משפט שטולץ

בחשבון אינפיניטסימלי, **משפט שטולץ**, שנקרא גם **משפט שטולץ-צ'זארו**, הוא משפט המאפשר לחשב את הגבול של היחס \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n} על ידי גזירה דיסקרטית של המונה והמכנה. בכך הוא דומה לכלל לופיטל, המחשב גבול של מנת פונקציות על ידי גזירת המונה והמכנה.

לפי המשפט, הגבולות \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n} ו-\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} שווים זה לזה תחת תנאים מסוימים.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אוטו שטולץ (1842–1905) וארנסטו צ'זארו (1859–1906).

## ניסוח המשפט
תהא \left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty} סדרה כלשהי, ותהא \left\{y_n\right\}_{n=1}^{\infty} סדרה עולה ממש השואפת לאינסוף.

אם הסדרה \textstyle \left\{\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}\right\}_{n=1}^{\infty} מתכנסת במובן הרחב, כלומר קיים הגבול L = \lim_{n \to \infty}\textstyle \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}, אז גם הסדרה \textstyle \left\{ \frac{x_n}{y_n}\right\}_{n=1}^{\infty} מתכנסת לאותו הגבול.

## הוכחה
נוכיח את המקרה בו \,L סופי.

יהי \varepsilon > 0 כלשהו.
לפי הגדרת הגבול, קיים N\, טבעי, כך שלכל n > N\, מתקיים
L - \textstyle {\varepsilon \over 2} 
.

כיוון שהסדרה \left\{y_n\right\}_{n=1}^{\infty} עולה ממש, y_{n + 1} > y_n\,, כלומר y_{n + 1} - y_n > 0\, וניתן להכפיל בו את האי שוויון. נקבל:

\left( {L - \textstyle {\varepsilon \over 2} } \right)\left( {y_{n + 1} - y_n } \right) 

יהא k>N\, טבעי כלשהו כך ש- y_k > 0\, (בהכרח קיים k\, כזה מכיוון שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת האי שוויון לעיל לכל N+1 \le n \le k נקבל את האי שוויון הבא:

\left( {L - \textstyle {\varepsilon \over 2} } \right)\sum\limits_{i = N+1}^k {\left( {y_{i + 1} - y_i } \right)} 
 \Updownarrow
\left( {L - \textstyle {\varepsilon \over 2} } \right)\left( {y_{k + 1} - y_{N+1} } \right) 

נחלק את אי השוויון ב- y_{k + 1} > 0\, ונקבל

\left( {L - \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right)\left( {1 - \textstyle \frac}
}} \right) 

 \Updownarrow

\left( {L - \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right)\left( {1 - \textstyle \frac}
} \right) + \textstyle \frac}
 


ברור כי
\lim_{k \to \infty}\left({\left({L + \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right) \left({1-\textstyle \frac}}} \right) + \textstyle \frac}}\right) = L+\textstyle{\varepsilon \over 2}.
לכן קיים M\, טבעי כך שלכל k>M\,
מתקיים \left( {L + \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right)\left( {1 - \textstyle \frac}} \right) + \textstyle \frac} .
כן ברור כי \lim_{k \to \infty}\left({\left({L - \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right) \left({1-\textstyle \frac}}} \right) + \textstyle \frac}}\right) = L-\textstyle{\varepsilon \over 2} לכן קיים A\, טבעי כך שלכל k>A\, מתקיים \left( {L - \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right)\left( {1 - \textstyle \frac}} \right) + \textstyle \frac} > L - \varepsilon. לפיכך, אם נבחר Q = \max\{A,M,N\}\,, נקבל שלכל k>Q\, יתקיים:



L - \varepsilon , כלומר - \left| {\frac
 - L} \right| 

ולפיכך, \lim _{n \to \infty } \frac
 = L.

## דוגמאות
* נחשב את הגבול \lim_{n \to \infty} a_n כאשר a_n=\frac{2 + {( {3 \over 2})}^2 + {({4 \over 3})}^3 + ... + {({n+1 \over n})}^n}{n}.

:נסמן x_n = \sum^n_{k=1} \textstyle {\left({k+1 \over k} \right)}^k, ו־y_n = n\,. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: y_n\, עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:

:\lim_{n \to \infty} {\textstyle \frac{\sum^{n+1}_{k=1} {\left({k+1 \over k} \right)}^k - \sum^n_{k=1} {\left({k+1 \over k} \right)}^k}{n+1-n} } = \lim_{n \to \infty} {\textstyle \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} {\textstyle \left(1+ {1 \over n+1}\right)^{n+1}} = e

:ולכן, לפי המשפט, \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} {x_n \over y_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = e.
* נחשב את הגבול \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + e\cdot a_2 + e^2\cdot a_3 + ... + e^{n-1} \cdot a_n}{e^n} כאשר a_n \rarr e.

:נסמן x_n = \sum^n_{k=1} e^{k-1}a_k, ו־y_n = e^n\,. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: y_n\, עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:

:\lim_{n \to \infty} {\textstyle \frac{\sum^{n+1}_{k=1} e^{k-1}a_k - \sum^n_{k=1} e^{k-1}a_k}{e^{n+1}-e^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^n(a_{n+1})}{e^n(e-1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{e-1} =\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{e-1} = \frac{e}{e-1}

:השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.

:ולכן, לפי המשפט, \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + e\cdot a_2 + e^2\cdot a_3 + ... + e^{n-1} \cdot a_n}{e^n} = \lim_{n \to \infty} {x_n \over y_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = \frac{e}{e-1}.

## שימושים
* הוכחת כלל לופיטל.
*בהינתן \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty} סדרה מתכנסת:
**הממוצעים המשוקללים של a_n מתכנסים לאותו גבול כמו \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty} (זאת בתנאי שסדרת המשקולות \left\{\alpha_n\right\}_{n=1}^{\infty} מקיימת \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n \to \infty ).
** הממוצע החשבוני של a_n מתכנס לאותו גבול כמו \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty} (ניתן גם לראות ממוצע זה כמקרה פרטי של ממוצע משוקלל).
** הממוצע ההרמוני של a_n מתכנס לאותו גבול כמו \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}.
***משתי הטענות האחרונות, מאי שוויון הממוצעים ומכלל הסנדוויץ' נובע כי גם הממוצע הגאומטרי של a_n מתכנס לאותו גבול כמו \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}.

שטולץ, משפט
קטגוריה:סדרות מתמטיות