חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג'

**חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' ** הוא משפט בתורת ההסתברות שהוכיחו המתמטיקאים אדווין יואיט ולאונרד סאוואג'. המשפט מתאר מאורעות שהסתברותם היא 0 או 1 בלבד.

באופן לא לגמרי פורמלי, המשפט קובע כי בהינתן סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי-התפלגות, כל מאורע שנקבע על ידי המשתנים המקריים הללו, אך שאינו תלוי באף שינוי סדר של מספר סופי מתוך המשתנים המקריים, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.

## נוסח פורמלי

תהי \mu מידת הסתברות על \left(\mathbb{R}, \mathcal{B}\right), כאשר \mathcal{B} היא סיגמא אלגברת בורל.

נדון במרחב המכפלה \left(\mathbb{R}^\mathbb{N}, \mathcal{F}, \mathbb{P}\right), כאשר \mathcal{F} = \otimes_{i \in \mathbb{N}}\mathcal{B} וכן \mathbb{P} = \otimes_{i \in \mathbb{N}} \mu. נשים לב כי במרחב זה המשתנים המקריים \left\{X_i\right\}_{i \in \mathbb{N}} המוגדרים X_i\left( \left(x_i\right)_{x \in \mathbb{N}} \right) = x_i הם כולם בלתי-תלויים, והם גם שווי-התפלגות, שכן כל אחד מהם בעל ההתפלגות \mu.

נתבונן בחבורה \mathcal{S} של התמורות הסופיות על \mathbb{N}, כלומר התמורות שמשנות רק מספר סופי של איברים. נשים לב כי \mathcal{S} פועלת על \mathbb{R}^\mathbb{N}, על ידי כך שכל תמורה סופית \pi \in \mathcal{S}, \pi: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, משרה העתקה T_\pi:\mathbb{R}^\mathbb{N} \to \mathbb{R}^\mathbb{N}, על ידי T_\pi\left( \left(x_i\right)_{i \in \mathbb{N}} \right) = \left(x_{\pi(i)}\right)_{i \in \mathbb{N}}. \right) = x_{\pi\left(j\right)}.}}

אזי חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' קובע כי הפעולה היא ארגודית. כלומר, לכל מאורע A \in \mathcal{F}, אם T_{\pi}^{-1}\left(A\right) = A לכל \pi \in \mathcal{S}, אז \mathbb{P}\left(A\right) = 0 או \mathbb{P}\left(A\right) = 1.

## הוכחה

תחילה ניתן להראות כי המשפחה \mathcal{E} = \left\{ E \mid T^{-1}\left(E\right) = E \right\} \subset \mathcal{F} מהווה תת-סיגמא-אלגברה.

אם כך תהי E \in \mathcal{E}. נתבונן בהעתקה המציינת 1_E, ונשתמש בעובדה הבאה: קיימת סדרה של העתקות \left(g_n\right)_{n=1}^{\infty} החסומות על ידי 1, כך שלכל n ההעתקה g_n היא מדידה ביחס לסיגמא-אלגברה \mathcal{F}_n = \sigma\left(X_1,X_2,...,X_n\right), ומתקיים \mathbb{E}\left|1_E - g_n\right| \to 0 כאשר n \to \infty.

תהי g_n העתקה כלשהי שהיא \mathcal{F}_n-מדידה. נבחר תמורה \pi \in \mathcal{S} שמקיימת \left\{1,2,...,n \right\} \cap \left\{\pi\left(1\right),\pi\left(2\right),...,\pi\left(n\right) \right\} = \emptyset. יש כזאת, כי ניתן למשל לבחור את התמורה שמחליפה את המספרים 1,2,...,n עם המספרים n+1,n+2,...,2n, ואת כל שאר המספרים משאירה במקומם.

תחילה נשים לב כי g_n \circ T_\pi היא העתקה בלתי-תלויה ב-\mathcal{F}_n, ולכן מתקיים \mathbb{E} \left[g_n\right]^2 = \mathbb{E}\left[g_n\right]\cdot\mathbb{E}\left[g_n \circ T_\pi\right] = \mathbb{E}\left[g_n \cdot g_n \circ T_\pi\right]. כמו כן נבחין כי מההנחה לגבי E נובע כי 1_E \circ T_\pi = 1_{T^{-1}\left(E\right)} = 1_E, ולכן נובע כי \mathbb{E}\left[1_E\right] = \mathbb{E}\left[1_E^2\right] = \mathbb{E}\left[1_E \cdot 1_E \circ T_\pi \right].

עוד נשים לב כי מתקיים:

\left| \mathbb{E}\left[1_E\right] - \mathbb{E}\left[g_n\right]^2 \right| = \left| \mathbb{E}\left[1_E \cdot 1_E \circ T_\pi - g_n \cdot g_n \circ T_\pi \right] \right|

\leq \mathbb{E}\left| \left(1_E - g_n \right) \cdot 1_E \circ T_\pi \right] + \mathbb{E}\left|g_n \cdot \left(1_E \circ T_\pi - g_n \circ T_\pi \right) \right|

\leq \mathbb{E}\left|1_E-g_n\right| + \mathbb{E}\left|1_E \circ T_\pi - g_n \circ T_\pi \right| = 2 \cdot \mathbb{E}\left|1_E-g_n\right| \underset{\longrightarrow0} 

כעת נוכל להסיק כי:

,\left|\mathbb{P}\left(E\right)-\mathbb{P}\left(E\right)^{2}\right| = \left|\mathbb{E}\left[1_{E}\right]-\mathbb{E}\left[1_{E}\right]^{2}\right| \leq \left|\mathbb{E}\left[1_{E}\right]-\mathbb{E}\left[g_{n}\right]^{2}\right|+\left|\mathbb{E}\left[1_{E}\right]^{2}-\mathbb{E}\left[g_{n}\right]^{2}\right| 


ממה שהראינו נובע כי שני הנסכמים שואפים לאפס, ולכן בהכרח \mathbb{P}\left(E\right) = \mathbb{P}\left(E\right)^2, כלומר \mathbb{P}\left(E\right) = 0 או \mathbb{P}\left(E\right) = 1.

## דוגמאות

בדומה לחוק האפס-אחד של קולמוגורוב, מאורעות זנב גבוליים, כדוגמת \left\{\sum_{i=1}^{\infty}X_{i} , הם מאורעות שאינם תלויים בהחלפת הסדר של אף קבוצה סופית של המשתנים המקריים, ולכן גם חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' קובע כי הסתברותם היא 0 או 1.

דוגמה שלא ניתן להסיק מתוך חוק האפס-אחד של קולמוגורוב, היא הילוך מקרי פשוט \left\{X_n\right\}_{n=1}^{\infty} על המספרים השלמים, בהסתברות p ללכת ימינה ובהסתברות המשלימה ללכת שמאלה, כלומר \mathbb{P}\left(X_n = X_{n-1}+1\right) = 1-\mathbb{P}\left(X_n = X_{n-1}-1\right) = p באופן בלתי תלוי לכל n. במצב זה נתבונן בסדרת המשתנים המקריים \left\{S_N\right\}_{N=1}^{\infty} המוגדרים S_N = \sum_{n=1}^{N}X_n, כלומר S_N קובע היכן נמצא ההילוך בצעד ה-N. אזי המאורע \left\{\limsup_N \left\{S_N = 0\right\} \right\}, כלומר המאורע שמתאר כי ההילוך המקרי חוזר אינסוף פעמים ל-0, הוא מאורע שכמובן נקבע על ידי \left\{X_n\right\}_{n=1}^{\infty}, והוא לא תלוי באף תמורה סופית על N. לכן לפי חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' הוא בעל הסתברות 0 או 1 בלבד.

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב אינו מספיק כדי לקבוע כי המאורע הנ"ל הוא מאורע בעל הסתברות 0 או 1 בלבד, שכן \left\{S_N\right\}_{N=1}^{\infty} הם משתנים מקריים תלויים.

## קישורים חיצוניים

* Bruce K. Driver, Probability Tools with Examples , 2010

## הערות שוליים

קטגוריה:חוקי אפס-אחד