Lokus (matematika)

Dalam matematika, sebuah **lokus** (dari kata Latin ***locus*** yang berarti "tempat", ***loci*** jika jamak) adalah sekumpulan titik-titik dengan sifat-sifat yang sama. Istilah 'lokus' biasanya digunakan untuk mendefinisikan sebuah figur kontinu, atau kurva. Sebagai contoh, garis adalah lokus titik-titik yang menghubungkan dua titik tetap atau dua garis paralel dengan jarak terpendek.

## Sejarah dan Filsafat
Sampai awal abad ke-20, bentuk geometris (misalnya kurva) tidak dianggap sebagai kumpulan titik yang tak terbatas; sebaliknya, itu dianggap sebagai entitas di mana sebuah titik mungkin berada atau di mana ia bergerak. Jadi lingkaran di bidang Euklides didefinisikan sebagai * lokus * dari titik yang berada pada jarak tertentu dari titik tetap, pusat lingkaran. Dalam matematika modern, konsep serupa lebih sering dirumuskan ulang dengan menggambarkan bentuk sebagai himpunan; misalnya, seseorang mengatakan bahwa lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berada pada jarak tertentu.

Berbeda dengan pandangan teori-himpunan, rumusan lama menghindari mempertimbangkan koleksi tak hingga, karena menghindari tak terhingga aktual merupakan posisi filosofis penting awal.

Setelah teori himpunan menjadi dasar universal di mana seluruh matematika dibangun, istilah lokus menjadi agak kuno. Meskipun demikian, kata tersebut masih banyak digunakan, terutama untuk rumusan yang ringkas, misalnya:
* *[[Lokus kritis]] *, himpunan titik kritikal dari fungsi terdiferensiasi.
* *Lokus nol * atau * lokus menghilang *, himpunan titik di mana fungsi menghilang, di mana ia mengambil nilai nol.
* *Lokus tunggal *, himpunan titik singular dari variasi aljabar.
* *[[Lokus keterhubungan]] *, himpunan bagian dari himpunan parameter dari sebuah keluarga fungsi rasional yang himpunan Julia dari fungsinya dihubungkan.

Baru-baru ini, teknik seperti teori skema, dan penggunaan teori kategori daripada teori himpunan untuk memberikan dasar pada matematika, telah kembali ke pengertian lebih seperti definisi asli dari lokus sebagai objek itu sendiri daripada sebagai satu set titik.

## Contoh

### Contoh pertama
Temukan lokus titik * P * yang memiliki rasio jarak tertentu *k* = *d*1/*d*2 ke dua titik yang diberikan.

Dalam contoh ini *k* = 3, *A*(−1, 0) and *B*(0, 2) dipilih sebagai titik tetap.

: *P*(*x*, *y*) adalah titik lokus
: \Leftrightarrow |PA| = 3 |PB| 
: \Leftrightarrow |PA|^2 = 9 |PB|^2 
: \Leftrightarrow (x + 1)^2 + (y - 0)^2 = 9(x - 0)^2 + 9(y - 2)^2 
: \Leftrightarrow 8(x^2 + y^2) - 2x - 36y + 35 = 0 
: \Leftrightarrow \left(x - \frac18\right)^2 + \left(y - \frac94\right)^2 = \frac{45}{64}.

Persamaan ini merepresentasikan lingkaran dengan pusat (1/8, 9/4) dan jari-jari \tfrac{3}{8}\sqrt{5}. Ini adalah lingkaran Apollonius yang ditentukan oleh nilai-nilai ini *k*, *A*, dan *B*.

### Contoh kedua

A triangle *ABC* has a fixed side [*AB*] with length *c*. 
Determine the locus of the third vertex *C* such that
the medians from *A* and *C* are orthogonal.

Choose an orthonormal coordinate system such that *A*(−*c*/2, 0), *B*(*c*/2, 0). 
*C*(*x*, *y*) is the variable third vertex. The center of [*BC*] is *M*((2*x* + *c*)/4, *y*/2). The median from *C* has a slope  *y*/*x*. The median *AM* has slope  2*y*/(2*x* + 3*c*).

:*C*(*x*, *y*) is a point of the locus
:\Leftrightarrow the medians from *A* and *C* are orthogonal
:\Leftrightarrow \frac{y}{x} \cdot \frac{2y}{2x + 3c} = -1   
:\Leftrightarrow 2 y^2 + 2x^2 + 3c x = 0   
:\Leftrightarrow x^2 + y^2 + (3c/2) x = 0   
:\Leftrightarrow (x +  3c/4)^2 + y^2 = 9c^2/16. 

The locus of the vertex *C* is a circle with center (−3*c*/4, 0) and radius 3*c*/4.

## Lihat pula
* Variasi aljabar
*Melengkung
*Garis (geometri)
*Wilayah (matematika)
*Bentuk (geometri)

## Referensi