Barisan dan deret aritmetika

Dalam matematika, **barisan dan deret aritmetika** atau dikenal sebagai **barisan dan deret hitung** adalah barisan yang mempunyai pola tertentu, yakni selisih dua suku berturutan sama dan tetap. Dengan kata lain, setiap suku (kecuali suku pertama) pada barisan aritmetika diperoleh dari suku usebelumnya dengan menambah bilangan tetap. Misalnya,
:3, 5, 7, 9, 11, 13, \dots.

Barisan aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:
:a, a+b, a+2b, a+3b, \dots.

## Suku barisan aritmetika
Misal a_n adalah suku barisan ke-n, maka
:\ a_n = a + (n - 1)b.

Kita mulai mengurutkannya dari suku a_1 = a. Kita teruskan untuk suku ke-2, 3, hingga n.
:\begin{align}
a_2 &= a + b \\
a_3 &= a + 2b \\
&\vdots
\end{align} 
Dengan memperhatikan pola, kita memperoleh  a_n = a + (n-1)b \quad \blacksquare .

Lebih umumnya, suku barisan ke-n dapat ditulis

:a_n = a_m + (n - m)b
di mana m .

### Beda
Beda, dalam suku barisan aritmetika, merupakan selisih dua suku. Misal b adalah beda antar suku, maka secara matematis dapat ditulis

:b = a_{n}-a_{n-1}.

### Suku tengah
Suku tengah ialah suku yang berada di tengah-tengah barisan aritmetika jika banyaknya barisan suku berupa ganjil. Misal a_m dan a_n dengan m  mengapit sebanyak ganjil suku-suku lain pada suatu barisan aritmetika. Karena itu, n-m maupun n+m adalah bilangan genap. Suku yang terletak antara a_m dan a_n adalah

:a_{\frac{m+n}{2}} = a_m + \left(\frac{m+n}{2} - m \right)b

dengan

:b = \frac{a_n - a_m}{n - m}.

Kita dapat jabarkan lagi sehingga didapati

:a_\frac{m+n}{2} = a_m + \left(\frac{n-m}{2}\right) \left(\frac{a_n - a_m}{n - m}\right) = \frac{a_m + a_n}{2}.

## Deret aritmetika
Deret aritmetika ialah jumlah suku barisan aritmetika, dan dapat kita rumuskan sebagai
: S_n=\frac{n}{2}(a + a_n)=\frac{n}{2}[2a + (n-1)b].

Misal a_n adalah barisan suku aritmetika ke-n.

Dengan menggunakan sifat komutatif, akan memperoleh

Persamaan **(1)** ditambah **(2)** menjadi:

: 2S_n = 2a+(n-1)b + 2a+(n-1)b + \cdots + 2a+(n-1)b

Karena 2a+(n-1)b sama banyaknya menjadi jumlah n, maka
:\begin{align}
2 S_n &= n [2a+(n-1)b] \\
S_n &= \frac{n}{2} [2a+(n-1)b] \quad \blacksquare
\end{align}

Demikian, kita membuktikannya.

Mirip dengan beda suku aritmetika, selisih antara deret suku memberikan suku ke-n. 
:a_n = S_n - S_{n-1}.

Kita cukup menjabarkan S_n dan S_{n-1},

:\begin{align}
S_n &= a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n \\
S_{n-1} &= a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1}
\end{align}

lalu kurangi persamaan sehingga di dapati persamaan di atas.

:S_n - S_{n-1} = a_n. \blacksquare

## Barisan aritmetika bertingkat
Pada kasus ini, barisan aritmetika bertingkat ini merupakan barisan aritmetika tingkat yang menghasilkan barisan aritmetika tingkat sebelumnya. Sebagai contohnya, barisan aritmetika tingkat dua dapat didefinisikan barisan aritmetika tingkat kedua yang menghasilkan barisan aritmetika tingkat pertama. Untuk tingkatan n, diperoleh

:u_n = a_n + \frac{a_{n-1}(n-1)}{1!} + \frac{a_{n-2}(n-1)(n-2)}{2!} + \frac{a_{n-3}(n-1)(n-2)(n-3)}{3!} + \cdots + \frac{a_1(n-1)(n-2)(n-3)\cdots(2)(1)}{(n-1)!},

di mana u_n adalah tingkat ke-n pada barisan aritmetika, a_n, a_{n-1},\dots,a_1 adalah suku pertama dari masing-masing barisan pertama, kedua, dan seterusnya. Hasil rumus di atas dapat kita pakai untuk rumusan barisan aritmetika bertingkat dengan uraian berikut.

* Jika berupa barisan linear (yakni ketika n = 2), maka u_2 = a_2 + a_1(n-1);
* Jika berupa barisan berpangkat dua (yakni ketika n=3), maka u_3 = a_3 + a_2(n-1) + \frac{a_1(n-1)(n-2)}{2};

Hal tersebut berlanjut hingga seterusnya sehingga mendapat rumus umum di atas.

### Bentuk rekursif
Pada barisan aritmetika tingkat kedua, kita misalkan b_i, a_i adalah masing-masing suku pada barisan tingkat pertama dan kedua, dengan i = 1,\dots, n. Misalkan juga c adalah bilangan tetap dari barisan tingkat kedua. Secara rekursif, suku a_n dapat dirumuskan sebagai

:a_n = 3a_{n-1} - 3a_{n-2} + a_{n-3}.

Karena b_1, \dots, b_n adalah barisan tingkat kedua, maka b_n = a_{n+1} - a_n. Oleh karena itu, kita memperoleh\begin{matrix}
a_2 - a_1 = b_1 &\quad (1.1) &\quad b_2 - b_1 = k &\quad (2.1) \\
a_3 - a_2 = b_2 &\quad (1.2) &\quad b_3 - b_2 = k &\quad (2.2) \\
a_4 - a_3 = b_3 &\quad (1.3) &\quad b_4 - b_3 = k &\quad (2.3) \\
a_5 - a_4 = b_4 &\quad (1.4) &\quad b_5 - b_4 = k &\quad (2.4) \\
a_6 - a_5 = b_5 &\quad (1.5) &\quad b_6 - b_5 = k &\quad (2.5) \\
a_7 - a_6 = b_6 &\quad (1.6) &\quad b_7 - b_6 = k &\quad (2.6) \\
\vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad  \vdots \\
a_n - a_{n-1} = b_n &\quad (1.n) &\quad b_n - b_{n+1} = k &\quad (2.n)
\end{matrix}Kita akan mengurangi masing-masing persamaan di atas, dimulai dari (1.1) dengan (1.2), (1.2) dengan (1.3), dan seterusnya. Dari kumpulan persamaan-persamaan di atas dapat diperoleh
\begin{matrix}
a_3 - 2a_2 + a_1 &= &b_2 - b_1 &= &k & (3.1)\\
a_4 - 2a_3 + a_2 &= &b_3 - b_2 &= &k &(3.2)\\
a_5 - 2a_4 + a_3 &= &b_4 - b_3 &= &k &(3.3)\\
a_6 - 2a_5 + a_4 &= &b_5 - b_4 &= &k &(3.4)\\
\vdots &&\vdots &&\vdots &\vdots\\
\end{matrix}Pada persamaan (3.1) dengan (3.2), kita memperoleh

:a_3 - 2a_2 + a_1 = a_4 - 2a_3 + a_2 \iff a_4 = 3a_3 - 3a_2 + a_1

Hal yang serupa pada (3.2) dengan (3.3), (3.4) dengan (3.5), dst. Dengan mengikuti cara di atas, kita memperoleh

\begin{matrix}
a_4 - 2a_3 + a_2 = a_5 - 2a_4 + a_3 &\iff a_5 = 3a_4 - 3a_3 + a_2 \\
a_5 - 2a_4 + a_3 = a_6 - 2a_5 + a_4 &\iff a_6 = 3a_5 - 3a_4 + a_3 \\
a_6 - 2a_5 + a_4 = a_7 - 2a_6 + a_5 &\iff a_7 = 3a_6 - 3a_5 + a_4 \\
\vdots &\vdots
\end{matrix}

Persamaan yang sudah ditulis membentuk pola bahwa

:a_n = 3a_{n-1} - 3a_{n-2} + a_{n-3}. \blacksquare

Kita lakukan lagi pada barisan tingkat tiga. Misalkan c_i, b_i, a_i adalah masing-masing suku pada barisan tingkat pertama, kedua, dan ketiga, dengan i = 1,\dots, n. Misalkan k adalah bilangan tetap dari barisan tingkat ketiga. Suku a_n dapat dirumuskan secara rekursif, yakni

: a_n = 4a_{n-1} - 6a_{n-2} + 4a_{n-3} - a_{n-4}.

\begin{matrix}
a_2 - a_1 = b_1 &\quad (1.1) &\quad b_2 - b_1 = c_1 &\quad (2.1) & c_2 - c_1 = k &\quad (3.1) \\
a_3 - a_2 = b_2 &\quad (1.2) &\quad b_3 - b_2 = c_2 &\quad (2.2) & c_3 - c_2 = k &\quad (3.2) \\
a_4 - a_3 = b_3 &\quad (1.3) &\quad b_4 - b_3 = c_3 &\quad (2.3) & c_3 - c_2 = k &\quad (3.2) \\
a_5 - a_4 = b_4 &\quad (1.4) &\quad b_5 - b_4 = c_4 &\quad (2.4) & c_3 - c_2 = k &\quad (3.2) \\
a_6 - a_5 = b_5 &\quad (1.5) &\quad b_6 - b_5 = c_5 &\quad (2.5) & c_3 - c_2 = k &\quad (3.2) \\
a_7 - a_6 = b_6 &\quad (1.6) &\quad b_7 - b_6 = c_6 &\quad (2.6) & c_3 - c_2 = k &\quad (3.2) \\
\vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad &\vdots &\quad \vdots\\
a_n - a_{n-1} = b_n &\quad (1.n) &\quad b_n - b_{n+1} = c_n &\quad (2.n) &c_{n+1} - c_n = k &\quad (3.n)
\end{matrix}Dengan cara yang serupa (pada barisan tingkat dua), kita memperoleh

\begin{matrix}
b_3 - 2b_2 + b_1 = c_2 - c_1 = k & (4.1) \\
b_4 - 2b_3 + b_2 = c_3 - c_2 = k & (4.2) \\
b_5 - 2b_3 + b_3 = c_3 - c_2 = k & (4.3) \\
b_6 - 2b_5 + b_4 = c_4 - c_3 = k & (4.4) \\
\vdots & \vdots
\end{matrix}sehingga

\begin{matrix}
b_4 &= 3b_3 - 3b_2 + b_1 \\
b_5 &= 3b_4 - 3b_3 + b_2 \\
b_6 &= 3b_5 - 3b_4 + b_3 \\
 \vdots &\vdots
\end{matrix}dan didapati b_n = 3b_{n-1} - 3b_{n-2} + b_{n-3}. Karena a_n - a_{n-1} = b_{n-1}, maka didapati

:\begin{align}
a_n - a_{n-1} &= 3(a_{n-1} - a_{n-2}) - 3(a_{n-2} - a_{n-3}) + (a_{n-3} - a_{n-4}) \\
a_n &= 4a_{n-1} - 6a_{n-2} + 4a_{n-3} - a_{n-4} \quad \blacksquare
\end{align}

Demikian, kita telah membuktikannya.

Ini akan terus berlanjut untuk barisan tingkat keempat, kelima, dst.

## Lihat pula
* Barisan
* Deret (matematika)
* Barisan dan deret geometri

## Referensi

* 

## Bacaan lebih lanjut
*  
*  

## Pranala luar
* 
* 
*