टोएपलित्ज़ आव्यूह

रैखिक बीजावली में **टोएपलित्ज़ आव्यूह** () अथवा **नियत-विकर्ण आव्यूह** का नामकरण *ओटो टोएपलित्ज़* के सम्मान में किया गया एक ऐसा आव्यूह है जिसमें प्रत्येक अवरोही विकर्ण बायें से दाएं नियत रहता है। उदाहरण के लिए निम्न आव्यूह एक टोएपलित्ज़ आव्यूह है:
:
\begin{bmatrix}
a & b & c & d & e \\
f & a & b & c & d \\
g & f & a & b & c \\
h & g & f & a & b \\
i & h & g & f & a 
\end{bmatrix}.

कोई भी निम्न रूप का *n*&times;*n* आव्यूह *A*

:
A =
\begin{bmatrix}
 a_{0} & a_{-1} & a_{-2} & \ldots & \ldots &a_{-n+1} \\
 a_{1} & a_0 & a_{-1} & \ddots  & & \vdots \\
 a_{2}  & a_{1} & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots \\ 
 \vdots & \ddots & \ddots &  \ddots & a_{-1} & a_{-2}\\
 \vdots &     & \ddots & a_{1} & a_{0}& a_{-1} \\
a_{n-1} & \ldots & \ldots & a_{2} & a_{1} & a_{0}
\end{bmatrix} 


एक **टोएपलित्ज़ आव्यूह** है। यदि *A* के अवयव *i*,*j* वाँ अवयव *A**i*,*j* द्वारा निरूपित किया जाए तो

:A_{i,j} = A_{i+1,j+1} = a_{i-j}.\ 
## टोएपलित्ज़ निकाय का हल
निम्न रूप की आव्यूह समीकरण
:Ax=b\ 
**टोएपलित्ज़ समीकरण** कहलाती है यदि *A* टोएपलित्ज़ आव्यूह है। यदि *A* एक n\times n टोएपलित्ज़ आव्यूह है तो निकाय की स्वतंत्रता की कोटि *n*2 के स्थान पर केवल 2*n*&minus;1 होगी। अतः इस परिस्थिति में टोएपलित्ज़ निकाय का हल थोड़ा सरल दिखाई देता है और वास्तविकता भी ऐसी ही है।
## सामान्य गुणधर्म
## विविक्त संवलन
संवलन संक्रिया को आव्यूह गुणन के रूप में निर्मित किया जा सकता है, जहाँ किसी एक निवेश को टोएपलित्ज़ा आव्यूह में परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए  h  और  x  का संवलन निम्न प्रकार प्रारूपित किया जाता है
:
    y = h \ast x =
      \begin{bmatrix}
        h_1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
        h_2 & h_1 & \ldots & \vdots & \vdots \\
        h_3 & h_2 & \ldots & 0 & 0 \\
        \vdots & h_3 & \ldots & h_1 & 0 \\
        h_{m-1} & \vdots & \ldots & h_2 & h_1 \\
        h_m & h_{m-1} & \vdots & \vdots & h_2 \\
        0 & h_m & \ldots & h_{m-2} & \vdots \\
        0 & 0 & \ldots & h_{m-1} & h_{m-2} \\
        \vdots & \vdots & \vdots & h_m & h_{m-1} \\
        0 & 0 & 0 & \ldots & h_m
      \end{bmatrix}
      \begin{bmatrix}
        x_1 \\
        x_2 \\
        x_3 \\
        \vdots \\
        x_n
      \end{bmatrix}


:  y^T =
      \begin{bmatrix}
        h_1 & h_2 & h_3 & \ldots & h_{m-1} & h_m
      \end{bmatrix}
      \begin{bmatrix}
        x_1 & x_2 & x_3 & \ldots & x_n & 0 & 0 & 0& \ldots & 0 \\
        0 & x_1 & x_2 & x_3 & \ldots & x_n & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
        0 & 0 & x_1 & x_2 & x_3 & \ldots & x_n & 0 & \ldots & 0 \\
        \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\
        0 & \ldots & 0 & 0 & x_1 & \ldots & x_{n-2} & x_{n-1} & x_n & \vdots \\
        0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & x_1 & \ldots & x_{n-2} & x_{n-1} & x_n
      \end{bmatrix}.

## ये भी देखें
* चक्रक आव्यूह 
* हांकेल आव्यूह
* टोएपलित्ज़ संकारक
## टिप्पणी
*A.W. Bojanczyk, R.P. Brent, F.R. De Hoog, D.R. Sweet (1995), "On the stability of the Bareiss and related Toeplitz factorization algorithms", *[[SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications]]*, 16: 40–57. 
*Brent R.P. (1999), "Stability of fast algorithms for structured linear systems", *Fast Reliable Algorithms for Matrices with Structure* (editors&mdash;T. Kailath, A.H. Sayed), ch.4 (SIAM).
*Chan R. H.-F., Jin X.-Q. (2007), *An Introduction to Iterative Toeplitz Solvers* (SIAM).
*Chandrasekeran S., Gu M., Sun X., Xia J., Zhu J. (2007), "A superfast algorithm for Toeplitz systems of linear equations", *[[SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications]]*, 29: 1247–1266. 
*Chen W.W., Hurvich C.M., Lu Y. (2006), "On the correlation matrix of the discrete Fourier transform and the fast solution of large Toeplitz systems for long-memory time series", *[[Journal of the American Statistical Association]]*, 101: 812–822. 
*Golub G.H., van Loan C.F. (1996), *Matrix Computations* (Johns Hopkins University Press), Section 4.7&mdash;Toeplitz and Related Systems.
*Gray R.M., *[https://web.archive.org/web/20140829193642/http://ee.stanford.edu/~gray/toeplitz.pdf Toeplitz and Circulant Matrices: A Review]* (Now Publishers).
*
*Monahan J.F. (2011), *Numerical Methods of Statistics* (Cambridge University Press), &sect;4.5&mdash;Toeplitz systems. 
*Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. (2007), *[[Numerical Recipes]]: The Art of Scientific Computing*, Third edition (Cambridge University Press), &sect;2.8.2&mdash;Toeplitz matrices. ISBN 978-0-521-88068-8
*Stewart M. (2003), "A superfast Toeplitz solver with improved numerical stability", *[[SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications]]*, 25: 669–693. 

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