פיתוח ריילי

בפיזיקה, **פיתוח ריילי** (באנגלית: Rayleigh expansion) מבטא גל מישורי כצירוף ליניארי של גלים כדוריים:
:e^{i \mathbf k \cdot \mathbf r} = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell j_\ell(k r) P_\ell(\hat{\mathbf k} \cdot \hat{\mathbf r}),
כאשר
**i* היא היחידה המדומה,
***k** הוא וקטור גל ממשי או מרוכב באורך *k*,
***r** הוא וקטור מיקום באורך *r*,
**j<sub>ℓ</sub>* היא פונקציית בסל כדורית מסדר *ℓ*,
**P<sub>ℓ</sub>* הם פולינומי לז'נדר, ו-
*הכובע ^ מסמן וקטור יחידה.

במקרה הפרטי שבו **k** מקביל לציר ה-*z*,
e^{i k r \cos \theta} = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell j_\ell(k r) P_\ell(\cos \theta),
כאשר *θ* היא הזווית הפולרית של **r**.

## הוכחה
### שלב ראשון
מאחר ופולינומי לז'נדר מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה, עבור מרחק נתון מהראשית *r* ניתן להציג את פונקציית הגל \psi= e^{ikz} כצירוף ליניארי של פולינומי לז'נדר. לכן, נכתוב תחילה את \psi כסכום אינסופי של פולינומי לז'נדר עם מקדמים שמשתנים בתלות ב-*r* (אלו הם החלקים הרדיאליים של הפיתוח), כלומר:
:e^{i k z}=\sum_{\ell=0}^{\infty}A_{\ell}(r)P_{\ell}(\cos\theta)
נוכיח ש-A_{\ell}(r)=c_\ell j_\ell(kr), כאשר c_\ell קבוע מרוכב. לשם כך נפעיל את אופרטור הלפלסיאן \nabla^2 על שני האגפים:
::\nabla^2 (e^{i k z})=\nabla^2(\sum_{\ell=0}^{\infty}A_{\ell}(r)P_{\ell}(\cos\theta))
מכיוון שתוצאת הפעלת הלפלסיאן אינה תלויה במערכת הקואורדינטות, ניתן לחשב את הלפלסיאן באגף שמאל בקואורדינטות קרטזיות ואת הלפלסיאן באגף ימין בקואורדינטות כדוריות. הלפלסיאן באגף שמאל מקיים \nabla^2\psi=-k^2\psi, ומצד שני פולינומי לז'נדר הם פונקציות עצמיות של החלק הזוויתי של הלפלסיאן באגף ימין (אותו יש לפרש בקואורדינטות כדוריות) עם ערך עצמי \ell(\ell+1). מאחר ופולינומי לז'נדר בלתי תלויים לינארית, הדרך היחידה שבה אגף ימין יקיים את משוואת הלמהולץ
(\nabla^2+k^2)\psi=0 היא שמשוואת הלמהולץ תתקיים עבור כל איבר A_\ell P_{\ell}(\cos\theta) בנפרד; אחרת, ממשוואה זאת ינבע צירוף ליניארי של פולינומי לז'נדר שנותן אפס.

הפעלת החלק הרדיאלי של הלפלסיאן על A_\ell(r) מניבה בשילוב עם התוצאות הקודמות את המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה:
:r^2\frac{d^2A_\ell}{dr^2}+2r\frac{dA_\ell}{dr}+((kr)^2-\ell(\ell+1))A_\ell=0
זוהי המשוואה הדיפרנציאלית המגדירה את פונקציית בסל הכדורית j_\ell(kr), כך שאכן מתקיים A_{\ell}(r)=c_\ell j_\ell(kr) (הפתרון השני למשוואה דיפרנציאלית זאת, המכונה פונקציית ניומן הכדורית, נפסל אוטומטית כי הוא מתבדר ב- r=0).

### שלב שני
נחשב כעת את המקדמים c_\ell של הצירוף הלינארי. נסמן x=kr ו-t=\cos\theta, ונפתח לטור טיילור את שני האגפים כפונקציה של שני משתנים x ו-t. מפיתוח טיילור של האקספוננט המרוכב באגף שמאל עולה שהמקדם של x^{\ell} באגף שמאל הוא \frac{i^{\ell}t^{\ell}}{\ell!}. מחקירת משוואת בסל הכדורית בגבול x\rightarrow 0 עולה שהחזקה הנמוכה ביותר של *x* בפיתוח של j_\ell(x) לטור טיילור (זהו האיבר המוביל בגבול זה) היא \frac{x^{\ell}}{(2\ell+1)!!} כאשר (2\ell+1)!!= 1\cdot 3\cdots (2\ell+1) היא העצרת הכפולה. המקדם של x^{\ell} באגף ימין (שצריך להיות זהה) מורכב לפיכך מן התרומות של כל האיברים c_n j_n(x)P_n(t) עבור אינדקס *n* המקיים 0\le n\le\ell. עם זאת, מאחר שהמרחב הלינארי הנפרש על ידי קבוצת המונומים 1,t,t^2,\dots t^{\ell-1} הוא אותו מרחב שנפרש על ידי פולינומי לז'נדר P_0(t),P_1(t),P_2(t)\cdots P_{\ell-1}(t), נובע שאם התרומה של האיברים c_n j_n(x)P_n(t) עבור 0\le n\le\ell-1 למקדם של x^{\ell} שונה מאפס, אז ניתן להציג את
 t^{\ell} כצירוף לינארי של פולינומי לז'נדר ממעלה 0\le n\le\ell-1, וזה כאמור מקודם, אינו אפשרי. לפיכך התרומה היחידה למקדם של x^{\ell} מגיעה מהאיבר c_\ell j_\ell(x)P_\ell(t), כלומר מתקיים:
:(\frac{i^{\ell}t^{\ell}}{\ell!})x^{\ell}=c_{\ell}\frac{1}{(2\ell+1)!!}\frac{2\ell\cdot(2\ell-1)\cdots(\ell+1)}{2^{\ell}\ell!}t^{\ell}x^{\ell}
כאשר במעבר האחרון נעשה שימוש בנוסחת רודריגס כדי לבטא את המקדם של t^{\ell} בפולינום לז'נדר P_{\ell}(t). לכן:
:c_\ell=i^{\ell}\frac{2^{\ell}(2\ell+1)!!}{2\ell\cdot(2\ell-1)\cdots(\ell+1)} = i^{\ell}(2\ell+1)\frac{2^{\ell}\ell!(2\ell-1)!!}{(2\ell)!}
נשים לב כעת שהעצרת הכפולה (2\ell-1)!! במונה באגף ימין רצה על כל הגורמים האי-זוגיים בין 1 ל-2\ell, ולכן בחלוקה ב-(2\ell)! נשארו במכנה כל הגורמים הזוגיים בין 1 ל-2\ell. מכפלת הגורמים הזוגיים הללו היא בדיוק 2^{\ell}\ell!, כך שהשבר באגף ימין הוא בדיוק 1 וקיבלנו לבסוף:
:c_\ell=i^{\ell}(2\ell+1)

## ראו גם
* אנליזת גלים חלקיים

קטגוריה:גלים