טנזור קצב-מעוות

שמאל|200px|ממוזער|לשדה זרימה דו-ממדי אשר, בנקודה המודגשת, קצב מעוות שונה מאפס, למרות שאין לו מהירות קווית או סיבובית.
במכניקת הרצף, **טנזור קצב-המעוות** (באנגלית: **Strain-rate tensor**) הוא טנזור שמתאר את קצב השינוי של המעוות (הדפורמציה היחסית) של תווך חומרי בסביבה של נקודה מסוימת במרחב, ובנקודה מסוימת בזמן. ניתן להגדירו כנגזרת של טנזור המעוות ביחס לזמן, או כמרכיב הסימטרי של מטריצת היעקוביאן (המייצגת גזירה ביחס למיקום) של מהירות הזרימה. במכניקת הזורמים הוא מתואר לפעמים כ**גרדיאנט המהירות**, מדד לאופן שבו משתנה מהירות הזורם בין נקודות שונות בתוכו. למרות שהמונח האחרון עשוי להתייחס לפרופיל המהירות (השתנות המהירות בין שכבות של זרימה בצינור), הוא משמש לעיתים קרובות כדי לתאר את הגרדיאנט של וקטור מהירות הזורם ביחס למערכת קואורדינטות מסוימת. למונח יש השלכות בתחומים רבים של הפיזיקה וההנדסה, כולל מגנטוהידרודינמיקה ותכנון מערכות מים.

טנזור קצב-המעוות הוא מושג קינמטי טהור שמתאר את התנועה המקרוסקופית של החומר. לפיכך, הוא בלתי תלוי בטבעו של החומר הנידון, או בכוחות ובמאמצים שעשויים לפעול עליו; הוא תקף לכל תווך רציף, בין אם זהו מוצק, נוזל או גז. מצד שני, עבור כל זורם פרט לנוזלי-על, כל שינוי הדרגתי במידת הדפורמציה שלו (כלומר טנזור קצב-מעוות שונה מאפס) גורם לכוחות צמיגיים לפעול בתוכו, אודות לחיכוך בין אלמנטי זורם סמוכים, אשר מתנגד לשינוי המופעל. בכל נקודה בזורם, המאמצים הללו ניתנים לתיאור על ידי טנזור מאמץ הצמיגי אשר, כמעט תמיד, נקבע על ידי טנזור קצב-המעוות ותכונות פנימיות מסוימות של הזורם באותה נקודה. מאמץ צמיגי עשוי להתקיים גם במוצקים, בנוסף למאמץ האלסטי שנצפה בדפורמציה סטטית; כאשר אפקט זה גדול מכדי להזניחו, החומר נקרא חומר ויסקואלסטי.

## אנליזה ממדית
באמצעות אנליזה ממדית פשוטה, יחידות המידה של גרדיאנט המהירות ניתנות לקביעה. היחידות של מהירות הן \mathsf {L^1 T^{-1}} , בעוד היחידות של מרחק הן \mathsf{L^1}. מכיוון שגרדיאנט המהירות מבוטא כ-\frac{\Delta \text{velocity}}{\Delta \text{distance}}, יש לו יחידות כמו ליחס זה, כלומר \mathsf{ T^{-1} }.

## במכניקת הרצף
left|150px|ממוזער|החלק הסימטרי  (קצב-מעוות) של הזרימה לדוגמה.
left|150px|ממוזער|החלק האנטי-סימטרי '''R'''('''p''', ''t'')('''r''') (סיבוב) של הזרימה לדוגמה.
ב-3 ממדים, הגרדיאנט \nabla\mathbf{v} של המהירות \mathbf{v} הוא טנזור מדרגה שנייה אשר ניתן לתיאור כמטריצה \mathbf{L}:
\mathbf{L} = \nabla\mathbf{v} = \begin{bmatrix}
 {\frac{\partial v_x}{\partial x}} & {\frac{\partial v_y}{\partial x}} & {\frac{\partial v_z}{\partial x}} \\
 {\frac{\partial v_x}{\partial y}} & {\frac{\partial v_y}{\partial y}} & {\frac{\partial v_z}{\partial y}\ } \\
 {\frac{\partial v_x}{\partial z}} & {\frac{\partial v_y}{\partial z}} & {\frac{\partial v_z}{\partial z}}
\end{bmatrix}
המטריצה \mathbf{L} ניתנת לפירוק כסכום של מטריצה סימטרית \textbf{E} ומטריצה אנטי-סימטרית \textbf{W} באופן הבא
\begin{align}
 \mathbf{E} &= \frac{1}{2} \left(\mathbf{L} + \mathbf{L}^\textsf{T}\right) \\
 \mathbf{W} &= \frac{1}{2} \left(\mathbf{L} - \mathbf{L}^\textsf{T}\right)
\end{align}

המטריצה \textbf{E} נקראת טנזור קצב-המעוות ומתארת את קצב המתיחה וקצב הגזירה. \textbf{W} נקראת טנזור הספין ומתארת את קצב הסיבוב המקומי של הזורם - איבריה השונים מאפס הם (עד כדי סימן) רכיבי וקטור הערבוליות \frac{1}{2}\vec{\omega} = \frac{1}{2}\nabla\times\vec{v}. מכיוון שערבוליות מייצגת סיבוב טהור שמשמר את צורת אלמנט הזורם, רק החלק הסימטרי \textbf{E} מכונה טנזור קצב-המעוות.

### קצב גזירה וקצב דחיסה
right|150px|ממוזער|החלק הספירי  (קצב ההתפשטות או ההתכווצות האחידה) של טנזור קצב-המעוות .
right|150px|ממוזער|מרכיב הגזירה  של טנזור קצב-המעוות .
את החלק הסימטרי **E** (טנזור קצב-המעוות) ניתן לפרק אף יותר כסכום של סקלר כפול טנזור היחידה, המייצג התפשטות או דחיסה איזוטרופית הדרגתית, וטנזור סימטרי חסר עקבה המייצג מעוות גזירה הדרגתי, ללא שינוי בנפח:
\mathbf{E}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}) = \mathbf{S}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}) + \mathbf{D}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}).

כאשר,

E_{ij} =
 \underbrace{\frac{1}{3}\left(\sum_k\partial_k v_k\right) \delta_{ij}}_{\text{rate-of-expansion tensor } S_{ij}} +
 \underbrace{\overbrace{\frac{1}{2}\left(\partial_i v_j + \partial_j v_i\right)}^{E_{ij}}-S_{ij}}_{\text{rate-of-shear tensor } D_{ij}},

כאן **δ** הוא הדלתא של קרונקר, כך ש-δij הוא 1 אם 1=*i*=*j* ו-0 אם *i* ≠ *j*. פירוק זה אינו תלוי בבחירת מערכת הקואורדינטות, ולפיכך הוא בעל חשיבות פיזיקלית.

העקבה של טנזור קצב ההתפשטות הוא הדיברגנץ של שדה המהירויות:
\nabla \cdot \mathbf{v} = \partial_1 v_1 + \partial_2 v_2 + \partial_3 v_3;
שהוא הקצב שבו הנפח של כמות קבועה של זורם גדל בסביבות הנקודה.

טנזור קצב הגזירה מיוצג על ידי מטריצה סימטרית מסדר 3 × 3, ומכיוון שכל מטריצה סימטרית ניתנת ללכסון אורתוגונלי, ניתן למצוא שלושה כיוונים ניצבים במרחב כך שהתיאור של הזרימה ביחס אליהם יהיה כשל זרימה שמשלבת התפשטות או התכווצות במקביל אליהם, אך ללא שינוי בנפח של אלמנט זורם (העקבה של טנזור קצב הגזירה היא אפס). סוג זה של זרימה מופיע, למשל, כאשר רצועת גומי נמתחת על ידי משיכת קצוותיה, או כאשר דבש נופל מכפית כזרם חלק ובלתי נשבר.

בזרימה דו-ממדית, לדיברגנץ של **v** יש שני איברים ומכמת את השינוי בשטח במקום בנפח. הגורם 1/3 באיבר קצב ההתפשטות צריך להיות מוחלף אז ב-1/2 במקרה הזה.

## הקשר בין מאמץ הגזירה ושדה המהירויות
אייזק ניוטון הציע שמאמץ הגזירה הוא פרופורציונלי לגרדיאנט המהירות:
\tau = \mu\frac{\partial u} {\partial y}.

מקדם הפרופורציה, \mu, מכונה הצמיגות הדינמית של הזורם. הגדרה זאת תקפה לזרימה בכיוון אחד; ההכללה הפורמלית של חוק זה לזרימה בשלושה ממדים קובעת קשר בין טנזור קצב-המעוות לטנזור המאמצים \tau_{ij} בזורם.

## ראו גם
* טנזור מאמצים
* משוואות נאוויה-סטוקס

## הערות שוליים

קטגוריה:מכניקת הזורמים