Յակոբյ թետա ֆունկցիա

Մաթեմատիկական ֆունկցիայի տեսության մեջ Յակոբյան թետա ֆունկցիաները կազմում են երկու բարդ փոփոխականների հոլոմորֆ ֆունկցիաների հատուկ դաս։ Նրանք անվանվել են գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Գուստավ Յակոբ Յակոբիի պատվին և դասվում են այսպես կոչված էլիպսային մոդուլային ֆունկցիաների։ Ջակոբին առաջինն էր, ով համակարգված կերպով ուսումնասիրեց դրանք և դրա հիման վրա մշակեց էլիպսային ֆունկցիաների իր տեսությունը։ Դրանք մի քանի փոփոխականների թետա ֆունկցիաների շատ ավելի մեծ դասի հատուկ դեպք են, որոնք սովորաբար կարող են կառուցվել R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} բացատների ցանցերից։

Թետա ֆունկցիաների քանորդները, որոնք բաժանվում են այսպես կոչված թետա զրոյական արժեքի ֆունկցիաների վրա, կոչվում են ամպլիտուդային ֆունկցիաներ։ Ամպլիտուդային ֆունկցիաները կազմում են էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների էլիպսային անալոգները։ Ինչպես բնորոշ է էլիպսային ֆունկցիաներին, Յակոբյան թետա ֆունկցիաները ունեն կրկնակի պարբերականություն իրենց ներսում գտնվող բարդ հարթության (ցանցային կառուցվածքի) իրական և երևակայական ուղղությունների երկայնքով։

Միևնույն ժամանակ, դրանք կարող են ներկայացվել որպես անվերջ շարք և որպես անվերջ արտադրյալ, որի գումարելիները կամ գործակիցները բաղկացած են էքսպոնենցիալ և կոսինուս կամ սինուսային գործակիցների արտադրյալների տարբերակների համակցությունից։ Յակոբյան թետա ֆունկցիաները կարևոր դեր են խաղում էլիպսային ֆունկցիաների, մոդուլային ձևերի, քառակուսի ձևերի և մոդուլային տարածությունների տեսության մեջ։ Ֆիզիկայի մեջ դրանք կարևոր են նաև դիֆուզիոն հավասարման և ջերմահաղորդման հավասարման, այսպես կոչված, ջերմահաղորդման միջուկը լուծելու համար։

## Սահմանում
Հիմնական Jacobi theta ֆունկցիաները կիսով չափ կրկնապատկված պարբերական էլիպսային ֆունկցիաներ են և սահմանվում են որպես անսահման գումարներ.

: \vartheta_{1}(z;w) = \sum_{k = -\infty}^\infty (-1)^{k-1/2} \exp[(2k+1)iz+(k+\tfrac{1}{2})^2\ln(w)]
: \vartheta_{2}(z;w) = \sum_{k = -\infty}^\infty \exp[(2k+1)iz+(k+\tfrac{1}{2})^2\ln(w)]
: \vartheta_{3}(z;w) = \sum_{k = -\infty}^\infty \exp[2kiz+k^2\ln(w)]
: \vartheta_{4}(z;w) = \sum_{k = -\infty}^\infty (-1)^{k} \exp[2kiz+k^2\ln(w)]

Բողոքական գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Գուստավ Յակոբ Յակոբին այս վերլուծական աշխատանքները ներկայացրել է 1829 թ.

Նա դրանք նշել է «Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum» գրքում։

Լրացուցիչ Jacobi theta ֆունկցիաները կարող են սահմանվել որպես անսահման արտադրյալներ հետևյալ եղանակներով.

: \vartheta_{00}(x;y) = \prod_{n = 1}^\infty (1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]
: \vartheta_{01}(x;y) = \prod_{n = 1}^\infty (1-y^{2n})[1-2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]
: \vartheta_{10}(x;y) = 2 y^{1/4}\cos(x)\prod_{n = 1}^\infty (1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n}+y^{4n}]

Այս երեք ֆունկցիաները պարբերաբար օգտագործվում են մաթեմատիկայի մեջ և հանրահաշվորեն կապված են վերը նշված չորս ֆունկցիաների հետ։

Օգտագործելով այս երեք թետա ֆունկցիաները, կարելի է նաև սահմանել «sn», «cn» և «dn» գործառույթները։

Այս գործառույթների համար սահմանվում են նաև այսպես կոչված թետա զրոյական արժեքներ (գերմաներեն՝ Theta-Nullwerte).

: \vartheta_{00}(0;y) = \vartheta_{00}(y) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} y^{k^2} 
: \vartheta_{01}(0;y) = \vartheta_{01}(y) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} (-1)^k y^{k^2} 
: \vartheta_{10}(0;y) = \vartheta_{10}(y) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} y^{(k+\frac{1}{2})^2} 

Այստեղ ցուցադրված անսահման գումարները տալիս են ճիշտ նույն արժեքները, ինչ x-արժեք զրոյի համար նշված անսահման արտադրյալները։

## Ներկայացում մաթեմատիկական ինտեգրալների միջոցով
Այսպիսով, հիմնական թետա ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել այսպես կոչված ոչ պատշաճ ինտեգրալների միջոցով։

: \vartheta_{00}(v) = 1 + \frac{4v\sqrt{\ln(1/v)}}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\infty} \frac{\exp[-\ln(1/v)\,x^2]\{1 - v^2\cos[2\ln(1/v)\,x]\}}{1 - 2v^2\cos[2\ln(1/v)\,x] + v^4} \,\mathrm{d}x 

Թետա օրինակները  \theta_{3}(\tfrac{1}{2})  և  \theta_{3}(\tfrac{1}{3})  կցուցադրվեն։

: \vartheta_{00}\bigl(\frac{1}{2}\bigr) = 1+2\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n^2}} = 1 + 2\pi^{-1/2}\sqrt{\ln(2)} \,\int_{0}^{\infty} \frac{\exp[-\ln(2)\,x^2]\{16 - 4\cos[2\ln(2)\,x]\}}{17 - 8\cos[2\ln(2)\,x]} \,\mathrm{d}x 

: \vartheta_{00}\bigl(\frac{1}{2}\bigr) = 2.128936827211877158669\ldots 

: \vartheta_{00}\bigl(\frac{1}{3}\bigr) = 1+2\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{3^{n^2}} = 1 + \frac{4}{3}\pi^{-1/2}\sqrt{\ln(3)} \,\int_{0}^{\infty} \frac{\exp[-\ln(3)\,x^2]\{81 - 9\cos[2\ln(3)\,x]\}}{82 - 18\cos[2\ln(3)\,x]} \,\mathrm{d}x 

: \vartheta_{00}\bigl(\frac{1}{3}\bigr)= 1.691459681681715341348\ldots 
:
: \vartheta_{00}\bigl(\frac{1}{5}\bigr) = 1+2\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{5^{n^2}} = 1 + \frac{4}{5}\pi^{-1/2}\sqrt{\ln(5)} \,\int_{0}^{\infty} \frac{\exp[-\ln(5)\,x^2]\{625 - 25\cos[2\ln(5)\,x]\}}{626 - 50\cos[2\ln(5)\,x]} \,\mathrm{d}x 

: \vartheta_{00}\bigl(\frac{1}{5}\bigr)= 1.40320102401310720671\ldots 

## գործառույթների հատկությունները
Թետա ֆունկցիաների գումարման թեորեմները հետևյալն են.

: \vartheta_{00}(x_{1} + x_{2};y)\vartheta_{00}(x_{1} - x_{2};y)\vartheta_{00}(y)^2 = \vartheta_{01}(x_{1};y)^2\vartheta_{01}(x_{2};y)^2 + \vartheta_{10}(x_{1};y)^2\vartheta_{10}(x_{2};y)^2 
: \vartheta_{01}(x_{1} + x_{2};y)\vartheta_{01}(x_{1} - x_{2};y)\vartheta_{01}(y)^2 = \vartheta_{00}(x_{1};y)^2\vartheta_{00}(x_{2};y)^2 - \vartheta_{10}(x_{1};y)^2\vartheta_{10}(x_{2};y)^2 

Մաթեմատիկոս Սրինիվասա Ռամանուջանը հայտնաբերել է այս ինքնությունը և գրել այն իր հայտնի աշխատության մեջ՝ «Մոդուլային հավասարումներ և մոտարկումներ π-ին».

: \prod_{n = 1}^{\infty} (1-x^{2n-1}) = (x;x^2)_{\infty} = 2^{1/6}x^{1/24}\vartheta_{10}(x)^{-1/6}\vartheta_{00}(x)^{-1/6}\vartheta_{01}(x)^{1/3} 

Հետևյալ արտադրանքը հետազոտվել է Լեոնարդ Օյլերի կողմից.

: \prod_{n = 1}^{\infty} (1-x^{n}) = (x;x)_{\infty} = 2^{-1/6}x^{-1/24}\vartheta_{10}(x)^{1/6}\vartheta_{00}(x)^{1/6}\vartheta_{01}(x)^{2/3}

Եթե ​​գործում է «0 \sum_{k = -\infty}^{\infty} \frac{2s^{k}}{s^{2k}+1} = \vartheta_{00}(s)^2 

Սա էլիպսային անվանական ֆունկցիայի սահմանումն է.

: q(\varepsilon) = \exp[-\pi K(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) K(\varepsilon)^{-1}] 

«K» ֆունկցիան սահմանվում է հետևյալ ինտեգրալով.

: K(r) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1-r^2\sin(\varphi)^2}} \,\mathrm{d}\varphi  
: K(r) = \int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{(z^2 + 1)^2 - 4r^2 z^2}} \,\mathrm{d}z 

Որոշ գործառույթների արժեքներ կարող են հաշվարկվել հետևյալ բանաձևով.

: \vartheta_{00}[q(\varepsilon)] = \sqrt{2\pi^{-1} K(\varepsilon)} 
: \vartheta_{01}[q(\varepsilon)] = \sqrt[4]{1 - \varepsilon^2}\sqrt{2\pi^{-1} K(\varepsilon)} 

Յակոբիի ինքնությունը ծագում է այս հավասարումներից.

: \vartheta_{10}(x) = \sqrt[4]{\vartheta_{00}(x)^4 - \vartheta_{01}(x)^4} 

## գործառույթների արժեքները
Թետա ֆունկցիաները ունեն հետևյալ արժեքները.

: \vartheta_{00}[\exp(-\pi)] = \pi^{1/4}\Gamma(\tfrac{3}{4})^{-1} 
: \vartheta_{01}[\exp(-\pi)] = 2^{-1/4}\pi^{1/4}\Gamma(\tfrac{3}{4})^{-1} 
: \vartheta_{10}[\exp(-\pi)] = 2^{-1/4}\pi^{1/4}\Gamma(\tfrac{3}{4})^{-1} 
: \vartheta_{00}[\exp(-\sqrt{2}\,\pi)] = 2^{-1/8}\pi^{1/2}\Gamma(\tfrac{3}{4})^{-1/2}\Gamma(\tfrac{5}{8})^{-1} 
: \vartheta_{00}[\exp(-\sqrt{3}\,\pi)] = 2^{5/6}3^{-5/8}\pi^{1/2}\Gamma(\tfrac{2}{3})^{-3/2} 

Հետևյալ նույնականացման բանաձևերը օգտագործվում են մի քանի ֆունկցիայի արժեքներ որոշելու համար.

: \vartheta_{00}[q(\varepsilon)^2] = \cos[\tfrac{1}{2}\arcsin(\varepsilon)]\vartheta_{00}[q(\varepsilon)] 
: \vartheta_{01}[q(\varepsilon)^2] = (1 - \varepsilon^2)^{1/8}\vartheta_{00}[q(\varepsilon)] 
: 27\frac{\vartheta_{00}[q(\varepsilon)^3]^8}{\vartheta_{00}[q(\varepsilon)]^8} = 18\frac{\vartheta_{00}[q(\varepsilon)^3]^4}{\vartheta_{00}[q(\varepsilon)]^4} + 8\cos[2\arcsin(\varepsilon)]\frac{\vartheta_{00}[q(\varepsilon)^3]^2}{\vartheta_{00}[q(\varepsilon)]^2} + 1 
: 27\frac{\vartheta_{01}[q(\varepsilon)^3]^8}{\vartheta_{01}[q(\varepsilon)]^8} = 18\frac{\vartheta_{01}[q(\varepsilon)^3]^4}{\vartheta_{01}[q(\varepsilon)]^4} + 8\sec[2\arctan(\varepsilon)]\frac{\vartheta_{01}[q(\varepsilon)^3]^2}{\vartheta_{01}[q(\varepsilon)]^2} + 1 
: \biggl\{\frac{\vartheta_{01}[q(\varepsilon)^5]^2}{\vartheta_{01}[q(\varepsilon)]^2} - 1\biggr\}\biggl\{5\frac{\vartheta_{01}[q(\varepsilon)^5]^2}{\vartheta_{01}[q(\varepsilon)]^2} - 1\biggr\}^5 = 64\tan[2\arctan(\varepsilon)]^2\frac{\vartheta_{01}[q(\varepsilon)^5]^2}{\vartheta_{01}[q(\varepsilon)]^2} 

Հաշվարկման օրինակներ.

: \exp(-\pi) = q(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}) 
: \exp(-\sqrt{2}\,\pi) = q(\sqrt{2} - 1) 
: \exp(-\sqrt{3}\,\pi) = q[\tfrac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2})] 

Այս արժեքները հավասարումների մեջ միացնելը և այնուհետև վերը նշված հավասարումները լուծելը առաջացնում են հետևյալ արժեքները.

: \frac{\vartheta_{00}[\exp(-3\pi)]}{\vartheta_{00}[\exp(-\pi)]} = 108^{-1/8}\sqrt{\sqrt{3} + 1} 
: \frac{\vartheta_{00}[\exp(-3\sqrt{2}\,\pi)]}{\vartheta_{00}[\exp(-\sqrt{2}\,\pi)]} = 3^{-1/2}\sqrt{\sqrt{6} + \sqrt{2} - 1} 
: \frac{\vartheta_{00}[\exp(-3\sqrt{3}\,\pi)]}{\vartheta_{00}[\exp(-\sqrt{3}\,\pi)]} = 3^{-3/4}(\sqrt[3]{2} + 1) 
:
: \frac{\vartheta_{01}[\exp(-3\pi)]}{\vartheta_{01}[\exp(-\pi)]} = 3^{-3/8}\sqrt{\sqrt{2} + \sqrt[4]{3}} 
: \frac{\vartheta_{01}[\exp(-3\sqrt{2}\,\pi)]}{\vartheta_{01}[\exp(-\sqrt{2}\,\pi)]} = 3^{-1/2}\sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{2}} 
: \frac{\vartheta_{01}[\exp(-3\sqrt{3}\,\pi)]}{\vartheta_{01}[\exp(-\sqrt{3}\,\pi)]} = 108^{-1/4}(2\sqrt[3]{2} + \sqrt{3} - 1) 
:
: \frac{\vartheta_{01}[\exp(-5\pi)]}{\vartheta_{01}[\exp(-\pi)]} = 5^{-1/2}\sqrt{3 + 2\sqrt[4]{5}} 
: \frac{\vartheta_{01}[\exp(-5\sqrt{2}\,\pi)]}{\vartheta_{01}[\exp(-\sqrt{2}\,\pi)]} = \tfrac{4}{15}\sqrt{10}\cos(\tfrac{1}{10}\pi)\cosh[\tfrac{1}{3}\text{artanh}(\tfrac{3}{8}\sqrt{6})] + \tfrac{1}{15}\sqrt{5}\tan(\tfrac{1}{5}\pi) 
: \frac{\vartheta_{01}[\exp(-5\sqrt{3}\,\pi)]}{\vartheta_{01}[\exp(-\sqrt{3}\,\pi)]} = \tfrac{2}{15}\sqrt[3]{10}(3 - \sqrt{3})\sin(\tfrac{1}{5}\pi) + \tfrac{1}{15}\sqrt{15}\cot(\tfrac{1}{10}\pi) 

## Անսահման գումարային շարք թետա ֆունկցիայով
Կենտ թվով Ֆիբոնաչիի թվերի հակադարձ գումարի անսահման գումար.

: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{F_{2n-1}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\,\sum_{n=1}^\infty \frac{2(\Phi^{-2})^{n - 1/2}}{1 + (\Phi^{-2})^{2n - 1}} = \frac{\sqrt{5}}{4} \sum_{a=-\infty}^\infty \frac{2(\Phi^{-2})^{a - 1/2}}{1 + (\Phi^{-2})^{2a - 1}} =
: = \frac{\sqrt{5}}{4}\,\vartheta_{10}(\Phi^{-2})^2 = \frac{\sqrt{5}}{8}\bigl[\vartheta_{00}(\Phi^{-1})^2 - \vartheta_{01}(\Phi^{-1})^2\bigr]

Այս աղբյուրների համար \Phi = \tfrac{\sqrt{5}+1}{2} Ոսկե համարն է։

Ֆիբոնաչիի թվերի քառակուսիների հակադարձ գումարի անսահման գումար.

: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{F_{n}^2} = \frac{5}{24}\bigl[2\vartheta_{10}(\Phi^{-2})^4 - \vartheta_{00}(\Phi^{-2})^4 + 1\bigr] = \frac{5}{24}\bigl[\vartheta_{00}(\Phi^{-2})^4 - 2\vartheta_{01}(\Phi^{-2})^4 + 1\bigr]

Կենտ թվանշանների հակադարձերի անսահման գումարը.

: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{P_{2n-1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vartheta_{10}\bigl[(\sqrt{2}-1)^2\bigr]^2 = \frac{1}{2\sqrt{2}}\bigl[\vartheta_{00}(\sqrt{2}-1)^2 - \vartheta_{01}(\sqrt{2}-1)^2\bigr]

Գումարային շարքերը, որոնց հիմքը հաստատուն է գումարման ինդեքսի նկատմամբ, և ցուցիչը, որը քառակուսի է գումարման ինդեքսի նկատմամբ, միշտ կարող է արտահայտվել ϑ₀₀ ֆունկցիայի տարրական գծային համակցություններով.

: \sum_{k = -\infty}^{\infty} x^{ak^2+bk+c} = \exp\bigl[\frac{4ac-b^2}{4a}\ln(x)\bigr] \bigl[\frac{-\pi}{a\ln(x)}\bigr]^{1/2} \vartheta_{00}\bigl\{\frac{\pi b}{2a};\exp\bigl[\frac{\pi^2}{a}\ln(x)^{-1}\bigr]\bigr\}

x թվի արժեքը պետք է լինի դրական։ Օրինակ, այդ անսահման գումարը տալիս է հետևյալ արժեքները.

: \sum_{k = -\infty}^{\infty} \bigl(\frac{7}{11}\bigr)^{5k^2+3k+2} = \bigl(\frac{7}{11}\bigr)^{31/20} \bigl(\frac{\pi}{5}\bigr)^{1/2} \ln\bigl(\frac{11}{7}\bigr)^{-1/2} \vartheta_{00}\bigl\{\frac{3\pi}{10};\exp\bigl[\frac{1}{5}\pi^2\ln\bigl(\frac{7}{11}\bigr)^{-1}\bigr]\bigr\}
: \sum_{k = -\infty}^{\infty} \bigl(\frac{11}{13}\bigr)^{7k^2+5k+3} = \bigl(\frac{11}{13}\bigr)^{59/28} \bigl(\frac{\pi}{7}\bigr)^{1/2} \ln\bigl(\frac{13}{11}\bigr)^{-1/2} \vartheta_{00}\bigl\{\frac{5\pi}{14};\exp\bigl[\frac{1}{7}\pi^2\ln\bigl(\frac{11}{13}\bigr)^{-1}\bigr]\bigr\}
: \sum_{k = -\infty}^{\infty} \bigl(\frac{13}{17}\bigr)^{11k^2+7k+5} = \bigl(\frac{13}{17}\bigr)^{171/44} \bigl(\frac{\pi}{11}\bigr)^{1/2} \ln\bigl(\frac{17}{13}\bigr)^{-1/2} \vartheta_{00}\bigl\{\frac{7\pi}{22};\exp\bigl[\frac{1}{11}\pi^2\ln\bigl(\frac{13}{17}\bigr)^{-1}\bigr]\bigr\}

## Ածանցյալ և ինտեգրում
Թետա զրոյական արժեքի ֆունկցիաների ածանցյալները հետևյալն են.

: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \,\vartheta_{10}(x) = \frac{1}{2\pi x} \vartheta_{10}(x)\vartheta_{00}(x)^2 E\biggl[\frac{\vartheta_{10}(x)^2}{\vartheta_{00}(x)^2}\biggr]
: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \,\vartheta_{00}(x) = \vartheta_{00}(x)\bigl[\vartheta_{00}(x)^2+\vartheta_{01}(x)^2\bigr]\biggl\{\frac{1}{2\pi x}E\biggl[\frac{\vartheta_{00}(x)^2-\vartheta_{01}(x)^2}{\vartheta_{00}(x)^2+\vartheta_{01}(x)^2}\biggr] - \frac{\vartheta_{01}(x)^2}{4x}\biggr\}
: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \,\vartheta_{01}(x) = \vartheta_{01}(x)\bigl[\vartheta_{00}(x)^2+\vartheta_{01}(x)^2\bigr]\biggl\{\frac{1}{2\pi x}E\biggl[\frac{\vartheta_{00}(x)^2-\vartheta_{01}(x)^2}{\vartheta_{00}(x)^2+\vartheta_{01}(x)^2}\biggr] - \frac{\vartheta_{00}(x)^2}{4x}\biggr\}

Երկրորդ տիպի ամբողջական էլիպսային ինտեգրալն ունի հետևյալ սահմանումը.

: E(r) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-r^2\sin(\varphi)^2}\,\mathrm{d}\varphi  
: E(r) = \int_{0}^{1} \frac{2\sqrt{(z^2 + 1)^2 - 4r^2 z^2}}{(z^2+1)^2} \,\mathrm{d}z 

Այստեղ նշված երեք թետա ֆունկցիաներից երկուսի գործակիցի ածանցյալները միշտ ռացիոնալ կապ ունեն այդ երեք ֆունկցիաների հետ.

: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \,\frac{\vartheta_{10}(x)}{\vartheta_{00}(x)} = \frac{\vartheta_{10}(x)\vartheta_{01}(x)^4}{4x\,\vartheta_{00}(x)}
: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \,\frac{\vartheta_{10}(x)}{\vartheta_{01}(x)} = \frac{\vartheta_{10}(x)\vartheta_{00}(x)^4}{4x\,\vartheta_{01}(x)}
: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \,\frac{\vartheta_{00}(x)}{\vartheta_{01}(x)} = \frac{\vartheta_{00}(x)^5 - \vartheta_{00}(x)\vartheta_{01}(x)^4}{4x\,\vartheta_{01}(x)}

Այս ինտեգրալները վավեր են ϑ₀₀(x), ϑ₀1(x) և ϑ10(x) թետա զրոյական արժեք ունեցող ֆունկցիաների համար.

: \int_{0}^{1} \vartheta_{00}(x) \,\mathrm{d}x = \sum_{k = -\infty}^{\infty} \frac{1}{k^2+1} = \pi\coth(\pi) \approx 3{,}153348
: \int_{0}^{1} \vartheta_{01}(x) \,\mathrm{d}x = \sum_{k = -\infty}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k^2+1} = \pi\,\operatorname{csch}(\pi) \approx 0{,}272029
: \int_{0}^{1} \vartheta_{10}(x) \,\mathrm{d}x = \sum_{k = -\infty}^{\infty} \frac{4}{(2k+1)^2+4} = \pi\tanh(\pi) \approx 3{,}129881

Ցուցադրված վերջնական արդյունքները հիմնված են Քոշիի ընդհանուր բանաձևերի վրա։

## հինգերորդ աստիճանի հավասարումներ
Հետևյալ ձևով հինգերորդ աստիճանի հավասարումները կարող են լուծվել բոլոր իրական արժեքների համար՝ օգտագործելով հետևյալ ալգորիթմը. c∈R կարող է լուծվել՝ Հինգերորդ աստիճանի հավասարումներ

Սա c = 1 արժեքի առաջին ճշգրիտ հաշվարկի օրինակն է.

: x^5 + 5\,x = 4 
: Q = q\bigl[(4 + 2\sqrt{2})^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{2} + 1} + 1)\bigr] \approx 0.1852028700803001414251518230736124606036037762504611138834393086 \ldots
: u = \frac{2\,\vartheta_{00}(Q^5)\,\vartheta_{00}(Q^{1/5}) - 2\,\vartheta_{00}(Q)^2}{\vartheta_{00}(Q^{1/5})^2 + 5\,\vartheta_{00}(Q^5)^2 - 4\,\vartheta_{00}(Q)^2} \approx 0.3447357019439680107642844248203058218212701865144922007257031 \ldots
: x = \frac{u\,(5\,u^2 - 10\,u + 4)}{5\,u^2 - 6\,u + 2} \approx 0.75192639869405948026865366345020738740978383913037835 \ldots

Սա մեկ այլ ճշգրիտ հաշվարկի օրինակ է c = 2 արժեքի համար.

: x^5 + 5\,x = 8 
: Q = q\bigl[(10 + 2\sqrt{17})^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{17} + 1} + 2)\bigr] \approx 0.3063466544466074265361088194021326272090461143559097382981847 \ldots
: u = \frac{2\,\vartheta_{00}(Q^5)\,\vartheta_{00}(Q^{1/5}) - 2\,\vartheta_{00}(Q)^2}{\vartheta_{00}(Q^{1/5})^2 + 5\,\vartheta_{00}(Q^5)^2 - 4\,\vartheta_{00}(Q)^2} \approx 0.26117326232214439979677125632439205703620052387333832254673599 \ldots
: x = \frac{2\,u\,(5\,u^2 - 10\,u + 4)}{5\,u^2 - 6\,u + 2} \approx 1.16703618370164304731101943199639610129755211048801991\ldots

Սա c = 3 արժեքի երրորդ ճշգրիտ հաշվարկի օրինակն է.

: x^5 + 5\,x = 12 
: Q = q\bigl[(20 + 2\sqrt{82})^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{82} + 1} + 3)\bigr] \approx 0.370664951152024075624432522177568657151868089959747395750974 \ldots
: u = \frac{2\,\vartheta_{00}(Q^5)\,\vartheta_{00}(Q^{1/5}) - 2\,\vartheta_{00}(Q)^2}{\vartheta_{00}(Q^{1/5})^2 + 5\,\vartheta_{00}(Q^5)^2 - 4\,\vartheta_{00}(Q)^2} \approx 0.2090460949758925319033273467025369651597551071050541509568731 \ldots
: x = \frac{3\,u\,(5\,u^2 - 10\,u + 4)}{5\,u^2 - 6\,u + 2} \approx 1.38409179582314635924775512626713547488593506018067645\ldots

Կարևոր լրացուցիչ տեղեկատվություն.

: q\bigl[(2\,c^2 + 2 + 2\sqrt{c^4 + 1})^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{c^4 + 1} + 1} + c)\bigr] =
: = \exp\biggl\{-\pi \biggl[\int_{0}^{1} 2\bigl(z^4 + 2c\sqrt{2\sqrt{c^4+1}-2c^2}\,z^2 + 1\bigr)^{-1/2} \,\mathrm{d}z\biggr] \div \biggl[\int_{0}^{1} 2\bigl(z^4 - 2c\sqrt{2\sqrt{c^4+1}-2c^2}\,z^2 + 1\bigr)^{-1/2} \,\mathrm{d}z\biggr] \biggr\}