Դաշտի տեսություն

**Դաշտի տեսություն** մաթեմատիկայում, վեկտորական և սկալյար դաշտերի հատկություններն ուսումնասիրող մաթեմատիկական տեսություն։

## Նկարագրություն
### Սկալյար և վեկտորական դաշտեր
Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի մի շարք խնդիրների ուսումնասիրությունը հանգեցվում է տարածության (կամ հարթության) տիրույթների ուսումնասիրման, որոնց յուրաքանչյուր Р կետին համապատասխանության մեջ է դրվում u(P) թիվ (ջերմաստիճան, ճնշում, խտություն և ալն) կամ \vec a(P) վեկտոր (արագություն, ուժ և այլն)։ Այդպիսի տիրույթները, իրենց մեջ որոշված u(P) կամ \vec a(P) ֆունկցիաներով, համապատասխանաբար կոչվում են սկալյար կամ վեկտորական դաշտեր։ Սկալյար դաշտի տրումը համարժեք է։u(x, y, z)

թվային ֆունկցիայի, իսկ վեկտորական դաշտինը՝ առանցքների վրա

:\vec a(P)-ի  a_x, a_y, a_z

պրոյեկցիաների տրմանը։

### Հաստատուն և փոփոխական դաշտեր
Եթե u(P), \vec a(P) ֆունկցիաները ժամանակից կախված չեն, ապա դաշտը կոչվում է *ստացիոնար* (հաստատուն), հակառակ դեպքում՝ *ոչ ստացիոնար* (փոփոխական)։

### Ոլորտային և գլանային դաշտեր
Սկալյար դաշտերը պատկերվում են u(P)= const  հավասարումով որոշվող մակարդակի մակերևույթների կամ մակարդակի գծերի օգնությամբ։ Եթե գոյություն ունի այնպիսի O կետ (Н առանցք), որ u(P)-ն կախված է միայն ОР (P-ից Н) հեռավորությունից, ապա դաշտը կոչվում է *կենտրոնական* կամ *ոլորտային* (առանցքային կամ գլանային)։ Ոլորտային և գլանային դաշտերի մակարդակի մակերևույթները համապատասխանաբար ոլորտներ և գլաններ են։

### Դաշտի գրադիենտ
Եթե u(x, y, z)-ը դիֆերենցելի Է, ապա սկալյար դաշտի յուրաքանչյուր կետի համապատասխանում է u-ի ամենաարագ աճի ուղղությունը ցույց տվող վեկտոր (գրադիենտ, ), որի երկարությունը հավասար է այդ ուղղությամբ u-ի աճման արագությանը։

### Վեկտորական մակերևույթներ
Վեկտորական դաշտերի նկարագրման համար կիրառվում են գծեր, որոնք իրենց յուրաքանչյուր P կետում ունեն \vec a(P) վեկտորի ուղղությունը, այսինքն բավարարում են դիֆերենցիալ

: \frac {dx}{a_x}= \frac {dy} {a_y} = \frac {dz} {a_z} 

հավասարումների համակարգին։ Այդ գծերով կազմված մակերևույթը կոչվում է վեկտորական մակերևույթ և բնութագրվում է նրանով, որ յուրաքանչյուր \vec a(P) վեկտոր ընկած է P կետում մակերևույթի շոշափող հարթության վրա։ Փակ կորը հատող վեկտորական գծերով կազմված մակերևույթը կոչվում է *վեկտորական խողովակ*։ Դաշտը, կախված տարածության մեջ վեկտորների ունեցած դիրքից, կոչվում է հարթ (վեկտորներն ընկած են մի հարթության մեջ), հարթ-զուգահեռ (հարթության միևնույն կետին պրոյեկտվող բոլոր կետերում դաշտի վեկտորներն իրար հավասար են և զուգահեռ այդ հարթությանը), կենտրոնական (վեկտորներն ընկած են միևնույն կետով անցնող ուղիղների վրա) և այլն։

### Վեկտորական դաշտի հոսք
Վեկտորական դաշտի հոսք Տ մակերևույթով կոչվում է 
:\iint\limits_S a_n ds = \iint\limits_S  a_x dy dz + a_y ds dx + a_z dx dy 

ինտեգրալը, որտեղ a_n-y \vec a(P) վեկտորի պրոյեկցիան է մակերևույթի՝ իր ուղղությունն անընդհատորեն փոփոխող նորմալի ուղղության վրա։

### Վեկտորական դաշտի ցիրկուլյացիա
Վեկտորական դաշտի շրջանառություն (ցիրկուլյացիա) L փակ կորով կոչվում է 
: \oint_{L} a_r ds = \oint_{L} a_x dx + a_y dy + a_z dz

ինտեգրալը, որտեղ a_r-ը \vec a(P)-ի պրոյեկցիան է L կորի շոշափողի ուղղության վրա։

### Վեկտորական դաշտի դիվերգենցիա և ռոտոր
Վեկտորական դաշտի փոփոխությունը որևէ կետի շրջակայքում առաջին մոտավորությամբ բնութագրվում է երկու մեծությունով՝ սկալյար, որը կոչվում է դաշտի *տարամիտություն* (*դիվերգենցիա*, div \vec a) և վեկտորական, որը կոչվում է դաշտի *մրրիկ* (*ռոտոր*, rot \vec a)։

### Պոտենցիալ (ոչ մրրկային) և սոլենոիդալ վեկտորական դաշտեր
Վեկտորական դաշտը կոչվում է *պոտենցիալ*՝ ոչ մրրկային (բնութագրվում է rot \vec a = 0 պայմանով), եթե 
:\vec a(P) = grad u(P)։

Վեկտորական դաշտը կոչվում է *սոլենոիդալ* (բնութագրվում է div \vec a  = 0 պայմանով), եթե 
:\vec a(P) = rot \vec b(P)։

Այս դեպքում \vec b(P)-ն կոչվում է \vec a(P) դաշտի վեկտոր պոտենցիալ։

## Վեկտորական դաշտի գաղափարն այլ տարածություններում
Սկալյար և վեկտորական դաշտերի գաղափարները դիտարկվում են նաև ո-չափանի էվկլիդեսյան տարածության մեջ։

## Գրականություն
* Кочин Н․ Е․, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 7 изд․, М․, 1951
* Дубнов Я․ С․, Основы векторного исчисления, ч․1, 4 изд․, М․—Л․, 1950, ч․ 2, М․, 1952

Կատեգորիա:Թենզորական հաշիվ
Կատեգորիա:Վեկտորական անալիզ