Հինդու-արաբական թվային համակարգ

մինի|Ժամանակակից արաբական հեռախոսի ստեղնաշար՝ արաբական թվանշանների երկու ձևերով ՝ ձախ կողմում գտնվող արևմտյան արաբական թվանշաններով և աջ կողմում գտնվող արևելյան արաբական թվանշաններով

**Հինդու-արաբական թվային համակարգ** () (նաև հայտնի որպես ինդո-արաբական թվային համակարգ, հնդկական թվերի համակարգ կամ արաբական թվային համակարգ), դիրքային, տասնորդական հիմքով հաշվարկման համակարգ ամբողջ թվերը ներկայացնելու համակարգ։ Դրա ընդլայնումը՝ ոչ ամբողջ թվերի համար, հայտնի է որպես տասնորդական թվային համակարգ, որը ներկայումս ամենատարածվածն է աշխարհում։

Այս համակարգը ստեղծվել է հնդիկ մաթեմատիկոսների կողմից՝ մ.թ. I-ից IV դարերի միջև։ IX դարում այն որդեգրվել է արաբ մաթեմատիկոսների կողմից, որոնք այն զարգացրել են՝ ներառելով կոտորակները։ Համակարգը առավել լայնորեն հայտնի դարձավ պարսիկ մաթեմատիկոս Ալ-Խորեզմի «Հաշվարկ հնդկական թվերով» և արաբ մաթեմատիկոս Ալ-Քինդիի «Հնդկական թվերի օգտագործման մասին» աշխատությունների շնորհիվ, որոնք գրվել են արաբերենով։ Միջնադարյան Եվրոպայում համակարգը տարածվել է ուշ միջնադարում՝ հատկապես Ֆիբոնաչիի XIII դարի  «Liber Abaci» գրքի միջոցով։ Մինչ տպագրական մամուլի զարգացմանը XV դարում, Եվրոպայում այս համակարգի օգտագործումը հիմնականում սահմանափակված էր Հյուսիսային Իտալիայով։

Համակարգը հիմնված է տասը սիմվոլների վրա, որոնք ներկայացնում են 0-ից 9 թվերը և հնարավորություն են տալիս յուրաքանչյուր բնական թիվ արտահայտել դրանց յուրահատուկ հաջորդականությամբ։ Այս նշանները, սկզբունքորեն, անկախ են հենց համակարգից։ Գործածվող նշանները ծագում են Բրահմի թվերից և միջնադարից ի վեր ենթարկվել են տարբեր տիպոգրաֆիկ փոփոխությունների։

Այս սիմվոլների համակարգերը պայմանականորեն բաժանվում են երեք հիմնական խմբերի.

* Արևմտյան արաբական թվեր՝ կիրառվում են Մեծ Մաղրեբում և Եվրոպայում,
* Արևելյան արաբական թվեր՝ կիրառվում են Մերձավոր Արևելքում,
* Հնդկական թվեր՝ տարբեր գրային համակարգերում՝ Հնդկական ենթամայրցամաքում։

## Ծագումնաբանություն
Իններորդ դարում՝ մ․թ․ 600 թվականին, Հնդկաստանի և Հարավարևելյան Ասիայի Բրահմի տառաձևերից բխած գրություններում թվերի գրառման ձևում տեղի ունեցավ փոփոխություն․ նախկինում օգտագործվող հավելումային համակարգից, որտեղ տարբեր մեծությունների համար օգտագործվում էին առանձին թվանշաններ, անցում կատարվեց դիրքային համակարգի, որտեղ մեկ ամբողջական հավաքածուով նշաններ էին օգտագործվում 1-ից 9 թվերի համար, և կետ՝ զրոյի համար։ Այս նոր համակարգը աստիճանաբար փոխարինեց հավելումային թվանշանային գրառումները դարերի ընթացքում։

Երբ այս համակարգը որդեգրվեց և ընդլայնվեց միջնադարյան արաբների և պարսիկների կողմից, այն կոչվեց ալ-հիսաբ ալ-հինդի («հնդկական հաշվարկ»): Այս թվանշանները աստիճանաբար սկսեցին օգտագործվել Եվրոպայում 10-րդ դարից սկսած՝ հավանաբար փոխանցվել էր արաբ վաճառականների միջոցով։ Միջնադարյան և Վերածննդի ժամանակաշրջանի եվրոպացի մաթեմատիկոսները հիմնականում ճանաչում էին այս թվանշանների հնդկական ծագումը, թեև մի քանի ազդեցիկ աղբյուրներ դրանք վերագրում էին արաբներին, և արդյունքում Եվրոպայում դրանք լայն տարածում ստացան որպես «արաբական թվանշաններ»։

Ըստ որոշ աղբյուրների՝ այս թվային համակարգը կարող էր ծագել նաև չինական Շանգի թվանշաններից (մ․թ․ա․ 1200 թ.), որը նույնպես տասնական դիրքային թվային համակարգ էր։

## Դիրքային թվային համակարգ
Հինդու-արաբական թվանշանային համակարգը նախատեսված է տասնորդական համակարգում դիրքային գրառման համար։ Այս համակարգի ավելի զարգացած տարբերակում օգտագործվում է նաև տասնորդական տրոհիչ (սկզբում նշան էր միավորների թվանշանի վերևում, սակայն այժմ ավելի հաճախ օգտագործվում է կետ կամ ստորակետ՝ միավորների և տասներորդականների միջև տարանջատման համար),  ինչպես նաև հատուկ նշան «այս թվանշանները անվերջ կրկնվում են» արտահայտելու համար։ Ժամանակակից օգտագործման մեջ այդ վերջին նշանը սովորաբար հորիզոնական գիծ է (վինկուլում), որը տեղադրվում է կրկնվող թվանշանների վերևում։ Այս զարգացած ձևով թվանշանային համակարգը կարող է արտահայտել ցանկացած ռացիոնալ թիվ՝ օգտագործելով միայն 13 նշան՝ 10 թվանշան (0–9), տասնորդական առանձնացուցիչ, վինկուլում և նախորդող մինուս նշան բացասական թվի համար։

Չնայած այն հաճախ օգտագործվում է արաբական այբբենական գրության մեջ, որը գրվում է աջից ձախ, այս թվանշաններով գրած թվերը դասավորվում են այնպես, որ առավել կարևոր թվանշանը (ամենաբարձր կարգի) լինի ձախ կողմում՝ թվերը ընթերցվում են ձախից աջ։ Սակայն թվերը երբեմն չեն արտասանվում հենց այդ կարգով՝ մեծից փոքր։ Տեքստերում, որտեղ համակցվում են աջից ձախ և ձախից աջ գրառման համակարգեր, անհրաժեշտ են համապատասխան ուղղության փոփոխություններ։

## Սիմվոլներ
Տարբեր խորհրդանշանային համակարգեր օգտագործվում են հնդկական-արաբական թվանշանային համակարգում թվերը ներկայացնելու համար, որոնց մեծ մասը զարգացել է Բրահմի թվանշաններից։ Այս համակարգը ներկայացնող նշանները միջնադարից սկսած բաժանվել են մի քանի տիպոգրաֆիկական տարբերակների, որոնք դասակարգվում են երեք հիմնական խմբերում․

* Տարածված արևմտյան «արաբական թվանշանները», որոնք օգտագործվում են լատիներենի, կյուրեղագիր և հունական այբուբենների հետ, ծագել են «արևմտյան արաբական թվանշաններից», որոնք զարգացել են Ալ-Անդալուսում և Մաղրիբում։ Այս խմբի տիպոգրաֆիկական երկու ոճերն են՝ շարքով և տեքստային։
* «Արաբա-հնդկական» կամ «արևելյան արաբական թվանշանները», որոնք օգտագործվում են արաբերեն գրության մեջ և հիմնականում զարգացել են ներկայիս Իրաքի տարածքում։ Արևելյան արաբական թվանշանների մի տարբերակ օգտագործվում է նաև պարսկերենում և ուրդուում։
* Հնդկական թվանշանները, որոնք օգտագործվում են Հնդկաստանում և Հարավարևելյան Ասիայում Բրահմյան ընտանիքին պատկանող գրություններով։ Հնդկաստանի մոտ մեկ տասնյակ խոշոր գրային համակարգերից յուրաքանչյուրը ունի իր սեփական թվանշանային նշանները (ինչը կարելի է տեսնել Unicode-ի նշանների աղյուսակներում)։

### Հիերոգլիֆների համեմատություն

## Պատմություն
### Նախորդներ
մինի|Բրահմիի առաջին թվանշանները՝ հինդու-արաբական թվերի նախնիները, որոնք օգտագործվել են Աշոկայի կողմից իր՝ Աշոկայի հրամանագրերում։
Բրահմի թվանշանները, որոնք այս համակարգի հիմքում են, առաջ են եկել մեր թվարկությունից առաջ։ Դրանք փոխարինել են ավելի վաղ օգտագործվող Խարոշթի թվանշաններին, որոնք կիրառվել են մ.թ.ա. 4-րդ դարից։ Բրահմի և Խարոշթի թվանշանները օգտագործվել են զուգահեռ՝ Մաուրյան կայսրության ժամանակաշրջանում, և երկուսն էլ հանդիպում են մ.թ.ա. 3-րդ դարի Աշոկա արքայի հրամանագրերում։

Նագարի և Դևանագարի թվանշանները ունեցել են ձեռագրային տարբերակներ։

Բուդդայական արձանագրություններում մ.թ.ա. մոտ 300 թվականից օգտագործվել են այն խորհրդանիշները, որոնք հետագայում դարձել են 1, 4 և 6։ Մեկ դար անց արդեն արձանագրվել է 2, 4, 6, 7 և 9 թվանշաններին համապատասխանող նշանների կիրառությունը։ Այս Բրահմի թվանշանները հինդու-արաբական թվանշանների նախահայրերն են (1-ից 9), սակայն դեռևս չէին օգտագործվում որպես դիրքային համակարգ՝ զրոյի կիրառությամբ։ Փոխարենը, յուրաքանչյուր տասնյակի համար կային առանձին նշաններ (օրինակ՝ 10, 20, 30 և այլն)։

Ժամանակակից թվանշանային համակարգը՝ ներառյալ դիրքային գրառումը և զրոյի կիրառությունը, տեսականորեն անկախ է օգտագործվող նշաններից և էապես ավելի նոր է, քան Բրահմի թվանշանները։
մինի|Նագարի և դեվանագարի թվերի ձեռագիր տարբերակները

### Զարգացում
Դիրքային համակարգը կիրառվել է Բախշալիի ձեռագրում, որի ամենահին էջերը ռադիոկարբոնային թեստերով թվագրվել են մ.թ. 224–383 թվականներին։ Դիրքային տասնորդական համակարգի զարգացումը տեղի է ունեցել հնդկական մաթեմատիկայի մեջ Գուպտա դինաստիայի ժամանակաշրջանում։ Մոտավորապես 500 թվականին աստղագետ Արյաբհատան օգտագործում է «kha» բառը (նշանակում է «դատարկություն»)՝ զրոն նշելու համար թվերի աղյուսակային դասավորություններում։ 7-րդ դարի «Բրահմասֆուտա Սիդդհանտա» երկում զրոյի մաթեմատիկական դերի համեմատաբար զարգացած ըմբռնում է արտահայտված։ 5-րդ դարի կորած պրակրիտերեն «Լոկավիբհագա» տեքստի սանսկրիտերեն թարգմանությունը կարող է պահպանած լինել զրոյի՝ որպես դիրքային նշանի ամենավաղ կիրառության օրինակը։

Առաջին հստակ թվագրված և անվիճելի արձանագրությունը, որտեղ զրոյի համար նշան է օգտագործված, հայտնաբերվել է Հնդկաստանի Գվալիոր քաղաքում՝ Չատուրբհուջա տաճարում, և թվագրված է մ.թ. 876 թվականին։

#### Միջնադարյան իսլամական աշխարհ
Այս հնդկական զարգացումները ընդունվեցին իսլամական մաթեմատիկայի մեջ 8-րդ դարում, ինչպես արձանագրել է Ալ-Քիֆթին իր աշխատության մեջ՝ «Գիտնականների ժամանակագրություն» (13-րդ դարի սկիզբ)։

10-րդ դարի իսլամական մաթեմատիկայում այս համակարգը ընդլայնվեց՝ ներառելով կոտորակներ, ինչպես նկարագրված է Աբբասյան խալիֆայության մաթեմատիկոս Աբու’լ-Հասան ալ-Ուքլիդիսիի տրակտատում։ Նա առաջինն էր, ով նկարագրեց տասնորդական դիրքային կոտորակները։ Ըստ պատմաբան Ջ. Լ. Բերգգրենի՝ հենց մուսուլմաններն էին առաջինները, ովքեր թվերը ներկայացրին մեր ժամանակներում ընդունված ձևով, քանի որ նրանք էին, ովքեր առաջինը ընդլայնեցին հաշվման այս համակարգը՝ միավորից փոքր մասնաբաժիններ ներկայացնելու համար տասնորդական կոտորակներով, այնպիսի բան, ինչը հնդիկները դեռ չէին արել։ Հետևաբար, համակարգը «հինդու-արաբական» անվանելը ամբողջովին տեղին է։

Այս թվանշանային համակարգը հայտնի դարձավ ինչպես պարսիկ մաթեմատիկոս Ալ-Խորեզմին, ով մ.թ. մոտ 825 թվականին գրել է գիրք՝ «Հաշվարկ հնդկական թվանշաններով», այնպես էլ արաբ մաթեմատիկոս Ալ-Քինդիին, ով մոտ 830 թվականին գրել է գիրք՝ «Հնդկական թվանշանների օգտագործման մասին»։

Պարսիկ գիտնական Քուշյար Գիլանին, ով գրել է «Հնդկական հաշվարկի սկզբունքներ», հեղինակել է ամենահին պահպանված ձեռագրերից մեկը, որն օգտագործում է հնդկական թվանշաններ։

Այս գրքերն են հիմնականում պատասխանատու հնդկական հաշվման համակարգի տարածման համար՝ սկզբում իսլամական աշխարհում, իսկ ապա՝ նաև Եվրոպայում։

### Տարածումը Եվրոպայում

[աջից|մինի|Արաբական թվային համակարգը առաջին անգամ հայտնվեց Եվրոպայում իսպանական[Codex Vigilanus-ում 976 թվականին:]]
Քրիստոնեական Եվրոպայում hնդկա-արաբական թվանշանների (1-ից 9, առանց զրոյի) առաջին հիշատակությունն ու պատկերումը տեղի է ունեցել Codex Vigilanus (նաև՝ Albeldensis) ձեռագրում։ Դա պատկերազարդ ժողովածու էր Վեստգոթական շրջանի տարբեր պատմական փաստաթղթերի, որը 976 թվականին գրի են առել Սան Մարտին դե Ալբելդա վանքի երեք վանականներ Իսպանիայի Ռիոխա շրջանում։ 967–969 թվականների միջև Ժերբեր դ’Օրիակը՝ ապագա պապ Սիլվեստր II-ը, Կատալոնիայում ուսումնասիրել է արաբական գիտությունը։ Հետագայում նա ձեռք է բերել De multiplicatione et divisione («Բազմապատկման և բաժանման մասին») գիրքը։ 999 թ․ պապ ընտրվելուց հետո նա ստեղծում է նոր տիպի հաշվիչ՝ Ժերբերի աբակուսը, օգտագործելով նշաններ՝ ներկայացնելու հինդու-արաբական թվանշանները 1-ից 9։

Հետագայում, Լեոնարդո Ֆիբոնաչին (1170–1250) Եվրոպա բերեց այս համակարգը։ Նրա գիրքը՝ Liber Abaci («Հաշվման գիրք»), ներկայացնում էր Modus Indorum-ը («Հնդիկների մեթոդը»), որը հիմա հայտնի է որպես հինդու-արաբական թվանշանային համակարգ կամ տասնորդական դիրքային գրառում, ներառյալ զրոյի օգտագործումը և տասնորդական կոտորակների համակարգը։ Այս համակարգը եվրոպացիները սկսեցին անվանել «արաբական», քանի որ այն Եվրոպա էր եկել արաբների միջոցով։ Այն օգտագործվել է եվրոպական մաթեմատիկայում 12-րդ դարից, իսկ ընդհանուր կիրառության մեջ մտել է 15-րդ դարից, աստիճանաբար փոխարինելով հռոմեական թվերը։

Այսօր լատինատառ գրի մեջ օգտագործվող թվանշանների սովորական ձևերը (0, 1, 2, ..., 9) ձևավորվել են 15-րդ դարի վերջին և 16-րդի սկզբին, երբ թվերը մտել են տպագրության մեջ։ Մինչ այդ, մուսուլման գիտնականները օգտագործում էին Բաբելոնյան թվային համակարգը, իսկ վաճառականները՝ Աբջադ թվանշանները (նման հույն և եբրայական թվային համակարգերին)։ Չնայած Ֆիբոնաչիի ներդրմանը, այս համակարգը սկզբում սահմանափակված էր միայն կրթված շրջանակների ներսում։ Իսկ հանրային լայն կիրառության հիմքերը դրեց գերմանական վերածննդի հեղինակ Ադամ Ռիզեն։ Նրա գիրքը՝ «Rechenung auff der linihen und federn» (1522, «Հաշվարկ գծերի և փետուրով գրելու միջոցով»), ուղղված էր արհեստավորների և վաճառականների աշակերտներին, ինչն էլ մեծապես նպաստեց դիրքային տասնորդական համակարգի տարածմանը։
Պատկեր:Houghton_Typ_520.03.736_-_Margarita_philosophica.jpg|Գրեգոր Ռայշ, «Տիկին Արիթմետիկա», 1503 թ.
Պատկեր:Rechentisch.png|Հաշվարկային աղյուսակ, որն օգտագործվում էր հռոմեական թվանշաններով հաշվարկների համար
Պատկեր:Rechnung_auff_der_Linihen_und_Federn.JPG|Ադամ Ռիս, «Գծերի և փետուրների հաշվառում», 1522
Պատկեր:Köbel_Böschenteyn_1514.jpg|Երկու մաթեմատիկական գիրք, հրատարակված 1514 թ. — Կյոբելի գիրքը (ձախում), որն օգտագործում է հաշվարկային աղյուսակ, և Բյոշենթեյնի գիրքը, որն օգտագործում է թվանշաններ
Պատկեր:Rechnung_auff_der_linihen_1525_Adam_Ries.PNG|Ադամ Ռիս, «Գծերի և փետուրների հաշվառում» (2-րդ հրատարակություն), 1522
Պատկեր:1543_Robert_Recorde.PNG|Ռոբերտ Ռեքորդ, «Արվեստի երկիր», 1543 թ
Պատկեր:Peter_Apian_1544.PNG|Պետեր Ապիան, «Վաճառականների հաշվարկ», 1527 թ.
Պատկեր:Adam_riesen.jpg|Ադամ Ռիս, «Հաշվարկ գծերի և փետուրի (գրիչի) վրա» (2-րդ հրատարակություն), 1525 թ.


### Տարածումը Արևելյան Ասիայում
«〇» նշանը օգտագործվում է զրոն գրելու համար Սուջոուի թվանշաններում, որոնք փայտիկային թվանշանային համակարգի միակ պահպանված տարբերակն են։ 1247 թվականին չինացի մաթեմատիկոս Ծին Ցզյուշաոյի գրված «Ինը բաժնի մաթեմատիկական տրակտատը» համարվում է ամենահին պահպանված չինական մաթեմատիկական տեքստը, որտեղ զրոն նշվում է հենց «〇» նշանով։

«〇» նշանի օգտագործման ծագումը զրոյի համար անհայտ է։ Հնդկական թվանշաններն ու զրոն Չինաստան է ներմուծել Գաուտամա Սիդդհան՝ 718 թ․, սակայն չինացի մաթեմատիկոսները դրանք օգտակար չէին համարում, քանի որ իրենք արդեն ունեին տասնորդական դիրքային հաշվարկ՝ փայտիկներով։ Որոշ պատմաբաններ ենթադրում են, որ «〇»-ի կիրառումը ազդված է եղել Հնդկաստանից ներմուծված թվանշաններից, բայց Գաուտամայի համակարգում զրոն ներկայացվում էր ոչ թե օղակով, այլ կետով, ինչպես Բախշալի ձեռագրում։

Այլ վարկածի համաձայն՝ «〇»-ի կիրառումը կարող էր առաջանալ չինական գրերում օգտագործվող դատարկ նշանի՝ «□»-ի ձևափոխությունից, և նմանությունը հնդկական զրոյի հետ պարզապես պատահական համընկնում է։ Մյուսները ենթադրում են, որ հնդիկներն են կարող է վերցրել «〇»-ը Չինաստանից, քանի որ այն նման է կոնֆուցիական փիլիսոփայության «ոչինչ» գաղափարի նշանին։

Չինաստանն ու Ճապոնիան վերջնականապես ընդունեցին հինդու-արաբական թվանշանները 19-րդ դարում, դրանով հրաժարվելով փայտիկների հաշվարկային համակարգից։

### Արևմտաարաբական տարբերակի տարածում
«Արևմտյան արաբական» թվանշանները, ինչպես օգտագործվում էին Եվրոպայում բարոկկո դարաշրջանից սկսած, հետագայում սկսել են օգտագործվել ամբողջ աշխարհում՝ լատիներենի այբուբենի հետ միասին։ Նրանք լայն տարածում գտան նույնիսկ այն տարածաշրջաններում, որտեղ նախկինում օգտագործվում էին հնդկական-արաբական թվանշանների այլ տարբերակներ, իսկ լատինատառ գրությունը այդքան էլ տարածված չէր։ Բացի այդ, այս թվանշանները օգտագործվում են նաև չինական և ճապոնական գրերի հետ համատեղ (տես՝ Չինական թվանշաններ, Ճապոնական թվանշաններ)։

## Տես նաև
* Մաթեմատիկայի պատմություն
* Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա))

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
* 
* On the genealogy of modern numerals  by Edward Clive Bayley
* 
* 
* 
* 
* 

Կատեգորիա:Արաբական մշակույթ
Կատեգորիա:Գիտության պատմություն
Կատեգորիա:Գիտությունը Հնդկաստանում
Կատեգորիա:Թվաբանություն
Կատեգորիա:Թվեր
Կատեգորիա:Հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Հաշվարկման համակարգեր
Կատեգորիա:Հնդկական հայտնագործություններ
Կատեգորիա:Հնդկաստանի մշակույթ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Տարրական մաթեմատիկա