Բրետշնայդերի բանաձև

thumb|Նկար 1
Երկրաչափության մեջ **Բրետշնայդերի բանաձևը** կապ է հաստատում ուռուցիկ քառանկյան A մակերեսի, a, b, c, d կողմերի, \alpha \, և \gamma \, հանդիպակած անկյուների միջև՝
: A = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd  \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}
::= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{2} abcd [ 1 + \cos (\alpha+ \gamma) ]} .

հավասարմամբ, որտեղ s-ը քառանկյան կիսապարագիծն է, \alpha-ն և \gamma-ն՝ երկու հանդիպակած անկյունները։

Գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Անտոն Բրետշնայդերը ապացուցել է այս հավասարումը 1842 թվականին։ Հետաքրքրական է այն, որ նույն թվականին հավասարումը ապացուցել է նաև Կարլ Գեորգ Քրիստոնյա վոն Շտաուդը։

## Ապացույց
\triangle DAB և \triangle BCD նշանակենք համապատասխանաբար \mathcal{A}_1 և \mathcal{A}_2 տառերով։ Ըստ եռանկյան մակերեսի

:\mathcal{A}_1 = \dfrac {ab \sin \alpha} {2}, \mathcal{A}_2 = \dfrac {cd \sin \gamma} {2} ըստ մակերեսների աքսիոմի

: \mathcal{A}^2
      = \dfrac 1 4 \left(a^2 b^2 \sin^2 \alpha + 2 abcd \sin \alpha \sin \gamma + c^2 d^2 \sin^2 \gamma \right)
       (1)

ըստ կոսինուսների թեորեմի e անկյունագիծը կարելի է ներկայացնել երկու եղանակով՝

: e^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha 

: e^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos \gamma  

այստեղից՝

: a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha = c^2 + d^2 - 2cd \cos \gamma  

հավասարման երկու կողմերին գումարելով  2ab \cos \alpha - c^2 -d^2  արտահայտությունը կստանանք

: a^2 +b^2 - c^2 - d^2 = 2ab \cos \alpha - 2cd \cos \gamma  

կամ՝

: \left( a^2 +b^2 - c^2 - d^2 \right)^2 = 4 a^2 b^2 \cos^2 \alpha - 8 abcd \cdot \cos \alpha \cos \gamma + 4 c^2 d^2 \cos^2 \gamma  

հավասարումը, որը համարժեք է

: \frac 1 4 \left( a^2 b^2 \cos^2 \alpha - 2 abcd \cdot \cos \alpha \cos \gamma + c^2 d^2 \cos^2 \gamma \right) - \frac 1 {16} \left( a^2 +b^2 - c^2 - d^2 \right)^2 = 0   

արտահայտությանը, որը տեղադրելով (1) հավասարման մեջ և օտվելով  \sin^2 x + \cos^2 x = 1  և  \cos \left({x - y}\right) = \cos x \cos y + \sin x \sin y  նույնություններից կստանանք

: \mathcal A^2 = \frac 1 4 \left( a^2 b^2 + c^2 d^2 - 2 abcd \cdot \cos \left( \alpha + \gamma\right) \right) - \frac 1 {16} \left( a^2 +b^2 - c^2 - d^2 \right)^2 
:  \mathcal A^2 = \frac 1 {16} \left( 4 a^2 b^2 + 4 c^2 d^2 - \left( a^2 +b^2 - c^2 - d^2 \right)^2 \right) - \frac 1 2 abcd \cdot \cos \left( \alpha + \gamma\right) 
: \mathcal A^2 = \frac 1 {16} \left(-a^4 - b^4 - c^4 - d^4 + 2 a^2 b^2 + 2 a^2 c^2 + 2 a^2 d^2 + 2 b^2 c^2 + 2 b^2 d^2 + 2 c^2 d^2 \right) - \frac 1 2 abcd \cdot \cos \left( \alpha + \gamma\right) 
: \mathcal A^2  = \frac 1 {16} \left(-a^4 - b^4 - c^4 - d^4 + 2 a^2 b^2 + 2 a^2 c^2 + 2 a^2 d^2 + 2 b^2 c^2 + 2 b^2 d^2 + 2 c^2 d^2 + 8abcd - 8abcd\right) - \frac 1 2 abcd \cdot \cos \left( \alpha + \gamma\right) 
: \mathcal A^2 = \frac 1 {16} (-a+b+c+d) \cdot (a-b+c+d) \cdot (a+b-c+d) \cdot (a+b+c-d) - \frac 1 2 abcd - \frac 1 2 abcd \cdot \cos \left( \alpha + \gamma\right) 
: \mathcal A^2 = (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c) \cdot (s-d) - \frac 1 2 abcd - \frac 1 2 abcd \cdot \cos \left( \alpha + \gamma\right) 
: \mathcal A^2 = (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c) \cdot (s-d) - \frac 1 2 abcd \cdot \left( 1 + \cos \left( \alpha + \gamma\right) \right) 
: \mathcal A^2 = (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c) \cdot (s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left( \dfrac {\alpha + \gamma} {2} \right) 

## Տես նաև
* Բրահմագուպտայի բանաձև

## Աղբյուրներ
* Ayoub B. Ayoub: *Generalizations of Ptolemy and Brahmagupta Theorems*. Mathematics and Computer Education, Volume 41, Number 1, 2007, 
* E. W. Hobson: *A Treatise on Plane Trigonometry*. Cambridge University Press, 1918, pp.&nbsp;204–205 (online copy)
* C. A. Bretschneider.  *Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes.* Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 ( online copy, German)
* F. Strehlke: *Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes*. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 (online copy, German)

## Արտաքին հղումներ
* 
*Bretschneider's formula at proofwiki.org

Կատեգորիա:Էվկլիդեսյան երկրաչափության թեորեմներ
Կատեգորիա:Հարթաչափություն