Պյութագորասի թեորեմ

[մինի|աջից|Պյութագորասի թեորեմը՝<br />
ուղիղ անկյանը կից ''a'' և ''b'' կողմերի վրա կառուցված [քառակուսիների մակերեսների գումարը հավասար է *c* ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսին։]]
**Պյութագորասի թեորեմը** ցույց է տալիս ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերակցությունը։ 
Թեորեմը ձևակերպվում է հետևյալ կերպ՝ *Ուղղանկյուն եռանկյան [[ներքնաձիգ]]ի [[քառակուսի]]ն հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին։ * Ներքնաձիգը ուղիղ անկյան դիմացի կողմն է, էջերը՝ ուղիղ անկյան կից կողմերը։

Պյութագորասի թեորեմը կարող է գրառվել հավասարման տեսքով, որը ցույց է տալիս եռանկյան a, b էջերի և c ներքնաձիգի միջև եղած կապը՝
::A^2 + B^2 = C^2

Այս հավասարմանը հաճախ ասում են Պյութագորասի հավասարում։
Պյութագորասի թեորեմը հույն մաթեմատիկոս Պյութագորասի (մ.թ.ա. 570 թ. - մ.թ.ա. 495 թ.) անունով է, ում վերագրվում է նրա հայտնագործումը և ապացուցումը։

Պյութագորասի թեորեմն ունի բազմաթիվ ապացույցներ՝ ավելի շատ, քան որևէ այլ թեորեմ։

## Ապացույցներ
### Նման եռանկյունների մեթոդ
աջից|80px‎
Դիցուք *ABC* եռանկյան համար
:  |AB|=a, |AC|=b, |BC|=c\,
ստացանք
:  \frac{a}{c}=\frac{a}; \frac{b}{c}=\frac{b}.
ինչը համարժեք է
: a^2=c\cdot |BD|; b^2=c\cdot |CD|.\,
Գումարելով կստանանք
: a^2+b^2=c\cdot\left(|BD|+|CD|\right)=c^2.
կամ
: a^2+b^2=c^2\,, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

### Պյութագորասի ընդհանրացված թեորեմ
Կոսինուսների թեորեմը երբեմն  անվանում են Պյութագորասի ընդհանրացված թեորեմ։ Այս անվանումը պայմանավորված է նրանով, որ կոսինուսների թեորեմը իր մեջ ներառում է նաև Պյութագորասի թեորեմը՝ որպես մասնավոր դեպք։ Իրոք, եթե ABC եռանկյան A անկյունը ուղիղ է, ապա cos A= cos 90^\circ = 0: Կոսինուսների թեորեմով կստացվի՝ a^2=b^2+c^2-2bc cos90^\circ, որտեղից էլ a^2=b^2+c^2:

Օգտվելով թեորեմից՝ կարելի է պարզել նաև եռանկյան տեսակը՝ սուրանկյուն, ուղղանկյուն կամ բութանկյուն։ Մասնավորապես, եթե
# a^2=b^2+c^2, ապա եռանկյունը ուղղանկյուն է,
# a^2 , ապա եռանկյունը սուրանկյուն է,
# a^2 > b^2+c^2, ապա եռանկյունը բութանկյուն է։ Ընդ որում a>b, a>c:

### Վերադասավորումներով ապացույց
{|
| մինի|240px|աջից|Պյութագորասի թեորեմի ապացույցի տարբերակ` վերադասավորումների միջոցով։
Գոյություն ունեն Պյութագորասի թեորեմի բազմաթիվ ապացույցներ, որոնց ժամանակ օգտագործվում է ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների բաժանումը մասերի և այդ մասերի վերադասավորումներով մյուսների ստացումը՝ մեծ քառակուսուց երկու փոքրերի կամ հակառակը։
Այստեղ բերված է այդ ապացույցներից մեկը։
Վերևի երկու քառակուսիները, որոնք կառուցված են ուղղանկյուն եռանկյան երկու էջերի վրա, կապույտ և կանաչ գույների երանգներով բաժանված են մասերի։ Այդ մասերը վերադասավորելով՝ ստացվում է ներքնաձիգի վրա կառուցված ներքևի քառակուսին։ Սա ցույց է տալիս, որ մեծ քառակուսու մակերեսը հավասար է երկու փոքրերի մակերեսների գումարին։ 
Ճիշտ է նաև հակառակը՝ ներքևի մեծ քառակուսու մասերը կարելի է տեղավորել վերևի երկու քառակուսիների մեջ։

## Պյութագորասի թվեր
Պյութագորասի հավասարմանը բավարարող բնական թվերի եռյակին ասում են Պյութագորասյան թվեր։ Այսինքն՝ դրանք այն երեք թվերի խմբերն են, որոնցից երկուսի քառակուսիների գումարը հավասար է երրորդի քառակուսուն։
Մեզ ամենահայտնի եռյակն է 3, 4 և 5 թվերի շարքը, քանի որ՝ 3^2+4^2=5^2։
Դրան հաջորդող եռյակներն են՝
:::5, 12, 13;
:::8, 15, 17;
:::7, 24, 25;
:::20, 21, 29;
:::21, 28, 35;
:::12, 35, 37;
:::9, 40, 41....

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ

* Pythagorean Theorem (more than 70 proofs from cut-the-knot)

Կատեգորիա:Հավասարումներ
Կատեգորիա:Եռանկյուններ
Կատեգորիա:Ապացույց պարունակող հոդվածներ
Կատեգորիա:Էվկլիդեսյան երկրաչափության թեորեմներ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Երկրաչափություն
Կատեգորիա:Երկրաչափական ալգորիթմներ