Gradyan

Nan matematik ak fizik, **gradyan** yon fonksyon se pousantaj varyasyon li selon pozisyon (nan sans laj). Pa egzanp, nan meteyoloji, gradyan tanperati a se pousantaj varyasyon tanperati a ak altitid ; li mezire an °C/hm ( degre Sèlsiyis pou chak san mèt).

Pou yon fonksyon f: U \subset \R \to \R, gradyan  fizyone ak derive . Pou yon fonksyon  f : U \subset \R^n \to \R, kote  se yon nonb antye relatif , **gradyan** nan  **nan yon pwen** se yon vektè ki gen direksyon ki pi fò varyasyon  nan katye pwen sa a. Nosyon sa a lye ak diferansyèl pou fonksyon ki gen valè reyèl: si  diferansyab nan , diferans  se yon fòm lineyè; ak fòm lineyè sa a, si ansanm kòmanse  nan dimansyon fini, nou ka asosye yon vektè ki se gradyan  nan .

Pa egzanp, si yon fonksyon f : \R^3 \to \R diferansyab nan pwen , lè sa a gradyan li se vektè a, ki endike lè l sèvi avèk operatè nabla:
: \overrightarrow{\nabla} f(a) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(a) \\ \frac{\partial f}{\partial y}( a) \\ \frac{\partial f}{\partial z}(a)\end{pmatrix},
kote \frac{\partial f}{\partial x}(a), \frac{\partial f}{\partial y}(a), \frac{\partial f}{\partial z}(a). ) ) se derive pasyèl  nan pwen  parapò ak varyab  respektivman. Varyasyon  nan katye  pou yon ti varyasyon h = (x_h,y_h,z_h) se:
: f(a+h)-f(a) \approx \frac{\partial f}{\partial x}(a) \ x_h + \frac{\partial f}{\partial y}(a) \ y_h + \frac{\partial f}{\partial z}(a) \ z_h.

Nan chak pwen kote  diferan, nou ka defini yon vektè; fanmi vektè sa yo fòme yon chan vektoryèl. Yo rele jaden sa a gradyan fonksyon  epi li note \overrightarrow{\nabla} f. Se yon fonksyon ki defini sou seri U \subset E nan pwen  kote  se diferans, ak valè nan .

Gradyan an fè li posib pou apwoksimatif fonksyon plizyè varyab lè l sèvi avèk fòm lineyè. Li itil nan fizik, men tou nan jewometri pou detèmine nòmal yo nan liy nivo oswa nan izosifas yo.

## Definisyon

Nan yon sistèm kowòdone katezyen, gradyan yon fonksyon  diferansyab nan pwen a = (x_1,x_2,\dots,x_n) se vektè yo note. \nabla f(a) konpozan \tfrac{\partial f}{\partial x_i} (a) ~ (kote ),  derive pasyèl nan  ki gen rapò ak kowòdone yo, nan pwen :

\nabla f(a) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} (a) \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} (a) \end{bmatrix}.

Nan yon repè òtonome, si vektè gradyan an pa zewo, lè sa a li lonje dwèt nan direksyon kote fonksyon an grandi pi rapid, epi nòm li se egal a to kwasans lan nan direksyon sa a.

Konpozan gradyan  se koyefisyan varyab yo nan ekwasyon redwi espas tanjant nan pwen  nan graf . Pwopriyete sa a pèmèt yo defini l poukont chwa sistèm kowòdone, kòm yon jaden vektè ki gen eleman transfòme lè yo pase soti nan yon sistèm kowòdone nan yon lòt.

Jeneralizasyon gradyan an nan fonksyon diferansye plizyè varyab ak nan valè vektè (ak aplikasyon diferans ant espas Euclidean) se Matris Jakobyèn. Jeneralizasyon nan fonksyon ant Espas Banach se Derive Fréchet.

## Relasyon vektoryèl
Nan analiz vektoryèl, gradyan an ka konbine avèk lòt operatè yo: divèjans (div), wotasyonèl, laplasyen ( Δ). Se pou  yon fonksyon ki dekri yon chan eskalè, ke nou sipoze nan klas  parapò ak chak paramèt; KONSA:
: \frac{\partial}{\partial t} \left( \overrightarrow{\mathrm{grad}} f \right) = \overrightarrow{\mathrm{grad}} \frac{\partial f}{\partial t} \ ;
: \mathrm{div} \left( \overrightarrow{\mathrm{grad}} f \right) = \Delta f \ ;
: \overrightarrow{\mathrm{rot}} \left( \overrightarrow{\mathrm{grad}} f \right) = \overrightarrow{0}.

## Nòt ak referans
### Nòt

### Referans

## Gade tou

### Bibliyografi
*  Serge Lang, *Fundamentals of Differential Geometry*, Springer
*  Barrett O'Neill, *Elementary Differential Geometry*, 2e éd. révisée