Բաժանելիության հայտանիշներ

**Բաժանելիության հայտանիշը այն է** որը հնարավորություն է տալիս համեմատաբար արագ որոշել, արդյոք թիվը նախօրոք տրվածի բազմապատիկ է
: Եթե բաժանելիության հայտանիշը թույլատրում է պարզել ոչ միայն բաժանելիությունը նախօրոք տրված թվի վրա, այլ նաև բաժանումից ստացված մնացորդը, ապա այն անվանում են հավասարամնացորդայնության հայտանիշ։

## Գաղափար բաժանելիության մասին
Եթե a և b երկու ամբողջ թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի q թիվ, որ b\, q=a, , ապա ասում են, որ a թիվը բաժանվում է b թվի վրա։

## Բաժանելիության հայտանիշները հաշվարկման տասական համակարգում
### ''2-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''
Թիվը բաժանվում է 2- ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի, այսինքն՝ զույգ է։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

: A = 10\, a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0, 
: F(A) = \begin{cases} a_0, & A \geqslant 10 \\ A - 2, & 2 \leqslant A 

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

### ''3-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''
Թիվը բաժանվում է 3-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում ՝ 3-ի վրա։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
: A = \sum_{i=0}^n 10^i a_i, \quad 0 \leqslant a_i 
: F(A) = \begin{cases} {\sum_{i=0}^n a_i}, & A \geqslant 10, \\ A - 3, & 3 \leqslant A 

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 154, 1 + 5 + 4 = 10 և 1 + 0 = 1 թվերը հավասարամնացորդ են 3-ի վրա բաժանելիս։

### ''4-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''
Թիվը բաժանվում է 4-ի վրա, երբ վերջին երկու թվանշանները 0-ներ են կամ կազմում են 4-ի վրա բաժանվող թիվ։ Օրինակ, 14676- վերջին երկու թվանշաններով կազմված է 76, որը բաժանվում է 4-ի վրա. 76:4=19: Երկնիշ թիվը բաժանվում է 4-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ,
երբ տասնյակի կրկնապատիկի և միավորի գումարը բաժանվում է 4-ի վրա։ Օրինակ, 42-ը չի բաժանվում 4-ի վրա, քանի որ 2 \cdot 4 + 2 = 10 չի բաժանվում 4-ի վրա։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
: A = 100\, a_2 + 10\, a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 
: F(A) = \begin{cases} 2\, a_1 + a_0, & A \geqslant 10, \\ A - 4, & 4 \leqslant A 

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 87, 8 \cdot 2 + 7 = 23 և 2 \cdot 2 + 3 = 7 թվերը հավասարամնացորդ են 4-ի վրա բաժանելիս։

### ''5-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''
Թիվը բաժանվում է 5-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 5-ի վրա։
Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
: A = 10\, a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 
: F(A) = \begin{cases} a_0, & A \geqslant 10, \\ A - 5, & 5 \leqslant A 

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

### ''7-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''
**Հայտանիշ 1**
Թիվը բաժանվում է 7 -ի, երբ տասնյակի եռապատիկի և միավորի գումարը բաժանվում է 7-ի։ Օրինակ, 154 -ը բաժանվում է 7-ի, քանի որ 15 \cdot 3 + 4 = 49  բաժանվում է 7-ի։ Այլ օրինակ. 1001 թիվը բաժանվում է 7-ի, քանի որ 100 \cdot 3 + 1 = 301, \quad 30 \cdot 3 +1 = 91, \quad 9 \cdot 3 + 1 = 28, \quad 2 \cdot 3 + 8 = 14.  բաժանվում է 7-ի։

Այս հայանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

: A = 10\, a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 
: F(A) = \begin{cases} 3\, a_1 + a_0, & A \geqslant 10, \\ A - 7, & 7 \leqslant A 

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 87, 8 \cdot 3 + 7 = 31,  3 \cdot 3 + 1 = 10 և 1 \cdot 3 + 0 = 3 թվերը հավասարամնացորդ են 7-ի վրա բաժանելիս։

### ''8-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''
Թիվը բաժանվում է 8-ի, երբ նրա գրառման մեջ վերջին երեք թվանշանները զրոներ են կամ կազմում են 8-ի բաժանվող թիվ։ Եռանիշ թիվը բաժանվում է 8-ի այն և միայն այն դեպքում, երբ միավորի, տասնավորի կրկնապատիկի և հարյուրավորի քառապատիկի գումարը բաժանվում է 8-ի։ Օրինակ, 952 թիվը բաժանվում է 8-ի, քանի որ
9 \cdot 4 + 5 \cdot 2 + 2 = 48  բաժանվում է 8-ի։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

: A = 1000\, a_3 + 100\, a_2 + 10\, a_1 + a_0, \quad 0\leqslant a_0 
: F(A) = \begin{cases} 4\, a_2 + 2\, a_1 + a_0, & A \geqslant 10, \\ A - 8, & 8 \leqslant A 

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 567, 5 \cdot 4 + 6 \cdot 2 + 7 = 39,  3 \cdot 2 + 9 = 15 և 1 \cdot 2 + 5 = 7 թվերը հավասարամնացորդ են 8-ի վրա բաժանելիս։

### ''11-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''
**Հայտանիշ 1**․ Թիվը բաժանվում է 11-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ զույգ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի և կենտ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 11-ի։ Օրինակ, 9163627 թիվը բաժանվում է 11-ի, քանի որ \left | (9 + 6 + 6 + 7) - (1 + 3 + 2) \right |= 22 բաժանվում է 11-ի։ Այլ օրինակ. 99077-ը բաժանվում է 11-ի, քանի որ \left | (9 + 0 + 7) - (9 + 7) \right |= 0 բաժանվում է 11-ի։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան․
: A = \sum_{i=0}^n 10^i a_i \quad 0 \leqslant a_i 
: F(A) = \left | \sum_{i=0}^n \left ( -1 \right )^i a_i \right |, \quad A \geqslant 11.

**Հայտանիշ 2**. Թիվը բաժանվում է 11-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ երկուական թվանշաններով (սկսած միավորից) կազմված թվերի գումարը բաժանվում է 11-ի։ Օրինակ, 103785 թիվը բաժանվում է 11-ի, քանի որ 10 + 37 + 85 = 132 և 01 + 32 = 33. բաժանվում են 11-ի։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

: A = \sum_{i=0}^n 100^i a_i, \quad 0 \leqslant a_i 
: F(A) = \begin{cases} \sum_{i=0}^n a_i, & A \geqslant 100, \\ A - 11, & 11 \leqslant A 

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 123456, 12 + 34 + 56 = 102 և 1 + 2 = 3 թվերը հավասարամնացորդ են 11-ի վրա բաժանելիս։

### ''13-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''
*Հայտանիշ 1*։ Թիվը բաժանվում է 13-ի վրա, երբ տասնյակների և միավորների քառապատիկի գումարը բաժանվում է 13- ի վրա։ Օրինակ.
949-ը բաժանվում է 13-ի վրա, քանի որ 94 + 9 \cdot 4 = 130 և 13 + 0 \cdot 4 = 13  թվերը բաժանվում են 13-ի վրա։

- երբ տասնյակների և միավորի իննապատիկի տարբերությունը բաժանվում է 13-ի վրա։ Օրինակ
949-ը բաժանվում է 13-ի վրա, քանի որ 94 - 9 \cdot 9 = 13 թիվը բաժանվում է 13-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
: A = 10\, a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 
: F(A) = \begin{cases} a_1 + 4\, a_0, & A \geqslant 40, \\ A - 13, & 13 \leqslant A 

*Հայտանիշ 2*։ Տրված թվի մեջ ընդգծելով վերջին երեք թվանշանները, ստացված թվից հանում են մնացած թվանշաններով կազմված թիվը (կամ հակառակը, կախված այն բանից, թե այդ թվերից որն է ավելի մեծ); եթե տարբերությունը 0 է կամ 13-ի վրա բաժանվող թիվ, ապա տրված թիվը բաժանվում է 13-ի վրա։

### ''17-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''
Թիվը բաժանվում է 17-ի վրա այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորի հնգապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 17-ի վրա։ Օրինակ, 1615-ը բաժանվում է 17-ի վրա, քանի որ \left| 161 - 5 \cdot 5 \right| = 136 և \left| 13 - 5 \cdot 6 \right| = 17 բաժանվում են 17-ի վրա։

-երբ տասնյակների և միավորի տասներկուապատիկի գումարի մոդուլը բաժանվում է 17-ի վրա։ Օրինակ, 1615-ը բաժանվում է 17-ի վրա, քանի որ

\left| 161 + 12 \cdot 5 \right| = 221 և \left| 22 + 12 \cdot 1 \right| =34 թվերը բաժանվում են 17-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
: A = 10\, a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 
: F(A) = \begin{cases} \left| a_1 - 5\, a_0 \right|, & A \geqslant 40, \\ A - 17, & 17 \leqslant A 

### ''19-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''
Թիվը բաժանվում է 19-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորի կրկնապատիկի գումարը բաժանվում է 19-ի վրա։ Օրինակ, 1197-ը բաժանվում է 19-ի, քանի որ 19-ի բաժանվում են 119 + 2 \cdot 7 = 133 և 13 + 2 \cdot 3 = 19:

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

: A = 10\, a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 
: F(A) = \begin{cases} a_1 + 2\, a_0, & A \geqslant 20, \\ 0, & A = 19. \end{cases}

### ''23-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''
*Հայտանիշ 1*։ Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ հարյուրյակի և վերջին երկու թվանշաններով կազմված թվի եռապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի վրա։ Օրինակ, 28842-ը բաժանվում է 23-ի վրա, քանի որ 288 + 3 \cdot 42 = 414 և 4 + 3 \cdot 14 = 46 բաժանվում են 23-ի։

*Հայտանիշ 2*։ Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ տասնյակի և միավորի յոթապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի։

*Հայտանիշ 3*։ Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ հարյուրյակի, տասնյակների յոթապատիկի և միավորի եռապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի։ Օրինակ, 437-ը բաժանվում է 23-ի, քանի որ 4 + 7 \cdot 3 + 3 \cdot 7 = 46-ը բաժանվում է 23-ի։

### ''27-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''
Թիվը բաժանվում է 27-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 27-ի վրա բաժանվում է միավորից սկսած՝ երեքական թվանշաններով կազմված թվերի գումարը։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

: A = \sum_{i=0}^n 1000^i a_i, \quad 0 \leqslant a_i 
: F(A) = \begin{cases} \sum_{i=0}^n a_i, & A \geqslant 1000, \\ A - 27, & 27 \leqslant A 

### ''29-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''
Թիվը բաժանվում է 29-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորների եռապատիկի գումարը բաժանվում է 29-ի վրա։
Օրինակ, 261-ը բաժանվունէ 29-ի, քանի որ 26 + 3 \cdot 1 = 29 բաժանվում է 29-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
: A = 10\, a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 
: F(A) = \begin{cases} a_1 + 3\, a_0, & A \geqslant 30, \\ 0, & A = 29. \end{cases}

### ''31-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''

Թիվը բաժանվում է 31-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորների եռապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 31-ի վրա։ Օրինակ,
217-ը բաժանվում է 31-ի, քանի որ \left| 21 - 3 \cdot 7 \right| = 0 բաժանվում է 31-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
: A = 10\, a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 
: F(A) = \left| a_1 - 3\, a_0 \right|, \quad A \geqslant 31.

### ''37-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''

*Հայտանիշ 1:* Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ միավորից սկսած՝ տրված թիվը երեքական թվանշաններով խմբավորելիս ստացված թվերի գումարը 37-ի բազմապատիկ է։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
: A = \sum_{i=0}^n 1000^i a_i, \quad 0 \leqslant a_i 
: F(A) = \begin{cases} \sum_{i=0}^n a_i, & A \geqslant 1000, \\ A - 37, & 37 \leqslant A 

Այս ֆուկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

*Հայտանիշ 2:* Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 37-ի վրա բաժանվում է հարյուրյակի եռապատիկի ու տասնյակի քառապատիկի գումարի և միավորի յոթապատիկի տարբերության մոդուլը։ Օրինակ, 481 թիվը բաժանվում է 37-ի, քանի որ
\left | 3 \cdot 4 + 4 \cdot 8 - 7 \right | = 37 -ը բաժանվում է 37-ի։
 
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
: A = 100 \, a_2 + 10 \, a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 
: F(A) = \left | 3 \, a_2 + 4 \, a_1 - 7 \, a_0 \right |, \quad A \geqslant 37.

*Հայտանիշ 3:* Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 37-ի վրա բաժանվում է հարյուրյակի և միավորի տասնապատիկի գումարի և տասնյակի տասնմեկապատիկի տարբերության մոդուլը։ Օրինակ, 481 թիվը բաժանվում է 37-ի, քանի որ
\left | 4 - 11 \cdot 8 + 10 \cdot 1 \right | = 74  բաժանվում է 37-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
: A = 100 \, a_2 + 10 \, a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 
: F(A) = \begin{cases} \left | a_2 - 11 \, a_1 + 10 \, a_0 \right |, & A \geqslant 100, \\ A - 37, & 37 \leqslant A 

### ''41-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''

*Հայտանիշ 1:* Թիվը բաժանվում է 41-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի քառապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 41-ի վրա։
Օրինակ, 943-ը բաժանվում է 41-ի վրա, քանի որ \left| 94 - 4 \cdot 3 \right| = 82 և \left| 8 - 4 \cdot 2 \right| = 0  բաժանվում են 41-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

: A = 10\, a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 
: F(A) = \left| a_1 - 4\, a_0 \right|, \quad A \geqslant 41 

*Հայտանիշ 2*։ Որպեսզի ստուգենք, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 41-ի վրա, պետք է այն աջից դեպի ձախ տրոհենք մասերի, յուրաքանչյուրում՝ հինգ թվանշան։ Ապա պետք է յուրաքանչյուր խմբում աջից առաջին թվանշանը բազմապատկել 1-ով, երկրորդը՝ 10-ով, երրորդը՝ 18-ով, չորրորդը՝ 16-ով, հինգերորդը՝ 37-ով և ստացված բոլոր արտադրյալները գումարել։ Եթե արդյունքը բաժանվում է 41-ի վրա, այդ և միայն այդ դեպքում տրված թիվը կբաժանվի 41-ի վրա։

### ''59-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''

Թիվը բաժանվում է 59-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի վեցապատիկի գումարը բաժանվում է 59-ի վրա։ Օրինակ, 767-ը բաժանվում է 59-ի վրա, քանի որ 76 + 6 \cdot 7 = 118 և 11 + 6 \cdot 8 = 59 թվերը բաժանվում են 59-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
: A = 10\, a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 
: F(A) = \begin{cases} a_1 + 6\, a_0, & A \geqslant 60, \\ 0, & A = 59 \end{cases}

### ''79-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''
Թիվը բաժանվում է 79-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի ութապատիկի գումարը բաժանվում է 79-ի վրա։ Օրինակ,
711-ը բաժանվում է 79-ի վրա, քանի որ 71 + 8 \cdot 1 = 79 բաժանվում է 79-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

: A = 10\, a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 
: F(A) = \begin{cases} a_1 + 8\, a_0, & A \geqslant 80, \\ 0, & A = 79. \end{cases}

### ''99-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''
Թիվը բաժանվում է 99-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 99-ի վրա բաժանվում է երկուական թվանշաններից (սկսած միավորից) կազմված թվերի գումարը։
Օրինակ, 12573 -ը բաժանվում է 99-ի վրա, քանի որ 1 + 25 + 73 = 99  բաժանվում է 99-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
: A = \sum_{i=0}^n 100^i a_i, \quad 0 \leqslant a_i 
: F(A) = \begin{cases} \sum_{i=0}^n a_i, & A \geqslant 100, \\ 0, & A = 99. \end{cases}

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 123456, 12 + 34 + 56 = 102 և 1 + 2 = 3
թվերը հավասարամնացորդ են 99-ի վրա բաժանելիս։

### ''101-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը''
Թիվը բաժանվում է 101-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ երկուական թվանշաններով (սկսած միավորից) կազմված կենտ խմբերով թվերի՝ (վերցված «+» նշանով) և զույգ խմբերով թվերի (վերցված «-» նշանով) հանրահաշվական գումարի մոդուլը բաժանվում է 101-ի վրա։ Օրինակ, 590547-ը բաժանվում ` 101-ի վրա, քանի որ \left | 59 - 5 + 47 \right | = 101 բաժանվում է 101-ի վրա։
## Բաժանելիության ընդհանուր հայտանիշներ
### Բաժանելիության հայտանիշը բաժանարարի վրա, որի ցուցիչը հաշվարկման համակարգի հիմքն է
Եթե որոշ t և n թվերի համար t^n թիվը բաժանվում է m բնական թվի վրա, ապա
t հիմքով հաշվարկման համակարգում գրառված ցանկացած A ամբողջ թիվ հավասարամնացորդ է նրա n փոքր թվանշաններով կազմված թվին։

Այս հատկությունը թույլատրում է ստանալ հաշվարկան համակարգի հիմքին հավասար ցուցիչ ունեցող թվի վրա բաժանելիության և հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

: A=t^n a_1 + a_0, \quad 0 \leqslant a_0 
: F(A) = \begin{cases} a_0, & A \geqslant t^n, \\ A - m, & m \leqslant A 

Օրինակ, հաշվարկման տասական համակարգում այն թույլ է տալիս ստանալ 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 և այլ թվերի վրա բաժանելիության հայտանիշները։

### <math>t^n-1</math> բաժանարարի վրա բաժանելիության հայտանիշ
Եթե որոշ t և n բնական թվերի համար t^n-1 թիվը բաժանվում է m բնական թվի վրա, ապա t հիմքով հաշվարկման համակարգում գրառված ցանկացած A ամբողջ թիվ հավասարաբաժան է այն թվերի գումարի հետ, որոնք ստացվում են n-ական թվանշաններով խմբերի տրոհելիս` սկսած ամենափոքրից։ Այս հայտանիշը թույլ է տալիս ստանալ m-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

: A = \sum_{i=0}^n t^{in} a_i, \quad 0 \leqslant a_i 
: F(A) = \begin{cases} \sum_{i=0}^n a_i, & A \geqslant t^n, \\ A - m, & m \leqslant A 

Օրինակ, հաշվարկման տասական համակարգում այն թույլ է տալիս ստանալ 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 և այլ թվերի վրա բաժանելիության հայտանիշները։

## Բաժանելիության հայտանիշները հաշվարկման այլ համակարգերում
Հաշվարկման այլ համակարգերում բաժանելիության հայտանիշները դրանց անալոգն են տասական համակարգում։ Մասնավորապես, հաշվարկման ցանկացած համակարգում (թվերը գրառված են այն համակարգում, որում այդ պահին աշխատում ենք).
* թիվը բաժանվում է 10*n*- վրա, եթե այն վերջանում է *n* զրոներով։

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը հավասար է *k*, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է *k-1*-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ նրա թվանշանների գումարն առանց մնացորդի բաժանվում է *k-1*-ի վրա։ Մասնավորապես.
* թիվը բաժանվում է (10-1)-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է (10-1)-ի

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը կենտ է, ապա թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 2-ի։

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը հավասար է k, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է (k+1)-ի այն և միայն այն ժամանակ, երբ կենտ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների
գումարը զույգ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարից տարբերվում է (k+1)-ի բաժանվող թվով։ Մասնավորապես,

* թիվը բաժանվում է 11-ի, եթե կենտ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարը կամ հավասար է զույգ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարին, կամ նրանից տարբերվում է 11-ի բաժանվող թվով։

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը բաժանվում է որևէ k թվի վրա, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է k-ի այն և միայն այն ժամանակ, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է k-ի։ Մասնավորապես,

* եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը զույգ է, ապա թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի։

## Տես նաև
Պասկալի հայտանիշ

## Գրականություն
* Воробьев Н. Н. «Признаки делимости» Москва, Наука 1988

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Բանավոր հաշվում
Կատեգորիա:Բաժանում և մնացորդ
Կատեգորիա:Ցանկեր:Մաթեմատիկա