משוואת ריינולדס

**משוואת ריינולדס** היא משוואה דיפרנציאלית חלקית המתארת את פילוג הלחץ בשכבות דקות של זורם צמיג במכניקת הזורמים. המשוואה פותחה לראשונה על ידי אוסבורן ריינולדס ב-1886. ניתן להשתמש במשוואת ריינולדס כמעט לכל סוג של מסוב בו שני החלקים המוצקים מופרדים על ידי נוזל או גז.

## המשוואה הכללית
261x261px|ממוזער|גאומטריה כללית עבור משוואת ריינולדס
עבור המקרה במתואר בתמונה משמאל משוואת ריינולדס היא:
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu}\frac{\partial p}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu}\frac{\partial p}{\partial y}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\rho h \left( U_a + U_b \right)}{2}\right)+\rho\left(w_a-w_b\right)-\rho U_b\frac{\partial h}{\partial x} +h\frac{\partial \rho}{\partial t}


כאשר:
* x,y,z - הן קואורדינטות קרטזיות.
* p - לחץ כפונקציה של x.
* h - פרופיל המשטח העליון כפונקציה של x.
* \rho - צפיפות הנוזל.
* \mu - צמיגות הנוזל.
* U_a - מהירות בכיוון x של המשטח התחתון.
* U_b - מהירות בכיוון x של המשטח העליון.
* w_a - מהירות בכיוון ציר y של המשטח התחתון.
* w_b - מהירות בכיוון ציר y של המשטח העליון.

### הנחות המודל
# הזורם הוא ניוטוני, כוחות הגזירה פרופורציונליים למהירות.
# אינרציה וכוחות גוף זניחים.
# שינויים בלחץ לאורך ציר z זניחים כלומר p=p(x,y)
# הזרימה היא למינארית. (עבור זרימה טורבולנטית יש להשתמש במשוואת ריינולדס שונה)
# אפקטים עקב עקמומיות המשטח העליון זניחים. כלומר עובי הזורם קטן בהרבה מעובי ואורך המיסב.

### משמעות איברי המשוואה
* \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu}\frac{\partial p}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu}\frac{\partial p}{\partial y}\right) - זרימת הזורם עקב גרדיאנט לחץ.
* \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\rho h \left( U_a + U_b \right)}{2}\right) -זרימת הזורם עקב גזירה (זרימת קוואט).
* \rho U_b\frac{\partial h}{\partial x}  - לחיצה כתוצאה מהגאומטריה של המשטח העליון.
* \rho\left(w_a-w_b\right) - לחיצה עקב תנועה של שני המשטחים אחד כלפי השני.
* h\frac{\partial \rho}{\partial t} - התפשטות מקומית של הנוזל.

#### הרחבת איבר הזרימה עקב גזירה
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\rho h \left( U_a + U_b \right)}{2}\right)= h\left( U_a + U_b \right)\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\rho}{2}\right)+\rho h\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{ \left( U_a + U_b \right)}{2}\right)+\left( U_a + U_b \right)\rho\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{ h }{2}\right)


* עבור משטחים קשיחים האיבר \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{ \left( U_a + U_b \right)}{2}\right)=0
* שינוי הגאומטריה הוא האיבר החשוב ביותר והוא הגורם ליצירת לחץ במיסב. על מנת לקבל לחץ חיובי על המשטח להיות \frac{\partial h}{\partial x}
* האיבר של שינוי הצפיפות לאורך ציר x
 זניח בדרך כלל ביחס לאיבר של שינוי הגאומטריה.\frac{\partial h}{\partial x}>>\frac{\partial \rho}{\partial x}
פתרון משוואה זו אינו משימה קלה, אך בגאומטריות פשוטות משוואה זו ניתנת לפתרון אנליטי.

## דוגמה לפתרון אנליטי
ממוזער|486x486px|גאומטריה פשוטה עבור משוואת ריינולדס.
בדוגמה הבאה ישנן שתי פלטות, התחתונה נעה בכיוון ציר x במהירות קבועה והעליונה סטטית אך בשיפוע.

### הנחות לפתרון הבעיה
# מצב מתמיד. \frac{\partial }{\partial t}=0
# זורם בלתי דחיס וצמיגות קבועה \rho=const, \mu=const.
# מימד הגובה קטן בהרבה ממימד העומק והרוחב. h
# בעיה דו־ממדית, כלומר מימד העומק גדול מאוד ביחס לממדים האחרים ואין כל שינוי במימד זה.
עבור הנחות אלו משוואת ריינולדס מצטמצמת לצורה הבאה:

\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu}\frac{\partial p}{\partial x}\right)=\frac{ 1 }{2}\rho U \frac{\partial h}{\partial x}

פרופיל המשטח העליון הוא:

h(x)=\frac{h_2 - h_1}{L}x+h_1

בידיעת פרופיל המשטח העליון ניתן למצוא את פילוג הלחץ בצורה אנליטית. הפתרון הוא:

P(x)=-\frac{6\mu U}{h(x)^2}x-\frac{k_1}{2*h(x)^2*\frac{h_2-h_1}{L}}+k_2

כאשר k_1 , k_2 הם קבועי האינטגרציה.

## קישורים חיצוניים
* הרצאותיו של פרופסור משנה אמיר גת, טכניון.
* Michael Khonsari, E. Richard Booser. *[https://books.google.co.il/books?id=_EcQZJIyjpcC&pg=PA3&lpg=PA3&dq=Applied+tribology&source=bl&ots=PPgJXTFmRp&sig=E5RpSanN47q4Cz4PLGbHKmApuT0&hl=iw&sa=X&ei=gRHZVPSlG831asXogaAH&ved=0CC8Q6AEwAg#v=onepage&q&f=false Applied tribology, bearing design and lubrication]. 2nd ed.*

קטגוריה:מכניקת הזורמים