משחק האולטימטום

**משחק האולטימטום** (נקרא גם **התראה**) הוא משחק, המשמש רבות בשדות המחקר כלכלה התנהגותית, תורת המשחקים ופסיכולוגיה קבלת החלטות. בצורתו הקלאסית של משחק זה שני צדדים שאינם מכירים אחד את השני משחקים פעם אחת בלבד (כך שאין אפשרות לתגמול). השחקן הראשון מציע דרך לחלוקת סכום כסף מסוים עם השחקן השני. בפני השחקן השני עומדות שתי אופציות: הסכמה או סירוב. אם יסכים - תבוצע הצעת השחקן הראשון. אם יסרב - שני השחקנים לא יקבלו דבר.

## ניתוח מתמטי של המשחק
באמצעות כלים מתורת המשחקים ניתן להסיק מה האסטרטגיה שבה לכל אחד מהשחקנים יהיה כדאי להתמקד במצבו. נקודה זו נקראת נקודת שיווי משקל פרפקטי.

### מציאת שיווי המשקל הפרפקטי
נניח, לצורך העניין, כי המינימום שניתן להציע לשני הוא שקל אחד מתוך סכום כסף של 100 שקלים. ננתח את האופציות העומדות בפני שני השחקנים:

השחקן הראשון יכול להציע את ההצעות האפשריות, כלומר כל המספרים בין ₪1.00 ל-₪100.00. לעומתו, השחקן השני הן כל הפונקציות המקבלות הצעה ומחזירות "מסכים" או "מסרב".

נניח שהשחקן הראשון הציע לשחקן השני \ a שקלים מתוך סך הכסף \ x. אם השחקן השני יסכים להצעה - השחקן הראשון יקבל \ x-a שקלים, והשחקן השני יקבל \ a שקלים. אם יסרב- שני השחקנים לא יקבלו דבר.

כדי לפתור את שיווי המשקל הפרפקטי, יש לפתור לאחור (מהסוף להתחלה). כל הצעה מהשחקן הראשון בעצם פותחת תת-משחק אחר, המאופיין על ידי הסכום המוצע.

כל אחד מתתי-המשחק מכיל רק שחקן אחד - המקבל, ויש לו שתי אסטרטגיות: להסכים או לסרב. אם יסכים - התשלום של השחקן המקבל הוא הסכום המוצע. אם יסרב - התשלום שלו יהיה ₪0. לכן, בכל אחד מתתי-המשחקים בהם מוצע סכום חיובי ממש, שיווי המשקל היחיד הוא זה בו המקבל בוחר "לקבל". אם יסרב - יָרֵעַ את מצבו לעומת בחירה בקבלה. כעת, כשהשחקן המציע יודע כיצד יסתיים כל אחד מתתי-המשחקים - כולם יסתיימו בקבלה, שיווי המשקל היחיד הוא זה בו הוא מציע את הסכום המינימלי (₪1.00, במקרה הזה). כל סכום גבוה יותר יביא לתשלום נמוך יותר מבחינתו של המציע. התשלום של המציע הוא \ x-a שקלים, והוא פוחת ככל שההצעה "\ a" עולה.

#### הפרדה מניתוח שיווי משקל נאש
יש להבדיל את ניתוח שיווי המשקל של נאש (Nash Equilibrium) מניתוח שיווי המשקל הפרפקטי (Subgame Perfect Equilibrium). בעוד שהאחרון הוא מושג הלוקח בחשבון כיצד המשחק מתפתח - תחילה המציע בוחר סכום ורק אז המקבל, היודע את הסכום המוצע, מחליט אם לקבל או לא - הראשון לוקח בחשבון אך ורק את האסטרטגיות, ומתעלם משלבי המשחק. כל מה ששיווי משקל נאש מצריך הוא זיווג של אסטרטגיות (אחת של המציע ואחת של המקבל), כך שבהינתן האסטרטגיה של צד אחד, לצד האחר אין אינטרס לסטות ולהציע אסטרטגיה אחרת מזו של שיווי המשקל.

במשחק זה ישנן מספר נקודות שיוויי המשקל נאש. לדוגמה, ניקח את זיווג האסטרטגיות הבא: המקבל מסכים אך ורק לסכום 50 ומסרב לכל סכום אחר. המציע מציע את הסכום 50. זהו שיווי משקל נאש! בהינתן האסטרטגיה של המציע, אין למקבל אינטרס לבחור אסטרטגיה אחרת. הוא אינו יכול לשפר את מצבו על ידי אסטרטגיה אחרת. הוא יכול לבחור אסטרטגיה אחרת שתרע את מצבו (כזו שבה הוא מסרב לסכום 50), או אסטרטגיה אחרת, שאינה משנה את תשלומו (כזו שבה הוא מסכים לסכום 50 או לסכום 300, ומסרב לכל סכום אחר). כמו כן, אם נקבע את האסטרטגיה של המקבל, למציע אין אסטרטגיה שיכולה להשיג לו יותר מ-50. אם יציע 1 - המקבל יסרב להצעה, מכיוון שקיבענו את האסטרטגיה של המקבל.

ניתן להבחין בחוסר יכולתו של שיווי משקל נאש לתת ביטוי לדינמיות של המשחק. במקרה של משחק ההתראה, מושג שיווי המשקל הפרפקטי מאפשר לפתור את המשחק בצורה הגיונית יותר – בהנחה שמטרתם היחידה של השחקנים היא לקבל את התשלום הגבוה ביותר.

## משחק האולטימטום במחקרים התנהגותיים
מאות משחקים ששוחקו ברחבי העולם הראו שמציעים נוטים להציע הצעות חיוביות, כאלה המתקבלות על המגיבים ומגיבים נוטים לדחות הצעות נמוכות.
### השפעת אנונימיות ויחסי חברות בין משתתפי המשחק
ממוזער|גל ההפרש (משמאל; צבע ירוק עבור הצעה הוגנת ואדום עבור הצעה לא הוגנת, אפור עבור ההפרש ביניהם), ומפות טופוגרפיית של התפלגות הפוטנציאלים על הקרקפת (בימין; אדום פוטנציאל חיובי, כחול פוטנציאל שלילי) של אות הקשור לעיבוד מרחק חברתי. חלון הזמן המודגש בגרף בצהוב הוא חלון הזמן האופייני לגל ה-FN והוא גם טווח הזמנים שמוצגים בו המפות הטופוגרפיות. ב-A וב-B מוצגות התוצאות עבור מציע בעל יחסי חברות; ב-C וב-D מוצגות תוצאות עבור מציע זר. מתוך:|492x492 פיקסלים
במחקר שבוצע בשנת 2015 נמצא כי כאשר המשתתפים אנונימיים או לחלופין אינם נמצאים ביחסי חברות, המשתתף השני דוחה הצעות ביתר קלות. ברמה המוחית נמצא כי רמת הקרבה החברתית בין המשתתפים, המתבטאת ביחסי חברות של המקבל עם המציע, מתבטאת בגובהו של אות עצבי בשם feedback negativity או בקיצור FN. נמצא כי כאשר הציע זר הצעה שאינה הוגנת, הפוטנציאל החשמלי של אות זהכפי שנמדד באמצעות מכשיר EEG על קרקפת מקבל ההצעה, היה יותר שלילי בהשוואה להצעה הוגנת. מנגד כאשר המציע היה חבר, המגמה שנצפתה הייתה הפוכה. עוד נמצא כי זהות המציע מעובדת טיפה יותר מאוחר, ומזוהה עם שוני בהופעת סיגנל בשם P300. סיגנל זה הגיע לפוטנציאל חיובי יותר עבור הצעה הוגנת של אנונימי, אל מול הצעה הוגנת של משתתף שזהותו ידועה.

### תאוריית האדם הרציונלי
תוצאות אלה מאתגרות את התפיסה המסורתית של המודל הכלכלי "Homo economicus" ("האדם הרציונלי") לפיו תהליך קבלת ההחלטות של הפרט נובע משיקולים רציונליים גרידא של מקסום רווח וצמצום הפסד, ומוכיחות שהוגנות היא מרכיב מובנה בהליך קבלת ההחלטות של הפרט וקיים משקל לרווח ולאי הפסד לא מוחשיים.

#### פרשנות
אפשר להסביר את התוצאות בדרכים שונות, אבל כל הדרכים מובילות לכך, שהתאור של "האדם הכלכלי" אינו מדויק, והתאוריה הכלכלית הנאו-קלאסית נמצאת בבעיה בהקשרים של יעילות פארטו של השוק.
# פרשנות אחת היא שיש ערך לנורמות של הגינות בחברה, וכי אנשים שמשחקים במשחק זה רוצים להרגיש הוגנים. מכאן, שבחברה שבה ההגינות נפגעת, יש הפסד לרווחה של השחקנים. הסכמה לחלוקה והצעת החלוקה היא דבר שמשתנה על פני ארצות ותרבויות שונות, ועל פני אנשים עם השכלה בכלכלה (כלכלנים נוטים יותר להציע ולקבל חלוקה "רציונלית").
# פרשנות אחרת ודומה היא שאנשים לא רוצים להרגיש "פראיירים". בטבע ובחברה, המשחקים כן חוזרים ויש תגמול פעמים רבות, ולכן, יש חשיבות למתן תגמול שלילי לאדם שמנצל מישהו אחר באופן לא הוגן. השחקן הראשון יודע, שהצעה לא הוגנת מצדו תיתקל בסירוב (בגלל ניסיונו בחברה), ולכן, הוא מספק הצעה הוגנת.
# אפשרות נוספת היא שהשיפוט לגבי המצב העצמי מושפע לא רק מהמצב המוחלט ('כמה כסף היה לי מול כמה יהיה לי') אלא מהשוואת מצב האדם כלפי אחרים ("השחקן השני הרוויח הרבה ואילו אני הרווחתי מעט – ולכן, למעשה הפסדתי").
# עוד אפשרות היא שהאדם הראשון לא בטוח לגבי מערכת השיקולים של האדם השני ('אני הייתי מקבל הצעה כזו, אבל אולי הוא לא יקבל'). הסבר כזה לא מסביר בפני עצמו מדוע השחקן השני לא יקבל את ההצעה, אבל נותן שולי טעות, שבה האדם הראשון ירצה לרצות את האדם השני (ולכן ייתן לו הצעה נדיבה יותר ממה שהיה נותן לאדם שהוא בטוח בערכיו).
כל האפשרויות הללו לא עומדות בקנה אחד עם התאוריה של האדם הכלכלי הנאו-קלאסי. אם הוא אכן רציונלי, ולא אכפת לו מרגשות, עדיין מושגים כמו הגינות או חוסר הרצון להיתפס כ"פראייר" לא אמורים להוות שיקול אצל האדם הכלכלי, ושילוב של אחד ההסברים האפשריים להתנהגות בפועל היה מניב ניתוח כלכלי שונה מאשר המקובל.

לדוגמה, צורות מסוימות של חלוקה, שלכאורה הן בעלות יעילות פארטו, אינן כאלה, משום שהן גורמות לפגיעה באוכלוסיות ש"נדפקו" (במונחים של משחק האולטימטום) – גם אם הן מקבלות סכום חיובי קטן של כסף, בעקבות החלוקה היעילה פארטו (במונחים כספיים), בפועל תהיה פגיעה ברווחה.

## לקריאה נוספת
יבניאלי ט'. (2016), **[https://in.bgu.ac.il/fom/ictr/Documents/researchers/%D7%98%D7%9C%D7%99%20%D7%99%D7%91%D7%A0%D7%90%D7%9C%D7%99%20-%D7%93%D7%95%D7%97%20%D7%94%D7%9E%D7%9B%D7%95%D7%9F%20%D7%9C%D7%97%D7%A7%D7%A8%20%D7%94%D7%9E%D7%92%D7%96%D7%A8%20%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%99%D7%A9%D7%99.pdf הוגנות ונדבנות בחלוקת הפסדים - ניתוח באמצעות משחק האולטימטום]**, חיבור לשם קבלת תואר מוסמך, אוניברסיטת בן-גוריון.

חפץ א'. (2014), **חשיבה אסטרטגית - תורת המשחקים ושימושיה בכלכלה ובניהול**, הוצאת האוניברסיטה הפתוחה: רעננה. עמודים 452-456.

בורק י'. **[https://alaxon.co.il/authors/ משחקי אמון]**, פורסם בכתב העת הדיגיטלי אלכסון ב-12 במרץ 2015.

## קישורים חיצוניים

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת המשחקים
קטגוריה:קבלת החלטות