Վերջավոր դաշտ

**Վերջավոր դաշտ**, կամ ընդհանուր հանրահաշվում **Գալուայի դաշտ**, դաշտ, որը բաղկացած է վերջավոր թվով տարրերից, այս թիվը կոչվում է դաշտի **կարգ**։

Վերջավոր դաշտը սովորաբար նշանակվում է \mathbb{F}_q կամ \mathrm{GF}(q) (հապավումը՝ *Galois field*-ից) և կոչվում է q կարգի Գալուայի դաշտ, որտեղ q-ն՝ դաշտի տարրերի թիվն է։ Վերջնական ճշտությամբ մինչև իզոմորֆիզմը վերջավոր դաշտը լիովին որոշվում է իր կարգով, որը միշտ հանդիսանում է ինչ-որ պարզ թվի աստիճան, այսինքն՝ q=p^n, որտեղ p-ն պարզ թիվ է, n-ը՝ ցանկացած բնական թիվ։ Ընդ որում p լինելու է այդ դաշտի բնութագիրը։

Վերջավոր դաշտի հասկացությունը օգտագործվում է թվերի տեսության, խմբերի տեսության ,  հանրահաշվական երկրաչափության և ծածկագիտություն մեջ։

## Սահմանում և հատկություններ
Վերջավոր դաշտ կոչվում է վերջավոր բազմությունը, որի վրա սահմանված են գումարման, բազմապատկման, հանման և բաժանման (բացի 0-ի բաժանումից) կամայական գործողություններ, ըստ աքսիոմների դաշտի։

Վերջավոր դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբը ցիկլային է։ Այսինքն, \mathbb F_q դաշտի ոչ բոլոր զրոյական տարրերն են ձևավորում խումբ բազմապատկման գործողության նկատմամբ (այս խումբը կոչվում է *դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբ* և նշանակում է \mathbb F_q^*)։ Այս խումբը համարվում է ցիկլային, այսինքն այն ունի ծնիչ տարր, իսկ մնացած բոլոր տարրերը ստացվում են ծնիչի աստիճանններով։ Այսինքն, գոյություն ունի g գեներացնող տարր, այնպես, որ ցանկացած a \in \mathbb F_q^* -ի համար կարելի է գրել.

\exist n : g^n = a \mod q։

Գեներացնող տարրը՝ \mathbb F_q^*,  կոչվում է նաև \mathbb F_q. դաշտի պարզունակ տարր։ \mathbb F_q դաշտը  պարունակում է \varphi(q-1) պարզունակ տարրեր, որտեղ \varphi՝ Էյլերի ֆունկցիան է։

Դաշտը ունի նաև մի շարք այլ հատկություններ.

* Ըստ Ֆերմայի թեորեմի, \mathbb{F}_{q}  դաշտի յուրաքանչյուր տարր բավարարում է a^q = a հավասարմանը։
* \mathbb{F}_{p^n} դաշտն իր մեջ պարունակում է \mathbb{F}_{p^k} ենթադաշտ այն և միայն այն ժամանակ, երբ k հանդիսանում է n-ի բաժանարար։
* Եթե f\in \mathbb F_q[x] -ը  m աստիճանի չբերվող բազմապատկման է, ապա \mathbb F_{q^m} դաշտը պարունակում է նրա ցանկացած \alpha արմատ, ընդ որում նրա բոլոր արմատների բազմությունն ունի \mathbb F_{q^m} տեսքը։ Այսպիսով, \mathbb F_{q^m} դաշտը հանդիսանում է f բազմանդամի վերլուծման դաշտը \mathbb F_q դաշտի վար։
* Յուրաքանչյուր \mathbb F_q վերջավոր դաշտի և n բնական թվերի համար բոլոր նորմավորված, \mathbb F_q բազմանդամների արտադրյալը հավասար է x^{q^n}-x: Մասնավորապես, այդպիսի բազմանդամների աստիճանների գումարը հավասար է q^n։
* \mathbb{F}_q, դաշտի վրա բերվող *n* աստիճանի նորմավորված բազմանդամների \mathbb{F}_q, թիվը որոշվում է N(q,n)=\frac{1}{n}\sum_{d|n} \mu(d)q^{\frac{n}{d}} բանաձևով, որտեղ \mu Մյոբիուսի ֆունկցիան է։ Այս պնդումը հետևում է q^n=\sum_{d|n} dN(q,d) բանաձևից։

## Պարզ թվով տարրերով դաշտ
Պարզ կարգի ցանկացած դաշտ կարող է ներկայացվել տարրերի հանման օղակով (այսինքն, \mathbb{GF}_{p} տարրերով ցանկացած դաշտ իզոմորֆ է հանման \mathbb{Z}/(p) օղակին)։ Վերջնական դաշտի առավել հայտնի օրինակներից է՝ ըստ p պարզ թվի մոդուլի հանման դասերի դաշտը, որը նշանակվում է \mathbb{Z}/(p)-ով։ Այդ դաշտը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ.
p պարզ թվի համար դաշտի տարրերը կլինեն \{0, 1, ..., p - 1\} թվերը։ Գումարումը և բազմապատկումը սահմանվում են որպես թվերի ավելացում և բազմապատկվում արդյունքի բերվում p մոդուլի միջոցով։ Ստորև տրված են նման դաշտեր երկրու և երեք տարերով։

## Նվազեցվող օղակների հետ կապը
Չպետք է շփոթել վերջնական դաշտերը \mathbb{F}_{p^n} և նվազեցումների օղակները \mathbb{Z}/(p^n)։ Միայն այն ժամանակ, երբ թիվը պարզ է, օղակը համարվում է նվազեցվող ։

Երբ n > 1 նվազեցված օղակը \mathbb{Z}/(p^n) դաշտ չի համարվում։ Օրինակ՝

\mathbb{F}_8 ցանկացած տարրի համար ճիշտ է x + x = 0։

Օղակը \mathbb{Z}_8, Հաշվելով    
x + x մենք կստանանք 0 միայն երկու դեպքում, երբ x = 4, x = 0։ Այս օղակը ունի զրոյական բաժանարար։

## Վերջավոր դաշտերի բնութագրիչ
Յուրաքանչյուր վերջավոր դաշտի բնութագրիչը հանդիսանում է պարզ թիվ։ Թող՝ F-ն լինի վերջավոր դաշտ։ Այդ դեպքում այն բաղկացած է  p^n  տարրերից, որտեղ F դաշտի բնութագրիչը p է, իսկ n բնական թիվը՝ F դաշտի կարգն է իր պարզ ենթադաշտի վրա.

Վերջավոր դաշտի գոյության և միակության թեորեմի համաձայն, յուրաքանչյուր p պարզ և n բնական թվերի համար գոյություն ունի վերջավոր դաշտ՝ p^n տարրերով և q=p^n տարրերով ցանկացած վերջավոր դաշտ իզոմորֆ է բազմանդամի վերլուծման x^q - x դաշտի նկատմամբ՝ \mathbb{F}_p դաշտի վրա։ Տվյալ թեորեմը մեզ թույլ է տալիս խոսել տրված q կարգի, բավականին սահմանված դաշտի մասին (այսինքն, *Գաուլայի դաշտի մասին, որը բաղկացած է՝ <math>q</math> տարրից*)։

## Կառուցում
\mathbb F_{p^n} դաշտը *n* > 1 -ի դեպքում կարելի է կառուցվել որպես \mathbb{K}=\mathbb F_p[x]/(f(x)) ֆակտոր օղակ, որտեղ f(x) -ը  \mathbb F_p դաշտի նկատմամբ *n*աստիճանի չբերվող բազմանդամ է։ Այսպիսով, p^n տարրից դաշտ կառուցելու համար բավական է գտնել n աստիճանի, \mathbb F_p դաշտի վրա չբերվող բազմանդամ (նման բազմությունները միշտ գոյություն ունի)։ \mathbb{K} դաշտի տարրերը հանդիսանում են n-ից փոքր աստիճաններով, \mathbb F_p -ից գործակիցներով, f(x) բազմանդանով ծնված բազմանդամների տարբերության դաս։

f(x) տարրը համարվում է \alpha=x+(f(x))\in \mathbb{F}_p[x]/(f(x)) բազմանդամի արմատը և \mathbb{F}_p[x]/(f(x)) դաշտը ծնվում է այդ տարրով՝ \mathbb{F}_p դաշտում, հետևաբար անցումը \mathbb{F}_p դաշտից \mathbb{F}_p[x]/(f(x)) դաշտ անվանում են f(x) *չբերվող բազմանդամի արմատի միավորումը* \mathbb{F}_p դաշտին։

## Օրինակներ
### Երկու տարրերից կազմված դաշտ
\mathbb{F}_2 դաշտը բաղկացած է երկու տարրերից, սակայն այն կարող է տրված լինել տարբեր եղանակներով՝ կախված տարրերի ընտրությունից և նրա վրա  գումարման և բազմապատկամ գործողությունների սահմանելուց։

* Որպես երկու՝ «0» և «1», թվերից բաղկացած բազմություն, որտեղ գումարման և բազմապատկման գործողությունը սահմանվում են ինչպես բերված արդյունքների 2 մոդուլով թվերի գումարում և բազմապատկում.

* Որպես «ՍԽԱԼ» (F) և «ՃԻՇՏ» (T) երկու տրամաբանական օբեկտների բազմություն, որի վրա գումարման և բազմապատկման գործողությունները սահմանվում են որպես բուլյան գործողություններ համապատասխանաբար «բացառող կամ» և «և».

Ակնհայտ է, որ տրված դաշտերը միմիանց իզոմորֆ են, այսինքն, դրանք իրականում առաջադրանքի տրման երկու տարբեր եղանակներ են։

### Երեք տարրերից կազմված դաշտ
Դաշտը \mathbb{F}_3 = \{0, 1, 2\} -ն է։ Գումարումը և բազմապատկումը սահմանված են ինչպես 3 մոդուլով թվերի գումարում և բազմապատկում։ \mathbb{F}_3 գործողությունների աղյուսակը ունի հետևյալ տեսքը.

### Չորս տարրերից կազմված դաշտ
\mathbb{F}_4 դաշտը կարելի է ներկայացնել որպես \{0, 1, \alpha, \alpha+1\} բազմություն (որտեղ \alpha -ը f(x)=x^2+x+1 բազմանդամի արմատն է \mathbb{F}_2 դաշտի վրա, այսինքն՝ \alpha^2=-\alpha-1=\alpha+1): \mathbb{F}_4 գործողությունների աղյուսակներն ունեն հետևյալ տեսքը.

### Ինը տարրերից կազմված դաշտ
\mathbb F_9 = \mathrm{GF}(3^2) դաշտի կառուցման համար բավարար է գտնել 2-րդ կարգի, \mathbb{F}_3 -ի վրա չբերվող նորմավորված բազմանդամ։ Այդպիսի բզմանդամներ են հանդիսանում.

x^2+1 -ի համար որոնվող դաշտը \mathbb F_9=\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1) -ն է (եթե x^2+1-ի փոխարեն վերցնենք այլ բազմություն, ապա կստացվի նոր դաշտ, հնին իզոմորֆ)։ Ստորև բերված աղյուսակում i սիմվոլը նշանակում է x բազմության համաժեքության դաս՝ \mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1) ֆակտոր իղակում, i^2+1=0 հավասարմանը բավարարող։

\mathbb F_9 գումարման աղյուսակը սահմանվում է 1+1+1=0 հարաբերությունից ելնելով։

\mathbb F_9 -ում բազմապատկման աղյուսակը սահմանվում է i^2=-1 հարաբերությունից։

### 16 տարրերից կազմված դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբ
Երբ \mathbb F_{16} = \mathrm{GF}(2^4) դաշտը կազմվում է x^4 + x + 1 չբերվող բազմանդամի օգնությամբ, ընդլայման տարրերը տրվում են բազմանդամի գործակցների հավաքածուներով, որը ստացվում է x^4 + x + 1 բազմանդամի վրա բաժանման մնացորդում՝ գրված աստիճանների աճման կարգով։ Մուլտիպլիկատիվ խումբը ծնվում է \alpha = x տարրով, որը գրի առնվում որպես (0, 1, 0, 0)

## Ուսումնասիրության պատմություն
Վերջավոր դաշտերի տեսության սկիզբը սկսվում է 17-րդ և 18-րդ դարերից։ Այս թեմայի շուրջ աշխատել են գիտնականներ ինչպիսիք են Պիեռ դը Ֆերման, Լեոնարդ Էյլերը, Ժոզեֆ Լուի Լագրանժը և Ադրիեն-Մարի Լեժանդրը, որոնց կարելի է համարել պարզ կարգի վերջավոր դաշտերի տեսությունների հիմնադիրներ։ Այնուամենայնիվ, վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսությունը մեծ հետաքրքրություն է ներկայացնում, սկսած Կառլ Գաուսի և Էվարիստ Գալուայի աշխատանքներից։ Որոշ ժամանակ այս տեսությունը կիրառություն գտավ միայն հանրահաշվի և թվերի տեսության մեջ, սակայն հետագայում շփման նոր եզրեր են ի հայտ եկել հանրահաշվական երկրաչափության, կոմբինատորիկայի և կոդավորման տեսության հետ։

### Գալուայի ներդրումը
right|thumb|Էվարիստ Գալուա
1830 թվականին տասնութամյա Էվարիստ Գալուան աշխատանք հրատարակեց, որը հիմք դրեց վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսությանը։ Այդ աշխատանքում Գալուան (կապված փոփոխականների և հանրահաշվական հավասարումների տեսության հետազոտության հետ) ներ է մուծում համեմատության երևակայական F(x)\equiv 0\pmod p արմատը, որտեղ F(x)-ն *p* մոդուլով չբերվող, \nu աստիճանի կամայական բազմանդամ է։ Դրանից հետո դիտարկվում է  A = a_0 + {a_1}i + {a_2}i^2 + \ldots + a_{\nu-1}i^{\nu-1} ընդհանուր արտահայտությունը, որտեղ a_0, a_1, ..., a_{\nu-1}՝ *p* մոդուլով որոշ ամբողջական թվեր։ Եթե այդ թվերին տանք բոլոր հնարավոր արժեքները, ապա A արտահայտությունը կընդունի p^{\nu} արժեքը։ Այնուհետև Գալուան ցույց է տալիս, որ այդ արժեքները դաշտ են ձևավորում և այդ դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբը համարվում է ցիկլիկ։ Այսպիսով, այս աշխատանքը համարվում է վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսության հիմքը։ Ի տարբերություն նախորդների՝ միայն \mathbb F_p դաշտը դիտարկող, Գալուան հետազոտում է արդեն \mathbb F_{p^n} դաշտերը, որոնք իր պատվին սկսեցին անվանել **Գալուայի դաշտ**։

Իրականում, այս ուղղությամբ առաջին աշխատանքը գրել է Գաուսը մոտավորապես 1797 թվականին, սակայն նրա կյանքի ընթացքում այս ուսումնասիրությունը երբեք չի հրատարակվել։ Այս ուսումնասիրությունը հավանաբար անտեսվել է նրա գրությունների խմբագրի կողմից և այդ իսկ պատճառով այս աշխատանքը լույս է տեսել միայն նրա մահից հետո՝ 1893 թվականին։

### Հետագա զարգացում
1893 թվականին մաթեմաթիկոս Էլիակիմ Գաստինգս Մուրը ապացուցեց վերջավոր դաշտերի դասակարգման թեորեմ, որը հաստատում էր, որ *յուրաքանչյուր վերջավոր դաշտ հանդիսանում է Գալուայի դաշտ*, այսինքն՝ p^n անդամներով յուրաքանչյուր դաշտ իզոմորֆ է \mathbb F_p -ից գործակիցներով բազմանդամների և n աստիճանի չբերվող բազմանդամի հանման մոդուլի դասի դաշտին։ Այդ տարի էլ կատարվում է վերջավոր դաշտերին աքսոմատիկ մոտեցում ցուցաբերելու առաջին փորձը, որը իրականացրել է Հենրիխ Մարտինը, ով իր աշխատանքում փորձել է համատեղել մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում առաջացած հասկացությունները, այդ թվում նաև վերջավոր դաշտերի հասկացությունը։ Այնուհետև, 1905 թվականին, Ժոզեֆ Վեդդերբյորնը ապացուցում է Վեդդերբյորնի թեորեմն այն մասին, որ յուրաքանչյուր վերջավոր մարմին կոմուտատիվ է, այսինքն՝ դաշտ է համարվում։ Աքսիոմատիկ դաշտի ժամանակակից սահմանումը (վերջավոր դաշտերով որպես մասնավոր դեպք) պատկանում է Էրնեստ Շտայնիցին և շարադրվել է նրա 1910 թվականի աշխատությունում։

## Կիրառում
### Դիոֆանտյան հավասարում

Դիոֆանտովի հավասարումը հանդիսանում է ամբողջ գործակիցներով հավասարում, որտեղ փոփոխականները նաև ընդունում են ամբողջ թվի արժեքներ։ Նման հավասարումների քննարկման մեծ ալիք է առաջացրել Ֆերման՝ ձևավորելով իր թեորեմները։ Ֆերմայի թեորեմը պնդում է, որ եթե p պարզ թիվ է, որը չի հանդիսանում մեկ այլ a բաժանարար, ապա a^{p-1}\equiv 1\pmod p։ Վերջավոր դաշտերի տեսության մեջ այս տեսությունը հանդիսանում է Լագրանժի թեորեմի ակնհայտ հետևանք, որը կիրառվում է a տարրով ծնված մուլտիպլիկատիվ ենթախմբի նկատմամբ, քանի որ \mathbb F_p դաշտի ամբողջ մուլտիպլիկատիվ խումբը բաղկացած է p-1 տարրերից։

Ֆերման նկատել է, որ միակ պարզ թվերը, որոնք կարող են ներկայացնել երկու քառակուսիների գումարով, դրանք այն պարզ թվերն են, որոնք տալիս են 1 մնացորդ 4-ի վրա բաժանելիս։ Մասնավորապես, նա նշում է, որ
5 = 1^2 + 2^2, \quad 13 = 2^2 + 3^2, \quad 17 = 1^2 + 4^2, \quad 29 = 2^2 + 5^2, \quad 37 = 1^2 + 6^2, \quad 41 = 4^2 + 5^2.
1640 թվականի դեկտեմբերի 25-ին թվագրված իր նամակում Մարենա Մերսեննուին Ֆերման առաջարկում է լուծել a^2+b^2=p հավասարումը։

Հուլիոս Դեդեկինդը ուսումնասիրել է այս հավասարումը \mathbb{F}_p վերջավոր դաշտում, որտեղ այն ընդունում է այս տեսքը a^2+b^2=0։ Եթե b=0, ապա հավասարումը տրիվյալ է։ Հակառակ դեպքում, երկու մասերը կարելի է բաժանել b^2 -ի և փոփոխելով ստանալ x^2+1=0 տեսքի հավասարում։ Բազմապատկելով x^2-1=0 -ով ստացվում է x^4-1=0 հավասարումը։ x-ը համարելով 4 կարգի մուլտիպլիկատիվ ենթախմբի գեներատոր, *p*-ի վրա կարելի է ստանալ անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ, որոնց դեպքում հավասարումը ունի լուծում։ Ֆերմա — Էյլեր թեորեմի հետագա ապացույցը, որը տարել է Դեդեկինդը, չի օգտագործում վերջավոր դաշտերի հասկացություններ և այն կարելի է գտնել համապատասխան հոդվածում։

### Ուղղիչ կոդերի տեսություն
Ուղղիչ կոդերի տեսության ստեղծման տարի է համարվում 1948 թվականը, երբ հրապարակվել Է Կլոդ Շենոնի հոդվածը, որում նա ցույց է տալիս, որ որևէ ալիքով ինֆորմացիայի փոխանցման ժամանակ սխալների առկայությունը այդ թվում կախված է ալիքի փոխանցման արագության և անցանելիության կարողության հարաբերակցությունից։ Փոխանցման արագությունը պետք է լինի ավելի անցանելիության կարողությունից բարձր։ Շենոնը ապացույցներ է ներկայացրել, սակայն դրանք ճանաչվել են ոչ անկախ։

Ռիչարդ Հեմինգն առաջարկել է կառուցողական մոտեցում, դրանով իսկ տվյալ թեմատիկային վերաբերվող հոդվածներին զարգացման վեկտոր հաղորդելով։ Իր աշխատանքում Հեմինգը ստեղծել է պարզ կոդ, որը որոշակի ձևով ուղղում է սխալները։ Հեմինգն ուղղիչ կոդերը դիտարկում է միայն \mathbb F_2 դաշտի վրա։ Շուտով նմանատիպ կոդեր ստեղծվեցին կամայական վերջնական դաշտերի վրա 1949 թվականին Գոլեյում։ Սակայն այդ տեսության մեջ ամենամեծ ներդրումը այնուամենայնիվ Հեմինգին է պատկանում։

### Ծածկագրություն
Վերջնավոր դաշտերը լայն կիրառություն են ստացել ծածկագիտության մեջ։ Հիմնարար աշխատանք է համարվում ծածկագրության մասին բաց բանալիով Դիֆֆի և Հելմանի հոդվածը, որի մեջ ներկայացված է բանալիների փոխանակման արձանագրություն։ Այս աշխատանքում օգտագործվել են որոշակի տեսքի վերջավոր դաշտեր։ Ավելի ուշ ի հայտ եկան վերջավոր դաշտերի վրա հիմնված բազմաթիվ կրիպտոգրաֆական արձանագրություններ և կրիպտոգրաֆական համակարգեր։ Դրանց թվին են պատկանում Էլ-Գամալի սխեման, *Advanced Encryption Standard*, Շնորրի սխեման, Չաումայի (կույր ստորագրություն) ալգորիթմը, XTR կրիպտոգրաֆական համակարգը և շատ ուրիշներ։ Ժամանակակից կրիպտոգրաֆիայի մեջ հիմնական օբյեկ հանդիսացող Էլիպտական կորերի վրա հիմնված ալգորիթմները նույնպես օգտագործում են վերջավոր դաշտեր։

Բացի այդ, հաճախ կոդավորման որակը կախված է մեծ պարզ թվերի արագ գեներացնելու կարողությունից։ Համապատասխանաբար, խնդիր է ծագում թվի՝ պարզ արտադրիչների վերլուծման ալգորիթմի կառուցման (այս կամ այն թվի պարզության որոշում)։ Միխայել Ռաբինը հրապարակել է ուսումնասիրություն, որում նա առաջարկում է պարզության թեստ՝ հիմնված դաշտի մուլտիպլիկատիվ խմբի հատկությունների վրա։

### Այլ
right|thumb|Տիեզերական զոնդ «Վոյաջեր»

1960 թվականին Ռեյ Բոուզը և Ռոյ-Չոուդխուռին հրապարակեցին աշխատանք, որում հետազոտել են բազմանդամների ընտանիքը վերջավոր դաշտում։ Ալեքսիս Հոկվինգն ընդհանրացրեց նրանց տեսությունը, ինչը հանգեցրեց ԲՉՀ կոդի ստեղծմանը, որի մասնավոր դեպքը Ռիդ - Սոլոմոնի հայտնի կոդն է, որը ունի շատ լայն կիրառություն։ Այն օգտագործվում է ձայնագրման և ընթերցման ժամանակ՝ օպերատիվ հիշողության կարգավորիչներում, տվյալների արխիվացման, ինֆորմացիայի կոշտ սկավառակների (ECC) և CD/DVD վրա ձայնագրման համար։ Հատկանշական է, որ տեղեկատվության զգալի ծավալի վնասման կամ սկավառակային կրիչի մի քանի հատվածների վնասման դեպքում Ռիդա - Սոլոմոնի կոդը թույլ է տալիս վերականգնել կորցրած տեղեկատվության մեծ մասը։ ԲՉՀ կոդը օգտագործվում է ՆԱՍԱ -ի որոշ զոնդերի (ինչպիսին է Վոյաջերը) կապի համակարգում։

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* 
* 
* 
* 
* 
*  
* 

Կատեգորիա:Աբստրակտ հանրահաշիվ