Ութանիստ

thumb|right|300px|<center>Օկտաեդրի փռվածքը</center>

**Ութանիստ** (, , «ութ» и греч.  — «հիմք»), Պլատենյան հինգ հայտնի ուռուցիկ կանոնավոր բազմանիստերից մեկը։

## Բնութագրիչներ

Ութանիստն ունի 8 եռանկյունաձև նիստեր, 12 կող, 6 գագաթ, յուրաքանչյուր գագաթից ելնում են 4 նիստեր։

Եթե ութանիստի կողի երկարությունը *а* է, ապա լրիվ մակերևույթի մակերեսը (*S*) և օկտաեդրի ժավալը (*V*) հաշվվում են հետևյալ բանաձևերով՝
S=2a^2\sqrt{3}

V=\begin{matrix}{1\over3}\end{matrix}\sqrt{2}a^3

Ութանիստին արտագծված գնդի շառավիղը հավասար է՝

r_u = \frac{a}{2} \sqrt{2} ,

Ութանիստին ներգծված գնդի շառավիղը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝

r_i = \frac{a}{6} \sqrt{6}.  
երկնիստ անկյուն։ \alpha = 2\phi \approx 109,47^\circ, где \phi = arccos(\frac{\sqrt3}{3}).

thumb|right|Օկտաեդրին արտագծված գնդային մակերևույթ
## Կանոնավոր օկտաէդր
Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 8 եռանկյուն նիստ, 12 կող, 6 գագաթ, յուրաքանչյուր գագթից դուրս է գալիս 4 նիստ։

### Չափեր
Եթե օկտաէդրի կողի երկարությունը հավասար է *а*, ապա օկտաէդրին արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է.

r_u = \frac{a}{2} \sqrt{2} \approx 0.7071067 \cdot a ,

Օկտաէդրին ներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հաշվում են հետևյալ բանաձևով.

r_i = \frac{a}{6} \sqrt{6}\approx 0.4082482\cdot a : 
Երկնիստ անկյունը. \alpha = 2\phi \approx 109,47^\circ, որտեղ \phi = arccos(\frac{\sqrt3}{3}):

Բոլոր կողերը շոշափող կիսաներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է
: r_m = \frac{a}{2} = 0.5\cdot a:

### Օրթոգոնալ պրոյեկցիաները
*Օկտաէդրն* ունի չորս հատուկ օրթոգոնալ պրոյեկցիաներ՝ կենտրոնադրած կողով, գագաթով, նիստով և նիստի նորմալով։ Երկրորդ և երրորդ դեպքը համապատասխանում են Կոքսետերի B2 և A2 հարթություններին։

### Գնդային խճանկար
Օկտաէդրը կարելի է ներկայացնել որպես գնդային խճանկար և հարթության վրա պրոյեկտել տարածագրական պրոյեկցիայի օգնությամբ։ Այդ պրոյեկցիան կոնֆորմ է, պահպանում է անկյունները, բայց ոչ երկարություններն ու մակերեսը։ Գնդի վրայի հատվածները հարթության վրա արտապատկերվում են շրջանագծի աղեղների։

### Դեկարտյան կոորդինատներ
\sqrt{2}  երկարությամբ կողով օկտաէդրը կոորդինատների սկզբնակետից կարող է տեղադրվել այնպես, որ նրա բարձրություններն ընկած լինեն կոորդինատային առանցքների վրա։ Այդ դեպքում գագաթների դեկարտյան կոորդինատները կլինեն.
: (±1, 0, 0);
: (0, ±1, 0);
: (0, 0, ±1):

*x*-*y*-*z* ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում օկտաէդրը դա (*a*, *b*, *c*) կետով կենտրոնով և *r* շառավղով բոլոր (*x*, *y*, *z*) կետերի բազմությունն է, այնպես, որ
:\left|x - a\right| + \left|y - b\right| + \left|z - c\right| = r:

### Մակերես և ծավալ
*a* երկարությամբ կողով կանոնավոր օկտաէդրի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է

: S=2a^2\sqrt{3} \approx 3.46410162a^2:

Օկտաէդրի ծավալը (*V*) հաշվարկվում է

: V=\begin{matrix}{1\over3}\end{matrix}\sqrt{2}a^3 \approx 0.471404521a^3
: բանաձևով։

Այսպիսով, նույն երկարությամբ կողով օկտաէդրի ծավալը չորս անգամ մեծ է տետրաէդրի ծավալից, իսկ մակերևույթի մակերեսը մեծ է երկու անգամ  (քանի որ մակերևույթը կազմված է 8 եռանկյուններից, իսկ տետրաէդրը՝ 4):

Եթե օկտաէդրը ձգենք, որպեսզի տեղի ունենա հետևյալ հավասարությունը.
: \left|\frac{x}{x_m}\right|+\left|\frac{y}{y_m}\right|+\left|\frac{z}{z_m}\right| = 1,

մակերեսի և ծավալի բանաձևերը վերածվում են՝
: A=4 \, x_m \, y_m \, z_m \times \sqrt{\frac{1}{x_m^2}+\frac{1}{y_m^2}+\frac{1}{z_m^2}}
: V=\frac{4}{3}\,x_m\,y_m\,z_m

Բացի այդ, ձգված օկտաէդրի իներցիայի մոմենտների տենզորը հավասար կլինի.
: 
I =
\begin{bmatrix}
  \frac{1}{10} m (y_m^2+z_m^2) & 0 & 0 \\
  0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+z_m^2) & 0 \\ 
  0 & 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+y_m^2)
\end{bmatrix}


Այն բերվում է կանոնավոր օկտաէդրի հավասարման, երբ. x_m=y_m=z_m=a\,\frac{\sqrt{2}}{2}:

### Երկրաչափական կապեր
left|thumb|Օկտաէդրն իրենից ներկայացնում է երկու տետրաէդրերի հատում
Երկու երկակի տետրաէդրերի ներքին (ընդհանուր) փոխդասավորվածության մաս է կազմում օկտաէդրը, իսկ հենց այդ փոխդասավորությունը կոչվում է աստղաձև օկտաէդր (լատ. *stella octangula*): Փոխդասավորվածությունը հանդիսանում է օկտաէդրի աստղաձև միակ ձևը։ Հետևաբար, կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է կանոնավոր տետրաէդրից կողի կեսի երկայնքով չորս կանոնավոր տետրաէդրերով հատույթ։ Օկտաէդրի գագաթները ընկած են տետրաէդրի կողերի մեջտեղում և օկտաէդրը տետրաէդրի հետ կապված է նույն ձևով, ինչպես խորանարդաօկտաէդրը և իկոսոդոեկտաէդրը կապված են պլատոնյան մնացած մարմինների հետ։

Օկտաէդրը պլատոնյան մարմինների շրջանակում յուրահատուկ է նրանով, որ միայն նա յուրաքանչյուր գագաթին կից ունի զույգ թվով նիստեր։

Օկտաէդրը համարվում է 4-կապանի։ Դա նշանակում է, որ պետք է հեռացնել չորս գագաթները, որպեսզի մնացածները հեռացնեն։ Դա 4-կապանի 4 սիմպլիցիալ լավ ծածկույթով բազմանիստերից մեկն է, որը նշանակում է, որ  գագաթների ամենաշատ անկախ բազմությունները ունեն նույն չափը։ Այդ հատկություններով մնացած երեք բազմանիստերն են հնգանկյուն երկբուրգը, սիամական դոդեկաէդրը և 12 գագաթներով և 20 եռանկյուն նիստերով անկանոն բազմանիստը։

* Օկտաէդրը կարելի է ներգծել տետրաէդրին, ընդ որում օկտաէդրի 8 նիստերից 4-ը կլինեն համադրված տետրաէդրի չորս նիստերի հետ, օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները կլինեն համադրված տետրաէդրի վեց կողերի միջնակետերի հետ։
* Օկտաէդրը կարելի է ներգծել խորանարդին, ընդ որում օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները համադրված կլինեն խորանարդի վեց նիստերի կենտրոնների հետ։
* Օկտաէդրին կարելի է ներգծել խորանարդ, ընդ որում խորանարդի բոլոր ութ գագաթները տեղակայված կլինեն օկտաէդրի ութ նիստերի կենտրոններում։

### Համասեռ գունավորում և սիմետրիա
Գոյություն ունի համասեռ գունավորմամբ 5 օկտաէդրեր, անվանված են ըստ իրենց նիստերի գույների. 1212, 1112, 1111:

Օկտաէդրի համաչափության խումբ է հանդիսանում 48 կարգի Oh հիպերօկտաէդրալ եռաչափ խումբը։ Այդ խմբի ենթախմբերի կազմի մեջ է մտնում D3d (12 կարգի)՝ եռանկյուն անտիպրիզմայի համաչափության խումբը,  **D<sub>4h</sub>** (16 կարգի)՝ քառակուսային երկբուրգի համաչափության խումբը և Td (24 կարգի)՝ ամբողջությամբ հատած տետրաէդրի համաչափության խումբ։ Այդ համաչափությունները կարելի է ընդգծել նիստերի տարատեսակ գունավորման ճանապարհով։

### Փռվածքներ
Գոյություն ունի օկտաէդրի 12 փռվածք։

### Երկակիություն
Օկտաէդրը երկակի է խորանարդին։
: 240px

### Հատույթ
Համասեռ տետրահեմիհեկսաէդրը համարվում է կանոնավոր օկտաէդրի տետրաէդրալ համաչափության հետ հատույթ, որը պահպանում է կողերի և գագաթների դասավորությունը։ Հատույթն ունի չորս եռանկյուն նիստեր և 3 կենտրոնական քառակուսի։

## Ոչ կանոնավոր օկտաէդրեր
Հաջորդ բազմանիստերը կոմբինատոր համարժեք են կանոնավոր օկտաէդրին։ Նրանք բոլորն ունեն վեց գագաթ, ութ եռանկյուն նիստեր և տասներկու կողեր, ինչը համապատասխանում է կանոնավոր օկտաէդրի պարամետրերին։
* *Եռանկյուն [[անտիպրիզմա]]ներ՝* երկու նիստերն իրենցից ներկայացնում են զուգահեռ հարթություններում ընկած և համաչափության ընդհանուր առանք ունեցող հավասարակողմ եռանկյուններ։ Մյուս վեց եռանկյունները հավասարակողմ են։
* Քառանկյուն երկբուրգեր, որի մեջ ամենաքիչը մեկ էկվատորիալ քառանկյունը ընկած է հարթության մեջ։ Կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է հատուկ դեպք, երբ բոլոր երեք քառանկյունները համդիսանում են հարթ քառակուսիներ։ 
* Շոնխարդտի բազմանիստ, ոչ ուռուցիկ բազմանիստ, որն առանց նոր գագաթներ ներմուծելու հնարավոր չէ տրոհել տետրաէդրերի։

### Այլ ուռուցիկ ութանիստեր
Ընդհանուր առմամբ, օկտաէդր կարող է անվանվել ութ նիստ ունեցող բազմանիստը։ Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 6 գագաթ և 12 կող՝ մինիմալ թիվ օկտաէդրի համար։ Ոչ կանոնավոր ութանիստերը կարող են ունենալ մինչև 12 գագաթ և 18 կող։
thumb|100px|Վեցանկյուն պրիզմա
thumb|100px|Երեսակված տետրաէդր
thumb|100px| Քառանկյուն տետրաէդր
Գոյություն ունի 257 տոպոլոգիապես տարբեր ուռուցիկ ութանիստեր, հայելային արտապատկերումները բացառած։ Մասնավորապես, գոյություն ունի 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 ութանիստեր համապատասխանաբար 6-ից մինչև 12 գագաթների թվով։

Որոշ ոչ կանոնավոր ութանիստեր.
* Ութանկյուն պրիզմա. Երկու նիստերը հանդիսանում են զուգահեռ կանոնավոր վեցանկյուններ, վեց քառակուսիներ զույգ առ զույգ միացնում են վեցանկյունների համապատասխան կողմերը։
* Յոթանկյուն բուրգ. Մեկ նիստը հանդիսանում է յոթանկյուն (հիմնականում կանոնավոր), իսկ մնացած յոթ նիստերը հանդիսանում են եռանկյուններ (հիմնականում հավասարասրուն)։ Հնարավոր չէ, որպեսզի բոլոր եռանկյուն նիստերը լինեն հավասարակողմ։
* Հատած տետրաէդր. Տետրաէդրի չորս նիստերը հատվում են մինչև կանոնավոր վեցանկյուններ և հատած գագաթների տեղում ձևավորվում են երեք հավելյալ հավասարակողմ եռանկյուն նիստեր ։
* Քառանկյուն տրապեցոէդր. Ութ նիստերը կոնգրուենտ են դելտոիդներին։

## Օկտաէդրերը ֆիզիկական աշխարհում
### Օկտաէդրերը բնության մեջ
[thumb|[Ֆլյուորիտ|Ֆլյուրոիտե օկտաէդր]]
* Բնական մի շարք խորանարդային բյուրեղներ ունեն օկտաէդրի տեսք։ Դրանք են. ալմաստը, ալյումինակալիումի սուլֆատը, նատրիումի քլորիդը, պերովսկիտը, օլիվինը, ֆլյուորիտը, շպինելը։
* Օկտաէդրի ձև ունեն մաքուր մետաղների (նիկել, պղինձ, մագնեզիում, տիտան, լանթան և շատ ուրիշներ) պլատոնափաթեթային կառուցվածքների մեջ միջատոմային դատարկությունները (անցքեր)։
* Կամասիտի համաձուլվածքների թիթեղը օկտաէդրիտային երկնաքարերում տեղավորված են ութանիստ օկտաէդրի ութ նիստերին զուգահետ։

### Օկտաէդրն արվեստի և մշակույթի մեջ
[thumb|Երկու միանման դասավորած [ռուբիկի օձերը կարող են մոտարկել օկտաէդր:]]
* Խաղերի մեջ օկտաէդրի տեսքի զառը կոչվում է «d8»:
* Եթե օկտաէդրի յուրաքանչյուր կող փոխարինենք միաօհմ ռեզիստրով, հանդիպակաց գագաթների միջև դիմադրությունը կկազմի 1/2 Օհմ, իսկ կից գագաթների միջև՝ 5/12 Օհմ.
* Երաժշտական յոթ նոտաներ օկտաէդրի գագաթների վրա կարելի է դասավորել այնպես, որ յուրաքանչյուր կող ներկայացնի  ներդաշնակ զույգ, իսկ յուրաքանչյուր նիստ՝ ներդաշնակ եռյակ։
* Հակատանկային ոզնին ունի երեք շեղակի օկտաէդրի ձև։

### Տետրաէդալ կապ
Կրկնվող տետրաէդրերից և օկտաէդրերից կազմված կմախքը 1950-ական թվականներին հայտնաբերել է Ֆուլլերը և այն հայտնի է որպես տարածական շրջանակ և համարվում է ամուր կառույց։

## Կապված բազմանիստեր
Կանոնավոր օկտաէդր կարելի է ստանալ իրար հաջորդող նիստերի վրա ավելացնելով չորս տետրաէդրեր։ Բոլոր ութ նիստերին տետրադրեր ավելացնելը ձևավորում է աստղաձև օկտաէդր։

### Տետրատետրաէդր
Կանոնավոր օկտաէդրը կարելի է դիտարկել որպես ամբողջական հատած տետրաէդր և կարող է անվանվել տետրատետրաէդր։ Դա կարելի է ցույց տալ երկու գույնով ներկված մոդելով։ Այդ գունավորմամբ օկտաէդրն ունենում է տետրաէդրալ համաչափություն։

## Օկտաեդրի հատկությունները
* Օկտաեդրին կարելի է ներգծել տետրաեդր, ընդ որում ութանիստի ութ նիստերից չորսը ընկած են տետրաեդրի չորս նիստերի հարթությունների վրա, օկտաեդրի բոլոր վեց գագաթները համընկնում են տետրաեդրի վեց կողերի միջնակետերին հետ։
* Օկտաեդրը կարելի է ներգծել խորանարդին, ընդ որում ութանիստի բոլոր վեց գագաթները ընկած կլինեն խորանարդի նիստերի կենտրոնների վրա։
* Օկտաեդրին կարելի է ներգծել խորանարդ, ընդ որում խորանարդի բոլոր ութ գագաթները կհամընկնեն օկտաեդրի ութ նիստերի կենտրոնների հետ։
* Կանոնավոր ութանիստը ունի համաչափության **O<sub>h</sub>** կենտրոն, որը համընկնում է խորանարդի կենտրոնի հետ։

## Ութանկյունը բնության մեջ
* Բնության մեջ հանդիպող շատ բյուրեղներ ունեն հենց օկտաեդրի տեսք։ Օրինակ, ալմաստը, նատրիումի քլորիդը, պերովսկիտը, օլիվինը, ֆլյուորիտը, շպինելը։


Rough diamond.jpg|Ալմաստ
Halit-Kristalle.jpg|Նատրիումի քլորիդ
Dysanalyt - Magnet Cove, Arkansas, USA.jpg|Պերովսկիտ
Peridot2.jpg|Օլիվին
9104 - Milano - Museo storia naturale - Fluorite - Foto Giovanni Dall'Orto 22-Apr-2007.jpg|Ֆլյուորիտ
Spinel2.jpg|Շպինել


* Ութանիստի տեսք ունեն միջատոմային հեռավորությունները կիպ փաթեթվոչված մաքուր մետաղներում (նիկելի, պղնձի, մագնեզիումի, տիտանի, լանթանի և այլ մետաղների) ու իոնական միացություններում (նատրիումի քլորիդ, սֆալերիտ, վյուրցիտ և այլն)։

## Տես նաև
* Կոմպլեքս միացություններ

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն

* Большая советская энциклопедия
* 
* 
* 

## Արտաքին հղումներ
* 
* Klitzing Polytopes, 3D convex uniform polyhedra
* Editable printable net of an octahedron with interactive 3D view
* Paper model of the octahedron
* K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra
* The Uniform Polyhedra
* Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
** Conway Notation for Polyhedra Try: dP4

Կատեգորիա:Երկրաչափական մարմիններ
Կատեգորիա:Կանոնավոր բազմանիստեր
Կատեգորիա:Բազմանիստեր