Սկալյար արտադրյալ

**Սկալյար արտադրյալ** (երբեմն՝ **ներքին արտադրյալ**), գործողություն երկու վեկտորների միջև. արդյունքը թիվ է, (երբ դիտարկվում են վեկտորներ, թվերը հաճախ անվանվում են սկալյարներ) որը կախված չէ կոորդինատային համակարգից և բնութագրում է վեկտոր-արտադրիչների երկարություններն ու անկյունը դրանց միջև։ Տրված գործողությանը համապատասխանում է *x* վեկտորի *երկարության* բազմապատկումը *x* վեկտորի վրա *y* վեկտորի պրոյեկցիայով։ Այս գործողությունը սովորաբար դիտարկվում է որպես տեղափոխական և գծային ըստ յուրաքանչյուր արտադրիչի։
 
Սովորաբար օգտագործվում է հետևյալ նշանակումներից մեկը.

: \langle \mathbf a, \mathbf b \rangle, 
:  (\mathbf a, \mathbf b) , 
:  \mathbf a \cdot \mathbf b ,

(կամ Դիրակի նշանակումը), որը հաճախ օգտագործվում է քվանտային մեխանիկայում

: \langle a|b\rangle.

Սովորաբար ենթադրվում է, որ սկալյար արտադրյալը որոշված է դրականորեն, այսինքն՝

:  \langle \mathbf a, \mathbf a \rangle > 0 բոլոր a-երի համար (a\not=0).

Հակառակ դեպքում արտադրյալը կոչվում է ինդեֆինիտ կամ անորոշ։

## Սահմանում
\mathbb L վեկտորական տարածությունում կոմպլեքս թվերի \mathbb C (կամ իրական թվերի \mathbb R) դաշտի նկատմամբ սկալյար արտադրյալ կոչվում է \langle x, y \rangle ֆունկցիան, որը որոշված է x, y \in \mathbb L ցանկացած տարրերի համար և ընդունում է արժեքներ  \mathbb C  - ում (կամ \mathbb R-ում)։ Ֆունկցիան բավարարում է հետևյալ պայմաններին.
#  \mathbb L տարածության ցանկացած երեք x_1, x_2  և y  տարրերի և  \mathbb C -ի (կամ \mathbb R-ի) ցանկացած \alpha, \beta  թվերի համար ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը.  \langle \alpha x_1+\beta x_2, y \rangle = \alpha \langle x_1, y \rangle + \beta \langle x_2, y \rangle;
# ցանկացած x  և y -ի համար ճիշտ է  \langle y, x \rangle = \overline{\langle x, y \rangle} հավասարությունը;
# ցանկացած x -ի համար ունենք \langle x, x \rangle \ge 0 , ընդ որում
\langle x, x \rangle =0  միայն x=0  դեպքում։

## Հանրահաշվական սահմանում
***n***-աչափ իրական տարածությունում  և  երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը սահմանվում է ինչպես.
:\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{i=1}^n a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n:

Օրինակ, եռաչափ տարածությունում  և  վեկտորների արտադրյալը կհաշվարկվի այսպես.

:
\begin{align}
\ [1, 3, -5] \cdot [4, -2, -1] &= 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) \\
&= 4 - 6 + 5 \\
&= 3.
\end{align}


 և  կոմպլեքս վեկտորների համար սկալյար արտադրյալը կլինի.

:\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{i=1}^n a_i\overline{b_i}=a_1\overline{b_1}+a_2\overline{b_2}+\cdots+a_n\overline{b_n}:

Օրինակ, 
 [1+i, 2] \cdot [2+i, i] = (1+i) \cdot (\overline{2+i}) + 2 \cdot \overline i = (1+i) \cdot (2-i) + 2 \cdot (-i) = 3-i

## Երկրաչափական սահմանում
## Օրինակներ ==AB վեկտորի և BC վեկտորի սկալյար արտադրյալ

## Հատկություններ
* Կոսինուսների թեորեմը հեշտությամբ արտածվում է սկալյար արտադրյալի կիրառմամբ.

: |BC|^2 = \vec{BC}^2 = (\vec{AC} - \vec{AB})^2 = \langle\vec{AC} - \vec{AB}, \vec{AC} - \vec{AB}\rangle = \vec{AC}^2 + \vec{AB}^2 - 2 \langle\vec{AC}, \vec{AB}\rangle = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 |AB| |AC| \cos\hat A
* Անկյունը վեկտորների միջև.
*: \alpha = \arccos \frac{\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle}{\sqrt{\langle\mathbf a, \mathbf a\rangle\langle\mathbf b, \mathbf b\rangle}}
* Վեկտորների կազմած անկյան գնահատումը.
*:  \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = 
|\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cdot \cos \angle{(\mathbf a, \mathbf b)}  բանաձևում նշանը որոշվում է միայն անկյան կոսինուսով (նորմաները միշտ դրական են)։ Այդ պատճառով սկալյար արտադրյալը > 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը սուր է, և \mathbf a վեկտորի պրոյեկցիան \mathbf e միավոր վեկտորով սահմանված ուղղության վրա.
*: a_e = \langle\mathbf a, \mathbf e\rangle = |\mathbf a| |\mathbf e| \cos \angle{(\mathbf a, \mathbf e)} = |\mathbf a| \cos \angle{(\mathbf a, \mathbf e)} , քանի որ |\mathbf e| = 1
* \mathbf a և \mathbf b վեկտորների օրթոգոնալության (ուղղահայացության) պայմանը.
:: \mathbf a\bot \mathbf b \Leftrightarrow \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = 0

* \mathbf{a}\  և \mathbf{b}\  երկու վեկտորներով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է.
::  \sqrt{\langle\mathbf{a}, \mathbf{a}\rangle\langle\mathbf{b}, \mathbf{b}\rangle - \langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle^2}\ 

### [[Կոշի - Բունյակովսկու անհավասարություն]]
Գծային տարածության ցանկացած  \mathbf x և  \mathbf y  էլեմենտների համար տեղի ունի հետևյալ անհավասարությունը http://www.nsu.ru/education/funcan/node75.html 

 \vert \langle x, y \rangle \vert ^2 \le \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle :

## Պատմություն
Սկալյար արտադրյալը ներմուծվել է Ուիլյամ Համիլտոնի կողմից 1846 թվականին, վեկտորական արտադրյալի հետ միաժամանակ, կապված քվատերնիոնների հետ, համապատասխանաբար ինչպես երկու այնպիսի քվատերնիոնների արտադրյալի սկալյար և վեկտորական մասեր, որոնց սկալյար մասը հավասար է զրոյի։

## Տես նաև
* Խառն արտադրյալ
* Հիլբերտյան տարածություն
* Վեկտորական արտադրյալ

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Անալիտիկ երկրաչափություն
Կատեգորիա:Գծային հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Ֆունկցիոնալ անալիզ
Կատեգորիա:Վեկտորական անալիզ
Կատեգորիա:Վերլուծական երկրաչափություն