מבחן המנה

במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, **מבחן המנה** (נקרא גם **מבחן המנה של ד'לאמבר** או **מבחן המנה של קושי**) הוא מבחן התכנסות לטורים המאפשר לבחון אם טור אינסופי מתכנס או לא.

המבחן נוסח לראשונה על-ידי ז'אן לה רון ד'אלמבר ומופיע בכרך החמישי של סדרת מאמריו Opuscules mathématiques.

## סימונים
בערך זה נסמן ב-\N את קבוצת המספרים הטבעיים.

הסימונים \lim, \limsup ו-\liminf מתייחסים לגבול, הגבול העליון והגבול התחתון בהתאמה.

## נוסח המשפט
### גרסה חלשה
תהי סדרה של מספרים ממשיים חיוביים \left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty ויהי \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q. אזי:

# אם q הטור \sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס.
# אם q>1 הטור \sum_{n=1}^\infty a_n מתבדר.
# אם q=1 המבחן איננו מספיק כדי לקבוע את התכנסות הטור.

### גרסה חזקה
תהי סדרה של מספרים ממשיים חיוביים \left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty ויהי \limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=Q ו-\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q. אזי:

# אם Q הטור \sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס.
# אם q>1 הטור \sum_{n=1}^\infty a_n מתבדר.
# אם q\le 1\le Q המבחן איננו מספיק כדי לקבוע את התכנסות הטור.

ניתן לראות שהגרסה החלשה של המבחן נובעת מהגרסה החזקה למקרה שבו q=Q.

## הוכחה
מספיק להוכיח את הגרסה החזקה של המבחן כדי להוכיח את הגרסה החלשה. אין צורך להוכיח את אי-הכרעת המבחן למקרה שבו q\le 1\le Q שכן ניתן להראות את אי-הכרעתו באמצעות דוגמאות נגדיות (ראו פרק דוגמאות).

### הוכחת התכנסות לפי המבחן
מניחים כי Q. בוחרים Q כלשהו. לפי תכונות הגבול העליון, קיים N\in\N כך שלכל n>N מתקיים ש-\frac{a_{n+1}}{a_n}. בגלל שהדבר נכון לכל n>N, אפשר להראות כי:

a_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdots\frac{a_{N+1}}{a_N}\cdot a_N

משמע כי:

\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^{N-1} a_n + \sum_{n=N}^\infty a_n

משמע שהטור מתכנס.

### הוכחת התבדרות לפי המבחן
מניחים כי q>1. בוחרים 1 כלשהו. לפי הגדרת הגבול התחתון, קיים N\in\N כך שלכל n>N מתקיים ש-\frac{a_{n+1}}{a_n}>l. בגלל שהדבר נכון לכל n>N, אפשר להראות כי:

a_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdots\frac{a_{N+1}}{a_N}\cdot a_N>l^{n-N}a_N

מכאן נובע כי \lim_{n\to\infty}a_n\ge \lim_{n\to\infty}a_Nl^{n-N}=\infty. כלומר, הסדרה לא מקיימת את התנאי ההכרחי להתכנסות טור אינסופי, ולכן היא לא מתכנסת.

**מ.ש.ל.**

## דוגמאות
### התכנסות לפי המבחן
נתון הטור \sum_{n=1}^\infty{\frac{n}{2^n}}. לפי מבחן המנה:

\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\frac{n+1}{n}=\frac{1}{2}

לכן הטור בהכרח מתכנס. ניתן להראות כי:

\sum_{n=1}^\infty{\frac{n}{2^n}}=2

### התבדרות לפי המבחן
נתון הטור \sum_{n=1}^\infty{\frac{2^n}{n}}. לפי מבחן המנה:

\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2^{n+1}}{n+1}}{\frac{2^n}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n+1}=2

לכן הטור בהכרח מתבדר

### אי-הכרעת המבחן
יהי שתי סדרות a_n:=\frac{1}{n} ו-b_n=\frac{1}{n^2}. יש לבחון האם הטורים \sum_{n=1}^\infty a_n ו-\sum_{n=1}^\infty b_n מתכנסים. לפי מבחן המנה:

\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1

\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=1

עם זאת, הטור \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} מתבדר (זהו הטור ההרמוני) והטור \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} מתכנס (הטור מבעיית בזל).

כלומר, כאשר הגבול של המנות הוא 1, המבחן חסר-הכרעה.

## מבחן המנה לסדרות מרוכבות
ניתן לנסח גרסה דומה למבחן המנה לכל סדרה כללית, גם כזו שאיבריה שליליים או מרוכבים:

תהי סדרה של מספרים מרוכבים \left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty שאינסוף מאיבריה אינם מתאפסים (אחרת הטור הוא טור סופי ובהכרח מתכנס).

ויהי \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=Q ו-\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=q. אזי:
# אם Q הטור \sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס בהחלט.
# אם q>1 הטור \sum_{n=1}^\infty a_n מתבדר.
# אם q\le 1\le Q המבחן איננו מספיק כדי לקבוע את התכנסות הטור.
הוכחת המקרה הזה זהה להוכחת המקרה החיובי, עם שינויים קלים.

## ראו גם
* מבחן השורש
* מבחן ראבה
* מבחן M של ויירשטראס

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:מבחני התכנסות
קטגוריה:תורת הטורים
קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי