למת הצינור

בטופולוגיה, **למת הצינור** היא לֶמה שבעזרתה ניתן להוכיח כי מכפלה של מספר סופי של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית, מבלי להידרש למשפט טיכונוף (הגורס זאת לאוסף כלשהו של מרחבים קומפקטיים).

## ניסוח הלמה והרחבתה

את הקבוצה W \times Y מכנים לעיתים **צינור** (tube).

ניתן להראות כי ניסוח שקול של הלמה בעזרת העתקות סגורות הוא כדלקמן: אם X,Y זוג מרחבים טופולוגיים כך ש- Y קומפקטי, אז ההטלה \pi \colon X \times Y \to X, \pi \colon (x,y) \mapsto x היא סגורה.

הלמה ניתנת להרחבה באופן הבא:

## הוכחת למת הצינור
ראשית, נעיין בכיסוי של החתך \{x_0\} \times Y בידי קבוצות בסיסיות: \{U_\alpha,V_\alpha\}_{\alpha \in I} כך שלכל \alpha \in I, U_\alpha \subset X ו- V_\alpha \subset Y פתוחות בטופולוגיות המתאימות. נוכל להניח שכל הקבוצות האלו מוכלות ב- O (ניתן הרי לחתוך כל אחת מהן עם O הפתוחה, שניתנת גם לרישום כאיחוד קבוצות בסיסיות).

החתך \{x_0\} \times Y קומפקטי, שכן הוא הומיאומורפי ל- Y, שקומפקטי לפי הנחת המשפט. מכאן, הרי שקיים לו תת-כיסוי סופי \{U_i \times V_i\}_{i=1}^n. נוכל להניח שכל אחת מקבוצות אלו חותכת את \{x_0\} \times Y, שכן אחרת נוכל להשמיטה מהכיסוי.

נגדיר W = \bigcap_{i=1}^n U_i. זו קבוצה פתוחה כחיתוך סופי של קבוצות פתוחות, והיא גם מכילה את x_0 כי הוא שייך ל- U_i לכל i \in [n] (מההנחה שכל קבוצה בכיסוי חותכת את החתך). אם כן, \{x_0\} \times Y \subset W \times Y, ונותר לוודא כי O מכילה את W \times Y. זה נכון מכיוון ש- \{U_i \times V_i\}_{i=1}^n מהווה גם כיסוי של W \times Y. אכן, בהינתן נקודה (x,y) \in W \times Y נוכל לעיין בנקודה (x_0,y) \in \{x_0\} \times Y. מהגדרת הכיסוי קיים i_0 \in [n] עבורו (x_0,y) \in U_{i_0} \times V_{i_0}, ולכן בפרט y \in V_{i_0}. מתקיים כי x \in U_{i_0} שכן למעשה x \in U_i לכל i \in [n] מהגדרת W כחיתוך כל ה- U_i-ים. לכן (x,y) \in U_{i_0} \times V_{i_0} ואזי W \times Y \subset \bigcup_{i=1}^n (U_i \times V_i) \subset O (הרי U_i \times V_i \subset O לכל i \in [n]).

## תכונות ומסקנות
# הדרישה בלמת הצינור ש- Y קומפקטי היא הכרחית. למשל ב- \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} (בוחרים X = Y = \mathbb{R}), הקבוצה הפתוחה O = \{(x,y) : |xy| מכילה את החתך \{0\} \times \mathbb{R}, אך היא אינה מכילה אף צינור סביבו. אכן, אם קיים בשלילה צינור W \times Y המכיל את החתך \{0\} \times \mathbb{R} ומוכל ב- O, נובע כי W \subset (-1/y,1/y) לכל y > 0, מה שגורר כי W = \{0\}, בסתירה להיותו קבוצה פתוחה ב- \mathbb{R}.
# כאמור, מלמת הצינור ניתן להוכיח שמכפלה סופית של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית, באופן הבא (ההוכחה היא למכפלה של שני מרחבים קומפקטיים, וההכללה למספר סופי כלשהו באינדוקציה): יהיו X,Y זוג מרחבים קומפקטיים, ונראה שמכפלתם X \times Y קומפקטית אף היא. יהי \mathcal{A} כיסוי פתוח של X \times Y, ויש להראות שקיים לו תת-כיסוי סופי. לכל x \in X, החתך \{x\} \times Y קומפקטי (הוא הומיאומורפי ל- Y), ומכיוון ש- \mathcal{A} מכסה אותו הרי שקיים לו תת-כיסוי סופי \{A_i\}_{i=1}^m. הקבוצה O = \bigcup_{i=1}^m A_i פתוחה (כאיחוד של פתוחות) ומכילה את החתך \{x\} \times Y. לכן מלמת הצינור קיימת W_x \subset X פתוחה כך ש- \{x\} \times Y \subset W_x \times Y \subset O. נסיק כי \{A_i\}_{i=1}^m הוא תת-כיסוי סופי גם של W_x \times Y. האוסף \{W_x\}_{x \in X} מהווה כיסוי פתוח של X הקומפקטי, ולכן קיים לו תת-כיסוי סופי \{W_{x_i}\}_{i=1}^n. מכאן \{W_{x_i} \times Y\}_{i=1}^n הוא כיסוי סופי של X \times Y, וכפי שהוצג קודם כל אחד מאיבריו מכוסה על ידי מספר סופי של איברי \mathcal{A}. מכאן נסיק שיש ל- X \times Y תת-כיסוי סופי מאיברי \mathcal{A}.
# אין די בלמת הצינור בכדי להוכיח את משפט טיכונוף, המכליל את התוצאה הקודמת למכפלות אינסופיות של קבוצות קומפקטיות.

## לקריאה נוספת

* James R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000, p. 167-169

קטגוריה:משפטים מתמטיים
קטגוריה:טופולוגיה
צינור