כלל סארוס

באלגברה ליניארית, **כלל סַארוּס** (באנגלית: **Rule of Sarrus**) הוא שיטה פשוטה ושימושית לזכור ולחשב את הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית מסדר 3\times 3. הכלל קרוי על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר פרדריק סארוס , אשר הציג אותו בשנת 1833.

הכלל מספק דרך חזותית לחשב את סכום המכפלות המגדירות את הדטרמיננטה, אך הוא תקף אך ורק למטריצות מסדר 3\times 3 ואינו ניתן להכללה פשוטה לממדים גבוהים יותר (כגון 4\times 4).
שמאל|ממוזער|347x347px|איור הממחיש את אופן השימוש בשיטה: מכפלת איברי האלכסונים המלאים (לכיוון מטה-ימין) נסכמת בסימן חיובי, ומכפלת איברי האלכסונים המקווקוים (לכיוון מעלה-ימין) נסכמת בסימן שלילי.

## תיאור הכלל
עבור מטריצה A מסדר 3\times 3:
:A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}

כדי לחשב את הדטרמיננטה לפי כלל סארוס, ניתן לפעול לפי השלבים הבאים:
# מעתיקים את שתי העמודות הראשונות של המטריצה ורושמים אותן מימין למטריצה המקורית. כעת מתקבל מערך של 5 עמודות. דרך נוספת לזכור זאת היא לדמיין שהמטריצה עוטפת גליל, כך שהקצוות הימניים והשמאליים שלה מחוברים.
# מסכמים את מכפלות האיברים על שלושת האלכסונים הראשיים ("יורדים" משמאל לימין).
# מחסרים את מכפלות האיברים על שלושת האלכסונים המשניים ("עולים" משמאל לימין).

באופן פורמלי:
:
\det(A) = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{31}a_{22}a_{13} + a_{32}a_{23}a_{11} + a_{33}a_{21}a_{12})


סידור זה מבטיח כי כל אחד מששת האיברים בביטוי של הדטרמיננטה (על פי נוסחת לייבניץ) יופיע בדיוק פעם אחת ובסימן הנכון.

## דוגמה מספרית
תהי המטריצה A:
:A = \begin{pmatrix} 
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 
\end{pmatrix}

לפי כלל סארוס, נבצע את החישוב הבא:
* **אלכסונים "חיוביים" (משמאל למעלה לימין למטה):**
** 1 \cdot 5 \cdot 9 = 45
** 2 \cdot 6 \cdot 7 = 84
** 3 \cdot 4 \cdot 8 = 96
** סכום: 45 + 84 + 96 = 225

* **אלכסונים "שליליים" (משמאל למטה לימין למעלה):**
** 7 \cdot 5 \cdot 3 = 105
** 8 \cdot 6 \cdot 1 = 48
** 9 \cdot 4 \cdot 2 = 72
** סכום: 105 + 48 + 72 = 225

הדטרמיננטה היא ההפרש בין הסכומים:
:\det(A) = 225 - 225 = 0
תוצאה זו צפויה, שכן השורות במטריצה זו תלויות ליניארית (השורה השנייה היא ממוצע של הראשונה והשלישית), ולכן המטריצה אינה הפיכה.

## הוכחה
ההוכחה לכך שכלל סארוס מניב את ערך הדטרמיננטה נובעת ישירות מההגדרה הכללית של הדטרמיננטה (נוסחת לייבניץ):
:\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}
כאשר n=3, חבורת התמורות S_3 כוללת 3! = 6 תמורות. נמיין אותן לפי הזוגיות שלהן:

; תמורות זוגיות (סימן +):
* הזהות (1,2,3) נותנת את האיבר a_{11}a_{22}a_{33} (האלכסון הראשי).
* המחזור (2,3,1) נותן את האיבר a_{12}a_{23}a_{31}.
* המחזור (3,1,2) נותן את האיבר a_{13}a_{21}a_{32}.
אלו בדיוק שלושת האלכסונים ה"יורדים" בשיטת סארוס.

; תמורות אי-זוגיות (סימן -):
* החילוף (3,2,1) נותן את האיבר a_{13}a_{22}a_{31} (האלכסון המשני).
* החילוף (1,3,2) נותן את האיבר a_{11}a_{23}a_{32}.
* החילוף (2,1,3) נותן את האיבר a_{12}a_{21}a_{33}.
אלו בדיוק שלושת האלכסונים ה"עולים" בשיטת סארוס.

מכאן שסכימת האלכסונים בשיטה זו מכסה בדיוק את כל איברי הדטרמיננטה עם הסימנים המתאימים.

## הכללות ומגבלות

תבנית דומה, המבוססת על אלכסונים, מתקיימת עבור מטריצות מסדר 2\times 2:

\begin{vmatrix}
a&b\\c&d
\end{vmatrix}
=ad - bc 

טעות נפוצה היא לנסות להחיל שיטה דומה עבור מטריצות מסדר 4\times 4 ומעלה (על ידי שכפול 3 עמודות). אולם, **הכלל אינו תקף לממדים אלו**.

הסיבה לכך היא שבעוד שבחבורה S_3 כל תמורה זוגית היא חזקה של המחזור (1,2,3), הדבר אינו נכון לממדים גדולים יותר.

באופן כללי, מספר המחוברים נוסחת לייבניץ לחישוב דטרמיננטה של מטריצה n\times n הוא n! (עצרת).
* עבור n=3, ישנם 3! = 6 מחוברים, וכלל סארוס מספק בדיוק 6 אלכסונים (3 חיוביים ו-3 שליליים).
* עבור n=4, ישנם 4! = 24 מחוברים. שיטת אלכסונים נאיבית תניב רק 8 מחוברים (4 יורדים ו-4 עולים), ולכן היא שגויה מיסודה.

עבור מטריצות מממדים גבוהים, יש להשתמש בשיטות כלליות כגון דירוג גאוס,  פיתוח לפי מינורים, או נוסחת לייבניץ.

## ראו גם
* דטרמיננטה
* מטריצה ריבועית
* נוסחת לייבניץ לדטרמיננטות

## קישורים חיצוניים

* 
* סרטון הסבר על כלל סארוס באתר Khan Academy

קטגוריה:אלגברה ליניארית
קטגוריה:מטריצות
קטגוריה:כללי אצבע