Բաժանելիություն

**Բաժանելիություն**, թվաբանության և թվերի տեսության հիմնական հասկացություններից մեկը՝ կապված բաժանման գործողության հետ։ Բազմությունների տեսության տեսանկյունից ամբողջ թվերի բաժանելիությունը հանդիսանում է հարաբերություն՝ որոշված ամբողջ թվերի բազմության վրա։

## Սահմանում
Եթե որևէ a և b ամբողջ թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի q ամբողջ թիվ, որ bq=a, ապա ասում են, որ a թիվը **առանց մնացորդի բաժանվում է** b թվի վրա կամ՝ b թիվը **տրոհում է** a թիվը։

Ընդ որում b թիվը կոչվում է a թվի **[[բաժանարար]]**, a թիվը՝ **[[բաժանելին]]**, հանդիսանում է b թվի **բազմապատիկ**, իսկ q թիվը կոչվում է a թիվը b թվի վրա բաժանելու արդյունքում ստացված **[[Բաժանում (մաթեմատիկա)|քանորդ]]**։

Թեև բաժանելիության հատկությունը սահմանված է ամբողջ թվերի բազմության վրա, սովորաբար դիտարկվում է միայն բնական թվերի բաժանելիությունը։ Մասնավորապես, բնական թվի բաժանարարների քանակի ֆունկցիան հաշվում է նրա միայն դրական բաժանարարները։

### Նշանակումներ
* a\,\vdots\, b նշանակում է, որ a թիվը **բաժանվում է** b թվի վրա, կամ՝ որ a թիվը b թվի **բազմապատիկն է**։
* b\mid a նշանակում է, որ b թիվը **տրոհում է** a թիվը, կամ, որ նույնն է՝ b թիվը  a թվի **բաժանարարն է**։

## Առնչվող սահմանումներ
* Մեկից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի առնվազն երկու բնական բաժանարար՝ մեկը և նույն թիվը։ Ընդ որում՝ այն բնական թվերը, որոնք ունեն ճիշտ երկու բաժանարար, կոչվում են **[[պարզ թիվ|պարզ]]**, իսկ երկուսից ավելի բաժանարարներ ունեցողները՝ **[[բաղադրյալ թիվ|բաղադրյալ]]** թվեր։ Մեկ թիվն ունի միայն մեկ բաժանարար և չի հանդիսանում ո՛չ պարզ, ո՛չ բաղադրյալ։
* 1-ից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի գոնե մեկ պարզ բաժանարար։
* Թվի **սեփական բաժանարար** է կոչվում այդ թվի՝ իրենից տարբեր ցանկացած բաժանարար։ Պարզ թվերն ունեն միայն մեկ սեփական բաժանարար՝ մեկ թիվը։
*Անկախ a ամբողջ թվի՝ b\ne 0 ամբողջ թվի վրա բաժանելիությունից, a թիվը միշտ կարելի է մնացորդով բաժանել <math>b</math> թվի վրա, այսինքն՝ ներկայացնել հետևյալ տեսքով. 
*: a=b\,q + r, որտեղ 0 \leqslant r :
: Այս առնչության մեջ q թիվը կոչվում է **[[թերի քանորդ]]**, իսկ r թիվը՝ a թիվը b թվի վրա բաժանելուց ստացված **մնացորդ**։ Ինչպես քանորդը, այնպես էլ մնացորդը որոշվում են միարժեքորեն։ 
: a թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է b թվի վրա միայն այն դեպքում, երբ a թիվը b թվի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասար է 0-ի։
* Ցանկացած թիվ, որի վրա բաժանվում են ինչպես a, այնպես էլ b թվերը, կոչվում է նրանց **ընդհանուր բաժանարար**, այդ թվերից մեծագույնը կոչվում է **[[ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար]]**։ Ցանկացած թվազույգ ունի առնվազն երկու ընդհանուր բաժանարար՝ +1 և -1: Եթե այլ ընդհանուր բաժանարարներ չկան, ապա այդ թվերը կոչվում են **[[Փոխադարձ պարզ թվեր|փոխադարձ պարզ]]**։
* Երկու a և b ամբողջ թվեր կոչվում են **հավասարապես բաժանելի** m ամբողջ թվի վրա, եթե և՛ a թիվը, և՛ b թիվը բաժանվում է m թվի վրա, կամ ո՛չ a թիվը, և ո՛չ էլ b թիվը չի բաժանվում նրա վրա։
* Ասում են, որ a թիվը b թվի **բազմապատիկ** է, եթե a թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է b թվի վրա։ Եթե c թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է a և b թվերի վրա, ապա այն կոչվում է այդ թվերի **ընդհանուր բազմապատիկ**։ Այդպիսի ամենափոքր բնական թիվը կոչվում է a և b թվերի **[[ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ]]**։

## Հատկություններ
: *Նշում.* այս բաժնի բոլոր բանաձևերում ենթադրվում է, որ a,\,b,\,c ամբողջ թվեր են։
* Ցանկացած ամբողջ թիվ հանդիսանում է զրոյի բաժանարար, և քանորդը հավասար է զրոյի.
: \quad0\,\vdots\,a:
* Ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է մեկի.
: \quad a\,\vdots\,1:
* Զրոյի վրա բաժանվում է միայն զրոն.
: a\,\vdots\,0\quad\Rightarrow\quad a = 0, ընդ որում՝ քանորդն այս դեպքում որոշված չէ։
* Մեկը բաժանվում է միայն մեկի վրա.
: 1\,\vdots\,a\quad\Rightarrow\quad a = \pm 1:
* Ցանկացած a \ne 0 ամբողջ թվի համար կգտնվի այնպիսի b \ne a, ամբողջ թիվ, որի դեպքում b\,\vdots\,a:
* Եթե a\,\vdots\,b և \left|b\right| > \left|a\right|, ապա a\,=\,0: Այստեղից էլ հետևում է, որ եթե a\,\vdots\,b և a \ne 0, ապա \left|a\right| \geqslant \left|b\right|:
* Որպեսզի a\,\vdots\,b, անհրաժեշտ է և բավարար, որ \left|a\right| \vdots \left|b\right|:
* Եթե a_1\,\vdots\,b,\,a_2\,\vdots\,b,\,\dots,\,a_n\,\vdots\,b, ապա \left( a_1 + a_2 + \dots + a_n \right)\,\vdots\,b:
* Բնական թվերի բաժանելիության առնչությունը հանդիսանում է ոչ խիստ կարգի հարաբերակցություն, և մասնավորաբար, այն
** անդրադարձական է, այսինքն՝  ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է ինքն իր վրա.\quad a\,\vdots\,a:
** փոխանցական է, այսինքն՝ եթե a\,\vdots\,b և b\,\vdots\,c, ապա a\,\vdots\,c:
** հակասիմետրիկ (հակահամաչափ) է, այսինքն՝ եթե a\,\vdots\,b և b\,\vdots\,a, ապա a\,=\,b:
:: Ամբողջ թվերի համակարգում բավարարվում են այս երեք հատկություններից առաջին երկուսը; օրինակ՝ 2\,\vdots\,-2 և -2\,\vdots\,2, սակայն 2 \ne -2:

## Բաժանարարների քանակը
n բնական թվի դրական բաժանարարների քանակը, որը սովորաբար նշանակվում է \tau(n), հանդիսանում է բազմապատկական ֆունկցիա, նրա համար ճշմարիտ է Դիրիխլեի ասիմպտոտիկ բանաձևը.

: \sum_{n=1}^N\tau(n)=N\ln N+(2\,\gamma-1)N+O\left(N^\theta\right):

Այստեղ \gamma-ն՝ Էյլեր — Մասկերոնիի հաստատունն է, իսկ \theta-ի համար Դիրիխլեն ստացել է \frac{1}{2} արժեքը։ Այս արդյունքը բազմիցս բարելավվել է, և ներկայումս հայտնի ամենալավ արդյունքն է՝ \theta=\frac{131}{416} (2003 թվականին ստացել է Հաքսլին)։ Սակայն, \theta-ի փոքրագույն արժեքը, որի դեպքում այդ բանաձևը կլինի ճշմարիտ, հայտնի չէ (ապացուցված է, որ այն փոքր չէ, քան \frac{1}{4}):

Ընդ որում՝ n մեծ թվի միջին բաժանարարն աճում է ինչպես \frac{c_1 n}{\sqrt{\ln n}}, ինչը հայտնաբերել է Ա. Կարացուբան։ Մ. Կորոլյովի համակարգչային գնահատմամբ՝ c_1=\frac{1}{\pi}\prod_p \left(\frac{p^{3/2}}{\sqrt{p-1}} \ln\left(1+\frac{1}{p}\right)\right)\approx 0{,}7138067:

## Ընդհանրացումներ
Բաժանելիության հասկացությունը ընդհանրացվում է կամայական օղակների վրա, օրինակ՝ գաուսյան ամբողջ թվերը կամ բազմանդամների օղակը։

## Տես նաև
* Բաժանում (մաթեմատիկա)
* Մնացորդով բաժանում
* Բաժանելիության հայտանիշներ
* Օղակ (մաթեմատիկա)

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* *Виноградов И. М.* Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
* 
* 

## Արտաքին հղումներ
* Տեսանյութ բաժանելիության մասին

Կատեգորիա:Բաժանում
Կատեգորիա:Թվերի տեսություն
Կատեգորիա:Հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Տարրական մաթեմատիկա