מטריצה ריבועית

במתמטיקה, **מטריצה ריבועית** היא מטריצה שמספר העמודות שלה שווה למספר השורות. 

בניגוד לסתם מטריצות, המייצגות העתקות ליניאריות ממרחב אחד למרחב אחר, מטריצות ריבועיות יכולות לייצג העתקות ממרחב אל עצמו, ולכן האוסף \ N_n(F) של מטריצות ריבועיות מסדר n על n מעל שדה F, סגור לכפל, ומהווה אלגברה, הקרויה אלגברת המטריצות.

## סוגי מטריצות

* **[[מטריצת היחידה]]** (מסדר \ n\times n) היא המטריצה המסומנת \ I או \ Id (ולעיתים I_n) שאיבריה מוגדרים באופן הבא:  \ ( Id )_{m,n} = \delta_{m,n} כאשר \ \delta_{m,n} היא הדלתא של קרונקר המוגדרת כך: \delta_{m,n} =\left\{ \begin{matrix} 1 & m=n \\ 0 & m\ne n \end{matrix} \right.
:מטריצת היחידה נראית כך:

 \begin{pmatrix}
1 & 0  &  & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 &  & \vdots \\
 & 0 & \ddots & \ddots &  \\
\vdots&  & \ddots & 1 &0 \\
0 & \cdots &   & 0& 1 \\
\end{pmatrix} 

:במטריצה כזאת,  איברי האלכסון הראשי הם 1 וכל שאר איברי המטריצה הם 0. לפי הגדרת כפל המטריצות, ניתן לראות ש\ I מהווה איבר נייטרלי ביחס לכפל מטריצות, ומכאן שמה. כלומר, לכל \ A מתקיים \ IA=AI=A, והיא מהווה את איבר היחידה בחוג המטריצות.

* **מטריצת האפס** היא המטריצה שכל איבריה הם 0. מטריצה זו היא איבר האפס בחוג המטריצות.

* מטריצה \ A נקראת **משולשית עליונה** אם כל איבריה מתחת לאלכסון הראשי שווים 0. באופן דומה, מטריצה \ A נקראת **משולשית תחתונה** אם כל איבריה מעל לאלכסון הראשי שווים 0. מכפלה או סכום של שתי מטריצות משולשיות מאותו סוג היא גם מטריצה משולשית. לכן, קבוצת המטריצות המשולשיות סגורה לכפל וחיבור, ומהווה תת-חוג של חוג המטריצות.

* מטריצה \ A נקראת **אלכסונית** אם היא גם משולשית עליונה וגם משולשית תחתונה, כלומר כל איבריה מעל ומתחת לאלכסון הראשי שווים 0. מטריצה אלכסונית שכל איברי האלכסון הראשי שלה שווים נקראת **מטריצה סקלרית**, והיא מהצורה \ \lambda I

* מטריצה \ A תיקרא **[[מטריצה הפיכה|הפיכה]]** או *רגולרית* אם קיימת מטריצה \ B כך ש \ A \cdot B = B \cdot A = I ואז מסמנים \ B^{-1}=A והמטריצה \ B תיקרא *המטריצה ההפוכה* או *ההפכית* של \ A. מטריצה לא הפיכה נקראת **[[מטריצה סינגולרית]]**. מטריצה היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.

* **[[מטריצה משוחלפת|המטריצה המשוחלפת]]** של A, שמסומנת \ A^{t} (מבוטא A transposed) היא המטריצה שבה שורות ועמודות A מתחלפות. (כלומר,  \ (A)_{k,m} = (A^t)_{m,k}). מושג זה רלוונטי גם למטריצות שאינן ריבועיות, אך במטריצות ריבועיות ניתן להתייחס לשני סוגים מיוחדים שלו:
:* מטריצה \ A תיקרא **[[מטריצה סימטרית]]** אם \ A=A^{t}, כלומר האלכסון הראשי מהווה ציר סימטריה שלה. (כלומר,  \ (A)_{k,m} = (A)_{m,k})
:* מטריצה \ A תיקרא **[[מטריצה אנטי-סימטרית]]** אם \ A=-A^{t}. (כלומר,  \ (A)_{k,m} = -(A)_{m,k})
:* מטריצת ששני האלכסונים שלה הם צירי סימטריה תיקרא **[[מטריצה ביסימטרית]]**

* **צמוד הרמיטי** של מטריצה A מעל שדה המרוכבים, היא מטריצה המוגדרת באופן הבא: \ (A^{\dagger})_{i,j} = \overline{a_{j,i}}  . הסימון הוא \ A^{\dagger} שמבוטא A dagger.

* מטריצה A שמקיימת \ a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}, כלומר \ A^{\dagger} = A נקראת **[[מטריצה הרמיטית]]**. מעל הממשיים, מטריצה הרמיטית היא **מטריצה סימטרית**.

* מטריצה U שמקיימת \ U^{-1} = U^\dagger נקראת **[[אוניטריות|מטריצה אוניטרית]]**. זוהי מטריצה ששומרת נורמה ומכפלה פנימית. מטריצה אוניטרית ממשית נקראת **מטריצה אורתוגונלית**.

* מטריצה \ A תיקרא **[[מטריצה נילפוטנטית]]** אם קיים \ q טבעי כך שמתקיים \ A^{q} = 0 (כאשר \ 0 היא **מטריצת האפס**). מההגדרה נובע שרק אפס הוא ערך עצמי שלה. מעל שדה המרוכבים היא דומה ל**מטריצה משולשית** שכל אברי האלכסון שלה הם 0.

* מטריצה שכל שורותיה הן וקטורי הסתברות, כלומר, כל אבריה אי-שליליים וסכום כל שורה הוא 1 נקראת **[[מטריצה סטוכסטית]]**. מטריצות סטוכסטיות משמשות לתיאור שרשראות מרקוב.

## קישורים חיצוניים

* 

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:מטריצות