Ֆրիդմանի տիեզերք

**Ֆրիդմանի տիեզերք** (Ֆրիդման-Լեմետր-Ռոբերտսոն-Ուոլքերի չափականություն), հարաբերականության ընդհանուր տեսության դաշտի հավասարումներին բավարարող տիեզերագիտական մոդելներից մեկը, տիեզերքի ոչ ստացիոնար մոդելներից առաջինը։ Ստացել է Ալեքսանդր Ֆրիդմանը 1922 թվականին։ Ֆրիդմանի մոդելը նկարագրում է ընդհանուր դեպքում ոչ ստացիոնար համասեռ իզոտրոպ տիեզերք, որն ունի դրական, զրոյական կամ բացասական հաստատուն կորություն։ Ֆրիդմանի այս աշխատանքը Այնշտայնի աշխատություններից հետո հարաբերականության ընդհանուր տեսության առաջին հիմնական տեսական զարգացումն է։

## Բացահայտման պատմություն
Ֆրիդմանի լուծումը հրատարակվել է ֆիզիկայի հեղինակավոր Zeitschrift für Physik ամսագրում 1922 թվականին և 1924 թվականին (բացասական կորության համար)։ Ֆրիդմանի լուծումը սկզբում բացասաբար է ընդունվել Ալբերտ Այնշտայնի կողմից (որը ենթադրում էր, որ տիեզերքը ստացիոնար է և ստացիոնարությունը ապահովելու համար անգամ հատուկ փոփոխական էր ներմուծել հարաբերականության ընդհանուր տեսության դաշտի հավասարումներում՝  այսպես կոչված կոսմոլոգիական հաստատունը), սակայն հետագայում նա ընդունեց Ֆրիդմանի իրավացիությունը։ Այնուհանդերձ Ֆրիդմանի աշխատանքները սկզբում մնացին չճանաչված (Ֆրիդմանը մահացավ 1925 թվականին)։

Տիեզերքի ոչ ստացիոնարությունը հաստատվեց տարածությունից գալակտիկաների կարմիր շեղման կախվածության բացահայտումով (Էդվին Հաբլ, 1929 թվական)։ Անկախ Ֆրիդմանից, նկարագրված մոդելը ավելի ուշ մշակեցին Լեմետրը (1927), Ռոբերտսոնը և Ուոքերը (1935), այդ պատճառով հաստատուն կորությամբ համասեռ իզոտրոպ տիեզերք նկարագրող Այնշտայնի դաշտի հավասարումների լուծումը անվանում են Ֆրիդման-Լեմետր-Ռոբերտսոն-Ուոլքերի մոդել։

Այնշտայնը քանիցս նշել է, որ ընդարձակվող տիեզերքի տեսության հիմքը դրել է Ֆրիդմանը։

Ֆրիդմանի աշխատություններում հարաբերականության տեսությանը վերաբերող աշխատանքները առաջին հայացքից կարող են բավական անսովոր թվալ։ Նախկինում նա հիմնականում աշխատում էր տեսական հիդրոմեխանիկայի և դինամիկ օդերևութաբանության բնագավառներում։

Ըստ Վլադիմիր Ֆոկի վկայության՝ հարաբերականության տեսությունը Ֆրիդմանը դիտարկում էր առավելապես մաթեմատիկորեն․ «Ֆրիդմանը քանիցս ասել է, որ իր գործը Այնշտայնի հավասարումների հնարավոր լուծումները ցույց տալն է, իսկ ֆիզիկոսները թող դրա հետ վարվեն՝ ինչպես որ ուզում են»*։

Սկզբնապես Ֆրիդմանի հավասարումները կիրառում էին զրո տիեզերագիտական հաստատունով դաշտի հավասարումները։ Ընդհուպ մինչև 1998 թվականը գերիշխում էին այդ մոդելները (բացի 1960-ականների հետքրքրության կարճատև բռնկումից)։։
Այդ թվականին լույս տեսան երկու աշխատություններ, որոնք որպես ցուցիչ էին կիրառում տարածությունը՝ Ia տիպի գերնոր աստղերը։ Դրանցում համոզիչ կերպով ցույց է տրվում, որ մեծ հեռավորությունների վրա Հաբլի օրենքը խախտվում է և տիեզերքն ընդարձակվում է արագացումով, ինչը պահանջում է [[մութ էներգիա]]յի առկայություն, որի հայտնի հատկությունները համապատասխանում են Λ-անդամին։

Ժամանակակից մոդելը՝ այսպես կոչված «ΛCDM մոդելը» Ֆրիդմանի մոդելի ընդլայնումն է՝ հաշվի առնելով ինչպես տիեզերագիտական հաստատունը, այնպես էր մութ նյութը։

== Ֆրիդման-Ռոբերտսոն-Ուոլքերի չափականություն ==

Համասեռ իզոտրոպ տիեզերքի երկրաչափությունը համասեռ իզոտրոպ եռաչափ բազմաձևության երկրաչափությունն է։ Նման բազմաձևությունների չափականություն է Ֆրիդման-Ռոբերտսոն-Ուոլքերի չափականությունը։
:<math>ds^2 = dt^2 - a^2(t)d\chi^2</math>
-ն այսպես կոչված ուղեկցող հեռավորությունն է կամ կոնֆորմը, որն ի տարբերությունը  մասշխաբային գործակցի, կախված չէ ժամանակից,  -ն ժամանակն է լույսի արագության միավորներով, -ը  [[ինտերվալ (հարաբերականության տեսություն)|ինտերվալն]] է։ 
:<math> ds^2 = dt^2 - a^2(t) \left( dx^2 + k \frac{(xdx)^2}{1-kx^2}\right) </math>,
որտեղ k-ն ընդունում է հետևյալ արժեքները՝ 
* k=0 եռաչափ հարթության համար
* k=1 եռաչափ ոլորտի համար
* k=-1 եռաչափ հիպերոլորտի համար
-ը եռաչափ շառավիղ-վեկտորն է քվազիդեկարտյան կոորդինատներով․ <math>x = \begin{Bmatrix}x_1, & x_2,& x_3\end{Bmatrix}</math>։
<div style="float:right;margin-left:10px;width:700px;">

Գոյություն ունեն ընդամենը երեք տիպի եռաչափ բազմաձևություններ․ եռաչափ ոլորտ, եռաչափ հիպերոլորտ և եռաչափ հարթություն։
*Եռաչափ հարթության մեջ չափականությունը տրվում է պարզ արտահայտությամբ․ 
::<math> ds^2 = (dx)^2 </math>
*Եռաչափ ոլորտի չափականությունը տալու համար անհրաժեշտ է ներմուծել 4-չափանի էվկլիդեսյան տարածություն
::<math> ds^2 = (dx_0)^2+(dx)^2 </math>
:և ավելացնել ոլորտի հավասարումը՝
::<math> a^2 = (x_0)^2+x^2 </math>
*Հիպերոլորտի չափականությունը որոշվում է 4-չափանի [[Մինկովսկու տարածություն|Մինկովսկու տարածությամբ]]․
::<math> ds^2 = -(dx_0)^2+( dx )^2 </math>
:Եվ ճիշտ ինչպես ոլորտի համար անհրաժեշտ է ավելացնել հիպերբոլոիդի հավասարումը․
::<math> a^2 = (x_0)^2-x^2 </math>
FWT չափականությունը ի մի է բերում բոլոր տարբերակները և կիրառում է տարածաժամանակի նկատմամբ։

</div>
Կամ թենզորական ձևով՝
: <math>ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu</math>, որտեղ մետրիկ թենզորի կոմպոնենտները հավասար են 
: <math> \begin{array}{ccc} g_{ij} = a^2(t)\left(\delta_{ij} + k \frac{x^i x^j}{1-kr^2}\right), & g_{i0} = 0, &g_{00} = -1 \end{array} </math>,
որտեղ <math>i, j</math> ընդունում են 1…3 արժեքները, <math>r^2 = (x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2</math>, իսկ <math>x^0</math>-ն ժամանակային կոորդինատն է։

== Հիմնական հավասարումներ ==
Եթե մետրիկայի համար արտահայտությունները տեղադրենք իդեալական հեղուկի համար հարաբերականության հատուկ տեսության հավասարումներում, ապա կստանանք հավասարումների հետևյալ համակարգը՝
<div style="float:right;margin-left:10px;width:700px;">

Այնշտայնի դաշտի հավասարումները գրենք հետևյալ տեսքով․
:<math> R_{\mu\nu} = -8\pi G S_{\mu\nu} </math>, 
որտեղ -ը Ռիչիի թենզորն է՝
:<math> R_{\mu\nu} = \frac{\partial\Gamma_{\lambda\mu}^{\lambda}}{\partial x^{\nu}} -\frac{\partial\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}}{\partial x^{\lambda}} + \Gamma_{\mu\sigma}^{\lambda}\Gamma_{\nu\lambda}^{\sigma} - \Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}\Gamma_{\lambda\sigma}^{\sigma}  </math>,
իսկ -ը գրվում է էներգիա-իմպուլսի տերմիններով
:<math> S_{\mu\nu} = T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}T_{~\lambda}^{\lambda} </math>
Քանի որ Ֆրիդման-Ռոբերտսոն-Ուոլքերի չափականությունում երկու կամ երեք ժամանակային ինդեքսներով բոլոր աֆինային կապակցվածությունները զրոյանում են, այսինքն, ապա
:<math> R_{ij} = \frac{ \partial \Gamma_{ki}^{k} } {\partial x^j } - \left[  \frac{ \partial \Gamma_{ij}^{k} } {\partial x^k } +\frac{ \partial \Gamma_{ij}^{0} } {\partial t } \right] + \Gamma_{ik}^0 \Gamma _{j0}^k  + \Gamma_{i0}^k \Gamma _{jk}^0 + \Gamma_{ik}^l \Gamma _{jl}^k - ( \Gamma_{ij}^k \Gamma _{kl}^l  + \Gamma_{ij}^0 \Gamma _{0l}^l ) </math>, 
:<math> R_{00} = \frac{ \partial \Gamma_{i0}^{i} }{ \partial t } +  \Gamma_{0j}^{i} \Gamma_{0i}^j </math> 
Ռիչիի թենզորի ոչ զրոյական բաղադրիչներում տեղադրենք Քրիստոֆելի սիմվոլի համար արտահայտությունները․
:<math>R_{ij} = \tilde{R}_{ij} - 2 \dot a \tilde{g}_{ij} - a \ddot a \tilde{g}_{ij}</math>
:<math>R_{00} = 3 \frac{d}{dt}\left(\frac{\dot a}{a}\right) + 3\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = 3\frac{\ddot a}{a} </math>,
որտեղ <math>\tilde{R}_{ij}</math>-ն Ռիչիի զուտ տարածական թենզորն է․
:<math> \tilde{R}_{ij} = \frac{\partial\Gamma_{ki}^k}{\partial x^j} - \frac{\partial\Gamma_{ji}^k}{\partial x^k} + \Gamma_{ik}^l\Gamma_{jl}^k - \Gamma_{ij}^l\Gamma_{kl}^k </math>
Ընտրված չափականության համար բոլոր առնչություններից
:<math> \Gamma_{ij}^k = k x^k\tilde{g}_{ij} </math>։
Այդ դեպքում  կետում Ռիչիի զուտ տարածական թենզորը՝ 
:<math> \tilde{R}_{ij} = k\delta_{ij} -3 k\delta_{ij} = -2 k\delta_{ij} </math>։
Սակայն  կետում այս չափականությունը պարզ է՝ , այսինքն՝ կոորդինատների սկզբնակետում տեղի ունի երկու երեք-թենզորների հետևյալ առնչությունը․
:<math> \tilde{R}_{ij} = -2 k\tilde{g}_{ij} </math>։
Քանի որ Ֆրիդման-Ռոբերտսոն-Ուոլքերի մետրիկան համասեռ է, այս չափականությունը ճիշտ է կոորդինատների ցանկացած ձևափոխության դեպքում, այսինքն՝ առնչությունը տեղի ունի տարածության բոլոր կետերում, ուստի կարելի է գրել․
:<math> R_{ij} = (-2 k - 2 \dot a  - a \ddot a) \tilde{g}_{ij} </math>։
Էներգիա-իմպուլսի թենզորների բաղադրիչները այս մետրիկայում հետևյալը կլինեն՝ 
:<math>\begin{array}{ccc}
T_{00} = \rho, & T_{i0} = 0, & T_{ij} = a^2p\tilde{g}_{ij} 
\end{array}</math>։
Այս դեպքում
:<math>S_{ij} = T_{ij} - \frac{1}{2}\tilde{g}_{ij}a^2(T_{~k}^k + T_{~0}^0) = a^2p\tilde{g}_{ij}-\frac{1}{2}a^2\tilde{g}_{ij}(3p-\rho) = \frac{1}{2}(\rho -p)a^2\tilde{g}_{ij}</math>,
:<math> S_{00} = T_{00} + \frac{1}{2}(T^k_{~k} + T_{~0}^0 ) = \rho + \frac{1}{2}(3p-\rho) = \frac{1}{2}(3p + \rho) </math>
:<math>S_{i0}=0</math>
Տեղադրելուց հետո Այնշտայնի հավասարումները հետևյալ տեսքը կընդունեն․ 
:<math> - \frac{k}{a^2}-\frac{2 \dot a^2}{a^2} - \frac{\ddot a}{a} = -4 \pi G ( \rho - p ) </math>
:<math>\frac{3 \ddot a}{a}=-4 \pi G(3 p + \rho)</math>։
Λ-անդամով հավասարումներին անցնելու համար անհրաժեշտ է  կատարել հետևյալ փոխարինումը՝ 
:<math>\rho\rightarrow\rho +\frac{\Lambda c^{2}}{8\pi G}</math>
:<math>p\rightarrow p-\frac{\Lambda c^{4}}{8 \pi G}</math>։
Տարրական ձևափոխություններից հետո կգանք վերջնական տեսքին


Անխզելիության հավասարումը հետևում է էներգիա-իմպուլսի թենզորի կովարիանտ պահպանման պայմանից․
:<math> \nabla_{\nu} T^{\nu\mu} = 0 </math>
Ենթադրելով, որ այստեղ ՝
:<math> \nabla_{\nu} T^{\nu \mu} \equiv \partial_{\nu} T^{\nu 0} + \Gamma_{\nu \sigma}^{\nu} T^{\sigma 0} + \Gamma_{\nu\sigma}^0 T^{\nu \sigma} = 0 </math>
Բացահայտ տեսքով գրենք էներգիա-իմպուլսի թենզորի ոչ զրոյական բաղադրիչները․
:<math>\begin{array}{ccc}
T^{00} = \rho, & T^{ij} = \frac{1}{a^2}p\tilde{g}^{ij}, & T_{ij} = a^2p\tilde{g}_{ij} 
\end{array}</math>
այս արժեքը տեղադրելով և կիրառելով Քրիստոֆելի սիմվոլների արտահայտությունները FWT մետրիկայում՝ կստանանք վերջավոր տեսքի հավասարումը։

</div>
* Էներգիայի հավասարում

: <math> \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2=\frac{8\pi G\rho}{3}-\left(\frac{kc^2}{a^2}\right)+\frac{\Lambda c^2}{3}</math>

* Շարժման հավասարում

: <math>\frac{\ddot a}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left(\rho +\frac{3P}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

* Անխզելիության հավասարում

: <math>\frac{d\rho}{dt} =-3H\left(\rho +\frac{P}{c^2}\right)</math>

որտեղ -ն [[կոսմոլոգիական հաստատուն]]ն է, -ն՝ Տիեզերքի միջին խտությունը, -ն՝ ճնշումը, -ն՝ լույսի արագությունը։

Բերված հավասարումների համակարգը, կախված ընտրված պարամետրերից, բազմաթիվ լուծումներ է թույլ տալիս։ Իրականում պարամետրերի արժեքները ֆիքսված են միայն ընթացիկ պահին և ժամանակի հետ փոփոխվում են, այդ պատճառով ընդարձակման փոփոխությունը նկարագրվում է լուծումների համախմբով։

== Հաբլի օրենքի բացատրությունը ==
Դիցուք ունենք աղբյուր, որը դիտորդից  հեռավորության վրա տեղադրված է կցված համակարգում։ Դիտորդի ընդունիչ սարքը գրանցում է անցնող ալիքի փուլը։ Դիտարկենք ժամանակի երկու   և  միջակայքները միևնույն փուլով կետերի միջև․
: <math> \frac{\delta t_1}{\delta t_0} =\frac{\nu_0}{\nu_1} \equiv 1+z</math>։
Մյուս կողմից, լուսային ալիքի համար ընդունված չափականության մեջ տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝
: <math> dt = \pm a(t)\frac{dr}{\sqrt{1-kr^2}}</math>։
Ինտեգրելով այդ հավասարումը՝ կստանանք
: <math> \int\limits_{t_0}^{t_1}  \frac{dt}{a(t)} = \int\limits_0^{r_c} \frac{dr}{\sqrt{1-kr^2}}</math>։
Հաշվի առնելով, որ ուղեկցող կոորդինատներում -ը կախված չէ ժամանակից և ալիքի երկարությունը փոքր է տիեզերքի կորության շառավղի նկատմամբ, կստանանք 
: <math> \frac{\delta t_1}{a(t_1)} =\frac{\delta t_0}{a(t_0)} </math>
առնչությունը։ Եթե այժմ այն տեղադրենք սկզբնական արտահայտության մեջ՝ 
: <math> 1+z = \frac{a(t_0)}{a(t_1)}</math>։
Վերլուծենք -ն [[Թեյլորի շարք]]ի՝ կենտրոնը  կետում և հաշվի առնենք միայն առաջին կարգի անդամները՝
: <math>a(t) = a(t_1)+\dot a (t_1)(t-t_1)</math>։
Ձևափոխություններից և -ով բազմապատկելուց հետո կստանանք
: <math> cz = \frac{\dot a (t_1)}{a(t_1)} c(t - t_1) = HD</math>։
Համապատասխանաբար, Հաբլի գործակիցը՝
: <math> H = \frac{\dot a (t_1)}{a(t_1)} </math>։

== Հետևություններ ==
=== Տարածության կորության որոշումը։ Կրիտիկական խտության հասկացությունը ===
Էներգիայի հավասարման մեջ տեղադրելով արտահայտությունը Հաբլի հաստատունի համար, այն բերենք 
: <math>1 = \Omega_m +\Omega_k +\Omega_{\Lambda}</math>,
տեսքին, որտեղ <math>\Omega_m = \frac{\rho}{\rho_{cr}}</math>, <math>\Omega_{\Lambda} = \frac{8\pi G \Lambda c^2}{\rho_{cr}}</math>, <math>\rho_{cr} = \frac{3H_0^2}{8\pi G}</math> <math>\Omega_k = - \frac{kc^2}{a^2H^2}, </math>
<br /> համապատասխանաբար նյութի և մութ էներգիայի խտությունն է՝ կրիտիկականին վերագրված, կրիտիկական խտությունը և տարածության կորության ներդրումը։  Եթե հավասարումն արտագրենք հետևյալ տեսքով՝

: <math> \Omega_k =  1- (\Omega_m + \Omega_{\Lambda}) = 1 - \left(\frac{\rho+\rho_{\Lambda}}{\rho_{cr}} \right)</math>,

ապա ակնհայտ կդառնա, որ
:<math>k =
\begin{cases}
 -1, &\rho+\rho_{\Lambda} < \rho_{cr}  \\
 0, &\rho+\rho_{\Lambda} = \rho_{cr}  \\
1, &\rho+\rho_{\Lambda} > \rho_{cr} 
\end{cases}
</math>։

=== Նյութի խտության էվոլյուցիան։ Վիճակի հավասարումներ ===

Անխզելիության հավասարման մեջ տեղադրելով [[վիճակի հավասարում]]ը 
:<math> p =\omega\rho </math> (1)
տեսքով, կստանանք լուծումը՝ 
: <math> p \propto a^{-3 - 3\omega}  \Rightarrow \rho \propto a^{-3 - 3\omega} </math>։
Տարբեր դեպքերի համար այս կախվածությունը տարբեր տեսք ունի․

*'Սառը նյութի դեպքը** (օրինակ՝ փոշի) 
: <math>\rho \propto a^{-3}</math>
**Տաք նյութի դեպքը** (օրինակ՝ ճառագայթում) 
: <math> \rho \propto a^{-4}</math>
**Վակուումի էներգիայի դեպքը** 
: <math> \rho = const</math>։

Դրա շնորհիվ -ի ազդեցությունը տարբեր փուլերում կարելի է անտեսել, այսինքն համարել, որ տիեզերքը հարթ է (քանի որ ։ Միաժամանակ, կոմպոնենտների խտության տարբեր կախվածությունը մասշտաբային գործակցից թույլ է տալիս առանձնացնել տարբեր շրջաններ, որտեղ ընդարձակումը որոշվում է միայն այս կամ այն կոմպոնենտներով, որոնք բերված են աղյուսակում։

Նաև պետք է նշել, որ եթե ներմուծենք մութ էներգիայի և բարիոնային խտությունների գործակից և ընդունենք, որ այն ենթարկվում է (1) արտահայտությանը, ապա սահմանային արժեք կհանդիսանա 
: <math>\omega_0 = - \frac{1}{3} </math>։
ԱՅս պարամետրը մեծացնելուց  ընդարձակումը դանդաղում է, փոքրացնելուց արագանում է։

=== Ընդարձակման դինամիկան ===
**Λ c որոշակի արժեքի դեպքում տիեզերքը կսկսի սեղմվել k-ի ցանկացած արժեքի դեպքում և անկախ վիճակի հավասարման տեսքից։

**Λ = 0**

Եթե տիեզերագիտական հաստատունը հավասար է զրոյի, ապա էվոլյուցիան H-ի տրված արժեքի դեպքում ամբողջապես կախված է նյութի սկզբնական խտությունից․

\left(\frac{da}{dt}\right)^2=G\frac{8\pi\rho_0 a_0^3}{3a} -a_0^2H_0\left(\rho_0 - \frac{3H_0^2}{8\pi G}\right)։

Եթե \rho_0 =\rho_{cr} , ապա ընդարձակումը շարունակվում է անվերջ երկար՝ սահմանում ասիմպտոտիկ զրոյին ձգտող արագությամբ։ Եթե խտությունը մեծ է կրիտիկականից, ապա տիեզերքի ընդարձակումը արգելակվում է և փոխարինվում է սեղմումով։ Եթե փոքր է կրիտիկականից, ապա ընդարձակումն անսահմանափակ երկար է ընթանում ոչ զրոյական H սահմանով։

**Λ > 0**

Եթե  Λ>0 и k≤0, ապա տիեզերքը մոտոտոն ընդարձակվում է, բայց ի տարբերությունը  Λ=0 դեպքի՝ R-ի մեծ արժեքների դեպքում ընդարձակման արագությունը մեծանում է․

R\propto exp[(\Lambda/3)^{1/2}t]։

k=1 դեպքում առանձնացված արժեք է \Lambda_c=4\pi G\rho-ն։ Այս դեպքում գոյություն ունի R-ի այնպիսի արժեք,  որի դեպքում R'=0 և R''=0, այսինքն՝ տիեզերքը ստատիկ է։

Λ>Λc դեպքում ընդարձակման արագությունը նվազում է մինչև ինչ-որ պահ, այնուհետև սկսում է անսահմանափակ աճել։  Եթե Λ-ն աննշան չափով է գերազանցում Λc-ն, ապա որոշ ժամանակի ընթացքում ընդարձակման արագությունը գործնականում մնում է անփոփոխ։

Λc դեպքում ամեն ինչ կախված է R-ի սկզբնական արժեքից, որից սկսվել է ընդարձակումը։ Կախված այդ արժեքից՝ տիեզերքը կամ կընդարձակվի մինչև ինչ-որ մի չափի, այնուհետև կսեղմվի, կամ անսահմանափակ կընդարձակվի։

## ΛCDM

ΛCDM-ն ընդարձակման ժամանակակից մոդելն է, հանդիսանում է Ֆրիդմանի մոդելը՝ ներառյալ բարիոնային նյութը, մութ մատերիան և մութ էներգիան։
### Տիեզերքի տարիք

#### Տեսական նկարագրություն
Ընդարձակման սկզբից անցած ժամանակը, որը կոչվում է նաև տիեզերքի տարիք, նկարագրվում է հետևյալ ձևով․


Հաշվի առնելով խտության էվոլյուցիան՝ ընդհանուր խտությունը գրենք հետևյալ տեսքով՝
:\rho = \rho_c\left( \Omega_{\Lambda} +\Omega_k \left( \frac{a_0}{a}\right)^{2} +\Omega_m \left(\frac{a_0}{a}x\right)^{3}+ \Omega_l\left(\frac{a_0}{a}\right)^{4}  \right)։
Տեղադրելով այս արտահայտությունը էներգիայի հավասարման մեջ՝ կստանանք փնտրվող արտահայտությունը։


: t = \frac{1}{H_0} \int\limits^{1}_0 \frac{dx}{x\sqrt{\Omega_{\Lambda} +\Omega_k x^{-2} +\Omega_dx^{-3}+ \Omega_lx^{-4}}},x = \frac{a}{a_0}
Դիտումները  մի կողմից հաստատում են ընդարձակման մոդելը և տարբեր ժամանակաշրջաններում դրանով կանխատեսվող պահերը, մյուս կողմից այն, որ ամենածեր օբյեկտների տարիքը չի գերազանցում ընդարձակման մոդելից ստացված տիեզերքի տարիքը։

#### Դիտումների տվյալներ
Տիեզերքի տարիքի ուղղակի չափումներ գոյություն չունեն, բոլոր չափումները կատարվում են անուղղակիորեն։ Բոլոր եղանակները կարելի է բաժանել երկու կատեգորիաների․
# Տարիքը որոշումը ամենածեր օբյեկտների՝ հին գնդաձև կուտակումների և սպիտակ թզուկների էվոլյուցիայի մոդելների  հիման վրա։  
#։ Առաջին դեպքում  մեթոդը հիմնված է այն փաստի վրա, որ գնդաձև կուտակման մեջ բոլոր աստղերը նույն տարիքի են։ Հիմնվելով աստղերի էվոլյուցիայի վրա՝  «գույն-աստղային մեծություն» դիագրամով կառուցքում են իզոքրոններ, այսինքն՝ հավասար տարիքի կորեր տարբեր զանգվածով աստղերի համար։ Դրանք համադրելով կուտակման մեջ դիտվող աստղերի բաշխումի հետ՝ կարելի է որոշել դրա տարիքը։ 
#։ Մեթոդն ունի մի շարք դժվարություններ։ Փորձելով լուծել դրանք՝ տարբեր խմբեր տարբեր ժամանակներում տարբեր տարիքներ են ստացել ամենահին կուտակումների համար՝ ~8 միլիարդ տարուց մինչև ~25 միլիարդ տարի։
#։Սպիտակ թզուկները իրենց աստղ-նախորդի մոտավորապես նույն զանգվածներն ունեն և մոտավորապես նույն ջերմաստիճանային կախումը ժամանակից։  Ըստ սպիտակ թզուկի սպեկտրի որոշելով  նրա բացարձակ աստղային մեծությունը  տվյալ պահին և իմանալով ժամանակ-լուսատվություն կախումը աստղի սառելու ժամանակ՝ կարելի է որոշել սպիտակ թզուկի տարիքը։
#։Սակայն տվյալ մոտեցումը կախված է մեծ տեխնիկական դժվարությունների հետ․ սպիտակ թզուկները ծայրահեղ թույլ օբյեկտներ են և դրանք դիտելու համար խիստ զգայուն սարքավորումներ են անհրաժեշտ։  Առաջին և առայժմ միակ աստղադիտակը, որով հնարավոր է տվյալ խնդրի լուծումը,  Հաբլի տիեզերական աստղադիտակն է։ Ըստ դրանով աշխատող խմբի՝ ամենահին կուտակման տարիքը 12,7\pm0,7 միլիարդ տարի է, սակայն այս արդյունքը վիճարկելի է։ Ընդիմախոսները նշում են, որ հաշվի չեն առնվել սխալների լրացուցիչ աղբյուրները․ նրանց գնահատումը 12,4^{+1,8}_{-1,5} միլիարդ տարի է։
# Միջուկային մեթոդ։ Սրա հիմքում այն փաստն է, որ տարբեր իզոտոպների կիսատրոհման պարբերությունը տարբեր է։ Որոշելով տարբեր իզոտոպների ընթացիկ կոնցենտրացիաները առաջնային նյութում՝ կարելի է որոշել նրա մեջ մտնող տարրերի տարիքը։ 
#։ Այսպես II տիպի աստղային բնակչությանը պատկանող CS31082-001 աստղի մոտ նկատվել են թորիումի և ուրանի գծեր ու չափվել են կոնցենտրացիաները։ Այս երկու տարրերի կիսատրոհման պարբերությունները տարբեր են, այդ պատճառով ժամանակի ընթացքում դրանց հարաբերակցությունը փոխվում է, և եթե ինչ-որ կերպ գնահատենք սկզբնական հարաբերակցությունը, հնարավոր կլինի որոշել աստղի տարիքը։ Գնահատել հնարավոր է երկու եղանակով․ r-պրոցեսների տեսությունից, որոնք հաստատվում են ինչպես լաբորատոր չափումներով, այնպես էլ Արեգակի դիտումներով, կամ էլ կարելի է հատել տրոհման հաշվին կոնցենտրացիաների փոփոխության կորը և գալակտիկայի քիմիական էվոլյուցիայի հաշվին երիտասարդ աստղերի մթնոլորտներում թորիումի և ուրանի բաղադրության փոփոխությունների կորը։ Երկու եղանակն էլ նման արդյունքներ են տալիս․ 15,5±3,2 միլիարդ տարի է ստացվել առաջին եղանակով, 14{,}5^{-2{,}8}_{+2{,}2} միլիարդ տարի՝ երկրորդով։

## Տես նաև
*Ֆրիդմանի հավասարումներ

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Հարաբերականության ընդհանուր տեսություն
Կատեգորիա:Տիեզերագիտություն