Միջակայքային գնահատում

**Միջակայքային գնահատում**, վիճակագրությունում նմուշային տվյալների օգտագործում՝ նմուշային պարամետրի հնարավոր արժեքների միջակայք գնահատելու համար։ Սա հակադրվում է կետային գնահատմանը, որը տալիս է մեկ թվային արժեք։

Միջակայքային գնահատման ամենատարածված ձևերն են վստահության միջակայքերը (հաճախականական մեթոդ) և վստահելի միջակայքները (բայեսյան մեթոդ)։ Ավելի քիչ տարածված ձևերն են հավանականության միջակայքները, ֆիդուցիալ միջակայքները, տոլերանս միջակայքները և կանխատեսման միջակայքները։ Ոչ վիճակագրական մոտեցման դեպքում միջակայքային գնահատումներ կարելի է ստանալ նաև ոչ հստակ տրամաբանությունից։

## Տեսակներ
### Վստահության միջակայք

Վստահության միջակայքները օգտագործվում են նմուշառված տվյալների հիման վրա հետաքրքրող պարամետրի գնահատման համար, սովորաբար՝ միջինի կամ ստանդարտ շեղման։ Վստահության միջակայքը նշանակում է, որ կա 100γ % վստահություն, որ հետաքրքրող պարամետրը գտնվում է ստորին և վերին սահմանների միջև։ Վստահության միջակայքների վերաբերյալ տարածված սխալ պատկերացումն այն է, թե տվյալների բազմության 100γ %-ը գտնվում է այդ սահմանների ներսում կամ դրանցից վերև/ներքև։ Սա իրականում վերաբերում է տոլերանս միջակայքին, որը քննարկվում է ստորև։

Վստահության միջակայք կառուցելու համար գոյություն ունեն մի քանի մեթոդներ, և ճիշտ ընտրությունը կախված է վերլուծվող տվյալներից։ Եթե բաշխումը նորմալ է և դիսպերսիան հայտնի է, ապա օգտագործվում է z-աղյուսակը՝ նմուշի միջինի շուրջ կենտրոնացված 100γ % վստահության մակարդակով միջակայք կառուցելու համար՝ n չափումների դեպքում։ Բինոմային բաշխման համար վստահության միջակայքները կարելի է մոտավոր հաշվարկել՝ օգտագործելով ՈՒալդի մոտավոր մեթոդը, Ջեֆրիսի միջակայքը և Քլոփեր–Փիրսոնի միջակայքը։ Ջեֆրիսի մեթոդը կարելի է կիրառել նաև Պուասոնի բաշխման համար միջակայքների մոտավոր գնահատման նպատակով։ Եթե հիմքում ընկած բաշխումը անհայտ է, հնարավոր է կիրառել վերանմուշառման մեթոդը՝ տվյալների միջինի (կամ մեդիանի) շուրջ սահմաններ կառուցելու համար։

### Վստահելի միջակայքեր

Ի տարբերություն վստահության միջակայքի, վստահելի միջակայքը պահանջում է նախնական ենթադրություն, որի փոփոխումը կատարվում է Բայեսյան գործակցի միջոցով, և որի արդյունքում որոշվում է հետադարձ բաշխումը։

Օգտվելով հետադարձ բաշխումից՝ կարելի է սահմանել, որ կա 100γ % հավանականություն, ըստ որի հետաքրքրող պարամետրը ընդգրկված է տվյալ միջակայքում, մինչդեռ վստահության միջակայքի դեպքում կարելի է միայն ասել, որ կա 100γ % վստահություն, որ գնահատականը գտնվում է տվյալ միջակայքի ներսում։

\text{Հետադարձ}\ \propto\ \text{Հավանականություն} \times \text{Ենթադրություն}

Թեև նախնական ենթադրությունը օգտակար է միջակայք կառուցելու համար ավելի շատ տեղեկություն ապահովելու տեսանկյունից, այն միաժամանակ նվազեցնում է վստահության միջակայքի օբյեկտիվությունը։ Նախնական ենթադրությունը օգտագործվում է հետադարձ բաշխումը ձևավորելու համար, և եթե այն չքննարկվի կամ չվիճարկվի, կարող է հանգեցնել սխալ կանխատեսումների։

Վստահելի միջակայքի սահմանները փոփոխական են՝ ի տարբերություն վստահության միջակայքի։ Կան մի քանի մեթոդներ՝ որոշելու միջակայքի ճիշտ վերին և ստորին սահմանները։ Միջակայքի սահմանների ճշգրտման տարածված տեխնիկաներից են առավելագույն հետադարձ խտության միջակայքը (HPDI), հավասար պոչերով միջակայքը կամ միջակայքը միջինի շուրջ կենտրոնացնելը։

### Ավելի քիչ տարածված ձևեր
#### հավանականության վրա հիմնված
Այս մոտեցումը օգտագործում է հավանականության ֆունկցիայի սկզբունքները՝ հետաքրքրող պարամետրի գնահատման համար։ հավանականության հիմնված մեթոդի կիրառմամբ հնարավոր է կառուցել վստահության միջակայքներ էքսպոնենցիալ, Վեյբուլյան և լոգնորմալ բաշխումների միջինների համար։ Բացի այդ, հավանականության հիմնված մոտեցումները հնարավորություն են տալիս ստանալ վստահության միջակայքներ ստանդարտ շեղման համար։ Հնարավոր է նաև կառուցել կանխատեսման միջակայք՝ համատեղելով հավանականության ֆունկցիան և ապագա պատահական փոփոխականը։

#### ֆիդուցիալ
Ֆիդուցիալ արտածումը օգտագործում է տվյալների հավաքածու, խստորեն հեռացնում է աղմուկը և վերականգնում է բաշխման գնահատիչը, որը կոչվում է ընդհանրացված ֆիդուցիալ բաշխում (GFD)։ Բայեսյան տեսության օգտագործման կարիք չկա, և նախնական ենթադրություն չի դրվում, ինչպես վստահության միջակայքների դեպքում։ Ֆիդուցիալ արտածումը համարվում է վիճակագրական արտածման ավելի քիչ տարածված ձև։ Հիմնադիր Ռ.Ա. Ֆիշերը, ով զարգացնում էր հակադարձ հավանականության մեթոդները, ինքն ունեցել է հարցեր այս գործընթացի վավերականության վերաբերյալ։ Չնայած ֆիդուցիալ արտածումը մշակվել է 20-րդ դարի սկզբին, 20-րդ դարի վերջում համարվել է, որ մեթոդը պակաս է ֆրեկվենտիստական և բայեսյան մոտեցումներին համեմատ, սակայն այն կարևոր տեղ ունի վիճակագրական արտածման պատմական համատեքստում։ Այսօր արդիական մոտեցումներով ֆիդուցիալ միջակայքը ընդհանրացվել է՝ ստեղծելով ընդհանրացված ֆիդուցիալ արտածումը (GFI), որը կարող է օգտագործվել ինչպես դիսկրետ, այնպես էլ շարունակական տվյալների հավաքածուների գնահատման համար։

#### Տոլերանս
Տոլերանս միջակայքները օգտագործում են հավաքված տվյալների բազմությունը՝ ստանալու միջակայք, որը թույլատրելի սահմաններում ընդգրկում է միջակայքի 100γ% արժեքները։ Տոլերանս միջակայքների օրինակներ հաճախ հանդիպում են արտադրության մեջ։ Այս համատեքստում գնահատվում է գոյություն ունեցող արտադրանքի հավաքածուի որոշ տոկոս՝ համոզվելու համար, որ բազմության որոշ տոկոսը գտնվում է թույլատրելի սահմաններում։ Տոլերանս միջակայքներ ստեղծելիս սահմանները կարելի է գրել որպես վերին և ստորին թույլատրելի սահմաններ, օգտագործելով նմուշի միջինը (\mu) և նմուշի ստանդարտ շեղումը (s)։

:(l_b, u_b) = \mu \pm k_2sԵրկկողմանի միջակայքների համար

Եվ միակողմանի միջակայքների դեպքում, երբ տոլերանսը պահանջվում է միայն կրիտիկական արժեքից վեր կամ ստոր,

l_{b} = \mu - k_{1} su_{b} = \mu + k_{1} s

k_i փոփոխվում է ըստ բաշխման և միջակայքային գնահատման կողմերի թվի, i։ Նորմալ բաշխման դեպքում՝ k_2-ն կարելի է արտահայտել որպես

k_2 = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\nu}{\chi_{1-\alpha,\nu}^2} \left(1 + \frac{1}{N}\right)}

որտեղ \chi _{1-\alpha,\nu}^2​ այն կրիտիկական արժեքն է χ² բաշխման համար՝ \nu ազատ աստիճաններով, որը գերազանցվում է \alpha հավանականությամբ, իսկ  z_{\alpha/2}​-ը այն կրիտիկական արժեքն է, որը ստացվում է նորմալ բաշխումից։

#### Կանխատեսման
Կանխատեսման միջակայքը գնահատում է միջակայքը, որը պարունակում է ապագա նմուշները որոշակի վստահության մակարդակով, γ։ Կանխատեսման միջակայքները կարող են օգտագործվել ինչպես բայեսյան, այնպես էլ ֆրեկվենտիստական համատեքստերում։ Այս միջակայքները սովորաբար կիրառվում են ռեգրեսիոն տվյալների հավաքածուներում, սակայն չեն օգտագործվում նախորդ տվյալների փորձարարականորեն վերահսկվող պարամետրերից դուրս էքստրոպոլյացիայի համար։

#### Ոչ հստակ տրամաբանություն

Ոչ հստակ տրամաբանությունը  օգտագործվում է որոշումներ ընդունելու համար ոչ բինար ձևով՝ կիրառելով այն արհեստական ինտելեկտում, բժշկական որոշումների ընդունման գործընթացում և այլ ոլորտներում։ Ընդհանուր առմամբ, Ոչ հստակ տրամաբանությունը վերցնում է վերլուծվող ինֆորմացիան, անցկացնում է այն Ոչ հստակ արտածման համակարգերի  միջոցով և արտահայտում է արտածման որոշում։ Այս գործընթացը ներառում է՝ Ֆազիզացում (fuzzification), Ոչ հստակ տրամաբանության կանոնների գնահատում, Հստակեցում։ Ոչ հստակ տրամաբանության կանոնների գնահատման ժամանակ, կողմակցության ֆունկցիաները մեր ոչ բինար տեղեկատվությունը վերածում են մատչելի փոփոխականների։ Այս կողմակցության ֆունկցիաները կարևոր են՝ համակարգի անորոշությունը կանխատեսելու համար։

## Միակողմանի միջակայք և Երկկողմանի միջակայք

Երկկողմանի միջակայքները գնահատում են հետաքրքրող պարամետր՝ Θ, որոշակի վստահության մակարդակով՝ γ, օգտագործելով ստորին (l_b) և վերին    (u_b) սահմաններ։ Օրինակներ կարող են լինել միջին հասակի գնահատումը երկրատարածքի տղամարդկանց շրջանում կամ արտադրողի պատրաստած որոշակի գրասեղանի երկարությունը։ Այս դեպքերում սովորաբար գնահատվում է պարամետրի կենտրոնական արժեքը։

P(l_b 

Դիֆերենցելով երկկողմանի միջակայքից, միակողմանի միջակայքը օգտագործվում է վստահության մակարդակ՝ γ, որպեսզի կառուցի մինիմալ կամ առավելագույն սահման, որը կանխատեսում է հետաքրքրող պարամետրը γ·100% հավանականությամբ։ Սովորաբար միակողմանի միջակայք պահանջվում է այն դեպքերում, երբ գնահատականի առնվազն կամ առավելագույն սահմանը հետաքրքրություն չի ներկայացնում։ Երբ հետաքրքիր է Θ-ի առնվազն կանխատեսվող արժեքը, այլևս անհրաժեշտ չէ գտնել գնահատականի վերին սահմանը, ինչը հանգեցնում է երկկողմանի միջակայքի նվազեցված ձևի։

P(l_b 

Ավելի բարձր վստահություն պահպանելու և վերին սահմանը հանելու արդյունքում ստորին սահմանը (l_b) կբարձրանա։ Նույնպես, երբ հետաքրքրում է միայն պարամետի գնահատականի վերին սահմանը, այն կկրճատվի։ Միակողմանի միջակայքը սովորաբար հանդիպում է նյութերի արտադրության որակի վերահսկման գործընթացում, որտեղ նյութի ուժի՝ Θ, հավանականությամբ 100γ% պետք է լինի որոշակի նվազագույն արժեքից (l_b) բարձր։ Այս դեպքում արտադրողը չի մտահոգվում արտադրանքը շատ ուժեղ լինելու վերաբերյալ, ուստի վերին սահման (u_b) չկա։

## Քննարկում
Երբ որոշվում է պարամետի վիճակագրական կարևորությունը, կարևոր է հասկանալ տվյալները և դրանց հավաքագրման մեթոդները։ Տվյալներ հավաքելուց առաջ պետք է պլանավորվի փորձարկում այնպես, որ նմուշի սխալը լինի վիճակագրական տատանում (հանդիպային սխալ), այլ ոչ թե վիճակագրական կողմնակալություն (համակարգային սխալ)։ Փորձարկումից հետո միջակայքային գնահատականներ ստեղծելու սովորական առաջին քայլը էքսպլորատիվ վերլուծությունն է, որը կատարվում է տարբեր գրաֆիկական մեթոդներով։ Սա թույլ է տալիս որոշել տվյալների հավաքածուի նմուշների բաշխումը։ Նմուշի սահմանները սխալ ենթադրությունների հիման վրա որոշելը կարող է գործող կանխատեսումը սխալ դարձնել։

Երբ ներկայացվում են միջակայքային գնահատականներ, դրանք պետք է ունենան ընդհանուր ընդունված մեկնաբանություն ինչպես գիտական համայնքի ներսում, այնպես էլ նրա սահմաններից դուրս։ Ոչ հստակ տրամաբանությունից ստացված միջակայքային գնահատականները ունեն շատ ավելի կիրառման հատուկ նշանակություն։

Հաճախակի հանդիպող իրավիճակներում պետք է լինեն ստանդարտ ընթացակարգերի հավաքածուներ, որոնք կարող են կիրառվել՝ կախված անհրաժեշտ ենթադրությունների ստուգումից և վավերականությունից։ Սա վերաբերում է ինչպես վստահության, այնպես էլ վստահելի միջակայքերին։ Սակայն նորատիպ իրավիճակներում պետք է ուղղորդում լինի՝ թե ինչպես կարելի է կառուցել միջակայքային գնահատականները։ Այս առումով վստահության և վստահելի միջակայքները ունեն նման դիրք, սակայն երկու տարբերություն կա․

# Վստահելի միջակայքերը հեշտությամբ կարող են հաշվի առնել նախնական տեղեկատվությունը, մինչդեռ վստահության միջակայքները ոչ։
# Վստահության միջակայքերը ավելի ճկուն են և կարող են կիրառվել ավելի շատ իրավիճակներում, քան վստահելի միջակայքները․ մեկ ոլորտ, որտեղ վստահելի միջակայքերը որոշակիորեն խոցելի են, դա ոչ-պարամետրային մոդելների դեպքում է։

Պետք է եղանակներ լինեն միջակայքային գնահատման ընթացակարգերի արդյունավետությունը ստուգելու համար։ Դա անհրաժեշտ է, քանի որ շատ նման ընթացակարգեր օգտագործում են տարբեր տեսակի մոտավորումներ, և անհրաժեշտ է ստուգել, որ ընթացակարգի իրական կատարողականը մոտ է պահանջվողին։ Հավանականական սիմուլյացիաների օգտագործումը հեշտացնում է սա վստահության միջակայքերի դեպքում, սակայն վստահելի միջակայքերի համար ավելի բարդ է, քանի որ անհրաժեշտ է ճիշտ հաշվի առնել նախնական տեղեկատվությունը։ Վստահելի միջակայքների ստուգումը հնարավոր է այն դեպքերում, երբ ներկայացվում է նախնական տեղեկատվության բացակայություն, սակայն ստուգումը ներառում է ընթացակարգերի երկարաժամկետ հանդիպային հատկությունների գնահատում։

Սեվերինին (1993) քննարկում է այն պայմանները, որոնց դեպքում վստահելի և վստահության միջակայքերը տալիս են նման արդյունքներ, ինչպես նաև քննարկում է վստահելի միջակայքերի ընդգրկման հավանականությունները և վստահության միջակայքերի հետադարձ հավանականությունները։

Որոշումների տեսության մեջ, որը հաճախ օգտագործվում է որպես բայեսյան վիճակագրության մոտեցում և հիմնավորում, միջակայքային գնահատումը ուղղակի հետաքրքրություն չունի։ Արդյունքը որոշում է, ոչ թե միջակայքային գնահատական, և հետևաբար բայեսյան որոշման տեսության ներկայացուցիչները օգտագործում են Բայեսի գործողություն՝ նվազեցնելով կորուստի ֆունկցիայի ակնկալվող կորուստը ամբողջ հետադարձ բաշխման նկատմամբ, ոչ թե մեկ կոնկրետ միջակայքի համար։

## Կիրառություններ
Վստահության միջակայքների կիրառություններն օգտագործվում են անորոշության հետ կապված տարբեր խնդիրների լուծման համար։ Կատցը (1975) առաջարկում է տարբեր դժվարություններ և առավելություններ միջակայքային գնահատականների օգտագործման համար իրավական գործընթացներում։ Բժշկական հետազոտությունների համար Ալտմենը (1990) քննարկում է վստահության միջակայքների օգտագործումը և տալիս է ուղեցույցներ դրանց կիրառության վերաբերյալ։ Արտադրության ոլորտում նույնպես հաճախ օգտագործվում են միջակայքային գնահատականներ՝ արտադրանքի կյանքի տևողությունը գնահատելու կամ արտադրանքի տոլերանսները ստուգելու համար։ Մեքերը և Էսկոբարը (1998) ներկայացնում են մեթոդներ՝ հուսալիության տվյալների վերլուծության համար պարամետրային և ոչ-պարամետրային գնահատումների հիման վրա, ներառյալ ապագա պատահական փոփոխականների կանխատեսումը։

## Տես նաև
* Մակածություն
* Արտածական վիճակագրություն

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություններ
*Kendall, M.G. and Stuart, A. (1973). *The Advanced Theory of Statistics. Vol 2: Inference and Relationship* (3rd Edition). Griffin, London.
*Meeker, W.Q., Hahn, G.J. and Escobar, L.A. (2017). *Statistical Intervals: A Guide for Practitioners and Researchers* (2nd Edition). John Wiley & Sons.

## Արտաքին հղումներ
* Fuzzy Math Introductions https://web.archive.org/web/20061205114153/http://blog.peltarion.com/2006/10/25/fuzzy-math-part-1-the-theory
* What is Fuzzy Logic? https://www.youtube.com/watch?v=__0nZuG4sTw

Կատեգորիա:Մաթեմատիկական վիճակագրություն
Կատեգորիա:Վիճակագրություն