Գլանային կոորդինատային համակարգ

մինի|Գլանաձև կոորդինատային համակարգ
**Գլանաձև կոորդինատային համակարգ**, եռաչափ կոորդինատային համակարգ է, որը սահմանում է կետերի դիրքերը՝ կախված ընտրված առանցքի հեռավորությունից (առանցքը L՝ հակառակ պատկերում), առանցքից ուղղությունը ընտրված հղման ուղղության նկատմամբ (առանցք A) և հեռավորությունը առանցքին ուղղահայաց ընտրված հղման հարթությունից (մանուշակագույն հատված պարունակող հարթություն)։ Վերջին հեռավորությունը տրվում է որպես դրական կամ բացասական թիվ՝ կախված նրանից, թե հղման հարթության որ կողմն է ուղղված կետին։

Համակարգի ծագումն այն կետն է, որտեղ բոլոր երեք կոորդինատները կարող են տրվել որպես զրո։ Սա հղման հարթության և առանցքի խաչմերուկն է։ Առանցքը տարբեր կերպ կոչվում է գլանաձև կամ երկայնական առանցք՝ այն տարբերելու բևեռային առանցքից, որն այն ճառագայթն է, որն ընկած է հղման հարթությունում՝ սկսած սկզբնակետից և ուղղված է հղման ուղղությամբ։ Երկայնական առանցքին ուղղահայաց մյուս ուղղությունները կոչվում են շառավղային գծեր։

Առանցքից հեռավորությունը կարելի է անվանել շառավղային հեռավորություն կամ շառավիղ, մինչդեռ անկյունային կոորդինատը երբեմն կոչվում է անկյունային դիրք կամ ազիմուտ։ Շառավիղը և ազիմուտը միասին կոչվում են բևեռային կոորդինատներ, քանի որ դրանք համապատասխանում են հարթության երկչափ բևեռային կոորդինատների համակարգին, որն անցնում է կետով, հղումային հարթությանը զուգահեռ։ Երրորդ կոորդինատը կարող է կոչվել բարձրություն կամ բարձրություն (եթե հղման հարթությունը համարվում է հորիզոնական), երկայնական դիրք,  կամ առանցքային դիրք։

Գլանաձև կոորդինատները օգտակար են երկայնական առանցքի շուրջ որոշակի պտտվող սիմետրիա ունեցող առարկաների և երևույթների հետ կապված, ինչպիսիք են ջրի հոսքը ուղիղ խողովակում՝ կլոր խաչմերուկով, ջերմության բաշխումը մետաղական գլանում, էլեկտրամագնիսական դաշտերը, որոնք առաջանում են էլեկտրական հոսանքի միջոցով։ երկար, ուղիղ մետաղալարեր, ակրեցիոն սկավառակներ աստղագիտության մեջ և այլն։

Դրանք երբեմն կոչվում են «գլանային բևեռային կոորդինատներ» և «բևեռային գլանաձև կոորդինատներ» և երբեմն օգտագործվում են գալակտիկայում աստղերի դիրքը որոշելու համար («գալակտոկենտրոն գլանաձև բևեռային կոորդինատներ»)։

## Սահմանում
P կետի երեք կոորդինատները (ρ, φ, z) սահմանվում են հետևյալ կերպ.

* Ռ ճառագայթային հեռավորությունը էվկլիդեսյան հեռավորությունն է զ առանցքից մինչև Պի կետ։
* Ֆ ազիմուտը անկյունն է ընտրված հարթության վրա հղման ուղղության և հարթության վրա Պի սկզբնակետից մինչև Պի պրոյեկցիան գծի միջև։
* Առանցքային կոորդինատը կամ բարձրությունը զ-ն ընտրված հարթությունից մինչև Պի կետ նշանավոր հեռավորությունն է։

### Եզակի գլանաձև կոորդինատներ
Ինչպես բևեռային կոորդինատներում, նույն կետը գլանաձև կոորդինատներով (ρ, φ, z) ունի անսահման շատ համարժեք կոորդինատներ, մասնավորապես (ρ, φ ± n×360°, z) և (−ρ, φ ± (2n + 1)×։ 180°, z), որտեղ n-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է։ Ավելին, եթե  շառավիղը զրո է, ապա ազիմուտը կամայական է։

Այն իրավիճակներում, երբ ինչ-որ մեկը ցանկանում է յուրաքանչյուր կետի համար եզակի կոորդինատների հավաքածու,շառավիղը չի կարող լինել ոչ բացասական (ρ ≥ 0), իսկ φ ազիմուտը՝ 360° ընդգրկող որոշակի միջակայքում, օրինակ՝ [−180°, +180°] կամ [0,360°]:

### Կոնվենցիաներ
Գլանային կոորդինատների նշումը միատեսակ չէ։ ԻՍՈ ստանդարտ 31-11-ը խորհուրդ է տալիս (ρ, φ, z), որտեղ ρ-ը ճառագայթային կոորդինատն է, φ ազիմուտը և z բարձրությունը։ Այնուամենայնիվ, շառավիղը նաև հաճախ նշվում է r կամ s, ազիմուտը՝ θ կամ t, իսկ երրորդ կոորդինատը՝ h կամ (եթե գլանաձև առանցքը հորիզոնական է) x կամ համատեքստին հատուկ տառերով։

Կոնկրետ իրավիճակներում և շատ մաթեմատիկական գծագրերում դրական անկյունային կոորդինատը չափվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, ինչպես երևում է դրական բարձրություն ունեցող ցանկացած կետից։

## Կոորդինատների համակարգի փոխարկումները
Գլանային կոորդինատային համակարգը շատ եռաչափ կոորդինատային համակարգերից մեկն է։ Նրանց միջև փոխակերպման համար կարող են օգտագործվել հետևյալ բանաձևերը։

### Դեկարտյան կոորդինատները
Գլանային և դեկարտյան կոորդինատների փոխակերպման համար հարմար է ենթադրել, որ առաջինի  հարթությունը դեկարտյան xy հարթությունն է (z = 0 հավասարումով), իսկ գլանաձև առանցքը դեկարտյան z առանցքն է։ Այնուհետև z-կոորդինատը նույնն է երկու համակարգերում, և գլանաձևի (ρ, φ, z) և դեկարտյան (x, y, z) միջև համապատասխանությունը նույնն է, ինչ բևեռային կոորդինատների համար, մասնավորապես.

\begin{align} 
x &= \rho \cos \varphi \\ 
y &= \rho \sin \varphi \\
z &= z
\end{align}

մի ուղղությամբ, և
\begin{align} \rho &= \sqrt{x^2+y^2} \\
\varphi &= \begin{cases}
\text{indeterminate} & \text{if } x = 0 \text{ and } y = 0\\
\arcsin\left(\frac{y}{\rho}\right) & \text{if } x \geq 0 \\	
-\arcsin\left(\frac{y}{\rho}\right) + \pi & \mbox{if } x 
մյուսի մեջ։ Արկսինային ֆունկցիան սինուսի ֆունկցիայի հակառակն է և ենթադրվում է, որ վերադարձնում է տիրույթի անկյունը  = ։ Այս բանաձևերը տալիս են ազիմուտ φ միջակայքում .

Օգտագործելով արկտանգենս ֆունկցիան, որը վերադարձնում է նաև տիրույթի անկյուն  = , կարելի է նաև հաշվարկել 𝜑 առանց հաշվարկների 𝜌  առաջին
\begin{align}
\varphi &= \begin{cases}
\text{indeterminate} & \text{if } x = 0 \text{ and } y = 0\\
\frac\pi2\frac y & \text{if } x = 0 \text{ and } y \ne 0\\
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & \mbox{if } x > 0 \\
\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi & \mbox{if } x 
Այլ բանաձևերի համար տե՛ս Բևեռային կոորդինատային համակարգը։

Շատ ժամանակակից ծրագրավորման լեզուներ ապահովում են ֆունկցիա, որը կհաշվի ճիշտ ազիմուտ φ, (−π, π) միջակայքում, տրված x և y, առանց վերը նշված դեպքերի վերլուծություն կատարելու անհրաժեշտության։ Օրինակ, այս ֆունկցիան C ծրագրավորման լեզվում կոչվում է atan2(y, x), իսկ Common Lisp-ում (atan y x):

### Գնդաձև կոորդինատներ
Գնդային կոորդինատները (շառավիղ r, բարձրություն կամ թեքություն θ, ազիմուտ φ), կարող են փոխարկվել գլանաձև կոորդինատների կամ դրանցից՝ կախված նրանից, թե θ-ը ներկայացնում է բարձրություն կամ թեքություն, հետևյալ կերպ,

## Գծային և ծավալային տարրեր
Գլանային կոորդինատներում ծավալների ինտեգրման մանրամասների համար օգտվում են մի քանի ինտեգրալներից, իսկ վեկտորային հաշվարկի բանաձևերի համար՝ գլանաձև և գնդաձև կոորդինատներից։

Գլանաձև բևեռային կոորդինատների հետ կապված բազմաթիվ խնդիրների դեպքում օգտակար է իմանալ գծի և ծավալի տարրերը. դրանք օգտագործվում են ինտեգրման մեջ՝ ուղիների և ծավալների հետ կապված խնդիրների լուծման համար։

Գծային տարրն է\mathrm{d}\boldsymbol{r} = \mathrm{d}\rho\,\boldsymbol{\hat{\rho}} + \rho\,\mathrm{d}\varphi\,\boldsymbol{\hat{\varphi}} + \mathrm{d}z\,\boldsymbol{\hat{z}}.

Ծավալի տարրն է
\mathrm{d}V = \rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z.

Մակերեւութային տարրը հաստատուն շառավղով ρ (ուղղահայաց գլան) մակերեսում է

\mathrm{d}S_\rho = \rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z.

Մակերեւութային տարրը հաստատուն ազիմուտ φ (ուղղահայաց կիսահարթություն) մակերեսում է

\mathrm{d}S_\varphi = \mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}z.

Մակերեւութային տարրը մշտական բարձրության z (հորիզոնական հարթություն) մակերեսում է

\mathrm{d}S_z = \rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi.

Այս համակարգում del օպերատորը հանգեցնում է գրադիենտի, դիվերգենցիայի, գանգուրի և լապլասիի հետևյալ արտահայտությունների։

\begin{align}
  \nabla f &= \frac{\partial f}{\partial \rho}\boldsymbol{\hat{\rho}} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\boldsymbol{\hat{\varphi}} + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{\hat{z}} \\[8px]

  \nabla \cdot \boldsymbol{A} &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\rho\right) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \\[8px]

  \nabla \times \boldsymbol{A} &= \left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial A_\varphi}{\partial z}\right)\boldsymbol{\hat{\rho}} +
    \left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho}\right)\boldsymbol{\hat{\varphi}} +
    \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\varphi\right) - \frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat{z}} \\[8px]

  \nabla^2 f &= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho}\right) +
    \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
\end{align}

## Գլանային ներդաշնակություն
Գլանային համաչափություն ունեցող համակարգում Լապլասի հավասարման լուծումները կոչվում են գլանային ներդաշնակություն։

## Կինեմատիկա
Գլանաձև կոորդինատային համակարգում մասնիկի դիրքը կարելի է գրել այսպես
\boldsymbol{r} = \rho\,\boldsymbol{\hat \rho} + z\,\boldsymbol{\hat z}.
Մասնիկի արագությունը նրա դիրքի ժամանակային ածանցյալն է,
\boldsymbol{v} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} = \dot{\rho}\,\boldsymbol{\hat \rho} + \rho\,\dot\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} + \dot{z}\,\hat{\boldsymbol{z}},
որտեղ ժամանակը \rho \dot\varphi\hat\varphi հաշվում են Պուասոնի բանաձևով \frac{\mathrm d\hat\rho}{\mathrm dt} = \dot\varphi\hat z\times \hat\rho . Իսկ արագացումը ստացվում  է

\boldsymbol{a} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} = \left( \ddot{\rho} - \rho\,\dot\varphi^2 \right)\boldsymbol{\hat \rho} + \left( 2\dot{\rho}\,\dot\varphi + \rho\,\ddot\varphi \right) \hat{\boldsymbol\varphi } +  \ddot{z}\,\hat{\boldsymbol{z}}


## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Դիֆերենցիալ երկրաչափություն
Կատեգորիա:Երկրաչափություն
Կատեգորիա:Կոորդինատային համակարգեր
Կատեգորիա:Մաթեմատիկա