Արիստոտելյան ռեալիստական ​​մաթեմատիկական փիլիսոփայություն

Մաթեմատիկայի փիլիսոփայության մեջ **արիստոտելյան ռեալիզմը** պնդում է, որ մաթեմատիկան ուսումնասիրում է այնպիսի հատկություններ, ինչպիսիք են համաչափությունը, անընդհատությունը և կարգը, որոնք կարող են իմմանենտորեն իրականացվել ֆիզիկական աշխարհում (կամ ցանկացած այլ աշխարհում, որը կարող է գոյություն ունենալ): Այն հակադրվում է պլատոնականությանը՝ պնդելով, որ մաթեմատիկայի օբյեկտները, ինչպիսիք են թվերը, գոյություն չունեն «աբստրակտ» աշխարհում, բայց կարող են ֆիզիկապես իրականացվել։ Այն հակադրվում է նոմինալիզմին, ֆիկտիալիզմին և լոգիցիզմին՝ պնդելով, որ մաթեմատիկան պարզապես անունների կամ եզրակացության կամ հաշվարկի մեթոդների մասին չէ, այլ աշխարհի որոշակի իրական ասպեկտների։

Արիստոտելյան ռեալիստները որպես փիլիսոփայական ամենակարևորը շեշտը դնում են կիրառական մաթեմատիկայի, մասնավորապես մաթեմատիկական մոդելավորման վրա՝ մաքուր մաթեմատիկայի փոխարեն։ Մարկ Լանգեն (դե) պնդում է, որ «արիստոտելյան ռեալիզմը թույլ է տալիս մաթեմատիկական փաստերը լինել բացատրողներ՝ առանձնահատուկ մաթեմատիկական բացատրություններում» գիտության մեջ, քանի որ մաթեմատիկական փաստերն իրենք վերաբերում են ֆիզիկական աշխարհին։ Փոլ Թագարդը արիստոտելյան ռեալիզմը նկարագրում է որպես «մաթեմատիկայի ժամանակակից փիլիսոփայություն, որը լավագույնս համապատասխանում է մտքի և գիտության մասին հայտնիին»։

## Պատմություն
Չնայած Արիստոտելը լայնորեն չի գրել մաթեմատիկայի փիլիսոփայության մասին, նրա տարբեր դիտողությունները թեմայի վերաբերյալ ցույց են տալիս թեմայի հետևողական տեսակետ՝ որպես թե՛ աբստրակցիաների մասին, թե՛ տարածության և հաշվարկի իրական աշխարհին կիրառելի։ Մինչև տասնութերորդ դարը մաթեմատիկայի ամենատարածված փիլիսոփայությունը արիստոտելյան տեսակետն էր, որ այն «քանակի գիտություն» է, որտեղ քանակը բաժանվում է շարունակականի (ուսումնասիրվում է երկրաչափության միջոցով) և դիսկրետի (ուսումնասիրվում է թվաբանության միջոցով)։

Արիստոտելյան մաթեմատիկայի փիլիսոփայության մոտեցումները հազվադեպ էին քսաներորդ դարում, բայց դրանք վերածնվել են Պենելոպե Մեդիի կողմից «Ռեալիզմը մաթեմատիկայում» (1990) աշխատության մեջ և մի շարք հեղինակների կողմից 2000 թվականից ի վեր, ինչպիսիք են Ջեյմս Ֆրանկլինը, Անն Նյուսթեդը, Դոնալդ Գիլիսը և ուրիշներ։

## Թվեր և բազմություններ
Արիստոտելյան տեսակետները (կարդինալ կամ հաշվելու) թվերի վերաբերյալ սկսվում են Արիստոտելի այն դիտարկումից, որ կույտի կամ հավաքածուի թիվը հարաբերական է ընտրված միավորին կամ չափին. ««թիվը» նշանակում է չափվող բազմություն և չափերի բազմություն ... չափսը միշտ պետք է լինի ինչ-որ նույնական բան, որը կանխատեսելի է իր չափած բոլոր իրերի համար, օրինակ՝ եթե իրերը ձիեր են, չափսը «ձի» է»։ Գլեն Քեսլերը սա զարգացնում է այն տեսակետի մեջ, որ թիվը կույտի և ունիվերսալի միջև կապ է, որը այն բաժանում է միավորների. օրինակ՝ 4 թիվը իրականացվում է թութակների կույտի և ունիվերսալ «թութակ լինելու» միջև կապի մեջ, որը կույտը բաժանում է այդքան թութակների։

Արիստոտելյան տեսանկյունից, հարաբերությունները սերտորեն կապված չեն կարդինալ թվերի հետ։ Դրանք մեծությունների միջև հարաբերություններ են, ինչպիսիք են բարձրությունները։ Երկու բարձրությունների հարաբերակցությունը կարող է նույնը լինել, ինչ երկու զանգվածների կամ երկու ժամանակային միջակայքերի միջև եղած հարաբերությունը։

Արիստոտելյան բազմությունները, ինչպես նաև թվերը, համարում են ֆիզիկական աշխարհում ստեղծված (այլ ոչ թե պլատոնական էակներ): Մեդին պնդում էր, որ երբ ձվի տուփը բացվում է, ընկալվում է երեք ձվերից բաղկացած հավաքածու (այսինքն՝ ֆիզիկական աշխարհում իրականացված մաթեմատիկական էակ)։ Սակայն ոչ բոլոր մաթեմատիկական դիսկուրսները պետք է մեկնաբանվեն ռեալիստականորեն. օրինակ՝ արիստոտելյանները կարող են դատարկ բազմությունը և զրոն համարել հորինվածքներ, և հնարավոր է՝ ավելի բարձր անվերջություններ։

## Կառուցվածքային հատկություններ

Արիստոտելյաննեը ոչ թվային կառուցվածքային հատկությունները, ինչպիսիք են համաչափությունը, անընդհատությունը և կարգը, համարում են թվերին հավասարապես կարևոր։ Նման հատկությունները իրականացվում են ֆիզիկական իրականության մեջ և մաթեմատիկայի որոշ մասերի ուսումնասիրության առարկա են։ Օրինակ՝ խմբերի տեսությունը դասակարգում է համաչափության տարբեր տեսակները, մինչդեռ հաշվարկն ուսումնասիրում է անընդհատ տատանումները։ Նման կառուցվածքների վերաբերյալ ապացուցելի արդյունքները կարող են ուղղակիորեն վերաբերել ֆիզիկական իրականությանը։ Օրինակ՝ Էյլերը ապացուցել է, որ անհնար է մեկ անգամ և միայն մեկ անգամ քայլել Քյոնիգսբերգի յոթ կամուրջների վրայով։

## Իմացաբանություն
Քանի որ մաթեմատիկական հատկությունները գիտակցվում են ֆիզիկական աշխարհում, դրանք կարող են անմիջականորեն ընկալվել։ Օրինակ, մարդիկ հեշտությամբ ընկալում են դեմքի համաչափությունը։

Արիստոտելականները նաև դեր են վերագրում աբստրակցիային և իդեալականացմանը մաթեմատիկական մտածողության մեջ: Այս տեսակետը սկիզբ է առնում Արիստոտելի «Ֆիզիկա» աշխատության մեջ արված այն պնդումից, որ միտքը մտքում «առանձնացնում» է մաթեմատիկայում ուսումնասիրվող հատկությունները՝ դիտարկելով մարմինների անժամանակ հատկությունները փոփոխության աշխարհից անկախ (Ֆիզիկա II.2.193b31-35):Մաթեմատիկայի ավելի բարձր մակարդակներում արիստոտելականները հետևում են Արիստոտելի «Հետագա վերլուծության» տեսությանը, ըստ որի՝ մաթեմատիկական առաջարկի ապացույցը իդեալականորեն թույլ է տալիս ընթերցողին հասկանալ, թե ինչու է առաջարկը պետք է ճշմարիտ։

## Քննադատություն
Ֆրանկլինի արիստոտելյան ռեալիզմը քննադատության է ենթարկվել այն մարդկանց կողմից, ովքեր համաձայն չեն դրա հետ։ Որոշ դեպքերում կողմնակիցները պատասխանել են քննադատությանը։ Այս առարկություններից մի քանիսը Ֆրանկլինը կանխատեսել էր որպես իր տեսության համար հնարավոր խնդիրներ՝ առանց որևէ մեկի կողմից դրանց հատուկ անդրադարձի։

### Իդեալիզացիա
Ջեյմս Ֆրանկլինի գրքում (գլուխ 14) մանրամասնորեն կանխատեսված առարկությունը, որը հիմնված է Փինքոքի, Սաացիի և Բաթերմանի վրա, այն առարկությունն է, որ մաթեմատիկան զբաղվում է ֆիզիկական աշխարհի իդեալականացմամբ, այլ ոչ թե ֆիզիկական աշխարհով։ Արիստոտելն ինքը տեղյակ էր այն փաստարկին, որ երկրաչափները ուսումնասիրում են կատարյալ շրջանակներ, բայց իրական աշխարհում օղակները կատարյալ շրջանակներ չեն, ուստի թվում է, թե մաթեմատիկան պետք է ուսումնասիրի որևէ ոչ ֆիզիկական (պլատոնական) աշխարհ։ Արիստոտելականները պատասխանում են, որ կիրառական մաթեմատիկան ուսումնասիրում է մոտավորությունները, այլ ոչ թե իդեալականացումները, և որ որպես արդյունք՝ ժամանակակից մաթեմատիկան կարող է ուսումնասիրել իրական իրերի բարդ ձևերը և այլ մաթեմատիկական կառուցվածքները։

### Բալագուերի առարկությունը բարձրագույն անվերջություններից
Արիստոտելյան ռեալիզմի համար խնդիր է այն, թե ինչ մեկնաբանություն տալ բարձրագույն անվերջությունների մասին, որոնք կարող են չիրականացվել կամ չիրականացվել ֆիզիկական աշխարհում: Մարկ Բալագուերը գրել է.
:«Բազմությունների տեսությունը հավատարիմ է անվերջ բազմությունների գոյությանը, որոնք այնքան հսկայական են, որ դրանք պարզապես ստվերում են բազմաթիվ այլ անսահման բազմություններ, ինչպիսիք են բոլոր բնական թվերի բազմությունը։ Պարզապես չկա որևէ հավաստի միջոց այս հսկայական անվերջ բազմությունների մասին խոսակցությունը մեկնաբանելու որպես ֆիզիկական օբյեկտների մասին»։

Արիստոտելականները պատասխանում են, որ գիտությունները կարող են գործ ունենալ չհաստատված ունիվերսալիաների հետ։ Օրինակ՝ գույների գիտությունը կարող է գործ ունենալ կապույտի այն երանգի հետ, որը պատահաբար չի հանդիպում որևէ իրական օբյեկտի վրա։ Սակայն դա պահանջում է ժխտել արիստոտելյանների մեծ մասի կողմից պաշտպանվող ինստանցիացման սկզբունքը, որը պնդում է, որ բոլոր իրական հատկությունները ինստանցիացված են: Մաթեմատիկայի արիստոտելյան փիլիսոփաներից մեկը, որը ժխտում է ինստանցիացման սկզբունքը՝ հիմնվելով Ֆրեգեի իմաստային և հղման միջև տարբերակման վրա, Դոնալդ Գիլիսն է: Նա օգտագործել է այս մոտեցումը՝ արիստոտելյան տեսանկյունից շատ մեծ տրանսֆինիտ կարդինալների հետ գործ ունենալու մեթոդ մշակելու համար։

### Ուիլյամ Լեյն Քրեյգի թեիստական ​​​​առարկություններ
Իր «Աստված և աբստրակտ առարկաներ» գրքի 5-րդ գլխում Ուիլյամ Լեյն Քրեյգը հետևյալ առարկություններն է ներկայացնում Ջեյմս Ֆրանկլինի կողմից պաշտպանված արիստոտելյան («կոնկրետիստական») ռեալիզմի դեմ.

* **[[Թեիզմ|Թեիզմի]] համար ստեղծման/բուտսթրեփինգի խնդիր**. եթե ունիվերսալիաները կամ օրինակելիները (լինեն դրանք վերացական հատկություններ, կոնկրետ ունիվերսալիաներ, տրոպներ և այլն) պետք է գոյություն ունենան, որպեսզի Աստված ստեղծի դրանք ունեցող իրեր, ապա Աստված կպահանջեր համապատասխան հատկությունները նախքան արարչագործությունը (օրինակ՝ «հզոր» ստեղծելու համար Աստված արդեն պետք է հզոր լինի), ինչը կհանգեցնի արատավոր շրջանառության, երբ արիստոտելիզմը համակցվում է աստվածային արարչագործության հետ։

* **Արիստոտելիզմի ներքո ինքնստեղծման մտահոգություն**. այն տեսակետի հիման վրա, որ հատկությունները կոնկրետ մասնավորությունների ներհատուկ կողմերն են, թեիստական ​​​​հավատալիքները, կարծես, ենթադրում են, որ Աստված պետք է ստեղծի իրեն կազմող հատկությունները, ինչը առաջացնում է այն պարադոքսալ հետևանքը, որ Աստված կստեղծեր ինքն իրեն։
* **Բազմակի օրինակացման խնդիր**. կոնկրետ ունիվերսալները պետք է կարողանան ամբողջությամբ ներկա լինել տարբեր վայրերում (բազմապատկել օրինակացված): Քրեյգը պնդում է, որ կոնկրետաբանները պարտավոր են բացատրել, թե ինչպես կարող է մեկ կոնկրետ օբյեկտը գոյություն ունենալ ամբողջությամբ տարբեր վայրերում. նա նշում է, որ իր մեջբերած կողմնակիցները (օրինակ՝ Արմսթրոնգը) ընդունում են, որ չեն կարող բավարար կերպով բացատրել սա:

* **Անօրինակ ունիվերսալներ և մաթեմատիկական անվերջություններ**. Կոնկրետիստական ​​մոտեցումը պայքարում է անօրինակ ունիվերսալների և դասական մաթեմատիկայի անվերջությունների հետ, քանի որ վերջավոր ֆիզիկական աշխարհը, կարծես, անկարող է իրականացնել բոլոր անհրաժեշտ ունիվերսալները: Քրեյգը ընդգծում է, որ Ֆրանկլինը չինական հատկությունները մշակելու համար ձգտում է «կիսա-պլատոնիստական» դիրքորոշման, ինչը խաթարում է խիստ այս աշխարհիկ արիստոտելիզմը:

* **Լարվածություն օնտիկական և ալեթիկ ռեալիզմի միջև**. Քրեյգը պնդում է, որ Ֆրանկլինը հիմնականում պաշտպանում է մաթեմատիկական պնդումների ճշմարտությունը (ալեթիկ ռեալիզմ), այլ ոչ թե հիմնավորում է կոնկրետ ունիվերսալների օնտոլոգիական հավատարմությունը: Մաթեմատիկական ճշմարտությունը նման էակների հետ կապող փաստարկի բացակայության դեպքում Ֆրանկլինի դիրքորոշումը վտանգում է փլուզվել մաթեմատիկական օբյեկտների վերաբերյալ հակառեալիզմի կամ ֆիկցիոնալիզմի տարբեր ձևերի մեջ:

* **Ֆրանկլինի մոդալ կառուցվածքալիզմի քննադատությունների քննադատական ​​​​գնահատական**. Քրեյգը հայտնում է, որ Ֆրանկլինը առարկում է Հելմանի մոդալ կառուցվածքալիզմին, սակայն Քրեյգը այդ առարկությունները սխալ է համարում և ենթադրում է, որ եթե մոդալ կառուցվածքալիզմը բավարար կերպով հաշվի է առնում չհաստատված կառուցվածքները, ապա կոնկրետ ունիվերսալիաներ դնելու մոտիվացիան թուլանում է։

Քրեյգը ներկայացնում է մետաֆիզիկական և աստվածաբանական խնդիրների փաթեթը (ստեղծում/բեռնաթափում, ինստանցիացում և չինստանցիացված/անվերջ մաթեմատիկական օբյեկտների մշակում) և եզրակացնում է, որ Ֆրանկլինը չի տվել օնտիկ ռեալիզմի վճռական պաշտպանություն, որը կխուսափի այս դժվարություններից։

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* John Bigelow, 1988, *[https://global.oup.com/academic/product/the-reality-of-numbers-9780198249573?cc=au&lang=en& The Reality of Numbers]*, Clarendon, Oxford, 
* James Franklin, 2014, *[https://web.maths.unsw.edu.au/~jim/franklinaristotelianrealistphilosophyofmathematics.pdf An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics: Mathematics as the Science of Quantity and Structure]*, Palgrave Macmillan, Basingstoke, .
* Keith Hossack, 2020, *[https://books.google.com/books?id=42jDDwAAQBAJ Knowledge and the Philosophy of Number: What Numbers Are and How They Are Known]*, Bloomsbury, London, 
* Andrew Irvine, 1990. *[https://books.google.com/books?id=lSPpCAAAQBAJ&dq=irvine+physicalism&pg=PR9 Physicalism in Mathematics]*, Dordrecht, London, 
* Bob Knapp, 2014, *[https://mathematicsisabouttheworld.com/ Mathematics is About the World]*, Lexington KY, 
* Penelope Maddy, 1990, *[https://oxford.universitypressscholarship.com/view/10.1093/019824035X.001.0001/acprof-9780198240358 Realism in Mathematics]*, Oxford University Press, New York, 
* Woosuk Park, 2018, *[https://www.springer.com/gp/book/9783319951461 Philosophy's Loss of Logic to Mathematics]*, Springer, Cham, 
* Andrew Younan, 2022, *[https://www.cuapress.org/9780813236124/matter-and-mathematics/ Matter and Mathematics: An Essentialist Account of Laws of Nature]*, Catholic University of America Press, Washington DC, 

## Արտաքին հղումներ
* Սիդնեյի մաթեմատիկայի Փիլիսոփայության դպրոց
* Ֆիլփեյփերսի կատեգորիա՝ Մաթեմատիկական արիստոտելիզմ

Կատեգորիա:Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն