Կրկնակի ճոճանակներ

**Կրկնակի ճոճանակ**՝  ճոճանակ մեկ այլ ճոճանակին կպած,  ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի դինամիկական համակարգերի բնագավառում։  Կրկնակի  ճոճանակը հանդիսանում է պարզ ֆիզիկական համակարգ, որը ցուցաբերում է սկզբնական պայմաններից կախված, տարատեսակ դինամիկ վարք։ Ճոճանակի շարժումը ղեկավարվում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներով։  Որոշ էներգիաների համար նրա շարժումը կարող ենք քաոսային համարել։մինի|Կրկնակի ճոճանակ

#### Վերլուծություն
Կարելի է դիտարկել կրկնակի ճոճանակների մի քանի տարբերակներ՝ երկու օղակները կարող են լինել միատեսակ կամ ունենալ տարբեր զանգվածներ ու երկարություններ, նրանք կարող են լինել պարզ ճոճանակներ կամ ֆիզիկական ճոճանակներ,  շարժումը  կարող է տեղի ունենալ երեք չափումներով կամ սահմանափակված ուղղահայց հարթությամբ։ Հետագա վերլուծության ժամանակ օղակները ընտրված են այնպես, ինչպես \ell երկարությամբ և m զանգվածով միատեսակ ֆիզիկական ճոճանակներ, և նրանց շարժումը սահմանափակված է երկու չափումներով։ Ֆիզիկական ճոճանակի զանգվածը տեղաբաշխված է նրա ամբողջ երկարությամբ։ Եթե  զանգվածը բաշխված է հավասարաչափ, ապա յուրաքանչյուր օղակի զանգվածի կենտրոնը համընկնում է իր երկրաչափական կենտրոնի հետ և օղակը ունենում է այսպիսի իներցիայի մոմենտ \textstyle I=\frac{1}{12} m \ell^2՝ այդ կետի համար։
աջից|մինի|Կրկնակի ֆիզիկական ճոճանակ

Յուրաքանչյուր օղակի միջև եղած անկյունները կարելի է օգտագործել և ուղղահայց՝ որպես ընդհանրացված կոորդինատներ, որոշելով  համակարգի կոնֆիգուրացիայի տարածությունը։ Եթե դեկարտյան կոորդինատային համակարգի սկզբնակետը դնենք առաջին ճոճանակի կախման կետում, ապա այդպիսի համակարգի զանգվածի կենտրոնը կգտնվի՝

\begin{cases}
x_1 = \frac{\ell}{2} \sin \theta_1 \\
y_1 = -\frac{\ell}{2} \cos \theta_1
\end{cases}

իսկ մյուսինը՝

: \begin{cases}
x_2 = \ell \left (  \sin \theta_1 + \frac{1}{2} \sin \theta_2 \right )\\
y_2 = -\ell \left (  \cos \theta_1 + \frac{1}{2} \cos \theta_2 \right ).
\end{cases}

Այս ինֆորմացիան բավական է, որպեսզի գրառենք Լագրանժի հավասարումները։

### Լագրանժյան
Լագրանժյանը հանդիսանում է կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների տարբերությունը՝
: 
\begin{align}L & = \frac{1}{2} m \left ( v_1^2 + v_2^2 \right ) + \frac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \\
               & = \frac{1}{2} m \left ( {\dot x_1}^2 + {\dot y_1}^2 + {\dot x_2}^2 + {\dot y_2}^2 \right ) + \frac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \end{align}

Առաջին գումարելին մարմնի զանգվածի կենտրոնի *գծային* կինետիկ էներգիան է, երկրորդ գումարելին յուրաքանչյուր առանցքի զանգվածի կենտրոնի *պտտման* կինետիկ էներգիան է։ Վերջին գումարելին մարմնի պոտենցիալ էներգիան համասեռ գրավիտացիոն դաշտում։ 
Համեմատելով կոորդինատներն ու խմբավորելով հավասարումները՝ կունենանք
: 
L = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ {\dot \theta_2}^2 + 4 {\dot \theta_1}^2 + 3 {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ] + \frac{1}{2} m g \ell \left ( 3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 \right ).


right|frame| Կրկնակի ճոճանակի շարժումը (շարժման հավասարման քանակական ինտեգրումից)
thumb|Կրկնակի ճոճանակի հետագիծը
[right|thumb| երկար պահաժամի դեպքում, կրկնակի ճոճանակը ցուցաբերում է քաոսային շարժում (դիտված է [ֆոտոդիոդի կողմից)]]

Ամփոփված իմպուլները կարելի է այսպես գրել

: \begin{cases}
p_{\theta_1} \equiv \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_1}} = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ 8 {\dot \theta_1}  + 3 {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ]\\ \\
p_{\theta_2} \equiv \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_2}} = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ 2 {\dot \theta_2} + 3 {\dot \theta_1} \cos (\theta_1-\theta_2)  \right ].
\end{cases}

Այս արտահայտությունները կարելի է ձևափոխել, որպեսզի ստացվի

: \begin{cases}
{\dot \theta_1} = \frac{6}{m\ell^2} \frac{ 2 p_{\theta_1} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_2}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}\\ \\
{\dot \theta_2} = \frac{6}{m\ell^2} \frac{ 8 p_{\theta_2} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_1}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}.
\end{cases}

Էյլեր-Լագրանժի հավասարումներից ստացվող շարժման հավասարումները, կարելի է գրել որպես՝

: \begin{cases}
{\dot p_{\theta_1}} = \frac{\partial L}{\partial \theta_1} = -\frac{1}{2} m \ell^2 \left [ {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) + 3 \frac{g}{\ell} \sin \theta_1 \right ]\\ \\
{\dot p_{\theta_2}} = \frac{\partial L}{\partial \theta_2}
 = -\frac{1}{2} m \ell^2 \left [ -{\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) +  \frac{g}{\ell} \sin \theta_2 \right ].
\end{cases}

Վերջին չորս հավասարումները հանդիսանում են տրվյալ ընթացիկ վիճակով ժամանակային համակարգի զարգացման բանաձևերն են։ Հնարավոր չէ առաջ անցնել և անալիտիկորեն ինտեգրել այդ հավասարումները, որպեսզի բանաձևեր ստանանք θ1 և θ2-ի համար, որպես ժամանակից ֆունկցիաներ։ Սակայն, հնարավոր է կատարել անդամային ինտեգրում, օգտագործելով Ռունգե-Կուտտեյի մեթոդը կամ համանման տեխնիկա։
thumb|Սկզբնական պայմաններից կախված ճոճանակի պտտման ժամանակի գրաֆիկը

## Ծանոթագրություններ

## Տես նաև

* Double inverted pendulum
* Pendulum (mathematics)
* Mid-20th century physics textbooks use the term "double pendulum" to mean a single bob suspended from a string which is in turn suspended from a V-shaped string. This type of pendulum, which produces Lissajous curves, is now referred to as a Blackburn pendulum.

## Գրականություն

*Animations and explanations of a double pendulum and a physical double pendulum (two square plates) by Mike Wheatland (Univ. Sydney)
*Interactive Open Source Physics JavaScript simulation with detailed equations double pendulum 
*Interactive Javascript simulation of a double pendulum
*Double pendulum physics simulation from www.myphysicslab.com using open source JavaScript code
*Simulation, equations and explanation of Rott's pendulum
*
* Double Pendulum Simulator - An open source simulator written in C++ using the Qt toolkit.
* Online Java simulator  of the Imaginary exhibition.

Կատեգորիա:Ճոճանակներ
Կատեգորիա:Քաոսի տեսություն
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական ֆիզիկա