Deret pangkat

**Deret pangkat** atau **Deret kuasa** (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk

:f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

dengan *a<sub>n</sub>* melambangkan koefisien suku ke-*n*, *c* adalah konstanta dan *x* berubah-ubah di sekitar *c* (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan *berpusat* di *c*). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.

Pada banyak keadaan *c* sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:

::
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots.


Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tetapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).

## Contoh
Setiap polinomial dapat diekspresikan dengan mudah sebagai sebuah deret pangkat di sekitar pusat *c*, meskipun kebanyakan koefisien akan sama dengan nol karena suatu deret pangkat mempunyai elemen yang tak terhingga banyaknya menurut definisi. Misalnya, polinomial f(x) = x^2 + 2x + 3 dapat ditulis sebagai suatu deret pangkat sekitar pusat c=0 sebagai
::f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,
atau sekitar pusat c=1 sebagai
::f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,
atau sesungguhnya sekitar pusat *c* manapun. Deret pangkat dapat dipandang seperti "polinomials dengan derajat tak terhingga," meskipun deret pangkat bukanlah polinomial.

Rumus deret geometri
:: \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,
valid untuk |x|, merupakan salah satu contoh paling penting untuk deret pangkat, sebagaimana rumus fungsi eksponensial
:: e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,
dan rumus sinus
:: \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,
valid untuk semua bilangan real x.

Semua deret pangkat ini juga merupakan contoh untuk deret Taylor.

Pangkat negatif tidak diizinkan dalam deret pangkat, misalnya 1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots
tidak dianggap sebagai suatu deret pangkat (meskipun merupakan suatu deret Laurent). Demikian pula, pangkat pecahan seperti x^{1/2} tidak diizinkan (tetapi lihat deret Puiseux). Koefisien-koefisien a_n tidak diizinkan untuk bergantung kepada x, jadi misalnya:
:\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \, bukan suatu deret pangkat.

### Contoh 1
Cari jari jari konvergensi dan interval konvergensi deret pangkat
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-4)^n}{n}.
----
Pertama, lakukan uji rasio pada fungsi tersebut.

:\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{f(n+1)}{f(n)} \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-4)^{n+1}}{n+1} \div \frac{(x-4)^n}{n} \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n(x-4)}{n+1} \right|. \end{aligned}

Untuk mengisolasi fungsi x, kita dapat dengan mudah menghapusnya dari limit, karena tidak bergantung pada n:
:\begin{aligned} L &= \left| x-3\right| \times \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n}{n+1} \right| \\ &= \left| x-3\right| \times 1 \\ &= \left| x-3\right|. \end{aligned}

Mengingat bahwa L  
agar rangkaian dapat bertemu, haruslah seperti itu \left| x-3 \right|  saat menyatu. Ketika Anda memiliki ekspresi bentuk \left| x + a \right|  dengan a \in \mathbb{R}a Jari-jari konvergensi adalah nilai *r*. Jadi, radius konvergensi pada contoh tersebut adalah 1.

Interval konvergensi, di sisi lain, adalah himpunan dari semua nilai *x* yang rangkaiannya konvergen. Menggunakan ketidaksetaraan di atas, pasti begitu

:\begin{aligned} \left| x-4 \right| &

Namun, ini tidak sesederhana yang terlihat pada pandangan pertama. Kita juga perlu memeriksa nilai batas interval untuk memeriksa apakah rangkaian tersebut menyatu untuk nilai-nilai ini. Sehingga untuk nilai x=3, yaitu

:\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3-4)^n}{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n},

yang, menggunakan uji seri bolak-balik, menyatu. Sekarang untuk x=5,

:\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(5-4)^n}{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1^n}{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n},

yang, sebagai hasil standar, tidak bertemu. Demikianlah Interval konvergensi untuk \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-4)^n}{n} adalah 3 \leq x 

## Jari-jari konvergensi

Deret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel *x* dan dapat bersifat divergen untuk yang lain. Semua deret pangkat *f*(*x*) dalam pangkat (*x*-*c*) akan bersifat konvergen pada *x* = *c*. (Nilai yang benar *f*(*c*) = *a*0 membutuhkan penafsiran ekspresi 00 sama dengan 1.) Jika *c* bukan satu-satunya titik konvergen, maka pasti ada satu bilangan *r* di mana 0  *r*. Bilangan *r* disebut "'''jari-jari konvergensi'''" ("''radius of convergence''") suatu deret pangkat; secara umum dihitung sebagai:

:r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}
atau, secara ekuivalen,

r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}

## Operasi pada deret pangkat

### Penjumlahan dan pengurangan
Bilamana dua fungsi *f* dan *g* didekomposisi menjadi deret pangkat sekitar pusat *c* yang sama, deret pangkat dari jumlah atau selisih kedua fungsi itu dapat dihitung masing-masing dengan penjumlahan atau pengurangan. Yaitu, jika:
:f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n
:g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n
maka
:f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n.

### Perkalian dan pembagian
Dengan definisi yang sama seperti di atas, hasil kali dan hasil bagi deret pangkat dari kedua fungsi itu dapat diperoleh sebagai berikut:

: f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)

: = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-c)^{i+j}

: = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.

Urutan m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} dikenal sebagai konvolusi urutan a_n dan b_n.

Untuk pembagian, perhatikan:

: {f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n

: f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)

dan kemudian gunakan koefisien-koefisien pembanding di atas.

### Diferensiasi dan integrasi
Bilamana suatu fungsi dinyatakan sebagai deret pangkat, maka fungsi itu dapat dihitung diferensialnya pada interior ranah konvergensi. Dapat dihitung diferensial dan integral dengan mudah dengan mengerjakan setiap elemen secara terpisah:

::
f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}


::
\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.


Kedua deret ini memiliki jari-jari konvergensi yang sama dengan deret asalnya.

## Fungsi analitik

Sebuah fungsi *f* didefinisikan pada sejumlah subset terbuka *U* dari **R** atau **C** disebut **analitik** jika secara lokal dihitung sebagai deret pangkat konvergen. Ini berarti bahwa setiap *a* ∈ *U* mempunyai ''neighborhood'' terbuka *V* ⊆ *U*, sedemikian sehingga ada suatu deret pangkat dengan pusat *a* yang konvergen ke *f*(*x*) untuk setiap *x* ∈ *V*.

## Deret pangkat formal

Dalam aljabar abstrak, diupayakan untuk menangkap makna deret pangkat tanpa dibatasi pada bidang bilangan real dan kompleks, serta tanpa membutuhkan pembicaraan mengenai konvergensi. Ini mengarah kepada konsep deret pangkat formal, suatu konsep yang sangat bermanfaat dalam kombinatorika aljabar.

## Deret pangkat dalam beberapa variabel

Suatu kepanjangan teori ini dibutuhkan untuk tujuan kalkulus multivariabel. **Deret pangkat** di sini didefinisikan sebagai suatu deret tak terhingga dengan bentuk

::
f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},


di mana *j* = (*j*1, ..., *j**n*) adalah vektor bilangan asli; koefisien *a*(*j<sub>1</sub>,...,j<sub>n</sub>*) biasanya adalah bilangan real atau kompleks, dan pusat *c* = (*c*1, ..., *c**n*) serta argumen *x* = (*x*1, ..., *x**n*) biasanya adalah vektor real atau kompleks. Notasi multi-index yang lebih sederhana dapat ditulis

::
f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.


## Tingkatan deret pangkat
Misalkan α adalah suatu multi-indeks untuk deret pangkat*f*(*x*1, *x*2, …, *x**n*). **Tingkatan** (*order*) dari deret pangkat *f* didefinisikan sebagai nilai terkecil |α| sedemikian sehingga *a*α ≠ 0, atau 0 jika *f* ≡ 0. Khususnya, untuk deret pangkat *f*(*x*) dalam variabel tunggal *x*, tingkatan *f* adalah pangkat terkecil dari *x* dengan koefisien bukan-nol. Definisi ini mudah dikembangkan ke deret Laurent.

## Lihat pula
* Deret (matematika)
* Deret Taylor

## Referensi

## Pranala luar
* 
* 
* 
* Modul deret pangkat kompleks oleh John H. Mathews
* Pangkat bilangan kompleks oleh Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.