Թվի քառակուսի

մինի|266x266փքս| ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլ է։
**Թվի քառակուսի** (հանրահաշիվ), հանրահաշվայկան գործողություն x թվի հետ, որը հավասար է թվի ու իր արտադրյալին x \cdot x, և գրառվում է x^2ձևով։ x^2-ու հաշվումը մաթեմատիկական գործողություն է, որը կոչվում է քառակուսի բարձրացնել։
մինի|350x350փքս|y=x² ֆունկցիայի գրաֆիկն է 0-ից 25 ամբողջ թվերի հատվածում ։
մինի|251x251փքս|5  թվի քառակուսին հավասար է այն քառակուսու մակերեսին, որի կողմը հավսար է 5-ի։
Ամբողջ, ոչ բացասական թվերի քառակուսիներ շարքը ()

: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, …

Պատմականորեն այս շարքի բնական թվերը կոչվում են «քառակուսի» թվեր։

## Ներկայացման ձևեր
Բնական n թվի քառակուսին կարելի է ներկայացնել առաջին n կենտ թվերի արտադրյալի տեսքով։

: 1: 1 = 1
: 2: 4 = 1 + 3
: …
: 7: 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
: …

Ահա բնական թվի քառակուսին ներկայացնելու ևս մեկ ձև։

n^2 = 1 + 1 + 2 + 2 + \ldots + (n - 1) + (n - 1) + n

Օրինակ․

: 1: 1 = 1
: 2: 4 = 1 + 1 + 2 
: …
: 4: 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4
: …

Առաջին n բնական թվերի քառակուսին հաշվվում է հետևյալ բանաձևով։

\sum_{k=1}^n k^2  = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6}

**Դուրսբերում․ Ձև 1․**

Դիտարկենք 1-ից n+1բնական թվերի խորանարդների գումարը։

:
: \sum_{k=1}^n k^3 + (n+1)^3 = \sum_{k=0}^n (k+1)^3 = \sum_{k=0}^n (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) = \sum_{k=0}^n k^3 + \sum_{k=0}^n 3k^2 + \sum_{k=0}^n 3k + \sum_{k=0}^n 1 = \sum_{k=0}^n k^3 +3\sum_{k=0}^n k^2 +3\sum_{k=0}^n k + \sum_{k=0}^n 1 
: Կստանանք․
: (n+1)^3 = 3\sum_{k=0}^n k^2 +3\sum_{k=0}^n k + \sum_{k=0}^n 1 = 3\sum_{k=0}^n k^2 + 3\frac{(n+1)n} {2} + (n + 1)
: Բազմապատկենք 2-ով և խմբավորենք։
: 6\sum_{k=0}^n k^2 = 2(n + 1)^3 - 3(n + 1)n - 2(n + 1) = (n + 1)(2(n + 1)^2 - 3n - 2) = (n + 1)(2n^2 + n) = n(n + 1)(2n + 1)
: \sum_{k=0}^n k^2 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6} &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(Պնդումներում օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը։ \sum_{k=0}^n k = \frac{(n + 1)n} {2}, որի դուրսբերումը նման է արդեն դուրսբերվածին։)

**Դուրսբերում․ Ձև 2․**

**Անհայտ գործակիցների մեթոդ․**

: Նկատենք, որ N աստիճանի ֆունկցիայի գումարը արտահայտված է ինչպես N+1աստիճանի ֆունկցիա։
:\sum_{k=0}^n k^2 = f(n) = An^3 + Bn^2 + Cn + D
:f(0) = 0 ; f(1) = 1 ; f(2) = 5 ; f(3) = 14
: Կստանանք գծային հավասարումների համակարգ փնտրվող գործակիցների նկատմամբ։
:
 \begin{cases}
  0A + 0B + 0C + D = 0 \\
  A + B + C + D= 1 \\
  8A + 4B + 2C + D = 5\\
  27A + 9B + 3C + D = 14 \\
 \end{cases}
 
: Լուծելով կստանանք․  A = \frac{1} {3}, B = \frac{1} {2}, C = \frac{1} {6}, D = 0
: Այսպիսով․
:\sum_{k=0}^n k^2 = f(n) = \frac{1} {3}n^3 + \frac{1} {2}n^2 + \frac{1} {6}n + 0 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6}

## [[Կոմպլեքս թիվ|Կոմպլեքս թվի]] քառակուսի
Կոմպլեք թվի հանրահաշվական տեսքի քառակուսին կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևերով։

: \left(a+bi\right)^2 = \left(a^2 - b^2\right) + 2abi.

Նմանատիպ եռանկյունաչափական բանաձև կոմպլեքս թվի համար։

: \left(r\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\right)^2 = r^2\left(\cos{2\phi}+i\sin{2\phi}\right).

## Երկրաչափական իմաստ
Թվի քառակուսին հավասար է այն քառակուսու մակերեսին, որի կողմը հավասար է տրված թվին։

## Գրականություն
* Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики. Пер. с англ. —М.: Мир, 1998. —703 с.

## Տես նաև
* Քառակուսի արմատի հաշվումը քառակուսի բարձրացնելու հակառակ ֆունկցիան է։
* Թվի խորոնարդ
* Ավելի բարձր աստիճանների ընդհանրացում

## Ծանոթագագրություն

Կատեգորիա:Հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Ունար գործողություններ
Կատեգորիա:Տարրական թվաբանություն