Գծային համակարգ

## Գծային համակարգերի շարժման ըստ կարևորության ղեկավարելիության մասին

Դիտարկենք հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը՝

{\dot x_j}(t) = \sum\limits_{s = 1}^n (t){x_s}} + \sum\limits_{i = 1}^k  \left( {\sum\limits_{s = 1}^ {b_{js}^{(i)}(t)u_s^{(i)}} } \right)\quad \quad (j = 1, ..., n)**(1.1)**

Սահմանենք (1.1) համակարգի լրիվ ղեկավարելիությունը։

** ''Սահմանում '' **[1]։ (1.1) համակարգը կանվանենք լրիվ ղեկավարելի \left[  \right] ժամանակահատվածի վրա, եթե \{ {u^{(1)}}, \ldots, {u^{(k)}}\}  ղեկավարումների համախմբությունից կարելի է գտնել այնպիսի ղեկավարումներ, որոնց ազդեցությամբ (1.1) համակարգը կամայական x({t_0}) սկզբնական դիրքից կարելի է տեղափոխել կամայական x({t_1}) վերջնական դիրք։

(1.1) համակարգի ղեկավարելիության ուսումնասիրության համար նպատակահարմար է կատարել հետևյալ նշանակումները [1]

B(t, \alpha )=(\alpha _1B^{(1)}(t), \ldots, \alpha _kB^{(k)}(t)), \, U=\left(\begin{array}{c} u^{(1)} \\ \vdots \\u^{(k)}\end{array}\right)**(1.2)**

Այստեղ B(t, \alpha ) մատրիցը ունի (n \times r) չափողականություն, որտեղ r=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}r_i, \, \alpha  պարամեարերի համախմբությունը, իսկ U վեկտոր-սյան չափողականությունը հավասար է r։

Հաշվի առնելով (1.2) նշանակումները (1.1) համակարգը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով

\dot x = A(t)x + B(t, \alpha )U**(1.3)**

Ենթադրենք A(t) և B(t, \alpha ) մատրիցների էլեմենտները համապատասխանաբար ունեն ընդհուպ մինչև (n - 2)–րդ և (n - 1)–րդ կարգի անընդհատ ածանցյալներ ըստ t-ի, \left[  \right] հատվածի գոնե ինչ-որ t = {t_*} կետի շրջակայքում։ Այդ t = {t_*} կետի շրջակայքում ներմուծենք {L_k}(t, \alpha ) մատրիցները հետևյալ ռեկուրենտ (անդրադարձ) առնչություններով՝

{L_1}(t, \alpha ) = B(t, \alpha ), \;{L_j}(t, \alpha ) = A(t){L_{j - 1}}(t, \alpha ) - \frac(t, \alpha )}}, \;(j = 2, ..., n)**(1.4)**

Հետևաբար, համաձայն [2], (1.3) ոչ ստացիոնար համակարգի համար տեղի ունի հետևյալ թեորեմը (լրիվ ղեկավարելիության բավարար պայմանը) [1]

** ''Թեորեմ 1:'' ** Դիցուք \left[  \right] հատվածում գոյություն ունի t = {t_*} կետ, որում

K(t, \alpha ) = \{ {L_1}(t, \alpha ), \ldots, {L_n}(t, \alpha )\} **(1.5)**

մատրիցի ռանգը հավասար է n-ի։ Այդ դեպքում (1.3) համակարգը լրիվ ղեկավարելի է հատվածի վրա։

Եթե (1.3) համակարգը ստացիոնար է, այսինքն՝

\dot x = Ax + B(\alpha )U**(1.6)**

ապա K(t, \alpha ) = K(\alpha ) մատրիցը, համաձայն (1.4)-ի կընդունի հետևյալ պարզ տեսքը

K(\alpha ) = \{ B(\alpha ), AB(\alpha ), \ldots, {A^{n - 1}}B(\alpha )\} **(1.7)**

(1.5)-ը և (1.7)-ը Կալմանի մատրիցներն են համապատասխանաբար ոչ ստացիոնար՝ (1.3) և ստացիոնար՝ (1.6) համակարգերի համար։

** ''Թեորեմ 2:'' ** Որպեսզի (1.6) ստացիոնար համակարգը լինի լրիվ ղեկավարելի կամայական \left[  \right] հատվածի վրա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ ղեկավարելիության K(\alpha ) (1.7) մատրիցի ռանգը հավասար լինի n-ի։

Այս թեորեմների ապացույցը կատարվում է [2]-ում բերված համանման թեորեմների ապացույցների ձևով։

Հարկ է նշել, որ մի քանի {u^{(i)}}\;(i = 1, ..., k) ղեկավարող ազդեցություններով համակարգի ղեկավարման հնարավորության դեպքում, լրիվ ղեկավարելիության հատկությունը ընդունում է առանձնահատուկ տեսք։

Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ համակարգը

\left\{
\begin{array}{c}
 \dot{{x}_1}=x_1+2x_2+\alpha _1u_1-\alpha _2u_2 \\
 \dot{{x}_2}=2x_1+x_2+\alpha _1u_1-\alpha _2u_2
\end{array}
\right.**(1.8)**

Կազմենք այս համակարգի համար Կալմանի մատրիցները (երբ {\alpha _2} = 0, \;{\alpha _1} = 0 և միաժամանակ {\alpha _1} \ne 0, \;{\alpha _2} \ne 0 դեպքերում)։

K_1(\alpha _1)=\left(
\begin{array}{cc}
 \alpha _1 & 3\alpha _1 \\
 \alpha _1 & 3\alpha _1
\end{array}
\right), \, 



K_2(\alpha _2)=\left(
\begin{array}{cc}
 -\alpha _2 & \alpha _2 \\
 \alpha _2 & -\alpha _2
\end{array}
\right), \, 



K(\alpha _1, \alpha _2)=\left(
\begin{array}{cccc}
 \alpha _1 & -\alpha _2 & 3\alpha _1 & \alpha _2 \\
 \alpha _1 & \alpha _2 & 3\alpha _1 & \alpha _2
\end{array}
\right)

Ղեկավարելիության մատրիցների տեսքերից երևում է, որ (1.8) համակարգը առանձին-առանձին ըստ {u_1} ղեկավարման կամ {u_2} ղեկավարման լրիվ ղեկավարելի չէ, քանի որ {K_1}({\alpha _1}) և {K_2}({\alpha _2}) մատրիցների ռանգերը հավասար չեն 2-ի։ Իսկ {u_1} և {u_2} ղեկավարումների միաժամանակ առկայության դեպքում K({\alpha _1}, {\alpha _2}) մատրիցի ռանգը 2 է, այսինքն՝ (1.8) համակարգը {u_1} և {u_2} ղեկավարումների համախմբությամբ լրիվ ղեկավարելի է։

## Արտաքին հղումներ
* Ֆեյնմանի դասախոսությունը գծային համակարգերի մասին

Կատեգորիա:Համակարգերի տեսություն