Մաթեմատիկական ֆինանսներ

**Մաթեմատիկական ֆինանսներ**, որոնք հայտնի են նաև որպես **քանակական ֆինանսներ** և **ֆինանսական մաթեմատիկա**, կիրառական մաթեմատիկայի ոլորտ, որի գործառույթն է ֆինանսական ոլորտում մաթեմատիկական մոդելավորումը։

Ընդհանուր առմամբ, ֆինանսների երկու առանձին ճյուղեր կան, որոնք պահանջում են առաջադեմ քանակական մեթոդներ՝ մի կողմից՝ ածանցյալ գործիքների գնագոյացումը, մյուս կողմից՝ ռիսկերի և պորտֆելի կառավարումըː Մաթեմատիկական ֆինանսները մեծապես համընկնում են հաշվողական ֆինանսների և ֆինանսական ճարտարագիտության ոլորտների հետ։ Վերջինս կենտրոնանում է կիրառությունների և մոդելավորման վրա, հաճախ ստոխաստիկ ակտիվների մոդելների օգնությամբ, մինչդեռ առաջինը, վերլուծությունից բացի, կենտրոնանում է մոդելների համար իրականացման գործիքների կառուցման վրա։ Դրա հետ կապված են նաև քանակական ներդրումները, որոնք պորտֆելների կառավարման ժամանակ հենվում են վիճակագրական և թվային մոդելների (և վերջերս՝ մեքենայական ուսուցման) վրա՝ ի տարբերություն ավանդական հիմնարար վերլուծության։

Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Լուի Բաչելիեի դոկտորական թեզը, որը պաշտպանվել է 1900 թվականին, համարվում է մաթեմատիկական ֆինանսների վերաբերյալ առաջին գիտական աշխատանքը։ Սակայն մաթեմատիկական ֆինանսները որպես առարկա ի հայտ է եկել 1970-ականներին՝ Ֆիշեր Բլեքի, Մայրոն Շոլզի և Ռոբերտ Մերտոնի՝ օպցիոնների գնագոյացման տեսության վերաբերյալ աշխատանքներից հետո։ Մաթեմատիկական ներդրումները ծագել են մաթեմատիկոս Էդվարդ Թորպի հետազոտություններից, ով օգտագործել է վիճակագրական մեթոդներ՝ նախ բլեքջեքում քարտերի հաշվարկը հորինելու, ապա դրա սկզբունքները կիրառելու ժամանակակից համակարգված ներդրումների մեջː

Առարկան սերտ կապ ունի ֆինանսական տնտեսագիտության հետ, որը զբաղվում է ֆինանսական մաթեմատիկայի մեջ ներառված հիմնական տեսության մեծ մասով։ Մինչդեռ որակավորված տնտեսագետներն օգտագործում են բարդ տնտեսական մոդելներ, որոնք կառուցված են դիտարկված էմպիրիկ հարաբերությունների վրա, մաթեմատիկական ֆինանսական վերլուծությունը, ընդհակառակը, կստացնի և կընդլայնի մաթեմատիկական կամ թվային մոդելները՝ առանց ֆինանսական տեսության հետ կապ հաստատելու՝ որպես մուտքային տվյալներ ընդունելով դիտարկված շուկայական գները (օպցիոնների գնահատում, ֆինանսական մոդելավորում, ակտիվների գնագոյացում)։ Արբիտրաժից զերծ գնագոյացման հիմնարար թեորեմը մաթեմատիկական ֆինանսների հիմնական թեորեմներից մեկն է, մինչդեռ Բլեք-Շոլսի հավասարումն ու բանաձևը հիմնական արդյունքների շարքում ենː

Այսօր շատ համալսարաններ առաջարկում են մաթեմատիկական ֆինանսների ոլորտում աստիճանական և հետազոտական ծրագրեր։

## Պատմություն. Q ընդդեմ P
Ֆինանսների երկու առանձին ճյուղեր կան, որոնք պահանջում են առաջադեմ քանակական մեթոդներ՝ ածանցյալ գործիքների գնագոյացում և ռիսկերի ու պորտֆելի կառավարում։ Հիմնական տարբերություններից մեկն այն է, որ նրանք օգտագործում են տարբեր հավանականություններ, ինչպիսիք են ռիսկի նկատմամբ չեզոք հավանականությունը (կամ արբիտրաժային գնագոյացման հավանականությունը), որը նշանակվում է «Q»-ով, և իրական (կամ ակտուարային) հավանականությունը, որը նշանակվում է «P»-ով։

### Ածանցյալների գնագոյացում. Q բաշխում

Ածանցյալ գործիքների գնագոյացման նպատակն է որոշել տվյալ արժեթղթի արդար գինը՝ արտահայտված ավելի դյուրիրացնելի արժեթղթերով, որոնց գինը որոշվում է առաջարկի և պահանջարկի օրենքով։ «Արդար» բառի իմաստը, իհարկե, կախված է նրանից, թե արդյոք դիտարկվում է արժեթուղթը գնելը, թե վաճառելը։ Գնանշվող արժեթղթերի օրինակներ են պարզ վանիլային և էկզոտիկ օպցիոնները, փոխարկելի պարտատոմսերը և այլն:

Արդար գնի որոշվելուց հետո, վաճառքի կողմի առևտրականը կարող է արժեթղթի շուկա կազմել։ Հետևաբար, ածանցյալ գործիքների գնագոյացումը բարդ «էքստրապոլյացիայի» վարժություն է, որը սահմանում է արժեթղթի ներկայիս շուկայական արժեքը, որն այնուհետև օգտագործվում է վաճառող կողմի համայնքի կողմից։ Քանակական ածանցյալների գնագոյացումը նախաձեռնել է Լուի Բաչելիեն *«Սպեկուլյացիայի տեսություն»* աշխատության մեջ («Théorie de la spéculation», հրատարակված 1900 թվականին), ներկայացնելով ամենահիմնական և ամենաազդեցիկ գործընթացը՝ Բրաունյան շարժումը, և դրա կիրառությունները օպցիոնների գնագոյացման մեջː Բրաունյան շարժումը ստացվում է *[[Պոլ Լանժևեն|Լանժևենի]] հավասարման* և դիսկրետ *պատահական* *քայլքի* (drunkard's walk) միջոցովː Բաշելիեն բաժնետոմսերի գների լոգարիթմի փոփոխությունների ժամանակային շարքը մոդելավորել է որպես պատահական քայլ, որի դեպքում կարճաժամկետ փոփոխություններն ունեն վերջավոր դիսպերսիա։ Սա հանգեցնում է նրան, որ երկարաժամկետ փոփոխությունները հետևում են գաուսյան բաշխմանըː

Տեսությունը չի գործել մինչև Ֆիշեր Բլեքը և Մայրոն Շոլզը, ինչպես նաև Ռոբերտ Ս. Մերտոնի հիմնարար ներդրումների հետ միասին, կիրառել են երկրորդ ամենաազդեցիկ գործընթացը՝ *երկրաչափական Բրաունյան շարժումը*, օպցիոնների գնագոյացման մեջ։ Դրա համար Մ. Շոլզը և Ռ. Մերտոնը 1997 թվականին արժանացել են տնտեսագիտության Նոբելյան մրցանակի։ Բլեքը մրցանակ չի ստացել, քանի որ մահացել էր 1995 թվականինː

Հաջորդ կարևոր քայլը Հարիսոնի և Պլիսկայի (1981) ներդրած ակտիվների գնագոյացման հիմնարար թեորեմն է, որի համաձայն՝ արժեթղթի համապատասխան նորմալացված ընթացիկ գինը` *<math>P_{0}</math>,* ազատ է արբիտրաժից և, հետևաբար, իսկապես արդար է միայն այն դեպքում, եթե գոյություն ունի ստոխաստիկ պրոցես *<math>P_{t}</math>* հաստատուն սպասվող արժեքով, որը նկարագրում է դրա ապագա էվոլյուցիան.

[մինի|[Առաջարկի և պահանջարկի օրենք|Առաջարկ-պահանջարկ-հավասարակշռություն, որտեղ Q-ն ապրանքների քանակն է, որի նկատմամբ ներկայացված է պահանջարկը, իսկ P-ն  գինը. Եթե մյուս գործոնների անփոփոխ լինելու դեպքում գներն իջնում են, ապա պահանջարկն աճում է և հակառակը. գների բարձրացումն առաջ է բերում պահանջարկի քանակական նվազում]]

()-ին այս հավասարմանը բավարարող պրոցեսը կոչվում է «մարտինգալ»։ Մարտինգալը չի պարգևատրում ռիսկի համար։ Այսպիսով, նորմալացված արժեթղթերի գնի գործընթացի հավանականությունը կոչվում է «ռիսկ-չեզոք» և սովորաբար նշանակվում է «\mathbb{Q}» տառատեսակովː

() կապը պետք է ուժի մեջ լինի t ժամանակահատվածի բոլոր հատվածների համար. հետևաբար, դերիվատների` ածանցյալ գործիքների գնագոյացման համար օգտագործվող գործընթացները բնականաբար սահմանվում են անընդհատ ժամանակում։

Դերվինատիվների գնագոյացման Q աշխարհում գործող քանակական վերլուծաբանները` քվանտները մասնագետներ են, որոնք խորը գիտելիքներ ունեն իրենց մոդելավորած կոնկրետ ապրանքների վերաբերյալ։

Արժեթղթերը գնահատվում են առանձին, ուստի Q աշխարհում խնդիրները բնույթով ցածր չափողականություն ունեն։ Կալիբրացիան Q աշխարհի հիմնական մարտահրավերներից մեկն է. երբ անընդհատ ժամանակի պարամետրիկ գործընթացը կալիբրացվում է առևտրվող արժեթղթերի հավաքածուի համար՝ ()-ի նման հարաբերության միջոցով, նմանատիպ հարաբերություն օգտագործվում է նոր ածանցյալների գինը սահմանելու համար։

Անընդհատ ժամանակի Q-պրոցեսները կարգավորելու համար անհրաժեշտ հիմնական քանակական գործիքներն են՝ *Իտոյի ստոխաստիկ հաշվարկը*, սիմուլյացիան (Մոնտե Կառլոյի մեթոդները ֆինանսների մեջ) և մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումները (ՄԴՀ)ː

### Ռիսկերի և պորտֆելի կառավարում. P բաշխում

Ռիսկերի և պորտֆելի կառավարման նպատակն է մոդելավորել բոլոր արժեթղթերի շուկայական գների վիճակագրորեն ստացված հավանականության բաշխումը տրված ապագա ներդրումային հորիզոնում։ 

Շուկայական գների այս «իրական» հավանականության բաշխումը սովորաբար նշանակվում է «\mathbb{P}» տառատեսակով, ի տարբերություն «ռիսկ-չեզոք» հավանականության` «\mathbb{Q}», օգտագործվում է ածանցյալ գործիքների գնագոյացման մեջ։ P բաշխման հիման վրա գնորդների համայնքը որոշումներ է կայացնում, թե որ արժեթղթերը գնել՝ պորտֆելի տեսքով իրենց դիրքերի հեռանկարային շահույթի և վնասի պրոֆիլը բարելավելու համար։ Այս գործընթացի տարրերը գնալով ավելի ավտոմատացվում ենː

Իրենց նորարարական աշխատանքի համար Մարկովիցը և Շարփը, Մերտոն Միլլերի հետ միասին, 1990 թվականին կիսեցին տնտեսագիտության Նոբելյան մրցանակը, որը պատմության մեջ առաջին անգամ է շնորհվել ֆինանսների ոլորտում աշխատանքի համար։

Մարկովիցի և Շարփի պորտֆելի ընտրության աշխատանքով մաթեմատիկան ներմուծվել է ներդրումային կառավարման մեջ։ Ժամանակի ընթացքում մաթեմատիկան դարձել է ավելի բարդ։ Ռոբերտ Մերտոնի և Փոլ Սամուելսոնի շնորհիվ, Մարկովիցի և Շարփի միապարբերության մոդելները փոխարինվել են անընդհատ ժամանակի մոդելներով, ֆինանսական շուկայում Բրոունյան շարժման մոդելներով, իսկ միջին-վարիացիոն օպտիմալացման (Ժամանակակից պորտֆելի տեսություն) մեջ ենթադրվող քառակուսային *օգտակարության ֆունկցիան* փոխարինվել է ավելի ընդհանուր աճող, գոգավոր օգտակարության ֆունկցիաներովː Ավելին, վերջին տարիներին ուշադրությունը կենտրոնացած է գնահատման ռիսկի վրա, այսինքն՝ այն վտանգների վրա, որոնք առաջանում են սխալ ենթադրությունից, որ միայն ժամանակային շարքերի առաջադեմ վերլուծությունը կարող է ապահովել շուկայի պարամետրերի լիովին ճշգրիտ գնահատականներըː

Մեծ ջանքեր են գործադրվել ֆինանսական շուկաների և ժամանակի ընթացքում գների տատանումների ուսումնասիրության վրա։ Լրագրող Չարլզ Դաուն (1851-1902), Dow Jones & Company-ի և The Wall Street Journal-ի հիմնադիրներից մեկը, արտահայտել է մի շարք գաղափարներ այս թեմայի վերաբերյալː Նա կազմել և մանրամասն վերլուծել է ամերիկյան ֆոնդային շուկայի տվյալները և այդ  տվյալներում գտնել է օրինաչափություններ և բիզնես ցիկլեր, մի հասկացություն, որը հետագայում հայտնի է դարձել որպես «Դաուի տեսություն»: Այնուամենայնիվ, Դաուն ինքը երբեք չի համարել, որ իր գաղափարները կարելի է օգտագործել որպես ֆոնդային առևտրի ռազմավարություն:

«Դաուի տեսությունն» այսպես կոչված տեխնիկական վերլուծության մեթոդի հիմքն է, որը փորձում է կանխատեսել ապագա փոփոխությունները։ «Տեխնիկական վերլուծության» սկզբունքներից մեկն այն է, որ շուկայի միտումները ցույց են տալիս ապագան, գոնե կարճաժամկետ հեռանկարում։ Տեխնիկական վերլուծաբանների պնդումները վիճարկվում են բազմաթիվ գիտնականների կողմից։ Չնայած բազմաթիվ էմպիրիկ ուսումնասիրություններ հետազոտել են տեխնիկական վերլուծության արդյունավետությունը, ֆինանսական շուկաների կանխատեսման մեջ դրա օգտակարության վերաբերյալ դեռևս վերջնական կոնսենսուս չկաː

## Քննադատություն

Տարիների ընթացքում մշակվել են ավելի ու ավելի բարդ մաթեմատիկական մոդելներ և ածանցյալ գնագոյացման ռազմավարություններ, սակայն դրանց հավաստիությունը վնասվել է 2008 թվականի ֆինանսական ճգնաժամի պատճառով։

Մաթեմատիկական ֆինանսների ժամանակակից պրակտիկան քննադատության է ենթարկվել ոլորտի գործիչների կողմից, մասնավորապես՝ Փոլ Ուիլմոտը և Նասիմ Նիկոլաս Թալեբը՝ իր *«Սև կարապը*» գրքումː  Թալեբը պնդում է, որ ֆինանսական ակտիվների գները չեն կարող բնութագրվել ներկայումս օգտագործվող պարզ մոդելներով, ինչը լավագույն դեպքում ներկայիս պրակտիկայի մեծ մասը դարձնում է անտեղի, իսկ վատագույն դեպքում՝ վտանգավոր կերպով մոլորեցնող։ Ուիլմոտը և Էմանուել Դերմանը 2009 թվականի հունվարին հրապարակել են «*Ֆինանսական մոդելավորողների մանիֆեստը»*, որն անդրադառնում է ամենալուրջ մտահոգություններից մի քանիսին։ Նոր տնտեսական մտածողության ինստիտուտի (Նյու Յորք) նման մարմիններն այժմ փորձում են մշակել նոր տեսություններ և մեթոդներː

Ընդհանուր առմամբ, վերջավոր դիսպերսիայով բաշխումներով փոփոխությունների մոդելավորումը, ավելի ու ավելի հաճախ համարվում է ոչ նպատակահարմարː 1960-ականներին Բենուա Մանդելբրոտը հայտնաբերել է, որ գների փոփոխությունները չեն հետևում գաուսյան բաշխմանը, այլ ավելի լավ մոդելավորվում են Լևիի ալֆա- կայուն բաշխումներովː Փոփոխության մասշտաբը, կամ վիճակագրական ֆինանսական ցուցանիշը` անկայունությունը ( volatility), կախված է աստիճանային ֆունկցիայի ժամանակային միջակայքի տևողությունից, որը 1/2-ից մի փոքր ավելի է։ Մեծ փոփոխությունները դեպի վեր կամ վար ավելի հավանական են, քան նրանք, որոնք կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով գնահատված ստանդարտ քառակուսային շեղումով (սիգմա) գաուսյան բաշխումը։ Սակայն խնդիրն այն է, որ դա չի լուծում խնդիրը, քանի որ այն շատ ավելի դժվար է դարձնում պարամետրացումը, իսկ ռիսկերի կառավարումը՝ պակաս հուսալիː

Հնարավոր է՝ ավելի հիմնարար է. չնայած մաթեմատիկական ֆինանսական մոդելները կարող են շահույթ բերել կարճաժամկետ հեռանկարում, այս տեսակի մոդելավորումը հաճախ հակասության մեջ է մտնում ժամանակակից մակրոտնտեսագիտության կենտրոնական սկզբունքի՝ *Լուկասի քննադատության* կամ *ռացիոնալ [[Մաթեմատիկական սպասում|սպասումների]]* հետ, որը նշում է, որ դիտարկվող հարաբերությունները կարող են կառուցվածքային բնույթ չունենալ և, հետևաբար, հնարավոր չէ դրանք օգտագործել պետական քաղաքականության կամ շահույթ ստանալու համար, եթե մենք չենք բացահայտել փոխադարձ կապը՝ պատճառահետևանքային վերլուծությունով և էկոնոմետրիկայովː  Հետևաբար, մաթեմատիկական ֆինանսական մոդելները չեն ներառում մարդկային հոգեբանության բարդ տարրեր, որոնք կարևոր են ժամանակակից մակրոտնտեսական շարժումների մոդելավորման համար, ինչպիսին է ինքնաիրացվող խուճապը, որը խթանում է բանկային կանխիկացումը։

## Տես նաև
### Մաթեմատիկական գործիքներ

* Դիֆերենցիալ հավասարումներ
* Մաթեմատիկական սպասում
* Ֆինանսներ. քանակական ֆինանսներր
* Մաթեմատիկական մոդել

* Մաթեմատիկական օպտիմիզացիա
** Գծային ծրագրավորում
** Ոչ գծային ծրագրավորում
** Քառակուսային ծրագրավորում
* Մոնտե-Կարլոյի մեթոդ
* Թվային մեթոդներ
* Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ
** Ջերմային հավասարում
** Թվային մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ
*** Քրանկ-Նիկոլսոնի մեթոդ
*** Վերջավոր տարբերությունների հաշիվ
* Հավանականություն
* Հավանականության բաշխում
** Բինոմիալ բաշխում
** Ջոնսոնի SU-բաշխում
** Լոգարիթմական նորմալ բաշխու
** Ստյուդենտի t-բաշխում

### Ածանցյալների գնագոյացում
* Բրաունյան ֆինանսական շուկաների մոդել
* Ռացիոնալ գնագոյացման ենթադրություններ
** Ռիսկի չեզոք գնահատում
** Արբիտրաժից զերծ գնագոյացում
* Գնահատման ճշգրտումներ
** Վարկային գնահատման ճշգրտում
** X-արժեքի ճշգրտում (XVA)
* Եկամտաբերության կորի մոդելավորում
** Տոկոսադրույքի սվոպ
** «բութսթրեփ» գործարք կամ լևերաժային գնում
** Եկամտաբերության կոր
** Կայուն եկամտի վերագրում
** Nelson-Siegel ֆունկցիա
** Հիմնական բաղադրիչների վերլուծություն
* Ֆորվարդային գնի բանաձև
* Ֆյուչերսային գործարքներ
* Սվոփ (ֆինանսներ)
** Արժույթի սվոփ#Գնահատում և գնագոյացում
** Տոկոսադրույքի սվոփ#Գնահատում և գնագոյացում
*** Բազմակոր կառուցվածք
** Վարիացիոն սվոփ#Գնորոշում և գնահատում
** Ակտիվների փոխանակում #Ակտիվների փոխանակման սփրեդի հաշվարկ
** Վարկային դեֆոլտ սվոփ

* Օպցիոններ
** Փութ-քոլ համարժեքություն (օպցիոնների արբիտրաժային հարաբերություններ)
** Ներքին արժեք, ժամանակային արժեք
** Փողունակություն
** Մաթեմատիկական մոդել
*** Վարկային ռիսկ սնանկացման հավանականության Մերտոնի մոդել
*** Սև մոդել
*** Բինոմալ օպցիոնների մոդել
**** Ենթադրյալ բինոմիալ ծառ
**** Էջվորթի բինոմիալ ծառ
*** Մոնտե Կառլո օպցիոն մոդել
*** Ենթադրյալ անկայունություն, անկայունության ժպիտ
*** Տեղական անկայունություն
*** Ստոխաստիկ անկայունություն
**** Վարիացիայի հաստատուն առաձգականության մոդել
**** Հեստոնի մոդել
***** Ստոխաստիկ անկայունության ցատկ
**** SABR անկայունության մոդել
*** Մարկովի կոմուտացիայի մուլտիֆրակտալ
*** Գրեկեր (ֆինանսներ)
*** Օպցիոնների գնագոյացման վերջավոր տարբերությունների մեթոդներ
*** Վաննա-Վոլգա գներ
*** Եռանդամային ծառ
**** Ենթադրյալ եռանդամային ծառ
*** Գարման-Կոլհագենի մոդել
*** Ցանցային մոդել (ֆինանսներ)
*** Մարգրեյբի բանաձև
*** Կար-Մադանի բանաձև
** Ամերիկյան օպցիոնների գնագոյացում
*** Բարոն-Ադեսի և Ուեյլի
*** Բյորքսունդ և Ստենսլանդ
*** Բլեքի մոտավորություն
*** Մոնտե Կառլո՝ նվազագույն քառակուսիների մեթոդ
*** Օպտիմալ կանգառ
*** Ռոլ-Գեսկե-Ուեյլի

### Պորտֆելի մոդելավորում
* Պորտֆելի տեսություն
* Քանակական ներդրումներ
* Պորտֆելի մաթեմատիկա

### Այլ
* Հաշվողական ֆինանսներ
* Ածանցյալ գործիքների ցանկ
* Տնտեսական մոդել
* Էկոնոֆիզիկա
* Ֆինանսական տնտեսագիտություն
* Ֆինանսական ճարտարագիտություն

* Ֆինանսական մոդելավորում
* Քանակական ֆինանսների միջազգային ասոցիացիա
* Սվոփերի և դերիվատիվների միջազգային ասոցիացիա
* Հաշվապահական հոդվածների ցանկ

* Տնտեսագետների ցանկ
* Քանակական ֆինանսների մագիստրոս
* Տնտեսագիտության ուրվագիծ
* Ֆինանսների ուրվագիծ
* Ֆինանսական շուկաների ֆիզիկա
* Քանակական վարքային ֆինանսներ
* Քվանտային ֆինանսներ
* Հրթիռային գիտություն (ֆինանսներ)
* Վիճակագրական ֆինանսներ
* Տեխնիկական վերլուծություն
* XVAː

## Նշումներ

## Ծանոթագրություններ



## Արտաքին հղումներ
* Nicole El Karoui, «Ֆինանսական մաթեմատիկայի ապագան», *ParisTech Review*, 6 սեպտեմբերի 2013 թ.
* Հարոլդ Մարկովից, «Պորտֆելի ընտրություն», *Ֆինանսների հանդես*, 7, 1952, էջ&nbsp;77–91
* Ուիլյամ Ֆ. Շարփ, *Ներդրումներ*, Պրենտիս-Հոլ, 1985
* Pierre Henry Labordere (2017). “Model-Free Hedging A Martingale Optimal Transport Viewpoint”. Chapman & Hall/ CRC. «Մոդելից զերծ հեջավորում՝ որպես մարտինգեյլի օպտիմալ փոխադրման տեսակետ»ː

Կատեգորիա:Կիրառական մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական մոդելավորում
Կատեգորիա:Ֆինանսական մաթեմատիկա