Լապլասի օպերատոր

**[[Պիեռ Սիմոն Լապլաս|Լապլասի]] օպերատոր** (**լապլասիան,** դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա։ Նշանակվում է\ \Delta տառով։

n-չափանի տարածությունում F\  ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝
: \left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots  + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F: 
: Լապլասի օպերատորը համարժեք է գրադիենտի և դիվերգենցիայի հաջորդական կիրառմանը՝ \Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}: 
: Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ \Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2: 
: Լապլասի օպերատորը սիմետրիկ է։

## Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում
: Եռաչափ տարածության մեջ կորագիծ օրթոգոնալ q_1,\ q_2,\ q_3 կոորդինատներով գրվում է հետևյալ կերպ՝
:: \Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = 
:: =\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) +  \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],
:: որտեղ H_i\ -ն Լամեի գործակիցն է։

### Գլանային կոորդինատներ
:: Գլանային կոորդինատներով`
 \Delta f 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {\partial^2f \over \partial z^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}


### Սֆերիկ կոորդինատներ
:: Սֆերիկ կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝
::  \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
 
:: կամ
::  \Delta f 
= {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2}
  \left( rf \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.
 
:: Այն դեպքում, երբ\ f=f(r) n-չափանի տարածության մեջ է՝
::  \Delta f =  {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.

### Պարաբոլական կոորդինատներ
:: Պարաբոլական կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝
:: 
\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} 
\left[
\frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} 
\left( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) +
\frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} 
\left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] +
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}


### Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ
Գլանային պարաբոլական կոորդինատական համակարգում՝
:: \Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}.

## Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և Ռիմանի տարածություն

:: Դիցուք հարթ բազմաձև X-ի վրա տրված է կոորդինատների լոկալ համակարգ և g_{ij}-ն ռիմանյան մետրիկական թենզոր է X-ի վրա, այսինքն մետրիկան ունի հետևյալ տեսքը՝
:: ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j .
g^{ij}-ով նշանակենք  (g_{ij})^{-1} մատրիցի էլեմենտները՝
:: g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}.

F^i տրված կոորդինատներով որոշվող F վեկտորական դաշտի դիվերգենցիան (որը ներկայացնում է \sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i} -ին կարգի դիֆֆերնցման օպերատորը) *X* բազմաձևի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

:: \operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i),
:: իսկ *f*  ֆունկցիայի գրադիենտի բաղադրիչները որոշվում են հետևյալ կերպ՝
:: (\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}.  
:: Լապլաս-Բելտրամի օպերատորը X-ի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝
:: \Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big).
\Delta f-ը սկալյար է, այսինքն չի փոփոխվում կոորդինատների ձևափոխության ժամանակ։

## Կիրառություն
Լապլլասի օպերատորի օգնությամբ հեշտորեն գրվում է Լապլասի, Պուասոնի և ալիքային հավասարումները։

Ֆիզիկայում Լապլասի օպերատորը հաճախակի օգտագործվում է էլեկտրադինամիկայում, քվանտային մեխանիկայում։

## Վարիացիա և ընդհանրացում
* Դալամբերի օպերատոր՝ հիպերբոլական հավասարումների համար Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում։ ներառում է ըստ ժամանակի երկրորդ կարգի ածանցյալ։
* Լապլասի վեկտորական օպերատոր՝ վեկտորական արգումենտի առկայության դեպքում Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում։

## Տես նաև

* Նաբլա օպերատոր
* Լապլասի հավասարում
* Հարմոնիկ ֆունկցիա
* Կիրխհոֆի մատրից

## Արտաքին հղումներ
* MathWorld description of Laplacian

Կատեգորիա:Դիֆերենցիալ հաշիվ
Կատեգորիա:Վեկտորական անալիզ