Քառանիստ

մինի|Քառանիստ

**Տետրաէդր** կամ **քառանիստ** ( ←  «չորս» +  «նստույք, հիմք»),  պարզագույն բազմանիստ, որի նիստերը հանդիսանում են չորս եռանկյուններ։

Քառանիստը հանդիսանում է եռանկյուն բուրգ։ Քառանիստն ունի 4 գագաթ, 4 նիստ, 6 կող։

Քառանիստը, որի բոլոր նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ է, կոչվում է կանոնավոր քառանիստ։ Կանոնավոր քառանիստը հանդիսանում է 5 կանոնավոր բազմանիստերից մեկը։

Քառանիստի յուրաքանչյուր գագաթով անցնում է 3 նիստ և 3 կող, յուրաքանչյուր կողով 2 նիստ։

## Էյլերի բանաձևը քառանիստի համար
Ըստ Էյլերի բանաձևի, ցանկացած բազմանիստի համար գագաթների թվին գումարենք նիստերի թիվը և հանենք կողմերի թիվը կստանանք 2։
4 + 4 - 6 = 2
2 = 2

## Քառանիստի տեսակներ
### Հավասարանիստ քառանիստ
thumb|right|Հավասարանիստ քառանիստի փռվածք
Բոլոր նիստերը իրենցից ներկայացնում են իրար հավասար եռանկյուններ։ Հավասարանիստ քառանիստի փռվածքը հանդիսանում է եռանկյուն՝ միջին գծերով բաժանված չորս հավասար եռանկյունների։ Հավասարանիստ քառանիստի նիստերի բարձրությունների հիմքերը, բարձրությունների միջնակետերը և բարձրությունների հատման կետերը ընկած են մեկ գնդային մակերևույթի վրա (12 կետերի գնդային մակերևույթ) (Եռանկյան համար Էյլերի շրջանագծի անալոգը)։

Հավասարանիստ քառանիստի հատկություններ.
* Նրա բոլոր նիստերը հավասար են (կոնգրուէնտ են)։
* Խաչվող կեղերը զույգ առ զույգ հավասար են։
* Եռանիստ անկյունները հավասար են։ 
* Հակադիր անկյունները հավասար են։ 
* Մեկ կողի վրա հենված երկու հարթ անկյունները հավասար են։
* Յուրաքանչյուր գագաթի հարթ անկյունների գումարը հավասար է 180°:
* Քառանիստի փռվածքը եռանկյուն է կամ զուգահեռագիծ։
* Արտագծած զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է։
* Քառանիստն ունի համաչափության երեք առանցք։
* Խաչվող կողերի ընհանուր ուղղահայացները զույգ առ զույգ ուղղահայաց են։
* Միջին գծերը զույգ առ զույգ ուղղահայաց են։
* Նիստերի պարագծերը հավասար են։
* Նիստերի մակերեսները հավասար են։
* Քառանիստի բարձրությունները հավասար են։
* Հանդիպակած նիստերի ծանրության կենտրոնները գագաթներին միացնող հատվածներն իրար հավասար են։
* Նիստերին արտագծած շրջանագծերի շառավղերը հավասար են։
* Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։
* Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։
* Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթների կենտրոնները համընկնում են։
* Ներգծած գնդային մակերևույթը նիստերին շոշափում է նիստերին արտագծած շրջանագծերի կենտրոններում։
*Ներքին միավոր նորմալների գումարը (նիստերին ուղղահայաց միավոր վեկտորները) հավասար է զրոյի։
* Բոլոր երկնիստ անկյունների գումարը հավասար է զրոյի։

## Քառանիստի ծավալ
Քառանիստի գագաթի կոորդինատներն են ~ \mathbf{r}_1 (x_1,y_1,z_1),
~ \mathbf{r}_2 (x_2,y_2,z_2), ~ \mathbf{r}_3 (x_3,y_3,z_3),
~ \mathbf{r}_4 (x_4,y_4,z_4), որոնք հավասար են։

~ V = \frac16
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & y_1 & z_1 \\
1 & x_2 & y_2 & z_2 \\
1 & x_3 & y_3 & z_3 \\
1 & x_4 & y_4 & z_4
\end{vmatrix}


## Եռանկյան և քառանիստի բանաձևերի համեմատում

## Քառանիստը ոչ էվկլիդյան տարածություններում
### Ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալ
Գոյություն ունեն ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալի հաշվան բազում բանաձևեր ։ Օրինակ, հիպերբոլային քառանիստի համար Դերեվնին—Մեդնիխի բանաձևը  և գնդային քառանիստի համար Ջ. Մուրակամիի բանաձևը։ Գնդաձև տարածությունում և Լոբաչևսկու տարածությունում քառանիստի ծավալը, որպես կանոն, չեն արտահայտվում տարրական ֆունկցիաներով։

### Քառանիստի երկնիստ անկյունների հարաբերություն
\operatorname{det}\Psi > 0 — գնդային քառանիստի համար։

\operatorname{det}\Psi  — հիպերբոլային քառանիստի համար։

Որտեղ \Psi =
\begin{pmatrix}
  1 & -\cos (A_{2,1}) & -\cos (A_{3,1}) & -\cos (A_{4,1}) \\
  -\cos (A_{2,1}) & 1 & -\cos (A_{3,2}) & -\cos (A_{4,2}) \\
  -\cos (A_{3,1}) & -\cos (A_{3,2}) & 1 & -\cos (A_{4,3}) \\
  -\cos (A_{4,1}) & -\cos (A_{4,2}) & -\cos (A_{4,3}) & 1 \\
\end{pmatrix} -ն գնդային և հիպերբոլային քառանիստի երկնիստ անկյունների համար Գրամի մատրիցն է։

A_{i,j}-ն  i և j գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի կազմած անկյունն է։

### Կոսինուսների թեորեմ
\cos (A_{i,j})=-\frac{\Phi_{i,j}}{ \sqrt{\Phi_{i,i}\Phi_{j,j}} } — գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար։

\cos (\alpha_{i,j})=\frac{\Psi_{i,j}}{ \sqrt{\Psi_{i,i}\Psi_{j,j}} } — գնդային քառանիստի համար։

\operatorname{ch}(\alpha_{i,j})=\frac{\Psi_{i,j}}{ \sqrt{\Psi_{i,i}\Psi_{j,j}} } — հիպերբոլային քառանիստի համար։

Որտեղ \Phi =
\begin{pmatrix}
  1 & \cos (\alpha_{2,1}) & \cos (\alpha_{3,1}) & \cos (\alpha_{4,1}) \\
  \cos (\alpha_{2,1}) & 1 & \cos (\alpha_{3,2}) & \cos (\alpha_{4,2}) \\
  \cos (\alpha_{3,1}) & \cos (\alpha_{3,2}) & 1 & \cos (\alpha_{4,3}) \\
  \cos (\alpha_{4,1}) & \cos (\alpha_{4,2}) & \cos (\alpha_{4,3}) & 1 \\
\end{pmatrix} -ն գնդային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է։

\Phi =
\begin{pmatrix}
  1 & \operatorname{ch}(\alpha_{2,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{3,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,1}) \\
  \operatorname{ch}(\alpha_{2,1}) & 1 & \operatorname{ch} (\alpha_{3,2}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,2}) \\
  \operatorname{ch}(\alpha_{3,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{3,2}) & 1 & \operatorname{ch}(\alpha_{4,3}) \\
  \operatorname{ch}(\alpha_{4,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,2}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,3}) & 1 \\
\end{pmatrix}-ն հիպերբոլային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է։

\alpha_{i,j} -ն i և j գագաթների միջև տրված հեռավորությունն է։

\Psi_{i,j}-ն \Psi մատրիցային հանրահաշվական լրացումն է։

### Սինուսների թեորեմ
\frac{\Phi_{1,1}}{\Psi_{1,1}}=\frac{\Phi_{2,2}}{\Psi_{2,2}}=\frac{\Phi_{3,3}}{\Psi_{3,3}}=\frac{\Phi_{4,4}}{\Psi_{4,4}} — գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար։

### Արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղ

\begin{vmatrix}
  1 & \cos (\alpha_{2,1}) & \cos (\alpha_{3,1}) & \cos (\alpha_{4,1}) &1 \\
  \cos (\alpha_{2,1}) & 1 & \cos (\alpha_{3,2}) & \cos (\alpha_{4,2}) &1 \\
  \cos (\alpha_{3,1}) & \cos (\alpha_{3,2}) & 1 & \cos (\alpha_{4,3}) &1 \\
  \cos (\alpha_{4,1}) & \cos (\alpha_{4,2}) & \cos (\alpha_{4,3}) & 1 &1 \\
 1 & 1 & 1 & 1 & \frac{1}{\cos^2 (R)} \\
\end{vmatrix}=0 — գնդային քառանիստի համար։

Արտահայտության մեկ այլ գրառում.  \frac{1}{\cos (R)}=\frac{
|\sqrt{\Phi_{1,1}}\overrightarrow{n_1}+\sqrt{\Phi_{2,2}}\overrightarrow{n_2}+\sqrt{\Phi_{3,3}}\overrightarrow{n_3}+\sqrt{\Phi_{4,4}}\overrightarrow{n_4}|}{\sqrt{\operatorname{det}\Phi}}, որտեղ  \overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2},\overrightarrow{n_3},\overrightarrow{n_4} քառանիստի նիստերի նորմալներն են։

Կամ քառանիստի գագաթի կոորդինատներով.  \frac{1}{\cos (R)}=\frac{
|\begin{vmatrix}
  0 & \overrightarrow{i_1} & \overrightarrow{i_2} & \overrightarrow{i_3} &\overrightarrow{i_4} \\
  1 & X_1 & Y_1 & Z_1 &T_1 \\
  1 & X_2 & Y_2 & Z_2 &T_2 \\
  1 & X_3 & Y_3 & Z_3 &T_3 \\
 1 & X_4 & Y_4 & Z_4 & T_4 \\
\end{vmatrix}|}{\sqrt{\operatorname{det}\Phi}}:


\begin{vmatrix}
  1 & \operatorname{ch}(\alpha_{2,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{3,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,1}) &1\\
  \operatorname{ch}(\alpha_{2,1}) & 1 & \operatorname{ch} (\alpha_{3,2}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,2}) &1\\
  \operatorname{ch}(\alpha_{3,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{3,2}) & 1 & \operatorname{ch}(\alpha_{4,3}) &1\\
  \operatorname{ch}(\alpha_{4,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,2}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,3}) & 1 &1\\
1 & 1 & 1 & 1 & \frac{1}{\operatorname{ch}^2 (R)} \\
\end{vmatrix}=0 — հիպերբոլոյաին քառանիստի համար։

### Ներգծած գնդային մակերևույթի շառավիղ
 \frac{1}{\sin^2 (r)}=\frac{\Phi_{1,1}+\Phi_{2,2}+\Phi_{3,3}+\Phi_{4,4}+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{2,2}}\cos (\alpha_{1,2})+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{3,3}}\cos (\alpha_{1,3})+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{4,4}}\cos (\alpha_{1,4})+2\sqrt{\Phi_{2,2}\Phi_{3,3}}\cos (\alpha_{2,3})+2\sqrt{\Phi_{2,2}\Phi_{4,4}}\cos (\alpha_{2,4})+2\sqrt{\Phi_{3,3}\Phi_{4,4}}\cos (\alpha_{3,4})}{\operatorname{det}\Phi} — գնդային քառանիստի համար։

Արտահայտության մեկ այլ գրառում.  \frac{1}{\sin (r)}=\frac{
|\sqrt{\Phi_{1,1}}\overrightarrow{r_1}+\sqrt{\Phi_{2,2}}\overrightarrow{r_2}+\sqrt{\Phi_{3,3}}\overrightarrow{r_3}+\sqrt{\Phi_{4,4}}\overrightarrow{r_4}|}{\sqrt{\operatorname{det}\Phi}}, որտեղ  \overrightarrow{r_1},\overrightarrow{r_2},\overrightarrow{r_3},\overrightarrow{r_4} քառանիստի գագաթի միավոր շառավիղ վեկտորներն են։

 \frac{1}{\operatorname{sh}^2 (r)}=-\frac{\Phi_{1,1}+\Phi_{2,2}+\Phi_{3,3}+\Phi_{4,4}+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{2,2}}\operatorname{ch} (\alpha_{1,2})+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{3,3}}\operatorname{ch} (\alpha_{1,3})+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{4,4}}\operatorname{ch} (\alpha_{1,4})+2\sqrt{\Phi_{2,2}\Phi_{3,3}}\operatorname{ch} (\alpha_{2,3})+2\sqrt{\Phi_{2,2}\Phi_{4,4}}\operatorname{ch} (\alpha_{2,4})+2\sqrt{\Phi_{3,3}\Phi_{4,4}}\operatorname{ch} (\alpha_{3,4})}{\operatorname{det}\Phi} — հիպերբոլային քառանիստի համար։

### Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնների միջև հեռավորություն
 \frac{\cos (d)} {\sin (r) \cos (R)}=\frac{\sqrt{\Phi_{1,1}}+\sqrt{\Phi_{2,2}}+\sqrt{\Phi_{3,3}}+\sqrt{\Phi_{4,4}}}{\sqrt{\operatorname{det}\Phi}} — գնդային քառանիստի համար։

### Քառանիստի բանաձևերը բարիցենտրիկ կոորդինատներով
* Ներգծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.

\mathbf{J}_r(\sqrt{\Phi_{1,1}},\sqrt{\Phi_{2,2}},\sqrt{\Phi_{3,3}},\sqrt{\Phi_{4,4}}). — գնդային քառանիստի համար։

* Արտագծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.

\mathbf{J}_R=
\begin{vmatrix}
  0 & \mathbf{J_1}        & \mathbf{J_2}       & \mathbf{J_3}        & \mathbf{J_4}        \\
  1 & 1 & \cos (\alpha_{1,2}) & \cos (\alpha_{1,3}) & \cos (\alpha_{1,4}) \\
 1 & \cos (\alpha_{2,1}) & 1 & \cos (\alpha_{2,3}) & \cos (\alpha_{2,4}) \\
 1 & \cos (\alpha_{3,1}) & \cos (\alpha_{3,2}) & 1 & \cos (\alpha_{3,4}) \\
 1 &\cos (\alpha_{4,1}) & \cos (\alpha_{4,2}) & \cos (\alpha_{4,3}) & 1 \\
\end{vmatrix}. — գնդային քառանիստի համար։

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* Матизен В. Э., Дубровский. Из геометрии тетраэдра «Квант», № 9, 1988 г. С.66.
* Заславский А. А. Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра // Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.
* Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры.2009 г.

Կատեգորիա:Երկրաչափություն