Elips

Dalam matematika, sebuah **elips** atau **oval yang beraturan** adalah gambar yang menyerupai lingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut **[[Fokus (matematika)|fokus]]**).

Dalam bahasa Indonesia, selain istilah elips atau oval yang beraturan, juga sering dikenal istilah sepadan, yakni *bulat lonjong* (atau *lonjong* saja)*, bulat bujur*, dan *bulat panjang*.

## Definisi sebagai lokus poin

Elips dapat didefinisikan secara geometris sebagai satu set atau lokus titik dalam bidang Euclidean:
:Diberi dua poin tetap F_1, F_2 disebut fokus dan jarak 2a yang lebih besar dari jarak antara fokus, elips adalah himpunan poin P sedemikian rupa sehingga jumlah dari jarak |PF_1|,\ |PF_2| adalah sama dengan 2a:E = \{P\in \mathbb{R}^2 \,\mid\, |PF_2| +|PF_1 | = 2a \}\ .

Titik tengah C dari segmen garis yang bergabung dengan fokus disebut pusat elips. Garis melalui fokus disebut sumbu utama , dan garis tegak lurus melalui pusat adalah sumbu minor . Sumbu utama memotong elips pada *titik- titik simpul* V_1,V_2, yang memiliki jarak a ke pusat. Jarak c dari fokus ke pusat disebut jarak fokus atau eksentrisitas linier. Hasil bagi e=\tfrac{c}{a} adalah eksentrisitas .

Kasus F_1=F_2 dapat dilihat dengan cara yang berbeda (lihat gambar):
:Jika c_2 adalah lingkaran dengan titik tengah 2a, maka jarak suatu titik P ke lingkaran c_2 sama dengan jarak ke fokus F_1:
:: |PF_1|=|Pc_2|.

c_2 disebut directrix melingkar (terkait dengan fokus F_2) of the ellipse. Properti ini tidak boleh disamakan dengan definisi elips menggunakan garis directrix di bawah ini.

Dengan menggunakan bola Dandelin , orang dapat membuktikan bahwa setiap bagian bidang kerucut dengan bidang adalah elips, dengan asumsi bidang tidak mengandung puncak dan memiliki kemiringan kurang dari garis pada kerucut.

## Sistem Koordinat Kartesius

### Persamaan standar
Bentuk standar elips dalam koordinat Cartesian mengasumsikan bahwa asal adalah pusat elips, x- sumbu adalah sumbu utama, dan:
:fokus adalah poinnya
F_1 = (c,\, 0),\ F_2=(-c,\, 0),
:simpulnya adalah V_1 = (a,\, 0),\ V_2 = (-a,\, 0).

Untuk titik arbitrer (x,y) jarak ke fokus (c,0) adalah
\sqrt{(x - c)^2 + y^2 } dan ke fokus lainnya \sqrt{(x + c)^2 + y^2}. Karena itu intinya (x,\, y) is on the ellipse whenever:
:\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a\ .

Menghapus radikal dengan squarings yang sesuai dan menggunakan  b^2 = a^2-c^2 menghasilkan persamaan standar elips:
:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,

atau, memecahkan *y:*
:y = \pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} = \pm \sqrt{\left(a^2 - x^2\right)\left(1 - e^2\right)}.

Keliling lebar dan tinggi a,\; b disebut sumbu semi mayor dan semi minor . Poin atas dan bawah V_3 = (0,\, b),\; V_4 = (0,\, -b)

Ini mengikuti dari persamaan bahwa elips simetris sehubungan dengan sumbu koordinat dan karenanya sehubungan dengan asal.

### Keliling
#### Sumbu semi mayor dan semi minor
Sepanjang artikel ini a Sebuah adalah sumbu semi-mayor, yaitu a \ge b > 0 \ . Secara umum persamaan elips kanonik \tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} = 1  mungkin a  (dan karenanya elips akan lebih tinggi daripada lebar); dalam bentuk ini sumbu semi-mayor akan menjadi b.    Formulir ini dapat dikonversi ke formulir standar dengan mentransposisi nama variabel

#### Eksentritas linear
Ini adalah jarak dari pusat ke fokus:
c = \sqrt{a^2 - b^2}.

### Keanehan
Eksentrisitas dapat dinyatakan sebagai:
: e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2},

#### Rektum semi-lektur
Panjang akord melalui satu fokus, tegak lurus terhadap sumbu utama, disebut rektum latus . Separuh di antaranya adalah rektum semi-latus \ell Perhitungan menunjukkan:
: \ell = \frac{b^2}a = a \left(1 - e^2\right).

### Garis singgung
Garis arbitrer g memotong sebuah elips pada 0, 1, atau 2 poin, masing-masing disebut garis eksterior , garis singgung dan garis potong . Melalui setiap titik elips ada garis singgung yang unik. Garis singgung pada suatu titik (x_1,\, y_1) dari elips \tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} = 1 memiliki persamaan koordinat:
:\frac{x_1}{a^2}x + \frac{y_1}{b^2}y = 1.

Persamaan parametrik vektor garis singgung adalah:
: \vec x = \begin{pmatrix}x_1 \\ y_1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}
  \;\!    -y_1 a^2 \\
  \;\ \ \  x_1 b^2
\end{pmatrix}\  with \ s \in \mathbb{R}\ .

**Bukti**: Biarkan (x_1,\, y_1) be a point on an ellipse and \vec{x} = \begin{pmatrix}x_1 \\ y_1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}u \\ v\end{pmatrix} menjadi persamaan garis apa pun g mengandung (x_1,\, y_1). Memasukkan persamaan garis ke dalam persamaan elips dan menghormati \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 yields:
: 
  \frac{\left(x_1 + su\right)^2}{a^2} + \frac{\left(y_1 + sv\right)^2}{b^2} = 1\ \quad\Longrightarrow\quad
  2s\left(\frac{x_1u}{a^2} + \frac{y_1v}{b^2}\right) + s^2\left(\frac{u^2}{a^2} + \frac{v^2}{b^2}\right) = 0\ .

### Elips bergeser
Jika elips standar digeser untuk memiliki pusat \left(x_\circ,\, y_\circ\right), persamaannya adalah
: \frac{\left(x - x_\circ\right)^2}{a^2} + \frac{\left(y - y_\circ\right)^2}{b^2} = 1 \ .

Sumbu masih sejajar dengan sumbu x dan y.

## Luas elips
Luas elips adalah L = \pi a b

## Keliling elips
Keliling elips adalah
; Keliling I
:K \approx 2 \pi \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}

; Keliling II (model Ramanujan)
:K \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]= \pi \left[3(a+b)-\sqrt{10ab+3(a^2+b^2)}\right]

dan

:K \approx \pi \left(a+b \right) \left(1+ \frac{3h}{10+ \sqrt{4-3h}} \right) di mana h = \frac{(a - b)^2}{(a + b)^2}

; Keliling III (model integral)
:K = 2\pi a \left[1 - \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \frac{e^{2n}}{2n-1}\right] 

dan

:K = \pi (a+b) \left[1 + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{(2n-1)!!}{2^n n!}\right)^2 \frac{h^n}{(2n-1)^2}\right]

## Lihat pula
* Elipsoid

## Referensi

## Pranala luar

* Elips (matematika) di *[[Encyclopædia Britannica]]*
* Elips di PlanetMath.org
* The Shape and History of The Ellipse in Washington, D.C. oleh Clark Kimberling