פונקציה כוכבית

באנליזה מרוכבת, **פונקציה כוכבית** (אנגלית: **Starlike function**) היא פונקציה אוניוולנטית (כלומר, פונקציה הולומורפית וחד חד ערכית) בעיגול היחידה, אשר תמונתה היא תחום כוכבי ביחס לראשית הצירים. **פונקציה הולומורפית קמורה** (Convex function) (להבדיל מהמינוח פונקציה קמורה), היא פונקציה כנ"ל אשר תמונתה היא תחום קמור.

לפונקציות כוכביות וקמורות תכונות מעניינות בתורת הפונקציות האוניוולנטיות. **משפט אלכסנדר** נותן תנאי הכרחי ומספיק להיות של פונקציה כוכבית.

## הגדרה
תהי f : \Omega \to \mathbb{C} פונקציה אוניוולנטית (כלומר, פונקציה הולומורפית וחד חד ערכית). נאמר ש-f היא

* **פונקציה כוכבית** (Starlike function) אם f(\Omega) תחום כוכבי סביב ראשית הצירים.
* **פונקציה הולומורפית קמורה** (Convex function) אם f(\Omega) תחום קמור.

פונקציות כוכביות וקמורות נחקרות בדר"כ עבור \Omega = D = \{ z : |z|  עיגול היחידה.

## דוגמאות
* הפונקציה \frac{z+i}{z-i} היא העתקה קונפורמית המעבירה את עיגול היחידה לחצי המישור העליון, ולכן היא קמורה.

* פונקציית קוב k(z) = \frac{z}{(1-z)^2} היא כוכבית, שכן תמונתה היא \mathbb{C} - (- \infty, - \frac{1}{4}) וזהו תחום כוכבי.

## תכונות
ראשית, נציג תנאים מספיקים והכרחיים להיותה של פונקציה אוניוולנטית f קמורה או כוכבית.

**משפט**: הפונקציה האוניוולנטית f: \overline{D} \to f(\overline{D}) היא קמורה אם ורק אם מתקיים \forall |z|=1: Re( 1+ \frac{z f*(z)}{f'(z)} ) \ge 0</math>.

*משפט*: אם בנוסף <math>f(0)=0</math>, אז הפונקציה היא כוכבית [[אם ורק אם]] <math>\forall |z|=1: Re( \frac{z f'(z)}{f(z)} ) \ge 0</math>.

כעת, נראה את הקשר שבין פונקציה קמורה לפונקציה כוכבית:

*'משפט אלכסנדר** (J.W. Alexander,1915): נניח ש-<math>f: D \to f(D)</math> אוניוולנטית. אזי היא הולומורפית קמורה אם ורק אם הפונקציה <math>zf'(z)</math> כוכבית.

===דוגמה===
נפעיל את המשפט על [[משפט הרבע של קוב|פונקציית קוב]], שהראינו שהיא כוכבית - עבור <math>K(z)=\frac{z}{1-z}</math> מתקיים <math>zK'(z) = \frac{z}{(1-z)^2} = k(z)</math>, ולכן הפונקציה <math>\frac{z}{1-z}</math> קמורה, ואכן, היא מעבירה את עיגול היחידה להזזה של חצי המישור העליון: <math>K(D) = \{ w : Rew> -\frac{1}{2} \}</math>.

==המחלקות ST ו-CV==
את אוסף הפונקציות הכוכביות/קמורות ה[[פונקציה יוני-ולנטית#הצורה הנורמלית|מנורמלות]] על מעגל היחידה נסמן ב-<math>ST</math> וב-<math>CV</math> בהתאמה.

לפי משפט אלכסנדר, יש התאמה 1:1 בין שתי המחלקות:
* לכל <math>f \in CV</math>, מתקיים <math>zf'(z) \in ST</math>.
* לכל <math>F \in ST</math>, מתקיים <math>\int_{0}^{z} {\frac{F(w)}{w}dw} \in CV</math>.

===השערת המקדמים===
[[משפט דה ברנז']] טוען כי המקדמים <math>b_n</math> ב[[טור טיילור|פיתוח טיילור]] של [[פונקציה אוניוולנטית]] מקיימים <math>|b_n| \le n</math>.

כאשר עוד נחשב להשערה, שכונתה **השערת המקדמים**, הוא הוכח למקרים פרטיים רבים. ביניהם:

**משפט** (R. Nevanlinna, 1921): במחלקה <math>ST</math> מתקיימת השערת המקדמים. יותר מכך - אם מתקיים שוויון עבור <math>n_0 \ge 2</math> כלשהו, הפונקציה היא [[סיבוב]] של [[משפט הרבע של קוב|פונקציית קוב]] - <math>e^{i \alpha} k(e^ {- i \alpha} z)</math>.

במחלקה <math>CV</math> מתקיימת טענה חזקה הרבה יותר:

**משפט''' (C. Lowner,1921): במחלקה CV מתקיים \forall n: |b_n| \le 1. במידה ומתקיים שוויון עבור n_0 \ge 2 כלשהו, הפונקציה היא סיבוב של הפונקציה \frac{z}{1-z}.

למעשה, שני המשפטים שקולים - אפשר להוכיח את השני בעזרת הראשון (לפי ההתאמה לעיל). כדי להוכיח את הראשון בעזרת השני, יש להשתמש בהעתקות שוורץ-קריסטופל.

## ראו גם
*קבוצה קמורה
*תחום כוכבי

## לקריאה נוספת

*,pages 107-180
* CONVEX AND STARLIKE UNIVALENT FUNCTIONS, S. D. BERNARDI
* Star-like function, Encyclopedia of Mathematics


קטגוריה:אנליזה מרוכבת
כוכבית