לוח סילוקין

בתחום מתן ההלוואות, **לוח סילוקין** הוא טבלה המציגה את שלבי ההחזר של הלוואה הנפרעת בתשלומים. לוח הסילוקין נגזר מהסכם ההלוואה, כך שבסיום תקופת ההלוואה יוחזרו במלואם הן הקרן (הסכום שניתן בהלוואה) והן הריבית שהצטברה על הלוואה זו לאורך תקופת החזרתה. מקרה פרטי של החזר הלוואות ניתן לראות במשכנתאות.

מאחר שהלוואה היא תהליך מתמשך, אשר חישוב הריבית בו מתבצע תקופתית, ניתן לראות שסכום החוב אינו יורד באופן מונוטוני, משום שבין תשלום לתשלום עולה סכום החוב, בשל הצטברות ריבית על החוב הנותר. כמו כן יש לזכור שהגם שתשלומי ההלוואה משולמים לרוב מדי חודש, הריבית הנקובה בהלוואה היא לרוב ריבית שנתית, אך מחושבת מחדש לפני כל תשלום, על התקופה היחסית מאז התשלום האחרון (וכדי למצוא את הריבית החודשית יש להוציא שורש 12 מהריבית השנתית המתקבלת. לדוגמה, ריבית שנתית של \ 3.04 אחוז תיתן ריבית חודשית של \ 0.25אחוז, כיוון שהעלאה בחזקה 12 של הקרן שמיוצגת על ידי 1 בתוספת ריבית זו, תיתן את הערך המבוקש – \ 1.0025^{12} = 1.0304).

## סוגי לוחות סילוקין
אחת הדרכים להתבונן בהחזר הלוואה היא כהחזר הקרן (סכום ההלוואה המקורי) והריבית שנצברה עד להחזרתה. שני התיאורים שקולים זה לזה, אך זו הדרך המקובלת בתיאור החזרי הלוואות על ידי הבנקים.

ישנם כמה סוגי הסכמים עיקריים לפירעון ההלוואה:
* **לוח שפיצר** (על שם המתמטיקאי היהודי אוסטרי סיימון שפיצר, 1826–1887); נקרא בעברית **תשלום חודשי שווה או קבוע** (בניגוד לקרן שווה): הפירעון מחושב מראש כך שההחזר התקופתי יהיה אחיד בגובהו.
* **קרן שווה:** תשלום חודשי קבוע לקרן ותשלום ריבית כאחוז מהחוב הנוכחי בחודש תשלום הריבית. במקרה השני התשלומים החודשיים קטנים לאורך החזר ההלוואה, כיוון שהריבית בין תשלום לתשלום מחושבת על סכום קטן יותר, ולכן קטנה עם הזמן.
***בולט/בלון:** לוח סילוקין שבו החוב מוחזר במלואו בתשלום אחד בסוף תקופת ההלוואה. בכל אחד מחודשי ההלוואה משלמים את הריבית בלבד (גרייס חלקי). לעיתים גם הריבית אינה משולמת באופן חודשי אלא מצטברת ומוחזרת עם הקרן בתום תקופת ההלוואה.

### קרן שווה – לוח סילוקין בהחזר תקופתי קבוע על חשבון הקרן
שמאל|ממוזער|250px|דוגמה ללוח סילוקין בהחזר קבוע על חשבון הקרן
בתמונה נראית דוגמה ללוח סילוקין שבו ההחזר על חשבון הקרן קבוע בכל התשלומים, וגובהו שווה לסכום ההלוואה (**הקרן**), המחולק במספר חודשי ההלוואה – תשלומי ההחזר. לסכום קבוע זה מוסיפים בכל תקופה (ממועד תשלום אחד למשנהו) את הריבית על החוב באותו חודש, והתוצאה היא סכום התשלום לתקופה זו.

לאורך פירעון ההלוואה פוחת בהדרגה התשלום התקופתי, מאחר שהריבית התקופתית מחושבת על סכום קטן יותר בכל פעם.

### לוח שפיצר – תשלום חודשי קבוע
שמאל|ממוזער|400px|דוגמה ללוח סילוקין שפיצר

בלוח סילוקין זה התשלום התקופתי (על החוב כולו, ללא חלוקה לקרן וריבית) קבוע (בהנחת אי־הצמדה למדד או שינוי ריבית).

אם הריבית התקופתית היא \ R, החזר קבוע של \ \frac{R}{1- \frac{1}{(1+R)^n}}  מגובה ההלוואה יסלק את החוב כולו בתוך \ nתשלומים (את הריבית התקופתית מחשבים על-פי הריבית השנתית).

אם הריבית השנתית **הנומינלית** היא 6.5%, הריבית התקופתית היא \ R=\frac{0.065}{12}=0.00541.

אם החישוב מתבסס על ריבית שנתית **מתואמת** של 6.5%, הריבית החודשית תהיה \ R=\left(1+\frac{6.5}{100}\right)^{1/12}-1=0.00526.

חלף ההלוואה, המלווה מקבל בסופו של חשבון סכום גבוה יותר מזה שהשקיע. בקירוב טוב (כאשר \ nR, ותנאי זה מתקיים אפילו בהלוואה לשלושים שנה בריבית שנתית של 10%), הלווה מחזיר פי \ 1+\frac{nR}{2}+\frac{(nR)^2}{12} מגובה ההלוואה.

## פיתוח מתמטי
לצורך פיתוח מתמטי נסמן :

\ P- גודל ההלוואה.

\ N- תקופת ההלוואה בחודשים.

\ P_n- יתרת ההלוואה בחודש \ n עבור \ n \isin \left\{0,1,...,N \right\}.

\ x_n- תשלום הקרן בחודש \ n עבור \ n \isin \left\{1,2,...,N \right\}.

\ y_n- תשלום הריבית בחודש \ n עבור \ n \isin \left\{1,2,...,N \right\}. 

\ z_n- סך כל התשלום בחודש \ n עבור \ n \isin \left\{1,2,...,N \right\}. ניתן לשים לב כי \ z_n = x_n  +   y_n .

\ r_n- ריבית תקופתית חודשית בחודש \ n(כלומר הריבית שהצטברה מחודש \ nלחודש \ n+1) מתחילת ההלוואה עבור \ n \isin \left\{0,1,...,N-1 \right\}. יש לשים לב שהריבית מתואמת ליחידות ולהגדרתה (נומינלית א מתואמת), עבור ריבית **נומינלית** של \ Rאחוזים ל - \ Tחודשים הריבית התקופתית היא \ r = \frac {R}{100T}ועבור ריבית **מתואמת** של \ Rאחוזים ל - \ Tחודשים הריבית התקופתית היא \ r =\left(1+\frac  {R}{100}\right)^{1/T 
 }-1, (למשל עבור ריבית שנתית \ T=12), נסמן את שינוי הריבית המצטבר \ R_{n} = \prod_{m=0}^{n - 1} (1 + r_m) המתאר את סך השינוי של המדד עד לחודש \ n, במידה והמדד נתון לפי פונקציה \ r(x)(המנורמלת ליחידות של חודש) וההלוואה נקלחת בנקודת זמן \ t_0אז נקבל שינוי ריבית מצטבר.  

של \ R_{n} = \frac {r(t_0 + n)}  {r( t_0 )} , וריבית תקופתית \ r_{n}   =  \frac {r(t_0 + n  + 1 ) }  {r( t_0 + n)}  - 1   עבור כל התנהגות אחרת של ריבית \ r(x ; c) שתלויה בפרמטר \ c לפי נקודת ייחוס \ t_0 עם ריבית מתואמת \ Rלתקופה של \ nחודשים. 

בכדי למצוא את \ c נפתור את המשווה :  \ \frac {r(t_0 + n ;  c)}  {r( t_0 ;  c)} =  1 + R  .\ w_n- שינוי המדד בחודש \ n(כלומרת התשואה שהצטברה מחודש \ nלחודש \ n+1).   

\ w_n- שינוי מדד תקופתי חודשי בחודש \ n(כלומר השינוי מחודש \ nלחודש \ n+1)  נסמן את שינוי המדד המצטבר \ W_{n} = \prod_{m=0}^{n - 1} (1 + w_m ) המתאר את סך השינוי של המדד עד לחודש \ n, במידה והמדד נתון לפי פונקציה \ w(x)(המנורמל ליחידות של חודש) וההלוואה נקלחת בנקודת זמן \ t_0אז נקבל מדד מצטבר של \ W_{n} = \frac {w(t_0 + n)}  {w( t_0 )}   ושינוי מדד תקופתי של \ w_{n}   =  \frac {w(t_0 + n  + 1 ) }  {w( t_0 + n)}  - 1   עבור כל התנהגות אחרת של מדד \ w  (x ; c) שתלויה בפרמטר \ c לפי נקודת ייחוס \ t_0 עם ריבית מתואמת \ Wלתקופה של \ nחודשים למציאת \ cנפתור : \ \frac {w(t_0 + n ;  c)}  {w( t_0 ;  c)} = 1 + W .  

* **לוח שפיצר** : עבור לוח שפיצר נדרוש כי ההחזר החודשי המצטבר יהיה קבוע נסמן תשלום זה ב - \ z, עבור זמן \ nהיתרה \ P_nתצבור ריבית \ r_n P_nולאחר מכן נוריד ממנה את הסכום החודשי \ x, מכאן נסיק את משוואת ההפרשים : \ P_{n+1} = (1+r_n)P_n - xכאשר ידוע תנאי ההתחלה \ P_0 = P. ניתן להוכיח באינדוקציה כי הפתרון למשוואת ההפרשים היא :P_n = P R_n   - \frac{z}{ R_1 } \sum_{k=1}^{n} R_{k}P_n = \left( P - x \sum_{k=1}^n \frac{1}{ R_k }    \right) R_n
 

מכאן ניתן לדרוש כי יתרה ההלוואה בזמן \ Nתהיה \ 0, כלומר : \ P_N = 0, נציב \ n = Nבמשוואה, ונקבל :

P_N = P R_N - \frac{z}{R_1 } \sum_{k=1}^{N} R_{k} =  0P_N = P_N = \left( P - x \sum_{k=1}^N \frac{1}{ R_k }    \right) R_N  =  0  נבודד את \ x, נשנה משתנה סכימה ונקבל :

x_n =  x  =\frac{R_1 R_N  P}{\sum_{k = 1}^{N} R_{k }}

x_n =  x  =\frac{P}{\sum_{k = 1}^{N} \frac{1}{R_{k}}}
נשים לב כי במידה ואנו יודעים מה גודל התשלום הקבוע \ zנוכל לחשב את גודל ההלוואה הנלקחת בהתאם \ P: P  =\frac{x  \sum_{k = 1}^{N} R_{k}}{ R_1  R_N}בהצבת \ zנקבל ביטוי עבור יתרת ההלוואה בזמן \ n:

P_n =  \left( R_n   - \frac{R_N  \sum_{k = 1}^{n} R_{k}}{\sum_{k=1}^{N}  R_{k} } \right) P 

ומכאן נוכל להסיק כי התשלום עבור הריבית יהיה \ r_{n-1} P_{n - 1}והתשלום עבור הקרן יהיה \ x - r_{n-1} P_{n-1}.

y_n =   r_n P_{n-1} =  \left( R_{n-1 }   - \frac{R_N  \sum_{k = 1}^{n -1} R_{k}}{\sum_{k=1}^{N}  R_{k} } \right) r_{n - 1} P   \quad ,  \quad  x_n  =  z - y_n  =   \left( \frac{R_N \left(  R_1 + r_{n - 1}  \sum_{k = 1}^{n -1} R_{k}     \right)   }  {\sum_{k=1}^{N}  R_{k} } -  r_{n - 1}      R_{n-1} \right) r_n P 

במקרה של הוספת הצמדה יתרת ההלוואה לא תשתנה, אך התשלום החודשי (רכיבי הריבית והקרן) ישתנו כתלות במדד, כלומר נכפיל את כל התוצאות בערך המצטבר של המדד

עד לזמן \ nשנתון על ידי הביטוי : \ W_{n} , ולכן התשלום החודשי (עם הצמדה) יהיה נתון על פי הנוסחא : z_n   =   W_n  z  =  \frac{R_1 R_N  W_n  P}{\sum_{k = 1}^{N} R_{k }}ומכאן נוכל להסיק כי התשלום עבור הריבית יהיה \ W_n   r_{n - 1} P_{n - 1}והתשלום עבור הקרן יהיה \ W_n \left( z - r_{n - 1}  P_{n - 1} \right).

y_n  =  \left( R_{n-1 }   - \frac{R_N  \sum_{k = 1}^{n -1} R_{k}}{\sum_{k=1}^{N}  R_{k} } \right)  W_n   r_{n - 1} P   \quad ,  \quad  x_n           =          \left( \frac{R_N \left(  R_1 + r_{n - 1}  \sum_{k = 1}^{n -1} R_{k}     \right)   }  {\sum_{k=1}^{N}  R_{k} } -  r_{n - 1}      R_{n-1} \right) W_n r_{n - 1} P 

**מקרה פרטי :** לצורך פשטות נבחור ריבית קבועה \ r_n  =  r, עם הצמדה קבועה \ w_n   =  w, במקרה של ריבית דריבית נציב : \ R_n = (1 + r)^n  , \quad  W_n = (1 + w)^n  

(הערה : במקרה של ריבית רגילה עם נקודת ייחוס \ t_0 = 0  צריך להציב \ R_n = 1+rn  , \quad  W_n = 1 + w n  אך לא נציב ערכים אלו).

ניעזר בנוסחא של טור גאומטרי \ \sum_{k=0}^{N - 1} q^ k =  \frac {q^ N - 1}{q - 1}  ונקבל :

z =\frac{P(1+r ) \prod_{k = 0}^{N-1} (1+r )}{\sum_{k = 0}^{N-1} \prod_{m=0}^{k} (1+r )} = \frac{P(1+r ) (1+r)^N}{\sum_{k = 0}^{N-1} (1+r )^{k + 1} } = \frac{P(1+r)^N}{\sum_{k = 0}^{N-1} (1+r )^{k} } = \frac{(1+r)^N  P r}{(1+r)^N - 1  } = \frac{ 1}{1 - (1+r)^{-N  }} r P

כעת ניתן לחשב את יתרת ההלוואה בזמן \ n:

P_n = \left( R_n   - \frac{R_N  \sum_{k = 1}^{n} R_{k}}{\sum_{k=1}^{N}  R_{k} } \right) P =    \left( (1+r)^n   - \frac{(1+r) ^ N  \sum_{k = 1}^{n} (1+r)^k}{\sum_{k=1}^{N}  (1+r)^k }  \right) P  = \frac{ (1+ r )^n \left( (1 + r )^N - 1 \right) - (1+ r )^N   \left( (1 + r )^n - 1 \right)  }{(1 + r )^N - 1 }    P =  \frac{ (1 + r )^N - (1 + r )^n }{(1 + r )^N - 1 }  P  =     \frac{ 1  - (1 + r )^{n - N } }{1 - (1+r)^{-N    } }  P 

בהצמדה קבועה \ wנקבל תשואה מצטברת של \ W_{n} = \prod_{k=0}^{n - 1} (1 + w) = (1 + w)^n ומכאן נקבל תשלום חודשי של :

z_n  =  W_n  z  =        \frac{ 1}{1 - (1+r)^{-N    }  } (1+w)^n  r P

מכאן נסיק כי תשלומי הריבית וההצמדה יהיו :y_n  = \frac{ 1  - (1 + r )^{n - N } }{1 - (1+r)^{-N    } }  (1+w)^n    r   P    \quad ,  \quad  x_n  = \frac{(1 + r )^{n - N } }{1 - (1+r)^{-N      } } (1+w)^n  r   P 

סך כל התשלומים יהיה :

Z = \sum_{n=1}^{N}    \frac{ 1}{1 - (1+r)^{-N    }  } (1+w)^n  r P = \frac {r P} {1 - (1+r)^{-N}} \cdot \frac {(1+w)^N - 1} {w}

**קרן שווה** : עבור קרן שווה נדרוש כי התשלום עבור הקרן יהיה קבוע : \ x_{n} =  \frac {P}{N} ויתחלק באופן שווה בכל תקופת ההלוואה, כלומר יתרת ההלוואה תקטן כל פעם ב - \ \frac{ P }{N }

מכאן נקבל את משוואת ההפרשים \ P_{n+1} =  P_n - \frac {P}{N}כאשר ידוע תנאי ההתחלה \ P_0 = P. ניתן להוכיח באינדוקציה כי הפתרון למשוואת ההפרשים היא :

P_n =   \left( 1  - \frac {n } {N}  \right) Pמכאן נוכל לגזור את ערך הריבית : \  y_n = r_n P_{n-1}  ואת סך הסכום \  z_n =  y_n +  \frac{P} {N}   ולכן :x_n  = \frac{P}{N}  \quad ,  \quad  y_n  = r_n P_{n-1} = \left( 1  - \frac {n - 1 } {N}  \right) r_{n - 1} P  \quad ,  \quad  z_n  = x_n + y_n =  \left( \frac {1} {N}  +  \left( 1  - \frac {n - 1} {N}  \right) r_{n - 1  }   \right)P 

גם כאן כמו במקרה הקודם במקרה של הוספת הצמדה יתרת ההלוואה לא תשתנה, אך התשלום החודשי (רכיבי הריבית והקרן) ישתנו כתלות במדד, כלומר יוכפל בערך המצטבר של המדד עד לזמן \ nשנתון על ידי הביטוי : \ W_{n} = \prod_{k=0}^{n - 1} (1 + w_n), ולכן התשלום החודשי היה נתון על פי הנוסחא : z_n   =  \left( \frac {1} {N}  +  \left( 1  - \frac {n - 1} {N}  \right) r_{n - 1  }   \right) W_n  Px_n  = \frac{  W_n   P}{N}  \quad ,  \quad  y_n   =    \left( 1  - \frac {n - 1 } {N}  \right)   W_n   r_{n - 1} P  \quad ,  \quad  z_n  =  \left( \frac {1} {N}  +  \left( 1  - \frac {n - 1} {N}  \right)    r_{n - 1  }   \right)  W_n   P **מקרה פרטי :** לצורך פשטות נבחור ריבית קבועה \ r_n  =  r, עם הצמדה קבועה \ w_n   =  w

ללא הצמדה התשלומים יהיו :x_n = \frac{P   }{N}    \quad ,  \quad  y_n   =    \left( 1  - \frac {n - 1 } {N}  \right)   r P  \quad ,  \quad  z_n  =  \left( \frac {1} {N}  +  \left( 1  - \frac {n - 1} {N} \right)   r     \right)  P 

ומכאן נוכל להסיק כי התשלום עבור הריבית יהיה \ \frac{ P }{N }והתשלום עבור הקרן יהיה \  \left( 1  - \frac {n - 1 } {N}  \right) r     P  .

סך כל התשלומים יהיה :Z =   \sum_{n=1}^{N}  z_n =  \sum_{n=1}^{N}  
    \left( \frac {1} {N}  +  \left( 1  - \frac {n - 1} {N}  \right) r \right) P =  P + \frac {N(r+1)}{2 } P
ניתן להסיק כי החלק היחסי שהתווסף (באחוזים) לסכום ההתחלתי \ Pהוא : \ 50N(r + 1)(המקדם של האיבר השני של \ Pבמשווה לעיל הוכפל ב - 100)

עם הצמדה התשלומים יהיו  :

x_n = \frac{ (1+w)^n  P }{N}    \quad ,  \quad  y_n   =    \left( 1  - \frac {n - 1 } {N}  \right) (1+w)^n  r P  \quad ,  \quad  z_n  =  \left( \frac {1} {N}  +  \left( 1  - \frac {n - 1} {N} \right)   r     \right)  (1+w)^n P סך כל התשלומים יהיה :

Z =   \sum_{n=1}^{N}  z_n =  \sum_{n=1}^{N}     
\left( \frac {1} {N}  +  \left( 1  - \frac {n - 1} {N} \right)   r     \right)  (1+w)^n P       = \frac { (1 + w) \left( (1 + r) (1 + w) ^ {N+1} - (1 + w)^N - (r N  + r + 1) w -   r  \right) }{N w^2} P

* **הלוואת בלון** : עבור הלוואה מסוג זה אנו מכסים חלק מסוים מהקרן והריבית ובסוף תקופת ההלוואה משלמים את יתרת הקרן והריבית.נניח כי בכל חודש אנו מעוניינים לשלם \ \alpha  _  nמהקרן ו - \ \beta _ nמהריבית כאשר \ \alpha _ {N - 1} = 1  ו -  \ 0 \le  \alpha _ n , \beta _ n   \le   1  ו -  \ \sum_{n=0}^{N - 1} \beta _ n \le 1, בזמן \ n היתרה תצבור ריבית \ r_{n - 1}, מהיתרה נפרע \ \alpha_{n} מערך הקרן \ Pו - \ \beta_{n} מערך הריבית על היתרה \ r_ {n} P_{n} , מכאן נקבל משוואת ההפרשים : 

\ P_{n} = \left(1 + r_{n - 1} (1 - \alpha_{n - 1}) \right)  P_{n - 1} - \beta_{n - 1} P

עם תנאי התחלה \ P_{0} = P, עבור משוואה זו הפתרון יהיה :

P_n =  \left(     \prod_{k=0}^{n - 1}  \left( 1 + r_k (1 -  \alpha_k) \right)   -  \sum_{k=0}^{n - 1} \beta_k \prod_{m=k + 1}^{n - 1}    \left( 1 +   r_m ( 1 -  \alpha_m)  \right)   \right)  P

ומכאן נוכל להסיק את התשלומים השונים עבור \ n \isin \left\{1,2,...,N - 1 \right\} : 
x_n = \beta_ {n-1}     P    \quad ,  \quad  y_n   =  \alpha_ {n-1} r_{n - 1} P_{n - 1}  \quad ,  \quad  z_n  =  x_n   +  y_n = \beta_ {n-1}      P + \alpha_ {n-1} r_{n - 1} P_{n - 1 } לאחר מכן יתרת ההלוואה תהיה \ P_{N}ומכאן נוכל לגזור את התשלום האחרון בצורה הבאה : התשלום עבור הקרן יהיה החלק היחסי האחרון שנותר ברכיב זה

כלומר \ \beta_N   מערך הקרן ההתחלתי \ P, לכן נקבל : x_{N} = \beta_{N - 1} P    \quad ,  \quad  y_{N 
 }        =  P_N - x_{N}  \quad ,  \quad  z_{N}  = P_N 

גם כאן כמו במקרים הקודמים במקרה של הוספת הצמדה יתרת ההלוואה לא תשתנה, אך התשלום החודשי (רכיבי הריבית והקרן) ישתנו כתלות במדד, כלומר יוכפל בערך המצטבר של המדד עד לזמן \ nשנתון על ידי הביטוי : \ W_{n} = \prod_{k=0}^{n - 1} (1 + w_n), ולכן התשלום החודשי בזמן \ nיוכפל ב  \ W_{n}  :

ומכאן נוכל להסיק את התשלומים השונים עבור \ n \isin \left\{1,2,...,N - 1 \right\} :x_n = \beta_ {n-1} W_n    P    \quad ,  \quad  y_n   =  \alpha_ {n-1} r_{n - 1} W_n   P_{n - 1}  \quad ,  \quad  z_n  =   x_n   +  y_n = \left( \beta_ {n-1}      P + \alpha_ {n-1} r_{n - 1} P_{n - 1} \right) W_n  לאחר מכן יתרת ההלוואה תהיה \ P_{N}ומכאן נוכל לגזור את התשלום האחרון :x_{N} = \beta_N W_{N - 1} P    \quad ,  \quad  y_{N}        = \left( P_N - x_{N}    \right) W_{N}   \quad ,  \quad  z_{N}  = W_{N} P_N 

**מקרה פרטי :** לצורך פשטות נבחר \ r_n = r , \quad w_n = w   ,  \quad   \alpha  _  n = \alpha , \quad \beta_n = \beta \le \frac {1}  {N} (ריבית קבועה ולקחת חלק יחסי אחיד מההלוואה)

נסמן \ q = 1 + r (1 -  \alpha)  נקבל :P_n =  \left(     \prod_{k=0}^{n - 1}  \left( 1 + r (1 -  \alpha) \right)   -  \sum_{k=0}^{n - 1} \beta \prod_{m=k + 1}^{n - 1}    \left( 1 +   r ( 1 -  \alpha)  \right)   \right)  P        =        \left(     \prod_{k=0}^{n - 1} q -  \sum_{k=0}^{n - 1} \beta \prod_{m=k + 1}^{n - 1}  q   \right)    P =        \left(  q^n - \beta \sum_{k=0}^{n - 1} q^{ n-1 - k}   \right)    P

 \left(  q^n - \beta q^{ n - 1 } \sum_{k=0}^{n - 1} q^{-k}   \right)    P =   \left( q^n - \frac {\beta q^n } {q} \cdot \frac {1 - q^{-n} } {1 - q^{-1}}   \right) P =   \left( q^n - \beta   \cdot \frac {q^{n} - 
 1  } {q - 1   }   \right) P

ומכאן נוכל להסיק את התשלומים השונים עבור \ n \isin \left\{1,2,...,N - 1\right\} :

x_n = \beta (1+w)^n  P  \quad ,  \quad  y_n   =    \left( q^{n - 1} - \beta   \cdot \frac {q^{  n  - 1 } - 
 1  } {q - 1   }   \right) (1+w)^n   \alpha r P    \quad ,  \quad  z_n  = \left( \left( q^{n - 1} - \beta   \cdot \frac {q^{n - 1} - 
 1  } {q - 1   }   \right) \alpha r + \beta \right) (1+w) ^n     P 

לאחר מכן יתרת ההלוואה תהיה \ P_{N}ומכאן נוכל לגזור את התשלום האחרון :

x_{N} = \left(1 - N \beta  \right) (1+w)^{N}  P    \quad ,  \quad  y_{N}        =    \left( q^N - \beta   \cdot \frac {q^{  N } - 
 1  } {q - 1   }  +\left( N \beta - 1 \right) \right) (1+w)^{N} P \quad , \quad  z_{N}  =   \left( q^N - \beta   \cdot \frac {q^{N} -  
 1  } {q - 1   }   \right)  (1+w)^{N}  P   

מכאן נסיק כי סך התשלומים יהיה : Z =   \sum_{n=0}^{N} z_n = z_{N} 
 + \sum_{n=1}^{N - 1} z_n   = \left[  \left( q^N - \beta   \cdot \frac {q^{N} -  
 1  } {q - 1   }   \right)  (1+w)^{N} + \sum_{n=1 }^{N - 1} \left( \left( q^{n} - \beta   \cdot \frac {q^{ n } - 
 1  } {q - 1   }   \right) \alpha r + \beta  \right) (1 + w)^n  \right] (1 + w   ) P  \left(  \left( q^N - \beta   \cdot \frac {q^{N} -  
 1  } {q - 1   }   \right)  (1+w)^{N} + \beta \left(1 +  \frac {\alpha r} {q - 1}  \right) \frac {(1+w)^N - 1  } {w}  + \alpha r   \left(1 -  \frac {\beta } {q - 1}  \right) \frac {(1+w)^N q^N - 1  } {(1 + w)q -  1}    \right)  (1 + w   ) P

 

עבור הלוואת בלון טיפוסית איננו משלמים כלל את תשלום הקרן, כלומר נבחר \ w = 0 , \quad \beta = 0עבורה נקבל \ P_n = q^n P. 
ומכאן נוכל להסיק את התשלומים השונים עבור \ n \isin \left\{1,2,...,N - 1 \right\} :x_n = 0  \quad ,  \quad  y_n   =   q^n  \alpha r P    \quad ,  \quad  z_n  = q^n  \alpha r P 

נשים לב כי עבור \ \alpha = 0נקבל הלוואת בלון מלאה עבורה \ P_n = (  1 + r  )^n P ו - \ y_n = 0ועבור \ \alpha = 1נקבל הלוואת בלון חלקית עבורה \ P_n = P ו - \ y_n = r  P 

לאחר מכן יתרת ההלוואה תהיה \ P_{N}ומכאן נוכל לגזור את התשלום האחרון :

x_{N}  =  P  \quad ,  \quad  y_{N}   = \left(q^N - 1 \right) P    \quad ,  \quad  z_{N}  = q^ N   P 

נשים לב כי עבור \ \alpha = 0נקבל הלוואת בלון מלאה עבורה \ z_{N + 1} = (  1 + r  )^N P ו - ועבור \ \alpha = 1נקבל הלוואת בלון חלקית עבורה \ z_{N + 1} = P כלומר משלמים את הקרן במלואה בעוד שעבור כל החודשים הקודמים שילמנו אך ורק את הריבית (ניתן לראות שלא משלמים ריבית נוספת כי \ y_{N + 1} = 0 ). נוכל גם לראות מתמטית שהלוואת בלון מלאה איננה הלוואה טובה ואז מחזירים יותר כסף בכך שנציב \ w = 0 , \quad \beta = 0 ב - Z ונקבל :

 Z (w = \beta = 0 ) = \left( q^N  + \alpha r  \frac {  q^N - 1  } {q -  1}    \right) P = \left( \left(1 + r(1 - \alpha) \right)^N  + \alpha  \frac {  \left(1 + r(1 - \alpha) \right)^N - 1  } {1 - \alpha}    \right) P



 Z (w = \beta = \alpha = 0 ) =  \lim_{\alpha \to 0}   \left(     \alpha \left(1 + r(1 - \alpha) \right)^N + \frac {  \left(1 + r(1 - \alpha) \right)^N - 1  } {1 - \alpha}    \right) P = (1 + r)^N

 Z (w = \beta = 0  , \quad \alpha = 1) =  \lim_{\alpha \to 1}   \left(     \alpha \left(1 + r(1 - \alpha) \right)^N + \frac {  \left(1 + r(1 - \alpha) \right)^N - 1  } {1 - \alpha}    \right) P = 1 +rN

 Z (w = \beta = \alpha = 1 ) = 1+rN \le (1 + r)^N = Z (w = \beta = \alpha = 0 )



## דחיית תשלומים
נוסף על כך קיימים הסכמי דחיית תשלומים, המכונים בשמות "בוליט", "בלון" או "גרייס". ב"הלוואות בלון" משולמת מדי חודש הריבית בלבד, ובסוף התקופה משולמת הקרן בתשלום בודד. התשלום הכולל במקרה זה גבוה יותר מאשר אילו חולק הסכום לתשלומים לאורך תקופת החזר ההלוואה, כיוון שבמקרה זה הריבית התקופתית מחושבת על הסכום המלא, ולא רק על הסכום שנותר לתשלום.

הלוואות מסוג "גרייס" הן הלוואות שבהן נדחה תשלום ההלוואה למועד מאוחר יותר (לרוב שנים בודדות), כשהוא ממשיך לצבור ריבית כרגיל, ולכן גם במקרה זה התשלום הכולל גבוה יותר. לעיתים המונח "גרייס" משמש שם נרדף להלוואות בלון (קרי, תשלום הקרן בתשלום יחיד). בשני המקרים סכום ההחזר הכולל בהלוואה ממין זה גבוה מסכום ההחזר בהלוואה שבה ההחזר משולם לכל אורך פירעון ההלוואה.

## התמודדות עם אורך חודש משתנה
בהסכם פריסת התשלומים, בדרך כלל מצוין אחוז ריבית שנתית, כאשר ההחזר חודשי. כיוון שמספר הימים בחודש משתנה, אך המלווה אינו מעוניין לבלבל את הלווה בשינויים קטנים בהחזר החודשי, פותחו מספר שיטות חישוב ריבית. שיטות לדוגמה: 360/360, 360/365, Act/ActE, 365.25 ועוד. ישנן שיטות דומות עבור חישובי IRR שהתמודדו עם אותה הבעיה.

## הצמדה למדד
חלק מההלוואות מוצמדות למדד חיצוני כלשהו (כדוגמת מדד המחירים לצרכן, או לערכו של מטבע כזה או אחר), אשר אמור לספק הגדרת ערך עקבית ולהגן מפני שינויים בערך המטבע שבו נקבעה העסקה. מכיוון שהשינויים במדדים אלה אינם ידועים מראש בעת לקיחת ההלוואה, לא ללווה ולא למלווה, לא ניתן להכניסם ללוחות הסילוקין, ויש לעדכן את החוב בהתאם להם בכל עת (בהתאם להסכם ההלוואה).

## קישורים חיצוניים
* 

קטגוריה:שוק ההון
קטגוריה:מימון
קטגוריה:אשראי