נוסחת הסכימה של אבל

בתורת המספרים, **נוסחת הסכימה של אבל** (במקורות מסוימים נקראת גם **זהות אבל**) היא נוסחה המקשרת בין סכום של סדרה לערך של אינטגרל. נוסחה זו משמשת לניסוח מגוון זהויות הנוגעות לפונקציות אריתמטיות ופונקציות L, וכן להוכחת נוסחת פרון .

הנוסחה נקראת על שמו של המתמטיקאי הנורווגי נילס הנריק אבל.

## סימונים
בערך זה נסמן ב-\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R} ו-\mathbb{C} את קבוצת המספרים הטבעיים, השלמים, הממשיים והמרוכבים בהתאמה.

כמו כן, עבור \alpha\le \beta נסמן ב-[\alpha,\beta] את הקטע הסגור בין \alpha ל-\beta.

בנוסף, נסמן ב-\lfloor \cdot \rfloor
 את פונקציית הערך השלם וכן נגדיר \{x\}:=x - \lfloor x \rfloor להיות פונקציית החלק השברי.

לבסוף, נסמן ב-\ln(x) את פונקציית הלוגריתם הטבעי.

## הנוסחה
תהי סדרה כלשהי \left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty של מספרים ממשיים או מרוכבים. מגדירים פונקציה A:\mathbb{R}\to\mathbb{C} כך ש:

A(x):=\sum_{n\le x}{a_n}

כמו כן, יהי \alpha ופונקציה גזירה ברציפות \phi:[\alpha,\beta]\to\mathbb{C}. אזי:

\sum_{\alpha

נוסחה זאת נקראת **נוסחת הסכימה של אבל**.

## מקרים פרטיים
אם הסדרה a_n מתחילה מהאינדקס \alpha (כלומר, a_n=0 לכל n), נוסחת הסכימה של אבל יכולה לקבל את הצורה:

\sum_{\alpha\le n\le \beta}{a_n\phi(n)}=A(\beta)\phi(\beta)-\int_\alpha^\beta{A(x)\phi'(x)dx}

אם משאיפים בשני צידי המשוואה את \beta \to \infty מתקבל:

\sum_{n=\alpha}^\infty{a_n\phi(n)}=\lim_{\beta\to\infty}(A(\beta)\phi(\beta))-\int_\alpha^\infty{A(x)\phi'(x)dx}

## תקציר ההוכחה
לצורך פשטות, נוכיח רק את המקרה בו  \alpha ו-\beta שניהם מספרים שלמים אי-שליליים. הוכחת המקרה הכללי דומה, אך דורשת כמה שלבים נוספים.

במקרה זה:

\begin{align}
\sum_{\alpha

בכך כמעט מסיימים. כל שנותר כעת הוא להוכיח את השוויון בין הסכום שנותר מימין לבין האינטגרל בנוסחה.

לשם כך יש לשים לב כי לכל x\in\mathbb{R}
 מתקיים ש-A(x)=A(\lfloor  x\rfloor)
. כמו כן, לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, לכל n\in\mathbb{Z}
:

\phi(n+1)-\phi(n)=\int_n^{n+1}{\phi'(x)dx}


מכל זה מתקבל כי:

\begin{align}
\sum_{n=\alpha}^{\beta-1}{A(n)(\phi(n+1)-\phi(n))}=\sum_{n=\alpha}^{\beta-1}{A(n)\int_n^{n+1}{\phi'(x)dx}} \\
=\sum_{n=\alpha}^{\beta-1}{\int_n^{n+1}{A(\lfloor x \rfloor)\phi'(x)dx}} \\
=\sum_{n=\alpha}^{\beta-1}{\int_n^{n+1}{A(x)\phi'(x)dx}} \\
=\int_\alpha^\beta{A(x)\phi'(x)dx}
\end{align}


הצבת שוויון זה בנוסחה לעיל תניב את נוסחת הסכימה של אבל.

**מ.ש.ל.**

## דוגמאות לשימוש בנוסחה

### מספרים הרמוניים
יהי  a_n=1 לכל n\in\mathbb{N}
 ו-\phi(x)=\frac{1}{x}. ניתן לראות כי A(x)=\lfloor x \rfloor לכל x\ge 0. לכן, לפי נוסחת הסכימה של אבל, לכל N\in\mathbb{N}:

H_N=\sum_{n=1}^N{\frac{1}{n}}=\lfloor N \rfloor \cdot \frac{1}{N}+\int_1^N{\frac{\lfloor x \rfloor}{x^2}dx}=1+\int_1^N{\frac{\lfloor x \rfloor}{x^2}dx}=1+\ln N-\int_1^N{\frac{\{ x \}}{x^2}dx}

כאשר H_N הוא המספר ההרמוני ה-N-י.

מעבירים את \ln N לאגף שמאל ומשאיפים את שני הצדדים לאינסוף. מכך מתקבל כי:

\lim_{N\to\infty}{(H_N-\ln N)}=1-\int_1^\infty{\frac{\{x\}}{x^2}dx}

ניתן להוכיח כי האינטגרל האינסופי מימין מתכנס. משמע ההפרש בין המספר ההרמוני ה-N-י לבין \ln N מתכנס לקבוע. זהו קבוע אוילר-מסקרוני אשר מסומן ב-\gamma.

הנוסחה לעיל מאפשרת למצוא את סדר ההתכנסות של סדרת ההפרשים לקבוע אוילר-מסקרוני, זאת מכיוון ש:

H_N-\ln N-\gamma=\int_N^\infty{\frac{\{x\}}{x^2}dx}

משמע, בסימון O גדולה:

H_N=\ln N+\gamma+O\left(\frac{1}{N}\right)

### פונקציית ספירת המספרים הראשוניים
מגדירים לכל n\in\mathbb{N}:

a_n:=\begin{cases}1 & \text{if }n\text{ is prime} \\ 0 & \text{else}\end{cases},\qquad b_n:=a_n\ln n

בנוסף מגדירים:

\pi(x):=\sum_{n\le x}{a_n},\qquad \vartheta(x):=\sum_{n\le x}{b_n}

הפונקציה \pi(x) היא פונקציית המספרים הראשוניים ו-\vartheta(x) היא פונקציית צ'בישב הראשונה. באמצעות נוסחת הסכימה של אבל ניתן להראות כי לכל x\ge 2:

\vartheta(x)=\sum_{n\le x}{b_n}=\sum_{n\le x}{a_n\ln n}=\pi(x)\ln(x)-\int_2^x{\frac{\pi(u)}{u}du}

ומצד שני:

\pi(x)=\sum_{n\le x}{a_n}=\sum_{2\le n\le x}{\frac{b_n}{\ln n}}=\frac{\vartheta(x)}{\ln(x)}+\int_2^x{\frac{\vartheta(u)}{u\ln^2(u)}du}

משפט המספרים הראשוניים קובע כי:

\lim_{x\to\infty}{\frac{\pi(x)\ln(x)}{x}}=1

באמצעות שתי הנוסחאות לעיל ניתן להוכיח כי משפט זה שקול לכך ש:

\lim_{x\to\infty}{\frac{\vartheta(x)}{x}}=1

מסיבה זו, אחת הדרכים להוכיח את משפט המספרים הראשוניים היא על-ידי ההוכחה כי \frac{\vartheta(x)}{x} שואף ל-1.

### וריאציות על פונקציית זטא של רימן
לכל n\in\mathbb{N} מגדירים:

\Lambda(n):=\begin{cases}
\ln p & \text{if }n=p^k\text{, }p\text{ is prime, }k\ge 1 \\
0 & \text{else}
\end{cases}

זוהי פונקציית פון מנגולד. ניתן להוכיח כי הנגזרת הלוגריתמית  של פונקציית זטא של רימן \zeta(s) בתחום \Re(s)>1 היא:

\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=2}^\infty{\frac{\Lambda(n)}{n^s}}

מגדירים פונציה \psi:\mathbb{R}\to\mathbb{R} כך שלכל x\in\mathbb{R} מתקיים:

\psi(x):=\sum_{n\le x}{\Lambda(n)}

זוהי פונקציית צ'בישב השנייה. אם משתמשים בפונקציה \phi(x)=\frac{1}{x^s} עבור s קבוע כלשהו בתחום לעיל, ניתן להשתמש בגרסה האינסופית של נוסחת הסכימה של אבל כדי לקבל:

\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=2}^\infty{\frac{\Lambda(n)}{n^s}}=-\underbrace{\lim_{n\to\infty}{\frac{\psi(n)}{n^s}}}_{\to 0}-s\int_2^\infty{\frac{\psi(x)}{x^{s+1}}dx}=-s\int_2^\infty{\frac{\psi(x)}{x^{s+1}}dx}

באופן דומה, אפשר להוכיח עבור פונקציית מרטנס  אשר מסומנת ב-M(x) שמתקיימת הזהות:

\frac{1}{\zeta(s)}=s\int_1^\infty{\frac{M(x)}{x^{s+1}}dx}

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת המספרים
קטגוריה:טורים מתמטיים
קטגוריה:אינטגרלים