Ֆունկցիայի համադրույթ

**Ֆունկցիայի համադրույթ** (կամ **ֆունկցիայի կոմպոզիցիա**, կամ **բարդ ֆունկցիա**),  դա մեկ ֆունկցիայի կիրառումն է մյուսի արդյունքին։
G և F  ֆունկցիաների կոմպոզիցիա են անվանում G\circ F, որը նշանակում է G ֆունկցիայի օգտագործումը F ֆունկցիայի արդյունքին, այսինքն (G\circ F)(x) = G(F(x))

## Սահմանում
Թող F:X \to Y և G: F(X) \to Z — երկու ֆունկցիաներ են (F(X) \subset Y). Այս դեպքում նրանց կոմպոզիցիան նշանակում է G \circ F: X \to Z ֆունկցիան, որոշված հետևյալ հավասարումով.
: (G \circ F)(x) = G(F(x)),\; x\in X.

## Կապակցված սահմանումներ
* «Բարդ ֆունկցիա» տերմինը կարող է օգտագործվել երկու ֆունկցիաների համադրույթների, այնուամենայնիվ, այն հաճախ օգտագործվում է այն դեպքում, երբ ֆունկցիայի մի քանի փոփոխականներին բաժին է ընկնում միանգամից մի քանի ֆունկցիաների մեկ կամ մի քանի սկզբնական փոփոխականներ։ Օրինակ` բարդ կարելի է ասել հետևյալ տեսքի  G ֆունկցիային 
*: G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),

: որովհետև ինքը իրենից ներկայացնում էF ֆունկցիա, որը արդյունքում ստանում է u և v ֆունկցիաների  արդյունքները։

## Կոմպոզիցիայի հատկությունները
* Կոմպոզիցիա ասոցիատիվություն։
*:(H \circ G ) \circ F = H \circ ( G \circ F ).  
* Եթե F = \mathrm{id}_X — նույնական արտապատկերում է X-ի, այսինքն
*: F(x) = \mathrm{id}_X(x) = x,\; \forall x \in X,
: ապա
:: G \circ \mathrm{id}_X = G.
* Եթե G = \mathrm{id}_Y — նույնական արտապատկերում Y-ի, այսինքն
*: G(y) = \mathrm{id}_Y(y) = y,\; \forall y \in Y,
: ապա
::  \mathrm{id}_Y \circ F = F.
* Դիտարկենք հարթության բոլոր բիեկցիա բազմության X-ը և նշանակենք \mathcal{F}_X. Այսինքն, եթե F\in \mathcal{F}_X, ապա F:X \to X — բիեկցիա է։ Այդ դեպքում ֆունկցիայի կոմպոզիցիան \mathcal{F}_X-ից հանդիսանում է Բինար օպերացիա, իսկ (\mathcal{F}_X, \circ) — խումբ։ \mathrm{id}_X հանդիսանում է չեզօք տարր այդ խմբից։ Հակադարձ  F \in \mathcal{F}_X տարրին հանդիսանում է F^{-1}\in \mathcal{F}_X — Հակադարձ ֆունկցիան.
** (\mathcal{F}_X, \circ) խումբը, ընդհանրապես կոմուտատիվ չէ, այսինքն F_1 \circ F_2 \not= F_2 \circ F_1.

## Լրացուցիչ հատկություններ
* Թող f:X \to Y ֆունկցիան ունի a կետում սահման \lim_{x \to a}f(x) = b, իսկ   g:f(X) \subset Y \to Z ֆունկցիան  ունի b կետում սահման \lim_{y \to b}g(y). Այդ դեպքում, եթե գոյություն ունի  a կետին չպատկանող միջակայք, որի հատումը X բազմանդամին արտապատկերում է f:X \to Y ֆունկցիային  b կետին չպատկանող միջակայքին, ապա a կետում գոյություն ունի սահման g \circ f: X \to Z ֆունկցիայի կոմպոզիցիայի և տեղի ունի հետևյալ հավասարումը.  \lim_{x \to a}g(f(x)) = \lim_{y \to b}g(y).
* Եթե  f:X \to Y ֆունկցիան ունի a կետում սահման \lim_{x \to a}f(x) = b, իսկ g:f(X) \subset Y \to Z ֆունկցիան անընդհատ է b կետում, ապա այդ a կետում գոյություն ունի ֆունկցիայի կոմպոզիցիայի սահման g \circ f: X \to Z և տեղի ունի հավասարությունը.  \lim_{x \to a}g(f(x)) = g(\lim_{x \to a}f(x))=g(b).
* Կոմպոզիցիան անընդհատ ֆունկցիայի անընդհատ է։ Թող (X,\mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y), (Z,\mathcal{T}_Z) — տոպոլոգիական հարթություն է։ Թող f:X \to Y և g:f(X) \subset Y \to Z — երկու ֆունկցիա են, y_0 = f(x_0), f \in C(x_0) և g\in C(y_0). Այդ դեպքում g \circ f \in C(x_0).
* Կոմպոզիցիան դիֆերենցիալ ֆունկցիայի դիֆերենցելի է։ Թող f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, y_0 = f(x_0), f \in \mathcal{D}(x_0) և g \in \mathcal{D}(y_0). Այդ դեպքում g \circ f \in \mathcal{D}(x_0), և
: (g \circ f)'(x_0) = g'(y_0) \cdot f'(x_0).

## Տես նաև
* Կոմբինատորային տրամաբանություն
*Լամբդա արտահայտություն
*Ֆունկցիոնալ քառակուսի արմատ
*Կոմպոզիցիայի ռանգ

## Գրականություն
* ՀԱԿԱԴԱՐՁ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅԱՆ ՄԱՍԻՆ։ «Մաթեմատիկան դպրոցում» գիտամեթոդական ամսագիր № 1, 2 0 1 0 թ . — Գլխավոր խմբագիր Հ.Միքայելյան

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Բազմությունների տեսության հիմնական հասկացություններ
Կատեգորիա:Բնօրինակում անաղբյուր հոդվածներ
Կատեգորիա:Հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ
Կատեգորիա:Ֆունկցիա
Կատեգորիա:Ֆունկցիաների տեսակներ