משפט הפירוק של לבג

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, **משפט הפירוק של לבג** הוא משפט הקובע כי ניתן לפרק כל מידה סיגמא-סופית לחלק רציף בהחלט ולחלק סינגולרי ביחס למידה סיגמא-סופית אחרת. משפט זה הוא למעשה הרחבה של משפט רדון־ניקודים.

המשפט קרוי על שמו של אנרי לבג.

## ניסוח פורמלי
בהינתן מרחב מדיד (\Omega,\Sigma) ושתי מידות סיגמא-סופיות על המרחב \mu,\nu, אזי קיימות זוג מידות על המרחב \nu_\text{cont},\nu_\text{sing} כך ש:

# \nu=\nu_\text{cont}+\nu_\text{sing}.
# \nu_\text{cont}\ll \mu. כלומר, \nu_\text{cont} רציפה בהחלט ביחס ל  \mu.
# \nu_\text{sing}\perp \mu . כלומר, \nu_\text{sing} סינגולרית ביחס ל  \mu.

יתר על כן, פירוק זה הוא פירוק יחיד.

## תקציר ההוכחה
### עבור מידה סופית
במקרה שבו \nu היא מידה סופית, מגדירים:

\mathcal{L}:=\left\{f:\Omega\to[0,\infty)\mid \forall A\in\Sigma,\int_A{fd\mu}\le\nu(A)\right\}

ניתן להוכיח באמצעות הלמה של צורן כי ל-\mathcal{L} קיים איבר מקסימלי ולסמנו ב-z. בגלל סופיות המידה \mu, בהכרח מתקיים כי z מקבלת את הערך \infty עבור קבוצה ממידה אפס (ביחס ל-\mu). כמו כן, לכל f\in\mathcal{L} מתקיים כי f\le z 

כמעט בכל מקום (גם כן, ביחס ל-\mu). לכל A\in\Sigma מגדירים:
* \nu_\text{cont}(A):=\int_A{zd\mu}
*\nu_\text{sing}(A):=\nu(A)-\nu_\text{cont}(A).
מובן כי:
* \nu=\nu_\text{cont}+\nu_\text{sing}
* \nu_\text{cont}\ll \mu, (מתכונות אינטגרל לבג).
נותר רק להוכיח כי \nu_\text{sing}\perp \mu. לכל n\in \mathbb{N} מגדירים \lambda_n:=\nu_\text{sing}-\frac{1}{n}\mu. זוהי מידה מסומנת, לכן לפי משפט הפירוק של האן קיימת קבוצה חיובית P_n\in\Sigma כך ש-\Omega \backslash P_n היא קבוצה שלילית. מגדירים P:=\bigcup_n{P_n}. לכל n_0\in \mathbb{N} מתקיים \Omega \backslash P=\Omega \backslash \bigcup_n{P_n}=\bigcap_n{\Omega\backslash P_n}\subseteq \Omega\backslash P_{n_0} . לכן:

\nu_\text{sing}(\Omega \backslash P)-\frac{1}{n_0}\mu(\Omega \backslash P)=\lambda_{n_0}(\Omega \backslash P)\le 0 \implies \nu_\text{sing}(\Omega \backslash P)\le \frac{1}{n_0}\mu(\Omega \backslash P)

הדבר נכון לכל n_0\in \mathbb{N}, לכן בהכרח \nu_\text{sing}(\Omega \backslash P)=0. עבור כל n\in \mathbb{N} מגדירים:

z_n(x):=\begin{cases}
z(x)+\frac{1}{n}, & \text{if }x\in P_n \\
z(x), & \text{else}
\end{cases} 

בגלל החיובית של P_n  ניתן להוכיח כי z_n\in \mathcal{L} . מצד שני, בגלל המקסימליות של z, מחויב כי \mu(P_n)=0 . הדבר נכון לכל n\in \mathbb{N}, לכן בהכרח \mu(P)=\mu\left(\bigcup_n{P_n}\right)=0 . התקבל אפוא כי \nu_\text{sing}(\Omega \backslash P)=0 ו-\mu(P)=0 , לכן \nu_\text{sing}\perp \mu. *מ.ש.ל.*

### עבור מידה סיגמא-סופית
במקרה שבו \nu היא מידה סיגמא-סופית ניתן לפרק את המרחב \Omega  לכמות בת מניה של קבוצות זרות עבורן המידה \nu היא סופיות \left\{C_n\right\}_{n=1}^\infty . לכל n\in \mathbb{N} ולכל A\in\Sigma מגדירים
* \mu_n(A):=\mu(A\cap C_n)  ו-
* \nu_n(A):=\nu(A\cap C_n) .
ברור כי \nu_n  מידה סופית, לכן לפי תוצאת המשפט למקרה הסופי עבור \mu_n,\nu_n , לפרק אותה ל-\nu_\text{cont}^n,\nu_\text{sing}^n כתוצאת המשפט. מגדירים:

\nu_\text{cont}:=\sum_{n=1}^\infty{\nu_\text{cont}^n}

\nu_\text{sing}:=\sum_{n=1}^\infty{\nu_\text{sing}^n}

ניתן להוכיח כי \nu_\text{cont},\nu_\text{sing} הוא הפירוק הרצוי. *מ.ש.ל.*

## פירוק מידות לפי מידת לבג
ממשפט הפירוק של לבג ניתן להסיק כי כל מידה \mu המוגדרת על המרחב \mathbb{R}^n לפי סיגמא-אלגברת בורל ניתנת לפירוק

\mu=\mu_\text{ac}+\mu_{cs}+\mu_{a} כך ש:
* \mu_\text{ac},\mu_{cs},\mu_{a} סינגולריות אחת ביחס לשנייה
* \mu_\text{ac} רציפה בהחלט (ביחס למידת לבג)
* \mu_{cs} סינגולרית רציפה (ביחס למידת לבג)
* \mu_{a} מידה בדידה (כלומר, סכום בן-מניה של מידות דיראק ממושקלות)

## הכללות והרחבות
### הכללה למידות מסומנות ומרוכבות
משפט הפירוק של לבג ניתן להכללה עבור מידות סיגמא-סופיות מסומנות או מרוכבות. נוסח המשפט נותר זהה מלבד הסרת ההנחה לחיוביות.

על-מנת להוכיח את הרחבה זו יש להשתמש במשפט הפירוק של ז'ורדן כדי לפרק את המידות לחלק חיובי ושלילי ולהוכיח את המשפט לכל חלק בנפרד.

### משפט רדון-ניקודים

בעוד משפט הפירוק של לבג מתייחס לשתי מידות סיגמא-סופיות כלליות, במקרה שבו אחת המידות רציפה בהחלט ביחס לשנייה ניתן להסיק את משפט רדון-ניקודים מההוכחה של ממשפט הפירוק שהוצגה למעלה:

במקרה שבו \nu\ll\mu, לפי משפט הפירוק של לבג \nu_\text{sing}=\nu-\nu_\text{cont}, אבל במקרה זה \nu_\text{sing} היא הפרש של שתי מידות רציפות בהחלט ביחס ל-\mu, לכן אף היא רציפה ביחס ל-\mu. מקבלים אם כן כי \nu_\text{sing} היא גם סינגולרית וגם רציפה, לכן היא בהכרח מידת האפס. כלומר \nu =\nu_\text{cont}. כזכור, \nu_\text{cont} נוצרת על-ידי אינטגרציה של פונקציה z:\Omega\to[0,\infty] כלשהי, וזהו בדיוק משפט רדון-ניקודים.

באופן זהה ניתן להסיק בכיוון ההפוך את משפט הפירוק של לבג ממשפט רדון-ניקודים.

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:משפטים בתורת המידה