Akar fungsi

Dalam matematika, **akar fungsi** atau **nilai-nilai nol fungsi****' adalah nilai ''x'' di dalam suatu fungsi yang menghasilkan angka nol (0). Dalam kata lain:
:

**Akar** dari sebuah [[polinomial]] adalah nol dari [[fungsi polinomial]] yang sesuai. [[Teorema dasar aljabar]] menyatakan bahwa setiap [[polinomial|sukubanyak]] yang bukan nol memiliki paling akar riil paling banyak sama dengan [[Derajat polinomial|derajat]] sukubanyak tersebut, dan akar kompleks sebanyak derajat sukubanyak tersebut. Contohnya polinomial ''f'' berderajat dua yang didefinisikan sebagai <math display="inline">f(x)=x^2-5x+6</math> memiliki dua akar, yaitu 2 dan 3, karena:
:<math>f(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 0 \quad \textstyle{\rm {dan} }\quad f(3) = 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 0.</math>

Untuk mencari akar suatu [[fungsi polinomial]], diperlukan metode [[aproksimasi]] (seperti [[metode Newton]]). Namun, beberapa fungsi polinomial dengan derajat yang tidak lebih tinggi dari 4 dapat dicari akarnya dengan menggunakan [[aljabar]]. 

Jika fungsi memetakan bilangan real ke bilangan real, maka akarnya adalah nilai kordinat-<math> x </math> titik perpotongan [[Grafik fungsi|grafik]] dengan [[Sistem koordinat Cartesius|sumbu-''x'']]. 

== Solusi persamaan ==
Setiap [[persamaan]] dalam variabel <math> x </math> yang [[tidak diketahui (matematika)|tidak diketahui]] dapat ditulis ulang sebagai

:<math>f(x)=0</math>

dengan mengelompokkan kembali semua suku di ruas kiri persamaan. Oleh karena itu, solusi dari persamaan tersebut pastinya merupakan akar dari fungsi <math> f </math>. Dengan kata lain, "akar fungsi" tepatnya adalah "solusi persamaan yang diperoleh dengan menyamakan fungsi dengan 0", dan kajian tentang fungsi nol pastinya sama dengan kajian solusi persamaan.

== Akar polinomial ==


Setiap polinomial real dengan [[Derajat polinomial|derajat]] ganjil memiliki jumlah akar real yang ganjil (menghitung [[Multiplisitas (matematika)#Keragaman dari sebuah akar polinomial|multiplisitas]]). Demikian pula, polinomial real dengan derajat genap harus memiliki jumlah akar real yang genap. Akibatnya, polinomial real dengan derajat ganjil harus memiliki setidaknya satu akar real (karena [[bilangan bulat]] ganjil terkecil adalah 1), sedangkan polinomial genap mungkin tidak memilikinya. Prinsip ini dapat dibuktikan dengan mengacu pada [[teorema nilai tengah]]: karena fungsi polinomial adalah [[Fungsi kontinu|kontinu]], nilai fungsi harus melewati nol, dalam proses perubahan dari negatif ke positif atau sebaliknya (yang selalu terjadi untuk [[Fungsi ganjil dan genap|fungsi ganjil]]).

[[Teorema dasar aljabar]] menyatakan bahwa setiap polinomial derajat <math> n </math> memiliki <math> n </math> akar kompleks, dihitung dengan kelipatannya. Akar yang tidak real dari polinomial dengan koefisien real berasal dari pasangan [[konjugasi kompleks|konjugasi]]. [[Rumus Vieta]] menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah dan hasil kali akarnya.

== Himpunan akar ==

Dalam berbagai bidang matematika, **himpunan akar*' suatu [[fungsi (matematika)|fungsi]] adalah himpunan dari semua akar fungsinya. Lebih akurat lagi, jika <math>f:X\to\mathbb{R}</math> adalah [[fungsi bernilai real]] (atau lebih umumnya fungsi yang mengambil nilai di suatu [[grup Abelian|grup aditif]]), himpunan akarnya adalah <math>f^{-1}(0)</math>, [[peta invers]] dari <math>\{0\}</math> di <math>X</math>.

*Co-zero set* dari suatu fungsi <math> f \colon X \to \R </math> adalah [[komplemen (teori himpunan)|komplemen]] dari himpunan akar <math> f </math> (seperti subhimpunan dari <math> X </math> yang nilai <math> f </math> tak nol).

=== Aplikasi ===
Dalam [[geometri aljabar]], definisi pertama dari [[varietas aljabar]] adalah melalui himpunan akar. Secara khusus, suatu [[himpunan aljabar afin]] adalah [[Irisan (matematika)|irisan]] dari himpunan akar dari beberapa polinomial, dalam [[gelanggang polinomial]] <math>k\left[x_1,\ldots,x_n\right]</math> atas [[Lapangan (matematika)|lapangan]]. Dalam konteks ini, himpunan akar terkadang disebut* zero locus''.

Dalam analisis dan geometri, setiap himpunan tertutup dari \mathbb{R}^n adalah himpunan akar dari suatu fungsi mulus yang didefinisikan pada semua \mathbb{R}^n. Himpunna ini meluas ke setiap manifold halus sebagai korolari dari parakompak. 

Dalam geometri diferensial, himpunan akar sering digunakan untuk menentukan manifold. Kasus khusus terpenting adalah bahwa  f  adalah fungsi mulus dari \mathbb{R}^p ke \mathbb{R}^n. Jika akarnya adalah nilai reguler dari  f , maka himpunan akar dari  f  adalah manifold mulus berdimensi m=p-n menurut teorema nilai reguler.

Sebagai contoh,  m -sphere berunit pada \mathbb{R}^{m+1} adalah himpunan akar dari fungsi bernilai real f(x)=\Vert x \Vert^2-1.

## Lihat pula
* Teorema Marden
* Algoritme pencarian root
* Konjektur Sendov
* Lenyap tak terbatas
* Nol persilangan
* Nol dan kutub

## Referensi

## Bacaan lanjut
* 
*