Միխաելիս-Մենթենի հավասարում

[thumb|400px|Ռեակցիայի արագության (V) կախվածությունը սուբստրատի կոնցենտրացիայից ([S]) արտահայտող գրաֆիկ](https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8A%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%A5%D6%80:Michaelis-Menten.png)

**Միխաելիս-Մենթենի հավասարում**, կենսաքիմիայում ֆերմենտատիվ ռեակցիաների կինետիկայի հիմնարար հավասարում։ Այն անվանվել է գերմանացի կենսաքիմիկոս Լեոնոր Միխաելիսի և կանադացի ֆիզիկոս Մոդ Մենթենի պատվին։ Այս հավասարումը իրենից ներկայացնում է ֆերմենտատիվ ռեակցիայի v արագության կախվածությունը ռեակցիայի ելանյութի՝ սուբստրարի [S] կոնցենտրացիայից։ Հիմնարար հավասարումը գրվում է հետևյալ կերպով

: v = \frac{d [P]}{d t} = \frac{ V_\max {[S]}}{K_m + [S]} 

որտեղ՝

* V_\max - համակարգի հնարավոր առավելագույն արագություն, 
* K_m - Միխաելիսի հաստատուն, սուբստրատրի այն կոնցենտրացիան, որի դեպքում V=V_\max/2։

Ընդունված է համարել, որ մեկ սուբստրատ պարունակով կենսաքիմիական ռեակցիաները ընթանում են Միխաելիս-Մենթենի առաջարկած մեխանիզմով։

## Նախատիպ
[մինի|աջից|Միխաելիս-Մենթենի հավասարումը [Գրացի տեխնիկական համալսարանի պատին]]
1903 թվականին ֆրանսիացի ֆիզիկական քիմիկոս Վիկտոր Անրին հայտնաբերել է, որ ֆերմենտատիվ ռեակցիաները ուղեկցվում են ֆերմենտի և սուբստրարի միջև հատուկ կապերի առաջացմամբ։ Նրա աշխատանքը հետագայում ուսումնասիրվել է գերմանացի կենսաքիմիկոս Լեոնոր Միխաելիսի և կանադացի ֆիզիկոս Մոդ Մենթենի կողմից, ովքեր հիմք են դրել ֆերմենտատիվ ռեակցիաների կինետիկային և առաջին անգամ հայտնաբերել են ինվերտազա ֆերմենտի ազդման մեխանիզմը, որով նա կատալիզում է սախարոզի հիդրոլիզը մինչև գլյուկոզ և ֆրուկտոզ։ 1913 թվականին նրանք առաջարկեցին այս ռեակցիայի մաթեմատիկական մոդելը, որը հետագայում ընդլայնվեց և հիմք հանդիսացավ քիմիայի նոր բնագավառի զարգացմանը։ Մեխանիզմն իր մեջ է ներառում E էնզիմի կապումը S սուբստրատի հետ, որի հետևանքով նախ առաջանում է էնզիմ-սուբստրատային ES կոմպլեքսը, որը հետագայում վերածվում է P պրոդուկտի և E էնզիմի։ Սխեմատիկորեն այս մեխանիզմը կարելի է պատկերել հետևյալ կերպով

:
E + S \, \overset{k_f}{\underset{k_r} \rightleftharpoons} \, ES \, \overset{k_\mathrm{cat}} {\longrightarrow} \, E + P
 ,

որտեղ k_f, k_r և k_\mathrm{cat} իրենցից ներկայացնում են համապատասխան ռեակցիաների արագության հաստատունները, իսկ S-ի և ES-ի միջև կրկնակի սլաքը ցույց է տալիս, որ էնզիմի կապումը սուբստրատին դարձելի ռեակցիա է։

Որոշ մոտավորություններ անելուց հետո կարելի է ասել, որ պրոդուկտի առաջացման արագությունը տրվում է հետևյալ բանաձևով

:v = \frac{d [P]}{d t} = V_\max \frac{[S]}{K_m + [S]} = k_\mathrm{cat} [E]_0 \frac{[S]}{K_m + [S]}

Ռեակցիայի արագությունը մեծանում և ձգտում է առավելագույն V_\max արժեքին (այն արագությունը, որի դեպքում ամբողջ էնզիմը կապվել է սուբստրատի հետ), երբ մեծանում է սուբստրատի կոնցենտրացիան ([S])։ Ցույց է տրված նաև, որ V_\max = k_\mathrm{cat} [E]_0, որտեղ [E]_0 - ֆերմենտի կոնցենտրացիան է, իսկ k_\mathrm{cat} - սուբստրատի մոլեկուլների այն առավելագույն քանակը, որը վերածվել է պրոդուկտի միավոր ժամանակում և մեկ էնզիմի վրա հաշվարկած։

Միխաելիսի K_m հաստատունը իրենից ներկայացնում է սուբստրատրի այն կոնցենտրացիան, որի դեպքում V=V_\max/2, բացի այդ, այն բնութագրում է սուբստրատի հակաաֆինությունը էնզիմի նկատմամբ (որքան փոքր է K_m-ը, այնքան մեծ է աֆինությունը, հետևաբար արագությունը ավելի արագ կհասնի V_\max-ին)։ K_m-ի արժեքը կախված է ինչպես էնզիմից և սուբստրատից, այնպես էլ ռեակցիայի կատարման պայմաններից (ջերմաստիճան, pH)։

Այս նախատիպը օգտագործվում է նաև բազմաթիվ այլ կենսաքիմիական ոլորտներում (հակածին-հակամարմին փոխազդեցություն, ԴՆԹ-ԴՆԹ հիբրիդացում, սպիտակուց-սպիտակուց փոխազդեցություն)։ Այն կարող է կիրառվել նաև ընդհանուր կենսաքիմիական ռեակցիաներ ուսումնասիրելիս, օրինակ՝ Լենգմյուրի հավասարման փոխարեն, որը թույլ է տալիս կազմել կենսաբանական օբյեկտների ադսորբցիայի մոդել կամ Մոնոդի հավասարման փոխարեն, որը թույլ է տալիս գնահատել մանրէի աճը։

Միխաելիս-Մենթենի հավասարումը կիրառվում է ոչ միայն կենսաքիմիայում, այլ նաև բազմաթիվ այլ բնագավառներում (փոշու հատիկի ալվեոլային մաքրության որոշում, ջրավազանների կենդանական աշխարհի առատության որոշում, արյան մեջ ալկոհոլի քանակության որոշում, ֆոտոսինթեզ-ճառագայթում կախվածության որոշում, բակտերիալ վարակների ուսումնասիրություն)։

## Կիրառություն
Ֆերմենտների պարամետրերը խստիվ տարբերվում են մեկը մյուսից։

k_\text{cat}/K_m հաստատունը ցույց է տալիս, թե որքան է ֆերմենտի արդյունավետությունը սուբստրատին պրոդուկտ դարձնելու գործում։ Այն ունի մոտավոր վերին սահման ()։ Այն ֆերմենտները, որոնք աշխատում են այդ տիրույթում (ֆումարազա), կոչվում են գերարդյունավետ։

## Կինետիկական բնութագիր
thumb|E էնզիմի, S սուբստրատի, ES կոմպլեքսի և P վերջանյութի կոնցենտրացիայի կախվածությունը ժամանակից արտահայտող գրաֆիկ
Դիտարկենք Միխաելիս-Մենթենի առաջարկած մեխանիզմը

:
E + S \, \overset{k_f}{\underset{k_r} \rightleftharpoons} \, ES \, \overset{k_\mathrm{cat}} {\longrightarrow} \, E + P


Կիրառելով զանգվածների ներգործության օրենքը, որը պնդում է, որ ռեակցիայի արագությունը ուղիղ համեմատական է ելանյութերի կոնցենտրացիաների արտադրյալին, ստանում ենք չորս ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ։

:\begin{align}
\frac{d[E]}{dt} &= - k_f [E][S] + k_r [ES] + k_{cat} [ES] \\
\frac{d[S]}{dt} &= - k_f [E][S] + k_r [ES] \\
\frac{d[ES]}{dt} &= k_f [E][S] - k_r [ES] - k_{cat} [ES] \\
\frac{d[P]}{dt} &= k_{cat} [ES].
\end{align}

Այս մեխանիզմում E էնզիմը հանդիսանում է կատալիզատոր, որը միայն արագացնում է ռեակցիան, միաժամանակ նրա ամբողջ կոնցենտրացիան (կապված և ազատ ձևերի կոնցենտրացիաների գումարը՝ [E] + [ES] = [E]_0) հաստատուն մեծություն է։ Այս հավասարությունը հնարավոր է ստանալ նաև գումարելով առաջին և երրորդ դիֆերենցիալ հավասարումները։

### Հավասարակշռային մոտավորություն
Իրականում Միխաելիսը և Մենթենը համարել են, որ սուբստրատը անմիջապես հավասարակշռության մեջ է մտնում կոմպլեքսի հետ և k_f [E] [S] = k_r [ES]։ Կիրառելով այս արտահայտությունը էնզիմի պահպանման օրենքի հետ համատեղ, ստանում ենք, որ կոմպլեքսի կոնցենտրացիան հավասար է

:[ES] = \frac{[E]_0 [S]}{K_d + [S]} ,

որտեղ K_d = k_r / k_f իրենից ներկայացնում է էնզիմ-սուբստրատային կոմպլեքսի դիսոցման հաստատունը։

Հետևաբար ռեակցիայի v արագությունը (P պրոդուկտի առաջացման արագությունը) հավասար է

:v = \frac{d [P]}{d t} = \frac{V_\max {[S]}}{K_d + [S]} ,

որտեղ V_\max = k_\mathrm{cat} [E]_0 - ռեակցիայի առավելագույն արագությունն է։

### Քվազիստացիոնար մոտավորություն
1925 թվականին բրիտանացի բուսաբան Ջորջ Էդվարդ Բրիգսը և բրիտանացի գենետիկ Հոլդեյնը առաջարկեցին այս մեխանիզմի մեկ այլ կինետիկական մեկնաբանություն։ Նրանք համարեցին, որ միջանկյալ կոմպլեքսի (ինտերմեդիատի) կոնցենտրացիան չի փոխվում պրոդուկտի առաջացման ժամանակից կախված (*քվազիստացիոնար մոտավորություն*)։ Մաթեմատիկորեն այս մոտավորությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպով

k_f [E] [S] = k_r [ES] + k_\mathrm{cat} [ES] 

Կիրառելով այս արտահայտությունը էնզիմի պահպանման օրենքի հետ համատեղ, ստանում ենք, որ կոմպլեքսի կոնցենտրացիան հավասար է

:[ES] = \frac{[E]_0 [S]}{K_m + [S]} ,

որտեղ K_m = \frac{k_r + k_\mathrm{cat}}{k_f} և հայտնի է Միխաելիսի հաստատուն անվանմամբ,

և որտեղ k_r, k_\mathrm{cat} և {k_f} համապատասխան ռեակցիաների արագության հաստատուններն են։

Հետևաբար ռեակցիայի v արագությունը (P պրոդուկտի առաջացման արագությունը) հավասար է

:v = \frac{d [P]}{d t} = \frac{V_\max {[S]}}{K_m + [S]}

### Մոտավորություններ և սահմանափակումներ
Առաջին մոտավորությունը կայանում է զանգվածների ներգործության օրենքի կիրառումը, քանի որ այն պահանջում է ազատ դիֆուզիա։ Պարզ է, որ կենդանի օրգանիզմի բջջում, որտեղ կա սպիտակուցների մեծ կոնցենտրացիա և, բացի այդ, ցիտոպլազման իրենից ներկայացնում է ավելի շուտ դոնդողանման, քան հեղուկ միջավայր, ապա մոլեկուլների շարժումները այդ միջավայրում խիստ սահմանափակված են։ Քանի դեռ զանգվածների ներգործության օրենքը թույլ է տալիս այն կիրառել հետերոգեն համակարգերում, ապա նպատակահարմար կլինի ցիտոպլազման դիտել որպես ֆրակտալ։

Երկու տարբեր մոտավորություններով ստացված ռեակցիայի արագությունները գրեթե նույնն են։ Տարբերությունը կայանում է նրանում, որ հավասարակշռային մոտավորությունը բերում է K_dհաստատունին, իսկ քվազիստացիոնար մոտավորությունը՝ K_m հաստատունին։ Միխաելիս-Մենթենի հավասարակշռային մոտավորությունը ճիշտ է կիրառել այն դեպքում, երբ սուբստրատը հասնում է հավասարակշիռ վիճակի ավելի շուտ, քան առաջանում է պրոդուկտը կամ ավելի ճիշտ, երբ

:\epsilon_d = \frac{k_\mathrm{cat}}{k_r} \ll 1

Բրիգս-Հոլդեյնի քվազիստացիոնար մոտավորությունը ճիշտ է կիրառել, երբ

:\epsilon_m = \frac{[E]_0}{[S]_0 + K_m} \ll 1

Այսինքն այս մոտավորությունը տեղի ունի, եթե ֆերմենտի կոնցենտրացիան շատ փոքր է սուբստրատի կոնցենտրացիայից։ Եթե այս պահանջը բավարարված չէ, ապա K_m հաստատունի մեծ արժեքները նույնպես ընդունելի պայման են հանդիսանում։

Ե՛վ Միխաելիս-Մենթենի, և՛ Բրիգս-Հոլդեյնի կատարած մոտավորությունները ավելի լավ տեսք են ընդունում, երբ \epsilon\, \!-ը նվազում է։

Շատ կարևոր պայման է նաև այն հանգամանքը, որ պետք է հաշվի առնել, որ ոչ մի ռեակցիա չի ընթանում մեկ ուղղությամբ։ Հետևաբար ֆերմենտատիվ ռեակցիայի մեխանիզմը ճիշտ կլինի գրել հետևյալ տեսքով

:
E + S \, \overset{k_{f_1}} {\underset{k_{r_1}} {\rightleftharpoons}} \, ES \, \overset{k_{f_2}} {\underset{k_{r_2}} {\rightleftharpoons}} \, E + P


Իրականում, կարելի է համարել, որ ռեակցիան անդարձելի է, եթե պահպանվում է հետևյալ պայմաններից գոնե մեկը
1. Սուբստրատ(ներ) ի կոնցենտրացիան շատ մեծ է պրոդուկտ(ներ) ի կոնցենտրացիայից

: [S] \gg [P] 

Այս պայմանը ճիշտ է հատուկ *in vitro* և բազմաթիվ *in vivo* պայմաններում ընթացող կենսաբանական ռեակցիաների համար։
2. Ռեակցիայից անջատված էներգիան շատ մեծ է

:\Delta{G} \ll 0

Այն դեպքերում, երբ տեղի չունի հետևյալ երկու պայմաններից և ոչ մեկը, ապա սխալ է օգտագործել Միխաելիս-Մենթենի մոդելը։ Դրա փոխարեն կիրառում են ավելի բարդ մոդելավորման օրինակներ։

## Հաստատունների որոշում
V_\max և K_m հաստատունների որոշման համար դիտարկում են նույն ֆերմենտատիվ ռեակցիան սուբստրատի տարբեր սկզբնական կոնցենտրացիաների համար և սկզբից չափում են ֆերմենտատիվ ռեակցիայի սկզբնական v_0 արագությունը։ *Սկզբնական* ասելով նկատի ունեն, որ ռեակցիայի արագությունը չափվել է այն կարճ ժամանակում, երբ էնզիմ-սուբստրատային կոմպլեքս է գոյացել, և, բացի այդ, սուբստրատի կոնցենտրացիան մնացել է մոտավորապես հաստատուն։ Ապա այդ հաստատունները կարելի է ստանալ կառուցելով ռեակցիայի արագության կախումը կոնցենտրացիայից արտահայտող գրաֆիկը։

Նախքան համակարգչային մոդելավորման ի հայտ գալը կիրառվել են բազմաթիվ այլ հավասարումներ այդ հաստատունների որոշման համար (Էդի-Հոֆսթիի դիագրամ, Հան-Վուլֆի դիագրամ, Լայնովեր-Բերգի դիագրամ)։

1997 թվականին Սանտյագո Շնելը և Կլաուդիո Մենդոզան առաջարկեցին Միխաելիս-Մենթենի մեխանիզմի լուծման փակ մի եղանակ։ Այժմ այն կրում է Շնել-Մենդոզայի հավասարում անվանումը և ունի հետևյալ տեսքը

:\frac{[S]}{K_M} = W [ F(t) ]\,   ,

որտեղ W[]՝ Լամբերտի W-ֆունկցիան է, իսկ *F* (*t*)-ն իրենից ներկայացնում է հետևյալ ֆունկցիան

:F(t) = \frac{[S]_0}{K_M} \exp\!\left(\frac{[S]_0}{K_M} - \frac{V_\max}{K_M}\, t \right) \,  

Շնել-Մենդոզայի հավասարումը ներկայումս լայնորեն կիրառվում է ֆերմենտատիվ ռեակցիաների V_\max և K_m հաստատունների որոշման համար։

Ստորև տրված հավասարումը առաջարկվել է 2010 թվականին Մարիո Բարբերան-Սանթոսի կողմից և այն ևս լավ մոդել է ծառայում ռեակցիայի հաստատունների որոշման համար։

:\frac{[S]}{K_M} = W [ F(t) ]- \frac{V_\max}{k_{cat} K_M}\ \frac{W [ F(t) ]}{1+W [ F(t) ]}\,  

## Տես նաև
* Լայնովեր-Բերգի դիագրամ
* Ֆերմենտի ակտիվ կենտրոն
* Քիմիական կինետիկա

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ
*Միխաելիսի հաստատունի որոշում

Կատեգորիա:Ֆերմենտներ
Կատեգորիա:Կենսակատալիզ
Կատեգորիա:Քիմիական կինետիկա
Կատեգորիա:Դիֆերենցիալ հավասարումներ