Աստիճանային շարք

**Աստիճանային շարք մեկ փոփոխականով**, դա ֆորմալ հանրահաշվական արտահայտություն է։
: F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n,
որում գործակիցներ {a_n} ընտրվում է մի ինչ որ {R} օղակից։

## Աստիճանային շարքերի տարածություն
Տարածությունը մեկ փոփոխականով աստիճանային շարքով և գործակիցներ {R}-ից նշանակում ենRX.
RX տարածությունը ունի դիֆերենցիալ հանրահաշվի կառուցվածք (կոմուտատիվ {R} օղակով, ամբողջական, միավորով, եթե այդպիսին է {R}) օղակը։ Այն հաճախ օգտագործում են մաթեմատիկայում նկատի առնելով, որ նրանում հեշտ ներկայացնելի և լուծելի է ֆորմալ դիֆերենցիալ-հանրահաշվական և նույնիսկ ֆունկցիոնալ հարաբերակցությունը (տես․ մեթոդ ածանցավոր ֆունկցիաներ)։ Դրա օգտագործումով այդ հարաբերակցությունը փոխակերպվում է աստիճանական գործակիցներով հանրահաշվական հավասարման։ Եթե այն թույլատրվում է, ասում է ֆորմալ աստիճանային շարքի տրված խնդրի լուծման մասին։

RX- ում սահմամված է գումարման, բազմապատկման, ֆորմալ դիֆերենցում և ֆորմալ վերադրում գործողությունները։

Ենթադրենք
: F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n, G(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nX^n, H(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nX^n.
Այդ ժամանակ։
: H = F + G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = a_n + b_n
: H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{k+l=n}a_k b_l
: H = F \circ G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{s=1}^n a_s \sum\limits_{k_1+\dots+k_s=n}b_{k_1}b_{k_2}\dots b_{k_s} (այդ դեպում անհրաժեշտ է, որ պահպանվի b_0=0)
: H = F' \Leftrightarrow \forall n \, c_n = (n+1)a_{n+1}

## Աստիճանային շարքի զուգամիտություն
Իրական կամ կոմպլեքս գործակիցներով ֆորմալ աստիճանային շարքից, գրառման ճանապարհով, ինչ որ {X} իրական ֆորմալ փոփոխականի մեծությունից, իրական և կոմպլեքս դաշտում կարելի է ստանալ աստիճանային շարք։ Աստիճանային շարքը համարվում է **զուգամիտվող** (գումարվող), եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից և կոչվում է **[[բացարձակ զուգամիտություն]]**, եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից, վերցրած մոդուլով (նորմայով)։

### Զուգամիտության հայտանիշներ
Աստիճանային շարքի համար գոյություն ունի մի քանի թեորեմ, նկարագրելով պայմանը և բնույթը զուգամիտության։

* **[[Աբելի առաջին թեորեմ]]**։ Ենթադրենք \Sigma \,a_n x^n շարքը զուգամիտվում է {x_0} կետում։ Այդ ժամանակ այդ շարքը զուգամիտվում է բացարձակապես  շրջանում և հավասարաչափորեն այդ շրջանի {x} ցանկացած կոմպակտ ենթաբազմությունում։ Հակադարձելով այդ թեորեմային, ստանում ենք, եթե աստիճանային շարքը տարամիտվում է {x=x_0} դեպքում, այն տարամիտվում է ցանկացած {x} դեպքում, այնպիսիք որ ։ Աբելի առաջին թեորեմայից նույնպես հետևում է, որ գոյություն ունի շրջանագծի այդպիսի {R} շառավիղ ( հնարավոր է, զրոյական կամ անվերջ), որ {|x|-ի դեպքում շարքը զուգամիտում է բացարձակապես (և հավասարաչափորեն այդ շրջանի x-ի {|x|) կոմպակտ ենթաբազմությունում, իսկ {|x|>R} դեպքում տարամիտում է։ Այդ R մեծությանը անվանում են շարքի զուգամիտության շառավիղ, իսկ {|x| շրջանը՝ զուգամիտության շրջան։
* **[[Կոշի-Ադամարի բանաձև]]**։ Աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը (եթե վերևի սահման գոյություն ունի և դրական է, Աստիճանային շարքի մասին Ադամարի թեորեմ) կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով․
:  {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |a_n|^{1/n}
(Վերին սահմանի սահմանման առիթով \varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty} տես․ «Հաջորդականության մասնակի սահման» հոդվածը)։

Ենթադրենք F(x) և G(x), երկու աստիճանային շարք են {R_F} և {R_G} զուգամիտության շառավիղներով։ Այդ ժամանակ
: R_{F+G} \ge \min \{R_F,\, R_G\}
: R_{F\cdot G} \ge \min \{R_F, R_G\}
: R_{F'}\, = \,R_F
Եթե շարքի համար G(x)-ը զրոյական ազատ անդամ է, ապա
: R_{F\circ G} \ge {R_F \over {R_F+1}}R_G

Հարցը {|x|=R} վերին սահմանի կետերում զուգամիտության շարքի մասին բավականին բարդ է շրջանի զուգամիտությունը և այստեղ ընդհանուր պատասխան չկա։ Ահա մի քանիսը շարքի զուգամիտության սահմանային կետերում շրջանի զուգամիտության մասին թեորեմայից։

* **Դալամբերի հայտանիշ**։ Եթե n>N և \alpha>1 դեպքում,
: \left| {a_n \over a_{n+1}} \right|\ge R \left(1 + {\alpha \over n}\right) անհավասարությունը տեղի ունի,
: ապա \Sigma \,a_n x^n աստիճանային շարքը զուգամիտվում է {|x|=R} շրջանի բոլոր կետերում և հավասարաչափ x-ով։

* **[[Դիրիխլիի հայտանիշ]]**։ Եթե \Sigma \,a_n x^n աստիճանային շարքի բոլոր գործակիցները դրական են և a_n հաջորդականությունը մոնոտոն զուգամիտվում է 0-ի, ապա այդ շարքը զուգամիտվում է {|x|=1} շրջանագծի բոլոր կետերում, բացի, գուցե {x=1} կետում։

Աստիճանային շարքի գումարը, ինչպես x կոմպլեքս պարամետրի ֆունկցիա, հանդիսանում է վերլուծական ֆունկցիայի տեսության ուսումնասիրման առարկա։

## Փոփոխակումներ և ընդհանրացումներ
*n* **փոփոխականով աստիճանային շարք**, դա ֆորմալ հանրահաշվական տեսքի արտահայտություն է,
: F(X_1,X_2,\dots,X_n) = \sum\limits_{k_1,k_2,\dots,k_n=0}^{+\infty} a_{k_1,k_2,\dots,k_n}X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n} կամ բազմաինդեքս նշանակումներ,

: F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha}, 
որտեղ X-ը X=(X_1,X_2,\dots,X_n) վեկտորն է, \alpha-ն ՝ \alpha = (k_1, k_2, \dots  k_n) մուլտիինդեքսը, X^{\alpha}-ն X^{\alpha} = X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n} միանդամը։ n պարամետրերով և R գործակիցներով աստիճանային շարքի տարածությունը նշանակվում է՝ RX_1,X_2,\dots,X_n։ Նրանում սահմանված է գումարման, բազմապատկման, յուրաքանչյուր փոփոխականի դիֆերենցման և n-տեղային վերադրման գործողություններ։ Ենթադրենք
: F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha}, G(X) = \sum\limits_{\alpha} b_{\alpha}X^{\alpha}, H(X) = \sum\limits_{\alpha}c_{\alpha}X^{\alpha}.
Ապա.
: H = F + G \Leftrightarrow \forall {\alpha} \, c_{\alpha} = a_{\alpha} + b_{\alpha}
: H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall {\alpha} \, c_{\alpha} = \sum\limits_{\beta+\gamma=\alpha} a_{\beta} b_{\gamma}
: H = {\partial F \over \partial X_i} \Leftrightarrow \forall (k_1, k_2, \dots, k_n) \, c_{k_1, k_2, \dots, k_n} = (k_i+1)a_{(k_1, k_2, \dots, k_i+1, \dots, k_n)}
RX_1,X_2,\dots,X_n տարածության մասին կարելի է գործնականում ասել նույնը, ինչ և RX։

Կատեգորիա:Շարքեր
Կատեգորիա:Կոմպլեքս անալիզ
Կատեգորիա:Իրական անալիզ