Poligon

Dalam geometri, **poligon** atau **segi banyak** adalah bangun datar yang digambarkan dengan jumlah terhingga dari garis lurus yang terhubung, sehingga membentuk sebuah rantai poligonal (atau sirkuit poligonal) yang tertutup.

Ruas garis dari sirkuit poligonal disebut sebagai sisi. Perpotongan dari dua sisi pada poligon dikenal sebagai titik sudut. **Segi-''n*** adalah sebuah poligon yang mempunyai <math>n</math> sisi, contohnya, segi-3 ([[segitiga]]).

[[Poligon sederhana]] adalah sebuah poligon yang tidak saling berpotongan diri. Akan tetapi, para matematikawan sering kali hanya melibatkan rantai poligonal terbatas dari poligon sederhana, dan karena itu mereka sering kali mendefinisikannya sebagai poligon. Sebuah batas poligonal dapat diperbolehkan untuk berpotongan terhadap dirinya, sehingga mengakibatkan terbentuknya [[poligon bintang]] dan [[Daftar poligon berpotongan diri|poligon yang saling berpotongan diri]] lainnya.

Poligon merupakan contoh bangun dimensi dua dari [[politop]] yang lebih umum dalam sebarang dimensi. Banyak [[Poligon#Perumuman|perumumannya]] yang didefinisikan untuk tujuan lain.

== Etimologi ==
Kata *poligon *berasal dari kata sifat [[bahasa Yunani|Yunani]], πολύς (*polús*), berarti "banyak", dan γωνία (*gōnía*), berarti "sudut". Akan tetapi, ada yang mengatakan bahwa kata Yunani γόνυ (*gónu*), berarti "kaki", dapat berawal dari kata *gon*.

== Penggolongan ==


=== Jumlah sisi ===
Poligon digolongkan berdasarkan jumlah sisinya. Lihat [[#Penamaan|tabel di bawah]].

=== Konveksitas dan non-konveksitas ===
Poligon dapat dicirikan berdasarkan jenis konveksitas (kecembungan) atau non-konveksitas:
* Poligon [[poligon cembung|konveks]] atau [[poligon cembung|cembung]]: sebarang garis yang ditarik melalui poligon (dan tidak menyinggung sisi atau titik sudut) akan bertemu ke batas poligon, tepatnya dua. Akibatnya, semua sudut dalam kurang dari 180°. Dengan kata lain, untuk sebarang ruas garis dengan titik akhir di batas poligon, hanya akan melewati titik dalam di sekitar titik akhir.
* Poligon non-cembung: sebuah garis dapat ditemukan ketika bertemu ke batasnya lebih dari dua kali. Dengan kata lain, terdapat sebuah ruas garis di antara dua titik batas yang melalui poligon.
* [[Poligon sederhana]]: batas poligon tidak menyilang dirinya sendiri. Semua poligon cembung berbentuk sederhana.
* [[Poligon cekung]]: poligon yang non-cembung (tidak cembung) dan sederhana. Pada poligon ini, setidaknya ada satu buah sudut dalam yang lebih besar dari 180°.
* [[Poligon berbentuk bintang]]: seluruh titik dalam terlihat dan setidaknya ada satu buah, tanpa melewati sebarang sisi. Poligon harus berbentuk sederhana, serta dapat berbentuk cembung atau cekung. Selain itu, semua poligon cembung juga berbentuk bintang.
* [[Daftar poligon yang berpotongan diri|Poligon tak berpotongan diri]]: batas poligon yang tidak memotong diri.
* [[Poligon bintang]]: poligon tidak beraturan secara teratur. Poligon ini tidak boleh berbentuk bintang.

=== Kesetaraan dan simetri ===
* [[Poligon sama sudut]]: semua sudut di titik sudut adalah sama.
* [[Poligon sama sisi]]: semua sisi memiliki panjang yang sama.
* [[Poligon beraturan]]: sebuah poligon berarti mempunyai sudut dan sisi yang sama.
* [[Poligon siklik]]: semua sudut yang terletak di sebuah [[lingkaran]] yang disebut [[lingkaran luar]].
* [[Poligon singgung]]: semua sisi bersinggungan dengan [[lingkaran bertuliskan]].
* Isogonal: semua sudut berada di dalam [[orbit simetri]] yang sama. Poligon ini juga berbentuk siklik dan mempunyai sisi yang sama.
* Isotoksal: semua sisi berada di dalam [[orbit simetri]] yang sama. Poligon ini juga merupakan poligon singgung dan mempunyai sisi yang sama.

=== Lain-lain ===
* [[Poligon rektilinear]]: sisi-sisi poligon bertemu di sudut siku-siku, dalam artian bahwa semua sudut dalam bernilai 90° atau 270°.
* [[Poligon monoton]] terhadap garis <math>L</math> yang diketahui: setiap garis [[Ortogonal (geometri)|ortogonal]] ke <math>L</math> memotong poligon setidaknya dua kali.

== Sifat-sifat dan rumus ==
=== Sudut ===

Sebarang poligon memiliki banyak sudut yang sama dengan banyaknya sisi. Masing-masing sudut di poligon memiliki beberapa sudut. Dua sudut yang terpenting, di antaranya:
* [[Sudut dalam]]: Jumlah dari sudut dalam segi-<math>n</math> sederhana sama dengan <math>(n-2) \times \pi</math> [[radian]] (atau dalam bentuk [[derajat (sudut)|derajat]], <math>(n-2) \times 180^\circ</math>). Ini dikarenakan sebarang segi-*n* sederhana (poligon yang memiliki *n* sisi) dapat dipandang mempunyai <math>n-2</math> segitiga, sehingga jumlah dari masing-masing sudut sama dengan π radian atau 180 derajat. Ukuran dari sebarang sudut dalam dari segi-*n* beraturan cembung bernilai <math>\left(1-\tfrac{2}{n}\right)\pi</math> radian atau <math>180-\tfrac{360}{n}</math> derajat. Sudut dalam dari [[poligon bintang]] beraturan pertama kali dipelajari oleh Poinsot. Pada makalah tersebut, Poinsot menjelaskan empat [[Polihedron Kepler–Poinsot|polihedron bintang beraturan]] sebagai berikut: untuk sebuah segi-<math>\tfrac{p}{q}</math> (sebuah segi-<math>p</math> dengan kepadatan pusat <math>q</math>), maka masing-masing sudut dalam bernilai <math>\tfrac{\pi(p-2q)}{p}</math> radian atau <math>\tfrac{180(p-2q)}{p}</math> derajat.
* [[Sudut luar]]: Sudut luar adalah [[Sudut suplemen|suplemen]] dari sudut dalam. Ketika menggambar garis di suatu sisi segi-*n* cembung, maka sudut "berputar" ke suatu titik sudut yang merupakan sudut luar. Dengan menggambarnya di seluruh sisi poligon akan membentuk satu [[Putaran (geometri)|putaran]] penuh, sehingga jumlah sudut luar harus bernilai 360°. Argumen ini dapat diperumum untuk poligon sederhana cekung, jika sudut luar yang berputar ke arah berlawanan dikurangi dari total putaran. Dengan menggambarkannya di keliling segi-<math>n</math>, maka jumlah dari sudut luar (dalam artian, jumlah total yang berputar di titik sudut) sama dengan kelipatan bilangan bulat <math>d</math> dari 360°, sebagai contoh: 720° untuk [[pentagram]] dan 0° untuk [[antiparallelogram]], dengan *d* adalah [[Densitas (politop)|densitas]] atau *turning number* dari poligon. Lihat pula [[orbit (dinamika)]].

=== Luas ===
Misalkan titik sudut dari poligon dinyatakan sebagai <math>(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_{n - 1}, y_{n - 1})</math>. Penggunaan notasi  juga akan dipakai.

==== Poligon sederhana ====


Jika poligon tidak berpotongan diri (atau dengan kata lain, poligon tersebut [[poligon sederhana|sederhana]]), maka [[luas]] bertanda dirumuskan sebagai

<math display="block">A = \frac{1}{2}  \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) </math>

dengan <math>x_n = x_0</math> dan <math>y_n = y_0</math>. Luas dari poligon tersebut juga dapat menggunakan [[determinan]]<math display="block">16 L^{2} = \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} \begin{vmatrix}  Q_{i,j} & Q_{i,j+1}  \\
Q_{i+1,j} & Q_{i+1,j+1} \end{vmatrix} , </math>

dengan <math> Q_{i,j} </math> adalah jarak kuadrat di antara titik <math>(x_i, y_i)</math> dan <math>(x_j, y_j).</math>

Luas bertanda bergantung pada orde dari titik sudut dan orde dari [[orientasi (ruang vektor)|orientasi]] bidang. Secara umum, orientasi bernilai positif didefinisikan dengan memutar (ke lawan arah jarum jam) yang memetakan sumbu-<math>x</math> positif ke sumbu-<math>y</math> positif. Luas bertanda akan positif jika titik sudut diorde ke lawan arah jarum jam (dalam artian, berdasarkan orientasi bernilai positif), dan begitupula untuk kebalikannya, sehingga dengan demikian, rumus untuk luas poligon benar dalam [[nilai absolut|nilai mutlak]]. Rumus ini umum dikenal sebagai [[rumus tali sepatu]] atau *surveyor's formula* ().

Luas <math>A</math> dari poligon sederhana juga dapat dihitung jika diketahui panjang sisi <math>a_1,a_2,\dots,a_n</math> dan [[sudut luar]] <math>\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n</math>, dari

<math display="block">A = \frac12 (a_1[a_2 \sin(\theta_1) + a_3 \sin(\theta_1 + \theta_2) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})]
{} + a_2[a_3 \sin(\theta_2) + a_4 \sin(\theta_2 + \theta_3) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})]
{} + \cdots + a_{n-2}[a_{n-1} \sin(\theta_{n-2})]).</math>

Rumus ini dijelaskan oleh Lopshits pada tahun 1963.

Jika poligon dapat digambarkan di sebuah kisi yang berjarak sama, sehingga semua titik sudut adalah titik kisi, maka [[teorema Pick]] memberikan rumus sederhana untuk luas poligon berdasarkan jumlah titik kisi di dalam maupun di batas poligon, yang mengatakan: luas poligon sama dengan jumlah titik bilangan bulat di dalam poligon ditambah dengan setengah dari jumlah titik bilangan bulat di batas poligon, yang kemudian dikurangi 1.

Setiap poligon dengan keliling <math>p</math> dan luas <math>A</math>*,* berlaku [[pertidaksamaan isoperimetrik]] <math>p^2 > 4\pi A</math>.

Untuk dua poligon sederhana yang luasnya sama, [[teorema Bolyai–Gerwien]] mengatakan bahwa poligon pertama dapat dipotong menjadi potongan poligonal yang dapat disatukan kembali untuk membentuk poligon kedua.
==== Poligon beraturan ====
Terdapat banyak rumus khusus yang dipakai untuk luas [[poligon beraturan]]. Sebagai contoh, luas poligon beraturan dirumuskan dengan menggunakan jari-jari <math>r</math> (atau lebih tepatnya, [[apotema]]) dari [[lingkaran dalam]] dan keliling poligon<math display="block">A = \frac{1}{2} \cdot p \cdot r.</math>Luas segi-<math>n</math> beraturan dengan jari-jari <math>R</math> dari [[lingkaran luar]] dapat dinyatakan dengan menggunakan trigonometri:<math display="block">A = R^2 \cdot \frac{n}{2} \cdot \sin \frac{2\pi}{n} = R^2 \cdot n \cdot \sin \frac{\pi}{n} \cdot \cos \frac{\pi}{n}</math>Luas segi-<math>n</math> beraturan di dalam lingkaran berjari-jari satuan, dengan sisi <math>s</math> dan sudut dalam <math>\alpha</math>, juga dapat dinyatakan dengan menggunakan trigonometri:<math display="block">A = \frac{ns^{2}}{4}\cot \frac{\pi}{n} = \frac{ns^{2}}{4}\cot\frac{\alpha}{n-2} = n \cdot \sin \frac{\alpha}{n-2} \cdot \cos \frac{\alpha}{n-2}.</math>

=== Pusat massa ===
Dengan menggunakan konvensi yang sama untuk koordinat titik sudut seperti di bagian sebelumnya, koordinat dari pusat massa dari poligon sederhana padat dirumuskan sebagai

<math display="block">C_x = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_i + x_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i), </math><math display="block">C_y = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (y_i + y_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i).</math>

Pada kedua rumus tersebut, nilai bertanda dari luas <math>A</math> harus digunakan.
== Perumuman ==
Gagasan dari poligon diperumum melalui berbagai cara. Ada beberapa perumuman dari poligon yang lebih penting, di antaranya:
* [[Poligon bola]] adalah poligon yang mempunyai sirkuit dari busur lingkaran besar (yakni, sisi) dan titik sudut pada permukaan bola. Hal ini memungkinkan [[digon]], poligon yang hanya memiliki dua sisi dan dua titik sudut, yang tidak mungkin dilakukan pada bidang datar. Poligon bola memainkan peran penting dalam [[kartografi]] (pembuatan peta) dan dalam [[konstruksi Wythoff]] dari [[polihedron seragam]].
* [[Poligon pencong]] tidak terletak di bidang datar, melainkan di garis zigzag dalam dimensi tiga atau lebih. [[Poligon Petrie]] dari politop beraturan adalah contoh yang terkenal.
* [[Apeirogon]] adalah sebuah poligon yang mempunyai barisan tak hingga dari sisi dan sudut. Barisan tersebut tidak tertutup tetapi tidak punyai titik akhir, sebab barisan tersebut secara tak langsung memperluas ke dua arah.
* [[Apeirogon pencong]] adalah sebuah poligon yang mempunyai barisan tak hingga dari sisi dan sudut yang tidak terletak di sebuah bidang datar.
* [[Politop kompleks|Poligon kompleks]] adalah sebuah [[konfigurasi (politop)|konfigurasi]] yang mirip seperti poligon biasa. Yang membedakannya adalah poligon ini berada di [[bidang kompleks]] dari dua dimensi [[bilangan real]] dan dua dimensi [[bilangan imajiner]].
* [[Politop abstrak|Poligon abstrak]] adalah [[himpunan terurut parsial]] aljabar yang mewakili berbagai elemen (seperti sisi, titik sudut, dsb.) serta keterhubungannya. Sebuah poligon geometri real dikatakan sebagai *realisasi* dari poligon abstrak iring.
* [[Polihedron]] adalah benda padat dimensi tiga yang dibatasi oleh muka poligonal datar, mirip seperti poligon dalam dimensi dua yang dibatasi oleh sisi, Bentuk yang korespondensi dalam dimensi empat atau lebih disebut sebagai [[politop]].

== Penamaan ==
Kata *poligon* diambil dari [[bahasa Latin]] *polygōnum*, bahasa Yunani πολύγωνον (*polygōnon/polugōnon*, yang berarti "sudut banyak". Pemberian nama pada masing-masing poligon disesuaikan dengan jumlah sisi, dan gabungan dari [[awalan bilangan]] dalam [[bahasa Yunani]] dan akhiran -gon, sebagai contoh *pentagon* (mempunyai lima sisi), *dodekagon* (mempunyai dua belas sisi). Akan tetapi, terdapat pengecualian untuk penamaan tersebut seperti *nonagon*.

Penamaan ini juga dilakukan tanpa menggunakan kata serapan dari bahasa Latin maupun bahasa Yunani. Pemberian nama pada masing-masing poligon ditulis dari kata "segi-" dan jumlah sisi melalui angka. Sebagai contoh, *segitiga* (mempunyai tiga sisi), *segi empat'' (mempunyai empat sisi).

Untuk bilangan yang lebih besar, matematikawan biasanya menulis dengan menggunakan notasi numerik, atau dalam artian menggunakan angka. Sebagai contoh, segi-17 (atau segi tujuh belas) dan segi-257.

Poligon yang mempunyai jumlah sisi yang lebih dari 20 dan kurang dari 100 dinamakan dengan menggunakan awalan kata nama. Kata "kai" dapat dipakai untuk segi-13 dan poligon yang lebih tinggi darinya. Penggunaan kata "kai" dipakai oleh Kepler, dan kemudian Conway memperkenalkan penggunaan kata tersebut untuk menjelaskan awalan bilangan yang digabungkan dalam penamaan polihedron kuasiberaturan. Meskipun demikian, banyak sumber yang tidak memakai kata tersebut.

## Sejarah

Poligon telah lama dikenal sejak zaman dahulu. Poligon beraturan dipelajari orang Yunani kuno. Pentagram, sebuah poligon beraturan non-cembung (poligon bintang), ditemukan di krater Aristophonus, sebuah wadah yang ditemukan Caere, dan saat ini berada di Museum Capitolini.

Kajian tentang poligon non-cembung dimulai oleh Thomas Bradwardine yang hidup pada abad ke-14.

Pada tahun 1952, Geoffrey Colin Shephard memperumum gagasan tentang poligon bidang kompleks, dengan masing-masing dimensi real disertai dengan dimensi imaginer, untuk membangun poligon kompleks.

## Referensi