Բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցում

**Շղթայական կանոն (բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցման կանոնը)** հնարավորություն է տալիս հաշվել մեկ կամ մի քանի ֆունկցիաների կոմպոզիցիայի ածանցյալը։ Եթե f ֆունկցիան x_0 կետում ածանցելի է, իսկ g ֆունկցիան y_0 = f(x_0) կետում ունի ածանցյալ, ապա h(x) = g(f(x)) ֆունկցիան նույնպես ունի ածանցյալ x_0 կետում։

## Պատմություն
Շղթայական կանոնը առաջին անգամ օգտագործվել է Լայբնիցի կողմից։ Նա այն օգտագործել է \sqrt{a + bz + cz^2} ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվելու համար՝ որպես քառակուսի արմատային ֆունկցիայի և a + bz + cz^2\! ֆունկցիայի համադրույթ(կոմպազիցիա)։ Առաջին անգամ նշել է 1676 թվականին իր հուշագրություններում։ Շղթայական կանոնը չի երևում Լեոնարդ Էյլերի և ոչ մի գրքում, չնայած դրանք գրվել են Լայբնիցի հայտնագործությունից հարյուր տարի անց։

## Միակողմանի դեպք
Դիցուք տրված են թվային ուղղի վրա որոշված f:U(x_0) \to V(y_0)  ֆունկցիաները, որտեղ y_0 = f(x_0),  և g:V(y_0) \to \R։ Դիցուք այդ ֆունկցիաները նաև դիֆերենցելի են․ f\in \mathcal{D}(x_0),\; g \in \mathcal{D}(y_0)։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես կլինի դիֆերենցելի․ h = g \circ f \in \mathcal{D}(x_0), և նրա ածանցյալը կունենա հետևյալ տեսքը․
:  h'(x_0) = g'\bigl( f(x_0) \bigr) \cdot f'(x_0) ։
### Դիտողություն
Լեյբնիցի նշանակումներում շղթայական կանոնը y = y(x) ֆունկցիայի ածանցյալի համար, որտեղ x = x(t) ընդունում է հետևյալ տեսքը
:  h'(x_0) = g'\bigl( f(x_0) \bigr) \cdot f'(x_0).

### Առաջին կարգի դիֆերենցիալի ինվարիանտությունը
y_0 կետում դիֆերենցելի z = g(y) ֆունկցիան ունի
: dz = g'(y_0) \, dy տեսքը, որտեղ
 dy —ը y \to y_0 ֆունկցիայի դիֆերենցիալ արտապատկերումն է
: dy(h) = h,\quad h \in \R։

Դիցուք այժմ y = f(x),\; x \in U(x_0),\; f\in \mathcal{D}(x_0)։ Ապա dy = f'(x_0)\, dx և համաձայն շղթայական կանոնի
: dz = g'\bigl(f(x_0)\bigr) \cdot f'(x_0)\, dx = g'(y_0) \, dy։
Այսինքն առաջին կարգի դիֆերենցիալի բանաձևը մնում է նույնը։

### Օրինակ
Դիցուք h(x) = (3x^2 - 5x)^7 ։ Ապա h ֆունկցիան կարելի է գրել h = g \circ f , կոմպոզիցիայի տեսքով, որտեղ
: f(x) = 3x^2-5x,\;
: g(y) = y^7.\;
Առանձին դիֆերենցելով այդ ֆունկցիան՝
: f'(x) = 6x - 5,\;
: g'(y) = 7y^6,\;
կստանանք
: h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 \cdot (6x-5)։

## Բազմաստիճան դեպք
Դիզուք տրված են f:U(x_0) \subset \R^m \to V(y_0) \subset \R^n, և g:V(y_0) \subset \R^n \to \R^p ֆունկցիաները, որտեղ y_0 = f(x_0)։  Ենթադրենք նաև, որ այդ ֆունկցիաները դիֆերենցելի են․ f\in \mathcal{D}(x_0) և g \in \mathcal{D}(y_0)։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես դիֆերենցելի է և այդ դիֆերենցիալը ունի
: dh(x_0) = dg(y_0) \circ df(x_0) տեսքը։
Մասնավոր դեպքում, Յակոբիի մատրից  h ֆունկցիան հանդիսանում է g և f ֆունկցիաների Յակոբիի մատրիցների արտադրյալը։
: \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)} = \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \cdot \frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}.

### Հետևանքներ
* Երկու ֆունկցիաների Յակոբյան կոմպոզիցիան դա անհատական ֆունկցիաների յակոբյանների արտադրայալն է․
*: \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}\right\vert = \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_n)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)}\right\vert \cdot \left\vert\frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}\right\vert.
Բարդ ֆունկցիայի մասնավոր ածանցյալի համար ճշմարիտ է․
*: \frac{\partial h(x_0)}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial g(y_0)}{\partial y_i} \frac{\partial f(x_0)}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots m։
### Օրինակ
Դիցուք տրված է երեք փոփոխականներով h(x,y,z) = \sin x + \cos^2 (x+y+z) - \sqrt{2x^2 + 5y^3}\;  ֆունկցիան և պահանջվում է գտնել նրա մասնական ածանցյալը ըստ  x փոփոխականի։ 
h\; ֆունկցիան կարող է գրվել որպես  h(x,y,z) = f(u,v,w) ,  որտեղ
: f(u,v,w) = u + v^2 + w,\;
: u(x,y,z) = \sin x,\;
: v(x,y,z) = \cos (x+y+z),\;
: w(x,y,z) = - \sqrt{2x^2 + 5y^3}.\;
Ապա h ֆունկցիայի մասնական ածանցյալը ըստ  x  փոփոխականի կունենա հետևյալ տեսքը․

: 
\frac{\partial h}{\partial x} =
  \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} +
  \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} +
  \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial x}


Հաշվենք ածանցյալները․

: 
  \frac{\partial f}{\partial u} = 1,\;
  \frac{\partial f}{\partial v} = 2v,\;
  \frac{\partial f}{\partial w} = 1,\;
  \frac{\partial u}{\partial x} = \cos x,\;
  \frac{\partial v}{\partial x} = -\sin (x+y+z),\;
  \frac{\partial w}{\partial x} = - \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5y^3}}.\;


Տեղադրելով գտնված ածանցյալները․

: 
\frac{\partial h}{\partial x} =
  1 \cdot \cos x
    \quad + \quad
  2 \cdot \Bigl( \cos (x+y+z) \Bigl) \cdot \Bigl( -\sin(x+y+z) \Bigl)
    \quad + \quad
  1 \cdot \left( - \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5y^3}} \right)


Արդյունքում

: 
\frac{\partial h}{\partial x} =
  \cos x
    - 
  \sin(2x+2y+2z)
    -
  \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5y^3}}.


## Գրականություն
* 
* Գ․Մ․Ֆիխտենգոլց; Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվ,6-րդ հրատ․, — Մ.: Նաուկա, 1966. — էջ 680։

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Դիֆերենցիալ հաշիվ
Կատեգորիա:Դիֆերենցիալ հավասարումներ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկա