משפט בוטמה

בגאומטריה, **משפט בוטמה** הוא משפט הנוגע לבניית ריבועים על גבי משולש כלשהו.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי ההולנדי אונה בוטמה.

## נוסח המשפט
ממוזער|תצוגה חזותית של משפט בוטמה: הזזה של נקודה A אינה משנה את המיקום של נקודה M
נתון משולש כלשהו \triangle ABC. בונים על גבי הצלע AB את הריבוע \square ABDE ועל גבי הצלע AC את הריבוע \square ACFG כך ששני הריבועים פונים אל חוץ המשולש.

מותחים קטע DF ומסמנים ב-M את נקודת האמצע שלו (DM=MF).

משפט בוטמה קובע כי בהינתן שהנקודות B ו-C קבועות, הנקודה M אינה תלויה בבחירת הנקודה A, עד כדי בחירת חצי המישור (מעל BC או מתחתיו).

כלומר, M תהיה באותו חצי המישור של A ביחס לישר BC, אך מלבד זאת אינה תלויה במיקומו המדויק של A.

יתר על כן, הנקודה M היא הנקודה היחידה בחצי מישור זה המקיימת את התכונות הבאות:

# MB=MC
# \angle BMC = 90^\circ

כלומר, המשולש \triangle BMC הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים.

## הוכחות

### הוכחה טריגונומטרית
ממוזער|תצוגה חזותית של ההוכחה הטריגונומטרית למשפט בוטמה
מסמנים:

* AB=DB=c, AC=FC=b, BC=a
* \angle ABC=\alpha, \angle ACB=\beta

באמצעות משפט הסינוסים במשולש \triangle ABC ניתן להגיע לשוויון c\sin \alpha=b\sin\beta. באופן דומה, באמצעות משפט הקוסינוסים במשולש \triangle ABC ניתן להגיע לשוויון c\cos \alpha+b\cos\beta = a.

כעת, מורידים שלושה אנכים אל הישר BC מהנקודות D, M ו-F שפוגשות את הישר BC בנקודות N, O ו-P בהתאמה. מאחר שהישרים DN ו-PF מאונכים לאותו ישר, הם בהכרח מקבילים זה לזה, משמע \square NPFD הוא טרפז ישר-זווית.

על ידי חישובים של זוויות צמודות וסכום זוויות במשולש מקבלים ש-\angle NDB=\alpha ו-\angle CFP=\beta. מאחר שהמשולשים \triangle NDB ו-\triangle CFP הם ישרי זווית, מתקבל ש-NB=c\sin\alpha ו-CP=b\sin\beta, אך כאמור c\sin \alpha=b\sin\beta, משמע  NB=CP.

בנוסף, הנקודה M חוצה את הקטע DF ו-MO מקבילה לשני בסיסי הטרפז DN ו-PF, משמע ש-MO הוא קטע אמצעים בטרפז \square NPFD, ולכן בהכרח הוא חוצה את  הצלע השנייה, כלומר NO=OP. על ידי חיסור קטעים שווים מתקבל ש-BO=OC.

כעת, על-פי נוסחת אורך קטע אמצעים בטרפז:

OM=\frac{DN+FP}{2} = \frac{c\cos\alpha+b\cos\beta}{2} = \frac{a}{2}.

כלומר, הקטע OM מאונך ל-BC, חוצה אותו ושווה למחצית אורכו. כל זה מתקיים רק במקרה בו המשולש \triangle BMC הוא ישר-זווית ושווה-שוקיים.

**מ.ש.ל.**

**הערה חשובה:** ההוכחה לעיל נכונה רק כאשר הזוויות \alpha ו-\beta הן זוויות חדות. אם אחת מהן קהה, אז הריבוע הנשען עליה יורד מתחת לישר BC. במקרה זה, המשוואות הטריגונומטריות נשארות זהות, אך ההצדקה שלהן משתנה מעט.

### הוכחה במישור המרוכב
ממוזער|תצוגה חזותית של ההוכחה המרוכבת של משפט בוטמה
מציבים את תרשים הבעיה במישור המרוכב כך שהנקודה B נמצאת ב-0. מסמנים את הנקודות C ו-A ב-z_1 ו-z_2 בהתאמה.

מאחר שהנקודה D נמצאת באותו מרחק מ-B כמו A ובזווית של 90^\circ ביחס ל-A נגד כיוון השעון, היא נמצאת ב-iz_2.

הקטע המכוון CA שווה ל-z_2-z_1. מאחר שהנקודה F נמצאת באותו מרחק מ-C כמו A ובזווית של 90^\circ ביחס ל-A עם כיוון השעון, הקטע המכוון CF שווה ל--i (z_2-z_1), משמע F נמצאת ב-z_1-i(z_2-z_1).

הנקודה M נמצאת במרכז הקטע DF לכן:

M=\frac{1}{2}D+\frac{1}{2}F=\frac{1}{2}iz_2+\frac{1}{2}(z_1-i(z_2-z_1))=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)z_1.

כלומר, M תלויה רק ב-z_1 שהיא הנקודה C, ולא תלויה ב-z_2 שהיא הנקודה A (היא כן תלויה ב-B שנבחרה שרירותית להיות ב-0).

ניתן לשים לב כי \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}i}, לכן BM נמצאת בזווית של 45^\circ ביחס ל-BC ואורכה קטן פי \frac{1}{\sqrt{2}} ממנה. כל זאת יכול לקרות רק כאשר המשולש \triangle BMC הוא ישר-זווית ושווה-שוקיים.

**מ.ש.ל.**

## קישורים חיצוניים

* גרסה אינטראקטיבית של משפט בוטמה באתר של Wolfram Demonstrations.
* 

## ראו גם

* משפט נפוליאון
* משפט ואן אובל

## הערות שוליים

קטגוריה:משפטים בגאומטריה
קטגוריה:משולש
קטגוריה:מרובעים