Lingkaran satuan

Dalam matematika, **lingkaran satuan** adalah sebuah lingkaran dengan panjang jari-jari sebesar 1 satuan. Sering kali, terutama dalam trigonometri, lingkaran satuan adalah lingkaran yang berpusat pada titik (0, 0) pada sistem koordinat Kartesius dalam 2 dimensi. Dalam topologi, lingkaran ini biasanya disimbolkan dengan .

Apabila  adalah suatu titik pada keliling lingkaran satuan, maka  dan  merupakan panjang kaki sebuah segitiga siku-siku yang panjang sisi miringnya sebesar 1. Maka dari itu, berdasarkan teorema Pythagoras,  dan  memenuhi persamaan:

:x^2 + y^2 = 1.

Karena  untuk setiap , dan karena hasil pencerminan setiap titik pada lingkaran satuan terhadap sumbu- ataupun sumbu- juga terkandung dalam lingkaran satuan, persamaan di atas berlaku untuk semua titik  pada lingkaran satuan, tidak hanya yang kuadran pertama saja.

## Pada bidang kompleks
Lingkaran satuan dapat dipandang sebagai bilangan kompleks satuan, atau dengan kata lain, himpunan bilangan kompleks  dalam bentuk
 z = e^{it} = \cos t + i \sin t = \operatorname{cis}(t)
untuk setiap  (lihat juga: cis). Relasi ini adalah Rumus Euler. Lingkaran ini juga bisa didefinisikan sebagai himpunan bilangan kompleks yang memenuhi
|z| = 1.

## Fungsi trigonometri
Fungsi kosinus dan sinus dengan sudut  dapat didefinisikan dengan menggunakan lingkaran satuan sebagai berikut: jika  merupakan titik pada lingkaran satuan, dan jika sinar dari titik (0, 0) ke  membentuk sudut  dari sumbu- positif (putaran tersebut berlawanan arah jarum jam, yang berarti bernilai positif), maka \cos(\theta) = x \,\! dan \sin(\theta) = y. \,\!

Persamaan  menghasilkan relasi:

: \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1. \,\!

yang biasa dikenal dengan identitas Phytagoras. Lingkaran satuan juga menunjukkan kalau sinus dan kosinus merupakan fungsi periodik dengan identitas

:\cos \theta = \cos(2\pi k+\theta) \,\! dan \sin \theta = \sin(2\pi k+\theta) \,\!
untuk setiap bilangan bulat .

Segitiga yang dibentuk pada lingkaran satuan juga bisa digunakan untuk mengilustrasikan sifat periodik dari fungsi-fungsi trigonometri. Pertama, buatlah jari-jari  dari titik asal  menuju titik  pada lingkaran satuan, sedemikian sehingga sudut  (dengan ) terbentuk dengan sumbu- positif. Sekarang perhatikan titik  dan segmen garis . Hasil akhirnya adalah segitiga siku-siku  dengan . Karena panjang  adalah , panjang  adalah , dan  panjangnya 1 (karena merupakan jari-jari lingkaran satuan), maka  dan .

Setelah menyusun persamaan tersebut, buatlah jari-jari  dari titik asal ke titik  pada lingkaran, sedemikian sehingga sudut  tadi terbentuk dengan sumbu- negatif. Sekarang perhatikan titik  dan segmen garis . Hasil akhirnya adalah segitiga siku-siku  dengan . Dari sini bisa terlihat bahwa , sehingga koordinat  ialah  serupa seperti  yang berada pada titik .

Oleh karena  sama dengan  dan  sama dengan , maka dapat disimpulkan  dan . Dengan argumen serupa, dapat disimpulkan , lantaran  dan . Contoh sederhana pada relasi di atas dapat terlihat pada persamaan .

Saat berurusan dengan segitiga siku-siku, sinus, kosinus, dan fungsi trigonometri lainnya baru masuk akal apabila ukuran sudutnya lebih dari nol dan kurang dari . Namun, jika didefinisikan dengan lingkaran satuan, fungsi-fungsi tadi menghasilkan nilai yang bermakna untuk setiap sudut yang bernilai riil&nbsp;– termasuk sudut yang lebih dari 2. Malahan, semua enam fungsi standar trigonometri&nbsp;– sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan, dan kosekan, beserta fungsi-fungsi turunannya, seperti versin and exsec&nbsp;– dapat didefinisikan secara geometris dengan lingkaran satuan.

Dengan menggunakan lingkaran satuan, nilai fungsi trigonometri apapun dapat dihitung dengan mudah menggunakan rumus jumlah dan selisish sudut.

## Grup lingkaran

Bilangan kompleks dapat dipandang sebagai titik pada 2 dimensi. Lebih tepatnya, bilangan  dapat dipandang sebagai titik . Dengan cara pandang seperti ini, lingkaran satuan adalah grup terhadap perkalian, yang disebut *grup lingkaran*; biasanya disimbolkan dengan \mathbb{T}. Di bidang, perkalian oleh  menghasilkan rotasi yang berlawanan ara jarum jam sebesar . Grup ini mempunyai aplikasi penting dalam matematika dan sains.

## Dinamika kompleks

Himpunan Julia dari sistem dinamis diskrit nonlinier dengan fungsi evolusi:f_0(x) = x^2merupakan lingkaran satuan. Ini adalah kasus paling sederhana sehingga banyak dipakai dalam mempelajari sistem dinamis.

## Lihat pula

* Bola satuan
* Cakram satuan
* Hiperbola satuan
* Identitas Pythagoras
* Lingkaran Riemann
* Persegi satuan
* Putaran (sudut)
* Sudut satuan
* Transformasi-z
* Ukuran sudut

## Pranala luar
*