Կոշի-Ադամարի թեորեմ

**Կոշի-Ադամարի թեորեմ** (նաեւ, **Ադամարի թեորեմը աստիճանային շարքերի մասին**),  պնդում, որը գնահատում է աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը որոշ դեպքերում։ Անվանակոչվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ Կոշիի եւ Ադամարի պատվին։ Թեորեմն առաջին անգամ հրապարակել է Կոշին, 1821 թվականին, սակայն այն աննկատ է մնացել մինչեւ Ադամարի վերահայտնաբերումը։ Ադամարն իր արդյունքները հրապարակել է 1888 թվականին։ Նա թեորեմը ներառել է 1892 թվականի իր դոկտորական դիսերտացիայում։

## Ձեւակերպումը
Դիցուք, \sum_{\nu = 0}^{+\infty}a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu} - ը R զուգամիտության շառավղով աստիճանային շարք է։ Այդ դեպքում՝

(\alpha) եթե \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty}\sqrt[\nu] վերին սահմանը գոյություն ունի եւ դրական է, ապա R = \frac{1}{\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]};

(\beta) եթե \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu] = 0, ապա R = +\infty;

(\gamma) եթե \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]վերին սահմանը գոյություն չունի, ապա R = 0:

## Ապացույց
(\alpha) Դիցուք, \lambda = \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]\in (0; +\infty).

Եթե z \in \mathbb C այնպիսի կետ է, որ |z-z_{0}| , ապա  \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty}\sqrt[\nu]  եւ հնարավոր է գտնել այնպիսի q  թիվ, որ գրեթե բոլոր \nu-երի համար տեղի ունենա \sqrt[\nu]  անհավասարությունը։ Այստեղից հետեւում է, որ \sum_{\nu = 0}^{+\infty}q^{\nu} երկրաչափական պրոգրեսիան \sum_{\nu = 0}^{+\infty}|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}| շարքի զուգամետ վերին սահման է, այսինքն՝ R=\frac{1}{\lambda}:

Հակառակ դեպքում, այսինքն եթե z \in \mathbb C բավարարում է  |z-z_{0}| > \frac{1}{\lambda}պայմանին, ապա \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty}(\sqrt[\nu]\cdot|z-z_{0}|)>1 եւ անվերջ թվով  \nu համարների համար տեղի կունենա    |a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}| \geqslant 1 անհավասարությունը։ Հետեւաբար, \sum_{\nu = 0}^{+\infty}|a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}| շարքը  z կետում տարամետ է, քանի որ նրա անդամները չեն ձգտում զրոյի։

(\beta) Դիցուք, \lambda = \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu] = 0: Այս դեպքում ցանկացած  z \in \mathbb C-ի համար \sqrt[\nu]  հաջորդականությունը զուգամիտում է զրոյի։  Այդ իսկ պատճառով, եթե ընտրենք q=q(z) \in (0; 1) թիվ, ապա գրեթե բոլոր \nu համարների համար տեղի կունենա |a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}| անհավասարությունը, որտեղից, ինչպես եւ (\alpha) դեպքում, հետեւում է շարքի զուգամիտությունը z կետում։ Ֆորմալ՝ R = \frac{1}{+0}= +\infty:

(\gamma) \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu] վերին սահմանը \mathbb R - ում գոյություն չունի (այսինքն,  ֆորմալ՝ \lambda = \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]=+\infty \in \overline{\mathbb R}) այն եւ միայն այն դեպքում, երբ \sqrt[\nu] հաջորդականությունը վերեւից սահմանափակ չէ։ Եթե z \neq z_{0}, ապա անսահմանափակ է նաեւ\sqrt[\nu]  հաջորդականությունը: Հետեւաբար՝ \sum_{\nu = 0}^{+\infty}a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}  շարքը z \neq z_{0} կետում տարամետ է։ Հարկ է նշել, որ z = z_{0} դեպքում \sum_{\nu = 0}^{+\infty}a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu} շարքը զուգամիտում է a_{0}-ի։  Վերջնական՝ R=0 (այսինքն, ֆորմալ՝ R = \frac{1}{+\infty}= +0, փաստացի՝ R = \varliminf\limits_{\nu\to+\infty} \frac{1}{\sqrt[\nu] }=0):

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* Գրաուերտ Գ., Լիբ Ի., Ֆիշեր Վ. Դիֆֆերենցիալ եւ ինտեգրալային հաշվարկներ, Մ., Мир, 1971

Կատեգորիա:Կոմպլեքս անալիզ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզի թեորեմներ
Կատեգորիա:Շարքեր