Կոշիի խնդիր

**Կոշիի խնդիր** – դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության (սովորական և մասնակի ածանցյալով) հիմնական խնդիրներից մեկն է, որտեղ պահանջվում է գտնել (ինտեգրալ) դիֆերենցիալ հավասարման այնպիսի լուծում, որը բավարարի սկզբնական պայմաններին (սկզբնական տվյալներին)։

Կոշիի խնդիրը սովորաբար առաջանում է գործընթացների վերլուծության ժամանակ, որոնք որոշվում են դիֆերենցիալ օրենքների զարգացմամբ և սկզբնական վիճակով (որոնց մաթեմատիկական արտահայտությունները հանդիսանում են հավասարումները և սկզբնական պայմանները)։ Սրանով մոտիվացվում է տերմինալոգիան և ընտրության նշանակումը՝ սկզբնական տվյալները տրվում են t=0-ի, իսկ լուծումները որոնվում են t>0-ի դեպքերում։

Եզրային խնդիրներից Կոշիի խնդիրը տարբերվում է նրանով, որ միջակայքը, որում պետք է որոշված լինի որոնվող լուծումը, այստեղ նախօրոք չի նշվում։ Ամեն դեպքում Կոշիի խնդիրը կարելի է դիտարկել որպես եզրային խնդիրներից մեկը։

Հիմնական հարցերը, որոնք կապված են Կոշիի խնդրի հետ, այսպիսին են՝
# գոյություն ունի (գոնե տեղային) Կոշիի խնդրի լուծում,
# եթե լուծումը գոյություն ունի, ապա որն է նրա գոյության միջակայքը,
# լուծումը արդյոք միակն է,
# եթե լուծումը միակն է, ապա այն կոռեկտ է, այսինքն անընդհատ է (ինչ որ առումով) սկզբնական տվյալների նկատմամբ։

Ասում են, որ Կոշիի խնդիրը ունի միակ լուծումը, եթե այն ունի y=f(x) լուծումը և ոչ մի այլ լուծում չի հանդիսանում ինտեգրալ կոր, որը (x_0,y_0) կետի փոքր շրջակայքում ունի y=f(x) ուղղվածության դաշտին համընկնող ուղղվածության դաշտ։ (x_0,y_0) կետը տալիս է սկզբնական պայմանը։

## Կոշիի խնդրի տարբեր դրվածքներ
* առաջին կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարում, թույլատրելի ածանցյալի նկատմամբ՝
:  \left \{ \begin{matrix} y^\prime = f(x,y) \\ y(x_0) = y_0 \end{matrix} \right. ,

* n-րդ կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգ, թույլատրելի ածանցյալների նկատմամբ (n-րդ կարգի սովորական համակարգ)`
:  \left \{ \begin{matrix} y^\prime = f_1(x,y_1,\ldots,y_n) \\ \ldots \\ y^\prime _n = f_n(x,y_1,\ldots,y_n) \\ y_1(x_0) = y_{01} \\ \ldots \\  y_n(x_0) = y_{0n} \end{matrix} \iff \right.   \left \{ \begin{matrix} y^\prime = f(x,y) \\ y(x_0) = y_0 \end{matrix} \right. ,

* n-րդ կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարում, թույլատրելի ավագ ածանցյալների նկատմամբ`
:  \left \{ \begin{matrix} y^{(n)} = f(x,y,\ldots,y^{(n-1)}) \\ y(x_0) = y_{01} \\ \ldots \\ y^{(n-1)}(x_0) = y_{0n} \end{matrix} \iff \right.   \left \{ \begin{matrix} y^\prime _1 = y_2 \quad (=y') \\ \ldots \\ y^\prime _{n-1} = y_n \quad (=y^{(n-1)}) \\ y^\prime_n = f(x,y_1,\ldots,y_n) \\ y_1(x_0) = y_{01} \quad (=y(x_0)) \\ \ldots \\ y_n(x_0) = y_{0n} \quad (=y^{(n-1)}(x_0)) \end{matrix} \right. ,

## Կոշիի խնդրի լուծելիության թեորեմներ սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համար

Դիցուք D\subset R_x\times R_y^n տիրույթում դիտարկվում է Կոշիի խնդիրը՝

:  \left \{ \begin{matrix} y^\prime(x) = f(x,y(x)) \\ y(x_0) = y_0 \end{matrix} \right.,

որտեղ (x_0,y_0)\in D: Դիցուք \overline D-ում առաջին մասը հանդիսանում է անընդհատ ֆունկցիա։ Այս ենթադրություններում տեղի ունի Պեանոյի թեորեմը, որը սահմանում է Կոշիի խնդրի լուծելիությունը։ Դիցուք  a>0  և  b>0  այնպիսին են, որ  D  տիրույթին պատկանող փակ ուղղանկյուն է

R=\{(x,y):x_0-a\le x\le x_0+a, y_0-b\le y\le y_0+b\},

այդ դեպքում [x_0-\alpha,x_0+\alpha] հատվածի վրա, որտեղ \alpha=\min\{a,b/M\}, M=\max\limits_{(x,y)\in R}|f(x,y)|, գոյություն ունի Կոշիի լուծումը։ Նշված հատվածը կոչվում է Պեանոյի հատված։ Նշենք, որ Պեանոյի թեորեմի տեղային բնույթը կապված չէ աջ մասի հարթ լինելուց։ Օրինակ, f(x,y)=y^2+1 և x_0=0,y_0=0-ի համար y(x)=\tan(x)-ի լուծումը գոյություն ունի միայն (-\pi,\pi) միջակայքում։ Նշենք նույնպես, որ առանց լրացուցիչ ենթադրությունների աջ մասի հարթ լինելուց, պետք չէ երաշխավորել Կոշիի խնդրի լուծման եզակի լինելը։ Օրինակ, f(x,y)=\sqrt{y},x_0=0,y_0=0–ի համար հնարավոր է մեկից ավելի լուծումներ։

Որպեսզի ձևակերպենք Կոշիի խնդրի լուծման միակության մասին թեորեմը, պետք է լրացուցիչ սահմանափակումներ դնել նրա աջ մասի վրա։ Կասենք որ,  f(x, y)  ֆունկցիան բավարարում է Լիֆշիցի պայմանին D-ի վրա կախված  y -ից, եթե գոյություն ունի այնպիսի  L հաստատուն, որ

|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|

բոլոր (x,y_i)\in D, i=1,2... -ի համար։

Դիցուք  f(x, y) -ի աջ մասը լրացուցիչ բավարարում է Լիֆշիցի պայմանին D-ի վրա կախված  y -ից, այդ դեպքում Կոշիի խնդիրը չի կարող ունենալ D-ում մեկից ավելի լուծում։

Նշենք նույնպես, որ թեև այս թեորեմը ունի գլոբալ բնույթ, այնուամենայնիվ նա չի հաստատում գլոբալ լուծման գոյությունը։

Գլոբալ լուծման գոյության համար անհրաժեշտ է կիրառել ըստ  y -ի աջ մասի աճի պայմանի։ Դիցուք  f  ֆունկցիան բավարարում է |f(x,y)|\le A(|y|+1),\ (x,y)\in D պայմանին, որտեղ  A>0  հաստատունը կախված չէ ոչ  x -ից և ոչ էլ  y -ից, այդ դեպքում Կոշիի խնդիրը ունի լուծում D-ում։ Մասնավորապես, այս թեորեմից հետևում է, որ գծային հավասարումների համար (անընդհատ  x  գործակիցներով) Կոշիի խնդիրը ունի գլոբալ լուծում։

## Տես նաև

* Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ
* Հատուկ լուծում
* եզրային խնդիր
* Էյլերի մեթոդը
* Ռինգե-Կուտի մեթոդը
* Պեանոյի թեորեմը

## Գրականություն
# А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников - Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения, издательство-Физматлит, 2005
# Ф.Хартман - Обыкновенные дифференциальные уравнения, издательство - Мир, 1972

Կատեգորիա:Մաթեմատիկական խնդիրներ
Կատեգորիա:Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ