Բերտրանի պոստուլատ

**Բերտրանի պոստուլատը** թեորեմ է, ըստ որի կամայական ամբողջ թվի համար n > 3, գոյություն ունի նվազագույնը մեկ այնպիսի պարզ թիվ p, որ
:n 
Մեկ այլ բանաձև, որտեղ p_n-ը n-րդ պարզ թիվն է և n \ge 1
:p_{n+1} 
Այս պնդումը առաջին անգամ առաջարկել է Ջոզեֆ Բերտրանը (1822-1900) 1845 թվականին։ Բերտրանը ստուգել է այն  բոլոր թվերի համար։ Նրա պնդումը վերջնականորեն ապացուցվել է Չեբիշևի (Chebyshev) (1821-1894) կողմից 1852 թվականին։ Այժմ պոստուլատը հայտնի է նաև որպես **Բերտրան-Չեբիշևի թեորեմ** կամ **Չեբիշևի թեորեմ**։ Չեբիշևի թեորեմը կարելի է ներկայացնել \scriptstyle \pi(x) \, ֆունկցիայի միջոցով, որտեղ \scriptstyle \pi(x) \,-ը \scriptstyle x \,-ը չգերազանցող պարզ թվերի քանակն է։

:\pi(x) - \pi(\tfrac{x}{2}) \ge 1,\, բոլոր \, x \ge 2. \,

1919 թվականին Ռամանուջանը (1887-1920) օգտագործել է գամմա ֆունկցիան՝ ավելի պարզ ապացույց գտնելու համար, որից առաջացել են Ռամանուջանյան պարզ թվերը։ 1932 թվականին Էրդյոշը (Erdős) (1913-1996) հրապարակել է նմանատիպ ապացույց՝ օգտագործելով բինոմական գործակիցները և Չեբիշևի ֆունկցիան՝

:  \vartheta(x) = \sum_{p=2}^{x} \ln (p) , որտեղ *p* ≤ *x*։

## Էրդյոշի թեորեմ
1934 թվականին Էրդյոշը ապացուցել է, որ կամայական բնական *k* թվի համար գոյություն ունի այնպիսի *N* բնական թիվ, որ բոլոր *n* > *N* թվերի համար գոյություն ունեն առնվազն *k* պարզ թվեր, որոնք ընկած են *n*-ի և *2n*-ի միջև։ Համարժեք մի պնդում ապացուցել է Ռամանուջանը 1919 թվականին։

Պարզ թվերի թեորեմից (մինչև *x* ընկած պարզ թվերի քանակը մոտավորապես հավասար է *x*/ln(*x*)-ի) հետևում է, որ եթե *x*-ի փոխարեն տեղադրենք *2x*, ապա անվերջ մեծ *x*-երի համար մինչև *x* ընկած պարզ թվերի քանակը հավասար է մինչև *2x* ընկած պարզ թվերի քանակի կեսին։ Այս պատճառով անվերջ մեծ *n* բնական թվերի համար *n*-ից մինչև *2n* ընկած պարզ թվերի քանակը հավասար է *n*/ln(*n*), որը շատ ավելի մեծ թիվ է, քան պնդում է Բերտրանի պոստուլատը։ Այսպիսով, Բերտրանի պոստուլատը ավելի թույլ թեորեմ է, քան պարզ թվերի թեորեմը։

Նմանատիպ, թեև չլուծված խնդիր է Լեժանդրի վարկածը, որը պնդում է, որ կամայական *n* բնական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի *p* պարզ թիվ, որը բավարարում է հետևյալ պայմանին․ *n*2 2։ Այս վարկածն ապացուցելիս պարզ թվերի թեորեմը չի օգնում, քանի որ անվերջ մեծ *x*-երի համար *x*2/ln(*x*2)-ը հավասար է (*x*&nbsp;+&nbsp;1)2/ln((*x*&nbsp;+&nbsp;1)2)-ին։

## Ավելի լավ արդյունքներ
Պարզ թվերի թեորեմից հետևում է, որ կամայական իրական \epsilon > 0 թվի համար գոյություն ունեն այնպիսի n_0 > 0  և p պարզ թվեր, որ բոլոր n > n_0 համար տեղի ունի n  անհավասարումը։ Հեշտությամբ կարելի է ապացուցել, որ
:\lim_{n \to \infty}\frac{\pi((1+\epsilon)n)-\pi(n)}{n/\log n}=\epsilon,
որից հետևում է, որ  \pi (( 1 + \epsilon ) n) - \pi (n)  արտահայտությունը ձգտում է անվերջության։

Ոչ ասիմպտոտային սահմանները նույնպես ապացուցված են։ 1952 թվականին Ջիտսուրո Նագուրան (Jitsuro Nagura) ապացուցել է, որ *n*&nbsp;≥&nbsp;25-ի համար գոյություն ունի այնպիսի պարզ թիվ, որը ընկած է *n*-ի և -ի միջև։

1976 թվականին Լոուել Շոնֆելդը (Lowell Schoenfeld) ցույց է տվել, որ *n*&nbsp;≥&nbsp;2010760-ի համար միշտ գոյություն ունի այնպիսի պարզ թիվ, որ ընկած է *n*-ի և -ի միջև։

1998 թվականին Պիեր Դուսարտը (Pierre Dusart) իր դոկտորական թեզում լավացրեց այդ արդյունքը՝ ցույց տալով, որ *k*&nbsp;≥&nbsp;463, -ի, և, մասնավորապես, *x*&nbsp;≥&nbsp;3275-ի համար գոյություն ունի այնպիսի պարզ թիվ, որը ընկած է x-ի և -ի միջև։

Բեյքերը, Հարմանը և Պինցը ապացուցեցին, որ բոլոր մեծ x-երի համար գոյություն ունի գոնե մեկ պարզ թիվ, որն ընկած է [x,\,x+O(x^{21/40})] միջակայքում։

Բերտրանի պոստուլատի ընդհանրացումները ստացվում են նաև պարզ մեթոդներով։ 2006 թվականին Մ․ Էլ Բախռաուին (M. El Bachraoui) ապացուցել է, որ գոյություն ունի պարզ թիվ 2*n*-ի և 3*n*-ի միջև։ 2011 թվականին Էնդի Լուն (Andy Loo) ապացուցեց, որ գոյություն ունի պարզ թիվ 3*n*-ի և 4*n*-ի միջև։ Ավելին, նա ապացուցեց, որ երբ *n*-ը ձգտում է անվերջության, 3*n*-ի և 4*n*-ի միջև գոյություն ունեցող պարզ թվերի քանակը նույնպես ձգտում է անվերջության՝ ընդհանրացնելով Էրդյոշի ու Ռամանուջանի ստացած արդյունքները։ Այս ապացույցներից ոչ մեկը չի պահանջում խորը անալիզի գիտելիքներ։

Կատեգորիա:Պարզ թվեր
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական թեորեմներ