Integral substitusi

Dalam bidang kalkulus, **integral substitusi** atau **substitusi-u** adalah salah satu metode untuk mencari integral dengan mensubstitusi salah satu variabel dan mengubahnya menjadi bentuk yang lebih sederhana.

## Pengantar
Sebelum menyatakan hasilnya dengan teliti, mari kita periksa kasus sederhana menggunakan integral tak tentu.

Menghitung \textstyle\int(2x^3+1)^7(x^2)\,dx.

Kumpulan nilai u=2x^3+1. Hal tersebut berarti \textstyle\frac{du}{dx}=6x^2, atau, dalam bentuk diferensial pada du=6x^2\,dx. Sekarang 

:\int(2x^3 +1)^7(x^2)\,dx = \frac{1}{6}\int\underbrace{(2x^3+1)^{7}}_{u^{7}}\underbrace{(6x^2)\,dx}_{du}=\frac{1}{6}\int u^{7}\,du=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{8}u^{8}\right)=\frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}+C.

Prosedur tersebut sering digunakan, tetapi tidak semua integral dalam bentuk yang memungkinkan penggunaannya. Bagaimanapun, hasil harus diverifikasi dengan membedakan dan membandingkan dengan integral asli.

:\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}\right]=\frac{1}{6}(2x^3+1)^{7}(6x^2) = (2x^3+1)^7(x^2).

Untuk integral tertentu, batas integrasi juga harus disesuaikan, tetapi prosedurnya sebagian besar sama.

## Integral tentu
Misalkan  menjadikan fungsi yang dapat dibedakan dengan turunan kontinu, darimana  adalah sebuah interval. Seandainya nilai pada  adalah fungsi berkelanjutan. Kemudian, apakah 
:
 \int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\, dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du. 


Dalam notasi Leibniz, substitusi pada  menghasilkan nilai 
:\frac{du}{dx} = \varphi'(x).
Bekerja secara heuristik dengan infinitesimal, menghasilkan persamaan
:du = \varphi'(x)\,dx,
Hasil rumus substitusi di atas. (Persamaan ini dapat diletakkan di atas dasar yang kuat dengan menafsirkannya sebagai pernyataan tentang bentuk diferensial.)  Seseorang dapat melihat metode integrasi dengan substitusi sebagai justifikasi parsial pada notasi Leibniz untuk integral dan turunan.

## Bukti
Integrasi dengan substitusi dapat diturunkan dari teorema dasar kalkulus sebagai berikut. Mari cari nilai  dan  menjadi dua fungsi yang memenuhi hipotesis di atas itu  terus menerus  dan  dapat diintegrasikan pada interval tertutup .  Setelah itu fungsi pada  

:\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx

dan

:\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du

darimana  pada kenyataannya ada, dan tetap menunjukkan bahwa mereka setara.

Setelah  dapat dibedakan, menggabungkan aturan rantai dan definisi pemberian antiturunan

:(F \circ \varphi)'(x) = F'(\varphi(x))\varphi'(x) = f(\varphi(x))\varphi'(x).

Menerapkan teorema dasar kalkulus dua kali memberi

:
\begin{align}
\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx
&= \int_a^b (F \circ \varphi)'(x)\,dx \\
&= (F \circ \varphi)(b) - (F \circ \varphi)(a) \\
&= F(\varphi(b)) - F(\varphi(a)) \\
&= \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du,
\end{align}


yang merupakan aturan substitusi.

## Contoh
; Perhatikan integral berikut:
:
\int_{0}^2 x \cos(x^2+1) \,dx


Jika kita melakukan substitusi *u* = (*x*2 + 1), maka diperoleh *du* = 2*x* *dx*, sehingga *x* *dx* = ½*du*. Lalu kita substitusikan ke dalam integralnya:

: 
\begin{align}
\int_{x=0}^{x=2} x \cos(x^2+1) \,dx & {} = \frac{1}{2} \int_{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du \\
& {} = \frac{1}{2}(\sin(5)-\sin(1)).
\end{align}


Perlu diingat bahwa di sini batas bawah *x* = 0 diganti dengan *u* = 02 + 1 = 1, dan batas atas *x* = 2 diganti dengan *u* = 22 + 1 = 5, sehingga dalam kasus ini *u* tidak perlu diubah kembali menjadi *x*.

; Untuk integral
:
\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\; dx


Substitusi yang sebaiknya dilakukan adalah *x* = sin(*u*), *dx* = cos(*u*)&nbsp;*du*, karena \sqrt{(1-\sin^2(u))} = \cos(u):

:
\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\; dx = \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-\sin^2(u)} \cos(u)\;du = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(u)\;du = \Bigg( {\frac{u}{2} +\frac{\sin(2u)}{4} \Bigg) \Bigg\vert\,}_0^\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}


di mana cos^2 u = \frac{1+cos 2u}{2}

; Metode substitusi dapat digunakan untuk mencari antiturunan, yaitu dengan menentukan hubungan antara *x* dan *u* serta *dx* dan *du*. Berikut adalah contohnya:

:
\begin{align}
& {} \quad \int x \cos(x^2+1) \,dx = \frac{1}{2} \int 2x \cos(x^2+1) \,dx \\
& {} = \frac{1}{2} \int\cos u\,du = \frac{1}{2}\sin u + C = \frac{1}{2}\sin(x^2+1) + C
\end{align}


## Catatan

## Referensi
*
*
* .
* .
* 
* .
* 
* .