Եռանկյուն

**Եռանկյուն**, եռակողմ բազմանկյուն։ Այլ կերպ այն կարելի է սահմանել որպես այնպիսի պատկեր, որը կազմված է միևնույն ուղղի վրա չգտնվող երեք կետերից, և այդ կետերը զույգ առ զույգ միացնող երեք հատվածներից։ Կետերը կոչվում են եռանկյան գագաթներ, իսկ հատվածները՝ նրա կողմեր։ A, B, և C գագաթներով եռանկյունը հաճախ նշանակում են ΔABC։

## Եռանկյան տեսակներ
Կախված կողմերի երկարությունների փոխհարաբերությունից և անկյունների մեծությունից, եռանկյունները լինում են ուղղանկյուն (անկյուններից մեկն ուղիղ է), բութանկյուն (անկյուններից մեկը բութ է), սուրանկյուն (բոլոր երեք անկյունները սուր են), 


մինի|Ուղղանկյուն եռանկյուն
մինի|Բութանկյուն եռանկյուն
մինի|Սուրանկյուն եռանկյուն


ՈւղղանկյունԲութանկյունՍուրանկյուն


հավասարակողմ կամ կանոնավոր (բոլոր երեք կողմերն իրար հավասար են) և հավասարասրուն (հավասար են գոնե երկու կողմերը)։

մինի|Հավասարակողմ եռանկյուն
մինի|Հավասարասրուն եռանկյուն


ՀավասարակողմՀավասարասրուն



## Եռանկյունների հավասարություն և նմանություն

### Եռանկյունների հավասարություն
Եռանկյունները հավասար են, եթե հավասար են նրանց համապատասխան կողմերն ու համապատասխան անկյունները։

Եռանկյունների հավասարության հայտանիշները՝
* Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և նրանցով կազմված անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու կողմերին և նրանցով կազմված անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
* Եթե մի եռանկյան մի կողմը և նրան առընթեր անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին և նրան առընթեր անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
* Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

### Եռանկյունների նմանություն

Եռանկյունները նման են, եթե այդ եռանկյունների համապատասխան անկյունները հավասար են, իսկ համապատասխան կողմերի հարաբերությունը նույնն է։ Այսինքն ∆ABC և ∆A1B1C1 նման եռանկյունների միջև

\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1}, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1, ∠C=∠C1։

Եռանկյունների նմանության հիմնական թեորեմներն են՝

* Երկու եռանկյուններ նման են, եթե նրանցից մեկի երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուսի երկու անկյուններին։
* Երկու եռանկյուններ նման են, եթե նրանցից մեկի երկու կողմերը համեմատական են մյուսի երկու կողմերին և այդ կողմերով կազմված անկյունները հավասար են։
* Երկու եռանկյուններ նման են, եթե մեկի կողմերը համեմատական են մյուսի կողմերին։

## Եռանկյան հետ կապված սահմանումներ
Եռանկյան գագաթից տարված «բարձրություն» է կոչվում այդ գագաթից նրա դիմացի կողմը պարունակող ուղղին տարված ուղղահայացը։ Եռանկյան բարձրությունների հատման կետը կոչվում է եռանկյան օրթոկենտրոն։

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30 աստիճանի դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին։

Եռանկյան գագաթից տարված «կիսորդ» է կոչվում եռանկյան անկյան կիսորդի այն հատվածը, որի միացնում է այդ գագաթը և նրա դիմացի կողմի վրա գտնվող կետը։

Եռանկյան «միջնագիծ» է կոչվում այդ գագաթը և դիմացի կողմի միջնակետը միացնող հատվածը։

Եռանկյան «միջին գիծ» է կոչվում նրա երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը։

«Ուղղանկյուն եռանկյուն» է կոչվում այն եռանկյունը, որի ներքին անկյուններից մեկը 90 աստիճան է (ուղիղ անկյուն)։ Այդ անկյան դիմացի կողմը կոչվում է «ներքնաձիգ», իսկ կից կողմերը կոչվում են ուղղանկյուն եռանկյան «էջեր»։

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան «սինուս» է կոչվում հանդիպակաց էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին՝

:\sin \alpha = \frac {a} {h}\,.

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան «կոսինուս» է կոչվում կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին՝

:\cos \alpha = \frac {b} {h}\,.

աջից|մինի|Ուղղանկյուն եռանկյուն

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան «տանգենս» է կոչվում հանդիպակաց էջի հարաբերությունը կից էջին՝

:\tan \alpha = \frac {a} {b}\,.

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան «կոտանգենս» է կոչվում կից էջի հարաբերությունը հանդիպակաց էջին՝

:\cot \alpha = \frac {b} {a}\,.

## Եռանկյունների հետ կապված հիմնական փաստեր
Եռանկյունների մասին հիմնական փաստերը ուսումնասիրվել են Էվկլիդեսի կողմից՝ իր «Սկզբունքներ» ձեռնարկի 1–4 գրքերում մոտ մ․թ․ա․ 300 թվականին։

340px|աջից|մինի|d-ն պատկերված եռանկյան արտաքին անկյունն է։

Էվկլիդեսյան երկրաչափությունում եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է 180 աստիճանի։ Այստեղից հետևում է, որ ցանկացած եռանկյան անկյուններից գոնե երկուսը սուր են։

Եռանկյան տրված գագաթի «արտաքին անկյուն» կոչվում է եռանկյան այդ գագաթի անկյանը կից անկյունը։ Եռանկյան տրված գագաթի անկյունը նույն գագաթի ներքին անկյան հետ չշփոթելու համար, այն անվանում են «ներքին անկյուն»։ Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է նրան ոչ կից երկու ներքին անկյունների գումարին։

Եռանկյան ցանկացած երկու կողմերի երկարությունների գումարը միշտ մեծ է երրորդ կողմի երկարությունից։ Այս հատկությունը կոչվում է «եռանկյան անհավասարություն»։

Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված միջնագիծը, կիսորդը և բարձրությունը համընկնում են։

մինի|ձախից|Եռանկյան երեք միջնագծերը հատման կետով տրոհվում են 2:1 հարաբերությամբ մասերի, հաշված գագաթից։

Եռանկյան երեք միջնագծերը հատման կետով տրոհվում են 2։1 հարաբերությամբ մասերի, հաշված գագաթից։ Միջնագծերի հատման կետը հանդիսանում է նաև համասեռ եռանկյունաձև մարմնի ծանրության կենտրոնը։

մինի|ձախից|Եռանկյանը արտագծած շրջանագիծ

Եռանկյանը արտագծած շրջանագիծ է կոչվում այն շրջանագիծը, որը անցնում է եռանկյան բոլոր գագաթներով։ Եռանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան կողմերի միջնակետերով անցնող և այդ կողմերին տարած ուղղահայացների հատման կետում։

մինի|աջից|Եռանկյանը ներգծած շրջանագիծ

Եռանկյանը ներգծած շրջանագիծ է կոչվում այն շրջանագիծը, որը շոշափում է եռանկյան բոլոր կողմերը։ Եռակյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է կիսորդների հատման կետում։

### Պյութագորասի թեորեմ

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին՝

:a^2 + b^2 = c^2\,։

### Կոսինուսների թեորեմ

Եռանկյան ցանկացած կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին՝ հանած այդ կողմերի և նրանցով կազմված անկյան կոսինուսի կրկնապատիկ արտադրյալը՝

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma

Այն հանդիսանում է Պյութագորասի թեորեմի ընդհանրացված տարբերակը։

### Սինուսների թեորեմ

Եռանկյան կողմերը համեմատական են հանդիպակաց անկյունների սինուսներին՝

:\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}=2R.
Որտեղ R-ը եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղն է;

Սինուսների թեորեմից հետևում է, որ եռանկյան մեծ անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմ, մեծ կողմի դիմաց՝ մեծ անկյուն։

## Եռանկյան մակերես
[300px|մինի|Եռանկյան մակերեսը հավասար է նույն հիմք և բարձրություն ունեցող [զուգահեռագիծ|զուգահեռագծի մակերեսի կեսին։]]

Եռանկյան մակերեսի ամենատարածված հավասարումն է նրա կողմի և այդ կողմին տարված բարձրության արտադրյալի կեսը՝

:\mathrm{S}=\frac{1}{2}bh։

Եռանկյան մակերեսը հավասար է նույն հիմք և բարձրություն ունեցող զուգահեռագծի մակերեսի կեսին։

Մակերեսը հաշվելու բանաձևեր.

# S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} bh_b*, քանի որ <math>\ h_b = a \sin \gamma</math>, ուստի*
# S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} ab \sin \gamma
# S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} r(a+b+c) = pr
# S_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}
# S_{\triangle ABC}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = {1 \over 4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)} - Հերոնի բանաձև
# S_{\triangle ABC}= \frac {a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}
# S_{\triangle ABC}= {2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}
# S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}=\frac {\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|}{2}=
=\frac {\left|(x_B - x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)\right|}{2} 
# S_{\triangle ABC}=\frac{ab}{2}=r^2+2rR - ուղղանկյուն եռանկյան համար
# S_{\triangle ABC}=\frac {c^2}{2(ctg\alpha+ctg\beta)} - եթե հայտնի է եռանկյան մեկ կողմը և նրան կից անկյունները
**Որտեղ**
* \ h_b - \ b կողմիին տարված բարձրությունն է, 
* p=\frac {a+b+c}{2} - պարագծի կեսն է, 
* \ r - ներգծած շրջանի շառավիղն է, 
* \ R - արտագծած շրջանի շառավիղն է, 
* \ (x_A, y_A) ; (x_B, y_B) ; (x_C, y_C)  - եռանկյան գագաթների կոորդինատներն են։

## Միջին գիծ
Եռանկյան միջին գիծը, եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածն է։Միջին գիծը զուգահեռ է կողմերից մեկին և հավասար դրա կեսին։

## Եռանկյունների հավասարության հայտանիշներ
*Թեորեմ*։ Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և դրանց կազմած անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու կողմերին և դրանց կազմած անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

## Ապոլոնիուսի թեորեմ
Եռանկյան միջնագծի երկարությունը բավարարում է՝
m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}

## Էյլերի ուղիղ
Եռանկյան օրթոկենտրոնը, ծանրության կենտրոնը և արտագծած շրջանի կենտրոնը գտնվում են մի ուղիղի վրա։

## Եռանկյան անհավասարության ուժեղ տարբերակ
|a-b| 

*Թեորեմ*։ Եթե մի եռանկյան մի կողմը և նրան առընթեր երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան մի կողմին և նրան առընթեր երկու անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

*Թեորեմ*։ Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

## Աղբյուրներ
* Ա. Վ. Պոգորելով «Երկրաչափություն», 1988։
* М. Я. Выгодский «Справочник по высшей математики», 1977։

Կատեգորիա:Եռանկյուններ
Կատեգորիա:Եռանկյան երկրաչափություն