משפט ארנפסט

במכניקת הקוונטים, **משפט ארנפסט** (על שם הפיזיקאי פאול ארנפסט) הוא משפט המקשר בין הנגזרת של ערך התצפית של אופרטור פיזיקלי כלשהו, עם הקומוטטור שלו עם ההמילטוניאן של המערכת.

המשפט אומר כי מתקיים:

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle+ \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle  

כאשר A הוא אופרטור פיזיקלי, ו-\langle A \rangle הוא ערך התצפית שלו. 

משפט ארנפסט מופיע רבות בתמונת הייזנברג בתור ערך התצפית של משוואת התנועה של הייזנברג. כמו כן, הוא מהווה תמיכה מתמטית לעקרון ההתאמה של בוהר.

משפט ארנפסט דומה מאוד למשפט ליוביל על המילטוניאנים , כאשר מחליפים את הקומוטטור בסוגרי פואסון. לפי כלל האצבע של דיראק, טענות במכניקת הקוונטים שמכילות קומוטטור מתאימות לטענות מהמכניקה הקלאסית כאשר מחליפים בין הקומוטטור וסוגרי פואסון, מוכפלים ב- *iħ*.

## הוכחה [[דינמיקה קוונטית#תמונת שרדינגר|בתמונת שרדינגר]]
תהי מערכת קוונטית הנמצאת במצב קוונטי \Phi. נרצה לחשב את הנגזרת בזמן של ערך התצפית של האופרטור *A*, והיא לפי הגדרה:

 \frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{d}{dt}\int \Phi^* A \Phi dx^3
= \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi dx^3 + \int \Phi^* \left( \frac{\partial A}{\partial t}\right) \Phi dx^3 +\int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)  dx^3
= 



=\int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi dx^3 + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle + \int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)  dx^3


כאשר האינטגרציה היא על כל המרחב. כשנפעיל את משוואת שרדינגר, נקבל:

\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{1}{i\hbar}H\Phi

והיות ואופרטור ההמילטוניאן הרמיטי, מתקיים גם 

\frac{\partial \Phi^*}{\partial t} = -\frac{1}{i\hbar}\Phi^*H^* = -\frac{1}{i\hbar}\Phi^*H.

כשנציב את שתי המשוואות האחרונות במשוואה הראשונה, נקבל את המשפט:

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\int \Phi^* (AH-HA) \Phi~dx^3 + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle

במקרים בהם האופרטור A אינו תלוי בזמן, האיבר האחרון מתאפס. 

## הוכחה [[דינמיקה קוונטית#תמונת הייזנברג|בתמונת הייזנברג]]
בתמונת הייזנברג, הנגזרת טריוויאלית. תמונת הייזנברג מקדמת בזמן את המערכת באמצעות אופרטורים ולא מצבים על ידי משוואת התנועה של הייזנברג:

\frac{d}{dt}A(t) = \frac{\partial A(t)}{\partial t} + \frac{1}{i \hbar}[A(t),H]

ניתן להוכיח מכאן את משפט ארנפסט בקלות באמצעות הפעלת נגזרת האופרטור באופן הבא:

\langle\Psi|\frac{d}{dt}A(t)|\Psi\rangle = \langle\Psi|\frac{\partial A(t)}{\partial t}|\Psi\rangle + \langle\Psi|\frac{1}{i \hbar}[A(t),H)]|\Psi\rangle

ניתן להוציא את הנגזרת מהביטוי הראשון היות שווקטורי מצב בתמונת הייזנברג הם בלתי תלויים בזמן. על כן:

\frac{d}{dt}\langle A(t)\rangle = \left\langle\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right\rangle + \frac{1}{i \hbar}\langle[A(t),H)]\rangle

## דוגמה
עבור חלקיק גדול הנע בפוטנציאל V, ההמילטוניאן הוא

H(x,p,t)=\frac{p^2}{2m} + V(x,t)

כאשר x הוא מיקום החלקיק. 

נרצה לחשב את השינוי הרגעי בתנע p. נעשה זאת תוך שימוש במשפט ארנפסט:

 \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial p}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,V(x,t)]\rangle 

כאשר המעבר השני נובע מכך שאופרטור התנע חילופי עם עצמו ואינו תלוי מפורשות בזמן.. נשתמש בכך שמתקיים p=-i \hbar \nabla ונקבל:

\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 - \int \Phi^* \nabla (V(x,t)\Phi)~dx^3

נפעיל על הביטוי השני את כלל לייבניץ ונקבל:

 \begin{align}
\frac{d}{dt}\langle p\rangle &= \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 - \int \Phi^* (\nabla V(x,t))\Phi ~dx^3 - \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 \\
&= - \int \Phi^* (\nabla V(x,t))\Phi ~dx^3  \\
&= \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle F \rangle,
\end{align}

וזהו החוק השני של ניוטון. זוהי דוגמה לעקרון ההתאמה של בוהר. באופן דומה, ניתן לבדוק את השינוי בזמן של ערך התצפית של המקום:

\begin{align}
\frac{d}{dt}\langle x\rangle &= \frac{1}{i\hbar}\langle [x,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial x}{\partial t}\right\rangle \\
&= \frac{1}{i\hbar} \left \langle \left [x,\frac{p^2}{2m} + V(x,t) \right ] \right \rangle + 0 \\
&= \frac{1}{i\hbar} \left \langle \left [x,\frac{p^2}{2m} \right] \right \rangle \\
&= \frac{1}{i\hbar 2 m} \left \langle [x,p] \frac{d}{dp} p^2 \right\rangle \\
&= \frac{1}{i\hbar 2 m}\langle i \hbar 2 p\rangle \\
&= \frac{1}{m}\langle p\rangle
\end{align}

אכן, שוב קיבלנו התאמה לעקרון מהמכניקה הקלאסית. 

## ראו גם
* מכניקת הקוונטים
* ערך תצפית
* דינמיקה קוונטית

## קישורים חיצוניים

## הערות שוליים

*