משפט הגבול של פואסון

[250px|ממוזער|השוואת התפלגות בינומית להתפלגות פואסון ([תוחלת 5). העמודות השחורות מייצגות התפלגות פואסון עם  \lambda=5 , והקווים הצבעוניים מראים התפלגות בינומית עם  n=10  (אדום),  n=20  (כחול) ו- n=1000  (ירוק) כך שבכל המקרים  \lambda=np=5 . ניתן לראות שככל ש- n  גדל (והסתברות ההצלחה  p  קטנה בהתאם), ההתפלגות הבינומית מתקרבת לצורת התפלגות פואסון.]]

**משפט הגבול של פואסון** (לעיתים נקרא גם "**חוק האירועים הנדירים**") הוא משפט מרכזי בתורת ההסתברות, הקובע כי בהינתן מספר רב של ניסויים בלתי-תלויים בעלי הסתברות הצלחה קטנה בכל ניסוי, התפלגות פואסון מהווה קירוב מוצלח להתפלגות בינומית
. המשפט מתאר כיצד ניתן להבין אירועים נדירים באמצעות חלוקה של הזמן או המרחב לאינטרוולים קטנים מאוד, כך שההסתברות ששני אירועים יתרחשו באותו אינטרוול היא זניחה. כאשר מספר האינטרוולים גדול מאוד, מספר האירועים הכולל יתפלג בקירוב כהתפלגות פואסון.

באופן פורמלי, אם נסמן את מספר האירועים הכולל באינטרוול כולו כ- \lambda , ניתן לחלק את האינטרוול ל- n  תתי-אינטרוולים קטנים בגודל שווה, כך ש- n > \lambda  (על מנת להבטיח שהתתי-אינטרוולים יהיו קטנים מספיק). בהינתן שההסתברות להתרחשות אירוע בכל תת-אינטרוול היא  \lambda/n , ניתן לדמות את התהליך כסדרת ניסויי ברנולי, שבהם כל תת-אינטרוול נחשב לניסוי שבו האירוע מתרחש בהסתברות  \lambda/n . לכן, מספר האירועים הכולל נוטה להתפלגות בינומית  \text{Bin}(n, \lambda/n) . כאשר לוקחים את הגבול  n \to \infty , ההתפלגות הבינומית מתכנסת להתפלגות פואסון  \text{Pois}(\lambda) .

למעשה, התפלגות פואסון מהווה קירוב להתפלגות הבינומית  \text{Bin}(n,p)  כאשר  n  גדול ו- p  קטן כך ש- np  נשאר קבוע. קירוב זה מועיל במיוחד כאשר נדרשת הערכת ההסתברויות ללא חישוב ישיר של המקדם הבינומי. במובן זה, משפט הגבול של פואסון מראה כיצד להתפלגות הבינומית יש "גבול פואסוני" בתרחישים של אירועים נדירים, ומהווה מקרה פרטי של הכללה רחבה יותר, כמו **משפט לה קאם**, המאפשר לכל אחד מהניסויים להיות בעל הסתברות הצלחה שונה, כל עוד סכום ההסתברויות נותר קבוע.

## ניסוח פורמלי והוכחה

תהי  p_n  סדרה של מספרים בקטע  [0,1]  כך ש- n p_n \to \lambda  כאשר  0 \leq \lambda . נגדיר  X_n \sim \text{Bin}(n, p_n)  (כלומר  X_n  מתפלג בינומית עם  n  ניסויים והסתברות הצלחה  p_n  בכל ניסוי). אזי לפי משפט הגבול של פואסון, לכל  k \in \{0,1,2,\dots\}  מתקיים:

 \lim_{n\to\infty} \Pr(X_n = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} 

כלומר  X_n  שואף בהתפלגותו להתפלגות פואסון עם הפרמטר  \lambda . באופן שקול, ההתפלגות הבינומית  \text{Bin}(n,p_n)  מתכנסת להתפלגות  \text{Pois}(\lambda)  כאשר  n\to\infty  (במובן של התכנסות נקודתית של פונקציות הסתברות).

**הוכחה:** עבור  k  קבוע, נניח  \lambda>0  (המקרה  \lambda=0  טריוויאלי, שכן אם  n p_n \to 0  אז עבור  n  גדול מספיק  p_n  קטן מאוד כך ש- X_n=0  בהסתברות כמעט 1, בדומה להתפלגות פואסון עם  \lambda=0 ). מקבלים:


\begin{align}
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{n \choose k} p_n^k (1-p_n)^{n-k} &= \lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!} \left(\frac{\lambda}{n}(1+o(1))\right)^k \left(1- \frac{\lambda}{n}(1+o(1))\right)^{n-k} \\
&= \lim_{n\to\infty}\frac{n^k+O\left(n^{k-1}\right)}{k!} \frac{\lambda^k}{n^k} \left(1- \frac{\lambda}{n}(1+o(1))\right)^{n} \left(1- \frac{\lambda}{n}(1+o(1))\right)^{-k}\\
&= \lim_{n\to\infty}\frac{\lambda^k}{k!} \left(1-\frac{\lambda}{n}(1+o(1))\right)^{n}.
\end{align}


מאחר ש:

 \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{\lambda}{n}(1+o(1))\right)^{n} = e^{-\lambda} 

נובע כי:

 {n \choose k}p^k (1-p)^{n-k} \simeq \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} 

שהוא בדיוק מקדם ההסתברות של  \text{Pois}(\lambda) , כנדרש.
## דוגמאות ליישומים

משפט הגבול של פואסון מספק בסיס תאורטי למודלים של ספירת אירועים נדירים בתחומים רבים בסטטיסטיקה ובפיזיקה. לדוגמה:
* מספר הזוכים בהגרלת לוטו כאשר ההסתברות לזכייה בודדת נמוכה מאוד.
* מספר ההתפרקויות של אטומים רדיואקטיביים בפרק זמן קצר.
* מספר שיחות הטלפון הנכנסות למוקד שירות בפרק זמן נתון.
* מספר שגיאות הדפוס בדף מודפס (כאשר כל מילה מוגהה בהסתברות גבוהה).
* מספר מוטציות בקטע DNA בעקבות חשיפה לקרינה.

דוגמה היסטורית מפורסמת היא הניתוח של הסטטיסטיקאי לדיסלאוס בורטקיביץ, שהראה כי מספר החיילים בצבא הפרוסי שנהרגו מבעיטת סוסים בשנה מסוימת מתאים מאוד להתפלגות פואסון.

## קשר למשפטים דומים

משפט הגבול של פואסון קשור למספר משפטי גבול בתורת ההסתברות:
### הקשר למשפט הגבול המרכזי
בעוד שמשפט הגבול של פואסון מתאר מצב מסוים בו ההתכנסות היא להתפלגות פואסון, **[[משפט הגבול המרכזי]]** (CLT) מאפשר לנו לנתח מצב בו התנאים מעט שונים ולכן ההתכנסות הינה להתפלגות נורמלית: כאשר מספר הניסויים  n  גדל וההסתברות  p  נותרת קבועה (בניגוד לתנאי משפט הגבול של פואסון), כך שהתוחלת  np  גדלה ללא גבול, נקבל ממשפט הגבול המרכזי שההתפלגות הבינומית  \text{Bin}(n,p)  מתקרבת להתפלגות נורמלית בעלת תוחלת  np  ושונות  np(1-p) . מצב זה מכונה לעיתים "משטר תוחלת גדלה", ובו מספר ההצלחות הצפוי הוא בסדר גודל גדול (ככל ש- n  גדול). זוהי למעשה התוצאה שמתוארת על ידי משפט דה מואבר-לפלס.

### הקשר למשפט לה קאם
מאחר שניתן לראות בכל התפלגות בינומית  \text{Bin}(n,p)  כסכום של n התפלגויות ברנולי בלתי תלויות שלכולן אותה הסתברות p, נקבל שהנחה מרכזית במשפט הגבול של פואסון, אם נסתכל עליו כעל משפט שמתייחס לסכום של התפלגויות ברנולי, היא שכל משתני הברנולי  הם בעלי אותה הסתברות הצלחה. משפט לה קאם מרחיב את משפט הגבול של פואסון בכך שהוא מאפשר הסתברויות הצלחה שונות בין המשתנים. אם נתון רצף של משתני ברנולי בלתי-תלויים עם הסתברויות  p_1, p_2, \dots, p_n , והתוחלת הכוללת  \sum p_i  שואפת לערך קבוע  \lambda , אז סכום המשתנים מתפלג בקירוב כהתפלגות פואסון  \text{Pois}(\lambda) .

משפט הגבול של פואסון מתקבל כמקרה פרטי של משפט לה קאם כאשר לכל המשתנים יש אותה הסתברות הצלחה  p_i = p , כך ש- \sum p_i = np . אם  p  קטן מאוד ו- np \to \lambda  כאשר  n \to \infty , ממשפט לה קאם התפלגות סכום המשתנים מתכנסת להתפלגות פואסון  \text{Pois}(\lambda) . בפרט, במקרה בו כל המשתנים חולקים את אותה הסתברות  p , סכום המשתנים מתפלג בדיוק כהתפלגות בינומית  \text{Bin}(n,p) , ולכן משפט לה קאם מחזיר אותנו למשפט הגבול של פואסון.

## ראו גם
* התפלגות פואסון  
* התפלגות בינומית  
* משפט הגבול המרכזי  
* תהליך פואסון  

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:הוכחות
קטגוריה:משפטים בתורת ההסתברות