Ամբողջ թիվ

աջից|մինի|120px|'''Ամբողջ թվերի''' բազմության նշանը

**Ամբողջ թիվ**, զրո (0), դրական բնական թիվ (1, 2, 3, և այլն) կամ **բացասական ամբողջ թիվ** (−1, −2, −3, և այլն)։ Բացասական թվերը համապատասխան դրական թվերի գումարային հակադարձերն են։ Բոլոր ամբողջ թվերի բազմությունը հաճախ նշանակվում է -ով կամ ։

Բնական թվերի \mathbb{N} բազմությունը \mathbb{Z}-ի ենթաբազմություն է, որն իր հերթին բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմության՝ \mathbb{Q}-ի, ենթաբազմություն է, որը բոլոր իրական թվերի բազմության՝ \mathbb{R}-ի, ենթաբազմություն է։ Ինչպես բնական թվերը, ամբողջ թվերի \mathbb{Z} բազմությունը նույնպես հաշվելի անվերջ է։ Ամբողջ թվերն այն իրական թվերն են, որոնք կարելի է գրել առանց կոտորակային բաղադրիչի։ Օրինակ՝ 21, 4, 0 և −2048 թվերը ամբողջ թվեր են, մինչդեռ 9.75, 5\frac{1}{2} և \sqrt{2} թվերը ամբողջ չեն։

Ամբողջ թվերը կազմում են բնական թվեր պարունակող ամենափոքր խումբն ու ամենափոքր օղակը։ Աբստրակտ թվերի տեսությունում ամբողջ թվերը երբեմն կոչվում են **ռացիոնալ ամբող թվերը**՝ ավելի ընդհանուր հանրահաշվական ամբողջ թվերից տարբերելու համար։

## Պատմություն
Պատմականորեն եզրը կիրառվել է 1-ի բազմապատիկ թվերը կամ կոտորակի ամբողջ մասը նշելու համար։ Սկզբնապես դիտարկվում էին միայն դրական ամբողջ թվերը, ինչի հետևանքով ամբողջ թիվ և բնական թիվ եզրերը հոմանիշներն էին։ Ամբողջ թվի սահմանումը ընդլայնվել է բացասական թվերի կարևորությունը գիտակցելուց հետո։ Օրինակ՝ Լեոնարդ Էյլերը իր 1765 թվականի «Հանրահաշվի տարրեր» գրքում ամբողջ թվերը սահմանել է այնպես, որ դրանք ներառեն և՛ դրական, և՛ բացասական թվերը։ Սակայն, եվրոպացի մաթեմատիկոսները հիմնականում չեն ընդունել բացասական թվերի հասկացությունը մինչև 19-րդ դարի կեսեր։

Ամբողջ թվերի բազմությունը Z տառով նշանակման ավանդույթը կապված է գերմաներեն  (թիվ) բառի հետ և վերագրվել է Դավիթ Հիլբերտին։ Այս նշանակման հայտնի ամենավաղ օրինակ կա Նիկոլա Բուրբակի խմբի Մաթեմատիկայի տարրեր (*Éléments de mathématique*) դասագրքում (1947 թվական)։ Սակայն նշանակումը անմիջապես չի ընդունվել, օրինակ մեկ այլ դասագրքում կիրառվել է J տառը, իսկ 1960 թվականին տպարված հոդվածներից մեկում Z-ը օգտագործվել է ոչ բացասական ամբողջ թվերը նշելու համար։ Սակայն, 1967 թվականից Z-ը լայնորեն կիրառվում էր դրական և բացասական ամբողջ թվերը նշելու համար։

Հաճախ \mathbb{Z} սիմվոլի վերտողում կամ ենթատողում ավելացնում են տարբեր նշաններ այլ բազմություններ նշելու համար։ Օրինակ՝ \mathbb{Z}^+,\mathbb{Z}_+ կամ \mathbb{Z}^{>} սիմվոլները կիրառվում են դրական ամբողջ թվերը նշելու համար, \mathbb{Z}^{0+} կամ \mathbb{Z}^{\geq} սինվոլները կիրառվում են ոչ բացասական ամբողջ թվերը նշելու համար, իսկ \mathbb{Z}^{\neq}-ով նշանակում են զրոյից տարբեր ամբողջ թվերը։ Որոշ հեղինակները կիարռում են \mathbb{Z}^{*}-ը զրոյից տարբեր ամբողջ թվերը նշանակելու համար, մինչդեռ այլ հեղինակներ օգտագործում են այն ոչ բացասական ամբողջ թվերի կամ  բազմության համար։ Բացի դա, \mathbb{Z}_{p}-ով հաճախ նշանակվում է մոդուլ  ամբողջ թվերի, կամ -ադիկ ամբողջ թվերի նշանակման համար։

## Հանրահաշվական հատկություններ
[right|thumb|300px|Ամբողջ թվերը կարելի է պատկերել որպես անվերջ երկարություն ունեցող [թվային առանցքի վրա դիսկրետ, իրարից հավասարահեռ կետեր։ Վերևի օրինակում ոչ բացասական թվերը կապույտ են, դրականները՝ կարմիր։]]

Բնական թվերի նման \mathbb{Z}-ը նույնպես փակ է ըստ գումարման և բազմապատկման գործողությունների, այսինքն՝ կամայական երկու ամբողջ թվի գումարը կամ արտադրյալը ամբողջ թիվ է։ Սակայն, զրոյի և բացասական թվերի ներմուծման շնորհիվ \mathbb{Z} ամբողջ թվերը փակ են նաև ըստ հանման։

Ամբողջ թվերը կազմում են միավորով օղակ, որն ամենապարզն է հետևյալ իմաստով․ կամայական միավորով օղակի համար գոյություն ունի եզակի օղակային հոմոմորֆիզմ ամբողջ թվերից դեպի այդ օղակ։ Այս ընդհանրացված հատկությունը, մասնավորապես օղակների կատեգորիայում նախնական օբյեկտ լինելը, բնութագրում է \mathbb{Z} խումբը։

\mathbb{Z}-ը փակ չէ ըստ բաժանման, քանի որ երկու ամբողջ թվերի քանորդը կարող է ամբողջ թիվ չլինել (օրինակ 1-ը բաժանած 2-ի)։ Ի տարբերություն բնական թվերի, ամբողջ թվերը փակ չեն ըստ աստիճանի բարձրացման, քանի որ արդյունքը կարող է լինել կոտորակ, երբ ցուցիչը բացասական է։

Հետևյալ աղյուսկում կան կամայական ,  և  ամբողջ թվերի բազմապատկման և գումարման որոշ հատկություններ․

Գումարման համար նշված առաջին հինգ հատկությունից հետևում է, որ \mathbb{Z}-ը ըստ գումարման աբելյան խումբ է։ Այն նաև ցիկլային խումբ է, քանի որ զրոյից տարբեր զուրաքանչյուր ամբողջ թիվ կարելի է ներկայացնել  կամ  վերջավոր գումարի տեսքով։ Ընդ որում, ըստ գումարման \mathbb{Z}-ը *միակ* անսահման ցիկլային խումբն է, քանի որ յուրաքանչյուր այլ անսահման ցուկլային խումբ իզոմորֆ է \mathbb{Z}-ին։

Բազմապատկման համար նշված առաջին չորս հատկություններից հետևում է, որ \mathbb{Z} ըստ բազմապատկման կոմուտատիվ մոնոիդ է։ Սակայն, ոչ բոլոր ամբողջ թվերը ունեն բազմապատկային հակադիր (օրինակ՝ 2-ը), որից հետևում է, որ \mathbb{Z}-ը ըստ բազմապատկման խումբ չէ։

## Նշումներ

## Ծանոթագրություններ


Կատեգորիա:Տարրական մաթեմատիկա