Բիո-Սավար-Լապլասի օրենք

**Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը** (նաև **Բիո-Սավար-ի օրենքը** ) ֆիզիկական օրենք է՝ հաստատուն էլեկտրական հոսանքով առաջացրած մագնիսական դաշտի ինդուկցիոն վեկտորը որոշելու համար։ Այն փորձնականորեն ստացվել է 1820 թ.-ին Բիոյի և Սավարի կողմից և ընդհանուր առմամբ ձևակերպվել է Լապլասի կողմից։ Լապլասը նաև ցույց տվեց, որ այս օրենքի օգնությամբ հնարավոր է որոշել շարժվող կետային լիցքի մագնիսական դաշտը (դիտարկելով մեկ լիցքավորված մասնիկի շարժումը հոսանքով)։

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը մագնիտոստատիկայի մեջ կատարում է նույն դերը, ինչ էլեկտրաստատիկայի մեջ՝ Կուլոնի օրենքը։ Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը կարելի է համարել մագնիտոստատիկայի հիմնական օրենքը՝ դրանից ստացվում են դրա մնացած արդյունքները։

Ժամանակակից ձևակերպմամբ Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքն ավելի հաճախ դիտարկվում է հաստատուն էլեկտրական դաշտի դեպքում մագնիսական դաշտի համար Մաքսվելի երկու հավասարումների հետևանք, այսինքն՝ ժամանակակից ձևակերպմամբ, Մաքսվելի հավասարումները հանդիսանում են ավելի հիմնարար (նաև այն պատճառով, որ Բիո-Սավար-Լապլասի բանաձևը պարզապես չի կարելի ընդհանրացնել ժամանակի կախված դաշտերի ընդհանրացմամբ)։

Ըստ այդ օրենքի, տվյալ կետում (M) հոսանքակիր հաղորդչի  \Delta l հատվածի առաջացրած մագնիսական դաշտի լարվածությունը՝ \Delta H=k\frac{I\Delta l sin \theta}{r^2} հատվածով I անցնող հոսանքի ուժն է (\Delta l–ի համար որպես ուղղություն ընտրվում է հոսանքի ուղղությունը), \theta-ն՝ \Delta l–ի և r շառավիղ–վեկտորի կազմած անկյունը (\Delta lr), k-ն՝ միավորների համակարգի ընտրությունից կախված համեմատականության գործակիցը։ \Delta H վեկտորն ուղղահայաց է \Delta l–ով և r-ով տարած P հարթությանը, իսկ նրա ուղղությունը որոշվում է խցանահանի կանոնով։ Հոսանքակիր հաղորդչի ստեղծած մագնիսական դաշտի արդյունարար լարվածությունը (H)   M կետում հավասար է հաղորդչի բոլոր \Delta l տարրերով պայմանավորված \Delta H մեծությունների վեկտորական գումարին։ Մասնավորապես, d հեռավորության վրա ուղիղ հոսանքակիր հաղորդչի մագնիսական դաշտի լարվածությունը՝ H = k2I/d, R շառավղով շրջանային կոնտուրի կենտրոնում՝ H=k\cdot 2\pi I/k, կոնտուրի առանցքով կենտրոնից d(d>>R) հեռավորության վրա՝ H= k\cdot 2\pi R^2I/d^3, իսկ n գալարանի սոլենոիդի առանցքի վրա՝ H= k\cdot 4\pi nI։ Բիո-Սավարի օրենքն արտահայտող բանաձևով կարելի է հաշվել նաև \Delta B մագնիսական ինդուկցիան։

CGS համակարգի միավորներով հաշվելիս \Delta H-ը պետք է բազմապատկել \mu  մագնիսական թափանցելիությամբ, իսկ SI համակարգի միավորներով հաշվելիս, \mu –ից բացի՝ նաև վակուումի  \mu_0 մագնիսական թափանցելիությամբ (\mu_0=4\pi 10^{-7} հն/մ)։

## Կոնտուրով հոսող հոսանքի համար
Դիցուք, I անընդհատ հոսանքը հոսում է \gamma կոնտուրով, որը գտնվում է վակուումում։ Եթե \mathbf{r}_0 կետն է, որի նկատմամբ դիտարկվում է դաշտը, ապա մագնիսական դաշտի ինդուկցիան այդ կետում արտահայտվում է ինտեգրալով`
: \mathbf B (\mathbf{r}_0)
= {\mu_0 \over 4\pi}
\int\limits_\gamma 
\frac{I[d\mathbf{r} \times (\mathbf{r}_0 - \mathbf{r})]}{|\mathbf r_0 - \mathbf r|^3}
= {\mu_0 \over 4\pi}
\int\limits_\gamma 
\frac{I[d\mathbf{r} \times \mathbf {e_{r,r_o}}]}{(\mathbf r_0 - \mathbf r)^2}
,
Իսկ եթե որպես հաշվարկման կետ վերցնենք այն կետը, որտեղ պետք է գտնենք մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորը,ապա բանաձևը հեշտանում է` 
:d \vec B = {\mu_0 \over 4\pi} \frac{I[\vec r \times d \vec r]}{r^3} = \frac{I}{10^7} \frac{[\vec r \times d \vec r]}{r^3},
d\mathbf B - ի ուղղությունը ուղղահայաց է այն հարթությանը, ուր գտնվում են d\mathbf l \equiv d\mathbf r և \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 վեկտորները։ Մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորի ուղղությունը կարելի է որոշել աջ պտուտակի կանոնով։ Միավորների միջազգային համակարգում d\mathbf B-ի վեկտորի մոդուլը որոշվում է`
: dB = {\mu_0 \over 4\pi}\frac{I dl\sin\alpha}{r^2}.
Վեկտորական պոտենցիալը տրվում է ինտեգրալով`
: \mathbf A(\mathbf r_0) = {\mu_0 \over 4\pi} \int\limits_\gamma \frac{I(\mathbf r)\mathbf{dl}}.

## Բաշխված հոսանքների համար
Այն դեպքում, երբ մագնիսական դաշտի աղբյուր հանդիսանում են բաշխվող հոսանքները, որոնք բնութագրվում են վեկտորական դաշտի խտության հոսանքով` j, Բիո Սավարի օրենքը Միավորների միջազգային համակարգում կընդունի հետևյալ տեսքը`
: \mathbf B (\mathbf{r}_0) = {\mu_0 \over 4\pi} \int \frac{[\ \mathbf{j} dV,\ \mathbf{r}_0 - \mathbf{r}\ ]}{|\mathbf r_0 - \mathbf r |^3}, ,
որտեղ **j** = **j**(**r**), *d*V - ծավալի տարրն է, իսկ ինտեգրումը տարածվում է ամբողջ միջակայքում, որտեղ **j**≠**0**.

Վեկտորական պոտենցիալը տրվում է ինտեգրալով`
: \mathbf A(\mathbf r_0)
= {\mu_0 \over 4\pi}
\int \frac{\mathbf j(\mathbf r) dV}
.

## Շղթայի երկայնքով հոսանքի համար (բարակ հաղորդիչով)
Թող հաստատուն I հոսանքն անցնի \gamma կոնտուրով (հաղորդչի երկայնքով)՝ վակուումում, \mathbf{r}_0 - կետն է, որտեղ որոնվում է (դիտվում է) դաշտը, ապա այդ կետում մագնիսական դաշտի ինդուկցիան արտահայտվում է ինտեգրալով ( Միավորների միջազգային համակարգում (SI) )

: \mathbf B (\mathbf{r}_0)
= {\mu_0 \over 4\pi}
\int\limits_\gamma 
\frac{I[d\mathbf{r} \times (\mathbf{r}_0 - \mathbf{r})]}{|\mathbf r_0 - \mathbf r|^3} = {\mu_0 \over 4\pi}
\int\limits_\gamma 
\frac{I[d\mathbf{r} \times \mathbf {e_{r,r_o}}]}{(\mathbf r_0 - \mathbf r)^2}
,

որտեղ քառակուսի փակագծերով նշված են վեկտորական արտադրյալը, r - \gamma կոնտուրի կետերի դիրքն է , dr - կոնտուրի տարրի վեկտորը (հոսանքն անցնում է դրա երկայնքով); \mu_0 - մագնիսական հաստատունը ; \mathbf {e_{r,r_o}} միավոր վեկտոր է, որն ուղղվում է կոնտուրի տարրից դիտարկման կետ։

* Սկզբունքորեն \gamma կոնտուրը կարող է ճյուղավորված լինել, և իրենից ներկայացնել որքան ասես բարդ ցանցը։ Այդ դեպքում վերևում նշված արտահայտությունը պետք է հասկանալ տրված ցանցի բոլոր ճյուղերի գումար, ընդ որում յուրաքանչյուր ճյուղի համար այն ունի վերը նշված ինտեգրալի տեսքը (մասնավորապես յուրաքանչյուր ճյուղի համար կոնտուրը կարող է փակ չլինել)։
* Պարզագույն դեպքում (չճյուղավորված) կոնտուրով (մագնիսաստատիկ մոտավորության պայմանների կատարման դեպքում, այսինքն լիցքերի կուտակման բացակայության պարագայում), I հոսանքը նույնն է կոնտուրի բոլոր տեղամասերում և կարելի է դուրս բերել ինտեգրալի նշանի տակից։ (Սա վերաբերում է շղթայի առանձին, և յուրաքանչյուր չճյուղավորված տեղամասին)։

Եթե մենք որպես հաշվարկման սկզբնակետ վերցնենք որևէ կետ, որում պետք է որոշվի մագնիսկա ինդուկցիան, ապա բանաձևը կպարզեցվի.

: d \vec B = {\mu_0 \over 4\pi} \frac{I[\vec r \times d \vec r]}{r^3}

Որտեղ \vec r - I հոսանք անցնող հաղորդչի կորությունը ներկայացնող վեկտորն է , r - \vec r-ի մոդուլը, d \vec B - հաղորդչի d \vec r տարրի կողմից ստեղծված մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորը։

d\mathbf B-ի ուղղությունը ուղղահայաց է այն հարթությանը, որի մեջ են ընկած d\mathbf l \equiv d\mathbf r և \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 վեկտորները։ Մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորի ուղղությունը կարելի է գտնել աջ պտուտակի կանոնով. Պտուտակի գլխի պտտման ուղղությունը ցույց է տալիս d\mathbf B-ի ուղղությունը, եթե պտուտակի ծայրի առաջ շարժումը համապատասխանում է տարրի մեջ հոսանքի ուղղությանը։ Վեկտորային մոդուլ d\mathbf B-ն ( SI- համակարգում ) որոշվում է հետևյալ արտահայտությամբ ․

: dB = {\mu_0 \over 4\pi}\frac{I dl\sin\alpha}{r^2},

Որտեղ \alpha \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 վեկտորների միջև ընկած անկյունն է (հաղորդչի տարրից սկսող մինչև դաշտը որոնվող կետը շառավղի վեկտորի միջոցով d\mathbf l \equiv d\mathbf r) և հաղորդչի d\mathbf l \equiv d\mathbf r տարրով։

Վեկտորային պոտենցիալը տրվում է ինտեգրալով ( SI- ում )

: \mathbf A(\mathbf r_0) = {\mu_0 \over 4\pi} \int\limits_\gamma \frac{\mathbf I(\mathbf r)\mathbf{dl}}.

## Բաշխվող հոսանքների համար
Այն դեպքում, երբ մագնիսական դաշտի աղբյուրը հանդիսանում են բաշխվոող հոսանքները, որոնք բնութագրվում են դաշտի խտության **j** վեկտորով, Բիո-Սավարի օրենքն ստանում է հետևյալ տեսքը (SI- ում ).

: \mathbf B (\mathbf{r}_0) = {\mu_0 \over 4\pi} \int \frac{[\ \mathbf{j} dV,\ \mathbf{r}_0 - \mathbf{r}\ ]}{|\mathbf r_0 - \mathbf r |^3},

որտեղ **j** = **j** ( **r** ), *d* V- ը ծավալային տարր է, և ինտեգրումը կատարվում է ամբողջ տարածության մեջ (կամ դրա բոլոր մասրում, որտեղ **j** ≠ **0** ), **r** - համապատասխանում է ինտեգրման ընթացքում ընթացիկ կետին (*d* V տարրի դիրքը)։

Վեկտորային պետոնցիալը.

: \mathbf A(\mathbf r_0) = {\mu_0 \over 4\pi}
\int \frac{\mathbf j(\mathbf r) dV}
.

## Հետևանքները
Չնայած ժամանակակից մոտեցման մեջ, որպես կանոն, Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքն ինքնին Մաքսվելի հավասարումների հետևանք է, այնուամենայնիվ, պատմականորեն դրա հայտնագործումը նախորդում էր Մաքսվելի հավասարումներին, ուստի, մագնիսաստատիկայի դեպքում Մաքսվելի հավասարումները կարելի է համարել որպես Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքի հետևանք։ Զուտ ֆորմալ տեսանկյունից, մագնիսաստատիկայի դեպքում, երկու մոտեցումներն էլ կարող են հավասար համարվել, այսինքն՝ այս իմաստով, դրանցից որևէ մեկը համարվում է սկզբնական, մյուսը՝ հետևանք, կախված աքսիոմատացման ընտրությունից, որը մագնիսաստատիկայի դեպքում կարող է լինել մեկը կամ մյուսը՝ հավասար ձևական իրավունքով և գրեթե հավասար հարմարավետությամբ։

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքի հիմնական հետևանքներն են (վերոհիշյալ իմաստով) Մաքսվելի հավասարումները մագնիսաստատիկայի դեպքի համար

:  \oint\limits_S \mathbf B \cdot d\mathbf S = 0

- մագնիսական դաշտի համար Գաուսի թեորեմը (ընդհանուր հավասարության համար էլեկտրադինամիկայում այս հավասարումը մնում է անփոփոխ)

:  \oint\limits_{\partial S} \mathbf B \cdot d\mathbf l = \mu_0 I = \mu_0 \int\limits_S \mathbf j \cdot d \mathbf S 

- մագնիսաստատիկայում մագնիսական դաշտի շրջանառության հավասարումը (այստեղ այն տրվում է SI համակարգում վակուումի դեպքում)։ Այս բանաձևը (և դրա ածանցումը Բիոտ-Սավար օրենքից) Ամպերայի թեորեմի բովանդակությունն է մագնիսական դաշտի շրջանառության վերաբերյալ։

Այս հավասարումների դիֆերենցիալ տեսքն է.

: \mathrm{div}\mathbf{B} = 0,
: \mathrm{rot} \mathbf B=\mu_0\mathbf{j},

որտեղ **j** հոսանքի խտությունն է (գրված է SI համակարգում, միավորների Գաուսյան համակարգում\mu_0 հաստատունի փոխարեն գրվում է \frac{4\pi}{c}. )

## Ստացումը Մաքսվելի հավասարումներից
Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը կարելի է ստանալ ստացիոնար դաշտի համար Մաքսվելի հավասարումներից։ Այս դեպքում ժամանակի ածանցյալները հավասար են 0-ի, այնպես որ վակուումային դաշտի հավասարումները տեսք ունենան հետևյալ տեսքը ( CGS համակարգում)

: \operatorname{rot}\,\mathbf B = \frac{4\pi}{c} \mathbf j,
: \operatorname{div}\,\mathbf B = 0,
: \operatorname{rot}\,\mathbf E = 0,
: \operatorname{div}\,\mathbf E = 4\pi \rho,

Որտեղ \mathbf j - տարածության մեջ հոսանքի խտությունն է։ Այս դեպքում էլեկտրական և մագնիսական դաշտերը անկախ են։ Եկեք օգտագործենք մագնիսական դաշտի վեկտորային պոտենցիալը (CGS համակարգում).

: \mathbf B = \operatorname{rot}\,\mathbf A.

Հավասարումների անփոփոխությունը հնարավորություն է տալիս վեկտորային պոտենցիալի մեկ այլ պայման դնել.

: \operatorname{div}\,\mathbf A = 0.

Վեկտորի վերլուծության բանաձևով բացելով կրկնակի ռոտորը, մենք ստանում ենք Պուասոնի տիպի հավասարություն վեկտորի պոտենցիալի համար.

: \Delta \mathbf A = - \frac{4\pi}{c}\mathbf j.

Դրա մասնակի լուծումը տրված է Նյուտոնյան պոտենցիալի անալոգային ինտեգրալով.

: \mathbf A(\mathbf r_0) = \frac{1}{c} \int \frac{\mathbf j(\mathbf r)} dV.

Այս դեպքում մագնիսական դաշտը որոշվում է ինտեգրալով (CGS համակարգում)

: \mathbf B = \operatorname{rot}\,\mathbf A = 
\frac{1}{c} \int \left[ \nabla \frac{1}, \mathbf j(\mathbf r) \right] dV =
: =
\frac{1}{c} \int\limits_\gamma \frac{[\mathbf j(\mathbf r),\mathbf{r}_0 - \mathbf{r}]}{|\mathbf r - \mathbf{r}_0 |^3} dV

ձևով նման է «Բիո - Սավար - Լապլաս»-ի օրենքին։ Այս համապատասխանությունը կարող է ճշգրիտ լինել, եթե մենք օգտագործում ենք ընդհանրացված ֆունկցիաներ և գրենք դատարկ տարածության մեջ հոսանքով օղակին համապատասխանող տարածական հոսանքի խտությունը։ Անցնելով ամբողջ տարածության ինտեգրումից դեպի շրջադարձի և դրան ուղղահայաց ուղղի երկայնքով կատարվող ինտեգրալի և հաշվի առնելով, որ

: \mathbf j dV = I \mathbf{dl}

մենք ստանում ենք Բիո-Սավար—Լապլասի օրենքը օղակաձև դաշտի համար։

## Կիրառությունները
Թող պահանջվի գտնել մագնիսական ինդուկցիայի մոդուլը շատ բարակ N փաթույթներով (բոլոր հերթերը հավաքված են մեկ շրջանակի մոտ) կոճի կենտրոնում, որի միջով անցնում է I հոսանքը։ Գտնենք կծիկի մեկ փաթույթով ստեղծված մագնիսական ինդուկցիան։ Բանաձևից ունենք, որ

: d \vec B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I[d \vec l \times \vec r]}{r^3}

մենք ստանում ենք մագնիսական ինդուկցիայի մոդուլը՝

: d B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I dl \sin \alpha}{r^2},

Որտեղ r - կոճի շառավիղն է (այս դեպքում՝ հաստատուն), \alpha -ն \vec r (օղակի կենտրոնից դեպի հանգույցի տարրի շառավղի վեկտորը) և d \vec l (հանգույցի տարր) - միջև ընկած անկյուննէ, որը հավասար է 90^\circ։

Ինտեգրելով երկու կողմերն էլ, մենք ստանում ենք

: B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r^2} \int dl,

Որտեղ \int dl = 2 \pi r  - կոճի հաղորդիչի բոլոր տարրերի երկարությունների գումարն է, այս դեպքում՝ շրջագիծը, ապա

: B = \mu_0 \frac{I N}{2 r}.

Քանի որ պարույրը պարունակում է N փաթույթ, ապա մագնիսական ինդուկցիայի ընդհանուր մոդուլը կազմում է

: B = \mu_0 \frac{I N}{2 r}.

## Գրականություն
*The law of Biot and Savart - The Feynman Lectures on Physics

Կատեգորիա:Մագնիսականություն