משוואת האגן-פואזיי

**משוואת האגן-פואזיי** (**Hagen–Poiseuille**) או בפשטות "משוואת פואזיי" היא משוואה פיזיקלית-הנדסית במכניקת זורמים, המתארת את ירידת הלחץ בנוזל, הזורם דרך צינור גלילי אופקי. המשוואה התקבלה בנפרד על ידי  ז'אן לאונר מארי פואזיי בשנת 1838 ועבור האגן בשנת 1839, אך התפרסמה על ידי פואזיי בשנת 1840.

המשוואה שימושית לאומדן הפרשי לחצים בצינורות בעלי קוטר קטן: כלי דם, קש שתייה, מחטי מזרקים וכדומה.

## הנחות
ההנחות לקיום המשוואה הן:
# זרימה בלתי דחיסה
# זורם ניוטוני
# זרימה שכבתית
# הזרימה היא דרך צינור בעל אורך שגדול באופן משמעותי מקוטר הצינור.
# תאוצת הזורם שווה לאפס (כל אחת משכבות הזורם – זורמת במהירות קבועה).

במקרים בהם ההנחות לא מתקיימות, למשל: אורך צינור קצר מידי, זרימה טורבולנטית ולא למינארית, וכדומה, ירידת הלחץ תהיה שונה משמעותית מירידת הלחץ המחושבת על ידי המשוואה.

## משוואת האגן-פואזיי
ירידת הלחץ מחושבת על ידי הנוסחה:


\Delta P=\frac{8\mu LQ}{\pi r^4}
=\frac{8\pi\mu LQ}{A^2}


כאשר:
* \Delta P – הפרש הלחץ (ירידת הלחץ)
* L – אורך הצינור
* \mu – צמיגות הזורם
* Q – הספיקה הנפחית
* r – רדיוס הצינור
* A – שטח חתך הזרימה

המשוואה כושלת במדידת הפרש הלחץ בתנאים שבאופן טבעי יוצרים זרימה טורבולנטית. עבור זורם בעל צמיגות נמוכה, צנרת קצרה או רחבה, נדרש שימוש במודלים מורכבים יותר כמו משוואת דרסי-ויסבך. כמו כן, לא ניתן למדוד את הפרש הלחץ בסמוך לתחילת הצינור, בשל תופעות מעבר הגורמות להפסדי לחץ נוספים.

## פיתוח המשוואה
נתייחס לצינור בצורת גליל (תמונה מספר 1) ונסתכל על שכבת זורם קטנה באורך L.

ממוזער|שמאל|250px|צינור גלילי – תמונה מספר 1

הכוחות הפועלים הם: כוחות לחץ וכוחות גזירה, כמסומן.

**לחץ:**

על חתך הטבעת בנקודה Z=0:

(2\pi r\Delta r)P_0

ועל חתך הטבעת בנקודה Z=L:

-(2\pi r\Delta r)P_L

**גזירה:**

כוח הגזירה הפועל על הטבעת הפנימית:

(2\pi rL \tau _r)|_r

כוח הגזירה שהטבעת החיצונית מפעילה על שכבת הנוזל הבאה איתה במגע:

-(2\pi rL \tau _r)|_{r+\Delta r}

חיבור הכוחות והשוואה לאפס:

(2\pi r\Delta r)P_0-(2\pi r\Delta r)P_L+(2\pi rL \tau _r)|_r-(2\pi rL \tau _r)|_{r+\Delta r}=0

מכאן, נקבל כי:

r \tau _r|_{r+\Delta r}-r \tau _r|_{r}= \frac{r\Delta r\Delta P}{L}

כלומר:

\frac{d(r\tau)}{dr}\Delta r=\frac{r\Delta r\Delta P}{L}

נבצע אינטגרל ונקבל:

r\tau=\frac{r^2\Delta P}{2L}+C_1

ניתן להזניח את הקבוע (C_1=0), ולקבל:

\tau=\frac{r\Delta P}{2L} (*)

עבור **זורם ניוטוני** (הנחה מספר 2):

הנוסחה עבור מאמץ הגזירה בין שני לוחות: \tau =-\mu \frac{dv}{dx}

ובהתאמה, עבור צינור או גליל: \tau =-\mu \frac{dv}{dr}

נשווה למשוואה (*):

\tau =-\mu \frac{dv}{dr}=\frac{r\Delta P}{2L}

נכפול ב- -\frac{dr}{\mu} ונקבל:

dv=-\frac{\Delta P}{2L\mu}rdr

נבצע אינטגרל ונקבל:

v=-\frac{\Delta P}{4L\mu}r^2+C_2 (**)

כדי למצוא את הקבוע C_2, נשתמש בתנאי השפה: v_{(r=R)}=0 – כלומר, על שפת הגליל, המהירות הזורם זהה לצינור הנייח, משמע – אפס.

נציב את תנאי השפה במשוואה (**) ונחלץ את C_2:

C_2=\frac{\Delta PR^2}{4L\mu}

כעת, נציב את C_2 חזרה למשוואה (**) ונקבל:

v_r=\frac{\Delta P}{4L\mu}(R^2-r^2) (***)

קיבלנו ביטוי פרבולי למהירות וניתן לראות כי הוא בהחלט תואם למצופה מזרימת פואזיי (תמונה מספר 2).

ממוזער|שמאל|250px|זרימה פרבולית בתוך הצינור – תמונה מספר 2

ניתן לראות מביטוי (***) כי המהירות המקסימלית מתקבלת במרכז, עבור r=0.

ניתן לוודא כי זוהי המהירות המקסימלית על ידי גזירת המשוואה:

\frac{dv}{dr}=-\frac{r\Delta P}{2L\mu}

וכאמור, עבור r=0, \frac{dv}{dr}=0 הנגזרת מתאפסת והמשמעות היא שאכן המהירות המקסימלית נמצאת בנקודה זו.

**חישוב ספיקה נפחית לנוזל ניוטוני:**

כל אחת מטבעות הזורם בצינור נעה במהירות v_r.

כדי לחשב את הספיקה עלינו לחשב את הכפל בין שטח כל טבעת ומהירות הטבעת, ולסכום עבור כל הטבעות.

שטח של טבעת אינפיניטסימלית:

dA=\pi (r+dr)^2-\pi r^2=2\pi rdr+(dr)^2

וכיוון שהביטוי (dr)^2 קטן מאוד – נוכל להזניח אותו, ולקבל:

dA=2\pi rdr

כעת נחשב את הספיקה:

Q=\int dq= \int v_rdA=\int v2\pi rdr

נציב את משוואה (***) נפתור את האינטגרל בכל תחום הגליל, כלומר החל מ-r=0 ועד r=R:

Q=\int \limits_{0}^{R}\frac{\Delta P}{4L\mu}(R^2-r^2)2\pi rdr=\frac{\Delta P}{4L\mu}2\pi\bigg[\frac{R^2r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\bigg]_{0}^{R}

מכאן:

Q=\frac{\pi \Delta P R^4}{8L\mu}

ואם נעביר אגפים, נקבל את "משוואת האגן-פואזיי":

\Delta P=\frac{8 \boldsymbol{\mu}LQ}{\pi r^4}

## משוואת וושבורן
בפיזיקה, משוואת וושבורן מתארת זרימה קפילרית בצינור. משוואה זו נכתבה על ידי Edward Wight Washburn.

L^2=\frac{\gamma Dt}{4\eta}

כאשר **t **מייצג את הזמן האופייני לנוזל בעל צמיגות \eta ומתח פנים \gamma כדי לחדור מרחק L לתוך קפילרה בעלת קוטר D.

במאמרו משנת 1921, משתמש וושבורן במשוואת פואזיי. שימוש בגורם אינטגרציה הנותן ביטוי לשינוי נפח אינפיניטסימלי כתלות ב-l, אורך הנוזל בצינור, dV=\pi r^2 dl נקבל:

\frac{\delta l}{\delta t}=\frac{\sum P}{8 r^2 \eta l}(r^4 +4 \epsilon r^3)

כאשר \sum P הוא סכום הלחצים במערכת כגון לחץ אטמוספירי P_A, הלחץ ההידרוסטטי P_h והכוח האקוויוילנטי הנוצר בקפילרות P_c. \epsilon הוא מקדם שיפוע המוערך כ-0 עבור נקודת מפגש בין נוזל למוצק הידוע בשם wetting.

את הלחץ ניתן לבטא באמצעות:

P_h=h g \rho - l g \rho\sin\psi

P_c=\frac{2\gamma}{r}\cos\phi

כאשר \rho מבטא את צפיפות הנוזל ו-\gamma את מתח הפנים שלו. \psi זווית הצינור ביחס לציר האופקי ו-\phi היא זווית המגע בין הנוזל והחומר הקפילרי. לאחר החלפת משתנים נקבל:

\frac{\delta l}{\delta t}=\frac{[P_A+g \rho (h-l\sin\psi)+\frac{2\gamma}{r}\cos\phi](r^4 +4 \epsilon r^3)}{8 r^2 \eta l}

## משוואת פואזיי לזורם דחיס
עבור זורם דחיס בצינור, הספיקה הנפחית ומהירות הזורם אינם אחידים לאורך הצינור. הזרימה לרוב, באה לידי ביטוי על ידי הלחץ ביציאה. כאשר הנוזל נדחס או מתרחב, מתבצעת עבודה והנוזל מתחמם או מתקרר בהתאמה. מתקבל מכך כי הספיקה תלויה במעבר החום אל ומתוך הזורם. עבור נקודת מבט איזותרמית של גז אידיאלי, כאשר טמפרטורת הזורם תלויה במאזנה עם הסביבה וכאשר הלחץ בין קצוות הצינור קטן, הספיקה הנפחית ביציאה מהצינור נתונה על ידי:

## ניסויי האגן
כאמור, בשנת 1839 פרסם האגן מאמר בנושא זרימת מים בצינורות גליליים. תוצאות הניסויים המוזכרים במאמר דומים לאלו שהציע פואזיי, אך פחות מקיפות ופחות מדויקות מתוצאותיו של פואזיי.
תוצאות הניסויים אולם, הכילו הבחנות על אפקטי קצה והבחנות על השוני שבין זרימה למינארית לטורבולנטית. התוצאה שהציע האגן להפרש הלחצים היא:
**P=ׂ(A*L*Qּּ+B*Q²ׁ)/Dֶ^4**
כאשר A,B קבועים. האגן מצא כי הקבוע **A** תלוי בטמפרטורה והביע אותו באמצעות הנוסחה:
**A=a-b*T+c*T²**
כאשר **a,b,c** קבועים המתקבלים מניסוי.
עבור ספיקות קטנות מאוד, הערך Q² ניתן להזנחה, כך שמתקבלת למעשה אותה הנוסחה שהוצעה להפרש הלחצים על ידי פואזיי.
Prandtl ו Tietjens המירו את התוצאות שקיבל האגן עבור הקבוע A, על מנת לקבל גרף עבור פקטור חיכוך אל מול מספר ריינולדס. תוצאות אלו ניבאו היטב את תוצאות הקו התאורטי עבור מספרי ריינולדס בטווח **70–1000**:
**f=64/RN**
כאשר **f** מייצג את פקטור החיכוך המקובל בצינור.

## משוואת דרסי-ויסבך
בדרך כלל משוואת האגן-פואזיי מצביעה לא רק על הפרש הלחצים בזרימה בציור אלא גם על צורתה הפרבולית של הזרימה. למעשה ניתן לפתח את תוצאות הפרש הלחצים גם לזרימה טורבולנטית על ידי קביעת צמיגות טורבולנטית אפקטיבית במקרה של זרימה טורבולנטית, אפילו שצורת הזרימה הטורבולנטית היא לא לגמרי פרבולית. בשני המקרים, הירידה בלחץ בצינור קשורה לעומס על הדפנות, אשר כביכול קובעת את פקטור החיכוך. ניתן לקבוע את ירידת הלחץ בצינור כתוצאה מחיכוך על ידי משוואת דרסי-ויסבך.

## ראו גם
* משוואת דרסי-ויסבך
* זרימה דחיסה במספרי מאך נמוכים

## קישורים חיצוניים

* ההיסטוריה של משוואת האגן-פואזיי 

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:מכניקת הזורמים