Քառանկյուն

**Քառանկյուն,** երկրաչափական պատկեր, որը կազմված է 4 գագաթից (դրանցից 3-ը մեկ ուղղի վրա ընկած չեն) և 4 ուղղից, որոնք միացնում են գագաթները։ Տարբերում են ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ քառանկյուններ։

## Քառանկյան տեսակները
* Զուգահեռագիծ՝ քառանկյուն, որի հանդիպակած կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են և հավասար
* Ուղղանկյուն՝ քառանկյուն, որի բոլոր անկյուններն ուղիղ են
* Շեղանկյուն՝ քառանկյուն, որի բոլոր կողմերը հավասար են
* Քառակուսի՝ քառանկյուն, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են, իսկ բոլոր կողմերը՝ հավասար
* Սեղան՝ քառանկյուն, որի երկու հակադիր կողմերը զուգահեռ են
* Դելտոիդ՝ քառանկյուն, որի իրար կապված երկու կողմերի երկու զույգ հավասար են

## Քառանիստ
Չնայած այս անվանումը կարող է համարժեք չլինել քառանկյան հետ, բայց նրան հաճախ տրվում է հավելյալ իմաստ։ Քառանկյուն է կոչվում այն 4 գծերը, որոնցից ցանկացած երկուսը զուգահեռ չեն և ցանկացած երեքը չեն անցնում մեկ կետով։

## Հիմնական տեղեկություններ
* Քառանկյան անկյունների գումարը հավասար է 2π = 360°։
* Քառանկյանը կարելի է արտագծել շրջանագիծ այն և միայն այն դեպքում, երբ հակադիր անկյունների գումարը հավասար է 180°՝
(~\angle A+\angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ)
* Ուռուցիկ քառանկյունը հանդիսանում է ներգծված շրջանագծով այն և միայն այն դեպքում, երբ հակադիր կողմերի երկարությունները հավասար են (~AB+CD=BC+AD)։
* **Էյլերի բանաձևը**. Տրամագծերի հատույթի տարածության քառակուսու քառապատիկը հավասար է քառանկյան կողմերի քառակուսու և իր տրամագծերի քառակուսու տարբերությանը։
* Քառանկյան միջին գիծը և քառանկյան տրամագծերի հատույթը միացնող հատվածը հատվում են և կիսվում։
* Չորս հատվածները, որոնցից յուրաքանչյուրը քառանկյան գագաթը միացնում է մյուս 3 գագաթներից կազմված եռանկյան կենտրոնին, հատվում են քառանկյան կենտրոնում և բաժանվում 3։1 հարաբերությամբ հատվածների՝ հաշված գագաթից։
* Քառանկյան երկու հանդիպակաց կողմեր ուղղահայաց են այն և միայն այն դեպքում, երբ մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարը հավասար է անկյունագծերի քառակուսիների գումարին։
* Քառանկյան անկյունագծերը ուղղահայաց են այն և միայն այն դեպքում, որբ հակադիր կողմերի քառակուսիների գումարները հավասար են։
* 4 կամայական կետերի միջև ընկած 6 հեռավորությունները, որոնք վերցված են զույգ առ զույգ, կապված են հետևյալ հարաբերակցությամբ՝

: a^2c^2\left(b^2+d^2+e^2+f^2-a^2-c^2\right) + b^2d^2\left(a^2+c^2+e^2+f^2-b^2-d^2\right)+ 
:  + e^2f^2\left(a^2+c^2+b^2+d^2-e^2-f^2\right) = (abe)^2 + (bcf)^2 + (cde)^2 + (daf)^2.

Այս հավասարումը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝
: 
\left|
\begin{matrix} 
0&a^2&e^2&d^2&1 \\
a^2&0&b^2&f^2&1 \\
e^2&b^2&0&c^2&1 \\
d^2&f^2&c^2&0&1 \\
1&1&1&1&0
\end{matrix}
\right|=0


## Մակերես
d_1, d_2 անկյունագծեր և նրանց միջև ընկած \alpha անկյուն ունեցող ուռուցիկ քառանկյան մակերեսը հավասար է

S=\frac{d_1d_2\sin\alpha}{2}

Կամայական քառանկյան մակերեսը հավասար է
* 16S^2=4d_1^2d_2^2-\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right)^2, որտեղ d_1, d_2 — անկյունագծեր, իսկ a, b, c, d —ն կողմերի երկարություններն են։
* S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\theta},, որտեղ p-ն կիսապարագիծն է, իսկ \theta-ն՝ քառանկյան հակառակ կողմերի կիսագումարը (կապ չունի, թե որ զույգն է վերցված, քանի որ եթե մի համադիր զույգի կիսագումարը հավասար է \theta, ապա մյուս անկյունների կիսագումարը հավասար կլինի 180^\circ -\theta և \cos^2(180^\circ -\theta)=\cos^2\theta )։

### Բացառություններ
Եթե քառանկյունը և՛ ներգծված է, և՛ արտագծված, ապա S=\sqrt{abcd}։ Եթե այն արտագծված է, ապա մակերեսը հավասար է նրա պարագծի և ներգծված շրջանագծի շառավղի արտադրյալին։

### Պատմություն
Հին Եգիպտոսում մի քանի այլ ազգեր մակերեսը հաշվելու համար օգտագործում էին ոչ ճիշտ բանաձև՝
: S=\frac{a+c}{2}\cdot\frac{b+d}{2}։

## Տես նաև
* Կոսինուսների թեորեմ

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Քառանկյուններ
Կատեգորիա:Բազմանկյուններ