Transformasi Fourier

**Transformasi Fourier**, dinamakan atas Joseph Fourier, adalah sebuah transformasi integral yang menyatakan-kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis sinusoidal, yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien ("amplitudo"). Ada banyak variasi yang berhubungan-dekat dari transformasi ini tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan.
:*Lihat juga: [[Daftar transformasi yang berhubungan dengan Fourier]].*

## Definisi
Transformasi Fourier dari suatu fungsi  secara tradisional dilambangkan  \hat{f}, dengan menambahkan sirkumfleks ke simbol fungsi. Ada beberapa konvensi umum untuk mendefinisikan transformasi Fourier dari sebuah fungsi integrable f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}. One of them is

untuk semua bilangan riil .

Alasan tanda negatif dalam eksponen adalah persamaan dalam teknik elektro menjadi , yaitu
by f(x) = e^{2 \pi i \xi_0 x}  sinyal dengan fase dan frekuensi awal nol \xi_0.  Konvensi tanda negatif menyebabkan produk e^{2 \pi i \xi_0 x} e^{-2\pi i \xi x} to be 1 (frekuensi nol) kapan \xi = \xi_0, menyebabkan integral menyimpang. Hasilnya adalah Fungsi delta Dirac di \xi = \xi_0, yang merupakan satu-satunya komponen frekuensi dari sinyal sinusoidal e^{2 \pi i \xi_0 x}.

Ketika variabel independen  mewakili *waktu*, variabel transformasi  mewakili frekuensi (contohnya, jika waktu diukur dalam detik, maka frekuensi dalam hertz). Dalam kondisi yang sesuai,  ditentukan oleh \hat{f} melalui transformasi terbalik:

untuk bilangan riil untuk fungsi .

Pernyataan dari mana  dapat menentukan \hat{f} dikenal sebagai Teorema inversi Fourier, dan pertama kali diperkenalkan di Fourier *Analytical Theory of Heat*, meskipun apa yang akan dianggap sebagai bukti menurut standar modern tidak diberikan sampai lama kemudian. Fungsi  dan \hat{f} sering disebut sebagai *pasangan integral Fourier* atau *pasangan transformasi Fourier*.

Untuk konvensi dan notasi umum lainnya, termasuk menggunakan frekuensi sudut  alih-alih frekuensi , lihat Konvensi lain dan Notasi lainnya di bawah. The Transformasi Fourier pada ruang Euklides diperlakukan secara terpisah, di mana variabel  sering mewakili posisi dan momentum . Konvensi yang dipilih dalam artikel ini adalah yang analisis harmonik, dan dicirikan sebagai konvensi unik sehingga transformasi Fourier keduanya pada  dan homomorfisme aljabar dari  untuk , tanpa menormalkan kembali ukuran Lebesgue.

Banyak karakterisasi lain dari transformasi Fourier ada. Misalnya, seseorang menggunakan Teorema Stone–von Neumann: Transformasi Fourier adalah kesatuan unik intertwiner untuk representasi simplektis dan Euklides Schrödinger dari kelompok Heisenberg.

## Pengertian
Ada beberapa pengertian mengenai definisi transformasi Fourier ƒ̂ dari sebuah fungsi integrasi . Secara umum, definisi transformasi Fourier adalah:

:\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx, &nbsp; untuk setiap bilangan riil ξ.

## Sejarah

Pada tahun 1822, Joseph Fourier menunjukkan bahwa beberapa fungsi dapat ditulis sebagai jumlah harmonisa yang tak terbatas.

## Catatan kaki

## Referensi
* Smith, Steven W. *The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing*, 2nd edition. San Diego: California Technical Publishing, 1999. ISBN 0-9660176-3-3. *(also available online: [http://www.dspguide.com/pdfbook.htm])*
* A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, *Handbook of Integral Equations*, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4

## Lihat pula

* Transformasi Nomor Teoritik
* Transformasi Laplace
* Transformasi Laplace dua sisi
* Transformasi Mellin
* Fungsi Orthogonal
* Wavelet
* Chirplet
* Fungsi karakteristik (teori kemungkinan)
* Bispectrum
* Spektrofotometer Fourier Transform Infra Red

## Pranala luar
* Online Computation  of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
* Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.