Գնդոլորտային սեգմենտ

thumb|Գնդոլորտային սեգմենտի օրինակ (ներկված է կապույտ գույնով): Երկրորդ մասը նույնպես իրենից սեգմենտ է ներկայացնում։
**Գնդոլորտային սեգմենտ**, մակերևույթ, որևէ հարթությունով հատված գնդոլորտի մաս։ Հարթությունը գունդը բաժանում է 2 սեգմենտի։ Փոքրը կոչվում է գնդոլորտային շրջան։ Եթե հարթությունը անցնում է գնդի կենտրոնով, ապա այդպիսի գնդային սեգմենտները կոչվում են կիսագնդեր։

Գնդային սեգմենտը, հիմք հանդիսացող շրջանով և գնդոլորտային սեգմենտով սահմանափակված մարմին է։

## Մակերևույթի մակերես և [[ծավալ]]
Եթե սեգմենտի հիմքի շառավիղը հավասար է a, բարձրությունը h, ապա գնդային սեգմենտի ծավալը հավասար է.

:V = \frac{\pi h}{6} (3a^2 + h^2),

սեգմենտի մակերևույթի մակերեսը հավասար է․

:A = 2 \pi r h

կամ
:A=2 \pi r^2 (1-\cos \theta).

a, h և  r պարամետրերը կապված են հետևյալ բանաձևերով․

:r^2 = (r-h)^2 + a^2 = r^2 +h^2 -2rh +a^2,
:r = \frac {a^2 + h^2}{2h}.

Վերջին արտահայտությունը տեղադրելով երկրորդ հավասարման մեջ, կստանանք․

:A = 2 \pi \frac{(a^2 + h^2)}{2h} h = \pi (a^2 + h^2).

Գնդի վերին (նկարում կապույտ) մասում  h = r - \sqrt{r^2 - a^2}, ներքին մասում  h = r + \sqrt{r^2 - a^2}, հետևապես, երկու մասերի համար էլ ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը․  a = \sqrt{h(2r-h)} և կարելի է ուրիշ ծավալի բանաձև բերել․

:V = \frac {\pi h^2}{3} (3r-h).

կամ պտտման մակերևութի ինտեգրման միջոցով․

:V = \int_x^r \pi \left(r^2-x^2\right) dx = \pi \left(\frac{2}{3} r^3-r^2 x+\frac{1}{3} x^3\right) = \frac{\pi}{3} r^3 (\cos(\theta)+2) (\cos(\theta)-1)^2.

## Օգտագործումը
### Երկու հատվող գնդոլորտների հատում և միավորում
 և  ծավալներով երկու գնդոլորտների միավորված ծավալը․

: V = V^{(1)}-V^{(2)},

որտեղ

:V^{(1)} = \frac{4\pi}{3}r_1^3 +\frac{4\pi}{3}r_2^3

Հանդիսանում է 2 առանձին ծավալների գումարը․

:V^{(2)} = \frac{\pi h_1^2}{3}(3r_1-h_1)+\frac{\pi h_2^2}{3}(3r_2-h_2)

Եթե   գնդերի կենտրոնների հեռավորությունն է, ապա   և  մեծությունների բացառումը բերում է

:V^{(2)} = \frac{\pi}{12d}(r_1+r_2-d)^2 \left( d^2+2d(r_1+r_2)-3(r_1-r_2)^2 \right)&nbsp;արտահայտությանը։

### Հավասար լայնության շրջաններով սահմանափակված մակերևույթի մակերես
Հավասար լայնության շրջաններով սահմանափակված մակերևույթի մակերեսը հանդիսանում է 2 համապատասխան գնդոլորտների սեգմենտների մակերեսների տարբերությունը։ *r*  շառավղով գնդոլորտի և  *&phi;*1 և *&phi;*2  լայնությունների համար, մակերեսը հավասար է։

:A=2 \pi r^2 |\sin \phi_1 - \sin \phi_2|.

## Ընդհանրացում
### Հիպերգնդոլորտի սեգմենտ
n-աչափ հիպերգնդոլորտի ծավալը, h բարձրությամբ r շառավղով n-աչափ էվկլիդեսյան տարածությունում որոշվում է․
:V = \frac{\pi ^ {\frac{n-1}{2}}\, r^{n}}{\,\Gamma \left ( \frac{n+1}{2} \right )} \int\limits_{0}^{\arccos\left(\frac{r-h}{r}\right)}\sin^n (t) \,\mathrm{d}t

որտեղ՝  \Gamma (գամմա ֆունկցիա) տրվում է   \Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t արտահայտությամբ։

Մակերևույթի A մակերեսի բանաձևը կարող է գրվել n-աչափ գնդի մակերևույթի մակերեսի տերմիններով։

A_{n}={2\pi^{n/2}/\Gamma[\frac{n}{2}]}

:A =\frac{1}{2}A_{n} \, r^{n-1} I_{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n-1}{2}, \frac{1}{2} \right),

որտեղ  0\le h\le r .

Ճիշտ են նաև հետևյալ բանաձևերը․ A=A_n p_ { n-2 } (q), V=V_n p_n (q) , որտեղ  q= 1-h/r (0 \le q \le 1 ),     p_n (q) =(1-G_n(q)/G_n(1))/2  ,

 G _n(q)= \int \limits_{0}^{q} (1-t^2) ^ { (n-1) /2 } dt .

 n=2k+1  դեպքում

 G_n(q) = \sum_{i=0}^k (-1) ^i \binom k i \frac {q^{2i+1}}  {2i+1} .

Ցույց է տրվում, որ      n  \to \infty    և q\sqrt n = \text{const }դեպքում․  p_n (q) \to   1- F({q \sqrt n})   ։

## Գրականություն
* 

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Գնդային մակերևույթներ
Կատեգորիա:Երկրաչափական մարմիններ
Կատեգորիա:Երկրաչափական պատկերներ
Կատեգորիա:Մակերևույթներ