रुंग-कुता विधियाँ

संख्यात्मक विश्लेषण में **रुंगा-कुटा विधियाँ** (Runge–Kutta methods) साधारण अवकल समीकरणों को हल करने की पुनरावृत्तिमूलक विधियाँ हैं। इनका विकास जर्मनी के गणितज्ञों सी रुंगा तथा एम डब्ल्यू कुटा ने १९०० ई के आसपास किया था। यह एक विधि नहीं बल्कि इसमें कई विधियाँ हैं।

## रुंगा-कुटा विधि
इसे 'क्लासिकल रुंगा-कुटा विधि' या प्रायः "**RK4**" भी कहा जाता है। यह चार आर्डर वाली विधि है।

मान लीजिए कि एक साधारण अवकल समीकरण (आरम्भिक मान समस्या) निम्नलिखित है:

: \dot{y} = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0. 

यह विधि निम्नलिखित सूत्र से समझी जा सकती है:

:\begin{align}
y_{n+1} &= y_n + \tfrac{1}{6} h\left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right)\\
t_{n+1} &= t_n + h \\
\end{align}

*n*&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3,&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;, तथा

:
\begin{align}
k_1 &= f(t_n, y_n),
\\
k_2 &= f(t_n + \tfrac{1}{2}h, y_n + \tfrac{h}{2} k_1),
\\
k_3 &= f(t_n + \tfrac{1}{2}h, y_n +  \tfrac{h}{2} k_2),
\\
k_4 &= f(t_n + h, y_n + h k_3).
\end{align}


**h** का उचित धनात्मक मान लेकर इस विधि को बारबार प्रयोग करके **t** के किसी भी मान के लिए **y** का सन्निकट मान निकाल सकते हैं।

### उदाहरण
माना \frac{dx}{dt}=\frac{-t}{x} का हल निकालना है। दिया हुआ है कि t=0 \,\,\, x=1

इस अवकल समीकरण का ठीक-ठीक हल (इग्जैक्ट सलुशन) t^2 + x^2 = 1 है।

हम h = 0,1 लेकर इसका हल निकालते हैं।

:k_1 = 0,0
:k_2 = -0,05
:k_3 = -0,0501253132832
:k_4 = -0,100503778338

इससे t = 0,1 पर x = 0,994987426585 प्राप्त होता है।

इसी तरह हम **t** के विभिन्न मानों के लिये **x** का मान प्राप्त करते जाते हैं, जो निम्नांकित सारणी में दिखाये गये हैं-

ध्यान दें कि इस अवकल समीकरण के विशुद्ध हल से t = 1 पर x = 0 मिलेगा, जबकि इस विधि से x = 0.0488018582123 प्राप्त हुआ है जो विशुद्ध मान के काफी करीब है। इससे भी अधिक परिशुद्ध मान की गणना के लिये 'स्टेप साइज' को 0.1 के बजाय और कम रखना पड़ेगा।

## स्पष्‍ट रुंगा-कुटा विधियाँ (Explicit Runge–Kutta methods)
ये विधियाँ **RK4** के सामान्यीकृत रूप हैं। यह निम्नलिखित रूप में है:
: y_{n+1} = y_n + \sum_{i=1}^s b_i k_i, 
जहाँ
: k_1 = hf(t_n, y_n), \, 
: k_2 = hf(t_n+c_2h, y_n+a_{21}k_1), \, 
: k_3 = hf(t_n+c_3h, y_n+a_{31}k_1+a_{32}k_2), \, 
::: \vdots 
: k_s = hf(t_n+c_sh, y_n+a_{s1}k_1+a_{s2}k_2+\cdots+a_{s,s-1}k_{s-1}). 
:*(टिप्पणी: अलग-अलग पुस्तकों में यही समीकरण अलग-अलग तरह से पारिभाषित किया हुआ मिलता है किन्तु वे इसके तुल्य ही होते हैं।)*

किसी विशेष विधि को प्राप्त करने के लिए पहले *s* (चरणों की संख्याँ) तय करनी पड़ती है। इसके अनुसार गुणांक *a<sub>ij</sub>* (1 ≤ *j* i* (*i* = 1, 2, ..., *s*) और *ci* (*i* = 2, 3, ..., *s*) तय किए जाते हैं। मैट्रिक्स [*aij*] को *रुंगा-कुटा मैट्रिक्स* कहते हैं। *bi* तथा *ci* को भार (weights) एवं नोड (nodes) कहते हैं। ये संख्याएँ निम्नलिखित सारणी के रूप में व्यवस्थित की जातीं हैं जिसे 'बूचर टेबुल' कहते हैं।



रुंगा कुटा विधि एकरूप (consistent) होगी यदि
:<math>\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i\ \mathrm{for}\ i=2, \ldots, s.</math>
यदि हम किसी विधि को *p* आर्डर वाला बनाना चाहते हैं तो कुछ और आवश्यकताएँ इसमें जुड़ जाती हैं। उदाहरण के लिए 2-चरण तथा 2-आर्डर की विधि प्राप्त करने के लिए निम्नलिखित शर्त आएगी:
: *b*<sub>1</sub> + *b*<sub>2</sub> = 1, *b*<sub>2</sub>*c*<sub>2</sub> = 1/2, and *a*<sub>21</sub> = *c''2.

## सन्दर्भ

## इन्हें भी देखें
*अवकल समीकरण
*साधारण अवकल समीकरण के हल की संख्यात्मक विधियाँ

श्रेणी:अवकल समीकरण
श्रेणी:संख्यात्मक विश्लेषण