סדרה מדויקת

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית, **סדרה מדויקת** היא סדרה מהצורה \cdots A_i \stackrel{f_{i}}{\rightarrow} A_{i+1} \stackrel{f_{i+1}}{\rightarrow} A_{i+2} \cdots, שבה כל הרכבה f_{i+1}\circ f_i שווה לאפס באופן "מדויק", כלומר, התמונה של כל הומומורפיזם שווה לגרעין של ההומומורפיזם שבא אחריו. 

המבנים A_i יכולים להיות מודולים, חבורות, או כל אובייקט אחר בקטגוריה אבלית.

סדרות מדויקות מאפשרות ללמוד על מבנים בסדרה, מתוך תכונות של מבנים אחרים באותה סדרה.

## הגדרה

נניח שנתונה סדרה (סופית או אינסופית) של מבנים אלגבריים G_i ביחד עם אוסף של הומומורפיזמים של חבורות f_i : G_i \rightarrow G_{i+1}.
נאמר שסדרה כזו היא מדויקת ב-G_i אם מתקיים השוויון \mbox{Im} f_{i-1} = \ker f_i.
הסדרה כולה תיקרא מדויקת אם היא מדויקת ב-G_i לכל i.

למשל:
* הסדרה 0 \rightarrow A \stackrel{f}{\rightarrow} B  מדויקת אם ורק אם f הוא מונומורפיזם.
* הסדרה  A \stackrel{f}{\rightarrow} B \rightarrow 0 מדויקת אם ורק אם f הוא אפימורפיזם.
* ביחד, הסדרה 0 \rightarrow A \stackrel{f}{\rightarrow} B \rightarrow 0 היא מדויקת, אם ורק אם f הוא איזומורפיזם.

## סדרה מדויקת קצרה
כאמור לעיל, הסדרות הקצרות ביותר מספקות מידע טריוויאלי. הסדרה הראשונה שמספקת מידע מהותי היא מהצורה
: 0 \longrightarrow H \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{p}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0. 
סדרה כזו, הקרויה **סדרה מדויקת קצרה**, כוללת שני חצים לא טריוויאליים: שיכון של H ב-G, והטלה מ-G על N, שהגרעין שלה הוא H. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון, אם הסדרה מדויקת ב-G, בהכרח G/H \cong N - כלומר, הסדרה הזו מתארת מקרה של מנת חבורות. נציין גם ש-N איזומורפי לקו-גרעין של i : H \hookrightarrow G, שהוא \mathrm{coker}(i) = G/\mathrm{Im}(i).

### סדרה מדויקת מתפצלת
הסדרה המדויקת הקצרה
: 0 \longrightarrow H \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{p}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0. 
נקראת **מתפצלת**, אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים:
* קיים r:G \to H כך ש-r \circ i = id_H.
* קיים q:N \to G כך ש-p \circ q = id_N
* קיימת תת-חבורה J \subseteq G כך ש-G = im(i) \oplus J.

המקרה הזה ודאי חזק יותר מסדרה מדויקת רגילה. בעוד שהמקרה הקודם תיאר מנה, המקרה הזה מתאר סכום ישר. כלומר, מסדרה כזו ניתן להסיק G=H \oplus N.

כאשר האובייקט N הוא חופשי (כמו חבורה חופשית או מודול חופשי), הסדרה המדויקת גם מתפצלת. אותה טענה על כל אחת משתי החבורות האחרות (וגם על שתיהן) לא נכונה.

### דוגמה
נתבונן בסדרה הבאה של חבורות אבליות:

\mathbb{Z}\stackrel{z \mapsto 2z}{\longrightarrow}\mathbb{Z}\stackrel{z \mapsto z \pmod{2}}{\longrightarrow}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

כאשר ההעתקה מ-\mathbb{Z} ל-\mathbb{Z} היא הכפלה ב-2 וההעתקה מ-\mathbb{Z} ל-\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} היא העתקת המנה.
התמונה של ההעתקה הראשונה היא תת-החבורה של המספרים הזוגיים, וזהו בדיוק הגרעין של ההעתקה השנייה. לפיכך הסדרה הנ"ל היא סדרה מדויקת של חבורות אבליות. סדרה זו איננה מתפצלת, שכן התמונה 2 \mathbb{Z} איננה מחובר ישר של אף תת-חבורה. דוגמה זו שימושית במיוחד בהוכחה שהשפה של טבעת מביוס איננה נסג שלה.

## פונקטור מדויק
פונקטור (קו-וריאנטי) אדיטיבי F:A\rightarrow B בין שתי קטגוריות אבליות הוא **מדויק** אם הוא מעביר סדרות מדויקות לסדרות מדויקות. במילים אחרות, F הוא מדויק אם בהינתן סדרה מדויקת  \dots \rightarrow A_i \rightarrow A_{i+1} \rightarrow A_{i+2} \rightarrow \dots הסדרה  \dots \rightarrow FA_i \rightarrow FA_{i+1}\rightarrow FA_{i+2} \rightarrow \dots המתקבלת לאחר הפעלת F גם היא מדויקת. כאשר פונקטור אינו מדויק אפשר למדוד עד כמה הוא רחוק מלהיות מדויק באמצעות פונקטורים נגזרים.

## קישורים חיצוניים

* 

קטגוריה:אלגברה
קטגוריה:אלגברה הומולוגית