אינטגרל רימן-ליוביל

במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, **אינטגרל רימן-ליוביל** הוא אופרטור אשר מייצג פעולת אינטגרל חוזר עבור מספר פעמים שאיננו שלם (רציונלי) או מרוכב.

אינטרל רימן-ליוביל מבוסס על נוסחת האינטגרל החוזר של קושי והוא מהווה דוגמה לאינטגרל שברי בחשבון אינפיניטסימלי שברי.

האינטגרל נקרא על שמם של המתמטיקאים ברנהרד רימן וז'וזף ליוביל.

## מבוא ומוטיבציה
בהינתן זוג מספרים ממשיים c מסמנים ב-L^1([c,d]) את מרחב הפונקציות האינטגרביליות לפי לבג על הקטע [c,d]. עבור a\in [c,d] מגדירים אופרטור J_a:L^1([c,d])\to L^1([c,d]) להיות אופרטור האינטגרציה שראשתו ב-a. כלומר, עבור פונקציה f\in L^1([c,d])  ו-x\in [c, d]:

J_af(x):=\int_a^x{f(t)dt} 

עבור f  כזו ומספר טבעי n\in \mathbb{N}, בשנת 1823 הוכיח אוגוסטן קושי שלכל x\in [c, d] מתקיים השוויון הבא:

J_a^n f(x)=\frac{1}{(n-1)!}\int_a^x{(x-t)^{n-1}f(t)dt} 

כאשר J_a^n f:=\underbrace{J_a(J_a(\dots J_a}_{n\text{ times}}(f))) .

אינטגרל רימן-ליוביל מרחיב את נוסחה זו ומחליף את המספר הטבעי n  במספר מרוכב \alpha עם חלק ממשי חיובי. מאחר שלא מדובר כעת במספר טבעי, פעולת העצרת מוחלפת בפונקציית גמא שמרחיבה אותה. הרחבה זו מאפשרת להגדיר פעולות כדוגמת "חצי אינטגרל" (\alpha=1/2 ) או "שליש אינטגרל" (\alpha=1/3 ).

הגדרת האופרטור תקפה גם אם מחליפים את תחום הפונקציה f  מהקטע [c,d]  לקטע חצי סופי או ל-\mathbb{R}  כולו. עם זאת, בכל המקרים הללו עדיין נדרש להגדיר a  כלשהו להיות ראשית האינטגרל, אך ניתן להגדירו גם להיות \alpha=\infty או \alpha=-\infty במקרה והתחום אינו חסום מלמעלה או מלמטה בהתאמה.

## הגדרה מתמטית
בהינתן תחום ממשי קמור U\subseteq \mathbb{R} (קטע סופי, חצי סופי או \mathbb{R}  כולו), מספר ממשי a\in U (או \pm \infty במקרה והתחום אינסופי כלפי מעלה או מטה) ומספר מרוכב \alpha בעל חלק ממשי חיובי (\operatorname{Re}(\alpha)>0), **אופטור רימן-ליוביל מסדר** \alpha הוא האופרטור J^\alpha_a:L^1(U)\to L^1(U) כך שלכל פונקציה f\in L^1(U) ולכל x\in U:

J^\alpha_a f(x):=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^x{(x-t)^{\alpha - 1}f(t)dt} 

## תכונות
### ליניאריות
באופן דומה לפעולות האינטגרל והנגזרת, אופרטור רימן-ליוביל הוא אופרטור ליניארי. כלומר, לכל f, g\in L^1(U)  ולכל c,d\in \mathbb{R} :

J_a^\alpha(cf + dg)=cJ_a^\alpha f + dJ_a^\alpha g 

### הפעלת נגזרת
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע כי הפעלת נגזרת על אינטגרל מחזירה את הפונקציה המקורית. כלומר:

\frac{d}{dx}J_af(x)=f(x) 

הדבר נכון באופן שקול גם לאופרטור רימן-ליוביל:

\frac{d}{dx}J_a^{\alpha +1}f(x)=J_a^\alpha f(x) 

### הרכבה
ניתן להוכיח כי אוסף האופרטורים מסוג רימן ליוביל סגורים להרכבה. כלומר, עבור זוג מספרים מרוכבים \alpha,\beta  עם חלק ממשי חיובי מתקיים:

J_a^\alpha(J_a^\beta f)=J_a^{\alpha+\beta}f 

בכך מהווים אופרטורי רימן-ליוביל חבורה למחצה.

### חסימות, רציפות, והרחבה לסדר אפס
מסמנים ב-L^p(U) מסמל את מרחב Lp בתחום זה עבור p>1 ותחום ממשי U כלשהו. עבור כל \alpha\in \mathbb{C} מספר מרוכב עם חלק ממשי חיובי, ניתן להוכיח כי האופרטור J_a^\alpha הפועל על L^p(U) הוא אופרטור חסום ועל כן רציף.

יתרה מכך, ניתן להוכיח כי לכל f\in L^p(U), מתקיים:

\lim_{\alpha\to 0^+}{\lVert J_a^\alpha f-f \rVert_p}=0

כלומר, סדרת הפונקציות J_a^\alpha f שואפת ל-f כאשר \alpha\to 0 כמעט בכל מקום. מסיבה זו טבעי להגדיר J_a^0=I  כאשר I הוא אופרטור הזהות.

## דוגמאות
### חזקה
עבור הפונקציה f(x)=x^\beta  המוגדרת לכל המספרים הממשיים ניתן לחשב את איטנגרל רימן-ליוביל מסדר \alpha>0  כלשהו:

J_0^\alpha f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x{(x-t)^{\alpha - 1} t^\beta dt} 

על ידי החלפת משתנים u=xt  מתקבל:

\begin{align}
J_0^\alpha f(x)=\frac{x^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^1{(1-u)^{\alpha - 1} u^\beta du} \\
=\frac{x^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha)}B(\alpha,\beta + 1) \\
=\frac{x^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha)}\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta + 1)}{\Gamma(\alpha+\beta + 1)} \\
=\frac{\Gamma(\beta + 1)}{\Gamma(\alpha+\beta + 1)}x^{\alpha+\beta} \\
\end{align} 

כאשר הפונקציה B  היא פונקציית בטא. תוצאה זו מתלכדת עם תוצאת האינטגרל השלם, כצפוי.

### אקספוננט
עבור הפונקציה f(x)=\exp(x)  המוגדרת לכל המספרים הממשיים ניתן לחשב את איטנגרל רימן-ליוביל מסדר \alpha>0  כלשהו:

J_{-\infty}^\alpha f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{-\infty}^x{(x-t)^{\alpha - 1} \exp(t)dt} 

על ידי החלפת משתנים u=x-t  מתקבל:

\begin{align}
J_{-\infty}^\alpha f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty{u^{\alpha - 1}\exp(x - u)du} \\
= \frac{\exp(x)}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty{u^{\alpha - 1}\exp(-u)du} \\
= \frac{\exp(x)}{\Gamma(\alpha)}\Gamma(\alpha) \\
= \exp(x)
\end{align} 

זאת באופן דומה לכך ש-\frac{d}{dx}\exp(x)=\exp(x) .

## נגזרת רימן-ליוביל
על אף שהפעולה ההפוכה לאינטגרל היא הנגזרת, ועל אף ש-J_a^1 (\alpha=1) הוא אופרטור האינטגרציה, לא ניתן להציב \alpha=-1 באינטגרל רימן-ליוביל ולקבל את פעולת הנגזרת (למעשה, הצבה מסוג זו תוביל להתבדרות האינטגרל). באופן כללי, לא ניתן להציב באינטגרל רימן-ליוביל ערכים עם ערך ממשי שלילי (ובפרט מספרים שליליים).

עם זאת, ניתן להרחיב את הגדרת אינטגרל רימן-ליוביל כדי שתכלול גם נגזרות. עבור מספר ממשי \alpha>0 ניתן להגדיר את D_a^\alpha  להיות **נגזרת רימן-ליוביל מסדר <math>\alpha</math>** כך שלכל פונקציה f אינטגרבילית לפי לבג ולכל x בתחום שלה:

D_a^\alpha f(x):=\frac{d^{\lceil\alpha\rceil}}{dx^{\lceil\alpha\rceil}}J_a^{\lceil\alpha\rceil-\alpha}f(x)

זאת כאשר \lceil \cdot \rceil היא פונקציית התקרה. כלומר, מבצעים את אינטגרל רימן-ליוביל מסדר כלשהו בין 0 ל-1 המשלים את \alpha למספר שלם, ולאחר מכן גוזרים מספר פעמים. עבור \alpha טבעי, הגדרה זו מתלכדת עם הגדרת הנגזרת הסטנדרטית.

באופן כללי, ניתן להרחיב את נגזרת רימן-ליוביל עבור כל \alpha ממשי:

D_a^\alpha f(x):=
\begin{cases}
\frac{d^{\lceil\alpha\rceil}}{dx^{\lceil\alpha\rceil}}J_a^{\lceil\alpha\rceil-\alpha}f(x) & \text{if }\alpha > 0\\
f(x) & \text{if }\alpha = 0 \\
J_a^{-\alpha}f(x) & \text{if }\alpha 

באופן דומה לאינטגרל רימן-ליוביל, גם נגזרת רימן-ליוביל מקיימת ליניאריות, הרכבה, רציפות ואת המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

נגזרת רימן-ליוביל היא נגזרת שברית, כלומר פעולת נגזרת-אינטגרל אשר מקבלת את כל הערכים הממשיים.

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי
רימן-ליוביל