Ամբողջ մաս

thumb|right|«Հատակ» ֆունկցիայի գրաֆիկ (թվերի ամբողջ մաս)
thumb|right|«Առաստաղ» ֆունկցիայի գրաֆիկ
Մաթեմատիկայի մեջ x իրական թվի **ամբողջ մասը** x –ի կլորացումն է մինչև մոտակա ամբողջը, դեպի փոքր կողմը։ Թվի ամբողջ մասը կոչվում է նաև **անտյե** (), կամ **հատակ** ()։ Հատակի հետ զուգահեռ գոյություն ունի զույգ ֆունկցիա՝ **առաստաղ** (), x կլորացում մինչև մոտակա ամբողջը՝ դեպի մեծ կողմը։

## Նշանակությունն ու օրինակներ
x թվի ամբողջ մասի նշանակման համար ([x]) քառակուսի փակագծերը առաջին անգամ օգտագործել է Գաուսը 1808 թվականին՝ քառակուսային փոխադարձության օրենքի իր ապացույցում։ Այդ նշանակումը համարվում էր ստանդարտ, մինչև Կենեթ Այվերսոնը իր «*A Programming Language*» գրքում, որը հրատարակվել էր 1962 թվականին, չառաջարկեց x թվի կլորացումը մինչև մոտակա ամբողջը փոքր և մեծ կողմերով անվանել «հատակ» и «առաստաղ» x և համապատասխանաբար նշանակել \lfloor x \rfloor և \lceil x \rceil ։
Ժամանակակից մաթեմատիկայում օգտագործվում են երկու նշանակումներն էլ, [x] և \lfloor x \rfloor, սակայն գոյություն ունի անցման տենդենց դեպի տերմինալոգիա և Այվերսոնի նշանակումներ։ Դրա պատճառներից մեկը «թվի ամբողջ մաս» հասկացության պոտենցիալ անորոշությունն է։ Օրինակ՝ 2,7 թվի ամբողջ մասը հավասար է 2, բայց հնարավոր է երկու կարծիք այն հարցում, թե ինչպես որոշել −2,7 թվի ամբողջ մասը։ Համաձայն այս հոդվածում տրված սահմանման [x] \equiv \lfloor x \rfloor = -3, սակայն որոշ հաշվիչների վրա գոյություն ունի թվի ամբողջ մասի INT ֆունկցիա, բացասական թվերի համար որոշվող ինչպես INT(-x) = -INT(x), այնպես որ INT(-2,7) = −2։ Այվերսոնի տերմինալոգիայում բացակայում են հնարավոր անորոշությունները․
: 
\begin{matrix}
\lfloor 2{,}7 \rfloor  = 2, &  \lfloor -2{,}7 \rfloor  = -3, \\
\lceil 2{,}7 \rceil  = 3, & \lceil -2{,}7 \rceil = -2
\end{matrix}


## Սահմանում
\lfloor \cdot \rfloor\colon x \mapsto \lfloor  x  \rfloor հատակ ֆունկցիան սահմանվում է ինչպես ամենամեծ ամբողջ, փոքր կամ հավասար x․
: \lfloor  x  \rfloor = \max\{ n \in \mathbb{Z} \mid n \leqslant x\}

\lceil \, \cdot \, \rceil\colon x \mapsto \lceil  x  \rceil առաստաղ ֆունկցիան սահմանվում է ինչպես ամենափոքր ամբողջ, մեծ կամ հավասար x․
: \lceil  x  \rceil = \min\{ n \in \mathbb{Z} \mid n \geqslant x\}

Այդ սահմանումները էկվիվալենտ են հետևյալ անհավասարություններին (որտեղ *n*–ը ամբողջ թիվ է)․
: 
\begin{align}
\lfloor  x  \rfloor = n & \Longleftrightarrow & n \leqslant x 

## Հատկություններ
Ներքևում գրված բանաձևերում x և y տառերով նշանակված են իրական թվերը, իսկ n և m տառերով՝ ամբողջները։ 

### Հատակն ու առաստաղը ինչպես իրական փոփոխականով ֆունկցիաներ
Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաները իրական թվերի բազմությունը արտապատկերում են ամբողջ թվերի բազմության մեջ․
: 
\lfloor  \, \cdot \, \rfloor\colon \mathbb{R} \to \mathbb{Z}, \quad
\lceil  \, \cdot \, \rceil\colon \mathbb{R} \to \mathbb{Z}, \quad


Հատակն ու առաստաղը մասամբ անընդհատ ֆունկցիաներ են։

Հատակն ու առաստաղը խզումով ֆունկցիաներ են․ բոլոր ամբողջաթվային կետերում տեղի է ունենում առաջի սեռի խզումներ միավորի հավասար թռիչքով։

Այդ դեպքում հատակ ֆունկցիան հանդիսանում է․
* Կիսաանընդհատ վերևից և
* Անընդհատ աջից

Առաստաղ ֆունկցիան հանդիսանում է․
* Կիսաանընդատ ներքևից և
* Անընդհատ ձախից

### Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաների կապը
x կամայական թվի համար ճիշտ է
: \lfloor  x  \rfloor \leqslant x \leqslant \lceil  x  \rceil անհավասարությունը։

x ամբողջ թվի համար հատակն ու առաստաղը համընկնում են․
: \lfloor  x  \rfloor = x \quad \Longleftrightarrow \quad x \in \mathbb{Z} \quad \Longleftrightarrow \quad \lceil  x  \rceil = x

Եթե x ամբողջ չէ, ապա առաստաղ ֆունցիայի արժեքը միավորով մեծ է հատակ ֆունկցիայի արժեքից․
: 
\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor  = 
\begin{cases}
1, & x \notin \mathbb{Z} \\
0, & x \in \mathbb{Z}
\end{cases}


Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաները հանդիսանում են երկու առանցքներից մեկը մյուսի արտապատկերումները։
: \lfloor -x \rfloor = -\lceil x \rceil, \quad \lceil -x \rceil = -\lfloor x \rfloor

### Հատակ/առաստաղ՝ անհավասարություն
Իրական և ամբողջ թվերի միջև ցանկացած անհավասարություն հավասարազոր է իրական թվերի միջև հատակի և առաստաղի անհավասարությանը
․
: 
\begin{matrix}
n \leqslant x & \Longleftrightarrow & n \leqslant \lfloor x \rfloor
& \qquad
x \leqslant n & \Longleftrightarrow & \lceil x \rceil \leqslant n \\
n 
Վերևի երկու անհավասարությունը հանդիսանում են հատակի և առաստաղի սահմանումների անմիջական հետևանքները, իսկ ներքևի երկուսը՝ վերևինների վերածումն է հակդարձից։

Հատակ/առաստաղ ֆունկցիաները հանդիսանում են մոնոտոն աճող ֆունկցիաներ․
: 
x \leqslant y \Rightarrow  \lfloor x \rfloor \leqslant \lfloor y \rfloor
, \quad
x \leqslant y \Rightarrow  \lceil x \rceil \leqslant \lceil y \rceil


### Հատակ/առաստաղ՝ գումարում
Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка
:
: \lfloor  x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n , \quad 
         \lceil  x + n \rceil =  \lceil x  \rceil + n


Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:
: 
\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor  \leqslant \lfloor x + y \rfloor  \leqslant \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1
, \quad
\lceil x \rceil + \lceil y \rceil - 1 \leqslant \lceil x + y \rceil \leqslant \lceil x \rceil + \lceil y \rceil


### Հատակը/առաստաղը ֆունկցիայի նշանի տակ
Տեղի ունի հետևյալ առաջարկությունը․

Թող f(x) –ը լինի անընդհատ մոնոտոն աճող ֆունկցիա, որոշված որոշակի շրջակայքում, օժտված
: f(x) \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \mathbb{Z} հատկությամբ։
Այդ դեպքում՝
: 
\lfloor f(x) \rfloor = \lfloor f(\lfloor x \rfloor) \rfloor, \quad
\lceil f(x) \rceil = \lceil f(\lceil x \rceil) \rceil

ամեն անգամ, երբ որոշված են f(x), f(\lfloor x \rfloor), f(\lceil x \rceil)։

Մասնավորապես,
: 
\left \lfloor \frac{x+m}{n} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{\left \lfloor x \right \rfloor + m}{n} \right \rfloor 
,\quad
\left \lceil \frac{x+m}{n} \right \rceil = \left \lceil \frac{\left \lceil x \right \rceil + m}{n} \right \rceil

եթե m և n  ամբողջ թվեր են և n>0։

### Հատակ/առաստաղ՝ գումարներ
Եթե m,n ամբողջ թվեր են, m>0, ապա

: n=\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n+1}{m}\right\rfloor +\dots+\left\lfloor\frac{n+m-1}{m}\right\rfloor


Ընդհանրապես, եթե x կամայական իրական թիվ է, իսկ m՝ ամբողջ դրական, ապա 
: \lfloor mx \rfloor=\left\lfloor x\right\rfloor + \left\lfloor x+\frac{1}{m}\right\rfloor +\dots+\left\lfloor x+\frac{m-1}{m}\right\rfloor


Տեղի ունի առավել ընդհանուր հարաբերություն
․
: 
\sum_{0 \leqslant k 

Քանի որ այդ հավասարության աջ մասը սիմետրիկ է m և n նկատմամբ, ապա ճշմարիտ է հետևյալ *փոխադարձության օրենքը*․
: 
\sum_{0 \leqslant k 0


### Շարքով տրումը
Անտյե ֆունկցիան Հևիսայդի ֆունկցիայի օգնությամբ տրիվյալ ձևով ներկայացվում է շարքով․
: 
[x]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}n\left(\theta(x-n)-\theta(x-n-1)\right),

որտեղ շարքի յուրաքանչյուր մաս առաջացնում է ֆունկցիայի ինքնատիպ աստիճաններ։ Այդ շարքը բացարձակ համընկնում է, սակայն իր մասերի սխալ ձևափոխումը կարող է բերել «պարզեցված» շարքի
: 
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\theta\left(x-n\right),

որը տրոհվում է։

## Կիրառություն
Հատակ/առաստաղ ամբողջաթվային ֆունկցիաները լայն կիրառում ունեն դիսկրետ մաթեմատիկայում և թվերի տեսության մեջ։ Ներքևում բերված են այդ ֆունկցիաների կիրառության որոշ օրինակներ։

### Թվի գրառման մեջ թվանշանների քանակը
Դրական ամբողջ թվի գրառման մեջ թվանշանների թիվը *b* հիմքով համրանքի դիրքային համակարգում հավասար է

: \lfloor \log_{b} n \rfloor + 1

### Կլորացում

x մոտակա ամբողջ թիվը կարող է որոշվել
: (x) = \lfloor x + 0{,}5\rfloor բանաձևով։

### mod բինար գործողություն

«Մոդուլով մնացորդ» գործողությունը նշանակենք x \bmod y , հատակ ֆունկցիայի միջոցով կարող է որոշվել հետևյալ կերպ։ Եթե x,y  կամայական իրական թվեր են և y \neq 0, ապա x–ը y–ի վրա բաժանելիս թերի մասնավորը հավասար է
: \lfloor x/y \rfloor,
իսկ մնացորդը՝
: x \, \bmod \, y = x - y \lfloor x/y \rfloor

### Կոտորակային մաս

x իրական թվի կոտորակային մասն ըստ սահմանման հավասար է
: \{x\} = x \, \bmod \, 1 = x - \lfloor x \rfloor

### Միջակայքի ամբողջ թվերի քանակը
Պահանջվում է գտնել \alpha և \beta ծայրակետերով փակ միջակայքում ամբողջ կետերի քանակը, այսինքն n ամբողջ թվերի քանակը, որոնք բավարարում են
: \alpha \leqslant n \leqslant \beta անհավասարությանը։
Հատակի/առաստաղի հատկությունների համաձայն այդ անհավասարությունը համարժեք է
: \lceil \alpha \rceil \leqslant n \leqslant \lfloor \beta \rfloor:
Դա հանդիսանում է \lceil \alpha \rceil և \lfloor \beta \rfloor ծայրակետերով փակ միջակայքի կետերի թիվը, հավասար՝ \lfloor \beta \rfloor - \lceil \alpha \rceil + 1:
Անալոգ ձևով կարելի է հաշվել այլ տիպի միջակայքերի ամբողջ կետերի քանակը։ Արդյունքների հատումը բերված է ներքևում.
.
: 
\#\{ n \in \mathbb{Z} \colon \alpha \leqslant n \leqslant \beta \}  = \lfloor \beta \rfloor - \lceil \alpha \rceil + 1

: 
\#\{ n \in \mathbb{Z} \colon \alpha \leqslant n 
: 
\#\{ n \in \mathbb{Z} \colon \alpha 
: 
\#\{ n \in \mathbb{Z} \colon \alpha  
*(<math>\# M</math> -ով նշանակված է <math>M</math> [[բազմության հզորություն]]ը)*։

Առաջին երեք արդյունքները ճշմարիտ են բոլոր \alpha \leqslant \beta համար, իսկ չորորդը՝ միայն \alpha  դեպքում։

### Սպեկտրի մասին Ռելեի թեորեմը
Թող \alpha և \beta լինեն իռացիոնալ դրական թվեր լինեն, կապված

: \frac {1} {\alpha} + \frac{1} {\beta} = 1. հարաբերությամբ։

Այդ դեպքում թվերի շարքում
: \lfloor \alpha\rfloor, \lfloor \beta \rfloor, \lfloor 2\alpha\rfloor, \lfloor 2\beta \rfloor, \ldots, \lfloor m\alpha\rfloor, \lfloor m\beta \rfloor, \ldots
յուրաքանչյուր բնական n \in \mathbb{N} ճշտությամբ հանդիպում է մեկ անգամ։
Այլ խոսքերով՝
: \{m\alpha \mid m \in \mathbb{N}\} և \{m\beta \mid m \in \mathbb{N}\} հաջորդականությունները, որոնք կոչվում են
Բեթիի հաջորդականություն, կազմում են բնական շարքի պառակտումը։

## Ինֆորմատիկայի մեջ
### Ծրագրավորման լեզուներում

Շատ ծրագրավորման լեզուներում գոյություն ունի հատակ/առաստակ ֆունկցիաների  floor(), ceil() ներկայացումը։

### Էջատման համակարգում
TeX (и LaTeX) -ում հատակի/առաստաղի \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil սիմվոլների համար գոյություն ունի \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil հատուկ հրահանգները։ Քանի որ վիքի -ն օգտագործում է LaTeX մաթեմատիկական բանաձևերի հավաքագրման համար, ապա այս հոդվածում ևս օգտագործված են հենց այդ հրահանգները։

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* 
* 

Կատեգորիա:Թվերի տեսություն
Կատեգորիա:Տարրական մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Ունար գործողություններ