Անվերջ փոքր և անվերջ մեծ

**Անվերջ փոքր**, թվային ֆունկցիա կամ հաջորդականություն, որը ձգտում է զրոյի։

**Անվերջ մեծ**, թվային ֆունկցիա կամ հաջորդականություն, որը ձգտում է որոշակի նշանի անվերջության։

## Անվերջ փոքրերի և մեծերի հաշիվ
*Անվերջ փոքրերի հաշիվ*, հաշվարկ, որն իրականացվում է անվերջ փոքր մեծությունների հետ, որոնց ժամանակ ածանցված արդյունքը դիտարկվում է որպես անվերջ փոքրերի անվերջ գումար։ Անվերջ փոքր մեծությունների հաշիվը ընդհանուր հասկացություն է համարվում դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվների համար, որոնք միասին կազմում են ժամանակակից բարձրագույն մաթեմատիկայի հիմքը։ Անվերջ փոքր մեծության հասկացությունը սերտորեն կապված է սահմանի հասկացության հետ։

### Անվերջ փոքր
a_n հաջորդականությունն անվանում են *անվերջ փոքր*, եթե \lim_{n\to\infty}a_n=0։ Օրինակ, a_n=\frac{1}{n} թվերի հաջորդականությունն անվերջ փոքր է։

Ֆունկցիան անվանում են *անվերջ փոքր* x_0 *կետի շրջակայքում*, եթե \lim_{x\to x_0}f(x)=0։

Ֆունկցիան անվանում են *անվերջ փոքր անվերջության վրա*, եթե \lim_{x\to+\infty}f(x)=0 կամ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0։

Անվերջ փոքր է համարվում նաև այն ֆունկցիան, որն իրենից ներկայացնում է ֆունկցիայի և իր սահմանի տարբերությունը, այսինքն եթե \lim_{x\to+\infty}f(x)=a, ապա f(x)-a=\alpha(x), \lim_{x\to+\infty}(f(x)-a)=0։

### Անվերջ մեծ
Ներքևում ներկայացված բոլոր բանաձևերում հավասարության աջ մասի անվերջությունը որոշակի նշան ունի (կամ «պլյուս», կամ «մինուս»)։ Այսինքն, օրինակ, x\sin x ֆունկցիան, որն երկու կողմից էլ սահամանափակ չէ, չի համարվում անվերջ մեծ ֆունկցիա, երբ x\to+\infty։

a_n հաջորդականությունը անվանում են *անվերջ մեծ*, եթե \lim_{n\to\infty}a_n=\infty։

Ֆունկցիան անվանում են *անվերջ մեծ* x_0 *կետի շրջակայքում*, եթե \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty։

Ֆունկցիան անվանում են *անվերջ մեծ անվերջության վրա*, եթե \lim_{x\to+\infty}f(x)=\infty կամ \lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty։

### Անվերջ փոքրերի հատկությունները
* Վերջավոր թվի և անվերջ փոքր ֆունկցիայի հանրահաշվական գումարը անվերջ փոքր ֆունկցիա է։
* Անվերջ փոքրերի արտադրյալը անվերջ փոքր է։
* Անվերջ փոքր հաջորդականության և սահմանափակ հաջորդականության արտադրյալն անվերջ փոքր է։ Որպես հետևանք, անվերջ փոքր թվի և հաստատունի արտադրյալը անվերջ փոքր է։
* Եթե a_n-ը անվերջ փոքր հաջորդականություն է, որն պահպանում է իր նշանը, ապա b_n=\frac{1}{a_n}-ը անվերջ փոքր հաջորդականություն է։

## Անվերջ փոքրերի համեմատումը

### Սահմանումներ
Ենթադրենք, մենք ունենք \alpha(x) և \beta(x) անվերջ փոքրերը (կամ անվերջ փոքր հաջորդականությունները) միևնույն x\to a մեծության դեպքում։
* Եթե \lim_{x\to a}\frac{\beta}{\alpha}=0, ապա \beta անվերջ փոքրը ավելի *բարձր մակարդակի անվերջ փոքր* է, քան \alpha-ն։ Նշանակում են \beta=o(\alpha) կամ β≺α։
* Եթե \lim_{x\to a}\frac{\beta}{\alpha}=\infty, ապա \beta անվերջ փոքրը ավելի *ցածր մակարդակի անվերջ փոքր* է, քան \alpha-ն։ Համապատասխանաբար, \alpha=o(\beta) կամ α≺β։
* Եթե \lim_{x\to a}\frac{\beta}{\alpha}=c (սահմանը վերջավոր է և հավասար չէ 0-ի), ապա \alpha-ն և \beta-ն համարվում են *միևնույն մակարդակի* անվեջ փոքր մեծություններ։ Սա նշանակում են որպես α≍β կամ որպես \beta=O(\alpha) և \alpha=O(\beta) հարաբերությունների միաժամանակ կատարում։ Նկատենք, որ որոշ աղբյուրներում կարելի է հանդիպել նշանակում, որտեղ որպես մակարդակների միևնույնություն օգտագործվում է միայն մեկ «O մեծ» հարաբերություն, ինչը համարվում է տվյալ նշանի ազատ օգտագործում։
* Եթե \lim_{x\to a}\frac{\beta}{\alpha^m}=c (սահմանը վերջավոր է և հավասար չէ 0-ի), ապա \beta անվերջ փոքր նեծությունը *<math>m</math>-րդ կարգի անվերջ փոքր է*, համեմատած \alpha-ի հետ։

Այսպիսի սահմանների հաշվման համար օգտագործվում է Լոպիտալի կանոնը։

### Համեմատման օրինակներ
* {x\to 0} դեպքում x^5-ն ավելի բարձր մակարդակի փոքր է, քան x^3-ը, քանի որ \lim_{x\to 0}\frac{x^5}{x^3}=0։ Մյուս կողմից, x^3-ն ավելի ցածր մակարդակի անվերջ փոքր է, քան x^5-ը, քանի որ \lim_{x\to 0}\frac{x^3}{x^5}=\infty։
: Օգտագործելով ''О''-նշանակումը, ստացված արդյունքները կարելի է գրել հետևյալ տեսքով՝ x^5=o(x^3)։
* \lim_{x\to 0}\frac{2x^2+6x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{2x+6}{1}=\lim_{x\to 0}(2x+6)=6, այսինքն, երբ x\to 0, f(x)=2x^2+6x և g(x)=x ֆունկցիաները համարվում են նույն մակարդակի անվերջ փոքրեր։
: Տվյալ դեպքում ճշմարիտ են հետևյալ գրառումները՝ 2x^2+6x = O(x) և x = O(2x^2+6x)։
* Երբ {x\to 0}, 2x^3 անվերջ փոքր մեծությունը երրորդ կարգի անվերջ փոքր է x-ի հետ համեմատած, քանի որ \lim_{x\to 0}\frac{2x^3}{x^3}=2, 0{,}7x^2 անվերջ փոքրը՝ երկրորդ կարգի, \sqrt{x} անվերջ փոքրը՝ 0,5-րդ կարգի։

## Համարժեք մեծություններ

### Սահմանումներ
Եթե \lim_{x\to a}\frac{\beta}{\alpha}=1, ապա \alpha և \beta անվերջ փոքր և անվերջ մեծ մեծությունները անվանում են *համարժեքներ* (նշանակվում է որպես \alpha\thicksim\beta)։

Ակնհայտ է, որ համարժեք մեծությունները համարվում են նույն կարգի անվերջ փոքր (անվերջ մեծ) մեծությունների մասնավոր դեպքեր։

Երբ \alpha(x)\xrightarrow[x\to x_0]{}0, տեղի են ունենում համարժեքության հետևյալ հարաբերությունները (որպես հետևանք, այսպես կոչված, նշանավոր սահմանների)՝
* \sin\alpha(x)\thicksim\alpha(x);
* \mathrm{tg}\,\alpha(x)\thicksim\alpha(x);
* \arcsin{\alpha(x)}\thicksim\alpha(x);
* \mathrm{arctg}\,\alpha(x)\thicksim\alpha(x);
* \log_a(1+\alpha(x))\thicksim\alpha(x)\cdot\frac{1}{\ln{a}}, որտեղ a>0;
* \ln(1+\alpha (x))\thicksim\alpha(x);
* a^{\alpha(x)}-1\thicksim\alpha(x)\cdot\ln{a}, որտեղ a>0;
* e^{\alpha(x)}-1\thicksim\alpha(x);
* 1-\cos{\alpha(x)}\thicksim\frac{\alpha^2(x)}{2};
* (1+\alpha(x))^\mu-1\thicksim\mu\cdot\alpha(x),\quad\mu\in\R, այդ իսկ պատճառով օգտագործում են հետևյալ արտահայտությունը
: \sqrt[n]{1+\alpha(x)}\approx\frac{\alpha(x)}{n}+1, որտեղ \alpha(x)\xrightarrow[x\to x_0]{}0։

### Թեորեմ
: *Երկու անվերջ փոքր կամ անվերջ մեծ մեծությունների (հարաբերության) մասնավոր սահմանը չի փոխվի, եթե նրանից մեկը (կամ երկուսն էլ) փոխարինենք համարժեք մեծությամբ*։
Այս թեորեմն ունի կիրառական նշանակություն սահմաններ գտնելու ժամանակ (տես՝ օրինակը)։

### Օգտագործման օրինակներ
* Գտնել \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}։
: Փոխարինելով \sin 2x-ը 2x համարժեք մեծությամբ, ստանում ենք՝
: \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x}=2։
* Գտնել \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(4\cos x)}{\cos x}։
: Քանի որ \sin(4\cos x)\thicksim{4\cos x}, երբ x\to\frac{\pi}{2}, կստանանք, որ՝
: \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin(4\cos x)}{\cos x}=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{4\cos x}{\cos x}=4։
* Հաշվել \sqrt{1{,}2}։
: Եթե հաշվենք, օգտագործելով համարժեք մեծությունը, կստանանք՝ \sqrt{1{,}2}\approx 1+\frac{0{,}2}{2}=1{,}1։ Իսկ եթե հաշվենք հաշվիչով (ստանանք առավել ճշտգրիտ արժեքը), կստանանք՝ \sqrt{1{,}2}\approx 1{,}095։ Այսինքն, սխալը կազմում է մոտ 0,005 (1%-ից էլ պակաս), այսինքն այս մեթոդն օգտակար է իր պարզության շնորհիվ, երբ գործ ունենք ոչ այնքան նուրբ հաշվարկների հետ։

## Տես նաև
* «O» մեծ և «o» փոքր
* Դիֆերենցիալ (մաթեմատիկա)
* Հաջորդականության սահման
* Ֆունկցիայի սահման
* Անվերջ փոքր

Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ
Կատեգորիա:Սահմաններ (մաթեմատիկա)