Մուավրի բանաձև

Մաթեմատիկայում, Մուավրի բանաձևը (, նաև հայտնի է որպես Մուավրի թեորեմ և Մուավրի նույնություն), անվանվել է ի պատիվ Աբրահամ դե Մուավրի, պնդում է, որ ցանկացած *x* կոմպլեքս թվի (և, մասնավորապես ցանկացած իրական թվի)  և  *n* ամբողջ թվի համար

:(\cos (x) + i \sin (x))^n = \cos (nx) + i \sin (nx),

որտեղ *i*֊ն  կեղծ միավորն է  (*i**2*&nbsp;=&nbsp;−1)։ Չնայած բանաձևը անվանված է Մուավրի պատվին, նա երբեք իր աշխատանքներում չի պնդել բանաձևը։  արտահայտությունը երբեմն հապավում են cis&nbsp;(*x*)

Բանաձևը կարևոր է, քանի որ այն կապում է կոմպլեքս թվերն ու եռանկյունաչափությունը։ Տարածելով ձախ մասը և այնուհետև համեմատելով իրական և կեղծ մասերը՝ *x*֊ը ընդունելով իրական՝ հնարավոր է ստանալ օգտակար արտահայտություններ cos(*nx*)֊ի և sin(*nx*)֊ի համար cos&nbsp;(*x*)֊ի և sin&nbsp;(*x*)֊ի տեսանկյունից։

Ինչպես գրված է, բանաձևը ընդունելի չէ *n* ոչ ամբողջ թվերի համար։ Այնուամենայնիվ, կան այս բանաձևի ընդհանրացումներ, որոնք ընդունելի են էքսպոնենտների համար։ Սա կարող է գործածվել *n*֊րդ  միավոր արմատներին պարզ արտահայտություններ տալուն, օրինակ, *z* կոմպլեքս թվերին այնպես, որ *z<sup>n</sup>*&nbsp;=&nbsp;1։

## Էյլերի բանաձևից ածանցում
Չնայած որ պատմականորեն նախկինում ապացուցվել է, Մուավրի բանաձևը հեշտությամբ կարող է ստացվել Էյլերի բանաձևից

:e^{ix} = \cos (x) + i\sin (x)\,

և ամբողջ թվերի համար էքսպոնենցիալ կանոնից։

:\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} 

Այնուհետև Էյլերի բանաձևով,

:e^{i(nx)} = \cos (nx) + i\sin (nx)\,

## Ինդուկցիայով ապացույց (''n'' ամբողջ թվի համար)
Մուավրի թեորեմի ճշմարտությունը հիմնվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայով բնական թվերի համար և ծավալվում բոլոր ամբողջ թվերի համար։ *n* ամբողջ թվերի համար, հետևյալ պնդումը նշանակենք S(*n*):

:(\cos (x) + i \sin (x))^n = \cos (nx) + i \sin (nx).

*n*&nbsp;>&nbsp;0֊ի համար, մենք շարունակում ենք մաթեմատիկական ինդուկցիայով։ S(1)֊ը լիովին ճիշտ է։ Մեր վարկածի համար, մենք ենթադրում ենք S(*k*)֊ն ճիշտ է ինչ֊որ *k*բնական թվի համար։ Այսինքն մենք ենթադրում ենք

:\left(\cos (x) + i \sin (x)\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right). \,

Հիմա համարելով S(*k*&nbsp;+&nbsp;1):

:
\begin{alignat}{2}
 \left(\cos (x)+i\sin (x)\right)^{k+1} & = \left(\cos (x)+i\sin (x)\right)^{k} \left(\cos (x)+i\sin (x)\right)\\
 & = \left[\cos\left(kx\right) + i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos (x)+i\sin (x)\right) &&\qquad \text{ինդուկցիայի վարկածով}\\
 & = \cos \left(kx\right) \cos (x) - \sin \left(kx\right) \sin (x) + i \left[\cos \left(kx\right) \sin (x) + \sin \left(kx\right) \cos (x)\right]\\
 & = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\sin \left[ \left(k+1\right) x \right] &&\qquad \text{եռանկյունաչափական նույնություններով}
\end{alignat}


Տե՛ս անկյունների գումար և տարբերության նույնություններ։

Մենք եզրակացնում ենք, որ S(*k*) ենթադրում է S(*k*&nbsp;+&nbsp;1)։ Մաթեմատիկական ինդուկցիայի սկզբունքով հետևում է, որ արդյունքը ճիշտ է բոլոր բնական թվերի համար։ S(0)֊ն լիովին ճիշտ է, քանի որ  ։ Վերջապես, բացասական ամբողջ թվերի դեպքում, մենք համարում ենք  −*n* էքսպոնենտը  *n* բնական թվի համար։

:
\begin{align}
 \left(\cos (x) + i\sin (x)\right)^{-n} & = \left[ \left(\cos (x) + i\sin (x)\right)^n \right]^{-1} \\
 & = \left[\cos (nx) + i\sin (nx)\right]^{-1} \\
 & = \cos(-nx) + i\sin (-nx). \qquad (*) \\
\end{align}

Հավասարումը (*) նույնության արդյունք է
:z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2},
 համար։ Այդ պատճառով,  S(*n*)֊ը բավարարում է բոլոր *n* ամբողջ թվերին։

## Կոսինուս և սինուսի համար բանաձև
Լինելով կոմպլեքս թվերի հավասարում, այդ մեկը անպայմանորեն ունի հավասարման իրական մասերի և կեղծ մասերի անդամների հավասարություն։ Եթե  *x*֊ը, հետևաբար նաև cos&nbsp;*x*֊ն ու sin&nbsp;*x*֊ը, իրական թվեր են, ապա այս մասերի նույնությունը կարող է գրվել օգտագործելով բինոմական գործակիցներ։ Այս բանաձևը տրվել էր 16֊րդ դարի մաթեմատիկոս Ֆրանցիսկոս Վիետի կողմից

:\begin{align}
\sin(nx) &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^kx\,\sin^{n-k}x\,\sin\left(\frac{(n-k)\pi}{2}\right) \\
\cos(nx) &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^kx\,\sin^{n-k}x\,\cos\left(\frac{(n-k)\pi}{2}\right).
\end{align}։

Այս երկու հավասարումներից յուրաքանչյուրում, վերջնական եռանկյունաչափական ֆունկցիան հավասար է 1 կամ ֊1 կամ 0, այդպիսով հեռացնելով գումարնեից յուրաքանչյուրում մուտքագրումների կեսը։ Այս հավասարումներն իրականում *x* կոմպլեքս թվերի համար անգամ ընդունելի են, քանի որ երկու կողմերն էլ  *x*֊ի ամբողջական ֆունկցիաներ են (այսինքն հոլոմորֆիկ են ողջ կոմպլեքս հարթության վրա), և երկու այսպիսի ֆունկցիաները, որ համընկնում են իրական առանցքի վրա, անպայմանորեն համընկնում են ամենուրեք։ Ահա *n*&nbsp;=&nbsp;2 և *n*&nbsp;=&nbsp;3֊ի համար այս հավասարումների կոնկրետ օրինակներ․

:\begin{align}
 \cos(2x) &= \left(\cos{x}\right)^2 +\left(\left(\cos{x}\right)^2-1\right) &&= 2\left(\cos{x}\right)^2-1\\
 \sin(2x) &= 2\left(\sin{x}\right)\left(\cos{x}\right)\\
 \cos(3x) &= \left(\cos{x}\right)^3 +3\cos{x}\left(\left(\cos{x}\right)^2-1\right) &&= 4\left(\cos{x}\right)^3-3\cos{x}\\
 \sin(3x) &= 3\left(\cos{x}\right)^2\left(\sin{x}\right)-\left(\sin{x}\right)^3 &&= 3\sin{x}-4\left(\sin{x}\right)^3\\
\end{align}

cos(*nx*)֊ի համար բանաձևի աջ կողմը իրականում *T**n*Չեբիշեվի բազմանդամի *T**n*(cos&nbsp;*x*) արժեքն է cos&nbsp;*x*֊ով։

## Ոչ ամբողջ թվերի համար ձախողում և ընդհանրացում
Մուավրի բանաձևը ուժի մեջ չէ ոչ ամբողջ աստիճանների համար։  Մուավրի բանաձևի ածանցումը ներառում է *n* ամբողջ թվով բարձրացրած կոմպլեքս թիվ։ Եթե կոմպլեքս թիվը բարձրացրած է ոչ ամբողջ թվով, արդյունքը բազմարժեք ֆունկցիա է (տե՛ս Աստիճանի և լոգարիթմի նույնությունների ձախողում)։ Օրինակ, երբ *n*&nbsp;=&nbsp;, Մուավրի բանաձևը տալիս է հետևյալ արդյունքները՝

:for *x*&nbsp;=&nbsp;0 բանաձևը տալիս է 1&nbsp;=&nbsp;1, և
:for *x*&nbsp;=&nbsp;2 բանաձևը տալիս է 1&nbsp;=&nbsp;−1

Սա սահմանում է երկու տարբեր արժեքներ միևնույն 1 արտահայտության համար, այդպիսով բանաձևը կայուն չէ այս դեպքում։

Մյուս կողմից,  1 և −1 արժեքները երկուսն էլ 1֊ի արմատներն են։ Ավելի ընդհանրական, եթե  *z*֊ը  և *w*֊ն կոմպլեքս թվեր են, ապա

:\left(\cos z + i\sin z\right)^w

բազմարժեք է, մինչդեռ

:\cos (wz) + i \sin (wz)\,

ոչ։ Այնուամենայնիվ, միշտ կա դեպք, որտեղ

:\cos (wz) + i \sin (wz) 
is one value of
:\left(\cos z + i\sin z\right)^w\,

### Կոմպլեքս թվերի արմատներ
Այս հոդվածում Մուավրի բանաձևի տարբերակի համեստ ընդլայնումը կարող է օգտագործվել կոմպլեքս թվի (equivalently, րդ աստիճան) ''n''֊րդ արմատները գտնելու համար։

Եթե *z*֊ը կոմպլեքս թիվ է գրված հարթության տեսքով որպես

: z=r\left(\cos (x)+i\sin (x)\right),\,

ապա  *n* *n*֊րդ արմատները *z*֊ի տրվում են

: 
r^\frac1n \left[ \cos \left( \frac{x+2\pi k}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2\pi k}{n} \right) \right]


որտեղ *k*֊ն ընկած է 0 ֊ից *n*&nbsp;−&nbsp;1 ամբողջ թվերի մեջ։

Երբեմն այս բանաձևը հայտնի է որպես Մուավրի բանաձև։

## Զուգահեռներ այլ կարգավորումներում
### Հիպերբոլիկ եռանկյունաչափություն

Քանի որ , Մուավրի բանաձևի անալոգը ևս հարմար է հիպերբոլիկ եռանկյունաչափությանը։ Բոլոր *n*&nbsp;∈&nbsp;ℤ համար
:(\cosh x + \sinh x)^n = \cosh nx + \sinh nx
Նաև, եթե *n*&nbsp;∈&nbsp;ℚ, ապա   մեկ արժեքը կարող է լինել :

### Քվատերնիոններ
Քվատերնիոնների արմատը գտնելու համար գոյություն ունի Մուավրի բանաձևի անալոգ։ Հետևյալ տեսքով քվատերնիոնը
:d + a\mathbf{\hat{i}} + b\mathbf{\hat{j}} + c\mathbf{\hat{k}}
կարող է ներկայացվել
:q = k(\cos \theta + \varepsilon \sin \theta) \qquad \mathrm{for} \; 0 \leq \theta 
Այս տեսքում,
:k = \sqrt{d^2 + a^2 + b^2 + c^2},
և եռանկյունաչափական ֆունկցիաները սահմանվում են որպես 
:\cos \theta = \frac{d}{k} \quad \mathrm{and} \quad \sin \theta = \pm \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{k}.
Այս դեպքում այդ ,
:\varepsilon = \pm \frac{a\mathbf{\hat{i}} + b\mathbf{\hat{j}} + c\mathbf{\hat{k}}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}},
այսնինքն՝ միավոր վեկտոր։ Սա տանում է Մուավրի բանաձևի բազմաձևության՝

:q^n = k^n(\cos n \theta + \varepsilon \sin n \theta).

#### Օրինակ
:Q = 1 + \mathbf{\hat{i}} + \mathbf{\hat{j}}+ \mathbf{\hat{k}},
խորանարդ արմատ բարձրացնելու համար, քվատերնիոնը պետք է գրել 
:Q = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + \varepsilon \sin \frac{\pi}{3}\right) \qquad \mathrm{where} \; \varepsilon = \frac{\mathbf{\hat{i}} + \mathbf{\hat{j}}+ \mathbf{\hat{k}}}{\sqrt{3}}.
Այնուհետև խորանարդ արմատները տրվում են
:\sqrt[3]{Q} = \sqrt[3]{2}(\cos \theta + \varepsilon \sin \theta) \qquad \theta = \frac{\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{13\pi}{9}.

## Ծանոթագրություններ
*.

## Արտաքին հղումներ
* De Moivre's Theorem for Trig Identities by Michael Croucher, Wolfram Demonstrations Project

Կատեգորիա:Ապացույցներ կրող հոդավծներ
Կատեգորիա:Կոմպլեքս անալիզ
Կատեգորիա:Կոմպլեքս անալիզի թեորեմներ