מסנן (מתמטיקה)

במתמטיקה, **מסנן** הוא תת-קבוצה של קבוצה סדורה ביחס סדר חלקי אשר מקיימת תנאים מסוימים (ראו להלן). למסננים חשיבות רבה בתחומים רבים במתמטיקה כגון תורת הקבוצות, טופולוגיה ולוגיקה.

## הגדרה מתמטית
בהינתן קבוצה X ועליה יחס סדר חלקי \le, הקבוצה F\subseteq X תקרא **מסנן על <math>X</math>** אם ורק אם היא מקיימת את התכונות הבאות:

# F אינה ריקה. כלומר, F\ne \emptyset.
# **<math>F</math> [[קבוצה מכוונת]] מטה**: לכל a,b\in F קיים c\in F כך ש-c\le a וגם c\le b
# **<math>F</math> [[קבוצה עליונה]]**: לכל a\in F ולכל b\in X המקיים a \le b, מתקיים בהכרח ש-b\in F

## סוגי מסננים
### מסנן טריוויאלי ומסנן אמיתי
ניתן להיווכח כי אם X עצמו הוא קבוצה מכוונת מטה, הוא בהכרח מסנן על עצמו. מסנן זה, אם קיים, נקרא **המסנן הטריוויאלי של <math>X</math>**. אם F הוא מסנן על X שאיננו המסנן הטריוויאלי, F יקרא **מסנן אמיתי על <math>X</math>**.

### מסנן ראשי
בהינתן קבוצה סדורה (X,\le) ואיבר כלשהו c\in X, מגדירים את **המסנן הראשי של <math>c</math>** באופן הבא:

F_c:=\left\{x\in X\mid c\le x\right\}

כלומר, F_c הוא אוסף כל האיברים שגדולים מ-c. ניתן להוכיח כי זהו מסנן.

קבוצה F\subseteq X תקרא **מסנן ראשי** אם ורק אם קיים c\in X כך ש-F=F_c. ניתן להוכיח כי מסנן הוא מסנן ראשי אם ורק אם יש לו איבר מינימלי. על כן, אם קבוצה סדורה ביחס סדר טוב, אז כל מסנן בה הוא מסנן ראשי.

### על-מסנן
בהינתן קבוצה סדורה (X,\le) ומסנן F\subseteq X, F יקרא **על-מסנן** אם ורק אם הוא מסנן מקסימלי שאיננו טריוויאלי. כלומר, לא קיים מסנן אחר F' כך ש-F\subset F'\subset X.

**[[משפט העל-מסננים]]** קובע כי כל מסנן אמיתי מוכל בעל-מסנן. כלומר, לכל מסנן כלשהו F\subset X קיים על-מסנן U כך ש-F\subseteq U \subset X, כאשר F=U אם ורק אם F בעצמה על-מסנן. הוכחת המשפט מתבצעת באמצעות הלמה של צורן.

## שימושים
### תורת הקבוצות

שימוש מרכזי של מסננים בתורת הקבוצות הוא במסננים לפי יחס ההכלה. בהינתן קבוצה כלשהי X, מסנן במובנים של תורת הקבוצות הוא משפחה \mathcal{F} של תת-קבוצות של X שמהווה מסנן על \mathcal{P}(X) (קבוצת כל תת-הקבוצות של X) לפי יחס ההכלה \subseteq. מסנן \mathcal{F} זה יקרא **מסנן קבוצתי על <math>X</math>**. כאשר ברור מן ההקשר שהמסנן הוא מסנן קבוצתי, ניתן לקרוא לו פשוט **מסנן על <math>X</math>**, זאת למרות שהוא הלכה-למעשה מסנן על \mathcal{P}(X).

עבור מסננים קבוצתיים, ניתן להמיר את האקסיומות של מסננים כללים באקסיומות הבאות:

# \mathcal{F}\ne \emptyset.
# לכל A,B\in \mathcal{F} מתקיים ש-A\cap B\in \mathcal{F}
# לכל A\in \mathcal{F} ולכל A\subseteq B\subseteq X, מתקיים בהכרח ש-B\in \mathcal{F}

מתכונות אלו נובע בהכרח כי X עצמו הוא איבר של \mathcal{F}. למסננים קבוצתיים לרוב דורשים בנוסף כי \emptyset\notin\mathcal{F}, אחרת \mathcal{F} הוא המסנן הטריוויאלי.

דוגמה חשובה למסנן מתחום תורת הקבוצות הוא המסנן הקו-סופי שנקרא גם מסנן פרשה על שם המתמטיקאי רנה מוריס פרשה. בהינתן קבוצה X מעוצמה אינסופית, מסנן פרשה מוגדר כך: \mathcal{F}:=\left\{A\subseteq X\mid X\backslash A\text{ is finite}\right\}. כלומר, \mathcal{F} הוא אוסף כל תתי-הקבוצות של X שהמשלים שלהם הוא ממידה סופית. מסנן זה הוא מסנן אמיתי שאיננו מסנן ראשי.

### טופולוגיה
למסננים יש מספר שימושים בטופולוגיה. עבור מרחב טופולוגי (X,\tau) ונקודה x\in X, מערכת הסביבות של x המסומנת ב-\mathcal{N}(x) היא מסנן קבוצתי.

מסננים קבוצתיים יכולים לשמש כאמצעי חלופי להגדרת מושג ההתכנסות במרחבים טופולוגיים. מגדירים כי מסנן \mathcal{F}\subset \mathcal{P}(X) מתכנס לנקודה x\in X אם ורק אם \mathcal{N}(x)\subseteq \mathcal{F}. כלומר, אם \mathcal{F} מכילה את כל הסביבות של x, היא מתכנסת ל-x. ניתן להוכיח כי אם המרחב הוא מרחב האוסדורף, אז כל מסנן מתכנס לכל היותר לנקודה אחת.

שימוש נוסף במסננים בטופולוגיה הוא בהגדרה של מרחב אחיד על-ידי כיסוי אחיד. בהינתן זוג כיסויים של X המסומנים ב-\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2\ אומרים כי **<math>\mathcal{C}_2</math> הוא [[עידון-כוכב]] של <math>\mathcal{C}_1</math>** ומסמנים \mathcal{C}_2\le^* \mathcal{C}_1, אם ורק אם לכל U\in \mathcal{C}_2 קיים V\in \mathcal{C}_1 כך שלכל U'\in \mathcal{C}_2 המקיים U\cap U'\ne \emptyset, מתקיים ש-U'\subseteq V. במילים אחרות, לכל קבוצה מהכיסוי \mathcal{C}_2 יש קבוצה ב-\mathcal{C}_1 שמכילה את כל הקבוצות מהכיסוי \mathcal{C}_2 ש"נוגעות בה". אוסף כיסויים של X ייקרא **כיסוי אחיד** אם ורק אם הוא מסנן ביחס ל-\le^*. כיסוי אחיד מגדיר באופן חד-חד ערכי מרחב אחיד על X.

### לוגיקה
השימוש העיקרי של מסננים בלוגיקה הוא על-ידי על-מכפלות.

בהינתן קבוצת אינדקסים I, מגדירים לכל אינדקס i\in I קבוצה A_i. בנוסף מגדירים מסנן קבוצתי \mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(I) על אינדקסים אלו. כעת מגדירים יחס שקילות \sim על המכפלה הקרטזית \prod_{i\in I}{A_i} כך שלכל a,b\in \prod_{i\in I}{A_i} מתקיים ש-a\sim b אם ורק אם \left\{i\in I\mid a_i=b_i\right\}\in \mathcal{F}. מרחב המנה \prod_{i\in I}{A_i} על לפי יחס שקילות זה מסומן ב-\prod_{i\in I}{A_i}/ \mathcal{F} ונקרא **על-מכפלה**.

משפט מרכזי בלוגיקה הוא **[[משפט לוס]]** שנקרא גם **[[המשפט היסודי של העל-מכפלות]]** שקובע כי בהינתן על-מכפלה של מודלי שפה מסדר ראשון, נוסחה נכונה עבור העל-מכפלה אם ורק אם קבוצת האינדקסים שבה הנוסחה נכונה עבור מודלי השפה שמרכיבים את העל מכפלה היא קבוצה מתוך המסנן.

## קשר לאידיאלים בחוג הפונקציות על הקבוצה

## דוגמאות נוספות
* בהינתן מרחב מידה (X,\Omega,\mu), הקבוצה \mathcal{F}:=\left\{A\in \Omega\mid \mu(X \backslash A)=0\right\} היא מסנן קבוצתי על X.
* בהינתן מרחב הפונקציות הממשיות הרציפות C(\mathbb{R}), ניתן להגדיר יחס סדר חלקי \le כך ש-f\le g אם ורק אם f(x)\le g(x) לכל x\in \mathbb{R} (כלומר, אי-שוויון נקודה-נקודה). מגדירים את הקבוצה \mathcal{F}:=\left\{f\in C(\mathbb{R})\mid \lim_{x\to\infty}{f(x)}=\infty\right\}. ניתן להוכיח כי \mathcal{F} הוא מסנן על C(\mathbb{R}) לפי \le.

## ראו גם
* מסנן (תורת הקבוצות)
* מערכת סביבות
* על-מכפלה

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת הסדר
קטגוריה:תורת הקבוצות
קטגוריה:קבוצות סדורות