Թուաբանութիւն

thumb|right|200px|Թուաբանութիւն<br>''Հանս Սեպալտ Պեհամ'', 16-րդ դար
**Թուաբանութիւն,** թուագիտութեան (mathematics) այն բաժինն է, որ կ’ուսումնասիրէ թիւերը, անոնց յատկութիւններն ու յարաբերութիւնները։ Թուաբանութեան ուսումնասիրման հիմնական առարկան **թիւ** հասկացողութիւնն է, անոր տեսակներու մշակումը (բնական, ամբողջ, տասնորդական, իրական, կոմպլեքս կամ երեւակայական) եւ յատկութիւններու հետազօտումը։

Թուաբանութեան մէջ կ’ուսումնասիրուին չափերը, հիմնական գործողութիւնները (գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում) եւ հաշուարկման զանազան ձեւեր։ Առանձին ամբողջ թիւերու ուսումնասիրութեամբ կը զբաղի **բարձրագոյն թուաբանութիւնը** կամ **թիւերու տեսութիւնը**։

Թուաբանութեան տեսութիւնը ուշադրութիւն կը դարձնէ թիւերու սահմանման եւ անոնց տրամաբանական ըմբռնման։ Տեսական թուաբանութիւնը կը յենի տրամաբանական կառուցուածքներու եւ աքսիոմներու (ինքնապատշաճ ճշմարտութիւններու) վրայ։ Թուաբանութիւնը կը համարուի հնագոյն գիտութիւններէն մէկը. ան թուագիտութեան հիմնասիւնն է եւ սերտօրէն կապուած է երկրաչափութեան, հանրահաշիւի ու թիւերու տեսութեան հետ։

Թուաբանութեան յառաջացման պատճառ դարձած է հաշուարկի եւ գումարման գործնական անհրաժեշտութիւնը, որն ի յայտ եկած է գիւղատնտեսութեան կեդրոնացման ու հաշուապահական հաշուառման զարգացման հետ մէկտեղ։ Խնդիրներու բարդացման զուգահեռ՝ զարգացած է նաեւ գիտութիւնը։ Թուաբանութեան զարգացման մէջ մեծ աւանդ ունեցած են յոյն թուագէտներն ու փիլիսոփաները, որոնք կը փորձէին թիւերու միջոցով բացայայտել ու նկարագրել տիեզերքի բոլոր օրինաչափութիւնները։

Միջնադարուն թուաբանութիւնը դասուած է **եօթն ազատ արուեստներու** (Septem Artes Liberales) շարքին։ Այդ օրերուն թուաբանութեան կիրառման հիմնական ոլորտներն էին առեւտուրը, շինարարութիւնը եւ նաւագնացութիւնը։ Անոր հետ կապուած՝ յատուկ նշանակութիւն ստացած են **անիրական** (կամ անչափելի) թիւերու մօտաւոր հաշուարկները, որոնք անհրաժեշտ էին երկրաչափական պատկերներու կառուցման համար։ Թուաբանութիւնը բուռն վերելք ապրած է Հնդկաստանի եւ իսլամական երկիրներու մէջ, ուրկէ ալ թուագիտական միտքի նուաճումները տարածուած են դէպի Արեւմտեան Եւրոպա։

Նոր ժամանակներուն ծովագնացային աստղագիտութիւնը, մեքենագիտութիւնը (mechanics) եւ բարդացող հաշուարկները յառաջացուցած են հաշուողական թեքնիքի նոր պահանջներ։ Նեպիէրը (Napier) ստեղծեց **լոկարիթմները**, որմէ ետք Ֆերման (Fermat) մշակեց թիւերու տեսութիւնը՝ իբրեւ թուագիտութեան առանձին բաժին։ 17-րդ դարու վերջաւորութեան ձեւաւորուած է **իրական թիւերու** (real numbers) ընկալումը՝ որպէս տասնորդական մօտաւորութիւններու յաջորդականութիւն։ Յաջորդ հարիւրամեակի ընթացքին, շնորհիւ Լամպերտի, Էյլերի եւ Կաուսի ջանքերուն, թուաբանութիւնը ներառած է նաեւ գործողութիւններ **կոմպլեքս** (complex) մեծութիւններու հետ՝ ստանալով իր ժամանակակից տեսքը։

## Թուաբանութեան Առարկան
200px|thumb|right|Ճուզեփէ Փեանօ 1889
Թուաբանութեան առարկայ համարուած՝ թուային բազմութիւնները, թիւերու յատկութիւնները եւ գործողութիւնները թիւերուն հետ։ Անոր կը վերաբերի նաեւ հարցերը, որոնք կապուած են հաշուարկի թեքնիքի, չափումներov, թիւի հասկացողութեան առաջացման եւ զարգացման հետ։ Թուաբանաութիւնը առաջին հերթին կ'ուսումնասիրէ  բնական թիւերu եւ կոտորակները։ Բնական թիւերու բազմութիւններու աքսեոմաներու կառուցուածքի հիման վրայ կ'իրականացուի այլ թուային բազմութիւններու կառուցումը, որոնք են՝ ամբողջ, բնական եւ Գոմբլեքս թիւերը եւ անոնց վերլուծելու ձեւերը։ Երբեմն թուաբանութեան շրջանակներուն մէջ կ'ուսումնասիրուի նաեւ քուատերնիոնները եւ հայբերգոմբլեքս, եւ այլ թիւեր։ Ասոր հետ միատեղ Ֆրոպենիուսի ստեղծագործութենէն կը հետեւցնենք, որ թիւ հասկացողութեան տարածումը գոմբլեքս հարթութենէն դուրս առանց անոր որեւէ թուաբանական յատկութիւններու կորուստի անհնար է։

Թիւերուն հետ հիմնական գործողութիւններու կը վերաբերին գումարումը, հանումը, բազմապատկումն ու բաժանումը, ոչ յաճախ նաեւ աստիճան բարձրացնելը, արմատ հանելը եւ թուային հաւասարումներու լուծումը։ Պատմականօրէն թուաբանական գործողութիւններու ցուցակը իր մէջ կը ներառէ կրկնապատկումը (բացի բազմապատկումէն), երկուքի բաժանումը եւ մնացորդով բաժանումը, թուաբանական եւ երկրաչափական յառաջացումի գումարի որոշումը։ Ճոն Նեպյէրը իր «Տրամաբանական արուեստ» գիրքին մէջ թուաբանական գործողութիւնները առանձնացուած է աստիճաններով։ Վարի սանդուխին գումարումն ու հանումն է, յաջորդին՝ բաժանումն ու բազմապատկումը, յաջորդին աստիճան բարձրացնելն ու արմատ հանելը։ Յայտնի ստեղծող Արնոլտ սանդուխի երրորդ խումբի գործողութիւններուն կ'աւելցնէ նաեւ լոկարիտմը։ Սովորաբար թուաբանութիւն կ'անուանեն տարբեր առարկաներով գործողութիւնները, ինչպէս օրինակ «քառակուսային ձեւերու թուաբանութիւն», «մատրիցաներու թուաբանութիւն»։

Թուաբանական հաշուարկները եւ չափումները, մեզի անհրաժեշտ են նոյնիսկ մեր բնական կարիքներու մէջ (չափաբաժիններ, տոկոսներ), կը վերաբերին ցած կամ բնական թուաբանութեան, այն դէպքին երբ տրամաբանական հաստատումը թուային հասկացողութեան կը վերաբերի տեսական թուաբանութեան։ Ամբողջ թիւերու յատկութիւնները, անոնց մասերու բաժանումները, անընդմիջուող կոտորակները կը համարուին թիւերու տեսութեան մաս, որ երկար ժամանակ կը համարուի բարձրագոյն թուաբանութիւն։  Թուաբանութիւնը սերտ կապուած է հանրահաշիւի հետ, որ կ'ուսումնասիրէ երբ գործողութիւնները առանց թիւերու առանձնայատկութիւններն ու յատկութիւնները հաշիւի առնելու։ Այնպիսի թուաբանական գործողութիւնները, որոնցմէ են՝ աստիճան բարձրացնելն ու արմատ հանելը, կը համարուի հանրահաշիւի թեքնիքական մասերը։ Այս պատճառով ալ Նիւտոնէն եւ Կաուսէն ետք, հանրահաշիւը ընդունած, ընդհանրացուցած է թուաբանութեան հետ։ Այսպիսով թուաբանութեան, տարրական հանրահաշիւի եւ թիւերու տեսութեան մէջ յստակ սահմաններ չկան։

Սովետական մեծ հանրագիտարանի մէջ գրուած է՝ «հանրահաշիւը կ'ուսումնասիրէ օգտուելով թուային նշանակութիւններէն, համակարգերու ընդհանուր եւ հաւասարումներու միջոցով խնդիրներու լուծման ընդհանուր յատկութիւններէն:

Թուաբանութիւնը կը զբաղի «բանաձեւերու ընդունմամբ ուղղակի տրուած թիւերով, իսկ իր աւելի բարձր ոլորտներուն թիւերու աւելի յստակ տեսակներով»։ Ինչպէս այլ արհեստանոցի կարգաւորութիւնները, թուաբանութիւնը եւս կը հանդիպի սկզբունքային ձեւերու խնդիրներու, անոր համար անհրաժեշտ է հարցերու անհակասական հետազօտութիւններ եւ աքսիոմաներ։ Տրամաբանական կառուցուածքով, ֆորմալ համակարգով եւ հանրահաշուական աքսեոմաներով կը զբաղի ֆորմալ հանրահաշիւը։

Թուաբանութեան հետագայ պատմութիւնը կը նշանաւորուի հիմունքներու քննադատական վերանայմամբ եւ դեդուկցիոն ձեւերերով զայն հիմնաւորելու փորձերով։ Թիւերու մասին տեսական հիմնաւորուած պատկերացումները առաջին հերթին կապուած են բնական թիւի խիստ որոշմամբ եւ Պեանոի աքսեոմաներով՝ ձեւակերպուած  1889-ին։ Կենցեն թուաբանութեան անհակասականութեան ֆորմալ կառուցուածքը ցոյց տուած է 1936-ին։

Թուաբանութեան հիմունքներուն հինէն ի վեր անփոփոխ եւ մեծ ուշադրութիւն կը դարձուի նախդպրոցական կրթութեան մէջ։

## Պարզագոյն Հասկացողութիւներ

### Յաջորդական Հաշուարկ, Բնական Թիւեր
thumb|100px|right|Խնձոր մը, երկու խնձոր, երեք խնձոր՝ Բնական թիւեր
Յաջորդական հաշուարկը թուաբանական պարզագոյն հասկացողութիւնն է։ Որպէս հաշուարկման առարկայ կը ծառայեն տարբեր տարրեր կամ անոնց բազմութիւնը, օրինակ խնձորը եւ զամբիւղով խնձորները։ Յաջորդական հաշուարկի օգնութեամբ կարելի է համարակալել տարրերը եւ նշել անոնց ընդհանուր քանակը։

Յաջորդական հաշուարկը կապուած է այն խումբերու հաշիւներուն հետ, որոնք կը պարունակեն յարաբերականօրէն հաւասար քանակի տարրեր, ինչպէս օրինակ տասնեակներով խնձորներու հաշուարկը։ Սովորաբար, անիկա կը համարուի երկու ձեռքերու մատները (հիմքը ուղիղ 10-ն է), բայց պատմական աղբիւրներուն մէջ կը հանդիպի խմբաւորումներ հետեւեալ թիւերով՝ 5, 11, 12, 20, 40, 60, 80։ Խումբին մէջ տարրերու քանակը հիմք կը հանդիսանայ հաշուարկման համակարգին համար։

Թուային շարքը, որ կը ստացուի հաշուարկէն, կ'անունեն բնական, իսկ անոր տարրերը բնական թիւեր։ Բնական շարք հասկացողութիւնը առաջին անգամ ի յայտ կու գայ յոյն թուաբանագէտ Նիկոմախի աշխատութիւններուն մէջ, Ք.Ե. Ա. դարուն, բնական թիւի մասին՝  հռոմէացի հեղինակ Պոետիոսի մօտ Ե. դարու վերջը եւ Զ. դարու սկիզբը։ Թերմինի համընդհանուր օգտագործումը կը սկսի Տ’Ալամպեր աշխատութիւններէն ԺԸ. դարուն։ Արքիմիտըս իր աշխատութեան մէջ, ըսած է, որ թուային շարքը կարելի է շարունակել անվերջ, բայց անով միատեղ նկատած է, որ իրական խնդիրներու լուծման համար բաւական է անոր միայն փոքր մաս մը։ Բնական թիւերու բաժանումը զոյգ եւ քենթ թիւերը գրած են պիթակորասականները, անիկա առկայ է նաեւ եգիպտական Ռինտի մէջ։ Պիթակորասականները կը հաստատեն նաեւ պարզ եւ բաղադրեալ թիւերը։

### Գումարում, Բազմապատկում, Աստիճան Բարձրացում
thumb|100px|left|<math>3+2=5</math>
Բնական թիւերու համար բնական կերպով որոշուած են բազմապատկման եւ գումարման գործողութիւնները։ Երկու առարկաներու որոշակի քանակ պարունակող տարբեր խումբերու միաւորումէն, առաջացող նոր խումբը կ'ունենայ այնքան առարկայ, որքան որ կար առաջին երկու խումբերուն մէջ՝ միասին։ Եթէ առաջին խումբը կը պարունակուէ 3 առարկայ, իսկ երկրորդը 2 առարկայ, ապա անոնց գումարը կը պարունակէ 2+3=5 առարկայ։ Նշուած գործողութիւնը կը կոչուի գումարում եւ կը համարուի պարզ պինար գործողութիւն։ Գումարի ճշդութիւնը ստուգելու համար գումարման աղիւսակը գիտնալ անհրաժեշտ չէ, բաւական է վերահաշուել առարկաները։

Նոյն տեսակի բազմութեան տարրերու բազմակի գումարումը կախուած չէ այդ բազմութեան անդամներու յաջորդականութենէն, այս թոյլ տուաւ հաստատել մէկ այլ պինար գործողութիւն՝ բազմապատկումը ։ Բացի բազմապատկումէն, հին ժամանակներուն գոյութիւն ունեցած է այլ թուաբանական գործողութիւն եւս, կրկնապատկում կամ երկուքով բազմապատկում։ Գումարման միջոցով բազմապատկման որոշման համանմանութեամբ, բազմակի բազմապատկումը թոյլ կու տայ որոշել աստիճան բարձրացնելու գործողութիւնը։
#### Թուաբանութեան Հիմնական կանոնները
300px|right|thumb|Բազմապատկման տեղափոխական օրէնք
Այս գործողութիւններու յատկութիւններուն մասին ձեւակերպուած են հինգ օրէնքներ, որոնք կը համարուին թուաբանութեան հիմնական օրէնքները։
* Տեղափոխական օրէնք։ Ըստ գումարման տեղափոխական օրէնքի՝ գումարելիքներու տեղերը փոխելով գումարը չի փոխուիր։ Համանուն օրէնքը կը գործէ նաեւ բազմապատկման համար՝ արտադրիչներուն տեղերը փոխելով արտադրեալը չի փոխուիր։ Այս օրէնքները կարելի է արտայայտել հանրահաշուական բանաձեւերու միջոցով, տառային նշանակումներու տեսքով՝  
: a+b=b+a
: a\cdot b=b\cdot a
* Գումարման զուգորդական օրէնքը կ'ըսէ, որ երկու թիւերու գումարին երրորդ թիւը աւելցնելու համար կարելի է առաջին թիւին աւելցնել երկրորդին եւ երրորդին գումարը։ Համանուն օրէնքը կը գործէ նաեւ բազմապատկման համար՝ երկու թիւերու արտադրեալը երրորդ թիւով բազմապատկելու համար կարելի է առաջին թիւը բազմապատկել երկրորդ եւ երրորդ թիւերուն արտադրեալներով։ Այս օրէնքները եւս կարելի է ներկայացնել հանրահաշուական տեսքով՝ 
: (a+b)+c=a+(b+c)
: (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)
* Բաշխական օրէնքը կ'ըսէ, որ գումարը թիւով բազմապատկելու համար կարելի է այդ թիւով բազմապատկել իւրաքանչիւր գումարելիքը եւ ստացուած արտադրեալները գումարել։ Հանրահաշուական տեսքը հետեւեալն է՝ 
: (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c

Բացի հանրահաշուական հիմնական օրէնքներէն բնական թիւերու համար կը գործէ նաեւ գումարման եւ բազմապատկման միօրինակութեան օրէնքները։ Հանրահաշուական տեսքը հետեւեալն է՝
: a+b>a+c  երբ  b>c,
: a\cdot b>a\cdot c  երբ  b>c եւ a > 0

«Բաշխական» թերմինը տեղափոխական օրէնքի համար մտցուցած է ֆրանսացի թուաբանագէտ Սերվուան 1814 թուականին, «զուգորդական» թերմինը տեղափոխական օրէնքին համար՝ Համիլթոնը, 1853 թուականին։

Պուանկարէն բոլոր հանրահաշուական գործողութիւններն ու օրէնքները կ'ուսումնասիրէ ինտուիցիայի տեսակէտէն։ Ան կը պնդէր, որ օրէնքները բացայայտ կերպով կ'իրականացուին փոքր թիւերու վրայ, եւ օգտագործելով ինդուկցիայի կանոնը, կարելի է գալ այն եզրակացութեան, որ անոնք ճիշդ են բոլոր թիւերուն համար։ Ըստ այլ մօտեցման ինթութիւ կերպով իրականացուող կը համարուին ոչ բոլոր կանոնները, այլ միայն պարզագոյնները եւ այն դէպքին, երբ անոնց հետագայ ապացոյցները կապուած են տրամաբանական կառուցուածքներով։ Ակնյայտ կը համարուին տեղափոխական եւ զուգորդական օրէնքները։ Բաշխական օրէնքը սկզբնական ժամանակաշրջանին ապացուցած է Էօգլիտեսը, օգտագործելով երկրաչափական ձեւը։

Աստիճան բարձրացնելու գործողութիւնը տեղափոխական եւ զուգորդական չէ, ան ունի իր կանոնները։ Այս գործողութեան կատարման հիմնական կանոնները դրական աստիճաններու դէպքին կապուած են անոր ձեւակերպումէն։ Հանրահաշուին մէջ այն կը գրուի հետեւեալ տեսքով՝
* Բաշխական օրէնքը աստիճան բարձրացնելու գործողութեան ժամանակ՝
: a^{n+m} = a^na^m
* Բաշխական օրէնքը հանման դէպքին կ'ընդունի կոտորակային տեսք՝
: a^{n-m} = {a^n \over {a^m}} ,\quad n > m
* Կրկնակի աստիճան բարձրացումը կը բացուի աստիճաններու բազմապատկումով՝
: \left(a^n\right)^m = a^{nm}։

### Հակառակ Գործողութիւններ
Թուաբանական բոլոր գործողութիւնները ունին իրենց հակառակը. գումարման հակառակը հանումն է, բազմապատկմանը՝ բաժանումը, աստիճան բարձրացնելունը՝ թուաբանական արմատը եւ լոկարիտմը։ Չնայած գումարման եւ բազմապատկման պինար ըլլալուն, անոնք ունին մէկական հակադիր գործողութիւններ, այս կը բացատրուի անոնց տեղափոխականութեամբ։

#### Հանում՝ Բացասական Թիւեր
thumb|left|200px|<math>5-2=3</math>
Հանումը ուրեմն գումարման հակառակ գործողութիւնն է, երկու տրուած թիւերու տարբերութիւնը՝ 5 եւ 2 կը համարուի 2+?=5 հաւասարման անյայտը։ Հանման գործողութիւնը կը նշանակուի «-» նշանով, ան կը գրուի հետեւեալ տեսքով՝ 5-2=3։ Գործողութեան կատարման համար կ'օգտագործուի երկու եղանակներ՝ տարբերութիւնը հաշուելու համար անհրաժեշտ է նուազելին պակսեցնել հանելու միաւոր արժէքի չափով կամ անհրաժեշտ է գտնել այնպիսի թիւ, որ աւելցումը հանելուն հաւասար ըլլայ նուազելուն։

Հանման գործողութիւնը, եթէ այն կիրառենք բնական թիւերու բոլոր զոյգերուն վրայ, այլ ոչ թէ միայն անոնց, որոնք կրնան գումարման գործողութեան շրջանակներուն ըլլալ գումարը եւ գումարելին, թոյլ կու տայ դուրս գալ բնական շարքի սահմաններէն, այսինքն երկու բնական թիւերու տարբերութիւնը պարտադիր չէ որ ըլլայ բնական թիւ, հանման արդիւնքին կարող ենք ստանալ զերօ կամ ընդհանրապէս բացասական թիւ։ Բացասական թիւերը արդէն հնարաւոր չէ դիտարկել որպէս իրերու քանակ, թուային առանցքի վրայ անոնք տեղակայուած են զերոյէն ձախ։ Թիւերու բազմութիւնը, որ կը ստացուի բնական թիւերուն զերօ եւ բացասական թիւ գումարելով կը կոչուի ամբողջ թիւերու բազմութիւնը։ Զերօն եւ բնական թիւերու բազմութիւնը կը կոչուի դրական ամբողջ թիւեր, ինչպէս անգլերէնով կ'ըսենք «positive real numbers»։ Բազմապատկման ժամանակ, որպէսզի որոշուի տրուած թիւը դրական է թէ բացասական, կ'օգտագործեն «նշաններու կանոնը»։ Շատ թուաբանագէտներ մինչեւ 19-րդ դար բացասական թիւերը կը համարէին ոչ իրական եւ անիմաստ, սակայն այդ չէր խանգարեր անոնց համատարած պայմանական օգտագործմանը։

Բացասական թիւ հասկացողութիւնը առաջին անգամ յայտնուած է Հնդկաստանի մէջ, ուր ան կը մեկնաբանէին որպէս «պարտք» (դրական թիւեը որպէս «ունեցուածք»)։ Բացասական թիւերը տարածքին մէջ ստացան միայն 17-րդ դարուն։ «Հանում» աւարտականը երեւան եկած է թերեւս Պոէցիայի մօտ, «հանելու» եւ «նուազելու» աւարտականները գործածութեան մէջ դրած է Վոլֆը, 1749 թուականին, «տարբերութիւնը՝» Վիտմանը, 1489 թուականին։ «+» եւ «−» նշաններու ներկայիս նշանակումը եւս մտցուած է Վիտմանի կողմէ 15-րդ դարու վերջին շրջանին։

#### Բաժանում՝ Կոտորակային Թիւեր
thumb|right|200px|20֊ի բաժանումը 4֊ով
Բազմապատկման հակառակ գործողութիւնը կը համարուի բաժանումը։ Բաժանման առաջին ձեւակերպումը այն թիւի որոնումն է, որ բաժանելու մէջ կայ այնքան անգամ, որքան միաւոր որ կը պարունակուի բաժանարարը։ Այսպէս կը ձեւակերպուի՝ տրուած 14-րդ դարու հանրահաշուի դասագրքերուն մէջ։ Օրինակ՝ 20 / 4 = 5։ Բաժանումը համարուած է շատ բարդ եւ ծանր գործողութիւն։ Բաժնման ներկայիս եղանակը՝ քանորդի առանձին կարգերու վրայ բաժանարարի արտադրեալի մասնակի օգտագործումն է (սիւնակով բաժանում), ներկայացուած իտալական 1460 թուականի ձեռագիրներուն մէջ։

Բնական թիւերու համար, որոնք չեն համարուիր բազմապատկիչ եւ արտադրեալ, յայտնի է մնացորդով բաժանում գործողութիւնը (բաժանումէն յառաջացած մնացորդը կ'անուանեն նաեւ մոտուլով բաժանում)։ Գոյութիւն ունի բազմաթիւ եղանակներ, որոնք կը պարզեցնեն բաժանումը մասնաւոր դէպքերուն մէջ կամ որոնք թոյլ կու տան ստուգել այս կամ այն թիւին բաժանելիութիւնը։ Օրինակ ըստ բաժանելիութեան յայտնանիշերու՝
* թիւը առանց մնացորդի կը բաժնուի երկուքի, եթէ անոր վերջին թիւը կը բաժնուի երկուքի, 
* թիւը առանց մնացորդի կը բաժնուի երեքի, եթէ անոր թուանշաններու գումարը կը բաժնուի երեքի,
* թիւը առանց մնացորդի կը բաժնուի տասի, եթէ անոր վերջին թիւը զերօ է։
Բաժանման գործողութիւնը՝ եթէ կը բաժնենք ոչ միայն այն թիւերը, որոնք կարելի է ստանալ բնական թիւերու արտադրեալէն, եւ կը բաժնենք առանց մնացորդի, այնպէս ինչպէս հանումը, թոյլ կու տայ դուրս գալ բնական թիւերու բազմութենէն։ Բաժանման ժամանակ կրնան ստացուիլ կոտորակներ, որոնք անհնար է առանց մնացորդ կրճատելու եւ ստանալ ամբողջ թիւ։ Այս կոտորակներուն համապատասխանող թիւերը կը կոչուին կոտորակային, «rational»։ Կոտորակային թիւերու բաժանման գիտակցման հիման վրայ տեղի կ'ունենայ արդէն յայտնի թիւերու ցանկի եւս մէկ ընդլայնում։ Պատմականօրէն առաջինը յայտնուած են կոտորակները, իսկ յետոյ նոր բացասական թիւերը։ Այսպիսի յաջորդականութիւն ընդունուած է նաեւ դպրոցական դասընթացքներուն մէջ։

Կ'օգտագործուի կոտորակներու գրառման երկու տարբերակներ՝ համարիչի եւ յայտարարի բաժանումը հորիզոնական կամ շեղակի գիծով, որուն դէպքին մէջ յաճախ կոտորակը կը կրճատուի մինչեւ ամէնափոքր թիւը, եւ կոտորակային մաս պարունակող թիւերով, որոնք դիրքային գրառումներուն մէջ կը տեղադրուին ամբողջ եւ կոտորակային մասի բաժանման նշանէն ետք։ Օրինակ 20-ի բաժանումը 10-ով կրնայ ըլլալ հետեւեալ կերպով՝ \frac {10} {20} = 10/20 = 5 / 10 = 1/2 = 0{,}5։
600px|center|Թուային առանցք

#### Արմատ Հանել՝ Առանց Կոտորակի եւ «Գոմբլեքս» Թիւեր
Աստիճան բարձրացնելու գործողութեան երկու հակառակ գործողութիւններէն մէկը արմատ հանելն է, կամ այն թիւին որոնումը, որ համապատասխան աստիճան բարձրացնելու դէպքին, կը ստանայ յայտնի արդիւնք։ Այսինքն, հանրահաշուօրէն ըսած, այն արմատը որոնելն է՝ x^a = b նման հաւասարումներու համար։ Երկրորդ հակառակ գործողութիւնը «լոկարիտմ»ներու որոնումն է (a^x = b արմատը հետեւեալ տեսքի հաւասարումներու համար)։ Թուաբանութեան, որպէս կանոն կը վերաբերի միայն քառակուսի արմատը՝ երկրորդ աստիճանի արմատը։ Այլ աստիճաններու արմատները եւ «լոկարիտմ»ները թուաբանական գործողութիւններ չեն համարուիր։

Արմատ հանելու գործողութիւնը, եթէ այն կիրառենք ոչ միայն այն թիւերուն համար, որոնք կը համապատասխանեն բնական թիւերու աստիճան բարձրացնելուն, այնպէս ինչպէս միւս հակառակ գործողութիւնները, կրնանք վերլուծել բնական թիւերու բազմութենէն։ Թիւերը, որոնք կը համապատասխանեն այս դէպքին, յաճախ չեն կրնար ներկայացուած ըլլալ վերջնական կոտորակներու տեսքով, այս պատճառով ալ կը կոչուին առանց կոտորակի թիւեր։ Կոտորակով թիւերուն հետ միասին առանց կոտորակի թիւերուն աւելցման բազմութիւնը կը կոչուի «իրական»։

Թերեւս Հին Յունաստանի մէջ յայտնի էր անհամաչափելի հատուածներու գոյութիւնը, օրինակ փորձեր կը կատարուէր միաւոր կողմով քառակուսիին կողմերու եւ անկիւնագիծին համար ստանալ ճշգրիտ թուային արժէքները, որ իր արտացոլումը գտաւ Էօգլիտեսի «սկզբունքներ»ուն մէջ։ Իրական թիւերը ուսումնասիրման առարկայ դարձան միայն 17-18-րդ դարերուն մէջ։ 19-րդ դարուն երկրորդ կէսին Տետեկինտի, Գանտորի եւ Վայերշդրասը ձեւակերպեցին իրենց իրական թիւերուն որոշման կառուցուածքային կանոնը։

Արմատ հանելու գործողութեան համար յայտնի է հետեւեալ կանոնը՝
* a^{n\over m} = \sqrt[m]{a^n} 
Թուային բազմութիւններուն հետագայ ընդլայնումը կապուած էր բացասական թիւերու քառակուսի արմատին որոշման՝ անհնարին ըլլալուն հետ։ Այսպիսի խնդիրներու կ'առնչուէին հին ժամանակներուն քառակուսի հաւասարումներու լուծման ժամանակ, եւ այս հաւասարումները կը համարուէին «լուծում չունեցող»։ 16-րդ դարուն առաջին կիսուն, այն հաւասարումները որոնց լուծումները կը պարունակէին բացասական թիւերու արմատներ, անուանեցին «կեղծ», «լուծում չունեցող», «երեւակայական» եւ այլն։

## Գործնական Թուաբանութիւն
Թուաբանութեան գործնական կողմը իր մէջ կը ներառէ կանոններ, ուրուագծեր եւ «ալկորիտմ»ներ, թուաբանական գործողութիւններու ճշգրիտ իրականացման համար, այդ թուականին՝ հաշուիչ մեքենաներու եւ այլ սարքերու օգտագործումը, ինչպէս նաեւ մօտաւոր հաշուարկներու բազմաթիւ եղանակներ, որոնք յայտնուած են որոշ չափումներու ճշգրիտ արդիւնքներ ստանալու անհնարինութեան պատճառով եւ որոնցմէ կրնանք որոշել անոր կարգը, այսինքն առաջին իմաստ ունեցող թիւերը։



Պատկեր:RomanAbacusRecon.jpg|Հռոմէական աբակ
Պատկեր:Abacus 2.jpg|Չինական սուանպան
Պատկեր:Yupana 1.png|Ինքերի իւփանա
Պատկեր:Schoty abacus.jpg|Ռուսական համրիչ



### Ճշգրիտ Կանոններ
Սկսած 15-րդ դարէն կ'առաջարկուէին տարբեր «ալկորիտմ»ներ բազմանիշ թիւերու հետ թուաբանական գործողութիւններու իրականացման համար, որոնք աչքի կ'իյնային հաշուարկի միջնակայ գրելաձեւով։ Թուաբանական «ալկորիտմ»ները կառուցուած են ելլելով գործող դիրքային հաշուողական համակարգէ, երբ իւրաքանչիւր x դրական իրական թիւ կը ներկայացնէ միակ հնարաւոր եղանակ, հետեւեալ տեսքով՝
: x = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots)_b = \sum_{k=-\infty}^{n-1} a_k b^k ուր a-ն թիւին գրառման հերթական նիշն է x-ը, b-ն հաշուարկման հիմնական համակարգն է, n-ը  x թիւին ամբողջ մասին կարգերու թիւն է։

Թիւերուն հետ բոլոր ձեւի գործողութիւններուն մէջ կ'օգտագործուին մինչեւ տասի գումարման եւ բազմապատկման աղիւսակները եւ հանրահաշուական հիմնական օրէնքները։ Որպէս լուսաբանութիւն պարզաբանող օրինակ, գիտութիւնը հանրամատչելի դարձնող Քլայնը կը ներկայացնէ հետեւեալ օրինակը՝

: 7\cdot 12=7\cdot (10+2)=70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+4=84, 

ուր օգտագործուած են բաշխական եւ զուգորդական օրէնքները։

Ճիշդ եւ արագ հաշուարկներու անհրաժեշտութիւնը բերին պարզագոյն հաշուիչ սարքերու ստեղծման, որոնցմէ են՝ աբակը, սուանպան եւ իւփանը։ Յաջորդ քայլը եղաւ Օկհդրետի 1622 թուականի «լոկարիտմ»ական կանոնի ստեղծումը, որ կը հնարաւորէ կատարել բաժանում եւ բազմապատկում։

### Համակարգչային Թուաբանութիւն
Սչիքկարտի հաշուիչ մեքենայի պատճէնը|200px|left|thumb
Գնուտը թուաբանական գործողութիւնները կը համարէ «համակարգիչներու ճակատագիրը»։ Առաջին հաշուիչ մեքենաները, որոնք կրցան մեքենայացնել թուաբանական չորս գործողութիւնները, նախագծուեցան 17-րդ դարուն։ Սչիքկարտի «թուաբանական մեքենան», ինչպէս ինք կ'անուանէր, ստեղծուած է 1623 թուականին։ Գումարման եւ հանման գործողութիւնները կը կատարուէին գլանագլխարկի (ցիլինտր) պտտման արդիւնքին մէջ, յատուկ գլանագլխարկներ կային նաեւ բաժանման եւ բազմապատկման համար։ Բացի անկէ մեքենան կրնար փոխանցել տասնեակներ։ Հայրիկին ֆինանսական հաշուարկներուն մէջ օգնելու համար Փասքալը 1642 թուականին ստեղծած է փասքալինան։ Ան կ'աշխատէր նոյն Սչիքկարտի մեքենայի սկզբունքով։ Մեքենային հիմնական մասը կը կազմուէր տասնեակներու փոխանցման մեքանիզմով։ Ասոր հետ մէկտեղ նման մեքենաներու արհեստագործական արտադրութիւնը թերեւս անարդիւնաւէտ էր։ 18-րդ դարուն ամբողջ ընթացքին շարունակեցին հաշուեմեքենաները կատարելագործելու փորձերը, բայց հաշուիչ մեքենաներու օգտագործումը լայն տարածում գտաւ սկսեալ 19-րդ դարուն։

20-րդ դարուն հաշուիչ մեքենաներուն փոխարինելու եկան հոսանգային հաշուիչ մեքենաները։ Անոնց հիմքին ինկած են «ալկորիտմ»ներ, որոնք թուաբանական գործողութիւնները կը կատարեն օգտագործելով հնարաւորին քիչ քանակի տարրական գործողութիւնները։ Համակարգչային թուաբանութիւնը իր մէջ կը ներառէ «ալկորիտմ»ներ, որոնք կրնար գործողութիւններ կատարել լողացող ստորակէտով, կոտորակային եւ մեծ թիւերու հետ։

### Չափել
Բացի այն առարկաներէն, որ ենթակայ են հաշիւի գոյութիւն ունենցող առարկաներուն, որոնց կարելի է չափել, առաջին հերթին այդ երկարութիւնն ու ծաւալն է։ Ինչպէս հաշիւի դէպքին, այս եւս առաջին չափման միաւորը եղած է մարդու ձեռքին մատները։ Յետոյ հեռաւորութիւնները սկսան չափել քայլերով, կրկնակի քայլերով, մղոններով (հազար կրկնակի քայլեր) եւ ասպարէզով։ Բացի անկէ երկարութեան չափման համար կ'օգտագործեն նաեւ արմուկները, ափերը, սաժենը, տիոյմը։ Տարբեր տարածաշրջաններուն մէջ կը սահմանուէին տարբեր չափման միաւորներ, որոնք շատ հազուադէպ էին տասի բազմապատիկ ըլլալուն։ Չափման միաւորներու բազմազանութիւնը կը հնարաւորէ խուսափիլ կոտորակներու օգտագործումէն։ Առեւտրային թուաբանութիւնը իր մէջ կը ներառէ ոչ տասնորդական թուային համակարգին մէջ գործելու ունանկութիւններ (դրամական միաւորներ, չափման միաւորներ եւ կշիռներ)։

18-րդ դարու վերջերուն Ֆրանսակակն յեղափոխական կառավարութիւնը նախ ժամանակաւոր իսկ հետագային նաեւ արխիւային հիմքով (10 Դեկտեմբեր 1799 թուականի օրէնքով) մեթրը ընդունեց որպէս մեթրական չափման միաւոր (վերջնականապէս այդ չափման միաւորին համար ընդունելութիւնը կատարեց ֆրանսան 1 Յունուար 1840 թուականին)։ Մեթրին հետ միասին որոշուեցաւ նաեւ «քիլոկրամ»ը։ Մեթրական համակարգի հիմքը նաեւ իր մէջ կը պարունակէ տասնական համակարգը։ Երբ այս հանգամանքը վերջնականօրէն ընդունուեցաւ, սկսաւ գործածուիլ գրեթէ ամբողջ աշխարհի մէջ (բացառութիւններէն են՝ Անգլիան եւ ԱՄՆ-ն)։ Փարիզի մէջ գտնուող յատուկ չափի եւ կշիռի միջազգային պիւրոյի հրամանով 1888 թուականին փլաթինի եւ իրիտի համաձուլուածքներէն պատրաստուած է միջազգային «մեթր»ը եւ միջազգային «քիլոկրամ»ը, որպէս չափի եւ կշիռի ստուգաչափ։ Բացի ժամանակի եւ անկիւնի չափումներէն, մնացած բոլոր չափման միաւորները եւս կապուած են տասնական համակարգին հետ։

### Մօտաւոր Կանոններ
Պատմականօրէն մօտաւոր հաշուարները առաջացած են միաւոր քառակուսիի անկիւնագիծի որոշման ժամանակ, բայց լայն տարածում ստացան տասնական համակարգին անցում կատարելով եւ առանց կոտորակով թիւերու եւ անվերջ պարբերական կոտորակային տեսքով արտայայտուած թիւերու փոխարինման վերջաւոր տասնորդական կոտորակի օգտագործման ժամանակ։

Գնահատման հաշիւներուն համար առաջին հերթին կ'օգտագործեն «մոնոթոն»ութեան օրէնքները։ Օրինակ որպէսզի որոշեն արտադրդալի կարգը 567\cdot 134, կարելի է օգտուիլ հետեւեալ գնահատականէն՝ 560\cdot 130։

## Թիւերու Տեսութիւն
Թիւերու տեսութիւնը կամ բարձրագոյն թուաբանութիւնը, թիւերը կը համարուին իբր գիտութիւն, որ առաջացած է թուաբանական այն խնդիրներէն, որոնք կապուած են թիւերու բաժանելիութեան հետ։ Թիւերու տարրական տեսութիւնը գործ ունի այն խնդիրներուն հետ, որոնք կը լուծուին տարրական կանոններով, սովորաբար առանց կեղծ թիւերուն օգտագործման։ Անոր կը վերաբերի բաժանելիութեան տեսութիւնը, համեմտութեան տեսութիւնը, անորոշ հաւասարումները, մասերու բաժանումը, կոտորակով թիւերով մօտաւորութիւնը, շղթայական կոտորակները։ Թուաբանութեան հիմնական տեսութիւնը՝ թիւերու բաժանումը պարզ համաբազմապատկիչներու միակ եղանակով, նոյնպէս մաս կը կազմէ թիւերու տարրական տեսութեան։

Ամբողջ թիւերու առանձին ենթադասերը, որոնցմէ են՝ պարզ, բաղադրեալ, քառակուսի եւ կատարեալ թիւերը, առանձնացուած են թերեւս հին յոյներու կողմէ։ Անոնք յառաջացուցած են բանաձեւեր փիւթակորական եռեակի, ամէնամեծ ընդհանուր բաժանարարի որոշման համար եւ ցոյց տուած են պարզ թիւերու անվերջութիւնը։ Տիոֆանտը իր ազատ ժամերը մասնակցեցաւ ամբողջ թիւերու հետ կապուած խնդիրներու դասակարգին մէջ։ Տիոֆանտի աշխատանքները 17-րդ դարուն մէջ շարունակեց Ֆերման, 18-րդ դարուն՝ Էյլերը։ Ֆերման կը զբաղէր ամբողջ թիւերու հետ կապուած հաւասարումներու լուծումով եւ առանց ապացոյցներու ձեւակերպեց Ֆերմայի մեծ եւ փոքր օրէնքները։ Էյլերը շարունակեց ֆերմայի հետազօտութիւնները, ապացուցելով փոքր օրէնքը եւ Ֆերմայի մեծ օրէնքի մասնաւոր դէպքը։ Ան առաջին անգամ օգտագործեց թուաբանական վերլուծում թիւերու տեսութեան խնդիրներու լուծման համար եւ ստեղծեց թիւերու «վերլուծական տեսութիւն»։ Էյլերը սահմանեց բազմացնող «ֆունկ»երը, որոնց հիման վրայ կառուցուեցան շրջանաձեւ կանոնը եւ եռանկիւնաչափական գումարին կանոնը։

Այժմ բացի տարրական եւ վերլուծական թիւերու տեսութենէն, գոյութիւն ունին հետեւեալ բաժինները՝ հանրահաշուայինը, հաւանականութիւնը եւ թիւերու մեթրական տեսութիւնը։

## Տեսական Թուաբանութիւն
Ժամանակակի ընթացքին թուաբանութեան մէջ տեսութեան կառուցուածքը կը ներկայացնէ բազմաթիւ յատկութիւններու ընտրութիւնը, կամ «աքսոմաթ»ներ, որոնցմէ կը պահանջուի դուրս բերել տեսութեան բոլոր դիւրութիւնները, կամ կանոնները, ընդունուած տրամաբանութեան օգնութեամբ։ Թուաբանութեան տեսական կառուցուածքը յենած է հանրահաշուական հասկացողութիւններու վրայ։ Թուաբանութեան հիմնական հասկացողութիւններուն ընտրութեան բարդութիւնը կապուած է անոր նախնական դիւրութիւններուն պարզութեան հետ։ Փեանօն խուսափելով բառերու օգտագործման ժամանակ կեղծ օրէնքներու շարքէն, ապացոյցները կ'օգտագործուէին բացառապէս «սիմուել»ի լեզուով, յենելով միայն անոնց կողմէ ընդունուած նախնական դիւրութիւններուն վրայ։ Գանտորը եւ Տետեկինտը թիւերը կը կապէին բազմութիւններու եւ անոնց հանդէպ վերացական յարաբերութիւններուն հետ։ Բազմութիւններուն տեսութիւնը թուաբանական գործողութիւնները կը դիտարկէ որպէս տարրերու եռեակի միջեւ յատուկ յարաբերութիւններ, ուր տարր մը կ'որոշուի միւս երկու տարրերու միջոցով կամ Հանրահաշուական Գործողութիւններով։ Բազմութիւններու տեսութեան մասին խօսելով Գլէյնը կը նկատէ, որ այս մօտեցման դէպքին մէջ տեսութեան զարգացումը կը դառնայ *«վերացական եւ քիչ հասանելի»*։
### Բնական Թիւեր
1810 թուականին չեխ թուաբանագէտ Պոլզանօն բնական թիւերուն համար սահմանեց գումարման գործողութիւնը։ Անկէ անկախ նման սահմանումներ տուին նաեւ գերմանացի թուաբանագէտներ Կրազմանը (1861 թուականին) եւ Հանքելը (1869 թուականին)։ «Տարրական թուաբանական հանրագիտարան»ը կ'առաջարկէ բնական թիւերու գումարման հետեւեալ սահմանումը՝

*Սահմանել։* Բնական թիւերու գումարումը կ'անուանեն այն համապատասխանութեան, որ բնական թիւերուն իւրաքանչիւր զոյգի համար a եւ b, կը համադրուի մէկ եւ միայն մէկ բնական թիւ a+b, օժտուած հետեւեալ յատկութիւններով՝

a+1=a' ցանկացած a-ի համար,

a+b'=(a+b)' ցանկացած a-ի եւ b-ի համար։

Բնական թիւերուն գումարումը միշտ իրագործելի է եւ միանշանակ։

Բազմապատկումը ինչպէս եւ գումարումը, սահմանուած են իրարմէ անկախ շնորհիւ Պոլցանոնի, Կրազմանի եւ Հանքելի։ «Տարրական թուաբանական հանրագիտարան»ը կ'առաջարկէ բնական թիւերու բազմապատկման հետեւեալ սահմանումը՝

*Սահմանել։* Բնական թիւերու բազմապատկումը կ'անուանեն այն համապատսխանութեան, որ բնական թիւերու իւրաքանչիւր զոյգի համար a եւ b կը համադրուի մէկ եւ միայն մէկ բնական թիւ ab (կամ a\cdot b), որ ունի հետեւեալ յատկութիւնները՝

a\cdot 1=a ցանկացած a-ի համար,

a\cdot b'=a\cdot b + a ցանկացած a-ի եւ b-ի համար։

Բնական թիւերու բազմապատկումը միշտ իրագործելի է եւ միանշանակ։

1891 թուականին Փեանօն ներկայացուց «աքսոմաթ»ները բնական թիւերու համար (այլ աղբիւրներու մէջ կը յիշուի նաեւ 1889 թուականը)։ Այդ ժամանակներէն ի վեր «աքսոմաթ»ները  շատ քիչ փոփոխութիւններու կ'ենթարկուին։

*Սահմանել։* Բնական թիւեր կը համարուին ցանկացած \N ոչ դատարկ բազմութեան տարրերը, որուն մէջ որոշ տարրերու համար a եւ b-ն, նաեւ գոյութիւն ունի «b-ն կը յաջորդէ a-ին» առնչութիւնը, որուն համար կ'իրականացուի հետեւեալ «աքսոմաթ»ները՝

Գոյութիւն ունի 1 թիւը, որ չի յաջորդեր այլ թիւի, այսինքն ցանկացած a թիւին համար a'\ne1 թիւը։

Ցանկացած a թիւին համար գոյութիւն ունի a' թիւը, կրնանք օգտագործել միայն մէկը, այսինքն a=b կը յաջորդէ a'=b' գիտակցութեան։

Ցանկացած թիւ մը կը յաջորդէ ոչ աւելի քան մէկ թիւի, այսինքն a'=b' կը յաջորդէ հետեւաբար a=b-ի։

Բնական թիւերու ցանկացած M բազմութիւնը, որ օժտուած է՝ 1-ը կը պատկանի M-ին եւ a թիւը կը պատկանի M-ին հասկացողութեամբ, ապա a' թիւը եւս կը պատկանի M-ին յատկութիւններով, կը պարունակէ բոլոր բնական թիւերը, այսինքն կը համընկնի \N-ի հետ։

### Ամբողջ Թիւեր
«Տարրական թուաբանական հանրագիտարան»ը կ'առաջարկէ բնական թիւերու հանման հետեւեալ սահմանումը՝

*Սահմանել։* Բնական թիւերու տարբերութիւնը կ'անուանեն այն համապատասխանութեամբ, որ իւրաքանչիւր a եւ b բնական թիւերու զոյգը կը համապատասխանէ a-b թիւին, ան օժտուած է հետեւեալ յատկութեամբ՝

(a-b)+b=a։

Բնական թիւերու տարբերութիւնը իրագործելի է միայն այն դէպքին, երբ a>b, եթէ անհաւասարութիւնը գոյութիւն ունի, ապա այն պարագային միակ մէկ թիւ իբր բնական թիւ կ'օգտագործուի։ Գումարման եւ հանման հաշիւին բնական թիւերու ընդլայնումը կը բերէ ամբողջ թիւերու հասկացողութիւնը։

*Սահմանել։* Ամբողջ թիւերու օղակ կ'անուանեն \Z նուազագոյն օղակը, որ կը պարունակէ բոլոր բնական թիւերու \N բազմութիւնը եւ օժտուած է հետեւեալ յատկութիւններով՝

Բնական թիւերու գումարումն ու հանումը կը համընկնեն \Z օղակի համապատասխան թիւերու համանուն գործողութիւններուն հետ,

\Z օղակը չի պարունակեր իրմէ տարբեր \N բազմութիւնը պարունակող ենթաօղակը։

\Z օղակին տարրերը կը պարունակեն «ամբողջ» թիւերը։

\Z օղակը գոյութիւն ունի եւ կը համարուի միակը մինչեւ «իզոմորֆ»ութեան ճշդութեամբ, իսկ անոր իւրաքանչիւր տարր հաւասար է բնական թիւերու տարբերութեան։ Օղակին կառուցման համար կ'օտագործեն հետեւեալ տեսքը՝ (a,\;b), բնական թիւերու զոյգերուն բազմութիւնները։ Զոոյգերու համար գումարման եւ բազմապատկման համարժէքը կ'որոշուի հետեւեալ կերպով՝   
* (a,\,b) համարժէք կը դառնայ (c,\;d)-ի միայն եւ միայն այն դէպքին, երբ a+d=b+c,
* (a,\,b)+(c,\;d)=(a+c,\,b+d),
* (a,\,b)\cdot(c,d)=(ac+bd,\,ad+bc):

### Կոտորակով Թիւեր
«Տարրական թուաբանական հանրագիտարան»ը կ'առաջարկէ բնական թիւերու բաժանման հետեւեալ սահմանումը՝

*Սահմանել։* Բնական թիւերու բաժանումը կ'անուանեն այն համապատասխանութեամբ, որուն ժամանակ  a եւ b բնական թիւերու իւրաքանչիւր զոյգին կը համապատասխանէ a:b թիւը, ան օժտուած է հետեւեալ յատկութեամբ՝

(a:b)\cdot b=a։

Բնական թիւերու բաժանումը իրագործելի է միայն այն ժամանակ, երբ a\,\vdots\,b (a-ը բազմապատիկ է b-ին), եթէ քանորդը գոյութիւն ունի ապա այն միակն է։ Բաժանում եւ բազմապատկում հասկացողութիւններուն հաշիւին բնական թիւերուն ընդլայնումը, կը ներկայացնէ կոտորակով թիւերուն սահմանումը։ Թերեւս 1710 թուականին Վոլֆը արտայայտած է այն պահանջքը, որ բնական թիւերուն թուաբանական գործողութիւններուն կատարման արդէն յայտնի կանոնները ուղիղ ձեւով չեն կրնար օգտագործուիլ կոտորակներու համար եւ պէտք է ստանան իրենց հիմնաւորումները։ Վերջապէս ինք կը մշակէ հիմնաւորումը (19-րդ դարուն), օգտագործելով ձեւական կաննոներուն անփոփոխութեան սկզբունքը։

*Սահմանել։* Բնական թիւերուն կը պարգեւեն \Q փոքրագոյն տիրոյթը, որ կը ներառէ իր մէջ ամբողջ թիւերու \Z օղակը եւ օժտուած է հետեւեալ յատկութիւններով՝

Ամբողջ թիւերու գումարումն ու բազմապատկումը կը համընկնեն \Z տիրոյթի թիւերուն համանուն գործողութիւններուն հետ,

\Q տիրոյթը չի պարունակեր իր մէջ \Z պարունակող ենթադաշտը։ \Q տիրոյթի տարրերը կը կոչուին կոտորակով թիւեր։

\Q տիրոյթը գոյութիւն ունի եւ կը համարուի միակը մինչեւ «իզոմորֆ»ութեան ճշդութեամբ, իսկ անոր իւրաքանչիւր տարրը հաւասար է ամբողջ թիւերու քանորդին։ Ինչպէս ամբողջ կոտորակով թիւերուն տիրոյթի կառուցման համար կ'օգտագործեն (a,\;b) զոյգերու բազմութիւնը, բայց այս դէպքին արդէն ամբողջ թիւերով, կը համապատասխանէ b\ne0-ն։ Զոյգերու համար գումարման եւ բազմապատկման համարժէքները կ'որոշուին հետեւեալ կերպով՝
* (a,\;b)-ն համարժէք կը դառնայ (c,\;d)-ին միայն եւ միայն այն դէպքին, երբ ad=bc,
* (a,\;b)+(c,\;d)=(ad+bc,\;bd),
* (a,\;b)\cdot(c,d)=(ac,\;bd).

### Իրական Թիւեր
19-րդ դարուն երկրորդ կէսին ներկայացուած է իրական թիւերուն երեք տարբեր տեսական կառուցուածքները։ ամէնայայտնի կառուցուածքը կը համարուի Տետեկինտի տեսութիւնը։ Գանտորը իր ձեւակերպման մէջ օգտագործած է սահմաններու տեսութիւնը։

*Սահմանել։* Իրական թիւերու տիրոյթը կը համարուի \R-ը, որ որպէս ենթատիրոյթ կը պարունակէ կոտորակով թիւերը՝ \Q տիրոյթը։ \R տիրոյթին տարրերը կը կոչուին իրական թիւեր։

\R տիրոյթը գոութիւն ունի եւ կը համարուի միակը մինչեւ իզոմորֆութեան ճշդութեամբ, իսկ անոր իւրաքանչիւր տարրը հաւասար է կոտորակով թիւերու յաջորդականութեան սահմանին։

### «Գոմբլեքս» Թիւեր

*Սահմանել։* «Գոմբլեքս» թիւերը ունին \Complex տիրոյթը, որ կը պարունակէ իրական թիւերու \R տիրոյթը եւ i տարրը, որ i^2=-1 եւ օժտուած է հետեւեալ յատկութիւններով՝

Բնական թիւերու գումարումն ու բազմապատկումը կը համապատասխանեն \R տիրոյթին թիւերուն հանում գործողութիւններուն հետ,

\Complex տիրոյթը չի պարունակեր իրեն գերազանցող \R պարունակութեամբ ենթատիրոյթը

\Complex տիրոյթին տարրերը կը կոչուին «գոմբլեքս» թիւեր։

\Complex տիրոյթը կը համարուի հանրահաշուօրէն փակ տիրոյթ։ «Գոմբլեքս» թիւերուն տիրոյթի կառուցման ժամանակ կ'օգտագործեն (a,\;b) յաջորդական զոյգերուն բազմութիւնը։ Զոյգերուն համար գումարման եւ բազմապատկման համարժէքները կ'որոշուին հետեւեալ կերպով՝
* (a,\;b) համարժէքը կ'ենթարկուի (c,\;d) համարժէքին միայն եւ միայն այն դեպքին, երբ a=c եւ b=d,
* (a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d),
* (a,\;b)\cdot(c,\;d)=(ac-bd,\;bc+ad):

## «Ֆորմալ» Թուաբանութիւն
Տրամաբանական թուաբանութեան կառուցուածքը կը կրէ «ֆորմալ թուաբանութիւն» անուանումը։ Տրամաբանութեան անցնումը կապուած է Հիլպերթի դպրոցին մօտեցման, որ թիւերուն փոխարէն կ'ուսումնասիրէր «ապսդրաքթ»ները եւ անոնց համար ճիշդ կը համարէր գործածել հիմնական թուաբանական օրէնքներ։ Թուաբանութեան հիմնաւորման համար հաստատուեցաւ «աքսոմաթ»ի քանի մը տարբերակներ։ Բացի Փեանոյի «աքսոմաթ»ի համակարգէն, որուն մէջ սահմանուած են գումարումն ու բազմապատկումը, գոյութիւն ունի Փրեսպուրկերու «աքսոմաթ»ներու համակարգը, որուն մէջ սահմանուած է միայն գումարումը, ինչպէս նաեւ գոյոթիւն ունին «աքսոմաթ»ներ, որոնց մէջ սահմանուած են գումարումը, բազմապատկումը եւ աստիճան բարձրացումը։ Յաճախ «աքսոմաթ»ներու փոխարէն կը ներառեն գործողութեան բոլոր յատկութիւնները։ Այս բոլոր «աքսոմաթ»ի տեսութիւնները հիմնուած են բնական թիւերու բազմութեան վրայ եւ իրենց մէջ չեն ներառեր բազմութիւններու տեսութեան փարատոքսները։ Այլ հետազօտական մօտեցումները թուաբանութիւնը կը վերլուծեն բազմութիւններու տեսութեան «աքսոմաթ»ներէն կամ թուաբանական տրամաբանութիւններէ։ Յարաբերութիւնները համապատասխանելու համար «աքսոմաթ»երու հետազոտութիւնները կը գրառեն թուաբանական տրամաբանութեան յատուկ «ֆորմալ» լեզուով։ Ան կը պարունակէ 0-ն, թուային փոփոխականներ, «սիմուըլ»ներ (=, +, \cdot, ') եւ տրամաբանական կապեր (\And, \leftarrow, \forall, \exists, \lor, \mathcal{e})։ «Աքսոմաթ»ը կը ներկայացնէ անվերջ հաւաքածոյ մը, որ կարելի չէ փոխարինել ոչ մէկ վերջնական բազմութեամբ։

Կատարեալ «աքսոմաթ»ներու ամէնամեծ հաւաքածոն պէտք է օժտուած ըլլայ հետեւեալ երեք յատկութիւններով՝
* Անհակասականութիւն՝ «աքսոմաթ»ները պէտք չէ համապատասխանեն իրար հետ,
* Անկախութիւն՝ «աքսոմաթ»ներուն մէջ պէտք չէ ըլլայ աւելորդ, այլ «աքսոմաթ» մը տրամաբանօրէն հետեւող ուրիշ «աքսոմաթ»,
* Ամբողջականութիւն՝ «աքսոմաթ»ներուն հաւաքածոն պէտք է բաւական ըլլայ, որպէսզի ցանկացած ճիշդ ձեւակերպած օրէնք հնարաւոր ըլլայ ապացուցել կամ հերկել։

Բնական թիւերուն թուաբանութիւնը մեծ նշանակութիւն ունի թուաբանութեան տեսութիւններուն հիմնաւորման համար՝ անոր անհակասականութենէն կը հետեւին իրական թիւերուն թուաբանութեան անհակասականութիւնները, որոնք իրենց հերթին կ'օգտուին «մոտել»ներուն օրէնքներէն ցոյց տալով Էօգլիտեան երկրաչափութեան եւ Լոպաչեւսքիի երկրաչափութեան անհակասականութիւնը։ Թուաբանութեան անհակասականութիւնը ապացուցելով՝ Փեանոյի համակարգին եւ անոր բարեկամ «աքսոմաթ»ի համակարգին մէջ, անարդիւնք կ'աշխատէր Հիլպերթը (20-րդ դարուն սկիզբը)։ 1930 թուականին Կիոտելի անաւարտութեան օրէնքին բացայատումէն ետք, հասկնալի դարձաւ, որ նման համակարգերուն մէջ այս օրէնքը անհնար է։ Անհակասականութիւնը ապացուցած է Կենտզէնը, 1936 թուականին օգտագործելով Դրանսֆինիտային հիմնարկին տարատեսակութիւնը։

Անկախութեան ուսումնասիրման համար իւրաքանչիւր «աքսոմաթ» հերթականութեամբ կը փոխարինուի հակադիրով, այնուհետեւ կը կառուցուի «մոտել»ը, ուր ստացուած «աքսոմաթ»ներու հաւաքածոն կ'իրագործուի։ Եթէ փոխարինուած «աքսոմաթ» կախեալ է, այսինքն տրամաբանօրէն կը հետեւի այլ «աքսոմաթ»ներու, ապա անոր փոխարինումը հակադիրով ակնյայտօրէն կը բերէ «աքսոմաթ»ներու հակասական համակարգը եւ համակարգին կառուցումը կը դառնայ անհնար։ Այսպիսով եթէ «մոտել»ը հնարաւոր է կառուցել, ապա անոր համապատասխան «աքսոմաթ»ը անկախ է։ Այս եղանակով ապացուցուած է, Փեանոյի բոլոր «աքսոմաթ»ներու մէկը միւսէն անկախ ըլլալը։

«Ֆորմալ» թուաբանութեան միջոցներով, որ կը կառուցուի Փեանոյի «աքսոմաթ»ներուն հիման վրայ, կարելի է գրել թիւերու տեսութեան օրէնքները, որոնք կ'ապացուցուին առանց թուաբանական վերլուծման միջոցներու եւ ռեքուրսիայի ֆունքցիաներու ու անոնց յատկութիւններու օգտագործման։ Ան համարժէք է Զերմելօ-Ֆրենքելեան բազմութիւններու «աքսոմաթ»ի տեսութեան առանց անվերջութեան «աքսոմաթ»ի։ Ասոր հետ մէկտեղ 1929 թուականին ապացուցուած Կիոտելի ամբողջութեան մասին օրէնքը ցոյց տուաւ, որ Փեանոյի «աքսոմաթ»ները «թերի» են, այսինքն գոյութիւն ունին թուաբանական օրէնքներ, որոնք չեն կրնար ապացուցուիլ իբր ժխտական կամ դրական եզրակացութիւններ։ Այն դէպքին երբ թուաբանութիւնը յարաբերականօրէն լեցուն է  \exists x_1 \dots \exists x_k (P=Q) նման  բանաձեւերով, գոյութիւն ունին  \forall x_1 \dots \forall x_9 (P\neq Q) տեսքի օրէնքներ, որոնք կ'արտայայտեն իրական եզրակացութիւն, բայց հնարաւոր չէ ասոնք վերլուծել։

## Պատմական Ակնարկ

### Հին Թուաբանական Հատուածներ եւ Հաշուարկման Համակարգեր
300px|thumb|right|Ռայտի Փափիրուսի մաս մը
Եգիպտական թուաբանութեան հատուածները յատուկ ուշադրութիւն կը դարձնէին գումարման եւ անոր կատարման ժամանակ առաջացող բարդութիւններուն, որոնք մեծ մասամբ կապուած էին առաջադրանքներու լուծման եղանակներուն։ Հին Եգիպտոսի մէջ փափիրուսները թուաբանութիւնը կազմած են ուսման նպատակներով, որ կը պարունակէին առաջադրանքներու լուծումներ, օժանդակ աղիւսակներ, ամբողջ թիւերու եւ կոտորակներու հետ գործողութիւններու կատարման կանոններ, կը հանդիպէին թուաբանական եւ երկրաչապական «բրոկրեսներ», ինչպէս նաեւ հաւասարումներ։ Եգիպտացիները կ'օգտուէին հաշուարկման տասնորդական համակարգէն։ Եգիպտացիները գիտէին բազմաթիւ թուաբանական գործողութիւններ, որոնցմէ են՝ գումարումը, կրկնապատկումը եւ կոտորակներու լրացումը մինչեւ միաւոր։ Ամբողջ թիւերով ցանկացած բազմապատկման եւ առանց մնացորդ բաժանման բոլոր գործողութիւնները կը լուծուէին կրկնապատկման գործողութեամբ ու յետոյ բաժանումը կրկնելով, որմէ կը ստանանք մեծածաւալ հաշուարկներ, որուն մէջ կը մասնակցէին յաջորդականութեան որոշակի անդամներ 1,2,4,8,16, ...։ Եգիպտոսի մէջ կ'օգտագործէին միայն եգիպտական կոտորակները, կամ միաւորի մասնաբաժինը (1/n), իսկ բոլոր միւս կոտորակները կը դասուէին «ալեկուոտ»ային գումարով։ Եգիպտացիները քառակուսիին մակերեսը, խորանարդի ծաւալը կամ քառակուսիին կողմը, մակերեսը հաշուելու համար կը գործածէին աստիճան բարձրացնելու եւ արմատ հանելու գործողութիւնները. այս գործողութիւնները թերեւս անուանում չունէին։
thumb|right|300 px|Բաբելոնեան թիւեր
Պապելոնեան սեպագիր թուաբանական հատուածները կ'օգտագործէին վաթսունական հաշուարկային համակարգը, որ յատուկ էր թերեւս շումերներուն, եւ իրենցմէ ներկայացուած ուսումնական ձեռնարկները, որոնք կը ներառէին բազմապատկման աղիւսակը 1-էն 59 թիւերուն համար, ինչպէս նաեւ Հակադարձ թիւերուն աղիւսակը, բնական շարքի թիւերու քառակուսիի եւ խորանարդի աղիւսակները, տոկոս հանելու աղիւսակները, կոտորակները 60 հիմքով։ Թուաբանական առաջադրանքներու լուծման ժամանակ բաելոնցիները կը յենէին համամասնութիւններու եւ «բրոկրես»ներու վրայ։ Անոնք գիտէին n անդամ պարունակող թուաբանական «բրոկրես»ական գումարին բանաձեւը, երկրաչափական «բրոկրես»ական գումարի կանոնները, կը լուծէին տոկոսներով առաջադրանքներ։ Բաբելոնի մէջ գիտէին պիֆագորեան եռեակի բազմութիւնը, որոնց որոնման համար, հաւանաբար կ'օգտուէին ընդհանուր անյայտ ձեւալուծումէ։ Ընդհանուր առմամբ x^2+y^2=z^2 հաւասարումներու ամբողջական եւ կոտորակով լուծումը կը վերաբերի թիւերու տեսութեան։ Երկրաչափական առաջադրանքները բերին քառակուսի արմատին մօտաւոր արժէքներու ստացման անհրաժեշտութիւնը, որ անոնք կը կատարէին օգտագործելով հետեւեալ կանոնը՝ \sqrt {a^2+r} \approx a + \frac {r}{2a}, եւ արդիւնքի հետագայ մօտաւորութիւնը ձեռքբերել։
thumb|300px|Թերթիկ Տիոֆանտի «թուաբանութենէ» (14-րդ դարու ձեռագիր). վերի տողին վրայ գրուած է <math>x^3 \cdot 8 - x^2 \cdot 16 = x^3</math> հաւասարումը|right
Հնագոյն յունական թուաբանական հատուածները կը վերաբերին Քրիստոսէ առաջ 14-էն  7-րդ դարերուն։ Սկիզբը յոյները կ'օգտուէին աթթիքական հաշուարկէն, այն ժամանակին ընթացքին փոխարինուեցաւ «քոմբաքդ» լուծման ձեւով կամ «յոնաքան»ով։ Հին յունական թուաբանութեան զարգացումը կը պատկանի փիւթագորեան դպրոցին։ Սկզբնական շրջանին փիւթագորասականները ենթադրեցին, որ ցանկացած երկու հատուածներու համեմատութիւնը կարելի է ներկայացնել ամբողջ թիւերու յարաբերութիւններով, այսինքն երկրաչափութիւնը կը ներկայացնէր կոտորակով թիւերու թուաբանութիւնը։ Անոնք ուսումնասիրեցին միայն դրական ամբողջ թիւերը եւ թիւերը կը վերլուծէին որպէս միաւորներու հաւաքածոյ։ Ուսումնասիրելով թիւերու յատկութիւները անոնք թիւերը բաժնեցին զոյգ եւ քենդ թիւերու (even եւ odd), պարզ եւ բաղադրեալ թիւերու, գտան փիւթագորեան եռեակի անվերջ բազմութիւնը։ Քրիստոսէ առաջ 399 թուականին յայտնուեցաւ բաժանելիութեան ընդհանուր տեսութիւնը, որ ամէնայն հաւանականութեամբ կը պատկանի Սոքրաթէսի աշակերտ Տէաթեթուզին։ Էօգլիտեսը այս լուծելու ձեւին համար ձօնեց գիրք՝ 7-րդ եւ 9-րդ գիրքին մաս մը «Սկզբունքներ»։ Տեսութեան հիմքին համապատասխանեց երկու թիւերուն ամէնամեծ ընդհանուր բաժանարարի որոշման Էօգլիտեսի «ալկորիտմ» վերլուծական կանոնը։ Ալկորիտմի հետեւանք կը հանդիսանայ ցանկացած թիւի պարզ բաղադրիչներու վերլուծելու հնարաւորութիւնը, ինչպէս նաեւ այդ վերլուծութեան եզակիութիւնը։

Այս կանոնին հետ մէկտեղ փիւթագորասականներուն կը պատկանի նաեւ միաւոր կողմով քառակուսիին կողմի եւ անկիւնագիծի անհամաչափելիութեան ապացոյցը։ Այս բացայայտումը կը նշանակէ, որ ամբողջ թիւերուն յարաբերութիւնը յարատեւ չեն համապատասխաներ հատուածներու յարաբերութեան արտայայտման համար եւ այս հիմքով հնարաւոր չէ ստեղծել մեթրական երկրաչափութիւնը։ Կոտորակով թիւերու մասին առաջին ուսումնասիրութիւնը կը պատկանի Թիաթուսին։ Էօգլիտեսի «ալկորիտմի» միջոցով կրնանք որոշել կոտորակով թիւերու ոչ ամբողջական մասնաւոր տարալուծումը եւ անընդհատ կոտորակը։ Ասոր հետ մէկտեղ անընդհատ կոտորակով թիւերու հասկացողութիւնը չէր ընդունուած Հին Յունաստանի մէջ։ 3-րդ դարուն Տիոֆանտը սկսաւ ստեղծել հանրահաշիւը յենելով ոչ թէ երկրաչափութեան այլ թուաբանութեան վրայ։ Տիոֆանտը նաեւ ընդլայնեց թուային տիրոյթը բացասական թիւերով։

Հռոմէական հաշուարկի համակարգը գումարման համար անբաւարար կը համարուէր։ Հռոմէական թուային նշանները առաջացած են այբուբէնէ առաջ եւ չեն հետեւիր անոր տառերուն։ Կը համարուի, որ սկիզբը 1-էն 9 թիւերը նշանակուած են համապատասխան քանակի ուղղահայեաց գծիկներով, իսկ անոնց վրայ գիծ քաշելը կը նշանակէր թիւերու տասնապատկումը (այստեղէն առաջացած է X թիւը)։ Համապատասխանաբար, որպէսզի ստանան 100 թիւը, գիծին վրայ կը քաշէին երկու գիծեր։ Հետագային տեղի ունեցաւ համակարգի պարզեցնումը։ Ներկայիս այն հիմնականին կ'օգտագործուի դասական թիւերու նշանակման համար։

Մինչեւ 14-րդ դար Չինաստանի թուաբանութիւնը կը ներկայացուէր հաշուողական տախտակի վրայ՝ հաշուելու համար հաշուողական «ալկորիտմ»ներու գործածութեամբ։ Գումարման եւ բազմապատկման գործողութիւնները, որոնք կը կատարուէին հաշուողական տախտակի վրայ լրացուցիչ աղիւսակներու կարգ չունէին, բազմապատկման համար չկար 1 \times 1-էն 9 \times 9 թիւերու բազմապատկման աղիւսակը։ Բազմապատկման եւ բաժանման գործողութիւնները կը կատարէին սկսելով բարձր կարգերէն, ընդյառաջ միջանկեալ արդիւնքները տախտակէն կը ջնջուէին, որ ստուգումը կը դարձնէր անհնարին։ Սկիզբը բազմապատկումն ու բաժանումը կը համարուէին անկախ գործողութիւններ, բայց յետոյ Սուն Ցզին նշեց անոնց փոխադարձ հակադարձութիւնը։ Չինաստանի մէջ խնդիրները կը կարողանային լուծել օգտուելով երկու կեղծ դիրքերու կանոններէ, իսկ գծային հաւասարումներու լուծման համար գործածուած են բացասական թիւերը։ Սկզբնական շրջանին բացասական թիւերը կ'օգտագործուէին միայն հաշուարկի ընթացքին եւ գումարման աւարտէն ետք տախտակէն կը ջնջուէին, հետագային չինացի գիտնականները սկսան ներկայացնել որպէս պարտք կամ պակասորդ։

### Թուաբանութիւնը Միջնադարուն
thumb|right|300 px|Հնդկական թիւերը (առաջին դար) եւ անոնց համապատասխանող ժամանակի թիւերը
Դիրքային հաշուարկման համակարգը (տասը թիւերը զերօն ներառեալ) առաջացած է Հնդկաստանի մէջ։ Ան թոյլ կու տար թուաբանական գործողութիւններու կատարման համար մշակել համեմատաբար պարզ կանոններ։ Հնդկաստանի մէջ հիմնական թուաբանական գործողութիւններ կը համարուէին գումարումը, հանումը, բաժանումը, բազմապատկումը, քառակուսի եւ խորանարդ աստիճան բարձրացնելը, քառակուսի եւ խորանարդ աստիճանի արմատ հանելը, որոնց համար մշակուած էին կանոններ։ Գումարումը կը կատարուէր աւազէ, մոխիրէ կամ հողէ հաշուարկային տախտակի վրայ եւ կը գրուէր փայտիկով։ Հնդիկները գիտէին կոտորակները եւ կրնային գործողութիւններ կատարել անոնց հետ, գիտէին համաչափութիւնները եւ բրոկրեսիաները։ Արդէն 7-րդ դարուն անոնք կ'օգտուէին բացասական թիւերէ՝ մեկնաբանելով անոնք որպէս պարտք, կ'օգտուէին նաեւ առանց կոտորակի թիւերէն:
thumb|200px|left|«Հնդկական հաշուարկի մասին» գիրքին լատիներէն թարգմանութեան էջ
9-րդ դարուն սկիզբը Մուհամէտ իպն Մուսա ալ Խորեզմին գրած է «Հնդկական հաշուարկի մասին» գիրքը։ Դասագիրքը իր մէջ կը պարունակէ դիւրին «տարբեր տիպի եւ տեսակի» խնդիրներու լուծումները եւ եղած է առաջին գիրքը, որ գրուած է օգտագործելով դիրքային հաշուարկման համակարգը, մինչ այդ թիւերէն կ'օգտուէին միայն հաշուարկման տախտակներու վրայ հաշիւներ կատարելով։ 12-րդ դարուն Ատելարտ եւ Եոհան Սեւելկի կատարած են գիրքին երկու թարգմանութիւնները լատիներէն լեզուով։ Անոր բնօրինակը չէ պահուած, բայց 1857 թուականին «Հնդկական թիւերու մասին ալկորէիզմ» վերնագիրով տպագրուած է անոր լատինական թարգմանութիւնը։ Այս գիրքին մէջ կը նկարագրուի հաշուողական տախտակի վրայ հնդկական թիւերու օգնութեամբ այնպիսի գործողութիւններու կատարումները, որոնցմէ են՝ գումարումը, հանումը, կրկնապատկումը, բազմապատկումը, բաժանումը եւ քառակուսի արմատի հանումը։ Կոտորակներուն բազմապատկումն ու բաժանումը կը դիտուի համաչափութիւններու օգնութեամբ՝ a բազմապատկած b հաւասար հզօր է այնպիսի q թիւին որոնման, որու ժամանակ q:a=b:1։ Հետեւեալ տեսութիւնը կը համարուի արաբական թուաբանութեան հիմքը։ Սակայն գոյութիւն ունի նաեւ կոտորակներու հաշուարկման այլ եղանակ, որ ցանկացած կոտորակ մը կը ներկայացնէ վերջին պատասխան կոտորակներու գումարին տեսքով։ Խնդիրներուն լուծման համար արաբները կ'օգտուէին՝ եռակի կանոնէն, որ եկած է Հնդկաստանէն եւ գրուած է ալ Պիրունի «Հնդկական ռաշիկի մասին» գիրքին մէջ, երկու կեղծ դիրքերու կանոնէ, որ եկած է Չինաստանէն եւ տեսականօրէն հաստատուած է Քուսթա իպն Լուքայի «Երկակի կեղծ դիրքերու կանոնը» գիրքին մէջ։

10-րդ դարուն Սպանիոյ եւ Սիցիլիոյ մէջ սկսաւ գիտական կապեր հաստատուիլ Եւրոպայի եւ արաբական աշխարհի միջեւ։ Այս ժամանակ Քադալոնիա այցելեց վանական գիտնական Հերպերդը, որ աւելի ուշ դարձաւ Հռոմի պապը՝ Սիլուեստր 2-րդ։ Ան կը վերագրէ  «Գիրք թիւերու բաժանելիութեան» մասին եւ «Աբաքի վրայ հաշուարկներ կատարելու կանոններ» շարադրութիւնները։ Երկու գիրքերուն մէջ ալ թիւերը գրուած են տառերով կամ հռոմէական թիւերով։ 12-էն 13-րդ դարերուն Եւրոպայի մէջ յայտնուեցան արաբական թուաբանութեան մասին գիրքերու լատինական թարգմանութիւնները։ Գիրքերուն մէջ ներկայացուած իրական դիրքային հաշիւներու համախոհները սկսան կոչուիլ «ալկորիտմականներ», արաբ թուաբանագէտ Խորեզմի անուան լատինական ձեւով։ 13-րդ դարու սկիզբը Արեւմտեան Եւրոպայի մէջ գոյութիւն ունէր հաշուարկման երկու համակարգներ՝ հինը հիմնուած է Աբագի վրայ, Հերպերթի կողմէ աջակցած, եւ նորը դիրքային հնդկական համակարգը, աջակցած Լէօնարտօ Ֆիպոնաչիին կողմէ։ Նոր համակարգը աստիճանաբար գերազանցեց։ Անոր հիմնական առաւելութիւնը կը համարուի թուաբանական գործողութիւններու պարզեցումը։ Ասոր հետ մէկտեղ Գերմանիոյ, Ֆրանսայի եւ Անգլիոյ մէջ նոր թիւերը չէին օգտագործուեր մինչեւ 15-րդ դարուն վերջը։ Հին հաշիւները աւելի ամբողջական գտնելը տեղի ունեցած է 16-էն 17-րդ դարերուն միջեւ։

1427 թուականին ալ Կաշին նկարագրեց տասնորդական կոտորակներուն համակարգը, որ համընդհանուր տարածքին մէջ գտնուեցաւ Ստեւինի կողմէ 1585 թուականին գրառումէն ետք։ Ստեւինը կ'ուզէր որքան հնարաւոր է լայն տարածքի մէջ տալ տասնորդական համակարգին, երբ ասոր համար ալ ան իր գրառումները կը կատարէր ֆրանսերէն եւ ֆլամանտերէն, այլ ոչ թէ լատիներէն։ Բացի անկէ ան դարձաւ տասնորդական չափման համակարգի ներմուծման եռանդուն «ջատագովը»։

### Նոր ժամանակներու Թուաբանութիւն
200px|thumb|right|Թուաբանական աղիւսակներ, 1835 թուական
17-րդ դարուն ծովագնացային աստղագիտութիւնը, մեքանիզմը, աւելի բարդ առեւտրային հաշուարկները թուաբանութեան գումարման թեքնիքային նոր պահանջքներ ներկայացուցին եւ ծրագրին հանդիսացան հետագայ զարգացման համար։ Թիւ հասկացողութիւնը ենթարկուեցաւ զգալի փոփոխութիւններու։ Եթէ առաջ մեծ հաշիւով թիւերու շարքին կը վերաբերէին միայն դրական կոտորակով թիւերը, ապա 16-րդ դարէն սկսեալ կոտորակով եւ բացասական թիւերը եւս ընդունելի դարձան։ Նիւտոնը իր դասախօսութիւններուն մէջ թիւերը կը բաժնէր երեք խումբերու՝ ամբողջ (կը չափուին միաւորներով), կոտորակային (միաւորին բազմապատիկ մասը) եւ ոչ կոտորակով թիւեր (միաւորին հետ անհամաչափելի)։ 1710 թուականէն սկսեալ թիւերու նման բաժանումը կը յայտնուի բոլոր դասագիրքերուն մէջ։

17-րդ դարու սկիզբը Նեպյէրը հնարեց լոկարիտմները։ Թուաբանութեան մէջ լոկարիտմներու եւ տասնորդական կոտորակներու օգտագործումը, առանց կոտորակով թիւերուն, որպէս կոտորակով թիւերու մօտաւորականութիւններու շարունակութիւն մուտք գործելը, 17-րդ դարու վերջերուն լայնցուցին թուաբանութեան օգտագործման ոլորտը եւ հաստատեցին գիտութեան հիմնարար նշանակութիւնը անընդհատ մեծութիւններու ուսումնասիրման համար։

Լոպաչեւսկիին երկրաչափական աշխատանքներուն հետ կապուած է թուաբանական հիմքերու վերանայումը, որ տեղի ունեցած է 19-րդ դարուն, թերեւս 18-րդ դարէն սկսած էր թիւի մասին պատկերացումներուն տեսական հիմնաւորումներ տալը։ Թուաբանութեան տետուքթիւ կառուցուածքի մասին առաջին անգամ խնդիր դրաւ Լայբնիցը 1705 թուականին իր «Մարդկային բնականութեան մասին նոր փորձեր» աշխատութեան մէջ, մասնաւորապէս ցոյց տալով «երկուքին գումարած երկուն հաւասար է չորս» հաւասարութեան ապացուցման անհրաժեշտութիւնը։ Փորձելով լուծել այս խնդիրը իրենց աքսեոմաները ներկայացուցին Վոլֆին՝ 1770 թուականին, Շուլցին՝ 1790 թուականին, Օհմին՝ 1822 թուականին, Կրասմանին՝ 1861 թուականին եւ վերջապէս Փեանոյի՝ 1889 թուականին։

1758 թուականին Քասթները ելոյթ ունեցաւ «թուաբանութեան, երկրաչափութեան, հարթ եւ սֆերային եռանկիւնաչափութեան եւ հեռանկարի առաջին հիմունքներու» բոլոր այս թուաբանական հասկացողութիւններու ամբողջ թիւով հիմնաւորման օգուտին։ Այսպիսով ան որոշեց, հետեւեալ յաջորդականութիւնը՝ բնական թիւեր, կոտորակներ, բացասական թիւեր, տասնորդական կոտորակներ, առանց կոտորակի թիւեր եւ միայն յետոյ յարաբերութիւններու տեսութիւնը։ Բացասական թիւերու տեսութեան ձեւաւորման մէջ հիմնական խնդիրը այն էր, որ բացասական թիւը զերոյէն պակաս է, որ աւելի փոքր է քան ոչինչը։

Գոմբլեքս թիւերու երկրաչափական ամբողջական նկարագիրը տուած է Քասբար Վեսսելը՝ 1799 թուականին «Վերլուծական պատկերացման ուղղուածութեան  եւ անոր օգտագործման, ինչպէս նաեւ «հարթ եւ սֆերային բազմանկիւններու լուծման առաւելութիւնները» աշխատութեան մէջ։ Վեսսելը փորձեց ընդարձակել տեսութիւնը եռաչափ տարածութեան մէջ, բայց չյաջողեցաւ։ Հարցը մնաց բաց, այնքան ժամանակ մինչեւ Համիլթոնի քուատերնիոններ տեսութեան կառուցումը, որոնց բազմապատկման ժամանակ չի կիրառկուիր գոմուտացիոն օրէնքը։ Ընդ որում Վեյրշտրասի, Ֆրաբենիուսի եւ Պեիրսի հետազօտութիւնները ցոյց տուին, որ գոմբլեքս թիւերու սահմաններուն մէջ, թիւ հասկացողութեան ցանկացած ընդլայնման դէպքին մէջ թուաբանութեան օրէնքներէն որեւէ մէկէն պէտք կ'ըլլայ հրաժարիլ։

## Թուաբանութիւնը Կրթութեան մէջ
Թուաբանական հասկացողութիւններու ձեւաւորումը սերտօրէն կապուած է հաշուելու գործընթացքի հետ։ Անոր հիմքին մէջ ինկած են մտային գործողութեան այնպիսի տարրեր, որոնցմէ են՝ արառկաներ ճանաչելու ունակութիւնը, առարկաներու տարբերումը, առարկաներու ամբողջականութիւնը առանձին տարրերու բաժանելու կարողութիւնը, հաշուարկի իրաւահաւասարութիւնը (այլ կերպ ըսած հաշուարկի միաւորէ օգտուիլը), տարրերու յաջորդաբար կարգաւորելու ունակութիւնը, անոնց կանոնաւորումը, որ կը բերէ տարբեր որակի առարկաներու հաշուարկին եւ թիւ հասկացողութեան ձեւաւորման։ Նման գործընթացքներ կարելի է դիտարկել երեխաներու մօտ հասկացողութիւններու իւրացման ժամանակ։ 

Տարրական կրթութեան չափորոշիչները կ'ենթադրեն՝ թիւերու՝ մինչեւ միլիոն, հաշուարկման եւ համեմատական հմտութիւնները, չափման հիմնական միաւորներու եւ անոնց յարաբերակցութեան հետ աշխատելու կարողութիւններ, չորս հիմնական թուաբանական գործողութիւններու կատարում (բանաւոր մինչեւ 100, եւ գրաւոր մինչեւ 10000), ինչպէս նաեւ մնացորդով բաժանում եւ քանի մը թուաբանական գործողութիւններէն կազմուած թուային արատյայտութեան արժէքի որոնում։ Դպրոցական նիւթը կը տրուի աչքառու առարկաներու միջոցով։ Առաջին դասարանին երեխաները գործ ունին թուային պատկերներու եւ առարկաներու քանակին հետ, հաշիւը կը հասնի մինչեւ 20։ Երկրորդ դասարանին կ'աւելնայ տասնորդական համակարգը, կարգային համակարգը, բազմապատկման աղիւսակը, հաշուարկները կը հասնին մինչեւ 100։ Երրորդ դասարանին հանրահաշուական գործողութիւններ կը կատարեն բազմանիշ թիւերու հետ։ Յաջորդ քայլը կ'անցնի տառային նշանակումներու, այլ կերպով այսինքն՝ կ'անցնի հաստատ վերացականի։ Երբ ասկէ ալ ըստ Կլէյնի կը սկսի թուաբանագիտութիւնը։ Տարրական դասարաններուն մէջ թուաբանութեան ուսումնասիրման դժուարութիւնը այն է, որ անհրաժեշտ է իրականացնել հաշուարկ վերացական բնոյթի առարկաներու համար։

Կրթութիւնը մինակարգ դպրոցին մէջ կապուած է թիւ հասկացողութեան ընդլայնման հետ, այստեղ կ'ուսումնասիրուի կոտորակները եւ գործողութիւնները անոնց հետ, բացասական եւ անկոտորակով թիւերը։ Իրական եւ գոմբլեքս թիւերը, ինչպէս նաեւ Էօգլիտեսի ալկորիտմը եւ թուաբանութեան հիմնական տեսութիւնը կը վերաբերի ամբողջական միջնակարգ կրթութեան։

Ժամանակի ընթացքին աշխարհի մէջ թուաբանական գրագիտութիւնը կրթութեան հիմնական նպատակներէն մէկը եղաւ։ Այն իր մէջ կը ներառէ մասնաւորապէս թուաբանական գործողութիւններ, հաշուարկներ եւ չափումներ կատարելու ունակութիւնները։ Երեխաներու եւ մեծահասակներու թուաբանական գրագիտութեան խնդիրներով կը զբաղուին այնպիսի կազմակերպութիւններ, որոնցմէ են՝ ԻՒՆԻՍԵՖ-ը եւ ԻՒՆԵՍՔՕ-ն։

Չնայած ասոր, երկար ժամանակ թուաբանական գործողութիւններու դասաւանդումը կը սահմանափակուէր օրինակներու մեքանիզմի կատարմամբ։ Հին Չինաստանի մէջ մեծ ուշադրութիւն կը դարձնէին թուաբանութեան ուսման, ներառեալ քննութիւններ յանձնումը։ Կայսերական արհեստանոցին մէջ թուաբանութիւնը կ'ուսումնասիրէին եօթ տարի։ Սակայն դասական թուաբանական ձեւերը կը դիտարկէին որպէս տոկմաներ եւ կը վերատպագրուէին առանց փոփոխութիւններու։

Եւրոպայի մէջ, թերեւս 16-րդ դարուն Տարտալիան առաջարկած էր գումարման, հանման, բաժանման եւ բազմապատկման համակարգուած վարժութիւններ, սակայն անոնք թերեւս երկար ժամանակ չէին մտներ գործածութեան մէջ։ Բացի անկէ, միջնադարուն մասնաւոր թուաբանական խնդիրներու լուծման համար կային մեծ թիւերու որոշման կանոններ։ Որոշ դասագիրքերու մէջ կը հանդիպէին միչեւ 26 նման կանոններ, ընդ որում անոնք կրնային դասագիրքէ դասագիրք չհամընկնել։ Որոշ կանոններ չեն կորսնցուցած իրենց արդիականութիւնը մինչեւ հիմա։ Անոնք կը վերաբերին համաչափութիւնները (կոտորակները կը դիտարկուէին որպէս երկու թիւերու յարաբերութիւն, որ գործողութիւններու կատարման ժամանակ կը յանգէր համամասնութիւններու քննարկման) եւ տոկոսները։

Թուաբանութիւնը՝ ըստ ուսումնասիրութեան մակարդակի, եօթ ազատ արուեստներու մէջ կը գրաւէ չորրորդ տեղը։ Անոր նախորդներն են՝ տրիւիումը, որ բաղկացած է քերականութենէ, ճարտասանութենէ եւ տիալեքթիքայէ, իսկ երբ ինք կը համարուի քուատրիւիումի աւագ գիտութիւնը, որուն կը վերաբերին նաեւ երկրաչափութիւնը, երաժշտութիւնը եւ աստղագիտութիւնը։ Եւրոպական առաջին համալսարաններու յայտնուելու հետ թուաբանութիւնը սկսաւ դասաւանդուիլ արուեստի հիմնարկներուն մէջ որպէս ստեղծագործութիւն, ան կը համարուէր օժանդակ կարգապահութիւն։ Թուաբանութեան առաջին դասախօսութիւնները կարդացած են Վիեննայի համալսարանի մագիստրոս Յոհաննէս վոն Կմունտէնը, 1412 թուականին։

## Թուաբանութիւնը Փիլիսոփայութեան եւ Արուեստի մէջ
thumb|right|350px|Մարտին Տէ Վոս։ Եօթ քոյրեր, 1590 թուական
Երբ պիւթագորասականները ամբողջ թիւերու յարաբերութիւնը օգտագործեցին երկրաչափական հատուածներու յարաբերութեան արտայայտման համար, ինչպէս նաեւ երաժշտութեան եւ ներդաշնակութեան համանման յարաբերութիւններուն մէջ, անոնք եկան այն եզրակացութեան, որ աշխարհի բոլոր համաչափութիւնները կարելի է ներկայացնել թիւերու միջոցով, իսկ թուաբանութիւնը գիտութիւն է՝  փոխյարաբերութիւններու արտայայտման եւ  աշխարհի բնօրինակը (մօտել) ստեղծելու համար։ Ասոր հետ մէկտեղ պիւթագորասականներու բացայայտումներէն կը համարուի այն, որ ամբողջ թիւերու յարաբերութիւնը բաւական չէ ցանկացած հատուածներու յարաբերութեան՝ արտայայտման համար (քառակուսի անկիւնագիծը եւ կողմը անհամաչափելի են) եւ այս հիմնաւորումով անհնարին է ստեղծել մեթրական երկրաչափութիւն։ Վերջին չափի կառուցման խնդիրը եւ իրական թիւի որոշումը Քրիստոսէ առաջ 5-րդ դարուն առաջացուեցաւ գիտական ճգնաժամը, որմէ դուրս գալու համար կը զբաղէին Հին Հռոմի բոլոր փիլիսոփայական դպրոցները։ Ցոյց տալ բոլոր դժուարութիւնները, որ կ'առաջացուէին այս խնդիրներու լուծման ժամանակ, յաջողուեցաւ Զենոն Էլեացին՝ իր փարատոքսներուն մէջ։

Մարթիանուս Քափելլան իր «Փիլիսոփայութեան եւ Մերքուրիի հարսանիքը» դէմքին ստեղծած է բոլոր եօթ արուեստներու, այդ թուականին նաեւ թուաբանութեան, ակնադիտական կերպարներ։ Արուեստները կը մարմնաւորէին կանայք՝ համապատասխան կեցուածքներով, անոնց կ'ուղեկցէին ոլորտի յայտնի ներկայացուցիչները։ Թուաբանութիւնը իր ձեռքին մէջ կը պահէր աբակ կամ յուշատախտակ, մինչեւ վերջ գրուած թիւերով։ Անոր կ'ուղեկցի Պիֆագորը։

Հաշիւը Պուտայի փորձութիւններէն մէկն էր։ Նետաձգութեան, վազքի եւ լողալու մրցոյթներէն ետք թուաբանագէտ Արիւնան կարգադրեց անոր ըսել 10^9 մեծ բոլոր թուային աստիճանները։ Պուտան ըսաւ քսաներկու աստիճան մինչեւ 10^{53} (անուանում ունին միայն քենդ աստիճանները), եւ այս միայն առաջին հաշիւն էր, երկրորդ հաշիւին մէջ Պուտան շարունակեց մինչեւ 10^{421} աստիճանը։ Յաջորդ առաջադրանքին մէջ Պուտան նախ հաշուեց ատոմները մղոնի մէջ, իսկ յետոյ նաեւ տիզերքի մէջ։ Նման «թուային աստիճաններ» հնդկական կրօնական պոեզիայի մէջ կը հանդիպին մեզմէ բազմաթիւը, ընդ որու թիւերու անուանումները կարող են տարբերիլ։ Նման աստիճաններու նշանակութիւնն է՝ անցնիլ մահկանացուներու աշխարհէն վերեւ։ Հնդկական «Լիլաւատիստրա» գիրքին մէջ կը նկարագրուի երկիրին իշխանուհին՝ հիասքանչ Կոպիի փեսացուներու մրցոյթը գիրի, թուաբանութեան, ըմբշամարտի եւ նետաձգութեան արուեստին մէջ։ Գիրքին զգալի մասը նուիրուած է թուաբանութեան փորձութիւններու նկարագրմանը։

Ինչպէս Հնդկաստանի մէջ, մայաներու Կրմերի կողմէ արհեստականօրէն յօրինուած շատ մեծ թիւերը եւս կը խօսին «թուային աստիճանով» աւելի վեր՝ աստուածներուն մօտ, բարձրանալու ձգտման մասին։

## Գրականութիւն

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Ծանօթագրութիւններ

## Արտաքին յղումներ
* MathWorld article about arithmetic
* The New Student's Reference Work/Arithmetic (historical)
* The Great Calculation According to the Indians, of Maximus Planudes – an early Western work on arithmetic at Convergence