קוהומולוגיית הוכשילד

במתמטיקה, **הומולוגיית הוכשילד** היא תורת הומולוגיה עבור אלגברות אסוציאטיביות. המבנה הוגדר על ידי גרהרד הוכשילד  ב-1945 עבור אלגברות מעל שדה, והוכלל לאלגברות מעל חוגים כלליים יותר על ידי אנרי קרטן וסמואל איילנברג (1956). ב-1962 הראה מארי גרסטנהבר  כיצד לפרש את הקוהומולוגיה במונחים של דפורמציות.

## הגדרה
תהי A אלגברה אסוציאטיבית מעל שדה k. קוהומולוגיית הוכשילד של בי-מודול M מעל A (מימין ומשמאל) היא סדרה \ \operatorname{\operatorname{HH}}^n(A,M) של מרחבים וקטוריים מעל k, המקודדים תכונות יסודיות של A ושל M.

אפשר להגדיר את מרחבי ההומולוגיה והקוהומולוגיה באמצעות הפונקטורים הנגזרים Tor ו-Ext, כדלקמן:  \operatorname{HH}_n(A,M) = \operatorname{Tor}_n^{A^e}(A, M) ו-  \operatorname{HH}^n(A,M) = \operatorname{Ext}^n_{A^e}(A, M), כאשר A^e=A\otimes A^{op}. עבור M=A מקצרים וכותבים  \operatorname{HH}_n(A) = \operatorname{HH}_n(A,A) ו-  \operatorname{HH}^n(A) = \operatorname{HH}^n(A,A), כאשר A^e=A\otimes A^{op}. זהו מודול מעל המרכז של A. להלן נציג הגדרה מפורשת.

ההומולוגיה אדיטיבית וכפלית:  \operatorname{HH}_n(A\oplus B) = \operatorname{HH}_n(A)  \oplus \operatorname{HH}_n(B) ו- \operatorname{HH}_*(A \otimes_k B) = \operatorname{HH}_*(A) \otimes_k \operatorname{HH}_*(B). היא תלויה רק בקטגוריית הבימודולים של A (שקילות מוריטה). 

עבור שדה F, 
\operatorname{HH}_0(F)=F, ושאר ההומולוגיה מתאפסת. עבור אלגברה (עם יחידה) A, 
\operatorname{HH}_0(A)=A/[A,A] היא המנה הקומוטטיבית המקסימלית; מבנה זה מאפשר למיין את המודולים האי-פריקים מעל A. חבורות ההומולוגיה הגבוהות קשורות בהרחבות של מודולים, ובדרך כלל קשה לחשב אותן, בעיקר משום שהסדרה המדויקת המוגדרת על ידי אידיאל של A אינה מספקת סדרה מדויקת ארוכה של חבורות ההומולוגיה. 

### הרזולוציה החופשית
האלגברה A היא בי-מודול מעל עצמה. כל חזקה טנזורית \ A^{\otimes n} = A \otimes_k \cdots \otimes_k A היא בי-מודול מעל A, לפי הפעולה על הגורמים בקצוות. **קומפלקס הוכשילד** הוא הקומפלקס \ \cdots \stackrel{d_1}{\longrightarrow} A^{\otimes 3} \stackrel{d_0}{\longrightarrow} A^{\otimes 2} \stackrel{\mu}{\longrightarrow} A \longrightarrow 0, שהדיפרנציאלים שלו מוגדרים לפי \ d(a_0 \otimes \cdots \otimes a_{n+2}) = \sum_{i=0}^{n+1}(-1)^i a_0 \otimes \cdots \otimes a_i a_{i+1} \otimes \cdots \otimes a_{n+2}; כאן \ \mu היא פעולת הכפל. זוהי רזולוציה חופשית של A. משפט כללי באלגברה הומולוגית מראה שההגדרה של מרחבי הקומוהולוגיה אינה תלויה ברזולוציה (היינו אפשר היה לבחור רזולוציה פרויקטיבית כלשהי).

### קומפלקס הקו-שרשרת
כעת יהי M בי-מודול מעל A-A. הקוהומולוגיה ביחס ל-M מתקבלת על ידי הפעלת הפונקטור \ \operatorname{Hom}_{A-A}(-,M) על הרזולוציה שניתנה לעיל. לשם כך נוח לזהות \operatorname{Hom}_{A-A}(A^{\otimes n+2},M) = \operatorname{Hom}_k(A^{\otimes n},M). קומפלקס הקו-שרשרת המתאים ל-M הוא
\operatorname{Hom}_k(k,M) \stackrel{\delta_0}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}_k(A,M) \stackrel{\delta_1}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}_k(A \otimes A, M) {\longrightarrow} \cdots, כאשר
\ (\delta_{n-1}f)(a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) = a_1 f(a_2 \otimes \cdots \otimes a_n) + \sum_{i=1}^{n} (-1)^i f(a_1 \otimes \cdots \otimes a_i a_{i+1} \otimes \cdots \otimes a_n) + (-1)^{n+1}f(a_1 \otimes \cdots \otimes a_{n-1})a_n.

### הקוהומולוגיה
מכיוון ש-\ d^2 =0 מתקיים גם \delta^2 =0, ולכן \operatorname{im}\delta_{n-1} \subseteq \operatorname{ker}\delta_n. בהתאם לכך, מגדירים את **מרחבי הקוהומולוגיה** (עבור \ n \geq 0) כמנות \operatorname{HH}^n(A,M) = \operatorname{ker}\delta_n / \operatorname{im}\delta_{n-1}, כאשר \delta_{-1} = 0.

## הממד
אם M בימודול אינג'קטיבי, אז \ \operatorname{HH}^n(A,M) = 0 לכל \ n \geq 1. אם A אלגברה ספרבילית (כלומר, A פרויקטיבי כבי-מודול מעל A-A), אז \ \operatorname{HH}^n(A,M) = 0 לכל \ n \geq 1 ולכל בי-מודול M. ה**ממד** של A מוגדר כ-n הגדול ביותר שעבורו \ \operatorname{HH}^n(A,M) \neq 0 למודול כלשהו (או אינסוף אם אין כזה n). אם כך, הממד של אלגברה ספרבילית הוא אפס. גם הכיוון ההפוך נכון: לאלגברה יש ממד 0 אם ורק אם היא ספרבילית. אלגברה מממד אחד נקראת חופשית למחצה, או חלקה פורמלית בקטגוריה של אלגברות לא-קומוטטיביות.

לאלגברות בעלות ממד קרול אפס יכול להיות ממד אינסופי: אם A=F[x]/\langle x^2 \rangle אז \operatorname{HH}_n(A)=A,F,xA,F,xA,F,\dots עבור n=0,1,2,... .

## מרחבי הקוהומולוגיה הראשונים
לפי ההגדרה, \ \operatorname{HH}^0(A,M) = \{m \in M \,:\, am = ma \ (\forall a \in A)\} (ה"מרכז" של M).

### נגזרות
הגרעין של \ \delta_1 הוא אוסף הנגזרות הפורמליות \ A \rightarrow M, בעוד שתמונת \ \delta_0 כוללת את הנגזרות הפנימיות, a \mapsto [a,m]. אם כך, \ \operatorname{HH}^1(A,M) = 0 אם ורק אם כל נגזרת היא פנימית. כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב
\ \operatorname{HH}^1(A,M) ממיין את המשלימים של M במכפלה הישרה למחצה \ A \ltimes M = \left\{\left(\begin{array}{cc}a & m \\ 0&a\end{array}\right)\right\} שהם איזומורפיים ל-A, עד כדי הצמדה באיברים מהצורה \left(\begin{array}{cc}1&m\\0&1\end{array}\right).

### הרחבות
**הרחבה** של A על ידי M היא אלגברה B המכילה את M כאידיאל כך ש-\ M^2=0 ו-\ B/M \cong A, כאשר פעולת A על M (מימין ומשמאל) מתלכדת עם המבנה של M כבי-מודול. שתי הרחבות הן **שקולות** אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות על M ועל A. שוב כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב \ \operatorname{HH}^2(A,M) ממיין את ההרחבות של A על ידי M עד כדי שקילות; לכן \ \operatorname{HH}^2(A,M)=0 אם ורק אם כל הרחבה **מתפצלת** (כלומר שקולה למכפלה הישרה למחצה).

### דפורמציות
תהי A אלגברה אסוציאטיבית. **דפורמציה** של A היא פעולת כפל אסוציאטיבית * של המרחב \ At = \sum_{n=0}^{\infty} At^n, המסכימה עם פעולת הכפל של A כאשר מציבים t=0, כלומר \ a*b = ab+F_1(a,b)t+F_2(a,b)t^2+\cdots. שתי דפורמציות הן **שקולות** אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות כאשר מציבים t=0. מתברר שאם \ \operatorname{HH}^2(A,A)=0 אז כל הדפורמציות טריוויאליות (כלומר, שקולות לפעולת הכפל הרגילה על At). חישוב מראה שהרכיב \ F_1 לעיל הוא 2-קוציקלוס (כלומר, שייך לגרעין של \delta_2), ולכן קובע מחלקה ב-\operatorname{HH}^2(A,A). איבר כזה נקרא **אינטגרבילי** אם אפשר להמשיך אותו לדפורמציה של A. מתברר שאם \ \operatorname{HH}^3(A,A)=0 אז כל 2-קוציקלוס הוא אינטגרבילי (גרסטנהבר).

## קישורים חיצוניים

* 
* Sarah Witherspoon, Hochschild Cohomology, Notices of the AMS, June/July 2020
* Richard Melrose, Hochschild homology, MIT
* Topological Hochschild homology in arithmetic geometry


קטגוריה:אלגברה הומולוגית