उल्लेखनीय सर्वसमिकाएँ

यहाँ कुछ प्रमुख गुणनफल दिये गये हैं जिनके प्रयोग से गुणनखण्ड एवं अन्य कार्यों में बहुत सुविधा होती है।

## उभयनिष्ट गुणक (common factor)
thumb|उभयनिष्ट गुणक का चित्रात्मक निरूपण
: c (a + b) = c a + c b \,

;उदाहरण
: 3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,

## द्विपद का वर्ग
thumb|द्विपद के वर्ग का चित्रात्मक निरूपण
: (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,
त्रिपदी व्यंजक : a^2 + 2 a b + b^2 \;, पूर्ण वर्ग त्रिपद कहलाता है।

इसी प्रकार,
: (a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,

;उदाहरण
:(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,
सरल करने पर:
:(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,

## दो द्विपदों का गुणन जिनमें एक समान पद हो
thumb|चित्रात्मक निरूपण

:(x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab \,

;उदाहरण
:(3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7) \, 
पदों को एकत्र करने पर: 
:(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 \,
या:
:(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 \,

## दो पदों के योग एवं अन्तर का गुणनफल (वर्गान्तर सूत्र)
thumb|300px|'द्विपद युग्म' का गुणनफल
: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,
;उदाहरण
:(3x+5y)(3x-5y) = \,
:(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,
पदों को एकत्र करने पर:
:(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,

## बहुपद का वर्ग
thumb|एक त्रिपद के वर्ग का चित्रात्मक निरूपण
:(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) \,
:(a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \,

;उदाहरण
: (3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) \,
गुणा करने पर:
: (3x+2y-5z)^2 = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5z) \,
: + 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y + 2y \cdot (-5z) \,
: + (-5z) \cdot 3x + (-5z) \cdot 2y + (-5z) \cdot (-5z) \,
पदों को एकत्र करने के बाद: 
:(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) \,
या:
:(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz \,

## द्विपद का घन
thumb|300px|द्विपद के घन का आयतनों के योग के रूप में चित्रण
:(a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,
***काशी (Cauchy) सर्वसमिका:***
:(a+b)^3= a^3+b^3+3ab(a+b) \,
;उदाहरण
:(x+2y)^3 = x^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2+(2y)^3 \,
पदों का समूह बनाने के बाद:
:(x+2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3 \,

इसी प्रकार,
:(a-b)^3= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \,
***काशी (Cauchy) सर्वसमिका:***
:(a-b)^3= a^3-b^3-3ab(a-b) \,
;उदाहरण
:(x-2y)^3 = x^3 - 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2-(2y)^3 \,
पदों का समूह बनाने के बाद:
:(x-2y)^3 = x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3 \,

## आर्गण्ड सर्वसमिका (Argand Identity)

:(x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1 \,

## गाउस (Gauss) की सर्वसमिका

:a^3+b^3+c^3-3abc= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) \,
:a^3+b^3+c^3-3abc= \frac{1}{2} (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2] \,

## लिगेन्द्र (Legendre) सर्वसमिका

:(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2) \,
:(a+b)^2-(a-b)^2=4ab \,
:(a+b)^4-(a-b)^4=8ab(a^2+b^2) \,

## लाग्रेंज (Lagrange) की सर्वसमिका

:(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2+(ay-bx)^2 \,
:(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) = (ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2 \,

## अन्यान्य सर्वसमिकाएँ
; घनों का योग
:  a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \,
; घनों का अन्तर
:  a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \,

; *n*वें घातों का योग
: यदि और केवल यदि "n" विषम संख्या हो तो,  a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 -\cdots + b^{n-1}) \,
; *n*वें घातों का अन्तर
:  a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 +\cdots + b^{n-1}) \,

'''निम्नलिखित सूत्र किसी घन को दो वर्गों के अन्तर के रूप में अभिव्यक्त करता है-
: a^3 = \left(\frac{(a+1)a}{2}\right)^2 - \left(\frac{(a-1)a}{2}\right)^2

## इन्हें भी देखें
* ब्रह्मगुप्त सर्वसमिका
* द्विपद
* त्रिपद
* गुणनखण्ड
* पॉस्कल त्रिभुज

श्रेणी:बीजगणित
श्रेणी:गणितीय सर्वसमिकाएँ