אי-שוויון אדמר

במתמטיקה, **אי-שוויון אדמר** (ידוע גם כמשפט הדטרמיננטות של אדמר) פורסם לראשונה על ידי ז'אק אדמר ב-1893. לפי האי-שוויון, הערך המוחלט של דטרמיננטה של מטריצה שערכיה מספרים מרוכבים קטן או שווה למכפלת האורכים של וקטורי עמודותיה (שורותיה). כאשר למטריצה יש רק ערכים ממשיים, נפח המקבילון במרחב האוקלידי ה-n-ממדי הנפרש על ידי עמודות המטריצה (באמצעות צירופים ליניאריים עם מקדמים לא שליליים קטנים או שווים ל-1) קטן או שווה למכפלת אורכי עמודותיה.

בניסוח פורמלי, אי-שוויון אדמר קובע שאם N היא מטריצה בעלת עמודות v_i, 1\leq i\leq n, אז

: ,\left| \det(N) \right| \le \prod_{i=1}^n \|v_i\|

ושוויון ייתכן אם ורק אם העמודות של מטריצה N אורתוגונליות.

## תוצאות
אם הערכים המוחלטים של האיברים של מטריצה *<math>N</math>* חסומים מלעיל על ידי B, כלומר \left|N_{i,j} \right|\leq B לכל 1\leq i,j \leq n, אז מתקיים,

: .\left| \det(N) \right| \le B^n n^{n/2}

בפרט, אם הערכים של *<math>N</math>* הם רק 1 או -1 אז

: .\left| \det(N) \right| \le n^{n/2}

בקומבינטוריקה, מטריצה *<math>N</math>* שעבורה מתקיים שוויון, כלומר, שבנוסף לדרישות הקודמות העמודות של N הן אורתוגונליות, נקראת מטריצת אדמר.

באופן כללי יותר, נניח ש-*<math>N</math>* היא מטריצה מרוכבת מסדר n, שהערכים המוחלטים של איבריה שלה חסומים מלעיל על ידי 1, כלומר \left|N_{i,j} \right|\leq 1 לכל 1\leq i,j \leq n, מאי-שוויון אדמר נובע,

: .|\operatorname{det}(N)| \leq n^{n/2}

עבור מטריצה ממשית *<math>N</math> מתקיים שוויון* אם ורק אם *<math>N</math>* היא מטריצת אדמר.

אם מטריצה P חיובית למחצה קיימת *<math>N</math>* כך ש - P=N^*N כאשר N^* היא המטריצה הצמודה של *<math>N</math>*. לכן,

: .\det(P)=\det(N)^2 \le \prod_{i=1}^n \|v_i\|^2 = \prod_{i=1}^n p_{ii}

כלומר, הדטרמיננטה של מטריצה חיובית למחצה קטן או שווה למכפלת ערכי האלכסון שלה. גם אי-שוויון זה לעיתים מכונה אי-שוויון אדמר.

## הוכחה
אם המטריצה *<math>N</math>* היא מטריצה לא הפיכה ולכן הדטרמיננטה שלה היא 0 והתוצאה היא מיידית. אם המטריצה *<math>N</math>* הפיכה ולכן העמודות של *<math>N</math>* אינן תלויות ליניארית. נסמן ב-M את המטריצה המתקבלת על ידי חלוקת כל עמודה של *<math>N</math>* באורך שלה. נסמן ב-e_i, 1\leq i\leq n, את העמודות של M. ידוע לנו כי הן וקטורי יחידה ואורכן 1. נוכיח תחילה שהמטריצה M מקיימת את טענת המשפט, כלומר, .\left| \det M \right| \leq 1

נסמן  P=M^*M כאשר M^* היא המטריצה הצמודה של *<math>M</math>*, ונניח ש- \lambda_1,...,\lambda_n הם הערכים העצמיים של  P. מכיוון שאורך כל עמודה של *<math>M</math>* הוא  1, כל איבר באלכסון הראשי של  P הוא  1 ולכן העקבה של *<math> P</math>* היא  n. ניישם את אי-שוויון הממוצעים ונקבל,

: ,\det P = \prod_{i=1}^n \lambda_i \le \bigg({1 \over n}\sum_{i=1}^n \lambda_i\bigg)^n = \left({1 \over n} \operatorname{tr} P \right)^n = 1^n = 1

מכאן נובע מקרה פרטי של המשפט,

: .\left| \det M \right| = \sqrt{\det P} \le 1
: התוצאה הכללית נובעת מהמקרה הפרטי:
:: .\left| \det N \right| = \bigg (\prod_{i=1}^n \|v_i\| \bigg) \left|\det M\right| \leq \prod_{i=1}^n \|v_i\|
:: אם יש שוויון אז כל הערכים העצמיים של  P שווים וסכומם  n *ולכן* שווים ל- 1. המטריצה  P היא צמודה לעצמה ולכן ניתנת ללכסון, ומכאן שהיא מטריצת היחידה - במילים אחרות העמודות של *<math>M</math>* הן קבוצה אורתונורמלית והעמודות של *<math>N</math>* הן קבוצה אורתוגונלית. הוכחות רבות אחרות ניתן למצוא בספרות.

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:דטרמיננטות
קטגוריה:אי-שוויונות