Սահմանների տեսություն

**Սահմանների տեսություն**, տեսություն, որն արդի մաթեմատիկական անալիզի հիմքն է: Սահմանների տեսության հիման վրա են կառուցվում դիֆերենցիալ հաշիվը, ինտեգրալ հաշիվը, շարքերի տեսությունը ևն։ Ուսումնասիրության հիմնական առարկան սահմանն է։ Սահմանների տեսության մեթոդի էությունն այն է, որ նախ առանձնացվում և հանգամանորեն ուսումնասիրվում են 0-ի ձգտող փոփոխականները՝ անվերջ փոքր մեծությունները, և ապա սահմանների վերաբերյալ բոլոր հարցերը հանգեցվում այդ պարզագույն մասնավոր դեպքին։ Դրա համար հիմք է հանդիսանում հետնյալ դրույթը, եթե x_n\rightarrow a (այստեղ և հետագայում ամենուրեք n\rightarrow\infty), ապա x_n=a+a_n, որտեղ a_n\rightarrow0 և, հակադարձաբար, եթե x_n=a+a_n, որտեղ a_n\rightarrow0, ապա x_n\rightarrow a։ Սահմանների տեսությունը նախ ապացուցվում են հետևյալ հիմնական առաջադրությունները, որոնց օգնությամբ էլ կառուցվում է ողջ տեսությունը։

Անվերջ փոքրերի հիմնական հատկությունները։
# Սահմանափակ թվով անվերջ փոքրերի գումարը անվերջ փոքր է (եթե a_n\rightarrow0 \beta_n\rightarrow0 և, ապա նաև a_n\pm\beta_n\rightarrow0)։ 
# Անվերջ փոքրի և սահմանափակ մեծության արտադրյալը անվերջ փոքր է (եթե a_n\rightarrow0 և \mid x\mid, ապա a_nx\rightarrow0)։

Հիմնական թեորեմներ սահմանների վերաբերյալ։

Եթե x_n-ը և y_n-ը ունեն վերջավոր սահմաններ, ապա դրանց գումարը (տարբերությունը), արտադրյալը և քանորդը նույնպես ունեն վերջավոր սահմաններ, ընդ որում՝ limx(x_n\pm y_n)=limx_n\pm limy_n, lim(x_n\cdot y_n)=limx_n\cdot limy_n, lim{y_n \over x_n}={limx_n \over limy_n}\biggl(limy_n\neq 0 \biggr):

Եթե x_n=y_n և y_n\rightarrow a, ապա նաև x_n\rightarrow a, եթե x_n\leqslant y_n և x_n\rightarrow a, y_n\rightarrow b, ապա a\leqslant b , եթե x_n\leqslant z_n\leqslant y_n և x_n\rightarrow a, y_n\rightarrow a, ապա նաև z_n\rightarrow a։

Սահմանի գոյության հայտանիշներ։
# **Անհրաժեշտ պայման**։ Եթե x_n-ը ունի վերջավոր սահման, ապա x_n-ը սահմանափակ է։
# **Բավարար պայման**։ Վայերշտրասի հայտանիշը, եթե աճող (նվազող) հաջորդականությունը վերևից (ներքևից) սահմանափակ է, ապա ունի վերջավոր սահման, հակառակ դեպքում ձգտում է անվերջության։
# **Անհրաժեշտ և բավարար պայման**։ Բոլցանոյի–Կոշիի սկզբունքը․ (x_n) հաջորդականության վերջավոր սահմանի գոյության համար անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի ցանկացած \varepsilon>0 թվի համար (որքան էլ այն փոքր վերցնենք) գոյություն ունենա n_o=n_o(\varepsilon), որից մեծ ցանկացած n–ի և m-ի դեպքում \mid x_n-x_m\mid, այսինքն՝ հաջորդականության անդամները, բավականաչափ մեծ համարից սկսած, ցանկացած չափով մոտենան միմյանց։

Բերված բոլոր առաջադրությունները հանգունորեն ձևակերպվում են նաև ցանկացած ֆունկցիաների համար։

**Անորոշություններ**։ Անվերջ փոքրերի հատկություններում գումարելիների թվի և երկրորդ բազմապատկիչի սահմանափակ լինելը, հիմնական թեորեմներում սահմանների վերջավոր լինելը և քանորդի հայտարարի սահմանի ոչ 0 լինելը էական պայմաններ են․ դրանց խախտվելու դեպքում առաջադրությունների եզրակացությունները կարող են ճիշտ չլինել։ Այսպես, օրինակ, երբ x_n\rightarrow\infty և y_n\rightarrow\infty կամ x_n\rightarrow0 և,  ապա {x_n \over y_n} քանորդը կարող է ձգտել ցանկացած սահմանի (վերջավոր կամ անվերջ) կամ սահման չունենալ։

Օրինակ,
:x_n={1 \over n}\rightarrow0, y_n={1\over an+1}\rightarrow0,
:{x_n \over y_n}={an+1 \over n}=a+{1 \over n} (a-ն ցանկացած թիվ է),
:x_n={(-1)^n \over n}\rightarrow0, y_n={1 \over n}\rightarrow0,\begin{matrix} x_n  \\ y_n  \end{matrix}=(-1)^n

Նույնը տեղի ունի x_n\cdot y_n արտադրյալի համար՝ x_n\rightarrow0, y_n\rightarrow\infty դեպքում, x_n-y_n տարբերության համար՝ x_n\rightarrow+\infty,y\rightarrow+\infty, դեպքում, և x_n+y_n գումարի համար՝ x_n\rightarrow+\infty, y_n\rightarrow-\infty դեպքում։ Այս դեպքերում, գիտենալով հանդերձ x_n-ի և y_n-ի սահմանները, նրանց գումարի, արտադրյալի կամ քանորդի սահմանի մասին որոշակի բան ասել հնարավոր չէ։ Այս նկատառումով էլ այդպիսի արտահայտություններն անվանում են անորոշություններ։ 

Գոյություն ունեն յոթ տիպի անորոշություններ․
:{0 \over 0}, {\infty \over \infty}, {0 \cdot \infty}, {\infty - \infty}, 0^0, 1^{\infty}, {\infty}^0:

Սահմանների տեսությունը տալիս է անորոշ արտահայտությունների սահմանները գտնելու՝ անորոշությունները բացելու պարզ կանոնները, որոնք հիմնված են վերը նշված առաջադրությունների, ինչպես և դիֆերենցիալ հաշվի որոշ բանաձևերի վրա։

Տեսական ու կիրառական շատ հարցերում անհրաժեշտություն է առաջանում միմյանց հետ բաղդատելու երկու անվերջ փոքրերի նվազման կամ երկու անվերջ մեծերի աճման արագությունները, որ կատարվում է դրանց հարաբերությունների սահմանի օգնությամբ և հանգեցնում դրանց համար տարբեր կարգեր սահմանելու գաղափարին, 
* եթե {\alpha _n \over \beta _n} \rightarrow 1, ապա \alpha _n և \beta _n կոչվում են համարժեք անվերջ փոքրեր (գրվում Է՝ \alpha _n \sim \beta _n), 
* եթե {\alpha _n \over \beta _n} \rightarrow C\neq0, ապա  \alpha _n և \beta _n-ը նույն կարգի են (գրվում Է՝ \alpha _n=0(\beta _n)), 
* եթե {\alpha _n \over \beta _n} \rightarrow 0, ապա \alpha _n և \beta _n-ը նկատմամբ բարձր կարգի անվերջ փոքր է (գրվում Է՝ \alpha _n=o(\beta _n))։ Հանգունորեն սահմանվում են նաև անվերջ մեծերի կարգերը։

**Պատմական տեղեկություններ**։ Սահմանային անցման գործողություններ կատարել են դեռևս հին հույները։ Նրանք, թեպետև բացահայտ չեն մուծել «սահման» հասկացությունը և որևէ ընդհանուր կանոն չեն ձևակերպել, սակայն երկրաչափական պատկերների մակերեսներ ու ծավալներ հաշվելիս յուրաքանչյուր առանձին դեպքում ապացուցել են մեծությունների մոնոտոն և սահմանափակ հաջորդականության սահմանի գոյությունն ու միակությունը։

Սահմանների տեսություն ստեղծելու առաջին քայլերն արել են XVII դ․, **limes** (լատ․ սահման) տերմինն առաջին անգամ գործածել է Ի․ Նյուտոնը (1686)։ XVIII դ․ սահմանների տեսութունը օգտագործվել է միայն դիֆերենցիալ հաշվի ստացած առանձին արդյունքներ բացատրելու համար, սակայն չի հանդիսացել որպես ամբողջ նոր հաշիվը հիմնավորելու միջոց։ Արդի սահմանների տեսութուն սկսել է ձևավորվել XIX դ․ սկզբներին՝ կապված ֆունկցիաների բավականաչափ լայն դասերի ընդհանուր հատկությունները զուտ թվաբանորեն հետազոտելու հարցերի հետ։ Օ․ Կոշին 1821–23 թթ․ թվաբանորեն ձևակերպել է սահմանի հասկացությունը, մշակել սահմանների տեսությունը և նրա հիման վրա կառուցել անվերջ փոքրերի հաշիվը։ Սակայն, Կոշիի մշակած սահմանների տեսությունում հիմնական դեր է կատարում ոչ թե սահմանի բուն սահմանումը, այլ Բոլցանոյի–Կոշիի սկզբունքը, որն արտահայտում է վերջավոր սահմանի ձգտող մեծության փոփոխման ներքին էությունը։ Սահմանի այժմյան «\varepsilon - \delta  »  սահմանումը պատկանում է Կ․ Վայերշտրասին (1880)։

## Գրականություն
* Սմիրնով Վ․ Ի․, Բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթաց, հ․ 1, Ե․, 1948։
* Ֆիխտենգոլց Գ․ Մ․, Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքները, հ․ 1, Ե․, 1970։
* Александров П. С․, Введение в общую теорию множеств и функций, М․–Л․, 1948:
* Никольский С․ М․, Курс математического анализа, т․ 1–2, М․, 1973․

Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ