Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ

**Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ**, ստորև ներկայացված են էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների անորոշ և որոշյալ ինտեգրալների ցանկերը։ Անորոշ ինտեգրալների համար ինտեգրման հաստատունը բաց է թողնված։

## Անորոշ ինտեգրալներ
: \int e^{x}\;\mathrm{d}x = e^{x}

: \int f'(x)e^{f(x)}\;\mathrm{d}x = e^{f(x)}

: \int e^{cx}\;\mathrm{d}x = \frac{1}{c} e^{cx}

: \int a^{cx}\;\mathrm{d}x = \frac{1}{c\cdot \ln a} a^{cx} a > 0,\ a \ne 1

: \int xe^{cx}\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)

: \int x^2 e^{cx}\;\mathrm{d}x = e^{cx}\left(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3}\right)

: \int x^n e^{cx}\; \mathrm{d}x = \frac{1}{c} x^n e^{cx} - \frac{n}{c}\int x^{n-1} e^{cx} \mathrm{d}x = \left( \frac{\partial}{\partial c} \right)^n \frac{e^{cx}}{c} = e^{cx}\sum_{i=0}^n (-1)^i\,\frac{n!}{(n-i)!\,c^{i+1}}\,x^{n-i}

: \int\frac{e^{cx}}{x}\; \mathrm{d}x = \ln|x| +\sum_{n=1}^\infty\frac{(cx)^n}{n\cdot n!}

: \int\frac{e^{cx}}{x^n}\; \mathrm{d}x = \frac{1}{n-1}\left(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int\frac{e^{cx} }{x^{n-1}}\,\mathrm{d}x\right) \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}

: \int e^{cx}\ln x\; \mathrm{d}x = \frac{1}{c}\left(e^{cx}\ln|x|-\operatorname{Ei}\,(cx)\right)

: \int e^{cx}\sin bx\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx - b\cos bx) = \frac{e^{cx}}{\sqrt{c^2+b^2}}\sin(bx-\phi)\qquad \cos(\phi) = \frac{c}{\sqrt{c^2+b^2}} 

: \int e^{cx}\cos bx\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx + b\sin bx) = \frac{e^{cx}}{\sqrt{c^2+b^2}}\cos(bx-\phi)\qquad \cos(\phi) = \frac{c}{\sqrt{c^2+b^2}} 

: \int e^{cx}\sin^n x\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}\sin^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\sin^{n-2} x\;\mathrm{d}x

: \int e^{cx}\cos^n x\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}\cos^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\cos^{n-2} x\;\mathrm{d}x

:\int x e^{c x^2 }\; \mathrm{d}x= \frac{1}{2c} \;  e^{c x^2}

:\int e^{-c x^2 }\; \mathrm{d}x= \sqrt{\frac{\pi}{4c}} \operatorname{erf}(\sqrt{c} x) (ուր \operatorname{erf}- ը   սխալի ֆունկցիան է)

:\int xe^{-c x^2 }\; \mathrm{d}x=-\frac{1}{2c}e^{-cx^2} 

: \int\frac{e^{-x^2}}{x^2}\; \mathrm{d}x = -\frac{e^{-x^2}}{x} - \sqrt{\pi} \mathrm{erf} (x) 

:\int {\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 }}\; \mathrm{d}x= \frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)

:\int e^{x^2}\,\mathrm{d}x = e^{x^2}\left( \sum_{j=0}^{n-1}c_{2j}\,\frac{1}{x^{2j+1}} \right )+(2n-1)c_{2n-2} \int \frac{e^{x^2}}{x^{2n}}\;\mathrm{d}x  \quad \mbox{ } n > 0,  
::ուր   c_{2j}=\frac{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2j-1)}{2^{j+1}}=\frac{(2j)\,!}{j!\, 2^{2j+1}} \ . 
:: 
 {\int \underbrace{x^{x^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}_m \,dx= \sum_{n=0}^m\frac{(-1)^n(n+1)^{n-1}}{n!}\Gamma(n+1,- \ln x) + \sum_{n=m+1}^\infty(-1)^na_{mn}\Gamma(n+1,-\ln x)  \qquad\mbox{( }x> 0\mbox{)}}

:\int \frac{1}{ae^{\lambda x} + b} \; \mathrm{d}x = \frac{x}{b} - \frac{1}{b \lambda} \ln\left(a e^{\lambda x} + b \right) \,  b \neq 0, \lambda \neq 0,  ae^{\lambda x} + b > 0 \,.

:\int \frac{e^{2\lambda x}}{ae^{\lambda x} + b} \; \mathrm{d}x = \frac{1}{a^2 \lambda} \left[a e^{\lambda x} + b - b \ln\left(a e^{\lambda x} + b \right) \right] \,   a \neq 0, \lambda \neq 0,  ae^{\lambda x} + b > 0 \,.

## Որոշյալ ինտեգրալներ
: 
\int\limits_0^1 e^{x\cdot \ln a + (1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm{d}x =
 \int\limits_0^1 \left(\frac{a}{b}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm{d}x =
 \int\limits_0^1 a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm{d}x =
 \frac{a-b}{\ln a - \ln b} a > 0,\ b > 0,\ a \ne b
: \int\limits_{0}^{\infty} e^{-ax}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}

: \int\limits_{0}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)

: \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)

: \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2\pm2bx+c}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{ac-b^2}{a}} \quad (a>0)

: \int\limits_{-\infty}^{\infty} x e^{-a(x-b)^2}\,\mathrm{d}x=b \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)

: \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a^3} \quad (a>0)

: \int\limits_{0}^{\infty} x^n e^{-ax}\,\mathrm{d}x = 
\begin{cases}
       \frac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}} & (n>-1,a>0) \\
       \frac{n!}{a^{n+1}} & (n=0,1,2,\ldots,a>0) \\
\end{cases}

: \int\limits_{0}^{\infty} e^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{b}{a^2+b^2} \quad (a>0)

: \int\limits_{0}^{\infty} e^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a}{a^2+b^2} \quad (a>0)

: \int\limits_{0}^{\infty} xe^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{2ab}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)

: \int\limits_{0}^{\infty} xe^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)

: \int\limits_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x) (I_{0} -ն առաջին կարգի Բեսսելի ֆունկցիա է )

: \int\limits_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)

: \int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx, = \Gamma(s)\zeta(s)

## Տես նաև
* Ֆունկցիայի ածանցյալ
* Ածանցելի ֆունկցիաներ

## Գրականություն
### Գրքեր
* Градштейн И. С. Рыжик И. М. *Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений* (4-е издание). М.։ Наука, 1963. ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
* Двайт Г. Б. ''Таблицы интегралов'' СПб։ «Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева», 1995.-176 с. ISBN 5-85529-029-8.
* D. Zwillinger. *CRC Standard Mathematical Tables and Formulae*, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
* M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*, 1964. ISBN 0-486-61272-4

### Ինտեգրալների աղյուսակներ
* Ինտեգրալներ EqWorld-ում
* S.O.S. Մաթեմատիկա

### Ինտեգրալների հաշվում
* The Integrator *(Wolfram Research)*
* Թվեր