מרחב אורליץ

**מרחב אורליץ** הוא מרחב פונקציות המכליל את מרחבי Lp. מרחבים אלה מוגדרים באמצעות פונקציה קמורה הקרויה "פונקציית אורליץ", במקום חזקה קבועה כמו ב-Lp. מרחבי אורליץ מהווים חלק חשוב מהאנליזה הפונקציונלית ובתורת המידה, במיוחד כאשר נדרשת שליטה עדינה יותר על התנהגות הפונקציות מאשר מה שמציעים מרחבי Lp הרגילים.

המרחבים קרויים על שמו של המתמטיקאי הפולני ולדיסלב אורליץ , שעסק רבות בתורת הפונקציות ובמרחבים פונקציונליים.

## רקע היסטורי
מרחבי אורליץ הוצגו בשנת 1932 על ידי ולדיסלב אורליץ, כחלק ממחקריו באנליזה פונקציונלית. מטרתו הייתה להרחיב את המסגרת התאורטית של מרחבי Lp, כך שתוכל להכיל פונקציות שהתנהגותן אינה ניתנת לתיאור מדויק על ידי חזקות קבועות. אורליץ היה תלמידו של סטפאן מזורקביץ'  והשפיע רבות על ההתפתחות של המתמטיקה בפולין בין שתי מלחמות העולם. במהלך הקריירה שלו, פרסם מאות מאמרים, חלקם יחד עם מתמטיקאים מפורסמים נוספים כגון סטניסלב אולם.

## פונקציית אורליץ
**פונקציית אורליץ** (נקראת גם פונקציית N או Orlicz function) היא הכלי המרכזי בהגדרה של מרחבי אורליץ, והמאפיינים שלה הם אלה שמכתיבים את המבנה של המרחב.

פונקציית אורליץ היא פונקציה  \phi:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty) המקיימת את דרישות הבאות:

1. קמירות: לכל 

x \in [0,\infty)

 ולכל 

0 \le \lambda \le 1

 מתקיים


\phi \left(\lambda x +(1-\lambda )y\right) \leq \lambda \phi (x)+(1-\lambda) \phi (y)

2. מונוטונית עולה: לכל 

x, y \in [0, \infty)

 מתקיים



x \leq y \implies \phi (x) \leq \phi (y)



3. חיוביות: לכל 

x \in [0,\infty)

 הפונקציה אי שלילית (על פי הגדרת הטווח) ומתקיים


x=0 \iff \phi(x)=0


פונקציה קמורה על קטע פתוח היא רציפה. הנקודה 

0

 נמצאת בקצהו השמאלי של הקטע, ולכן תיתכן אי-רציפות קפיצה בקצה ומכאן הפונקציה מקיימת רציפות מימין.

בנוסף, תכונות אלו גוררות אינטגרביליות רימן של \phi .

### דרישות נוספות (תלוי הקשר)
לעיתים מוסיפים תכונות נוספות, בהתאם לתכונות שרוצים למרחב:

4. צמיחה מהירה מאפס מסביב לאפס:
* 

x \rightarrow 0^+ \, \, \Rightarrow \, \, \frac{ \phi (x) }{x} \rightarrow 0


* 
x \rightarrow \infty \, \, \Rightarrow \, \, \frac{\phi (x)}{x} \rightarrow \infty



5. קיום תנאי  \Delta _2  (דלתא 2):



\exists K>0 \, \,, \exists x_0 \in [0,\infty) \, \, s.t : \, \,, \forall x> x_0 \, \, \Rightarrow \, \, K \phi (x) \geq \phi (2x)



תנאי זה חשוב, כי הוא מבטיח שמרחב אורליץ יהיה מרחב בנך.

## הגדרה פורמלית

תהי \phi  פונקציית אורליץ.

עבור מרחב מידה  (\Omega, \mathcal{F}, \mu) , נגדיר את הקבוצה הבאה:



 L^\dagger _\phi (\Omega) = \left\{f:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \, \, \text{measurable} : \int_\Omega \phi ( |f|) \operatorname{d}\!\mu 

קבוצה זו אינה בהכרח מרחב וקטורי (מאחר שייתכן שאינה סגורה לכפל בסקלר).

נגדיר את **מרחב אורליץ** להיות המרחב הווקטורי הנפרש על ידי פונקציות ב- L^\dagger _\phi (\Omega)  ונסמנו ב- L_\phi (\Omega) .

במילים אחרות, מרחב אורליץ הוא המרחב המינימלי המכיל את  L^\dagger _\phi (\Omega) , כלומר:



 L_\phi (\Omega) = \left\{f:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \text{ measurable} : \int_\Omega \phi \left( {\frac{k}} \right) \operatorname{d}\!\mu  0 \right\}



למרחב זה ניתן להגדיר נורמה הקרויה נורמת לוקסנבורג, או לחלופין **נורמת אורליץ** (ראו להלן).

### מרחב אורליץ המצומצם
ישנו מרחב אורליץ נוסף הנקרא **"מרחב אורליץ המצומצם"** המוגדר באופן הבא:


M_\phi (\Omega) = \left\{f:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \text{ measurable} : \int_\Omega \phi \left( {\frac{k}} \right) \operatorname{d}\!\mu  0 \right\}



שהוא המרחב הווקטורי המקסימלי המוכל ב- L^\dagger _\phi (\Omega) .

### נורמת אורליץ
הנורמה במרחב אורליץ (נורמת לוקסנבורג), מוגדרת על ידי:



 \lVert f \rVert _\phi = \inf \left\{ k > 0 : \int_\Omega \Phi\left(\frac{k}\right) \operatorname{d}\!\mu \leq 1 \right\}



אוסף כל הפונקציות המדידות אשר הנורמה שלהן סופית, מסומן ב- L_\phi (\mu) .

## דוגמאות לפונקציות אורליץ
מרחב אורליץ תלוי בבחירת פונקציית אורליץ שתגדיר את תכונות המרחב כולו.

דוגמאות למשפחות של פונקציות אורליץ נפוצות כוללות:
* לכל p \ge 1, נגדיר  \phi (x) = x^p . עבור פונקציות אורליץ אלו, מרחב אורליץ המתקבל הוא מרחב Lp הרגיל.

* לכל p \ge 1, נגדיר  \phi(x) = e^{x^p}- 1 . דוגמה זו לפונקציות אורליץ מובילה למרחבי הפונקציות עם גדילה אקספוננציאלית.

* לכל p > 0, נגדיר  \phi (x) =x^p \log(1+x) . פונקציה "בין" פולינומית ללוגריתמית.
## תכונות מרכזיות ושימושים של מרחב אורליץ

1. **הכללה של מרחבי <math>L_p </math>: ** 

כל מרחב L_p  הוא מקרה פרטי של מרחב אורליץ כאשר \phi (x) = x^p .

2.** יכולת גמישות גבוהה וגבולות אינטגרביליות: **

במרחבים הקלאסיים  L_p, פונקציות הנמצאות במרחב נמדדות לפי האינטגרל  \int |f(x)|^p \, \operatorname{d}\!x. המשמעות היא שאם פונקציה חורגת מ- L_p, אז האינטגרל מתבדר, ואין לה "זכות קיום" באותו מרחב. במרחבי אורליץ, במקום לבדוק רק  |f(x)|^p, אנו בודקים ביטוי כללי יותר -  \phi (|f|), אם  \phi שיכולה לגדול בקצב שונה מקבוע חזקה. זה מאפשר לכלול פונקציות שאינן שייכות לאף מרחב  L_p אך אינטגרביליות דרך פונקציות  \phi. לכן מרחבי אורליץ "תופסים" התנהגויות גבוליות - איפה שמרחבי  L_p נופלים או מחמירים מידיי. כך מתקבלת שליטה מעודנת על מידת האינטגרביליות - למשל על פונקציות שמתבדרות באיטיות או שגודלן משתנה לא בקצב אחיד.

3. **מרחב נורמי ותחת תנאים מסוימים אף מרחב בנך:**

מרחב אורליץ הוא מרחב נורמי ותחת תנאים מסוימים הוא אף מרחב בנך. מרחב אורליץ הוא מרחב בנך, אם פונקציית אורליץ \phi  מקיימת את תנאי 

\Delta_2

:



\exists K>0 \, \,, \exists x_0 \in [0,\infty) \, \, s.t : \, \,, \forall x> x_0 \, \, \Rightarrow \, \, K \phi (x) \geq \phi (2x)



4.**שימוש נרחב בכלים של ניתוח קמור והצמדה: **

באנליזה פונקציונלית, לכל מרחב בנך  X יש מרחב דואלי  X^* שהוא קבוצת כל הפונקציונלים הליניארים הרציפים על  X.

במרחבי  L_p, ידוע ש

L_q = (L_p)^*

 (במובן של מרחבים איזומורפיים), כאשר 

 \frac{1}{q} + \frac{1}{p} =1

 (תנאי אי-שוויון הלדר).

במרחבי אורליץ שהם מרחבי בנך מתקיים באופן דומה:



 L_\psi = (L_\phi)^*

 (במובן של מרחבים איזומורפיים),

כאשר  \psi  היא הפונקציה הצמודה של \phi , כלומר 

\psi (y) = \sup_{x\geq0} (\phi (x)-xy)

 

**תכונה זו מאפשרת ביצוע פעולות נרחבות, כגון:**
* לפתור בעיות וריאציוניות באמצעות המרחב הדואלי (למשל, למצוא מינימום לפונקציונל).
* להשתמש בפונקציונליים הדואליים לחקור תכונות של פתרונות של משוואות דיפרנציאליות.
* להגדיר נורמות דואליות בעזרת הפונקציה הצמודה, ולבנות מרחבים רפלקסיביים.
* להשתמש בדואליות בכדי לבצע אינטרפולציה או לבדוק גבולות אינטגרביליות של סדרות פונקציות.

## נורמת אורליץ של משתנה מקרי
### הגדרה פורמלית

יהי  X  משתנה מקרי ממשי המוגדר על מרחב הסתברות  (\Omega, \mathcal{F}, \mu ) , ויהי  \psi  פונקציית אורליץ,

נאמר ש- X  שייך ל**מרחב אורליץ** (על פי  \psi ) אם קיים קבוע  k >0  כך ש:

 \mathbb{E}\left[\psi \left(\frac{k}\right)\right] 

**נורמת אורליץ** של  X  (המכונה גם נורמת לוקסנבורג) מוגדרת על־ידי:



\lVert X \rVert_\psi = \inf \left\{k> 0 : \mathbb{E}\left[ \psi \left(
\frac{k} \right)\right]\leq1\right\}



נורמה זו היא פונקציה הומוגנית ומוגדרת כאשר הקבוצה אינה ריקה.

### דוגמאות
1. כאשר פונקציה  \phi  מוגדרת להיות:



\psi (x) = x^p



ישנה הקבלה למומנט ה-P של המשתנה המקרי.

2. כאשר פונקציה  \psi  מוגדרת להיות:

כאשר  q\geq1 , 

\psi_q (x) = e^{x^q}-1



מתקיים :
* אם נורמת  \psi_2 סופית, אז המשתנה המקרי נקרא "תת-גאוסיאני".
*אם נורמת  \psi_1 סופית, אז המשתנה המקרי נקרא "תת-אקספוננציאלי". בפרט ניתן לקבל את נורמת  \psi_1  על ידי המונוטוניות החזקה של פונקציה יוצרת מומנטים. לדוגמה: פונקציה היוצרת מומנטים של משתנה מקרי הנדגם מהתפלגות כי בריבוע עם K דרגות חופש היא: 
M_x(t) = (1-2t)^{\frac{-k}{2}}
  ובאמצעותו ניתן לחשב את ההופכי של נורמת  \psi_1  ע"י: 

\lVert X \rVert^{-1}_{\psi_1} = M^{-1}_x(2)



**באופן כללי**, אם נורמת  \psi_p  סופית מתקיים שזנב פונקציית הסתברות חסומה מלעיל על ידי \mathbb{O}\left(e^{-k'x^p}\right) . כלומר,



\lVert X \rVert _{\psi_p} 

עבור קבועים  k,k'  כלשהם.

### שימושים
* ניתוח של התכנסות מרטינגלים ומשפטים חוקיים חזקים וחלשים
* קביעת גבולות סטטיסטיים והתפלגויות זנב של סיכומים של משתנים מקריים
* הערכת סטיות גדולות של פונקציות מקריות
* אפיון מרחבים של משתנים מקריים בעלי אינטגרביליות גבוהה במיוחד או התנהגות חריגה בזנב

## מקרים פרטיים ושיכונים
מרחב אורליץ קשור למספר מבנים מתמטיים חשובים:

### מרחבי <math> L_p </math>
מרחב אורליץ מהווה הכללה למרחבי L_p .
### מרחבי סובולב

מרחבי סובולב מסוימים ניתנים לשיכון במרחבי אורליץ:

תהי \Omega \subset \mathbb{R}^n קבוצה המקיימת את תנאי משפט רליך-קונדרשוב (פתוחה, חסומה עם שפה ליפשיצית - שפת הקבוצה באופן לוקאלי מגדירה פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ).

עבור  p>1, מתקיים:

W^{1,p}_0(\Omega) \subseteq L_\phi(\Omega)



עבור פונקציית אורליץ  \phi  המוגדרת על ידי  \phi (x) = e^{x^\frac{p}{p-1}} 

## ראו גם
* מרחב Lp
* מרחב בנך
* פונקציה קמורה
* מרחב מדיד
* מרחב דואלי
* משתנה מקרי

## קריאה נוספת

* מאמר ריכוז מידע במרחב אורליץ
*  Contains most commonly used properties of Orlicz spaces over \R^n with the Lebesgue measure.
*  Contains properties of Orlicz spaces over general spaces with general measures, including many pathological examples.
* 
* . The original paper.
* .
* .


## הערות שוליים

קטגוריה:אנליזה הרמונית
קטגוריה:מרחבים נורמיים