תורת שדות המחלקה

במתמטיקה, **תורת שדות המחלקה** מתארת את ההרחבות האבליות (כלומר, הרחבות גלואה עם חבורת גלואה אבלית) של שדות מקומיים ושדות גלובליים. חלק אחד של התורה מוקדש למיון ההרחבות האבליות; חלק נפרד של התורה, ברובו עדיין לא ידוע, מוקדש לבניות מפורשות שלהן.

## ההרחבה האבלית המקסימלית

יהא  K  שדה מקומי או שדה גלובלי ויהא  K^{s}  סגור פריד של  K . חוץ מהמקרים  K=\mathbb{R},\mathbb{C}  יש אינסוף הרחבות אבליות של  K . הניסוחים המודרניים של תורת שדות המחלקה מאגדים את כל הטענות על ההרחבות האבליות הללו בעזרת ההרחבה האבלית המקסימלית,  K^{ab} , שהיא איחוד כל ההרחבות האבליות של  K  בתוך  K^s .

ההרחבה  K^{ab}/K  היא הרחבת גלואה אינסופית, וחבורת גלואה שלה,  Gal(K^{ab}/K) , היא לכן חבורה פרו-סופית. החבורה  Gal(K^{ab}/K)  היא האבליזציה של חבורת גלואה האבסולוטית  Gal(K^s/K) .

במונחים הללו, משפט קרונקר-ובר, שהוא אחד המשפטים הראשונים בתורת שדות המחלקה, הוא הטענה ש- \mathbb{Q}^{ab}/\mathbb{Q}  היא ההרחבה הנוצרת על ידי כל שורשי היחידה. כמסקנה, מקבלים איזומורפיזם

 Gal(\mathbb{Q}^{ab}/\mathbb{Q})\cong \prod_p \mathbb{Z}_p^\times ,

כאשר המכפלה היא על כל המספרים הראשוניים ו- \mathbb{Z}_p^\times  הוא חבורת ההפיכים בחוג השלמים הp-אדים.

## תורת שדות המחלקה המקומית

תורת שדות המחלקה המקומית מתארת את ההרחבות האבליות של שדות מקומיים. מכיוון שלשדה  \mathbb{C}  אין הרחבות אלגבריות לא טריביאליות ולשדה  \mathbb{R}  יש רק הרחבה אלגברית לא טריביאלית אחת, המיון של הרחבות אבליות לשדות הארכימדים ברור.

יהא  K  שדה מקומי לא ארכימדי עם חוג הערכה  O_K . המשפט המרכזי של תורת שדות המחלקה המקומית הוא שהחבורה  Gal(K^{ab}/K)  היא ההשלמה הפרו-סופית של החבורה הכפלית  K^\times . ליתר דיוק, יש הומומורפיזם  \theta_K:K^\times \rightarrow Gal(K^{ab}/K) , שהוא השיכון של  K^\times  בהשלמה הפרו-סופית שלו. מכיוון ש- K^\times\cong O_K^\times \times \mathbb{Z} , נובע ש- Gal(K^{ab}/K)\cong O_K^\times \times \widehat{\mathbb{Z}} , כאשר  \widehat{\mathbb{Z}}  היא ההשלמה הפרו-סופית של השלמים.

ההעתקה  \theta_K  נקראת העתקת ארטין המקומית.

## תורת שדות המחלקה הגלובלית

תורת שדות המחלקה הגלובלית מתארת את ההרחבות האבליות של שדות גלובלים. התיאור במקרה זה פחות מפורש מהמקרה המקומי ונעשה דרך חוג האדלים של השדה.

אם  \mathbf{A}_K  מסמן את חוג האדלים של  K , יש שיכון  K^\times \rightarrow \mathbf{A}_K^\times  בין חבורות ההפיכים של  K  ושל  \mathbf{A}_K . התמונה של  K^\times  היא דיסקרטית והמנה  K^\times \backslash \mathbf{A}_K^\times  נקראת חבורת מחלקות האידלים.

המשפט המרכזי של תורת שדות המחלקה הגלובלית הוא שהחבורה  Gal(K^{ab}/K)  איזומורפית להשלמה הפרו-סופית של החבורה  K^\times\backslash\mathbf{A}_K^\times . ליתר דיוק, קיים הומומורפיזם  \theta_K:K^\times\backslash\mathbf{A}_K^\times \rightarrow Gal(K^{ab}/K) שהוא ההומומורפיזם של ההשלמה הפרו-סופית. ההומומורפיזם  \theta_K  נקרא העתקת ארטין הגלובלית.

במקרה שהמציין של  K  הוא אפס, רכיב הקשירות של 0 בחוג  \mathbf{A}_K  הוא מהצורה  \mathbb{R}^{d_1}\times\mathbb{C}^{d_2}  ורכיב הקשירות של 1 בחבורה  \mathbf{A}_K^\times  הוא מהצורה  \mathbb{R}_+^{d_1}\times(\mathbb{C}^\times)^{d_2} . לכן רכיב הקשירות של 1 בחבורת מחלקות האידלים גם הוא  \mathbb{R}_+^{d_1}\times(\mathbb{C}^\times)^{d_2} . רכיב הקשירות הזה שווה לגרעין של העתקת ארטין הגלובלית. במקרה שהמציין של  K  חיובי, העתקת ארטין הגלובלית חד חד ערכית.

## הקשר בין העתקות ארטין

עבור שדה גלובלי  K , העתקת ארטין הגלובלית  \theta_K  והעתקות ארטין המקומיות  \theta_{K_v}  קשורות על ידי הנוסחה

 \theta_K((a_v)_{v\in V})=\prod_{v\in V} \theta_{K_v}(a_v) 

שבה  V  הוא אוסף ההערכות של  K ,  (a_v)_{v\in V}  הוא איבר של  \mathbf{A}_K^\times , האיברים  \theta_{K_v}(a_v)\in Gal(K_v^{ab}/K_v)  מזוהים עם איברים בחבורה  Gal(K^{ab}/K)  על ידי העתקת הצמצום  Gal(K_v^{ab}/K_v)\rightarrow Gal(K^{ab}/K) , והמכפלה מוגדרת היטב מכיוון שלכמעט כל הערכה  v , מתקיים  \theta_{K_v}(a_v)=1 .

## לקריאה נוספת

* Bjorn Boonen, A Brief Summary of the Statements of Class Field Theory
* Neukirch, Jürgen (1986), Class Field Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, 

## קישורים חיצוניים

* Keith Conrad, History of class field theory
* Bjorn Poonen, A Brief Summary of the Statements of Class Field Theory
* J.S. Milne, Class Field Theory


קטגוריה:אלגברה