Կրամերի մեթոդ

**Կրամերի մեթոդը** գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծման մեթոդ է, որում հավասարումների թիվը համընկնում է ոչզրոյական մատրիցի գործակիցների համակարգի գլխավոր որոշիչին, ընդ որում այդպիսի հավասարումների լուծումը գոյություն ունի և միակն է։

## Մեթոդի նկարագրությունը
n անհայտով n գծային հավասարումների համակարգի համար 
: \begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2\\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots\\ 
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n\\
\end{cases}

լուծումը (համակարգի ոչզրոյական  \Delta  մատրիցի որոշիչով) գրվում է հետևյալ տեսքով՝
: x_i=\frac{1}{\Delta}\begin{vmatrix} 
a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & b_1  & a_{1,i+1} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & \ldots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n-1,1} & \ldots & a_{n-1,i-1} & b_{n-1} & a_{n-1,i+1} & \ldots & a_{n-1,n} \\
a_{n1} & \ldots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \ldots & a_{nn} \\
\end{vmatrix}
(համակարգի մատրիցի i-րդ սյունը փոխարինվում է ազատ անդամների սյունով)։

Մեկ այլ ձևով Կրամերի կանոնը ձևակերպվում է հետևյալ տեսքով՝ ցանկացած c1, c2, …, cn գործակիցների համար իրավացի է հետևյալ հավասարությունը՝
: (c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n)\cdot\Delta = -\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} & b_n\\
c_{1}  & c_{2}  & \ldots & c_{n}  & 0\\
\end{vmatrix}

Այս ձևով Կրամերի մեթոդը իրավացի է առանց ենթադրության, որ \Delta զրոյից տարբեր է, նույնիսկ անհրաժեշտ չէ, որ համակարգի գործակիցները լինեն ամբողջական օղակի էլեմենտներ (համակարգի որոշիչը կարող է լինել նույնիսկ գործակիցների օղակում զրոյի բաժանարար)։ Կարելի է նույնիսկ ընդունել, որ b_1,b_2,...,b_n և x_1,x_2,...,x_n, կամ c_1,c_2,...,c_n կազմված են ոչ թե համակարգի գործակիցների օղակի էլեմենտներից, այլ այդ օղակի ինչ որ մոդուլը։ Այս տեսքով Կրամերի բանաձևը օգտագործվում է, օրինակ, Գրամի որոշիչի և Նակայամայի լեմմայի բանաձևերի ապացուցման համար։

## Օրինակ
Իրական գործակիցներով հավասարումների համակարգ՝
: \begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2\\
a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3\\
\end{cases}

Որոշիչներ՝
:\Delta=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix},\ \ \Delta_1=\begin{vmatrix}
b_1 & a_{12} & a_{13} \\
b_2 & a_{22} & a_{23} \\
b_3 & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix},\ \ 
:
\Delta_2=\begin{vmatrix}
a_{11} & b_1 & a_{13} \\
a_{21} & b_2 & a_{23} \\
a_{31} & b_3 & a_{33} \\
\end{vmatrix},\ \ \Delta_3=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & b_2 \\
a_{31} & a_{32} & b_3 \\
\end{vmatrix}

Որոշիչներում համապատասխան անհայտով գործակիցների սյունը փոխարինվում է համակարգի ազատ անդամների սյունով։

Լուծում՝
: x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\ \ x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\ \ x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}

Օրինակ՝
: \begin{cases}
2x_1 + 5x_2 + 4x_3 = 30\\
x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 150\\
2x_1 + 10x_2 + 9x_3 = 110\\
\end{cases}

Որոշիչներ՝
: \Delta=\begin{vmatrix}
2 & 5 & 4 \\
1 & 3 & 2 \\
2 & 10 & 9 \\
\end{vmatrix}=5,\ \ \Delta_1=\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\
110 & 10 & 9 \\
\end{vmatrix}=-760,\ \ 

: 
\Delta_2=\begin{vmatrix}
2 & 30 & 4 \\
1 & 150 & 2 \\
2 & 110 & 9 \\
\end{vmatrix}=1350,\ \ \Delta_3=\begin{vmatrix}
2 & 5 & 30 \\
1 & 3 & 150 \\
2 & 10 & 110 \\
\end{vmatrix}=-1270.
x_1=-\frac{760}{5}=-152,\ \ x_2=\frac{1350}{5}=270,\ \ x_3=-\frac{1270}{5}=-254

## Հաշվարկային բարդություն
Կրամերի մեթոդը պահանջում է n\times n չափի n+1-րդ որոշիչի հաշվում։ Գաուսի մեթոդի կիրառման դեպքում որոշիչների հաշվարկի համար գումարման և բազմապատկման գործողությունների պարզ էլեմենտար բարդության մեթոդը ունի O(n^4) կարգ, որը ավելի բարդ է, քան Գաուսի մեթոդով համակարգի ուղիղ լուծման դեպքում։ Այդ իսկ պատճառով, հաշվարկի համար ժամանակի ծախսատարության տեսանկյունից, համարվում է ոչնպատակահարմար։ Սակայն 2010 թվականին ցույց է տրվել, որ Կրամերի մեթոդը կարող է իրականացվել O(n^3) բարդությամբ, որը համեմատելի է Գաուսի մեթոդի բարդությանը։

## Գրականություն
* *Ի․Ա․ Մացև*։ Գծային հանրահաշվի հիմունքները։ 3-րդ հրատ․, վերամշակված, Մոսկվա,  «Նաուկա», 1970 թվական — 400 էջ

## Տես նաև
* Գաուսի մեթոդ

## Ծանոթագրություն

Կատեգորիա:1750
Կատեգորիա:Գծային հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Որոշիչներ