Իրական փոփոխականի ֆունկցիա

**Իրական փոփոխականի ֆունկցիա**, մաթեմատիկական անալիզում, ինչպես նաև երկրաչափության, կիրառական մաթեմատիկայի, ճարտարագիտության և բնական գիտությունների ոլորտներում հայտնի ֆունկցիա, որի որոշման տիրույթը իրական թվերի՝ \mathbb{R} բազմությունն է, կամ \mathbb{R}-ի որևէ ենթաբազմություն, որը պարունակում է դրական երկարությամբ որևէ միջակայք։ Նման ֆունկցիաների մեծ մասը, որոնք ուսումնասիրվում են, ածանցելի են որոշակի միջակայքում։ Լայնորեն դիտարկվող նման ֆունկցիաներ են իրական ֆունկցիաները, որոնք իրական արժեք ունեցող ֆունկցիաներ են, այսինքն՝ այն ֆունկցիաները, որոնց արժեքների տիրույթը իրական թվերի բազմությունն է։

Այնուամենայնիվ, իրական փոփոխականի ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը կարող է լինել ցանկացած բազմություն։ Բայց հաճախ ենթադրվում է, որ այն իրական թվերի վրա ունի \mathbb{R}-վեկտորական տարածության կառուցվածք։ Այսինքն՝ արժեքների տիրույթը կարող է լինել էվկլիդյան տարածություն, կոորդինատային վեկտոր, տրված չափսի իրական թվերի մատրիցների բազմություն կամ R-հանրահաշիվ, ինչպիսիք են կոմպլեքս թվերը կամ քվատերնիոնները։ Արժեքների տիրույթի \mathbb{R}-վեկտորական տարածության կառուցվածքը ֆունկցիաների վրա առաջացնում է \mathbb{R}-վեկտորական տարածության կառուցվածք։ Եթե արժեքների տիրույթը ունի \mathbb{R}-հանրահաշվի կառուցվածք, ապա նույնը ճիշտ է նաև ֆունկցիաների համար։

Իրական փոփոխականի ֆունկցիայի արժեքների տիրույթում  պատկերվում է որպես կոր։ Այս համատեքստում, կոր սահմանող ֆունկցիան կոչվում է կորի պարամետրական հավասարում։

Երբ իրական փոփոխականի ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը վերջավոր չափանի վեկտորական տարածություն է, ֆունկցիան կարող է դիտարկվել որպես իրական ֆունկցիաների հաջորդականություն։ Սա հաճախ օգտագործվում է կիրառություններում։

## Իրական ֆունկցիա
մինի|Իրական ֆունկցիայի գրաֆիկը։
Իրական ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի որոշման տիրույթը իրական թվերի՝ \mathbb R-ի ենթաբազմություն է, իսկ արժեքների տիրույթը՝ նույնպես \mathbb R-ն է։ Այլ կերպ ասած, իրական ֆունկցիայի համար ինչպես մուտքային արժեքները (որոշման տիրույթը), այնպես էլ ելքային արժեքները (արժեքների տիրույթը) իրական թվեր են։ Սովորաբար ենթադրվում է, որ որոշման տիրույթը պարունակում է դրական երկարությամբ միջակայք։

### Հիմնական օրինակներ
Շատ տարածված իրական ֆունկցիաների համար որոշման տիրույթը իրական թվերի ամբողջ բազմությունն է, և այդ ֆունկցիաները անընդհատ են ու ածանցելի իրենց որոշման տիրույթի կամայական կետում։ Նման ֆունկցիաները ամենուր որոշված, անընդհատ և ածանցելի են։ Նման ֆունկցիաների օրինակներն են.

* Բոլոր բազմանդամային ֆունկցիաները, ներառյալ հաստատուն և գծային ֆունկցիաները,
* Սինուսոիդ և կոսինուսոիդ ֆունկցիաները,
* Ցուցչային ֆունկցիան։ Որոշ ֆունկցիաներ որոշված են ամենուր, բայց որոշ կետերում անընդհատ չեն։ Օրինակ՝
* Հևիսայդի աստիճանային ֆունկցիան որոշված է ամենուր, բայց անընդհատ չէ զրոյում։

Կան նաև ֆունկցիաներ, որոնք որոշված և անընդհատ են ամենուր, բայց որոշ կետերում ածանցելի չեն։ Օրինակ՝

* Բացարձակ արժեքը (մոդուլը) որոշված է և անընդհատ ամենուր, բայց ածանցելի է բոլոր կետերում, բացառությամբ զրոյի։
* Խորանարդ աստիճանի արմատը որոշված և անընդհատ է ամենուր, բայց ածանցելի է բոլոր կետերում, բացառությամբ զրոյի։

Շատ ֆունկցիաներ ամենուր որոշված չեն, բայց անընդհատ են և ածանցելի այնտեղ, որտեղ որոշված են։ Օրինակ՝

* Ռացիոնալ ֆունկցիան երկու բազմանդամային ֆունկցիաների քանորդ է և որոշված չէ հայտարարի զրոյական արժեքների դեպքում։
* Տանգենս ֆունկցիան որոշված չէ \frac\pi 2 + k\pi կետերում, որտեղ -ն ցանկացած ամբողջ թիվ է։
* Լոգարիթմական ֆունկցիան որոշված է միայն փոփոխականի դրական արժեքների համար։

Որոշ ֆունկցիաներ անընդհատ են իրենց ամբողջ որոշման տիրույթում, բայց ածանցելի չեն որոշ կետերում։ Սա վերաբերում է, օրինակ՝

* Քառակուսի արմատին, որը որոշված է միայն փոփոխականի ոչ բացասական արժեքների համար և ածանցելի չէ 0-ում (այն ածանցելի է փոփոխականի բոլոր դրական արժեքների համար)։

## Ընդհանուր սահմանում
Իրական փոփոխականի կամ իրական արժեքանի ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որը որպես մուտքային արժեք ընդունում է իրական թիվ (որը սովորաբար նշանակվում է x փոփոխականով) և որպես արդյունք տալիս մեկ այլ իրական թիվ (որը սովորաբար նշանակվում է f(x)): Պարզության համար այս հոդվածում այն կկոչվի պարզապես ֆունկցիա։ Ցանկացած անորոշությունից խուսափելու համար մյուս տիպի ֆունկցիաները առանձին կնշվեն։

Որոշ ֆունկցիաներ որոշված են փոփոխականի բոլոր իրական արժեքների համար (այս դեպքում ասում են, որ դրանք որոշված են ամենուր), իսկ որոշֆունկցիաներ որոշված են միայն այն դեպքում, երբ փոփոխականի արժեքը պատկանում է իրական թվերի \mathbb{R} բազմության *X* ենթաբազմությանը։ Այս ենթաբազմությունը կոչվում է ֆունկցիայի որոշման տիրույթ և միշտ ենթադրվում է, որ այն պարունակում է դրական երկարությամբ միջակայք։ Այլ կերպ ասած, իրական փոփոխականի ֆունկցիան այն

f: X \to \R 

ֆունկցիան է, որի որոշման տիրույթը՝ *X* -ը, իրական թվերի \mathbb{R} բազմության ենթաբազմություն է, որը պարունակում է դրական երկարությամբ միջակայք։

Մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի պարզ օրինակ կարող է լինել քառակուսի արմատ ֆունկցիան.

:  f : X \to \R 
:  X = \{ x \in \R \,:\, x \geq 0\} 
:  f(x) = \sqrt{x}։

### Արժեքների տիրույթ
f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը -ի բոլոր արժեքների բազմությունն է, երբ *x* փոփոխականը ընդունում է իր ամբողջ որոշման տիրույթի արժեքները։ Անընդհատ (տես սահմանումը ստորև) իրականարժեքանի ֆունկցիայի համար, որի որոշման տիրույթը անընդհատ է, արժեքների տիրույթը կա՛մ միջակայք է, կա՛մ մեկ արժեք։ Վերջին դեպքում ֆունկցիան հաստատուն է։

Տրված *y* իրական թվի նախապատկերը  հավասարման լուծումների բազմությունն է։

### Որոշման տիրույթ
Մի քանի իրական փոփոխականների ֆունկցիայի որոշման տիրույթը իրական թվերի \mathbb{R} բազմության ենթաբազմություն է, որը երբեմն հստակ սահմանվում է։ Իրականում, եթե *f*  ֆունկցիայի որոշման տիրույթը՝ *X* -ը, սահմանափակենք *Y* ⊂ *X* ենթաբազմությամբ, ապա ձևականորեն կստանանք մի այլ ֆունկցիա՝ *f* -ի սահմանափակումը *Y*-ով, որը նշանակվում է *f*|*Y*​։ Գործնականում, սակայն, հաճախ կարելի է նույնացնել *f* -ը և *f*|*Y*​-ը՝ բաց թողնելով |*Y*​ ինդեքսը։

Ընդհակառակը, երբեմն հնարավոր է տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը բնական ճանապարհով ընդլայնել, օրինակ՝ անընդհատ արտապատկերման  կամ անալիտիկ շարունակության միջոցով։ Սա ցույց է տալիս, որ իրական փոփոխականի ֆունկցիայի որոշման տիրույթը միշտ չէ, որ արժե հստակ սահմանել։

### Հանրահաշվական կառուցվածք
Ֆունկցիաների վրա թվաբանական գործողությունները կարող են կիրառվել հետևյալ կերպ.

* Ցանկացած իրական *r* թվի համար (x)\mapsto r հաստատուն ֆունկցիան որոշված է ամենուր։
* Ցանկացած իրական *r* թվի և f ֆունկցիայի համար rf:(x)\mapsto rf(x) ֆունկցիան ունի նույն որոշման տիրույթը, ինչ *f*-ը (կամ որոշված է ամենուր, եթե *r* = 0)։
* Եթե *f*-ը և *g*-ն երկու ֆունկցիաներ են՝ համապատասխանաբար *X* և *Y* որոշման տիրույթներով, և -ը պարունակում է \mathbb{R}-ի բաց ենթաբազմություն, ապա f+g:(x)\mapsto f(x)+g(x) և f\,g:(x)\mapsto f(x)\,g(x) ֆունկցիաները որոշման տիրույթ ունեն, որը պարունակում է -ը։

Սրանից հետևում է, որ n փոփոխականով ֆունկցիաները, որոնք որոշված են ամենուր, և n փոփոխականով ֆունկցիաները, որոնք որոշված են տրված կետի որոշակի շրջակայքում, երկուսն էլ իրենցից ներկայացնում են կոմուտատիվ հանրահաշիվներ իրական թվերի (\mathbb{R}-հանրահաշիվ) վրա։

Նման ձևով կարելի է սահմանել նաև 1/f:(x)\mapsto 1/f(x) ֆունկցիան, որը ֆունկցիա է միայն այն դեպքում, եթե *f*-ի որոշման տիրույթի այն կետերի  բազմությունը, որոնցում , պարունակում է \mathbb{R}-ի բաց ենթաբազմություն։ Այս սահմանափակումը նշանակում է, որ վերը նշված երկու հանրահաշիվները դաշտեր չեն։

### Անընդհատություն և սահման
մինի|Իրական փոփոխականի իրական ֆունկցիայի սահմանը։
Մինչև 19-րդ դարի երկրորդ կեսը մաթեմատիկոսները դիտարկել են միայն անընդհատ ֆունկցիաներ։ Այդ ժամանակ անընդհատության գաղափարը մշակվել էր մեկ կամ մի քանի իրական փոփոխականների ֆունկցիաների համար՝ շատ ավելի վաղ, քան տոպոլոգիական տարածության և դրանց միջև անընդհատ արտապատկերման ձևական սահմանումը։ Քանի որ իրական փոփոխականի անընդհատ ֆունկցիաները տարածված են մաթեմատիկայում, արժե սահմանել այս գաղափարը՝ առանց տոպոլոգիական տարածությունների միջև անընդհատ արտապատկերումների ընդհանուր գաղափարին անդրադառնալու։

Անընդհատությունը սահմանելու համար օգտակար է դիտարկել \mathbb{R}-ի հեռավորության ֆունկցիան, որը երկու իրական փոփոխականների ամենուրեք որոշված ֆունկցիա է. d(x,y)=|x-y|

*f* ֆունկցիան անընդհատ է իր տիրույթի ներքին կետ համարվող a-ում, եթե ցանկացած  դրական իրական թվի համար գոյություն ունի  դրական իրական թիվ այնպես, որ |f(x)-f(a)|  ցանկացած x-ի համար, որը բավարարում է d(x,a) պայմանին։ Այլ կերպ ասած, -ն կարելի է ընտրել այնքան փոքր, որ a-ում կենտրոնացած  շառավղով միջակայքի *f* ֆունկցիայի պատկերը պարունակվի f(a)-ում կենտրոնացած  երկարությամբ միջակայքում։ Ֆունկցիան անընդհատ է, եթե այն անընդհատ է իր որոշման տիրույթի յուրաքանչյուր կետում։

Իրական փոփոխականի ֆունկցիայի սահմանը հետևյալն է․ դիցուք a-ն *f* ֆունկցիայի որոշման *X* տիրույթի տոպոլոգիական փակման կետ է։ *f* ֆունկցիան ունի *L* սահման, երբ *x*-ը ձգտում է *a*-ի, ինչը նշանակվում է

L = \lim_{x \to a} f(x), 

եթե բավարարվում է հետևյալ պայմանը. ցանկացած *ε* > 0 դրական իրական թվի համար գոյություն ունի *δ* > 0 դրական իրական թիվ այնպես, որ
 |f(x) - L| 
բոլոր *x*-երի համար, որոնք պատկանում են տիրույթին և բավարարում են d(x, a) պայմանին։

Եթե սահմանը գոյություն ունի, այն միակն է։ Եթե *a*-ն տիրույթի ներքին կետ է, ապա սահմանը գոյություն ունի միայն այն դեպքում, եթե ֆունկցիան անընդհատ է *a*-ում։ Այս դեպքում

f(a) = \lim_{x \to a} f(x) ։

Երբ *a*-ն *f*-ի որոշման տիրույթի սահմանային կետ է, և եթե *f*-ն ունի սահման *a*-ում, ապա վերջին բանաձևը թույլ է տալիս «ընդլայնել *f*-ի տիրույթը *a*-ով՝ ըստ անընդհատության»։

## Մաթեմատիկական անալիզ
Մի քանի իրական փոփոխականների ֆունկցիաներ, օրինակ՝

: y_1 = f_1(x)\,,\quad y_2 = f_2(x)\,,\ldots, y_n = f_n(x) 

կարող ենք հավաքել մի վեկտորի մեջ, որը պարամետրավորված է *x*-ով:

: \mathbf{y} = (y_1,  y_2, \ldots, y_n) = [f_1(x), f_2(x) ,\ldots, f_n(x)]  

y վեկտորի ածանցյալը *f<sub>i</sub>*(*x*) ֆունկցիաների ածանցյալների վեկտորն է՝  *i* = 1, 2, .․.., *n*:

: \frac{d\mathbf{y}}{dx} = \left(\frac{dy_1}{dx}, \frac{dy_2}{dx}, \ldots, \frac{dy_n}{dx}\right) 

Կարելի է նաև *x*-ով պարամետրավորված տարածական կորի երկայնքով հաշվել  կորագիծ ինտեգրալը, որի շառավիղ-վեկտորը ըստ x փոփոխականի ինտեգրելով (*r = r(x)*) ստացվում է.

: \int_a^b \mathbf{y}(x) \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{y}(x) \cdot \frac{d\mathbf{r}(x)}{dx} dx 

որտեղ ⋅-ը սկալյար արտադրյալն է, իսկ *x=a* և *x=b* կետերը կորի սկզբնակետն ու վերջնակետն են։

### Թեորեմներ
Ինտեգրալի և ածանցյալի սահմանումների հիման վրա կարող են ձևակերպվել առանցքային թեորեմներ, այդ թվում՝ մաթեմատիկական անալիզի հիմնական թեորեմը, մասերով ինտեգրման բանաձևը և Թեյլորի թեորեմը։ Ինտեգրալների և ածանցյալների խառը արտահայտությունները կարելի է հաշվել՝ օգտագործելով ինտեգրալի նշանի տակ ածանցման թեորեմը։

## Անբացահայտ ֆունկցիաներ
Իրական փոփոխականի անբացահայտ ֆունկցիան չի գրվում *y* = *f*(*x*) տեսքով։ Փոխարենը, այն ներկայացվում է \phi(x,y) = 0  հավասարման միջոցով, որտեղ արտապատկերումը \mathbb{R}2-ից դեպի \mathbb{R}-ի զրոյական տարրն է (0)՝

\phi: \R^2 \to \{0\} ,

որտեղ
 \phi(x,y) = 0 
x և y փոփոխականներից կախված հավասարում է։ Անբացահայտ ֆունկցիաները ֆունկցիաները ներկայացնելու ավելի ընդհանուր միջոց են, քանի որ եթե

y=f(x) ,

ապա մենք միշտ կարող ենք սահմանել

 \phi(x, y) = y - f(x) = 0 ։

Սակայն հակառակը միշտ չէ, որ հնարավոր է, այսինքն՝ ոչ բոլոր անբացահայտ ֆունկցիաներն ենք կարող ներկայացնել y=f(x)  տեսքով։

## Միաչափ տարածական կորերը  <math>\mathbb{R}</math><sup>''n''</sup>-ում
[մինի|243x243փքս|Նկարում պատկերված է տարածական կոր 3D տարածությունում։ r-ը [շառավիղ-վեկտորն է, որը պարամետրավորված է t սկալյարով։ r = a կետում կարմիր գիծը կորի շոշափողն է, իսկ կապույտ հարթությունը կորին ուղղահայաց է (նորմալ)։]]

### Ձևակերպում
Դիցուք ունենք , , ...․,  ֆունկցիաներ, որոնք կախված են *t* փոփոխականից։ Այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրն արտապատկերում է իրական թվերի \mathbb{R} բազմությունից դեպի \mathbb{R}.

: \begin{align}
r_1 : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} & \quad r_2 : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} & \cdots &  \quad r_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
r_1 = r_1(t) &  \quad r_2 = r_2(t) & \cdots &  \quad r_n = r_n(t) \\
\end{align}

Միասին դիտարկելիս, այս ֆունկցիաները կարող ենք ներկայացնել որպես միասնական վեկտորային ֆունկցիա՝

: \mathbf{r} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n \,,\quad \mathbf{r} = \mathbf{r}(t) ,

որտեղ *t*-ով պարամետրավորված *n*-յակը՝

: \mathbf{r}(t) = [r_1(t), r_2(t), \ldots , r_n(t)] 

նկարագրում է միաչափ տարածական կորը։

### Կորին շոշափող ուղիղ
Օգտագործելով ըստ *t*-ի ֆունկցիաների սովորական ածանցյալները՝ \mathbf{r}(t) = [r_1(t), r_2(t), \ldots , r_n(t)]  վեկտորային ֆունկցիայով տրված կորի շոշափող գիծը  կետում նկարագրվում է հետևյալ բանաձևով՝

: \frac{r_1(t) - a_1}{dr_1(t)/dt} = \frac{r_2(t) - a_2}{dr_2(t)/dt} = \cdots = \frac{r_n(t) - a_n}{dr_n(t)/dt} 

### Կորին զուգահեռ հարթություն
n-չափանի հիպերհարթության հավասարումը, որը նորմալ է շոշափող գծին **r** = **a** կետում, տրվում է հետևյալ կերպ.

: (p_1 - a_1)\frac{dr_1(t)}{dt} + (p_2 - a_2)\frac{dr_2(t)}{dt} + \cdots + (p_n - a_n)\frac{dr_n(t)}{dt} = 0

կամ սկալյար արտադրյալի միջոցով՝

: (\mathbf{p} - \mathbf{a})\cdot \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} = 0

որտեղ  կետեր են հարթության վրա, այլ ոչ թե տարածական կորի։

### Կապը կինեմատիկայի հետ
մինի|300x300փքս|Դասական մասնիկի կինեմատիկական մեծությունները՝ զանգված m, դիրք r, արագություն v, արագացում a:
*d*r(*t*)/*dt* ֆունկցիայի ֆիզիկական և երկրաչափական մեկնաբանությունը կետանման մասնիկի «արագությունն» է, որը շարժվում է *r(t)* հետագծով։ Այստեղ r-ը  շառավիղ-վեկտորի կոորդինատներն են, որոնք պարամետրավորված են *t* ժամանակով։ Այն վեկտոր է, որը շոշափում է տարածական կորը ցանկացած t-ի համար՝ շարժման ակնթարթային ուղղությամբ։ t = c պահին տարածական կորն ունի  ​ շոշափող վեկտոր, և տարածական կորին նորմալ հիպերհարթությունը t = c կետում նույնպես նորմալ է շոշափողին t = c կետում։ Այս հարթության ցանկացած վեկտոր (p − a) պետք է նորմալ լինի ​ վեկտորին։

Նմանապես, *d*2**r**(*t*)/*dt*2-ը մասնիկի «արագացումն» է, և այն վեկտոր է, որը նորմալ է կորին և ուղղված է կորության շառավղի երկայնքով։

## Մատրիցային ֆունկցիաներ
Մատրիցը նույնպես կարող է լինել մեկ փոփոխականի ֆունկցիա։ Օրինակ, 2D պտտման մատրիցը, որը կախված է *θ* պտտման անկյունից, մատրիցային ֆունկցիա է.

: 
R(\theta) = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}

Նմանապես, հարաբերականության հատուկ տեսությունում Լորենցի ձևափոխման մատրիցը մաքուր ուժեղացման (առանց պտույտների) համար մատրիցային ֆունկցիա է, որը կախված է *β* *= v/c* պարամետրից։ Այստեղ v-ն հաշվարկման համակարգերի հարաբերական արագությունն է (անընդհատ փոփոխական), իսկ c-ն՝ լույսի արագությունը (հաստատուն)։

: 
\Lambda(\beta) = \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^2}} & -\frac{\beta }{\sqrt{1-\beta ^2}} & 0 & 0 \\
-\frac{\beta }{\sqrt{1-\beta ^2}} & \frac{1}{\sqrt{1-\beta ^2}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}

## Բանախի և Հիլբերտյան տարածություններ և քվանտային մեխանիկա
Իրական փոփոխականի ֆունկցիայի արժեքը կարելի է գտնել նաև Բանախի կամ Հիլբերտյան տարածություններում։ Քանի որ այս տարածություններում սահմանված են բաժանումը, բազմապատկումը և սահմանները, ածանցյալի և ինտեգրալի գաղափարները նույնպես կիրառելի են։ Սա հատկապես հաճախ է հանդիպում քվանտային մեխանիկայում, որտեղ կետի կամ օպերատորի նկատմամբ ածանցյալ է վերցվում։ Օրինակ, ընդհանուր ժամանակից կախված Շրյոդինգերի հավասարման մեջ

: i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat H \Psi,

որտեղ վերցնում ենք ալիքային ֆունկցիայի ածանցյալը, որը կարող է լինել տարբեր Հիլբերտյան տարածությունների տարր։

## Իրական փոփոխականի կոմպլեքսարժեք ֆունկցիա
Իրական փոփոխականի կոմպլեքսարժեք ֆունկցիա սահմանելու համար անհրաժեշտ է իրականարժեք ֆունկցիաների սահմանման մեջ փոխել արժեքների տիրույթի սահմանափակումը միայն իրական թվերով և թույլատրել կոմպլեքս արժեքներ։

Եթե -ը նման կոմպլեքսարժեք ֆունկցիա է, այն կարող է ներկայացվել որպես.

:  =  + ,

որտեղ -ն և -ը իրականարժեք ֆունկցիաներ են, իսկ i-ն՝ կեղծ միավորը։ Սա նշանակում է, որ կոմպլեքսարժեք ֆունկցիաների ուսումնասիրությունը հեշտությամբ կարելի է հանգեցնել իրականարժեք ֆունկցիաների զույգերի ուսումնասիրությանը։

## Իրական փոփոխականի ֆունկցիաների բազմությունների հզորությունը
Իրական փոփոխականի իրականարժեք ֆունկցիաների բազմության՝ \mathbb{R}^\mathbb{R}=\{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\} հզորությունը \beth_2=2^\mathfrak{c} է, որը խիստ մեծ է կոնտինուումի հզորությունից (այսինքն՝ բոլոր իրական թվերի բազմության հզորությունից)։ Այս փաստը հեշտությամբ ստուգվում է կարդինալ թվաբանության միջոցով.

\mathrm{card}(\R^\R)=\mathrm{card}(\R)^{\mathrm{card}(\R)}=
\mathfrak{c}^\mathfrak{c}=(2^{\aleph_0})^\mathfrak{c}=2^{\aleph_0\cdot\mathfrak{c}}=2^\mathfrak{c}


Ավելին, եթե X-ը մի բազմություն է, որի համար 2\leq\mathrm{card}(X)\leq\mathfrak{c}, ապա X^\mathbb{R}=\{f:\mathbb{R}\to X\} բազմության հզորությունը նույնպես 2^\mathfrak{c} է, քանի որ՝

2^\mathfrak{c}=\mathrm{card}(2^\R)\leq\mathrm{card}(X^\R)\leq\mathrm{card}(\R^
\R)=2^\mathfrak{c}.

Սակայն, անընդհատ ֆունկցիաների բազմությունը՝ C^0(\mathbb{R})=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:f\}, ունի խիստ ավելի փոքր հզորություն՝ կոնտինուումի հզորությունը՝ \mathfrak{c}։ Սա բխում է այն փաստից, որ անընդհատ ֆունկցիան ամբողջությամբ որոշվում է իր տիրույթի խիտ ենթաբազմության վրա ունեցած արժեքներով։ Հետևաբար, իրական թվերի վրա որոշված անընդհատ իրականարժեք ֆունկցիաների բազմության հզորությունը մեծ չէ ռացիոնալ փոփոխականի իրականարժեք ֆունկցիաների բազմության հզորությունից։ Կարդինալ թվաբանությամբ՝

\mathrm{card}(C^0(\R))\leq\mathrm{card}(\R^\Q)=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=
2^{\aleph_0}=\mathfrak{c}.

Մյուս կողմից, քանի որ գոյություն ունի ակնհայտ փոխմիարժեք համապատասխանություն \R-ի և հաստատուն ֆունկցիաների բազմության միջև \{f:\R\to\R: f(x)\equiv x_0\}, որը C^0(\R)-ի ենթաբազմություն է, \mathrm{card}(C^0(\R)) \geq \mathfrak{c} պայմանը նույնպես պետք է տեղի ունենա։ Այսպիսով՝ \mathrm{card}(C^0(\R)) = \mathfrak{c}։

## Տես նաև
* Կոմպլեքս անալիզ

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
* 
* 
* 

## Գրականություն
* ''Multivariable Calculus''
* L. A. Talman (2007) ''Differentiability for Multivariable Functions''

Կատեգորիա:Իրական անալիզ
Կատեգորիա:Իրական թվեր
Կատեգորիա:Մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական տերմիններ
Կատեգորիա:Ֆունկցիա
Կատեգորիա:Ֆունկցիաների տեսակներ