שער קוונטי

**שער קוונטי** הוא סוג של שער לוגי אשר פועל לפי חוקי מכניקת הקוונטים. שער קוונטי מממש טרנספורמציה של n קיוביטים בכניסת השער, אל n קיוביטים במוצא השער. הטרנספורמציה ניתנת לביטוי בתור אופרטור אוניטרי בממד n, לרוב מסומנת כ \left. U \right. או \left. U_n \right.. כל שער קוונטי חייב להיות הפיך, כלומר לכל שער \left. U \right. קיים שער הפכי \left. U^{\dagger} \right., כך שהפעלתו על המוצא של שער \left. U \right. מחזירה את הקיוביטים למצבם המקורי בכניסה ל- \left. U \right..
[שמאל|ממוזער|250px|[שער אדמר של קיוביט בודד]]

הפעלת שער קוונטי U על אוגר המכיל קיוביטים במצב הקוונטי |x\rangle תשנה את מצב האוגר ל־U |x\rangle (מצב האוגר בכניסה יכול להיות כל מצב שהוא (מצב בסיס או סופרפוזיציה קוונטית כלשהי של מצבי בסיס). מעקרון הליניאריות יתקבל כי הפעלת השער על הסופרפוזיציה \alpha|x\rangle + \beta|y\rangle תתן במוצא השער את המצב U(\alpha|x\rangle + \beta|y\rangle)= \alpha U|x\rangle + \beta U|y\rangle.

## הפיכות
כל שער קוונטי חייב להיות הפיך. תכונה זו מתקבלת עקב העובדה שהשער מממש אופרטור אוניטרי, שהוא בעצמו אופרטור הפיך.
לדוגמה, בעולם הקלאסי, שער NOT הוא שער הפיך - ניתן לשחזר את המצב ההתחלתי על ידי שרשור שער NOT נוסף, כלומר, שער NOT הוא ההפכי של עצמו. מצד שני, שער AND לדוגמה **אינו** הפיך וזאת מכמה סיבות:
# רוחב המוצא קטן מרוחב הכניסה (2 סיביות הופכות לסיבית יחידה, דבר המעיד על מחיקת מידע, ומונע את הפיכות השער).
# מספר קלטים שונים ממופים לאותו מצב יציאה, כלומר השער אינו חד-חד-ערכי.

ניתן להראות ששער קוונטי הוא הפיך אם ורק אם הוא מקיים את התכונות הבאות:
# מספר קיוביטי הכניסה שווים למספר קיוביטי היציאה.
# בבסיס החישוב השער מממש טרנספורמציה חד-חד ערכית.

## שער מבוקר
לכל שער קוונטי \left. U_n \right. ניתן להגדיר **שער מבוקר** (מסומן לרוב ב־\left.\mbox{c-}U_n\right.). לשער המבוקר מתווספת כניסה נוספת (כניסת הבקרה, control) אשר מהווה כניסה מאפשרת (enable) לאותו שער. כלומר, אם הבקרה במצב |0\rangle השער אינו מאופשר והמוצא יהיה זהה אל הכניסה. אם הבקרה במצב |1\rangle השער פועל באופן רגיל.
שמאל|ממוזער|200px|שער קוונטי מבוקר. הכניסה העליונה היא כניסת הבקרה, והתחתונה היא המטרה (target).

בניסוח מתמטי, \mbox{c-}U_n|0\rangle|x\rangle = |0\rangle|x\rangle ואילו \mbox{c-}U_n|1\rangle|x\rangle = |1\rangle U_n|x\rangle. השער המבוקר מממש את האופרטור האוניטרי (בממד n+1)
: \mbox{c-}U_n = \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ 0 & U_n \end{pmatrix}
כאשר \left.I_n\right. היא מטריצת היחידה מממד n.

כניסת הבקרה אינה חייבת להיות באחד ממצבי הבסיס |0\rangle או |1\rangle, אלא יכולה להיות כל סופרפוזיציה שלהם. יכולת זו חשובה לשם יצירת שזירות.

## מערכת שערים אוניברסלית
**מערכת שערים אוניברסלית** היא קבוצה של שערים, איתם ניתן לבנות מעגל המממש חישוב של כל פונקציה קוונטית רצויה. במילים אחרות, קבוצת שערים \left. S \right. תיקרא אוניברסלית, אם לכל אופרטור אוניטרי \left. U_n \right. קיים צירוף סופי של שערים מ-\left. S \right., כך שלכל מצב קוונטי |x\rangle בכניסת המעגל, יתקבל במוצא המעגל, המצב הקוונטי \left. U_n |x\rangle \right..

דוגמאות למערכת שערים אוניברסלית קוונטית:
# שער דויטש (עם פאזה לא רציונלית)
# שער CNOT עם שער אדמר H, ושער פאזה R(\pi/4)

## שערים לדוגמה
### שערים של קיוביט בודד
כל מטריצה אוניטרית בממד 2x2 מהווה שער של קיוביט בודד. להלן מספר דוגמאות מפורסמות.

**[[שער אדמר]]** מוגדר בתור האופרטור
 H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} 

**שער פאזה** הוא למעשה משפחה של שערים המוגדרים על ידי האופרטור
 R(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\theta} \end{bmatrix} 
לכל פאזה \theta \in [0,2\pi]. השער משנה את המצב הקוונטי
על ידי הוספת פאזה של \theta אל הפאזה של רכיב הבסיס |1\rangle, ואינו משנה את הפאזה של רכיב ה-|0\rangle. על-מנת להבין את פעולת השער על מצב כללי |x\rangle, ניתן לרשום את המצב בבסיס החישוב |x\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle, ולהכפיל את המקדם של הרכיב |1\rangle באיבר e^{i\theta}, כלומר R(\theta)|x\rangle = \alpha|0\rangle + e^{i\theta}\beta|1\rangle.

**שער NOT** מממש את האופרטור \operatorname{NOT} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 &0\end{pmatrix}. בדומה לשער הקלאסי, \operatorname{NOT}|0\rangle=|1\rangle וכן \operatorname{NOT}|1\rangle=|0\rangle ובאופן כללי
NOT|x\rangle=\operatorname{NOT}(\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle) = \beta|0\rangle + \alpha|1\rangleשער NOT הוא אחד מן השערים הקוונטיים שעושים שימוש במטריצות פאולי שמייצגות טרנספורמציות סיבוב במרחב מממד זוגי של פונקציות מרוכבות.

### שערים של 2 קיוביטים
במקרה הכללי, כל מטריצה אוניטרית בממד 4x4 מהווה שער קוונטי של שני קיוביטים. כמו כן, ניתן להפוך כל שער של קיוביט יחיד לשער-מבוקר של 2 קיוביטים. דוגמה מפורסמת היא שער NOT מבוקר, CNOT, אשר ניתן לתיאור על ידי האופרטור

 \operatorname{CNOT} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.


פעולת השער על קיוביט המטרה (target) היא היפוך המצב של קיוביט המטרה, כאשר קיוביט הבקרה (control) "דולק", כאשר הביטים מיוצגים בבסיס החישוב.

שימוש בשער זה מאפשר יצירת מצב שזור כגון מצב בל על ידי הפעלת השער על כניסת בקרה אשר נמצאת בסופרפוזיציה של אברי בסיס החישוב. למשל, הפעלת השער על המצב |0\rangle_t כאשר קיוביט הבקרה הוא |+\rangle_c=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_c+|1\rangle_c), ייצר את המצב |\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_c \otimes |0\rangle_{t} + |1\rangle_c \otimes |1\rangle_{t}).
באופן דומה, ניתן לקבל את ארבעת מצבי בל על ידי אתחול קיוביט הבקרה ל |-\rangle_c או |+\rangle_c, ואתחול קיוביט המטרה לאחד ממצבי בסיס החישוב |0\rangle_t או |1\rangle_t.

### שערים של 3 קיוביטים
#### שער טופולי
**שער טופולי** הוא שער הפועל על אוגר של 3 קיוביטים, אשר הומצא על ידי תומאסו טופולי.
שמאל|ממוזער|185px|שער טופולי. מיוצג על ידי שער NOT-מבוקר-מבוקר
פעולת השער על מצבי בסיס החישוב מתוארת בטבלה הבאה

ניתן להתייחס אל שער טופולי כאל שער NOT מבוקר פעמיים, או לחלופין, בתור שער CNOT מבוקר. בשל כך, השער ידוע גם בשם controlled-controlled-NOT או CCNOT. לשער שתי כניסות בקרה (c1, c2 בטבלה) וכניסת מטרה יחידה (t). רק כאשר שתי כניסות הבקרה "דולקות", השער הופך את סיבית המטרה. מדרך פעולתו של השער קל לראות כי שער טופולי הוא ההפכי של עצמו.
שער טופולי מהווה מערכת שערים אוניברסלית לחישוב הפיך (כלומר, ניתן בעזרתו ליצור מעגל הפיך עבור כל פונקציה בוליאנית).

#### שער פרדקין
**שער פרדקין** הוא שער הפועל על אוגר של 3 קיוביטים, אשר הומצא על ידי אד פרדקין.
לשער כניסת בקרה (c) ושתי כניסות מטרה (I1, I2). כאשר כניסת הבקרה "כבויה" השער ממפה את כניסות המטרה אל היציאות (O1, O2 בהתאמה). כאשר כניסת הבקרה דולקת, השער מבצע החלפה בין שני קיוביטי המטרה, כלומר ממפה את הכניסה I1 אל היציאה O2 ואת הכניסה I2 אל היציאה O1. למעשה, זהו שער החלפה-מבוקר (controlled-SWAP). טבלת האמת של השער (על אברי בסיס החישוב) ניתנת לסיכום באופן הבא

שער פרדקין הוא ההפכי של עצמו, ומהווה מערכת שערים אוניברסלית לחישוב הפיך.

## קישורים חיצוניים
* 
* 
קטגוריה:חישוב קוונטי