Բրահմագուպտա

**Բրահմագուպտա** (, ), հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ։ Ղեկավարել է հնդկական Ուջայն քաղաքի աստղադիտարանը։ Էական ազդեցություն է ունեցել Բյուզանդիայում և իսլամական երկրներում աստղագիտության զարգացման վրա, աստղագիտական հաշվումների համար կիրառել է հանրահաշվական մեթոդներ, ներմուծել է զրոյի, դրական և բացասական մեծությունների հետ կատարվող գործողությունների կանոնները։ Մինչև մեր ժամանակները պահպանվել է նրա հիմնական երկը՝ «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» կամ «Բրահմայի համակարգի վերանայում»։ Գրվածքների մեծ մասը նվիրված է աստղագիտությանը, երկու գլուխները (12-րդ և 18-րդ)` մաթեմատիկային։

## Կենսագրություն
Բրահմագուպտան ծնվել է մոտավորապես 598 թվականին։ Դրա մասին հետևություն կարելի է անել «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» գրքից, որում նա հայտնում է, որ տեքստը գրել է 30 տարեկան հասակում 628 թվականին (Śaka 550)։ Բրահմագուպտան ծնվել է Բհիլամալեում (այժմ`Բհինմալ, Հնդկաստանի հյուսիս-արևմուտքում` Ռաջաստան նահանգում), որն այն ժամանակ Գուրջարա (Gurjara) դինաստիայի իշխանական մայրաքաղաքն էր։ Նրա հայրը եղել է Ջիսնուգուպտան։ Հնարավոր է, որ գիտնականն իր կյանքի մեծ մասն ապրել է Բհինմալեում Վյագրամուկհա կառավարչի օրոք (հնարավոր է նաև նրա հովանավորությամբ), այդ պատճառով էլ նրան հաճախ անվանում է Բհիլամակարյա (ուսուցիչ Բհիլամայից)։ Բրահմագուպտան եղել է Ուջայնի աստղադիտարանի ղեկավարը։ Այդ աստղադիտարանը, որտեղ աշխատել է նաև աստղագետ, մաթեմատիկոս Վարահամիհիրան, եղել է լավագույնը հին Հնդկաստանում։

Բրահմագուպտայի ուսումնասիրությունների վրա մեծ ազդեցություն են թողել նրա կրոնական հայացքները։ Լինելով ուղղափառ հինդուիստ` նա քննադատել է իր որոշ ժամանակակիցների, մասնավորապես` Արիաբհաթայի տիեզերագիտական հայացքները, ով պնդում էր, որ Երկիրը պտտվող գունդ է։ Բրահմագուպտան բանավիճում էր Արիաբհաթայի հետ արևի խավարումների հարցի շուրջ.
200px|մինի|Ռահու աստծու գլուխը։ Ցանկանալով վրեժ առնել Արևից ու Լուսնից` նա երբեմն կուլ է տվել նրանց` այդպիսով առաջացնելով Արևի ու Լուսնի խավարումներ։

Չնայած Բրահմագուպտան ծանոթ է եղել Արիաբհաթայի աշխատանքներին, հայտնի չէ սակայն, թե արդյոք նա ծանոթ է եղել նաև հնդիկ մաթեմատիկոս, աստղագետ Բհասկարայի գործերին։ Բրահմագուպտայի աշխատանքները պարունակում են բազմաթիվ քննադատություններ` ուղղված իր ժամանակի աստղագետներին, իսկ «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» գրքի բովանդակությունը վկայում է ժամանակի հնդիկ գիտնականների մեջ եղած տարակարծությունների մասին։ Տարաձայնությունները հիմնականում պայմանավորված են եղել աստղագիտական պարամետրերի ու տեսությունների ընտրությամբ։ Բրահմագուպտայի տեսության հակառակորդների տեսակետների քննադատությունը ներկայացված է գրքի առաջին տասներկու գլուխներում և բացակայում է տասներեքերորդ և տասնութերորդ գլուխներում։

Արաբ գիտնական Ալ-Բիրունին իր «Կիտաբ այ Հինդ» գրքում (ոտ 1035 թվական) վերլուծել ու նկարագրել է հնդիկ աստղագետների գաղափարները։ Իր աշխատանքում նա հենվում է Բրահմագուպտայի տեսությունների վրա` որպես ամենահեղինակավորի։

## Հիմնական երկեր
Հայտնի է Բրահմագուպտայի երկու աշխատանք` *Brahmasphutasiddhanta*` *Բրահմա-սպհուտա-սիդհանտա* («Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում»), որը գրվել է 628 թվականին և Khandakhadyaka (Կհանդակհադյակա). գրվել է 665 թվականին։

### «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում»
«Բրահմա-սպհուտա-սիդհանտա» («Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» կամ «Բրահմայի համակարգի վերանայում») գիրքը Բրահմագուպտայի ամենահայտնի երկն է, որը նվիրված է մաթեմատիկային ու աստղագիտությանը։ Տրակտատը գրված է բանաստեղծությունների ձևով և պարունակում է միայն եզրակացություններ` առանց ապացույցների։ Աշխատանքը բաղկացած է 25 գլուխներից (որոշ աղբյուրներում նշվում է 24 գլուխ և ցանկի ու աղյուսակների հավելված)։

Առաջին տասը գլուխները, որոնք ժամանակի աստղագիտության ոգուն բնորոշ տեքստ են ներկայացնում, հաճախ դիտարկվում են առանձին` որպես աշխատության առաջին տարբերակ, քանի որ կան ձեռագրեր, որոնք պարունակում են միայն այս գլուխները։ Այս տեքստն անվանված է *Daśādhyāyī*։ Այն մասնավորապես պարունակում է միջին ու ճշգրիտ երկայնության հաշվարկներ, օրական պտույտի, Արևի և Լուսնի խավարման հաշվարկներ, երկնային մարմինների դիրքի փոփոխությունների հաշվարկման մեթոդներ (էֆիմերտե), նրանց ծագումն ու մայրամուտը, միավորումները (մոլորակների շքերթ)։

Հաջորդ 15 գլուխները պարունակում են առաջին գլուխների զգալի լրացումներ և ճշգրտումներ, ինչպես նաև մաթեմատիկային վերաբերող բաժիններ։ Մաթեմատիկային վերաբերող գլուխները պատկերացում են տալիս հնդիկ մաթեմատիկոսների մոտեցման երկու հիմնական եղանակների մասին` «գործողությունների մաթեմատիկա» կամ ալգորիթմներ և մաթեմատիկական հավասարումներ։ Գրքի 12-րդ գլուխը կրում է «Մաթեմատիկա» անվանումը. այն նվիրված է մաթեմատիկական պարզագույն գործողություններին, համաչափություններին, բազմապատկման առաջադրանքներին, որը կազմել է Բարհմագուպտայի ժամանակների գործնական մաթեմատիկայի հիմնական մասը։ 18-րդ գլուխը` «Ցրում», ուղիղ կապ ունի հանրահաշվի հետ, քանի որ այդպիսի եզր դեռևս գոյություն չուներ. այն անվանված է գլխում դիտարկված առաջին վարժությունը հաշվի առնելով։

8-րդ դարի երկրորդ կեսին, երբ Բաղդադի` Աբբասյանների արքայատոհմի խալիֆ  Աբդուլահ Մամունը (Աբու ալ Աբաս Աբդ Ալլահ ալ Մամուն, 712-775) առաքելությամբ եղել է Հնդկաստանում, Բաղդադ է հրավիրել Ուջայնի գիտնականներից մեկին` Կանկահին, ով ուսուցանել է աստղագիտության հնդկական համակարգը` հենվելով  «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» գրքի վրա։ Խալիֆը պատվիրել է գրքի թարգմանությունը արաբերենով, որն իրականացրել է մաթեմատիկոս, փիլիսոփա Իբրահիմ ալ Ֆազարին 771 թվականին։ Թարգմանությունը, որը կատարվել է աղյուսակների` զիջերի տեսքով` անհրաժեշտ մեկնաբանություններով ու ցուցումներով, ստացել է «Մեծ Սինդհինդ» անվանումը։ Հայտնի է, որ այս աշխատանքից է օգտվել Ալ-Խորեզմին աստղագիտության («Զիջ Ալ-Խորեզմի») և թվաբանության մասին («Աշխատություն հնդկական հաշվի մասին») իր աշխատությունները գրելիս։ Կա կարծիք, որ վերջինիս թարգմանությունը 11-րդ դարում լատիներենով արմատական դեր է ունեցել հաշվարկման այս համակարգի տարածման գործում։

«Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» աշխատությունը չինարեն է թարգմանվել 7-9-րդ դարերի մաթեմատիկոսների կողմից (հայտնի է չորս թարգմանություն)` դրանով նպաստելով չինացի գիտնականների շրջանում հաշվարկման տասական համակարգի տարածմանը։ 1817 թվականին մաթեմատիկային վերաբերող երկու գլուխներ թարգմանվել են անգլիացի արևելագետ Հենրի Թոմաս Կոլբրուկի կողմից։

860 թվականին հնդիկ մաթեմատիկոս Փրթուդակասվամին (Prthudakasvami) գրել է աշխատությանը նվիրված մեկնություններ, որը կոչվում է «Vāsanābhāṣya»։  Դրանից պահպանվել են միայն մի քանի ձեռագրեր։ Հայտնի են նաև ամբողջական աշխատության ու նրա առաջին տասը գլուխներին նվիրված մի քանի անանուն մեկնաբանություններ։ Հնդկաստանում Բրահմագուպտայի աշխատանքները հրատարակվել են 1902, 1966 թվականներին։

### Կհանդակհադյակա
Բրահմագուպտայի երկրորդ գործը «Կհանդակհադյակա» աշխատությունն է (A Piece Eatable), որը գրվել է 665 թվականին։ Այն բաղկացած է 8 գլուխներից։ Աշխատության մեջ Բրահմագուպտան ճշգրտել ու պարզեցրել է աստղագիտական մի շարք հաշվարկներ` հիմնականում օգտվելով Արիաբհաթայի առաջարկած համակարգից։ Բացի այդ, այն ներառում է սինուսների հաշվարկման միջարկման բանաձև։ 8-րդ դարում «Կհանդակհադյական» թարգմանվել է արաբերեն «Արկանդ» անվանումով։

Գրքի մեկնաբանություններ են գրվել 864, 966, 1040, 1180 թվականներին. դրանցից մի քանիսը չեն պահպանվել։ Գիրքը տպագրվել է Կալկաթայում 1925 և 1941 թվականներին։ Անգլերեն թարգմանությունն իրականացրել է Սենգուպտան (Prabodh Chandra Sengupta) 1934 թվականին։

## Ներդրում մաթեմատիկայի ասպարեզում
Իր «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» աշխատության մեջ Բրահմագուպտան տվել է զրոյի սահմանումը` որպես թվից այդ նույն թիվը հանելու արդյունք։ Նա առաջիններից մեկն էր, ով սահմանել է դրական, բացասական թվերի և զրոյի հանրահաշվական գործողություններ` ընդ որում դրական թվերը դիտարկելով որպես ունեցվածք, իսկ բացասական թվերը` պարտք։ Այնուհետև Բրահմագուպտան փորձել է ընդարձակել հանրահաշիվը` տալով զրոյի բաժանման բնորոշումը։ Բրահմագուպտայի տեսակետի համաձայն.
* Զրոյի վրա բաժանելիս արդյունքում ստացվում է զրո։
* Դրական կամ բացասական թվերի բաժանումը զրոյի վրա կոտորակ է, որի հայտարարը զրո է։
* Զրոն դրական կամ բացասական թվի բաժանելիս ստացվում է զրո։

Բրահմագուպտան առաջարկել է բազմանիշ թվերի աղյուսակային բաժանման երեք եղանակ (մեկը` հիմնական և երկուսը` պարզեցված), որոնք մոտ են այն համակարգին, որը կիրառվում է ներկայումս։ Հիմնական մեթոդը Բրահմագուպտան անվանել է «gomutrika», որը թարգմանաբար նշանակում է «կովի մեզի հետագիծ» ()։

Բրահմագուպտան առաջարկել է նաև քառակուսի արմատի հաշվարկման մոտավոր բանաձև, որը նման է Նյուտոնի ինտերացիոն բանաձևին (Newton-Raphson), ax²+c=y² տեսքի որոշ քառակուսի հավասարումների լուծման եղանակ, ax+c=by տեսքի գծային հավասարումների լուծման եղանակ` կիրառելով հաջորդական կոտորակների եղանակը։

Բրահմագուպտան սահմանել է առաջին n թվերի քառակուսիների ու խորանարդների գումարը` պնդելով, որ քառակուսիների գումարը թվերի գումարն է բազմապատկած քայլերի թվի կրկնապատիկով, մեծացրած մեկ միավորով և բաժանած երեքի։ Խորանարդների գումարը մեկից մինչև տվյալ թվի գումարի քառակուսին է։ Բանաձևերը, որոնք կարելի է գրանցել որպես ..., բերվում են առանց ապացույցների։

«Կհանդակհադյական» աշխատության մեջ Բրահմագուպտան առաջարկել է երկրորդ կարգի ներածման բանաձևը, որը 1.000 տարի անց դուրսբերված Նյուտոն - Ստիրլինգի բանաձևի մասնավոր դրսևորում է։ Նա օգտագործել է այն իր կազմած եռանկյունաչափական աղյուսակներում սինուսի նշանակության արտածման համար։ Բանաձևը տալիս է   ֆունկցիայի նշանակության արժեքը, նրա արգումենտի  արժեքի դեպքում, երբ նրա մեծությունն արդեն հայտնի է ,  և  կետերում։ Այն բնորոշվում է հետևյալ կերպ. f( a + x h ) \approx f(a) + x \left(\frac{\Delta f(a) + \Delta f(a-h)}{2}\right) + \frac{x^2 \Delta^2 f(a-h)}{2!},, որտեղ -ն առաջին կարգի վերջավոր տարբերությունների հաշվի գործարկիչն է, այսինքն`  \Delta f(a) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ f(a+h) - f(a):։

Ընդ որում, Բրահմագուպտան չի մատնանշել, որ բանաձևը ճիշտ է միայն քառանկյան համար, որը կարելի է ներգծել շրջանին, այդ պատճառով էլ որոշ տեսաբաններ այստեղ ենթադրում են Բրահմագուպտայի սխալը։

250px|մինի|ձախից|Բրահմագուպտայի բանաձևը քառանկյան համար
Հայտնի է Բրահմագուպտայի ևս մեկ բանաձև կամայական եռանկյան նշյալ շրջանագծի շառավղի համար. R=\frac{ab}{2h_c}=\frac{bc}{2h_a}=\frac{ac}{2h_b},, որտեղ եռանկյան կողմերն են` , իսկ նրա բարձրությունը` ։

Բրահմագուպտան առաջարկել է շրջանի մեջ ներգծված քառանկյան մակերեսի հաշվարկումը։ Բրահմագուպտայի բանաձևը եռանկյան մակերեսի հաշվարկման Հերոնի բանաձևի ընդհանրացումն է։ Այսպես, շրջանին ներգծված քառանկյան  մակերեսը`  կողմերով և  տրամագծի կեսով, հավասար է S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}:

### Բրահմագուպտայի նույնություն
Բրահմագուպտայի նույնությունը պնդում է, որ երկու քառակուսիների գումարի արտադրյալը երկու քառակուսիների գումարն է, ընդ որում դա արտահայտվում է հետևյալ կերպ.
(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2:

Օրինակ`
: (1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.

### Բրահմագուպտայի թեորեմ
280px|մինի|աջից|Բրահմագուպտայի թեորեմը պնդում է, որ AF= FD
Դիցուք` ունենք ներգծված քառանկյուն, որի տրամագծերը փոխուղղահայաց են։ Նրանց հատման կետից ուղղահայաց տանենք կողմերից մեկին։ Եթե տրամագծերի հատման կետից շարունակենք ուղղահայացը, ապա այն քառանկյան հակառակ կողմը կբաժանի երկու հավասար մասերի։

### Բրահմագուպտայի խնդիր
**Բրահմագուպտայի խնդիր** - Կարկինի և քանոնի օգնությամբ կառուցել քառանկյուն իր չորս կողմերով. Լուծումներից մեկն օգտագործում է Ապոլլոնի շրջանագիծը։

## Ներդրում աստղագիտության ոլորտում
Բրահմագուպտան կարծում էր, որ Երկիրն անշարժ է. չի պտտվում իր առանցքի շուրջ։ Իր «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» աշխատության մեջ նա ենթադրում էր, որ տարվա տևողությունը 365 օր, 6 ժամ, 5 րոպե և 19 վայրկյան է։ Հնարավոր է, որ այս բնորոշումը նա վերցրել է Արիաբհաթայից։

Բրահմագուպտայի աստղագիտական պատկերացումները, որոնք շարադրված են «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» գրքում, վկայում են նրա հետազոտական ու գիտական կանխատեսման բարձր մակարդակի մասին։ Այսպես, աշխատության յոթերորդ գլխում, որը կոչվում է «Լուսնի խավարման մասին», Բրահմագուպտան մերժում է պատկերացումն այն մասին, որ Լուսինը Արևից ավելի հեռու է գտնվում, քան Երկիրը։

Բրահմագուպտան մեկնաբանում է, որ քանի որ Լուսինն ավելի մոտ է Երկրին, քան Արևը, Լուսնի լուսավորվածության աստիճանը կախված է Արևի ու Լուսնի փոխադարձ դիրքից, և այն կարելի է հաշվարկել` ելնելով երկնային այս երկու մարմինների անկյան մեծությունից։

Աստղագիտության մեջ Բրահմագուպտայի կարևոր ներդրումներից է ժամանակի ընթացքում երկնային մարմինների դիրքի, նրանց ծագման ու մայրամուտի, մոլորակների շքերթների, ինչպես նաև Արևի ու Լուսնի խավարումների հաշվարկման եղանակները (էֆիմերտե)։ Բրահմագուպտան քննադատության է ենթարկում պուրանների տիեզերագիտական հայացքներն այն մասին, որ Երկրիը հարթ է և կիսատ։ Նա պնդում է, որ Երկիրն ու երկինքն ունեն գնդի ձև, և որ Երկիրը շարժվում է։ 1030 թվականին աստղագետ Աբու ալ Ռայհան ալ Բիրունին իր «Թարիհ ալ Հինդ» աշխատության մեջ մեկնաբանել է Բրահմագուպտայի աշխատությունը։ Բիրունին նշել է, որ Երկրի` գնդաձև լինելու տեսակետի հակառակորդներին Բրահմագուպտան պատասխանել է.

Երկրի ձգողական ուժի մասին Բրահմագուպտան ասել է.

## Երկեր
Բրահմագուպտայի հիմնական աշխատությունը «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» գիրքն է (628), որ բաղկացած է 25 բաժիններից (որոշ աղբյուրներում նշվում է 24 գլուխ և ցանկի ու աղյուսակների հավելված)։

# Երկրագնդի դիրքի, երկնքի ու երկրի ձևերի մասին։
# Լուսատուների պտույտի և ժամանակի բնորոշման մասին. այն մասին, թե ինչպես որոշել լուսատուների դիրքի միջինը. աղեղի սինուսի բնորոշումը։
# Լուսատուների աղյուսակի կազմման մասին։
# Երեք խնդիրների մասին, մասնավորապես` ստվերի, օրվա ավարտված մասի և հորոսկոպի, ինչպես նաև այն մասին` ինչպես կարելի է դրանցից մեկից հետևություն անել մյուսի մասին։
# Այն մասին, թե ինչպես են լուսատուները երևում Արևի ճառագայթներից և ինչպես են թաքնվում դրանց հետևում։
# Այն մասին, թե ինչպես է երևում լուսնի մահիկը և նրա երկու եղջյուրների մասին։
# Լուսնի խավարման մասին։
# Արևի խավարման մասին։
# Լուսնի ստվերի մասին։
# Լուսատուների միավորման ու հակադրության մասին։
# Լուսատուների լայնության մասին։
# Քննադատություն այն բանի մասին, ինչը պարունակում են գրքերն ու աղյուսակները, ճիշտը սխալից տարբերելու մասին։
# Հանրահաշվի և հեռավորությունների հաշվարկում և այլ դեպքերում նրա կիրառման մասին։
# Լուսատուների միջին դիրքի ճշգրտման մասին։
# Լուսատուների աղյուսակի ուղղման մասին։
# Երեք խնդիրների ճշգրիտ հետազոտման մասին։
# Խավարումների շեղումների մասին։
# Լուսնի մահիկի ու նրա երկու եղջյուրների ի հայտ գալու ճշգրիտ բնորոշման մասին։
# «Կուտակա» մեթոդի մասին։
# Բանաստեղծական չափերի ու չափումների հաշվարկներ։
# Շրջակայքի ու իրերի մասին։
# Ժամանակի չափման չորս չափանիշների մասին` Արևով, մայրամուտով, Լուսնով ու լուսնային փուլերով։
# Թվերի նշանների մասին այդ առարկայի գրական ստեղծագործություններում։
# Մաթեմատիկան չօգտագործած ապացույցների մասին։

Բրահմագուպտայի երկրորդ աշխատությունը` «Կհանդակհադյական» (655), նույնպես արմատական աշխատություն է աստղագիտությունից։

## Ծանոթագրություններ

## Տես նաև
* Բրահմագուպտայի բանաձև 
* Եռանկյունների լուծում

## Գրականություն
*  
*  

* *Ван дер Варден Б. Л.* Уравнение Пелля в математике греков и индийцев. *Успехи математических наук*, 31, вып. 5(191), 1976, с. 57-70.
* *Володарский А. И.* Очерки истории средневековой индийской математики. — М.։ Наука, 1977.
* 
* Gupta R. C. Brahmagupta’s formulas for the area and diagonals of a cyclic quadrilateral. *The Mathematics Education*, 8, 1974, p.&nbsp;33-36.
* Sarasvati Amma T. A. *Geometry in ancient and medieval India.* Delhi։ Motilal Banarsidass, 1979.
* История математики, т.1, М., 1970.
* *Еремеева А. И., Цицин Ф. А.* История астрономии (основные этапы развития астрономической картины мира). Изд. МГУ, 1989.

Կատեգորիա:Աստղագետներ
Կատեգորիա:Հնդիկ գիտնականներ
Կատեգորիա:Հնդիկ մաթեմատիկոսներ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկան VI դարում
Կատեգորիա:Մաթեմատիկոսներ այբբենական կարգով
Կատեգորիա:Միջնադարի մաթեմատիկոսներ