פונקציית דיגמא

ממוזער|300x300 פיקסלים| המחשה של פונקציית דיגמא <math>\psi(z)</math>.
ממוזער|300x300 פיקסלים| גרפים של החלק הממשי של פונקציית דיגמא ושל שלוש פונקציות הפוליגמא הבאות לאורך הקו הממשי
במתמטיקה, **פונקציית הדיגמא** מוגדרת כנגזרת הלוג של פונקציית הגמא:

: .\psi(z) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln\Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}

זאת הראשונה מבין פונקציות הפוליגמא. פונקציה זו מונוטונית עולה ממש וקעורה ממש על (0,\infty), והיא שקולה אסימפטוטית ל-

: ,\psi(z) \sim \ln{z} - \frac{1}{2z}

עבור (|z|\rightarrow\infty) בגזרה |\arg z| לכל \varepsilon>0.

פונקציית הדיגמא מסומנת לעיתים קרובות כ-\psi_0(x), \psi^{(0)}(x)  או .

## קשר למספרים ההרמוניים
פונקציית הגמא מקיימת את המשוואה

: .\Gamma(z+1)=z\Gamma(z) 

ניקח לוג של שני האגפים:

: ,\ln(\Gamma(z+1))=\ln(z)+\ln(\Gamma(z)) 

גזירה ביחס ל- z:

: \psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}

מכיוון שהמספרים ההרמוניים מוגדרים עבור מספרים שלמים חיוביים 

: ,H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1 k 

מתקיים,

: ,\psi(n)=H_{n-1}-\gamma

כאשר H_0=0 ו-\gamma הוא קבוע אוילר-מסקרוני. עבור ארגומנטים של חצי מספר שלם פונקציית דיגמא מקבלת את הערכים

:  .\psi \left(n+\tfrac12\right)=-\gamma-2\ln 2 +\sum_{k=1}^n \frac 2 {2k-1}

## ייצוגים אינטגרליים
אם החלק הממשי של z הוא חיובי אז לפונקציית הדיגמא יש את הייצוג האינטגרלי של גאוס:

: .\psi(z) = \int_0^\infty \left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)\,dt

שילוב של ביטוי זה עם זהות אינטגרלית עבור קבוע אוילר-מסקרוני \gamma נותן:

: .\psi(z + 1) = -\gamma + \int_0^1 \left(\frac{1-t^z}{1-t}\right)\,dt

האינטגרל הזה הוא המספר ההרמוני של אוילר H_z, כך שניתן לכתוב:

: .\psi(z + 1) = \psi(1) + H_z

כתוצאה מקבלים הכללה של נוסחת נסיגה:

: .\psi(w + 1) - \psi(z + 1) = H_w - H_z

הייצוג אינטגרלי של דיריכלה:

: .\psi(z) = \int_0^\infty \left(e^{-t} - \frac{1}{(1 + t)^z}\right)\,\frac{dt}{t}

מהייצוג האינטגרלי של גאוס ניתן לקבל את הנוסחה הבאה של \psi.

: .\psi(z) = \log z - \frac{1}{2z} - \int_0^\infty \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{t} + \frac{1}{e^t - 1}\right)e^{-tz}\,dt

נוסחה זו היא גם תוצאה של האינטגרל הראשון של בינה עבור פונקציית הגמא. ניתן לזהות את האינטגרל כהתמרת לפלס.

האינטגרל השני של Binet לפונקציית גמא נותן נוסחה שונה עבור \psi:

: .\psi(z) = \log z - \frac{1}{2z} - 2\int_0^\infty \frac{t\,dt}{(t^2 + z^2)(e^{2\pi t} - 1)}

מתוך ההגדרה של \psi והייצוג האינטגרלי של פונקציית הגמא, מקבלים

: ,\psi(z) = \frac{1}{\Gamma(z)} \int_0^\infty t^{z-1} \ln (t) e^{-t}\,dt

כאשר \Re z > 0 .

## ייצוג באמצעות מכפלה אינסופית
הפונקציה \psi(z)/\Gamma(z) היא פונקציה שלמה, והיא יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה אינסופית:

: 
.\frac{\psi(z)}{\Gamma(z)}=-e^{2\gamma z}\prod_{k=0}^\infty\left(1-\frac{z}{x_k}
\right)e^{\frac{z}{x_k}}


כאשר x_k הוא האפס ה-k של \psi (ראה להלן) ו- \gamma הוא קבוע אוילר-מסקרוני.

הערה: זה גם שווה ל- -\frac{d}{dz}\frac{1}{\Gamma(z)} בשל ההגדרה של פונקציית הדיגמא: .\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=\psi(z)

## ייצוג כטור
מנוסחת המכפלה של אוילר לפונקציית הגמא, בשילוב עם המשוואה הפונקציונלית וזהות עבור הקבוע של אוילר-מסקרוני, מתקבל הביטוי הבא לפונקציית הדיגמא, התקף במישור המורכב פרט למספרים השלמים השליליים (אברמוביץ וסטגון 6.3.16):

: 
\psi(z + 1)
= -\gamma + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + z}\right) 
= -\gamma + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{z}{n(n + z)}\right), \qquad z \neq -1, -2, -3, \ldots


### חישוב סכומים של פונקציות רציונליות
ניתן להשתמש בזהות לעיל כדי להעריך סכומים מהצורה

: ,\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty \frac{p(n)}{q(n)}

כאשר p(n) ו-q(n) הם פולינומים של n.

פירוק לשברים חלקיים של u_n בשדה המורכב, במקרה שבו כל השורשים של q(n) הם שורשים פשוטים,

: .u_n=\frac{p(n)}{q(n)}=\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{n+b_k}

כדי שהטור יתכנס,

: \lim_{n\to\infty} nu_n=0,

אחרת הטור יהיה גדול מהטור ההרמוני ויתבדר. לכן,

: ,\sum_{k=1}^m a_k=0

ונקבל,

\sum_{n=0}^\infty u_n = \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^m\frac{a_k}{n+b_k}
=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^m a_k\left(\frac{1}{n+b_k}-\frac{1}{n+1}\right)
=\sum_{k=1}^m\left(a_k\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{n+b_k}-\frac{1}{n+1}\right)\right)

=-\sum_{k=1}^m a_k\big(\psi(b_k)+\gamma\big)
=-\sum_{k=1}^m a_k\psi(b_k)


ניתן לקבל גם נוסחה כללית באמצעות טורים עם פונקציות פוליגמא בדרגה גבוהה יותר:

: ,\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{(n+b_k)^{r_k}}=\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^{r_k}}{(r_k-1)!}a_k\psi^{(r_k-1)}(b_k)

בתנאי שהטור משמאל מתכנס.

### טור טיילור
לדיגמא יש טור זיטה רציונלית, הניתן על ידי פיתוח טור טיילור סביב הנקודה z=1:

: ,\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\,\zeta (k+1) \, z^k

שמתכנס עבור |z|. כאשר, \zeta(n) היא פונקציית הזטה של רימן. טור זה מתקבל מהטור טיילור של פונקציית הזטה של Hurwitz.

### טור ניוטון
טור ניוטון לפונקציית דיגמא, המכונה לפעמים גם טור שטרן:

: ,\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} \binom{s}{k}

כאשר \binom{s}{k} הוא המקדם הבינומי. ניתן להכליל זאת ל-

: 
,\psi(s+1) = -\gamma -  \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m-1}\frac{m-k}{s+k}-
\frac{1}{m}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}\left\{\binom{s+m}{k+1}-\binom{s}{k+1}\right\},\qquad \Re(s)>-1


כאשר m=2,3,4,....

## נוסחת השיקוף
פונקציית הדיגמא מקיימת נוסחת שיקוף דומה לזו של פונקציית הגמא:

: \psi(1-x)-\psi(x)=\pi \cot \pi x.

## ראו גם
* פונקציית פוליגמא
* פיתוחי צ'בישב
## קישורים חיצוניים

* 
* 
* 
* 

## הערות שוליים

דיגמא