Գնդային ֆունկցիաներ

**Գնդային ֆունկցիաներ,** ներկայացնում են Լապլասի հավասարման օրթոգոնալ լուծումների խմբի անկյունային մասը, արձանագրված գնդային կոորդինատներում։ Դրանք լայնորեն օգտագործվում են տիեզերական տարածքներում ֆիզիկական երևույթների ուսումնասիրման համար, որոնք սահմանափակվում են գնդային մակերեսներով և գնդային սիմետրիա ունեցող ֆիզիկական խնդիրների լուծման ժամանակ։ Գնդային ֆունկցիաները մեծ նշանակություն ունեն տեսության մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումների և տեսական ֆիզիկայի, մասնավորապես, ատոմների էլեկտրոնային ուղեծրերի հաշվարկման խնդիրների, գեոիդների գրավիտացիոն դաշտի, մոլորակների մագնիսական դաշտի և մնացորդային ճառագայթման ինտենսիվության հաշվարկների համար։

## Սահմանում
աջից|շրջափակել|Իրական գնդային ֆունկցիան Y<sub>lm</sub>, ''l''=0…4 (վերևից ներքև), ''m''=0…4 (ձախից աջ).
**Գնդային ֆունկցիաներ** հանդիսանում է գնդային կոորդինատային համակարգի Լապլասի օպերատորի սեփական ֆունկցիա (նշանակվում է Y_{l}^m(\theta, \varphi))։ Նրանք կազմում են երկչափ գնդային ֆունկցիայի հարթությունում օրթոնորմավորված համակարգ․

: \langle Y_{l}^m; Y_{l}^m \rangle = \iint |Y_{l}^m|^2 \sin{\theta}\,d\theta\,d\varphi = 1
: \langle Y_{l}^m; Y_{l'}^{m'} \rangle = \int\limits_0^{2 \pi} \int\limits_0^{\pi} Y_{l'}^{m'*} Y_{l}^{m} \sin{\theta}\,d\theta \,d\varphi = \delta_{l l'} \delta_{m m'},

որտեղ * նշանակում է կոմպլեքս զուգակցում, \delta_{l l'} -Կրոնեկերի նշան։

Գնդային ֆունկցիան ունի Y_{l}^m= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i m \varphi} \Theta_{l m}(\theta), տեսքը․

որտեղ \Theta_{l m}(\theta) ֆունկցիան հանդիսանումէ հավասարման արմատ

և ունի հետևյալ տեսքը․

: \Theta_{l}^m = \sqrt{\frac{2l+1}{2} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P^m_l (\cos\theta)

Այստեղ P^m_l (\cos\theta) -Լեժանդրի միավորված բազմանդամներն են, իսկ m! -ֆակտորիալը։

Լեժանդրի բացասական m ունեցող միավորված բազմանդամները գրառվում են․

:  P_{\ell}^{-m}(x)=(-1)^{m} \frac{(\ell-m) !}{(\ell+m) !} P_{\ell}^{m}(x) 

Լապլասի հավասարման լուծումը գնդաձև համակարգերում ունի այսպես կոչված գնդային գործառույթ, որը ձեռք է բերվում գնդաձև ֆունկցիայի բազմապատկմամբ շառավղային հավասարման լուծման վրա։

## Իրական ձև
alt=|աջից|500x500փքս
Գնդային ֆունկցիաների համար անկյունից կախվածության ձևը \varphi կոմպլեքս էքսպոնենտ է։ Օգտագործելով Էյլերի բանաձևը, կարելի է մուտքագրել իրական գնդաձև ֆունկցիաները։

Երբեմն դրանք ավելի հարմար է օգտագործել պայմանավորված նրանով, որ իրական գործառույթները կարող են ավելի տեսանելի ցուցադրվել, ի տարբերություն բարդի։

: 
\begin{align}
Y_{\ell m} &=
\begin{cases}
\displaystyle {i \over \sqrt{2}} \left(Y_\ell^{m} - (-1)^m\, Y_\ell^{-m}\right) & \text{ }\ m0.
\end{cases}\\
&=
\begin{cases}
\displaystyle \sqrt{2} \, (-1)^m \, \operatorname{Im}[{Y_\ell^}] & \text{ }\ m0.
\end{cases}
\end{align}


Հակառակ ձևափոխությունը․

: 
Y_{\ell}^{m} =
\begin{cases}
\displaystyle {1 \over \sqrt{2}} \left(Y_{\ell |m|} - i Y_{\ell,-|m|}\right) & \text{ }\ m0.
\end{cases}


Երբեմն իրական գնդաձև ֆունկցիաները անվանում են տարածքային, տեսերալ և սեկտորային։

*m*&nbsp;>&nbsp;0 ֆունկցիաները կախված են անկյան կոսինուսից, իսկ  *m*&nbsp;
Y_{\ell m} =
\begin{cases}
 \displaystyle (-1)^m\sqrt{2} \sqrt \ 
 P_\ell^(\cos \theta) \ \sin( |m|\varphi )  
 &\mbox{ } m0 \,.
\end{cases}


## Պտույտներ
alt=|աջից|500x500փքս
Ուումնասիրենք Էյլերի  \alpha, \beta, \gamma,  անկյամբ պտտված \mathcal R կոորդինատային համակարգը, որը ձևափոխում է \mathbf r միավոր վեկտորը {\mathbf r}'-ի։ Ընդ որում, նոր կոորդինատային համակարգում  {\mathbf r}' վեկտրի   \theta', \varphi'  անկյունները արտահայտվում են հետևյալ եղանակով․

: 
\cos \theta^{\prime}=\cos \theta \cos \beta+\sin \theta \sin \beta \cos (\varphi-\alpha)
 
:   
\operatorname{ctg}\left(\varphi^{\prime}+\gamma\right)=\operatorname{ctg}(\varphi-\alpha) \cos \beta-\frac{\operatorname{ctg} \theta \sin \beta}{\sin (\varphi-\alpha)}


Նոր կոորդինատային համակարգում \ell և m գործակցով գնդային ֆունկցիան ներկայանալի է դառնալու նույն \ell գործակցով, բայց տարբեր m-ով գծային կոմբինացիայի տեսքով։ Գծային կոմբինացիայում կոմպլեքս զուգակցվում են D-Վագների մատրիցաները;

: 
\hat{D}(\alpha, \beta, \gamma) Y_{l}^m(\theta, \varphi)=Y_\ell^m(\theta', \varphi') = \sum_{m' = -\ell}^\ell [D^{(\ell)}_{mm'}(\alpha, \beta, \gamma)]^* Y_\ell^{m'}(\theta, \varphi),


## Հարթ ալիքի տարալուծումը գնդային ֆունկցիաներով
Կոմպլեք էքսպոնենտը կարող է ներկայացվել՝ ըստ գնդային ֆունկցիաների, տարալուծման տեսքով

: 
e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}=4 \pi \sum_{l=0}^{\infty} i^{l} j_{l}(k r) \sum_{m=-l}^{l} Y_{l }^{m*}\left(\frac{\mathbf{r}}\right) Y_{l}^m\left(\frac{\mathbf{k}}\right)


Այստեղ  j_{n}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2 x}} J_{n+\frac{1}{2}}(x) - Բեսելի գնդային ֆունկցիան է։

## Տես նաև

* Գնդային ֆունկցիաների ցանկը

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն

* Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика|1989}-математические дополнения

## Հավելվածներ

* SHTOOLS: Fortran 95 software archive
* HEALPIX: Fortran 90 and C++ software archive
* SpherePack: Fortran 77 software archive 
* SpharmonicKit: C software archive
* Frederik J Simons: Matlab software archive
* NFFT: C subroutine library (fast spherical Fourier transform for arbitrary nodes)
* Shansyn: spherical harmonics package for GMT/netcdf grd files 
* SHAPE: Spherical HArmonic Parameterization Explorer

## Արտաքին հղումներ

* Spherical harmonics applied to Acoustic Field analysis on Trinnov Audio’s research page
* Spherical Harmonics by Stephen Wolfram and Nodal Domains of Spherical Harmonics by Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project
* An accessible introduction to spherical harmonics (by J. B. Calvert)
* Spherical harmonics entry at Citizendium

Կատեգորիա:Դիֆերենցիալ հավասարումներ
Կատեգորիա:Հարմոնիկ անալիզ
Կատեգորիա:Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ