Բոլցմանի հավասարում

**Բոլցմանի հավասարումը** կամ **Բոլցմանի կինետիկական հավասարումը** կինետիկական երևույթների, մասնավորապես՝ անհավասարակշիռ վիճակագրական մեխանիկայի ամենահիմնարար հավասարումներից մեկն է։ Այն ստացվել է 1872 թվականին ավստրիացի ֆիզիկոս Լյուդվիգ Բոլցմանի կողմից և կրում է վերջինիս անունը։

Բոլցմանի հավասարմամբ տրվում է համակարգի մասնիկների բաշխման ֆունկցիայի ժամանակային փոփոխությունը։ Այն իրենից ներկայացնում է մասնակի ածանցյալներով գծային ստոխաստիկ դիֆերենցիալ հավասարում։

Հավասարումը նախապես ստացվել է նոսր գազերի համար, սակայն ունի կիրառելիության բավականին լայն սահմաններ և ընկած է մի շարք ֆիզիկական երևույթների դասական ու քվազիդասական նկարագրության հիմքում։

## Ընդհանուր պատկերացումներ

### Փուլային տարածություն։ Բաշխման ֆունկցիա
Ներմուծենք **r**(*x, y, z*) դեկարտյան կոորդինատների և **v**(*v<sub>x</sub>, v<sub>y</sub>, v<sub>z</sub>*) արագությունների 6-չափանի փուլային տարածություն, որը հաճախ անվանում են նաև μ-տարածություն։ Փուլային տարածության (**r**, **v**) կետի շուրջ ծավալի տարրը կլինի՝

d\mathbf{r}\, d\mathbf{v} = dx\, dy\, dz\, dv_x\, dv_y\, dv_z :

f(**r**, **v**, *t*) **միամասնիկային բաշխման ֆունկցիան** սահմանվում է հետևյալ կերպ՝

f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t)d\mathbf{r}\, d\mathbf{v}=dN, 

որտեղ dN-ը ժամանակի *t* պահին d**r**d**v** փուլային ծավալում եղած մասնիկների թիվն է։ Իսկ մասնիկների N լրիվ թիվը կլինի՝

N=\int d\mathbf{r}d\mathbf{v}f (\mathbf{r}, \mathbf{v}, t):
Այստեղ ինտեգրումը կատարվում է ըստ ողջ փուլային տարածության։

Միամասնիկային բաշխման ֆունկցիայի և **N-մասնիկային** ρ(**r**1, **v**1, ..., **r**N, **v**N, *t*) **բաշխման ֆունկցիայի** միջև կապը տրվում է հետևյալ կերպ՝

f(\mathbf{r}_1, \mathbf{v}_1, t)=N\int d\mathbf{r}_2d\mathbf{v}_2...\int d\mathbf{r}_N, d\mathbf{v}_N\rho(\mathbf{r}_1, \mathbf{v}_1, ..., \mathbf{r}_N, \mathbf{v}_N, t):

### Բաշխման ֆունկցիայի ժամանակային փոփոխությունը
Փուլային տարածության (**r**, **v**) կետում բաշխման ֆունկցիայի ժամանակային \partial f/\partial t փոփոխությունը պայմանավորված է տվյալ կետի շուրջ ծավալի տարրում եղած մասնիկների թվի փոփոխությամբ, ինչը կարող է տեղի ունենալ հետևյալ պատճառներով՝ մասնիկների դիֆուզիայի, արտաքին ուժերի ազդեցությամբ տարածական տեղաշարժի և մասնիկների ցրումների։ Ասվածը ճիշտ է, եթե մասնիկների ընդհանուր քանակը մնում է հաստատուն։ Ընդհանուր դեպքում, օրինակ՝ կիսահաղորդիչներում ազատ լիցքակիրների բաշխումը դիտարկելիս, պետք է հաշվի առնել նաև լիցքակիրների գեներացիան և ռեկոմբինացիան։ Գեներացիոն-ռեկոմբինացիոն պրոցեսների բնութագրական ժամանակը մասնիկների ազատ վազքի ժամանակից շատ անգամ մեծ է, հետևաբար, լիցքակիրների ցրման խնդիրները քննարկելիս կարելի է համարել, որ ցրումը տեղի է ունենում լիցքակիրների անփոփոխ կոնցենտրացիայի պայմանում և գեներացիոն-ռեկոմբինացիոն երևույթների ներդրումը կարելի է անտեսել։

Այսպիսով, բաշխման ֆունկցիայի ժամանակային փոփոխությունը (փոփոխման արագությունը) ֆորմալ ձևով կարելի է ներկայացնել այսպես՝

\frac{\partial f}{\partial t} = \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_\mathrm{force} + \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_\mathrm{diff}+ \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_\mathrm{coll}:

Այստեղ հավասարման աջ մասի անդամները ֆորմալ ձևով ներկայացնում են համապատասխանաբար արտաքին ուժերի ազդեցությունը, դիֆուզիան և ցրումները։

## Բոլցմանի հավասարման պարզ ստացումը
Հավասարումը Բոլցմանի կողմից ստացվել է բազմամասնիկային համակարգի (միաատոմային նոսր գազի) մասնիկների միջև ցրման երևույթների վերլուծության միջոցով։ Այստեղ հակիրճ կներկայացնենք հիմնական մոտեցումը։

Դիտարկենք ժամանակային d*t* տեղաշարժի ազդեցությունը f(**r**, **v**, *t*) բաշխման ֆունկցիայի վրա։ Ցրումների բացակայության դեպքում, համաձայն Լիուվիլիի թեորեմի, ունենք՝

f(\mathbf{r}+d\mathbf{r}, \mathbf{v}+d\mathbf{v}, t+dt)=f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t):

Ցրումները ներառելու դեպքում այս հավասարությունը կխախտվի՝

f(\mathbf{r}+d\mathbf{r}, \mathbf{v}+d\mathbf{v}, t+dt)-f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t)=dt\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_\mathrm{coll}:

Հավասարման ձախ մասի առաջին անդամը վերլուծելով շարքի ըստ d**r**, d**v**, d*t* -ի աստիճանների, և սահմանափակվելով առաջին կարգի անդամներով, կստանանք՝

dt\frac{\partial f}{\partial t} + d\mathbf{r} \cdot \nabla _\mathbf{r} f + d\mathbf{v} \cdot \nabla _\mathbf{v} f=dt\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_\mathrm{coll}, 

որտեղ

\nabla _\mathbf{r} \equiv (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}),  \nabla _\mathbf{v} \equiv (\frac{\partial}{\partial v_x}, \frac{\partial}{\partial v_y}, \frac{\partial}{\partial v_z}):

Այնուհետև, տեղադրելով

{d\mathbf{r} \over dt} = \mathbf{v}, {d\mathbf{v} \over dt} = \mathbf{a}, \mathbf{F}=m\mathbf{a}, 

վերջնականապես ստացվում է՝

\left[\frac{\partial }{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla _\mathbf{r} + {1 \over m} \mathbf{F} \cdot \nabla _\mathbf{v}\right]f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_\mathrm{coll}:

Սա էլ հենց Բոլցմանի հավասարման ընդհանուր տեսքն է։ Այստեղ **F**-ը համակարգի վրա ազդող արտաքին ուժն է, իսկ m-ը՝ մասնիկների զանգվածը։

Հավասարման աջ մասի անդամը ֆորմալ ձևով ներկայացնում է ցրումները։ Այն անվանում են **ցրումների անդամ** կամ **ցրումների ինտեգրալ** և երբեմն նշանակում *J(f)*-ով։

## Ռելաքսացիայի ժամանակի մոտավորություն
Բոլցմանի հավասարումը լուծելու համար պետք է մանրամասն վերլուծել ցրումների անդամը, ինչն ընդհանուր դեպքում բավականին բարդ խնդիր է։ Պետք է հաշվի առնել ցրման մեխանիզմը, մասնիկների միջև փոխազդեցության բնույթը և այլն։ Այն տրվում է ցրման հավանականությունների ինտեգրալային արտահայտությամբ (այստեղից էլ ցրման ինտեգրալ անունը)։ Ցրման հավանականության որոշումը հանգում է մաքուր քվանտային խնդրի, իսկ Բոլցմանի հավասարումը վերածվում է ինտեգրալադիֆերենցիալ հավասարման։ Այս պատճառով Բոլցմանի հավասարումը լուծվում է միայն հստակ դեպքերի համար։

Արտաքին ազդեցութունների բացակայության և ջերմային հավասարակշռության պայմաններում Բոլցմանի հավասարման ձախ մասը հավասարվում է զրոյի, հետևաբար այս դեպքում ցրումների ինտեգրալը զրո է։ Այս պայմանը կոչվում է մանրամասն հավասարակշռության սկզբունք։ Տվյալ դեպքում հավասարման լուծումը հավասարակշիռ բաշխման ֆունկցիան է։ Վերջինս նշանակենք f0-ով։ Այն իրենից ներկայացնում է Մաքսվել-Բոլցմանի կամ Ֆերմի-Դիրակի բաշխման ֆունկցիան։

Հավասարակշռության վիճակից փոքր շեղումների դեպքում f անհավասարակշիռ բաշխման ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել

f=f_0 + f_1

ձևով, որտեղ f1-ը ներկայացնում է շեղումը հավասարակշռության վիճակից՝

 f_1 \ll f_0 :

Ցրման երևույթները քննարկելիս խնդիրների մեծամասնության դեպքում մասնիկների միջև ցրումները կարելի է համարել առաձգական կամ քվազիառաձգական։ Կինետիկական երևույթների տեսությունում ցույց է տրվում, որ այդ դեպքում ցրումների ինտեգրալը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ՝

J(f)=-\frac{f-f_0}{\tau}=-\frac{f_1}{\tau}, 

որտեղ τ գործակիցը կոչվում է ռելաքսացիայի ժամանակ։ Վերջինս ցույց է տալիս այն ժամանակամիջոցը, որի ընթացքում անհավասարակշիռ համակարգը արտաքին աազդեցությունները վերացնելուց հետո անցնում է հավասարակշիռ վիճակի։

Ռելաքսացիայի ժամանակը կախված է մասնիկների արագությունից (էներգիայից), հետևաբար՝ արտաքին ազդեցությունից։ Սակայն արտաքին թույլ ազդեցությունների դեպքում կարելի է համարել, որ այն կախված չէ արտաքին ազդեցությունից և որոշվում է միայն ցրման մեխանիզմով։ Ռելաքսացիայի ժամանակը մեծ մասամբ ազատ վազքի ժամանակի կարգի մեծություն է։

Վերը նշված մոտեցումը կոչվում է **ռելաքսացիայի ժամանակի մոտավորություն**, իսկ Բոլցմանի հավասարումը ներկայացվում է հետևյալ կերպ՝

\left[\frac{\partial }{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla _\mathbf{r} + {1 \over m} \mathbf{F} \cdot \nabla _\mathbf{v}\right]f = -\frac{f-f_0}{\tau}:

Ռելաքսացիայի ժամանակի մոտավորությունը զգալիորեն հեշտացնում է Բոլցմանի հավասարման լուծումը։

## Կիրառելիության սահմանները

Բոլցմանի հավասարումն իր օրիգինալ տարբերակով մաքուր դասական հավասարում է։ Պայմանավորված քվանտային երևույթներով՝ հավասարման կիրառելիության վրա դրվում են մի շարք սահմանափակումենր։

Հավասարումը կիրառելի է այն դեպքում, երբ մասնիկների դը Բրոյլի ալիքի երկարությունները շատ ավելի փոքր են ազատ վազքի երկարությունից (ունենք դասական պատկեր), իսկ մասնիկի ցրման տևողությունը շատ ավելի փոքր է ազատ վազքի ժամանակից։ Համարվում է նաև, որ համակարգի խտությունը շատ մեծ չէ՝ այնպես, որ կարելի է անտեսել միաժամանակ երկուսից ավել մասնիկների միմյանց հետ ցրվելու հավանականությունը։

Սահմանափակում է դրվում նաև արտաքին ազդեցությունների (դաշտերի) վրա, մասնավորապես՝ համարվում է, որ արտաքին ուժերի ազդեցությամբ մասնիկի էներգիայի փոփոխության չափը փոքր է հավասարակշռության վիճակում ունեցած էներգիայից։ Օրինակ՝ արտաքին մագնիսական դաշտը համարվում է ոչ քվանտացնող։

## Բոլցմանի հավասարման ընդլայնված տարբերակները

Բազմամասնիկային համակարգերում ցրման երևույթների մանրամասն վերլուծության շնորհիվ 1940-ականներին Բոգոլյուբովը, Բորնը, Գրինը, Կիրկվուդը և Իվոնը ստեղծեցին, այսպես կոչված, **ԲԲԳԿԻ հավասարումների հիերարխիան** (շարքը)՝ 1, 2, ..., N-մասնիկային բաշխաման ֆունկցիաների համար։

Բոլցմանի հավասարումն իր համապատասխան ընդլայնված տարբերակներն ունի ինչպես Հարաբերականության տեսությունում (Բոլցմանի ռելյատիվիստական հավասարում), այնպես էլ քվանտային մեխանիկայում։ Քվանտային երևույթների մասնակի ներառման դեպքում Բոլցմանի հավասարումը վերածվում է Բոլցմանի քվազիդասական հավասարման։ Բացի այս, դաշտի քվանտային տեսությունում գոյություն ունի, այսպես կոչված, Բոլցմանի էֆեկտիվ հավասարումը։

## Գրականություն
# Franz Schwabl, *Statistical Mechanics*, 2-nd ed., Springer, 2006
# C. Kittel, *Elementary Statistical Physics*, John Wiley & Sons, Inc., 1958
# А.П. Крюков, *Элементы Физической Кинетики*, Москва, Издательство МЭИ, 1995

Կատեգորիա:Վիճակագրական մեխանիկա
Կատեգորիա:Պինդ մարմնի ֆիզիկա
Կատեգորիա:Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ