Aturan Trapesium Rekursif

**Aturan Trapesium Rekursif** merupakan suatu metode pengintegralan dalam analisis numerik. Di dalam Kalkulus, integral tentu didefinisikan sebagai sebuah limit jumlah Riemann. Selanjutnya, menurut Teorema Dasar Kalkulus integral tersebut dapat dihitung dengan rumus,

\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)

Dengan *F(x)* adalah antiderivatif *f(x)* (yakni *F’(x)=f(x)*). Banyak integral tentu yang dapat dihitung dengan rumus tesebut, tetapi demikian, tidak sedikit integral tentu yang tidak dapat dihitung dengan rumus di atas, hal itu dikarenakan integran *f(x)*tidak mempunyai antiderivatif yang dapat dinyatakan dalam fungsi-fungsi elementer. Dalam hal ini perhitungan yang dapat dilakukan adalah secara numerik.

Integrasi numerik merupakan suatu alat utama yang digunakan para ilmuwan untuk mendapatkan nilai-nilai hampiran untuk integral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Dalam mendapatkan nilai-nilai hampiran integral tentu, digunakan banyak metode, salah satu metode yang dapat digunakan adalah Aturan Trapesium Rekursif. Berikut akan dijelaskan penghitungan integral tentu menggunakan Aturan Trapesium Rekursif.

## Aturan Trapesium Rekursif

Misalkan f
adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada  [a,b]
 . Misalkan
a=x_0 suatu
partisi sedemikian seihngga x_k=x_0 + kh
dengan h=(b-a)/n  untuk
k=0,1,2,3,...n . Perhatikan aturan trapesium
untuk fungsi
f terhadap partisi di atas (untuk keperluan
pembahasan pada bagian ini, kita gunakan notasi kuadratur dengan
menyertakan cacah dan lebar subinterval),

\ T_n(f,h)
=\frac{h}{2}(f_0+2f_1+2f_2+....+2f_{n-1} + f_n)

:::=\frac{h}{2}(f_0+ f_n)+h(f_1+f_2+....+f_(n-1))

:::=\frac{h}{2}(f_0+ f_n)+ h \sum_{k=1}^{n-1} f_k...................(1)

Jika lebar setiap subinterval diperkecil separonya, maka didapat

\ T_{2n}(f,\frac{h}{2}) =\frac{h}{4}(f_0+f_{2n})+\frac{h}{2}\sum_{k=1}^{2n-1} f_k

:::=\frac{h}{4}(f_0+ f_{2n})+ \frac{h}{2}\sum_{j=1}^{n-1}f_{2j}+\frac{h}{2}\sum_{j=1}^n f_{2j-1}...................(2)

\ T_{2n}(f,\frac{h}{2}) =\frac{T_n(f,h}{2}+\frac{h}{2}\sum_{j=1}^n f_{2j-1}...................(3)

Pada (1) berlaku f_k=f(x_0+kh), sedangkan pada
(2) berlaku f_k=f(x_0+kh/2,
sehingga f_{2k}, pada (2) sama
dengan f_k pada (1). Rumus (3) disebut rumus
trapesium rekursif. Rumus ini
memungkinkan penggunaan aturan trapesium majemuk secara efisien, tanpa
harus menghitung ulang nilai-nilai fungsi di beberapa absis yang sudah
dihitung sebelumnya. Untuk h=(b-a), dan
n=1,2,4,8,16....... atau
n=2^0,2^1,2^2,2^3,2^4,......,2^k...... Kita
akan mendapatkan barisan aturan trapesium T_0,T_1,T_2,T_3,.....T_k,.... dengan,
T_0 = T_1(f,h)=\frac{h}{2}(f(a)+f(b))
dan,T_k=T_{2^k}(f,\frac{h}{2^k}), k=1,2,3,...
yang memenuhi hubungan T_{k+1}=\frac{T_k}{2}+\frac{h}{2^{k+1}}\sum_{j=1}^{2^k}f_{2j-1},
dengan f_1=f(a+i(\frac{h}{2^{k+1}})............... (4)

## Langkah-langkah Aturan Trapesium Rekursif

Dalam menghitung hampiran \int_a^b f(x)\,dxdengan aturan trapesium rekursif, kita lakukan langkah-langkah sebagai berikut;

**<math>h=b-a</math>**

T_0=\frac{h}{2}(f(a)+f(b))

T_1=\frac{T_0}{2}+\frac{h}{2}f_1

T_2=\frac{T_1}{2}+\frac{h}{4}(f_1+f_3)

T_3=\frac{T_2}{2}+\frac{h}{8}(f_1+f_3+f_5)
.
.
.
dst

## Contoh Penghitungan Integral Menggunakan MATLAB

Misalkan kita akan menghitung integral \int_1^5 f(x)\,dx,dengan menggunakan Aturan Trapesium Rekursif. Untuk lebih memudahkan penghitungan dalam MATLAB, telebih dahulu kita buat fungsi dalam M file, berikut fungsinya

function Tn=trapesiumrekursif(f,n,a,b)

h=b-a;

if n==0, Tn=h*(f(a)+f(b))/2;

else if n>0,

       index=[1:2:2^n-1];

       x=a+h*index/(2^n);

       F=f(x);

       Jf=sum(F);

       Tn=trapesiumrekursif(f,n-1,a,b)/2+Jf*h/(2^n);

    end

end

Kita simpan fungsi ini dalam file trapesiumrekursi.m
untuk menghitung integral yang dimaksud, kita tinggal memasukan fungsinya dalam command window MATLAB, berikut caranya;

>> f=inline(‘exp(x)’)

kemudian akan munncul hasil sebagai berikut

f =

     Inline function:
     f(x) = exp(x)
selanjutnya kita panggil fungsi fungsi trapesiumrekursif,

>> T=[];

>> for n=0:10,

Tn=trapesiumrekursif(f,n,1,5);

T=[T;n Tn];

end

Selanjutnya kita tampilkan nilai T

>> T

kemudian akan muncul hasil sebagai berikut,

T =

         0  302.2629
    1.0000  191.3025
    2.0000  157.6385
    3.0000  148.7176
    4.0000  146.4529
    5.0000  145.8845
    6.0000  145.7423
    7.0000  145.7067
    8.0000  145.6978
    9.0000  145.6956
   10.0000  145.6951
Maksud dari tabel penghitungan MATLAB di atas adalah, kolom pertama menyatakan nilai-nilai n, dan kolom kedua menyatakan Tn.

## Daftar Pustaka

Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. ANDI, Yogyakarta