Սահման (մաթեմատիկա)

**Սահման**, արժեք մաթեմատիկայում, որին ֆունկցիան կամ հաջորդականությունը «ձգտում» են, երբ փոփոխականը «ձգտում» է որոշակի արժեքի։ Սահմանը հիմնական հասկացություն է մաթեմատիկական անալիզում և օգտագործվում է այնպիսի հասկացություններ սահմանելիս, ինչպիսիք են՝ անընդհատությունը, ածանցյալը և ինտեգրալը։

Հաջորդականության սահմանի ավելի ընդհանրացված գաղափարը տոպոլոգիական ցանցերի սահմանն է և սերտորեն կապված է կատեգորիաների տեսության սահմանի և ուղիղ սահմանի հետ։

Բանաձևերում ֆունկցիայի սահմանը սովորաբար նշանակվում է հետևյալ կերպ՝
: \lim_{x \to c} f(x) = L,
և կարդացվում է «f(x) ֆունկցիայի սահմանը, երբ x-ը ձգտում է c-ի հավասար է L-ի»։ Այս փաստը նաև նշանակում են հետևյալ կերպ՝
:f(x) \to L \text{ as } x \to c։

## Ֆունկցիայի սահման

thumb|Whenever a point  is within a distance  of , the value  is within a distance  of .
thumb|For all , the value  is within a distance  of .
Ենթադրենք f-ը իրական ֆունկցիա է իսկ c-ն՝ իրական թիվ։ Հետևյալ արտահայտությունը
: \lim_{x \to c}f(x) = L 

ինտուիտիվ նշանակում է, որ f(x) ֆունցիայի արժեքը կամայական չափով կարող է մոտենալ L-ին՝ x թիվը c-ին բավարար մոտ ընտրելու դեպքում։ Այդ դեպքում ասում են, որ «f(x) ֆունկցիայի սահմանը, երբ x-ը ձգտում է c-ի հավասար է L-ի»։

1821 թվականի Օգյուստեն Լուի Կոշին, հետագայում Կառլ Վայերշտրասը ձևակերպել են ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը, որ այժմ հայտնի է սահմանի (ε, δ) սահմանում անվամբ։ Այս սահմանումը օգտագործում է հունարենի փոքրատառ ε տառը՝ կամայական դրական փոքր թիվ ներկայացնելու համար, հետևաբար՝ f(x) ֆունկցիան կամայական չափով մոտենում է L-ին նշանակում է, որ f(x) ֆունկցիան, ի վերջո, գտնվում է (L-\epsilon, L + \epsilon) միջակայքում, ինչը նաև կարելի է գրառել բացարձակ արժեքի նշանակմամբ՝ |f(x) - L|  Այս դեպքում «x-ը ձգտում է c-ին» արտահայտությունը նշանակում է, որ մենք նկատի ունենք x-ի այն արժեքները, որոնց հեռավորությունը c-ից ավելի փոքր է, քան -ն (հունարենի այբբենարանի փոքրատառ դելտա տառը)։ Այլ կերպ ասած, այն x-երը, որոնք գտնվում են (c - \delta, c + \delta) կամ (c, c + \delta) միջակայքում, ինչը կարելի է գրել 0  տեսքով։ Արտահայտության առաջին անհավասարությունը 0  կարևոր է, քանի որ այն ցույց է տալիս, որ x \neq c։

Սահմանի վերևի սահմանումը ճիշտ է անգամ եթե f(c) \neq L։ Տրված f ֆունկցիան անգամ կարող է սահմանված չլինել c կետում։

Օրինակ, եթե
: f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} 

ուրեմն f(1)-ը սահմանված չէ, բայց երբ x-ը ձգտում է 1-ի, f(x)-ը ձգտում է 2-ի.

Հետևաբար, f(x)-ի արժեքը կարող է 2-ին կամայական չափով մոտ լինել՝ 1-ին բավարար մոտ x ընտրելու դեպքում։

Այլ կերպ ասած,  \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 2։

Սա կարելի է հաշվել հանրահաշվորեն. մեկից տարբեր կամայական x թվի համար \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = x+1։

Քանի որ x+1 ֆունկցիան անընդհատ է 1 կետում, սահմանը գնելու համար կարելի է ֆունկցիայի մեջ տեղադրել x=1 արժեքը, հետևաբար՝ \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 1+1 = 2։

Իրական թվերից բացի սահմանված է ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։ Օրինակ՝
:f(x) = {2x-1 \over x}
* *f*(100) = 1.9900
* *f*(1000) = 1.9990
* *f*(10000) = 1.99990

Շատ մեծ x արժեքների դեպքում f(x) ֆունկցիայի արժեքը 2-ին կամայական չափով մոտ կարող է լինել։ Այս դեպքում ասում են, որ f(x) ֆունկցիան ձգտում է 2-ի, երբ x-ը ձգտում է անվերջության։ Այս փաստը նշանակում են հետևյալ կերպ՝
: \lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{x} = 2։

## Հաջորդականության սահման

Ենթադրենք a_1, a_2, ...-ը իրական թվերի հաջորդականություն է։ Ասում են, որ L իրական թիվը այս հաջորդականության սահմանն է, եթե
: \lim_{n \to \infty} a_n = L ,

որը կարդում են՝
:a_n հաջորդականությանը սահմանը, երբ n-ը ձգտում է անվերջության, L է։

Այս արտահայտությունը նշանակում է, որ 
:Կամայական \epsilon > 0 իրական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի N բնական թիվ, որ բոլոր n > N թվերի համար ճիշտ է |a_n - L|  արտահայտությունը։

Ինտուիտիվ սա նշանակում է, որ ի վերջո հաջորդականության բոլոր անդամները սահմանին կամայական չափով մոտ կլինեն, քանի որ |a_n - L| բացարձակ արժեքը a_n-ի և L-ի հեռավորությունն է։ Ոչ բոլոր հաջորդականությունները ունեն սահման։ Սահման ունեցող հաջորդականությունները կոչվում են զուգամետ հաջորդականություններ, իսկ չունեցողները՝ տարամետ։ Զուգամետ հաջորդականությունները ունեն մեկ սահման։

Հաջորդականության և ֆունկցիայի սահմանները սերտորեն կապված են։ Օրինակ՝ a_n հաջորդականության սահմանը, երբ n-ը ձգտում է անվերջության, նույնն է ինչ n բնական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
* 
* Mathwords: Limit,

Կատեգորիա:Իրական անալիզ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ
Կատեգորիա:Սահման (մաթեմատիկա)