Մնացորդով բաժանում

thumb|Կարկանդակը ունի 9 կտոր, կնշանակի  4 հոգուց յուրաքանչյուրը ստանում է 2 կտոր, իսկ 1-ը մնացել է
**Մնացորդով բաժանում,** թվաբանության, թվերի տեսության, հանրահաշվում և կրիպտոգրաֆիայում կարևոր դեր ունեցող թվաբանական գործողություն։ Հաճախ այս գործողությունը՝ ամբողջ և բնական թվերի համար, հետևյալ կերպ է սահմանվում․

Դիցուք, a և b -ն ամբողջ թվեր են, ընդորում,  b \ne 0։  a թվի մնացորդով բաժանում («բաժանելի»)  b-ի  («բաժանարար») նշանակում է գտնել ամբողջ q և r թվեր, որոնց դեպքում տեղի ունի  a = b \cdot q+rհավասարությունը։

Այսպիսով, մնացորդով բաժանման արդյունքը երկու ամբողջ թվեր են՝ q -ն կոչվում է թերի քանորդ, իսկ r-ը մնացորդ բաժանումից։ Մնացորդի պետք է բավարարի ևս մեկ պայմանի․ 0 \leqslant r , այսինքն, մնացորդը պիտի լինի ոչ բացասական թիվ և բացարձակ արժեքով բաժանարարից փոքր։ Ամբողջ թվերի համար այս պայմանը միանշանակ է, այսինքն, վերը նշված պայմանների դեպքում գոյություն ունի a = b \cdot q+r հավասարման միակ լուծում։ Մնացորդի 0-ի հավասար լինելու դեպքում ասում են, որ թվերը ամբողջությամբ բաժանվում են։

**Օրինակ**
* Դրական a = 78 թվի և  b = 33-ի մնացորդով բաժանման դեպքում, կստանանք q = 2 թերի քանորդ և r = 12 մնացորդ։
:: Ստուգում․ 78 = 33 \cdot 2 + 12.
Բաժանում
* Բացասական a = -78 թվի և դրական  b = 33-ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք q = -3  թերի քանորդ  և  r = 21 մնացորդ։
:: Ստուգում․ -78 = 33 \cdot (-3) + 21.
* Բացասական  a = -9 թվի և բացասական b = -13 -ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք  q = 1 թերի քանորդ  և  r = 4 մնաց
:: Ստուգում․ -9 = 1 \cdot (-13) + 4.
* Դրական a = 9 թվի և b = 90 մնացորդով բաժանման ժամանակ կստանան q = 0  թերի քանորդ  և  r = 9 մնացորդ։
:: Ստուգում․ 9 = 90 \cdot 0 + 9.

*a = 78 թվի և  b = 26 մնացորդով բաժանման դեպքում կստանանք q = 3  թերի քանորդ և  r = 0 մնացորդ։

Մնացորդով բաժանում կարող է տեղի ունենալ ոչ միայն ամբողջ թվերի այլ նաև ուրիշ մաթեմատիկական օբյեկտների միջև (օրինակ բազմանդամների)։

## Սահմանում
Չխախտելով ամբողջ թվերի սահմանը, ստիպված ենք տարբերակել մնացորդով և ամբողջական բաժանումները, քանի որ զրո մնացորդը չի համարվում բնական թիվ, բացի այդ, թերի քանորդը, երբ բաժանվում է փոքր թիվը մեծ թվի վրա՝ պետք է հավասարվի զրոյի, ինչը դուրս է գալիս բնական թվերի սահմանից։ Նման արհեստական սահմանափակումները բարդացնում են սահմանումները, դրա համար կամ օգտագործվում է ընդլայնված բնական թվերի շարքը՝ զրոյի հետ միասին, կամ տեսությունը ձևակերպում է միանգամից ամբողջ թվերի համար։

a և b թվերի բաժանումից առաջացած թերի քանորդը գտնելու համար, անհրաժեշտ է սովորական ձևով բաժանել a-ն b-ին և կլորացնել արդյունքը մինչև մոտակա ամբողջ թիվը՝ փոքրի ուղղությամբ։
:q = \left\lfloor \frac{a}{b}\right\rfloor, երբ  b>0.
որտեղ կիսափակագծերը \left\lfloor \cdot\right\rfloor նշանակում են ամբողջ մասի առանձնացում։ Թերի քանորդի q արժեքը հաշվելը թույլ է տալիս հաշվել r մնացորդը հետևյալ բանաձևով։ 
:r = a - b \cdot q.
Բացասական բաժանարարի դեպքում անհրաժեշտ է ամբողջը կլորացնել մեծի ուղղությամբ։
: q = \left\lceil \frac{a}{b}\right\rceil, երբ  b.

## «mod» օպերացիան և կապը համեմատությունների հետ
Մնացորդի մեծությունը կարող է ստացվել բինար գործողությամբ՝ a-ի և b-ի քանորդից մնացորդի վերցմամբ, որը նշանակվում է որպես   
: r = a~~\bmod~~b.
Հարկ է չշփոթել այդ նշանակումը բացարձակ արժեքի համեմատության b նշանակման հետ։ r-ի համար բանաձևը բերում է համեմատության կատարմանը։
: r\equiv a\pmod{b},
Այդ համեմատությունը չի ենթադրում 0 \leqslant r  անհավասարման տեղի ունենալու անհրաժեշտությունը,որի դեպքում r լինի մնացորդ։

## Ծրագրավորման մեջ

Բաժանման մնացորդի գտնելը հաճախ օգտագործվում է համակարգչային տեխնիկայում և հեռուստատեսային սարքավորումներում՝ ստուգիչ թվերի և սահմանափակ միջակայքերում պատահական թվերի ստացման համար։

Տարբեր ծրագրավորման լեզուներով մնացորդի վերցնելը տրված է աղյուսակում։ Օրինակ Պասկալով `mod`գործողությունը հաշվում է բաժանման մնացորդը, իսկ`div-ը` կատարում է ամբողջական բաժանում, որի ժամանակ մնացորդը անտեսվում է 

```pascal
78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2
```


## Ընդհանրացում
### [[Իրական թվեր]]
Եթե a և b երկու թվեր պատկանում են իրական թվերի բազմությանը  և հավասար չեն զրոյի, ապա a-ն  կարելի է բաժանել b-ի առանց մնացորդի, ընդ որում քանորդը իրականթիվ է։ Եթե ըստ պայմանի քանորդը պիտի լինի ամբողջ թիվ, ապա մնացորդը կլինիիրական թիվ,այսինքն կրող է լինել կոտորակային։

Ձևաբանորեն․ եթե  a,b\in \mathbb{R}, b\ne 0, ապա a = bq+r, որտեղ  0\leqslant r.

; Օրինակ
7,9 -ը  2,1-ի մնացորդով բաժանման դեպքում ․
: \left\lfloor \frac{7{,}9}{2{,}1}\right\rfloor = 3 (թերի քանորդ)․
: 7{,}9 - 3\cdot 2{,}1 = 1{,}6 (մնացորդ)։

### [[Կառլ Գաուս|Գաուսի]] ամբողջ թվեր
Գաուսյան թիվը, դա a+bi տեսքի կոմպլեքս թիվ է, որտեղ a-ն և b-ն ամբողջ թվեր են և դրանց համար կարելի է սահմանել մնացորդով բաժանում։

Ցանկացած u գաուսի թիվ կարելի է բաժանել զրոյից տարբեր v թվի վրա, այսինքն ներկայացնել հետևյալ տեսքով․
: u = vq + r,
որտեղ q քանորդը և  r մնացորդը գաուսյան թվեր են, ընդ որում |r|

Սակայն, ի տարբերություն ամբողջ թվերի, մնացորդը որոշվումը ոչ միանշանակ է։

Օրինակ․ 7+2i կարելի է բաժանել 3-i ՝ երեք եղանակով։
:7+2i = (3-i)(2+i)+i = (3-i)(1+i)+3 = (3-i)(2+2i)+(-1-2i).

### [[Բազմանդամ]]ներ
Երկու f(x) և  g(x) բազմանդամները մնացորդով բաժանելու համար պայման է ներմուծվում․

Մնացորդ բազմանդամի աստիճանը պիտի շատ անգամ փոքր լինի բաժանարարի աստիճանից։
:f(x) = q(x) g(x) + r(x) , причём  \deg(r) .

; Օրինակ
:\frac{2x^2 + 4x + 5}{x+1} = 2x + 2 (մնացորդ **3**), քանի որ 1=2x^2 + 4x + 5 = (x + 1)(2x + 2) + 3.

## Տես նաև
* Էվկլիդեսի ալգորիթմ
* Բաժանելիություն
* Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար
* Անընդհատ կոտորակ
* Մոդուլով համեմատում

## Ծանոթագրություն

Կատեգորիա:Բաժանում
Կատեգորիա:Թվաբանություն