Ռացիոնալ ֆունկցիա

thumb|right|300px|Մեկ փոփոխականով ռացիոնալ ֆունկցիայի օրինակ: <math>f(x) = \frac{x^2-3x-2}{x^2-4}</math>
thumb|right|300px|Երկու փոփոխականով ռացիոնալ ֆունկցիայի օրինակ
**Ռացիոնալ [[Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)|ֆունկցիա]]**, այն ֆունկցիան, որը ներկայացվում է այնպիսի  կոտորակի տեսքով, որի  համարիչը և հայտարարը բազմանդամ են։  Ռացիոնալ արտահայտությունը  այն  հանրահաշվական արտահայտություն է, որի ներկայացման մեջ չկան  արմատներ։

## Սահմանումներ
Ռացիոնալ ֆունկցիա կոչվում է \frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)} տեսքի ֆունկցիան, որտեղ P_n(x_1,\dots,x_n),  Q_m(x_1,\dots,x_m) —ը ցանկացած քանակի պարամետր ունեցող բազմանդամներ են։

Ֆունկցիան գոյություն ունի փոփոխականի ցանկացած արժեքի դեպքում, բացի Q_m(x_1,\dots,x_m)-ի զրո ընդունած արժեքների դեպքում։

### Ռացիոնալ արտահայտություն
**Ռացիոնալ արտահայտություն**ը հանրահաշվական արտահայտություն է, որը չի պարունակում   արմատանշան։ Ալյ կերպ  ասած, դա մեկ կամ մի քանի հանրահաշվական մեծություններ են (թվեր և  փոփոխականներ), որոնք միմյանց հետ կապված են թվաբանական  գործողության նշաններով՝  գումարումով, հանումով, բազմապատկումով, բաժանումով, ամբողջ ցուցիչով աստիճանի բարձրացումով, ինչպես նաև տարբեր տեսակի փակագծերով, օրինակ 
* x + x^{-1}
* \frac{x}{y - z^{-3}}

Ցանկացած ռացիոնալ արտահայտություն կարելի է ներկայացնել ռացիոնալ ֆունկցիայի տեսքով։

## Հատուկ դեպքեր
* ** Մեկ փոփոխականով ռացիոնալ ֆունկցիան** կոչվում է  R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} տեսքի ֆունկցիա, որտեղ P(x)-ը և Q(x)-ը մեկ փոփոխականով բազմանդամներ են։ 
* **[[Ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիան]]** ներկայացվում է \frac{P(x)}{1} տեսքով, որտեղ x-ը փոփոխականն է։
* **Կոտորակառացիոնալ ** ֆունկցիա  է կոչվում այն իրական պարամետրերով ռացիոնալ ֆունկցիա, որի պարամետրերը չեն հանդիսանում ռացիոնալ թվեր։
** Երկու գծային ֆունկցիաների հարաբերությունը կոչվում է **[[կոտորակագծային ֆունկցիա]]**։

## Հատկություններ
* Ցանկացած արտահայտություն, որը ստացվում է  x_1,\dots,x_n փոփոխականների և թվաբանական չորս նշանների կիրառմամբ ստանում ենք ռացիոնալ ֆունկցիա։
* Ռացիոնալ ֆունկցիաների բազմությունը հանրահաշվական գործողությունների և համադրման օպերատորի նկատմամբ փակ է, ինչպես նաև դաշտ է այն դեպքում, եթե բազմանդամի գործակիցները պատկանում են ինչ-որ դաշտ։
* Ցանկացած ռացիոնալ ֆունկցիա կարող ենք ներկայացնել սովորական կոտորակների գումարի տեսքով, այն կիրառվում է  ինտեգրման մեջ։

## Սովորական կոտորակներ
Գոյություն ունեն կանոնավոր և անկանոն ռացիոնալ կոտորակներ, սովորական կոտորակների նման։ Ռացիոնալ կոտորակը կոչվում է կանոնավոր, եթե համարիչի կարգը փոքր է հայտարարինից և կոչվում է կանոնավոր և անկանոն՝ եթե համարիչինը մեծ է հայտարարինից։
Ցանկացած անկանոն կոտորակ կարող է ներկայացվել ամբողջ թվի և կանոնավոր  կոտորակի գումարի տեսքով։
:\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = P'_{n-m}(x) + \frac{P^{''}_{m-1}(x)}{Q_m(x)}

Ցանկացած իրական գործակիցներով ռացիոնալ կոտորակ կարելի է ներկայացնել ռացիոնալ կոտորակների գումարի տեսքով, որոնց հայտարարը հանդիսանում է (x-a)^k-ն (a-ն   Q(x))-ի իրական արմատն է կամ (x^2+px+q)^k-ն (որտեղ x^2+px+q չունի իրական արմատներ), ընդ որում k-ի աստիճանը մեծ չէ  Q(x) բազմանդամի համապատասխան բազմապատիկ արմատի աստիճանից։ Այս պնդման  հիման վրա է ապացուցվում ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրելիության մասին թեորեմը։ Ցանկացած ռացիոնալ ֆունկցիա կարող է ինտեգրվել տարրական ֆունկցիաների միջոցով։ Այս թեորեմի միջոցով ռացիոնալ ֆունկցիաների դասը մաթեմատիկական անալիզի մեջ դառնում է նշանակալից։

Այս ամենի հետ է կապված Օստրոգրադսկու մեթոդը, որը 1844 թվականին առաջարկել է մաթեմատոկոս Միխայիլ Օստրոգրադսկին։

## Տես նաև
* Ռացիոնալ թիվ
* Ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Ֆունկցիաների տեսակներ
Կատեգորիա:Տարրական ֆունկցիաներ
Կատեգորիա:Կոտորակներ