אי-שוויון הממוצעים

במתמטיקה, **אי-שוויון הממוצעים** הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של סדרת מספרים סופית. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית, ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את אי-השוויון הוכיח אוגוסטן לואי קושי, וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.

לכל קבוצת מספרים ממשיים חיוביים a_1,\ldots,a_n מתקיים
:\frac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}}\le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\le\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\le\sqrt{\frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n}}
#הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי.
#הממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני.
#הממוצע החשבוני קטן או שווה לשורש ממוצע הריבועים.
בשלושת המקרים לא מתקיים שוויון, אלא אם כל המספרים a_1,\ldots,a_n שווים זה לזה.

## רקע
אם a_1,\cdots,a_n מספרים חיוביים, הרי
*הממוצע החשבוני שלהם הוא סכומם המחולק ב-n: A_n=\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}
*הממוצע ההנדסי הוא השורש ה-n-י של מכפלתם: G_n=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}
*הממוצע ההרמוני הוא המספר ההופכי לממוצע החשבוני של ההופכיים: H_n=\frac{n}{\dfrac1{a_1}+\cdots+\dfrac1{a_n}}
שלושת הביטויים מתאימים, בהקשרים שונים, לשמש כ"ממוצע", למשל בכך ששלושתם נמצאים תמיד בין הערך הקטן ביותר לגדול ביותר בסדרה a_1,\ldots,a_n.

במקרה n=2 טענה זו קובעת כי \frac2{\frac1a+\frac1b}\le\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}, ושוויון מתקיים אם ורק אם a=b.

## הוכחות
### המקרה n = 2
[ממוזער|250 פיקסלים|הוכחה גאומטרית לאי-שוויון הממוצעים במקרה n = 2. ב[אדום הממוצע החשבוני של a,b, בתכלת הממוצע ההנדסי שלהם ובירוק הממוצע ההרמוני שלהם]]
נשתמש בעובדה הפשוטה שהריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אי-שלילי:
:\begin{align}0\le(a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\\&=a^2+2ab+b^2-4ab\\&=(a+b)^2-4ab\\4ab&\le(a+b)^2\\G_2&=\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}=A_2\end{align}
קל לראות כי H_2A_2=G_2^2 ולכן משום ש-G_2\le A_2 בהכרח H_2\le G_2.

### הוכחתו של קושי
קושי הוכיח את האי-שוויון G_n\le A_n בשיטה הנקראת לפעמים "אינדוקציה הפוכה":

ראשית, הוא הראה שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בנות n מספרים, אזי הוא מתקיים לסדרות בנות 2n מספרים – ולכן, באינדוקציה (רגילה) הוא מתקיים לסדרות בנות 2^m מספרים, לכל m. בנוסף לכך, הראה קושי שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בגודל מסוים אזי הוא מתקיים לסדרות קטנות יותר. מכיוון שכל מספר קטן מחזקה של שתיים כלשהי, ההוכחה הושלמה.

**הצעד הראשון**: נניח כי האי-שוויון מתקיים לכל a_1,\ldots,a_n חיוביים. אז
:\begin{align}
\frac{a_1+\cdots+a_{2n}}{2n}&=\frac{a_1+\cdots+a_n+a_{n+1}+\cdots+a_{2n}}{2n}\\\\&=\frac{\dfrac{a_1+\cdots+a_n}{n}+\dfrac{a_{n+1}+\cdots+a_{2n}}{n}}{2}\\\\&\ge\frac{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}+\sqrt[n]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}{2}\\\\&\ge\sqrt{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\cdot\sqrt[n]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}\\\\&=\sqrt{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n\cdot a_{n+1}\cdots a_{2n}}}\\\\&=\sqrt[2n]{a_1\cdots a_{2n}}
\end{align}
כאשר האי-שוויון הראשון נובע מן ההנחה שהאי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל n, והשני מן המקרה n=2.

**הצעד השני**: נניח כי האי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל n; אם נתונים a_1,\ldots,a_m כאשר m, נסמן a=\frac{a_1+\cdots+a_m}{m} ונקבל
:\sqrt[n]{a_1\cdots a_m\cdot a^{n-m}}\le\frac{a_1+\cdots+a_m+(n-m)a}{n}=a
ולכן \sqrt[m]{a_1\cdots a_m}\le a.

את האי-שוויון H_n\le G_n אפשר להוכיח בדרך דומה.

### הוכחה באמצעות [[אי-שוויון ינסן]]
ניתן להוכיח את האי-שוויון באמצעות אי-שוויון ינסן, הקובע כי
:f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)\le\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n}
לכל פונקציה f קמורה. אם משתמשים בפונקציה exp, ומציבים x_i=\ln(a_i), מתקבל
:\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\le\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}

## הממוצע הלוגריתמי

במקרה n=2 ניתן להוסיף לשרשרת אי השוויונות גם את הממוצע הלוגריתמי אשר ממוקם בין הממוצע ההנדסי לממוצע החשבוני. כלומר:

\sqrt{x_1x_2}\le \frac{x_1-x_2}{\ln x_1 - \ln x_2}\le \frac{x_1 + x_2}{2}

## הכללות
אחת ההכללות החשובות לאי־שוויון מתקבלת מחזרה על כל רכיב a_k מספר פעמים, למשל p_k.

אם a_1,\ldots,a_n חיוביים ו-p_1,\ldots,p_n שלמים חיוביים וסכומם P, אז האי-שוויון הופך להיות
:\frac{P}{\dfrac{p_1}{a_1}+\cdots+\dfrac{p_n}{a_n}}\le\sqrt[P]{a_1^{p_1}\cdots a_n^{p_n}}\le\frac{p_1a_1+\cdots+p_na_n}{P}
באי-שוויון זה אפשר להחליף את המקדמים p_k במספרים חיוביים כלשהם; למשל, כאלה שסכומם P=1. כאשר כל המקדמים שווים ל-\frac1n מתקבל אי־שוויון הממוצעים.

בנוסף, ישנן הכללות לאי-שוויון ממוצעים עבור חזקות שונות: \sqrt[\alpha]{\sum\frac{x_i^\alpha}{n}} זו פונקציה עולה ביחס ל-\alpha, כאשר x_i אי-שליליים. אי-שוויון הממוצעים מתקבל כאשר \alpha=1 הפונקציה גדולה יותר מכאשר \alpha\to0^+.

## קישורים חיצוניים
* 

ממוצעים
קטגוריה:ממוצעים