Algoritma Prim

**Algoritma Prim** adalah sebuah algoritma dalam teori graf untuk mencari pohon rentang minimum untuk sebuah graf berbobot yang saling terhubung. Ini berarti bahwa sebuah himpunan bagian dari edge yang membentuk suatu pohon yang mengandung node, di mana bobot keseluruhan dari semua edge dalam pohon diminimalisasikan. Bila graf tersebut tidak terhubung, maka graf itu hanya memiliki satu pohon rentang minimum untuk satu dari komponen yang terhubung. Algoritma ini ditemukan pada 1930 oleh matematikawan Vojtěch Jarník dan kemudian secara terpisah oleh computer scientist Robert C. Prim pada 1957 dan ditemukan kembali oleh Dijkstra pada 1959. Karena itu algoritma ini sering dinamai **algoritma DJP** atau **algoritma Jarnik**.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
* buat sebuah pohon yang terdiri dari satu node, dipilih secara acak dari graf
* buat sebuah himpunan yang berisi semua cabang di graf
* loop sampai semua cabang di dalam himpunan menghubungkan dua node di pohon
** hapus dari himpunan satu cabang dengan bobot terkecil yang menghubungkan satu node di pohon dengan satu node di luar pohon
** hubungkan cabang tersebut ke pohon

Dengan struktur data binary heap sederhana, algoritma Prim dapat ditunjukkan berjalan dalam waktu O(*E*log *V*), di mana E adalah jumlah cabang dan V adalah jumlah node. Dengan Fibonacci heap, hal ini dapat ditekan menjadi O(*E* + *V*log *V*), yang jauh lebih cepat bila grafnya cukup padat sehingga *E* adalah \Omega(*V*log *V*).

## Contoh

## Bukti
Misalkan *P* adalah sebuah graf terhubung berbobot. Pada setiap iterasi algoritma Prim, suatu cabang harus ditemukan yang menghubungkan sebuah node di graf bagian ke sebuah node di luar graf bagian. Karena *P* terhubung, maka selalu ada jalur ke setiap node. Keluaran *Y* dari algoritma Prim adalah sebuah pohon, karena semua cabang dan node yang ditambahkan pada *Y* terhubung. Misalkan *Y<sub>1</sub>* adalah pohon rentang minimum dari P. Bila *Y<sub>1</sub>*=*Y* maka *Y* adalah pohon rentang minimum. Kalau tidak, misalkan *e* cabang pertama yang ditambahkan dalam konstruksi *Y* yang tidak berada di *Y<sub>1</sub>*, dan *V* himpunan semua node yang terhubung oleh cabang-cabang yang ditambahkan sebelum *e*. Maka salah satu ujung dari *e* ada di dalam *V* dan ujung yang lain tidak. Karena *Y<sub>1</sub>* adalah pohon rentang dari *P*, ada jalur dalam *Y<sub>1</sub>* yang menghubungkan kedua ujung itu. Bila jalur ini ditelusuri, kita akan menemukan sebuah cabang *f* yang menghubungkan sebuah node di *V* ke satu node yang tidak di *V*. Pada iterasi ketika *e* ditambahkan ke *Y*, *f* dapat juga ditambahkan dan akan ditambahkan alih-alih *e* bila bobotnya lebih kecil daripada *e*. Karena *f* tidak ditambahkan, maka kesimpulannya

:*w*(*f*) ≥ *w*(*e*).

Misalkan *Y<sub>2</sub>* adalah graf yang diperoleh dengan menghapus *f* dan menambahkan *e* dari *Y<sub>1</sub>*. Dapat ditunjukkan bahwa *Y<sub>2</sub>* terhubung, memiliki jumlah cabang yang sama dengan *Y<sub>1</sub>*, dan bobotnya tidak lebih besar daripada *Y<sub>1</sub>*, karena itu ia adalah pohon rentang minimum dari *P* dan ia mengandung *e* dan semua cabang-cabang yang ditambahkan sebelumnya selama konstruksi *V*. Ulangi langkah-langkah di atas dan kita akan mendapatkan sebuah pohon rentang minimum dari *P* yang identis dengan *Y*. Hal ini menunjukkan bahwa *Y* adalah pohon rentang minimum.

Algoritma-algoritma lain untuk masalah ini adalah Algoritme Kruskal dan Algoritme Borůvka.

## Rujukan
* R. C. Prim: *Shortest connection networks and some generalisations*. In: *Bell System Technical Journal*, 36 (1957), pp.&nbsp;1389–1401
* D. Cherition and R. E. Tarjan: *Finding minimum spanning trees*. In: *SIAM Journal of Computing*, 5 (Dec. 1976), pp.&nbsp;724–741
* Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. *[[Introduction to Algorithms]]*, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 23.2: The algorithms of Kruskal and Prim, pp.&nbsp;567–574.

## Pranala luar

* Minimum Spanning Tree Problem: Prim's Algorithm 
* Create and Solve Mazes by Kruskal's and Prim's algorithms at cut-the-knot
* Animated example of Prim's algorithm
* Prim's Algorithm (Java Applet) 
* Prim's algorithm code