Ածանցման կանոններ

Այս հոդվածում ներկայացված է մաթեմատիկական անալիզում ֆունկցիայի **ածանցման հիմնական կանոնները**։

## Ածանցման տարրական կանոններ
Եթե հատուկ նշված չէ, ապա ցանկի ֆունկցիաները համարվում են իրական փոփոխականով և իրական արժեքով ֆունկցիաները, չնայած, ընդհանուր առամաբ այս բանաձևերը ճիշտ են, եթե այդ կետերում ֆունկցիաները լավ սահմանված են՝ ներառյալ կոմպլեքս թվերի դեպքում։

### Ածանցումը գծային է
Կամայական f և g ֆունկցիաների և a և b իրական թվերի համար h(x) = af(x) + bg(x) ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ x-ի հավասար է՝

: h'(x) = a f'(x) + b g'(x)\text{։}

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

: \frac{d(af+bg)}{dx}  = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}\text{։}

Մասնավոր դեպքեր․

* *Հաստատում արտադրիչի կանոն՝*
:(af)' = af' 
* *Գումարման կանոն՝*
:(f + g)' = f' + g'
* Հանման կանոն՝
:(f - g)' = f' - g'.

### Բազմապատկման կանոն
Կամայական *f* և *g* ֆունկցիաների համար *h*(*x*) = *f*(*x*) *g*(*x*) ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ *x*-ի հավասար է՝
: h'(x) = (fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)\text{։}
Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝
:\frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx} g + f \frac{dg}{dx}.

### Բարդ ֆունկցիայի ածանցման կանոն

h(x) = f(g(x)) ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է՝

: h'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)\text{։}

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

:\frac{d}{dx}h(x) = \frac{d}{dz}f(z)|_{z=g(x)}\cdot \frac{d}{dx}g(x),

որը հաճախ կրճատ գրվում է որպես

:\frac{dh(x)}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)}\cdot \frac{dg(x)}{dx}\text{։}

Դիֆերենցումը որպես \text{D} արտապատկերում դիտարկելու դեպքում բանաձևը հնարավոր է ներկայացնել ավելի պարզ տեսքով՝

: [\text{D} (h\circ g)]_x = [\text{D} h]_{g(x)} \cdot [\text{D}g]_x\,\text{։}

### Հակադարձ ֆունկցիայի օրենք
Եթե  ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան -ն է, այսինքն՝ g(f(x))=x և f(g(y))=y, ապա

:g' = \frac{1}{f'\circ g}\text{։}

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝
: \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}\text{։}

## Աստիճանի կանոններ, բազմանդամներ, քանորդներ և հակադարձի կանոն
### Բազմանդամի ածանցիալ

Եթեf(x) = x^r, որտեղ r \neq 0, ապա 
:f'(x) = rx^{r-1}\text{։}

Երբ r = 1, սա ապա f(x) = x, հետևաբար՝ f'(x) = 1։

Այս, գումարման և հաստատունով բազմապատկման կանոնի միջոցով հնարավոր է հաշվել կամայական բազմանդամի ածանցիալ։

### Հակադարձ ֆունկցիայի կանոն
Կամայական չանհետացող **' ֆունցիայի դեպքում <math>h(x)=\frac{1}{f(x)}</math> ֆունցկայի ածանցյալն է՝

:<math> h'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}</math> որտեղ **'-ը զրոյական չէ։

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

: \frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}\text{։}

Հակադարձ ֆունկցիայի կանոնը կարելի է ստանալ կամ քանորդի կանոնից կամ աստիճանի կանոնի և բարդ ֆունկցիայի կանոնի համադրությամբ։

### Քանորդների կանոն
Եթե **' և **' ֆունկցիաների համար
:\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad որտեղ **'-ը զրոյական չէ։

Սա կարելի է ստանալ բազմապատկման և հակադարձ ֆունկցիաների կանոնից։

=== Ընդհանուր աստիճանային կանոն ===
Տարրական աստիճանային կանոնը կարող է ընդհանրացվել։ Ամենաընդհանուր աստիճանային կանոնը ֆունկցիոնալ աստիճանային կանոնն է․ կամայական **' և **' ֆունկցիաների համար՝

:<math>(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\quad</math>
եթե երկու կողմն էլ լավ սահմանված են։

Հատուկ դեպքերից են՝
* եթե <math display="inline">f(x)=x^a\!</math>, ապա <math display="inline">f'(x)=ax^{a-1}</math>երբ **'-ն տարբեր է զրոյից իսկ **'-ը՝ դրական։
* Հակադարձ ֆունկցիայի կանոնը այս դեպքում կարելի է դիտարկել որպես սրա մասնավոր դեպք, երբ <math display="inline">g(x)=-1\!</math>։

== Լոգարիթմական և ցուցչային ֆունկցիաների ածանցյալներ ==
:<math> \frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right) = {ac^{ax} \ln c } ,\qquad c > 0</math>
այս հավասարումը ճիշտ է կամայական -ի համար, բայց <math display="inline">c<0</math> դեպքում ածանցյալը կոմպլեքս թիվ է։

:<math> \frac{d}{dx}\left(e^{ax}\right) = ae^{ax}</math>

:<math> \frac{d}{dx}\left( \log_c x\right) = {1 \over x \ln c} , \qquad c > 0, c \ne 1</math>

վերևում նշված հավասարումը ճիշտ է կամայական **' թիվի համար, բայց c  դեպքում ածանցյալը կոմպլեքս թիվ է։

: \frac{d}{dx}\left( \ln x\right)  = {1 \over x} ,\qquad x > 0.

: \frac{d}{dx}\left( \ln |x|\right) = {1 \over x}.

: \frac{d}{dx}\left( x^x \right) = x^x(1+\ln x).

: \frac{d}{dx}\left( f(x)^{ g(x) } \right ) = g(x)f(x)^{g(x)-1} \frac{df}{dx} + f(x)^{g(x)}\ln{( f(x) )}\frac{dg}{dx}, \qquad \text{եթե }f(x) > 0, \text{ և եթե } \frac{df}{dx} \text{ և } \frac{dg}{dx} \text{ գոյություն ունեն։}

: \frac{d}{dx}\left( f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left ( ... \right )^{f_{n}(x)}}} \right ) = \left [\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\partial }{\partial x_{k}} \left( f_{1}(x_1)^{f_{2}(x_2)^{\left ( ... \right )^{f_{n}(x_n)}}} \right ) \right ] \biggr\vert_{x_1 = x_2 = ... =x_n = x}, \text{ եթե } f_{i 0 \text{ և }  \frac{df_{i}}{dx} \text{ գոյություն ունի։ }

### Լոգարիթմական ածանցյալ
Լոգարիթմական ածանցյալը ֆունկցիայի լոգարիթմի ածանցման կանոնը այլ կերպ նշելու ձև է (բարդ ֆունկցյաի ածանցման կանոնով)․
: (\ln f)'= \frac{f'}{f} \quad եթե **-ը դրական է։

Լոգարիթմական ածանցյալի մեթոդի միջոցով հնարավոր է նախքան ածանցումը լոգարիթմի և դրա ածանցման կանոնների միջոցով պարզեցնել որոշակի արտահայտություններ։  Լոգարիթմների միջոցով հնարավոր է ազատվել ցուցիչներից, արտադրյալը վերածել գումարի, բաժանումը՝ հանման, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է պարզեցնել հետագա ածանցումը։

## Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ

Ընդունված է սահմանել երկու արգումենտով արկտանգես ֆունկցիա՝ \arctan(y,x)\!։ Այս ֆունկցիայի արժեքները գտնվում են [-\pi,\pi]\! միջակայքում և արտահայտում է (x,y)\! կետի քառորդը։ Առաջին և չորրորդ քառորդների համար (այսինքն՝ x > 0\!) \arctan(y, x>0) = \arctan(y/x)\!։ Այս ֆունկցայի մասնակի ածանցյալներն են՝

## Հիպերբոլական ֆունկցիաների ածանցյալներ

## Հատուկ ֆունկցիաների ածանցյալներ

## Տես նաև
*Վեկտորական անալիզի բանաձևեր
*Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
*Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
*Հիպերբոլական ֆունկցիաներ
*Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիա

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
*Մաթեմատիկական անալիզի տարրերը։ Հեղինակ Ֆիխտենգոլց
**Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition)*, S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, .
**The Cambridge Handbook of Physics Formulas*, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, .
**Mathematical methods for physics and engineering*, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, 
**NIST Handbook of Mathematical Functions*, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, .

Կատեգորիա:Դիֆերենցիալ հաշիվ
Կատեգորիա:Ցանկեր:Մաթեմատիկա