Միավորից n աստիճանի արմատներ

thumb|Հինգերորդ աստիճանի արմատ միավորից (հնգանկյան կողերը)
**Միավորից n աստիճանի արմատներ**, x^n-1 բազմանդամի կոմպլեքս արմատները, որտեղ n \geqslant 1։ Այլ խոսքով, 
դա կոմպլեքս թիվ է, որի *n*-րդ աստիճանը 1 է։

Միավորի արմատները շատ են օգտագործվում մաթեմատիկայում, հատկապես թվերի տեսությունում, Ֆուրեի դիսկրետ փոփոխություններում, վերջնական ընդլայնման տեսությունում, քանոնի ու կարկինի օգնությամբ կառուցումներում և խմբերի գաղափարի մեջ։

## Գաղափար
Կոմպլեքս միավորը ներկայացնենք եռանկյունաչափական տեսքով.
: 1=\cos\ 0 + i\ \sin\ 0
Մուավրայի բանաձևից ստացվում է.
: u_k=\cos {\frac{2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1
որտեղ u_k-ը միավորից արմատներն են։

Միավորի արմատները կարող ենք ներկայացնել նաև ցուցչային տեսքով.
: u_k=e^{\frac{2\pi k i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1
Այս բանաձևից հետևում է, որ միավորից արմատները միշտ n են ու դրանք միշտ տարբեր են։

## Հաշվարկ
### Երկրաչափական հաշվարկ
* Ցանկացած արմատի բացարձակ արժեքը հավասար է 1։ Կոմպլեքս հարթության վրա միավորի արմատները առաջացնում են կանոնավոր բազմանկյան կողեր` ստեղծելով միավոր շրջանագիծ։ Մի կողմը միշտ հանդիսանում է 1+i0 կոմպլեքս միավորը։
* Եթե u_k-ն` միավորի արմատը, համարվում է \overline {u_k} թվի լծորդը, որեմն այդ թիվը նույնպես միավորի արմատ է։
* Քննարկենք *M*-ը, որը միավոր շրջանագծի վրա կամայական կետ է հանդիսանում։ Եթե հեռավորությունների գումարը դուրս է մնում *M* կետից, ապա միավորի բոլոր արմատները հավասար են *2n*։

### Հանրահաշվական հաշվարկ
* Միավորից արմատները իրենցից ներկայացնում են ամբողջ հանրահաշվական թվեր։
* Միավորից արմատները առաջացնում են բազմապատկման կոմուտատիվ խմբեր։ Մասնավորապես, ցանկացած ամբողջ աստիճանի արմատ միավորից նույնպես համարվում է արմատ միավորից։ Հակադարձ տարրը` այդ խմբի ցանկացած տարրի համար համարվում է լծորդ։ Խմբի չեզոք տարրերը համարվում են կոմպլեքս միավորներ։
* Միավորից արմատների խումբը ադիտիվ է \mathbb{Z}_n-ի հետ։ Այստեղից հետևում է, որ դրանք համարվում են ցիկլիկ խմբեր. պարզության համար մենք կարող ենք վերցնել ցանկացած u_k տարր, որտեղ k ինդեքսը
փոխադարձաբար պարզ է n թվի հետ.
** Հետևանքներ.
*** u_1 միշտ համարվում է պարզ, 
*** եթե n-ը պարզ թիվ է, ապա ցանկացած արմատի աստիճանը` բացի \pm 1-ից, կազմում է ողջ խումբը,
*** պարզ արմատների թիվը հավասար է \varphi (n), որտեղ \varphi ֆունկցիան Էյլերի ֆունկցիան է։
* Եթե n > 1, ապա միավորից ցանկացած աստիճանի u պարզ արամատը ունի հետևյալ բանաձևը.
: \sum_{k=0}^{n-1} u^k = \frac{u^n - 1}{u - 1} = 0 
* \prod_{k=1}^{n-1} |1-u_k| = n \qquad (n > 1)

thumb|Միավորից քառակուսի արմատներ

### Օրինակներ
Միավորից խորանարդ արմատներ.
: \left\{1;\ \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2};\ \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}

Միավորից 4-րդ աստիճանի արմատներ.
: \left\{1;\ +i;\ -1;\ -i \right\} 
մինի|220px|Միավորից 6-րդ աստիճանի արմատներ
5-րդ աստիճանի արմատի համար գոյություն ունի 4 կարևոր տարր.
: \left\{e^{2 \pi i k\over 5}|k\in \{1,2,3,4\}\right\}=\left\{\left . \frac{u\sqrt 5-1}4+v\sqrt{\frac{5+u\sqrt 5}8}i \right |u,v \in \{-1,1\}\right\}

6-րդ աստիճանի համար օգտագործվող տարրերը երկուսն են.
: \left\{ \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right\} 

## Ծանոթագրություններ

## Տես նաև
* Շրջանային բազմանդամ

## Գրականություն
* 
* 
* 

## Արտաքին հղումներ
* Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений.

Կատեգորիա:Բազմանդամներ
Կատեգորիա:Հանրահաշվական թվեր