Բեռնուլիի բազմանդամներ

մինի|265x265փքս|Բեռնուլիի բազմանդամի գրաֆիկ:
**Բեռնուլիի բազմանդամներ,** մաթեմատիկական բազմանդամներ, որոնք անվանել են ի պատիվ շվեյցարացի մաթեմատիկոս Յակոբ Բեռնուլիի։ Դրանք առաջ են եկել հատուկ ֆունկցիաների ուսումնասիրման ժամանակ, մասնավորապես Ռիմանի և Գուրվիցի ζ-ֆունկցիաների ուսումնասիրման ժամանակ։ Նաև հանդիսանում է Ապելի շարքի մասնավոր դեպք։ Ի տարբերություն օրթոգոնալ բազմանդամների, Բեռնուլիի բազմանդամները յուրահատուկ են նրանով, որ արմատների քանակը \ [0,1] միջակայքում կախված չէ բազմանդամի աստիճանի աճից։ Աստիճանի անվերջ աճի դեպքում, Բեռնուլիի բազմանդամը մոտենում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների։

## Արտահայտություն
Բեռնուլիի\ B_n(x) բազմանդամները կարելի է որոշել տարբեր մեթոդներով։

### Ակնհայտ տեսք
: B_n(x) = \sum_{k=0}^n C_n^k B_{n-k} x^k, որտեղ C_n^k-ն բինոմային գործակիցն է, \ B_k-ն՝ Բեռնուլիի թիվ,
Կամ
: B_n(x)= \sum_{m=0}^n \frac{1}{m+1} \sum_{k=0}^m (-1)^k C_m^k (x+k)^n:

### Ածանցյալ ֆունկցիա
Բեռնուլիի ածանցյալ ֆունկցիան հետևյալն է՝
: \frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}:

### Ներկայացումը դիֆերենցիալ օպերատորներով
: B_n(x)={D \over e^D -1} x^n, որտեղ D -ն՝ ֆորմալ դիֆերենցիալ օպերատոր։

### Ոչ բարձ աստիճանների համար ակնհայտ տեսք
Բեռնուլիի բազմանդամի մի քանի հարտահայտություններ
:  B_0(x)=1,
: B_1(x)=x-\frac{1}{2},
: B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},
: B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x,
: B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},
: B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x,
: B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}.

## Հատկություն

### Սկզբնական տվյալներ
Սկզբնական տվյալները Բեռնուլիի բազմանդամի\ x=0 համար համավսար են Բեռնուլիի համապատասխան թվերին։
: \ B_n(0)=B_n.

### Դիֆերենցում և ինտեգրում
Ածանցյալի որոշումը ածանցյալ ֆունկցիայից՝
: t e^{tx}\frac{1}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B'_n(x)}{n!}t^n.
Ձախ մասը տարբերվում է միայն \ t բազմապատկիչով, այդպիսով՝
: \sum_{n=0}^{\infty}\frac{B'_n(x)}{n!}t^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n(x)}{n!}t^{n+1}.
Հավասարացնելով գործակիցները նույն\ t աստիճանի դեպքում, ապա կստանանք՝
: \frac{B'_n(x)}{n!}=\frac{B_{n-1}(x)}{(n-1)!},որտեղից
: \ B'_n(x)=n B_{n-1}(x). (ֆունկցիաները, որոնք բավարարում են նման հատկությանը, անվանում են Ապելի շարք)։
Վերջին հավասարումից հետևում է Բեռնուլիի շարքի ինտեգրման օրենքը։
: \ B_n(x)=B_n+n\int_0^x B_{n-1}(t)\,dt.
Նույնպես օգտակար հատկություն է հավասարակշռության հատկությունը։
: \int_0^1B_n(x)dx=0 (երբ n>0 )

### Թեորեմ արգումենտի բազմապատկման մասին
Եթե *m-*ը կամայական բնական թիվ է, ապա՝
: 
\sum_{n=0}^\infty B_n(mx) \frac{t^n}{n!}=\frac{t e^{mxt}}{e^t-1}= \frac{1}{m}e^{mxt}\frac{mt(1+e^t+\cdots+e^{(m-1)t})}{e^{mt}-1}=\frac{1}{m}\sum_{s=0}^{m-1}\frac{e^{\left(x+\frac{s}{m}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}=\frac{1}{m}\sum_{s=0}^{m-1}

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n\left(x+\frac{s}{m}\right)m^n}{n!}t^n.
Այստեղից բխում է արգումենտի բազմապատկման օրենքը՝
: B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{s=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{s}{m}\right).

### Համաչափություն
: \ B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x),
: \ (-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}:

## Արտաքին հղումներ
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'', (1972) Dover, New York.

Կատեգորիա:Թվերի տեսություն
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ
Կատեգորիա:Շարքեր
Կատեգորիա:Բազմանդամներ