Ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ

**Ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ**, ստորև ներկայացված են ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկերը։ Անորոշ ինտեգրալների համար ինտեգրման հաստատունը բաց է թողնված։

## Ինտեգրալներ
: \int (ax + b)^n dx = \begin{cases} \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)}, & n\neq -1 \\ \frac{1}{a}\ln\left|ax + b\right|, & n=-1\end{cases}

: \int x(ax + b)^n dx = \begin{cases} \frac{a(n + 1)x - b}{a^2(n + 1)(n + 2)} (ax + b)^{n+1}, & n \not\in \{-1, -2\} \\ \frac{x}{a} - \frac{b}{a^2}\ln\left|ax + b\right|, & n=-1 \\ \frac{b}{a^2(ax + b)} + \frac{1}{a^2}\ln\left|ax + b\right|, & n=-2\end{cases}

: \int\frac{x}{(ax + b)^n}dx = \frac{a(1 - n)x - b}{a^2(n - 1)(n - 2)(ax + b)^{n-1}}, \quad n\not\in \{1, 2\}

: \int\frac{dx}{x^{2^n} + 1} = \sum_{k=1}^{2^{n-1}} \left \{ \frac{1}{2^{n-1}} \left [ \sin \left(\frac{(2k -1) \pi}{2^n}\right) \arctan\left[\left(x - \cos \left(\frac{(2k -1) \pi}{2^n} \right) \right ) \csc \left(\frac{(2k -1) \pi}{2^n} \right) \right] \right] - \frac{1}{2^n} \left [ \cos \left(\frac{(2k -1) \pi}{2^n} \right) \ln \left | x^2 - 2 x \cos \left(\frac{(2k -1) \pi}{2^n} \right) + 1 \right |  \right ] \right \} + C 

: \int\frac{x^2}{ax + b}dx = \frac{1}{a^3}\left(\frac{(ax + b)^2}{2} - 2b(ax + b) + b^2\ln\left|ax + b\right|\right)

: \int\frac{x^2}{(ax + b)^2}dx = \frac{1}{a^3}\left(ax + b - 2b\ln\left|ax + b\right| - \frac{b^2}{ax + b}\right)

: \int\frac{x^2}{(ax + b)^3}dx = \frac{1}{a^3}\left(\ln\left|ax + b\right| + \frac{2b}{ax + b} - \frac{b^2}{2(ax + b)^2}\right)

: \int\frac{x^2}{(ax + b)^n}dx = \frac{1}{a^3}\left(-\frac{1}{(n- 3)(ax + b)^{n-3}} + \frac{2b}{(n-2)(ax + b)^{n-2}} - \frac{b^2}{(n - 1)(ax + b)^{n-1}}\right), для \!   n\not\in \{1, 2, 3\}

: \int\frac{dx}{x(ax + b)} = -\frac{1}{b}\ln\left|\frac{ax+b}{x}\right|

: \int\frac{dx}{x^2(ax+b)} = -\frac{1}{bx} + \frac{a}{b^2}\ln\left|\frac{ax+b}{x}\right|

: \int\frac{dx}{x^2(ax+b)^2} = -a\left(\frac{1}{b^2(ax+b)} + \frac{1}{ab^2x} - \frac{2}{b^3}\ln\left|\frac{ax+b}{x}\right|\right)

: \int\frac{dx}{a^2x^2+b^2} = \frac{1}{ab}\arctan\frac{ax}{b}\,\!

: \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^2} = \frac{x}{2a^2(x^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan\frac{x}{a}

: \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^3} = \frac{x}{4a^2(x^2+a^2)^2} + \frac{3x}{8a^4(x^2+a^2)} + \frac{3}{8a^5}\arctan\frac{x}{a}

: \int\frac{dx}{x^2-a^2} = -\frac{1}{a}\,\mathrm{artanh}\frac{x}{a} = \frac{1}{2a}\ln\frac{a-x}{a+x}, для \! |x| 

: \int\frac{dx}{x^2-a^2} = -\frac{1}{a}\,\mathrm{arcoth}\frac{x}{a} = \frac{1}{2a}\ln\frac{x-a}{x+a}, для \! |x| > |a|

: \int\frac{dx}{ax^2+bx+c} = \frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}, для \! 4ac-b^2>0

: \int\frac{dx}{ax^2+bx+c} = \frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\,\mathrm{artanh}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} = \frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln\left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right|, для \! 4ac-b^2

: \int\frac{dx}{ax^2+bx+c} = -\frac{2}{2ax+b}\qquad\mbox{(for }4ac-b^2=0\mbox{)}

: \int\frac{x}{ax^2+bx+c}dx = \frac{1}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{b}{2a}\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}

: \int\frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx = \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|+\frac{2an-bm}{a\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}, для \! 4ac-b^2>0

: \int\frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx = \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{2an-bm}{a\sqrt{b^2-4ac}}\,\mathrm{artanh}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}}, для \! 4ac-b^2

: \int\frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx = \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{2an-bm}{a(2ax+b)}, для \! 4ac-b^2=0

: \int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^n} = \frac{2ax+b}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+\frac{(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^2)}\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,\!

: \int\frac{x}{(ax^2+bx+c)^n}dx = \frac{bx+2c}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}-\frac{b(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^2)}\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,\!

: \int\frac{dx}{x(ax^2+bx+c)} = \frac{1}{2c}\ln\left|\frac{x^2}{ax^2+bx+c}\right|-\frac{b}{2c}\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}

## Տես նաև
* Ֆունկցիայի ածանցյալ
* Ածանցելի ֆունկցիաներ

## Գրականություն
### Գրքեր
* Градштейн И. С. Рыжик И. М. *Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений* (4-е издание). М.։ Наука, 1963. ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
* Двайт Г. Б. ''Таблицы интегралов'' СПб։ «Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева», 1995.-176 с. ISBN 5-85529-029-8.
* D. Zwillinger. *CRC Standard Mathematical Tables and Formulae*, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
* M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*, 1964. ISBN 0-486-61272-4

### Ինտեգրալների աղյուսակներ
* Ինտեգրալներ EqWorld-ում
* S.O.S. Մաթեմատիկա

### Ինտեգրալների հաշվում
* The Integrator *(Wolfram Research)*
* Թվեր