משפט ארצלה-אסקולי

באנליזה פונקציונלית, **משפט אַרְצֶלָה-אַסְקוֹלִי** (**Arzelà–Ascoli**, נקרא גם **משפט אסקולי**) מעניק אפיון מלא לקומפקטיות של משפחת פונקציות רציפות בקבוצה קומפקטית, באמצעות תכונת הרציפות במידה אחידה. המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של משפט בולצאנו-ויירשטראס.

## תיאור פורמלי

אם K הוא מרחב מטרי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב-C(K) את מרחב הפונקציות הרציפות f \colon K \to \mathbb{C} , שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת נורמת L_\infty:  \| f \|_\infty = \sup_{x \in K}|f(x)| .

כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה A של C(K) היא "חסומה" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.

:**משפט ארצלה אסקולי:** תהי A \subseteq C(K) קבוצה חסומה. אזי לכל סדרה ב-A קיימת תת-סדרה מתכנסת, אם ורק אם A רציפה במידה אחידה.

:**מסקנה:** אם A \subseteq C(K) סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז A קומפקטית אם ורק אם היא רציפה במידה אחידה.
:**הוכחה:** ממשפט ארצלה-אסקולי נובע כי אם A חסומה ורציפה במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת. תוספת הנתון ש-A סגורה קובע כי תת-סדרה זו מתכנסת לתוך A. מכאן ש-A מהווה מרחב מטרי שבו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, תכונה השקולה לקומפקטיות. הכיוון השני של השקילות נובע באופן טריוויאלי מהמשפט.
:**מסקנה:** אופרטור האינטגרל T \colon C(K) \to C(K)  המוגדר \ T(f) = \int_a^b k(s,t)f(t)\,\mathrm{d}t , כאשר k  גרעין רציף על K \times K, הוא אופרטור קומפקטי.

## הוכחת המשפט
### כיוון ראשון

תהי A\subseteq C\left(K\right) קבוצה חסומה ונניח שאיברי A רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב-A יש תת-סדרה מתכנסת. תהי \left\{f_n\right\}_{n=1}^\infty סדרת פונקציות ב-A. תהי \left\{x_k\right\}_{k=1}^\infty סדרה צפופה ב-K (קיימת כזאת כי K מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).

נתבונן בסדרה \left\{f_n\left(x_1\right)\right\}_{n=1}^\infty. זוהי סדרה חסומה ב-\mathbb{C} בפרט יש לה תת-סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב-\left\{f_n^1\left(x_1\right)\right\}_{n=1}^\infty ואת גבולה ב-\xi_1. כעת נתבונן בסדרה \left\{f_n^1\left(x_2\right)\right\}_{n=1}^\infty. גם זו סדרה חסומה ב-\mathbb{C} לפיכך יש לה תת-סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב-\left\{f_n^2\left(x_2\right)\right\}_{n=1}^\infty ואת גבולה ב-\xi_2. וכך בתהליך איטרטיבי לכל m\in\mathbb{N} נגדיר את הסדרה \left\{f_n^m\left(x_m\right)\right\}_{n=1}^\infty להיות תת-סדרה מתכנסת של \left\{f_n^{m-1}\left(x_m\right)\right\}_{n=1}^\infty ואת גבולה נסמן ב-\xi_m.

אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון \left\{g_n\right\}_{n=1}^\infty המוגדרת לכל n כך g_n:=f_n^n (כלומר זו סדרת פונקציות שהאיבר ה-n-י שלה הוא האיבר ה-n-י בסדרה ה-n-ית).
# זוהי תת-סדרה של \left\{f_n\right\}_{n=1}^\infty.
# לכל k\in\mathbb{N} הסדרה \left\{g_n\left(x_k\right)\right\}_{n=1}^\infty מתכנסת ל-\xi_k שכן הזנב שלה, \left\{g_n\left(x_k\right)\right\}_{n=k}^\infty, הוא תת-סדרה של \left\{f_n^k\left(x_k\right)\right\}_{n=1}^\infty.

יהי \varepsilon>0. אברי A רציפים במידה אחידה לכן קיים \delta>0 כך שלכל x,y\in K ולכל n\in\mathbb{N}, אם d\left(x,y\right) אזי |g_n\left(x\right)-g_n\left(y\right)| (כאשר d היא פונקציית המטריקה ב-K). אבל K קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר \delta שנסמנם ב-O_1,\dots,O_l.

לכל 1\le i\le l קיים k_i\in\mathbb{N} כך ש-x_{k_i}\in O_i (כי \left\{x_k\right\}_{k=1}^\infty צפופה ב-K). כמו כן הסדרה \left\{g_n\left(x_{k_i}\right)\right\}_{n=1}^\infty מתכנסת ל-\xi_{k_i} לכן לפי תנאי קושי קיים N_i כך שלכל n,m>N_i מתקיים |g_n\left(x_{k_i}\right)-g_m\left(x_{k_i}\right)|. נסמן N:=\max(N_i). כעת, לכל n,m>N ולכל x\in K קיים 1\le i\le l כך ש-x\in O_i ומתקיים מאי שוויון המשולש|g_n\left(x\right)-g_m\left(x\right)| \le |g_n\left(x\right)-g_n\left(x_{k_i}\right)| + |g_n\left(x_{k_i}\right)-g_m\left(x_{k_i}\right)| + |g_m\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x\right)| . לכן, לפי תנאי קושי, הסדרה \left\{g_n\right\}_{n=1}^\infty מתכנסת במידה שווה.

## קישורים חיצוניים
* . הספר מתוך "פא"ר – פתיחת אוצרות רוח", אתר הספרים הדיגיטליים של האוניברסיטה הפתוחה.

ארצלה-אסקולי
ארצלה-אסקולי
ארצלה-אסקולי