Պասկալի հայտանիշ

**Պասկալի հայտանիշ,** մեթոդ, որն օգնում է ստանալու ցանկացած թվի վրա բաժանելիության հայտանիշները։ Իր տեսակով «բաժանելիության յուրահատուկ մեթոդ»։

## Ընդհանուր տեսքը
Դիցուք տրված է հաշվարկման տասական համակարգում \overline{a_na_{n-1}\ldots a_2a_1a_0} տեսքով ներկայացված A բնական թիվը, որտեղ a_0 - միավորն է, a_1 - տասնյակը և այլն։
Դիցուք m-ը ցանկացած բնական թիվ է, որի վրա ցանկանում ենք բաժանել և արտածել նրա վրա բաժանելիության հայտանիշը։
Գտնենք մնացորդների շարքը հետևյալ սխեմայով.

: r_1 — ~10-ը ~m-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ
: r_2 — 10\cdot r_1 -ը ~m-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ
: r_3 — 10\cdot r_2 -ը ~m-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ
: r_n — 10\cdot r_{n-1}-ը ~m-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ

: r_1\equiv 10\pmod m
: r_i\equiv 10\cdot r_{i-1}\pmod m, \; i=\overline{2...n}
Քանի որ մնացորդների քանակը վերջավոր է, ապա այս գործընթացն ավարտվում է (ոչ ուշ, քան m քայլից) և այլևս կարելի է չշարունակել։ Սկսած որևէ i=i_0, ~r_{i+p}=r_i որտեղ p-ն \{r_i\} հաջորդականության ստացված պարբերությունն է։
Կարելի է ընդունել r_0=1։ Այդ դեպքում A ունի m- վրա բաժանելուց ստացված նույն մնացորդը, ինչ որ r_n\cdot a_n + \ldots + r_2\cdot a_2 + r_1\cdot a_1 + a_0. թիվը։

## Հիմնական մասնավոր դեպքեր
### 2-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը
Այստեղ m=2:
Քանի որ 10 \vdots 2, ապա ~r_0=1,~r_i=0,~i\in\mathbb{N}. Այստեղից ստանում ենք հայտնի հայտանիշը. 
Թիվը 2-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդը հավասար է այդ թվի վերջին թվանշանը 2-ի բաժանելուց ստացված մնացորդին, կամ սովորաբար. թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը զույգ է։

### 3-ի և 9-ի վրա բաժանելիության հայտանիշները
Այստեղ m=3 կամ m=9:
Քանի որ 10^i\equiv 1 (mod\ 3), i\in\mathbb{N} (10-ը ինչպես 9-ի, այնպես էլ 3-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 1), ապա բոլոր ~r_i=1: 
Նշանակում է, թիվը 3-ի (կամ 9-ի) վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասար է նրա թվանշանների գումարը 3-ի (համապատասխանաբար՝ 9-ի) վրա բաժանելիս ստացված մնացորդին, կամ այլ կերպ, թիվը բաժանվում է 3-ի (կամ 9-ի), եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի (կամ 9-ի)։

### 4-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը
Այստեղ ~m=4:
Գտնենք մնացորդների հաջորդականությունը.~r_0=1,~r_1=2,~r_i=0,~i\in\mathbb{N}: Այստեղից ստանում ենք հայտանիշը. 
թիվը 4-ի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասարէ ~2 \cdot a_1 + a_0 -ը 4-ի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդին, կամ, նկատի ունենալով, որ մնացորդը կախված է միայն վերջին երկու թվանշաններից, կստացվի. թիվը բաժանվում է 4-ի, եթե նրա վերջին երկու թվանշաններով կազմված թիվը բաժանվում է 4-ի։

### 5-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը
Այստեղ ~m=5.
Քանի որ 10~\vdots ~5, ապա ~r_0=1,~r_i=0,~i\in\mathbb{N}. Այստեղից ստանում ենք հայտնի հայտանիշը.
Թիվը 5-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդը հավասար է այդ թվի վերջին թվանշանը 5-ի բաժանելուց ստացված մանցորդին, կամ սովորաբար. Թիվը բաժանվում է 5-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը 0 է կամ 5։

### 7-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը
Այստեղ m=7:
Գտնենք մնացորդները.
# 10 = 1\cdot 7 + 3 \Rightarrow r_1 = 3
# 10\cdot r_1 = 4\cdot 7 + 2 \Rightarrow r_2 = 2
# 10\cdot r_2 = 2\cdot 7 + 6 \Rightarrow r_3 = 6
# 10\cdot r_3 = 8\cdot 7 + 4 \Rightarrow r_4 = 4
# 10\cdot r_4 = 5\cdot 7 + 5 \Rightarrow r_5 = 5
# 10\cdot r_5 = 7\cdot 7 + 1 \Rightarrow r_6 = 1 = r_0, ցիկլը փակվում է։

Հետևաբար,  ցանկացած A=\overline{a_na_{n-1}\ldots a_2a_1a_0} թվի համար 7-ի վրա նրա բաժանելուց ստացված մանցորդը հավասար է.
:a_0 + 3a_1 + 2a_2 + 6a_3 + 4a_4 + 5a_5 + a_6 + \ldots:

#### Օրինակ
Դիտարկենք 48916 թիվը։ Վերը ապացուցվածի համաձայն,
:48916\equiv 6 + 3\cdot 1 + 2\cdot 9 + 6\cdot 8 + 4\cdot 4=
::6+3+18+48+16=91 \equiv 0 (mod\ 7),
նշանակում է, 48916 թիվը բաժանվում է 7-ի վրա։

### 11 -ի վրա բաժանելիության հայտանիշը
Այստեղ m=11.
Քանի որ 10^{2n}=99\cdot 101\ldots 01+1\equiv 1 (mod\ 11), ապա բոլոր ~r_{2i}=1, իսկ r_{2i-1}=10\equiv -1 (mod\ 11): Այստեղից կարելի է ստանալ 11-ի վրա բաժանելիության պարզ հայտանիշը.
:թիվը 11-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդը հավասար է նրա թվանշանների այն գումարը 11-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդին, որտեղ յուրաքանչյուր կենտ թվով արտահայտված դիրքում գտնվող թվանշանը (սկսած միավորից) վերցված է «−» նշանով։

Այլ կերպ ասած.
: եթե թվի բոլոր թվանշանները բաժանենք երկու խմբի այնպես, որ մի խմբում լինեն բոլոր կենտ դիրքերում գտնվող թվանշանները, մյուսում` զույգ, յուրաքանչյուր խմբում գումարենք բոլոր թվանշանները և ստացված գումարներից մեկից հանենք մյուսը, ապա ստացված թիվը 11-ի բաժանելուց ստացված մնացորդը կլինի նույնը, ինչ ելակետային թվի համար։

## Գրականություն
* Признаки делимости  М., "Наука" 1988 г., 94 стр. 165 000 экз. (Популярные лекции по математике)

Կատեգորիա:Բլեզ Պասկալ
Կատեգորիա:Տարրական մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Բաժանում և մնացորդ