Fungsi linear (kalkulus)

Dalam matematika, istilah **fungsi linear** dapat mengacu kepada salah satu dari dua konsep berbeda namun berhubungan:
* Fungsi polinomial orde satu, satu variabel;
* Peta antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor dan perkalian skalar

## Geometri analitis

Dalam geometri analitis, istilah *fungsi linear* kadang-kadang digunakan dengan maksud fungsi polinomial orde satu dari variabel tunggal. Fungsi ini disebut linear karena grafiknya pada bidang Cartesius adalah garis lurus.

Fungsi seperti itu dapat ditulis sebagai:

: f(x) = mx + b
: (y-y1) = m(x-x1)
: 0 = Ax + By + C

dengan m dan b adalah konstanta riil dan x adalah variabel riil. Konstana m disebut sebagai gradien atau kemiringan, sedangkan b memberikan titik perpotongan antara grafik fungsi tersebut dengan sumbu y. Mengubah y membuat garis tersebut lebih curam atau landai, sementara mengubah b akan menggerakkan garis ke atas atau ke bawah.

Contoh fungsi yang grafiknya berupa garis lurus adalah:

* f_{1}(x) = 2x+1
* f_{2}(x) = x/2+1
* f_{3}(x) = x/2-1.

Grafiknya ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan.

## Ruang vektor

Dalam matematika lanjut, sebuah *fungsi linear* berarti fungsi yang merupakan pemetaan linear, yaitu pemetaan antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor dan perkalian skalar.

Contohnya, bila x dan f(x) direpresentasikan sebagai vektor koordinat, maka fungsi linear adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai:

:f(x) = \mathrm{M}x,

dengan M adalah matriks. Sebuah fungsi

:f(x) = mx + b

adalah peta linear jika dan hanya jika b = 0. Untuk nilai lain dari b, fungsi ini tergolong dalam kelas yang lebih umum, yaitu peta afin

## Sifat
Fungsi linear adalah fungsi polinomial di mana variabel  memiliki paling banyak satu derajat:
:f(x)=ax+b.
Fungsi seperti itu disebut * linear * karena grafik, himpunan semua titik (x,f(x)) dalam bidang Kartesius, adalah garis. Koefisien * a * disebut * slope * dari fungsi dan garis (lihat di bawah).

Jika kemiringannya a=0, ini adalah * fungsi konstan * f(x)=b mendefinisikan garis horizontal, yang dikecualikan beberapa penulis dari kelas fungsi linier. Dengan definisi ini, derajat polinomial linier adalah tepat satu, dan grafiknya adalah garis yang tidak vertikal maupun horizontal. Namun, di artikel ini, a\neq 0 diperlukan, sehingga fungsi konstan akan dianggap linear.

Jika b=0 maka fungsi linier dikatakan * homogen *. Fungsi tersebut mendefinisikan garis yang melewati asal sistem koordinat, yaitu titik (x,y)=(0,0). Dalam teks matematika tingkat lanjut, istilah * fungsi linier * sering menunjukkan fungsi linier homogen khusus, sedangkan istilah fungsi affine digunakan untuk kasus umum, yang mencakup b\neq0.

Domain alami dari fungsi linear f(x), himpunan nilai masukan yang diperbolehkan untuk , adalah seluruh himpunan bilangan riil, x\in \mathbb R. Anda juga dapat mempertimbangkan fungsi seperti itu dengan  dalam sembarang medan, mengambil koefisien  in that field.

Grafik y=f(x)=ax+b adalah garis non-vertikal yang memiliki tepat satu persimpangan dengan sumbu , titik potongnya  (x,y)=(0,b). Nilai intersep  y=f(0)=b juga disebut * nilai awal * dari f (x). Jika a\neq 0, grafiknya adalah garis non-horizontal yang memiliki tepat satu persimpangan dengan sumbu , -titik potong (x,y)=(-\tfrac ba,0). -nilai intersep x=- \tfrac ba, solusi dari persamaan f(x) = 0, juga disebut *akar* atau '' nol '' dari f(x).

## Titik potong-lereng, kemiringan titik, dan bentuk dua titik
Fungsi linier tertentu f(x) dapat ditulis dalam beberapa rumus standar yang menampilkan berbagai propertinya. Yang paling sederhana adalah * bentuk titik potong-kemiringan *':
:f(x)= ax+b,
dari mana seseorang dapat langsung melihat kemiringan * a * dan nilai awal f(0)=b, yang merupakan * y * - perpotongan dari grafik y=f(x).

Diberikan kemiringan * a * dan satu nilai yang diketahui f(x_0)=y_0, kami menulis * bentuk kemiringan titik *:
:f(x) = a(x{-}x_0)+y_0.
Dalam istilah grafis, ini memberikan garis y=f(x) dengan kemiringan * a * melewati titik tersebut (x_0,y_0).

* Bentuk dua titik * dimulai dengan dua nilai yang diketahui f(x_0)=y_0 dan f(x_1)=y_1. Satu menghitung kemiringan a=\tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0} dan memasukkannya ke dalam bentuk kemiringan titik:
:f(x) = \tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x{-}x_0\!) + y_0.
Grafiknya y=f(x) adalah garis unik yang melewati titik-titik (x_0,y_0\!), (x_1,y_1\!). Persamaannya y=f(x) dapat juga ditulis untuk menekankan kemiringan konstan:
:\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}.

## Hubungan dengan kelas fungsi lainnya

Jika koefisien variabel tidak nol (), maka fungsi linier diwakili oleh a derajat 1 polinomial (juga disebut * polinomial linear *), jika tidak, ini adalah fungsi konstan - juga fungsi polinomial, tetapi derajat nol.

Sebuah garis lurus, ketika digambar dalam jenis sistem koordinat yang berbeda dapat mewakili fungsi lain.

Misalnya, ini mungkin mewakili fungsi eksponensial ketika nilai diekspresikan dalam skala logaritmik. Artinya ketika  adalah fungsi linier dari , fungsi  adalah eksponensial. Dengan fungsi linier, menambah input sebesar satu unit menyebabkan output meningkat dengan jumlah yang tetap, yang merupakan kemiringan grafik fungsi. Dengan fungsi eksponensial, menambah input sebesar satu unit menyebabkan output meningkat dengan kelipatan tetap, yang dikenal sebagai basis dari fungsi eksponensial.

Jika * keduanya * argumen dan nilai suatu fungsi berada dalam skala logaritmik (yaitu, ketika  adalah fungsi linier dari ), maka garis lurus melambangkan hukum pangkat:
:\log_r y = a \log_r x + b \quad\Rightarrow\quad y = r^b\cdot x^a

Di sisi lain, grafik dari fungsi linear dalam hal koordinat polar:
:r =f(\theta ) = a\theta  + b
adalah spiral Archimedean if a \neq 0 dan lingkaran sebaliknya.

## Lihat pula
* Fungsi (matematika)
* Fungsi nonlinear
* Interpolasi linear

## Catatan


## Referensi
* James Stewart (2012), *Calculus: Early Transcendentals*, edition 7E, Brooks/Cole. 
* 

## Pranala luar
* Linear Functions on Id Mind 
* Interactive tool to explore linear functions