Fonksyon zeta Riemann

Fichye:Complex zeta.jpg|Fonksyon zeta Riemann ζ(*s*) nan [plan konplèks]. La couleur d'un point ''s'' code la valeur de  : des couleurs vives indiquent des valeurs proches de 0 et la nuance indique l'argument de la valeur. Le point blanc pour ''s''&nbsp;=&nbsp;1 est le pôle ; les points noirs sur l'axe réel négatif (demi-droite horizontale) et sur la droite critique &nbsp;=&nbsp; (droite verticale) sont les zéros.](https://ht.wikipedia.org/wiki/plan_konpl%C3%A8ks%5D._La_couleur_d%27un_point_%27%27s%27%27_code_la_valeur_de__:_des_couleurs_vives_indiquent_des_valeurs_proches_de_0_et_la_nuance_indique_l%27argument_de_la_valeur._Le_point_blanc_pour_%27%27s%27%27&nbsp%3B=&nbsp%3B1_est_le_p%C3%B4le_%3B_les_points_noirs_sur_l%27axe_r%C3%A9el_n%C3%A9gatif_%28demi-droite_horizontale%29_et_sur_la_droite_critique_&nbsp%3B=&nbsp%3B_%28droite_verticale%29_sont_les_z%C3%A9ros.)

En mathématiques, la **fonction [[zêta]] de [[Bernhard Riemann|Riemann]]** est une fonction analytique complexe qui est apparue essentiellement dans la théorie des nombres premiers. La position de ses zéros complexes est liée à la répartition des nombres premiers. Elle est aussi importante comme fonction modèle dans la théorie des séries de Dirichlet et se trouve au carrefour d'un grand nombre d'autres théories. Les questions qu'elle soulève sont loin d'être résolues et elle sert aussi de motivation et de fil conducteur à de nouvelles études, à l'instar du rôle joué par le [grand théorème de Fermat] 
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'''Fonksyon zeta Riemann''' se yon fonksyon matematik rele pa matematisyen alman [Bernhard Riemann.
## Definsiyon
Li defini pa seri sa :
:
\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}
\!


Fichye:zeta.png|Fonksyon zeta Riemann zeta pou reyèl *s* > 1


## Euler
Lyen ki egziste ant fonksyon zeta ak nonm premye yo te dekouvè pa matematisyen Leonhard Euler :

:
\begin{align}
\zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}& = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} \\
& = \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots,
\end{align}
\!

p ap deziyen yon nonm premye. Seri sa genyen yon sans lè pati reyèl Re(*s*) > 1.

## Pwopryete

## Kèk valè pou konnen
:\zeta(0) = -1/2,\!

:\zeta(1/2) \approx -1.4603545088095868,\!

:\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty;\! seri amonik.

:\zeta(3/2) \approx 2.612;\! itilize nan kalkil tanperati kritik pou kondansa Bose–Einstein nan domèn fizik

:\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645;\! demonstrasyon egalite sa rele tou pwoblèm Basel.

:\zeta(5/2) \approx 1.341.\!

:\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.202;\! rele konstant Apéry.

:\zeta(7/2) \approx 1.127\!

:\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1.0823;\! lwa Stefan–Boltzmann epi apwoksimasyon Wien nan domèn fizik.

## Fonksyon - analiz
Fonksyon zeta an satisfèt ekwasyon fonksyonèl sa tou :

:
\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)
\!

## Lyen deyò
* Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld - an explanation with a more mathematical approach
* Tables of selected zeroes
* File with 1,000,000 zeros and accurate to about 60+ digits (*To download compressed archive, click on *'Download Now...*' button.*) 
* Prime Numbers Get Hitched A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers.
* X-Ray of the Zeta Function Visually-oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary. (PDF)
* Formulas and identities for the Riemann Zeta function functions.wolfram.com
* Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers, section 23.2 of Abramowitz and Stegun