יחס הופכי

במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, **היחס ההופכי** ליחס בינארי \mathcal{R} על קבוצה A, הוא היחס המסומן \mathcal{R}^{-1} ומוגדר על ידי x\mathcal{R}^{-1}y\iff y\mathcal{R}x. לדוגמה, היחס ההופכי ליחס  על \R הוא היחס >.

## תכונות של יחסים המשתמרות ביחס ההופכי
*רפלקסיביות.
:**הוכחה**: \forall x,x\mathcal{R}x\,\Rarr\,\forall x,x\mathcal{R}^{-1}x.
*אי-רפלקסיביות.
:**הוכחה**: מההגדרה x\mathcal{R}^{-1}y\iff y\mathcal{R}x נובע כי \neg x\mathcal{R}^{-1}y\iff\neg y\mathcal{R}x, ולכן \forall x,\neg x\mathcal{R}x\,\Rarr\,\forall x,\neg x\mathcal{R}^{-1}x.
*סימטריה. בפרט אם \mathcal{R} סימטרי, אז \mathcal{R}^{-1}=\mathcal{R}.
:**הוכחה**: x\mathcal{R}^{-1}y\iff y\mathcal{R}x\iff x\mathcal{R}y\iff y\mathcal{R}^{-1}x.
*אנטי-סימטריה וכן א-סימטריה.
: **הוכחה**: x\mathcal{R}^{-1}y\land y\mathcal{R}^{-1}x\,\Rarr\,y\mathcal{R}x\land x\mathcal{R}y\,\Rarr\, x=y ולכן יש שימור של אנטי-סימטריה. עבור א-סימטריה: x\mathcal{R}^{-1}y\land y\mathcal{R}^{-1}x\iff y\mathcal{R}x\land x\mathcal{R}y ולכן אם \mathcal{R} א-סימטרי אז \mathcal{R}^{-1} א-סימטרי.
*טרנזיטיביות.
:**הוכחה**: x\mathcal{R}^{-1}y\land y\mathcal{R}^{-1}z\,\Rarr\,y\mathcal{R}x\land z\mathcal{R}y\,\Rarr\,z\mathcal{R}x\Rarr x\mathcal{R}^{-1}z.

## תכונות נוספות של היחס ההופכי
*ההופכי של ההופכי הוא היחס עצמו: (\mathcal{R}^{-1})^{-1}=\mathcal{R}. תכונה זו מאפשרת להפוך את כל התכונות לעיל מ"אם ב-\mathcal{R} אז ב-\mathcal{R}^{-1}" ל"ב-\mathcal{R} אם ורק אם ב-\mathcal{R}^{-1}".
:**הוכחה**: לכל x,y מתקיים x(\mathcal{R}^{-1})^{-1}y\iff y\mathcal{R}^{-1}x\iff x\mathcal{R}y
*הפונקציה המתאימה לכל יחס את ההופכי שלו היא פונקציה שומרת הכלה: \mathcal{R}\sube\mathcal{T}\iff\mathcal{T}\sube\mathcal{R}.
:**הוכחה**: לכל x,y מתקיים x\mathcal{R}^{-1}y\,\Rarr\,y\mathcal{R}x\,\Rarr\,y\mathcal{T}x\,\Rarr\,x\mathcal{T}^{-1}y ולכן \mathcal{R}^{-1}\sube\mathcal{T}^{-1}.
*ההופכי מתפלג מעל החיתוך: (\mathcal{R}\cap\mathcal{T})^{-1}=\mathcal{R}^{-1}\cap\mathcal{T}^{-1}.
:**הוכחה**: לכל x,y מתקיים x(\mathcal{R}\cap\mathcal{T})^{-1}y\iff y(\mathcal{R}\cap\mathcal{T})x\iff y\mathcal{R}x\land y\mathcal{T}x\iff x\mathcal{R}^{-1}y\land x\mathcal{T}^{-1}y\iff x(\mathcal{R}^{-1}\cap\mathcal{T}^{-1})y.
*ההופכי מתפלג מעל האיחוד: (\mathcal{R}\cup\mathcal{T})^{-1}=\mathcal{R}^{-1}\cup\mathcal{T}^{-1}.
:**הוכחה**: לכל x,y מתקיים x(\mathcal{R}\cup\mathcal{T})^{-1}y\iff y(\mathcal{R}\cup\mathcal{T})x\iff y\mathcal{R}x\lor y\mathcal{T}x\iff x\mathcal{R}^{-1}y\lor x\mathcal{T}^{-1}y\iff x(\mathcal{R}^{-1}\cup\mathcal{T}^{-1})y.
*ההופכי להרכבת יחסים הוא הרכבת ההופכיים בסדר הפוך: (\mathcal{R}\circ\mathcal{T})^{-1}=\mathcal{T}^{-1}\circ\mathcal{R}^{-1}.
:**הוכחה**: לכל x,y מתקיים x(\mathcal{R}\circ\mathcal{T})^{-1}y\iff y(\mathcal{R}\circ\mathcal{T})x\iff\exist z,y\mathcal{R}z\land z\mathcal{T}x\iff\exist z,z\mathcal{R}^{-1}y\land x\mathcal{T}^{-1}z\iff x(\mathcal{T}^{-1}\circ\mathcal{R}^{-1})y.
*מכל התכונות בסעיף הקודם נובע כי היחס ההופכי ליחס שקילות הוא יחס שקילות, והיחס ההופכי ליחס סדר הוא יחס סדר.

## דוגמאות
*לכל קבוצה A, היחס ההופכי ליחס \sube על \mathcal{P}(A) הוא \supe.
*לכל פונקציה חד-חד-ערכית ועל, היחס ההופכי הוא הפונקציה ההופכית.
*היחס ההופכי ליחס "קיימת פונקציה חד-חד-ערכית" בין קבוצות הוא היחס "קיימת פונקציה על".

## ראו גם
*יחס (תורת הקבוצות)
*פונקציה הופכית

## קישורים חיצוניים
*תורת הקבוצות על פי הרצאות של פרופ' ענר שלו, עמוד 11.

קטגוריה:תורת הקבוצות
קטגוריה:יחסים מתמטיים