Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիա

**Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիա** (հայտնի է նաև արեաֆունկցիա կամ արեա-ֆունկցիա), տարրական ֆունկցիաների ընտանիք՝ սահմանվող որպես հիպերբոլական ֆունկցիաներին հակադարձ ֆունկցիաներ։ Այս ֆունկցիաները որոշում են միավոր հիպերբոլի սեկտորի մակերեսը ։ Համանման ձևով՝ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆուկցիաները որոշում են միավոր շրջանագծի աղեղի երկարությունը ։ Այս ֆունկցիաների համար հաճախ օգտագործվում են arcsinh, arcsh, arccosh, arcch, սակայն, դա սխալ է համարվում, քանի որ arc նշանակում է աղեղ (*arcus*), իսկ *ar* նշանակում է մակերես (*area* )։ Ավելի ճիշտ են համարվում arsinh, arsh  և այլն։
thumb|350x350px|Իրական արգումենտի արեասինուս|alt=

thumb|350x350px|Իրական արգումենտի արեակոսինուս|alt=

thumb|350x350px|Իրական արգումենտի արեատանգենս|alt=

thumb|358x358px|Իրական արգումենտի արեակոտանգենս|alt=

thumb|430x430px|Իրական արգումենտի արեասեկանս|alt=

thumb|350x350px|Իրական արգումենտի արեակոսեկանս|alt=
Կոմպլեքսային հարթության մեջ այդ ֆունկցիաները պարբերական են, իսկ նրանց հակադարձ ֆունկցիաները` բազմարժեք։

## Ֆունկցիայի որոշումը

Կոմպլեքսային հարթության մեջ ֆունկցիայի գլխավոր արժեքները կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևերով․

* արեասինուս
: 
 \operatorname{arsh}\, z = \ln(z + \sqrt{z^2 + 1} \,);

* արեակոսինուս
: \operatorname{arch}\, z = \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt{z-1} \,);

* արեատնգենս
: \operatorname{arth}\, z = \tfrac12\ln\left(\frac{1+z}{1-z}\right);

* արեակոտանգենս
: \operatorname{arcth}\, z = \tfrac12\ln\left(\frac{z+1}{z-1}\right);

* արեասեկանս
: \operatorname{arsech}\, z = \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z} + 1 } \, \sqrt{ \frac{1}{z} -1 } \,\right);

* արեակոսեկանս
: \operatorname{arcsch}\, z = \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z^2} +1 } \,\right).

Քառակուսի արմատները այս բանաձևերում հանդիսանում են քառակուսի արմատի գլխավոր արժեքները։ Z կոմպլեքս թիվը, եթե ներկայացնենք որպես  z=r e^{i \varphi}  , երբ  -\pi ), իսկ լոգարիթմական ֆունկցիաները հանդիսանում են կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաներ, ապա  կարող ենք կատարել որոշակի պարզեցում։

Օրինակ՝\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1},որոնք միշտ չէ, որ ճիշտ են քառակուսի արմատի գլխավոր արժեքի համար։

## Ներկայացում շարքով
: \begin{align}\operatorname{arsh}\, x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots \\
                       & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| 

: \begin{align}\operatorname{arch}\, x & = \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right) \\
                      & = \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1. \end{align} 

: \begin{align}\operatorname{arth}\, x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| 

: \begin{align}\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1. \end{align} 

: \begin{align}\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arch} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) \\
                      & = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 

: \begin{align}\operatorname{arcth}\, x = \operatorname{arth} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1. \end{align} 

Ասիմպտոտիկ ներկայացումը   տրվում է բանաձևով․

: \operatorname{arsh}\, x = \ln 2x + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac} \frac{1}.

## [[Ածանցյալ|Ածանցիալներ]]
: 
\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arch}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}.\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}.\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}.\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{-1}{x(x+1)\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}.\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}.\\
\end{align}

Իրական -երի համար․

: 
\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0.\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0.
\end{align}

Ածանցման օրինակ, եթե , ապա՝
: \frac{d\,\operatorname{arsh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \operatorname{sh} \theta} = \frac{1} {\operatorname{ch} \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\operatorname{sh}^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.

## Հիպերբոլական և հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցկիաների կոմբինացիա
: \begin{align}
 &\operatorname{sh}(\operatorname{arch}\,x) = \sqrt{x^{2} - 1},  \quad \quad |x| > 1; \\
 &\operatorname{sh}(\operatorname{arth}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}, \quad \quad -1  1.
\end{align}

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
*  Inverse hyperbolic functions  
* Inverse hyperbolic functions 

Կատեգորիա:Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
Կատեգորիա:Տարրական ֆունկցիաներ