Ռիմանի ինտեգրալ

right|thumb|250px|Ռիմանի ինտեգրալի երկրաչափական իմաստը
**Ռիմանի  ինտեգրալ**, մաթեմատիկական անալիզի ամենակարևոր հասկացություններից մեկը։ Այն ներմուծվել է 1854 թվականին Բեռնարդ Ռիմանի կողմից և իրենից ներկայացնում է ինտեգրալի հասկացության սկզբնական ձևակերպումը։

## Երկրաչափական ոչ ֆորմալ նկարագրություն
left|thumb|Ռիմանի գումարի (ուղղանկյունների գումարային մակերեսը) սահմանը, փոքրագույն բաժանումների դեպքում, տալիս է ենթագրաֆիկի մակերեսը:
Ռիմանի գումարի (ուղղանկյունների գումարային մակերեսը) սահմանը, փոքրագույն բաժանումների դեպքում, տալիս է ենթագրաֆիկի մակերեսը։ Ռիմանը ձևակերպեց ինտեգրալի հասկացությունը, որը մշակվել էր Նյուտոնի և Լայբնիցի կողմից՝ որպես ենթագրաֆիկի (պատկեր, որն ընկած է ֆունկցիայի գրաֆիկի և աբցիսների առանցքի միջև) մակերես։

Ռիմանը ենթագրաֆիկը դիտարկել է որպես մի քանի ուղղահայաց ուղղանկյուններից բաղկացած պատկեր, որոնց հիմքերը միասին կազմում են ամբողջ ինտեգրվող միջակայքը և այն բաժանվում է համապատասխան քանակի փոքր հատվածների։

Տրված պատկերի *S* մակերեսը տրված \Delta x_i երկարությամբ հատվածների բաժանելիս հավասար կլինի հետևյալ ինտեգրալային գումարին.

:S = \sum_i f(x_i) \Delta x_i:

Եթե գոյություն ունի սահման, որին ձգտում է *S*(ինտեգրալային գումար) մակերեսը յուրաքանչյուր բաժանման համար, որն իրականացվել է՝ մեծագույն \Delta x_i -ը ձգտեցնելով զրոյի, ապա այդ սահմանը կոչվում է Ռիմանի ֆունկցիայի ինտեգրալ միջակայքում։

### Ինտեգրալային գումարի միջոցով
Թող, որ  [a,b] միջակայքում որոշված լինի fիրական ֆունկցիան։

Դիտարկենք միջակայքի բաժանումը (մասնատում)՝ a=x_0 , որն իրենից ներկայացնում է միջակայքի բաժանված տարբեր հատվածների բազմությունը։

Այս մասնատումը [a,b] միջակայքը բաժանում է *n* հատ [x_{i-1}, x_{i}],\; i=1\dots n  միջակայքերի։ Ամենամեծ միջակայքի երկարությունը՝ \delta R = \max (\Delta x_i )-ը կոչվում է **բաժանման քայլ**, որտեղ \Delta x_i  = x_i  - x_{i - 1} -ը տարրական միջակայքի երկարությունն է։

Յուրաքանչյուր բաժանված միջակայքում նշենք մեկական կետ՝ \xi _i \in [x_{i-1}, x_i]: Ինտեգրալային գումար համարվում է հետևյալ արտահայտությունը  \sigma _x  = \sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi _i )\Delta x_i }:

Եթե անկախ \xi _i \in [x_{i-1}, x_i]-ի ընտրությունից, երբ բաժանման քայլը ձգտում է զրոյի, ինտեգրալային գումարը ձգտում է միևնույն թվի, ապա այդ թիվը կոչվում է f ֆունկցիայի ինտեգրալ [a,b] միջակայքում, այսինքն՝ 
\int\limits_a^b f(x)\,dx  = \lim \limits_{\delta R \to 0} \sigma _x :

Այս դեպքում, f ֆունկցիան կոչվում է **ինտեգրվող (ըստ Ռիմանի)** [a,b] միջակայքում, իսկ հակառակ դեպքում՝ **չինտեգրվող (ըստ Ռիմանի)** [a,b] միջակայքում։

## Հատկություններ
# **Ոչ այլասերված լինելը**. \int\limits_{a}^{b} 1\,dx = b-a:
# **Դրական լինելը**. եթե f ինտեգրալային ֆունկցիան ոչ բացասական է, ապա նրա ինտեգրալը [a,b] միջակայքում նույնպես ոչ բացասական է։
# **Գծայնություն**. եթե f և g ֆունկցիաներն ինտեգրելի են, և \alpha, \beta \in\R, ապա \alpha f + \beta g ֆունկցիան նույնպես ինտեգրելի է և \int\limits_a^b (\alpha f(x) +\beta g(x))\,dx = \alpha \int\limits_a^b f(x)\,dx + \beta \int\limits_a^b g(x)\,dx:
# **Անընդհատություն**. եթե  f_iինտեգրվող ֆունկցիան համաչափ համընկնում է  f ֆունկցիայի հետ [a,b] միջակայքում, ապա f -ը ինտեգրվող է, և \lim_{i\to\infty} \int\limits_a^b f_i(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx: (Վերջին բանաձևը կարելի է ստանալ 1-ից 3 հատկությունների և սահմանային ֆունկցիայի ինտեգրման կիրառման միջոցով:)
# **Միջակայքերի բաժանման ադդետիվություն (Մասերի գումարը հավասար է ամբողջին:)**. ընդունենք որ a: f ֆունկցիան ինտեգրվող է [a,c] միջակայքում միայն ու միայն այն դեպքում, երբ այն ինտեգրվող է [a,b] և [b,c] միջակայքերից յուրաքանչյուրում, և այդ դեպքում \int\limits_a^c f(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx + \int\limits_b^c f(x)\,dx:
# Ըստ Ռիմանի՝ ինտեգրվող ֆունկցիայի անընդհատությունը միջակայքերում (1-5 հատկությունների հետևանքը)։ Խզվող ֆունկցիաները կարող են լինել կամ չլինել ինտեգրվող։ Ըստ Ռիմանի չինտեգրվող  ֆունկցիայի օրինակ է անընդհատ խզվող Դիրիխլեյի ֆունկցիան։  **Ըստ Ռիմանի ինտեգրվող ֆունկցիաների Լեբեգի չափանիշները**. ֆունկցիան ինտեգրվող է, ըստ Ռիմանի՝ [a,b] միջակայքում միմիայն այն դեպքում, երբ այն սահմանափակ է տվյալ միջակայքում և խզման բազմաթիվ կետերում ունի զրոյական չափ (այսինքն՝ ծածկված լինեն անվերջ փոքր երկարությամբ հաշվելի ինտերվալներով)։
# Եթե F ֆունկցիան հանդիսանում է fֆունկցիայի նախնականը, ապա fֆունկցիայի ինտեգրալը [a,b]միջակայքում կարելի է հաշվել Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձևով, և այն հավասար է F(b)-F(a): (Այն ոչ միայն ըստ Ռիմանի ինտեգրալի, այլ ցանկացած ինտեգրալի ընդհանուր հատկանիշն է, որը բավարարում է 1ի-ց 5 հատկություններին)։ Միջակայքում անընդհատ fֆունկցիան միշտ ունի նախնական, և յուրաքանչյուր նախնական ունի հետևյալ տեսքը՝ F(x) = \int\limits_{a}^{x}f(t)dt + C, որտեղ C-ն ինտեգրման հաստատունն է։

## Ռիմանի ինտեգրալի գոյության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը
Որպեսզի f(x) ֆունկցիան լինի ինտեգրվող [a, b]միջակայքում, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի  \sum_{i=1}^{n} \omega_{i} \Delta_{i} գումարը ձգտի զրոյի բաժանման d երկարության հետ։ Այստեղ \omega_{i}-ն f(x) ֆունկցիայի տատանումն է \Delta_{i}=[x_{i-1}, x_{i}] հատվածում, f ֆունկցիայի \omega տատանումը Eբազմության վրա հավասար է հետևյալ տարբերությանը՝ \sup_{E} f(x) - \inf_{E} f(x), բաժանման երկարությունը՝ d = \sup_{i}(x_{i} - x_{i-1}):

## Պատմություն
Ինտեգրալի նման սահմանում տվել է Կոշը, բայց այն կիրառվում էր միայն անընդհատ ֆունկցիաների համար։

Ռիմանը 1854 թվականին (հրատարակվել է 1868 թվականին, իսկ ռուսերենով՝ առաջին անգամ  1914 թվականին) տվեց այդ սահմանումը առանց անընդհատության հաշվի առնելու։

## Տես նաև
* Ստիլտյեսի ինտեգրալ

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* 

## Արտաքին հղումներ
* Таблицы неопределенных и определенных интегралов — EqWorld: Мир математических уравнений.
* Строгое определение интеграла Римана.

Կատեգորիա:Ինտեգրալներ
Կատեգորիա:Բեռնարդ Ռիման