מסנן (תורת הקבוצות)

בתורת הקבוצות, **מסנן** מעל קבוצה X הוא: משפחה לא ריקה של תת-קבוצות של X, הסגורה להגדלה ולחיתוך סופי, ואינה כוללת את הקבוצה הריקה. למסננים שימושים רבים בתורת הקבוצות המודרנית, לרבות לוגיקה מתמטית ואלגברה בוליאנית, ובטופולוגיה (דרך קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך).

## מבוא

### הגדרות

תהי X קבוצה. משפחה \ \mathcal{F} \subset P(X), שאינה ריקה ואינה כוללת את הקבוצה הריקה, נקראת **מסנן**, כאשר לכל \ A \in \mathcal{F} כל B המקיים \ A \subset B\in P(X) מקיים גם \ B \in \mathcal{F}, ולכל \ A_1, A_2 \in \mathcal{F} מתקיים \ A_1 \cap A_2 \in \mathcal{F}. 

**דוגמאות**. 
# הדרך הקלה ביותר לבנות מסנן היא לקחת את כל הקבוצות המכילות קבוצה קבועה. מסנן כזה נקרא **מסנן ראשי**. במובנים רבים המסננים הראשיים הם טריוויאליים. 
# אוסף הסביבות של נקודה במרחב טופולוגי הוא מסנן. 
# כאשר  X קבוצה אינסופית, אוסף הקבוצות שהמשלים להן סופי הוא **המסנן הקו-סופי** או **מסנן פרשה** (על-שם מוריס פרשה, אחד ממייסדי הטופולוגיה). באופן כללי יותר אפשר להגדיר את המסנן הקו-\lambda, לכל עוצמה \ \lambda.
כל אוסף תת-קבוצות S המקיים את תכונת החיתוך הסופי יוצר מסנן: אברי המסנן הם הקבוצות המכילות חיתוך סופי כלשהו מ-S.

### על-מסננים

מסנן מקסימלי, כלומר, כזה שאינו מוכל באף מסנן גדול יותר, נקרא **על-מסנן** (ultrafilter). עבור כל קבוצה \ A \subset X, על-מסנן מוכרח להכיל את A או את המשלים \ X-A. על-מסנן המכיל קבוצה סופית מכיל גם יחידון, ולכן הוא ראשי. על-מסנן שאינו ראשי מוכרח להכיל את המסנן הקו-סופי.

מסנן שחיתוך כל הקבוצות בו הוא ריק, נקרא **מסנן חופשי**; לדוגמה, המסנן הקו-סופי הוא כזה. מסנן חופשי אינו יכול להיות ראשי. מסנן הסביבות של נקודה במרחב T1 קשיר אינו חופשי, וגם אינו ראשי. לעומת זאת, על-מסנן הוא חופשי אם ורק אם אינו ראשי.

האיחוד של שרשרת עולה של מסננים הוא מסנן. לפי הלמה של צורן, נובע מכך שכל מסנן מוכל בעל-מסנן. תוצאה זו נקראת **משפט העל-מסנן**, ובעזרת מסנן פרשה נובע ממנה שיש על-מסננים לא ראשיים.

### ניסוח במונחי אלגברה בוליאנית

לכל קבוצה X, קבוצת החזקה \ P(X) היא אלגברה בוליאנית; זהו חוג קומוטטיבי, ביחס לפעולות ההפרש הסימטרי כחיבור, והחיתוך ככפל. באלגברה הזו, אידיאל הוא משפחה של תת-קבוצות, הסגורה להקטנה ולאיחוד סופי. מכאן ש\ \mathcal{F} \subset P(X) הוא מסנן, אם ורק אם אוסף המשלימים \ \mathcal{F}^c = \{A^c : A\in \mathcal{F}\} הוא אידיאל. המסנן ראשי אם ורק אם האידיאל המתאים לו ראשי, והוא על-מסנן אם ורק אם האידיאל המתאים לו הוא אידיאל מקסימלי.

### בסיס
קבוצה \ B \subset P(X) תיקרא **בסיס** למסנן \ \mathcal{F} אם היא סגורה לחיתוכים סופיים ולכל  \ f \in \mathcal{F}   יש \ b \in B כך ש-\ b \subset f. (מסנן כזה, אם קיים, הוא יחיד) באופן שקול, \ \mathcal{F}  הוא המסנן הקטן ביותר שמכיל את B.

קבוצה B יכולה להיות בסיס למסנן אם ורק אם היא לא ריקה, לא מכילה את הקבוצה הריקה ולכל \ b1, b2 \in B יש \ b \in B כך ש-\ b \subset b1 \cap b2.

## מסננים מיוחדים

תורת הקבוצות המודרנית עוסקת רבות במסננים על קבוצת המספרים הטבעיים. לצורך ההגדרות בהמשך, מסמנים (עבור קבוצות של מספרים טבעיים) A \subseteq^* B אם ההפרש B-A סופי, ו-A =^* B אם A \subseteq^* B \subseteq^*A . מסנן \mathcal{F} המקיים את התכונות השקולות הבאות נקרא **נקודת-P**: 
# כל שרשרת יורדת ב-\mathcal{F} (לגבי היחס \subseteq^*), חסומה מלרע שם (לגבי אותו יחס).
# לכל פירוק \mathbb{N} = P_1 \cup P_2 \cup \cdots לקבוצות אינסופיות, או שאחד החלקים P_i שייך למסנן, או שיש במסנן קבוצה X שהחיתוך שלה עם כל חלק הוא סופי.
# לכל פירוק \mathbb{N} = P_1 \cup P_2 \cup \cdots לקבוצות אינסופיות, המסנן \mathcal{F} אינו מכיל את המסנן \mathcal{F}(P) (שהוא, לפי ההגדרה, המסנן הנוצר על ידי הקבוצות  \bigcup_{i>n} (P_i-\{0,1,\dots,f(i)\}), כאשר n מספר כלשהו ו-f פונקציה כלשהי.

מהשערת הרצף, או אפילו מההנחה החלשה יותר \mathfrak{b}=\mathfrak{c}, נובע שיש נקודות-P.

הגדרה זו מוליכה ל"היררכיית-P" בת \omega_1 שכבות (שיש גם מסננים מעליה). המסננים הראשיים שייכים לשכבה הראשונה \mathcal{P}_1, ואלו שהם נקודות-P לשכבה \mathcal{P}_2. ידוע שאם יש מסננים בשכבה כלשהי של ההיררכיה (מעבר לשכבת המסננים הראשיים; למשל, אם יש נקודות-P), אז יש מסננים בכל שכבה של ההיררכיה. 

## על-מכפלות

נקבע מסנן \ \mathcal{F} מעל קבוצה X. נאמר שתת-קבוצה של X היא "גדולה" אם היא שייכת למסנן, ו"קטנה" אחרת. השימוש החשוב ביותר במסננים הוא לבניית על-מכפלות, באופן הבא: אם לכל \ i \in X יש קבוצה \ A_i, אפשר להגדיר יחס שקילות על המכפלה קרטזית בהתאם למסנן: \ (a_i) \sim (b_i) אם אוסף האינדקסים שעבורם \ a_i = b_i שייך ל-\ \mathcal{F}. במילים אחרות, מזהים שני וקטורים, אם הם מסכימים זה עם זה בקבוצת אינדקסים גדולה. מרחב המנה \ \prod A_i / \mathcal{F} נקרא "מכפלה מצומצמת". אם \ \mathcal{F} על-מסנן, זוהי ה**על-מכפלה** של הקבוצות \ A_i. 

המשפט היסודי של על-מכפלות (J. Los, 1955) קובע שהעל-מכפלה של מבנים של שפה מסדר ראשון L, מקיימת פסוק של השפה, אם ורק אם הוא מתקיים בקבוצת מודלים גדולה. זוהי תוצאה יסודית בתורת המודלים. לדוגמה, לא רק שעל-מכפלה של מספר בן-מניה של שדות היא שדה -- גם אם משתתפים במכפלה מספר סופי של חוגים שאינם שדות, העל-מכפלה (ביחס לעל-מסנן לא-ראשי) היא עדיין שדה. אם בוחרים לכל נקודה \ i \in X את אותו מודל \ A_i = A, מתקבלת **על-חזקה** \ A^X/\mathcal{F}, והיא שקולה אלמנטרית ל-A. 

מן המשפט היסודי מתקבלת בנייה מפורשת עבור משפט הקומפקטיות: אם T תורה ספיקה-סופית בשפה מסדר ראשון L (כלומר, יש מודל לכל תת-קבוצה סופית של פסוקים מתוכה), ו-X קבוצת תת-הקבוצות הסופיות של T עם מודלים \ M_i לכל קבוצה סופית \ i\in X, אז קיים על-מסנן \ \mathcal{F} על X כך ש- \ \prod_{i \in X} M_i / \mathcal{F} הוא מודל לתורה T. ההוכחה אינה קונסטרוקטיבית, משום שהיא נסמכת על הקיום של על-מסננים המכילים את המסנן הקו-סופי, וזו תוצאה של גרסה חלשה של אקסיומת הבחירה. 

## ראו גם
* מסנן (מתמטיקה)
* מערכת סביבות
* על-מכפלה
## קישורים חיצוניים
* 

קטגוריה:תורת הקבוצות