Գծային հավասարումների համակարգ

thumb|right|Երեք անհայտով գծային հավասարումների համակարգը որոշում է երեք հարթությունների միացությունը։Նրանց հատման կետը համակարգի լուծումն է հանդիսանում։
**Գծային հավասարումների համակարգ,** հավասարումների համակարգ է, որոնցից յուրաքանչյուրը իրենից ներկայացնում է առաջին աստիճանի գծային հանրահաշվական հավասարում։

Դասական տարբերակում բոլոր գործակիցները, ազատ անդամները և անհայտները համարվում են բնական թվեր, բայց բոլոր ձևերն ու արդյունքները պահպանվում են ցանկացած դաշտերի համար օրինակ (կոմպլեքս թվերի)։

Գծային համակարգերի լուծումը գծային հանրահաշվի դասական խնդիրներից մեկն է, որը հիմնականում որոշում է նրա օբյեկտներն ու մեթոդները։ Գծային համակարգերի լուծումը կարևոր դեր է խաղում շատ թեքումային ուղղություններում, այդ թվում գծային ծրագրավորման մեջ։

## Սահմանումներ
Գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր տեսքը․
: 
\begin{cases}
    a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\
    a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\
    \dots\\
    a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\
\end{cases}


Որտեղ՝ m — հավասարումների քանակն է, n —փոփոխականների քանակը, x_1, x_2, \dots, x_n — անհայտներն են, որ պիտի որոշել, a_{11}, a_{12}, \dots, a_{mn} գործակիցներն են, b_1, b_2, \dots, b_mազատ անդամները։ Գծային հավասարումների համակարգի գործակիցների  (a_{ij}) ինդեկսները կազմվում են հետևյալ պայմանով՝ առաջինը (i) հավասարման համարն է, երկրորդը (j) — փոփոխականի համարն է, որից առաջ այն գտնվում է.

Համակարգը կոչվում են համասեռ, եթե նրա ազատ անդամները հավասար են զրոյի (b_1 = b_2 = \dots b_m = 0), այլապես — ոչ համասեռ։

**Գծային հավասարումների  համակարգը կոչվում է քառակուսային '',**'' եթե  հավասարումների քանակը հավասար է անհայտների քանակին (m=n). Համակարգը, որի անհայտների թիվը ավելին է քան հավասարումներինը, կոչվում է ուղղանկյուն համակարգ։

Համակարգի լուծումների c_1, c_2, \dots, c_nթվերի  n բազմությունը, որը հանդիսանում է համակարգի լուծում,x_1, x_2, \dots, x_nփոփոխականներում տեղադրելու դեպքում հավասարումը վերածում  է նույնության։

Համակարգը կոչվում է միասնական, եթե նա ունի գոնե մեկ լուծում, և ոչ միասնական, եթե նա չունի ոչ մի լուծում։

## Մատրիցային ձև
Համակարգը կարելի է ներկայացնել մատրիցի տեսքով․

: 
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} 
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix} 


կամ
: Ax =
b.

Այստեղ A -ն համակարգի մատրիցն է, x -ը անհայտների սյունակը, իսկ b-ն ազատ անդամների սյունակն է։ Եթե A մատրիցին աջից ավելացնել ազատ անդամների սյունակը, ապա ստացված մատրիցը կոչվում է ընդլայնված։

## Գծային  հավասարումների համարժեք համակարգեր
հավասարումների համակարգերը կոչվում են համարժեք, եթե նրանց լուծումները համընկնում են։ Լուծում չունեցող համակարգերը նույնպես համարժեք են։

Համակարգին համարժեք համակարգ կարելի է ստանալ, տրված համակարգի հավասարումներից մեկը բազմապատկենք կամ բաժանենք  նույն թվի վրա։

 A \mathbf{x} \ = \mathbf{b}  տեսքի հավասարումների համակարգը համարժեք է   C A \mathbf{x} \ = C \mathbf{b} ։
thumb|right|, , և   գծային հացասարումներ են, իսկ (1,1) կետը նրանց լուծումն է։

## Լուծման ձևերը
Ուղղակի մեթոդները տալիս են այնպիսի ալգորիթմ, որի օգնությամբ կարելի է գտնել համակարգերի ճշգրիտ լուծումները։

Որոշ ուղղակի մեթոդներ․

*Գաուսի մեթոդը
* Գաուս-Ջորդանի մեթոդներ
* Կրամերի մեթոդը
*Պտտման մեթոդ

Կախված մոտեցումներից, մեթոդները բաժանվում են մի քանի տեսակի․

* Մասնատման ձևով։ (M-N)\mathbf{x}=\mathbf{b}\Leftrightarrow M\mathbf{x}=N\mathbf{x}+\mathbf{b} \Rightarrow M\mathbf{x}^{n+1}=N\mathbf{x}^n+\mathbf{b}
* Զանազանման ձևով։ A\mathbf{x}=\mathbf{b}\Rightarrow \|A\mathbf{x}-\mathbf{b}\|\rightarrow \min
*Պրոյեկցիոն ձևով ։ A\mathbf{x}=\mathbf{b}\Rightarrow (A\mathbf{x},\mathbf{m})=(\mathbf{b},\mathbf{m}) \forall\mathbf{m}

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
* 

Կատեգորիա:Գծային հանրահաշիվ
Կատեգորիա:Հավասարումներ