Նյուտոնի երկանդամ

[250px|մինի|աջից|[Պասկալի եռանկյունի]]
**Նյուտոնի երկանդամ**, բանաձև, որը հնարավորություն է տալիս ցանկացած աստիճանի բազմանդամ վերլուծել և ներկայացնել անդամների գումարի տեսքով.
: (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n - k} b^k = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n - 1}b + \dots + {n\choose k}a^{n - k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n
որտեղ {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}-ը համարվում է երկանդամի գործակից, իսկ n-ը ցանկացած բնական թիվ։ Այս բանաձևը հայտնի է եղել հնդկական և իսլամական մաթեմատիկայում։ Նյուտոնը ստեղծել է այս բանաձևը ցանկացած աստիճանի համար՝ նույնիսկ իրական և կոմպլեքս թվերի համար։

## Ապացույց
 = a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose k} a ^ {n - k + 1} b ^ k 
Երբ k=n.
: \sum_{k=0}^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k+1} = b^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n - k} b ^ {k+1} = 
b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1} b ^ {k}
: a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose k} a ^ {n - k + 1} b ^ k \quad + \quad b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1}  b ^ {k} = a ^ {n + 1} + b ^ {n + 1} + \sum_{k = 1}^n \left( {n \choose k} + {n \choose {k - 1} } \right) a ^ {n - k + 1} b ^ k = 

: =\sum_{k=0}^0 {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k \quad + \quad 
\sum_{k = n + 1}^{n+1} {n+1 \choose k} a^{n + 1- k}b^k \quad + \quad 
\sum_{k = 1} ^ {n} {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k=
\sum_{k=0}^{n+1} 

## Ընդհանրացում
Նյուտոնի երկանդամի բանաձևը հանդիսանում է (1+x)^r ֆունկցիայի մասնավոր դեպքը՝ Թեյլորի շարքից.
: (1+x)^r=\sum_{k=0}^{\infty} {r \choose k} x^k,
որտեղ r-ը կարող է լինել կոմպլեքս թիվ։ Այս ընդլայման գործակիցները կան բանաձևի մեջ.
: {r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-(k-1))}{k!}\,
Այս շարքում՝
: (1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+...
|z|\le 1

Մասնավորապես եթե z=\frac{1}{m} և \alpha=x\cdot m, ապա ստացվում է այսպես.
: \left(1+\frac{1}{m}\right)^{xm}=1+x+\frac{xm(xm-1)}{2\; m^2}+...+\frac{xm(xm-1)\cdots(xm-n+1)}{n!\; m^n}+\dots.
Երբ m\to\infty և \lim_{m\to\infty}{\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}}=e ապա.
: e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots,:

### Բազմանդամային թեորեմ
Այս բանաձևը կարելի է ընդհանրացնել ցանկացած թվի համար.
: (x_1+x_2+\cdots +x_m)^n =\sum\limits_{k_j\geqslant 0, k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1}\ldots x_m^{k_m},,
որտեղ \textstyle \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_m!}։

## Պատմություն
Երկար ժամանակ համարվում էր, որ բնական ցուցիչով աստիճանի համար այս բանաձևը, հայտնաբերել է Բլեզ Պասկալը՝ 17-րդդարում։ Մի քանի պատմաբաններ կարծում էին, որ այս բանաձևը հայտնաբերել է ճապոնացի մաթեմաթիկոս Յանու Խուեյուն, որը ապրել է 18-րդդարում, և նույնիսկ իսլամական մաթեմաթիկոս ատ Տուին (18-րդդար) և ալ Կաշին (15-րդդար)։

1676 թվականին Իսահակ Նյուտոնը ամփոփել է այս բանաձևը։

## Գեղարվեստական գրականության մեջ
Գեղարվեստական գրականության մեջ Նյուտոնի երկանդամը հիշատակվում է մի քանի համատեքստերում, որտեղ խոսվում է բարդ բաների մասին։
* Արթուր Կոնան Դոյլի «Հոլմսի վերջին գործը» պատմվածքի մեջ, Հոլմսը ասում է մաթեմաթիկայի պրոֆեսոր Մորիարտիին.

* Հայտնի է Մ. Ա. Բուլգակովի «Վարպետը և Մարգարիտան» վեպի մեջբերումը. «Իմացի՛ր, Նյուտոնի երկանդամը»։ Ավելի ուշ այդ արտահայտությունը հիշատակվել է Ա. Ա. Տարկովսկու «Ստալկեր» ֆիլմում։

## Տես նաև
* Կրճատ բազմապատկման բանաձևեր
* Երկանդամի գործակից

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Բազմանդամներ