Անորոշ ձև

մինի
**[[Մաթեմատիկական անալիզ]]ում,** սովորաբար հնարավոր է հաշվել երկու ֆունկցիաների գումարի, տարբերության, արտադրյալի, քանորդի կամ աստիճանի սահմանը՝ յուրաքանչյուր ֆունկցայի սահամանը հշավելու և արդյունքները համախատասխան գործողությամբ միացնելու միջոցով։ Օրինակ,

:\begin{align}
\lim_{x \to c} \bigl(f(x) + g(x)\bigr) &= \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x), \\[3mu]
\lim_{x \to c} \bigl(f(x)g(x)\bigr) &= \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x),
\end{align}

այս սկզբունքը կարելի է կիրառել այլ թվաբանական գործղոությունների համար ևս։ Սա երբեմն կոչվում է հանրահաշվական սահմանի թեորեմ։ Այնուամենայնիվ, որոշ սահմաններ չեն կարող այս կերպ հաշվարկվել, և յուրաքանչյուր ֆունկցիայի սահմանն առանձին իմանալը բավարար չէ գումարի սահմանը որոշելու համար։ Այս կոնկրետ իրավիճակներում ասում են, որ արտահայտությունը ներկայացնում է համապատասխանաբար

:\frac 00,~ \frac{\infty}{\infty},~ 0\times\infty,~ \infty - \infty,~ 0^0,~ 1^\infty, \text{ կամ } \infty^0,

տեսքի **անորոշություն**, որտեղ յուրաքանչյուր արտահայտություն նշանակում է ֆունկցիայի սահման, որը կառուցված է երկու ֆունկցիաների թվաբանական գործողության միջոցով, որոնց սահմանները համապատասխանաբար ձգտում են 0-ի, 1-ի կամ \infin-ի։

Այս անորոշ ձևերից որևէ մեկն ընդունող սահմանը կարող է ձգտել զրոյի, կարող է ձգտել դեպի ցանկացած վերջավոր արժեք, կարող է ձգտել անվերջության կամ կարող է տարամետ լինել՝ կախված թվականական գործողության մաս կազմող ֆունկցիաներից։ Սահմանի օրինակ, որը միանշանակորեն ձգտում է անվերջության, բայց չի համարվում անորոշ  \lim_{x \to 0} 1/x^2 = \infty է։ Տերմինն ի սկզբանե ներմուծվել է Կոշիի աշակերտ Մոյնոյի կողմից 19-րդ դարի կեսերին։

Անորոշ ձևի ամենատարածված օրինակը երկու ֆունկցիաների քանորդն է, որոնցից յուրաքանչյուրը զուգամիտում է զրոյի։ Այս անորոշ ձևը նշվում  է 0/0-ով։ Օրինակ, երբ 𝑥-ը ձգտում է 0-ի, x/x^3, x/x, և x^2/x  հարաբերությունները համապատասխանաբար ձգտում են \infty-ի, 1-ի և 0-ի։ Յուրաքանչյուր դեպքում, եթե համարիչի և հայտարարի սահմանները փոխարինվեն, կստացվի 0/0 տեսքի անորոշություն։ Այս առումով, 0/0 կարող է հավասար լինել 0-ի, 1-ի կամ \infty-ի՝ կախված համարիչի և հայտարարի ֆունկցիաների ընտրությունից։ Ավելի, կամայական a իրական թվի համար կարելի է գտնել ֆունկցիաների զույգ, որոնց հարաբերության սահմանը անարոշ ձև է, սակայն հավասար է a-ի։ Հետաքրքրական է, որ գոյություն ունեն 0/0 տեսքի անորոշություններ, որոնք տարամիտում են, բայց չեն ձգտում անվերջության, օրինակ՝  x \sin(1/x) / x.

Այսպիսով, այն փաստը f(x) և g(x) և ֆունկցիաները ձգտում են 0-ի, երբ x-ը ձգտում է 𝑐-ի, բավարար չէ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} սահմանը որոշելու համար։

Սահմանի կոնտեքստից դուրս տեղին չէ նման տիպի արտահայտությունները անվանել **անորոշ ձև**։ Օրինակ՝ 0^0 արտահայտության սահմանված լինելու կամ մեկի հավասար լիենլու կախված է տվյալ բնագավառի և հեղինակի խնդրից, սակայն այն անորոշ ձև են անվանում միայն այն դեպքում, երբ խոսքը սահմանների մասին է։ Նշենք, որ 0^\infty և անվերջություն պարունակող այլ արտահայտությունները անորոշ ձևեր չեն։

## Որոշ օրինակներ
### 0/0 տեսի անորոշություն

Պատկեր:Indeterminate_form_-_x_over_x.gif|Նկար. 1:  = 
Պատկեր:Indeterminate_form_-_x2_over_x.gif|Նկար. 2:  = 
Պատկեր:Indeterminate_form_-_sin_x_over_x_close.gif|Նկար. 3:  = 
Պատկեր:Indeterminate_form_-_complicated.gif|Նկար. 4:  =  ( = 49 դեպքում)
Պատկեր:Indeterminate_form_-_2x_over_x.gif|Նկար. 5:  =  որտեղ  = 2
Պատկեր:Indeterminate_form_-_x_over_x3.gif|Նկար. 6:  = 
0/0 տեսքի անորոշությունը շատ տարածված է, քանի որ այն հաճախ առաջանում է ըստ սահմանման ածանցյալի հաշվվմանն ժամանակ։

Ինչպես նշվեց վերևում,

իսկ

{x} = 0,  \qquad  (տես նկար 2)}}

Սա բավարար է ցույց տալու համար, որ 0/0 անորոշ ձև է։ Այս անորոշ ձևով այլ օրինակներ ներառում են՝

և

մինչդեռ սա բավական է ցույց տալու համար 0/0 iանորոշ ձև է։ Այս անորոշ ձևով այլ օրինակներ ներառում են թվի ուղղակի փոխարինում *<math>x</math>*-ով։ Այս արտահայտություններից որևէ մեկի մոտեցումները ցույց են տալիս, որ սրանք օրինակներ են, որոնք համապատասխանում են անորոշ ձևին 0/0, բայց այս սահմանները կարող են ենթադրել շատ տարբեր արժեքներ, ցանկալի արժեք 𝑎 ։ Այս անորոշ ձևի \infty համար, կարելի է նաև արժեք ստանալ (անսահմանության շեղման իմաստով)։

### Անորոշ ձև 0<sup>0</sup>

File:Indeterminate form - x0.gif|Նկար 7
File:Indeterminate form - 0x.gif|Նկար 8

Հետևյալ սահմանները ցույց են տալիս, որ  0^0արտահայտությունը անորոշ ձև է։

Այսպիսով, ընդհանուր առմամբ, իմանալով, որ \textstyle\lim_{x \to c} f(x) \;=\; 0 and \textstyle\lim_{x \to c} g(x) \;=\; 0 սահմանը գնահատելու համար բավարար չէ։

Եթե ֆունկցիաներ f և g  վերլուծական են c-ին և f -ի համար դրական է 𝑥  բավականաչափ մոտ (բայց ոչ հավասար) 𝑐, ապա սահման  f(x)^{g(x)} կլիմի 1։ Հակառակ դեպքում սահմանը գնահատելու համար օգտագործեք ստորև բերված աղյուսակի փոխակերպումը։

### Արտահայտություններ, որոնք անորոշ ձևեր չեն
Արտահայտությունը 1/0 սովորաբար չի դիտվում որպես անորոշ ձև, եթե սահման f/g գոյություն ունի, ապա դրա արժեքի վերաբերյալ երկիմաստություն չկա, քանի որ այն միշտ տարբերվում է։ Մասնավորապես, եթե f ձգտում է 1 և g ձգտում է 0, ապա f և g կարող է ընտրվել այնպես, որ.

# f/g   ձգտում է +\infty,
# f/g   ձգտում է -\infty;
# Սահմանը  գոյություն չունի։

Յուրաքանչյուր դեպքում բացարձակ արժեքը |f/g|  ձգտում է +\infty, և այսպես գործակիցը f/g պետք է շեղվի՝ ընդլայնված իրական թվերի իմաստով (պրոյեկտիվ ընդլայնված իրական գծի շրջանակներում սահմանը անստորագիր անվերջությունն է \infty բոլոր երեք դեպքերում)։ Նման ձևի ցանկացած արտահայտություն a/0 -ն  a\ne0 հետ (այդ թվում  a=+\infty և a=-\infty) անորոշ ձև չէ, քանի որ նման արտահայտություն առաջացնող գործակիցը միշտ տարբերվելու է։

0^\infty արտահայտությունը անորոշ ձև չէ. Արտահայտություն՝  0^{+\infty} հաշվի առնելով ստացված  \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)}  տալիս է 0, սահման պայմանով, որ f(x) մնում է ոչ բացասական, քանի որ x ձգտում է c։ Արտահայտություն՝  0^{-\infty} նմանապես համարժեք է 1/0; եթե  f(x) > 0 ինչպես 𝑥  ձգտում է 𝑐, սահմանը ստացվում է  x ձգտում է c, սահմանը ստացվում է +\infty։

Տեսնելու համար, թե  L = \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)}, որտեղ  \lim_{x \to c} {f(x)}=0, և   \lim_{x \to c} {g(x)}=\infty. Վերցնելով երկու կողմերի բնական լոգարիթմը և օգտագործելով  \lim_{x \to c} \ln{f(x)}=-\infty, մենք դա ստանում ենք  \ln L = \lim_{x \to c} ({g(x)}\times\ln{f(x)})=\infty\times{-\infty}=-\infty, նշանակում է, որ L = {e}^{-\infty}=0.

## Անորոշ ձևերի գնահատում
Անորոշ ածանցյալը չի նշանակում, որ սահմանը գոյություն չունի, ինչպես ցույց են տալիս վերը նշված օրինակներից շատերը։ Շատ դեպքերում, հանրահաշվական մոտարկումը, Լոպիտալիի կանոնը կամ այլ մեթոդներ կարող են օգտագործվել արտահայտությունը շահարկելու համար, որպեսզի սահմանը հնարավոր լինի գնահատել։

### Անսահման փոքրին համարժեք
Երբ երկու փոփոխական \alpha և \beta նույն սահմանային կետում ձգտում են զրոյի և \textstyle \lim \frac{\beta}{\alpha} = 1,դրանք կոչվում են համարժեք անվերջ փոքր (համարժեք. \alpha \sim \beta).

Ընդ որում, եթե փոփոխականներ \alpha' և \beta' այնպիսին են, որ \alpha \sim \alpha' և \beta \sim \beta'։

Ահա մի հակիրճ ապացույց.

Ենթադրենք կան երկու համարժեք անվերջ փոքրեր \alpha \sim \alpha' և  \beta \sim \beta'.
:\lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\beta \beta' \alpha'}{\beta' \alpha' \alpha} = \lim \frac{\beta}{\beta'} \lim \frac{\alpha'}{\alpha} \lim \frac{\beta'}{\alpha'} = \lim \frac{\beta'}{\alpha'}

Անորոշ ձևի գնահատման համար 0/0, կարելի է օգտագործել հետևյալ փաստերը համարժեք անվերջ փոքրերի վերաբերյալ (օրինակ., x\sim\sin x եթե *x* մոտենում է զրոյին)։

Օրինակ,
:\begin{align}\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \left[\left(\frac{2+\cos x}{3}\right)^x - 1 \right] & = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x\ln{\frac{2 + \cos x}{3}}}-1}{x^3} \\ & =  \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln \frac{2+ \cos x}{3} \\ & = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln \left(\frac{\cos x -1}{3}+1\right) \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x -1}{3x^2} \\ &= \lim_{x \to 0} -\frac{x^2}{6x^2} \\ & = -\frac{1}{6}\end{align}
2-րդ հավասարության մեջ, e^y - 1 \sim y,որտեղ y = x\ln{2+\cos x \over 3} երբ y-ը մոտենում է 0-ին  և y \sim \ln {(1+y)},որտեղ  y = {e^{g(x)}} \! 
|-
|0^0
| \lim_{x \to c} f(x) = 0^+, \lim_{x \to c} g(x) = 0 \! 
| \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \! 
| \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \! 
|-
|1^\infty
| \lim_{x \to c} f(x) = 1,\  \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! 
| \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \! 
| \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \! 
|-
|\infty^0
| \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\  \lim_{x \to c} g(x) = 0 \! 
| \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \! 
| \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \! 
|}

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Դիֆերենցիալ հաշիվ
Կատեգորիա:Թվաբանություն
Կատեգորիա:Իրական անալիզ
Կատեգորիա:Հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական տերմիններ
Կատեգորիա:Սահմաններ