תת-חבורת הקומוטטורים

במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, **תת חבורת הקומוטטורים** G' של חבורה G היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה G/G' היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G.

איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים אפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר מכפלה  g_1 \cdot g_2 \cdot \dots \cdot g_n שכך שיש תמורה \pi המקיימת g_{\pi(1)} \cdot g_{\pi(2)} \cdot \dots \cdot g_{\pi(n)} = e כאשר e הוא איבר היחידה בחבורה.

## הגדרה
הקומוטטור של שני איברים g,h בחבורה G הוא האיבר [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}. תת-חבורת הקומוטטורים של G היא החבורה הנוצרת \langle [h,g] | h,g \in G \rangle. את החבורה המתקבלת מסמנים G' או [G,G]. הסימון האחרון רומז שלחבורה יש תפקיד כפול בהגדרת הקומוטטור, מה שמאפשר הכללה: אם A,B תת-חבורות נורמליות של G, אז [A,B] היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים [a,b] עבור a\in A, b\in B; זו תת-חבורה נורמלית גם של A וגם של B.

## תכונות
תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה נורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה G/G' היא אבלית. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית N של G, המנה G/N אבלית אם ורק אם G' \subseteq N. זהו למעשה אפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה G/G' נקראת ה**אבליזציה** של G.

מכיוון שהומומורפיזם f : G \to H מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה f(G')\subset H'. בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש-[A/N,B/N]=[A,B]N/N ובפרט (G/N)'=G'N/N. 

## הכללות

פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: G^{(0)} := G, ולכל n, G^{(n+1)} := [G^{(n)},G^{(n)}]. בפרט מקצרים וכותבים G' = [G,G], G* = [G',G']</math> וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז <math>G</math> היא [[חבורה פתירה]]. חבורה המקיימת את השוויון 
<math>G'=G</math> נקראת [[חבורה מושלמת]]. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של [[החבורה הסימטרית|חבורת התמורות]] <math>S_n</math> היא [[חבורת התמורות הזוגיות]] המתאימה, <math>A_n</math>, בעוד ש-<math>A_n</math> מושלמת לכל <math>5\leq n</math> (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).

בדומה לזה, מגדירים <math>G_{n+1} = [G,G_n]</math>, כאשר <math>G_1 := G</math>. אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה [[חבורה נילפוטנטית|נילפוטנטית]]. 

*'נוסחת קומוטטורים מוכללת** היא הנוסחה <math>\psi = x_1</math>, או נוסחה מהצורה <math>\psi = [\psi',\psi'']</math> כאשר <math>\psi',\psi''</math> הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. [[פיליפ הול]] הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות <math>[G_n,G_n] \subseteq \psi(G)</math> (לכל חבורה <math>G</math>), ואלו המקיימות <math>\psi(G) \subseteq [G,G'']</math>; והוכיח שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות <math>\psi(G)=1</math>, וכולן מקיימות את [[תנאי השרשרת העולה]] על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות <math>\psi(G)=1</math>, ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.

תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את **למת שלוש התת-חבורות**: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות <math>A,B,C</math> של <math>G</math>, מתקיים <math>[A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]</math>.

=== האורך בחבורת הקומוטטורים ===

בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. ה**אורך''' של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher שהאורך של איבר אינו עולה על \lceil\log_4|G'|\rceil, וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר A_n. מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס L_r(q), עבור q>8. בשנת 2008 ההשערה הוכחה לכל חבורה פשוטה סופית, באמצעות שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים.

## ראו גם
* חבורה נילפוטנטית

## קישורים חיצוניים
* 
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:אלגברה
קטגוריה:תורת החבורות