קוסינוס

[שמאל|ממוזער|250px|[גרף של פונקציה|גרף הפונקציה קוסינוס]]

**קוסינוס** (מסומן ב-\cos) היא פונקציה טריגונומטרית בסיסית, המתאימה לכל זווית מספר ממשי בין (1-) ל-1. הרחבות שונות של הפונקציה משמשות במגוון תחומים, כגון: הגדרות שונות באנליזה (ובפרט באנליזה מרוכבת). הפונקציה שימושית מאוד בפיזיקה, בהנדסת חשמל ובתחומי מדע והנדסה אחרים.

## הגדרות
### הגדרה בסיסית
שמאל|ממוזער|150px|במשולש זה, קוסינוס הזווית A שווה <math>\frac{b}{c}</math>
בהגדרתה הבסיסית ביותר, פונקציית הקוסינוס מציינת את היחס בין הניצב שליד הזווית ליתר במשולש ישר-זווית, כפונקציה של הזווית שליד הניצב הזה. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 ל-90 מעלות או \frac{\pi}{2} רדיאנים. משולשים עם זוויות זהות דומים ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הקוסינוס של זווית מוגדר היטב.

### הרחבה
במעגל היחידה ניתן להסתכל על רדיוס הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שקוסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-x, כלומר שיעור ה-x של הנקודה (x,y).
עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הקוסינוס לכל מספר ממשי: הקוסינוס של מספר \ \theta הוא שיעור ה-x של הנקודה על מעגל היחידה שהזווית בין הרדיוס הנמתח אליה לציר ה-x הוא \ \theta (ברדיאנים).

### טור טיילור
כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הקוסינוס באמצעות טור טיילור:
: \cos x = \ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} \pm \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}

ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של קוסינוס על ידי גזירה חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע קירוב קוסינוס לזוויות קטנות: \cos x \approx 1-\frac{x^2}{2}\approx 1, מכיוון שכאשר x קטן החזקה הרביעית שלו (לפעמים אפילו השנייה) וחזקות גבוהות יותר זניחות.

הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הקוסינוס גם למספרים מרוכבים. באמצעות נוסחת אוילר אפשר לקבל הגדרות נוספות לקוסינוס:
:\ \cos(x)= \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} 

## תכונות
* פונקציית הקוסינוס היא זוגית, משום שמתקיים \cos \ (-x) = \cos \ (x).
* פונקציית הקוסינוס היא מחזורית בעלת מחזור של \ 2\pi. זאת משום שסיבוב של \ 2\pi מחזיר אותך לנקודת המוצא.
* פונקציית הקוסינוס רציפה, גזירה ואינטגרבילית לכל \ x. לפונקציה אינסוף נקודות קיצון מהצורה \ x = \ 2 \pi k (מקסימום) ו-\ x = \pi + \ 2 \pi k (מינימום), כאשר \ k מספר שלם. הערך במקסימום הוא 1 ובמינימום .
* לפונקציה אינסוף שורשים מהצורה \ x =\frac{\pi}{2} + \pi k, כאשר \ k מספר שלם.
* התמונה של הפונקציה היא \ [-1,1].

## נגזרת
הנגזרת של פונקציית הקוסינוס, כאשר x מבוטא ברדיאנים, היא מינוס פונקציית הסינוס:
:{d \over dx} \cos x = -\sin x

זאת כיוון שהנגזרת של פונקציית הסינוס היא קוסינוס (ראו הוכחה כאן) ובעזרת כלל השרשרת מקבלים:

{d \over dx} \cos x = {d \over dx} \sin (\frac{\pi}{2} - x) = - \cos (\frac{\pi}{2} - x) = -\sin x.

מכאן נובעת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הקוסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית:

פונקציית הקוסינוס היא פתרון המשוואה \ f*(x) = - f(x)</math> כאשר <math>\ f(0) = 1</math> ו-<math>\ f'(0) = 0</math>.

ה[[פונקציה קדומה|פונקציה הקדומה]] של הקוסינוס היא סינוס: <math>\int \cos x \,dx = \sin x+C</math>

==ערכים==
[[קובץ:Unit circle angles.svg|שמאל|ממוזער|450px|ערכי הפונקציה לזוויות שונות על מעגל היחידה]]
להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זוויות נפוצות:


==זהויות==

* פונקציית הקוסינוס מקיימת: <math>\ \cos(-\theta) = \cos\theta</math> וכן <math>\ \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta</math>
* בעזרת פונקציית הקוסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): <math>\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} </math> *',** <math>\tan\theta = \frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta} </math> **,** <math>\cot\theta = {\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}</math> **,** <math>\csc\theta = {1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}} </math> **,** <math>\sec\theta = {1 \over \cos \theta} </math>
* סכום זוויות: <math>\cos(\theta \pm \varphi) = \cos \theta \cos \varphi \mp \sin \theta \sin \varphi</math>
* זווית כפולה: <math>\ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta </math> **,** <math>\ \cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta</math> ובאופן כללי <math>\cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)</math>
* חצי זווית: <math>\cos \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}</math>
* סכום קוסינוסים: <math>\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( {\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi \over 2}\right)</math> **,** <math>\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)</math>

==הפונקציה ההפוכה==
[[קובץ:Arccosine.svg|שמאל|ממוזער|200px|גרף הפונקציה ארכקוסינוס]]
ה[[פונקציה הפוכה|פונקציה ההפוכה]] לפונקציית הקוסינוס נקראת **ארכקוסינוס''' ומסומנת  \ \arccos  או  \ \cos^{-1} . הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע
\ [-1 ,1], וכיוון שפונקציית הקוסינוס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים \ [0 ,\pi]. הנגזרת שלה היא {d \over dx} \arccos x = -{ 1 \over \sqrt{1 - x^2}}.

## משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים הוא הכללה של משפט פיתגורס, והוא קובע את הקשר בין צלעות המשולש ואחת מזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הקוסינוס. המשפט הוא:
:\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma
כאשר a, b, c הן צלעות המשולש ו- \ \gamma נמצאת מול הצלע c.

כאשר זווית c ישרה, \ \cos \gamma = 0 ומתקבל משפט פיתגורס.

## קישורים חיצוניים

* 

## הערות שוליים

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:פונקציות טריגונומטריות