Առաջին գնի փակ գնով աճուրդ

**Առաջին գնով կնքված առաջարկի աճուրդը (FPSBA)** աճուրդի տարածված տեսակ է։ Այն նաև հայտնի է որպես **կույր աճուրդ**: Այս տեսակի աճուրդի դեպքում բոլոր մասնակիցները միաժամանակ ներկայացնում են կնքված առաջարկներ, որպեսզի ոչ մի մասնակից չիմանա որևէ այլ մասնակցի առաջարկի մասին։ Ամենաբարձր գին առաջարկողը վճարում է ներկայացված գինը։

## Ռազմավարական վերլուծություն
FPSBA-ում յուրաքանչյուր գնորդ բնութագրվում է վաճառքի հանված իրի դրամական գնահատմամբ։

Ենթադրենք՝ Ալիսը գնորդ է, և նրա գնահատականը կազմում է a։ Ապա, եթե Ալիսը ռացիոնալ է, ապա՝

* Նա երբեք ավելին չի առաջարկի, քան a, քանի որ առաջարկներ են արվում ավելի քան a կարող է միայն նրան ստիպել կորցնել զուտ արժեքը։
* Եթե նա ճիշտ առաջարկ է անում a, ապա նա չի կորցնի, բայց նաև չի ստանա որևէ դրական արժեք։
* Եթե նա առաջարկի ավելի քիչ, քան a, ապա նա *կարող է* որոշակի դրական շահույթ ունենալ, բայց ճշգրիտ շահույթը կախված է մյուսների առաջարկներից։

Ալիսը կցանկանար առաջարկել ամենափոքր գումարը, որը կարող է նրան շահել իրը, եթե այդ գումարը փոքր է a։  Օրինակ, եթե կա մեկ այլ առաջարկող Բոբ, և նա առաջարկ է անում y և y, ապա Ալիսը կցանկանա առաջարկ անել y+\varepsilon (որտեղ \varepsilon ամենափոքր գումարն է, որը կարող է ավելացվել, օրինակ՝ մեկ ցենտ):

Դժբախտաբար, Ալիսը չգիտի, թե ինչ են առաջարկելու մյուս առաջարկողները։ Ավելին, նա նույնիսկ չգիտի մյուս գնորդների գնահատականները։ Հետևաբար, ռազմավարական առումով մենք ունենք Բայեսյան խաղ ՝ խաղ, որտեղ գործակալները չգիտեն մյուս գործակալների շահույթները։

Նման խաղի հետաքրքիր մարտահրավերը Բայեսյան Նեշի հավասարակշռություն գտնելն է։ Սակայն սա հեշտ չէ, նույնիսկ երբ կան ընդամենը երկու մասնակից։ Իրավիճակն ավելի պարզ է, երբ առաջարկողների գնահատականները անկախ և նույնականորեն բաշխված պատահական փոփոխականներ են, այնպես որ գնահատականները բոլորը վերցված են հայտնի նախնական բաշխումից։

### Օրինակ
Ենթադրենք, որ կան երկու գնորդներ՝ Ալիսը և Բոբը, որոնց գնահատականները a և b վերցված են [0,1] միջակայքում անընդհատ միատարր բաշխումից։ Այնուհետև սա Բայեսյան-Նեշի հավասարակշռություն է, երբ յուրաքանչյուր առաջարկող առաջարկում է իր արժեքի ճիշտ կեսը. Ալիսը առաջարկում է a/2 և Բոբը առաջարկում է b/2։

ԱՊԱՑՈՒՅՑ՝ Ապացույցը հիմնված է Ալիսի տեսանկյունից։ Մենք ենթադրում ենք, որ նա գիտի, որ Բոբը առաջարկ է անում f(b) = b/2, բայց նա չգիտի b։ Մենք գտնում ենք Ալիսի լավագույն արձագանքը Բոբի ռազմավարությանը։ Ենթադրենք՝ Ալիսը գին է առաջարկում x։ Կան երկու դեպք.

* x\geq f(b)․ Այնուհետև Ալիսը հաղթում է և վայելում զուտ շահույթ՝ a-x։ Սա տեղի է ունենում հավանականության դեպքում f^{-1}(x)=2x։
* x. Այնուհետև Ալիսը պարտվում է, և նրա զուտ շահույթը 0 է։ Սա տեղի է ունենում հավանականության դեպքում 1-f^{-1}(x)։

Ամփոփելով՝ Ալիսի սպասվող շահույթը հետևյալն է. G(x) = f^{-1}(x)\cdot(a-x) . Առավելագույն շահույթը ստացվում է, երբ G'(x)=0 . Ածանցյալը (տե՛ս Հակադարձ ֆունկցիաներ և դիֆերենցիացիա ) է):
:G'(x) = - f^{-1}(x) + (a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}
և այն զրո է, երբ Ալիսի առաջարկը x բավարարում է.
:f^{-1}(x) = (a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}
Հիմա, քանի որ մենք փնտրում ենք սիմետրիկ հավասարակշռություն, մեզ նաև պետք է Ալիսի առաջարկը x հավասարվել f(a). Այսպիսով, մենք ունենք՝
:f^{-1}(f(a)) = (a-f(a))\cdot {1 \over f'(f^{-1}(f(a)))}
:a = (a-f(a))\cdot {1 \over f'(a)}
:a f'(a) = (a-f(a))
Այս դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը հետևյալն է. f(a) = a/2։

### Ընդհանրացում
Նշեք հետևյալ կերպ՝

* v_i - առաջարկողի գնահատումը i,
* y_i - բոլոր մասնակիցների առավելագույն գնահատականը, բացառությամբ i, այսինքն՝ y_i = \max_{j\neq i}{v_j}

Այնուհետև, FPSBA-ն ունի եզակի սիմետրիկ BNE, որում խաղացողի առաջարկը i

i տրված է՝
::E[y_i | y_i 

## Խթանի հետ համատեղելի տարբերակ
FPSBA-ն խրախուսանքի հետ համատեղելի չէ նույնիսկ Բայեսյան-Նեշի խթանման համատեղելիության (BNIC) թույլ իմաստով, քանի որ չկա Բայեսյան-Նեշի հավասարակշռություն, որի դեպքում առաջարկողները հայտնում են իրենց իրական արժեքը։

Այնուամենայնիվ, հեշտ է ստեղծել FPSBA-ի տարբերակ, որը BNIC է, եթե գնահատումների վերաբերյալ նախնական տվյալները հանրաճանաչ են։ Օրինակ, վերը նկարագրված Ալիսի և Բոբի դեպքում BNIC տարբերակի կանոնները հետևյալն են.

* Ամենաբարձր գին առաջարկողն է հաղթում։
* Ամենաբարձր գին առաջարկողը վճարում է իր գնի 1/2-ը։

Փաստորեն, այս տարբերակը մոդելավորում է խաղացողների Բայեսյան-Նեշի հավասարակշռության ռազմավարությունները, ուստի Բայեսյան-Նեշի հավասարակշռության դեպքում երկու առաջարկողներն էլ առաջարկում են իրենց իրական արժեքը։

Այս օրինակը շատ ավելի ընդհանուր սկզբունքի՝ հայտնության սկզբունքի, մասնավոր դեպք է։

## Համեմատություն երկրորդ գնի աճուրդի հետ

Հետևյալ աղյուսակը համեմատում է FPSBA-ն փակ հայտով երկրորդ գնի աճուրդի (SPSBA) հետ։

Աճուրդավարողի եկամուտը հաշվարկվում է օրինակելի դեպքում, որտեղ գործակալների գնահատումները կազմվում են անկախ և միատեսակ՝ պատահականորեն՝ [0,1]-ից։ Օրինակ, երբ կան n=2 գործակալներ՝

* Առաջին գնի աճուրդում աճուրդավարը ստանում է երկու հավասարակշռության առաջարկներից առավելագույնը, որը կազմում է \max(a/2,b/2)։
* Երկրորդ գնային աճուրդում աճուրդավարը ստանում է երկու ճշմարիտ առաջարկներից նվազագույնը, որը կազմում է \min(a,b)։

Երկու դեպքում էլ աճուրդավարի *սպասվող* եկամուտը կազմում է 1/3-ը։

Այն փաստը, որ եկամուտը նույնն է, պատահականություն չէ՝ դա եկամտի համարժեքության թեորեմի մասնավոր դեպք է։ Սա ճիշտ է միայն այն դեպքում, երբ գործակալների գնահատականները վիճակագրորեն անկախ են, երբ գնահատականները կախված են, մենք ունենք ընդհանուր արժեքի աճուրդ, և այս դեպքում երկրորդ գնի աճուրդի եկամուտը սովորաբար ավելի բարձր է, քան առաջին գնի աճուրդի դեպքում։

Վաճառվող ապրանքը չի կարող վաճառվել, եթե վերջնական առաջարկը բավարար չէ վաճառողին բավարարելու համար, այսինքն՝ վաճառողն իրավունք ունի ընդունել կամ մերժել ամենաբարձր առաջարկը։ Եթե վաճառողը հայտարարում է գնորդներին նախնական գինը, դա հանրային նախնական գնի աճուրդ է։  Ի հակադրություն, եթե վաճառողը չի հայտարարում նախնական գինը վաճառքից առաջ, այլ միայն վաճառքից հետո, դա գաղտնի նախնական գնի աճուրդ է։

## Համեմատություն այլ աճուրդների հետ
FPSBA-ն տարբերվում է անգլիական աճուրդից նրանով, որ մասնակիցները կարող են ներկայացնել միայն մեկ գնանշում։ Ավելին, քանի որ առաջարկ ներկայացնողները չեն կարող տեսնել մյուս մասնակիցների առաջարկները, նրանք չեն կարող համապատասխանաբար ճշգրտել իրենց սեփական առաջարկները։

FPSBA-ն համարվում է ռազմավարական առումով համարժեք հոլանդական աճուրդին։

Այն, ինչն իրականում FPSBA է, սովորաբար կոչվում է մրցույթներ ընկերությունների և կազմակերպությունների կողմից գնումների համար, մասնավորապես՝ պետական պայմանագրերի և հանքարդյունաբերական վարձակալության աճուրդների համար։ Ենթադրվում է, որ FPSBA-ները հանգեցնում են ցածր գնումների ծախսերի՝ մրցակցության միջոցով, և ցածր կոռուպցիայի՝ թափանցիկության բարձրացման միջոցով, նույնիսկ եթե դրանք կարող են ենթադրել ավարտված նախագծի ավելի բարձր լրացուցիչ ծախսեր և լրացուցիչ ժամանակ այն ավարտելու համար:

Ընդհանրացված առաջին գնի աճուրդը հովանավորվող որոնման ոչ ճշմարիտ աճուրդի մեխանիզմ է (հայտնի է նաև որպես դիրքային աճուրդ):

Առաջին և երկրորդ գների աճուրդների ընդհանրացումը այն աճուրդն է, որի դեպքում գինը առաջին և երկրորդ գների որոշ ուռուցիկ համադրություն է։

## Ծանոթագրություն

## Լրացուցիչ ընթերցանություն
*  Combinatorial auctions for transportation services procurement with first-price sealed-bid rules.

## Արտաքին հղումներ
* Նեշի հավասարակշռությունը առաջին գնի աճուրդում - math.stackexchange.com կայքում։

Կատեգորիա:Խաղերի տեսություն