Աբելյան խումբ

**Աբելյան** (կամ **տեղափոխական**) **խումբ**, խումբ է, որում խմբային գործողությունը հանդիսանում է տեղափոխական, երբեմն ասում են, աբելյան խումբ (G, *), եթե a*b=b*a ցանկացած երկու տարրերի համար a,\;b\in G։ Սովորաբար աբելյան խմբի խմբային գործողությունների նշանակման համար օգտագործվում է հավելում () գրառում, այսինքն՝ խմբային գործողությունները նշանակվում է + նշանով և անվանվում է գումարում։

Անվանումը տրված է նորվեգական մաթեմատիկոս Հ. Աբելի պատվին խմբի տեղադրման հետազոտությունում իր ներդրման համար։

## Օրինակներ
* Զուգահեռ խմբի տեղափոխումը գծային տարածությունում։
* Աբելյան ցանկացած ցիկլային խումբ G=\langle a\rangle։ Իրոք ճիշտ է ցանկացած x=a^n և y=a^m, որ
*: xy = a^ma^n=a^{m+n}=a^na^m=yx։
** Մասնավորապես, ամբողջ թվի \Z բազմությունը գումարման տեղափոխական խումբ է, դա ճիշտ է և հանման դասի \Z/n\Z\, համար։
* Ցանկացած օղակ հանդիսանում է իր գումարման տեղափոխական (աբելյան) խումբ, օրինակ կարող է ծառայել \R իրական թվերի դաշտը թվերի գումարման գործողություններով։
* Տեղափոխական օղակի հակադարձելի տարրերը (մասնավորապես, ցանկացած դաշտի ոչզրոյական տարրերը) կազմում են բազմապատկման աբելյան խումբ։ Օրինակ, աբելյան խումբ է ներկայացնում *ոչզրոյական* իրական թվերի բազմությունը բազմապատկման գործողություններով։

## Կապակցված սահմանումներ
* Վեկտորական տարածությունում համաչափության համանմանությամբ, յուրաքանչյուր աբելյան խումբ ունի **կարգ**։ Այն որոշվում է ինչպես նվազագույն վեկտորական տարածության համաչափություն ռացիոնալ թվերի \Q դաշտում, որում ներդրվում է խմբի ֆակտորի հյուսումը։

## Հատկություններ
* Իհարկե, իզոմորֆ աբելյան խմբերի ծնունդը ուղղակի ցիկլային խմբի գումար է։
** իզոմորֆ աբելյան վերջավոր խմբերը ուղղակի ցիկլային վերջավոր խմբերի գումար է։
* Ցանկացած աբելյան խմբեր ունեն սովորական կազմություն ամբողջ թվերի մոդուլը օղակի նկատմամբ։ Իրոք, դիցուք nը բնական թիվ է, իսկ xը տեղափոխական խմբի տարր G գործողությամբ, նշանակված +, այդ ժամանակ nx կարելի է որոշել ինչպես x+x+\ldots+x (n անգամ) և (-n)x = -(nx)։
** Պնդումները և թեորեմները, ճիշտ են աբելյան խմբերի համար (այսինքն. մոդուլի նկատմամբ \Z գլխավոր իդեալներ տիրույթ), հաճախ կարող են մոդուլը ընդհանրացնել կամայական գլխավոր իդեալների տիրույթի նկատմամբ։ Բնորոշ օրինակ է հանդիսանում վերջավոր աբելյան խմբի դասակարգումը, որը կարող ենք ընդհանրացնել մինչև ցանկացած վերջավոր մոդելի դասակարգումը գլխավոր իդեալների տիրույթի նկատմամբ։
* Հոմոմորֆիզմ բազմություն \operatorname{Hom}(G,\;H) բոլոր խմբային հոմոմորֆիզմներից՝ G-ից H, նույնպես հանդիսանում է աբելյան խումբ։ Իրոք, դիցուք f,\;g:G\to H երկու հոմոմորֆիզմ խումբ է աբելյան խմբերի միջև, այդ ժամանակ դրանց գումարը f+g, տրված ինչպես (f+g)(x)=f(x)+g(x), նույնպես հանդիսանում է հոմոմորֆիզմ (դա ճիշտ է,եթե H չի հանդիսանում տեղափոխական խումբ)։
* Աբելյան հասկացությունը սերտ կապված է կենտրոն Z(G) հասկացության հետ, G խումբը բազմություն է, կազմված նրա այն տարրերից, որոնք տեղափոխում են G խմբի յուրաքանչյուր տարրի հետ և գլխավոր դեր յուրօրինակ «աբելյան չափումներում»։ Աբելյան խումբ է, այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ նրա կենտրոնը համընկնում է ամբողջ խմբի կենտրոնի հետ։

## Վերջավոր աբելյան խմբեր
Վերջավոր աբելյան խմբի հիմնական թեորեմը ապացուցում է,որ ցանկացած վերջավոր աբելյան խումբը հնարավոր է ր ցիկլային ենթախմբի գումարը բաշխվում է ուղղի վրա, որի հաջորդականությունը հանդիսանում է պարզ թվերի աստիճաններ։ Վերջավոր աբելյան խմբի կազմության մասին թեորեմայի այդ հետևանքը ընդհանուր է դեպքի համար, երբ խումբը չունի անվերջ տարերի հաջորդականություն։ \Z_{mn} իզոմորֆ է ուղղակի գումարին \Z_m և \Z_n այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ m և n փոխադարձ պարզ են։
Հետևաբար, աբելյան խումբը կարելի է գրառել G ուղղակի գումարի տեսքի
: \Z_{k_1}\oplus\ldots\oplus\Z_{k_u}
երկու տարբեր եղանակներով։
* Որտեղ թիվ k_1,\;\ldots,\;k_u պարզ աստիճանի է։

## Վարիացիաներ և ընդհանրացումներ
* **Դիֆերենցիալ խումբը** կոչվում է աբելյան խումբ \mathbf{C}, որում տրված է այսպիսի էնդոմորֆիզմ d\colon\mathbf{C}\to\mathbf{C}, որ d^2=0: Այդ էնդոմորֆիզմը անվանում են *դիֆերենցիալ*։ Դիֆերենցիալ խմբի տարրերին անվանում են *շղթաներ*, միջուկի տարրերը՝ \ker\,d *ցիկլ*, պատկերի տարրերը՝ \mathrm{Im}\,d *սահմանային*։

## Տես նաև
* Հանրահաշվական համակարգ

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* ։

Կատեգորիա:Խմբերի տեսություն