משפט קושי (תורת החבורות)

בתורת החבורות, אחד המאפיינים של חבורות סופיות הוא העובדה המפתיעה שאפשר להסיק רבות על המבנה של חבורה מתוך הסדר שלה. אחת הדוגמאות המוקדמות לתופעה הזו היא **משפט קושי** (שגילה אוגוסטן לואי קושי ב-1845): אם G חבורה סופית, אזי לכל p מספר ראשוני המחלק את סדר החבורה |G| קיים ב-G איבר מסדר p.

תוצאה כללית יותר, העוסקת בקיום של תת-חבורות מכל סדר שהוא חזקה של מספר ראשוני, מנוסחת במשפטי סילו.

## שימושים
למשפט יסודי זה שימוש נרחב בתורת החבורות, ודרכה גם בתחומים אחרים באלגברה, בפרט בתורת גלואה. לדוגמה, אם f(x) הוא פולינום אי פריק ממעלה p מעל שדה \mathbb F, אז שדה ההרחבה \mathbb{F}[x]/(f(x)) הוא מממד p, ולכן גם הממד של שדה הפיצול K של f, המכיל את השדה הראשון, מתחלק ב-p. אבל לפי המשפט היסודי של תורת גלואה, הסדר של חבורת גלואה שווה לממד של K מעל \mathbb F, ולכן – לפי משפט קושי – היא כוללת איבר מסדר p. 

## הוכחה
### הוכחה באינדוקציה
תהי G חבורה מסדר המתחלק בראשוני p. יש להוכיח שקיים ב-G איבר מסדר p. ראשית יש להוכיח את המשפט לחבורות אבליות, למשל באינדוקציה על הסדר: אם e\ne x הוא איבר מסדר המתחלק ב-p, אז יש לו חזקה מסדר p. אחרת, אפשר לעבור לחבורת מנה ביחס לתת-החבורה הציקלית הנוצרת על ידי x.

כעת נוכיח את המשפט במקרה הכללי (שוב באינדוקציה על הסדר). אם |G|=p אז כל איבר לא-טריוויאלי הוא מסדר p (לפי משפט לגראנז'). נניח שהטענה נכונה לכל החבורות מסדר קטן מ-|G|. 
***מקרה א** – קיים איבר x\in G\setminus Z(G) עבורו p\mid|Z_x|.
:(לא להתבלבל: Z_x:=\{g\in G:gx=xg\} הוא **הַמְּרַכֵּז** של x, ואילו Z(G):=\{z\in G:\forall g\in G,zg=gz\} הוא מֶרְכַּז הַחֲבוּרָה).
:Z_x\ne G כי x\notin Z(G) ולכן קיים לפחות איבר אחד בחבורה שאינו ב-Z_x לכן |Z_x|, הנחנו p\mid|Z_x|, ולפי הנחת האינדוקציה קיים איבר מסדר p ב-Z_x, אבל זו תת-חבורה של G.
***מקרה ב** – לכל איבר x\in G\setminus Z(G), p לא מחלק את |Z_x|. לפי משפט לגראנז' |G|=|Z_x|\cdot[G:Z_x] ומשני הנתונים נובע כי p\mid[G:Z_x]. לפי משוואת המחלקות |G|=|Z(G)|+\sum_{i\,=\,1}^k [G:Z_{x_i}] כאשר x_1,\ldots,x_k נציגי מחלקות הצמידות שסדרן גדול מ-1, כמובן x_1,\ldots,x_k\notin Z(G) כי גודל מחלקת הצמידות של איבר במרכז הוא 1. הנחנו p\mid|G|, הראינו p\mid\sum_{i\,=\,1}^k[G:Z_{x_i}] לפי משוואת המחלקות p\mid|Z(G)|. Z(G) חבורה אבלית לכן לפי המקרה האבלי שהוכחנו בהתחלה, קיים בה איבר מסדר p וסיימנו.

### הוכחה באמצעות פעולה של <math>Z_p</math>
נסתכל על קבוצת ה-p-יות של איברים שמכפלתם היא היחידה: 
:A=\Big\{(g_0,g_1,\ldots,g_{p-1}):g_0g_1\cdots g_{p-1}=e\Big\}
מכיוון שלכל g_0,\ldots,g_{p-2} יש השלמה יחידה לווקטור ב-A, גודל הקבוצה הוא |A|=|G|^{p-1}, המתחלק ב-p. אנו רוצים להוכיח קיום של איבר בקבוצה A מהצורה (g,g,\ldots,g) כאשר g\ne e. על ידי הצמדה ב-g_{p-1}, קל לראות כי g_0g_1\cdots g_{p-1}=e אם ורק אם g_{p-1}g_0g_1\cdots g_{p-2}=e. לכן נוח לחשוב על כל וקטור כמעגל של מספרים, המסודרים כמו על חוגה של טלפון ישן, ולחלק את A למחלקות שקילות, כך ששני איברים ייקראו שקולים אם הם סיבוב אחד של השני. 

ה"עוקץ" בהוכחה נעוץ בכך שאורך כל וקטור (g_0,g_1,\ldots,g_{p-1}) הוא ראשוני. לכן, גודל כל מחלקת שקילות חייב להיות p או 1. ניתן להבין זאת מכך שאם וקטור שווה לסיבוב של n צעדים של עצמו, אז הוא בהכרח שווה גם לסיבוב של 2n צעדים, 3n צעדים, וכך הלאה. אך מכיוון ש-p ראשוני, ניתן להגיע לסיבוב בכל מספר של שלבים על ידי סיבוב חוזר ב-n צעדים. זאת מכיוון שלכל m קיים a\in\Z עבורו a\equiv m\!\!\!\!\pmod{p} (טענה זו שקולה לטענה שכל איבר בחבורה הציקלית \Z_p יוצר אותה). לכן, אם קיים סיבוב של הווקטור שבו הוא חוזר לעצמו, אז בכל סיבוב הוא יחזור לעצמו, והוא מהצורה (g,g,\ldots,g).

נשים לב כי A היא איחוד זר של מחלקות השקילות שלה, ולכן גודלה הוא סכום גודלי מחלקות השקילות, שגודל כל אחת מהן הוא 1 או p. נזכור גם ש-p מחלק את גודל |A| ושאנו יודעים כי קיימת מחלקת שקילות בגודל 1 - המחלקה (e,e,\ldots,e). אך אם גודל כל מחלקות השקילות האחרות היה p, אז p לא יכול היה לחלק את |A|, כי סכום של מספרים המתחלקים ב-p ועוד 1 לא יכול להתחלק ב-p. לכן, קיבלנו כי חייבת להיות לפחות עוד מחלקה בגודל 1 (למעשה חייבות להיות עוד p-1 כאלה), כלומר מחלקות מהצורה (g,g,\ldots,g), ולכן קיים g עבורו g^p=e.

קושי
קטגוריה:אוגוסטן לואי קושי