Teorema sisa Tiongkok

Dalam matematika, **teorema sisa Tiongkok** menyatakan bahwa jika diketahui sisa pembagian suatu bilangan bulat n oleh beberapa bilangan bulat, maka dapat diketahui sisa pembagian n oleh darab dari bilangan-bilangan bulat tersebut, dengan syarat bahwa setiap pasang pembaginya saling prima (atau dengan kata lain, tidak ada dua pembagi yang memiliki faktor persekutuan selain 1 maupun -1).

Teorema ini juga dikenal sebagai **teorema Sunzi**. Kedua nama dari teorema ini merujuk kepada pernyataan yang pertama kali muncul dalam *[[Sunzi Suanjing]]*, sebuah manuskrip Tiongkok yang ditulis pada abad ke-3 hingga abad ke-5 Masehi. Pernyataan pertama ini terbatas pada contoh berikut:

Jika diketahui
# sisa pembagian dari n ketika dibagi oleh 3 ialah 2,
# sisa pembagian dari n ketika dibagi oleh 5 ialah 3, dan
# sisa pembagian dari n ketika dibagi oleh 7 ialah 2
maka dapat ditentukan sisa pembagian dari n ketika dibagi oleh 105 (darab dari 3, 5, dan 7) tanpa mengetahui nilai n. Dalam contoh ini, sisa pembagiannya ialah 23. Lebih lanjut, sisa pembagian ini merupakan satu-satunya nilai positif n yang kurang dari 105.

Teorema sisa Tiongkok banyak digunakan untuk perhitungan bilangan bulat yang besar, sebab teorema ini memungkinkan untuk mengganti perhitungan yang diketahui batas dari ukuran hasilnya dengan beberapa perhitungan serupa pada bilangan-bilangan bulat yang kecil.

Teorema sisa Tiongkok (saat diekspresikan menggunakan kekongruenan) juga berlaku pada setiap daerah ideal utama. Teorema ini telah diperumum untuk sembarang gelanggang, dengan perumusan yang melibatkan ideal dua sisi.

## Sejarah

Pernyataan dari masalah ini muncul pertama kali dalam buku abad ke-5 *[[Sunzi Suanjing]]* karya matematikawan Tiongkok Sunzi.

Hasil Sunzi tidak akan dianggap sebagai teorema menurut standar modern, sebab Sunzi hanya memberikan satu masalah spesifik tanpa menunjukkan cara menyelesaikannya maupun bukti dari kasus umum atau algoritma umum untuk menyelesaikan masalah tersebut. Algoritma pertama untuk menyelesaikan masalah ini pertama kali dideskripsikan oleh Aryaphata (abad ke-6). Kasus khusus dari teorema sisa Tiongkok juga diketahui oleh Brahmagupta (abad ke-7) dan muncul pada karya Fibonacci tahun 1202, Liber Abaci. Hasil tersebut kemudian diperumum menjadi solusi utuh yang disebut *Da-yan-shu* () dalam karya Qin Jiushao tahun 1247, *[[Risalah Matematika dalam Sembilan Bab]]* yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris pada awal abad ke-19 oleh misionaris asal Britania Raya, Alexander Wylie.

Gagasan mengenai kekongruenan pertama kali diperkenalkan dan digunakan oleh Carl Friedrich Gauss dalam karya tahun 1801 miliknya, *[[Disquisitiones Arithmeticae]]*.

## Isi pernyataan

### Selang terbatas

### Sistem kekongruenan simultan

Teorema sisa Tiongkok juga dapat dinyatakan dengan menggunakan kekongruenan

### Isomorfisma gelanggang

{N \mathbb{Z}} \cong \dfrac{\mathbb{Z}}{n_1 \mathbb{Z}} \times \dfrac{\mathbb{Z}}{n_2 \mathbb{Z}} \times \dfrac{\mathbb{Z}}{n_3 \mathbb{Z}} \times \ldots \times \dfrac{\mathbb{Z}}{n_k \mathbb{Z}}
}}

Berdasarkan sudut pandang ini, maka untuk melakukan serangkaian operasi aritmetika pada \mathbb{Z}/N \mathbb{Z}, teorema sisa Tiongkok memungkinkan untuk melakukan perhitungan serupa pada masing-masing \mathbb{Z}/n_i \mathbb{Z} lalu memperoleh hasil akhirnya dengan menerapkan isomorfismanya (dari kanan ke kiri). Proses ini mungkin saja jauh lebih cepat dibandingkan perhitungan langsung, jika nilai N dan banyaknya operasi cukup besar.

## Bukti
Kewujudan dan ketunggalan penyelesaian dapat dibuktikan secara terpisah. Akan tetapi, bukti pertama dari aspek kewujudan penyelesaian (lihat di bawah) akan memanfaatkan informasi ketunggalan penyelesaian.

### Ketunggalan
Misalkan x dan y merupakan penyelesaian dari sistem kekongruenan linier yang diberikan. Oleh karena x dan y memiliki sisa pembagian yang sama ketika dibagi oleh n_i, maka selisih antar keduanya (yaitu x - y) merupakan kelipatan dari n_i, untuk sembarang i \in \left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, k \right\}. Diketahui bahwa n_i koprima dengan n_j untuk setiap 1 \leq i , maka N juga merupakan faktor dari x - y, sehingga x dan y akan kongruen dalam modulo N. Jika x dan y bernilai nonnegatif dan kurang dari N (seperti pada isi pernyataan pertama), maka x - y haruslah bernilai 0.

### Kewujudan (bukti pertama)
Perhatikan bahwa pemetaan
f(x \bmod N) = \left( x \bmod n_1, \, x \bmod n_2, \, x \bmod n_3, \, \ldots, \, x \bmod n_k \right)
memetakan kelas-kelas kekongruenan modulo N ke barisan kelas-kelas kekongruenan modulo n_i. Bukti ketunggalan menunjukkan bahwa pemetaan tersebut bersifat injektif. Oleh karena domain dari pemetaan tersebut memiliki kardinalitas yang sama dengan kodomainnya, maka pemetaan tersebut juga bersifat surjektif, sehingga penyelesaiannya terjamin ada.

Pembuktian ini cukup sederhana, tetapi tidak menyediakan metode atau cara untuk mencari penyelesaiannya. Selain itu, pembuktian ini tidak dapat diperumum ke situasi lain, berbeda dengan kedua bukti berikut.

### Kewujudan (bukti kedua)
Kewujudan penyelesaian dari sistem kongruensinya dapat dilakukan dengan konstruksi bilangan x secara eksplisit. Konstruksi ini melibatkan dua langkah berbeda, yaitu penyelesaian untuk kasus dua moduli, kemudian memperumum penyelesaian tersebut untuk sembarang k moduli menggunakan induksi matematika.

Diberikan sistem kekongruenan linier
\begin{align}
x &\equiv a_1 \pmod{n_1} \\
x &\equiv a_2 \pmod{n_2}
\end{align}
dengan n_1 koprima dengan n_2. Berdasarkan identitas Bézout, maka terdapat bilangan bulat p dan q sedemikian sehingga
p n_1 + q n_2 = 1
Nilai dari p dan q dapat dicari dengan menggunakan algoritma Euclid diperluas.

Pandang bilangan

x = a_1 q n_2 + a_2 p n_1

Perhatikan bahwa
\begin{align}
x &= a_1 (q n_2) + a_2 p n_1 \\
&= a_1 \left( 1 - p n_1 \right) + a_2 p n_1 \\
&= a_1 + \left( a_2 - a_1 \right) p n_1 \\
x &\equiv a_1 \pmod{n_1} \\
\\
x &= a_1 q n_2 + a_2 (p n_1) \\
&= a_1 q n_2 + a_2 \left( 1 - q n_2 \right) \\
&= a_2 + \left( a_1 - a_2 \right) q n_2 \\
x &\equiv a_2 \pmod{n_2}
\end{align}
yang menunjukkan bahwa x merupakan penyelesaian dari sistem yang diberikan.

Sekarang tinjau sistem kekongruenan linier
\begin{align}
x &\equiv a_1 \pmod{n_1} \\
x &\equiv a_2 \pmod{n_2} \\
x &\equiv a_3 \pmod{n_3} \\
&\ldots \\
x &\equiv a_k \pmod{n_k}
\end{align}
dengan \operatorname{FPB} (a_i, \, a_j) = 1 untuk setiap 1 \leq i . Telah ditunjukkan sebelumnya bahwa dua kekongruenan pertama memiliki suatu penyelesaian, yaitu a_{1, \, 2}. Himpunan penyelesaian dari dua kekongruenan pertama ini ialah himpunan semua bilangan bulat x yang memenuhi
x \equiv a_{1, \, 2} \pmod{n_1 \cdot n_2}

Oleh karena n_1 \cdot n_2 koprima dengan setiap n_i lainnya, maka sistem kekongruenannya tereduksi menjadi k - 1 kekongruenan simultan, yaitu
\begin{align}
x &\equiv a_{1, \, 2} \pmod{n_1 \cdot n_2} \\
x &\equiv a_3 \pmod{n_3} \\
&\ldots \\
x &\equiv a_k \pmod{n_k}
\end{align}
Penyelesaian sistemnya akan diperoleh dengan melakukan iterasi serupa yang berulang sebanyak k - 2 kali.

### Kewujudan (bukti ketiga)
Untuk mengonstruksikan penyelesaian, induksi pada banyaknya moduli tidaklah diperlukan. Namun, konstruksi langsung semacam ini akan melibatkan perhitungan yang lebih rumit dengan bilangan besar, yang membuat metode ini kurang efisien serta jarang digunakan. Walaupun demikian, interpolasi Lagrange merupakan kasus khusus dari konstruksi ini, yang diterapkan pada polinomial alih-alih bilangan bulat.

Misalkan N_i = \tfrac{N}{n_i} menyatakan darab dari semua moduli selain n_i. Oleh karena setiap n_i koprima pasang demi pasang, maka N_i akan koprima dengan n_i. Berdasarkan identitas Bézout, maka terdapat suatu bilangan bulat M_i dan m_i sedemikian sehingga
M_i N_i + m_i n_i = 1

Pandang bilangan
x = a_1 M_1 N_1 + a_2 M_2 N_2 + a_3 M_3 N_3 + \ldots + a_k M_k N_k
Jika i \neq j, maka berdasarkan definisi dari N_i, perhatikan bahwa N_i merupakan kelipatan dari n_j. Akibatnya,
\begin{align}
x &= a_1 M_1 N_1 + a_2 M_2 N_2 + a_3 M_3 N_3 + \ldots + a_k M_k N_k \\
x &\equiv a_j M_j N_j \pmod{n_j} \\
&\equiv a_j (1 - m_j n_j) \pmod{n_j} \\
&\equiv a_j \pmod{n_j}
\end{align}
untuk setiap 1 \leq j \leq k, sehingga x merupakan penyelesaian dari sistem yang diberikan.

## Lihat juga
* Sistem pelingkup
* Prinsip Hasse
* Sistem bilangan residu

## Catatan

## Referensi
* 
* 
* . Lihat Bagian 2.5, "Sifat Helly", hlm.&nbsp;393–394.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Bacaan lanjutan
* . Lihat Bagian 31.5: Teorema sisa Tiongkok, hlm.&nbsp;873–876.
* 
* 
* . Lihat Bagian 4.3.2 (hlm.&nbsp;286–291), latihan 4.6.2–3 (halaman 456).

## Pranala luar
*  
* 
* 
*  Full text of the Sun-tzu Suan-ching (Chinese) Chinese Text Project
*  Teorema sisa Tiongkok di Cut-the-Knot.