Ընդլայնված թվային ուղիղ

alt=|աջից|320x320փքս
**Ընդլայնված թվային ուղիղ,** իրական թվերի \R բազմություն , համալրված երկու անվերջ հեռու կետերով՝ +\infty (դրական անվերջություն) և -\infty (բացասական անվերջոթյուն), այսինքն, \overline \R = \R \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}։

Ընդվորում, ցանկացած իրական թվերի համար x \in \mathbb{R} , ըստ սահմանման ենթադրվում է -\infty  անհավասարության տեղի ունենալը։ Որոշ դիդակտիկ նյութերում օգտագործվում է անվերջ հեռու  \pm \infty կետը, որը կապված չէ իրական թվերի շարքի հերթական համարով։

Իրական թվերի \mathbb{R} բազմությունը գծային համարակալված են  \leqslant-ի նկատմամբ, սակայն \mathbb{R} -ում չկան նվազագույն կամ առավելագույն տարրեր։ Եթե իրական թվերի համակարգը դիտարկենք որպես գծային համարակալված բազմություն, ապա դրա ընդլայնումը մինչև \overline{\mathbb{R}}համակարգ հենց կայանում է +\infty(առավելագույն) և -\infty(նվազագույն) տարրերի ավելացման մեջ։

Դրա շնորհիվ համակարգում ցանկացած ոչ դատարկ բազմություն ունի հստակ վերին սահման (եթե բազմությունը վերևից սահմանափակ է, և +\infty, եթե վերևից սահմանափակ չէ)։ Հանգունորեն, պնդում ճիշտ է նաև, հստակ ներքին սահմանի համար։ Դրանով է բացատրվում +\infty և  -\infty ներմուծման հարմարավետությունը։

## Ընդլայնված թվային ուղղի  [[Տեղաբանություն|տոպոլոգիա]]
### Բաց [[Բազմությունների տեսություն|բազմություններ]] և շրջակայքեր
Կարգավորման առընչությունը  առաջ է բերում \tau տոպոլոգիան \overline{\mathbb{R}}-ի վրա։ \tau-ի տոպոլոգիայում բաց բազմություններ են հանդիսանում ամենատարբեր միջակայքերի միությունը ․

: 
(\alpha,\beta) = \{x \in \overline \R \colon \alpha  \alpha\}, \quad 
[-\infty, \beta) = \{ x \in \overline \R \colon x ,

որտեղ  \alpha, \beta \in \overline \R.

a \in \overline \R կետի U(a) շրջակայք է կոչվում ցանկացած բաց բազմություն, որը պարունակում է այդ կետը։ \tau տոպոլոգիայի բաց բազմությունների սահմանման համաձայն՝ ցանկացած a կետի շրջակայք ներառում է տրված տեսակի միջակայքերից մեկը, որը պարունակում է a կետը։

Մաթեմատիկական անալիզի ծրագրում սովորաբար ներմուծում են U_{\varepsilon} (a) կետի ''<math>\varepsilon</math>''շրջակայքի  մասնավոր հասկացությունը, որտեղ(\varepsilon > 0)։

a \in \mathbb{R}դեպքում, այսինքն, երբ,  a-ն թիվ է, a-ի  \varepsilon- շրջակայք կոչվում է

: 
U_{\varepsilon} (a) \overset{\mathrm{def}}{=} (a - \varepsilon , a + \varepsilon).
բազմությունը։

Եթե a = +\infty, ապա։
: 
U_{\varepsilon} (+\infty) \overset{\mathrm{def}}{=} \left( \frac{1}{\varepsilon}, +\infty \right],
,

իսկ եթե  a = -\infty, ապա։
: 
U_{\varepsilon} (-\infty) \overset{\mathrm{def}}{=} \left[ -\infty, -\frac{1}{\varepsilon} \right).
։

\varepsilon-շրջակայքի հասկացությունը անվերջ թվերի համար սահմանվում է այնպես, որ բոլոր դեպքերում, երբ a-ն իրական թիվ է կամ անվերջություններից մեկն է, ապա \varepsilon թվի փոքրացման հետ փոքրանում է նաև նրա շրջակայքը․ 0 .

### Սահմաններ
\overline \R -ում բոլոր սահմանների տեսակները տեղավորվում են նույն սահմանման մեջ։

Դիցուք՝ f \colon X \to \overline \R, որտեղ  X \subset \overline \R. Մասնավորապես f կարող է լինել իրական ֆունկցիա, իրական փոփոխականով։

Դիցուք՝ x_0, a \in \overline \R. Այդ դեպքում․

:
\lim_{x \to x_0} f(x)=a \overset{\mathrm{def}}{\iff}
\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in X \; (x \in U_{\delta}(x_0) \Rightarrow f(x) \in U_{\varepsilon}(a))


## Ծանոթագրություն

## Գրականություն
* 
* 
* 

Կատեգորիա:Իրական թվեր
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ