Մոնտի Հոլի պարադոքս

thumb|right|Ավտոմոբիլի որոնման ժամանակ խաղացողն ընտրում է թիվ 1 դուռը։ Այդ ժամանակ հաղորդավարը բացում է 3-րդ դուռը, որի հետևը գտնվում է այծը։ Հաղորդավարն առաջարկում է խաղացողին փոխել իր ընտրությունը երկրորդ դռնով։ Արժի՞ որ նա գնա այդ քայլին։
thumb|right|Հավանականությունների բաշխում։ Նրանք, որոնք փոխել են դուռը (ներքի ձախ անկյուն), երկուս ստացել են մեքենա և մեկը՝ այծ։ Իսկ նրանք, որոնք չեն փոխել (ներքևի աջ անկյուն)՝ հակառակը։
**Մոնտի Հոլի պարադոքս**, հավանականությունների տեսության հայտնի առաջադրանքներից մեկը, որի լուծումն, առաջին հայացքից, հակասում է առողջ բանականությանը։ Այս առաջադրանքը, բառի նեղ իմաստով, պարադոքս չէ, քանի որ իր մեջ չի պարունակում հակասություն։ Այն կոչվում է պարադոքս այն պատճառով, որ առաջադրանքի լուծումը կարող է թվալ անսպասելի։ Ավելին, շատ մարդկանց համար դժվար է ընդունել ճիշտ որոշում նույնիսկ այն բանից հետո, երբ նրան բացատրվում է ճիշտ լուծումը։

Առաջադրանքն առաջին անգամ հրապարակվել է (պատասխանի հետ միասին) 1975 թվականին «The American Statistician» ամսագրում, Բերկլիի կալիֆորնյան համալսարանի պրոֆեսոր Սթիվ Սելվինի կողմից։ Այն դարձել է առավել հայտնի 1990 թվականին, երբ հրապարակվել է «Parade» ամսագրում։

## Ձևակերպում
Առաջադրանքը ձևակերպվում է որպես խաղի նկարագրություն, որը հիմնված է ամերիկյան «Let’s Make a Deal» հեռուստախաղի վրա և անվանվել է ի պատիվ հեռուստախաղի հաղորդավարի։ Այս առաջադրանքի ամենատարածված տարբերակներից մեկը, որը 1990 թվականին հրապարակվել է «Parade Magazine»մ ամսագրում, ձևակերպվում է հետևյալ կերպ․

Հրապարակումից անմիջապես հետո պարզ դարձավ, որ առաջադրանքը ոչ ճիշտ է ձևակերպված։ Չեն նշվել բոլոր պայմանները։ Օրինակ, հաղորդավարը կարող է կիրառել «դժոխային Մոնտիի» ռազմավարությունը․ առաջարկել փոխել ընտրությունն այն ժամանակ և միայն այն դեպքում, երբ խաղացողն առաջին քայլով ընտրել է ավտոմեքենան։ Միանշանակ է, որ առաջին ընտրության փոփոխությունը կարող է տանել երաշխավորված պարտության իրավիճակի (տես ստորև)։

Հավելյալ պայմաններով ամենահայտնի առաջադրանքը համարվում է հետևյալը։ Խաղի մասնակցին նախապես հայտնի են հետևյալ պայմանները․

* ավտոմեքենան համահավասար կարող է գտնվել երեք դռներից յուրաքանչյուրի հետևում, 
* հաղորդավարը գիտի, թե որտեղ է գտնվում ավտոմեքենան,
* հաղորդավարը ցանկացած պարագայում պետք է բացի այն դռներից մեկը, որտեղ գտնվում է այծը (սակայն, ոչ այն, որն ընտրել է մասնակիցը) և առաջարկի փոխել իր ընտրությունը,
* եթե հաղորդավարն ունի ընտրություն, թե որ երկու դռներից մեկը բացի, նա ընտրում է երկուսից ցանկացածը` միևնույն հավանականությամբ։
Ստորև ներկայացված տեքստում Մոնտի Հոլի առաջադրանքը քննարկվում է հենց այս ձևակերպմամբ։

## Վերլուծություն

Հաղթելու ռազմավարության համար կարևոր է հետևյալը. եթե դուք, հաղորդավարի գործողություններից հետո, փոխում եք դռան ընտրությունը, ապա դուք հաղթում եք, եթե սկզբնապես ընտրել էիք սխալ դուռը։ Սրա հավանականությունը կազմում է , քանի որ ի սկզբանե սխալ դուռ ընտրելու հնարավորությունը կազմում է երկու (հնարավոր երեք դռների մեջ)։

Սակայն հաճախ այս առաջադրանքի լուծման ժամանակ խաղացողները մտածում են հետևյալ կերպ. հաղորդավարը միշտ էլ հեռացնում է սխալ դռներից մեկը, և այդ դեպքում ավտոմեքենայի գտնվելը երկու հնարավոր դռներից մեկի հետևում դառնում է հավասար ½, անկախ առաջնային ընտրությունից։ Սակայն այս փաստը ճիշտ չէ։ Չնայած որ ընտրության հնարավորությունը իրոք մնում է երկու դռների միջև, այդ հնարավորությունները (ներառյալ նաև նախապատմությունը), հավասար հավանական չեն։ Դա այդպես է, քանի որ ի սկզբանե բոլոր դռներն ունեցել են հավասար շանսեր` դառնալու հաղթող, սակայն ավելի ուշ ունեցել են տարբեր հավանականություններ` լինելու բացառված։

Մարդկանց մեծամասնության համար այս եզրահանգումը հակասում է իրավիճակի ինտուիտիվ ընկալմանը և ի շնորհիվ տրամաբանական եզրահանգման և պատասխանի միջև առկա անհամապատասխանության, որին հանգում է ինտուիտիվ մտածելակերպը, առաջադրանքը հենց այդպես էլ կոչվում է «Մոնտի Հոլի պարադոքս»։

Դռների հետ կապված իրավիճակը դառնում է էլ ավելի ակնառու, եթե պատկերացնենք, որ դռների թիվը ոչ թե 3 է, այլ ասենք, 1000 և մասնակցի ընտրությունից հետո հաղորդավարը հեռացնում է 998 ավելորդ դռները և թողնում երկու դուռ. այն, որը ընտրել է մասնակիցը և ևս մեկը։ Ավելի ակնհայտ է դառնում այն, որ ավտոմեքենայի երկու դռներից մեկի հետևում գտնվելու հավանականությունը տարբեր է և հավասար չէ ½-ի։ Եթե մենք փոխենք դռները, ապա պարտվում ենք միայն այն դեպքում, երբ ի սկզբանե ընտրել էինք մրցանակային դուռը, որի հավանականությունը կազմում է 1:1000-ի։ Հաղթում ենք մենք նաև այն պարագայում, եթե մեր նախնական ընտրությունը **չի եղել** ճիշտ, իսկ դրա հավանականությունը կազմում է 999:1000-ի։ Երեք դռների պարագայում տրամաբանությունը պահպանվում է, սակայն հաղթանակի հավանականությունը, ընտրության փոփոխության պարագայում, կազմում է , այլ ոչ` :

Դիտարկման մեկ այլ տարբերակ է երկտար պայմանների փոփոխությունը։ Պատկերացնենք, որ մասնակցի կողմից նախնական ընտրության (թող այն միշտ լինի N 1 դուռը) և դրան հաջորդող հաղորդավարի կողմից այծով դռներից մեկի բացման փոխարեն (այսինքն, թող այդ ընտրությունը միշտ լինի 2-րդ և 3-րդ դռների միջև), մասնակիցը պետք է առաջին փորձից գուշակի, թե որ դռան հետևում է գտնվում ավտոմեքենան։ Սակայն նրան նախապես տեղեկացվում է, որ առաջին դռան հետևում ավտոմեքենան կարող է գտնվել 33 % հարաբերակցությամբ, իսկ մյուս երկու դռների պարագայում նշվում է, որ կոնկրետ այս մի դռան հետևում չի գտնվում ավտոմեքենան (0 %)։ Համապատասխանաբար, մյուս դռանը բաժին է ընկնում 67 % հավանականություն և նրա ընտրության ռազմավարությունը դառնում է առաջնային։

## Հաղորդավարի այլ վարքագիծ
Մոնտի Հոլի պարադոքսի դասական տարբերակը վկայում է, որ հաղորդավարը պետք է պարտադիր առաջարկի մասնակցին փոխել դռներն, անկախ այն հանգամանքից, թե ընտրել է նա ավտոմեքենան, թե` ոչ։ Սակայն հաղորդավարը կարող է ցուցաբերել նաև ավելի բարդ վարքագիծ։ Այս աղյուսակում հակիրճ նկարագրված են վարքագծի հնարավոր տարբերակները։ Եթե չի ասվել հակառակը, մրցանակները հավասար հավանականությամբ գտնվում են դռների հետևում և հաղորդավարը գիտի, թե որ դռան հետևում է ավտոմեքենան։ Իսկ եթե կա ընտրություն, հաղորդավարը հավասար հավանականությամբ ընտրում է այծերից մեկին։





## Ծանոթագրություններ

## Գրականություն
* *Гмурман В. Е. * Теория вероятностей и математическая статистика, — : Высшее образование. 2005
* Gnedin, Sasha «The Mondee Gills Game.» Журнал *The Mathematical Intelligencer*, 2011
* Савант, Мэрилин вос. Колонка «Ask Marilyn», журнал *Parade Magazine* от 17 февраля 1990.
* Савант, Мэрилин вос. Колонка «Ask Marilyn», журнал *Parade Magazine* от 26 февраля 2006.
* Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara. «A three-door game show and some of its variants». Журнал *The Mathematical Scientist*, 1992, № 2.
* Tijms, Henk. *Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life*. Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

## Արտաքին հղումներ
* Объясняющий видеоролик  на сайте Smart Videos .ru 
* 
* Парадокс Монти Холла  на сайте телешоу Let’s Make a deal 
* Ron Clarke Парадокс Монти Холла 
* Отрывок из книги С.Лукьяненко, в котором используется парадокс Монти Холла
* Ещё одно решение по Байесу  Ещё одно решение по Байесу на форуме Новосибирского Государственного Университета
* Реализация симулятора парадокса Монти Холла на разных языках (на сайте Rosetta Code)

Կատեգորիա:Հավանականությունների տեսության խնդիրներ