Հիլբերտի աքսիոմատիկա

thumb|right|Դեյվիդ Հիլբերտ
**Հիլբերտի աքսիոմատիկա**, էվկլիդեսյան երկրաչափության աքսիոմների համակարգ։ Մշակվել է Հիլբերտի կողմից, որպես ավելի ամբողջական, քան Էվկլիդեսի աքսիոմների համակարգը։

## Չսահմանվող հասկացություններ
Հիլբերտի աքսիոմների համակարգում, չսահմանվող հասկացություն են համարվում՝ կետը, ուղիղը և հարթությունը։ Կան նաև տարրական առնչություններ․

* «*Գտնվել միջև»՝ կիրառելի է երկու կետերի համար,*
* «*Պարունակել»՝ կիրառելի է կետերի և ուղիղների, կետերի հարթությունների կամ ուղիղների և [[հարթություն]]ների համար,*
*  *«Համընկնել» ՝ կիրառելի է հատվածների, [[անկյուն]]ների կամ [[եռանկյուն]]ների համար (երկրաչափորեն հավասար են), նշանակվում է պայմանական* ≅ նշանով։

Բոլոր կետերը, ուղիղներն ու հարթությունները համարվում են տարբեր, եթե հատուկ ցուցում չկա։

## [[Աքսիոմա|Աքսիոմներ]]
20 աքսիոմ պարունակող համակարգը բաժանված է 5 խմբի։
***պատկանելիության աքսիոմներ**
***[[Հարթաչափություն|հարթաչափական]]․*
**# Ինչպիսին էլ լինեն A և B երկու կետերը, գոյություն ունի α ուղիղ, որին այդ կետերը պատկանում են։
**# Ինչպիսին էլ լինեն երկու տարբեր A և B կետերը, գոյությյուն ունի մեկից ոչ ավել ուղիղ, որին նրանք պատկանում են։
**# Յուրաքանչյուր α ուղղի համար գոյություն ունի առնվազն 2 կետ, որոնք պատկանում են այդ ուղղին։ Գոյություն ունեն առնվազն երեք կետեր, որոնք չեն պատկանում մեկ ուղղի։
***[[Տարածաչափություն|տարածաչափական]]․*
**# Ինչպիսին էլ լինեն A, B և C կետերը, որոնք չեն պատկանում մի ուղղի, գոյություն ունի հարթություն, որին նրանք պատկանում են, և ամեն հարթության պատկանում է գոնե մեկ կետ։
**# Ինչպիսին էլ լինեն A, B և C կետերը, որոնք չեն պատկանում մի ուղղի, գոյություն ունի մեկից ոչ ավել հարթություն, որին նրանք պատկանոմ են։
**# Հարթությանը պատկանող ուղղի վրա գտնվող A և B կետերը, նույնպես պատկանում են այդ հարթությանը։ 
**# Եթե գոյություն ունի α և β հարթություններին պատկանող A կետ, ապա գոյություն ունի նաև B կետը, որը նույնպես պատկանում է այդ հարթություններին։
**# Գույություն ունեն առնվազն չորս կետեր, որոնք չեն պատկանում միևնույն հարթությանը։
***կարքային աքսիոմներ**
***գծային․*
**# Եթե B կետը պատկանում է նույն ուղղին, որին պատկանում են А և С կետերը և ընկած է այդ կետերի միջև, ապա այդ А, В և С կետերը նույն ուղղի երեք տարբեր կետեր են, և В գտնվում է С և А միջև.
**# Ինչպիսին էլ լինեն երկու А և С կետերը, գոյություն ունի В կետը, որ գտնվում է նրանց միջև, և գոյություն ունի այնպիսի D կետ, որ C կետը  գտնվում է A և D միջև։
**# Մի ուղղին պատկանող երեք կետերից մեկը միշտ գտնվում է մյուս երկուսի միջև։
***հարթաչափական*։
**#Պաշի աքսիոմը։ Դիցուք՝ A, B, C կետերը պատկանում են մի ուղղի, իսկ *a -ն*  ABC  հարթության ուղիղ է, որը չի անցնում A, B, C կետերից և ոչ մեկով։ Եթե *a* ուղիղն անցնում է AB հատվածի որևէ կետով, ապա նա անպայման անցնում է AC կամ  BC հատվածներից մեկին պատկանող կետով։
***համընկնման աքսիոմներ**
***գծային*․
**# Եթե А և В կետերը պատկանում են *а ուղղին և*  А’ նույն ուղղին պատկանող կամ այլ *а’*  ուղղի պատկանող կետ է, ապա  А’ կետից տրված ուղղությամբ կգտնվի միայն մեկ В’ կետ, այնպիսին, որ А’B’ հատվածը հավասար է АВ։ Ամեն մի АВ հավասար է ВА հատվածին։
**# Եթե А’B’ և  А"B" հատվածները հավասար (կոնգրուենտ են) նույն АВ հատվածին, ապա նրանք հավասար են միմյանց։
**# Դիցուք՝ АВ և ВС  երկու հատվածները պատկանում են նույն ուղղին և չունեն ընդհանուր ներքին կետեր, և А’B’ և B’C’ նոյնպես պատկանում են նույն ուղղին և չունեն ընդհանուր կետեր, ապա եթե АВ հավասար է А’B’, իսկ ВС հավասար է B’C’ հատվածին, ապա АС հատվածը հավասար է А’C’ -ին
***հարթաչափական*․
**# Եթե տրված է ∠ABC և B’C' ճառագայթը, որն ընկած է այդ նկյան հարթության վրա, ապա գոյություն ունեն երկու B’D և B’E ճառագայթները, որոնք նույնպես ընկած են տրված անկյան հարթության մեջ, այնպիսիք, որ ∠DB’C' ≅ ∠ABC и ∠EB’C' ≅ ∠ABC.
**# Եթե երկու ABC և  A’B'C' եռնկյունների մոտ  AB≅A’B', AC≅A’C', ∠BAC ≅ ∠B’A'C', ապա տեղի ունի նաև ∠ABC ≅ ∠A’B'C' ∠ACB ≅ ∠A’C'B'։
**հարթաչափական*
*# Դիցուք՝ գոյություն ունի կամայական ուղիղ գիծ և դրանից դուրս մի *A*  կետ, ապա *A*  կետով և *а* ուղղով որոշվող հարթությունում կարելի է տանել մեկից որ ավել ուղիղ, որն անցնում է *A*  կետով և չի հատում  *a ուղիղը։*
***անընդհատության աքսիոմներ**
***գծային*
**#Արքիմեդի աքսիոմը—Եթե տրված են CD հատվածը և AB ճառագայթը, ապա գոյություն ունի n թիվը և  A1,…,An  կետերը AB հատվծի վրա, այնպես որ․ AjAj+1 ≅ CD, 0\leqslant j, որտեղ A0 համընկնում է A-ի հետ, և B-ն ընկած է A և An 
**# «Գծի ամբողջականությունը»։ Ուղղի վրա առնվազն մեկ լրացուցիչ կետ ավելացնելու դեպքում հակասություն է առաջանում պատկանելիության աքսիոմներից մեկի հետ, կարգի, համընկման առաջին երկու աքսոմաների կամ Արքիմեդի աքսիոմի հետ։

## 21-րդ աքսիոմ
Հիլբերտը ի սկզբանե ներմուծել է 21-րդ աքսիոմը (1899 թվական)։

«Մի ուղղի վրա գտնվող ցանկացած 4 կետերի կատելի է նշանակել A, B, C, և D տառերով այնպես, որ B կետը գտնվի A և C կետերի միջև, ինչպես նաև A և D կետերի միջև, C կետը  գտնվել A և D, ինչպես նաև B և D կետերի միջև»։

Էլիակիմ Գաստինգս Մուրը և Ռոբերտ Լի Մուրը՝ 1902 թվականին, իրարից անկախ, ապացուցեցին, որ այս աքսիոմը ավելորդ է։

## Լիարժեքություն և ոչ հակասականություն
Ինչպես Ալֆրեդ Թարսկին (1951 թվականին) ապացուցեց, Հիլբերտի աքսիոմատիկան տրամաբանորեն ավարտուն է, այսինքն, այնտեղ առկա երկրաչափական հասկացությունների մասին ցանկացած (ֆորմալ) արտահյտություն կարելի է ապացուցել կամ հերքել։ Այն նաև հակասական չէ, եթե հակասական է թվաբանությունը։

## Պատմություն
Էվկլիդեսյան երկրաչափության աքստիոմատիկ սխեման հրատարակվել է 1899 թվականին Դեյվիդ Հիլբերտի «Festschrift» տոնակական հատորում, որը նվիրված է Գոթթինգենում Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսին  և նրա ընկեր Ֆիզիկոս Վիլհելմ Կայինին նվիրված հուշարձանի բացմանը։ Այժմ «Երկրաչափության հիմունքները» լույս է տեսել աշխարհի բազմաթիվ լեզուներով, ռուսերենից երկու հրատարակություններից մեկը ստորև բերված է հղումներով։

## Աքսիոմների այլ համակարգեր
Հիլբերտյան համակարգի ստեղծողները․
*Էվկլիդես
* Պաշեն
* Շուր
*Պեանո
*Վերոնեզե
* Մ․Պիերի (1899 թվական)

Մոտ են հիլբերտյանին․
* Վ․Ֆ․Կահան (1902 թվական)
* Օ․Վեբլեն (1904 թվական)
*Ա. Կոլմոգորով

Ավելի ժամանակակից աքսիոմատիկաներ․
* Ալեքսանդրովի աքսիոմատիկա
* Տարսկովի աքսիոմատիկա
* Բիրհոֆի աքսիոմատիկա
* Վեյլի աքսիոմատիկա

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
* Д. Гильберт. Основания геометрии.  Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. Л., «Сеятель», 1923—152 с.
* Герман Вейль. Давид Гильберт и его математические труды.

Կատեգորիա:Երկրաչափության հիմունքներ