פונקציית W של למברט

ממוזער|גרף הפונקציה <math>y = W(x)</math> עבור <math>x<6</math> ו <math>y > -4</math>. ההסתעפות העליונה (בכחול) עם ערכי <math>y \geq -1</math> היא גרף הפונקציה <math>W_0</math> (ההסתעפות הראשית), וההסתעפות התחתונה (בסגול) עם ערכי <math>y \leq -1</math> היא גרף הפונקציה <math>W_{-1}</math>. הערך המינימלי של <math>x</math> הוא ב-<math>(-\frac{1}{e},-1)</math>
במתמטיקה, **פונקציית W של למברט** (נקראת גם: **פונקציית אומגה**), היא פונקציה רב-ערכית, השווה לאוסף הענפים של הפונקציה ההופכית של הפונקציה f(w)=we^w, כש-w הוא מספר מרוכב כלשהו ו-e^w היא פונקציית האקספוננט.

לכל מספר שלם k משויך ענף אחד, המסומן בצורה W_k(\text{z}). W_0 מוגדר כענף הראשי . לפונקציות אלו מתקיימת התכונה הבאה: אם \text{z} ו-w הם מספרים מרוכבים כלשהם, אזי מתקיים:

: we^w = z

אם ורק אם:

: w = W_k(\text{z}) עבור k שלם כלשהו.

אם מתעסקים רק בעולם המספרים הממשיים, אז קיימים שני הענפים W_0 ו-W_{-1} בלבד; עבור המספרים הממשיים x ו-y והמשוואה:

: ye^y = x

למשוואה זו יש פתרון רק עבור x\geq-\frac{1}{e}; אנו מקבלים כי y = W_0(x) אם x\geq 0, ואת שני הערכים y = W_0(x) וגם y = W_{-1}(x) אם -\frac{1}{e}\leq x  (כפי שניתן לראות בתמונה).

הפונקציה שימושית בקומבינטוריקה, לדוגמה, בספירת עצים. ניתן להשתמש בה בכדי לפתור משוואות המכילות אקספוננט (למשל המקסימום של משוואת פלאנק, משוואת התפלגות בוז-איינשטיין ומשוואת התפלגות פרמי-דיראק).

## טרמינולוגיה
פונקציית W של למברט קרויה על שם המתמטיקאי יוהאן היינריך למברט.

לעיתים הענף הראשי W_0 מסומן כ-W_p והענף W_{-1} מסומן כ-W_m.

לעיתים הפונקציה נקראת גם "**לוגריתם המכפלה**" (באנגלית **product logarithm**) כיוון שאם הפונקציה ההופכית של f(w) = e^w נקראת לוגריתם, אז הגיוני לקרוא לפונקציה ההופכית של המכפלה we^w בשם "לוגריתם המכפלה"

הפונקציה קשורה לקבוע אומגה, ששווה ל-W_0(1).

## ייצוגים
אומנם את פונקציית W של למברט לא ניתן לבטא באמצעות פונקציות אלמנטריות., אך ניתן לייצג אותה ובעיקר את הענף הראשי  שלה בדרכים אחרות.

### באמצעות אינטגרלים מסוימים
בתחום |x| , ניתן לייצג באמצעות האינטגרל הבא:

: -\frac{\pi}{2}W_0(-x)=\int_0^\pi\frac{\sin\left(\tfrac32 t\right)-xe^{\cos t}\sin\left(\tfrac52 t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^2e^{2\cos t}}\sin\left(\tfrac12 t\right)\,dt

ועבור התחום הרחב יותר -\frac1{e}\leq x\leq e, ניתן לפשט עוד יותר את הביטוי:

: W_0(x) = \frac{1}{\pi} \operatorname{Re} \int_0^\pi \ln\left(\frac{e^{e^{it}} - xe^{-it}}{e^{e^{it}} - xe^{it}}\right) \,dt

קיים ייצוג נוסף לענף הראשי:

: W_0(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\log\left(1+x\frac{\sin t}{t}e^{t\cot t}\right)dt
עבור התחום x\geq-\frac{1}{e} בו הענף הראשי מוגדר, מתקיים:
: \begin{align}W_0(x)&= \frac{x}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}\frac{(1-v\cot v)^2 +v^2}{x+v\csc ve^{-v\cot v}}dv \\ \ &
= \frac{x}{\pi}\int^{\pi}_0\frac{(1-v\cot v)^2 +v^2}{x+v\csc ve^{-v\cot v}}dv\end{align}

(שני האינטגרלים שווים כיוון שהפונקציה בתוך האינטגרל סימטרית).

### באמצעות שברים משולבים
ניתן גם להציג את הענף הראשי באמצעות השבר המשולב הבא:

: W_0(x) = \cfrac{x}{1+\cfrac{x}{1+\cfrac{x}{2+\cfrac{5x}{3+\cfrac{17x}{10+\cfrac{133x}{17+\cfrac{1927x}{190+\cfrac{13582711x}{94423+\ddots}}}}}}}}

ועבור התחום |W_0(x)|:

: W_0(x) = \cfrac{x}{\exp \cfrac{x}{\exp \cfrac{x}{\ddots}}}

ובאופן דומה, עבור התחום |W_0(x)|>e:

: W_0(x) = \ln \cfrac{x}{\ln \cfrac{x}{\ln \cfrac{x}{\ddots}}}

## דיפרנציאביליות ואינטגרביליות
### נגזרת
לפי השיטה למציאת נגזרת של פונקציה סתומה, ניתן להראות כי לכל הענפים של W יש משוואה דיפרנציאלית רגילה:

: z(1+W)\frac{dW}{dz} = W \ \ \ (z \neq\frac{-1}{e})

(W אינה גזירה עבור z = -\frac{1}{e}) כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הנוסחה הבאה עבור הנגזרת של W:

: \frac{dW}{dz} = \frac{W(z)}{z(1+W(z))} \ \ \ z \notin \{0, -\frac{1}{e}\}

ובאמצעות שימוש בזהות e^{W(z)}=\frac{z}{W(z)}  נקבל את הנוסחה הבאה:

: \frac{dW}{dz} = \frac{1}{z + e^{W(z)}} \ \ \ (z \neq -\frac{1}{e})

בענף הראשי נקבל W_{0}'(0) = 1.

### אינטגרל
ניתן למצוא את האינטגרל של הפונקציה W(x), ושל פונקציות רבות נוספות המכילות בתוכן את פונקציית W, על ידי שימוש באינטגרציה באמצעות החלפת משתנים: w = W(x) \ \ \ (x = we^w)

: \begin{align}\int W(x)dx&= xW(x) - x + e^{W(x)} + C \\ \ &
= x\left(W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)}\right) + C\end{align}

המשוואה השנייה היא בשימוש הנפוץ יותר, אך אינה מוגדרת עבור x=0.

אם נשתמש בעובדה כי W_0(e) = 1 נקבל:

: \int_0^eW_0(x)dx = e-1

#### אינטגרלים מסוימים
קיימים כמה אינטגרלים מסוימים שימושיים של הענף הראשי של פונקציית W. כגון:
: \int_0^\pi W_0(2\cot^2x) \sec^2xdx = 4\sqrt{\pi}

: \int_0^{\infin}\frac{W_0(x)}{x\sqrt{x}}dx = 2\sqrt{2\pi}

: \int_0^\infin W_0\left(\frac{1}{x^2}\right)dx = 2\sqrt{\pi}

את המשוואה הראשונה ניתן למצוא באמצעות כתיבת אינטגרל גאוסיאני בקואורדינטות קוטביות.

את המשוואה השנייה ניתן למצוא על ידי שימוש בהחלפה u=W_0(x), ואז ניתן גם להחליף את:

: x=ue^u

: \frac{dx}{du}=(u+1)e^u

ואז ניתן להראות כי:

: \begin{align}
\int_0^\infty \frac{W_0(x)}{x\sqrt{x}}\,dx &=\int_0^\infty \frac{u}{ue^{u}\sqrt{ue^{u}}}(u+1)e^u \, du \\[5pt]
&=\int_0^\infty \frac{u+1}{\sqrt{ue^u}}du \\[5pt]
&=\int_0^\infty \frac{u+1}{\sqrt{u}}\frac{1}{\sqrt{e^u}}du\\[5pt]
&=\int_0^\infty u^\tfrac12 e^{-\frac{u}{2}}du+\int_0^\infty u^{-\tfrac12} e^{-\frac{u}{2}}du\\[5pt]
&=2\int_0^\infty (2w)^\tfrac12 e^{-w} \, dw+2\int_0^\infty (2w)^{-\tfrac12} e^{-w} \, dw && \quad (u =2w) \\[5pt]
&=2\sqrt{2}\int_0^\infty w^\tfrac12 e^{-w} \, dw + \sqrt{2} \int_0^\infty w^{-\tfrac12} e^{-w} \, dw \\[5pt]
&=2\sqrt{2} \cdot \Gamma \left (\tfrac32 \right )+\sqrt{2} \cdot \Gamma \left (\tfrac12 \right ) \\[5pt]
&=2\sqrt{2} \left (\tfrac12\sqrt{\pi} \right )+\sqrt{2}\left(\sqrt{\pi}\right) \\[5pt]
&=2\sqrt{2\pi}.
\end{align}

המשוואה השלישית נובעת מהמשוואה השנייה על ידי ההחלפה u=x^{-2}, ובנוסף גם המשוואה הראשונה נובעת מהשלישית על ידי ההחלפה z=\frac{1}{\sqrt{2}}\tan x.
#### אינטגרלים לא מסוימים
\int\frac{W(x)}{x}dx = \frac{W(x)^2}{2} + W(x) + C{\cancel{\color{green}u}\cancel{\color{red}e^u}}(u+1)\cancel{\color{red}e^u}du \\ \ &
= \int (u + 1) du \\ \ &
= \frac{u^2}{2} + u + C \\ \ &
\qquad u = W(x) \\ \ &
= \frac{W(x)^2}{2} + W(x) + C
\end{align}}}

(u+1)\cancel{\color{green}e^u}du \\ \ &
= \int (u+1)du \\ \ &
= \frac{u^2}{2} u+C \\ \ &
= \frac{W(x)^2}{2} + W(x) + C
\end{align}}}

\int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{ W\left(A e^{Bx}\right) ^2}{2B} + \frac{ W\left(A e^{Bx}\right) }{B} + C

 W(w)}{w} \cancel{\color{OliveGreen}{ \frac{1}{A} }} dw 
::  t = W\left(w\right) \rightarrow te^t=w \;\;\;\; \frac{ d }{ dt } te^t = \left(t+1\right)e^t 
\int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{1}{B} \int \frac{t}{te^t}\left(t+1\right)e^t dt 

\int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{1}{B} \int \frac{ \cancel{\color{OliveGreen}{t}} }{ \cancel{\color{OliveGreen}{t}} \cancel{\color{BrickRed}{e^t}} }\left(t+1\right) \cancel{\color{BrickRed}{e^t}} dt 

\int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{1}{B} \int t+1 dt 

 \int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{t^2}{2B} + \frac{t}{B} + C 
::  t = W\left(w\right) 
 \int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{ W\left(w\right) ^2}{2B} + \frac{ W\left(w\right) }{B} + C 
::  w = Av 
 \int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{ W\left(Av\right) ^2}{2B} + \frac{ W\left(Av\right) }{B} + C 
::  v = e^u 
 \int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{ W\left(Ae^u\right) ^2}{2B} + \frac{ W\left(Ae^u\right) }{B} + C 
::  u = Bx 
 \int W\left(A e^{Bx}\right) \, dx \; = \; \frac{ W\left(Ae^{Bx}\right) ^2}{2B} + \frac{ W\left(Ae^{Bx}\right) }{B} + C }} \int \frac{ W(x) }{x^2} \, dx \; = \; \operatorname{Ei}\left(- W(x) \right) - e^{ - W(x) } + C


## ערכים מיוחדים
עבור כל x מספר אלגברי השונה מ-0, מתקיים כי W(x) הוא מספר טרנסצנדנטי. אם W(x) הוא 0, אז x חייב להיות גם הוא 0, ואם W(x) הוא מספר לא אלגברי שונה מאפס, אז לפי משפט לינדמן-ויירשטראס, e^{W(x)} חייב להיות מספר טרנסצנדנטי, ולכן x = W(x)e^{W(x)} חייב להיות גם הוא מספר טרנסצנדנטי.

למטה מובאים ערכים מיוחדים של הענף הראשי (W_0):
* W_0(-\frac{\pi}{2}) = \frac{i\pi}{2} 
* W_0(-\frac{1}{e}) = -1
* W_0(2\ln2) = \ln 2
* W_0(0)=0
* W_0(1) = \Omega = \left(\int_{-\infin}^\infin\frac{dt}{(e^t-t)^2+\pi^2}\right)^{-1} \approx0.56714329 (קבוע אומגה)
* W_0(1) = e^{-W(1)}=\ln \left(\frac{1}{W(1)}\right)= -\ln W(1)
* W(e)=1
* W(e^{1+e}) = e

## קישורים חיצוניים

* פונקציית W של למברט לפי המכון הלאומי לתקנים וטכנולוגיה
* 
* מימוש הפונקציה בשפת 

## הערות שוליים

קטגוריה:אנליזה מרוכבת
קטגוריה:קומבינטוריקה
קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות