Էյլերի բնութագիր

**Էյլերի բնութագիր** կամ ** Էյլեր-Պուանկարայի  բնութագիր**, բնութագիր է տոպոլոգիական տարածության. Էյլերի տարածության բնութագիրը  
X սովորաբար նշանակում են  \chi(X)։

## Սահմանում
* Վերջավոր  Կոմլեքս վանդակների համար (մասնավորապես վերջավոր симплициального комплекса) համար  Էյլերի բնութագիրը    կարող է սահմանվել ինչպես նշանափոփոխման գումար 
*: \chi=k_0-k_1+k_2-...,
: որտեղ k_i ցույց է տալիս վանդակների թվի չափականությունը  i.

* Ցանկացած տոպոլոգիական տարածության  Էյլերի բնութագիրը կարող է  լինել որոշված  Բետտի թվի  միջոցով  b_n ինչպես նշանափոփոխման գումար։
*: \chi=b_0 - b_1 + b_2 - b_3 +\, ...
: Այդ սահմանումը իմաստ ունի միայն, եթե Բետտի թիվը վերջավոր է և բավականին շատ թվացուցիչների համար զրոյանում են։ 
:*Վերջին սահմանումը ընդհանրացնում է նախորդը և ընդհանրացնում է ուրիշ ցանկացած գործակիցներով հոմոլոգիան

## Հատկություն
* Էյլերի բնութագիրը հանդիսանում է  հոմոտոպիկ ինվարիանտ՝այսինքն պահպանվում է հոմոտոպիկ համարժեքությունը տապալոգիական տարածությունում։
** Մասնավորապես, Էյլերի բնութագիրը տոպոլագիական ինվարիանտ է։

### Բազմանիստերի էյլերյան բնութագիրը
* Երկչափանի տոպոլոգիական բազմանիստի Էյլերյան բնութագիրը  կարող է հաշվել։ \chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B} բանաձևով,որտեղ где Г, Р и В համապատասխանաբար նիստերի, կողերի և գագաթների թվն է։ մ ասնավորապես, միակցված բազմանիստի համար ճիշտ է *[[Теорема Эйлера для многогранников|Էյլերի բանաձևը]]*։
* : \Gamma-\hbox{P}+\hbox{B}=\chi(S^2)=2.
:Օրինակ, Էյլերի բնութագիրը խորանարդի համար  հավասար է 6 − 12 + 8 = 2, իսկ եռանկյուն բուրգի համար՝  4 − 6 + 4 = 2.
*

### Գաուս-Բոննի թեորեմը
Երկչափ կոմպակտ  կողմորոշված  ռիմանյան բազմակերպության (մակերևույթի) S համար առանց սահմանների գոյություն ունի 
Գաուս -Բոննի բանաձևը, կապում է էյլերյան բնութագիրը \chi(S)  գաուսյան թեքվածության K բազմակերպության հետ։ \int\limits_S K\;d\sigma = 2\pi\chi(S),
որտեղd\sigma — մակերևույթի մակերեսի տարր է S.

* Գոյություն ունի Գաուս-Բոննի  ընդհանրացնող բանաձև երկչափ բազմակերպության եզրերի համար։
* Գոյություն ունի Գաուս -Բոննի ընդհանրացող բանաձև քառաչափ ռիմանյան բազմակերպության հայտնի բազմակերպությունը, ինչպես **Գաուս-Բոննի-Չեռնի թեորեմ ** կամ Գաուս-Բոննի ընդհանրացող բանաձև։
*Գոյություն ունի նույնպես Գաուս-Բոննի թեորեմի դիսկրետ անալոգը,համաձայն,որի Էյլերի բնութագիրը  հավասար է  բազմանիստի դեֆեկտների дефектов полиэдра գումարին, բաժանած 2\pi.
* Գոյություն ունի Գաուս-Բոնի բանաձևի կոմբինոտորական անալոգը։

## Կողմնորոշիչ և ոչ կողմորոշիչ մակերևույթներ
* Էյլերի բնութագիրը կողնորոշված գունդը ձեռքերով արտահայտում է բանաձևով \chi(X)=2-2g, որտեղ g-ն ձեռքերի թիվն է, ոչ կողմնորոշված մակերևույթի համար բանաձևը երևում է, ինչպես  \chi(X)=2-g.

## Էյլերի բնութագրի մեծությունը

## Պատմություն
1752 թվականին Էյլերը հրապարակել է բանաձևը, կապելով միմյանց եռչափանի բազմանիստի նիստերը։ Բնագրի աշխատանքում բանաձևը ներկայացվում է ~S+H=A+2   տեսքով,
որտեղ  *S*-ը գագաթների թիվն է, *H*-ը՝ նիստերի քանակը, *A*-ն՝ կողերի քանակը։

Ավելի վաղ այդ բանաձևը հանդիպում է Ռընե Դեկարտի ձեռագրերում, հրատարակված  XVIII դարում։

1899 թվականին Պուանկարեն  ընդհանրացրեց այդ բանաձևը  *N*-չափելի բազմանիստի դեպքում։

:\sum_{i=0}^{N-1}{(-1)}^i A_i =1+{(-1)}^{N-1},

որտեղ A_i *i*-ն չափելի նիստերի,  *N*-ը չափելի բազմանիստի քանակն է։

Եթե ձևականորեն  համարենք բազմանիստը իր սեփական միակ նիստի չափականությունն է *N*,։ Բանաձևը կարելի է  գրառել ավելի պարզ տեսքի։

:\sum_{i=0}^{N}{(-1)}^i A_i =1.

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* 
* 
* 
* Ю. М. Бурман Эйлерова характеристика Летняя школа «Современная математика», 2012, г. Дубна

Կատեգորիա:Բազմանիստերի կոմբինատորիկա
Կատեգորիա:Լեոնարդ Էյլեր
Կատեգորիա:Տոպոլոգիական գրաֆների տեսություն
Կատեգորիա:Տոպոլոգիական հանրահաշիվ