Teorema dasar aritmetika

Dalam matematika, **teorema dasar aritmetika** (dikenal juga sebagai **teorema fundamental aritmetika**, **teorema pemfaktoran tunggal**, **teorema faktorisasi tunggal**, dan **teorema faktorisasi prima**) menyatakan bahwa setiap bilangan asli n > 1 memenuhi tepat satu dari dua pernyataan berikut:
# n merupakan bilangan prima.
# n dapat dinyatakan secara tunggal sebagai darab dari bilangan-bilangan prima, dengan urutan perkalian faktor-faktornya diabaikan.
Sebagai contoh,
1200 = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot 3 \cdot (5 \cdot 5) = 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 = \ldots

Teorema ini menyatakan dua hal dari contoh di atas:
# bahwa 1200 *dapat* direpresentasikan sebagai darab dari bilangan-bilangan prima, dan
# terlepas dari bagaimanapun penyusunannya, pasti terdapat tepat empat bilangan 2, satu bilangan 3, dua bilangan 5, dan tidak ada bilangan prima lain dalam darabnya.

Persyaratan bahwa faktor-faktornya merupakan bilangan prima adalah hal yang diperlukan: faktorisasi dengan menggunakan bilangan komposit mungkin saja tidak tunggal. Sebagai contoh, 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4.

Dengan menggunakan konvensi standar untuk darab barisan, maka isi pernyataan teorema dasar aritmetika ialah *setiap bilangan asli dapat dinyatakan secara tunggal sebagai darab dari bilangan-bilangan prima, dengan urutan perkalian tidak diperhatikan*.

Teorema ini merupakan salah satu dari alasan utama mengapa 1 tidak dipandang sebagai bilangan prima: jika 1 merupakan bilangan prima, maka faktorisasi prima dari sembarang bilangan asli tidak akan bersifat tunggal. Misalnya, 19 = 19 \cdot 1 = 19 \cdot 1 \cdot 1 = \ldots

Teorema ini dapat diperumum menjadi struktur aljabar yang dikenal sebagai daerah faktorisasi tunggal, termasuk daerah ideal utama, daerah Euclid, dan gelanggang polinomial atas suatu lapangan. Akan tetapi, teorema ini tidak berlaku untuk bilangan bulat aljabar. Kegagalan dari faktorisasi tunggal ini merupakan salah satu alasan dari sulitnya pembuktian teorema terakhir Fermat. Penggunaan faktorisasi tunggal secara implisit pada gelanggang bilangan bulat aljabar merupakan letak kesalahan dari banyak bukti keliru yang ditulis semasa 358 tahun antara pernyataan Fermat dan bukti Wiles.

## Sejarah
Teorema dasar aritmetika dapat diturunkan dari Buku VII, proposisi 30, 31, dan 32, serta Buku IX, proposisi 14 dari *[[Elemen Euklides|Elements]]* karya Euclid.

(Dalam terminologi modern: jika suatu bilangan prima p habis membagi darab ab, maka p habis membagi a atau p habis membagi b atau keduanya.) Proposisi 30 dikenal sebagai lema Euclid, dan menjadi kunci dari pembuktian teorema dasar aritmetika.

(Dalam terminologi modern: setiap bilangan asli yang lebih dari satu akan habis dibagi oleh suatu bilangan prima.) Proposisi 31 dibuktikan menggunakan teknik pembuktian melalui penurunan takhingga.

Proposisi 32 dapat diturunkan melalui proposisi 31, yang membuktikan bahwa penguraiannya dimungkinkan terjadi.

(Dalam terminologi modern: kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan prima bukanlah kelipatan dari sembarang bilangan prima lainnya). Proposisi 14 pada Buku IX dapat diturunkan dari proposisi 30 pada Buku VII, yang membuktikan sebagian bahwa penguraiannya bersifat tunggal  suatu poin yang ditekankan oleh André Weil. Dalam proposisi ini, semua pangkatnya bernilai sama dengan satu, sehingga kasus umumnya belum terbukti.

Selagi Euclid mengambil langkah pertama menuju kewujudan dari faktorisasi prima, Kamāl al-Dīn al-Fārisī mengambil langkah terakhir dan menyatakan teorema dasar aritmetika untuk pertama kalinya.

Artikel 16 dari *[[Disquisitiones Arithmeticae]]* karya Gauss adalah bukti pertama dari bagian ketunggalan pada teorema dasar aritmetika.

## Penerapan
### Bentuk kanonik dari bilangan asli

Setiap bilangan asli n > 1 dapat dinyatakan secara tunggal sebagai darab dari perpangkatan bilangan prima
n = (p_1)^{e_1} \cdot (p_2)^{e_2} \cdot (p_3)^{e_3} \cdot \ldots \cdot (p_k)^{e_k} = \prod_{i \, = \, 1}^{k} (p_i)^{e_i}
dengan p_1  merupakan bilangan-bilangan prima dan setiap e_i merupakan bilangan asli nonnegatif. Representasi ini umumnya diperluas menjadi seluruh bilangan asli (termasuk 1) dengan konvensi bahwa nilai dari darab kosong ialah 1 (darab kosong berpadanan dengan nilai k = 0).

Representasi ini disebut **representasi kanonik** dari n, **[[bentuk kanonik]]** dari n, atau **bentuk standar** dari n. Sebagai contoh,

\begin{align}
999 &= 3^3 \cdot 37 \\
1000 &= 2^3 \cdot 5^3 \\
1001 &= 7 \cdot 11 \cdot 13
\end{align}

Faktor p_0 = 1 dapat dimasukkan tanpa mengubah nilai dari n. Misalnya, 1000 = 2^3 \cdot 3^0 \cdot 5^3. Secara umum, setiap bilangan asli dapat secara tunggal dinyatakan sebagai darab takhingga dari semua bilangan prima positif, yaitu
n = 2^{e_1} \cdot 3^{e_2} \cdot 5^{e_3} \cdot 7^{e_4} \cdot \ldots = \prod_{i \, = \, 1}^{\infty} (p_i)^{e_i}
dengan banyaknya e_i yang bernilai positif ialah berhingga, dan sisanya bernilai nol.

Memperbolehkan pangkat negatif akan memberikan bentuk kanonik dari bilangan rasional positif.

### Operasi aritmetika
Bentuk kanonik dari darab, faktor persekutuan terbesar (FPB), dan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan asli a dan b dapat dinyatakan dalam bentuk kanonik dari a dan b itu sendiri, yaitu:

\begin{align}
a \cdot b &= 2^{a_1 + b_1} \cdot 3^{a_2 + b_2} \cdot 5^{a_3 + b_3} \cdot 7^{a_4 + b_4} \cdot \ldots \\
a \cdot b &= \prod_{i \, = \, 1}^{\infty} (p_i)^{a_i + b_i} \\
\\
\operatorname{FPB} \! \left( a, \, b \right) &= 2^{\min \left( a_1, \, b_1 \right)} \cdot 3^{\min \left( a_2, \, b_2 \right)} \cdot 5^{\min \left( a_3, \, b_3 \right)} \cdot 7^{\min \left( a_4, \, b_4 \right)} \cdot \ldots \\
\operatorname{FPB} \! \left( a, \, b \right) &= \prod_{i \, = \, 1}^{\infty} (p_i)^{\min \left( a_i, \, b_i \right)} \\
\\
\operatorname{KPK} \! \left( a, \, b \right) &= 2^{\max \left( a_1, \, b_1 \right)} \cdot 3^{\max \left( a_2, \, b_2 \right)} \cdot 5^{\max \left( a_3, \, b_3 \right)} \cdot 7^{\max \left( a_4, \, b_4 \right)} \cdot \ldots \\
\operatorname{KPK} \! \left( a, \, b \right) &= \prod_{i \, = \, 1}^{\infty} (p_i)^{\max \left( a_i, \, b_i \right)}
\end{align}

Akan tetapi, proses memfaktorkan bilangan bulatterutama bilangan-bilangan yang besarjauh lebih sulit dibandingkan menghitung darab, FPB, maupun KPK, sehingga pada penerapannya, rumus-rumus di atas memiliki penggunaan yang cukup terbatas.

### Fungsi aritmetika

Banyak fungsi aritmetika yang didefinisikan menggunakan bentuk kanonik. Lebih spesifiknya, nilai fungsi aditif dan fungsi perkalian dari bilangan asli n ditentukan oleh nilai pangkat dari bilangan prima yang muncul dari bentuk kanonik dari n.

## Bukti
Bukti dari sifat ketunggalan faktorisasi prima menggunakan lema Euclid (*Elements* VII, proposisi 30): Jika suatu bilangan prima habis membagi darab dari dua bilangan asli, maka bilangan prima tersebut habis membagi salah satu dari kedua bilangan asli tersebut.

### Kewujudan
Diambil sembarang bilangan asli k > 1. Akan diasumsikan secara induktif bahwa setiap bilangan asli yang nilainya kurang dari k antara berupa bilangan prima, atau merupakan darab dari bilangan-bilangan prima. Jika k merupakan bilangan prima, maka pernyataan terbukti.

Jika k bukan merupakan bilangan prima, maka terdapat bilangan asli a dan b sedemikian sehingga n = a \cdot b, dengan 1 . Berdasarkan hipotesis induktif, maka a dan b dapat berupa bilangan prima, atau dapat dinyatakan sebagai darab dari bilangan-bilangan prima.
\begin{align}
a &= p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \\
b &= q_1 \cdot q_2 \cdot \ldots \cdot q_N
\end{align}
Akibatnya, diperoleh
k = a \cdot b = (p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) \cdot (q_1 \cdot q_2 \cdot \ldots \cdot q_N)
yang menunjukkan bahwa k merupakan darab dari bilangan-bilangan prima.

### Ketunggalan
Diambil sembarang k \in \mathbb{N} beserta dua faktorisasi primanya, yaitu
k = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_n = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot \ldots \cdot q_N
dengan n \leq N dan setiap p_m serta q_m merupakan bilangan prima. Oleh karena p_1 habis membagi p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_n, maka p_1 habis membagi q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot \ldots \cdot q_N. Berdasarkan lema Euclid, maka terdapat suatu j \in \left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, N \right\} sedemikian sehingga p_1 habis membagi q_j. Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan bahwa p_1 habis membagi q_1. Oleh karena p_1 dan q_1 merupakan bilangan prima, maka p_1 = q_1. Akibatnya, diperoleh
p_2 \cdot p_3 \cdot p_4 \cdot \ldots \cdot p_n = q_2 \cdot q_3 \cdot q_4 \cdot \ldots \cdot q_N

Dengan proses serupa, perhatikan bahwa p_2 habis membagi p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_n. Akibatnya, p_2 habis membagi q_2 \cdot q_3 \cdot \ldots \cdot q_N. Berdasarkan lema Euclid, maka terdapat suatu j \in \left\{ 2, \, 3, \, \ldots, \, N \right\} sedemikian sehingga p_2 habis membagi q_j. Dengan argumen serupa seperti sebelumnya, diasumsikan bahwa p_2 habis membagi q_2. Oleh karena p_2 dan q_2 merupakan bilangan prima, maka p_2 = q_2. Akibatnya, didapatkan
p_3 \cdot p_4 \cdot \ldots \cdot p_n = q_3 \cdot q_4 \cdot \ldots \cdot q_N

Jika n , maka proses ini akan berakhir pada persamaan
1 = p_{n + 1} \cdot p_{n + 2} \cdot \ldots \cdot p_N
yang jelas mustahil terjadi, sebab setiap bilangan prima akan memenuhi pertidaksamaan p \geq 2, sehingga ruas kanan tidak mungkin sama dengan satu. Akibatnya, n = N.

Oleh karena n = N, maka berlaku
\begin{align}
p_1 &= q_1 \\
p_2 &= q_2 \\
p_3 &= q_3 \\
&\vdots \\
p_n &= q_N
\end{align}
yang berarti bahwa k memiliki faktorisasi prima yang bersifat tunggal.

### Ketunggalan tanpa lema Euclid
Teorema dasar aritmetik juga dapat dibuktikan tanpa menggunakan lema Euclid. Bukti berikut merupakan pembuktian melalui kontradiksi yang terinspirasi dari versi orisinal dari algoritma Euclid.

Andaikan himpunan semua bilangan asli yang faktorisasi primanya tidak tunggal bukan merupakan himpunan kosong, maka berdasarkan prinsip urutan rapi, terdapat suatu bilangan asli terkecil k yang memiliki setidaknya dua faktorisasi prima, yaitu
k = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_n = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot \ldots \cdot q_N
dengan n \leq N dan setiap p_i serta q_i merupakan bilangan prima. Hal ini mengakibatkan bahwa k (jika ada) merupakan bilangan komposit yang nilainya lebih dari 1.

Andaikan terdapat suatu i \in \left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, n \right\} dan j \in \left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, N \right\} sedemikian sehingga p_i = q_j, maka terdapat suatu bilangan asli k' = \tfrac{k}{p_i} = \tfrac{k}{q_j} yang nilainya kurang dari k, tetapi faktorisasi primanya tidak tunggal. Namun, hal ini mustahil terjadi, sebab k adalah bilangan asli *terkecil* yang memiliki sifat tersebut. Akibatnya, setiap p_i harus berbeda dengan setiap q_j. Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan bahwa p_1  dengan menukar dua faktorisasinya, jika diperlukan.

Didefinisikan
\begin{align}
P &= p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_n \\
Q &= q_2 \cdot q_3 \cdot \ldots \cdot q_N
\end{align}
sehingga diperoleh k = p_1 \cdot P = q_1 \cdot Q. Oleh karena p_1 , maka Q . Tinjau bilangan p_1 \cdot (P - Q), yaitu

\begin{align}
p_1 \cdot (P - Q) &= (p_1 \cdot P) - p_1 \cdot Q \\
&= k - p_1 \cdot Q \\
&= (q_1 \cdot Q) - p_1 \cdot Q \\
&= (q_1 - p_1) \cdot Q
\end{align}

Jelas bahwa k - p_1 \cdot Q . Oleh karena k adalah bilangan asli terkecil yang memiliki faktorisasi prima yang tidak tunggal, maka setiap bilangan asli yang kurang dari k memiliki faktorisasi prima yang tunggal. Berdasarkan persamaan
p_1 \cdot (P - Q) = (q_1 - p_1) \cdot Q
maka p_1 harus muncul sebagai faktor dari q_1 - p_1 atau Q.
# andaikan p_1 merupakan faktor dari q_1 - p_1, maka p_1 juga merupakan faktor dari q_1. Namun, hal ini mustahil terjadi, sebab diketahui bahwa p_1 dan q_1 merupakan bilangan prima yang berbeda.
# jelas bahwa Q , sehingga Q memiliki faktorisasi prima yang tunggal. Oleh karena p_1 haruslah berbeda dengan setiap q_m, maka p_1 mustahil menjadi faktor dari Q.
Berdasarkan kedua kasus di atas, maka pernyataan "p_1 harus muncul sebagai faktor dari q_1 - p_1 atau Q" bersifat kontradiktif, sehingga pernyataan "himpunan semua bilangan asli yang faktorisasi primanya tidak tunggal bukan merupakan himpunan kosong" bernilai salah. Dengan kata lain, himpunan semua bilangan asli yang faktorisasi primanya tidak tunggal merupakan himpunan kosong, yang berarti bahwa setiap bilangan asli memiliki faktorisasi prima yang tunggal.

## Perumuman

Perumuman pertama dari teorema dasar aritmetika ditemukan dalam monografi kedua Gauss (1832) dalam timbal balik kuartik. Paper ini memperkenalkan apa yang sekarang disebut sebagai gelanggang bilangan bulat Gauss, yaitu himpunan seluruh bilangan kompleks a + bi, dengan a, b \in \mathbb{Z}. Gelanggang ini ditulis sebagai \mathbb{Z}[i]. Gelanggang ini memiliki empat unit, yaitu \pm 1 dan \pm i. Gauss berhasil menunjukkan bahwa setiap bilangan tak nol dan tak unit berada pada tepat satu kategori, yaitu bilangan prima dan bilangan komposit. Lebih lanjut, Gauss juga menunjukkan bahwa setiap bilangan komposit pada \mathbb{Z}[i] juga dapat secara tunggal dinyatakan sebagai darab dari bilangan-bilangan prima, dengan mengabaikan urutan perkalian serta mengabaikan perkalian oleh unit.

Serupa seperti Gauss, Eisenstein memperkenalkan gelanggang \mathbb{Z}[\omega] pada tahun 1844 ketika mempelajari timbal balik kubik, dengan \omega = - \tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2} i, yaitu akar satuan primitif ke-3. Himpunan ini dikenal sebagai gelanggang bilangan bulat Eisenstein, dan Eisenstein membuktikan bahwa gelanggang ini memiliki enam unit, yaitu \pm 1, \pm \omega, dan \pm \omega^2, serta setiap bilangan Eisenstein memiliki faktorisasi yang tunggal.

Namun, sifat faktorisasi tunggal tidak selalu berlaku. Misalnya dalam gelanggang \mathbb{Z}[i \sqrt{5}], perhatikan bahwa

6 = 2 \cdot 3 = \left( 1 + i \sqrt{5} \right) \left( 1 - i \sqrt{5} \right)

Contoh-contoh seperti ini membuat gagasan "bilangan prima" akhirnya dimodifikasi. Dapat dibuktikan bahwa jika setiap faktor di atas dapat dinyatakan sebagai darab dari dua bilangan pada \mathbb{Z}[i \sqrt{5}] (misalnya 3 = a \cdot b), maka salah satu dari kedua bilangan tersebut merupakan unit pada \mathbb{Z}[i \sqrt{5}]. Ini adalah definisi tradisional dari "bilangan prima". Selain itu, dapat dibuktikan bahwa lema Euclid tidak berlaku pada faktorisasi di atas. Misalnya, walaupun 2 habis membagi \left( 1 + i \sqrt{5} \right) \left( 1 - i \sqrt{5} \right), tetapi 2 tidak habis membagi 1 + i \sqrt{5} maupun konjugatnya. Dalam teori bilangan aljabar, 2 disebut sebagai elemen tak tereduksi pada \mathbb{Z}[i \sqrt{5}] (sebab 2 hanya habis dibagi oleh unit pada \mathbb{Z}[i \sqrt{5}] atau oleh dirinya sendiri), tetapi bukan merupakan elemen prima pada \mathbb{Z}[i \sqrt{5}] (jika 2 habis membagi suatu darab, maka 2 juga harus membagi salah satu faktor pada darabnya). Himpunan \mathbb{Z}[i \sqrt{5}] perlu disinggung, sebab 2 merupakan elemen prima sekaligus elemen tereduksi pada \mathbb{Z}. Dengan definisi ini, maka dapat dibuktikan bahwa setiap elemen prima pada daerah integral merupakan elemen tak tereduksi. Lema klasik dari Euclid dapat dinyatakan ulang sebagai "dalam gelanggang bilangan bulat \mathbb{Z}, setiap elemen tak tereduksi merupakan elemen prima". Hal ini juga berlaku pada \mathbb{Z}[i] dan \mathbb{Z}[\omega], tetapi tidak pada \mathbb{Z}[i \sqrt{5}].

Gelanggang yang hasil faktorisasinya berupa elemen-elemen tak tereduksi yang pada dasarnya tunggal disebut sebagai daerah faktorisasi tunggal. Contoh-contoh penting dari daerah faktorisasi tunggal diantaranya ialah gelanggang polinomial atas bilangan bulat atau atas suatu lapangan, daerah Euclid, dan daerah ideal utama.

Pada tahun 1843, Kummer memperkenalkan konsep bilangan ideal, yang kemudian dikembangkan lebih jauh oleh Dedekind (1876) menjadi teori modern dari ideal, yaitu himpunan bagian spesial dari gelanggang. Operasi perkalian didefinisikan untuk ideal, dan gelanggang yang memiliki faktorisasi tunggal disebut sebagai daerah Dedekind.

## Lihat juga
* Faktorisasi bilangan bulat
* Daftar teorema dengan sebutan dasar

## Catatan

## Rujukan

## Referensi

*[[Disquisitiones Arithmeticae]]* telah diterjemahkan dari bahasa Latin Ciceronian Gauss ke dalam bahasa Inggris dan Jerman. Edisi Jerman mencakup semua paper teori bilangan miliknya: semua bukti dari timbal balik kuadratik, penentuan tanda dari jumlah Gauss, penyelidikan timbal balik bikuadratik, serta catatan yang tidak diterbitkan.

* 
* 

Dua monografi yang Gauss publikasikan mengenai timbal balik kuartik memiliki bagian yang telah diberi nomor secara berurutan: monografi pertama memuat §§ 1–23 dan yang kedua §§ 24–76. Catatan-catatan kaki yang mereferensikan hal ini memiliki bentuk umum "Gauss, BQ, § *n*", sedangkan catatan-catatan kaki yang mereferensikan *[[Disquisitiones Arithmeticae]]* memiliki bentuk umum "Gauss, DA, Art. *n*".
* 
* 

Kedua monografi tersebut merupakan bagian dari *Werke* karya Gauss, Vol II, hlm.&nbsp;65–92 dan hlm. 93–148; terjemahan Jerman berada pada hlm.&nbsp;511–533 dan hlm.&nbsp;534–586 dari edisi Jerman dari *Disquisitiones*.

* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Pranala luar
*  Mengapa teorema dasar aritmetika tidak se-sepele itu?
*  FPB dan Teorema Dasar Aritmetika di Cut-the-Knot.
*  
*  Blog Teorema Terakhir Fermat: Faktorisasi Tunggal, sebuah blog yang meliput sejarah dari Teorema Terakhir Fermat, mulai dari Diophantus hingga pembuktian oleh Andrew Wiles.
* 
* 
*  Teorema Dasar Aritmetika