משפט ארבעת הריבועים של יעקובי

**משפט ארבעת הריבועים של יעקובי** (באנגלית: **Jacobi's four squares theorem**) נותן נוסחה לגבי מספר הדרכים בהן מספר *n* ניתן להצגה כסכום של ארבעה ריבועים. המשפט הוא הרחבה של משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' בכך שהוא מראה לא רק שהצגה כזאת תמיד קיימת, אלא גם מניב מידע על **מספר ההצגות** של מספר כסכום של ארבעה ריבועים.

## היסטוריה

המשפט הוכח ב-1834 על ידי קרל גוסטב יעקב יעקובי.

## המשפט

שתי הצגות נחשבות לשונות אם הסדר של האיברים בהן שונה או אם המספרים השלמים שמעלים בריבוע שונים (לא רק ערך הריבוע עצמו); למשל, אלו הן 3 מתוך 8 ההצגות האפשריות של 1 כסכום של ארבעה ריבועים:

:
\begin{align}
& 1^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 \\
& 0^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 \\
& (-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2.
\end{align}


המשפט של יעקובי קובע שמספר ההצגות של n כסכום של ארבעה ריבועים שווה לשמונה פעמים סכום המחלקים של n אם n אי-זוגי ול-24 פעמים סכום המחלקים האיזוגיים של n אם n זוגי:

r_4(n)=\begin{cases}8\sum\limits_{m|n}m&\text{if }n\text{ is odd}\\[12pt]
24\sum\limits_{\begin{smallmatrix} m|n \\ m\text{ odd} \end{smallmatrix}}m&\text{if }n\text{ is even}.
\end{cases}

באופן שקול, זהו 8 פעמים סכום המחלקים של n שלא מתחלקים ב-4,כלומר : 

r_4(n)=8\sum_{m\,:\, 4\nmid m|n}m.

## סקירה של ההוכחה
**ההוכחה בקווים כללים**:

ההוכחה עושה שימוש בשיטות מתורת הפונקציות האליפטיות כדי להראות שפונקציית תטא המקושרת לסריג **Z**4 היא תבנית מודולרית מרמה מסוימת, ולכן שווה לצירוף ליניארי של טורי איזנשטיין. הטכניקות הללו אפשרו ליעקובי לגזור את הזהות הקריטית (1 + 2\sum_{n=1}^\infty q^)^4 = 1 + 8\sum_{n=1}^\infty \frac , כאשר הפונקציה היוצרת (אגף ימין של הזהות) של החזקה הרביעית של פונקציית תטא (אגף שמאל של הזהות) היא כזו שהמקדם ה-*i* בה שווה למספר ההצגות של *i* כסכום של ארבעה ריבועים r_4(i).

**קבלת הנוסחה המפורשת של יעקובי מן הזהות**:

כאשר מקבלים זהות זאת כנכונה, התוצאה של יעקובי נובעת אז מביצוע מניפולציות מסוימות על אגף ימין; מתקיים:
\sum_{n=1}^\infty \frac  = \sum_{n=1}^\infty n(\sum_{k=1}^\infty (-1)^ q^) , כאשר המעבר נובע מנוסחת הסכימה לטור הנדסי אינסופי (כאשר q b\cdot q^i  כאשר b מספר שלם כלשהו. כעת נבחין כי עבור כל *n*, הביטוי  n \sum_{k=1}^\infty (-1)^ q^ מניב רק מחוברים שהמעריך שלהם מתחלק ב-*n*. זה מרמז על כך שהתרומות למקדם של  q^i  נעשות רק על ידי מחוברים מהצורה (-1)^n q^  כאשר *n* מחלק את *i* (שכן  i = kn ). לכן מתקבל שבשקלול שתי הסכימות, המקדם של  q^i  שווה ל-: 
 8 \sum_{d=1}^{d = i}(-1)^{1 + d + \frac + i}d.

כעת נראה כי הביטוי הזה נותן את הנוסחה המפורשת שהופיעה לעיל. נוכיח באינדוקציה על *p* שהביטוי הזה נותן את הנוסחה המפורשת של יעקובי עבור 
i = 2^p m כאשר m אי זוגי. כאשר *i* אי זוגי כל מחלקיו אי זוגיים, לכן תמיד  (-1)^{1 + d + \frac + i} = 1  ולפיכך הסכום הוא על כל המחלקים של *i*, ובכך תמו הוכחת החלק הראשון של הנוסחה של יעקובי ובדיקת בסיס האינדוקציה (p = 0). עבור כל מחלק אי זוגי *o* של *i* ניתן לייצר מחלקים זוגיים של *i* על ידי הכפלתו בחזקות של 2 עם מעריך שקטן או שווה ל-*p*. מבדיקת זוגיות המעריך של 1- נקבל, שפרט למקרים של d = 1,i, עבור כל המחלקים הזוגיים שנוצרים על ידי מחלק אי זוגי פרימיטיבי *o* המעריך של 1- הוא אי זוגי, לכן מתקבלת התוצאה למספר ההצגות: 
 8 \sum_{d=1}^{d = i}(-1)^{1 + d + \frac + i}d = 8 \sum_{o=1}^{o = \frac } o (1 + 2^p - 2^{p-1} - ... - 2) = 8 \sum_{o=1}^{o = \frac } o (1 + 2) = 24 \sum_{o=1}^{o = \frac } o .

## קישורים חיצוניים
* 

קטגוריה:משפטים בתורת המספרים