Քառակուսի արմատ

աջից

**Քառակուսի արմատ** a (2-րդ աստիճանի արմատ, \sqrt{a}), այն ոչ բացասական x թիվն է, որը քառակուսի բարձրացնելիս հավասար է a։ Հավասարազոր սահմանում․ a-ի քառակուսի արմատը՝ x^2 = a.հավասարման լուծումը հանդիսացող թիվն է։ \sqrt{a} արժեքի հաշվման գործողությունը կոչվում է «քառակուսի արմատի հանում»  a թվից։

Ավելի հաճախ x և a թվերը իրական թվեր են, բայց գոյություն ունի նաև կոմպլեքս թվերի և այլ մաթեմատիկական օբյեկտների համար արված ընդհանրացում։ Օրինակ՝ իրական թվերի համար․ \sqrt{9}=\pm 3, որովհետև {(\pm 3)}^2=9.Քառակուսի արմատն ունի երկու արժեք, որոնք հակադարձ թվեր են, այսինքն, նույն արժեքն ունեցող, նշանով տարբերվող թվեր են, ինչը դժվարացնում է արմատների հետ աշխատանքը։ Միանշանակություն ապահովելու համար ներմուծում են թվաբանական արմատ հասկացությունը։ Մեր օրինակում դա 3-ն է։

### [[Ռացիոնալ թիվ|Ռացիոնալ թվեր]]
Ռացիոնալ a-երի դեպքում x^2=aհավասարումը միշտ չէ, որ ռացիոնալ լուծում ունի։ Նույնիսկ դրական a-երի դեպքում, այս հավասարումը լուծում ունի միայն ու միայն այն դեպքում, երբ a-ի թե՛ հայտարարը, և թե՛ համարիչը, հանդիսանում են քառակուսային թվեր։

Ռացիոնալ թվից արմատից ստացված անընդհատ կոտորակը պարբերական է, որը մի կողմից ապահովում է լավ ռացիոնալ,մյուս կողմից սահմանափակոիմ է մոտարկում ն ճշգրտությունը․ |\sqrt{r}-p/q|>\frac{1}{Cq^2}, որտեղ C կախված է r։ Ճիշտ է նաև, որ ցանկացած շղթայական կոտորակ, քառակուսային իռացիոնալություն է հանդիսանում։

### [[Իրական թվեր]]
**Թեորեմ։** Ցանկացած դրական a թվի համար գոյություն ունի երկու իրական արմատ,որոնք հավասար են մոդուլով և հակադարձ նշանով։

Ոչ բացասական  a թվից ոչ բացասական արմատ կոչվում է թվաբանական քառակուսի արմատ և նշանակվում է արմատի նշանով \sqrt a։

### [[Կոմպլեքս թիվ|Կոմպլեքս թվեր]]
Կոմպլեքս թվերի դեպքում, լուծումները միշտ երկուսն են և տարբերվում են միայն նշանով(բացառությամբ զրոյի)։ Հաճախ այն նշանակում են՝ \sqrt{a},  սակայն պիտի դա անել զգուշությամբ։ Տարածված սխալ է՝

: -1=(\sqrt{-1})^2  = \sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1  (ինչը, իհարկե, սխալ է)

Սխալը ստացվում է, քանի որ քառակուսի արմատը բազմանշանակ ֆունկցիա է։ Մասնավորապես, 1-ից քառակուսի արմատը երկու լուծում ունի՝ -1 և +1։

Կոմպլեքս թվից քառակուսի արմատ հանելու համար հարմար է օգտագործել կոմպլեքս թվի գրառման էքսպոնենցիալ ձևը։

Եթե

: a=|a|e^{i\phi},

ապա (տես. Մուավրի բանաձև)
: \sqrt{a}=\sqrte^{i(\phi+2\pi k)/2},

որտեղ մոդուլից քառակուսի արմատը ընդունվում է որպես հանրահաշվական արժեք, իսկ  -ն կարող է ընդունել  և  արժեքները։ Արդյունքում ստացվում է երկու տարբեր արժեքներ։

Գոյություն ունի նաև  a+bi-ից արմատի զուտ հանրահաշվական ներկայացում։ Արմատի արժեքները ունեն հետևյալ տեսքը՝ \pm(c+di), որտեղ

: c = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}
:d = \sgn (b) \sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}

Որտեղ sgn-ն «նշան» ֆունկցիան է, իսկ արմատները նշանակում են ոչ բացասական իրական թվից սովորական թվաբանական արմատ։ Բանաձևը հեշտությամբ ստուգվում է  c+di քառակուսի բարձրացնելով։

Օրինակ՝ 3+4i-ից քառակուսի արմատի համար ստացվում է երկու արժեք․ 2+i;\; -2-i.

## Քառակուսի արմատը որպես [[Տարրական ֆունկցիաներ|տարրական ֆունկցիա]]
thumb|400px|<math>y=\sqrt x</math>Ֆունկցիայի գրաֆիկ
Քառակուսի արմատը տարրական ֆունկցիա է և  x^\alphaաստիճանային ֆունկցիայի \alpha=1/2 մասնավոր դեպքն է։   x>0դեպքում, հանրահաշվական քառակուսի արմատը հարթ ֆունկցիա է, 0-ում աջից անընդհատ է և չի դիֆերենցվում։ Երկարժեք ֆունկցիա է, որի ճյուղերը միանում են 0-ում։

## Քառակուսի արմատը [[տարրական երկրաչափությունում]]
Քառակուսի արմատը  սերտորեն կապված է տարրական երկրաչափության հետ։Դիցուք՝ տրված է 1 երկարությամբ հատված, ապա կարկինի և քանոնի օգնությամբ կարելի է կառուցել միայն ու միայն այն հատվածները, որոնց երկարությունները գրառվում են՝ ոչ ավելի, քան ամբողջ թիվ ,չորս թվաբանական գործողություն, և քառակուսի արմատ պարունկող արտահայտությամբ։

## Տես նաև
*Քառակուսի արմատի օր
*Հերոնի բանաձևը
*Քառակուսային հավասարում
*Արմատ(մաթեմատիկա)
*Խորանարդ արմատ

## Ծանոթագրություն

## Արտաքին հղումներ
* Алгоритмы вычисления квадратного корня
* A geometric view of the square root algorithm
* Соловьев Ю., Старый алгоритм 

Կատեգորիա:Տարրական ֆունկցիաներ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական գործողություններ
Կատեգորիա:Հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Տարրական հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Տարրական մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Ունար գործողություններ