נוסחאות ניוטון-קוטס

ממוזער| נוסחת ניוטון-קוטס עבור <math>n=2</math>
באנליזה נומרית, **הנוסחאות של ניוטון-קוטס**, הנקראות גם **כללי הריבוע של ניוטון-קוטס** או פשוט **כללי ניוטון-קוטס**, הן קבוצה של נוסחאות לאינטגרציה נומרית (נקראת גם *ריבוע*) המבוססת על הערכת האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. הם נקראים על שם אייזק ניוטון ורוג'ר קוטס.

נוסחאות ניוטון-קוטס יכולות להיות שימושיות אם ניתן הערך של האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. אם אפשר לשנות את הנקודות שבהן מוערך האינטגרנד, אז כנראה ששיטות אחרות כמו תרבוע גאוס ותרבוע  קלנשו-קרטיס  מתאימות יותר.

## תיאור
ההנחה היא שערך הפונקציה  המוגדרת ב [a, b] ידוע ב n + 1 נקודות שוות מרחק: a \leq x_0  . ישנן שתי מחלקות של ריבוע ניוטון-קוטס: הן נקראות "סגורות" כאשר x_0 = a ו x_n = b, כלומר הן משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה של המרווחים, ו"פתוחות" כאשר x_0 > a ו x_n , כלומר הן לא משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה. שימוש בנוסחאות ניוטון-קוטס באמצעות n+1 נקודות ניתן להגדרה (עבור שתי המחלקות) כ- \int_a^b f(x)\, dx \approx \sum_{i = 0}^n w_i\, f(x_i),כאשר
* עבור נוסחה סגורה, x_i = a + ih, עם h = \frac{b - a}{n} ,
* עבור נוסחה פתוחה, x_i = a + (i + 1)h, עם h = \frac{b - a}{n + 2} .

המספר  נקרא *גודל צעד*, w_i נקראות *משקולות* .

ניתן לחשב את המשקולות כאינטגרל של פולינומי לגרנז' בסיסיים. הם תלויים רק ב x_i ולא על הפונקציה  .

יהי L(x) פולינום האינטרפולציה בצורת לגראנז' עבור הנקודות (x_0, f(x_0)), (x_1, f(x_1)), \ldots, (x_n, f(x_n)), אזי \int_a^b f(x)\, dx \approx \int_a^b L(x)\, dx = \int_a^b \left(\sum_{i = 0}^n f(x_i) l_i(x)\right)\, dx
= \sum_{i = 0}^n f(x_i) \underbrace{\int_a^b l_i(x)\, dx}_{w_i}.

## חוסר יציבות לדרגה גבוהה
ניתן לבנות נוסחת ניוטון-קוטס בכל דרגה  . עם זאת, עבור  גדול כלל ניוטון-קוטס יכול לפעמים לסבול מתופעת רונגה   שבה השגיאה גדלה באופן אקספוננציאלי עבור  גדול. שיטות כמו נצב גאוס וניצב קלנשאו-קרטיס עם נקודות מרווחות באופן לא שווה (מקובצות *בנקודות הקצה* של מרווח האינטגרציה) הן יציבות ומדויקות הרבה יותר, ובדרך כלל הן מועדפות על ניוטון-קוטס. אם לא ניתן להשתמש בשיטות אלו, מכיוון שהאינטגרנד ניתן רק ברשת הניתנת בחלוקה שווה, אז ניתן להימנע מהתופעה של Runge באמצעות כלל מורכב, כפי שיוסבר להלן.

לחלופין, ניתן לבנות נוסחאות ניוטון-קוטס יציבות באמצעות קירוב ריבועים קטנים במקום אינטרפולציה. כך ניתן לבנות נוסחאות יציבות מבחינה נומרית גם לדרגות גבוהות.  

## נוסחאות סגורות של ניוטון-קוטס
טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הסגור. עבור 0 \le i \le n, יהי x_i = a + ih כאשר h = \frac{b - a}{n}, ו f_i = f(x_i).

שיטת בול מכונה לעיתים שיטת בוד, כתוצאה מהפצת טעות דפוס ב־Abramowitz and Stegun, ספר עיון מוקדם. 

המעריך של גודל הצעד *h* ברכיב השגיאה מגדיר את הקצב שבו יורדת שגיאת הקירוב. סדר הנגזרת של *f* ברכיב השגיאה מגדיר את הדרגה הנמוכה ביותר של פולינום שלא ניתן עוד לשלב במדויק (כלומר בשגיאה שווה לאפס) עם הכלל הזה. את המספר \xi יש לקחת מהקטע (a, b ), לפיכך תחום השגיאה שווה לרכיב השגיאה כאשר f(\xi) = \max(f(x)), a .

## נוסחאות ניוטון-קוטס פתוחות
טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הפתוח. עבור 0 \le i \le n, יהי x_i = a + (i + 1)h כאשר h = \frac{b - a}{n + 2}, ו f_i = f(x_i) .

## כללים מורכבים
כדי שחוקי ניוטון-קוטס יהיו מדויקים, גודל הצעד  צריך להיות קטן, מה שאומר שמרווח האינטגרציה [a, b] חייב להיות קטן בעצמו, וזה לא נכון רוב הזמן. מסיבה זו, בדרך כלל מבצעים אינטגרציה נומרית על ידי פיצול [a, b] לתת-מרווחים קטנים יותר, החלת כלל ניוטון-קוטס על כל תת-מרווח, וחיבור התוצאות. זה נקרא *כלל מורכב* . ראה אינטגרציה נומרית .

## ראו גם
* ריבוע (מתמטיקה)
* אינטרפולציה
* אינטרפולציה של ספליין

## הערות שוליים

* מ. אברמוביץ ואי.א. סטגון, עורכים.  . ניו יורק: דובר, 1972. *(ראה סעיף 25.4.)*
* ג'ורג' אי פורסיית', מייקל א' מלקולם וקליב ב' מולר. *שיטות מחשב לחישובים מתמטיים* . Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1977. *(ראה סעיף 5.1.)*
*
* יוסף סטואר ורולנד בולירש. *מבוא לניתוח נומרי* . ניו יורק: ספרינגר-ורלג, 1980. *(ראה סעיף 3.1.)*

## קישורים חיצוניים
* Newton–Cotes formulas on www.math-linux.com
* Weisstein, Eric W. "Newton–Cotes Formulas". MathWorld.
* Newton–Cotes Integration, numericalmathematics.com
* 

קטגוריה:אנליזה נומרית
קטגוריה:אינטגרלים