Կոմպլեքս թիվ

**Կոմպլեքս թիվ**, իրական թվերի դաշտի ընդլայնումն է։ Ֆորմալ ձևով այն առաջացել է քառակուսի հավասարումներ լուծելու ժամանակ, որում հավասարման արմատի քառակուսին պետք է լինի բացասական թիվ։
Հետագայում գտել են, որ **կոմպլեքս թվերի** օգտագործումը հնարավորություն է տալիս հարմար և կոմպակտ ձևով ներկայացնել բազմաթիվ մաթեմատիկական մոդելներ, որոնք օգտագործվում են մաթեմատիկական ֆիզիկայում և այլ բնական գիտություններում /էլեկտրոտեխնիկա, հիդրոդինամիկա, քարտեզագրություն, քվանտային մեխանիկա, տատանումների տեսությունում, քաոսների տեսությունում և այլն։
Կոմպլեքս թվերի բազմությունը սովորաբար նշանակում են \Complex-ով ( - complex բառից)։

Կոմպլեքս թվերի մեկ այլ տեսակ է Անոիսիեսը (հունարենից թարգմանաբար նշանակում է անիմաստություն  ανοησίες)։ Նշանակում ենք ψ(փսի)) ψ=a/0 որտեղ a-ն կամայական հաստատուն թիվ է։

## Սահմանում
**Կոմպլեքս թվերի** դաշտը կարելի է հասկանալ որպես իրական թվերի դաշտի այնպիսի ընդլայնում, որում հավասարումը, որտեղ անհայտի քառակուսին բացասական է (օրինակ,\ z^2 \ =-1  ), ունի լուծում։ Այլ ձևով կարելի է ասել, որ իրական թվերի դաշտը լրացվում է բացասական մեծությունների արմատներով, որոնք կոչվել են **կեղծ թվեր**։
Ցանկացած այսպիսի **կեղծ թիվ** կարելի է ներկայացնել երկու իրական թվերի և պարզ կեղծ արտադրիչի օգնությամբ՝ \ x+iy , որտեղ \ x -ը և \ y -ը իրական թվեր են, իսկ \ i -ն՝ կեղծ միավոր։ Հիմք ընդունելով սա, **կեղծ թիվը** այժմ հաճախ անվանում են **կոմպլեքս**։ **Կոմպլեքս թվի** այսպիսի ներկայացումը կոչվում է հանրահաշվական։ Գոյություն ունեն **կոմպլեքս թվերի** ներկայացման այլ ձևեր։
Հաջորդ երկու պարզ մոդելները ցույց են տալիս, որ թվերի նման չհակասող համակարգի ստեղծումը հնարավոր է։ Բերված երկու սահմանումները բերում են իրական թվերի դաշտի  \R  ընդլայնման իզոմորֆությանը, ինչպես և \ z^2 + 1  բազմանդամի դաշտերի այլ կառուցվածքներ։ **Կոմպլեքս թվերը** ստեղծում են հանրահաշվորեն փակ դաշտ, ինչը նշանակում է, որ կոմպլեքս գործակիցներով \ n  աստիճանի բազմանդամը ունի ճիշտ \ n  կոմպլեքս արմատներ (հանրահաշվի հիմնական թեորեմը)։ Սա հիմնական պատճառն է մաթեմատիկական հետազոտություններում **կոմպլեքս թվերի** լայն կիրառման համար։

### Ստանդարտ մոդել
\ z  կարելի է արտահայտել որպես երկու իրական թվերի զույգ՝ \ (x, y) ։ Ներմուծենք այդպիսի զույգերի գումարման և բազմապատկման գործողությունները հետևյալ ձևով՝
*\ (x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y') ,
*\ (x,\;y)\cdot(x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx')։
Այս մոդելում իրական թվերը հանդիսանում են **կոմպլեքս թվերի** ենթաբազմություն և ներկայացվում են \ (x; 0)  զույգի տեսքով, ընդ որում այդպիսի զույգերի հետ գործողությունները համընկնում են իրական թվերի գումարման և բազմապատկման գործողությունների հետ։ Զրոն ներկայացվում է \ 0=(0; 0)  զույգով, իսկ մեկը՝ \ 1=(1; 0)  զույգով, իսկ կեղծ միավորը՝ \ i=(0; 1)  զույգով։ **Կոմպլեքս թվերի** բազմությունում զրոն և մեկը ունեն նույն հատկությունները, ինչպես իրական թվերի բազմությունում, իսկ **կեղծ թվի** քառակուսին, ինչպես կարելի է ճշտել, հավասար է \ (-1; 0) , այսինքն՝ \ -1 ։ 
Դժվար չէ ցույց տալ, որ վերևում նշված գործողություններն ունեն նույն հատկությունները, ինչ որ նմանատիպ գործողություններն իրական թվերի հետ։ Բացառություն են կազմում միայն հատկությունները, որոնք կապված են կարգերի համեմատման հետ (մեծ-փոքր), որովհետև հնարավոր չէ ընդլայնել միայնակ թվերի կարգը, նրանում ընդգրկելով թվերի զույգերի կարգավորումը, որպեսզի կարգերի համեմատման գործողությունները նախկինի պես լինեն համաձայնեցված։

### Մատրիցային մոդել
**Կոմպլեքս թվերը** կարելի է ներկայացնել նաև իրական մատրիցայի ընտանիքի տեսքով՝ 
 \begin{pmatrix}x & y \\ -y & x\end{pmatrix} 
պարզ մատրիցային գումարումով և արտադրյալով։
Իրական միավորին կհամապատասխանի՝ 
 \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} ,
կեղծ միավորին՝ 
 \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} ։
Նման մատրիցային ներկայացում գոյություն ունի ցանկացած վերջավոր ընդլայնման համար։

## Գործողություններ կոմպլեքս թվերի հետ
***Համեմատում**՝
\ a+bi=c+di  համեմատումը նշանակում է, որ \ a=c  և \ b=d  (երկու **կոմպլեքս թվեր** հավասար են մեկը մյուսին այն և միայն այն դեպքում, երբ հավասար են նրանց իրական և կեղծ մասերը)։
***Գումարում**՝
\ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ։
***Հանում**՝
\ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ։
***Բազմապատկում**՝
\ (a+bi)\cdot(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i ։
***Բաժանում**՝
\ \frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i ։
***Մասնավորապես,**՝
\ \frac{1}{a+bi}=\frac{a}{a^2+b^2}-\left(\frac{b}{a^2+b^2}\right)i ։

## Երկրաչափական մոդել
մինի|Նկ. 1 '''Կոմպլեքս թվի''' երկրաչափական մոդելը
Հարթության վրա դիտարկենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը։ Յուրաքանչյուր **կոմպլեքս թվին** \ z = x + i y  հարթության վրա համապատասխանեցնենք \ (x, y)  կոորդինատներով կետը (ինչպես նաև շառավիղ-վեկտորը, որը միացնում է կոորդինատների սկզբնակետը այդ կետի հետ)։ Այդպիսի հարթությունը կոչվում է կոմպլեքս (կամ Արգանի հարթություն)։ Նրանում իրական թվերը զբաղեցնում են հորիզոնական հարթությունը, իսկ կեղծ միավորը պատկերվում է ուղղահայաց առանցքի միավորին՝ այդ պատճառով հորիզոնական և ուղղահայաց առանցքները կոչվում են համապատասխանաբար իրական և կեղծ առանցքներ։
Հաճախ հարմար է դիտարկել նաև կոմպլեքս հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը, որում կետի կոորդինատները հանդիսանում են կոորդինատի սկզբնակետից հեռավորությունը (մոդուլը) և կետի շառավիղ-վեկտորի անկյունը (նկարում ցույց է տրված կապույտ սլաքով) հորիզոնական առանցքի նկատմամբ (արգումենտ)։
Այս ներկայացման ձևում **կոմպլեքս թվերի** գումարը համապատասխանում է շառավիղ-վեկտորների վեկտորային գումարին։ **Կոմպլեքս թվերի** արտադրյալի ժամանակ նրանց մոդուլները բազմապատկվում են, իսկ արգումենտները գումարվում։ Եթե երկրորդ արտադրիչի մոդուլը հավասար է 1-ի, նրան բազմապատկելը երկրաչափորեն նշանակում է առաջին թվի շառավիղ-վեկտորի պտույտը անկյունով, որն հավասար է երկրորդ թվի արգումենտին։ Այս փաստը ցույց է տալիս տատանումների տեսությունում կոմպլեքս ներկայացման լայն ներկայացումը, որտեղ  և  տերմինների փոխարեն օգտագործվում է  և  տերմինները։
Հարթության վրա **կոմպլեքս թվերը** որպես կետեր ներկայացնելը, իսկ **կոմպլեքս թվի** վրա բազմապատկելը որպես այդ հարթության գծային ձևափոխություն հնարավոր է այն պատճառով, որ **կոմպլեքս թիվը** հանդիսանում է երկչափ հանրահաշիվ իրական թվերի դաշտի վրա։
**Կոմպլեքս թվի** երկրաչափական մոդելը լայնորեն օգտագործվում է հարթաչափությունում, բազմաթիվ հարթաչափական թեորեմաներ կարելի է ապացուցել որպես որոշակի կոմպլեքսային նույնություններ։ Հաճախ այս մեթոդը տալիս է ավելի պարզ ապացույց։

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Թվեր
Կատեգորիա:Կոմպլեքս անալիզ
Կատեգորիա:Կոմպլեքս թվեր