Aljabar

**Aljabar** adalah cabang matematika yang mengkaji sistem-sistem abstrak tertentu, yang dikenal sebagai struktur aljabar, serta memanipulasi ekspresi di dalam sistem-sistem tersebut. Aljabar merupakan bentuk umum aritmetika yang memperkenalkan variabel dan operasi-operasi aljabar selain operasi aritmetika standar seperti penambahan dan perkalian.

Aljabar elementer adalah bentuk utama aljabar yang dipelajari di banyak sekolah. Aljabar elementer mempelajari pernyataan matematika menggunakan variabel sebagai nilai-nilai yang tidak diketahui dan mencari nilai manakah yang benar pada pernyataan itu. Cara menyelesaikan permasalahan itu dapat digunakan metode yang mengubah persamaan menjadi variabel yang terisolasi. Aljabar linear adalah cabang yang sangat berkaitan dengan mempelajari persamaan linear dan gabungannya yang disebut *[[sistem persamaan linear]]*. Aljabar linear menyediakan metode mencari nilai-nilai yang menyelesaikan semua persamaan di dalam sistem di waktu yang sama, serta mengkaji himpunan solusi tersebut.

Aljabar abstrak mengkaji struktur aljabar, yang terdiri dari himpunan dari objek matematika bersama dengan satu atau beberapa operasi yang didefinisikan pada himpunan itu. Aljabar abstrak adalah bentuk umum aljabar elementer dan aljabar linear, karena kajiannya memungkinkan objek matematika selain daripada bilangan dan operasi-operasi yang bukan aritmetika. Aljabar abstrak membedakan jenis-jenis struktur aljabar seperti grup, gelanggang, dan lapangan, berdasarkan jumlah operasi yang digunakan serta hukum yang diikuti, yang disebut aksioma. Aljabar universal dan teori kategori menyediakan kerangka yang lebih umum untuk mempelajari pola-pola abstrak yang mencirikan kelas struktur aljabar yang berbeda.

Metode aljabar pertama kali dikaji pada zaman kuno untuk menyelesaikan permasalahan spesifik dalam cabang matematika lain seperti geometri. Beberapa matematikawan kemudian menguji teknik-teknik umum untuk memecahkan permasalahan sendiri dari penerapan spesifiknya. Pada kala itu, matematikawan menjelaskan persamaan dan solusi menggunakan kata dan singkatan hingga adanya simbol-simbol formal yang dikembangkan pada abad ke-16 dan ke-17. Pada abad pertengahan ke-19, jangkauan konsep aljabar meluas yang melalui teori persamaan, yang meliputi jenis-jenis operasi dan struktur aljabar yang beragam. Selain geometri, aljabar berkaitan dengan banyak cabang matematika seperti topologi, teori bilangan, dan kalkulus, and serta cabang-cabang lain seperti logika dan ilmu empiris.

## Definisi dan etimologi
Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur-struktur aljabar beserta operasi-operasi yang digunakan. Struktur aljabar disini berarti suatu himpunan tak kosong yang terdiri atas objek matematika seperti bilangan bulat, bersamaan dengan operasi aljabar yang didefinisikan pada himpunan tersebut seperti operasi penambahan dan perkalian. Aljabar mempelajari mengenai hukum, karakteristik umum, dan jenis-jenis struktur aljabar. Dalam strukrur aljabar tertentu, aljabar menguji kegunaan variabel dalam persamaan serta cara memanipulasi persamaan-persamaan tersebut.

Aljabar sering kali dipahami sebagai bentuk umum dari cabang aritmetika, cabang yang mempelajari operasi-operasi penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, dalam domain bilangan real khusus seperti bilangan real. Aljabar elementer mencakup tingkat abstraksi paling awal. Sama seperti aritmetika, aljabar elementer membatasi abstraksinya ke dalam bentuk jenis-jenis bilangan spesifik dan operasi. Aljabar elementer mengeneralisasi operas-operasi tersebut dengan mengizinkan nilai kuantitas yang tak terdefinit dalam bentuk variabel selain bilangan. Tingkat abstraksi yang lebih tinggi dapat ditemukan di dalam cabang aljabar abstrak, yang tidak dibatasi ke domain khusus dan malahan menguji struktur aljabar seperti grup dan gelanggang. Konsep dalam aljabar abstrak memperluas ke luar operasi-operasi aritmetika yang biasanya dengan meliputi jenis operasi lainnya. Di atas cabang itu, terdapat aljabar universal yang merupakan tingkat abstraksi yang lebih tinggi, sebab konsepnya tidak mempelajari struktur aljabar spesifik, melainkan mempelajari karateristik dari struktur aljabar yang umum.

Istilah "aljabar" terkadang digunakan dalam pengertian yang lebih sempit, yang hanya mengacu pada aljabar elementer atau hanya aljabar abstrak. Ketika istilah itu digunakan sebagai kata benda yang dapat dihitung (**'), aljabar disini diartikan sebagai [[Aljabar atas lapangan|suatu jenis strukru aljabar spesifik]] yang melibatkan [[ruang vektor]] dilengkapi dengan [[Pemetaan bilinear|jenis operasi biner tertentu]]. Selain itu, istilah "aljabar" dapat mengacu pada struktur aljabar lainnya tergantung konteks, seperti [[aljabar Lie]] atau [[aljabar asosiatif]].

Kata ''aljabar'' berasal dari istilah [[bahasa Arab]]  (), yang berarti [[Bonesetting|perlakuan operasi pada terapi tulang]]. Pada abad ke-9, istilah tersebut diambil sebagai pengertian matematis ketika matematikawan Persia [[Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi]] menggunakannya untuk menjelaskan suatu metode menyelesaikan persamaan dan juga sebagai judul di dalam risalahnya mengenai aljabar yang berjudul , yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin sebagai **'. Kata tersebut kemudian masuk ke dalam bahasa Inggris pada abad ke-16 dari bahasa Italia, Spanyol, dan Latin di abad pertengahan. Pengertian kata aljabar pada awalnya dibatasi hingga ke teori persamaan, dalam artian suatu seni dalam memanipulasi persamaan polinomial dalam rangka untuk memecahkannya. Pengertian kata aljabar kemudian berubah pada abad ke-19 ketika cakupan konsep aljabar meluas yang meliputi kajian berbaga jenis operasi aljabar dan struktur aljabar bersamaan dengan aksioma.

## Aljabar elementer

Aljabar elementer adalah bentuk aljabar tertua sekaligus paling mendasar. Aljabar elementer adalah bentuk umum dari aritmetika yang mengandalkan variabel dan mengkaji cara pernyataan matematis dapat diubah. Aritmetika disini adalah kajian operasi perhitungan dan mengkaji bagaimana suatu bilangan digabungkan dan diubah menjadi operasi aritmetika seperti penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, eksponensiasi, pengakaran, dan logaritma. Sebagai contoh, operasi penambahan menggabungkan dua bilangan (yang disebut penambah) menjadi bilangan ketiga (yang disebut jumlah), seperti 

Aljabar elementer mengandalkan operasi yang sama, meskipun variabel juga dihadirkan selain bilangan biasa. Variabel melambangkan kuantitas yang tidak diketahui, yang dapat digunakan sebagai lambang untuk menyatakan kepada seseorang tidak mengetahui nilai pasti serta mengekpresikan hukum umum yang pernyataannya benar, apapun bilangan yang digunakan. Sebagai contoh, persamaan 2 \times 3 = 3 \times 2 milik cabang aritmetika karena mengekpresikan sebuah kesamaan hanya untuk bilangan-bilangan spesifik. Bilangan pada persamaan tersebut dapat diganti dengan variabel, yang memungkinkan untuk mengekpresikan hukum umum yang menerapkan ke sebarang kombinasi bilangan, seperti sifat perkalian komutatif, yang dinyatakan dalam persamaan 

Ekspresi aljabar dibentuk dengan menggunakan operasi aritmetika untuk menggabungkan variabel dan bilangan. Berdasarkan konvensi x, y, dan z melambangkan variabel. Pada beberapa kasus, subskripsi juga ditambahkan untuk membedakan variabel seperti x_1, x_2, dan Huruf kecil seperti a, b, dan c biasanya digunakan sebagai konstanta dan koefisien. Ekspresi 5x + 3 adalah contoh ekspresi aljabar yang diciptakan dengan mengalikan bilangan 5 dengan variabel x, yang kemudian ditambahkan 3 sebagai hasil akhirnya. Contoh ekspresi aljabar lainnya adalah 32xyz dan 

Beberapa ekspresi aljabar mengambil bentuk pernyataan yang mengaitkan dua ekspresi ke suatu ekspresi yang lain. Persamaan adalah suatu pernyataan yang dibentuk dengan membandingkan dua ekspresi, katakanlah ekspresi itu sama. Kesamaan kedua ekspresi itu menggunakan lambang sama dengan (=), seperti  Pertidaksamaan melibatkan jenis perbandingan, katakanlah dua ruas sisi berbeda. Ketidaksamaan tersebut menggunakan lambang kurang dari (), lebih dari (>), dan lambang tidak sama dengan (\neq). Tidak seperti ekspresi lainnya, pernyataan dapat benar atau salah, dan nilai kebenarannya biasanya bergantung pada nilai variabel. Sebagai contoh, pernyataan x^2 = 4 benar jika x bernilai 2 atau −2, tetapi pernyataan sebaliknya salah. Persamaan dengan variabel dapat dibagi menjadi persamaan identitas dan persamaan bersyarat. Persamaan identitas adalah benar untuk semua nilai yang dapat ditetapkan dengan variabel, seperti persamaan  Sementara itu, persamaan bersyarat adalah benar untuk suatu nilai; sebagai contoh, persamaan x + 4 = 9 adalah benar apabila x bernilai 5.

Tujuan utama aljabar elementer adalah menentukan nilai bila suatu pernyataan itu benar. Ini didapatkan dengan mengubah dan memanipulasi pernyataan menurut hukum-hukum tertentu. Prinsip utama yang menuntun proses tersebut adalah operasis apapun yang diterapkan ke sebelah ruas suatu persamaan harus diterapkan juga ke ruas lainnya. Sebagai contoh, jika seseorang mengurangi 5 dari ruas kiri suatu persamaan, maka seseorang juga mengurangi 5 dari ruas kanan supaya kedua ruas menjadi seimbang nilainya. Tujuan dari langkah-langkah ini biasanya mengisolasikan suatu variabel pada sebelah ruas persamaan. Sebagai contoh, persamaan x - 7 = 4 dapat diselesaikan untuk x dengan menambahkan 7 pada kedua ruas, sehingga mengisolasikan x pada ruas kiri dan hasilnya menjadi 

Ada banyak teknik lain yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan. Penyederhanaan (*simplification*) digunakan untuk menggantikan ekspresi yang sulit bentuknya menjadi ekspresi yang lebih mudah. Sebagai contoh, ekspresi 7x - 3x dapat diganti dengan 4x karena 7x - 3x = (7-3)x = 4x menurut sifat distributif. Untuk pernyataan dengan beberapa variabel, substitusi adalah teknik umum untuk menggantikan suatu variabel dengan suatu ekspresi ekuivalen yang tidak menggunakan variabel tersebut. Sebagai contoh, jika y = 3x maka ekspresi 7xy dapat disubstitusikan sehingga hasilnya menjadi  Dengan cara yang sama, jika seseorang tahu nilai suatu variabel, maka seseorang dapat menggunakan variabel itu untuk menentukan nilai dari variabel yang lain.

Persamaan aljabar dapat dipandang secara geometris untuk membentuk gambaran spasial dalam bentuk grafik. Caranya adalah variabel yang berbeda di dalam persamaan dapat dipandang sebagai koordinat dan nilai yang menyelesaikan persamaan dipandang sebagai titik suatu grafik. Sebagai contoh, jika x ditetapkan bernilai nol dalam persamaan y=0.5x - 1, maka y pasti bernilai −1 supaya persamaan itu menjadi benar. Ini berarti bahwa pasangan (x, y) bernilai (0, -1) menjadi bagian dari grafik persamaan. Sebaliknya, pasangan (x, y) bernilai  tidak menyelesaikan persamaan dan bukan bagian dari grafik. Grafik meliputi totalitas dari pasangan (x, y) yang menyelesaikan suatu persamaan.

### Polinomial

Polinomial adalah suatu ekspresi yang terdiri dari satu suku atau lebih yang ditambahkan atau dikurangi dari suku yang lain, contohnya seperti  Tiap-tiap suku dapat berupa konstanta, variabel, atau hasil kali dari konstanta dan variabel. Tiap-tiap variabel dapat dinaikkan ke dalam perpangkatan bilangan bulat positif. Monomial adalah polinomial dengan satu suku, sedangkan polinomial dengan dua dan tiga suku disebut binomial dan trinomial. Derajat polinomial adalah nilai maksimum (di antara sukunya) dari penjumlahan perpangakatan variabel (contoh yang di atas adalah polinomial berderajat 4). Polinomial berderajat satu (atau dengan polinomial dengan derajat satu) disebut *polinomial linear*. Aljabar linear mengkaji sistem polinomial linear. Suatu polinomial dikatakan *univariat* atau *multivariat*, tergantung apakah polinomial itu menggunakan satu variabel atau lebih.

Faktorisasi adalah metode menyederhanakan polinomial, sehingga terlihat mudah untuk menganalisisnya dan menentukan nilai dengan cara mengevaluasi polinomial bernilai nol. Faktorisasi berarti menulis ulang suatu polinomial sebagai hasi kali dari beberapa faktor. Sebagai contoh, polinomial x^2 - 3x - 10 dapat difaktorkan sebagai  Polinomial secara keseluruhan berniai nol jika dan hanya jika salah satu dari faktornya bernilai nol, yaitu x bernilai −2 atau 5. Sebelum abad ke-19, studi aljabar lebih berfokus pada persamaan polinomial, yaitu persamaan yang diperoleh dengan menyamakan suatu polinomial menjadi nol. Cobaan pertama menyelesaikan persamaasn polinomial adalah dengan mengekpresikan solusi dalam bentuk akar. Solusi persamaan dengan derajat dua dalam bentuk ax^2 + bx + c = 0 dinyatakan dalam bentuk rumus kuadratx = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.Solusi untuk polinomial dengan derajat 3 dan 4 dinyatakan dalam bentuk rumus kubik dan rumus kuartik. Akan tetapi, tidak ada solusi umum yang derajatnya yang lebih tinggi, sebagaimana dibuktikan menurut teorema Abel–Ruffini pada abad ke-19. Bahkan ketika solusi umum tidak ada, solusi pendekatan dapat ditemukan dengan menggunakan alat-alat numerik seperti metode Newton–Raphson.

Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa setiap persamaan polinomial univariat berderajat positif dengan koefisien real ataupun kompleks stidaknya memiliki satu buah solusi kompleks. Akibatnya, setiap polinomial berderajat positif dapat difaktorkan menjadi polinomial linear. Teorema ini dibuktikan pada awal abad ke-19, tetapi hal itu tidak menutupi permasalahan karena teorema tersebut tidak menyediakan cara menghitung solusi.

## Aljabar linear

Aljabar linear mempelajari kajian sistem persamaan linear. Suatu persamaan adalah linear jika persamaan itu dapat dituliskan sebagai a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = b, dengan a_1, a_2, ..., a_n adalah b adalah konstanta. Contohnya seperti x_1 - 7x_2 + 3x_3 = 0 dan \frac14x - y = 4. Suatu *sistem persamaan linear* berarti kumpulan persamaan linear yang memiliki solusi yang sama.

Matriks adalah susunan nilai dalam bentuk persegi panjang. Matriks pada awalnya diperkenalkan dengan tujuan sebagai notasi yang kompak dan sintetik untuk sistem persamaan linear. Sebagai contoh, sistem persamaan \begin{align}
 9x_1 + 3x_2 - 13x_3 &= 0 \\
 2.3x_1 + 7x_3 &= 9 \\
 -5x_1 - 17x_2 &= -3
\end{align}
dapat ditulis sebagaiAX=B,dengan A,X dan B adalah matriks yang dinyatakan sebagaiA=\begin{bmatrix}9 & 3 & -13 \\ 2.3 & 0 & 7 \\ -5 & -17 & 0 \end{bmatrix}, \quad X= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix}0 \\ 9 \\ -3 \end{bmatrix}.Matriks dapat ditambahkan, dikalikan, dan terkadang diinvers di bawah kondisi jumlah baris dan kolom. Semua metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dapat dinyatakan sebagai manipulasi matriks melalui operasi-operasi tersebut. Sebagai contoh, ketika menghitung matriks invers A^{-1}, maka terdapat sifat bahwa A^{-1}A = I, disini I adalah matriks identitas. Ketika mengalikan kedua ruas pada persamaan di atas di sebelah kiri anggota oleh A^{-1}, maka sifat invers itu berlaku dan sistem persamaan linear menjadiX=A^{-1}B.

Metode menyelesaikan sistem persamaan linear yang berkisar dari teknik pengenalan seperti substitusi dan eliminasi, hingga teknik yang lebih sulit menggunakan matriks seperti aturan Cramer, eliminasi Gauss, dekomposisi LU. Suatu sistem persamaan adalah inkonsisten, yang berarti tidak adalah solusi karena persamaan saling kontradiksi dengan yang lain. Sistem persamaan linear adalah konsisten jika mereka memiliki satu solusi tunggal atau tak berhingga banyaknya solusi.

Kajian ruang vektor dan pemetaan linear merupakan konsep bagian aljabar linear yang penting. Ruang vektor adalah struktur aljabar yang dibentuk oleh himpunan dengan operasi penambahan yang membentuk grup abelian dan perkalian skalar yang kompatibel dengan operasi penambahan. Pemetaan linear adalah suatu fungsi di antara ruang vektor yang kompatibel dengan operasi penambahan dan perkalian skalar. Pada kasus ruang vektor berdimensi hingga, vektor-vektor dan pemetaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk matriks. Dengan demikian, teori-teori mengenai matriks dan ruang vektor berdimensi hingga pada awalnya sama. Penjelasan spesifiknya, ruang vektor menyediakan cara ketiga untuk mengekpresikan serta memanipulasi sistem persamaan linear. Dari sudut pandang tersebut, matriks dapat diartikan sebagai representasi pemetaan linear. Artinya, jika seseorang memilih suatu basis tertentu untuk menjelaskan vektor-vektor yang sedang ditransformasikan, maka entri-entri di dalam matriks memberikan hasil menerapkan pemetaan linear ke vektor basis.

Sistem persamaan linear dapat digambarkan secara geometris. Untuk sistem persamaan dengan dua variabel, tiap-tiap persamaan mewakili suatu garis di dalam ruang berdimensi dua. Titik yang merupakan perpotongan dua garis adalah solusi dari seluruh sistem persamaan, sebab titik tersebut adalah satu-satunya solusi untuk baik persamaan pertama maupun persamaan kedua. Akan tetapi untuk sistem persamaan yang tak konsisten, dua garis malah saling sejajar, yang artinya tidak ada solusi sama sekali karena kedua garis itu tidak pernah berpotongan. Andaikata kedua persamaan itu tidak bebas maka mereka menggambarkan garis yang sama, yang artinya setiap solusi dari satu persamaan juga merupakan solusi dari persamaan yang lain. Kaitan tersebut memberikan kemungkinan mencari solusi secara grafis dengan menggambarkan persamaan-persamaan dan menentukan titik mana yang mereka saling berpotongan. Prinsip yang sama juga berlaku untuk sistem persamaan yang terdiri dari banyak variabel, tetapi yang membedakannya mereka tidak menggambarkan garis, melainkan bangunan yang berdimensi lebih tinggi. Sebagai contoh, sistem persamaan yang memiliki tiga variabel digambarkan sebagai bidang di dalam ruang berdimensi tiga, dan titik yang merupakan perpotongan dari semua bidang merupakan solusi dari sistem persamaan tersebut.

## Aljabar abstrak

Aljabar abstrak adalah kajian struktur aljabar. Struktur aljabar dapat diartikan sebagai kerangka awal mula pemahaman operasi pada objek matematika, seperti penambahan dari bilangan-bilangan. Kalau aljabar elementer dan aljabar membatasi struktur aljabar khusus, kajian aljabar abstrak lebih berfokus pada pendekatan lebih umum yang membandingkan bagaimana struktur aljabar berbeda dengan yang lain serta struktur aljabar itu merupakan jenis apa: grup, gelanggang, dan lapangan. Poin penting dari perbedaan jenis struktur aljabar terletak pada jumlah operasi yang digunakan dan hukum yang dipenuhi. Dalam pendidikan matematika, aljabar abstrak mengacu pada kursus sarjana yang sebagian mahasiswa ambil setelah menyelesaikan kursus aljabar linear.

Dalam tingkat yang formal, struktur aljabar adalah suatu himpunan dari objek matematika, yang disebut himpunan pendasar (*underlying set*), bersamaan dengan satu atau beberapa operasi. Aljabar abstrak lebih berfokus pada operasi biner, yang megambil sebarang dua objek dari himpunan pendasar sebagai input dan kemudian memetakannya ke objek lain ke himpunan itu sebagai output. Sebagai contoh, struktur aljabar \langle \N, + \rangle memiliki bilangan asli (\N) sebagai himpunan pendasarnya serta penambahan (+) sebagai operasi binernya. Himpunan pendasar dapat mengandung objek matematika selain bilangan, dan operasi tidak dibatasi ke operasi aritmetika pada biasanya. Sebagai contoh, himpunan pendasar grup simetri dari suatu ojek geometris dibentuk dari transformasi geometris seperti rotasi, yang berarti setiap objek yang ditransformasi tetap tidak berubah. Operasi binernya adalah komposisi fungsi, yang mengambil dua transformasi sebagai input dan memiliki hasil transformasi yang didapatkan dengan menerapkan transformasi pertama yang kemudian menerapkan transformasi kedua sebagai output-nya.

### Teori grup

Aljabr abstrak mengklasifikasi struktur aljabar berdasarkan hukum atau aksioma yang dipatuhi operasi-operasinya beserta jumlah operasi yang digunakan. Jenis struktur aljabar yang paling mendasar adalah grup, yang memiliki satu operasi serta syarat bahwa operasi itu asosiatif, memiliki anggota identitas dan anggota invers. Suatu operasi adalah asosiatif jika urutan dari beberapa operasi tidak diperhatikan, dalam artian  sama saja dengan a \circ (b \circ c) untuk semua anggota. Suatu operasi memiliki anggota identitas jika terdapat suatu anggota e yang tidak berubah nilainya dari anggota yang lain, dalam artian jika  Suatu operasi memiliki anggota invers jika untuk sebarang anggota a maka terdapat anggota timbal balik (*reciprocal element*) a^{-1} yang membatalkan a. Jika suatu anggota mengoperasi pada inversnya maka hasilnya menjadi anggota identitas e, yang diekpresikan secara formal sebagai  Setiap struktur aljabar yang memenuhi semua syarat tersebut dapat dikatakan sebagai grup. Sebagai contoh, \langle \Z, + \rangle adalah grup yang dibentuk oleh himpunan dari bilangan bulat terhadap operasi penambahan. Anggota identitasnya adalah 0 dan anggota inversnya dari sebarang bilangan a adalah  Sementara itu, himpunan bilangan asli terhadap operasi penambahan tidak merupakan grup karena hanya mempunyai bilangan bulat positif, sehingga tidak ada anggota invers.

Teori grup mempelajari kealamian grup, yang memiliki teorema dasar seperti teorema dasar grup abelian hingga dan teorema Feit–Thompson. Teirema terakhir adalah langkah awal penting dalam salah satu pencapaian matematika terpenting pada abad ke-20. Pencapaian tersebut mebawa upaya kolaboratif, yang menerbitkan 10.000 jurnal kebanyakan di antara tahun 1960 dan 2004. Akibatnya, karya-karya tersebut melengkapi klasifikasi grup sederhana hingga.

### Teori gelanggang dan teori lapangan

Gelanggang adalah struktur aljabar dengan dua operasi yang kerjanya sama seperti operasi penambahan dan perkalian dari bilangan, serta dinamai dan dilambangkan dengan cara yang serupa pada umumnya. Gelanggang adalah grup komutatif terhadap operasi penambahan. Artinya penambahan dari gelanggang bersifat asosiatif, komutatif, serta memiliki anggota identitas dan invers. Perkaliannya bersifat asosiatif dan distributif terhadap operasi penambahan, dalam artian a (b + c) = a b + a c and (b + c) a = b a + c a. Lebih lanjut, perkalian bersifat asosiatif dan memiliki anggota identitas yang umumnya dilambangkan . Perkalian tidak harus komutatif, karena kalau komutatif, maka gelanggang itu juga komutatif. Gelanggang bilangan bulat (\Z) adalah gelanggang komutatif paling sederhana.

Lapangan adalah gelanggang komutatif sehingga  dan masing-masing anggota tak nol memiliki invers perkalian. Gelanggang bilangan bulat tidak membentuk suatu lapangan karena kekurangan invers perkalian. Sebagai contoh, invers perkalian dari 7 adalah  yang bukan merupakan bilangan bulat. Bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks masing-masing membentuk lapangan dengan operasi penambahan dan perkalian.

Teori gelanggang mengkaji gelanggang, dan menjelajahi konsep seperti subgelanggang, gelanggang kuosien, gelanggang polinomial, dan ideal, serta juga teorema seperti teorema basis Hilbert. Teori lapangan bersangkutan dengan lapangan, mempelajari ekstensi lapangan, klosur aljabar, dan lapangan hingga. Teori Galois mempelajari kaitan antara teori lapangan dan teori grup, yang mengandalkan teorema dasarnya.

### Teori interrelasi di antara struktur-struktur

Selain grup, gelanggang, dan lapangan, terdapat banyak struktur aljabar lainnya yang dikaji dalam aljabar. Struktur aljabar tersebut meliputi magma, semigrup, monoid, grup abelian, gelanggang komutatif, modul, lattice, ruang vektor, aljabar atas lapangan, serta aljabar asosiatif dan non-asosiatif. Struktur aljabar tersebut berbeda satu sama lain dalam hal jenis objek yang dijelaskan dan syarat-syarat yang harus dipenuhi operasinya. Banyak struktur yang berkaitan dengan satu sama lain dalam hal tersebut dengan menambahkan beberapa syarat, sebuah struktur dasar yang dapat diubah menjadi struktur lebih lanjut. Sebagai contoh, suatu magma menjadi suatu semigrup jika operasinya bersifat asosiatif.

Homomorfisma adalah alat menguji tampilan struktur dengan membandingkan dua struktur aljabar. Suatu homomorfisma adalah suatu fungsi yang dipetakan dari himpunan pendasar suatu struktur aljabar ke himpunan pendasar suatu struktur aljabar lainnya sehingga mempertahankan karakteristik struktural tertentu. Secara formal, jika dua buah struktur aljabar menggunakan operasi biner, yang ditulis dalam bentuk \langle A, \circ \rangle dan \langle B, \star \rangle, maka fungsi h: A \to B adalah homomorfisma apabila memenuhi syarat bahwa  Keberadaan homomorfisma memperlihatkan bahwa operasi \star pada struktur aljabar yang kedua memainkan peran yang sama seperti operasi \circ pada struktur aljabar yang pertama. Isomorfisma adalah jenis homomorfisma khusus yang mengindikasikan tingkat kesamaan yang lebih tinggi di antara dua struktur aljabar. Suatu isomorfisma adalah homomorfisma bijektif, yang berarti homomorfisma yang membangun kaitan korespondensi satu-satu di antara anggota dari dua buah struktur aljabar. Hal ini menyiratkan bahwa setiap anggota dari struktur aljabar pertama dipetakan ke anggota tunggal di dalam struktru aljabar kedua tanpa adanya sebarang anggota yang tidak dipetakan di dalam struktur aljabar kedua.

Alat perbandingan lainnya adalah kaitan antara struktur aljabar dan subaljabarnya. Struktur aljabar dan subaljabarnya menggunakan operasi yang sama, yang mengikuti aksioma yang sama. Perbedaannya adalah himpunan pendasar subaljabar adalah subhimpunan dari struktur aljabar. Semua operasi di dalam subaljabar memiliki syarat bahwa mereka bersifat tertutup di dalam himpunan pendasarnya, yang berarti mereka hanya menghasilkan anggota yang juga merupakan himpunan pendasar itu. Sebagai contoh, himpunan dari bilangan bulat genap bersama dengan operasi penambahan merupakan subaljabar dari himpunan bilangan bulat yang penuh bersama dengan operasi penambahan. Ini dikarenakan penjumlahan dari dua bilangan genap hasilnya tetap bilangan genap. Beda halnya dengan himpunan bilangan bulat ganjil bersama dengan operasi penambahan, yang bukan merupakan subaljabar, karena tidak ada sifat ketertutupan. Artinya, dua bilangan ganjil yang dijumlahkan menghasilkan bilangan genap, tetapi bilangan itu tidak ada pada subhimpunan tersebut.

Aljabar universal mengkaji struktur aljabar yang umum, dalam artian tidak melibatkan anggota spesifik yang membangun himpunan pendasar dan meganggap operasi dengan lebih dari dua input, seperti operasi ternary. Aljabar universal menyediakan suatu kerangka supaya mempelajari struktur apakah yang menampilkan kesamaan struktur aljabar yang berbeda. Salah satu tampilan struktur-struktur trsebut tersebut melibatkan identitas the identitas yang benar di dalam struktur aljabar yang berbeda. Identitas yang dimaksud disini adalah persamaan universal equation atau persamaan yang benar untuk semua anggota dari himpunan pendasar. Sebagai contoh, komutativitas merupakan persamaan universal yang menyatakan bahwa a \circ b identik dengan b \circ a untuk semua anggota. Varietas adalah kelas dari semua struktur aljabar yang memenuhi identitas-identitas tertentu. Sebagai contoh, jika dua struktur aljabar memenuhi sifat komutativitas, maka mereka bagian dari varietas yang sama.

Teori kategori menguji cara objek matematika berkaitan satu dengan yang lain menggunakan konsep kategori. Kategori disini berarti suatu koleksi objek bersamaan dengan koleksi morfisma atau "panah" di antara objek-objek tersebut. Kedua koleksi tersebut harus memenuhi syarat-syarat tertentu. Sebagai contoh, morfisma dapat digabung, atau *dikomposisi*. Maksudnya adalah jika terdapat suatu morfisma dari objek a ke objek b, dan terdapat suatu morfisma yang lain dari objek b ke objek c, maka pastinya ada satu morfisma juga dari objek a ke objek c. Komposisi dari morfisma tersebut dharus asosiatif, dan pasti ada "mordisma identitas" untuk tiap objek. Kategori sering kali digunakan dalam matematika kontemporer karena menyediakan suatu kerangka satuan yang dapat menjelaskan dan menganalisis banyak konsep matematika dasar. Sebagai contoh, himpunan dapat dijelaskan dengan kategori himpunan, dan sebarang grup dapat dipandang sebagai morfisma dari suatu kategori yang hanya satu objek.

## Sejarah

Awal mula aljabar berasal dari konsepnya yang bertujuan memecahkan permasalahan matematika yang melibatkan perhitungan aritmetika dan kuantitas yang tidak diketahui. Pengembangan tersebut terjadi di Babilonia, Mesir, Yunani, Tiongkok, dan India. Salah satu catatan tertua mengenai permasalahan aljabar dapat ditemukan dari Mesir Kuno, Papirus Matematika Rhind, yang ditulis sekitar 1650&nbsp;SM. Papirus ini mendiskusikan solusi persamaan linear, yang diekspresikan ke dalam bentuk permasalahan seperti "Sebuah kuantitas; kuantitas keempatnya ditambahkn ke dia. Hasilnya lima belas. Apa itu kuantitas?" Lauh tanah liat orang Babilonia yang berasal dari waktu yang sama menjelaskan metode menyelesaikan persamaan linear dan persamaan polinomial kuadratik, seperti metode menyelesaikan bentuk kuadrat.

Banyak wawasan tersebut dapat ditemukan dari Yunani Kuno. Dimulai pada abad ke-6 SM, ketertarikan mereka adalah geometri ketimbang aljabar, tetapi mereka menggunakan metode aljabar untuk memecahkan permasalahan geometri. Sebagai contoh, mereka mempelajari bangunan geometri selagi menganggap panjang dan luas bangunan tersebut sebagai kuantitas tidak diketahui yang akan dinyatakan kemudian, seperto yang disederhanakan dalam perumusan Pythagoras mengenai metode selisih dua bilangan kuadrat dan kemudian di dalam ''Elemen'' Euklides. Pada abad ke-3 SM, Diophantus menyediakan cara yang lebih detail mengenai menyelesaikan solusi persamaan aljabar dalam kumpulan bukunya yang berjudul *[[Arithmetica]]*. Diophantus adalah orang pertama yang bereksperimen dengan notasi simbol untuk mengekpresikan polinomial. Karya Diophantus berdampak pada pengembahgan aljabar di Arab, dengan banyak metode Diophantus mencerminkan konsep dan teknik yang digunakan dalamm aljabar Arab pada abad pertengahan. Di Tiongkok Kuno, *[[Jiuzhang Suanshu]]*, sebuah buku yang disusun di anatara abad ke-10 SM hingga abad ke-2 M, membahas berbagai teknik untuk memecahkan persamaan alajbar, di antaranya kegunaan konstruksi berupa matriks.

Tidak ada persetujuan mengenai apakah pengembangan-pengembangan tersebut merupakan bagian aljabar atau hanya pendahulu sebelum awal mulanya konsep aljabar. Pengembangan tersebut menawarkan solusi permasalahan aljabar, tetapi tidak menggambarkannya dalam bentuk pemahaman umum dan abstrak; alih-alih hanya bertujuan pada kasus-kasus spesifik serta penerapan. Hal tersebut berubah ketika matematikawan Persia al-Khwarizmi menerbitkan karyanya ''Al-jabr'' pada 825 SM, yang pertama kali menyajikan perlakuan detail mengenai metode umum yang dapat memanipulasi persamaan linear dan persamaan kuadrat dengan "mengurangi" dan "menyeimbangkan" kedua ruas persamaan. Beberapa kontribusi yang berdampak pada aljabar berasal dari matematikawan Arab Thābit ibn Qurra pada abad ke-9 dan matematikawan Persia Omar Khayyam pada abad ke-11 dan ke-12.

Di India, Brahmagupta mempelajari bagaimana cara memecahkan persamaan kuadrat beserta persamasan dengan beberap variabel pada abad ke-7 SM. Di antara penemuannya Brahmagupta adalah orang yang menggunakan angka nol dan bilangan negatif di dalam persamaan aljabar. Matematikawan India Mahāvīra pada abad ke-9 dan Bhāskara II pada abad ke-12 kemudian memperbaiki metode dan konsep Brahmagupta. Pada tahun 1247, the matematikawan Tiongkok Qin Jiushao menulis Shushu Jiuzhang, yang menyertakan sebuah algoritma untuk evaluasi polinomial secara numerik, di antaranya polinomial dengan derajat yang lebih tinggi.

Ide dan teknik al-Kwarizmi dibawa oleh matematikawan Italia Fibonacci ke Eropa dalam buku-bukunya, terutama *[[Liber Abaci]]*. Pada tahun 1545, polimatik Italia Gerolamo Cardano menerbitkan bukunya berjudul *[[Ars Magna (buku Cardano)|Ars Magna]]*, yang meliputi banyak topik dalam aljabar, membahas bilangan imajiner dan juga yang pertama kali menyajikan metode umum untuk memecahkan persamaan kubik dan persamaan kuartik. Pada abad ke-16 dan ke-17, matematikawan Prancis François Viète dan René Descartes memperkenalkan huruf dan simbol untuk melambangkan variabel dan operasi, yang memungkinkan untuk mengekpresikan persamaan secara abstrak dan singkat. Matematikawan pendahulu masih mengandalkan penjelasan secara verbal untuk permasalahan dan solusi. Beberapa sejarawan mengamati pengembangan ini sebagai kunci utama dalam sejarah aljabar, sekaligus menganggap sebelum adanya ide huruf dan simbol tersebut sebagai prasejarah aljabar karena kurangnya kealamian abstrak yang berdasarkan manipulasi simbolik.

Pada abad ke-17 dan ke-18, banyak matematikawan mencoba mencari penyelesaian umum untuk polinomial dengan derajat lima dan yang lebih tinggi, tetapi semuanya gagal. Pada akhir abad ke-18, matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss membuktikan teorema dasar aljabar, yang menjelaskan keberadaan akar polinomial dengan sebarang derajat tanpa menyediakan solusi umum. Pada awal abad ke-19, matematikawan Italia Paolo Ruffini dan matematikawan Norwegia Niels Henrik Abel dapat menunjukkan bahwa tidak ada solusi umum untuk polinomial dengan derajat lima atau yang lebih tinggi. Sebagai balasan sekaligus setelah penemuan dari kedua matematikawan itu, matematikawan Prancis Évariste Galois mengembangkan teori yang dikenal sebagai teori Galois, yang menawarkan analisis yang lebih dalam mengenai solusi polinomial selagi juga menyertakan dasar-dasar teori grup. Matematikawan kemudian menyadari keterkaitan teori grup dengan cabang lain dan menerapkannya ke dalam kedisiplinan cabang matematika seperti geometri dan teori bilangan.

Dimulai pada pertengahan abad ke-19, ketertarikan dalam aljabar berubah dari kajian polinomial yang dikaitkan dengan aljabar elementer yang mengacu pada pertanyaan lebhi umum menjadi struktur aljabar. Hal ini menandakan kehadiran aljabar abstrak. Pendekatan ini mengkaji basis aksiomatik mengenai operasi aljabar sebarang. Penemuan sistem aljabar baru berdasarkan operasi yang berbeda dan anggota menyertai pengembangan tersebut, seperti aljabar Boole, aljabar vektor, dan aljabar matriks. Pengembangan awal yang berdampak dalam aljabar abstrak dibuat oleh matematikawan Jerman David Hilbert, Ernst Steinitz, dan Emmy Noether serta juga matematikawan Austria Emil Artin. Mereka meneliti bentuk struktur aljabar yang berbeda dan mengaktegorikannya berdasarkan struktur aljabar di bawah aksioma menjadi grup, gelanggang, dan lapangan.

Gagasan pendekatan yang lebih umum, yang dikaitkan dengan aljabar universal dirancang oleh matematikawan Inggris Alfred North Whitehead dalam bukunya *A Treatise on Universal Algebra* pada tahun 1898. Dimulai pada tahun 1930-an, matematikawan Amerika Serikat Garrett Birkhoff memperluas gagasan tersebut dan mengembangkan banyak konsep dasar bidang tersebut. Penemuan aljabar universal mengarah pada kehadiran berbagai cabang baru yang berfokus pada aljabarisasi matematikamaksudnya penerapan metode aljabar ke cabang matematika lain. Aljabar topologis muncul pada awal abad ke-20 yang mempelajari struktur aljabar seperti grup topologis dan grup Lie. Pada tahun 1940-an dan 1950-an, aljabar homologi muncul, yang menggunakan teknik aljabar untuk mempelajari homologi. Di waktu yang sama, teori kategori dikembangkan dan memainkan peran penting dalam fondasi matematika. Beberapa pengembangannya adalah formulasi teori model dan kajian aljabar bebas.

## Penerapan

Aljabar memberikan banyak dampak di dalam matematika dan penerapannya di bidang lain. Aljabarisasi matematika (*algebraization of mathematics*) berarti proses menerapkan metode dan prinsip-prinsip aljabar ke cabang matematika yang lain, seperti geometri, topologi, teori bilangan, dan kalkulus. Penerapan tersebut menggunakan simbol berupa variabel untuk mengekpresikan penjelasan secara matematis pada tingkat yang lebih umum, yang memungkinkan matematikawan mengembangkan model secara formal yang menjelaskan bagaimana cara objek-objek berinteraksi dan berkaitan satu sama lain.

Salah satu penerapan aljabar ditemukan dalam geometri, yang menggunakan pernyataan aljabar untuk menjelaskan gambaran geometris. Sebagai contoh, persamaan y = 3x - 7 menggambarkan suatu garis di dalam ruang berdimensi dua, sedangkan persamaan x^2 + y^2 + z^2 = 1 menggambarkan bola dalam ruang berdimensi tiga. Beberapa cabang minat khusus geometri aljabar adalah varietas aljabar, yang merupakan solusi untuk sistem persamaan polinomial yang dapat digunakan untuk menjelaskan gambaran geometris yang lebih kompleks. Selain itu, penalaran aljabar dapat memecahkan permasalashan geometris. Sebagai contoh, seseorang dapat menentukan apakah dan di manakah garis yang dinyatakan sebagai y = x + 1 berpotongan dengan lingkaran yang dinyatakan sebagai x^2 + y^2 = 25 dengan memecahkan sistem persamaan dari kedua persamaan tersebut. Topologi mengkaji sifat-sifat bangunan geometris atau ruang topologis yang dipertahankan di bawah operasi deformasi kontinu. Topologi aljabar mengandalkan teori-teori aljabar seperti teori grup untuk mengklasifikasi ruang-ruang topologis. Sebagai contoh, grup homotopi mengklasifikasi ruang-ruang topologis berdasarkan keberadaan loop atau lubang di dalamnya.

Teori bilangan melibatkan sifat-sifat dan hubungan antara bilangan bulat. Teori bilangan aljabar menerapkan metode dan prinsip aljabar ke cabang teori bilangan. Contoh-contohnya berupa penggunaan ekspresi aljabar untuk menjelaskan hukum yang umum seperti Teorema Terakhir Fermat, dan pengunaan struktur aljabar untuk menganalisis perilaku bilangan seperti gelanggang bilangan bulat. Kaitan cabang lainnya adalah kombinatorika, yang menggunakan teknik aljabar untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan pencacahan, penyusunan, dan kombinasi dari objek-objek yang diskret. Contohnya seperti kombinatorika aljabar yang merupakan penerapan teori grup untuk menganalisis graf dan simetri. Pemahaman aljabar yang relevan dengan kalkulus, yang menggunakan ekrepsi matematika untuk menguji laju perubahan dan akumulasi. Kalkulus mengandalkan aljabar, contohnya seperti memahami bagaimana ekspresi-ekspresinya dapat diubah dan variabel mana yang akan dimainkan. Logika aljabar menggunakan metode aljabar untuk menjelaskan dan menganalisis struktur dan pola yang mendasari penalaran secara logika, menjelajahi struktur matematika yang berkaitan dan penerapannya terhadap permasalahan logika yang konkret. Logika lajabar juga mencakup kajian aljabar Boole untuk menjelaskan logika proporsisional serta formulasi dan analisis struktur aljabar yang korespodensi dengan sistem logika yang lebih kompleks.

Metode aljabar sering kali digunakan di dalam cabang lain, seperti ilmu alam. Sebagai contoh, metode aljabar digunakan untuk mengekspresikan hukum-hukum ilmiah dan menyelesaikan permasalahan di dalam fisika, kimia, dan biologi. Penerapan yang mirip juga ditemukan di dalam cabang ekonomi, geografi, rekayasa (yaitu elektronik dan robotik), serta ilmu komputer untuk mengekspresikan kaitan, menyelesaikan permasalahan, dan memodelkan sistem. Aljabar lienar memainkan peran penting di dalam kecerdasan buatan dan pembelajaran mesin, contohnya dengan memungkinkan proses dan analisis dataset yang cukup besar secara efisien. Berbagai cabang yang mengandalkan struktur aljabar juga dipelajari oleh aljabar abstrak. Sebagai contoh, kristalografi dan mekanika kuantum membuat pengunaan teori grup yang ekstensif, yang juga digunakan untuk mengkaji teka-teki seperti Sudoku dan kubus Rubik, serta origami. Teori pengodean dan kriptologi mengandalkan aljabar abstrak untuk memecahkan permasalahan yang berkaitan dengan transmisi data, seperti menghindari efek derau dan menjaga keamanan data.

## Pendidikan

Hampir semua aljabar berfokus pada aljabar elementer. Cabang ini biasanya tidak diperkenalkan hingga pendidikan menengah karena membutuhkan pemahaman akan dasar-dasar aritmetika selagi menyajikan tantangan kognitif baru yang dikaitkan dengan penalran dan perumuman. Cabang tersebut ditujukan untuk murid-murid yang mengenal matematika dalam bentuk formal dengan membantu mereka memahami simbol matematika, seperti bagaimana variabel dapat digunakan untuk melambangkan kuantitas yang tak diketahui. Tidak seperti perhitungan aritmetika, kesulitan lain bagi murid-murid memahami cabang tersebut karena ekspresi aljabar sering kali sulit untuk dikerjakan secara langsung. Malahan, murid-murid perlu mempelajari cara mengubah ekspresi aljabar tersebut menurut hukum-hukum yang ada, yang umumnya memiliki tujuan untuk mencari kuantitas yang tak diketahui.

Beberapa alat untuk memperkenalkan murid-murid di dalam pendidikan mengenai aljabar secara abstrak yang mengandalkan model konkret dan visualisasi persamaan di antaranya adalah analogi geometris, manipulasi yang menyertakan stik atau gelas, dan "mesin fungsi" yang merepresentasikan persamaan sebagai diagram alir. Salah satu metode yang digunakan adalah skala timbangan sebagai pendekatan ilustrasi untuk membantu murid-murid memahami masalah-masalah aljabar yang dasar. Massa objek pada timbangan yang tidak diketahui menggunakan variabel sebagai kuantitas yang tak diketahui. Menyelesaikan persamaan dapat dianggap seperti menambahkan atau menghilangkan objek pada kedua sisi timbangan sehingga menjadi seimbang hingga hanya ada satu objek yang tersisa pada satu sisi timbangan itu, yaitu objek yang tak diketahui massanya. Soal cerita adalah alat lain untuk memperlihatkan cara aljabar diterapkan di kehidupan nyata. Sebagai contoh, murid-murid dapat menyajikan suatu permasalahan berikut: diketahui adik Nanang memiliki dua kali lebih banyak apel yang dimiliki Nanang. Jika diketahui bahwa jumlah apel yang dimiliki Nanang beserta adiknya adalah dua belas, murid-murid kemudian ditanyakan untuk mencari suatu persamaan aljabar yang menggambarkan keadaan tersebut (2x + x = 12) dan kemudian menentukan berapa apel yang dimiliki Nanang 

Pada tahap universitas, mahasiswa menghadapi topik aljabar lebih lanjut, yang dimulai dari aljabar linear dan aljabar abstrak. Mahasiswa yang menjenjang di awal sarjana mempelajari aljabar linear yang berfokus pada matriks, ruang vektor, dan pemetaan linear. Setelah mempelajarinya, mahasiswa biasanya diperkenalkan dengan aljabar abstrak, yang mempelajari struktur aljabar seperti grup, gelanggang,dan lapangan, serta kaitan di antara struktur-struktur tersebut. Kurikulum yang digunakan biasanya meliputi contoh-contoh struktur aljabar yang spesifik, seperti siste bilangan rasional, bilangan real, dan polinomial.

## Referensi

### Catatan

### Catatan kaki

### Pustaka

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Pranala luar

* Khan Academy: Konseptual video dan contoh bekerja
* Khan Academy: asal-Usul Aljabar, online gratis micro kuliah 
* Algebrarules.com: open source sumber daya untuk belajar dasar-dasar Aljabar
* 4000 Tahun dari Aljabar , kuliah oleh Robin Wilson, di Gresham College, 17 oktober 2007 (tersedia untuk MP3 dan MP4 download, juga sebagai file teks).
* (Inggris) Entri Algebra di *[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]*