Մյոբիուսի ֆունկցիա

**Մյոբիուսի ֆունկցիա**, մուլտիպլիկատիվ թվաբանական ֆունկցիա, որը կիրառվում է թվերի տեսության մեջ և կոմբինատորիկայում։ Անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Ավգուստ Մյոբիուսի պատվին, որը առաջին անգամ դիտարկել է այն 1831 թվականին։

## Սահմանում
\mu(n) որոշված է բոլոր n բնական թվերի համար, ընդունում է -1,0,1 արժեքները՝ կախված n թվի պարզ արտադրիչների վերլուծման բնույթից։
* \mu(n)=1, եթե n-ը ազատ է քառակուսուց(չի բաժանվում ոչ մի պարզ թվի քառակուսու վրա), իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը զույգ է։
* \mu(n)=-1, եթե n-ը ազատ է քառակուսուց, իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը կենտ է։
* \mu(n)=0, եթե n-ը ազատ չէ քառակուսուց։
Ըստ սահմանման ընդունված է համարել \mu(1)=1։

center|50 առաջին կետերը

## Հատկություններ
* Մյոբիուսի ֆունկցիան մուլտիպլիկատիվ է՝ ցանկացած a և b փոխադարձ պարզ թվերի համար ճիշտ է \mu(ab)=\mu(a)\mu(b) հավասարությունը։
*n ամբողջ թվի բոլոր բաժանարարների Մյոբիուսի ֆունկցիայի արժեքների գումարը հավասար է 0-ի։ 
: \sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}
Սա հետևում է այն բանից, որ ցանկացած ոչ դատարկ վերջավոր բազմության կենտ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակը հավասար է զույգ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակին։

* \sum\limits_{k=1}^n \mu(k)\left[\frac{n}{k}\right]=1
* \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k n)}{k}=0, որտեղ n -ը դրական ամբողջ թիվ է։
* \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)\ln k}{k}=-1
* Մյոբիուսի ֆունկցիան սերտ կապված է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի  հետ։ Մյոբիուսի ֆունկցիայով են արտահայտվում Դիրիխլիեյի ֆունկցիայի շարքի գործակիցները, որոնք մուլտիպլիկատիվ հակադարձ են Ռիմանի զետա ֆունկցիային․
: \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^{s}} = \frac{1}{\zeta(s)}.

Շարքը բացարձակ զուգամետ է {\rm Re}\, s >1 ուղղի վրա, {\rm Re}\, s = 1 ուղղի վրա զուգամիտում է պայմանական, 1/2  միջակայքում պայմանական զուգամիտությունը համարժեք է Ռիմանի հիպոթեզին, իսկ {\rm Re}\, s  դեպքում շարքը չի զուգամետում։

Երբ {\rm Re}\, s >1 ճիշտ է նաև․

* \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{s}} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}
* \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(p n)}{n^{s}} = \frac{p^{s}}{(1-p^{s}) \zeta(s)},  որտեղ p — պարզ թիվ է։
* Մյոբիուսի ֆունկցիան կապված է նաև Մերտենսի ֆունկցիայի հետ, որը կապված է  Ռիմանի զետա ֆունկցիայի զրոյական կետերի հետ։

: M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k).

* Ճշմարիտ են նաև․

: \frac{1}{x}\sum\limits_{n\leq x} \mu(n) = o(1) երբ x\rightarrow \infty
: \frac{1}{x}\sum\limits_{n\leq x} |\mu(n)| = \frac{1}{\zeta(2)} + O(\frac{1}{\sqrt x}) ,

Բազմության զրոների գծային խտությունը հավասար է 1 - 1/\zeta(2) = 0,3920729, իսկ միավորների խտությունը՝ 1/2\zeta(2) = 0,30396355։

## Մյոբիուսի հղում
### Մյոբիուսի հղման առաջին բանաձև

Երկու թվաբանական f և g ֆունկցիաների համար

: g(n)=\sum_{d\,\mid\, n}f(d)
այն և միայն այն դեպքում, երբ
: f(n)=\sum_{d\,\mid\, n}\mu(d)g \left (\frac{n}{d} \right )։
### Մյոբիուսի հղման երկրորդ բանաձևը
Երկու իրական f(x) և g(x)  ֆունկցիաների համար, որոնք որոշված են x\geqslant 1  համար
:  g(x) = \sum_{n\leqslant x} f\left(\frac{x}{n}\right)
այն և միայն այն դեպքում, երբ
: f(x) = \sum_{n\leqslant x}\mu(n) g\left(\frac{x}{n}\right)։
Այստեղ \sum_{n\leqslant x} գումարը  մեկնաբանվում է որպես \sum_{n=1}^{\lfloor x\rfloor}։

## Մյոբիուսի ընդհանրացված թեորեմը
Դիցուք տրված է որոշակի կարգավորված բազմություն \prec հարաբերությամբ։ Համարենք, որ a \preccurlyeq b \iff a \prec b \lor a = b։

### Սահմանում
Մյոբիուսի ընդհանրացված ֆունկցիան  որոշվում է
: {\mu_A^*}(a,b) = \begin{cases}1, & a=b \\ -\sum \limits_{a \preccurlyeq z \prec b} {{\mu_A^*}(a,z)}, & a \prec b \\ 0, & b \prec a\end{cases} ռեկուրենտ առընչությամբ։

### Հղման բանաձևը
Դիցուք g և f ֆունկցիաները ընդունում են իրական արժեքներ A բազմության վրա և տեղի ունի g(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {f(y)} պայմանը։

 Ապա f(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} \right), որտեղ \mu - Մյոբիուսի դասական ֆունկցիան է։

## Տես նաև
Դիրիխլեյի բանաձևը

## Գրականություն
* Ի․ Մ․ Վինոգրադով, Թվերի տեսության հիմունքներ, 9-րդ հրատարակություն, Մ․1981։
*

## Արտաքին հղումներ
* Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5 , 2013.
* Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6, 2013.
* Обобщённая формула обращения Мёбиуса

Կատեգորիա:Ֆունկցիա
Կատեգորիա:Ֆունկցիաների տեսակներ