समिश्र संख्या

[thumb|right|किसी समिश्र संख्या का [अर्गेन्ड आरेख पर प्रदर्शन]]

गणित में **समिश्र संख्याएँ** (complex number) वास्तविक संख्याओं का विस्तार है। किसी वास्तविक संख्या में एक *काल्पनिक भाग* जोड़ देने से समिश्र संख्या बनती है। समिश्र संख्या के काल्पनिक भाग के साथ **i** जुड़ा होता है जो निम्नलिखित सम्बन्ध को संतुष्ट करती है:

:i^2=-1\,

किसी भी समिश्र संख्या को *a* + *bi*, के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसमें *a* और *b* दोनो ही वास्तविक संख्याएं हैं। *a* + *bi* में *a* को वास्तविक भाग तथा *b* को काल्पनिक भाग कहते हैं। **उदाहरण**: *3* + *4i* एक समिश्र संख्या है।

## समिश्र संख्या का कार्तीय निरूपण
समिश्र संख्या को *a* + *bi* के रूप में दर्शाने को समिश्र संख्या का कार्तीय स्वरूप (Cartesian Form) कहते है।

## पोलर स्वरूप (पोलर फॉर्म)
समिश्र संख्या *z*&nbsp;=&nbsp;*x* + *iy* को ध्रुवीय निर्देशांकों के रूप में भी निरूपित कर सकते हैं। ध्रुवीय निर्देशांक *r*&nbsp;=&nbsp;|*z*|&nbsp;≥&nbsp;0, को समिश्र संख्या का निरपेक्ष मान (absolute value) या मापांक (modulus) कहते हैं। इसी प्रकार *φ*&nbsp;=&nbsp;arg(*z*) को *z* का कोणांक (argument) कहते हैं।

### कार्तिय स्वरूप से ध्रुवीय स्वरूप में परिवर्तन

:r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}
:\varphi = \arg(z) = \operatorname{atan2}(y,x)

जहाँ:
\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}
   \arctan\left(\frac{y}{x}\right)       & \mbox{if } x > 0\\
   \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi & \mbox{if } x  0\\
  -\frac{\pi}{2}                         & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y 

कोणांक *φ* = कोणांक मुख्य मान (−π, +π] के बीच देता है। किन्तु यदि *φ* का ऋणात्मक मान नहिं चाहिये बल्कि [0, 2π) के बीच में चाहिये तो उस ऋणात्मक मान में 2π जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है।

### कार्तीय से  ध्रुवीय स्वरूप में परिवर्तन
:x = r \cos \varphi
:y = r \sin \varphi

### समिश्र संख्या का पोलर स्वरूप (Notation of the polar form)
निम्नलिखित रूप *ध्रुवीय स्वरूप* कहलाता है:
: z = r\, (\cos \varphi + i\sin \varphi)\,
इसे **cis φ ** से भी निरुपित करते हैं जो cos *φ* + *i* sin *φ* का संक्षिप्त रूप है।

यूलर का सूत्र (Euler's formula) का प्रयोग करके इसे निम्नलिखित तरीके से भी लिख सकते हैं:
: z = r\,\mathrm{e}^{i \varphi}\,
इस स्वरूप को *इक्सपोनेंशियल रूप*' (exponential form) कहते हैं।

एलेक्ट्रॉनिकी में किसी फेजर (phasor) के लिये समिश्र संख्या के कोणीय निरूपण का बहुधा प्रयोग होता है। जिसमें *A* आयाम एवं *θ* **[[कला]]** (फेज) है।
: A \angle \theta = A e ^ {j \theta }
ध्यान रहे कि एलेक्ट्रॉनिकी और विद्युत अभियांत्रिकी में *i* के बजाय *j* का प्रयोग किया जाता है क्योंकि *i* के द्वारा विद्युत धारा का निरुपण किया जाता है।

## निरपेक्ष मान एवं समिश्र-युग्म
The **absolute value** (or *modulus* or *magnitude*) of a complex number z=re^{i\phi} is defined as |z|=r. Algebraically, if z=x+yi, then |z|=\sqrt{x^2+y^2}.

The absolute value has three important properties:

: | z | \geq 0, \, where  | z | = 0 \, if and only if  z = 0 \,

: | z + w | \leq | z | + | w | \, (triangle inequality)

: | z \cdot w | = | z | \cdot | w | \,

for all complex numbers *z* and *w*. These imply that |1|=1 and |z/w|=|z|/|w|. By defining the **distance** function d(z,w)=|z-w|, we turn the set of complex numbers into a metric space and we can therefore talk about limits and continuity. 

The **[[complex conjugate]]** of the complex number z=x+yi is defined to be x-yi, written as \bar{z} or z^*\,. As seen in the figure, \bar{z} is the "reflection" of *z* about the real axis, and so both z+\bar{z} and z\cdot\bar{z} are real numbers. Many identities relate complex numbers and their conjugates:

## कार्तीय स्वरूप में समिश्र संक्रियाएँ
### योग (Addition)

:(a+b\,\mathrm i)+(c+d\,\mathrm i)=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.

### अन्तर

:(a + b \, \mathrm i) - (c + d \, \mathrm i) = (a - c) + (b - d) \, \mathrm i.

### गुणा

: (a+b\,\mathrm{i})\cdot(c+d\,\mathrm{i})=(ac-bd) + (ad+bc)\cdot\mathrm i.

### भाग (Division)
c+d\,\mathrm i\neq 0

: \frac{a+b\,\mathrm i}{c+d\,\mathrm i} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\cdot\mathrm i

### कुछ उदाहरण

योग:
: (3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i \ 

घटाना:
: (5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i \ 

गुणा:
: (2+5\mathrm i) \cdot (3+7\mathrm i) = (2\cdot 3 - 5\cdot 7)+(2\cdot 7 + 5\cdot 3)\mathrm i = -29 + 29\mathrm i

भाग:
: {(2+5\mathrm{i}) \over (3+7\mathrm{i})} = {(2+5\mathrm{i}) \over (3+7\mathrm{i})} \cdot {(3-7\mathrm{i}) \over (3-7\mathrm{i})} = {(6+35)+(15\mathrm{i}-14\mathrm{i}) \over (9+49)+ (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = {41+\mathrm{i} \over 58} = {41\over 58}+{1\over 58}\cdot\mathrm{i}

## ध्रुवीय स्वरूप में संक्रियाएं

### गुणा एवं भाग

#### त्रिकोणमित्तीय स्वरूप में
: 
 r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) \;\cdot\; s \cdot (\cos \psi + \mathrm{i} \cdot \sin \psi)
 = r \cdot s \cdot \left[ \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right]


: 
 \frac{r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)}{s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i} \cdot \sin \psi)}
 = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]


#### एक्स्पोनेंशियल रूप (Exponentil form)

:(r\cdot e^{\mathrm{i}\varphi}) \cdot (s \cdot e^{\mathrm{i}\psi}) = (r \cdot s) \cdot e^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}

:\frac{(r\cdot e^{\mathrm{i}\varphi})} {(s \cdot e^{\mathrm{i}\psi})} = \frac{r}{s} \cdot e^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}

## अन्य संक्रियाएँ

### घातांक
#### प्राकृतिक संख्या

z=r e^{\mathrm i \varphi} का nवाँ घात इस प्रकार निकाला जाता है

:z^n = r^n \cdot e^{\mathrm i n\varphi} = r^n \cdot (\cos n\varphi + \mathrm i \cdot \sin n \varphi)

या कार्तीय रूप z=a+b\mathrm i के लिये

: z^n=\sum_{k=0, k\text{ सम}}^n \binom nk (-1)^{\frac k2} a^{n-k}b^k + \mathrm i \sum_{k\text{ विषम}}^n \binom nk (-1)^{\frac{k-1}2} a^{n-k}b^k.

#### किसी भी समिश्र घातांक

किसी समिश्र आधार पर समिश्र घातांक के लिये सामान्य सूत्र है:

:z^\omega := \exp(\omega \cdot \ln z),

यहाँ \ln(z) समिश्र लघुगणक का मुख्य मान लिया जायेगा।

### मूल (roots)

यहाँ बहुत सावधानी की जरूरत होती है; देखिये -
:  1 = \sqrt 1 = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} \ne \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = -1.

निम्नलिखित सूत्र समिश्र संख्या z = re^{\mathrm i\phi} का nवाँ मूल निकालने के लिये प्रयुक्त होता है:
:\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\cdot e^{\mathrm i \frac{\phi + 2k\pi}n},

जहाँ k का मान 0, 1, \ldots, n-1। इस प्रकार किसी संख्या के nवें मूलों की कुल संख्या n होती है।

### लघुगणक

समिश्र संख्या z = re^{i \phi} के प्राकृतिक लघुगणक का मुख्य मान होगा:

:\ln z = \ln r + \mathrm i \phi.

## समिश्र संख्याओं से सम्बन्धित कुछ सर्वसमिकाएँ

: \overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}

: \overline{z\cdot w} = \bar{z}\cdot\bar{w}

: \overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}

: \bar{\bar{z}}=z

: \bar{z}=z &nbsp; if and only if *z* is real

: \bar{z}=-z &nbsp; if and only if *z* is purely imaginary

: \operatorname{Re}\, (z) = \tfrac{1}{2}(z+\bar{z})

: \operatorname{Im}\, (z) = \tfrac{1}{2i}(z-\bar{z})

: |z|=|\bar{z}|

: |z|^2 = z\cdot\bar{z}

: z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^{2}} &nbsp; यदि *z* **अ**शून्य संख्या है।

अन्तिम वाला सूत्र किसी समिश्र संख्या का व्युत्क्रम (इन्वर्स) निकालने के लिये बहुत उपयोगी है, यदि वह संख्या कार्तीय रूप में दी गयी है।

## समिश्र संख्याओं के अनुप्रयोग

### नियंत्रण सिद्धान्त (Control theory)

### संकेत विश्लेषण (Signal analysis)

### Improper integrals

### क्वांटम यांत्रिकी (Quantum mechanics)

### सापेक्षिकता (Relativity)

### व्यावहारिक गणित (Applied mathematics)

### तरल गतिकी (Fluid dynamics)

## इन्हें भी देखें

* डी मॉयवर का प्रमेय (De Moivre's formula)
* यूलर की सर्वसमिका (Euler's identity)

## बाहरी कड़ियाँ

* Euler's work on Complex Roots of Polynomials at Convergence. MAA Mathematical Sciences Digital Library. 
* John and Betty's Journey Through Complex Numbers
* MathWorld articles Complex number and Argand Diagram, and demonstration "Argand Diagram". 
* Complex Numbers Module by John H. Mathews
* Dimensions: a math film. Chapter 5 presents an introduction to complex arithmetic and stereographic projection. Chapter 6 discusses transformations of the complex plane, Julia sets, and the Mandelbrot set.

श्रेणी:संख्या सिद्धान्त
श्रेणी:गणित
*