Teorema Rolle

Dalam kalkulus, **teorema Rolle** pada dasarnya menyatakan fungsi terdiferensialkan dan kontinu, yang memiliki nilai sama pada dua titik, mestilah memiliki titik stasioner yang terletak di antara kedua titik tersebut. Pada titik stasioner ini, gradien garis singgung terhadap fungsi tersebut sama dengan nol.

## Versi standar

Bila sebuah fungsi riil  kontinu pada selang tertutup , terdiferensialkan pada selang terbuka , dan , maka ada bilangan  dalam selang terbuka  sedemikian sehingga

:f'(c) = 0.\,

Versi teorema Rolle ini digunakan untuk membuktikan teorema nilai purata, yang merupakan kasus umum dari teorema Rolle.

## Perumuman
Contoh berikut mengilustrasikan perumuman dari teorema Rolle: Misalkan terdapat fungsi kontinu bilangan riil  di selang tertutup  dengan . Bila, untuk setiap  di selang terbuka , dengan limit kananf'(x+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}dan limit kirif'(x-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}ada di suatu garis bilangan riil yang diperluas [-\infty,\infty], maka ada suatu bilangan  pada selang terbuka  sehingga salah satu dari dua limit f'(c+) dan f'(c-)lebih besar dari sama dengan 0 dan yang lainnya lebih kecil dari sama dengan 0 (di garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap **, maka limit ini sama pada khususnya untuk . Jadi turunan  ada pada  dan sama dengan nol.

Bila  adalah fungsi cekung atau cembung, maka turunan kiri atau kanan ada di setiap titik dalam, sehingga kedua limit di atas ada dan merupakan bilangan riil. Versi teorema Rolle yang diperumum ini cukup untuk membuktikan kecekungan fungsi bila salah satu turunan sepihak menaik secara monoton:f'(x-) \le f'(x+) \le f'(y-)dengan x .

### Pembuktian
Tujuan pembuktian ini bahwa bila , maka  harus mencapai nilai maksimum atau minimum di suatu titik di antara  dan , katakanlah titik tersebut diberi lambang . Fungsi tersebut juga harus berubah dari fungsi menaik hingga menurun (atau sebaliknya) di . Secara khusus, bila turunannya ada, maka nilainya harus nol di .

Berdasarkan asumsi, diketahui bahwa  kontinu di , dan menurut teorema nilai ekstrem,  mencapai nilai maksimum maupun minimumnya di . Bila keduanya tercapai di titik batas , maka  adalah fungsi konstan di , dan turunannya akan sama dengan nol pada setiap titik di . Misalkan bila nilai maksimum diperoleh di titik dalam  di selang  (argumen untuk nilai minimumnya mirip, seperti pada -f), maka dapat diperiksa limit kanan dan kiri. Untuk suatu  bilangan real sehingga  ada di , nilai  lebih kecil atau sama dengan , sebab  mencapai nilai maksimumnya di . Karena itu, untuk setiap ,\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,dan karena itu,f'(c+):=\lim_{h\searrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,dengan limit tersebut ada berdasarkan asumsi, yang bisa saja menuju ke negatif tak terhingga. Hal ini juga berlaku sama untuk sebaliknya, yakni: untuk setiap , tanda pertidaksamaan tersebut berbalik arah karena penyebutnya bernilai negatif. Dengan demikian, didapatkan bahwa\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,dan karena ituf'(c-):=\lim_{h\nearrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,dengan limit tersebut bisa saja menuju ke positif tak terhingga. Setelah mendapatkan bahwa limit kanan dan kiri tersebut sama, terutama bila  terdiferensialkan, maka turunan dari  di  haruslah nol.

## Contoh

### Contoh pertama

Untuk jari-jari , misalkan terdapat fungsif(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r].Grafik fungsi tersebut menggambarkan setengah lingkaran atas yang berpusat pada titik asal. Fungsi ini kontinu di selang tertutup  dan terdiferensialkan dalam selang terbuka , tetapi tidak terdiferensialkan di titik akhir  dan . Karena , maka berlaku teorema Rolle, dan demikian terdapat suatu titik dengan turunan dari  sama dengan nol. Perhatikan bahwa teorema tersebut berlaku, dan bahkan ketika fungsi tidak terdiferensialkan di titik akhir, karena hanya memerlukan fungsi tersebut menjadi terdiferensialkan dalam selang terbuka.

### Contoh kedua

Jika keterdiferensialan itu gagal di titik dalam selang, dapat disimpulkan bahwa teorema Rolle tidak dapat berlaku. Misalkan suatu fungsi nilai mutlakf(x) = |x|,\qquad x\in[-1,1],maka . Akan tetapi, tidak ada nilai  di antara −1 dan 1 pada nilai  yang sama dengan nol. Itu karena fungsi tersebut tidak terdiferensialkan di nilai , walaupun fungsi tersebut kontinu. Perhatikan bahwa turunan dari  mengubah tandanya di , tetapi tanpa mencapai nilai 0, dan karena itu teorema Rolle tidak dapat diterapkan pada fungsi ini, sebab tidak memenuhi syarat bahwa fungsi harus terdiferensialkan untuk setiap nilai  di selang terbuka. Namun, ketika syarat keterdiferensialan dihilangkan dari teorema Rolle, fungsi  akan tetap memiliki titik kritis di selang terbuka , tetapi sayangnya hal tersebut tidak dapat menghasilkan garis singgung yang horizontal.

## Perumuman untuk turunan dengan tingkat yang lebih tinggi

Teorema Rolle dapat diperumum dengan mensyaratkan bahwa  memiliki lebih banyak titik dengan nilai yang sama dan keteraturan yang lebih besar. Secara khusus, misalkan bahwa
* fungsi   terdiferensialkan secara kontinu sebanyak  kali di selang tertutup , dan terdapat turunan ke- di selang terbuka ; serta
* terdapat  selang yang dinyatakan dengan  di  sehingga  untuk setiap nilai  yang berawal dari 1 hingga nilai .
Maka, terdapat suatu bilangan  di  turunan ke- dari  dengan nilai  sama dengan nol.

### Pembuktian
Perumuman ini dibuktikan melalui induksi. Misalkan , maka akan memperlihatkan versi standar teorema Rolle. Untuk , anggap bahwa perumuman tersebut benar untuk . Agar ingin membuktikannya untuk , asumsi fungsi  memenuhi hipotesis teorema. Berdasarkan versi standar, untuk setiap bilangan bulat  yang berawal dari 1 ke , terdapat suatu  di selang terbuka  sehingga . Oleh karena itu, turunan pertama memenuhi asumsi di  selang tertutup . Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa berdasarkan hipotesis melalui induksi, terdapat suatu  sehingga turunan ke- dari  di  sama dengan nol.

## Catatan kaki

## Pranala luar
* Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-rata pada cut-the-knot