Ռոտոր (դիֆերենցման օպերատոր)

**Ռոտոր**, վեկտորական դաշտի վրա կիրառվող վեկտորական դիֆերենցման օպերատոր։

Նշանակվում է տարբեր կերպ, օրինակ՝

* \operatorname{rot} (ռուսական գրականության մեջ),
* \operatorname{curl} (անգլալեզու գրականության մեջ,առաջարկվել է Մաքսվելի կողմից),
* որպես նաբլա օպերատորի և վեկտորական դաշտի վեկտորական արտադրյալ՝ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F}: Այս օպերատորի ազդեցությունը կոնկրետ **F** վեկտորական դաշտի վրա անվանում են **F** դաշտի ռոտոր և իրենից ներկայացնում է նոր վեկտորական դաշտ
: \operatorname{rot}\,\mathbf F\equiv\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F}:

## Մաթեմատիկական բացատրություն
\mathbf a վեկտորական դաշտի \operatorname{rot}\, \mathbf a, որի պրոյեկցիա \operatorname{rot} _ \mathbf n \mathbf a-ն յուրաքանչյուր **n** ուղղությամբ իրենից ներկայացնում է *L* կոնտուրով վեկտորական դաշտի շրջապտույտ։

*L*-ը ΔS հարթ մակերևույթի սահմանն է։

Պրոյեկցիայի համար ճիշտ է հետևյալ բանաձևը՝
: \operatorname{rot} _ \mathbf n \mathbf a=\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\oint\limits_{L}\mathbf{ a\cdot \, dr}}{\Delta S}:

Պտույտի ուղղությունը վերցվում է այնպես, որ եթե նայենք \mathbf n-ի ուղղությամբ, *L*-ը շրջանցվում է ժամսլաքի  ուղղությամբ։  Եռաչափ դեկարտյան կոորդինատների համակարգում ռոտորը որոշվում է հետևյալ կերպ՝

\operatorname{rot}\;(F_x \mathbf e_x + F_y\, \mathbf e_y + F_z \mathbf e_z) =

=
\left( \partial_y F_z - \partial_z F_y \right) \mathbf e_x+
\left( \partial_z F_x - \partial_x F_z \right) \mathbf e_y+
\left( \partial_x F_y - \partial_y F_x \right) \mathbf e_z \equiv

\equiv \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf e_x+
\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf e_y+
\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf e_z  կամ

(\operatorname{rot}\;\mathbf F)_x = \partial_y F_z - \partial_z F_y \equiv
\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}

(\operatorname{rot}\;\mathbf F)_y = \partial_z F_x - \partial_x F_z \equiv 
\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}

(\operatorname{rot}\;\mathbf F)_z = \partial_x F_y - \partial_y F_x \equiv
\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}

Այստեղ **F**-ը F_x, F_y, F_z դեկարտյան կոմպոնենտներով վեկտորական դաշտ է, իսկ \mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z-ն դեկարտյան կոորդինատների օրթերն են։
Հարմարության համար կարելի է գրել՝
: \operatorname{rot}\; \mathbf{F} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x} \\  \\
\frac{\partial}{\partial y} \\  \\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix} \times \mathbf F = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\  \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
 \\  F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}:

### Կապված բացատրություն
Այն վեկտորական դաշտը, որի ռոտորը հավասար է զրոյի համարվում է պոտենցիալային։

### Ընդհանրացում
Ռոտոր օպերատորի ընդհանարացումը ունի հետևյալ տեսքը՝
: (\operatorname{rot}\;\mathbf F)_{12} =
\left(\frac{\partial F_2}{\partial x_1} - \frac{\partial F_1}{\partial x_2}\right)
: (\operatorname{rot}\;\mathbf F)_{13} =
\left(\frac{\partial F_3}{\partial x_1} - \frac{\partial F_1}{\partial x_3}\right)
: (\operatorname{rot}\;\mathbf F)_{23} =
\left(\frac{\partial F_3}{\partial x_2} - \frac{\partial F_2}{\partial x_3}\right)
...

կամ
: (\operatorname{rot}\;\mathbf F)_{mn} = \partial_m F_n - \partial_n F_m \equiv
\frac{\partial F_n}{\partial x_m} - \frac{\partial F_m}{\partial x_n}
*m*-ը և *n*-ը ընդունում են 1-ից մինչև դաշտի չափայնություն արժեքները։

Վերջինը կարելի է գրել՝
: \operatorname{rot}\;\mathbf F = \nabla \wedge \mathbf F
* Ռոտորը 2 վալենտականությամբ անտիսիմետրիկ թենզորային դաշտ է։

## Հիմնական հատկություններ

### Հատկությունները անմիջապես ստացվում են դիֆերենցման սովորական կանոններից
* Գծայնություն՝
: \operatorname{rot}\;( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\operatorname{rot} ~\mathbf{F} + b\;\operatorname{rot} ~\mathbf{G}  
ցանկացած **F** և **G** դաշտերի համար և ցանկացած *a*  և *b* հաստատունների համար։
* Եթե \varphi -ը սկալյար դաշտ է, իսկ **F**-ը՝ վեկտորական՝
: \operatorname{rot} ~\varphi \mathbf{F} 
= \operatorname{grad} ~\varphi ~\times \mathbf{F} 
+ \varphi \;\operatorname{rot} ~\mathbf{F}, 
կամ
: \nabla\times(\varphi \mathbf{F}) 
= (\nabla\varphi) \times \mathbf{F} 
+ \varphi \;(\nabla\times\mathbf{F}) :
* Ռոտորի դիվերգենցիան հավասար է զրոյի՝
: \operatorname{div} ~\operatorname{rot} ~\mathbf{F} = 0  կամ \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0Ճիշտ է նաև հակառակը՝

\operatorname{div} ~\mathbf{F} = 0 \Rightarrow \mathbf{F} = \operatorname{rot} ~\mathbf{G}:
* Եթե **F**-ը պոտենցիալային դաշտ է, ապա նրա ռոտորը հավասար է զրոյի՝
: \mathbf{F} = \operatorname{grad}~\varphi \Rightarrow \operatorname{rot} ~\mathbf{F} = 0: Ճիշտ է նաև հակառակը՝

\operatorname{rot} ~\mathbf{F} = 0 \Rightarrow \mathbf{F} = \operatorname{grad}~\varphi:
* Ռոտորի ռոտորի հավասար է դիվերգենցիայի գրադիենտին հանած լապլասիան՝
: \operatorname{rot} ~\operatorname{rot} ~\mathbf{F} = \operatorname{grad} ~\operatorname{div} ~\mathbf{F} - \Delta\mathbf{F}

### Ստոքսի թեորեմ
Ինչ-որ մակերևույթի սահման հանդիսացող փակ կոնտուրով ցիրկուլյացիան հավասար է այդ մակերևույթով այդ վեկտորի հոսքի ռոտորին։
: \oint\limits_{\partial S}\mathbf{F} \cdot\,\mathbf{dl} = 
\int\limits_S (\operatorname{rot} ~\mathbf{F}) \cdot \,\mathbf{dS}: Ստոքսի թերոեմի մասնավոր դեպք է համարվում Գրինի թեորեմը։

## Ռոտորը կորագիծ կոորդինատներով
### Ընդհանուր դեպք
: (\mathrm{rot}\ \mathbf v)_i = \varepsilon_{ijk}g^{jm}\frac{\partial}{\partial x^m} v^kև

: (\mathrm{rot}\ \mathbf v)^n = g^{ni}\varepsilon_{ijk}g^{jm}\frac{\partial}{\partial x^m} v^k:

### Օրթոգոնալ կորագիծ կոորդինատների դեպքը
: \operatorname{rot}\;\mathbf{A} = \operatorname{rot}\;(\mathbf{q_1}A_1 + \mathbf{q_2}A_2 + \mathbf{q_3}A_3) = 
::  = \frac{1}{H_2H_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_2}(A_3H_3) - \frac{\partial}{\partial q_3}(A_2H_2)\right]\mathbf{q_1}\ + 
::  +\ \frac{1}{H_3H_1}\left[\frac{\partial}{\partial q_3}(A_1H_1) - \frac{\partial}{\partial q_1}(A_3H_3)\right]\mathbf{q_2}\ + 
::  +\ \frac{1}{H_1H_2}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(A_2H_2) - \frac{\partial}{\partial q_2}(A_1H_1)\right]\mathbf{q_3}, 
որտեղ Hi-ն Լամեի գործակիցն է։

## Օրինակներ
Դիտարկենք հետևյալ վեկտորական դաշտը՝
: F(x,y)=-x^2 \mathbf e_y: Գրաֆիկի տեսքը հետևյալն է՝  կենտրոն|մինի
: Կիրառելով ռոտոր օպերատորը, կստացի՝

: \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} =
0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y + {\frac{\partial}{\partial x}}(-x^2) \mathbf e_z =
-2x \mathbf e_z

Քանի որ ռոտորը յուրաքանչյուր կետում նույնը չէ, գրաֆիկը կստացվի հետևյալ կերպ՝
կենտրոն|մինի|x=0 հարթությամբ F-ի ռոտորը:

### Ընդհանուր օրինակներ
Դիտարկենք **∇ <big>×</big>** [ **v** × **F** ] օրինակը։ Օգտագործելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգը, կարելի է ցույց տալ, որ՝
:: \mathbf{ \nabla \times} \left( \mathbf{v \times F} \right) = \left[ \left( \mathbf{ \nabla \cdot F } \right) + \mathbf{F \cdot \nabla} \right] \mathbf{v}- \left[ \left( \mathbf{ \nabla \cdot v } \right) + \mathbf{v \cdot \nabla} \right] \mathbf{F} \ . 
Եթե **v**-ն և **∇**-ն փոխենք տեղերով, կստացվի՝
::  \mathbf{v \  \times } \left( \mathbf{ \nabla \times F} \right) =\nabla_F \left( \mathbf{v \cdot F } \right) - \left( \mathbf{v \cdot \nabla } \right) \mathbf{ F} \ , 
որը համարվում է ֆեյմանյան գրառում՝ **∇**F ներքին ինդեքսով։ Այն նշանակում է, որ **F** ինդեքսով գրադիենտը վերաբերվում է միայն **F**-ին։  Այլ օրինակ՝

**∇ <big>×</big>** [ **∇** × **F** ]:

Կիրառելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ, կարելի է գրել՝
::  \nabla \times \left( \mathbf{\nabla \times F} \right) = \mathbf{\nabla} (\mathbf{\nabla \cdot F}) - \nabla^2 \mathbf{F}  \ , 
որը կարելի է համարել առաջին օրինակի մասնակի դեպքը, երբ **v** → **∇**:

## Տես նաև
* Վեկտորական անալիզի բանաձևեր

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ

* The idea of curl of a vector field
* Curl BetterExplained

Կատեգորիա:Դիֆերենցիալ հաշիվ
Կատեգորիա:Վեկտորական անալիզ
Կատեգորիա:Վերլուծական երկրաչափություն