Բնական թիվ

աջից|մինի| Բնական թվերը կարելի է օգտագործել հաշվելու համար
**Բնական թվեր** (   «բնական»), թվեր, որոնք օգտագործվում են առարկաներ հաշվելու համար (օրինակ՝ 1, 2, 3, 4,… ): Աճման կարգով բոլոր բնական թվերի հաջորդականությունը կոչվում է **բնական շարք**  :
Այն թվերը, որոնցով կարելի է առարկաներ հաշվել կոչվում են **բնական թվեր**։

Բնական թվերի բազմությունն անվերջ է, քանի որ ցանկացած բնական n թվի համար կա ավելի մեծ թիվ։ Բացասական և ոչ ամբողջ թվերը բնական չեն համարվում։

Բնական թվերի և դրանց հետ գործողությունների հատկությունները ուսումնասիրում են թվաբանությունն ու (ավելի խորությամբ) թվերի տեսությունը։

## Զրոն
Բնական թվերի սահմանման երկու մոտեցում կա.

* Թվեր, որոնք ծագում են օբյեկտները համարակալելիս. *առաջին*, *երկրորդ*, *երրորդ*, *չորրորդ*, *հինգերորդ* ...; 
* Առարկաների քանակը ցույց տվող թվեր․ *0 առարկա*, *1 առարկա*, *2 առարկա*, *3 առարկա,*  *4 առարկա*, *5 առարկա*…

Առաջին դեպքում բնական թվերի շարքը սկսվում է մեկից, երկրորդում՝ զրոյից։ Չկա հստակ կարծիք, թե որ մոտեցումն է ճիշտ (այսինքն ՝ զրոն բնական թիվ է, թե ոչ)։ Ռուսական աղբյուրների ճնշող մեծամասնությունը ավանդաբար որդեգրել է առաջին մոտեցումը։ Երկրորդ մոտեցումը, օրինակ, կիրառվում է Նիկոլա Բորբակիի աշխատություններում։

Բոլոր բնական համարների բազմությունը սովորաբար նշվում է \mathbb{N} նշանով։ ISO 31-11 (1992) և ISO 80000-2 (2009) միջազգային ստանդարտները սահմանում են հետևյալ խորհրդանիշները ․

* \mathbb{N} - բնական թվեր, ներառյալ զրո։ \{0,1,2,3,4\dots\} ... 
* \mathbb{N^*} - բնական թվեր առանց զրոյի. \{1,2,3,4\dots\} ...

Ռուսական աղբյուրներում այս ստանդարտները դեռևս չեն պահպանվում, դրանցում \mathbb{N}–ով նշում է բնական թվերը առանց զրոյի, իսկ բնական թվերը ներառյալ զրոն նշվում են \mathbb{N}_0, \mathbb{Z}_+, \Z_{\geqslant 0} և այլն։

## Գործողություններ բնական թվերով
Փակ գործողություններին (գործողություններ, որոնց արդյունքը նույնպես պատկանում է բնական թվերի բազմությանը) պատկանում են հետևյալ գործողությունները․

* **[[գումարում]]** ՝ գումարելի + գումարելի = գումար; 
* **[[բազմապատկում]]** . արտադրիչ × արտադրիչ = արտադրյալ; 
* **[[Աստիճան (հանրահաշիվ)|աստիճան բարձրացում]]** . a^b , որտեղ a–ն   հիմքն է, b –ն՝ ցուցիչը։ Եթե a–ն և b–ն բնական թվեր են, ապա արդյունքը նույնպես կլինի բնական թիվ։

Հավելյալ դիտարկվում են ևս երկու գործողություններ (պաշտոնապես չեն համարվում գործողություններ բնական թվերի հետ, քանի որ չեն կարող կատարվել **բոլոր** թվային զույգերի հետ)։

* **[[հանում]]** . նվազելի - հանելի = տարբերություն։ Այս դեպքում նվազելին պետք է լինի ավելի մեծ, քան հանելին (կամ հավասար լինի դրան, եթե զրոն համարվում է բնական թիվ); 
* **[[Մնացորդով բաժանում|բաժանում մնացորդով]]** . բաժանելի / բաժանարար = (քանորդ, մնացորդ)։  a–ն b–ի վրա բաժանումից ստացված  p քանորդն ու r մնացորդը սահմանվում են հետևյալ կերպ. a = p \cdot b + r, երբ 0 \leqslant r  ... Պետք է հաշվի առնել, վերջին պայմանի հետևանքով արգելվում է զրոյի վրա բաժանումը, քանի որ հակառակ դեպքում a կարող է ներկայացվել որպես a = p \cdot 0 + a, այսինքն ՝ ցանկացած թիվ կարող է համարվել քանորդ, իսկ a–ն մնացորդ։

Պետք է նշել, որ հիմնական գործողություններն են գումարումը և բազմապատկումը։

### Հիմնական հատկությունները
*<u>Տեղափոխական օրենք</u>*

*  Գումարելիների տեղափոխումից գումարը չի փոխվում․

: a + b = b + a 

* Արտադրիչների տեղափոխումից արտադրյալը չի փոխվում․

: a \cdot b = b \cdot a

*<u>Զուգորդական օրենք</u>*

* Մի քանի թիվ գումարելիս կարելի է ընտրել ավելի հարմար հերթականություն․

: (a + b) + c = a + (b + c)

* Մի քանի թիվ բազմապատկելիս կարելի է ընտրել ավելի հարմար հերթականություն․

: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

*<u>Բաշխական օրենք</u>*

* Գումարը թվով բազմապատկելու համար կարելի է այդ թվով բազմապատկել յուրաքանչյուր գումարելին և ստացված արտադրյալները գումարել․

: \begin{cases} a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \\ (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a \end{cases}

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Ամբողջ թվեր
Կատեգորիա:Թվերի տեսություն
Կատեգորիա:Տարրական մաթեմատիկա