השוואת תהליכים גאוסיים

**השוואת תהליכים גאוסיים** (Gaussian processes comparison) הוא אוסף של כלים אנליטיים (בעיקר אי-שוויונות) הקושרים בין התנהגותם של שני תהליכים גאוסיים באמצעות השוואת מבני השונות המשותפת שלהם. כלים אלה מאפשרים להעריך גדלים קשים לחישוב – למשל תוחלת הסופרימום או הסתברויות זנב של תהליך אחד – על-ידי השוואתם לאלו של תהליך אחר, פשוט יותר לניתוח.

## אי־שוויונות מרכזיים
### 
יהיו (X_t)_{t\in T}, ו-(Y_t)_{t\in T} תהליכים גאוסיים בעלי תוחלת 0.
נניח בנוסף:
***שונויות זהות** לכל t \in T מתקיים: \mathbb{E}X_t^2=\mathbb{E}Y_t^2
***דומיננטיות של אינקרמנטים** לכל t ,s\in T מתקיים: \mathbb{E}(X_t-X_s)^2\le \mathbb{E}(Y_t-Y_s)^2 
אזי לכל \tau\in\mathbb{R}:

\mathbb{P}\bigg(\sup_{t\in T}X_t\ge \tau\bigg)\le\mathbb{P}\bigg(\sup_{t\in T}Y_t\ge \tau\bigg)

ולכן: \mathbb{E}\sup_{t\in T}X_t\le\mathbb{E}\sup_{t\in T}Y_t.

### אי-שוויון סודקוב–פרניקה
אי השוויון של סודקוב–פרניקה "חזק" יותר מאי-שוויון סלפיאן נבחינה זו שהוא מאפשר לנו לקבל את אותה תוצאה כמו בלמה של סלפיאן אך ללא הדרישה על שוויון השונויות:

יהיו (X_t)_{t\in T} ו-(Y_t)_{t\in T} תהליכים גאוסיים בעלי תוחלת 0.

נניח בנוסף כי לכל t ,s\in T, מתקיים:\mathbb{E}(X_t-X_s)^2\le \mathbb{E}(Y_t-Y_s)^2 

אזי:
\mathbb{E}\sup_{t\in T}X_t\le\mathbb{E}\sup_{t\in T}Y_t

### אי-שוויון גורדון
אי-שוויון גורדון הוא הרחבה של הלמה של סלפיאן, ומתייחס לפונקציונלים מורכבים מסוג מינימום–מקסימום:

יהיו T ו-U קבוצות אינדקס, ויהיו (X_{u,t})_{u\in U,t\in T}, (Y_{u,t})_{u\in U,t\in T} תהליכים גאוסיים בעלי תוחלת אפס על מרחב המכפלה U \times T. נניח בנוסף כי:
* לכל u\in U; t,s\in T, מתקיים: \mathbb{E}X_{ut}^2=\mathbb{E}Y_{ut}^2\quad \mathbb{E}(X_{ut}-X_{us})^2\le \mathbb{E}(Y_{ut}-Y_{us})^2

* לכל u\neq v; t,s\in T, מתקיים:\mathbb{E}(X_{ut}-X_{vs})^2\ge \mathbb{E}(Y_{ut}-Y_{vs})^2
אזי לכל \tau \ge 0 מתקיים:
\mathbb{P}\bigg(\inf_{u\in U}\sup_{t\in T}X_{ut}\ge \tau\bigg)\le\mathbb{P}\bigg(\inf_{u\in U}\sup_{t\in T}Y_{ut}\ge \tau\bigg),

ולכן: \mathbb{E}\inf_{u\in U}\sup_{t\in T}X_{ut}\le\mathbb{E}\inf_{u\in U}\sup_{t\in T}Y_{ut}.

**הערות**:

1. הלמה של גורדון כוללת את הלמה של סלפיאן במקרה בו ניקח את אחת מקבוצות האינדקס להיות יחידון (סינגלטון).

2. ניתן לקבל תוצאה דומה עבור הסדר ההפוך של האינפימום-סופרמום אם ניישם את אי שוויון גורדון על התהליכים (-X_{u,t},-Y_{u,t}).

3. כמו במקרה של אי-שוויון סודקוב–פרניקה, ניתן לקבל את אותה תוצאה גם אם לא נדרוש את שוויון השונות.

## יישומים
### חסמים של [[מטריצה אקראית|מטריצות אקראיות]]
נוכל לקבל חסם על הנורמה של מטריצות אקראיות או של ערכיה הסינגולריים. ניתן לתאר ערכים שונים אלו כסופרמום של תהליך גאוסי ואז להשתמש באי שוויונות סלפיאן או סודקוב-פרינקה כדי לקבל על ערכים אלו חסם.

לדוגמה, תהי A\in\mathbb{R}^{m\times n} בעל כניסות בלתי-תלויות \mathcal{N}(0,1) .
נגדיר את הערך הסינגולרי הגדול ביותר:  s_{\max}(A)=sup_{|u|_2=1}||Au||_2=sup_{|u|_2=1,|u|_2=1}\langle Au,v\rangle:=sup_{|u|_2=1,|u|_2=1}X_{u,v}. כאשר X_{u,v} תהליך גאוסי על הספֵירה היחידה \mathcal S^{n-1}. ניתן להשוות אותו לתהליך גאוסי פשוט יותר ולקבל עם סלפיאן/סודקוב–פרניקה:
\mathbb{E}||A|| =S_{\max}(A)\le \sqrt m+\sqrt n.

באופן דומה ניתן לקבל חסמים לערכים נוספים, כמו הערך הסינגולרי הקטן ביותר (S_{\min}(A)\ge \sqrt m-\sqrt n) על ידי שימוש באי-שוויון גורדון.

### במרחב האוקלידי
ניתן לקבל הערכה על מספר הכיסוי של איזושהי קבוצה גאומטרית במרחב האוקלידי.

נניח T\subset\mathbb{R}^n. נגדיר את התהליך הגאוסי הקנוני X_t=\langle g,t\rangle, עם g\sim\mathcal{N}(0,I_n). עבור תהליך זה מרחק האינקרמנטים הוא בדיוק המרחק האוקלידי: ||t-s||_2. נוכל להראות, לפי אי-שוויון סודקוב–פרניקה, שלכל \varepsilon>0 מתקיים:

\mathbb{E}\sup_{t\in T} \langle g,t\rangle \ge c\varepsilon\sqrt{\log N(T,\varepsilon)}
. כאשר N(T,\varepsilon) הוא מספר הכדורים האוקלידיים ברדיוס \varepsilon הדרוש לכיסוי T\subset\mathbb{R}^n (מספר הכיסוי).

## רקע היסטורי
התוצאה המרכזית הראשונה של תחום "השוואות תהליכים גאוסיים" היא הלמה של סלפיאן שהוכחה לראשונה על ידי  ב-1962 וזכתה להוכחות נוספות בדרכים שונות. מאז שימשה כלי משמעותי בדיספלינות שונות- בהנדסה, סטטיסטיקה ותורת ההסתברות. כעשר שנים אחר כך, באמצע שנות ה-70, הוכח אי השוויון של סודקוב–פרניקה. ב-1985, הוכיח המתמטיקאי הישראלי יהורם גורדון את ההרחבה של הלמה של סלפיאן מתוך מוטיבציה להעריך טוב יותר בעיות גאומטריות.

## ראו גם
* משפט דבורצקי

## לקריאה נוספת

* Vershynin, Roman (2018). **High-Dimensional Probability: An Introduction with Applications in Data Science**. Cambridge University Press.
* Huffer, F. "Slepian's inequality via the central limit theorem", Canadian Journal of Statistics (1986), pp 367–370.
* Ledoux, M., Talagrand, M. "Probability in Banach Spaces", Springer Verlag, Berlin 1991, pp 75.
* Sudakov, V.N. (1971). Gaussian random processes and measures of solid angles in Hilbert space.Dokl. Akad. Nauk. SSR 197, 4345.; English translation in Soviet Math. Dokl. (1971) 12, 412–415.
* Sudakov, V.N. (1976). Geometric Problems in the Theory of Infinite-Dimensional Probability * Distributions. Trud. Mat. Inst. Steklov 141. English translation in Proc.Steklov.Inst. Math 2, Amer. Math.Soc.
* Sudakov, V.N. (1971). Gaussian random processes and measures of solid angles in Hilbert space.Dokl. Akad. Nauk. SSR 197, 4345.; English translation in Soviet Math. Dokl. (1971) 12, 412–415.
* 


## הערות שוליים

קטגוריה:תהליכים סטוכסטיים