קירוב זומפרלד

**קירוב זומפרלד** היא טכניקת קירוב שהומצאה על ידי ארנולד זומרפלד ונועדה לסט של אינטגרלים הנפוצים בפיזיקה של חומר מעובה ומכניקה סטטיסטית. מבחינה פיזיקלית, האינטגרלים מייצגים ממוצעים סטטיסטיים תוך שימוש בהתפלגות פרמי-דיראק.

כאשר הטמפרטורה ההופכית \beta  גבוהה ביחס ל \varepsilon- \mu
, ניתן לקרב את האינטגרל במונחי \beta:

{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H(\varepsilon )}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}+1}}\,\mathrm {d} \varepsilon =
\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +
{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {1}{\beta}}\right)^{2}H^{\prime }(\mu )+
O\left({\frac {1}{\beta\mu}}\right)^{4}}

כאשר {\displaystyle H^{\prime }(\mu )} מייצג את הנגזרת של הפונקציה {\displaystyle H(\varepsilon )} בנקודה \varepsilon = \mu, והסימון O\left(\frac{1}{\beta}\right)^4 מייצג איברים נוספים מסדר רביעי ומעלה של \frac{1}{\beta}. קירוב זה תקף אך ורק אם H(\varepsilon) שואף לאפס כאשר \varepsilon \rightarrow - \infty, ועולה פולינומית לכל היותר  ב-\varepsilon כאשר \varepsilon \rightarrow \infty. 

ניתן לבצע קירוב זה גם כאשר תחומי האינטגרל הם מאפס לאינסוף. השינוי היחיד בקירוב יהיה שהאינטגרל של האיבר הראשון יהיה מאפס ל-\mu.

## קירוב זומרפלד במודל האלקטרון החופשי
שימוש נפוץ לקירוב זומרפלד הוא חישוב תכונות אלקטרוניות שונות, כגון קיבול חום במתכות, שבהן תקף מודל האלקטרון החופשי. בחישובים אלה הפונקציה {\displaystyle H(\varepsilon )} מייצגת את צפיפות המצבים הקוונטיים עבור יחידת אנרגיה. בנוסף, \beta
 מזוהה עם הטמפ' ההופכית ו-\mu
 כפוטנציאל הכימי. מכאן שהקירוב הנ"ל תקף עבור מערכות בהן \beta
 גבוהה (כלומר טמפ' נמוכה).  

על פי מודל האלקטרון החופשי ניתן לקרב את האלקטרונים במתכת לגז פרמיונים.  עבור גז כזה, ניתן להוכיח כי התלות של הפוטנציאל הכימי בטמפרטורה היא:

\mu = \varepsilon_F\left[1-\frac{1}{3}\left(\frac{\pi k_B T}{2 \varepsilon _F}\right)^2\right]כאשר \varepsilon _F היא אנרגיית פרמי, T היא הטמפטורה וk_B
 הוא קבוע בולצמן. מכאן שהפוטנציאל הכימי מזוהה עם \varepsilon _F עד כדי תיקון מסדר שני של T. נשים לב ש- \varepsilon _F = k_BT_F , כאשר T_F היא טמפרטורת פרמי שערכה עבור רוב המתכות הוא מסדר גודל של 10^4K. לשם השוואה, טמפרטורה החדר הנה 293K, כלומר מסדר גודל של 10^{2}K. מכאן שעבור מרבית השימושים הפרקטיים, ניתן להניח כי הטמפטורה אכן נמוכה, ושקירוב זומרפלד אכן מדויק גם בסדרים הנמוכים. 

## פיתוח הקירוב מסדר שני בטמפרטורה
אנחנו מעוניינים לפתח את האינטגרל עד הסדר השני בטמפ', כלומר \tau^2
, כאשר \beta^{-1}=\tau=k_BT היא התוצר של המכפלה של הטמפ' בקבוע בולצמן. נתחיל בהחלפת המשתנים \tau x=\varepsilon -\mu:

: I=\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\varepsilon)}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}\,\mathrm{d}\varepsilon = \tau\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\mu+\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x 

נפצל את האינטגרל לשניים, I=I_1+I_2, ונשכתב את I_1 בעזרת החלפת המשתנה x\rightarrow-x:

: I= \underbrace{\tau\int_{-\infty}^0 \frac{H(\mu+\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x}_{I_1} + 
                \underbrace{\tau\int_{0}^\infty \frac{H(\mu+\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x}_{I_2}I_1=\tau\int_{-\infty}^0 \frac{H(\mu+\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x
=\tau\int_0^\infty \frac{H(\mu-\tau x)}{e^{-x} + 1}\,\mathrm{d}x\, 

לאחר מכן, נבצע טריק אלגברי על המכנה של I_1
:\frac{1}{e^{-x}+1} = 1-\frac{1}{e^x+1}

ונקבל:I_1=\tau\int_{0}^\infty H(\mu-\tau x)\,\mathrm{d}x
-\tau\int_0^{\infty} \frac{H(\mu-\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x\, 

עתה נחבר את שני האינטגרלים ונציב בחזרה את המשתנה המקורי,  -\tau \mathrm{d}x =  \mathrm{d}\varepsilon , באיבר הראשון של I_1:

: I=\int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon
+\tau\int_0^{\infty} \frac{H(\mu+\tau x)-H(\mu-\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x\, 

ניתן לפתח את המונה באיבר השני בעזרת קירוב טיילור מסדר ראשון, בהינתן ש- \tau (כלומר קטן דיו מ-\mu
):

\Delta H= H(\mu+\tau x)-H(\mu-\tau x) \approx 2\tau x H'(\mu)+\cdots נציב ונקבל:I=\int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon
+2\tau^2 H'(\mu)\int_0^{\infty} \frac{x\mathrm{d}x}{e^{x} + 1}\,ערכו של האינטגרל המסוים באיבר השני הוא:\int_0^{\infty} \frac{x\mathrm{d}x}{e^{x} + 1}=\frac{\pi^2}{12}ומכאן ש:

: I=\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\varepsilon)}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}\,\mathrm{d}\varepsilon \approx\int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon
+\frac{\pi^2}{6\beta^2} H'(\mu)\,

## פיתוח הקירוב עבור סדרים גבוהים יותר
נרצה לפתח לטור את האינטגרל:

\int^\infty_{-\infty} d\varepsilon H(\varepsilon)f(\varepsilon),
f(\varepsilon)=\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon-\mu)} + 1}תחת ההנחה שכאשר \varepsilon \rightarrow -\infty  הפונקציה H(\varepsilon)  דועכת לאפס, וכאשר \varepsilon \rightarrow +\infty , הפונקציה אינה מתבדרת חזק יותר מאשר f   דועכת. אם כן נגדיר:K(\varepsilon) \equiv  \int^\varepsilon_{-\infty} H(\varepsilon')d\varepsilon' כך ש:
H(\varepsilon) = \frac{dK(\varepsilon)}{d \varepsilon} עתה נוכל לבצע אינטגרציה בחלקים ולקבל:
\int^\infty_{-\infty}H(\varepsilon)f(\varepsilon)d\varepsilon = 
\cancelto{0}{K(\varepsilon)\left(-\frac{\partial f}{\partial \varepsilon}\right)}\Biggr|^\infty_{-\infty} +
\int^\infty_{-\infty} K(\varepsilon)\left(-\frac{\partial f}{\partial \varepsilon}\right)d\varepsilon=
\int^\infty_{-\infty} K(\varepsilon)\left(-\frac{\partial f}{\partial \varepsilon}\right)d\varepsilon  כאשר האיבר הראשון הראשון מתבטל מתוך ההנחה שלנו לגבי ההתנהגות של H(\varepsilon)  באינסוף. 

נשים לב ש- f   שואפת לאפס כאשר \varepsilon  גדול מאוד מ- \mu   (\varepsilon -\mu >> \beta) , ושואפת לאחד כאשר \varepsilon  קטן מאוד מ- \mu , ולכן עיקר התרומה שלה לאינטגרל היא כאשר \varepsilon \approx \mu . בהנחה ש- H(\varepsilon)  אינה סינגולרית ואינה משתנה מהר מידי באזור \varepsilon = \mu , הגיוני להניח כי עבור פיתוח של K(\varepsilon)  בטור טיילור סביב \varepsilon = \mu , נקבל כי האיברים הראשונים הם המשמעותיים ביותר. במקרים בו ההנחה הזו אינה מתקיימת הקירוב עדיין תקף, אך אינו שימושי כיוון שנצטרך לחשב כמות גדולה של איברים בטור.

אם כן נפתח את K(\varepsilon)  סביב \varepsilon = \mu :K(\varepsilon) = K(\mu) + \sum^\infty_{n=1} \left[\frac {\left(\varepsilon - \mu \right)^n} {n!}\right]
\left[\frac {d^n K(\varepsilon)}{d \varepsilon^n}\right]_{\varepsilon = \mu}

עכשיו נוכל להציב את K(\varepsilon)  באינטגרל. נשים לב שהאיבר המוביל יניב רק K(\mu) , כיוון ש:

\int^\infty_{-\infty} \left(-\frac{\partial f}{\partial \varepsilon} \right) d \varepsilon = 1  

בנוסף על כך, כיוון ש- \partial f / \partial \varepsilon  היא פונקציה זוגית סביב \mu , כל האיברים שבהם n  אי-זוגי יתאפסו. אם כן, לאחר הצבת הטור והחלפת משתנים מ- K(\varepsilon)  בחזרה ל- H(\varepsilon)  נקבל:

\int^\infty_{-\infty}H(\varepsilon)f(\varepsilon)d\varepsilon = 
\int^\mu_{-\infty}H(\varepsilon)d\varepsilon
+ \sum^\infty_{n=1}\int^\infty_{-\infty} \frac{(\varepsilon - \mu)^{2n}}{(2n)!} 
\left(-\frac{\partial f}{\partial \varepsilon}\right) d \varepsilon
\frac{d^{2n-1}}{d \varepsilon^{2n-1}} H(\varepsilon)\big\vert_{\varepsilon = \mu}   את האינטגרל שמופיע בסכום נוכל להציג כטמפ' בחזקת n  המוכפלת באינטגרל חסר ממדים. נוכל לבצע החלפת משתנים (\varepsilon - \mu)/ \tau = x   ולהציג אותו כך:

a_n \tau^{2n} = \int^\infty_{-\infty} \frac{(\varepsilon - \mu)^{2n}}{(2n)!} 
\left(-\frac{\partial f}{\partial \varepsilon}\right) d \varepsilon =
\tau^{2n} \cdot \int^\infty_{-\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \left(-\frac{d}{dx} \frac{1}{e^x+1}\right)dx  

בעזרת מניפולציות אלגבריות, ניתן לפשט את המקדמים a_n לצורה:a_n = \left(2- \frac{1}{2^{2(n-1)}}\right) \zeta(2n)כאשר \zeta הנה פונקציית זטא של רימן.

אז לבסוף קיבלנו את הפיתוח המבוקש:

\int^\infty_{-\infty}H(\varepsilon)f(\varepsilon)d\varepsilon = 
\int^\mu_{-\infty}H(\varepsilon)d\varepsilon
+ \sum^\infty_{n=1}a_n \tau^{2n}
\frac{d^{2n-1}}{d \varepsilon^{2n-1}} H(\varepsilon)\big\vert_{\varepsilon = \mu}   

עבור פיתוח מסדר ראשון נקבל:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{ {H(\varepsilon )} f(\varepsilon)}\mathrm {d} \varepsilon =
\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +
{\frac {\pi ^{2}}{6}}\tau^{2}H^{\prime }(\mu )+O\left(\tau \right)^{4}} 

:

## פיתוח עבור סדרים גבוהים יותר בעזרת פונקציות יוצרות
אנחנו יכולים להשיג איברים מסדר גבוה יותר עבור קירוב זומרפלד, על ידי שימוש בפונקציות יוצרות עבור מומנטים של התפלגות פרמי. אלו נתונים לנו על ידי:


\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\epsilon}{2\pi} e^{\tau\epsilon/2\pi} \left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\}= \frac 1{\tau}\left\{ \frac{(\frac{\tau T}{2})}{\sin(\frac{\tau T}{2})} e^{\tau\mu/2\pi}-1\right\}, \quad 0כאשר k_BT=\beta^{-1} ופונקציית המדרגה -\theta(-\epsilon) מחסרות את תרומת הטמפ' האפסיות. פיתוח בחזקות של \tau ייתן לנו לדוגמה:

: 
\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)

\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\frac{1}{2!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^2+\frac{T^2}{4!}

\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\frac 1{2!}\left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)^2\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\frac{1}{3!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^3+\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)\frac{T^2}{4!}

\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\frac1{3!}\left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)^3\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\frac{1}{4!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^4+\frac{1}{2!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^2\frac{T^2}{4!}+\frac 78\frac{T^4}{6!}

\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\frac 1{4!} \left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)^4\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\frac{1}{5!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^5+\frac{1}{3!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^3\frac{T^2}{4!}+\left(\frac{\mu}{2\pi}\right) \frac 78\frac{T^4}{6!}

\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\frac 1{5!}\left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)^5\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\}=\frac{1}{6!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^6+\frac{1}{4!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^4\frac{T^2}{4!}+\frac{1}{2!} \left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^2 \frac 78\frac{T^4}{6!}+ \frac{31}{24} \frac{T^6}{8!}


ניתן ליצור פונקציה יוצרת דומה עבור המומנטים האי זוגיים של פונקציית בוזה-איינשטיין:


\int_0^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\sinh(\epsilon \tau/\pi)  \frac {1}{e^{\beta\epsilon}-1}
= \frac 1{4\tau}\left\{1- \frac{\tau T}{\tan \tau T}\right\}, \quad 0

## מקורות

* Sommerfeld, A. (1928). "Zur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik". *Zeitschrift für Physik*. **47** (1–2): 1–3.
* 


## הערות שוליים

קטגוריה:תורת השדות הקוונטית