קידוד על-צפוף

**קידוד על-צפוף** (באנגלית: **Superdense coding**) הוא פרוטוקול תקשורת קוונטי במסגרתו מתאפשרת העברת מידע המקודד בשתי סיביות קלאסיות על ידי שליחת קיוביט בודד.

באופן כללי, הפרוטוקול מאפשר העברת מידע המקודד ב- n סיביות על ידי שליחת k קיוביטים, כאשר k = \frac{n}{2} .
הפרוטוקול מנצל את תופעת השזירות הקוונטית, המאפשרת השפעה הדדית של זוג קיוביטים אחד על המצב הקוונטי של האחר, ללא תלות במרחק הפיזי ביניהם.

התהליך מתבצע על ידי שני משתתפים, אשר בדרך כלל מכונים אליס ובוב. השניים חולקים זוג קיוביטים שזור מקסימלית - אחד ממצבי בל. אליס מקודדת את המידע שברצונה לשדר לבוב (אחת מן הקומבינציות של מידע המקודד בשתי סיביות - 00,01,10,11) על ידי הפעלת שערים קוונטיים על הקיוביט שבידה (אלגוריתם הצפנת המצב הקוונטי כתלות במידע שאליס רוצה לשדר הוא אלגוריתם ידוע מראש) - פעולה אשר תשנה את המצב הקוונטי של זוג הקיוביטים השזור. לאחר שליחת הקיוביט של אליס לידיו של בוב, הוא ימדוד את המצב הקוונטי של זוג הקיוביטים, בבסיס מצבי בל, ויוכל לפענח את המידע שאליס תכננה לשלוח לו.

הפרוטוקול קיים גם עבור "ביט קוונטי" עם מספר גדול יותר של רמות מזה של הקיוביט (2 רמות) - כדוגמת קיוטריט (3 רמות) או קיודיט (d>2 רמות), אך התהליך במקרים אלו יהיה יותר מסורבל, אבל בעל אותו אופי.

למרות שנראה שכביכול ניתן באמצעות שיטה זו לבצע תקשורת המהירה ממהירות האור, אין הדבר כך, כיוון שבוב אינו יכול לדעת מהם השערים שאליס הפעילה על הקיוביט שלה, מבלי שיהיו בידיו 2 הקיוביטים. כלומר אליס חייבת לשלוח לבוב את הקיוביט שלה כדי שיוכל לפענח את המידע, וזה יעשה באופן פיזיקלי קלאסי - במהירות הנמוכה ממהירות האור.

בנוסף, הפרוטוקול מניח זוג קיוביטים שזורים מראש, לפני תחילת תהליך הקידוד והפענוח של המידע. ללא הנחה זו לא יכול הפרוטוקול להתקיים, מה שמתיישב עם . בעקבות השזירה, אין מדובר בתהליך בו קיוביט אחד מכיל מידע המקודד בשתי סיביות. אלא ששני הקיוביטים, בהיותם שזורים, מכילים מידע המקודד בשתי סיביות מידע.

## אופן פעולת הפרוטוקול
ממוזער|דיאגרמה המתארת את תהליך העברת המידע בעזרת פרוטוקול קידוד על-צפוף
הצעד הראשון, הוא הכנת זוג קיוביטים שזור מקסימלית, אשר חולקים מצב בל משותף. המצב המשותף שלהם יכול להיות כל אחד מארבעת מצבי בל:
  |\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |00\rangle + |11\rangle \right)
  |\Phi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |00\rangle - |11\rangle \right)
  |\Psi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |01\rangle + |10\rangle \right)
  |\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |01\rangle - |10\rangle \right)
הסימון |xy\rangle הוא סימון מקוצר למצב הקוונטי |x\rangle_{Alice}\otimes|y\rangle_{Bob}, כלומר המצב הקוונטי המשותף שבו הקיוביט של אליס במצב |x\rangle והקיוביט של בוב במצב |y\rangle.

הכנת מצבי בל היא פעולה קוונטית ידועה הנעשית על ידי הפעלת שער קוונטי משנה בסיס כדוגמת אדמר ושער קוונטי שוזר כדוגמת CNOT על מצב קוונטי בסיסי (טריוויאלי להכנה) כדוגמת |00\rangle.

האלגוריתם יעבוד עם כל מצב בל התחלתי, אך לשם הסברתו, נניח שהמצב המשותף של שני הקיוביטים בתחילת התהליך הוא |\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |00\rangle + |11\rangle \right).

לאחר שבידינו זוג קיוביטים במצב שזור  |\Phi^+\rangle, ניתן אחד מהם לאליס, ואת השני לבוב. מרגע זה, אליס ובוב יכולים להתרחק אחד מן השני כרצונם.

בשלב הבא, אליס - שולחת המידע, תפעיל על הקיוביט שבידה שער קוונטי, בהתאם למידע שהיא רוצה להעביר לבוב. המידע שאליס רוצה להעביר לבוב (00,01,10,11) ממופה בצורה חד חד ערכית לשער הקוונטי שאליס צריכה להפעיל על הקיוביט שלה. עבור המצב  |\Phi^+\rangle:

00: I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Longrightarrow I\otimes I|\Phi^+\rangle= |\Phi^+\rangle 

10: X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \Longrightarrow X\otimes I|\Phi^+\rangle=|\Psi^+\rangle 

01: Z=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \Longrightarrow Z\otimes I|\Phi^+\rangle=|\Phi^-\rangle 

11: ZX=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \Longrightarrow ZX\otimes I|\Phi^+\rangle=|\Psi^-\rangle 

כאשר \otimes  היא המכפלה הטנזורית, המסמלת שהפעלת השערים מתבצעת רק על הקיוביט של אליס - הקיוביט ש"מקודד" בו המידע שהשולח רוצה להעביר.

הפעלת השער על הקיוביט של אליס, תשנה כאמור את המצב הקוונטי המשותף מהמצב |\Phi^+\rangle  אל אחד מן המצבים |\Phi^+\rangle, |\Phi^-\rangle, |\Psi^+\rangle, |\Psi^-\rangle.

כעת, אליס יכולה לשלוח את הקיוביט שבידה אל בוב, בדרך פיזיקלית מקובלת. (למשל אם הקיוביטים ממומשים על ידי פוטונים, נוכל לשלוח את המצב הקוונטי דרך מערכת אופטית כלשהי, ובתנאי שהקיוביט שבוב מקבל יהיה באותו המצב שהיה בו כשיצא מידיה של אליס).

לבסוף, בידיו של בוב מצויים שני הקיוביטים, והוא יכול לבצע עליהם מדידה כרצונו כדי לגלות את המצב הקוונטי המשותף שלהם בוודאות של 100%.

המדידה שבוב צריך לבצע על מנת לפענח מה המידע שאליס שלחה לו, היא מדידה בבסיס מצבי בל \{|\Phi^+\rangle, |\Phi^-\rangle, |\Psi^+\rangle, |\Psi^-\rangle\} , מדידה בבסיס זה תעניק לבוב בוודאות מלאה את המצב הקוונטי המשותף של זוג הקיוביטים, ובתוספת ידיעת המיפוי שבו השתמשה אליס בקידוד המידע, בוב יוכל לדעת בוודאות מה המידע שאליס שלחה לו.

בפועל המדידה מתבצעת על ידי הפעלת שער CNOT על זוג הקיוביטים (כאשר הקיוביט של אליס הוא קיוביט הבקרה), לאחר מכן הפעלת שער HADAMARD על הקיוביט של אליס, ולבסוף מדידה בבסיס החישובי \{|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle\} . רצף פעולות זה שקול למדידה בבסיס מצבי בל.

## דוגמה לשימוש בפרוטוקול
נניח שאליס הנמצאת בחיפה רוצה להעביר לבוב הנמצא בחדרה את הסיביות 01. נשתמש בפרוטוקול קידוד על-צפוף על מנת לבצע זאת.

נכין שני קיוביטים שזורים במצב |\Phi^+\rangle . ניתן את הראשון לאליס ואת השני לבוב.

לפי המיפוי הידוע אליס תפעיל את השער Z על הקיוביט שבידיה: Z\otimes I|\Phi^+\rangle=|\Phi^-\rangle.

כעת אליס תשלח את הקיוביט שלה מחיפה לחדרה, לידיו של בוב.

בוב יבצע מדידה בבסיס מצבי בל: (H\otimes I)CNOT|\Phi^- \rangle=(H\otimes I)CNOT( {1\over \sqrt{2}}(|00\rangle-|11\rangle))=(H\otimes I)({1\over \sqrt{2}}(|00\rangle-|10\rangle))={1\over 2}((|00\rangle + |10\rangle)-( |00\rangle-|10\rangle) )=|10\rangleכמובן שכעת לאחר מדידה בבסיס החישובי, נקבל תוצאת מדידה |10\rangle, שזהו המידע שאליס התכוונה להעביר לבוב.

## תוצאות ניסיוניות
בשנת 2025 הצליחו חוקרים  לממש קידוד על-צפוף באמצעות קיודיטים בעלי 8 רמות, ולהעביר מידע המקודד ב-3.021 סיביות על ידי פוטון יחיד, כאשר הגבול הקלאסי להעברה בערוץ זה על ידי פוטון יחיד - ללא תופעת שזירות קוונטית, הוא 3 סיביות.

## ראו גם
* מחשוב קוונטי
* אינפורמציה קוונטית

## לקריאה נוספת

* Michael A.Nielsen and Isaac L.Chuang, **Quantum Computation and Quantum Information**, The press syndicate of the university of Cambridge, 2000

## קישורים חיצוניים
* רשימות הרצאה מאוניברסיטת MIT העוסקות בחלקן בקידוד על-צפוף, באתר MIT OpenCourseWare
* רשימות הרצאה מאוניברסיטת MIT העוסקות בחלקן בתיאורית הו֗לֶבו֗, באתר MIT OpenCourseWare
* Michael A.Nielsen and Isaac L.Chuang, **[https://books.google.co.il/books?id=-s4DEy7o-a0C&redir_esc=y Quantum Computation and Quantum Information -10th Anniversary Edition]**, The press syndicate of the university of Cambridge, 2010

## הערות שוליים

קטגוריה:חישוב קוונטי