משפטי מרטנס

בתורת המספרים, **משפטי מרטנס** הם שלושה משפטים מתמטיים הנוגעים להתנהגותן האסימפטוטית של סדרות הכוללות ביטויים עם מספרים ראשוניים.

משפטים אלו הוכחו לראשונה על-ידי המתמטיקאי הגרמני-פולני פרנץ מרטנס בשנת 1874, כ-22 שנים לפני שהוכח לראשונה משפט המספרים הראשוניים בשנת 1896.

## סימונים
בערך זה נשתמש בסימונים \N ו-\R לקבוצת המספרים הטבעיים והממשיים.

לאורך הערך, בכל פעם שייעשה שימוש במשתנה n, בפרט בסימני סכום ומכפלה, הכוונה ש-n מספר טבעי. באופן דומה, בכל פעם שיעשה שימוש במשתנה p, הכוונה ש-p הוא מספר ראשוני.

הפונקציה \ln(x) היא פונקציית הלוגריתם הטבעי, הפונקציה \lfloor \cdot \rfloor היא פונקציית הערך השלם, הפונקציה \zeta(s) היא פונקציית זטא של רימן, הפונקציה \operatorname{gcd}(\cdot,\cdot) היא פונקציית המחלק המשותף המקסימלי והפונקציה \varphi(n) היא פונקציית אוילר.

בהינתן תחום כלשהו U\subseteq \R וזוג פונקציות f,g:U\to\R, מסמנים:

* f(x)=O(g(x)) (סימון O גדולה) אם ורק אם קיים  C\in\R כך שלכל x\in U מתקיים ש-|f(x)|\le C|g(x)|
* f(x)=\Omega_\pm(g(x)) אם ורק אם \limsup_{x\to\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}>0 וגם \liminf_{x\to\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}

## המשפטים

### משפט מרטנס הראשון
לכל x\ge 2 מתקיים ש:

\sum_{p\le x}{\frac{\ln p}{p}}=\ln x+O(1)

### משפט מרטנס השני
קיים קבוע M\in\R כך לכל x\ge 2 מתקיים ש:

\sum_{p\le x}{\frac{1}{p}}=\ln \ln x + M +O\left(\frac{1}{\ln x}\right)

הקבוע M הוא קבוע מייזל-מרטנס.

### משפט מרטנס השלישי
לכל x\ge 2 מתקיים ש:

\prod_{p\le x}{\left(1-\frac{1}{p}\right)}=\frac{e^{-\gamma}}{\ln x}\left(1 + O\left(\frac{1}{\ln x}\right)\right)

כאשר \gamma הוא קבוע אוילר-מסקרוני.

## עיקרי הוכחות המשפטים
נציג כאן את עקרי הוכחותיהם של שלושת משפטי מרטנס. הוכחות אלו לא יתבססו על משפט המספרים הראשונים.

### הוכחת משפט מרטנס הראשון
לפי נוסחת לז'נדר, לכל n\in\N:

n!=\prod_{p\le n}{p^{a_p}},\quad a_p:=\sum_{k=1}^\infty{\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor}

על-ידי לקיחת לוגריתם על שני הצדדים והוכחה כי \frac{n}{p}-1\le a_p\le \frac{n}{p}+\frac{n}{p(p-1)} לכל p, ניתן להראות כי:

n\sum_{p\le n}{\frac{\ln p}{p}}-\sum_{p\le n}{\ln p}\le \ln(n!)\le n\sum_{p\le n}{\frac{\ln p}{p}} + n\sum_{p\le n}{\frac{\ln p}{p(p-1)}}

לפי גרסה חלשה של קירוב סטירלינג ניתן להראות כי \ln(n!)=n\ln n+O(n). מציבים את קירוב זה באי-השוויונות לעיל, מחלקים ב-n, מזיזים אגפים ומקבלים:

-\sum_{p\le n}{\frac{\ln p}{p(p-1)}}\le \sum_{p\le n}{\frac{\ln p}{p}} - \ln n+O(1)\le \frac{1}{n}\sum_{p\le n}{\ln p}

על-ידי ההוכחה כי שני הביטויים משמאל ומימין חסומים מלמטה ומלמעלה מוכיחים את המשפט.

ניתן להוכיח כי הסכום משמאל מתכנס כאשר n\to\infty על-ידי השוואתו לטור המתכנס \sum_{n=1}^\infty{\frac{\ln n}{n^2}}.

את הסכום מימין אפשר לסכום מלמעלה על-ידי החסם החלש \prod_{p\le n}p\le 4^n. לקיחת לוגריתם וחלוקה ב-n מראים כי \frac{1}{n}\sum_{p\le n}{\ln p}\le \ln 4

**מ.ש.ל.**

### הוכחת משפט מרטנס השני
לכל x\ge 2 מגדירים:

A(x):=\sum_{p\le x}{\frac{\ln p}{p}},\quad R(x):=A(x)-\ln x

לפי משפט מרטנס הראשון R(x)=O(1), לכן בהכרח קיים R\in\R כך שלכל x\ge 2 מתקיים ש-|R(x)|\le R.

משתמשים בנוסחת הסכימה של אבל כדי להראות כי:

\begin{align}
\sum_{p\le x}{\frac{1}{p}}=\sum_{p\le x}{\frac{\ln p}{p\ln p}}=\frac{A(x)}{\ln x}+\int_2^x{\frac{A(u)}{u(\ln u)^2}du} \\
=\frac{\ln x + R(x)}{\ln x}+\int_2^x{\frac{\ln u + R(u)}{u(\ln u)^2}du} \\
= 1 + \frac{R(x)}{\ln x} +\int_2^x{\frac{1}{u\ln u}du}+\int_2^\infty{\frac{R(u)}{u(\ln u)^2}du} - \int_x^\infty{\frac{R(u)}{u(\ln u)^2}du}
\end{align}


כעת, יש לעבור על הביטויים המופיעים בביטוי האחרון.

ראשית, \int_2^x{\frac{1}{u\ln u}du}=\ln \ln u - \ln \ln 2. מאחר ש-R(x)=O(1) מתקיים בהכרח ש-\frac{R(x)}{\ln x}=O\left(\frac{1}{\ln x}\right).

ניתן להוכיח כי האינטגרל האינסופי הראשון מתכנס על-ידי חסימתו:

\left|\int_2^\infty{\frac{R(u)}{u(\ln u)^2}du}\right| \le \int_2^\infty{\frac{u(\ln u)^2}du}\le \int_2^\infty{\frac{R}{u(\ln u)^2}du}=\frac{R}{\ln 2}

בדרך דומה ניתן להראות כי \int_x^\infty{\frac{R(u)}{u(\ln u)^2}du}=O\left(\frac{1}{\ln x}\right).

על כן, אם מגדירים M:=1-\ln \ln 2 + \int_2^\infty{\frac{R(u)}{u(\ln u)^2}du} ומציבים את כל הביטויים לעיל, מקבלים כי:

\sum_{p\le x}{\frac{1}{p}}=\ln \ln x + M +O\left(\frac{1}{\ln x}\right)

**מ.ש.ל.**

### הוכחת משפט מרטנס השלישי
להוכחת המשפט השלישי ישנם שני חלקים: בחלק הראשון יש להוכיח כי קיים קבוע c\in\R
 כך ש-\prod_{p\le x}{\left(1-\frac{1}{p}\right)}=\frac{e^{-c}}{\ln x}\left(1 + O\left(\frac{1}{\ln x}\right)\right). בחלק השני יש להוכיח כי c=\gamma.

#### הוכחת החלק הראשון
ראשית מוכיחים כי לכל x\ge 1:

\sum_{p> x}{\left(\ln\left(\frac{1}{1-\frac{1}{p}}\right)-\frac{1}{p}\right)}=O\left(\frac{1}{x}\right)

כלומר, הסכום מתכנס וגודלו מסדר גודל של \frac{1}{x}. בפרט הוא מתכנס עבור x = 1, לכן אפשר להגדיר:

c_0:=\sum_{p}{\left(\ln\left(\frac{1}{1-\frac{1}{p}}\right)-\frac{1}{p}\right)}

כעת, על ידי שימוש במשפט מרטנס השני מקבלים כי:

\begin{align}
\ln\left(\prod_{p\le x}{\left(1-\frac{1}{p}\right)}\right)=\sum_{p\le x}{\ln\left(1-\frac{1}{p}\right)} =-\sum_{p\le x}{\ln\left(\frac{1}{1-\frac{1}{p}}\right)} \\
=-\left(\sum_{p}{\left(\ln\left(\frac{1}{1-\frac{1}{p}}\right)-\frac{1}{p}\right)}-\sum_{p> x}{\left(\ln\left(\frac{1}{1-\frac{1}{p}}\right)-\frac{1}{p}\right)}+\sum_{p\le x}{\frac{1}{p}}\right) \\
=-c_0-\ln\ln x-M+O\left(\frac{1}{\ln x}\right)
\end{align}

על-ידי לקיחת אקספוננט על שני חלקי המשוואה, ומתוך כך ש-e^{O\left(\frac{1}{\ln x}\right)}=1+O\left(\frac{1}{\ln x}\right), מתקבל כי:

\prod_{p\le x}{\left(1-\frac{1}{p}\right)}=\frac{e^{-c_0-M}}{\ln x}\left(1 + O\left(\frac{1}{\ln x}\right)\right)

לכן אפשר להגדיר c:=c_0+M ובכך מוכח חלק זה של המשפט.

#### הוכחת החלק השני
מגדירים:

f(s):=\ln(\zeta(1+s))-\sum_{p}{\frac{1}{p^{1+s}}}=\sum_{p}{\left(\ln\left(\frac{1}{1-p^{-1-s}}\right)-\frac{1}{p^{1+s}}\right)}

כאשר \zeta היא פונקציית זטא של רימן והשוויון האחרון נובע מהפעלת לוגריתם על מכפלת אוילר. ניתן להבחין כי הפונקציה f(s) מוגדרת היטב בתחום s>0 וכי \lim_{s\to 0^+}{f(s)}=c_0.

מגדירים לכל s\ge 0:

H(s):=\sum_{n\le s}{\frac{1}{n}},\quad P(s):=\sum_{p\le s}{\frac{1}{p}}

ניתן להוכיח כי:

\ln(\zeta(1+s))=s\int_0^\infty{e^{-st}H(t)dt}+O(s),\quad \sum_{p}{\frac{1}{p^{1+s}}}=s\int_0^\infty{e^{-st}P(e^t)dt}

מציבים את ביטויים אלו בהגדרת f(s) ומקבלים:

f(s)=s\int_0^\infty{e^{-st}(H(t)-P(e^t))dt}+O(s)

לפי ההגדרה של קבוע אוילר-מסקרוני ולפי משפט מרטנס השני:

H(s)=\ln s+\gamma+O\left(\frac{1}{s}\right),\quad P(e^s)=\ln s+M+O\left(\frac{1}{s}\right)

על-ידי הצבת שני קירובים אלו בביטוי של f(s), ומתוך כך ש-O\left(\frac{1}{s}\right)=O\left(\frac{1}{s+1}\right), מקבלים:

\begin{align}
f(s)=s\int_0^\infty{e^{-st}\left(\gamma - M + O\left(\frac{1}{t+1}\right)\right)dt}+O(s) \\
=\gamma - M + O\left(s+\int_0^\infty{\frac{e^{-st}}{t+1}dt}\right) \\
=\gamma - M + O\left(s\ln\left(\frac{1}{s}\right)\right)
\end{align}

משמע ש-c_0=\lim_{s\to 0^+}{f(s)}=\gamma - M, ולכן c=c_0+M=\gamma.

**מ.ש.ל.**

## תוצאות המשך

### שיפורי חסמים באמצעות משפט המספרים הראשוניים
אם משתמשים במשפט המספרים הראשוניים, ניתן לשפר את התוצאות של משפטי מרטנס.

כך למשל, עבור משפט מרטנס הראשון, ניתן להוכיח שקיים קבוע E\in\R כך ש:

\sum_{p\le x}{\frac{\ln p}{p}}=\ln x + E +O\left(\frac{1}{\ln x}\right)

ניתן להראות כי קבוע זה הוא:

E=-\gamma-\sum_p{\frac{\ln p}{p(p-1)}}

באופן דומה, באמצעות חסם ואלה פוסן של משפט המספרים הראשוניים, ניתן להוכיח שקיימים c_1,c_2\in\R כלשהם כך ש:

\sum_{p\le x}{\frac{1}{p}}=\ln \ln x + M +O\left(e^{-c_1\sqrt{\ln x}}\right)

\prod_{p\le x}{\left(1-\frac{1}{p}\right)}=\frac{e^{-\gamma}}{\ln x}\left(1 + O\left(e^{-c_2\sqrt{\ln x}}\right)\right)

### שיפורי חסמים תחת הנחת השערת רימן
אם מניחים את נכונותה של השערת רימן (שטרם הוכחה עת כתיבת שורות אלו), ניתן לקבל חסמים טובים אף יותר לכל שלושת המשפטים של מרטנס. חסמים אלו הם:

\left|\sum_{p\le x}{\frac{\ln p}{p}}-\ln x - E\right|\le \frac{3\ln^2 x}{8\pi \sqrt{x}},\quad x\ge 43.1

\left|\sum_{p\le x}{\frac{1}{p}}-\ln \ln x - M\right|\le \frac{3\ln x}{8\pi \sqrt{x}},\quad x\ge 24.4

e^\gamma \ln x\left|\prod_{p\le x}{\left(1-\frac{1}{p}\right)}-1\right|\le \frac{3\ln x}{8\pi \sqrt{x}},\quad x\ge 23.8

### משפטי מרטנס תחת סדרה חשבונית
ניתן לקבל חסמים על קצב גידול הסכומים והמכפלה במשפטי מרטנס אם מגבילים את המספרים הראשוניים עליהם סוכמים לכאלו מתוך סדרה חשבונית. בפרט, אם 1\le l הם זוג מספרים טבעיים כך ש-\operatorname{gcd}(l,q)=1, אזי:

\sum_{p\le x, p \equiv l (\operatorname{mod} q)}{\frac{1}{p}}=\frac{\ln \ln x}{\varphi(q)}+M(q,l)+O\left(\frac{1}{\ln x}\right)

\prod_{p\le x,p\equiv l(\operatorname{mod} q)}{\left(1-\frac{1}{p}\right)}=\frac{C(q,l)}{(\ln x)^{1/\varphi(q)}}\left(1 + O\left(\frac{1}{(\ln x)^{1+1/\varphi(q)}}\right)\right)

כאשר M(q,l) ו-C(q,l) הם קבועים התלויים ב-q ו-l בלבד.

### תנודות סביב הגבול במשפטי מרטנס
ממוזער|גרף של <math>\sqrt{n}\left(\sum_{p\le n}\frac{1}{p} - \ln \ln n - M\right)</math>. ניתן להוכיח שגרף זה מתנודד סביב קו ה-0 בתנודות הולכות וגדלות.

עבור סדרת ההפרשים \sum_{n=1}^N{\frac{1}{n}}-\ln N, ידוע שסדרה זו היא סדרה מונוטונית יורדת שמתכנסת לקבוע אוילר-מסקרוני.

נשאלת השאלה האם סדרות ההפרשים הנובעות ממשפטי מרטנס יורדות או עולות מונוטונית לגבול, או שהן מבצעות תנודות של שינוי סימן סביב הגבול. ניתן להוכיח כי:

\sum_{p\le x}\frac{1}{p}-\ln\ln x-M=\Omega_\pm\left(x^{-\frac{1}{2}}\ln\ln\ln x\right)

e^\gamma\ln x\prod_{p\le x}\left(1-\frac{1}{p}\right)-1=\Omega_\pm\left(x^{-\frac{1}{2}}\ln\ln\ln x\right)

כלומר, הביטויים משמאל מבצעים אינסוף אוסילציות סביב הגבול שלהם. יתרה מזאת, אם מכפילים את הביטויים משמאל ב-\sqrt{x} מתקבלות אוסילציות גדולות ככל שנרצה, שכן הביטוי \ln\ln\ln x שואף לאינסוף.

## לקריאה נוספת

* 
* 

## ראו גם

* משפט דיריכלה

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת המספרים
קטגוריה:מספרים ראשוניים
קטגוריה:משפטים מתמטיים