איחוד (מתמטיקה)

בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, **האיחוד** של אוסף של קבוצות הוא קבוצה המכילה את כל מה ששייך לקבוצות אלה, ושום דבר אחר.

## הגדרה
[שמאל|ממוזער|250px|[דיאגרמת ון של ה**איחוד** של **A** ו-**B**]]
אם A ו-B הן קבוצות, אז האיחוד של A ו-B הוא קבוצה המכילה את כל האיברים של A ואת כל האיברים של B, בלי איברים אחרים. האיחוד של A ו-B נכתב בדרך כלל כך: A\cup B.

מבחינה פורמלית:
:x\isin A\cup B (x הוא איבר ב-A\cup B) אם ורק אם x\isin A או x\isin B. 

נשים לב כי במקרה זה מדובר על "או" לוגי, כלומר x יכול להיות גם בשתי הקבוצות ואז יהיה באיחוד. פעולה שמחזירה קבוצה שמכילה איברים השייכים לאחת משתי הקבוצות אך לא לשתיהן יחד נקראת הפרש סימטרי.

אם לשתי הקבוצות אין איברים משותפים, הן מכונות קבוצות זרות, ואיחודן מכונה **איחוד זר**. 
הערה: איחוד זר נהוג לסמן על ידי רשימת + או נקודה בתוך ה-⋃ של האיחוד (למשל \uplus).

באופן דומה ניתן להגדיר איחוד עבור משפחה כלשהי, גם אינסופית, של קבוצות. נניח כי \left\{A_i\right\}_{i\isin\Lambda} היא משפחה של קבוצות (כלומר, קבוצה של קבוצות שכל אחת מזוהה על ידי אינדקס i השייך לקבוצת אינדקסים \Lambda), אז האיחוד שלהן יסומן \bigcup_{i\isin\Lambda} A_i ומתקיים x\isin \bigcup_{i\isin\Lambda} A_i אם ורק אם קיים k\isin\Lambda כלשהו כך ש-x\isin A_k.

ההגדרה הכללית ביותר היא \bigcup \mathcal{A} = \left\{ x \ | \ \exists A \in \mathcal{A} : x \in A \right\} (מילולית: איבר *x* נמצא באיחוד של קבוצות ממשפחה \mathcal{A} אם ורק אם קיימת קבוצה *A* ב-\mathcal{A} כך ש-*x* שייך ל-*A*).

## דוגמאות
* אם A=\left\{1,2,3,4\right\},B=\left\{4,5,r,t\right\} אז A\cup B=\left\{1,2,3,4,5,r,t\right\}.
* אם B\subseteq A (B הוא קבוצה חלקית של A) אז A\cup B=A.
* אם B=\emptyset (קבוצה ריקה) אז לכל A מתקיים A\cup B=A. (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
* אם A=\left\{1,2\right\}, B=\left\{1,\left\{2\right\}\right\} אז A\cup B=\left\{1,2,\left\{2\right\}\right\}.
* אם A_n=\left\{1,2,\dots,n\right\} אז \bigcup_{n\isin\mathbb{N}} A_n=\mathbb{N}.
*בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת החיתוך:
** בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות A_n, אז הקבוצה \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k\ge n} A_k היא קבוצת כל האיברים שמופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס n כלשהו.
** בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות A_n, אז הקבוצה \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k\ge n} A_k היא קבוצת כל האיברים שמופיעים במספר אינסופי של קבוצות.
::(שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה **הגבול התחתון** ו**הגבול העליון** של סדרת הקבוצות A_n ומסומנות \liminf A_n ו-\limsup A_n).

## תכונות אלגבריות
איחוד הוא פעולה אסוציאטיביות (קיבוצית); כלומר 
\left( A\cup B\right) \cup C = A\cup \left(B\cup C\right). בשל כך הביטוי 
A\cup B \cup C מוגדר היטב (כלומר, אין חשיבות לשאלה מהו הסדר בו מתבצעים האיחודים) ושווה לשתי הקבוצות הנ"ל, ולכן אין צורך בסוגריים אף-פעם כאשר כותבים רק איחודים בין קבוצות.

באופן דומה, איחוד הוא גם קומוטטיבי (חילופי), וניתן לכתוב את הקבוצות באיחודים בכל סדר שנרצה.

הקבוצה הריקה היא איבר היחידה של פעולת האיחוד. ולכן ניתן לראות את הקבוצה הריקה כאיחוד של אפס קבוצות.

ביחד עם חיתוך והמשלים, הופך האיחוד כל קבוצת חזקה כלשהי להקבלה של אלגברה בוליאנית. לדוגמה, איחוד וחיתוך הם דיסטריבוטיביים אחד מעל השני, וכל שלוש הפעולות משולבות זו בזו בכללי דה מורגן.

באופן פורמלי:
* אסוציאטיביות: A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C
* קומוטטיביות:  A\cup B = B\cup A
* דיסטריבוטיביות של חיתוך על איחוד: A \cap (B \cup C) = (A \cap B)\cup(A \cap C) 
* דיסטריבוטיביות של איחוד על חיתוך: A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) 
* משלים: A \cup B = \left(A^C \cap B^C \right)^C

## ראו גם
* עקרון החיבור
* OR

## קישורים חיצוניים

* 

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:תורת הקבוצות
קטגוריה:פעולות בינאריות