Էքսպոնենտ

մինի|300x300փքս|<math>y=e^x</math> էքսպոնենտի գրաֆիկը (կապույտով ). <math>e^x</math> -ի շոշափողը կարմիրով։ Թեքությունը՝ <math>\frac {\pi}{4} ~ (45^{\circ})</math>.

Օրինակի համար դրված է նաև <math>y=2^x</math> (կետերով) և <math>y=4^x</math> (գծիկներով)
**Էքսպոնենտ,** f(x)=\exp(x)=e^x ցուցչային ֆունկցիա, որտեղ e -ն Էյլերի թիվն է (e \approx 2{,}718).

## Որոշում
Էքսպոնենտալ ֆունկցիան կարող է որոշվել տարբեր համարժեք ձևերով։ Օրինակ՝ Թեյլորի շարքի միջոցով․

: e^x = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots

կամ սահմանի միջոցով․

e^x=\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n

Այստեղ x-ը ցանկացած կոմպլեքս թիվ է։

## Հատկություններ
* (e^x)'=e^x, մասնավորապես, էքսպոնենտը՝ y'=y դիֆերենցիալ հավասարման միակ լուծումն է, y(0)=1 սկզբնական տվյալով։ Բացի այդ, էքսպոնենտի միջոցով արտահայտվում է համասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների ընդհանուր լուծումները։
* Էքսպոնենտը որոշված է ամբողջ իրական թվերի առանցքով։ Այն ամենուր աճում է և միշտ մեծ է զրոյից։
* Էքսպոնենտը ուռուցիկ ֆունկցիա է։
* Նրան հակադարձ ֆունկցիան ՝ բնական լոգարիթմն է (\ln x)։
* Ֆուրիեի ձևափոխություն էքսպոնենտի համար գույաություն չունի, եթե նրան ընդունենք որպես սովորական ֆունկցիա, իսկ եթե ընդունենք որպես ընդհանրացված, ապա այդպիսին կհամարվի Դիրակի դելտա-ֆունկցիան։
* Լապլասի ձևափոխություն էքսպոնենտի համար գոյություն ունի․
* Ածանցյալը զրոյում հավասար է մեկի,այդ պատճառով այդ կետում շոշափողը թեքված է 45^{\circ} ~ \Big( \frac{\pi}{4} \Big) աստիծանով։
* Ցանկացած ցուցչային ֆունկցիայի նման, նրա հիմնական հատկությունն է․
*: \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b).
** Այդպիսի հատկությամբ անընդհատ ֆունկցիան կամ նույնականորեն հավասար է 0, կամ ունի \exp(cx) տեսքը, որտեղ c հաստատուն է։։
* e^x = \operatorname{sh} x + \operatorname{ch} x, որտեղ \operatorname{sh} և \operatorname{ch} ՝ հիպերբոլական սինուս և կոսինուս են։

## Կոմպլեքս էքսպոնենտ
աջից|մինի|Էքսպոնենտի գրաֆիկը կոմպլեքս հարթությունում․
Կոմպլեքս էքսպոնենտը մաթեմատիկական ֆունկցիա է, որը տրվում է f(z)=e^zբանաձևով, որտեղ z-ը կոմպլեքս թիվ է։

f(x)=e^x իրական x փոփոխականով։

Որոշենք կապը՝

e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}.

Այս ձևով որոշված արտահայտությունը իրական թվերի առանցքի վրա համընկնելու է իրական դասական  էքսպոնենտի հետ։ Լիարժեքության համար պետք է ցույց տալ, որ e^z-ը բաժանվում է որոշակի, այդ ֆունկցիային ձգտող շարքի։

Ցույց տանք․

f(z)=e^z=e^x\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}

Տվյալ շարքի համապատասխանելիությունը հեշտությամբ ապացուցվում է․

\left|e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|\le\left|\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|\le\sum_{n=0}^\infty\left|\frac{x^n}{n!}\right|= \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{|x|^n}{n!} =e^.

### h-էքսպոնենտ
հ-էքսպոնենտի ներմուծումը հիմնված է երկրորդ հրաշալի սահմանի վրա։

e_{h}(x)=(1+h)^\frac{x}{h}.

h\to 0 դեպքում ստացվում է սովորական էքսպոնենտ.

## Հակադարձ ֆունկցիա
Էքսպոնենտալ ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան ՝ բնական լոգարիթմն է։ Նշանակվում է \ln x։

\ln x = \log_{e} x.

## Տես նաև
* Ցուցչային ֆունկցիա
* Էքսպոնենտալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ

## Ծանոթագրություն

## Գրականություն
* Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
* Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

## Արտաքին հղումներ
* «Экспонента и число е: просто и понятно » — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained

Կատեգորիա:Մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Ֆունկցիաների տեսակներ