אומד עקיב

[ממוזער|250x250 פיקסלים| סדרה של משתנים מקריים { ...,''T'' <sub>1</sub>, ''T'' <sub>2</sub>, ''T'' <sub>3</sub>} המתכנסת בהסתברות לערך של ''θ המתאים להתפלגות הנתונים (כאן 4=θ)'' היא אומד עקיב עבור ''θ'': המשתנים המקריים מתרכזים יותר ויותר ליד הערך הנכון של הפרמטר ''θ''. עם זאת, שימו לב, שכל אחד מהמשתנים המקריים המתוארים בגרף הוא [הטיה (סטטיסטיקה)|אומד מוטה ל- *θ*.]]
בסטטיסטיקה,  אומד הוא כלל לחישוב אומדנים מתוך תצפיות, עבור הערך של פרמטר *<math>\theta</math>*  המאפיין את התפלגות התצפיות. **אומד עקיב** הוא בעל תכונה שכאשר כמות הנתונים המשמשת לחישוב האומד גדלה ושואפת לאינסוף, האומד מייצר סדרת משתנים מקריים  המתכנסת בהסתברות לערך של הפרמטר *<math>\theta</math> המאפיין את התפלגות התצפיות*. המשמעות היא שהתפלגויות המשתנים המקריים המתקבלים מתרכזות יותר ויותר ליד הערך הרצוי של הפרמטר הנאמד. כלומר, לכל  \epsilon>0 נתון, שההסתברות לכך שהמרחק בין המשתנים המקריים בסדרה לבין הערך הנכון של *<math>\theta</math>* יהיה גדול מ-\epsilon, שואפת ל-0.

נניח שנתונה משפחה של התפלגויות עם פרמטר *<math>\theta</math>,* כך שלכל *התפלגות במשפחה* מתאים ערך מסוים של *<math>\theta</math>. נניח שנתון [[מדגם מקרי]] מתוך אחת ההתפלגויות השייכות למשפחה ועבור התפלגות של המדגם מתקיים* \theta=\theta_0*.* אומד של *<math>\theta</math>* הוא פונקציה של המדגם מקרי, המוגדרת למדגמים בכל גודל n ותפקידו לאמוד את *<math>\theta_0</math>*. עקיבות של אומד היא תכונה שמאפיינת את האומד כאשר גודל המדגם *<math>n</math>* שואף לאינסוף. אם ניתן להראות מתמטית שלכל התפלגות מהמשפחה, בהינתן מדגם מקרי מההתפלגות, סדרת המשתנים המקריים שהאומד מגדיר מתכנסת בהסתברות לערך של *θ* המתאים להתפלגות שממנה לקוח המדגם, אז האומד נקרא **אומד עקיב ל-''θ***; אחרת, אם ניתן להראות שעבור התפלגות מסוימת במשפחה הסדרה איננה מתכנסת כלל או מתכנסת לערך לא נכון, אז האומד *'אינו אומד עקיב ל-*θ***.

עקיבות כפי שהוגדרה כאן מכונה לפעמים **עקיבות חלשה**. כאשר אנו מחליפים התכנסות בהסתברות [[התכנסות (הסתברות)|בהתכנסות כמעט בוודאות]], אומרים שלאומד יש **עקיבות חזקה**.

באופן פורמלי בהינתן משפחת התפלגויות <math>\mathcal{F}(\theta)</math>, אם לכל ערך ''<math>\theta_0</math>''  אפשרי של ''<math>\theta</math>''  וסדרה של [[משתנים מקריים בלתי תלויים]] ושווי התפלגות <math>X_1,X_2,...\in \mathcal{F}(\theta_0)</math>, האומד <math>T_n(X_1,X_2,...,X_n)</math>  [[התכנסות (הסתברות)|**מתכנס בהסתברות**]] ל- ''<math>\theta_0</math>'':  כלומר <math>
  ,\underset{n\to\infty}{\operatorname{plim}}\;T_n = \theta_0
 </math> או באופן שקול, אם לכל ''ε'' > 0, <math>
  ,\lim_{n\to\infty}\Pr\big(|T_n-\theta_0 | > \varepsilon\big) = 0
 </math> אז <math>
  T_n
 </math> הוא אומד של ''<math>\theta</math>'' בעל **עקיבות חלשה**.

לאומד ''<math>
  T_n
 </math>'' של פרמטר ''<math>\theta</math>'' יש **עקיבות חזקה**, אם לכל ערך ''<math>\theta_0</math>''  אפשרי של ''<math>\theta</math>'' וסדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות <math>X_1,X_2,...\in \mathcal{F}(\theta_0)</math>,  <math>
  T_n
 </math> **מתכנס בהסתברות 1*' ל-*\theta_0*. כלומר, <math>
  .\Pr\left(\lim_{n\to\infty}T_n = \theta_0\right) = 1
 </math>

== דוגמאות ==

=== ממוצע מדגם של משתנה מקרי נורמלי ===
נניח שנתון מדגם מקרי של משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות מ[[התפלגות נורמלית]] <math>X_1,X_2,...\sim N(\mu,\sigma^2)</math>. כדי לאמוד את *\mu* על סמך <math>n</math> המשתנים המקריים הראשונים ניתן להשתמש כאומד ב[[ממוצע|ממוצע המדגם]]: <math>T_n=\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}</math>. אומד זה מגדיר סדרה של משתנים מקריים, משתנה לכל *n*.

מתכונות ההתפלגות הנורמלית, נובע כי <math>T_n</math> מתפלג התפלגות נורמלית, עם [[תוחלת]] *\mu* ו[[שונות]] *\frac{\sigma^2}{n}*. בנוסף לכך, מתכונות ההתפלגות הנורמלית נובע כי ל- <math style="vertical-align:-.3em">\frac { \sqrt{n}(T_n-\mu) }{\sigma}</math> יש התפלגות נורמלית סטנדרטית. לכן, לכל <math>\epsilon>0</math> כאשר *n* שואף לאינסוף, 

: <math>
  .\Pr\!\left[\,|T_n-\mu|\geq\varepsilon\,\right] = 
  \Pr\!\left[ \frac{\sqrt{n}\,\big|T_n-\mu\big|}{\sigma} \geq 
  \frac{\sqrt{n}\varepsilon}{\sigma} \right] = 
  2\left(1-\Phi\left(\frac{\sqrt{n}\,\varepsilon}{\sigma}\right)\right) \to 0
 </math>

לכן, הסדרה *T_n* של ממוצעי המדגם מהווה אומד עקיב לתוחלת *\mu''  (\Phi היא ההתפלגות המצטברת של ההתפלגות הנורמלית סטנדרטית).

## לקריאה נוספת

* 


## הערות שוליים

קטגוריה:סטטיסטיקה