Հաշվարկման տասական համակարգ

**Տասական թվային համակարգ**, հաշվարկման դիրքային թվային համակարգ, որը հիմնված է 10 ամբողջ թվի հիմքի վրա և ամենատարածված նշանային համակարգերից մեկն է։ Այն օգտագործում է. ` [[0 (թիվ)|0]] ` ` [[1 (թիվ)|1]] ` ` [[2 (թիվ)|2]] ` ` [[3 (թիվ)|3]] ` ` [[4 (թիվ)|4]] ` ` [[5 (թիվ)|5]] ` ` [[6 (թիվ)|6]] ` ` [[7 (թիվ)|7]] ` ` [[8 (թիվ)|8]] ` ` [[9 (թիվ)|9]] ` թվանշանները, որոնք կոչվում են արաբական թվեր։ Ենթադրվում է, որ 10 հիմքը կապված է մարդու ձեռքերի մատների քանակի հետ։

Տեղեկատվության ծավալի մեկ տասական նիշն ունի 10 հնարավոր վիճակ (արժեք, կոդ), և կոչվում է  դեցիտ կամ դիթ (**deci**mal digi**t**), և հավասար է log210 (≈ 3.322) բիթի (ըստ երկուական համակարգի)։

## Սահմանում
Տասական թվային համակարգում (դեցիտ) մեկ տասական նիշը երբեմն կոչվում է դեկադ։ Թվային էլեկտրոնիկայում տասական թվային համակարգի (դեցիտ) մեկ տասական նիշը համապատասխանում է մեկ տասական հանգույցի (latches)։

Տասական թվային համակարգում *x* ամբողջ թիվը ներկայացված է որպես 10-ի աստիճանների վերջավոր գծային համադրություն՝

x = \pm \sum_{k=0}^{n-1} a_k 10^k,

որտեղ \ a_k -ն ամբողջ թվեր են, որոնք կոչվում են **[[թվանշաններ]]**, որոնք բավարարում են  0 \leq a_k \le 9 անհավասարությանըː

Սովորաբար ոչ զրոյական *x* թվի համար պահանջվում է, որ մեծ թվանշանը a_{n-1}տասական թվի ներկայացման մեջ *x-ը* նույնպես զրոյից տարբեր լինի։

Օրինակ՝ տասական համակարգում *հարյուր երեք* թիվը ներկայացված է հետևյալ կերպ.

 103 = 1 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}ː

Տասական թվային համակարգում *n* դիրքեր օգտագործելով՝ կարելի է գրել 0-ից մինչև ամբողջ թվեր՝ 10^n-1, այսինքն՝ ընդհանուր առմամբ 10^n տարբեր թվեր։

Կոտորակային թվերը գրվում են որպես տասնորդական կետով բաժանված թվանշանների շարք, որը կոչվում է տասնորդական կոտորակ։

a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0},a_{-1} a_{-2}\dots a_{-(m-1)} a_{-m} = \sum_{k=-m}^{n-1} a_k 10^k,

որտեղ *n-ը* թվի ամբողջ թվի նիշերի թիվն է, *m-ը* ՝ թվի կոտորակային մասի նիշերի թիվը։

### Տասականի երկուական կոդավորում
Երկուական համակարգիչներում օգտագործում են տասական թվանշանների երկուական կոդավորում, որտեղ մեկ երկուական կոդավորմամբ տասական թվանշանի համար հատկացվում է չորս երկուական նիշ (երկուական տետրադ): Երկուական կոդավորմամբ տասական թվերը պահելու համար ավելի շատ բիթեր են պահանջում: Այսպիսով, չորս երկուական նիշերն ունեն 16 վիճակ, և երկուական-տասական կոդավորման մեջ երկուական տետրադի 16 վիճակներից 6-ը չեն օգտագործվում:

### Տասական թվային համակարգում գումարման աղյուսակ

Միանիշ երկօպերանդային (երկու պարամետրով գործողության) տասական գումարումը հետևյալներից մեկն է 10^{200} երկուական (երկու արգումենտով/օպերանդով, երկու պարամետրով, երկու մուտքով) տասական տրամաբանական ֆունկցիաներից՝ երկուական (երկանիշ) արդյունքով, որը, բացի իր սեփական համարից, ունի նաև իր սեփական անվանումը՝ «միանիշ տասական կիսագումարիչ» բառերով (գումարիչը` կոմբինացիոն տրամաբանական սխեման է, որն ունի երկու մուտք և երկու ելք (երկբիթ գումարիչ, երկուական գումարիչ)):

Դիսկրետ մաթեմատիկայում Ֆունկցիոնալ համակարգերի տեսության և տասական տրամաբանության մեջ **տասական ֆունկցիան** հետևյալ տիպի ֆունկցիան է.

\mathsf{D}^n\to\mathsf{D},

որտեղ \mathsf{D}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} — *տասական հավաքածու*, և \ n — ոչ բացասական ամբողջ թիվ, որը կոչվում է ֆունկցիայի *առնոստ* կամ տարածություն։

Կան միայն մի քանի ամենապարզ երկուական տասական տրամաբանական ֆունկցիաները՝ երկուական (երկնիշ) արդյունքով (2 դեցիտա -> 2 դեցիտա)

10^{(10^m)*n}=10^{(10^2)*2}=10^{100*2}=10^{200} ,

որտեղ m-ը ֆունկցիայի արգումենտների քանակն է (մուտքային «առնոստը»), իսկ n-ը՝ ֆունկցիայի արդյունքների քանակը (ելքային «առնոստը»), որը մեծ է քան իրար հետ միասին վերցրած Դիրակի բոլոր *մեծ թվերը* (Դիրակը կապում է տիեզերքում չափերի մասշտաբների հարաբերությունները ուժի մասշտաբների հետ, որից ստացվում են անչափ մեծ թվեր, մոտ 10^{40} կարգի) և ավելացրած Շենոնի թիվը (չկրկնվող շախմատային խաղերի գնահատված նվազագույն քանակը, որը հաշվարկել է ամերիկացի մաթեմատիկոս Կլոդ Շենոնը 1950 թվականին, մոտավորապես հավասար է 10^{120})։

Միանիշ երկօպերանդ (երկարգումենտային) տասական գումարումը կարող է ներկայացվել նաև որպես ունարային (միանիշ) արդյունք ունեցող երկուական (երկարգումենտ, երկուօպերանդ, երկու մուտքով) տասական տրամաբանական ֆունկցիաների կոմբինացիա (երկուսի միավորում), որոնք, իրենց սեփական թվերից բացի, ունեն նաև իրենց անվանումները՝ «միանիշ տասական երկուական գումարում 10 մոդուլով» և «միանիշ տասական երկուական թվերի գումարման մեջ միավորը հաջորդ նիշին տեղափոխում»։

Ընդամենը գոյություն ունեն 10^{(10^2)}=10^{100} ունարային (միանիշ) արդյունքով (2 դեցիտա -> 1 դեցիտ) ամենապարզ երկուական տասական տրամաբանական ֆունկցիաներː

«Միանիշ տասական երկուական գումարում 10 մոդուլով» ֆունկցիայի թիվը պարունակում է ֆունկցիայի բոլոր արժեքները 0-ից 9 արգումենտների արժեքների իտերացիայով և համեմատաբար հեշտ է ստանալ տասական կիսագումարիչ աղյուսակից՝

8765432109 7654321098 6543210987 5432109876 4321098765 3210987654 2109876543 1098765432 0987654321 9876543210 (ֆունկցիայի համարի 10 նիշերը բաժանված են բացատներով):

«Միանիշ տասական երկուական թվերի գումարման մեջ միավորը հաջորդ նիշին տեղափոխում» ֆունկցիայի թիվը պարունակում է ֆունկցիայի բոլոր արժեքները՝ 0-ից 9 արգումենտների արժեքների իտերացիայով և այն նաև համեմատաբար հեշտ է ստանալ տասական կիսագումարիչ (полусумматор) աղյուսակից՝

1111111110 111111110 1111111100 11111111000 11111110000 11111100000 1111000000 11110000000 1110000000 1100000000 10000000000 0000000000 (ֆունկցիայի համարի 10 նիշերը բաժանված են բացատներով):

Քանի որ տեղափոխման կարգում երբեք 1-ից մեծ արժեք չկա, միանիշ տասական կիսագումարիչում տեղափոխման կարգն ավելի պարզ տասական ֆունկցիա է՝ ունարային (միանիշ) երկուական արդյունքով (2 դեցիտա -> 1 բիթ ):

#### Միանիշ տասական կիսա[[գումարիչ]]ը Borland Turbo Basic [[Ծրագրավորման լեզուների ցանկ|ծրագրվորման լեզվով]]

```basic
'Half Adder Decimal Single-Digit
CLS
DATA 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
DATA 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0
DATA 2,3,4,5,6,7,8,9,0,1
DATA 3,4,5,6,7,8,9,0,1,2
DATA 4,5,6,7,8,9,0,1,2,3
DATA 5,6,7,8,9,0,1,2,3,4
DATA 6,7,8,9,0,1,2,3,4,5
DATA 7,8,9,0,1,2,3,4,5,6
DATA 8,9,0,1,2,3,4,5,6,7
DATA 9,0,1,2,3,4,5,6,7,8

DATA 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
DATA 0,0,0,0,0,0,0,0,0,1
DATA 0,0,0,0,0,0,0,0,1,1
DATA 0,0,0,0,0,0,0,1,1,1
DATA 0,0,0,0,0,0,1,1,1,1
DATA 0,0,0,0,0,1,1,1,1,1
DATA 0,0,0,0,1,1,1,1,1,1
DATA 0,0,0,1,1,1,1,1,1,1
DATA 0,0,1,1,1,1,1,1,1,1
DATA 0,1,1,1,1,1,1,1,1,1

DEFINT I,J,F,A,B
FOR I=0 TO 9
  FOR J=0 TO 9
    READ F2DSM[I,J]  
  NEXT J
NEXT I
FOR I=0 TO 9
  FOR J=0 TO 9
    READ F2DC[I,J]   
  NEXT J
NEXT I

A=9
B=9
PRINT USING "#";A;
PRINT " + ";
PRINT USING "# = ";B;
PRINT USING "#";F2DC[A,B];
PRINT USING "#";F2DSM[A,B]
END
```


### Տասական համակարգում բազմապատկման աղյուսակ

Միանիշ երկօպերանդ (երկարգումենտ) տասական բազմապատկումը հանդիսանում է 10^{200} բինարային (երկարգումենտ, երկօպերանդ, երկմուտքանի) տասական տրամաբանական ֆունկցիաների բինար (երկնիշ) արդյունքով, որն ունի սեփական նիշից բացի նաև իր սեփական անվանումը հետեւյալ բառերով. «միանիշ տասական բազմապատկիչ»։

Միանիշ երկօպերանդային (երկարգումենտ) տասական բազմապատկիչը կարող է ներկայացվել նաև որպես միանիշ (միանիշ) արդյունք ունեցող երկուական (երկարգումենտ, երկուօպերանդ, երկու մուտքային) տասական տրամաբանական ֆունկցիաների համադրություն (միություն), որոնք, իրենց սեփական թվերից բացի, ունեն նաև իրենց անունները՝ «միանիշ տասական երկուական բազմապատկման ամենափոքր նիշ» և «միանիշ տասական երկուական բազմապատկման ամենամեծ նիշ» բառերով։

Կան ընդամենը 10^{(10^2)}=10^{100} ամենապարզ երկուական տասնորդական տրամաբանական ֆունկցիաներ՝ ունարային (միանիշ) արդյունքով (2 դեցիտա -> 1 դեցիտ):

«Միանիշ տասական երկուական բազմապատկման ամենափոքր նիշ» ֆունկցիայի համարը պարունակում է ֆունկցիայի բոլոր արժեքները 0-ից 9 արգումենտային արժեքների վրա իտերացիայի ժամանակ և համեմատաբար հեշտ է ստանալ տասական բազմապատկման աղյուսակից.

1234567890 2468024680 3692581470 4826048260 50505050 6284062840 7418529630 8642086420 9876543210 0000000000 (ֆունկցիայի համարի 10 նիշը բաժանված են բացատներով):

«Միանիշ տասական երկուական բազմապատկման ամենամեծ նիշ» ֆունկցիայի համարը պարունակում է ֆունկցիայի բոլոր արժեքները 0-ից 9 արգումենտային արժեքների վրա իտերացիայի ժամանակ և այն նաև համեմատաբար հեշտ է ստանալ տասական բազմապատկման աղյուսակից.

8765432100 7654432100 6544322100 5443321100 4433221100 3322211000 2221110000 1111100000 00000000000 0000000000 (ֆունկցիայի համարի 10 նիշը բաժանված են բացատներով):

#### Միանիշ տասական [[Թվաբանական սարք|բազմապատկիչ]] Borland Turbo Basic [[Ծրագրավորման լեզուների ցանկ|ծրագրվորման լեզվով]]

```basic
'Multiplier Decimal Single-Digit
CLS
DATA 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
DATA 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
DATA 0,2,4,6,8,0,2,4,6,8
DATA 0,3,6,9,2,5,8,1,4,7
DATA 0,4,8,2,6,0,4,8,2,6
DATA 0,5,0,5,0,5,0,5,0,5
DATA 0,6,2,8,4,0,6,2,8,4
DATA 0,7,4,1,8,5,2,9,6,3
DATA 0,8,6,4,2,0,8,6,4,2
DATA 0,9,8,7,6,5,4,3,2,1

DATA 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
DATA 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
DATA 0,0,0,0,0,1,1,1,1,1
DATA 0,0,0,0,1,1,1,2,2,2
DATA 0,0,0,1,1,2,2,2,3,3
DATA 0,0,1,1,2,2,3,3,4,4
DATA 0,0,1,1,2,3,3,4,4,5
DATA 0,0,1,2,2,3,4,4,5,6
DATA 0,0,1,2,3,4,4,5,6,7
DATA 0,0,1,2,3,4,5,6,7,8

DEFINT I,J,F,A,B
FOR I=0 TO 9
  FOR J=0 TO 9
    READ F2DMULT1[I,J]  'Function 2-argument Decimal Multiplier NonSymmetric 1-st Digit
  NEXT J
NEXT I
FOR I=0 TO 9
  FOR J=0 TO 9
    READ F2DMULT2[I,J]   'Function 2-argument Decimal Multipliqer NonSymmetric 2-nd Digit
  NEXT J
NEXT I

A=9
B=9
PRINT USING "#";A;
PRINT " x ";
PRINT USING "# = ";B;
PRINT USING "#";F2DMULT2[A,B];
PRINT USING "#";F2DMULT1[A,B]
END
```


## Պատմություն
### Տասական ոչ դիրքային համակարգ
Տասական ոչ դիրքային հաշվարկման համակարգը տասական թվանշանների առանձին կոդավորմամբ (1-ից մինչև 1,000,000) ծագել է մ.թ.ա. երրորդ հազարամյակի երկրորդ կեսին Հին Եգիպտոսում ( եգիպտական թվային համակարգ ):

Մեկ այլ մեծ քաղաքակրթությունում՝ բաբելոնականում՝ իր վաթսունական համակարգով, մ.թ.ա. երկու հազար տարի առաջ, դիրքային վաթսունական թվանշանների շրջանակներում օգտագործվել է ոչ դիրքային (ադդիտիվ) տասական թվային համակարգ՝ տասական թվանշանների առանձին կոդավորմամբ: Եգիպտական տասական համակարգն ազդեցություն է ունեցել վաղ եվրոպական գրային համակարգերի նմանատիպ համակարգի վրա, ինչպիսիք են կրետական հիերոգլիֆները, գծային Ա-ն և գծային Բ-ն։

### Հնդկական տասական դիրքային համակարգ
մինի|Այս հնդկական նշաններից են առաջ եկել ժամանակակից թվերը (արձանագրություն մ․թ․ա․I դար)
Հնդկաստանում հայտնաբերվել է տասական դիրքային համակարգի ամենահին հայտնի գրառումը 595 թվականին։  Այդ ժամանակ զրոն օգտագործվել է ոչ միայն Հնդկաստանում, այլև Չինաստանում: Այս հին համակարգերում նույն թիվը գրելու համար օգտագործվել են սիմվոլներ, որոնց կողքին լրացուցիչ նշվել է, թե որ դիրքում են գտնվում։ Այնուհետև դադարել են դիրքը նշել, բայց թիվը հնարավոր էր կարդալ, քանի որ յուրաքանչյուր թիվ ուներ իր սեփական դիրքը։ Եվ եթե դիրքը դատարկ է, այն պետք է նշվի զրոյով։ Հետագա բաբելոնական տեքստերում է նման նշան սկսել հայտնվել, բայց այն չի դրվել թվի վերջում։ Միայն Հնդկաստանում է զրոն վերջնականապես զբաղեցրել իր տեղը, և այն նշելը տարածվել է ամբողջ աշխարհում։

Հնդկական համարակալումը նախ հասել է արաբական երկրներ, ապա՝ Արևմտյան Եվրոպա։ Այդ մասին խոսել է Կենտրոնական Ասիայի մաթեմատիկոս Ալ-Խորեզմին։ Դիրքային համակարգում գրված թվերի գումարման և հանման պարզ և հարմար կանոններն այն դարձրել են հատկապես հանրահայտ։

Եվ քանի որ Ալ-Խորեզմիի աշխատանքը գրվել է արաբերենով, Եվրոպայում հնդկական համարակալումը ստացել է այլ անուն՝ «արաբական» (արաբական թվեր):

### Ինկերի կիպու
աջից|frameless
I-II հազարամյակներում Կենտրոնական Անդերում (Պերու, Բոլիվիա) պետական և հասարակական նպատակներով լայնորեն օգտագործվող տվյալների բազայի նախատիպ է եղել Ինկերի հանգույցային գրությունը՝ կիպուն, որը բաղկացած էր ինչպես տասական համակարգի թվային գրառումներից, այնպես էլ երկուական կոդավորման համակարգի ոչ թվային գրառումներից:

Կիպուն օգտագործել է առաջնային և երկրորդային բանալիներ, դիրքային համարներ, գունային կոդավորում և *կրկնվող տվյալների շարքերի ձևավորում*:

Կիպուն մարդկության պատմության մեջ առաջինն է, որ օգտագործել է կրկնակի գրանցում կոչվող հաշվապահական մեթոդը:

## Տասական դիրքային համակարգի առավելություններ
Հնդկա-արաբական թվանշանների միջոցով իրականացված տասական դիրքային համարակալման համակարգն աստիճանաբար փոխարինել է հռոմեական թվանշաններին և այլ՝ ոչ դիրքային համարակալման համակարգերին իր բազմաթիվ ակնհայտ առավելությունների շնորհիվ:

* Հնդկական թվերի նշումն ավելի կոմպակտ է, քան հռոմեականը, և թույլ է տալիս արագ համեմատել տարբեր թվերը մեծությամբ։
* Աբակուսի վրա հաշվարկներ կատարելիս հնարավոր է միաժամանակ գրել թվեր և կատարել հաշվարկներ։
* Հնարավոր է հաշվարկներ կատարել առանց աբակուսի, թղթի վրա։ Առաջացել են բազմապատկման և բաժանման նոր, ավելի պարզ մեթոդներ, որոնք հատուկ մշակված էին հնդկա-արաբական թվերի համար։
* Հաշվողական մաթեմատիկան և մաթեմատիկան ընդհանրապես ստացել են զարգացման հզոր խթան։ Օրինակ, դժվար է պատկերացնել լոգարիթմների գյուտն առանց հնդկա-արաբական թվանշանների։
* Հնարավոր է դարձել ստեղծել հաշվիչ մեքենաներ։

## Տասի աստիճանների անվանում
Հաշվարկման ստանդարտ տասական թվային համակարգում մեծ թվերն անվանելու համար կիրառվում են հազարի անվանական աստիճանները, ինչպիսիք են *միլիոնը* (1,000,000) և *միլիարդը* (1,000,000,000): Տասի միջանկյալ աստիճանները կազմվում են *տասը* կամ *հարյուր* բառերը գումարելով, օրինակ՝ *տասը միլիոն*(10,000,000) և *հարյուր միլիարդ* (100,000,000,000):

Տասի միջանկյալ աստիճանները կազմվում են *տասը* կամ *հարյուր* բառերն ավելացնելով, օրինակ՝ *տասը միլիոն* (10 000 000) կամ *հարյուր միլիարդ* (100 000 000 000):

Մինչև հազաը այլ միջանկյալ թվերը կազմվում են թվի անվանական անվանը հազար թվանշանների աստիճաններ ավելացնելով, օրինակ՝ *հարյուր քսանյոթ միլիոն* (127,000,000):

*Միլիարդի* և հաջորդող թվերի համար կան երկու հնարավոր իմաստներ՝ *կարճ սանդղակում* յուրաքանչյուր հաջորդական անվանված միավոր պարունակում է նախորդների 1000-ը, իսկ երկար սանդղակում՝ միլիոնը։ Այսպիսով, *միլիոնին* հաջորդող *[[միլիարդ]]ը* կարող է նշանակել կամ 10^{9}, կամ 10^{12}:

### Տասի աստիճանները Հնդկաստանում
Հնդկաստանում օգտագործվում է տասի աստիճաններն անվանակոչելու այլընտրանքային եղանակ, որը հիմնված է  100 հիմքով համրանքի հնացած վեդայական համակարգի վրա: Ըստ այդ համակարգի՝ աստիճաններին տրվում են հատուկ անուններ՝ 10^{3},  10^{5}և այսպես հաջորդող տասի աստիճանները մեկ ու մեջ բաց թողնելով, իսկ միջանկյալները կազմվում են տասը թվանշանն ավելացնելով։ Համակարգը պաշտոնապես հաստատվել է 1987 թվականին և փոփոխվել է 2002 թվականին:

Հնդկական համակարգով թվեր գրելիս բացակները տեղադրվում են այդ աստիճանների անվանումներին համապատասխան. օրինակ՝ ստանդարտ համակարգում 50 801 592 գրված թիվը հնդկական համակարգում կգրվի որպես 5 08 01 592: *Լախ* և *կրոր* անունները գործածվում են հնդկական անգլերենում (  ), հինդիում ( लाख *lākh*, करोड़ *karod* ) և այլ հարավասիական լեզուներում։

Հնդկաստանում քանակի ավանդական միավորը, որը հավասար է 105 կամ 100 000-ի: Հնդկաստանում միլիոնի փոխարեն սովորաբար օգտագործվում է լաքհը, իսկ լաքհի քանակը առանձնացնելու համար օգտագործվում են ստորակետեր.

օրինակ՝ 5 300 000 թիվը կոչվում է 53 լաքհ և գրվում է «53,00,000»:

Հնդկաստանում քանակի ավանդական միավորը, որը հավասար է 107 կամ 10 միլիոնի, մեծ թիվ է և սովորաբար նկարագրվում է կրոր և լաքհ (105) թվերով.

օրինակ՝ 25 600 000 թիվը կոչվում է 2 կրոր 56 լախ և գրվում է «2, 56, 00,000»:

Օրինակ՝

3,50,000  *ռուփի* = 3 × 1,00,000 + 5 × 10,000 (երեք լախ հիսուն խազար) *ռուփի*:

«500 միլիոն» թիվը համապատասխանում է «50 կրոր»-ին։ Հնդկաստանում մեծ գումարներն արտահայտվում են *կրորով* (կրճատ՝ cr., այսինքն՝ 17 cr. ''ռուփի'' = 170 միլիոն *ռուփի*)։ Սա նաև «Ո՞վ է ուզում դառնալ միլիոնատեր» հեռուստաշոուի հինդի տարբերակի անվանումն է («Ո՞վ է ուզում դառնալ կրորի սեփականատեր»)։ Շրի Լանկայում «միլիոն» և «միլիարդ» տերմիններն օգտագործվում են *լաք*-ի հետ միասին, բայց ոչ *կրոր*-ի հետ։

## Տես նաև
* Դեկատրոն

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* 
* 

## Արտաքին հղումներ
* 

Կատեգորիա:10
Կատեգորիա:Թվաբանություն
Կատեգորիա:Հաշվարկման համակարգեր
Կատեգորիա:Մատներ