Գրավիտացիոն պոտենցիալ

thumb|300px|Գրավիտացիոն պոտենցիալի երկչափ հատույթի գծագիրը համասեռ սֆերիկ մարմնի շրջակայքում
**Գրավիտացիոն պոտենցիալ**, կոորդինատների և ժամանակի սկալյար ֆունկցիա, որը բավարար է  գրավիտացիոն դաշտի լրիվ նկարագրման համար դասական մեխանիկայում։ Գրավիտացիոն պոտենցիալն ունի արագության քառակուսու չափականությունը և սովորաբար նշանակվում է \varphi տառով։ Հավասար է գրավիտացիոն դաշտի դիտարկվող կետում գտնվող նյութական կետի պոտենցիալ էներգիայի և այդ կետի զանգվածի հարաբերությանը։ Գրավիտացիոն պոտենցիալի հասկացությունն առաջին անգամ ներմուծել է Ադրիեն Մարի Լեժանդրը 18-րդ դարի վերջին։

Գրավիտացիայի ժամանակակից տեսություններում գրավիտացիոն պոտենցիալի դերում սովորաբար թենզորական դաշտերն են։ Այսպես, գրավիտացիայի ներկայիս ստանդարտ տեսությունում՝ հարաբերականության հատուկ տեսությունում գրավիտացիոն պոտենցիալի դերը խաղում է մետրիկ թենզորը։

## Գրավիտացիոն պոտենցիալ և շարժման հավասարումներ
Դասական մեխանիկայում մասնիկի շարժումը գրավիտացիոն դաշտում որոշվում է Լագրանժի ֆունկցիայով, որը իներցիալ հաշվարկման համակարգում հետևյալ տեսքն ունի՝

:L=\frac{m\dot q^2}{2}-m\varphi, որտեղ m֊ը մասնիկի զանգվածն է, q֊ն՝ կոորդինատները, \varphi֊ն՝ գրավիտացիոն դաշտի պոտենցիալը։

*L* լագրանժյանի համար արտահայտությունը տեղադրելով Լագրանժի հավասարման մեջ՝

:\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0,

ստանում ենք շարժման հավասարումները՝

:\ddot q= - grad (\varphi):

## Գրավիտացիոն պոտենցիալը և համարժեքության սկզբունքը
Դասական մեխանիկայում գրավիտացիոն դաշտում մասնիկի շարժման հավասարումները չեն պարունակում զանգվածը կամ մասնիկը բնութագրող այլ մեծություն։ Դա գրավիտացիոն դաշտի հիմնական հատկության՝ համարժեքության սկզբունքի արտահայտությունն է։

## Կետային մասնիկի և կամայական մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալը
Կետային մասնիկի գրավիտացիոն պոտենցիալը հավասար է 
:\varphi=-\frac{Gm}{R}, 
որտեղ  G֊ն գրավիտացիոն հաստատունն է, m֊ը՝ մասնիկի զանգվածը, R֊ը՝ հեռավորությունը մասնիկից։ Այս նույն բանաձևն արդարացի է ցանկացած մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալի համար, որի ներսում խտությունը սֆերրիկ սիմետրիկ է բաշխված։

Կամայական \rho խտությամբ բաշխված զանգվածով մարմնի համար գրավիտացիոն պոտենցիալը բավարարում է Պուասսոնի հավասարմանը․ 
:\Delta \varphi=-4 \pi G \rho, 
որտեղ \Delta֊ն Լապլասի օպերատորն է, \rho֊ն՝ զանգվածի բաշխման ծավալային խտությունը դիտարկվող կետում։ Այս հավասարման ընդհանուր  լուծումն ունի հետևյալ տեսքը՝ 
:\varphi=-G\int_{V}\frac{\rho dV}{r},, 
որտեղ r֊ը dV ծավալի տարրի հեռավորությունն է դաշի դիտարկվող կետից, իսկ ինտեգրումը կատարվում է դաշտը ստեղծող մարմնի ամբողջ ծավալով։  Սիմետրիկ մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալը սիմետրիկ է։

## Գրավիտացիոն պոտենցիալը և պոտենցիալ էներգիան
Մասնիկի պոտենցիալ էներգիան գրավիտացիոն դաշտում հավասար է նրա զանգվածի և դաշտի պոտենցիալի արտադրյալին։ Զանգվածի կամայական բաշխման դեպքում պոտենցիալ էներգիայի համար ճիշտ է

:U=\frac{1}{2}\int{\mu \varphi dV}, \qquad\qquad (1)

արտահայտությունը, որտեղ \mu֊ն մարմնի զանգվածի խտությունն է, \varphi֊ն՝ գրավիտացիոն պոտենցիալը, V֊ն՝ մարմնի  ծավալը։

## Հաստատուն գրավիտացիոն դաշտի գրավիտացիոն պոտենցիալ
Կամայական մարմնի համար գրավիտացիոն պոտենցիալի բանաձևն ունի

:\varphi=-G\left(\frac{M}{R_0}+\frac{1}{6}D_{\alpha\beta}\frac{\partial^2}{\partial{X_\alpha}\partial{X_\beta}}\frac{1}{R_0}+...\right)\qquad\qquad (2),

տեսքը, որտեղ M = \int \mu dV֊ը համակարգի լրիվ զանգվածն է, իսկ 
:D_{\alpha\beta}=\int \mu (3x_{\alpha}x_{\beta}-r^2\delta_{\alpha\beta}) dV

մեծությունները կարելի է անվանել զանգվածի քվադրուպոլմոմենտի թենզոր։ Սովորական

:J_{\alpha\beta}=\int \mu (r^2\delta_{\alpha\beta}-x_{\alpha}x_{\beta}) dV
իներցիայի մոմենտի թենզորի հետ այն կապված է

:D_{\alpha\beta}=J_{\gamma\gamma}\delta_{\alpha\beta}-3J_{\alpha\beta}
առնչություններով։

## Մոլորակների  գրավիտացիոն պոտենցիալը
Ընդհանուր դեպքում ցանկացած տիեզերական մարմնիի գրավիտացիոն պոտենցիալը կարելի է վերլուծել ըստ սֆերիկ ֆունկցիաների՝

: U=\frac{GM}{r}\left(1-\sum_{n=2}^{\infty}J_n\left(\frac{R}{r}\right)^nP_n(\sin\theta)+\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{k=2}^n \left(\frac{R}{r}\right)^n(C_{nm}\cos(m\lambda)+S_{nm} \sin(m\lambda)) P_n^k(\sin\theta)\right)։

Այստեղ r, \theta, \lambda֊ը դիտարկվող կետի սֆերիկ կոորդինատներն են, P_{n}֊ն՝ Լեժանդրի n-րդ կարգի բազմանդամը, P_{n}^{k}֊ը՝  Լեժանդրի միակցված բազմանդամները, J_{n}, C_{nm}, S_{nm}֊ը՝ գրավիտացիոն մոմենտները։

## Գրավիտացիոն պոտենցիալը և մարմնի գրավիտացիոն էներգիան
Մարմնի գրավիտացիոն էներգիանն ստացվում է՝ ինտեգրելով (1) արտահայտությունը մարմնի ծավալով, պոտենցիալի համար օգտագործելով  (2) արտահայտությունը։  *m* զանգվածով,  *a* շառավղով, զանգվածի խտության հավասարաչափ բաշխումով գնդի համար ստացվում է մարմնի  *U* գրավիտացիոն էներգիայի արտահայտությունը՝

:U=\frac{-3Gm^2}{5a}։

## Գրավիտացիոն պոտենցիալը և հարաբերականության ընդհանուր տեսությունը
հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ նյութական կետի շարժման հավասարումը գրավիտացիոն դաշտում ունի  
:\frac{d^{2}x^{i}}{ds^2} + \Gamma^{i}_{rs}\frac{dx^r}{ds}\frac{dx^s}{ds} = 0, 
տեսքը, որտեղ \Gamma^{i}_{rs} = \frac{g^{ik}}{2}(\frac{dg_{kr}}{dx^{s}} + \frac{dg_{ks}}{dx^{r}} - \frac{dg_{rs}}{dx^{k}})֊ն  Քրիստոֆելի սիմվոլներն են, g_{ik}֊ն մետրիկ թենզորն է, որը հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ բնութագրում է գրավիտացիոն դաշտը։

Այս շարժման հավասարումները համեմատելով \frac{d^{2}x^{i}}{dt^{2}} = -\frac{d\varphi}{dx^{i}} շարժման հավասարումների հետ տեսնում ենք, որ  \varphi գրավիտացիո պոտենցիալի դերը հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ խաղում է մետրիկ թենզորը։ 
Լույսի արագությունից փոքր արագությունների և թույլ հաստատուն գրավիտացիոն դաշտերի դեպքում շարժման հավասարումներն ընդունում են
:\frac{d^{2}x^{i}}{dt^{2}} = -c^{2} \Gamma^{i}_{44} 
տեսքը i=1,2,3 տարածական և x^{4}=ct ժամանակային կոորդինատների համար։ Անտեսելով ըստ ժամանակի ածանցյալները, \Gamma^{i}_{44}֊ի փոխարեն կարելի է տեղադրել -\frac{1}{2}\frac{dg_{44}}{dx^{i}} և այսպիսով ստանալ 
:\frac{d^2x^i}{dt^2}=-\frac{d\varphi}{dx^{i}}
շարժման նյուտոնյան հավասարումները։ Այստեղ \varphi գրավիտացիոն պոտենցիալը և մետրիկ թենզորի g_{44} բաղադրիչները կապված են  
:\varphi = -\frac{1}{2}c^{2}(g_{44}+1), g_{44}=-\left(1+\frac{2\varphi}{c^2}\right)
առնչություններով։

Քանի որ դադարի վիճակում գտնվող ժամացույցի համաշխարհային գիծը հավասար է 
:ds^{2} = g_{44}(dx^4)^2, 
իսկ ժամանակը՝  
:t=\frac{x^4}{c}, 
ապա ժամացույցի դանդաղումը գրավիտացիոն դաշտում կլինի 
:t_g = \frac{t}{\sqrt{-g_{44}}} = \frac{t}{\sqrt{1+\frac{2\varphi}{c^2}}} \approx t(1-\frac{\varphi}{c^2})։

Գրավիտացիոն պոտենցիալի ավելի փոքր արժեքով կետում Ժամանակի ընթացքի հարաբերական դանդաղումը  համեմատած ավելի մեծ գրավիտացիոն պոտենցիալով կետի հետ հավասար է այդ կետերում գրավիտացիոն պոտենցիալի տարբերության և լույսի արագության քառակուսու հարաբերությանը։

## Տես նաև
* Նյուտոնի դասական ձգողության տեսություն

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., «Теоретическая физика», учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 1, «Механика», 5-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2002, 224 с., ISBN 5-9221-0055-6 (т. 1), гл. 1 «Уравнения движения», п. 2 «Принцип наименьшего действия», с. 10-14;
* Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., «Теоретическая физика», уче. пособ. для вузов, в 10 т. / т. 2, «Теория поля», 8-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2001, 536 с., ISBN 5-9221-0056-4 (т. 2), гл. 10 «Частица в гравитационном поле», п. 81 «Гравитационное поле в нерелятивистской механике», с. 304—306; гл. 12 «Поле тяготеющих тел», п. 99 «Закон Ньютона», с. 397—401;
* С. Вейнберг, «Гравитация и космология», Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред. Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 3 «Принцип эквивалентности», п. 4 «Ньютоновское приближение», с. 92-93;
* К. В. Холшевников, И. И. Никифоров Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах: Учебное пособие. — С-Пб., 2008. — 72 с., ББК 22.6.
* 

Կատեգորիա:Գրավիտացիա
Կատեգորիա:Դասական մեխանիկա
Կատեգորիա:Էներգիա (ֆիզիկա)