שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים

לחלק מהאינטגרלים הלא מסוימים ניתן למצוא פתרון אנליטי כללי, כלומר פתרון של האינטגרל מהצורה:  \int f \left( x \right)\, \mathrm{d}x. בעזרת פתרון כזה ניתן לקבל (בעזרת המשפט היסודי) גם פתרון לאינטגרל מסוים.

כדלקמן רשימה חלקית של שיטות לביצוע תהליך האינטגרציה:

## האינטגרל כאופרטור ליניארי
האינטגרל הוא אופרטור ליניארי.

יהי מספר סופי (קבוע) n \in\mathbb{R} של פונקציות אינטגרביליות בקטע I, f(x)_n \colon A_n\rightarrow B_nכאשר  A_n, B_n \subseteq \mathbb{R}. מתקיים:

\int \left(\sum_{i=1}^n \zeta_if(x)_i \right)\, \mathrm{d}x=\sum_{i=1}^n \zeta_i \int f(x)_i \,\mathrm{d}x 

כאשר \zeta_i \in \mathbb{R} .

ובניסוח פשטני יותר:

\int \left(\sum_{i=1}^n \zeta_if(x)_i \right)\, \mathrm{d}x=\zeta_1 \int f(x)_1 \,\mathrm{d}x+ \zeta_2 \int f(x)_2 \,\mathrm{d}x+...+\zeta_n \int f(x)_n \,\mathrm{d}x 

כלומר, אינטגרל על סכום של כמה פונקציות שווה בדיוק לסכום של האינטגרלים על כל פונקציה בנפרד.

*דוגמה:

:\int e^x+\cos(x) \,\mathrm{d}x= \int e^x \,\mathrm{d}x +\int \cos(x) \,\mathrm{d}x = e^x + \sin(x) + C

## פונקציות אלמנטריות
ישנן מספר פונקציות, שהאינטגרלים שלהם נחשבים "אינטגרלים בסיסיים" כלומר, אינטגרלים שפתרונם נחשב ידוע ואין צורך להוכיח אותם. האינטגרלים הללו מתקבלים מידית ובאופן ישיר מנגזרות של פונקציות ידועות. להלן האינטגרלים:

\int x^n \,\mathrm{d}x=\begin{cases}\ln x +C & n=-1 \\ \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C & \text{else}   \end{cases}

\int \sin (x) \,\mathrm{d}x = -\cos (x) +C

\int \cos (x) \,\mathrm{d}x =  \sin(x) +C

\int \frac{\mathrm{d}x}{\cos^2(x)}= \tan(x)+C

\int -\frac{\mathrm{d}x}{\sin^2(x)}= \frac{1}{\tan(x)}+C

\int n^x \,\mathrm{d}x= \frac{n^x}{\ln(n)}+C

\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}= \arcsin (x) +C=- \arccos(x)+C

\int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}= \arctan (x) +C

## אינטגרציה בחלקים

מקור שיטת אינטגרציה זו, היא בנגזרת של מכפלת פונקציות. יהיו f(x) \colon A\longrightarrow B ו-g(x) \colon C\longrightarrow Dשתי פונקציות ממשיות רציפות (A,B,C,D,E,F\subseteq \mathbb{R}), ופונקציה שלישית h(x):  E\longrightarrow F שנתונה על ידי מכפלת שתי הפונקציות: h(x)\equiv f(x)\cdot g(x):=fg. כמו כן הנגזרת נתונה על ידי: \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\cdot g+ \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\cdot f. על ידי העברת אגפים נקבל:

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\cdot g=\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}-\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\cdot f, וכעת על ידי אינטגרציה נוכל לקבל את הביטוי: \int \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\cdot g=\int \left(\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}-\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\cdot f\right) . נשתמש בעובדה שהאינטגרל הוא אופרטור ליניארי, ונקבל: \int \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\cdot g=\int \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}-\int \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\cdot f . בעצם, \int \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}=h=fg . מכאן נקבל את הנוסחה לאינטגרציה בחלקים \int \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\cdot g=fg -\int \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\cdot f , או בכתיב ניוטוני \ \int f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x) g(x)\,\mathrm{d}x.

לחלופין נגדיר \begin{matrix} u:=f(x) & du:=f'(x) \,\mathrm{d}x \\ v:=g(x) & dv:=g'(x) \,\mathrm{d}x \end{matrix}, ועל ידי הצבה לאינטגרל נקבל \int u \,\mathrm{d}v = uv-\int v \,\mathrm{d}u.

כלומר בעת פתרון האינטגרל, נצטרך לבחור חלק מהאינטגרנד (הפונקציה עליה מתבצעת האינטגרציה) להיות u, את הנותר \mathrm{d}v ועל ידי גזירה לקבל את \mathrm{d}u ועל ידי אינטגרציה לקבל את v, ומכאן פשוט להציב בנוסחה לעיל ולפתור. לעיתים יהיה צורך בשימוש בשיטה זו יותר מפעם אחת כדי לפתור אינטגרל.

* דוגמה 1:

\int \ln(x) \,\mathrm{d}x =\begin{Bmatrix} u=\ln(x) & du=\frac{1}{x} \,\mathrm{d}x \\ v=\int \,\mathrm{d}x=x & \mathrm{d}v=1\mathrm{d}x \end{Bmatrix}=x \ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x} \,\mathrm{d}x=x \ln(x)-\int \mathrm{d}x=x \ln(x)-x+C 

* דוגמה 2:

\int x^2e^x \,\mathrm{d}x=\begin{Bmatrix} u=x^2 & \mathrm{d}u=2x \,\mathrm{d}x \\ v=\int e^x\mathrm{d}x=e^x & \mathrm{d}v=e^x \,\mathrm{d}x \end{Bmatrix}=x^2e^x-\int 2xe^x\mathrm{d}x 

גם את האינטגרל שיצא מתוך האינטגרציה בחלקים אין אנו יודעים לפתור באופן מידי. לכן נבצע גם עליו אינטגרציה בחלקים:

2\int xe^x \,\mathrm{d}x=\begin{Bmatrix} u=x & \mathrm{d}u=\mathrm{d}x \\ v=\int e^x\mathrm{d}x=e^x & dv=e^x \,\mathrm{d}x \end{Bmatrix}=2 \left( xe^x-\int e^x \,\mathrm{d}x \right)=2xe^x-2e^x+c_1 

נציב את פתרון האינטגרל השני בחזרה ונקבל:

\int x^2e^x \,\mathrm{d}x=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C 

**הערה חשובה!** בכל פעם שנתבקש לחשב אינטגרל שמורכב ממכפלה של אקספוננט בפולינום כלשהו, נשתמש באינטגרציה בחלקים. בכל פעם נגדיר את u להיות המשתנה בחזקה בה הוא מופיע, ונחזור על פעולה זו שוב ושוב עד שהאינטגרל יהפוך להיות אינטגרל על אקספוננט בלבד.

* דוגמה 3:

\int e^x \cos x \,\mathrm{d}x=\begin{Bmatrix} u=\cos x & \mathrm{d}u=- \sin x \,\mathrm{d}x \\ v=\int e^x \,\mathrm{d}x=e^x & \mathrm{d}v=e^x \,\mathrm{d}x \end{Bmatrix}=e^x \cos x-\int (- \sin x)e^x \,\mathrm{d}x=e^x \cos x+\int  \sin xe^x \,\mathrm{d}x 

גם את האינטגרל שיצא מתוך האינטגרציה בחלקים אין אנו יודעים לפתור באופן מידי. לכן נבצע גם עליו אינטגרציה בחלקים:

\int \sin xe^x \,\mathrm{d}x= \begin{Bmatrix} u=\sin x & \mathrm{d}u= \cos x \,\mathrm{d}x \\ v=\int e^x \,\mathrm{d}x=e^x & \mathrm{d}v=e^x \,\mathrm{d}x \end{Bmatrix}= e^x\sin x- \int e^x \cos x \,\mathrm{d}x 

למעשה, לא הצלחנו להיפטר מסימן האינטגרל, ויתר על כן, הגענו לאותו האינטגרל שקודם לכן לא יכולנו לפתור. יחד עם זאת, ישנה דרך להגיע לפתרון האינטגרל. לשם כך נסמן I := \int e^x \cos x \,\mathrm{d}x . נציב בחזרה את פתרון האינטגרל השני ונקבל: I= e^x \cos x+e^x\sin x- I . נעביר אגפים ונקבל 2I=e^x \cos x+e^x\sin x . על ידי חלוקה בשתיים, נמצא את פתרון האינטגרל: I=\int e^x \cos x \,\mathrm{d}x=\frac{e^x \cos x+e^x\sin x}{2}+C .

## אינטגרלים של חזקות של פונקציות טריגונומטריות
כל פונקציה טריגונומטרית שהיא ניתן להציג על ידי מנה או מכפלה של שתי הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות \sin (x) ו-\cos (x). כל אינטגרל מהצורה \int \sin^m (x) \cos^n (x) \,\mathrm{d}x לכל n,m \in \mathbb{Z} ניתן לפתור באחת מהדרכים הבאות:

* דוגמה:

\begin{align}
\int \sin (x) \tan^2 (x) \,\mathrm{d}x
&= \int \sin(x) \left(\frac{\sin (x)}{\cos (x)}\right)^2 \,\mathrm{d}x
= \int \frac{\sin^2(x)}{\cos (x)} \sin (x) \,\mathrm{d}x
= \int \frac{1- \cos^2 (x)}{\cos (x)} \sin(x) dx=\begin{Bmatrix} \xi=\cos (x)  \\ \,\mathrm{d}\xi = -\sin (x) \,\mathrm{d}x   \end{Bmatrix} \\
&=-\int \frac{1-\xi^2}{\xi} \,\mathrm{d}\xi
=- \int\frac{\mathrm{d}\xi}{\xi}+\int\xi \,\mathrm{d}\xi
=-\ln|\xi|+\frac{1}{2}\xi^2+C
=- \ln (\cos(x))+\frac{1}{2}\cos^2 (x)+C
\end{align}

## [[השלמה לריבוע]]
טכניקת ההשלמה לריבוע יעילה במקרים מסוימים מאוד. יהי אינטגרל \int \frac{\mathrm{d}x}{ax^2+bx+c} כאשר a,b,c \in\mathbb{R}, a\neq0. נרצה להציג את המכנה כביטוי ריבועי ועוד קבוע, ובכך נקל באופן משמעותי על פתרון הבעיה. על ידי הוצאת גורם משותף \frac{1}{a} ניתן להביא את האינטגרל לצורה  \alpha \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+ \beta x +\gamma}. כעת נרצה להציג את המכנה כריבוע שלם ועוד מספר קבוע ולשם כך ניעזר בנוסחאות הכפל המקוצר למעלה השנייה. כאשר נביא את האינטגרל לצורה \Alpha \int \frac{\mathrm{d}x}{(x+\Beta)^2+\Gamma} נוכל לבצע הצבה \xi:=x+\Beta , \mathrm{d}\xi=\mathrm{d}x ולהעביר את האינטגרל למשתנה החדש \Alpha \int \frac{d\xi}{\xi^2+\Gamma} והפתרון \frac{\Alpha}{\sqrt{\Gamma}} \arctan\left(\frac{\xi}{\sqrt{\Gamma}}\right)+C=\frac{\Alpha}{\sqrt{\Gamma}} \arctan\left(\frac{x+\Beta}{\sqrt{\Gamma}}\right)+C.

## אינטגרלים של פונקציות רציונליות
יהיו שני פולינומים P_n(x) (פולינום מסדר n) ו-Q_m(x)(פולינום מסדר m). פונקציה רציונלית היא כל פונקציה מהצורה \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}. במקרים רבים, יש צורך בחישוב האינטגרל של פונקציות מסוג זה. ישנן שתי שיטות שמיועדות לשני מקרים שונים שעוזרות לפתור את האינטגרלים מהסוג הזה.

### [[שבר חלקי|פירוק לשברים חלקיים]]
שיטה זו משמשת במקרים בהם n, כלומר כאשר הפולינום במונה מסדר נמוך יותר מהפולינום במכנה (או בצורה פשוטה יותר: כשבמכנה מופיעה חזקה גבוהה יותר מאשר במונה). בשיטה זו, נרצה לפרק את המנה של הפולינומים למנות קטנות יותר של איבר ליניארי או קבוע, באיבר ליניארי או ריבועי.

ובכן, תחילה יש לפרק את Q_m(x) לאיברים ליניאריים או פרבוליים. קיים משפט אשר מבטיח כי כל פולינום ניתן להצגה כמכפלה של פולינומים לכל היותר מסדר שני, כלומר כל פולינום ניתן להציג כמכפלה של ביטויים ליניאריים ופרבוליים.

זאת אומרת שנרצה להציג את Q_m(x) כמכפלה של ביטויים מהצורה (ax+b) ו-(ax^2+bx+c). לאחר שהמכנה פורק, נפרק כבר את כל הביטוי. נניח שיש לנו מספר שברים עם מכנים שונים. כאשר נבצע מכנה משותף נקבל שבר אחד שבמכנה שלו תהיה מכפלה של כל המכנים של השברים הראשוניים. זאת אומרת שאם במכנה יש מכפלה של ביטויים, ניתן להפריד כל ביטוי לשבר נפרד, וכל מה שיישאר זה למצוא את האיברים שמופיעים במונים של השברים. 

* אם במכנה יש ביטוי ליניארי (ax+b) שמופיע במכנה פעם אחת בלבד, ניצור ממנו שבר מהצורה \frac{A} 6\sqrt[6]{x} -6 \tan ^{-1} \sqrt[6]{x} + C


נוכיח את נכונות השיטה. הפונקציה H \left( x \right) היא קדומה של הפונקציה h \left( x \right) = f \left(g\left( x \right) \right) \cdot g' \left( x \right), ולכן מתקיים H' \left( x \right) = h \left( x \right). כעת נוכל להסתמך על כלל השרשרת ועל נוסחת הגזירה של פונקציה הפוכה, ונקבל כי -


\left[ H \left( g^{-1} \left( x \right) \right) \right] ' = f \left( g \left( g ^{-1} \left( x \right) \right) \right) \cdot g' \left(g^{-1} \left( x \right) \right) \left[g^{-1} \left( x \right) \right] ' = 
:= f \left( x \right) \cdot \frac {1} { \left[g^{-1} \left(g \left(g^{-1} \left( x \right) \right) \right) \right] '} \cdot \left[g^{-1} \left( x \right) \right] ' = f \left( x \right) \cdot \frac {1} {\left[g^{-1} \left( x \right) \right] '} \cdot \left[g^{-1} \left( x \right) \right] ' = f \left( x \right)


כלומר, H \left(g^{-1} \left( x \right) \right) היא אכן קדומה של f כפי שרצינו.
### אינטגרל של פונקציה טריגונומטרית
הצבות לפתרון אינטגרל מהצורה \int R \left[ \sin x , \cos x \right]\, \mathrm{d}x, כאשר R פונקציה רציונלית (מנת פולינומים):
* אם \ R \left[ -\sin x , \cos x \right]=-R \left[ \sin x , \cos x \right] מומלץ להציב  \ u= \cos x
* אם \ R \left[ \sin x ,- \cos x \right]=-R \left[ \sin x , \cos x \right] מומלץ להציב  \ u= \sin x
* אם \ R \left[ -\sin x , -\cos x \right]=R \left[ \sin x , \cos x \right] מומלץ להציב  \ u= \tan x או \ u= \cot x

הצבה טריגונומטרית מקובלת נוספת היא מהסוג:
\tan  {\frac{x}{2}} = t. ואז מתקיים:


הצבה זו נקראת '''ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית''' והיא מתאימה לכל אינטגרל טריגונומטרי מהצורה לעיל. הצבה אוניברסלית זו היא פרמטריזציה של מעגל היחידה כש-t נע בין ∞+ ל∞−. ברוב המקרים, אם ניתן להשתמש באחת מההצבות האחרות, היא תביא לפתרון מהיר יותר. דוגמה לשימוש בהצבה זו:

\int \frac {\mathrm{d}x}{\sin x} =\left[\begin{matrix} t\equiv  \tan \frac{x}{2} \\ \mathrm{d}x=\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t \\ \sin x = \frac{2t}{1+t^2}\end{matrix}\right] = \int \frac{1+t^2}{2t} \cdot \frac {2} {1+t^2} \mathrm{d}t= \int \frac {\mathrm{d}t}{t} = \ln \left| t \right| + C =_{t= \tan \frac {x}{2}} \ln \left|\tan \frac {x}{2}\right| + C

### הצבות לחיסול שורשים
אינטגרל מהצורה  \int x^{b}\sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x כאשר b מספר אי-זוגי ניתן לפתור למשל באמצעות ההצבה: \ t^2={a^2-x^2}. כאשר b זוגי, ניתן לפתור את האינטגרל באמצעות ההצבות הבאות:
#### הצבות טריגונומטריות
באינטגרלים שונים, נדרשת הצבה מסוג זה כדי לפשט את האינטגרל, ולהביא לפתירתו, אף על פי שהאינטגרל עלול לא להכיל אף פונקציה טריגונומטרית אחת.
האינטגרלים הבאים ודומים להם, יפתרו בצורה די מיידית עבור a\, קבוע חיובי ו- b\ge 0 שלם:

* עבור \int x^{2b}\sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x תתאים ההצבה: x=a\sin t \,
* עבור \int x^{2b}\sqrt{a^2+x^2} \,\mathrm{d}x תתאים ההצבה: x=a\tan t \,
* עבור \int x^{2b}\sqrt{x^2-a^2} \,\mathrm{d}x תתאים ההצבה x=\frac{a}{\cos t} או x=\frac{a}{\sin t}
דוגמאות לשימוש בשיטה זו:
* חצי העיגול העליון של מעגל היחידה:


: הערה: בהמשך החישוב נעזר בשוויון \sqrt{\cos^2 t} = \cos t שהוא נכון עבור כל t\,, לכן לכל \cos t\, שנמצא לאחר ההצבה, נחליפו שוב ב- \sqrt{\cos^2 t}.



: לכן אם נחליף משתנים חזרה, נקבל:



#### הצבות היפרבוליות
בדומה לאינטגרלים שהוזכרו קודם, קיימים אינטגרלים שהצבה מסוג היפרבולית תסייע לפתירתם.
האינטגרלים הבאים ודומים להם, יפתרו בצורה די מיידית עבור a\, קבוע חיובי ו- b\ge 0 שלם:

* עבור \int x^{2b}\sqrt{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x תתאים ההצבה: x=a\sinh t \,
* עבור \int x^{2b}\sqrt{x^2-a^2}\,\mathrm{d}x תתאים ההצבה: x=a\cosh t \,

זאת בשל הנוסחה היסודית
\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,

דוגמאות לשימוש בשיטה זו:

חישוב אורך קשת של הפרבולה y = x^2\,:





: לכן אם נחליף משתנים חזרה, נקבל:



#### הצבות אוילר
עבור פונקציה רציונלית (מנה של שני פולינומים) ב- \ x ושורש ריבועי של פולינום ריבועי מסוים \ \sqrt{ax^2+bx+c}, ניתן לפעמים להשתמש בהצבות שפיתח לאונרד אוילר.
* אם \ a>0, נציב \ \sqrt{ax^2+bx+c} = \pm \sqrt{a} x + t (את סימן המקדם של \ x ניתן לבחור שרירותית). הצבה זו תיתן:


 ax^2 + bx + c = ax^2 \pm 2 \sqrt{a} xt + t^2 \quad ,
 (b \mp 2 \sqrt{a} t)x = t^2 - c \quad ,
 x = \frac{t^2 - c}{b \mp 2 \sqrt{a} t}

 
מגזירת הביטוי האחרון אפשר לקבל את הנגזרת \ dx/dt כפונקציה רציונלית של \ t בלבד, ובכך נהפך האינטגרל לאינטגרל של פונקציה רציונלית ב-\ t.

* אם \ c>0, נציב \ \sqrt{ax^2+bx+c} = xt \pm \sqrt{c} (שוב, את הסימן ניתן לבחור שרירותית). הצבה זו תיתן:


ax^2 + bx + c = x^2 t^2 \pm 2 \sqrt{c} xt + c \quad ,
ax^2 + bx = x^2 t^2 \pm 2 \sqrt{c} x t \quad ,
(a-t^2) x = \pm 2 \sqrt{c} t - b \quad ,
x = \frac{\pm 2 \sqrt{c} t - b}{a-t^2}


שוב, מגזירת הביטוי האחרון אפשר לקבל את הנגזרת \ dx/dt כפונקציה רציונלית של \ t בלבד, ובכך נהפך האינטגרל לאינטגרל של פונקציה רציונלית ב-\ t.

## ראו גם
* שיטות אינטגרציה
* שיטות אנליטיות לחישוב אינטגרלים מסוימים
* שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים

קטגוריה:אינטגרלים