Ցուցչային ֆունկցիա

**Ցուցչային ֆունկցիա**,f(x)=a^x տեսքի մաթեմատիկական ֆունկցիա է, որտեղ a-ն կոչվում է ցուցչի հիմք, իսկ x-ը՝ ցուցչի աստիճան։
* Իրական դեպքում ցուցչի a հիմքը որոշակի ոչբացասական իրական թիվ է, իսկ ֆունկցիայի արգումենտը հանդիսանում է իրական ցուցչի աստիճան։ 
* Կոմպլեքս ֆունկցիաների տեսությունում դիտարկվում է առավել ընդհանուր դեպք, երբ արգումենտը և աստիճանի ցուցիչը կարող են լինել կամայական կոմպլեքս թիվ։
* Առավել ընդհանուր տեսքով՝ u^v, մտցվել է Լեյբնիցի կողմից 1695 թվականին։
Հատուկ առանձնացվում է այն դեպքը, երբ որպես աստիճանի հիմք հանդես է գալիս e թիվը։ Այդպիսի ֆունկցիան կոչվում է էքսպոնենտային (իրական կամ կոմպլեքս)։

## Իրական ֆունկցիա
### Ցուցչային ֆունկցիայի սահմանումը
Դիցուք a-ն ոչբացասական իրական թիվ է, իսկ x-ը ռացիոնալ թիվ՝ \frac{m}{n}։ Այդ դեպքում a^x-ը որոշվում է հետևյալ կանոններով՝
* Եթե x>0, ապա a^x= \sqrt[n]{a^m} ։
* Եթե x=0 և a \neq 0  , ապա a^x=1։
* 0^0 -ի արժեքը որոշված չէ։
* Եթե x և a>0 , ապաa^x=\frac{1}{a^}։
* a^x-ի արժեքը x, a=0-ի դեպքում որոշված չէ։
Ցանկացած x իրական ցուցչի դեպքում a^x-ը կարելի է որոշել որպես a^{r_n} հաջորդականության սահման, որտեղ  r_n-ը x-ին ձգտող ռացիոնալ թիվ է։ Էքսպոնենտայի համար գոյություն ունեն նաև այլ սահմանում սահմանի օգնությամբ, օրինակ՝

e^x=\lim_{n \rightarrow  \infty} \left ( 1+\frac{x}{n} \right )^n։
### Հատկություններ
250px|մինի|Ցուցչային ֆունկցիայի գրաֆիկը
* a^0=1 
* a^{x+y}=a^x \cdot a^y 
* (a^x)^y=a^{xy} 
* (ab)^x=a^x b^x
Օգտագործելով \ln x բնական լոգարիթմի ֆունկցիան, կարելի է ցուցչային ֆունկցիան արտահայտել կամայական դրական հիմքով էքսպոնենտայի միջոցով՝

a^x=e^{x \cdot \ln a}։

Այս կապը հնարավորություն է տալիս սահմանափակվել էքսպոնենտայի հատկության ուսումնասիրմամբ։
Անալիտիկ հատկություններ՝

\frac{d}{dx}a^x = (\ln a) a^x.

Մասնավորապես՝

\frac{d}{dx}e^x=e^x
}=\frac{\lim_{u \rightarrow 0} \cdot 1}{\lim_{u \rightarrow 0}}
\ln(u+1)^{\frac{1}{u}}=\frac{1}{\ln \lim_{u \rightarrow 0}(u+1)^\frac{1}{u}}=\frac{1}{\ln e}=1

III. \frac{d}{dx}a^x=\frac{d}{dx}(e^{\ln a})^x=\frac{d}{dx}e^{x \cdot \ln a}= e^{x \ln a} \cdot \ln a=a^x \cdot \ln a

Ինչ որ պահանջվում էր ապացուցելու։
 }}
Շարքի վերածում՝ e^x= \sum^{ \infty}_{n=1} \frac{x^n}{n!} =1+x+ \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}+ ...
### Ասիմպտոտիկա
Ցուցչային ֆունկցիան աճում է դեպի անվերջություն ցանկացած աստիճանային ֆունկցիայից արագ՝

\lim_{x \rightarrow \infty}\frac {x^n}{a^x}=0

Աճի արագ տեմպը կարող է նկարագրվել, օրինակ, թղթերը միմյանց վրա դնելու խնդրի օրինակով։

## Կոմպլեքս ֆունկցիա
Կոմպլեքս հարթության վրա էքսպոնենտայի ընդլայնման համար որոշենք այն նույն շարքի օգնությամբ, փոխարինելով իրական արգումենտը կոմպլեքսով՝
 
e^z=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+...

Այդ ֆունկցիան ունի նույն հիմնական հանրահաշվական և անալիտիկ հատկությունները, ինչ որ իրականը։e^{ix}շարքում առանձնացնելով իրական մասը կեղծից, մենք ստանում ենք հանրահայտ Էյլերի բանաձևը՝

e^{ix}=\cos x + i \sin x

Այսպիսով, կոմպլեքս էքսպոնենտան պարբերական է կեղծ առանցքի շուրջ։
Ցուցչային ֆունկցիան կամայական կոմպլեքս հիմքով և աստիճանի ցուցչով հեշտ է հաշվել կոմպլեքս էքսպոնենտայի և կոմպլեքս լոգարիթմի օգնությամբ։

Օրինակ՝ i^i=e^{i \ln (i)}, քանի որ \ln(i)=i\frac{\pi}{2}(լոգարիթմի հիմնական արժեքը), վերջապես ստանում ենք՝

i^i=e^{i\frac{i \pi}{2}}=e^{-\frac{\pi}{2}}։

## Տես նաև
* Աստիճանի բարձրացում
* Աստիճանային ֆունկցիա
* Էքսպոնենտային ֆունկցիա

## Գրականություն
* Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.։ ФИЗМАТЛИТ, 2001. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2.

Կատեգորիա:Տարրական ֆունկցիաներ
Կատեգորիա:Անալիտիկ ֆունկցիաներ