Կատեգորիաների տեսություն

աջից|200px|առանց
**Կատեգորիաների տեսություն**, արդի մաթեմատիկայի վերացական բաժիններից. մաթեմատիկական օբյեկտներն ուսումնասիրում է դրանց կառուցվածքի հետ համաձայնեցված արտապատկերումների հետ։ Շնորհիվ իր համահյուսող և միասնականացնող դերի կատեգորիաների տեսությունը բազմությունների տեսության հետ կազմում է արդի մաթեմատիկայի հիմքը։

Կատեգորիաների տեսության ուսումնասիրության առարկան, ընդհանուր առմամբ, կատեգորիաներն ու ֆունկտորներն են։ Կատեգորիայի հասկացությունը կազմվում է երեք մասից. 
# կատեգորիայի օբյեկտների համախմբություն, 
# յուրաքանչյուր A, B օբյեկտների համար տրված Mor (A, B) մորֆիզմների բազմություն (որի տարրերը նշանակվում են \varphi :A \to B), 
# մորֆիզմների արտադրյալ կամ համադրություն, որը մորֆիզմների յուրաքանչյուր \varphi :A \to B և  \psi :B \to C զույգին համապատասխանեցնում է \psi_0\varphi :A \to C մորֆիզմ։

Կատեգորիայի մորֆիզմները և դրանց արտադրյալը պետք է բավարարեն հետևյալ պայմաններին.
ա. ցանկացած \varphi :A \to B, \psi :B \to C, \chi:C \to D մորֆիզմների եռյակի համար՝  \chi \cdot(\psi \cdot \varphi)=(\chi \cdot \psi)\cdot \varphi (արտադրյալի զուգորդականություն), 
բ. կամայական A օբյեկտի համար գոյություն ունի այնպիսի 1_A:A \to A մորֆիզմ, որ ինչպիսիք էլ լինեն  \varphi :A \to B և \psi :C \to A մորֆիզմները՝ \varphi \cdot 1_A=\varphi և 1_A \cdot \psi=\psi (միավոր մորֆիզմի գոյություն), 
գ. Mor (A, B) և Mor (C, D) բազմությունները չունեն ընդհանուր տարր, եթե A\neq C կամ B\neq D։

Կատեգորիաների երկու տարրական օրինակ. 
# օբյեկտներ համարենք հարթության բոլոր եռանկյունների բազմությունը, կամայական A, B եռանկյունների համար Mor (A, B)՝ A-ն B-ին տանող բոլոր հոմոտետիաների բազմությունը, իսկ մորֆիզմների համադրություն՝ հոմոտետիաների արտադրյալը։ 
# Օբյեկտներ համարենք հարթության բոլոր շրջանագծերը, Mor (a, b)-ն՝ a շրջանագիծը b շրջանագծին տանող հոմոտետիաների բազմությունը, իսկ մորֆիզմների համադրություն՝ հոմոտետիաների արտադրյալը (այս օրինակներում Mor (A, B) և Mor (C, D) բազմությունների հավասար հոմոտետիաները համարվում են տարբեր մորֆիզմներ, եթե A\neq C կամ B\neq D։
առանց|150px|ձախից
Դիցուք ունենք երկու կատեգորիա՝ Ա և Բ։ Ասում են, որ տրված է \Phi կովարիանտ (կոնտրավարիանտ) ֆունկտոր Ա-ից Բ, եթե Ա-ի յուրաքանչյուր A օբյեկտին համապատասխանեցված է Բ-ի որոշակի \Phi (A) օբյեկտ և Ա-ի յուրաքանչյուր \varphi :A \to B մորֆիզմին՝ Բ-ի \Phi(\varphi):\Phi(A) \to\Phi(B) [համապատասխանաբար \Phi(\varphi):\Phi(B) \to\Phi(A)] մորֆիզմը, ընդ որում բավարարվում են հետևյալ պայմանները, 
ա. մորֆիզմների համադրության պատկերը համընկնում է մորֆիզմների պատկերների համադրության հետ, այսինքն՝ ցանկացած \varphi :A \to B և \psi :B \to C մորֆիզմների համար \Phi(\psi_0\varphi)=\Phi(\psi_0)\Phi(\varphi) [համապատասխանաբար  \Phi(\varphi_0\psi)=\Phi(\varphi_0)\Phi(\psi)],
բ. յուրաքանչյուր միավոր մորֆիզմի պատկերը միավոր մորֆիզմ է՝ \Phi(1_A)=1_{\Phi(A)}։ Օրինակ, եռանկյանը համապատասխանեցնելով նրան ներգծված շրջանագիծ, իսկ եռանկյունների հոմոտետիային՝ ներգծյալ շրջանագծերի համապատասխան հոմոտետիան, կստանանք ֆունկտոր վերը նշված օրինակների առաջին կատեգորիայից երկրորդի մեջ։

Կատեգորիաների տեսության դերն ու նշանակությունը մաթեմատիկայում որոշվում է նրանով, որ այնպիսի հիմնական մաթեմատիկական հասկացություններ, ինչպիսիք են բազմությունները և նրանց արտապատկերումները, խմբերը և նրանց հոմոմորֆիզմները, տոպոլոգիական տարածություններն ու նրանց հոմոմորֆիզմները են, կազմում են կատեգորիա, ընդ որում կատեգորիաների տեսությունը հնարավորություն է տալիս մասնավոր տիպի կատեգորիաներն ուսումնասիրող գիտությունների սահմաններում ծագած հասկացություններին նայել նոր, ավելի ընդհանուր տեսանկյունից։ Կատեգորիա հասկացությունը սահմանել են Էյլենբերգն ու Մակլեյնը (1945)։ Կատեգորիաների տեսության զարգացումը 50-ական թվականներին գլխավոր առմամբ կապված էր հոմոլոգիաների տեսության և հանրահաշվական տոպոլոգիայի բուռն զարգացման հետ։ Ներկայումս կատեգորիաների տեսությունը մաթեմատիկայի արագ զարգացող ճյուղերից է և հետզհետե վերածվում է ինքնուրույն գիտության։

Կատեգորիա:Կատեգորիաների տեսություն