נוסחת ההיפוך של מביוס

במתמטיקה, ובפרט בקומבינטוריקה ותורת המספרים האנליטית, **נוסחת ההיפוך של מביוס** היא נוסחה המקשרת בין שתי פונקציות אריתמטיות כאשר אחת מהן מנוסחת כסכום ערכי הפונקציה השנייה על המחלקים של מספר טבעי.

הנוסחה הוכחה לראשונה על ידי אוגוסט פרדיננד מביוס בשנת 1832.

## סימונים והגדרות בסיסיות
בערך זה נשתמש בסימון המקובל לקבוצת המספרים הטבעיים \mathbb{N} ונגדירה ללא המספר 0 (כלומר, המספרים הטבעיים יחלו מהמספר 1).

באופן דומה נסמן ב-\mathbb{C} את קבוצת המספרים המרוכבים, כמקובל.

בהינתן זוג מספרים טבעיים a,b\in \mathbb{N}, נאמר כי a מחלק את b ונסמן a|b אם ורק אם קיים c\in \mathbb{N} כלשהו כך ש-b=ac.

הפונקציה האריתמטית \mu\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N} נקראת פונקציית מביוס והיא מוגדרת כך שלכל n\in \mathbb{N}:

\mu(n):=\begin{cases}
1 & \text{if }n = 1\\
0 & \text{if }\exists p\text{ prime},p^2|n \\
(-1)^k & \text{if }\exists p_1,p_2,\dots,p_k\text{ distinct primes},n=p_1p_2\cdots p_k
\end{cases}

הפונקציה האריתמטית \epsilon\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N} נקראת פונקציית היחידה והיא מוגדרת כך שלכל n\in \mathbb{N}:

\epsilon(n):=\begin{cases}
1 & \text{if }n = 1\\
0 & \text{else}
\end{cases}

לבסוף, לכל זוג פונקציות אריתמטיות f,g מגדירים את קונבולוציית דיריכלה שלהן f * g כך שלכל n\in \mathbb{N}:

(f * g)(n)=\sum_{d|n}{f\left(\frac{n}{d}\right)g(d)}

## ניסוח פורמלי
### ניסוח קלאסי
יהי שתי פונקציות אריתמטיות f,F. אזי, שני התנאים הבאים שקולים:

# לכל n\in \mathbb{N} מתקיים ש-F(n)=\sum_{d|n}{f(d)}
# לכל n\in \mathbb{N} מתקיים ש-f(n)=\sum_{d|n}{\mu\left(\frac{n}{d}\right)F(d)}

### ניסוח באמצעות קונבולוציית דיריכלה
מגדירים את הפונקציה האריתמטית \mathbf{1}\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N} כך שלכל n\in \mathbb{N} מתקיים ש-\textbf{1}(n)=1.

יהי שתי פונקציות אריתמטיות f,F. אזי, התנאים הבאים שקולים:

# F=f * \textbf{1}
# f=F * \mu

## הוכחה
תחת קונבולוציית דיריכלה, פונקציית היחידה \epsilon משמשת כאיבר יחידה. כלומר, לכל פונקציה אריתמטית h מתקיים ש-h * \epsilon = \epsilon * h = h.

בנוסף, ניתן להוכיח כי \mu ו-\textbf{1} הן איברים הופכיים תחת קונבולוציית דיריכלה, כלומר -\mu * \textbf{1} = \textbf{1} * \mu = \epsilon.

מכל זה ניתן להראות כי:

F=f * \textbf{1}
\Longleftrightarrow F * \mu = f * \textbf{1} * \mu
\Longleftrightarrow F * \mu = f * \epsilon
\Longleftrightarrow F * \mu = f

**מ.ש.ל.**

## מסקנות
* לכל n\in \mathbb{N} מתקיים ש-n=\sum_{d|n}{\varphi(d)}, כאשר \varphi(n) היא פונקציית אוילר, לכן לפי נוסחת ההיפוך של מביוס \varphi(n)=n\sum_{d|n}{\frac{\mu(d)}{d}}.
* לכל n,k\in \mathbb{N} מתקיים ש-n^k=\sum_{d|n}{J_k(d)}, כאשר J_k(n) היא פונקציית ז'ורדן מסדר k, לכן לפי נוסחת ההיפוך של מביוס J_k(n)=n^k\sum_{d|n}{\frac{\mu(d)}{d^k}}.
* לכל n\in \mathbb{N} מתקיים ש-\ln(n)=\sum_{d|n}{\Lambda(d)}, כאשר \Lambda(n) היא פונקציית פון מנגולד, לכן לפי נוסחת ההיפוך של מביוס ותכונות פונקציית הלוגריתם, מתקבל כי \Lambda(n)=-\sum_{d|n}{\mu(d)\ln (d)}.
* לכל n\in \mathbb{N} מתקיים ש-\sum_{d|n}{\lambda(d)}
=\begin{cases}
1 & \text{if }\exists k\in\mathbb{N},k^2|n \\
0 & \text{else}
\end{cases}, כאשר \lambda(n) היא פונקציית ליוביל, לכן לפי נוסחת ההיפוך של מביוס \lambda(n)=\sum_{d^2|n}{\mu\left(\frac{n}{d^2}\right)}.

## הכללה לפונקציות כלליות
בהינתן זוג פונקציות F,G\colon(0,\infty)\to\mathbb{C} המתאפסות בקטע הפתוח (0,1) ופונקציה אריתמטית כפלית לחלוטין \alpha, שני התנאים הבאים שקולים:

# G(x)=\sum_{n\le x}{\alpha(n)F\left(\frac{x}{n}\right)}
# F(x)=\sum_{n\le x}{\mu(n)\alpha(n)G\left(\frac{x}{n}\right)}

## קישורים חיצוניים
*
*
*

## הערות שוליים

קטגוריה:קומבינטוריקה
קטגוריה:תורת המספרים
קטגוריה:פונקציות אריתמטיות