Ենսենի անհավասարություն

աջից|մինի|400x400փքս|'''Ենսենի անհավասարությունը'''  պնդում է այն գաղափարը, որ ուռուցիկ ֆունկցիայի գրաֆիկը ցածր է ֆունկցիայի հատող հատվածից ։
Մաթեմատիկայում  **Ենսենի անհավասարությունը** կոչվել է ի պատիվ դանիացի մաթեմատիկոս Յոհան Ենսենի, այն ներկայացնում է ֆունկցիայի միջինի և միջին արժեքի ֆունկցիայի միջև անհավարությունըը ։ Այն ապացուցվել է Ենսենի կողմից 1906 թվականին։ Ընդհանրապես անհավասարումը ներկայացվում է տարբեր տեսքերով, կախված թե ինչ բնագավառում է այն օգտագործվում, որոնցից մի քանիսը ներկայացված է ստորև։ Իր պարզագույն տեսքով անհավասարումն ասում է, որ միջին արժեքի ուռուցիկ վերափոխումը  փոքր է կամ հավասար ուռուցիկ վերափոխման միջին արժեքի, շատ պարզ է հետևանք է այն, որ գոգավոր ֆունկցիաների համար ճիշտ է հակառակը։

Ենսենի անհավասարումը ապացում է այն փաստը, որ ուռուցիկ ֆունկցիայի երկու կետերը միացնող  գծի գրաֆիկը ավելի բարձր է ընկած, քան ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը Ենսենի անհավարումն է 2 կետերի համար․ հատողը  ուռուցիկ ֆունկցիայի կշռված միջինն է (*t*&nbsp;∈&nbsp;[0,1]-ի համար),

: t f(x_1) + (1-t) f(x_2),

մինչդեռ ֆունկցիայի գրաֆիկը կշռված միջին արժեքների ֆունկցիան է,

: f \left (t x_1 + (1-t) x_2 \right ).

Ենսենի անհավասարությունը հետևյալն է

: f \left (t x_1 + (1-t) x_2 \right ) \leq t f(x_1)+ (1-t) f(x_2).

Հավանականությունների տեսության մեջ այն հիմնականում ներկայացվում է հետևյալ կերպ․ Եթե *X-ը Պատահական մեծություն է և *-ն ուռուցիկ ֆունկցիա է, ապա

: \varphi\left(\operatorname{E}[X]\right) \leq \operatorname{E} \left[\varphi(X)\right].

## Պնդումներ
Ենսենի անհավասարության դասական տեսքը ներառում է մի քանի թվեր և կշիռներ։ Անհավասարությունը կարող է սահմանվել շատ ընդհանրական և չափի տեսության և հավանականությունների տեսության լեզուներով։ Հավանակնությունների տեսության մեջ այն կարող է ընդհանրացվել ամբողջ ուժով։

### Վերջավոր տեսք
\varphiիրական ուռուցիկ ֆունկցիայի համար, արժեքների տիրույթում գտնվող  x_1, x_2, \ldots, x_n թվերով, և a_i կշիռներով, Ենսենի անհավասարումը կարող է սահմանվել որպես․

: \varphi\left(\frac{\sum a_i x_i}{\sum a_i}\right) \le \frac{\sum a_i \varphi (x_i)}{\sum a_i} \qquad\qquad (1)

Եվ հակառակ անհավասարությունը, եթե \varphi-ն գոգավոր է, որը ներկայացվում է հետևյալ տեսքով․

: \varphi\left(\frac{\sum a_i x_i}{\sum a_i}\right) \geq \frac{\sum a_i \varphi (x_i)}{\sum a_i}.\qquad\qquad(2) 

Հավասարությունը գործում է միայն այն դեպքում, երբ  x_1=x_2=\cdots =x_n կամ երբ \varphi-ն գծային ֆունկցիա է, այսինք այն և ուռուցիկ է և գոգավոր։

Որպես մասսնավոր դեպք, եթե a_i կշիռները բոլորը հավասար են, ապա (1) և (2) անհավասարությունները դառնում են

: \varphi\left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \le \frac{\sum \varphi (x_i)}{n} \qquad\qquad (3) 
: \varphi\left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \geq \frac{\sum \varphi (x_i)}{n} \qquad\qquad (4) 

Օրինակ   ֆունկցիան գոգավոր է, այսպիսով տեղադրելով   \varphi(x) = \log(x) նախորդ անհավասարության մեջ՝ ստացվում է թվաբանական միջին- երկրաչափական միջին անհավասարությունը։

: \log\!\left( \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right) \geq \frac{\sum_{i=1}^n \log\!\left( x_i \right)}{n} \quad \text{կամ} \quad
\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}
:

## Ծանոթագրություններ

## Հղումներ
* 
* Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71.
* 
* 

## Արտաքին հղումներ
*  of Hansen and Pedersen.
* 
* 

Կատեգորիա:Անհավասարություն (մաթեմատիկա)