Գամմա ֆունկցիա

**Գամմա-ֆունկցիա**-մաթեմատիկական ֆունկցիա է,սովորաբար նշանակվում է \Gamma(z): Ներմուծվել է Լեոնարդ Էյլերի կողմից, իսկ իր գամմա-ֆունկցիայի նշանակությամբ պարտական ենք Ադրիեն-Մարի Լեժանդրին։
thumb|right|325px|Գամմա-ֆունկցիայի գրաֆիիկը իրական փոփոխականով
Գամմա-ֆունկցիան չափազանց մեծ կիրառություն ունի գիտության մեջ։ Հիմնական լայն կիրառության ոլորտներն են մաթեմատիկական անալիզ,հավանականությունների տեսություն, կոմբինատորիկա, վիճակագրություն, ատոմային ֆիզիկա, աստղաֆիզիկա, հիդրոդինամիկա, երկրաշարժագիտություն և տնտեսություն։ Մասնավորապես, գամմա-ֆունկցիան կիրառվում է ֆակտորիալ հասկացությունն ընդհանրացնելու իրական թվեր և կոմպլեքս թվեր փաստարկային արժեքների հետ։

## Սահմանումներ
### Ինտեգրալի սահմանումը
Եթե կոմպլեքս z թվի իրական մասը  դրական է, ապա գամմա-ֆունկցիան որոշվում է բացարձակ համընկնող ինտեգրալի միջոցով։
: \Gamma(z)=\int\limits_0^{\infty}\!t^{\,z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in\mathbb{C},\quad \mathrm{Re}(z)>0
Այս սահմանումը Լեժանդրը ստացել է Էյլերի սահմանումի բնօրինակից (1730 թվական)։
: \Gamma(z)=\int\limits_0^1 (-\ln{x})^{z-1} \, dx 
x=e^{-t} փոփոխականի փոխարինման միջոցով, և մինչև օրս հենց Լեժանդրի այս սահմանումն է հայտնի որպես գամմա-ֆունկցիայի դասական սահմանում։  Դասական սահմանման կտորը մաս առ մաս ինտեգրելով ՝ կարելի է հեշտությամբ տեսնել, որ \Gamma(z+1)=z\Gamma(z).
Գամմա ֆունկցիայի արժեքների մոտավոր հաշվարկի համար ավելի հարմար է երրորդ բանաձևը, որը նույնպես ստացել ենք Էյուլերի սահմանումից ՝ կիրառելով հետևյալ  հավասարությունը \Gamma(z)=\Gamma(z+1)/z և փոխելով փոփոխականը x=y^2: 
: \Gamma(z)=\frac{2^{z+1}}{z}\int\limits_0^1 y(-\ln{y})^{z} \, dy .
Այս բանաձևի ինտեգրալը համընկնում է \mathrm{Re}(z)>-1-ի դեպքում, չնայած այն սովորաբար օգտագործվում է դրական իրական արժեքների արգումենտի համար 
(նախընտրելի արժեքները 1-ին մոտ են)։ Իրական z>0 արժեքների դեպքում ինտեգրվելի ֆունկցիան ունի եզակի հատուկ կետ` y=0 հատում առաջացնող, և եթե վերափոխեք այն այս պահին 0 արժեքով, ապա կդառնա անընդհատ [0; 1] ամբողջ հատվածում:Այսպիսով, ինտեգրալը հանդիսանում է  սեփական, ինչը պարզեցնում է թվային ինտեգրումը։ 
Գոյություն ունի բնօրինակ բանաձևի ուղղակի վերլուծական շարունակություն ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա, բացառությամբ ամբողջ թվերի, որը կոչվում է Ռիման-Հանկելի ինտեգրալ։
: \Gamma(z)=\frac{1}{e^{i 2\pi z}-1}\int\limits_L\!t^{\,z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}.
Այստեղ L եզրագիծը կոմպլեքս հարթության ցանկացած եզրագիծ է, շրջանցելով ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ t = 0 կետը, որը ձգտում է դրական իրական առանցքի երկայնքով դեպի անվերջություն։
Հետևյալ արտահայտությունները ծառայում են որպես գամմա ֆունկցիայի այլընտրանքային սահմանումներ։

### Սահմանում ըստ [[Կառլ Գաուս|Գաուս]]ի
Այն ճիշտ է բոլոր կոմպլեքս z-ի, բացառությամբ 0 և ամբողջ բացասական թվերի համար.
: \Gamma(z)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n-1)! \,n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)}, \quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.
### Սահմանում ըստ [[Լեոնարդ Էյլեր|Էյլեր]]ի
: \Gamma(z) = \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\mathrm z}}{1+\frac{\mathrm z}{n}},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.
### Սահմանում ըստ [[Կառլ Վայերշտրաս|Վայերշտրաս]]ի
: \Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.
որտեղ \gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}\right)\approx 0,57722 — Էյլեր-Մասկերոնի հաստատուն.

**Նշում**։ Երբեմն օգտագործվում է այլընտրանքային **Պի-ֆունկցիա**, որը հանդիսանում է ֆակտորիալի ընդհանրացում և կապված է գամմա-ֆունկցիայի  \Pi(z)=\Gamma(z+1) հարաբերակցության հետ:Հենց այս ֆունկցիայից (ոչ թե գամա-ֆունկցիայի) օգտվեց Գաուսը, Ռիմանը և XIX դարի գերմանացի շատ մաթեմատիկներ։

## Հատկություններ
240px|thumb|right|Գամմա-ֆունկցիայի գրաֆիկական մոդուլը կոմպլեքս հարթությունում:
400px|thumb|Կոմպլեքս արգումենտի ամպլիտուդի և փուլի ֆակտորիալը:
Եթե z — ամբողջ ոչ բացասական թիվ է,
: \Gamma(z+1)=z! .
Գամմա ֆունկցիայի հիմնական հատկությունը դա նրա ռեկուրենտ հավասարումն է
: \Gamma(z+1)=z\Gamma(z),
որը ըստ ֆիքսված սկզբնական պայմանի համաձայն միակ ձևով որոշում է լոգարիթմական ուռուցիկ լուծումը, այսինքն հենց ինքը` գամմա-ֆունկցիան (միակության թեորեմ).
Գամմա-ֆունկցիայի համար արդարացի է Էյլերի բանաձևի լրացումը
: \Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}.
Արդարացի է նաև և Գաուսի բազմապատկման բանաձևը
: \Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{n}\right)\cdots\Gamma\left(z+\frac{n-1}{n}\right)=n^{\frac{1}{2}-nz}\cdot(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\Gamma(nz),
Այս բանաձևի մասնակի դեպքը, երբ n=2 գրվել է Լեժանդրի կողմից 
: 
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).
Գամմա-ֆունկցիան չունի զրոներ ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա։ \Gamma(z) հանդիսանում է մերոմորֆ կոմպլեքս հարթությունում և  հասարակ առավելություն ունեցող z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots կետերում։
Գամմա-ֆունկցիան ունի առաջին կարգի բևեռ  z=-n-ում ցանկացած բնական n-ի և զրոի համար, մնացքը այդ կետում տրվում է այսպես
: \operatorname{\mathrm{Res}}_{z=-n}\,\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}.
Օգտակար հատկություն, որը կարելի է ստանալ վերջնական սահմանումից.
: \overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z}).
Գամմա-ֆունկցիան դիֆերենցելի է անվերջ անգամ, և \Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x), որտեղ \psi(x), հաճախ անվանում են «փսի-ֆունկցիա» կամ դիգամա-ֆունկցիա։ Գամմա-ֆունկցիան և բետա-ֆունկցիա կապված են հետևյալ հարաբերակցությամբ.
: \Beta(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.

## Գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմ
Մի շարք պատճառներով, գամմա ֆունկցիայի հետ մեկտեղ հաճախ դիտարկվում է և գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմը` սկզբնական դիգամա-ֆունկցիայի։ Դրա համար արդարացի են հետևյալ ինտեգրալ արտահայտությունները`
: 
\ln\Gamma(z) \, =\, \left(z-{\frac{1}{\,2\,}}\right)\!\ln z -z +{\frac{1}{\,2\,}}\ln2\pi
+\!\int\limits_0^{\,\infty} \!\left[\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2} \right] \frac{e^{-xz}}{x}\,dx
\,,\qquad \operatorname{Re}{z}>0

և
: 
\ln\Gamma(z) \, =\, \left(z-{\frac{1}{\,2\,}}\right)\!\ln z -z +{\frac{1}{\,2\,}}\ln2\pi
+2\!\int\limits_0^{\,\infty} \!\frac{\,\operatorname{arctg}(x/z)\,}{e^{2\pi x}-1}\, dx\,,\qquad \operatorname{Re}{z}>0

Ժակ Բինեի տվյալները 1839-ը թվականին(այս բանաձևերը հաճախ կոչվում են նաև առաջին և երկրորդ Բինեի բանաձևեր համապատասխանաբար գամմա ֆունկցիայի լոգարիթմի համար)։ Մի քանի լավագույն ինտեգրալի բանաձևեր լոգարիթմի համար կան նաև Մալմստենի աշխատանքներում, Լերխի և մի այլոնց։ Այսպես Մալմստենը ստացավ բանաձև, որը նման էր Ժակ Բինեի առաջին բանաձևին
: 
\ln\Gamma(z) \, = \int\limits_0^{\,\infty} \!\left[z-1-\frac{1-e^{-(z-1)x}}{1-e^{-x}} \right] \frac{e^{-x}}{x}\,dx
\,,\qquad \operatorname{Re}{z}>0

Իսկ Լերխը ցույց տվեց, որ հետևյալ տեսքի բոլոր ինտեգրալները 
:  
\int\limits_0^{\,\infty} \!\frac{\,e^{2\pi x}\!\cos\varphi - 1\,}{e^{4\pi x}-2e^{2\pi x}\!\cos\varphi + 1}\operatorname{arctg}\frac{u}{x} \; dx \,,\qquad 0
նույնպես բերվում են դեպի գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմները։ Մասնավորապես բանաձևը, որը նման է Բինեի երկրորդ բանաձևին «կապված» հայտարարով, ունի հետևյալ տեսքը`
: 
\ln\Gamma(z) = -\biggl(z-{\frac{1}{2}}\biggr)\cdot\left\{1-\ln\biggl(z-{\frac{1}{2}}\biggr) \!\right\} +{\frac{1}{2}}\ln2\pi
- \,2\!\int\limits_0^{\infty} \!\frac{\operatorname{arctg}\big[x/\big(z-\tfrac{1}{2}\big)\big]}{e^{2\pi x}+1}\,dx,
\qquad  \operatorname{Re}{z}>\frac{1}{2}

: (նայել վարժ. 40-ը-ում)
Բացի այդ, Մալմստենը նույնպես ստացավ ինտեգրալ բանաձևերի շարք գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմի համար, պարունակող լոգարիթմով հիպերբոլիկ ֆունկցիաներ ինտեգրալի նշանի տակ։ Մասնավորապես`
: 
\ln\Gamma(z)=\,\frac{1}{2}\ln\pi \,-\, \frac{1}{2}\ln\sin\pi z \,- \,\frac{2z-1}{2}\ln2\pi\, - \,\frac{\sin2\pi z}{2\pi}\!
\int\limits_0^\infty \!\!\frac{\,\ln{x}\,}{\,\operatorname{ch}{x}-\cos2\pi z\,}\,dx\,,\qquad 0
: (նայել վարժ.2, 29-հ, 30-ում)
Յարոսլավ Բլագուշինը ցույց տվեց, որ ռացիոնալ արգումենտով z=k/n, որտեղ k և n ամբողջ դրական թվեր են, այնպիսին, որ k-ն չի գերազանցում n-ը, ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը  
: 
\ln\Gamma \biggl(\!\frac{k}{n}\!\biggr)=\frac{(n-2k)\ln2\pi}{2n} + \frac{1}{2}\left\{\ln\pi-\ln\sin\frac{\pi k}{n} \right\} + 
:  + \frac{1}{\pi}\!\sum_{r=1}^{n-1}\frac{\gamma+\ln{r}}{r}\cdot\sin\frac{2\pi r k}{n}- 
\frac{1}{2\pi}\sin\frac{2\pi k}{n}\cdot\!\int\limits_0^\infty \!\!\frac{\,e^{-nx}\!\cdot\ln{x}\,}{\,\operatorname{ch}{x}-\cos\dfrac{2\pi k}{n}\,}\,dx\,,\qquad k\neq\frac{n}{2}

: (նայել հավելված C, а также упр. 60 и 58-ում)
Ավելին, և առավել ընդհանուր դեպքում ինտեգրալները, որոնք պարունակում են հիպերբոլական ֆունկցիաներ լոգարիթմով (կամ արգտանգենսով) ինտեգրալի նշանի տակ, հաճախ բերվում է գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմին և իր ածանցյալին, այդ թվում նաև կոմպլեքս արգումենտով, նայել օրինակ վարժ. 4-b, 7-а и 13-b в-ում։
Գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմը ամուր կապված է նաև անալիտիկ շարունակությանը ընդհանրացված զետա-ֆունկցիայի։ 
:  
\ln\Gamma(z)=\zeta'(0,z)-\zeta'(0)=\zeta'(0,z)+\frac{1}{2}\ln2\pi

Այս կարևոր փոխհարաբերություններ, ներմուծված Լերխի կողմից, թույլ է տալիս ստանալ մեծ քանակությամբ ինտեգրալի ներկայացում գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմի համար ընդհանրացված զետա-ֆունկցիայի հայտնի բանաձևերի միջոցով։
Ֆուրիեի շարքը գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմների համար ունի հետևյալ տեսքը` 
:  
\ln\Gamma(x) = \left(\frac{1}{2}-x\right)(\gamma+\ln2)+(1-x)\ln\pi 
- \frac{1}{2}\ln\sin\pi x  + \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin 2\pi n x \cdot\ln{n}}{n}\,, \qquad 0
Այս բանաձևը հաճախ վերագրվում է Էռնստ Կումմերին, որը դուրս է բերել 1847 թվականին (հեղինակավոր գրականությունում այս շարքը կոչվում է Կումմերի շարք գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմի համար)։ Բայց վերջերս բացահայտվել է, որ այս բանաձևը ստացվել է դեռևս 1842 թվականին Մալմստենի կողմից 
(նայել Յարոսլավ Բլագուշին).
Ֆուրիեի շարքի դասավորումից բացի, գոյություն ունի նաև ուրիշ շարքերի դասավորություն։ Առավել հայտնիներից մեկը Ստիռլինգի շարքն է`

: \ln \Gamma(z) = \left(z-\frac{1}{\,2\,}\right)\!\ln z -z +\frac{1}{\,2\,}\ln2\pi
+\sum_{n=1}^N \frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}+ O(z^{-2N-1})\,,\qquad |\arg z|
Իր ստանդարտ գրության մեջ 
: \ln \Gamma(z) = z\ln z + O(z)
որտեղ B_{2n}-ը նշանակում է Բեռնուլիի թվեր։
Ըստ գամմա-ֆունկցիայի Վայերշտրասի մեկնաբանության հետևում է ևս մեկ կարևոր շարքի ներկայացում`
: \ln \Gamma(z) = -\gamma z -\ln z + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{z}{n}-\ln\!\left(1+\frac{z}{n}\right)\right] 
.

## Մասնավոր նշանակություն
Գամմա-ֆունկցիայի ամբողջ ու կիսաամբողջ արգումենտները արտահայտվում են տարրական ֆունկցիաների միջոցով:Մասնավորապես
: \Gamma(1)=0!=1
: \Gamma(2)=1!=1
: \Gamma(3)=2!=2
: \Gamma(4)=3!=6
: \Gamma(5)=4!=24
: \Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.
: \Gamma\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}.
: \Gamma\left(\tfrac{5}{2}\right)=\tfrac{3}{4}\sqrt{\pi}.
: \Gamma\left(\tfrac{7}{2}\right)=\tfrac{15}{8}\sqrt{\pi}.
: \Gamma\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-2\sqrt{\pi}.
: \Gamma\left(-\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{4}{3}\sqrt{\pi}.
: \Gamma\left(\tfrac{1}{2}+n\right) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} \cdot \left[ {n-\frac{1}{2}\choose n} n! \right] 
: \Gamma\left(\tfrac{1}{2}-n\right) = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} / \left[ {-\frac{1}{2} \choose n} n! \right] 
Գամմա-ֆունկցիայի արժեքները 1/4 և 1/3 կետերում հանդիսանում է մանրամասն ուսումնասիրության առարկա Էյլերի, Գաուսի և Լեժանդրի համար, սակայն նրանք չկարողացան հաշվարկել այս արժեքները փակ տեսքով։
Գոյություն ունի հետևյալ  արտահայտությունները ոչ փակ տեսքի Γ(1/4)-ի համար
: \Gamma(\tfrac14) = \sqrt \frac{(2 \pi)^{\frac{3}{2}}}{\mathrm{AGM}(\sqrt 2, 1)}
: \Gamma(\tfrac14) = (2 \pi)^{\frac{3}{4}} \prod_{k=1}^\infty \mathrm{th} \left( \frac{\pi k}{2} \right)
: \Gamma(\tfrac14) = A^3 e^{-\frac{G}{\pi}} \sqrt{\pi} 2^{\frac{1}{6}} \prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{1}{2k}\right)^{k(-1)^k}
որտեղ AGM-թվաբանական-երկրաչափական միջին, G — Կատալանի հաստատուն և A — Գլեյշեր-Կինկելինի հաստատուն։

## Ընդհանրացումներ
Դասական ինտեգրալի սահմանման մեջ գամմա-ֆունկցիայի ինտեգրալի սահմնաչափերը ֆիքսված են։ Դիտարկվում են նաև ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան, 
, որոշված անալոգ ինտեգրալով` փոփոխականի վերին կամ ստորին ինտեգրման սահմանաչափով։ Տարբերվում է վերևի ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան, որը հաճախ անվանում են երկու արգումենտների գամմա-ֆունկցիա`
: \Gamma(a,z)=\int\limits_{\mathrm z}^\infty\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}
և ներքևի ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան, որը նշանակվում է փոքրատառ «գամմա» տառով`
: \gamma(a,z)=\int\limits_0^{\mathrm z}\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}.
Երբեմն ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան նշանակում են ինչպես`
: I(z,a)=\frac{1}{\Gamma(a)}\int\limits_0^{\mathrm z}\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}.

## Դիտել նաև
* Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ
* K-ֆունկցիա
* Բարնսի G-ֆունկցիա
* Բետա ֆունկցիա
* Գամմա-բաշխում
* Թերի գամմա-ֆունկցիա

## Գրականություն և հղումներ
* Վ. Յա.Արսենին *Մաթեմատիկական ֆիզիկա:հիմնական հավասարումներ և հատուկ ֆունկցիաներ*,X գլուխ, էջ. 225—233. Գիտություն, Մոսկվա, 1966.
* Մ.Ա. Եվգրաֆով և այլք *Անալիտիկ ֆունկցիաների թեորեաների խնդիրների ժողովածու*, էջ. 307—316. Գիտություն, Մոսկվա, 1969.
* Գ.Մ.Ֆիխտենգոլց. *Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի դասընթաց* (7-րդ հրատարակչություն), XIV գլուխ, էջ. 750—794. Գիտություն, Մոսկվա, 1969.
* Ա. Ի. Մարկուշեվիչ *Անալիտիկ ֆունկցիայի թեորեմա* (2-րդ հրատարակչություն), 2 հատոր, էջ. 303—324.Գիտություն, Մոսկվա, 1968.
* Ն. Ն. Լեբեդև *Հատուկ ֆունկցիաներ և նրանց կիրառումները* (2-րդ հրատարակչություն), I գլուխ, էջ. 11—27. ФМ, Մոսկվա, 1963.
* Ա. Ֆ. Նիկիֆորով և Վ. Բ. Ուվարով*Մաթեմատիկական ֆիզիկայի հատուկ ֆունկցիաները*, էջ. 263—268. Գիտություն, Մոսկվա, 1978.
* R. Campbell. *Les intégrales eulériennes et leurs applications*, Dunod, Paris, 1966.
* M. Godefroy. *La fonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie*, Gauthier-Villars, Paris, 1901.
* E. Artin. *Einführung in die Theorie der Gammafunktion*, Teubner, Leipzig, 1931.
* N. Nielson. *Handbuch der Theorie der Gammafunktion*, Teubner, Leipzig, 1906.

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Կոմպլեքս անալիզ
Կատեգորիա:Ֆունկցիա
Կատեգորիա:Լեոնարդ Էյլեր
Կատեգորիա:Հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ