Fungsi (matematika)

**Fungsi** dalam istilah matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain atau variabel bebas) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain atau variabel terikat) yang dapat dinyatakan dengan lambang y= f(x), atau dapat menggunakan lambang g(x), P(x). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya ber*fungsi* dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "*fungsi*", "*pemetaan*", "*peta*", "*transformasi*", dan "*operator*" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contohnya adalah sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y= f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

## Notasi
Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.
:f: A \rightarrow B
Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi *f* yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi *f* yang memetakan dua himpunan, *A* kepada *B*. Namun, bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.
:x \in A
:f: x \rightarrow x^2
atau
:f(x) =\, x^2

## Fungsi sebagai relasi
Sebuah fungsi *f* dapat didefinisikan sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

## Himpunan masukan, ranah, bayangan, kodomain

Misal diketahui fungsi f : A → B

Himpuan A disebut domain (daerah asal), himpunan B adalah kodomain (daerah kawan), dan anggota himpunan B yang memiliki pasangan di A disebut baynagan (daerah hasil).

## Sifat-sifat fungsi
### Fungsi injektif
Fungsi f: A → B disebut **fungsi satu-satu** atau **fungsi injektif** jika dan hanya jika untuk sembarang a1 dan a2  \in A dengan *a<sub>1</sub>* tidak sama dengan *a<sub>2</sub>* berlaku *f*(*a<sub>1</sub>*) tidak sama dengan *f*(*a<sub>2</sub>*). Dengan kata lain, bila *a<sub>1</sub>* = *a<sub>2</sub>* maka *f*(*a<sub>1</sub>*) sama dengan *f*(*a<sub>2</sub>*).

Contoh:
A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
F: A => B {(1,a), (2,a), (3,b)}

### Fungsi surjektif
Fungsi f: A → B disebut **fungsi kepada**, **fungsi onto** atau **fungsi surjektif** jika dan hanya jika untuk sembarang *b* dalam kodomain *B* terdapat paling tidak satu *a* dalam domain *A* sehingga berlaku *f*(*a*) = *b*. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (*range*).

Contoh:
A = {1, 2, 3}
B = {a, b}
F: A => B {(1,a), (2,a), (3,b)}

### Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut **fungsi korespondensi satu-satu**, **fungsi into**, **fungsi bijektif** jika dan hanya jika untuk sebarang *b* dalam kodomain *B* terdapat tepat satu *a* dalam domain *A* sehingga *f*(*a*) = *b*, dan tidak ada anggota *A* yang tidak terpetakan dalam *B*. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

Contoh:
A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
F: A => B {(1,a), (2,b), (3,c)}

## Fungsi ganjil dan genap
Rumus fungsi ganjil dan genap yaitu f(-x) = - f(x) untuk fungsi ganjil dan f(-x) = f(x) untuk fungsi genap.

## Fungsi eksplisit dan implisit
# Fungsi eksplisitContoh: y = 2x + 3, y = \sqrt{4x^2 + 5}, y = -2x + \sqrt{2}
#Fungsi implisitAda dua jenis yaitu:
## implisit eksplisitadalah fungsi yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: 5x + 7y = 8, 3x^2 + 2y^2 = 7, x^2 + 4xy + 4y^2 = 5
## implisit noneksplisit adalah fungsi yang dapat tidak diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: 2x^2 + xy + 3y^2 = 8

## Gambar fungsi pecahan
Fungsi pecahan terdiri dari

;# y = \frac{ax+b}{px+q} dengan p ≠ 0.
Langkah untuk gambar:
# Titik sumbu x (y = 0)
# Titik sumbu y (x = 0)
# Asimtot datar y = \frac{a}{p}
# Asimtot tegak x = \frac{-q}{p}
# Titik-titik lain

;# y = \frac{ax+b}{px^2+qx+r} dengan {p, q} ≠ 0.
Langkah untuk gambar:
# Titik sumbu x (y = 0)
# Titik sumbu y (x = 0)
# Asimtot datar y = 0
# Asimtot tegak penyebut = 0 dengan cari x
# Harga Ekstrem/Titik balik
y = \frac{ax+b}{px^2+qx+r} diubah menjadi ypx^2+(yq-a)x+(yr-b) = 0 lalu cari y dengan menggunakan diskriminan (D = b^2-4ac) lalu cari x dengan menggunakan (x = - \frac{b}{2a})
# Titik-titik lain

;# y = \frac{ax^2+bx+c}{px+q} dengan {a, p} ≠ 0.
Langkah untuk gambar:
# Titik sumbu x (y = 0)
# Titik sumbu y (x = 0)
# Asimtot tegak x = \frac{-q}{p}
# Asimtot miring di mana pembilang dibagi penyebut yaitu y = mx + n + \frac{l}{px+q} jadi ambil y = mx + n saja
# Harga Ekstrem/Titik balik
y = \frac{ax^2+bx+c}{px+q} diubah menjadi ax^2+(b-yp)x+(c-yq) = 0 lalu cari y dengan menggunakan diskriminan (D = b^2-4ac) lalu cari x dengan menggunakan (x = - \frac{b}{2a})
# Titik-titik lain

;# y = \frac{ax^2+bx+c}{px^2+qx+r} dengan {a, p, q} ≠ 0.
Langkah untuk gambar:
# Titik sumbu x (y = 0)
# Titik sumbu y (x = 0)
# Asimtot datar y = \frac{a}{p}
# Asimtot tegak penyebut = 0 dengan cari x
# Harga Ekstrem/Titik balik
y = \frac{ax^2+bx+c}{px^2+qx+r} diubah menjadi (yp-a)x^2+(yq-b)x+(yr-c) = 0 lalu cari y dengan menggunakan diskriminan (D = b^2-4ac) lalu cari x dengan menggunakan (x = - \frac{b}{2a})
# Titik potong dengan asimtot datar untuk mencari x di mana y adalah asimtot datar
# Titik-titik lain

## Komposisi fungsi

### Contoh
* Tentukan f(x) \circ g(x) dan g(x) \circ f(x) dari f(x)= 2x + 3 dan g(x) = 4x + 7!
: f (x) \circ g (x) = f(g(x))
: f(g(x)) = f(4x + 7)
: f(g(x)) = 2(4x + 7) + 3
: f(g(x)) = 8x + 17

: g (x) \circ f (x) = g(f(x))
: g(f(x)) = g(2x + 3)
: g(f(x)) = 4(2x + 3) + 7
: g(f(x)) = 8x + 19

* Tentukan f(x) dari g(x) = 4x + 7
;a f(g(x)) = 8x + 17!
;b g(f(x)) = 8x + 19!

a
: f(g(x)) = 8x + 17
: f(4x + 7) = 8x + 17
: f(\frac{4x + 7 - 7}{4}) = 8(\frac{x - 7}{4}) + 17
: f(x) = 2x - 14 + 17
: f(x) = 2x + 3

b
: g(f(x)) = 8x + 19
: 4 f(x) + 7 = 8x + 19
: \frac{4 f(x) + 7 - 7}{4}= \frac{8x + 19 - 7}{4}
: f(x) = 2x + 3

* Tentukan f(x) \circ g(x) dan g(x) \circ f(x) dari f(x)= 5x + 3 dan g(x) = x^2 + 4x + 7!
: f (x) \circ g (x) = f(g(x))
: f(g(x)) = f(x^2 + 4x + 7)
: f(g(x)) = 5(x^2 + 4x + 7) + 3
: f(g(x)) = 5x^2 + 20x + 38

: g (x) \circ f (x) = (f(x))
: g(f(x)) = g(5x + 3)
: g(f(x)) = (5x + 3)^2 + 4(5x + 3) + 7
: g(f(x)) = 25x^2 + 30x + 9 + 20x + 12 + 7
: g(f(x)) = 25x^2 + 50x + 28

* Tentukan g(x) dari f(x)= 5x + 3
;a f(g(x)) = 5x^2 + 20x + 38!
;b g(f(x)) = 25x^2 + 50x + 28!

a
: f(g(x)) = 5x^2 + 20x + 38
: 5 g(x) + 3 = 5x^2 + 20x + 38
: \frac{5 g(x) + 3 - 3}{5} = \frac{5x^2 + 20x + 38 - 3}{5}
: g(x) = x^2 + 4x + 7

b
: g(f(x)) = 25x^2 + 50x + 28
: g(5x + 3) = 25x^2 + 50x + 28
: g(\frac{5x + 3 - 3}{5}) = 25(\frac{x - 3}{5})^2 + 50(\frac{x - 3}{5}) + 28
: g(x) = 25(\frac{x^2 - 6x +9}{25}) + 10x - 30 + 28
: g(x) = x^2 + 4x + 7

* Tentukan f(x) dari g(x) = x^2 + 4x + 7
;a f(g(x)) = 5x^2 + 20x + 38!
;b g(f(x)) = 25x^2 + 50x + 28!

a
: f(g(x)) = 5x^2 + 20x + 38
: f(x^2 + 4x + 7) = 5x^2 + 20x + 38
: f(x^2 + 4x + 7) = 5x^2 + 20x + 35 - 35 + 38
: f(x^2 + 4x + 7) = 5(x^2 + 4x + 7) + 3
: f(x) = 5x + 3

b
: g(f(x)) = 25x^2 + 50x + 28
: (f(x))^2 + 4 f(x) + 7 = 25x^2 + 50x + 28
: (f(x))^2 + 4 f(x) + 4 - 4 + 7 = 25x^2 + 50x + 25 - 25 + 28
: (f(x) + 2)^2 + 3 = (5x + 5)^2 + 3
: f(x) + 2 = 5x + 5
: f(x) = 5x + 3

## Referensi


## Lihat pula

* Fungsi invers
* Komposisi fungsi
* Himpunan
* Relasi biner