Եռանկյան բարձրություն

300px|մինի|Բարձրություններ տարբեր տեսակի եռանկյուններում
**Եռանկյան բարձրություն**, եռանկյան գագաթից հանդիպակաց կողմին կամ այն պարունակող ուղղին տարված ուղղահայաց։ Եռանկյան տեսակից կախված, բարձրությունը կարող է գտնվել եռանկյան ներսում(սուրանկյուն եռանկյան համար), համընկնել նրա կողմի հետ(ուղղանկյուն եռանկյան համար հանդիսանում է էջ), կամ անցնել եռանկյան արտաքին տիրույթով(բութանկյուն եռանկյան համար)։

## Եռանկյան երեք բարձրությունների հատման կետի (օրթոկենտրոնի) հատկությունները
300px|մինի|Եռանկյան բարձրություններ
Եռանկյան բարձրությունները հատվում են մեկ կետում, որը կոչվում է օրթոկենտրոն։ Այս պնդումը հեշտ է ապացուցել, կիրառելով ցանկացած A,\ B,\ C,\ E կետերի (որոնց պատկանելիությունը միևնույն հարթությանը պարտադիր չէ) համար վեկտորական նույնությունը.
: \overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{AB} = 0
(Նույնության ապացուցման համար պետք է օգտվել 
: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EB} - \overrightarrow{EA},\,\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{EC} - \overrightarrow{EB},\,\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{EA} - \overrightarrow{EC}
բանաձևերից։
Որպես E կետ պետք է վերցնել եռանկյան երկու բարձրությունների հատման կետը։)
### Հավասարասրուն եռանկյան բարձրությունների հատկությունները
*Եթե եռանկյան երկու բարձրությունները հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է (Շտեյներ-Լեմուսի թեորեմ), իսկ երրորդ բարձրությունը միաժամանակ հանդիսանում է այն անկյան կիսորդն ու միջնագիծը, որից այն դուրս է գալիս։
*Ճշմարիտ է և հակադարձը. հավասարասրուն եռանկյան երկու բարձրությունները հավասար են, իսկ երրորդ բարձրությունը միաժամանակ հանդիսանում է միջնագիծ և կիսորդ։
*Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր երեք բարձրությունները հավասար են։
*Հավասարասրուն եռանկյան՝ հիմքին հանդիպակաց անկյան գագաթից դուրս եկող բարձրությունը միջնագիծ է և կիսորդ։

## Եռանկյան բարձրությունների հիմքերի հատկությունները
*Եռանկյան բարձրությունների *հիմքերը* կազմում են, այսպես կոչված, օրթոեռանկյուն, որն օժտված է սեփական հատկություններով։
*Օրթոեռանկյանն արտագծված շրջանագիծը Էյլերի շրջանագիծն է։ Այդ շրջանագծի վրա գտնվում են եռանկյան երեք կողմերի միջնակետերը և օրթոկենտրոնը եռանկյան գագաթներին միացնող երեք հատվածների միջնակետերը։
*Վերջին հատկության այլ ձևակերպում.
****Էյլերի թեորեմը [[Ինը կետերի շրջանագիծ|ինը կետերի շրջանագծի]] համար**.
Ցանկացած եռանկյան երեք բարձրությունների *հիմքերը*, նրա երեք կողմերի *միջնակետերը* (միջնագծերի*հիմքերը* ) և օրթոկենտրոնը եռանկյան գագաթներին միացնող երեք հատվածների միջնակետերը գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա (*ինը կետերի շրջանագծի* վրա)։
***Թեորեմ**։ Ցանկացած եռանկյան մեջ երկու բարձրությունների հիմքերը միացնող հատվածը առանձնացնում է տրվածին նման եռանկյուն

## Եռանկյան բարձրությունների այլ հատկություններ
*Ոչ հավասարասրուն եռանկյան ներքին կիսորդը գտնվում է այն միջնագծի և բարձրության միջև, որոնք տարված են նույն գագաթից, ինչ այդ կիսորդը։
*Սուրանկյուն եռանկյան մեջ երկու բարձրություները նրանից առանձնացնում են նման եռանկյուններ։
*Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրությունն այդ եռանկյունը տրոհում են տրվածին նման երկու եռանկյունների։

## Եռանկյան բարձրություններից փոքրագույնի  հատկությունները
Եռանկյան բարձրություններից փոքրագույնն օժտված է մի շարք էքստրեմալ հատկություններով։Օրինակ.
*Եռանկյան հարթությանը պատկանող ուղիղների վրա եռանկյան օրթոգոնալ պրոյեկցիաներից փոքրագույնի երկարությունը հավասար է եռանկյան փոքրագույն բարձրությանը։
*Եռանկյան պարագծով երկու կետերի՝ միմյանց ընդառաջ անընդհատ շարժվելիս, նրանց մեծագույն հեռավորությունը առաջին հանդիպումից մինչև երկրորդը, չի կարող փոքր լինել եռանկյան փոքրագույն բարձրության երկարությունից։
*Եռանկյան փոքրագույն բարձրությունը միշտ անցնում է եռանկյան ներքին տիրույթով։

## Հիմնական հարաբերակցություններ
* h_a=b{\cdot}\sin\gamma=c{\cdot}\sin\beta,։
* h_a=\frac{2{\cdot}S}{a}, որտեղ S — եռանկյան մակերեսն է, a — եռանկյան այն կողմի երկարությունն է, որին տարված է բարձրությունը։
* h_a=\frac{b{\cdot}c}{2{\cdot}R}, որտեղ b{\cdot}c - կողմնային կողերի արտադրյալն է, R --ը՝ արտագծված շրջանագծի շառավիղը։ 
* h_a:h_b:h_c=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=(b{\cdot}c):(a{\cdot}c):(a{\cdot}b).
* \frac1{h_a} + \frac1{h_b} + \frac1{h_c} = \frac{1}{r}, որտեղ r — ներգծյալ շրջանագծի շառավիղն է։
* S=\frac1{\sqrt{(\frac1{h_a} + \frac1{h_b} + \frac1{h_c}){\cdot}(\frac1{h_a} + \frac1{h_b} - \frac1{h_c}){\cdot}(\frac1{h_a} + \frac1{h_c} - \frac1{h_b}){\cdot}(\frac1{h_b} + \frac1{h_c} - \frac1{h_a})}}, որտեղ S - ը եռանկյան մակերեսն է։
* a=\frac{2}{h_a{\cdot}\sqrt{(\frac1{h_a} + \frac1{h_b} + \frac1{h_c}){\cdot}(\frac1{h_a} + \frac1{h_b} - \frac1{h_c}){\cdot}(\frac1{h_a} + \frac1{h_c} - \frac1{h_b}){\cdot}(\frac1{h_b} + \frac1{h_c} - \frac1{h_a})}}, a - եռանկյան կողմը, որին տարված է h_a բարձրությունը։
* Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը. 
:: h_c=\frac{1}{2}{\cdot}\sqrt{4a^2-c^2},
որտեղ c — ն հիմքն է։
* h=a{\cdot}\frac{\sqrt 3}{2} — հավասարակողմ եռանկյան բարձրություն։

## Թեորեմ ուղղանկյուն եռանկյան բարձրության մասին
Եթե ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ուղիղ անկյան գագաթից տարված h բարձրությունը c ներքնաձիգը տրոհում է b և a էջերին համապատասխան m և n հատվածների, ապա ճշմարիտ են հետևյալ հավասարությունները.
* h^2=n{\cdot}m
* a^2=c{\cdot}n; b^2=c{\cdot}m
* h{\cdot}c=a{\cdot}b

## Թեորեմ պրոյեկցիաների մասին

Թեորեմ պրոյեկցիաների մասին։  c=  a \cos \beta + b \cos \alpha;\ a=  b \cos \gamma + c \cos \beta;\ b=  c \cos \alpha + a \cos \gamma .
Պրոյեկցիաների մասին թեորեմից հետևում է, որ, օրինակ,  C  գագաթից տարված բարձրությունը հանդիպակաց  c  կողմը տրոհում է երկու մասի՝   a \cos \beta  և  b \cos \alpha , հաշված  A  գագաթից դեպի B-ն։

## Տես նաև
* Եռանկյուն
* Ուղղանկյուն եռանկյուն
* Հավասարասրուն եռանկյուն
* Եռանկյան միջնագիծ
* Օրթոկենտրոն
* Կիսորդ

## Հղումներ

Կատեգորիա:Եռանկյան երկրաչափություն