Տեսակարար անկյունային մոմենտ

**Տեսակարար անկյունային մոմենտը** (հաճախ նշանակվում է \vec{h} կամ \mathbf{h}), երկնային մեխանիկայում մարմնի ստացվում է այդ մարմնի անկյունային մոմենտը բաժանած նրա զանգվածի վրա: Երկու պտտվող մարմինների դեպքում դա նրանց հարաբերական դիրքի և հարաբերական գծային մոմենտի վեկտորական արտադրյալն է, բաժանած տվյալ մարմնի զանգվածի վրա։ Տեսակարար հարաբերական անկյունային մոմենտը կարևոր դեր է խաղում երկու մարմինների խնդրի վերլուծության մեջ, քանի որ այն մնում է հաստատուն տվյալ ուղեծրի համար իդեալական պայմաններում: «Տեսակարար» բառը այս համատեքստում ցույց է տալիս անկյունային մոմենտը միավոր զանգվածի դեպքում: Տեսակարար հարաբերական անկյունային մոմենտը Միավորների միջազգային համակարգում չափվում է քառակուսի մետր վայրկյանով։

## Սահմանում
Տեսակարար անկյունային մոմենտը սահմանվում է որպես հարաբերական դիրքի վեկտոր  \mathbf{r} և հարաբերական արագության վեկտոր  \mathbf{v} -ի վեկտորական արտադրյալ:  \mathbf{h} = \mathbf{r}\times \mathbf{v} = \frac{\mathbf{L}}{m} 

որտեղ \mathbf{L}-ը անկյունային մոմենտի վեկտորն է, որը սահմանվում է որպես  \mathbf{r} \times m \mathbf{v}։

 \mathbf{h} վեկտորը միշտ ուղղահայաց է ակնթարթային օսկուլացնող ուղեծրային հարթությանը, որը համընկնում է ակնթարթային խոտորված ուղեծրի հետ։ Այն պարտադիր չէ, որ ուղղահայաց լինի միջին ուղեծրային հարթությանը ժամանակի ընթացքում։

## Երկու մարմինների դեպքում հաստատունության ապացույց
[thumb|Դիրքի վեկտոր <math> \mathbf{r} </math>, արագության վեկտոր <math> \mathbf{v} </math>, [Ուղեծրի_տարրեր#Անոմալիաներ|իրական անոմալիա  \theta  և  m_2  թռիչքի հետագծի անկյուն  \phi ՝  m_1 -ի շուրջ ուղեծրում։ Նկարված են նաև էլիպսի ամենակարևոր չափումները (որոնց թվում է, նկատի ունեցեք, որ իրական անոմալիա \theta-ը պիտակավորված է որպես \nu)։]]
Որոշակի պայմաններում կարելի է ապացուցել, որ տեսակարար անկյունային մոմենտը հաստատուն է։ Այս ապացույցի պայմաններն են՝
* Մեկ մարմնի զանգվածը շատ ավելի մեծ է, քան մյուսի զանգվածը։ ( m_1 \gg m_2 )
* Կոորդինատային համակարգը իներցիալ է։
* Յուրաքանչյուր մարմին կարող է դիտարկվել որպես գնդաձև սիմետրիկ կետային զանգված։
* Համակարգի վրա, բացի երկու մարմինները միացնող գրավիտացիոն ուժից, այլ ուժեր չեն ազդում։

### Ապացույց
Ապացույցը սկսվում է երկու մարմնի շարժման հավասարումից, որը ստացվում է Նյուտոնի համընդհանուր ձգողականության օրենքից։
 \ddot{\mathbf{r}} + \frac{G m_1}{r^2}\frac{\mathbf{r}}{r} = 0

որտեղ՝
* \mathbf{r}-ը m_1-ից մինչև m_2 դիրքի վեկտորն է՝ սկալյար մեծությամբ r։
* \ddot{\mathbf{r}}-ը \mathbf{r}-ի երկրորդ ժամանակային ածանցյալն է։ (արագացում)
* G-ը գրավիտացիոն հաստատունն է։

Դիրքի վեկտորի և շարժման հավասարման վեկտորական արտադրյալը հետևյալն է՝

 \mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}} + \mathbf{r} \times \frac{G m_1}{r^2}\frac{\mathbf{r}}{r} = 0

Քանի որ \mathbf{r} \times \mathbf{r} = 0 երկրորդ անդամը կրճատվում է՝

 \mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}} = 0 

Կարելի է նաև եզրակացնել, որ՝

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}\right) =
\dot{\mathbf{r}} \times \dot{\mathbf{r}} + \mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}} =
\mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}}


Այս երկու հավասարումների միացումը տալիս է՝
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}\right) = 0

Քանի որ ժամանակի ածանցյալը հավասար է զրոյի, \mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}} մեծությունը հաստատուն է։ Օգտագործելով արագության վեկտորը \mathbf{v} դիրքի փոփոխության արագության փոխարեն, իսկ \mathbf{h}-ը՝ անկյունային իմպուլսի համար.
 \mathbf{h} = \mathbf{r}\times\mathbf{v}-ը հաստատուն է։

Սա տարբերվում է իմպուլսի նորմալ կառուցումից՝ \mathbf{r} \times \mathbf{p}, քանի որ այն չի ներառում տվյալ մարմնի զանգվածը։

## Կեպլերի մոլորակային շարժման օրենքները

Կեպլերի մոլորակային շարժման օրենքները կարող են ապացուցվել գրեթե անմիջապես վերը նշված հարաբերություններով։

### Առաջին օրենք
Ապացույցը կրկին սկսվում է երկու մարմինների խնդրի հավասարումից։ Այս անգամ վեկտորական արտադրյալը բազմապատկվում է հարաբերական անկյունային մոմենտով
 \ddot{\mathbf{r}} \times \mathbf{h} = - \frac{\mu}{r^2}\frac{\mathbf{r}}{r} \times \mathbf{h} 

Ձախ կողմը հավասար է ածանցյալին  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{h}\right), քանի որ անկյունային մոմենտը հաստատուն է։

Որոշ քայլերից հետո (որոնք ներառում են վեկտորի եռակի արտադրյալի օգտագործումը և սկալյար \dot{r}-ը որպես ճառագայթային արագություն սահմանելը, ի տարբերություն \dot{\mathbf{r}} վեկտորի նորմայի), աջ կողմը դառնում է հետևյալը՝

  -\frac{\mu}{r^3}\left(\mathbf{r} \times \mathbf{h}\right) =
  -\frac{\mu}{r^3} \left(\left(\mathbf{r}\cdot\mathbf{v}\right)\mathbf{r} - r^2\mathbf{v}\right) =
  -\left(\frac{\mu}{r^2}\dot{r}\mathbf{r} - \frac{\mu}{r}\mathbf{v}\right) =
   \mu \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathbf{r}}{r}\right)


Այս երկու արտահայտությունները հավասարեցնելը և ժամանակի ընթացքում ինտեգրելը հանգեցնում է (ինտեգրման հաստատունով  \mathbf{C} )
 \dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{h} = \mu\frac{\mathbf{r}}{r} + \mathbf{C} 

Այժմ այս հավասարումը բազմապատկվում է (սկալյար արտադրյալ)  \mathbf{r} -ով և վերադասավորվում է
\begin{align}
            \mathbf{r} \cdot \left(\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{h}\right) &= \mathbf{r} \cdot \left(\mu\frac{\mathbf{r}}{r} + \mathbf{C}\right) \\
\Rightarrow \left(\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}\right) \cdot \mathbf{h} &= \mu r + r C\cos\theta \\
\Rightarrow                                                            h^2 &= \mu r + r C\cos\theta
\end{align}

Վերջապես ստացվում է ուղեծրի հավասարումը
 r = \frac{\frac{h^2}{\mu}}{1 + \frac{C}{\mu}\cos\theta} 

այն է կոնական հատույթի հավասարում բևեռային կոորդինատներով կիսաֆոկալ առանցքով  p = \frac{h^2}{\mu}  և էքսցենտրիսիտետով  e = \frac{C}{\mu} -ով։

### Երկրորդ օրենք
Երկրորդ օրենքը անմիջապես բխում է վերը նշված երեք հավասարումներից երկրորդից՝ տեսակարար հարաբերական անկյունային մոմենտի բացարձակ արժեքը հաշվարկելու համար:

Եթե  \mathrm{d}t = \frac{r^2}{h} \, \mathrm{d}\theta  հավասարման այս ձևը կապենք  \mathrm{d}A = \frac{r^2}{2} \, \mathrm{d}\theta  հարաբերության հետ՝ անվերջ փոքր անկյուն ունեցող  \mathrm{d}\theta  (մեկ շատ փոքր կողմով եռանկյուն) հատվածի մակերեսի համար, ապա հավասարումը հետևյալն է՝

 \mathrm{d}t = \frac{2}{h} \, \mathrm{d}A 

### Երրորդ օրենք
Կեպլերի երրորդ օրենքը երկրորդ օրենքի ուղղակի հետևանք է։ Մեկ պտույտի վրա ինտեգրումը տալիս է ուղեծրային պարբերություն
 T = \frac{2\pi ab}{h} 

էլիպսի  \pi ab  մակերեսի համար։ Փոքր կիսաառանցքը  b=\sqrt{ap} -ով փոխարինելով, իսկ տեսակարար հարաբերական անկյունային մոմենտը՝  h = \sqrt{\mu p} -ով, ստացվում է
 T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}} 

Այսպիսով, արբանյակի մեծ կիսաառանցքի և ուղեծրային պարբերության միջև կա կապ, որը կարող է բերվել կենտրոնական մարմնի հաստատունի։

## Տես նաև
* Տեսակարար ուղեծրային էներգիա, երկու մարմինների խնդրի մեկ այլ պահպանվող մեծություն։

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Աստղադինամիկա
Կատեգորիա:Ուղեծրեր