כלל לופיטל

בחשבון אינפיניטסימלי, **כלל לוֹפּיטָל** (L'Hôpital) הוא משפט המסייע בחישוב גבולות שצורתם אינה מוגדרת, כגון גבולות מהצורה \textstyle \frac{ \infty}{ \infty} או \textstyle \frac{0}{0}, באמצעות גזירה, שמעבירה את הגבולות לצורה מוגדרת היטב. הכלל מאפשר להחליף את המונה והמכנה בנגזרת שלהם, פעולה העשויה לפשט את חישוב הגבול באופן משמעותי.
טרנספורמציות שגרתיות מאפשרות לטפל בעזרת הכלל גם בגבול שבו יש מכפלה מהצורה \ 0 \cdot \infty או חזקה מהצורה \ 1^{\infty} או \ \infty^0.

כלל לופיטל התגלה על ידי יוהאן ברנולי, אולם תלמידו, המרקיז דה לופיטל, היה הראשון שפרסם אותו בספר.

## כלל לופיטל (עבור גבול מהצורה <math>\textstyle \frac{0}{0}</math>)
נניח כי f\left(x\right) ו-g\left(x\right) הן שתי פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a (ממשית, או \ \pm \infty), וש-\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0 וגם g'(x)\neq0 לכל x בסביבה. אם הגבול \,L = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} קיים, אז גם הגבול \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} קיים, ושווה ל־L.

### הוכחה
לכל 0 קיים 0 כך שלכל x המקיים 0 מתקיים L- \varepsilon  ולכן, לפי משפט הערך הממוצע של קושי:

:L- \varepsilon  לכל x_1,x_2 המקיימים |x_1-a|.

אם נשאיר את x_1 קבוע ואת x_2 נשאיף לa נקבל

:L- \varepsilon \leq \lim_{x_2\to a} \frac{f(x_1)-f(x_2)}{g(x_1)-g(x_2)} = \frac {f(x_1)}{g(x_1)}\leq L + \varepsilon

כלומר, L-\varepsilon  כאשר |x_1 - a| .

לכן, \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L. **מש"ל.**

## כלל לופיטל (עבור גבול מהצורה <math>\textstyle \frac{ \infty}{ \infty}</math>)
נניח כי f\left(x\right) ו-g\left(x\right) הן שתי פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a (ממשית, או \ \pm \infty), וש-\lim_{x\to a} f(x)= \pm \infty, \lim_{x\to a} g(x)= \pm \infty וגם g'(x)\neq0 לכל x בסביבה. אם הגבול \,L = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} קיים, אז גם הגבול \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} קיים, ושווה ל־L.

### הוכחה
לכל \varepsilon>0 קיים \delta > 0 כך שלכל x המקיים 0 מתקיים L- \varepsilon  ולכן, לפי משפט הערך הממוצע של קושי מתקיים:

:L- \varepsilon  לכל x_1,x_2 המקיימים 0.

נגדיר:
:\beta(x_1,x_2)= \frac{g(x_1)}{g(x_1)-g(x_2)} \cdot \frac{f(x_1)-f(x_2)}{f(x_1)}

כמו כן מתקיים:
:\beta(x_1,x_2) \cdot \frac{f(x_1)}{g(x_1)}=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{g(x_1)-g(x_2)}

אם נשאיר את x_2 קבוע ואם יהיה x_1 \rightarrow a נקבל \lim_{x_1\to a} \beta(x_1,x_2) = 1.

מכאן קל להוכיח שעבור x_2 קבוע המקיים 0 קיים \delta > \delta_1 כך שלכל x_1 כך שעבור 0 מתקיים \beta(x_1,x_2) >0 וכן:

:L-2\varepsilon

ולכן:
:\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L

## גבולות נוספים
בעזרת הכלל ניתן לחשב גם גבולות מהצורה 0\cdot\infty, 1^\infty:
נניח כי \ f(x)\rarr 0, g(x)\rarr\infty ואנו רוצים לחשב את \lim_{x\to a}f(x)\cdot g(x)

אז f(x)\cdot g(x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\rarr\frac{0}{0},f(x)\cdot g(x)=\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}\rarr\frac{\infty}{\infty}

וניתן להשתמש על ביטויים אלו בכלל לופיטל.

נניח כי \ f(x)\rarr 1,g(x)\rarr\infty ואנו רוצים לחשב את \lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}.

אז מתקיים:

:\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}=\lim_{x\to a}\exp{\left( \ln(f(x)^{g(x)}) \right) }=
\exp{\left( \lim_{x \to a}g(x)\ln{f(x)} \right)}

וכעת יש במעריך גבול מהצורה 0\cdot\infty שבו כבר יודעים לטפל.

## דוגמאות
* לכל n טבעי, נחשב את הגבול x^n חלקי e^x כאשר x שואף לאינסוף. זהו גבול של אינסוף חלקי אינסוף ולכן נחשבו באמצעות הפעלה חוזרת של כלל לופיטל נקבל:
:: \ \lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty}\frac{n x^{n-1}}{e^x} = \cdots = \lim_{x \to \infty}\frac{n!}{e^x} = 0 
: זאת כי \ \left( e^x \right) ' = e^x והאקספוננט שואף לאינסוף כאשר x שואף לאינסוף.
* דוגמה נוספת:
:: \ \lim_{x \to 1}\frac{ (x-1)^2 }{\ln x } = \lim_{x \to 1}\frac{ 2(x-1) }{1/x } = 0 
: זאת כי \ \left( \ln x \right) ' = 1/x.
* דוגמה נוספת:
:: \ \lim_{x \to 1}\frac{ (x-1) }{\ln x } = \lim_{x \to 1}\frac{ 1 }{1/x } = 1 
: בכך הוכחנו שעבור מספרים \ u  מתקיים \ \ln(1+u) \approx u.
* השימוש בכלל לופיטל לא תמיד מצליח לפשט את הביטוי הנתון, למשל בדוגמה שלהלן:
:: \ \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}}{x}
: מאחר ש־e^{\ln{x}} = x אזי ברור שהגבול שווה ל-1. אבל מאחר ש:
:: \ \left( e^{\ln x} \right) ' = e^{\ln x} / x ו־\ (x)' = 1
: אם נשתמש בכלל לופיטל נקבל (בגלל רציפות פונקציית האקספוננט) ש:
:: \ \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}}{x} = \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}/x}{1} = \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}}{x} 
: כלומר, כלל לופיטל מחזיר אותנו לאותו גבול שהתחלנו איתו ולכן הוא לא עוזר לחשב גבול זה.
* יש להיזהר מהוכחות מעגליות. למשל, לעיתים קרובות נוטים לחשב את הגבול \ \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x} בעזרת כלל לופיטל.
:מכיוון שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס, מתקבל:
::\ \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}= \lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)}{1}=1
:אולם, מכיוון שמקובל להוכיח שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס בעזרת שימוש בגבול של sin(x)/x, מתקבלת הוכחה מעגלית. ניתן לפתור בעיה זו אם מגדירים את פונקציות הסינוס והקוסינוס בעזרת טורי מקלורין (טורי טיילור בנקודה 0), ומוכיחים את נכונות הנגזרות באמצעות גזירת הטורים.

## ראו גם
* גבול (מתמטיקה)
* נגזרת
* משפט שטולץ

## קישורים חיצוניים

* הוכחה לכלל לופיטל באתר Planet Math 
* 

לופיטל
קטגוריה:גבולות (מתמטיקה)