Numero natural

Un **numero natural** es un numero integre positive, il es a decir, un numero in le serie 1, 2, 3... que pote esser usate pro contar le elementos de un insimul.

Alcun mathematicos (specialmente les del Theoria de numeros) prefere non recognoscer le zero como un numero natural, durante que alteres, specialmente les del Theoria de insimules, Logica e informatica, ha un opinion opposite. In iste encyclopedia, zero es considerate un numero natural.

Ben que mesmo un infante comprenderea lo que nos cognosce como numeros natural, lor definition non es simple. Le Postulatos de Peano describe de maniera univoc le insimul del numeros natural, que se denota per **ℕ** o per **N**, del sequente forma:

* Sia le numero natural 0.
* Cata numero natural *a* ha un subsequente, denotate per *a* + 1.
* Il non ha numeros natural cuje subsequente es 0.
* Si duo numeros natural es distincte, su subsequente tamben lo es, isto es: si a \ne b, tunc a + 1 \ne b + 1.
* Un proprietate que se compli pro le 0 e pro le successor de qualque numero pro le qual tamben se compli, se compli pro tote le numeros natural.

Iste ultime postulato assecura le veritate del technica de demonstration cognoscite como induction mathematic.

In le theoria de insimules il es commun definir cata numero natural como le insimul de tote le numeros natural anterior a illo. Isto permitte establir un relation de ordine inter le elementos del insimul (essera plus grande le numero que contine plus numeros), malgrado que un insimul es naturalmente un aggregato de elementos disordinate.

Il es possibile definir per induction le summa per medio del expression:

a + (b + 1) = (a + b) + 1

Lo que se converte al numeros natural (**ℕ**, +) in un monoide commutative con le elemento neutre 0, le si-nominate *monoide libere con un generator*. Iste monoide satisface le proprietate cancellative e per illo tanto pote includer se in un gruppo. Le gruppo le minus grande que contine le numeros natural es le del numeros integre.

De maniera analoge, le multiplication (signo del operation: ***) pote esser definite per medio de lo sequente: *a* * (*b* + 1) = *ab* + *a* . Isto se converte (**ℕ**, *) [isto es **ℕ** con iste nove operation], in un monoide commutative; summa e multiplication es compatibile gratias al proprietate distributive que se exprime assi:

*a* * (*b* + *c*) = *ab* + *ac*.

Nos trova que le numeros natural es totalmente ordinate; nos lo proba scribente *a* <= *b* si e solmente si existe un altere numero natural *c* que compli: *a* + *c* = *b*. Iste ordine es compatibile con tote le operationes arithmetic de iste maniera:

si *a*, *b* e *c* es numeros natural e *a* <= *b*, tunc *a* + *c* <= *b* + *c* e *ac* <= *bc*

Un proprietate importante del numeros natural es que illos es ben ordinate: isto es, qualque insimul composite de numeros natural ha un elemento minime (un plus parve que le alteres).

Durante que in general il non es possibile divider un numero natural inter qualque altere e que iste operation resulta in un numero natural; nos ha alco similar al division: pro qualque duo numeros natural *aa* e *b*, con *b*≠0 , nos pote trovar altere numeros natural *q* e *r* assi que

:*a* = *bq* + *r*&nbsp;&nbsp;&nbsp; e &nbsp;&nbsp;&nbsp;*r* < *b*.

Le numero *q* nos lo nomina le *quotiente* e *r* le *resto* de iste division de *a* inter *b*. Le numeros *a* e *b* es univocamente determinate per *a* e *b*.

Altere proprietates plus complexe del numeros natural, como le distribution del numeros prime per exemplo, es studiate per le theoria de numeros.

Le numeros natural es usate pro duo propositos fundamentalmente: pro describer le position de un elemento in un sequentia ordinate, como se generalisa con le concepto de ordinal, e pro specificar le grandor de un insimul finite, que a su vice se generalisa in le concepto del numeros cardinal. In le mundo de lo finite (?), iste duo conceptos es coincidentes: le ordinales finite es equal a *N* como es le cardinales finite. Quando nos nos move ultra lo finite, ambe conceptos non es le mesme cosa.

## Referentia
*Articulo de Numero Natural ex Encyclopedia Britannica