Բուրգ (երկրաչափություն)

thumb|300px|Վեցանկյուն բուրգ

**Բուրգ**, բազմանիստ, որի նիստերից մեկը (կոչվում է հիմք) կամայական բազմանկյուն է, իսկ մյուս նիստերը (կոչվում են կողմնային նիստեր) եռանկյուններն են, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ։ Ըստ հիմքի անկյունների թվի՝ տարբերակում են եռանկյուն բուրգ, քառանկյուն բուրգ և այլն։ 
Բուրգը կոնի մասնավոր դեպք է։

## Բուրգի զարգացման պատմությունը երկրաչափության մեջ
Բուրգի երկրաչափության սկզբնավորվել է Հին Եգիպտոսում և Բաբելոնում, սակայն ակտիվ զարգացում ապրել է Հին Հունաստանում։ Բուրգի ծավալը հայտնի էր հին եգիպտացիներին։ Առաջին հույն մաթեմատիկոսը, որ պարզել է, թե ինչին է հավասար բուրգի ծավալը, եղել է Դեմոկրիտեսը, իսկ ապացուցել է այն Եվդոքս Կնիդոսցին։ Հին հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսը համակարգել է բուրգի մասին գիտելիքներն իր «Սկզբունքների» 12-րդ հատորում, ինչպես նաև ձևակերպել է բուրգի առաջին սահմանումը. երկրաչափական մարմին, որը սահմանափակված է հարթություններով, որոնք սկիզբ են առնում մեկ հարթությունից և հատվում են մեկ կետում (գիրք 11, սահմանում 12)։

## Բուրգի տարրեր
thumb|SO – բարձրություն<br>SF – հարթագիծ<br>OF – հիմքին ներգծված շրջանագծի շառավիղ
* Կողմնային նիստեր – բուրգի նիստերը, որ ընդհանուր գագաթ ունեցող եռանկյուններ են։
* Կողմնային կողեր – կողմնային նիստերի ընդհանուր կողմերը։
* Բուրգի գագաթ – այն կետը, որը միացնում է կողմնային կողերը և ընկած չէ հիմքի հարթությունում։
* Բարձրություն – բուրգի գագաթից նրա հիմքի հարթությանը տարված ուղղահայացի մի հատված (այդ հատվածի ծայրակետերն են բուրգի գագաթը և ուղղահայացի հիմքը)։
* Բուրգի անկյունագծային հատույթ – բուրգի հատույթը, որը անցնում է գագաթով և հիմքի անկյունագծով։
* Հիմք – բազմանկյուն, որին չի պատկանում բուրգի գագաթը։
* Հարթագիծ – կանոնավոր բուրգի կողմնային նիստի բարձրությունը՝ տարված նրա գագաթից։

n-անկյուն բուրգն ունի 2n կող (n-ը հիմքի կողերն են, n-ը՝ կողմնային կողերը), n+1 գագաթ և n+1 նիստ, ընդ որում՝ այդ նիստերից մեկը նրա հիմքն է, իսկ n-ը՝ կողմնային նիստերը։

## Բուրգի հատկությունները
Եթե բոլոր կողմնային կողերը հավասար են, ապա.
* Բուրգի հիմքին կարելի է արտագծել շրջանագիծ, ընդ որում՝ բուրգի գագաթի պրոյեկցիան կլինի դրա կենտրոնում,
* Կողմնային կողերը հիմքի հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ,
* Ճիշտ է նաև հակառակ դրույթը, այսինքն՝ եթե կողմնային կողերը հիմքհ հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ, կամ եթե բուրգի հիմքին կարելի է արտագծել շրջանագիծ, որի կենտրոնը համընկնում է բուգի գագաթի պրոյեկցիայի հետ, ապա բուրգի բոլոր կողմնային կողերը հավասար են։ 
Եթե կողմնային նիստերը հիմքի հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ, ապա. 
* Բուրգի հիմքին կարելի է ներգծել շրջանագիծ, ընդ որում` բուրգի գագաթի պրոյեկցիան համընկնում է նրա կենտրոնի հետ,
* Կողմնային նիստերի բարձրությունները հավասար են,
* Բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և կողմնային նիստի բարձրության արտադրյալի կեսին։
thumb|Կանոնավոր բուրգին արտագծված գունդ.<br>SD — բուրգի բարձրություն,<br>AD — հիմքին արտագծված շրջանագծի շառավիղ,<br>В — կողմնային նիստի կողմի միջնակետ,<br>С — Կողերի միջնակետերով անցնող և նրանց ուղղահայաց հարթությունների հատման կետ,<br>AC=CS — բուրգին արտագծված գնդի շառավիղ
thumb|Կանոնավոր բուրգին ներգծված գունդ.<br>D — հիմքի կենտրոն<br>SF — հարթագիծ<br>ASD — կողերի կազմած անկյան կիսորդով անցնող հարթություն,<br>BCE — հիմքի ու կողմնային նիստի կազմած անկյան կիսորդով անցնող հարթություն,<br>С — բոլոր կիսորդային հարթությունների հատման կետը,<br>CK=CD — բուրգին ներգծված գնդի շառավիղ

## Բուրգը երկրաչափական այլ մարմինների հետ կապող թեորեմներ
### Գունդ
* Բուրգին կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ այն դեպքում, երբ բուրգի հիմքում ընկած է այնպիսի բազմանկյուն, որի շուրջ կարելի է արտագծել շրջանագիծ (անհրաժեշտ և բավարար պայման)։ Գնդի կենտրոնը կլինի կողմնային կողերի միջնակետերով անցնող և նրանց ուղղահայաց հարթությունների հատման կետը։ Այս թեորեմից հետևում է, որ յուրաքանչյուր եռանկյուն բուրգի, ինչպես նաև ցանկացած կանոնավոր բուրգի կարելի է արտագծել գունդ։
* Բուրգին կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ այն դեպքում, երբ բուրգի ներքին երկնիստ անկյունների կիսորդային հարթությունները հատվում են մեկ կետում (անհրաժեշտ ու բավարար պայման)։ Այդ կետը կլինի գնդի կենտրոնը։

### Կոն
* Կոնը կոչվում է բուրգին ներգծված, եթե նրանց գագաթները համընկնում են, իսկ կոնի հիմքը ներգծված է բուրգի հիմքին։ Կոնը կարելի է ներգծել բուրգին միայն այն դեպքում, երբ բուրգի հարթագծերը միմյանց հավասար են (անհրաժեշտ և բավարար պայման)։
* Կոնը արտագծված է բուրգին, երբ նրանց գագաթները համընկնում են, իսկ կոնի հիմքը արտագծած է բուրգի հիմքին։ Ընդ որում՝ կոնը բուրգին կարելի է արտագծել միայն այն դեպքում, երբ բուրգի կողմնային կողերը հավասար են (անհրաժեշտ և բավարար պայման)։ 
* Այդպիսի կոների և բուրգերի բարձրությունները հավասար են։

### Գլան
* Գլանը կոչվում է բուրգին ներգծված, եթե նրա մի հիմքը համընկնում է բուրգի հիմքին զուգահեռ հարթությանը պատկանող հատույթին ներգծված շրջանագծին, իսկ մյուս հիմքը պատկանում է բուրգի հիմքի հարթությանը։
* Գլանը կոչվում է բուրգին արտագծված, եթե բուրգի գագաթը պատկանում է նրա մի հիմքին, իսկ մյուս հիմքը արտագծված է բուրգի հիմքին։ Ընդ որում՝ բուրգին կարելի է գլան արտագծել միայն այն դեպքում, երբ բուրգի հիմքը այնպիսի բազմանկյուն է, որին կարելի է ներգծել շրջանագիծ (անհրաժեշտ ու բավարար պայման)։

## Բուրգին վերաբերող բանաձևեր
* Բուրգի ծավալը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևերով.
: V = \frac{1}{3} S h,
: որտեղ \ S-ը հիմքի մակերեսն է, իսկ \ h-ը՝ բարձրությունը։
: V = \frac{1}{6} V_p,
: որտեղ \ V_p-ը զուգահեռանիստի ծավալն է։
* Եռանկյուն բուրգի (տետրաեդր) ծավալը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով.
: V = \frac{1}{6} a_{1} a_{2} d \sin \varphi,
: որտեղ a_{1}, a_{2} հատվող կողերն են, d-ն՝ a_{1} և a_2 կողերի հեռավորությունը, \varphi-ը՝  a_{1} և a_2 կազմած անկյունը,
* Կողմնային մակերևույթի մակերեսը կոմնային նիստերի մեկերեսների գումարն է.
: S_b = \sum_{i}^{}S_i
* Լրիվ մակերևույթի մակերեսը կողմնային մակերևույթի մակերեսի և հիմքի մակերեսի գումարն է.
:  \ S_p = S_b + S_o
* Կանոնավոր բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով.
: S_b = \frac{1}{2} P a = \frac{n}{2} b^2 \sin \alpha
: որտեղ  a -ն հարթագիծն է,  \ P-ն՝ հիմքի պարագիծը,  \ n-ն հիմքի կողմերի թիվը,  \ b-ն՝ կողմնային կողը, \alpha-ն՝ գագաթին կից հարթ անկյունը։

thumb|Կանոնավոր հնգանկյուն բուրգի փռվածք<br>1. հիմքի հարթությունում («աստղ»)<br>2. կողմնային նիստերից մեկի հարթությունում

## Բուրգի հատուկ ձևեր
### Կանոնավոր բուրգ
Բուրգը կոչվում է կանոնավոր, եթե դրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, իսկ գագաթը պրոյեկցվում է նրա հիմքի կենտրոնում։ Այդ դեպքում այն ունի հետևյալ հատկությունները.
* Կանոնավոր բուրգի կողմնային կողերը հավասար են,
* Կանոնավոր բուրգի բոլոր կողմնային նիստերը համընկնող հավասարասրուն եռանկյուններն են,
* Յուրաքանչյուր կանոնավոր բուրգի կարելի է ինչպես ներգծել, այնպես էլ արտագծել շրջանագիծ,
* Եթե ներգծած և արտագծած շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են, ապա բուրգի գագաթին կից հարթ անկյունների գումարը հավասար է \pi, իսկ նրանցից յուրաքանչյուրը համապատասխանաբար \frac{\pi}{n}, որտեղ n-ը բազմանկյան հիմքի կողմերի թիվն է,
* Կանոնավոր բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և հարթագծի արտադրյալի կեսին։

### Ուղղանկյուն բուրգ
Բուրգը կոչվում է ուղղանկյուն, եթե նրա կողմնային կողերից մեկը ուղղահայաց է հիմքին։ Այդ դեպքում այս կողն էլ բուրգի բարձրությունն է։

### Տետրաէդր
Տետրաէդր կոչվում է եռանկյուն բուրգը։ Տետրաէդրի նիստերից յուրաքանչյուրը կարող է համարվել բուրգի հիմքը։ Բացի այդ, մեծ տարբերություն կա «կանոնավոր եռանկյունի բուրգ» և «կանոնավոր քառանիստ» հասկացությունների միջև։ Կանոնավոր եռանկյուն բուրգը կանոնավոր եռանկյուն հիմքով բուրգ է (նիստերը պետք է լինեն հավասարասրուն եռանկյուններ)։ Կանոնավոր տետրաէդր է այն քառանիստը, որի բոլոր նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ են։

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* 
* 
* 

Կատեգորիա:Բազմանիստեր