משפט טיכונוף

בטופולוגיה, **משפט טיכונוב** קובע שאם \left\{(X_i,\tau_i)\right\}_{i\in I} משפחה של מרחבים טופולוגיים קומפקטיים, אז גם מרחב המכפלה \prod_{i \in I} X_i קומפקטי. המשפט נחשב אחד המשפטים החשובים ביותר בטופולוגיה כללית, אם לא החשוב שבהם, והוכיח אותו אנדריי טיכונוב בתחילת שנות ה-30 של המאה ה-20.

כאשר מדובר במכפלה של מספר סופי של מרחבים, ההוכחה נובעת בקלות יחסית מן ההגדרה של טופולוגיית המכפלה. אלא שהמשפט תקף גם עבור מכפלות מכל גודל (ואפילו שאינן בנות מנייה) עם טופולוגיית המכפלה (המכונה גם טופולוגיית טיכונוב). משפט זה מספק גם צידוק משמעותי להעדפת טופולוגיית המכפלה על פני טופולוגיית התיבות.

מלבד היישומים של המשפט בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית, משפט טיכונוב מוכר בתורת הקבוצות האקסיומטית כניסוח שקול לאקסיומת הבחירה הקובעת שאם כל הקבוצות במשפחה \left\{X_i\right\}_{i \in I} אינן ריקות אז גם קבוצת המכפלה אינה ריקה. הגרסה המוחלשת של המשפט, המתייחסת רק לקומפקטיות של מכפלת מרחבי האוסדורף קומפקטיים, אינה גוררת את אקסיומת הבחירה. עם זאת, גם הגרסה המוחלשת אינה ניתנת להוכחה במסגרת אקסיומות צרמלו-פרנקל (ZF, ללא אקסיומת הבחירה).

## הוכחת משפט טיכונוב
ישנן מספר הוכחות למשפט טיכונוב.

# בעזרת משפט אלכסנדר לתת בסיסים: לטופולוגיית המכפלה \prod_{i\in I}X_i יש תת-בסיס טבעי שהוא B=\bigcup_{i\in I}B_i כאשר B_i = \left\{ \prod_{j\neq i}X_j \times U_i : U_i\in \tau_i \right\}. לפי משפט אלכסנדר, כדי להוכיח קומפקטיות מספיק להתבונן בכיסוי \mathcal{U} של מרחב המכפלה על ידי קבוצות מ-B. בלי הגבלת הכלליות, המרחב עצמו אינו שייך ל-\mathcal{U}. עבור i\in I מסוים, נסתכל על כל הקבוצות מהצורה  \left\{\prod_{j\neq i}X_j \times U_i\right\}  שמשתתפות בכיסוי הנתון. אם ה- U_i  האלה מכסים את  X_i  אז יש מספר סופי מהם שמכסה את  X_i  בגלל הקומפקטיות שלו, ולכן יש גם מספר סופי של  \left\{\prod_{j\neq i}X_j \times U_i\right\}  שמכסה את כל מרחב המכפלה וסיימנו. נניח בשלילה כי לכל i\in I הקבוצות מהכיסוי שמהצורה  \prod_{j\neq i}X_j \times U_i  מקיימות כי ה- U_i  אינן מכסים את  X_i . מאקסיומת הבחירה ניתן לבחור לכל i\in I איבר  x_i\in X_i  שאינו ב- U_i  הנ"ל. טענה:  (x_i)  אינו מכוסה על ידי הכיסוי (וזו סתירה!). הוכחה: אחרת קיימת קבוצה מהצורה  \prod_{j\neq i}X_j \times U_i  שהוא שייך אליה אבל לפי הבחירה  x_i\not\in U_i .
# בעזרת שקילות להתכנסות על מסננים: יהא F על מסנן של \prod_{i\in I}X_i אזי \{P_i(A): A\in F\} הוא על מסנן של X_i (כאשר  P_i היא ההטלה על רכיב i). ולכן קיים לו גבול שנסמנו a_i. כעת, נראה כי (a_i)\in\prod_{i\in I}X_i הוא גבול של F וסיימנו. אכן כל סביבה של (a_i) מכילה קבוצה פתוחה בסיסית \prod_{i\in I\setminus J}X_i\prod_{j\in J}U_j עבור J קבוצה סופית. ולכן לכל  j\in J  קיימת  A_j\in F  כך ש- P_j(A_j)\subseteq U_j  ואז  A=\bigcap_{j\in J}A_j \in F  (חיתוך סופי) מקיימת A\subseteq \prod_{i\in I\setminus J}X_i\prod_{j\in J}U_j.
# הוכחה בעזרת חיתוך של קבוצות סגורות: יהי \mathcal{F}  אוסף של קבוצות סגורות שכל חיתוך סופי מתוכו אינו ריק. נראה כי החיתוך של כולן אינו ריק. לפי הלמה של צורן קיימת \mathcal{H}  מקסימלית (ביחס להכלה) שמכילה את \mathcal{F}  ומקיימת שכל חיתוך סופי של קבוצות מ-\mathcal{H}  לא ריק ומניחים בשלילה כי \bigcap_{H\in\mathcal{H}}\overline{H}\neq \emptyset . כיוון ש-\mathcal{H}  מקסימלית אזי כל חיתוך סופי של קבוצות מ-\mathcal{H}  גם הוא ב-\mathcal{H}  (אחרת נוכל להוסיף את החיתוך ל-\mathcal{H} ). ומכאן שכל קבוצה A שנחתכת עם כל איבר ב-\mathcal{H}  גם היא ב-\mathcal{H}  (אחרת נוכל להוסיף אותה ל-\mathcal{H} ). כעת, לכל i\in I הקבוצה \{P_i(H): H\in \mathcal{H}\}  מקיימת כי כל חיתוך סופי של קבוצות ממנה לא ריק ולכן זה נכון גם עבור \left\{\overline{P_i(H)}: H\in \mathcal{H}\right\}  ולכן בגלל קומפקטיות של X_i  קיים a_i\in \bigcap_{H\in \mathcal{H}}\overline{P_i(H)} . נסיים בכך שנראה ש- (a_i)\in \prod_{i\in I}X_i נמצא ב-\bigcap_{H\in\mathcal{H}}\overline{H} . לשם כך תהא סביבה פתוחה בסיסית O=\prod_{i\in I\setminus J}X_i\prod_{j\in J}U_j= \bigcap_{j\in J}P_j^{-1}(U_j) (עבור J קבוצה סופית) של (a_i)  ויהא j\in J  ו-H\in \mathcal{H} . אזי מתקיים כי U_j \cap P_j (H)\neq \emptyset  (כיוון ש-a_j \in \overline{P_j(H)}  ו-a_j\in U_j  סביבה פתוחה שלה ב- X_j ) ולכן P_j^{-1}(U_j) \cap H\neq \emptyset . לכן לכל H\in \mathcal{H}  מתקיים כי P_j^{-1}(U_j) \cap H\neq \emptyset  ולכן  P_j^{-1} (U_j)\in \mathcal{H}  (בגלל המקסימליות של \mathcal{H}  ). ומכאן נקבל כי O= \bigcap_{j\in J}P_j^{-1}(U_j)\in \mathcal{H} (בגלל המקסימליות של \mathcal{H}  וזהו חיתוך סופי של קבוצות משם) ולכן מהגדרת  \mathcal{H}  נקבל כי לכל H\in \mathcal{H}  מתקיים O\cap H\neq \emptyset  מה שאומר כי (a_i)\in \overline{H}  ולכן גם בחיתוך של כולם (a_i)\in \bigcap_{H\in \mathcal{H}}\overline{H} .

### משפט אלכסנדר לתת בסיסים
יהא X מרחב טופולוגי עם תת בסיס B. אם לכל כיסוי של המרחב על ידי קבוצות מ-B יש תת-כיסוי סופי, אז X קומפקטי.

הוכחה: נניח בשלילה כי  X  אינו קומפקטי אזי יש לו כיסוי שאין לו תת-כיסוי סופי. לפי הלמה של צורן נוכל לבחור כיסוי מקסימלי (ביחס להכלה)  C  שאין לו תת-כיסוי סופי, בה"כ  C  הוא אוסף של קבוצות פתוחות בסיסיות. כלומר לכל קבוצה פתוחה  V  שלא נמצאת ב- C  מתקיים כי לכיסוי  C\cup \{V\}  יש תת-כיסוי סופי.
מהגדרת  C  ולפי הנחת המשפט מתקיים כי  C\cap B  אינו כיסוי של המרחב (אחרת היה לו תת-כיסוי סופי לפי הנתון, בסתירה להגדרת  C ) לכן קיים  x\in X  שאינו מכוסה על ידי אף אחת מהקבוצות  C\cap B . כיוון ש- C  כיסוי קיימת קבוצה בסיסית  U=\bigcap_{i=1}^nO_i \subseteq V \in C (כאשר  O_i\in B ) כך ש- x\in U \subseteq V . כיוון שאף קבוצה ב- B\cap C  אינה מכסה את  x  נקבל כי  O_i\not\in C  לכל  i . מהמקסימליות של  C  נקבל כי לכיסוי  C\cup \{O_i\}  יש תת-כיסוי סופי. נסמן את תת-הכיסוי הסופי הזה ללא הקבוצה  O_i  ב- C_i , נגדיר  C_F =\bigcup_{i=1}^n C_i  ונקבל כי  C_F\cup \{O_i\}  הוא כיסוי סופי לכל  i  ולכן גם  C_F\cup\left\{\bigcap_{i=1}^n O_i\right\}  כיסוי סופי ולכן גם  C_F\cup \{V\}  כיסוי סופי. אבל כיסוי סופי זה מוכל ב- C  ולכן הוא תת-כיסוי סופי של  C  בסתירה להגדרה  C .

## שקילות לאקסיומת הבחירה
במסגרת אקסיומות ZF משפט טיכונוב שקול לאקסיומת הבחירה. כלומר מספיק להניח רק אחד מהם כדי להוכיח את השני. נניח שמשפט טיכונוב נכון. תהי \left\{X_i\right\}_{i \in I} משפחה של קבוצות לא ריקות, ונוכיח כי המכפלה \prod_{i\in I}X_i אינה ריקה.

לכל i\in I נגדיר את הקבוצה Y_i להיות האיחוד הזר Y_i=X_i\sqcup\{i\} (פורמלית, ניתן להגדיר Y_i=\left(\{0\}\times X_i\right)\cup\left(\{1\}\times\{i\}\right)). על Y_i נגדיר מבנה של מרחב טופולוגי, שבו אוסף הקבוצות הפתוחות הוא \{\phi,Y_i,\{i\}\}. כיוון שב-Y_i יש מספר סופי של קבוצות פתוחות, Y_i מרחב קומפקטי. נגדיר מרחב טופולוגי Y=\prod_{i\in I}Y_i לפי טופולוגיית המכפלה. לכל i\in I נגדיר U_i =\prod_{j\neq i}Y_j\times\{i\}, שהיא קבוצה פתוחה ב-Y.

נניח בשלילה כי האוסף \{U_i\}_{i\in I} מכסה את Y. לפי משפט טיכונוב, קיים תת-כיסוי סופי \left\{U_{i_j}\right\}_{j=1}^n. כיוון שכל הקבוצות X_i אינן ריקות, ניתן לבחור לכל 1\leq j\leq n איבר x_{i_j}\in X_{i_j}. נשים לב כי בחרנו מספר סופי של איברים ולכן אין צורך להשתמש באקסיומת הבחירה. כעת נגדיר איבר y=\left(y_i\right)_{i\in I} לפי y_i=\left\{\begin{matrix}x_i&\mbox{if }i\in\left\{i_j\right\}_{j=1}^n\\i &\mbox{if }i\notin\left\{i_j\right\}_{j=1}^n\end{matrix}\right., כאשר כאן לא נעשתה שום בחירה. בבירור y\notin U_{i_j} לכל 1\leq j\leq n ולכן y\notin\bigcup_{j=1}^n U_{i_j}, סתירה לכך ש-\left\{U_{i_j}\right\}_{j=1}^n כיסוי של Y. מכאן שהנחת השלילה, כי \{U_i\}_{i\in I} מכסה את Y, אינה נכונה. לכן קיים איבר \left(x_i\right)_{i\in I}\in Y\setminus\bigcup_{i\in I}U_i. מכאן שלכל i\in I מתקיים כי x_i\neq i ולכן x_i\in X_i. בכך הוכחנו שהמכפלה \prod_{i\in I}X_i אינה ריקה, כנדרש.

## ראו גם
* למת הצינור

## קישורים חיצוניים
* 

טיכונוב
קטגוריה:קומפקטיות
קטגוריה:אקסיומת הבחירה