משפט קריין-סמוליאן

באנליזה פונקציונלית, **משפט קריין-סמוליאן** הוא משפט הנותן תנאי הכרחי ומספיק לקבוצה קמורה במרחב הדואלי להיות סגורה בטופולוגיה החלשה. במובן מסוים ניתן לחשוב על המשפט בתור המשפט ההפוך למשפט בנך-אלאוגלו. המשפט קרוי על שם המתמטיקאים מארק קריין וויטולד סמוליאן.

## ניסוח המשפט
תהי A\subset X^*קבוצה קמורה בטופולוגיה החלשה-* ונגדיר A_r= A\cap B^*_r כאשר B^*_r הוא הכדור ברדיוס r סביב 0 במרחב הדואלי. התנאים הבאים שקולים:

1) A סגורה w*.

2) A_r סגורה w* לכל r>0.

2') קיימת סדרה r_n\to \infty כך שלכל n, A_{r_n} סגורה w*.

## הוכחה
**סימונים:** נסמן ב-B^*_r את הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב הדואלי וב-B_r הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב המקורי. כמו כן נסמן ב-\mathbb{K} את שדה הבסיס.

ראשית נשים לב שממשפט בנך אלאוגלו B^*_r הוא w* קומפקטי ולכן w* סגורה. כמו כן אם 0 אז A_s=A_r \cap B^*_s. מכאן נקבל שקילות בין 2 ל-2'. באותו אופן ברור ש-(1) גורר את (2). הכיוון הקשה הוא (2)\Rightarrow (1).

**טענה 1:** תכונה (2) אינוורינטית להזזה ולניפוח: אם A מקיימת את (2) אז גם A+\phi,\lambda A ( \lambda >0,\phi \in X^*) מקיימות את (2).

**הוכחה:**

ניפוח: לכל \lambda,r>0 מתקיים ש-(\lambda A)_r = \lambda A_{r/\lambda}. הואיל וכפל בסקלר הוא הומיאמורפיזם בטפולוגיה החלשה נקבל את הדרוש.

הזזה: נקבע r>0,\phi \in X^*. תהי \{\psi_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}\subset (A+\phi)_r רשת המתכנסת w* לאיבר \psi \in X^*. נראה ש-\psi \in (A+\phi)_r. מכיוון ש-B^*_r w* סגורה, מספיק להוכיח ש-\psi \in A + \phi. מצד שני מאי שוויון המשולש מתקיים ש-||\psi_\lambda - \phi|| \leq ||\phi||+||\psi_\lambda|| \leq ||\phi|| +r לכן \{\psi_{\lambda}-\phi\}_{\lambda \in \Lambda}\subset (A)_{r+||\phi||} רשת המתכנסת ל-\psi -\phi. מההנחה נקבל ש-\psi -\phi \in A \Rightarrow \psi \in A + \phi וסיימנו.

**טענה 2:** אם A מקיימת את תכונה (2) אז A סגורה בטופולוגיה הנורמית.

**הוכחה:**

תהי \phi_n \to \phi, \phi_n \in A. בפרט יש r>0 כך ש- \phi_n \in A_r. מההנחה \phi_n \to \phi ולכן \phi_n \overset{\mathrm{w}}\to \phi ומההנחה  \phi \in A_r\sub A.

המשך הוכחת המשפט:

יהי \phi \in X^*\setminus A רוצים למצוא סביבה חלשה V של \phi כך ש-A \cap V =\empty. על ידי טענה 1 ניתן להניח ש-\phi = 0. נשתמש בלמה הבאה:

**למה:** נניח ש-0 \not \in A אז יש סדרה x_n \in X המקיימת:

1) x_n \to 0

2) לכל  \phi \in A יש n כך ש-|\phi(x_n)| > 1.

**הוכחת הלמה:**

בהינתן קבוצה M \subset X נגדיר את הקבוצה הפולרית המוחלטת P(M)=\{\phi \in X^*: |\phi(x)|\leq 1 \forall x \in M\}. כיוון ש-A סגורה בנורמה, יש \rho > 0 כך שלכל x ב-A, ||x|| \geq \rho. על ידי ניפוח ניתן להניח ש-\rho > 1 ולכן A_1 = \empty. נקבע F_0 = \{0\} ונגדיר ברקורסיה סדרה של קבוצות סופיות לא ריקות F_n \subset X המקיימות לכל n \geq 1:

א. F_n \subset B_{1/n}.

ב. A_n \cap (\cap_{i=0}^{n-1}P(F_i)) = \empty.

כיוון ש-A_1 = \empty, רואים ש-F_0 מקיימת את הדרוש. נניח שמצאנו \{F_i\}_{i=0}^{N-1} נמצא את F_{N}. נניח בשלילה שאין כזאת. כיוון שהקבוצות הפולריות המוחלטות סגורות בטופולוגיה החלשה*, נקבל שהקבוצה K = A_{N+1}\cap (\cap_{i=0}^{N-1}P(F_i))\subset B^*_{N+1} היא קומפקטית בטופולוגיה החלשה* (היא תת-קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית לפי משפט בנך אלאוגלו). מההנחה בשלילה נובע שלכל קבוצה סופית G \subset B_{1/N} מתקיים K \cap P(G) \not= \empty. מקומפקטיות נקבל ש-\cap_{G\subset B_{1/N},|G|. יהי \phi בחיתוך הנ"ל. אז \phi \in K. כמו כן לכל x \in X, ||x|| מתקיים ש-|\phi(x)| \leq 1. מכך נקבל ש-||\phi|| \leq N ואז \phi \in K \cap B^*_N = A_N\cap (\cap_{i=0}^{N-1}P(F_i)) בסתירה להנחה שבחרנו על \{F_i\}_{i=0}^{N-1}. לכן אפשר להמשיך את הבנייה.

כיוון ש-\{F_i\}_{i=0}^{\infty} סופיות אז \cup_{i=0}^\infty F_i בן מנייה ויהי \{x_n\} מנייה של הקבוצה. מתנאי א נקבל בבירור שנקבל את (1). כעת יהי  \phi \in A. נקבע N כך ||\phi|| \leq N+1. מתנאי ב נקבל שיש j \leq N כך ש- \phi \not \in P(F_j) ולכן יש x_n\in F_j כך ש-|\phi(x_n)| > 1 וקיבלנו את (2).

**הוכחת המשפט:** נקבע סדרה x_n \in X כמו בלמה. מ-(1) יש r>0 כך שמתקיים ||x_n|| \leq r. נתבונן באופרטור T:X^* \to \mathbb {K}^{\mathbb{N}}, T(\phi) = \{\phi(x_n)\}_{n=1}^\infty. ברור ש-T ליניארי ומ-(1) נקבל כי Range(T) \subset c_0. כמו כן ברור ש-T רציף כיוון ש-||T(\phi)_n||=||\phi(x_n)||\leq ||\phi|| ||x_n|| \leq ||\phi||r. מקמירות A נקבל ש-T(A) קמורה. תהי B = \{b \in c_0:||b||_\infty. אז B סגורה ומ-(2) נקבל ש-T(A) \cap B =\empty. ממשפט האן בנך נקבל שיש פונקציונל \eta \in (c_0)^* וכן \alpha \in \mathbb{R} כך ש-\Re(\eta(a))\geq \alpha > \Re(\eta(b)) ,\forall a \in T(A), b \in B. אם נציב b=0 נקבל ש-\alpha >0. כיוון ש- (c_0)^* \cong l_1 נקבל שיש סדרה t = (t_n) \in l_1 כך ש-\eta(y) = \sum_{i=1}^\infty t_iy_i. מתקיים ||t_nx_n|| = |t_n|||x_n|| \leq |t_n|r \Rightarrow \sum_{i=1}^\infty ||t_nx_n||\leq r\sum_{i=1}^\infty |t_n|  וכיוון ש-X מרחב בנך מקבלים שיש x = \sum_{i=1}^\infty t_nx_n. לכל \phi \in X^* מתקיים: \eta(T(\phi))=\sum_{i=1}^\infty t_iT(\phi)_n=\sum_{i=1}^\infty t_i\phi(x_n) = \phi(x). לכן נקבל עבור \phi \in Aש \Re(\phi(x))\geq \alpha. לכן אם נבחר את הסביבה V = \{\phi \in X^*| \Re(\phi) אז היא תהייה הסביבה המבוקשת.

## שימושים
מסקנה שימושית מהמשפט הוא שתת-מרחב סגור בטופולוגיה החלשה* אם ורק אם כדור היחידה שלו סגור במרחב בטופולוגיה החלשה*.

מסקנה נוספת היא שהקמור הסגור של קבוצה קומפקטית בטופולוגיה החלשה* הוא קומפקטי בטופולוגיה החלשה*.

## ראו גם
משפט בנך אלאוגלו

טופולוגיה חלשה

## לקריאה נוספת
* בונסל פ., הרצאות על כמה משפטי נ"ש של אנליזה פונקציונלית, מכון טטה, 1962.

* .
* .
* .


## קישורים חיצוניים
* הוכחת המשפט
* הרחבות של המשפט

קטגוריה:משפטים באנליזה פונקציונלית
קטגוריה:מרחבים נורמיים