Կլայն-Գորդոնի հավասարում

**Կլայն-Գորդոնի հավասարում** (երբեմն՝ **Կլայն-Ֆոկ-Գորդոնի հավասարում** կամ **Կլայն-Գորդոն-Ֆոկի հավասարում**,Կլայն-Ֆոկի հավասարում), Շրյոդինգերի հավասարման ռելյատիվիստական տարբերակը։
: 
\partial^2_x \psi + \partial^2_y \psi + \partial^2_z \psi - {1\over c^2}\partial^2_t \psi - {m^2 c^2\over \hbar^2} \psi = 0
,

Կամ, բնական միավորներով (որտեղ \hbar=c=1)՝

: 
(\square\ - m^2) \psi = 0
,

որտեղ \square\ -ը դ’Ալամբերի օպերատորն է։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կիրառվում է զանգված ունեցող (հանգստի զանգված) արագ շարժվող մասնիկների համար։ Կիրառելի է սկալյար զանգվածեղ դաշտերի դեպքում։ Կարող է ընդհանրացվել ամբողջ և կիսաամբողջ սպիներով մասնիկների համար։
Բացի այդ, պարզ է, որ այս հավասարումը ալիքային հավասարման ընդհանրացումն է՝ պիտանի զանգված չունեցող սկալյար և վեկտրական դաշտերի նկարագրման համար։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումով նկարագրվող մեխանիկական համակարգերը (իրական կամ երևակայական) կարող են լինել ալիքային հավասարումով նկարագրվող համակարգերի ձևափոխություններ, օրինակ.

* Միաչափ դեպքում՝ առաձգական (Հուկի) տակդիրին ամրացված ձգված ծանր լար։
* Մակրոսկոպիկորեն իզոտրոպ բյուրեղ, որի յուրաքանչյուր ատոմը գտնվում է, բացի հարևան ատոմների հետ կապից, նաև տարածության մեջ ֆիքսված քառակուսի պոտենցիալ փոսում։
* Իրական բյուրեղների դեպքում ավելի իրատեսական է դիտարկել լայնական տատանումների մոդերը, որոնց դեպքում, օրինակ, ատոմների հարևան շերտերը տատանվում են հակափուլով։ Այդպիսի մոդերը (գծային մոտավորությամբ) ենթարկվում են Կլայն-Գորդոնի երկչափ հավասարմանը, որտեղ կոորդինատները շերտերի հարթությունում են։ 
Հավասարումը, որտեղ վերջին («զանգվածեղ») անդամն ունի սովորականին հակառակ նշան, տեսական ֆիզիկայում նկարագրում է տախիոն։ Հավասարման այսպիսի տարբերակը թույլ է տալիս պարզա մեխանիկական իրագործում։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումն ազատ մասնիկի համար (վերը բերված դեպքը) պարզ լուծում ունի սինուսոիդային հարթ ալիքների տեսքով։

* Դիտողություն. Տարածական ածանցյալները տեղադրելով զրո (ինչը քվանտային մեխանիկայում համապատասխանում է մասնիկի զրո իմպուլսին), Կլայն-Գորդոնի սովորական հավասարման համար կունենանք \pm mc^2 / \hbar հաճախությամբ հարմոնիկ տատանակ, ինչը համապատասխանում է մասնիկի m զանգվածով որոշվող, հանգստի ոչ զրոյական էներգիային։ Հավասարման տախիոնային տարբերակն այդ դեպքում կայուն չէ, իսկ լուծումն ընդհանուր դեպքում ներառում է անսահմանափակ աճող էքսպոնենտ։

## Պատմություն
Կլայն-Գորդոնի հավասարումը սկզբում, մինչև իր ոչ ռելյատիվիստական հավասարումը գրելը, գրել է Էրվին Շրյոդինգերը։ Շրյոդինգերը հրաժարվում է այդ հավասարումից, քանի որ չի կարողանում էլեկտրոնի սպինը ընդգրկել դրա մեջ ։ Պարզեցնելով Կլայն-Գորդոնի հավասարումը՝ Շրյոդինգերը գրում է «իր» հավասարումը։

1926 թ., Շրյոդինգերի հավասարման հրապարակումից հետո, Ֆոկը հոդված է գրում մագնիսական դաշտերի դեպքում դրա ընդհանրացման մասին, որտեղ ուժերը կախված են արագությունից, և Շրյոդինգերից անկախ արտածում է այդ հավասարումը։ Ե՛վ Օսկար Կլայնը (նրա աշխատանքը ավելի շուտ է ստեղծվել, բայց հրատարակվել է Ֆոկի հոդվածից հետո), և՛ Վլադիմիր Ֆոկը կիրառել են Կալուցի-Կլայնի մեթոդը։ Ֆոկը նաև ներմուծել է տրամաչափային տեսություն ալիքային հավասարման համար։

Գորդոնի հոդվածը (1926 թ. վերջին) նվիրված էր Քոմփթոնի էֆեկտին։

## Արտածում
Ազատ մասնիկի էներգիայի ոչ ռելյատիվիստական հավասարումը հետևյալն է՝
:\frac{\mathbf{p}^2}{2 m} = E։

Քվանտացնելով սա, ստանում ենք Շրյոդինգերի ոչ ռելյատիվիստական հավասարումն ազատ մասնիկի համար՝
:\frac{\mathbf{\hat{p}}^2}{2m} \psi = \hat{E}\psi,
որտեղ 
:\mathbf{\hat{p}} =-i \hbar \mathbf{\nabla}
մեծությունը իմպուլսի օպերատորն է, -ով նշանակված է նաբլա օպերատորը, իսկ 
:\hat{E}=i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t}

իսկ էներգիայի օպերատորն է։

Շրյադինդերի հավասարումը ռելյատիվիստիկորեն կովարիանտ չէ, այսինքն՝ այն հաշվի չի առնում Այնշտայնի հատուկ հարաբերականությունը։

Էներգիան հատուկ հարաբերականությունից՝
:\sqrt{\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4} = E

Կիրառելով դա և տեղադրելով իմպուլսի և էներգիայի քվանտամեխանիկական օպերատորները, կստանանք

: \sqrt{(-i\hbar\mathbf{\nabla})^2 c^2 + m^2 c^4} \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi 

հավասարումը։

Այս արտահայտության հետ աշխատելը աննպատակահարմար է արմատի առկայության պատճառով։ Ուստի Կլայնը և Գորդոնը գործածել են քառակուսի բարձրացրած մեծությունը՝
:\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4 = E^2,

որը, քվանտացվելով, տալիս է 
: \left ((-i\hbar\mathbf{\nabla})^2 c^2 + m^2 c^4 \right ) \psi = \left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \right)^2 \psi ։

Վերջինս հնարավոր է պարզեցնել՝
: - \hbar^2 c^2 \mathbf{\nabla}^2 \psi + m^2 c^4 \psi = - \hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi ։

Վերախմբավորելով անդամները՝ ստանում ենք
: \frac {1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi - \mathbf{\nabla}^2 \psi + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0 ։

Այս հավասարումը հնարավոր է կիրառել ինչպես իրական, այնպես էլ՝ կեղծ արժեքներով դաշտերի համար։

Կիրառելով Մինկովսկու մետրիկական ինվերսիան , ստանում ենք
: - \eta^{\mu \nu} \partial_{\mu} \partial_{\nu} \psi + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0

կովարիանտ նշանակումներով։ Սա հաճախ կրճատ գրվում է որպես
:(\Box + \mu^2) \psi = 0,

որտեղ

: \mu = \frac{mc}{\hbar}

և

: \Box = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2։

Սա կոչվում է դ'Ալամբերի օպերատոր։

Այս ձևով այն այսօր մեկնաբանվում է որպես ռելյատիվիստական դաշտի հավասարում 0 սպինով մասնիկների համար։ Ավելին, Դիրակի հավասարման ցանկացած լուծում (կիսաամբողջ սպինով մասնիկների համար) ինքնաբերաբար Կլայն-Գորդոնի հավասարման լուծում է հանդիսանում, չնայած Կլայն-Գորդոնի հավասարման ոչ բոլոր լուծումներն են Դիրակի հավասարման լուծում։ Պետք է նշել, որ Կլայն-Գորդոնի հավասարումը շատ նման է Պրոկի հավասարմանը։

### Կլայն-Գորդոնի հավասարումը պոտենցիալային դաշտի համար
Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կարելի է ընդհանրացնել՝ նկարագրելով որևէ  պոտենցիալով դաշտը որպես

:\Box \psi + \frac{\partial{}V}{\partial \psi} = 0։

## Կլայն-Գորդոնի հավասարման լուծումն ազատ մասնիկի համար
Ազատ մասնիկի համար Կլայն-Գորդոնի

: \mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi
= \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi

հավասարման լուծումը կարելի է փնտրել, ինչպես հաստատուն գործակիցներով ցանկացած գծային դիֆերենցիալ հավասարման համար հարթ ալիքների վերադրման (այսինքն՝ ցանկացած վերջավոր կամ անվերջ գծային կոմբինացիայի) տեսքով՝

: \psi(\mathbf{r},\; t) =
e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)},

այդպիսի ամեն ալիք տեղադրելով հավասարման մեջ, ստանում ենք պայման \mathbf k-ի և \omega-ի համար.

: -k^2+\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}։

Ինչպես հեշտ է նկատել, հարթ ալիքը նկարագրում է որոշակի էներգիայիով և իմպուլսով մաքուր վիճակ (այսինքն, համապատասխան օպերատորների սեփական ֆունկցիա է)։ Էներգիան և իմպուլսը (այսինքն, այդ օպերատորների սեփական արժեքները), կարելի է հաշվել, ինչպես ոչ ռելյատիվիստական մասնիկի համար.

: 
\langle\mathbf{p}\rangle=
\langle \psi |\hat{\mathbf{p}}|\psi\rangle =
\langle \psi |-i\hbar\mathbf{\nabla}|\psi\rangle = \hbar\mathbf{k}


: 
\langle E\rangle=
\langle \psi |\hat{E}|\psi\rangle =
\langle \psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hbar\omega
։

Գտնված k և \omega առնչությունը այդ դեպքում նորից տալիս է ոչ զրոյական զանգվածով ռելյատիվիստական մասնիկի էներգիայի և իմպուլսի միջև կապի հավասարումը.

: \langle E^2 \rangle=m^2c^4+\langle \mathbf{p}^2 \rangle c^2։

Ընդ որում պարզ է, որ միջին մեծությունների համար առնչությունը կիրակականա ոչ միայն որոշակի էներգիայով և իմպուլսով վիճակների համար, այլև նրանց ցանկացած վերադրման, այսինքն Կլայն-Գորդոնի հավասարման ցանկացած լուծման համար (ինչը, մասնավորապես, ապահովում է այդ առնչության իրականացումը դասական սահմանում)։

Զանգված չունեցող մասնիկների համար կարող ենք վերջին հավասարման մեջ տեղադրել m=0։ Այդ դեպքում զանգված չունեցող մասնիկների համար կստանանք դիսպերսիայի օրենքը (էներգիայի և իմպուլսի առնչությունը)

: \langle E^2 \rangle=\langle \mathbf{p}^2 \rangle c^2

տեսքով։ Կիրառելով խմբային արագության  \mathbf{v}_{gr} = \partial \omega / \partial \mathbf{k}\  բանաձևը դժվար չէ ստանալ էներգիան և իմպուլսը արագության հետ կապող սովորական ռելյատիվիստական բանաձևեր. սկզբունքորեն այդ նույն արդյունքին կարելի է հասնել՝ պարզապես հաշվելով համիլտոնյանի կոմուտատորը կոորդինատի հետ, բայց Կլայն-Գորդոնի դեպքում բախվում ենք համիլտոնյանը բացահայտ տեսքով գրելու դժվարությանը (ակնհայտ է միայն համիլտոնյանի քառակուսին)։

## Գործողություն
Կլայն-Գորդոնի հավասարումը հնարավոր է ներկայացնել վարիացիաների եղանակով՝ գործողությունը ներկայացնելով որպես
:\mathcal{S} = \int \left( - \frac{\hbar^2}{m} \eta^{\mu \nu} \partial_{\mu}\bar\psi \partial_{\nu}\psi - m c^2 \bar\psi \psi \right) \mathrm{d}^4 x ,

որտեղ -ն Կլայն-Գորդոնի դաշտն է, -ը՝ դրա զանգվածը։  -ի կոմպլեքս համալուծը  \bar\psi է։ Եթե սկալյար դաշտը իրական արժեքով է ընտրվում, ապա \bar\psi=\psi։
Կիրառելով հիլբերտյան էներգիայի և իմպուլսի թենզորը Լագրանժյան խտության (ինտեգրալի մեծությունը) հանդեպ, կարող ենք արտածել սկալյար դաշտի էներգիայի և իմպուլսի թենզորը։ Այն կլինի
:T^{\mu\nu} = \frac{\hbar^2}{m} \left (\eta^{\mu \alpha} \eta^{\nu \beta} + \eta^{\mu \beta} \eta^{\nu \alpha} - \eta^{\mu\nu} \eta^{\alpha \beta} \right ) \partial_{\alpha}\bar\psi \partial_{\beta}\psi - \eta^{\mu\nu} m c^2 \bar\psi \psi ։

## Էլեկտրամագնիսական փոխազդեցություն
Տրամաչափային ինվարիանտի ճանապարհով որևէ դաշտ էլեկտրամագնիսականության հետ փոխազդեցության մեջ դնելու համար պետք է ածանցյալի օպերատորները փոխարինել տրամաչափային կովարիանտ ածանցյալի օպերատորներով։ Այս դեպքում Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կդառնա

:D_\mu D^\mu \phi = -(\partial_t - ie A_0)^2 \phi + (\partial_i - ie A_i)^2 \phi = m^2 \phi

բնական միավորներով, որտեղ -ն վեկտորական պոտենցիալն է։ Հնարավոր է ավելացնել ավելի բարձր կարգով անդամներ, օրինակ

:D_\mu D^\mu\phi + A F^{\mu\nu} D_\mu \phi D_\nu (D_\alpha D^\alpha \phi) =0։
Այս անդամները 3+1 չափողականություններում չեն վերանորմավորվում։

Դաշտի հավասարումը լիցքավորված սկալյար դաշտի համար բազմապատկվում է -ով, ինչը նշանակում է, որ դաշտը կոմպլեքս է։ Լիցքավորված լինելու համար դաշտը պետք է ունենա երկու բաղադրիչներ՝ իրական և կեղծ մասեր, որոնք շրջելի են մեկը մյուսի հանդեպ։

Լիցքավորված սկալյարի համար գործողությունը չլիցքավորված սկալյարի կովարիանտ տարբերակն է՝

:S= \int_x \left (\partial_\mu \phi^* + ie A_\mu \phi^* \right ) \left (\partial_\nu \phi - ie A_\nu\phi \right )\eta^{\mu\nu} = \int_x |D \phi|^2։

## Գրավիտացիոն փոխազդեցություն
Ընդհանուր հարաբերականության մեջ ներառելով գրավիտացիայի էֆեկտը՝ Կլայն-Գորդոնի հավասարման համար կունենանք (մետրիկ սիգնատուրով)

:\begin{align}
0 & = - g^{\mu \nu} \nabla_{\mu} \nabla_{\nu} \psi + \dfrac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = - g^{\mu \nu} \nabla_{\mu} (\partial_{\nu} \psi) + \dfrac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi \\
& = - g^{\mu \nu} \partial_{\mu} \partial_{\nu} \psi + g^{\mu \nu} \Gamma^{\sigma}{}_{\mu \nu} \partial_{\sigma} \psi + \dfrac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi
\end{align}

կամ դրա համարժեքը՝

:\frac{-1}{\sqrt{-g}} \partial_{\mu} \left ( g^{\mu \nu} \sqrt{-g} \partial_{\nu} \psi \right ) + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0,

որտեղ *g*-ն մետրիկ թենզորի ինվերսիան է, այսինքն՝ գրավիտացիոն պոտենցիալ դաշտը, *g*-ն մետրիկ թենզորի դետերմինանտն է, -ն  կովարիանտ ածանցյալն է, -ն՝ Քրիստոֆելի սիմվոլը, այսինքն՝ գրավիտացիոն ուժային դաշտը։

## Տես նաև
*Դիրակի հավասարում
*Շրյոդինգերի հավասարում
*Մաքսվելի հավասարումներ
*Դաշտի քվանտային տեսություն

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), [www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/k055480 "Klein–Gordon equation"], Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
* Weisstein, Eric W., "Klein–Gordon equation", MathWorld.
* Linear Klein–Gordon Equation at EqWorld։ The World of Mathematical Equations.
* Nonlinear Klein–Gordon Equation at EqWorld։ The World of Mathematical Equations.
* Introduction to nonlocal equations.

Կատեգորիա:Տարրական մասնիկների ֆիզիկա
Կատեգորիա:Դաշտի քվանտային տեսություն
Կատեգորիա:Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ
Կատեգորիա:Ալիքային տեսություն
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական ֆիզիկա