Հերմիտի բազմանդամներ

## Սահմանում
350px|մինի|աջից|Հերմիտի բազմանդամների գրաֆիկը  <math>n=0,1,...,5</math> դասավորությամբ

Հերմիտի բազմանդամների թեորեմը ընդհանրապես որոշվում է արտահայտությամբ

: H_n^\mathrm{math}(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\,\!;

Ֆիզիկայում ընդհանրապես օգտագործվում են այլ արտահայտություններ
: H_n^\mathrm{phys}(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\,\!.

Առաջին տասնմեկ գլխավոր արտահայտությունները բազմանդամների (n=0,1,...,10) համար։

: H_0(x)=1\,
: H_1(x)=x\,
: H_2(x)=x^2-1\,
: H_3(x)=x^3-3x\,
: H_4(x)=x^4-6x^2+3\,
: H_5(x)=x^5-10x^3+15x\,
: H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15\,
: H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x\,
: H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105\,
: H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x\,
: H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945\, ։

Անալոգիական եղանակով որոշվում է առաջին տասնմեկ (n=0,1,...,10) բազմանդամների ֆիզիկակական սահմանման համար։

: H_0(x)=1\,
: H_1(x)=2x\,
: H_2(x)=4x^2-2\,
: H_3(x)=8x^3-12x\,
: H_4(x)=16x^4-48x^2+12\,
: H_5(x)=32x^5-160x^3+120x\,
: H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120\,
: H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x\,
: H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680\,
: H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x\,
: H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240\,

Ընդհանուր հավասարումը Հերմիտի բազմանդամների համար ունի հետևյալ տեսքը՝


H_n(x)=\sum_{j=0}^{[n/2]}{(-1)^j} \frac{n!}{j!(n-2j)!}(2x)^{n-2j}=x^n-\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}+\frac{1}{4}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}x^{n-4}-\ldots,


## Հատկություն
H_n(x) բազմանդամը պարունակում է անդամներ այնպիսի պարզությամբ, ինչպես որ n թիվը։
H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),~~H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),~~~ n=0,1,2, \ldots :

x=0-ի դեպքում ճշմարիտ են այսպիսի հարաբերակցությունները։

: H_{2n}(0)=\dfrac{(-1)^n}{2^n}\dfrac{(2n)!}{n!}, ~~ H_{2n+1}=0, ~~~ n=0,1,2,,   
: H_{2n}(0)=\dfrac{(-1)^n (2n)!}{n!}, ~~ H_{2n+1}=0, ~~~ n=0,1,2,.   (ֆիզիկական սահմանման ժամանակ)

H_n(x) բազմանդամը կարելի է պատկերասնել  n \times n մատրիցի որոշչի տեսքով։


H_n(x)=\left |\begin{array}{cccccc}
x &  n-1  &  0   &  0  & \cdots  &  0 \\
1 &   x   & n-2  & 0 & \cdots  & 0 \\
0 &   1   &  x   & n-3 & \cdots  & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x
\end{array}\right | 

### Գումարման բանաձև

Հերմիտի բազմանդամների համար կա բազմապատկման հետևյալ բանաձևը։
: 
\frac{(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)^{\frac{\mu}{2}}}{\mu!}H_{\mu} \left [ \frac{a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots a_nx_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}}\right ]= \sum_{m_1+\cdots+m_n=\mu}\frac{a_1^{m_1}}{m_1!}\cdots \frac{a_n^{m_n}}{m_n!} H_{m_1}(x_1)\cdots H_{m_n}(x_n)~.


Հեշտությամբ կարողենք տեսնել, որ հաջորդ բանաձևերը հանդիսանում են նրա մասնավոր դեպքերը։

* a_1=a_2=\cdots =a_n=1, x_1=x_2=\cdots =x_n. ապա

:  n^{\frac{\mu}{2}}H_{\mu}(\sqrt{n}x)=\sum_{m_1+\cdots+m_n=\mu}\frac{\mu!}{m_1!\cdots m_n!}H_{m_1}(x)\cdots H_{m_n}(x).

* n=2, a_1=a_2=1, x_1=\sqrt{2}x,~x_2=\sqrt{2} y. ապա

: 
2^\mu H_{\mu}(x+y)=\sum_{p+q+r+s=\mu}\frac{\mu!}{p!~q!~r!~s!}H_p(x)H_q(x)H_p(y)H_q(y)
.
* a_1=a_2=\cdots =a_n=1, x_1=x_2=\cdots =x_n. ապա

:  n^{\frac{\mu}{2}}H_{\mu}(\sqrt{n}x)=\sum_{m_1+\cdots+m_n=\mu}\frac{\mu!}{m_1!\cdots m_n!}H_{m_1}(x)\cdots H_{m_n}(x).

* n=2, a_1=a_2=1, x_1=\sqrt{2}x,~x_2=\sqrt{2} y. ապա

: 
2^\mu H_{\mu}(x+y)=\sum_{p+q+r+s=\mu}\frac{\mu!}{p!~q!~r!~s!}H_p(x)H_q(x)H_p(y)H_q(y)
.

## Դիֆերենցումի և ռեկուրենտի հարաբերակցությունը

## Օրթոգոնալություն
Հերմիտի բազմանդամը ստեղծում է լիքը օրթոգոնալ սիստեմ (-\infty,+\infty) ինտերվալում e^{-x^2/2}\,\! կամ e^{-x^2}\,\! զանգվածով, կախված սահմանումից։
: \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx=n! \sqrt{2\pi}~\delta_{\mathit{nm}}, 
: \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2}\,dx=2^n n! \sqrt{\pi}~\delta_{\mathit{nm}}, (ֆիզիկական սահմանման ժամանակ)
որտեղ \delta_{mn}-ը Կրոնեկերայի դելտա-սիմվոլն է։
Էրմիտի բազմանդամների օրթոգոնալության կարևոր հետևանք է հանդիսանում Հերմիտի բազմանդամների շարքում տարբեր ֆունկցիաների վերլուծման հնարավորությունը։ Յուրաքանչյուր ոչ բացասական p ամբողջ թվի համար ճշմարիտ է արտահայտությունը։


\frac{x^p}{p!}=\sum_{k=0}^{k\le p/2}\frac{1}{2^k}\frac{1}{k!(p-2k)!}H_{p-2k}(x).


Դրանից բխում է կապ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n ֆունկցիայի տարալուծված գործակցի միջև և f(x)=\sum_{n=0}^\infty A_n H_n(x) ֆունկցիայի տարալուծված գործակցի միջև, որը անվանում են Նիլս Նիլսոնի կապ։

A_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}a_{n+2k},~~~a_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}A_{n+2k}

Օրինակ Կումերիկ տարալուծված ֆունկցիան կունենա հետևյալ տեսքը՝


{}_1F_1(\alpha,\gamma;x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\alpha,n)}{(\gamma,n)(1,n)}{}_2F_2\left (\frac{\alpha+n}{2},\frac{\alpha+n+1}{2};\frac{\gamma+n}{2},\frac{\gamma+n+1}{2}; \frac{1}{2}\right )H_n(x),~~~(a,b)\equiv\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma(a)},

Որտեղ {}_2F_2 (a_1,a_2;b_1,b_2;x) -ը գեր-երկրաչափական ֆունկցիայի երկրորդական դասավորության ընթանրացումն է, իսկ \Gamma(x)-ը գամմա ֆունկցիան է։

### Տարալուծված ֆունկցիաներ, որոնց մեջ բացակայում է աստիճանացույց
Ցանկացած ֆունկցիայի համար, որը գրվում է որպես 
f(x)=\sum_{k=1}^{p}c_k e^{\alpha_k x},
-ի աստիճանացույցի վերդիրք, կարելի է գրել հաջորդ տարալուծվածները Հերմիտի բազմանդամներով։


f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}A_n H_n(x)~,~~~A_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{p}c_k \alpha_k^n e^{\frac{\alpha_k^2}{2}}~.

Տարալուծված հիպերբոլական ֆունկցիաները և եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ունեն հետևյալ տեսքը՝

:  \mathrm{ch}\, {tx}=e^{\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{(2n)!}H_{2n}(x),~~~
\mathrm{sh}\, {tx}=e^{\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}H_{2n+1}(x),


:  \cos {tx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n}}{(2n)!}H_{2n}(x),~~~
\sin {tx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}H_{2n+1}(x),


## Դիֆերենցիալ հավասարումները

H_n(x) Հերմիտի բազմանդամները հանդիսանում են գծային դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումներ

y''(x)-2xy'(x)+ny(x)=0\,

Եթե n հանդիսանում է բնական թիվը, ապա վերոհիշյալ հավասարում ամբողջ լուծումը գրվում է ինչպես

y(x)=AH_n(x)+Bh_n(x)\,,

որտեղ A,B կամայական հաստատուններ են, իսկ h_n(x) ֆունկցիան կոչվում է Էրմիտի ֆունկցիայի երկրորդ տիպ։ Այս ֆունկցիաները չեն հանգում բազմանդամներին և դրանց կարելի է արտահայտել միայն տրանսցենդենտ ֆունկցիաների՝ e^{x^2/2} և \int_0^x e^{z^2/2}dz միջոցով։

## Արտահայտում
Հերմիտի բազմանդամները առաջարկում են այսպիսի արտահայտություններ։

H_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\Gamma\frac{e^{zx-z^2/2}}{z^{n+1}}\,dz

Որտեղ \Gamma ուրվագիծն է, որը ներառում է կոորդինատի սկիզբը

H_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+iy)^n e^{-\frac{y^2}{2}}dy.

## Կապ այլ հատուկ ֆունկցիաների հետ
* Կապ Կումմերի ֆունկցիայի հետ.

: H_{2n}(x)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n)!}{n!} ~{}_1F_1\left ( -n;\frac{1}{2};\frac{x^2}{2}\right )~,~~~H_{2n+1}(x)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n+1)!}{n!}x ~{}_1F_1\left ( -n;\frac{3}{2};\frac{x^2}{2}\right )

* Կապ Լագերրի բազմանդամների հետ.

: H_{2n}(x) = (-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^2/2)\,\!,~~~H_{2n+1}(x) = (-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^2/2)\,\!

Կատեգորիա:Հանրահաշիվ