Վեկտորային ֆունկցիա

**Վեկտորային ֆունկցիա**, ֆունկցիա, որի արժեքները վեկտորներ են երկու, երեք կամ ավելի չափանի \mathbb V վեկտորական տարածության մեջ։ Ֆունկցիայի արգումենտները կարող են լինել՝
*մեկ սկալյար փոփոխական․ այդ դեպքում վեկտորային ֆունկցիայի արժեքները \mathbb V-ում որոշում են որոշակի կոր,
* *m* սկալյար փոփոխականներ․ այդ դեպքում վեկտորային ֆունկցիայի արժեքները \mathbb V-ում ձևավորում են, ընդհանուր առմամբ, *m*-չափանի մակերևույթ,
* վեկտորային փոփոխական․ այդ դեպքում վեկտորային ֆունկցիան սովորաբար դիտվում է որպես վեկտորային դաշտ \mathbb V-ում։

## Մեկ սկալյար փոփոխականի վեկտորային ֆունկցիա

Պարզության համար հետագայում կսահմանափակվենք եռաչափ տարածության դեպքով, թեև ընդհանուր դեպքի ընդլայնումը դժվար չէ: Մեկ սկալյար փոփոխականի վեկտորային ֆունկցիա \mathbf{r}(t)-ն ցույց է տալիս իրական թվերի որոշակի տիրույթ t_1 \leqslant t \leqslant t_2 տարածական վեկտորների բազմության մեջ (ինտերվալը կարող է լինել նաև անսահման):

Ընտրելով կոորդինատների միավորի վեկտորները \mathbf}, \mathbf}, \mathbf}, մենք կարող ենք վեկտորային ֆունկցիան բաժանել երեք *կոորդինատային ֆունկցիաների* *x* ( *t* ), *y* ( *t* ), *z* ( *t* ):
: \mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf}+y(t)\mathbf}+z(t)\mathbf}
Որպես շառավիղ–վեկտորներ, վեկտորային ֆունկցիայի արժեքները տարածության մեջ կազմում են որոշակի կոր, որի համար *t-*ն պարամետր է:

### Վեկտորային ֆունկցիայի սահմանը
Վեկտորային ֆունկցիա \mathbf{r}(t) սահման ունի \mathbf{r_0} երբ t \to t_0 (կամ երբ t \to \infty ), Եթե
: \lim_{t \to t_0}|\mathbf{r}(t) - \mathbf{r_0}| = 0  \quad (\lim_{t \to \infty}|\mathbf{r}(t) - \mathbf{r_0}| = 0)
մինի|306x306փքս|վեկտորային ֆունկցիայի սահման
(այսուհետ |\mathbf{v}| նշանակում է  \mathbf{v} վեկտորի մոդուլ)։ Այս սահմանը կարող է վերաշարադրվել առանցմոդուլի։
: \lim_{t \to t_0}\mathbf{r}(t) = \mathbf{r_0} \quad (\lim_{t \to \infty}\mathbf{r}(t) = \mathbf{r_0})
Այլ կերպ ասած, սա նշանակում է, որ երկրաչափական փոփոխական վեկտորը \mathbf{r}(t) երբ t \to t_0 ձգտում է հաստատուն \mathbf{r_0} վեկտորի երկարությամբ և ուղղությամբ :

Ընտրենք ֆիքսված կետ O, որի մեջ տեղադրում ենք փոփոխական վեկտորի սկիզբը \mathbf{r}(t) = \overrightarrow{OR}(t) (տես նկարը աջ կողմում): Այն դեպքում, երբ t \to t_0 շարժվող վերջը R փոփոխական վեկտոր \overrightarrow{OR}(t) ձգտում է ֆիքսված կետի R_0–ի, ֆիքսված վեկտոր \overrightarrow{OR_0} = \mathbf{r_0} կա փոփոխական վեկտորի սահման \overrightarrow{OR}(t) = \mathbf{r}(t)։ Վեկտորային տարբերությունը՝ \mathbf{r}(t) - \mathbf{r_0}   իրենից ներկայացնում է \overrightarrow{R_0R}(t), իսկ վերջինիս մոդուլը անվերջ փոքր է :

Այն դեպքում, երբ վեկտորային ֆունկցիայի մոդուլը |\mathbf{r}(t)| անվերջ փոքր է, իսկ \mathbf{r} վեկտորը կոչվում է անվերջ փոքր։

Վեկտորային ֆունկցիայի ***անընդհատությունը***  որոշվում է այնպես, ինչպես սովորական սկալյար ֆունկցիայի անընդհատությունը (այսինքն՝ հետևյալ կերպ  
: \mathbf{r}(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\mathbf{r}(t + \Delta t))
այս դեպքում վեկտորի ֆունկցիայի անընդհատությունը կարող է հստակ արտահայտվել որպես նրա հոդոգրաֆի հոծ գիծ։ Վեկտորային ֆունկցիա \mathbf{r}(t) անընդհատ (վեկտորային) ֆունկցիան է t արգումենտից կախված այն և միայն այն դեպքում, եթե վեկտորի կոորդինատները նույնպես անընդհատ (սկալյար) ֆունկցիաներ են t–ից կախված  .

Վեկտորային ֆունկցիայի սահմանն ունի սովորական հատկություններ
* Վեկտորային ֆունկցիաների գումարի սահմանը հավասար է գումարելիների  սահմանների գումարին (ենթադրելով, որ դրանք կան)։
* Վեկտորային ֆունկցիաների սկալյար արտադրյալի սահմանը հավասար է արտադրիչների սահմանների սկալյար արտադրյալին։
* Վեկտորային ֆունկցիաների վեկտորական արտադրյալի սահմանը հավասար է արտադրիչների սահմանների վեկտորային արտադրյալին։

### Վեկտորային ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ պարամետրի

Սահմանենք վեկտորային ֆունկցիայի \mathbf{r}(t) ածանցյալը  ըստ պարամետրի
: \frac{d}{dt}\mathbf{r}(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h}.
Եթե ածանցյալը t կետում գոյություն ունի, ասվում է, որ վեկտորային ֆունկցիան այս կետում դիֆերենցելի է: Ածանցյալի համար կոորդինատային ֆունկցիաները կլինեն x'(t),\ y'(t),\ z'(t)։

Վեկտորային ֆունկցիայի ածանցյալի հատկությունները (ենթադրվում է, որ ածանցյալներ գոյություն ունեն)։
* \frac{d}{dt} (\mathbf{r_1}(t)+\mathbf{r_2}(t))=\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}+\frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt} —  գումարի ածանցյալը ածանցյալների գումարն է
* \frac{d}{dt} (f(t)\mathbf{r}(t))=\frac{df(t)}{dt}\mathbf{r}(t) + f(t)\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} —  այստեղ f(t)-ն դիֆերենցելի սկալյար ֆունկցիա է:
* \frac{d}{dt} (\mathbf{r_1}(t)\mathbf{r_2}(t))=\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}\mathbf{r_2}(t) + \mathbf{r_1}(t)\frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt} —  սկալյար արտադրյալի դիֆերենցումը
* \frac{d}{dt} [\mathbf{r_1}(t)\mathbf{r_2}(t)]=\left [\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}\mathbf{r_2}(t)\right ] + \left [\mathbf{r_1}(t) \frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}\right] — վեկտորային արտադրյալի դիֆերենցումը
* \frac{d}{dt} (\mathbf{a}(t),\mathbf{b}(t),\mathbf{c}(t))=\left (\frac{d\mathbf{a}(t)}{dt},\mathbf{b}(t),\mathbf{c}(t)\right) + \left (\mathbf{a}(t),\frac{d\mathbf{b}(t)}{dt},\mathbf{c}(t)\right) + \left (\mathbf{a}(t), \mathbf{b}(t), \frac{d\mathbf{c}(t)}{dt}\right) — խառը արտադրյալի դիֆերենցումը

## Մի քանի սկալյար փոփոխականների վեկտորային ֆունկցիա

Պարզության համար մենք կսահմանափակվենք եռաչափ տարածության մեջ երկու փոփոխականի դեպքով: Վեկտորային ֆունկցիայի արժեքներ \mathbf{r}(u, v) (դրանց հոդոգրաֆը ) ընդհանուր առմամբ ձևավորում է երկչափ մակերևույթ, որի վրա *u, v* արգումենտները կարող են դիտվել որպես մակերևույթի կետերի ներքին կոորդինատներ։

\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v) հավասարումը կոորդինատներուվ ունի հետևյալ ձևը
: x = x(u,\ v);\ y = y(u,\ v);\ z = z(u,\ v)
մինի|Կոորդինատային ցանց գնդի վրա
Մեկ փոփոխականի դեպքում մենք կարող ենք սահմանել վեկտորային ֆունկցիայի ածանցյալները, որոնցից այժմ կլինեն երկուսը՝ \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}։ Մակերեւույթի մի հատվածը կլինի չվերասեռված (այսինքն, մեր դեպքում, երկչափ), եթե դրա վրա \left[\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}\right] չի դառնում նույնաբար զրո։

Այս մակերևույթի վրա հարմար է կորեր սահմանել հետևյալ ձևով՝
: u = u(t);\ v = v(t),
որտեղ *t-ն* կորի պարամետրն է: u(t),\ v(t) ենթադրվում է, որ դրանք դիֆերենցելի են, և դիտարկվող շրջանում դրանց ածանցյալները չպետք է միաժամանակ դառնան զրո: Հատուկ դեր են խաղում **կոորդինատային գծերը**, որոնք մակերևույթի վրա կազմում են կոորդինատային ցանց։
: u = t;\ v = const — առաջին կոորդինատային գիծն է
: u = const;\ v = t — երկրորդ կոորդինատային գիծն է
Եթե մակերույթի վրա հատուկ կետեր չկան ( \left[\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}\right] ոչ մի տեղ չի դառնում զրո), ապա մակերևույթի յուրաքանչյուր կետով անցնում են ուղիղ երկու կոորդինատային գիծ:

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին աղբյուրներ
* 
* 
* 
* 

Կատեգորիա:Վեկտորական անալիզ
Կատեգորիա:Ֆունկցիաների տեսակներ
Կատեգորիա:Վեկտորներ
Կատեգորիա:Գծային հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Ֆունկցիա