Պաուլիի հավասարում

**Պաուլիի հավասարում**, **Շրյոդինգեր-Պաուլիի հավասարում**, Շրյոդինգերի հավասարման ձևակերպումը կիսաամբողջ սպինով մասնիկների համար, որը հաշվի է առնում մասնիկի սպինի փոխազդեցությունն արտաքին էլեկտրամագնիսական դաշտի հետ։ Այն Դիրակի հավասարման ոչ ռելյատիվիստական սահմանն է և կարող է օգտագործվել միայն լույսի արագությունից փոքր արագությամբ շարժվող մասնիկի դեպքում, այնպես որ ռելյատիվիստական էֆեկտները տեղի չունեն։ Ձևակերպել է Վոլֆգանգ Պաուլին 1927 թ.։

## Հավասարման տեսքը
*m* զանգվածով և *q* լիցքով մասնիկի համար, որը գտնվում է **A** = (*A<sub>x</sub>*, *A<sub>y</sub>*, *A<sub>z</sub>*) վեկտորական պոտենցիալով և *ϕ* սկալյար պոտենցիալով նկարագրվող էլեկտրամագնիսական դաշտում , Պաուլիի հավասարումը հետևյալն է՝

\left[ \frac{1}{2m}(\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - q \mathbf{A}))^2 + q \phi \right] |\psi\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle  ,

որտեղ **σ** = (*σ<sub>x</sub>*, *σ<sub>y</sub>*, *σ<sub>z</sub>*) Պաուլիի մատրիցներն են՝ հարմարության համար վեկտորական տեսքով ներկայացված, **p** = −*iħ*∇-ն իմպուլսի օպերատորն է, որտեղ ∇ նշանակված է գրադիենտի օպերատորը և

: |\psi\rangle = \begin{pmatrix} 
\psi_+ \\
\psi_-
\end{pmatrix}

երկու բաղադրիչային սպինորային ալիքային ֆունկցիան է, Դիրակի նշանակումներով գրված Երկչափ վեկտորով։

Համիլտոնյան օպերատորը՝

:\hat{H} = \frac{1}{2m}(\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - q \mathbf{A}))^2 + q \phi

Պաուլիի մատրիցների պատճառով 2 × 2 մատրիցային օպերատոր է։ Տեղադրելով Շրյոդինգերի հավասարման մեջ՝ կստանանք Պաուլիի հավասարումը։ Համիլտոնյանը նման է էլեկտրամագնիսական դաշտի հետ փոխազդող դասական hամիլտոնյանին։ Կինետիկ էներգիայի բաղադրիչը ազատ մասնիկի համար էլեկտրամագնիսական դաշտի բացակայությամբ պարզապես **p**2/2*m* է, որտեղ **p**-ն ''կինետիկ'' իմպուլսն է, մինչդեռ էլեկտրամագնիսական դաշտի առկայությամբ ունենք **p** = **P** − q**A** կեղծ զույգը, որտեղ **P**-ն կանոնիկ իմպուլսն է։

Պաուլիի վեկտորական նույնականացման միջոցով կարելի է Պաուլիի մատրիցները հանել կինետիկ էներգիայի անդամից

:(\boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{a})(\boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{b}) =  \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + i\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right)

Ստանալու համար

:\hat{H} = \frac{1}{2m}\left[\left(\mathbf{p} - q \mathbf{A}\right)^2 - q \hbar \boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{B}\right] + q \phi

որտեղ **B** = ∇ × **A**-ն մագնիսական դաշտն է։

## Կապը Շրյոդինգերի հավասարման և Դիրակի հավասարման հետ
Պաուլիի հավասարումը ոչ ռելյատիվիստական է, սակայն այն չի կանխատեսում սպինը։ Որպես այդպիսին, կարելի է մտածել, որ նա միջին տեղ է գրավում Շրյոդինհերի հայտնի հավասարման (կոմպլեքս սկալյար ալիքային ֆունկցիայով), որը ոչ ռելյատիվիստական է և չի կանխատեսում սպինը և Դիրակի հավասարման (կոմպլեքս չորս բաղադրիչով սպինորով) միջև, որն ամբողջովին ռելյատիվիստական է և կանխատեսում է սպինը։

Նշենք, որ Պաուլիի մատրիցների հետևանքով եթե **A** մագնիսական վեկտորական պոտենցիալը հավասար է զրոյի, ապա հավասարումն ընդունում է Շրյոդինգերի հավասարման տեսքը մասնիկի համար *ϕ* ամբողջովին էլեկտրական պոտենցիալով, բացառությամբ, որ այն ազդում է երկու բաղադրիչանի սպինորի վրա։ Այսպիսով, մենք կարող ենք տեսնել, որ մասնիկի սպինն ազդում է իր շարժման վրա միայն մագնիսական դաշտի ազդեցության դեպքում։

## Հատուկ դեպքեր
Երկու սպինորային բաղադրիչները բավարարում են Շրյոդինգերի հավասարմանը։ Արտաքին **B** դաշտի ազդեցությամբ Պաուլիի հավասարումը գրվում է


\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi_\pm\rangle = \left( \frac{( \mathbf{p} -q \mathbf A)^2}{2 m} + q \phi \right) \hat 1 \mathbf |\psi\rangle }_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{q \hbar}{2m}\boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf B \mathbf |\psi\rangle }_\mathrm{Stern \, Gerlach \, term}

որտեղ

: \hat 1 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} 

2 × 2 նույնականացման մատրիցն է, որը գործում է որպես նույնականացման օպերատոր։

Շտեռն-Գեռլախի տերմիններով կարելի է ստանալ սպինի կողմնորոշումը մեկ վալենտական էլեկտրոնով ատոմի համար։
Նման կերպ, մագնիսական դաշտում սպեկտչալ գծերի միաձուլման համար պատասխանատու անդամը կարելի է տեսնել Զեեմանի անոմալ էֆեկտում։

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Մագնիսականություն
Կատեգորիա:Քվանտային մեխանիկա