אריתמטיקה של גבולות

בחשבון אינפיניטסימלי, כללי ה**אריתמטיקה של גבולות** (לעיתים בראשי תיבות: **אש"ג**) הם חוקים בסיסיים העוסקים בגבולות של פונקציות המתקבלות מביצוע פעולות אריתמטיות בין פונקציות (ממשיות או מרוכבות) נתונות.

## אריתמטיקה של גבולות סופיים

תהיינה f\,ו-g\, פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של \,x_0 שעבורן קיימים הגבולות הסופיים \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) ו-\lim_{x\rightarrow x_0} g(x).

בתנאים אלו מתקיימים הכללים הבאים:

### כלל הסכום
הגבול של סכום פונקציות, שווה לסכום הגבולות של הפונקציות, כלומר:




### כלל המכפלה
הגבול של מכפלת פונקציות, שווה למכפלת הגבולות של הפונקציות, כלומר:



אם נבחר בפונקציה \ g(x)=\alpha, קבוע, יתקבל המקרה הפרטי \lim_{x\rightarrow x_0} \alpha \cdot f(x)=\alpha \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) . בפרט \lim_{x\rightarrow x_0} (-f(x))=- \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)  ומכאן נובע "כלל ההפרש", המקביל בצורתו לכלל הסכום, ועוסק בגבול של הפרש פונקציות.

### כלל המנה
הגבול של מנת פונקציות, שווה למנת הגבולות של הפונקציות בתנאי ש: \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) \ne 0, כלומר:



כללי האריתמטיקה לגבולות סופיים תקפים גם כאשר \,x \rightarrow \pm \infty.

## אריתמטיקה של גבולות אינסופיים

תהיינה f\,ו-g\, פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של \,x_0 שעבורן מתקיים:
* \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=+\infty.
* \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=L, כאשר L\in\mathbb{R} (כלומר מספר סופי).

בתנאים אלו מתקיימים כללי האריתמטיקה לגבולות אינסופיים שלהלן:

* \lim_{x\rightarrow x_0} (f+g)(x)=+\infty.
* \lim_{x\rightarrow x_0} (g-f)(x)=-\infty.
* \lim_{x\rightarrow x_0} (\frac{g}{f})(x)=0.
:כאשר \,L>0 מתקיים:
* \lim_{x\rightarrow x_0} (f \cdot g)(x)= + \infty.
:וכאשר \,L מתקיים:
* \lim_{x\rightarrow x_0} (f \cdot g)(x)= - \infty.

כאשר \,L=0 לא ניתן לדעת באופן מיידי את ערכו של הגבול \lim_{x\rightarrow x_0} (f \cdot g)(x) מכיוון שגבול זה אינו מוגדר היטב, שכן הוא מהצורה של "0 \cdot \infty" ולכן במקרה זה לא ניתן לדעת דבר על הגבול או על קיומו. יש לחפש דרכים אחרות לחישוב הגבול, ביניהן כלל לופיטל.

כללי האריתמטיקה לגבולות האינסופיים תקפים גם כאשר \,x \rightarrow \pm \infty.

תהי f\, פונקציה המוגדרת בסביבה (נקובה או לא) של \,x_0 שעבורה מתקיים:
* \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=0.
* קיימת סביבה מנוקבת של \,x_0 בה מתקיים f(x)>0\,.
בתנאים אלו מתקיים:
* \lim_{x\rightarrow x_0} (\frac{1}{f})(x)=+\infty.
**הערה:** המשפט אנלוגי לגמרי עבור המקרה בו קיימת סביבה נקובה של \,x_0 בה מתקיים f(x) ובמקרה הזה הגבול הוא -\infty.

תהיינה f\,ו-g\, פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של \,x_0 שעבורן מתקיים:
* \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=+\infty.
* \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=+\infty.
בתנאים אלו מתקיים :
* \lim_{x\rightarrow x_0} (f \cdot g)(x)=+\infty.
גם כלל זה תקף כאשר \,x \rightarrow \pm \infty.

## גבול של הרכבת פונקציות

אם f\,ו-g\, פונקציות שעבורן \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=y_0 וכן גם \lim_{y\rightarrow y_0} g(y)=L (עבור x_0,y_0,L כלשהם), 

ומתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים  (1)   L=g(y_0)  (כלומר g(y) רציפה ב y_0)      (2) f(x)\neq y_0 בסביבה מנוקבת של x_0

אז הגבול של הרכבת הפונקציות g \circ f בנק' x_0 קיים ושווה ל- \lim_{x\rightarrow x_0} (g\circ f)(x)=\lim_{x\rightarrow x_0} g(f(x))=L . 

## הוכחות
### הוכחת כלל הסכום
נסמן ב-\,A וב-\,B את הגבולות של \,f ושל \,g בהתאמה. 
יהי \varepsilon > 0. יש להוכיח כי קיים \ \delta > 0\, כך שלכל 
x\, המקיים |x-x_0| מתקיים 
|(f \pm g)(x)-(A \pm B)|.

מהנתונים על הגבולות של f\,ו-g\, נסיק כי:
* קיים \delta_1 > 0\, כך שלכל x\, המקיים |x-x_0| מתקיים |f(x)-A| (1).
* קיים \delta_2 > 0\, כך שלכל x\, המקיים |x-x_0| מתקיים |g(x)-B| (2).
נבחר את \delta\, להיות \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\,. לפי אי-שוויון המשולש: 

|(f \pm g)(x)-(A \pm B)|=|f(x) \pm g(x)-A \mp B|\le |f(x)-A|+|g(x)-B|. 

מכאן ש- |(f(x) \pm g(x))-(A \pm B)|\le |f(x)-A|+|g(x)-B| . 

### הוכחת כלל המכפלה
יהי \varepsilon > 0. יש להוכיח כי קיים \delta > 0\, כך שלכל x\, המקיים 0 מתקיים |(f\cdot g)(x)-(A\cdot B)|. נגדיר 
\,\varepsilon_1=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{1+|A|+|B|}\right\}.

מהנתונים על הגבולות של f\,ו-g\, נסיק כי:
* קיים \delta_1 > 0\, כך שלכל x\, המקיים 0 מתקיים |f(x)-A|
* קיים \delta_2 > 0\, כך שלכל x\, המקיים 0 מתקיים |g(x)-B|

נבחר את \delta\, להיות \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\,. יהי x\, המקיים 0. נקבל, על-פי אי-שוויון המשולש, כי:


\,|f(x)g(x)-AB|=|(f(x)-A)(g(x)-B)+(f(x)-A)B+A(g(x)-B)|  
\,\le|f(x)-A|\cdot|g(x)-B|+|f(x)-A|\cdot|B|+|A|\cdot|g(x)-B|   
\,
\,=\varepsilon_1 (1+|A|+|B|)\le\varepsilon



כלומר, הראינו שאם x\, מקיים 0 אזי |f(x)g(x)-AB|, ומכאן נובע כלל המכפלה.

### הוכחת כלל ההרכבה
נוכיח במקרה בו g\, רציפה.

יהי \varepsilon >0\,. נתון ש-g רציפה בנקודה y_0\,, לכן קיים \delta_1 >0\, כך שלכל y המקיים |y-y_0| (כולל y_0) מתקיים |g(y)-L|
(1).

\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=y_0 ולכן קיים \delta_2 >0\, כך שלכל x\, המקיים 0 מתקיים |f(x)-y_0|
(2).

מ-(2) נסיק כי לכל x\, המקיים 0 מתקיים |f(x)-y_0| ולכן עבור \,y=f(x) נקבל מ-(1) כי |g(f(x))-L|, כנדרש.

במקרה השני, אנחנו ניאלץ לדרוש ש-0, ולכן נבחר |x-x_0| קטן מספיק (כפי שחייב להיות לפי התנאי השני), שעבורו 0 כפי שרצינו.

קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי