Դիոֆանտյան հավասարում

մինի|Գտնելով ուղղանկյուն եռանկյան բոլոր կողմերը, կարող ենք լուծել հետևյալ Դիոֆանտյան հավասարումը՝ :

Մաթեմատիկայում **Դիֆանտյան հավասարում,** այնպիսի հավասարում է, որը պարունակում է սովորաբար երկու կամ ավելի անհայտ։ Ի տարբերություն սովորական գծային հավասարումների Դիոֆանտյան հավասարումների պահանջն է գտնել հավասարման այնպիսի լուծումներ, որոնք կպատկանեն ամբողջ թվերի բազմությանը։ **Գծային դիֆանտանտային հավասարումը** հիմնականում կազմվում է կամ զրոյական, կամ առաջին աստիճանի որոշակի միանդամների գումարից։ **Ցուցչային Դիոֆանտյան հավասարումը** մի այնպիսի հավասարում է, որում անհայտ կարող են հանդիսանալ նաև հավասարման ցուցիչները։

**Դիոֆանտյան խնդիրներում** հիմնականում տրված է լինում ավելի քիչ հավասարումներ, քան անհայտներն են և պահանջվում է գտնել այնպիսի լուծումներ, որոնք կբավարարեն բոլոր հավասարումների պահանջներին։

«Դիոֆանտյան» բառը կապված է 3-րդ դարի մաթեմատիկոս Դիոֆանտուսին, ով նմանատիպ հավասարումների ուսումնասիրություններ է կատարել և առաջին մաթեմատիկոսներից էր, ով սկսեց հանրահաշվում օգտագործել, որոշակի սիմվոլներ։ Մաթեմատիկայի այն ճյուղը, որը ուսումնասիրում է դիոֆանտյան հավասարումները, կոչվում է **Դիոֆանտյան անալիզ**։

## Օրինակներ
Բերված Դիոֆանտյան հավասարումներում , , , և   տառերը տրված են, որպես անհայտներ, իսկ մնացած տառերը հաստատուն են։

## Գծային Դիոֆանտյան հավասարումներ
### Մեկ հավասարում
Պարզագույն Դիոֆանտյան հավասարումէ հանդիսանում հետևյալը՝ , որտեղ ,  և   տրված ամբողջ թվեր են։ Լուծումները բնութագրվում են հետևյալ թեորեմով՝
: *Այս Դիոֆանտյան հավասարումը ունի լուծում*  (որտեղ  և   տրված ամբողջ թվեր են) *եթե միայն*  *թիվը հանդիսանում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար*  *և*   *թվերի համար,* *ավելին եթե*  *թվազույգը կարող է հանդիսանալ հավասարման լուծում, ապա հավասարման մյուս լուծումը ունի հետևյալ կազմությունը՝* , *որտեղ*  թիվը կամայական թիվ է*, իսկ*  *և*  *թվերը քանորդ են հանդիսանում*  *և*  *թվերի(համապատասխանաբար)* *համար*։

### Չինական մնացորդի թեորեմ
Չինական մնացորդի թեորեմը ներկայացնում է  մի շատ կարևոր դաս, որը բնութագրում է Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգը։ Դիցուք՝   թվերը և   փոխադարձաբար պարզ են և մեծ են մեկից, իսկ   թվերը  քանորդ,   թիվը հանդիսանա արտադրյալ . թվերի համար, ապա ըստ թեորեմի հավասարման լուծումների միջակայքը կպատկանի , ընդ որում՝
: \begin{align}
x&= a_1 + n_1\,x_1\\
&\vdots\\
x&=a_k+n_k\,x_k
\end{align}

### Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգեր
Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգեր կարելի է լուծել օգտվելով մատրիքսներից։ Օգտագործելով մատրիքսի գրառման ձևը համակարգում գտնվող յուրաքանչյուր հավասարման համար, կստանանք հետևյալը՝
: ,
որտեղ  -ն   չափի մատրիքս է, իսկ -ը և -ն ունեն համապատասխանաբար հետևյալ չափերը՝  և :

Վերը նշված հավասարումից բացի հաճախ օգտագործվում է նաև այս հավասարումը՝
: 
Որտեղ   հավասար չէ զրոյի, իսկ   թիվը մեծ չէ -ից։ Բանաձևի մնացած բոլոր անդամները կարող են լինել զրոներ։ Հավասարումը երբեմն ներկայացվում է նաև այսպես՝
: .
ընդ որում՝
:  for ,
:  for :
Գրվածը համարժեք է հետևյալին. Տրված սյունակային մատրիքսը լուծում ունի որոշ  դրական ամբողջ թվերի համար, եթե միայն  հավասարումը որոշված է այնպիսի -ի համար, որ :

Եթե բանաձևում տեղադրենք տրված փոփոխականի այնպիսի արժեքներ, ինչպիսիք են՝  և  for , ապա մատրիքսը կունեա հետևյալ տեսքը՝
:  V\,\left[
\begin{array}{c}
\frac{d_1}{b_{1,1}}\\
\vdots\\
\frac{d_k}{b_{k,k}}\\
h_{k+1}\\
\vdots\\
h_n
\end{array}
\right]\,, 
որտեղ   կամայական ամբողջ թվեր են։

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
* Diophantine Equation. From MathWorld at Wolfram Research.
* Diophantine Equation . From PlanetMath.
* Dario Alpern's Online Calculator. Retrieved 18 March 2009

Կատեգորիա:Թվերի տեսություն
Կատեգորիա:Հավասարումներ