אי-שוויונות עקבה

במתמטיקה, אי שוויונות עקבה הוא שם כולל לאוסף אי-שוויונות העוסקים במטריצות, ולכן גם באופרטורים הליניארים שמייצגות, המוגדרות מעל מרחבי הילברט. אי-שוויונות אלה בפרט מתעסקים בעקבה של מטריצות ומספקים חסמים על העקבה תחת הנחות מסוימות.

העקבה של מטריצה ידועה להיות ערך שאינו תלוי בבחירת הבסיס מה שהופך אותה להיות בעלת חשיבות רבה לחקר אופרטורים (שכן מקודדת בתוכה מידע שאינו תלוי בבסיס הנבחר).
בנוסף לעקבה של מטריצה יש קשר ישיר לספקטרום שלה מהיותה שווה לסכום הערכים העצמיים של המטריצה. תכונות אלה ועוד הופכות את אי-שוויונות העקבה לכלי שימושי וחשוב בחקר אופרטרים ולמידתם. 

אי שוויונות עקבה הם כלי שימושי בתחומים רבים כמו תורת הבקרה, תורת האינפורמציה הקוונטית, מערכות תקשורת ו-פונקציות מטריציאליות.

## הגדרות רלוונטיות
### פונקציות מטריציאליות

נרצה קודם להגדיר היטב הפעלה של פונקציה  f על מטריצה  A. כדי לבצע זו בצורה בעלת עניין נגביל את עצמנו קודם לאוסף המטריצות ההרמטיות החיוביות \mathbf{H}_n, שלפי משפט הפירוק הספקטרלי הן מטריצות לכסינות מה שמאפשר להשתמש בהגדרה הבאה:

יהי f: I \rightarrow \mathbb{R} פונקציה ממשית, אז f(A) (כאשר A
מטריצה הרמטית עם ערכים עצמיים ב-I ו-P_j הטלות למרחבים העצמיים של המטריצה) מוגדר כ:f(A) \equiv \sum_j f(\lambda_j)P_j

### יחס סדר חלקי ומונוטוניות האופרטור

לאורך הערך נניח יחס סדר חלקי על הקבוצה \mathbf{H}_n כך ש A \geq B  גורר שהאופרטור A-B \geq 0
מוגדר חיובית. 

עם הגדרה זו ביד קל להגדיר מונוטניות לפונקציה מטריציאלית f: I \rightarrow \mathbb{R} אם לכל A,B \in \mathbf{H}_n וערכים עצמיים בI ישנה הגרירה: A \geq B \rightarrow f(A) \geq f(B) .

f כזו תיקורא אופרטור מונוטוני. 
אמנם הגדרת המונוטוניות לאופרטורים נראית די שקולה להגדרה עבור פונקציות ממשיות אך ניתן לראות שהיא לפעמים נוגדת את האינטואציה שכן f(A)=A^2
אינו אופרטור מונוטוני.

### אופרטור קמור

פונקציה f: I \rightarrow \mathbb{R} נקראת אופרטור קמור אם לכל A,B \in \mathbf{H}_n עם ערכים עצמים ב- I
, ו-0 התנאי הבא קורה:
f(\lambda A + (1-\lambda)B) \leq \lambda f(A) + (1-\lambda)f(B)

f נקראת אופרטור קעור אם -f אופרטור קמור.

## אי-שוויון גולדן-תומפסון

אי-שוויון גולדן-תומפסון הוכח באופן עצמאי על ידי גולדן (1965) ותומפסון (1965) בהקשר של מכניקה סטטיסטית. 

יהי A,B \in \mathbb{C}^{n \times n} מטריצות הרמטיות אזי מתקיים אי השוויון הבא:

\text{Tr} e^{A+B} \leq \text{Tr} ( e^A e^B )

יש להבחין שהאי-שוויון מוגדר היטב שכן שני הביטויים מובטחים להיות מספרים ממשיים. עבור צד שמאל קל לראות זאת שכן A,B הרמטיות ולכן האלכסון שלהם ממשי, עבור צד ימין ניתן להשתמש בעובדה שעבור מכפלה של 3 מטריצות סימטריות העקבה אינווריאנטית לפרמוטציות ולכן:

\text{Tr} ( e^{A}e^{B}) = \text{Tr} ( e^{A/2} e^{A/2} e^{B}) = \text{Tr}(e^{A/2} e^{B}e^{A/2})

וקיבלנו שהביטוי בתוך העקבה הוא הרמטי שכן A,B הרמטיות ובנוסף e^{A^{*}}=(e^{A})^{*} . 

דרך נוספת לתיאור האי-שוויון היא בעזרת נורמת פרובניוס שמוגדרת להיות:
\Vert A \Vert _{F} = \sqrt{\text{Tr} (A^{*}A)} ואז אי-שוויון גולדן תומפסון שקול ל:

\Vert e^{A+B} \Vert _{F} \leq \Vert e^{A} e^{B} \Vert _{F}

דבר מפתיע באי שוויון זה שאין שום הנחה על קומוטטיביות של המטריצות. עבור מטריצות הרמטיות וקומוטטיביות מתקיים שוויון e^{A+B} = e^A e^B, גולדן-תומפסון מראה שאם מורידים את דרישת הקומוטטיביות עדיין יש קשר בין שני ערכים אלה. 

ההוכחה היא יישום של רעיון כללי יותר להוכחות אי-שוויונות בשם "טריק חזקות הטנזורים". בגישה זו רוצים להוכיח X \leq Y
 עבור X,Y
 אי-שלילים אך יודעים רק להוכיח אי שוויונות חלשים יותר מהצורה X \leq CY עד לכדי גורם כפלי C כלשהו. מפה הרעיון הוא להחליף את כל האובייקטים באי השוויון בחזקות של עצמם כדי להגיע לצורה של: X^M \leq  C Y^M כאשר C אינו תלוי בM. לאחר מכן מפעילים גבול כאשר M \rightarrow \infty על X \leq C^{\frac{1}{M}}Y כדי להגיע לאי השוויון הנדרש. 

### שימושים של אי-שוויון גולדן-תומפסון בהסתברות רב ממדית

אי שוויונות ריכוז בהסתברות הן אי שוויונות המתעסקים בסטייה של התפלגות מהתוחלת. אי שוויונות אלה בעלי חשיבות גבוהה שכן הם באים לכמת את משפט הגבול המרכזי ומספקים הבנה על קצב ההתכנסות דבר שחשוב ביישומים פרקטים. שיטה שימושית לגזור תוצאות אלה היא בעזרת פונקציה יוצרת מומנטים של המשתנה המקרי. גולדן-תומפסון בעצם מאפשר להרחיב את שיטה זו למטריצות.

דוגמה שתמחיש את רעיון היא אי-שוויון צ'רנוף: יהי X_1,  \dots , X_n  משתנים מקריים סקלרים המתפלגים בהתפלגות זהה באופן בלתי תלוי עם ערכים ב[-1,1]
 עם תוחלת 0 ושונות \sigma ^ 2/N אזי:

P(X_1 + \dots + X_N \geq \lambda \sigma ) \leq \max\{e^{-\lambda^2/4},e^{-\lambda \sigma /2}\}

עבור \lambda > 0
.  הצעד הראשון בהוכחה הוא שימוש באי-שוויון מרקוב על מנת לקבל:

P(X_1 + \dots + X_N \geq \lambda \sigma ) \leq e^{-t \lambda \sigma } \mathbf{E} [ e^{t(X_1 + \dots + X_N )}] כאשר t>0 הוא פרמטר כלשהו שיש בחירה עליו. פה בעצם מגיע החלק שאי שוויון גולדן-תומפסון חשוב. 

במקרה של משתנים מקריים סקאלרים ניתן לפרק את e^{t(X_1 + \dots + X_n)} למכפלה של e^{tX_1},\dots , e^{tX_N} ובגלל ההנחה שהמשתנים בלתי תלויים ניתן לפרק את כל הביטוי שבצד ימין למעלה ל: e^{-t\lambda \sigma} (\mathbf{E}[e^tX])^N ולגזור חסם על הפונקציה היוצרת מומנטים. 

כאשר רוצים להרחיב את התוצאה הזו למטריצות הרמטיות אם אין את הנחת הקומוטטיביות האקסופננט לא מתפרק באופן דומה. לכן במקום זאת חוסמים ביטוי מהצורה \mathbf{E}[\text{Tr}(e^{t(X_1+\dots + X_N)})] בעזרת גולדן-תומפסון ומקבלים:
\mathbf{E}[\text{Tr}(e^{t(X_1+\dots + X_{N-1})} e^{tX_N}) ] 

מהנחת האי-תלות ניתן לפרק את הביטוי ל:

\text{Tr}( \mathbf{E}(e^{t(X_1 + \dots + X_{N-1})})\mathbf{E}(e^{tX_N}))

על ידי שימוש בהנחה שהמטריצות חיוביות ובאבחנה ש \text{Tr}(AB) = \langle A, B \rangle _{F}  ניתן להפעיל אי שוויון קושי שוורץ ולקבל חסם מהצורה:

\Vert \mathbf{E}(e^{tX_n} )\Vert _{\text{F}} \text{Tr}(\mathbf{E}e^{t(X_1 + \dots + X_{N-1})})

על ידי הפעלה חוזרת של שלב זה ניתן לקבל את אי השוויון הנדרש:

\mathbf{E}(\text{Tr} e^{t(X_1 + \dots + X_N)}) \leq \Vert \mathbf{E} e^{tX} \Vert_{F}^N

ומפה ההוכחה כבר זהה למקרה הסקאלרי (חסימת הפונקציה היוצרת מומנטים). כלומר גולדן-תומפסון מאפשר להתמודד עם חיסרון הקומוטטיביות כדי לפרק את האקספוננט.

## אי-שוויון העקבה של פון נוימן

יהי A,B \in \mathbb{C}^{n \times n} מטריצות מרוכבות עם ערכים סינגולרים \alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \dots  \geq  \alpha_n  ו- \beta_1 \geq \beta_2 \dots \geq \beta_n  בהתאמה. אז מתקיים: 

|\text{Tr}(AB)| \leq \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i

כאשר שוויון קורה אם ורק אם A,B בעלי ערכים סינגולרים זהים. אי שוויון זה נקרא אחר ג'ון פון נוימן שהוכיח אותו ב-1937. 

## אי שוויונות עקבה נוספים

### אי שוויון קליין

יהי A,B  מטריצות הרמטיות ו-f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}  פונקציה קמורה עם נגזרת f'  אז: 

\text{Tr}(f(A) - f(B) - (A-B) f'(B)) \geq 0 

ניסוח נוסף מניח כי A,B  הרמטיות חיוביות בהחלט ו-f: (0,\infty) \rightarrow \mathbb{R} . 
בשני הניסוחים אם f  קמורה במובן החזק אז שוויון קורה אם ורק אם A=B. 

### הכללות אי-שוויון ינסן

#### אי-שוויון יינסן לעקבה
יהי f: I \rightarrow \mathbb{R}  פונקציה רציפה ו- m,n  מספרים טבעיים. אם f  קמורה אז:

\text{Tr} \left( f\left( \sum_{k=1}^n A_k^* X_k A_k \right) \right) \leq \text{Tr} \left( \sum_{k=1}^n A_k^* f(X_k) A_k \right) 

לכל X_1, \dots, X_n  מטריצות הרמטיות מסדר m \times m  עם \text{Spec} (A_k) \subset I  (כלומר הספקטרום שלהן מוכל ב-I) ולכל A_1, \dots, A_n  מטריצות מסדר m \times m שמקיימות 
\sum_{k=1}^n A_k^* A_k = 1

בכיוון ההפוך, אם האי שוויון מתקייים עבור n,m  טבעיים ו n>1 אז f קמורה. 

#### אי-שוויון יינסן לאופרטורים

עבור f: I \rightarrow \mathbb{R}  רציפה התנאים הבאים שקולים: 

* f אופרטור קמור 
* לכל מספר טבעי n מתקיים האי שוויון: 
f \left( \sum_{k=1}^n A_k^* X_k A_k \right) \leq \sum_{k=1}^n A_k^* f(X_k) A_K  
לכל X_1, \dots , X_n  אופרטורים חסומים והרמטים המוגדרים על מרחב הילברט \mathcal{H}  וספקטרום שמוכל ב-I ולכל A_1, \dots, A_n  על \mathcal{H}  עם \sum_{k=1}^n A_k^* A_k = 1 
* f(V^* X V) \leq V^* f(X) V  לכל איזומטריה V המוגדרת על מרחב הילברט \mathcal{H}  ממימד אינסופי ולכל אופרטור הרמטי X  עם ספקטרום ב-I.
* Pf(PXP + \lambda(1-P))P \leq Pf(X) P לכל הטלה P
 על מרחב הילברט אין סוף ממדי \mathcal{H}, לכל אופרטור הרמטי X עם ספקטרום שמוכל ב-I ו\lambda \in I .

## מקורות

* 
* R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer (1997)
* 
* 
* 
* 


## הערות שוליים

עקבה