Գումար (մաթեմատիկա)

thumb|150x150px|Հունարենի մեծատառ սիգմա, գումարի պայմանական նշան|alt=
**Գումար** (-ամբողջը, ընդհանուր քանակ) մաթեմատիկայում դա թվային մեծությունների (թվեր, ֆունկցիաներ, վեկտորներ, մատրիցներ) գումարման արդյունքն է։ Բոլոր դեպքերի համար ընդհանուր է բաշխումը և զուգորդությունը։

: a + b = b + a
: a + (b + c) = (a + b) + c
: (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c
: c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b

Բազմությունների տեսությունում գումար կամ միավորում կոչվում է բազմությունը, որի անդամ են հանդիսանում միավորվող բազմություններին պատկանող և չկրկնվող բոլոր տարրերը։ Կարող է լինել նաև ավելի բարդ հանրահաշվական կառուցվածքների գումար, օրինակ՝ գծային տարածությունների, իդեալների գումար, կատեգորիաների գումար և այլն։

## [[Թվաբանություն|Թվաբանական]] գումար
Դիցուք՝  \Nբազմությունն ունի a անդամ, որոնք կազմում են  A ենթաբազմությունը և  b անդամները, որոնք կազմում են B ենթաբազմությունը (A \subset \N, B \subset \N, a և b - բնական թվեր են)։ Այդ դեպքում a+b թվաբանական գումարը կլինի c անդամների քանակը, որոնք կազմում են C\subset \N ենթաբազմությունը, որն առաջանում է  սկզբնական ենթաբազմությունների միավորումից  C=A \sqcup B։

## [[Հանրահաշվական գործողություններ|Հանրահաշվական]] գումար
Մաթեմատիկորեն գումարը նշանակում են հունարեն մեծատար Σ *(սիգմա)․*

: \sum_{i \mathop =m}^n a_i = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} +\cdots+ a_{n-1} + a_n

որտեղ․ *i* - գումարման ինդեքսն է, *a<sub>i</sub>* - փոփոխականն է, ցույց է տալիս յուրաքանչյուր անդամը, *m* - գումարման ներքին սահմանը, *n* -գումարման վերին սահմանը։  Նշանի տակ գրված *«i = m»* նշանակում է, որ *i* -ի սկզբնական արժեքը համարժեք է *m -*ին։ Այս գրառումից հետևում է,որ  *i* -ի արժեքը մեծանում է մեկով և կանգ կառնի, երբ **.։

Ծրագրավորման մեջ տվյալ գործողությանը համապատասխանում է- for.

; Գրառման օրինակներ

: \sum_{i \mathop =1}^{100}i=1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100
: \sum_{i \mathop =3}^6 i^2 = 3^2+4^2+5^2+6^2 = 86

Սահմանների նշումը կարելի է չանել,եթե գրառումից պարզ է։
: \sum a_i^2 = \sum_{ i \mathop =1}^n a_i^2

Տվյալ միջակայքի բոլոր բնական  k թվերի գումարը գրառվում է․
: \sum_{0\le k

S բազմության xանդամների f(x)գումարը 
: \sum_{x \mathop \in S} f(x)

d թվի բաժանարար հանդիսացող n թվերի \mu(d) գումար։ 
: \sum_{d|n}\;\mu(d)

Մի քանի սիմվոլներ կարող են ընդհանրացնել․
: \sum_{\ell,\ell'} = \sum_\ell\sum_{\ell'}

### Անվերջ գումար
Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ որոշվում է շարքի հասկացությունը, որպես անվերջ թվով գումարելիների գումարը։

#### Օրինակ
1. Թվաբանական պրոգրեսիայի գումար․

: \sum_{i=0}^n(a_0+b\cdot i) = (n+1)\frac{a_0+a_n}{2}
  
2. Երկրաչափական պրոգրեսիայի գումար․

: \sum_{i=0}^na_0\cdot b^i = a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}
  
3. \sum \limits_{k=1}^n k^3=\left [\frac{n(n+1)}{2} \right ]^2=\left (\sum \limits_{k=1}^n  k \right )^2
  
4. \sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right), \quad p \neq 1, n \ge 0
} = 1\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{p}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{p}} = \frac{\frac{p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac{p-1}{p}} = \frac{p^{n+1}-1}{p^n(p-1)} = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right)
}}
  
5. \sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^2}, \quad p \ne 1
{1-p} \Rightarrow \sum_{i=0}^nip^i = 
\frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}
}}
  
6. \sum_{i=0}^np^i = (p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i) + n + 1, \quad p \ne 1
{1-p}-\frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}\right)+n+1 =
:=\frac{np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}=
:=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}=\sum_{i=0}^np^i
}}

::: Հարկ է նշել,որ   p = 10\  դեպքում \sum_{i=0}^n10^i = 9\cdot\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)10^i) + n +1, շարքը հավասարություն է, որ ունի հետևյալ տեսքը․1 = 9\cdot 0 + 1,\quad 11 = 9\cdot 1 + 2,\quad 111 = 9 \cdot 12 + 3,\quad 1111 = 9 \cdot 123 + 4,\quad 11111 = 9 \cdot 1234 + 5

### Անորոշ գումար
Անորոշ գումար a_i ըստ i կոչվում է f(i)ֆունկցիան, նշանակվում է \sum_{i}^{} a_i,
что  \forall i: f(i+1) - f(i) = a_{i}.

### [[Իսահակ Նյուտոն|Նյուտոն]]-[[Գոթֆրիդ Լայբնից|Լայբնիցի]] բանաձև
Եթե գտնվել է անորոշ գումար\sum_{i}^{} a_i = f(i), ապա  \sum_{i=a}^b a_i = f(b+1), f(a).

## Տես նաև
*Գումարում
*Արտադրյալ

## Ծանոթագրություն

## Գրականություն
*

Կատեգորիա:Տարրական մաթեմատիկա