Բրահմագուպտայի բանաձև

Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ **[[Բրահմագուպտա]]յի բանաձևը** կապ է հաստատում ներգծյալ քառանկյան կողմերի և մակերեսի միջև։

## Բանաձև
Եթե ներգծյալ քառանկյան մակերեսը  է, իսկ կողմերը՝ , , , , ապա՝

: K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

որտեղ –ը քառանկյան կիսապարագիծն է և հավասար է՝

: s=\frac{a+b+c+d}{2}.

Բանաձևը եռանկյան համար Հերոնի բանաձևի ընդհանրացումն է։ Եռանկյունը կարելի է դիտել որպես քառանկյուն, որի կողմերից մեկը հավասար է զրոյի։ Այսպիսով, եթե  կողմը ընդունենք զրո, ապա ներգծյալ քառանկյունը վերածվում է ներգծյալ եռանկյան (քանի որ բոլոր եռանկյուններին հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ), իսկ Բրահմագուպտայի բանաձևը՝ Հերոնի բանաձևի պարզեցված ձևն է։

Կիսապարագծից չօգտվելու դեպքում Բրահմագուպտայի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը՝

: K=\frac{1}{4}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)},

որը հավասար է

: K=\frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2+8abcd-2(a^4+b^4+c^4+d^4)}}{4} հավասարմանը։

## Ապացույց
frame|right|Գծանկար ապացույցի համար

### Եռանկյունաչափական ապացույց

Ներգծյալ քառանկյան  մակերեսը հավասար է  և  եռանկյունների մակերեսների գումարին (գծանկար)․

:= \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin C ։

Բայց քանի որ –ն ներգծյալ քառանկյուն է, ուրմեն ։ Հետևաբար՝ ։ Այստեղից՝

:K = \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin A

:K^2 = \frac{1}{4} (pq + rs)^2 \sin^2 A

:4K^2 = (pq + rs)^2 (1 - \cos^2 A) = (pq + rs)^2 - (pq + rs)^2 \cos^2 A.\,

Կոսինուսների թեորեմի օգնությամբ  և  եռանկյուներից հաշվելով ընդհանուր  կողը, կստանանք՝

:p^2 + q^2 - 2pq\cos A = r^2 + s^2 - 2rs\cos C. \,

Փոխարինելով  (քանի որ  և  անկյունները հանդիպակաց են) և ձևափոխելով բանաձևը, կստանանք՝

:2 (pq + rs) \cos A = p^2 + q^2 - r^2 - s^2. \,

Տեղադրելով սա մակերեսի բանաձևի մեջ՝ կունենանք՝

:4K^2 = (pq + rs)^2 - \frac{1}{4}(p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2

:16K^2 = 4(pq + rs)^2 - (p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2.

Հավասարման աջ կողմը  տեսքի է, ուստի կարելի է ձևափոխել

:[2(pq + rs) - p^2 - q^2 + r^2 +s^2][2(pq + rs) + p^2 + q^2 -r^2 - s^2] \,

որը հավասար է հետևյալ հավասարումներին՝

:= [ (r+s)^2 - (p-q)^2 ][ (p+q)^2 - (r-s)^2 ] \,

:= (q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s). \,

Ներմուծելով  կիսապարագիծը,

:16K^2 = 16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s). \,

և քառակուսի արմատ հանելով կստանանք՝

:K = \sqrt{(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}.

### Ոչ-եռանկյունաչափական հավասարում
Բանաձևը կարելի է նաև ապացուցել օգտվելով եռանկյան մակերեսի Հերոնի բանաձից՝ հաշվելով նման երկու եռանկյուները։

## Ընդլայնում ոչ ներգծյալ քառանկյունների համար
Ոչ ներգծյալ քառանկյան դեպքում Բրահմագուպտայի բանաձևը կարելի է վերաձևակերպել օգվելով քառանկյան երկու հանդիպակաց անկյուններից.

: K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\theta}

որտեղ -ն կամայական երկու հանդիպակաց անկյունների կիսագումարն է։ (Անկյունների ընտրությունը էական չէ. եթե ընտրվի մյուս զույգը, ապա դրանց կիսագումարը կլինի ։ Քանի որ , ուրեմն՝ )։ Այս՝ ավելի ընդլայնված բանաձևը, հայտնի է Բրետշնայդերի բանաձև անվամբ։

Ներգծյալ քառանկյան հատկության համաձայն՝ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը հավասար է 180°։ Ուստի, ներգծյալ քառանկյան դեպքում –ն 90° է, հետևաբար, Բրետշնայդերի բանաձևը ստանում է Բրահմագուպտայի բանաձևի տեսքը․

:abcd\cos^2\theta=abcd\cos^2 \left(90^\circ\right)=abcd\cdot0=0, \,

Սրանից հետևում է, որ տրված կողմերով քառանկյուններից ամենամեծ մակերեսն ունի ներգծյալ քառանկյունը։

Ցանկացած ուռուցիկ քառանկյան մակերես հավասար է՝

: K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}\,

որտեղ –ն և –ն քառանկյան անկյունագծերն են։ Ներգծյալ քառանկյան դեպքում, ըստ Պտղոմեոսի թեորեմի,  և այս բանաձևը վերածվում է Բրահմագուպտայի բանաձևի։

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
* Weisstein, Eric W. "Brahmagupta's Formula". *[[MathWorld]]*.&nbsp;


''This article incorporates material from  on PlanetMath, which is licensed under the .

Կատեգորիա:Երկրաչափական թեորեմներ
Կատեգորիա:Հարթաչափություն