Պոյնտինգի թեորեմ

**Պոյnնտինգի թեորեմ**, էներգիայի պահպանման օրենքը էլեկտրադինամիկայում։

:W=\int_V\left(\frac{\overline{E}\overline{D} }{2}+\frac{\overline{H}\overline{B} }{2}\right)dV=\int_V\left(\frac{\epsilon_aE^2}{2}+\frac{\mu_aE^2}{2}\right)dV

Ժամանակի մեջ էլեկտրական և մագնիսական փոխազդեցության հետ միասին փոխվում են նաև էլեկտրական էներգիայի և մագնիսական էներգիայի ծավալային խտությունները։ Բացահայտելու համար, թե ինչ է տեղի ունենում ամբողջ էներգիայի հետ, Մաքսվելի հավասարումներից գտնենք ածանցյալների արժեքները,

:\begin{align}
&\epsilon_a\frac{\partial\overline{E} }{\partial t}=\text{rot}\overline{H}-\overline{j} \\
&\mu_a\frac{\partial\overline{H} }{\partial t}=-\text{rot}\overline{E}
\end{align}


Առաջին հավասարումը սկալյար բազմապատկելով Ē-ով, իսկ երկրորդը H վեկտորով-ով ստանում ենք

Բայց,

:
\begin{align}
&\overline{E}\frac{\partial\overline{E} }{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\overline{E}^2\right)=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(E^2\right) \\
&\overline{H}\frac{\partial\overline{H} }{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\overline{H}^2\right)=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(H^2\right) \\
\end{align}


Սակայն համաձայն նույնության

:\overline{E}\;\text{rot}\;\overline{H}-\overline{H}\;\text{rot}\;\overline{E}=-\text{div}\left(\overline{E}\times\overline{H}\right)

1 հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ տեսքեվ

:\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\epsilon_aE^2}{2}+\frac{\mu_aH^2}{2}\right)=-\text{div}\left(\overline{E}\times\overline{H}\right)-\overline{j}\overline{E}

կամ ինտեգրելով ըստ ծավալի և փոխելով նշանը կունենանք՝

:-\frac{\partial}{\partial t}\int_V\left(\frac{\epsilon_aE^2}{2}+\frac{\mu_aH^2}{2}\right)dV=\int_V\overline{j}\overline{E}dV+\int_S\overline{\Pi}d\overline{S}

Օգտվելով Օստոգրադսկիի թեորեմից, վերափոխենք հավասարման առաջին մասի առաջին ինտեգրալը S մակերեսով, որը սահմանափակում է դիտարկվող ծավալը

:\int_V\text{div}\left(\overline{E}\times\overline{H}\right)dV=\int_S\left(\overline{E}\times\overline{H}\right)dS

Այնուհետև նշանակելով

:\overline{E}\times\overline{H}=\overline{\Pi}

կստանանք

(2) հավասարումը իրենից ներկայացնում է էլեկտրամագնիսական դաշտում էներգիայի պահպանման օրենքը։

Հավասարման ձախ կողմը իրենից ներկայացնում է դիտարկվող ծավալում հակառակ նշանով էներգիայի ամբողջ պաշարի փոփոխության արագության ժամանակի մեջ։
Աջ հատվածի առաջին անդամը իրենից ներկայացնում է ծավալի հաջորդող մասերում հզորության կորուստը։
Առաջին հատվածի երկրորդ անդամը իրենից ներկայացնում է էներգիայի խտության վեկտորի հոսքը, որը միավոր ժամանակում անցնում է  S մակերեսով։
Այսպիսով՝

Համաձայն վեկտոր Π-ի սահմանման՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիան յուրաքանչյուր կետում շարժվում է հարթությանն ուղղահայաց, որը ձևավորվել է Ē և H վեկտորների շնորհիվ, որը համընկնում է աջ ուղղությամբ շարժման հետ, որը նվազագույն անկյունով պտտվում է Ē վեկտորից H վեկտոր։
(3) հավասարումը հաստատում է, որ էլելտրամագնիսական դաշտի պաշարը կամայական ծավալի մեջ պայմանավորված է, առաջին հերթին, նրա մի մասի վերածմանը ջերմության, և երկրորդ, տարածության մեջ մակերևույթով էներգիայի շարժմամբ, որը սահմանափակվում է ծավալով։

Դիտարկված հավասարումը կոչվում է Ումով-Պոյտինգի թեորեմ։ Այս անվանումը տրված է ի պատիվ հայտնի ռուս գիտնական Ումովի, ով առաջին անգամ դիտարկել և հետազոտել է տարբեր տեսակի էներգիաների հոսքը տարբեր միջավայրերում, և ի պատիվ անգլիացի ֆիզիկոս Պոյնտինգի, ով հետազոտել է նմանատիպ հարցեր՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի վերաբերյալ։

Կատեգորիա:Էլեկտրադինամիկա