מטריצות גאמה של דיראק

**מטריצות גאמה של דיראק** הן אוסף של 4 מטריצות \ \gamma^0 , \gamma^1 , \gamma^2 , \gamma^3  (בתוספת מטריצה חמישית המייצגת את הכיראליות) בגודל 4 על 4 המשמשות להצגת משוואת דיראק
: \ \left( i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - m c \right) \psi = 0 
כאשר \mu = 0,1,2,3 ויש סכימה על אינדקסים כפולים (הסכם הסכימה של איינשטיין).

## הגדרות
### הצגת דיראק

בהצגה הסטנדרטית של דיראק מוגדרות המטריצות באופן הבא:

: \gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
\gamma^1 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & \sigma^x \\ - \sigma^x & 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} 

:\gamma^2 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & \sigma^y \\ - \sigma^y & 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
\gamma^3 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & \sigma^z \\ - \sigma^z & 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

כאשר \sigma^k הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות
: \ \gamma^5 = i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \frac{-i}{4!} \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix} 

### הצגת וייל

בהצגה הכיראלית של וייל מוגדרות המטריצות באופן הבא:

כאשר \sigma^k הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות
: \ \gamma^5 = i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \frac{-i}{4!} \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma = \begin{pmatrix} -I & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix} 

בהצגה זו קל לבטא את ההטלה הכיראלית של ספינורי וייל השמאלי והימני:
: :\psi_L=\begin{pmatrix} I & 0 \\0 & 0 \end{pmatrix}\psi = \frac{I-\gamma^5}{2}\psi ,\quad \psi_R=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & I \end{pmatrix}\psi = \frac{I+\gamma^5}{2}\psi 

### הצגת מיורנה

פחות נפוצה היא ההצגה של מיורנה בה המטריצות הן דמיוניות. הצגה זו נתונה על ידי
:\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma^1 = \begin{pmatrix} i\sigma^3 & 0 \\ 0 & i\sigma^3 \end{pmatrix}

:\gamma^2 = \begin{pmatrix} 0 & -\sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma^3 = \begin{pmatrix} -i\sigma^1 & 0 \\ 0 & -i\sigma^1 \end{pmatrix}, \quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} \sigma^2 & 0 \\ 0 & -\sigma^2 \end{pmatrix}

## תכונות
### זהויות בסיסיות

* מטריצות גאמה מקיימות את אלגברת קליפורד:
*: \ \{ \gamma^\mu , \gamma^\nu \} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu} I_{4 \times 4} 
: כאשר סוגריים מסולסלים מסמנים אנטי-קומוטטור ו-\eta היא מטריקת מינקובסקי \ \eta ^{\mu \nu} = diag ( 1, -1, -1, -1). 
: בפרט, מטריצות שונות הן אנטי-מתחלפות, כלומר: לכל \mu \ne \nu מתקיים \ \gamma^\mu \gamma^\nu = - \gamma^\nu \gamma^\mu
* מכאן נובע ש:
** \ ( \gamma^0 )^2 = I_{4 \times 4} 
** \ ( \gamma^k )^2 = -I_{4 \times 4} כאשר k=1,2,3.
* ביחס ללקיחת צמוד הרמיטי:
**  \left( \gamma^0 \right)^\dagger = \gamma^0
** \left( \gamma^k \right)^\dagger = -\gamma^k  כאשר k=1,2,3.

* מטריצת הכיראליות \gamma^5 מקיימת:
** \ ( \gamma^5)^\dagger = \gamma^5
** \ ( \gamma^5 )^2 = I_{4 \times 4}
** \ \{ \gamma^\mu , \gamma^5\} = 0 , כלומר: \ \gamma^\mu \gamma^5 = - \gamma^5 \gamma^\mu 
* מטריצת הכיראליות הזו היא פסאודו-סקלר.

### זהויות סכימה

:

### זהויות עקבה

:

כאשר יש להיעזר בתכונות העקבה:
* ליניאריות: \ \operatorname{tr} (\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{tr} (A) + \beta \operatorname{tr} (B)
* ציקליות: \ \operatorname{tr} (ABC) = \operatorname{tr} (CAB) = \operatorname{tr} (BCA) 

### יוצרים של חבורת לורנץ

אפשר לבטא את היוצרים של חבורת לורנץ (חבורת טרנספורמציות לורנץ) בהצגה הכיראלית על ידי
: \ S^{\mu \nu} = \frac{i}{4} [ \gamma^\mu , \gamma^\nu ] 
ואז ההאצות (boost) נתונות על ידי
: \ S^{i j} = \frac{i}{4} [ \gamma^0 , \gamma^k ] = -\frac{i}{2} \begin{pmatrix} \sigma^k & 0 \\ 0 & -\sigma^k \end{pmatrix}\ 
והסיבובים נתונים על ידי
: \ S^{i j} = \frac{i}{4} [ \gamma^i , \gamma^j ] = \frac{1}{2} \epsilon^{i j k} \begin{pmatrix} \sigma^k & 0 \\ 0 & \sigma^k \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \epsilon^{ijk} \Sigma^k\ 

## לקריאה נוספת

* Peskin & Schroeder, **Introduction to Quantum Field Theory**, עמודים 40-41 ועמוד 50

## קישורים חיצוניים
* 

קטגוריה:מכניקת הקוונטים
גאמה