Բարդ տոկոս

350px|մինի|Արդյունավետ տոկոսադրույք
մինի|Տարեկան 20% տոկոսադրույք վաստակելու էֆեկտը ՝ տարբեր բարդ հաճախականություններով սկզբնական 1000 ԱՄՆ դոլարի ներդրման վրա
մինի|

**Բարդ [[տոկոս]]ը (**ճշգրիտ եզրույթն է **բաղադրյալ շահ****)** շահ*****, որը հաշվարկվում է (սովորաբար տոկոսով) և՛ հիմնագումարից, և՛ արդեն կուտակված շահից (այսինքն շահադրույքի չափսով ստացված գումարից): Օրինակ՝ ենթադրենք 1000 դրամ ավանդ է դրվում տարեկան 0.1 (կամ 10%) բաղադրյալ շահադրույքով: Առաջին տարվա վերջին ավելանում է 100 դրամ շահ, երկրորդ տարվա վերջին՝ 110 դրամ, այսինքն 100 դրամ՝ սկզբնական հիմնագումարից և 10 դրամ՝ առաջին տարվա շահից: Բանաձևերն ու հաշվարկը ներկայացված են ստորև: Բաղադրյալ շահը լայն կիրառություն ունի ֆինանսների և տնտեսագիտության մեջ։

Բաղադրյալ շահին զուգահեռ կա նաև *պարզ շահ* (տարածված սխալ տարբերակն է՝ պարզ տոկոսադրույք): Պարզ շահը հաշվարկվում է ավանդի կամ փոխառության *միայն հիմնագումարից*: Օրինակ՝ ենթադրենք՝ 1000 դրամ ավանդ է դրվում տարեկան 0.08 (կամ 8%) պարզ շահադրույքով: Յուրաքանչյուր տարվա վերջին ավելանում է 80 դրամ շահ, տասը տարվա ընդհանուր շահը 800 դրամ է:

Շահադրույքի միջոցով հաշվարկված **պարզ շահը** = P*r*t , որտեղ 

P - հիմնագումար, 

r - անվանական շահադրույք

t - ժամանակ

Մեր օրինակի հաշվարկը կլինի՝ պարզ շահը = 1000*0.08*10=800 դրամ:

*****Հայաստանում որպես interest-ի հայերեն տարբերակ առայժմ կիրառվում է ռուսերենից պատճենված «տոկոս» եզրը: Սակայն «տոկոսը» ընդամենը «շահը» չափելու եղանակ է, և չի բացահայտում, որ դա *փողի դիմաց տրվող «շահն» է:* Բոլորովին էլ պարտադիր չէ, որ այդ շահը լինի դրամային արտահայտմամբ՝ հաշվարկված գումարից՝ տոկոսով: Շահը կարող է արտահայտված լինել ապրանքափոխանակման (Barter Interest), ժամանակային արտոնության (Time Preference), հասարակական (Social Interest), տիրության մասնաբաժնի (Ownership interest), մասնակցությունից օգուտի (Membership Benefits) տեսքով և այլն:

Զարգացած տնտեսություն ունեցող բազմաթիվ երկրների լեզուներում «շահ» տնտեսագիտական հասկացության համար գոյություն ունի առանձին եզր՝ անգլերեն - interest, ֆրանսերեն - intérêt , իտալերեն - interesse, գերմաներեն - zins: Այն, ինչը Հայաստանում այժմ կոչում են «տոկոսադրույք» (և որը պետք է կոչվի «շահադրույք») վերը նշված լեզուներում կոչվում է` interest rate, taux d’ interêt, tasso di interesse, zinssatz, և որևէ կապ չունի «տոկոս»-ի հետ, որի համար բոլոր վերոհիշյալ լեզուներն այլ բառ ունեն: 

«Շահը» պետք է նաև չշփոթել «շահույթի» հետ: «Շահը» փողի դիմաց վճարվող գինն է, «շահույթը»՝ տնտեսական գործունեությունից ստացվող եկամտի գերազանցումը ծախսի նկատմամբ: Այսպիսով dividend - շահույթից վճարվող բաժինը պետք է կոչվի շահութաբաժին, այլ ոչ շահաբաժին:

## Բարդացման հաճախականություն
Բարդացման հաճախականությունը յուրաքանչյուր տարվա ընթացքում ժամանակաշրջանների քանակն է (հազվադեպ՝ ժամանակի մեկ այլ միավոր), որի ընթացքում պարբերաբար  կուտակված տոկոսագումարները վճարվում են կամ կապիտալացվում (հաշվին փոխանցվում) ։ Հաճախականությունը կարող է լինել տարեկան, կիսամյակային, եռամսյակային, ամսական, շաբաթական, ամեն օր կամ շարունակաբար (կամ ընդհանրապես, մինչև հասունությունը) ։

Օրինակ՝ տարեկան տոկոսադրույքով արտահայտված ամսական կապիտալիզացիան նշանակում է, որ բարդացման հաճախականությունը 12 է, այսինքն ամիսներով չափվող ժամանակահատվածներն են։

Բարդության ազդեցությունը կախված է.

# Կիրառվող անվանական տոկոսադրույքից
# Տոկոսադրույքի բարդացման հաճախականությունից

## Տարեկան տոկոսադրույք
Անվանական տոկոսադրույքը չի կարող ուղղակիորեն համեմատվել տարբեր բարդ հաճախականություններով  հաշվարկված վարկերի հետ։ Տոկոսադրույքով հաշվարկվող ֆինանսական գործիքները համեմատելու համար պահանջվում է ինչպես անվանական տոկոսադրույքը, այնպես էլ բարդացման հաճախությունը։

Շատ երկրներ, մանրածախ ֆինանսական արտադրանքը ավելի արդար և հեշտ համեմատելիս գնորդներին օգնելու նպատակով, ֆինանսական հաստատություններից պահանջում են համեմատական հիմունքներով բացահայտել ավանդների կամ կանխավճարների տարեկան բարդ տոկոսադրույքը։ Տարեկան համարժեք հիմքով տոկոսադրույքները կարող են տարբեր շուկաներում տարբեր ձևերով հիշատակվել `տարեկան տոկոսային դրույքաչափ (), տարեկան համարժեք տոկոսադրույք (), արդյունավետ տոկոսադրույք, արդյունավետ տարեկան  տոկոսադրույք, տարեկան տոկոսային եկամտաբերության և այլ տերմիններով։ Արդյունավետ տարեկան տոկոսադրույք կուտակված ընդհանուր տոկոսն է, որը վճարվելու է մինչև տարվա վերջ, բաժանված հիմնական գումարի։

Սովորաբար այս դրույքաչափերը սահմանող կանոնների երկու կողմ կա.

# Տոկոսադրույքը տարեկան ընդհանուր տոկոսադրույքն է
# Բացի տոկոսներից նաև կարող են լինել այլ ծախսեր։ Վճարների կամ հարկերի էֆեկտը, որը հաճախորդը գանձում է, և որոնք ուղղակիորեն կապված են ապրանքի հետ, կարող են ներառվել։ Թե կոնկրետ որ վճարներն ու հարկերը են ներառվում կամ բացառվում սահմանվում է ըստ երկրների, կարող է համեմատվել կամ չհամեմատվել տարբեր իրավասությունների միջև, քանի որ նման տերմինների օգտագործումը կարող է լինել ոչ հետևողական, և տարբեր լինել ըստ տեղական պրակտիկայի։

## Օրինակներ
* Բրազիլիայի խնայողական հաշվին 1000 բրազիլական իրական (BRL) ավանդ է ներդրվում` տարեկան 20% տոկոսադրույքով։ Առաջին տարվա վերջում հաշվին հաշվեգրվում է 1.000 x 20% = 200 BRL տոկոսագումար։ Այնուհետև երկրորդ տարում հաշիվը վաստակում է 1,200 x 20% = 240 BRL:
* Ամսական 1% տոկոսադրույքը համարժեք է պարզ տարեկան տոկոսադրույքին (անվանական տոկոսադրույքին) 12% -ի չափով, բայց բարդացման ազդեցությունը հաշվի առնելու դեպքում տարեկան համարժեք բարդ տոկոսադրույքը կազմում է 12.68% (1.0112 - 1):
* Կորպորատիվ պարտատոմսերի և պետական պարտատոմսերի տոկոսագումարը սովորաբար վճարվում է տարեկան երկու անգամ։ Վճարված տոկոսների չափը (յուրաքանչյուր վեց ամսվա համար) անուիտետի տոկոսադրույքն է, որը բաժանվում է երկուսի և բազմապատկվում է մայր գումարին։ Տարեկան բարդ տոկոսադրույքն ավելի բարձր է, քան անուիտետի տոկոսադրույքը։
* Կանադական վարկերը, ընդհանուր առմամբ, կիսամյակային կտրվածքով բարդացվում են ամսական (կամ ավելի հաճախակի) վճարումներով։  
* ԱՄՆ հիփոթեքային վարկերը օգտագործում են որպես ամորտիզացիոն վարկեր, ոչ թե բարդ տոկոսադրույքներով հաշվարկված վարկեր։ Այս վարկերի դեպքում ամորտիզացիայի ժամանակացույցն օգտագործվում է` որոշելու, թե ինչպես կարելի է վճարել մայր գումարը և տոկոսները։ Այս վարկերի գծով առաջացած տոկոսները չեն ավելացվում մայր գումարին, այլ վճարվում են ամսական որպես կիրառվող վճարումներ։
* Երբեմն մաթեմատիկորեն ավելի պարզ է, օրինակ ՝ որոշել ածանցյալների արժեքը ՝ շարունակական բարդ տոկոսը օգտագործելով, որը այն սահմանն է, որի բարդացման ժամանակահատվածը մոտենում է զրոյի։ Շարունական բարդ տոկոսադրույքով այս գործիքների գինը որոշելը Ito հաշվարկի բնական հետևանքն է, որտեղ ֆինանսական ածանցյալները գնահատվում են անընդհատ աճող հաճախականությամբ, մինչև սահմանը մոտենալուն և ածանցյալը գնահատվում է շարունակական ժամանակում։

## Զեղչի գործիքներ
* ԱՄՆ-ի և Կանադայի T-մուրհակները (կառավարության կարճաժամկետ պարտք) ունեն այլ կոնվենցիա։ Նրանց տոկոսները հաշվարկվում են զեղչի հիմունքներով որպես (100 - P) / Pbnm, [անհրաժեշտ է պարզաբանում], որտեղ P- ն վճարված գինն է։ Այն մեկ տարում նորմալացնելու փոխարեն, տոկոսադրույքը սահմավում է t օրերի քանակով։ (365 / t) 100 ×: (Տե՛ս օրերի հաշվարկի կոնվենցիան)։

## Հաշվարկ
### Պարբերական բարդացում

Կուտակված ընդհանուր արժեքը, ներառյալ P հիմնական գումարին գումարած I բարդ տոկոսը, տրվում է հետևյալ բանաձևով․։

P' = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

:*P*  սկզբնական հիմնական գումարն է
:*P*'  նոր հիմնական գումարն է
:*r*  անվանական տարեկան տոկոսադրույքն է
:*n*  բարդացման հաճախականությունն է
:*t*  տոկոսի կիրառման ընդհանուր երկարությունն է (արտահայտվում է օգտագործելով նույն ժամանակային միավորները, ինչպես *r*, սովորաբար տարիները)։

Ընդհանուր բարդ տոկոսադրույքը ստացվում է վերջնական արժեքից հանած մայր գումար.

:I = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} - P

#### Օրինակ 1
Ենթադրենք, 1.500 ԱՄՆ դոլար մայր գումարն ավանդ է դրվել բանկում` տարեկան  4,3% տոկոսադրույքով, եռամսյակային վճարումներով։
Այնուհետև 6 տարի անց մնացորդը որոշվում է վերը նշված բանաձևի միջոցով՝ *P* = 1500, *r* = 0.043 (4.3%), *n* = 4, and *t* = 6:

:P' =1\,500\times \left(1 + \frac{0.043}{4}\right)^{4 \times 6}\approx 1\,938.84

Այսպիսով նոր մայր գումարը P' 6 տարի անց մոտավորապես հավասար կլինի 1,938.84 ԱՄՆ դոլարի.

Ստացված տոկոսների չափը կարող է հաշվարկվել՝ ստացված նոր մայր գումարից հանելով սկզբնական գումարը։

1\,938.84 - 1\,500 = 438.84

#### Օրինակ 2
Ենթադրենք, որ 1,500 ԱՄՆ դոլարի նույն գումարը երկամյա բարդացվում է (յուրաքանչյուր 2 տարին մեկ)։ (Գործնականում դա շատ անսովոր է)։ Այնուհետև 6 տարի անց մնացորդը որոշվում է վերը նշված բանաձևի միջոցով՝ *P* = 1500, *r* = 0.043 (4.3%), *n* = 1/2 (տոկոսադրույքն ավելացվում է երկու տարին մեկ), and *t* = 6 :

:P' = 1\,500\times \left(1 + (0.043\times 2)\right)^{\frac 6 2}\approx 1\,921.24

Այսպիսով, 6 տարի անց մնացորդը կկազմի մոտավորապես 1,921,24 դոլար։

Ստացված տոկոսների չափը կարող է հաշվարկվել `այդ գումարից մայր գումարը հանելով ։

:1\,921.24 - 1\,500 = 421.24

Նախորդ դեպքի հետ համեմատած տոկոսադրույքը ավելի քիչ է , բարդացման ցածր հաճախության արդյունքում։

### Կուտակման գործառույթ
Քանի որ հիմնական *P*-ն պարզապես գործակից է, այն հաճախ հանվում է պարզության համար, և փոխարենը օգտագործվում է կուտակման գործառույթը։ Կուտակման գործառույթը ցույց է տալիս, թե ինչպես է աճում 1 ԱՄՆ դոլարը ցանկացած ժամանակահատվածից հետո։ Կուտակման գործառույթները պարզ և բարդ տոկոսադրույքների համար հետևյալն են.

:a(t)=1+t r\,
:a(t) = \left(1 + \frac {r} {n}\right) ^ {nt} 

### Շարունակական բարդացում
Քանի որ *n*-ը՝ յուրաքանչյուր տարվա բարդացվող ժամանակահատվածների քանակը, ավելանում է առանց սահմանների, ինչը հայտնի է որպես շարունակական բարդացում, որի դեպքում արդյունավետ տարեկան տոկոսադրույքը մոտենում է -ի վերին սահմանին, որտեղ -ն մաթեմատիկական հաստատուն է, որը լոգարիթմի հիմքն է։

Շարունակական բարդացման ժամանակ բարդացման ժամանակահատվածը անսահմանորեն փոքր է, քանի որ *n*-ը ձգտում է անսահմանության։ Տե՛ս այս սահմանի էքսպոտենցիալ ֆունկցիայի մաթեմատիկական ապացույցի սահմանումները։ Շարունակական միացման *t* ժամանակահատվածներից հետո գումարը կարող է արտահայտվել նախնական գումարի չափով՝ որպես *P*0

:P(t)=P_0 e ^ {rt}.

### Տոկոսադրույքի ուժը
Քանի որ բարդացման ժամանակաշրջանների քանակը n ձգտում է անսահմանության շարունակական բարդացման ժամանակ, շարունակական բարդ տոկոսադրույքը կոչվում է \delta տոկոսադրույքի ուժը։

Մաթեմատիկայում կուտակման գործառույթները հաճախ արտահայտվում են *[[E (mathematical constant)|e]]*՝ բնական լոգարիթմի հիմքով։ Սա հեշտացնում է հաշվարկի օգտագործումը `շահեկան բանաձևը շահարկելու համար։

Անընդհատ տարբերակիչ կուտակման *a(t)* գործառույթի համար տոկոսադրույքի ուժը կամ, առհասարակ, լոգարիթմական կամ անընդհատ բարդացված շահույթը ժամանակի գործառույթ է, որը սահմանված է հետևյալ կերպ.

:\delta_{t}=\frac{a'(t)}{a(t)}=\frac{d}{dt} \ln a(t)

Սա կուտակման գործառույթի լոգարիթմական ածանցյալն է։

Հակառակը.

:a(t)=e^{\int_0^t \delta_s\, ds}\ , (since a(0) = 1; սա կարելի է դիտարկել որպես ինտեգրալի հատուկ դեպք)։

Երբ վերը նշված բանաձևը գրվում է դիֆերենցիալ հավասարման ձևաչափով, ապա տոկոսադրույքի ուժը պարզապես փոփոխության գումարի գործակիցն է.

:da(t)=\delta_{t}a(t)\,dt\,

Տարեկան կայուն *r* տոկոսադրույքով բարդ տոկոսադրույքի դեպքում տոկոսադրույքների ուժը կայուն է, իսկ տոկոսադրույքի ուժի տեսանկյունից բարդ տոկոսի կուտակման գործառույթը *e*-ի պարզ ուժ է.

:\delta=\ln(1+r)\, or
:a(t)=e^{t\delta}\,

Տոկոսադրույքների ուժը պակաս է տարեկան արդյունավետ տոկոսադրույքից, բայց ավելին ՝ քան տարեկան արդյունավետ զեղչի դրույքաչափը։ Այն  ժամանակի *[[E (mathematical constant)|e]]* կրկնապատման ժամանակի համարժեքն է։

Գնաճի ուժը մոդելավորելու ձևը Stoodleys բանաձևով է. &nbsp;\delta_t = p + {s \over {1+rse^{st}}}, որտեղ *p*, *r* and *s* որոշվում են։

### Բարդացման հիմքը
Տոկոսադրույքը մեկ բարդացվող հիմքից այլ բարդացնող հիմքի վերափոխելու համար օգտագործում ենք հետևյալը.

:r_2=\left[\left(1+\frac{r_1}{n_1}\right)^\frac{n_1}{n_2}-1\right]{n_2},

որտեղ,

*r*1-ը *n*1 բարդացման հաճախականությամբ տոկոսադրույքն է, և 
*r*2-ը *n*2 բարդացման հաճախականությամբ տոկոսադրույքն է։

Երբ տոկոսադրույքը շարունակաբար բարդանում է օգտագործում ենք հետևյալը.

:\delta=n\ln{\left(1+\frac{r}{n}\right)},

որտեղ,

*<math>\delta</math>* շարունակաբար բարդացվող հիմքով տոկոսադրույքն է, և 
*r* նշված տոկոսադրույքն է *n* բարդացման հաճախականությամբ։

### Ամսական ամորտիզացված վարկի կամ հիփոթեքային վարկի վճարումներ
Ամորտիզացված վարկերի և հիփոթեքային վարկերի տոկոսադրույքները սահուն ամսավճար ունեն մինչև վարկի մարումը, այն հաճախ ամսական բարդանում է։ Վճարների բանաձևը կարելի է գտնել հետևյալ փաստարկից։

#### Ամսական վճարման ճշգրիտ բանաձև
Ամսական վճարման ճշգրիտ բանաձևն է.

:
c= \frac{Pr}{1-\frac{1}{(1+r)^n}}


կամ համարժեք

:
c= \frac{Pr}{1-e^{-n\ln(1+r)}}


որտեղ,

: c = ամսական վճարումը
: P = հիմնական գումարը
: r = ամսական տոկոսադրույքը
: n = վճարման ժամանակահատվածների քանակը

Դա կարող է ածանցվել` հաշվի առնելով, թե որքան է մնացել մարել յուրաքանչյուր ամսվա ավարտից հետո։

Առաջին ամսվանից հետո մնում է հետևյալ հիմնական գումարը.

:
P_1=(1+r)P - c,

այսինքն, նախնական գումարը գումարած տոկոսը վճարումից պակաս է։

Եթե ամբողջ վարկը մարվում է մեկ ամիս հետո, ապա

:P_1=0, այսպիսով P=\frac{c}{1+r}

Երկու ամիս հետո P_2=(1+r) P_1 - c մնում է,

:P_2=(1+r)((1+r)P-c)-c

Եթե երկու ամիս անց ամբողջ վարկը մարվի,

:P_2=0, այսպիսով  P = \frac{c}{1+r}+\frac{c}{(1+r)^2}

Այս հավասարումը ընդհանրացնում է n ամիս ժամկետով,  P = c \sum_{j=1}^n \frac{1}{(1+r)^j} :  Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որի գումարն է.

:P=\frac{c}{r}\left(1-\frac{1}{(1+r)^n}\right),

որը կարող է վերադասավորվել հետևյալ կերպ.

:
c= \frac{Pr}{1-\frac{1}{(1+r)^n}}=\frac{Pr}{1-e^{-n\ln(1+r)}}


**Աղյուսակի բանաձև**

Աղյուսակներում օգտագործվում է **PMT()** գործառույթը։ Շարահյուսությունն է.

:*PMT( interest_rate, number_payments, present_value, future_value,[Type] )*

Տե՛ս  Excel, 
Mac Numbers, LibreOffice, Open Office, Google Sheets լրացուցիչ մանրամասների համար։

Օրինակ, 6% տոկոսադրույքով (0.06 / 12), 25 տարի * 12 p.a., PV- ն ՝ $ 150,000, FV- ն ՝ 0-ով, 0-ի տեսակը տալիս է.

:= PMT( 0.06/12, 25 * 12, -150000, 0, 0 )
:= $966.45

#### Ամսական վճարման մոտավոր բանաձև
Մի քանի տոկոսի չափով ճշգրիտ բանաձև կարելի է գտնել ՝ նշելով, որ ԱՄՆ – ի պարտատոմսերի տիպային դրույքաչափերի համար (I և ժամկետները ՝ T=10–30 տարիներ), ամսական պարտատոմսերի տոկոսադրույքը փոքր է 1-ից։ r, այսպիսով \ln(1+r)\approx r, ինչը պարզեցում է տալիս, որպեսզի այն

:c\approx \frac{Pr}{1-e^{-nr}}= \frac{P}{n}\frac{nr}{1-e^{-nr}}

որն առաջարկում է սահմանել օժանդակ փոփոխականներ

:Y\equiv n r = IT

:c_0\equiv \frac{P}{n} .

Այստեղ c_0 ամսական վճարն է, որը պահանջվում է վճարված զրոյական տոկոսադրույքով վարկի համար n հատ վճարումներով։ Այս փոփոխականների առումով հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

:c\approx c_0 \frac{Y}{1-e^{-Y}},

Այս ֆունկցիան f(Y)\equiv \frac{Y}{1-e^{-Y}}-\frac{Y}{2} հավասար է։

:f(Y)=f(-Y)

ենթադրելով, որ այն կարող է ընդլայնվել նույնիսկ Y-ի լիազորությունների դեպքում։

Անմիջապես հետևում է, որ \frac{Y}{1-e^{-Y}} հնարավոր է ընդլայնել նույնիսկ  Y-ի լիազորությունների դեպքում գումարած Y/2 .:

Դրանից հետո հարմար կլինի որոշել.

:X=\frac{1}{2}Y = \frac{1}{2}IT

այնպես որ,

:c\approx c_0 \frac{2X}{1-e^{-2X}},

որը կարող է ընդլայնվել,

:
c\approx c_0 \left(1 + X + \frac{X^2}{3} - \frac{1}{45} X^4 + ...\right)


որտեղ էլլիպներում նշվում են տերմիններ, որոնք ավելի բարձր կարգի են `նույնիսկ X- ի լիազորություններում։ Ընդարձակումը հետևյալն է.

:
P\approx P_0 \left(1 + X + \frac{X^2}{3}\right)


ճիշտ է 1% -ից ավելի տրամադրվածի դեպքում X\le 1 :

#### Հիփոթեքային վարկի վճարման օրինակ
30 տարի ժամկետով և տարեկան վճարվող 4,5% տոկոսադրույքով 10000 ԱՄՆ դոլարի հիփոթեքային վարկի համար մենք որոշում ենք.

:T=30

:I=0.045

որը տալիս է,

:X=\frac{1}{2}IT=.675

այնպես որ

:
P\approx P_0 \left(1 + X + \frac{1}{3}X^2 \right)=\$333.33 (1+.675+.675^2/3)=\$608.96

 
Ճշգրիտ վճարման գումարը կազմում է P=\$608.02, այնպես որ մոտարկումը գերագնահատում է մոտավորապես վեց տոկոսի չափով։

## Պատմություն
Բարդ տոկոսը ժամանակին համարվում էր վաշխառության ամենավատ տեսակը և խստորեն դատապարտվում էր հռոմեական օրենքով և շատ այլ երկրների ընդհանուր օրենքներով։

Ֆլորենտացի վաճառական Ֆրանչեսկո Բալդուչի Պեգոլոտին ներկայացնում էր առանձնահատուկ հետաքրքրություն ներկայացնող աղյուսակ իր «Pratica della mercatura» գրքում 1340-ական թվականններին։ Այն տոկոսադրույքը տալիս է 100 լարիի դիմաց, տոկոսադրույքները 1%-ից մինչև 8%, մինչև 20 տարի ժամկետով։ Լուչա Պակիոլիի «Թվաբանության սումմա» գիրքը (1494) տալիս է 72-ի կանոն ՝ նշելով, որ կրկնապատկվող բարդ տոկոսադրույքով ներդրման տարիների թիվը գտնելու համար պետք է տոկոսադրույքը բաժանել 72-ի։

Ռիչարդ Ուիթի «Արիթմետիկ հարցեր» գիրքը, որը լույս է տեսել 1613 թվականին, կարևոր նշանակություն ունեցավ բարդ տոկոսադրույքի պատմության մեջ։ Այն ամբողջովին նվիրված էր թեմային (նախկինում կոչվում էր **[https://en.wiktionary.org/wiki/anatocism#Etymology անատոկիզմ]**), մինչդեռ նախորդ գրողները սովորաբար բարդ տոկոսադրույքին անդրադառնում էին մաթեմատիկական դասագրքի ընդամենը մեկ գլխում։ Ուիթի գրքում տրվել են աղյուսակներ ՝ հիմնվելով 10% -ի (վարկերի համար թույլատրելի տոկոսի առավելագույն տոկոսադրույքը) և տարբեր նպատակներով այլ դրույքաչափեր, ինչպիսիք են գույքի վարձակալության գնահատումը։ Ուիթը լոնդոնյան մաթեմատիկական պրակտիկայով զբաղվող մասնագետ էր, և նրա գիրքը աչքի է ընկնում իր արտահայտման հստակությամբ, խորաթափանցության խորությամբ և հաշվարկման ճշգրտությամբ, 124 աշխատած օրինակներով։

Ջեյքոբ Բեռնուլին հայտնաբերեց հաստատուն <math>e</math> 1683 թվականին ՝ ուսումնասիրելով բարդ տոկոսադրույքի հարցը։

19-րդ դարում և, հավանաբար, ավելի վաղ, պարսկական առևտրականները օգտագործում էին ամսական վճարման բանաձևի Թեյլորի մի փոքր փոփոխված, գծային, մոտարկումը, որը կարելի էր հեշտությամբ հաշվարկել իրենց գլխում։

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
* Բարդ տոկոս - Էփրիքոթի հետ ներդրողի բառարան
* Compound interest web app

Կատեգորիա:Ֆինանսական մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Բանկային գործ