מטריצה חיובית

באלגברה ליניארית, מטריצה ממשית סימטרית A היא **מטריצה חיובית** (positive) אם התבנית הריבועית q(x)=x^TAx היא חיובית, כלומר אם q(x)\geq 0 לכל וקטור (ממשי) x. המטריצה A היא **חיובית לחלוטין** (positive definite; בשימוש גם הביטוי השגוי "מטריצה מוגדרת חיובית") אם התבנית חיובית לחלוטין: q(x)>0 לכל x\neq 0 (זו כמובן תכונה חזקה יותר).

התכונה המקבילה לסימטריות עבור מטריצות מרוכבות, היא תכונת ההרמיטיות. מטריצה הרמיטית מרוכבת היא חיובית אם לכל וקטור (מרוכב) x מתקיים x^*Ax\geq 0, וחיובית לחלוטין אם לכל וקטור x\neq 0 מתקיים x^*Ax>0. תנאים אלה שקולים לכך שכל הערכים העצמיים של המטריצה יהיו ממשיים וחיוביים (ובהתאמה, חיוביים ממש), ומשום כך מטריצות חיוביות מתנהגות מהרבה בחינות כמו מספרים ממשיים חיוביים. לדוגמה, מטריצה A=(a) בגודל 1\times 1 היא הרמיטית רק כאשר a ממשי. המטריצה חיובית אם a\geq 0, וחיובית לחלוטין אם a>0. 

## תכונות של מטריצות חיוביות וחיוביות לחלוטין

אוסף המטריצות החיוביות סגור לחיבור ולכפל בסקלר חיובי. כך גם אוסף המטריצות החיוביות לחלוטין. בנוסף לזה, מטריצה חיובית היא חיובית לחלוטין אם ורק אם 0 אינו ערך עצמי שלה, כלומר אם ורק אם היא הפיכה. לבסוף, ההפכית של מטריצה חיובית לחלוטין גם היא חיובית לחלוטין. שני האוספים סגורים גם לפעולה A \mapsto PAP^t. 

מאחר שכל הערכים העצמיים של מטריצה חיובית הם חיוביים, מתקבל כי אם A\in \mathbb{R}^{n\times n} מטריצה חיובית אז \det(A)\ge 0 ו-\operatorname{tr}(A)\ge 0. מעבר לכך, אם A,B\in \mathbb{R}^{n\times n} מטריצות חיוביות מתקיים כי \operatorname{tr}(AB)\ge 0.

כאמור, מטריצה הרמיטית M היא חיובית אם לכל \ z\isin \mathbb{C}^n מתקיים \ z^*Mz\geq 0. על ידי הפרדת הווקטור z לרכיב ממשי ורכיב מדומה אפשר לראות שמספיק לבדוק את תכונת החיוביות לווקטורים ממשיים \ z\isin \mathbb{R}^n.

אם \ M,N חיוביות אז גם מכפלת אדמר \ M\circ N חיובית; זהו "משפט המכפלה של שור".

קריטריון לבדיקה האם מטריצה היא חיובית הוא קריטריון סילווסטר (Sylvester's criterion).

## פירוק של מטריצה חיובית

כידוע, לכל מספר מרוכב \ z\neq 0, הנורמה המרוכבת \ |z|^2=z\bar{z} היא מספר ממשי חיובי. ההכללה של עובדה פשוטה זו למטריצות קובעת שלכל מטריצה (מרוכבת) \ C, המטריצה \ A=C^*C היא חיובית; אם \ C הפיכה, אז \ A חיובית לחלוטין. 
בעזרת משפט הלכסון האוניטרי, אפשר להראות שגם ההפך נכון: כל מטריצה חיובית \ A אפשר לפרק בצורה \ A=C^*C עבור מטריצה \ C מתאימה. יתרה מזו, אם \ A (סימטרית) ממשית, אפשר לדרוש שגם \ C תהיה ממשית. בדרך דומה אפשר להוכיח גם ש(כמו במספרים ממשיים חיוביים) אם \ A חיובית, אז לכל n טבעי קיימת מטריצה חיובית \ B כך ש- \ A=B^n. 

## הקשר למרחבי מכפלה פנימית

במרחב מכפלה פנימית, טרנספורמציה הרמיטית T היא חיובית אם (Tx,x)\geq 0 לכל וקטור x, וחיובית לחלוטין אם \ (Tx,x)>0 לכל וקטור \ x\neq 0. הגדרה זו מתיישבת עם ההגדרה עבור מטריצות, אם בוחרים כמרחב המכפלה הפנימית את \ \mathbb{C}^n (או \ \mathbb{R}^n), עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית, ורואים את המטריצה A כטרנספורמציה \ x\mapsto Ax של כפל ב- A. 

במרחב \ V=\mathbb{C}^n, התבנית \ \langle x,y\rangle=x^*My היא הרמיטית אם ורק אם המטריצה הרמיטית, והיא מכפלה פנימית אם ורק אם M מטריצה חיובית לחלוטין. גם ההפך נכון: כל מכפלה פנימית במרחב V ניתנת להצגה כזו על ידי מטריצה חיובית לחלוטין.

## שימושים באנליזה

תהי \ f{}:{} \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} פונקציה ממשית של n משתנים, שכל נגזרותיה החלקיות מסדר שני הן רציפות. תנאי זה מבטיח שמטריצת ההסיאן שלה  \ H(f) (דהיינו מטריצת הנגזרות השניות) תהיה מטריצה סימטרית (בגודל \ n\times n). תנאי הכרחי לכך שנקודה \ x_0 תהיה נקודת קיצון, הוא שכל הנגזרות החלקיות יתאפסו, כלומר הגרדיאנט הוא אפס \nabla f(x_0)=0. במקרה זה, הפיתוח לטור טיילור מראה שמטריצת ההסיאן \,A=H(f) קשורה קשר הדוק להתנהגות של הפונקציה בסביבות הנקודה: אם \,A חיובית לחלוטין, אז \ x_0 מינימום מקומי במובן החזק (כלומר: קיימת סביבה של \ x_0, שבה \ f(x_0) לכל \ x\neq x_0). ואם \ x_0 מינימום מקומי במובן החלש (כלומר: קיימת סביבה של \ x_0, שבה \ f(x_0)\leq f(x) לכל \,x), אז \,A היא מטריצה חיובית. הכיוון ההפוך אינו נכון בשני המקרים.

## מינורים

המתמטיקאי הגרמני קרל גוסטב יעקב יעקובי מצא דרך לבדוק את החיוביות של מטריצה בעזרת המינורים הראשיים שלה: מטריצה \,A היא חיובית לחלוטין אם ורק אם כל המינורים הראשיים שלה חיוביים. על ידי הצמדה במטריצת תמורה, נובע מכאן שאם כל המינורים הראשיים חיוביים, אז **כל** המינורים חיוביים.  (לתכונות נוספות, ראו משפט יעקובי על שקילות למטריצה אלכסונית).

הדטרמיננטה של מטריצה חיובית לחלוטין \,A מקיימת את "אי-שוויון פישר", שגילה E. Fischer ב-1908: \ \det(A) \leq \det(A[X])\det(A[X^c]). כאן \ A[X] הוא המינור המתקבל ממחיקת כל השורות והעמודות שאינן בקבוצת האינדקסים \,X, ו-\ X^c הוא המשלים של הקבוצה \,X. אי-שוויון זה מכליל אי-שוויון מפורסם אחר, שגילה אדמר ב-1893: \ \det(A)\leq A_{11}\dots A_{nn}.

## מושגים קרובים

בדומה לתכונת החיוביות, אומרים שמטריצה הרמיטית היא **מטריצה שלילית** אם כל הערכים העצמיים שלה שליליים, ו**שלילית לחלוטין** אם הערכים העצמיים שליליים ושונים מאפס. מטריצה (הרמיטית) שיש לה ערכים עצמיים חיוביים ושליליים, **אינה מוחלטת** (indefinite). 

בשל הקרבה בין המונח האנגלי definite לשורש define, יש שקוראים למטריצה חיובית לחלוטין "מוגדרת חיובית", ולמטריצה שאינה מוחלטת, "לא מוגדרת". 

בניתוח של מטריצות סטוכסטיות קוראים למטריצה ממשית *completely positive* אם היא חיובית לחלוטין, ויש לה פירוק בצורה \ B^tB שבו כל הרכיבים של B חיוביים.

## הכללה

באלגבראות סי-כוכב, בהינתן אלגברת סי-כוכב A, אומרים שאיבר a\in A הוא חיובי אם קיים איבר x\in A כך ש a=x^{*}x. באופן שקול - a הוא חיובי אם ורק אם הספקטרום  שלו מורכב רק מאיברים ממשיים אי שליליים. 

## קישורים חיצוניים
* 
* 

קטגוריה:מטריצות