Գալուայի խումբ

**Գալուայի խումբ**, խումբ, դաշտի ընդարձակման հետ զուգակցվող խումբ։ Կարևոր դեր է խաղում դաշտի ընդլայնման հետազոտման դեպքում, մասնավորապես՝ Գալուայի տեսության մեջ։ 1832 թվականին Էվարիստ Գալուան ներմուծեց մաթեմատիայում (խմբերի այդ հասկացության, բազմությունների) արմատների տեղափոխությունը։

## Սահմանում
Ենթադրենք *K* դաշտը հանդիսանում է *P*-ի Գալուայի ընդլայնված դաշտ։ K դաշտի փոխադարձաբար համարժեք պատկերումները՝ f-ը, իր վրա անվանում են ավտոմորֆ, եթե նա գումարը վերածում է գումարի, արտադրյալը՝ արտադրյալի, այսինքն՝ եթե *K* դաշտի ցանկացած a, b տարրերի համար ճիշտ է հավասարությունը․
: f(a+b)=f(a)+f(b), \; f(ab)=f(a)\cdot f(b).

Գալուայի խումբը տրված ընդլայնված դաշտի համար կոչվում է *K* դաշտի բոլոր ավտոմորֆիզմի համախումբ, պահպաննելով *P* դաշտի տարրեր։ \forall a\in P\; f(a)=a.Սովորաբար նշանակում են *G(K, P)* կամ *Gal(K, P)*.

## Հատկություն
* Գալուայի խմբի վերջավոր ընդլայնումը վերջավոր է։ Նրա հաջորդականությունը (տարրերի քանակը) հավասար է *[K:P]* ընդլայնման աստիճանին։

## Օրինակներ
* Եթե ընդլայնված դաշտը համընկնում է սկզբնականի հետ, ապա Գալուայի խումբը պարունակում է միայն մեկ տարր, միավոր՝ (նույնական автоморфизм).
* Բնական թվերի դաշտի ընդլայնումը մինչև բոլոր կոմպլեքս թվերի դաշտի, Գալուայի խումբը պարունակում է 2 տարր՝ միավորը և կոմպլեքս համալուծը։
* \mathbb{Q}[\sqrt{2}] ընդլայնված դաշտը կազմված է a+b\sqrt{2} տեսքի թվերից, որտեղ *a, b*-ն ռացիոնալ են։ Այստեղ Գալուայի խումբը պարունակում է 2 տարր՝ միավոր և երկրորդ գումարելին\sqrt{2} փոքրացնող նշանի գործողություն։
* Ենթադրենք *p*-ն  պարզ թիվ է, դիտարկենք \mathbb F_p и \mathbb F_{p^n} վերջավոր դաշտերը, նրանցից առաջինը բնական կերպով ներդրված է երկրորդին։ Գալուայի խմբի տրված ընդլայնումը՝ ցիկլային է, այն ծնում է Ֆրոբենիուսի ավտոմորֆիզմը՝
:x\mapsto x^p.

* Հանրահաշվական հավասարման Գալույի խումբը։ Դիտարկենք չորրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում P(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=0։ Այն թույլ է տալիս հետևյալ ձևափոխումը x փոփոխականով։ y=1/x, y=x^2, y=-(x^3+x^2+x+1).  y=1/x-ի համար հետևում է y^4+y^3+y^2+y+1=(x^4+x^3+x^2+x+1)/x^4, այսինքն՝ P(y)=P(x)/x^4.։ Ուստի P(x)=0-ից հետևում է, որ P(y)=0։ Դա ցույց է տալիս, որ P(x)=0 հավասարումը թույլ է տալիս y=1/x ձևափոխությունը։ y=x^2-ի համար ստացվում է y^4+y^3+y^2+y+1=x^8+x^6+x^4+x^2+1։ Այդ հավասարման բաժանումը P(x) սկզբնական հավասարման տալիս է P(y)=(x^4-x^3+x^2-x+1)P(x)։ Այսպիսով y=x^2 ձևափոխությունը նույնպես թույլատրում է P(x)հավասարմանը։ Նման ձևով y=-(x^3+x^2+x+1) ձևափոխությունների համար կարելի է ստանալ ձևափոխության հետևյալ բանաձևը՝ P(y)=(x^8+3x^7+6x^6+9x^5+9x^4+7x^3+4x^2+x+1)P(x)։ Օգտագործելով x^4=-(x^3+x^2+x+1) տեղափոխությունը գտնում ենք, որ x^5=x*x^4=-(x^4+x^3+x^2+x)=1, x^6=x*x^5=x և այլն։ Այժմ ապացուցենք, որ P(x) հավասարումը թույլ է տալիս անվերջ ձևափոխությունների y=x^n խմբեր, որտեղ n-ը ընդունում է բոլոր ամբողջ (դրական և բացասական) արժեքները, բազմապատիկ հինգի։ Դրա համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ թույլատրվում է y=x^3 ձևափոխությունը։ Դրա համար ունենք P(y)=x^{12}+x^9+x^6+x^3+1=x^2+x^4+x+x^3+1=0 ձևափոխությունը։ n-ի բացասական ամբողջ արժեքները ստացվում է y=1/x ձևափոխության օգտագործումից։ Դժվար չէ ապացուցել, որ ստացված ձևափոխությունները կազմում են խումբ։ Կազմած խմբի y=x^n փոխարկումը տեղափոխում է P(x) հավասարման յուրաքանչյուր արմատ այդ նույն հավասարման արմատի։ Այժմ հետևենք ինչպես է P(x) հավասարման յուրաքանչյուր արմատ ձևափոխվում այդ խմբի ձևափոխությունների ազդեցության տակ։ Հանրահաշվի կուրսից հայտնի է, որ P(x)-ն հավասարման արմատները հանդիսանում են թվեր՝ x_1=z, x_2=z^2, x_3=z^3, x_4=z^4, z=e^{2*\pi*i/5}։ y=x^2 ձևափոխությունը տեղափոխում է x_1 արմատը x_2-ում, արմատ x_2 -ը՝ x_4-ում, արմատ x_3-ը՝ x_1-ում, արմատ x_4-ը x_3-ում։ Ստացված տեղափոխությունները նշանակում են  (x_1, x_2, x_4, x_3)։ Նման ձևով կարելի է ցույց տալ, որ y=x^3 ձևափոխությունները բերվում է (x_1, x_3, x_4, x_2) տեղափոխության։ y=1/x ձևափոխությունը բերվում է (x_1, x_4), (x_2, x_3) տեղափոխության։ Մնացած ձևափոխությունները չի տալիս նոր տեղափոխության։ Այսպիսով P(x) հավասարման արմատների y=x^n ձևափոխությունների խումբը մակածում է չորս կարգավորված վերջավոր խմբերի, կազմված հետևալ տարերից է 1, (x_1, x_2, x_4, x_3), (x_1, x_3, x_4, x_2), (x_1, x_4), (x_2, x_3)։ Այդ վերջավոր խմբերին անվանում են P(x) հավասարման Գալուայի խմբեր.

## Կիրառում

### Դաշտի ընդլայնում
Դիտարկենք դաշտի ընդլայման հաջորդկան օղակները՝ L_1 \subset L_2 \subset \cdots \subset L_n. Կառուցենք դաշտի համար Գալուայի խմբերը եզրային օղակներում՝ G=Gal(L_n, L_1). Համաձայն Գալուայի տեսության հիմնական թեորեմի՝ օղակում L_k դաշտի յուրաքանչյուր միջակայքի ընդլայնումը համապատասխանում է *G* խմբի G_k ենթախմբին, այսինքն ընդլայնված դաշտի օղակը կարելի է համադրել ենթախմբի ներդրված օղակին, որը նեղանում է *G*-ից մինչև տրիվիալ ենթախմբերի։ Եթե անմիջապես դիտենք միջակայքային դաշտը (այսինքն՝ L_1 \subset X \subset L_n տեսքի դաշտը), տրված համապատասխանությունը հանդիսանում է դաշտի միջակայքային բազմություններից բիեկցիա Գալուայի խմբերի ենթախմբերի բազմությունում։ Այդ ենթախմբերում, տվյալ համապատասխան նորմալ ընդլայնումը, հանդիսանում է *G* նորմալ ենթախումբ և ընհակառակը։

Խմբերի տեսության օգնությամբ այս համապատասխանությունը թույլ է տալիս հետազոտել դաշտեր ընդլայնումը։ Օրինակ․ նրանից անմիջապես հետևում է դաշտերի միջակայքային թիվը տրված նորմալ ընդլայնման համար միշտ վերջավոր է (ինչպես ենթախմբի թիվը վերջավոր խմբերում)։

### Հանրահաշվական հավասարում
Հանրահաշվական հավասարման հիմնական դաշտը կոչվում է թվերի համախումբ, որը կարելի է ստանալ այդ հավասարման գործակիցներից գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանմանգործողությունների օգնությամբ։ Դաշտերի վերլուծումը անվանում են թվերի համախումբ, որը կարելի է ստանալ այդ գործողություններով վերջավոր թվի օգնությամբ, ելնելեվ գործակիցներից և հավասարման արմատներից։ Ընդհանուր դեպքում դաշտը կազմված է միայն դաշտի վերլուծման ենթադաշտից։

Ընդունված է Գալուայի խումբը, դաշտի վերլուծման կազմված ավտոմորֆությունից, անվանել այդ հավասարման Գալուայի խումբ։ *G(K, P)*Գալուայի խմբից ցանկացած ավտոմորֆիզմ փոխադրում է ցանկացած բազմանդամի արմատ *P* դաշտի վրա, նորից այդ նույն բազմանդամի արմատ։ Այսպիսով, հանրահաշվական հավասարման Գալուայի խումբը չունենալով բազմապատիկ արմատ, կարելի է դիտել ինչպես խմբերի տեղափոխություն (հենց այդպես դիտարկեց նույն ինքը՝ Էվարիստ Գալուան)։

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* Galois Representations

## Արտաքին հղումներ
*Galois Groups and the Symmetries of Polynomials

Կատեգորիա:Խմբերի տեսություն
Կատեգորիա:Գալուայի տեսություն