התמרת לפלס הפוכה

במתמטיקה, **התמרת לפלס הפוכה** של פונקציה F(s) היא פונקציה ממשית f(t) רציפה למקוטעין, חסומה מעריכית (כלומר, |f(t)|\leq Me^{\alpha t}\forall t \geq 0 עבור כמה קבועים M > 0 ו־\alpha \in \mathbb{R}) ומקיימת את התכונה:

: \mathcal{L}\{f\}(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}(s) = F(s)

כאשר \mathcal{L} מסמן את התמרת לפלס.

ניתן להוכיח שאם לפונקציה F(s) יש התמרת לפלס הפוכה f(t), אז f(t) נקבע באופן יחיד (למעט הבדלים על קבוצות בעלות מידת לבג אפס). תוצאה זו הוכחה לראשונה על ידי המתמטיקאי הצ'כי מתיאס לרך  ב-1903 והיא ידועה כ**משפט לרך**.

להתמרת לפלס ולהתמרת לפלס הפוכה יש תכונות רבות שמועילות לניתוח מערכות דינמיות ליניאריות .

## נוסחת ההיפוך של מלין
נוסחה אינטגרלית של התמרת לפלס ההפוכה – הידועה בשם **נוסחת ההיפוך של מלין** (*Mellin*), **אינטגרל ברומיץ**' (Bromwich), או **אינטגרל [[ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה|פורייה]]–מלין** (*Fourier–Mellin*) — ניתנת באמצעות אינטגרל קווי במישור המרוכב:

: f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\}(t) = \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT}e^{st}F(s)\,ds

האינטגרל נלקח לאורך ישר אנכי במישור המרוכב בו \textrm{Re}(s) = \gamma, כאשר \gamma נבחר כך שהוא נמצא מימין לכל נקודות הסינגולריות של F(s). בנוסף, על הפונקציה F(s) להיות חסומה לאורך קו זה – תנאי זה מתקיים בדרך כלל כאשר המסלול נמצא בתחום ההתכנסות.

אם כל נקודות הסינגולריות של F(s) נמצאות בחצי-המישור השמאלי, או אם F(s) היא פונקציה שלמה (הולומורפית בכל המישור המרוכב), אזי ניתן לבחור \gamma=0, ובמקרה כזה נוסחת ההיפוך זהה להתמרת פורייה ההפוכה.

ביישומים מעשיים, לרוב מחשבים את האינטגרל באמצעות משפט השאריות של קושי, מה שמאפשר לבצע את החישוב דרך שאריות של F(s) e^{st} בנקודות הסינגולריות שלה.

## נוסחת ההיפוך של פוסט
**נוסחת ההיפוך של פוסט** (Post) עבור התמרת לפלס, הנקראת על שם אמיל פוסט, מספקת שיטה תאורטית פשוטה אך לרוב קשה ליישום מעשי לחישוב התמרת לפלס הפוכה.

הנוסחה קובעת שאם f(t) היא פונקציה רציפה בתחום [0,\infty) והיא מסדר מעריכי, כלומר:

: \sup_{t>0} \frac{f(t)}{e^{bt}} 

עבור מספר ממשי כלשהו b, אזי לכל s > b, קיימת התמרת לפלס של f(t) והיא גזירה אינסוף פעמים לפי s. יתר על כן, אם F(s) היא התמרת לפלס של f(t), אז התמרת לפלס הפוכה של F(s) ניתנת על ידי:

: f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F\}(t) = \lim_{k \to \infty} \frac{(-1)^k}{k!} \left( \frac{k}{t} \right)^{k+1} F^{(k)}(s) \bigg|_{s = \frac{k}{t}}


עבור t > 0, כאשר F^{(k)} היא הנגזרת ה־k־ית של F לפי s.

אף על פי שהנוסחה תקפה מבחינה תאורטית, הצורך לחשב נגזרות מסדר גבוה מאוד הופך אותה לבלתי מעשית ברוב השימושים.

עם התקדמות כוח המחשוב, השימוש בנוסחה מתמקד בקירובים או בניתוח אסימפטוטי של ההתמרה ההפוכה, תוך שימוש בטכניקות כמו נגזרת גרינוולד־לטניקוב  לחישוב הנגזרות.

נוסחת ההיפוך של פוסט משכה עניין בשל יתרונותיה החישוביים, בשל והעובדה שאין צורך לדעת היכן נמצאים הקטבים של F(s) ובשל תרומתה לתורת המספרים – במיוחד היכולת להעריך התנהגות אסימפטוטית של פונקציות באמצעות התמרת מלין  הפוכה, מה שמתקשר להשערת רימן.

## כלי תוכנה
* InverseLaplaceTransform מבצע התמרות הפוכות סימבולית ב־Mathematica
* היפוך נומרי של התמרת לפלס עם דיוק רב, תוך שימוש במישור המורכב ב־Mathematica נותן פתרונות נומריים
* ilaplace  מבצע התמרות הפוכות סימבולית ב־MATLAB
* היפוך נומרי של התמרות לפלס ב־MATLAB
* היפוך נומרי של התמרות לפלס המבוסס על פונקציות מרוכזות של אקספוננט של מטריצות ב־MATLAB

## לקריאה נוספת

## קישורים חיצוניים
* טבלאות של התמרות אינטגרליות ב־EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:אנליזה מרוכבת