משפטי שנירלמן

בתורת המספרים האדיטיבית, **משפטי שנירלמן** הם משפטים מרכזיים העוסקים בצפיפות של קבוצות מספרים, החלקיות לקבוצת המספרים הטבעיים. למשפטים אלו יש  השלכה לבעיית וארינג והרבה מאוד משפטים העוסקים בתורת המספרים האדיטיבית. 

## ניסוח המשפטים
יהו \ A,B קבוצות מספרים המוכלות בקבוצת המספרים הטבעיים, אזי:
1)\ \delta(A+B)\geq \delta(A)+\delta(B)-\delta(A)\delta(B) . כאשר הסימון \ \delta מייצג את צפיפות שנירלמן.  
2)אם \ \vert A(n) \vert +\vert B(n) \vert > n-1  אזי \ n מופיע בקבוצה \ A+B
3)אם \ \delta(A)+\delta(B)\geq 1  אזי \ A+B=\N (קבוצת המספרים הטבעיים). 
במשפט השני והשלישי אנחנו מניחים כי \ 0\in A,B.
## הוכחת המשפטים
### המשפט הראשון
נבדוק שני מקרים: מקרה ראשון כאשר \ A,B מכילים לכל היותר איבר אחד, ומקרה שני כאשר לפחות אחת מהקבוצות \ A,B מכילה יותר מאיבר אחד. בהינתן שמתקיים המקרה הראשון האי-שוויון הוא טריוויאלי, שכן במקרה זה \ \delta(A) =\delta(B) =0  ודי ברור ש \ \delta(A+B)\geq 0= \delta(A)+\delta(B)-\delta(A)\delta(B) .עכשיו נותר להוכיח את המשפט למקרה השני.

נניח בלי הגבלת הכלליות שמספר האיברים ב- \ A גדול מאחד, נסדר את איברי A לפי הסדר הרגיל של המספרים הטבעיים:
: \ A = \left\{ a_1 , a_2 , \dots \right\} 
כאשר \ a_n  לכל אינדקס n.
יהיו \ a_k, a_{k+1} מספרים השייכים ל-\ A, אז לפי סידור איברי הקבוצה: \ a_k . 
נגדיר \ a_{k+1}-a_k-1=L_k. ברור שהמספרים \ a_k+1,a_k+2,...,a_k+L_k =a_{k+1}-1 לא שייכים לקבוצה \ A. כמו כן המספר \ a_k+r יופיעו ב\ A+B
אם ורק אם \ r שייך ל- \ B כאשר \ r הוא מספר קטן מ- \ L_k וגדול מ- \ 1,לכן \ r שייך ל \ B(L_k) .
לכן הקבוצה \ a_k + B(L_k)(כלומר הקבוצה שכל איבריה  שווים לסכום האיבר \ a_k ועוד איבר כלשהו מ\  B(L_k)) מוכל ב\ A+B.לכן גם אחוד כל הקבוצות מהצורה\ a_k + B(L_k) כאשר\ K רץ מ\ 1 ל \ n-1 מוכל ב\ A+B שזה הקבוצה \ A(n)+ \sum_{k=1}^{n-1} B(L_k) 
.מכאן נובע ש- \ \vert A(n)\vert +\vert \sum_{k=1}^{n-1} B(L_k) \vert \leq \vert (A+B)(n) \vert 
לפי הגדרת הצפיפות \ \vert B(L_k)\vert\geq\delta(B)*L_k 
וגם \ \vert A(n)\vert\geq\delta(A)*n , ומובן  ש\ \sum_{k=1}^{n-1} L_k=n-A(n)  (כי המקומות שבהם אין איבר מ\ Aהוא סכום כל האיברים שנמצאים בין \ a_{k+1}ל\ a_k)

לכן
::::::::::::::::::::\ \vert(A+B)(n)\vert\geq\vert A(n)\vert +\sum_{k=1}^{n-1} \vert B(L_k)\vert
\ \geq \vert A(n)\vert+\delta(B)\sum_{k=1}^{n-1} L_k = \vert A(n) \vert +\delta(B)(n-\delta(A)*n)\geq \delta(A)*n+\delta(B)*n-\delta(A)\delta(B)*n


לכן לכל n
\ \frac{\vert(A+B)(n)\vert}{n} \geq \delta(A)+\delta(B)-\delta(A)\delta(B)
לכן בהכרח מתקיים \ \delta(A+B)\geq \delta(A)+\delta(B)-\delta(A)\delta(B) . 
מ.ש.ל

### משפט שני
נניח כי \ n\in A.ידוע כי \ 0\in B ולכן \ n=n+0\in A+B.כלומר המשפט מתקיים כאשר \ n נמצא ב\ A(באותו אופן המשפט נכון כאשר \ n\in B).לכן אם נוכיח את הטענה ל\ n\not\in B,A נוכיח את המשפט.כאשר \ n\not\in B,A מתקיים \ A(n)=A(n-1),B(n)=B(n-1) ונקבל \ A(n-1)+B(n-1)>n-1.נגדיר \ \vert A(n-1)\vert =r,\vert B(n-1)\vert =s  כלומר \ r+s>n-1.לכן אם יש \ r+s מספרים כאשר כל המספרים הם בין \ 1 ל\ n-1 אז יש לפחות מספר אחד שמופיע פעמיים.לכן בהכרח שניים מהמספרים \ a_1,a_2,...,a_r,n-b_1,n-b_2,...,n-b_s מתלכדים.כלומר ישנו \ i,j כך ש \ a_i=n-b_j כלומר \ A+B\ni a_i+b_j=n
מ.ש.ל
### משפט שלישי
לפי הגדרת הצפיפות לכל \ n מתקיים \ \frac{\vert A(n)\vert}{n} \geq \delta(A),\frac{\vert B(n)\vert}{n} \geq \delta(B). לכן \ \frac{\vert A(n)\vert}{n} +\frac{\vert B(n)\vert}{n}\geq \delta(A) +\delta(B) \geq 1 כלומר  \ \vert A(n) \vert +\vert B(n) \vert \geq n>n-1   לכן,לפי משפט 2, כל \ n נמצא ב\ A+B ולכן \ A+B=N
מ.ש.ל
## ראו גם
*צפיפות שנירלמן
שנירלמן