Էյլերի նույնություն

**Էյլերի նույնություն**, հավասարություն մաթեմատիկայում։ Հաճախ գրվում է հետևյալ տեսքով՝

:e^{i \pi} + 1 = 0,

որտեղ
:e-ն բնական լոգարիթմի հիմքն է՝ Էյլերի թիվը,
:i-ն՝ կեղծ միավորը, որը բավարարում է i^2 = -1 պայմանին և
:\pi-ն՝ պի թիվը, որը ցույց է տալիս շրջանագծի և դրա տրամագծի հարաբերությունը։

Էյլերի նույնությունը կոչվել է ի տապիվ շվեյցարացի մաթեմատիկոս Լեոնարդ Էյլերի։ Այն համարվում է մաթեմատիկական գեղեցկության օրինակ։

## Մաթեմատիկական գեղեցկություն
Էյլերի նույնությունը հաճախ նշվում է որպես խորը մաթեմատիկական գեղեցկության օրինակ։ Թվաբանական հիմնական գործողություններից երեքը՝ գումարը, բազմապատկումը և աստիճանը, նույնության մեջ հանդիպում են ճիշտ մեկ անգամ։ Նույնությունը նաև կապում է հինգ հիմնարար մաթեմատիկական հաստատուններ.
* Զրո թիվը,
* Մեկ թիվը,
* <math>\pi</math> թիվը (\pi = 3.141...),
* <math>e</math> թիվը (e=2.718...), որը լայնորեն կիրառվում է մաթեմատիկական անալիզում,
* <math>i</math> թիվը, որը կոմպլեք թվերի կեղծ միավորն է։

Բացի դա, հավասարությունը տրված է այնպես, որ արտահայտությունը հավասարեցվում է զրոյի, որը տարածված պրակտիկա է մաթեմատիկայի որոշ բաժիններում։

Սթենֆորդի համալսարանի մաթեմատիկայի պրոֆեսոր Քիթ Դևլինը ասել է՝ «Շեքսպիրի սոնետի նման, որը նկարագրում է սիրո բուն էությունը, կամ մի նկարի նման, որը ցույց է տալիս մարդկային կերպարանքի գեղեցկությունը, որը շատ ավելին է, քան պարզապես մաշկի խորություն, Էյլերի նույնությունը հասցնում է գոյության  ամենախորքային մասերին»։ Նյու Հեմփշիրի համալսարանի պրոֆեսոր Պոլ Նահինը Էյլերի բանաձևին և ֆուրիեի անալիզում դրա կիրառության մասին գրքում նկարագրում է Էյլերի նույնությունը որպես «նուրբ գեղեցկություն»։

Ըստ մաթեմատիկական գրող Կոնստանս Ռիդի՝ Էյլերի նույնությունը «մաթեմատիկայի ամենահայտնի բանաձևն է»։ Հարվարդի համալսարանի պրոֆեսոր, 19-րդ դարի ամերիկացի փիլիսոփա և մաթեմատիկոս Բենջամին Պիրսը դասախոսության ընթացքում Էյլերին նույնությունը ապացուցելուց հետո նշել է, որ նույնությունը «ամբողջությամբ պարադոքսալ է. մենք չենք կարող հասկանալ այն և մենք չգիտենք, թե այն ինչ է նշանակում, բայց մենք ապացուցել ենք այն և հետևաբար մենք գիտենք, որ այն պետք է ճիշտ լինի»։

Ըստ «*[[The Mathematical Intelligencer]]*» ամսագրի կողմից արված 1990 թվականի հարցման՝ Էյլերի նույնությունը «մաթեմատիկայի ամենագեղեցիկ թեորեմն է»։ «*[[Physics World]]*» ամսագրի կողմից արված մեկ այլ հարցման (2004 թվական) համաձայն՝ Էյլերի նույնությունը և Մաքսվելի հավասարումները «երբևէ եղած ամենամեծ հավասարումներն  են»։

16 մաթեմատիկոսների գլխուղեղը ուսումնասիրող մի հետազոտության համաձայն «էմոցիոնալ ուղեղը» (մասնավորապես՝ միջին օրբիտոֆրոնտային կորտեքսը, որը ակտիվանում է գեղեցիկ երաժշտության, պոեզիայի, նկարների և այլն համար) ավելի կայուն ակտիվանում է Էյլերի նույնության, քան այլ բանաձևի համար։

Էյլերի նույնության մասին առնվազն երկու հանրամատչելի մաթեմատիկական գիրք է հրատարակվել (Դեյվիդ Սթիփի «*A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics*»-ը (2017 թվական) և Ռուբին Ուիլսոնի «*Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics*»-ը  (2018 թվական))։

## Բացատրություն
### Կեղծ ցուցիչներ

Ըստ Էյլերի նույնության՝ e^{i\pi} = -1: Այստեղ e^{i\pi} արտահայտությունը e^z արտահայտության մասնավոր դեպք է, որտեղ z-ը կամայական կոմպլեքս թիվ է։ Կոմպլեքս z թվերի համար e^z արտահայտությունը սահմանվում է ըստ ցուցչային ֆունկցիայի սահմանումներից մեկի։ Օրինակ՝ տարածված սահմանումներից մեկն է՝

:e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac z n \right)^n։

Այս դեպքում, Էյլերի նույնությունը ցույց է տալիս, որ երբ n-ը ձգտում է անվերջության, (1 + i\pi/n)^n-ը ձգտում է -1-ի։ Այս սահմանի պատկերավոր ներկայացման համար տես աջ կողմի նկարը։

thumb|right|Էյլերի բանաձևը կամայական անկյան համար

Էյլերի նույնությունը Էյլերի բանաձևի մասնավոր դեպք է, ըստ որի՝ կամայական x իրական թվի համար տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝

: e^{ix} = \cos x + i\sin x,

որտեղ սինուս և կոսինուս եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները տրված են ռադիանով։

Մասնավորապես, երբ x = \pi,

: e^{i \pi} = \cos \pi + i\sin \pi։

Քանի որ

:\cos \pi = -1

և

:\sin \pi = 0,

հետևաբար՝

: e^{i \pi} = -1 + 0 i,

որից հետևում է Էյլերի նույնությունը՝

: e^{i \pi} +1 = 0։

### Երկրաչափական մեկնաբանում
Կամայական z = x + iy կոմպլեքս թիվ կարելի է կոմպլեքս հարթությունում ներկայացնել (x, y) կետով։ Այս կետը նաև կարելի է ներկայացնել բևեռային կոորդինատներով որպես (r, \theta), որտեղ r-ը z-ի բացարձակ արժեքն է (կենտրոնից հեռավորությունը) իսկ \theta-ն՝ z-ի արգումենտը (x առանցքի հետ կազմած ակյունը ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ)։ Ըստ սինուսի և կոսինուսի սահմանման՝ այս կետրի դեկարդյան կոորդինատներն են (r \cos \theta, r \sin \theta), հետևաբար՝ z = r(\cos \theta + i \sin \theta)։ Ըստ Էյլերի բանաձևի, սա համարժեք է z = r e^{i\theta}-ին։

Ըստ Էյլերի նույնության՝ -1 = e^{i\pi}։ Քանի որ e^{i\pi} նույնն է ինչ r e^{i\theta}, եթե r=1 և \theta = \pi, ուրեմն Էյլերի նույնությունը կարելի է մեկնաբանել որպես -1 թվի մասին փաստ. կենտրոնից հեռավորությունը 1 է, իսկ դրական x առանցքի հետ կազմած անկյունը՝ \pi ռադիան։

Բացի դա, կամայական կոմպլեքս z թիվ e^{i\theta}-ով բազմապատկելը ունենում նույն արդյուքնը, ինչ z թիվը կոմպլեքս հարությունում ժամացույցի սլաքիի հակառակ ուղղությամբ \theta ռադիան պտտելը։  Քանի որ թիվը -1-ով բազմապատկելիս այն արտացոլվում է կենտրոնի նկատմաբ, Էյլերի նույնությունը պարզապես նշում է, որ կամայական կետ կենտրոնի նկատմամբ \pi ռադիան պտտելը նույնն է, ինչ այն կենտրոնի նկատմամբ արտացոլելը։

## Ընդհանրացումներ
Էյլերի նույնությունը հետևյալ ավելի ընդհանուր նույնության մասնավոր դեպք է (n > 1)՝

:\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i \frac{k}{n}} = 0։

Հնարավոր է նաև ցույց տալ նմանատիպ նույնություն քվատերնիոնների համար. ենթադրենք \{i, j, k\}-ը բազիսային տարրեր են, ուրեմն

:e^{\frac{1}{\sqrt 3}(i \pm j \pm k)\pi} + 1 = 0։

Ընդհանուր առմամաբ, եթե a_1, a_2 և a_3 իրական թվերի համար տեղի ունի a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1 նույնությունը, ուրեմն

:e^{\left(a_1i+a_2j+a_3k\right)\pi} + 1 = 0։

Օկտոնիոնների դեպքում, եթե a_n-ը իրական թիվ է, այնպես, որ a_1^2 + a_2^2 + ... + a_7^2 = 1 և օկտոնիոն բազիսային տարրերն են՝ \{i_1, i_2, ..., i_7\}, ուրեմն

:e^{\left(a_1i_1+a_2i_2+\dots+a_7i_7\right)\pi} + 1 = 0։

## Պատմություն
Էյլերի նույնությունը հնարավոր է գտնել Էյլերի 1748 թվականին հրատարակված մաթեմատիկական անալիզին վերաբերող «*[[Introductio in analysin infinitorum]]*» աշխատությունում։ Սակայն, պարզ չէ, թե արդյոք այս նույնությունը կարելի է վերագրել Էյլերին։ Ավելին, չնայած Էյլերը իր աշխատությունում գրել է այժմ Էյլերի բանաձև անվամբ հայտնի բանաձևի մասին, անգլիացի մաթեմատիկոս Ռոջեր Քոթսը (մահացել է 1716 թվականին, երբ Էյլերը 9 տարեկան էր) նույնպես տեղյակ էր այս բանաձևի մասին։ Էյլերը հավանաբար այս գիտելիքը ձեռք է բերել իր շվեյցարացի հայրենակից Յոհան Բերնուլիից։

Ըստ Ռուբին Ուիլսոնի՝

## Նշումներ

## Ծանոթագրություններ

## Աղբյուրներ
* Conway, John H., and Guy, Richard K. (1996), *[https://books.google.com/books?id=0--3rcO7dMYC&pg=PA254 The Book of Numbers]*, Springer 
* Crease, Robert P. (10&nbsp;May 2004), "The greatest equations ever", *[[Physics World]]* [registration required]
* Dunham, William (1999), *Euler: The Master of Us All*, Mathematical Association of America 
* Euler, Leonhard (1922), *[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k69587.image.r=%22has+celeberrimas+formulas%22.f169.langEN Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus]*, Leipzig: B. G. Teubneri
* Kasner, E., and Newman, J. (1940), *[[Mathematics and the Imagination]]*, Simon & Schuster
* Maor, Eli (1998), *: The Story of a number*, Princeton University Press 
* Nahin, Paul J. (2006), *Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills*, Princeton University Press 
* Paulos, John Allen (1992), *Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics*, Penguin Books 
* Reid, Constance (various editions), *From Zero to Infinity*, Mathematical Association of America
* Sandifer, C. Edward (2007), *[https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA4 Euler's Greatest Hits]*, Mathematical Association of America 
*
*Wells, David (1990), "Are these the most beautiful?", *[[The Mathematical Intelligencer]]*, 12: 37–41, 
*
*

## Արտաքին հղումներ
* Intuitive understanding of Euler's formula

Կատեգորիա:Լեոնարդ Էյլեր
Կատեգորիա:Կոմպլեքս անալիզ
Կատեգորիա:Հավասարումներ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական թեորեմներ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական նույնություններ
Կատեգորիա:Պի