Gabungan (teori himpunan)

Dalam teori himpunan, **gabungan** () dari koleksi himpunan adalah himpunan semua anggota dalam koleksi. Gabungan merupakan salah satu operasi dasar, yang dapat menggabungkan atau mengaitkan anggota himpunan ke anggota himpunan lain. Gabungan dilambangkan dengan ∪. 

Untuk penjelasan tentang penggunaan simbol lebih lanjut, lihat tabel dari simbol matematika

## Gabungan dari dua himpunan

Gabungan dari himpunan A  dan B adalah himpunan anggota yang berada di A , atau B , atau bahkan kedua-duanya. Gabungan dari dua himpunan tersebut dituliskan dalam notasi ungkapan himpunan.A \cup B = \{ x : x \in A \text{ atau } x \in B \}.Sebagai contoh, jika A = \{1,3,5,7\} dan B=\{1,2,4,6,7\}, maka A \cup B =\{1,2,3,4,5,6,7\}. Contoh yang lebih rumit (meliputi dua himpunan tak terhingga) adalahːA = \{x \text{ adalah bilangan bulat genap yang lebih besar daripada 1}\}B = \{x \text{ adalah bilangan bulat ganjil yang lebih besar daripada 1}\}A \cup B = \{2,3,4,5,6,\dots\}.

Contoh lainnya, 9 tidak termasuk dalam gabungan dari himpunan bilangan prima \{2,3,5,7,11,\dots\} dan juga himpunan dari bilangan genap \{2,4,6,8,10.\dots\}, sebab 9 bukanlah bilangan prima ataupun bilangan genap.

Himpunan tidak mempunyai anggota identik yang muncul lebih dari satu kali, karena itu gabungan dari \{1,2,3\} dan \{2,3,4\} adalah \{1,2,3,4\}. Banyaknya kemunculan anggota yang identik tersebut tidak memengaruhi kardinalitas himpunan ataupun isi himpunannya.

## Sifat aljabar
Gabungan biner adalah operasi asosiatif. Hal ini berarti bahwa untuk setiap himpunan A , B , dan C , berlakuA \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C.

Pada rumus di atas, tanda kurung dapat dihilangkan dalam rangka untuk menghindari keambiguan, sehingga dapat ditulis juga sebagai A \cup B \cup C. Gabungan merupakan operasi komutatif, sehingga himpunan bisa ditulis dalam setiap urutan. Himpunan kosong adalah anggota identitas untuk operasi gabungan, dalam artian bahwa A \cup \varnothing = A, untuk setiap himpunan A . Secara analogi, semua sifat-sifat tersebut diikuti dari logika disjungsi.

Adapun sifat aljabar lainnya, yakni irisan distribusi atas gabunganA \cap (B \cup C) = (A \cap B)\cup(A \cap C),dan gabungan distribusi atas irisanA \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).Himpunan kuasa dari himpunan U, beserta operasi-operasinya, seperti gabungan, irisan, dan komplemen, merupakan aljabar Boole. Dalam aljabar Boole, gabungan dapat dinyatakan dengan rumus yang mengandung operasi irisan dan komplemen.A \cup B = \left(A^\text{c} \cap B^\text{c} \right)^\text{c},dengan superskrip C melambangkan komplemen dalam himpunan semesta U.

## Gabungan terhingga

Beberapa himpunan dapat diambil secara serentak. Sebagai contoh, gabungan dari tiga himpunan A, B, dan C mengandung semua anggota dari A, semua anggota dari B, dan semua anggota dari C, dan tidak ada lagi. Dengan demikian, x adalah anggota dari A \cup B \cup C jika dan hanya jika x setidaknya ada di dalam salah satu himpunan A, B, dan C.

**Gabungan terhingga** adalah gabungan dari jumlah terbatas pada himpunan-himpunan; ungkapan tidak menyiratkan bahwa gabungan himpunan adalah himpunan terbatas.

## Gabungan sebarang
Gagasan yang paling umum adalah gabungan dari koleksi himpunan sebarang, yang kadangkala disebut *gabungan tak terhingga*. Jika \mathbf{M} adalah himpunan atau kelas yang anggotanya ada di himpunan, maka x adalah gabungan dari \mathbf{M} jika dan hanya jika setidaknya ada satu anggota A dari \mathbf{M} sehingga x anggota dari A. Ini dapat ditulis dengan menggunakan simbolx \in \bigcup \mathbf{M} \iff \exists A \in \mathbf{M},\ x \in A.Gagasan ini menggolongkan bagian sebelumnya, sebagai contoh, A \cup B \cup C adalah gabungan dari koleksi \{A,B,C\}. Juga, jika \mathbf{M} adalah koleksi kosong, maka gabungan dari \mathbf{M} adalah himpunan kosong

### Notasi
Notasi untuk konsep yang umum sangat bervariasi. Untuk gabungan terhingga dari himpunan S_1, S_2, S_3, \dots , S_n, acapkali ditulis sebagai S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup \dots \cup S_n atau\bigcup_{i=1}^n S_i.Terdapat bermacam-macam notasi untuk gabungan sembarang, seperti \bigcup \mathbf{M}, \bigcup_{A\in\mathbf{M}} A, atau \bigcup_{i\in I} A_{i}, yang mengacu pada gabungan dari koleksi \left\{A_i : i \in I\right\}, dengan I adalah himpunan indeks, dan A_i adalah himpunan untuk i \in I. Terdapat sebuah kasus bahwa untuk himpunan indeks I yang merupakan himpunan bilangan asli, dapat menggunakan notasi\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i},yang mirip seperti jumlah tak terhingga dalam deret.

## Lihat pula

* Aljabar dari himpunan
* Alternasi (teorema bahasa formal), gabungan dari himpunan dari benang.
* Aksioma dari gabungan
* Gabungan penguraian
* Irisan (teori himpunan)
* Operasi biner berulang
* Teori himpunan naif
* Beda setangkup

## Catatan

## Pranala luar

* 
* Infinite Union and Intersection at ProvenMath  De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.