Երեք խորանարդների խնդիր

**Երեք խորանարդների խնդիր**, խնդիր, որի նպատակը x^3+y^3+z^3=w^3 \,  հավասարման լուծում հանդիսացող բոլոր ամբողջ թվերը գտնելն է։

Հատկանշական է, որ չնայած առաջարկվում է այս հավասարման մի քանի լուծում ռացիոնալ թվերի դեպքում, դրա լուծումն անհայտ է ամբողջ թվերի դեպքում։

## Ամբողջ թվերով լուծման օրինակներ
Ամենափոքր բնական լուծումներ.
::3^3+4^3+5^3=6^3
::1^3+6^3+8^3=9^3
::3^3+10^3+18^3=19^3
::7^3+14^3+17^3=20^3
::4^3+17^3+22^3=25^3
::18^3+19^3+21^3=28^3
::11^3+15^3+27^3=29^3
::2^3+17^3+40^3=41^3
::6^3+32^3+33^3=41^3
::16^3+23^3+41^3=44^3

Բացասական թվերով լուծումներ.
::-1^3+9^3+10^3=12^3
::-2^3+9^3+15^3=16^3
::-2^3+15^3+33^3=34^3
::-2^3+41^3+86^3=89^3
::-3^3+22^3+59^3=60^3

## Լրիվ ռացիոնալ պարամետրեր
Գոդֆրի Հարոլդ Հարդիի և Ռայթի լուծումը.
*:x=-a(b-3c)(b^2+3c^2)+a^4
*:y=\quad a(b+3c)(b^2+3c^2)-a^4
*:z=\quad a^3(b-3c)-(b^2+3c^2)^2
*:w=\quad a^3(b+3c)-(b^2+3c^2)^2

Ն. Էլկիես
:\begin{cases}
x = d(-(s+r)t^2 + (s^2+2r^2) t - s^3 + rs^2 - 2r^2s - r^3), \\
y = d(t^3 - (s+r)t^2 + (s^2+2r^2) t + rs^2 - 2r^2s + r^3),  \\
z = d(-t^3 + (s+r)t^2 - (s^2+2r^2) t + 2rs^2 - r^2s + 2r^3), \\
w = d((s-2r)t^2 + (r^2-s^2) t + s^3 - rs^2 + 2r^2s - 2r^3)
\end{cases}

Գ. Ալեքսանդրով
:\begin{cases}
x = x_0(x_0+y_0)a^2+(w_0^2-z_0^2)ab-y_0(w_0-z_0)b^2, \\
y = y_0(x_0+y_0)a^2-(w_0^2-z_0^2)ab-x_0(w_0-z_0)b^2, \\
z = z_0(x_0+y_0)a^2-(y_0^2-x_0^2)ab+w_0(w_0-z_0)b^2, \\
w = w_0(x_0+y_0)a^2-(y_0^2-x_0^2)ab+z_0(w_0-z_0)b^2
\end{cases}

## Լուծման այլ օրինակներ
; Յուրի Լիննիկ, 1940
*:x=b(a^6-b^6)
*:y=a(a^6-b^6)
*:z=b(2a^6+3a^3b^3+b^6)
*:w=a(a^6+3a^3b^3+2b^6)
*:x=a^2(b^6-7)+9ac-3c^2
*:y=a^2 \big [b^3(2b^3+9)+7 \big ]-3ac(2b^3+3)+3c^2
*:z=a^2 b \big [b^3(b^3+3)+2 \big ]-3abc(b^3+2)+3bc^2
*:w=a^2 b \big [b^3(b^3+6)+11 \big ]-3abc(b^3+4)+3bc^2
*:x=3a^2(b^6-7)-9ac-c^2
*:y=3a^2 \big [b^3(2b^3-9)+7 \big ]-3ac(2b^3-3)+c^2
*:z=3a^2 b \big [b^3(b^3-6)+11 \big ]-3abc(b^3-4)+bc^2
*:w=3a^2 b \big [b^3(b^3-3)+2 \big ]-3abc(b^3-2)+bc^2

; Ռոջեր Հեթ-Բրաուն http://euler.free.fr/docs/HLR93.pdf, 1993 г.
*:x=9a^4
*:y=3a-9a^4
*:z=1-9a^3
*:w=1

; Մորդել Լուիս Ջոուել, 1956 г.
*:x=9a^3b+b^4
*:y=9a^4
*:z=-b^4
*:w=9a^4+3ab^3
*:x=9a^3b-b^4
*:y=9a^4-3ab^3
*:z=b^4
*:w=9a^4
*:x=9a^3b+b^4
*:y=9a^3b-b^4
*:z=9a^4-3ab^3
*:w=9a^4+3ab^3

; Հանրահաշվական երկրաչափության մեթոդով ստացած լուծումներ
*;x=3a\left (a^2+ab+b^2 \right )-9
*;y=\left (a^2+ab+b^2 \right )^2-9a
*;z=3 \left (a^2+ab+b^2 \right )(a+b)+9
*;w=\left (a^2+ab+b^2 \right )^2+9(a+b)

; Ռամանուջան
*:x=3a^2+5ab-5b^2
*:y=4a^2-4ab+6b^2
*:z=5a^2-5ab-3b^2
*:w=6a^2-4ab+4b^2
*:x=a^7-3a^4(1+b)+a(2+6b+3b^2)
*:y=2a^6-3a^3(1+2b)+1+3b+3b^2
*:z=a^6-1-3b-3b^2
*:w=a^7-3a^4b+a(3b^2-1)
*:x=-a^2+9ab+b^2
*:y=a^2+7ab-9b^2
*:z=2a^2-4ab+12b^2
*:w=2a^2+10b^2

; Անհայտ հեղինակ, 1825
*:x=a^9-3^6
*:y=-a^9+3^5a^3+3^6
*:z=3^3a^6+3^5a^3
*:w=3^2a^7+3^4a^4+3^6a

; Դ. Լեմեր 1955
*:x=3888a^{10}-135a^4
*:y=-3888a^{10}-1296a^7-81a^4+3a
*:z=3888a^9+648a^6-9a^3+1
*:w=1

; Վ. Բ. Լաբկովսկի
*:x=4b^2-11b-21
*:y=3b^2+11b-28
*:z=5b^2-7b+42
*:w=6b^2-7b+35

; Էյլեր և Բինե
*:x=1-(a-3b)(a^2+3b^2)
*:y=-1+(a+3b)(a^2+3b^2)
*:z=-a-3b+(a^2+3b^2)^2
*:w=-a+3b+(a^2+3b^2)^2

; Հարդի և Ռայթ
*:x=a(a^3-2b^3)
*:y=b(2a^3-b^3)
*:z=b(a^3+b^3)
*:w=a(a^3+b^3)
*:x=a(a^3-b^3)
*:y=b(a^3-b^3)
*:z=b(2a^3+b^3)
*:w=a(a^3+2b^3)

; Գ. Ալեքսանդրով 1972
*:x=7a^2+17ab-6b^2
*:y=42a^2-17ab-b^2
*:z=56a^2-35ab+9b^2
*:w=63a^2-35ab+8b^2
*:x=7a^2+17ab-17b^2
*:y=17a^2-17ab-7b^2
*:z=14a^2-20ab+20b^2
*:w=20a^2-20ab+14b^2
*:x=21a^2+23ab-19b^2
*:y=19a^2-23ab-21b^2
*:z=18a^2+4ab+28b^2
*:w=28a^2+4ab+18b^2
*:x=3a^2+41ab-37b^2
*:y=37a^2-41ab-3b^2
*:z=36a^2-68ab+46b^2
*:w=46a^2-68ab+36b^2
*:x=-4a^2+22ab-9b^2
*:y=36a^2-22ab+b^2
*:z=40a^2-40ab+12b^2
*:w=48a^2-40ab+10b^2

; Կորովև, 2012
*:x=-(2a^2-2ab-b^2)cd^3-(a^2-ab+b^2)^2 c^4
*:y=\quad(2a^2-2ab-b^2)c^3d+(a^2-ab+b^2)^2 d^4
*:z=\quad(a^2+2ab-2b^2)c^3d-(a^2-ab+b^2)^2 d^4
*:w=\quad(a^2+2ab-2b^2)cd^3-(a^2-ab+b^2)^2 c^4

որտեղ a, b \, , \, c \,  և d — ցանկացած ամբողջ թիվ են։

## Ծանոթագրություններ

Կատեգորիա:Թվերի տեսություն
Կատեգորիա:Մաթեմատիկական խնդիրներ