Ֆուրիեի շարք

**Ֆուրիեի շարք**, մաթեմատիկայում պարբերական ֆունկցիայի (որը կարող է լինել որևէ ազդանշան կամ ալիք) վերլուծությունն է ավելի պարզ ֆունկցիաների կամ տատանումների, այն է՝ սինուսոիդների (կամ կոմպսլեքս տեսքով՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալների) վերջավոր կամ անվերջ գումարի տեսքով։ Այդպես է անվանվել ի պատիվ Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժոզեֆ Ֆուրիեի, ով առաջինն է ուսումնասիրել այդ շարքերը ջերմահաղորդականության հավասարման կոնտեքստում։ Ֆուրիեյի շարքերի ուսումնասիրությունը Ֆուրիե-անալիզի ճյուղերից է, որն էլ իր հերթին մաս է կազմում Հարմոնիկ անալիզի։ Դեռ խորհրդային տարիներից Հայաստանում մի խումբ մաթեմատիկոսներ, մասնավորապես՝ ակադեմիկոս Ալեքսանդր Թալալյանը և իր ուսանողները, զբաղվում են Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ։

## Սահմանումը
Ենթադրենք f-ը որևէ ինտեգրելի 2\pi-պարբերական ֆունկցիա է՝ որոշված ամբողջ իրական թվային առանցքի վրա։ Մենք ցանկանում ենք այն ներկայացնել որպես հետևյալ տեսքի եռանկյունաչափական շարքի գումար.
:f(t)= \sum_{n=0}^\infty A_n\cdot \sin(nt+\phi_n),  A_n\geq 0 ։
Կիրառելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարզագույն հատկությունները՝ շարքը կարելի է ձևափոխել և գրել՝

տեսքով։ 
Սակայն երբեմն նախընտրելի է առավել կոմպակտ
:\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\cdot e^{int}
ներկայացումը, որը ստացվում է Ֆուրիեյի շարքից՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալի համար 
: e^{ix} = \cos x + i\sin x \ 
Էյլերի բանաձևից։

Եթե f-ը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերջավոր գումար է, ապա կարելի է հեշտորեն համոզվել (օգտվելով եռանկյունաչափական համակարգի օրթոգոնալությունից), որ a_n և b_n գործակիցները որոշվում են հետևյալ բանաձևերով.
:a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t)\cdot  \cos(\tfrac{nt}{P})\ dt,  b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t)\cdot  \sin(nt)\ dt,
իսկ կոմպլեքս ներկայացմամբ՝
:c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t)\cdot e^{-int}\ dt
բանաձևով։
Ընդհանուր դեպքում, տվյալ ինտեգրելի f ֆունկցիայի համար կդիտարկենք 
: \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos(nt)+b_n\sin(nt)\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\cdot e^{int}

եռանկյունաչափական շարքը, որտեղ a_n, b_n և c_n գործակիցները որոշվում են վերը նշված բանաձևերով և այն կանվանենք f ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարք։ 
Դասական Ֆուրիե-անալիզն ուսումնասիրում է Ֆուրիեի շարքերի զուգամիտությունը և տարամիտությունը, դրանց պայմանները։

## Ներկայացում
Ֆունկցիայի եռանկյունաչափական շարքով վերլուծությունը հասկանալու համար դիտարկենք
:f(t)=A\cdot \sin(\lambda t+\phi)
ֆունկցիան, որտեղ A\geq 0։ 
Սովորաբար t-ով նշվում է ժամանակը, իսկ f(t) ֆունկցիան՝ ալիքային տատանումը նկարագրող թվային պարամետրերից որևէ մեկի կախումը ժամանակից։
Վերոնշյալ բանաձևով որոշվող տատանումը կոչվում է հարմոնիկ (ներդաշնակ) տատանում։ Եթե, օրինակ, f(t)-ով նկարագրելու լինենք ճոճանակի շեղումը հավասարակշռության դիրքից, ապա այդ կերպ է կտատանվի հավասարակշռության դիրքից շեղված առանց դիմադրության տատանվող ճոճանակը (մաթեմատիկական ճոճանակ)։ Նմանատիպ բանաձևով են որոշվում նաև հավասարաչափ շրջանագծային շարժում կատարող կետի կոորդինատները։ 
A-ն կոչվում է տատանման ամպլիտուդ, \lambda-ն՝ հաճախականություն, իսկ \phi-ն՝ փուլ (սկզբնական շեղում)։
Եթե երկու ալիք վերադրվում են, արդյունքում ստացված նոր ալիքի տատանումները նկարագրող թվային գործակիցները սովորաբար հավասար են լինում առանձին ալիքների համապատասխան գործակիցների գումարին (վերադրման սկզբունք, տե՛ս w:Superposition principle)։ Հետևաբար, եթե ունենք N տարբեր ներդաշնակ տատանումներ՝
:f_n (t)=A_n\cdot \sin(\lambda_n t+\phi_n),
նրանց վերադրումից առաջացած նոր ալիքի համար կստացվի՝
:f(t)= \sum_{n=0}^N A_n\cdot \sin(\lambda_n t+\phi_n)։
Պարզագույն դեպքում, բոլոր \lambda_n-երը որևէ թվի պատիկներ են, ինչը նշանակում է, որ f_n(t)-երը ունեն ընդհանուր պարբերություն։ Մասշտաբը փոխելով՝ առանց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ \lambda_n =n, այսինքն դիտարկում ենք 2\pi-պարբերական տատանումները (ընդհանուր դեպքը՝ առանց վերջին ենթադրության, մաթեմատիկայում առանձին ուսումնասիրության առարկա է. տե՛ս w:Almost periodic functions)։ Այդ դեպքում
:f(t)=\sum_{n=0}^N A_n\cdot \sin(nt+\phi_n)։
Նման վերջավոր գումարի միջոցով կարող ենք ներկայացնել բազմաթիվ 2\pi-պարբերական տատանումներ, սակայն ոչ բոլորը։ Դա հստակ էր անգամ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրության ակունքներում կանգնած մաթեմատիկոսների համար։ Ուստի, հաջորդ բնական քայլը կլիներ փորձել ներկայացնել անվերջ գումարի տեսքով՝ 
:f(t)=\sum_{n=0}^\infty A_n\cdot \sin(nt+\phi_n)։
Սակայն Ֆուրիեյի ժամանակներում ֆունկցիաների անվերջ շարքի գումարը հստակորեն սահմանված չէր. անցավ որոշ ժամանակ, մինչև մաթեմատիկոսներին կհաջողվեր իմաստավորել Ֆուրեի ձևակերպած գաղափարները։ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությունը հետագայում հիմք դարձավ բազմաթիվ նոր մաթեմատիկական տեսությունների և հայտնագործությունների, օրինակ՝ Գեորգ Կանտորի Բազմությունների տեսությունը, որը համարվում է մաթեմատիկայի հիմնարար տեսություներից մեկը։ Բազմությունների տեսությունը ստեղծելի՝ Կանտորը զբաղվում էր Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ։

## Երկրաչափական մեկնաբանություն
Նկատենք, որ 
: f(t)=\sum_{n=0}^N A_n\cdot \sin(nt+\phi_n),  A_n\geq 0 
վերջավոր գումարին կարելի է տալ հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը․ պատկերացնենք՝ ունենք հաջորդական շրջանագծեր, այնպես որ առաջին շրջանագիծն ունի  A_0  շառավիղ, որի կենտրոնը կոորդինական առանցքի սկզբնակետում է։ Հաջորդ շրջանագիծն ունի  A_1  շառավիղ, որի կենտրոնը (A_0\cos(0t+\phi_0),A_0\sin(0t+\phi_0)) կետում է և այսպես շարունակ (նման նրան, թե ինչպես է Երկիրը պտտվում արեգակի շուրջը, Լուսինն էլ՝ Երկրի)։ Եթե այս շրջանագծերը տեղադրենք «ամեն հաջորդի կենտրոնը մյուսի ընթացիկ կետում» սկզբունքով, ապա վերջին շրջանագծի \left(A_N\cos(Nt+\phi_N),A_N\sin(Nt+\phi_N)\right) դիրքին համապատասխանող կետի y կոորդինատը t պահին կլինի f(t)-ն։


Fourier Series.svg| f(t)=\sgn[\sin(t)] քառակուսային ալիքի Ֆուրեյի շարքի առաջին չորս ոչ զրոյական անդամներով մոտարկումը
Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif|


## Ընդհանրացումներ
Ֆուրիեի շարքերը կարելի է սահմանել ցանկացած պարբերական ֆունկցիայի համար՝ փոխելով մասշտաբը։ Երբ պարբերությունը ձգտում է անվերջության, ինքնըստինքյան հանգում ենք Ֆուրիեի ձևափոխությանը։ Վեջինս Ֆուրիեի շարքերի անալոգն է ոչ պարբերական ֆունկցիաների համար։

Ավելի աբստրակտ մոտեցումը հնարավորություն է տալիս Ֆուրիեյի ձևափոխությունները սահմանել Լոկալ կոմպակտ աբելյան խմբերի վրա։ Մաթեմատիկայի՝ նմանատիպ հարցերն ուսումնասիրող բաժինը կոչվում է Աբստրակտ հարմոնիկ անալիզ։ Ավելի ընդհանուր՝ Ֆուրեյի շարքը կարելի դիտարկել Գելֆանդի ձևափոխություն շրջանագծի պտույտների խմբով ծնված խմբային հանրահաշվի վրա։

Ֆուրիեյի ձևափոխությունը հնարավոր է սահմանել նաև գրաֆների և բազմաձևությունների վրա։ Այստեղ մոտեցումը Լապլաս-Բերտրամի օպերատորի սպեկտրալ տեսության միջոցով է՝ ի տարբերություն Աբստրակտ Հարմոնիկ անալիզի առավել հանրահաշվական մոտեցման։

Մեկ այլ ընդհանրացում է եռանկյունաչափական շարքերի փոխարեն այլ ֆունցկիաներ դիտարկելը։ Քսաներորդ դարի երկրորդ կեսում սա ակտիվ բնագավառ էր և կապված էր համակարգերի բազիսության (հետագայում՝ ֆրեյմ) ուսումնասիրության հետ։

## Կիրառություններ
Ժամանակակից տեխնոլոգիաների զարգացումը բազմաթիվ հարցերում պարտական է Ֆուրիեյի հայտնագործությանը։ Այն ժամանակակից ինժեներների ամենկարևոր գործիքներից մեկն է։ 
Օրինակ, Ռիմանն-Լեբեգի լեմման պնդում է, որ ազդանշանում մեծ հաճախականությունների ներդրումը փոքր է։ Քանի որ մեծ հաճախականությունները պատասխանատու են խզման կետերի համար, նրանց գործակիցները հարմար ձևով ընտրված ֆիլտրերի միջոցով զրոյացնելը հնարավորություն է տալիս մոդիֆիկացնել ֆունկցիան՝ պահպանելով նրա հիմնական մասը և վերացնելով խզման կետերը։ Այս սկզբունքն է ընկած վնասված նկարների կամ ֆայլերի վերակագնման, արխիվացիայի, աղմուկի հեռացման մեթոդների և այլքի հիմքում։ Երբեմն եռանկյունաչափական համակարգի փոխարեն օգտագործվում են այլ համակարգեր, ինչպես օրինակ Վեյվելեթներ, Շիրլեթներ, սակայն հիմնական սկզբունքը նույնն է և հաճախ հանգեցվում է եռանկյունաչափական համակարգով որոշվող հաճախականությունների անալիզին։
Մաթեմատիկայում ևս Ֆուրիեի շարքերն ունեն բազում կիրառություններ, օրինակ՝ մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները լուծման գործում և այլն։

## Աղբյուրներ

## Գրականություն
*
*
*
* 
* Nina K. Bary, *A treatise on trigonometric series*, Vols. I, II. Authorized translation by Margaret F. Mullins. A Pergamon Press Book. The Macmillan Co., New York 1964.
*

## Արտաքին հղումներ
* Գրառումներ Ֆուրիեի ձևոփոխության մասին 

Կատեգորիա:Շարքեր