Եռանկյունաչափական նույնություններ

**Եռանկյունաչափական նույնությունները** մաթեմատիկական արտահայտություներ են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար, որոնք կատարվում են արգումենտի բոլոր արժեքների համար (ընդհանուր որոշման տիրույթից)։
## Հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևեր

Բանաձև **(1)**-ը հետևանք է Պյութագորասի թեորեմայից։ **(2)**-րդ և **(3)**-րդ բանաձևերը ստացվում են **(1)**-ին բանաձևից բաժանելով համապատասխանաբար ~ \cos^2 \alpha-ի և ~ \sin^2 \alpha-ի։

## Արգումենտի գումարի բանաձևերը

Բանաձև **(6)**-ը ստացվում է **(4)**-ը **(5)**-ի վրա բաժանելիս, իսկ **(7)**-րդ բանաձևը՝ **(5)**-ը **(4)**-ի բաժանելիս։

## Կրկնակի անկյան բանաձևերը

Կրկնակի անկյան բանաձևերը դուրս են բերվում **(4)**, **(5)**, **(6)** և **(7)** բանաձևերից, եթե հաշվի առնենեք, որ \beta և \alpha անկյունները հավասար են։

## Եռակի անկյան բանաձևերը

## Աստիճանի իջեցման բանաձևերը
Աստիճանի իջեցման բանաձևերը դուրս են բերվում **(9)**-րդ բանաձևերից։

## Ֆունկցիաների արտադրյալի ձևափոխման բանաձևեր

## Ֆունկցիաների գումարի ձևափոխման բանաձևեր

## Պարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում
*  \sin x = a
:: եթե |a|>1 — իրական լուծում չունի։
:: եթե |a| \leqslant 1 — լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ x=(-1)^n \arcsin a + \pi n;\ n \in \mathbb Z:
*  \cos x = a
:: եթե |a|>1 — իրական լուծում չունի։
:: եթե |a| \leqslant 1 — լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ x=\pm \arccos a + 2 \pi n;\ n \in \mathbb Z:
*  \operatorname{tg}\, x = a
:: լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ x=\operatorname{arctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z:
*  \operatorname{ctg}\, x = a
:: լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ x=\operatorname{arcctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z:
## Օգտակար նույնություններ
Բանաձևերում k և n ամբողջ թվեր են։

\sin \left (\frac {\pi}{4}+x \right )=\cos \left (\frac {\pi}{4}-x \right ).

\sin \left (\frac {\pi}{4}-x \right )=\cos \left (\frac {\pi}{4}+x \right ).

 1\pm \sin x = 2 \sin^2 \left (\frac {\pi}{4} \pm \frac x2  \right ).

 1+\cos x = 2 \cos^2 \left ( \frac x2 \right ).

 1-\cos x = 2 \sin^2 \left ( \frac x2 \right ).

 \sin^2 x = \frac{1}{1+\operatorname{ctg}^2 x}.

 \cos^2 x = \frac{1}{1+\operatorname{tg}^2 x}.

 \sin^2 x - \sin^2 y =\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).

 \cos^2 x - \cos^2 y =-\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).

 \cos^2 x - \sin^2 y =\cos(x-y)\cdot \cos(x+y).

 \sin 2x + \sin 2y =2\cos(x-y)\cdot \sin(x+y).

 \sin 2x - \sin 2y =2\sin(x-y)\cdot \cos(x+y).

 \cos 2x + \cos 2y =2\cos(x-y)\cdot \cos(x+y).

 \cos 2x - \cos 2y =-2\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).

 \sin 2x + \cos 2y =2\sin \left(\frac{\pi}{4}+x-y \right )\cdot \sin \left (\frac{\pi}{4}+x+y \right ).

 \sin 2x - \cos 2y =-2\sin \left(\frac{\pi}{4}-x-y \right )\cdot \sin \left (\frac{\pi}{4}-x+y \right ).

 \sin^3 x+\cos^3 x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x \cos x).

 \sin^4 x+\cos^4 x=1-2 \sin^2 x\, \cos^2 x = 1-\frac 12 \sin^2(2x) = \frac 34 +\frac 14 \cos(4x).

 \sin^6 x+\cos^6 x=1-3 \sin^2 x\, \cos^2 x =1-3 \sin^2 x +3\sin^4x=1-\frac 34 \sin^2(2x)=\frac 58+\frac 38 \cos(4x).

1\pm \operatorname{tg} x =\frac{\sqrt{2} \sin \left (\frac{\pi}{4}\pm x \right )}{\cos x }.

1\pm \operatorname{ctg} x =\frac{\sqrt{2} \sin \left (\frac{\pi}{4}\pm x \right )}{\sin x }.

\operatorname{tg} x =\frac{\sin 2x }{\cos 2x +1}=\frac{1- \cos 2x }{\sin 2x}.

\operatorname{ctg}^2 x -\operatorname{tg}^2 x =\frac{4 \cos 2x}{\sin^2 2x}.

 \sin 3x = 4 \sin x \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3}+x\right) \cdot \sin \left (\frac{\pi}{3}-x\right ).

\operatorname{tg} 3x =\operatorname{tg} x  \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{3}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{3}-x\right ).

\sin 5x =16 \sin x  \cdot \sin \left (\frac{\pi}{5}+x\right )\cdot \sin \left (\frac{\pi}{5}-x\right ) \cdot \sin \left (\frac{2\pi}{5}+x\right )\cdot \sin \left (\frac{2\pi}{5}-x\right ).

\operatorname{tg} 5x =\operatorname{tg} x  \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{5}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{5}-x\right ) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{5}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{5}-x\right ).

\sin 7x =64 \sin x  \cdot \sin\left (\frac{\pi}{7}+x\right )\cdot \sin \left (\frac{\pi}{7}-x\right ) \cdot \sin \left (\frac{2\pi}{7}+x\right )\cdot \sin \left (\frac{2\pi}{7}-x\right ) \cdot \sin \left (\frac{3\pi}{7}+x\right )\cdot \sin \left (\frac{3\pi}{7}-x\right ).

\operatorname{tg} 7x =\operatorname{tg} x  \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{7}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{7}-x\right ) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{7}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{7}-x\right ) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{3\pi}{7}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{3\pi}{7}-x\right ).

 \sin nx = 2^{n-1} \prod \limits_{k=0}^{n-1} \sin \left (x+\frac{\pi k}{n}\right ). 

 \operatorname{tg}\big[ (2n+1)x \big] = (-1)^n \prod \limits_{k=0}^{2n} \operatorname{tg} \left (x+\frac{\pi k}{2n+1}\right ). 

 \sum\limits_{k=1}^n \sin(kx)=\sin \left (\frac{n+1}{2} x \right )\frac{\sin \left (\frac{nx}{2} \right )}{\sin \left (\frac x2 \right )}.

 \sum\limits_{k=1}^n \cos(kx)=\cos \left (\frac{n+1}{2} x \right )\frac{\sin \left (\frac{nx}{2} \right )}{\sin \left (\frac x2 \right )}.

 \sum \limits_{k=1}^{n} \sin \big [ (2k-1)x \big ] = \frac{\sin^2 nx}{\sin x }.

 \sum \limits_{k=1}^{n} \cos \big [ (2k-1)x \big ] = \frac{\sin 2nx}{2 \sin x}.

 \sum \limits_{k=1}^n \cos \frac{2 \pi k}{2n+1}=-\frac 12. 

\prod \limits _{k=1}^{n-1} \sin \frac {k \pi}{n} =\frac{n}{2^{n-1}}. 

\prod \limits _{k=1}^n \sin \frac {k \pi}{2(n+1)} =\frac{\sqrt{n+1}}{2^n}. 

\prod \limits _{k=1}^n \sin \frac {k \pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}. 

 \prod \limits _{k=1}^{2n-1} \cos \frac {k \pi}{n} =\frac {(-1)^n-1}{2^{2n-1}}.

\prod \limits _{k=0}^n \cos \left (2^k x \right )=\frac{\sin \left ( 2^{n+1} x \right )}{2^{n+1} \sin x }.

\prod \limits _{k=0}^n \cos \frac{x}{2^k}=\frac{\sin 2x }{2^{n+1} \sin \left (\frac{x}{2^n}\right )}.

\prod \limits _{k=1}^n \cos \frac{x}{2^k}=\frac{\sin x }{2^{n} \sin \left (\frac{x}{2^n}\right )}.

\prod \limits _{k=0}^{\infty} \cos \frac{x}{2^k}=\frac{\sin 2x }{2x}.

\prod \limits _{k=1}^{\infty} \cos \frac{x}{2^k}=\frac{\sin x }{x}.

\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ =\frac 18 . 

\cos \frac{\pi}{7}  \cdot \cos \frac{4\pi}{7}\cdot \cos \frac{5\pi}{7}=\frac 18 . 

\cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{2\pi}{7} \cdot \cos \frac{4\pi}{7}=-\frac 18 . 

\cos \frac{\pi}{9} \cdot \cos \frac{2\pi}{9} \cdot \cos \frac{4\pi}{9}=\frac 18 . 

\cos \frac{\pi}{9} \cdot \cos \frac{5\pi}{9} \cdot \cos \frac{7\pi}{9}=\frac 18 . 

\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac{1}{2}.


\begin{align}
& \cos\left( \frac{2\pi}{21}\right)
  + \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right)   
  + \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right) \\[10pt]
& {} \qquad {} + \cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
  + \cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
  + \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2}.
\end{align}


Следующая формула приводится в двух вариантах для угла \alpha заданного в градусах и радианах:

\operatorname{tg}\alpha=\frac{360^\circ\cdot \alpha}{\pi} \sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(180^\circ k-90^\circ+\alpha)(180^\circ k-90^\circ-\alpha)}=2\alpha \sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k-1/2)^2\pi^2-\alpha^2}.

\operatorname{arctg}\frac 12+\operatorname{arctg}\frac 13=\frac{\pi}{4}.

## Երկրաչափական հավասարումներ
**Եռանկյունաչափության հավասարումներ**, հանրահաշվական հավասարումներ անհայտ արգումենտի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նկատմամբ։ 
## Ընդհանուր բնութագիր

250px|մինի|Երկրաչափություն
Վերջինների միջև տարբեր առնչությունների օգնությամբ եռանկունաչափության հավասարումները միշտ բերվում են միևնույն ֆունկցիայի հանրահաշվական հավասարման։ Եռանկյունաչափության հավասարումները լուծվում են ավելի պարզ, եթե հնարավոր է հավասարման ձախ մասը վերածել տարբեր եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալի։ Օրինակ, sinx+sin2x+sin3x=0 հավասարումը կարելի է բերել և sin2x(2cosx+1) = 0 տեսքի և sinx-ի նկատմամբ խորանարդ հավասարման։ Եռանկյունաչափական հավասարումների տեսքը երբեմն հնարավոր է պարզեցնել օժանդակ արգումենտ մուծելով։

Կատեգորիա:Եռանկյունաչափություն
Կատեգորիա:Ցանկեր:Մաթեմատիկա