Մաթեմատիկական տնտեսագիտություն

**Մաթեմատիկական տնտեսագիտություն**, մաթեմատիկական մեթոդների կիրառումը տնտեսագիտության մեջ տեսությունները ներկայացնելու և խնդիրները վերլուծելու համար: Հաճախ այս կիրառվող մեթոդները գերազանցում են պարզ երկրաչափությունը և կարող են ներառել ինտեգրալային և դիֆերենցիալ հավասարումներ, մատրիցային հանրահաշիվ, մաթեմատիկական օպտիմիզիացիա կամ այլ հաշվողական մեթոդներ։ Այս մոտեցման կողմնակիցները պնդում են, որ այն թույլ է տալիս ձևակերպել տեսական հարաբերություններ խստությամբ, ընդհանրությամբ և պարզությամբ։

Մաթեմատիկան թույլ է տալիս տնտեսագետներին կազմել իմաստալից, ստուգելի ենթադրություններ լայնածավալ և բարդ թեմաների վերաբերյալ, որոնք ավելի դժվար կարող էին արտահայտվել ոչ ֆորմալ ձևով: Մաթեմատիկայի լեզուն թույլ է տալիս տնտեսագետներին անել կոնկրետ, դրական պնդումներ վիճելի կամ վիճարկելի թեմաների վերաբերյալ, որոնք անհնար կլինեին առանց մաթեմատիկայի։ Տնտեսական տեսության մեծ մասը ներկայումս ներկայացվում է մաթեմատիկական տնտեսական մոդելների տեսքով, որոնք ոճավորված և պարզեցված մաթեմատիկական հարաբերությունների ամբողջություն են, որոնք հաստատվում են ենթադրություններն ու հետևանքները պարզաբանելու համար։

Լայն կիրառությունները ներառում են.

* նպատակային հավասարակշռության օպտիմալացման խնդիրներ, անկախ նրանից՝ տնային տնտեսության, բիզնես ընկերության, թե քաղաքականություն մշակողի
* ստատիկ (կամ հավասարակշռված) վերլուծություն, որի դեպքում տնտեսական միավորը (օրինակ՝ տնային տնտեսությունը) կամ տնտեսական համակարգը (օրինակ՝ շուկան կամ տնտեսությունը) մոդելավորվում է որպես անփոփոխ
* համեմատական ստատիկան մեկ հավասարակշռությունից մյուսին անցնելու վերաբերյալ, որը պայմանավորված է մեկ կամ մի քանի գործոնների փոփոխությամբ։
* դինամիկ վերլուծություն, որը հետևում է տնտեսական համակարգի փոփոխությունների ժամանակի ընթացքում, օրինակ՝ տնտեսական աճից

Ֆորմալ տնտեսական մոդելավորումը սկսվել է 19-րդ դարում՝ դիֆերենցիալ հաշվի օգտագործմամբ՝ տնտեսական վարքագիծը ներկայացնելու և բացատրելու համար, ինչպիսին է օգտակարության մաքսիմալացումը, որը մաթեմատիկական օպտիմալացման վաղ տնտեսական կիրառություն է։ Տնտեսագիտությունը որպես առարկա ավելի մաթեմատիկական դարձավ 20-րդ դարի առաջին կեսին, սակայն Երկրորդ համաշխարհային պատերազմի շուրջ շրջանում, ինչպես խաղերի տեսության մեջ, նոր և ընդհանրացված մեթոդների ներդրումը մեծապես ընդլայնել է մաթեմատիկական ձևակերպումների օգտագործումը տնտեսագիտության մեջ։

Տնտեսագիտության այս արագ համակարգումը անհանգստացրել է ինչպես ոլորտի քննադատներին, այնպես էլ որոշ հայտնի տնտեսագետների: Ջոն Մեյնարդ Քեյնսը, Ռոբերտ Հեյլբրոները, Ֆրիդրիխ Հայեկը և ուրիշներ քննադատել են մարդկային վարքագծի համար մաթեմատիկական մոդելների լայն կիրառումը՝ պնդելով, որ որոշ մարդկային ընտրություններ մաթեմատիկայի չեն ենթարկվում և չեն կարող ամբողջությամբ վերածվել մաթեմատիկական հաշվարկների։

## Պատմություն
Մաթեմատիկայի օգտագործումը սոցիալական և տնտեսական վերլուծության մեջ սկիզբ է առել դեռևս 17-րդ դարից։ Այնուհետև, հիմնականում գերմանական համալսարաններում, ի հայտ է եկել ուսուցման մի ոճ, որը հատկապես վերաբերել է պետական կառավարմանը վերաբերող տվյալների մանրամասն ներկայացմանը։ Գոտֆրիդ Ախենվալը դասախոսություններ է կարդացել այս ձևով՝ ստեղծելով «վիճակագրություն» տերմինը։ Միևնույն ժամանակ, Անգլիայում պրոֆեսորների մի փոքր խումբ մշակել է «կառավարությանը վերաբերող բաների վերաբերյալ թվերով դատողություններ անելու» մեթոդ և այս պրակտիկան անվանել է *քաղաքական թվաբանություն*։ Սըր Ուիլյամ Փետտին մանրամասն գրել է այն հարցերի մասին, որոնք հետագայում կհետաքրքրեին տնտեսագետներին, ինչպիսիք են հարկումը, փողի արագությունը և ազգային եկամուտը, բայց չնայած նրա վերլուծությունն եղել է թվային, մերժել է վերացական մաթեմատիկական մեթոդաբանությունը։ Փետտիի մանրամասն թվային տվյալների օգտագործումը (Ջոն Գրաունտի հետ միասին) որոշ ժամանակ ազդեցություն է ունեցել վիճակագիրների և տնտեսագետների վրա, չնայած Փետտիի աշխատանքները մեծապես անտեսել են անգլիացի գիտնականները։

Տնտեսագիտության մաթեմատիկականացումը լրջորեն սկսվել է 19-րդ դարում: Այդ ժամանակվա տնտեսական վերլուծությունների մեծ մասն եղել է այն, ինչը հետագայում կոչվել է դասական քաղաքատնտեսություն: Թեմաները քննարկվել և անտեսվել են հանրահաշվական միջոցներով, բայց հաշվարկը չէր օգտագործվում: Ավելի կարևոր է, որ մինչև Յոհան Հայնրիխ ֆոն Թյունենի «*[[Յոհան ֆոն Թյունեն|Մեկուսացված պետություն»]]* աշխատությունը (1826 թվական), տնտեսագետները չէին մշակում վարքագծի բացահայտ և վերացական մոդելներ՝ մաթեմատիկայի գործիքները կիրառելու համար: Թյունենի գյուղատնտեսական հողերի օգտագործման մոդելը ներկայացնում է սահմանային վերլուծության առաջին օրինակը։ Թյունենի աշխատանքը հիմնականում եղել է տեսական, բայց նա նաև արդյունահանել է էմպիրիկ տվյալներ՝ իր ընդհանրացումները հիմնավորելու փորձ կատարելու համար: Իր ժամանակակիցների համեմատ, Թյունենը կառուցել է տնտեսական մոդելներ և գործիքներ՝ նախկին գործիքները նոր խնդիրների վրա կիրառելու փոխարեն։

Միևնույն ժամանակ, ֆիզիկական գիտությունների մաթեմատիկական մեթոդներով պատրաստված գիտնականների նոր սերունդը ներգրավվել է տնտեսագիտության մեջ՝ պաշտպանելով և կիրառելով այդ մեթոդները ոլորտում։ Նրանց թվում է եղել Ուիլյամ Ջևոնսը, որը 1862 թվականին ներկայացրել է «քաղաքական տնտեսության ընդհանուր մաթեմատիկական տեսության» վերաբերյալ հոդված՝ ներկայացնելով սահմանային օգտակարության տեսության քաղաքական տնտեսությունում օգտագործման ուրվագիծ։ 1871 թվականին հրատարակել է *«Քաղաքական տնտեսության սկզբունքները»* աշխատությունը՝ հայտարարելով, որ առարկան որպես գիտություն «պետք է լինի մաթեմատիկական պարզապես այն պատճառով, որ այն գործ ունի քանակների հետ»: Ջևոնսը ակնկալել է, որ միայն գների և քանակների վիճակագրության հավաքածուն թույլ կտա առարկային, ինչպես այն ներկայացված է, դառնալ ճշգրիտ գիտություն։  Մյուսները նախորդել և հետևել են տնտեսական խնդիրների վերաբերյալ մաթեմատիկական գաղափարների ընդլայնմանը։

### Մարժինալիստներ և նեոդասական տնտեսագիտության արմատներ

Օգյուստեն Կուրնոն և Լեոն Վալրասը այս ոլորտի գործիքները կառուցել են աքսիոմատիկորեն օգտակարության շուրջ՝ պնդելով, որ անհատները ձգտում են մեծացնել իրենց օգտակարությունը ընտրությունների միջոցով այնպես, որ այն կարելի լինի նկարագրել մաթեմատիկորեն։  Այդ ժամանակ համարվել է, որ օգտակարությունը քանակական է, միավորներով, որոնք հայտնի են որպես օգտակարություն։ Կուրնոն, Վալրասը և Ֆրենսիս Իսիդրո Էջվորթը համարվում են ժամանակակից մաթեմատիկական տնտեսագիտության նախահայրերը։

#### Անտուան Ավգուստին Կուրնո
Մաթեմատիկայի պրոֆեսոր Կուրնոն 1838 թվականին մշակել է դուոպոլիայի մաթեմատիկական մոտեցում՝ շուկայական պայման, որը սահմանվում է երկու վաճառողների միջև մրցակցությամբ։ Մրցակցության այս մոտեցումը, որն առաջին անգամ հրապարակվել է *«Հարստության մաթեմատիկական սկզբունքների հետազոտություններ»* աշխատությունում, Ենթադրվում է, որ երկու վաճառողներն էլ հավասար մուտք ունեն շուկա և կարող են իրենց ապրանքները արտադրել առանց ծախսերի: Ավելին, ենթադրվել է, որ երկու ապրանքներն էլ միատարր են: Յուրաքանչյուր վաճառող կփոփոխի իր արտադրանքը՝ հիմնվելով մյուսի արտադրանքի վրա, և շուկայական գինը կորոշվի մատակարարված ընդհանուր քանակով: Յուրաքանչյուր ընկերության շահույթը կորոշվի նրանց արտադրանքը շուկայական միավորի գնով բազմապատկելով: Յուրաքանչյուր ընկերության համար մատակարարված քանակի նկատմամբ շահույթի ֆունկցիայի դիֆերենցումը թողել է գծային հավասարումների համակարգ, որի միաժամանակյա լուծումը տվել է հավասարակշռության քանակը, գինը և շահույթը։ Կուրնոյի ներդրումը տնտեսագիտության մաթեմատիկականացման գործում տասնամյակներ շարունակ անտեսվել է, բայց ի վերջո ազդել է մարժինալիստներից շատերի վրա։ Կուրնոյի դուոպոլիայի և օլիգոպոլիայի մոդելները նույնպես ներկայացնում են ոչ համագործակցային խաղերի առաջին ձևակերպումներից մեկը։ Այսօր լուծումը կարող է տրվել որպես Նեշի հավասարակշռություն, սակայն Կուրնոյի աշխատանքը ժամանակակից խաղերի տեսությունից ավելի քան 100 տարի առաջ է եղել։

#### Լեոն Վալրաս
Մինչ Կուրնոն լուծում է տվել այն բանի համար, ինչը հետագայում կոչվեց մասնակի հավասարակշռություն, Լեոն Վալրասը փորձել է ձևակերպել տնտեսության քննարկումը որպես ամբողջություն՝ ընդհանուր մրցակցային հավասարակշռության տեսության միջոցով։ Բոլոր տնտեսական գործակալների վարքագիծը դիտարկվել է ինչպես արտադրության, այնպես էլ սպառման կողմում։ Վալրասը սկզբում ներկայացրել է փոխանակման չորս առանձին մոդելներ, որոնցից յուրաքանչյուրը ռեկուրսիվորեն ներառված է եղել հաջորդում։ Արդյունքում ստացված հավասարումների համակարգի (ինչպես գծային, այնպես էլ ոչ գծային) լուծումը ընդհանուր հավասարակշռությունն է։ Այդ ժամանակ դեռ հնարավոր չի եղել արտահայտել կամ գտնել ընդհանուր լուծում կամայական թվով հավասարումների համակարգի համար, սակայն Վալրասի փորձերը հանգեցրել են տնտեսագիտության երկու հայտնի արդյունքների։ Առաջինը Վալրասի օրենքն է, իսկ երկրորդը՝ tâtonnement-ի սկզբունքը։ Վալրասի մեթոդը այդ ժամանակ համարվում էր խիստ մաթեմատիկական, և Էջվորթը մանրամասնորեն մեկնաբանեց այս փաստը «Մաքուր տնտեսագիտության տարրեր» (*Éléments d'économie politique pure* ) գրախոսության մեջ։

Վալրասի օրենքը ներկայացվել է որպես տեսական պատասխան ընդհանուր հավասարակշռության լուծումները որոշելու խնդրին։ Նրա նշանաբանությունը տարբեր է ժամանակակից նշանաբանությունից, սակայն կարելի է այն վերականգնել՝ օգտագործելով ավելի ժամանակակից գումարման նշանաբանություն։ Վալրասը ենթադրել է, որ հավասարակշռության վիճակում ողջ գումարը կծախսվի բոլոր ապրանքների վրա՝ յուրաքանչյուր ապրանք վաճառվելու է իր շուկայական գներով, իսկ յուրաքանչյուր գնորդ ծախսելու է վերջին դոլարը ապրանքների զամբյուղի վրա։ Այս ենթադրությունից ելնելով, Վալրասը ցույց է տվել, որ եթե կան n շուկա և n-1 շուկաները հասել են հավասարակշռության, ապա n-րդ շուկան նույնպես կհավասարակշռվի։ Սա ամենահեշտ կերպով պատկերացվում է երկու շուկաների դեպքում (հիմնականում դասագրքերում դիտարկվում է որպես ապրանքների շուկա և փողի շուկա)։ Եթե երկու շուկաներից մեկում հասել է հավասարակշռության վիճակ, ապա երկրորդ շուկա այլ ապրանքներ կամ գումար ընդունել կամ դուրս հանել չի կարող, հետևաբար այն նույնպես պետք է լինի հավասարակշռության վիճակում։ Վալրասը օգտագործել է այս տեսակետը՝ ընդհանուր հավասարակշռության լուծումների գոյության ապացուցման ուղղությամբ, սակայն այսօր այն հաճախ օգտագործվում է այն պատկերացնելու համար, թե ինչպես շուկաները ճշգրտվում են փողի շուկաներում բակալավրի մակարդակով ուսումնասիրման ժամանակ։

Tâtonnement-ը (մոտավորապես ֆրանսերենից թարգմանաբար նշանակում է *«շոշափել*») նախատեսված է եղել որպես Վալրասի ընդհանուր հավասարակշռության գործնական արտահայտություն։ Վալրասը շուկան նկարագրել է որպես ապրանքների աճուրդ, որտեղ աճուրդավարը կհայտարարեր գները, իսկ շուկայի մասնակիցները կսպասեին, մինչև յուրաքանչյուրը կարողանար բավարարել իր անձնական ամրագրման գները ցանկալի քանակի համար (սա *բոլոր* ապրանքների աճուրդ է, ուստի յուրաքանչյուրն ունի ամրագրման գին իր ցանկալի ապրանքների զամբյուղի համար)։

Միայն երբ բոլոր գնորդները գոհ էին նշված շուկայական գներից, միայն այն ժամանակ կկատարվեին գործարքները։ Շուկան այդ գնի մակարդակով «ճշգրտվելու էր»՝ առանց ավելցուկի կամ պակասի։  *«Tâtonnement»* բառը օգտագործվում է շուկայի կողմից հավասարակշռության *հասնելու ուղղությամբ շարժվելու*, տարբեր ապրանքների վրա բարձր կամ ցածր գներ սահմանելու, մինչև բոլոր ապրանքների համար գին համաձայնեցվի։ Չնայած գործընթացը դինամիկ է թվում, Վալրասը ներկայացրել է միայն ստատիկ մոդել, քանի որ գործարքներ չեն կայանա, մինչև բոլոր շուկաները հավասարակշռության մեջ չլինեն։ Գործնականում շատ քիչ շուկաներ են գործում այս ձևով։

#### Ֆրենսիս Իսիդրո Էջվորթ
Էջվորթը տնտեսագիտության մեջ մաթեմատիկական տարրերը բացահայտորեն ներմուծել է 1881 թվականին հրատարակված *«Մաթեմատիկական հոգեբանություն։ Էսսե մաթեմատիկայի կիրառման մասին բարոյական գիտություններում»* աշխատության մեջ։ Նա ընդունել է Ջերեմի Բենթհամի «բարոյական հաշվարկը» տնտեսական վարքագծի մեջ՝ թույլ տալով, որ յուրաքանչյուր որոշման արդյունքը վերածվի օգտակարության փոփոխության։ Օգտագործելով այս ենթադրությունը՝ Էջվորթը փոխանակման մոդել է կառուցել երեք ենթադրության հիման վրա. անհատները եսասիրական են, անհատները գործում են օգտակարությունը մեծացնելու համար, և անհատները «ազատ են վերակազմակերպվելու մեկ ուրիշի հետ՝ անկախ... ցանկացած երրորդ կողմից»։

Երկու անհատի դեպքում այն լուծումների հավաքածուն, որտեղ երկուսն էլ կարող են առավելագույնի հասցնել իրենց օգտակարությունը, նկարագրվում է պայմանագրային կորով՝ այն տարածքում, որը այսօր հայտնի է որպես Էջվորթի արկղ։ Տեխնիկապես, Էջվորթի խնդրի երկու անհատների լուծման գրաֆիկական ներկայացումն զարգացված չի եղել մինչև 1924 թվականը, երբ այն ներկայացրել է Արթուր Լայոն Բոուլին։ Էջվորթի արկղի պայմանագրային կորը (կամ ավելի լայն՝ Էջվորթի խնդրի լուծումների ցանկացած հավաքածուի կոր՝ ավելի քան երկու դերակատարների դեպքում) կոչվում է տնտեսության միջուկ։

Էջվորթը զգալի ջանքեր է գործադրել՝ պնդելու համար, որ մաթեմատիկական ապացույցները տեղին են տնտեսագիտության բոլոր դպրոցների համար  *«Տնտեսական ամսագիր»*-ի ղեկավարության տարիներին հրապարակել է մի քանի հոդվածներ, որոնցում քննադատել է մրցակից հետազոտողների, այդ թվում՝ մաթեմատիկական տնտեսագիտության հայտնի սկեպտիկ Էդվին Ռոբերտ Անդերսոն Սելիգմանի մաթեմատիկական խստությունը։ Հոդվածները կենտրոնացած են եղել հարկերի մակարդակի և արտադրողների արձագանքի շուրջ առաջ-ետ քննարկումների վրա: Էջվորթը նկատել է, որ մենաշնորհը, որը արտադրում է մի ապրանք, որն ունի մատակարարման համատեղություն, բայց ոչ պահանջարկի համատեղություն (օրինակ՝ առաջին դաս և էկոնոմ դաս ինքնաթիռում, եթե ինքնաթիռը թռչում է, նստատեղերի երկու հավաքածուներն էլ թռչում են դրա հետ միասին), կարող է իրականում իջեցնել սպառողի կողմից երկու ապրանքներից մեկի համար տեսնվող գինը, եթե հարկ կիրառվի: Առողջ բանականությունը և ավելի ավանդական, թվային վերլուծությունը, կարծես, ցույց էին տալիս, որ սա անհեթեթություն էր: Սելիգմանը պնդել է, որ Էջվորթի կողմից ստացված արդյունքները իր մաթեմատիկական ձևակերպման առանձնահատկությունն էին: Նա ենթադրել է, որ անընդհատ պահանջարկի ֆունկցիայի և հարկի անվերջ փոքր փոփոխության ենթադրությունը հանգեցրել է պարադոքսալ կանխատեսումների: Հարոլդ Հոթելինգը հետագայում ցույց է տվել, որ Էջվորթն եղել է ճիշտ, և որ նույն արդյունքը («գնի նվազում հարկի հետևանքով») կարող է առաջանալ անընդհատ պահանջարկի ֆունկցիայի և հարկային դրույքաչափի մեծ փոփոխությունների դեպքում։

## Ժամանակակից մաթեմատիկական տնտեսագիտություն
1930-ականների վերջերից սկսած, դիֆերենցիալ հաշվարկից և դիֆերենցիալ հավասարումներից, ուռուցիկ բազմություններից և գրաֆների տեսությունից նոր մաթեմատիկական գործիքների մի շարք կիրառվել են տնտեսական տեսությունը զարգացնելու համար՝ նմանվելով ֆիզիկայում նախկինում կիրառվող նոր մաթեմատիկական մեթոդներին։ Գործընթացը հետագայում նկարագրվել է որպես մեխանիկայից աքսիոմատիկային անցում։

### Դիֆերենցիալ հաշվիվ
Վիլֆրեդո Պարետոն վերլուծել է միկրոէկոնոմիկան՝ տնտեսական գործիչների կայացված որոշումները դիտարկելով որպես ապրանքների տրված բաշխումը մեկ այլ, ավելի նախընտրելի բաշխման փոխելու փորձեր: Բաշխումների հավաքածուները կարող են դիտարկվել որպես Պարետոյի արդյունավետություն (Պարետոյի օպտիմալը համարժեք տերմին է), երբ գործիչների միջև չեն կարող տեղի ունենալ փոխանակումներ, որոնք կարող են բարելավել առնվազն մեկ անհատի վիճակը՝ առանց որևէ այլ անհատի վիճակը վատթարացնելու։ Պարետոյի ապացույցը սովորաբար շփոթվում է Վալրասի հավասարակշռության հետ կամ ոչ պաշտոնապես վերագրվում Ադամ Սմիթի «Անտեսանելի ձեռքի» վարկածին։ Պարետոյի պնդում եղել է առաջին պաշտոնական պնդումն այն բանի, ինչը հայտնի է դարձել որպես բարեկեցության տնտեսագիտության առաջին հիմնարար թեորեմ։

*«Տնտեսական վերլուծության հիմունքներ»* (1947 թվական) աշխատության մեջ Փոլ Սեմյուելսոնը բացահայտել է ընդհանուր մոդել և մաթեմատիկական կառուցվածք առարկայի բազմաթիվ ոլորտներում՝ հիմնվելով Ալֆրեդ Մարշալի նախորդ աշխատանքների վրա։ Այս աշխատությունը վերցրել է ֆիզիկայից մաթեմատիկական հասկացություններ և կիրառել դրանք տնտեսական խնդիրների վրա։ Այս լայն տեսակետը (օրինակ՝ Լը Շատելիեի սկզբունքը համեմատելը tâtonnement-ի հետ) հիմք է հանդիսանում մաթեմատիկական տնտեսագիտության հիմնարար նախադրյալի համար. տնտեսական գործողների համակարգերը կարող են մոդելավորվել, և դրանց վարքագիծը նկարագրվել շատ նման ցանկացած այլ համակարգի։ Այս ընդարձակումն հետևել է նախորդ դարի սահմանայինականների աշխատանքին և զգալիորեն ընդարձակել այն։ Սեմյուելսոնը մոտեցել է անհատական օգտակարության առավելագույնացման խնդիրներին ամբողջ խմբերի վրա կիրառելով համեմատական ստատիկա, որը համեմատում է երկու տարբեր հավասարակշռության վիճակներ՝ փոփոխական մի քանի պարամետրերի արտաքինը փոփոխվելուց հետո։ Այս և այլ մեթոդներ աշխատությունում հիմք են հանդիսացել 20-րդ դարի մաթեմատիկական տնտեսագիտության համար։

### Գծային մոդելներ

Ընդհանուր հավասարակշռության սահմանափակ մոդելները ձևակերպել է Ջոն ֆոն Նոյմանը 1937 թվականին։ Նախորդ տարբերակներից տարբերվող՝ ֆոն Նոյմանի մոդելներն ունեին անհավասարության սահմանափակումներ: Իր ընդլայնվող տնտեսության մոդելի համար ֆոն Նոյմանը ապացուցել է հավասարակշռության գոյությունը և եզակիությունը՝ օգտագործելով Բրաուերի ֆիքսված կետի թեորեմի իր ընդհանրացումը: Ֆոն Նոյմանի ընդլայնվող տնտեսության մոդելը, որը դիտարկվում է \mathbf{A} - \lambda \mathbf{B}  ոչ բացասական մատրիցներով  \mathbf{A}  և  \mathbf{B} , ֆոն Նոյմանը որոնել է հավանականության վեկտորներ  \vec{p}  և  \vec{q} , և դրական թիվ  \lambda  որը կլուծեր լրացուցիչության հավասարումը  p^\mathrm{T} (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{B})q = 0,  տնտեսական արդյունավետությունը արտահայտող երկու անհավասարության համակարգերի հետ միասին։ Այս մոդելում (շրջված մատրից) հավանականության վեկտորը  \vec{p}  ներկայացնում է ապրանքների գները, մինչդեռ հավանականության վեկտորը  \vec{q}  ներկայացնում է այն «ինտենսիվությունը», որով կընթանա արտադրական գործընթացը։ Միակ   \lambda  լուծումը ներկայացնում է տնտեսության աճի տեմպը, որը հավասար է տոկոսադրույքին։ Դրական աճի տեմպի գոյության ապացուցումը և այն բանի ապացուցումը, որ աճի տեմպը հավասար է տոկոսադրույքին, ուշագրավ նվաճումներ են եղել, նույնիսկ ֆոն Նոյմանի համար Ֆոն Նոյմանի արդյունքները դիտվել են որպես գծային ծրագրավորման հատուկ դեպք, որտեղ ֆոն Նոյմանի մոդելն օգտագործում է միայն ոչ բացասական մատրիցներ։ Ֆոն Նոյմանի ընդլայնվող տնտեսության մոդելի ուսումնասիրությունը շարունակում է հետաքրքրություն առաջացնել մաթեմատիկական տնտեսագետների շրջանում, ովքեր հետաքրքրված են հաշվողական տնտեսագիտությամբ։
#### Input-output տնտեսագիտություն

1936 թվականին ռուս տնտեսագետ Վասիլի Լեոնտևը կառուցել է իր  միջճյուղային հաշվեկշռի մոդելը՝ հիմնվելով խորհրդային տնտեսագետների կազմված «նյութական հաշվեկշռի» աղյուսակների վրա, որոնք իրենք էլ հետևեցին ֆիզիոկրատների նախորդ աշխատանքներին: Իր մոդելով, որը նկարագրում է արտադրության և պահանջարկի գործընթացների համակարգ, Լեոնտևը նկարագրել է, թե ինչպես են մեկ տնտեսական ոլորտում պահանջարկի փոփոխությունները ազդում մեկ այլ տնտեսության արտադրության վրա։ Գործնականում Լեոնտևը գնահատելէ իր պարզ մոդելների գործակիցները՝ տնտեսապես հետաքրքիր հարցեր լուծելու համար: Արտադրական տնտեսագիտության մեջ «Լեոնտևի տեխնոլոգիաները» արտադրում են արդյունքներ՝ օգտագործելով մուտքերի հաստատուն համամասնություններ՝ անկախ մուտքերի գնից, ինչը նվազեցնում է Լեոնտևի մոդելների արժեքը տնտեսությունները հասկանալու համար, բայց թույլ է տալիս համեմատաբար հեշտությամբ գնահատել դրանց պարամետրերը: Ի տարբերություն դրա, ընդլայնվող տնտեսության ֆոն Նոյմանի մոդելը թույլ է տալիս ընտրել տեխնիկա, բայց գործակիցները պետք է գնահատվեն յուրաքանչյուր տեխնոլոգիայի համար։

### Մաթեմատիկական օպտիմիզացիա

Մաթեմատիկայում մաթեմատիկական օպտիմալացումը (կամ մաթեմատիկական ծրագրավորումը) վերաբերում է առկա այլընտրանքների որոշակի բազմությունից լավագույն էլեմենտի ընտրությանը։Ամենապարզ դեպքում օպտիմալացման խնդիրը ներառում է իրական ֆունկցիայի մաքսիմալացում կամ նվազագույնի հասցում՝ ֆունկցիայի մուտքային արժեքներ ընտրելով և ֆունկցիայի համապատասխան արժեքները հաշվարկելով: Լուծման գործընթացը ներառում է օպտիմալության համար ընդհանուր անհրաժեշտ և բավարար պայմանների բավարարումը: Օպտիմալացման խնդիրների համար կարող են օգտագործվել մասնագիտացված նշումներ ֆունկցիայի և դրա մուտքային տվյալների (մուտքերի) վերաբերյալ: Ավելի ընդհանուր առմամբ, օպտիմալացումը ներառում է որոշակի ֆունկցիայի լավագույն հասանելի էլեմենտի գտնումը՝ տրված որոշակի տիրույթում, և կարող է օգտագործել տարբեր հաշվարկային օպտիմալացման մեթոդներ։

Տնտեսագիտությունը բավականին սերտորեն կապված է տնտեսության մեջ գործակալների օպտիմալացման հետ, այնպես որ ազդեցիկ մեկնաբանություններից մեկը բնորոշում է տնտեսագիտությունը որպես գիտություն՝ «մարդու վարքի ուսումնասիրություն՝ որպես նպատակների և սուղ միջոցների միջև հարաբերություն»՝ նախատեսելով դրանց այլընտրանքային օգտագործումներ։ Միկրոտնտեսագիտությունում օգտակարության առավելագույնացման խնդիրն ու նրա երկակի խնդիրն՝ ծախսերի նվազեցման խնդիրն որոշակի օգտակարության մակարդակի համար, հանդիսանում են տնտեսական օպտիմալացման խնդիրներ։ Տեսությունը պնդում է, որ սպառողները մաքսիմալացնում են իրենց օգտակարությունը՝ ենթակա իրենց բյուջետային սահմանափակումներին, և որ ընկերությունները մաքսիմալացնում են իրենց շահույթը՝ ենթակա իրենց արտադրական գործառույթներին, մուտքային ծախսերին և շուկայական պահանջարկին։

Տնտեսական հավասարակշռությունը օպտիմիզացիայի տեսության մեջ ուսումնասիրվում է որպես տնտեսական թեորեմների հիմնական բաղադրիչ, որը սկզբունքորեն կարող է ստուգվել էմպիրիկ տվյալների համեմատ։ Դինամիկ ծրագրավորման և ռիսկի ու անորոշության հետ օպտիմիզացիայի մոդելավորման ոլորտում տեղի են ունեցել նոր զարգացումներ, ներառյալ պորտֆելի տեսության, տեղեկատվության տնտեսագիտության և որոնման տեսության կիրառությունները։

Ամբողջ շուկայական համակարգի օպտիմալության հատկությունները կարող են ձևակերպվել մաթեմատիկական տերմիններով, ինչպես օրինակ՝ բարեկեցության տնտեսագիտության երկու հիմնարար թեորեմների ձևակերպման մեջ և ընդհանուր հավասարակշռության Էրոու-Դեբրյոյի մոդելում։ Ավելի կոնկրետ, շատ խնդիրներ ենթակա են վերլուծական (բանաձևային) լուծման: Շատ այլ խնդիրներ կարող են բավականին բարդ լինել՝ պահանջելու լուծման թվային մեթոդներ՝ ծրագրային ապահովման օգնությամբ։ Մյուսները բարդ են, բայց բավականին լուծելի՝ թույլ տալու լուծման հաշվարկելի մեթոդներ, մասնավորապես՝ ամբողջ տնտեսության համար հաշվարկելի ընդհանուր հավասարակշռության մոդելներ։

Գծային և ոչ գծային ծրագրավորումը խորապես ազդել է միկրոտնտեսագիտության վրա, որը նախկինում հաշվի էր առնում միայն հավասարության սահմանափակումները։ Տնտեսագիտության ոլորտում Նոբելյան մրցանակ ստացած մաթեմատիկոս տնտեսագետներից շատերը՝ Լեոնիդ Կանտորովիչը, Լեոնիդ Հուրվիչը, Տյալլինգ Կուպմանսը, Քեննեթ Էրրոուն, Ռոբերտ Դորֆմանը, Փոլ Սեմյուելսոնը և Ռոբերտ Սոլոուն, նշանակալի հետազոտություններ են անցկացրել գծային ծրագրավորման միջոցով։

#### Գծային օպտիմալացում

Գծային ծրագրավորումը մշակվել է 1930-ականներին Ռուսաստանում և 1940-ականներին Միացյալ Նահանգներում ընկերություններում և արդյունաբերություններում ռեսուրսների բաշխմանը նպաստելու համար: Բեռլինի ավիափոխադրման ժամանակ (1948) գծային ծրագրավորումն օգտագործվել է պաշարների առաքումը պլանավորելու համար՝ խորհրդային շրջափակումից հետո Բեռլինը սովից պաշտպանելու համար։

#### Ոչ գծային ծրագրավորում

Անհավասարության սահմանափակումներով ոչ գծային օպտիմալացման ընդլայնումները կատարել են 1951 թվականին Ալբերտ Վ. Թաքերի և Հարոլդ Կունը, ովքեր դիտարկել են ոչ գծային օպտիմալացման խնդիրը՝

: Նվազագույնի հասցնել f(x)-ը հետևյալ սահմանափակումների ներքո g_i(x) \leq 0 և h_j(x) = 0 որտեղ
: f(\cdot) ֆունկցիան է, որը պետք է նվազագույնի հասցվի
: g_i(\cdot) -ի գործառույթներն են m *անհավասարության սահմանափակումներ*, որտեղ i = 1, \dots, m
: h_j(\cdot) -ի գործառույթներն են l հավասարության սահմանափակումներ, որտեղ j = 1, \dots, l .

Անհավասարության սահմանափակումներ թույլատրելով՝ Կուն-Թաքերի մոտեցումը ընդհանրացրել է Լագրանժի բազմապատկիչների դասական մեթոդը, որը (մինչ այդ) թույլատրում էր միայն հավասարության սահմանափակումներ։

#### Վարիացիոն հաշվարկ և օպտիմալ կառավարում

*Տնտեսական դինամիկան* թույլ է տալիս տնտեսական փոփոխականների փոփոխություններ ժամանակի ընթացքում, այդ թվում՝ դինամիկ համակարգերում: Նման փոփոխությունների համար օպտիմալ ֆունկցիաներ գտնելու խնդիրն ուսումնասիրվում է վարիացիոն հաշվարկում և օպտիմալ կառավարման տեսությունում: Երկրորդ համաշխարհային պատերազմից առաջ Ֆրենկ Ռեմսին և Հարոլդ Հոթելինգը այդ նպատակով օգտագործել են վարիացիոն հաշվարկը: Ռիչարդ Բելմանի դինամիկ ծրագրավորման վերաբերյալ աշխատանքից և Լև Պոնտրյագինի աշխատանքի 1962 թվականի անգլերեն թարգմանությունից հետո, օպտիմալ կառավարման տեսությունն ավելի լայնորեն օգտագործվել է տնտեսագիտության մեջ դինամիկ խնդիրներ լուծելու համար, մասնավորապես՝ տնտեսական աճի հավասարակշռության և տնտեսական համակարգերի կայունության վերաբերյալ, որոնցից դասագրքային օրինակ է օպտիմալ սպառումը և խնայողությունը։ Կարևոր տարբերություն է դետերմինիստական և ստոխաստիկ կառավարման մոդելների միջև։ Օպտիմալ կառավարման տեսության այլ կիրառություններից են, օրինակ, ֆինանսներում, պաշարներում և արտադրության մեջ կիրառությունները։

#### Ֆունկցիոնալ անալիզ

Հենց իր 1937 թվականի տնտեսական աճի մոդելում օպտիմալ հավասարակշռության գոյության ապացուցման ընթացքում Ջոն ֆոն Նոյմանը ներկայացրել է ֆունկցիոնալ անալիզի մեթոդներ՝ տնտեսական տեսության մեջ տոպոլոգիան ներառելու համար, մասնավորապես՝ ֆիքսված կետի տեսությունը՝ Բրաուերի ֆիքսված կետի թեորեմի ընդհանրացման միջոցով։ Հետևելով ֆոն Նոյմանի ծրագրին՝ Քեննեթ Էրրոուն և Ժերար Դեբրյոն ձևակերպել են տնտեսական հավասարակշռությունների աբստրակտ մոդելներ՝ օգտագործելով ուռուցիկ բազմություններ և ֆիքսված կետի տեսություն։ 1954 թվականին Էրրոու-Դեբրյո մոդելը ներկայացնելով՝ նրանք ապացուցել են հավասարակշռության գոյությունը (բայց ոչ եզակիությունը) և նաև ապացուցել են, որ յուրաքանչյուր Վալրասի հավասարակշռություն Պարետոյի արդյունավետությամբ է. ընդհանուր առմամբ, հավասարակշռությունները պարտադիր չէ, որ եզակի լինեն։ Նրանց մոդելներում «առաջնային» վեկտորային տարածքը ներկայացնում էր քանակությունները, իսկ «երկրորդային» վեկտորային տարածքը՝ գները։

Ռուսաստանում մաթեմատիկոս Լեոնիդ Կանտորովիչը մշակել է տնտեսական մոդելներ մասամբ կարգավորված վեկտորային տարածություններում, որոնք ընդգծել են քանակների և գների միջև երկվությունը։ Կանտորովիչը վերանվանել է *գները* «օբյեկտիվորեն որոշված գնահատումներ», որոնք ռուսերենում կրճատվել են որպես «o․օ․օ.», որը վկայակոչում է Խորհրդային Միությունում գների քննարկման դժվարությունը։

Նույնիսկ վերջավոր չափումներում, ֆունկցիոնալ վերլուծության հասկացությունները լուսավորել են տնտեսական տեսությունը, մասնավորապես՝ պարզաբանելով գների դերը որպես նորմալ վեկտորներ ուռուցիկ բազմություն հենման հիպերհարթության համար, որը ներկայացնում է արտադրության կամ սպառման հնարավորությունները: Այնուամենայնիվ, ժամանակի ընթացքում կամ անորոշության պայմաններում օպտիմալացումը նկարագրելու խնդիրները պահանջում են անվերջ չափական ֆունկցիոնալ տարածությունների օգտագործում, քանի որ գործակալները ընտրում են ֆունկցիաների կամ ստոխաստիկ պրոցեսների միջև։

### Խաղերի տեսություն
Ջոն ֆոն Նոյմանը, Օսկար Մորգենշտերնի հետ խաղերի տեսության վրա աշխատելով, 1944 թվականին նոր մաթեմատիկական հիմքեր է բացել՝ ուռուցիկ բազմությունների և տոպոլոգիական ֆիքսված կետերի տեսության հետ կապված ֆունկցիոնալ անալիտիկ մեթոդները տնտեսական վերլուծության մեջ ընդլայնելով։

Նախկինում նեոդասական տեսությունը սահմանափակել է միայն բանակցությունների արդյունքների *տիրույթը*, իսկ հատուկ դեպքերում, օրինակ՝ երկկողմանի մենաշնորհը կամ Էջվորթի արկղի պայմանագրային կորի երկայնքով։ Ֆոն Նոյմանի և Մորգենշտերնի արդյունքները նույնպես թույլ են եղել: Սակայն, հետևելով ֆոն Նոյմանի ծրագրին, Ջոն Նեշը օգտագործել է ֆիքսված կետի տեսությունը՝ ապացուցելու այն պայմանները, որոնց դեպքում բանակցությունների խնդիրը և ոչ համագործակցային խաղերը կարող են ստեղծել եզակի հավասարակշռության լուծում։ Ոչ համագործակցային խաղերի տեսությունը ընդունվել է որպես փորձարարական տնտեսագիտության, վարքային տնտեսագիտության, տեղեկատվական տնտեսագիտության, արդյունաբերական կազմակերպության և քաղաքական տնտեսագիտության հիմնարար ասպեկտ։ Այն նաև առաջացրել է մեխանիզմի նախագծման (երբեմն կոչվում է հակադարձ խաղերի տեսություն) թեման, որն ունի մասնավոր և հանրային քաղաքականության կիրառություններ՝ տեղեկատվության փոխանակման խթանների միջոցով տնտեսական արդյունավետությունը բարելավելու ուղիների վերաբերյալ:

1994 թվականին Նեշը, Ջոն Հարշանյին և Ռայնհարդ Զելտենը ստացել են Նոբելյան մրցանակ տնտեսագիտության ոլորտում՝ ոչ համագործակցային խաղերի վերաբերյալ իրենց աշխատանքի համար։ Հարշանյին և Սելտենը մրցանակ են ստացել կրկնվող խաղերի վերաբերյալ իրենց աշխատանքի համար։

### Գործակալի վրա հիմնված հաշվողական տնտեսագիտություն
Գործակալների վրա հիմնված հաշվողական տնտեսագիտությունը  որպես անվանական ոլորտ համեմատաբար վերջերս է ձևավորվել՝ հրապարակված աշխատանքների համաձայն՝ թվագրվում է մոտավորապես 1990-ական թվականներին։  Այն ուսումնասիրում է տնտեսական գործընթացները, ներառյալ ամբողջ տնտեսությունները, որպես ժամանակի ընթացքում փոխազդող գործակալների դինամիկ համակարգեր։ Այդ պատճառով այն դասվում է բարդ ադապտիվ համակարգերի դաշտում։ Համապատասխան գործակալների վրա հիմնված մոդելներում գործակալները իրական մարդիկ չեն, այլ «հաշվողական օբյեկտներ, որոնք մոդելավորվել են որպես փոխազդող կանոնների համաձայն» ... «որոնց միկրոմակարդակի փոխազդեցությունները ստեղծում են ի հայտ եկող օրինաչափություններ» տարածության և ժամանակի մեջ։ Կանոնները ձևակերպվում են վարքագիծը և սոցիալական փոխազդեցությունները կանխատեսելու համար՝ հիմնվելով խթանների և տեղեկատվության վրա։ Գործակալների շուկաների կողմից մաթեմատիկական ''օպտիմալացման'' տեսական ենթադրությունը փոխարինվում է *սահմանափակ* ռացիոնալություն ունեցող գործակալների շուկայական ուժերին *հարմարվողականության* ավելի քիչ սահմանափակող պոստուլատով։

Այս մոդելները թվային վերլուծության մեթոդներ են կիրառում բարդ դինամիկ խնդիրների համակարգչային մոդելավորման համար, որոնց համար ավելի ավանդական մեթոդները, ինչպիսին է թեորեմների ձևակերպումը, կարող են պատրաստի կիրառում չունենալ։ Սկսած նշված սկզբնական պայմաններից՝ հաշվողական տնտեսական համակարգը մոդելավորվում է որպես ժամանակի ընթացքում զարգացող, քանի որ դրա բաղադրիչ գործակալները բազմիցս փոխազդում են միմյանց հետ: Այս առումներով, Գործակալների վրա հիմնված հաշվողական տնտեսագիտությունը բնութագրվել է որպես տնտեսության ուսումնասիրության ներքևից վերև մշակութային մոտեցում։ Ի տարբերություն այլ ստանդարտ մոդելավորման մեթոդների, ԳՎՀՀՏ իրադարձությունները պայմանավորված են բացառապես սկզբնական պայմաններով, անկախ նրանից, թե հավասարակշռությունները գոյություն ունեն, թե՞ հաշվարկային կերպով կառավարելի են: ԳՎՀՀՏ մոդելավորումը, սակայն, ներառում է գործակալների հարմարվողականություն, ինքնավարություն և ուսուցում։ Այն նմանություն և համընկնում ունի խաղերի տեսության հետ՝ որպես սոցիալական փոխազդեցությունների մոդելավորման գործակալների վրա հիմնված մեթոդ։ Մոտեցման այլ չափորոշիչները ներառում են այնպիսի ստանդարտ տնտեսական թեմաներ, ինչպիսիք են մրցակցությունը և համագործակցությունը, շուկայի կառուցվածքը և արդյունաբերական կազմակերպումը, գործարքային ծախսերը,մեխանիզմի նախագծումը, տեղեկատվությունը և անորոշությունը և մակրոտնտեսագիտությունը։

## Տնտեսագիտության մաթեմատիկականացում
20-րդ դարի ընթացքում «հիմնական ամսագրերում» տնտեսագիտության ոլորտում հոդվածները գրեթե բացառապես գրել են ակադեմիական ոլորտի տնտեսագետները։  Արդյունքում, այդ ամսագրերում փոխանցվող նյութի մեծ մասը վերաբերում է տնտեսական տեսությանը, և «տնտեսական տեսությունն ինքնին անընդհատ ավելի աբստրակտ և մաթեմատիկական է եղել»։ Այս հիմնական ամսագրերում կիրառվող մաթեմատիկական մեթոդների սուբյեկտիվ գնահատումը ցույց է տվել, որ ոչ երկրաչափական ներկայացումներ, ոչ էլ մաթեմատիկական նշումներ չօգտագործող հոդվածների թիվը նվազել է՝ 1892 թվականի 95%-ից մինչև 1990 թվականի 5.3%։ 2007 թվականին տասը առաջատար տնտեսագիտական ամսագրերի հարցումը ցույց է տվել, որ միայն 2003 և 2004 թվականներին հրապարակված հոդվածների 5.8%-ում բացակայել են ինչպես տվյալների վիճակագրական վերլուծությունը, այնպես էլ էջի եզրին թվերով ինդեքսավորված մաթեմատիկական արտահայտությունները։

## Էկոնոմետրիկա

Ռագնար Ֆրիշը հորինել է «էկոնոմետրիկա» բառը և 1930 թվականին օգնել է հիմնադրել Էկոնոմետրիկ ընկերությունը, իսկ 1933 թվականին հրատարակել *[[Econometrica|«Էկոնոմետրիկա»]]* ամսագիրը։ Ֆրիշի ուսանող Թրյուգվե Հաավելմոն 1944 թվականին հրատարակել է *«Հավանականության մոտեցումը էկոնոմետրիկայում»* աշխատությունը, որտե պնդել է, որ ճշգրիտ վիճակագրական վերլուծությունը կարող է օգտագործվել որպես գործիք՝ բարդ աղբյուրներից ստացված տվյալների միջոցով տնտեսական գործիչների մասին մաթեմատիկական տեսությունները հաստատելու համար։ Համակարգերի վիճակագրական վերլուծության այս կապը տնտեսական տեսության հետ տարածել է նաև Քոուլսի հանձնաժողովը (այժմ՝ Քոուլսի հիմնադրամ) 1930-ական և 1940-ական թվականներին։

Ժամանակակից տնտեսագիտության էկոնոմետրիայի հիմքերը կարելի է վերագրել ամերիկացի տնտեսագետ Հենրի Լ. Մուրին։ Մուրը ուսումնասիրել է գյուղատնտեսական արտադրողականությունը և փորձել է տարբեր ելակետային էլաստիկությունների արժեքների միջոցով հարմարեցնել եգիպտացորենի և այլ բերքերի հողամասերի արտադրողականության փոփոխվող արժեքները կորի վրա։ Մուրն իր աշխատանքում կատարել է մի շարք սխալներ՝ որոշները կապված մոդելների ընտրության հետ, իսկ որոշները՝ մաթեմատիկայի կիրառման սահմանափակումների հետ։ Մուրի մոդելների ճշգրտությունը նույնպես սահմանափակված էր այն ժամանակի Միացյալ Նահանգներում ազգային հաշվառումների վատ տվյալներով։ Մինչ նրա արտադրության առաջին մոդելները ստատիկ էին, 1925 թվականին նա հրապարակեց դինամիկ «շարժվող հավասարակշռության» մոդել, որը նախատեսված էր բիզնես ցիկլերը բացատրելու համար։ Այս շրջանային փոփոխությունը, որը առաջանում է առաջարկի և պահանջի կորերի չափազանց շտկումից, այժմ հայտնի է որպես «սալիկավոր ցանցի մոդել»։ Այս մոդելի ավելի ֆորմալ արտահայտումը հետագայում կատարել է Նիկոլաս Կալդորը, որը լայնորեն ճանաչվում է դրա բացատրության համար։

## Կիրառում

Դասական տնտեսագիտության մեծ մասը կարող է ներկայացվել պարզ երկրաչափական տերմիններով կամ տարրական մաթեմատիկական նշագրությամբ։ Սակայն մաթեմատիկական տնտեսագիտությունը սովորաբար օգտագործում է անալիզը և մատրիցային հանրահաշիվը տնտեսական վերլուծության մեջ՝ հզոր պնդումներ անելու համար, որոնք ավելի դժվար կլինեին առանց նման մաթեմատիկական գործիքների։ Այս գործիքները նախապայմաններ են ֆորմալ ուսումնասիրության համար, ոչ միայն մաթեմատիկական տնտեսագիտության, այլև ժամանակակից տնտեսական տեսության մեջ ընդհանրապես։ Տնտեսական խնդիրները հաճախ ներառում են այնքան շատ փոփոխականներ, որ մաթեմատիկան դրանք լուծելու և դրանց դեմ պայքարելու միակ գործնական միջոցն է։ Ալֆրեդ Մարշալը պնդել է, որ յուրաքանչյուր տնտեսական խնդիր, որը կարող է քանակականացվել, վերլուծականորեն արտահայտվել և լուծվել, պետք է լուծվի մաթեմատիկական աշխատանքի միջոցով։

Տնտեսագիտությունը գնալով ավելի կախված է դառնում մաթեմատիկական մեթոդներից, և դրանց կիրառած մաթեմատիկական գործիքները դարձել են ավելի բարդ։ Արդյունքում, մաթեմատիկան զգալիորեն ավելի կարևոր է դարձել տնտեսագիտության և ֆինանսների մասնագետների համար։ Տնտեսագիտության և ֆինանսների ասպիրանտուրայի ծրագրերը պահանջում են մաթեմատիկայի ոլորտում ուժեղ բակալավրիական նախապատրաստություն ընդունելության համար և, այդ պատճառով, գրավում են մաթեմատիկոսների ավելի ու ավելի մեծ թվով։ Կիրառական մաթեմատիկոսները մաթեմատիկական սկզբունքները կիրառում են գործնական խնդիրների վրա, ինչպիսիք են տնտեսական վերլուծությունը և տնտեսագիտության հետ կապված այլ հարցեր, և շատ տնտեսական խնդիրներ հաճախ սահմանվում են որպես կիրառական մաթեմատիկայի շրջանակներում ինտեգրված։

## Վավերականության քննարկումներ
Ավստրիական դպրոցը՝ չնայած մարգինալիստական ավանդույթների հիմնական տնտեսագետների, ինչպիսին է Չիկագոյի դպրոցը, նույն *նորմատիվ* տնտեսական փաստարկներն առաջ քաշելուն՝ *մեթոդաբանորեն* տարբերվում է տնտեսագիտության հիմնական նեոդասական դպրոցներից, մասնավորապես՝ տնտեսագիտության մաթեմատիկականացման իրենց սուր քննադատություններով։ 1999 թվականին տված հարցազրույցում տնտեսագետ պատմաբան Ռոբերտ Հեյլբրոները նշել է, որ տնտեսագիտության մեջ մաթեմատիկական վերլուծության կիրառումը ստեղծել է այն զգացողությունը, որ այն «տվյալներով լի գիտություն» է, ինչը չի նշանակում, որ այն իրականում գիտություն է։ Հավելել է, որ «տնտեսագիտության մի մասը/մեծ մասը բնականաբար քանակական չէ և, հետևաբար, չի ենթարկվում մաթեմատիկական մեկնաբանության»։

Փիլիսոփա Կարլ Փոփերը պնդել է, որ մաթեմատիկական տնտեսագիտությունը տառապում է տավտոլոգիական լինելուց, ինչը նշանակում է, որ այն բաղկացած է միայն մաթեմատիկայից՝ առանց իրական աշխարհի հետ կապի։ Այլ կերպ ասած, այնքանով, որքանով տնտեսագիտությունը դարձել է մաթեմատիկական տեսություն, մաթեմատիկական տնտեսագիտությունը դադարել է հույսը դնել էմպիրիկ հերքման վրա, այլ հույսը դրել է մաթեմատիկական ապացույցների և հերքման վրա։ Ըստ Փոփերի, կեղծելի ենթադրությունները կարող են ստուգվել փորձի և դիտարկման միջոցով, մինչդեռ անհերքելի ենթադրությունները կարող են մաթեմատիկորեն ուսումնասիրվել դրանց հետևանքների և այլ ենթադրությունների հետ համապատասխանության համար։ Միլթոն Ֆրիդմանը հայտարարել է, որ «բոլոր ենթադրությունները անիրատեսական են»։ Ֆրիդմանը առաջարկել է դատել տնտեսական մոդելները դրանց կանխատեսողական կատարողականությամբ, այլ ոչ թե դրանց ենթադրությունների և իրականության համապատասխանությամբ։

Ջոն Քեյնսը *«Ընդհանուր տեսություն»* աշխատության մեջ գրել է, որ գործոնների խիստ անկախ լինելու ենթադրությունը խնդրահարույց և անիրատեսական է՝ հաշվի առնելով գործոնների փոխկապակցվածությունը իրական աշխարհում. սա խաթարել է մաթեմատիկական տնտեսագիտության ոլորտում բազմաթիվ հետազոտություններ։

Այս քննադատություններին ի պատասխան՝ Փոլ Սեմկուելսոնը պնդել է, որ մաթեմատիկան լեզու է՝ կրկնելով Ջոզայա Ուիլարդ Գիբսի թեզը։ Տնտեսագիտության մեջ մաթեմատիկայի լեզուն երբեմն անհրաժեշտ է էական խնդիրներ ներկայացնելու համար։ Ավելին, մաթեմատիկական տնտեսագիտությունը հանգեցրել է տնտեսագիտության մեջ հայեցակարգային առաջընթացի Մասնավորապես, Սեմկուելսոնը օրինակ է բերել միկրոտնտեսագիտությունը ՝ գրելով, որ «քչերն են բավականաչափ հնարամիտ՝ հասկանալու [դրա] ավելի բարդ մասերը... *առանց* մաթեմատիկայի լեզվին դիմելու, մինչդեռ սովորական անհատների մեծ մասը կարող է դա անել բավականին հեշտությամբ մաթեմատիկայի *օգնությամբ*»։ Ռոբերտ Սոլոուն գրել է, որ մաթեմատիկական տնտեսագիտությունը ժամանակակից տնտեսագիտության հիմնական «ենթակառուցվածքն» է և ինքնուրույն տեխնիկական առարկա։

## Տես նաև
*Մաթեմատիկական ֆինանսներ

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* Alpha C. Chiang and Kevin Wainwright, [1967] 2005. *Fundamental Methods of Mathematical Economics*, McGraw-Hill Irwin. Contents.
* E. Roy Weintraub, 1982. Mathematics for Economists,  Cambridge.  Contents.
* Stephen Glaister, 1984. *Mathematical Methods for Economists*, 3rd ed., Blackwell. Contents.
* Akira Takayama, 1985. *Mathematical Economics*, 2nd ed. Cambridge. Contents.
* Nancy L. Stokey and Robert E. Lucas with Edward Prescott, 1989. *Recursive Methods in Economic Dynamics*, Harvard University Press. Desecription and chapter-preview links.
* A. K. Dixit, [1976] 1990.  *Optimization in Economic Theory*, 2nd ed., Oxford. Description and contents preview.
* Kenneth L. Judd, 1998. *Numerical Methods in Economics*, MIT Press.  Description and chapter-preview links.
* Michael Carter, 2001. *Foundations of Mathematical Economics*, MIT Press. Contents.
* Ferenc Szidarovszky and Sándor Molnár, 2002. *Introduction to Matrix Theory: With Applications to Business and Economics*, World Scientific Publishing. Description and preview.
* D. Wade Hands, 2004. *Introductory Mathematical Economics*, 2nd ed. Oxford. Contents.
* Vladimir Pokrovskii, 2018. *Econodynamics. The Theory of Social Production*, 3th ed., Springer.   
* Giancarlo Gandolfo, [1997] 2009. *Economic Dynamics*, 4th ed., Springer.   Description and preview.
* John Stachurski, 2009. *Economic Dynamics: Theory and Computation*, MIT Press.  Description and preview.

## Արտաքին հղումներ

* *Journal of Mathematical Economics* Aims & Scope
* Erasmus Mundus Master QEM - Models and Methods of Quantitative Economics, The Models and Methods of Quantitative Economics - QEM

Կատեգորիա:Կիրառական մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական մեթոդները տնտեսագիտության մեջ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական տնտեսագիտություն
Կատեգորիա:Մաթեմատիկայի ճյուղեր
Կատեգորիա:Մակրոտնտեսագիտություն
Կատեգորիա:Տնտեսագիտություն
Կատեգորիա:Տնտեսական մոդելներ
Կատեգորիա:Տնտեսություն