Historia del algebra

Algebra pote esser essencialmente considerate como facente computationes simile a illos de arithmetica, ma con objectos mathematicos non-numeral. Tamen, usque al XIX seculo, algebra consisteva esencialmente de le teoria de equatio. Per exemplo, le teorema fundamental de algebra pertine al teoria de equatio e non es, hodie, considerate como pertine al algebra (in facto, omne probatio debe usar le completessa de le numeros real, lo que non es un proprietate algebraic).

Iste articulo describe le historia del teoria de equatio, referite in iste articulo como "algebra", a partir de su origines usque al emergentia de algebra como un area separate de mathematica.

## Etimologia
Le parola "algebra" proviene del parola arabe الجبر al-jabr, e isto veniva del tractato scribite in le anno 830 per le mathematician persian medieval, Al-Khwārizmī, cujus titulos arabe, Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala, pote esser translate como Le Libro Compendiose de Calculation per Completion e Balanciamento. Le tractato provideva le solution systematice de equatio lineari e quadratic. Secundo un historia, "[n]on es certo exactamente que le terminos al-jabr e muqabalah significa, ma le interpretation usate es simile a illa implicate in le translation precedent. Le parola 'al-jabr' presumibilmente significava algo simile a 'restaurar' o 'completion' e sembla referer se al transposition de terminos subtrahite al altere parte de un equatio; le parola 'muqabalah' es dicite a referer se a 'reduction' o 'balanciamento'—es decir, le cancellation de terminos simile a opposito partes del equatio. Le influence arabe in Hispania, multo post le tempore de al-Khwarizmi, es trovate in Don Quixote, ubi le parola 'algebrista' es usate pro un reponedor de ossos, es decir, un 'restaurator'." Le termino es usate per al-Khwarizmi pro describer le operationes que ille introducerea, "reduction" e "balanciamento", referente al transposition de terminos subtrahite al altere parte de un equatio, es decir, le cancellation de terminos simile a opposito partes del equatio.

## Stadios de algebra

### Expression algebraic
Algebra non semper usava le symbolism que nunc es ubique in mathematica; in vice, illo passava per tres stadio distincte. Le stadio in le evolution de algebra symbolic es approximate como sequente:

Algebra rhetorica, in le qual equatio es scribite in phrases complete. Per exemplo, le forma rhetorica de
x + 1 = 2 es "Le cosa plus uno es equal a duo" o possibilmente "Le cosa plus 1 es equal a 2". Algebra rhetorica esseva primeiramente developpate per le antiqui Babylonios e remanebat dominante usque al seculo 16.

Algebra syncopate, in le qual alcun symbolism es usate, ma que non contine tote le characteristicas de algebra symbolic. Per exemplo, il pote esser un restriction que subtraction pote esser usate solmente un vice in un latere de un equatio, lo que non es le caso in algebra symbolic. Expression algebraic syncopate primeiramente appareva in Arithmetica de Diophantus (seculo III d.C.), sequite de Brahma Sphuta Siddhanta de Brahmagupta (seculo VII).

Algebra symbolic, in le qual tote le symbolism es usate. Prime passos verso isto pote esser vident in le labor de varios mathematicos islamic como Ibn al-Banna (seculos XIII–XIV) e al-Qalasadi (seculo XV), ben que algebra totalmente symbolic esseva developpate per François Viète (seculo XVI). Postea, René Descartes (seculo XVII) introducerea le notation moderne (per exemplo, le uso de x—vide infra) e monstrava que le problemas occurente in geometria pote esser expressate e solve in terminos de algebra (geometria cartesian).

Igualmente importante quam le uso o le absentia de symbolism in algebra esseva le gradus de equatio que esseva trattate. Equatio quadratic habeva un rolo importante in le prime algebra; e per le major parte de historia, usque al periodo moderne, tote le equatio quadratic esseva classificate como appartenente a un de tres categorias.
* x^2 + px = q
* x^2 = px + q
* x^2 + q = px
ube p e q es positive. Iste tricotomia emerge per le facto que equatio quadratic del forma
x² + px + q = 0,
con p e q positive, non ha radices positive.[4]

Inter le stadio rhetorica e syncopate de algebra symbolic, un algebra constructiva geometrica esseva developpate per mathematicos classic grecos e indianos vedic, in le qual equatio algebraic esseva solve per geometria. Per exemplo, un equatio del forma x² = A esseva solve per trovar le latere de un quadrato de area A.

### Stadios conceptual
In addition a le tres stadio de expressar ideas algebraic, alcun autores recognosceva quatre stadio conceptual in le evolution de algebra que occurreva simultanemente con le changes in expression. Iste quattro stadio esseva como sequente:[5]

Stadio geometrico, ubi le conceptos de algebra son in grande parte geometrical. Isto data ab le Babylonios e continuava con le Grecos, e poste a isto esseva revivite per Omar Khayyám.
Stadio static de solution de equatio, ubi le objective es trovar numeros que satisfacie certan relationes. Le dislocamento ab le stadio geometrico data ab Diophantus e Brahmagupta, ma algebra non passava decisivamente al stadio static de solution de equatio usque Al-Khwarizmi introducerea processus algorithmic generalisate pro solve problemas algebraic.

## Babylon

Le origines de algebra pote esser retratate ab le antiqui Babylonios,[6] qui developpava un systema numerale positional que les assistiva multo in resolver lor equatio algebraic rhetorica. Le Babylonios non esseva interessate in solutiones exact, ma rather in approximationes, e assi illes frequentemente usava interpolation linear pro approximar valores intermediate.[7] Un del plus famose tabellas es le tabella Plimpton 322, create circa 1900–1600 a.C., que da un tabella de tripletas pythagorice e representa alcun del mathematica plus avante ante le mathematica greca.[8]

Algebra babylonica esseva multo plus avante que le algebra egipcia de su tempore; dum le Egipcios esseva principalmente concernite con equatio lineari, le Babylonios esseva plus concernite con equatio quadratic e cubic.[7] Le Babylonios habeva developpate operationes algebraic flexible con le quales illes potteva addir equals a equals e multiplicar ambos lateres de un equatio per quantitates simile, tal que eliminar fractions e factores.[7] Illes esseva familiar con multe formas simple de factorisation,[7] equatio quadratic de tres terminos con radices positive,[9] e multe equatio cubic,[10] ben que non es cognoscite si illes potteva reducir le equatio cubic general.[10]

## Antique Egypt

Le algebra egipcia antique tracta principalmente de equatio lineari, dum le Babylonios trovava iste equatio troppo elemental, e developpava mathematica a un niveau superior que le Egipcios.[7]

Le Papyrus Rhind, etiam cognoscite como le Papyrus Ahmes, es un papyrus egipcio antique scribite circa 1650 a.C. per Ahmes, qui lo transcriberea ab un opera antecessor que ille datava inter 2000 e 1800 a.C.[11] Illo es le documento mathematica egipcio antique plus extensive cognoscite a historicos.[12] Le Papyrus Rhind contine problemas ubi equatio lineari del forma x + ax = b e x + ax + bx = c es solve, ubi a, b, e c son cognoscite e x, que es referite como "aha" o "heap", es le incognite.[13] Le solutiones esseva possibilmente, ma non probabile, trovate per le uso del "methodo de position falsificate", o regula falsi, ubi un valore specifico es substitute in le latere sinistro de le equatio, pos illo le calculationes arithmeticales necessarie es facite, tertio le resultato es comparate al latere derecho del equatio, e finalmente le solution correcte es trovate per le uso de proportiones. In alcun del problemas, le autore "verifica" su solution, scribente uno del plus antique proofs simple cognoscite.[13]

## Europa e le Region Mediterranee
Justo como le morte de Hypatia marca le fine del Bibliotheca de Alexandria como un centro mathematic, le morte de Boethius marca le fine de mathematica in le Imperio Romano Occidental. Nonobstante que alcun labor esseva facite in Athenas, illo se concluse quando in 529 le imperator bizantino Justiniano claudeva le scholas philosophic pagane. Le anno 529 esseva nunc considerate como le initio del periodo medieval. Scholarios fugiva ab Occidente verso le Oriente plus hospitalier, particolarmente verso Persia, ubi illes trovava refugio sub rege Chosroes e establishteva lo que poterea esser appellate un "Academia Atheniana in Exilio".[88] Sub un tractato con Justiniano, Chosroes eventualemente restituiva le scholarios al Imperio Orientale. Durante le Periodo Obscure, mathematica europee esseva in su nadir con le investigation mathematica consistite principalmente in commentarios super tractatos antique; e major parte de iste investigation esseva centrata in le Imperio Bizantino. Le fine del periodo medieval esseva fixate como le cadita de Constantinopoli al manos de los Turcos in 1453.

### Medievo
Le seculo XII videva un inondation de translationes ab Arabic in Latin, e al seculo XIII, mathematica europee comenciava a rivalejar le mathematica de altere terras. In le seculo XIII, le solution de un equatio cubic per Fibonacci es representative del initio de un revival in algebra europee.

Como le mundo islamic declinava post le seculo XV, le mundo europee ascendeva. E es hic ubi algebra esseva ulterormente developpate.

## Algebra symbolic
Le notation moderne pro operationes arithmetical esseva introducite inter le fin del seculo XV e le inicio del seculo XVI per Johannes Widmann e Michael Stifel. Al fin del seculo XVI, François Viète introducerea symbolos, nunc appelate variabiles, pro representar numeros indeterminato o incognite. Isto creava un nove algebra consistentes in computar con expressiones symbolic como si illes esset numeros.

Un altere evento clave in le ulteriore evolution de algebra esseva le solution algebraic general de equatio cubic e quartic, developpate in le medio del seculo XVI. Le idea de un determinant esseva developpate per le mathematician japonese Kowa Seki in le seculo XVII, sequite de Gottfried Leibniz decem annos postea, pro le fin de resolver systemas de equatio linear simultanee per uso de matricas. Gabriel Cramer etiam faceva alcun labor in matricas e determinants in le seculo XVIII.

### Le symbolo x
Per tradition, le prime variabile incognite in un problema algebraic es hodie representate per le symbolo x, e si il ha un secunde o tertie incognite, illes es designate y e z respectivemente. Le x algebraic es connotationalmente imprimate in typo italic pro distinguir lo de le signification de multiplication.

Le historicos de mathematica[89] generalmente concorda que le uso de x in algebra esseva introducete per René Descartes e esseva primeiramente publicate in su tractato La Géométrie (1637).[90][91] In iste obra, ille usava litteras ab le inicio del alphabeto (a, b, c,…) pro quantitate cognoscite, e litteras ab le fine del alphabeto (z, y, x,…) pro incognite.[92] On ha essite suggerite que ille finalemente seligeva x (in vice de z) pro le prime incognite a causa de su relative major abundantia in le fonts tipographicos francese e latino de su tempore.[93]

Tres teorias alternative del origine de x algebraic esseva suggerite in le seculo XIX: (1) un symbolo usate per algebraistas german e pensate pro esser derivante ab un lettera cursiva r, erroneemente cognoscite como x;[94] (2) le numeral 1 con oblique strikethrough;[95] e (3) un fonte arabo/ispanico (vide infra). Ma le historian suiso-americano de mathematica Florian Cajori examinate iste e trovava que omne tres mancava de probationes concrete; Cajori creditava Descartes como le originator, e describite su x, y, e z como "liber de tradition[,] e lor selection puremente arbitrari."[96]

Nonobstante, le hypothesis Hispano-Arabic continua a haber un presencia in cultura popular hodie.[97] Illo es le affirmation que x algebraic es le abbreviation de un supponite parola de empruntato ab Arabic in Ispano antique. Le teoria originava in 1884 con le orientalist german Paul de Lagarde, shortly postea que ille publicava su edition de un glossario bilingue Ispano/Arabo de 1505[98] in le qual Ispano cosa ("cosa") esseva pairate con su equivalente Arabo, شىء (shayʔ), transcribite como xei. (Le sonoritate "sh" in Ispano antique esseva regolarmente scribite x. {{\displaystyle x.}) Evidentemente Lagarde esseva consciente que mathematicos arabi, in le stadio "rhetorica" del evolution de algebra, frequentemente usava iste parola pro representar le quantitate incognite. Ille supponeva que "nulle cosa pote esser plus natural" ("Nichts war also natürlicher...") quam que le initiale del parola Arabo—romanisate como le Ispano antique x—esseria adoptate pro usar in algebra.[99] Un lector posteriore reinterpretava le conjectura de Lagarde como si ille "provava" le puncto.[100] Lagarde non esseva consciente que mathematicos antique Ispano usava, non un transcription del parola Arabo, ma su translation in lor proprie lingua, cosa.[101] Il non ha essite un caso de xei o formas simile in plure vocabularios historico compilate de Ispano.[102][103]

### Gottfried Leibniz
Ben que le notione mathematical de function esseva implicite in tabellas trigonometric e logarithmic, que existiva in su tempore, Gottfried Leibniz esseva le prime, in 1692 e 1694, a usar explicitemente isto, pro denotar qualcunque de varios conceptos geometric derivante de un curva, tal como abscissa, ordinate, tangentia, chord, e le perpendicular.[104] In le seculo XVIII, "function" perdeva iste associationes geometric.

Leibniz realizava que le coefficients de un systema de equatio linear poteva esser arrangiate in un array, nunc appelate matric, que poteva esser manipulate pro trovar le solution del systema, si il ha. Iste methodo esseva postea appelate elimination Gaussiana. Leibniz etiam descoperiva algebra Boolean e logica symbolic, etiam relevante pro algebra.

### Algebra abstracte
Le capacitate de facer algebra es un habilitate cultivate in education mathematica. Como explicate per Andrew Warwick, studentes de Cambridge in le prime seculo XIX practicava "mathematica mixte",[105] facente exercitios basate in variabiles physic como spatio, tempore, e peso. Per le tempore le association de variabiles con quantitate physic dispareva como technica mathematica cresceva. Eventualmente mathematica esseva completemente concernite con polynomes abstracte, numeros complexe, numeros hypercomplexe e altere conceptos. Application a situationes physic esseva tunc appelate mathematica applicate o physica mathematica, e le campo de mathematica expandiva pro includer algebra abstracte. Per exemplo, le question de numeros constructibile monstrava alcun limitationes mathematica, e le campo de teoria de Galois esseva developpate.