קוהומולוגיה מקומית

באלגברה קומוטטיבית, **קוהומולוגיה מקומית** (**Local Cohomology**) היא הפונקטור הנגזר של פונקטור הפיתול ביחס לאידיאל. בהינתן חוג קומוטטיבי A ואידיאל I \subsetneq A, פונקטור ה-I-פיתול הוא תת-הפונקטור של פונקטור הזהות של \operatorname{Mod}(A) המוגדר על ידי הנוסחה:

\Gamma_I(M) := \varinjlim_n \operatorname{Hom}_A(A/I^n,M) = \{ m \in M \mid \exists n, I^n \cdot m = 0\}.

ניתן להראות כי פונקטור זה הוא אדיטיבי ומדויק משמאל, ולכן יש עניין בבניית הפונקטור הנגזר הימני שלו. הפונקטור הנגזר הטוטאלי הנ"ל הוא פונקטור
\mathrm{R}\Gamma_I:D(\operatorname{Mod} A) \to D(\operatorname{Mod} A)
מהקטגוריה הנגזרת של מודולים מעל A לעצמה. הוא מחושב על ידי החלפת מודול (או קומפלקס) ברזולוציה אינג'קטיבית שלו, והפעלת פונקטור הפיתול על הרזולוציה. 
הקוהומולוגיות של פונקטור זה, נותנות את הפונקטור הנגזר הימני הקלאסי שלו, המסומן על ידי
\mathrm{H}^n_I(M) := \mathrm{H}^n\left(\mathrm{R}\Gamma_I(M)\right). ונקרא הקוהומולוגיה המקומית ה-n של M ביחס לאידיאל I.
לעיתים פונקטור זה מכונה גם פונקטור הקוהמולוגיה עם תמיכה ב-I, או קוהומולוגיה עם תמיכה ב-V(I).

## תכונות בסיסיות

הקוהומולוגיה המקומית מעניינת במיוחד במקרה בו החוג מעליו היא מוגדרת הוא נתרי, ובמיוחד במקרה בו מדובר בחוג מקומי וקוהומולוגיה מקומית ביחס לאידיאל המקסימלי.
בהינתן חוג נתרי מקומי (A,\mathfrak{m}), ובהינתן מודול M מעל A, אלכסנדר גרותנדיק הראה את התכונות הבאות של קוהומולוגיה מקומית:

* לכל i > \dim(M) מתקיים ש \mathrm{H}^i_{\mathfrak{m}}(M) = 0, כאשר \dim(M) מסמל את ממד קרול של M.
* מתקיים \inf \{ n \in \mathbb{N} \mid \mathrm{H}^n_{\mathfrak{m}}(M) \ne 0\} = \operatorname{depth}(M)
כאשר \operatorname{depth}(M), ה**עומק** של M, מסמל את אורכה הארוך ביותר של סדרה M-רגולרית המורכבת מאיברים המוכלים באידיאל המקסימלי \mathfrak{m}.
* תחת ההנחה שהמודול M הוא נוצר סופית, גרותנדיק הראה בנוסף כי \sup \{ n \in \mathbb{N} \mid \mathrm{H}^n_{\mathfrak{m}}(M) \ne 0\} = \dim(M)
* שוב, בהנחה כי M נוצר סופית, מתקיים כי מודולי הקוהומולוגיה המקומית \mathrm{H}^n_{\mathfrak{m}}(M) הם כולם ארטיניים.
* מסקנה מיידית מתכונות אלו היא שמודול נוצר סופית M הוא כהן-מקולי אם ורק אם הקומפלקס 
\mathrm{R}\Gamma_{\mathfrak{m}}(M) הוא הזזה של מודול. באופן כללי יותר, אם M הוא קומפלקס חסום עם קוהומולוגיה נוצרת סופית, אז M נקרא כהן-מקולי אם הקומפלקס 
\mathrm{R}\Gamma_{\mathfrak{m}}(M) הוא הזזה של מודול.
## חישוב

על פי ההגדרה, על מנת לחשב קוהומולוגיה מקומית של מודול M, יש להחליפו ברזולוציה אינג'קטיבית, ולהפעיל עליה את הפונקטור \Gamma_I(-). 
במקרה שבו החוג A הוא חוג נתרי, דרך אלנטרנטיבית לחשב את הקוהומולוגיה המקומית היא בעזרת קומפלקס צ'ך.
בהינתן חוג נתרי A, ואידיאל I, בוחרים סדרה כלשהי של יוצרים I = (a_1,\dots,a_n). 
לכל אחד מאיברי הסדרה הזו, מייחסים את קומפלקס צ'ך:

K(A;a_i) = 0 \to A \to A[a_i^{-1}] \to 0

המרוכז בדרגות קוהומולוגיות 0,1.
לסדרה כולה, יש קומפלקס צ'ך המוגדר על ידי:

K(A;a_1,\dots,a_n) := K(A;a_1) \otimes_A K(A;a_2) \otimes_A \dots \otimes_A K(A;a_n).

בעזרת קומפלקס זה, ותחת ההנחה שהחוג A הוא נתרי, מתקיים כי

\mathrm{R}\Gamma_I(M) \cong K(A;a_1,\dots,a_n)\otimes_A M

אם החוג A אינו נתרי, ייתכן כי נוסחה זו תהיה שגויה. במקרים כאלו, ההתנהגות של הקוהומולוגיה המקומית היא גרועה במיוחד, ויש פונקטורים טובים יותר המחליפים אותה, בעלי תכונות טוב יותר.

## הגדרה פונקטוריאלית

אם החוג A הוא נתרי, קיימת דרך נוספת לבנות את פונקטור הקוהומולוגיה המקומית. בהינתן אידיאל I \subsetneq A, קומפלקס שרשרת M נקרא קומפלקס עם קוהמולוגיה I-פיתולית אם לכל n \in \mathbb{Z}, המודול \mathrm{H}^n(M) מקיים את השוויון \Gamma_I \left( \mathrm{H}^n(M) \right) = \mathrm{H}^n(M), כלומר אם כל איברי הקוהומולוגיות של M הם מודולים I-פיתוליים.

אוסף כל קומפלקסי השרשרת בעלי קוהומולוגיה I-פיתולית מהווה תת-קטגוריה משולשית (Triangulated) של הקטגוריה הנגזרת D(A). נסמן קטגוריה זו ב D(A)_{I-tor}. ניתן להראות כי לפונקטור ההכלה

Q: D(A)_{I-tor} \to D(A)

קיים פונקטור צמוד מימין

G : D(A) \to D(A)_{I-tor}

ההרכבה

Q\circ G : D(A) \to D(A)

היא פונקטור, שבמקרה שבו A הוא חוג נתרי, ניתן להראות שהוא איזומורפי בצורה טבעית לפונקטור הקוהומולוגיה המקומית \mathrm{R}\Gamma_I.
במקרים בהם A אינו נתרי, ייתכן שפונקטורים אלו יתנו תוצאות שונות. מתברר כי במקרים אלו, לפונקטור Q \circ G יש לעיתים תכונות טובות יותר מלפונקטור הקוהומולוגיה המקומית, ולכן הוא מהווה במובן מסוים פונקטור קוהומולוגיה מקומית טוב יותר.

## לקריאה נוספת

* Book review by Hartshorne


קטגוריה:אלגברה קומוטטיבית
קטגוריה:אלגברה הומולוגית
קטגוריה:גאומטריה אלגברית
קטגוריה:פונקטורים נגזרים