מטריצה אלמנטרית

באלגברה ליניארית, **מטריצה אלמנטרית** היא מטריצה המתקבלת ממטריצת היחידה על ידי פעולת שורה אלמנטרית אחת. המטריצות האלמנטריות יוצרות את החבורה הליניארית הכללית של מטריצות הפיכות. הכפלה משמאל במטריצה אלמנטרית מייצגת **פעולת שורה אלמנטרית**, בעוד הכפלה מימין במטריצה אלמנטרית מייצגת **פעולת עמודה אלמנטרית**.

בדרך זו, ביצוע פעולת שורה אלמנטרית על מטריצה ריבועית שרירותית *A* שקול למעשה לכפל במטריצה אלמנטרית מסוימת - מטריצה המתקבלת ממטריצת הזהות על ידי פעולה שורה אלמנטרית **זהה** לזו שאנו רוצים לבצע על המטריצה המקורית *A*. כל מטריצה הפיכה ניתן להמיר במכפלה של מטריצות אלמנטריות.

## פעולות שורה אלמנטריות
ישנם שלושה סוגים של מטריצות אלמנטריות, אשר מתאימים לשלושה סוגים של פעולות שורה אלמנטריות:

; החלפת שורה: שורה במטריצה ניתנת להחלפה עם שורה אחרת.
:  R_i \leftrightarrow R_j

;הכפלת שורה בסקלר: כל איבר  בשורה ניתן להכפלה בסקלר זהה שונה מאפס.
: kR_i \rightarrow R_i,\ \mbox{where } k \neq 0

; הוספת שורה לשורה אחרת: שורה ניתנת להחלפה בסכום של שורה וכפולה של שורה אחרת.
:  R_i + kR_j \rightarrow R_i, \mbox{where } i \neq j 

אם *E* היא מטריצה אלמנטרית, כפי שתואר לעיל, אז כדי להפעיל פעולת שורה אלמנטרית על מטריצה *A*, יש להכפיל את *A* במטריצה האלמנטרית משמאל, כלומר למצוא את *E⋅A*. בעבור כל פעולת שורה, המטריצה האלמנטרית המתאימה מתקבלת מהפעלת הפעולה על מטריצת היחידה.

### החלפת שורות

הסוג הראשון של פעולות שורה על מטריצה *A* מחליף את כל איברי השורה ה-*i* עם האיברים התואמים להם בשורה ה-*j*. המטריצה האלמנטרית המתאימה מתקבלת מהחלפת שורה i ו-j במטריצת היחידה.

:
T_{i,j} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 0 & & 1 & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & 1 & & 0 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad 

: כך ש-*T<sub>ij</sub>⋅A* היא המטריצה המתקבלת מהחלפת שורות *i* ו-*j*  של *A*.

#### תכונות
* המטריצה ההופכית למטריצה זו היא עצמה: *T<sub>ij</sub><sup>&minus;1</sup>=T<sub>ij</sub>*.
* כיוון שהדטרמיננטה של מטריצת היחידה היא אחת, det[*T**ij*] = &minus;1. זה נובע מכך שבעבור כל מטריצה ריבועית *A*, מתקיים [det[*T**ij**A*] = &minus;det[*A*.

### הכפלת שורה בסקלר

הסוג הבא של פעולת שורה על מטריצה *A* מכפיל את כל איברי השורה ה-*i* ב-*m*, כאשר *m* הוא סקלר שונה מאפס. המטריצה האלמנטרית המתאימה היא מטריצה אלכסונית, אשר איברי האלכסון שלה הם 1 בכל מקום למעט במיקום ה-*i*, שם הוא *m*. 

:
D_i(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & m & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad 

: כך ש-D*<sub>i</sub>(m)⋅A* היא המטריצה המתקבלת מ-*A* על ידי הכפלת שורה *i* ב-*m*.

#### תכונות
* המטריצה ההופכית למטריצה הזאת היא: (D*<sub>i</sub>*(*m*)&minus;1 = D*<sub>i</sub>*(1/*m*. שתיהן כמובן מטריצות אלכסוניות.
*  det[D*i*(m)] = *m*. לפיכך בעבור מטריצה ריבועית *A* מקבלים [det[D*i*(*m*)*A*] = *m* det[*A*.

### הוספת שורה לשורה אחרת
הסוג האחרון של פעולת שורה על מטריצה *A* הוא הוספת השורה ה-*i* מוכפלת בסקלר *m* לשורה ה-*j*. המטריצה האלמנטרית המתאימה היא מטריצת היחידה אולם עם *m* במיקום (*j,i*).

:
L_{i,j}(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & m & & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}


#### תכונות
* הטרנספורמציות הללו הן סוג של העתקת גזירה (shear mapping).
* (*L<sub>ij</sub>*(*m*)&minus;1 = *L<sub>ij</sub>*(&minus;*m*.
* det[*L<sub>ij</sub>*(*m*)] = 1. לכן, בעבור מטריצה ריבועית *A*, מקבלים [det[*L**ij*(*m*)*A*] = det[*A*.

## ראו גם
* דירוג מטריצות

## הערות שוליים

קטגוריה:אלגברה ליניארית