אלגברה ציקלית

באלגברה מופשטת, **אלגברה ציקלית** היא אלגברה פשוטה מרכזית המכילה תת-שדה (מקסימלי) המהווה הרחבת גלואה ציקלית מעל שדה הבסיס.

## הגדרה

לאלגברה ציקלית מספר הגדרות שקולות.

### הגדרה ישירה
תהי \mathbb{K} / \mathbb{F} הרחבת גלואה ציקלית עם חבורת גלואה G=Gal(\mathbb{K} / \mathbb{F})=\langle\sigma\rangle מסדר n, ויהי \beta \in \mathbb{F}^{\times}. נגדיר A=\mathbb{K} \oplus \mathbb{K}z \oplus ... \oplus \mathbb{K}{z}^{n-1} (כמרחב וקטורי עם בסיס \{ 1,z,...,{z}^{n-1} \}), עם פעולת הכפל:

(a{ z }^{ i })(b{ z }^{ j })=\begin{cases} a{ \sigma }^{ i }(b){ z }^{ i+j }\quad \quad \quad i+j

בדיקה ישירה מראה שהפעולה מגדירה אלגברה פשוטה מרכזית הנקראת **אלגברה ציקלית** ומסומנת (\mathbb{K},\sigma,\beta). (להוכחת טענות אלו ראו **[Row]**).

### הגדרה באמצעות תת-שדה מקסימלי
תהי A אלגברה פשוטה מרכזית מעל \mathbb{F}. נאמר ש-A **אלגברה ציקלית** אם קיים תת-שדה (מקסימלי) \mathbb{F} \subseteq \mathbb{K} \subseteq A המהווה הרחבת גלואה ציקלית.

### הגדרה באמצעות יוצרים ויחסים
**אלגברה ציקלית** היא אלגברה בעלת הצגה על ידי יוצרים ויחסים: A=\langle\mathbb{K},y| {y}^{m}=\beta,ay=y\sigma (a) \quad \forall a \in \mathbb{K}\rangle.

### שקילות ההגדרות
ההגדרה הראשונה שקולה לשנייה לפי המשפט:

***משפט*** **[Row, 24.45]**: אלגברה פשוטה מרכזית A היא אלגברה ציקלית (במובן ההגדרה הראשונה) אם ורק אם קיים עבורה תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית.

*סקירת ההוכחה*: בכיוון \Rightarrow, תהי G=\langle\sigma\rangle חבורת הגלואה. לפי משפט סקולם-נתר, יש z כך ש-za{z}^{-1}=\sigma (a), ולכן גם \forall i:{z}^{i}a=\sigma ^{i} (a){z}^{i}. לכן \forall a \in \mathbb{K}: z^n a=\sigma ^{n} (a) z^n=az^n, כלומר z^n שייך למרכז שהוא \mathbb{K}, כלומר {z}^n=\beta, ומתקיים A \cong (\mathbb{K},\sigma,\beta).

שקילות ההגדרות השנייה והשלישית נובעת מהמשפט:

***משפט*** **[GS, 2.5.3]**: אם אלגברה פשוטה מרכזית A היא בעלת תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית, אז A איזומורפית לאלגברה מהצורה A=\langle\mathbb{K},y| {y}^{m}=\beta,ay=\sigma (a)y \quad \forall a \in \mathbb{K}\rangle (סיגמא היוצר של חבורת הגלואה).

*סקירת הוכחת המשפט*: על פי משפט סקולם-נתר, האוטומורפיזם \sigma של K הוא הצמדה באיבר כלשהו y: \forall x \in \mathbb{K}: {y}^{-1}xy=\sigma (x). נגדיר \beta = y^m, ונוכיח כי y^m \in \mathbb{F}: משום ש-x= \sigma ^{m} (x)=y^{-m}xy^{m}, כלומר y^m \in K; הפעלת ההצמדה על y^m מראה כי \sigma(y^m)=y^m, ולכן y^m \in \mathbb{F}. כעת, קל לבדוק כי 1,...,y^{m-1} בלתי תלויים ליניארית, ולכן מקבלים הדרוש.

## דוגמאות
* יהי \mathbb{F} שדה, ויהי m הפיך בשדה. עוד נניח כי \mathbb{F} מכיל שורש יחידה פרימיטיבי מסדר m, נסמנו \omega. נגדיר (a,b)_{\omega}=\langle x,y|x^m=a,y^m=b,xy=\omega yx\rangle. מקרה פרטי של הגדרה זו הוא אלגברת קווטרניונים, המתקבלת כאשר m=2, \omega=-1. 

:לפי משפט **[GS,4.3.9]**, כל הרחבה ציקלית כנ"ל אפשר לרשום בצורה \mathbb{F} (\sqrt [ m ]{ a } ). כל האלגברות הציקליות עבור b \in \mathbb{F}^{\times} הן בדיוק (a,b)_{\omega}, עבור כל שורש יחידה m-פרימיטיבי \omega.

* יהי \mathbb{F} שדה ממאפיין ראשוני p, ויהי m=p. עבור a,b \in \mathbb{F}^{\times}, נביט ב-[a,b)=\langle x,y|x^p-x=a,y^p=b, xy=y(x+1)\rangle. קל לראות שכל שורש של הפולינום x^p-x-a מגדיר הרחבת גלואה ציקלית. לפי משפט **[GS,4.3.13]**, כל הרחבת גלואה ציקלית כנ"ל היא מהצורה \mathbb{F} [\alpha] עבור אלפא עם שורש מינימלי x^p -x-a=0. 

:מעבר לכך, בתנאים הנ"ל, כל האלגברות הציקליות עבור b הן מהצורה [a,b).

## ראו גם
*אלגברה פשוטה מרכזית
*משפט סקולם-נתר

## לקריאה נוספת


***[Row]**; Graduate Algebra: Noncommutative View, Louis Halle Rowen, 448-449;462-464



***[GS]**; Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Gille and Szamuely, 33-37]


קטגוריה:מבנים אלגבריים