Պյութագորասի եռյակ

thumb|Պյութագորասի թեորեմ:
thumb|Պյութագորսի պարզագույն եռյակի վրա կառուցված անիմացիա։ 3<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> = 5<sup>2</sup>.
**Պյութագորասի եռյակ**, կարգավորված 3 բնական թվերի հավաքածու (x,\;y,\;z), որը բավարարում է հետևյալ համասեռ քառակուսի հավասարմանը։
: x^2 + y^2 = z^2.

Պյութագորասի եռյակ կազմող թվերը կոչվում են Պյութագորասի թվեր։ Անվանվել են Պյութագորաս Սամոսացու պատվին՝ չնայած դրանք հայտնի էին նրանից շատ առաջ։

Քանի որ,  x^2 + y^2 = z^2 հավասարումը համասեռ է, ապա x, y և z թվերը նույն թվով բազմապատկելիս ստացվում է մի ուրիշ Պյութագորասի եռյակ։ Պյութագորասի եռյակը կոչվում է պրիմիտիվ, եթե այն չի կարող ստացվել մի այլ եռյակից նույն ձևով։ x,\;y,\;zփոխադարձ պարզ թվերով եռյակը պրիմիտիվ է։ Այլ բառերով՝ (x,y,z) պրիմիտիվ եռյակի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 1-ն է։

(x,y,z) պարզագույն եռյակում x և y թվերը տարբեր զույգություն ունեն, ընդ որում՝ զույգը բաժանվում է 4-ի, իսկ z-ը միշտ կենտ է։

Ցանկացած պարզագույն (x,y,z) Պյութագորասի եռյակ, որտեղ x-ը կենտ է, իսկ y-ը՝ զույգ, միանշանակ ունի (m^2-n^2,\;2mn,\;m^2+n^2) տեսքը։

Որոշ փոխադարձ պարզ m > n և տարբեր զույգության թվերի համար այդ թվերը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևերով․
: \begin{cases} m=\sqrt{\frac{z+x}2}=\frac{\sqrt{z+y}+\sqrt{z-y}}2\\ n=\sqrt{\frac{z-x}2}=\frac{\sqrt{z+y}-\sqrt{z-y}}2\end{cases}

Ցանկացած (m,\;n)-ի նման թվերը կազմում են Պյութագորասի եռյակ (m^2-n^2,\;2mn,\;m^2+n^2).

## Օրինակներ
Կա 16 պարզագույն Պյութագորասի եռյակ, որտեղ z \leqslant 100:

Ոչ բոլոր z \leqslant 100 եռյակներն են պարզագույն, օրինակ՝ (6, 8, 10) ստացվում է (3, 4, 5) եռյակը երկուսով բազմապատկելիս.

100  պարզագույն եռյակները։

Պյութագորասի եռյակներում z-ի հնարավոր արժեքները կազմում են հետևյալ շարքը։
: 5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, …

Ֆիբոնաչիի թվերի հատկությունների վրա հենվելով՝ կարելի է այդ թվերից կազմել Պյութագորասի եռյակներ․
: x=F_n F_{n+3};\quad y=2F_{n+1}F_{n+2}; \quad z=F_{n+1}^2+F^2_{n+2}.

## Պատմություն
[thumb|300px|right|[Plimpton 322 աղյուսակ]]
Զարգացած հնագույն մշակույթում ամենահայտնի եռյակն (3, 4, 5) է, որը հնարավորություն էր տալիս հին մարդուն ուղիղ անկյուններ կառուցել։ Վիտրուվիուսը համարում էր եռյակը մաթեմատիկայի բարձրագույն նվաճումը, իսկ Պլատոնը ամուսնության սիմվոլ էր համարում, ինչը խոսում է հնագույն մարդու կողմից (3, 4, 5) եռյակին մեծ նշանակություն տալու մասին։

Հին Միջագետքի տապանաքարերի ճարտարապետությունում գոյություն ունի կանոնավոր եռանկյուն՝ բաղկացած  9, 12 և 15 կանգուն երկարությամբ կողմերից։ Փարավոն Սինոֆրի բուրգերը (մ.թ.ա. 27-րդ դար) կառուցված են 20, 21 և 29 կանգուն կողմերով, ինչպես նաև 18, 24 և 30 տասնյակ եգիպտական կանգուն երկարությամբ կողմերով եռանկյունների միջոցով։

Բաբելոնյան մաթեմատիկոսները կարողացել են հաշվարկել Պյութագորասի եռյակները։ Բաբելոնյան կավե աղյուսակը, որը կոչվում է *Plimpton 322*, պարունակում է տասնհինգ Պյութագորասյան եռյակ (ավելի ճիշտ, տասնհինգ a,c զույգ թվեր, այնպիսիք, ինչպիսին է՝ a^2 + b^2 = c^2։ Ենթադրվում է, որ այդ աղյուսակը ստեղծվել է Ք․ա․ 1800 թվականին։

## Պյութագորասի եռյակների տարրական հատկություններ
Պյութագորասի  պարզագույն եռյակի հատկությունները, որտեղ  չի նշվում  կամ  թվերի զույգությունը։
* \tfrac{(c - a)\cdot (c - b)}{2} միշտ լրիվ քառակուսի է. 
* Առավելագույնը միայն մեկն է ,  և  հանդիսանում թվերից քառակուսի։
* Պյութագորասի եռանկյան մակերեսը չի կարող հավասար լինել թվի քառակուսու կամ բնական թվի կրկնակի քառակուսուն։
*-ն և -ն միշտ զույգ են, իսկ -ն միշտ կենտ է ։
*-ն կամ -ն միշտ բաժանվում է 3-ի։
*-ն կամ -ն միշտ բաժանվում է 4-ի։
*,  կամ  բաժանվում է 5-ի։
* Ամենամեծ թիվը, որին բաժանվում է -ն, հավասար է 60-ի։
*-ի բոլոր պարզ բաժանարարները  տեսքի են։ Այսպիսով՝ նա ունի  տեսքը։
* () մակերեսը զույգ համընկնող թիվ է։
* Ցանկացած 2-ից մեծ ամբողջ թիվ մտնում է պարզագույն կամ ոչ պարզագույն եռյակի մեջ։ Օրինակ՝ 6-ը, 10-ը, 14-ը և 18-ը չեն մտնում ոչ մի պարզագույն եռյակի մեջ, բայց «6, 8, 10», «14, 48, 50» և «18, 80, 82» եռյակների անդամ են։
* Գոյություն ունի անվերջ մեծ թվով եռյակներ, որտեղ էջերը տարբերվում են մեկով։ Օրինակ՝ ։
* Ցանկացած բնական  թվի համար գոյություն ունի  Պյութագորասի եռյակ՝ տարբեր ներգնաձիգներով, բայց նույն մակերեսներով։
* Ցանկացած բնական  թվի համար գոյություն ունի առնվազն  տարբեր Պյութագորասի եռյակներ, նույն   էջով, որտեղ -ն բնական թիվ է։
* Ցանկացած բնական  թվի համար գոյություն ունի առնվազն  տարբեր Պյութագորասի եռյակներ, նույն ներգնաձիգով։

## Հատուկ դեպքեր
Յակոբի-Մադենի հավասարում․

Հավասարում
: a^4+b^4+c^4+d^4 = (a+b+c+d)^4

Համարժեք է հատուկ դիոֆոնտի եռյակին․
: (a^2+ab+b^2)^2+(c^2+cd+d^2)^2 = ((a+b)^2+(a+b)(c+d)+(c+d)^2)^2

Այս հավասարման համար գոյություն ունեն անսահման քանակի լուծումներ, որոնք կարելի է գտնել էլիպսաձև կորի միջոցով։

Դրանցից են՝
:a, b, c, d = -2634, 955, 1770, 5400
:a, b, c, d = -31764, 7590, 27385, 48150

### Երկու քառակուսիների հավասար գումարներ
a^2+b^2=c^2+d^2 հավասարումը լուծելու համար *a, b, c, d* պետք է պարամետրել *m, n, p, q* թվերով հետևյալ կերպ՝
: (m^2+n^2)(p^2+q^2)=(mp-nq)^2+(np+mq)^2=(mp+nq)^2+(np-mq)^2.

### Երկու քառորդ աստիճանների գումարների հավասարություն
Եթե տրված են երկու խումբ պյութագորասյան եռյակներ,
: (a^2-b^2)^2+(2a b)^2 = (a^2+b^2)^2
:(c^2-d^2)^2+(2c d)^2 = (c^2+d^2)^2

խնդիրը, էջի և ներգնաձիքի հավասար արտադրյալների գտնելն է։

: (a^2 -b^2)(a^2+b^2) = (c^2 -d^2)(c^2+d^2),

Հեշտ է նկատել, որ այն համարժեք է
: a^4 -b^4 = c^4 -d^4:

Սրա համար Էյլերը գտել է a, b, c, d = 133,59,158,134լուծումը։

### [[Ռենե Դեկարտ|Դեկարտի]] թեորեմը շրջանագծերի մասին
Դեկարտի թեորեմի դեպքում, երբ բոլոր փոփոխականները քառակուսիներ են՝
: 2(a^4+b^4+c^4+d^4) = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2

Էյլերն ապացուցեց, որ դա համարժեք է երեք պյութագորասյան եռյակների․
: (2ab)^2+(2cd)^2 = (a^2+b^2-c^2-d^2)^2
:(2ac)^2+(2bd)^2 = (a^2-b^2+c^2-d^2)^2
:(2ad)^2+(2bc)^2 = (a^2-b^2-c^2+d^2)^2

Գոյություն ունեն անվերջ թվով լուծումներ, իսկ հատուկ a+b=c դեպքում, հավասարումը պարզեցվում է մինչև
: 4(a^2+a b+b^2) = d^2,

որը ունի հետևյալ լուծումները a, b, c, d = 3, 5, 8, 14։

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* .
* 
* 
* 
* 
* 
* Pythagorean Triples and the Unit Circle, chap. 2-3, in «A Friendly Introduction to Number Theory» by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137-9
* 

## Արտաքին հղումներ
* 
*  arXiv
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Կատեգորիա:Եռանկյան երկրաչափություն