प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

गणित में त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलनों को **प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन** (inverse trigonometric functions) कहते हैं। इनके डोमेन समुचित रूप से सीमित करके पारिभाषित किये गये हैं।
इन्हें sin−1, cos−1 आदि के रूप में निरूपित करते हैं और 'साइन इन्वर्स', 'कॉस इन्वर्स' आदि बोलते हैं। 

* \operatorname{arcsin}\ x = y होगा, यदि \operatorname{sin}\ y = x
* \operatorname{arccos}\ x = y होगा, यदि \operatorname{cos}\ y = x
* \operatorname{arctg}\ x = y होगा, यदि \operatorname{tg}\ y = x
* \operatorname{arcctg}\ x = y होगा, यदि \operatorname{ctg}\ y = x
* \operatorname{arcsec}\ x = y होगा, यदि \operatorname{sec}\ y = x
* \operatorname{arccsc}\ x = y होगा, यदि \operatorname{csc}\ y = x

**उदाहरण:**
* \operatorname{arcsin}\ 0 = 0
*\operatorname{arcsin}\ 0.5 = \frac{\pi}{6}
* \operatorname{arcsin}\ 1 = \frac{\pi}{2}
* \operatorname{arccos}\ 0 = \frac{\pi}{2}
*\operatorname{arccos}\ 0.5 = \frac{\pi}{3}
* \operatorname{arccos}(-1) = \pi
* \operatorname{arctg}\ 0 = 0
* \operatorname{arctg}\ 1 = \frac{\pi}{4}
* \operatorname{arcctg}\ 0 = \frac{\pi}{2}
* \operatorname{arcctg}\ 1 = \frac{\pi}{4}

## मुख्य मान
चूँकि कोई भी त्रिकोणमितीय फलन एकैकी (one-to-one) नहीं है, इनके प्रतिलोम फलन तभी सम्भव होंगे यदि इनके डोमेन सीमित रखे जांय।

निम्नांकित सारणी में मुख्य प्रतिलोमों का विवरण दिया गया है-

यदि *x* को समिश्र संख्या होने की छूट हो तो *y* का रेंज केवल इसके वास्तविक भाग (real part) पर ही लागू होगा।

## प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में सम्बन्ध
168px|right|thumb|The usual principal values of the arcsin(''x'') (red) and arccos(''x'') (blue) functions graphed on the cartesian plane.
294px|right|thumb|The usual principal values of the arctan(''x'') and arccot(''x'') functions graphed on the cartesian plane.
294px|right|thumb|Principal values of the arcsec(''x'') and arccsc(''x'') functions graphed on the cartesian plane.

Complementary angles:
:\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x 

:\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x 

:\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x 

Negative arguments:
:\arcsin (-x) = - \arcsin x \!
:\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!
:\arctan (-x) = - \arctan x \!
:\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!
:\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!
:\arccsc (-x) = - \arccsc x \!

Reciprocal arguments:
:\arccos (1/x) \,= \arcsec x \,
:\arcsin (1/x) \,= \arccsc x \,
:\arctan (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arctan x =\arccot x,\text{ if }x > 0 \,
:\arctan (1/x) = -\tfrac{1}{2}\pi - \arctan x = -\pi + \arccot x,\text{ if }x 
:\arccot (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arccot x =\arctan x,\text{ if }x > 0 \,
:\arccot (1/x) = \tfrac{3}{2}\pi - \arccot x = \pi + \arctan x,\text{ if }x 
:\arcsec (1/x) = \arccos x \,
:\arccsc (1/x) = \arcsin x \,

If you only have a fragment of a sine table:

:\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2},\text{ if }0 \leq x \leq 1 
:\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} 

Whenever the square root of a complex number is used here, we choose the root with the positive real part (or positive imaginary part if the square was negative real).

From the half-angle formula \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} , we get:

:\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}

:\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},\text{ if }-1 

:\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}

## त्रिकोणमितीय फलनों एवं प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में संबन्ध

:\sin (\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}

:\sin (\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

:\cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

:\tan (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}

:\tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}

## सामान्य हल (General solutions)
निम्नलिखित में *k* कोई पूर्णांक है।
:\sin(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arcsin(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arcsin(x) + 2k\pi
:\cos(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccos(x) + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arccos(x) + 2k\pi
:\tan(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arctan(x) + k\pi
:\cot(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccot(x) + k\pi
:\sec(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arcsec(x) + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arcsec (x) + 2k\pi
:\csc(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccsc(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arccsc(x) + 2k\pi

## बाहरी कड़ियाँ
* 
* 

श्रेणी:त्रिकोणमिति