הפוסטולטים של תורת הקוונטים

ערך זה עוסק בהנחות ובעקרונות היסוד של תורת קוונטים לא יחסותית כפי שמקובל להציגם בגישה המודרנית. הערך מציג את ניסוח דיראק, אשר משלב את שני הניסוחים הקודמים: מכניקת המטריצות של ורנר הייזנברג, ומשוואת הגל של ארווין שרדינגר. מאוחר יותר פותחו לתורת הקוונטים ניסוחים שונים מאוד, אך שקולים, למשל ניסוח אינטגרלי מסלול של ריצ'רד פיינמן, וניסוח תורת הקוונטים במרחב הפאזה של חוסה אנריקה מויאל ואחרים.

לשם הבנת הערך רצוי להכיר את סימון דיראק.

## מצב המערכת

מצב של מערכת קוונטית ניתן לאפיון על ידי וקטור במרחב הילברט מופשט כלשהו. וקטור זה 'מכיל' את כל המידע הקיים על מצב המערכת במובן שיתואר להלן. סימון מקובל לווקטור זה הוא |\psi\rangle, והוא מכונה וקטור ket.
דוגמאות לווקטורי מצב:
* |x_0\rangle מערכת חד־ממדית עם חלקיק הממוקם בנקודה \ x= x_0 .
*  |\vec p\rangle  חלקיק עם תנע \vec p .
* | E_n \rangle חלקיק הנמצא ברמת האנרגיה ה \ n -ית בבור פוטנציאל כלשהו.
מרחב ההילברט בו 'חי' וקטור המצב הוא מרחב וקטורי בעל מכפלה פנימית מעל המרוכבים. המכפלה הפנימית בין מצבים  |\psi\rangle   ו-  |\phi\rangle  מסומנת ב-\langle\phi|\psi\rangle. 
שני וקטורים הנבדלים זה מזה על ידי כפל בסקלר מייצגים אותה מערכת פיזיקלית. נהוג לעבוד עם מצבים מנורמלים המקיימים \langle\psi|\psi\rangle=1. במקרה זה עדיין שני מצבים הנבדלים זה מזה בפאזה  e^{i\varphi}  יתארו אותה מערכת פיזיקלית.

## גדלים מדידים
לכל גודל פיזיקלי מדיד מתאים אופרטור הרמיטי הפועל במרחב ההילברט.
לדוגמה לגודל המדיד תנע מתאים אופרטור התנע המסומן לרוב כ \hat p , ולאנרגיה מתאים אופרטור ההמילטוניאן המסומן לרוב ב \mathcal{H}. הווקטורים העצמיים של האופרטורים (מכונים גם מצבים עצמיים) מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה.

### מדידה

הערכים היחידים שניתן לקבל במדידת גודל פיזיקלי כלשהו הם הערכים עצמיים של האופרטור המתאים לגודל זה. במדידה ניתן לקבל כל אחד מן הערכים בהסתברות מסוימת, התלויה במצב המערכת הנמדדת,  |\psi\rangle , ונקבעת באופן הבא:

נניח שהאופרטור (ההרמיטי) \ A  מתאר גודל פיזיקלי מדיד כלשהו. נסמן את המצבים העצמיים של האופרטור ב-
| a_i,\gamma \rangle. בסימון זה:
* \ a_i  הוא הערך העצמי, כלומר מתקיים A| a_i,\gamma \rangle=a_i| a_i,\gamma \rangle,
* \ \gamma  הוא אינדקס נוסף המבדיל בין מצבים 'מנוונים' (בעלי אותו ערך עצמי). מצבים אלו פורשים תת-מרחב עצמי של \ A .
נגדיר אופרטורי הטלה לתתי המרחבים העצמיים של \ A : 


 \Lambda_i = \sum_\gamma | a_i,\gamma \rangle \langle a_i,\gamma| .


ההסתברות לקבל במדידה את הערך \ a_i  נתונה על ידי:
 \langle \psi | \Lambda_i | \psi \rangle =  \sum_\gamma |\langle a_i,\gamma|\psi\rangle|^2 

את התוצאה הנ"ל ניתן להכליל למקרה בו ספקטרום הערכים העצמיים הוא רציף.

פעולת המדידה משנה את המצב ומותירה רק רכיבים שקונסיסטנטים עם התוצאה שהתקבלה במדידה. כלומר אם במדידה התקבל הערך \ a_j  המערכת תעבור למצב:
 | \psi \rangle \rightarrow \frac{1}{ \langle \psi | \Lambda_j | \psi \rangle} \Lambda_j |\psi \rangle 

## דינמיקה קוונטית

ההתפתחות בזמן של מערכת קוונטית מתוארת בעזרת אופרטור ההתפתחות בזמן \ U(t,t_0)  המקדם את המערכת מזמן \ t_0  לזמן \ t . זהו אופרטור אוניטרי המקיים את משוואת שרדינגר:
 i \hbar \frac{\partial}{\partial t}  U(t,t_0)= \mathcal{H} U(t,t_0) 
עם תנאי ההתחלה \ U(t,t_0) = 1.

יש כמה אפשרויות להסביר באיזה מובן אופרטור ההתפתחות בזמן מקדם את המערכת בזמן.
אפשרויות הסבר אלו מכונות תמונות, והבולטות שבהן הן תמונת שרדינגר ותמונת הייזנברג.

בתמונת שרדינגר, מצב המערכת משתנה בזמן לפי:
|\psi(t)\rangle = U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle
בעוד שהאופרטור המייצגים גדלים פיזיקליים קבועים בזמן.

בתמונת הייזנברג, מצב המערכת קבוע בזמן בעוד שהאופרטורים מתפתחים על פי:
A(t)=U^{\dagger}(t,t_0) A(t_0) U(t,t_0) 

## ראו גם
* מכניקת הקוונטים
* סימון דיראק
* בעיית המדידה
* פרשנות קופנהגן

## לקריאה נוספת

* Claude Cohen-Tannoudji, Quauntum Mechanics (במיוחד פרק 3)
* J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics


## הערות שוליים

פוסטולטים של תורת הקוונטים