Կավարի տեսություն

**Կավարի տեսություն**, մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է մասնակի կարգավորված բազմությունների հանրահաշվական հատկությունները։ Կամայական ոչ դատարկ A բազմության վրա որոշված երկտեղանի \leqslant հարաբերությունը կոչվում է մասնակի կարգ, իսկ {A, \leqslant} համակարգը՝ մասնակի կարգավորված բազմություն, եթե A-ի կամայական a, b, c տարրերի համար բավարարված են հետևյալ պայմանները. 
# a\leqslant a, 
# եթե a\leqslant b և b\leqslant c, ապա a \leqslant c, 
# եթե a\leqslant b և b\leqslant a, ապա a=b։

Եթե a\leqslant b, բայց a-ն հավասար չէ b-ին, ապա ասում են, որ a-ն խիստ փոքր է b-ից և նշանակում՝ a։ A բազմությունը կոչվում է {A, \leqslant} համակարգի հիմք։ Վերջավոր հիմք ունեցող մասնակի կարգավորված բազմությունը երբեմն հարմար է ներկայացնել գծագրի միջոցով՝ տարրերը տեղադրելով շերտ առ շերտ վարից վեր ըստ աճի և միմյանց միացնելով այն տարրերը, որոնք հարևան են ըստ կարգի, օրինակ՝ {A, \leqslant} համակարգը կոչվում է կավար, եթե A-ի կամայական a, b տարրերի համար բավարարված են հետևյալ երկու պայմանները՝

: ա. *գոյություն ունի <math>A</math>-ին պատկանող <math>a, b</math> տարրերի ճշգրիտ վերին կոպարը ըստ <math>\leqslant</math> հարաբերության*

: բ. *գոյություն ունի <math>A</math>-ին պատկանող <math>a, b</math> տարրերի ճշգրիտ ստորին կոպարը ըստ <math>\leqslant</math> հարաբերության*

a, b տարրերի ճշգրիտ վերին կոպարը սովորաբար նշանակում են a \vee b , իսկ ստորինը՝  a \wedge b ։ {A, \leqslant}  համակարգը կոչվում է վերին կիսակավար, եթե բավարարում է միայն ա. պայմանին, և ստորին կիսակավար, եթե բավարարում է միայն բ. պայմանին։ Գծագրում պատկերված համակարգը վերին կիսակավար է, բայց կավար չէ, որովհետև α և φ տարրերը չունեն ճշգրիտ ստորին կոպար։ Կավարի օրինակ է բոլոր բնական թվերի բազմությունը իր բնական կարգի հետ միասին, այդ դեպքում՝  a \vee b=max(a, b), a \wedge b=min (a, b)։ Կավարը կոչվում է լրիվ, եթե նրա հիմքի յուրաքանչյուր ոչ դատարկ ենթաբազմություն ունի թե՝ ճշգրիտ վերին և թե՝ ճշգրիտ ստորին կոպար։ Վերջավոր հիմքով կավարները միշտ լրիվ են։ Բնական թվերով վերոհիշյալ կավարը լրիվ չէ։ [a, b] հատվածը, որտեղ a, b-ն իրական թվեր են և a, իր բնական կարգի հետ միասին կազմում է լրիվ կավար։ Եթե {A, \leqslant} մասնակի կարգավորված բազմության համար գոյություն ունի այնպիսի a \in A տարր, որ կամայական b \in A բավարարում է b \leqslant a պայմանին, ապա a-ն կոչվում է {A, \leqslant} համակարգի առավելագույն տարր։ Հանգունորեն սահմանվում է նվազագույն տարրը։ Գծագրում \delta-ն առավելագույն տարր է, իսկ նվազագույն տարր գոյություն չունի։ Առավելագույն տարրը նշանակում են 1 նշանով, նվազագույնը՝ 0 նշանով։ Եթե a \in A և գոյություն չունի այնպիսի b \in A, որ a, ապա a տարրը անվանում են մաքսիմալ։ Նման ձևով սահմանվում է մինիմալ տարրը։ Գծագրում \delta-ն մաքսիմալ տարր է, իսկ \alpha և \varphi տարրերը՝ մինիմալ։

Կավարը կոչվում է բաշխական, եթե նրա կամայական a, b, c տարրերի համար տեղի ունի a \land (b \vee c)=(a \land b) \vee (a \land c) առընչություն։ Կավարի տեսությունում մեծ դեր են խաղում այնպիսի կավարները (կոչվում են լրացումներով կավարներ), որոնք բաշխական են, ունեն 0 և 1, յուրաքանչյուր a \in A տարրին համապատասխանում է այնպիսի \bar a \in A տարր, որ  a \vee \bar{a}=1 և  a \land \bar{a}= 0։ Լրացումներով բաշխական կավարները, որ կոչվում են բուլյան կավարներ (նաև բուլյան հանրահաշիվներ), Կավարի տեսության խորապես զարգացած բաժիններից են և լայն կիրառություններ ունեն մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառներում, տեխնիկայում։ Պարզագույն բուլյան կավարների հիմքը բաղկացած է միայն երկու տարրից՝ 0, 1, և կոչվում է երկարժեք բուլյան հանրահաշիվ։ Կավարի տեսության գաղափարներն ու մեթոդները լայն կիրառություններ են գտել հանրահաշվի մաթեմատիկական տրամաբանության, պրոյեկտիվ և աֆինական երկրաչափությունների, չափի տեսության, ֆունկցիոնալ անալիզի, տոպոլոգիայի, հավանականությունների տեսության, քվանտային ու ալիքային մեխանիկայի, հարաբերականության տեսության մեջ։ Պատմականորեն կավարների ուսումնասիրությունն սկսել է անգլիական մաթեմատիկոս Ջորջ Բուլը 1847-ին, որը հետագայում բուլյան հանրահաշիվ կոչված կավարների հատկությունները կիրառել է իր ստեղծած ասույթների տրամաբանության մեջ։ Կավարի գաղափարի արդի սահմանումը տվել է գերմանական մաթեմատիկոս Էրնստ Շրյոդերը, 1890-ին։

## Գրականություն
* Բիրկգոֆ Գ., «Теория Структур», Մոսկվա, 1952
* Սկրոնյակով Լ. Ա., «Элементы теории структур», Մոսկվա, 1970
* Սիկորսկի Ռ., Булевы алгебры, пер.с англ., Մոսկվա, 1969

Կատեգորիա:Աբստրակտ հանրահաշիվ