Fungsi invers

**Fungsi Invers** (atau **fungsi kebalikan**) adalah (dalam matematika) fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari suatu fungsi. Misalnya anggap saja f sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B. Bila dapat ditentukan sebuah fungsi g dari himpunan B ke himpunan A sedemikian, sehingga g(f(a)) = a dan f(f(b)) = b untuk setiap a dalam A dan b dalam B, maka g disebut fungsi invers dari f dan bisa ditulis sebagai f^{-1}. Sebelum mengetahui fungsi invers maka harus mengenali dahulu fungsi yang memiliki invers. Fungsi f(x) akan memiliki invers dengan syarat f(x) merupakan fungsi bijektif. Jika fungsi f memetakan anggota himpunan A ke himpunan B maka invers dari fungsi f atau ditulis f^{-1} memetakan himpunan B ke himpunan A. Kemudian ketika suatu bilangan itu dioperasikan dengan inversnya, maka akan menghasilkan identitas. Identitas adalah suatu bilangan yang jika dioperasikan dengan suatu bilangan, maka akan menghasilkan suatu bilangan tersebut dan pada operasi perkalian, identitasnya adalah 1 karena apabila dikalikan dengan suatu bilangan hasilnya suatu bilangan. Sedangkan, pada penjumlahan identitasnya adalah 0 karena bila dijumlahkan dengan bilangan tertentu hasilnya bilangan tertentu. Pada fungsi juga berlaku demikian, sebuah fungsi bila dikomposisikan dengan invers maka menghasilkan fungsi identitas, yaitu f(x) = x.

## Simetri
Ada kesimetrian antara suatu fungsi dan kebalikannya. Secara khusus, jika  adalah fungsi yang dapat dibalik dengan domain  dan rentang , maka kebalikannya  memiliki domain  dan rentang , serta kebalikan dari  adalah fungsi asli . Dalam simbol, untuk fungsi   dan ,

:f^{-1}\circ f = \operatorname{id}_X  dan  f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_Y.

Pernyataan ini adalah konsekuensi dari implikasi bahwa agar  dapat dibalik, pernyataan itu harus bersifat bijektiv. Sifat involutori dari invers dapat diekspresikan secara ringkas 
:\left(f^{-1}\right)^{-1} = f.

Kebalikan dari komposisi fungsi diberikan oleh 
:(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.
Perhatikan bahwa urutan  dan  telah dibalik; untuk mengurungkan  diikuti oleh , pertama-tama kita harus membatalkan , lalu mengurungkan .

Misalnya, maka  dan jika . Kemudian komposisinya  adalah fungsi yang pertama kali dikalikan tiga lalu ditambahkan lima,

: (g \circ f)(x) = 3x + 5.

Untuk membalik proses ini, pertama-tama kita harus mengurangi lima, lalu membaginya dengan tiga,

: (g \circ f)^{-1}(x) = \tfrac13(x - 5).

kemudian sisi kanan invers masing-masing yaitu f^{-1} = \frac{x}{3} dan g^{-1} = x - 5 maka f^{-1} \circ g^{-1} adalah \tfrac13(x - 5).

## Fungsi invers dalam kalkulus
Variabel tunggal kalkulus terutama berkaitan dengan fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real. Fungsi seperti itu sering kali didefinisikan melalui rumus, seperti:
:f(x) = (2x + 8)^3 .
Fungsi dugaan  dari bilangan real ke bilangan real memiliki invers, asalkan satu-ke-satu. Artinya, grafik  memiliki, untuk setiap kemungkinan nilai , hanya satu nilai  yang sesuai, dan dengan demikian lolos uji garis horizontal.

Tabel berikut menunjukkan beberapa fungsi standar dan invers:

:

## Fungsi Invers (sel)
Jika  adalah himpunan, maka fungsi identitas di  adalah kebalikannya:

: {\operatorname{id}_X}^{-1} = \operatorname{id}_X.

Secara lebih umum, sebuah fungsi  sama dengan kebalikannya sendiri, hanya komposisi  adalah . Fungsi seperti itu disebut involusi.

## Rumus utama untuk Fungsi invers
Salah satu pendekatan untuk menemukan rumus , adalah untuk menyelesaikan persamaan  untuk .  Misalnya, jika  adalah fungsinya

: f(x) = (2x + 8)^3 

maka kita harus menyelesaikan persamaan tersebut  dari :

: \begin{align}
      y         & = (2x+8)^3 \\
  \sqrt[3]{y}   & = 2x + 8   \\
\sqrt[3]{y} - 8 & = 2x       \\
\dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} & = x .
\end{align}

Demikianlah fungsi invers  diberikan oleh rumus

: f^{-1}(y) = \frac{\sqrt[3]{y} - 8} 2.

Terkadang, kebalikan dari suatu fungsi tidak dapat diekspresikan dengan rumus dengan jumlah suku terbatas. Misalnya, jika  adalah fungsinya

: f(x) = x - \sin x ,

maka  adalah bijection, dan karena itu memiliki fungsi invers . rumus untuk invers ini memiliki jumlah suku yang tak terhingga:

:  f^{-1}(y) =
\sum_{n=1}^\infty
 \frac{y^{n/3}}{n!} \lim_{ \theta \to 0} \left(
 \frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d} \theta^{\,n-1}} \left(
 \frac \theta { \sqrt[3]{ \theta - \sin( \theta)} } \right)^n
\right).


## Grafik invers

Jika  dapat dibalik, maka grafik fungsinya

: y = f^{-1}(x)

sama dengan grafik persamaan

: x = f(y) .

Ini identik dengan persamaan  yang mendefinisikan grafik , kecuali peran  dan  telah dibalik. Demikian grafik  dapat diperoleh dari grafik  dengan mengganti posisi sumbu  dan . Ini setara dengan mencerminkan grafik melintasi garis
.

## Dalam fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri bersifat periodik, dan karenanya bukan injeksi, jadi tegaskan pada nilai yang tidak memiliki fungsi invers. Namun, pada setiap interval di mana fungsi trigonometri monotonik, seseorang dapat mendefinisikan fungsi invers, dan ini mendefinisikan fungsi trigonometri terbalik sebagai fungsi multinilai. Untuk mendefinisikan fungsi invers yang benar, seseorang harus membatasi domain ke interval di mana fungsinya monotonik, dan dengan demikian bijektiv dari interval ini ke citranya dengan fungsi. Pilihan umum untuk interval ini, yang disebut himpunan nilai pokok s, diberikan dalam tabel berikut. Seperti biasa, fungsi trigonometri terbalik dilambangkan dengan awalan "arc" sebelum nama atau singkatan dari fungsi tersebut.
:
\begin{array}
\hline
 \text{Fungsi} & \text{Definisi} & \text{Domain} &\text{Kumpulan nilai pokok}
 \\
 \hline
 y = \arcsin x & \sin y = x & -1 \le x \le 1           & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \\
 y = \arccos x & \cos y = x & -1 \le x \le 1           & 0 \le y \le \pi \\
 y = \arctan x & \tan y = x & -\infty \le x \le \infty & -\frac{\pi}{2} 1     & 0 \le y \le \pi,\; y \ne \frac{\pi}{2} \\
 y = \arccsc x & \csc y = x & x1     & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2},\; y \ne 0
\\\hline
\end{array}


## Fungsi invers dan turunan
Sebuah fungsi kontinu  dapat dibalik pada rentangnya (gambar) jika dan hanya jika meningkat atau menurun (tanpa lokal maksimal dan minimum, contoh dari:

: f(x) = x^3 + x

dapat dibalik, karena turunan
 selalu positif.

Jika fungsi  adalah dapat dibedakan pada interval  dan  untuk setiap , lalu kebalikannya  dapat dibedakan . Bila , turunan dari invers diberikan oleh teorema fungsi invers,

: \left(f^{-1}\right)^\prime (y)  = \frac{1}{f'\left(x \right)}. 

Menggunakan notasi Leibniz rumus di atas dapat ditulis sebagai

: \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy / dx}. 

Hasil ini mengikuti aturan rantai (lihat artikel tentang Fungsi dan diferensiasi invers).

Teorema fungsi invers dapat digeneralisasikan menjadi fungsi dari beberapa variabel. Secara khusus, fungsi multivariabel  dapat dibalik di lingkungan titik  selama matriks Jacobian dari  pada  adalah dapat dibalik. Dalam hal ini, Jacobian dari  pada  adalah invers matriks dari Jacobian dari  pada .

## Contoh
* Tentukan f^{-1}(x) dari f(x) = 2x + 3!
: f(x) = 2x + 3
: f(x) - 3 = 2x
: x = \frac{f(x) - 3}{2}
: f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}

* Tentukan f^{-1}(x) dari f(x) = x^2 - 6x + 15!
: f(x) = x^2 - 6x + 15
: f(x) = x^2 - 6x + 9 - 9 + 15
:f(x) = (x - 3)^2 + 6
:f(x) - 6 = (x - 3)^2
:x - 3 = \pm \sqrt{f(x) - 6}
:x = 3 \pm \sqrt{f(x) - 6}
:f^{-1}(x) = 3 \pm \sqrt{x - 6}

* Tentukan f^{-1}(x) dari f(x) = \frac{2x - 7}{5x + 3}!
: f(x) = \frac{2x - 7}{5x + 3}
: (5x + 3) f(x) = 2x - 7
: 5x f(x) + 3 f(x) = 2x - 7
: 5x f(x) - 2x = - 3 f(x) - 7
: (5f(x) - 2)x = - 3 f(x) - 7
: x = \frac{- 3 f(x) - 7}{5f(x) - 2}
: f^{-1}(x) = \frac{- 3x - 7}{5x - 2}

* Tentukan f^{-1}(x) dari f(x) = e^{x+3}!
: f(x) = e^{x+3}
: ^e \log f(x) = x + 3
: x = ^e \log f(x) - 3 (karena ^e \log x = \ln x)
: f^{-1}(x) = \ln x - 3

* Tentukan f^{-1}(x) dari f(x) = ^2 \log {(x^2 + 8x -25)}!
: f(x) = ^2 \log {(x^2 + 8x - 25)}
: x^2 + 8x - 25 = 2^{f(x)}
: x^2 + 8x +16 - 16 - 25 = 2^{f(x)}
: x^2 + 8x +16 - 41 = 2^{f(x)}
: (x + 4)^2 - 41 = 2^{f(x)}
: (x + 4)^2 = 41 + 2^{f(x)}
: x + 4 = \pm \sqrt{41 + 2^{f(x)}}
: x = - 4 \pm \sqrt{41 + 2^{f(x)}}
: f^{-1}(x) = - 4 \pm \sqrt{41 + 2^{x}}

* Tentukan f^{-1}(x) dari f(x) = sin (4x+3) - 7!
: f(x) = sin (4x+3) - 7
: f(x) + 7 = sin (4x+3)
: 4x + 3 = arcsin (f(x) + 7)
: 4x = arcsin (f(x) + 7) - 3
: x = \frac{arcsin (f(x) + 7) - 3}{4}
: f^{-1}(x) = \frac{arcsin (x + 7) - 3}{4}

## Lihat pula
* Fungsi (matematika)
* Komposisi fungsi

## Referensi

## Bacaan lebih lanjut
*  
*