שחלוף (מתמטיקה)

באלגברה ליניארית, **שחלוף** (לפעמים גם **חילוף**; אנגלית: **Transpose**) הוא פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה. הפעולה מקבלת מטריצה בת n שורות ו-m עמודות, ומחזירה מטריצה בת m שורות ו-n עמודות, שבמקום ה-(i, j) שלה נמצא האיבר ה-(j, i) של המטריצה המקורית. השחלוף הוא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג ראשון. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה סימטרית.
ממוזער|200px|שמאל|השחלוף '''A'''<sup>T</sup> של מטריצה '''A''' יכולה להתקבל על ידי שיקוף של מקדמי המטריצה לאורך האלכסון הראשי. חזרה על הפעולה מחזירה את המקדמים למקומם המקורי.

## הגדרה פורמלית
תהא \!\, A מטריצה מסדר n\times m. המטריצה המשוחלפת שלה, A^\top  
(מקובלים גם הסימונים \ A^{T}, A^{t}, {}^tA, A^{tr}, A')
היא מטריצה מסדר \!\, m\times n  שמוגדרת כך:  \!\, (A^\top)_{ij}=(A)_{ji}, עבור כל  \!\, 1\le i\le m, 1\le j\le n.

דוגמאות: 
:\begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^\top \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}\qquad

\qquad
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^\top  \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;


## תכונות

פעולת השחלוף מהווה, כאמור, אינוולוציה מסוג ראשון. פירושו של דבר הוא שהפעולה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר, הופכת את פעולת הכפל, ויש לה סדר 2:
*\!\, (A+B)^\top=A^\top+B^\top. 
*\!\, (\lambda A)^\top=\lambda (A^\top).
*\!\, (AB)^\top=B^\top A^\top
*\!\, (A^\top)^\top=A
מן התכונות האלה נובע גם שאם \!\, A הפיכה אז גם \ A^\top הפיכה ו-\!\, (A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top.

הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה. מכאן נובע שגם הפולינום האופייני של \ A^\top שווה לזה של \ A, ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים. יתרה מזו, כל מטריצה דומה למטריצה המשוחלפת שלה.

## מטריצות מיוחדות הקשורות בשחלוף

מטריצה ריבועית \ A נקראת סימטרית אם A^\top = A, כלומר \ A שווה למטריצה המשוחלפת שלה. \ A נקראת אנטי-סימטרית אם A^\top = -A.

אם \ A היא מטריצה ריבועית הפיכה ומתקיים \ A^{-1} = A^\top, אז \ A נקראת מטריצה אורתוגונלית. כלומר, מטריצה ריבועית \ A היא אורתוגונלית אם ורק אם \ AA^{\top} = A^{\top}A = I, כאשר \ I היא מטריצת היחידה.

בדומה לפעולת השחלוף אפשר להגדיר גם פעולת **[[מטריצה צמודה|הצמדה הרמיטית]]** הכוללת בנוסף לשחלוף גם פעולת הצמדה של אברי השדה. הצמוד ההרמיטי של מטריצה \ A מסומן \ A^* וכאמור מוגדר לפי \ (A^*)_{ij} = \overline{A_{ji}}. אם \ A מקיימת \ A^* = A, היא נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית בדיוק כאשר כל הרכיבים שלה ממשיים. בעניין זה, ראו גם אופרטור הרמיטי.

## שחלוף של העתקה ליניארית

אם \ V ו-\ W הם מרחבים וקטוריים מעל שדה \mathbb{F} ו-T:V \to W היא העתקה ליניארית, ההעתקה המשוחלפת שלה היא העתקה T^{\top}:W^{*}\to V^{*} בין המרחבים הדואליים של \ W ו-\ V  המוגדרת באופן הבא:

\left(T^{\top}g\right)\left(v\right)=g\left(T\left(v\right)\right) לכל v\in V ולכל  g\in W^{*}.

זוהי העתקה ליניארית ודרגתה שווה לדרגת \ T. הפונקציונל \ T^\top g מכונה לעיתים המשיכה לאחור של \ g במקביל ל-\ T.

אם \ V ו-\ W הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים, \mathfrak{B} הוא בסיס סדור ל-\ V עם בסיס דואלי \mathfrak{B}^{*}, \mathfrak{B}' הוא בסיס סדור ל-\ W עם בסיס דואלי \mathfrak{B}'^{*} ו-\ A היא המטריצה המייצגת של \ T ביחס לבסיסים \mathfrak{B},\mathfrak{B}', אז המטריצה המייצגת של \ T^\top ביחס לבסיסים \mathfrak{B}'^{*},\mathfrak{B}^{*} היא בדיוק \ A^\top.

## קישורים חיצוניים
* 

קטגוריה:מטריצות