Notasi Leibniz

*dy**dx*

*d*2*y**dx*2



Dalam kalkulus, **notasi Leibniz**, dinamakan untuk menghormati filsuf dan matematikawan Jerman abad ke-17 Gottfried Leibniz, menggunakan simbol d*x* dan d*y* untuk melambangkan pertambahan "kecil takhingga" (atau infinitesimal) dari *x* dan *y*, sebagaimana Δ*x* dan Δ*y* melambangkan pertambahan hingga dari *x* dan *y*. Untuk *y* sebagai fungsi dari *x*

:y=f(x) \,,

turunan *y* terhadap *x*, yang kemudian dipandang sebagai

:\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x},

adalah, menurut Leibniz, hasil bagi dari pertambahan kecil takhingga dari *y* oleh pertambahan kecil takhingga *x*, atau

:\frac{dy}{dx}=f'(x),

dengan ruas kanan adalah notasi Lagrange untuk turunan *f* di *x*.

Meskipun sekarang matematikawan memandang integral

:\int f(x)\,dx

sebagai limit

:\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{i} f(x_i)\,\Delta x,

dengan Δ*x* adalah selang yang mengandung *x**i*, Leibniz memandangnya sebagai jumlahan (lambang integral menandakan penjumlahan) kuantitas infinitesimal yang banyaknya takhingga *f*(*x*)&nbsp;d*x*.

Salah satu kelebihan sudut pandang Leibniz adalah kesesuaiannya dengan analisis dimensi. Sebagai contoh, dalam notasi Leibniz, turunan kedua (menggunakan penurunan implisit) adalah

:\frac{d^2 y}{dx^2}=f*(x)</math>

dan memiliki satuan dimensi yang sama dengan <math>\frac{y}{x^2}</math>.

==Notasi Leibniz untuk diferensiasi==

Misalkan nilai a dari [[Variabel dependen dan independen#Matematika|variabel dependen]] pada nilai  yang mendukung fungsi  dari nilai variabel independen pada , yaitu

:<math>y=f(x).</math>

Setelah itu hasil turunan dari fungsi , dalam [[Notasi matematika|Notasi]] Leibniz untuk [[turunan|diferensiasi]], dapat ditulis sebagai

:<math>\frac{dy}{dx}\,\text{ atau }\frac{d}{dx}y\,\text{ atau }\frac{d\bigl(f(x)\bigr)}{dx}.</math>

Ekspresi Leibniz, terkadang tertulis  salah satu dari beberapa notasi yang digunakan dalam turunan dan fungsi turunan. Alternatif yang umum adalah [[Notasi Lagrange]]

:<math>\frac{dy}{dx}\, = y' = f'(x).</math>

Alternatif lain adalah [[Notasi untuk diferensiasi#Notasi Newton|Notasi Newton]], yang sering digunakan untuk turunan terhadap waktu (seperti [[kecepatan]]), yang memerlukan penempatan titik di atas  ):

:<math>\frac{dx}{dt} = \dot{x}.</math>

Notasi "[[Prima (simbol)|prima]]" Lagrange sangat berguna dalam diskusi fungsi turunan atau memiliki keuntungan karena memiliki cara alami untuk menunjukkan nilai fungsi turunan

Dalam interpretasi modern, ekspresi pada  seharusnya tidak terbaca sebagai pembagian dua besaran  dan  (seperti yang dibayangkan Leibniz) sebaliknya, keseluruhan ekspresi harus dilihat sebagai simbol tunggal yang merupakan singkatan

:<math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}</math>

(Catatan  vs. , darimana nilai  menunjukkan perbedaan yang terbatas).

Ekspresi tersebut dapat dianggap juga sebagai penerapan [[operator diferensial]]  ke , dianggap sebagai fungsi dari nilai . Operator tersebut tertulis  dalam [[Notasi untuk diferensiasi#Notasi Euler|Notasi Euler]]. Leibniz tidak menggunakan bentuk ini, tetapi menggunakan simbolnya yaitu  berhubungan erat dengan konsep modern ini.

Meskipun tidak ada pembagian yang tersirat oleh notasi leibniz, notasi seperti pembagian yang lebih berguna karena dalam banyak situasi, operator turunan berperilaku seperti pembagian, membuat beberapa hasil tentang derivatif.
Notasi ini berutang umur panjang pada kenyataan bahwa ia tampaknya mencapai inti dari aplikasi geometri dan mekanis kalkulus..

== Notasi Leibniz untuk turunan yang lebih tinggi ==

Jika nilai , the  turunan dari nilai  dalam notasi Leibniz dirumuskan,

:<math>f^{(n)}(x) = \frac{d^ny}{dx^n}.</math>

Notasi tersebut digunakan untuk [[turunan kedua]] yang diperoleh dengan menggunakan rumus [[Notasi Leibniz#Notasi Leibniz untuk diferensiasi|]] sebagai operator dengan cara berikut,
:<math>\frac{d^2y}{dx^2} \,=\, \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math>

Turunan ketiga, yang dapat ditulis sebagai

:<math>\frac{d \left(\frac{d \left( \frac{dy}{dx}\right)}{dx}\right)}{dx}\,,</math>

Anda bisa mendapatkannya dari

:<math>\frac{d^3y}{dx^3} \,=\, \frac{d}{dx}\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right) \,=\, \frac{d}{dx}\left( \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\right).</math>

Demikian pula, turunan yang lebih tinggi dapat diperoleh secara induktif.
 
Mungkin, dengan definisi yang dipilih dengan cermat, untuk menafsirkannya pada nilai  sebagai hasil bagi dari [[Diferensial (matematika)|diferensial]] tersebut tidak boleh dilakukan dengan bentuk orde yang lebih tinggi.

Notasi Leibniz tidak bisa digunakan oleh [[leibniz]]. Dalam cetakan leibniz tidak menggunakan notasi multi-tier atau [[Eksponensiasi|eksponen]] numerik (sebelum 1695). Untuk menulis nilai  misalkan, dia akan menulis nilai , seperti biasa pada umumnya. Kuadrat dari suatu diferensial, seperti yang muncul dalam rumus pada [[panjang busur]] misalkan, dapat ditulis sebagai . Namun, Leibniz memang menggunakan miliknya sendiri yaitu nilai  notasi seperti yang kita gunakan saat ini operator tersebut akan menulis turunan kedua sebagai nilai  dan turunan ketiga tersebut sebagai . Pada tahun 1695 Leibniz mulai menulis rumus yaitu  dan  dari nilai  dan . Akan tetapi dalam metode [[Guillaume de l'Hôpital|l'Hôpital]], dalam buku teksnya tersebut tentang kalkulus yang ditulis sekitar waktu yang sama dalam menggunakan bentuk asli Leibniz.

== Gunakan dalam berbagai rumus ==
Salah satu alasan mengapa notasi Leibniz dalam kalkulus bertahan begitu lama, mengapa? karena notasi tersebut memungkinkan untuk mengingat dengan mudah rumus yang tepat yang digunakan untuk diferensiasi dan integrasi. Dalam [[aturan rantai]] misalkan fungsi pada  dibedakan pada nilai  dan  dibedakan menjadi . Kemudian fungsi komposit  dibedakan menjadi  dan turunannya dapat dinyatakan dalam notasi Leibniz sebagai,
:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math>
Hal ini dapat digeneralisasikan untuk menangani gabungan dari beberapa fungsi yang ditentukan yang terkait dengan tepat,  dan akan diekspresikan sebagai:

:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du_1} \cdot \frac{du_1}{du_2} \cdot \frac{du_2}{du_3}\cdots \frac{du_n}{dx}.</math>

Juga, rumus [[integral dengan substitusi]] dapat didekripsikan oleh

:<math>\int y \, dx = \int y \frac{dx}{du} \, du,</math>

Darimana nilai  adalah fungsi dari suatu variabel yang baru  dan pada fungsi  di sebelah bagian kiri dapat didekripsikan dalam bentuk nilai  sedangkan di sebelah kanan dinyatakan dalam nilai .

Jika rumus  darimana nilai  adalah fungsi yang dapat dibedakan [[Fungsi terbalik|dengan dibalik]] dari turunan pada [[fungsi invers]], jika dapat diberikan oleh:
:<math>\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\left( \frac{dy}{dx} \right)},</math>
Darimana tanda kurung yang ditambahkan untuk menekankan fakta bahwa turunannya bukan pecahan.

Salah satu jenis [[persamaan diferensial]] paling sederhana adalah: 
:<math>M(x) + N(y) \frac{dy}{dx} = 0,</math>
Darimana nilai  Dan nilai  adalah fungsi berkelanjutan. Menyelesaikan (secara implisit) persamaan tersebut dapat dilakukan dengan memeriksa persamaan dalam [[bentuk diferensial]]:
:<math>M(x) dx + N(y) dy = 0</math>
dan mengintegrasikan untuk mendapatkan nilai:
:<math>\int M(x) \, dx + \int N(y) \, dy = C.</math>

== Pembenaran modern dari infinitesimals ==
- Dalam pengembangan -


== Lihat pula ==
* [[Notasi Newton]]

== Referensi ==


== Catatan ==
*}{dx}</math>, atau, dalam kata lain * diferensial kedua dari y terhadap kuadrat dari diferensial pertama dari x*. Penyebut bukanlah diferensial dari&nbsp;*x*<sup>2</sup>, atau diferensial kedua dari&nbsp;*x''.}}}