מרחב Lp

באנליזה מתמטית, **מרחבי L<sup>''p''</sup>** הם מרחבי פונקציות על מרחב מידה, המוגדרים על ידי הכללה טבעית של נורמות-p של מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים. הם מהווים מחלקה חשובה של דוגמאות למרחבי בנך ולמרחבים וקטוריים טופולוגיים. יש להם שימושים בפיזיקה, סטטיסטיקה, כלכלה, הנדסה ובתחומים אחרים. לעיתים הם קרויים **מרחבי לבג**, על שמו של אנרי לבג.

## מרחבי l<sup>p</sup><sub>n</sub> מממד סופי

הנורמה האוקלידית על המרחב האוקלידי \mathbb{R}^n היא זו המושרית מן המכפלה הפנימית הסטנדרטית: האורך של וקטור x=\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right) נתון על ידי \|x\|_2=\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)^{1/2}.

אך זוהי בהחלט לא הדרך היחידה להגדיר 'אורך' ב-\mathbb{R}^n. אם p \ge 1 הוא מספר ממשי, נגדיר את נורמת {\ell}^p של וקטור x להיות

:\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p\right)^{1/p}

(ולכן נורמת {\ell}^2_n היא הנורמה האוקלידית המוכרת, בעוד שהמרחק בנורמת {\ell}^1_n ידוע בתור מטריקת מנהטן).

ניתן גם להגדיר נורמה ל-p = \infty על ידי

:\|x\|_\infty=\max \left\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_n|\right\}

למעשה מתקיים \left\Vert x\right\Vert _{\infty}=\lim_{p\to\infty}\left\Vert x\right\Vert _{p} ולכן מקובל סימון זה. נורמה זו ידועה בשמות נורמת הסופרמום, נורמת המקסימום או נורמת התכנסות במידה שווה.

לכל p \ge 1 ההגדרות לעיל מקיימות את התכונות של  נורמה. מפורשות:

* **חיוביות** - ||x||_p \ge 0  ו-||x||_p=0 אם ורק אם x=0,
* **[[פונקציה הומוגנית|הומוגניות]] חיובית** - ||c \cdot x||_p=|c| \cdot ||x||_p, ו-
* **[[אי-שוויון המשולש]]** (ובמקרה פרטי זה קרוי גם אי-שוויון מינקובסקי) - ||x+y||_p \le ||x||_p + ||y||_p.

יתרה מזאת, לכל p \ge 1,\mathbb{R}^n יחד עם נורמת {\ell}^p (או פשוט נורמת-p) מהווה מרחב בנך, כלומר הנורמה שלמה. מרחב זה מסומן לעיתים על ידי \ell_{n}^{p}.

לעיתים מגדירים את \ell_{n}^{p} להיות המרחב הווקטורי \mathbb{C}^{n} מעל שדה המספרים המרוכבים. ההגדרות הן כלעיל (הפעם הערך המוחלט הוא מרוכב), והתכונות הן אותן תכונות (בפרט, מתקבל מרחב בנך).

### p בין 0 ל-1

ב-\mathbb{R}^n כאשר n>1, הנוסחה

:\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p\right)^{1/p}

מגדירה מספר ממשי אי-שלילי אם 0 , אבל ההעתקה המתקבלת x\mapsto\left\Vert x\right\Vert _{p} איננה נורמה, מכיוון שהיא לא מקיימת את אי-שוויון המשולש. למרות זאת, הפונקציה

:d_{p}\left(x,y\right)=\left\Vert x-y\right\Vert _{p}^{p}=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}

היא מטריקה. בדומה למקרה p \ge 1, נהוג לסמן את המרחב המטרי \left(\mathbb{R}^{n},d_{p}\right) ב-\ell_{n}^{p} וגם אותו ניתן להגדיר בדומה מעל המרוכבים.

אף על פי שכדור היחידה במטריקה d_p, המסומן B_n^p, הוא "קעור" (קרי, לא קמור), הטופולוגיה המושרית על \mathbb{R}^n על ידה היא הטופולוגיה הסטנדרטית על \mathbb{R}^n ולכן \ell_{n}^{p} הוא מרחב וקטורי טופולוגי קמור מקומית. מעבר לטענה איכותית זו, דרך כמותית למדוד את חוסר הקמירות של \ell_{n}^{p} היא להתבונן ב-C_{p}\left(n\right), הקבוע הקטן ביותר C שעבורו הניפוח C\cdot B_{n}^{p} של כדור היחידה בנורמת-p מכיל את הקמור של B_n^p (שהוא למעשה B_n^1 לכל 0). מסתבר שמתקיים C_{p}\left(n\right)=n^{-1+1/p} לכל n טבעי. העובדה שערך זה שואף לאינסוף כאשר n \to \infty (עבור 0 קבוע) משקפת את העובדה שמרחב הסדרות האינסוף-ממדי \ell^{p} (המוגדר למטה) הוא כבר לא קמור מקומית.

### p=0

במתמטיקה בדידה, נורמת-p מוגדרת גם עבור p=0 לפי

: \left\Vert x\right\Vert _{0}=\lim_{p\searrow0}\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\cdots+\left|x_{n}\right|^{p}\right)

שהוא פשוט מספר הרכיבים השונים מאפס בווקטור x. אם נגדיר 0^0 = 0, אז נורמת האפס של x שווה ל-\left|x_{1}\right|^{0}+\cdots+\left|x_{n}\right|^{0}. זוהי **אינה** נורמה במובן הרגיל של המילה, אך היא יכולה לשמש למדידת דלילות, למשל בתחום של Compressed sensing.

## מרחבי L<sup>p</sup> מממד בן מניה
כהכללה של הממד הסופי, מגדירים את המרחב \ell^p להיות אוסף הסדרות \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} כך ש-\sum_{n=1}^{\infty} {|x_n|^p}, ומגדירים את נורמת-p להיות \Vert x_{ n }\Vert_{ p }=\sqrt [ p ]{ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ |x_{ n }|^{ p } }  } .

כאשר p=\infty מגדירים, כמו במקרה הסופי, \Vert\{x_n\}\Vert_\infty = \sup \{x_n\}, וגם כאן מתקיים \left\Vert x\right\Vert _{\infty}=\lim_{p\to\infty}\left\Vert x\right\Vert _{p} .

המרחבים שמתקבלים בבנייה זו גם הם מרחבי בנך. ניתן להוכיח זאת ישירות, אך החלק הבא מסביר זאת בצורה טובה מאוד.

## מרחבי L<sup>p</sup> ממד כללי
ניתן לשים לב שבמקרים הקודמים התחלנו מקבוצות סופיות, עברנו לבנות מנייה, וכעת נרצה לעבור לעוצמה כללית - מסדרות סופיות, לסדרות בנות מנייה, נעבור לפונקציות, ובמקום סכימה נבצע אינטגרציה.

פורמלית, עבור 1 \le p מגדירים את \mathcal{L}^p(\mathbb{K},X,S,\mu) עבור מרחב מידה (X,S,\mu) ושדה \mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\} להיות-

\mathcal{L}^p(\mathbb{K},X,S,\mu)=\{f:X \to \mathbb{K} : \int_{X}{|f|^p d \mu} 

כאשר האינטגרל הוא אינטגרל לבג. מגדירים את נורמת-p להיות ||f||_p=\sqrt [ p ]{ \int_{X}{|f|^p}d \mu } . מיפוי זה איננו נורמה, מפני שפונקציות ששוות כמעט בכל מקום לאפס, עדיין יחזירו אינטגרל אפס. כדי להתגבר על בעיה זו, מגדירים את המרחב L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu) שאיבריו הוא אוסף מחלקות השקילות עד כדי שוויון כמעט בכל מקום.  כעת, || \cdot ||_p היא אכן נורמה - היא חיובית והומוגנית חיובית, ומקיימת את אי שוויון המשולש - זהו אי-שוויון מינקובסקי. המרחבים גם שלמים - ניתן להוכיח זאת בשימוש משפטי התכנסות מתורת המידה (למשל, משפט ההתכנסות הנשלטת של לבג).

מרחבי L^p הם הדוגמה הקלאסית למרחב בנך באנליזה ובטופולוגיה.

### במקרה p=2
המקרה p=2 הוא מקרה מיוחד, מפני שבמקרה זה המרחב L^2 הוא אף מרחב הילברט - מרחב מכפלה פנימית שלם מעל השדה, כאשר המכפלה הפנימית היא =\int_{X}{f\cdot \overline{g} d \mu}. זוהי דוגמה קלאסית למרחב הילברט, ולמעשה ידוע יותר מכך - **כל** מרחב הילברט איזומורפי למרחב L^2(A,P(A),\#), כאשר A קבוצה כלשהי.

### המקרה ∞=p
במקרה p=\infty אי אפשר להגדיר, כמו במקרה הסופי, את L^\infty להיות אוסף הפונקציות החסומות, משום שפונקציה יכולה לקבל את הערך אינסוף על קבוצה ממידה אפס. כדי להתגבר על הבעיה, מגדירים **essential supremum** של פונקציה:

\operatorname{esssup}f=\inf\{a \in \mathbb{R} : \mu(f^{-1}(a,\infty) )=0\}

והמרחב L^\infty הוא אוסף הפונקציות עבורן \operatorname{esssup}|f|, הנקראות גם **[[פונקציה חסומה#פונקציות חסומות בעיקר|פונקציות חסומות בעיקר]]** (essentially bounded functions). המרחב שמתקבל אף הוא מרחב בנך, ומתקיים ||f||_\infty = \lim_{p \rightarrow \infty} {||f||_p}. מרחב זה חשוב במיוחד בתורת המרחבים המטריים והשלמות, ראו מרחב מטרי שלם.

### ביחס למקרים הקודמים
המקרה הסוף-ממדי \ell^p _n מתקבל כמקרה פרטי של L^p, עבור X=\{1,...,n\} ו-\mu=\# מידת הספירה (הסופרת כמה איברים יש בקבוצה).

המקרה הבן-מנייה מתקבל עבור X=\mathbb{N} ומידת הספירה. בפרט אפשר להסיק ש-\ell^p מרחב בנך בלי להוכיח זאת בנפרד. נובע גם ש-\ell^2 הוא מרחב הילברט, ומפורשות ניתן לאמר ש-\ell^2 \cong L^2(\mathbb{N},P(\mathbb{N}),\#).

## תכונות מרחבי L<sup>p</sup>
### התכנסות בנורמה
היות שהמרחב L^p הוא מרחב נורמי, מתאימה עבורו התכנסות בנורמה - נאמר שסדרת פונקציות \{f_n\} **מתכנסת בנורמה-p** לפונקציה f אם ||f_n-f||_p \to 0 כאשר n \to \infty. המשפט הבסיסי והחשוב בנושא הוא:

*משפט*: תהי \{f_n\} \subseteq L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu) כך ש- f_n \to f **נקודתית** כמעט בכל מקום, וכן נניח שיש  g \in L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu) כך ש-|f_n| \le g (כלומר f_n נשלטת על ידי g), אז ההתכנסות היא גם בנורמה-p, כלומר \lim_{n \rightarrow \infty}{||f_n-f||_p}=0.

בכיוון ההפוך יש טענה מעט חלשה יותר-

*משפט* - תהי f \in L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu) ונניח שיש סדרה \{f_n\} כך ש-\lim_{n \rightarrow \infty}{||f_n-f||_p}=0. אזי ל-\{f_n\} יש תת-סדרה המתכנסת נקודתית ל-f כמעט בכל מקום.

במקרה של התכנסות במידה שווה, הטיעון 'חלק' יותר:

*משפט*: במרחב ממידה סופית, אם f_n \to f במידה שווה, אז ההתכנסות היא גם בנורמה-p.

תכונה טופולוגית נוספת של המרחב, היא שאוסף הפונקציות הפשוטות היא קבוצה צפופה ב-L^p. ניתן לראות זאת בקלות לפי המשפטים לעיל - ידוע שלכל פונקציה אינטגרבילית יש סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות \phi_n שמתכנסת אליה, ומפני שמתקיים |f- \phi_n|^p \le 2^{p-1}(| f|^p+|\phi_n|^p) \to 2^p|f|^p, נקבל שיש התכנסות גם בנורמת-p. למעשה, המרחב L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu) הוא ההשלמה של מרחב הפונקציות הפשוטות שיושב בו.

### שיכונים
במרחבים ממידה סופית, יש שיכונים בין מרחבי L^p, ביחס הפוך לסדר.

*משפט* - יהי (X,M,\mu) מרחב מידה סופי, כלומר \mu (X) . אזי:
* אם 1 יש שיכון טבעי - L_\mathbb{K}^q(X,S,\mu) \hookrightarrow  L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu). יותר מכך, השיכון רציף, משום שזהו אופרטור ליניארי חסום. מפורשות, אי-שוויון ינסן (באחת מגרסאותיו) טוען כי ||f||_p \le \mu(X) ^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}\cdot||f||_q.
* לכל p>1 מתקיים L_\mathbb{K}^\infty(X,S,\mu) \subseteq L_\mathbb{K}^p(X,S,\mu).

## ראו גם
* מרחב אורליץ

## קישורים חיצוניים
* 

* The Lp Spaces


קטגוריה:אנליזה פונקציונלית
קטגוריה:תורת המידה
קטגוריה:מרחבים נורמיים