אפקט טלבוט

ממוזער|שטיח טלבוט, תוצאה של אפקט טלבוט
**אפקט טלבוט** הוא אפקט מתחום העקיפה בשדה הקרוב שהתגלה ב-1836 על ידי המדען האנגלי ויליאם הנרי פוקס טלבוט. האפקט מתבטא בכך שכאשר גל מישורי מונוכרומטי פוגע בסריג עקיפה מחזורי בגבול השדה הקרוב (עקיפת פרנל), במרחקים מסוימים פונקציית הגל תהיה זהה לפונקציית הסריג (עד כדי הזזת פאזה שנובעת מהתקדמות הגל במרחב). מרחקים אלו נקראים **מרחקי טלבוט** והם מקיימים את התנאי:
z_m=\frac{2L^2}\lambda m

עבור מחזוריות L של הסריג, כאשר פוגע בו גל עם אורך גל \lambda וm שלם.

## רקע
### עקיפה של אור

עקיפה היא תופעה פיזיקלית המתרחשת כל אימת שגל פוגע בעצם כלשהו. אם העצם קטן הגל מתקדם סביבו, ואם מדובר במחסום בעל מפתח קטן, הגל מתפזר בעברו השני של המחסום. ניתן לתאר את התופעה כיצירת גל חדש על שפת המחסום שעוצמתו תלויה במידת ההחזרה או ההעברה של המחסום. כתוצאה מכך מגיע הגל גם לאזורים שמעבר למחסום, אזורים שבהם לפי אופטיקה גאומטרית לא מגיעות קרניים הנעות בקווים ישרים.

### טורי פורייה

טור פורייה הוא חלק מתורה שפיתח ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה. לפי תורה זו, ניתן לפרק פונקציות מחזוריות לטור של פונקציות הרמוניות (סינוסים וקוסינוסים, או לחלופין אקספוננטים מרוכבים). לטורי פורייה שימושים רבים במתמטיקה, בעיבוד אותות, בפיזיקה, ובפרט בגלים

## פיתוח מתמטי לאפקט טלבוט
הסריג מחזורי (עם מחזור L), ולכן ניתן לפתח לו טור פורייה מרוכב:

\psi(x,y,0)=\sum_{n,j=-\infty}^\infty c_{n,j}e^{i(k_nx+k_jy)}

כאשר k_i=\frac{2\pi}Li עבור  i=n,j  שלמים.

כעת, נשתמש בקירוב פרנל ונקבל:

\psi(x,y,z)=\frac{-ik}{2\pi z}\iint_{-\infty}^\infty dx'dy'\sum_{n,j=-\infty}^\infty c_{n,j}e^{(i(k_nx+k_jy)}e^{ik(z+\frac{(x-x')^2}{2z}+\frac{(y-y')^2}{2z})}=
=
-\frac{ik}{2\pi z}e^{ikz}\sum_{n,j=-\infty}^\infty c_{n,j}(\int_{-\infty}^\infty dx'e^{ik_nx+\frac{(x-x')^2}{2z}})(\int_{-\infty}^\infty dy'e^{ik_jy+\frac{(y-y')^2}{2z}})=-\frac{ik}{2\pi z}e^{ikz}\sum_{n,j=-\infty}^\infty c_{n,j} e^{i(k_nx+k_jy)}e^{-i(\frac{zk_n^2}{2k}+\frac{zk_j^2}{2k})}

כאשר האינטגרל חושב על ידי החלפת משתנים \eta =x-x'

לפי התוצאה, הגענו לביטוי שמאוד דומה לטור הפורייה של הסריג (עד כדי פאזה שנובעת מהתקדמות הגל), ונשים לב שאם נדרוש 
e^{-i(\frac{zk_n^2}{2k}+\frac{zk_j^2}{2k})}=1

נקבל את הטור של \psi(x,y,0). מתקיים:

e^{-i(\frac{zk_n^2}{2k}+\frac{zk_j^2}{2k})}=e^{-i(\frac{z(2\pi/L)^2}{2k})^{(n^2+j^2)}}

ומספיק שהביטוי שבאקספוננט יהיה כפולה שלמה של 2\pi, כלומר:

\frac{4\pi^2}{2kL^2}z=2\pi m \Rightarrow z_m=\frac{kL^2}\pi m=\frac{2L^2}\lambda m

## שימושים

### שטיח טלבוט
תוצאה מעניינת של אפקט טלבוט נקראת שטיח טלבוט. נבחין כי פונקציית הסריג תופיע שוב גם במרחקים שהם מהצורה \frac a bz_T, בצורה הבאה:
* כעבור חצי מרחק טלבוט, מתקבלת צורת הסריג המקורי בתוספת הזזת פאזה של \frac \pi2.
* כעבור רבע מרחק טלבוט, מתקבלת צורת הסריג המקורי, אך קטנה פי 2.
* כעבור שמינית מרחק טלבוט, צורת הסריג קטנה פי 4. 
כך מתקבלת תבנית עקיפה בצורת פרקטל בסביבה הקרובה לסריג.

### דימות באמצעות הפרשי פאזה
ממוזער|מכשיר GBI לדימות באמצעות הפרשי פאזה
אחד השימושים של אפקט טלבוט הוא בתחום האינטרפרומטריה והדימות, והוא נקרא Phase contrast X-ray imaging (אנגלית) (דימות קרני רנטגן באמצעות הפרשי פאזה, או בקיצור PCI). את העיקרון העומד מאחורי שיטה זו הגה הפיזיקאי ההולנדי פריץ זרניק , והוא זכה על כך בפרס נובל בשנת 1953. 
בניגוד לטומוגרפיה ממוחשבת (CT), שיטה המשתמשת גם היא בקרני רנטגן ומודדת הפרשי עוצמה, בPCI הפרשי הפאזה לא נמדדות באופן ישיר, אלא מתורגמות להפרשים בעוצמה שגלאי יכול לגלות. אחד הכלים לשימוש בשיטה זו נקרא דימות מבוסס סריג (Grating Based Imaging, ראה תמונה). באמצעות הכרת פרמטרי הניסוי (צורת הסריג ואורך הגל) נוכל לחשב את מרחקי טלבוט, ועל ידי מדידת העוצמה נוכל לדעת מהי הפאזה שהגל צבר, והיכן כל מקסימה שלו.

## קישורים חיצוניים

* מאמר של טלבוט, 1836, גוגל ספרים

קטגוריה:גלים
קטגוריה:אופטיקה