Բաժանում (մաթեմատիկա)

thumb|20/4=5|alt=|433x433փքս
**Բաժանում** (բաժանման գործողություն), բազմապատկմանը հակադարձ գործողություն։ Բաժանման պայմանական նշանն է զույգ կետերը «։»,  թեք «/» կամ հորիզոնական «—» գիծը։

Այնպես, ինչպես արտադրյալը փոխարինում է միանման գումարելիների կրկնվող գումարին, բաժանումը փոխարինում է կրկնվող տարբերությանը։

Դիտարկենք, օրինակ 14 -ի բաժանումը 3-ի (14/3):

**Քանի՞ 3 է տեղավորվում 14-ում։**

Կրկնելով հանման գործողությունը 4 անգամ կտեսնենք, որ մնացորդ է մնում 2, այսինքն 14-ի մեձ 4 հատ 3 կա և 2 մնացորդ։

Այդ դեպքում 14-ը կոչվում է բաժանելի, 3-ը բաժանարար, 4-ը թերի քանորդ, իսկ 2-ը մնացորդ։

Բաժանմակ արդյունքը կոչվում է նաև հարաբերություն։

## Գրառման ձևեր և տերմինաբանություն
Բաժանումը կատարվում է բաժանման նշաններից մեկի օգտագործմամբ «\,~ /,~ :,~ -» ։ Բաժանման նշանը չունի հատուկ անուն, օրինակ գումարման նշանը անվանում ենք «պլյուս»։

* Ակնհայտ է, որ ամենահին օգտագործվող նշանը թեք գիծն է(/)։ Առաջինը այն օգտագործել է անգլիացի մաթեմատիկ Վիլյամ Օտրեդը իր «Clavis Mathematicae» աշխատության մեջ (1631 թվական).
* Գերմանացի մաթեմատիկոս Լեյբնիցը նախընտրում Էր բաժանման (:) երկու կետով նշանը։ Այդ նշանը նա օգտագործել է իր *Acta eruditorum* աշխատության մեջ (1684 թվական)։ Մինչև Լեյբնիցը այդ նշանն օգտագործել է Ջոնսոնը (1633 թվական)։
* Յոհան Ռանըօգտագործեց օբելիուս  (÷) նշանը իր «Teutsche Algebra» աշխատության մեջ (1659 թվական),որը անվանում են նաև «անգլիական բաժանման նշան»։

Շատ երկրներում հիմնականում օգտագործվում է (:) նշանը։ Թեք գիծը (/) օգտագործվում է հիմնականում համակարգչային տեքստերում։

Օրինակ․

:a : b = c  ․
:6 : 3 = 2 («վեցը բաժանած երեքի հավասար է երկու») ․
:65 : 5 = 13 («վաթսունհինգը բաժանած հինգի հավասար է տասներեքի») .

## Հատկություններ
\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} թվային բազմությունների վրա բաժանումը ունի հետևյալ հատկությունները։
* Արգումենտների տեղափոխությունից արդյունքը փոխվում է․
: a:b \ne b:a;
* Երեք և ավելի թվերի հերթական բաժանման արժեքը կախված է գործողության հերթականությունից։
: (a:b):c \ne a:(b:c);
* Բաժանումը աջից դիստրեբուտիվ է, ինչը կոչվում է նաև բաշխական օրենք

:(a+b):x=(a:x)+(b:x), ~ x \ne 0;
:* x:1=x;
:* 1:x=\frac{1}{x}=x^{-1}, ~ x \ne 0;

:* 0:x=0, \quad\exists 0\in A, ~ x \ne 0;

:* x:0 =\infty , \quad\exists 0\in A, ~ x \ne 0;

:* x:(-x)=-1, \quad \exists! -x\in A, ~ x \ne 0.

## Թվերի բաժանում
### [[Բնական թիվ|Բնական թվերի]]
Օգտագործում ենք բնական \mathbb{N} թվերի սահմանումից, ինչպես համարժեք վերջավոր բազմության դաս։ Նշանակենք վերջավոր բազմությունների համարժեք C, A, B, R դասակարգերը, փակագծերով տարբերակենք բիեկցիայով առաջացածները[C], [A], [B], [R]։

Այդ դեպքում մաթեմատիկական բաժանման որոշվում է հետևյալ ձևով․

#\quad [C]=[A] : [B] = [\rightarrow (A / B)]\quad \& \quad[R] -բաժանում  հավասար մասերի․  
#\quad [C]=[A] : [B] = [A / (\rightarrow B)]\quad \& \quad[R]-բաժանում պարունակությամբ․

որտեղ․ A / B դա վերջնական բազմության բաժանումը հավասարաքանակ, չհատվող ենթաբազմությունների,այնպիսի, որ

B_{\alpha}=B_{\beta},\quad \bigcup\limits_{\alpha \in C} B_{\alpha} +R = A, \quad \bigcap_{\alpha, \beta \in C} (B_{\alpha}, B_{\beta}, R) = \{ \emptyset \}, բոլոր գործակիցների համար \alpha, \beta \in C , այնպիսիք, որ \alpha\not=\beta;

R-մնացորդն է, կամ բազմության մնացած տարրերը \{ \emptyset \} \leqslant R,

центр|890x890px|Примеры деления множества: верхний ряд — деление на равные части, нижний ряд — деление по содержанию.|мини

### [[Ամբողջ թիվ|Ամբողջ թվերի]] բաժանում
Թվերի բաժանումը էական տարբերություն չունի ամբողջ թվերի բաժանմամ ձևից, բավական է բաժանել դրանց բացարձակ արժեքները և հաշվի առնել նշանը։

Օրինակ՝  -7 / (-3) = 2 մնացորդը (-1) կամ -7 \equiv 2 \pmod 3.

Ոչ միանշանկությունից դուրս գալու համար որոշված է մնացորդը ընդունել դրական թիվ։

### [[Ռացիոնալ թիվ|Ռացիոնալ թվերի]] բաժանում
Կոտորակների բաժանում․

### <math>\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} = \frac{ad}{bc}</math>
### [[Իրական թվեր]]ի բաժանում
Իրական թվերի բազմությունը, անընդհատ կարգավորված դաշտ է, որը նշանակվում է \mathbb{R}. Իրական թվերի հետ թվաբանական գործողությունները համարվում են ռացիոնալ թվերի հետ կատարվող գործողությունների անընդհատ շարունակություն։

:  \alpha = \pm a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \{a_n\},
:  \beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \{b_n\},

Եթե ՝ \alpha = [a_n] և  \beta = [b_n], ապա դրանց  քանորդ համարվում է  \gamma = [c_n], որը որոշվում է\{a_n\} և  \{b_n\}:
: \gamma = \alpha : \beta \overset{\text{def}}{=} [a_n] : [b_n] = [a_n /b_n],

իրական \gamma = \alpha : \beta թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝
: 
\forall a', a*, b', b* \in \mathbb{Q}; ~~~~ (a' \leqslant \alpha \leqslant a*) \land (b' \leqslant \beta \leqslant b*) \Rightarrow (a' : b' \leqslant \alpha / \beta \leqslant a* : b*) \Rightarrow (a' : b' \leqslant \gamma \leqslant a* : b*).


Այսպիսով, երկու իրական \alpha և \beta թվերի քանորդ հանդիսանում է իրական \gamma թիվը, որը գտնվում էբոլոր  a' : b' տեսքի քանորդների մեջ մի կողմից, մյուս կողմից a* : b*քանորդների միջև։

\gamma=\pi : e բաժանման օրինակ, մինչև երրորդ թվի ճշտությամբ․

* Կլորացնենք տրված թվերը մինչև 4-րդ թվի ճշտությամբ․
* Ստանում ենք՝ \pi\approx 3.1416,\ e \approx 2.7183․
* Բաժանում ենք սյունակով՝ \gamma = \pi : e \approx  3.1416 : 2.7183 \approx 1.1557․
* Կլորացնենք երրորդ թվի ճշտությամբ՝ \gamma\approx 1.156.

## Տես նաև
*Բաժանելիության հայտանիշներ
*Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար
*Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ
*Բազմանդամների բաժանումը սյունակով
*Մնացորդով բաժանում

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* 
* 



Կատեգորիա:Մաթեմատիկական գործողություններ
Կատեգորիա:Տարրական թվաբանություն