Գծային արտապատկերում

**Գծային արտապատկերում** - փաստարկների և արժեքների ավելի ընդհանուր շարքի համար գծային թվային ֆունկցիայի ընդհանրացում (ավելի հստակ՝  y=kx ) տեսքի ֆունկցիաներ։

Գծային արտապատկերումը, ի տարբերություն ոչ գծայինի, բավականին լավ ուսումնասիրված է, ինչը հնարավորություն է տալիս այն հաջողությամբ կիրառել ընդհանուր տեսության վրա, քանի որ նրանց հատկությունները կախված չեն մեծություններից։

**Գծային օպերատորը (ձևափոխումը)** հանդիսանում է իր վրա վեկտորային տարածության գծային արտապատկերման մասնավոր դեպք։

## Ֆորմալ սահմանումը
V վեկտորային տարածության գծային արտապատկերումը K դաշտի վրա W վեկտորային տարածությունում նույն K դաշտի համար (գծային օպերատոր V-ից W) կոչվում է արտապատկերում՝
:f\colon V \to W,
որը բավարարում է *գծային պայմանին*՝
: f(x + y) = f(x) + f(y),
: f(\alpha x) = \alpha f(x).
ցանկացած x,y\in V և \alpha\in K։

Եթե V և W  միևնույն վեկտորային տարածություններ են, ապա f-ը ոչ թե գծային արտապատկերում է, այլ **գծային ձևափոխություն**։

Եթե կատարվում է միայն առաջին հատկությունը, այդ դեպքում նման արտապատկերումը կոչվում է ադդիտիվ։

## Գծային արտապատկերումների տարածություն
Եթե K հիմնական դաշտից սկալյարների գումարման և բազմապատկման գործողությունները սահմանենք որպես․
*(f + g)(x) = f(x) + g(x)\quad \forall x\in V
*(kf)(x) = kf(x)\quad \forall x\in V, \forall k\in K
ապա V-ից W բոլոր գծային արտապատկերումների բազմությունն իրենից կներկայացնի վեկտորային տարածություն, որը սովորաբար նշանակվում է \mathcal{L}(V, W)-ով։

### Սահմանափակ գծային օպերատորներ։ Օպերատորի նորմա։
Եթե V և W վեկտորային տարածությունները հանդիսանում եմ տեղագրական տարածություններ, այսինքն, նրանց վրա որոշված են տեղագրություններ, որոնց նկատմամբ այդ տարածությունների գործողությունները անընդհատ են, ապա կարելի է որոշել սահմանափակ օպերատորի հասկացությունը – գծային օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե այն սահմանափակ բազմությունը տեղափոխում է սահմանափակին (մասնավորապես, բոլոր անընդհատ օպերատորները սահմանափակ են)։ Մասնավորապես, նորմավորված տարածություններում բազմությունները սահմանափակ են, եթե նրա յուրաքանչյուր տարի նորման սահանափակ է, հետևաբար, այս դեպքում օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե գոյություն ունի N թիվ այնպիսի, որ \forall x \in V, \|Ax\|_{W}\leqslant N\|x\|_{V}: Կարելի է ցույց տալ, որ նորմավորված տարածությունների դեպքում օպերատորների անընդհատությունը և սահմանափակությունը համարժեք են։ N հաստատուններից ամենափոքրը, որը բավարարում է վերևում նշված պայմանին, կոչվում է **օպերատորի նորմա**․
\|A\|=\sup_{\|x\|\not =0} \frac {\|Ax\|}{\|x\|}=\sup_{\|x\| =1} {\|Ax\|}:

Օպերատորի նորմայի հասկացության ներմուծումը հնարավորություն կտա դիտարկել գծային օպերատորների տարածությունը որպես նորմավորված գծային տարածություն (կարելի է ստուգել համապատասխան ակսիոմների կատարումը ներմուծված նորմայի համար)։ Եթե W տարածությունը բանախովյան է, ապա գծային օպերատորների տարածությունը նույնպես բանախովյան է։

### Հակադարձ օպերատոր
A^{-1} օպերատորը կոչվում է հակադարձ A գծային օպերատորին, եթե տեղի ունի․  A^{-1}A=AA^{-1}=1։

A^{-1} օպերատորը, որը հակադարձ է A գծային օպերատորին, նույնպես հանդիսանում է գծային օպերատոր։ Եթե  A -ն գծային անընդհատ օպերատոր է, որն արտապատկերում է մի բանախովյան տարածությունը (կամ F-տարածություն) մյուսին, ապա հակադարձ օպերատորը նույնպես հանդիսանում է անընդհատ գծային օպերատոր։
### Գծային արտապատկերման
**Գծային արտապատկերման ** – մատրից, որն արտահայտում է գծային արտապատկերում ինչ-որ բազիսում։ Որպեսզի այն ստանանք, անհրաժեշտ է ներազդել արտապատկերմամբ վեկտորների բազիսի վրա և ստացված վեկտորների (բազիսային վեկտորների պատկերներ) կոորդինատները գրել մատրիցի սյուներում։

Արտապատկերման մատրիցը նման է վեկտորի կոորդինատներին։ Այդ դեպքում վեկտորի վրա արտապատկերման գործողությունը հավասարազոր է մատրիցի և նույն բազիսում այդ վեկտորի կոորդինատի սյան արտադրյալին։

Ընտրենք \mathbf{e}_k բազիսը։ Դիցուք \mathbf{x}-ը կամայական վեկտոր է։ Այն կարելի է ներկայացնել հետևյալ բազիսով՝
: \mathbf{x} = x^k\mathbf{e}_k,
որտեղ x^k-ն \mathbf{x} վեկտորի կոորդինատն է նշված բազիսում։
Այստեղ, և հետագայում, առաջարկվում է միավորել ըստ համր ինդեկսների։
Դիցուք \mathbf{A}-ն ցանկացած գծային արտապատկերում է։ Ներազդելով նախորդ հավասարման վրա երկու կողմերից, կստանանք՝
: \mathbf{Ax} = x^k\mathbf{Ae}_k։
\mathbf{Ae}_k վեկտորը նույնպես ներկայացնենք նշված բազիսում, կստանանք՝
: \mathbf{Ae}_k = a^j_k\mathbf{e}_j,
որտեղ a^j_k-ն \mathbf{Ae}_k-ի k-րդ վեկտորի j-րդ կոորդինատը է։
Նախորդ բանաձևում տեղադրելով ընդլայնում, կստանանք՝
: \mathbf{Ax} = x^ka^j_k\mathbf{e}_j = (a^j_kx^k)\mathbf{e}_j։
a^j_kx^k արտահայտությունը, որն ընդգրկված է փակագծերի մեջ, նունն է, ինչ որ մատրիցի և սյան արտադրյալը։ Այսպիով, a^j_k մատրիցը x^k սյան հետ բազմապատկելիս արդյունքում կստացվի \mathbf{Ax} վեկտորի կոորդինատը, որն առաջանում է \mathbf{x} վեկտորի վրա \mathbf{A} օպերատորի գործողության արդյունքում, ինչն էլ պետք էր ստանալ։

 Եթե ստացված մատրիցում տեղերով փոխարինենք մի քանի տողեր և սյուներ, այդ դեպքում, ընդհանրապես ասած, կստանանք արդեն մեկ այլ մատրից, որը համապատասխանում է \mathbf{e}_k բազիսային էլեմենտների հավաքածուին։ Այլ խոսքերով,  առաջարկվում է խստորեն պահել բազիսային էլեմենտների հաջորդականությունը։

### Փոխակերպման օրինակ
thumb|right|Վեկտորները ներկայացված են որպես 2 x 2 մատրից, ձևավորված միավոր քառակուսու համապատասխան կողմերով, ձևափոխված զուգահեռակողմի։
Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ տեսքի 2×2 չափի մատրիցը՝
: 
\mathbf A = \begin{bmatrix} a & c\\b & d \end{bmatrix}\,

այն կարող է դիտարկվել որպես մատրից ձևափոխված միավոր քառակուսուց , ,  և  գագաթներով զուգահեռակողմի։
Զուգահեռակողմը, որը ցույց է տրված աջ կողմում, ստացվում է **A'' մատրիցի և <math>\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} </math> ու <math>\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}</math> վեկտոր-սյուների արտադրյալի արդյունքում։ Այս վեկտորները համապատասխանում են միավոր քառակուսու գագաթներին։
Հաջորդ աղյուսակում բերված են 2 × 2 չափի մատրիցի օրինակներ իրական թվերի համար նրանց համապատասխան **R**<sup>2</sup> գծային ձևափոխության։ Կապույտ գույնով նշանակված են ցանցի սկզբնական կոորդինատները, իսկ կանաչով՝ փոխակերպված։ Կոորդինատների (0,0) սկզբնակետը նշված է սև կետով։ 


== Կարևոր մասնավոր դեպքեր ==
* **Գծային տեսք** — գծային արտապատկերում, որի համար <math> W = K</math>:<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>f\colon V\to K</math>։
* **Գծային էնդոֆորմիզմ** — գծային արտապատկերում, որի համար <math>V = W</math>(օպերատոր)։<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>f\colon V\to V</math>։
* **Նույնական օպերատոր** (միակ օպերատոր)— <math>x \mapsto x</math> օպերատոր, որը արտապատկերում է տարածության յուրաքանչյուր էլեմենտ իր վրա։ Այդ օպերատորի նորման հավասար է մեկի (նորմավորված տարածությունների համար)։
* **Զրոյական արտապատկերում** — օպերատոր, որը ձևափոխում է <math>V</math>-ի յուրաքանչյուր էլեմենտ <math>W</math>-ի զրոյական էլեմենտի։
* **Պրոյեկտոր** — օպերատոր, որը ենթատարածության վրա համեմատում է յուրաքանչյուր <math>x</math>-ին իր պրոյեկցիայի հետ։
* **Համակցված արտապատկերում** <math>A \in L(V)</math> արտապատկերմանը — <math>A^*</math>-ն <math>V^*</math>-ի վրա  արտապատկերում, տրված <math>A^*f(x) := f(Ax)</math> հարաբերակցությամբ։
* **Ինքնահամակցված օպերատոր** — օպերատոր [[Հիլբերտյան տարածություն|հիլբերտյան տարածության]] վրա, որը համընկնում է իր համակցված օպերատորի հետ։ Հաճախ այդպիսի օպերատորները անվանում են **հիպերմաքսիմալ էրմիտիկ**։
* **Էրմիտիկ կամ սիմետրիկ օպերատոր** — այնպիսի <math>A</math> օպերատոր, որը որոշված է հիլբերտյան ենթատարածության վրա։ <math>A</math> որոշման տիրույթի բոլոր <math>x, y</math> զույգերի համար <math>(Ax,y)=(x,Ay)</math>։ Ամենուրեք որոշված բոլոր օպերատորների համար այդ հատկությունը համընկնում է ինքնահամակցման հետ։
* **Ունիտար օպերատոր** — օպերատոր, որի որոշման և արժեքների տիրույթը ամբողջ տարածությունն է, որը պահպանում է  <math>(Ax,Ay)=(x,y)</math> սկալյար արտադրյալը։ Մասնավորապես, ունիտար օպերատորը պահպանում է ցանկացած <math>\|Ax\|=\sqrt{(Ax,Ax)}=\sqrt{(x,x)}=\|x\|</math> վեկտորի նորման։ Ունիտարին հակադարձ օպերատորը համընկնում է <math>A^{-1}=A^*</math> համակցված օպերատորի հետ։ Ունիտար օպերատորի նորման հավասար է 1-ի։ ''К'' իրական դաշտի դեպքում ունիտար օպերատորը կոչվում է ''օրթոգոնալ''։
== Առնչվող հասկացություններ ==
* Գծային արտապատկերման  <math>f\colon V\to W</math> [[Միջուկ (հանրահաշիվ)|''միջուկ'']] է կոչվում <math>V</math> ենթաբազմությունը, որը արտապատկերվում է զրոյի։
:<math>\mbox{Ker}\,f = \{ x\in V\mid f(x) = 0 \}</math>
: Գծային արտապատկերման միջուկը ձևավորում է ենթատարածություն գծային <math>V</math>  տարածությունում։
* <math>f</math> գծային արտապատկերման ''պատկեր'' կոչվում է հետևյալ <math>W</math> ենթաբազմությունը՝
*:<math>\mbox{Im}\,f = \{ f(x)\in W\mid x \in V \}</math>
*:Գծային արտապատկերման պատկերը ձևավորում է ենթատարածություն <math>W</math> գծային տարածությունում։ 
* <math>M\subset V</math> ենթաբազմության պատկեր <math>A</math> գծային փոխակերպուման նկատմամբ կոչվում է <math>AM=\{Ax: x\in M\}</math> բազմությունը։
* <math>V</math> և <math>W</math> գծային տարածությունների [[ուղիղ արտադրյալ]]ի արտապատկերումը <math>f\colon V\times U \to W</math> գծային <math>U</math> տարածքին կոչվում է ''[[բիգծային արտապատկերում|բիգծային]]'', եթե այն գծային է նրա երկու արգումենտներով։  <math>f\colon A_1\times\dots\times A_n \to B</math> մեծ թվերի գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը կոչվում է ''[[բազմագծային արտապատկերում|բազմագծային]]'', եթե այն գծային է իր բոլոր արգումենտներով։
* <math>\tilde L</math> օպերատորը կոչվում է ''գծային տարասեռ'' (կամ ''աֆինացված''), եթե այն ունի այսպիսի տեսք՝
*: <math>\tilde L = L + v</math>
: որտեղ <math>L</math> գծային օպերատոր է, իսկ <math>v</math>-ն՝ վեկտոր։
* Դիցուկ <math>A:V\to V</math>։ <math>M\subset V</math> ենթատարածությունը կոչվում է ''ինվարիանտ'' գծային արտապատկերման նկատմամբ, եթե <math>\forall x\in M, Ax\in M</math>
: Ինվարիանտության չափանիշը։ Դիցուկ <math>M\subset X</math>-ն այնպիսի ենթատարածություն է, որ <math>X</math> տրոհվում է <math>X=M\oplus N</math> [[ուղիղ գումար]]ին։ Այդ դեպքում <math>M</math> ինվարիանտ է <math>A</math> գծային արտապատկերման նկատմամբ այն և միայն այն դեպքում, երբ <math>P_MAP_M=AP_M</math>, որտեղ <math>P_M</math>-ը [[Պրոյեկտոր (հանրահաշիվ)|պրոյեկտոր]] <math>M</math> ենթատարածության վրա։
* **Ֆակտոր-օպերատորներ**։ Դիցուկ <math>A:V\to V</math>-ը գծային օպերատոր է և դիցուկ <math>M</math>-ը ինչ-որ ինվարիանտ է այդ ենթաբազմության օպերատորի նկատմամբ։ Ձևավորենք [[Ֆակտոտարածություն ըստ ենթատարածության|ֆակտոտարածություն]] <math>V/\,\overset{M}{\sim}</math> ըստ <math>M</math> ենթատարածության։ Այդ դեպքում **ֆակտոր-օպերատորը''' կոչվում է A^+ օպերատորը, որը կիրառվում է V/\,\overset{M}{\sim}-ի վրա \forall x^+\in V/\,\overset{M}{\sim}, A^+ x^+=[Ax] կանոնով, որտեղ [Ax]-ը ֆակտոտարածության դասից է և պարունակում է Ax-ը։
* Երկակի տարածությունների մեջ տրված է դեպի հակառակ ուղությունը գնացող երկակի արտապատկերում։

## Օրինակներ
Միատար գծային օպերատորների օրինակներ՝
:* դիֆերենցացման օպերատոր՝ L\{x(\cdot)\}=y(t)=\frac{dx(t)}{dt};
:* ինտեգրման օպերատոր՝ y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau)\,d\tau;
:* որոշակի ֆունկցիայի վրա բազմապատկման օպերատոր՝ \varphi(t)\colon y(t)=\varphi(t)x(t);
:* տրված «կշռով» ինտեգրացման օպերատոր՝ \varphi(t)\colon y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau){\varphi}(\tau)\,d\tau;
:* x_0 կետում f ֆունկցիայի արժեքի հաշվման օպերատոր՝  L\{f\}=f(x_0);
:* վեկտորի և մատրիցի արտադրյալի օպերատոր՝ b=Ax;
:* վեկտորի շրջադարձի օպերատոր։

Ոչ միատարր գծային օպերատորների օրինակներ՝
:* ցանկացած աֆինյան արտապատկերումներ;
:* y(t)=\frac{dx(t)}{dt}+\varphi(t);
:* y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau)\,d\tau+\varphi(t);
:* y(t)=\varphi_1(t)x(t)+\varphi_2(t);
որտեղ \varphi(t), \varphi_1(t) և \varphi_2(t)-ն որոշակի ֆունկցիաներ են, իսկ x(t)-ն օպերատորի կողմից փոխակերպված ֆունկցիա։

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Գծային հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Տարրական ֆունկցիաներ
Կատեգորիա:Ֆունկցիա
Կատեգորիա:Ֆունկցիոնալ անալիզ