Teorema nilai purata

**Teorema nilai purata** atau **teorema nilai rata-rata** menyatakan bahwa pada sembarang bagian kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana turunan (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) "rata-rata" turunan bagian kurva tersebut. Teorema ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik di selang tersebut.

Teorema ini dapat dipahami dengan menerapkannya pada gerakan: bila sebuah mobil menempuh jarak 100&nbsp;km dalam satu jam, sehingga *rata-rata* kecepatannya dalam waktu itu adalah 100&nbsp;km/jam, maka pada suatu waktu dalam perjalanan itu laju sesaat mobil haruslah tepat 100&nbsp;km/jam.

Versi awal teorema ini pertama kali diperikan oleh Parameshvara (1370–1460) dari mazhab astronomi dan matematika Kerala dalam komentarnya tentang Govindasvāmi and Bhaskara II. Bentuk modern teorema nilai rata-rata dinyatakan oleh Augustin Louis Cauchy (1789–1857)

Teorema nilai rata-rata merupakan salah satu hasil terpenting dalam kalkulus diferensial, dan juga salah satu teorema penting dalam analisis matematika, dan esensial dalam membuktikan teorema dasar kalkulus.

## Sejarah

Kasus khusus teorema ini pertama kali dijelaskan oleh Parameshvara (1370–1460), dari Sekolah Astronomi dan Matematika Kerala di India, dalam komentarnya tentang Govindasvāmi dan Bhāskara II. Suatu bentuk teorema terbatas dibuktikan oleh Michel Rolle pada tahun 1691; hasilnya adalah apa yang sekarang dikenal sebagai Teorema Rolle, dan terbukti hanya untuk polinomial, tanpa teknik kalkulus. Teorema nilai rata-rata dalam bentuk modernnya dinyatakan dan dibuktikan oleh Augustin Louis Cauchy pada tahun 1823.

## Pernyataan formal

: Misalkan *f*: [*a*, *b*] → **R** adalah fungsi kontinu pada selang tertutup [*a*, *b*], and dan terdiferensialkan pada selang terbuka (*a*, *b*), di mana  Maka terdapat suatu *c* dalam (*a*, *b*) sehingga
::f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Teorema nilai rata-rata adalah generalisasi teorema Rolle, yang menganggap *f*(*a*) = *f*(*b*), sehingga ruas kanan persamaan di atas adalah nol.

Teorema nilai rata-rata masih sahih dalam keadaan yang lebih umum. Kita hanya perlu mengasumsikan bahwa *f*:[*a*, *b*] → **R** adalah kontinu dalam selang [*a*, *b*], dan untuk setiap *x* dalam (*a*, *b*), limitnya adalah

:\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

ada sebagai bilangan terhingga atau sama dengan +∞ atau −∞. Bila berhingga, limit tersebut sama dengan *f'&nbsp;*(*x*). Contoh versi teorema ini berlaku diberikan oleh fungsi riil akar kubik yang memetakan *x* ke *x*1/3, yang turunannya mengarah ke takhingga di titik asal.

Perhatikan bahwa teorema ini tidak berlaku bila fungsi terdiferensialkan itu bernilai kompleks, alih-alih bernilai riil. Sebagai contoh, definisikan f(x) = e^{ix} untuk semua *x* bernilai riil. Maka

:f(2\pi) - f(0) = 0 = 0 (2\pi - 0),
sedangkan
:|f '(x)| = 1.

## Bukti

Pernyataan (*ƒ*(*b*)&nbsp;−&nbsp;*ƒ*(*a*))&nbsp;/&nbsp;(*b*&nbsp;−&nbsp;*a*) memberikan kemiringan garis yang menghubungkan titik (*a*,&nbsp;*ƒ*(*a*)) dan (*b*,&nbsp;*ƒ*(*b*)), yang merupakan garis sekan (tali busur) grafik fungsi *f*, sementara *ƒ*&nbsp;′(*x*) memberikan kemiringan garis singgung kurva di titik (*x*,&nbsp;*ƒ*(*x*)). Maka teorema nilai purata menyebutkan bahwa kita dapat menemukan titik yang berada di antara titik-titik ujung garis sekan tersebut sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar dengan garis sekan.

Definisikan *g*(*x*)&nbsp;= *ƒ*(*x*)&nbsp;−&nbsp;*rx*, di mana *r* adalah konstanta. Karena *ƒ* kontinu pada [*a*,&nbsp;*b*] dan terdiferensialkan pada(*a*,&nbsp;*b*), hal yang sama juga berlaku buat *g*. Kita sekarang ingin memilih *r* sedemikian sehingga *g* memenuhi syarat teorema Rolle, yaitu

:\begin{align}g(a)=g(b)&\Leftrightarrow f(a)-ra=f(b)-rb\\&\Leftrightarrow r=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot\end{align}

Menurut teorema Rolle, karena *g* kontinu, dan *g*(*a*)&nbsp;= *g*(*b*), terdapat suatu *c* dalam (*a*,&nbsp;*b*) sedemikian sehingga *g*&nbsp;′(*c*) = 0, dan dari persamaan *g*(*x*)&nbsp;= *ƒ*(*x*)&nbsp;−&nbsp;*rx* berarti

:f '(c)=g '(c)+r=0+r=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

seperti yang hendak dibuktikan.

## Teorema nilai purata untuk integral

## Rujukan

## Pranala luar
*  PlanetMath: Mean-Value Theorem 
* Mathworld: Mean-Value Theorem