פונקציה אוניוולנטית

באנליזה מרוכבת, **פונקציה אוניוולנטית** (Univalent function, simple, schlicht) היא פונקציה הולומורפית חד חד ערכית. **פונקציה מולטי-ולנטית** היא פונקציה המקבלת כל ערך מספר סופי וחסום של פעמים.

התאוריה של פונקציות אוניוולנטיות היא רחבה ומסובכת. משפט דה ברנז', אחד המשפטים החשובים בדבר פונקציות אוניוולנטיות, קובע כי המקדמים b_n בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית על עיגול היחידה מקיימים |b_n| \le n. המשפט נוסח תחילה כהשערה בשנת 1916 והיה בגדר בעיה פתוחה עד להוכחתו בשנת 1985, והוכחתו נחשבת להישג חשוב באנליזה מרוכבת. השערת גודמן על פונקציות מולטי-ולנטיות מכלילה את משפט דה ברנז'.

## הגדרה והצורה הנורמלית
### הגדרה
פונקציה מרוכבת f: \Omega \to \mathbb{C} תקרא
* **אוניוולנטית** (Univalent function) אם היא הולומורפית וחד חד ערכית.
* **מולטי-ולנטית** (Multivalent function) אם היא הולומורפית והיא מקבלת כל ערך מספר סופי של פעמים. עבור p המקסימלי נקרא לה p-ולנטית.

### הצורה הנורמלית
בהינתן פונקציה אוניוולנטית f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} {b_n z^n}, ניתן להגיע ל**צורה נורמלית** שלה: קודם נשים לב שהקובע לא משנה, ולכן נשמיט אותו. ניתן גם לחלק במקדם b_1 של z, ולכן להניח מלכתחילה b_0=0, b_1=1, כלומר הפונקציה מהצורה f(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty} {b_n z^n}.

רוב התאוריה עוסקת בפונקציות כנ"ל מעיגול היחידה, כלומר \Omega=D=\{ z : |z|. את אוסף הפונקציות האוניוולנטית מעיגול היחידה ובעלות צורה נורמלית כנ"ל נסמן ב-S.

בהינתן פונקציה f(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty} {b_n z^n} \in S, ניתן להביט בפונקציה \hat{f} : D^c \to \mathbb{C} הנתונה על ידי z+\sum_{n=2}^{\infty} {b_n \frac{1}{z^n}}. מתקיים ש- \frac{1}{\hat{f}} אוניוולנטית ב-D^c ולא מקבלת את אפס. היא נקראת **פונקציה דואלית** ל-f. אוסף פונקציות המקיימות את שתי הדרישות האחרונות יסומן ב-\Sigma_0. מובן שיש התאמה 1:1 בין \Sigma_0 לבין S, הנתונה כנ"ל.

## דוגמאות
* הפונקציה (1+z)^2 היא אוניוולנטית בעיגול היחידה, בעוד ש-(1+z)^3 איננה אוניוולנטית שם.
* פונקציית קוב הנתונה על ידי f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} {n z^n}=\frac{z}{(1-z)^2} היו אוניוולנטית בעיגול היחידה. זוהי פונקציה חשוב מאוד בתאוריה, והיא למעשה ה"מקסימלית" מבין הפונקציות האוניוולנטית, לפי משפט דה ברנז'.
: אם עוברים לפונקציה ב-\Sigma_0, נקבל את הפונקציה הדואלית לפונקציית קוב - \hat{f}(\eta)=\frac{1}{\eta}+\eta-2.
* נניח f(z) \in S, ולכל |a| נגדיר \phi(z) = \frac{z+a}{1+\overline{a}z}, אז גם \frac{f(\phi(z))-f(a))}{f'(a) (1-|a|^2)} \in S.

## פעולות בסיסיות
בהינתן פונקציה f(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty} {b_n z^n} \in S, גם הפונקציות הבאות הן ב-S:
* סיבוב (Rotation) - \forall \alpha \in \mathbb{R}: e^{-i \alpha}f(e^{i \alpha}z)=z+\sum_{n=2} ^{\infty}{b_ne^{i(n-1) \alpha}z^n}
* הצמדה \overline{f(\overline{z})}=z+\sum_{n=2}^{\infty} {\overline{b_n} z^n}
* \sqrt [ k ]{ f({ z }^{ k }) }  (כאשר בוחרים ענף).

## נוסחאות שטח
השטח של תחום המתקבל כתמונה של פונקציה אוניוולנטית מ-S טומן בחובו נוסחאות ומשפטים רבים.

**משפט** אם f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} {b_n z^n} אוניוולנטית על D_r=\{|z|, השטח של \overline{f(D_r)} נתון על ידי \sum_{n=1}^{\infty} {\pi n|b_n|^2 r^{2n} }. בפרט, כאשר r=1 אז f \in S והשטח הוא \sum_{n=1}^{\infty} {\pi n|b_n|^2}.

**מסקנה** - אם f אוניוולנטית על טבעת מהצורה A=\{r , השטח של \overline{f(A)} הוא \sum_{n=1}^{\infty} {\pi n|b_n|^2(R^{2n}-r^{2n}) }.

**מסקנה** - אם f אוניוולנטית על D_r^c=\{z:|z|>r\}. אז השטח של (\overline{f(D_r^c)} הוא  \pi (|b_1| r^2-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n|b_n|^2}{r^{2n}}}). בפרט, נקבל |b_1| r^2-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n|b_n|^2}{r^{2n}}} \ge 0.

כעת, אם משאיפים r \to 1 במסקנה, ניתן לקבל את **משפט השטח**:

**משפט השטח** (The Area Theorem, Gronwall, 1914): אם f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} {b_n z^n} \in \Sigma_0 אז \sum_{n=1} ^{\infty} {|b_n|^2} \le 1. שוויון מתקיים אם ורק אם התמונה f(D^c) מכסה את כל המישור המרוכב, פרט לקבוצה ממידה אפס.

## טענות על המקדמים
אחד העניינים המרכזיים בתאוריה של פונקציות אוניוולנטיות הוא עניין המקדמים. לאורך כל המאה ה-20 נוסחו הרבה טענות על המקדמים, חלקן תחת הנחות נוספות על הפונקציות. הטענה המרכזית היא משפט דה ברנז', שהיה ידוע עד שנת 1985 בתור **השערת ביברבך** או **השערת המקדמים**, הטוען כי |b_n| \le n. הוכחת המשפט בשנת 1985 על ידי לואי דה ברנז' היוותה נקודת ציון חשובה. השערת גודמן על פונקציות מולטי-ולנטיות מכלילה את משפט דה ברנז'.

לטענות חלקיות, שקולות והכללות ראו בספרו של גודמן בקריאה נוספת.

## ראו גם
* משפט דה ברנז'
* השערת גודמן
* משפט הרבע של קוב

## לקריאה נוספת

*
*
* AN INVITATION TO THE STUDY OF UNIVALENT AND MULTIVALENT FUNCTIONS, A.W. GOODMAN


## קישורים חיצוניים
* 

קטגוריה:אנליזה מרוכבת
אוניוולנטית