צמיגות

**צְמיגות** היא תכונה של זורם המבטאת את התנגדות הזורם לעיוות (שינוי צורה – דפורמציה) תחת מאמץ גזירה. הצמיגות נתפסת לעיתים קרובות כסמיכות, או התנגדות למזיגה. הצמיגות מתארת את התנגדותו הפנימית של הזורם לזרימה, וניתן לחשוב עליה כעל מידה של חיכוך. לדוגמה, מתנול הוא "דליל", כלומר בעל צמיגות נמוכה, ושמן או דבש הם "סמיכים" (או צמיגים) כי יש להם התנגדות גבוהה לשינוי צורה.

צמיגות ו**צפיפות** הן שני גדלים פיזיקליים בלתי תלויים. מבחינה מקרוסקופית, כשנוזל מסוים צפוף יותר מנוזל אחר, הנוזל הפחות צפוף יצוף על פני הנוזל היותר צפוף. כך למשל, כשנשפוך שמן על מים, השמן יצוף על פני המים, בדיוק מהסיבה ששמן פחות צפוף ממים. בשיח היומיומי "צמיגות" ו"צפיפות" לעיתים משמשים כמילים נרדפות, אך כאמור מבחינה פיזיקלית הן מהוות גדלים בלתי תלויים לחלוטין. בעוד שצפיפות מתארת את כמות החומר (מסה) ליחידת נפח, ונמדדת בקילוגרם למטר מעוקב, צמיגות מתארת את התנגדות הנוזל לזרימה, ויחידותיה הן ניוטון-שנייה למטר רבוע. למען ההבנה האינטואיטיבית: משהו שהוא יותר צפוף (=**צפוף**) - נוטה לשקוע, ומשהו שהוא פחות צפוף (=**קלוש**) - נוטה לצוף; חומר יותר צמיג (=**סמיך**) - נוטה להתנגד לזרימה, וחומר פחות צמיג (=**דליל**) - נוטה להתנגד פחות לזרימה. את העובדה שצמיגות וצפיפות הן גדלים בלתי תלויים ניתן לראות בדוגמה לפיה אם נשפוך כוהל למים, הכוהל יצוף על פני המים. משמע הכוהל פחות צפוף מהמים (יותר קלוש). עם זאת, הכוהל גם פחות צמיג ממים (יותר דליל). אם נשווה את דוגמת הכוהל לדוגמת השמן נראה שאין קשר בין צפיפות לצמיגות: שמן יותר צמיג ממים אך פחות צפוף מהם, ואילו כוהל פחות צמיג ממים ופחות צפוף מהם.

השפעת הצמיגות נובעת מהתנגשות חלקיקים הנעים במהירויות שונות. לדוגמה, בזרימה מעל פלטה נייחת, חלק ממולקולות הזורם באות במגע עם פני המשטח. כתוצאה מתנאי אי החלקה מתקבל, אם הפלטה נייחת אזי גם מולקולות הזורם נייחות ולמעשה מתקבלת שכבת זורם הנחה על הפלטה. כאשר "מטפסים" במעלה שכבות הזורם מעל הפלטה, רואים כי המהירות גדלה עד למהירות הזרימה המציפה הראשונית טרם המפגש בין הזורם לפלטה. עבור צינור, באופן דומה, בעקבות תנאי ההחלקה, לא ייווצרו מהירויות על דופן הצינור, ופרופיל הזרימה יבנה כך ששיא הזרימה תימצא על ציר הסימטריה של הצינור.

זורם (גז או נוזל) שאינו מפעיל התנגדות למאמצי גזירה נקרא **זורם אידיאלי (צמיג) **או **זורם לא צמיג**. לכל זורם שאינו "אידיאלי" קיימת צמיגות כלשהי, וערכה חיובי.

על אף ההגדרה הנ"ל, מקובל לומר כי נוזל ייקרא צמיג אם צמיגותו גדולה מצמיגות המים, וייקרא אידיאלי אם צמיגותו נמוכה מצמיגות המים.

אפשר להבין את מושג הצמיגות מתוך האנלוגיה בין מוצק לנוזל, אשר שניהם נשענים על כוחות בין אטומים. מתוך כך טבע ג'יימס מקסוול את המונח "fugitive elasticity" עבור צמיגות. כפי שבמוצקים דפורמציה אלסטית מתנגדת למאמצי גזירה, כך בזורמים קצב הדפורמציה בזמן מתנגד למאמצי הגזירה. ניתן לראות זאת בבירור מהגדרת קשיחות וצמיגות:

\text{Rigitidy}\colon G=\frac\text{Stress}\text{Strain}=\frac{\sigma}{\varepsilon}=\frac{\sigma_{xy}}{\mathrm{d}u_x/\mathrm{d}y}
 

u_x=l [m]

\text{Viscosity}\colon \mu=\frac\mathrm{Stress}\text{Velocity Gradient}=\frac{\tau}{\mathrm{d}v_x/\mathrm{d}y} 
v_x=\frac{\mathrm{d}u_x}{\mathrm{d}t} [m/s]

## סוגי צמיגות

הסימון של הצמיגות הדינמית משתנה בין האסכולות השונות: בקרב מהנדסי מכונות, מהנדסי כימיה ופיזיקאים הצמיגות תסומן בדרך כלל באות היוונית \mu, ובקרב כימאים תסומן באות היוונית \eta.

אפיון נוסף לצמיגות הוא הצמיגות הקינמטית \nu, כאשר:\nu=\frac{\mu}{\rho} 

באנליזה אל-ממדית משתמשים במספר ריינולדס על מנת לתאר בצורה חסרת יחידות את היחס בין כוחות הצמיגות לכוחות האינרציה:

: \mbox{Re} = \frac{\text{Pressure Forces}}{\text{Viscous Forces}} = {\rho v L\over \mu} = {v L\over \nu} = ]=\left[\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{m}}\right] .

במערכת יחידות cgs יחידת הצמיגות נקראת פואז (poise) [\mu]=\left[\frac{g}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{cm}}\right] . ומקובל להציג ערך זה במאיות הפואז או סנטיפואז (cP=centi-poise)
במערכת זו יחידת הצמיגות הקינמטית נקראת סטוקס (stokes):
[\nu]=\left[\frac{\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}\right]=\left[\mathrm{St}\right] .

## חוק הצמיגות של ניוטון
כאשר מפעילים מאמץ גזירה על גוף מוצק, הגוף מתעוות (מתעבר) עד שהעיבור מניב כוח מנוגד, המאזן את מאמץ הגזירה המופעל, וכך מושג שיווי משקל. כאשר מופעל מאמץ גזירה על זורם, למשל כאשר רוח נושבת על פני הים, הזורם זורם, וממשיך לזרום כל עוד מופעל המאמץ. כאשר מפסיקים להפעיל את המאמץ, בדרך כלל שוככת הזרימה עקב דעיכה של אנרגיה – האנרגיה הקינטית הופכת לחום. ככל שהזורם צמיג יותר, כך גדולה יותר התנגדותו למאמץ הגזירה, וכך מהירה יותר דעיכת הזרימה.

בכל משטר זרימה, שכבות שונות נעות במהירויות שונות, ו"סמיכות" הזורם נובעת ממאמץ הגזירה שבין השכבות.

אייזק ניוטון טען שעבור זרימה אחידה, מקבילה וישרה, מאמץ הגזירה \tau  בין שכבות נמצא ביחס ישר לגרדיאנט המהירויות בכיוון הניצב לשכבות. במילים אחרות – התנועה היחסית של השכבות.

:\tau=\mu \frac{\partial u}{\partial y}.

הקבוע &mu; מכונה **קבוע הצמיגות**, **צמיגות** או **צמיגות דינאמית**. זורמים רבים, למשל מים וגזים, המתנהגים לפי הקריטריון של ניוטון, מכונים **[[נוזל ניוטוני|זורמים ניוטוניים]]**. ב**[[נוזל לא-ניוטוני|זורמים לא־ניוטוניים]]** יש יחסים מורכבים יותר מאשר קשר ליניארי בין מאמץ הגזירה וגרדיאנט המהירות.

### דוגמה ליישום החוק
ניתן לראות כיצד ערך הצמיגות משחק תפקיד ביצירת מאמצי גזירה:
centre

בדוגמה זו, הפלטה התחתונה נייחת והפלטה העליונה נעה במהירות קבועה U.

תנאי השפה מקיימים את תנאי אי ההחלקה ואי החדירה:
u(x,0)=0, u(x,h)=U, v(x,0)=v(x,h)=0 .
ומתקבל הפתרון מתוך משוואות נאוויה־סטוקס:
u(y)=\frac{U}{h}y .
ומאמץ הגזירה המתקבל: \tau=\mu \frac{\partial u}{\partial y}=\mu \frac{U}{h}.

כלומר, מאמץ הגזירה קבוע, וגודלו תלוי במהירות הפלטה הנעה, בגובה התעלה ובצמיגות הזורם.

### הכללה פורמלית של החוק לשלושה ממדים
באופן כללי, המאמצים הצמיגיים בזורם נובעים מהמהירות היחסית בין פרודות זורם שונות. כיוון שכך, המאמצים הצמיגיים חייבים להיות תלויים בגרדיאנטים המרחביים של מהירות הזרימה. אם גרדיאנטי המהירות הם קטנים, אז בקירוב ראשון המאמצים הצמיגיים תלויים רק בנגזרות המרחביות הראשונות של המהירות (בעבור זורמים ניוטוניים, זוהי אף תלות ליניארית). בקואורדינטות קרטזיות, מערכת הקשרים הכללית ניתנת לכתיבה באופן הבא
:
\tau_{ij} = \sum_k \sum_\ell \mu_{ijk\ell} \frac{\partial v_k}{\partial r_\ell},


כאשר \mu_{ijk\ell}, המכונה טנזור הצמיגות, הוא טנזור מדרגה 4 אשר שולח את טנזור גרדיאנט המהירות \partial v_k / \partial r_\ell (שהוא מטריצה מסדר 3x3) לטנזור המאמצים הצמיגיים \tau_{ij} (שגם הוא מטריצה מסדר 3x3). מכיוון שכל אחד מהאינדקסים בביטוי הזה יכול לקבל ערכים מ-1 עד 3, יש 81 "מקדמי צמיגות", \mu_{ijk\ell}, בסך הכל. עם זאת, ההנחה שהזורם איזוטרופי - כזה שהתנהגותו אינה תלויה בכיוון בו היא נבחנת - מובילה למסקנה ש-81  המקדמים הללו תלויים רק בשלושה פרמטרים בלתי תלויים, \alpha, \beta ו-\gamma. למסקנה זאת מגיעים מחקירת המכפלה \mu_{ijk\ell}A_iB_jC_kD_{\ell} (המכפלה מתבצעת בהתאם להסכם הסכימה של איינשטיין) של הטנזור בארבעה וקטורים שרירותיים, שמחזירה גודל סקלרי *S*. הנחת האיזוטרופיות מתורגמת לקביעה שסקלר זה תלוי רק בגודלי הווקטורים A,B,C,D  ובזוויות ביניהם אך לא במנח שלהם במרחב (במילים אחרות, הסקלר אינווריאנטי תחת הפעלת טרנספורמציית סיבוב זהה על ארבעת הווקטורים), מה שמוביל למסקנה ש-*S* תלוי רק במכפלות הפנימיות בין הווקטורים:
:S=\mu_{ijk\ell} A_iB_jC_kD_{\ell} = \alpha(\vec{A}\cdot\vec{B})(\vec{C}\cdot\vec{D})+\beta(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})+\gamma(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{C}\cdot\vec{B})
קביעה שניתן לרשמה בצורה אלגנטית יותר באמצעות הדלתא של קרונקר:
:
\mu_{ijk\ell} = \alpha \delta_{ij}\delta_{k\ell} + \beta \delta_{ik}\delta_{j\ell} + \gamma \delta_{i\ell}\delta_{jk},


(צירופים מהצורה (\vec{A}\cdot\vec{B})(\vec{B}\cdot\vec{C}) (למשל) לא ייתכנו כי הטנזור \mu_{ijk\ell} הוא העתקה מולטי-ליניארית, ולכן הסקלר *S* חייב להיות תלוי ליניארית בגודלי כל אחד מהווקטורים.)

בנוסף, מכיוון שכוחות צמיגיים אינם מופיעים כאשר הזורם נע בתנועה סיבובית קשיחה, המכפלה \tau_{ij}=\mu_{ijk\ell} \partial v_k/\partial r_\ell אדישה ביחס להוספת מטריצה אנטי-סימטרית לטנזור גרדיאנט המהירות \partial v_k/\partial r_\ell (סיבובים קשיחים מיוצגים כחלק האנטי-סימטרי של גרדיאנט המהירות; להסבר מורחב ראו ערך טנזור קצב-מעוות), מה שמוביל למסקנה שרכיבי טנזור הצמיגות \mu_{ijk\ell} הם בהכרח סימטריים ביחס להחלפה של שני האינדקסים  k ו-\ell. השוויון \mu_{ijk\ell}=\mu_{ij\ell k} מראה ש-\beta = \gamma, מה שמותיר רק שני פרמטרים בלתי תלויים. הפירוק המקובל ביותר הוא במונחים של הצמיגות הדינמית הסטנדרטית \mu והצמיגות השנייה \kappa ("צמיגות נפחית") כך ש-\alpha = \kappa - \tfrac{2}{3}\mu ו-\beta = \gamma = \mu. בכתיב וקטורי ניתן לסכם את הקשר כך:
:
\boldsymbol{\tau} = \mu \left[\nabla \mathbf{v} + (\nabla \mathbf{v})^{\mathrm T} \right] - \left(\frac{2}{3} \mu - \kappa \right) (\nabla \cdot \mathbf{v}) \mathbf{\delta},


כאשר \mathbf{\delta} הוא טנזור היחידה. משוואה זאת היא צורה מוכללת של חוק הצמיגות של ניוטון.

הצמיגות השנייה ("צמיגות נפחית") מבטאת סוג של ריסון פנימי המתנגד לדחיסה או התפשטות נטולת-גזירה של הזורם. ידיעה של \kappa בדרך כלל אינה נדרשת בתיאור הדינמיקה של זורמים. לדוגמה, זורם אי-דחיס מקיים \nabla \cdot \mathbf{v} = 0 כך שהאיבר המכיל את \kappa ממילא נופל. יותר מכך, בעבור גז אידיאלי חד-אטומי מניחים ש-\kappa זניח ושווה ל-0 בעבור כמעט כל היישומים המעשיים. סיטואציה אחת שבה \kappa עשוי להיות חשוב היא בחישוב של איבודי אנרגיה של קול וגלי הלם, המתואר על ידי חוק סטוקס על ניחות קול, מכיוון שתופעות אלו מערבות התפשטות ודחיסה מהירה.

## דיסיפציה
ממוזער|השפעת הטמפרטורה על צמיגות: מים, אתנול כספית, שמן ואצטון. 
תהליך בלתי הפיך במערכות תרמודינמיות המתרחש בעת מעבר אנרגיה בין צורות שונות. אובדן האנרגיה הוא תולדה של חיכוך בין שכבות הזורם הגורמים לייצור חום פנימי במערכת, ומתקשר באופן ישיר לאיבר הצמיגות.

משוואת האנרגיה הדו־ממדית, עבור מצב מתמיד:

\rho c\left(u \frac{\partial T}{\partial x}+ v\frac{\partial T}{\partial y}\right)=k\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\right)+\mu\phi

\phi =2
 \left[
 \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2
 +\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2
 +\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2
 \right] 

עבור הנחת זרימה מפותחת ובלתי דחיסה איבר הדיסיפציה מתנוון לביטוי:


\phi = \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 


ניתן לראות מתוך משוואת האנרגיה כי פילוג הטמפרטורה תלוי באיבר הצמיגות המוכפל במאמצים נורמליים ובמאמצי גזירה.

## זורמים לא ניוטונים
הפיתוח עבור זורם ניוטוני אינו חוק טבע אלא קירוב התופס במקרים מסוימים עבור חומרים מסוימים. (דוגמאות לחוקים דומים הם חוק הוק וחוק אוהם) כאשר צמיגות הזורם אינה תלויה במאמץ הגזירה, ניתן לומר כי מדובר בזורם ניוטוני המתקיים ע"פ חוק ניוטון לגזירה המוצג לעיל. גזים, מים וחומרים נוספים רבים מקיימים תכונות אלה ונקראים זורמים ניוטונים. עם זאת קיימים זורמים רבים בטבע שאינם מקיימים את הדרישות עבור זורמים ניוטונים ולכן קרויים זורמים לא ניוטונים.
*נוזלים אשר צמיגותם עולה עם עליית קצב הגזירה קרויים Shear thickening liquids
*נוזלים אשר צמיגותם יורדת עם עליית קצב הגזירה קרויים Shear thinning liquids
*נוזלים אשר צמיגותם יורדת עם הזמן כאשר תחת ניעור וזעזועים קרויים Thixotropic liquids
*נוזלים אשר צמיגותם עולה עם הזמן כאשר תחת ניעור וזעזועים קרויים Rheopectic liquids
*נוזלים המתנהגים כמוצקים בקצבי עיבור נמוכים אך עם הגדלת קצב העיבור מתנהגים כזורמים.

320px שינוי כח הגזירה כתלות בסוג החומר.

זורמים ניוטונים משנים את צמיגותם כתלות בהרכבם ובטמפרטורה בה הם מצויים.

לעומתם, קיימים זורמים אשר צמיגותם מושפעת מגורמים פחות צפויים דוגמת נוזל מגנטוראולוגי המגדיל את צמיגותו תחת השפעת שדה מגנטי.

## מדידת צמיגות
ממוזער|מדידה פשוטה של צמיגות שמן. ככל שהשמן צמיג יותר שקיעת הגולה איטית.
צמיגות נמדדת באמצעות סוגים שונים של מדי צמיגות, בדרך כלל בתנאים תקניים של 25 מעלות צלזיוס.

## הבטים מולקולריים
צמיגות של מערכת מוגדרת על ידי הדרך בה מולקולות במערכת מהדדות (יוצרות אינטראקציה). אין ביטויים פשוטים ומדויקים המתארים את צמיגות הזורם ברמה המולקולרית. הביטויים המדויקים הפשוטים ביותר הם יחסי גרין קובו לצמיגות גזירה ליניארית או הביטויים של פונקציות הקורלציה בזמן טרנזיינטי שפותחו בידי אוונס ומוריס ב־1985. השימוש בביטויים אלו מצריך שימוש בסימולצית דינמיקה מולקולרית.

## התנהגות הצמיגות במצבי צבירה שונים

### [[גז]]ים
צמיגות בגזים נובעת בעיקר מדיפוזיה מולקולרית שמעבירה תנע בין שכבות של הזורם. התאוריה הקינטית של הגזים מנבאת טוב יותר את התנהגות הצמיגות הגזית, ובפרט:
*הצמיגות אינה תלויה בלחץ
*הצמיגות עולה עם הטמפרטורה

### [[נוזל]]ים
בנוזלים, הכוחות הנוספים בין המולקולות הופכים משמעותיים. הם גורמים לתרומה נוספת למאמץ הגזירה, אף כי המנגנון המדויק עדיין שנוי במחלוקת. בפרט:
*הצמיגות אינה תלויה בלחץ עבור לחצים לא גבוהים
*הצמיגות יורדת כאשר הטמפרטורה עולה
ממוזער|השפעת הטמפרטורה על צמיגות גליצרול.
הצמיגויות הדינמיות של נוזלים גבוהות בכמה סדרי גודל מאלו של גזים, באופן טיפוסי.

קיימים נוזלים בעלי צמיגות כה גבוהה, שנראים מוצקים, אך בכל זאת מסוגלים לזרום, כמו זפת. תכונה זו של הזפת נחקרת בניסוי המעבדה הפעיל הוותיק ביותר בעולם, ניסוי טיפת הזפת.

במשוואת נאוויה סטוקס ישנן שתי צמיגויות. הצמיגות השנייה איננה מפורטת כאן, והיא מדברת על הקושי בדחיסת הנוזל.

### [[פולימרים]]
ניתן למדוד מסה מולרית ממוצעת של פולימר על ידי מדידת הצמיגות של תמיסה של פולימר בממס בריכוזים שונים, בכל ריכוז למצוא את הצמיגות הספציפית \eta_{sp} המוגדרת באופן הבא:
:\eta_{sp} = \frac{\eta-\eta_0}{\eta_0}

לאחר מכן משרטטים את \eta_{sp}/C כפונקציה של הריכוז, ממשיכים את האינטרפולציה הליניארית וכך נקודת החיתוך עם ציר ה-*y* תהיה בדיוק הצמיגות האינטרינזית של החומר [\eta].
לאחר שמצאנו את הצמיגות האינטרנזית של החומר [\eta] ניתן להציב במשוואת במשוואת Mark–Houwink:
:[\eta] =K\cdot M^{\alpha} 

כאשר K ו-\alpha הם קבועים שיש למדוד בנפרד או לקבל כנתונים ולחשב מהם את המסה המולרית הממוצעת.
יתרונות השיטה הזו הם שהיא פשוטה וקלה, וחסרונותיה הם שהיא אינה טובה למדידה ראשונה של המסה המולרית הממוצעת אלא שהיא מצריכה מדידה קודמת של המסה המולרית הממוצעת (בשיטה אחרת), אשר ממנה ניתן לדעת מהם הקבועים K ו-\alpha המתאימים, ורק אז אפשר להשתמש בשיטה זו.

### מוצקים
יש הטוענים כי למוצקים אמורפיים כמו זכוכית יש צמיגות, על סמך התפיסה שכל המוצקים זורמים, במידה מסוימת, תחת מאמץ גזירה.
המצדדים בגישה זו טוענים כי ההפרדה בין מוצק ונוזל אינה ברורה, וכי מוצקים הם פשוט נוזלים עם צמיגות גבוהה – באופן טיפוסי גבוהה יותר מאשר
1012 Pa&middot;s. טענה זו הוכחה באמצעות ניסוי טיפת הזפת.

אחרים טוענים כי מוצקים הם בדרך כלל אלסטיים עבור מאמצים קטנים, בעד שנוזלים אינם. אפילו אם מוצקים זורמים בלחצים גבוהים, הם מאופיינים על ידי התנהגותם בלחצים נמוכים.
צמיגות עשויה לתאר מוצקים בתחום הפלסטי.

המצב נהיה מבלבל כאשר משתמשים במושג **צמיגות** עבור חומרים מוצקים, למשל מוצקי מקסוול, כדי לתאר את הקשר שבין המאמץ וקצב העיבור, במקום קצב הגזירה.

ניתן לפתור את רובן של הבחנות אלו באמצעות שימוש במשוואות הקונסטיטוטיביות של החומר, אשר מתחשבות בהתנהגות הצמיגה וגם בהתנהגות האלסטית שלו. חומרים שעבורם שתי התנהגויות אלו חשובות בתחום מסוים של עיבורים וקצבי עיבור נקראים ויסקואלסטיים.

## קישורים חיצוניים

* 
* 

קטגוריה:הידרודינמיקה
קטגוריה:מכניקה
קטגוריה:מכניקת הזורמים