Ukuran pemusatan data

**Ukuran pemusatan data** adalah sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil. Salah satu kegunaan dari ukuran pemusatan data adalah untuk membandingkan dua (populasi) atau contoh, karena sangat sulit untuk membandingkan masing-masing anggota dari masing-masing anggota populasi atau masing-masing anggota data contoh. Nilai ukuran pemusatan ini dibuat sedemikian sehingga cukup mewakili seluruh nilai pada data yang bersangkutan.

Ukuran pemusatan yang paling banyak digunakan adalah median, mean, dan modus. Masing-masing dari ukuran pemusatan data tersebut memiliki kekurangan. Nilai tengah akan sangat dipengaruh nilai pencilan. Median terlalu bervariasi untuk dijadikan parameter populasi. Sedangkan modus hanya dapat diterapkan dalam data dengan ukuran yang besar.

## Jenis-jenis ukuran pemusatan data
### Data tunggal
* Mean
merupakan rata-rata hitung
: \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n}{n} = \sum\limits_{i=0}^{n}\frac{x_i}{n}

* Median
merupakan nilai tengah setelah diurutkan
: bila ganjil maka terambil di tengah setelah diurutkan. bila genap terambil dua di tengah dibagi rata-rata setelah diurutkan
: Me = x_{\frac{n + 1}{2}} bila n ganjil
: Me = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{(\frac{n}{2} + 1)}}{2} bila n genap

* Modus
merupakan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi
: terambil jumlahnya paling banyak setelah diurutkan

* Kuartil
merupakan membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak
:  Q_i = \frac {i (n + 1)}{4}

terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil bawah, tengah dan atas.

atau

* Desil
merupakan membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak
:  D_i = \frac {i (n + 1)}{10}

terdiri dari tiga jenis yaitu desil bawah, tengah dan atas. untuk menentukan rumusnya sama dengan tabel yang dibuat data kuartil.

* Persentil
merupakan membagi data menjadi seratus bagian yang sama banyak
:  P_i = \frac {i (n + 1)}{100}

terdiri dari tiga jenis yaitu presentil bawah, tengah dan atas. untuk menentukan rumusnya sama dengan tabel yang dibuat data kuartil.

### Data berkelompok
Dalam data berkelompok terdiri dari tabel, diagram garis, diagram batang serta diagram lingkaran.
* Mean
: \bar{x} = \frac{f_1 x_1 + f_2 x_2 + f_3 x_3 + \cdots + f_n x_n}{f_1 + f_2 + f_3 + \cdots + f_n} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i x_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}
: \bar{x} = \bar{x_s} + \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i d_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}
: \bar{x} = \bar{x_s} + (\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i u}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}) c

; keterangan
# f_i  = frekuensi untuk nilai i
# x_i = data ke-i (untuk data tunggal) atau titik tengah rentang tertentu ke-i (data kelompok)
# x_s= titik tengah rataan sementara
# d_i = panjang interval antar rentang tertentu pada x_i (jika x_s maka d adalah nol. Di atasnya bernilai min dan dibawahnya bernilai plus)
# u = bilangan bulat (jika x_s maka u adalah nol. diatasnya min serta dibawahnya plus)
# c = panjang interval kelas

* Median
: Me = L_2 + (\frac{\frac{n}{2} - (\sum{f})_2}{f_{Me}}) c

; keterangan
# L_2 = tepi bawah kelas median
# n = banyak data
# (\sum{f})_2 = jumlah frekuensi sebelum kelas median
# f_{Me} = frekuensi kelas median
# c = panjang interval kelas

* Modus
: Mo = L_o + (\frac{d_1}{d_1 + d_2}) c

keterangan
# L_o = tepi bawah kelas modus
# d_1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum modus
# d_2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah modus
# c = panjang interval kelas

* Kuartil
: Q_i = L_i + (\frac{\frac{i n}{4} - (\sum{f})_i}{f_{Q_i}})c

; keterangan
# i = 1, 2 atau 3
# L_i = tepi bawah kelas kuartil ke-i
# n = banyak data
# (\sum{f})_i = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i
# f_{Q_i} = frekuensi kelas kuartil ke-i
# c = panjang interval kelas

* Desil
: D_i = L_i + (\frac{\frac{i n}{10} - (\sum{f})_i}{f_{D_i}})c

; keterangan
# i = 1, 2, 3, ....., 9
# L_i = tepi bawah kelas desil ke-i
# n = banyak data
# (\sum{f})_i = jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i
# f_{Q_i} = frekuensi kelas desil ke-i
# c = panjang interval kelas

* Persentil
: P_i = L_i + (\frac{\frac{i n}{100} - (\sum{f})_i}{f_{P_i}})c

; keterangan
# i = 1, 2, 3, ....., 99
# L_i = tepi bawah kelas persentil ke-i
# n = banyak data
# (\sum{f})_i = jumlah frekuensi sebelum kelas persentil ke-i
# f_{Q_i} = frekuensi kelas persentil ke-i
# c = panjang interval kelas

## Jenis-jenis ukuran penyebaran data

* Lima serangkai

* Rataan dua
: R_2 = \frac{Q_1 + Q_3}{2}

* Rataan tiga
: R_3 = \frac{Q_1 + 2 Q_2 + Q_3}{2}

* Jangkauan atau Range
: J = x_{max} - x_{min} 

* Jangkauan kuartil atau Hamparan
: H = Q_3 -Q_1

* Jangkauan semi kuartil atau Simpangan kuartil
: Q_d = \frac{Q_3 -Q_1}{2}

* Simpangan rata-rata
; Data tunggal
: SR = \frac{\sum }{n}

; Data berkelompok
: SR = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i | x_i - \bar{x} |}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}

* Ragam atau Varian
; Data tunggal
: V = \frac{\sum {| x_i - \bar{x} |^2}}{n}

; Data berkelompok
: V = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i | x_i - \bar{x} |^2}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}

* Simpangan baku atau deviasi
: SB = \sqrt{V}

; Data tunggal
: S = \sqrt{\frac{\sum {| x_i - \bar{x} |^2}}{n}}

; Data berkelompok
: S = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i | x_i - \bar{x} |^2}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}}

## Lihat pula
* Ukuran penyebaran data
* Probabilitas
* Statistika matematika

## Rujukan