Pertidaksamaan

**Pertidaksamaan** dalam matematika adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih. Dua notasi dasar dalam pertidaksamaan adalah:

## Notasi pertidaksamaan

## Jenis-jenis pertidaksamaan
### Pertidaksamaan Linear
* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan 6x - 7 !
: 6x - 7 
: 6x - 5x 
: x 

: HP = \{x|x 

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan 5 -2x \ge 4x - 1!
: 5 -2x \ge 4x - 1
: -2x - 4x \ge - 1 - 5
: -6x \ge -6 (karena nilai negatif maka tanda harus terbalik)
: x \le 1

: HP = \{x|x \le 1, x \in R \}

### Pertidaksamaan Kuadrat
* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan x^2 - 7x > 10 - 4x!
: x^2 - 7x > 10 - 4x
: x^2 - 3x - 10 > 0

dibuat harga nol
: x^2 - 3x - 10 = 0
: (x + 2)(x - 5) = 0
: x = -2 \lor x = 5

dibuat irisan

: HP = \{x|x  5, x \in R \}

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan 2 - x^2 \le x - 10!
: 2 -x^2 \le x - 10
: x^2 + x - 12 \ge 0

dibuat harga nol
: x^2 + x - 12 = 0
: (x + 4)(x - 3) = 0
: x = -4 \lor x = 3

dibuat irisan

: HP = \{x|x \le -4 \lor x \ge 3, x \in R \}

### Pertidaksamaan Irasional
Dalam bentuk pertidaksamaan irasional sebagai berikut:
: \sqrt {f(x)}  atau \sqrt {f(x)} > \sqrt {g(x)} 

kuadratkan kedua sisinya akan menjadi f(x)  atau f(x) > g(x)  serta haruslah mempunyai syarat yaitu f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0.

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan \sqrt {x^2 - 4x} !
: \sqrt {x^2 - 4x} 
: (\sqrt {x^2 - 4x})^2 
: x^2 - 4x 
: x^2 - 3x - 10 

; Irisan 1
: x^2 - 3x - 10 

dibuat harga nol
: x^2 - 3x - 10 = 0
: (x + 2)(x - 5) = 0
: x = - 2 \lor x = 5

karena ada syarat akar maka:
; Irisan 2
: x^2 - 4x \ge 0

dibuat harga nol
: x^2 - 4x = 0
: x(x - 4) = 0
: x = 0 \lor x = 4

; Irisan 3
: 10 - x \ge 0
: x \le 10

gabungkan umum dan syarat

: HP = \{x|-2 

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan \sqrt {x^2 - 4} \ge \sqrt {3x + 50}!
: \sqrt {x^2 - 4} \ge \sqrt {3x + 50}
: (\sqrt {x^2 - 4})^2 \ge (\sqrt {3x + 50})^2
: x^2 - 4 \ge  3x + 50
: x^2 - 3x - 54 \ge 0

; Irisan 1
: x^2 - 3x - 54 \ge 0

dibuat harga nol
: x^2 - 3x - 54 = 0
: (x + 6)(x - 9) = 0
: x = -6 \lor x = 9

karena ada syarat akar maka:
; Irisan 2
: x^2 - 4 \ge 0

dibuat harga nol
: x^2 - 4 = 0
: (x + 2)(x - 2) = 0
: x = - 2 \lor x = 2

; Irisan 3
: 3x + 50 \ge 0
: x \ge -\frac{50}{3}

gabungkan umum dan syarat

: HP = \{x|\frac{-50}{3} \le x \le -6 \lor x \ge 9, x \in R \}

### Pertidaksamaan Pecahan
Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut:
:\frac {f(x)}{g(x)} * 0 
di mana f(x), g(x) adalah fungsi aljabar dengan g(x) \neq 0 dan * merepresentasikan notasi pertidaksamaan.

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan \frac{x - 4}{x - 3} !
: \frac{x - 4}{x - 3} 
: \frac{x - 4}{x - 3} - \frac{x + 1}{x - 2} 
: \frac{(x - 4)(x - 2) - (x + 1)(x - 3)}{(x - 3)(x - 2)} 
: \frac{(x^2 - 6x + 8) - (x^2 - 2x - 3)}{(x - 3)(x - 2)} 
: \frac{- 4x + 11}{(x - 3)(x - 2)} 
: - 4x + 11 
: x 

karena ada syarat pecahan maka:
; penyebut 1
: x - 3 \neq 0
: x \neq 3

; penyebut 2
: x - 2 \neq 0
: x \neq 2

dibuat irisan

: HP = \{x|2  3, x \in R \}

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan \frac{x + 6}{x + 17} \ge \frac{1}{x - 3}!
: \frac{x + 6}{x + 17} \ge \frac{1}{x - 3}
: \frac{x + 6}{x + 17} - \frac{1}{x - 3} \ge 0
: \frac{(x + 6)(x - 3) - (x + 17)}{(x + 17)(x - 3)} \ge 0
: \frac{x^2 + 3x - 18 - x - 17}{(x + 17)(x - 3)} \ge 0
: \frac{x^2 + 2x - 35}{(x - 3)(x - 2)} \ge 0
: x^2 + 2x - 35 \ge 0

dibuat harga nol
: x^2 + 2x - 35 = 0
: (x + 7)(x - 5) = 0
: x = - 7 \lor x = 5 (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:
; penyebut 1
: x + 17 \neq 0
: x \neq - 17

; penyebut 2
: x - 3 \neq 0
: x \neq 3

dibuat irisan

: HP = \{x|x 

### Pertidaksamaan Mutlak
Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak sebagai berikut:
; Model I
: | f(x) |  atau | f(x) | > k
haruslah mempunyai dua nilai yaitu

: | f(x) | = \left\{\begin{matrix} | f(x) |  k, & \mbox {maka penyelesaian} f(x)  k \end{matrix}\right.

; Model II
Jika | f(x) |  atau | f(x) | > | g(x) | maka kuadratkan kedua sisi tersebut akan menjadi [f(x)]^2 - [g(x)]^2  atau [f(x)]^2 - [g(x)]^2 > 0.

; Model III
Jika a  maka menghasilkan a  dan -b .

begitupula g(x) .

; Model IV
Jika | f(x) | terkurung maka f(x) menghasilkan f(x) \ge 0 serta -f(x) menghasilkan f(x) .

Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan | x^2 + x | !
: | x^2 + x | 

karena f(x) -12 

; untuk -12 
: -12 
: x^2 + x + 12 > 0 definit +

; untuk x^2 + x 
: x^2 + x 
: x^2 + x - 12 

dibuat harga nol
: x^2 + x - 12 = 0
: (x + 4)(x - 3) 
: x = -4 \lor x = 3

dibuat irisan

: -4 

: HP = \{x|-4 

* Tentukan nilai x dari persamaan | x^2 - 4x - 12 | - | 7 - 6x | \ge 5!
: terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada

; untuk | x^2 - 4x - 12 |
: | x^2 - 4x - 12 | = \left\{\begin{matrix} x^2 - 4x - 12, & \mbox {maka penyelesaian} x^2 - 4x - 12 \ge 0 \\  \\ -(x^2 - 4x - 12), & \mbox {maka penyelesaian} x^2 - 4x - 12 

; batasan f(x)
: x^2 - 4x - 12 \ge 0

dibuat harga nol
: x^2 - 4x - 12 = 0
: (x + 2)(x - 6) = 0
: x = -2 \lor x = 6

dibuat irisan

: x \le -2 \lor x \ge 6

; batasan -f(x)
: x^2 - 4x - 12 

dibuat harga nol
: x^2 - 4x - 12 = 0
: (x +2)(x - 6) = 0
: x = -2 \lor x = 6

dibuat irisan

: -2 

; untuk | 7 - 6x |
: | 7 - 6x | = \left\{\begin{matrix} 7 - 6x, & \mbox {maka penyelesaian} 7 - 6x \ge 0 \\  \\ -(7 - 6x), & \mbox {maka penyelesaian} 7 - 6x 

; batasan f(x)
: 7 - 6x \ge 0
: x \le \frac{7}{6}

; batasan -f(x)
: 7 - 6x 
: x > \frac{7}{6}

keempat batas-batas akan dibuat irisan

: untuk x x^2 - 4x - 12 - (7 - 6x) \ge 5
: x^2 - 4x - 12 - 7 + 6x - 5 \ge 0
: x^2 + 2x - 24 \ge 0

dibuat harga nol
: x^2 + 2x - 24 = 0
: (x + 6)(x - 4) = 0
: x = -6 \lor x = 4

dibuat irisan

: x \le -6

: untuk -2 -(x^2 - 4x - 12) - (7 - 6x) \ge 5
: -x^2 + 4x + 12 - 7 + 6x - 5 \ge 0
: x^2 - 10x \le 0

dibuat harga nol
: x^2 - 10x = 0
: x(x - 10) = 0
: x = 0 \lor x = 10

dibuat irisan

: 0 \le x \le \frac{7}{6}

: untuk 7/6 -(x^2 - 4x - 12) - (-(7 - 6x)) \ge 5
: -x^2 + 4x + 12 + 7 - 6x - 5 \ge 0
: x^2 + 2x \le 0

dibuat harga nol
: x^2 + 2x = 0
: x(x + 2) = 0
: x = 0 \lor x = -2

dibuat irisan

: \varnothing

untuk x >= 6
: x^2 - 4x - 12 - (-(7 - 6x)) \ge 5
: x^2 - 4x - 12 + 7 - 6x - 5 \ge 0
: x^2 - 10x - 10 \ge 0 definit +

: \varnothing

gabungkan keempat batas-batas (sesuai dengan himpunan gabungan). jadi:
: HP = \{x|x \le -6 \lor 0 \le x \le \frac{7}{6}, x \in R \}

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan | \frac{x + 4}{10 - x} | !
: | \frac{x + 4}{10 - x} | 
: (\frac{x + 4}{10 - x})^2 
: (\frac{x + 4}{10 - x})^2 - (\frac{1}{x - 2})^2 
: (\frac{x + 4}{10 - x} + \frac{1}{x - 2})(\frac{x + 4}{10 - x} - \frac{1}{x - 2}) 
: (\frac{(x + 4)(x - 2) + 10 - x}{(10 - x)(x - 2)})(\frac{(x + 4)(x - 2) - (10 - x)}{(10 - x)(x - 2)}) 
: (\frac{x^2 + 2x - 8 + 10 - x}{(10 - x)(x - 2)})(\frac{x^2 + 2x - 8 - 10 + x}{(10 - x)(x - 2)}) 
: (\frac{x^2 + x + 2}{(10 - x)(x - 2)})(\frac{x^2 + 3x - 18}{(10 - x)(x - 2)}) 

; akar dari \frac{x^2 + x + 2}{(10 - x)(x - 2)}
: \frac{x^2 + x + 2}{(10 - x)(x - 2)} 
: x^2 + x + 2 = 0 definit +

karena ada syarat pecahan maka:
; penyebut 1
: 10 - x \neq 0
: x \neq 10

; penyebut 2
: x - 2 \neq 0
: x \neq 2

; akar dari \frac{x^2 + 3x - 18}{(10 - x)(x - 2)}
: \frac{x^2 + 3x - 18}{(10 - x)(x - 2)} 
: x^2 + 3x - 18 

dibuat harga nol
: x^2 + 3x - 18 = 0
: (x + 6)(x - 3) = 0
: x = -6 \lor x = 3 (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:
; penyebut 1
: 10 - x \neq 0
: x \neq 10

; penyebut 2
: x - 2 \neq 0
: x \neq 2

dibuat irisan

: nb: * = mempunyai 2 akar

: HP = \{x|-6 

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan | \sqrt {x^2 - 4x} | \ge | \sqrt {3x - 10} |!
: | \sqrt {x^2 - 4x} | \ge | \sqrt {3x - 10} |
: (\sqrt {x^2 - 4x})^2 \ge (\sqrt {3x - 10})^2
: x^2 - 4x \ge 3x - 10
: x^2 -7x + 10 \ge 0

dibuat harga nol
: x^2 -7x + 10 = 0
: (x - 2)(x - 5) = 0
: x = 2 \lor x = 5

dibuat irisan

: x \le 2 \lor x \ge 5

karena ada syarat akar maka:
; akar 1
: x^2 - 4x \ge 0

dibuat harga nol
: x^2 - 4x = 0
: x(x - 4) = 0
: x = 0 \lor x = 4

dibuat irisan

: x \le 0 \lor x \ge 4

; akar 2
: 3x - 10 \ge 0
: x \ge \frac{10}{3}

gabungkan umum dan syarat

: HP = \{x|x \ge 5, x \in R \}

## Pertidaksamaan aritmetika dan geometri

Ada banyak pertidaksamaan antara cara. Contohnya, untuk bilangan positif *a*1, *a*2, …, *a**n* kita punya  di mana

:

## Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk semua vektor * u * dan * v * dari ruang hasil kali dalam memang benar bahwa
: |\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle| ^2 \leq \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle \cdot \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle,
where \langle\cdot,\cdot\rangle adalah produk dalam. Contoh produk dalam mencakup produk titik nyata dan kompleks; Di ruang Euklides *R**n* dengan hasil kali dalam standar, pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah
: \left(\sum_{i=1}^n u_i v_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n u_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right).

## Pertidaksamaan pangkat
Sebuah "**pertidaksamaan pangkat**" adalah pertidaksamaan yang mengandung istilah bentuk *a**b*, di mana * a * dan * b * adalah bilangan positif nyata atau ekspresi variabel. Mereka sering muncul dalam latihan olimpiade matematika.

### Contoh

* Dari bilangan riil  *x*,
:: e^x \ge 1+x.
* Bila *x* > 0 dan *p* > 0, maka
:: \frac{x^p - 1}{p} \ge \ln(x) \ge \frac{1 - \frac{1}{x^p}}{p}.
: Dalam batas *p* → 0, batas atas dan bawah bertemu ln(*x*). 
* Bila *x* > 0, maka
:: x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^\frac{1}{e}.
* Bila *x* > 0, maka
:: x^{x^x} \ge x.
* Bila *x*, *y*, *z* > 0, maka
:: \left(x+y\right)^z + \left(x+z\right)^y + \left(y+z\right)^x > 2.
* Untuk bilangan riil * a * dan * b *,
:: \frac{e^b-e^a}{b-a} > e^{(a+b)/2}.
* Bila *x*, *y* > 0 dan 0 x^p+y^p > \left(x+y\right)^p.
* Bila *x*, *y*, *z* > 0, maka
:: x^x y^y z^z \ge \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.
* Bila *a*, *b* > 0, maka
:: a^a + b^b \ge a^b + b^a.
* Bila *a*, *b* > 0, maka
:: a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}.
* Bila *a*, *b*, *c* > 0, maka
:: a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}.
* Bila *a*, *b* > 0, maka
:: a^b + b^a > 1.

## Pertidaksamaan yang terkenal

Matematikawan sering menggunakan pertidaksamaan untuk jumlah terikat yang rumus eksaknya tidak dapat dihitung dengan mudah. Beberapa ketidaksetaraan begitu sering digunakan sehingga memiliki nama:

* Pertidaksamaan Azuma
* Pertidaksamaan Bernoulli
* Pertidaksamaan Bell
* Pertidaksamaan Boole
* Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz
* Pertidaksamaan Chebyshev
* Pertidaksamaan Chernoff
* Pertidaksamaan Cramér–Rao
* Pertidaksamaan Hoeffding
* Pertidaksamaan Hölder
* Pertidaksamaan rata-rata aritmetika dan geometri
* Pertidaksamaan Jensen
* Pertidaksamaan Kolmogorov
* Pertidaksamaan Markov
* Pertidaksamaan Minkowski
* Pertidaksamaan Nesbitt
* Pertidaksamaan Pedoe
* Pertidaksamaan Poincaré
* Pertidaksamaan Samuelson
* Pertidaksamaan segitiga

## Lihat pula
*Hubungan biner
*Biner (matematika), untuk penggunaan tanda 

## Sumber
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Pranala luar

* 
* Graph of Inequalities by Ed Pegg, Jr.
* AoPS Wiki entry about Inequalities