Ռիմանի զետա ֆունկցիա

մինի|365x365փքս|Ռիմանի զետա ֆունկցիան կոմպլեքս հարթության ուղղանկյուն տիրույթում։ Նկարը ստացված է Matplotlib  գրադարանի plot ֆունկցիայի օգնությամբ՝ օգտագործելով domain coloring մեթոդը.
մինի|469x469փքս|Նկարում արտացոլված են Ռիմանի զետա ֆունկցիայի բևեռը <math>z=1</math>

**Ռիմանի** **զետա ֆունկցիան** կամ **Էյլեր-Ռիմանի զետա ֆունկցիան** իրենից ներկայացնում է կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիա, սահմանված ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա, որը հետևյալ Դիրիխլեի շարքի անալիտիկ շարունակությունն է.

: \zeta(s) = \sum_{i = 1}^{\infty}\frac{1}{n^s}

Այս շարքը զուգամետ է  s-ի միայն այն արժեքների համար, որոնց իրական մասը խիստ մեծ է 1-ից.
s-ի այլ  արժեքների համար Ֆունկցիայի  ավելի ընդհանուր ներկայացումները տրված են ստորև։ Զետա ֆունկցիան էական դեր է խաղում անալիտիկ թվերի տեսությունում և ունի բազմաթիվ կիրառություններ ֆիզիկայում, հավանականությունների տեսությունում ինչպես նաև կիրառական ստատիստիկայում։

Որպես իրական փոփոխականի ֆունկցիա այն առաջինը սահմանվել և ուսումնասիրվել է Լեոնարդ Էյլերի կողմից։ Բեռնարդ Ռիմանի կողմից 1859 թվականին հրապարակվել է հայտնի Ռիմանի մենագրությունը՝ "Տրված թիվը չգերազանցող պարզ թվերի քանակի մասին" վերնագրով։ Այդ հոդվածում Էյլերի սահմանած ֆունկցիան ընդլայնվել է կոմպլեքս փոփոխականների համար, կառուցվել է դրա մերոմորֆ շարունակությունը ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ, ապացուցվել է ֆունկցիոնալ հավասարումը ինչպես նաև ցույց է տրվել այդ ֆունկցիայի ոչ տրիվիալ զրոների և պարզ թվերի բաշխման առնչությունը։

Ռիմանի զետա ֆունկցիայի արժեքները դրական զույգ կետերում հաշվվել են դեռ Էյլերի կողմից։ Դրանցից առաջինը՝  \zeta(2)-ը, այսպես կոչված, Բասելի խնդրի պատասխանն է։ Հետագայում՝ 1979 թվականին Ապերին ապացուցել է \zeta(3)-ի իռացիոնալությունը։ Էյլերին հայտնի են եղել նաև զետա ֆունկցիայի արժեքները բացասական ամբողջ կետերում։ Դրանք ռացիոնալ թվեր են և էական դեր են խաղում մոդուլյար ձևերի տեսության մեջ։ Գոյություն ունեն Ռիմանի զետա ֆունկցիայի տարատեսակ ընդհանրացումներ. Դիրիխլեի շարքերը, Դիրիխլեի L-ֆունկցիաները ինչպես նաև մի շարք այլ L-ֆունկցիաներ։

## Սահմանում
Հակառակ այլ կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների համար ընդունված նշանակմանը՝ Ռիմանի զետա ֆունկցիայի արգումենտը սովորաբար նշանակում են s = \sigma + i t, որտեղ \sigma-ն և t-ն s-ի համապատասխանաբար իրական և կեղծ մասերն են։ 

Հետևյալ շարքը զուգամիտում է բոլոր s կոմպլեքս թվերի համար, որոնց իրական մասը խիստ մեծ է 1-ից.

: \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots \qquad \sigma = \operatorname{Re}(s) > 1:

Այդպիսի s-երի համար զետա ֆունկցիայի արժեքը սահմանվում է որպես շարքի գումարը։ Փոփոխականի նույն արժեքների համար զետա ֆունկցիայի համարժեք սահմանում կարելի է համարել հետևյալ ինտեգրալը.

:  \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{e ^ x - 1}\,x ^ s \frac{\mathrm{d}x}{x}, 

որտեղ
: \Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} e ^{- x}\,x ^ s \frac{\mathrm{d}x}{x} 

հայտնի գամմա ֆունկցիան է։

Պարզվում է այս ֆունկցիան կարելի է մերոմորֆ կերպով շարունակել ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ։ Երբ s-ը մոտենում է 1 կետին, զետա ֆունկցիայի արժեքը ձգտում է հարմոնիկ շարքի գումարին, այդպիսով՝ s = 1 կետը հանդիսանում է այս ֆունկցիայի բևեռ։ Այն ֆունկցիայի միակ բևեռն է և այդ կետում 

:  \lim_{s\to 1}(s-1)\zeta(s)=1:

Այսպիսով՝ զետա ֆունկցիան մերոմորֆ ֆունկցիա է ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ։ Այն ունի միակ պարզ բևեռ՝ s=1 և այդ կետում մնացքը հավասար է 1-ի։

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Թվերի անալիտիկ տեսություն
Կատեգորիա:Բեռնարդ Ռիման