Ենթաբազմություն

**Ենթաբազմություն** բազմությունների տեսությունում - բազմության մասի հասկացություն
280px|մինի|Էյլերի դիագրամում երևում է, որ A բազմությունը B բազմության ենթաբազմություն է

## Սահմանում
A բազմությունը համարվում է B բազմության ենթաբազմություն, եթե A-ին պատկանող ցանկացած տարր պատկանում է նաև B-ին։

: (A \subset B) \Leftrightarrow ( x \in A \Rightarrow x \in B ).
Ենթաբազմությունների համար գոյություն ունեն երկու սիմվոլիկ նշանակումներ.

Ցավոք, նշանակումների երկու համակարգերն էլ օգտագործում են \subset տարբեր իմաստներով, որը կարող է շփոթության բերել։
Այստեղ կօգտագործենք նշանակումների վերջին համակարգը։
A բազմության բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը նշանակվում է \mathcal{P}(A):

### Սեփական ենթաբազմություն
Ցանկացած B բազմություն համարվում է իր ենթաբազմությունը։ Եթե ցանկանում ենք B բազմությունը բացառել դիտարկումից, օգտվում ենք **սեփական** ենթաբազմության հասկացությունից, որը սահմանվում է.
:A բազմությունը համարվում է B բազմության սեփական ենթաբազմություն, եթե A \subset B և A \ne B:
Դատարկ բազմությունը ցանկացած բազմության ենթաբազմություն է։ Եթե ցանկանում ենք բացառել նաև դատարկ բազմությունը, օգտվում ենք ոչ տրիվիալ ենթաբազմության հասկացությունից, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ.
:A բազմությունը համարվում է B բազմության ոչ տրիվիալ ենթաբազմություն, եթե A-ն B-ի սեփական ենթաբազմություն է և A \ne \varnothing:

## Օրինակներ
*\varnothing, \{0\}, \{1,3,4\} բազմությունները \{ 0,1,2,3,4,5\} բազմության ենթաբազմություններ են։
*\{ \varnothing, \uparrow, moose \}, \{ \$,\%,*,\uparrow \}, \{\varnothing\}, \varnothing բազմությունները \{ \$, \%, \varnothing, \uparrow, *, moose \} բազմության ենթաբազմություններ են։
*Եթե A = \{a,b\}, ապա \mathcal{P}(A) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \}:
*Եթե A = \{1,2,3,4,5\},\; B = \{1,2,3\},\; C = \{4,5,6,7\}, ապա B \subset A,\; C \not\subset A:

## Հատկություններ
Ենթաբազմության հարաբերությունն օժտված է մի շարք հատկություններով

* Ենթաբազմության հարաբերությունը մասնակի կարգավորված հարաբերություն է.
** Ենթաբազմության հարաբերությունը ռեֆլեքսիվ է.
**: B \subset B
** Ենթաբազմության հարաբերությունը անտիսիմետրիկ է.
**: (A \subset B \; \land \; B \subset A) \Leftrightarrow (A = B)
** Ենթաբազմության հարաբերությունը տրանզիտիվ է.
**: (A \subset B \;\land \; B \subset C ) \Rightarrow ( A \subset C )
* Դատարկ բազմությունը ցանկացած բազմության ենթաբազմություն է, այդ պատճառով այն ենթաբազմության հարաբերության նկատմամբ փոքրագույն բազմությունն է.
*: \varnothing \subset B
* Ցանկացած A և B երկու բազմությունների համար հետևյալ պնդումները համարժեք են.
** A \subset B
** A \cap B = A
** A \cup B = B
** B^{\complement} \subset A^{\complement}

## Վերջավոր բազմությունների ենթաբազմություններ
Եթե ելակետային բազմությունը վերջավոր է, ապա այն ունի վերջավոր քանակով ենթաբազմություններ։ Ավելի ստույգ, n տարր ունեցող բազմությունն ունի 2^n ենթաբազմություններ, ներառյալ դատարկ բազմությունը։ Դրանում համոզվելու համար բավական է նկատել, որ յուրաքանչյուր տարր կարող է պատկանալ կամ չպատկանալ ենթաբազմությանը, նշանակում է, ենթաբազմությունների ընդհանուր քանակը կլինի երկյակների n-ապատիկ արտադրյալը։ Եթե դիտարկենք n տարր ունեցող բազմության միայն k\le n տարր ունեցող ենթաբազմությունները, ապա նրանց քանակը կարտահայտվի \textstyle\binom{n}{k} բինոմալ գործակցով։ Այս փաստը ստուգելու համար կարելի է հաջորդաբար ընտրել ենթաբազմության տարրերը։ Առաջին տարրը կարելի է ընտրել n եղանակով, երկրորդը n-1 եղանակով, և այսպես շարունակ, k-րդ տարրը՝ n-k+1: Այսպիսով, ստանում ենք k տարրից բաղկացած հաջորդականություն, և ճիշտ k! այդպիսի հաջորդականություններին համապատասխանում է մեկ ենթաբազմություն։ Նշանակում է, գտնվում են այդպիսի \textstyle\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}=\binom{n}{k} ենթաբազմություններ։

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
*  

Կատեգորիա:Բազմությունների տեսության հիմնական հասկացություններ
Կատեգորիա:Բազմությունների տեսություն