Ֆեյգենբաումի հաստատուններ

**Ֆեյգենբաումի հաստատուններ** (), մաթեմատիկայում, մասնավորապես՝ բիֆուրկացիայի տեսությունում,  δ և α երկու մաթեմատիկական հաստատուններ են, որոնք արտահայտում են հարաբերություններ ոչ գծային քարտեզների բիֆուրկացիայի դիագրամում։ Դրանք իրենց անվանումը ստացել են ֆիզիկոս Միտչել Ֆեյգենբաումի անունով։

## Պատմություն
Ֆեյգենբաումը սկզբում կապեց առաջին հաստատունը լոգիստիկ քարտեզում եղած ժամանակահատվածի կրկնապատկման բիֆուրկացիայի հետ, սակայն նաև ցույց տվեց, որ այն գործում է բոլոր միաչափ տարածության քարտեզների համար, որոնք ունեն մեկ  ֆունկցիայի էքստրեմում։ Այս ընդհանրության շնորհիվ՝ յուրաքանչյուր քաոսային համակարգ, որը համապատասխանում է այս նկարագրությանը, բիֆուրկացիայի ենթարկվում է նույն արագությամբ։ Ֆեյգենբաումը հայտնագործեց սա 1975 թվականին, իսկ պաշտոնապես հրապարակեց 1978 թվականին։

## Առաջին հաստատուն
Ֆեյգենբաումի առաջին հաստատունը կամ պարզապես Ֆեյգենբաումի հաստատունը (𝛿), արտահայտում է միաչափ տարածության քարտեզի ժամանակահատվածի կրկնապատկումների միջև բիֆուրկացիայի միջակայքերի հաջորդական հարաբերության սահմանային արժեքը։ Այն սահմանվում է մեկ պարամետրով քարտեզի համար՝

x_{i+1} = f(x_i),

որտեղ -ը ֆունկցիա է բիֆուրկացիայի  պարամետրով պարամետրացված։

Հաստատունը տրվում է հետևյալ հաջորդականության սահմանով՝

\delta = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n-1} - a_{n-2}}{a_n - a_{n-1}}

որտեղ -ը  պարամետրերի արժեքների այն հաջորդականությունն է, որոնցում տեղի են ունենում -րդ ժամանակահատվածի կրկնապատկման կետերը։

Այս հաստատունի թվային արժեքը՝ ըստ ամբողջ թվերի հաջորդականությունների առցանց հանրագիտարանի (OEIS) A006890 հաջորդականության, հետևյալն է՝

\delta = 4.669\,201\,609\,102\,990\,671\,853\,203\,820\,466\ldots

* Պարզ ռացիոնալ թվի մոտեցումն է՝ ​, որը ճշգրիտ է մինչև 5 նշանակալի թվանշան (երբ կլորացվում է)։ Ավելի ճշգրիտ մոտեցում է՝ , որը ճշգրիտ է մինչև 7 նշանակալի թվանշան։

* Այն մոտավորապես հավասար է ,  ընդամենը 0,0047% սխալով։

### Տեսողական ներկայացում
#### Ոչ գծային քարտեզի օրինակ
Այս հաստատունի առաջացումը քարտեզացնելու համար դիտարկենք իրական թվի մեկ պարամետրով քարտեզ՝

f(x) = a-x^2.

որտեղ՝ -ն բիֆուրկացիայի պարամետրն է, -ը փոփոխականն է։ Այստեղ -ն այն արժեքն է, որի տարբեր արժեքների դեպքում համակարգը անցնում է ժամանակահատվածի կրկնապատկումների միջով։ Օրինակ՝ այն առավելագույն -ն, որի դեպքում ժամանակահատված-2 չի առաջանում, կամ այն առավելագույն -ն, որի դեպքում ժամանակահատված-4 դեռ չկա, այս արժեքները հաջորդաբար անվանվում են՝ ,  և այլն։ Այսպիսով, յուրաքանչյուր կրկնապատկման միջև   պարամետրերի տարբերությունների հարաբերակցությունը մոտենում է հաստատուն մեծության՝ Ֆեյգենբաումի հաստատունին։ Դրանք ներկայացված են ստորև բերված աղյուսակում՝
:

Վերջին սյան հարաբերությունը մոտենում է առաջին Ֆեյգենբաումի հաստատունին։ Նույն թիվը ստացվում է նաև լոգիստիկ քարտեզի համար
:f(x) = ax(1-x)
իրական  պարամետրով և  փոփոխականով։ Բիֆուրկացիայի արժեքները կրկին աղյուսակում կներկայացվեն հետևյալ կերպ՝

:

#### Ֆրակտալներ

Մանդելբրոտի բազմության դեպքում բարդ քառակուսային բազմանդամի համար
:f(z) = z^2 + c
Ֆեյգենբաումի հաստատունը  կոմպլեքս հարթության թվային առանցքի վրա հաջորդական շրջանակների տրամագծերի միջև սահմանային հարաբերությունն է (տես աջ կողմում գտնվող անիմացիան):

:

Բիֆուրկացիայի պարամետրը հանդիսանում է  ժամանակաշրջանի բաղադրիչի արմատային կետը։ Այս շարքը միանում է Ֆեյգենբաումի  = −1.401155 կետին։ Վերջին սյունակում հարաբերակցությունը համընկնում է Ֆեյգենբաումի առաջին հաստատունի հետ: Մյուս քարտեզները նույնպես վերարտադրում են այս հարաբերակցությունը հետևյալ իմաստով՝ բիֆուրկացիայի տեսության մեջ Ֆեյգենբաումի հաստատունը երկրաչափության մեջ նման է -ին և մաթեմատիկական վերլուծության մեջ ''e''-ին:

## Երկրորդ հաստատուն
Երկրորդ Ֆեյգենբաումի հաստատունը կամ Ֆեյգենբաումի նվազման պարամետր -ն տրվում է OEIS-ում A006891 հաջորդականությամբ՝

\alpha = 2.502\,907\,875\,095\,892\,822\,283\,902\,873\,218\ldots

Այն հարաբերակցությունն է ճյուղի լայնության և դրա երկու ենթաճյուղերից մեկի լայնության միջև (բացառությամբ ծալքին ամենամոտ ենթաճյուղը): Երբ չափվում է ստորին ենթաճյուղի և ամբողջ ճյուղի լայնության միջև եղած հարաբերակցությունը, -ին տրվում է բացասական նշան։

Այս թվերը կիրառելի են դինամիկ համակարգերի լայն դասի համար (օրինակ՝ կաթող ծորակներից մինչև բնակչության աճ):

Պարզ հարաբերակցային մոտարկումը հետևյալն  է՝  ×  ×  = ։

## Հատկություններ
Ենթադրվում է, որ երկու թվերն էլ տրանսցենդենտ են, չնայած դա ապացուցված չէ: Իրականում, հայտնի ապացույց չկա, որ այս հաստատուններից որևէ մեկը գոնե իռացիոնալ է:

Ֆեյգենբաումի հաստատունների համընդհանուրության առաջին ապացույցն իրականացրել է Օսկար Լենֆորդը՝ համակարգչի միջոցով 1982 թվականին (Ժնևի համալսարանի Ժան-Պիեռ Էկմանի ու Պիտեր Վիթվերի կողմից 1987 թվականին կատարված փոքր ուղղմամբ)։ Տարիների ընթացքում ապացույցների տարբեր մասերի համար հայտնաբերվել են ոչ թվային մեթոդներ, որոնք օգնել են Միխայիլ Լյուբիչին ստեղծել առաջին ամբողջական ոչ թվային ապացույցը:

## Այլ արժեքներ
Լոգիստիկ քարտեզում ժամանակահատված-3 պատուհանը նույնպես անցնում է ժամանակահատվածի կրկնապատկման ուղով դեպի քաոս՝ հասնելով քաոսի մոտ r = 3.854 077 963 591\dots արժեքի դեպքում։ Այս հատվածն ունի իր սեփական երկու Ֆեյգենբաումի հաստատունները՝ \delta = 55.26, \alpha = 9.277։

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
* Feigenbaum Constant – from Wolfram MathWorld
* 
* 
* 
* Feigenbaum constant  – PlanetMath

* Julia notebook for calculating Feigenbaum constant
* 
* 
* Alligood, Kathleen T., Tim D. Sauer, James A. Yorke, *Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Textbooks in mathematical sciences* Springer, 1996, 
* 
* 
* 

Կատեգորիա:1975 գիտությունում
Կատեգորիա:Դինամիկ համակարգեր
Կատեգորիա:Իռացիոնալ թվեր
Կատեգորիա:Հաստատուններ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական հաստատուններ