פוטנציאל מעוכב

באלקטרודינמיקה, **פוטנציאלים מעוכבים** (**retarded potentials**) הם פוטנציאלים אלקטרומגנטיים בשדה אלקטרומגנטי שנוצר על ידי זרם חשמלי משתנה בזמן או צפיפות מטען משתנה בזמן - בעבר. 

השדות מתפשטים במהירות האור *c*, ולכן ההשהיה של השדות המחברים סיבה ותוצאה בזמנים מוקדמים ומאוחרים הוא גורם חשוב: לאות לוקח זמן סופי להתפשט מנקודה בתוך התפלגות המטען או הזרם (נקודת ה"סיבה") לנקודה אחרת במרחב (שם ההשפעה נמדדת), ראו איור למטה. 

## בכיול לורנץ
שמאל|ממוזער|307x307 פיקסלים| מיקום הווקטורים '''r''' ו- '''r &#x2032;''' המשמשים בחישוב.
נקודת המוצא היא משוואות מקסוול בגישת שדה הפוטנציאל שלהן, בעזרת כיול לורנץ:

:  \Box \varphi = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \,,\quad \Box \mathbf{A} = \mu_0\mathbf{J}

כאשר φ( **r**, *t* ) הוא הפוטנציאל החשמלי ו- **A** ( **r**, *t* ) הוא הפוטנציאל הווקטורי המגנטי, עבור מקור שרירותי של צפיפות המטען ρ( **r**, *t* ) וצפיפות הזרם **J** ( **r**, *t* ), וכן \Box הוא הד'אלמבריאן.  פתרון משוואות אלו נותן את הפוטנציאלים המעוכבים למטה (כולם ביחידות SI).

### עבור שדות תלויי זמן
עבור שדות תלויי זמן, הפוטנציאלים המעוכבים הם: 

:  \mathrm\varphi (\mathbf r, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho (\mathbf r', t_r)}\, \mathrm{d}^3\mathbf r'

: \mathbf A (\mathbf r, t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf J (\mathbf r', t_r)}\, \mathrm{d}^3\mathbf r'\,.

כאשר **r** הוא נקודה במרחב, *t* הוא הזמן, ו-

: t_r = t-\frac{c}

הוא הזמן המעוכב, ו-d^3\mathbf{r'} הוא גורם האינטגרציה לפי \mathbf{r'} .

מ-φ( **r**, t) ו- **A** ( **r**, *t* ), **ניתן לחשב את השדות E** ( **r**, *t* ) ו- **B** ( **r**, *t* ) באמצעות הגדרת הפוטנציאלים:

: -\mathbf{E} = \nabla\varphi +\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\,,\quad \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf A\,.

### השוואה לפוטנציאלים סטטיים עבור שדות בלתי-תלויים בזמן
במקרה שהשדות אינם תלויי זמן (שדות אלקטרוסטטיים ומגנטוסטטיים), נגזרות הזמן של האופרטור \Box מתאפסות, והמשוואות של מקסוול מצטמצמות ל:

:  \nabla^2 \varphi =-\dfrac{\rho}{\epsilon_0}\,,\quad \nabla^2 \mathbf{A} =- \mu_0 \mathbf{J}\,,

כאשר \nabla^2 הוא הלפלסיאן.

המשוואות מקבלות צורה של משוואות פואסון בארבעה רכיבים (אחד עבור φ ושלושה עבור **A**), והפתרונות שלהן הם:

:  \mathrm\varphi (\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho (\mathbf r' )}\, \mathrm{d}^3\mathbf r'

: \mathbf A (\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf J (\mathbf r' )}\, \mathrm{d}^3\mathbf r'\,.

אלה גם נובעים ישירות מהפוטנציאלים המעוכבים.

### פוטנציאל ליאנארד-ויקרט
במקרה הפרטי שבו השדה החשמלי נגרם עקב מטען נקודתי בודד שמסלולו \mathbf{r_s}(t), הפוטנציאלים המעוכבים המתקבלים בכיול לורנץ הם פוטנציאלי ליאנארד-ויקרט, על שמם של אלפרד-מארי לינארד ואמיל ויקרט. פוטנציאלים אלו הם:

\varphi(\mathbf{r},t)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q}{(1-\mathbf{n}_s\cdot\mathbf{\beta}_s)|\mathbf{r}-\mathbf{r}_s|}\right)_{t_r}

\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\frac{\mu_0c}{4\pi}\left(\frac{q\mathbf{\beta}_s}{(1-\mathbf{n}_s\cdot\mathbf{\beta}_s)|\mathbf{r}-\mathbf{r}_s|}\right)_{t_r}

זאת כאשר:
* \mathbf{\beta}_s=\frac{1}{c}\frac{d\mathbf{r}_s}{dt} היא מהירות המטען המנורמלת למהירות האור
* |\mathbf{r}-\mathbf{r}_s| הוא המרחק בין נקודת המדידה של הפוטנציאל לבין מיקום המקור
* \mathbf{n}_s=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_s} הוא וקטור היחידה המקשר מהמקור אל נקודת המדידה
* הסימן (...)_{t_r} משמעותו חישוב הערך שבתוך הסוגריים בזמן המעוכב t_r=t-\frac{1}{c}|\mathbf{r}-\mathbf{r}_s|

נשים לב שכדי למצוא את הזמן המעוכב עלינו לפתור את המשוואה:

|\mathbf{r}-\mathbf{r}_s(t_r)|=c(t-t_r)

## בכיול קולון
בכיול קולון, משוואות מקסוול הן

:  \nabla^2 \varphi =-\dfrac{\rho}{\epsilon_0}

:  \nabla^2 \mathbf{A} - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2}=- \mu_0 \mathbf{J} +\dfrac{1}{c^2}\nabla\left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial t}\right)\,,

הפתרונות המתקבלים בכיול זה שונים מהפתרונות המתקבלים בכיול לורנץ מכיוון ש-**A** הוא פוטנציאל מעוכב אך φ משתנה *באופן מיידי*, לפי:

: \varphi(\mathbf{r}, t) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \dfrac{\rho(\mathbf{r}',t)}\mathrm{d}^3\mathbf{r}'

:  \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \nabla\times\int \mathrm{d}^3\mathbf{r'} \int_0^{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|/c} \mathrm{d}t_r \dfrac{ t_r \mathbf{J}(\mathbf{r'}, t-t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\times (\mathbf{r}-\mathbf{r}') \,.

התוצאה מציגה יתרון וחיסרון של כיול קולון: φ ניתן לחישוב בקלות מהתפלגות המטען ρ אך **לא ניתן לחשב את A** מההתפלגות הנוכחית **j**. עם זאת, בתנאי שאנו דורשים שהפוטנציאלים יתאפסו באינסוף, הם יכולים לבוא לידי ביטוי בצורה מסודרת במונחים של השדות:

: \varphi(\mathbf{r}, t) = \dfrac{1}{4\pi}\int \dfrac{\nabla \cdot \mathbf{E}({r}',t)}\mathrm{d}^3\mathbf{r}'

:  \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \dfrac{1}{4\pi}\int \dfrac{\nabla \times \mathbf{B}({r}',t)}\mathrm{d}^3\mathbf{r}'

## בכבידה ליניארית
הפוטנציאל המעוכב בגרסה הליניארית של תורת היחסות הכללית דומה מאוד למקרה האלקטרומגנטי. הטנזור בעל העקבה ההפוכה \tilde h_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac12 \eta_{\mu\nu} h ממלא את התפקיד של פוטנציאל ארבעת הווקטורים, הכיול ההרמוני \tilde h^{\mu\nu}{}_{,\mu} = 0 מחליף את כיול לורנץ האלקטרומגנטי, משוואות השדה הן \Box \tilde h_{\mu\nu} = -16\pi G T_{\mu\nu}, ופתרון הגל המעוכב הוא:

:\tilde h_{\mu\nu}(\mathbf r, t) = 4 G \int \frac{T_{\mu\nu}(\mathbf r', t_r)} \mathrm d^3 \mathbf r'.

## ראו גם
* משוואות מקסוול
* זמן מאוחר
* חוק לנץ

## הערות שוליים

קטגוריה:פיזיקה
קטגוריה:חשמל