Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ

**Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ**, ստորև ներկայացված են սինուս, կոսինուս, տանգենս, կոտանգենս, սեկանս, կոսեկանս ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկերը։ Անորոշ ինտեգրալների համար ինտեգրման հաստատունը բաց է թողնված։

## Սինուս
: \int\sin cx\;dx = -\frac{1}{c}\cos cx\,\!

: \int\sin^n cx\;dx = -\frac{\sin^{n-1} cx\cos cx}{nc} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{( }n>0\mbox{)}\,\!

: \int x\sin cx\;dx = \frac{\sin cx}{c^2}-\frac{x\cos cx}{c}\,\!

: \int x^2\sin cx\;dx 
= \frac{2\cos cx}{c^3}
+ \frac{2x\sin cx}{c^2}
- \frac{x^2\cos cx}{c}
\,\!

: \int x^3\sin cx\;dx 
=-\frac{6\sin cx}{c^4}
+ \frac{6x\cos cx}{c^3}
+ \frac{3x^2\sin cx}{c^2}
- \frac{x^3\cos cx}{c}
\,\!

: \int x^4\sin cx\;dx 
=-\frac{24\cos cx}{c^5}
- \frac{24x\sin cx}{c^4}
+ \frac{12x^2\cos cx}{c^3}
+ \frac{4x^3\sin cx}{c^2}
- \frac{x^4\cos cx}{c}
\,\!

: \int x^5\sin cx\;dx 
= \frac{120\sin cx}{c^6}
- \frac{120x\cos cx}{c^5}
- \frac{60x^2\sin cx}{c^4}
+ \frac{20x^3\cos cx}{c^3}
+ \frac{5x^4\sin cx}{c^2}
- \frac{x^5\cos cx}{c}
\,\!

: 
\begin{align}
\int x^n\sin cx\;dx 
& = n! \cdot \sin cx \left[
 \frac{x^{n-1}}{c^2 \cdot (n-1)!}
-\frac{x^{n-3}}{c^4 \cdot (n-3)!}
+\frac{x^{n-5}}{c^6 \cdot (n-5)!} - ...
\right] - \\
& - n! \cdot \cos cx \left[
 \frac{x^n}{c \cdot  n!}
-\frac{x^{n-2}}{c^3 \cdot (n-2)!}
+\frac{x^{n-4}}{c^5 \cdot (n-4)!} - ...
\right]  
\end{align}


: \int x^n\sin cx\;dx = -\frac{x^n}{c}\cos cx+\frac{n}{c}\int x^{n-1}\cos cx\;dx \qquad\mbox{( }n>0\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\sin cx}{x} dx = \sum_{i=0}^\infty (-1)^i\frac{(cx)^{2i+1}}{(2i+1)\cdot (2i+1)!}\,\!

: \int\frac{\sin cx}{x^n} dx = -\frac{\sin cx}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{c}{n-1}\int\frac{\cos cx}{x^{n-1}} dx\,\!

: \int\frac{dx}{\sin cx} = \frac{1}{c}\ln \left|\operatorname{tg}\frac{cx}{2}\right|

: \int\frac{dx}{\sin^n cx} = \frac{\cos cx}{c(1-n) \sin^{n-1} cx}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sin^{n-2}cx} \qquad\mbox{( }n>1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{dx}{1\pm\sin cx} = \frac{1}{c}\operatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}\mp\frac{\pi}{4}\right)

: \int\frac{x\;dx}{1+\sin cx} = \frac{x}{c}\operatorname{tg}\left(\frac{cx}{2} - \frac{\pi}{4}\right)+\frac{2}{c^2}\ln\left|\cos\left(\frac{cx}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right|

: \int\frac{x\;dx}{1-\sin cx} = \frac{x}{c}\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{cx}{2}\right)+\frac{2}{c^2}\ln\left|\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{cx}{2}\right)\right|

: \int\frac{\sin cx\;dx}{1\pm\sin cx} = \pm x+\frac{1}{c}\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{cx}{2}\right)

: \int\sin c_1x\sin c_2x\;dx = \frac{\sin(c_1-c_2)x}{2(c_1-c_2)}-\frac{\sin(c_1+c_2)x}{2(c_1+c_2)} \qquad\mbox{( }|c_1|\neq|c_2|\mbox{)}\,\!

## Կոսինուս
: \int\cos ax\;\mathrm{d}x = \frac{1}{a}\sin ax+C\,\!

: \int\cos^2 {ax}\;\mathrm{d}x = \frac{x}{2} + \frac{1}{4a} \sin 2ax +C = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a} \sin ax\cos ax +C\!

: \int\cos^n ax\;\mathrm{d}x = \frac{\cos^{n-1} ax\sin ax}{na} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} ax\;\mathrm{d}x \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\,\!

: \int x\cos ax\;\mathrm{d}x = \frac{\cos ax}{a^2} + \frac{x\sin ax}{a}+C\,\!

: \int x^2\cos^2 {ax}\;\mathrm{d}x = \frac{x^3}{6} + \left( \frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax + \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C\!

: \int x^n\cos ax\;\mathrm{d}x = \frac{x^n\sin ax}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1}\sin ax\;\mathrm{d}x\,= \sum_{k=0}^{2k+1\leq n} (-1)^{k} \frac{x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \sin ax  \!

: \int\frac{\cos ax}{x} \mathrm{d}x = \ln|ax|+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{(ax)^{2k}}{2k\cdot(2k)!}+C\,\!

: \int\frac{\cos ax}{x^n} \mathrm{d}x = -\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\int\frac{\sin ax}{x^{n-1}} \mathrm{d}x \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\mathrm{d}x}{\cos ax} = \frac{1}{a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C

: \int\frac{\mathrm{d}x}{\cos^n ax} = \frac{\sin ax}{a(n-1) \cos^{n-1} ax} + \frac{n-2}{n-1}\int\frac{\mathrm{d}x}{\cos^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\mathrm{d}x}{1+\cos ax} = \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C\,\!

: \int\frac{\mathrm{d}x}{1-\cos ax} = -\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C

: \int\frac{x\;\mathrm{d}x}{1+\cos ax} = \frac{x}{a}\tan\frac{ax}{2} + \frac{2}{a^2}\ln\left|\cos\frac{ax}{2}\right|+C

: \int\frac{x\;\mathrm{d}x}{1-\cos ax} = -\frac{x}{a}\cot\frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\frac{ax}{2}\right|+C

: \int\frac{\cos ax\;\mathrm{d}x}{1+\cos ax} = x - \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C\,\!

: \int\frac{\cos ax\;\mathrm{d}x}{1-\cos ax} = -x-\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C\,\!

: \int\cos a_1x\cos a_2x\;\mathrm{d}x = \frac{\sin(a_2-a_1)x}{2(a_2-a_1)}+\frac{\sin(a_2+a_1)x}{2(a_2+a_1)}+C \qquad\mbox{(for }|a_1|\neq|a_2|\mbox{)}\,\!

## Տանգենս
: \int\operatorname{tg} cx\;dx = -\frac{1}{c}\ln|\cos cx|\,\!

: \int\operatorname{tg}^n cx\;dx = \frac{1}{c(n-1)}\operatorname{tg}^{n-1} cx-\int\operatorname{tg}^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{dx}{\operatorname{tg} cx + 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\sin cx + \cos cx|\,\!

: \int\frac{dx}{\operatorname{tg} cx - 1} = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\sin cx - \cos cx|\,\!

: \int\frac{\operatorname{tg} cx\;dx}{\operatorname{tg} cx + 1} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln|\sin cx + \cos cx|\,\!

: \int\frac{\operatorname{tg} cx\;dx}{\operatorname{tg} cx - 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\sin cx - \cos cx|\,\!

## Կոտանգենս
:\int\cot ax\;\mathrm{d}x = \frac{1}{a}\ln|\sin ax|+C\,\!

: \int\cot^n ax\;\mathrm{d}x = -\frac{1}{a(n-1)}\cot^{n-1} ax - \int\cot^{n-2} ax\;\mathrm{d}x \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\mathrm{d}x}{1 + \cot ax} = \int\frac{\tan ax\;\mathrm{d}x}{\tan ax+1}\,\!

: \int\frac{\mathrm{d}x}{1 - \cot ax} = \int\frac{\tan ax\;\mathrm{d}x}{\tan ax-1}\,\!

## Սեկանս
:\int \sec{ax} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{a}\ln{\left| \sec{ax} + \tan{ax}\right|}+C

:\int \sec^2{x} \, \mathrm{d}x = \tan{x}+C

:\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C.

:\int \sec^n{ax} \, \mathrm{d}x = \frac{\sec^{n-2}{ax} \tan {ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{ax} \, \mathrm{d}x \qquad \mbox{ (for }n \ne 1\mbox{)}\,\!

:\int \frac{\mathrm{d}x}{\sec{x} + 1} = x - \tan{\frac{x}{2}}+C

## Կոսեկանս
:\int \csc{cx} \, dx = -\frac{1}{c}\ln{\left| \csc{cx} + \operatorname{ctg}{cx}\right|}

:\int \csc^n{cx} \, dx = -\frac{\csc^{n-1}{cx} \cos{cx}}{c(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}{cx} \, dx \qquad \mbox{ ( }n \ne 1\mbox{)}\,\!

## Ինտեգրալներ խառը եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով
### Սինուս և կոսինուս
: \int\frac{dx}{\cos cx\pm\sin cx} = \frac{1}{c\sqrt{2}}\ln\left|\operatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|

: \int\frac{dx}{(\cos cx\pm\sin cx)^2} = \frac{1}{2c}\operatorname{tg}\left(cx\mp\frac{\pi}{4}\right)

: \int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^n} = \frac{1}{n-1}\left(\frac{\sin x - \cos x}{(\cos x + \sin x)^{n - 1}} - 2(n - 2)\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^{n-2}} \right)

: \int\frac{\cos cx\;dx}{\cos cx + \sin cx} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln\left|\sin cx + \cos cx\right|

: \int\frac{\cos cx\;dx}{\cos cx - \sin cx} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln\left|\sin cx - \cos cx\right|

: \int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx + \sin cx} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln\left|\sin cx + \cos cx\right|

: \int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx - \sin cx} = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln\left|\sin cx - \cos cx\right|

: \int\frac{\cos cx\;dx}{\sin cx(1+\cos cx)} = -\frac{1}{4c}\operatorname{tg}^2\frac{cx}{2}+\frac{1}{2c}\ln\left|\operatorname{tg}\frac{cx}{2}\right|

: \int\frac{\cos cx\;dx}{\sin cx(1+-\cos cx)} = -\frac{1}{4c}\operatorname{ctg}^2\frac{cx}{2}-\frac{1}{2c}\ln\left|\operatorname{tg}\frac{cx}{2}\right|

: \int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx(1+\sin cx)} = \frac{1}{4c}\operatorname{ctg}^2\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2c}\ln\left|\operatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|

: \int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx(1-\sin cx)} = \frac{1}{4c}\operatorname{tg}^2\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2c}\ln\left|\operatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|

: \int\sin cx\cos cx\;dx = \frac{1}{2c}\sin^2 cx\,\!

: \int\sin c_1x\cos c_2x\;dx = -\frac{\cos(c_1+c_2)x}{2(c_1+c_2)}-\frac{\cos(c_1-c_2)x}{2(c_1-c_2)} \qquad\mbox{( }|c_1|\neq|c_2|\mbox{)}\,\!

: \int\sin^n cx\cos cx\;dx = \frac{1}{c(n+1)}\sin^{n+1} cx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\sin cx\cos^n cx\;dx = -\frac{1}{c(n+1)}\cos^{n+1} cx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\sin^n cx\cos^m cx\;dx = -\frac{\sin^{n-1} cx\cos^{m+1} cx}{c(n+m)}+\frac{n-1}{n+m}\int\sin^{n-2} cx\cos^m cx\;dx  \qquad\mbox{( }m,n>0\mbox{)}\,\!

:\int\sin^n cx\cos^m cx\;dx = \frac{\sin^{n+1} cx\cos^{m-1} cx}{c(n+m)} + \frac{m-1}{n+m}\int\sin^n cx\cos^{m-2} cx\;dx \qquad\mbox{( }m,n>0\mbox{)}\,\!

: \int\frac{dx}{\sin cx\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\left|\operatorname{tg} cx\right|

: \int\frac{dx}{\sin cx\cos^n cx} = \frac{1}{c(n-1)\cos^{n-1} cx}+\int\frac{dx}{\sin cx\cos^{n-2} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{dx}{\sin^n cx\cos cx} = -\frac{1}{c(n-1)\sin^{n-1} cx}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} cx\cos cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\sin cx\;dx}{\cos^n cx} = \frac{1}{c(n-1)\cos^{n-1} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\sin^2 cx\;dx}{\cos cx} = -\frac{1}{c}\sin cx+\frac{1}{c}\ln\left|\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{cx}{2}\right)\right|

: \int\frac{\sin^2 cx\;dx}{\cos^n cx} = \frac{\sin cx}{c(n-1)\cos^{n-1}cx}-\frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2}cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos cx} = -\frac{\sin^{n-1} cx}{c(n-1)} + \int\frac{\sin^{n-2} cx\;dx}{\cos cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos^m cx} = \frac{\sin^{n+1} cx}{c(m-1)\cos^{m-1} cx}-\frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos^{m-2} cx} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}\,\!

:\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos^m cx} = -\frac{\sin^{n-1} cx}{c(n-m)\cos^{m-1} cx}+\frac{n-1}{n-m}\int\frac{\sin^{n-2} cx\;dx}{\cos^m cx} \qquad\mbox{( }m\neq n\mbox{)}\,\!

:\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos^m cx} = \frac{\sin^{n-1} cx}{c(m-1)\cos^{m-1} cx}-\frac{n-1}{m-1}\int\frac{\sin^{n-1} cx\;dx}{\cos^{m-2} cx} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\cos cx\;dx}{\sin^n cx} = -\frac{1}{c(n-1)\sin^{n-1} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\cos^2 cx\;dx}{\sin cx} = \frac{1}{c}\left(\cos cx+\ln\left|\operatorname{tg}\frac{cx}{2}\right|\right)

: \int\frac{\cos^2 cx\;dx}{\sin^n cx} = -\frac{1}{n-1}\left(\frac{\cos cx}{c\sin^{n-1} cx)}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} cx}\right) \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}

: \int\frac{\cos^n cx\;dx}{\sin^m cx} = -\frac{\cos^{n+1} cx}{c(m-1)\sin^{m-1} cx} - \frac{n-m-2}{m-1}\int\frac{cos^n cx\;dx}{\sin^{m-2} cx} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}\,\!

:\int\frac{\cos^n cx\;dx}{\sin^m cx} = \frac{\cos^{n-1} cx}{c(n-m)\sin^{m-1} cx} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{cos^{n-2} cx\;dx}{\sin^m cx} \qquad\mbox{( }m\neq n\mbox{)}\,\!

:\int\frac{\cos^n cx\;dx}{\sin^m cx} = -\frac{\cos^{n-1} cx}{c(m-1)\sin^{m-1} cx} - \frac{n-1}{m-1}\int\frac{cos^{n-2} cx\;dx}{\sin^{m-2} cx} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}\,\!

### Սինուս և տանգենս
: \int \sin cx \operatorname{tg} cx\;dx = \frac{1}{c}(\ln|\sec cx + \operatorname{tg} cx| - \sin cx)\,\!

: \int\frac{\operatorname{tg}^n cx\;dx}{\sin^2 cx} = \frac{1}{c(n-1)}\operatorname{tg}^{n-1} (cx) \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!

### Կոսինուս և տանգենս
: \int\frac{\operatorname{tg}^n cx\;dx}{\cos^2 cx} = \frac{1}{c(n+1)}\operatorname{tg}^{n+1} cx \qquad\mbox{( }n\neq -1\mbox{)}\,\!

### Սինուս և կոտանգենս
: \int\frac{\operatorname{ctg}^n cx\;dx}{\sin^2 cx} = \frac{1}{c(n+1)}\operatorname{ctg}^{n+1} cx  \qquad\mbox{( }n\neq -1\mbox{)}\,\!

### Կոսինուս և կոտանգենս
: \int\frac{\operatorname{ctg}^n cx\;dx}{\cos^2 cx} = \frac{1}{c(1-n)}\operatorname{tg}^{1-n} cx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!

### Տանգենս և կոտանգենս
: \int \frac{\operatorname{tg}^m(cx)}{\operatorname{ctg}^n(cx)}\;dx = \frac{1}{c(m+n-1)}\operatorname{tg}^{m+n-1}(cx) - \int \frac{\operatorname{tg}^{m-2}(cx)}{\operatorname{ctg}^n(cx)}\;dx\qquad\mbox{( }m + n \neq 1\mbox{)}\,\!

## Տես նաև
* Ֆունկցիայի ածանցյալ
* Ածանցելի ֆունկցիաներ

## Գրականություն
### Գրքեր
* Градштейн И. С. Рыжик И. М. *Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений* (4-е издание). М.։ Наука, 1963. ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
* Двайт Г. Б. ''Таблицы интегралов'' СПб։ «Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева», 1995.-176 с. ISBN 5-85529-029-8.
* D. Zwillinger. *CRC Standard Mathematical Tables and Formulae*, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
* M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*, 1964. ISBN 0-486-61272-4

### Ինտեգրալների աղյուսակներ
* Ինտեգրալներ EqWorld-ում
* S.O.S. Մաթեմատիկա

### Ինտեգրալների հաշվում
* The Integrator *(Wolfram Research)*
* Թվեր