Պելի թիվ

thumb|300px|Կանոնավոր ութանկյան ռացիոնալ մոտարկում  (Պելի թվերով կոորդինատներով)
**Պելի թիվ,** ամբողջ թիվ, երկուսից քառակուսի արմատին հավասար կոտորակների անվերջ շարքի մեջ մտնող, կոտորակների հայտարար։ Այդ շարքը սկսվում է հետևյալ կերպ  \frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \dots, այսինքն, Պելի առաջին թվերը ՝ 1, 2, 5, 12 և 29 են։ Այդ նույն շարքի համարիչ են համարվում **Պելի** թվերին համարժեք թվերի կեսը կամ **Պել-Լյուկի** թվերը՝ անվերջ շարք, որը սկսվում է 2, 6, 14, 34 և 82 -ով։

Պելի թվերը և Պել-Լյուկի թվերը կարող ենք հաշվել՝ ֆիբոնաչիի թվերի նման, ռեկուրենտ հարաբերակցությամբ, և երկու շարքն էլ աճում են էքսպոնենցիալ ձևով, արծաթե հատման աստիճանին համեմատական՝ 1+\sqrt 2։

Բացի կոտորակային շղթայից, Պելի թվերը կարելի է օգտագործել նաև որոշ համակցված խնդիրների թվարկման համար։

Պելի թվերի շարքը հայտնի է հին ժամանականերից։ Ինչպես Պելի հավասարումը, այնպես էլ Պելի թվերը, Լենարդ Էյլերի կողմից, սխալմամբ են վերագրված Պելին։ Դրանք իրականում Լյուկի շարքերի հետևանքներն են հանդիսանում։

## Պելի թվեր
Պելի թվերը տրվում են ռեկուրենտ գծային հարաբերակցությամբ՝

: P_n=\begin{cases}0, n=0;\\1, n=1 \\2P_{n-1}+P_{n-2}, n>1 \end{cases}

և հանդիսանում են Լյուկի շարքի մասնավոր դեպք։

Պելի առաջին մի քանի թվերը
: , 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, … ().

Պելի թվերը կարելի է արտահայտել հետևյալ բանաձևով՝
: P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}.

*n*-ի մեծ արժեքների դեպքում \scriptstyle (1+\sqrt 2)^n տրված արտահայտության մեջ գլխավորում է, քանի որ, Պելի թվերը մոտավոր համեմատական են արծաթե հատման աստիճաններին\scriptstyle (1+\sqrt 2), համանման ձևով՝ Ֆիբոնաչիի թվերը համեմատական են ոսկե հատմանը։

Հնարավոր է երրորդ սահմանումը, մատրիցայի ձևով

: \begin{pmatrix} P_{n+1} & P_n \\ P_n & P_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n.

Շատ նույնություններ կարող են ապացուցվել այս սահմանումներով, օրինակ, Ֆիբոնաչիի թվերի համար Կասինի նույնությանը համանման նույնությունը, որպես մատրիցային ձևի հետևանք բանաձև։
: P_{n+1}P_{n-1}-P_n^2 = (-1)^n,

## [[Մոտարկումների տեսություն|Մոտարկում]] քառակուսի արմատ երկուսից
Պելի թվերը պատմականորեն առաջացել են երկուսից քառակուսի արմատի մոտարկումից։ Եթե երկու *x* և *y* մեծ մբողջ թվերը տալիս են Պելի հավասարման լուծում,

: \displaystyle x^2-2y^2=\pm 1,

ապա դրանց \tfrac{x}{y}հարաբերությունը մոտրակումն է \scriptstyle\sqrt 2։ Այդ տիպի մոտարկման շարքն է․
: 1, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots

որտեղ՝ յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարը Պելի թիվ է, իսկ համարիչը հավասար է Պելի թվի և իր նախորդի գումարին։ Այսպիսով, մոտարկումն ունի հետևյալ տեսքը \tfrac{P_{n-1}+P_n}{P_n}.

: \sqrt 2\approx\frac{577}{408} տեսքի մոտարկումները հայտնի էր Ք․ա երրորդ-չորրորդ դարերում Հնդկաստանի մաթեմատիկոսներին։

Ք․ա. հինգերորդ դարի հունական մաթեմատիկոսները նույնպես գիտեին այդ մոտարկման մասին։ Պլատոնը(*Plato*) հղում է կատարում համարիչներին, որպես ռացիոնալ տրամագծեր։ Մեր թվարկության հինգերորդ դարում Թեոնոս Սմիրնացին օգտագործել է կողմ և տրամագիծ եզրերը, որպեսզի նկարագրի այդ շարքի հայտարարներն ու համարիչները։

Այդ մոտարկումները կարելի է ստանալ \scriptstyle\sqrt 2 շղթայական կոտորակից․
: \sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots\,}}}}}.

## [[Պյութագորասի եռյակ]]ներ
thumb|300px|Համարյա հավասար էջերով  և ամբողջ կոորդինատներովեռանկյուններ(ստեղծված են Պելի թվերով)։

*a*, *b*, *c*  կողմերով Պյութագորասի եռանկյան համար Մարտինեսը (Martin 1875) գրում է, որ Պելի թվերով կարելի է կառուցել պյութագորասյան եռյակ, որոնցում  *a* և *b* տարբերվում են մեկով։ Ապա կարելի է կառուցել համարյա հավասարասրուն եռանկյուն, որում եռյակն ունի հետևյալ տեսքը․
: (2P_{n}P_{n+1}, P_{n+1}^2 - P_{n}^2, P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1}).

Պյութագորասի եռյակը ստացվում է հետևյալ կերպ․
: (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

## Հաշվարկներ և կապեր
Այս աղյուսակը տալիս է մի քանի արծաթե հատումների առաջին աստիճանները \delta=\delta_S=1+\sqrt2 և դրա հետ կապված \bar{\delta}=1-\sqrt{2}.

Գործակիցները իրենցից ներկայացնում են H_nՊելի թվերի զուգորդող թվերը և հանդիսանում են H^2-2P^2=\pm1հավասարման լուծումները։

Քառակուսի եռանկյուն թիվը՝ դա N=\frac{t(t+1)}{2}=s^2է, համարյա հավասարասրուն պյութագորասյան թվերը հանդիսանում են a^2+b^2=c^2ամբողջ լուծումներ,որտեղ a+1=b։

Այս աղյուսակը կենտ H_nթվերի բաշխումը երկու համարյա հավասար մասերի։ Դրանք քառակուսի եռանկյուն թվեր են, եթե *n* զույգ է, և համարյա հավասարասրուն պյութագորասյան եռյակ, եթե *n* կենտ է։

### [[Սահմանում]]
H_nՊելի թվին կից թվերը և P_nՊելի թվերին կից թվերը կարելի է ստանալ, մի քանի համարժեք ձևերով։

*Աստիճան բարձրացնենք․*

: (1+\sqrt2)^n=H_n+P_n\sqrt{2}

: (1-\sqrt2)^n=H_n-P_n\sqrt{2}.

Որտեղից հետևում է․

: H_n=\frac{(1+\sqrt2)^n+(1-\sqrt2)^n}{2}.

և
: P_n\sqrt2=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2}.

*զույգ ռեկուրենտ հարաբերություններ․*

: H_n=\begin{cases}1, n=0\\H_{n-1}+2P_{n-1}, n>0\end{cases}
: P_n=\begin{cases}0, n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}, n>0\end{cases}

կամ մատրիցային ձևով․

: \begin{pmatrix} H_n \\ P_n  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} H_{n-1} \\ P_{n-1}  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0  \end{pmatrix}.

Այսպիսով՝

:  \begin{pmatrix} H_n & 2P_n \\ P_n & H_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n .

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 


Կատեգորիա:Ամբողջ թվերի հաջորդականություններ
Կատեգորիա:Թվերի տեսություն
Կատեգորիա:Մաթեմատիկայի չլուծված խնդիրներ
Կատեգորիա:Շղթայական կոտորակներ
Կատեգորիա:Պարզ թվերի տեսություն
Կատեգորիա:Ռեկուրսիա