גז אולטרה-יחסותי

**גז אולטרה-יחסותי** (באנגלית: **Ultra-relativistic Gas**) הוא גז המורכב מחלקיקים בגבול האולטרה-יחסותי.

באופן כללי, אנרגיה של חלקיק יחסותי נתונה על ידי הקשר:

\varepsilon^2=(pc)^2+(m_0 c^2)^2

כאשר p הוא התנע של החלקיק, m_0 מסת המנוחה שלו, ו-c מהירות האור. חלקיק אולטרה-יחסותי הוא חלקיק שמקיים pc>>m_0c^2, ועל כן האנרגיה שלו היא:

\varepsilon \approx pc=\hbar kc

כאשר \hbar הוא קבוע פלאנק המצומצם.

## משתנים תרמודינמיים
נתבונן בגז אולטרה-יחסותי בעל N חלקיקים בנפח V, המצומד למאגר חום בטמפרטורה \tau (כאשר \tau = k_BT, ו-k_B הוא קבוע בולצמן). מספר המצבים הנמצאים בטווח האנרגיות d\varepsilon הוא g(\varepsilon)d\varepsilon, כאשר g(\varepsilon) צפיפות המצבים ליחידת אנרגיה. עבור הגז האולטרה יחסותי צפיפות המצבים היא:

g(\varepsilon)=\frac{V}{2\pi^2 (\hbar c)^3 } \varepsilon^2

מכאן ניתן למצוא את פונקציית החלוקה הקנונית של חלקיק בודד:

Z_{single}=\int_{0}^{\infty}{g\left(\varepsilon\right) e^{-\beta\varepsilon}d\varepsilon}=\frac{V}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\varepsilon^2 e^{-\beta\varepsilon}d\varepsilon}=\frac{V}{\pi^2\left(\hbar c\beta\right)^3}

כאשר \beta=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{k_BT}.

פונקציית החלוקה הקנונית הכוללת היא:

Z=\frac{\left(Z_{single}\right)^N}{N!}=\frac{\left[\frac{V}{\pi^2\left(\hbar c\beta\right)^3}\right]^N}{N!}

מכאן ניתן לגזור את המשתנים התרמודינמיים של המערכת:

**האנרגיה הפנימית:** U=-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln{\left(Z\right)}=\frac{3N}{\beta}=3N\tau

**[[אנרגיה חופשית של הלמהולץ|האנרגיה החופשית של הלמהולץ]]:** F=-\frac{1}{\beta}\ln{\left(Z\right)}=-N\tau\ln{\left[\frac{V\tau^3}{\pi^2\left(\hbar c\right)^3}\right]}+\tau ln{\left(N!\right)}\cong N\tau\left\{\ln{\left[\frac{N\pi^2\left(\hbar c\right)^3}{V\tau^3}\right]}-1\right\}

כאשר בשוויון האחרון נעשה שימוש בקירוב סטרלינג.

**ה[[אנטרופיה]]:** \sigma=-\left(\frac{\partial F}{\partial\tau}\right)_{V,N}=N\left\{\ln{\left[\frac{V\tau^3}{{z^{-1}e}^x\pm1}dx}=\mp\ \Gamma\left(n\right)Li_n(\mp z)

כאשר \Gamma(z) היא פונקציית גמא, Li_n(z) הוא פונקציית הפולילוגריתם, ו- z\equiv e^{\mu/\tau}.

## גז פרמיונים אולטרה-יחסותי
### בגבול <math>T\rightarrow0</math> (גז פרמיונים מנוון)
בגבול זה, כל מצבי האנרגיה עד לאנרגיה מסוימת, שהיא אנרגיית פרמי (\varepsilon_F) יאוכלסו, וכל המצבים באנרגיה גבוהה יותר לא יאוכלסו. לכן ניתן לכתוב:

N=\int_{0}^{\varepsilon_F}g\left(\varepsilon\right)d\varepsilon

כאשר g(\varepsilon) היא פונקציית צפיפות המצבים. לפני הצבת פונקציה ספציפית, ניתן להשתמש בעובדה ש- g\left(\varepsilon\right)=\frac{g_sV}{{2\pi^2\hbar}^3}p^2\frac{dp}{d\varepsilon}. לכן:

N=\frac{g_sV}{2\pi^2\hbar^3}\int_{0}^{p_F}{p^2dp}=\frac{g_sV}{6\pi^2\hbar^3}p_F^3\ \Longrightarrow p_F=\left(\frac{6\pi^2N}{g_sV}\right)^\frac{1}{3}\hbar

כאשר תנע פרמי p_F הוא התנע החד חלקיקי המתאים לאנרגיה \varepsilon_F. עבור גז אולטרה-יחסותי מתקיים:

\varepsilon_F=p_Fc=\left(\frac{6\pi^2N}{g_sV}\right)^\frac{1}{3}\hbar c

ניתן להביע גם את האנרגיה והלחץ במונחי אנרגיית פרמי:

U=\int_{0}^{\varepsilon_F}\varepsilon g\left(\varepsilon\right)d\varepsilon=\frac{g_sVc}{2\pi^2\hbar^3}\int_{0}^{p_F}{p^3dp}=\frac{g_sVc}{8\pi^2\hbar^3}p_F^4=\frac{3}{4}N\varepsilon_F

p=\frac{1}{3}\frac{U}{V}=\frac{1}{4}N\varepsilon_F

### בטמפרטורה כללית
**האנרגיה הפנימית** מתקבלת מסכימה של כל מצבי האנרגיה החד-חלקיקיים עבור תחום אנרגיות d\varepsilon, כל מצב מוכפל באכלוס הממוצע שלו (התפלגות פרמי-דיראק), ולאחר מכן באנרגיה שלו ולבסוף בניוון הספין המתאים.

הביטוי להתפלגות פרמי-דיראק הוא f_{FD}\left(\varepsilon\right)=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/\tau}+1}=\frac{1}{{z^{-1}e}^{\varepsilon/\tau}+1}

U=\int_{0}^{\infty}{g_sg\left(\varepsilon\right)\varepsilon f_{FD}\left(\varepsilon\right)}d\varepsilon=\int_{0}^{\infty}{g_s\frac{V}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\varepsilon^2\frac{\varepsilon}{z^{-1}e^{\varepsilon/\tau\ }+1}d\varepsilon}=\frac{g_sV\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^3}{{z^{-1}e}^x+1}dx}=-\frac{g_sV\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\Gamma\left(4\right)Li_4\left(-z\right)=-\frac{3g_sV\tau^4}{\pi^2(\hbar{c)}^3}Li_4\left(-z\right)

**מספר החלקיקים**:

N=\int_{0}^{\infty}{g_sg\left(\varepsilon\right)f_{FD}\left(\varepsilon\right)}d\varepsilon=\int_{0}^{\infty}{g_s\frac{V}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\varepsilon^2\frac{1}\right)}d\varepsilon}=\frac{g_s\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{x^2\ln{\left(1+e^{-x}\right)}dx}=\frac{g_s\tau^4}{6\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^3}{{z^{-1}e}^x+1}dx}=-\frac{g_s\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\Gamma\left(4\right)Li_4\left(-z\right)=-\frac{g_s\tau^4}{\pi^2(\hbar{c)}^3} Li_4\left(-z\right)

כמו כן, באמצעות שימוש במשוואת גיבס-דוהם Nd\mu=-\sigma d\tau+Vdp, ניתן לקבל את הקשר \frac{\sigma}{V}=\left(\frac{\partial p}{\partial\tau}\right)_\mu, כאשר \sigma=\frac{S}{k_B} היא ה**אנטרופיה**. מכאן:

\sigma=V\left(\frac{\partial p}{\partial\tau}\right)_\mu=-\frac{4g_sV\tau^3}{\pi^2(\hbar{c)}^3} Li_4\left(-z\right)

## גז בוזונים אולטרה-יחסותי
ל**אנרגיה הפנימית** ניתן להגיע מאותם שיקולים שנעשו עבור פרמיונים, אך כעת האכלוס הממוצע נתון על ידי התפלגות בוז-איינשטיין.

הביטוי להתפלגות בוז-איינשטיין הוא: f_{BE}\left(\varepsilon\right)=\frac{1}{e^\frac{\varepsilon-\mu}{\tau}-1}=\frac{1}{{z^{-1}e}^{\varepsilon/\tau}-1}

U=\int_{0}^{\infty}{g_s g\left(\varepsilon\right)\varepsilon f_{BE}\left(\varepsilon\right)}d\varepsilon=\int_{0}^{\infty}{g_s\frac{V}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\varepsilon^2\frac{\varepsilon}{{z^{-1}e}^{\varepsilon/\tau}-1}d\varepsilon}=\frac{g_sV\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^3}{{z^{-1}e}^x-1}dx}=\frac{g_sV\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\Gamma\left(4\right)Li_4\left(z\right)=\frac{{3g}_sV\tau^4}{\pi^2(\hbar{c)}^3} Li_4\left(z\right)
ממוזער|400x400 פיקסלים|האנרגיה כתלות בטמפרטורה של גז בוזונים וגז פרמיונים, עבור המקרה של פוטנציאל כימי אפס

כאשר בוצעה החלפת משתנים x=\frac{\varepsilon}{\tau}. באותו אופן ניתן להגיע לביטוי עבור **מספר החלקיקים**:

N=\int_{0}^{\infty}{g_sg\left(\varepsilon\right)f_{BE}\left(\varepsilon\right)}d\varepsilon=\int_{0}^{\infty}{g_s\frac{V}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\varepsilon^2\frac{1}\right)}d\varepsilon}=-\frac{g_s\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{x^2\ln{\left(1-{ze}^{-x}\right)}dx}=\frac{g_s\tau^4}{6\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^3}{{z^{-1}e}^x-1}dx}=\frac{g_s\tau^4}{6\pi^2(\hbar{c)}^3}\Gamma\left(4\right)Li_4\left(z\right)=\frac{g_s\tau^4}{\pi^2(\hbar{c)}^3}Li_4\left(z\right)

וכפי שהוסבר לגבי פרמיונים, ממשוואת גיבס דוהם ניתן לקבל:

\sigma=V\left(\frac{\partial p}{\partial\tau}\right)_\mu=\frac{4g_sV\tau^3}{\pi^2(\hbar{c)}^3}Li_4\left(z\right)

## חשיבות המודל
### התפשטות היקום המוקדם
למודל הגז היחסותי, וספציפית האולטרה-יחסותי, חשיבות בתיאור שלבים מוקדמים בהיווצרות היקום, שכן ברגעים מוקדמים מסוימים ביקום, החלקיקים שנוצרו היו חלקיקים יחסותיים. בנוסף, בתנאים ששררו אז ניתן להניח \mu=0, וכן שהחלקיקים היו בשיווי משקל תרמודינמי אחד עם השני. מנתונים אלו ניתן לקבל:

כאשר \zeta (x) היא פונקציית זטא של רימן.

היקום ביצע התפשטות אדיאבטית (כי התהליך היה הפיך, ולא נכנס חום מכיוון שמתוך הגדרה, אין לחום מאין להיכנס), ובה התקיים \sigma=const. כפי שניתן לראות מהחישובים למעלה, בתנאים אלו האנטרופיה פרופורציונית לנפח ולחזקה השלישית של הטמפרטורה, כלומר V\tau^3=const. מכאן ניתן לרשום:

\tau\left(t\right) a\left(t\right)=const

כאשר a(t) הוא פרמטר ליניארי המתאר את הנפח המתפשט.

### יציבות של ננסים לבנים
נושא בו יש חשיבות למודל של גז פרמיונים אולטרה-יחסותי הוא ניתוח הנוגע לננסים לבנים- כוכבים שהגורם המונע את קריסתם הוא לחץ ניוון של אלקטרונים.

לפי הביטוי שנראה קודם, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים מנוונים מתקבל:

p=\frac{\hbar c}{4}\left(3\pi^2\right)^\frac{1}{3}\ n^{4/3}

(כאשר n=\frac{N}{V})

פיתוח דומה עבור אלקטרונים לא יחסותיים מביא לתוצאה:

p=\frac{\hbar^2}{5m_e}\left(3\pi^2\right)^\frac{2}{3}\ n^{5/3}\ 

מכיוון ש- n\approx\frac{Z\rho}{Am_p} (כאשר Z המספר האטומי של האטומים בכוכב, A מספר המסה שלהם, \rho הצפיפות של הננס הלבן ו- m_p מסת פרוטון), ניתן להגיע לתלות של הלחץ הפנימי בצפיפות הכוכב, עבור אלקטרונים לא יחסותיים ועבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים:

p_{non-relativistic}\propto\rho^{5/3}

p_{ultra-relativistic}\propto\rho^{4/3}

הלחץ הכבידתי (הלחץ החיצוני) נתון על ידי הביטוי:

p_{gravitation}=-\frac{G}{5}\left(\frac{4\pi}{3}\right)^\frac{1}{3}M^\frac{2}{3}\ \rho^{4/3}

כלומר, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים, הלחץ החיצוני והפנימי תלויים בצפיפות באותו אופן, וזה מצב שאינו יציב (בניגוד למצב עבור האלקטרונים הלא-יחסותיים, שהוא יציב). עניין זה מרמז על קיומה של מסה מעליה הננס הלבן אינו יציב. טיפול מדויק בנושא מוביל לגבול צ'נדראסקאר - המסה המקסימלית בה ננס לבן יציב.

## ביבליוגרפיה

*Pathria, R.K; Beale, Paul D., **Statistical Mechanics**, Ed. 3 (2011), Elsevier Science & Technology
*Blundell, S.; Blundell, K., **Concepts in Thermal Physics** (2006), Oxford University Press

## לקריאה נוספת
* גז פרמי

קטגוריה:גזים