Grup permutasi

Dalam matematika, khususnya aljabar, suatu **grup permutasi**  G  adalah suatu grup dengan unsur-unsurnya adalah permutasi dari suatu himpunan M dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym(M) (notasi Sym di sini bermakna *Symmetric*). Khusus untuk himpunan M = \{1, 2, ..., n\}, grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai S_n.

## Notasi
Untuk suatu himpunan M, permutasi \sigma atas M adalah suatu bijeksi \sigma: M \rightarrow M. Sebagai contoh, untuk himpunan M = \{1,2,3,4\}, salah satu permutasi yang mungkin adalah permutasi  \sigma  yang memenuhi
: \sigma(1) = 3, \sigma(2) = 1, \sigma(3) = 2 dan  \sigma(4) = 4 . Permutasi ini dapat dinyatakan sebagai matriks dengan dua baris
:\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}
atau secara umum, unsur dalam grup permutasi  S_n  dapat ditulis sebagai matriks
:\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & ... & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & ... & \sigma(n)\end{pmatrix}.

Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran (a_1, a_2, ..., a_n) dengan panjang n melambangkan pemetaan a_1 \mapsto a_2, a_2 \mapsto a_3, ..., a_{n-1} \mapsto a_n, a_n \mapsto a_1. Sebagai contoh, tinjau permutasi \sigma pada grup permutasi S_6 yang didefinisikan oleh
:\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
3 & 1 & 2 & 4 & 6 & 5\end{pmatrix}.

Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi (1 3 2)(4)(5 6) yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi (1 3 2)(5 6). Dua buah putaran (a_1, a_2, ..., a_m), (b_1, b_2, ..., b_k) yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan \{a_1, ..., a_m\} dengan \{b_1, ..., b_k\} tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas \alpha, \beta \in S_n, berlaku pula \alpha \beta = \beta \alpha .

Karena permutasi adalah suatu bijeksi, ia mempunyai invers. Misalkan \sigma \in S_nsuatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks
:\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & ... & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \end{pmatrix},

invers dari \sigma yang dinotasikan sebagai \sigma^{-1}dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu,

:\sigma^{-1} =\begin{pmatrix}
\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \\
1 & 2 & ... & n \end{pmatrix}.

## Dekomposisi putaran
Setiap permutasi pada grup permutasi S_n dapat dinyatakan sebagai hasil kali putaran yang saling lepas. Sebagai contoh, permutasi
:\sigma = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
6 & 3 & 4 & 2 & 5 & 1\end{pmatrix}
dapat ditulis sebagai  \sigma = (1 6)(2 3 4)(5) .

Dekomposisi permutasi menjadi putaran-putaran dapat digunakan untuk menentukan orde suatu unsur pada grup permutasi. Misalkan \sigma \in S_n terdekomposisi menjadi putaran-putaran dengan panjang a_1, a_2, ..., a_k , orde dari \sigma kemudian adalah kelipatan persekutuan terkecil dari a_1, a_2, ..., a_k .

Setiap permutasi juga dapat dipandang sebagai hasil kali transposisi, yaitu putaran dengan panjang dua. Transposisi ini dapat diinterpretasikan sebagai suatu permutasi yang menukar tepat dua unsur dari suatu himpunan. Grup permutasi S_nkemudian dapat dibangun oleh transposisi (yakni setiap unsur di S_ndapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi). Hasil penting lainnya terkait dekomposisi ini adalah bahwa suatu permutasi pastilah merupakan hasil kali dari sebanyak ganjil atau sebanyak genap transposisi, tetapi tidak keduanya. Hasil inilah yang memotivasi pendefinisian grup berayun, yaitu grup yang himpunannya adalah permutasi genap dari suatu himpunan. Hasil tersebut menjamin operasi pada grup berayun terdefinisi dengan baik.

## Teorema Cayley
Dalam teori grup, teorema Cayley mengatakan bahwa sebarang grup G isomorfis dengan suatu subgrup dari Sym(S) untuk suatu S. Untuk G yang memiliki orde berhingga, berlaku G isomorfis dengan grup permutasi S_n.

## Lihat pula
* grup-2 transitif
* Grup permutasi pangkat 3
* Grup Mathieu

## Referensi