משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות

**משפט המיון של החבורות הפשוטות הסופיות** הוא משפט מתמטי הקובע כי כל חבורה פשוטה סופית נמצאת באחת מ-4 הקטגוריות המתוארות למטה. עריכת רשימה מלאה של כל החבורות הפשוטות הסופיות עד כדי איזומורפיזם. החבורות הפשוטות הן אבני בניין של החבורות סופיות, בצורה שדומה לאיך שמספרים ראשוניים הם אבני הבניין של כל המספרים הטבעיים. משפט ז'ורדן-הלדר מספק דרך יותר ברורה להסביר איך החבורות הפשוטות הן אבני בניין.

המשפט ידוע בכך שהוא לקח זמן רב מאוד להוכחה. העבודה על הוכחת המשפט נמשכה כמה עשרות שנים, השתתפו בה כמאה מתמטיקאים, והיא משתרעת על-פני 500 מאמרים בכתבי עת מקצועיים, הכוללים כ-15,000 עמודים. משפט המיון הוא משפט מרכזי בתורת החבורות הסופיות, והוא מהווה אחד ההשגים הגדולים ביותר של המתמטיקה במאה העשרים.

ההוכחה נעזרת בכלים שפותחו בתורת החבורות מאז לידתה, אולם הצעד הראשון בהוכחה נחשב הפרסום של משפט פייט-תומפסון ב-1963, הקובע שאין חבורות פשוטות לא-אבליות סופיות מסדר אי-זוגי. הוכחת המשפט, כ-250 עמודים עמוסים בתורת ההצגות, הדגימה לראשונה את נחיצותן של הוכחות מורכבות בתחום המיון, ואת יעילותם של הכלים הקלאסיים בטיפול בבעיות כאלה.

במתמטיקה, שבה העבודה נעשית לרוב על ידי יחידים או בצוותים קטנים, משפט המיון הוא דוגמה ייחודית ל"מדע גדול", מבנה פעולה שכיח במדעים הניסויים, שבו משתפים פעולה מדענים רבים להשגת מטרה משותפת. בשנות השבעים רוכז המאמץ על ידי דניאל גורנשטיין, שהציע חלוקת עבודה ומינה חוקרים לעבוד על חלקים מסוימים במשפט. גורנשטיין הכריז בפומבי על סיום ההוכחה ב-1983, אף על פי שבפועל נותרו באותה עת כמה פערים (המשמעותי שביניהם, מיון החבורות מטיפוס quasithin, נסגר רק ב-2004
).
פערים אלה, ואף מורכבותה יוצאת הדופן של ההוכחה גרמה לכך שרבים, ובהם ז'אן-פייר סר, פקפקו בשלמותו של המשפט. חוסר שביעות הרצון הוליד את פרויקט "הדור השני" שמטרתו לכתוב את ההוכחה מחדש, בסדרה של 11 ספרים. בתוכנית זו מבקשים לנצל יתרונות שלא עמדו לרשות מפתחי ההוכחה המקורית, כגון הניסוח המדויק של התוצאה שאותה מבקשים להוכיח.

באמצעות משפט המיון, אפשר לאשר תכונות של חבורות פשוטות על ידי בדיקה של כל המקרים. לדוגמה, הבדיקה מראה שכל חבורה פשוטה סופית נוצרת על ידי שני איברים, למרות שלא ידועה דרך ישירה להוכיח טענה זו. 

## המיון

משפט המיון קובע שכל חבורה סופית שאין לה תת חבורות נורמליות שייכת לאחת מבין ארבע הקבוצות הבאות, שמהן שלוש הראשונות אינסופיות:
* החבורות הציקליות מסדר ראשוני.
* חבורות של תמורות זוגיות מסדר 5 ומעלה.
* חבורות פשוטות מטיפוס לי. חבורות אלה כוללות את "החבורות הקלאסיות", שהן חבורות מטריצות, את חמשת הטיפוסים המיוחדים של חבורות לי, ואת ה"עיוותים" של כל אלה.
* רשימה ידועה של 26 חבורות ספורדיות.

## החבורות הספורדיות

עשרים ושש החבורות הספורדיות הן אלו שלא מופיעות באופן טבעי במשפחות הגדולות של חבורות פשוטות סופיות. חמש הראשונות מבין אלה הן חבורות מתיו, שהתגלו בשנות השישים של המאה ה-19, ואילו 21 האחרות התגלו בין השנים 1965 ו-1975. במקרים רבים, ה"גילוי" קדם ל"בניה": ראשית התברר שהנחות מסוימות הן חזקות עד-כדי כך שאם אפשר למלא את כולן, יש רק חבורה אחת המתאימה להן, ורק אז הוכיחו שחבורה כזו אכן קיימת.

להלן רשימת החבורות, הקרויות בדרך-כלל על-שם האדם שגילה אותן:
* חמש חבורות מתיו, \ M_{11},M_{12},M_{22},M_{23},M_{24}
* חבורות ינקו, \ J_1,J_2,J_3,J_4
* חבורות קונוויי \ Co_1,Co_2,Co_3הקשורות לסריג ליץ' מממד 24;
* חבורות פישר \ Fi_{22},Fi_{23},Fi_{24}
* חבורת היגמן-סימס \ HS
* חבורת מקללין \ McL
* חבורת הלד \ He
* חבורת רודווליס \ Ru
* חבורת סוזוקי \ Suz
* חבורת או'נאן \ O'N
* חבורת הראדה-נורטון \ HN
* חבורת ליונס \ Ly
* חבורת תומפסון \ Th
* המפלצת הקטנה
* חבורת פישר-גרייס, הקרויה גם המפלצת

"המפלצת", בת כ-\ 8\cdot 10^{53}איברים, היא הגדולה מבין החבורות הספורדיות, ו-20 מהן נמצאות בתוכה כתת-חבורות; שש יוצאות הדופן הן \ 
J_1,J_3,J_4,O'N,Ru,Ly.

## אסטרטגיית המיון
### האסטרטגיה הכללית
הרעיון הבסיסי באסטרטגיית המיון הוא ללמוד את החבורה הפשוטה הקטנה ביותר שאיננה ברשימה - בניסיון להוכיח, בסופו של דבר, שחבורה כזו אינה קיימת.

במילים אחרות, מוכיחים למעשה את המשפט הבא:

קל להראות שמשפט זה גורר את משפט המיון.
### תפקידם של מרכזים
ניתוח כל  תתי המנות של חבורה אינו מעשי. לכן מצמצמים את תשומת הלב לחלק מתתי-המנות. בחלק גדול מההוכחה די להתמקד בתתי-מנות שהם גורמי סדרת ההרכב של מרכזים.

כך שבמקרים רבים מוכיחים את המשפט הבא:

מנקודת מבט זו, השלב הראשון בהוכחה הוא מיון החבורות הפשוטות שהמרכז של כל איבר לא טריוויאלי בהן הוא אבלי. חבורות כאלה נקראות חבורות CA. חבורות אלו מויונו על ידי בראואר, סוזוקי וואל בשנת 1958.
### האסטרטגיה של בראואר
גם חקר כל המרכזים של איברים בחבורה אינו פרקטי בדרך כלל, ולכן ב-1955 בראואר הציע להתרכז במרכזים של אינוולוציות (לא טריוויאליות) - זאת אומרת איברים מסדר 2 בחבורה. הבעיה הראשונה שגישה זו מציבה היא שלא ברור שאיברים כאלה קיימים.

קיומן של אינוולוציות (בחבורות פשוטות לא ציקליות) מובטח על ידי המשפט הבא ששוער על ידי ויליאם ברנסייד ב-1911:

קל להסיק ממשפט זה (באמצעות משפט קושי) שלכל חבורה פשוטה לא ציקלית יש אינוולוציה לא טריוויאלית. לכן, כדי להוכיח את משפט המיון, די להוכיח את המשפט הבא:

התקווה של בראואר להוכיח משפט זה מבוססת על המשפט הבא

בדיעבד, נובע ממשפט המיון, שמספר סופי זה הוא לכל היותר 3.
ניתן לחשוב על האסטרטגיה של בראואר בתור האלגוריתם הבא:
*רצים על כל הקבוצות הסופיות (עם ריבוי) של חבורות פשוטות המופיעות במיון. זה החלק היחיד באלגוריתם שאינו סופי.
*עבור כל קבוצה כזאת, עוברים על כל החבורות שגורמי סדרת ההרכב שלהן זו הקבוצה הנתונה. זה מעבר סופי, שניתן לבצע אלגוריתמית אבל עלול להיות מאוד מורכב.
* עבור כל חבורה H כזאת, רצים על כל החבורות  הפשוטות G כך ש-H היא מרכז של אינוולוציה ב-G. לפי משפט בראואר-פאולר מעבר זה הוא סופי.
* עבור כל חבורה G מוודאים ש-G היא אחת החבורות המופיעות במיון.

אלגוריתם זה אינו פרקטי כשלעצמו, אך הוא מהווה את ההשראה להוכחת משפט המיון.

### חבורות מקומיות
למרות האמור מעלה, הוכחת משפט המיון לא מתבססת על מרכזים של אינוולוציות בלבד ואף לא על מרכזים באופן כללי, אלא על מחלקה רחבה יותר של תת-חבורות הנקראות חבורות מקומיות.

בהתאם, משפט המיון נובע מהמשפט הבא:

### תפקידה של חבורת פיטינג המוכללת
ניתוח סדרת ההרכב של חבורה נתונה הוא משימה קשה בדרך כלל. השאלה ההפוכה: מה הם כל החבורות בעלות גורמי סדרת הרכב נתונים קשה עוד יותר.
תת-חבורת פיטינג המוכללת מאפשרת גרסה מקלה של שאלות אלו שעדיין מספקת מידע רב על החבורה.
תת-חבורת פיטינג המוכללת של חבורה סופית G היא תת-חבורה קנונית של  G המתקבלת ממכפלה של 2 תתי-חבורות:
*תת-חבורת פיטינג - זוהי תת-החבורה הנורמלית הנילפוטנטית המקסימלית ב- G.
*השכבה -זוהי תת-החבורה הנורמלית הפשוטה למחצה המקסימלית ב- G.

החשיבות של תת-חבורת פיטינג המוכללת נובעת מהמשפט הבא:

מכאן, קל להסיק שניתן לשכן את G מודולו המֶרְכָּז שלה בחבורת האוטומורפיזמים של חבורת פיטינג המוכללת שלה. כך שאפשר לומר שניתן לתאר את G על ידי חבורת פיטינג המוכללת שלה. 

נשים לב שחבורת פיטינג המוכללת של  G היא הרחבה מרכזית חוזרת של השכבה של  G וזו היא חבורה פשוטה למחצה. קל למדי לתאר חבורות פשוטות למחצה בהינתן גורמי סדרת ההכב שלהן: לשם כך יש לחשב את  של גורמים אלו (זו משימה פשוטה יחסית עבור כל החבורות הפשוטות המופעות במיון), וכך לקבל את הכיסויים האונברסליים של הגורמים. לאחר מכן יש להכפיל את כל הגורמים ולקבל חבורה \tilde K. חבורות פשוטות למחצה עם גורמי סדרת ההרכב הנתונים הן מנות של \tilde K לפי תתי-חבורות מרכזיות שלה.

לכן, במקרים רבים מחליפים את סדרות ההרכב באסטרטגיות המתוארות למעלה, בסדרות ההרכב של חבורת פיטינג המוכללות של החבורות הנדונות. עד כדי גורמים ציקליים, אלו הן סדרות ההרכב של השכבה של החבורות הנדונות.

בהתאם, ניתן להסיק את משפט המיון מהמשפט הבא:

כמו כן, משפט בנדר, מאפשר לעדן את האסטרטגיה של בראואר באופן הבא:
*רצים על כל הקבוצות הסופיות X (עם ריבוי) של חבורות פשוטות המופיעות במיון. זה החלק היחיד באלגוריתם שאינו סופי.
*עבור כל קבוצה כזאת, עוברים על כל החבורות הפשוטות למחצה שהמנות הפשוטות שלהן הן החבורות הלא אבליות ב-X. זה מעבר סופי, שניתן לבצע בקלות יחסית, שכן הוא דורש רק ידע של כופלי שור של החבורות הלא אבליות ב-X.
* עבור כל חבורה H כזאת, רצים על כל ההרחבות המרכזיות החוזרות שלה על ידי החבורות האבליות K ב - X.
* עבור כל חבורה K כזאת, רצים על כל החבורות L כך ש-K היא חבורת פיטינג המוכללת של L. לפי משפט בנדר, מעבר זה הוא סופי.
* עבור כל חבורה L כזאת, רצים על כל החבורות  הפשוטות G כך ש-L היא מרכז של אינוולוציה ב-G. לפי משפט בראואר-פאולר מעבר זה הוא סופי.
* עבור כל חבורה G מוודאים ש-G היא אחת החבורות המופיעות במיון.

גם אלגוריתם זה אינו פרקטי, אך הוא מקרב טוב יותר את הוכחת משפט המיון.
בדיעבד, הקבוצות X שעבורן הריצה לא ריקה הן בדרך כלל קטנות למדי.

### תפקידה של תורת הקרקטרים
בשלהי המאה ה-19 הגדיר פרובניוס את המושג קרקטר  של חבורה סופית G. אלו הן פונקציות מסוימות על החבורה הסופית עם ערכים בשדה המרוכבים. מנקודת מבט מודרנית אלו הם הקרקטרים של  הצגות בלתי פריקות של G. עם זאת, מושג ההצגה הופיע בשלב מאוחר יותר ממושג הקרקטר.

במהלך המאה ה-20, פיתח בראואר אנלוג של תורת הקרקטרים עבור הצגות במרחבים מעל הסגור אלגברי של שדה סופי. תורה זו נקראת תורת הקרקטרים המודולרית.

הן לתורת הקרקטרים והן לגרסתה המודולרית יש תפקיד מכריע ברבות מטענות הביניים בהוכחת משפט המיון.

### האסטרטגיה בפועל
אסטרטגיית המיון מבוססת על כל הרעיונות המתוארים מעלה ועוד רבים אחרים.

לצורך ההוכחה, מחלקים את החבורות לשתי מחלקות, בעלות "טיפוס זוגי" ו"טיפוס אי-זוגי", וממיינים כל מחלקה בפני עצמה. המקרה האי-זוגי קל יותר (והוא תופס רק 3 כרכים בהוכחת הדור השני), משום שבו אפשר למיין את החבורות על-פי גרסה מתאימה של "דרגת לי", המוגדרת עבור חבורות אלגבריות באמצעות טורוסים, שהם מכפלת עותקים של החבורה הכפלית של שדה הבסיס. במקרה הזוגי, עלולים הטורוסים שלא לספק שום מידע (החבורה הכפלית של השדה מסדר 2 היא טריוויאלית). במקום "דרגת לי" המוגדרת עבור חבורות אלגבריות, משתמשים בפרמטר \ e(G), השווה לדרגה המקסימלית של תת-חבורה אלמנטרית אבלית מאקספוננט ראשוני של נורמליזטור של חבורת 2-סילו של G. 

חבורות שבהן הפרמטר קטן או שווה ל-2 נקראות "דקות למחצה". המיון של חבורות דקות למחצה הוכרז (על ידי Geoff Mason), אבל לא פורסם בזמן הוכחת הדור הראשון. מיכאל אשבכר, אחד החוקרים המובילים בפרויקט, מצא פער בהוכחה זו, השלים אותו (בעזרת סטיב סמית') בהוכחה שאורכה כ- 1200 עמודים, ופרסם אותה בראשית שנות האלפיים. 

הוכחת הדור השני מבוססת על חלוקה שונה במעט למקרים "זוגי" ו"אי-זוגי" מזו שהייתה מקובלת בדור הראשון. מתנהל גם פרויקט נוסף של שכתוב ההוכחה המקורית, תוך שמירה על אותה חלוקה למקרים.

## היסטוריה





### התוכנית של גורנשטיין
בשנת 1972 הכריז גורנשטיין על תוכנית להשלמת סיווג החבורות הפשוטות הסופיות, שהורכבה מ־16 צעדים:
# חבורות מדרגת־2 נמוכה. עבודה זו נעשתה למעשה בידי גורנשטיין והראדה, שסיווגו את החבורות שדרגת ה־2 הסקשונלית שלהן לכל היותר 4. רוב המקרים של דרגת־2 לכל היותר 2 כבר נפתרו כשגורנשטיין הכריז על התוכנית.
# פשטות למחצה של ה-2- שכבה של מרכז של אינוולוציה בחבורה פשוטה.
# צורה סטנדרטית במאפיין אי־זוגי
# סיווג חבורות מטיפוס אי־זוגי. הבעיה היא להראות שאם לחבורה יש מרכז של אינוולוציה ב"צורה סטנדרטית", אז היא חבורה מטיפוס לי במאפיין אי־זוגי. בעיה זו נפתרה באמצעות משפט האינוולוציה הקלאסית של אשבכר.
# צורה קוואזי־סטנדרטית
# אינוולוציות מרכזיות
# סיווג חבורות האלטרציות
# סיווג חלק מהחבורות הספורדיות
# חבורות דקות; החבורות דקות סופיות הפשוטות, אלו שדרגת ה־*p*־הלוקלית־2 שלהן לכל היותר 1 עבור מספרים ראשוניים אי־זוגיים *p*, סווגו בידי אשבכר ב־1978.
# חבורות עם תת־חבורה *p*־משוכנת־חזק עבור *p* אי־זוגי
# הוכחת משפט ה-signalizer functor. בוצע על ידי מקברייד ב־1982.
# מיון חבורות מטיפוס מאפיין *p*. אלו הן החבורות עם תת־חבורה 2-לוקלית שהיא *p*־משוכנת־חזק, עבור *p* אי־זוגי. טופל על-ידי אשבכר.
# מיון חבורות כמעט־דקות. חבורה כמעט־דקה היא חבורה שתת־החבורות הלוקליות־2 שלהן מדרגת־*p* לכל היותר 2 לכל *p* אי־זוגי. הושלם על-ידי אשבכר וסמית ב־2004.
# חבורות מדרגת־3 לוקלית ודרגה נמוכה 2. בעיה זו נפתרה למעשה על ידי משפט שלוש האפשרויות של אשבכר עבור חבורות עם *e*(*G*)=3. 
# מרכזי איברי־3 בצורת סטנדרטית. בעיה זו נפתרה למעשה על ידי משפט שלוש האפשרויות.
# סיווג החבורות הפשוטות מטיפוס מאפיין 2. בעיה זו נפתרה באמצעות משפט גילמן–גרייס.

### ציר הזמן של ההוכחה
חלק ניכר מהפריטים בטבלה שלהלן נלקחו מתוך . התאריך המופיע הוא לרוב תאריך הפרסום של ההוכחה המלאה של התוצאה, לעיתים חלפו כמה שנים לאחר ההוכחה או ההכרזה הראשונה עליה, ולכן חלק מן הפריטים מופיעים בסדר "שגוי".

השורות בהן מופיעות התפתחויות חשובות מודגש ברקע צהוב.

## מקורות

* Bull. American Math. Soc. 43(1), 115–121: review on "The classification of quasithin groups I,II", R. Solomon.
*  – article won Levi L. Conant prize for exposition


## לקריאה נוספת
* מרכוס דו סוטוי, **סימטריה, מסע אל מרחבי התבניות של הטבע**, מאנגלית: אוריאל גבעון, ספרי עליית הגג, ידיעות ספרים, 2010

## קישורים חיצוניים
* 
* 
*פוסט של טרי טאו על המשפט.

## הערות שוליים

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:משפטי מיון
מיון לחבורות פשוטות
קטגוריה:תוכניות מתמטיות