Բազմության չափ

**Բազմության չափ**, մաթեմատիկական հասկացություն, որը «երկարություն», «մակերես», «ծավալ» հասկացությունների ընդհանրացումը–տարածումն է ավելի լայն դասի կետային, ինչպես նաև կամայական տարրերից կազմված բազմությունների որոշ դասերի (այսպես կոչված \sigma-հանրահաշիվների) վրա։ Մաթեմատիկական անալիզում հիմնականում օգտագործում են Լեբեգի Ստիլտյեսի չափերը, որոնք R^1–ում կարելի է սահմանել այսպես, դիտարկում են R^1=(-\infty, \infty) իրական առանցքի վրա չնվազող և ձախից անընդհատ որևէ g(x) ֆունկցիա, [a, b)={x, a \leqslant x տեսքի միջակայքերի չափ համարում են m_g([a, b)) = g(b)-g(a) մեծությունը (թիվը), իսկ կամայական E(E \subset R^1) բազմության արտաքին չափ համարում են \mu^*_g(E) = \inf(\sum_g(b_n)-g(a_n)) թիվը, որտեղ \inf-ը վերցված է ըստ E բազմությունը ծածկող հնարավոր բոլոր \sum\limits_{n=1}^{ \infty} [a_n,b_n) տեսքի բազմությունների։ 

E սահմանափակ բազմությունն անվանում են *չափելի բազմություն*, եթե յուրաքանչյուր \varepsilon (\varepsilon >0) թվի համար գոյություն ունի B =\bigcup^n_{k=1} [a_k, b_k) տեսքի՝ վերջավոր թվով [a_k, b_k) միջակայքերի միավորում հանդիսացող այնպիսի բազմություն, որ \mu^*_g((E/B) \cup (B/E))։ 

E չափելի բազմության չափ անվանում են \mu^*_g թիվը և նշանակում են \mu_g -ով՝ \mu_g=\mu^*_g։ 

Ոչ սահմանափակ E բազմությունը կոչվում է չափելի, եթե [a,b) \cap E սահմանափակ բազմությունը չափելի է կամայական [a,b)-ի համար, ընդ որում այդպիսի E բազմության չափ անվանում են
: \mu_g(E) =\sum\limits_{k=1}^\infty \mu_g([-k, -k+1) \cap E) + \sum\limits_{k=1}^\infty \mu_g([k-1, k) \cap E) թիվը (դատարկ բազմության չափն ընդունում են հավասար զրոյի)։ 

Ապացուցվում է, որ ամեն մի g(x) ֆունկցիայի միջոցով սահմանված չափելի բազմությունների M_g դասը և այդ դասի վրա որոշված (սահմանված) \mu_g չափն ունեն հետևյալ հատկությունները․ 
#)  R^1\in Mg, [a,b)\in Mg(R^1-ը և  [a,b)-ն չափելի են, 
#) Եթե E\in Mg, ապա R^1/E\in Mg, 
#) Եթե E_k\in Mg (k= 1,2,....), ապա \bigcup^n_{k=1} E_k\in Mg
#) \mu_g(E)\geqslant 0, \forall (E\in Mg), \mu_g([a,b))=g(b)-g(a)
#) \mu_g(\bigcup_{k=1}^\infty E_k)=\sum\limits_{k=1}^\infty \mu_g(E_k), E_k\in Mg (k= 1,2,....), E_k \cap E_m=\varnothing (k\neq m)։

(1–3) հատկությունները նշանակում են, որ Mg դասը (անկախ g(x)-ից) \sigma-հանրահաշիվ է, որը պարունակում է [a,b) տեսքի միջակայքերը, ուստի Mg-ն պարունակում է [a,b) տեսքի միջակայքերը պարունակող նվազագույն \sigma-հանրահաշիվը, այսինքն՝ բորելյան բազմությունների \varepsilon  դասը։ Այսպիսով բոլոր g(x) ֆունկցիաների համար  \mu_gg չափերը որոշված են \varepsilon  դասի վրա։ 

g(x)=x մասնավոր դեպքում՝ M_x=M դասի բազմություններն անվանում են Լեբեգի իմաստով (ըստ Լեբեգի) չափելի բազմությունները, իսկ  \mu_x= \mu–ն` Լեբեգի չափ։ Քանի որ \mu_x([a, b))=b-a, ապա Լեբեգի չափը հատվածի երկարության հասկացության ընդհանրացումն է կետային բավականաչափ լայն M դասի բազմությունների համար։ Հանգունորեն սահմանում են չափեր հարթության վրա՝ R^2-ում և R^n-ում (n>2)։ 

Մաթեմատիկայի շատ բաժինների, օրինակ, հավանականությունների տեսության, զարգացումը հանգեցրեց այսպես կոչված չափի աբստրակտ տեսության ստեղծմանը։ Վերջինիս մեջ «չափելի բազմություն» և «չափ» հասկացությունները մտցվում են աքսիոմատիկ․ 

Եթե X-ը կամայական տարրերից կազմված բազմություն է, իսկ S–ը X-ի ենթաբազմություններից կազմված \sigma-հանրահաշիվ, այսինքն՝
#) X \in S, և եթե E \in S, ապա X \setminus E\in S, 
#) Եթե E_k\in S (k=1,2, ....), ապա \bigcup^n_{k=1} E_k\in S (S–ին պատկանող բազմություններին անվանում են չափելի), ապա S–ի վրա որոշված \mu (բազմության) ֆունկցիան անվանում են չափ, եթե՝
#) \mu(E) \geqslant 0, \forall E \in S,
#) \mu (\bigcup^ \infty_{k=1} E_k)= \bigcup^ \infty_{k=1} \mu(E_k), E_k\in S (k=1,2, ....)  E_k \cap E_m=\varnothing (k\neq m)

(X, S)-զույգը անվանում են չափելի տարածություն։ 

Չափի միջոցով սահմանվում է «ինտեգրալ» հասկացությունը, օրինակ, Լեբեգի չափի միջոցով մտցվում է Լեբեգի ինտեգրալը:

## Գրականություն
*  Халмош П․ Р․, Теория меры, пер․ с англ․, М․, 1953․

## Արտաքին հղումներ

Կատեգորիա:Ինտեգրալ հաշիվ
Կատեգորիա:Չափի տեսություն