Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի միջև կապ

**Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի միջև կապը** հնագույն ժամանակներից ի վեր փիլիսոփաների, մաթեմատիկոսների և ֆիզիկոսների, իսկ վերջերս՝ նաև պատմաբանների և մանկավարժների ուսումնասիրության առարկա է եղել։ Ընդհանուր առմամբ համարվելով մեծ կապվածություն, մաթեմատիկան նկարագրվել է որպես «ֆիզիկայի համար կարևոր գործիք», իսկ ֆիզիկան՝ որպես «մաթեմատիկայի մեջ ոգեշնչման և ներշնչանքի հարուստ աղբյուր»։

Ամենահին և ամենաշատ քննարկվող թեմաներից մի քանիսը վերաբերում են երկու առարկաների միջև հիմնական տարբերություններին, դրանց փոխադարձ ազդեցությանը, ֆիզիկայում մաթեմատիկական խստության դերին և ֆիզիկայում մաթեմատիկայի արդյունավետության բացատրության խնդրին։

Իր «Ֆիզիկա» աշխատության մեջ Արիստոտելի կողմից արծարծվող թեմաներից մեկը վերաբերում է նրան, թե ինչպես են մաթեմատիկոսների կողմից իրականացվող ուսումնասիրությունները տարբերվում ֆիզիկոսների կողմից իրականացվող ուսումնասիրություններից։ Մաթեմատիկայի՝ որպես բնության լեզվի մասին մտորումներ կարելի է գտնել պյութագորասյան գաղափարներում՝ «Թվերն են կառավարում աշխարհը» և «Ամեն ինչ թիվ է» համոզմունքներում, իսկ երկու հազարամյակ անց դրանք արտահայտել է նաև Գալիլեո Գալիլեյը. «Բնության գիրքը գրված է մաթեմատիկայի լեզվով»։

## Պատմական ինտերփլեյ
Մինչև գնդի ծավալի բանաձևի մաթեմատիկական ապացույց տալը, Արքիմեդեսն օգտագործել է ֆիզիկական դատողություններ՝ լուծումը գտնելու համար (պատկերացնելով մարմինների հավասարակշռությունը կշեռքի վրա)։ Արիստոտելը ֆիզիկան և մաթեմատիկան դասակարգել է որպես տեսական գիտություններ՝ ի տարբերություն գործնական գիտությունների (ինչպիսիք են էթիկան կամ քաղաքականությունը) և արտադրողական գիտությունների (ինչպիսիք են բժշկությունը կամ բուսաբանությունը)։

Տասնյոթերորդ դարից սկսած՝ մաթեմատիկայի ամենակարևոր առաջընթացներից շատերը, կարծես, պայմանավորված էին ֆիզիկայի ուսումնասիրությամբ, և սա շարունակվել է հաջորդ դարերում (չնայած տասնիններորդ դարում մաթեմատիկան սկսել է ավելի ու ավելի անկախ դառնալ ֆիզիկայից)։ Մաթեմատիկական վերլուծության ստեղծումն ու զարգացումը սերտորեն կապված էին ֆիզիկայի կարիքների հետ։ Անհրաժեշտ էր նոր մաթեմատիկական լեզու՝ լուծելու այն նոր դինամիկան, որը ծագել էր այնպիսի գիտնականների աշխատանքներից, ինչպիսիք են Գալիլեո Գալիլեյը և Իսահակ Նյուտոնը։ Ածանցյալի հասկացությունը անհրաժեշտ էր, Նյուտոնը չի ունեցել սահմանների ժամանակակից հասկացությունը և փոխարենը օգտագործել է անվերջ փոքրեր, որոնք այդ ժամանակ չեն ունեցել խիստ հիմք։ Այս ժամանակահատվածում ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի միջև քիչ տարբերություն է եղել. օրինակ՝ Նյուտոնը երկրաչափությունը համարում էր մեխանիկայի մի ճյուղ։ 

Ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափությունը, ինչպես ձևակերպվել է Կառլ Ֆրիդրիխ Գաուսի, Յանոշ Բոլյայի, Նիկոլայ Լոբաչևսկու և Բեռնհարդ Ռիմանի կողմից, ազատել է ֆիզիկան մեկ էվկլիդեսյան երկրաչափության սահմանափակումից։ Ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափության մի տարբերակ, որը կոչվում է Ռիմանյան երկրաչափություն, թույլ է տվել Ալբերտ Այնշտայնին մշակել ընդհանուր հարաբերականությունը՝ տրամադրելով հիմնական մաթեմատիկական շրջանակը, որի վրա նա համադրել է իր ֆիզիկական ձգողականության պատկերացումները։

19-րդ դարում Օգյուստ Կոնտը իր գիտությունների հիերարխիայում ֆիզիկան և աստղագիտությունը դասել է որպես պակաս ընդհանուր և ավելի բարդ, քան մաթեմատիկան, քանի որ երկուսն էլ կախված են դրանցից։ 1900 թվականին Դավիթ Հիլբերտը մաթեմատիկական գիտության զարգացման համար իր 23 խնդիրներում ֆիզիկայի աքսիոմատիզացիան համարել է իր վեցերորդ խնդիրը։ Խնդիրը մնում է բաց։

1930 թվականին Պոլ Դիրակը հորինել է Դիրակի դելտա ֆունկցիան, որը ինտեգրալում օգտագործելիս տալիս էր մեկ արժեք։ Այս ֆունկցիայի մաթեմատիկական ճշգրտությունը կասկածի տակ էր մինչև մաթեմատիկոս Լորան Շվարցի կողմից բաշխումների տեսության մշակումը։

Երկու ոլորտների միջև կապերը երբեմն պահանջում են միայն նմանատիպ հասկացությունները տարբեր անուններով նույնականացնել, ինչպես ցույց է տրված 1975 թվականի Ու-Յանգի բառարանում, որը կապում էր տրամաչափի տեսության հասկացությունները դիֆերենցիալ երկրաչափության հետ։

## Ֆիզիկան մաթեմատիկա չէ
Չնայած մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի միջև սերտ կապին, դրանք հոմանիշներ չեն։ Մաթեմատիկայում առարկաները կարող են սահմանվել ճշգրիտ և տրամաբանորեն կապված, բայց առարկան պարտադիր չէ, որ կապ ունենա փորձարարական չափումների հետ։ Ֆիզիկայում սահմանումները աբստրակցիաներ կամ իդեալականացումներ են, մոտավորություններ, որոնք բավարար են բնական աշխարհի համեմատ։ 1960 թվականին Գեորգ Ռաշը նշել է, որ ոչ մի մոդել երբեք ճշմարիտ չէ, նույնիսկ Նյուտոնի օրենքները՝ ընդգծելով, որ մոդելները չպետք է գնահատվեն ճշմարտության, այլ տվյալ նպատակի համար դրանց կիրառելիության հիման վրա։ Օրինակ՝ Նյուտոնը ֆիզիկական մոդել է կառուցել իր շարժման երկրորդ օրենքի նման սահմանումների շուրջ՝ \mathbf F=m\mathbf a` հիմնվելով դիտարկումների վրա, ինչը հանգեցրել է հաշվարկի և բարձր ճշգրտությամբ մոլորակային մեխանիկայի զարգացմանը, սակայն ավելի ուշ այս սահմանումը փոխարինվել է մեխանիկայի բարելավված մոդելներով։ Մաթեմատիկան զբաղվում է այնպիսի առարկաներով, որոնց հատկությունները կարելի է իմանալ հաստատուն կերպով։ Դեյվիդ Հյումի կարծիքով, միայն այն պնդումները, որոնք վերաբերում են բացառապես գաղափարներին, ինչպիսիք են մաթեմատիկայում հանդիպող պնդումները, կարող են ապացուցվել որպես ճշմարիտ՝ հաստատուն կերպով, մինչդեռ իրական աշխարհի փորձառություններին վերաբերող ցանկացած եզրակացության կարելի է հասնել միայն «հավանական դատողության» միջոցով։ Սա հանգեցնում է մի իրավիճակի, որը Ալբերտ Այնշտայնը ձևակերպել է հետևյալ կերպ. «Չկան բազմաթիվ փորձեր, որոնք կարող են ապացուցել, որ ես ճիշտ եմ. մեկ փորձ կարող է ապացուցել, որ ես սխալվում եմ»։ Մաքուր մաթեմատիկայի հետազոտությունների վերջնական նպատակը խիստ ապացույցներն են, մինչդեռ ֆիզիկայում առաջադեմ հետազոտություններում երբեմն բավարար են հևրիստիկ փաստարկները: Ամփոփելով՝ ֆիզիկոսների և մաթեմատիկոսների մեթոդներն ու նպատակները տարբեր են։ Այնուամենայնիվ, ըստ Ռոլան Օմնեսի, մաթեմատիկայի աքսիոմները պարզապես կոնվենցիաներ չեն, այլ ունեն ֆիզիկական ծագում։

### Մաթեմատիկան ֆիզիկա է
Ռուս և խորհրդային մաթեմատիկոս Վլադիմիր Արնոլդի հայտնի ասացվածքն է՝ «Մաթեմատիկան ֆիզիկայի այն մասն է, որտեղ փորձերը էժան են»։ Թեև արտահայտությունը հակասություններ և նույնիսկ ծաղրերգություններ է առաջացրել, Առնոլդը պաշտպանել է այն։ Մաթեմատիկոսներ Արթուր Ջաֆեն և Ֆրենկ Քուինը նշել են մաթեմատիկայում ինտուիցիայի վրա ավելի շատ կենտրոնանալու միտումներ՝ նույնիսկ խստության գնով, և ենթադրում են, որ այս միտումը պայմանավորված է մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի փոխազդեցությամբ։ Ուիլարդ վան Օրման Քուայնի իմացաբանական հոլիզմի շրջանակներում մեր համոզմունքները, նույնիսկ մաթեմատիկայում, ենթարկվում են «փորձի տրիբունալին», ինչպես ֆիզիկայում։

## Խստության դերը ֆիզիկայում
Խստությունը անփոխարինելի է մաքուր մաթեմատիկայում։ Սակայն ֆիզիկայի գրականության մեջ հանդիպող շատ սահմանումներ և փաստարկներ ներառում են հասկացություններ և գաղափարներ, որոնք չեն համապատասխանում մաթեմատիկայի խստության չափանիշներին։

Օրինակ՝ Ֆրիման Դայսոնը քվանտային դաշտի տեսությունը բնութագրել է որպես երկու «դեմք» ունեցող։ Արտաքին կողմը նայում էր բնությանը, և այնտեղ քվանտային դաշտի տեսության կանխատեսումները բացառիկ հաջող էին։ Ներքին կողմը նայում էր մաթեմատիկական հիմքերին և հայտնաբերում անհամապատասխանություններ և առեղծված։ Ֆիզիկական տեսության հաջողությունը գալիս է խիստ մաթեմատիկական հիմքի բացակայության պայմաններում։

Որոշ մաթեմատիկոսներ, ինչպիսիք են Արթուր Ջաֆեն և Ֆրենկ Քուինը, պնդում են, որ ոչ խիստ մաթեմատիկական աշխատանքը երբեմն կարող է նաև օգուտներ բերել։

## Փիլիսոփայական խնդիրներ
Մաթեմատիկայի փիլիսոփայության մեջ դիտարկվող որոշ խնդիրներն հետևյալն են.

*Բացատրեք մաթեմատիկայի արդյունավետությունը ֆիզիկական աշխարհի ուսումնասիրության մեջ. «Այս պահին ի հայտ է գալիս մի առեղծված, որը բոլոր դարերում հուզել է հետաքրքրասեր մտքերը։ Ինչպե՞ս կարող է լինել, որ մաթեմատիկան, լինելով մարդկային մտքի արդյունք, որը անկախ է փորձից, այդքան հիանալի համապատասխանում է իրականության օբյեկտներին» (Ալբերտ Այնշտայն, «Երկրաչափություն և փորձ» գրքում (1921)։
*Հստակորեն սահմանազատեք մաթեմատիկան և ֆիզիկան. որոշ արդյունքների կամ հայտնագործությունների համար դժվար է ասել, թե որ ոլորտին են դրանք պատկանում՝ մաթեմատիկային, թե՞ ֆիզիկային։
*Ի՞նչ է ֆիզիկական տարածության երկրաչափությունը։
*Ո՞րն է մաթեմատիկայի աքսիոմների ծագումը։
*Ինչպե՞ս է արդեն իսկ գոյություն ունեցող մաթեմատիկան ազդում ֆիզիկական տեսությունների ստեղծման և զարգացման վրա։
*Թվաբանությունը *անալիտիկ* է, թե՞ *սինթետիկ*: (Իմանուիլ Կանտից, տե՛ս Անալիտիկ-սինթետիկ տարբերակումը)
*Ի՞նչ էական տարբերություն կա արդյունքը տեսնելու համար ֆիզիկական փորձ կատարելու և արդյունքը տեսնելու համար մաթեմատիկական հաշվարկ կատարելու միջև (Թյուրինգ-Վիտգենշտեյնի բանավեճից)։
*Գյոդելի անավարտության թեորեմները ենթադրո՞ւմ են, որ ֆիզիկական տեսությունները միշտ անավարտ կլինեն (Սթիվեն Հոքինգից)։
*Մաթեմատիկան հորինվա՞ծ է, թե՞ հայտնաբերված (հազարամյակների պատմություն ունեցող հարց, որը բարձրացրել է, ի թիվս այլ հարցերի, Մարիո Լիվիոն)։

## Կրթություն
Վերջերս երկու առարկաները ամենից հաճախ դասավանդվում են առանձին՝ չնայած ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի միջև եղած բոլոր փոխկապակցվածությանը։ Սա դրդել է որոշ պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոսների, ինչպիսիք են Ֆելիքս Քլեյնը, Ռիխարդ Կուրանտը, Վլադիմիր Արնոլդը և Մորիս Քլայնը, որոնք նույնպես հետաքրքրված էին մաթեմատիկական կրթությամբ, վճռականորեն պաշտպանել մաթեմատիկայի դասավանդումը ֆիզիկական գիտություններին ավելի սերտորեն կապված ձևով։ Ֆիզիկայի քոլեջի ուսանողների համար մաթեմատիկայի սկզբնական դասընթացները հաճախ դասավանդում են մաթեմատիկոսները, չնայած ֆիզիկոսների և մաթեմատիկոսների «մտածողության» տարբերություններին այդ ավանդական դասընթացների և դրանց հետագա ֆիզիկայի դասընթացներում կիրառման վերաբերյալ։

## Տես նաև
*Ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափություն

*Կեպլերի օրենքներ

*Զենոնի ապորիաներ

*Մաթեմատիկական մոդել

*Էմպիրիզմ

*Նիկոլա Բուրբակի

*Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն

*Աստղագիտության պատմություն

*Մոդելավորում

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* 
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* (part 1) (part 2).
*
*
*
*
*

## Արտաքին հղումներ
* Gregory W. Moore – Physical Mathematics and the Future (July 4, 2014)
* IOP Institute of Physics – Mathematical Physics: What is it and why do we need it? (September 2014)
* Feynman explaining the differences between mathematics and physics in a video available on YouTube

Կատեգորիա:Գիտության պատմություն
Կատեգորիա:Մաթեմատիկայի պատմություն
Կատեգորիա:Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն
Կատեգորիա:Ֆիզիկայի պատմություն
Կատեգորիա:Ֆիզիկայի փիլիսոփայություն