Sinc

[ממוזער|350px|שמאל|פונקציית ה-sinc המנורמלת (ב[כחול) ופונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת (באדום) מוצגות על אותה סקלה עבור \ -6\pi \le x \le 6\pi.]]
במתמטיקה, **sinc** (קיצור של **sine cardinal**), שמסומנת \mathrm{sinc}(x)\,, היא פונקציה המוגדרת בדרך כלל כך:

בעיבוד אותות דיגיטלי ותורת האינפורמציה, נעשה לרוב שימוש בפונקציית ה-sinc **המנורמלת**, המוגדרת כך:

בשני המקרים, ערך הפונקציה בנקודת אי-הרציפות הסליקה \ x=0 נקבע כערך הגבול שאליו שואפת הפונקציה, כלומר, ל-1. ראו עוד בנושא: הגבול של sin(x)/x.

## תכונות
לפונקציית ה-sinc ה**מנורמלת** יש תכונות שהופכות אותה לאידיאליות ביחס לאינטרפולציות ופונקציות בעלות רוחב פס מוגבל (Bandlimited functions):
* \mathrm{sinc}(0) = 1\, ו־\mathrm{sinc}(k) = 0\, עבור k\ne 0\, and ו־k\in\mathbb{Z}\, (כלומר k מספר שלם שונה מאפס); כלומר, זו פונקציית אינטרפולציה.
* הפונקציות x_k(t)=\mathrm{sinc}(t-k) \  יוצרות בסיס אורתונורמלי עבור פונקציות בעלות רוחב פס מוגבל במרחב הפונקציות L^2(\R) עם תדירות זוויתית מקסימלית \omega_\mathrm{H}=\pi\, (כלומר התדירות המקסימלית היא f_\mathrm{H}=1/2\,).

תכונות נוספות של פונקציית ה-sinc:
* נקודות הקיצון של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת \frac{\sin(x)}{x}\, מתאימות לנקודות החיתוך של הפונקציה עם פונקציית הקוסינוס. כלומר \frac{\sin(x)}{x} = \cos(x) \, לכל נקודה בה הנגזרת של \frac{\sin(x)}{x} \, היא 0.
* פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת היא פונקציית בסל כדורית מסדר 0 מהסוג הראשון, j_0(x) = \frac{\sin(x)}{x} \,. פונקציית ה-sinc המנורמלת מקיימת j_0(\pi x)\,.
* האפסים של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת הם כפולות (שונות מאפס) של פאי (\pi\,). האפסים של פונקציית ה-sinc המנורמלת \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, הם מספרים שלמים השונים מאפס.
* התמרת פורייה הרציפה של פונקציית ה-sinc המנורמלת \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, הוא \mathrm{rect}(f)\,.
::\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t)\,e^{-2\pi i f t} \,\mathrm{d}t = \mathrm{rect}(f),
: כאשר פונקציית המלבן היא 1 עבור ארגומנט בין 1/2 ל־1/2- ואפס אחרת.
* אינטגרל פורייה לעיל, כולל את המקרה הפרטי:
::\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{rect}(0) = 1,
: שהוא אינטגרל לא-אמיתי. זהו אינו אינטגרל לבג מכיוון שמתקיים:
::\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right|\,\mathrm{d}x = \infty
*  \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)
*  \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}
: כאשר \Gamma(x) היא פונקציית גמא.
* \int_{0}^{x} \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,\mathrm{d}\theta = \mathrm{Si}(x) 
: כאשר \mathrm{Si}(x) הוא אינטגרל סינוס (sine integral).
* לפי נוסחת אוילר:
::  \mathrm{sinc}(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix} }{2ix}\, 

## הקשר לפונקציית דלתא של דיראק
אף על פי שהיא אינה התפלגות, פונקציית ה-sinc **המנורמלת** יכולה לשמש לייצוג פונקציית דלתא של דיראק \ \delta (x) כך:

:\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)=\delta(x)

זה אינו גבול רגיל, משום שאגף שמאל לא מתכנס. עם זאת, מתקיים:

:\lim_{a\rightarrow 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)\varphi(x)\,\mathrm{d}x
 = \varphi(0),


לכל פונקציה חלקה \varphi(x) עם תומך קומפקטי.

בביטוי לעיל, כש-a שואף לאפס, מספר התנודות עבור אורך יחידה של פונקציית ה-sinc שואף לאינסוף. אף על פי כן, הביטוי תמיד מתנודד בתוך מעטפת של \ \pm 1 / (\pi x ), ללא תלות בערך של a, והוא שואף לאפס עבור כל ערך של x השונה מאפס. דבר זה מסבך את התמונה הלא-פורמלית של \ \delta (x) כשווה לאפס עבור כל x למעט הנקודה x=0, וממחיש את הבעיה שבהתייחסות לפונקציית הדלתא כפונקציה ולא כהתפלגות. פתרון דומה נמצא בתופעת גיבס.

## ראו גם
* הגבול של sin(x)/x
* אנטי אליאסינג 
* מסנן sinc 
* נוסחת האינטרפולציה של ויטאקר-שאנון

## קישורים חיצוניים

* sinc באתר MathWorld
* 

קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות
קטגוריה:עיבוד אותות