נורמה (אנליזה)

באנליזה מתמטית, **נורמה** היא פונקציה ממשית המוגדרת על מרחב וקטורי, ומתאימה לכל וקטור ערך ממשי, באופן שמתמלאים מספר תנאים. תנאים אלו מבוססים על התכונות היסודיות של האורך המוכר במרחב האוקלידי. מרחב וקטורי שמוגדרת עליו נורמה נקרא מרחב נורמי. בדומה למטריקה, שהיא הכללה חופשית ורחבה של מושג המרחק, הנורמה מודדת מרחקים יחסיים, ואפשר לראות בה מטריקה שאינה מושפעת מהזזות.

## הגדרה
האורך במרחב האוקלידי מקיים את הדרישות הטבעיות הבאות:
* אורך הוא תמיד חיובי, חוץ מאורכו של וקטור האפס, שהוא אפס.
* מתיחה של הווקטור בסקלר מכפילה גם את האורך בערכו המוחלט של אותו סקלר.
* מתקיים אי שוויון המשולש.

בשל תכונות אלה, מגדירים **נורמה** כפונקציה ממרחב וקטורי V מעל שדה המספרים הממשיים \reals או שדה המספרים המרוכבים \Complex, אל המספרים הממשיים (כלומר \| \cdot \| \colon V \to \mathbb{R}), המקיימת את האקסיומות הבאות:
#**חיוביות**: \|x\|\ge 0, ו- \|x\| = 0 אם ורק אם x = 0.
#'''הומוגניות''': \|\lambda\cdot x\|=|\lambda |\cdot \|x\|.
#**[[אי-שוויון המשולש]]**: \|x+y\|\le \|x\|+\|y\|.

### עידון של אי-שוויון המשולש
לכל וקטור \ x, נסמן ב-\ x' = x/\|x\| את וקטור היחידה באותו כיוון. לכל שני וקטורים x, y מתקיים \ \alpha \min\{\|x\|,\|y\|\} \leq |\|x\|+\|y\|-\|x+y\|| \leq \alpha \max\{\|x\|,\|y\|\}, כאשר \ \alpha = 2-\|x'+y'\|
 מכאן נובע ש-\|x+y\|=\|x\|+\|y\| אם ורק אם הדבר נכון לווקטורי היחידה המתאימים. תופעה זו אפשרית גם כאשר x,y שונים (למשל בנורמת \ell_1). מרחב נורמי שבו ספירת היחידה אינה מכילה קטעים נקרא **מרחב קמור לחלוטין**.

## דוגמאות
### הערך המוחלט
הערך המוחלט הסטנדרטי הוא נורמה המוגדרת על הישר הממשי עצמו (זו נורמת L_1 המוגדרת על \mathbb{R}).

### נורמה במרחבי מכפלה פנימית
עבור מכפלה פנימית \langle\cdot ,\cdot\rangle במרחב מכפלה פנימית, הפונקציה המוגדרת על ידי \|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle} היא נורמה. אומרים שהנורמה הזו **[[השראה (אנליזה)|מושרית]]** על ידי המכפלה הפנימית.

**משפט**: נורמה מושרית על ידי מכפלה פנימית אם ורק אם היא מקיימת את שוויון המקבילית, הוא \| f+g \| ^2 + \| f - g \| ^2 = 2 \| f \| ^2 + 2 \| g \| ^2.

הסיבה לכך (במקרה הממשי) היא שאם הנורמה אכן מושרית על ידי מכפלה פנימית, אפשר לשחזר את המכפלה הפנימית על ידי "הזהות הפולרית" \lang x,y\rang = \frac{1}{2}(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2), ובמקרה זה חישוב ישיר מראה שהנורמה מקיימת את שוויון המקבילית. הנוסחה למכפלה פנימית של מרחב וקטורי מעל המרוכבים מעט יותר מסובכת.

יחס דומה, מעט כללי יותר, מתקיים בין תבניות ריבועיות לבין תבניות ביליניאריות.

### הנורמה הסטנדרטית במרחב האוקלידי
הנורמה המקובלת ביותר במרחב הווקטורי \mathbb{R}^n או \mathbb{C}^n היא
\|x\| = \sqrt{|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2}, הנקראת **הנורמה הסטנדרטית**, **הנורמה האוקלידית** או **נורמת <math>\ell^2</math>**. זוהי נורמה מושרית מהמכפלה הסקלרית הרגילה ומקיימת את התכונות הגאומטריות המוכרות לנו.

### נורמת l<sup>p</sup>
לכל p \ge 1 ממשי קבוע מגדירים את נורמת \ell^p על המרחב הווקטורי \mathbb{R}^n ע״י:
:\| x \| _p = \left( \sum_{i=1}^{n} = 0.
* את הנורמה אפשר 'לקרוא' מתוך כדור היחידה שלה. כדור היחידה חייב לחתוך כל קרן היוצאת מהמרכז, להיות סימטרי (לשיקוף x\mapsto -x), וקמור.

## נורמות שקולות
בהינתן מרחב וקטורי V ושתי פונקציות נורמה המוגדרות עליו \lVert \cdot\rVert_\alpha,\lVert \cdot\rVert_\beta נאמר כי שתי הנורמות שקולות אם קיים 1 כך שלכל x\in V:

\frac{1}{C}\lVert x\rVert_\beta\le\lVert x\rVert_\alpha\le C\lVert x\rVert_\beta

נורמות שקולות משרות על המרחב את אותה הטופולוגיה. נובע מכך כי כל סדרה שמתכנסת על פי נורמה אחת מתכנסת גם על פי הנורמה השנייה.

ניתן להוכיח כי אם V הוא מרחב וקטורי מממד סופי, אז כל הנורמות המוגדרות עליו שקולות זו לזו.

## ראו גם
* מרחב נורמי
* נורמה של אופרטור
* נורמה (אלגברה)
* נורמה-למחצה
* ערך מוחלט

## קישורים חיצוניים

* 

## הערות שוליים

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:מרחבים מטריים
קטגוריה:אלגברה ליניארית
קטגוריה:אנליזה פונקציונלית
*