Daftar transformasi koordinat

**Daftar transformasi koordinat** berikut memuat transformasi sistem-sistem koordinat yang paling umum digunakan.

## 2-Dimensi
Diketahui (x, y) pada sistem koordinat Kartesius baku, serta r dan θ pada sistem koordinat polar baku.

### Dari koordinat polar ke koordinat Kartesius
:x=r\,\cos\theta \quad
:y=r\,\sin\theta \quad
:
\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\,\sin\theta  \\
\sin\theta & r\,\cos\theta
\end{pmatrix}


:
\det{\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}} =
r


### Dari koordinat Kartesius ke koordinat polar
:r=\sqrt{x^2 + y^2}
:\theta^\prime = \arctan\left|\frac{y}{x}\right|
Catatan: penghitungan \theta^\prime menghasilkan sudut resultan pada kuadran pertama (0). Untuk menghitung \theta, harus dirujuk pada koordinat Kartesius semua, tentukan kuadran di mana \theta terletak (misalnya (3,-3) [Kartesius] terletak pada kuadran 4 atau "QIV"), maka gunakan persamaan berikut untuk menghitung \theta:

:Untuk \theta^\prime in QI:
:\theta = \theta^\prime

:Untuk \theta^\prime in QII:
:\theta= \pi - \theta^\prime

:Untuk \theta^\prime in QIII:
:\theta = \pi + \theta^\prime 

:Untuk \theta^\prime in QIV:
:\theta = 2\pi - \theta^\prime 

Nilai \theta harus dihitung dengan cara ini karena semua nilai \theta, \tan\theta hanya didefinisikan untuk -\frac{\pi}{2}, dan bersifat periodik (dengan periode \pi). Artinya fungsi invers hanya menghasilkan nilai dalam domain fungsi itu, tetapi terbatas pada satu periode saja. Jadi, rentang fungsi invers hanyalah setengah lingkaran.

Perhatikan bahwa dapat pula digunakan
:r=\sqrt{x^2 + y^2}
:\theta^\prime = 2 \arctan \frac{y}{x+r}

### Dari koordinat log-polar ke koordinat Kartesius

:\begin{cases}x = e^\rho\cos\theta, \\ y = e^\rho\sin\theta.\end{cases}

Dengan menggunakan bilangan kompleks (x,y)=x+iy', transformasi dapat ditulis sebagai

: x + iy = e^{\rho+i\theta} \, 

yaitu diberikan oleh fungsi eksponensial kompleks.

### Dari koordinat Kartesius ke koordinat log-polar
:\begin{cases} \rho = \log\sqrt{ x^2 + y^2}, \\ \theta = \arctan \frac{y}{x}.  \end{cases}

### Dari koordinat bipolar ke koordinat Kartesius

:
x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}


:
y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}


### Dari koordinat two-center bipolar ke koordinat Kartesius

:
x = \frac{r_1^2-r_2^2}{4c}


:
y = \pm \frac{1}{4c}\sqrt{16c^2r_1^2-(r_1^2-r_2^2+4c^2)^2}


### Dari koordinat two-center bipolar ke koordinat polar
:
r = \sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2-2c^2}{2}}


:
\theta = \arctan \left[ \sqrt{\frac{8c^2(r_1^2+r_2^2-2c^2)}{r_1^2-r_2^2}-1}\right]


di mana 2*c* adalah jarak antara kutub-kutub.

### Dari persamaan Cesàro ke koordinat Kartesius

:
x = \int \cos \left[\int \kappa(s) \,ds\right] ds


:
y = \int \sin \left[\int \kappa(s) \,ds\right] ds


### Dari koordinat Kartesius ke panjang dan kurva Arc
\kappa = \frac{x'y*-y'x*}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}

s = \int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt

### Dari koordinat polar ke panjang dan kurva Arc
\kappa=\frac{r^2+2r'^2-rr*}{(r^2+r'^2)^{3/2}}</math>

<math>s = \int_a^\phi \sqrt { 1 + y'^2 }\, d\phi</math>

== 3-Dimensi ==
Diketahui (x, y, z) pada [[sistem koordinat Kartesius]] baku, dan (ρ, θ, φ) pada [[koordinat spherical]], dengan sudut θ diukur dari aksis +Z axis. Sebagaimana φ mempunyai rentang 360° pertimbangan yang sama dengan koordinat polar (2 dimensi) diterapkan bilamana diambil suatu arctangen. θ mempunyai rentang 180°, dari 0° ke 180°, dan tidak bermasalah jika dihitung dari suatu arckosinus, tetapi perhatikan untuk suatu arctangen.
Jika, dalam definisi alternatif, θ dipilih untuk rentang dari −90° ke +90°, dengan arah yang berlawanan dibandingkan definisi sebelumnya, maka dapat dihitung secara unik dari suatu arcsinus, tetapi hati-hati dengan arckotangen. Dalam kasus ini semua rumus berikut semua argumen θ harus ditukar sinus dan kosinus-nya, dan sebagai turunan juga harus ditukar tanda plus dan minusnya.

Semua pembagian oleh nol menghasilkan kasus-kasus khusus dengan arah di sepanjang aksis-aksis utama dan dalam praktik dapat dipecahkan dengan mudah melalui observasi.

=== Ke koordinat Kartesius ===
==== Dari koordinat spherical ====

:<math>{x}=\rho \, \sin\theta \, \cos\phi \quad </math>
:<math>{y}=\rho \, \sin\theta \, \sin\phi \quad </math>
:<math>{z}=\rho \, \cos\theta\quad </math>

:<math>
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \theta, \phi)} =
\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\phi & \rho\cos\theta\cos\phi & -\rho\sin\theta\sin\phi
\\
\sin\theta\sin\phi & \rho\cos\theta\sin\phi & \rho\sin\theta\cos\phi
\\
\cos\theta           & -\rho\sin\theta          & 0
\end{pmatrix}
</math>
sehingga untuk volume elemen:
:<math>
dx\;dy\;dz=\det{\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \theta, \phi)}} d\rho\;d\theta\;d\phi =
\rho^2 \sin\theta \; d\rho \; d\theta \; d\phi \;
</math>

==== Dari koordinat cylindrical ====

:<math>{x}={r} \,\cos\theta</math>
:<math>{y}={r} \, \sin\theta</math>
:<math>{z}={h} \,</math>

:<math>
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, h)} =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\
\sin\theta &  r\cos\theta & 0 \\
         0 &            0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
sehingga untuk volume elemen:
:<math>
dx\;dy\;dz=\det{\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, h)}} dr\;d\theta\;dh =
{r}\; dr \; d\theta \; dh \;

</math>

=== Ke koordinat Spherical ===
==== Dari koordinat Kartesius ====
:<math>{\rho}=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}</math>

:<math>{\phi}=\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right)= \arccos \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) = \arcsin \left( \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)</math>

:<math>{\theta}=\arctan \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \right)=\arccos \left( {\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} \right)</math>

:<math>
\frac{\partial(\rho, \theta, \phi)}{\partial(x, y, z)} =
\begin{pmatrix}
\frac{x}{\rho} &                  \frac{y}{\rho} & \frac{z}{\rho} \\
\frac{xz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{yz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}} & -\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\rho^2}\\
\frac{-y}{x^2+y^2} &               \frac{x}{x^2+y^2} & 0\\
\end{pmatrix}
</math>

sehingga untuk volume elemen:

:<math>d\rho\ d\theta\ d\phi=\det\frac{\partial(\rho,\theta,\phi)}{\partial(x,y,z)}dx\ dy\ dz=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dx\ dy\ dz</math>

==== Dari koordinat cylindrical ====
:<math>{\rho}=\sqrt{r^2+h^2}</math>
:<math>{\phi}=\phi \quad</math>
:<math>{\theta}=\arctan\frac{r}{h}</math>

:<math>
\frac{\partial(\rho, \theta, \phi)}{\partial(r, \phi, h)} =
\begin{pmatrix}
\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}} & 0 & \frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}} \\
\frac{-r}{r^2+h^2} & 0 & \frac{h}{r^2+h^2} \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
</math>

:<math> \det \frac{\partial(\rho, \theta, \phi)}{\partial(r, \phi, h)} = \frac{1}{\sqrt{r^2+h^2}}</math>

=== Ke koordinat cylindrical ===
==== Dari koordinat Kartesius ====
:<math>r=\sqrt{x^2 + y^2}</math>
:<math>\theta =
  \begin{cases}
   0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0\\
    \arcsin(\frac{y}{r}) & \mbox{if } x \geq 0 \\
    -\arcsin(\frac{y}{r}) + \pi & \mbox{if } x < 0\\
  \end{cases}
</math>
:<math>h=z \quad</math>

Note that many computer systems may offer a more concise function for computing <math>\theta</math>, such as <code>[[atan2]](y,x)</code> in the C language.

:<math>
\frac{\partial(r, \theta, h)}{\partial(x, y, z)} =
\begin{pmatrix}
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\
\frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
</math>

==== Dari koordinat spherical ====
 
:<math> r = \rho \sin \phi \,</math>
:<math> \theta  = \theta \,</math>
:<math> h  = \rho \cos \phi \,</math>

:<math>
\frac{\partial(r, \theta, h)}{\partial(\rho, \theta, \phi)} =
\begin{pmatrix}
\sin\phi & 0 & \rho\cos\phi  \\
0        & 1 &   0           \\
\cos\phi & 0 & -\rho\sin\phi
\end{pmatrix}
</math>

:<math> \det\frac{\partial(r, \theta, h)}{\partial(\rho, \theta, \phi)} = - \rho </math>

=== Dari koordinat Kartesius ke panjang, kurva, dan torsi Arc ===
:<math>s = \int_0^t \sqrt { x'^2 + y'^2 + z'^2 }\, dt</math>

:<math>\kappa=\frac{\sqrt{(z*y'-y*z')^2+(x*z'-z*x')^2+(y*x'-x*y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}</math>

:<math>\tau=\frac{z*'(x'y*-y'x*)+z*(x*'y'-x'y**)+z'(x''y**-x*'y*)}{(x'^2+y'^2+z'^2)(x*^2+y*^2+z''^2)}

## Referensi