Էյլերի անկյուններ

**Էյլերի անկյունները** () երեք անկյուններ են, որոնք ներկայացրել է Լեոնարդ Էյլերը՝ ֆիքսված կոորդինատային համակարգի նկատմամբ բացարձակ պինդ մարմնի կողմնորոշումը նկարագրելու համար։

Դրանք կարող են նաև ներկայացնել ֆիզիկայում շարժական հաշվարկման համակարգի կողմնորոշումը կամ եռաչափ գծային հանրահաշվում ընդհանուր բազիսի կողմնորոշումը (դիրքը)։

Դասական Էյլերի անկյունները սովորաբար թեքության անկյունը ընդունում են այնպես, որ զրոյական աստիճանը ներկայացնում է ուղղահայաց կողմնորոշումը։ Ավելի ուշ Փիթեր Գաթրի Թեյթի և Ջորջ Հ. Բրայանի կողմից ներմուծվեցին այլընտրանքային ձևեր, որոնք նախատեսված էին ավիացիոն և ինժեներական ոլորտներում օգտագործելու համար, որոնցում զրոյական աստիճանը ներկայացնում է հորիզոնական դիրքը։

## Պտույտների շղթայական համարժեքություն

Էյլերի անկյունները կարող են սահմանվել տարրական երկրաչափությամբ կամ պտույտների կազմով (այսինքն՝ շղթայական պտույտներ): Երկրաչափական սահմանումը ցույց է տալիս, որ ցանկացած թիրախային (որոնելի) համակարգին հասնելու համար միշտ բավարար են երեք հաջորդական տարրական պտույտներ (կոորդինատային համակարգի առանցքների շուրջ պտույտներ)։

Երեք տարրական պտույտները կարող են լինել արտաքին (պտույտներ սկզբնական կոորդինատային համակարգի xyz առանցքների շուրջ, որը ենթադրվում է, որ անշարժ է մնում) կամ ներքին (պտույտներ XYZ պտտվող կոորդինատային համակարգի առանցքների շուրջ, որը ակպված է շարժվող մարմնի հետ, որը փոխում է իր կողմնորոշումը արտաքին համակարգի նկատմամբ յուրաքանչյուր տարրական պտույտից հետո):

Ստորև բերված բաժիններում առանցքի նշումը պրայմ նշանով () ցույց է տալիս տվյալ տարրական պտույտից հետո առաջացած նոր առանցքը, օրինակ՝ z″։

Էյլերի անկյունները սովորաբար նշվում են α, β, γ, կամ ψ, θ, φ : Տարբեր հեղինակներ կարող են օգտագործել պտտման առանցքների տարբեր հավաքածուներ՝ Էյլերի անկյունները սահմանելու համար, կամ նույն անկյունների համար տարբեր անուններ։ Հետևաբար, Էյլերի անկյունները օգտագործող ցանկացած քննարկմանը միշտ պետք է նախորդի դրանց սահմանումը։

Առանց հաշվի առնելու պտտման առանցքների սահմանման համար երկու տարբեր կոնվենցիաների (ներքին կամ արտաքին) օգտագործման հնարավորությունը, գոյություն ունեն պտտման առանցքների տասներկու հնարավոր հաջորդականություններ, որոնք բաժանված են երկու խմբի՝

* **Էյլերի դասական անկյունները** 
* **Թեյթ-Բրայանի անկյուններ** .

Թեյթ–Բրայանի անկյունները հայտնի են նաև որպես Կարդանի անկյուններ (), նավիգացիոն անկյուններ, ուղղություն (), բարձրություն () և թեքում ()։
Որոշ դեպքերում երկու տեսակի հաջորդականություններն էլ անվանվում են «Էյլերի անկյուններ»։ Այդ պարագայում առաջին խմբի հաջորդականությունները կոչվում են ճիշտ կամ դասական Էյլերի անկյուններ։

## Էյլերի դասական անկյուններ
Էյլերի անկյունները երեք անկյուններ են, որոնք ներմուծվել են շվեյցարացի մաթեմատիկոս Լեոնարդ Էյլերի (1707–1783) կողմից՝ ֆիքսված կոորդինատային համակարգի նկատմամբ բացարձակ պինդ մարմնի կողմնորոշումը նկարագրելու համար։

### Երկրաչափական սահմանում
Սկզբնական շրջանակի առանցքները նշանակվում են x, y, z-ով, իսկ պտտված շրջանակի առանցքները՝ X, Y, Z-ով ։ Երկրաչափական սահմանումը (երբեմն անվանում են ստատիկ) սահմանում է հանգույցների գիծը (N) սահմանելով որպես xy և XY հարթությունների հատման կետ (այն կարող է նաև սահմանվել որպես z և Z առանցքների ընդհանուր ուղղահայաց, ապա գրվել որպես N = z × Z վեկտորային արտադրյալ)։ Օգտագործելով այն, Էյլերի երեք անկյունները կարելի է սահմանել հետևյալ կերպ՝

* \alpha (or \varphi) -ը x և N առանցքների միջև նշանավորված անկյունն է ( x-նշանակումը կարող է նաև սահմանվել y-ի և N-ի միջև, որը կնշանակվի y-ով):
* \beta (or \theta) z և Z առանցքների միջև ընկած անկյունն է։
* \gamma (or \psi)-ը N և X առանցքների միջև անկյունն է։

Երկու կոորդինատական համակարգերի միջև Էյլերի անկյունները սահմանվում են միայն այն դեպքում, եթե երկու համակարգերն էլ ունեն նույն թեքությունը ։

### Սահմանում ներքին պտույտներով
Ներքին պտույտները տարրական պտույտներ են, որոնք տեղի են ունենում շարժվող մարմնին կցված XYZ կոորդինատային համակարգի առանցքների շուրջը։ Հետևաբար, նրանք փոխում են իրենց կողմնորոշումը յուրաքանչյուր տարրական պտույտից հետո։ XYZ համակարգը պտտվում է, մինչդեռ xyz-ը ֆիքսված է։ Սկսելով այն կետից, երբ XYZ համընկնում է xyz-ի հետ, կարելի է օգտագործել երեք ներքին պտույտների հաջորդականություն՝ հասնելու համար XYZ համակարգի ցանկացած նպատակային կողմնորոշման։

Էյլերի անկյունները կարող են սահմանվել ներքին պտույտներով։ XYZ պտտված շրջանակը կարելի է պատկերացնել սկզբում xyz-ի հետ համընկած, նախքան Էյլերի անկյուններով ներկայացված երեք տարրական պտույտներին ենթարկվելը։ Դրա հաջորդական կողմնորոշումները կարող են նշանակվել հետևյալ կերպ.

* *x*-*y*-*z* or *x*0-*y*0-*z*0 (սկզբնական)
* *x*′-*y*′-*z*′ or *x*1-*y*1-*z*1 (առաջին պտույտից հետո)
* *x*″-*y*″-*z*″ or *x*2-*y*2-*z*2 (երկրորդ պտույտից հետո)
* *X*-*Y*-*Z* or *x*3-*y*3-*z*3 (վերջնական)

Վերը թվարկված պտույտների հաջորդականության համար N հանգույցների գիծը կարող է պարզապես սահմանվել որպես X- ի կողմնորոշումը առաջին տարրական պտույտից հետո։ Հետևաբար, N-ը կարելի է պարզապես նշանակել x '։ Ավելին, քանի որ երրորդ տարրական պտույտը տեղի է ունենում Z-ի շուրջ, այն չի փոխում Z- ի կողմնորոշումը։ Հետևաբար, Z-ը համընկնում է z- ի հետ։ Սա թույլ է տալիս մեզ պարզեցնել Էյլերի անկյունների սահմանումը հետևյալ կերպ.

* *α* (կամ *φ*)-ն ներկայացնում է z առանցքի շուրջ պտույտը,
* *β* (կամ *θ*)-ն ներկայացնում է x ' առանցքի շուրջ պտույտը,
* *γ* (կամ *ψ*)-ն ներկայացնում է z ″ առանցքի շուրջ պտույտը։

### Սահմանում արտաքին պտույտներով
Արտաքին պտույտները տարրական պտույտներ են, որոնք տեղի են ունենում xyz ֆիքսված կոորդինատային համակարգի առանցքների շուրջը։ XYZ համակարգը պտտվում է, մինչդեռ xyz-ը ֆիքսված է։ Սկսելով այն դիրքից, երբ XYZ համակարգը համընկնում է xyz համակարգի հետ, հնարավոր է օգտագործել երեք արտաքին պտույտների հաջորդականություն՝ հասնելու XYZ համակարգի ցանկացած նպատակային կողմնորոշման։ Էյլերի կամ Թեյթ-Բրայանի անկյունները ( α, β, γ ) այս տարրերի պտույտների ամպլիտուդներն են։ Օրինակ, թիրախային (պահանջվող) կողմնորոշմանը կարելի է հասնել հետևյալ կերպ (ուշադրություն դարձրեք Էյլերի անկյան կիրառման հակառակ հերթականությանը).

* XYZ համակարգը պտտվում է z առանցքի շուրջ γ- ով։ X առանցքն այժմ γ անկյան տակ է x առանցքի նկատմամբ։
* XYZ համակարգը կրկին պտտվում է, բայց այս անգամ x առանցքի շուրջ β- ով։ Z առանցքն այժմ z առանցքի նկատմամբ կազմում է β անկյան տակ։
* XYZ համակարգը պտտվում է երրորդ անգամ, կրկին z առանցքի շուրջ, α անկյան տակ։

Ամփոփելով՝ երեք տարրերի պտույտները տեղի են ունենում z, x և z կետերի շուրջ։ Այս հաջորդականությունը հաճախ նշանակվում է z - x - z (կամ 3-1-3) տառերով։ Ե՛վ տարրական (դասական) Էյլերի անկյունների, և՛ Թեյթ-Բրայանի անկյունների հետ կապված պտտման առանցքների հավաքածուները սովորաբար անվանակոչվում են այս նշագրությամբ (տե՛ս վերևում յուրաքանչյուրի վեց հնարավորությունները):

Եթե պտույտի յուրաքանչյուր քայլ ազդում է XYZ պտտվող կոորդինատային համակարգի վրա, ապա պտույտը ներքին է ( Z-X'-Z * ): Ներքին պտույտը կարող է նաև նշանակվել 3-1-3։

=== Նշաններ, միջակայքեր և ընդունված կարգեր ===
Անկյունները սովորաբար սահմանվում են [[աջ ձեռքի կանոն|աջ ձեռքի կանոնով]]։ Մասնավորապես, դրանք ունեն դրական արժեքներ, երբ ներկայացնում են պտույտ, որը երևում է [[ժամացույց|ժամացույցի]] սլաքի ուղղությամբ՝ առանցքի դրական ուղղությամբ նայելիս, և բացասական արժեքներ, երբ պտույտը երևում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ։ Հակառակ կոնվենցիան (այլ կերպ ասած՝ հաշվարկման համակարգը, որը հիմնված է ձախ ձեռքի կանոնի վրա) օգտագործվում է զգալիորեն ավելի հազվադեպ։

Դիապազոնների մասին ([[Միջակայք (մաթեմատիկա)|միջակայքային նշանակում]] օգտագործելով).

* *α* և *γ*-ի համար տիրույթը սահմանվում է [[Մոդուլար հանրահաշիվ|մոդուլով]] 2 [[ռադիան]]։ Օրինակ, միջակայքը կարող է լինել [-, ]։
* *β*-ի համար տիրույթը ներառում է  ռադիաններ (սակայն չի կարելի ասել, որ այն հաշվարկվում է  մոդուլով)։ Օրինակ՝ միջակայքը կարող է լինել [0, ] կամ [/2, /2]:

Անկյուններ՝ α, β և γ-ն միարժեքորեն որոշվում են, բացի այն հատուկ դեպքից, երբ xy և XY հարթությունները համընկնում են, այսինքն՝ երբ z և Z առանցքները ունեն նույն կամ հակադիր ուղղությունները։
Իրոք, եթե z և Z առանցքները համընկնում են, ապա β = 0, և միարժեքորեն որոշվում է միայն (α + γ) գումարը (ոչ թե α և γ առանձին-առանձին)։
Նույն ձևով, եթե z և Z առանցքները հակադիր են, ապա β = π, և միարժեք է միայն (α − γ) տարբերությունը։ Այս միարժեքության խախտումները կիրառական ոլորտներում հայտնի են որպես գիմբալի արգելակում (gimbal lock)։

Ճիշտ Էյլերի անկյունների դեպքում հնարավոր է ընտրել պտույտների վեց տարբեր հաջորդականություն, որտեղ առաջին և երրորդ առանցքները նույնն են։ Վեց հնարավոր հաջորդականություններն են՝

# *z*<sub>1</sub>-*x*′-*z*<sub>2</sub>″ (ներքին պտույտներ) or *z*<sub>2</sub>-*x*-*z*<sub>1</sub> (արտաքին պտույտներ)
# *x*<sub>1</sub>-*y*′-*x*<sub>2</sub>″ (ներքին պտույտներ) or *x*<sub>2</sub>-*y*-*x*<sub>1</sub> (արտաքին պտույտներ)
# *y*<sub>1</sub>-*z*′-*y*<sub>2</sub>″ (ներքին պտույտներ) or *y*<sub>2</sub>-*z*-*y*<sub>1</sub> (արտաքին պտույտներ)
# *z*<sub>1</sub>-*y*′-*z*<sub>2</sub>″ (ներքին պտույտներ) or *z*<sub>2</sub>-*y*-*z*<sub>1</sub> (արտաքին պտույտներ)
# *x*<sub>1</sub>-*z*′-*x*<sub>2</sub>″ (ներքին պտույտներ) or *x*<sub>2</sub>-*z*-*x*<sub>1</sub> (արտաքին պտույտներ)
# *y*<sub>1</sub>-*x*′-*y*<sub>2</sub>″ (ներքին պտույտներ) or *y*<sub>2</sub>-*x*-*y*<sub>1</sub> (արտաքին պտույտներ)

=== Պրեցեսիա, նուտացիա և ներքին պտույտ ===

[[Պրեցեսիա|Պրեցեսիան]], [[Նուտացիա (ֆիզիկա)|նուտացիան]] և ներքին պտույտը սահմանվում են որպես շարժումներ, որոնք ստացվում են Էյլերի անկյուններից մեկը փոխելով՝ մյուս երկուսը թողնելով անփոփոխ։ Այս շարժումները բոլորը չեն արտահայտվում արտաքին համակարգի կամ համատեղ շարժվող պտտվող մարմնի համակարգի միջոցով, այլ՝ խառը ձևով։ Դրանք կազմում են պտտման խառը առանցքների համակարգ – Պրեցեսիան տեղաշարժում է հանգույցների գիծը արտաքին առանցքի ՝ z-ի շուրջ, նուտացիան՝ N հանգույցների գծի շուրջ, իսկ ներքին պտույտը կատարվում է Z-ի շուրջ, որը մարմնում ֆիքսված առանցք է և շարժվում է։

Նշում․ Եթե մարմինը ենթարկվում է որոշակի կողմնորոշման փոփոխության, ապա այն կարելի է նկարագրել որպես պրեցեսիայի, նուտացիայի և ներքին պտույտի համադրություն։ Սակայն այդ բաղադրիչներից յուրաքանչյուրի չափը կախված է այն բանից, թե տվյալ մարմնի համար ինչպիսի XYZ [[Կոորդինատային համակարգ|կոորդինատային համակարգ]] է ընտրված։

Որպես օրինակ, դիտարկենք [[հոլ|Հոլը]] ։ Եթե Z առանցքը սահմանենք որպես գագաթի [[Առանցքային և կենտրոնական համաչափություն|համաչափության առանցք]], ապա գագաթի պտտումը իր սեփական առանցքի (կամ համաչափության առանցքի) շուրջ համապատասխանում է ներքին պտույտին։ Այն նաև պտտվում է իր առանցքի շուրջը, որի [[զանգված|զանգվածի]] կենտրոնը պտտվում է առանցքի շուրջը։ Այս պտույտը պրեցեսիան է։ Վերջապես, գագաթը կարող է տատանվել վեր ու վար (եթե դա այսպես կոչված [[Սիմետրիա (ֆիզիկա)|սիմետրիկ]] գագաթ չէ). առանցքի թեքության անկյան փոփոխությունը նուտացիան է։ Նույն օրինակը կարելի է տեսնել [[Երկրի օրապտույտ|երկրի]] շարժումների հետ կապված։

Չնայած երեք շարժումներն էլ կարող են ներկայացվել պտտման [[Մատրից|մատրիցներով]], միայն պերցեսիան կարող է ընդհանուր առմամբ արտահայտվել որպես [[Տարածություն|տարածության]] հիմքում գտնվող մատրից՝ առանց մյուս անկյուններից կախվածության։

Այս շարժումները նույնպես գործում են որպես գիմբալի համակարգ։ Երբ ունենք կոորդինատային համակարգերի հաջորդականություն, որտեղ յուրաքանչյուրն ունակ է պտտվել նախորդի նկատմամբ միայն մեկ անկյան միջոցով՝ ինչպես գիմբալի դեպքում, ապա կգտնվի արտաքին անշարժ համակարգ, վերջնական համակարգ, ինչպես նաև երկու միջանկյալ համակարգ, որոնք կոչվում են միջանկյալ շրջանակներ։ Այդ երկու միջանկյալ շրջանակները կատարում են գիմբալի օղակների դեր՝ թույլ տալով, որ վերջնական համակարգը հասնի ցանկացած կողմնորոշման տարածության մեջ։

== Թեյթ-Բրայանի անկյունները ==



Երկրորդ տեսակի մոտեցումը կոչվում է Թեյթ–Բրայանի անկյուններ, անվանված շոտլանդացի մաթեմատիկական ֆիզիկոս [[Փիթեր Գաթրի Թեյթ|Փիթեր Գաթրի Թեյթի]] (1831–1901) և անգլիացի կիրառական մաթեմատիկոս [[Ջորջ Բրայան|Ջորջ Բրայանի]] (1864–1928) անուններով։ Այս մոտեցումը սովորաբար օգտագործվում է օդատիեզերական ոլորտում, որտեղ զրո աստիճան բարձրությունը համապատասխանում է [[Հորիզոն|հորիզոնական դիրքին]]։ Թեյթ–Բրայանի անկյունները ներկայացնում են օդանավի կողմնորոշումը՝ հարաբերած աշխարհի (արտաքին) համակարգին։ Այլ [[Տրանսպորտ|տրանսպորտային միջոցների]] դեպքում հնարավոր են առանցքների տարբեր կոնվենցիաներ (հաշվարկման համակարգեր)։

=== Սահմանումներ ===

Թեյթ-Բրայանի [[անկյուն|անկյունների]] համար օգտագործվող սահմանումներն ու նշումները նման են վերևում նկարագրվածներին Էյլերի անկյունների համար (երկրաչափական սահմանում, ներքին պտույտի սահմանում, արտաքին պտույտի սահմանում): Միակ տարբերությունն այն է, որ Թեյթ-Բրայանի անկյունները ներկայացնում են պտույտներ երեք տարբեր առանցքների շուրջ (օրինակ՝*x*-*y*-*z* կամ *x*-*y*′-*z*″), մինչդեռ իրական Էյլերի անկյունները օգտագործում են նույն առանցքը առաջին և երրորդ տարրական պտույտների համար (օրինակ՝  *z*-*x*-*z* կամ *z*-*x*′-*z*″): 
Սա ենթադրում է երկրաչափական կառուցվածքում հանգույցների գծերի տարբեր սահմանում։ Էյլերի դասական անկյունների դեպքում այն սահմանվում էր որպես երկու հոմոլոգ կարտեզյան () հարթությունների հատում (զուգահեռ, երբ Էյլերի անկյունները զրո են, օրինակ՝ "xy" և "XY"): Թեյթ-Բրայանի անկյունների դեպքում այն սահմանվում է որպես երկու ոչ հոմոլոգ [[հարթություն|հարթությունների հատում]] (ուղղահայաց, երբ Էյլերի անկյունները զրո են, օրինակ՝ "xy" և "YZ"):

=== Կոնվենցիաներ ===


Երեք տարրերի պտույտները կարող են տեղի ունենալ կամ սկզբնական կոորդինատային համակարգի առանցքների շուրջ, որը մնում է անշարժ (արտաքին պտույտներ), կամ պտտվող կոորդինատային համակարգի առանցքների շուրջ, որը փոխում է իր կողմնորոշումը յուրաքանչյուր տարրական պտույտից հետո (ներքին պտույտներ):

Թեյթ-Բրայանի անկյունների համար պտտման առանցքները ընտրելու վեց հնարավորություն կա։ Վեց հնարավոր հաջորդականություններն են՝

* *x*-*y*′-*z*″ (ներքին պտույտներ) կամ *z*-*y*-*x* (արտաքին պտույտներ)
* *y*-*z*′-*x*″ (ներքին պտույտներ) կամ *x*-*z*-*y* (արտաքին պտույտներ)
* *z*-*x*′-*y*″ (ներքին պտույտներ) կամ *y*-*x*-*z* (արտաքին պտույտներ)
* *x*-*z*′-*y*″ (ներքին պտույտներ) կամ *y*-*z*-*x* (արտաքին պտույտներ)
* *z*-*y*′-*x*″ (ներքին պտույտներ) կամ *x*-*y*-*z* (արտաքին պտույտներ)․ ներքին պտույտները հայտնի են որպես՝ yaw, pitch և roll։
* *y*-*x*′-*z*″ (ներքին պտույտներ) կամ *z*-*x*-*y* (extrinsic rotations)

=== Նշաններ և միջակայքեր ===


Թեյթ-Բրայանի կոնվենցիան լայնորեն կիրառվում է ճարտարագիտության մեջ տարբեր նպատակներով։ Գործնականում կան մի քանի առանցքների կոնվենցիաներ շարժական և անշարժ առանցքներ ընտրելու համար, և այդ կոնվենցիաները որոշում են անկյունների նշանները։ Հետևաբար, նշանները պետք է ուշադիր ուսումնասիրվեն յուրաքանչյուր դեպքում։

"ψ" և "φ" անկյունների միջակայքը կազմում է 2 ռադիան։ "θ"-ի համար տիրույթը ներառում է  ռադիան։

=== Այլընտրանքային անուններ ===
Այս անկյունները սովորաբար սահմանվում են հետևյալ կերպ․ մեկը որոշվում է արտաքին հղման համակարգում (օրինակ՝ ուղղություն կամ կողմնորոշում), մյուսը՝ շարժվող ներքին համակարգում (թեքման անկյուն), իսկ երրորդը՝ միջանկյալ համակարգում, որը ներկայացնում է բարձրություն կամ թեքություն՝ հարաբերած հորիզոնական հարթությանը։ Այս վերջինը համարժեք է տվյալ դեպքում կիրառվող հանգույցների ուղղին։

=== Որպես շղթայական պտույտներ ===

Օդանավի դեպքում այդ անկյունները հնարավոր է սահմանել հիմնական առանցքների շուրջ երեք հաջորդական պտույտներով, եթե պտույտները կատարվեն որոշակի հերթականությամբ և սկսվեն հղման համակարգին համընկնող կադրից։

*Yaw (հորիզոնական պտույտը) սահմանում է ուղղությունը (bearing),
*Pitch (վերին կամ ստորին թեքումը) տալիս է բարձրության անկյունը (elevation),
*Roll (առանցքի շուրջ պտույտը) որոշում է թեքման անկյունը (bank angle)։

Ուշադրություն դարձրեք, որ այս համակարգը չի գործի, եթե պտույտները կատարվեն այլ հերթականությամբ, կամ օդանավի առանցքները ի սկզբանե չունենան հղման համակարգին համարժեք դիրք։

Թեյթ–Բրայանի անկյունները, երբ սահմանվում են "z–y′–x"″ ներքին պտույտների հաջորդականությամբ, հայտնի են նաև որպես նավարկային անկյուններ, քանի որ կիրառվում են նավի կամ օդանավի կողմնորոշումը նկարագրելու համար։
Դրանք հայտնի են նաև որպես Կարդանի անկյուններ, ի պատիվ իտալացի մաթեմատիկոս և ֆիզիկոս [[Ջերոլամո Կարդանո|Ջերոլամո Կարդանոյի]], ով առաջինն է մանրամասն նկարագրել Կարդանի կախոցը և Կարդանի հոդը։

== Տրված շրջանակի անկյունները ==


Ընդհանուր տարածված խնդիրներից մեկը տվյալ համակարգի Էյլերի անկյունների հայտնաբերումն է։ Ամենարագ եղանակը հետևյալն է՝ երեք տրված վեկտորները տեղադրել որպես մատրիցի սյուներ և համեմատել այն տեսական մատրիցի արտահայտության հետ (տես հաջորդ բաժնի աղյուսակը)։ Այս կերպ հնարավոր է հաշվարկել երեք Էյլերի անկյունները։ Սակայն նույն արդյունքին կարելի է հասնել՝ խուսափելով մատրիցային հաշվարկներից և օգտագործելով միայն տարրական երկրաչափություն։ Ստորև ներկայացված են արդյունքները երկու ամենատարածված կոնվենցիաների համար՝ "ZXZ" (ճիշտ Էյլերի անկյունների համար) և "ZYX" (Թեյթ–Բրայանի անկյունների համար)։
Նշենք, որ ցանկացած այլ կոնվենցիա կարելի է ստանալ՝ պարզապես փոխելով առանցքների անունները։

=== Էյլերի դասական անկյունները ===
Ենթադրելով մի համակարգ, որի միավոր վեկտորները ("X", "Y", "Z") տրված են իրենց կոորդինատներով՝ ինչպես հիմնական դիագրամում, կարող ենք տեսնել, որ․

:<math>\cos (\beta) = Z_3.</math>

Եվ, քանի որ
:<math>\sin^2 x = 1 - \cos^2 x,</math>
ապա <math> 0<x<\pi </math> միջակայքում գործում է  
:<math>\sin (\beta) = \sqrt {1 - Z_3^2}.</math>

Քանի որ <math>Z_2</math>-ն միավոր վեկտորի կրկնակի պրոյեկցիան է, ապա
:<math>\cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) = -Z_2,</math>
:<math>\cos(\alpha) = -Z_2 / \sqrt{1 - Z_3^2}.</math>

Նմանատիպ կառուցվածք կա նաև <math>Y_3</math>-ի համար, որն առաջինը պրոյեկցվում է այն հարթության վրա, որը սահմանվում է *z* առանցքով և հանգույցների ուղիղով։
Քանի որ այդ հարթությունների միջև անկյունը հավասար է <math>\pi/2 - \beta</math> և <math>\cos(\pi/2 - \beta) = \sin(\beta)</math>, հետևաբար ստացվում է․

:<math>\sin(\beta) \cdot \cos(\gamma) = Y_3,</math>
:<math>\cos(\gamma) = Y_3 / \sqrt{1 - Z_3^2},</math>

Եվ վերջապես, օգտագործելով շրջադարձային կոսինուսը․

:<math>\alpha = \arccos\left(-Z_2 / \sqrt{1 - Z_3^2}\right),</math>
:<math>\beta = \arccos\left(Z_3\right),</math>
:<math>\gamma = \arccos\left(Y_3 / \sqrt{1 - Z_3^2}\right).</math>

=== Թեյթ-Բրայանի անկյունները ===
Ենթադրելով, որ ունենք համակարգ, որի միավոր վեկտորները՝ (*X*, *Y*, *Z*), տրված են իրենց կոորդինատներով՝ ինչպես նոր դիագրամում (նշենք, որ "θ" անկյունը բացասական է), կարող ենք տեսնել, որ․

:<math>\sin (\theta) = -X_3</math>

Ինչպես նախորդ դեպքում՝
:<math>\cos^2 x = 1 - \sin^2 x,</math>
երբ <math> -\pi/2<x<\pi/2 </math> տրված է
:<math>\cos (\theta) = \sqrt {1 - X_3^2}.</math>

Նախորդին համանման ձևով․

:<math>\sin(\psi) = X_2 / \sqrt{1 - X_3^2}.</math>
:<math>\sin(\phi) = Y_3 / \sqrt{1 - X_3^2}.</math>

Նախորդ ձևերին համանման արտահայտություններ գտնելու նպատակով՝
<math>\psi = \arcsin\left(X_2 / \sqrt{1 - X_3^2}\right),</math>
:<math>\theta = \arcsin(-X_3),</math>
:<math>\phi = \arcsin\left(Y_3 / \sqrt{1 - X_3^2}\right).</math>

=== Ամփոփիչ դիտարկումներ ===
Պետք է նշել, որ շրջադարձային սինուսի և կոսինուսի ֆունկցիաները տրված արգումենտի համար կարող են տալ երկու հնարավոր արժեք։ Այս երկրաչափական նկարագրության մեջ դրանցից միայն մեկի լուծումն է կիրառելի։ Երբ Էյլերի անկյունները սահմանվում են որպես պտույտների հաջորդականություն, հնարավոր են բոլոր լուծումները, սակայն դրանցից միայն մեկն է ընկած անկյունների սահմանված միջակայքներում։ Սա պայմանավորված է նրանով, որ նպատակային շրջանակին հասնելու համար պտույտների հաջորդականությունը եզակի չէ, եթե միջակայքերը նախապես սահմանված չեն։

Հաշվարկային նպատակներով օգտակար է անկյունները ներկայացնել atan2(*y*, *x*)}} ֆունկցիայի միջոցով։ Օրինակ՝ ճիշտ Էյլերի անկյունների դեպքում․

:<math>\alpha = \operatorname{atan2}(Z_1 , -Z_2),</math>
:<math>\gamma = \operatorname{atan2}(X_3 , Y_3).</math>

== Կողմնորոշման այլ ներկայացումների փոխակերպում ==
Էյլերի անկյունները կողմնորոշումներ ներկայացնելու մեկ տարբերակն են։ Կան նաև այլ եղանակներ, և հնարավոր է անցում կատարել տարբեր կոնվենցիաների միջև։
Կողմնորոշումը նկարագրելու համար միշտ անհրաժեշտ են երեք պարամետր, եթե խոսքը վերաբերում է եռաչափ Էվկլիդյան տարածության։ Այս պարամետրերը կարելի է տալ տարբեր ձևերով, որոնցից Էյլերի անկյունները միայն մեկն են։ 

Ամենատարածված կողմնորոշման ներկայացումները ներառում են՝ պտտման [[մատրից|մատրիցներ]], առանցք-անկյուն ներկայացում և քվատեռնիոններ (նաև հայտնի որպես Էյլեր–Ռոդրիգեսի պարամետրեր), որոնք ապահովում են 3D պտույտների ներկայացման այլ մեխանիզմ (տես՝ Քվատեռնիոններ և տարածական պտույտներ)։ Սա համարժեք է հատուկ ունիտար խմբի (SU(2)) նկարագրությանը։

Եռաչափ պտույտները միավոր քվատեռնիոններով ներկայացնելը մատրիցների փոխարեն ունի մի շարք առավելություններ․

*Պտույտների համադրմամբ ստացվող արդյունքը հաշվարկվում է ավելի արագ և թվապես ավելի կայուն է։
*Պտույտի առանցքն ու անկյունը ստանալը ավելի պարզ է։
*Ինտերպոլյացիան ( slerp) ավելի ուղիղ գործընթաց է։
*Քվատեռնիոնները չեն ունենում գիմբալի արգելակում՝ ի տարբերություն Էյլերի անկյունների։

Այնուամենայնիվ, պտտման մատրիցի հաշվարկումը մնում է առաջին քայլը՝ մնացած երկու ներկայացումները ստանալու համար։

=== Պտտման մատրից ===
Ցանկացած կողմնորոշում կարելի է ստանալ երեք տարրական պտույտների համադրմամբ՝ սկսելով հայտնի ստանդարտ կողմնորոշումից։ Նույնաբանորեն, ցանկացած պտտման մատրից՝ "R", կարելի է ներկայացնել որպես երեք տարրական պտտման մատրիցների արտադրյալ։ Օրինակ՝

<math display="block">R = X(\alpha), Y(\beta), Z(\gamma)</math>

պտտման մատրից է, որը կարող է ներկայացնել՝

*արտաքին պտույտների հաջորդականություն՝ համապատասխանաբար z, y, x առանցքների շուրջ, կամ
*ներքին պտույտների հաջորդականություն՝ համապատասխանաբար x–y′–z″ առանցքների շուրջ։

Սակայն թե՛ տարրական պտույտների մատրիցների՝ X, Y, Z սահմանումը, և թե՛ դրանց բազմապատկման կարգը կախված են օգտվողի կողմից ընտրված կոնվենցիաներից՝ թե՛ պտույտների մատրիցների, և թե՛ Էյլերի անկյունների սահմանման առումով (տես՝ պտտման մատրիցների սահմանման երկիմաստությունները)։ Ցավոք, տարբեր համատեքստերում կիրառվում են տարբեր ընդունված կոնվենցիաներ։ Ստորև բերված աղյուսակը կառուցված է այս կոնկրետ կոնվենցիաների հիման վրա։

# Յուրաքանչյուր մատրից նախատեսված է կիրառել՝ նախապես բազմապատկելով սյունակային վեկտորները։ <math display="inline">\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}</math> 
# Յուրաքանչյուր մատրից նախատեսված է ներկայացնելու ակտիվ պտույտ, այսինքն՝ մատրիցը (ինչպես կոմպոզիտը, այնպես էլ դրա բաղադրիչները) գործում է վեկտորների կոորդինատների վրա՝ սկսած անշարժ հղման համակարգում, և արդյունք է տալիս նույն հղման համակարգում սահմանված պտտված վեկտորի կոորդինատները։
# Յուրաքանչյուր մատրից նախատեսված է, առաջին հերթին, ներկայացնելու ներքին պտույտների համադրման արդյունքը (պտույտներ՝ պտտվող հղման համակարգի առանցքների շուրջ), և երկրորդ հերթին՝ արտաքին պտույտների եռյակի համադրումը։ Այս վերջինը համապատասխանում է R մատրիցի կառուցողական հաշվարկին, երբ այն արտադրվում է երեք իսկապես տարրական մատրիցների բազմապատկմամբ՝ հակադարձ կարգով։
# Ընդունված են աջ ձեռքի հղման համակարգեր, և անկյունների՝ *α*, *β*, *γ* նշանները որոշվում են աջ ձեռքի կանոնի հիման վրա։

Պարզության նպատակով՝ հետևյալ մատրիցների արտադրյալների աղյուսակում օգտագործվում է հետևյալ անվանակարգը․
# *X*, *Y*, *Z* մատրիցները ներկայացնում են տարրական պտույտները անշարժ համակարգի *x*, *y*, *z* առանցքների շուրջ (օրինակ՝ *X*<sub>*α*</sub> նշանակում է պտույտ *x* առանցքի շուրջ՝ *α* անկյան չափով)։
# *s* և *c* համապատասխանաբար նշանակում են սինուս և կոսինուս (օրինակ՝ *s*<sub>*α*</sub>՝ *α* անկյան սինուսը)։



Այս աղյուսակային արդյունքները կարելի է գտնել բազմաթիվ դասագրքերում։ Յուրաքանչյուր սյունակի վերջին տողը ներկայացնում է տվյալ կոնվենցիայի ամենատարածված տարբերակը։

Եթե ցանկանում ենք ձևափոխել բանաձևերը՝ ստանալու պասիվ պտույտներ (կամ հակադարձել ակտիվ պտույտը), ապա պետք է գծային մատրիցները փոխադրել։ Այդ դեպքում յուրաքանչյուր մատրից փոխակերպում է անշարժ մնացած վեկտորի սկզբնական կոորդինատները՝ դարձնելով դրանք պտտված համակարգում չափված նույն վեկտորի կոորդինատներ։
Առանցքը և անկյունները մնում են նույնը, սակայն այժմ պտտվում է կոորդինատային համակարգը, ոչ թե վեկտորը։

Ստորև բերված աղյուսակում ներկայացված են *α*, *β* և *γ'' անկյունների բանաձևերը՝ ըստ պտտման մատրիցի R տարրերի։

## Տես նաև
*Էվկլիդեսյան երկրաչափություն
*Գծային հանրահաշիվ
*Էյլերի բանաձև
*Աերոդինամիկա

## Գրականություն
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Արտաքին հղումներ

Կատեգորիա:Անկյուններ
Կատեգորիա:Գծային հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Երկրաչափություն
Կատեգորիա:Էվկլիդեսյան երկրաչափություն
Կատեգորիա:Լեոնարդ Էյլեր
Կատեգորիա:Կինեմատիկա
Կատեգորիա:Կողմնորոշվածություն
Կատեգորիա:Կոորդինատային համակարգեր
Կատեգորիա:Մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Մեխանիկա
Կատեգորիա:Պինդ մարմնի մեխանիկա
Կատեգորիա:Սիմետրիա
Կատեգորիա:Վերլուծական երկրաչափություն
Կատեգորիա:Ֆիզիկա