וקטור מקרי

בתורת ההסתברות, ובסטטיסטיקה, **וקטור מקרי** (או **וקטור אקראי**) הוא וקטור של משתנים מקריים. לדוגמה, ניתן להתייחס לגיל, לגובה ולמשקל של אדם שנבחר באופן אקראי, כאל וקטור מקרי עם שלושה משתנים מקריים.

## הגדרה תאורטית
בהינתן מרחב הסתברות, (\Omega, \mathcal{F}, \Pr), כאשר \Omega הוא מרחב המדגם, \mathcal{F} היא הסיגמה-אלגברה (קבוצת כל האירועים), ו-\Pr היא מידת ההסתברות (פונקציה המחזירה את ההסתברות עבור כל אירוע). וקטור מקרי הוא פונקציה מדידה המוגדרת על מרחב המדגם ותמונתה נמצאת ב-\mathbb{R}^n,
\operatorname{X}:\Omega\mapsto\R^n, ולכן ניתן לסמנו כווקטור עמודה:
:\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_{1} \\ \vdots \\ X_{n} \end{bmatrix}
או כווקטור שורה:
: \mathbf{X} = [X_1,\dots,X_n] 

שמרכיביו הם משתנים מקריים, כלומר פונקציות מדידות, X_i:\Omega\mapsto\R, 1\leq i \leq n, המוגדרות על אותו מרחב הסתברות, (\Omega, \mathcal{F}, \Pr).

הווקטור המקרי \operatorname{X} מגדיר את **פונקציית מידת ההתפלגות** מהסיגמא-אלגברת בורל של המרחב האוקלידי ה-n-י למספר ממשי בין 0 ל-1  \nu : \mathcal{R}^n \mapsto [0,1] באופן הבא:

לכל קבוצת בורל B\in \mathcal{R}^n מתקיים \nu(B )=\Pr(X^{-1}( B) ) (או באופן שקול, \nu(B)=\Pr(X\in B)).

במקרה כזה, אם קיימת פונקציה לא שלילית f_X:R^n \mapsto [0,\infty] המקיימת \nu(B)=\int_B f_X \text{d}\lambda_n= \int_B f_X \text{d}x, כאשר האינטגרל הוא אינטגרל לבג
 ו-\lambda_n היא מידת לבג, אז f_X היא **פונקציית צפיפות** של הווקטור המקרי \operatorname{X}.

## פונקציית ההתפלגות
ההתפלגויות של כל אחד מהמשתנים המקריים המרכיבים X_i נקראות התפלגויות שוליות. ההתפלגות המותנית של X_i בהינתן X_j, היא ההתפלגות של X_i כאשר ידוע ערכו של X_j.

**פונקציית ההתפלגות המצטברת** F_{\mathbf{X}} : \R^n \mapsto [0,1] של וקטור מקרי \mathbf{X}=(X_1,\dots,X_n)^\mathsf{T}  מוגדרת על ידי:

:F_X(\mathbf{x})=\Pr(X_1 \leq x_1,...,X_n \leq x_n) כאשר \mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n)^\mathsf{T}.

## פעולות על וקטורים מקריים
ניתן לבצע עם וקטורים מקריים את אותן פעולות אלגבריות כמו וקטורים לא מקריים: חיבור, חיסור, כפל בסקלר ומכפלות פנימיות.

### העתקות אפיניות
באופן דומה, וקטור מקרי חדש \mathbf{Y} ניתן להגדיר על ידי החלת העתקה אפינית g\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n על וקטור אקראי \mathbf{X}:

: \mathbf{Y}=\mathbf{A}\mathbf{X}+b, כאשר \mathbf{A} היא מטריצה n \times n ו-b הוא וקטור עמודה n \times 1.

אם \mathbf{A} היא מטריצה הפיכה ו-\textstyle\mathbf{X} משתנה מקרי עם פונקציית צפיפות f_{\mathbf{X}}, אז פונקציית הצפיפות של \mathbf{Y} היא:

: f_{\mathbf{Y}}(y)=\frac{f_{\mathbf{X}}(\mathbf{A}^{-1}(y-b))}.

### העתקות הפיכות
אם נתונה g העתקה חד-חד ערכית מתת-קבוצה פתוחה \mathcal{D} שֶׁל \mathbb{R}^n על תת-קבוצה \mathcal{R} שֶׁל \mathbb{R}^n, ונניח שלהעתקה g יש נגזרות חלקיות רציפות ב-\mathcal{D} כמו כן, נניח שהיעקוביאן של g לא מתאפס ב - \mathcal{D}. בנוסף נניח כי לווקטור מקרי ממשי \mathbf{X} יש פונקציית צפיפות f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) המקיימת  \Pr(\mathbf{X} \in \mathcal{D}) = 1. במקרה כזה, לווקטור המקרי \mathbf{Y}=g(\mathbf{X}) יש פונקציית צפיפות:

: \left. f_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y})=\frac{f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z})}{\left |\det\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{y}}\right |} \right |_{\mathbf{z}=g^{-1}(\mathbf{y})} \mathbf{1}(\mathbf{y} \in R_\mathbf{Y})

כאשר \mathbf{1} היא פונקציה מציינת ו-R_\mathbf{Y} = \{ \mathbf{y} = g(\mathbf{x}): f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) > 0 \} \subseteq \mathcal{R}  הוא התומך של \mathbf{Y}.

## התוחלת
התוחלת של וקטור מקרי הוא וקטור \operatorname{E}[\mathbf{X}] שרכיביו הם התוחלות של המשתנים המקריים, רכיביו של \mathbf{X}.

:\operatorname{E}[\mathbf{X}] = \begin{bmatrix} \operatorname{E}[X_{1}] \\ \vdots \\\operatorname{E} [X_{n}] \end{bmatrix}

## שונות ושונות משותפת
### הגדרות
**מטריצת השונות** של הווקטור המקרי \mathbf{X}, שנסמנה ב-\operatorname{Var}(\mathbf{X}) (נקראת גם **מומנט מרכזי שני**) היא מטריצה n \times n שרכיבה ה-(i,j) הוא <math>\operatorname{Cov}(X_i, X_j)</math> שהיא השונות המשותפת בין המשתנים המקריים X_i ו-X_j (\operatorname{Cov}(X_i,X_i)=\operatorname{Var}(X_i)).
 \boldsymbol \operatorname{Var}(\operatorname{X})= \begin{bmatrix}
{\operatorname{Var} \left (X_{1} \right)} & \operatorname{Cov} \left (X_{1},X_{2} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{1},X_{3} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left (X_{1},X_{n)} \right) \\
\operatorname{Cov} \left (X_{2},X_{1} \right) & \operatorname{Var} \left(X_{2} \right) & \operatorname{Cov} \left(X_{2},X_{3} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left(X_{2},X_{n} \right) \\
\operatorname{Cov}\left (X_{3},X_{1} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{3},X_{2} \right) & \operatorname{Var} \left (X_{3} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left (X_{3},X_{n} \right) \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\operatorname{Cov} \left (X_{n},X_{1} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{n},X_{2} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{n},X_{3} \right) & \cdots & \operatorname{Var} \left (X_{n} \right) \\
\end{bmatrix}~

מטריצת השונות היא:
:\operatorname{Var}(\mathbf{X})=\operatorname{E}[\mathbf{X}-\operatorname{E}\mathbf{X}
 [\mathbf{X}-\operatorname{E}[ \mathbf{X}]]^T ]

לאחר פיתוח של הביטוי ניתן לקבל שמתקיים:
:\operatorname{Var}(\mathbf{X})=
 \operatorname{E}[\mathbf{X}\mathbf{X}^T ]-
 \operatorname{E}[\mathbf{X}]\operatorname{E}[\mathbf{X}]^T

**מטריצת השונות המשותפת** בין שני וקטורים מקריים \mathbf{X} ו-\mathbf{Y} (ל-\mathbf{X} שיש n רכיבים ול-\mathbf{Y} יש p רכיבים) שנסמנה \operatorname{Cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) היא מטריצה n \times p כאשר הרכיב ה-(i,j) הוא \operatorname{Cov}(X_i,X_j), שהיא השונות המשותפת בין X_i ל-X_j:

 \boldsymbol \operatorname{Cov}(\operatorname{X},\operatorname{Y})= \begin{bmatrix}
{\operatorname{Cov} \left (X_{1},Y_{1} \right)} & \operatorname{Cov} \left (X_{1},Y_{2} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{1},Y_{3} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left (X_{1},Y_{p)} \right) \\
\operatorname{Cov} \left (X_{2},Y_{1} \right) & \operatorname{Cov} \left(X_{2},Y_{2} \right) & \operatorname{Cov} \left(X_{2},Y_{3} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left(X_{2},Y_{p}\right) \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\operatorname{Cov} \left (X_{n},X_{1} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{n},X_{2} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{n},X_{3} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left (X_{n},Y_{p} \right) \\
\end{bmatrix}~

מתקיים:
:\operatorname{Cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y})=
\operatorname{E}[\mathbf{X}-\operatorname{E}[\mathbf{X}] ] [\mathbf{Y}-\operatorname{E}\mathbf{Y}^T]
=\operatorname{E}[\mathbf{X}\mathbf{Y}^T]-\operatorname{E}[\mathbf{X}]\operatorname{E}[\mathbf{Y}]^T

### תכונות
* מטריצת השונות היא מטריצה סימטרית, \operatorname{Var}(\mathbf{X})^T =\operatorname{Var}(\mathbf{X}).
* מטריצת השונות היא מטריצה חיובית למחצה, כלומר, לכל \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n מתקיים, \mathbf{a}^T \operatorname{Var}(\mathbf{X})\mathbf{a} \ge 0.
* מטריצת השונות המשותפת \operatorname{Cov}(\mathbf{Y},\mathbf{X}) היא המטריצה המשוחלפת של המטריצה \operatorname{Cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}), כלומר, \operatorname{Cov}(\mathbf{Y},\mathbf{X}) = \operatorname{Cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y})^T.

### וקטורים מקריים לא מתואמים
שני וקטורים מקריים \mathbf{X}=(X_1,...,X_m)^T  ו - \mathbf{Y}=(Y_1,...,Y_n)^T  נקראים **לא מתואמים** אם \operatorname{E}[\mathbf{X} \mathbf{Y}^T] = \operatorname{E}[\mathbf{X}]\operatorname{E}[\mathbf{Y}]^T.

הם אינם מתואמים אם ורק אם מטריצת השונות המשותפת שלהם \operatorname{Cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) היא מטריצת האפס.

## אורתוגונליות
שני וקטורים מקריים \mathbf{X}=(X_1,...,X_n)^T  ו-\mathbf{Y}=(Y_1,...,Y_n)^T  נקראים **אורתוגונליים** אם, \operatorname{E}[\mathbf{X}^T \mathbf{Y}] = 0.

## אי-תלות
שני וקטורים אקראיים \mathbf{X} ו-\mathbf{Y} נקראים **בלתי-תלויים** אם לכל \mathbf{x} ו-\mathbf{y} מתקיים:
:F_{\mathbf{X,Y}}(\mathbf{x,y}) = F_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) \cdot F_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y})

כאשר F_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) ו-F_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) הן פונקציות ההתפלגות המצטברות של \mathbf{X} ו-\mathbf{Y} ו-F_{\mathbf{X,Y}}(\mathbf{x,y}) היא פונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת שלהם. אי-תלות של \mathbf{X} ו-\mathbf{Y} ניתנת לסימון על ידי \mathbf{X} \perp\!\!\!\perp \mathbf{Y}.

## פונקציה אופיינית
הפונקציה האופיינית של וקטור מקרי  \mathbf{X}  עם  n  רכיבים היא פונקציה \mathbb{R}^n \to \mathbb{C} שממפה כל וקטור \mathbf{\omega} = (\omega_1,\ldots,\omega_n)^T למספר מרוכב:

:  \varphi_{\mathbf{X}}(\mathbf{\omega}) = \operatorname{E} \left [ e^{i(\mathbf{\omega}^T \mathbf{X})} \right ] = \operatorname{E} \left [ e^{i(\omega_1 X_1 + \ldots + \omega_n X_n)} \right ].

## יישומים
### התאוריה של תיקי השקעות
בתאוריה של תיקי השקעות, המטרה היא לרוב לבחור בתיק עם מגוון נכסים כך שלתשואה של התיק יש את מאפיינים הרצויים. לדוגמה, ייתכן שתרצה לבחור בתיק עם תשואה בעלת השונות הנמוכה ביותר. כאן הווקטור המקרי הוא הווקטור \mathbf{r} של התשואות על רשימה של נכסים, ותשואת התיק p (סקלר מקרי) היא המכפלה הפנימית של וקטור התשואות עם וקטור משקלים w - לפי חלוקת העלות של הנכסים השונים. במקרה כזה, p=w^T \mathbf{r}, היא תשואת התיק. תוחלת התשואה היא w^T\operatorname{E} (\mathbf{r}) וניתן להראות שהשונות של תשואת התיק היא w^TC w, כאשר C  היא מטריצת השונות של \mathbf{r}.

### רגרסיה ליניארית
ברגרסיה הליניארית, יש נתונים על n תצפיות על משתנה תלוי y ו-n תצפיות על כל אחד מ-k משתנים בלתי תלויים. התצפיות על המשתנה התלוי הן הרכיבים של וקטור y; התצפיות על כל משתנה בלתי תלוי מהוות את הרכיבים של וקטורי עמודות, שמהווים את העמודות למטריצה X (לא מציינת וקטור מקרי בהקשר זה) של התצפיות על המשתנים הבלתי תלויים. משוואת הרגרסיה הבאה היא מודל עבור התהליך שייצר את הנתונים:

: y = X \beta + e

כאשר \beta הוא וקטור קבוע אך לא ידוע של *<math>k</math>* מקדמים, ו-*<math>e</math>* הוא וקטור מקרי לא ידוע המשקף טעויות אקראיות בערכי המשתנה התלוי. ישנן מגוון של שיטות (למשל: שיטת הריבועים הפחותים) לאמוד את הווקטור \beta באמצעות וקטור \hat \beta, ואת הווקטור e באמצעות \hat e, המקיימים \hat e = y - X \hat \beta. לאחר מכן סטטיסטיקאים מנתחים את המאפיינים של \hat \beta ו-\hat e, שהם וקטורים מקריים שכן הם פונקציה של התצפיות שמהוות את הווקטור y.

### סדרות עתיות וקטוריות
את ההשתנות של וקטור מקרי \mathbf{X} לאורך זמן ניתן לעיתים לתאר באמצעות מודל של אוטורגרסיה וקטורית באופן הבא:

: \mathbf{X}_t = c + A_1 \mathbf{X}_{t-1} + A_2 \mathbf{X}_{t-2} + \cdots + A_p \mathbf{X}_{t-p} + \mathbf{e}_t, \, 

\mathbf{X}_{t-i} הוא וקטור מקרי המבטא תצפית שקרתה i יחידות זמן לפני זמן t, *<math>c</math>* הוא וקטור של קבועים, A_i היא מטריצה קבועה בזמן ו-\mathbf{e}_t הוא וקטור מקרי של שגיאות.

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:סטטיסטיקה
קטגוריה:תורת ההסתברות