פונקציה מציינת

במתמטיקה, **פונקציה מציינת**, הנקראת גם **פונקציה אופיינית** או לעיתים גם **אינדיקטור**, היא פונקציה המוגדרת בקבוצה \,X ומציינת שייכות לתת קבוצה \,A של \,X. הפונקציה המציינת 1_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace \, מוגדרת באופן הבא:

:1_A(x) =
\left\{\begin{matrix}
1 &\mbox{if}\ x \in A \\
0 &\mbox{if}\ x \notin A
\end{matrix}\right.


הפונקציה המציינת מסומנת לעיתים גם כ-\ \chi_A(x),1_X או כ-\ I_A(x), או כ־[x\in A] באמצעות סוגרי אייברסון. במקרה הפרטי של הפונקציה עבור X=\mathbb{N} ו-\,A = \lbrace 1 \rbrace, הפונקציה נקראת פונקציית היחידה.

## תכונות בסיסיות
אם \,A ו-\,B תת-קבוצות של \,X אזי:
* תכונת החיתוך: 1_{A\cap B} = \min\{1_A,1_B\} = 1_A \cdot 1_B 
* תכונת האיחוד: 1_{A\cup B} = \max\ (-1)^ \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \dotsc, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k}

כאשר |F| הוא העוצמה של . זוהי צורה אחת של עקרון ההכלה וההפרדה .

כפי שהוצע בדוגמה הקודמת, פונקציית האינדיקטור היא אמצעי סימון שימושי בקומבינטוריקה. הסימון משמש גם במקומות אחרים, למשל בתורת ההסתברות : אם  הוא מרחב הסתברות עם מדד הסתברות \mathbb{P} ו-  היא קבוצה מדידה, אז \mathbf{1}_A הופך למשתנה מקרי שהתוחלת שלו שווה להסתברות של  :

\operatorname\mathbb{E}_X\left\{\ \mathbf{1}_A(x)\ \right\}\ =\ \int_{X} \mathbf{1}_A( x )\ \operatorname{d\ \mathbb{P} }(x) = \int_{A} \operatorname{d\ \mathbb{P} }(x) = \operatorname\mathbb{P}(A).

זהות זו משמשת בהוכחה פשוטה של אי-שוויון מרקוב .

במקרים רבים, כמו בתורת הסדר, ניתן להגדיר את ההופכי של פונקציית האינדיקטור. פונקציה זו נקראת בדרך כלל פונקציית מוביוס מוכללת, כהכללה של הפונקציה ההופכית לפונקציית האינדיקטור בתורת המספרים האלמנטרית, שהיא פונקציית מוביוס. (ראה פסקה להלן על השימוש בפונקציה ההופכית בתורת הרקורסיה הקלאסית.)
## ממוצע, שונות ושונות משותפת
בהינתן מרחב הסתברות \textstyle (\Omega, \mathcal F, \operatorname{P}) עם תת-קבוצה A \in \mathcal F,, המשתנה המציין \mathbf{1}_A \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R} מוגדר על ידי \mathbf{1}_A (\omega) = 1  אִם  \omega \in A, . אחרת \mathbf{1}_A (\omega) = 0..

; ממוצע: 
: \ \operatorname\mathbb{E}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname\mathbb{P}(A)\  

; שונות
: \ \operatorname{Var}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname\mathbb{P}(A)(1 - \operatorname\mathbb{P}(A)).

; שונות משותפת
: \ \operatorname{Cov}(\mathbf{1}_A (\omega), \mathbf{1}_B (\omega)) = \operatorname\mathbb{P}(A \cap B) - \operatorname\mathbb{P}(A) \operatorname\mathbb{P}(B).
## פונקציה אופיינית בתורת הרקורסיה,
קורט גדל תיאר את *פונקציית הייצוג* במאמרו משנת 1934 "על טענות בלתי ניתנות להכרעה של מערכות מתמטיות פורמליות" (הסמל "  " מציין היפוך לוגי, כלומר "לא"): 

קלין מציע את אותה הגדרה בהקשר של פונקציות פרימיטיבות רקורסיביות, שכן פונקציה  של פרידקט  מקבלת ערכים של  אם הפרדיקט נכון ו-  אם הפרדיקט לא נכון.

לדוגמה, מכיוון שמכפלת הפונקציות האופייניות \phi_1 * \phi_2 * \cdots * \phi_n = 0 בכל פעם שאחת מהפונקציות שווה , היא ממלאת את תפקיד הפונקציה הלוגית "או": אם \phi_1 = 0\  אוֹ \ \phi_2 = 0 או ... או \phi_n = 0 אזי המכפלה שלהם היא . מה שנראה לקורא המודרני כהיפוך לוגי של הפונקציה המייצגת, כלומר הפונקציה המייצגת היא  כאשר הפונקציה  "נכונה או מתקיימת", משחק תפקיד שימושי בהגדרת הפונקציות הלוגיות "או", "ו", ו"מכאן נובע" לפי קליין, את אופרטורי מיו החסומים והלא-חסומים ואת פונקציית CASE.
## פונקציה אופיינית בתורת הרקורסיה, פונקציית הייצוג של גודל וקליין
קורט גדל תיאר את *פונקציית הייצוג* במאמרו משנת 1934 "על טענות בלתי ניתנות להכרעה של מערכות מתמטיות פורמליות" (הסמל "  " מציין היפוך לוגי, כלומר "לא"): 

קלין מציע את אותה הגדרה בהקשר של פונקציות פרימיטיבות רקורסיביות, שכן פונקציה  של פרידקט  מקבלת ערכים של  אם הפרדיקט נכון ו-  אם הפרדיקט לא נכון.

לדוגמה, מכיוון שמכפלת הפונקציות האופייניות \phi_1 * \phi_2 * \cdots * \phi_n = 0 בכל פעם שאחת מהפונקציות שווה , היא ממלאת את תפקיד הפונקציה הלוגית "או": אם \phi_1 = 0\  אוֹ \ \phi_2 = 0 או ... או \phi_n = 0 אזי המכפלה שלהם היא . מה שנראה לקורא המודרני כהיפוך לוגי של פונקציית הייצוג, כלומר פונקציית הייצוג היא  כאשר הפונקציה  "נכונה או מתקיימת", משחק תפקיד שימושי בהגדרת הפונקציות הלוגיות "או", "ו", ו"מכאן נובע" לפי קליין, את אופרטורי מיו החסומים והלא-חסומים ואת פונקציית CASE.
## פונקציה אופיינית בתורת הרקורסיה, פונקציית הייצוג של גודל וקלין
קורט גדל תיאר את *פונקציית הייצוג* במאמרו משנת 1934 "על טענות בלתי ניתנות להכרעה של מערכות מתמטיות פורמליות" (הסמל "  " מציין היפוך לוגי, כלומר "לא"): 

לכל קשר או מחלקה R תותאם פונקציית ייצוג כדלהלן:

Φ(x1,...xn)=0 אם R(x1,...xn) ו-

Φ(x1,...xn)=1 אם R(x1,...xn)

קלין מציע את אותה הגדרה בהקשר של פונקציות פרימיטיבות רקורסיביות, שכן פונקציה  של פרידקט  מקבלת ערכים של  אם הפרדיקט נכון ו-  אם הפרדיקט לא נכון.

לדוגמה, מכיוון שמכפלת הפונקציות האופייניות \phi_1 * \phi_2 * \cdots * \phi_n = 0 בכל פעם שאחת מהפונקציות שווה , היא ממלאת את תפקיד הפונקציה הלוגית "או": אם \phi_1 = 0\  אוֹ \ \phi_2 = 0 או ... או \phi_n = 0 אזי המכפלה שלהם היא . מה שנראה לקורא המודרני כהיפוך לוגי של פונקציית הייצוג, כלומר פונקציית הייצוג היא  כאשר הפונקציה  "נכונה או מתקיימת", משחק תפקיד שימושי בהגדרת הפונקציות הלוגיות "או", "ו", ו"מכאן נובע" לפי קל2ין, את אופרטורי מיו החסומים והלא-חסומים ואת פונקציית CASE.
## פונקציה אופיינית בתורת הקבוצות העמומה
במתמטיקה קלאסית, פונקציות אופייניות של קבוצות מקבלות ערכים של  (איברים) או  (לא-איברים). *בתורת הקבוצות העמומה*, פונקציות אופייניות מוכללות כך שיקבלו ערך באינטרוול היחידה הממשי [0,1], או באופן כללי יותר, באלגברה או מבנה (בדרך כלל נדרש להיות לפחות קבוצה סדורה חלקית או סריג ). פונקציות אופייניות מוכללות כאלו נקראות בדרך כלל פונקציות שייכות, וה"קבוצות" המתאימות נקראות קבוצות *עמומות*. קבוצות עמומות ממדלים את השינוי ההדרגתי במידת השייכות הנראיתבפרדיקטים רבים בעולם האמיתי כמו "גבוה", "חם" וכו'.
## פונקציה חלקה
באופן כללי, פונקציית האינדיקטור של קבוצה אינה חלקה; היא רציפה אם ורק אם התומך שלה היא רכיב קשיר. בגאומטריה אלגברית של שדות סופיים, לעומת זאת, מכל יריעה אלגברית אפינית ניתן לקבל פונקציית אינדיקטור רציפה (זריצקי).  בהינתן קבוצה סופית של פונקציות f_\alpha \in \mathbb{F}_q\left[\ x_1, \ldots, x_n\right], יהיV = \bigl\{\ x \in \mathbb{F}_q^n : f_\alpha(x) = 0\ \bigr\} אוסף הנקודות x בהן כל הפונקציות f_a(x) מתאפסות (vanishing locus). 

במקרה זה, הפונקציה \mathbb{P}(x) = \prod\left(\ 1 - f_\alpha(x)^{q-1}\right) משמשת כפונקציית אינדיקטור עבור V.. אִם x \in V, אזי \mathbb{P}(x) = 1,. אחרת, עבור f_\alpha, כלשהי, מתקיים f_\alpha(x) \neq 0, ומזה נובע f_\alpha(x)^{q-1} = 1, . על כן, \mathbb{P}(x) = 0..
## ראו גם
* מידה (מתמטיקה)
* תורת הקבוצות
* תורת המידה
* אלגברה בוליאנית

## ביאורים

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת הקבוצות
קטגוריה:לוגיקה מתמטית
קטגוריה:תורת המידה
מציינת, פונקציה
מציינת