Մատրիցի ռանգ

m տողերով և n սյուներով A մատրիցի տողերի (սյուների) համակարգի **ռանգ** են անվանում գծորեն անկախ տողերի (սյուների) առավելագույն թիվը։ Մի քանի տող (սյուն) անվանում են գծորեն անկախ, եթե նրանցից յուրաքանչյուրը չի կարող գծորեն ներկայացվել մյուսների միջոցով։ Տողերի համակարգի ռանգը միշտ հավասար է սյուների համակարգի ռանգի հետ, և այդ թիվն անվանում են մատրիցի ռանգ։

**Մատրիցի ռանգ**, տվյալ մատրիցի մինորների կարգերից առավելագույնը, որը հավասար չէ զրոյի։

**Մատրիցի ռանգ**, dim (im (A)) գծային օպերատորի տեսքի մեծություն, որին համապատասխանում է մատրիցը։

Սովորաբար A մատրիցի ռանգը նշանակում են \operatorname{rang}A (\operatorname{rg}A) կամ \operatorname{rank}A։

## Սահմանում
Ենթադրենք, A_{m\times n}֊ը ուղղանկյուն մատրից է։

Այդ դեպքում ըստ սահմանման A **մատրիցի ռանգը** հավասար է՝
* զրո, եթե A֊ն զրոյական մատրից է,
* r\in\mathbb{N}:\;\exist M_r\neq 0,\;\forall M_{r+1}=0 թվին, որտեղ M_r֊ը՝ r կարգի A մատրիցի մինորն է, իսկ M_{r+1} նրան սահմանակից (r+1) կարգի մինորը, եթե դրանք գոյություն ունեն։

**Թեորեմ (ռանգերի որոշման ճշտության մասին)**
Ենթադրենք k կարգի A_{m\times n} մատրիցի բոլոր մինորներրը հավասար են զրոյի (M_k=0)։ Այդ դեպքում \forall M_{k+1}=0, եթե դրանք գոյություն ունեն։

## Օրինակներ

:\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}

Այս մատրիցի ռանգը հավասար է 2֊ի․ առաջին երկու տողերը գծորեն անկախ են, ուստի մատրիցի ռանգի նվազագույն արժեքը 2 է։ Բայց բոլոր երեք տողերը գծորեն կախված են (առաջինը հավասար է երկրորդի և երրորդի գումարին), ուստի ռանգը 3֊ից փոքր պետք է լինի։

:A=\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}

A մատրիցի ռանգը 1 է․ այն ունի ոչ զրոյական սյուներ, ուստի ռանգը դրական է։ Բայց սյուների ցանկացած երկուսը գծորեն կախված են։ Նմանապես, A֊ի վերադասավորման արդյունքում ստացված

:A^T = \begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}

մատրիցի ռանգը հավասար է 1֊ի։ Իսկապես, քանի որ A֊ի սյուների վեկտորները A^T֊ի տողերի վեկտորներն են, մատրիցի սյուների և տողերի ռանգերի հավասարության պայմանը համարժեք մատրիցի և իր վերադասավորության ռանգերի հավասարության պայմանին, այսինքն, \operatorname{rang}A = \operatorname{rang}A^T։

## Կապակցված սահմանումներ
* m \times n չափանի M մատրիցի \operatorname{rang}M ռանգն անվանում են **լրիվ**, եթե \operatorname{rang}M = \min\{m, n\}։
* A մատրիցի **բազիսային մինորը** r կարգի A մատրիցի ցանկացած ոչ զրոյական մինորն է, որտեղ r=\operatorname{rang}A։
** Այն տողերն ու սյուները, որոնց հատման վրա կառուցված է բազիսային մինորը, կոչվում են ***բազիսային տողեր և սյուներ***։

## Հատկություններ
* **"Թեորեմ (բազիսային մինորի մասին)։** Ենթադրենք r=\operatorname{rang}A, իսկ M_r֊ը A մատրիցի բազիսային մինորն է։ Այդ դեպքում՝
*# բազիսային տողերն ու բազիսային սյուները գծորեն անկախ են,
*# A մատրիցի ցանկացած տող (սյուն) բազիսային տողերի (սյուների) գծային կոմբինացիան է։
* **Հետևանքներ**
** Եթե մատրիցի ռանգը r է, ապա այդ մատրիցի ցանկացած p\colon p>r տողեր կամ սյուներ կլինեն գծորեն անկախ։
** Եթե A֊ն քառակուսի մատրից է, և \det A=0\iff, ապա այդ մատրիցի տողերն ու սյուները գծորեն անկախ են։
** Ենթադրենք r=\operatorname{rang}A։ Այդ դեպքում այդ մատրիցի գծորեն անկախ տողերի (սյուների) առավելագույն քանակը հավասար կլինի r֊ի։
* **Թեորեմ (տարրական ձևափոխությունների ժամանակ ռանգի անփոփոխելիության մասին)։** Ներմուծենք A\sim B նշանակումը այն մատրիցների համար, որոնք միմյանցից ստացվում են տարրական ձևափոխությունների հետևանքով։ Այդ դեպքում կարելի է պնդել, որ *եթե <math>A\sim B</math>, ապա դրանց ռանգերը հավասար են*։
* **[[Կրոնեքեր֊Կապելլիի թեորեմ]]ը։** Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը համատեղելի է այն և միայն այն դեպքում, երբ նրան հիմնական մատրիցի ռանգը հավասար է նրա ընդլայնված մատրիցի ռանգին։ Մասնավորապես՝
** Համակարգի գլխավոր փոփոխականների քանակը հավասար է համակարգի ռանգին։
** Համատեղելի համակարգը կորոշվի (նրա լուծումը միակն է), եթե համակարգի ռանգը հավասար լինի նրա բոլոր փոփոխականների ռանգին։

## Գծային ձևափոխությունները և մատրիցի ռանգը
Ենթադրենք A֊ն m \times n չափի մատրից է C (կամ R) դաշտի վրա։ Ենթադրենք T֊ն գծային ձևափոխությունը է, որը համապատասխանում է A֊ին ստանդարտ բազիսում․ դա նշանակում է, որ T(x)=Ax։ ***<math>A</math>*** *մատրիցի ռանգը* T ձևափոխության արժեքների տարածքի մեծությունն է։

## Մեթոդներ
Գոյություն ունեն ռանգի որոշման մի քանի մեթոդներ։
* **Տարրական ձևափոխությունների մեթոդ**
: Մատրիցի ռանգը հավասար է մատրիցի ոչ զրոյական տողերի քանակին՝ նրա տողերի նկատմամբ տարրական ձևափոխությունների կիրառման միջոցով պարզ տեսքի բերելուց հետո։
* **Սահմանակից մինորների մեթոդ**
: Ենթադրենք, A մատրիցում գտնված է k-րդ կարգի M մինորը։ Դիտարկենք նրա (k+1) կարգի բոլոր մինորները, որոնք իրենց մեջ ներառում են (սահմանակից են) M մինորը։ Եթե դրանք բոլորը հավասար են զրոյի, ապա մատրիցի ռանգը հավասար է k֊ի։ Հակառակ դեպքում սահմանակից մինորների մեջ կգտնվի ոչ զրոյական մինոր և ամբողջ գործընթացը կկրկնվի։

Կատեգորիա:Գծային հանրահաշիվ