Barisan dan deret geometri

**Barisan dan deret geometri** atau dikenal sebagai **barisan dan deret ukur** dalam bidang matematika adalah jenis barisan dan deret di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Dengan kata lain, suatu barisan geometri hasil bagi atau rasio setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama.

Barisan geometri dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

:a, ar, ar^2, ar^3, \dots

dengan r adalah bilangan rasio pengali (r \ne 0) dan a adalah faktor skala.

## Suku barisan geometri
Misal a_n adalah suku barisan geometri. Pada barisan di atas, dapat kita rumuskan sebagai
:a_n = ar^{n-1}

Kita misalkan a_1 = a, dan a_2 = ar. Kita teruskan untuk a_3,a_4,\dots.
:\begin{align}
a_3 &= ar^2 \\
a_4 &= ar^3 \\
a_5 &= ar^4 \\
 &\vdots
\end{align}
Dari kumpulan persamaan di atas, kita mendapati pola, yaitu
:a_n = ar^{n-1}.

Lebih umumnya, diberikan n > m dan misal suku awal adalah a_m. Dari hasil di atas, diperoleh

:a_m = ar^{m-1}

dan

:a_n =  ar^{n-1} = ar^{m-1}r^{n-m} = a_m r^{n-m}.

### Rasio
Rasio adalah hasil bagi antara dua suku. Secara matematis dirumuskan

:r = \frac{a_{n+1}}{a_n}.

### Suku tengah
:a_\frac{m+n}{2} = \sqrt{a_m a_n}

## Deret geometri
Deret geometri atau deret ukur ialah deret di mana suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka didapati

:S_n = \begin{cases} \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}, & \text{jika }r > 1 \\ \frac{a(1-r^n)}{1-r}, & \text{jika }r 

dengan S_n adalah deret geometri, dan a adalah suku pertama.

Kita mulai dari kasus di mana r Dengan mengalikan kedua ruas dengan r memperoleh persamaan baru. Persamaan (1) mengurangi (2) menghasilkan
:S_n - rS_n = a - ar^n 
Dengan menggunakan sifat distributif dan membagi kedua ruas dengan (1 - r) membuktikan bahwa
:S_n = \frac{a(1-r^n)}{1 - r}.
Cara yang serupa untuk kasus r > 1. \blacksquare

Jika r=1, maka deret geometri didapati

:S_n = na.

### Deret geometri takhingga
Untuk deret geometri dengan tak terhingganya banyak suku, kita rumuskan
:S_\infty = \frac{a}{1-r} 
untuk |r| . Sebagai contoh, pada diagram di samping kanan, diketahui bahwa suku awal (yakni persegi terbesar) adalah a = 1 serta r = \frac{1}{2}. Dengan menggunakan rumus di atas, maka jumlah keseluruhan pada diagram di samping adalah

:S_\infty = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{2-1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2.

Karena S_n = \sum_{i=1}^n ar^{i-1}, maka diperoleh

:S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}.

Ambil n \to \infty pada kedua ruas, diperoleh

:\begin{align}
S_\infty &= \lim_{n\to\infty} \frac{a(1-r^n)}{1-r} \\
 &= \frac{a}{1 - r} \lim_{n \to \infty} (1 - r^n)
\end{align}

Karena diketahui |r| , maka  \lim_{n \to \infty} 1 - r^n = 1 . Karena itu,

:S_\infty = \frac{a}{1-r}. \blacksquare

Untuk kasus r > 1, S_\infty tidak mempunyai hasil (karena bernilai \pm \infty) sehingga deretnya dapat dikatakan divergen.

## Barisan dan deret geometri bertingkat

: Jika bertingkat 2: a_n = a^{n^2} + b^n + c
: Jika bertingkat 3: a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d
dst

## Lihat pula
* Barisan
* Deret (matematika)
* Barisan dan deret aritmetika
* 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯, salah satu bentuk deret

## Referensi


## Bacaan lebih lanjut
*  
*