Ուռուցիկ բազմություն

աջից|մինի|Ուռուցիկ բազմություն
աջից|մինի|Ոչ ուռուցիկ բազմություն
**Ուռուցիկ բազմություն**, բազմություն աֆֆինիում կամ վեկտորական տարածությունում, որի մեջ գտնվող երկու կետերից կազմված հատվածի բոլոր կետերը նույնպես պատկանում են տվյալ բազմությանը։

## Սահմանումներ
Դիցուք՝ A աֆֆինիումը կամ վեկտորական տարածությունը գտնվում է վերը նշված իրական թվերի  \mathbb{R} բազմությունում։

K\subset A բազմությունը կոչվում է **ուռուցիկ**, եթե դրա հետ ցանկացած երկու x,\;y\in K կետերում K բազմությունը ներառում է հատվածի բոլոր xy կետերը՝ A բազմությանը միացնող x և y կետերով։ Այս հատվածը կարելի է ներկայացնել որպես
 \bigcup\limits_{t\in[0;\;1]}\{x+t\cdot\overrightarrow{xy}\}.

:

## Առնչվող սահմանումներ
Սահմանված K վեկտորական տարածության V-ն անվանում ենք **բացարձակ ուռուցիկ**,  եթե այն ուռուցիկ և հավասարակշռված է։

## Օրինակներ
* \R բազմության ուռուցիկ ենթաբազմությունները (շատ իրական թվեր) \R-ի միջակայքերն են։
* Երկչափ էվկլիդյան տարածքում ուռուցիկ ենթաբազմությունների օրինակներ են (\R^2) կանոնավոր բազմանկյունները։
* Եռաչափ էվկլիդային տարածության մեջ ուռուցիկ ենթաբազմությունների (\R^3) օրինակներ են մարմնի արքիմեդները և կանոնավոր բազմանիստները։
* Թելա Կեպլերի՝ Պուանսոյի մարմինները (կանոնավոր աստղային բազմանկյունները) ոչ ուռուցիկ բազմությունների օրինակներ են։

## Հատկություններ
* Ուռուցիկ բազմությունը տոպոլոգիական գծային տարածության մեջ կապակցված կամ գծային կապակցվածություն ունեցող հոմոտոպիկ համարժեք կետ է։
* Կապակցման առումով ուռուցիկ բազմությունը կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ. բազմությունը ուռուցիկ է, եթե նրա հատման կետը միացված է որևէ (իրական) գծի հետ։
* Դիցուք՝ K ուռուցիկ բազմությունը գծային տարածության մեջ է։ Ապա K բազմությանն են պատկանում ցանկացած u_1,\;u_2,\;\ldots,\;u_r տարրերը և բոլոր ոչ բացասական \lambda_1,\;\lambda_2,\;\ldots,\;\lambda_r  կետերը, այնպես որ \lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_r=1, վեկտորը
*:w=\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k
: պատկանի K բազմությանը
:* Վեկտոր w-ն կոչվում է տարրերի ուռուցիկ համադրություն՝ u_1,\;u_2,\;\ldots,\;u_r։
* Ուռուցիկ խմբերի ցանկացած շարքի հատումից առաջանում է ուռուցիկ բազմություն՝ ուռուցիկ ենթաբազմություններից ձևավորվելով ամբողջական ցանց։ Դրանից հետևում է, որ ցանկացած A գծային տարածության ենթաբազմությունում է ամենափոքր ուռուցիկ բազմությունը։ Այս բազմությունն A-ն պարունակող բոլոր ուռուցիկ բազմությունների հատման կետն է և կոչվում է A-ի ուռուցիկ բազմություն։
** Փակ ուռուցիկ բազմությունները կարող են սահմանվել որպես փակ  կիսատարածությունների հատման կետեր (հիպերհարթության միայն մի մասում ընկած տարածության բազմաթիվ կետեր)։ Վերը նշվածից պարզ է դառնում, որ նման հատման կետերը ուռուցիկ և փակ բազմություններ են։ Ապացուցելու համար, որ յուրաքանչյուր ուռուցիկ բազմություն կարող է հատման կետ լինել, կարելի է օգտագործել օժանդակ հիպերհարթության թեորեմը, որը ֆունկցիոնալ վերլուծության Հանա-Բանախի թեորեմայի մասնավոր դեպքն է։
* Հելլի թեորեմ։ Ենթադրենք, որ \R^d ուռուցիկ ենթաբազմությունների վերջնական խմբում ցանկացած  d+1 հատման կետ ոչ դատարկ է։ Այդ դեպքում հատման կետերում այս խմբի բոլոր ենթաբազմությունները ոչ դատարկ են։
*\R^2-ում միավոր մակերեսի ցանկացած ուռուցիկ բազմություն կարելի է դնել 2 մակերեսի եռանկյան մեջ։

## Տատանումներ և ընդհանրացումներ
* Առանց որևէ փոփոխության սահմանումը աշխատում է աֆֆինինի տարածությունների`իրական թվերի դաշտի կամայական ընդլայնման վրա։

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* .
* ։

## Արտաքին հղումներ
* Ուռուցիկ բազմությունների լեկցիա, Նիլ Լաուրթզենի նշումները, Աարհուս համալսարան, 2010 թվականի մարտ

Կատեգորիա:Ուռուցիկ անալիզ
Կատեգորիա:Ուռուցիկ երկրաչափություն