Ածանցյալ

thumb|Ֆունկցիայի գրաֆիկը և ածանցյալը այդ կետում**Ֆունկցիայի ածանցյալ**, ֆունկցիայի հետազոտման տարր, դիֆերենցիալ հաշվի հիմնական հասկացություններից, որ բնութագրում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը տվյալ կետում։

Ածանցյալը ֆունկցիայի աճի և արգումենտի աճի հարաբերության սահմանն է, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի։
Ածանցյալի հաշվման գործողությունը կոչվում է դիֆերենցում, իսկ հակադարձ գործողությունը՝ ինտեգրում։
## Ֆունկցիայի ածանցելիություն
* f ֆունկցիան ածանցելի է X_0 կետում, եթե կամայական h_n անվերջ փոքրի համար զուգամետ է  \frac{f(x_0 +2c-2_(2f-2n)h_n)-f(x_0)}{h_n} հաջորդականությունը։
* Եթե f ֆունկցիան ածանցելի է X_0 կետում, ապա  \frac{f(x_0 +h_n)-f(x_0)}{h_n} հաջորդականության սահմանն անվանում են f ֆունկցիայի ածանցյալ x_0 կետում և նշանակում f' (x_0) (կարդացվում է՝ էֆ շտրիխ x_0)

f' (x_0)= \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{f(x_0 +h_n)-f(x_0)}{h_n}։

Դիցուք D-ն այն բազմությունն է, որին պատկանող կետերում y=f(x) ֆունկցիան ածանցելի է։ Այդ բազմության յուրաքանչյուր x կետի համապատասխանեցնելով f'(x) թիվը, կստանանք D բազմության վրա որոշված ֆունկցիա։ Այդ ֆունկցիան անվանում են y=f(x) ֆունկցիայի ածանցյալ և նշանակում՝ f' կամ y'։
## Ածանցյալի ֆիզիկական իմաստները
* s(t) օրենքով ուղղագիծ շարժվող մարմնի V(t) արագությունը ժամանակի t պահին հավասար է s(t) ֆունկցիայի ածանցյալին՝

V(t) = s'(t)։
* Եթե ուղղագիծ շարժվող մարմնի արագությունը փոխվում է V(t) օրենքով, ապա նրա a(t) արագացումը ժամանակի t պահին հավասար է ֆունկցիայի ածանցյալին՝

a(t) =V'(t)
## Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը
f(x)=a հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած x_0 կետի և կամայական h_n անվերջ փոքրի համար՝

 \frac{f(x_0 +h_n)-f(x_0)}{h_n}=\frac{a-a}{h_n}=0:

*Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը զրոն է։*
## Գծային ֆունկցիայի ածանցյալը

f(x)=kx + b գծային ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած x_0 կետի և կամայական h_n անվերջ փոքրի համար՝

 \frac{f(x_0 +h_n)-f(x)}{h_n}=\frac{k(x+h_n)+b-kx-b}{h_n}=k:

Հետևաբար, (kx+b)'=k։
## Քառակուսային ֆունկցիայի ածանցյալը

f(x)=x^2 ֆունկցիայի ածանցյալը՝

 \frac{f(x_0 +h_n)-f(x_0)}{h_n}=\frac{(x+h_n)^2-x^2}{h_n}=2x+h_n \rightarrow 2x:

Հետևաբար՝ (x^2)'=2x։

## Հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը
{h_n}=-\frac{1}{5x(5x+h_n)} \rightarrow -\frac{1}{25x^2}

Հետևաբար՝ f(x)=\left ( \frac{1}{5x} \right )'=-\frac{1}{25x^2}։
 }}
f(x)=\frac{1}{x} ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր x կետում՝

 \frac{f(x_0 +h_n)-f(x_0)}{h_n}=\frac{\frac{1}{x+h_n}-\frac{1}{x}}{h_n}=-\frac{1}{x(x+h_n)}:

Եթե h_n-ն անվերջ փոքր է, ապա \lim _{n \rightarrow \infty }(x+h_n)=x։ Կիրառելով զուգամետ հաջորդականությունների քանորդի սահմանի վերաբերյալ թեորեմը, կստանք՝

 \frac{f(x_0 +h_n)-f(x_0)}{h_n}\rightarrow - \frac{1}{x^2}:

f(x)=\frac{1}{x} ֆունկցիան ածանցելի է իր որոշման տիրույթի բոլոր կետերում և \left ( \frac{1}{x} \right )'= - \frac{1}{x^2}:

## Ցուցչային ֆունկցիայի ածանցյալը
 {h_n}= \frac {(\sqrt{(8x+1)+h_n}-\sqrt{(8x+1)}) \sqrt{(8x+1)+h_n}+ \sqrt {(8x+1)})} {h_n (\sqrt {(8x+1)+ h_n}+ \sqrt {(8x+1)})}=

= \frac{1}{\sqrt {(8x+1)+h_n}+ \sqrt {(8x+1)}} \rightarrow \frac{1}{2\sqrt{8x+1}}:

Հետևաբար f(x)=\left (\sqrt{8x+1}\right )'=\frac{1}{2\sqrt{8x+1}}։
}}
f(x)=\sqrt{x} ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր x կետում՝

\frac{f(x_0 +h_n)-f(x_0)}{h_n}=\frac{\sqrt{x+h_n}-\sqrt{x}}{h_n}=\frac{(\sqrt{x+h_n}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h_n}+\sqrt{x})}{h_n(\sqrt{x+h_n}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h_n}+\sqrt{x}}:

Հաշվի առնելով, որ \lim _{n \rightarrow \infty }\sqrt{(x+h_n)}=\sqrt{x}, ստանում ենք՝

\lim _{n \rightarrow \infty }\frac{f(x+h_n)-f(x)}{h_n}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}։

Հետևաբար (\sqrt{x})'=\frac{1}{2 \sqrt{x}}։

## Անընդհատ ֆունկցիայի թեորեմը
* Եթե ֆունկցիան ածանցելի է որևէ կետում, ապա այդ կետում ֆունկցիան անընհատ է։
; Ապացուցում
Եթե f ֆունկցիան ածանցելի է x_0 կետում, ապա կամայական h_n անվերջ փոքրի համար

\beta_n=\frac{f(x_0 +h_n)-f(x_0)}{h_n}-f'(x_0) հաջորդականությունն անվերջ փոքր է։ Այստեղից ստանում ենք ՝

f(x_0 + h_n)-f(x_0)=f'(x_0) \cdot h_n + \beta_n \cdot h_n։

Քանի որ h_n և \beta_n հաջորդականություններն անվերջ փոքր են. ուրեմն f(x_0 +h_n)-f(x_0) հաջորդականությունը նույնպես անվերջ փոքր է։ Հետևաբար՝ f ֆունկցիան x_0 կետում անընդհատ է։

## Գումարի ածանցման կանոնը

* Եթե f և g ֆունկցիաները ածանցելի են որևէ կետում, իսկ k-ն հաստատուն է, ապա k\cdot f, f+g և f-g ֆունկցիաները նույնպես ածանցելի են այդ կետում, ընդ որում՝

(k \cdot f)'=k\cdot f', ~~~ (f+g)'=f'+g',~~~ (f-g)'=f'-g'։
; Ապացուցում
Դիցուք f և g ֆունկցիաներն ածանցելի են x կետում, և h_n-ը կամայական անվերջ փոքր է։ Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների հատկություններից, ստանում ենք՝

\frac{(f(x+h_n)+g(x+h_n))-(f(x)+g(x))}{h_n}=\frac{f(x+h_n)-f(x)}{h_n}+\frac{g(x+h_n)-g(x)}{h_n} \rightarrow f'(x)+g'(x):
### Թեորեմի ֆիզիկական մեկնաբանությունը
Դիցուք գետափնյա նավամատույցից միաժամանակ սկսում են շարժվել լաստն ու շոգենավը։ Ենթադրենք ժամանակի կամայական t պահին շոգենավի հեռավորությունը լաստից s_1(t) է, իսկ լաստի հեռավորությունը նավամատույցից՝ s_2(t) է։ Դա կնշանակի, որ շոգենավը լաստից հեռանում է V_1(t)=s'_1(t)արագությամբ, իսկ լաստը նավամատույցից՝ V_2(t)=s'_2(t) արագությամբ։ Պարզ է, որ եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա t պահին շոգենավի հեռավորությունը նավամատույցից կլինի՝s(t)=s_1(t)+s_2(t), իսկ եթե շարժվեն հակառակ ուղղություններով, ապա՝ s(t)=s_1(t)-s_2(t)։ Հետևաբար, եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա շոգենավը նավամատույցից
կհեռանա

V(t)=s'(t)=s'_1(t)+s'_2(t)=V_1(t)+V_2(t)

արագությամբ, իսկ հակառակ ուղղություններով շարժվելու դեպքում՝

V(t)=s'(t)=s'_1(t)-s'_2(t)=V_1(t)-V_2(t)

## Արտադրյալի ածանցման կանոնը

* Եթե f և g ֆունկցիաներն ածանցելի են որևէ կետում, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև f \cdot g ֆունկցիան, ընդ որում՝

(f\cdot g)'=f' \cdot g +f\cdot g'։

; Ապացուցում
Դիցուք f և g ֆունկցիաներն ածանցելի են x կետում, և h_n-ը կամայական անվերջ փոքր է։ Հեշտ է ստուգել, որ

f(x+h_n)\cdot g(x+h_n)-f(x)\cdot g(x)=g(x+h_n)\cdot [f(x+h_n)-f(x)]+f(x)\cdot [g(x+h_n)-g(x)]:

Քանի որ g ֆունկցիան x կետում ածանցելի է, ուրեմն այն անընդհատ է x կետում։
Հետևաբար, \lim _{n \rightarrow \infty }g(x+h_n)=g(x):
Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների գումարի և արտադրյալի վերաբերյալ թեորեմից՝ երկու առնչություններից ստանում ենք.

\lim _{n \rightarrow \infty }\frac{f(x+h_n)\cdot g(x+h_n)-f(x)\cdot g(x)}{h_n}=\lim _{n \rightarrow \infty } g(x+h_n) \cdot \lim _{n \rightarrow \infty }\frac{f(x+h_n)-f(x)}{h_n}+f(x) \lim _{n \rightarrow \infty }\frac{g(x+h_n)-g(x)}{h_n}=f'(x)\cdot g(x) +f(x)\cdot g'(x):

## Քանորդի ածանցման կանոնը

***Թեորեմ 1։*** Եթե g ֆունկցիան ածանցելի է x կետում և g(x)\neq 0, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև \frac{1}{g} ֆունկցիան, ընդ որում

\left ( \frac{1}{g} \right )'=-\frac{g'}{g^2}։

; Ապացուցում
Դիցուք h_n-ն անվերջ փոքր է։ Պարզ ձևափոխություններով ստանում ենք՝

\frac{\frac{1}{g(x+h_n)}-\frac{1}{g(x)}}{h_n}=-\frac{1}{g(x)g(x+h_n)}\cdot \frac{g(x+h_n)-g(x)}{h_n}:

Քանի որ g ֆունկցիան ածանցելի և հետևաբար՝ անընդհատ է x կետում, ուստի

\lim _{n \rightarrow \infty }\frac{g(x+h_n)-g(x)}{h_n}=g'(x),~~~ \lim _{n \rightarrow \infty }g(x+h_n)=g(x):

***Թեորեմ 2։*** Եթե f և g ֆունկցիաններն ածանցելի են x կետում և g(x)\neq 0, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև \frac{f}{g} ֆունկցիան, ընդ որում

\left ( \frac{f}{g} \right )'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}։
; Ապացուցում
Օգտվելով նախորդ թեորեմից և արտադրյալի ածանցման կանոնից, ստանում ենք՝

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\left ( f(x)\cdot \frac{1}{g(x)} \right )'=f'(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\left (\frac{1}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)}{g(x)}+f(x)\left (-\frac{g'(x)}{g^2(x)} \right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}:

## Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը

***Թեորեմ 1։*** Եթե t=g(x) ֆունկցիան ածանցելի է x_0 կետում, իսկ y=f(t) ֆունկցիան՝ t_0=g(x_0) կետում, ապա F=f\circ g ֆունկցիան ածանցելի է x_0 կետում, և

F'(x_0)=f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0):

***Թեորեմ 2։*** Եթե f ֆունկցիան ածանցելի է, ապա F(x)=f(kx+b) ֆունկցիան նույնպես ածանցելի է, և

F'(x)=k\cdot f'(kx+b):
; Ապացուցում
Դիցուք h_n-ն անվերջ փոքր է։ Այդ դեպքում անվերջ փոքր է նաև k\cdot h_n հաջորդականությունը, ուստի

\lim _{n \rightarrow \infty }\frac{F(x+h_n)-F(x)}{h_n}=\lim _{n \rightarrow \infty }\frac{f(kx+kh_n+b)-f(kx+b)}{h_n}=k\cdot \lim _{n \rightarrow \infty }\frac{f(kx+b+kh_n)-f(kx+b)}{kh_n}=k\cdot f'(kx+b):
## Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները
* (x^a)'=a\cdot x^{a-1}  
* (\sin x)'=\cos x 
* (\cos x)'=-\sin x 
* (\mathrm{tg}\ x)'=\frac{1}{\cos^2 x} 
* (\mathrm{ctg}\ x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}
* (e^x)'=e^x
* (a^x)'=a^x \ln a
* (\ln x)'=\frac{1}{x}
* (\log_a x)'=\frac{1}{x \ln a}
* (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt {1-x^2}}
* (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt {1-x^2}}
* (\mathrm{arctg}\ x)'=\frac{1}{\ {1+x^2}}
* (\mathrm{arcctg}\ x)'=-\frac{1}{\ {1+x^2}}
## Ծանոթագրություններ
Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքները։ Հեղինակ Ֆիխտենգոլց http://www.alphazero.ru/index.php/bolor-nyutere/18-gitutyun/74-acancyali-sahmanum

Կատեգորիա:Դիֆերենցիալ հաշիվ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ
Կատեգորիա:Ֆունկցիա