Կրոնեկերյան արտադրյալ

Մաթեմատիկայում Կրոնեկերյան արտադրյալը, որը նշանակվում է &otimes;, կամայական երկու մատրիցների մաթեմաթիկական գործողություն է, որի արդյունքում ստանում ենք քառակուսի մատրից։ Դա վեկտորներից դեպի մատրիցներ կատարվող արտաքին արտադրյալի գործողության ընդհանրացումն է (որը ունի նույն նշանակումը)։ Կրոնեկերյան արտադրյալը տարբերվում է մատրիցների սովորական բազմապատկումից, որը հիմնովին այլ գործողություն է։ Կրոնեկերյան արտադրյալը երբեմն նաև կոչվում է մատրիցների ուղիղ արտադրյալ։

Կրոնեկերյան արտադրյալը անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Լեոպոլդ Կրոնեկերի  (1823-1891) պատվին, չնայած քիչ փաստեր կան, որ առաջինը նա է սահմանել և օգտագործել այն։ Կրոնեկերյան արտադրյալը այլ կերպ կոչվում է նաև «Զեհֆուսի մատրից», Ջոհան Ջորջ Զեհֆուսի պատվին, ով 1858 թվականին նկարագրել է այս գործողությունը, բայց այժմ ամենալայն տարածված տերմինը Կրոնեկերյան արտադրյալն է։

## Սահմանում
Եթե **A**֊ն  մատրից է և **B**֊ն  մատրից, ապա Կրոնեկերյան արտադրյալ  մատրիցների համար կստացվի  քառակուսային մատրից։

:\mathbf{A}\otimes\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
  a_{11} \mathbf{B} & \cdots & a_{1n}\mathbf{B} \\
             \vdots & \ddots &           \vdots \\
  a_{m1} \mathbf{B} & \cdots & a_{mn} \mathbf{B}
\end{bmatrix}, 

Բացահայտ տեսքով՝

:{\mathbf{A}\otimes\mathbf{B}} = \begin{bmatrix}
   a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} &
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\
   a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} &
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} &
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} &
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\
   a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} &
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} &
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq}
\end{bmatrix}. 

Կարճ ասած, մենք ունենք

(A\otimes B)_{p(r-1)+v, q(s-1)+w} = a_{rs} b_{vw}


Նմանապես

(A\otimes B)_{i, j} = a_{\lceil (i)/p \rceil,\lceil (j)/q \rceil} b_{i - \lfloor (i-1)/p \rfloor p, j - \lfloor (j-1)/q \rfloor q}.

Օգտագործելով  i\%p = i - \lfloor i/p \rfloor p , որտեղ  i \% p֊ն նշանակվում է որպես մնացորդ i/p, սա կարող է գրվել ավելի համաչափ տեսքով 
:
(A\otimes B)_{i, j} = a_{\lceil (i)/p \rceil,\lceil (j)/q \rceil} b_{(i-1)\%p +1, (j-1)\%q + 1}.


Եթե **A** և **B** մատրիցները նեռկայացնում են գծային ձևափոխություններ  և , ապա․ համապատասխանաբար  ներկայացնում են տենզոռային արտադրյալ .

### Օրինակներ
:
  \begin{bmatrix}
    1 & 2 \\
    3 & 4 \\
  \end{bmatrix} \otimes
  \begin{bmatrix}
    0 & 5 \\
    6 & 7 \\
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    1 \begin{bmatrix}
      0 & 5 \\
      6 & 7 \\
    \end{bmatrix} & 
    2 \begin{bmatrix}
      0 & 5 \\
      6 & 7 \\
    \end{bmatrix} \\

    3 \begin{bmatrix}
      0 & 5 \\
      6 & 7 \\
    \end{bmatrix} & 
    4 \begin{bmatrix}
      0 & 5 \\
      6 & 7 \\
    \end{bmatrix} \\
  \end{bmatrix} =

  \begin{bmatrix}
    1\times 0 & 1\times 5 & 2\times 0 & 2\times 5 \\
    1\times 6 & 1\times 7 & 2\times 6 & 2\times 7 \\
    3\times 0 & 3\times 5 & 4\times 0 & 4\times 5 \\
    3\times 6 & 3\times 7 & 4\times 6 & 4\times 7 \\
  \end{bmatrix} =

  \begin{bmatrix}
     0 &  5 &  0 & 10 \\
     6 &  7 & 12 & 14 \\
     0 & 15 &  0 & 20 \\
    18 & 21 & 24 & 28
  \end{bmatrix}.


Նմանապես

:
\begin{bmatrix}
1 & -4 & 7 \\
-2 & 3 & 3
\end{bmatrix} \otimes
\begin{bmatrix}
8 & -9 & -6 & 5 \\
1 & -3 & -4 & 7 \\
2 & 8 & -8 & -3 \\
1 & 2 & -5 & -1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
8 & -9 & -6 & 5 & -32 & 36 & 24 & -20 & 56 & -63 & -42 & 35 \\
1 & -3 & -4 & 7 & -4 & 12 & 16 & -28 & 7 & -21 & -28 & 49 \\
2 & 8 & -8 & -3 & -8 & -32 & 32 & 12 & 14 & 56 & -56 & -21 \\
1 & 2 & -5 & -1 & -4 & -8 & 20 & 4 & 7 & 14 & -35 & -7 \\
-16 & 18 & 12 & -10 & 24 & -27 & -18 & 15 & 24 & -27 & -18 & 15 \\
-2 & 6 & 8 & -14 & 3 & -9 & -12 & 21 & 3 & -9 & -12 & 21 \\
-4 & -16 & 16 & 6 & 6 & 24 & -24 & -9 & 6 & 24 & -24 & -9 \\
-2 & -4 & 10 & 2 & 3 & 6 & -15 & -3 & 3 & 6 & -15 & -3
\end{bmatrix}


## Աղբյուրներ
* .
*.
* 
* 

## Արտաքին հղումներ
* 
* 
* MathWorld Kronecker Product
* New Kronecker product problems 
* Earliest Uses: The entry on The Kronecker, Zehfuss or Direct Product of matrices has historical information.
* Generic C++ and Fortran 90 codes for calculating Kronecker products of two matrices.
* RosettaCode Kronecker Product (in more than 30 languages).

## Ծանոթագրություններ