Որոշիչ (մաթեմատիկա)

Գծային հանրահաշվում **որոշիչը** (կամ **դետերմինանտը**) սկալյար մեծություն է, որը կարող է հաշվվել և դրվել միանշանակ համապատասխանության ցանկացած քառակուսի մատրիցի։ A մատրիցի որոշիչը նշանակվում է հետևյալ ձևերով՝ \det (A), |A| կամ \Delta (A)։
մինի
n \times n չափի A քառակուսի մատրիցի որոշիչը, տրված R կոմուտատիվ օղակի վրա, հանդիսանում է R օղակի էլեմենտ, որը հաշվվում է ներքևում բերված բանաձևով։

Այն «որոշում է» A մատրիցի հատկությունը։ Մասնավորապես, A մատրիցը հակադարձելի է այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա որոշիչը հանդիսանում է R օղակի շրջելի տարր։

Այն դեպքում, երբ R-ը դաշտ է, A մատրիցի որոշիչը հավասար է զրոյի այն և միայն այն դեպքում, երբ A մատրիցայի ռանգը փոքր է n-ից կամ, եթե A մատրիցի տողերի և սյուների համակարգը հանդիսանում է գծային կախված։

## Պատմությունը
Որոշիչների տեսությունն առաջացել է գծային հավասարումների համակարգի լուծման հետ կապված։

Որոշիչի հասկացությանն առավել մոտեցել են հին չինական «Մաթեմատիկան ինը գրքերում» դասագրքերի հեղինակները։

Եվրոպայում 2×2 մատրիցի որոշիչը հանդիպում է XVI դարում Կարդանոյի մոտ։ Ավելի բարձր չափերի համար Լեյբնիցը այն սահմանել է 1693 թվականին։ Առաջին հրապարակումը պատկանում է Կրամերին։ Որոշիչների տեսությունը ստեղծվել է Վանդերմոնդի, Լապլասի, Կոշիի և Յակոբիի կողմից։ Առաջին անգամ «որոշիչ» տերմինը հանդիպում է Գաուսի մոտ։

Ճապոնացի մաթեմատիկոս Սեկի Տակակաձուն որոշիչը օգտագործեց անկախ 1683 թվականին։

## Սահմանումը
### Վերադասավորման միջոցով
n \times n չափի A = (a_{ij}) քառակուսի մատրիցի համար նրա \det A որոշիչը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝
: \det A = \sum_{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n} (-1)^{N(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)} \cdot a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \dots a_{n\alpha_n},

որտեղ գումարումը կատարվում է բոլոր \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n թվերի 1, 2,\dots, n վերադասավորումներով, իսկ N(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) նշանակում է ինվերսիաների թիվը \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n վերադասավորումներում։

Այսպիսով, որոշիչում մտնում են n! գումարելիներ, որոնք անվանվում են նաև «որոշիչի անդամներ»։

Համարժեք բանաձևը՝
: \det A = \sum_{i_1, i_2, \ldots, i_n =1}^n \varepsilon_{i_1i_2\dots i_n} \cdot a_{1i_1}a_{2i_2} \dots a_{ni_n},
որտեղ \varepsilon_{i_1i_2\dots i_n} գործակիցները (Լևի-Չիվի սիմվոլներ) հավասար են՝
: 0, եթե ոչ բոլոր i_1, i_2, \ldots, i_n ինդեքսներն են տարբեր,
: 1, եթե բոլոր i_1, i_2, \ldots, i_n ինդեքսները տարբեր են և \begin{pmatrix}1 & 2 & \dots & n\\ i_1 & i_2 & \dots & i_n\end{pmatrix}\in S_n վերադասավորումները զույգ են,
: −1, եթե բոլոր i_1, i_2, \ldots, i_n ինդեքսները տարբեր են և \begin{pmatrix}1 & 2 & \dots & n\\ i_1 & i_2 & \dots & i_n\end{pmatrix}\in S_n վերադասավորումները կենտ են։

### Ասիմպտոտիկ կառուցում (հատկությունների հիման վրա որոշում)
Որոշիչի հասկացությունը կարող է ներդրվել իր հատկության հիման վրա։ Մասնավորապես, իրական մատրիցի որոշիչ կոչվում է \det: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R} ֆունկցիան, որը բավարարում է երեք պայմանների՝
# \det(A) — A մատրիցի տողերի (սյուների) կոսոսիմետրիկ ֆունկցիա,
# \det(A) — A մատրիցի տողերի (սյուների) պոլիգծային ֆունկցիա,
# \det(E) = 1, որտեղ E-ն n \times n չափի միավոր մատրից է։
## Մատրիցի որոշիչի արժեքը
Առաջին կարգի մատրիցի դետերմինանտի արժեքը հավասար է այդ մաատրիցի միակ էլեմենտին՝
:: \Delta=\begin{vmatrix} a_{11}\end{vmatrix} = a_{11}

### 2 x 2 մատրից
thumb|left|2×2 մատրիցի որոշիչի հաշվարկի սխեման
thumb|right|Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է մատրիցի որոշիչի մոդուլին, որը ձևավորվում է զուգահեռագծի կողմերի վեկտորներով
2 \times 2  մատրիցի համար որոշիչը հաշվվում է հետևյալ ձևով՝
::\Delta=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc
Այս A մատրիցը կարող է դիտարկվել ինչպես գծային արտապատկերման մատրից՝ ձևափոխված միավոր քառակուսուց , ,  և  գագաթներով զուգահեռագծից։

|ad-bc| որոշիչի բացարձակ արժեքը հավասար է այդ զուգահեռակողմի մակերեսին, և, այսպիսով, ցույց է տալիս գործակիցը, որի վրա մասշտաբայնացվում է մակերեսը A-ի փոխակերպման դեպքում։

Որոշիչի նշանով արժեքը (զուգահեռագծի «օրենտավորված մակերես») գործակցից բացի նույնպես ցույց է տալիս մասշտաբայնացումը, այն կատարում է A-ի փոխակերպման արտապատկերում։

### 3 x 3 մատրից
3 \times 3  մատրիցի որոշիչը կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝
:: \Delta =
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =
a_{11}\begin{vmatrix}  a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}  a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}  a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = 
:: = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} 

Երրորդ կարգի որոշչի հարմար հաշվարկի համար կարելի է օգտվել Սարյուսի կանոնից կամ եռանկյան կանոնից։

Մատրիցի որոշիչը, որը կազմված է  \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} վեկտորներից, հավասար է աջ դեկարտյան կոորդինատների համակարգի խառը արտադրյալին։ Նմանապես երկչափ դեպքում, այդ մատրիցի որոշիչը հավասար է զուգահեռակողմի օրենտավորված ծավալին, ձգված  \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}-ով։

### 5× 5 մատրից
Ընհանուր դեպքում, n \times n  կարգի մատրիցի համար (2-րդ կարգից մեծ) որոշիչը կարելի է հաշվել, կիրառելով ռեկուրսիայի հետևյալ բանաձևը՝
:: \Delta=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\bar M_j^1, որտեղ \bar M_j^1-ն a_{1j} տարրի լրացուցիչ մինորն է։ Այս բանաձևը կոչվում է **տրոհում ըստ տողերի**։

Դժվար չէ ապացուցել, որ մատրիցի տրանսպոնացման դեպքում նրա որոշիչը չի փոխվում (այլ կերպ ասած, նմանատիպ տրոհումը ըստ առաջին սյան նույնպես ճշմարիտ է, այսինքն, տալիս է նույն արդյունքը, ինչպես նաև ըստ տողի նրա տրոհումը)՝
:: \Delta=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i։

Նույնպես ճշմարիտ է նմանատիպ տրոհումը ցանկացած տողի (սյան) համար՝
:: \Delta=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\bar M_j^i ։

Վերը նշված բանաձևերի ընդհանրացումը հանդիսանում է դետերմինանտի տրոհումը ըստ Լապլասի (Լապլասի թեորեմը), որը հնարավորություն է տալիս հաշվել որոշիչը ցանկացած k տողով (սյունով)՝
:: \Delta=\sum_{1\leqslant j_1։

### Հաշվարկի այլընտրանքային մեթոդներ
* Ջոնսոնի կոնդենսացիայի մեթոդ, որը հիմնված է ռեկուրսիվ բանաձևի վրա՝
: \det(M) = \frac{\det(M_1^1)\det(M_k^k) - \det(M_1^k) \det(M_k^1)}{\det(M_{1,k}^{1,k})}, 
որտեղ M_1^1,M_k^k,M_1^k,M_k^1,M_{1,k}^{1,k} մատրիցներ են, որոնք ստացվում են հիմնական մատրիցից համապատասխան տեղերի և սյուների ջնջման միջոցով։

## Որոշիչի հիմնական հատկությունները
Այս հատկությունները արտացոլում են որոշիչների տեսության հիմնական արդյունքները, որոնց կիրառությունը դուրս է գալիս այս տեսության սահմաններից՝
# \det E = 1 (միավոր մատրիցի որոշիչը հավասար է 1-ի);
# \det cA = c^n \det A (n չափի մատրիցների տարածության վրա որոշիչը հանդիսանում է n աստիճանի միատար ֆունկցիա);
# \det A^T = \det A (Մատրիցի որոշիչը չի փոխվում նրա տրանսպոնացման դեպքում);
# \det (AB) = \det A \cdot \det B (Մատրիցների արտադրյալի որոշիչը հավասար է նրանց որոշիչների արտադրյալին, A և B մատրիցները նույն կարգի քառակուսային մատրիցներ են);
# \det A^{-1} = (\det A)^{-1}, ընդ որում A մատրիցը հակադարձելի է այն և միայն այն դեպքում, երբ հակադարձելի է նրա \det A որոշիչը;
# Գոյություն ունի AX = 0 հավասարման ոչզրոյական լուծում այն և միայն այն դեպքում, երբ \det A = 0 (կամ էլ \det A-ը պետք է լինի ոչհասարակ զրոյի բաժանարար այն դեպքում, երբ R-ը ոչամբողջական օղակ է)։

### Որոշիչը որպես տողերի (սյուների) մատրիցի ֆունկցիա
Որոշիչների տեսությունը ուսումնասիրելիս օգտակար է հաշվի առնել, որ այդ տեսության հիմքում ընկած է մատրիցի տողերով և սյուներով մանիպուլիացիան՝ մշակված Կարլ Գաուսի (Գաուսի ձևափոխում) կողմից։ Այդ ձևափոխությունների էությունը տանում է մատրիցների տողերի (սյուների) և նրանց տեղափոխությունների վրա գծային գործողությունների։ Այդ ձևափոխությունները բավականին պարզ ձևով արտացոլվում են որոշիչի վրա և նրանց ուսումնասիրությունը հարմար է սկզբնական մատրիցը «մասնատել» տողերի (կամ սյուների) և ընդունել որոշիչը որպես ֆունկցիա, որոշված տողերի (սյուների) հավաքածուի վրա։ Հետագայում \hat A_i տառերով նշանակվում են A մատրիցի տողերը (սյուները)։ 
: 1. Որոշիչ - մատրիցի տողերի (սյուների) բազմագծային ֆունկցիա։ 
Բազմագծայնությունը նշանակում է յուրաքանչյուր արգումենտով ֆունկցիայի գծայնություն մյուս արգումենտների ֆիկսած արժեքների դեպքում՝
::  \det(\hat A_1, \ldots, \alpha\hat A_i+\beta\hat {A'}_i, \ldots, \hat A_n) = \alpha\det(\hat A_1, \ldots, \hat A_i, \ldots, \hat A_n)+ \beta\det(\hat A_1, \ldots, \hat{A'}_i, \ldots, \hat A_n)
: 2. Որոշիչ - մատրիցի տողերի (սյուների) կոսիմետրիկ ֆունկցիա, այսինքն, մատրիցի երկու տողերի (սյուների) տեղափոխման արդյունքում նրա որոշիչը բազմապատկվում է −1-ով։
::  \det( \ldots, \hat A_i, \ldots, \hat A_j, \ldots ) = - \det( \ldots, \hat A_j, \ldots, \hat A_i, \ldots) 
: 3. Եթե մատրիցի երկու տողեր (սյուներ) համընկնում են, ապա նրա որոշիչը հավասար է զրոյի՝
:: \hat A_i =\hat A_j \Longrightarrow \det(\ldots,\hat A_i,\ldots,\hat A_j,\ldots) = 0 

**Ուշադրություն։** 1-3 հատկությունները հանդիսանում են որոշիչի հիմնական հատկություններ որպես տողերի (սյուների) ֆունկցիա, որոնք հեշտ է ապացուցել անմիջապես իրենց սահմանումներից։ 2-րդ հատկությունը (կոսիմետրիկությունը) հանդիսանում է 1-ին և 3-րդ հատկությունների տրամաբանական հետևանքը։ 3-րդ հատկությունը հանդիսանում է 2-րդ հատկության տրամաբանական հետևանքը, եթե R օղակում 2-րդ տարրը (այսինքն, 1+1) չի համընկնում զրոյին և չի հանդիսանում զրոյի բաժանարար։ 1-ին և 3-րդ հատկություններից հետևում են նաև այսպիսի հատկություններ՝

: 4. Որոշիչի ինչ-որ տողի (սյան) էլեմենտների ընդհանուր արտադրիչը կարելի է դուրս բերել որպես որոշիչի նշան (1-ին հատկության հետևանք)։
: 5. Եթե մատրիցի գոնե մի տող (սյուն) զրոյական է, ապա որոշիչը հավասար է զրոյի (4-րդ հատկության հետևանք)։
: 6. Եթե մատրիցի երկու (կամ ավելի) տողեր (սյուներ) գծային կախված, ապա նրա որոշիչըհավասար է զրոյի (1-ին և 3-րդ հատկությունների հետևանք)։
: 7. Ցանկացած տողին (սյանը) այլ տողի (սյան) գծային կոմբինացիայի ավելացման դեպքում որոշիչի արժեքը չի փոխվում (1-ին և 6-րդ հատկությունների հետևանք)։

Փաստը, որն ունի հիմնարար նշանակություն, հանդիսանում է որոշիչի ունիվերսալությունը որպես ամբողջական ռանգի բազմագծային կոսիմետրիկ ֆունկցիա, որի արգումենտները հանդիսանում են V (կամ վերջավոր բազիսով V-ի R մոդուլը) վեկտորային տարածության տարրեր։ Ճշմարիտ է հետևյալը՝
:**Թեորեմ։** դիցուք V-ն n-րդ կարգի ազատ R մոդուլն է (n-նիշային վեկտորային տարածություն R-ի վրա, եթե R-ը դաշտ է)։ դիցուք \varphi(X_1, X_2, \dots, X_n)-ը R-նիշային ֆունկցիա է V^n-ի վրա, որը բավարարում է 1-ից 3-րդ հատկություններին։ Այդ դեպքում V տարածության E_1, E_2, \dots, E_n  բազիսի ընտրության դեպքում գոյություն ունի այնպիսի c_0 = \varphi(E_1, E_2, \dots, E_n) հաստատուն, որ ցանկացած X_1, X_2, \dots, X_n արժեքների դեպքում ճշմատրտ է հավասարությունը՝
:: \varphi(X_1, X_2, \dots, X_n) = c_0 \det (\hat X_1, \hat X_2, \dots, \hat X_n),

որտեղ \hat X_i-ը X_i վեկտորի սյան կոորդինատն է E_1, E_2, \dots, E_n  բազիսի նկատմամբ։

### Որոշիչ և կողմնորոշված ծավալ
դիցուք \vec a, \vec b, \vec c երեք վեկտորներ են \R^3 տարածությունում։ Նրանք ձևավորում են զուգահեռանիստ, որի գագաթները գտնվում են \vec 0, \vec a, \vec b, \vec c, \vec a + \vec b, \vec c + \vec a, \vec b + \vec c, \vec a + \vec b + \vec c շառավիղ-վեկտորների կետերիում։ Այդ զուգահեռանիստը կարող է ձևավորվել, եթե \vec a, \vec b, \vec c վեկտորները կոմպլանար են (գտնվում են մի հարթության վրա, գծային կախված են)։

{\rm Vol}(\vec a, \vec b, \vec c) օրենտավորված ծավալի ֆունկցիան որոշվում է որպես զուգահեռանիստի ծավալ, ձևավորված այդ վեկտորներով, և վերցված են «+» նշանով, եթե (\vec a, \vec b, \vec c) վեկտորների եռյակը դրական է օրենտացված, և «-» նշանով, եթե այն օրենտացված է բացասական։

{\rm Vol}(\vec a, \vec b, \vec c) ֆունկցիան բազմագծային է և կոսիմետրիկ։ Ակնհայտ է, որ 3-րդ հատկությունը կատարված է։ Այս ֆունկցիայի բազմագծայնությունը ապացուցելու համար բավական է ապացուցել նրա գծայնությունն ըստ \vec a վեկտորի։ Եթե \vec b, \vec c վեկտորը գծային կախված է, {\rm Vol}(\vec a, \vec b, \vec c)-ի արժեքը կլինի զրոյական, անկախ \vec a վեկտորից, և նշանակում է, նրանից գծային կախված է։ Եթե \vec b, \vec c վեկտորը գծային կախված է, նշանակենք \vec n-ով միավոր նոմինալ վեկտորը \vec b, \vec c վեկտորների հարթության վրա այնպիսին, որ {\rm Vol}(\vec n, \vec b, \vec c) > 0։ Այդ դեպքում զուգահեռանիստի օրիենտավորված ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի, որը կազմված է \vec b, \vec c վեկտորներով, և \vec a վեկտորից չկախված և \vec a վեկտորի պրոյեկցիայի հիմքի նորմալի հանրահաշվական մեծության, որը հավասար է \langle\vec a, \vec n\rangle սկալյար մեծությունների արտադրյալին և հանդիսանում է մեծություն, որը գծային կախված է \vec a վեկտորին։ Ըստ \vec a-ի գծայնությունը ապացուցված է, և նմանատիպ ձևով ապացուցվում է մնացած արգումենտներով գծայնույունը։

Կիրառելով որոշիչի որոշիչի ունիվերսալության թեորեմը որպես կոսիմետրիկ բազմագծային ֆունկցիա, կստանանք, որ \R^3 տարածության (\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3) օրթոնորմավորված բազիսի ընտրության դեպքում՝
:{\rm Vol}(\vec a, \vec b, \vec c)= {\rm Vol}(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3) \det\begin{pmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix},

որտեղ a_i, b_i, c_i-ը (\vec a, \vec b, \vec c) վեկտորի կոորդինատներն են ընտրված բազիսում։

Այսպիսով, վեկտորների գործակիցների մատրիցայի որոշիչը ըստ օրթոնորմավորված բազիսի ունի զուգահեռանիստի օրենտավորված ծավալի իմաստ, կառուցված այդ վեկտորներով։

Վերոնշյալները առանց էական փոփոխության տեղափոխվում է կամայական չափի \R^n տարածության վրա։
## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Գծային հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Մատրից
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական հասկացություններ