קבוצה סגוחה

במתמטיקה, ובפרט בטופולוגיה, **קבוצה סגוחה** (הלחם בסיסים של קבוצה סגורה + פתוחה. באנגלית: clopen) היא קבוצה שהיא גם קבוצה פתוחה וגם קבוצה סגורה. בכל מרחב טופולוגי קיימות לכל הפחות שתי קבוצות סגוחות: הקבוצה הריקה והמרחב כולו.

ניתן לנסח תכונות טופולוגיות שונות באמצעות קבוצות סגוחות, למשל תכונות הנוגעות לקשירות. כמו כן, לקבוצות סגוחות יש קשר הדוק עם אלגברות בוליאניות, כפי שעולה ממשפט ההצגה של סטון.

## הגדרה מתמטית
בהינתן מרחב טופולוגי (X,\tau) וקבוצה A\subseteq X, התכונות הבאות שקולות:

* A היא גם קבוצה פתוחה וגם קבוצה סגורה.
* A היא קבוצה פתוחה והמשלים שלה X\setminus A הוא גם קבוצה פתוחה.
* A היא קבוצה סגורה והמשלים שלה X\setminus A הוא גם קבוצה סגורה.
* השפה של A היא הקבוצה הריקה.

אם A מקיימת את אחת התכונות השקולות הללו היא נקראת **קבוצה סגוחה**.

## תכונות

* בהינתן מרחב טופולוגי (X,\tau), הקבוצה הריקה \emptyset והקבוצה X, שתיהן קבוצות סגוחות.
* בהינתן מרחב טופולוגי (X,\tau), הטופולוגיה \tau היא הטופולוגיה הדיסקרטית אם ורק אם כל קבוצה A\subseteq X היא קבוצה סגוחה.

* בהינתן מרחב טופולוגי (X,\tau), וקבוצה סגוחה A\subseteq X, אזי גם X\setminus A היא גם קבוצה סגוחה.
* בהינתן מרחב טופולוגי (X,\tau) ואוסף סופי של קבוצות סגוחות A_1,\dots,A_n\subseteq X, האיחוד שלהן \bigcup_{i=1}^n{A_i} הוא קבוצה סגוחה.
* בהינתן מרחב טופולוגי (X,\tau) ואוסף סופי של קבוצות סגוחות A_1,\dots,A_n\subseteq X, החיתוך שלהן \bigcap_{i=1}^n{A_i} הוא קבוצה סגוחה.

## קשר למרחבים קשירים

בהינתן מרחב טופולוגי (X,\tau) וזוג קבוצות פתוחות A,B\subseteq X, הזוג (A,B) יקרא "הפרדה של X" אם ורק אם A ו-B זרות זו לזו ו-A\uplus B=X. עולה מכך שאם (A,B) היא הפרדה אז גם A וגם B הן קבוצות סגוחות. ההפך גם נכון: אם A\subseteq X היא קבוצה סגוחה, אז הזוג הסדור (A,X\setminus A) הוא הפרדה של X.

הפרדה (A,B) תקרא הפרדה טריוויאלית אם ורק אם A=\emptyset או B=\emptyset. המרחב X יקרא מרחב קשיר אם ורק אם ההפרדה היחידה שלו היא ההפרדה הטריוויאלית. עולה מכך שמרחב קשיר הוא כזה שבו הקבוצות הסגוחות היחידות הן הקבוצה הריקה \emptyset ו-X עצמו.

אם (X,\tau) הוא מרחב כלשהו (לאו דווקא קשיר) ו-A\subseteq X, היא קבוצה סגוחה אז A=\bigcup_{\alpha\in I}{C_\alpha} כך ש-I היא קבוצת אינדקסים כלשהי (ייתכן ואינסופית) ו-C_\alpha הם רכיבי קשירות במרחב. אם ב (X,\tau) יש מספר סופי של רכיבי קשירות, אז גם ההפך נכון: כל איחוד של רכיבי קשירות הוא קבוצה סגוחה. אולם, באופן כללי, רכיב קשירות לא חייב להיות קבוצה סגוחה. למשל אם X הוא קבוצת קנטור אז רכיבי קשירות הם יחידונים, אולם היחידונים הם אינם קבוצות סגוחות. למעשה הם אינם קבוצות פתוחות, כי  הטופולוגיה של מרחב קנטור אינה דיסקרטית. מצב דומה קורה בכל מרחב לא קשיר לחלוטין שאינו דיסקרטי.

באופן כללי, מרחב הוא  לא קשיר לחלוטין אם יש לטופולוגיה שלו בסיס מקבוצות סגוחות.

## קשר לאלגברה בוליאנית

בהינתן מרחב טופולוגי (X,\tau), מסמנים ב-\operatorname{CO}(X) את קבוצת כל הקבוצות הסגוחות ב-X. אזי:

* \operatorname{CO}(X) אינה ריקה מכיוון שהיא מכילה לכל הפחות את \emptyset ו-X
* אם A_1,A_2\in \operatorname{CO}(X) אז גם A_1\cup A_2\in \operatorname{CO}(X)
* אם A_1,A_2\in \operatorname{CO}(X) אז גם A_1\cap A_2\in \operatorname{CO}(X)
* אם A\in \operatorname{CO}(X) אז גם X\setminus A\in \operatorname{CO}(X)
* \emptyset הוא האיבר הקטן ביותר ב-\operatorname{CO}(X) לפי יחס ההכלה.
* X הוא האיבר הגדול ביותר ב-\operatorname{CO}(X) לפי יחס ההכלה.

מכל אלה, ביחד עם העובדה שפעולות האיחוד והחיתוך של קבוצות מקיימות את חוק הפילוג, עולה ש-\operatorname{CO}(X) היא אלגברה בוליאנית עם איחוד כפעולת מצרף, חיתוך כפעולת מפגש ומשלים כפעולת שלילה. כלומר, מכל טופולוגיה ניתן לבנות אלגברה בוליאנית באמצעות הקבוצות הסגוחות שלה.

משפט ההצגה של סטון  קובע שגם הטענה ההפוכה נכונה: בהינתן אלגברה בוליאנית (B,0,1,\vee,\wedge,\neg) ניתן לבנות מרחב טופולוגי \operatorname{S}(B) כך ש-\operatorname{CO}(\operatorname{S}(B)) איזומורפי סדר ל-B. כלומר, האלגברה הבוליאנית של הקבוצות הסגוחות ב-\operatorname{S}(B) זהה (עד כדי איזומורפיזם) ל-B. \operatorname{S}(B) זה נקרא **[[מרחב סטון]]** .

## דוגמאות

* המרחב \R עם הטופולוגיה הסטנדרטית הוא מרחב קשיר. אם מסירים ממנו את נקודת האפס, מתקבלות שתי קבוצות סגוחות: קבוצת המספרים החיוביים וקבוצת המספרים השליליים.
* המרחב \R^2 עם הטופולוגיה הסטנדרטית אף הוא מרחב קשיר. עם זאת, לא ניתן להסיר ממנו נקודה אחת ולהפוך אותו לבלתי קשיר כפי שהודגם לעיל עם \R. למעשה, כל הסרה של קבוצה קומפקטית תשאיר את המרחב קשיר. על מנת להפוך אותו למרחב בלתי קשיר, ובכך לייצר קבוצות סגוחות, יש להסיר ישר שלם, כמו למשל הישר \{(x,0)\mid x\in\R\}.
* המרחב \Q עם הטופולוגיה הסטנדרטית הוא מרחב בלתי קשיר לחלוטין, לכן בהכרח אפשר למצוא בו קבוצה סגוחה לא טריוויאלית. כך למשל הקבוצה \{q\in\Q\mid q^2>2\} היא קבוצה סגוחה.
* קבוצת קנטור C היא קבוצה בלתי קשירה לחלוטין גם כן וניתן להפריד אותה לשתי קבוצות סגוחות C\cap[0,1/2] ו-C\cap[1/2,1].

## הערות שוליים

קטגוריה:טופולוגיה