קבוע אוילר-מסקרוני

ממוזער|250px|השטח הכחול הכלוא בין גרף של <math>1/\lfloor x\rfloor</math> לגרף של <math>1/x</math> בקטע מ-1 עד אינסוף שווה לקבוע אוילר־מסקרוני.
**קבוע אוילר-מסקרוני**, הידוע גם כ**קבוע אוילר** או כ**קבוע מסקרוני**, הוא קבוע מתמטי, שהשימוש העיקרי שלו הוא בתורת המספרים.

קבוע אוילר-מסקרוני מסומן באות גמא (\,\gamma) ומוגדר על ידי הגבול:

:\gamma:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n\right)

כלומר קבוע זה הוא ההפרש האסימפטוטי בין הטור ההרמוני ללוגריתם הטבעי. 

ערכו של הקבוע הוא בקירוב: \,\gamma=0.577215664901532860\ldots (). עדיין לא ידוע אם קבוע אוילר-מסקרוני רציונלי או אי רציונלי.

לקבוע אוילר-מסקרוני חשיבות רבה, והוא משמש בחישובים רבים המשפיעים על חיי היום יום כגון חישוב של גידול מעריכי (כגון התפשטות נגיף הקורונה), חישוב של ריביות (בעיקר ריבית דריבית) וכן לחישוב הסתברויות שונות.

## היסטוריה
הקבוע הוגדר לראשונה על ידי המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר במאמרו "De Progressionibus harmonicus observationes" אשר פורסם בשנת 1735. אוילר השתמש בסימון C עבור הקבוע, וחישב בראשונה את ערכו בדיוק של 6 ספרות אחרי הנקודה. בשנת 1761 הוא הרחיב את החישוב, ופרסם אותו בדיוק של 16 ספרות אחרי הנקודה. בשנת 1790, הציע המתמטיקאי האיטלקי לורנצו מסקרוני את סימון הקבוע באות \,\gamma (גמא היוונית), וניסה להרחיב את ערכו של הקבוע עד ל-32 ספרות אחרי הנקודה, אם כי חישובים מאוחרים יותר גילו כי מסקרוני שגה בחישוב הספרה ה-20 אחרי הנקודה. המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן מצא טורים שונים המתכנסים ל-\,\gamma.

כפי שנאמר, לא ידוע האם קבוע אוילר הוא מספר רציונלי או לא. עם זאת, ניתוח שבר משולב מראה כי אם קבוע אוילר הוא רציונלי, הרי שהמכנה בשבר המגדיר אותו לא יהיה קטן מ־10^{242080}.

## הוכחת קיום הקבוע
קיומו של קבוע אוילר-מסקרוני איננה טריוויאלית מן ההגדרה, שכן לא מובטח מלכתחילה שהגבול בהגדרה מתכנס. לשם כך, יש להוכיח את התכנסותו. מגדירים:

a_n:=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}-\ln n

כדי להוכיח את קיום הקבוע, יש להוכיח את התכנסות הסדרה a_n.

הרכיב המרכזי להוכחת קיום הגבול הוא בהתבוננות באינטגרל \int_k^{k+1}{\frac{1}{x}dx} עבור k\in\mathbb{N} מספר טבעי כלשהו. אם משתמשים בשיטת האינטגרציה של דארבו, ניתן לראות שאינטגרל זה חסום מלמעלה ומלמטה על-ידי שני מלבנים בעלי רוחב בגודל 1 ואורכים בגודל \frac{1}{k} ו-\frac{1}{k+1} בהתאמה. מצד שני, ערך האינטגרל המדויק הוא \ln(k+1)-\ln k. משמע שלכל k\in\mathbb{N}:

\frac{1}{1+k}\le \ln(k+1)-\ln k\le \frac{1}{k}

כעת, לכל N טבעי, על-ידי שימוש בטור טלסקופי, ניתן להראות כי:

a_N=\sum_{n=1}^N{\frac{1}{n}}-\ln N\ge \sum_{n=1}^N{(\ln(n+1)-\ln n)}-\ln N=\ln(N+1)-\ln N\ge \frac{1}{N+1}>0

ומצד שני:

a_N-a_{N+1}=\left(\sum_{n=1}^N{\frac{1}{n}-\ln N}\right)-\left(\sum_{n=1}^{N+1}{\frac{1}{n}-\ln (N+1)}\right)=\ln (N+1)-\ln N-\frac{1}{N+1}\ge0

משמע שהסדרה a_n היא סדרה יורדת שחסומה מלמטה על-ידי 0. לכן, על-פי משפט ההתכנסות המונוטונית, הסדרה מתכנסת וקבוע אוילר-מסקרוני קיים.

**מ.ש.ל.**

## תכונות
### הצגות אינטגרליות
ניתן לקבל את ערכו של הקבוע גם על פי האינטגרלים הבאים:

:\begin{align}
\gamma = - \int_0^\infty { e^{-x} \ln(x) }\,dx \\
= - \int_0^1 { \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx \\
= \int_0^\infty {\left (\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} \right )e^{-x} }\,dx \\
= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx \\
= 1 -\int_1^\infty{\frac{\{x\}}{x^2}dx}
\end{align} 

(הפונקציה \{x\}  היא פונקציית החלק השברי)

אינטגרלים אחרים אשר מכילים את ערך  \gamma  הם:

: \int_0^\infty { e^{-x^2} \ln(x) }\,dx = -1/4(\gamma+2 \ln2) \sqrt{\pi} 

: \int_0^\infty { e^{-x} (\ln(x))^2 }\,dx = \gamma^2 +1/6 \pi^2 .

ניתן לבטא את קבוע אוילר גם בעזרת אינטגרל כפול:

:  \gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy.
 

בדומה האינטגרל הכפול הבא שהוצג על ידי ג'. סונדאו (2005):

: \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy. 

מראה כי ניתן להסתכל על \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) בתור "קבוע אוילר חילופי".

בשנת 1910, הציג ואקה את הסכום הבא:

: \gamma = \sum_{m=1}^\infty (-1)^m \frac{ \left \lfloor \log_2 m \right \rfloor}{m} 

כאשר  \log_2  הוא הלוגריתם בבסיס 2 ו- \left \lfloor \, \right \rfloor  היא פונקציית הערך השלם.

ניתן לקבל את סדרתו של ואקה על ידי מניפולציה של אינטגרל Catalan.

: \gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx. 

## קשרים לפונקציות מיוחדות
ניתן לבטא את קבוע אוילר גם כטור אינסופי של איברים הכוללים ערכים של פונקציית זטא של רימן של מספרים שלמים וחיוביים:

:\gamma = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m\zeta(m)}{m} 

:= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} \zeta(m+1)}{2^m (m+1)}. 

סדרות נוספות הקשורות לפונקציית זטא של רימן:

: \gamma = \frac{3}{2}- \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m)-1] 

:: = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln2+ O \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ] 

:: = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ]. 

כמו כן, ניתן לבטא את הקבוע על ידי פונקציית בטא (במונחים של פונקציות גמא):

: \gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ]. 

שני גבולות השווים בערכם לקבוע אוילר-מסקרוני הם הגבול האנטי-סימטרי:

: \gamma = \lim_{s \to 1} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right ) 

והגבול

 \gamma = \lim_{x \to \infty} \left [ x - \Gamma \left ( \frac{1}{x} \right ) \right ] = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^{n=1} \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right)

סדרת זטא הרציונלית היא ביטוי קשור מאוד לנוסחה שהוצגה לעיל. אם נסיר מספר איברים מהסדרה לעיל, ניתן לקבל הערכה לגבול סדרה הקלאסי:

:\gamma = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) -
\sum_{m=2}^\infty \frac{\zeta (m,n+1)}{m}
כאשר \zeta(s,k)^{}_{} היא פונקציית הורביץ-זטא. הסכום במשוואה זה מערב מספרים הרמוניים, המסומנים ב-\,H_n.
הרחבת מספר איברים בפונקציית הורביץ-זטא מביא אותנו למשוואה:

:
H_n = \ln n + \gamma + \frac {1} {2n} - \frac {1} {12n^2} + \frac {1} {120n^4} - \varepsilon , כאשר 0 

לבסוף, ניתן לחשב את הקבוע כנגזרת של פונקציית גמא של אוילר:
:\gamma = -\Gamma'(1)^{}_{}.

## <math>e^\gamma</math>
הקבוע \,e^\gamma נחשב גם הוא לקבוע חשוב בתורת המספרים. מדי פעם, מסמנים קבוע זה גם ב\ \gamma'  ומבטאים אותו בעזרת הגבול הבא, כאשר pn הוא המספר הראשוני ה-n-י:

:
e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\ln p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i - 1}

אשר מהווה ניסוח מחודש לשלישי מבין משפטי מרטן. הערך המספרי של \,e^\gamma הוא:
:e^\gamma =1.78107241799019798523650410310717954916964521430343\dots

מכפלות אינסופיות נוספות הקשורות לערך של קבוע זה הן:

: \frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\,\left (1+\frac{1}{n} \right )^n 

: \frac{e^{3+2\gamma}}{2\, \pi} = \prod_{n=1}^\infty e^{-2+2/n}\,\left (1+\frac{2}{n} \right )^n. 

שתי המכפלות הללו נובעות פונקציית G של בארנס. כמו כן:

: e^{\gamma} = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/4} \cdots 

שהוצג על ידי ג'ונתן סונדאו על ידי שימוש בפונקציות היפר-גאומטריות.

## מופעים
קבוע אוילר-מסקרוני מופיע, בנוסף למקומות אחרים, גם ב:
* אי-שוויון עבור פונקציית אוילר.
* שיעור צמיחה של פונקציית המחלקים.
* נוסחת כפל עבור פונקציית גמא.
* חישוב של פונקציית דיגאמה.
* ביטויים הכוללים את האינטגרל המעריכי.
* האיבר הראשון בפיתוח טור טיילור עבור פונקציית זטא של רימן.
* ביטוי למציאת קירוב של צפיפות מספרים ראשוניים בתחום מסוים.

## ראו גם
* קבוע מייזל-מרטנס
* יחס הזהב

## לקריאה נוספת

## קישורים חיצוניים

* 

אוילר
קטגוריה:בעיות פתוחות בתורת המספרים
קטגוריה:לאונרד אוילר