פעולה טרנזיטיבית

בתורת החבורות, **פעולה טרנזיטיבית** היא סוג מיוחד של פעולה של חבורה על קבוצה. נניח שהחבורה G פועלת על הקבוצה X. אם לכל שתי נקודות x,y\in X קיים איבר g\in G המעביר את x ל-y, אז הפעולה היא **פעולה טרנזיטיבית**. 

במקרים רבים לקבוצה X יש מבנה נוסף (כגון אם X הוא גרף או מרחב מטרי). מן העובדה שקיימת חבורה G הפועלת על X באופן טרנזיטיבי (ושומרת על המבנה), כשלעצמה, נובע שכל הנקודות של X דומות זו לזו; במקרה כזה אומרים ש-X מרחב הומוגני (אם X הוא גרף, הוא נקרא **גרף טרנזיטיבי**). 

פעולה טרנזיטיבית מתוארת באופן מלא על ידי המייצב של נקודה, שהוא תת-החבורה G_x = \{g \in G: g(x) = x\}. כל המייצבים צמודים זה לזה, והקבוצה X איזומורפית (כקבוצה עם פעולה של G) למרחב הקוסטים G/G_x. המייצב הוא תת-חבורה מקסימלית אם ורק אם הפעולה פרימיטיבית.

## טרנזיטיביות מסדר גבוה

כאשר החבורה G פועלת על קבוצה X, היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של X עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של X. הפעולה מוגדרת לפי g(x_1,\dots,x_k)=(g(x_1),\dots,g(x_k)), כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה X^k את **האלכסון המוכלל** ומשאירים רק את הקבוצה X^{[k]} של הווקטורים באורך k שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצוידת בפעולה של G, המכלילה את פעולתה על הרכיבים. 

אם G פועלת באופן טרנזיטיבי על X^{[k]}, אז הפעולה שלה על X היא **פעולה <math>k</math>-טרנזיטיבית**. ניסוח אחר: G פועלת k-טרנזיטיבית על X, אם לכל x_1,\dots,x_k שונים זה מזה, ולכל y_1,\dots,y_k שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר g(x_i)=y_i. אם יש בחבורה איבר יחיד g כנ"ל, אז הפעולה היא k-טרנזיטיבית **חדה**. כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה. (פעולה 2-טרנזיטיבית היא תמיד פרימיטיבית).

לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית S_n על הקבוצה \{1,\dots,n\} היא פעולה n-טרנזיטיבית (חדה), בעוד שהפעולה של חבורת התמורות הזוגיות A_n על אותה קבוצה היא (n-2)-טרנזיטיבית (חדה). כאשר m, הפעולה של S_n היא m-טרנזיטיבית אבל אינה חדה.

### פעולה על קבוצה אינסופית

פעולה על קבוצה אינסופית נקראת **טרנזיטיבית במידה רבה** (highly transitive) אם היא k-טרנזיטיבית לכל k, ואוליגומורפית אם לכל k יש מספר סופי של מסלולים של קבוצות בגודל k.

## מיון של פעולות טרנזיטיביות

מיון של כל הפעולות הטרנזיטיביות הוא משימה חסרת תוחלת, משום שכמוהו כמיון כל הזוגות H \leq G, שהרי G פועלת טרנזיטיבית על מרחב המנה G/H, וכל פעולה טרנזיטיבית היא כזו (כאשר H נקבע עד כדי הצמדה). עם זאת, המיון של פעולות טרנזיטיביות המקיימות תנאים חזקים יותר הוא בעיה חשובה שהולידה תוצאות רבות בתורת החבורות.

### פעולה טרנזיטיבית מדרגה ראשונית

יש ארבעה סוגים של פעולות טרנזיטיביות על קבוצה מסדר ראשוני. (1) החבורה הסימטרית וחבורת התמורות הזוגיות. (2) תת-חבורות של חבורת ההעתקות האפיניות \ AGL_1(p) המכילות את החבורה החיבורית של השדה. (3) תת-חבורות של החבורה הליניארית המוכללת \ P\Gamma{}L_n(p) המכילות את 
\ PSL_n(p) במקרים שבהם הסדר \ (p^n-1)/(p-1) של המרחב הפרויקטיבי עליו פועלת החבורה הוא מספר ראשוני. (4) שלושה מקרים ספורדיים: \ PSL_2(11) בהצגה (לא סטנדרטית) מדרגה 11, וחבורות מתיו \ M_{11} ו-\ M_{23}.

### 2-טרנזיטיביות

המיון הראשון של חבורות 2-טרנזיטיביות ניתן על ידי ברנסייד. כל חבורה סופית G הפועלת 2-טרנזיטיבית היא או **כמעט פשוטה** (כלומר S \leq G \leq \operatorname{Aut}(S) כאשר S פשוטה לא אבלית), או **מטיפוס אפיני** (כלומר מוכלת בחבורה האפינית של הפעולות על מרחב וקטורי סופי, ומכילה את ההזזות באברי המרחב עצמו). רשימה מלאה של החבורות (ה-2-טרנזיטיביות) מהסוג הראשון אפשר למצוא ב-Praeger-Soicher, 1997. 

את הסוג השני מתאר [Liebeck 1987: The affine permutation groups of rank three, Proc. London Math. Soc. (3) 54 (1987), 477-516] על סמך תוצאות מ[Aschbacher 1984: On the maximal subgroups of the finite classical groups, Invent. Math. 76 (1984), 469-514] (ראו 
https://mathoverflow.net/questions/242221/have-finite-doubly-transitive-groups-been-classified).

### טרנזיטיביות מסדר גבוה

מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין החבורות הסופיות. ב-1873 הוכיח Jordan שהחבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי חד הן S_4, S_5, A_6 וחבורת מתיו M_{11}; שהחבורות היחידות הפועלות באופן 5-טרנזיטיבי חד הן S_5, S_6, A_7 וחבורת מתיו M_{12}, ושהחבורות היחידות הפועלות באופן k-טרנזיטיבי חד, עבור k\geq 6, הן S_k,S_{k+1},A_k. 

ב-1936 הראה Zassenhaus שהחבורות היחידות הפועלות באופן 3-טרנזיטיבי חד הן \operatorname{PGL}_2(q) (לכל חזקת-ראשוני q), ו-M(q) (לכל חזקת-ראשוני שהיא ריבוע אי-זוגי); M(q) היא תת-חבורה של \operatorname{PGL}_2(q)\cdot\langle\sigma\rangle המכילה את \operatorname{PSL}_2(q).

כתוצאה ממיון החבורות הפשוטות הסופיות, ידוע היום שפרט לחבורות S_n ו-A_n, החבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי הן ארבע מבין חמש חבורות מתיו (היינו: M_{11} ו-M_{23} הן 4-טרנזיטיביות, ו-M_{12} ו-M_{24} הן 5-טרנזיטיביות)
.

## ראו גם

* חבורת תמורות
* פעולה פרימיטיבית

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת החבורות