Theoria de numeros

Traditionalmente, le **theoria de numeros** es le branca del mathematica pur que se occupa del proprietates del numeros integre. Assi, intra iste parte del mathematica on studia conceptos como le divisibilitate, le numeros prime, maxime commun divisor, minimo commun multiplo, relationes de ordine, etc. 

Le disciplina se disveloppava pro occupar se de un classe plus ample de problemas que surgeva naturalmente del studio del numeros integre. Le theoria de numeros pote subdivider se in differente campos, secundo le methodos que on emplea e del questiones que on recerca, que son:
* Theoria elementari de numeros: applica solmente le methodos elementari del arithmetica pro le verification e del proprietates essential del insimul del numeros integre e in particular le proprietates del numeros prime;
* Theoria analytic de numeros: emplea le analyse real e le analyse complexe, specialmente pro studiar le proprietates del numeros prime;
* Theoria algebric de numeros: applica le algebra abstracte avantiate (algebra moderne) e studia le numeros algebric;
* Theoria geometric de numeros: emplea methodos geometric, algebric e analytic;

## Super le theoria elementari de numeros
Le prime contacto con le theoria de numeros es a transverso del **theoria elementari de numeros**. A transverso de iste disciplina on pote introducer proprietates bastante interessante e notabile del numeros integre, que in esser propositiones como questiones pro esser resolvite, o theoremas pro esser provate, son generalmente difficile a resolver o provar. Iste questiones son ligate basicamente a tres typos de recercas, a saper: 

# Studios specific super le proprietates del numeros prime;
# Recerca de algorithmos efficace pro le arithmetica basic;
# Studios super le solution de Equationes diophantin;

Iste questiones directemente ligate pro le studio del insimul del numeros integre e su subinsimul formate per le numeros natural.

Pro illustration seque alcunes del multe problemas tractate in iste tres areas del theoria elementari de numeros: 

## Proprietates del numeros prime
### Theorema de [[Euclide]]
:"*Existe un quantitate infinite de numeros prime*"

### Conjectura de Goldbach
:"*On pote exprimer le numeros par, major que 2, como le summa de duo numeros prime?*" Isto es le conjectura de Goldbach
:formulate in 1746 e usque hodie non provate, ben que es verificate usque numeros del ordine de 4*10^14.

Quante numeros prime fini con le digito 7? Son infinite? Del 664579 numeros prime minus de 10 milliones, le quales fini in 1, 3, 7 e 9 son, respectivemente, 166104, 166230, 166211 e 166032. Isto corresponde a 24.99%, 25.01%, 25.01% e 24.98% del total de numeros prime. Que suggere isto?

Il ha infinite pares de numeros appellate prime gemine: numeros prime que differe un ex le altere solmente in duo unitates, como (3 ; 5), (71 ; 73) o (1000000007; 1000000009)?

## Algorithmos efficace pro le arithmetica basic
Multe moderne applicationes son del campo del cryptographia depende de alcun proprietates del numeros integre e del numeros prime. Totevia le applicationes arithmetic que involve le proprietates del numeros integre son directemente connexe con le capacitate de resolver duo problemas fundamental: 
# le problema del test pro verificar si le numero es prime;
# le problema del decomposition in factores prime; 

Illos pare como problemas de solution simple, que deveni complexe quando on passa a operar con numerales de decenas, dozenas o mesmo centos de digitos.