Xʸ = yˣ հավասարում

մինի|<math>x^y=y^x</math> հավասարման գրաֆիկը
Թեև աստիճանի բարձրացումը տեղափոխական չէ, բայց x^y=y^x հավասարումը լուծում ունի որոշ (x,y) թվերի համար, օրինակ՝ x=2, y=4։

## Պատմություն
x^y=y^x հավասարումը հիշատակվել է Դանիել Բեռնուլիի՝ Քրիստիան Գոլդբախին ուղղված նամակում (29 հունիսի, 1728)։ Նամակում ասվում է, որ x\ne y դեպքում (2,4) զույգն այդ հավասարման լուծում հանդիսացող միակ բնական թվերն են, չնայած գոյություն ունեն ռացիոնալ թվերով բազմաթիվ լուծումներ։ Գոլդբախի պատասխան նամակում (31 հունվարի, 1729) ներկայացվել է հավասարման լուծումը, որն ստացվել է y=vx փոխարինմամբ։ Նմանատիպ լուծում է տվել Լեոնարդ Էյլերը։ Ի․ վան Հենգելը (J. van Hengel) նշել է, որ եթե r, n դրական ամբողջ թվեր են, r\geqslant 3 կամ n\geqslant 3, ապա r^{r+n} > (r+n)^{r}, այդպիսով՝ հավասարումը բնական թվերով լուծելու համար բավական է դիտարկել x = 1 և x = 2 դեպքերը։

Հավասարումը բազմիցս դիտարկվել է մաթեմատիկական գրականության մեջ։ 1960 թվականին այն ընդգրկվել է Պատնեմի անվան ուսանողական օլիմպիադայի առաջադրանքների ցանկում, ինչը Ա. Հաուսներին դրդել է ընդլայնել լուծումների թիվը հանրահաշվական թվերով։

## Լուծում իրական թվերով
Դրական իրական թվերով տրիվիալ լուծումների անսահման բազմությունը x=y հավասարման լուծումներն են։ Ոչ տրիվիալ լուծումներ կարելի է գտնել, եթե ընդունենք՝ x\ne y, y = vx։
Այդ դեպքում՝
: (vx)^x = x^{vx} = (x^v)^x։
Հավասարման երկու կողմերն էլ \tfrac{1}{x} աստիճան բարձրացնելու և հետո x-ի բաժանելու դեպքում ստանում ենք․
: v = x^{v-1}։
Այդ դեպքում դրական իրական թվերով ոչ տրիվիալ լուծումներն արտահայտվում են որպես
: x = v^{\frac{1}{v-1}},
: y = v^{\frac{v}{v-1}}։

Բնական թվերով 4^2=2^4 ոչ տրիվիալ լուծում կարելի է ստանալ, եթե v=2 կամ v=\tfrac{1}{2}։

### Լուծում Լամբերտի W ֆունկցիայի տերմիններով
y^x=x^y հավասարման լուծումը կարելի է արտահայտել Լամբերտի W(x) ոչ տարրական W ֆունկցիայով x փոփոխականով․

y^x=x^y\Longleftrightarrow y^\frac{1}{y}=x^\frac{1}{x}, կատարենք փոխարինում՝ x=\frac{1}{z}:

y^\frac{1}{y}=\biggl(\frac{1}{z}\biggr)^{1\div \frac{1}{z}}\Longleftrightarrow \biggl(\frac{1}{z}\biggr)^z=y^\frac{1}{y}\Longleftrightarrow z^{-z}=y^\frac{1}{y}\Longleftrightarrow z^z=y^{-\frac{1}{y}}

Այդ դեպքում z փոփոխականը կարելի է արտահայտել Լամբերտի W ֆունկցիայով․ z=e^{W\bigl(\ln\bigl(y^{-\frac{1}{y}}\bigr)\bigr)}

Վերջնական լուծումը կունենա հետևյալ տեսքը․ x=e^{-W\bigl(\ln\bigl(y^{-\frac{1}{y}}\bigr)\bigr)}

Մասնավորապես, հաշվի առնելով տվյալ ֆունկցիայի ոչ միանշանակությունը, e^{-\frac{1}{e}}\leqslant y^{-\frac{1}{y}} կամ e^{\frac{1}{e}}\leqslant y^{\frac{1}{y}} միջակայքում հավասարումը կունենա երկու արմատ՝ x_1,x_2։

Թե պարամետրերից որը (y կամ x) կլինի փոփոխական, ըստ էության կարևոր չէ, և հավասարումը կմնա նույնը։

Եթե x(կամ y) փոփոխականի դեպքում ճիշտ է y(կամ x)e^\frac{1}{e} անհավասարությունը, ապա իրական թվերի մեջ արմատներ չկան։

### Լուծում երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի տերմիններով
y^x=x^y հավասարումը y^{x}=bx^{n},\text{ }y,b=const հավասարման մասնավոր դեպք է, երբ b=1 և n=y։  Այս արժեքները տեղադրելով լուծման ընդհանուր բանաձևում, հեշտ է գտնել սկզբնական հավասարման լուծումը․

y^x=x^y\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=y\log_y\biggl({}^\frac{1}{2}\Bigl(y^{\pm \frac{1}{y\times \sqrt[y]{1}}}\Bigr)\biggr)^{-1}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=-y\log_y\biggl({}^\frac{1}{2}\Bigl(y^{\pm \frac{1}{y}}\Bigr)\biggr)

Այս լուծումը ավելի ամբողջական է, քանի որ այն թույլ է տալիս գտնել բացասական իրական արմատներ, եթե դրանք գոյություն ունեն (քանի որ լոգարիթմը, ի տարբերություն նախորդ լուծման աստիճանացույցների, կարող է զրոյից փոքր լինել)։ Երրորդ արմատի գոյությունը բացատրվում է զույգ y-ի դեպքում y^x=x^y և y^x=(-x)^y հավասարումների համարժեքությամբ, սակայն գործնականում գոյություն ունի առավելագույնը երկու վավեր արմատ (բանաձևի երրորդ արմատը պարտադիր է կողմնակի է) այն պատճառով, f(z)={}^\frac{1}{2}z երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի ֆունկցիան վերոնկարագրյալ  f(z)=z^z ֆունկցիայի հակադարձն է (f(z)={}^2z), որն արտահայտվում է Լամբերտի W ֆունկցիայի միջոցով, որն իր հերթին չի կարող ունենալ երկուսից ավելի վավեր արժեք։

Այս լուծումից բխում է նույնական հավասարում․  -y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})={\frac {1}(y^{-\frac {1}{y}})}}։ Դա հեշտ է ապացուցել՝ վերը նշված երկու լուծումները հավասարեցնելով միմյանց։

 -y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})={\frac {1}(y^{-\frac {1}{y}})}}\Longleftrightarrow {}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})=-\frac{1}{y}, ապա, ըստ լոգարիթմի և երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի հատկությունների․

 \log _{y}\biggl({}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})\biggr)^(y^{-\frac {1}{y}})}=-\frac{1}{y}\Longleftrightarrow \log_{y}(y^{-\frac{1}{y}})=-\frac{1}{y}։ Ապացուցված նույնությունը b=-y առավել ընդհանուր դեպքի մասնավորն է։

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
* 
* 
* 

Կատեգորիա:Մաթեմատիկական գլուխկոտրուկներ