משפטי סילו

**משפטי סילו** הם משפטים בתורת החבורות, העוסקים בתת-חבורות-p מקסימליות של חבורה סופית. חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני p נקראות חבורות p, וכולן נילפוטנטיות. משפטי סילו מאפשרים לחקור חבורות סופיות באמצעות תת-חבורות כאלה והפעולה שלה עליהן, ומכאן המעמד היסודי שלהן בתורת החבורות.

את המשפטים הוכיח המתמטיקאי הנורווגי לודוויג סילו בשנת 1872, והם מכלילים את משפט קושי שנוגע למקרה n=1. 

במובן מסוים, משפטי סילו הפוכים למשפט לגראנז'. לפי משפט לגראנז', הסדר של תת-חבורה H של G חייב לחלק את הסדר של G. משפטי סילו מראים שאם נתון מחלק q של הסדר של G שהוא חזקת ראשוני, אז אפשר למצוא תת-חבורה מסדר q. משפטי סילו קובעים גם שכל תת-החבורות שסדרן הוא חזקת-p מקסימלית, צמודות זו לזו.

## הגדרות

אם p הוא מספר ראשוני המחלק את הסדר של החבורה הסופית G, אז קיימת חזקה מקסימלית של p המחלקת את הסדר. כלומר p^n מחלק את סדר החבורה, אבל p^{n+1} אינו מחלק. לתת-חבורה של G שסדרה שווה ל-p^n קוראים **חבורת p-סילו** של G. הגדרה שימושית אחרת לאותו מושג: חבורת p-סילו היא תת-חבורה של G שהיא חבורת-p, בעלת אינדקס זר ל-p.

לדוגמה, אם |G|=24=2^3\cdot 3  אז תת-חבורה מסדר 3 היא חבורת 3-סילו של G, ותת-חבורה מסדר 8 היא חבורת 2-סילו של G.

## ניסוח המשפטים

נניח ש-G חבורה סופית וש-p^n היא חזקה מקסימלית של ראשוני p המחלקת את הסדר של G. נסמן ב-n_p את מספרן של חבורות p-סילו השונות של G. נציין מיד שאם P חבורת סילו, אז תת-החבורות הצמודות לה גם הן חבורות p-סילו.

### משפט סילו הראשון

לכל חבורה G קיימת חבורת p-סילו. (דהיינו n_p>0).

הכללה של משפט זה קובעת שלכל חזקת p המחלקת את הסדר של G, לאו דווקא החזקה המקסימלית, קיימת תת-חבורה בגודל זה.

### משפט סילו השני

כל חבורות p-סילו של G צמודות זו לזו. יתרה מזו, כל תת-חבורה של G, שהיא חבורת p, מוכלת באיזושהי חבורת p-סילו של G.

;מסקנה
חבורת p-סילו היא יחידה (כלומר n_p=1) אם ורק אם היא תת חבורה נורמלית של G.

### משפט סילו השלישי

מספרן של חבורות p-סילו של G שקול לאחת מודולו p. כלומר n_p \equiv 1 \pmod{p}.

;מסקנה
n_p מחלק את הסדר של G. אם נסמן |G| = p^nm (כאשר n מקסימלי), נובע מכך ש-n_p מחלק את m, משום שלפי משפט סילו השלישי n_p זר ל־p.

**הוכחה**: מספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה H של G שווה לאינדקס של המנרמל של H ב-G, שהוא תת-חבורה המכילה את H. אבל המנרמל מכיל את H, לכן האינדקס שלו מחלק את זה של H, וממילא הוא זר ל-p.

## דוגמאות ושימושים

* נראה שלכל חבורה G מסדר 105 מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית. 105=3\cdot 5 \cdot 7, ולכן יש לחבורה תת-חבורות מסדר 3, 5 ו-7. מספרן של החבורות מסדר 3 שקול ל-1 מודולו 3 ומחלק את 35 - ולכן הוא 1 או 7. באופן דומה מספרן של החבורות מסדר 5 הוא 1 או 21, ושל אלו מסדר 7 הוא 1 או 15. אם אחת מחבורות אלו היא יחידה מסדרה, אז היא נורמלית. נניח שאין כזו, אז יש 7 חבורות מסדר 3, שכולן ציקליות כמובן. חבורות מסדר ראשוני מוכרחות להיחתך זו עם זו באופן טריוויאלי, ולכן יש בהן 7\cdot (3-1)=14 איברים מסדר 3. באופן דומה יש 84 איברים מסדר 5 ו-90 מסדר 7. ביחד יותר מ-105, וזה בלתי אפשרי.
* משפט הלדר - הכללה של הדוגמה הקודמת.

## הוכחות

למשפטי סילו יש הוכחות רבות, למשל באינדוקציה על הסדר של G. ההוכחה שנציג כאן מבוססת על הפעולה של G על קבוצות מסוימות, והיא מיוחסת לנתן ג'ייקובסון. 

**הוכחת המשפט הראשון**. נסמן ב-X את אוסף כל תת-ה**קבוצות** בגודל p^n של G. מכיוון ש-|X|={|G| \choose p^n}={p^nm \choose p^n}, קל לחשב ש-p אינו מחלק את העוצמה של X. החבורה פועלת על X על ידי כפל משמאל: g \colon B \mapsto gB=\{gb: b\in B\}. 

מכיוון שהגודל של X אינו מתחלק ב-p, מוכרח להיות מסלול תחת הפעולה של G, שגודלו אינו מתחלק ב-p. תהי B\in X נקודה באותו מסלול; נבחר b\in B, אז גם b^{-1}B היא נקודה באותו המסלול, והיא מכילה את איבר היחידה של G. לכן אפשר להניח ש- 1\in B. מצד אחד, המייצב של B מוכל ב-B (שהרי x\in xB = B), ולכן גודלו p^n לכל היותר. מצד שני, האינדקס של המייצב מחלק את p^nm, אבל הוא שווה לגודל המסלול, ולכן זר ל-p ומחלק את m. יחד נובע מכאן שגודל המייצב שווה בדיוק ל-p^n, ואם כך הוא שווה ל-B; אבל אז B היא חבורת p-סילו.

כעת נסמן ב-S את אוסף חבורות p-סילו של G; המשפט הראשון טוען ש-S אינה ריקה. החבורה G פועלת על S לפי הצמדה. 

**טענה**. אם תת-קבוצה T של S סגורה תחת הפעולה, אז גודלה שקול ל-1 מודולו p.

**הוכחה**. ברור שכל חבורת p-סילו היא תת-חבורת-p מקסימלית. לכן, אם P,Q שתיהן חבורות p-סילו, אז PQ אינה תת-חבורה של G (אחרת סדרה היה שווה ל- \frac, וזו חזקת-p גדולה מדי). מכאן יוצא ש-Q אינה יכולה לנרמל את P (אחרת PQ=QP היא תת-חבורה).

כעת תהי P חבורת p-סילו; בתור תת-חבורה של G, גם P פועלת על S בהצמדה, ולכן היא פועלת גם על T. גודלי המסלולים תחת הפעולה הזו מחלקים כמובן את הגודל של P, ולכן הם כולם חזקות של p. יש שני סוגים של מסלולים: אלה שגודלם 1, ואלה שגודלם מתחלק ב-p. אם Q היא נקודה יחידה במסלול, אז P מנרמלת את Q, וזה בלתי אפשרי - אלא אם Q=P. כלומר, יש רק מסלול אחד שגודלו 1, והוא המסלול המכיל את P בלבד. גודלי שאר המסלולים מתחלקים ב-p, ולכן סכום הגדלים של כל המסלולים (שהוא כמובן הגודל של T) שקול ל-1 מודולו p.

**הוכחת המשפט השלישי**. מספיק לבחור T=S בטענה. 

**הוכחת המשפט השני**. לפי הטענה, הגודל של כל מסלול שקול ל-1 מודולו p. אבל כך גם עבור האיחוד של שני מסלולים, אילו היו כאלה, וזה כמובן בלתי אפשרי. מכאן שיש בפעולה רק מסלול אחד, ובמלים אחרות זוהי פעולה טרנזיטיבית. 

## קישורים חיצוניים
* 

סילו