הרחבת סקלרים

**הרחבת סקלרים** היא בנייה בסיסית באלגברה, המתאימה למבנה מעל שדה F מבנה בעל אותן תכונות מעל שדה גדול יותר. בפרט, הרחבת הסקלרים מאפשרת להעביר מבנים מעל שדה F למבנים מעל הסגור האלגברי \overline{F}, שהם בעלי אופי יותר גאומטרי. **נסיגת גלואה** (ראה להלן) מאפשרת לעשות את הדרך בכיוון ההפוך.

## הגדרה

פורמלית, לכל אלגברה A מעל F (לרבות אלגברה לא אסוציאטיבית, אלגברה עם אינוולוציה, וכדומה), **הרחבת הסקלרים (מ-F ל-K) של A** היא האלגברה A_K = K \otimes_F A. באופן אינטואיטיבי, מדובר באותו מבנה, אלא שבמקום הסקלרים מ-F מותר כעת להשתמש בכל הסקלרים מ-K.

אכן, הרחבת הסקלרים שומרת על תכונות בסיסיות של A:
# הממד נשמר: \operatorname{dim}_K(K \otimes A) = \operatorname{dim}_F(A);
# אם F אינסופי האלגברות A ו-K \otimes A מקיימות את אותן זהויות פולינומיות (לרבות זהויות לא אסוציאטיביות);
# ואם A מוגדרת כאלגברה מעל F על ידי יוצרים ויחסים, אז A_K מוגדר כאלגברה מעל K על ידי אותם יוצרים ויחסים.

## צורות

אומרים ש־F-אלגברות A,B הן בעלות **אותה צורה** אם A_\overline{F} \cong B_\overline{F}; ו-A נקראת **צורה** (form) של הרחבת הסקלרים A_{\overline{F}}. שכיח מאוד שלאלגברות יש אותה צורה אף כאשר הן אינן איזומורפיות, ואם כך הצורה היא תיאור מבני פשוט יותר ונגיש יותר מאשר מחלקת האיזומורפיזם של האובייקט המקורי. אם A ו-B הן אלגברות מממד סופי בעלות אותה צורה, אז קיימת הרחבה סופית K/F כך שכבר A_K \cong B_K.

לדוגמה:
# אלגברה היא פשוטה מרכזית מדרגה n מעל F, אם ורק אם היא צורה של אלגברת המטריצות \operatorname{M}_n(\overline{F}), כלומר \overline{F} \otimes A \cong \operatorname{M}_n(\overline{F}).
# כל אלגברת אוקטוניונים היא צורה של אלגברת האוקטוניונים המפוצלים (וקטורי צורן),
# כל אלגברה פשוטה מרכזית עם אינוולוציה היא צורה של אחת משתיים: אלגברת המטריצות עם אינוולוציית השחלוף, או (כאשר n זוגי) אלגברת המטריצות עם האינוולוציה הסימפלקטית.

## נסיגת גלואה
נסיגת גלואה (Galois descent) היא הדרך שבה אפשר לחזור מן הצורה מעל הסגור האלגברי אל האלגברות בעלות צורה זו מעל F.

תהי K/F הרחבת גלואה. אם V מרחב וקטורי מעל F, אז \Gamma = \operatorname{Gal}(K/F) פועלת על V_K = K \otimes V על ידי הפעולה על הרכיב הראשון; זו פעולה שאינה K-ליניארית. אם f : U \rightarrow V העתקה ליניארית, אז \sigma(f)=(\sigma \otimes 1)\circ f \circ (\sigma \otimes 1)^{-1}, וזו העתקה ליניארית מעל K. התוצאה היא שלכל אלגברה A, פעולת \Gamma על A_K מגדירה פעולה של אותה חבורה גם על \operatorname{Aut}_K(A_K), וכך אפשר להגדיר סכימת חבורות (כלומר חבורה אלגברית אפינית) G(K) = \operatorname{Aut}_K(A_K).

למשל, המרחב הווקטורי A = F^n מגדיר באופן הזה את חבורת המטריצות ההפיכות \operatorname{GL}_n, ואלגברת המטריצות A = \operatorname{M}_n(F) מגדירה את חבורת המטריצות הפרויקטיבית \operatorname{PGL}_n. האוקטוניונים מגדירים את החבורה הספורדית {G}_2, ואלגברת אלברט מגדירה את החבורה הספורדית {F}_4.

### מיון הצורות

אם A,B נעשות איזומורפיות אחרי הרחבת הסקלרים ל-K, אז בחירת איזומורפיזם \phi : A_K \rightarrow B_K מגדירה g_{\sigma} = [\phi^{-1},1 \otimes \sigma] (לכל \sigma \in \Gamma) ודרך כך איבר [g] \in H^1(\Gamma,G), שאינו תלוי ב-\phi.

המשפט על נסיגת גלואה קובע כי התאמה זו היא חד-חד-ערכית: ה-K-צורות של A נמצאות בהתאמה לאברי קבוצת הקוהומולוגיה הראשונה H^1(\Gamma,G) (שבדרך כלל אינה חבורה משום ש-G אינה אבלית). לדוגמה, האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל F המתפצלות על-ידי K, נמצאות בהתאמה ל-H^1(\operatorname{Gal}(K/F),\operatorname{PGL}_n). את ההתאמות האלה אפשר לקחת לגבול (על פני כל הרחבות גלואה K/F), ואז מתקבלת התאמה של כלל הצורות של A לקוהומולוגיה H^1(\operatorname{Gal}(\overline{F}/F),G).

## מקורות
* Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Gille and Szamuelli.

קטגוריה:אלגברה