Տանգենսների թեորեմ

**Տանգենսների թեորեմ**, եռանկյան երկու անկյունների տանգենսները և այդ անկյունների դիմաց ընկած կողմերի երկարություններն իրար հետ կապող թեորեմ։

Չնայած նրան, որ տանգենսների թոերեմն այնպիսի լայն հայտնիություն չունի, ինչպես սինուսների և կոսինուսների թեորեմները, բավականին օգտակար թեորեմա է, և կարող է կիրառվել այն դեպքերում, երբ հայտնի են եռանկյան երկու կողմերն ու մի անկյունը, կամ, ընդհակառակը, երկու անկյունը և մեկ կողմը։

## Պատմություն
Տանգենսների թեորեմը գնդային անկյունների համար XIII դարում նկարագրել է պարսկական մաթեմատիկ Նասր ալ-Դին Թուսին (1201—1274), որը նաև իր հինգ տոմանոց «Տրակտատ լիարժեք քառանկյան մասին» աշխատության մեջ հարթ եռանկյունների համար ներկայացրել է սինուսների թեորեման։

Թեորեմն անվանում են նաև «Ռեգիոմոնտանի բանաձև», գերմանացի աստղագետ և մաթեմատիկոս Յոհաննա Մյուլլերի պատվին, ով դուրս էր բերել այդ բանաձևը (): Մյուլլերին անվանեցին «Կյոնիգսբերժեց», գերմաներն՝ ՝ արքա, ՝ սար, իսկ լատիներեն «արքա» և «սար» ուղղական հովով՝  և : Այստեղից «Ռեգիոմոնտան»-ը Մյուլլերի լատինացված ազգանունն է։

thumb|198px|right|Նկար 1. Եռանկյուն
Նկար 1-ում *a*, *b*, և *c*-ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են, *α*, *β*, և *γ*-ն համապատասխան կողմերի դիմաց ընկած անկյուներն են (դիմացի անկյունները)։ Տանգենսների թեորեմը պնդում է, որ

: \frac{a-b}{a+b} = \frac{\mathrm{tg}\frac{\alpha-\beta}{2}}{\mathrm{tg}\frac{\alpha+\beta}{2}}:

## Ապացույց
Տանգենսների թեորեմը կարելի է ապացուցել սինուսների թեորեմի միջոցով.

: \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}:

Թող՝

: d = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta},

որտեղից

: a = d \sin \alpha
: b = d \sin \beta:

Այստեղից հետևում է, որ

: \frac{a-b}{a+b} = \frac{d \sin \alpha - d\sin\beta}{d\sin\alpha + d\sin\beta} = \frac{\sin \alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}:

Հայտնի եռանկյունաչափական նույնությունն օգտագործելով

:  \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos  \frac{\alpha \mp \beta}{2} , \;

ստանում ենք.

: \frac{a-b}{a+b} = \frac{\sin \alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}=  \frac{2\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} \cos \frac{\alpha+ \beta}{2}}{2\sin \frac {\alpha+ \beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}} = \frac{\mathrm{tg} \frac{\alpha-\beta}{2}}{\mathrm{tg}\frac{\alpha+\beta}{2}}: \qquad\blacksquare

Երկու անկյունների սինուսների գումարի և տարբերության փոխարեն ապացույցի մեջ կարելի է կիրառել հետևյալ հայտնի նույնությունը.

:  \mathrm{tg} \frac{\alpha \pm \beta}{2} = \frac{\sin\alpha \pm \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta} :

## Մոլվեյդի բանաձևերի կիրառմամբ մեկ այլ ապացույց
*Մոլվեյդի բանաձևերն ունեն հետևյալ տեսքը
: \frac{a+b}{c}=\frac{\operatorname{cos}\frac{A-B}{2}}{\operatorname{sin}\frac{C}{2}};
: \frac{a-b}{c}=\frac{\operatorname{sin}\frac{A-B}{2}}{\operatorname{cos}\frac{C}{2}}:

որտեղ A,  \;B,\; C-ն համապատասխան գագաթներով եռանկյան անկյուններն են և a, \; b, \; c-ն՝ համապատասխանաբար B և C, *<math>C</math>* և A, *<math>A</math>* և *<math>B</math>* գագաթների միջև ընկած կողմերի երկարությունները։

* Մասերի բաժանելով վերջին հավասարությունների աջ և ձախ մասերը և իրար հավասարեցնելով ստացված երկու արդյունքները, ունենում ենք.
: \frac{a+b}{a-b} = \frac{\mathrm{ctg}\frac{C}{2}}{\mathrm{tg}\frac{A-B}{2}}:
* Հաշվի առնելով, որ \mathrm{ctg}\frac{C}{2}= \mathrm{ctg} \frac{\pi -A-B}{2}=\mathrm {tg} \frac{A+B}{2} , վերջնական ունենում ենք. 
: \frac{a+b}{a-b} = \frac{\mathrm{tg}\frac{A+B}{2}}{\mathrm{tg}\frac{A-B}{2}},

ինչն էլ պահանջվում էր ապացուցել։

## Տես նաև
* Եռանկյունների լուծում
* Կոսինուսների թեորեմ
* Կոտանգենսների թեորեմ
* Սինուսների թեորեմ
* Եռանկյունաչափական նույնություններ
* Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Եռանկյան երկրաչափություն
Կատեգորիա:Եռանկյունաչափություն
Կատեգորիա:Հարթաչափություն
Կատեգորիա:Մաթեմատիկայի պատմություն