משפט ניבן

במתמטיקה, ובפרט בטריגונומטריה, **משפט ניבן** הוא משפט העוסק ברציונליות של ערכי פונקציית הסינוס והקוסינוס.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי האמריקאי-קנדי איבן ניבן אשר פרסם הוכחה שלו בשנת 1956.

ניתן להשתמש במשפט ניבן כדי להוכיח גרסאות דומות לפונקציות הסקאנס, הקוסקאנס, הטנגנס והקוטנגנס.

## סימונים ומוסכמות
נסמן ב-\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q} ו-\mathbb{R} את קבוצת המספרים הטבעיים, השלמים, הרציונליים והממשיים בהתאמה.

בערך זה ערכן של פונקציות טריגונומטריות מחושב ברדיאנים.

## מבוא ומוטיבציה
בהינתן מספר רציונלי r\in\mathbb{Q} ניתן להוכיח כי \cos(r\pi) הוא בהכרח מספר אלגברי. הוכחה זו מתבססת על כך שקיימים זוג מספרים טבעיים p,q\in\mathbb{N} כך ש-p=rq ולכן \cos(r\pi) הוא שורש של הפולינום T_{2q}(x)-1 כאשר T_{2q}(x) הוא פולינום צ'בישב מהסוג הראשון מדרגה 2q.

ידוע כי לא כל מספר אלגברי הוא בהכרח מספר רציונלי. על כן, נשאלת השאלה: באילו מקרים מתקיים שגם r\in\mathbb{Q} וגם \cos(r\pi)\in\mathbb{Q}?

משפט ניבן מוכיח שבכל תחום נתון, כמו למשל התחום 0\le r\le 1, מספר ערכי r שמקיימים תנאי זה הוא סופי וידוע.

## נוסח המשפט

### גרסה לפונקציית הסינוס
תהי זווית 0\le \theta\le \frac{\pi}{2} כך ש-\frac{\theta}{\pi} הוא רציונלי וגם \sin \theta רציונלי. אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:

# \theta = 0 ו-\sin\theta = 0
# \theta = \frac{\pi}{6} ו-\sin\theta = \frac{1}{2}
# \theta = \frac{\pi}{2} ו-\sin\theta = 1

### גרסה לפונקציית הקוסינוס
תהי זווית 0\le \theta\le \frac{\pi}{2} כך ש-\frac{\theta}{\pi} הוא רציונלי וגם \cos \theta רציונלי. אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:

# \theta = 0 ו-\cos\theta = 1
# \theta = \frac{\pi}{3} ו-\cos\theta = \frac{1}{2}
# \theta = \frac{\pi}{2} ו-\cos\theta = 0

## הוכחה
מכיוון ומתקיימת הזהות הטריגונומטרית \sin\theta=\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right), שתי הגרסאות של המשפט שקולות זו לזו.

לכן, די להוכיח את הגרסה לפונקציית הקוסינוס כדי להוכיח את המשפט כולו.

מגדירים סדרת פולינומים במקדמים שלמים \left\{F_n(x)\right\}_{n=0}^\infty אשר מוגדרת רקורסיבית באופן הבא:

* F_0(x):=2
* F_1(x):=x
* F_{k+1}(x):=xF_k(x)-F_{k-1}(x) לכל k\in \mathbb{N}.

ניתן להוכיח כי לפולינומים אלו התכונות הבאות:

# לכל n\in \mathbb{N} הפולינום F_n(x) הוא מדרגה n.
# לכל n\in \mathbb{N}, הפולינום F_n(x) הוא פולינום מתוקן (כלומר, האיבר המוביל של הפולינום הוא 1).
# לכל n\in \mathbb{N} ולכל \theta \in \mathbb{R} מתקיימת הזהות F_n(2\cos \theta)=2\cos (n\theta).
הפולינומים F_n(x) מהווים גרסה מתוקנת של פולינומי צ'בישב.

כעת, מניחים כי 0\le \theta\le \frac{\pi}{2} היא זווית העומדת בתנאי המשפט. לכן קיימים p,q\in \mathbb{N} זרים זה לזה כך ש-\theta = \frac{p}{q}\pi.

מסמנים c:=2\cos\theta. לפי ההנחות על \theta, c הוא מספר רציונלי אי-שלילי (זאת מכיוון שהפונקציה \cos \theta מקבלת ערכים אי-שליליים בלבד בתחום \left[0,\frac{\pi}{2}\right]).

מכאן מתקיים כי:

F_{2q}(c)=F_{2q}(2\cos\theta)=2\cos(2q\theta)=2\cos\left(2q\cdot\frac{p}{q}\pi\right)=2\cos\left(2p\pi\right)=2

מגדירים פולינום חדש G(x):=F_{2q}(x)-2 ומקבלים ש-c הוא שורש רציונלי שלו. G(x) הוא פולינום מתוקן במקדמים שלמים, לכן לפי משפט השורש הרציונלי, כל שורש רציונלי שלו חייב להיות שלם, כלומר c\in\mathbb{Z}. מצד שני, 0\le c=2\cos\theta\le 2. לכן, הערכים היחידים ש-c יכול לקבל הם 0, 1 ו-2 ובהתאמה \cos \theta יכול לקבל אך ורק את הערכים 0, \frac{1}{2} ו-1. הפונקציה \cos \theta מונוטונית יורדת ממש בתחום \left[0,\frac{\pi}{2}\right], לכן הערכים המתאימים היחידים ש-\theta יכול לקבל לכל \cos \theta כנ"ל הם \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3} ו-0 בהתאמה.

**מ.ש.ל.**

## הכללות ומסקנות

### הכללה לזווית כללית
משפט ניבן עוסק בזוויות בתחום \left[0,\frac{\pi}{2}\right]. עם זאת, ניתן להשתמש בזהויות הטריגונומטריות \sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\theta ו-\cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\theta כדי להכליל את המשפט לזווית \theta כללית. משמעות הדבר היא שהערכים הרציונליים היחידים ש-\cos \theta ו-\sin \theta יכולים לקבל כך שגם \frac{\theta}{\pi} תהיה גם רציונלית הם 0, \pm\frac{1}{2} ו-\pm 1.

### גרסה לפונקציית הטנגנס
תהי זווית 0\le \theta\le \frac{\pi}{2} כך ש-\frac{\theta}{\pi} הוא רציונלי וגם \tan \theta רציונלי. אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:
# \theta = 0 ו-\tan\theta = 0
# \theta = \frac{\pi}{4} ו-\tan\theta = 1

#### הוכחה
תהי 0\le \theta\le \frac{\pi}{2} זווית העומדת בתנאי המשפט. מסמנים q:=\tan\theta. באמצעות זהויות טריגונומטריות ניתן להוכיח כי:

\cos(2\theta)=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}=\frac{1-q^2}{1+q^2}

לכן, מאחר ש-q רציונלי בהכרח גם \cos(2\theta) רציונלי. כלומר, הזווית 2\theta עומדת בתנאים של משפט ניבן לפונקציית הקוסינוס בתחום [0,\pi]. לכן הערכים היחידים ש-2\theta יכול לקבל הם מהקבוצה \left\{0,\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\pi\right\}. משמע הערכים היחידים ש-\theta יכול לקבל הם מהקבוצה \left\{0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right\}.

על ידי בחינה של כל אחד מהערכים הללו ניתן להוכיח שהערכים היחידים שעבורם \tan\theta הוא אכן רציונלי הם \theta = 0 ו-\theta = \frac{\pi}{4}.

**מ.ש.ל.**

### גרסה לפונקציית הקוטנגנס
תהי זווית 0\le \theta\le \frac{\pi}{2} כך ש-\frac{\theta}{\pi} הוא רציונלי וגם \operatorname{cotan} \theta רציונלי. אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:
# \theta = \frac{\pi}{4} ו-\operatorname{cotan}\theta = 1
# \theta = \frac{\pi}{2} ו-\operatorname{cotan}\theta = 0

#### הוכחה
ההוכחה לגרסה זו זהה להוכחה לגרסת הטנגנס, אך עושה שימוש בזהות הטריגונומטרית:

\cos(2\theta)=\frac{\operatorname{cotan}^2\theta-1}{\operatorname{cotan}^2\theta+1}

### מצולע משוכלל שקודקודיו על סריג
מסתכלים על הסריג \Z^d עבור d\ge 3 ובוחרים מתוכו n נקודות היוצרות מצולע משוכלל (מצולע שכל צלעותיו וכל זוויותיו שוות).

אזי, הערכים היחידים ש-n יכול לקבל הם n=3,4,6.

#### הוכחה
לוקחים שלוש נקודות סמוכות על גבי המצולע A=(a_1,a_2,a_3),B=(b_1,b_2,b_3),C=(c_1,c_2,c_3).

בגלל שהמצולע משוכלל ובעל n צלעות \angle ABC=\frac{2\pi}{n} ו-s:=|AB|=|BC|. כמו כן מסמנים h:=|AC|.

ניתן לראות כי s^2=|AB|^2=(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2\in\Z. באופן דומה אפשר להראות כי h^2\in\Z.

ממשפט הקוסינוסים על המשולש \triangle ABC מקבלים:

\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)=\frac{s^2+s^2-h^2}{2s\cdot s}=1-\frac{h^2}{2s^2}\in\Q

על כן הזווית \frac{2\pi}{n} מקיימת את תנאי משפט ניבן והערכים היחידים שהיא יכולה לקבל הם מהקבוצה \left\{0,\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\pi\right\}.

מאחר ש-n מספר טבעי שגדול או שווה ל-3, הערכים היחידים שהוא יכול לקבל הם n=3,4,6.

להלן דוגמאות למצולעים שכאלו עבור הסריג התלת-ממדי:

* משולש שווה-צלעות: (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)
* ריבוע: (0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)
* משושה משוכלל: (0,0,0),(1,1,0),(2,1,1),(2,0,2),(1,-1,2),(0,-1,1)

**מ.ש.ל.**

#### הבהרה לגבי מצולע משוכלל על סריג דו-ממדי
על אף שההוכחה לעיל אינה משתמשת במספר הממדים d של הסריג, ניתן להראות כי הטענה אינה נכונה לסריג הדו-ממדי \Z^2.

ניתן להראות באמצעות משפט פיק שלא ניתן לבנות משולש שווה-צלעות על הסריג הדו-ממדי. מסיבה זו, גם לא ניתן לבנות משושה משוכלל על הסריג הדו-ממדי, שכן אחרת אפשר היה לקחת כל קודקוד שני שלו וליצור משולש שווה-צלעות.

עם זאת, ניתן לבנות על הסריג הדו-ממדי את הריבוע הסטנדרטי (0,0),(1,0),(1,1),(0,1).

## ראו גם

* שדה המספרים הניתנים לבנייה

## קישורים חיצוניים
* 
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:משפטים בטריגונומטריה
קטגוריה:משפטים באלגברה