Ներգծյալ քառանկյուն

Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ ներգծյալ են անվանում այն քառանկյունը որի բոլոր գագաթները գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա։ Ի տարբերություն եռանկյունների ոչ բոլոր քառանկյուններին է հնարավոր արտագծել շրջանագիծ։

## Հայտանիշներ
Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան կողմերի միջնուղահայացները հատվում են մի կետում։

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում երբ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը հավասար է ուղիղ անյանը։ A + C = B + D = \pi = 180^{\circ}. Կամ որ նունն է՝

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքու եթե քառանկյան յուրաքանչյուր անկյան արտաքին անկյունը հավասար է հանդիպակաց անկյան ներիքին անկյանը։

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան կողմի և անկյունագծի կազմած անկյունը հավասար է հանդիպակաց կողմի և մյուս անկյունագծի կազմած անկյանը։

Պտղոմեոսի թեորեմը ցույց է տալիս որ ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ այն և միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան անկյունագծերի արտադրյալը հավասար հանդիպակաց կողմերի արտադրյալների գումարին ։
:\displaystyle pq = ac + bd.

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում երբ

:\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{C}{2}}=\tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{D}{2}}=1.

Եթե AC և BD հատվածները հատվում են X կետում ապա ստացված քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում եթե\displaystyle AX\cdot XC = BX\cdot XD.

## Մակերես
Ներգծյալ քառանկյան S մակերեսը կարելի է հաշվել Բրահմագուպտայի բանաձևով։

S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} \, որտեղ p-ն հավասար է քառանկյան կիսապարագծին իսկ a, b, c և d քառանկյան կողմերը։ Այս բանաձևը կարելի դիտարկել որպես Բրետշնայդերի բանաձևի մասնավոր դեպք։ d=0 դեպքում ներգծյալ քառանկյունը վերծվում է եռանկյան և իսկ բանաձևը Հերոնի բանաձևի։

Ներգծյալ քառանկյունը նույն կողմերն ունեցող քառանկյուներից ամենամեծն է։ Սա կարելի է ապացուցել Բրետշնեյդերի բանաձևի ինչպես նաև մաթեմատիկական անալիզի միջոցով։

Ուռուցիկ քառանկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել a, b, c, d կողմերով և a, b կողմերի կաղմած A անկյունով
:K = \tfrac{1}{2}(ab+cd)\sin{B} բանաձևով,
կամ
:K = \tfrac{1}{2}(ac+bd)\sin{\theta}
որտեղ *θ* անկյունագծերի կազմած անկյունն է։

Եթե A հավասար չէ ուղիղ անկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել նաև
:K = \tfrac{1}{4}(a^2-b^2-c^2+d^2)\tan{A}. բանաձևով
Ներգծյալ քառանկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել նաև արտագծյալ շրջանագծի շառավղի միջոցով հետևյալ բանաձևի միջոցով՝
:\displaystyle K=2R^2\sin{A}\sin{B}\sin{\theta}
որպես ուղղակի հետևանք
:K\le 2R^2
անհավասարությունը հավասար է այն և միայն այն դեպքում երբ քառանկյունը քառակուսի է։

## Անկյունագծեր
Եթե ներգծյալ քառանկյան գագաթներն են A, B, C, D և kողմերը a=AB, b=BC, c=CD և d=DA անկյունագծեր AC-ի և BD-ի համապատասխանաբար p և q արժեքները կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևերով՝
:p = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}
:q = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}}.
Ըստ Պտղոմեոսի երկրորդ թեորեմի՝

\frac{p}{q}= \frac{ad+cb}{ab+cd}

Օգտագործելով նույն թեորեմը ստանում են ակյունագծերի գումարի բանաձևը՝

p+q\ge 2\sqrt{ac+bd}

Արտահայտությունները հավասար են միայն այն դեպքում երբ անկյունագծերը հավասար են։

Ցանկացաց ուռուցիկ ներգծյալ քառանկյան աանկյունագծերը հատվելիս քառանկյունը տրոհում են չորս եռանյուների, ընդ որում հանդիպակաց եռանկյունները նման են։

Եթե ABCD-ն ներգծյալ քառանկյուն է ընդ որում AC և BD ուղիղների հատման կետը E-ն է ունեմն՝

\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CB}\cdot\frac{AD}{CD}

## Անկյուներ
a, b, c, d կողմերով s կիսապարագծով և a, b կողմերով կաղմված A անկյամբ ներգծյալ քառանկյան A անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները տրվում են հետևյալ բանաձևերով

\cos A = \frac{a^2 + d^2 - b^2 - c^2}{2(ad + bc)}

\sin A = \frac{2\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}{(ad+bc)}

\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}

Անկյունագծերի կազմած *θ * անկյան տանգենսը հավասար է՝

\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}

Եթե a և c հանդիպակաց հատվածների շարունակությունները հատվելիս կազմում են \phi անկյուն ապա՝

\cos{\frac{\phi}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-d)(b+d)^2}{(ab+cd)(ad+bc)}}

## Պարամեշվարայի բանաձև
Քառանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը կարելի է արտահայտել քառանկյան a, b, c, d կողմերով Պարամեշվարայի բանաձև օգնությամբ

R=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

որտեղ s-ը քառանկյան կիսապարագիծն է։

## Տես նաև
* Քառանկյուն

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Քառանկյուններ