Մակերևույթ

thumb|300px|աջից|Պարզ մակերևույթի օրինակ
**Մակերևույթ**, երկրաչափություն և երկկողմանի տոպոլոգիական բազմազանություն։

Մակերևույթների ամենահայտնի օրինակները երկրաչափական մարմինների սահմաններն են, սովորական եռաչափ էվկլիդիայի տարածքում։ Մյուս կողմից, գոյություն ունեն մարմիններ  (օրինակ, Կլայնի շիշը), որոնք հնարավոր չէ տեղադրել եռաչափ էվկլիդիայի տարածության մեջ` առանց ներգրավելով եզակի կետի ֆունկցիայով կամ էլ սեփական հատման կետի։ Մակերեւույթի «երկչափություն» նշանակում է դրա վրա կոորդինատային համակարգի  մեթոդների կիրառում, սկակայն ոչ բոլոր կետերի համար։ Այսպիսով Երկրի մակերեսը (իդեալական) երկկողմանի գունդ է, յուրաքանչյուր կետի լայնությունը և երկայնությունը նրա կոորդինատներն են (բացառությամբ բևեռների և 180-րդ միջօրեականի)։ Մակերեսի հասկացությունը կիրառվում է ֆիզիկայի, ճարտարագիտության, համակարգչային գրաֆիկայի և  ֆիզիկական օբյեկտների ուսումնասիրման այլ բնագավառներում։ Օրինակ, ինքնաթիռի աերոդինամիկական հատկությունների վերլուծությունը հիմնված է իր մակերևույթի շուրջ օդային հոսքի վրա։

## Խնդրի ձևերը
Մակերեսը սահմանվում է որպես բազմաթիվ կետեր, որոնց կոորդինատները բավարարում են որոշակի տեսակի հավասարումների`
: F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1)

Եթե որոշ կետերում F(x,\,y,\,z) ֆունկցիան անընդհատ է և շարունակական մասնիկի ածանցյալներ, որոնցից առնվազն մեկը չի զրոյանում, ապա այդ կետի մոտակայքում մակերեսը (1) հասավասարումում, կլինի *կանոնավոր մակերևույթ*։ Բացի վերը նշվածից *անուղղակի խնդրի լուծման ձևից*, մակերեսը որոշվում է ուղղակի, եթե փոփոխականներից մեկը՝ օրինակ z-ը, կարելի է արտահայտել մյուսներով՝
: z=f(x,y)\qquad (1')

Կա նաև խնդրի պարամետրային լուծում։ Այս դեպքում մակերեսը հաշվվում է հավասարումների համակարգով`
: \left\{ \begin{array}{ccc} 
x &=& x(u,v) \\
y &=& y(u,v) \\
z &=& z(u,v)
\end{array}\right.\qquad (1*)</math>

== Պարզ մակերևույթի հասկացություն ==
Ինտուիտիվ կերպով պարզ մակերեսը կարելի է պատկերացնել ինչպես [[հարթություն|հարթության]] մի կտոր, ենթարկված [[անընդհատ արտապատկերում|անընդհատ]] [[դեֆորմացիա|դեֆորմացված]] ([[աֆինական ձևափոխություն|ձգավծ, սեղմված]] և ճգված)։

Ավելի որոշակի` *'պարզ մակերևույթը**  կոչվում է պատկերի [[հոմեոմորֆիզմ]] արտացոլումը (այսինքն փոխադարձ համարժեք և փոխադարձ  չընդատվող արտացոլումը)  քառակուսու մեջ միավորվող։ Այս սահմանումը կարող է տրվել  անալիտիկ արտահայտմամբ։

Դիցուք  հարթության վրա ուղղանկյուն համակարգով կոորդինատներ <math>u</math> և <math>v</math> տրված է [[քառակուսի]], ներքին կետերի կոորդինատները, որոնք  բավարարում են անհավասարություններին <math>0 < u < 1, 0 < v < 1</math>: Քառակուսու հոմեոմորֆային պատկերը տարածության մեջ [[դեկարտյան կոորդինատների համակարգ]]ով <math>x, y, z</math> տվում է բանաձևի միջոցով <math>x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v)</math> ([[մակերեսի պարամետրային սահմանում]])։ Այս դեպքում ֆունկցիան <math>x(u, v), y(u, v)</math> и <math>z(u, v)</math> պահանջում է, այնպես որ նրանք [[անընդհատ ֆունկցիա|անընդհատ]] են և նաև տարբեր կետերի համար <math>(u, v)</math> և <math>(u', v')</math> համապատասխանաբար լինեն տարբեր կետեր <math>(x,y,z)</math> և <math>(x', y', z')</math>։

''Պարզ մակերևույթի''  օրինակ է հանդիսանում կիսագունդը։ Ամեն դեպքում  [[գունդ]]ը չի հանդիսանում ''պարզ մակերևույթ''։ Սա պահանջում է մակերեսի հասկացության հետագա ընդհանրացում։

Տիեզերքի ենթաբազմությունը, որի յուրաքանչյուր կետ ունի միջակայք, հանդիսանում է ''պարզ մակերևույթ'', կոչվում է **ճիշտ մակերևույթ։**

== Դիֆերենցիալ երկրաչափական մակերևույթ ==
[[Դիֆերենցիալ երկրաչափություն|Դիֆերենցիալ երկրաչափության]] մեջ ուսումնասիրվող մակերևույթները սովորաբար ենթարկվում են պայմանների, կապված դիֆերենցիալ  հաշվարկի մեթոդների կիրառման հնարավորության հետ։

Որպես կանոն, դրանք պայմաններ են կապված  մակերևույթի ''ողորկության'' հետ, այսինքն `առանձին մակերեսի յուրաքանչյուր կետում գոյություն ունենի [[շոշոփող]] հարթություն, թեքություններ և այլն։

Այս պահանջներից բխում է, որ ֆունկցիաները, մակերևույթ սահմանող ֆունկցիաները, ենթադրվում է մեկ, երկու, երեք անգամներ և որոշ հարցերում անսահմանափակ անգամներ դիֆերենցիալ ֆունկցիաների կամ էլ նույնիսկ [[անալիտիկ ֆունկցիա]]ներով։ Բացի այդ, օրինաչափության պայմանը պարտադիր է։

**Տրված է անհայտով  խնդիր**՝ մակերևույթ, տրված է հավասարում <math>F(x,\,y,\,z)=0,\; F:\Omega\to\mathbb{R}^3</math>, հանդիսանում է ''հարթ մակերես'', եթե
<math>\exist P_0(x_0,\,y_0,\,z_0):\;F(x_0,\,y_0,\,z_0)=0</math>,  <math>F</math> ֆունկցիան  [[անընդհատ դիֆերենցիալ]] է իր տարածքում <math>\Omega</math> որոշելու համար, և դրա մասնակի ածանցյալները միաժամանակ չեն վերանում (ճշգրտության պայման) <math>\Omega</math> չի հավասարվում զրոյի։
: <math>\left( \frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2>0</math>

**Պարամետրային նշանակության խնդիր** Սահմանենք մակերևույթը  [[վեկտորային ֆունկցիա]]յով <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v)</math>, կամ  նույնը, երեք հավասարումներ համակարգով՝
: <math>\left\{ \begin{array}{ccc} 
x &=& x(u,v) \\
y &=& y(u,v) \\
z &=& z(u,v)
\end{array}\right.\quad (u,\,v)\in\Omega</math>

Այս հավասարումների համակարգը սահմանում է ''հարթ մակերեսը'', եթե պահպանվել են պայմանները՝
* համակարգը հաստատում է պատկերի և նախատիպի միջև մեկից-մեկ հաղորդումը <math>\Omega</math>
* <math>x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)</math> ֆունկցիան չընդհատվող դիֆերենցիալ է <math>\Omega</math>
* պահպանվել է անհավասարության պայմանները
: <math>\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}z'_u & z'_v \\ x'_u & x'_v \end{vmatrix}^2>0</math>

Երկրաչափական վերջին պայմանը նշանակում է, որ վեկտորները <math>\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}</math> զուգահեռ չեն։
[[Պատկեր:Sphere-wireframe.png|thumb|left|Կոորդինատային ցանց գնդոլորտի վրա]]

Պարամետրեր ''u, v'' կարելի է դիտել որպես մակերևույթի ներքին կետերի  կոորդինատներ։ Ֆիքսելով կոորդինատներից մեկը, մենք ունենում են երկու օջախ **կորերի կոորդինատներ**, որոնք մակերևույթը ծածկում են կոորդինատային ցանցով։

**Պարզ խնդիր**։ <math>S</math> մակերևույթը կարող է սահմանվել որպես ֆունկցիայի գրաֆիկ <math>z=f(x,y)</math>՝  երբ  <math>S</math> հանդիսանում է ''հարթ մակերևույթ'', եթե  <math>f</math> ֆունկցիան դիֆերենցվում է։  Այս տարբերակը կարելի է դիտել որպես մասնավոր դեպք պարամետրային խնդիրներում՝ <math>x=u;\ y=v;\ z=f(u,v)</math>։

=== Շոշափողի գծի հարթություն ===
[[Պատկեր:Tangentialvektor.svg|thumb|Մակերևույթի կետով տարված շոշոփող հարթություն]]
**Շփվող հարթություն՝** հարթ մակերևույթի առումով՝ սա հարթություն է, որը ունի առավելագույն կարգի շփումը այս կետի մակերևույթի հետ։ Համարժեք տարբերակը սահմանվում է՝ շփվող հարթությունը դա հարթություն է, որը  ներառում է շոշափող ուղիղներ,  որոնք շփում են այդ կետով անցնող բոլոր ուղիղ կորերին։

Դիցուք հարթ կորը պարամետրային խնդրում տրված ՝ <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v)</math> ձևով՝
: <math>u = u(t);\ v = v(t)</math>.

Ուղղությամբ <math>\mathbf{v}</math> կոր շփվողը դառում է վեկտոր՝ 
: <math>\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} \frac{du}{dt} + \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} \frac{dv}{dt}</math>

Այստեղից պարզ է դառնում, որ բոլոր շոշափողները հատվում են կորի նույն կետում, և գտնվում են միևնույն հարթության վրա՝ վեկտոր պարունակող <math>\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}</math>, որը մենք վերևում նշել ենք, որ չեն հատվում։

Նույն կետի շոշափողի հավասարումը ունի հետևյալ տեսքը՝  <math>\mathbf{r_0}=(x_0, y_0, z_0)</math> 
: <math>\left(\mathbf{r} - \mathbf{r_0}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}\right) = 0\quad</math> ([[խառն արտադրյալ]]ով վեկտորներ).

Հավասարման մեջ շոշափողի կոորդինատները տարբեր խնդիրների համար ներկայացված են աղյուսակում՝


Բոլոր ածանցյալները վերցվում է կետից՝ <math>(x_0,y_0,z_0)</math>։

=== Մետրական և ներքին երկրաչափություն ===
Կրկին քննարկենք հարթ կորը՝ 
: <math>u = u(t);\ v = v(t)</math>

Նրա [[երկարություն|երկարության]] տարրը որոշվում է հարաբերակցությունից՝
: <math>ds^2 = |d\mathbf{r}|^2 = \left(\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} du + \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} dv\right)^2 = E\,du^2 + 2 F\,du\,dv + G\,dv^2</math>,
որտեղ  <math>E=\mathbf{r'_u}\mathbf{r'_u};\ F=\mathbf{r'_u}\mathbf{r'_v};\ G=\mathbf{r'_v}\mathbf{r'_v}</math>.

Այս քառանկյուն ձևը կոչվում է առաջին քառակուսի ձև և իրենից ներկայացնում է երկակի ձևի մետրիկ մակերևույթ։ Կանոնավոր մակերևույթի համար [[դիսկրիմինանտ]]։ Մասնավորապես, հարթ մակերևույթում դեկարտյան կոորդինատները <math>u,\ v</math> մետրիկայում ստացվում է <math>ds^2 = du^2 + dv^2</math> ([[Պյութագորասի թեորեմ]])։
[[Պատկեր:Helicoid.PNG|thumb|Հելիկոիդ]]
[[Պատկեր:Catenoid.png|thumb|Կատենոիդ]]
Մետրիկան բացառապես չի որոշում մակերևույթի ձևը։ Օրինակ՝ [[հելեկոիդ]]ի և կատենոիդի  մետրային չափումը,  համապատասխան պարամետրերով, համընկնում է այսինքն նրանց միջև կա համապատասխան հեռավորություն պահպանելով ամբողջ երկարությունը ([[իզոմետրիա]])։  Հատկություններ, որոնք պահվում են իզոմետրիկ փոփոխությունների ժամանակ, կոչվում են  **ներքին երկրաչափական*' մակերևույթ։ Ներքին երկրաչափական մակերևույթը կախված չէ տարածության մեջ մակերևույթի դիրքից և չի փոփոխվում նրա տարածքի մեջ թեքվելուց և սեղմվելուց (օրինակ, [[գլան]]ը թեքվելիս [[կոն]])։

Մետրային գործակիցները <math>E,\ F,\ G</math> որոշում են  ոչ միայն բոլոր կորերի երկարությունները, ինչպես նաև   մակերևույթի ներսում բոլոր չափումների արդյունքները (անկյունները, մակերեսը, [[կորություն]]ը և այլն)։ Հետևաբար  այն ամենը ինչը կախված է մետրային չափումներից, վերագրվում են ներքին երկրաչափությանը։

=== Ուղղահայաց և  կանոնավոր հատում ===
[[Պատկեր:Surface normal.png|thumb|Մակերևույթի կետերում տարված նորմալ վեկտորներ]]
Մակերևույթի հիմնական հատկանիշներից մեկն է հանդիսանում [[նորմալ]]ը՝  միավոր վեկտորը, ուղղահայաց շոշափողի հարթությունը  տրված կետում՝ շոշափողի հարթությունը  տրված կետում՝  մակերևույթում որոշակի անկյուն <math>\theta</math>։  Այս դեպքում կորությունը <math>k</math>կորը կապված է կորության հետ <math>k_n</math>կանոնավոր հատումը (նույն շոշափողով) [[Մյոնի թեորեմ]]ն է։
: <math>k_n = \pm k\,\cos\,\theta</math>

Մակերեսի որոշման տարբեր եղանակների համար նորմալի միջանկյալ կոորդինատները ներկայացված են աղյուսակում՝

Որտեղ  <math>\frac{D(y,z)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(z,x)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix} z'_u & z'_v\\ x'_u & x'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}</math>.

Բոլոր ածանցյալները վերցված են հետևյալ կետից՝  <math>(x_0,y_0,z_0)</math>.
[[Պատկեր:Gaussian curvature.PNG|thumb|Բացասական (ձախից), զրոյական (կենտրոնում) և դրական (աջից) կորություն ունեցող մակերևույթներ։]]

=== Մակերես ===
Մակերևույթի կարևոր հատկանիշներից է նրա մակերեսը, որը հաշվարկվում է բանաձևով՝
: <math>S=\iint\,|[\mathbf{r}'_u\times\mathbf{r}'_v]|\;\mathrm{d}\,u\,\mathrm{d}\,v</math>

Որտեղ  <math>\mathbf{r}'_u=\left\{\frac{\partial x}{\partial u},\,\frac{\partial y}{\partial u},\,\frac{\partial z}{\partial u}\right\},\ \mathbf{r}'_v=\left\{\frac{\partial x}{\partial v},\,\frac{\partial y}{\partial v},\,\frac{\partial z}{\partial v}\right\}</math>.

Կոորդինատներում ստանում ենք՝ 


== Մակերևույթը տոպոլոգիայի մեջ ==
=== Կողմնորոշում ===
[[Պատկեր:Möbius strip.jpg|thumb|Մյոբիուսի ժապավենը]]
Մակերևույթի կարևոր առանձնահատկություն է  նրա *կողմնորոշումը*։

Մակերևույթը կոչվում է *երկկողմանի*, եթե նա ամբողջ երկարությամբ  ունի շարունակական նորմալ վեկտոր։ Հակառակ դեպքում մակերևույթը անվանում են  *միակողմանի։*

*Ուղղորդված'' կոչվում է երկկողմանի մակերևույթը ընտրված նորմալի ուղղությամբ։

Հետևաբար միակողմանի մակերևույթների  օրինակներ են ոչ կողմնորոշված մակերևույթները՝ Կլայնի շիշը կամ Մյոբիուսի թերթը։

### Տոպոլոգիական  ձևի մակերևույթներ
Ըստ տոպոլոգիական կառուցվածքի, մակերևույթները լինում են  ինպես երկակի, այնպես էլ բազմաձև։
* փակ և բաց
* Կողմնորոշված և ոչ կողմորոշված
* և այլն

## Ընդհանրացում
Տեսության բազմաշերտ անալոգային տեսակների մասին, տես՝
* Հիպերմակերևույթ
* Բազմաձևություն
* Թենզորային վերլուծություն

## Գրականություն
* 
* 
* 
* 
* 

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
* The Classification of Surfaces and the Jordan Curve Theorem

Կատեգորիա:Մակերևույթներ
Կատեգորիա:Վերլուծական երկրաչափություն
Կատեգորիա:Տոպոլոգիա