Վեկտորական արտադրյալ

աջից|մինի|348x348փքս|Վեկտորական արտադրյալ
**Վեկտորական արտադրյալ** կամ երկրաչափական արտադրյալ, էվկլիդեսյան եռաչափ տարածության մեջ երկու վեկտորների արտադրյալ։ Իրենից ներկայացնում է այդ երկու վեկտորներին ուղղահայաց վեկտոր, որը երկարությունը  հավասար է նախնական վեկտորներով կազմված զուգահեռագծի մակերեսին, իսկ ուղղությունը որոշվում է նկարում տրված ձևով։ Եթե վեկտորներից գոնե մեկը զրոյական է (հավասար է զրոյի), ապա արտադրյալը նույնպես հավասար է զրոյի։

Երկու վեկտորների արտադրյալը հաշվելու համար, պիտի նախապես տալ տարածական կողմնորոշում։ Նախապես որոշել, թե վեկտորների եռյակներից որն է **աջ**, և որը **ձախ**, իսկ կոորդինատային համակարգը նշելու կարիք չկա, քանի որ դրանից արդյունքը կախված չէ։

Ի տարբերություն սկալյար արտադրյալի վեկտորական արտադրյալի արդյունքում ստացվում է վեկտոր։

Օգտագործվում է մի շարք տեխնիկական և ֆիզիկական հաշվարկներում։ Օրինակ․ իմպուլսի մոմենտը կամ Լորենցի ուժը գրառվում են վեկտորական արտադրյալի միջոցով։

## Պատմություն
Վեկտորական արտադրյալը, սկալյար արտադրյալի հետ միասին, ներմուծվել է Համիլտոնի կողմից 1846 թվականին, քվատերնիոնների  հաշվարկների հետ կապված։ Երկու քվատերնիոնների սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի։

## Սահմանում
\vec{a} վեկտրի և \vec{b} վեկտրի վեկտորական արտադրյալ կոչվում է \vec{c}վեկտորը, որը բավարարաում է հետևյալ պայմաններին։

* \vec{c} վեկտրի երկարությունը հավասար է \vec{a} և \vec{b} վեկտորների երկարությունների և նրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալին (այսինքն, նրանցով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսին)։
* \vec{c}վեկտորը ուղղահայաց է \vec{a} և \vec{b}վեկտորներից յուրաքանչյուրին։
* \vec{c}-ն այնպես է ուղղված, որ \vec{a},\vec{b},\vec{c} եռյակը հանդիսանում է աջ եռյակ.

Նշանակվում է․

:  \vec{c} 
= 
[ \vec{a} \vec{b} ] 
=
[ \vec{a},\; \vec{b} ] 
= 
\vec{a} \times \vec{b}
=
\vec{a}\wedge\vec{b}.

## Աջ և ձախ վեկտորական եռյակները էվկլիդեսյան եռաչափ տարածությունում
աջից|մինի|250x250փքս|Վեկտորների ուղղության որոշումը աջ ձեռքի կանոնով.
Դիտարկենք գծայնորեն իրարից անկախ,  \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} վեկտորների  եռյակը էվկլիդռսյան եռաչափ տարածությունում։ Կողմնորոշված տարածությունում դրանք լինելու են կամ աջ, կամ ձախ կողմնորոշման։

### Երկրաչափական սահմանում
Տեղափոխենք վեկտորներն այնպես, որ նրանց սկզբնական կետերը համընկնեն։ Կարգավորված \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} եռյակը կոչվելու է **աջ**, եթե սկսած \vec{c}վեկտրի վերջից, ամենակարճ \vec{a}-ից \vec{b}պտույտը դիտորդին երևում է ժամսլաքին հակառակ ուղղությամբ։ Եթե ամենկրճ պտույտը երևում է ժամսլաքի ուղղությամբ,եռյակը կոչվում է **ձախ**։

### Ձեռքի օգնությամբ որոշում
Եռյակը կարելի է որոշել նաև մարդու աջ ձեռքով, որտեղից էլ առաջացել է (աջ ձեռքի կանոն) արտահայտությունը։ Նկարի մեջ  \vec{a}, \vec{b}, \vec{a}\times\vec{b} եռյակը հանդիսանում է **աջ** եռյակ։

### Հանրանաշվական որոշում
Պետք է կազմել մատրից, որի առաջին տողը կազմված է \vec{a} վեկտորի կոորդինտներից, երկրորդը՝ \vec{b} վեկտորի և երրորդը՝ \vec{c}վեկտորի կոորդինատներից։ Այնուհետև, որոշիչի նշանից կախված, կարելի է կատարել հետևյալ հետևությունները։

* Եթե որոշիչը դրական է, ապա եռյակն ունի կոորդինատային համակարգի ունեցած կողմնորոշումը։
* Եթե որոշիչը բացասական է, ապա եռյակը հակառակ է ուղղված կոորդինատային համակարգի ուղղությանը
* Եթե որոշիչը հավասար է զրոյի,ապա վեկտորները գծայնորեն կախման մեջ են։

## Հատկություններ
### Վեկտորական արտադրյալի երկրաչափական հատկություններ
աջից|մինի|250x250փքս|Նկ․1 Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է վեկտորների արտադրյալի մոդուլին։
մինի|250x250փքս|Նկ․2 Զուգահեռանիստի ծավալը հավասար է երկու վեկտորների վեկտորական արտադևյալի և երրեդի սկալյալ արտադրյալին։

* Զուգահեռագծի S մակերեսը հավասար է նույն սկիզբն ունեցող [\vec{a},\;\vec{b}]վեկտորների վեկտորական արտադրյալի մոդուլին։ (տես. Նկ․1)
* Եթե \vec{e} միավոր վեկտորըընտրված է այնպես, որ \vec{a}, \vec{b}, \vec{e} եռյակը աջ է, իսկ  S-ը զուգահեռագծի մակերեսն է, ապա վեկտորական արտադրյալի համար ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը

: 
  [ \vec{a},\; \vec{b}] = S\cdot \vec{e}. 

* Եթե \vec{c}-ն կամայական վեկտոր է, \pi-ն կամայական հարթություն, որը պարունկում է այդ վեկտորը, \vec{g}-ն միավոր վեկտոր է, օրթոգոնալ է \piհարթության նկատմամբ, և \vec{e},\vec{c},\vec{g}եռյակը աջ է, ապա  \pi հարթության վրա գտնվող ցանկացած \vec{a} վեկտորի համար ճիշտ է հետևյալ արատահայտությունը։

: 
  [\vec{a},\; \vec{c}] = \mathrm{Pr}_{\vec{e}}\vec{a}\cdot |\vec{c}|\cdot \vec{g}.
  

* Վեկտորական և սկալյար արտադրյալների օգնությամբ կարելի է հաշվել նույն սկիզբն ունեցող վեկտորներով կազմված զուգահեռանիստի ծավալը (տես նկ․ 2)։ Այդպիսի արտադրյալը կոչվում է վեկտորների խառը արտադրյալ։

: V = |\langle \vec{a},\; [\vec{b},\; \vec{c}]\rangle|.

Դա կարելի է անել երկու եղանակով։

: V =\langle[\vec{a},\; \vec{b}],\; \vec{c}\rangle = \langle\vec{a},\; [\vec{b},\; \vec{c}]\rangle.

### Վեկտորական արտադրյալի հանրահաշվական հատկություններ

## Տես նաև
**Վեկտորների արտադրյալ**

* Վեկտորների սկալյար արտադրյալ
* Վեկտորների խառը արտադրյալ (միայն \mathbb{R}^{3}-ում)
* Կրկնակի արտադրյալ (վեկտորական-վեկտորական միայն \mathbb{R}^{3}-ում)

**Այլ**

* Ռոտոր
* Դիվերգենց

## Ծանոթագրություն

## Գրականություն
* *Кочин Н.Е.* Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. АН СССР: Изд-во «НАУКА», М. 1965.

## Արտաքին հղումներ
* Многомерное векторное произведение 
* Векторное произведение и его свойства. Примеры решения задач
* 

Կատեգորիա:Վեկտորական անալիզ
Կատեգորիա:Վերլուծական երկրաչափություն