מחלקה מונוטונית

**מחלקה מונוטונית** היא משפחה של קבוצות המקיימת תכונות סגירות מסוימות.

משפט המחלקה המונוטונית קובע קשר בין מחלקות מונוטוניות לבין סיגמא-אלגברות, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט פוביני.

## הגדרה

תהי X קבוצה. משפחה של תתי-קבוצות \mathcal{M} \subset \mathcal{P}(X) נקראת **מחלקה מונוטונית**, אם היא סגורה לאיחוד וחיתוך שרשראות מונוטוניות בנות-מניה, כלומר:
# לכל סדרה \left\{E_i\right\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{M} המקיימת E_1 \subset E_2 \subset E_3 \subset ..., מתקיים כי \bigcup_{i=1}^{\infty}E_i \in \mathcal{M}.
# לכל סדרה \left\{E_i\right\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{M} המקיימת E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset ..., מתקיים כי \bigcap_{i=1}^{\infty}E_i \in \mathcal{M}.

## משפט המחלקה המונוטונית

תהי X קבוצה ותהי P \subset \mathcal{P}(X) משפחה כלשהי של תתי-קבוצות.

נסמן את המחלקה המונוטונית הנוצרת על ידי P להיות \mathcal{C}(P), ונסמן את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי P להיות \sigma(P). לא קשה לראות כי \mathcal{C}(P) היא חיתוך כל המחלקות המונוטוניות המכילות את P וכי \sigma(P) היא חיתוך כל הסיגמא-אלגבראות המכילות את P.

**משפט:** תהי \mathcal{A} אלגברה של קבוצות על קבוצה X (כלומר \mathcal{A} משפחה הסגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים). אזי \mathcal{C}(\mathcal{A})=\sigma(\mathcal{A}).

### הוכחה

ברור שכל סיגמא-אלגברה היא מחלקה מונוטונית, ולכן ודאי \mathcal{C}(\mathcal{A}) \subset \sigma(\mathcal{A}). כדי להראות את ההכלה ההפוכה די להראות כי \mathcal{C}(A) מהווה סיגמא-אלגברה בעצמה.

לא קשה לראות שאם מחלקה מונוטונית היא אלגברה, אז היא גם סיגמא-אלגברה, ולכן די להראות כי \mathcal{C}(A) היא אלגברה. אם כך נראה כי היא סגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים.

תהי E \in \mathcal{C}(A). נגדיר  \mathcal{R}(E) = \left\{F \in \mathcal{C}(\mathcal{A}) |F \cap E, F \cap E^\complement, F^\complement \cap E \in \mathcal{C}(\mathcal{A}) \right\} . לא קשה לראות כי \mathcal{R}(E) מהווה מחלקה מונוטונית וכן כי \emptyset, E \in \mathcal{R}(E) מהיות \mathcal{A} אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי לכל E_1,E_2 \in \mathcal{C}(\mathcal{A}) מתקיים  E_1 \in \mathcal{R}(E_2) \iff E_2 \in \mathcal{R}(E_1).

לכל E \in \mathcal{A}, לכל B \in \mathcal{A} מתקיים כי B \in \mathcal{R}(E) מהיות \mathcal{A} אלגברה. לכן נובע כי \mathcal{A} \subset \mathcal{R}(E). נזכור כי \mathcal{R}(E) מהווה מחלקה מונוטונית, ולכן נסיק כי \mathcal{C}(\mathcal{A}) \subset \mathcal{R}(E).

אם כך לכל F \in \mathcal{C}(\mathcal{A}) מתקיים F \in \mathcal{R}(E), ובאופן שקול E \in \mathcal{R}(F), ולכן נובע כי גם \mathcal{C}(\mathcal{A}) \subset \mathcal{R}(F) לכל F \in \mathcal{R}(E).

אם כך לכל E,F \in \mathcal{C}(\mathcal{A}) מתקיים \mathcal{C}(\mathcal{A}) \subset \mathcal{R}(E), \mathcal{R}(F), כלומר F \cap E, F \cap E^\complement, F^\complement \cap E \in \mathcal{C}(\mathcal{A}), ולכן \mathcal{C}(\mathcal{A}) סגורה למשלים.

לסיום, קל לראות שמחלקה מונוטונית הסגורה למשלים סגורה גם לאיחודים סופיים, ועל כן \mathcal{C}(\mathcal{A}) מהווה אלגברה.

## משפט המחלקה המונוטונית לפונקציות

**משפט:** תהי \mathcal{A} מערכת-π ותהי \Omega קבוצה השייכת ל-\mathcal{A}, ותהי \mathcal{H} משפחה של פונקציות \Omega \to \mathbb{R}, המקיימת את שלוש התכונות הבאות:
# לכל A \in \mathcal{A} מתקיים 1_A \in \mathcal{H}, כאשר 1_A היא הפונקציה המציינת.
# אם f,g \in \mathcal{H} אז f+g \in \mathcal{H} וכן cf \in \mathcal{H} לכל c \in \mathbb{R}.
# לכל סדרה מונוטונית עולה של פונקציות אי-שליליות \left\{f_i\right\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{H} המתכנסת לפונקציה גבולית f, מתקיים f \in \mathcal{H}.

אזי \mathcal{H} מכילה את כל הפונקציות החסומות והמדידות ביחס לסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי \mathcal{A}.

### הוכחה

הוכחה זו מבוססת על משפט π−λ.

ההנחה כי \Omega \in \mathcal{A} יחד עם תכונות 2,3 גוררת כי המשפחה \mathcal{G}=\left\{A | 1_A \in \mathcal{H} \right\} מהווה מערכת-λ.

מתכונה 1 וממשפט π−λ נובע כי \sigma(\mathcal{A}) \subset \mathcal{G}.

תכונה 2 מראה כי \mathcal{H} מכילה את כל הפונקציות הפשוטות, ומתכונה 3 נובע כי היא מכילה את כל הפונקציות המדידות והחסומות, שכן כל פונקציה מדידה וחסומה היא גבול של סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות.

קטגוריה:תורת ההסתברות
קטגוריה:תורת המידה
קטגוריה:משפחות של תת-קבוצות