משפט לוסטרניק-שנירלמן

בטופולוגיה, **משפט לוסטרניק-שנירלמן** הוא משפט הקובע ששתי הטענות הבאות נכונות:
* בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות סגורות יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.
* בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות פתוחות יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.

המשפט שוער לראשונה במאמר של לזר לוסטרניק ולב שנירלמן מ-1930. המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם שהוכח ב-1933.

למעשה נכון משפט כללי יותר שמכליל את שתי הגרסאות המקוריות של המשפט:
* בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות, שכל אחת מהן פתוחה או סגורה, יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.

## הוכחה
מספיק להוכיח את המשפט ל-S^n שהיא ספירת היחידה ה-n-ממדית (אוסף כל הנקודות ב-\mathbb{R}^{n+1} שמרחקן מהראשית הוא 1).

נוכיח כי המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם הקובע שלכל פונקציה רציפה f: S^n \to \mathbb{R}^n קיימת נקודה x \in S^n כך ש-f(x)=f(-x).

### המקרה הסגור מתוך בורסוק-אולם
במרחב מטרי, המרחק בין נקודה x לקבוצה A, d(x,A), מוגדר כאינפימום של אוסף המרחקים בין x לכל אחת מנקודות A. לפי הגדרת הסגור, אם d(x,A)=0 אז x\in \bar{A}.

יהי F_1,\ldots,F_{n+1} אוסף של n+1 קבוצות סגורות המכסות את S^n. נגדיר פונקציה f: S^n \to \mathbb{R}^n כך:
:f(x) = (d(x,F_1),\ldots,d(x,F_n))

f בבירור רציפה ולכן לפי משפט בורסוק-אולם קיים x^* \in S^n כך ש-f(x^*)=f(-x^*). בפרט אם קיים 1\le i\le n כך ש-d(x^*,F_i)=0 אז גם d(-x^*,F_i)=0. אולם F_i סגורה ושווה לסגור שלה, ולכן במקרה כזה x^*,-x^* הן זוג נקודות אנטיפודיות הנמצאות ב-F_i.

נותר המקרה בו d(x^*,F_i) = d(-x^*,F_i)\ne 0 לכל 1\le i\le n. במקרה כזה x^*,-x^* לא נמצאות באף אחת מן הקבוצות F_1,\ldots,F_n (כי מרחקן מכל אחת מהן חיובי) ולכן הן חייבות להימצא יחדיו ב-F_{n+1}.

### המקרה הפתוח מתוך המקרה הסגור
יהי U_1,\ldots,U_{n+1} אוסף של n+1 קבוצות פתוחות המכסות את S^n. לכל 1\le i \le n+1 ולכל x \in U_i נבחר סביבה פתוחה קטנה מספיק V_x כך ש-x \in V_x^i \subseteq \bar{V_x^i} \subseteq U_i. איחוד כל הסביבות V_x^i לכל ה-x וה-i הוא כיסוי פתוח של S^n. הספירה היא קבוצה קומפקטית ולכן יש לכיסוי תת-כיסוי סופי V_1,\ldots,V_m. נאחד את כל הקבוצות \bar{V_j} המוכלות באותה קבוצה  U_i. זהו איחוד סופי של קבוצות סגורות ולכן לכל i נקבל קבוצה סגורה F_i \subseteq U_i. קיבלנו כיסוי F_1,\ldots,F_{n+1} של הספירה, ולכן לפי המקרה הסגור קיימים l ונקודה x^*\in S^n כך ש-x^*,-x^* \in F_l \subseteq U_l כפי שרצינו להוכיח.

### המקרה הכללי מתוך המקרה הפתוח
יהי A_1,\ldots,A_{n+1} אוסף של n+1 קבוצות סגורות או פתוחות המכסות את S^n. לכל A_i סגורה נגדיר U_i^k = \{x \in S^n \mid d(x,A_i). ולכל A_i פתוחה נגדיר U_i^k=A_i. לכל k, U_1^k,\ldots,U_{n+1}^k כיסוי פתוח של S^n, ולכן לפי הגרסה הפתוחה קיימים l_k וזוג נקודות x_k,-x_k \in U_{l_k}^k. אם ל-k כלשהו A_{l_k} פתוחה סיימנו, כי x_k,-x_k \in U_{l_k}^k=A_{l_k}. לכן נניח שלכל k A_{l_k} סגורה. הסדרה \{l_k\} היא סדרה אינסופית שמקבלת מספר סופי של ערכים (שלמים 1\le l_k \le n+1) ולכן יש מספר l שמופיע בה אינסוף פעמים. נסתכל על תת-סדרה מתכנסת של הסדרה (x_k)_k שאיבריה מקיימים l_k = l. נסמן את גבולה x^*. מתקיים d(x^*,A_l) = \lim_{k \to \infty} d(x_k,A_{l_k})=0. ולכן, מכיוון שהנחנו ש-A_l סגורה, מתקיים x^* \in A_l. מאותה סיבה מתקיים -x^* \in A_l .

### בורסוק-אולם מתוך המקרה הסגור
**למה**. ניתן לכסות את S^{n-1} באמצעות n+1 קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים. 

**הוכחה**. נמקם סימפלקס במרחב ה-n ממדי כך שהראשית נמצאת במרכז הסימפלקס. כעת נטיל את n+1 פאות הסימפלקס על הספירה S^{n-1} באמצעות קרניים שיוצאות מהראשית. קל לראות שתמונת הפאות הן הקבוצות הסגורות הנדרשות.

**הוכחת בורסוק-אולם**. נניח בשלילה שקיימת פונקציה f: S^n\to \mathbb{R}^n כך שלכל x\in S^n מתקיים f(x)\ne f(-x). אזי הפונקציה g: S^n\to S^{n-1} המוגדרת לפי g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{\|f(x)-f(-x)\|} מוגדרת היטב (כי המכנה לא מתאפס) ורציפה. נשים לב כי לכל x\in S^n מתקיים g(x)=-g(-x).

יהי F_1,\ldots,F_{n+1} כיסוי של S^{n-1} באמצעות קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים. g^{-1}(F_1)\ldots, g^{-1}(F_{n+1}) הוא כיסוי של S^n באמצעות קבוצות סגורות, ולכן לפי משפט לוסטרניק-שנירלמן קיימים x^*,-x^*\in g^{-1}(F_l). אולם אז g(x^*)\in f^{-1}(F_l) וגם -g(x^*)=g(-x^*)\in f^{-1}(F_l) בסתירה לטענה ש-F_l אינה מכילה אנטיפודים.

## שימושים
משפט לוסטרניק-שנירלמן עומד בבסיס הוכחה פשוטה למשפט לובאס-קנזר בתורת הגרפים, מה שמדגים את היותו כלי חשוב בקומבינטוריקה טופולוגית.

## ראו גם
*השערת בורסוק
## לקריאה נוספת

*Matoušek, Jiří (2003). Using the Borsuk–Ulam theorem. Berlin: Springer Verlag. doi:10.1007/978-3-540-76649-0. 


לוסטרניק-שנירלמן
לוסטרניק-שנירלמן
קטגוריה:הוכחות