Էյլերի բանաձև

thumb|296px|Էյլերի բանաձևի երկրաչափական իմաստը
**Էյլերի բանաձևը** կապում է կոմպլեքս էքսպոնենտին եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ։ Անվանված է ի պատիվ Լեոնարդ Էյլերի, ով այն ստեղծել է։

Էյլերի բանաձևը պնդում է, որ ցանկացած x կոմպլեքս թվի (հիմնականում իրական ) համար տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝
: e^{ix}=\cos x+i\sin x,
որտեղ e֊ն մաթեմատիկական կարևորագույն հաստատուններից մեկն է, որը սահմանում է հետևյալ բանաձևը՝
e = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x,
: i֊ն կեղծ միավորն է։

## Պատմություն
Էյլերի բանաձևը առաջին անգամ ներկայացվել է անգլիացի մաթեմատիկոս Ռոջեր Կոտսի (Իսահակ Նյուտոնի օգնական) «Լոգոմետրիա» () հոդվածում, որը հրատարակվել է «Թագավորական հասարակության փիլիսոփայական աշխատանքներ» ամսագրում 1714 թվականին և տպագրվել է «Չափողականության ներդաշնակություն» () գրքում, որը հրատարակվել է 1722 թվականին՝ հեղինակի մահից հետո։ Կոտսը դուրս է բերել բանաձևը որպես ոչ մեծ առաջարկություն բազմաթիվ երկրաչափական կառուցումների մեջ, որը ժամանակակից մաթեմատիկական լեզվով թարգմանությունից և նշանների սխալների ուղղումից հետո ունի հետևյալ տեսքը՝:
: \ln(\cos x+i\sin x)=i x։

Էյլերը հոդվածում 1740 թվականին և «Անվերջ նվազողների մուտքագրում անալիզում» () գրքում (1748) հրապարակել է բանաձևը իր սովորական տեսքով՝ ստեղծելով ապացույց աստիճանային շարքերում անվերջ բաժանվողների աջ և ձախ մասերի հավասարության համար։ Ո՛չ Էյլերը, ո՛չ Կոտսը չէին պատկերացնում բանաձևի երկրաչափական մեկնաբանումը․ հասկացողությունը կոմպլեքս թվերի մասին, որպես Կոմպլեքս հարթության վրայի կետեր, հայտնվեց մոտ 50 տարի անց՝ Գասպար Վեսսելի շնորհիվ։

## Ածանցյալ բանաձևեր
Էյլերի բանաձևի շնորհիվ կարելի է որոշել \sin և \cos ֆունկցիաները հետևյալ եղանակով՝
: \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},
: \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.

Այնուհետև կարելի է ներմուծել կոմպլեքս փոփոխականի եռանկյունաչափական ֆունկցիայի գաղափարը։ Ենթադրենք x=iy, այդ դեպքում։
: \sin iy=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=i\mathop{\mathrm{sh}}\,y,
: \cos iy=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\mathop{\mathrm{ch}}\,y.

Հանրահայտ Էյլերի նույնությունը, որը կապում է մաթեմատիկական ֆունդամենտալ հինգ հաստատունները՝ 1, 0, i, pi, e 
: e^{i\pi}+1=0
համարվում է Էյլերի բանաձևի մասնավոր դեպք x=\pi դեպքում։

## Կիրառությունը կոմպլեքս անալիզում
Էյլերի բանաձևի շնորհիվ դուրս է բերվում կոմպլեքս թվի այսպես կոչվող եռանկյունաչափական և ընդհանուր տեսքը.
x=a+ib=|x|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|x|e^{i\varphi}։

Նշանակալի հետևանք կարելի է համարել նաև կոմպլեքս թվի կամայական աստիճանով բարձրացումը՝ x=|x|e^{i\varphi}, x^n=|x|^ne^{ni\varphi}։ Տվյալ բանաձևի երկրաչափական իմաստը հետևյալն է․ x թիվը n աստիճանով բարձրացնելիս՝ նրա հեռավորությունը կենտրոնից բարձրացվում է n աստիճան, իսկ շրջման անկյունը OX առանցքում մեծանում է n անգամ։

Աստիճանով բարձրացման բանաձևը ճիշտ է ոչ միայն n ամբողջ թվերի համար, այլև՝ իրական թվերի։ Հիմնականում թվի ընդհանուր տեսքը թույլ է տալիս գտնել ցանկացած աստիճանի արմատներ ցանկացած կոմպլեքս թվից։

## Փոխադարձ կապը եռանկյունաչափության հետ
Էյլերի բաանաձևը ներկայացնում է մաթեմատիկական անալիզի և եռանկյունաչափության միջև կապ, ինչպես նաև թույլ է տալիս սինուս և կոսինուս ֆունկցիաների ինտերպրետացիա, որպես էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի կախույթային արժեքներ**:**

: \cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}
: \sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.

Վերը նշված հավասարումները կարող են ստացվել Էյլերի բանաձևի բաժանման կամ հանման եղանակով

: e^{ix} = \cos x + i \sin x \;

: e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x)  = \cos x - i \sin x \;

հետևող սինուսով կամ կոսինուսով լուծմամբ։

Ինչպես նաև այս բանաձևերը կարող են ծառայել կոմպլեքս փոփոխականով եռանկյունաչաափական ֆունկցիաների որոշմանը։ Օրինակ, կատարելով *x* = *iy* նշանակում, ստանում ենք՝

:  \cos(iy) =  {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y) 

:  \sin(iy) =  {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -{1 \over i} {e^{y} - e^{-y} \over 2} = i\sinh(y). 

Կոմպլեքս էքսպոնենտները թույլ են տալիս եռանկյունաչափական հաշվարկները պարզեցնել, քանի որ դրանցով ավելի հեշտ է կառավարել, քան սինուսոիդ կոմպոնենտներով։ Մոտեցումներից մեկը նախատեսում է էքսպոնենցիալ համապատասխան արտահայտության մեջ սինուսոիդ փոխարկում։ Օրինակ ՝

: 
\begin{align}
\cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\
& = \frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2} \\
& = \frac{1}{2} \left[ \underbrace{ \frac{e^{i(x+y)} + e^{-i(x+y)}}{2} }_{\cos(x+y)} + \underbrace{ \frac{e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)}}{2} }_{\cos(x-y)} \right].
\end{align}


Մյուս մոտեցման իմաստը սինուսոիդ ֆունկցիայի ներկայացումն է իրական թվերում և մանիպուլյացիայի ձևակերպումը անմիջականորեն կոմպլեքս արտահայտության հետ։ Օրինակ՝

: 
\begin{align}
\cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \} 
= \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\
& =
\mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix})\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace{(e^{ix} + e^{-ix})}_{2\cos(x)} - e^{i(n-2)x}\ \} \\
& = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x].
\end{align}

Տրված բանաձևը օգտագործվում է *n* ամբողջ թվերով cos(*nx*)֊ի և կամավոր *x* նշանակությունների (ռադիաններով) ռեկուրսիվ հաշվարկման համար։

## Ապացույց
Էյլերի բանաձևի ապացույցը կարելի է ներկայացնել Մակլորենի շարքը օգտագործելով։ e^{ix} ֆունկցիան տեղադրելով Մակլորենի շարք a = 0 կետի մոտակայքում x աստիճանով։ Կստանանք

e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \ldots=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots\right) + i\left(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots\right)

Բայց

1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots=\cos x

\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sin x

Այդ պատճառով e^{ix}=\cos x + i\sin x, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

## [[Կոմպլեքս թիվ|Կոմպլեքս թվի]] ընդհանուր տեսք
Կոմպլեքս թվերի ընդհանուր և եռանկյունաչափական տեսքերը կապված են միմյանց Էյլերի բանաձևով։

Ենթադրենք  z  կոմպլեքս թիվը եռանկյունաչափական վիճակում ունի  z = r(\cos\varphi+i\sin\varphi) տեսք։ Էյլերի բանաձևի հիմքի վրա փակագծերի արտահայտությունը կարելի է փոխարինել ընդհանուր տեսքով։ Արդյունքում կստանանք 
:  z = re^{i\varphi} 

Այս գրելաձևը կոչվում է կոմպլեքս թվի ընդհանուր տեսք։ Ինչպես եռանկյունաչափական տեսքում, այստեղ էլ  r = |z|  **,**   \varphi = \arg z .

## Տես նաև
* Մուավրի բանաձև
* Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* The Feynman Lectures on Physics - Algebra - Imaginary exponents
* 
* 

Կատեգորիա:Եռանկյունաչափություն
Կատեգորիա:Լեոնարդ Էյլեր
Կատեգորիա:Կոմպլեքս անալիզ