Aljabar Linier

**Aljabar linier** adalah bidang studi matematika yang mempelajari ruang vektor dan pemetaan linier (atau transformasi linier). Secara elementer, aljabar linier mempelajari teknik-teknik komputasional dalam menyelesaikan sistem persamaan linier sepertia_1x_1+\cdots +a_nx_n=b,pemetaan linier seperti(x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1x_1+\cdots +a_nx_n,dan representasinya dalam ruang vektor maupun dengan matriks.

Aljabar linier berperan penting di hampir semua bidang matematika. Sebagai contoh, aljabar linier menjadi dasar dalam menjelaskan geometri secara modern, termasuk dalam mendefinisikan objek-objek dasar seperti garis, bidang, dan rotasi.  Analisis fungsional, salah satu cabang matematika analisis, dapat dianggap sebagai penerapan aljabar linier dalam ruang fungsi.

Aljabar linier juga dipakai dalam banyak bidang ilmu dan bidang rekayasa, karena kemampuannya memodelkan banyak fenomena alam dan mencari solusi model tersebut dengan efisien. Pada sistem nonlinier, aljabar linier sering digunakan sebagai penghampiran linier (*linear approximation*), hal tersebut didasarkan pada fakta bahwa turunan dari fungsi multivariabel di suatu titik adalah transformasi linier yang terbaik dalam menghampiri nilai fungsi di sekitar titik tersebut.

## Sejarah

Menyelesaikan beberapa persamaan linier secara bersamaan menjadi bagian penting dalam aljabar linier. Prosedur dalam menyelesaikan masalah tersebut, yang sekarang dikenal sebagai eliminasi Gauss, pertama kali muncul dalam *Bab Delapan: Array Persegi Panjang* di buku matematika Cina kuno *[[Jiuzhang Suanshu|Sembilan Bab dalam Seni Matematika]]*. Buku ini mengilustrasikan 18 masalah, masing-masing melibatkan dua sampai lima persamaan.

Sistem persamaan linier berkembang di Eropa bersamaan dengan dikenalkannya konsep koordinat dalam geometri, oleh René Descartes pada tahun 1637. Faktanya, pada geometri yang sekarang dikenal sebagai geometri Kartesius ini, garis-garis dan bidang-bidang diwakilkan oleh persamaan linier, dan mendapatkan hasil perpotongan mereka sama dengan menyelesaikan sistem persamaan linier.

Pada perkembangan selanjutnya, determinan digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier secara sistematis. Metode ini pertama kali dipertimbangkan oleh Leibniz pada tahun 1693. Pada tahun 1750, Gabriel Cramer menggunakan determinan untuk menghasilkan solusi sistem linier secara eksplisit, menggunakan metode yang saat ini dikenal dengan aturan Cramer. Gauss nantinya juga menjelaskan lebih lanjut tentang metode eliminasi, yang awalnya dicatat sebagai sebuah kemajuan (*advancement*) dalam geodesi.

Pada tahun 1844, Hermann Grassmann memublikasikan "*Theory of Extension*" yang didalamnya meyertakan topik fundamental yang baru, saat ini dikenal sebagai aljabar linier. Pada tahun 1848, James Joseph Sylvester memperkenalkan istilah *matrix*. Aljabar linier tumbuh dengan konsep-konsep dari bidang kompleks. Sebagai contoh, dua bilangan kompleks w dan z memiliki selisih w-z dan segmen garis \overline{w z} dan \overline{0(w-z)} memiliki panjang dan arah yang sama. Istilah vektor diperkenalkan untuk mewakili suatu titik v = x \text{i} + y \text{j} + z \text{k}  dalam ruang.

Arthur Cayley memperkenalkan perkalian matriks dan invers matriks pada tahun 1856. Cayley juga menggunakan satu huruf untuk menandai satu matriks, sehingga mengganggap matriks sebagai suatu gabungan dari banyak objek. Ia juga menyadari hubungan antara matriks dan determinan, dan menulis "Akan ada banyak hal untuk disampaikan tentang teori matriks ini yang, menurut saya, seharusnya mendahului teori determinan."

Publikasi *[[A Treatise on Electricity and Magnetism]]* pada tahun 1873 memulai ilmu teori medan tentang elektromagnetik, dan memerlukan geometri diferensial untuk mengekspresikan konsep-konsepnya. Aljabar linier merupakan geometri diferensial untuk bidang datar dan berperan pada ruang tangen manifold. Simetri elektromagnetik dari ruang waktu diekspresikan lewat transformasi Lorentz, dan banyak dari sejarah aljabar linier selanjutnya juga merupakan sejarah dari transformasi Lorentz.

Definisi yang lebih pasti dan modern mengenai ruang vektor diperkenalkan oleh Peano pada tahun 1888. Teori tentang transformasi linier ruang vektor dimensi hingga berkembang pada tahun 1900. Aljabar linier mendapatkan bentuk modernnya pada awal abad ke-20, ketika banyak ide dan konsep dari abad-abad sebelumnya berhasil diperumum menjadi aljabar abstrak. Perkembangan komputer memulai riset yang pesat dalam algoritma efisien untuk eliminasi Gauss dan dekomposisi matriks; dan aljabar linier menjadi alat penting untuk pemodelan dan simulasi.

## Ruang vektor

Sampai pada abad ke-19, aljabar linier diperkenalkan lewat sistem persamaan linier dan matriks. Dalam matematika modern, perkenalan lewat *ruang vektor* lebih disukai karena sifatnya yang lebih umum (tidak terbatas pada kasus dimensi yang berhingga) dan lebih mudah secara konseptual, walaupun lebih abstrak.

Suatu ruang vektor atas medan  (umumnya berupa medan bilangan real atau bilangan kompleks) adalah suatu himpunan  yang dilengkapi oleh dua operasi biner yang memenuhi aksioma-aksioma pada daftar berikut. Elemen dari  disebut *vektor*, dan elemen dari  disebut *skalar*. Opersi yang pertama, *penjumlahan vektor*, menggunakan sembarang dua vektor  dan  dan menghasilkan vektor . Operasi yang kedua, *perkalian skalar*, menggunakan sembarang skalar  dan sembarang vektor  dan menghasilkan vektor . Dalam daftar berikut, , dan  adalah sembarang vektor di , dan  dan  adalah sembarang skalar di medan .

Empat aksioma yang pertama mengartikan bahwa  adalah suatu grup Abelian dalam penjumlahan.

Elemen dari suatu ruang vektor yang spesifik dapat berupa objek yang beragam. Sebagai contoh, elemen ini dapat berupa deret, fungsi, polinomial, atau matriks. Aljabar linear berfokus pada sifat-sifat objek tersebut yang sama dengan semua ruang vektor lainnya.

### Peta linier

Peta linier adalah pemetaan antara dua ruang vektor yang mempertahankan struktur dari ruang vektor. Diberikan dua ruang vektor  dan  atas medan , suatu peta linier adalah pemetaan T:V\to W yang memenuhi perkalian dan penjumlahan skalar, dengan kata lain, memenuhi T(\mathbf u + \mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v), \quad T(a \mathbf v)=aT(\mathbf v) Untuk sembarang vektor  di  dan skalar  di . Hal ini mengakibatkan untuk sembarang vektor  di  dan skalar  di , berlaku hubunganT(a \mathbf u + b \mathbf v)= T(a \mathbf u) + T(b \mathbf v) = aT(\mathbf u) + bT(\mathbf v) Ketika , pemetaan linier  T:V\to V  juga disebut sebagai *operator linier* di . Peta linier yang bijektif antara dua ruang vektor, yakni yang memetakan setiap elemen di satu ruang vektor dengan tepat satu elemen di ruang vektor yang lain, disebut sebagai suatu isomorfisme. Karena isomorfisme mempertahankan struktur linier, dua ruang vektor yang isomorfik "pada dasarnya sama" dalam sudut pandang aljabar linier, dalam artian mereka berdua tidak dapat dibedakan dengan menggunakan sifat-sifat ruang vektor. Satu masalah penting dalam aljabar linier adalah menentukan apakah suatu peta linier bersifat isomorfik; dan jika tidak isomorfik, menentukan citra dan himpunan dari elemen-elemen yang dipetakan ke vektor nol, yang disebut sebagai kernel dari peta tersebut. Masalah-masalah ini dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss, atau variasinya.

### Subruang, span, dan basis

Seperti banyak struktur matematika lainnya, mempelajari subhimpunan dari ruang vektor yang juga berupa ruang vektor akibat suatu operasi adalah hal yang penting. Subhimpunan ini disebut dengan subruang vektor. Secara formal, suatu subruang vektor dari ruang vektor  atas medan  adalah suatu subhimpunan  dari  yang memenuhi  dan  berada di dalam , untuk setiap ,  di , dan setiap  di . (Definisi tersebut cukup untuk menyimpulkan bahwa  adalah suatu ruang vektor.) Sebagai contoh, untuk pemetaan linier  T:V\to W , citra  dari , dan invers dari citra  dari **0** (dikenal sebagai kernel atau ruang nol), masing-masing adalah subruang vektor dari  dan .

Cara penting yang lain untuk membentuk suatu subruang adalah dengan menggunakan kombinasi linier vektor-vektor dari himpunan . Cara ini menghasilkan himpunan berisi vektor-vektor dengan bentuk  a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_k \mathbf v_k,dengan  berada di , dan  berada di . Himpunan tersebut membentuk subruang vektor yang disebut span dari . Span dari  juga merupakan irisan dari semua subruang vektor yang mengandung . Dengan kata lain, span ini adalah subruang vektor terkecil (pada relasi subhimpunan) yang mengandung .

Suatu himpunan vektor dikatakan saling bebas linier jika tidak ada vektor yang berada di span vektor-vektor yang lain. Secara ekuivalen, suatu himpunan vektor-vektor  saling bebas linier jika satu-satunya cara menyatakan vektor nol sebagai kombinasi linier vektor-vektor di  adalah dengan memilih 0 untuk setiap koefien a_i.

Suatu himpunan vektor yang menjadi merentang (*span*) suatu ruang vektor disebut himpunan span. Jika himpunan span  *bergantung linier* (yakni tidak bebas linier), maka ada vektor  di  yang berada di span vektor-vektor  yang lain, dan span dari  tidak akan berubah walau  dibuang. Langkah membuang vektor ini dapat diulangi sampai semua elemen  bebas linier. Himpunan span yang saling bebas linear yang merentang suatu ruang vektor  disebut sebagai suatu basis bagi . Basis memiliki keunikan karena ia adalah himpunan span dari  yang terkecil sekaligus himpunan terbesar yang mengandung vektor-vektor di . Secara lebih formal, jika  adalah himpunan yang bebas linier, dan  adalah himpunan span dengan S\subseteq T, maka ada suatu basis  sedemikian rupa sehingga S\subseteq B\subseteq T.

Ruang vektor  dapat memiliki beberapa basis berbeda. Sembarang dua basis dari  memiliki kardinalitas yang sama, yang disebut sebagai dimensi dari . Lebih lanjut, dua ruang vektor atas medan  yang sama saling isomorfik jika dan hanya jika kedua raung vektor tersebut memiliki dimensi yang sama. Jika salah satu basis bagi  (dan akibatnya semua basis) memiliki banyak elemen yang berhingga,  disebut *ruang vektor dimensi berhingga*. Jika  adalah subruang dari , maka . Pada kasus ketika  berdimensi hingga, persamaan dari pernyataan tersebut terjadi ketika .

Jika *U*1 dan *U*2 adalah subruang dari *V*, maka

: \dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2),

dengan U_1+U_2 menyatakan span dari U_1\cup U_2.
## Matriks
Matriks memungkinkan manipulasi ruang vektor berdimensi hingga dan peta linier secara eksplisit. Teori tentang matriks selanjutnya menjadi bagian penting dalam aljabar linier.

Misalkan  adalah ruang vektor berdimensi hingga atas medan , dan  menjadi basis bagi  (sehingga  adalah dimensi dari ). Dengan menggunakan definisi basis, pemetaan\begin{align}
(a_1, \ldots, a_m)&\mapsto a_1 \mathbf v_1+\cdots a_m \mathbf v_m\\
F^m &\to V
\end{align}

adalah suatu bijeksi dari F^m, yakni himpunan berisi barisan  elemen yang diambil dari , ke . Ini adalah suatu isomorfisme ruang vektor, jika F^m dilengkapi oleh struktur ruang vektor yang standarnya, yakni dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar dilakukan komponen demi komponen. Isomorfisme ini memungkinan untuk merepresentasikan suatu vektor di  dengan menggunakan vektor koordinat (a_1, \ldots, a_m) atau dengan vektor\begin{bmatrix}a_1\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}.Selanjutnya, jika  adalah ruang vektor dimensi hingga yang lain (atau mungkin yang sama), dengan basis (\mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_n), suatu peta linier  dari  ke  terdefinisi jelas (*well defined*) lewat nilai-nilai fungsi pada elemen-elemen basisnya, yakni (f(\mathbf w_1), \ldots, f(\mathbf w_n)). Sehingga, jikaf(\mathbf w_j)=a_{1,j}\mathbf v_1 + \cdots+a_{m,j}\mathbf v_m,untuk , maka  dapat dinyatakan sebagai matriks dengan  baris dan  kolom\begin{bmatrix}
a_{1,1}&\cdots&a_{1,n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m,1}&\cdots&a_{m,n}
\end{bmatrix}.Perkalian matriks didefinisikan sedemikian rupa sehingga hasil perkalian yang didapat merepresentasikan komposisi peta-peta linear dari matriks-matriks yang bersesuaian. Sedangkan perkalian matriks dengan vektor (matriks kolom) merepresentasikan hasil dari melakukan pemetaan linear kepada vektor tersebut. Dari diskusi ini disimpulkan bahwa teori ruang vektor berdimensi hingga dan teori matriks adalah dua bahasa berbeda untuk mengekspresikan satu konsep yang sama.

Dua matriks yang mewakili pemetaan linier yang sama tapi dalam basis yang berbeda disebut matriks yang serupa. Dapat ditunjukkan bahwa dua matriks serupa jika dan hanya jika satu matriks dapat diubah menjadi matriks yang lainnya hanya dengan melakukan operasi-operasi matriks elementer. Untuk suatu matriks yang mewakili pemetaan linier dari  ke , operasi baris elementer berkorespodensi dengan perubahan basis di  sedangkan operasi kolom elementer berkorespodensi dengan perubahan basis di . Setiap matriks serupa dengan matriks identitas dengan mungkin tambahan beberapa kolom nol dan/atau baris nol. Dalam bahasa ruang vektor, ini mengartikan untuk semua pemetaan linier dari  ke , ada basis sehingga sebagian basis di  dipetakan secara bijektif menjadi bagian dari basis , sedangkan sisa basis  yang lain, jika ada, akan dipetakan ke vektor nol. Eliminasi Gauss adalah algoritma dasar untuk menentukan operasi-operasi elementer yang diperlukan, dan membuktikan hasil-hasil pada diskusi ini.

## Sistem persamaan linier

Sebuah himpunan berhingga berisi persamaan-persamaan linier, masing-masing dengan berhingga banyaknya variabel, contohnya  atau , disebut sebagai *sistem persamaan linier*.

Sistem persamaan linier membentuk bagian penting dalam aljabar linier. Dari sisi sejarah, aljabar linier dan teori matriks dikembangkan untuk menyelesaikan sistem tersebut. Dalam perkembangan modern saat ini, dimana aljabar linier dinyatakan lewat ruang vektor dan matriks, banyak masalah dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan linier. Sebagai contoh, misalkanadalah sistem persamaan linier yang menyatakan suatu masalah. Sistem persamaan linier tersebut dapat diasosiasikan dengan matriksM = \left[\begin{array}{rrr}
2 & 1 & -1\\
-3 & -1 & 2  \\
-2 & 1 & 2
\end{array}\right]
yang berisi semua koefisien di ruas kiri, dan vektor \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 8\\-11\\-3 \end{bmatrix} yang berisi semua nilai di ruas kanan. Misalkan juga  adalah pemetaan linier yang berasosiasi dengan matriks . Suatu penyelesaian dari sistem () adalah vektor \mathbf{X}=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}yang memenuhi

: T(\mathbf{X}) = \mathbf{v},

yakni sebuah elemen yang menjadi pracitra dari  oleh pemetaan .

Misalkan () adalah sistem homogen yang berasosiasi dengan (), yakni sistem persamaan linier dengan semua nilai pada ruas kanan sama dengan nol:Himpunan penyelesaian dari () adalah elemen-elemen dari  kernel , atau secara ekuivalen, kernel dari .

Solusi dari sistem persamamaan linier dapat ditemukan dengan melakukan proses eliminasi Gauss-Jordan pada matriks gabungan
\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}
2 & 1 & -1&8 \\
-3 & -1 & 2&-11 \\
-2 & 1 & 2&-3
\end{array}\right].

Pross eliminasi ini adalah serangkaian operasi baris dasar yang mengubah matriks ke dalam bentuk eselon baris tereduksi. Pada contoh ini, bentuk eselon baris tereduksi-nya adalah
\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 0 & 0&2 \\
0 & 1 & 0&3 \\
0 & 0 & 1&-1
\end{array}\right],
 menunjukkan bahwa sistem () memiliki solusi unik\begin{align}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{align}Interpretasi matriks dari sistem persamaan linier juga dapat diterapkan untuk menyelesaikan operasi-operasi matriks dan pemetaan linier lainnya, seperti menghitung rank, kernel, dan invers matriks.

## Endomorfisme dan matriks persegi

Sebuah endomorfisme linier adalah peta linier yang memetakan suatu ruang vektor  ke dirinya sendiri. Jika  memiliki basis berisi  elemen, endomorfisme tersebut dapat dinyatakan oleh sebuah matriks persegi berukuran n\times n. Berhubungan dengan pemetaan linier secara umum, endomorfisme linier dan matriks persegi memiliki beberapa sifat khusus yang membuat mereka memainkan peran penting dalam aljabar linier.

### Determinan

*Determinan* dari suatu matriks persegi  didefinisikan sebagai

: \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)}, 

dengan  adalah grup dari semua permutasi  elemen,  adalah sebuah permutasi, dan  adalah paritas dari permutasi. Sebuah matriks disebut terbalikkan (*invertible*) jika dan hanya jika nilai determinannya dapat dibalik (diinvers), dengan kata lain, nilainya tidak sama dengan nol.

Kaidah Cramer adalah rumus yang dinyatakan dalam bentuk determinan, dan dapat digunakan untuk mencari solusi sistem linear dengan  persamaan dan  variabel. Kaidah Cramer berguna untuk menjelaskan solusi yang ditemukan, tetapi kecuali untuk  atau , kaidah tersebut jarang digunakan untuk mencari solusi. Algoritma yang lebih cepat untuk mencari penyelesaian adalah eliminasi Gauss.

### Nilai eigen dan vektor eigen

Jika  adalah endomorfisme linier dari suatu ruang vektor  atas suatu medan , *vektor eigen* dari  adalah vektor tak-nol  di  sedemikian rupa sehingga  untuk suatu skalar  di . Skalar  ini disebut sebagai nilai eigen dari .

Jika dimensi dari  hingga, dan sebuah basis telah dipilih,  dan  dapat direpresentasikan masing-masing oleh sebuah matriks persegi  dan sebuah matriks kolom ; Persamaan yang mendefinisikan vektor eigen dan nilai eigen selanjutnya dapat ditulis ulang sebagai
Mz=az.

Menggunakan matriks identitas , matriks dengan semua elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan semua elemen lainnya bernilai 0, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai
(M-aI)z=0.

Karena  bukan vektor nol, ekspresi  menyatakan suatu matriks singular yang nilai determinannya, , sama dengan nol.

## Catatan

## Referensi

## Daftar pustaka

* 
*
* 
* 
* 
*
* 
*
*