Խառը վիճակ

**Խառը վիճակ**, քվանտային վիճակ, որը չի նկարագրվում վիճակի վեկտորով (ոչ էլ ալիքային ֆունկցիայով), այլ հանդիսանում է մաքուր քվանտային վիճակների խառնուրդ։ Դա նշանակում է, որ քվանտային համակարգը որոշակի \omega_1, \omega_2 ...\omega_n հավանականություններ ունի գտնվելու |\psi_1\rangle, |\psi_2\rangle...|\psi_n\rangle վիճակի վեկտորներով նկարագրվող մաքուր վիճակներից յուրաքանչուրում։ Խառը վիճակի նկարագրման համար օգտագործվում է խտության մատրիցը։

## Խտության մատրից
Խտության մատրիցը սահմանվում է հետևյալ արտահայտությամբ

\hat \rho=\sum_{i}^{n}\omega_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|,

որտեղ |\psi_i\rangle-ով նշանակված է մաքուր վիճակի վեկտորը, իսկ \omega_i-ով — այդ վեկտորով նկարագրվող վիճակում գտնվելու հավանականությունը։ Մաքուր վիճակը նկարագրելու համար նույնպես կարելի է օգտագործել խտության մատրիցը։ |\psi \rangle մաքուր վիճակին համապատասխանում է \hat \rho_{\text{մ}}=|\psi\rangle\langle\psi| խտության մատրիցը։

### Հատկություններ
#\hat \rho -ն հերմիտյան ոչ բացասական օպերատոր է, որը ունի միավոր հետք {\rm Tr}(\hat \rho)=\sum_{\alpha}\langle \alpha|\hat \rho|\alpha\rangle=1:  Այստեղ |\alpha \rangle-ով նշանակված վեկտորները ներկայացնում են ցանկացած բազիս։
#խտության մատրիցի քառակուսու հետքը մեկից ոչ ավել է {\rm Tr}(\hat \rho^2)\leq 1 :
#Որևէ ֆիզիկական մեծություն ներկայացնող \hat A օպերատորի միջին մեծությունը տրվում է հետևյալ հետքով\langle \hat  A \rangle = \sum_i \omega_i \langle \psi_i | \hat A | \psi_i \rangle = \sum_i \omega_i  \langle \psi_i| \hat A\left(\sum_\alpha |\alpha \rangle  \langle \alpha|\right) |\psi_i \rangle  = \sum_\alpha \langle \alpha|\left(\sum_i \omega_i  |\psi_i \rangle\langle \psi_i| \hat A \right)|\alpha \rangle = {\rm Tr}(\hat\rho \hat A):
#խտության մատրիցի էվոլյուցիան տրվում է ֆոն Նեյմանի հավասարությամբ

\frac{\partial}{\partial t}\hat \rho= \frac{1}{i \hbar}[\hat H,\hat \rho],     որտեղ \hat H -ը նկարագրվող համակարգի համիլտոնյանն է։

### Մաքուր վիճակի խտության մատրիցը
Որպես մաքուր վիճակի չափանիշ, կարող է օգտագործվել հետևյալ պայմաններից մեկը.

#\hat \rho^2=\hat\rho ,
#{\rm Tr}(\hat \rho^2)= 1 ,
#ֆոն Նեյմանի Էնտրոպիայի զրոյական արժեքը S=-Tr(\hat \rho \ln(\hat\rho))=0։

## Խառը վիճակի և քվանտային վերադրման տարբերությունը
Խառը վիճակը տարբերվում է քվանտային վերադրումից։ Օրինակ երկաստիճան համակարգի դեպքում |\psi>=c_1|\downarrow>+c_2|\uparrow> վեկտորը և \hat \rho =|c_1|^2|\downarrow> խտության մատրիցը նկարագրում էն տարբեր վիճակներ։ Նշված վերադրմանը համապատասխանող խտության մատրիցը հետևյալն է

\hat\rho=(c_1|\downarrow>+c_2|\uparrow>)(c_1^*

## Ենթահամակարգի նկարագրությունը
Խտության մատրիցի օգտագործման անհրաժեշտությունը պարզվում է քվանտային համակարգի ենթահամակարգը դիտարկելիս։ Դիցուք A-ն և \tilde A-ն քվանտային համակարգեր են, որոնք որպես ամբողջություն նկարագրվում են  |\psi\rangle վեկտորով։ Կոմպոզիտային համակարգի \mathcal{H} hիլբերտյան տարածությունը տենզորային արտադրյալն է  ենթահամակարգների տարածությունների \mathcal{H}=\mathcal{H_A}\otimes\mathcal{H_{\tilde A}}: Դա նշանակում է որ \mathcal{H} տարածության բազիսը կարելի է կազմել \mathcal{H_A}-ի և \mathcal{H_\tilde A}-ի  |a_i\rangle և |\tilde a_j\rangle բազիսներից վորպես տենզորային արտադրյալ |a_i,\tilde a_j\rangle=|a_{i}\rangle \otimes|\tilde a_{j}\rangle :

Դիտարկենք A ենթահամակարգում f  ֆիզիկական մեծության չափումը։ Աիդ մեծության միջինը տրվում է հետևյալ արտահայտությամբ

\langle\psi|\hat f|\psi\rangle=\sum_{i,j}\sum_{i',j'} \langle\psi|a_i, \tilde a_j\rangle\langle a_i, \tilde a_j|\hat f|a_{i'}, \tilde a_{j'}\rangle\langle a_{i'}, \tilde a_{j'}|\psi\rangle=\sum_{i'}\left[\sum_{i}\langle a_{i'}|\left(\sum_{j} \langle \tilde a_{j}|\psi\rangle\langle\psi|\tilde a_{j}\rangle\right)|a_{i}\rangle\langle a_i|\hat f|a_{i'}\rangle\right]=\sum_{i'}\langle a_{i'}|\left(\sum_{j} \langle \tilde a_{j}|\psi\rangle\langle\psi|\tilde a_{j}\rangle\right)\hat f|a_{i'}\rangle={\rm Tr}_{A}(\hat \rho_A\hat f)

Այստեղ \hat \rho_A-յով նշանակված է A ենթահամակարգի խտության մատրիցը որը տրվում է |\psi\rangle\langle\psi| օպերատորի մասնակի հետքով։ Կարեվոր է նշել որ չնայած ամբողջական համակարգի մաքուր վիճակում գտնվելուն, նրա ենթահամակարգը ընդհանուր առմամբ գտնվում է խառը վիճակում։ Միայն  A և \tilde A ենթահամակարգերի խճճված չլինելու դեպքում նրանցից յուրաքանչյուրը նույնպես կգտնվի մաքուր վիճակում։ Այդ դեպքում |\psi\rangle=|\psi_{A}\rangle \otimes|\psi_{\tilde A}\rangle իսկ  \hat \rho_A=|\psi_{A}\rangle\langle\psi_{A}|:

## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
*
*



Կատեգորիա:Վիճակագրական մեխանիկա
Կատեգորիա:Քվանտային մեխանիկա
Կատեգորիա:Ֆունկցիոնալ անալիզ