תהודה

**תְּהוּדָה** (או **רזוננס**, מלטינית: **Resono**, שמשמעו 'אני עונה') היא מצב של מערכת פיזיקלית הנתונה להשפעת כוח חיצוני מאלץ, אשר מתקבל כאשר הכוח פועל בתדירות קרובה לאחת מתדירויות התנודה הטבעיות של המערכת. מערכת בעלת מאפיינים אלו נקראת גם **מהוד**.

דוגמה פשוטה לתהודה אפשר לראות כאשר מנדנדים נדנדה תלויה. נניח שהנדנדה חוזרת לאותו מקום מדי שלוש שניות. במקרה זה זמן המחזור הטבעי של הנדנדה הוא שלוש שניות, והוא אינו תלוי במשרעת התנודה או במסת הנדנדה (בהנחה שהוא גדול מספיק ביחס למסת השרשראות שקושרות אותה). אם דוחפים את הנדנדה, אפילו באורח קל, מדי שלוש שניות (ותמיד באותו כיוון), תצטבר השפעת הדחיפה והיא עשויה להגדיל מאוד את מהירות הנדנדה ואת משרעת התנודה שלה. זוהי תהודה. לעומת זאת, אם דוחפים את הנדנדה בפרק זמן השונה מכפולה שלמה של זמן המחזור, למשל מדי חמש שניות או שמונה שניות, אזי לאורך זמן יבטלו הדחיפות זו את זו, מכיוון שבחלק מהמקרים הדחיפה תהיה עם כיוון התנועה, ובחלק נגדה. במקרים אלה המערכת אינה בתהודה.

בהסבר המתמטי (המובא להלן) ניתן לראות כי עוצמת התהודה מגיעה לאינסוף גם כאשר הכוח סופי. תהודה יכולה לגרום לתופעות הרסניות, כמו אלו שקרו בקריסת גשר מצר טקומה.

ההגדרה שהובאה כאן מתייחסת לתהודה במערכות קלאסיות. בתורת הקוונטים משתמשים במונח זה גם לציון מצב בו המעבר של מערכת בין שני מצבים משמר אנרגיה. מעבר כזה יכול להתקיים כאשר רמות האנרגיה של שני המצבים שוות, או אם במהלך התהליך קיים גורם נוסף (למשל פוטון או פונון) שמספק או מקבל את הפרש האנרגיה הדרוש למעבר. ערך זה מתמקד בתהודה במערכות קלאסיות.

## החשיבות הטכנולוגית של תהודה - תדירות עצמית
אחד המאפיינים החשובים של מצב תהודה הוא שהוא מתקבל בתדירות הכוח המאלץ שבה קצב מעבר האנרגיה למערכת מגיע לערכו המרבי. לתכונה זו משמעות מרחיקת לכת מבחינה טכנולוגית. בפרט, התכנון המכני של כל מוצר, מגורד שחקים, גשר או מטוס ועד מכונת כביסה או טלפון סלולרי צריך להתחשב באפשרות שכוחות חיצוניים או פנימיים עלולים להביאו למצב של תהודה. המקרה הידוע ביותר של תכנון לקוי, אשר לא התחשב בתופעה זו, הוא של גשר מצר טקומה שבמדינת וושינגטון בארצות הברית. הגשר לא תוכנן כהלכה ונכנס למצב תהודה לעיתים קרובות. עם זאת, ההתמוטטות הסופית נבעה מחוסר יציבות.

דוגמה נוספת לצורך להתחשב בתופעת התהודה היא בתכנון של תנור מיקרוגל. אופן פעולת התנור מבוסס על עירור של מולקולות המים שנמצאות במזון על ידי גל אלקטרומגנטי. ברם, עירור זה נעשה בתדירות גבוהה במקצת מתדירות התהודה של מולקולות המים ושתי סיבות לכך:
* כדי למנוע מעבר מהיר מדי של אנרגיה אשר ישרוף את המזון.
* כדי להימנע ממצב שבו חימום המזון נעשה אך ורק בשכבה החיצונית שלו. לו הייתה תדירות המיקרוגל מכוונת לתדר התהודה הייתה מרבית האנרגיה נבלעת בשכבה החיצונית ביותר של המזון המחומם, והחלק הפנימי היה נותר קר. הסטייה המתוכננת מתדר התהודה מפחיתה את הבליעה, ומאפשרת לגלים האלקטרומגנטיים להגיע גם לחלקים הפנימיים יותר של המזון.

ההתחשבות בתהודה חשובה במיוחד בתכנון אולמות קונצרטים. לכל אולם יש אופני תנודה עצמיים (גלים עומדים) של גלי הקול אשר נקבעים על ידי צורת האולם ועל ידי תכונות הבליעה וההחזרה של ציפוי הקירות והתקרה. אופני תנודה אלו עלולים להיכנס לתהודה כתוצאה מהמוזיקה המתנגנת באולם, ובמצב זה נוצרת הגברה לא מאוזנת של צלילים מסוימים ביחס לצלילים אחרים (אשר תלויה במיקום המאזין). אחת המטרות של תכנון אקוסטי של אולם קונצרטים היא להימנע ממצב זה.

בשונה מהדוגמאות שהובאו עד כה, ישנם גם מקרים בהם תהודה היא מצב רצוי. לדוגמה, כל שעון (משעון מטוטלת ועד לשעון האטומי) מכיל רכיב הנמצא בתהודה, ושומר על אחידות קצב הפעולה של השעון כולו. דוגמה נוספת היא קליטה של שידורי רדיו: האנטנה קולטת גלים בכל אורכי הגל, וכדי להפריד בין התחנות השונות משתמשים בבורר שהוא מעגל תהודה (הבנוי באופן כללי מקבל משתנה ומסליל). המעגל מאפשר להעביר ולהגביר תחום תדירויות צר מתוך שלל התדירויות הנקלטות. גם שיטת ההדמיה בתהודה מגנטית (MRI) הנפוצה כיום ברפואה מבוססת על בליעה ועל פליטה של קרינה בגרעיני האטומים בגוף האדם, שנכנסים לתהודה.

## ביטויים של תהודה בטבע
### בליעה של אור בחומר
תופעות רבות ניתנות להסבר איכותי באמצעות שיקולים קלאסיים, אף על פי שסוגיית האינטראקציה שבין אור לחומר דורשת טיפול במסגרת תורת הקוונטים. אחת התופעות היא בליעה של קרני אור בחומרים דיאלקטריים, אשר נובעת מתהודה.

התנהגות האור במעבר דרך חומרים דיאלקטריים מאופיינת על ידי שילוב של שלוש תופעות עיקריות: התאבכות, בליעה, ופליטה מחדש של האור. האור, בהיותו קרינה אלקטרומגנטית, מעורר את הדיפולים החשמליים שבאטומי החומר, ואלו פולטים קרינה - קרינה דיפולית. בהפשטה ניתנים הדיפולים לתיאור כמתנדים הרמוניים מרוסנים, שמאולצים להתנודד על ידי הקרינה האלקטרומגנטית. כאשר תדר הקרן הפוגעת רחוק מאוד מהתדירות העצמית של הדיפולים נבלעת הקרינה אך נפלטת מיד (במינוח הקוונטי זהו תהליך וירטואלי) וההתאבכות בין הקרן המקורית והקרינה הדיפולית באה לידי ביטוי בירידה של מהירות האור בחומר.

לעומת זאת, במצב של תהודה, כלומר כאשר תדירות האור הפוגע בחומר קרובה לאחת מהתדירויות העצמיות של הדיפולים שבו, נבלע האור בחומר ובמקום להפלט בחזרה הופכת האנרגיה לחום (או למעבר קרינתי בתדירות אחרת). מכאן שקרן אור בעלת תדירות הקרובה לאחת מהתדירויות העצמיות של הדיפולים בחומר אינה יכולה לעבור דרכו. זו אחת הסיבות לכך שרוב החומרים אינם שקופים, אלא יש להם צבע.

### מבנה הטבעות של שבתאי
ממוזער|300px|שמאל|הטבעות של שבתאי
אחד הביטויים של תהודה בתחום האסטרונומיה הוא מבנה הטבעות של שבתאי. הסיבה המרכזית למרווחים בין הטבעות ולהיררכיה שבהם נעוצה בתופעת התהודה. כדי להסביר זאת יש להתייחס לשבתאי ולחומר שממנו עשויות הטבעות (בעיקר קרח ואבק) בתור "המערכת", בעוד שהירחים של שבתאי (דוגמת מימס, אנסלדוס, ריאה וטיטאן) מספקים את הכוח המאלץ. הכוח הוא כוח המשיכה שמפעילים הירחים על הטבעות, ולכל אחד מהם סדרת תדירויות אופיינית המתקבלת מתדירות הסיבוב היסודית של כל ירח, והכפולות השלמות שלה. אפשר לתאר את הכוח שמפעיל ירח כפונקציה מחזורית בזמן, שפיתוח פורייה שלה מכיל את כל הכפולות של התדירות היסודית, ורק אותן.

תדירות הסיבוב של החומר המצוי בטבעות תלויה במרחק משבתאי ומשתנה באופן רציף עם ההתרחקות מכוכב הלכת. לכן ישנם אזורים שבהם תדירות הסיבוב נמצאת בתהודה עם אחת מהתדירויות של הכוח המאלץ הנובע מהירחים. התנועה של חלקיקי החומר באזורים אלו אינה יציבה כיוון שהם מקבלים אנרגיה. כתוצאה מכך הם מוסטים ממסלולם ומתנגשים עם חלקיקים אחרים. תהליך זה מוביל בסופו של דבר ליצירת המרווחים בין הטבעות של שבתאי.

### תהודה באתר מסוים בעת התרחשות רעידת אדמה
בעת התרחשות רעידת אדמה, משוגרים גלים סייסמיים ממוקד הרעידה במעמקי קרום כדור הארץ לכל עבר. בהגיע הגלים אל פני השטח, הם יוצרים תאוצות קרקע שאחראיות לנזקים בכל אתר אליו הן מגיעות ולאפקטים סייסמיים אחרים. האנרגיה בגלים הללו הולכת ונוחתת ככל שהם מתרחקים מהמוקד. כתוצאה מכך קיימת ציפייה שככל שאתרים כלשהם מרוחקים ממוקד רעידת האדמה, כך השפעתה על אתרים אלה תהיה קטנה או פחותה מאשר באתרים קרובים יותר. ברם, יש לא מעט מקרים שבהם תהודה שנגרמת באתר מסוים, מגבירה מאוד את תאוצות הקרקע בו אפילו עד כדי פי 50 ויותר מכפי הצפוי על פי המרחק מהמוקד. זאת מכיוון שהגלים הללו מתפזרים בכל התדרים. תחילה נבלעים התדרים הגבוהים, וככל שמתרחקים מהמוקד, התדרים הנמוכים הם המאפיינים את תחומם שם. אם וכאשר מגיעים לאתר מסוים גלים בתדר הקרוב מאוד או זהה לתדירות העצמית של תצורת הסלע עליה בנויים המבנים, תתרחש תהודה שתביא לתאוצות קרקע מוגברות, כאמור עד כדי פי 50 (ראו איור של גרף תאוצה ספקטרלית משמאל). אם גם המבנים הבנויים שם יהיו בעלי תדירות עצמית דומה, אזי זה יגביר את עוצמות הנזק וההרס במבנים אלו. מכיוון שבאזורים הרחוקים מהמוקד, "שולטים" בנוכחותם הגלים בעלי התדירות הנמוכה, ובהכללה ניתן לומר שהתדירות העצמית של מבנים גבוהים נמוכה גם כן, הרי שזה בהחלט חיזיון נפוץ למצוא מבנים מודרניים יחסית, שלא נבנו על פי תקנים מחמירים מאוד של עמידות בפני רעידות אדמה, נפגעים ממנה מאד.
[ממוזער|גרף תאוצת קרקע ספקטרלית, המציג מקרה של תהודה ב[רעידת האדמה במקסיקו סיטי (1985). העקומה העליונה מציגה את תאוצות הקרקע בעיר העתיקה הבנויה על משקעים אגמיים, שהתדירות העצמית שלהם היא **0.5<sub>Hz</sub>** כאשר הגיעו לשם גלים סייסמיים באותה תדירות (זמן מחזור של 2 שניות), התרחשה תהודה שהגבירה את תאוצות הקרקע פי 50 ויותר (ראו טקסט בפרק "תהודה ברעידת אדמה" לעיל).]]   


### התנהגות כאוטית של מערכות
תהודה מסבירה את המעבר מדינמיקה סדירה (אינטגרבילית) לכאוטית כאשר מוסיפים הפרעה קטנה למערכת האינטגרבילית. במונח "התנהגות סדירה" הכוונה היא לדינמיקה המאופיינת בכך שהמרחק בין שני מסלולים קרובים גדל כמו חוק חזקה בזמן, ואילו התנהגות כאוטית מאופיינת בכך שהתרחקות המסלולים מעריכית בזמן. הוספה של הפרעה קטנה למערכת אינטגרבילית גוררת, בדרך כלל, התנהגות כאוטית, והמעבר בין האופי השונה של התנהגות המסלולים, שתלוי בעוצמת ההפרעה, מתואר על ידי התאוריה של קולמוגורוב, ארנולד ומוזר (Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) theory).

האזורים במרחב הפאזה בהם התנועה היא כאוטית נוצרים מתהודה בין דרגות חופש שונות של המערכת שמצומדות על ידי ההפרעה. תהודה זו מובילה לאי-היציבות של המסלולים ולכן גם להתרחקות המעריכית בין שני מסלולים קרובים. בדרך כלל הולכים האזורים הכאוטיים וגדלים ככל שההפרעה חזקה יותר, עד שהם מכסים, אפקטיבית, את כל מרחב הפאזה. מערכות מסוג זה, שהן הנפוצות יותר בטבע, נהוג לכנות מערכות כאוטיות רכות.

## מודל פיזיקלי
כאמור, מערכת במצב תהודה מקבלת אנרגיה מהכוח המאלץ. כתוצאה מכך הולכת משרעת התנודה של המערכת וגדלה. ייתכנו מספר תהליכים המביאים את הגידול במשרעת התנודות לרוויה ועצירה. השניים העיקריים הם:
* חיכוך. כאן תנודות המערכת מגיעות לרוויה כאשר העבודה שמבצע הכוח המאלץ זהה לעבודה של כוח החיכוך.
* אפקטים לא ליניאריים, המביאים לשינוי בתדר התנודה של המערכת כתוצאה מהגידול במשרעת התנודה (למשל מטוטלת פיזיקלית). שינוי זה מוציא את המערכת ממצב התהודה, כך שמשרעת התנודה מגיעה לרוויה.
שמאל|ממוזער|250px|משרעת מתנד מרוסן בתלות בתדירות הכוח המאלץ

המודל המתמטי המוצג להלן לתיאור של תהודה מניח שהגורם הראשי לרוויה הוא חיכוך. מניחים לשם פשטות שדרגת החופש הרלוונטית של המערכת ניתנת לתיאור על ידי מתנד הרמוני מרוסן, והוא מאולץ על ידי כוח חיצוני מחזורי. משוואת הכוחות המתארת את המערכת היא:
\ m \frac{d^2 u}{d t^2} + \gamma \frac{du}{dt} + m \omega_0^2 u=F \cos ( \omega t)
כאן \ u היא סטיית המתנד מנקודת שיווי המשקל, \ m היא מסת המתנד, \ \omega_0 היא תדירותו העצמית, \ \gamma הוא מקדם החיכוך, ו- \ F ו- \ \omega הם המשרעת והתדירות של הכוח המאלץ, בהתאמה. הפתרון העמיד (פתרון בגבול של זמן ארוך מספיק בו אין תלות בתנאי ההתחלה של המערכת) של משוואה זו הוא:
\ u(t)=u_0 \cos (\omega t-\phi)
כאשר משרעת התנודה היא:
\ u_0=\frac{F}{ \sqrt{m^2(\omega^2-\omega_0^2)^2+ \gamma^2 \omega^2}}
ואילו פיגור הפאזה נתון בביטוי:
\ \phi=\arctan \left( \frac{\gamma \omega}{m(\omega_0^2-\omega^2)} \right)

ההספק הממוצע של הכוח המאלץ, כלומר קצב מעבר האנרגיה למתנד, הוא:

\ P=\frac{1}{2} \frac{F^2 \gamma \omega^2}{\gamma^2 \omega^2 + m^2 (\omega^2-\omega_0^2)^2}

מצב התהודה של המערכת הוא כאשר הספק זה נמצא ליד נקודת המקסימום שלו. ערכו המרבי מתקבל כאשר \ \omega=\omega_0, ובמצב זה הסחת הפאזה היא \ \phi=\frac{\pi}{2}.

כאשר החיכוך הוא אפס זהותית, \ \gamma=0, ו- \ \omega=\omega_0, אין הפתרון שלמעלה תקף, כיוון שהמכנה מתאפס. הפתרון הנכון במקרה זה הוא:

\ u(t)=\frac{F t}{2 m \omega} \sin \omega t (כאן  \ \omega=\omega_0 ו- \ \gamma=0)

מכאן שבמצב תהודה, כאשר כוחות החיכוך זניחים, גדלה משרעת התנודה של המתנד עד לאינסוף באופן מתכונתי לזמן.

### ניתוח מערכות עם יותר מתדירות תהודה אחת
למערכות טבעיות ומלאכותיות רבות, כמו למשל חללי תהודה, ישנן תדירויות תנודה רבות - התואמות לאופני התנודה העצמיים שלהן. לרוב, מערכת פיזיקלית מאופיינת על ידי אוסף בדיד אך אינסופי של תדירויות תנודה, כך שאנרגיה יכולה לעבור מן הכוח המאלץ החיצוני למערכת בדרכים רבות, ותגובת המערכת היא סכום משוקלל של תגובות כל אחד מאופני התנודה שלה.

בגישה הכללית ביותר, תגובת מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן בעלת *n* דרגות חופש ניתנת לתיאור על ידי מערכת של *n* משוואות דיפרנציאליות לא הומוגניות מצומדות מסדר שני, המתוארת על ידי קשר מטריציוני מהצורה  Kx+\Gamma \dot{x}+M\ddot{x} = F, כאשר  M,\Gamma הן מטריצות אלכסוניות ו-K מטריצה סימטרית, בעוד ש-F הוא וקטור הכוחות המאלצים. באמצעות מניפולציות על מערכת משוואות זאת ניתן להמיר אותה למשוואה דיפרנציאלית רגילה יחידה ולא הומוגנית מסדר *2n* באחת מדרגות החופש שלה, ובאמצעות התמרת לפלס ניתן להעביר את שני אגפי המד"ר למישור התדר. 

איכותית, מאחר שהמערכת כוללת ריסון, הפתרון תמיד שואף כעבור זמן ארוך מספיק ל"מצב עמיד", שבו המערכת מתנדנדת באותה תדירות של הכוח המאלץ. כמותית, ניתן להראות באמצעות התמרת לפלס שהיענות התדר של המערכת עבור אילוץ חיצוני מהצורה  F(t)=F_0\cos(\omega t) - שלו התמרת לפלס F(s)=\frac{s}{s^2+\omega^2} - ניתנת לתיאור באמצעות פונקציית תמסורת מרוכבת המאפיינת את המערכת. פונקציית התמסורת H(s) של מערכת ליניארית מוגדרת להיות היחס בין האות היוצא לאות הנכנס:
::X(s)=H(s)F(s)
ערכה המוחלט של H(s) הוא היחס בין משרעת האות היוצא למשרעת האות הנכנס, בעוד שהפאזה שלה מייצגת את הפרש הפאזה בין האות היוצא לזה הנכנס. המכנה של פונקציית התמסורת הוא הפולינום האופייני המתקבל מתוך התמרת לפלס של המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה. הקטביםp_k = -\Gamma_k+i\Omega_k של פונקציה זו במישור המרוכב (שהם שורשי הפולינום האופייני שבמכנה שלה) מלמדים על הרזוננסים הטבעיים של המערכת: חלקם המדומה של הקטבים קשור לתדירויות התנודה הטבעיות של המערכת (שנסמנן \omega_k) לפי הנוסחה \Omega_k=\pm\sqrt{\omega_k^2-\Gamma_k^2}, וחלקם הממשי (השלילי) מייצג את קצבי הריסון הטבעיים של המערכת בכל אחד מאופני התנודה המתאימים (שני הקטבים המתאימים לאופן תנודה מסוים הם צמודים מרוכבים). יש לשים לב שבסימון זה מתקיים \Gamma_k =\frac{\gamma}{2m}, כאשר \gamma הוא סימן מקדם הריסון עבור מערכת עם תדירות תהודה יחידה. 

בנוסף, פירוק לשברים חלקיים של תגובת המערכת מאפשר "לבודד" את תגובת כל אחד מאופני התנודה העצמיים שלה במישור הזמן, זאת שכן הפעלת התמרת לפלס הפוכה על תגובת המערכת X(s) מאפשרת להחזיר את תיאור המערכת למישור הזמן ולראות כיצד כל קוטב של פונקציית התמסורת משפיע על ההתפתחות בזמן של X. בעזרת משפט השארית באנליזה מרוכבת ניתן להראות שהתמרת לפלס הפוכה של כל אחד מהשברים החלקיים מהצורה \frac{a_k}{s-p_k} היא a_k e^{-\Gamma_k t}e^{i\Omega_k t}, כך שבגבול t \rightarrow \infty כל אחד מהאיברים הללו שואף לאפס - ולכן המערכת מתייצבת במצב עמיד. זו תוצאה ישירה של העובדה שלכל אחד מהקטבים p_k של פונקציית התמסורת יש חלק ממשי שלילי. למעשה, בחזרה למישור הזמן, רק שברים חלקיים מהצורה \frac{R_{\pm}}{(s\pm i\omega)} (כאן R_{\pm}=R הוא מקדם מרוכב כלשהו) - התואמים לקטבי הכוח המאלץ F(s) (ולא לקטבים המאפיינים את המערכת) - שורדים בגבול זה, וערכם תחת התמרת לפלס הפוכה הוא R_{\pm}e^{\mp i\omega t}.

חישוב פונקציית התמסורת H(s) בנקודה s=i\omega מניב את ערכו של R:
:2R = H(i\omega) =\sum_k \frac{b_k}{(i\omega-p_k)(iw-p_k^*)} = \sum_k \frac{b_k}{-\omega^2-i\omega(p_k+p_k^*) +p_kp_k^*} = \sum_k \frac{b_k}{-\omega^2+2i\Gamma_k\omega+\Gamma_k^2+\Omega_k^2}

כאן המונים b_k הם קבועים מרוכבים שתלויים רק במאפייני המערכת (כלומר במיקום הקטבים p_k) ולא בתדירות \omega של האות הנכנס. מהגדרות \Gamma_k,\Omega_k ניתן לכתוב מחדש את הסכום האחרון כ-:
:\sum_k \frac{b_k}{\omega_k^2-\omega^2+2i\Gamma_k\omega}=\sum_k \frac{A_k}{\sqrt{(\omega_k^2-\omega^2)^2+4(\Gamma_k\omega)^2}}e^{i\delta_k} 

כאשר \delta_k היא הפאזה היחסית בין הכוח המאלץ לעירור של אופן התנודה ה-*k*. לצורת הצגה זאת יש משמעות פיזיקלית, כי היא מדגימה שכל אופן תנודה מגיב לכוח המאלץ באופן בלתי תלוי באחרים, ולכל אחד משרעת ומופע משלו - הביטוי למשרעת של כל אופן תנודה מתלכד (עד כדי קבוע A_k) עם זה של מתנד הרמוני מרוסן ומאולץ. בנוסף, ניתן לראות שהיא מצביעה על היתכנות תופעות מורכבות יותר שאינן מתרחשות במערכות עם תדירות תהודה יחידה - גם אם הכוח המאלץ מצוי בתהודה חזקה עם שני אופני תנודה בעלי תדירויות קרובות \omega_1,\omega_2, ייתכן מצב של "אנטי-רזוננס" של שני האופנים, שבו הפאזה היחסית שלהם כמעט הפוכה (כלומר \delta_2\approx \delta_1+\pi) וכתוצאה המערכת מפגינה תגובה חלשה, למרות שתדר האילוץ קרוב לכל אחד מתדרי התהודה.

## ראו גם
* מתנד הרמוני
* שעון מטוטלת
* שעון אטומי
* תנור מיקרוגל
* גשר מצר טקומה
* תהודה מגנטית גרעינית
* תהודה מסלולית
* תהודה פרמטרית
* תהודה אקראית
* מעגל תהודה חשמלי
* צליל חום

## קישורים חיצוניים

* הסבר לתופעת התהודה - אתר פיזיקל
* 
*תדר התהודה בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:גלים