Քվատերնիոններ

**Քվատերնիոններ**, հիպերկոմպլեքս թվերի համակարգ են, որոնք իրական թվերի դաշտի վրա կազմում են չորս չափի վեկտորային տարածություն։ Դրանք սովորաբար նշանակվում են \ \mathbb H\  նշանով։ Նրանց առաջին անգամ սահմանել և նկարագրել է իրլանդացի մաթեմատիկոս Վիլյամ Ռոուեն Համիլտոն-ը 1843 թվին։

## Պատմություն

1835 թ-ին 30 տարեկանում Համիլտոնը գիտակցեց, որ կոմպլեքս թվերը կարելի է ներկայացնել որպես իրական թվերի մի զույգ՝ (x,y)։ Ոգևորված \mathbb{C}-ի և երկչափ երկրաչափության կապով նա փորձում էր եռաչափ տարածությունը նկարագրող մի ավելի մեծ հանրահաշիվ կառուցել։ thumb|right|alt=Բրուգհեմի կամրջի հուշատախտակը.|Բրուգհեմի կամրջի հուշատախտակըՀետագայում նա գրում էր իր որդուն. «Վերը նշված ամսվա ամեն առավոտյան, երբ ես իջնում էի նախաճաշելու, քո կրտսեր եղբայրը` Վիլյամ Էդվինն ու դու ինձ հարցնում էիք. ՛Հայրիկ, դու սովորե՞լ ես բազմապատկել տրիպլետները։՛ Դրան ես ստիպված էի գլուխս տխուր թափահարելով պատասխանել. ՛Ոչ, ես դրանք միայն գումարել և հանել եմ կարողանում։՛»

Վերջապես, 1843 թ-ի հոկտեմբերի 16-ին, կնոջ հետ Դուբլինում Թագավորական Ջրանցք-ի կողքով դեպի Իրլանդական Թագավորական Ակադեմիայում հանդիպման քայլելիս նա կատարեց իր հայտնագործությունը։ «Կարելի է ասել, ես զգացի, որ մտքերիս գալվանական շղթան փակվեց. և այդ փակումից աջառացած կայծերը   և -ի միջև ֆունդամենտալ հավասարումներն էին»։ Եվ մաթեմատիկական վանդալիզմի հայտնի ակտում Համիլտոնը Բրուգհեմի կամրջի քարի վրա փորագրում է հայտնի հավասարումները՝

i^2=j^2=k^2=ijk=-1\qquad (1)

## Սահմանում

Քվատերնիոն կանվանենք

q = t + \mathbf{i} x + \mathbf{j} y + \mathbf{k} z, \quad \mathbf{x,y,z,t} \in \mathbb{R},

տեսքի կամայական տարր, որտեղ (1,\mathbf{i,j,k}) բազիսային էլէեմենտները ասոցատիվ են և բավարարում են (1) առնչություններին։ Քվատերնիոնային հանրահաշիվն օժտված է նաև *-գործողությամբ, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ՝

q^* = t - \mathbf{i} x - \mathbf{j} y - \mathbf{k} z: \qquad (2)

Հեշտ է ստուգել (հաշվի առնելով (1) և (2) սահմանումները), որ (\mathbf{q}_1\mathbf{q}_2)^* = \mathbf{q}_2^*\mathbf{q}_1^*:

## Հատկություններ

#### Արտադրյալ
Ձախից և աջից (1) առնչությունները բազմապատկելով \mathbf{i,j,k}-ով կստանանք համարժեք առնչություններ՝
 \mathbf{ij} =\mathbf{k}, \mathbf{ki} = \mathbf{j} և ցիկլիլ տեղափոխություններ։ Այս առնչությունները կարելի է 
ընդհանրացնել մեկ դիագրամում՝
frameless|center
Ժամսլաքի ուղղությամբ շարժվելիս, կամայական երկու էլեմենտների արտադրյալը հավասար է երրորդին։ Ժամսլաքին հակառակ ուղղությամբ շարժվելիս, արտադրյալը ձեռք է բերում «-» նշանը։

#### Նորմ

Քվատերնիոնային նորմը սահմանվում հետևյալ կերպով՝
\left \Vert \mathbf{q}\right\| = \sqrt=\sqrt{t^2+x^2 +y^2+z^2}

Հեշտ է ստուգել, որ քվատերնիոնները նորմավորված հանրահաշիվ են՝
\left\Vert\mathbf{q}_1\mathbf{q}_2 \right \| = \left\Vert \mathbf{q}_1\right\| \left\Vert \mathbf{q}_2\right\|

#### Թենզորային ներկայացում

Նշանակենք \mathbf{e}_1 = \mathbf{i}, \mathbf{e}_2 = \mathbf{j}, \mathbf{e}_3 = \mathbf{k}: Այս նշանակման միջոցով քվատերնիոնների արտադրյալը կարելի է գրել ավելի կոմպակտ տեսքով՝
\mathbf{e}_a \mathbf{e}_b = -\delta_{ab} + \sum\limits_{c=1}^3 \varepsilon_{abc}\mathbf{e}_c,\qquad a,b,c = 1,2,3,\qquad(3)
որտեղ \delta_{ab} -ն Քրոնեկերի սիմվոլն է, իսկ \varepsilon_{abc}-ն՝ բացարձակ անտիսիմետրիկ թենզորը։
#### Քլիֆորդի հանրհահաշիվ
Հաշվի առնելով (3) առնչությունը կարող ենք գրել՝

\mathbf{e}_a \mathbf{e}_b + \mathbf{e}_b \mathbf{e}_a \equiv \left\{\mathbf{e}_a \mathbf{e}_b\right\} = -2\delta_{ab}

Այս առնչությունները սահմանում են \operatorname{Cliff}(2) Քլիֆորդի հանրահաշիվը։ Այսպիսով, հեշտ է տեսնել, որ \mathbb{H}=\operatorname{Cliff}(2):

Կատեգորիա:Քվատերնիոններ