יסודות המתמטיקה

**יסודות המתמטיקה** הם המסגרת הלוגית והמתמטית המאפשרת את פיתוח מתמטיקה באופן עקבי (כלומר בלי ליצור תאוריות סותרות את עצמן), ובמיוחד לקבל מושגים אמינים של משפטים, הוכחות, אלגוריתמים וכו'. ניתן לכלול בכך גם את המחקר הפילוסופי של הקשר של מסגרת זו עם המציאות.

המונח "יסודות המתמטיקה" לא נטבע לפני סוף המאה ה-19, אם כי יסודות הוקמו לראשונה על ידי הפילוסופים היוונים הקדמונים במסגרת הלוגיקה של אריסטו, ויושמו באופן שיטתי ב"יסודות" של אוקלידס. קביעה מתמטית נחשבת לאמת רק אם מדובר במשפט שמוכח מהנחות יסוד אמיתיות באמצעות רצף של סילוגיזם (כללי היסק), כאשר הנחות היסוד הן משפטים שכבר הוכחו או קביעות מובנות מאליהן הנקראות אקסיומות.

יסודות אלה התקבלו כסופיים עד לפיתוח החשבון האינפיניטסימלי על ידי אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ במאה ה-17. תחום חדש זה של המתמטיקה כלל שיטות חשיבה חדשות ומושגי יסוד חדשים (פונקציות רציפות, נגזרות, גבולות) שלא היו מבוססים היטב אך היו בעלי השלכות מדהימות, כמו ההסקה מחוק הכבידה העולמי של ניוטון שמסלולי כוכבי הלכת הם אליפסות.

במהלך המאה ה-19 הושגה התקדמות לקראת פיתוח הגדרות מדויקות של המושגים הבסיסיים של חשבון אינפיניטסימלי, בעיקר המספרים הטבעיים והמספרים הממשיים. זה הוביל, לקראת סוף המאה ה-19, לסדרה של תוצאות מתמטיות פרדוקסליות לכאורה, שאתגרו את הביטחון במהימנות ובאמיתות של תוצאות מתמטיות. זה כונה משבר היסודות של המתמטיקה.

פתרון המשבר הזה כלל את עלייתה של דיסציפלינה מתמטית חדשה בשם לוגיקה מתמטית הכוללת את תורת הקבוצות, תורת המודלים, תורת ההוכחות, תורת הרקורסיה ותורת הסיבוכיות, ומאוחר יותר, חלקים ממדעי המחשב. גילויים שלאחר מכן במאה ה-20 ייצבו את יסודות המתמטיקה למסגרת קוהרנטית שתקפה לכל המתמטיקה. מסגרת זו מבוססת על שימוש שיטתי בשיטה האקסיומטית ועל תורת הקבוצות, במיוחד ZFC – תורת הקבוצות של צרמלו-פרנקל עם אקסיומת הבחירה.

נובע מכך שהמושגים המתמטיים הבסיסיים, כמו מספרים, נקודות, ישרים ומרחבים גאומטריים אינם מוגדרים כהפשטות של המציאות אלא נובעים מתכונות בסיסיות (אקסיומות). ההסתגלות שלהם למקורות הפיזיקליים שלהם אינה שייכת יותר למתמטיקה, אם כי הקשר שלהם עם המציאות עדיין משמש להנחיית אינטואיציה מתמטית: המציאות הפיזית עדיין משמשת מתמטיקאים כדי לבחור אקסיומות, למצוא אילו משפטים מעניין להוכיח ולהשיג אינדיקציות להוכחות אפשריות.

## יוון העתיקה
רוב התרבויות פיתחו מתמטיקה מסוימת, בעיקר למטרות מעשיות, כגון ספירה (סוחרים), מדידה (תיחום שדות), אסטרונומיה ואסטרולוגיה. נראה שהפילוסופים היוונים הקדמונים היו הראשונים שחקרו את טבעה של המתמטיקה והקשר שלה עם העולם האמיתי.

זנון מאליאה (490 - בערך 430 לפנה"ס) יצר כמה פרדוקסים שבהם השתמש כדי לתמוך בתזה שלו שתנועה לא קיימת. הפרדוקסים הללו כרוכים באינסוף מתמטי, מושג שהיה מחוץ ליסודות המתמטיים של אותה תקופה ולא הובן היטב לפני סוף המאה ה-19.

האסכולה הפיתגוראית למתמטיקה התעקשה במקורה שהמספרים היחידים הם מספרים טבעיים ויחסים של מספרים טבעיים. הגילוי (בסביבות המאה ה-5 לפנה"ס), שהיחס בין האלכסון של ריבוע לצלע שלו (השורש הריבועי של 2) אינו יחס בין שני מספרים טבעיים, היה להם זעזוע שהם קיבלו בחוסר רצון. עדות לכך היא הטרמינולוגיה המודרנית של מספר אי-רציונלי להתייחסות למספר שאינו המנה של שני מספרים שלמים, שכן "אי-רציונלי" פירושו במקור "לא סביר" או "לא נגיש עם היגיון".

העובדה שיחסי אורך אינם מיוצגים במספרים רציונליים נפתרה על ידי אאודוקסוס מקנידוס (408–355 לפנה"ס), תלמידו של אפלטון, שצמצם את ההשוואה של שני יחסים אי-רציונליים להשוואות של כפולות שלמים של הגדלים המעורבים. השיטה שלו רומזת לשיטה של חתכי דדקינד בהגדרה המודרנית של מספרים ממשיים מאת ריכרד דדקינד (1831–1916).

בחיבורו "האנליטיקה שבדיעבד" (חלק מהאורגנון), קבע אריסטו (384–322 לפנה"ס) את הלוגיקה לארגון שדה ידע באמצעות מושגים יסודיים, אקסיומות, הגדרות ומשפטים. אריסטו לקח לכך את רוב הדוגמאות שלו מהאריתמטיקה ומהגאומטריה, והלוגיקה שלו שימשה כבסיס למתמטיקה במשך מאות שנים. שיטה זו מזכירה את השיטה האקסיומטית המודרנית אך עם הבדל פילוסופי גדול: אקסיומות היו אמורות להיות נכונות, בהיותן מובנות מאליהן או נובעות מניסויים, בעוד שאין שום אמת אחרת מלבד נכונות ההוכחה מעורבת בשיטה האקסיומטית. אז, עבור אריסטו, משפט מוכח הוא נכון, בעוד שבשיטות האקסיומטיות, ההוכחה אומרת רק שהאקסיומות גוררות את המשפט.

הלוגיקה של אריסטו הגיעה לשיאה שלו עם "יסודות" של אוקלידס (300 לפנה"ס), מסה על מתמטיקה הבנויה עם סטנדרטים גבוהים מאוד של קפדנות: אוקלידס מצדיק כל השערה באמצעות הוכחה בצורה של שרשראות של סילוגיזם (אם כי הן לא תמיד תואמות בקפדנות את התבניות האריסטוטליות). הסילוגיזם של אריסטו, יחד עם הדגמתו על ידי ה"יסודות" של אוקלידס, מוכרים כהישגים מדעיים של יוון העתיקה, ונשארו כיסודות המתמטיקה במשך מאות שנים.

## לפני החשבון האינפיניטסימלי

בימי הביניים ה"יסודות" של אוקלידס עמד כבסיס מוצק לחלוטין למתמטיקה, והפילוסופיה של המתמטיקה התרכזה במעמד האונטולוגי של מושגים מתמטיים; השאלה הייתה האם הם קיימים ללא תלות בתפיסה (ריאליזם) או בתוך הנפש בלבד (קונצפטואליזם); ואלי הם פשוט שמות של אוסף של עצמים בודדים (נומינליזם).

ב"יסודות", המספרים היחידים שנחשבים הם מספרים טבעיים ויחסי אורכים. השקפה גאומטרית זו על מספרים שאינם שלמים נותרה דומיננטית עד סוף ימי הביניים, אם כי עליית האלגברה הובילה לשקול אותם ללא תלות בגאומטריה, מה שמרמז שישנם מושגים יסודיים של המתמטיקה, למשל פתרון משוואות שהציג אל-ח'ואריזמי ומשוואות ממעלה שלישית ומשוואות ממעלה רביעית שהתגלו במאה ה-16 נובעות ממניפולציות אלגבריות שאין להן מקבילה גאומטרית.

אף על פי כן, זה לא אתגר את היסודות הקלאסיים של המתמטיקה שכן ניתן להסיק את כל תכונות המספרים שהיו בשימוש מהגדרתם הגאומטרית.

בשנת 1637 פרסם רנה דקארט את ספרו "הגאומטריה" (La Géométrie), שבו הראה שניתן לצמצם את הגאומטריה לאלגברה באמצעות קואורדינטות במערכת צירים קרטזית, שהן מספרים הקובעים את מיקומה של נקודה. מערכת זו נתנה למספרים שהוא כינה מספרים ממשיים תפקיד יסודי יותר (לפניו, מספרים הוגדרו כיחס בין שני אורכים). ספרו של דקארט התפרסם לאחר 1649 וסלל את הדרך לחשבון אינפיניטסימלי.

## חשבון אינפיניטסימלי

ניוטון (1642–1727) באנגליה ולייבניץ (1646–1716) בגרמניה פיתחו באופן עצמאי את החשבון האינפיניטסימלי להתמודדות עם נקודות בתנועה (כגון כוכבי לכת בשמים) וכמויות משתנות. זה הצריך הכנסת מושגים חדשים כמו פונקציות רציפות, נגזרות, גבולות. לצורך התמודדות עם מושגים אלו בצורה לוגית, הם הוגדרו במונחים של אינפיניטסימלים, שהם מספרים היפותטיים שקרובים לאין שיעור ל-0. ההשלכות החזקות של החשבון האינפיניטסימלי על יסודות המתמטיקה מומחשת בחיבורו של הפילוסוף ג'ורג' ברקלי (1685–1753), שכתב "[אינפיניטסימלים] אינם כמויות סופיות, ולא כמויות קטנות עד אינסוף. כלום לא נכנה אותם רוחות רפאים?".

כמו כן, חוסר ריגורוזיות הופעל לעיתים קרובות, כי אינפיניטסימלים והמושגים הנלווים לא הוגדרו פורמלית (גם קווים ומישורים לא הוגדרו פורמלית, אבל אנשים היו רגילים אליהם יותר). מספרים ממשיים, פונקציות רציפות, נגזרות לא הוגדרו פורמלית לפני המאה ה-19, וכך גם הגאומטריה האוקלידית. רק במאה ה-20 ניתנה הגדרה פורמלית של אינפיניטסימל.

למרות היעדר יסודות לוגיים מוצקים, חשבון אינפיניטסימלי אומץ במהירות על ידי המתמטיקאים, ואושר על ידי יישומיו הרבים, במיוחד העובדה שניתן להסיק באמצעותו את מסלולי כוכבי הלכת מחוק הכבידה העולמי של ניוטון.

## במאה ה-19
במאה ה-19 התפתחה המתמטיקה במהירות לכיוונים רבים. כמה מהבעיות שנדונו הובילו לשאלות על יסודות המתמטיקה. לעיתים קרובות, הפתרונות המוצעים הובילו לשאלות נוספות שלעיתים קרובות היו בו-זמנית בעלות אופי פילוסופי ומתמטי. כל השאלות הללו הובילו, בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20, לוויכוחים שכונו משבר היסודות של המתמטיקה. הסעיפים הבאים מתארים את בעיות היסוד העיקריות שכאלה שהתגלו במהלך המאה ה-19.

### אנליזה ממשית
אוגוסטן לואי קושי (1789–1857) התחיל את הפרויקט של מתן ביסוס קפדני לחשבון האינפיניטסימלי. בפרט, הוא דחה את העיקרון שהוא כינה כלליות האלגברה, שכלל יישום תכונות של פעולות אלגבריות על סדרות אינסופיות ללא הוכחות מתאימות. ב-Cours d'Analyse שלו (1821), הוא התייחס לכמויות קטנות מאוד, שניתן לכנותן כיום "כמויות קטנות מספיק"; כלומר, משפט כזה ש"אם x קטן מאוד אז ..." חייב להיות מובן כ"יש מספר טבעי (גדול מספיק) n כך ש-|x| ". בהוכחות הוא השתמש בזה באופן שקדם להגדרה המודרנית (ε, δ) של גבול.

ההגדרה המודרנית (ε, δ) של גבולות ופונקציות רציפות פותחה לראשונה על ידי ברנרד בולצאנו ב-1817, אך נותרה עלומה יחסית, וכנראה קושי הכיר את עבודתו של בולצאנו.

קארל ויירשטראס (1815–1897) הפך את הגדרת הגבולות (ε, δ) לפורמלית, וגילה כמה פונקציות פתולוגיות שנראו פרדוקסליות בתקופה זו, כמו פונקציית ויירשטראס - פונקציה רציפה בכל נקודה על הישר הממשי אך לא גזירה באף נקודה. פונקציות כאלה סותרות תפיסות קודמות של פונקציה ככלל לחישוב או כגרף חלק.

בשלב זה הושלמה למעשה תוכנית האריתמטיזציה של האנליזה (צמצום האנליזה המתמטית לפעולות אריתמטיות ואלגבריות) שאותה קידם ויירשטראס, למעט שתי נקודות.

ראשית, עדיין חסרה הגדרה פורמלית של מספרים ממשיים. ואכן, החל מריכרד דדקינד ב-1858 עבדו כמה מתמטיקאים על הגדרת המספרים הממשיים, בהם הרמן הנקל, שארל מראי ואדוארד היינה, אך רק ב-1872 פורסמו שתי הגדרות שלמות עצמאיות למספרים ממשיים: האחת מאת דדקיינד, באמצעות חתכי דדקינד; השנייה מאת גאורג קנטור כמחלקות שקילות של סודרת קושי.

מספר בעיות נותרו פתוחות על ידי הגדרות אלו, שתרמו למשבר היסודות של המתמטיקה. ראשית, שתי ההגדרות מניחות שמספרים רציונליים ולכן המספרים הטבעיים מוגדרים בקפדנות; זה נעשה כמה שנים מאוחר יותר עם אקסיומות פאנו. שנית, שתי ההגדרות כוללות קבוצות אינסופיות, ותורת הקבוצות של קנטור פורסמה מספר שנים מאוחר יותר.

הבעיה השלישית עדינה יותר: וקשורה ליסודות הלוגיקה: הלוגיקה הקלאסית היא שפה מסדר ראשון; כלומר, כמתים חלים על משתנים המייצגים אלמנטים בודדים, לא על משתנים המייצגים קבוצות (אינסופיות) של אלמנטים. התכונה הבסיסית של  הנדרשת להגדרה ושימוש במספרים ממשיים כרוכה בכימות על קבוצות אינסופיות. אכן, תכונה זו עשויה לבוא לידי ביטוי גם לגבי כל סדרה אינסופית של מספרים ממשיים, אם זו סדרת קושי, יש לה גבול שהוא מספר ממשי, או כיוון שלכל תת-קבוצה של המספרים הממשיים שהיא חסומה יש סופרמום שהוא מספר ממשי. צורך זה של כימות על פני קבוצות אינסופיות הוא אחד המניעים לפיתוח  במחצית הראשונה של המאה ה-20.

### גאומטריות לא-אוקלידיות
לפני המאה ה-19 היו ניסיונות כושלים רבים לגזור את אקסיומת המקבילים מאקסיומות אחרות של הגאומטריה. בניסיון להוכיח ששלילת האקסיומה מובילה לסתירה, יוהאן היינריך למברט (1728–1777) החל לבנות גאומטריה היפרבולית והציג את הפונקציות ההיפרבוליות וחישב את שטחו של  (שבו סכום הזוויות קטן מ-180°).

בהמשך לבניית הגאומטריה החדשה הזו, מספר מתמטיקאים הוכיחו באופן עצמאי שאם היא לא עקבית, אז גם הגאומטריה האוקלידית אינה עקבית, ולכן לא ניתן להוכיח את אקסיומת המקבילים. זה הוכח על ידי ניקולאי לובצ'בסקי ב-1826, יאנוש בויאי ב-1832 וקרל פרידריך גאוס (לא פורסם).

מאוחר יותר במאה ה-19 פיתח המתמטיקאי הגרמני ברנהרד רימן את הגאומטריה האליפטית, גאומטריה לא-אוקלידית נוספת, שבה אין מקבילים וסכום הזוויות במשולש הוא יותר מ-180°. זה הוכח עקבי על ידי הגדרת נקודות כזוגות של נקודות אנטיפודליות על כדור (או היפרספירה), וקווים כמעגלים גדולים על הכדור.

הוכחות אלו, לחוסר ההיתכנות של הוכחה לאקסיומת המקבילים, מובילות למספר בעיות פילוסופיות, שהעיקרית שבהן היא שלפני גילוי זה, אקסיומת המקבילים וכל השלכותיה נחשבו כאמת, והגאומטריות הלא-אוקלידיות קראו תיגר על מושג האמת המתמטית.

### גאומטריה סינתטית לעומת גאומטריה אנליטית
מאז הצגת הגאומטריה האנליטית על ידי רנה דקארט במאה ה-17, היו שתי גישות לגאומטריה, הישנה שנקראת גאומטריה סינתטית, והחדשה, שבה הכל מצוין במונחים של מספרים ממשיים הנקראים קואורדינטות.

מתמטיקאים לא דאגו הרבה מהסתירה בין שתי הגישות הללו לפני אמצע המאה ה-19, שבה הייתה "מחלוקת חריפה בין תומכי השיטות הסינתטיות והאנליטיות בגאומטריה פרויקטיבית, שני הצדדים מאשימים זה את זה בערבוב מושגים פרויקטיביים ומטריים". אכן, אין מושג של מרחק במרחב פרויקטיבי, ויחס כפול, שהוא מספר, הוא מושג בסיסי של גאומטריה פרויקטיבית סינתטית.

 פיתח גישה גאומטרית גרידא לבעיה זו על ידי הצגת "הטלות" היוצרות את מה שנקרא כיום שדה, שבו ניתן לבטא את היחס הכפול.

ככל הנראה, בעיית השוויון בין גישה אנליטית לסינתטית נפתרה לחלוטין רק עם ספרו של אמיל ארטין "אלגברה גאומטרית" (Geometric Algebra) שיצא לאור בשנת 1957. היה ידוע כי בהינתן שדה k, ניתן להגדיר מרחבים אפיניים ומרחבים פרויקטיביים על פני k במונחים של מרחבי k-וקטור. במרחבים אלה מתקיים . גם להפך, אם משפט המשושה של פפוס נכלל באקסיומות של גאומטריית מישור, אז אפשר להגדיר שדה k כך שהגאומטריה זהה לגאומטריה האפינית או הפרויקטיבית על k.

### מספרים טבעיים

העבודה על אנליזה מתמטית ריגורוזית והגדרה של מספרים ממשיים, כללה צמצום הכל למספרים רציונליים ובכך למספרים טבעיים, שכן מספרים רציונליים חיוביים הם שברים של מספרים טבעיים. לכן היה צורך בהגדרה פורמלית של מספרים טבעיים, שמהם משתמעת תאוריה אקסיומטית של האריתמטיקה. זה התחיל עם צ'ארלס סנדרס פרס ב-1881 וריכרד דדקינד ב-1888, שהגדירו מספרים טבעיים כעוצמה של קבוצה סופית. עם זאת, זה כרוך בתורת הקבוצות, אשר לא הייתה פורמלית בשלב זה.

ג'וזפה פאנו סיפק בשנת 1888 אקסיומטיזציה מלאה המבוססת על התכונה הסידורית של המספרים הטבעיים. האקסיומה האחרונה של פאנו היא היחידה שמעוררת קשיים לוגיים, שכן היא מתחילה ב"אם S הוא קבוצה אז" או "אם \varphi הוא פרדיקט אז". לפיכך, האקסיומות של פאנו גורמות לכימות על קבוצות אינסופיות, וזה אומר שהאריתמטיקה של פאנו היא מה שנקרא כיום לוגיקה מסדר שני.

זה לא היה מובן היטב באותה תקופה, אבל העובדה שהאינסוף הופיע בהגדרת המספרים הטבעיים הייתה בעיה עבור מתמטיקאים רבים בתקופה זו. לדוגמה, אנרי פואנקרה קבע שניתן להדגים אקסיומות רק ביישום שלהן על קבוצות סופיות, והגיע למסקנה ש"כוח הנפש" הוא המאפשר להגות את החזרה הבלתי מוגבלת של אותו מעשה. זה חל במיוחד על השימוש באקסיומה האחרונה של פאנו כדי להראות ש יוצרת את כל המספרים הטבעיים. כמו כן, לאופולד קרונקר אמר "אלוהים יצר את המספרים השלמים, כל השאר הוא עבודת האדם". ניתן לפרש זאת כ"לא ניתן להגדיר את המספרים השלמים באופן מתמטי".

### קבוצות אינסופיות
לפני המחצית השנייה של המאה ה-19, אינסוף היה מושג פילוסופי שלא היה שייך למתמטיקה, אולם עם עליית החשבון האינפיניטסימלי מתמטיקאים התרגלו לאינסוף, בעיקר באמצעות אינסוף פוטנציאלי, כלומר כתוצאה מתהליך אינסופי, כמו הגדרת סדרה אינסופית, טור אינסופי או גבול. האפשרות של אינסוף ממשי הייתה נושא למחלוקות פילוסופיות רבות.

קבוצות, ובמיוחד קבוצות אינסופיות, לא נחשבו כמושג מתמטי. שינוי דרמטי התרחש עם עבודתו של גאורג קנטור שהיה המתמטיקאי הראשון שחקר באופן שיטתי קבוצות אינסופיות. בפרט, הוא הציג מספרים קרדינליים המודדים את גודלן של קבוצות אינסופיות, ומספרים סודורים שמאפשרים, בניסוח גס, להמשיך ולספור לאחר שהגיעו לאינסוף. אחת התוצאות העיקריות שלו היא הגילוי שיש בהחלט יותר מספרים ממשיים ממספרים טבעיים (העוצמה של שדה המספרים הממשיים גדולה מזו של קבוצת המספרים הטבעיים). תוצאות אלו נדחו על ידי מתמטיקאים ופילוסופים רבים, והובילו לוויכוחים שהם חלק ממשבר היסודות של המתמטיקה.

המשבר התגבר עם הפרדוקס של ראסל שקובע כי הביטוי "קבוצת כל הקבוצות" סותר את עצמו. סתירה זו עוררה ספק לגבי העקביות של כל המתמטיקה.

עם הצגת תורת הקבוצות של צרמלו-פרנקל (1925 לערך) ואימוצה על ידי הקהילה המתמטית, הספק לגבי העקביות הוסר למעשה, אם כי לא ניתן להוכיח עקביות של תורת הקבוצות בגלל משפט אי השלמות של גדל.

### לוגיקה מתמטית
ב-1847 פרסם אוגוסטוס דה מורגן את כלליו וג'ורג' בול הגה אלגברה, הקרויה כיום אלגברה בוליאנית, המאפשרת לבטא את הלוגיקה של אריסטו במונחים של נוסחאות ופעולות אלגבריות. אלגברה בוליאנית היא נקודת המוצא למתמטיזציה של הלוגיקה והבסיס לתחשיב הפסוקים.

באופן עצמאי, בשנות ה-70 של המאה ה-19, צ'ארלס סנדרס פרס וגוטלוב פרגה הרחיבו את תחשיב הפסוקים על ידי הצגת כמתים, לבניית לוגיקה מסדר ראשון.

פרגה הצביע על שלושה מאפיינים רצויים של תיאוריה לוגית: עקביות (אי-אפשרות להוכיח הצהרות סותרות), שלמות (כל אמירה ניתנת להוכחה או להפרכה, כלומר שלילתה ניתנת להוכחה), וכריעות (יש הליך החלטה לבדיקת כל הצהרה).

לקראת תחילת המאה ה-20 ברטרנד ראסל הפך את עבודתו של פרגה לפופולרית וגילה את הפרדוקס של ראסל שמרמז כי הביטוי "קבוצת של כל הקבוצות" סותר את עצמו. נראה שהפרדוקס הזה הפך את כל המתמטיקה לבלתי עקבית והוא אחד הגורמים העיקריים למשבר היסודות של המתמטיקה.

## משבר היסודות של המתמטיקה
משבר היסודות של המתמטיקה התעורר בסוף המאה ה-19 ובתחילת המאה ה-20 עם גילוי של כמה פרדוקסים או תוצאות נוגדת אינטואיציה.

הראשון היה ההוכחה שלא ניתן להוכיח את אקסיומת המקבילים. הדבר נובע מבנייה של גאומטריה לא-אוקלידית בתוך הגאומטריה האוקלידית, שחוסר העקביות שלה יצביע על חוסר העקביות של הגאומטריה האוקלידית. פרדוקס נודע הוא הפרדוקס של ראסל, המראה שהביטוי "קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן" סותר את עצמו. בעיות פילוסופיות נוספות היו ההוכחה לקיומם של עצמים מתמטיים שאינם ניתנים לחישוב או לתאר במפורש, וההוכחה לקיומם של משפטי אריתמטיקה שלא ניתן להוכיח באמצעות מערכת פאנו.

כמה אסכולות לפילוסופיה של המתמטיקה נתקלו בבעיות אלה במאה ה-20, ומתוארות להלן.

בעיות אלו נחקרו גם על ידי מתמטיקאים, והדבר הוביל לביסוס הלוגיקה המתמטית כתחום חדש במתמטיקה, המורכב ממתן הגדרות מתמטיות ללוגיקה (מערכות של כללי היסק), תאוריות מתמטיות ולוגיות, משפטים והוכחות, ומשימוש בשיטות מתמטיות להוכחת משפטים לגבי מושגים אלו.

זה הוביל לתוצאות בלתי צפויות, כמו משפטי האי-שלמות של גדל, שבאופן גס טוענים שאם תאוריה מכילה את האריתמטיקה הסטנדרטית, לא ניתן להשתמש בה כדי להוכיח שהיא עצמה אינה סותרת את עצמה; ואם זה לא סותר את עצמו, יש משפטים שלא ניתן להוכיח בתוך התאוריה, אבל בכל זאת נכונים במובן טכני כלשהו.

תורת הקבוצות של צרמלו-פרנקל עם אקסיומת הבחירה (ZFC) היא תאוריה לוגית שנבנתה על ידי ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל. היא הפכה לבסיס הסטנדרטי של המתמטיקה המודרנית, ואם ההפך צוין במפורש, היא משמשת בכל הטקסטים המתמטיים המודרניים, בדרך כלל באופן משתמע.

במקביל,  הפכה לסטנדרט דה פקטו: הוכחת משפט חייבת לנבוע מאקסיומות מפורשות וממשפטים שהוכחו בעבר על ידי יישום כללי היסק מוגדרים בבירור. האקסיומות אינן חייבות להתאים למציאות כלשהי. עם זאת, זו בעיה פילוסופית פתוחה להסביר מדוע מערכות האקסיומות המובילות לתאוריות עשירות ושימושיות הן אלו הנובעות מהפשטה מהמציאות הפיזית או מתאוריה מתמטית אחרת.

לסיכום, משבר היסודות נפתר למעשה, וזה פותח בעיות פילוסופיות חדשות. בפרט, לא ניתן להוכיח שהיסודות החדשים (ZFC) אינם סותרים את עצמם. יש הסכמה כללית שאם זה יקרה, הבעיה יכולה להיפתר על ידי שינוי מתון של ZFC.

### השקפות פילוסופיות

כאשר התעורר משבר היסודות של המתמטיקה, היה ויכוח רב בין מתמטיקאים ולוגיקאים לגבי מה צריך לעשות כדי להחזיר את האמון במתמטיקה. זה כלל שאלות פילוסופיות על אמת מתמטית, הקשר של מתמטיקה עם המציאות, מציאותם של עצמים מתמטיים וטבעה של המתמטיקה.

לבעיית היסודות היו שתי אפשרויות עיקריות לניסיון להימנע מפרדוקסים. הראשון הוביל לאינטואיציוניזם וקונסטרוקטיביזם, ובא להגביל את הכללים הלוגיים כך שיישארו קרובים יותר לאינטואיציה, בעוד שהשני, שנקרא פורמליזם, סבור שמשפט נכון אם ניתן להסיק אותו מאקסיומות על ידי יישום כללי היסק הוכחה פורמלית), ושאין צורך ב"אמיתות" של האקסיומות לתקפות של המשפט.

#### פורמליזם

נטען שפורמליסטים, כמו דוויד הילברט (1862–1943), גורסים שמתמטיקה היא רק שפה וסדרה של משחקים. הילברט עמד על כך שהפורמליזם, שנקרא על ידו "משחק נוסחאות", הוא חלק מהותי במתמטיקה, אך אסור לצמצם את המתמטיקה לפורמליזם. הילברט עמד על כך שהמתמטיקה אינה משחק שרירותי עם כללים שרירותיים, אלא היא חייבת להסכים עם תהליכי החשיבה שלנו, ולאחר מכן הדיבור והכתיבה שלנו.
:"אנחנו לא מדברים כאן על שרירותיות בשום מובן. מתמטיקה אינה דומה למשחק שמשימותיו נקבעות על פי כללים שנקבעו באופן שרירותי. במקום זאת, זוהי מערכת מושגית בעלת הכרח פנימי שיכולה להיות רק כך ובשום אופן לא אחרת."

הפילוסופיה הבסיסית של הפורמליזם, כפי שהדגים הילברט, היא תגובה לפרדוקסים של תורת הקבוצות, ומבוססת על לוגיקה פורמלית. את כל המשפטים המתמטיים כיום ניתן לנסח כמשפטים של תורת הקבוצות. האמת של אמירה מתמטית, בתפיסה זו, מיוצגת על ידי העובדה שניתן לגזור את ההצהרה מהאקסיומות של תורת הקבוצות באמצעות כללי הלוגיקה הפורמלית.

השימוש בפורמליזם לבדו אינו מסביר כמה סוגיות: מדוע עלינו להשתמש באקסיומות מסוימות ולא באחרות, מדוע עלינו להשתמש בכללים לוגיים מסוימים ולא באחרים, מדוע הצהרות מתמטיות "אמיתיות" (למשל, חוקי האריתמטיקה) נראים נכונים וכו'.

במקרים מסוימים, שאלות אלו עשויות לקבל מענה מספק באמצעות חקר תאוריות פורמליות, בדיסציפלינות כמו  ותורת הסיבוכיות. כפי שציין הרמן וייל, גם מערכות לוגיות פורמליות מסתכנות בחוסר עקביות; במערכת פאנו אפשר לטעון שזה כבר הוסדר עם כמה הוכחות לעקביות, אבל יש מחלוקת אם הם פיניטיסטיים מספיק כדי להיות משמעותיים או לא. משפט האי-שלמות השני של גדל קובע כי מערכות לוגיות של אריתמטיקה לעולם לא יכולות להכיל הוכחה תקפה לעקביות שלהן. מה שהילברט רצה לעשות זה להוכיח שמערכת לוגית S עקבית, המבוססת על עקרונות P שהיוו רק חלק קטן מ-S. אבל גדל הוכיח שהעקרונות P אפילו לא יכולים להוכיח ש-P עקבית, שלא לדבר על S.

#### אינטואיציוניזם

אינטואיציוניסטים, כגון ל. א. י. בראואר (1882–1966), גורסים שהמתמטיקה היא יצירה של המוח האנושי. מספרים, כמו דמויות מהאגדות, הם רק ישויות מנטליות, שלא היו קיימות אם בעולם לא היו מוחות אנושיים שיחשבו עליהם.

הפילוסופיה הבסיסית של אינטואיציוניזם או קונסטרוקטיביזם, כפי שהודגמה בקיצוניות על ידי ברואר ו, דורשת שהוכחות יהיו "קונסטרוקטיביות" במהותן - יש להוכיח את קיומו של אובייקט ולא להסיק את קיומו מהוכחה של אי-היתכנות של אי-קיומו. בהתאם לכך פסולה צורת ההוכחה המכונה הוכחה בדרך השלילה.

כמה תאוריות מודרניות בפילוסופיה של המתמטיקה מכחישים את קיומם של יסודות במובן המקורי. תאוריות מסוימות נוטות להתמקד בפרקטיקה מתמטית, ומטרתן לתאר ולנתח את עבודתם בפועל של מתמטיקאים כקבוצה חברתית. אחרים מנסים ליצור מדע קוגניטיבי של מתמטיקה, תוך התמקדות בקוגניציה האנושית כמקור המהימנות של המתמטיקה כשהיא מיושמת על העולם האמיתי. תאוריות אלו יציעו למצוא יסודות רק במחשבה האנושית, לא בשום מבנה חיצוני אובייקטיבי. הנושא נותר שנוי במחלוקת.

#### לוגיציזם

לוגיציזם הוא אסכולה ותוכנית מחקר בפילוסופיה של המתמטיקה, המבוססת על התזה שהמתמטיקה היא הרחבה של הלוגיקה או שחלק מהמתמטיקה או כולה עשויה להיגזר במערכת פורמלית מתאימה שהאקסיומות וכללי ההיסק שלה הם 'לוגיים' באופיים. ברטרנד ראסל ואלפרד נורת' וייטהד דגלו בתיאוריה זו שיזם גוטלוב פרגה והושפעה על ידי ריכרד דדקינד.

#### פלטוניזם
חוקרים רבים בתורת הקבוצות האקסיומטית, בהם קורט גדל, דגלו במה שמכונה פלטוניזם של תורת הקבוצות.

מספר חוקרים של תורת הקבוצות נקטו בגישה זו וחיפשו באופן פעיל אחר אקסיומות שעשויות להיחשב כנכונות מסיבות היוריסטיות ואשר יכריעו את השערת הרצף. הרבה אקסיומות של מונה גדול נחקרו, אבל ההשערה תמיד נשארה עצמאית מהן וכיום זה נחשב לא סביר שניתן לפתור את השערת הרצף על ידי אקסיומה חדשה של מונה גדול. סוגים אחרים של אקסיומות נשקלו, אך אף אחת מהן לא הגיעה עדיין לקונצנזוס על השערת הרצף. עבודה אחרונה של  מציעה אלטרנטיבה גמישה יותר: רב-יקום תאורטי של קבוצות המאפשר מעבר חופשי בין יקומי תורת הקבוצות המקיימים את השערת הרצף לבין יקומים אחרים שאינם מקיימים את השערת הרצף.

#### השלכות פילוסופיות של משפט השלמות של גדל

משפט השלמות של גדל קובע שקילות בלוגיקה מסדר ראשון בין היכולת להוכחה פורמלית של נוסחה לאמיתותה בכל המודלים האפשריים. ליתר דיוק, לכל תאוריה עקבית מסדר ראשון המשפט נותן "בנייה מפורשת" של מודל המתואר על ידי התאוריה; מודל זה יהיה בן מנייה אם שפת התאוריה היא בת מנייה. אולם "הבנייה המפורשת" הזו אינה אלגוריתמית. היא מבוססת על תהליך איטרטיבי של השלמת התאוריה, כאשר כל שלב של האיטרציה מורכב מהוספת נוסחה לאקסיומות אם היא שומרת על עקביות התאוריה; אבל שאלת העקביות הזו ניתנת להכרעה רק למחצה (אלגוריתם זמין כדי למצוא כל סתירה אבל אם אין כזו, עובדת העקביות הזו יכולה להישאר בלתי ניתנת להוכחה).

#### פרדוקסים נוספים
להלן כמה תוצאות בולטות במטא-מתמטיקה. תורת הקבוצות של צרמלו-פרנקל היא האקסיומטיזציה הנחקרת ביותר של תורת הקבוצות. היא מקוצרת ZFC כאשר היא כוללת את אקסיומת הבחירה ו-ZF כאשר אקסיומת הבחירה אינה נכללת.
* 1920: תוראלף סקולם תיקן את ההוכחה של לאופולד לוונהיים למה שנקרא כיום משפט הכיווץ במשפט לוונהיים-סקולם, מה שהוביל לפרדוקס סקולם שנדון ב-1922, כלומר קיומם של מודלים בני מנייה של ZF, מוביל לכך שכל הקבוצות במודל הן בנות מנייה, בסתירה לכאורה למשפט קנטור שממנו עולה שקיימות קבוצות שאינן בנות מנייה.
* 1922: הוכחה מאת אברהם הלוי פרנקל שלא ניתן להוכיח את אקסיומת הבחירה מהאקסיומות של תורת הקבוצות של צרמלו עם .
* 1931: פרסום משפטי האי-שלמות של גדל, המראים שלא ניתן היה להשיג היבטים חיוניים בתוכנית הילברט. הוא הראה כיצד לבנות, עבור כל מערכת חזקה ועקבית מספיק ניתנת לאקסיומטיזציה רקורסיבית – כגון הנחוצה כדי לבצע אקסיומטיזציה של התורה האלמנטרית של האריתמטיקה על קבוצת המספרים הטבעיים (האינסופית) – אמירה המבטאת פורמלית את אי-ההוכחה של עצמה, שאז הוכיח שהיא שווה ערך לטענת העקביות של התאוריה; כך ש (בהנחה שהעקביות כנכונה), המערכת אינה חזקה מספיק כדי להוכיח את העקביות שלה, שלא לדבר על כך שמערכת פשוטה יותר יכולה לעשות את העבודה. כך התברר שלא ניתן לקבוע לחלוטין את הרעיון של אמת מתמטית ולצמצם אותה למערכת פורמלית גרידא כפי שנחזה בתוכנית הילברט. זה הטיל מכה אחרונה בלבה של תוכנית הילברט, התקווה שניתן יהיה לבסס עקביות באמצעים פיניטיסטיים (מעולם לא הובהר בדיוק אילו אקסיומות הן ה"פיניטיסטיות", אבל לא משנה לאיזו מערכת אקסיומטית התייחסו, זו הייתה מערכת 'חלשה' יותר מהמערכת שאת עקביותה היא אמורה להוכיח).
* 1936: אלפרד טרסקי הוכיח את משפט האי-גדירות של טרסקי.
* 1936: אלן טיורינג הוכיח שאלגוריתם כללי לפתרון בעיית העצירה עבור כל צמדי הקלט האפשריים של תוכנית אינו יכול להתקיים.
*1936–1937: אלונזו צ'רץ' ואלן טיורינג פרסמו מאמרים עצמאיים המראים שפתרון כללי לבעיית ה-Entscheidungs  הוא בלתי אפשרי: התקפות האוניברסלית של הצהרות בלוגיקה מסדר ראשון אינה ניתנת להכרעה (היא רק כריעה-למחצה, כפי שניתן על ידי משפט השלמות).
* 1955:  הראה שקיימת חבורה מוצגת סופית שלא ניתן להכריע את בעיית המילה עבורה.
* 1963: פול כהן הראה שלא ניתן להוכיח את השערת הרצף מ-ZFC. ההוכחה של כהן פיתחה את שיטת הכפייה, שהיא כיום כלי חשוב לביסוס תוצאות עצמאות בתורת הקבוצות.
* 1964: בהשראת האקראיות הבסיסית בפיזיקה, גרגורי צ'ייטין התחיל לפרסם תוצאות על  (מדידה של אי-שלמות ואקראיות במתמטיקה).
* 1966: פול כהן הראה שאקסיומת הבחירה אינה ניתנת להוכחה ב-ZF גם ללא .
* 1970: הבעיה העשירית של הילברט הוכחה כבלתי פתירה: אין פתרון רקורסיבי להכרעה אם למשוואה דיופנטית יש פתרון במספרים שלמים.
* 1971: בעיית סוסלין הוכחה כבלתי תלויה ב-ZFC.

## לקראת פתרון המשבר
החל משנת 1935, קבוצת בורבאקי של מתמטיקאים צרפתים החלה לפרסם סדרה של ספרים כדי לבסס תחומים רבים במתמטיקה על הבסיס של תורת הקבוצות.

האסכולה האינטואיציונית לא משכה חסידים רבים, ורק בעבודתו של  ב-1967 הועמדה המתמטיקה הקונסטרוקטיבית על בסיס טוב יותר.

אפשר לשקול שתוכנית הילברט הושלמה בחלקה, כך שהמשבר בעצם נפתר, תוך הסתפקות בדרישות נמוכות מהשאיפות המקוריות של הילברט. שאיפותיו באו לידי ביטוי בתקופה שבה שום דבר לא היה ברור: לא היה ברור אם למתמטיקה יכול להיות בסיס קפדני בכלל.

ישנן גרסאות אפשריות רבות של תורת הקבוצות, הנבדלות בחוזק העקביות, כאשר גרסאות חזקות יותר (המניחות סוגים גבוהים יותר של אינסוף) מכילות הוכחות פורמליות לעקביות של גרסאות חלשות יותר, אך אף אחת לא מכילה הוכחה פורמלית לעקביות של עצמה. לכן הדבר היחיד שאין לנו הוא הוכחה פורמלית לעקביות של כל גרסה של תורת הקבוצות שאנו מעדיפים, כגון ZF.

בפועל, רוב המתמטיקאים לא עובדים ממערכות אקסיומטיות, או אם כן, לא מפקפקים בעקביות של ZFC, שהיא בדרך כלל המערכת האקסיומטית המועדפת עליהם. ברוב המתמטיקה כפי שהיא נהוגה, חוסר השלמות והפרדוקסים של התאוריות הפורמליות הבסיסיות מעולם לא שיחקו תפקיד בכל מקרה, ובענפים שבהם הם עושים זאת או שניסיונות הפורמליזציה שלהם עלולים להסתכן בצירת תיאוריות לא עקביות (כגון לוגיקה ותורת הקטגוריות), ניתן להתייחס אליהן בזהירות.

התפתחותה של תורת הקטגוריות באמצע המאה ה-20 הראתה את התועלת של תורת קבוצות המבטיחה את קיומן של מחלקות גדולות יותר מאלה שמאפשרת ZFC, כגון  או , אם כי במקרים רבים מאוד ניתן להימנע מהשימוש באקסיומות של קרדינלים גדולים וביקומי גרותנדיק.

אחת המטרות של תוכנית המתמטיקה ההפוכה היא לזהות האם ישנם תחומים של "ליבת המתמטיקה" שבהם סוגיות יסוד עלולות לעורר שוב משבר.

## לקריאה נוספת
* 
* אי"י פוזננסקי, "על יסודות המתמטיקה", בתוך: יהושע בר-הלל, **הגיון לשון ושיטה - מסות בפילוסופיה של הלוגיקה, של הלשון ושל המדע**, ספרית פועלים, 1970.

* Ian Stewart and David Tall, **The Foundations of Mathematics**, Oxford University Press, 2015


## קישורים חיצוניים


*Harvey M. Friedman, Foundations of Mathematics: past, present, and future, May 31, 2000
*Gregory Chaitin, A Century of Controversy over the Foundations of Mathematics
* Kenneth Kunen, The Foundations of Mathematics, 2007


## הערות שוליים

קטגוריה:מתמטיקה
קטגוריה:לוגיקה מתמטית
קטגוריה:היסטוריה של המתמטיקה
קטגוריה:פילוסופיה של המתמטיקה