Եքիդնաեդր

**Եքիդնաեդր** (), իկոսաեդրի աստղային վերջին ձևը։ Կոչվում է նաև իկոսաեդրի լրիվ կամ ավարտուն տեսք, քանի որ այն պարունակում է իկոսաեդրի աստղային դիագրամի բջիջները։

Առաջին անգամ եքիդնաեդրը նկարագրվել է 1900 թվականին Մաքս Բրյունկերի կողմից։ Պատկերին անվանում է տվել Էնդրյու Հյումը` հենվելով այն բանի վրա, որ նրա անկյունները վերին մասում փոքր են և դա նրան նմանեցնում է ոզնու կամ եքիդնայի։

## Պատկերացում
Հրեական ծագումով ամերիկացի մաթեմատիկոս Բրանկո Գրյունբամը գիտական գրականության վերլուծության հիման վրա «Կարո՞ղ է արդյոք բազմանկյան ամեն հարթությունն ունենալ մի քանի կողմեր» հոդվածում նշում է, որ գոյություն ունեն բազմանկյունները դիտարկելու առնվազն երեք եղանակներ։ Եքիդնաեդրի դեպքոիմ դրանք են.
* 180 եռանկյունային կողմերի միավորում
* 20 ինքնահատվող կողմերի հատում` էնեագրամ
* 18 անկյունանի աստղաձև բազմանկյունների հատում։

### Իկոսաեդրի համաստեղության ձև
Ինչպես բազմանկյան պարզ, տեսանելի մակերևույթը, եքիդնաեդրի արտաքին տեսքը կազմված է 180 եռանկյուն կողմերից, որոնք ձևավորում են 270 նիստեր, որոնք, իրենց հերթին, հանդիպում են 92 գագաթներում։

Եքիդնադրի բոլոր գագաթները գտնվում են համակենտրոն երեք գնդերի մակերևույթին։ Ներքին` 20 գագաթներից կազմված խումբը ձևավորում է կանոնավոր դոդեկաեդրի գագաթներ։ 12 գագաթների հաջորդ խումբը ձևավորում է կանոնովոր իկոսաեդրի գագաթներ, իսկ արտաքին` 60 գագաթների շերտը ձևավորում է հատած իկոսաեդրի գագաթներ։

### Աստղային բազմանիստերի ձև
մինի|20 (9/4) բազմանկյուն կողեր
մինի|Իկոսաեդրի աստղային դիագրամը
Իկոսաեդրի աստղային ձևը դիտարկվել է որպես ինքնահատվող աստղային բազմանիստ, որն ունի 20 նիստ, ինչը համապատասխանում է իկոսաեդրի 20 նիստերին։ Ամեն նիստը անկանոն աստղակերպ բազմանիստ է (կամ էնեագրամ)։ Յուրաքանչյուր երեք ծայրերը ձևավորում են մեկ գագաթ, այդ իսկ պատճառով էլ եքիդնաեդրն ունի 20 × 9 ÷ 3 = 60 գագաթ և 20 × 9 ÷ 2 = 90 կողեր (աստղային բազմանիստի յուրաքանչյուր կող ներառում է բազմանիստի 180 տեսանելի կողերից երկուսը)։

### Իկոսաեդրի վերջնական ձև
Բազմանիստի այս աստղային ձևը ձևավորվում է իկոսաեդրին բոլոր հատվածների միացման եղանակով, որոնք ստացվում են իկոսաեդրի կողմը անվերջ հարթություններով երկարացնելիս։ Այդպիսով ստացվում է նոր բազմանիստ, որ սահմանափակված է այդ հարթություններով որպես կոզմեր, իսկ հարթությունների հատումը նիստերն են։ Հարոլդ Կոկստերի «Հիսունինը իկոսաեդր» գրքում թվարկված են իկոսաեդրի համաստեղությունները (ներառյալ` եքիդնաեդրը)` համապատասխան ամերիկացի հոգեբան Ջեֆրի Միլլերի առաջ քաշած կանոնների։

## Առանձնահատկություններ
### Անվանում և դասակարգում
* Եքիդնաեդրի Դյու Վալի խորհրդանիշ։ Դա H-ն է, քանի որ ներառում է համստեղության սխեմայի բոլոր բջիջները, այդ թվում` «h» մակարդակը։
* Մագնուս Վենինջերի գրքում գրքում եքիդնաեդրն ունի **W<sub>42</sub>** ինդեքս։
* Եթե եքիդնաեդրի կողմերը լինեին կանոնավոր էնեագրամներ, ապա այն կարելի էր դիտարկել Շլեֆլիի խորհրդանիշով {9/4, 3} կանոնավոր բազմանիստ։ Դա նշանակում է, որ ամեն գագաթին հատվում են երեք կողմեր, որտեղ ամեն կողմը անկանոն` 9/4 աստղային բազմանիստ է։

### Բնութագրիչներ
Եքիդնաեդրի Էյլերի բնութագիրը հավասար է 2-ի։ Այդ բնութագիրը հաշվվում է \chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B},  բանաձևով, որտեղ *Г*-ն, *Р*-ն և *В*-ն համապատասխանաբար կողմերը, նիստերը և գագաթներն են մատնանշում։
* Եթեեքիդնաեդրը դիտարկենք որպես աստղակերպ բազմանիստ, ապա իկոսաեդր ավարտուն ձևը կլինի կատարյալ բազմանիստ, քանի որ այն հավասարանիստ է։

### Բանաձևեր
Եթե եքիդնաեդրը դիտարկենք որպես երկրաչափական մարմին` նիստերի a, Φa, Φ2a և Φ2a√2 երկարությամբ (որտեղ Φ-ը ոսկե հատումն է), ապա եքիդնաեդրի մակերևույթի մակերեսը կլինի 
: S=\frac{1}{20}(13211 + \sqrt{174306161})a^2\, , 
: իսկ ծավալը` 
: V=(210+90\sqrt{5})a^3\, .
* Գնդերի շառավիղները, որոնց վրա տեղադրված են եքիդնաեդրի գագաթները, գտնվում են հետևյալ հարաբերության մեջ
: \sqrt {\frac {3}{2} \left (3 + \sqrt{5} \right ) } \, : \, 
\sqrt {\frac {1}{2} \left (25 + 11\sqrt{5} \right ) } \, : \, 
\sqrt {\frac {1}{2} \left (97 + 43\sqrt{5} \right ) } \, ..
* Եքիդնաեդրի իներցիայի տենզորը կարող է ներկայացվել որպես 3×3 անկյունագծային մատրիցա, որի գլխավոր անկյունագծի տարրերը հավասար են \textstyle{\frac{1}{45}}\left(299+131\sqrt{5}\right)Ma^2 (որտեղ *M* — ընդհանուր զանգված)։

## Պատմական ակնարկ
Եքիդնաեդրը աստղային բազմանիստերից է, որոնք առաջին անգամ նկարագրվել են 1619 թվականին Յոհան Կեպլերի *Harmonices Mundi* գրքում։ Կեպլերը մաթեմատիկորեն հիմնավորել է կանոնավոր աստղային բազմանիստերի երկու տեսակ` աստղային փոքր դոդեկաեդրը և աստղային մեծ դոդեկաեդրը։ Ավելի ուշ` 1809 թվականին, Լուի Պուանսոն կրկին բացահայտել է Կեպլերի բազմանիստերը` բացահայտելով աստղային բազմանիստերի ևս երկու տեսակ` մեծ դոդեկաեդրը և մեծ իկոսաեդրը, որոնք ներկայումս կոչվում են Կեպլեր-Պուանսոյի մարմիններ։ 1812 թվականին Օգյուստեն Լուի Կոշին ապացուցել է, որ գոյություն ունի կանոնավոր աստղային բազմանիստերի 4 տեսակ միայն։

Առաջին անգամ եքիդնաեդրը նկարագրվել է 1900 թվականին Մաքս Բրյունկերի կողմից բազմանկյունների մասին «Բազմանկյուններ ու բազմանիստեր» դասական աշխատության մեջ, որտեղ բացի նրանից նկարագրվել են իկոսաեդրի աստղային 9 ձևեր ևս։ Դրանից հետո եքիդնաեդրը հայտնվել է նաև ուրիշ մաթեմատիկոսների աշխատություններում, ընդ որում այն միասնական նշանակություն չի ունեցել:1924 թվականին Ալբերտ Վիլերը հրատարակել է աստղային 20 պատկերներ, որոնց թվում էր նաև եքիդնաեդրը։ Աստղային բազմանիստերի ավելի լիարժեք ուսումնասիրություն է անցկացրել Հարոլդ Քոքսեթերը Պատրիկ դյու Վալի, Ֆլեյզերի և Ջոն Պետրիի հետ։ Քոքսեթերն ապացուցել է, որ գոյություն ունի իկոսաեդրի աստղակերպ 59 տեսակ միայն, որից 32-ն ունեն լիարժեք, իսկ 27-ը` ոչ լիարժեք իկոսաեդրալ համաչափություն։ Եքիդնաեդրը գրքում ութերորդն է։ Մագնուս Վենինջերի «Բազմանիստերի մոդելներ» աշխատության մեջ, որ տպագրվել է 1974 թվականին, եքիդնաեդրը ներկայացված է որպես իկոսաեդրի 17-րդ մոդել` W42 ցուցիչով։

Իկոսաեդրի վերջին աստղային ձևի ժամանակակից անվանումը տվել է Էնդրյու Հյումը 1995 թվականին՝ *echidnahedron* (եքիդնան ոչ մեծ կաթնասուն է` ծածկված կոպիտ մազերով ու փշերով, որոնք գնդի են վերածվում պաշտպանության ժամանակ)։

## Գրականություն
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Իկոսաեդրի աստղային ձևեր
Կատեգորիա:Կանոնավոր բազմանիստեր
Կատեգորիա:Կոմբինատորային երկրաչափություն