}{m + n}

: Berada di R^2
:: \vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})

: Berada di R^3
:: \vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})

* Perbandingan posisi luar adalah m:-n
: Posisi vektor
:: \vec N = \frac {ms - nr}{m - n}

: Berada di R^2
:: \vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})

: Berada di R^3
:: \vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})

## Transformasi

Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi isometri
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

### Translasi
Rumus translasi adalah:

\begin{pmatrix}
    x'\\
    y'
  \end{pmatrix}
 =

\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
 +

\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}


### Refleksi
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat

\begin{pmatrix}
    x'\\
    y'
  \end{pmatrix}
 =

\begin{pmatrix}
    cos 2\alpha & sin 2\alpha \\
    sin 2\alpha & - cos 2\alpha
  \end{pmatrix} 


\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}


: dengan titik pusat (a,b)

\begin{pmatrix}
    x'\\
    y'
  \end{pmatrix}
 =

\begin{pmatrix}
    cos 2\alpha & sin 2\alpha \\
    sin 2\alpha & - cos 2\alpha
  \end{pmatrix} 


\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
 +

\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}


### Rotasi
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat

\begin{pmatrix}
    x'\\
    y'
  \end{pmatrix}
 =

\begin{pmatrix}
    cos \alpha & - sin \alpha \\
    sin \alpha & cos \alpha
  \end{pmatrix} 


\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}


: dengan titik pusat (a,b)

\begin{pmatrix}
    x'\\
    y'
  \end{pmatrix}
 =

\begin{pmatrix}
    cos \alpha & - sin \alpha \\
    sin \alpha & cos \alpha
  \end{pmatrix} 


\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
 +

\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}


### Dilatasi
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat

\begin{pmatrix}
    x'\\
    y'
  \end{pmatrix}
 =

\begin{pmatrix}
    k & 0 \\
    0 & k
  \end{pmatrix} 


\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}


: dengan titik pusat (a,b)

\begin{pmatrix}
    x'\\
    y'
  \end{pmatrix}
 =

\begin{pmatrix}
    k & 0 \\
    0 & k
  \end{pmatrix} 


\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
 +

\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}


### Stretching
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat

\begin{pmatrix}
    x'\\
    y'
  \end{pmatrix}
 =

\begin{pmatrix}
    k & 0 \\
    0 & 1
  \end{pmatrix} 


\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}


: dengan titik pusat (a,b)

\begin{pmatrix}
    x'\\
    y'
  \end{pmatrix}
 =

\begin{pmatrix}
    k & 0 \\
    0 & 1
  \end{pmatrix} 


\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
 +

\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}


: sumbu y
:: tanpa titik pusat

\begin{pmatrix}
    x'\\
    y'
  \end{pmatrix}
 =

\begin{pmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & k
  \end{pmatrix} 


\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}


: dengan titik pusat (a,b)

\begin{pmatrix}
    x'\\
    y'
  \end{pmatrix}
 =

\begin{pmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & k
  \end{pmatrix} 


\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
 +

\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}


### Shearing
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat

\begin{pmatrix}
    x'\\
    y'
  \end{pmatrix}
 =

\begin{pmatrix}
    1 & k \\
    0 & 1
  \end{pmatrix} 


\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}


: dengan titik pusat (a,b)

\begin{pmatrix}
    x'\\
    y'
  \end{pmatrix}
 =

\begin{pmatrix}
    1 & k \\
    0 & 1
  \end{pmatrix} 


\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
 +

\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}


: sumbu y
:: tanpa titik pusat

\begin{pmatrix}
    x'\\
    y'
  \end{pmatrix}
 =

\begin{pmatrix}
    1 & 0 \\
    k & 1
  \end{pmatrix} 


\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}


: dengan titik pusat (a,b)

\begin{pmatrix}
    x'\\
    y'
  \end{pmatrix}
 =

\begin{pmatrix}
    1 & 0 \\
    k & 1
  \end{pmatrix} 


\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
 +

\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}


: Rumus sederhana

## Lihat pula
* Transformasi