Ռիկատիի հավասարում

**Ռիկատիի հավասարում**, 1-ին կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք ունեն հետևյալ տեսքը՝
: \frac{dx}{dt} = a(t)x^2 + b(t)x + c(t). \quad (*)
Ռիկատիի հավասարումներ է կոչվում նաև (*)-ի բազմաչափ անալոգը, այսինքն x_1, \ldots, x_n անկախ փոփոխականներով սովորական դիֆֆերենցիալ հավասարումների համակարգը։ Այս դեպքում հավասարման աջ մասը t գործակցից կախված x_1, \ldots, x_n փոփոխականների երկրորդ կարգի բազմանդամ է։

Համասեռ, միաչափ Ռիկատիի հավասարումը կիրառում են մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում՝ գծային հանրահաշվի մեջ, համիլտոնյան համակարգերում, վարիացիոն հաշիվներում, կոնֆորմ արտապատկերումներում, դաշտի քվանտային տեսությունում։

## Պատմություն
Հավասարման մասնավոր դեպք է հանդիսանում հետևյալը՝
: b\frac{dx}{dt} = x^2 + at^{\alpha}, \quad (**)
որտեղ \alpha,\, a,\, b\neq 0-ն հաստատուններ են, որոնք հետազոտվել են իտալացի մաթեմատիկոս Յակոպո Ֆրանչեսկո Ռիկատիի և Բեռնուլի ընտանիքի (Դանիել, Յոհան, Նիկոլայ կրտսեր և Նիկոլայ ավագ) կողմից։

Նրանց կողմից է հայտնաբերվել նաև այն պայմանը, ըստ որի թույլատրվում է փոփոխականների անջատումը և, հետևաբար, \alpha = {4n}/{(1-2n)}, \ n \in \mathbb{N} կամ \alpha=-2.քառակուսով ինտեգրումը թույլատրելի է։

Ընդհանուր լուծումը տրվում է գլանային կոորդինատներով։

(*) հավասարումը հաճախ անվանում են Ռիկատիի ընդհանուր հավասարում, իսկ (**)-ն՝ Ռիկատիի հատուկ հավասարում։

## Հատկություններ
* Ռիկատիի հավասարումը a(t)=0 դեպքում գծային է և քառակուսով ինտեգրելի է։
* Ռիկատիի հավասարումը c(t)=0 դեպքում վերածվում է Բեռնուլիի հավասարման և քառակուսով ինտեգրելի է, եթե կատարվում է y=1/x փոխարինումը։
* Ռիկատիի հավասարման ընդհանուր լուծումը ինտեգրման հաստատունից կախված կոտորակագծային ֆունկցիա է։ Ճիշտ է նաև հակառակը՝ ցանկացած առաջին կարգի դիֆֆենցիալ հավասարում, որը բավարարում է այս պայմանին, համարվում է Ռիկատիի հավասարում։
* Եթե x_1(t), \ldots, x_4(t)-երը Ռիկատիի հավասրաման մասնակի լուծումներն են, որոնք համապատասխանում են c_1, \ldots, c_4 ինտեգրման հաստատուններին, ապա տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝
: \frac{x_3(t), x_1(t)}{x_3(t), x_2(t)} : \frac{x_4(t), x_1(t)}{x_4(t), x_2(t)} \equiv \frac{c_3-c_1}{c_3-c_2} : \frac{c_4-c_1}{c_4-c_2}. \quad (***)
* (***) հավասարության ձախ մասը մասնավոր լուծումների կրկնակի կապակցություն է։ Այն համարվում է Ռիկատիի հավասարման առաջին ինտեգրալը։ Այսպիսով, հավասրաման ընդհանուր լուծումը վերականգվում է (***) մասնակի լուծումների 3 անկախ մասերով։

## Ընդհանրացում
Ռիկատիի մատրիցային հավասարում է անվանվում հետևյալ դիֆֆերենցիալ հավասարումը՝
: \frac{dX}{dt} = XA(t)X + B_1(t)X + XB_2(t) + C(t)
Այն կախված է n-րդ կարգի X=(x_{ij})-ից, որտեղ A,B_1,B_2,C-ն n-րդ կարգի տրված քառակուսային մատրիցներ են, որոնք կախված են փոփոխական t գործակիցներից։

Վարիացիոն հաշիվներում կարևոր դեր է կատարում Ռիկատիի մատրիցային հավասարման հետևյալ տեսքը՝
: \frac{dW}{dt} = (R(t)+W) \cdot P^{-1}(t)\cdot (R^*(t)+W),  Q(t),  այն իրենից ներկայացնում է n-րդ կարգի W=(w_{ij}) քառակուսային մատրիցից կախվածություն, որտեղ P,Q,R-ն t փոփոխական գործակիցներից կախված n-րդ կարգի քառակուսային մատրիցներ են։ Ընդ որում \det P\neq 0:  Այն կապված է Յակոբի հավասարման հետ, որը տրվում է հետևյալ ինտեգրալային ֆունկցիոնալի \widehat x(\cdot) հաստատուն կետում երկրորդ վարիացիայի համար՝J=\int f(t,x,\dot x) \,dt, \quad x = (x_1, \ldots, x_n):
: Այդ դեպքում մատրիցները ստացվում են հետևյալ կերպ՝

: P(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial \dot x_i \partial \dot x_j}\Bigr) \Bigl|_{\widehat x(t)}, \ \,
Q(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\Bigr)\Bigl|_{\widehat x(t)}, \ \,
R(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial \dot x_j}\Bigr)\Bigl|_{\widehat x(t)}
:

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* Ինտեգրալների և սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների կիրառությունը ֆիզիկայի խնդիրներում, Սերգեյ Ազարյան, Տիգրան Գրիգորյան
* Սովորական դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հավասարումներ, Ա. Գ. Ղալումյան, Ա. Վ. Ցուցուլյան, Ա. Ա. Սարգսյան

## Արտաքին հղումներ
* Riccati equation - Encyclopedia of Mathematics
* Riccati Differential Equation - from Wolfram MathWorld

Կատեգորիա:Դիֆերենցիալ հավասարումներ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ