חלקיק בפוטנציאל מרכזי

במכניקת הקוונטים, חלקיק בפוטנציאל מרכזי הוא מערכת קוונטית עם פוטנציאל שתלוי רק במרחק בין החלקיק ונקודת המוקד של הכוח המרכזי. מודל פיזיקלי זה הוא יסודי בפיזיקה ויכול לשמש כדי לתאר מגוון רחב של תופעות מהעולם האמיתי, מן ההתנהגות של אלקטרון יחיד באטום המימן ועד למבנה המקורב של גרעין האטום. 

התנהגות החלקיק מתוארת על ידי משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן. בגלל הסימטריה הכדורית, הבעיה באופן טבעי מפושטת אם עושים שימוש בקואורדינטות כדוריות (r, \theta ו-\phi) ובטכניקה המתמטית של הפרדת משתנים. זה מאפשר לפצל את הפתרון (פונקציית הגל) לחלק רדיאלי, התלוי רק במרחק r, ולחלק זוויתי. הפתרונות הזוויתיים הם אוניברסליים וזהים עבור כל הפוטנציאלים המרכזיים, ונקראים ההרמוניות הספריות. החלק הרדיאלי של הפתרון תלוי בצורת הפוטנציאל V(r) וקובע את רמות האנרגיה המותרות של המערכת.

במקרה הכללי, הדינמיקה של חלקיק בפוטנציאל ספירי סימטרי נשלטת על ידי המילטוניאן מהצורה:
:\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m_0} + V(r)

כאשר m_0 היא מסת החלקיק, \hat{p} הוא אופרטור התנע, והפוטנציאל V(r) תלוי רק ב-r, כלומר באורך הרדיוס וקטור. פורמליזם מתמטי זה מוביל למשוואה דיפרנציאלית רגילה עבור החלק הרדיאלי של פונקציית הגל, אשר ניתן לפותרה עבור פוטנציאלים חשובים כמו הפוטנציאל הקולוני (עבור אטומים) ובור פוטנציאל סופי כדורי (עבור גרעין של אטום).

## מבנה הפונקציות העצמיות
המצבים העצמיים של המערכת הם מהצורה:
:\psi(r, \theta, \phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi) 
שבה הזוויות θ,φ הן הזווית הפולרית והאזימוטלית בהתאמה. שני החלקים הזוויתיים של פונקציות הגל העצמיות ψ נכתבים לעיתים כגורם מנורמל יחיד הנקרא הרמוניה ספרית, כך שהפונקציות העצמיות מקבלות את הצורה:
:\psi(r, \theta, \phi) = R(r)Y_{\ell m}(\theta,\phi).

המשוואה הדיפרנציאלית שמתארת את הפונקציה R(r) מכונה **המשוואה הרדיאלית**.

## גזירת המשוואה הרדיאלית
אופרטור האנרגיה הקינטית בקואורדינטות כדוריות הוא:
:\frac{\hat{p}^2}{2m_0} = -\frac{\hbar^2}{2m_0} \nabla^2 =
- \frac{\hbar^2}{2m_0\,r^2} \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) - \hat{L}^2 \right].

ההרמוניות הספריות מקיימות:
:
\hat{L}^2 Y_{\ell m}(\theta,\phi)\equiv \left\{ -\frac{1}{\sin^2\theta} \left[
\sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta}\right)
+\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right]\right\} Y_{\ell m}(\theta,\phi)
= \ell(\ell+1)Y_{\ell m}(\theta,\phi).

ואם נציב זאת במשוואת שרדינגר נקבל בעיית ערך עצמי חד-ממדית,
 \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \left(r^2\frac{dR}{dr}\right) - \frac{\ell(\ell+1)}{r^2} R + \frac{2m_0}{\hbar^2} \left[E-V(r)\right]R = 0.
את משוואה זו ניתן להפוך למשוואת שרדינגר חד-ממדית שקולה בעזרת ההצבה R(r) = u(r)/r, כאשר u(r) מקיימת:
: {d^2 u \over dr^2} + \frac{2m_0}{\hbar^2} \left[E-V_{\mathrm{eff}}(r)\right] u = 0

וזוהי בדיוק משוואת שרדינגר החד-ממדית עם פוטנציאל אפקטיבי שניתן על ידי
: V_{\mathrm{eff}}(r) = V(r) + {\hbar^2 \ell(\ell+1) \over 2m_0r^2},
כאשר הקואורדינטה הרדיאלית *r* נעה בין 0 ל-\infty.

## דיון סמי-קלאסי בפונקציית הגל של חלקיק בפוטנציאל מרכזי
במכניקה קלאסית, מסלולו של חלקיק בפוטנציאל מרכזי נקבע באופן חד-חד ערכי על ידי התנע הזוויתי שלו *L* והאנרגיה הכוללת שלו *E*, שמהווים שמורות תנועה. אף על פי שבמכניקת הקוונטים אין מיקום ותנע מוגדרים לחלקיק וניתן לדבר רק על פונקציית הגל שלו (שמייצגת את הסיכוי למצוא את החלקיק במיקום כלשהו), אינטואיציות "קלאסיות" רלוונטיות במידת מה גם עבור המקרה הקוונטי. מכיוון שבמכניקת הקוונטים החלקיק אינו נקודתי אלא "מרוח" במרחב, אפשר לתאר מצבים עצמיים של המערכת רק דרך שפה של אופרטורים; משוואת שרדינגר לחלק הרדיאלי כפי שתוארה לעיל, מתייחסת לפוטנציאל האפקטיבי דרך האופרטור \hat{L}^2 (ריבוע התנע הזוויתי).
החלק הזה מוקדש לתיאור מאפיינים "איכותיים" כלליים של המצבים העצמיים של חלקיק קשור בפוטנציאל מרכזי. אף על פי שהדיון כאן לא מתייחס לפוטנציאל ספציפי, הוא תקף למרבית סוגי הפוטנציאלים (בפרט לאלקטרון באטום המימן).

### תיאור איכותי של החלק הזוויתי
[ממוזער|upleft=1.5|מצבים עצמיים של האלקטרון באטום המימן ב[רמות אנרגיה שונות. ההסתברות למצוא את האלקטרון נתונה על ידי הצבע, כפי שמוראה במפתח הקריאה בצד ימין למעלה. ניתן לראות שמצבים ללא תנע זוויתי הם בעלי סימטריה כדורית.]]
הבדל מהותי אחד בין הבעיה הדו-גופית הקלאסית להתנהגותו של חלקיק קוונטי הוא שבבעיה הקלאסית לא ייתכנו מצבים קשורים ללא תנע זוויתי (למעט אלו המתארים נפילה של החלקיק ישירות אל מרכז הכוח). לעומת זאת, חלקיק קוונטי מרוח בכל המרחב שמסביב למרכז הכוח ולכן כל עוד פונקציית הגל שלו היא בעלת סימטריה כדורית (כלומר כאשר החלק הזוויתי שלה הוא טריוויאלי) אין שום סיבה שהיא תתאר מישור תנועה מוגדר או באופן שקול תתאים לערך שונה מאפס של אופרטור ההיטל של התנע הזוויתי \hat{L}_z על ציר מסוים; מכיוון שבמקרה זה ערכי התצפית של אופרטור ההיטל של התנע הזוויתי מתאפסים ביחס לכל ציר, ניתן לקבוע שבמצבים עצמיים בעלי סימטריה כדורית התנע הזוויתי מתאפס. תפקיד התנע הזוויתי בגרסה הקוונטית של בעיית הכוח המרכזי הוא "לשבור" את הסימטריה הכדורית של פונקציית הגל של החלקיק הקשור.

מבחינה מתמטית, עבור מצב קשור נתון של חלקיק בפוטנציאל מרכזי, ככל שהמספר הקוונטי הזוויתי l גדול יותר, ההרמוניה הספרית המתאימה מתוארת על ידי פולינום לז'נדר נלווה P_l^m(\mathbb{cos\theta}) ממעלה גבוהה יותר ב-\mathbb{cos\theta}, ולפיכך מייצג תצורה מרחבית מורכבת יותר בעלת קווי צומת מורכבים יותר. המספר הקוונטי האזימוטלי m, שמייצג את ההיטל של התנע הזוויתי על ציר *z*, ניתן לתיאור (בשפה השאולה מהפיזיקה הקלאסית) כ"תדירות המרחבית" של התנדנדות פונקציית הגל (מספר גל) לאורך מעגל במישור שניצב לציר זה. במילים אחרות, החלק הזוויתי שתלוי ב-\theta בלבד (ותואם למספר הקוונטי הזוויתי) הוא קבוע על פני חרוטים בעל זווית ראש \theta בעוד שהחלק הזוויתי שתלוי ב-\phi בלבד קבוע לאורך קרן בזווית \phi במישור *XY*.

### תיאור איכותי של החלק הרדיאלי
במכניקה קלאסית, מאחר שהתנע הזוויתי *L* מהווה שמורת תנועה עבור פוטנציאלים מרכזיים, בפתרון הבעיה הדו-גופית נהוג לתאר את התנהגות המערכת בעזרת גודל הנקרא "פוטנציאל אפקטיבי"  V_{\mathrm{eff}}(r) = V(r) + \frac{L^2}{2mr^2},, אשר כולל בתוכו הן את השפעת האפקט הצנטריפוגלי של התנע הזוויתי והן השפעת הכוח המרכזי ומאפשר לצמצם את הבעיה התלת-ממדית לבעיה חד-ממדית. האנרגיה הכוללת *E* מטילה הגבלות על תחום הערכים האפשריים של *r* (מרחק החלקיק ממרכז הכוח המרכזי). בניתוח הקלאסי של הבעיה הדו-גופית ניתן להראות שאם משנים את התנע הזוויתי *L* בעוד ששומרים על אנרגיה כוללת קבועה *E*, אז הקטנת התנע הזוויתי מגדילה את מנעד הערכים של *r* בו החלקיק יכול להימצא, כלומר מגדילה את המרחק בין הפריהליון לאפהליון.

בגרסה הקוונטית של הבעיה, כאשר פותרים את משוואת שרדינגר לחלק הרדיאלי R(r) של פונקציית הגל, מגלים שהחלק הרדיאלי תלוי גם בתנע הזוויתי *L* של החלקיק, בנוסף על האנרגיה הכוללת *E*. להשפעת הקטנת התנע הזוויתי במקרה הקוונטי יש קווי דמיון עם המקרה הקלאסי – מנעד הערכים של *r* בהם הסיכוי למצוא את החלקיק גבוה (כלומר שצפיפות ההסתברות |R(r)|^2 אינה זניחה) הולך וגדל. ניתן למתוח את האנלוגיה הקלאסית אף יותר - בבעיה הדו-גופית הקלאסית הקטנת התנע הזוויתי מגדילה את האקסנצטריות של מסלולו האליפטי של החלקיק, כך שבמרבית זמן המחזור של התנועה החלקיק יהיה מצוי במרחקים גדולים יותר - ולכן הגיוני לצפות שבגרסה הקוונטית שלה תוחלת מרחק החלקיק ממרכז הכוח תגדל עם הקטנת *L*. למשל, עבור אטום המימן, תוחלת מרחק האלקטרון מהגרעין, שמוגדרת להיות:
: = \int_0^{\infty}r\cdot (|R(r)|^2 4\pi r^2)dr    
מקיימת את הקשר:
:=\frac{a_0}{2}(3n^2-l(l+1)) 
כאשר a_0 הוא רדיוס בוהר. ניתן לראות שהקטנת המספר הקוונטי הזוויתי *l* מגדילה את  עד לערך מקסימלי של \frac{3a_0}{2}n^2 המתקבל עבור המצב העצמי הסימטרי כדורית של רמת האנרגיה ה-*n*. ניתן להראות גם שהמרחקים "המותרים" r_n של רמות האנרגיה של האלקטרון במודל בוהר של אטום המימן הם השכיח של פונקציית צפיפות ההסתברות של *r* כפי שמתקבלת במודל שרדינגר, כלומר r_n הוא המרחק שבו f_n(r) = 4\pi r^2|R_n(r)|^2 מקבלת ערך מקסימלי.    

נוסף על כך, מכיוון שההפרש E-V_{eff}(r) קובע למעשה את האנרגיה הקינטית הרדיאלית של החלקיק, ומכאן גם את מספר הגל הרדיאלי \kappa_r, ניתן לשער שמספר הצמתים (שורשים של R(r)) בחלק הרדיאלי יגדל עם הקטנת *L*. למשל, בפתרון המתמטי המדויק של אטום המימן, פונקציית הגל הרדיאלית שווה לאקספוננט דועך כפול פולינום לגר מוכלל, אשר מספר שורשיו עולה עם הקטנת *L*.

## פתרונות עבור פוטנציאלים מרכזיים מסוימים
ישנם חמישה מקרים בעלי חשיבות מיוחדת:
# V(r) = 0, או הפתרון לחלקיק חופשי בבסיס ההרמוניות הספריות; מקרה זה משמש בסיס למקרים אחרים.
# V(r)=V_0 (פוטנציאל סופי) בתחום r ואפס בכל מקום אחר.
# V(r) = 0 בתחום r  ואינסוף בכל מקום אחר; זהו האנלוג הספירי לחלקיק בקופסה, והוא שימושי לתיאור מצבים קשורים בגרעיני אטומים.
# V(r) \propto r^{2}, עבור מתנד הרמוני איזוטרופי תלת-ממדי.
# V(r) \propto \frac{1}{r}, משמש לתיאור מצבים קשורים של אטומים דמויי-מימן.

### מצבי חלקיק חופשי
נתייחס למקרה הראשון שבו V(r) = 0. באמצעות הצגת המשתנים חסרי הממדים \rho\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ kr, \qquad k\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{2m_0E\over\hbar^2}, משוואת שרדינגר לחלק הרדיאלי הופכת אז למשוואת בסל עבור הפונקציה החדשה J(\rho)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt\rho R(r):\rho^2\frac{d^2 J}{d\rho^2}+\rho \frac{dJ}{d\rho}+\left[\rho^2-\left(\ell+\frac{1}{2}\right)^2 \right] J = 0
כאשר פתרונות רגולריים בעלי אנרגיות חיוביות ניתנים על ידי פונקציות בסל מהסוג הראשון מסדר חצי-שלם, J_{\ell+1/2}(\rho), כך שהפתרונות עבור R(r) הם למעשה "פונקציות בסל כדוריות":
R(r) = j_\ell(kr) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\pi/(2kr)} J_{\ell+1/2}(kr).
הפתרונות עבור משוואת שרדינגר בקואורדינטות כדוריות מתויגים לפי שלושה מספרים קוונטים: אינדקסים בדידים *ℓ* ו-*m*, ואינדקס *k* המשתנה ברציפות בתחום [0,\infty) : \psi(\mathbf{r}) = j_\ell(kr) Y_{\ell m}(\theta,\phi)

פתרונות עצמיים אלו מייצגים מצבים בעלי תנע זוויתי מוגדר (הנתון על ידי \sqrt{\ell(\ell+1)}\hbar), במקום מצבים בעלי תנע קווי מוגדר, שמתוארים על ידי גלים מישוריים \exp(i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}). במסגרת התיאור הקוונטי של פתרון בעיות פיזור של אלומות חלקיקים ממרכזי פיזור, עולה הצורך לתאר פונקציות גל מישוריות בבסיס ההרמוניות הספריות, כלומר להציג מצב מוגדר של תנע קווי כסופרפוזיציה של מצבים מוגדרים של תנע זוויתי, כך שפתרונות אלו שימושיים מאוד לפתרון בעיות פיזור.   

### [[בור פוטנציאל סופי]] כדורי
נתייחס כעת לפוטנציאל V(r)=V_0 בעבור r ו-V(r)=0 בכל מקום אחר - במילים אחרות, בתוך ספירה ברדיוס r_0 הפוטנציאל שווה ל-V_0 והוא מתאפס מחוץ לספירה. פוטנציאל עם קפיצה לא-רציפה וסופית כזאת בערכו מכונה "פוטנציאל מרובע".

נתייחס תחילה למצבים קשורים, כלומר מצבים תחומים במרחב שבהם החלקיק אינו יכול לברוח מהבור. למצבים כאלו יש אנרגיה E נמוכה מהפוטנציאל מחוץ לספירה, כלומר יש להם אנרגיה שלילית. ראויה לתשומת לב גם העובדה, שבשונה מהפוטנציאל הקולומבי, שלו מספר אינסופי של מצבים קשורים בדידים, לבור פוטנציאל כדורי סופי יש רק מספר סופי (ולעיתים אף אין לו) של מצבים קשורים. 

פתרון מקרה זה במהותו עוקב אחרי המקרה שתואר מקודם כשהנרמול של פונקציית הגל מתווסף, ויש לפתור שתי משוואות שרדינגר מהסוג הקודם ( חלקיק בפוטנציאל קבוע): בפנים ומחוץ לספירה. האילוצים הבאים חייבים להיות תקפים כדי לייצג פונקציית גל פיזיקלית וברת-נרמול:

# פונקציית הגל חייבת להיות רגולרית בראשית.
# פונקציית הגל ונגזרתה חייבות להיות רציפות באי-הרציפות של הפוטנציאל.
# פונקציית הגל חייבת להתכנס באינסוף.

האילוץ הראשון מגיע מן העובדה שפונקציות בסל מהסוג השני ופונקציות הנקל הן סינגולריות בראשית. הדרישה הפיזיקלית שפונקציית הגל \psi חייבת להיות סופית בכל מקום שוללת את ההיתכנות של פתרונות כאלו, כך שרק פונקציות בסל מהסוג הראשון מופיעות בפתרונות. מסיבה זו, הפתרון יהיה מצורה זו בתוך הספירה: R(r) = A j_\ell\left(\sqrt{\frac{2 m_0 (E-V_0)}{\hbar^2}}r\right), \qquad r 
שימו לב שבעבור מצבים קשורים,  V_0 . הפתרון עבור מצבים קשורים מחוץ לספירה הוא זה ששונה בהשוואה לפתרון עבור חלקיק חופשי. מעובדה זאת יחד עם האילוץ השלישי, נובע שפונקציית הנקל מהסוג הראשון היא הפתרון המבוקש, ומכיוון שהיא מתכנסת באינסוף (הסינגולריות של הפונקציה הזאת בראשית אינה משנה כי התחום אליו היא מתייחסת הוא מחוץ לספירה):R(r) = Bh^{(1)}_\ell\left(i\sqrt{\frac{-2 m_0 E}{\hbar^2}}r\right), \qquad r>r_0
האילוץ השני על רציפות \psi ב-r=r_0 יחד עם תנאי הנרמול מאפשרים את קביעת המקדמים A ו-B. רציפות הנגזרת גוררת קוונטיזציה של האנרגיות.

### בור פוטנציאל אינסופי כדורי
במקרה שבו בור הפוטנציאל בעל עומק אינסופי, כך שניתן לדרוש V_0=0 בתוך הספירה \infty מחוצה לה, הבעיה שקולה ל"תפירה" של פונקציית הגל בחלק הפנימי של הספירה (פונקציית בסל כדורית) עם פונקציית גל שמתאפסת זהותית מחוץ לספירה. האנרגיות המותרות הן אלו שעבורן החלק הרדיאלי של פונקציית הגל מתאפס על השפה. לפיכך, יש לעשות שימוש באפסים של פונקציות בסל כדוריות כדי למצוא את ספקטרום האנרגיות ופונקציות הגל. אם נקרא ל-u_{\ell,k} כאפס ה-*k* של  j_\ell, נקבל: E_{kl} = \frac{u_{\ell,k}^2 \hbar^2}{2 m_0 r_0^2} 
כך שהבעיה שקולה לחישוב האפסים u_{\ell,k}, בדרך כלל באמצעות נתונים מטבלה או ממחשב, שכן לאפסים אלו אין ביטוי אנליטי במקרה הכללי.

במקרה המיוחד שבו \ell = 0 (אורביטלים בעלי סימטריה כדורית), פונקציית בסל הכדורית היא j_0(x) = \frac{\sin x} {x}, ואפסיה ניתנים לזיהוי בקלות כ-u_{0,k} = k \pi. הערכים העצמיים המתאימים של האנרגיה הם לפיכך:
E_{k0} = \frac{(k \pi)^2\hbar^2}{ 2 m_0 r_0^2} = \frac{k^2 h^2}{8 m_0 r_0^2}

### אוסצילטור הרמוני איזוטרופי בשלושה ממדים
הפוטנציאל של אוסצילטור הרמוני קוונטי הוא:
 V(r) = \frac{1}{2} m_0 \omega^2 r^2. 

לאוסצילטור הרמוני קוונטי *N*-ממדי יש אנרגיות
E_n = \hbar \omega\left( n + \frac{N}{2} \right) \quad\text{with}\quad n=0,1,\ldots,\infty,
, כלומר n הוא מספר שלם אי שלילי; \omega היא התדירות היסודית של האוסצילטור. במקרה זה N=3, כך שמשוואת שרדינגר הרדיאלית הופכת ל-:\left[-\frac{\hbar^2}{2m_0} \frac{d^2}{dr^2} + {\hbar^2 \ell(\ell+1) \over 2m_0r^2}+\frac{1}{2} m_0 \omega^2 r^2 - \hbar\omega\left(n+\tfrac{3}{2}\right) \right] u(r) = 0.
באמצעות הצגת הגודל \gamma \equiv \frac{m_0\omega}{\hbar} ושימוש בעובדה ש-u(r) = r R(r), נראה שמשוואת שרדינגר הרדיאלית היא בעלת הפתרון המנורמל
R_{n\ell}(r) = N_{n\ell} \, r^{\ell} \, e^{-\frac{1}{2}\gamma r^2}\; L^{\scriptscriptstyle\left(\ell+\frac{1}{2}\right)}_{\frac{1}{2}(n-\ell)}(\gamma r^2),
כאשר הפונקציה L^{(\alpha)}_k(\gamma r^2) היא פולינום לאגר מוכלל ב-\gamma r^2  מסדר k.

קבוע הנרמול N_{n \ell} הוא:
 N_{n\ell} = \left[\frac{ 2^{n+\ell+2} \,\gamma^{\ell+\frac{3}{2}} } {\pi^{\frac{1}{2}}} \right]^{\frac{1}{2}}
\left[\frac{ \left[\frac{1}{2} (n-\ell)\right]!\;\left[\frac{1}{2} (n+\ell)\right]!}{(n+\ell+1)!} \right]^{\frac{1}{2}} .

הפונקציה העצמית R_{n \ell}(r) מקושרת לאנרגיה E_n, כאשר
 \ell = n, n-2, \ldots, \ell_\min\quad
\text{with}\quad \ell_\min = \begin{cases}
1 & \text{if}~ n~ \text{odd} \\
0 & \text{if}~ n~ \text{even}
\end{cases}

#### גזירה
תחילה נמיר את המשוואה הרדיאלית באמצעות מספר הצבות למשוואת לאגר מוכללת, לה פתרונות ידועים: פונקציות לאגר מוכללות. לאחר מכן ננרמל את פונקציית לאגר המוכללת ל-1. 

ראשית נגדיר גודל חסר ממדים המבוסס על הקואורדינטה הרדיאלית
y = \sqrt{\gamma}r \quad \text{with}\quad \gamma \equiv \frac{m_0\omega}{\hbar},
כך שהמשוואה תהפוך ל-\left[\frac{d^2}{dy^2} - \frac{\ell(\ell+1)}{y^2} - y^2 + 2n + 3 \right] v(y) = 0 

כאשר v(y) = u \left(y / \sqrt{\gamma} \right).

ניתוח ההתנהגות הגבולית של *v*(*y*) בראשית ובאינסוף מציע את ההצבה הבאה עבור *v*(*y*),
v(y) = y^{\ell+1} e^{-y^2/2} f(y).
הצבה זאת ממירה את המשוואה הדיפרנציאלית ל-\left[\frac{d^2}{dy^2} + 2 \left(\frac{\ell+1}{y}-y\right)\frac{d}{dy} + 2n - 2\ell \right] f(y) = 0,
כאשר חילקנו ב- y^{\ell+1} e^{-y^2/2}, פעולה שמותרת כל עוד *y* אינו אפס.

#### מעבר לפולינומי לאגר
אם בהצבה x = y^2 נעשה שימוש, אז y = \sqrt{x}, והאופרטורים הדיפרנציאליים הופכים ל-
\frac{d}{dy} = \frac{dx}{dy}\frac{d}{dx} = 2 y \frac{d}{dx} = 2 \sqrt{x} \frac{d}{dx}, ו-\frac{d^2}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left( 2 y \frac{d}{dx} \right) = 4 x \frac{d^2}{dx^2} + 2 \frac{d}{dx}. 
המשוואה בתוך הסוגריים המרובעים הכופלים את f(y) הופכת למשוואה הדיפרנציאלית המאפיינת את פולינומי לאגר המוכללים:
x\frac{d^2g}{dx^2} + \left( \left(\ell+\frac{1}{2}\right) + 1 - x\right) \frac{dg}{dx} + \frac{1}{2} (n - \ell) g(x) = 0
עם g(x) \equiv f(\sqrt{x}) .

בהינתן ש-k \equiv (n-\ell)/2 מספר שלם אי-שלילי, הפתרונות של המשוואה הזאת הם פולינומי לאגר מוכללים:
 g(x) = L_k^{\scriptscriptstyle\left(\ell+\frac{1}{2}\right)}(x).

מהתנאים על k נובע: (i) n \ge \ell ו-(ii) n and \ell שניהם זוגיים או ששניהם אי-זוגיים. זה מוביל לתנאי על \ell שניתן לעיל.

#### שחזור פונקציית הגל הרדיאלית המנורמלת
מכיוון ש-u(r) = r R(r), מתקבלת הפתרון הרדיאלי המנורמל:
R_{n\ell}(r) = N_{n\ell} \, r^{\ell} \, e^{-\frac{1}{2}\gamma r^2}\; L^{\scriptscriptstyle\left(\ell+\frac{1}{2}\right)}_{\frac{1}{2}(n-\ell)}(\gamma r^2).
תנאי הנרמול עבור פונקציית הגל הרדיאלית הוא:
\int^\infty_0 r^2 |R_{n \ell}(r)|^2 \, dr = 1.
הצבת q = \gamma r^2  נותנת dq = 2 \gamma r \, dr, והמשוואה הופכת ל-:
\frac{N^2_{n\ell}}{2\gamma^{\ell+\frac{3}{2}}}
\int^\infty_0 q^{\ell + {1 \over 2}} e^{-q} \left [ L^{\scriptscriptstyle\left(\ell+\frac{1}{2}\right)}_{\frac{1}{2}(n-\ell)}(q) \right ]^2 \, dq = 1.

ניצול תכונת האורתוגונליות של פולינומי לאגר מוכללים מאפשר לפשט את המשוואה הזאת:
\frac{N^2_{n\ell}}{2\gamma^{\ell+\frac{3}{2}}} \cdot \frac{\Gamma{\left[\frac{1}{2} (n+\ell+1)+1\right]}}{\left[\frac{1}{2}(n-\ell)\right]!} = 1. 
מכאן שקבוע הנרמול ניתן לביטוי כ-:
N_{n\ell} = \sqrt{\frac{2 \, \gamma^{\ell+\frac{3}{2}} \, \left(\frac{n-\ell}{2}\right)! }{\Gamma{\left(\frac{n+\ell}{2}+\frac{3}{2}\right)}}} 
צורות אחרות של קבוע הנרמול ניתנות לגזירה באמצעות שימוש בתכונות של פונקציית גמא, תוך שימת לב ש-n ו-l בעלי אותה הזוגיות. פירוש הדבר ש-n+\ell הוא תמיד זוגי, כך שפונקציית גמא הופכת ל-:
\begin{align}
\Gamma{\left[\frac{1}{2} + \left( \frac{n+\ell}{2} + 1 \right) \right]}
&= \frac{\sqrt{\pi}(n+\ell+1)!!}{2^{\frac{n+\ell}{2}+1}} \\[1ex]
&= \frac{\sqrt{\pi}(n+\ell+1)!}{2^{n+\ell+1}\left[\frac{1}{2}(n+\ell)\right]!},
\end{align}
כאשר עשינו שימוש בעצרת הכפולה. כאן קבוע הנרמול ניתן גם הוא על ידי:
 \begin{align}
N_{n\ell}
&= \left [ \frac{2^{n+\ell+2} \,\gamma^{\ell+{3 \over 2}}\left[{1 \over 2}(n-\ell)\right]!\left[{1 \over 2}(n+\ell)\right]!}{\;\pi^{1 \over 2} (n+\ell+1)! } \right ]^{1 \over 2} \\[1.5ex]
&= \sqrt{2} \left( \frac{\gamma}{\pi} \right )^{1 \over 4} \,({2 \gamma})^{\ell \over 2} \, \sqrt{\frac{2 \gamma (n-\ell)!!}{(n+\ell+1)!!}}.
\end{align} 

### אטומים דמויי-מימן
אטום מימני (דמוי-מימן) הוא מערכת דו-חלקיקית המורכבת מגרעין ואלקטרון. שני החלקיקים מקיימים אינטראקציה דרך הפוטנציאל הנגזר מחוק קולון:
V(r) = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Ze^2}{r}
כאשר

* *ε*0 הוא הקבוע הדיאלקטרי של הריק,
* *Z* הוא המספר האטומי (*eZ* הוא מטען הגרעין),
* *e* הוא מטען האלקטרון,
* *r* הוא המרחק בין האלקטרון לגרעין.

כדי לפשט את משוואת שרדינגר, נציג את הקבועים הבאים שמגדירים יחידות מידה אטומיות לאנרגיה ואורך:
 E_\textrm{h} = \mu \left( \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar}\right)^2 \quad\text{and}\quad a_0 = . 
כאשר  \mu \approx m_e  היא המסה המצומצמת בגבול m_e \ll m_\text{nucleus}. נציב את  y = Zr/a_0 ו-W = E/(Z^2 E_\textrm{h}) למשוואת שרדינגר הנתונה לעיל. פעולה זו מניבה משוואה שבה כל הקבועים הטבעיים מסתתרים,
 \left[ -\frac{1}{2} \frac{d^2}{dy^2} + \frac{1}{2} \frac{\ell(\ell+1)}{y^2} - \frac{1}{y}\right] u_\ell = W u_\ell .
שני סוגי פתרונות למשוואה זאת קיימים:
#  W  **שלילית**: הפונקציות העצמיות הן אינטגרביליות בריבוע והערכים של  W  מקוונטטים (ספקטרום בדיד).
#  W  **אי-שלילית**: כל ערך ממשי אי-שלילי של  W  אפשרי פיזיקלית (ספקטרום רציף), והפונקציות העצמיות המתאימות אינן אינטגרביליות בריבוע. התייחסות רק לסוג הראשון של הפתרונות מגבילה אותם לפונקציות גל המייצגות מצבים קשורים, בניגוד לפתרונות מהסוג השני הנקראים "מצבי פיזור".  

בעבור פתרונות מהסוג הראשון עם *W* שלילית הגודל \alpha \equiv 2\sqrt{-2W} הוא ממשי וחיובי. ההצבה x \equiv \alpha y  נותנת את משוואת שרדינגר:
\left[ \frac{d^2}{dx^2} -\frac{\ell(\ell+1)}{x^2} + \frac{2}{\alpha x} - \frac{1}{4} \right] u_\ell = 0,
\quad \text{with } x \ge 0.
עבור  x \rightarrow \infty החזקות ההופכיות של *x* הן זניחות והפתרון בר הנרמול (ולפיכך, הפיזיקלי) בעבור ערכים גדולים של  x  הוא \exp[-x/2]. בדומה לכך, בעבור  x \rightarrow 0 החזקה הריבועית ההופכית היא הדומיננטית והפתרון הפיזיקלי בעבור ערכים קטנים של  x  הוא *x**ℓ*+1. לפיכך, כדי לייצר פתרון עבור כל טווח המרחקים נציב u_l(x) = x^{\ell+1} e^{-x/2}f_\ell(x).

המשוואה עבור   f_l(x)  הופכת ל-:
\left[ x\frac{d^2}{dx^2} + (2\ell+2-x) \frac{d}{dx} +(n - \ell - 1)\right] f_\ell(x) = 0 \quad\text{with}\quad n = (-2W)^{-1/2}=\frac{2}{\alpha}.
בהינתן ש-n-\ell-1 הוא מספר שלם אי-שלילי, למשוואה זאת פתרונות פולינומיים 
 L^{(2\ell+1)}_{k}(x),\qquad k=0,1,\ldots , 
שהם פולינומי לאגר מוכללים מסדר  k . האנרגיה היא  W = -\frac{1}{2n^2}\quad \text{with}\quad n \equiv k+\ell+1 . 
המספר הקוונטי הראשי  n  מקיים  n \ge \ell+1. מכיוון ש-\alpha = 2/n, פונקציית הגל הרדיאלית היא
{n\ell}(r) \frac{u (r)}{r} = N_{n\ell} \left(\frac{2Zr}{n a_0}\right)^{\ell}\; e^{-{\tfrac{Zr}{n a_0}}}\; L^{(2\ell+1)}_{n-\ell-1}\left(\frac{2Zr}{n a_0}\right),
עם נרמול אשר "בולע" איברים נוספים,
N_{n\ell} = \left[\left(\frac{2Z}{n a_0}\right)^3 \cdot \frac{(n-\ell-1)!}{2n[(n+\ell)!]^3}\right]^{1 \over 2},

## ראו גם
* אטום המימן

## הערות שוליים

קטגוריה:מכניקת הקוונטים