Նաբլա օպերատոր

**Նաբլա օպերատոր** (Համիլտոնի օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, վեկտորական դիֆֆերենցիալ օպերատոր, որի բաղադրիչները, ըստ կոորդինատների, մասնակի ածանցյալներ են։ Նշանակվում է \nabla (նաբլա) սիմվոլով։

Էվկլիդյան եռաչափ տարածության մեջ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատական համակարգում նաբլա օպերատորը ներկայացվում է հետևյալ կերպ՝

\nabla={\partial\over\partial x}\vec{i}+{\partial\over\partial y}\vec{j}+{\partial\over\partial z}\vec{k}
:
որտեղ \vec i, \vec j, \vec k -ն համապատասխանաբար  x, y, z առանցքների միավոր վեկտորներն են։

Օգտագործվում է նաև հետևյալ գրառման ձևը՝
: \nabla= \left\{ {\partial\over\partial x}, {\partial\over\partial y}, {\partial\over\partial z} \right\}
Նաբլա օպերատորի միջոցով բնական ճանապարհով ներկայացվում են վեկտորական անալիզի հիմնական հետևյալ գործողությունները՝ **grad** (գրադիենտ), **div** (դիվերգենցիա), **rot** (ռոտոր), ինչպես նաև Լապլասի օպերատորը։

Ներկայացված ձևով լայնորեն օգտագործվում է ֆիզիկայում և մաթեմատիկայում։

n-չափանի նաբլա օպերատոր հասկացության տակ հասկանում են n-չափանի տարածության մեջ գտնվող հետևյալ վեկտորը՝
: \nabla={\partial\over\partial x_1}\vec{e}_1+{\partial\over\partial x_2}\vec{e}_2+...+{\partial\over\partial x_n}\vec{e}_n, որտեղ \vec e_1, \vec e_2, ..., \vec e_n վեկտորները համապատասխանաբար x_1, x_2, ..., x_nառանցքների միավոր վեկտորներն են։
Երբեմն նաբլա օպերատորի վերևում դրվում է սլաք՝ \vec \nabla, օպերատորի վեկտորական բնույթն ընդգծելու համար։ Իմաստային առումով այն ոչնչով չի տարբերվում 
* Երբեմն (երբ խոսքը վերաբերում է սկալյար ֆունկցիաների հետ աշխատանքին), նաբլա օպերատորը անվանում են *գրադիենտի օպերատոր:*
* Դիտողություն՝ ֆիզիկայում մեր ժամանակներում Համիլտոնի օպերատոր անվանումը աշխատում են չօգտագործել, հատկապես քվանտային ֆիզիկայում, երբ հնարավոր է նաբլա օպերատորը շփոթել քվանտային համիլտոնյանի հետ, որը, ի տարբերություն դասական ֆիզիկայի, քվանտային ֆիզիկայում ունի օպերատորային բնույթ։

## Նաբլա օպերատորի հատկությունները
Այս օպերատորը իմաստ է ստանում, երբ գործածվում է սկալյար կամ վեկտորական ֆունկցիաների նկատմամբ։

Եթե սկալյարապես բազմապատկենք \nabla-ն և \phi-ն, կստացվի հետևյալը՝

\nabla\phi={\partial\phi\over\partial x}\vec{i}+{\partial\phi\over\partial y}\vec{j}+{\partial\phi\over\partial z}\vec{k} = \mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi

որը իրենից ներկայացնում է \phi ֆունկցիայի գրադիենտը։

Եթե \nabla-ն և \vec{a} վեկտորը սկալյարապես բազմապատկենք, կստացվի հետևյալը՝

\nabla\cdot\vec{a} = \nabla_xa_x+\nabla_ya_y+\nabla_za_z={\partial a_x\over\partial x}+{\partial a_y\over\partial y}+{\partial a_z\over\partial z} = \mathbf{\operatorname{div}}\,\vec a,

այսինքն \vec{a} վեկտորի դիվերգենցիան։

Եթե \nabla-ն և \vec{a} վեկտորը վեկտորապես բազմապատկենք, կստացվի \vec{a} վեկտորի ռոտորը՝
: \nabla \times \vec a = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ {\partial\over\partial x} & {\partial\over\partial y} & {\partial\over\partial z} \\ a_x & a_y & a_z\end{vmatrix} = \left( {\partial{a_z}\over\partial y} - {\partial{a_y}\over\partial z} \right)\vec{i} \ + \ \left( {\partial{a_x}\over\partial z} - {\partial{a_z}\over\partial x} \right)\vec{j} \ + \ \left( {\partial{a_y}\over\partial x} - {\partial{a_x}\over\partial y} \right)\vec{k} = \mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec a
* Դիտողություն՝ երբեմն  \nabla \cdot \vec a-ի փոխարեն գրում են (\nabla, \vec a), իսկ \nabla \times \vec a-ի փոխարեն՝ [\nabla,\vec a]:

\nabla\cdot\nabla=\nabla^2-ը սկալյար օպերատոր է, որն անվանում են Լապլասի օպերատոր։ Այն նշվում է նաև\ \Delta սիմվոլով։ Լապլասի օպերատորը դեկարտյան կոորդինատային համակարգում գրվում է հետևյալ կերպ՝

\Delta={\partial^2\over\partial x^2}+{\partial^2\over\partial y^2}+{\partial^2\over\partial z^2}:

Քանի որ նաբլա օպերատորը դիֆֆերենցիալ գործողություն է, կիրառման ժամանակ անհրաժեշտ է պահպանել ոչ միայն վեկտորական հանրահաշվի, այլև դիֆֆերենցման օրենքները։

Օրինակ՝

\mathbf{\operatorname{grad}}(\phi\psi)=\mathbf{\nabla}(\phi\psi)=\psi\mathbf{\nabla}\phi+\phi\mathbf{\nabla}\psi=\psi\,
\mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi+\phi \, \mathbf{\operatorname{grad}}\,\psi

\operatorname{div}(\mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi)=\nabla\cdot(\nabla\phi)=(\nabla\cdot\nabla)\phi=\nabla^2\phi = \Delta\phi:

Այսինքն՝ ածանցյալ արտահայտությունը, որը կախված է երկու դաշտերից արտահայտությունների գումար է, որոնցից յուրաքանչյուրում դիֆֆերնցման է ենթարկվում դաշտերից միայն մեկը։

Կապված այն բանի հետ, թե նաբլա օպերատորը դաշտերից որի վրա է ազդում, ընդունված է համարել, որ յուրաքանչյուր օպերատոր գործում է իրենից աջ գտնվող արտահայտության վրա և չի ազդում իրենից ձախ գտնվող որևէ արտահայտության վրա։

Եթե անհրաժեշտ է, որ օպերատորը գործի իրենից ձախ գտնվող դաշտի վրա, որևէ կերպ նշում են համապատասխան դաշտը, օրինակ ուղղահայաց սլաք են դնում՝
: \nabla \cdot \vec v = \stackrel{\downarrow}{\vec v} \cdot \nabla
Գրառման նման ձևը հաճախ օգտագործվում է միջանկյալ ձևափոխությունների մեջ։ Անհարմարություններից խուսափելու համար վերջնական պատասխանում աշխատում են ազատվել ուղղահայաց սլաքից։

## Երկրորդ կարգի օպերատորներ
Քանի որ կան վեկտորապես և սկալյարապես բազմապատկման տարբեր ձևեր կան նաբլա օպերատորի միջոցով հնարավոր է լինում դիֆֆերենցման տարբեր ձևեր ստանալ։ Վեկտորական և սկալյարապես բազմապատկումների շնորհիվ ստացվել են 2 -րդ կարգի հետևյալ 7 արտահայտությունները՝
: \mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \cdot (\nabla f)
: \mathbf{\operatorname{rot}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \times (\nabla f)
: \Delta f = \nabla^2 f
: \mathbf{\operatorname{grad}}\,(\mathbf{\operatorname{div}}\, \vec v ) = \nabla (\nabla \cdot \vec v)
: \mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec v ) = \nabla \cdot (\nabla \times \vec v)
: \mathbf{\operatorname{rot}}\,(\mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec v ) = \nabla \times (\nabla \times \vec v)
: \Delta \vec v = \nabla^2 \vec v
: Բավականաչափ հարթ դաշտերի համար (երկու անգամ անընդհատ դիֆֆերենցելի) այդ օպերատորները անկախ չեն։
: Նրանցից երկուսը միշտ հավասար են 0-ի`

\mathbf{\operatorname{rot}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \times (\nabla f) = (\nabla \times \nabla) f = 0

\mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec v ) = \nabla \cdot (\nabla \times \vec{v}) = (\nabla \times \nabla) \cdot \vec{v} = 0

Երկուսը միշտ համընկնում են՝

 \mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \cdot(\nabla f) = (\nabla \cdot \nabla) f = \nabla^2 f = \Delta f 

Մնացած երեքը կապված են հետևյալ արտահայտությամբ՝

(\nabla \times ( \nabla \times \vec{v} ) ) = \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) - \nabla^2 \vec{v}

Եվս մեկը կարելի է ներկայացնել թենզորական ձևափոխության միջոցով՝

\nabla ( \nabla \cdot \vec{v} ) = \nabla \cdot (\nabla \otimes \vec{v})

## Պատմություն
մինի|Վ. Ռ. Համիլտոնը

1853 թվականին Վ. Ռ. Համիլտոնը մտցրեց այդ օպերատորը և որպես սիմվոլ մտածեց \nabla նշանը, որը շուռ տված Δ (դելտա) տառն է։ Համիլտոնն այն անվանել էր «ատլեդ» (դելտա բառը տառերի հակառակ հերթականությամբ), սակայն ավելի ուշ անգլիացի գիտնականները, որոնց թվում նաև Պ. Գ Հեվիսայդը սկսեցին այդ սիմվոլը անվանել «նաբլա», քանի որ այն արտաքնապես նման էր հին սիրիական նաբլա կոչվող երաժշտական գործիքին։ Օպերատորն անվանվեց Համիլտոնի օպերատոր կամ նաբլա օպերատոր։

Կարծիք կա, որ \nabla-ն փյունիկերեն լեզվի տառ է, որի առաջացումը կապված է տավիղի նմանվող երաժշտական գործիքի հետ։ «ναβλα»-ն (նաբլա) հին հուներենում նշանակում է «տավիղ»։

## Օրինակ
# z = xy, \nabla z = {\partial z\over\partial x}\vec{i}+{\partial z\over\partial y}\vec{j} = y\vec{i} + x\vec{j} 
# z = 30yx^3, \nabla z = {\partial z\over\partial x}\vec{i}+{\partial z\over\partial y}\vec{j} = 90yx^2\vec{i} + 30x^3\vec{j}

## Տես նաև
* Նաբլա օպերատորը տարբեր կոորդինատական համակարգերում

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական նշաններ
Կատեգորիա:Թենզորական հաշիվ