Հավանականության բաշխում

**Հավանականության բաշխում** կամ պարզապես **բաշխում**, հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական գաղափարներից։ Պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը (կամ հավանականությունների բաշխման օրենքը) տրվում է նրա F(x)=P(\xi բաշխման ֆունկցիայով կամ այնպիսի բնութագրով, որի օգնությամբ որոշակի կանոններով կարող է ստացվել նշված բաշխման ֆունկցիան։ Այսպես, հավանականությունների բաշխում․ կարող է տրվել x_1 անհավասարության հավանականությունը ներկայացնող P(x_1, x_2) միջակայքի ֆունկցիայով։ Այդ դեպքում նրա բաշխման ֆունկցիան որոշվում է >F(x) = P(-\infty բանաձևով։ Ընդհատ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է այդ մեծության հնարավոր x_1, x_2,..., x_n,... արժեքների և նրանց համապատասխան P_1, P_2,..., P_n,... հավանականությունների նշմամբ, որտեղ P_n \ge 0 և \sum_{n=1}^{\infty}P_n = 1։ Այդ դեպքում F(x) = \sum_{n} P_n = 1, որտեղ գումարը տարածվում է այն n–երի վրա, որոնց համար x_n ։ Անընդհատ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է նրա P(x) բաշխման խտությամբ, որտեղ P(x) \ge 0; \int_{-\infty}^{+\infty}P(x)dx = 1։ Այդ դեպքում F(x) = \int_{-\infty}^{x}P(t)dt։ Կամայական \xi պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը կարող է տրվել ուղղի ցանկացած բորելյան E բազմության համար որոշված և \xi-ն E-ին պատկանելու հավանականությունը ներկայացնող P(E) ֆունկցիայով։ Եթե E-ն (-\infty, x) միջակայքն է, ապա F(x) = P(E)։

Հավանականությունների ընտրովի բաշխումը որոշվում է պատահական մեծության հետ արված n թվով անկախ փորձերի արդյունքում ստացված x_1, x_2, ..., x_n-երի ընտրությամբ։ Այն տրվում է բաշխման ընտրովի F_n^*(x) ֆունկցիայով, որպես ընտրության մեջ x-ից փոքր արժեքների հաճախականություն, այսինքն՝ F_n*(x) = \frac{m(x)}{n}․ Երկչափ (\xi, \eta) պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է նրա F(x, y) = P( \xi  բաշխման ֆունկցիայով։ Մասնավորաբար, երկչափ ընդհատ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է հնարավոր (x_n, y_m) զույգերի բազմության և համապատասխան P_{nm} = P(\xi = x_n \cap \eta = y_m), n, m=l, 2,... հավանականությունների նշմամբ, ընդ որում F(x, y)=\sum_{n} \sum_{m} P_{nm}, որտեղ գումարները տարածվում են այն n-երի և m-երի վրա, որոնց համար x_n ։ Երկչափ անընդհատ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է նրա P(x, y) խտության բաշխմամբ, այնպես որ F(x, y) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}P(x,y)dxdy։ Կամայական երկչափ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը կարող է տրվել հարթության բոլոր բորելյան բազմությունների համար որոշված և (\xi, \eta) կետը E-ին պատկանելու հավանականությունը ներկայացնող P(E) ֆունկցիայով։ Եթե E-ն համընկնում է (-\infty, x; -\infty, y) երկչափ միջակայքի հետ, ապա F(x, y) = P(E)։

## Սահմանում
**Սահմանում 1.** Ենթադրենք տրված է (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) հավանականային հարթություն, և դրա վրա որոշված է X:\Omega \to \mathbb{R} պատահակական մեծություն։ Հիմնականում X-ը համարվում է (\Omega, \mathcal{F}) չափելի հարթության չափելի ֆունկցիա (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})), որտեղ \mathcal{B}(\mathbb{R}) չափելի հարթության մեջ, նշանակում է Բորելյան բազմությունը \mathbb{R}-ով։ Այդ դեպքում X պատահական մեծությունը առաջացնում է \mathbb{P}^X հավանականային մեծություն \mathbb{R}-ի վրա հետևյալ եղանակով՝

\mathbb{P}^X(B) = \mathbb{P}(X^{-1}(B)),\; \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).

\mathbb{P}^X մեծությունը կոչվում է պատահական X մեծության բաշխում։ Այլ կերպ ասած, \mathbb{P}^X(B)=\mathbb{P}(X\in B), այդպիսով \mathbb{P}^X(B) սահմանում է այն բանի հավանականությունը, որ X պատահական մեծությունը ընկնում է B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}) բազմության մեջ։

## Բաշխում առաջադրելու եղանակներ
**Սահմանում 2.** Ֆունկցիա F_X(x) = \mathbb{P}^X((-\infty,x]) = \mathbb{P}(X \leqslant x) կոչվում է X պատահական մեծության (կոմուլյատիվ) ֆունկցիայի բաշխում։ Հավանականության հատկություններից բխում է

**Թեորեմ 1.** F_X(x) բաշխման ֆունկցիան ցանկացած պատահական մեծության բավարարում է հետևյալ երեք հատկություններով։
# F_X—սկզբնական ֆունկցիա,
# \lim_{x\to -\infty} F_X(x) = 0,\; \lim_{x\to \infty}F_X(x) = 1;
# F_X անընդհատ է աջից։
Այն փաստից, որ Բորելյան բազմությունը իրական թվերի մեջ առաջանում է \{(-\infty,x]\}_{x\in \mathbb{R}} տիպի ինտերվալների ընտանիքից, հետևում է

**Թեորեմ 2.** Ցանկացած F(x) ֆունկցիա, որը բավարարում է վերը նշված երեք հատկություններին, համարվում է ինչ-որ \mathbb{P}^X-ի (բաշխում) բաշխման ֆունկցիա։

Հավանականությունների բաշխումների համար, որոնք ունեն որոշակի հատկություններ, կան ավելի առաջադրելու համար հարմարավետ եղանակներ։

### Դիսկրետ բաշխում
**Սահմանում 3.** Պատահական մեծությունը համարվում է **պարզ** կամ **դիսկրետ**, եթե այն ընդունում է ոչ ավելի, քան հաշվելի թվերի նշանակությունը։ Այսինքն՝
X(\omega) = a_i,\; \forall \omega \in A_i, որտեղ \{A_i\}_{i=1}^{\infty}՝ \Omega մասնատում։

Այդ դեպքում պարզ պատահական մեծության բաշխումը տրվում է \mathbb{P}^X(B) = \sum_{i:a_i \in B} \mathbb{P}(A_i): Նշանակելով p_i = \mathbb{P}(A_i) p(a_i) = p_i՝ կարելի է նշանակել p(a_i) = p_i: Ակնհայտ է, որ \sum_{i=1}^{\infty}p_i = 1: Օգտագործելով \mathbb{P} թվային ադիտիվություն, հեշտությամբ ցույց կտանք, որ այդ ֆունկցիան միանշանակ սահմանում է X-ը։

**Սահմանում 4.** Ֆունկցիա p(a_i) = p_i, որտեղ \sum_{i=1}^{\infty} p_i = 1 հաճախ անվանում են **դիսկրետ բաշխում**։

**Օրինակ 1.** Ենթադրենք p ֆունկցիան նշանակված է այնպես, որ p(-1) = \frac{1}{2} և p(1) = \frac{1}{2}: Այդ ֆունկցիան ունի X, որի համար \mathbb{P}(X=\pm 1) = \frac{1}{2} (Բերնուլլի բաշխում)։

**Թեորեմ 3.** Դիսկրետ բաշխումն ունի հետևյալ հատկությունները.

1.  p_i \geqslant 0

2.  \sum_{i=1}^{n} p_i = 1

### Վանդակավոր բաշխում
**Սահմանում 5.** Վանդակավոր են կոչվում ֆունկցիայի դիսկրետ բաշխմամբ բաշխումները, և ֆունկցիայի բաշխման խզման կետից ստեղծում են a+nh, որտեղ a-ն իրական թիվ է, h > 0, n-ը ամբողջ թիվ է։

**Օրինակ 2.** Պուասոնի բաշխում համարվում է վանդակավոր։

**Օրինակ 3.** Բինոմական բաշխումը համարվում է վանդակավոր։

**Թեորեմ 4.** Որպեսզի F ֆունկցիայի բաշխումը լինի վանդակավոր h քայլով, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի դրա բնութագրիչ f ֆունկցիան բավարարի |f(2 \pi/h)|=1 պայմանին։

Ապացույց։

Անհրաժեշտ պայման։ Նշանակենք \left \{ a + nh \right \} բազմություն, որը պարունակում է F ֆունկցիայի բոլոր խզման կետերը և p_{n}=F(a+nh)-F(a+nh-0): Այդ դեպքում f(t)=\sum_{n}p_{n}\exp\left [ i(a+nh)t \right ]: Հետևում է f(\frac{2\pi}{h}) = \exp(i \frac{2 \pi a}{h}) և \left | f(\frac{2\pi}{h}) \right |=1:

Բավարար պայման։ Եթե \left | f(\frac{2\pi}{h}) \right |=1, ապա f(\frac{2\pi}{h}) = \exp (i \frac{2 \pi a}{h}) ինչ-որ a իրական թվի համար։ Այդ դեպքում \int \exp \left [ \frac{i 2 \pi (x-a)}{h}\right ] dF(x)=1։ Այս հավասարությունից հետևում է \int ( 1 - \cos \left [ \frac{2 \pi (x-a)}{h} \right ] ) dF(x) = 0: Ֆունկցիայի տակ գտնվող ֆունկցիայի ոչ բացասականության դեպքում, \left \{ x:  1 - \cos \left [ \frac{2 \pi (x-a)}{h} \right ] > 0\right \} բազմության չափը հավասար է զրոյի։ Այդպիսով F ֆունկցիայի բաշխումը կարող է ունենալ սեփական բարձրության կետերով կետեր միայն \left \{ a + nh \right \} բազմությունից։
Այս թեորեմի հետևանքն է վանդակավոր բաշխման հետևյալ հատկությունները։ Եթե F ֆունկցիայի h քայլով վանդակավոր բաշխումը համարվում է F_{1} և F_{2} ֆունկցիաների բաշխման շղթա F = F_{1} * F_{2}, ապա F_{1}-ը և F_{2}-ը նույնպես համարվում են վանդակավոր h քայլով։

Ապացույց։ Նշանակենք f, f_{1}, f_{2} բնութագրիչ ֆունկցիաներով F, F_{1}, F_{2} ֆունկցիաների բաշխումները։ Այդ դեպքում \left | f_{1}(\frac{2 \pi}{h}) \right | \left | f_{2}(\frac{2 \pi}{h}) \right | = \left | f(\frac{2 \pi}{h}) \right |: Քանի որ ցանկացած բնութագրիչ ֆունկցիայի մոդուլը իրական թվերի առանցքի վրա չի գերազանցում 1-ը, ապա \left | f_{1}(\frac{2 \pi}{h}) \right |  = \left | f_{2}(\frac{2 \pi}{h}) \right | = 1 և ապացույցը ավարտված է։

### Անընդհատ բաշխումներ
Անընդհատ բաշխումը ատոմներ չունեցող բաշխում է։

### Բացարձակապես անընդհատ բաշխում
Բացարձակապես անընդհատ անվանում են այն բաշխումները, որոնք ունեն հավանականության խտություն։ Այդպիսի բաշխումների կոմուլյատիվ ֆունկցիաները բացարձակ անընդհատ են Լեբեգի իմաստով։

**Սահմանում 6.** X պատահական մեծության բաշխումը կոչվում է բացարձակապես անընդհատ, եթե կա ոչ բացասական այնպիսի f_X:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_+ ֆունկցիա, որ \mathbb{P}^X(B) \equiv \mathbb{P}(X\in B) = \int\limits_B f_X(x)\, dx: f_X ֆունկցիան այդ դեպքում կոչվում է X պատահական մեծության բաշխման խտություն։

**Օրինակ 4.** Ենթադրենք f(x) = 1, երբ 0\leqslant x \leqslant 1, և 0՝ հակառակ դեպքում։ Այդ ժամանակ \mathbb{P}(a , եթե (a,b) \subset [0,1]:

Ակնհայտ է, որ ցանկացած f_X խտության բաշխման համար \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\, dx = 1 ճիշտ է։ Ճիշտ է նաև հակադարձ պնդումը։

**Թեորեմ 5.** Եթե f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} ֆունկցիան այնպիսին է, որ
# f(x) \geqslant 0,\; \forall x \in \mathbb{R};
# \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1,

ապա գոյություն ունի \mathbb{P}^X բաշխում այնպիսին, որ f(x)-ը համարվում է դրա խտությունը։

Նյուտոնի-Լեյբնիցի բանաձևի ուղղակի կիրառումը հանգեցնում է պարզ հարաբերության կոմուլյատիվ ֆունկցիայի և բացարձակ անընդհատ բաշխման խտության միջև։

**Թեորեմ 6.** Եթե f(x)-ը բաշխման անընդհատ խտությունն է, իսկ F(x)-ը նրա կոմուլյատիվ ֆունկցիան, ապա
# F'(x) = f(x),\; \forall x \in \mathbb{R},
# F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t)\, dt։

Էմպիրիկ տվյալներով բաշխման կառուցման ժամանակ պետք է խուսափել հաշվարկի կլորացման սխալանքից։

### Սինգուլյար բաշխում
Սինգուլյար են կոչվում այն բաշխումները, որոնք  կենտրոնացած են զրոյական չափողականության բազմության վրա (սովորաբար Լեբեգի չափ)։

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* 

Կատեգորիա:Հավանականությունների տեսություն
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական վիճակագրություն