משוואת לז'נדר (תורת המספרים)

בתורת המספרים, **משוואת לז'נדר** (גם **משפט לז'נדר**) היא משוואה דיופנטית מהצורה:

:ax^2+by^2+cz^2=0.

המשוואה נקראת על שם אדריאן-מארי לז'נדר, שניסח ב-1785 תנאי הכרחי ומספיק שמקדמיה *a*,*b*,*c* צריכים לקיים על מנת שיהיה לה פתרון לא-טריוויאלי במספרים שלמים *x*,*y*,*z*:

**תנאי לז'נדר**: למשוואת לז'נדר יש פתרון לא טריוויאלי אם ורק אם *bc,-ca-* ו-*ab-* הם שאריות ריבועיות מודולו *a,b* ו-*c*, בהתאמה, כאשר המקדמים *a,b,c* כולם שונים מאפס, לא כולם חיוביים או שליליים, ללא מחלק ריבועי, וזרים בזוגות.

מכיוון שמשוואת לז'נדר היא תבנית ריבועית, כלומר סוג של פולינום הומוגני ממעלה שנייה, קיום פתרון במספרים שלמים גורר קיום פתרון במספרים רציונליים. הודות לקשר ההדוק של המשפט של לז'נדר לנקודות רציונליות על חתכי חרוט, המשפט משך את תשומת לבם של מתמטיקאים גדולים רבים מאז, ביניהם קרל פרידריך גאוס ויוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה, אשר הוכיחו אותו בטכניקות חדשות. בעוד הוכחתו המקורית של לז'נדר הייתה הוכחת קיום אלגנטית, בספרו "מחקרים אריתמטיים" גאוס סיפק הוכחה קונסטרוקטיבית למשפט דרך תורת התבניות הריבועיות הטרנריות שפיתח, שתיארה "מתכון" כללי לקבלת פרמטריזציה של פתרונות המשוואה, בדומה לפרמטריזציה של שלשות פיתגוריות.

## הצדקה למגבלות על מקדמי המשוואה
ההגבלה על המקדמים *a,b* ו-*c* נועדה להבטיח את "קנוניות" המשוואה ואינה מגבילה את כלליות המשפט. למשל, ברור שממילא אין למשוואת לז'נדר פתרונות כאשר כל מקדמיה חיוביים או שליליים. ההצטמצמות למקדמים ללא מחלק ריבועי לא משנה את אופי המשוואה, שכן אם לאחד המקדמים יש מחלק ריבועי, ניתן "להבליע" אותו בנעלם המתאים למקדם. כלומר, הכפלה של אחד המקדמים במשוואת לז'נדר קנונית בריבוע שלם לא משנה את פתירות המשוואה. ההצדקה לעובדה שהדרישה שמקדמי המשוואה יהיו זרים בזוגות אינה מגבילה את כלליות המשפט מורכבת יותר, ונביא כאן למה מתוך מאמר 298 במחקרים אריתמטיים של גאוס.

**טענה**: יהיו \alpha^2,\beta^2,\gamma^2 הריבועים השלמים הגדולים ביותר שמחלקים bc,ac ו-ab, בהתאמה. אז הגדלים

:A=\frac{a\alpha}{\beta\gamma}, B = \frac{b\beta}{\alpha\gamma}, C = \frac{c\gamma}{\alpha\beta}

הם מספרים שלמים ללא מחלק ריבועי וזרים בזוגות; והמשוואה ax^2+by^2+cz^2 = 0 פתירה במספרים שלמים אם ורק אם Ax^2+By^2+Cz^2 = 0 פתירה במספרים שלמים.

**הוכחה**: נסמן bc = \alpha^2 s, ac = \beta^2 t, ab = \gamma^2 u, כך ש- s,t,u הם שלמים ללא מחלק ריבועי. קל לראות ש-
 AB = u, AC = t, BC = s , וכתוצאה מכך  (ABC)^2 = uts  ולכן  ABC = As = Bt = Cu  בהכרח שלם. יהי m המחלק המשותף המרבי של s ו-As. אז  s = gm, As = hm ו-g יהיה זר ל-h ול-m (מפני של-*s* אין מחלק ריבועי). מכך נובע h^2m = gA^2s = gtu, כך ש-g מחלק את h^2m, דבר שאינו אפשרי אלא אם g=\pm 1. לפיכך s=\pm m ו- A = \pm h ולפיכך שלם. באופן דומה, גם B ו-C יהיו שלמים. מכיוון של-  BC = s  אין מחלק ריבועי, B בהכרח זר ל-C; באופן דומה, A יהיה זר ל-B ו-C. לבסוף, אם X = P, Y = Q, Z= R מקיימים את המשוואה החדשה, אז המשוואה המקורית פתירה על ידי x = \alpha P, y = \beta Q, z= \gamma R; באופן הפוך, אם x = p, y = q, z = r מקיימים את המשוואה המקורית, אז X = \beta\gamma p, Y = \alpha \gamma q, Z = \alpha \beta r מקיימים את המשוואה החדשה, כך שפתירות המשוואה במקדמים a,b,c שקולה לפתירות המשוואה במקדמים A,B,C (הנתונה בצורה הקנונית של משוואת לז'נדר).

## הוכחת תנאי לז'נדר
### כיוון אחד
נוכיח בדרך השלילה שאם (x,y,z) הוא פתרון לא-טריוויאלי למשוואת לז'נדר, אז \mathbb{gcd}(y,a)=1: אילו היה ל-y ו-a מחלק ראשוני משותף p אז הוא היה מחלק גם את cz^2, אך לא את c (מכיוון ש-\mathbb{gcd}(a,c)=1). מכאן ש-p|z ו-p^2 מחלק את -by^2-cz^2 = ax^2, ולכן, מכיוון של-a אין מחלק ריבועי, p|x כמו גם את y ו-z. מכיוון שהטיעון הזה תקף גם לכל פתרון, ובפרט לפתרון פרימיטיבי עבורו \mathbb{gcd}(x,y,z) = 1, קיבלנו סתירה.

אם y ו-a זרים, אז קיים מספר שלם w כך ש-yw\equiv1\pmod{a}, ולכן, מכיוון ש- -by^2\equiv cz^2\pmod{a}, נובע ש--bc\equiv -bcy^2w^2\equiv (wcz)^2\pmod{a}, כלומר -bc הוא שארית ריבועית מודולו a.

בדומה לכך, -ac ו--ab הם שאריות ריבועיות מודולו b ו-c, בהתאמה. כלומר, הראינו שאם קיים פתרון לא טריוויאלי למשוואת לז'נדר, הוא בהכרח מקיים את תנאי לז'נדר.

### כיוון שני

העובדה שתחת התנאים הנכונים יש למשוואת לז'נדר פתרון, היא מקרה פרטי של עקרון הסה, החל על תבניות ריבועיות בכל ממד. לפי עקרון הסה, אם למשוואה ריבועית הומוגנית עם מקדמים רציונליים יש פתרון מעל הממשיים, ופתרון מעל כל שדה p-אדי, אז יש לה פתרון כבר מעל המספרים הרציונליים (בכל אלה, פתרון - שונה מאפס).

מכיוון שלא כל המקדמים במשוואת לז'נדר שווי סימן, יש לה פתרון מעל הממשיים. יש לה פתרון מודולו p, ולכן גם פתרון p-אדי, עבור כל הראשוניים p שאינם מחלקים את abc, משום שלכל תבנית תלת-ממדית עם מקדמים שונים מאפס יש פתרון מעל שדה סופי (זהו שיקול של "שובך יונים" המבוסס על כך שמחצית האיברים בשדה הם שאריות ריבועיות). עבור הראשוניים המחלקים את המכפלה abc, הפתרון מודולו p קיים לפי התנאי על השאריות הריבועיות, ושוב אפשר להרים אותו לפתרון p-אדי. הרמת הפתרונות נעשית בעזרת הלמה של הנזל, שחלה כאן בקלות לכל ראשוני אי-זוגי, ובמאמץ נוסף גם עבור p=2. אם כך, עקרון הסה קובע שיש למשוואה הזו גם פתרונות רציונליים.

## ראו גם
* עקרון הסה

## מקורות
* A.M. Legendre, "Recherches d'Analyse Indeterminee", part III, pp. 507-513 (1785)
* L. E. Dickson, *History of the Theory of Numbers. Vol.II: Diophantine Analysis*,Chelsea Publishing, 1971, . Chap.XIII, p. 422.
* J.E. Cremona and D. Rusin, "Efficient solution of rational conics", Math. Comp, **72** (2003) pp. 1417-1441.  
* https://www.math.purdue.edu/~jlipman/LegendreTalk.pdf Joseph Lipman, Rational Points on Conics, and Local-Global Relations in Number Theory

## הערות שוליים

קטגוריה:משוואות דיופנטיות