Պուասոնի ինտեգրալ

**[[Սիմեոն Պուասոն|Պուասոնի]] ինտեգրալ**, մաթեմատիկական  ինտեգրալ հավասարում։ Բանաձևային տեսքը`

I=\int exp(-x^2)dx :

Պուասոնի ինտեգրալի իմաստն այն է, որ ինտեգրման միջակայքը անվերջ թվային առանցքն է։ Արգումենտի մեծ արժեքների դեպքում էքսպոնենտի արագ ձգումը զրոյի ապահովում է ինտեգրալի վերջավոր լինելը, չնայած ինտեգրման միջակայքի անվերջությանը։

Այն հավասար է \sqrt{\pi}:

## Ապացույց
\begin{cases} {\displaystyle I=\int exp(-x^{2})dx}

 \\ {\displaystyle I=\int exp(-y^{2})dy}  \end{cases}                                              (1)

(1) հավասարումները ճիշտ են քանի որ որոշյալ ինտեգրալը կախված չէ ինտեգրման փոփոխականից։

Բազմապատկելով այս երկու ինտեգրալները, կստացվի՝

I\cdot I=I^2=\iint exp(-(x^2+y^2))dxdy                (2)

Դիտարկելով x-ն ու y-ն որպես կոորդինատական առանցքներ, կրկնակի ինտեգրալը կունենա անվերջ հարթությամբ ինտեգրման իմաստ և կարելի է հաշվել հարթության վրա այն կոորդինատային համակարգում, որը հարմար է տվյալ դեպքում։ Քանի որ էքսպոնենտի ցուցիչում գրված է բևեռային շառավղի արտահայտությունը բևեռային կոորդինատային համակարգում։
մինի|Գաուսյան ինտեգրալի հաշվման հեղինակ Սիմեոն Պուասոնը:

Անցնելով բևեռային համակարգի, (2) արտահայատությունը կգրվի հետևյալ կերպ՝

I^2= \textstyle \int_{0}^{+\infty} \displaystyle\textstyle \int_{0}^{2\pi} \displaystyle exp(-(r^2))rdrd\varphi                              (3)

Այստեղ առաջին հերթին փոխարինվել է կոորդինատային համակարգի  x^2+y^2 արտահայտությունը բևեռային համակարգի r^2-ով, երկրորդ՝ դեկարտյան կորդինատային համակարգի մակերեսի dxdy միավորը՝ բևեռային drd\varphi -ով, երրորդը՝ փոխվել են ինտեգրման սահմանները՝ համաձայն նոր փոփոխականների։

Այստեղ ենթաինտեգրալային արտահայտությունը վերածվում է երկու արտահայտությունների արտադրյալի, որոնցից յուրաքանչյուրը կախված է միայն մեկ փոփոխականից՝

I^2=\textstyle \int_{0}^{\infty} \displaystyle exp(-(r^2))rdr\textstyle \int_{0}^{2\pi} \displaystyle d\varphi                             (4)

Այս անորոշ ինտեգրալները կարելի է հեշտորեն հաշվել։ Հարկ է ուշադրություն դարձնել, որ (4)-ի առաջին ինտեգրալը rdr=-\left ( \frac{1}{2} \right )d(-r^2)  արտահայտության առկայությամբ տարբերվում է (1) ինտեգրալից, որտեղ դիֆերենցիալի և էքսպոնենտի տակ գտնվող արտահայտությունները չեն համընկնում։

(4)-ը կգրվի որպես՝

I^2=\textstyle \int_{0}^{\infty} \displaystyle dexp(-(r^2))\textstyle \int_{0}^{2\pi} \displaystyle d\varphi =-\left ( \frac{1}{2} \right )(0-1)2\pi=\pi

Ստացվում է Պուասոնի ինտեգրալի հետևյալ արտահայտությունը՝

I=\textstyle \int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle exp(-x^2)dx=\sqrt{\pi}:

## Ընդհանրացում և վարիացիա
Պուասոնի ինտեգրալի հիմք և ընդհանրացում է համարվում Գաուսյան ինտերգրալը (նաև անվանում են Էյլեր-Պուասոնի ինտերգալ), որը գաուսյան ֆունկցիայի ինտեգրա է։

### Վարիացիաներ
Մաստշտաբավորված գաուսյան ֆունկցիայի գաուսյան ինտերգրալները՝
: \int_{-\infty}^\infty \alpha e^{-x^2 /\beta^2}\,dx = \alpha \beta \sqrt{\pi},
և բազմաչափ գաուսյան ինտեգրալները՝
: \int\alpha e^{- (x^2 /\beta_1^2 + y^2/\beta_2^2 + z^2/\beta_3^2 + \dots)}\,dx dy dz \dots = \alpha \beta_1\beta_2\beta_3\dots \sqrt{\pi^n} ,
պազրորեն բերվում են սովորական միաչափ ինտեգրալների (ինտեգրումը կատարվում է ողջ տարածությունով)։

Վերոնշյալը վերաբերվում է նաև հետևյալ տեսքի բազմաչափ ինտեգրալներին՝
: \int e^{x M x}\,dx_1 dx_2 dx_3 \dots dx_n = \sqrt{\frac{\pi^n}}, որտեղ *x*-ը վեկտոր է, իսկ *M*-ը՝ բացասական սեփական թվերով սիմետրիկ մատրից։
Գործնական խնդիրներում (օրինակ` գաուսյան ֆունկցիայի ֆուրյե-ձևափոխության ժամանակ), հաճախ ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝
: \int_{-\infty}^{\infty}e^{- a x^2 + b x + c}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{\frac{b^2}{4a}+c},

## Պատմություն
մինի|222x222px|Լեոնարդ էյլեր

Առաջին անգամ գաուսյան ինտեգրալը հայտաբերել է Էյլերը 1729 թվականին, հետո Պուասոնը գտել է հաշվման պարզ մեթոդ։

Այդ պատճառով այն անվանվում է էյլեր-պուասոնի ինտեգրալ։

## Գրականություն
* Վ. Ֆ. Մորոզով, «Պուասոնի ինտեգրալը և նրա ածանցյալները», Երևանի համալսարանի հրատարակչություն, Երևան 2002։

Կատեգորիա:Պոտենցիալի տեսություն
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ