עקיפת פרנל

שמאל|ממוזער|250px|עקיפה בסדק
**עקיפת פרנל** היא תבנית העקיפה המתקבלת כאשר גל עובר דרך מחסום בעל מפתח, על מסך שניצב בעברו האחר של המחסום במרחק גדול מספיק (אזור הנקרא **השדה הקרוב**). במרחק גדול עוד יותר מתקבלת עקיפת פראונהופר. קרויה על שמו של הפיזיקאי הצרפתי אוגוסטן ז'אן פרנל (Augustin-Jean Fresnel).

## רקע
### רקע היסטורי
תופעת העקיפה החלה להיבחן במאה ה17, על ידי פרנצ'סקו מריה גרימלדי, שטבע את המונח האנגלי **Diffraction** (המגיע מהמילה הלטינית Diffringere, "להישבר לחתיכות", במובן של אור שמתפצל להרבה כיוונים). העבודה של גרימלדי פורסמה לאחר מותו ב-1665.

התקדמות משמעותית נוספת הייתה של ג'יימס גרגורי במאה ה17, שחקר את תבנית העקיפה שנוצרת כתוצאה מפגיעה של גל בנוצת ציפור, מה שהיה למעשה סריג העקיפה האפקטיבי הראשון שנחקר.

לאחר מכן, תומאס יאנג ערך את ניסויו המפורסם "ניסוי שני הסדקים", שבאמצעותו הסיק שאור מתקדם בצורה גלית. 
ולכך הוסיף אוגוסטן ז'אן פרנל כשהמשיך לחקור את תופעת העקיפה של אור, והגיע לתוצאות המאששות את העקיפה כתופעה גלית.

### הקירוב הפראקסיאלי

באופטיקה גאומטרית ה**קירוב הפראקסיאלי** הוא קירוב זוויות קטנות. שימושיו הידועים הם טכניקת ray tracing (מעקב אחר קרני אור במערכת אופטית, כגון עדשה), וכן עקיפת פרנל.

קרן פראקסיאלית היא קרן שהזווית (ברדיאנים) בינה לבין הציר האופטי של המערכת קטנה, כלומר \theta. במקרה זה, מקרבים עבור הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות בהתקדמות הקרן:

\sin\theta \approx \theta

\cos\theta \approx 1

\tan\theta \approx \theta

### רקע פיזיקלי
בעקיפה אנו מתמודדים עם הבעיה של גל מישורי שפוגע במחסום מישורי, ואנו רוצים לדעת כיצד הוא מתקדם במרחב. כדי לענות על זה, נסתכל על משוואת הגלים:

\ \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \psi(t,\vec{r}) = v^2 \ \nabla ^2 \psi(t,\vec{r}) 

זוהי משוואה דיפרנציאלית, שבה:
* \vec{r} הוא המקום במרחב.
* \ t הוא הזמן.
* הפונקציה \ \psi (t,\vec{r}) היא פונקציית הגל, המתארת מהי משרעת הגל בכל נקודה ובכל זמן.
* \ v היא מהירות התקדמות הגל.
* \ \nabla ^2 הוא האופרטור לפלסיאן.

לפי תורת שטורם-ליוביל, ניתן לפתור בעיה זו בהפרדת משתנים. כיוון שנרצה לקדם את הגל במרחב, נפתור רק עבור החלק המרחבי, ונקבל את משוואת הלמהולץ:

\nabla^2 \Phi (\vec{r}) + k^2 \Phi (\vec{r}) = 0

**עקיפת פרנל** עוסקת בפתרון משוואת הלמהולץ עבור גל מונוכרומטי בקירוב הפראקסיאלי.

## פיתוח מתמטי
### מערכות עקיפה
שמאל|ממוזער|250px|מערכות הצירים בניסויי עקיפה. באיור מודגמת פונקציה מעגלית כפונקציית ההעברה של המחסום
תופעת העקיפה מתרחשת כאשר גל מישורי פוגע במחסום מישורי בעל מפתח, שהוא משטח שדרכו ישנה העברה, בעוד בכל שאר המישור אין העברה. מחסום פשוט הוא מחסום בעל מפתח, כך שלאחר המחסום הגל מתאפס למעט באזור המפתח, שם הגל עובר ללא שינוי. נוכל לבטא זאת מתמטית באופן הבא: משרעת הגל לאחר המחסום שווה למכפלת משרעת הגל המישורי שפגע בו בפונקציית ההעברה של המחסום. דוגמה לפונקציית העברה של מחסום כזה היא פונקציית המלבן הדו־ממדית, המתארת מפתח מרובע. מחסומים מורכבים יותר הם כאלה שמכפילים את הגל בהגברים שונים כתלות במיקום על המחסום. הגבר שהוא מספר מרוכב מציין כי בנוסף לשינוי המשרעת, נוסף לגל גם מופע. 

פונקציית ההעברה של המחסום מסומנת \ U(x',y',0), כאשר מערכת הצירים במישור המחסום z=0 מסומנת \ x',y'. כאשר גל בעל פונקציית גל \psi(t,\vec r) פוגע במחסום, הגל שעובר דרך המחסום יהיה U(x',y',0)=\psi(t,\vec r)  U(x',y').  מערכת הצירים על פני מסך מישורי הניצב במרחק z מסומנת x,y והגל הפוגע במסך מסומן \ U(x,y,z).

### פיתוח לפי פתרון ריילי זומרפלד
את תבנית העקיפה הכללית ביותר ניתן לחשב באמצעות פתרון ריילי זומרפלד (על שם הלורד ריילי וארנולד זומרפלד):

U(x,y,z)=\frac1{2\pi} \iint_{-\infty}^{\infty}\tilde{U}(k_x,k_y,0) e^{ikz \sqrt{1-\frac{k_x^2}{k^2} -\frac{k_y^2}{k^2}}} e^{i(k_x x+k_y y)} dk_x dk_y

כאשר \tilde{U} הוא התמרת הפורייה הדו־ממדית של פונקציית הגל ב-z=0.
במילים אחרות, פתרון ריילי זומרפלד סוכם את כל הגלים שמגיעים (בתדרים מרחביים שונים) לפונקציית המחסום, ומקדם אותם במרחב עד למישור z. אינטגרל זה לרוב אינו פתיר אנליטית.
קירוב פרנל למעשה מדבר על הקירוב הפראקסיאלי, והתנאי לקיומו הוא: 
\theta

בקירוב זה, נפתח את התמרת הפורייה של פונקציית הגל לטור טיילור, ונקבל:
e^{ikz\sqrt{1-\frac{k_x^2+k_y^2}{k^2}}}\approx e^{ikz}e^{\frac{-i(k_x^2+k_y^2)z}}

וכשנציב בפתרון הכללי נקבל: 

U(x,y,z)=\frac1{2\pi}\iint_{-\infty}^\infty\tilde{U}(k_x,k_y,0)e^{ikz}e^{\frac{-i(k_x^2+k_y^2)z}}e^{ik_xx+ik_yy}dk_xdk_y

ניזכר כי:  \frac1{2\pi}\mathcal{F}^{-1}[\tilde{U}(k_x,k_y,0)]=U(x,y,0)

כעת, נסתכל על החלק באינטגרנד שהוא לא \tilde{U}

ונשתמש באינטגרל: \int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2+\beta x}dx=\sqrt{\frac\pi\alpha}e^{\frac{\beta^2}{4\alpha}}

ונקבל:

\mathcal{F}_{k_x,k_y}^{-1}\left[\frac{e^{ikz}}{2\pi}e^{\frac{-i(k_x^2+k_y^2)z}{2k}}\right]=\frac{-ike^{ikz}}{2\pi z}e^{\frac{ik(x^2+y^2)}{2z}}=U_{3D}

כאשר U_{3D} היא פונקציה של גל כדורי המתקדם במרחב תלת־ממדי. התוצאה:

U(x,y,z)=\mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[U(x,y,0)]\mathcal{F}[U_{3D}]]=U(x,y,0)*U_{3D}

כאשר המעבר האחרון נובע ממשפט הקונבולוציה. קיבלנו את עקיפת פרנל כקונבולוציה של תבנית הכניסה עם גל כדורי.

שמאל|ממוזער|150px|עקיפה של גל מישורי דו־ממדי דרך סדק יחיד. ניתן לראות כאן הדגמה של עקרון הויגנס פרנל - כל נקודה בחזית הגל מהווה מקור נקודתי של גל כדורי
#### עקרון הויגנס פרנל

עקרון הויגנס פרנל קובע כי ניתן להתייחס לכל נקודה בחזית גל כמקור נקודתי של גל חדש: כל נקודה שמופרעת על ידי מעבר של גל דרכה הופכת למקור של גל כדורי, וההתאבכות של כל הגלים הכדוריים היא הגל הכולל המתקדם במרחב. יש לשים לב כי עקרון הויגנס פרנל תקף רק בקירוב הזוויות הקטנות. אפשר לראות את עקרון הויגנס בא לידי ביטוי בנוסחת הקונבולוציה של עקיפת פרנל.

למעשה, יש שקילות בין עקרון הויגנס ועקיפת פרנל. נראה שקילות זו על ידי פיתוח באמצעות עקרון הויגנס.

### פיתוח לפי עקרון הויגנס
לפי עקרון הויגנס, הקשר בין הגל הפוגע במסך לבין הגל היוצא מהמחסום נתון במערכת צירים קרטזית על ידי:
:U(x,y,z) = \frac{kz}{2 \pi i} \iint_{-\infty}^{\infty} U(x',y') \frac{e^{ik \sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+z^2}}}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+z^2}} dx' dy'
כאשר k מספר הגל והאינטגרל הוא על כל המחסום. קירוב פרנל תקף כאשר מתקיים:
:z^3 >> \frac{k}{8}((x-x')^2+(y-y')^2)^2
בתנאי זה ניתן לקרב את המכנה של האינטגרנד ל-\ z ואת השורש באקספוננט המרוכב לטור טיילור מסדר שני:
:\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+z^2} \approx z(1 + \frac{1}{2} \frac{x-x'}{z}^2 + \frac{1}{2} \frac{y-y'}{z}^2)
לאחר הקירוב מתקבלת תוצאת עקיפת פרנל:
:U(x,y,z) = \frac{k e^{ikz}}{2 \pi iz} \iint_{-\infty}^{\infty} U(x',y') e^{i \frac{k}{2z} ((x-x')^2+(y-y')^2)}dx' dy'

### הצגות נוספות
את עקיפת פרנל ניתן גם להציג בצורה הבאה:
:U(x,y,z) = \frac{k e^{ikz}}{2 \pi iz} e^{i \frac{k}{2z} (x^2+y^2)} \iint_{-\infty}^{\infty} [U(x',y') e^{i \frac{k}{2z} (x'^2+y'^2)}] e^{-i\frac{k}{z} (xx'+yy')}dx' dy'
זאת ניתן לכתוב באמצעות התמרת פורייה עם כיווץ בתדר. התמרת פורייה הדו-ממדית של פונקציה \ g(x,y) מוגדרת:
:G(f_X,f_Y) = \mathcal{F} \left\{ g(x,y) \right\} \equiv \iint_{-\infty}^{\infty} g(x,y) e^{-i 2 \pi (f_X x + f_Y y)} dx dy 
כאשר \ f_X,f_Y הם התדרים המרחביים בכיוונים x,y בהתאמה. מכאן:
:U(x,y,z) = \frac{k e^{ikz}}{2 \pi iz} e^{i \frac{k}{2z} (x^2+y^2)} \cdot \mathcal{F}
\left. \{ U(x',y') e^{i \frac{k}{2z} (x'^2+y'^2)} \} \right|_{f_X = \frac{kx}{2 \pi z}; f_Y = \frac{ky}{2 \pi z}}
ואם נגדיר:
:H(f_X,f_Y) = \mathcal{F} \{ \psi_{3D}(x,y) \}
:G(f_X,f_Y) = \mathcal{F}
 \{ U(x',y') e^{i \frac{k}{2z} (x'^2+y'^2)} \}
אז:
:U(x,y,z) = \left. H(f_X,f_Y) \cdot G(f_X,f_Y) \right|_{f_X = \frac{kx}{2 \pi z}; f_Y = \frac{ky}{2 \pi z}}

## תוצאות של עקיפת פרנל
בהרבה מקרים יומיומיים נתקלים בעקיפת פראונהופר, כי תנאיה מתקיימים והיא יותר נוחה לחישוב. אף על פי כן, ישנן מספר תוצאות מעניינות לחישוב תבנית העקיפה בקירוב פרנל.

### אפקט טלבוט

**אפקט טלבוט** הוא אפקט המתרחש בעקיפה בשדה הקרוב (קירוב פרנל). כאשר גל מישורי מונוכרומטי פוגע בסריג עקיפה מחזורי בגבול השדה הקרוב (עקיפת פרנל), במרחקים מסוימים פונקציית הגל תהיה זהה לפונקציית הסריג (עד כדי הזזת פאזה שנובעת מהתקדמות הגל במרחב). מרחקים אלו נקראים **מרחקי טלבוט**.

### עדשה בקירוב פרנל
נניח גל מונוכרומטי U_0(x',y',0) שפוגע בעדשה מרכזת. נרצה לחשב את השדה במוקד העדשה U(x,y,f). 

תחילה, ניעזר בפונקציית התמסורת של עדשה: t_l=e^{-\frac{ik}{2f}(x^2+y^2)}. נשתמש בקירוב פרנל ונקבל:

U(x,y,f)=\frac{e^{\frac{ik}{2f}(x^2+y^2)}}{i\lambda f}\iint_{-\infty}^{\infty}U_0(x',y',0)[t_l(x',y')e^{\frac{ik}{2f}(x'^2+y'^2)}]e^{-\frac{ik}{f}(xx'+yy')}dx'dy'

נבחין כי t_l(x',y')e^{\frac{ik}{2f}(x'^2+y'^2)}=1, ולכן:

U(x,y,f)=\frac{e^{\frac{ik}{2f}(x^2+y^2)}}{i\lambda f}\iint_{-\infty}^{\infty}U_0e^{-\frac{ik}{f}(xx'+yy')}dx'dy'

כלומר, במרחק המוקד של העדשה, היא מבצעת התמרת פורייה לפונקציית הגל שמגיעה אליה, עם תוספת פאזה. אם המקור נמצא במרחק f לפני העדשה, איבר הפאזה מתבטל ומתקבל טרנספורם פורייה בדיוק. 

עבור עדשה מפזרת, מתקבל טרנספורם פורייה במרחק מוקד מהצד של המקור (מרחק -f).

## ראו גם
*עקיפה
*עקיפת פראונהופר
*עדשת פרנל

## לקריאה נוספת

*Joseph W. Goodman, **Introduction to Fourier Optics**, 2nd edition, McGraw-Hill, 1996, Chapter 4


*Francis A. Jenkins, Harvey E. White, **Fundementals of Optics**, 4th edition, McGraw-Hill, Chapter 18


## קישורים חיצוניים
* יישום ג'אווה היוצר תבניות עקיפת פרנל

## הערות שוליים

קטגוריה:גלים
קטגוריה:אופטיקה