Նյոթերի թեորեմ

[thumb|Էմմի Նյոթերը գերմանացի հեղինակավոր մաթեմատիկոս էր, հայտնի [աբստրակտ հանրահաշիվ|աբստրակտ հանրահաշվում և տեսական ֆիզիկայում իր ներդրումներով։]]
**Նյոթերի թեորեմը** պնդում է, որ ֆիզիկական համակարգի յուրաքանչյուր անընդհատ սիմետրիայի համապատասխանում է որոշակի պահպանման օրենք.
 
* Ժամանակի համասեռությանը համապատասխանում է էներգիայի պահպանման օրենքը։
* Տարածության համասեռությանը համապատասխանում է իմպուլսի պահպանման օրենքը։
* Տարածության իզոտրոպությանը համապատասխանում է իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքը։
* Տրամաչափային սիմետրիային համապատասխանում է էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքը և այլն։

Թեորեմը սովորաբար ձևակերպվում է գործողության ֆունկցիոնալ ունեցող մեծությունների համար, և արտահայտում է լագրանժյանի ինվարիանտությունը ձևափոխությունների որոշ անընդհատ խմբի նկատմամբ։

Թեորեմը սահմանել են գյոթինգենյան դպրոցի գիտնականներ Դավիդ Հիլբերտը, Ֆելիքս Կլայնը և Էմմի Նյոթերը։ Ապացուցել է Էմմի Նյոթերը 1915 թվականին, հրատարակել՝ 1918 թվականին։

## Ձևակերպում
### Դասական մեխանիկա
g^s(q_i) դիֆեոմորֆիզմների յուրաքանչյուր միապարամետրական խմբի, որի լագրանժյանը պահպանվում է, համապատասխանում է համակարգի առաջին ինտեգրալ, որը հավասար է
: I=\sum^n_{i=1}\left( \frac{d}{ds} g^s(q_i) \right) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}։

Ձևակերպենք անվերջ փոքրերի ձևափոխությունների տերմիններով։ Դիցուք կոորդինատների անվերջ փոքր ձևափոխությունը
: g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t)
տեսքն ունի, իսկ L(q,\; \dot q,\; t) Լագրանժնի ֆունկցիան ինվարիանտ է այդ ձևափոխությունների նկատմամբ, այսինքն
: \frac{d}{ds}L(\vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t),\; \dot {\vec q_0} + s \dot {\vec \psi} (\vec q,\; t),\; t) = 0, եթե s=0։
Այդ դեպքում համակարգի համար գոյություն ունի *առաջին ինտեգրալ*, որը հավասար է
: I = \left( \vec \psi (\vec q,\; t);\; \frac{\partial L}{\partial \dot {\vec q}} \right) = \sum^n_{i=1}\psi_i (\vec q,\; t) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}։

Թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել ժամանակն ընդգրկող ձևափոխությունների համար, եթե ժամանակի շարժումը պատկերացնենք որոշ \tau պարամետրից կախված, ընդ որում շարժման պրոցեսում t=\tau։ Այդ դեպքում
: g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t)
: g^s(t) = t_0 + s \xi (\vec q,\; t)
ձևափոխություններից հետևում է առաջին ինտեգրալը՝
: I = \xi L + \left( \vec \psi - \xi \dot {\vec q};\; \frac{\partial L}{\partial \dot {\vec q}} \right)։

### Դաշտի տեսություն
Նյոթերի թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել անվերջ մեծ թվով ազատության աստիճաններով համակարգի համար։ Այդպիսի համակարգեր են գրավիտացիոն և էլեկտրամագնիսական դաշտերը։
Դիցուք համակարգի Լագրանժի ֆունկցիան կախված է n պոտենցիալներից, որոնք իրենց հերթին կախված են k կոորդինատներից։ Գործողության ֆունկցիոնալը կունենա
: S = \int L(A^i,\; \partial_\mu A^i,\; x^\mu)\, d \Omega,\quad i=1, \ldots,\; n,\quad \mu=1,\; \ldots,\; k,\quad d\Omega = dx^1\ldots dx^k
տեսքը։ Դիցուք պոտենցիալների տարածության դիֆեոմորֆիզմների g^s խումբը պահպանում է Լագրանժի ֆունկցիան։ Այդ դեպքում պահպանվում է
: J^\mu = \left( \frac{d}{ds} g^s A^i \right) \frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu A^i)},
վեկտորը, որը կոչվում է *Նյոթերի հոսքի վեկտոր*։ Գումարում է կատարվում ըստ կրկնվող ինդեքսների. \partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}։
Նյոթերի հոսքի վեկտորի պահպանման իմաստն այն է, որ
: \ \partial_\mu J^\mu = 0,
այդ պատճառով J հոսքը կոորդինատների տարածության ցանկացած փակ մակերևույթով 0 է։ Մասնավորապես, եթե կոորդինատներից առանձնացնենք մեկը՝ *ժամանակ* կոչվածը, և դիտարկենք հաստատուն ժամանակի հիպերհարթությունը, ապա J հոսքը այդպիսի հիպերհարթությունով հաստատուն է ժամանակի ընթացքում, պայմանով, որ դաշտը անվերջությունում բավարար արագ է նվազում, իսկ հիպերմակերևույթը կոմպակտ չէ, այնպես որ վեկտորի հոսքը երկու հիպերմակերևույթների միջակա տարածության տիրույթի կողային սահմանով հավասար է 0։ Դաշտի դասական տեսության մեջ այդպիսի հատկություն ունի, օրինակ, էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիա-իմպուլսի թենզորը։ Վակուումում դաշտի լագրանժյանը բացահայտ կախված չէ կոորդինատներից, այդ պատճառով ունենք էներգիայի-իմպուլսի հոսքին զուգորդվող պահպանվող մեծություն։

### Դիֆերենցիալ հավասարումներ
Դիցուք ունենք S=\int L (\vec u, \vec x,\dots ) \, d\boldsymbol x գործողության ֆունկցիոնալով վարիացիոն խնդիր։ Այստեղ L-ը լագրանժյանն է. x-ն՝ անկախ փոփոխականներ, u-ն՝ կախյալ փոփոխականներ, այսինքն՝ ֆունկցիաներ x-ից։ L կարող է կախված լինել նաև u-ի ածանցյալներից ըստ x-ի, պարտադիր չէ միայն առաջին կարգի։

Վարիացիոն խնդիրը այսպիսի ֆունկցիոնալի համար հանգեցնում է Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումների, որոնք կարելի է գրել
 
\mathrm{E_\alpha} (L)=0~,~\alpha=1\dots q

տեսքով, որտեղ \mathrm{E}-երը Էյլեր-Լագրանժի օպերատորներն են՝

\mathrm{E_\alpha}= \frac{\partial}{\partial u_\alpha}-\sum_{i=1}^{p} \frac{d}{d x_i}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_{x_i}} + \dots ~~~,

u^{\alpha}_{x_i}-ն u^{\alpha} ֆունկցիայի ածանցյալն է ըստ x_i փոփոխականի։ Բազմակետը նշանակում է, որ եթե L-ը կախված է առաջինից բարձի կարգի ածանցյալներից, ապա \mathrm{E}-ին պետք է ավելացնել համապատասխան գումարելիները։ Ամփոփ գրառմամբ
\mathrm{E_\alpha}= \sum_J (-D)_J\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_J},

որտեղ J — մուլտինդեքսն է։ Գումարումը կատարվում է ըստ բոլոր բաղադրիչների այնպես, որ u^{\alpha}_J ածանցյալը մտնում է L-ի մեջ։

Նյոթերի թեորեմը կապում է S ֆունկցիոնալի այսպես կոչված վարիացիոն սիմետրիաները պահպանման օրենքների հետ, որոնք տեղի են ունենում Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների լուծումներով։

#### Պահպանման օրենքներ
Պահպահման օրենքները դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի համար

\mathrm{Div} \vec P =0

տեսքի արտահայտություններ են, ինչը ճիշտ է այդ համակարգի հավասարումների համար, այնպես որ եթե դրա մեջ տեղադրենք այդ դիֆերենցիալ հավասարումները, կստանանք նույնություն։ Տվյալ դեպքում դիտարկվում են Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Այստեղ \mathrm{Div}-ն լրիվ դիվերգենցիա (լրիվ ածանցյալներով դիվերգենցիալ) է ըստ x-ի։ \vec P-ն u-ի, x-ի և ըստ x-ի u-ի ածանցյալների հարթ ֆունկցիաներ են։
*Պահպանման տրիվալ օրենքներ* են կոչվում այն պահպանման օրենքները,

* որոնց համար \mathrm{Div} \vec P =0-ն ինքնին նույնություն է՝ առանց որևէ դիֆերենցիալ հավասարում հաշվի առնելու, կամ
* որոնց համար \vec P-ն 0 է դառնում, հենց տեղադրում ենք դիֆերենցիալ հավասարումները՝ առանց դիվերգենցիաները հաշվելու (լուծումներում պահպանվում է նույնական զրոն), կամ
* որոնց համար \vec P-ն նախորդ դեպքերի գծային կոմբինացիան է։

Եթե \vec P և \vec R ֆունկցիաներով երկու պահպանման օրենքների համար \vec P - \vec R տարբերությունը պահպանման տրիվիալ օրենք է, ապա այդպիսի պահպանման օրենքները կոչվում են *համարժեք*։

Յուրաքանչյուր պահպանման օրենք համարժեք է բնութագրական ձև ունեցող պահպանման օրենքին, այսինքն այնպիսի օրենքին, որի համար

\mathrm{Div} \vec P =\vec Q\cdot \vec \Delta,

որտեղ \Delta-ն արտահայտություններ են, որոնք մտնում են դիֆերենցիալ հավասարումների որոշ համակարգերի մեջ. \vec \Delta=0։ Նկարագրվող դեպքի համար \Delta_\alpha=E_\alpha (L) և

\mathrm{Div} \vec P =\sum_\alpha Q_\alpha E_\alpha (L)։

Q_\alpha կախված են u-ից, x-ից և ըստ x-ի u-ի ածանցյալներից և կոչվում են *պահպանման օրենքի բնութագրեր*։

#### Վարիացիոն սիմետրիաներ
Դիցուք ունենք ընդհանրացված վեկտորական դաշտ.

\vec v=\sum_{i=1}^{p}\xi^i\frac{\partial}{\partial x^i}+\sum_{\alpha=1}^{q}\varphi_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha}։

«Ընդհանրացումն» այն իմաստով է, որ \xi և \varphi-ն կարող են կախված լինել ոչ միայն u-ից և x-ից, այլև u-ի ածանցյալներից ըստ x-ի։

*Սահմանում.* \vec v-ն կոչվում է S ֆունկցիոնալի *վարիացիոն սիմետրիա*, եթե գոյություն ունի \vec{\mathrm{B}}(\vec u, \vec x,\dots ) համախումբ այնպես, որ

\mathrm{pr}\, \vec v (L) +L\, \mathrm{Div}\, \vec \xi=\mathrm{Div}\, \vec{\mathrm{B}}։

\mathrm{pr}\, \vec v-ն \vec v-ի *շարունակությունն* է։ Շարունակությունը հաշվի է առնում, որ \vec v-ի գործողությունը u-ի և x-ի վրա առաջացնում է նաև ածանցյալների անվերջ փոքր փոփոխություն, և տրվում է

\mathrm{pr}\, \vec v = \vec v + \sum_{\alpha,J}\varphi^J_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha_J}~,~\varphi^J_\alpha=D_J \bigl(\varphi_\alpha-\sum_i \xi^i u^\alpha_i \bigr)

բանաձևերով։ Շարունակության համար բանաձևում պետք է բացի \vec v-ից վերցնել այնպիսի \partial /\partial u^\alpha_J-ով բաղադրիչներ, որոնց համար u^\alpha_J-ն մտնում է L-ի մեջ, կամ, ընդհանուր դեպքում, այն արտահայտության մեջ, որի վրա ազդում է շարունակությունը։

Վարիացիոն սիմետրիայի սահմանման իմաստն այն է, որ \vec v-ն անվերջ փոքր ձևափոխություն է, որոնք առաջին աստիճանում փոխում են S ֆունկցիոնալն այնպես, որ Էյլեր-Լագրանժի հավասարումները ձևափոխվում են համարժեք հավասարումների։ Ճիշտ է հետևյալ թեորեմը.

Եթե \vec v-ն վարիացիոն սիմետրիա է, ապա \vec v-ն հանդիսանում է Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների (ընդհանրացված) սիմետրիա.

 \mathrm{pr}\, \vec v\, \mathrm{E}_\alpha (L) \vert_{\mathrm{E}_\alpha (L)=0}=0։

Այս բանաձևը նշանակում է, որ \mathrm{E}_\alpha (L) արտահայտությունների անվերջ փոքր փոփոխությունները, որոնք այստեղ գրված են \mathrm{pr}\, \vec v\, \mathrm{E}_\alpha (L) տեսքով, լուծումներում 0 են դառնում։

#### Վեկտորական դաշտերի բնութագրեր
Q_\alpha=\varphi_\alpha-\sum_i\xi^i u^\alpha_i ֆունկցիաների համախումբը (վերը բերված նշանակումներով) կոչվում է \vec v վեկտորական դաշտի բնութագիր։ \vec v-ի փոխարեն կարելի է վերցնել

\vec v_Q=\sum_\alpha Q_\alpha \frac{\partial}{\partial u^\alpha}

Վեկտորական դաշտ, որը կոչվում է \vec v-ի էվոլյուցիոն ներկայացուցիչ։
 
\vec v-ն և \vec v_Q-ն ըստ էության նույն սիմետրիան են սահմանում, այդ պատճառով եթե հայտնի են Q_\alpha-ի բնութագրերը, կարելի է համարել, որ դրանով սիմետրիան տրված է։ \vec v_Q-ի շարունակությունը որոշվում է \vec v-ի շարունակության նման, բայց ֆորմալ տեսանկյունից ավելի պարզ է, քանի որ կարիք չկա առանձին հաշվի առնելու \xi- երի ներդրումները։

Նյոթերի թեորեմը կապ է հաստատում պահպանման օրենքների բնութագրերի և վեկտորական դաշտերի բնութագրերի միջև։

#### Նյոթերի թեորեմ
\vec v ընդհանրացված վեկտորական դաշտը սահմանում է S ֆունկցիոնալի սիմետրիաների խումբը միայն և միայն այն դեպքում, եթե նրա \vec Q բնութագիրը \mathrm{Div} \vec P =0 պահպանման օրենքի բնութագիրն է Էյլեր-Լագրանժի համապատասխան հավասարումների համար։

## Պահպանման օրենքներ
Դասական մեխանիկայում էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքներն արտածվում են համակարգի լագրանժյանի համասեռություն-իզոտրոպությունից. լագրանժյանը (Լագրանժի ֆունկցիան) ինքնին չի փոփոխվում ժամանակի ընթացքում և չի փոփոխվում տարածության մեջ համակարգի տեղափոխությունից կամ պտույտից։ Ըստ էության դա նշանակում է, որ լաբորատորիայում գտնվող որևէ փակ համակարգի դիտարկելիս, անկախ լաբորատորիայի դիրքից և փորձն անցկացնելու ժամանակից, կստացվեն նույն արդյունքները։ Համակարգի լագրանժյանի մյուս սիմետրիաները, եթե կան այդպիսիք, համապատասխանում են տվյալ համակարգում պահպանվող այլ մեծությունների (շարժման ինտեգրալների), օրինակ, երկու մարմինների գրավիտացիոն և կուլոնյան խնդրի լագրանժյանի սիմետրիան հանգեցնում է որ միայն էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման, այլև՝ Լապլա-Ռունգե-Լենցի վեկտորի պահպանման։

## Կիրառություններ
Նյոթերի թեորեմը թույլ է տալիս նշանակալի տեղեկություն ստանալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի լուծումների հատկությունների մասին՝ ելնելով միայն նրանց սիմետրիայից։ Այն նաև սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրման եղանակներից մեկն է, քանի որ թույլ է տալիս որոշ դեպքերում գտնել հավասարումների համակարգի առաջին ինտեգրալը և այդպիսով նվազեցնել անհայտ ֆունկցիաների թիվը։ Օրինակ,

* Համակարգի իմպուլսի պահպանումը բխում է տարածական տեղաշարժերի նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։ Օրինակ, եթե *X* առանցքի երկայնքով տեղաշարժը չի փոխում հավասարումների համակարգը, ուրեմն այդ առանցքի երկայնքով p_x իմպուլսը պահպանվում է։
* Իմպուլսի մոմենտի պահպանումը բխում է տարածության պտույտների նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։
* Էներգիայի պահպանումը ժամանակի համասեռության՝ ժամանակի հաշվարկի սկիզբը կամայական ձևով տեղաշարժելու կարելիության հետևանք է։

Մասնակի ածանցյալներով հավասարումների դեպքում անհրաժեշտ է փնտրել անվերջ թվով առաջին ինտեգրալներ։ Նույնիսկ դրանք իմանալով՝ սովորաբար հեշտ չէ գտնել ընդհանուր լուծում։

Հիմնարար բնույթի շնորհիվ Նյոթերի թեորեմը կիրառվում է ֆիզիկային այնպիսի բնագավառներում, ինչպես քվանտային մեխանիկան է՝ հենց իմպուլսի, իմպուլսի մոմենտի և այլ հասկացությունները սահմանելու համար։ Հավասարումների ինվարիանտությունը որոշ սիմետրիաների նկատմամբ այդ մեծությունների միակ իսկությունն է դառնում և երաշխավորում է նրանց պահպանումը։

Դաշտի քվանտային տեսությունում Նյոթերի թեորեմի համակերպը *Ուորդ-Տակահաշիի նույնաությունն* է, որը թույլ է տալիս ստանալ հավելյալ պահպանման օրենքներ։ Օրինակ, էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքը բխում է մասնիկի կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիայի փուլի փոփոխության նկատմամբ ֆիզիկական համակարգի ինվարիանտությունից և էլեկտրամագնիսական դաշտի վեկտորական ու սկալյար պոտենցիալների համապատասխան տրամաչափավորումից։

Նյոթերի լիցքը կիրառվում է նաև ստացիոնար սև խոռոչի էնտրոպիան հաշվելու համար։

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М, Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
* Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М, Наука, 280 с., 1983 г.

## Արտաքին հղումներ
* Նյոթերի հոդվածներն անգլերեն թարգմանությամբ
* Ջոն Բաեսի հոդվածը Նյոթերի թեորեմի մասին 
* Nina Byers, E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws
* Նյոթերի թեորեմը MathPages կայքում 
* Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem. 
* *Giachetta G., Mangiarotti L.,Sardanashvily G.* On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. **50** (2009) 012903; arXiv 0807.3003.

Կատեգորիա:Տեսական մեխանիկա
Կատեգորիա:Դաշտի տեսություն
Կատեգորիա:Դաշտի քվանտային տեսություն
Կատեգորիա:Պահպանման օրենքներ
Կատեգորիա:Դիֆերենցիալ հավասարումներ
Կատեգորիա:Ֆիզիկայի հասկացություններ
Կատեգորիա:Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ