אי-שוויון גרותנדיק

**אי-שוויון גרותנדיק** (GT) הוא תוצאה יסודית באנליזה פונקציונלית ובתורת האופרטורים. הוא קובע כי עבור שדה \mathbb{F} \in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\} קיים קבוע אוניברסלי K_G^\mathbb{F} (הנקרא **קבוע גרותנדיק**) כך שלכל מטריצה A = (a_{ij}) בגודל m \times n מעל \mathbb{F}, לכל מרחב הילברט H מעל \mathbb{F} ואוסף וקטורים u_{1},\dots,u_{m} \in H ו-v_{1},\dots,v_{n} \in H בכדור היחידה של H, מתקיים:


\left|\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\langle u_i, v_j \rangle_H\right| \leq K_G^\mathbb{F}\,\sup_{|p_i| \leq 1, |q_j| \leq 1 } \left|\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}p_iq_j\right|


הקבוע K_G^{\mathbb{F}} הוא הקבוע K המינימלי שמקיים את הגדרה זו, והוא שונה עבור השדות \mathbb{R} ו-\mathbb{C}. ערכו המדויק של K_G^\mathbb{F} אינו ידוע עד היום. עבור המקרה הממשי, K_G^{\mathbb{R}}, מעריכים כי 1.67 \lesssim K_G^{\mathbb{R}} \lesssim 1.78.

אי-השוויון הוצג לראשונה על ידי אלכסנדר גרותנדיק בשנת 1953, במסגרת מאמרו על מכפלות טנזוריות. גרותנדיק התעניין בהתנהגות פונקציונלים ליניאריים על מרחבי מכפלה, ואי-השוויון שגילה סיפק חסם חד שהיה מרכזי לפיתוח התאוריה. לאחר מספר שנים, עיבדו יורם לינדנשטראוס ואלכסנדר פלצ'ינסקי את הניסוח לצורה מטריציונית, ובכך זכה אי השוויון לחשיפה מוגברת.

אי השוויון זכה לניסוחים שקולים בתחומים שונים במתמטיקה. בין היתר הוצג כמשפט על צורות ביליניאריות חסומות, נורמות של מכפלות טנזוריות, אופרטורים בין מרחבי בנך, ואופרטורים בין המרחבים L_{\infty} ו-L_{1}. כל אחד מהנוסחים מדגיש היבט אחר של אותה תופעה מתמטית.

אי-שוויון גרותנדיק חוצה תחומים ויש לו השלכות רבות מחוץ לאנליזה פונקציונלית. לדוגמה, במדעי המחשב הוא מהווה בסיס לפיתוח אלגוריתם קירוב לבעיות NP-קשות. בעזרת אי-השוויון ניתן להחליף בעיה קומבינטורית קשה בבעיה קמורה (SDP), תוך שמירה על פער קירוב חסום על ידי K_G^\mathbb{F} בין הפתרונות.

בתחום מידע קוונטי מופיע אי-השוויון במחקר אי-שוויוני בל, ובפרט בבעיית ההפרה המקסימלית האפשרית של גבולות קלאסיים (כגון חסם צירלסון). כאן K_G^\mathbb{F} משקף את גודל ההפרה האפשרית על ידי מערכות קוונטיות. אי-השוויון אף היווה השראה לפיתוח גרסאות מורחבות שלו (נקראות לעיתים "אי-שוויוני גרותנדיק מסוגים שונים"), אשר חלות על אופרטורים לא ליניאריים, מכפלות מולטילינאריות, גרפים, ועוד.

## הערכת קבוע גרותנדיק
מאז פרסום מאמרו המקורי של גרותנדיק, מתמטיקאים שונים ניסו לפשט ולשפר את ההוכחה של אי-השוויון, וכן להשיג חסמים טובים יותר עבור קבוע גרותנדיק. להלן נקודות ציון עיקריות:
# **גרותנדיק (1953)**: הראה \frac{\pi}{2} \le K_G^{\mathbb{R}} \le \sinh(\frac{\pi}{2}) \approx 2.3013. עבור המקרה המרוכב, הראה K_G^{\mathbb{C}} \le K_G^{\mathbb{R}} וכן K_G^{\mathbb{C}} \ge 4/\pi \approx 1.273.
# **לינדנשטראוס ופלצ'ינסקי (1968)**: הציגו את הניסוח המטריציוני של אי-השוויון ופישטו את הוכחתו של גרותנדיק למקרה הממשי, אך לא שיפרו את החסמים.
# **ריץ (1974)**: שיפר את החסם העליון ל-K_G^{\mathbb{R}} \lesssim 2.261.
# **קריבין (1977)**: השיג את החסם העליון הממשי הטוב ביותר הידוע עד היום (שאינו אסימפטוטי): K_G^{\mathbb{R}} \le \frac{\pi}{2\ln(1+\sqrt{2})} \approx 1.78221.
# **האגרופ (1981, 1987)**: הרחיב את שיטת קריבין למקרה המרוכב והשיג K_G^{\mathbb{C}} \lesssim 1.40491.
# **דייווי (1984)**: סיפק את החסמים התחתונים הטובים ביותר הידועים לזמנו: K_G^{\mathbb{R}} \gtrsim 1.67696 וכן K_G^{\mathbb{C}} \gtrsim 1.33807.
# **בראברמן, מקריצ'ב, מקריצ'ב ונאור (2011)**: הראו באופן לא קונסטרוקטיבי שמתקיים K_G^{\mathbb{R}} , כלומר החסם של קריבין אינו הדוק. עם זאת, טרם נמצא חסם עליון קונסטרוקטיבי טוב יותר.

## מוטיבציה ואינטואיציה
נניח שיש לנו מטריצה A = (a_{ij}) של מספרים ממשיים. אנו שואפים למקסם את הביטוי
 \sum_{i,j} a_{ij} p_i q_j, 
כאשר p_i ו-q_j נבחרים מתוך \{-1, 1\}. אפשר לתאר זאת כבעיה קומבינטורית שבה אנו מקצים סימנים לקשתות של גרף ממושקל במטרה להגדיל את סכום המשקולות. ערך הסופרמום של ביטוי זה הוא \lVert A \rVert_{\infty\to1}.

כעת, נרפה את ההגבלה - נאפשר ל-u_i ו-v_j להיות וקטורי יחידה במרחב הילברט H כלשהו, ונבחן את הביטוי
 \sum_{i,j} a_{ij} \langle u_i, v_j \rangle_H. 
הערך המקסימלי של ביטוי זה על פני כל מרחבי הילברט H וכל בחירות וקטורי היחידה u_i, v_j יסומן \lVert A \rVert_G.
אינטואיטיבית אולי נצפה שככל שמאפשרים גמישות רבה יותר (בחירת וקטורים במקום סקלרים עם ערך מוחלט 1, או סימנים בלבד), הערך המקסימלי יכול לגדול. אי-שוויון גרותנדיק קובע כי היתרון שמתקבל מהמעבר למקרה הווקטורי מוגבל על ידי קבוע אוניברסלי K_G^\mathbb{R}.

### פורמולציה באמצעות הנורמה של אופרטור
ניתן לחשוב על אי-שוויון גרותנדיק גם מהפרספקטיבה של אופרטורים ליניאריים חסומים. המטריצה A מייצגת אופרטור ליניארי A: \mathbb{F}^{n} \to \mathbb{F}^{m}. אם נגדיר נורמות \lVert \cdot \rVert_{\alpha}, \lVert \cdot \rVert _{\beta} בהתאמה לכל אחד מהמרחבים הווקטוריים האלו, ניתן לשאול - עד כמה עשוי האופרטור A להגדיל את הנורמה של וקטור שהוא פועל עליו? הנורמה האופרטורית המושרית עונה על שאלה זו: \lVert A \rVert _{\alpha\to\beta} := \sup_{\lVert u \rVert_{\alpha}=1 }\lVert A(u) \rVert_{\beta} באופן שקול ניתן להגדיר:\lVert A \rVert_{\alpha \to \beta} = \sup_{\lVert u \rVert_{\alpha}=1, \lVert v^* \rVert_{\beta^{*}}=1} \left| v^*(A(u)) \right| כאשר v^{*} מתייחס למרחב הדואלי. בחירה נפוצה של נורמה למרחב \mathbb{F}^n היא נורמת <math>\ell_n^{\alpha}</math>. אם באותו האופן נבחר למרחב \mathbb{F}^m את הנורמה <math>\ell_m^{\beta}</math>, אז הנורמה האופרטורית המתקבלת עבור A היא:\lVert A \rVert _{\alpha\to\beta} =\sup_{\lVert u \rVert_{\alpha}=1, \lVert v^{*} \rVert _{\beta^{*}}=1} \left| \sum_{ij}a_{ij}v_{i}^* u_{j} \right| נורמה זו מקסימלית כאשר נבחר \alpha = \infty,\beta=1: \sup_{\alpha,\beta}\lVert A \rVert _{\alpha\to\beta} = \lVert A \rVert_{\infty\to1} := \sup_{u_i, v_j \in \mathbb{F}, |u_i| = 1, |v_j| = 1} \left| \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij} u_i^{*} v_j \right| אי שוויון גרותנדיק מכליל את הביטוי הזה. אכן, u_i^{*}v_{j} = \langle u_{i}, v_{j} \rangle_{\mathbb{F}^1} ולכן נוכל להרחיב את ההגדרה למרחב הילברט כללי H:\lVert A \rVert_{H} := \sup_{u_i, v_j \in H, \lVert u_i \rVert_H = 1, \lVert v_j \rVert_H = 1} \left| \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}\langle u_{i},v_{j} \rangle_{H} \right| נגדיר את "נורמת" גרותנדיק של המטריצה A, כסופרימום של הביטוי הזה על כל מרחבי הילברט מעל \mathbb{F}:
\lVert A \rVert_{G} := \sup_{H}\lVert A \rVert _{H}אז, אי שוויון גרותנדיק גורס כי קיים קבוע אוניברסלי K_G^\mathbb{F} עבורו לכל מטריצה סופית A מעל השדה \mathbb{F}:
\lVert A \rVert _{G} \leq K_G^\mathbb{F} \cdot \lVert A \rVert _{\infty\to1} במילים, הנורמה האופרטורית המקסימלית שמושרית מהמרחבים הנורמיים \ell^p, לא יכולה לסטות יותר מדי מהנורמה האופרטורית המקסימלית שמושרית ממרחבי הילברט.

## סקיצת הוכחה עבור המקרה הממשי
### הקדמה
אלמנט מפתיע באי-שוויון גרותנדיק הוא קיומו של קבוע אוניברסלי עבור כל מרחבי הילברט מעל השדה \mathbb{F}. אפשרות אחרת להסתכל על כך היא באמצעות הפורמולציה באמצעות הנורמה של אופרטור. מהפרספקטיבה הזו, אי-השוויון מציג קשר בין קבוצת המרחבים הנורמיים \ell^p לבין קבוצת כל מרחבי הילברט מעל \mathbb{F}.

דרך אחת להבחין מדוע קבוע כזה קיים, היא לשים לב שניתן לשכן וקטורים ממרחבי הילברט שונים כמשתנים מקריים במרחב הילברט L^2(\mu) עבור מרחב הסתברות (\Omega, \mathcal{E}, \mu). כלומר, אם השיכון של u, v הוא U, V בהתאמה, נדרש \langle u,v \rangle_{H} = \mathbb{E}[UV] = \langle U,V\rangle_{L^2(\mu)} .

מציאת שיכון שכזה היא טריוויאלית. על ידי בחירת בסיסים אורתונורמליים \{ e_{n} \} למרחב H ו-\{ \psi_{n} \} למרחב L^2(\mu) (לשם הנוחות נניח שהמרחבים H,L^2(\mu) ספרביליים וגם שהמרחב L^2(\mu) מממד אינסופי), נוכל לבחור שיכון:
x \mapsto X := \sum_{n}\langle x_{i},e_{n} \rangle _{H}\cdot \psi_{n}כך, מתקיים:
\mathbb{E}[U_{i}V_{j}] = \sum_{n}\langle u_{i},e_{n} \rangle_{H}\cdot \langle v_{j},e_{n} \rangle_{H}=\langle u_{i},v_{j} \rangle _{H} בפרט,\mathbb{E}[|U_i|^2]= \lVert u_i \rVert_H^2. כפי שנראה, אי-שוויון גרותנדיק נובע מקיומו של שיכון בעל תכונה נוספת - שהמשתנים המקריים \psi_n שייכים גם ל-L^p(\mu) עבור p>2 כלשהו, והנורמות שלהם ב-L^p(\mu) חסומות באופן אחיד. בחירות שונות של שיכונים כאלו יובילו לקבועי גרותנדיק שונים (שאינם בהכרח הדוקים).

נשים לב שמבין כל מרחבי <math>L^p</math>, המרחב L^2 הוא מרחב הילברט היחיד. מונוטוניות הנורמות על מרחבי L^p משחקת תפקיד מפתח בפיתוח הקשר בין הנורמות \lVert\cdot\rVert_{p \to q}, \lVert\cdot\rVert_H שמופיעות באי-השוויון.

### ניסוח תנאי מספק לקיום אי-שוויון גרותנדיק
ראשית, ניווכח שקיומו של שיכון מתאים גורר את אי שוויון גרותנדיק:**טענה: תנאי מספק לקיום אי-שוויון גרותנדיק**

*יהי <math>2<p<\infty</math>, ונניח כי קיים קבוע <math>C>0</math> כך שלכל מרחב הילברט <math>H</math>, ולכל בחירת וקטורים <math>u_{1},\dots u_{m},v_{1},\dots v_{n}</math> בכדור היחידה של <math>H</math>, קיים מרחב הסתברות <math>(\Omega, \mathcal{E}, \mu)</math> ושיכון כמשתנים מקריים <math>U_{1},\dots U_{m},V_{1},\dots ,V_{n}</math>, עבורם:*
\langle u_{i},v_{j} \rangle _{H} = \mathbb{E}[U_{i}V_{j}], \quad \mathbb{E}[\left| U_{i} \right|^p]\leq C, \quad \mathbb{E}[\left| V_{j} \right|^p]\leq C \quad 

אז אי שוויון גרותנדיק מתקיים עם קבוע התלוי ב-p וב-C.**הערה:** למעשה, התנאי הנוסף על השיכון שלנו הוא קיומו של קבוע 2 כך שהמומנט ה-p של המשתנים המקריים חסום באופן אחיד. אינטואיטיבית, ניתן לחשוב על תנאי זה כדרישה שהמשתנים המקריים יהיו "שטוחים דיו", כפי שיתבטא בהוכחה.

 \cdot \lVert A \rVert _{G} 
מאחר ש-p>2, ניתן לבחור M>(2 C^{1/2}\cdot C')^{\frac{2}{p-2}}, להעביר אגפים ולקבל חסם עליון: \lVert A \rVert _{G} \leq\underbrace{ \frac{M^2}{1-2 C^{1/2}\cdot C' \cdot M^{1-p/2}} }_{ K_M(p,C,C') }\lVert A \rVert _{\infty\to1} מינימזציה של ביטוי זה ב-M  (בטווח המותר) מובילה לקבוע:
K(p,C,C') := \min_{M}K_{M}(p,C,C') = \frac{2\cdot \left[ C^{1/2}\cdot C\cdot\left( 1+\frac{p}{2} \right)^{\frac{p+2}{4}} \right]^{\frac{4}{p-2}} }{p-2}∎
}}

### הוכחת קיום התנאי המספק
איך ניתן למצוא שיכון שכזה? דוגמה אחת לבסיס מתאים היא מערכת ראדמאכר - סדרה r_{n}(\omega) של משתנים מקריים בלתי תלויים שלוקחים את הערכים \pm1 בהסתברות \frac{1}{2} כל אחד:
r_{n}(\omega) := \text{sgn}(\sin(2^n\pi \omega)), \quad n=1,2,\dots, \quad \omega \in [0,1]
מערכת זו אורתונורמלית ב-L^2([0,1]). בהתאם לכך נבנה את השיכון:u_{i} = \sum_{n}\langle u_{i},e_{n} \rangle_{H}\cdot e_{n} \longmapsto U_{i} = \sum_{n}\langle u_{i},e_{n} \rangle_{H}\cdot r_{n}ובאותו האופן עבור v_{j} \mapsto V_j. נותר להוכיח את החסם על המומנט ה-p, כאשר נזכור \sum_{n}\left| \langle u_{i,}e_{n} \rangle \right|^2 = \lVert u_{i} \rVert _{H} \le 1:**טענה: חסם אחיד על המומנט הרביעי של מערכת ראדמאכר:**

*עבור <math>X( \omega ) = \sum_n a_n r_n(\omega)</math> כאשר <math>\sum_n a_n^2 \le 1</math>, מתקיים:<math display="block">\mathbb{E}\left[ \left| X \right|^4 \right] \leq 3</math>***


אם כן, מערכת ראדמאכר מהווה בסיס מתאים לשיכון שחיפשנו, וקיומה מוכיח את אי שוויון גרותנדיק! מהו הקבוע שקיבלנו? היות ש-<math>\lVert r_{n} \rVert_{L^2([0,1])} = 1</math>, מההוכחה שלנו מעלה נובע (עם <math>p=4</math>, <math>C=3</math>, <math>C'=1</math>):<math display="block">K_{G}^\mathbb{R} \leq 81,</math>בעוד שידוע <math>1.67696 \lesssim K_G^{\mathbb{R}} \lesssim 1.78221</math>. למעשה, ניתן להגיע לחסם של קריבין בדרך דומה אך עם שיכון מתוחכם יותר.

==יישומים==
===אומדן נורמת החיתוך (Cut Norm)===
בהינתן מטריצה ממשית <math>A=(a_{ij})</math> בגודל <math>m\times n</math>, **נורמת החיתוך** שלה מוגדרת על ידי:
<math display="block"> \|A\|_{\square} := \max_{S\subseteq\{1,\dots,m\},\,T\subseteq\{1,\dots,n\}} \left| \sum_{i\in S,\,j\in T} a_{ij} \right|. </math>
נורמת החיתוך קשורה לבעיית [[חתך מרבי]] (Max-Cut) בגרפים ומופיעה באלגוריתמי קירוב.
אי-שוויון גרותנדיק מספק קשר בין נורמת החיתוך, <math>\lVert A \rVert_{\infty\to1}</math> ו-<math>\lVert A \rVert_{G}</math>. ידוע כי:
<math display="block"> \|A\|_{\square} \leq \lVert A \rVert_{\infty\to1} \leq C_0 \cdot \|A\|_{\square} </math>
עבור קבוע אוניברסלי <math>C_0</math> (למשל, <math>C_0=4</math> עבור מטריצות כלליות).
מאי-שוויון גרותנדיק אנו יודעים (ראה [[#פורמולציה באמצעות הנורמה של אופרטור|פורמולציה באמצעות הנורמה של אופרטור)]]:
<math display="block"> \lVert A \rVert _{\infty\to1} \leq \lVert A \rVert_{G} \leq K_G^{\mathbb{R}} \cdot \lVert A \rVert _{\infty\to1} </math>
שילוב אי-שוויונות אלו מראה שניתן לקרב את <math>\lVert A \rVert_{G}</math> באמצעות <math>\lVert A \rVert_{\infty\to1}</math>, ואת <math>\lVert A \rVert_{\infty\to1}</math> באמצעות <math>\|A\|_{\square}</math>:
<math display="block"> \frac{1}{C_0 \cdot K_G^{\mathbb{R}}} \lVert A \rVert_{G} \leq \|A\|_{\square} \leq \lVert A \rVert_{G} </math>
בעוד שחישוב מדויק של <math>\|A\|_{\square}</math> (או <math>\lVert A \rVert_{\infty\to1}</math>) הוא [[בעיה NP-קשה]], ניתן לחשב את <math>\lVert A \rVert_{G}</math> (או לקרב אותו) ביעילות עד לכל דיוק <math>\varepsilon > 0</math> באמצעות תכנות [[:en:Semidefinite_programming|SDP]] בזמן פולינומי בגודל המטריצה וב-<math>1/\varepsilon</math>. לכן, אי-שוויון גרותנדיק מאפשר לקרב את נורמת החיתוך עד כדי פקטור <math>K_G^{\mathbb{R}}</math> (או <math>C_0 \cdot K_G^{\mathbb{R}}</math>).

===למת הרגולריות של סמרדי===
[[למת הרגולריות של סמרדי]] היא תוצאה ב[[תורת הגרפים]] המאפשרת, בהינתן כל גרף (לא משנה כמה גדול הוא), לקרב אותו על ידי גרף בגודל קבוע, כשגודלו של הגרף המקרב נקבע רק על פי איכות הקירוב.
יישום נוסף של אי-השוויון של גרותנדיק הוא מציאת קירוב כזה עבור גרף נתון, באמצעות אלגוריתם קירוב לנורמת החיתוך (cut norm), ב[[זמן פולינומי]] שאינו תלוי במספר הקודקודים בגרף.

מתברר כי “צוואר-הבקבוק” העיקרי בבניית חלוקה רגולרית של סמרדי בזמן פולינומי הוא לקבוע, גם כן בזמן פולינומי, האם זוג נתון <math>(X,Y)</math> של קבוצות קודקודים זרות קרוב להיות <math>\varepsilon</math>-רגולרי. כלומר, שלכל <math>S\subset X,\;T\subset Y</math> המקיימות <math>|S|\ge \varepsilon|X|,\;|T|\ge \varepsilon|Y|</math> מתקיים:

<math display="block">\left| \frac{e(S,T)} - \frac{e(X,Y)} \right| \le \varepsilon,</math>

כאשר <math>e(S,T)</math> הוא מספר הקשתות בין הקבוצות <math>S,T</math> ובאותו האופן עבור <math>X,Y</math>. ניתן להראות שעבור מטריצה <math>A'_{XY}</math> מתאימה, אם <math>\|A'_{XY}\|_{\square} < \varepsilon^3 |X||Y|</math>, הזוג <math>(X,Y)</math> הוא <math>\varepsilon</math>-רגולרי. כאמור, ניתן לקרב את נורמת החיתוך באמצעות <math>\lVert A'_{XY} \rVert_G</math> ואי-שוויון גרותנדיק.

===חסם צירלסון===
בשנת 1935, [[אלברט איינשטיין]], [[בוריס פודולסקי]] ו[[נתן רוזן]] (EPR) פרסמו מאמר בו טענו ש[[מכניקת הקוונטים]] אינה תאוריה שלמה של המציאות הפיזיקלית, ורמזו לקיומם של "משתנים חבויים" שיכולים להסביר את התוצאות הסטוכסטיות של מדידות קוונטיות באופן דטרמיניסטי ([[הפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן]]).
בשנת 1964, [[ג'ון סטיוארט בל]] הראה שכל תאוריית משתנים חבויים מקומית גוררת אי-שוויונות מסוימים ([[אי-שוויון בל|אי-שוויוני בל]]) לגבי המתאמים (קורלציות) בין מדידות הנערכות על מערכות פיזיקליות מרוחקות. מכניקת הקוונטים, לעומת זאת, חוזה הפרה של אי-שוויונות אלו.
קלאוזר, הורן, שימוני והולט (CHSH) הציעו ב-1969 גרסה של אי-שוויון בל (אי-שוויון CHSH) שניתנת לבדיקה ניסיונית. ניסויים רבים אישרו את תחזיות מכניקת הקוונטים והפרו את אי-שוויון CHSH, ובכך שללו תאוריות משתנים חבויים מקומיות.
ב-1980, [[בוריס צירלסון]] הראה שמכניקת הקוונטים עצמה מטילה חסם על מידת ההפרה האפשרית של אי-שוויון CHSH, ושקבוע גרותנדיק <math>K_G^\mathbb{R}</math> קובע את ההפרה המקסימלית של אי-שוויוני בל כלליים יותר (מסוג מסוים) במכניקת הקוונטים.

==וריאציות של אי-שוויון גרותנדיק==
===קבוע גרותנדיק מסדר d===
קבוע גרותנדיק מסדר <math>d</math> (עבור מרחבי הילברט ממשיים), המסומן <math>K_G(d)</math>, הוא הקבוע <math>K</math> המינימלי כך שלכל מטריצה ממשית <math>A = (a_{ij})</math> בגודל <math>m \times n</math>, ולכל שני סטים של וקטורים <math>u_1, \dots, u_m \in \mathbb{R}^d</math> ו-<math>v_1, \dots, v_n \in \mathbb{R}^d</math> המקיימים <math>\lVert u_i \rVert_2 \le 1</math> ו-<math>\lVert v_j \rVert_2 \le 1</math>, מתקיים:
<math display="block"> \left|\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\langle u_i, v_j \rangle\right| \leq K \cdot \sup_{|p_i| \leq 1, |q_j| \leq 1}\left|\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}p_iq_j\right| </math>
במילים אחרות, <math>K_G(d)</math> הוא קבוע גרותנדיק כאשר מרחב הילברט <math>H</math> מוגבל להיות <math>\mathbb{R}^d</math> (או כל מרחב הילברט ממשי מממד <math>d</math> לכל היותר).
הסדרה <math>(K_G(d))_{d=1}^\infty</math> היא סדרה לא יורדת של קבועים. הקבוע <math>K_G^\mathbb{R}</math> שהוגדר קודם הוא למעשה:<math display="block">\sup_{d \ge 1} K_G(d) = \lim_{d \to \infty} K_G(d)</math>באופן אינטואיטיבי, <math>K_G(d)</math> מודד עד כמה ניתן "להפר" את הגרסה הסקלרית של הביטוי כאשר הווקטורים <math>u_i, v_j</math> חיים במרחב מממד <math>d</math>.
לקבועים אלה יש יישומים חשובים, למשל בפיזיקה קוונטית בהקשרים של [[אי-שוויוני בל]] וחסם צירלסון (על שם המתמטיקאי [[בוריס צירלסון]]), ובאופטימיזציה.

לאורך השנים פותחו חסמים שונים על קבועי גרותנדיק אלו:



===קבוע גרותנדיק של גרף===
בהשראת אי-שוויון גרותנדיק, הוגדר **קבוע גרותנדיק של גרף''' סופי G=(V,E) כקבוע K(G) המינימלי כך שלכל פונקציית משקולות על הקשתות a:E\to\mathbb{R} מתקיים:

\sup_{f:V\to S(\ell_2)}
\sum_{\{u,v\}\in E} a(u,v)\,\langle f(u),f(v)\rangle_{\ell_2}
\;\le\;
K(G) \cdot
\sup_{f:V\to\{-1,1\}}
\sum_{\{u,v\}\in E} a(u,v)\,f(u)f(v),

כאשר 
S(\ell_2)
 היא ספירת היחידה של 
\ell_2
. נסמן ב-K(G) את הקבוע המינימלי הזה. נבחן, למשל, את הגרף דו-צדדי המלא K_{n,n}. במקרה זה מתקבל:
 K(K_{n,n}) = K_G^\mathbb{R}(n),\qquad \sup_{n\ge1}K(K_{n,n}) = K_G^{\mathbb{R}}. 
אם G'=(V',E') הוא תת-גרף מושרה של G, אזי K(G')\le K(G).
לכן, לכל גרף דו-צדדי G מתקיים K(G)\le K_{G}^\mathbb{R}. ואולם, עבור גרפים כלליים הקבוע אינו נשאר חסום. למעשה, ידוע כי קיים קבוע מוחלט C>0 כך שלכל גרף G=(V,E) (ללא לולאות עצמיות) מתקיים:
 K(G)\le C \cdot \log (|V| +1), 
חסם זה הוא הדוק אסימפטוטית.

## לקריאה נוספת

* Joe Diestel, Jan H. Fourie, Johan Swart, The Metric Theory of Tensor Products: Grothendieck’s Résumé Revisited, American Mathematical Society, 2008

## קישורים חיצוניים
* 

* Mike Jury, Why is Grothendieck’s inequality true?, University of Florida


## הערות שוליים

גרותנדיק
קטגוריה:אנליזה פונקציונלית