0,(9)

300px|right

**0,(9)** կամ **0,999…** ( 0.\bar{9} , 0.\dot{9}) («զրո ամբողջ ինը պարբերական»), պարբերական տասնորդական կոտորակ, որն իրենից ներկայացնում է 1 թիվը։ Այլ բառերով՝ 
: 1=0{,}(9).
Այս հավասարությունն ունի մի քանի մաթեմատիկական ապացույցներ՝ հիմնված տեսական սահմանների վրա։

## Ապացույցներ
### Հանրահաշվական

#### [[Սյունակով բաժանում]]
Հաճախ ռացիոնալ կոտորակը կարող է ներկայացվել տասնորդական տեսքով միայն անվերջ պոչով։ Օգտագործելով սյունակով բաժանումը՝ երկու ամբողջական թվերի բաժանումը, օրինակ՝ \frac{1}{3} բերում է անվերջ 0,333… տասնորդական գրառմամբ, որտեղ թվերը անվերջ կրկնվում են։ Այդկերպ հեշտ ապացուցվում է 0,999… = 1 հավասարությունը։ 3-ը 3-ի բազմապատկումը բերում է 9-ի յուրաքանչյուր շարքում, այդ իսկ պատճառով 3 × 0,333… համարժեք է 0,999…։ Եվ 3 ×  համարժեք է 1-ի, այդ իսկ պատճառով 0,999… = 1։

#### Թվերի տեղաշարժում
Երբ տասնորդական գրառմամբ թիվը բազմապատկվում է 10-ի, թվերը չեն փոխվում, սակայն յուրաքանչյուր շարքը շարժվում է մեկ թվով ձախ։ Հետևաբար, 10 × 0,999… = 9,999…, ինչը 9 անգամ ավել է, քան հիմնական թիվը։ Տեսնելու համար 0,999… հանենք 9,999…-ից, յուրաքանչյուր թիվ ստորակետից հետո անհետանում է, քանի որ 9 — 9 = 0 յուրաքանչյուր շարքի համար։ Վերջին քայլն օգտագործում է հանրահաշվի կանոնները․  
: 
\begin{align}
x             &= 0{,}999\ldots; \\
10x           &= 9{,}999\ldots; \\
10x - x       &= 9{,}999\ldots - 0{,}999\ldots; \\
9x            &= 9; \\
x             &= 1; \\
0{,}999\ldots &= 1.
\end{align}


#### Տարբերության գտնելը
Երկու թվերը հավասար են, եթե նրանց տարբերությունը հավասար է զրոյի։ Այսպես, պետք է գտնել 1-0,(9 արտահայտության լուծումը։ Սկզբում դիտարկենք առավել հեշտ օրինակը։ Գտնենք 1 և 0,9 թվերի տարբերությունը (*առաջին [[իտերացիա]]*), ապա ավելացնենք շարքի վերջին թվին ևս մեկ 9 (*ստացվում է 0,99*), գտնենք 1 թվի և նոր հանելիի՝ 0,99-ի (*երկրորդ իտերացիա*) տարբերությունը։ Ինչից հետո նույն սխեմայով որոշում ենք 1 և 0,999 (*երրորդ իտերացիա*) թվերի տարբերությունը և այլն․ 
: 
\begin{align}
1-0{,}9         &= 0{,}1 \\
1-0{,}99        &= 0{,}01 \\
1-0{,}999       &= 0{,}001 \\
\ldots \\
\end{align}

Այսպես, իտերացիայի համարի բարձրացման համար հանելին ձգտում է 0,(9)-ի, իսկ տարբերությունը՝ զրոյի։ Եվ ընդհանուր դեպքում այս իրադրությունը կարելի է գրառել հետևյալ կերպ․ 
: 
\begin{align}
1-0{,}\underbrace{ 99\ldots9 }_{n}  &= 0{,}\underbrace{ 00\ldots0 }_{m=n-1}1, \\
\end{align}

որտեղ ***n***՝ իտերացիայի համար (հանելիում ստորակետից հետո ինների քանակությունը),
***m***՝ զրոյի և տարբերության միավորի միջև զրոների քանակությունը։
1-0,(9) տարբերությունը գտնելու համար իտերացիայի համարը հավասարեցնենք անվերջության․ n = \infty։ Այդ դեպքում m = n-1 =\infty.
Այդկերպ, որոնելի տարբերությունը ձևականորեն ունի զրոների անվերջ քանակություն ստորակետից հետո, որոնցից հետո գալիս է միավորը
: 1-0{,}(9) = [0{,}(0)1]։
Իրականում, եթե ստորակետից հետո գտնվում են բազում թվեր (տվյալ դեպքում զրոները), ապա նրան հաջորդող շարքում անհնար է ավելացնել որևէ թիվ, քանի որ նման շարք գոյություն չունի։ Այս դեպքում որոնելի տարբերությունը ստորակետից հետո կլինի զրոների ամբողջություն, որը երբեք չի ավարտվի (զրոների անվերջություն), և հետևապես միավորները բոլոր զրոներից հետո չեն լինի։ Այսկերպ, տարբերությունը կներկայացվի *մաքուր պարբերական կոտորակի* տեսքով, որն ունի զրո ամբողջական մաս և պարբերություն՝ բաղկացած մեկ զրոյից․ 0,(0), ինչը 0 թվի ներկայացումն է *պարբերական տասնորդական կոտորակի* տեսքով․
: 0{,}(0) = 0.
Այսպիսով,
: 1-0{,}(9) = 0,
ինչը նշանակում է․
: 1 = 0{,}(9).

### Վերլուծականներ
Ընդհանուր տեսքով 0,999… թիվը կարելի է գրառել որպես b_0.b_1b_2b_3b_4b_5\dots

#### Անվերջ հաջորդականություններ
Տասնորդական համակարգի որոշմանը համապատասխան հաշվարկեք շարքի գումարը․ 
: b_0 . b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1({\tfrac{1}{10}}) + b_2({\tfrac{1}{10}})^2 + b_3({\tfrac{1}{10}})^3 + b_4({\tfrac{1}{10}})^4 + \cdots .

0,999…-ի համար կիրառենք հատվող երկարաչափական պրոգրեսիայի գումարի մասին տեսությունը․
: Եթե |r|  , ապա ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}.

Զուգամիտության շառավիղ (պրոգրեսիայի հայտարար) r=\textstyle\frac{1}{10}, և այդկերպ․
: 0.999\ldots = 9(\tfrac{1}{10}) + 9({\tfrac{1}{10}})^2 + 9({\tfrac{1}{10}})^3 + \cdots = \frac{9({\tfrac{1}{10}})}{1-{\tfrac{1}{10}}} = 1.
Նման ապացույցը (10-ի և 9,999…-ի էկվիվալենտության մասին) հրապարակվել է 1770 թվականին Լեոնարդ Էյլերի կողմից «Հանրահաշվի տարրեր» գրքում։

left|thumb|200px|Միավոր ինտերվալներ, (0.3, 0.33, 0.333, …)՝ համամիտող 1-ի (հաշվարկման չորսական համակարգում)։
Համամիտվող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը հայտնի էր մինչ Էյլերը։ 1811 թվականին թողարկված *An Introduction to Algebra* դասագիրքը ևս կիրառում է երկարաչափական պրոգրեսիան 0,(9) թվի համար։ XIX դարում գումարման նման կանոնի արձագանքը դարձավ փաստ․ շարքի գումարը *պետք է* հաջորդականության մասնակի գումարների սահմանը։

Հաջորդականությունը (*x*0, *x*1, *x*2, …) ունի *x* սահման այն և միայն այն ժամանակ, երբ |*x* − *x**n*| անվերջ փոքր է *n* աճով։ 0.999… = 1 հաստատումը կարող է փոփոխվել որպես սահման․
: 0.999\ldots = \lim_{n\to\infty}0.\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k}  = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.
Վերջին \lim_{n\to\infty} \frac{1}{10^n} = 0 քայլն արվում է այն հիմքով, որ իրական թվերը բավարարում են Արքիմեդի աքսիոմը։

## Կիրառություն
Կան բազում կիրառություններ, օրինակ՝ թվերի տարրական տեսության մեջ։ 1802 թվականին H. Goodwin-ը հրապարակեց ուսումնասիրություն, որ նա հայտնաբերել էր պարզ թվերը բաժանելիս, օրինակ․ 
* 1/7 = 0,142857142857… և 142 + 857 = 999.
* 1/73 = 0,0136986301369863… և 0136 + 9863 = 9999.
1836 թվականին Միդին ընդհանրացրեց հետազոտության արդյունքները մինչ Միդիի թեորեմը։

## Մշակույթում
*[[The Straight Dope]]* նորությունների սյունակում ապացուցվում է 0,999… 1⁄3 և սահմանների օգնությամբ՝ խոսելով չհասկանալու մասին․ 

Ասվում է․ ,999~-ը իրականում ներկայացնում է ոչ թե *թիվ*, այլ *գործողություն*։ Թիվը գտնելու համար մենք պետք է կանգենցնենք այդ գործողությունը։ Եվ այդ պահին ,999~ = 1 հավասարությունը պարզապես քանդվում է։

Հիմարություն.


0,999…-ի մասին հարցը դարձել է այնքան տարածված թեմա, որ թողարկել է հետևյալը․

Մենք շատ ուրախ ենք փակել այս թեմայի մասին գիրքը հավերժ։ Մենք վկա ենք եղել տանջանքների և անհանգստության՝ կապված այն բանի հետ, թե 0,999~ հավասարվում է 1-ի կամ ոչ, և մենք հպարտությամբ ներկայացնում ենք հետևյալ ապացույցը, որը որոշում է մեր գնորդների համար այդ խնդիրը։

Ապա հաջորդում են ապացույցներ՝ հիմնված 10-ի վրա բազմապատկման և սահմանների մասին։

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Թվեր
Կատեգորիա:Կոտորակներ