מטריצת תמורה

בתורת המטריצות, **מטריצת תמורה** היא מטריצה ריבועית בינארית שמכילה בדיוק אחדה אחת בכל שורה ובכל עמודה ואפסים בכל המקומות האחרים. כל מטריצה P כזאת מייצגת תמורה של m איברים, וכאשר מכפילים אותה במטריצה אחרת *<math>A</math>*, גורמת לערבוב השורות (בכפל מלפני, כלומר PA) או העמודות (בכפל מאחרי, כלומר AP) של המטריצה A.

כיוון שבמטריצת תמורה יש בדיוק אחדה אחת בכל שורה או עמודה, ניתן להיעזר בדימוי מתחום השחמט כדי להבין איך היא נראית; אוסף מטריצות התמורות נמצא בהתאמה חד-חד ערכית עם אוסף ההעמדות של m צריחים על לוח בגודל m \times m כך שאף אחד לא יאיים על השני, כאשר מיקומי הצריחים מתאימים למיקומי האחדות במטריצות התמורה. מקומבינטוריקה עולה שיש m! מטריצות תמורה, כגודל החבורה הסימטרית S_m.

## הגדרה
בהינתן תמורה \pi של m איברים,
:\pi : \lbrace 1, \ldots, m \rbrace \to \lbrace 1, \ldots, m \rbrace

המיוצגת בסימון שתי שורות כ-
:\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & m \\ \pi(1) & \pi(2) & \cdots & \pi(m) \end{pmatrix}

ישנן שתי דרכים טבעיות לקשר בין תמורה למטריצת תמורה; כאשר מתחילים ממטריצת הזהות מסדר m \times m, כלומר I_m, אז ניתן לבצע תמורה על עמודות או שורות המטריצה, בהתאם ל-\pi. מאמר זה ידון רק באחת מההצגות הללו, כאשר האחרת תוזכר רק אם יש הבדל ביניהן שיש להיות מודעים אליו.

למטריצת התמורה מסדר *<math>m \times m</math>*, כלומר P_\pi=(p_{ij}), המתקבלת מערבוב העמודות של מטריצת הזהות I_m, כלומר הפועלת כך שלכל i, מתקיים p_{ij}=1 אם j=\pi(i) ו-0 אחרת, נתייחס כ**הצגת העמודות** בערך זה. כיוון שהאיברים בשורה *<math>i</math>* כולם 0 למעט ה-1 שמופיע בעמודה 
\pi(i) , ניתן לכתוב 
:P_\pi = \begin{bmatrix} \mathbf e_{\pi(1)} \\ \mathbf e_{\pi(2)} \\ \vdots \\ \mathbf e_{\pi(m)} \end{bmatrix}
כאשר \mathbf e_j, **וקטור בסיס סטנדרטי**, מסמן וקטור שורה באורך m עם 1 במיקום ה-j ו-0 בכל מיקום אחר.

לדוגמה, מטריצת התמורה P_{\pi} המתאימה לתמורה: \pi=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 2 & 5 & 3 \end{pmatrix},, היא:

:P_\pi 
= 
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\
\mathbf{e}_{\pi(3)} \\
\mathbf{e}_{\pi(4)} \\
\mathbf{e}_{\pi(5)} 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{1} \\
\mathbf{e}_{4} \\
\mathbf{e}_{2} \\
\mathbf{e}_{5} \\
\mathbf{e}_{3} 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 
\end{bmatrix}.


ניתן להבחין בכך שהעמודה ה-j של מטריצת הזהות I_5 מופיעה כעת כעמודה ה-\pi(j) של P_{\pi}.

## תכונות אלגבריות
הכפלת P_{\pi}  בווקטור עמודה **g** תערבב את השורות של הווקטור:

:P_\pi \mathbf{g} 
= 
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\
\vdots \\
\mathbf{e}_{\pi(n)}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
g_1 \\
g_2 \\
\vdots \\
g_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
g_{\pi(1)} \\
g_{\pi(2)} \\
\vdots \\
g_{\pi(n)}
\end{bmatrix}.


שימוש חוזר בתוצאה הזאת מראה שאם M היא מטריצה במידות מתאימות, המכפלה P_{\pi} M היא פשוט תמורה של השורות של *<math>M</math>*. 

המטריצה ההופכית של מטריצה תמורה שווה למטריצה המשוחלפת שלה, כלומר: P_{\pi}^{-1} = P_{\pi^{-1}} = P_{\pi}^{\mathsf T}. 

העקבה של מטריצת תמורה היא מספר נקודות השבת של התמורה. אם למטריצה יש נקודות שבת, אז היא ניתנת לכתיבה בצורה ציקלית כ-\pi = (a_1)(a_2)\dots(a_k)\sigma, כאשר \sigma היא תמורה ללא נקודות שבת, ו-e_{a_1},e_{a_2},\dots,e_{a_k} הם וקטורים עצמיים של מטריצת התמורה (אלו הם וקטורי השבת).

כדי לחשב את הערכים העצמיים של מטריצת תמורה נתונה P_{\sigma}, נכתוב את \sigma כמכפלה של תמורות ציקליות, כלומר \sigma= C_{1}C_{2} \cdots C_{t}. יהיו האורכים של המחזורים הללו l_{1},l_{2}...l_{t} בהתאמה, ויהי R_{i}  (1 \le i \le t) אוסף הפתרונות המרוכבים של x^{l_{i}}=1 (כלומר שורשי היחידה מסדר l_{i}). אז האיחוד של כל ה-R_{i}-ים הוא אוסף הערכים העצמיים של מטריצת התמורות המתאימה. הריבוב הגאומטרי של כל ערך עצמי שווה למספר ה-R_{i}-ים שמכילים אותו.

מתורת החבורות ידוע שכל תמורה ניתנת להצגה כהרכבה של חילופים. לפיכך כל מטריצת תמורה *<math>P</math>* ניתנת לפירוק כמכפלה של מטריצות אלמנטריות המחליפות שתי שורות, אשר לכל אחת יש דטרמיננטה 1-. לפיכך, מכפליות הדטרמיננטה מקבלים שהדטרמיננטה של כל מטריצת תמורה *<math>P</math>* היא 1 או 1- בהתאם לזוגיות התמורה.

## ראו גם
* תמורה (מתמטיקה)

## קישורים חיצוניים

* 

קטגוריה:אלגברה ליניארית