Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

**Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ** (*շրջանային ֆունկցիաներ*, *արկֆունկցիաներ*), մաթեմատիկական ֆունկցիաներ, որոնք համարվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձը։ Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները հիմնականում լինում են վեց տեսակի.
* արկսինուս (նշանակում: \mathrm{arcsin}\, x; \mathrm{arcsin}\, x — սա այն անկյունն է, որի սինուսը հավասար է x)
* արկկոսինուս (նշանակում։ \mathrm{arccos}\, x; \mathrm{arccos}\, x — սա այն անկյունն է, որի կոսինուսը հավասար է x և այդպես շարունակ)
* արկտանգենս (նշանակում։ \mathrm{arctg}\, x; գրականության մեջ նաև՝ \mathrm{arctan}\, x)
* արկկոտանգենս (նշանակում։ \mathrm{arcctg}\, x; գրականության մեջ՝ \mathrm{arccot}\, x կամ \mathrm{arccotan}\, x)
* արկսեկանս (նշանակում։ \mathrm{arcsec}\, x)
* արկկոսեկանս (նշանակում։ \mathrm{arccosec}\, x; գրականության մեջ՝ \mathrm{arccsc}\, x)

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անունները ստեղծվել են համապատասխան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին «արկ-» նախածանցը ավելացնելով ( — աղեղ)։ Դա կապված է նրա հետ, որ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների երկրաչափական արժեքները կապված են միավոր շրջանագծի վրա այդ աղեղի երկարությունից (կամ անկյունից)։ Սովորական սինուսը հնարավորություն է տալիս աղեղից գտնել նրան ձգող լարը, իսկ հակադարձ ֆունկցիան որոշում է հակառակ խնդիրը։ Եռակնյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձ եղանակի մասին հայտնել է ավստրիացի մաթեմատիկոս Կարլ Շերֆերը (; 1716-1783), բայց դրա արմատները հիմնակում պատկանում էին Լագրանժին։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար առաջին հատուկ նշանը ստեղծել է Դանիել Բերնուլին՝ 1729 թվականին։ Անգլիական և գերմանական շատ դպրոցների մինչև 19-րդ դարի վերջը առաջարկում էին այլ նշանակումներ. \sin^{-1}, \frac{1}{\sin}, սակայն դրանք չընդունվեցին։ Միայն երբեմն այլ գրականության և գիտական/ինժեներական հաշվիչներում արկսինուսի, արկկոսինուսի և այլնի համար օգտագործվում էր sin, cos եղանակը, - դա ընդհանրապես ճիշտ չէր համարվում, քանի որ այդեղ կարող էր շփոթմունք լինել -1 աստիճանի դեպքում։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձները երկիմաստ էին։ Այսինքն արկֆունկցիաների արժեքները իրենցից ներկայացնում էին բազմաթիվ անկյուններ (աղեղի), որի պատճառով համապատասխան ուղիղ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի համար ճիշտ էր տվյալ արժեքը։ Օրինակ, \arcsin 1/2 իրենից ներկայացնում է բազմաթիվ անկյուններ՝ \left ( \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6} \dots ~ (30^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ \dots) \right ), որի սինուսը հավասար է 1/2: Այս բազմաթիվ արժեքների արկֆունկցիային հատկացվում է իր հիմնական արժեքները, որոնք սովորաբար պետք է նկատի ունենալ երբ խոսվում է արկսինուս, արկկոսինուս և այլ ֆունկցիաների մասին։
Ընդհանուր առմամբ -1 \leqslant \alpha \leqslant 1 պայմանի դեպքում \sin x = \alpha հավասարում կարող է ներկայանալ հետևյալ ձևով՝ x = (-1)^n \arcsin \alpha + \pi n, ~ n = 0, \pm1, \pm2, \dots ~ .

## Հիմնական նույնություններ
: \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}

: \operatorname {arctg}\, x + \operatorname {arcctg}\, x = \frac{\pi}{2}

## Հիմնական հատկություններ
### Գլխավոր արժեքներ

### Կապը եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև
Եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները աղյուսակավորված են ներքևում.

### Կապը հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև
168px|right|thumb|arcsin(''x'') (կարմիր) և arccos(''x'') (կապույտ) ֆունկցիաների գրաֆիկների փոխադարձ դասավորությունը:
294px|right|thumb|arctan(''x'') և arccot(''x'') ֆունկցիաների գրաֆիկների փոխադարձ դասավորությունը:
294px|right|thumb|arcsec(''x'') և arccsc(''x'') ֆունկցիաների գրաֆիկների փոխադարձ դասավորությունը:

Լրացուցիչ անկյուններ.
:\begin{align}
\arccos x &= \frac{\pi}{2} - \arcsin x \\[0.5em]
\arccot x &= \frac{\pi}{2} - \arctan x \\[0.5em]
\arccsc x &= \frac{\pi}{2} - \arcsec x
\end{align}

Բացասական արգումենտներ.
:\begin{align}
\arcsin (-x) &= -\arcsin x \\
\arccos (-x) &= \pi -\arccos x \\
\arctan (-x) &= -\arctan x \\
\arccot (-x) &= \pi -\arccot x \\
\arcsec (-x) &= \pi -\arcsec x \\
\arccsc (-x) &= -\arccsc x
\end{align}

Դրական արգումենտներ.
:\begin{align}
\arccos (1/x) &= \arcsec x \\[0.3em]
\arcsin (1/x) &= \arccsc x \\[0.3em]
\arctan (1/x) &= \frac{\pi}{2} - \arctan x = \arccot x \, , \text{if} x > 0 \\[0.3em]
\arctan (1/x) &= -\frac{\pi}{2} - \arctan x = \arccot x - \pi \, , \text{ if} x  0 \\[0.3em]
\arccot (1/x) &= \frac{3\pi}{2} - \arccot x = \pi + \arctan x \, , \text{ if} x 

:\begin{align}
\arccos x &= \arcsin \sqrt{1 - x^2} \, , \text{ if} 0 \leq x \leq 1 \\
\arctan x &= \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}
\end{align}

:\begin{align}
\arcsin x &= 2 \arctan \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} \\[0.5em]
\arccos x &= 2 \arctan \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1 + x} \, , \text{ if} -1 

### Արկտանգենսի գումարման բանաձև
:\arctan u + \arctan v = \arctan \left( \frac{u+v}{1-uv} \right) \pmod \pi \, , \quad u v \ne 1 \, 
Ստացվածը տանգենսների գումարման բանաձևն է.
:\tan ( \alpha + \beta ) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \, , 
:\alpha = \arctan u \, , \quad \beta = \arctan v \, :

## arcsin ֆունկցիան
thumb|<math>y = \arcsin x</math> ֆունկցիայի գրաֆիկը
**Արկսինուս** *m* թվից կոչվում է այն *x* անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար \sin x = m, \, -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, \, |m|\leqslant 1:

y=\sin x ֆունկցիան անընդհատ է և սահմանափակ է իր թվային առանցքի վրա։ y=\arcsin x ֆունկցիան համարվում է խիստ աճող։

* \sin (\arcsin x) = x\qquad, -1 \leqslant x \leqslant 1 միջակայքում, 
* \arcsin(\sin y) = y\qquad, -\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2} միջակայքում, 
* D(\arcsin x)=[-1; 1]\qquad (որոշման տիրույթ), 
* E(\arcsin x) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\qquad (փոփոխման տիրույթ)։

### arcsin ֆունկցիայի հատկություններ
* \arcsin (-x) = -\arcsin x \qquad (ֆունկցիան կենտ է).
* \arcsin x>0 \, , 0 .
* \arcsin x = 0\, , x=0.
* \arcsin x , -1 \leqslant x 
* \arcsin x = \left\{\begin{matrix} \arccos \sqrt{1-x^2}, \qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 
\\ -\arccos \sqrt{1-x^2}, \qquad -1 \leqslant x 
* \arcsin x = \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} 
* \arcsin x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}, \qquad 0 

### arcsin ֆունկցիայի ստացում
Տրված է y=\sin x ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, բայց դրա հակադարձ y= \arcsin x ֆունկցիան մոնոտոն չի համարվում։ Դրա համար մենք նշում ենք, որ ֆունկցիան կտրուկ աճող է իր փոփոխման տիրույթի վրա՝ \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]: y=\sin x ֆունկցիայի յուրաքանչյուր արժեք \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ] միջակայքում հասնում է միակ արգումենտի արժեքին և այդ միջակայքում համարվում է y=\arcsin x ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը համաչափ է y=\sin x ուղղի նկատմամբ՝ \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ] միջակայքում։ (հակադարձ ֆունկցիաների գրաֆիկները համարվում են կոորդինատային Oxy հարթության առաջին և երրորդ քառորդների կիսորդը)

## arccos ֆունկցիան
thumb|<math>y=\arccos x</math> ֆունկցիայի գրաֆիկը
**Արկոսինուս** *m* թվից կոչվում է այն *x* անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար \cos x = m, \qquad 0 \leqslant x \leqslant \pi, |m|\leqslant 1:

y=\cos x ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր որոշման տիրույթի վրա։ y=\arccos x ֆունկցիան համարվում է խիստ նվազող։

* \cos (\arccos x)=x, -1 \leqslant x \leqslant 1, 
* \arccos (\cos y) = y, 0 \leqslant y \leqslant \pi.
* D(\arccos x)=[-1; 1],  (որոշման տիրույթ), 
* E(\arccos x)=[0; \pi]. (փոփոխման տիրույթ)։

### arccos ֆունկցիայի հատկություններ
* \arccos(-x) = \pi - \arccos x\,  (ֆունկցիան համաչափ է կոորդինատային հարթության \left (0; \frac{\pi}{2}\right) կետի նկատմամբ), համարվում է ո՛չ զույգ, ո՛չ կենտ ֆունկցիա։
* \arccos x > 0\, , -1 \leqslant x 
* \arccos x = 0\, , x=1.\, 
* \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x.
* \arccos x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \sqrt{1-x^2}, \qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\\pi-\arcsin \sqrt{1-x^2}, \qquad -1 \leqslant x 
* \arccos x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}, \qquad 0 
* \arccos x = 2 \arcsin \sqrt \frac{1-x}{2} 
* \arccos x = 2 \arccos \sqrt \frac{1+x}{2} 
* \arccos x = 2 \operatorname{arctg} \sqrt \frac{1-x}{1+x} 

### arccos ֆունկցիայի ստացում
Տրված է y=\cos x ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտան, սակայն նրա հակադարձ y=\arccos x ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով մենք դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները՝ [0; \pi]: y=\cos x միջակայքում ֆունկցիան մոնոտոն նվազող է և իր բոլոր արժեքները ընդունում է միայն մեկ անգամ, իսկ [0; \pi] միջակայքում y = \arccos x ֆունկցիայի հակադարձն է, որի գրաֆիկը y=x ուղղի նկատմամբ համաչափ է y=\cos x ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ՝ [0; \pi] միջակայքում։

## arctg ֆունկցիան
thumb|500px|<math>y=\operatorname{arctg}\, x</math> ֆունկցիայի գրաֆիկը
**Արկտանգենս** *m* թվից կոչվում է այն \alpha անկյունը՝ արտահայտված ռադիանով, որի համար \operatorname{tg}\, \alpha = m, \qquad -\frac{\pi}{2} 

y=\operatorname{arctg} x ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր որոշման տիրույթի վրա։ y=\operatorname{arctg} x ֆունկցիան համարվում է խիստ աճող։

* \operatorname{tg}\, (\operatorname{arctg}\, x)=x, x \in \mathbb R, 
* \operatorname{arctg}\, (\operatorname{tg}\, y)=y, -\frac{\pi}{2}
* D(\operatorname{arctg}\, x) = (-\infty; \infty), 
* E(\operatorname{arctg}\, x) = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)

### arctg ֆունկցիայի հատկություններ
* \operatorname{arctg} (- x) = -\operatorname{arctg} x \qquad
*  \operatorname{arctg} x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} 
*  \operatorname{arctg} x = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} , x > 0
*  \operatorname{arctg} x = \operatorname{arcctg} \frac{1}{x} 

### arctg ֆունկցիայի ստացում
Տրված է y=\operatorname{tg}\, x ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, իսկ նրա հակադարձ y=\operatorname{arctg}\ x ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ աճող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ՝ \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right): Այդ միջակայքի վրա y=\operatorname{tg}\ x ֆունկցիան խիստ մոնոտոն աճող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ, ուստի \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) միջակայքի վրա այն համարվում է y=\operatorname{arctg}\ x ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը y=\operatorname{tg}\, x ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ հակադարձ է y=x ուղղի նկատմամբ՝ \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) հատվածում։

## arcctg ֆունկցիան
500px|thumb|<math>y = \operatorname{arcctg} x</math> ֆունկցիայի գրաֆիկը
**Արկկոտանգենս** *m* թվից կոչվում է այն *x* անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար \operatorname{ctg}\, x = m, \qquad 0 

y=\operatorname{arcctg}\, x ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր ոչոշման տիրույթի վրա։ y=\operatorname{arcctg}\, x Ֆունկցիան համարվում է խիստ նվազող։

* \operatorname{ctg}\, (\operatorname{arcctg}\, x) = x, x \in \mathbb R, 
* \operatorname{arcctg}\, (\operatorname{ctg}\, y) = y, 0
* D(\operatorname{arcctg}\, x) = (-\infty; \infty), 
* E(\operatorname{arcctg}\, x) = (0; \pi):

### arcctg ֆունկցիայի հատկություններ
* \operatorname{arcctg}\, (-x) = \pi - \operatorname{arcctg}\, x (ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է \left(0; \frac{\pi}{2}\right) կետի նկատմամբ)։
* \operatorname{arcctg}\, x > 0 ցանկացած x-ի համար։
* \operatorname{arcctg}\, x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \qquad x \geqslant 0 
\\\pi-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \qquad x 
* \operatorname{arcctg} x = \pi/2-\operatorname{arctg} x:

### arcctg ֆունկցիայի ստացում
Տրված է y=\operatorname{ctg}\, x ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, իսկ նրա հակադարձ y=\operatorname{arcctg}\, x ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ՝ (0; \pi): Այս միջակայքում y=\operatorname{ctg}\, x ֆունկցիան խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ, ուստի (0; \pi) միջակայքում համարվում է y=\operatorname{arcctg}\, x ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը y=x ուղղի նկատմամաբ համաչափ է y=\operatorname{ctg}\, x ֆունկցիայի գրաֆիկին՝ (0; \pi) միջակայքում։

Արկկոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է արկտանգենս ֆունկցիայի միջոցով, վերջինս օրդինատների առանցքով արտապատկերելով (որը պետք է փոխարինել արգումենտի նշանով. x \rightarrow -x) և բարձրացնելով վերև  միավորով. դա կարող ենք տերկայացնել հետևյալ բանաձևով՝ \operatorname{arcctg} x = \operatorname{arctg} (-x)+\pi/2:

## arcsec ֆունկցիան
\mathop{\operatorname{arcsec}}\, (x)\, = \operatorname{arccos} \left( \frac{1}{x}\right)\, 

## arccosec ֆունկցիան
\mathop{\operatorname{arccosec}}\, (y)\, = \operatorname{arcsin} \left( \frac{1}{y}\right)\, 

## Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալ
(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
(\operatorname{arctg}\, x)' = \frac{1}{\ 1+x^2}
(\operatorname{arcctg}\, x)' = -\frac{1}{\ 1+x^2}

## Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալ
### Անորոշ ինտեգրալներ
Իրական և կոմպլեքս *x*-երի համար.
: 
\begin{align}
\int \arcsin x\, dx &{}= x\, \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C, \\
\int \arccos x\, dx &{}= x\, \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C, \\
\int \operatorname{arctg}\, x\, dx &{}= x\, \operatorname{arctg}\, x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C, \\

\int \operatorname{arcctg}\, x\, dx &{}= x\, \operatorname{arcctg}\, x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C, \\
\int \arcsec x\, dx &{}= x\, \arcsec x - \ln\left(x\left(1+\sqrt + \dfrac{i}{z} \right).
\end{align}


## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
* Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — Т. 3. — с. 1135.
* 
* Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
* Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции

## Տես նաև
* Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
* Եռանկյունաչափության պատմություն

Կատեգորիա:Եռանկյունաչափություն
Կատեգորիա:Տարրական ֆունկցիաներ