Deret (matematika)

**Deret** () adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan. Barisan dan deret hingga mempunyai elemen pertama dan terakhir yang terdefinisi, sedangkan barisan dan deret tak terhingga berlangsung terus menerus tak terbatas.

Dalam matematika, jika ada suatu barisan bilangan tak hingga \{a_n\}, maka suatu deret secara mudahnya adalah hasil dari penambahan semua elemen-elemen itu bersama-sama: a_1 + a_2 + a_3 + \cdots. Ini dapat ditulis lebih ringkas menggunakan notasi Sigma ∑. Contohnya adalah deret terkenal dari Paradoks Zeno dan representasi matematikanya:

:\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots.

Suku-suku dalam suatu deret sering ditentukan menurut kaidah tertentu, misalnya dengan suatu rumus, atau melalui suatu algoritma. Mengingat tidak terbatasnya jumlah suku, hasilnya sering disebut **deret tak terhingga** atau **deret takhingga** (). Berbeda dengan penjumlahan hingga, deret tak terhingga memerlukan bantuan dari analisis matematika, dan secara khusus limit, untuk dapat dipahami dan dimanipulasi secara penuh. Selain jumlahnya yang banyak dalam matematika, deret tak terhingga juga sering digunakan dalam bidang-bidang kuantitatif lain seperti fisika, sains komputer, dan finansial.

## Notasi
Simbol pada deret yaitu \sum menunjukkan penjumlahan dan dapat diinterpretasikan dengan mengulang hasil keliling (biasanya ditentukan di bawah penjumlahan), karena kita membutuhkan (biasanya bilangan bulat) nilai dalam rentang yang ditentukan (dari nilai awal ke batas atas), kemudian menambahkan ekspresi yang dihasilkan. Misalkan:
:\sum_{k = 1}^{200} f(k) = f(1) + f(2) + \dots + f(200).

Keliling pada nilai  kita memiliki nilai awal . Hal tersebut diiterasi untuk semua nilai integer hingga dengan nilai  dari batas tersebut. Setelah itu iterasi tersebut akan dijumlahkan.

## Konvergensi
Sebuah deret dikatakan konvergen ke suatu nilai jika batas jumlah parsial mendekati nilai tersebut;  yaitu, diberikannya barisan tak terbatas \{a_k\} adalah deret:
:\sum_{k = 1}^\infty a_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n a_k.

Jika hasilnya limit tidak ada, deret tersebut dikatakan divergen.

Suatu deret dikatakan konvergen secara absolut jika deret yang terbentuk dari nilai absolut syarat pada konvergen;  yaitu, diberi urutan tak terbatas \{a_k\}:

:\sum_{k = 1}^\infty |a_k|
konvergensi.

## Sifat dasar
### Definisi
Untuk setiap barisan \{a_n\} bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, fungsi, dan lain-lain, **deret** yang bersangkutan didefinisikan sebagai jumlah formal tertata
:\sum_{n=0}^{\infty}a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots .
**Barisan jumlah parsial** \{S_k\} bersangkutan dengan suatu deret \sum_{n=0}^\infty a_n didefinisikan bagi setiap k sebagai jumlah Barisan \{a_n\} dari a_0 hingga a_k
:S_k = \sum_{n=0}^{k}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_k.
Berdasarkan definisi, deret \sum_{n=0}^{\infty} a_n **konvergen** menjadi suatu limit L jika dan hanya jika urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial \{S_k\} konvegen ke L. Definisi ini biasanya ditulis sebagai
:L = \sum_{n=0}^{\infty}a_n \Leftrightarrow L = \lim_{k \rightarrow \infty} S_k.

## Deret fungsi

Suatu deret fungsi-fungsi bernilai real atau kompleks

:\sum_{n=0}^\infty f_n(x)

konvergen sesetitik pada suatu himpunan E, jika deret *konvergen* untuk setiap x di E sebagai suatu deret biasa dari bilangan real atau bilangan kompleks. Jumlah parsialnya ekuivalen dengan di atas.
:s_N(x) = \sum_{n=0}^N f_n(x)
Deret tersebut konvergen ke f(x) ketika N \to \infty untuk setiap x \in E.
### Deret pangkat

:

**Deret pangkat** (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk
:f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

dengan  a_n  melambangkan koefisien suku ke- n ,  c  adalah konstanta dan  x  berubah-ubah di sekitar  c  (karena alasan ini, kadang-kadang deret seperti ini dikatakan *berpusat* di  c ). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.

Pada banyak keadaan  c  sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana
: f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots.

Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tetapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).

Deret Taylor pada suatu titik *c* pada suatu fungsi adalah suatu deret pangkat yang dalam banyak kasus berkonvergen menjadi suatu fungsi dalam lingkungan *<math> c </math>*. Misalnya, deret
:\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
adalah deret Taylor dari e^x pada titik origin dan berkonvergen kepadanya untuk setiap x.

## Lihat pula
* Pecahan berlanjut
* Tes konvergensi
* Deret konvergen
* Deret divergen
* Komposisi tak terbatas dari fungsi analisis
* Ekspresi tak terbatas
* Produk tak terbatas
* Operasi biner berulang
* Daftar deret matematika
* Penjumlahan prefiks
* Transformasi berurutan
* Ekspansi deret

## Referensi

## Pustaka
* Bromwich, T.J. *An Introduction to the Theory of Infinite Series* MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
*  

## Pranala luar

* 
* Infinite Series Tutorial