Թվաբանության հիմնական թեորեմ

** [[Թվաբանություն|Թվաբանության]] հիմնական թեորեմը.** 

Ցանկացած բնական թիվ n>1 կարելի է ներկայացնել n=p_1\cdot\dots\cdot p_k տեսքի, որտեղ p_1,\dots,p_k պարզ թվեր են, ընդ որում` այդպիսի ներկայացումը միակն է մինչև հաջորդականության համաբազմապատկիչների հետևելու ճշգրտությամբ։

Միավորը նույնպես կարելի է հաշվել որպես զրոյական քանակի պարզ թվերի արտադրյալ՝ «դատարկ արտադրյալ»։

Որպես հետևանք՝ ցանկացած n բնական թիվ միակ եղանակով ներկայացված է 
: n = p_1^{d_1} \cdot p_2^{d_2} \cdot \dots \cdot p_k^{d_k} տեսքով, որտեղ p_1 պարզ թվեր են և d_1,\dots,d_k՝ որոշ բնական թվեր։

Այդպիսի n թվի ներկայացումը անվանում են նրա *կանոնական վերլուծությունը* պարզ համաբազմապատկիչների։

## Պատմություն
Հին հունական մաթեմատիկայում չի հանդիպում թվաբանության հիմնական թեորեմի ժամանակակից բանաձևումը։ Բայց Էվկլիդեսի «Սկզբունքներում» կա առաջադրություն, որը նրան համարժեք է։ Մասնավորապես, թեորեմը հեշտությամբ հետևում է այսպես կոչված Էվկլիդեսի լեմմայից ( VII գրքի առաջադրություն 30)։ Չկա ճշգրիտ ձևակերպում Լեժանդրի «Թվերի տեսության ներմուծում » () գրքում՝ գրված 1798 թվականին։ Նրա ճիշտ ձևակերպումը և ապացուցումը բերված է Գաուսի «Թվաբանական հետազոտություններ» () գրքում՝ հրատարակված 1801 թվականին։

## Հետևանքներ
* Թվաբանության հիմնական թեորեմը տալիս է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի համար նրբագեղ արտահայտություն։
: **Ա. Ը. Բ.**(a,b) = p_1^{min(d_1,d_1')}\cdot p_2^{min(d_2,d_2')}\cdot p_3^{min(d_3,d_3')}\cdot p_4^{min(d_4,d_4')}\cdots = \prod p_i^{min(d_i,d_i')},
: **Ա. Ը. Բ.**(a,b) = p_1^{max(d_1,d_1')}\cdot p_2^{max(d_2,d_2')}\cdot p_3^{max(d_3,d_3')}\cdot p_4^{max(d_4,d_4')}\cdots = \prod p_i^{max(d_i,d_i')},

* Գիտենալով թվի վերլուծումը բազմապատկիչների՝ կարելի է անմիջապես ցույց տալ այդ թվի բոլոր բաժանարարները։
 N բնական թվի բաժանարար հանդիսանում է այնպիսի k բնական թիվ, որի համար N = k\cdot l , որտեղ l այլ բնական թիվ է։

Օրինակ՝  N = 1164 = 97\cdot3\cdot2\cdot2 = 97^1 \cdot 3^1 \cdot 2^2.

Պարզ թվերի վերլուծության տարբեր համակցություններն օգտագործելով՝ կարելի է կազմել տրված թվի բոլոր բաժանարարների բազմությունը։ Մեր օրինակի համար դա կլինի հետևալ բաժանարարները. 
:  1,  2,  3,  97,  2\cdot2,  2\cdot3,  2\cdot97,  3\cdot97,  2\cdot2\cdot3,  2\cdot2\cdot97,  2\cdot3\cdot97,  2\cdot2\cdot3\cdot97

Դրա համար, որպեսզի գտնենք տրված թվի բոլոր բաժանարարների քանակը , բավարար է տեսնել հոդվածի սկզբում նշված կանոնական վերլուծությունը։ d_1,...,d_k բնական թվերը  ոչ այլ ինչ են, եթե ոչ  p_1,...,p_k տրված թվերի վերլուծությունում համապատասխան պարզ թվերը։ Այսպիսով՝ եթե ուզում ենք գտնել տրված թվի բոլոր բաժանարարների քանակը, բավարար է հաշվարկել d_1,...,d_k թվի բոլոր հնարավոր համակցությունների արժեքը։
Մեր օրինակում 2 թիվը հանդիպում է 2 անգամ։ Հետևաբար, N թվի բաժանարար գտնելիս, d_3 կարող է ընդունել 0-ից մինչև 2 ամբողջ արժեքները, այսինքն՝ կա 3 արժեք։ Նշանակում է, որ ընդհանուր բաժանարարների քանակը հաշվարկելու համար պետք է բազմապատկել d_k տարբեր բազմապիսի արտահայտությունների քանակը։ Մեր դեպում ՝ m_{del} = 2\cdot2\cdot3 = 12 

* Այսպիսով կարելի է ներկայացնել երկու թվերի արտադրյալի հաշվումը՝ 
: a\cdot b = p_1^{d_1+d_1'}\,p_2^{d_2+d_2'}\,p_3^{d_3+d_3'}\,p_4^{d_4+d_4'}\cdots = \prod p_i^{d_i+d_i'}.
Օրինակ՝ 68\cdot 36 = (2\cdot2\cdot17)\cdot(2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot) = 2^4\cdot 3^2\cdot17

* Երբեմն, գտնելով ընդհանուր բաժանարարը, կարելի է ակներևաբար պարզեցնել երկու թվերի գումարի (տարբերության) հաշվումը։ 
Օրինակ՝ (պարզեցնել արտահայտությունը)։ 8^5 + 8^3 \cdot 61 = 8^3 \cdot (8^2 + 61) = 8^3 \cdot 125 = 8^3 \cdot 5^3 = ... 

## Ապացույց (ինդուկցիայի մեթոդ)
**Գոյություն**։ Ապացուցենք n թվի վերլուծման գոյությունը։ Ենթադրենք, որ այն արդեն ապացուցված է ցանկացած ուրիշ թվի համար, որը փոքր է n-ից։ Եթե n-ը պարզ է, ուրեմն գոյությունը ապացուցված է։ Եթե n-ը բաղադրյալ է, ապա այն կարելի է ներկայացնել a և b երկու թվերի արտադրյալի տեսքով, որոնցից յուրաքանչյուրը մեծ է 1-ից, բայց փոքր n-ից։. a և b թվերը կամ հանդիսանում են պարզ, կամ կարող են վելուծվել պարզ թվերի արտադրյալի (արդեն վերևում ապացուցված է)։ Տեղադրելով նրանց վերլուծությունը  n = a\cdot b - ի մեջ՝ կստանանք տրված n թվի վերլուծությունը պարզ թվերի։ Գոյությունը ապացուցված է:

**Միակություն**։ Սկզբում ապացուցենք հետևյալ լեմման։ Եթե m թվի վերլուծությունը պարզ թվերի միակն է, ապա յուրաքանչյուր m պարզ բաժանարարը պետք է այդ վերլուծության մեջ մտնի։ Ենթադրենք m թիվը բաժանվում է p-ի, և  p-ն պարզ է։ Այդ դեպքում տրված թիվը կարելի ներկայացնել որպես m = p\cdot m^{(1)}, որտեղ m^{(1)}, բնական թիվ է։ Այդ ժամանակ m-ի վերլուծությունը կլինի m^{(1)} թվի վերլուծությունը՝ ավելացրած p բազմապատկիչը։ Մեր ենթադրությամբ գոյություն ունի m թվի միակ վերլուծություն, հետևաբար  p թիվը պետք է հանդիպի նրանում։ Լեմման ապացուցված է։

## Այլ ապացույց (Էվկլիդեսի ապացույց)
Կարելի է ապացուցել թվաբանության հիմնական թեորեմը Էվկլիդեսի ալգորիթմի օգնությամբ:
Այստեղ Էվկլիդեսի ալգորիթմը կմասնակցի ոչ բացահայտ տեսքով, այլ կօգտագործվի նրա հետևանքը։

  n\cdot a և n\cdot b  ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը n անգամ վերցրած *a* և *b* ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։

Այդ հետևանքից կարող ենք ապացուցել Էվկլիդեսի թեորեմը։

 Եթե *p*-ն պարզ թիվ է, և երկու թվերի արտադրյալը բաժանվում է *p*-ի, ապա երկու բազմապատկիչներից գոնե մեկը կբաժանվի *p*-ի։

Հիմա օգտվենք տրված թեորեմից, որպեսզի ապացուցենք թվաբանության հիմնական թեորեմը։

**Գոյություն։** հանդիսանում է Էվկլիդեսի թեորեմի հետևանք։ Այդ թեորեմի ապացուցման համար դիտարկենք *p* պարզ թիվը և  n \cdot a  արտադրյալը։ Ենթադրենք  n\cdot a-ն բաժանվում է *p*-ի, բայց *a*-ն չի բաժանվում *p*-ի։ Քանի որ *p*-ն պարզ է, ապա նրա միակ բաժանարարներն են 1 և p թվերը։ Այդ դեպքում 1-ը *p*-ի և *a*-ի միակ ընդհանուր բաժանարարն է։ Հետևաբար Ա. Ը. Բ. n\cdot p և  n\cdot a հավասար է *n*-ի։ Ակնհայտ է, որ  n\cdot p բաժանվում է *p*-ի։ Հետևաբար, քանի որ երկու թվերի ցանկացած ընդհանուր բաժանարար հանդիսանում է բաժանարար նաև նրանց Ա. Ը. Բ-ի համար, իսկ *p*-ն հանդիսանում է n\cdot p և  n\cdot a թվերի ընդհանուր բաժանարար, այսինքն՝ *n*-ը բաժանվում է *p*-ի։

**Միակություն։** ենթադրենք *n* թիվը ունի երկու պարզ թվերի վերլուծություն.

:  n = p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot ... = p'_1\cdot p'_2\cdot p'_3\cdot ... 

Քանի որ  p'_1\cdot p'_2\cdot p'_3\cdot ...  բաժանվում է p_1-ի, ապա կամ p'_1, կամ  p'_2\cdot p'_3\cdot ... բաժանվում է p_1-ի։ Եթե  p'_1-ն բաժանվում է p_1-ի, ապա  p'_1 = p_1, քանի որ երկու այդ թվերը հանդիսանում են պարզ։ Եթե  p'_2\cdot p'_3\cdot ... բաժանվում է p_1-ի, ապա շարունակենք նախորդ դատողությունները։ Վերջ ի վերջո, հասնում ենք արդյունքի, որ  p'_1, p'_2, p'_3, ... թվերից ցանկացածը հավասար է  p_1 թվին։ Հետևաբար հանգում ենք եզրակացության, որ երկու վերլուծություններն էլ համընկնում են։ Այսպիսով միակություն ապացուցված է։

## ԹՀԹ օղակներում
Դիտարկենք թվաբանության հիմնական թեորեմն ավելի ընդհանուր դեպքում՝ սահմանված կարգով օղակներում և Էվկլիդեսյան օղակներում։

### ԹՀԹ գաուսյան ամբողջ թվերի օղակում
Թվաբանության հիմնական թեորեման ունի իր տեղը գաուսյան ամբողջ թվերի օղակում։
Ապացուցման գաղափարը հանդիսանում է տրված օղակում թվերի մնացորդով բաժանման ալգորիթմի գտնելը։
Օղակը, որն ունի մնացորդով բաժանման ալգորիթմ, անվանում են էվկլիդեսյան։ Ցանկացած էվկլիդեսյան օղակի համար թվաբանության հիմնական թեորեմի ապացուցումը կարելի է կատարել այնպես, ինչպես բնական թվերի համար։

### Ոչ միակ վերլուծությունը օղակում
Բայց տրված թեորեմի գործողությունը չի տարածվում ամբողջ օղակում ։

Դիտարկենք, օրինակ,  a = m + i\cdot n\cdot \sqrt{5}  տեսքի կոմպլեքս թիվ, որտեղ  m, n ամբողջ թվեր են։ Այդպիսի թվերի գումարը և արտադրյալը կլինեն նույն տեսքի թվեր։
Այդ ժամանակ կստանանք սահմանված կարգով օղակ  N(a) = m^2 + 5 \cdot n^2 = a^2 :

Այդ օղակում 6 թվի համար գոյություն ունեն երկու տարբեր վերլուծություններ  6 = 2\cdot3 = (1 - i\cdot \sqrt{5})\cdot(1 + i\cdot \sqrt{5}) : Մնում է ապացուցել, որ 2, 3, 1\pm i\cdot \sqrt{5}  թիվը հանդիսանում է պարզ։ Ապացուցենք, որ 2 թիվը պարզ է։

Ենթադրենք  2 = (m_1 + i\cdot n_1 \cdot \sqrt{5}) \cdot (m_2 + i\cdot n_2 \cdot \sqrt{5}) .
այդ ժամանակ  4 = (m_1^2 + 5\cdot n_1^2)\cdot(m_2^2 + 5\cdot n_2^2) .
հետևաբար,  m_1^2 + 5\cdot n_1^2 = m_2^2 + 5\cdot n_2^2 = 2 .
 
Բայց մեր օղակում չկա սահմանված կարգով 2, հետևաբար այդպիսի վերլուծություն հնարավոր չէ, դրա համար 2-ը պարզ է։ Հանգունորեն դիտարկվում են  3, 1\pm i\cdot \sqrt{5}  թվերը։

Օղակը, որում թվաբանության հիմնական թեորեմը կատարվում է, կոչվում է ֆակտորիալ։

## Տես նաև
* Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ
* Անալիզի հիմնական թեորեմ
* Պարզ թիվ
* Էվկլիդեսի ալգորիթ
* Թվաբանության հիմնական թեորեմն ապացուցող տեսանյութ

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* 
* 
* 
* 
* 

Կատեգորիա:Թեորեմներ
Կատեգորիա:Թվաբանություն
Կատեգորիա:Թվերի տեսություն