Basis (aljabar linear)

Dalam matematika, sebarang himpunan vektor **' dalam suatu [[ruang vektor]]  disebut **basis**, jika setiap elemen di  dapat dituliskan sebagai [[kombinasi linear]] terhingga yang unik dari elemen-elemen di **'. Koefisien-koefisien pada kombinasi linear tersebut disebut sebagai *koordinat* dari vektor terhadap **'. Elemen-elemen dari basis disebut sebagai ''vektor basis''. Basis juga dapat didefinisikan sebagai himpunan **' yang elemen-elemennya saling bebas linear dan setiap elemen di  adalah kombinasi linear dari elemen-elemen di **'. Dengan kata lain, basis adalah [[Rentang linear|himpunan merentang]] (''spanning'') yang bebas linear.

Suatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis; namun semua basis tersebut akan memiliki jumlah elemen yang sama, yang disebut sebagai [[Dimensi (ruang vektor)|''dimensi'' dari ruang vektor]]. Artikel ini secara umum membahas ruang-ruang vektor berdimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan juga berlaku untuk ruang vektor dimensi tak-hingga.

== Definisi ==
Basis untuk ruang vektor <math>V</math> (atas [[Medan (matematika)|medan]] <math>F</math>) adalah suatu himpunan bagian <math>B\subset V</math> yang memenuhi:

# Setiap <math>\mathbf{v}\in V</math> dapat dituliskan sebagai <math>\mathbf{v}=\sum _{i=1}^ka_i\mathbf{b}_i</math> dengan <math>k\in\mathbb{N}, a_1,\ldots,a_k\in F, \mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_k\in B</math>.
# Jika <math>\mathbf{v}=\sum _{i=1}^{\tilde{k}}\tilde{a}_i\tilde{\mathbf{b}}_i</math> representasi lain, maka <math>k=\tilde{k}</math> dan ada suatu permutasi <math>\iota:\{1,\ldots,k\}\to\{1,\ldots,k\}</math> yang <math>a_i=\tilde{a}_{\iota (i)}</math> dan <math>\mathbf{b}_i=\tilde{\mathbf{b}}_{\iota (i)}</math>.

Sebarang basis <math>B</math> dari suatu [[ruang vektor]] <math>V</math> atas [[Lapangan (matematika)|lapangan]] <math>F</math> (seperti [[bilangan riil]] <math>\R</math> atau [[bilangan kompleks]] <math>\C</math>) adalah suatu [[Himpunan bagian|subset]] dari <math>V</math> yang saling [[Kebebasan linear|bebas linear]] dan [[Rentang linear|merentang]] <math>V</math>. Hal ini mengartikan suatu subset <math>B</math> dari <math>V</math> merupakan basis jika memenuhi dua syarat berikut:

; ''kebebasan linear''
: Untuk setiap subset [[Himpunan hingga|terhingga]] <math>\{\mathbf v_1, \dotsc, \mathbf v_m\}</math> dari <math>B</math>, jika <math>c_1 \mathbf v_1 + \cdots + c_m \mathbf v_m = \mathbf 0</math> untuk suatu <math>c_1,\dotsc,c_m</math> di , maka 
; ''merentang linear''
: Untuk setiap vektor <math>\mathbf v \in V</math>, terdapat <math>n</math> skalar <math>a_1,\dotsc,a_n</math> di  dan <math>n</math> vektor <math>\mathbf v_1, \dotsc, \mathbf v_n</math> di **', sehingga 

Skalar-skalar a_i disebut *koordinat* dari vektor \mathbf v terhadap basis B, dan berdasarkan sifat pertama, nilai mereka unik (tunggal). Ruang vektor disebut *[[Dimensi (ruang vektor)|berdimensi hingga]]* jika ruang vektor tersebut memiliki basis dengan total elemen yang berhingga.

Vektor-vektor basis sering kali (dan terkadang harus) perlu memiliki urutan total untuk mempermudah pembahasan. Sebagai contoh, ketika basis digunakan untuk membahas orientasi, atau untuk membahas koefisien-koefisien vektor terhadap suatu basis tanpa perlu merujuk secara eksplisit elemen-elemen dari basis. Istilah *basis terurut* terkadang digunakan untuk mempertegas bahwa suatu urutan telah dipilih; yang sebenarnya menyebabkan basis bukan lagi sebagai suatu himpunan tak-terurut, melainkan sebagai suatu barisan (atau sejenisnya). Pembahasan lebih lanjut tersedia di bagian  di bawah.

## Contoh

Himpunan \R^2 dari pasangan terurut bilangan riil adalah suatu ruang vektor dibawah operasi penjumlahan komponen-demi-komponen(a, b) + (c, d) = (a + c, b+d)dan perkalian\lambda (a,b) = (\lambda a, \lambda b),dengan \lambda adalah sebarang bilangan riil. Contoh basis yang sederhana dari ruang vektor ini adalah himpunan yang berisi vektor \mathbf{e}_1 = (1,\,0) dan \mathbf{e}_2 = (0,\,1) . Kedua vektor ini membentuk sebuah basis (yang disebut *basis standar*) karena sebarang vektor \mathbf{v} = (a,\,b)  di \R^2 dapat ditulis secara unik sebagai\mathbf v = a \mathbf e_1 + b \mathbf e_2.Sebarang pasangan vektor yang saling bebas linear di \R^2, seperti (1,\,1) dan (-1,\,2), juga membentuk sebuah basis untuk \R^2. Secara umum, jika F berupa lapangan, maka himpunan F^n yang berisi rangkap-''n'' elemen-elemen dari F^n adalah sebuah ruang vektor, dibawah operasi penjumlahan dan perkalian yang serupa dengan contoh pembuka tadi. Misalkan\mathbf e_i = (0,\,\ldots,\,0,\,1,\,0,\,\ldots,\,0)adalah rangkap-*n* dengan semua komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-*i*, yang bernilai 1. Himpunan \mathbf e_1, \ldots, \mathbf e_n membentuk suatu basis (terurut) untuk F^n, yang disebut dengan *basis standar* dari F^n. Contoh yang berbeda terlihat pada gelanggang polinomial. Jika F berupa lapangan, himpunan F[x] dari semua polinomial satu-variabel dengan koefisien-koefisiennya berada di F, merupakan suatu ruang vektor. Salah satu basis untuk ruang ini adalah basis monomial **, yang berisi semua monomial:B=\{1, x, x^2, \ldots\}.Contoh lain dari basis untuk ruang vektor tersebut adalah polinomial basis Bernstein dan polinomial Chebyshev.

## Sifat-sifat
Banyak sifat dari basis terhingga merupakan hasil dari lema pertukaran Steinitz, yang menyatakan bahwa, untuk sebarang ruang vektor V, dan sebarang penetapan himpunan merentang S dan himpunan bebas linear L berisi n elemen dari V, n elemen dari S dapat dipilih sedemikian rupa untuk ditukar dengan elemen-elemen di L sehingga menghasilkan suatu himpunan merentang yang: mengandung L, elemen-elemen yang lainnya berada di S, dan memiliki jumlah elemen yang sama dengan S. Sebagian besar sifat yang dihasilkan dari lema tersebut masih berlaku ketika tidak ada himpunan merentang yang terhingga, tetapi pembuktian untuk keadaan ini memerlukan aksioma pemilihan atau suatu bentuk yang lebih lemahnya, seperti lema ultrafilter.

Jika V adalah ruang vektor atas lapangan F, maka:

* Untuk sebarang subset bebas linear L dari sebarang himpunan merentang S\subseteq V, terdapat suatu basis B sehingga L\subseteq B\subseteq S.
* V memiliki basis (hal ini dapat dihasilkan dari sifat sebelumnya dengan memilih L sebagai himpunan kosong, dan S=V).
* Setiap basis dari V memiliki kardinalitas yang sama, yang disebut dengan dimensi dari V. Pernyataan ini dikenal sebagai teorema dimensi.
* Sebarang himpunan pembangkit S adalah basis dari V jika dan hanya jika itu bersifat minimal, artinya, S bukan subset sejati (*proper subset*) dari sebarang himpunan yang bebas linear.

Jika V adalah ruang vektor berdimensi n, suatu subset berisi n elemen dari V merupakan basis dari V jika dan hanya jika:

* Subset tersebut bebas linear;
* Subset tersebut himpunan merentang dari V.

## Koordinat
Misalkan V adalah ruang vektor berdimensi n (hingga) atas lapangan F, danB = \{\mathbf b_1, \ldots, \mathbf b_n\}adalah basis dari V. Berdasarkan definisi dari basis, setiap \mathbf v di V dapat ditulis secara unik sebagai\mathbf v = \lambda_1 \mathbf b_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf b_n,dengan koefisien-koefisien \lambda_1, \ldots, \lambda_n adalah skalar (yaitu, elemen-elemen dari F), yang disebut sebagai *koordinat* dari \mathbf v atas B. Akan tetapi, pembahasan terkait *himpunan* koefisien akan menghilangkan hubungan antara koefisien-koefisien dari elemen-elemen basis, dan beberapa vektor berbeda dapat memiliki *himpunan* koefisien yang sama. Sebagai contoh, vektor 3 \mathbf b_1 + 2 \mathbf b_2 dan 2 \mathbf b_1 + 3 \mathbf b_2 yang berbeda memiliki himpunan koefisien \{2,\,3\} yang sama. Oleh karena itu, konsep *basis terurut* umum digunakan untuk mempermudah pembahasan. Hal ini dilakukan dengan mengindeks elemen-elemen basis menggunakan bilangan asli. Koordinat dari vektor juga diindeks dengan cara yang sama, sehingga vektor dapat dikarakterisasi seutuhnya dari barisan koordinat mereka.

Misalkan, seperti biasa, F^n adalah himpunan rangkap-''n'' dari elemen-elemen di F). Himpunan ini adalah ruang vektor-F, dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar-nya dilakukan secara komponen-demi-komponen. Pemetaan\varphi: (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \mapsto \lambda_1 \mathbf b_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf b_nadalah suatu isomorfisme linear dari ruang vektor F^n pada (*onto*) V. Dalam kata lain, F^n adalah ruang koordinat dari V, dan rangkap-*n* \varphi^{-1}(\mathbf v) adalah vektor koordinat dari \mathbf v. Secara khusus, invers bayangan dari \mathbf b_i oleh \varphi adalah vektor \mathbf e_i, yang setiap komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-*i* yang bernilai 1. Himpunan \mathbf e_i membentuk suatu basis terurut bagi F^n, yang disebut dengan *basis standar* atau *basis kanonik*.

## Perubahan basis

Misalkan V adalah ruang vektor berdimensi n atas lapangan . Untuk dua basis (terurut) B_\text{lama} = (\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n) dan B_\text{baru} = (\mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_n), terkadang menguntungkan untuk menyatakan koordinat dari suatu vektor \mathbf z atas B_\mathrm{lama}, dalam bentuk koordinat atas B_\mathrm{baru}. Hal ini secara umum dilakukan karena pembahasan melibatkan ekspresi matematika yang menggunakan koordinat lama.

Umumnya, koordinat vektor-vektor basis baru dinyatakan atas basis lama, yakni,\mathbf w_j = \sum_{i=1}^n a_{i,j} \mathbf v_i.Jika (x_1, \ldots, x_n) dan (y_1, \ldots, y_n) adalah koordinat vektor \mathbf z, masing-masing atas basis lama dan atas basis baru, maka rumus perubahan basis adalahx_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j}y_j,Untuk i=1,\,\dots,\,n. Rumus tersebut dapat ditulis lebih ringkas dengan menggunakan notasi matriks. Misalkan \mathbf A adalah matriks dengan entri-entri  dan\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}adalah vektor kolom dari koordinat \mathbf z masing-masing atas basis lama dan atas basis baru. Rumus perubahan basis dapat ditulis sebagax = \mathbf{A} y.Rumus ini dapat dibuktikan dengan menguraikan vektor \mathbf z pada kedua basis: di satu sisi kita memiliki\mathbf z = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf v_i,dan di sisi lain,\mathbf z =\sum_{j=1}^n y_j \mathbf w_j
= \sum_{j=1}^n y_j\sum_{i=1}^n a_{i,j}\mathbf v_i
= \sum_{i=1}^n \biggl(\sum_{j=1}^n a_{i,j}y_j\biggr)\mathbf v_i.Karena penguraian vektor atas suatu basis bersifat unik, kita dapatkan hubunganx_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j} y_j,untuk .

## Bukti bahwa semua ruang vektor memiliki basis
Misalkan V adalah sebarang ruang vektor atas lapangan F, dan X adalah himpunan semua subset yang bebas linear di V. Himpunan X tidak kosong karena berisi himpunan kosong (yang merupakan subset dari V dan bebas linear). Himpunan X juga terurut parsial oleh operasi inklusi, yang dinyatakan secara umum dengan \subseteq.

Misalkan Y adalah suatu subset dari X yang terurut total oleh \subseteq, dan misalkan L_Y adalah gabungan dari semua elemen di Y. Karena (Y,\,\subseteq) terurut total, setiap subset terhingga dari L_Y adalah suatu subset dari suatu elemen di Y, yang merupakan suatu subset bebas linear dari V. Akibatnya, L_Y juga bersifat bebas linear, sehingga termasuk elemen dari X. Hal ini mengartikan L_Y adalah batas atas bagi Y dalam (X,\,\subseteq): himpunan itu adalah elemen dari X, dan berisi semua elemen dari Y.

Karena X tak-kosong, dan semua subset terurut total dari (X,\,\subseteq) memiliki batas atas dalam X, lema Zorn menyatakan bahwa X memiliki elemen maksimal. Dalam kata lain, terdapat elemen L_\text{max} di X yang memenuhi kondisi: kapanpun L_\text{max} \subseteq L  untuk suatu elemen L dari X, maka L=L_\text{max} .

Karena L_\text{max} elemen dari X, kita menyimpulkan L_\text{max} adalah subset yang bebas linear di V. Sekarang kita cukup membuktikan L_\text{max} adalah basis dari V.

Anggap ada suatu vektor \mathbf w di V yang tidak berada dalam rentang (*span*) dari L_\text{max}, maka \mathbf w bukan menjadi elemen dari L_\text{max}. Misalkan L_\mathbf{w} = L_\text{max} \cup \{w\}. Himpunan ini adalah elemen dari X (karena \mathbf w tidak berada dalam rentang L_\text{max}, dan L_\text{max} bebas linear) mengakibatkannya merupakan subset yang bebas linear di V. Karena L_\text{max} \subseteq L_\mathbf{w}  tetapi L_\text{max} \neq L_\mathbf{w}  (karena L_\mathbf{w}  mengandung \mathbf w yang tidak ada di L_\text{max}), hal ini berkontradiksi dengan maksimalitas dari L_\text{max}. Alhasil, L_\text{max} merentang V.

Kita dapatkan L_\text{max} bebas linear dan merentang V, menjadikannya sebagai basis bagi V dan membuktikan bahwa semua ruang vektor memiliki basis. Bukti ini membutuhkan lema Zorn, yang setara dengan aksioma pemilihan. Kebalikan dari hubungan di atas juga telah dibuktikan, bahwa jika semua ruang vektor memiliki basis, maka aksioma pemilihan benar. Akibatnya, dua pernyataan ini bersifat setara.

## Catatan kaki


## Referensi
### Referensi umum

* 
* 
* 

### Referensi sejarah

* 
* 
* 
* 
* 
* , reprint: 
* 
* 
* 
* 
* 

## Pranala luar

* Video pembelajaran dari Khan Academy (bahasa Inggris)
** ''Introduction to bases of subspaces''
** ''Proof that any subspace basis has same number of elements''
* 
*