Քառակուսացման բանաձևերի ցանկ

**Քառակուսացման բանաձևերի ցանկ-** տարբեր քառակուսացման բանաձևերի ցանկը՝ թվային ինտեգրման համար։

## Նշանակումը
Թվային ինտեգրման բանաձևը ընդհանուր տեսքը հետևյալն է․

:  \int\limits_{\Omega_x} f(x) dx = \sum_{i=1}^{m_g} {\widetilde{w_i} f(x_i)} = \sum_{i=1}^{m_g} {w_i \mathrm{det}(J(\xi_i)) f(x(\xi_i))},

*  f(x)  -ինտեգրվող ֆունկցիան
*  w_i  -ինտեգրվող մեծությունը
*  \xi  -  վարպետ-տարր կոորդինատային համակարգը․
*  J(\xi) = \frac{\partial(x_1, \dots, x_n)}{\partial(\xi_1, \dots \xi_n)}  Յակոբիի մատրիցա՝ վարպետ-տարրի անցնելու համար։

Ինտեգրալի ադիտիվության հիման վրա, որպես \Omega ինտեգրման տիրույթ քննարկվում են պարզ տիրույթներ (եռանկյուն, քառանկյուն, հնգանկյուն)։ Բարդ երկրաչափության դեպքում՝ տիրույթը ներկայացվում է որպես պարզ տիրույթների միություն և հաշվվում են ինտեգրալները ըստ այդ տիրույթների։

Բնական կոորդինատները ներկայացվում են x, y, z փոփոխականներով, իսկ վարպետ-տարրի նշանակման համար՝ \xi, \eta, \zeta ։

## Միաչափ ինտեգրալ
մինի|Թվային ինտեգրում  <math>x^5 + 6x^2 + 1</math> ֆունկցիայի/վարպետ-տարրի հիման վրա՝ գաուսի- 2 մեթոդով
Միաչափ ինտեգրումը, դա հատվածով ինտեգրումն է։

* Ինտեգրման տիրույթը   [x_0, x_1]  հատվածն է․
* Կառուցման տարրը  [-1, 1] հատվածն է
* Անցում վարպետ-տարրին՝   \xi(x) = 2 \frac{x-x_0}{x_1 - x_0} - 1 ;
* Անցում վարպետ-տարրից՝   x(\xi) = \frac{(x_1 - x_0)(\xi + 1)}{2} + x_0;
* Յակոբիի ինտեգրալ՝  \mathrm{det}(J(\xi)) = \frac{x_1 - x_0}{2}.

## Երկչափ ինտեգրալ
### Քառակուսի կառուցման տարր
մինի|Քառակուսի վարպետ-տարր 12 կետային բանաձևով

* Ինտեգրման տիրույթը՝ ուղղանկյուն [x_0, x_1] \times [y_0, y_1] 
* Վարպետ-տարրը՝ քառակուսի [-1, 1] \times [-1, 1] 
* Վարպետ-տարրի անցումը․

:  \xi(x, y) = 2 \frac{x-x_0}{x_1 - x_0} - 1 
:  \eta(x, y) = 2 \frac{y-y_0}{y_1 - y_0} - 1 ;

* Վարպետ-տարրից անցումը․

:  x(\xi, \eta) = \frac{(x_1 - x_0)(\xi + 1)}{2} + x_0
:  y(\xi, \eta) = \frac{(y_1 - y_0)(\eta + 1)}{2} + y_0;

* Յակոբիան․  \mathrm{det}(J(\xi, \eta)) = \frac{(x_1 - x_0)(y_1 - y_0)}{4}.

Քառակուսով ինտեգրելու բանաձևերից շատերը կարելի է ստանալ, հատվածներով ինտեգրելու բանաձևերի կոմբինացիաներով։ Այդ մեթոդների օրինակներ են հանդիսանում ուղղնկյան, սեղանի և գաուսի -2 մեթոդները։

### Եռանկյուն կառուցման տարր
մինի|Եռանկյուն վարպետ-տարր Գաուսի-4 կետերով

* Ինտեգրման տիրույթը եռանկյուն է կառուցված (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) գագաթներով ․
* Վարպետ-տարրը եռանկյուն է կառուցված (0,0), (1, 0), (0, 1)  գագաթներով .

Վարպետ-տարրին անցնելու համար օգտագործվում է բարոցենտրական կոորդինատները (L-կոորդինատներ), նշանակենք դրանք՝   \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3.

:  \lambda_i(x,y) = \alpha_{i1} x + \alpha_{i2} y + \alpha_{i3} 

L-կոորդինատների գործակիցները հաշվելու համար օգտագործվում է D մատրիցը՝

:  D = \begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 \\
y_1 & y_2 & y_3 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} 

Գործակիցների D-ին հետ անցման մատրիցը  \Alpha = D^{-1} է։

* Վարպետ-տարրին անցումը՝

: \xi(x,y) = \lambda_1(x,y)
: \eta(x,y) = \lambda_2(x,y)

* Վարպետ-տարրրից անցումը՝

:  \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1\end{pmatrix} = \Alpha \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \\ 1 - \xi - \eta \end{pmatrix} 

* Յակոբիան՝  \mathrm{det}(J(\xi,\eta)) = \mathrm{det}(D).

## Եռաչափ ինտեգրալ
### Խորանարդային կառուցման տարր
մինի|Խորանարդային վարպետ-տարր 14 կետային բանաձևով

* Ինտեգրման տիրույթը [x_0, x_1] \times [y_0, y_1] \times [z_0, z_1]զուգահեռանիստն է․
* Վարպետ-տարրը [-1, 1] \times [-1, 1] \times [-1, 1] խորանարդն է․
* Անցում վարպետ-տարրին՝

:  \xi(x, y, z) = 2 \frac{x-x_0}{x_1 - x_0} - 1 
:  \eta(x, y, z) = 2 \frac{y-y_0}{y_1 - y_0} - 1 
:  \zeta(x, y, z) = 2 \frac{z-z_0}{z_1 - z_0} - 1 

* Անցում վարպետ-տարրից՝

:  x(\xi, \eta, \zeta) = \frac{(x_1 - x_0)(\xi + 1)}{2} + x_0
:  y(\xi, \eta, \zeta) = \frac{(y_1 - y_0)(\eta + 1)}{2} + y_0;
:  z(\xi, \eta, \zeta) = \frac{(z_1 - z_0)(\zeta + 1)}{2} + z_0;

* Յակոբիան՝  \mathrm{det}(J(\xi, \eta, \zeta)) = \frac{(x_1 - x_0)(y_1 - y_0)(z_1 - z_0)}{8}.

Քանի որ բարձր կարգի ինտեգրալները մեծ քանակով կետեր են պարունակում ՝ դրանք կդիտարկենք առանձին։

* Կարգ 7, կետերի քանակը 34․

### Քառանիստ վարպետ տարր
մինի|Քառանիստ վարպետ-տարր Գաուսի-11 կետերով

* Ինտեգրման տիրույթը՝ քառանիստ է (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, y_3), (x_4, y_4, z_4) գագաթներով։
* Վարպետ-տարրը՝ քառաննիստ է   (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) գագաթներով։

Եռանկայն նման այստեղ էլ վարպետ-տարրին անցնելու համար օգտվում են քառանիստի L-կոորդինատից, որոնց կնշանակենք  \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4:

:  \lambda_i(x,y,z) = \alpha_{i1} x + \alpha_{i2} y + \alpha_{i3} z + \alpha_{i4} 

Գործակիցների մատրիցան որոշվում է որպես \Alpha = D^{-1}, որտեղ

:  D = \begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\
z_1 & z_2 & z_3 & z_4 \\
1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

* Անցում վարպետ-տարրի՝

:  \xi(x,y,z) = \lambda_1(x,y,z)
:  \eta(x,y,z) = \lambda_2(x,y,z)
:  \zeta(x,y,z) = \lambda_3(x,y,z)

* Վարպետ-տարրից անցում՝

:  \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1\end{pmatrix} = D \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \\ \zeta \\ 1 - \xi - \eta - \zeta\end{pmatrix} 

* Յակոբիան՝  \mathrm{det}(J(\xi,\eta, \zeta)) = \mathrm{det}(D).

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* 

## Արտաքին հղումներ
* 
* 

Կատեգորիա:Ինտեգրալ հաշիվ