Երկգծային ձև

Ենթադրենք L-ը վեկտորական հարթություն է K հարթության մեջ (ավելի հաճախ դիտարկվում են K=\mathbb R և K=\mathbb C հարթությունները)։

**Երկգծային ձև** կոչվում է F\colon L\times L\to K ֆունկցիան, որը գծային է յուրաքանչյուր արգումենտի համար։
: F(x+z,\,y)=F(x,\,y)+F(z,\,y),
: F(x,\,y+z)=F(x,\,y)+F(x,\,z),
: F(\lambda x,\,y)=\lambda F(x,\,y),
: F(x,\,\lambda y)=\lambda F(x,\,y),
Այստեղ x,y,z \in L և \lambda \in K

Երկգծային ձևը տենզորի (տենզորի կարգ (0,2)) հասկացության մասնավոր դեպքն է։
## Այլընտրանքային սահմանում
Վերջավոր հարթությունների դեպքում (օրինակ՝ \mathbb R^n) հիմնականում օգտագործվում է այլ սահմանում։

Ենթադրենք L-ը  վեկտորների բազմություն է x=(x_1,x_2,\dots,x_n)   տեսակի, որտեղ x_i \in K, i=\overline{1,n}։

Երկգծային ձևեր են կոչվում F\colon L \times L \to K ֆունկցիաները F(x,y)=\sum_{i,\,j=1}^n a_{ij}x_i y_j տեսակի

որտեղ x=(x_1,x_2,\dots,x_n), y=(y_1,y_2,\dots,y_n),  իսկ  a_{ij}՝ K. հարթությունից որոշ կոնստանտներ։

Այլ խոսքերով ասած, երկգծային ձևը ֆունկցիա է երկու խմբից n փոփոխականներով, որոնք համարվում են յուրաքանչյուր խմբի փոփոխականների նկատմամբ առաջին աստիճանի համասեռ բազմանդամներ։ 
## Կապակցված սահմանումներ
* F երկգծային ձևը կոչվում է  **սիմետրիկ**, եթե F(x,\,y)=F(y,\,x) x,y\in L  ցանկացած վեկտորների համար։
* F երկգծային ձևը կոչվում է **կոսոսիմետրիկ** (հակասիմետրիկ), եթե F(x,\,y)=-F(y,\,x) x,y\in L  ցանկացած վեկտորների համար։
* x\in L վեկտորը կոչվում է *օրթոգոնալ* (ավելի ճիշտ, *աջից օրթոգոնալ*) M \subset L ենթահարթության մեջ F-ի նկատմամբ, եթե F(x,\,y)=0 բոլոր y\in M համար։ x\in L վեկտորների ամբողջությունը, օրթոգոնալ M \subset L ենթահարթության մեջ տրված F երկգծային ձևի նկատմամբ, կոչվում է **[[օրթոգոնալ լրացում]]** F-ի նկատմամբ M \subset L ենթահարթության համար և նշանակվում է M^{\perp}։
* F երկգծային ձևի **արմատ** կոչվում է F-ի նկատմամբ  L  հարթության օրթոգոնալ լրացում, այսինքն՝ x\in L վեկտորների L^{\perp} ամբողջություն, որոնց համար F(x,\,y)=0 բոլոր y\in L դեպքում։

## Հատկություններ
* W(L,L) երկգծային բոլոր ձևերի բազմությունները, որոնք տրված են ֆիքսված ազատ հարթության վրա, համարվում են գծային հարթություն։
* Ցանկացած երկգծային ձև կարելի է պատկերացնել սիմետրիկ և հակասիմետրիկ ձևերի գումարի տեսքով։
* Ընտրված e_1,\ldots,e_n L-ում բազիսում ցանկացած F երկգծային ձև միանշանակ սահմանվում է մատրիցով
: \begin{pmatrix} 
F(e_1,\,e_1) & F(e_1,\,e_2) & \ldots & F(e_1,\,e_n) \\ 
F(e_2,\,e_1) & F(e_2,\,e_2) & \ldots & F(e_2,\,e_n) \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
F(e_n,\,e_1) & F(e_n,\,e_2) & \ldots & F(e_n,\,e_n) \end{pmatrix},

այնպես, որ ցանկացած x=x^1 e_1+x^2 e_2+\cdots+x^n e_n և y=y^1 e_1+y^2 e_2+\cdots+y^n e_n վեկտորների համար
: 
F(x,\,y)=\begin{pmatrix}
x^1 & x^2 & \ldots & x^n 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 
F(e_1,\,e_1) & F(e_1,\,e_2) & \ldots & F(e_1,\,e_n) \\ 
F(e_2,\,e_1) & F(e_2,\,e_2) & \ldots & F(e_2,\,e_n) \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
F(e_n,\,e_1) & F(e_n,\,e_2) & \ldots & F(e_n,\,e_n) \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}y^1 \\ y^2 \\ \vdots \\ y^n \end{pmatrix},

այսինքն՝
: F(x,\,y) = \sum_{i,j=1}^n f_{ij}\, x^i y^j, \ \quad f_{ij} = F(e_i,\,e_j).
* Դա նաև նշանակում է, որ երկգծային ձևը լիովին որոշվում է իր նշանակություններով բազիսի վեկտորների վրա։
* W(L,L) հարթության չափականությունը \dim W(L,L)=(\dim L)^2։
* Չնայած նրան, որ F երկգծային ձևի մատրիցը կախված է բազիսի ընտրությունից, երկգծային ձևի մատրիցի ռանգը ցանկացած բազիսում նույնն է, այն կոչվում է F երկգծային ձևի ռանգ։ Երկգծային ձևը կոչվում է **ոչ այլասերված**, եթե դրա կարգը հավասար է \dim L:
* Ցանկացած M \subset L ենթահարթության համար M^{\perp} օրթոգոնալ լրացումը համարվում է M^{\perp} \subset L ենթահարթություն։
* \dim L^{\perp} = \dim L - r, որտեղ r-ը F երկգծային ձևի ռանգ է։

## Երկգծային ձևի մատրիցի փոխակերպումը բազիսի փոխարինման ժամանակ
Նոր բազիսում երկգծային ձևի մատրիցը կապված է այն մատրիցի հետ, որը ներկայացնում է իրեն հին բազիսում այն մատրիցի միջոցով, որը հակադարձ է նոր բազիս տեղափոխվող մատրիցին (Յակոբի մատրից), որի միջոցով ձևավորվում են վեկտորի կոորդինատները։

Այլ կերպ ասած, եթե վեկտորի կոորդինատները X^i հին բազիսում սահմանվում են կոորդինատներով նոր x^i-ում  \beta մատրիցի միջոցով
X^i = \sum \beta^i_j x^j, կամ X = \beta x մատրիցային արտահայտությամբ, ապա F երկգծային ձևը ցանկացած x և y վեկտորների վրա կգրվի, որպես
: F(x,\,y) = \sum_{i,j} F_{ij} X^i Y^j = \sum_{i,j,k,m} F_{ij} \beta^i_k \beta^j_m x^k y^m,
այսինքն մատրիցի կոմպոնենտները, որոնք ներկայացնում են երկգծային ձևը նոր բազիսում, կլինեն
: f_{km} = \sum_{i,j} F_{ij} \beta^i_k \beta^j_m,
կամ մատրիցային ձևով՝
: f = \beta^T F \beta,
: \beta = \alpha^{-1}, որտեղ \alpha՝ x = \alpha X կոորդինատների ուղիղ փոխակերպման մատրիցն է։

## Տես նաև
* Քառակուսային ձև
* Երկգծային օպերացիա
* Երկգծային փոխակերպում

## Գրականություն
* *Мальцев А. И.* Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
* *Гельфанд И. М.* Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
* *Фаддеев Д. К.* Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
* *Кострикин А. И.* Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
* *Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
* *Гельфанд И. М.*, [http://www.nature.ru/db/msg.html?mid=1151602&uri=index.html Линейная алгебра] . Курс лекций.
* *Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Կատեգորիա:Գծային հանրահաշիվ