מודל בלאק ושולס

שמאל|ממוזער|250px|מסחר באופציות ונגזרים בבורסת שיקגו ב-1993
**מודל בלאק ושולס** (באנגלית: **Black–Scholes**), הידוע גם בשם מודל בלאק שולס ומרטון, הוא מודל כלכלי-מתמטי, שפותח כדי למצוא תשובה הולמת לשאלת תמחורם של נגזרים. המודל כולל בתוכו את הנוסחה של בלאק ושולס, שנותנת תשובה מספרית מדויקת לשאלה זו.
המודל פותח על ידי המתמטיקאי פישר בלאק וחבריו הכלכלנים מיירון שולס ורוברט סי. מרטון.
שני האחרונים אף זכו בפרס נובל לכלכלה לשנת 1997 (בלאק נפטר בשנת 1995).

## רקע
שמאל|ממוזער|120px|מיירון שולס - ממפתחי המודל
שמאל|ממוזער|120px|רוברט קרהרט מרטון - ממפתחי המודל
מודל של התנהגות ניירות ערך פותח כבר בשנת 1900 על ידי המתמטיקאי הצרפתי **[[לואי בשלייה]]** (Louis Bachelier) שניסה במאמרו "תאוריית הספקולציה" (Théorie de la spéculation) לנתח התנהגות של מחירי אופציות בבורסת פריז באמצעות תנועה בראונית. העבודה של בשליה לא זכתה להד, אולם הוא היה הראשון שעסק בתחום של מתמטיקה פיננסית.

עם התפתחות המסחר בשוקי ההון בעולם בסוף שנות השישים של המאה העשרים, נוצר מצב שבו משקיעים רבים שהשקיעו בנגזרים (נכסים המושפעים ממחירו של נכס בסיסי מסוים כמו מניות וסחורות. המונח כולל בין היתר אופציות, חוזים עתידיים, כתבי אופציות), התלבטו בשאלת התמחור לאותם נכסים פיננסיים.

בתחילת שנות השבעים נפגשו באוניברסיטת שיקגו מיירון שולס ופישר בלאק והחלו לעבוד על פיתוח מודל שייתן פתרון לבעיה. הם פרסמו בשנת 1973 את המאמר "**תמחור אופציות והתחייבויות תאגידיות**" (The Pricing of Options and Corporate Liabilities).
רוברט מרטון, עמיתם, פרסם בסמוך מאמר אחר: "**התאוריה של תמחור רציונלי של אופציות**" ובו התייחס למאמרם של השניים. מרטון הוא שנתן לנוסחה את שמה אף על פי שתרומתו שלו למודל לא הייתה פחותה.

## הנחות המודל

מודל בלאק ושולס מציג שורה של הנחות יסוד שרק בהתקיימן המודל תקף.
*המסחר בבורסה רציף. הנחה זו מאפשרת יצירת תיק חסר סיכון על ידי יצירת יחס ניטרול סיכון (Hedge).
* אין עמלות (הוצאות עסקה) ומסים.
* מותרת המכירה בחסר (short).
* ניתן ללוות ולהלוות בשער ריבית חסר סיכון קבוע.
* השינויים בשער המניה נקבעים על פי תנועה בראונית גאומטרית כאשר הסחף והתנודתיות קבועים.

## ההיגיון שבבסיס המודל

המודל המתמטי של בלאק ושולס מסובך וקשה להבנה לחסרי רקע במתמטיקה גבוהה. הוא כולל שימוש במשוואות דיפרנציאליות חלקיות. הדרך הפשוטה והמקובלת להסביר את המודל היא באמצעות **[[המודל הבינומי]]** החד תקופתי והרב תקופתי.

### מודל בינומי חד תקופתי

בדוגמה שלהלן:

התוצאה הנדרשת - שווי האופציה להיום, בהסתמך על הנתונים הבאים:
* מחיר המניה הנוכחי הוא 50 שקל (50=S)
* קיימת אופציית Call עם תוספת מימוש של 50 שקל (50=K) לתקופה אחת (חודש אחד למשל)
* שער הריבית לחודש הוא 5%

קיימים שני מצבי טבע (מכאן השם "בינומי"):
***מצב טבע 1**: בסוף התקופה שער המניה יהיה **100** שקל (ערך המניה יוכפל)

** או**
***מצב טבע 2**: בסוף התקופה שער המניה יהיה **25** שקל (ערך המניה יפחת ב-50%)

**שווי האופציה הנגזר בתום התקופה**
*במצב טבע **1** שווי האופציה בסוף התקופה יהיה 50 שקל (מחזיק האופציה יוסיף 50 שקל (גובה תוספת המימוש) ויקבל מניה בשווי 100 שקל)
*במצב טבע **2** שווי האופציה יהיה אפס (לא כדאי לממשה).

### פתירת המודל הבינומי בשיטת ה-Replicating Portfolio

המשקיע "הבינומי" הדמיוני בונה לעצמו **אסטרטגיית השקעה חסרת סיכון**. האסטרטגיה מושתתת על העיקרון שבסוף התקופה מצבו יהיה זהה בשני מצבי הטבע, ללא תלות במחיר המניה.
המשקיע נוקט באסטרטגיה הבאה: הוא מוכר ("כותב") 3 אופציות CALL, קונה 2 מניות ולוקח הלוואה בסך 47.62 שקל.

**תזרים המזומנים הנוכחי** של המשקיע הוא 3C - 100 + 47.62

(C היא אופציית ה-Call שמחירה הנוכחי לא ידוע)

**תזרים המזומנים העתידי**
* במצב טבע 1: עליו לקנות בחזרה 3 אופציות ששוויין 3*50=150 שקל, ולהחזיר הלוואה בשווי 50 שקל (47.62 ועוד ריבית של 5%). מנגד ברשותו שתי מניות בשווי 2*100=200 שקל. תזרים המזומנים הכולל שלו הוא אפס.
* במצב טבע 2: שווי האופציות הוא אפס. ברשותו 2 מניות בשווי 2*25=50 שקל, ועליו להחזיר הלוואה בגובה 50 שקלים. שוב, תזרים המזומנים הוא אפס.
בשני מצבי הטבע נותר מצבו של המשקיע זהה, ללא תלות במחיר המניה. לכן זוהי **אסטרטגיה חסרת סיכון.**
בשני המקרים תזרים המזומנים העתידי הוא **אפס.**
מכאן ששווי תזרים המזומנים הנוכחי של המשקיע שווה אף הוא לאפס.
: 0 =3C - 100 + 47.62
מכאן נגזר שווי האופציה כ-C=17.46.

הערות:
* אם תזרים המזומנים הנוכחי הוא **חיובי**, כלומר מחיר האופציה בשוק גבוה יותר משוויה, (למשל 20 שקלים) כי אז קל להראות שכל משקיע רציונלי ינקוט באסטרטגיה זו, קרי ימכור אופציות ויקנה מניות. אם התזרים **שלילי**, כלומר מחיר האופציה בשוק נמוך יותר משוויה, לכל משקיע כדאי לנקוט באסטרטגיה ההפוכה. **[[ארביטראז']]** בשוק יביא לשינוי במחירים עד שהתזרים יתאפס.
* יחס הגידור (Hedge ratio) או "יחס ניטרול הסיכון" הוא היחס בין כמות המניות הנקנית לכמות האופציות הנמכרת, שהוא במקרה דנן 2/3 (קניית שתי מניות וכתיבת שלוש אופציות).

**המודל הבינומי הרב תקופתי**

המודל הרב תקופתי מתייחס למספר תקופות, לכל תקופה שני מצבי טבע, כאשר העיקרון זהה: המשקיע הדמיוני נוקט באסטרטגיה חסרת סיכון. לכל תקופה נקבע ערך האופציה העתידי לכל מצב טבע אפשרי, וברקורסיה מחושב ערך האופציה בהווה.
מודל בלאק ושולס אינו מניח שני מצבי טבע ומספר תקופות סופי, אלא התפלגות נורמלית של מחירי המניות ומסחר רציף, כלומר אינסוף תקופות.

## המודל המתמטי – הנוסחה

בהינתן:
*S - שער המניה
*K - שער המימוש
*T - הזמן לפקיעה
*r - שער הריבית
*\sigma - סטיית התקן של מחיר המניה עד מועד הפקיעה, הקרויה גם סטיית תקן גלומה 

### אופציית Call אירופית
אזי על פי **מודל בלאק-שולס** ערכה של **[[אופציה|אופציית Call]]** הוא:

: C(S,T) = S\Phi(d_1) - Ke^{-rT}\Phi(d_2) \, 

כאשר

: d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} 

: d_2 = \frac{\ln(S/K) + (r - \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} = d_1 - \sigma\sqrt{T} .

ו-\Phi היא פונקציית ההתפלגות המצטברת של **[[התפלגות נורמלית|ההתפלגות הנורמלית]]** הסטנדרטית: \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{z^2}{2}}dz.

### אופציית Put

מחירה של **[[אופציה|אופצית פוט]]** מקבילה:

: P(S,T) = Ke^{-rT}\Phi(-d_2) - S\Phi(-d_1) .

משוואת בלאק-שולס היא המשוואה הדיפרנציאלית החלקית הבאה:
:\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0

## רגישויות הנוסחה

היות שבמספר כלים פיננסים לפי מודל בלאק-שולס יש נוסחה אנליטית, פשוט גם לחשב את הרגישויות של המודל לכל אחד מהפרמטרים שלו. רגישויות אלו מסומנות באותיות יווניות ומכאן שמן ה**יווניות**. היווניות מחושבות על ידי גזירת המשוואה האנליטית לפי הפרמטר המבוקש. למשל דלתא, \Delta, הוא משתנה המתאר את הרגישות של מחיר האופציה ביחס לערך נכס הבסיס: \Delta = \frac {\partial C}{\partial S}.

## שימושי המודל

מודל בלאק ושולס משמש במגוון תחומים:
* תפקידו המקורי היה לסייע לענפי הפיננסים לתמחר אופציות, ואכן בכל טור בעיתונות הכלכלית מופיעים הערכים לפי בלאק ושולס.
* עובדים רבים בענפי ההיי-טק מתוגמלים בכתבי אופציות. יש אפשרות מעשית להערכת שווי התגמול על ידי שימוש במודל.
* בחשבונאות קיים שימוש בנוסחה להערכת נכסים פיננסיים.

## ביקורת על המודל

* חלק מהביקורת על המודל הוא על הנחותיו. המודל מניח כי הלוואה ללווה ולמלווה זהה וכן שאין מיסים או עלות לפעולה. אולם מצב זה הוא תאורטי בלבד ולא קיים לרוב הסוחרים. כמו כן, ההנחה כי הסחף והתנודתיות קבועים אינו מתקיים בפועל. למשל נמצא כי כאשר יש תקופה של עלייה או ירידה גבוהים התנודתיות קטֵנה ושואפת להגיע לשיווי משקל (בדרך כלל לערכה לפני השינויים הגדולים).
*ההנחה כי המסחר בבורסה רציף אינה נכונה. לעיתים יש הפסקות במסחר, דבר שיכול להביא לתנודות חדות במחיר (סותר את הנחת הרציפות של התנועה הבראונית).
* מודל בלאק ושולס מניח התפלגות לוג-נורמלית של המניה - היינו כי עליה וירידה אחוזית קבועה של מחיר המניות בכל רמת שערים בה יהיו המניות. הנחה זו לא בהכרח נכונה למשל נמצאה ירידה בשונות ככל שמחירי המניות עולים במחקר של Laterbach-Schulz שהתפרסם בארצות הברית בשנת 1989. במחקר נבחנו 25,000 תצפיות שנעשו בשנים 1971–1980 ב-NYSE וב ANEX.
**אחד הפתרונות לבעיה זו הוא מודל CEV - Constant Elasticity Variance 1/2 אשר מניח כהנחת יסוד ירידת השונות האחוזית עם עלית מחיר המניה (זאת אומרת, ככל שמחיר המניה יעלה יותר כך ירד שיעור התנודה האחוזית הצפוי של המניה). מודל זה אינו מתכנס לפתרון אנליטי פשוט, וניתן לחישוב רק באמצעות בעזרת חישוב נומרי מקורב הכולל סימולציות רבות.
** מודל אחר שהוצג הוא מודל Geske המעריך התפלגות לוג-נורמלית לרווחי החברה, אולם משקלל את כמות האג"ח של החברה. המודל מציג גם הוא בקיום אג"ח לחברה גמישות פחותה מלוג נורמלית - היינו ירידת הגמישות האחוזית של המניה עם עלית מחיר המניה.
:השוואה בין ביצועי המודלים השונים בוצעה כאמור על ידי Lauterbach-Schulz אשר הצביעו בשנת 1989 כי מ-25,000 תצפיות בארצות הברית נמצא כי מודל בלאק ושולס תימחר את מחירי האופציות ב-13.5% מתחת למחיר השוק שלהם ומודל CEV תימחר את מחירי האופציות ב-11.3% מתחת למחירי השוק שלהם.
:מחקר שערך זאב כהן בישראל מצא הערכת חסר למודל בלאק-שולס עם תיקוני גלאי-שינדלר של 11.7% ביחס למחירי כתבי האופציות הנסחרות.
:מחקר שנערך בישראל על ידי צבי שמיר ורונן לנדסמן ב-1992 על 2,800 תצפיות קבע כי בעוד שבארצות הברית יש הצדקה להנחת שיעור שונות פחותה מזו של התפלגות לוג נורמלית, בישראל אין הצדקה לקביעת שיעור שכזה. יתר על כן מודל בלאק שולץ עם תיקוני גלאי - שינדלר מעריך את מחירי האופציות בישראל הערכת חסר של מחירי האופציות ב-15.9%, בעוד מודל CEV מעריך את מחירי האופציות בהערכת חסר של 13.1%.

לפיכך, למרות הביקורת, מודל בלאק ושולס עם כל קשייו התאורטיים מהווה מודל סביר לחיזוי שווי אופציות, והוא פשוט לחישוב יותר ממודלים אחרים המוצעים בגינם לא קיימת נוסחה אנליטית.

## לקריאה נוספת

* 


## קישורים חיצוניים

* המדריך להערכת שווי חברות
*מחשבון בלאק שולס בעברית
*Black-Scholes Calculator מחשבון לנוסחת בלאק שולס 
*"הנוסחה ששינתה את העולם הפיננסי" 
*הרחבה על המודל הבינומי בוויקיפדיה האנגלית
* Online Black-Scholes pricing

## הערות שוליים

קטגוריה:אופציות
קטגוריה:מתמטיקה פיננסית