Բեսելի ֆունկցիաներ

**Բեսելի ֆունկցիաները**, ֆունկցիաների ընտանիք է, Բեսելի դիֆերենցիալ հավասարման կանոնական լուծումներն են։

x^2{d^2y \over dx^2}+x{\operatorname{d}\!y\over\operatorname{d}\!x}+(x^2-\alpha^2)y=0

որտեղ \alpha−ն կամայական իրական թիվ է (ընդհանուր առմամբ−կոմպլեքս) և կոչվում է կարգ։ Առավել հաճախ օգտագործվող Բեսելի ֆունկցիաները −ամբողջական կարգով ֆունկցիաներ են։ Չնայած նրան, որ \alpha և (-\alpha) առաջացնում է միևնույն հավասարումներ, սովորաբար համաձայնեցվում են, որ նրանց համապատասխանեն տարբեր ֆունկցիաներ (որը արվում է, օրինակ, որպեսզի Բեսելի ֆունկցիան լինի \alpha-ով հարթ։

Բեսելի ֆունկցիաներն առաջին անգամ որոշված են եղել շվեյցարացի մաթեմատիկոս Դանիել Բերնուլի կողմից, բայց անվանվել են Ֆրիդրիխ Բեսելի պատվին։

## Կիրառությունը
Բեսելի հավասարումն առաջանում է Լապլասի հավասարման և Հելմհոլցի հավասարման լուծումներ գտնելու ժամանակ գլանաձև և գնդաձև կոորդինատների մեջ։ Հետևաբար, Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում է ալիքի տարածման, ստատիկ պոտենցիալի, և նմանատիպ բազմաթիվ խնդիրների լուծման ժամանակ, օրինակ`

* Էլեկտրամագնիսական ալիքները գլանաձև ալիքատարում
* Ջերմահաղորդականությունը գլանաձև օբյեկտներում
* Բարակ կլոր թաղանթի ձևերը
* Լույսի ինտենսիվության բաշխումը, կլոր անցքի վրա
* Հեղուկով լցված և իր առանցքի շուրջը պտտվող գլանում մասնիկների արագությունը
* Ալիքային ֆունկցիաները գնդաձև սիմետրիկ պոտենցիալային արկղում

Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում են նաև այլ խնդիրների լուծման համար, օրինակ`ազդանշանների մշակման ժամանակ։

## Սահմանումներ
Քանի որ բերված հավասարումը համարվում է երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում, այն պետք է ունենա երկու գծային անկախ լուծումներ։ Սակայն կախված հանգամանքներից ընտրվում են այդ լուծումների տարբեր սահմանումներ։

### Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաներ
Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաները, նշանակված J_\alpha(x), դրանք հանդիսանում են լուծումներ, x=0 կետում վերջնական ամբողջ կամ ոչ բացասական \alpha: Կոնկրետ ֆունկցիայի ընտրությունը և նրա նորմալացումը սահմանվում են (որոշվում են) նրա հատկություններով։ Կարելի է սահմանել այդ ֆունկցիաները օգտագործելով Թեյլորի շարքը զրոյի շուրջը (կամ ավելի ընդհանուր աստիճանային շարք ոչ ամբողջական \alpha-ների դեպքում)։

J_\alpha(x)=\sum_{m=0}^\infty{(-1)^m \over m!\Gamma(m+\alpha+1}{\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}

Այստեղ \Gamma(z)-Էյլերի գամմա ֆունկցիան է, ֆակտորիալի ընդանրացումը ոչ ամբողջական արժեքների վրա։ Բեսելի ֆունկցիայի գրաֆիկը նման է սինուսոիդի, որի տատանումները մարում են համամասնորեն 1 \over \sqrt{x}  , չնայած իրականում զրո ֆունկցիաները տեղաբաշխված են ոչ պարբերական։

Բերված են J_\alpha(x) գրաֆիկները \alpha=0,1,2 արժեքների համար։
alt=График функции Бесселя первого рода J|կենտրոն|frameless|478x478փքս
Եթե \alpha-ն թի հանդիսանում ամբողջ թիվ, J_\alpha(x) և J_{-\alpha}(x) ֆունկցիաները գծայնորեն անկախ են, հետևաբար համարվում են հավասարման լուծումներ։ Բայց եթե

J_{-\alpha}(x)=(-1)^\alpha J_\alpha(x)

Այն նշանակում է, որ այս դեպքում ֆունկցիաները գծային կախված են։ Ապա հավասարման երկրորդ լուծումը կլինի երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիան։

### Բեսելի ինտեգրալներ
\alpha ամբողջ արժեքների համար Բեսելի ֆունկցիային կարելի է տալ ուրիշ սահմանում, օգտագործելով ինտեգրալային պատկերումը։

J_\alpha(x)={1 \over \pi} \int\limits_{0}^{\pi}\cos(\alpha\tau-x\sin\tau)d\tau

Այս մոտեցումը օգտագործել է Բեսելը, որի օգնությամբ ուսումնասիրել է ֆունկցիայի որոշ հատկություններ։

Հնարավոր է նաև այլ ինտեգրալային պատկերումը։

J_\alpha(x)={1 \over 2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}e^{i(\alpha\tau-x\sin\tau)}d\tau

### Նեյմանի ֆունկցիաներ
Նեյմանի ֆունկցիաները Բեսելի Y_\alpha(X) հավասարման լուծումներն են,որոնք անվերջ են x=0 կետում։

Այս ֆունկցիան J_\alpha(x)–ի հետ կապված է հետեւաբար հարաբերակցությամբ`

Y_\alpha(x)={J_\alpha(x)\cos(\alpha\pi)-J_{-\alpha}(x)} \over \sin(\alpha\pi)

որտեղ ամբողջ \alpha դեպքում վերցվում է սահմանը \alpha—ով,հաշվարկվող,օրինակ`Լոպիտալի կանոնի օգնությամբ։

Նեյմանի ֆունկցիաներին անվանում են նաեւ երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիաներ։

Առաջին եւ երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիաների քծային կոմբինացիան հանդիսանում է Բեսելի հավասարման լրիվ լուծումը։

y(x)=C_1J_\alpha(x)+C_2Y_\alpha(x)

Ներքեւում բեված է Y_\alpha(x) գրաֆիկը \alpha=0,1,2 արժեքների համար։
alt=График функции Бесселя второго рода N|կենտրոն|frameless|506x506փքս

## Հատկություններ
### Օրթոգոնալ
Ենթադրենք \mu_1,\mu_2 Բեսելի J_\alpha(x) ֆունկցիայի զրոներն են։ Ապա

\int_{0}^{1}{x J_{\alpha}(\mu_1 x) J_{\alpha}(\mu_2 x) dx} = \left\{ \begin{matrix}
  0  & \mbox{;}\quad\mu_1\ne\mu_2 \\ \\
  \frac{1}{2}(J'_{\alpha}(\mu_1))^2 & \mbox{;}\quad\mu_1=\mu_2 
\end{matrix} \right. 

### Ասիմպտոտիկա
Առաջին և երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար հայտնի են ասիմպտոտիկ բանաձևեր։ Փոքր փաստարկների դեպքում (0 և ոչ բացասական \alpha-ի դեպքում նրանք հետևյալն են`

J_\alpha(x)\longrightarrow {1 \over{\Gamma(\alpha+1)}} {\left( {x \over 2} \right)}^\alpha

Y_\alpha(x)\longrightarrow \begin{cases} {2 \over \pi}[\ln(x/2)+\gamma] & \mbox{;}\quad\alpha=0 \\-{\Gamma(\alpha) \over \pi} \left( {2 \over \pi} \right)^\alpha  & \mbox{;}\quad\alpha > 0\\ \end{cases}


Որտեղ \gamma—Էյլեր-Մասկերոնի հաստատունն է (0.5772...), իսկ \Gamma-Էյլերի գամմա ֆունկցիան է։ Մեծ փաստարկների համար (x>>|\alpha^2-{1 \over 4}|) բանաձևերը ունեն հետևյալ տեսքը`

J_\alpha(x)\longrightarrow \sqrt{2 \over \pi x} \cos{\left( x-{\alpha\pi \over 2}-{\pi \over 4} \right)}

Y_\alpha(x)\longrightarrow \sqrt{2 \over \pi x} \sin{\left( x-{\alpha\pi \over 2}-{\pi \over 4} \right)}

### Հիպերերկրաչափական շարք
Բեսելի ֆունկցիաները կարող են արտահայտվել հիպերերկրաչափական ֆունկցիաների միջոցով։

J_\alpha(z)={(z/2)^\alpha \over \Gamma(\alpha+1)}F_1(\alpha+1;-z^2/4) 

Այսպիսով ամբողջ \alpha
-ների դեպքում Բեսելի ֆունկցիան *եզակի անալիտիկ է,* իսկ ոչ ամբողջի դեպքում`*բազմակի անալիտիկ:*

### Գեներացնող ֆունկցիա
Առաջին կարգի և ամբողջական կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար գոյություն ունի պատկերացում որոշակի ձևի ֆունկցիայի Լորանի շարքի գործակիցների միջոցով`

e^

## Գրականություն
* *Ватсон Г.*  Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
* *Бейтмен Г., Эрдейи А.*  Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
* *Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.*  Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.

Կատեգորիա:Ֆունկցիա