ספקטרום פרויקטיבי

בגאומטריה אלגברית **ספקטרום פרויקטיבי** הוא אנלוג פרויקטיבי של המושג ספקטרום של חוג.
ספקטרום פרויקטיבי מתאים לחוג קומוטטיבי מדורג A יריעה קוואזי-פרויקטיבית (או סכמה קוואזי-פרויקטיבית) Proj(A), אם A אלגברה נוצרת סופית מעל A_0. למשל, אם A=k[x_0,\ldots,x_n] הוא חוג הפולינומים, מדורג כך שכל המשתנים בעלי דרגה 1, אז  Proj(A) הוא המרחב הפרויקטיבי \mathbb{P}^n_k.
בגאומטריה אלגברית קלאסית יריעה פרויקטיבית X\subset\mathbb{P}^n_k המוגדרת על-ידי משוואות הומוגניות f_i(x_0,\ldots,x_n)=0, i=1,\ldots,m מתוארת על-ידי חוג מדורג A=k[x_0,\ldots,x_n]/(f_1,\ldots,f_m) עם הדירוג המושרה מהדירוג הסטנדרטי בחוג הפולינומים.
בניית הספקטרום הפרויקטיבי משחזרת (בשפה של סכמות) את היריעה הפרויקטיבית X מהחוג המדורג A.
## <math>Proj(A)</math> כקבוצה
יהי A=\oplus_{i\geq 0} A_i חוג קומוטטיבי מדורג. אידיאל I\subset A נקרא הומוגני אם I=\oplus I_i, I_i=I\cap A_i. אוסף אברי A בעלי דרגה חיובית A_+=\oplus_{i>0}A_i הוא אידיאל הומוגני הקרוי לעיתים אידיאל לא רלוונטי . איברי Proj(A) הם האידיאלים הראשוניים המדורגים של A שלא מכילים את A_+.

## טופולוגיית זריצקי על <math>Proj(A)</math>
בדומה לטופולוגיה על הספקטרום של חוג קומוטטיבי, ניתן להגדיר על Proj(A) טופולוגיה על-ידי קביעת קבוצות 
V(I)=\{\mathfrak{p}\in Proj(A)|\mathfrak{p}\supset I\}, כאשר I אידיאל הומוגני, כקבוצות סגורות.
זה מגדיר טופולוגיה על Proj(A) הנקראת טופולוגיית זריצקי. בסיס של הטופולוגיה ניתן על-ידי הקבוצות הפתוחות D(f)=\{\mathfrak{p}\in Proj(A)|\mathfrak{p}\not\ni f\} כאשר f איבר הומוגני ב-A. נציין כי D(f) הומאומורפי לספקטרום של החוג A_{(f)}, לוקליזציה הומוגנית של A המוגדרת כאוסף שברים \frac{a}{f^k} ב-A_f  בעלי דרגה 0.

## מבנה של [[סכמה (מתמטיקה)|סכמה]] על <math>Proj(A)</math>
כדי להגדיר מבנה של מרחב מחויג על Proj(A), יש להגדיר עליו את אלומת המבנה \mathcal{O}, אלומת הפונקציות הרגולריות. כיוון שהקבוצות הפתוחות D(f) מהוות בסיס של טופולוגיה,  מספיק להגדיר את חתכי אלומת המבנה רק על קבוצות אלה, וכן להגדיר את העתקות הצמצום \mathcal{O}(D(f))\to\mathcal{O}(D(fg)) לכל זוג איברים הומוגניים f,g בחוג A.
הומיאומורפיזם בין D(f) לבין הספקטרום של A_{(f)} מאפשר להגדיר \mathcal{O}(D(f))=A_{(f)} ולקבל
את העתקות הצמצום באופן אוטומטי.
כיוון שמרחב מחויג D(f) איזומורפי, לפי הבנייה, לסכמה אפינית Spec(A_{(f)}) , Proj(A) הוא סכמה.

מורפיזם סכמות \pi:\ Proj(A)\to Spec(A_0) מתקבל על-ידי הדבקה של המורפיסמים Spec(A_{(f)})\to Spec(A_0)
המוגדרים על-ידי מבנה של A_0-אלגברה על  A_{(f)} . מורפיזם זה פרויקטיבי עם A
אלגברה נוצרת סופית מעל A_0.

## דוגמאות
### המרחב הפרויקטיבי
הדוגמה הראשונה של ספקטרום פרויקטיבי היא Proj(A) כאשר A=k[x_0,\ldots,x_n]. הקבוצות הפתוחות D(x_i)
מזוהות עם ספקטרה של חוגי הפולינומים A_{(x_i)}=k[\frac{x_0}{x_i},\ldots,\frac{x_n}{x_i}], כך שבמקרה k הוא שדה 
סגור אלגברית, הנקודות הסגורות של Proj(A) מזוהות עם המרחב הפרויקטיבי הקלאסי \mathbb{P}^n_k.
באופן כללי, הספקטרום הפרויקטיבי של A[x_0,\ldots,x_n] כאשר A חוג קומוטטיבי כלשהו והמשתנים x_i בעלי דרגה 1, נקרא המרחב הפרויקטיבי מעל A המסומן \mathbb{P}^n_A.

### [[יריעה אלגברית פרויקטיבית|יריעות פרויקטיביות]] קלאסיות
יהי k שדה סגור אלגברית, A אלגברה מדורגת הנוצרת על-ידי איברים הומוגניים בעלי דרגה 1.
זה גורר כי A ניתן להציג כמנה של החוג המדורג S=k[x_0,\ldots,x_n] מודולו אידיאל הומוגני J.
זה מאפשר להציג Proj(A) כתת-סכמה סגורה של \mathbb{P}^n_k. הנקודות הסגורות של Proj(A) הן
נקודות (x_0:\ldots:x_n) של \mathbb{P}^n_k המקיימות משוואות של J.

### [[ניפוח (גאומטריה אלגברית)|ניפוח]] של [[סכמה אפינית]]
תהי X=Spec(A) סכמה אפינית ותהי Y=V(I) תת-סכמה סגורה הניתנת על-ידי אידיאל I. 
ניפוח של X ב- Y אפשר לתאר כספקטרום פרויקטיבי של החוג המדורג
S=A\oplus I\oplus I^2\oplus\ldots

## לקריאה נוספת
* Hartshorne, Robin (1977), **Algebraic Geometry**, Springer-Verlag. .

קטגוריה:גאומטריה אלגברית