אינטגרל רימן-סטילטיס

במתמטיקה, ובפרט באנליזה מתמטית, **אינטגרל רימן-סטילטיס** (נקרא גם **אינטגרל סטילטיס**) הוא הרחבה של אינטגרל רימן. אינטגרל זה נהגה לראשונה על-ידי המתמטיקאי תומאס יוהנס סטילטיס בשנת 1894.

לאינטגרל רימן-סטילטיס חשיבות רבה במיוחד בתחום ההסתברות והוא משמש לחישוב תוחלת ומומנטים של משתנה מקרי.

## הגדרה
יהי זוג מספרים ממשיים a\le b וזוג פונקציות f,g\colon [a,b]\to \mathbb{R}.

תהי חלוקה \bar{x}:=(x_0,x_1,\dots,x_n) של הקטע [a,b] כך ש-a=x_0 .

בנוסף, יהי \bar{c}:=(c_0,c_1\dots,c_{n-1}) תגיות של \bar{x} כך שלכל 0\le i\le n-1 מתקיים ש-x_i\le c_i \le x_{i+1}.

מגדירים את פרמטר החלוקה:

\xi(\bar{x}):=\max_{0 \le i \le n-1}{(x_{i+1}-x_i)}

S_{f,g}(\bar{x},\bar{c})=\sum_{i=0}^{n-1}{f(c_i)(g(x_{i+1})-g(x_i))}

אזי, **אינטגרל רימן-סטילטיס של** f **לפי <math>g</math>** מוגדר להיות A\in \mathbb{R} המקיים:

\lim_{\xi(\bar{x})\to 0}=0

כלומר, A הוא אינטגרל רימן-סטילטיס של f לפי g אם ורק אם לכל \epsilon>0 קיים \delta >0 כך שלכל חלוקה \bar{x} של [a,b] המתקיימת \xi(\bar{x}) ולכל תגיות \bar{c} של \bar{x} מתקיים ש-|S_{f,g}(\bar{x},\bar{c})-A|.

ניתן להוכיח כי אם A זה קיים הוא יחיד ומסמנים אותו ב-\int_a^b{f(x)dg(x)} או ב-\int_a^b{fdg}. במקרה זה f תקרא **ה[[אינטגרנד]]** ו-g תקרא **האינטגרטור**.

## אינטגרל רימן-סטילטיס לגבולות אינסופיים
ניתן להרחיב את אינטגרל רימן-סטילטיס לקטע חצי-אינוספי ולמרחב הממשי כולו באופן הבא:

יהי זוג מספרים ממשיים a\le b וזוג פונקציות f,g\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}. אזי מגדירים:

\int_{-\infty}^b{fdg}:=\lim_{a\to -\infty}{\int_a^b{fdg}}

\int_a^{\infty}{fdg}:=\lim_{b\to \infty}{\int_a^b{fdg}}

\int_{-\infty}^\infty{fdg}:=\lim_{\stackrel{a\to -\infty}{b\to \infty}}{\int_a^b{fdg}}

## תכונות
### אריתמטיקה
יהי זוג מספרים ממשיים a\le b, פונקציות f,f_1,f_2,g,g_1,g_2\colon [a,b]\to \mathbb{R} וקבוע c\in \mathbb{R}. אזי מתקיימות הזהויות האריתמטיות הבאות:

\int_a^a{f dg}=0

\int_a^b{f dg}=-\int_b^a{f dg}

\int_a^b{cf dg}=c\int_a^b{f dg}

\int_a^b{(f_1+f_2) dg}=\int_a^b{f_1 dg}+\int_a^b{f_2 dg}

\int_a^b{f d(g_1+g_2)}=\int_a^b{f dg_1}+\int_a^b{f dg_2}

\int_a^b{f d(g_1\cdot g_2)}=\int_a^b{fg_1 dg_2}+\int_a^b{fg_2 dg_1}

בכל הנוסחאות לעיל קיום האינטגרל (ים) מימין גורר את קיום האינטגרל משמאל.

### אינטגרציה בחלקים
אינטגרל רימן-סטילטיס מקיים גרסה מקבילה לנוסחת האינטגרציה בחלקים:

יהי זוג מספרים ממשיים a\le b וזוג פונקציות f,g\colon [a,b]\to \mathbb{R}. אזי מתקיימת הזהות הבאה:

\int_a^b{fdg}=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^b{gdf}

כאשר קיום האינטגרל משמאל גורר את קיום האינטגרל מימין ולהפך.

### קשר לאינטגרל רימן
יהי זוג מספרים ממשיים a\le b וזוג פונקציות f,g\colon [a,b]\to \mathbb{R}.

אזי, אם g גזירה בקטע [a,b] והנגזרת שלה g' אינטגרבילית לפי רימן, מתקיים השוויון:

\int_a^b{f(x)dg(x)}=\int_a^b{f(x)g'(x)dx}

כאשר האינטגרל משמאל הוא אינטגרל רימן-סטילטיס והאינטגרל מימין הוא אינטגרל רימן.

## אינטגרביליות רימן-סטילטיס
בהינתן זוג מספרים ממשיים a\le b וזוג פונקציות f,g\colon [a,b]\to \mathbb{R}, מגדירים ש-**<math>f</math> אינטגרבילית רימן-סטילטיס לפי <math>g</math>** אם ורק אם האינטגרל \int_a^b{f(x)dg(x)} קיים וסופי.

באמצעות אינטגרציה בחלקים, ניתן להוכיח כי f אינטגרבילית רימן-סטילטיס לפי g אם ורק אם g אינטגרבילית רימן-סטילטיס לפי f.

כמו כן, אם f רציפה ו-g בעלת השתנות חסומה, f ו-g אינטגרביליות רימן-סטילטיס אחת לפי השנייה.

מכיוון שכל פונקציה מונוטונית בקטע סגור היא בעלת השתנות חסומה, אם f רציפה ו-g מונוטונית הן אינטגרביליות רימן-סטילטיס אחת לפי השנייה.

## שימושים בהסתברות
בהינתן משתנה מקרי X ניתן להגדיר פונקציית התפלגות F(x)\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R} כך שלכל a\in\mathbb{R} מתקיים ש-P(X\le a)=F(a).

כמו כן, יהי f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} פונקציה כלשהי. על-מנת לחשב את התוחלת של הפעלת הפונקציה f על X יש להשתמש באינטגרל רימן-סטילטיס:

E[f(X)]:=\int_{-\infty}^\infty{f(x)dF(x)}

מקרים חשובים של חישובים מסוג זה הוא חישוב התוחלת והמומנט ה-n-י של המשתנה המקרי, שהם בהתאמה:

E[X]=\int_{-\infty}^\infty{xdF(x)}

E[X^n]=\int_{-\infty}^\infty{x^ndF(x)}

במקרה שבו F גזירה ונגזרתה אינטגרבילית לפי רימן, יש למשתנה המקרי פונקציית צפיפות הסתברות g:=F', ולכן ניתן לחשב את התוחלות הנ"ל ישירות באמצעות אינטגרל רימן:

E[f(X)]=\int_{-\infty}^\infty{f(x)g(x)dx}

## אינטגרל לבג-סטילטיס
הכללה חשובה של אינטגרל רימן-סטילטיס היא אינטגרל לבג-סטילטיס.

יהי זוג מספרים ממשיים a\le b וזוג פונקציות f,g\colon [a,b]\to \mathbb{R} כך ש-f חסומה ו-g עולה מונוטונית.

לכל a\le c \le b מסמנים g(c^+):=\lim_{x\to c^+}{g(x)} ו- g(c^-):=\lim_{x\to c^-}{g(x)}.

מגדירים קדם-מידה w על חוג הקבוצות הנפרש על-ידי קטעים ב-[a,b] כך שלכל a\le e:

w([e,f]):=g(f^+)-g(e^-)

w([e,f)):=g(f^-)-g(e^-)

w((e,f]):=g(f^+)-g(e^+)

w((e,f)):=g(f^-)-g(e^+)

ובנוסף מגדירים w(\empty):=0.

לפי משפט ההרחבה של קרתאודורי, קיימת מידה \mu_g על סיגמא-אלגברת בורל המתלכדת עם הגדרת w. בגלל ש-w מוגדרת על קטע סגור, היא קדם-מידה סופית ולכן \mu_g זו יחידה. מגדירים:

\int_a^b{fdg}:=\int_{[a,b]}{fd\mu_g}

האינטגרל \int_a^b{fdg} נקרא **אינטגרל לבג-סטילטיס של** f **לפי <math>g</math>**.

ניתן להוכיח כי אם אינטגרל רימן-סטילטיס של f לפי g קיים, גם אינטגרל לבג-סטילטיס של f לפי g קיים ושניהם שווים.

## דוגמאות
* במקרה שבו g(x)=x (כלומר, g היא פונקציית הזהות), אינטגרל רימן-סטילטיס ואינטגרל רימן מתלכדים. כלומר, \int_a^b{f(x)dg(x)}=\int_a^b{f(x)dx}
* במקרה שבו f(x)=c (כלומר, f היא פונקציה קבועה), מתקיים ש-\int_a^b{f(x)dg(x)}=c(g(b)-g(a))
* במקרה שבו g(x)=c (כלומר, g היא פונקציה קבועה), מתקיים ש-\int_a^b{f(x)dg(x)}=0
* במקרה שבו g(x)=\begin{cases}1 & \text{if }x\ge c \\ 0 & \text{if }x  עבור a\le c\le b כלשהו (כלומר, g היא פונקציית מדרגה), מתקיים ש-\int_a^b{f(x)dg(x)}=f(c)

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:אנליזה מתמטית
רימן-סטילטיס