חוק גוטנברג-ריכטר

[ממוזער|חוק גוטנברג-ריכטר התאים ל[רעידה עוקבת|רעידות העוקבות של רעידת האדמה במרכז איטליה (2016) באוגוסט 2016, במהלך התקופה 22 באוגוסט - 1 בספטמבר. יש לשים לב, שההתאמה הליניארית נכשלת בקצה העליון והתחתון, עקב היעדר אירועים רשומים. מאחר שתקופת ההקלטה היא רק 10 ימים, עדיין לא הופיעו אירועים בסדר גודל של יותר ממגניטודה 6. מכיוון שמכשירי ההקלטה אינם מסוגלים לזהות אירועי רעידת אדמה בקרבת או מתחת לרמת רעש הרקע, רוב האירועים במגניטודה נמוכה מ-1.5 אינם מזוהים.]]
בסייסמולוגיה, **חוק גוּטנברג-ריכטר** (באנגלית: **Gutenberg–Richter law**) מבטא את הקשר בין המגניטודה M, והמספר הכולל של רעידות אדמה בכל אזור נתון ותקופת זמן, בגודל M לפחות/ומעלה.
: \log_{10} N = a - b M
או
: N = 10^{a - b M}
כאשר N הוא מספר רעידות האדמה בגודל M ומעלה בתקופת זמן נתונה וכן a ו-b הם קבועים, כלומר זהים לכל הערכים של M ו-N.

מכיוון שהגודל הוא לוגריתמי, מקבלים התפלגות פָּארֶטוֹ. חוק גוטנברג-ריכטר נמצא בשימוש נרחב גם לניתוח פליטה אקוסטית בשל דמיון רב בין תופעת הפליטה האקוסטית לסייסמוגנזה.

החוק קרוי על שם הסייסמולוגים בנו גוטנברג וצ'ארלס ריכטר.

## רקע
ממוזער|גרף התפלגות חוק GR לערכי b שונים.
הקשר בין מגניטודת רעידת אדמה ותדירות התרחשותן הוצע לראשונה על ידי צ'ארלס ריכטר ועמיתו בֶּנו גוּטנברג במאמר משנת 1944, שחקרו רעידות אדמה בקליפורניה, והוכלל על ידם במחקר כלל עולמי בשנת 1949. הקשר הזה בין גודל האירוע ותדירות ההתרחשות נפוץ מאד, אם כי הערכים של a ו-b עשויים להשתנות באופן משמעותי מאזור לאזור או לאורך זמן.

הערך b הוא בדרך כלל קרוב ל-1.0 באזורים פעילים סיסמית. משמעות הדבר היא כי עבור תדירות נתונה של אירועים במגניטודה 4.0 ומעלה למשל, יהיו פי 10 רעידות אדמה במגניטודה של 3.0 או יותר ופי 100 רעידות במגניטודה של 2.0 או יותר. קיימת שונות מסוימת של ערכי b בטווח משוער של 0.5 עד 2, בהתאם לרמה הסייסמית של האזור. דוגמה בולטת לכך היא במהלך נחיל רעידות אדמה, כאשר b יכול להגיע ל-2.5, ובכך מצביע על יחס גבוה מאוד של רעידות אדמה קטנות לגדולות.
[ממוזער|עקומת ירידה הדרגתית או נִיחוּת (roll-off) בתדירות ה[רעידה עוקבת|רעידות העוקבות, בהשוואה לחוק GR אידיאלי.]]
יש ויכוח לגבי הפרשנות של כמה וריאציות מרחביות וזמניות של ערכי b שנצפו. הגורמים המצוטטים ביותר (במחקרים) כדי להסביר את הווריאציות הללו הם: הלחץ המופעל על החומר, העומק, מנגנון המוקד, הטרוגניות החוזק של החומר, והקרבה של מאקרו-כֶּשֶׁל. הירידה בערך ה-b שנצפתה לפני התרחשות כֶּשֶׁל של דגימות מעוותות במעבדה, הובילה לטענה שזהו מבשר (חיזוי) למאקרו-כשל גדול. הפיזיקה הסטטיסטית מספקת מסגרת תאורטית להסבר היציבות של חוק גוטנברג-ריכטר עבור קטלוגים גדולים, והן את התפתחותו כאשר מתקרבים למאקרו-כשל, אך היישום לחיזוי רעידת אדמה אינו בהישג יד. לחלופין, ערך b שונה באופן משמעותי מ-1.0, עלול להצביע על בעיה במערך הנתונים; לְמָשָׁל, הוא לא שלם או מכיל שגיאות בחישוב המגניטודה.

ישנה ירידה ניכרת בערכי b עבור טווחי אירועים קטנים יותר, בכל הקטלוגים האמפיריים של רעידות אדמה. אפקט זה מתואר כנגזרת של ערך b, תיאור עקב ההצגה של העקומה הלוגריתמית של חוק GR שהופכת שטוחה יותר בקצה הגודל הנמוך שלה. הדבר עלול להיגרם במידה רבה מחוסר שלמות של כל מערך הנתונים, עקב חוסר היכולת לזהות ולאפיין אירועים קטנים. כלומר, רעידות אדמה רבות במגניטודה נמוכה, אינן מקוטלגות, מכיוון שפחות תחנות מזהות ומתעדות אותן, עקב ירידה ברמות האות האינסטרומנטלי לרעש. עם זאת, כמה מודלים מודרניים של דינמיקה של רעידת אדמה מנבאים דעיכה בהתפלגות גודל רעידות האדמה.

ערך a מייצג את הרמה הסייסמית הכוללת של האזור. ניתן לראות זאת ביתר קלות כאשר חוק GR מתבטא במונחים של מספר האירועים הכולל:

:N = N_\mathrm {TOT} 10^{-bM} \ 

כאשר

:N_\mathrm {TOT} = 10^a, \ 

מבטא את המספר הכולל של האירועים מעל M=0. מאחר ש- 10^a \  הוא המספר הכולל של האירועים, 10^{-bM} \  חייב להיות ההסתברות של סך האירועים הללו.

ניסיונות מודרניים להבין את החוק כוללים תיאוריות של "בקרה עצמית" מאורגנת (SOC), או "זהות עצמית".
## הכללה
מודלים חדשים מראים הכללה של המודל המקורי של גוטנברג-ריכטר. בין אלה הוא זה שפורסם על ידי Oscar Sotolongo-Costa ו-A. Posadas בשנת 2004, מתוכם R. Silva et al., 2006 הציג את הצורה המתוקנת הבאה,

: 
\log N_{>m}=\log N+\left(\frac{2-q}{1-q}\right)\log \left[1-\left(\frac{1-q}{2-q}\right)\left(\frac{10^{2m}}{a^{2/3}}\right)\right]


כאשר *N* הוא המספר הכולל של האירועים, *a* הוא קבוע פרופורציונלי ו-*q* מייצג את פרמטר "אי-ההרחבה" שהציג קונסטנטינו צאליס, כדי לאפיין מערכות שאינן מוסברות על ידי הצורה הסטטיסטית של בולצמן-גיבס למערכות פיזיקליות בשיווי משקל.

ניתן לראות במאמר שפורסם על ידי N. V. Sarlis, E. S. Skordas, and P. A. Varotsos ב-2010, שמעל סף גודל מסוים, משוואה זו מצטמצמת לצורת גוטנברג-ריכטר המקורית עם:
: 
b=\frac{2(2-q)}{q-1}

עוד התקבלה הכללה נוספת מפתרון המשוואה הלוגיסטית המוכללת. במודל זה נמצאו ערכים של פרמטר b עבור אירועים שתועדו ב:מרכז האטלנטי, האיים הקנריים, הרי מגלן  וים יפן. המשוואה הלוגיסטית המוכללת המיושמת על פליטה אקוסטית בבטון על ידי Kishen & Burud , הראתה, שערך b שהתקבל ממשוואה לוגיסטית כללית, עלה באופן מונוטוני עם הנזק, והתייחס אליו כערך b תואם נזק.
הכללה חדשה פורסמה באמצעות טכניקות סטטיסטיות בייסיאניות, ממנה מוצגת צורה חלופית לפרמטר b של גוטנברג-ריכטר. המודל יושם על רעידות אדמה עזות שהתרחשו בצ'ילה, משנת 2010 עד שנת 2016.

## הקשר בין ערך b לזמן החזרה של רעידות אדמה גדולות
בחוק גוטנברג-ריכטר *logN<small><sub>10</sub></small> =a−bM,* ערך b קובע את המהירות שבה תדירות רעידות האדמה יורדת עם העלייה במגניטודה, ולכן קובע גם באיזו תדירות מתרחשות רעידות אדמה גדולות יחסית לרעידות אדמה קטנות.  

המשמעות של ערך b היא, שמכיוון שהחוק מרמז על כך ש: *N(M≥m)∝10−bm*, כך שאם *b≈1*, הגדלת המגניטודה ביחידה אחת, מפחיתה את מספר האירועים בערך פי 10. ערך b נמוך יותר (למשל, 0.7) פירושו, יחסית יותר אירועים גדולים: העקומה מתונה יותר, כך שרעידות אדמה גדולות שכיחות יותר בהשוואה לרעידות אדמה קטנות. ערך *b* גבוה יותר (למשל, 1.3–2) פירושו יחסית פחות אירועים גדולים: העקומה תלולה יותר, כך שקצב רעידות האדמה הגדולות יורד מהר יותר.   

כדי להפוך תדירות ל"זמן חזרה", משתמשים בקצב עבור מגניטודות מעל סף מסוים שהוא *M<small><sub>0</sub></small>*. אם *N*(*M≥M<small><sub>0</sub></small>*) לשנה הוא הקצב הממוצע מהתאמת חוק גוטנברג-ריכטר, אזי תקופת החזרה הממוצעת היא בקירוב *T*(*M≥M<small><sub>0</sub></small>*)*≈1/N*(*M≥M<sub><small>0</small></sub>*).    
[250px|ממוזער|שמאל|קשר תדירות-גודל עבור [בקעת הירדן (Shapira, 1983). הקווים האנכיים מציינים סטיית תקן אחת הנצפית f (התפלגות פואסונית). הקו המקווקו הוא קירוב לצורת ה-log-liner.]]
מכיוון ש: *N*(*M≥M<small><sub>0</sub></small>*)*∝10^*(*-bM**<small>0</small>* ) עבור רמת סייסמיות קבועה (ערך *a* קבוע), b קטן יותר מגדיל את *N*(*M≥M<small><sub>0</sub></small>*), כך שתקופת החזרה של רעידות אדמה גדולות מתקצרת. ערך b גדול יותר, מקטין את *N*(*M≥M<small><sub>0</sub></small>*), כך שתקופת החזרה מתארכת, כלומר, אירועים גדולים מפוזרים על פני זמן רב יותר.   

דרך מעשית לנסח זאת: באזור עם אותה פעילות סייסמית כוללת (אותו ערך a), ערך *b* נמוך מצביע על הסתברות יחסית גבוהה יותר, ולכן זמן חזרה צפוי קצר יותר עבור רעידות אדמה גדולות. ערך *b* גבוה מצביע על ההפך.

## המודל בישראל
בישראל נעשו מספר ניסיונות להגיע להכללה על בסיס הידוע מרעידות אדמה קטנות וגדולות שהתרחשו באזור באלפיים השנים האחרונות. חלקם בשנות ה-80 של המאה ה-20, וחלקם בעשור השני של המאה ה-21. המחקרים המודרניים יותר מצאו, שקודמיהם העריכו בחסר את הסכנה הסייסמית באזור ארץ ישראל, והמטרה במחקריהם הייתה לאזן את המומנט הסייסמי כפי שהם סבורים שמצטבר כתוצאה מתנועת הלוחות, מה שככל הנראה יביא לסייסמיות גבוהה יותר, ולזמן חזרה  קצר יותר מאלו המתקבלים ממודל גוטנברג - ריכטר בישראל. זמן החזרה שהתקבל בזמנו ממודל גוטנברג-ריכטר בישראל לרעידת אדמה הרסנית, קרי מגניטודה מעל 6, היה אחת למאה שנים בקירוב. זמן החזרה המתקבל מהמחקרים הנ"ל של המאה 21 הוא, על פי אחד המודלים שהוצגו בעבודות, 63 שנים בלבד.

מחקר מאוחר יותר משנת 2022 מצא בנוסף לנ"ל, כי ניתן להצביע על מקטעים זוחלים ונעולים של טרנספורם ים המלח (DST)   בשני אזורי פערים סייסמיים: אזור חצבה ואזור (עמק) בית שאן.

## ראו גם
* סולם ריכטר - מידת רעש, מידת אדם - ספר הביוגרפיה של צ'ארלס ריכטר, פרקים: 7 (בנו גוטנברג, עמ' 82 - 101) ו-9 (סולם ריכטר, עמ' 112 - 131)
* סכנה סייסמית
* סיכון סייסמי

## ביאורים

## הערות שוליים

*
קטגוריה:רעידות אדמה
קטגוריה:סייסמולוגיה
קטגוריה:גאולוגיה
קטגוריה:ניהול סיכונים
קטגוריה:שיטות מחקר
קטגוריה:תאוריות גאולוגיות
קטגוריה:תאוריות מדעיות
קטגוריה:אסונות טבע