Խորանարդ հավասարում

thumb|right|250px|Երեք իրական արմատով (հորիզոնական առանցքի հետ հատման կետում, որտեղ у = 0) <math>y=(x^3+3x^2-6x-8)/4</math> խորանարդ հավասարման գրաֆիկը։ Առկա է 2 կրիտիկական կետ։
thumb|<math>8x^3 + 7x^2 - 4x + 1</math> հավասարումն ունի մեկ իրական և երկու կեղծ արմատ։
**Խորանարդ հավասարում**, երրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում, ընդհանուր տեսքն է՝ ax^3+bx^2+cx+d= 0, որտեղ a\neq0։ Խ. հ. x=y-b/3a տեղադրությամբ բերվում է «թերի», կանոնիկ տեսքի՝ y^3+ py+q=0, որը լուծվում է Կարդանոյի բանաձևով՝

Լուծումը կարող է տրվել Սցիպիոս դել Ֆերոյի և Տարտագալիայի մեթոդներով, որը հրատարակվել է Գերալամո Կարդանոյի կողմից 1545 թ.-ին

Մեթոդը թույլ է տալիս հավասարումը բերել թերի խորանարդ հավասարման.
: t^3 + pt + q = 0\, . \qquad (2)

Մենք ներկայացնում ենք *u* և *v* փոփոխականների կապը հետևյալ հավասարման տեսքով.
:u+v=t\, 
և (2) հավասարումից օգտվելով այն կարելի է բերել հետևյալ հավասարման.
: u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \qquad (3)\, ։

Եվ այստեղ էլ Կառնոն առաջ է քաշում ևս մի պայման՝ *u* և *v* փոփոխականների համար։ 
: 3uv+p=0\, ։
Քանի որ (3) հավասարման մեջ առաջին փակագիծն անհետանում է, մենք ստանում ենք  u^3+v^3=-q և  u^3v^3=-p^3/27. հավասարումները։ Որտեղից  u^3 և  v^3 հավասարման երկու արմատներն են։ 
: z^2 + qz - {p^3\over 27} = 0\, .

Այստեղից, Կարդանոն, որը չգիտեր կոմպլեքս թվերի մասին, ենթադրում է, որ թիվը ռեալ է և այն որոշվում է հետևյալ հավասարմամբ.  \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27} >0\, . 

Լուծելով այս հավասարումը մենք կարող ենք  u և  v փոփոխականների արժեքները փոխարինել մեր արդյունքներով և ունենալ.
: u^{3}=-{q\over 2} + \sqrt և v^{3}=-{q\over 2} - \sqrt։
Եվ քանի որ այս թվերը ըստ Կարդանոյի ռեալ են, մենք ստանում ենք.
: t_1=u+v=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt} +\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt}
Բարդ խորանարդային հավասարումը լուծելիս ունենում ենք երկու կոմպլեքս արմատներ։ Այն փաստը, որ  uv արտադրյալն իրական թիվ է, մենք ստանում ենք, որ\, \tfrac{-1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,  և մյուս կողմից \, \tfrac{-1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\, ։

Եթե  \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\,  պարտադիր չէ, որ խորանարդ հավասարման արժեքը լինի դրական, ապա մենք կարող ենք որոշել u^3 արժեքը։ Քանի որ մենք v^3 խորանարդ հավասարման համար ուղիղ լուծման ճանապարհ չունենք, ապա այն մենք կարող ենք լուծել հետևյալ հավասարմամբ. v=-\frac{p}{3u}, որը մեզ կտա 
: u=\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt} \qquad (4) 
և
:t=u-\frac{p}{3u}\, .

Նշենք որ արմատի նշանը չի ազդում t փոփոխականի վրա, որովհետև նրա արժեքների փոփոխումը բերում է u և v փոփխականների արժեքի փոփոխման։ Մենք ընտրում ենք մինուս նշանը ունենալով, որ u\ne 0, երբ p = 0 և q\ne 0 թիվը զրոյի վրա բաժանվելուց խուսափելու համար։ Այս ընտրության դեպքում t փոփոխականի համար վերը նշված արտահայտությունները միշտ աշխատում են՝ բացառությամբ երբ p = q=0, որտեղ երկրորդ մասը դառնում է 0/0։ Այս դեպքում մենք ունենում ենք եռակի արմատ.  t=0.

Բայց խնդրի լուծման համար նշենք ևս մի քանի տարբերակներ, երբ խնդիրը հանգեցվում է քիչ քանակությունով քառակասի և խորանարդ արմատների գտնելուն.

:Եթե p=q=0 մենք ունենում ենք երեք արտատ
::t=0.\, 
:Եթե p=0 և q\ne 0 ապա
::u=-\sqrt[3]{q} \text{ and } v = 0 
:և երեք արմատները -q խորանարդ արմատներն են։
:Եթե p\ne 0 և q=0 ապա
::u=\sqrt \qquad \text{and} \qquad v=-\sqrt, 
:այս դեպքում երեք արմատները հետևյալն են.
::t=u+v=0, \qquad t=\omega_1u-{p\over 3\omega_1u}=\sqrt{-p}, \qquad t={u\over \omega_1}-{\omega_1p\over 3u}=-\sqrt{-p}, 
:որտեղ
::\omega_1=e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}i.
:Ի վերջո, եթե 4p^3+27q^2=0 և p\ne 0, ստացվում է կրկնակի արմատ և պարզագույն արմատ, որոնք կարող են լինել ռացիոնալ p և q  փոփոխականների տեսանկյունից, բայց այս արտահայտությունն արմատից անմիջապես չենք կարող ստանալ.
:: t_1=t_2= -\frac{3q}{2p}\quad և \quad t_3=\frac{3q}{p}\, .

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Բազմանդամներ
Կատեգորիա:Տարրական հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Հավասարումներ