Logaritma

Dalam matematika, **logaritma** adalah fungsi invers dari eksponensiasi. Dengan kata lain, logaritma dari  adalah eksponen dengan bilangan pokok  yang dipangkatkan dengan bilangan konstan lain agar memperoleh nilai . Kasus sederhana dalam logaritma adalah menghitung jumlah munculnya faktor yang sama dalam perkalian berulang. Sebagai contoh,  dibaca, "logaritma 1000 dengan bilangan pokok 10 sama dengan 3" atau dinotasikan sebagai . Logaritma dari  dengan *bilangan pokok*  dilambangkan . Terkadang logaritma dilambangkan sebagai  atau tanpa menggunakan tanda kurung, , atau bahkan tanpa menggunakan bilangan pokok khusus, .

Ada tiga bilangan pokok logaritma yang umum beserta kegunaannya. Logaritma dengan bilangan pokok  () disebut sebagai logaritma umum, yang biasanya dipakai dalam ilmu sains dan rekayasa. Logaritma dengan dengan bilangan pokok bilangan () disebut sebagai logaritma alami, yang dipakai dengan luas dalam matematika dan fisika, karena dapat mempermudah perhitungan integral dan turunan. Logaritma dengan bilangan pokok  () disebut sebagai logaritma biner, yang sering kali dipakai dalam ilmu komputer.

Logaritma diperkenalkan oleh John Napier pada tahun 1614 sebagai alat yang menyederhanakan perhitungan. Logaritma dipakai lebih cepat dalam navigator, ilmu sains, rekayasa, ilmu ukur wilayah, dan bidang lainnya untuk lebih mempermudah perhitungan nilai yang sangat akurat. Dengan menggunakan tabel logaritma, cara yang membosankan seperti mengalikan digit yang banyak dapat digantikan dengan melihat tabel dan penjumlahan yang lebih mudah. Ini dapat dilakukan karena logaritma dari hasil kali bilangan merupakan logaritma dari jumlah faktor bilangan:

:  {}^b\!\log(xy) = \, {}^b\!\log x + \, {}^b\!\log y,

asalkan bahwa ,  dan  bilangan positif dan . Mistar hitung yang juga berasal dari logaritma dapat mempermudah perhitungan tanpa menggunakan tabel, tetapi perhitungannya kurang akurat. Leonhard Euler mengaitkan gagasan logaritma saat ini dengan fungsi eksponensial pada abad ke-18, dan juga memperkenalkan huruf  sebagai bilangan pokok dari logaritma alami.

Penerapan skala logaritmik dipakai dalam mengurangi kuantitas yang sangat besar menjadi lebih kecil. Sebagai contoh, desibel (dB) adalah satuan yang digunakan untuk menyatakan rasio sebagai logaritma, sebagian besar untuk kekuatan sinyal dan amplitudo (contoh umumnya pada tekanan suara). Dalam kimia, pH mengukur keasaman dari larutan berair melalui logaritma. Logaritma umumnya dipakai dalam rumus ilmiah, dalam pengukuran kompleksitas algoritma dan objek geometris yang disebut sebagai fraktal. Logaritma juga membantu untuk menjelaskan frekuensi rasio interval musik, ditemukan di rumus yang menghitung bilangan prima atau hampiran faktorial, memberikan gambaran dalam psikofisika, dan dapat membantu perhitungan akuntansi forensik.

Konsep logaritma sebagai invers dari eksponensiasi juga memperluas ke struktur matematika lain. Namun pada umumnya, logaritma cenderung merupakan fungsi bernilai banyak. Sebagai contoh, logaritma kompleks merupakan invers dari fungsi eksponensial pada bilangan kompleks. Mirip dengan contoh sebelumnya, logaritma diskret dalam grup hingga, merupakan invers fungsi eksponensial bernilai banyak yang memiliki kegunaan dalam kriptografi kunci publik.

## Alasan

Operasi aritmetika yang paling dasar adalah penambahan, perkalian, dan eksponen. Kebalikan dari penambahan adalah pengurangan, dan kebalikan dari perkalian adalah pembagian. Mirip dengan contoh sebelumnya, logaritma merupakan kebalikan (atau invers) dari operasi eksponensiasi. Eksponensiasi adalah bilangan *bilangan pokok*  yang ketika dipangkatkan dengan  memberikan nilai . Ini dirumuskan sebagai

: b^y=x.

Sebagai contoh,  pangkat  memberikan nilai . Secara matematis, 2^3 = 8.

Logaritma dengan bilangan pokok  adalah operasi invers yang menyediakan nilai keluaran  dari nilai masukan . Hal ini mengartikan bahwa  ekuivalen dengan , jika  bilangan real positif. (Jika  bukanlah bilangan real positif, eksponensiasi dan logaritma dapat terdefinisi tetapi membutuhkan beberapa nilai, sehingga definisi darinya semakin rumit.)

Salah satu alasan bersejarah utamanya dalam memperkenalkan logaritma adalah rumus

: {}^b\!\log(xy)= \,{}^b\!\log x + \,{}^b\!\log y,

yang dapat mempermudah perhitungan nilai perkalian dan pembagian dengan penjumlahan, pengurangan, dan melihat tabel logaritma. Perhitungan ini dipakai sebelum komputer ditemukan.

## Definisi
Diberikan bilangan real positif  sehingga , maka *logaritma* dari bilangan real positif  terhadap bilangan pokok  adalah eksponen dengan bilangan pokok  yang dipangkatkan bilangan agar memperoleh nilai . Dengan kata lain, logaritma bilangan pokok  dari  adalah bilangan real  sehingga . Logaritma dilambangkan sebagai  (dibaca "logaritma  dengan bilangan pokok "). Terdapat definisi yang mirip dan lebih ringkas mengatakan bahwa fungsi  invers dengan fungsi .

Sebagai contoh, , karena . Logaritma juga dapat bernilai negatif, contohnya , karena . Logaritma juga berupa nilai desimal, sebagai contoh  kira-kira sama dengan 2,176 karena terletak di antara 2 dan 3, dan begitupula 150 terletak antara  dan . Adapun sifat logaritma bahwa untuk setiap ,  karena , dan  karena .

## Identitas logaritma

Ada beberapa rumus penting yang mengaitkan logaritma dengan yang lainnya.

### Hasil kali, hasil bagi, pangkat, dan akar
Logaritma dari hasil kali merupakan jumlah logaritma dari bilangan yang dikalikan, dan logaritma dari hasil bagi dari dua bilangan merupakan selisih logaritma. Logaritma dari bilangan pangkat ke- sama dengan **' dikali logaritma dari bilangan tersendiri, dan logaritma bilangan akar ke- sama dengan logaritma dibagi dengan . Tabel berikut memuat daftar sifat-sifat logaritma tersebut beserta contohnya. Masing-masing identitas ini diperoleh dari hasil substitusi dari definisi logaritma <math>x = b^{\, {}^b\!\log x}</math> atau <math>y = b^{\, {}^b\!\log y}</math> pada ruas kiri persamaan.


=== Mengubah bilangan pokok ===
Logaritma  dapat dihitung sebagai hasil bagi logaritma  dengan logaritma  terhadap bilangan pokok sembarang . Secara matematis dirumuskan sebagai:

: <math> {}^b\!\log x = \frac{{}^k\!\log x}{{}^k\!\log b}.\, </math>

Dimulai dari identitas berikut

: <math> x = b^{{}^b\!\log x}, </math>

ini dapat menerapkan  pada kedua ruas sehingga memperoleh

: <math> {}^k\!\log x = \, {}^k\!\log \left(b^{{}^b\!\log x}\right) = \, {}^b\!\log x \cdot \, {}^k\!\log b</math>.

Ketika mencari penyelesaian untuk , maka menghasilkan persamaan:

: <math> {}^b\!\log x =  \frac{{}^k\!\log x} = 2 </math>
|-
|**Jumlah semi-nada yang sama**<math>^{\sqrt[12] 2}\!\log r = 12 \, ^2\!\log r</math>
|<math>\tfrac 1 6</math>
|<math>1</math>
|<math>\approx 3,8631</math>
|<math>4</math>
|<math>6</math>
|<math>12</math>
|-
|**Jumlah sen yang sama**<math>^{\sqrt[1200] 2}\!\log r = 1200 \, ^2\!\log r</math>
|<math>16 \tfrac 2 3</math>
|<math>100</math>
|<math>\approx 386,31</math>
|<math>400</math>
|<math>600</math>
|<math>1200</math>
|}

=== Penerapannya dalam teori bilangan ===
[[Logaritma alami]] sangat berkaitan dengan salah satu topik dalam [[teori bilangan]], yaitu [[Fungsi pencacahan bilangan prima|menghitung bilangan prima]]. Untuk setiap [[bilangan bulat]]&nbsp;, jumlah [[bilangan prima]] kurang dari sama dengan  dinyatakan sebagai . [[Teorema bilangan prima]] mengatakan bahwa  kira-kira sama dengan

: <math>\frac{x}{\ln(x)},</math>

yang berarti bahwa fungsi pencacahan bilangan prima kira-kira sama dengan perbandingan dari  dan pecahan yang mendekati 1 ketika  menuju ke takhingga. Akibatnya, peluang dari bilangan yang dipilih secara acak di antara 1 dan  adalah bilangan prima [[Kesebandingan (matematika)|berbanding]] terbalik dengan jumlah digit desimal . Pendekatan  yang lebih baik merupakan [[Fungsi integral logaritmik|fungsi integral Euler]] , yang didefinisikan sebagai

: <math> \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln(t)} \,dt.  </math>

[[Hipotesis Riemann]], yang merupakan salah satu [[konjektur]] matemtika terbuka yang paling terlama, dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan  dan . [[Teorema Erdős–Kac]] mengatakan bahwa jumlah [[Bilangan prima#Faktorisasi unik|faktor bilangan prima]] yang berbeda juga melibatkan [[logaritma alami]].

Logaritma dari ''n'' [[faktorial]], , dirumuskan sebagai

: <math> \ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n).</math>

Rumus di atas dapat dipakai utnuk memperoleh sebuah hampiran dari  untuk setiap bilangan  yang lebih besar, yaitu [[rumus Stirling]].

== Perumuman ==

=== Logaritma kompleks ===

Semua [[bilangan kompleks]]  yang menyelesaikan persamaan

: <math>e^a=z</math>

disebut ''logaritma kompleks'' dari , ketika  (dianggap sebagai) bilangan kompleks. Bilangan kompleks biasanya dinyatakan sebagai , dengan  dan  adalah bilangan real dan  adalah [[satuan imajiner]] (satuan yang dikuadratkan memberikan nilai −1). Bilangan kompleks dapat divisualisasikan melalui sebuah titik dalam [[bidang kompleks]], seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut. [[Bilangan kompleks#Bidang kompleks polar|Bentuk polar]] menulis bilangan kompleks tak-nol&nbsp; melalui titik [[nilai mutlak]], yang berarti jarak yang berupa bilangan bernilai real dan positif&nbsp; sama dengan titik  ke [[Titik nol|titik asalnya]]. Bentuk polar juga menulis sebuah sudut antara bilangan real pada sumbu- (yakni sumbu-) ''&nbsp;'' dan garis yang melalui titik asal dan titik . Sudut tersebut disebut sebagai [[Argumen (bilangan kompleks)|argumen]] dari .Nilai mutlak  dari  dinyatakan sebagai

: <math>\textstyle r=\sqrt{x^2+y^2}.</math>

Dengan menggunakan pandangan geometris pada fungsi [[Sinus (trigonometri)|sinus]] dan [[kosinus]] beserta periodisitasnya dalam , setiap bilangan kompleks&nbsp; dapat dinyatakan sebagai

: <math>z = x + iy = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)= r (\cos (\varphi + 2k\pi) + i \sin (\varphi + 2k\pi)),</math>

untuk setiap bilangan bulat&nbsp;. Nyatanya, argumen dari  tidak dijelaskan secara unik, yakni: bilangan  dan  adalah argumen valid dari  untuk semua bilangan bulat&nbsp;, karena menambahkan &nbsp;[[radian]] atau ''k''⋅360° ke bilangan  berpadanan dengan "lilitan" di sekitar titik asal yang berputar berlawanan arah jarum jam sebanyak &nbsp;[[Putaran (geometri)|putaran]]. Hasil bilangan kompleks selalu , seperti yang diilustrasikan pada gambar untuk . Setidaknya ada salah satu dari argumen  yang mungkin disebut sebagai ''argumen prinsip'', yang dilambangkan , dipilih dengan memerlukan putaran  di [[Selang (matematika)|selang]]  atau . Daerah-daerah tersebut, dengan argumen  ditentukan sekali disebut [[Cabang prinsip|''cabang'']] dari fungsi argumen.

[[Rumus Euler]] mengaitkan [[fungsi trigonometri]] [[Sinus (trigonometri)|sinus]] dan [[kosinus]] dengan [[Rumus Euler|eksponensial kompleks]]:

: <math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi .</math>

Dengan menggunakan rumus di atas, dan periodisitasnya lagi, maka berlaku identitas berikut:

: <math> \begin{array}{lll}z& = & r \left (\cos \varphi + i \sin \varphi\right) \\
& = & r \left (\cos(\varphi + 2k\pi) + i \sin(\varphi + 2k\pi)\right) \\
& = & r e^{i (\varphi + 2k\pi)} \\
& = & e^{\ln(r)} e^{i (\varphi + 2k\pi)}  \\
& = & e^{\ln(r) + i(\varphi + 2k\pi)} = e^{a_k},
\end{array}
</math>

dengan  adalah fungsi logaritma real tunggal,  menyatakan logaritma kompleks dari , dan  bilangan bulat sembarang. Karena itu, logaritma kompleks dari , yang semua bilangan kompleks  untuk  pangkat  sama dengan , mempunyai tak berhingga banyaknya nilai

: <math>a_k = \ln (r) + i (\varphi + 2 k \pi),\quad</math> untuk bilangan bulat sembarang&nbsp;.


Dengan mengambil  sehingga  ada di dalam selang yang ditentukan untuk argumen prinsip, maka  disebut ''nilai prinsip'' dari logaritma, dinotasikan sebagai . Argumen prinsip setiap bilangan real positif &nbsp; bernilai 0, jadi  adalah sebuah bilangan real yang sama dengan logaritma (alami). Akan tetapi, rumus logaritma tentang darab dan perpangkatan bilangan di atas [[Eksponensiasi#Kegagalan identitas perpangkatan dan logaritma|tidak memberikan perumuman]] terkait nilai prinsip dari logaritma kompleks.

Ilustrasi tersebut menggambarkan , membatasi argumen   dengan interval . Cara memadankan cabang dari logaritma kompleks mempunyai ketakkontinuan di sepanjang sumbu- real negatif, seperti yang dapat dilihat pada lompatan hue di gambar. Saat melintasi batas, ketakkontinuan tersebut dimulai dari lompatan hingga batas lain yang ada di cabang yang sama, dalam artian bahwa tiada perubahan dengan nilai- dari cabang tetangga kontinu yang berpadanan. Lokus tersebut dinamakan [[potongan cabang]]. Dengan menghapus perbatasan argumen, maka relasi "argumen dari " dan "logaritma dari " menjadi [[fungsi bernilai banyak]].

=== Kebalikan dari fungsi eksponensial lainnya ===
Eksponensiasi muncul dalam cabang matematika dan fungsi inversnya seringkali mengacu pada logaritma. Sebagai contoh, [[logaritma matriks]] merupakan fungsi invers (bernilai banyak) dari [[eksponensial matriks]]. Contohnya lain seperti [[Fungsi logaritma p-adic|fungsi logaritma ''p''-adic]], fungsi invers dari [[Fungsi eksponensial p-adic|fungsi eksponensial ''p''-adic]]. Kedua fungsi tersebut didefinisikan melalui deret Taylor yang analog dengan kasus bilangan real. Dalam konteks [[geometri diferensial]], [[Peta eksponensial (geometri Riemann)|peta eksponensial]] memetakan [[ruang garis singgung]] di sebuah titik [[Lipatan terdiferensialkan|lipatan]] ke [[Persekitaran (matematika)|lingkungan]] titik tersebut. Kebalikannya juga disebut peta logaritma.

Dalam konteks [[grup hingga]], eksponensiasi dinyatakan dengan mengalikan satu anggota grup&nbsp; dengan dirinya secara berulang. [[Logaritma diskret]] merupakan bilangan bulat&nbsp;**' yang menyelesaikan persamaan

: b^n = x,

dengan  adalah anggota dari grup. Mengerjakan solusi eksponensiasi dapat dilakukan dengan efisien, tetapi logaritma diskret dipercayai bahwa sangat sulit untuk menghitungnya dalam beberapa grup. Asimetri dari grup tersebut mempunyai penerapan penting dalam kriptografi kunci publik, contohnya seperti pertukaran kunci Diffie–Hellman, sebuah pertukaran kunci sehari-hari yang memungkinkan pertukaran kunci kriptografi terhadap saluran informasi yang tidak diamankan. Logaritma Zech berkaitan dengan logaritma diskret dalam grup perkalian anggota taknol dari medan hingga.

Adapun fungsi invers berupa logaritma lainnya. Fungsi tersebut di antaranya: *logaritma ganda*  yang merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial ganda, *[[superlogaritma]]* yang merupakan kebalikan dari tetrasi, fungsi Lambert W yang merupakan kebalikan dari fungsi , dan logit yang merupakan kebalikan dari fungsi logistik.

### Konsep yang berkaitan
Berdasarkan sudut pandang teori grup, identitas  menyatakan isomorfisme grup antara bilangan riil positif terhadap perkalian bilangan riil positif terhadap penambahan. Fungsi logaritmik hanya isomorfisme kontinu antara grup. Berdasarkan pengertian isomorfisme tersebut, ukuran Haar (ukuran Lebesgue)&nbsp; pada riil berpadanan dengan ukuran Haar&nbsp; pada bilangan real positif. Bilangan riil taknegatif tidak hanya terhadap operasi perkalian, tetapi juga terhadap operasi penambahan, dan bilangan riil taknegatif membentuk semigelanggang, yang disebut sebagai semigelanggang probabilitas, bahkan membentuk semigelanggang. Maka logaritma yang mengambil perkalian dengan penambahan (perkalian logaritma), dan mengambil penambahan dengan penambahan logaritma, memberikan isomorfisme semigelanggang di antara semigelanggang probabilitas dan semigelanggang logaritma.

Konsep ini juga terdapat di dalam analisis kompleks dan geometri aljabar, yang logaritmik satu bentuk&nbsp; adalah bentuk diferensial dengan pole logaritmik.

Selain itu, terdapat polilogaritma, sebuah fungsi yang didefinisikan sebagai
:  \operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}. 
Fungsi ini mempunyai kaitan dengan logaritma alami dengan . Terlebih lagi, ketika , nilai dari  sama dengan fungsi zeta Riemann, yang dinyatakan sebagai .

## Lihat pula
* Eksponen desimal (dex)
* Fungsi eksponensial
* Indeks artikel logaritma
* Notasi logaritmik

## Catatan

## Referensi

## Pranala luar
* 
* 
*
* 
* Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures
* 
* 
* 
*