משפט פטר-דאגלס-ניומן

בגאומטריה, **משפט פטר-דאגלס-ניומן** (**פד"ן** בקיצור) עוסק בבניה של משולשים שווי-שוקיים על גבי צלעותיו של מצולע.

המשפט נקרא על שמם של המתמטיקאים קארל פטר, ג'סי דאגלס וברנהארד ניומן. פטר הוכיח את המשפט לראשונה ב-1905, בעוד דאגלס וניומן הוכיחו אותו שוב כל אחד באופן עצמאי בשנות ה-40 של המאה ה-20. המשפט נקרא גם **משפט דאגלס**, **משפט פטר** ו**הנס של פטר**.

ייחודו של המשפט בכך שעל אף שמדובר במשפט גאומטרי מורכב לניסוח, ניתן להוכיחו באופן פשוט יחסית באמצעות מספרים מרוכבים.

המשפט מהווה הכללה של מספר משפטים בגאומטריה, ביניהם משפט נפוליאון ומשפט ואן אובל.

## נוסח המשפט
יהי מצולע כלשהו A_0 בעל n קודקודים. על כל צלע של המצולע בונים משולש שווה-שוקיים הפונה *החוצה* מן המצולע שזווית הראש שלו היא מגודל \frac{2k\pi}{n} עבור 1\le k\le n-2 (הזווית נמדדת ברדיאנים). לוקחים את קודקוד הראש של כל משולש שווה-שוקיים שכזה ומרכיבים ממנו מצולע חדש בעל n קודקודים. מסמנים את המצולע הזה ב-A_1. חוזרים על התהליך n-2 פעמים כאשר בכל פעם בוחרים k אחר מכל הבחירות הקודמות עד שכל הערכים בין 1 ל-n-2 נבחרו. מסמנים את כל המצולעים שנוצרו בתהליך ב-A_1,A_2,\dots,A_{n-2} שלכל אחד מהם n קודקודים. אזי:

# לכל המצולעים שנוצרו בתהליך, נקודת מרכז הכובד זהה למרכז הכובד של המצולע המקורי.
# המצולע A_{n-2} אינו תלוי בסדר הבחירה של ערכי k.
# המצולע A_{n-2} הוא מצולע משוכלל.
**הבהרה**: עבור חלק מערכי n וערכי k מתקבלת זווית ראש \frac{2k\pi}{n} שגדולה מ-\pi רדיאנים (180 מעלות). במקרה זה בונים את המשולש שווה השוקיים *פנימה* אל המצולע עם זווית ראש 2\pi - \frac{2k\pi}{n}. ניתן לחשוב על כך כאילו המשולש "התהפך" לכיוון השני ברגע שזווית הראש שלו עברה את 180 המעלות.

במקרה שבו n הוא זוגי ו-k=\frac{n}{2} מתקבל זווית ראש של \pi רדיאנים בדיוק. במקרה זו המשולשים מתנוונים ומתלכדים עם הצלע. משמע, לקיחת קודקוד הראש מהמשולש המנוון שקולה ללקיחת נקודת אמצע קטע. 

## דוגמאות

## סימונים
לצורך הצגת ההוכחה נשתמש בסימונים הבאים:

נסמן ב-\mathbb{N}, \mathbb{R} ו-\mathbb{C} את קבוצת המספרים הטבעיים, הממשיים והמרוכבים בהתאמה. המספרים n, k ו-j ישמשו כמספר טבעי כללי. i יסמן את היחידה המדומה.

נסמן ב-\mathbb{C}^n את המרחב הווקטורי מממד n של וקטורי עמודה מרוכבים.

מסמנים את וקטור העמודה \vec{e}\in\mathbb{C} להיות:

\vec{e}:=\begin{pmatrix}1/n \\ \vdots \\ 1/n \end{pmatrix}

לבסוף, נסמן ב-I את מטריצת היחידה מגודל n\times n וב-S להיות המטריצה מגודל n\times n:

S:=\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0
\end{pmatrix}

ניתן להוכיח שלכל וקטור v\in\mathbb{C}^n ולכל 1\le j \le n מתקיים ש-(Sv)_j=
\begin{cases}
v_{j+1} & \text{if }j\ne n \\
v_{1} & \text{if }j = n
\end{cases}. כלומר S מזיזה את האינדקסים של הווקטור שבו היא מוכפלת באופן ציקלי.

## הוכחת המשפט

### בניית נוסחה רקורסיבית
מסמנים את הבחירות של k ב-k_1,k_2,\dots,k_{n-2} וכן מגדירים \omega := e^\frac{i\pi}{n}.

משכנים את המצולעים A_0,A_1,\dots,A_{n-2} במישור המרוכב. מסמנים את קודקודים המצולע A_0 ב-a_1,a_2,\dots,a_n ואת קודקודי המצולע A_1 ב-b_1,b_2,\dots,b_n.

ניתן להוכיח כי לכל 1\le j\le n-1 מתקיים ש-\omega^{k_1}(b_j-a_j)=b_j-a_{j+1}. משוואה זו מתקבלת על ידי סיבוב השוק של המשולש שווה-השוקיים בזווית הראש כדי לקבל את השוק השני. על ידי אריתמטיקה והעברת אגפים מקבלים כי b_j=(1-\omega^{k_1})^{-1}(a_{j+1}-\omega^{k_1}a_j). עבור j=n מתקבל באופן דומה b_n=(1-\omega^{k_1})^{-1}(a_{1}-\omega^{k_1}a_n).

בסך הכול, אם לוקחים את a_1,a_2,\dots,a_n ומציבים אותם בוקטור עמודה \vec{a} ואת b_1,b_2,\dots,b_n ומציבים בוקטור עמודה \vec{b} מתקבל ש-\vec{b}=(1-\omega^{k_1})^{-1}(S-\omega^{k_1}I)\vec{a}.

מסיבה זו, אם מתייחסים לכל מצולע A_0,A_1,\dots,A_{n-2} כוקטור עמודה, מתקבלת הנוסחה הרקורסיבית A_j=(1-\omega^{k_j})^{-1}(S-\omega^{k_j}I)A_{j-1} לכל 1\le j\le n-2.

### הוכחת שימור מרכז הכובד
מרכז הכובד של מצולע המיוצג כוקטור עמודה \vec{v} ב-\mathbb{C}^n הוא המכפלה הפנימית \vec{e}\cdot \vec{v} (\vec{e} וקטור עמודה שכל איבריו 1/n כפי שהוגדר לעיל). ניתן להוכיח כי \vec{e}\cdot S\vec{v}=\vec{e}\cdot \vec{v} לכל \vec{v} כלשהו.

לכן:

\begin{align}
\vec{e}\cdot A_j=\vec{e}\cdot (1-\omega^{k_j})^{-1}(S-\omega^{k_j}I)A_{j-1} \\
= (1-\omega^{k_j})^{-1}(\vec{e}\cdot SA_{j-1}-\omega^{k_j}\vec{e}\cdot A_{j-1}) \\
= (1-\omega^{k_j})^{-1}(\vec{e}\cdot A_{j-1}-\omega^{k_j}\vec{e}\cdot A_{j-1}) \\
= (1-\omega^{k_j})^{-1}(1-\omega^{k_j})\vec{e}\cdot A_{j-1} \\
= \vec{e}\cdot A_{j-1}
\end{align}

כלומר, נקודת מרכז הכובד של כל מצולע שווה לנקודת מרכז הכובד של המצולע שלפניו, כנדרש.

### הוכחת אי-תלות בסדר בחירת ערכי k
ניתן להוכיח כי לכל מטריצה M ולכל \alpha,\beta\in \mathbb{C} מתקיימת הקומוטטיביות (M-\alpha I)(M-\beta I)=(M-\beta I)(M-\alpha I). בנוסף, מכפלת מספרים מרוכבים היא קומוטטיבית. לכן, על ידי חזרה על הכלל הרקורסיבי n-2 פעמים מתקבל ש:

\begin{align}
A_{n-2}=\left(\prod_{j=1}^{n-2}{(1-\omega^{k_j})^{-1}(S-\omega^{k_j}I)}\right)A_0 \\
=\left(\prod_{j=1}^{n-2}{(1-\omega^{k_j})^{-1}}\prod_{j=1}^{n-2}{(S-\omega^{k_j}I)}\right)A_0 \\
=\left(\prod_{j=1}^{n-2}{(1-\omega^j)^{-1}}\prod_{j=1}^{n-2}{(S-\omega^jI)}\right)A_0 \\
\end{align}

כאשר השוויון האחרון נובע מהקומוטטיביות שהוצגה לעיל והעובדה ש-k מקבל את כל הערכים בין 1 ל-n-2. בכך מוכיחים ש-A_{n-2} אינו תלוי בסדר בחירת ה-k-ים.

### הוכחה כי המצולע האחרון הוא מצולע משוכלל
ניתן להוכיח כי וקטור כלשהו \vec{v}\in\mathbb{C}^n הוא מצולע משוכלל אם ורק אם S^2v-Sv=\omega^{-1}(Sv-v). כלומר, צלע במצולע נוצרת על-ידי סיבוב של \frac{2\pi}{n} מעלות מהצלע הקודמת לה. על-ידי העברת אגפים ושימוש בעובדה כי \omega^{-1}=\omega^{n-1} מתקבל התנאי השקול (S - I)(S-\omega^{n-1}I)\vec{v}=0.

בנוסף, מכיוון ומתקיים שוויון הפולינומים x^n-1=(x-1)(x-\omega)(x-\omega^2)\cdots(x-\omega^{n-1}), ניתן להציב בו מטריצה מרובעת M לקבל ש-M^n-I=\prod_{j=0}^{n-1}{(M-\omega^j I)}.

לבסוף, ניתן להוכיח כי S^n=I.

מכל זאת מתקבל כי:

\begin{align}
(S-I)(S-\omega^{n-1}I)A_{n-2}=(S-I)(S-\omega^{n-1}I)\left(\prod_{j=1}^{n-2}{(1-\omega^j)^{-1}}\prod_{j=1}^{n-2}{(S-\omega^jI)}\right)A_0 \\
= \left(\prod_{j=1}^{n-2}{(1-\omega^j)^{-1}}\prod_{j=0}^{n-1}{(S-\omega^jI)}\right)A_0 \\
= \left(\prod_{j=1}^{n-2}{(1-\omega^j)^{-1}}(\underbrace{S^n-I}_{=0})\right)A_0 \\
= 0
\end{align}

לכן A_{n-2} הוא מצולע משוכלל.

**מש.ל.**

## מקרים פרטיים

### משפט נפוליאון

ממוזער|תרשים חזותי של משפט נפוליאון
כאשר n=3 הערך היחיד של k הוא k=1. כלומר, עבור משולש כלשהו, אם בונים על כל צלע של המשולש משולש שווה-שוקיים שזווית הראש שלו היא \frac{2\pi}{3} רדיאנים (120^\circ). משפט פד"ן קובע כי המשולש הנוצר משלושת קודקודי הראש של המשולשים שווי-השוקיים הוא משולש שווה-צלעות.

במקום לבנות על גבי המשולש משולשים שווי שוקיים עם זווית ראש של 120^\circ, ניתן באופן שקול לבנות על גבי צלעות המשולש משולשים שווי-צלעות ולקחת את מרכז הכובד שלהם במקום את קודקוד הראש. זהו למעשה משפט נפוליאון.

### משפט ואן אובל

ממוזער|תרשים חזותי של משפט ואן-אובל
כאשר n=4, ניתן לבחור ראשית את k להיות k=1 ואז k=2. כלומר, על כל צלע במרובע בונים משולש שווה-שוקיים שזווית הראש שלו היא \frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2} רדיאנים (90^\circ), ואז על גבי המרובע הנוצר מזוויות הראש לבנות משולשים מנווונים עם זווית ראש של \frac{2\cdot 2\pi}{4}=\pi רדיאנים (180^\circ), כלומר לקחת את נקודות אמצע הקטע של כל צלע במרובע זה. משפט אוסף נקודות אמצע הצלעות הללו הוא ריבוע.

ראשית, יש לשים לב שלקיחת נקודות אמצע הצלעות של המרובע השני שקול ללקיחת מקבילית וריניון של אותו מרובע. ניתן להוכיח כי מקבילית וריניון היא ריבוע אם ורק אם האלכסונים של המרובע שממנו היא נלקחה שווים ומאונכים זה לזה.

שנית, את השלב הראשון של בניית משולשים שווי-שוקיים עם זווית ראש של 90^\circ אפשר להחליף בבניית ריבועים על הצלעות  ולקיחת נקודת מרכז הכובד שלהם.

לאחר  שמבצעים את שתי ההחלפות הללו, מתקבל משפט ואן-אובל.

## ראו גם

* משפט בוטמה

## קישורים חיצוניים

* 

## הערות שוליים

קטגוריה:גאומטריה אוקלידית
קטגוריה:מצולעים
קטגוריה:הוכחות