יריעה אלגברית אפינית

במתמטיקה, ובמיוחד בגאומטריה אלגברית, **יריעה אלגברית אָפִינית** היא קבוצת האפסים המשותפים של אוסף פולינומים נתון. יריעות אלגבריות אפיניות הן אבני הבניין מהן נבנות יריעות אלגבריות שמהוות אובייקט מרכזי הנחקר במסגרת הגאומטריה האלגברית הקלאסית.

## הגדרה פורמלית
נניח כי *k* הוא שדה סגור אלגברית, ונסמן ב\,\mathbb{A}^n את המרחב האפיני ה-*n*-ממדי - אוסף ה-nיות של איברים מ-*k*, כלומר \,k^n. ניתן לראות באיבר *f* בחוג הפולינומים ב-*n* משתנים \,k[x_1,\dots,x_n] פונקציה f:\,\mathbb{A}^n\rightarrow k. בהינתן תת-קבוצה \,S\subset k[x_1,\dots,x_n], נגדיר את אוסף האפסים המשותפים של *S* על ידי:
\, \mathcal{V}(S) = Z(S) = \{x\in \mathbb{A}^n:\forall f \in S, f(x)=0\}
תת קבוצה *V* של \,\mathbb{A}^n תקרא **יריעה אלגברית אפינית** אם \,V=Z(S) עבור קבוצה \,S\subseteq k[x_1,\dots,x_n] כלשהי. 
### יריעות אי-פריקות
יריעה אלגברית אפינית שאינה ריקה *V* תקרא **[[מרחב אי-פריק|אי-פריקה]]** אם לא ניתן להציגה כאיחוד של שתי יריעות אלגבריות אפיניות לא ריקות שונות. 
בעבר היה נהוג להשתמש בשם יריעה רק עבור יריעות אי-פריקות. טרמינולוגיה זאת עדיין נמצאת בשימוש במקורות מסוימים. כאשר משתמשים בה, נהוג לקרוא ליריעות אלגבריות שאינן בהכרח אי-פריקות "קבוצות אלגבריות".

### טופולוגית זריצקי
על יריעות אפיניות ניתן להגדיר טופולוגיה (הנקראת טופולוגית זריצקי) בצורה טבעית על ידי כך שמכריזים על כל הקבוצות האלגבריות להיות קבוצות הסגורות.

בהינתן תת-קבוצה *V* של \,\mathbb{A}^n, נגדיר את הקבוצה *(I(V* להיות אוסף כל הפולינומים המתאפסים בכל *V*, כלומר:
\, \mathcal{I}(V) = \{f\in k[x_1,\dots,x_n]:\forall x \in V, f(x) =0\}
זהו אידיאל בחוג \,k[x_1,\dots,x_n].

*V* סגורה אם ורק אם 
V=\mathcal{V}(\mathcal I(V))

## חוג הקואורדינטות והממד של יריעה
ניתן להראות כי קבוצה אלגברית אפינית *V* היא אי פריקה אם ורק אם *(I(V* הוא אידיאל ראשוני. עבור יריעה אלגברית אפינית *V*, לחוג המנה \,k[x_1,\dots,x_n]/\mathcal{I}(V) קוראים *חוג הקואורדינטות* של *V*. מאחר שבמקרה זה *(I(V* הוא אידיאל ראשוני, הרי שחוג הקואורדינטות של *V* הוא תחום שלמות.
הממד של יריעה אלגברית *V* מוגדר להיות ממד קרול של חוג הקואורדינטות של *V*. הממד של המרחב האפיני ה-n ממדי (כלומר של \,\mathbb{A}^n) הוא בדיוק *n*.
מכיוון שעבור זוג פולינומים \,f,g \in k[x_1,\dots,x_n] מתקיים כי \,f-g\in \mathcal{I}(V) אם ורק אם לכל \,x\in V מתקיים \,f(x) = g(x), הרי שניתן לראות באיברי חוג הקואורדינטות של *V* פונקציות המוגדרות על *V*.

## מורפיזמים  של יריעות אלגבריות
**מורפיזם**  בין שתי יריעות אלגבריות X \subset \mathbb A^n ו Y \subset \mathbb A^m הוא העתקה פולינומית בין המרחבים האפינים  \mathbb{A}^n ו \mathbb{A}^m (זאת אומרת m פולינומים ב n משתנים) שמעבירה את X ל-Y.

יריעות אלגבריות X ו-Y נקראות איזומורפיות אם קיימים מורפיזימים  f: X \to Y ו-g: Y \to X כך ש-g \circ f = \mathrm{id}_X ו-f \circ g = \mathrm{id}_Y, כלומר: הרכבתם מניבה את מורפיזם הזהות על כל  יריעה בהתאמה. באופן דומה, אם קיימות קבוצות פתוחות לא ריקות U \subseteq X וV \subseteq Y ומורפיזמים f:U \to V,  g:V \to U כך ש f\circ g = 1_V,   g\circ f = 1_U אז היריעות X ו-Y נקראות שקולות בי-רציונלית.

## ראו גם
* ספקטרום (גאומטריה אלגברית)
* משפט האפסים של הילברט
* יריעה קוואזי-פרויקטיבית
** יריעה אלגברית פרויקטיבית
** יריעה קוואזי-אפינית
* יריעה פרידה
** יריעה שלמה
* יריעה טורית

## לקריאה נוספת

* G. Kempf, Algebraic Varieties. Cambridge University Press, 1993
* 
* Milne, *[http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ag.html Algebraic geometry]*


## קישורים חיצוניים
* 

קטגוריה:גאומטריה אלגברית