Լամեի հաստատուններ

**Լամեի հաստատուններ**, դեֆորմացվող իզոտրոպ պինդ մարմնի որևէ կետում առաձգական լարման և դեֆորմացիայի բաղադրիչները կապող մեծություններ։ Կոչվում են ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Գաբրիել Լամեի անվամբ։ 
Լամեի հաստատուններով լարման և դեֆորմացիայի բաղադրիչների կապը գրվում է 
: \sigma = 2 \mu \varepsilon + \lambda \; \mathrm{Tr}(\varepsilon)I 
տեսքով, որտեղ OT-ն և X-և լարման նորմալ և շոշափող բաղադրիչներն են, e-ը՝ դեֆորմացիայի բաղադրիչները, X-ն և |ւ-ն՝ Լ. հ.։ Առաձգականության մոդուլների և v Պուասոնի գործակցի E հետ Լամեի հաստատունները կապված են 
: \lambda=\frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
: \mu=\frac{E}{2(1+\nu)}
առնչություններով, որտեղ E-ն երկայնական առաձգականության մոդուլն է, G-ն՝ սահքի մոդուլը։

Դիցուք եռաչափ տարածությունում տրված է կոորդինատների համակարգ՝ \{q_1, q_2, q_3\}:Պատկերացնենք անվերջ փոքր վեկտոր ds-ն՝ ներկայացված վեկտորների դեկարդյան i, j, k բազիսով և կորագիծ կոորդինատային համակարգում բազիսային վեկտորների e_1, e_2, e_3 հավաքածույով։

ds=idx+jdy+kdz

ds=e_1dq_1+e_2dq_2+e_3dq_3

Որպեսզի q_1, q_2, q_3 մեծությունները կարողանան դիտարկվել վորպես էլեմենտի կոորդինատներ, տարածության որոշակի մասում, անհրաժեշտ է հակառակ արտահայտությունը.

\begin{cases} x=x(q_1, q_2, q_3) \\y=y(q_1, q_2, q_3) \\ z=z(q_1, q_2, q_3) \end{cases}

(1)  Հավասարման մեջ դեկարդյան կոորդինատների դիֆերենցիալները արտահայտենք կորագծային կոորդինատների դիֆերենցիալներով.

dx={\partial x\over\partial q_1}dq_1+{\partial x\over\partial q_2}dq_2+{\partial x\over\partial q_3}dq_3, 

dy={\partial y\over\partial q_1}dq_1+{\partial y\over\partial q_2}dq_2+{\partial y\over\partial q_3}dq_3, 

dz={\partial z\over\partial q_1}dq_1+{\partial z\over\partial q_2}dq_2+{\partial z\over\partial q_3}dq_3

այդ դեպքում.

e_1=i{\partial x \over \partial q_1}+j{\partial y \over \partial q_1}+k{\partial z \over \partial q_1}, 

e_2=i{\partial x \over \partial q_2}+j{\partial y \over \partial q_2}+k{\partial z \over \partial q_2}, 

e_3=i{\partial x \over \partial q_3}+j{\partial y \over \partial q_3}+k{\partial z \over \partial q_3}

Եթե կոորդինատների \{q_1, q_2, q_3\} համակարգը ուղղանկյուն է, ապա տարածության յուրաքանչյուր կետում e_1, e_2  և e_3 վեկտորները զույգ առ զույգ ուղղանկյուն են։

e_ie_j=\lVert e_i \rVert^2\delta_ij 

Որտեղ \lVert e_i \rVert -ն e_iվեկտորի նորմն է,

\delta_ij-ն Կրոնեկերի դելտա-սիմվոլը, որը որոշվում է հետևյալ բանաձևով.

\delta_ij=\delta_ji=\begin{cases} 1, i=j \\ 0, i\neq j \end{cases}

e_i վեկտորի նորմ անվանում են նաև **Լամեի գործակից`** H_i, q_i կոորդինատի համար M կետում։

H_i=\sqrt{\biggl({\partial x \over \partial q_i}\biggr)^2+\biggl({\partial y \over \partial q_i}\biggr)^2+\biggl({\partial z \over \partial q_i}\biggr)^2},   (i=1, 2, 3)

(1)  և (2) բանաձևերից հետևում է որ, ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում կամայական թեքի կորության երկարության դիֆերենցիալի քառակուսին կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ.

ds^2=dx^2+dy^2+dz^2, 

ds^2=H_1 ^2dq_1 ^2+H_2 ^2dq_2 ^2+H_3 ^2dq_3 ^2

Եթե \{q_1, q_2, q_3\} համակարգից երկու կոորդինատներ ֆիքսենք, ապա (7) հավասարումը կբերվի, Լամեի գործակիցների համար, հետևյալ տեսքի.

H_i={\partial s \over \partial q_i}  (i=1, 2, 3)

Արդյունքում մենք ստանում ենք Լամեի գործակիցների հաշվարկի մեկ այլ միջոց, համաձայն որի բավական է նշել կոորդինատային q_i գծի անվերջ փոքր էլեմենտի կորի երկարության հարաբերությունը q_i կոորդինատի դիֆերենցիալին:Օրինակ գլանային կոորդինատների համակարգում \rho և z կոորդինատային գծերն են հանդիսանում կիսաուղիղը և ուղիղը համապատասխանաբար, որի հետևանքով H_\rho=H_z=1 :Քանի որ կոորդինատային \varphi գիծ հանդիսանում է \rho շառավղով շրջանագիծը, ապա ds=\rho d\varphi և H_\varphi=\rho:Կորագիծ կոորդինատային համակարգում ծավալի էլեմենտը որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

dV=H_1H_2H_3dq_1dq_2dq_3

Այդ դեպքում գլանային կոորդինատային համակարգում `

dV=\rho d\rho d\varphi dz

Գնդային կոորդինատային համակարգում՝

dV=r^2\sin\theta drd\varphi d\theta :

Կատեգորիա:Պինդ մարմնի մեխանիկա
Կատեգորիա:Դեֆորմացիա