מטוטלות מתמטיות צמודות

**מערכת מטוטלות מתמטיות צמודות**, או "מטוטלת בעלת מספר מתנדים צמודים" היא מערכת מכנית בה ישנן מספר מטוטלות שקשורות אחת לקצה השנייה. הטיפול במשוואות התנועה שלהן מתנהל בעזרת משוואות אוילר-לגראנז', וקירובי זוויות קטנות. 

עבור מטוטלת מתמטית פשוטה, יש למערכת תדירות עצמית (eigenvalue) לפיה המערכת מתנודדת. במקרה זה, עבור N מטוטלות יהיו למערכת N תדירויות עצמיות לפיהן תנוע המערכת. ניתן למצוא את התדירויות האלו באמצעות מעקב אחר מיקום המטוטלות כפונקציה של הזמן, והתמרת הפורייה של מידע זה תיתן את התדירויות העצמיות של המערכת. 

## ניתוח מתמטי עבור שני מתנדים צמודים
שמאל
כמו בבעיות רבות בפיזיקה, ישנן כמה דרכים להגיע לאותו פתרון. מכיוון שקשה לעסוק במשוואות כוחות ומומנטים למספר רב של גופים, ניתוח פשוט יותר יעשה באמצעות משוואות אוילר לגראנז'. משוואות אלו עושות שימוש בשיקולי אנרגיה בלבד ובכך המתמטיקה נעשית פשוטה יותר. 

נחשב תחילה את המיקום של כל גוף כפונקציה של הזמן, בכל ציר (נתייחס לזוויות כפונקציות שתלויות בזמן נגדיר Vn,x - המהירות בציר X, של מטוטלת מספר N (וכמו כן עבור ציר Y) :

\ X_{1(t)} = R_1 \sin \phi, Y_{1(t)} =R_1 \cos \phi,  
\ \rightarrow \dot X_{1(t)} = R_1 \dot \phi \cos \phi, Y_{1(t)} = -R_1 \dot \phi \sin \phi,  

\ X_{2(t)} = R_1 \sin \phi + R_2 \sin \psi, Y_{2(t)} =R_1 \cos \phi+ R_2 \cos \psi 
\ \rightarrow \dot X_{2(t)} = R_1 \dot \phi \cos \phi + R_2 \dot \psi \cos \psi, \dot Y_{1(t)} = -R_1 \dot \phi \sin \phi -R_2 \dot \psi \sin \psi  

על מנת לחשב את משוואות התנועה עבור מטוטלת בעלת שני גופים, נכתוב את הלגראנז'יאן של המערכת. לפי משוואות אלו: 

 \ T = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2  

כאשר: T - האנרגיה הקינטית האצורה במערכת. ממשפט פיתגורס ידוע כי: 
 \ v_1^2 = v_{1,x}^2 + v_{1,y}^2 מכאן:

 \ T = \frac{1}{2} [m_1 (v_{1,x}^2 + v_{1,y}^2) + m_2(v_{2,x}^2 + v_{2,y}^2) = m_1 R_1^2 \dot \phi ^2 + m_2 R_1^2 \dot \phi ^2 + m_2 R_2^2 \dot \psi ^2 + R_1R_2\dot \phi \dot \psi \cos (\phi - \psi)

U, אנרגיית הגובה האצורה במערכת היא:
 \ U = -g( R_1 \cos\phi (m_1+m_2)+ m_2 R_2 \cos \psi ) 

פונקציית הלגראנז' L של המערכת היא:
 \ L = T - U ;
 \ L = \frac{1}{2} [m_1 R_1^2 \dot \phi^2 + m_2 R_1^2 \dot \phi^2 + m_2 R_2^2 \psi^2 + 2m_2 R_1 R_2 \dot \psi \dot \phi \cos(\phi-\psi)] +g(R_1 \cos \phi (m_1+m_2)+ m_2 R_2 \cos \psi)
נחשב עתה את משוואת אוילר-לגראנז' לפי הזווית \ \phi :
\ \frac{d}{dt} \frac {\partial L}{\partial \dot \phi} = \frac {\partial L}{\partial \phi} לאחר חישוב הנגזרות החלקיות בכל אגף מתקבלת המשוואה:
 \ (I): m_1 R_1^2 \ddot \phi + m_2 R_2^2 \ddot \phi + m_2 R_1 R_2 \ddot \psi \cos (\phi-\psi)- m_2 R_1 R_2 \dot \psi \sin(\phi-\psi)(\dot \phi - \dot \psi) 
 \ = -m_2 R_1 R_2 \dot \phi \dot \psi \sin(\phi-\psi)- gR_1 \sin \phi (m_1+m_2 )

באותה צורה, מחישוב משוואת אוילר-לגראנז' לפי הזווית \ \psi מתקבלת המשוואה:

\ (II): m_2 R_2^2 \ddot \psi + m_2 R_1 R_2 \ddot \phi \cos(\phi-\psi)- m_2 R_1 R_2 \dot \phi \sin(\phi-\psi)(\dot \phi - \dot \psi) 
 \ = m_2 R_1 R_2 \dot \phi \dot \psi \sin(\phi-\psi)- g m_2 R_2 \sin \psi

לאחר קירוב לזווית קטנות וארגון המשוואות, מקבלים מ-(I):

\ (2,1): R_1 \ddot \phi + \frac{m_2}{m_1 + m_2} R_2 \ddot \psi = -g\psi

**הערה:** משמעות הסימונים למשוואות (n,k) הוא: המשוואה ה-k עבור n מתנדים צמודים.
מ-(II) מקבלים:

\ (2,2): R_1 \ddot \phi + R_2 \ddot \psi = -g\psi

## ניתוח מתמטי עבור שלושה מתנדים צמודים
שמאל

מחישוב משוואות אוילר לגראנז' בצורה זהה לזו שפורטה לעיל, קירוב לזוויות קטנות, וארגון המשוואות מתקבלות המשוואה הבאות:

\ (3,1): R_1 \ddot \phi + \frac {m_2+ m_3}{m_1+m_2+m_3} R_2 \ddot \psi+\frac {m_3}{m_1+m_2+m_3} R_3 \ddot \theta = -g\phi

\ (3,2): R_1 \ddot \phi+ R_2 \ddot \psi + \frac {m_3}{m_2+m_3} R_3 \ddot \theta = -g\psi

\ (3,3): R_1 \ddot \phi + R_2 \ddot \psi + R_3 \ddot \theta = -g\theta

## הכללה ל-N מתנדים צמודים
בעזרת שש המשוואות שפותחו לעיל, ננסח עתה נוסחה כללית עבור מספר (k) של מתנד במטוטלת בעלת N מתנדים:
 \ (N,k) \sum_{i=1}^K R_i \ddot \phi_i + \sum_{i=k+1}^N \ddot \phi_i R_i \frac {\sum_{j=i}^N m_i}{\sum_{j = k}^N m_i} = -g\phi_k 

כאשר: \ \phi _i היא הזווית ה-i מלמעלה

**הערה:** בנוסחה לעיל, כאשר משתמשים במשוואה עבור k=n יש להשמיט בחישוב את האיבר האחרון (המשוואה אמורה להתחיל מ k+1 ו**לעלות** עד N דבר אשר אינו אפשרי במקרה זה).

פתרון התנועה למערכת בעלת יותר משני מתנדים קשה מאוד אנליטית. ניתן לקבל הדמיה של התנועה באמצעים נומריים.

קטגוריה:מכניקה
מתמטיות צמודות