Ուղեծրի հավասարում

**Ուղեծրի հավասարումը** աստղադինամիկայում սահմանում է պտտվող մարմնի m_2\,\!-ի ընթացքը կենտրոնական մարմնի m_1\,\!-ի շուրջ՝ m_1\,\!-ի նկատմամբ, առանց դիրքը ժամանակի ֆունկցիայի տեսքով նշելու։ Ստանդարտ ենթադրությունների համաձայն, կենտրոնական մարմնին ուղղված ուժի ազդեցության տակ շարժվող մարմինը, որի մեծությունը հակադարձ համեմատական ​​է հեռավորության քառակուսուն (օրինակ՝ ձգողականության ուժին), ունի ուղեծիր, որը կոնական հատույթ է (այսինքն՝ շրջանաձև ուղեծիր, էլիպտիկ ուղեծիր, պարաբոլիկ հետագիծ, հիպերբոլիկ հետագիծ կամ ռադիալ հետագիծ), որտեղ կենտրոնական մարմինը գտնվում է երկու կիզակետերից մեկում (Կեպլերի առաջին օրենք):

Եթե կոնական հատույթը հատում է կենտրոնական մարմինը, ապա իրական հետագիծը կարող է լինել միայն մակերեսից վերև գտնվող մասը, բայց այդ մասի համար ուղեծրի հավասարումը և շատ հարակից բանաձևեր դեռևս կիրառելի են, քանի դեռ դա ազատ անկում է (անկշռելիության իրավիճակ):

## Կենտրոնական, հակադարձ քառակուսիների օրենքի ուժ
Դիտարկենք երկու մարմինների համակարգ, որը բաղկացած է *M* զանգվածով կենտրոնական մարմնից և շատ ավելի փոքր, m զանգվածով պտտվող մարմնից, և ենթադրենք, որ երկու մարմինները փոխազդում են կենտրոնական, հակադարձ քառակուսիների օրենքի ուժի միջոցով (օրինակ՝ ձգողականություն): Բևեռային կոորդինատներով ուղեծրի հավասարումը կարող է գրվել այսպես՝
r = \frac{\ell^2}{m^2\mu}\frac{1}{1+e\cos\theta}
որտեղ
* r-ը երկու մարմինների միջև եղած բաժանման հեռավորությունն է, իսկ
* \theta-ը այն անկյունն է, որը \mathbf{r}-ը կազմում է պերիկենտրոնի առանցքի հետ (նաև կոչվում է *[[իրական անոմալիա]]*):
* \ell պարամետրը կենտրոնական մարմնի շուրջ պտտվող մարմնի անկյունային մոմենտն է և հավասար է mr^2\dot{\theta}-ին, կամ զանգվածը բազմապատկած երկու մարմինների հարաբերական դիրքի և արագության վեկտորների խաչաձև արտադրյալի մեծությամբ:
* \mu պարամետրը այն հաստատունն է, որի դեպքում \mu/r^2-ը հավասար է ավելի փոքր մարմնի արագացմանը (գրավիտացիայի համար \mu ստանդարտ գրավիտացիոն պարամետրն է՝ -GM): Տրված ուղեծրի համար, որքան մեծ է \mu-ը, այնքան արագ է պտտվող մարմինը շարժվում դրանում. երկու անգամ ավելի արագ, եթե ձգողականությունը չորս անգամ ավելի ուժեղ է։
* e պարամետրը ուղեծրի էքսցենտրիսիտետն է և տրվում է բանաձևով՝
*:e = \sqrt{1+\frac{2E\ell^2}{m^3\mu^2}}
*:որտեղ E-ն ուղեծրի էներգիան է։

Վերը նշված r-ի և \theta-ի միջև առնչությունը նկարագրում է կոնական հատույթ: e-ի արժեքը որոշում է, թե ինչպիսի կոնական հատույթ ունի ուղեծիրը.
* երբ e, ուղեծիրը էլիպտիկ է (շրջանագծերը էլիպսներ են՝ e=0-ով);
* երբ e=1, ուղեծիրը պարաբոլիկ է;
* երբ e>1, ուղեծիրը հիպերբոլիկ է:

Հավասարման մեջ r-ի նվազագույն արժեքը հետևյալն է՝
r=
մինչդեռ, եթե e, առավելագույն արժեքը հետևյալն է՝
r=

Եթե առավելագույնը փոքր է կենտրոնական մարմնի շառավղից, ապա կոնաձև հատույթը էլիպս է, որը ամբողջությամբ գտնվում է կենտրոնական մարմնի ներսում, և դրա ոչ մի մասը հնարավոր հետագիծ չէ։ Եթե առավելագույնը մեծ է, բայց նվազագույնը փոքր է շառավղից, հետագծերի մի մասը հնարավոր է՝
*եթե էներգիան ոչ բացասական է (պարաբոլիկ կամ հիպերբոլիկ հետագիծ). շարժումը կամ կենտրոնական մարմնից հեռու է, կամ դեպի այն։
*եթե էներգիան բացասական է. շարժումը կարող է նախ հեռանալ կենտրոնական մարմնից, մինչև r=, որից հետո մարմինը հետ է ընկնում։

Եթե r-ը դառնում է այնպիսին, որ ուղեծրային մարմինը մտնում է մթնոլորտ, ապա ստանդարտ ենթադրությունները այլևս կիրառելի չեն, ինչպես օրինակ մթնոլորտ մտնող մարմնի դեպքում։

## Ցածր էներգիայի հետագծեր
Եթե կենտրոնական մարմինը Երկիրն է, և էներգիան միայն մի փոքր մեծ է Երկրի մակերևույթի պոտենցիալ էներգիայից, ապա ուղեծիրը էլիպտիկ է՝ մոտ 1-ի էքսցենտրիսիտետով, և էլիպսի մի ծայրը գտնվում է Երկրի կենտրոնից մի փոքր վերև, իսկ մյուս ծայրը՝ մակերևույթից մի փոքր վերև։ Էլիպսի միայն մի փոքր մասն է կիրառելի։

Եթե ​​հորիզոնական արագությունը v\,\! է, ապա պերիկենտրոնի հեռավորությունը \frac{v^2}{2g} է։ Երկրի մակերևույթի վրա էներգիան համապատասխանում է էլիպսային ուղեծրի էներգիային՝ a=R/2\,\!-ով (որտեղ՝ R\,\! Երկրի շառավիղն է), որը իրականում չի կարող գոյություն ունենալ, քանի որ այն էլիպս է՝ ամբողջությամբ մակերևույթից ցածր։ a-ի էներգիայի աճը 2g\,\! է։ Ուղեծրի մակերևույթից վերև առավելագույն բարձրությունը էլիպսի երկարությունն է՝ հանած R\,\!-ը, հանած Երկրի կենտրոնից «ներքև» գտնվող մասը, հետևաբար՝ a\,\!-ի աճը՝ հանած պերիկենտրոնի հեռավորությունը, կրկնակի է։

Էլիպսի մակերեսից վերև գտնվող մասը կարելի է մոտավորապես ներկայացնել պարաբոլի մասով, որը ստացվում է այն մոդելում, որտեղ ձգողականությունը ենթադրվում է հաստատուն: Սա պետք է տարբերակել աստղադինամիկայի իմաստով պարաբոլիկ ուղեծրից, որտեղ արագությունը երկրորդ տիեզերական արագությունն է:

## Տես նաև
*Կեպլերի առաջին օրենք
*Շրջանաձև ուղեծիր
*Էլիպտիկ ուղեծիր
*Պարաբոլիկ հետագիծ
*Հիպերբոլիկ հետագիծ
*Ցիոլկովսկու հավասարում
*Ուղեծրային արագություն
*Երկրորդ տիեզերական արագություն
*Երկնային մեխանիկա

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Աստղադինամիկա
Կատեգորիա:Ուղեծրեր