סדרה חשבונית

במתמטיקה, **סדרה חשבונית** היא סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע: \ a_{n+1}-a_n=d (a_n הוא האיבר ה-n בסדרה). לדוגמה, בסדרה: , ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא מספר קבוע, במקרה זה 2. בסדרה חשבונית, כל איבר מהווה ממוצע חשבוני של האיבר הקודם והאיבר העוקב לו, ומכאן שְׁמָהּ (בדומה לסדרה הנדסית ולסדרה הרמונית).

סדרה חשבונית מוגדרת באמצעות שלושה מאפיינים:
* a_1 – האיבר הראשון בסדרה. 
* d – ההפרש הקבוע בין (כל) שני איברים עוקבים בסדרה. 
* n – מספר האיברים בסדרה (שעשוי להיות סופי או אינסופי)
לפי מאפיינים אלה, ניתן לדעת מהו כל אחד מאיברי הסדרה.

## נוסחה לאיבר הכללי
אם a_1 הוא האיבר הראשון, ו-d הוא ההפרש, האיבר ה-n נתון על ידי הנוסחה:

### [[הוכחה]] לנוסחת האיבר הכללי
נשתמש בתכונות הטור הטלסקופי:
:a_n-a_1 = (a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+ \dots +(a_2-a_1) = d \cdot (n-1)

כאשר השוויון הראשון נובע מזה שכל האיברים מבטלים אחד את השני למעט שניים. נעביר את a_1 אגף ויתקבל:
:a_n=a_1+d(n-1)

### הוכחה נוספת
ניעזר באינדוקציה: כדי להוכיח את נוסחת האיבר הכללי, נבדוק את נכונותה עבור n=1. במקרה זה, אכן מתקיים a_1 +d \cdot (1-1) =a_1 . נניח כעת שמתקיים a_n=a_1+(n-1) \cdot d עבור n ספציפי כלשהו ונוכיח שמתקיים a_{n+1}=a_1+n \cdot d. נשים לב שמתקיים:
:a_1+n \cdot d= a_1 +nd-d+d=a_1+(n-1)d+d = a_n+d = a_{n+1}, כאשר השוויון הלפני-אחרון נכון בגלל הנחת האינדוקציה.

## סכום הסדרה
ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה-n (כולל) לפי הנוסחה:

### הוכחה
ממוזער|שמאל|150px|הוכחה ויזואלית לנוסחת הסכום: הבלוקים הדהויים הם שיקוף מסובב של הסדרה החשבונית
את הסכום של n האיברים הראשונים בסדרה  S_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_{n-1}+a_n, ניתן לרשום בשני אופנים:

: S_n = (a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n

: S_n = a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)

נחבר בהתאמה את האגפים של שני השוויונות האלה, ולאחר שאיברים שווי ערך אך שוני סימן יבטלו זה את זה יתקבל:

:2S_n=n(a_1+a_n)

ולכן:

: S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}

כזכור, מצאנו מקודם שמתקיים: a_n=a_1+d(n-1), והצבת נתון זה בנוסחת הסכום האחרונה תיתן:

: S_n=\frac{n(a_1+a_1+d(n-1))}{2}=\frac{n[2a_1+d(n-1)]}{2}

## נוסחאות נוספות
נוסחה לחישוב ההפרש בין סכום האיברים הזוגיים לבין סכום האיברים האי-זוגיים: S_{\frac{n}{2}(even)}-S_{\frac{n}{2}(odd)}=\frac{nd}{2}.

### הוכחה
נתונה סדרה: a_1,a_2,a_3,....a_{2n}, כאשר מספר האיברים הוא זוגי והאיבר האחרון הוא a_{2n} (כלומר, יש 2n איברים בסדרה). נחשב את סכום האיברים הזוגיים והאי-זוגיים על פי נוסחת הסכום. יש 2n איברים בסדרה, אז יש n איברים שמיקומם זוגי ו-n איברים שמקומם אי-זוגי.

סכום האיברים הזוגיים הוא:

:S_{n(even)}=\frac{n(2a_2+(n-1)2d)}{2}

a_2 הוא האיבר הראשון בסדרה הזוגית. מכיוון שהפרש הסדרה הוא d, אז ההפרש בין כל שני איברים שמקומם זוגי הוא 2d, ולכן סכום האיברים הזוגיים הוא:
:S_{n(even)}=\frac{n(2a_2+(n-1)2d)}{2}

ניתן להציב \ a_2=a_1+d במשוואה המקורית. לאחר פישוט יתקבל:
:S_{n(even)}=na_1+n^2d.

ניתן לעשות כך גם עם הסדרה האי-זוגית, ויתקבל:
:S_{n(odd)}=na_1+n^2d-nd

ניתן לחסר את המשוואה השנייה מן המשוואה הראשונה, ולקבל:
:S_{n(even)}-S_{n(odd)}=nd

מכיוון שמספר האיברים המקורי שלנו הוא 2n ואנו מעוניינים בנוסחה עבור סדרה בת n איברים, נחלק את ה-n במשוואה שהתקבלה בשתיים (נציב \frac{n}{2} במקום n).

יתקבל: S_{\frac{n}{2}(even)}-S_{\frac{n}{2}(odd)}=\frac{nd}{2}

## דוגמאות
[ממוזער|250px|הדגמה ציורית של הנוסחה הראשונה (ראו ערך [מספר ריבועי)]]
* הסכום של הסדרה החשבונית: , בעלת n איברים הוא n^2.
* הסכום של הסדרה החשבונית: , בעלת n איברים הוא n(n+1).

## ראו גם
* סדרה הנדסית
* סדרה כללית
* טור (מתמטיקה)
* אינדוקציה מתמטית

## קישורים חיצוניים

* 

חשבונית