Շարք

**Շարք**, մաթեմատիկական հասկացություն, որը վերջավոր գումարի ընդհանրացումն է անվերջ քանակությամբ գումարելիների դեպքում, սահմանվում է որպես u_1+u_2+u_3+....u_n+.... կարճ՝ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_n) \qquad (1)  տեսքի պայմանանշան (սիմվոլ), որտեղ u_1, u_2, u_3,....u_n.... թվեր են, կամ ֆունկցիաներ, կամ Էլ, ընդհանուր դեպքում՝ նորմավորված կամ գծային տոպոլոգիական տարածության տարրեր։ u_1, u_2, u_3,....u_n....-երը անվանում են (1) շարքի անդամներ (u_n–ը՝ n–րդ անդամ)։ Եթե u_n–երը թվեր են (իրական կամ կոմպլեքս), ապա (1)-ը անվանում են թվային շարք, եթե ֆունկցիաներ՝ ֆունկցիոնալ շարք։ 

**Թվային շարք**․ \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n=u_1+u_2+u_3+....u_n+.... \qquad (2)  թվային շարքի համար կազմում են S_1, S_2, S_3,....S_n,.... հաջորդականությունը, որտեղ՝ S_1=u_1, S_2=u_1+u_2, S_3=u_1+u_2+u_3, ....,S_n=u_1+u_2+u_3+ ....+u_n, [S_n-ը անվանում են (2) շարքի n-րդ մասնակի գումար]։ Եթե {S_n} հաջորդականությունն ունի սահման, ապա ասում են, որ (2) շարքը զուգամետ Է․ ընդ որում՝ S=\lim_{n \to \infty} S_n սահմանը անվանում են (2)-ի գումար և գրում՝ 
: S= \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n=u_1+u_2+u_3+....u_n+.... 

Օրինակ՝ 1+q+q^2+q^3+....+q^n+.... (|q| շարքը՝ անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը, զուգամետ Է, ընդ որում՝  S= \frac {1}{1-q} = 1+q+q^2+q^3+....+q^n+....:

Այսպիսով (2) շարքի գումարը ոչ թե հաջորդական գումարման արդյունք Է, այլ՝ այդ շարքի հետ կապված որոշակի հաջորդականության (S_n–ի) սահման։ Ոչ զուգամետ շարքը անվանում են տարամետ շարք․ օրինակ` 1+q+q^2+q^3+....+q^n+.... շարքը |q|>1 դեպքում տարամետ Է։ Եթե \sum\limits_{n=1}^{\infty}(|u_n|)  շարքը զուգամետ է (այդ  դեպքում զուգամետ է նաև \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n –ը), ապա (2)-ը անվանում են բացարձակ զուգամետ, եթե \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n–ը զուգամետ է, իսկ \sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n|-ը՝ ոչ, ապա (2)-ը անվանում են պայմանական զուգամետ։ Օրինակ՝ ապացուցվում է, որ \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n=1-\frac {1}{2}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+.... շարքը զուգամետ է․ և քանի որ \sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n|=1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3}+ ... +\frac{1}{n}+ ...  հարմոնիկ շարքը տարամետ է, ապա 1-\frac {1}{2}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+.... շարքը պայմանական զուգամետ է։

Բացարձակ զուգամետ շարքի վրա առավել լրիվ կերպով են տարածվում վերջավոր գումարների շատ հատկություններ՝ տեղափոխականություն, զուգորդականություն ևն․ իսկ պայմանական զուգամետ շարքի գումարը՝ անդամները տեղափոխելիս, կարող է փոխվել, ավելին՝ Ռիմանի թեորեմը պնդում է, որ պայմանական զուգամետ շարքի գումարը՝ անդամների տեղերը հարմար ձևով տեղափոխելու միջոցով, կարելի է դարձնել նախապես տրված ցանկացած թիվը, օրինակ՝
:1- \frac{1}{2} + \frac{1}{3}- \frac{1}{4} + \frac{1}{5}- \frac {1}{6} + \frac{1}{7}- \frac{1}{8}+ \frac{1}{9} + ... =ln2
բայց՝
:1+ \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+ \frac{1}{5} + \frac{1}{7}- \frac {1}{4} + \frac{1}{9}+ \frac{1}{11}- \frac{1}{6} + ... =\frac{3}{2}ln2:

**Ֆունկցիոնալ շարք**․ եթե \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) \qquad (3)  ֆունկցիոնալ շարքը զուգամետ է E բազմության յուրաքանչյուր կետում, ապա ասում են, որ այն զուգամետ է E-ի վրա․ ընդ որում՝ S(x) =\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) հավասարությամբ որոշվող S(x) ֆունկցիան անվանում են (3)-ի գումար։ (3) շարքը անվանում են հավասարաչափ զուգամետ E-ի վրա, եթե E-ի վրա հավասարաչափ զուգամետ է (3)-ի մասնակի գումարների {S_n(x)} հաջորդականությունը (տես Հավասարաչափ զուգամիտություն)։

[a, b]-ի վրա անընդհատ ֆունկցիաներից կազմված հավասարաչափ զուգամետ շարքի գումարը անընդհատ ֆունկցիա է․ իսկ ինտեգրելի ֆունկցիաների գումարը՝ ինտեգրելի․ ընդ որում՝
:  \int\limits_{a}^{b} \left (\sum_{n=1}^{\infty} U_n(x)\right)d(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x)dx

Ֆունկցիոնալ շարքի կարևորագույն տեսակներ են աստիճանային շարքը և եռանկյունաչափական շարքը։
:1) a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+... +a_n(z-z_0)^n+...\qquad (4) տեսքի ֆունկցիոնալ շարքը անվանում են աստիճանային շարք (u_n(z)=a_n(z-z_0)^n, a_n-երը և z_0-ն կոմպլեքս կամ իրական թվեր են)։ Բոլոր այն z կոմպլեքս (իրական) թվերի բազմության ներքին կետերի բազմությունը, որոնց համար (4) շարքը զուգամետ է, z_0 կենտրոնով և R շառավղով բաց շրջան է՝ զուգամիտության շրջան (միջակայք է՝ զուգամիտության միջակայք)․ մասնավոր դեպքում այն կարող է վերածվել z_0 կետի՝ R=0, կամ ամբողջ կոմպլեքս հարթությանը՝ R=\infty: R-ը որոշվում է  {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow \infty}} \, \sqrt[n] հավասարությունից (Կոշի-Ադամարի թեորեմ)։

Զուգամիտության շրջանի ներսում (4) շարքի գումարը անալիտիկ ֆունկցիա է, որի Թեյլորի շարքը z_0 կետում հենց (4)-ն է։
:2) \sum_{n=0}^{\infty} (a_ncosnx-b_nsinnx) տեսքի ֆունկցիոնալ շարք (u_n(x)=a_ncosnx+b_nsinnx, a_n, b_n-երը թվեր են) անվանում են եռանկյունաչափական շարք: Բավականաչափ լայն դասի ֆունկցիաներ ներկայացվում են եռանկյունաչափական շարքերով․ օրինակ՝  \frac{\pi-x}{2}=sinx+ \frac{sin2x}{2}+ \frac{sin3x}{3}+...: Եռանկյունաչափական շարքերի կարևոր ենթադաս են կազմում Ֆուրիեի շարքերը: Շարքի վերածելը ֆունկցիաների ուսումնասիրության արդյունավետ միջոց է։ Այն կիրառվում է ֆունկցիաների մոտավոր արժեքները հաշվելու, ինտեգրալները հաշվելու և գնահատելու, բազմապիսի հավասարումներ (հանրահաշվական, դիֆերենցիալ, ինտեգրալ ևն) լուծելու համար։ Շարքին, բացի սովորական իմաստով գումար վերագրելուց, վերագրում են ընդհանրացված գումարներ (տես Շարքերի գումարման մեթոդներ):

## Արտաքին հղումներ

Կատեգորիա:Շարքեր
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ