Լրիվ վճարով աճուրդ

**Լրիվ վճարով աճուրդ,** աճուրդ տնտեսագիտության և խաղերի տեսության մեջ, որտեղ յուրաքանչյուր մասնակից պետք է վճարի՝ անկախ նրանից, կշահի նա մրցանակը, թե ոչ, որը տրվում է ամենաբարձր գինն առաջարկողին, ինչպես սովորական աճուրդում: Ինչպես ցույց են տվել Ռայլին և Սամուելսոնը (1981), լրիվ վճարումով աճուրդում և մասնավոր տեղեկատվությամբ հավասարակշռված սակարկությունները եկամուտների առումով համարժեք են փակ բարձր դրույքաչափով աճուրդում կամ աճող գնով բաց աճուրդում սակարկություններին:

Ամենապարզ դեպքում կա ամբողջական տեղեկատվություն: Նեշի հավասարակշռությունն այնպիսին է, որ յուրաքանչյուր մասնակից խաղում է խառը ռազմավարությամբ, իսկ ակնկալվող վճարումները հավասար են զրոյի: Վաճառողի ակնկալվող եկամուտը հավասար է մրցանակի արժեքին: Այնուամենայնիվ, որոշ տնտեսագիտական փորձերը և հետազոտություններըցույց է տվել, որ սակարկությունը տարածված է: Այսինքն՝ վաճառողի եկամուտը հաղթող խաղադրույքը ստանալու հույսով հաճախ գերազանցում է մրցանակի արժեքը։ Կրկնվող խաղերում նույնիսկ այն մասնակիցները, ովքեր հաճախ են շահում մրցանակը, երկարաժամկետ հեռանկարում ամենայն հավանականությամբ վնաս կկրեն։

Լրիվ վճարով աճուրդը չունի Նեշի հավասարակշռություն մաքուր ռազմավարություններում, սակայն ունի Նեշի հավասարակշռություն խառը ռազմավարություններում։

## Լրիվ վճարով աճուրդների ձևեր
Աճուրդի ամենապարզ ձևը՝ լրիվ վճարումով աճուրդը, Թալլոքի աճուրդն է, որը երբեմն կոչվում է Թալլոքի վիճակախաղ՝ Գորդոն Թալլոքի պատվին, որտեղ յուրաքանչյուրը ներկայացնում է խաղադրույք, սակայն և՛ պարտվողները, և՛ հաղթողները վճարում են իրենց ներկայացրած խաղադրույքները։ Սա օգնում է նկարագրել հասարակական ընտրության տնտեսագիտության որոշ գաղափարներ։

Դոլարային աճուրդը բազմաօգտատերերի խաղ կամ Թալլոքի աճուրդ է երկու խաղացողի համար, որտեղ միայն երկու ամենաբարձր մասնակիցներն են վճարում իրենց ներդրումները։ Այլ գործնական օրինակներ են մասնակցության վճարով աճուրդը և պեննի վիճակախաղը («չինական աճուրդ» ստորացուցիչ անվանումով)։

Գոյություն ունեն լրիվ վճարումով աճուրդների այլ ձևեր, ինչպես օրինակ ուժասպառ պատերազմը (հայտնի է նաև որպես կենսաբանական աճուրդներ), որտեղ հաղթում է ամենաբարձր գին առաջարկողը, սակայն բոլոր մասնակիցները (կամ, որպես կանոն, երկուսն էլ) վճարում են միայն ավելի ցածր խաղադրույքի համար։ Ուժասպառ պատերազմն օգտագործվում է կենսաբանների կողմից՝ մոդելավորելու համար սովորական մրցակցությունները կամ ագոնիստիկ փոխազդեցությունները, որոնք լուծվում են առանց ֆիզիկական ագրեսիայի կիրառման։

## Կանոններ
Հաջորդ վերլուծությունը ենթարկվում է մի քանի հիմնական կանոնների։

* Մրցույթի յուրաքանչյուր մասնակից ներկայացնում է հայտ, որը կախված է միայն իր գնահատականից։ 
* Մրցույթի մասնակիցները չգիտեն մյուս մասնակիցների գնահատականները։
* Վերլուծությունը հիմնված է անկախ մասնավոր արժեքների (IPV) միջավայրի վրա, որտեղ յուրաքանչյուր մասնակցի գնահատականը անկախ կերպով վերցվում է հավասարաչափ բաշխումից [0,1]։ IPV պայմաններում, եթե իմ արժեքը 0.6 է, ապա հավանականությունը, որ մեկ այլ մասնակից ունի ավելի ցածր արժեք, նույնպես 0.6 է։ Համապատասխանաբար, հավանականությունը, որ երկու այլ մասնակիցներ ունեն ավելի ցածր արժեք, հավասար է 0.6^2=0.36.

## Համաչափության ենթադրություն
IPV-ում մասնակիցները համաչափ են, քանի որ գնահատումները գտնվում են միևնույն բաշխման մեջ: Սա ստիպում է վերլուծությունը կենտրոնացնել համաչափ և մոնոտոն սակարկության ռազմավարությունների վրա: Սա նշանակում է, որ նույն գնահատականներ ունեցող երկու մասնակից կներկայացնեն նույն հայտերը: Արդյունքում, համաչափության դեպքում միշտ հաղթում է ամենաբարձր արժեք ունեցող մասնակիցը։

## Եկամուտների համարժեքության օգտագործումը սակարկությունների ֆունկցիայի կանխատեսման համար
Դիտարկենք աճուրդի լրիվ վճարումով v_i, v_j և  մասնավոր գնահատականներով երկխաղային տարբերակը, որոնք անկախ են և նույնականորեն բաշխված են հավասարաչափ բաշխման վրա [0,1]-ից: Մենք ցանկանում ենք գտնել միապաղաղ աճող առաջարկի ֆունկցիա՝ b(v), որը կազմում է Նեշի սիմետրիկ հավասարակշռություն:

Եթե խաղացող i-ն կատարում է b(x) խաղադրույք, նա հաղթում է աճուրդում միայն այն դեպքում, եթե իր խաղադրույքը ավելի մեծ է քան jb(v_j) խաղացողի խաղադրույքը։ Սա տեղի ունենալու հավանականությունը հավասար է

 \mathbb{P}[b(x) > b(v_j)] = \mathbb{P}[x > v_j] = x , քանի որ b-ն մոնոտոն է և v_j \sim \mathrm{Unif}[0,1]

Հետևաբար, բարիքի i տրամադրման հավանականությունը  հավասար է x-ի: Հետևաբար, i-ի ակնկալվող օգտակարությունը, երբ նա խաղադրույք է անում, կարծես թե իր մասնավոր արժեքը x է, տրվում է

u_i(x|v_i)=v_ix-b(x).

Որպեսզի b-ն լինի Բայես-Նեշի հավասարակշռություն, u_i(x_i|v_i)-ն պետք է  մաքսիմում x_i = v_i կետում, այնպես որ i-ն չունենա շեղվելու խթան, եթե j-ն պահպանում է իր b(v_j) ներդրումը։ \implies u_i'(v_i) = 0 \implies v_i = b'(v_i) 

Ինտեգրելուց հետո ստանում ենք b(v_i) = \frac{v_i^2}{2} + c.

Մենք գիտենք, որ եթե խաղացող i-ն ունի անձնական գնահատում v_i = 0, ապա նրանք կառաջարկեն 0;  b(0) = 0։ Սրա միջոցով կարող ենք ցույց տալ, որ ինտեգրման հաստատունը նույնպես հավասար է 0-ի։

Այսպես, մենք ստանում ենք b(v_i) = \frac{v_i^2}{2}.

Քանի որ այս ֆունկցիան իրոք մոնոտոն աճող է, տվյալ սակարկությունների ռազմավարությունը b ներկայացնում է Բայես-Նեշի հավասարակշռություն: Այս օրինակում լրիվ վճարումով աճուրդից ստացված եկամուտը կազմում էR=b(v_1)+b(v_2)=\frac{v_1^2}{2}+\frac{v_2^2}{2}

Քանի որ բաշխված են i․i․d․-ից Unif[0,1], ակնկալվող եկամուտը կազմում է v_1, v_2

\mathbb{E}[R]=\mathbb{E}[\frac{v_1^2}{2}+\frac{v_2^2}{2}]=\mathbb{E}[v^2]=\int\limits_{0}^{1} v^2dv =\frac{1}{3}.

Երկու խաղացողով բոլոր աճուրդները կունենան \frac{1}{3} ակնկալվող եկամուտ, երբ մասնավոր գնահատումները հավասարաչափ բաշխված են Unif[0,1]-ից` համաձայն եկամուտների համարժեքության թեորեմի։

## Առևտրային գործառույթն ընդհանուր համաճափության դեպքում
Ենթադրենք, որ աճուրդին մասնակցում են n ռիսկի նկատմամբ չեզոք մասնակիցներ: Յուրաքանչյուր աճուրդի մասնակից ունի մասնավոր արժեք v_i, որը վերցված է i.i.d.-ից ընդհանուր հարթ բաշխումից F: Ազատ տնօրինման պայմաններում յուրաքանչյուր մասնակցի արժեքը սահմանափակված է զրոյով ներքևից: Հետևաբար, առանց ընդհանրության կորստի, նորմավորում ենք հնարավոր նվազագույն արժեքը զրոյի:

Քանի որ խաղը համաչափ է, առաջարկի օպտիմալ ֆունկցիան պետք է նույնը լինի բոլոր խաղացողների համար: Անվանենք այս օպտիմալ սակարկության ֆունկցիան \beta: Քանի որ յուրաքանչյուր խաղացողի պարգևատրումը որոշվում է որպես նրա ակնկալվող շահույթ հանած նրա խաղադրույքը, մենք կարող ենք ռեկուրսիվ կերպով սահմանել օպտիմալ խաղադրույքի ֆունկցիան հետևյալ կերպ․


\beta(v_i) \in arg\max_{b \in \mathbb{R}} \left\{\mathbb{P}(\forall j \neq i: \beta(v_j) \leq b)v_i - b\right\}


Քանի որ F-ը հարթ է, ոչ-ոքիի հավանականությունը զրո է։ Սա նշանակում է, որ աճուրդում հաղթելու հավանականությունը կլինի CDF-ը՝ խաղացողների թիվը բարձրացված մինչև մինուս մեկ։ Այսինքն 

՝ \mathbb{P}(\forall j \neq i: \beta(v_j) \leq \beta(v_i)) = F(v_i)^{n - 1} . 

Այժմ խնդիրը բավարարում է ծրարների թեորեմի պահանջները: Հետևաբար, մենք կարող ենք գրել՝\begin{align}
\int_0^{v_i} F(\tau)^{n - 1}d\tau &= (F(v_i)^{n - 1} \cdot v_i - \beta(v_i)) - (F^{n - 1}(0) \cdot 0 - \beta(0)) \\
\beta(v_i) &= F^{n - 1}(v_i)v_i - \int_0^{v_i} F(\tau)^{n - 1}d\tau \\
\beta(v_i) &= \int_0^{v_i} \tau dF^{n - 1}(\tau)
\end{align}

Սա տալիս է Նեշի հավասարակշռության աճուրդի միակ համաչափ ֆունկցիան  \beta(v_i) ։

## Օրինակներ
Դիտարկենք կաշարված պաշտոնյային, ով գործ ունի ընտրարշավի դոնորների հետ: Նրանցից յուրաքանչյուրը ցանկանում է, որ նա իրեն ծառայություն մատուցի, որը նրանց համար արժե $0-ից մինչև $1000 (հավասարաչափ բաշխված): Նրանց իրական գնահատականները կազմում են $250, $500 և $750: Նրանք կարող են հետևել միայն իրենց սեփական գնահատականներին: Նրանցից յուրաքանչյուրը պաշտոնյային թանկարժեք նվեր է մատուցում - եթե նրանք նվերի վրա ծախսում են X դոլար, ապա պաշտոնյայի համար այն արժե X դոլար: Պաշտոնյան կարող է մատուցել միայն մեկ ծառայություն և կանի դա այն նվիրատուի համար, ով իրեն կմատուցի ամենաթանկ նվերը:

Սա լրիվ վճարով աճուրդի տիպիկ օրինակ է: Յուրաքանչյուր նվիրատուի օպտիմալ խաղադրույքը հաշվարկելու համար մենք պետք է նորմալացնենք գնահատականները {250, 500, 750}-ից մինչև {0,25, 0,5, 0,75}, որպեսզի հնարավոր լինի կիրառել IPV-ն:

Օպտիմալ խաղադրույքի բանաձևի համաձայն՝

b_i(v_i)=\left(\frac{n-1}{n}\right){v_i}^{n}

IPV պայմաններում երեք դոնորների համար օպտիմալ դրույքաչափերն են՝

b_1(v_1)=\left(\frac{n-1}{n}\right){v_1}^{n}=\left(\frac{2}{3}\right){0.25}^{3} = 0.0104

b_2(v_2)=\left(\frac{n-1}{n}\right){v_2}^{n}=\left(\frac{2}{3}\right){0.50}^{3} = 0.0833

b_3(v_3)=\left(\frac{n-1}{n}\right){v_3}^{n}=\left(\frac{2}{3}\right){0.75}^{3} = 0.2813

Իրական օպտիմալ գումարը ստանալու համար, որը պետք է վճարի երեք դոնորներից յուրաքանչյուրը, պարզապես բազմապատկեք IPV արժեքները 1000-ով․

b_1real(v_1=0.25)= $10.4

b_2real(v_2=0.50)= $83.3

b_3real(v_3=0.75)= $281.3

Այս օրինակը ենթադրում է, որ պաշտոնյան ի վերջո կստանա 375$, սակայն միայն երրորդ նվիրատուն, ով նվիրաբերել է $281.3, կշահի պաշտոնյայի բարեհաճությունը: Նկատի ունեցեք, որ մյուս երկու նվիրատուները գիտեն, որ իրենց գնահատականները բավականաչափ բարձր չեն (հաղթելու ցածր հավանականություն), ուստի նրանք շատ չեն նվիրաբերում՝ այդպիսով հավասարակշռելով հնարավոր հսկայական շահույթը և հաղթելու ցածր հավանականությունը:

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Խաղերի տեսություն
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական տնտեսագիտություն