मूल समूह

गणित की बीजीय टोपोलॉजी शाखा में, किसी टोपोलॉजिकल स्थान का **मौलिक समूह** उस स्थान में समाहित लूप्स की होमोटॉपी के अंतर्गत समानता श्रेणियों का समूह होता है। यह उस स्थान के मूल आकार या छिद्रों की जानकारी दर्ज करता है। मौलिक समूह पहला और सबसे सरल होमोटॉपी समूह है। मौलिक समूह एक होमोटॉपी अपरिवर्ती है, वे टोपोलॉजिकल स्थान जो होमोटॉपी समतुल्य (या अधिक प्रबल स्थिति में होमियोमॉर्फिक) होते हैं, उनके मौलिक समूह समावयवी होते हैं। किसी टोपोलॉजिकल स्थान X का मौलिक समूह \pi_1(X) द्वारा निरूपित किया जाता है।  

## अंतर्ज्ञान
मान लीजिए एक स्थान (जैसे कोई पृष्ठ) और उस पर कोई बिंदु। अब उन सभी लूप्स को देखिए जो इस बिंदु से शुरू होकर उसी पर समाप्त होते हैं — यानी वे पथ जो उस बिंदु से शुरू होते हैं, इधर-उधर घूमते हैं और अंततः उसी बिंदु पर लौट आते हैं। दो लूप्स को एकजुट करने का सरल तरीका है: पहले पहले वाले लूप पर चलें, फिर दूसरे पर।  
दो लूप्स को समकक्ष माना जाता है यदि एक को बिना तोड़े दूसरे में निरंतर रूप से विकृत किया जा सके। ऐसे सभी लूप्स का समूह, इस संयोजन विधि और इस समकक्षता के साथ, उस विशेष स्थान का मौलिक समूह कहलाता है।  

## इतिहास
हेनरी प्वाँकरे ने 1895 में अपने शोधपत्र "Analysis situs" में मौलिक समूह को परिभाषित किया। यह अवधारणा रीमान पृष्ठ के सिद्धांत में उभरी, बर्नहार्ड रीमान, प्वाँकरे और फेलिक्स क्लेन के कार्यों में। यह साम्यवृत्त गुणों का वर्णन करती है, साथ ही बंद पृष्ठों का संपूर्ण टोपोलॉजिकल वर्गीकरण भी प्रदान करती है।  

## परिभाषा

  
इस लेख में X एक टोपोलॉजिकल स्थान है। एक सामान्य उदाहरण है कोई सतह, जैसा कि दाहिने चित्र में दिखाया गया है। इसके अतिरिक्त x_0 X में एक बिंदु है जिसे *आधार-बिंदु* कहा जाता है। (जैसा कि नीचे समझाया गया है, इसका भूमिका सहायक है।) मौलिक समूह की परिभाषा का विचार यह है कि X पर कितने (व्यापक रूप से) वक्र एक-दूसरे में विकृत हो सकते हैं, इसे मापा जाए।  

### लूप्स की होमोटॉपी

किसी टोपोलॉजिकल स्थान X में, x_0 पर आधारित एक *[[लूप (टोपोलॉजी)|लूप]]* वह निरंतर फलन है  
:\gamma \colon [0, 1] \to X  
जिसमें आरंभिक बिंदु \gamma(0) और अंतिम बिंदु \gamma(1) दोनों x_0 हों।  

  
एक *[[होमोटॉपी]]* दो लूप्स के बीच निरंतर अंतराल है। और अधिक स्पष्ट रूप से, x_0 पर आधारित दो लूप्स \gamma, \gamma' \colon [0, 1] \to X के बीच एक होमोटॉपी एक निरंतर मानचित्र है  
:h \colon [0, 1] \times [0, 1] \to X,  
जिसमें:  
* h(0, t) = x_0 सभी t \in [0, 1] के लिए,  
* h(1, t) = x_0 सभी t \in [0, 1] के लिए,  
* h(r, 0) = \gamma(r),\, h(r, 1) = \gamma'(r) सभी r \in [0, 1] के लिए।  

यदि ऐसा होमोटॉपी h मौजूद है तो \gamma और \gamma' को *होमोटॉपिक* कहा जाता है। यह संबंध एक समानता संबंध है, जिससे समानता वर्गों का समूह लिया जा सकता है:  
:\pi_1(X, x_0) := \{ \text{सभी लूप्स }\gamma \text{ जो }x_0 \text{ पर आधारित हैं} \} / \text{होमोटॉपी}.  

यह सेट (नीचे वर्णित समूह संरचना के साथ) X के *मौलिक समूह* के रूप में जाना जाता है।  

### समूह संरचना
  
ऊपर की परिभाषा के अनुसार \pi_1(X, x_0) केवल एक सेट है। यह समूह बनता है जब लूप्स का संकलन (concatenation) लिया जाता है।  

मान लीजिए दो लूप्स \gamma_0, \gamma_1, तो उनका गुणन इस प्रकार परिभाषित है:  
:\gamma_0 \cdot \gamma_1 \colon [0, 1] \to X  
:(\gamma_0 \cdot \gamma_1)(t) = \begin{cases}
        \gamma_0(2t) & 0 \leq t \leq \tfrac{1}{2} \\  
    \gamma_1(2t - 1) & \tfrac{1}{2} \leq t \leq 1.  
  \end{cases}  

इस प्रकार \gamma_0 \cdot \gamma_1 पहले \gamma_0 को दोगुनी गति से और फिर \gamma_1 को दोगुनी गति से अनुसरण करता है।  

दो लूप्स की होमोटॉपी श्रेणियों [\gamma_0] और [\gamma_1] का गुणन [\gamma_0 \cdot \gamma_1] के रूप में परिभाषित है। यह दर्शाया जा सकता है कि यह परिभाषा प्रतिनिधियों की पसंद पर निर्भर नहीं करती, और इस प्रकार \pi_1(X, x_0) पर एक सुव्यवस्थित क्रिया देती है।  

इस ऑपरेशन से \pi_1(X, x_0) एक समूह बन जाता है। इसका तटस्थ अवयव वह लूप है जो हमेशा x_0 पर रहता है (स्थिर लूप)। इसका व्युत्क्रम अवयव वही लूप होता है जिसे उल्टी दिशा में चला जाता है:  
:\gamma^{-1}(t) := \gamma(1-t).  

अतः, होमोटॉपी तक लूप्स का समूह, उपरोक्त क्रिया के साथ, वास्तव में \pi_1(X, x_0) को एक समूह बना देता है।