Կարտոֆիլի պարադոքս

մինի|425x425փքս|Կարտոֆիլի պարադոքսի պատկերում. կապույտ քառակուսիները ներկայացնում են ջրի 99 մասը, իսկ նարնջագույնը ներկայացնում է չոր նյութի 1 մասը (ձախ նկար): Չոր նյութի և ջրի հարաբերակցությունը 1:49 հասցնելու համար ջրի քանակը կրճատվում է մինչև 49, որպեսզի պահպանվի չոր նյութի նույն քանակությունը (միջին ցուցանիշ): Սա համարժեք է չոր մասի կոնցենտրացիայի կրկնապատկմանը (աջ կողմում գտնվող նկարը)
**Կարտոֆիլի պարադոքս**, մաթեմատիկական հաշվարկի օրինակ, որի արդյունքը հակասում է ինտուիցիային։ Այս պարադոքսը ներառում է կարտոֆիլի չորացումը աննշան թվացող քանակով, սակայն զանգվածի փոփոխության հաշվարկից հետո պարզվում է, որ այն ավելի մեծ է, քան ինտուիտիվորեն սպասվում էր։

## Նկարագրություն
Պարադոքսը ձևակերպված է հետևյալ կերպ.
: «Կա 100 կգ կարտոֆիլ, որի քաշի 99 տոկոսը ջուր է։ Կարտոֆիլը չորանում է մինչև 98 տոկոս ջրի պարունակությունը։ Որքա՞ն է այժմ կարտոֆիլի զանգվածը»։

Դեյվիդ Դարլինգի The Universal Book of Mathematics-ը խնդիրը սահմանում է հետևյալ կերպ.
: «Ֆրեդը տուն է բերում 100 ֆունտ կարտոֆիլ, որը (լինելով կատարյալ մաթեմատիկական կարտոֆիլ) 99 տոկոսով ջուր է։ Նա թողնում է դրանք դրսում, որպեսզի չորանան ամբողջ գիշեր, ինչից հետո դրանցում ջրի պարունակությունը դառնում է 98 տոկոս։ Որքա՞ն նրանց նոր քաշը։ Անսպասելի պատասխան՝ 50 ֆունտ»

Քուայնի պարադոքսների դասակարգման մեջ կարտոֆիլի պարադոքսը դասակարգվում է որպես «արժանահավատ»։

## Պարզ բացատրություններ
մինի|Իրականում սպիտակ կարտոֆիլը պարունակում է մոտ 79 % ջուր: 99 % ջուր պարունակում է, օրինակ, ագար-ագարը:
### Մեթոդ 1
Բացատրություններից մեկն սկսվում է նրանից, որ սկզբնական շրջանում չոր նյութի զանգվածը 1 կգ է, որը կազմում է 100 կգ-ի 1 %-ը։ Հետո հարց է տրվում՝ 1 կգ-ը քանի՞ կգ-ի 2 %-ն է։ Որպեսզի այս համամասնությունը կրկնակի մեծ դառնա, ընդհանուր զանգվածը պետք է լինի երկու անգամ քիչ։

### Մեթոդ 2
100 կգ կարտոֆիլ, 99 % ջուր (ըստ զանգվածի), նշանակում է 99 կգ ջուր և 1 կգ պինդ նյութ։ Այս հարաբերակցությունը 1:99 է:

Եթե ջրի քանակը կրճատվում է մինչև 98 %, չոր նյութը կազմում է քաշի 2 %-ը: 2:98 հարաբերակցությունը կրճատվում է 1:49-ի: Քանի որ չոր նյութը դեռ կշռում է 1 կգ, ջուրը պետք է կշռի 49 կգ, այսինքն՝ ընդհանուր զանգվածը պետք է կլինի 50 կգ։

## Հանրահաշվի միջոցով բացատրություններ
### Մեթոդ 1
Ջրի գոլորշիացումից հետո մնացած ընդհանուր x զանգվածը պարունակում է 1 կգ մաքուր կարտոֆիլ և (98/100)x ջուր։ Սա արտահայտվում է հետևյալ հավասարման մեջ.

: \begin{align}
  1 + \frac{98}{100}x &= x \\
    \Longrightarrow 1 &= \frac{1}{50}x
\end{align}

որի լուծումը տալիս է x = 50 կգ։

### Մեթոդ 2
Թարմ կարտոֆիլի ջրի զանգվածը կազմում է 0{,}99 \cdot 100:

Եթե x-ը կարտոֆիլի չորացման ժամանակ կորցրած ջրի զանգվածն է, ապա  0{,}98(100 - x)-ը  չորացրած կարտոֆիլի ջրի քաշն է։ Ահա.

: 0{,}99 \cdot 100 - 0{,}98(100 - x) = x

Փակագծերի բացում և պարզեցում.

: \begin{align}
  99 - (98 - 0{,}98x) &= x \\
    99 - 98 + 0{,}98x &= x \\
          1 + 0{,}98x &= x
\end{align}

Յուրաքանչյուր կողմում հանելով x բազմապատկիչ.

: \begin{align}
  1 + 0{,}98x - 0{,}98x &= x - 0{,}98x \\
                  1 &= 0{,}02x
\end{align}

Եվ լուծումը.

: \frac{1}{0{,}02} = \frac{0{,}02x}{0{,}02}

Ստացվում է կորցրած ջրի զանգվածը.

: 50 = x

Եվ չորացրած կարտոֆիլի զանգվածը.

: 100 - x = 100 - 50 = 50 

## Հետևանք
Պատասխանը պահպանվում է չոր նյութի մասնաբաժնի ցանկացած կրկնապատկման դեպքում։ Օրինակ, եթե կարտոֆիլն ի սկզբանե պարունակում է 99,999 % ջուր, ապա այդ տոկոսը մինչև 99,998 % նվազեցնելը ևս պահանջում է զանգվածի կրկնակի կրճատում։

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
* 

Կատեգորիա:Մաթեմատիկական պարադոքսներ