משפט קושי-אדמר

במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, **משפט קושי-אדמר** הוא משפט המוכיח שלכל טור חזקות קיים רדיוס התכנסות, ומספק נוסחה לחישוב רדיוס זה.

המשפט נוסח לראשונה על-ידי המתמטיקאי אוגוסטן לואי קושי בשנת 1821, אם כי הוכחה על-ידו באופן שאינו ריגורוזי. המשפט התגלה מחדש והוכח כהלכה על-ידי המתמטיקאי ז'אק אדמר בשנת 1892.

## נוסח המשפט
יהי טור חזקות \sum_{n=0}^\infty{c_n(z-a)^n} כך ש-a,c_0,c_1,\dots\in\C. מגדירים S:=\limsup_{n\to\infty}{\sqrt[n]}. אזי:

# אם S סופי ושונה מ-0, לטור החזקות קיים רדיוס התכנסות סופי R ומתקיים R=\frac{1}{S}. זאת אומרת שטור החזקות מתבדר כאשר |z-a|>R ומתכנס כאשר  |z-a|. המשפט לא מספק מידע על ההתכנסות כאשר |z-a|=R.
# אם S=0, טור החזקות הוא פונקציה שלמה. כלומר, הטור מתכנס לכל z\in\C ורדיוס ההתכנסות הוא אינסופי.
# אם S=\infty, הטור מתבדר לכל z\ne a. כלומר, רדיוס ההתכנסות הוא 0.

## הוכחת המשפט
בוחרים z_0\in\C כלשהו ומסתכלים על הטור \sum_{n=0}^\infty{c_n(z_0-a)^n}. נשאלת השאלה מתי הטור הזה מתכנס.

כדי לענות על שאלה זו, אפשר להשתמש במבחן השורש לטורים מרוכבים. ממבחן השורש מקבלים:

\limsup_{n\to\infty}{\sqrt[n]}=\limsup_{n\to\infty}{|z_0-a|\sqrt[n]}=|z_0-a|\limsup_{n\to\infty}{\sqrt[n]}=|z_0-a|S

כעת ייתכנו שלושה מקרים:

**מקרה ראשון -** S **סופי ושונה מ-0**: במקרה זה:

# אם |z_0-a| אז \limsup_{n\to\infty}{\sqrt[n]}=|z_0-a|S, ולפי מבחן השורש הטור מתכנס.
# אם |z_0-a|>\frac{1}{S} אז \limsup_{n\to\infty}{\sqrt[n]}=|z_0-a|S>1, ולפי מבחן השורש הטור מתבדר.

לכן אפשר לראות שלטור החזקות יש רדיוס התכנסות סביב a שגודלו \frac{1}{S}: לכל z_0 שבתוך רדיוס ההתכנסות הטור מתכנס, ולכל z_0 שמחוץ לרדיוס ההתכנסות הטור מתבדר.

**מקרה שני -** S=0**:** במקרה זה, לכל z_0\in\C:

\limsup_{n\to\infty}{\sqrt[n]}=|z_0-a|S=0

לכן הטור מתכנס על כל \C, ולכן רדיוס ההתכנסות הוא אינסופי.

**מקרה שלישי - <math>S=\infty</math>:** במקרה זה, לכל a\ne z_0\in\C:

\limsup_{n\to\infty}{\sqrt[n]}=|z_0-a|S=\infty>1

ולכן הטור מתבדר. עבור z_0=a:

\limsup_{n\to\infty}{\sqrt[n]}=\limsup_{n\to\infty}{0}=0

והטור מתכנס. כלומר, טור החזקות מתכנס רק ב-a ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 0.

**מ.ש.ל.**

## דוגמאות

### טור הנדסי מרוכב
מסתכלים על טור החזקות \sum_{n=0}^\infty{z^n}. במקרה זה המקדמים של הטור הם c_n=1. מסתכלים על הגבול העליון של שורשי המקדמים:

\limsup_{n\to\infty}{\sqrt[n]}=\limsup_{n\to\infty}{\sqrt[n]{1}}=1

לכן, לפי משפט קושי-אדמר, רדיוס ההתכנסות הוא R=1/1=1. ואכן:

\sum_{n=0}^\infty{z^n}=\frac{1}{1-z}

כלומר, על הרדיוס קיימת נקודה סינגולרית והיא z=1.

### פונקציית האקספוננט
מסתכלים על טור החזקות \sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}. במקרה זה המקדמים של הטור הם c_n=1/n!. לפי נוסחת סטרלינג n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n. ניתן להשתמש בה כדי לחשב את הגבול העליון של שורשי המקדמים:

\limsup_{n\to\infty}{\sqrt[n]}=\limsup_{n\to\infty}{\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}}=\limsup_{n\to\infty}{\frac{e}{n\sqrt[2n]{2\pi n}}}=0

לכן, לפי משפט קושי-אדמר, טור החזקות מתכנס לכל z\in\C. ואכן:

\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}=\exp(z)

שהיא פונקציה שלמה.

### פונקציה לא אנליטית
מסתכלים על טור החזקות \sum_{n=0}^\infty{2^{2^n}z^n}. במקרה זה המקדמים של הטור הם c_n=2^{2^n}. מסתכלים על הגבול העליון של שורשי המקדמים:

\limsup_{n\to\infty}{\sqrt[n]}=\limsup_{n\to\infty}{2^\frac{2^n}{n}}=\infty

לכן, לפי משפט קושי-אדמר, טור החזקות מתכנס אך ורק כאשר z=0.

## ראו גם

* משפט קושי (תורת הטורים)
* משפט טיילור
* מבחני התכנסות לטורים

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת הטורים
קטגוריה:אנליזה מרוכבת
קטגוריה:אוגוסטן לואי קושי