Շրյոդինգերի պատկերացում

[thumb|225px|[Էրվին Շրյոդինգերը (1887 &ndash; 1961) 1933 թվականին Շրյոդինգերը Պոլ Դիրակի հետ համատեղ ֆիզիկայի Նոբելյան մրցանակ ստացավ քվանտային մեխանիկայում իր ներդրումների համար]]

**Շրյոդինգերի պատկերացում**, Շրյոդինգերի պատկեր, քվանտային մեխանիկայի ձևակերպում, որտեղ քվանտային վիճակի վեկտորը փոփոխվում է ժամանակի ընթացքում, բայց օպերատորները հաստատուն են մնում։ Սա տարբերվում է Հայզենբերգի ներկայացումից, որը վիճակը հաստատուն է պահում, մինչ *քվանտային դիտարկելին* (անգլ․ *observable*) փոփոխվում են ժամանակի ընթացքում, և փոխազդեցության ներկայացումից, որտեղ և վիճակը, և դիտարկելին փոփոխվում են ժամանակի ընթացքում։ Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի պատկերացումները կապված են ակտիվ և պասիվ ձևափոխությունների հետ և կոմուտացման առնչությունները օպերատորների միջև պահպանվում են մմի պատկերից մյուսին անցնելիս։

Շրյոդինգերի պատկերում համակարգի վիճակը զարգանում է ժամանակի ընթացքում։ Փակ քվանտային համակարգի զարգացումը տրվում է ունիտար օպերատորով՝ ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորով։ Քանի որ ժամանակի ձևավորում է |\psi(t_0)\rangle վիճակի վեկտոր *t*0պահին |\psi(t)\rangle վիճակի վեկտորին *t* պահին, ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը սովորաբար գրվում է U(t, t_0), և ունենք
:|\psi(t)\rangle = U(t, t_0) |\psi(t_0)\rangle.
Այն դեպքում, երբ համակարգի համիլտոնյանը չի փոխվում ժամանակի ընթացքում, ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը ունի
: U(t, t_0) = e^{-iH(t-t_0)/\hbar},
տեսքը, որտեղ էքսպոնենտը հաշվարկվում է Թեյլորի շարքի միջոցով։

Շրյոդինգերի պատկերացումն օգտակար է, երբ գործ ունենք ժամանակից անկախ համիլտոնյանի հետ *H*, այսինքն՝ \partial_t H=0 ։

## Հիմքը
Քվանտային մեխանիկայում քվանտամեխանիկական համակարգի վիճակը ներկայացվում է  կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիայով։ Ավելի աբստրակտ կերպով վիճակը կարող է ներկայացվել վիճակի վեկտորի տեսքով կամ փակագծային նշանակումներով (*բրե֊քիտ նշանակումներ*, անգլ․՝ *bra-ket notation*), | \psi \rangle։ Այս նշանակումը *[[Հիլբերտյան տարածություն|հիլբերտյան տարածության]]* տարր է՝ վեկտորական տարածություն, որը պարունակում է համակարգի բոլոր հնարավոր վիճակները։ Քվանտամեխանիկական օպերատորը ֆունկցիա է, որը որպես արգումենտ վերցնում է | \psi \rangle «քիտը» և ներկայացնում է այլ քիտ՝ | \psi' \rangle։

Քվանտային մեխանիկայի Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի ներկայացումների տարբերությունները գործ ունեն ժամանակի ընթացքում փոխվող համակարգերի հետ, համակարգի՝ ժամանակից կախված բնույթը *պետք է* տեղի ունենա վիճակի վեկտորների և օպերատորների որոշ կոմբինացիայով։ Օրինակ, քվանտային ներդաշնակ տատանակը կարող է լինել | \psi \rangle վիճակում, որի համար իմպուլսի սպասվող արժեքները՝ \langle \psi | \hat{p} | \psi \rangle, ժամանակի ընթացքում փոխվում են սինուսոիդով։ Կարելի է հարցնել, թե սինուսոիդալ տատանումը պետք է արտացոլվի | \psi \rangle վիճակի վեկտորով, \hat{p} իմպուլսի օպերատորով կամ թե երկուսն էլ։ Այս երեք ընտրություններն էլ ճիշտ են, առաջինը տալիս է Շրյոդինգերի պատկերացումը, երկրորդը՝ Հայզենբերգի պատկերացումը, երրորդը՝ փոխազդեցության պատկերացումը։

## Էվոլյուցիայի օպերատոր
### Սահմանում

*U*(*t*, *t*0) ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը սահմանվում է որպես մի օպերատոր, որն ազդում է «քիտի» վրա *t*0 պահին՝ ստանալու համար քիտը ժամանակի մի այլ *t* պահին․
: | \psi(t) \rangle = U(t,t_0) | \psi(t_0) \rangle.
Փակագծային նշանակումներով ունենք ունենք
: \langle \psi(t) | = \langle \psi(t_0) |U^{\dagger}(t,t_0).

### Հատկություններ
* *Ունիտարություն*

Ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը պետք է լինի ունիտար, քանի որ մենք պահանջ ենք դնում, որ վիճակի քիտի նորմը պետք է չփոխվի ժամանակի ընթացքում։ Այսինքն՝
: \langle \psi(t)| \psi(t) \rangle = \langle \psi(t_0)|U^{\dagger}(t,t_0)U(t,t_0)| \psi(t_0) \rangle  = \langle \psi(t_0) | \psi(t_0) \rangle։

Ուստի,
: U^{\dagger}(t,t_0)U(t,t_0)=I։

* *Նույնականություն*

Եթե *t*&nbsp;= *t*0, ապա *U*֊ն նույնական օպերատոր է, քանի որ
: | \psi(t_0) \rangle = U(t_0,t_0) | \psi(t_0) \rangle.

* *Փակում*

Էվոլյուցիան *t*0֊ից *t* կարելի է դիտարկել որպես երկու քայլանի ժամանակային էվոլյուցիա, սկզբում՝ *t*0֊ից *t*1 միջանկյալ վիճակին, և ապա՝ *t*1֊ից վերջնական *t* վիճակին։ Այսպիսով՝
:U(t,t_0) = U(t,t_1)U(t_1,t_0)։

### Դիֆերենցիալ հավասարումը ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորի համար
Ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորի *t*0 ինդեքսը կարելի է անտեսել, պայմանով, որ  և այն գրել որպես *U*(*t*)։ Շրյոդինգերի հավասարումը՝
: i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = H |\psi(t)\rangle,
որտեղ *H*֊ը համիլտոնյանն է։ Կիրառելով ժամանակի էվոլյուցիայի *U* օպերատորը՝ գրելու համար |\psi(t)\rangle = U(t) |\psi(0)\rangle, կունենանք
: i \hbar {\partial \over \partial t} U(t) | \psi (0) \rangle = H U(t)| \psi (0)\rangle։

Քանի որ |\psi(0)\rangle հաստատուն «քիտ» է («քիտ» վիճակը ֊ում) և քանի որ վերևի հավասարումը հիլբերտյան տարածությունում ճիշտ է ցանկացած հաստատուն «քիտի» համար, ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը պետք է ենթարկվի
: i \hbar {\partial \over \partial t} U(t) = H U(t)
հավասարմանը։
Եթե համիլտոնյանն անկախ է ժամանակից, վերևի հավասարման լուծումը կլինի
: U(t) = e^{-iHt / \hbar}։

Քանի որ *H*֊ը օպերատոր է, էքսպոնենցիալ արտահայտությունը կհաշվարկվի Թեյլորի շարքի միջոցով՝
: e^{-iHt / \hbar} = 1 - \frac{iHt}{\hbar} - \frac{1}{2}\left(\frac{Ht}{\hbar}\right)^2 + \cdots ։

Այսպիսով,
:| \psi(t) \rangle = e^{-iHt / \hbar} | \psi(0) \rangle։

Նշենք, որ |\psi(0)\rangle֊ն կամայական քիտ է։ Սակայն եթե սկզբնական «քիտը» համիլտոնյանի սեփական վիճակ է *E* սեփական արժեքով, կստանանք
:| \psi(t) \rangle = e^{-iEt / \hbar} | \psi(0) \rangle։

Այսպիսով տեսնում ենք, որ համիլտոնյանի սեփական վիճակները ստացիոնար վիճակներ են։

Եթե համիլտոնյանը կախված է ժամանակից, բայց տարբեր պահերին համիլտոնյանները կոմուտացվում են, ապա ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը կարելի է գրել որպես
: U(t) = \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t')\, dt'}\right),

Եթե համիլտոնյանը կախված է ժամանակից, բայց տարբեր պահերի համիլտոնյաները չեն կոմուտացվում, ապա ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը կարելի է գրել որպես
: U(t) = \mathrm{T}\exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t')\, dt'}\right),
որտեղ T֊ն ժամանակակարգավորված օպերատոր է, երբեմն հայտնի է Դայսոնի շարք անունով։

## Բոլոր պատկերացումների համեմատական աղյուսակ




## Տես նաև
* Հայզենբերգի պատկերացում
* Փոխազդեցության պատկերացում

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
* 
* Albert Messiah, 1966. *Quantum Mechanics* (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
* Merzbacher E., *Quantum Mechanics* (3rd ed., John Wiley 1998) p.&nbsp;430-1 ISBN 0-471-88702-1
*  Online copy
* R. Shankar (1994); *Principles of Quantum Mechanics*, Plenum Press, ISBN 978-0306447907 .
* J. J. Sakurai (1993); *Modern Quantum mechanics* (Revised Edition), ISBN 978-0201539295 .

Կատեգորիա:Քվանտային մեխանիկա