Թվային հաջորդականություն

thumb|Թվային հաջորդականություն
**Թվային հաջորդականություն**, թվային տարրերի հաջորդականություն, մաթեմատիկական անալիզի հիմնական դիտարկման առարկա։

## Սահմանում

Օբյեկտների կարգավորված ցանցը կոչվում է հաջորդականություն։

## Եղանակներ
Գոյություն ունի հաջորդականության տրման երեք առավել կարևոր եղանակ՝ անալիտիկ (բանաձևով), բառային նկարագրով և ռեկուրենտ։

### Հաջորդականության տրման [[Անալիտիկ ֆունկցիա|անալիտիկ]] եղանակ

***Սահմանում 1.***

Եթե թվային արժեքներ ընդունող f ֆունկցիայի որոշման տիրույթ է հանդիսանում բնական թվերի բազմությունը՝ n∈N, ապա այդպիսի ֆունկցիային անվանում են **անվերջ թվային հաջորդականություն**, *կամ պարզապես, հաջորդականություն, իսկ <math>x_n = f(n)</math> թվերը կոչվում են հաջորդականության անդամներ*։

Հաջորդականությունը նշանակում են \{x_n\}, \{x_n\}_1^\infty կամ

x_1, x_2, x_3, x_4, ..., x_n, ...  (1)

\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}, ..., \frac{1}{3n-1}, ...  (2)

\frac{3}{2}, \frac{4}{9}, \frac{5}{28}, ..., \frac{n+2}{n^3+1}, ... (3)

-2, 0, -2, ..., -2, 0, ... (4)

5, 5, 5, ..., 5, ... (5)

(4) հաջորդականությունում x_n=-1+(-1)^n, իսկ (5), ում՝ x_n =5:

Դիցուք ունենք \{x_n\}-ը և \{y_n\}-ը թվային հաջորդականություններ են։ Նրանց գումար, տարբերություն, արտադրյալ և քանորդ են կոչվում համապատասխանաբար՝ \{x_n+y_n\}, \{x_n-y_n\}, \{x_n\centerdot y_n\}, \{\frac{x_n}{y_n}\}, (y_n\neq0) հաջորդականությունները։

***Սահմանում 2:***

*<math>\{x_n\}</math> հաջորդականությունը կոչվում է վերևից (ներքևից) սահմանափակ, եթե գոյություն ունի այնպիսի M (m) թիվ, որ ցանկացած n բնական թվի համար տեղի ունի անհավասարությունը՝

<math>x_n \eqslantless M</math> <math>(x_n\geqslant m)</math>:*

***Սահմանում 3:***

*<math>\{x_n\}</math>

հաջորդականությունը կոչվում է սահմանափակ, եթե այն լինի և՛ վերևից, և՛ ներքևից սահմանափակ:*

***Սահմանում 4:***

*<math>\{x_n\}</math>

հաջորդականությունը կոչվում է անսահմանափակ, եթե ցանկացած* L>0 *թվի համար* x_k\in \{x_n\}: |x_k|>L:

#### Օրինակներ

***Օրինակ 1:***
 
-5, -10, -15, ..., -5n, ...

հաջորդականությունը սահմանափակ է միայն վերևից, ներքևից սահմանափակ չէ։

***Օրինակ 2:***

1, 6, 11, ..., 5n-4, ...

հաջորդականությունը սահմանափակ է միայն ներքևից, վերևից սահմանափակ չէ։

***Օրինակ 3:***

3, \frac{3}{2}, \frac{3}{2^2}..., \frac{3}{2^n-1}, ...

հաջորդականությունը սահմանափակ է և՛ վերևից, և՛ ներքևից։

***Օրինակ 4:***

-2, 2^2, -3, 3^2, ..., -n, n^2, ...

հաջորդականությունը սահմանափակ չէ ո՛չ վերևից, ո՛չ էլ ներքևից։

### Հաջորդականության բառային նկարագիր

Հաջորդականության բառային նկարագրում, այսինքն պարզ թվերի հաջորդականություն և տասնորդական կոտորակներ։

#### Օրինակներ

**ա)** Պարզ թվերի հաջորդականություն*

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...

*'բ)** Տասնորդական կոտորակներ, որոնց ամբողջ մասը 0-ն է, իսկ կոտորակային մասում 1-եր են, որոնց քանակը հավասար է անդամի համարին

0.1, 0.11, 0.111, 0.1111, 0.11111, ...

=== Հաջորդականության տրման ռեկուրենտ եղանակ ===
''Հաջորդականության տրման ռեկուրենտ եղանակը դա այն է, երբ նշվում է օրենք, որի միջոցով գտնվում է հաջորդականության <math>n</math>-րդ անդամը, եթե հայտնի են բոլոր նախորդ անդամները:''Այս դեպքում իմանալով հաջորդականության առաջին անդամը, կարողանում ենք գտնել երկրորդը, իմանալով երկրորդը՝ գտնում ենք երրորդը, և այդպես շարունակ կարողենք գտնել ինչքան որ հարկավոր է։

Հաջորդականության տրման այս եղանակը կոչվում է ****ռեկուրենտ***' (լատիներեն *recurrentis''՝ անդրադարձ բառից)։

#### Օրինակ

Ունենք x_1=4, x_n=x_{n-1}+5, եթե n=2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., հաշվենք x_2, x_3, x_4, x_5, ... հաջորդականությունը.

x_1=4

x_2=x_{2-1}+5=x_1+5=4+5=9

x_3=x_{3-1}+5=x_2+5=9+5=14

x_4=x_{4-1}+5=x_3+5=14+5=19

x_5=x_{5-1}+5=x_4+5=19+5=24

Այսպիսով ստացանք՝ 4, 9, 14, 19, 24, ... հաջորդականությունը։

## Գրականություն
* Օհանյան Վ. Հ. «Մաթեմատիկական անալիզ», Երևան 2008, Գլուխ 3, էջ 34, 35։
* Ս. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Րեշետնիկով, Ա.Վ. Շևկին, Հանրահաշիվ, 9-րդ դասարան, Անտարես, 2013

Կատեգորիա:Հաջորդականություններ և շարքեր