משפט גליסון-כהנא-ז'לאזקו

באנליזה פונקציולית הוא משפט המאפיין את הפונקציונלים הליניארים הכפליים מעל אלגברת בנך. המשפט נקרא ע"ש המתמטיקאים שהוכיחו אותו גליסון בשנת 1967 באופן בלתי תלוי בקיין וזלזקו שהוכיחו את המשפט ב 1968.

## ניסוח המשפט
תהי \mathcal{A}אלברת בנך ונסמן ב G(\mathcal{A})את אוסף האיברים ההפיכים על \mathcal{A}. נסמן ב e את איבר היחידה ב \mathcal{A}. יהי F פונקציונל ליניארי (רציף) כפלי על \mathcal{A}. בבירור צריך להתקיים ש F(e) = 1 וכן ש F(x) \neq 0 לכל x ב G(\mathcal{A}). לפי המשפט זהו גם תנאי מספיק לכפליות ולרציפות F כלומר:

כל פונקציונל על \mathcal{A} המקיים  \phi(e) = 1, \phi(x) \neq 0 \forall x \in G(\mathcal{A}) הוא בהכרח רציף וכפלי.

## הוכחה
לצורך ההוכחה נצטרך את הטענה הבסיסית הבאה לגבי אלגבראות בנך:

**עובדה:** יהי x \in \mathcal{A}כך ש \|x\| אז x-e הפיך (רעיון ההוכחה: לא קשה להראות שסדרת הסכומים החלקיים של \sum_{k}x^k היא סדרת קושי ומשלמות מתכנסת. הגבול הוא ההופכי).

**למה:** תהי f פונקציה שלמה המקיימת f(0) = 1,f'(0)=0,0 אז f \equiv 1.

הוכחת הלמה: כיוון ש f לא מתאפסת אז יש לה לוגריתם אנליטי g. מהנתונים נקבל ש g(0) = g'(0) = 0 וכן \real(g(\lambda)) \leq |\lambda|. יהי r>0. נקבל מהאי שוויון הקודם שלכל |\lambda|\leq r, |g(\lambda)| \leq |2r - g(\lambda)|. נגדיר את הפונקציה הבאה:

h_{r}(\lambda) := \tfrac{r^2g(\lambda)}{\lambda^2(2r-g(\lambda))}. אזי h אנליטית במעגל ברדיוס 2r. כמו כן אם |\lambda|= rאז נקבל ש|h_r(\lambda)| \leq 1. כעת מעקרון המקסימום, |h_r(\lambda)| \leq 1 לכל |\lambda|\leq r. נשאיף r \to \inftyונקבל שבהכרח g=0.

**הוכחת המשפט:**

יהי N = \ker(\phi). יהו x,y \in \mathcal{A}ההנחה ש \phi(e) = 1גוררת שאפשר לרשום x = a+\phi(x)e,y=b+\phi(y)eכאשר a,b \in N. \phi(xy) = \phi(ab) + \phi(x)\phi(y)ולכן על מנת להראות את הכפליות יש להוכיח ש a,b \in N \Rightarrow ab \in N.נניח תחילה שהוכחנו מקרה פרטי, כלומר a \in N \Rightarrow a^2 \in N. נקבל ש \phi(x^2) = \phi(x)^2. נציב x+y במקום x ונקבל ש \phi(xy+yx) = 2\phi(x)\phi(y). לכן x \in N \Rightarrow xy+yx \in N. נתבונן בזהות הבאה: (xy-yx)^2 + (xy+yx)^2 = 2(x(yxy)+(yxy)x).

נניח ש x \in N. מהטענה הקודמת ומההנחה ש a \in N \Rightarrow a^2 \in N נקבל שצד ימין וכן (xy+yx)^2ב N. לכן (xy-yx)^2ב N וכיוון ש \phi(x^2) = \phi(x)^2נקבל ש xy-yxב N. לכן xy,yx ב N ונקבל את הכפליות.

נוכיח כעת ש \phiרציף. מההנחה אין ב N איברים הפיכים ולכן מהעובדה למעלה, \|x-e\| \geq 1 \forall x \in N. לכן לכל \lambda \in \Complex,x \in N \|x-\lambda e\| \geq |\lambda| = |\phi(x-\lambda e)| לכן נסיק ש \phiרציף ומנורמה 1.

נשאר להוכיח ש a \in N \Rightarrow a^2 \in N. נקבע a \in N . ללא הגבלת הכלליות, \|a\| = 1. נגדיר f(\lambda) := \sum_{k=0}^\infty \tfrac{\phi(a^n)\lambda^n}{n!}. כיוון ש |\phi(a^n)| \leq \|a^n\| \leq \|a\| ^n =1נקבל ש f שלמה ומקיימת |f(\lambda)| \leq e^ בבירור f(0) = 1,f'(0)=\phi(a)=0. נראה ש f לא מתאפסת: הסדרה E(\lambda) := \sum_{k=0}^\infty \tfrac{\lambda^n}{n!}a^n מתכנסת בנורמה ומרציפות \phi נקבל ש f(\lambda) = \phi(E(\lambda)) הפונקציה E מקיימת משוואה פונקציונלית זהה לאקספוננט: E(\lambda_1+\lambda_2)=E(\lambda_1)E(\lambda_2)(אותה הוכחה). בפרט e=E(0)=E(\lambda)E(-\lambda). לכן

לכל \lambda \in \Complex, E(\lambda)הפיך ולכן מהנתון f לא מתאפסת. מהלמה נקבל ש f \equiv 1ובפרט \phi(a^2) = f''(0)=0וקיבלנו את הדרוש.

## ראו גם
* אלגברת בנך

## לקריאה נוספת
* רודין. וולטר, אנליזה פונקציונלית, 1973, Tata MacGraw-Hill.

## קישורים חיצוניים
* משפט גליסון-קיין-זלזקו, באתר האנציקלופדיה למתמטיקה.

קטגוריה:אנליזה פונקציונלית
קטגוריה:משפטים באנליזה פונקציונלית