משפט התיכון

שמאל|ממוזער|AD תיכון ל-BC
שמאל|350px|ממוזער|<span style="color: green;">השטח הירוק</span> ועוד <span style="color: blue;">השטח הכחול</span> שווה <span style="color: red;">לשטח האדום</span>

בגאומטריית המישור, **משפט התיכון** (ידוע גם כמשפט אפולוניוס) קובע שסכום ריבועי שתי צלעות במשולש, שווה לסכום מחצית ריבוע הצלע השלישית, ופעמיים ריבוע התיכון לה.

כלומר, אם במשולש ABC הנקודה D היא אמצע BC, מתקיים: AB^2+AC^2=2AD^2+\frac{BC^2}{2}

משפט התיכון הוא מקרה פרטי של משפט סטיוארט הקובע: אם במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC ומחלקת אותו ביחס n:m (כלומר mBD = nDC), מתקיים: 
:\ mAB^2 + nAC^2 = mBD^2 + nDC^2 + (m+n)AD^2

במקרה של משפט התיכון, הנקודה D מחלקת את BC ביחס של 1:1.

## הוכחה

נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם \angle ABC>\frac{\pi}{2} אז pAC^2=AB^2+BC^2-2p\cdot BC

נעביר אגפים, ונקבל: 2p\cdot BC=AB^2+BC^2-AC^2

במשולש ABD, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: AD^2=AB^2+BD^2-2p\cdot BD

נציב BD=\frac{BC}{2}, ונקבל: AD^2=AB^2+\frac{BC^2}{4}-p\cdot BC

נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל: 2p\cdot BC=2AB^2+\frac{BC^2}{2}-2AD^2

על פי כלל המעבר, נקבל: AB^2+BC^2-AC^2=2AB^2+\frac{BC^2}{2}-2AD^2

לאחר העברת אגפים, נקבל: 2AD^2+\frac{BC^2}{2}=AB^2+AC^2

## הוכחה גאומטרית

נסמן AB = a, AC = b, BC = c. כמו כן נסמן AD = x

אם a=b 

, המשולש שווה-שוקיים והתוצאה מתקבלת מידית מהפעלת משפט פיתגורס.

אחרת, a\neq b 

, נחשב את שטח המשולש \Delta ABD  לפי נוסחת הרון:

S_{\Delta ABD} = \sqrt{\Bigl(\frac{x + a + \frac{c}{2}}{2}\Bigl)
\cdot\Bigl(\frac{x + a + \frac{c}{2}}{2} - x\Bigl)
\cdot\Bigl(\frac{x + a + \frac{c}{2}}{2} - a\Bigl)
\cdot\Bigl(\frac{x + a + \frac{c}{2}}{2} - \frac{c}{2}\Bigl)} = 




\sqrt{\Bigl(\frac{(a + \frac{c}{2}) + x}{2}\Bigl)
\cdot\Bigl(\frac{(a + \frac{c}{2}) - x}{2}\Bigl)
\cdot\Bigl(\frac{x - (a - \frac{c}{2})}{2}\Bigl)
\cdot\Bigl(\frac{x + (a - \frac{c}{2})}{2}\Bigl)} = 



\frac{1}{4} \cdot \sqrt{\Bigl((a + \frac{c}{2})^2 - x^2\Bigl)
\cdot\Bigl(x^2 - (a - \frac{c}{2})^2\Bigl)} = 
\frac{1}{4} \cdot \sqrt{-x^4 + x^2\cdot \Bigl(2a^2 + \frac{c^2}{2}\Bigl) - \Bigl(a^2-\frac{c^2}{4}\Bigl)^2}



נחשב את שטח המשולש \Delta ACD

 ונקבל באותו אופן את התוצאה הבאה:

S_{\Delta ACD} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{-x^4 + x^2\cdot \Bigl(2b^2 + \frac{c^2}{2}\Bigl) - \Bigl(b^2-\frac{c^2}{4}\Bigl)^2} 



התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח, כלומר S_{\Delta ABD} = S_{\Delta ACD} 

. נשווה ביניהם ונמצא את x 



\frac{1}{4} \cdot \sqrt{-x^4 + x^2\cdot \Bigl(2a^2 + \frac{c^2}{2}\Bigl) - \Bigl(a^2-\frac{c^2}{4}\Bigl)^2} =
\frac{1}{4} \cdot \sqrt{-x^4 + x^2\cdot \Bigl(2b^2 + \frac{c^2}{2}\Bigl) - \Bigl(b^2-\frac{c^2}{4}\Bigl)^2} 



נכפיל פי 4 ונעלה את שני האגפים בריבוע: 

-x^4 + x^2\cdot \Bigl(2a^2 + \frac{c^2}{2}\Bigl) - \Bigl(a^2-\frac{c^2}{4}\Bigl)^2 =
-x^4 + x^2\cdot \Bigl(2b^2 + \frac{c^2}{2}\Bigl) - \Bigl(b^2-\frac{c^2}{4}\Bigl)^2 



נסדר את המשוואה:

x^2\cdot \Bigl(2a^2 + \frac{c^2}{2} - 2b^2 - \frac{c^2}{2}\Bigl) = \Bigl(a^2-\frac{c^2}{4}\Bigl)^2 - \Bigl(b^2-\frac{c^2}{4}\Bigl)^2 



2 (a^2 - b^2) x^2 = \Bigl(a^2-\frac{c^2}{4} - (b^2 - \frac{c^2}{4})\Bigl) \cdot \Bigl(a^2-\frac{c^2}{4} + (b^2 - \frac{c^2}{4})\Bigl) 



2 (a^2 - b^2) x^2 = (a^2 - b^2) \cdot \Bigl(a^2 + b^2 - \frac{c^2}{2}\Bigl) 



נצמצם ב-a^2 - b^2 

 (זו פעולה חוקית מכיוון שהנחנו כי a\neq b 

) ונקבל את התוצאה: 2x^2 = a^2 + b^2 - \frac{c^2}{2} 

 

תיכון, ה
קטגוריה:משולש