Քառակուսային բանաձև

alt = Քառակուսային ֆունկցիայի արմատները|thumb| 231x231px| Քառակուսային ֆունկցիա՝ <math> x = 1 </math> և <math> x = 4 </math> արմատներով

**Քառակուսային բանաձև**, բանաձև է տարրական հանրահաշվում, որով կարող ենք քառակուսային հավասարումներ լուծել։ Քառակուսային հավասարումներ լուծելու այլ եղանակներ կան, ինչպես, օրինակ՝ ֆակտորիզացիան (ուղղակի ֆակտորիզացիա, խմբավորում), քառակուսին լրացնելը, գրաֆիկ գծելը և այլն։

Տրված է քառակուսային հավասարում՝ իր ընդհանուր տեսքով ax^2+bx+c=0, որտեղ x֊ը անհայտն է, a֊ն, b֊ն և c֊ն՝ հաստատուններ են, այնպես, որ a \neq 0։ Քառակուսային բանաձևը հետևյալն է․

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ 

Բանաձևի պլյուս֊մինուսի նշանը՝  \pm , ցույց է տալիս, որ քառակուսային հավասարումը երկու արմատ ունի։ Առանձին գրելու դեպքում կստանանք հետևյալ երկու բանաձևերը․

 x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\quad\text{և}\quad x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

Երկու արժեքներից յուրաքանչյուրը կոչվում է քառակուսային հավասարման արմատ (կամ՝ զրո)։ Երկրաչափորեն՝ արմատներն x֊ի այն արժեքներն են ներկայացնում, որոնցում  y = ax^2 + bx + c հավասարմամբ սահմանված *ցանկացած* պարաբոլ կհատի x֊երի առանցքը։

Քառակուսային հավասարումը կարող է նաև օգտակար լինել պարաբոլի համաչափության առանցքները և քառակուսային հավասարման իրական զրոների քանակը գտնելուն։

## Համարժեք ձևակերպումներ
Քառակուսային հավասարումը կարելի է գրել նաև հետևյալ տեսքով․

x = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \ \ ,

որը կարող ենք պարզեցնել․

x = -\left(\frac{b}{2a}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}} \ \ :

Բանաձևի այս տեսքը հարմար է կոմպլեքս արմատների առկայության դեպքում․ քառակուսի արմատից դուրս հատվածը կներկայացնի կոմպլեքս արմատի իրական մասը, իսկ քառակուսի արմատի տակ գտնվող արտահայտությունը՝ կեղծ մասը։ Քառակուսի արմատի տակ գտնվող արտահայտությունը դիսկրիմինանտ է։

### Մյուլլերի մեթոդը
Պակաս հայտնի քառակուսային բանաձև է, որը օգտագործվում է Մյուլլերի մեթոդում, ինչպես նաև հայտնվում է Վիետի թեորեմում։ Տալիս է նույն արմատները՝ հետևյալ հավասարմամբ․

x=\frac{-2c}{b\pm\sqrt{b^2-4ac}} = \frac{2c}{-b \mp \sqrt {b^2-4ac\ }}\ \ .

### Ձևակերպումներ՝ այլընտրանքային պարամետրիզացիայի հիման վրա
Քառակուսային հավասարման ստանդարտ պարամերիզացիան հետևյալն է․ ax^2+bx+c=0։ Որոշ աղբյուրներ՝ հատկապես հին աղբյուրները, օգտագործում են հետևյալ այլընտրանքային ձևակերպումը․
ax^2 - 2b_1 x + c = 0, որտեղ b_1 = -b/2, կամ ax^2 + 2b_2 x + c = 0, որտեղ b_2 = b/2:

Այլընտրանքային ձևակերպումների համապատասխան բանաձևերը փոքր֊ինչ տարբերվող տեսք ունեն, բայց բովանդակայնորեն համարժեք են ստանդարտին։

## Բանաձևի ստացումը
Գիտական գրականության մեջ քառակուսային բանաձև ստանալու շատ մեթոդներ կան նկարագրված։ Ամենատարածվածը քառակուսու լրացման տեխնիկան է։ Այլընտրանքային մեթոդները երբեմն ավելի պարզ են, քան քառակուսին լրացնելը, և կարող են օգտակար լինել մաթեմատիկայի այլ ոլորտների հետ կապեր տեսնելուն։

### Քառակուսին լրացնելով
#### Ստանդարտ մեթոդ

Բաժանեք քառակուսային հավասարումը a֊ով, ինչը հնարավոր է, քանի որ  a \neq 0   երաշխավորված է սահմանմամբ․

x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0

Երկու կողմից հանեք  \dfrac{c}{a} ՝ ստանալով․

x^2 + \frac{b}{a} x= -\frac{c}{a}

Քառակուսային հավասարումն այժմ այն տեսքով է, որով հնարավոր է լրացնել քառակուսին։ Իրականում, հավասարման երկու կողմերին պարզապես հաստատուն ավելացնելով՝ կարող ենք ձախ կողմում ամբողջական քառակուսի ստանալ․

x^2+\frac{b}{a}x+\left( \frac{b}{2a} \right)^2 =-\frac{c}{a}+\left( \frac{b}{2a} \right)^2

որից ստանում ենք․

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}

Համապատասխանաբար, աջ կողմում անդամները վերադասավորելով և ընդհանուր հայտարարի բերելով կարող ենք ստանալ․

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}

Քառակուսին լրացված է։ Երկու կողմից քառակուսի արմատ հանելով ստանում ենք․

x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}

Արդեն նպատակահարմար է անհայտները հավաքել հավասարման մի կողմում, հայտնիների՝ մյուս կողմում, վերջնական բանաձևը ստանալու համար․

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}

Բանաձևի ստացման շատ այլընտրաքային ճանապարհներ կան՝ չնչին տարբերություններով․ հիմնական տարբերությունը a-ի հետ արվող փոփոխություններն են։

#### Երկրորդ մեթոդ
Վերջին մի քանի տասնամյակում հրատարակվաշ հանրահաշվական աշխատությունների մեծամասնությունը քառակուսին լրացնելու համար հետևյալ հաջորդականությունն է առաջարկում․

# Բաժանել հավասարման երկու կողմը a-ով՝ միավոր գործակցով առաջատար անդամով բազմանդամ ստանալու համար։
# Վերախմբավորել։
# Հավասարման երկու կողմին  \left( \dfrac{b}{2a} \right) ^2  ավելացնել։
# Երկու կողմից քառակուսի արմատ հանել։
# Մեկուսացնել x֊ը։

Քառակուսին լրացնելը երբեմն հնարավոր է իրականացնել ավելի պարզ ու կարճ հաջորդականությամբ․

# Բազմապատկել յուրաքանչյուր կողմը 4a֊ով
# Վերադասավորել։
# Երկու կողմին b^2 ավելացնել՝ քառակուսին լրացնելու համար։
# Երկու կողմից քառակուսի արմատ հանել։
# Մեկուսացել x֊ը։

Այսպիսով, քառակուսային բանաձևը կարող ենք ստանալ հետևյալ հաջորդականության արդյունքում․

:\begin{align}
ax^2+bx+c &= 0 \\
4 a^2 x^2 + 4abx + 4ac &= 0 \\
4 a^2 x^2 + 4abx &= -4ac \\
4 a^2 x^2 + 4abx + b^2 &= b^2 - 4ac \\
(2ax + b)^2 &= b^2 - 4ac \\
2ax + b &= \pm \sqrt{b^2-4ac} \\
2ax &= -b \pm \sqrt{b^2-4ac} \\ 
x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac }}{2a}\ \ .
\end{align}

Քառակուսային բանաձևի այս ստացման եղանակը բավականին հին է, և հայտնի էր Հնդկաստանում արդեն առնվազն 1025 թվականին։ Ի հակադրությունտ ստանդարտ ստացման՝ այս այլընտրաքային մեթոդը մինչև վերջին քայլը խուսափում է կոտորակների ու քառակուսային ֆունկցիաների կիրառումից, և այդպիսով երրորդ քայլից հետո ընդհանուր հայտարարի բերման համար վերադասավորում չի պահանջում։

#### Երրորդ մեթոդ
Առաջին՝ ստանդարտ մեթոդի նման, բաժանել հավասարման երկու կողմը a֊ով՝ քառակուսային փոփոխականի գործակիցը 1 դարձնելու համար․

x^2 + \dfrac{b}{a} x + \dfrac{c}{a}=0

Արտագրել հավասարումն ավելի սեղմ ու հեշտ ընթեռնելի ձևով․

x^2 + Bx + C = 0

որտեղ  B = \dfrac{b}{a} և  C = \dfrac{c}{a}։ Լրացնել քառակուսին՝ առաջին երկու անդամին  \dfrac{B^2}{4}  գումարելով, իսկ երրորդից՝ հանելով․

\left(x+\dfrac{B}{2}\right)^2 + \left( C - \dfrac{B^2}{4}\right) = 0

Խմբավորել ձախ կողմը՝ քառակուսիների տարբերություն ստանալու համար․

\left(x+\dfrac{B}{2}\right)^2 - \left( \sqrt{\dfrac{B^2}{4} - C}\right)^2 = 0

Ֆակտորիզացնել այն․

\left(x+\dfrac{B}{2} + \sqrt{\dfrac{B^2}{4} - C}\right) \left(x+\dfrac{B}{2} - \sqrt{\dfrac{B^2}{4} - C}\right) = 0

ինչից հետևում է

x+\frac{B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} - C} = 0

կամ

x+\frac{B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} - C} = 0

Հավասարումներից յուրաքանչյուրը կարող ենք լուծել x֊ի համար՝ ստանալով․

x = -\dfrac{B}{2} - \sqrt{\dfrac{B^2}{4} - C}  կամ   x = -\dfrac{B}{2} + \sqrt{\dfrac{B^2}{4} - C}

Ներկայացնելով B֊ի ու C֊ի նախնական արժեքները՝ կստանաք օրիգինալ քառակուսային բանաձևը։

### Փոխարինմամբ
Լուծման մեկ այլ տեխնիկա է փոխարինումը։ Այս տեխնիկայով մենք փոխարինում ենք x = y+m քառակուսային հավասարման մեջ և ստանում a(y+m)^2 + b(y+m) + c =0 հավասարումը։ Բացելով փակագծերն ու անհայտի աստիճաններն իրար հետ հավաքելով ստանում ենք․

ay^2 + y(2am + b) + \left(am^2+bm+c\right) = 0

Քանի որ ո՛չ y֊ի, ո՛չ m֊ի համար որևէ սահմանափակում նկարագրված չէր, մենք կարող ենք m֊ն այնպես ընտրել, որ միջին անդամն անհետանա։ Այսինքն՝  2am + b = 0  կամ  m = \dfrac{-b}{2a}: Հավասարման երկու կողմից ազատ անդամը հանելով, ապա՝ a֊ով բաժանելով (նկատեք, որ, ըստ սահմանման  a \neq 0 ), ստանում ենք․

y^2=\frac{-\left(am^2+bm+c\right)}{a}

Փոխարինելով m֊ի արժեքը․

y^2=\frac{-\left(\frac{b^2}{4a}+\frac{-b^2}{2a}+c\right)}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}

Այդպիսով․

y=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Այժմ կարող ենք կրկին փոխարինել y֊ի արժեքը՝ x֊ով արտահայտված, օգտագործելով  x = y + m = y - \dfrac{b}{2a}  հավասարումը։ Արդյունքում կստանանք սովորական քառակուսային բանաձևը․

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .

### Հանրահաշվական նույնություններով
Հետևյալ մեթոդը պատմական տարբեր շրջաններում բազմաթիվ մաթեմատիկոսներ են օգտագործել․

դիցուք, r_1֊ը և r_2֊ը ստանդարտ քառակուսային հավասարման արմատներն են։ Բանաձևի ստացումը սկսվում է հետևյալ նույնությամբ․

(r_1 - r_2)^2 = (r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2

Յուրաքանչյուր կողմից քառակուսի արմատ հանենք․

r_1 - r_2 = \pm\sqrt{(r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2}

Քանի որ հավասարման քառակուսային անդամի գործակիցը՝ a֊ն, ըստ սահմանման  \neq 0 , կարող ենք ստանդարտ հավասարումը բաժանել a-ի վրա՝ նույն արմատներն ունեցող քառակուսային բազմանդամ ստանալու համար․

 x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = (x - r_1)(x-r_2) = x^2 - (r_1 + r_2)x + r_1 r_2

Այստեղից կարող ենք տեսնել, որ քառակուսային հավասարման արմատների գումարը պետք է հավասար լինի  -\dfrac{b}{a} , իսկ արտադրյալը՝  \dfrac{c}{a} ։ Այդպիսով, նույնությունը կարող ենք գրել հետևյալ տեսքով․

r_1 - r_2 = \pm\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a}} = \pm\sqrt{\frac{b^2}{a^2} - \frac{4ac}{a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}

Այժմ,

r_1 = \frac{(r_1 + r_2) + (r_1 - r_2)}{2} = \frac{-\frac{b}{a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}}{2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Քանի որ  r_2 = - r_1 - \dfrac{b}{a} , եթե օգտագործենք r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, կստանանք․

r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Իսկ եթե վերցնենք r_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, կարող ենք հաշվել նաև հետևյալ բանաձևը․ r_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}։

Արդյունքները ստանդարտ  \pm  նշանով միացորելով, ստանում ենք քառակուսային հավասարման լուծումները գտնելու հետևյալ բանաձևը․

 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .

## Պատմությունը
Քառակուսային հավասարումներ լուծելու ամենավաղ հայտնաբերված եղանակը երկրաչափականն է։ Բաբելոնյան սեպագիր հուշատախտակներում խնդիրներ կան, որոնք կարելի է լուծել քառակուսային հավասարում ներկայացնելով։ Եգիպտական Բեռլինի Պապիրուսը, որը ժամանակագրվում է Միջին Թագավորության (մ․թ․ա․ 2050 ֊ մ․թ․ա․ 1650 թվականներ) ժամանակաշրջան, երկու անդամով քառակուսային հավասարումների լուծման եղանակներ է պարունաում։

Հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսը (մ․թ․ա․ 300) իր *[[Սկզբունքներ]]* երկի երկրորդ գրքում քառակուսային հավասարումներ լուծեու երկրաչափական եղանակներ է նկարագրել։ Քառակուսային հավասարման կանոնները հանդիպում են նաև չինական *[[Ինը Գլուխ Մաթեմատիկական Արվեստի մասին]]* աշխատությունում (մ․թ․ա․ 200)։ Իր ''Թվաբանություն'' աշխատությունում հույն մաթեմատիկոս Դիոֆանտը (մոտ․ 250 թվական) քառակուսային հավասարումներ է լուծում հանրահաշվականին ավելի մոտ եղանակով, քան Էվկլիդեսի նկարագրած երկրաչափական հանրահաշիվն էր։ Դիոֆանտի եղանակը հավասարման միայն մի լուծումն է գտնում, նույնիսկ այն դեպքում, երբ երկու արմատներն էլ դրական են։

Հնդիկ մաթեատիկոս Բրահմագուպտան (597–668 թվականներ) հստակ նկարագրել է քառակուսային բանաձևն իր *Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում* գրքում, որը հրատարակվել է 628 թվականին, սակայն նկարագրել է այն բառերով՝ առանց նշաններ օգտագործելու։ Բրահմագուպտայի՝  ax^2 + bx = c  քառակուսային հավասարում լուծելու առաջարկած եղանակը հետևյալն էր․ «բացարձակ թվի (քառակուսու գործակցի) քառապատիկի արտադրյալին գումարե՛ք միջին անդամի (գործակցի) քառակուսին; նույնի քառակուսի արմատը, հանած միջին անդամը (միջին անդամի գործակիցը), բաժանած քառակուսու (գործակցի) կրկնապատիկով, (և կստանաք) արժեքը»։ Ինչը համարժեք է x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a} բանաձևին։

9֊րդ դարի պարսիկ մաթեմատիկոս Մուհամեդ իբն Մուսա Խորեզմին հանրահաշվորեն քառակուսային հավարումներ է լուծել։ Բոլոր հնարավոր դեպքերը հաշվի առնող առաջին բանաձևը հայտնաբերել է Սիմոն Սթևինը 1594 թվականին։ 1637 թվականին Ռենե Դեկարտը հրատարակել է ''Երկրաչափությունը'', որտեղ ներկայացրել է մեր՝ այսօր օգտագործվող քառակուսային բանաձևի կիրառման հատուկ դեպքերը։

## Կիրառումներ
### Երկրաչափական կիրառում

Պարաբոլը ցանկացած կոր է, որի  x, y  - կոորդինատները սահմանվում են երկրորդ աստիճանի բազմանդամով․ y =p(x) = a_2x^2 + a_1x +a_0, որտեղ p-ն ներկայացնում է երկրորդ աստիճանի բազմանդամը, իսկ  a_0, a_1  և  a_2 \neq 0  գործակից հաստատուններ են, որոնց ինդեքսները համընկնում են իրենց համապատասխան անհայտի աստիճանին։ Երկրաչափական մեկնաբանությամբ, քառակուսային բանաձևը սահմանում է այն կետերը, որտեղ պարաբոլը կհատի x֊երի առանցքը։ Ավելին․ եթե քառակուսային հավասարումը դիտարկվի երկու անդամով․

:x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=-\frac{b}{2a} \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}

Համաչափության առանցքը կհամընկնի  x = - \dfrac{b}{2a}  ուղղի հետ։ Մյուս անդամը՝  \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} , ներկայացնում է արմատների հեռավորությունը համաչափության առանցքից։ Արմատներից մեկը «դրական»՝ դեպի աջ, հեռավորություն ունի, մյուսը՝ «բացասական», դեպի ձախ։

Եթե արմատների հեռավորությունը համաչափության առանցքից հասնում է զրոյի, համաչափության առանցքի արժեքը հավասար կլինի արմատի արժեքին՝ այն x արժեքին, որում ֆունկցիայի արժեքը հավասար է զրոյի։ Այսինքն՝ քառակուսային հավասարումը միայն մի լուծում ունի։ Հանրահաշվորեն սա նշանակում է, որ  \sqrt{b^2 - 4ac} = 0 , այսինքն․  b^2 - 4ac = 0 ։ Նկատեք, որ հավասարման ձախ հատվածը պարզապես դիսկրիմինանտն է։

Դիսկրիմինանտի արժեքը ցույց է տալիս, թե պարաբոլը քանի զրո կունենա։ Երեք հնարավոր դեպք կա․ դիսկրիմինանտը կարող է լինել դրական, ինչի դեպքում հեռավորությունը նույնպես դրական կլինի, և պարաբոլը երկու զրո կունենա, հավասարումն էլ, համապատասխանաբար՝ երկու իրական լուծում։ Սակայն, երբ դիսկրիմինանտը բացասական է, հեռավորությունը *կեղծ* է՝ կոմպլեք արմատ i  թվի որևէ իրական բազմատիկ, ինչը նշանակում է, որ պարաբոլի զրոները կոմպլեքս թվեր են։

Քառակուսային հավասարման կոմպլեքս արմատները կոմպլեքս զույգեր են, որոնց իրական մասի արժեքը հավասար է համաչափության առանցքի արժեքին։ Նման պարաբոլը որևէ իրական x արժեքի համար x-երի առանցքը չի հատի։

### Տարածական անալիզ
Եթե  a, b  և c հաստատուններն անմիավոր չեն, x-ի միավորը պետք է հավասար լինի  \dfrac{b}{a}  մեծության միավորին, քանի որ հավասարման  ax^2  և  bx  անդամները պետք է նույն միավորն ունենան։ Ավելին՝ նույն տրամաբանությամբ  c  հաստատունի միավորը պետք է համընկնի  \dfrac{b^2}{a}  մեծության միավորին, ինչը կարող ենք հաստատել առանց հավասարումը լուծելու։ Այս փաստը հնարավորություն է տալիս քառակուսային հավասարումը լուծելուց առաջ ստուգել, արդյո՞ք ֆիզիկական մեծություններ արտահայտող հավասարումը ճիշտ է սահմանված, թե՞՝ ոչ։

## Տեսեք նաև
* Դիսկրիմինանտ
* Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ
* Վիետի թեորեմ

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Տարրական հանրահաշվի բանաձևեր