Մատրիցների գումարում

**Մատրիցների գումարումը** մաթեմատիկական գործողություն է, իրականացվում է երկու մատրիցների համապատասխան տարրերի գումարմամբ։ Այլ գործողություններ՝ ինչպես, օրինակ, ուղղակի գումարը կամ Կրոնեկերյան գումարը, նույնպես կարող ենք որպես մատրիցների գումարում ընդունել։

## Կաննոններ
### Համապատասխան տարրերի գումարում

Ցանկացած երկու մատրից, եթե ունեն իրար հավասար քանակությամբ տողեր ու սյունակներ, կարող են գումարվել՝ ըստ համապատասպան տարրերի։ A և B մատրիցների գումարման պատասխան մատրիցը կունենա նույն քանակությամբ տողեր ու սյունակներ ինչ A-ն և B-ն։ A և B մատրիցների գումարը գրառվում է որպես A + B, և հաշվվում է A և B մատրիցների համապատսխան տարրերը գումարելով․

:\begin{align}
\mathbf{A}+\mathbf{B} & = \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix} +

\begin{bmatrix}
 b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
 b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\
& = \begin{bmatrix}
 a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\
 a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\

\end{align}\,\!
Ենթադրելով A + B = C, որտեղ A֊ն, B֊ն, C֊ն նույն չափումներն ունեցող մատրիցներ են, կարող ենք կանոնն ավելի համապարփակ ներկայացնել․

:
c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}


Օրինակ․

:
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    1 & 0 \\
    1 & 2
  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    7 & 5 \\
    2 & 1
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 \\
    1+7 & 0+5 \\
    1+2 & 2+1
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    8 & 5 \\
    3 & 3
  \end{bmatrix}


Ճիշտ նույն կերպ հնարավոր է նաև նույն չափումներն ունեցող մատրիցներին հանել մեկը մյուսից։ A և B մատրիցների տարբերությունը, որը գրառվում է որպես A - B, հաշվվում է A մատրիցի համապատասխան տարրերից B մատրիցի համապատասխան տարրը հանելով։ Այդպիսով, եթե A և B մատրիցների տարբերությունը C է,

:
c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}


Օրինակ․

:
\begin{bmatrix}
 1 & 3 \\
 1 & 0 \\    
 1 & 2
\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}
 0 & 0 \\
 7 & 5 \\
 2 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
 1-0 & 3-0 \\
 1-7 & 0-5 \\
 1-2 & 2-1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
 1 & 3 \\
 -6 & -5 \\
 -1 & 1
\end{bmatrix}


### Ուղղակի գումար
Մեկ այլ, ավելի հազվադեպ կիրառվող գործողություն է ուղղակի գումարը։ Գրառվում է ⊕ նշանով․ ի նկատի ունեցեք, որ Կրոնեկերյան գումարը նույն նշանն է օգտագործում, սակայն գործածման կոնտեքստից պիտի որ հասկանալի լինի թե ո՛ր գործողությունն է ենթադրվում։ Եթե ունենք մատրից A՝  m \times n  չափերով, և մատրից B՝  p \times q  չափերով, նրանց ուղղակի գումարը ունի (m + p) \times (n + q)  չափեր, և սահմանվում է որպես․

:**<math>
  \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} =
  \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \mathbf{B} \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
     a_{11} & \cdots & a_{1n} &      0 & \cdots &      0 \\
     \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{m 1} & \cdots & a_{mn} &      0 & \cdots &      0 \\
          0 & \cdots &      0 & b_{11} & \cdots &  b_{1q} \\
     \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
          0 & \cdots &      0 & b_{p1} & \cdots &  b_{pq}
  \end{bmatrix}
</math>**

Օրինակ․

:
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 3 & 1
  \end{bmatrix} \oplus \begin{bmatrix}
    1 & 6 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
    2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}


Ուղղակի գումարը բլոկ մատրիցի հատուկ տեսակ է։ Մասնավորապես՝ մատրիցների ուղղակի գումարը **անկյունագծային բլոկ մատրից** է։

Ընդհանրականորեն, n մատրիցների ուղղակի գումարը սահմանված է հետևյալ բանաձևով․ 
:
\bigoplus_{i=1}^{n} \mathbf{A}_{i} = \operatorname{diag}( \mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \mathbf{A}_3, \ldots, \mathbf{A}_n) =
\begin{bmatrix}
  \mathbf{A}_1 & \boldsymbol{0} & \cdots & \boldsymbol{0} \\
  \boldsymbol{0} & \mathbf{A}_2 & \cdots & \boldsymbol{0} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & \cdots & \mathbf{A}_n \\
\end{bmatrix}\,\!

որտեղ զրոները իսկապես զրոների բլոկեր են՝ այսինքն, զրոյական մատրիցներ։

### Կրոնեկերյան գումար

Կրոնեկերյան գումարը, չնայած տարբերվում է ուղղակի գումարից, նույնպես գրառվում է «⊕» նշանով։ Սահմանումը տրվում է Կրոնեկերյան արտադրյալի՝ «⊗», և սովորական՝ համապատասխան տարրերի գումարման միջոցով․ եթե A֊ն n֊ը n֊ի վրա մատրից է, իսկ B-ն՝ m֊ը m֊ի վրա, իսկ \mathbf{I}_k֊ով նշանակում ենք k չափման միավոր մատրիցը, ապա Կրոնեկերյան գումարը հետևյալն է․

: \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} = \mathbf{A} \otimes \mathbf{I}_m + \mathbf{I}_n \otimes \mathbf{B}. 

## Տես նաև
* Մատրիցների արտադրյալ
* Վեկտորների գումարում

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Գծային հանրահաշիվ