open-index/open-wikipedia-markdown huggingface dataset:
Theoria de insimules

Le **theoria de insimules** es un disciplina del logica occupante se de insimules como objectos del mathematica. Como le creator de iste theoria vale le mathematico german Georg Cantor (1845 - 1918).

Insimules qualcunque es indicate per majusculas A, B, C, I etc., insimules special es per exemplo \emptyset pro le insimul vacue e le insimules \mathbb{C}, \mathbb{N} e \mathbb{Z}. Pro insimules, il ha parenthese crispe: \{1;2;3;4;5\}.

## Operationes
### Appertinentia
Appertinentia e inappertinentia es indicate assi: 7 \in \mathbb{N}, ma -7 \notin \mathbb{N}.
Lege: *7 in N*, *minus 7 non in N*.

### Intersection
Un intersection A \cap B es le insimule, a que pertine omne elementos que se trova e in A e in B: A \cap B := \{x \mid x \in A \wedge x \in B\}.
Lege: *A intersecate con B*.

### Union
Un union A \cup B es le insimule, a que pertine omne elementos que se trova in A o in B: A \cup B := \{x \mid x \in A \vee x \in B\}.
Lege: *A unite con B*.

### Differentia de insimules
Le differentia A \setminus B es le insimule, a que pertine omne elementos que se trova in A, ma non in B: A \setminus B := \{x \mid x \in A \wedge x \notin B\}.
Lege: *A minus B* o *A sin B*.

### Differentia symmetric
* Un differentia symmetric A \triangle B es le insimule, a que pertine omne elementos que se trova o in A o in B: A \triangle B := (A \setminus B) \cap (B \setminus A) = (A \cap B) \setminus (A \cap B).

### Subinsimul
Si omne elemento de A etiam es un elemento de B, tunc A es un subinsimul de B: A \subseteq B :\Leftrightarrow \forall x \in A \;\; x \in B.

Si A es un subinsimul de B, tunc B es un superinsimul de A: B \supseteq A.

Si le insimules differe, ita A \neq B, on les nomine proprie, si non improprie, tunc A es un subinsimul proprie de B: A \subsetneq B :\Leftrightarrow (\forall x \in A \;\; x \in B) \wedge (A \neq B).

Nota que le symbolo \subset es usate ambivalentemente, illo pote significar \subseteq o \subsetneq.

### Insimul de potentia
* Insimul potentia

## Vide etiam
* Par ordinate
* Producto cartesian
Infinitate

**Infinitate** es un concepto mathematic de alique sin limite e sin fin, ma possibilemente con comenciamento. Per exemplo, le insimul del numeros natural \mathbb{N} es infinite con le comenciamento 0: \mathbb{N} = \{0;1;2;3;4;5;6; \dots\} e etiam un semirecta es infinite con un comenciamento, ma un recta es infinite sin comeciamento. Le symbolo es un \infty (Unicode U+221E).

Dum que les insimules \mathbb{N}, \mathbb{Z} e \mathbb{Q} es numerabilemente infinite, le insimul \mathbb{R} es innumerabilemente infinite.

## Vide etiam
*fractal
The Doors

**The Doors** es un banda de rock statounitesese constituite in 1965 in Los Angeles que includeva le gitarrista Robby Krieger, le lider vocalista Jim Morrison, le percussionista John Densmore, e le clavierista Ray Manzarek.

## Discographia

**[[The Doors (album)|The Doors]]* (1967)
**[[Strange Days (album)|Strange Days]]* (1967)
**[[Waiting for the Sun]]* (1968)
**[[The Soft Parade]]* (1969)
**[[Morrison Hotel]]* (1970)
**[[L.A. Woman]]* (1971)
**[[Other Voices (The Doors album)|Other Voices]]* (1971)
**[[Full Circle (The Doors album)|Full Circle]]* (1972)
**[[An American Prayer]]* (1978)
Numero complexe

Omne **numero complexe** es un numero exprimite per a+bi con le parte real a e le parte imaginari b ambes numeros real e le numero imaginari i = \sqrt{-1} como un solution del equation x^2=-1. On nota a=\mathrm{Re}(a+bi) e b=\mathrm{Im}(a+bi). In vice de i, alicun scientias e autores usa j. Pro le insimul del numeros complexe, le symbolo \mathbb{C} (Unicode U+2102) es usate.

Numeros complexe es fundamental in numerose descriptiones physic.
Ray Manzarek

Raymond Daniel Manzarek, dicite  **Ray Manzarek**, (Chicago, Illinois, SUA,  — Rosenheim, Germania, ) era un musico statounitese e le clavierista del banda de rock The Doors, de 1965 a 1973, e alsi a partir de 2001 (appellate Manzarek-Krieger desde 2009 pro motivos legal). 

In general Manzarek era le clavierista del banda e Jim Morrison era le vocalista, ma in le canto "Close to you" gravate per le version original de The Doors, illo es, con Jim Morrison, Manzarek era le cantator, non Morrison. Post le morte de Morrison, The Doors publicava duo albumes, Full Circle e Other Voices, in le qual le vocales era de Manzarek o Robbie Krieger, le gitarrista.

Ille gravava alsi un adaptation rock de Carmina Burana de Carl Orff con Philip Glass.

Manzarek anque formava le banda Nite City, que publicava duo albumes: un album in 1976 e un altere in 1978.

Ray Manzarek ha morite le  in le Clinica Romed in Rosenheim, Germania, post un longe batalia contra le cancer del ducto biliar, al etate de 74 annos. Al hora de su morte, ille era accompaniate per su sposa, Dorothy Manzarek, e su fratres Rick e James Manzarek. Le corpore de Manzarek era cremate.
Gruppo symmetric

In mathematica, un **gruppo symmetric** es un gruppo finite consistente de omne permutationes del elementos de un insimul de n elementos. Le symbolo es S_n, \mathfrak{S}_n o \operatorname{Sym}_n con n le grado del gruppo.

## Proprietates
Le operation es le composition de permutationes. Le elemento neutre es le function identitate.

Le ordine es n! con n le grado del gruppo. Pro n > 2, un gruppo symmetric non es abelian.
Matrice symmetric

In le algebra linear, un **matrice symmetric** es un matrice quadratic que es equal a su matrice transponite.
Georg Cantor

**Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor** (3 de martio 1845 in Sancte Petroburgo — 6 de januario 1918 in Halle an der Saale) esseva un mathematico e logico german. Ille precisava le notion del infinitate e vale como le creator del theoria de insimules e un pionero del mathematica moderne.
Octonion

Le **octoniones** es un normate algebra de division a 8 dimensiones super le corpore \mathbb{R} del numeros real e un extension del quaterniones. Pro le insimul del octoniones, le symbolo \mathbb{O} es usate. Le prime vice, illos es describite in 1843 per John Thomas Graves in un littera a William Rowan Hamilton, ma publicate duo annos plus tarde in 1845 per Arthur Cayley.

## Un possibile tabella de [[multiplication]]

Per medio del notation del octoniones unitate in le forma \{e_0, e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7\} con le elemento scalar e_0 = 1 \in \mathbb{R}, su tabella de multiplication es assi:
Abraham Joshua Heschel

**Abraham Joshua Heschel** (Varsovia, Polonia le &nbsp;– Nove York, Nove York, SUA le ) esseva un rabbin, philosopho, e activista pro derectos civil e contra le Guerra de Vietnam nascite in Polonia qui iva al SUA post fugir le nazis. Ille travaliava pro directos civil con Martin Luther King, Jr., qui appellava Heschel "un del vermente grande homines de su tempore" e "un grande propheta."

Ille esseva un professor al Jewish Theological Seminary (JTS) e un scriptor cuje libros include *The Sabbath* (*Le Sabbato*) e *The Prophets* (*Le Prophetas*). Ille moriva al etate de 65 in su appartamento in le vicinitate de JTS a  in Manhattan, NYC.  Su filia es le scriptor feminista e professor Susannah Heschel.

Il ha quatro scholas appellate in su honor, in le Upper West Side de Manhattan; Northridge, California; Agoura Hills, California; e Toronto, Ontario, Canada.

## Referentias
Symmetria

**Symmetria** es un concepto in disciplinas diverse.

In le geometria, on distingue per exemplo inter le **symmetria axial** – a saper le proprietate de esser symmetric a un axe, e le **symmetria central** – a saper le proprietate de esser symmetric a un puncto.

*Un **function symmetric** es un function de plure variabiles, ubi le variabiles pote esser excambiate sin cambiar le valor del function.
*Un **[[gruppo symmetric]]** S_n es un gruppo composite de omne permutationes de un insimul con n elementos.
*Un **matrice symmetric** es un matrice que es axialmente symmetric a su diagonal principal.
*Un **polynomio symmetric** es un polynomio cuje variabiles pote esser excambiate sin cambiar le polynomio.

## Vide etiam
* Centro (geometria)
Avraham Yehoshua Heschel

**Abraham Joshua Heschel** o **Avraham Yehoshua Heschel** pote referer a:
 
Rabbi Avraham Yehoshua Heschel (1595-1663), un talmudista qui era le chef rabbi de Cracovia.
 
Rabbi Avraham Yehoshua Heschel de Apt (1748-1825), le fundator del dynastia chasidic Mezhbizh/Zinkover.

Rabbi Abraham Joshua Heschel (1907-1972), le philosopho e activista pro derectos human.
Jewish Theological Seminary

**Jewish Theological Seminary** (anglese pro "Seminario Theologic Judee") es un seminario judee in Manhattan in le Citate de Nove York, fundate in 1902, que educa rabbis in le tradition de Judaismo Conservative, que (nonobstante su nomine) es un movimento liberal judee.

Professores notabile qui era in le facultate include Solomon Schechter, Louis Ginzberg, Mordechai Kaplan, Abraham Joshua Heschel, e H.L. Ginsberg.
Involution

Un **involution** es un function f : A \to A tal que pro omne a \in A es ver f(f(a)) = a.

Altere nomines es *function autoinverse* o *[[mappamento]] autoinverse*.
Cracovia

**Cracovia** (in polonese: *Kraków*) es un del plus grande citates in Polonia, situate in le sud del pais. In le anno 2010 illo habeva 1.39 milliones de habitantes in su area metropolitan. Illo es le citate capital del voivodato Parve Polonia.

## Patrimonio Mundial
Le centro historic de Cracovia es desde 1978 inscribite in le lista del Patrimonio Mundial del UNESCO.
## Ligamines externe

* Portal Turismo de Cracovia 
* Turismo de Cracovia 
* Cracovia  
* www.e-krakow.pl - Portal de Cracovia
Magma (disambiguation)

**[[Magma]]** es petra fundite

*Magma* pote etiam referer se a:

* magma (mathematica), un structura algebric
* Magma (banda), un banda francese
Tabella de Cayley

Un **tabella de Cayley**, nominate re le mathematico britannic Arthur Cayley (1821 – 1895), es un possibilitate de presentar structuras algebric finite como un tabella quadratic. Un tabella de Cayley es apte pro per exemplo magmas, quasi-gruppos, semigruppos e gruppos.

## Exemplo: Un tabella de Cayley del [[Gruppo de Klein]]

Lege, per exemplo, ab \ast 1 = ab, ab \ast a = b, ab \ast b = a e ab \ast ab = 1 in le ultime fila de sinistre a dextre.

## Exemplo: addition e multiplication
Sur le insimul A = \{ 0,1,2,3,4 \}, le addition a + b\!\!\! \mod 5 e le multiplication a \cdot b\!\!\! \mod 5 es presentabile per tabellas de Cayley:
Arthur Cayley

**Arthur Cayley** (16 de augusto 1821 in London, Anglaterra&nbsp;– 26 de januario 1895 in Cambridge, Anglaterra) esseva un mathematico anglese. Ille introduceva le notion abstracte del gruppo e se occupava de algebra, analyse mathematic, geometria, physica e astronomia. Durante su vita, Cayley publicava solmente un libro: *An Elementary Treatise on Elliptic Functions* in 1876. Ille etiam esseva un alpinista passionate. Su nomine porta le algorithmo Cayley-Purser e le crater lunar Cayley.

Ab 1838 ille studeva al Trinity College in Cambridge. Durante su education pro advocato, Cayley viagiava a Dublin pro participar lectiones de William Rowan Hamilton re quaterniones. In 1854 ille introduceva explicitemente le notion e le nomine *gruppo*, pro que ille usava tabellas de Cayley. Anque, ille scribeva re matrices e octoniones de un algebra de division.
Haman

**Haman** es le antagonista in le Libro de Esther, un consiliator al imperator perse Ahasuerus qui consilia un genocidio pro assassinar le populo judee del imperio de Persia. Al fin, post le revelation per le regina Esther que illa mesme es judee, Haman es pendite del furca que ille mesme mandava pro le execution intendite de Mordechai, le oncle de Esther.

In le rito del leger le megilla in le festa judee de Purim, in le qual le Libro de Esther es legite publicamente, le audientia face un ruito de reprobation cata vice que le nomine de Haman es mentionate.
Magma semisymmetric

In algebra, le **semisymmetria** es un lege.

Un *magma semisymmetric* es un magma (M; \ast) tal que x \ast (y \ast x) = y = (x \ast y) \ast x pro omne x, y \in M.

Le partes sinistre (x \ast (y \ast x) = y) e dextre ((x \ast y) \ast x = y) es equivalente in omne magma.

## Vide etiam
* Tabella de leges algebric

## Litteratura
* Ilse, D., Lehmann, I., Schulz, W. (1984): *Gruppoide und Funktionalgleichungen*. MfL 20. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften: p. 46, 60,61, 67, 69, 72
Algebra de division

In algebra abstracte, un **algebra de division** es un algebra super un corpore in que le division, excepte per zero, es semper possibile; alora illo es un algebra non necessarimente associative A \neq \{0\}, in que, con le multiplication vectorial \cdot in le algebra, le equationes a \cdot x = b e y \cdot a = b semper ha solutiones univoc x, y \in A pro omne elementos a, b \in A con a \neq 0. Isto significa que le algebra non ha divisores de zero. Un algebra de division A es un **algebra de division con un [[elemento neutre]]**, si illo ha un elemento 1 tal que a \cdot 1 = 1 \cdot a = a pro omne a \in A.

## Exemplo de un algebra de division sin elemento neutre
Le algebra consiste del duo elementos e_1 e e_2 que pote esser multiplicate per numeros real qualcunque:


\begin{matrix}
e_1 \cdot e_1 &=& e_1\\
e_1 \cdot e_2 &=& -e_2\\
e_2 \cdot e_1 &=& -e_2\\
e_2 \cdot e_2 &=& -e_1
\end{matrix}


## Vide etiam
*Elemento neutre
*Anello de division
*Corpore
Magma

**Magma** es le petra fundite e calide in partes del mantello terrestre superior e del crusta terrestre inferior. Le fluxibilitate del magma es le causa del vulcanismo e es multo importante pro le petrogenese. Le equivalente extrusive del magma es le lava.
## Galeria

File:Pahoehoe toe.jpg|thumb|Flucto de lava in Hawaii

## Vide etiam
*Lava
Divisor de zero

* Un **divisor de zero a sinistre** es un elemento a de un anello, si existe un elemento b \neq 0 tal que ab = 0.
* Un **divisor de zero a dextre** es un elemento a de un anello, si existe un elemento b \neq 0 tal que ba = 0.
* Un **divisor de zero** es un elemento que es un divisor de zero a sinistre o a dextre.

Si iste anello es commutative, ille tres definitiones concorda. Un anello commutative sin divisores de zero con un elemento neutre es un anello de integritate (o dominio de integritate). 

## Exemplos
Le anello \mathbb{Z} del numeros integre es sin divisores de zero, durante que le anello \mathbb{Z}^2 con le addition e multiplication usual ha le divisores (0, 1) e (1, 0), perque (0, 1) \cdot (1, 0) = (0, 0).

In plus, le anello del matrices real 2 \times 2 ha le divisores de zero 
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\ 2 & 2
  \end{pmatrix}
 e \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\ -1 & -1
  \end{pmatrix}, perque

  \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\ 2 & 2
  \end{pmatrix}
  \cdot
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\ -1 & -1
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    2 & -1 \\ 2 & -1
  \end{pmatrix}
  \cdot
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\ 2 & 2
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    0 & 0 \\ 0 & 0
  \end{pmatrix}.
Sauna

Un **sauna** o **banio finnese** es un loco calefacibile pro homines pro sudar con le intension de gaudimento, induration, mundification o recreation. Illo alora es un specie de banio de vapor. Un sauna sovente es un casetta insulate con un estufa con petras, super le quales on infunde aqua fragrante.
## Galeria
Rhenania

**Rhenania** (in germano *Rheinland* = Pais Rhenan) es le regiones german inter le Paises Basse, Belgica, Luxemburg e le fluvio Rheno. Post le Congresso de Vienna, le territorio sur le sinistre ripa de Rheno esseva distribuite inter le Regnos Bavaria e Prussia e le Grande Ducato de Hesse. In 1822, Prussia creava le Provincia Rhenan e subdivideva lo in le cinque regiones administrative-governamental de Aquisgrano (Aachen), Koblenz, Colonia (Köln), Düsseldorf e Treveris (Trier).

Le parte septentrional es le Basse Rhenania.
Regierungsbezirk

Un **regierungsbezirk** es un region administrative inter un stato federal e su districtos in Germania. Iste districtos son o citate-districtos o districtos con plure municipalitates. Le tres citate-statos Berlin, Bremen e Hamburgo assi como novem altere statos federal non ha tal regiones administrative. Un traduction de "regierungsbezirk" pote esser "region administrative-governamental".

## Statos federal
Il ha actualmente solmente quatro statos que ha regiones administrative (stato 2012):

 Baden-Württemberg (desde 1973): Friburg, Karlsruhe, Stuttgart e Tübingen.

 Bavaria (desde 1973): Alte Bavaria, Basse Bavaria, Alte Franconia, Medie Franconia, Basse Franconia, Alte Palatinato e Suabia.

 Hesse (desde 1981): Darmstadt, Giessen e Kassel.

 Rhenania del Nord-Westfalia (desde 1972): Arnsberg, Colonia, Detmold, Düsseldorf e Münster.

## Galeria

Wappen Oberbayern.svg|Alte Bavaria
DEU Niederbayern COA.svg|Basse Bavaria
Wappen Bezirk Oberfranken2.svg|Alte Franconia
Mittelfranken Wappen.svg|Medie Franconia
DEU Regierungsbezirk Unterfranken COA.svg|Basse Franconia
Wappen Oberpfalz.svg|Alte Palatinato
Wappen Schwaben Bayern.svg|Suabia
Stolberg (Rhenania)

**Stolberg** (nomine official **Kupferstadt Stolberg**) es un citate in le Region urban de Aquisgrano in Rhenania del Nord-Westfalia in le west de Germania. Illo ha circa 56.000 habitantes. Per le citate, le fluvio Inde passa. Illo esseva un importante centro industrial pro zinc e laton. Su citate vetule ha un castello fortificate e multe si-nominate *Cortes de cupro* (in germano *Kupferhöfe*). A causa del longe tradition de industria de zinc e laton, su nomine official desde le 24 de julio 2012 es *Citate de cupro Stolberg*.

Municipalitates vicin es Aquisgrano, Eschweiler, Hürtgenwald e Roetgen.

Le codices postal pro omne casas de habitation es 52222, 52223 e 52224. Le prefixo telephonic es 02402 (international +49 2402).

## Quartieros
Quartieros urban es Atsch, Breinig, Breinigerberg, Büsbach, Donnerberg, Dorff, Gressenich, Mausbach, Münsterbusch, Schevenhütte, Venwegen, Vicht, e Zweifall. Le west e sud-west del territorio del citate es le parte oriental del Münsterländchen.

## Vide etiam
* Area Eschweiler-Stolberg
Münster

**Münster** es un citate-districto in Rhenania del Nord-Westfalia in le west de Germania. Illo ha circa 315.000 habitantes e un famose citate vetule. Münster es le citate capital del region administrative-governamental del mesme nomine.

## Vide etiam
Guerra de Trenta Annos
Detmold

**Detmold** es un citate in Rhenania del Nord-Westfalia in le west de Germania. Illo ha circa 74.000 habitantes. Detmold es le citate capital del region administrative-governamental Westfalia oriental-Lippe (in germano: *Ostwestfalen-Lippe*). Illo es situate juxta le Foreste de Teutoburgo.
Citate-stato

Un **citate-stato** in Germania es un citate que non es un parte de un stato federal, ma forma un proprie stato federal per se mesme. In Germania, le tres citate-statos es Berlin, Bremen e Hamburgo. Bremen es nominate un citate-stato, ben que illo consiste de duo citates. In Austria, le sol citate-stato es Vienna.
Citate-districto

Un **citate-districto** in Germania es un citate que non es un parte de un districto, ma forma un proprie districto (interne de un region administrative-governamental) per se mesme. In le stato federal Rhenania del Nord-Westfalia, le vinti-duo citate-districtos es Bielefeld, Bochum, Bonn, Bottrop, Dortmund, Duisburg, Düsseldorf, Essen, Gelsenkirchen, Hagen, Hamm, Herne, Köln, Krefeld, Leverkusen, Mönchengladbach, Mülheim an der Ruhr, Münster, Oberhausen, Remscheid, Solingen e Wuppertal.
Stato federal (Germania)

In Germania, un **stato federal** o **land** (plural: **landes** o **länder**) es omne del dece-sex unitates que forma le federation de Germania. Omne land ha su proprie citate capital, constitution, governamento, prime ministro, heraldica, bandiera e hymno.
## Statos federal
Insimul sustenente

In algebra abstracte, un **insimul sustenente** es le insimul, super lo que le structura algebric concernite es constructe, alora le magma (A; \ast) consiste del insimul sustenente A e le operation \ast.

Sovente le insimul sustente es equate con le structura mesme tal que le littera usate significa e le insimul e le structura. Pro distinguer ambes, usate es medios diverse:

*littera sublineate pro le structura algebric: \underline{A} = (A;\ast)
*littera gothic pro le structura algebric: \mathfrak{A} = (A;\ast)
*littera calligraphic pro le structura algebric: \mathcal{A} = (A;\ast)
*littera grasse pro le structura algebric: \boldsymbol{A} = (A;\ast)
Roetgen

**Roetgen** es un municipalitate sin derecto de citate in le Region urban de Aquisgrano in Rhenania del Nord-Westfalia in le west de Germania. Illo ha circa 9.000 habitantes e es situate al bordo del nord del Eifel.

Municipalitates vicin es Aquisgrano, Simmerath e Stolberg.

Le 13 de martio 2019, un tornado devastava partes del communa e demoliva dozenas de edificios.
Algebra abstracte

**Algebra abstracte** es le branca de mathematica que se occupa del structuras algebric como monoides, gruppos, anellos, corpores, spatios vectorial e algebras super un corpore. Illo recerca lor proprietates e characteristicas como structuras independente e specifica los axiomaticamente. Subbrancas del algebra abstracte es le theoria de gruppos, theoria de anellos e theoria de corpores. Al contrario, le algebra universal se occupa generalmente de structuras, lor homomorphismos e certe generalisationes.
Subgruppo

In algebra, un **subgruppo** (H;\ast) de un gruppo (G;\ast) es un subinsimul H del insimul sustenente G tal que (H;\ast) mesme es alsi un gruppo con le operation \ast restricte sur le insimul H. Le notation pro isto es H \le G. Sovente un subgruppo porta le littera H sequente le littera G (como *gruppo*). Subgruppos es le substructuras in le theoria de gruppos.

Un gruppo (G;\ast) es le **supergruppo** de omne su subgruppo (H;\ast); le notation pro isto es G \geq H.

## Vide etiam
* subgruppo normal
Subinsimul

In mathematica e su branca theoria de insimules, un insimul A es un **subinsimul** del insimul B, si omne elemento de A alsi es un elemento de B. Per altere parolas, un subinsimul es un parte del altere insimul. Le notation es A \subseteq B. Omne insimul es un subinsimul de se mesme, e le insimul vacue \emptyset es un subinsimul de omne insimules: A \subseteq A \wedge \emptyset \subseteq A pro omne insimul A.

Un insimul B es le **superinsimul** de omne su subinsimules A; le notation pro isto es B \supseteq A.

## Subinsimules proprie
Si le insimules differe, alora A \neq B, illos se nomina **proprie**, alteremente **improprie**.

A es un subinsimul proprie de B :\Leftrightarrow (\forall x \in A \;\; x \in B) \wedge (A \neq B). Le notation es A \subsetneq B.

Nota que le symbolo \subset es usate ambivalentemente, illo pote significar \subseteq (subinsimul improprie) o \subsetneq (insimul proprie).

## Exemplos
* Le insimul \{5; 22; 49\} es un subinsimul de \{1; 2; 5; 21; 22; 35; 40; 45; 49; 50; 51; 52\}.
* Le insimul \mathbb{N} del numeros natural es un subinsimul del insimul \mathbb{Z} del numeros integre.
Anello de integritate

Un **anello de integritate** o **dominio de integritate** es un anello commutative con un elemento neutre de multiplication e sin divisor de zero. Illo es classificate como seque:

anello commutative \subset  anello de integritate \subset anello de quotiente \subset anello principal \subset anello euclidian \subset corpore.

Le numeros integre e le polynomios real es exemplos.
Llorenç Vidal

**Llorenç Vidal Vidal** (26 de april 1936 in Santanyí, Majorca) es un poeta, pedagogo e pacifista majorchino e espaniol e esseva in 1964 le fundator *[[Die Scholar del Non-violentia e del Pace]] ([[DENIP]]),* difundite internationalmente e celebrate sin interruption cata anno le 30 de januario, anniversario del morte del Mahatma Gandhi.

## Obras plus importante
### Pedagogia
**Fundamentación de una Pedagogía de la No-violencia y la Paz* (1971)
**[https://denippaz.files.wordpress.com/2021/05/ideario-no-violento.pdf Ideario No-violento]* (con le collaboration de Eulogio Díaz del Corral, 1981))
**No-violencia y Escuela. El 'Día Escolar de la No-violencia y la Paz' como experiencia práctica de Educación Pacificadora* (1985), etc.

### Poesia
**Insania Terrae* (1962)
**Talaiot del vent* (1965 y 1972)
*''Primeres Poesies'' (2019)
*''Estels filants'' (1991 / 2018)
*''Petits poemes'' (1999 / 2019)
*''Destellos Espirituales'' (2012 / 2019)
**[https://denippaz.files.wordpress.com/2020/04/rosa_vientos.pdf La Rosa de los Vientos. Recopilación poética]* (2020)
**Antología Poética* (2012)
*In prosa ''Petit llibre d'un solitari'' / ''Pequeño libro de un solitario'' (1968, 1974, 2019)
**[https://denippaz.wordpress.com/reflexiones/ Reflexiones & Silencios]*

## Links
* Llorenç Vidal, poeta, pedagogo y pacifista
* Version digital de "Petit llibre d'un solitari" / "Pequeño libro de un solitario"
* Version digital de "Ideario No-violento" de Llorenç Vidal e Eulogio Díaz del Corral
* Llorenç Vidal: Artículos literarios, filosóficos y pedagógicos
* Llorenç Vidal: Poesía, haikai, pensamiento
* Llorenç Vidal: Destellos espirituales (poesía mística), revista literaria Tántalo y edición on line
* Le web del DENIP
* Mirador del DENIP 
* "¿Llorenç Vidal, un educador propuesto para el Nobel de la Paz?", por Eulogio Díaz del Corral
* "En Llorenç Vidal i Vidal, poeta, educador i pacifista santanyiner" por Eulogio Díaz del Corral
Algebra super un corpore

Un **algebra super un corpore** es un structura algebric que es e un anello e un spatio vectorial. On de plus distingue plure proprietates:
*Algebra de Lie: un special algebra non-associative
*Algebra associative: un algebra cuje multiplication es associative
*Algebra de gruppo
*Algebra de monoide

Un generalisation es un algebra super un anello commutative.

## Vide etiam
*Corpore
*Gruppo
*Monoide
Algebra super un anello commutative

Un **algebra super un anello commutative** o **<math>R</math>-algebra** es un structura algebric e un generalisation de algebras super un corpore. Un R-algebra consiste de un modulo super un anello commutative R con un additional multiplication compatibile con le structura del modulo.

## Definition
Sia R un anello commutative, A un R-modulo e le operation \cdot : A \times A \to A un operation binari (multiplication) super A. Le par (A;\cdot) es nominate un **<math>R</math>-algebra**, si e solmente si le multiplication \cdot es bilinear, a saper

pro omne x,y,z \in A e omne \lambda \in R vale
* (x+y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z,
* x \cdot (y+z) = x \cdot y + x \cdot z,
* \lambda(x \cdot y) = (\lambda x)\cdot y = x \cdot (\lambda y).

Nota que hic le multiplication ni debe esser associative (como un semigruppo) ni commutative ni debe haber un elemento neutre (como un loop).

## Vide etiam
* Tabella de leges algebric
Spatio vectorial

Un **spatio vectorial** es un structura algebric.

## Definition
Sia V un insimul, (F;+;\cdot) un corpore, \oplus : V \times V \to V un operation binari (interior) e \odot : F \times V \to V un operation binari (exterior). Alora (V; \oplus; \odot) es un **spatio vectorial super le corpore <math>F</math>** si e solmente si, pro omne u, v, w \in V e \alpha, \beta \in F, pro le operation interior vale

: V1: u \oplus (v \oplus w) = (u \oplus v ) \oplus w,
: V2: 0_V \in V con v \oplus 0_V = 0_V \oplus v = v,
: V3: -v \in V con v \oplus (-v) = (-v) \oplus v = 0_V,
: V4:  v \oplus u = u \oplus v,

e pro le operation exterior vale

: S1: \alpha \odot (u \oplus v) = (\alpha \odot u) \oplus (\alpha \odot v),
: S2: (\alpha + \beta) \odot v = (\alpha \odot v) \oplus (\beta \odot v),
: S3: (\alpha \cdot \beta) \odot v = \alpha \odot (\beta \odot v),
: S4:  1 \odot v = v con 1 \in F le elemento neutre multiplicative.

Le operation interior \oplus es le **addition vectorial**, e le operation exterior \odot es le **multiplication scalar**.

## Vide etiam
* Tabella de leges algebric
Scalar

Un **scalar** (ab latino *scala* con le suffixo adjective *-ar*) es un qualitate mathematic que es characterisate solmente per un valor numeric. In physica, scalares es valores independente de direction. In algebra, un scalar es un elemento del corpore de un spatio vectorial al contrario a un vector que es un elemento del spatio.

Le multiplication de un scalar con un vector es le **multiplication scalar**. Su resultato es un vector. Isto es non a confunder con le **producto scalar** que es un operation de vectores cuje resultato es un scalar.
Mosella (fluvio)

Le **Mosella** es un fluvio in Europa central. Illo nasce in le nord-est de Francia, flue preter Luxemburg e imbucca in le Rheno juxta Koblenz in le west de Germania. Su longor es circa 544 kilometros, e le differentia de nivello es 637 m. Su bassino hydrographic contine circa 28.000 kilometros quadrate.

Un de su rivos tributari es le Saar.

Le citates e communas transversate de illo es Metz, Treveris, Bernkastel-Kues, Traben-Trarbach, Cochem e Koblenz.
Treveris

**Treveris** (in germano Trier) es un citate-districto de Rhenania-Palatinato in le west de Germania. Illo ha circa 110.000 habitantes. Per le citate, passa le Mosella. Treveris esseva fundate per le romanos e tunc portava le nomine *Augusta Treverorum*. In 1818, Karl Marx nasceva in Treveris.
Mainz

**Mainz** o **Maguntia** es un citate-districto in Rhenania-Palatinato e, desde 1950, le citate capital de ille stato federal in le west de Germania. Le fluvio Rheno passa preter Mainz. Le urbe ha circa 215.000 habitantes e ha un passato historic extense: le prime communitate urban nasceva in sino al antique romanos tunc portante le nomine *Moguntiacum*, dum su fundation surgeva probabilemente super un parve centro habitate celtic denominate *Mogon*. Circa in 1400, Johannes Gutenberg nasceva in Mainz, e in 1468 ibi moriva. Le citate es anque le sede del institution de television ZDF.

## Galeria

File:Mainz Luftbild - Dom & Leichhof 2008.jpg|Cathedral e citate vetule
ZDF

Le **Zweites Deutsches Fernsehen** (litt. Secunde Television German; abbreviate **ZDF** e stilisate **2DF**) es un del plus grande institutiones de television public de Europa. Illo es famose pro su emission *Wetten, dass ...?* e le emissiones de novas *heute* e *heute journal*.

Su sede es in le quartiero Lerchenberg del citate Moguntia. Le prime emission esseva le 1 de april 1963.
Infimo e supremo

In mathematica, le **infimo** es le **inferior barriera le plus grande**, e le **supremo** es le **superior barriera le minus grande**, si il se tracta de un ordine partial.

Sia A un insimul con un ordine partial \leq, e S \subseteq A un subinsimul de A. Alora es ver:
* Un elemento a \in A es un inferior barriera de S, si e solmente si \forall x \in S \;\; a \leq x.
* Un elemento a \in A es un superior barriera de S, si e solmente si \forall x \in S \;\; x \leq a.

## Minimo e maximo
Si A es le insimul \mathbb{R} del numeros real, alora es ver:
* Si S es barrate a infra e non-vacue, tunc S ha un inferior barriera le plus grande, le infimo; le notation es \inf(S).
** Si S es barrate a infra, e le infimo de S pertine a S, tunc infimo es nominate anque le **minimo** de S; le notation es \min(S).

* Si S es barrate a supra e non-vacue, tunc S ha un superior barriera le minus grande, le supremo; le notation es \sup(S).
** Si S es barrate a supra, e le supremo de S pertine a S, tunc supremo es nominate anque le **maximo** de S; le notation es \max(S).
Topologia (disambiguation)

**Topologia** pote significar

*un arrangiamento in telecommunication: Topologia de rete
*un branca de mathematica que se occupa de continuitate, vicinitate, e convergentia: Topologia (branca de mathematica)
*un structura mathematic: Topologia (structura)
Ideal (theoria de anellos)

In le theoria de anellos, un **ideal** de un anello \boldsymbol{R}=(R;+;\cdot) es un subinsimul (subgruppo additive) I de \boldsymbol{R} tal que es ver pro qualcunque a, b \in I, r \in R
* 0 \in I,
* a-b \in I,
* a \cdot r \in I (ideal dextre), 
* r \cdot a \in I (ideal sinistre).

Si un ideal es dextre e sinistre, illo se nomina bilateral.

Ideales pote esser considerate como un generalisation del numeros.
Theoria de anellos

In mathematica, plus precisemente in su branca algebra, le **theoria de anellos** se occupa del structura algebric "anello" e le proprietates de iste structura. Altere themas es le classification e representation de anellos. Special classes de anellos es anellos commutative, anellos de gruppo e modulos.

Considerate es etiam structuras con duo operationes binari, per exemplo addition e multiplication, e structuras simile al numeros integre \mathbb{Z}.
Systema de equationes linear

In mathematica, plus precisemente in algebra linear, un **systema de equationes linear** (SEL), es un arrangiamento de equationes linear que ha al minus un variable e omnes debe esser ver. Le variable es sovente a, b e c, o x, y e z, o x_1, x_2 e x_3.

Un systema de equationes linear con m equationes e n variables x_1 usque x_n ha generalmente iste forma:

\begin{matrix}
a_{11} x_1 + a_{12} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{1n} x_n & = & b_1\\
a_{21} x_1 + a_{22} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{2n} x_n & = & b_2\\
a_{31} x_1 + a_{32} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{3n} x_n & = & b_3\\
&&&\vdots&\\
a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{mn} x_n & = & b_m\\
\end{matrix}

Un systema de equationes linear es homogene, si omne b_i=0. Homogene systemas de equationes linear ha sempre al minus le solution trivial, a saper omne variables es 0. In contrario, non-homogene systemas pote haber nulle solution.

## Exemplo con tres equationes e tres variables
:\begin{matrix}
3a & + & 2b & - &  c & = &  -13\\
-2a & - & 2b & + & 5c & = & 26\\
-a & & & - & \tfrac12c & = &  1
\end{matrix}
Pro a = -3, b = 0, c = 4, omne equationes es ver, ita isto es un solution del systema. Le systema consiste de tres variables que es notabile como un sol n-tupla (hic un tripletto), etiam nominate un vector de solution.

Le systema de iste exemplo es scribite como un matrice assi:

\left(\begin{matrix} 3&2&-1\\ -2&-2&5\\ -1&0&-\tfrac12 \end{matrix} 
\left|
\begin{matrix}-13\\ 26\\ 1 \end{matrix}
\right)\right.

Le parte sinistre de iste matrice es le **matrice de coefficientes**:

\left(\begin{matrix} 3&2&-1\\ -2&-2&5\\ -1&0&-\tfrac12\end{matrix}\right)
Probabilitate

**Probabilitate** es le graduation de declarationes secundo le grado de certitude, sovente con le scopo de un prediction. In mathematica, probabilitates es objectos mathematic con valores numeric.

Un maniera mathematic es le tres axiomas de Kolmogorov:
# Pro omne evento A, le probabilitae \mathrm{P}(A) es un numero real inter 0 e 1:  1 \le \mathrm{P}(A) \le 1.
# Le evento certe \Omega ha le probabilitate 1: \mathrm{P}(\Omega) = 1.
# Le probabilitate de un union de un insimul numerabile de eventos incompatibile (disjuncte per pares) es le summa del probabilitates de iste eventos particular. Per exemplo: Si A \cap B = \emptyset pro duo eventos A e B, tunc vale \mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B).
Stochastica

**Stochastica** in mathematica es le termino generic del theoria de probabilitate e statistica.
Le adjectivo *stochastic* pote significar *del stochastica* o *aleatori*.
Topologia (branca de mathematica)

**Topologia** es le branca de mathematica que occupa se del proprietates de objectos que resta conservate sub deformationes continue. Le continuitate es topologicamente definite in un maniera multo general.

Al fin del seculo 19, le topologia resultava del geometria e theoria de insimules como un disciplina autonome. Hodie, ultra le algebra, illo es recognoscite como un del pilastros del mathematica. Illo es particularmente importante pro le analyse, analyse functional, geometria e le theoria de gruppos de Lie.

## Vide etiam
*Topologia (structura)
Topologia (structura)

In le branca topologia, un **topologia** es un insimul T consistente de subinsimules de un insimul basal X que compli le tres axiomas sequente:

* Le insimul vacue \emptyset e le insimul basal X es aperte.
* Le intersection de duo insimules aperte es aperte.
* Le union de un qualcunque quantitate de insimules aperte es aperte.

Alora T se nomina un **topologia**, e le par (X,T) se nomina un **spatio topologic**.
Leverkusen

**Leverkusen** es un citate-districto in le region administrative-governamental de Colonia in Rhenania del Nord-Westfalia in le west de Germania e es situate juxta Colonia. Illo ha circa 164.000 habitantes. Le fluvio Wupper passa per le citate e pois imbucca in le Rheno.

Le 1 de april 1930, le citate esseva create ex plure communas e habeva circa 40.000 habitantes. Su nomine illo recipeva de Leverkusen, un quartiero de laboratores que esseva nominate re le industrial Carl Leverkus. Le 1 de januario 1975, Leverkusen incorporava le municipalitates Opladen, Bergisch Neukirchen e Hitdorf.

Famose es su club de football *Bayer Leverkusen*.
Latakia (provincia)

Le **Districto de Latakia** o **Provincia de Latakia** (in arabe: مُحافظة اللاذقية) es un del 14 distritos (*[[muhafazat]]*) de Syria. Illo es situate in le portion occidental del pais, al frontiera con Turchia, e su area non es completemente establite. Le datos varia de 2.297&nbsp;km² a 2.437&nbsp;km². Illo habeva un population estimate a 943,000 habitantes in 2007. Le citate capital es Latakia.

## Subdistrictos

* Al-Haffa

* Jableh

* Lataquia

* Qardaha

## Referentias
Toro (disambiguation)

Un **toro** es
* in mathematica, un objecto tridimensional e anular: toro
* in geographia, le municipalitates
** Toro (Italia)
** Toro (Zamora)

## Vide etiam
*La Bóveda de Toro
*Morales de Toro
*Pinilla de Toro
*Segura de Toro
Toro

In mathematica, un **toro** es un figura geometric e topologic que consiste de un plano modulate como un inflation con un foramine. Illo es un solido de revolution create de un circulo. Nomines popular es pneu, cinctura de salvamento e donut.

## Galeria

File:Torus.png|thumb|right|Toro
File:Bounty II life preserver.JPG|Cinctura de salvamento
File:Christmas doughnut (15456531431).jpg|Donut de Natal
File:Assorted stacked automotive tires.jpg|Pneumaticos de automobile
Alsdorf

**Alsdorf** es un citate in le region urban de Aquisgrano in Rhenania del Nord-Westfalia in le west de Germania. Illo ha circa 47.000 habitantes. Le citate esseva formate del industria de minas. Le mina *Anna* (1854 - 1983) con plus que 6.600 laboratores del societate de minas *[[Eschweiler Bergwerks-Verein]]* hodie es un museo. Un del curiositates es le castello.

Le codice postal pro omne casas de habitation es 52477. Le prefixo telephonic es 02404 (international +49 2404).

Citates vicin es Baesweiler, Eschweiler, Würselen e Herzogenrath, omnes in le mesme region urban.
Baesweiler

**Baesweiler** es un citate in le region urban de Aquisgrano in Rhenania del Nord-Westfalia in le west de Germania. Illo ha circa 27.000 habitantes. Un de su curiositates es le castello e un molino de vento in le quartiero Setterich.

Le codice postal pro omne casas de habitation es 52499. Le prefixo telephonic es 02401 (international +49 2401).

Citates vicin es Alsdorf, Übach-Palenberg e Aldenhoven.
Würselen

**Würselen** es un citate in le region urban de Aquisgrano in Rhenania del Nord-Westfalia in le west de Germania. Illo ha circa 39.000 habitantes. Un de curiositates es le castello. Würselen ha un extraordinari evento annual, le si-nominate *Jocos del garsones* (in germano Jungenspiele) que es festate in maio.

De 1987 usque 1998, Martin Schulz esseva le burgomaestro de Würselen.

Le codice postal pro omne casas de habitation es 52146. Le prefixo telephonic es 02405 (international +49 2405).

Citates vicin es Herzogenrath, Alsdorf, Eschweiler e Aquisgrano, omnes in le mesme region urban.
Herzogenrath

**Herzogenrath** es un citate in le region urban de Aquisgrano in Rhenania del Nord-Westfalia in le west de Germania. Illo ha circa 46.000 habitantes. Duo del curiositates es le castello e un strata que in le medio es dividite inter Herzogenrath (Germania) e Kerkrade (Paises Basse). Herzogenrath consiste del parve centro urban Herzogenrath e le duo plus grande quartieros Kohlscheid e Merkstein.

Le codice postal pro omne casas de habitation es 52134. Le prefixos telephonic es 02406 e 02407 (international +49 2406 e +49 2407).

Citates vicin in Germania es Alsdorf, Würselen e Aquisgrano, omnes in le mesme region urban.
Simmerath

**Simmerath** es un municipalitate sin derecto de citate in le Region urban de Aquisgrano in Rhenania del Nord-Westfalia in le west de Germania. Illo ha circa 15.000 habitantes e es situate in le nord del Eifel proxime al Barrage del Rur.

Le codice postal pro omne casas de habitation es 52152. Le prefixos telephonic es 02473 e 02485 (international +49 2473 e +49 2485).

Duo del municipalitates vicin es Monschau e Roetgen.
Monschau

**Monschau** es un citate in le Region urban de Aquisgrano in Rhenania del Nord-Westfalia in le west de Germania. Illo ha circa 12.000 habitantes e es situate in le nord del Eifel. Un del multe curiositates es le *Casa Rubie* (in germano Rotes Haus).

Le codice postal pro omne casas de habitation es 52156. Le prefixos telephonic es 02472 (international +49 2472).

Un del municipalitates vicin es Simmerath.
Panhas

**Panhas** es un specie de salsicia in plure variantes in le Paises Basse e le nord-west de Germania, specialmente in Rhenania del Nord-Westfalia. Tradicionalmente panhas es facite del bullitura restante del fabrication de salsicia. Illo es bullite con farina, lardo, sanguine e peciettas de organos animal como ren o pulmon. Isto es cocite con farina de grano saracen o farina de avena pro spissar e diverse species, per exemplo pipere blanc, liquiritia, anis, sucro, cannella, caryophyllo, muscate, pulvere de gingibre e ligno de sandalo. Le resultato es modulate como un pan de que on plus tarde trencha trenchos in un spissor de un digito pro frir los in patella. Ante esser frite, le trenchos pote esser pulverate con farina.

Panhas memora a salsicias de sanguine e haggis in Scotia.

## Altere nomines
In regiones diverse, panhas ha nomines como **pannas**, **pannes**, **pfannenhase**, **kröppels**, **möpkenbrot**, **blutbrot**, **blutkuchen**, specialmente in le Paises Basse **balkenbrij**, **karboet**, o **tuet**.
Region urban de Aquisgrano

Le **region urban de Aquisgrano** (in germano *StädteRegion Aachen*) es un union de municipalitates con un statuto particular in le west del region administrative-governamental de Colonia in Rhenania del Nord-Westfalia. Le citate capital es Aquisgrano. Como le prime de su faction in Rhenania del Nord-Westfalia, le region urban esseva create le 21 de octobre 2009 ex le districto de Aquisgrano e le citate Aquisgrano habente essite un citate-districto usque tunc.

Le nord del region urban esseva formate del industria de minas, durante que le sud es multo rural e silvose. Curiositates es plure castellos, castellos con fossato de aqua e museos.

Le abbreviaturas pro le placas de matriculation de vehiculos es *AC* e *MON*.

## Composition
Le region urban de Aquisgrano consiste de dece municipalitates de que octo es citates.

## Galeria

File:Städteregion Aachen Logo.svg|left|thumb|Logo del region urban
File:Foerdergeruest Anna-Hauptschacht.JPG|thumb|right|Le nord del region urban
File:View on Monschau left 2014 08 22.JPG|thumb|right|Le sud del region urban


## Vide etiam
* Area Eschweiler-Stolberg
Districto de Düren

Le **districto de Düren** es un districto in le west del region administrative-governamental de Colonia in Rhenania del Nord-Westfalia. Le citate capital es Düren.

Le nord del districto es un parte del Börde de Jülich e Zülpich, durante que le sud es situate in le Eifel. Le plus importante vena passante tote le districto del sud al nord es le fluvio Rur.

Le abbreviaturas pro le placas de matriculation de vehiculos es *DN* e *JÜL*.

## Composition
Le districto de Düren consiste de dece-cinque municipalitates de que cinque es citates. Le cinque municipalitates con un asterisco es citates.
Eifel

Le **Eifel** es le medie parte del Massivo schistose rhenan. Illo es situate inter le Ardennes e le fluvio Rheno, e es repartite inter Rhenania-Palatinato e Rhenania del Nord-Westfalia.

Partes importante del Eifel es le
* Alte Eifel (in germano: Hocheifel)
* Alte Fagnes (in germano: Hohes Venn)
* Eifel del Mosella (in germano: Moseleifel)
* Eifel anterior (in germano: Voreifel)
* Eifel belge (in germano: Belgische Eifel)
* Eifel meridional (in germano: Südeifel)
* Eifel nivose (in germano: Schnee-Eifel)
* Eifel occidental (in germano: Westeifel)
* Eifel septentrional (in germano: Nordeifel)
* Eifel vulcanic (in germano: Vulkaneifel)
* Montanias del Ahr (in germano: Ahrgebirge)
Massivo schistose rhenan

Le **Massivo schistose rhenan** (in germano *Rheinisches Schiefergebirge*) es un massivo medie in le west de Germania. Su elevation le plus alte es le Grosser Feldberg (880,9 m). Como un massivo geographic e geologic illo continue usque a Luxemburg, Belgica e Francia, ubi su parte occidental es le Ardennes.
## Partes
Le massivo es dividite per le fluvio Rheno.
### Partes west

* Alte Fagnes
* Ardennes
* Eifel
* Hunsrück
### Partes est

* Bergisches Land
* Sauerland
* Siegerland
* Taunus (con le Grosser Feldberg)
* Westerwald
Ardennes

Le **Ardennes** (del celtic *arduenna* = pais elevate) es le parte occidental del Montanias schistose rhenan. Inter le Ardennes e le Eifel es un frontiera politic, ma non geologic. 

In Francia, le departimento 08 *Ardennes* es nominate secundo iste montanias. Illo pertine al region Grande Est.
Düren

**Düren** es le citate capital del districto de Düren in Rhenania del Nord-Westfalia in le west de Germania. Illo ha circa 90.500 habitantes. Le citate esseva destruita a 99,2 % in 1944. Importante es le industria de papiro. Per Düren passa le fluvio Rur.

Le codices postal pro omne casas de habitation es 52349, 52351, 52353 e 52355. Le prefixo telephonic es 02421 (international +49 2421).

Citates vicin es Langerwehe, Inden, Niederzier, Merzenich, Nörvenich, Kreuzau e Hürtgenwald, omnes in le mesme districto.
Pierre Curie

**Pierre Curie** (15 de maio 1859 in Paris, Francia&nbsp;— 19 de april 1906 idem) esseva un physico francese, un pionero in le studio del radioactivitate. Sposate con Marie Curie, ille esseva le patre del physico Irene Curie (omne le tres premiatos del Nobel) e del scriptor e pianista Ève Curie. Per Irene Curie, ille esseva le granpatre del physico Hélène Langevin-Joliot.

Ille ganiave le Premio Nobel pro Physica con su sposa, Marie Curie, e con Henri Becquerel, in 1903 "in regonoscentia del extrordinari servicios que illos ha date per lor resercas conjuncte super le phenomenos de radiation discoperite per le professor
Henri Becquerel"
Hürtgenwald

**Hürtgenwald** es un municipalitate sin derecto de citate in le districto de Düren in Rhenania del Nord-Westfalia in le west de Germania. Illo ha circa 8.600 habitantes. Le communa es un union de multe parve communas sub le nove nomine Hürtgenwald que significa in germano Foreste de Hürtgen. Ille foreste esseva un importante scena de guerra durante le Secunde Guerra Mundial.

Municipalitates vicin es Stolberg, Düren e Langerwehe.

Le codice postal pro omne casas de habitation es 52393. Le prefixo telephonic es 02429 (international +49 2429).
Langerwehe

**Langerwehe** es un municipalitate sin derecto de citate in le districto de Düren in Rhenania del Nord-Westfalia in le west de Germania. Illo ha circa 14.000 habitantes. Le artisanato principal de Langerwehe es le potteria. Le communa ha plure castellos e ruinas.

Municipalitates vicin es Eschweiler, Stolberg, Düren e Hürtgenwald.

Le codice postal pro omne casas de habitation es 52379. Le prefixo telephonic es 02423 (international +49 2423).
Vettweiß

**Vettweiß** es un municipalitate sin derecto de citate in le districto de Düren in Rhenania del Nord-Westfalia in le west de Germania. Illo ha circa 9.300 habitantes.

Municipalitates vicin es Kreuzau e Nörvenich.

Le codice postal pro omne casas de habitation es 52391. Le prefixos telephonic es 02424 e 02425 (international +49 2424 e +49 2425).
Calculator

Un **calculator** es un machina electronic pro calcular que es portabile e applicabile in un sol mano. In su interior es circuitos integrate, e le energia veni de un batteria electric, un accumulator e/o un cellula photovoltaic.
Kopi Luwak

**Kopi Luwak** es un caffe special de Indonesia, Timor Oriental e Vietnam. Le granas es edite de un specie del paradoxurus hermaphroditus (viverridae), defecate e pois processate. Altere nomines de ille animal cattese es civeta o musang o luwak.

## Galeria

File:Kopi luwak 090910-0075 lamb.JPG|thumb|right|Granas de caffe non digerite e defecate ante mundar e tostar les