Kaidah pendiferensialan

**Kaidah pendiferensialan** (atau **aturan pendiferensialan**; ) berikut merupakan ringkasan kaidah-kaidah untuk menghitung derivatif suatu fungsi dalam kalkulus. Untuk daftar yang lebih lengkap, lihat Tabel turunan.

## Kaidah dasar pendiferensialan

Kecuali dinyatakan lain, semua fungsi merupakan fungsi bilangan real ('''R''') yang menghasilkan nilai bilangan real; meskipun secara lebih umum, rumus-rumus berikut dapat diterapkan di manapun jika didefinisikan dengan baik— termasuk bilangan kompleks ('''C''').

### Pendiferensialan adalah linier

Untuk fungsi-fungsi *f* dan *g* dan bilangan real *a* dan *b* apapun, turunan fungsi  terhadap *x* dapat ditulis

: h'(x) = a f'(x) + b g'(x).\, 
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
: \frac{d(af+bg)}{dx}  = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}.

Kasus-kasus khusus meliputi:
* *[[:en:Constant factor rule in differentiation|Kaidah faktor konstan]]*
:(af)' = af' \,
* *[[:en:Sum rule in differentiation|Kaidah penjumlahan]]*
:(f + g)' = f' + g'\,
* *Kaidah pengurangan*
:(f - g)' = f' - g'.\,

### Kaidah hasil kali

Untuk fungsi-fungsi *f* dan *g*, turunan fungsi *h*(*x*) = *f*(*x*) *g*(*x*) terhadap *x* dapat ditulis
: h'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).\, 
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
:\frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx} g + f \frac{dg}{dx}.

### Kaidah rantai

Turunan dari fungsi *h*(*x*) = *f*(*g*(*x*)) terhadap *x* dapat ditulis
: h'(x) = f'(g(x)) g'(x).\, 
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
:\frac{dh}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)} \frac{dg(x)}{dx}.\,
Namun, dengan melonggarkan penafsiran *h* sebagai suatu fungsi, dapat ditulis lebih sederhana sebagai
:\frac{dh}{dx} = \frac{dh}{dg} \frac{dg}{dx}.\,

### Kaidah fungsi inversi

Jika fungsi *f* mempunyai suatu fungsi invers *g*, yaitu  dan , maka
:g' = \frac{1}{f'\circ g}.

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
: \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}.

## Hukum pangkat, polinomial, hasil bagi, dan timbal-balik
### Kaidah pangkat polinomial atau elementer

Jika f(x) = x^n, untuk bilangan bulat *n* apapun maka
:f'(x) = nx^{n-1}.\,

Kasus-kasus khusus meliputi:
* *Kaidah konstanta*: jika *f* adalah fungsi konstanta *f*(*x*) = *c*, untuk bilangan *c* apapun, maka untuk semua *x*, *f′*(*x*) = 0.
* jika *f*(*x*) = *x*, maka *f′*(*x*) = 1. Kasus khusus ini dapat digeneralisasi menjadi:
*: *Turunan suatu fungsi *affine* adalah suatu konstanta*: jika *f*(*x*) = *ax* + *b*, maka *f′*(*x*) = *a*.

Penggabungan kaidah ini dengan kelinearan turunan dan kaidah penjumlahan memungkinan penghitungan turunan polinomial apapun.

### Kaidah timbal-balik

Turunan dari *h*(*x*) = 1/*f*(*x*) untuk fungsi *f* (yang "tidak menghilang"; *nonvanishing*) manapun adalah:

: h'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}.\ 

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
: \frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}.\,

Kaidah timbal balik (*reciprocal rule*) dapat diturunkan dari kaidah rantai (*chain rule*) dan kaidah pemangkatan (kaidah pangkat; *power rule*).

### Kaidah hasil bagi

Jika *f* dan *g* adalah fungsi, maka:
:\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad di mana *g* bukan nol.

Ini dapat diturunkan dari kaidah timbal balik dan kaidah darab. Sebaliknya (menggunakan kaidah konstanta) kaidah timbal balik dapat diturunkan dari kasus khusus *f*(*x*) = 1.

### Kaidah pemangkatan yang dirampat

Kaidah pemangkatan elementer menggeneralisasi luas. Kaidah pemangkat yang paling luas adalah "kaidah pemangkatan fungsional" (*functional power rule*): untuk fungsi-fungsi *f* dan *g* apappun,
:(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\quad
di mana kedua sisi didefinisikan dengan baik.

Kasus-kasus khusus:
* Jika *f*(*x*) = *x**a*, *f′*(*x*) = *ax**a* − 1 bilamana *a* adalah suatu bilangan real dan *x* adalah positif.
* Kaidah timbal balik (*reciprocal rule*) dapat diturunkan sebagai kasus khsusu di mana *g*(*x*) = −1.

## Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik

: \frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right) = {c^{ax} \ln c \cdot a },\qquad c > 0
perhatikan bahwa persamaan di atas adalah benar untuk semua *c*, tetapi turunan bagi c  \frac{d}{dx}\left(e^x\right) = e^x

: \frac{d}{dx}\left( \log_c x\right) = {1 \over x \ln c}, \qquad c > 0, c \ne 1
persamaan di atas adalah benar untuk semua *c*, tetapi turunan bagi c  \frac{d}{dx}\left( \ln x\right)  = {1 \over x},\qquad x > 0

: \frac{d}{dx}\left( \ln |x|\right) = {1 \over x}

: \frac{d}{dx}\left( x^x \right) = x^x(1+\ln x).

### Turunan logaritmik

Turunan logaritmik adalah cara lain untuk menyatakan kaidah diferensiasi logaritma suatu fungsi (menggunakan kaidah rantai):
: (\ln f)'= \frac{f'}{f} \quad wherever *f* is positive.

## Turunan fungsi trigonometri

Adalah lazim untuk mendefinisikan lebih lanjut suatu fungsi tangen inversi dengan dua argumen, \arctan(y,x). Nilainya terletak dalam rentang [-\pi,\pi] dan mencerminkan kuadran dari titik (x,y). Untuk kuadran pertama dan keempat (yaitu x > 0) maka \arctan(y, x>0) = \arctan(y/x). Turunan parsialnya adalah

## Turunan fungsi hiperbolik

## Turunan fungsi-fungsi khusus

## Turunan integral

Misalkan dibutuhkan untuk menghitung turunan terhadap *x* dalam fungsi

:F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,

di mana fungsi-fungsi f(x,t)\, dan \frac{\partial}{\partial x}\,f(x,t)\, keduanya kontinu dalam t\, dan x\, dalam wilayah tertentu bidang (t,x)\,, termasuk a(x)\leq t\leq b(x), x_0\leq x\leq x_1\,, dan fungsi-fungsi a(x)\, dan b(x)\, keduanya kontinu dan memiliki turunan kontinu untuk x_0\leq x\leq x_1\,. Maka untuk \,x_0\leq x\leq x_1\,\,:

: F'(x) = f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt\,.

Rumus ini merupakan bentuk umum dari kaidah integral Leibniz dan dapat diturunkan menggunakan
Teorema fundamental kalkulus.

## Turunan ke-''n''
Ada sejumlah kaidah untuk menghitung turunan ke-*n* suatu fungsi, di mana *n* adalah sebuah bilangan bulat positif. Di antaranya:

### Rumus Faà di Bruno

Jika *f* dan *g* dapat diturunkan *n* kali, maka

:  \frac{d^n}{d x^n} [f(g(x))]= n! \sum_{\{k_m\}}^{} f^{(r)}(g(x)) \prod_{m=1}^n \frac{1}{k_m!} \left(g^{(m)}(x) \right)^{k_m}

di mana  r = \sum_{m=1}^{n-1} k_m dan himpunan  \{k_m\} terdiri dari semua solusi bilangan bulat bukan negatif dari persamaan Diophantine  \sum_{m=1}^{n} m k_m = n.

### Kaidah Leibniz umum

Jika *f* dan *g* dapat diturunkan *n* kali, maka

: \frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}} f(x) \frac{d^k}{d x^k} g(x)

## Lihat pula
* Turunan fungsi
* Fungsi Hiperbolik
* Fungsi invers
* Fungsi trigonometri
* Kalkulus matriks

## Referensi

## Sumber dan pustaka tambahan
Kaidah-kaidah ini ditulis dalam banyak buku, baik kalkulus elementer maupun lanjutan, dalam matematika murni maupun terapan. Notasi dalam halaman ini (selain pada rujukan-rujukan di atas) dapat dijumpai dalam:
* *Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition)*, S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
* *The Cambridge Handbook of Physics Formulas*, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
* *Mathematical methods for physics and engineering*, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
* *NIST Handbook of Mathematical Functions*, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5.

## Pranala luar

* Derivative calculator with formula simplification
* A Table of Derivatives