סריג חסום

במתמטיקה, ובפרט בתורת הסדר, **סריג חסום** הוא סריג שיש לו איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר, אשר לרוב מסמנים אותם ב-0 וב-1 בהתאמה.

לסריגים חסומים חשיבות רבה מכיוון שמבנים אלגבריים רבים הם סריגים חסומים, ביניהם סריג שלם, אלגברת הייטינג, אלגברה בוליאנית ואחרים.

## הגדרה
לסריג חסום ניתן לתת שתי הגדרות, האחת באמצעות יחס סדר, והשנייה הגדרה אלגברית. ניתן להוכיח כי שתי ההגדרות שקולות.

### הגדרה לפי יחס סדר
תהי קבוצה סדורה (L,\le). אזי L תקרא **סריג חסום** אם ורק אם:

# L היא סריג לפי יחס סדר:
## לכל זוג a,b\in L יש אינפימום.
## לכל זוג a,b\in L יש סופרמום.
# L היא קבוצה חסומה לפי יחס סדר:
## קיים m\in L כך שלכל a\in L מתקיים ש-m\le a. ניתן להוכיח שאיבר זה יחיד ומסמנים אותו ב-0.
## קיים M\in P כך שלכל a\in L מתקיים ש-a\le M. ניתן להוכיח שאיבר זה יחיד ומסמנים אותו ב-1.

### הגדרה אלגברית
תהי קבוצה L עם שתי פעולות בינאריות \and ו-\or ושני איברים 0,1\in L. אזי, L תקרא **סריג חסום** אם ורק אם היא מקיימת את התנאים הבאים:

# L היא סריג לפי הפעולות \and ו-\or:
## אסוציאטיביות: לכל a,b,c\in L מתקיים ש-(a\and b)\and c = a\and (b\and c) ו-(a\and b)\and c = a\and (b\and c)
## סימטריות: לכל a,b\in L מתקיים ש-a\and b = b\and a ו-a\or b = b\or a
## אידמפוטנטיות: לכל a\in L מתקיים ש-a\and a = a ו-a\or a = a
## ספיגה: לכל a,b\in L מתקיים ש-a\and (a\or b) = a ו-a\or (a\and b) = a
# 0 ו-1 הם איברי יחידה לפי \or ו-\and בהתאמה:
## לכל a\in L מתקיים ש-a\or 0 = a.
## לכל a\in L מתקיים ש-a\and 1 = a.

## תכונות
* בהינתן סריג חסום (L,\and,\or,0,1), לכל a\in L מתקיים ש-a\and 0 = 0.
* בהינתן סריג חסום (L,\and,\or,0,1), לכל a\in L מתקיים ש-a\or 1 = 1.

## חסימת סריג
יהי סריג (L,\le) כלשהו. נשאלת השאלה האם קיים סריג חסום L' כך ש-L משוכנת סדר בתוך L'.

מגדירים L':=\{\downarrow\!x\mid x\in L\}\cup\{\emptyset, L\} קבוצת של תת-קבוצות של L כך שלכל x\in L הקבוצה \downarrow\! x היא הסגור מטה של x. ניתן להוכיח כי L' עם יחס ההכלה \subseteq היא סריג חסום. מגדירים את הפונקציית \varphi\colon L\to L' כך שלכל x\in L מתקיים ש-\varphi(x):=\downarrow\! x. ניתן להוכיח כי \varphi היא שיכון סדר.

השלמת דדקינג-מקניל  מוכיחה טענה חזקה בהרבה: כל קבוצה סדורה חלקית (לאו דווקא סריג) משוכנת בתוך סריג שלם (שהוא בהכרח סריג חסום).

## סריג עם השלמה
יהי סריג חסום (L,\and,\or,0,1). סריג זה יקרא **[[סריג עם השלמה]]** אם ורק אם לכל a\in L קיים b\in L כך ש-a\and b = 0 וגם a\or b = 1. במקרה זה b יקרא **משלים של** a. עבור סריג עם השלמה, בניגוד לאלגברה בוליאנית, ייתכנו כמה משלימים לכל איבר. ניתן לחשוב על האיבר המשלים לאיבר כלשהו בתור השלילה של אותו איבר.

## דוגמאות
* כל קבוצה סדורה סופית היא סריג שלם, ולכן סריג חסום.
* כל קטע סגור על הישר הממשי הוא סריג חסום.
* מגדירים ב-L את קבוצת כל תת-המרחבים הווקטוריים של \R^2 תחת יחס סדר ההכלה. זהו סריג חסום עם מינימום \{0\} ומקסימום \R^2.
* מגדירים ב-C את אוסף הפונקציות הרציפות מ-\R לקטע הסגור [0,1] עם יחס הסדר \le כך ש- f\le g אם ורק אם f(x)\le g(x) לכל x\in\R. (C,\le) הוא סריג מכיוון שלכל זוג פונקציות ניתן לקחת את המינימום (המקסימום) בכל נקודה ולקבל פונקציה רציפה שקטנה (גדולה) משתי הפונקציות. מצד שני, בעבור אוסף שאינו סופי של פונקציות רציפות, אין הכרח שבנייה מעין זו תניב פונקציה רציפה. לכן זהו סריג שאינו סריג שלם. לבסוף, זהו סריג חסום מכיוון שהפונקציה הקבועות m(x):=0 ו-M(x):=1 הן מינימום ומקסימום גלובליים.
* מגדירים ב-P את קבוצת כל המצולעים הקמורים והסגורים ב-\R^2, יחד עם הקבוצה הריקה \emptyset והמרחב כולו \R^2. זהו סריג תחת יחס ההכלה, זאת מכיוון שלכל זוג מצולעים סגורים קמורים, החיתוך שלהם הוא מצולע סגור קמור, והסגור של הקמור של האיחוד שלהם הוא גם מצולע סגור וקמור. בנוסף זהו סריג חסום כי \emptyset הוא המינימום ו-\R^2 הוא המקסימום. עם זאת, זהו אינו סריג שלם מכיוון שאם לוקחים את כל המצולעים הסגורים והקמורים המוכלים במעגל היחידה, לא קיים להם סופרימום כי האיחוד שלהם הוא מעגל שאיננו מצולע.

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת הסדר