Պի (տառ)

**Պին** (հունարեն` πι), հունական այբուբենի տասնվեցերորդ տառն է։ Հունական այբուբենում թվային արժեքն է` 80։ Այդ տառից է առաջացել Կիրիլիցայի **П** տառը։

## Համագրություններ
*Հայկական` **Պ**
*Կիրիլիցայի` **П**
*Լատինական` **P**
*Թամիլական` **ப்**
*Վրացական` **პ**
*Եբրայական` **פּ**

## Նշանակումները
Պատկեր:Pi-unrolled-720.gif
Մեծ Π տառով՝
* Մաթեմատիկայում \textstyle\prod-ով արտահայտվում է արտադրիչների արտադրյալը, այնպես, ինչպես \textstyle\sum-ով՝ գումարը։

Փոքրատառ π-ով՝
* Մաթեմատիկական '''π''' ≈ 3.14159…, հաստատունը՝ շրջանագծի երկարության հարաբերությունը տրամագծին։
* \pi(x) ֆունկցիան x-ին չգերազանցող պարզ թվերի քանակն է։.
* պի-մեզոն տարրական մասնիկը
 π թվի հաշվարկման համար շատ մանաձևեր կան
### Հարաբերություններ
Հայտնի են  \pi թվի կիրառման շատ տարբերակներ՝

* Վիետի ֆորմուլան π թվի համար՝
:: \frac2\pi=
\frac{\sqrt{2}}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots
: pi  թվի կիրառմումը գործողությունների մեջ՝ \sin(2\cdot\theta)=2\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta, որի արդյունքում ստացվում է՝
:: \phi\cdot \cos\tfrac\phi2\cdot\cos\tfrac\phi4\cdots = \sin \phi
:մնում է ավելացնել \phi=\tfrac\pi2ր և կիրառել կրկնակի կոսինուսի բանաձևը՝
* Վալիսի բանաձև։
:: \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
* Լայբնիցի շարք՝
:: \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
* այլ շարքեր՝
:: \begin{align}
\pi &= \tfrac12\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} + \tfrac4{8k+4} - \tfrac1{8k+7}\right)
 \\ &= \tfrac14\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+1} + \tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} - \tfrac2{8k+5} - \tfrac2{8k+6} - \tfrac1{8k+7}\right)
 \\ &= \;\;\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac{(-1)^k}{4^k}\left(\tfrac2{4k+1} + \tfrac2{4k+2} + \tfrac1{4k+3}\right)
\end{align}

::  \pi=2 \sqrt{3} \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\, 3^k \, (2k+1)}
* բազմակի շարքեր՝
:: \pi=8\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(4m-2)^{2k}}=4\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{m^2-k^2}{(m^2+k^2)^2}=\sqrt[4\,\,]{360 \sum \limits_{k=1}^{\infty}\sum \limits_{m=1}^k\frac{1}{m(k+1)^3}}
* Սահմաններ՝
:: \pi=\lim \limits_{m\rightarrow \infty }{\frac { (m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[ (2m )! \right] ^{2}\,m}}
:: \pi= \sqrt{\frac{6}{\lim \limits_{n\to\infty}\prod \limits_{k=1 \atop p_k \in \mathbf{P}}^{n}\,\left ( 1-\frac{1}{p_{k}^2}\right ) }}\quad \to   здесь  p_k  — простые числа
:: \pi=\lim_{n\to\infty} 2^n\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}}, որտեղ n հավասար է արտահայտության արմատին։

* Էյլեր (համընդհանուր անալիզ)՝
:: e^{i \pi} + 1 = 0\;
*  Հաստատուն մեծությունների այլ կապերի՝
:: \frac{\pi}{e}=2 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left (\frac{2k+1}{2k-1} \right )^{2k-1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k} 
:: \pi \cdot e = 6 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left ( \frac{2k+3}{2k+1}\right )^{2k+1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}
*  Պուասոնի ինտեգրալ կամ  Գաուսի ինտեգրալ՝
:: \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}
:: \int\limits_{0}^{\infty} \frac{Br(x)}{\displaystyle e^{Br^4(x)}}dx=\sqrt{\pi},, որտեղ Br(x) — Բրինգի արմատն է։

* Ինտեգրալային սինուս`
:: \int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\pi 

* Արտահայտություն երկխոսության միջոցով`
:: \pi=\sqrt{6\ln^2 2+12\ \operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)}

* անկախ ինտեգրալով՝
:: \int\limits_{0}^{+\infty}{\frac{dx}{(x+1)\sqrt x}}=\pi

## Տես նաև
*Հունարենի այբուբեն

## Ծանոթագրություններ