פונקציה הומוגנית

במתמטיקה, **[[פונקציה]] הומוגנית** מסדר n היא פונקציה אשר בעת שהארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע c, ערך הפונקציה מוכפל ב־c^n.

## הגדרה מפורטת
תהי f:V\to W פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה F, ויהי k מספר שלם.
אזי f תיקרא הומוגנית מסדר k אם f(\alpha\mathbf{v})=\alpha^kf(\mathbf{v})  לכל 0\ne\alpha\in F ולכל v\in V.

כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים **פונקציה הומוגנית חיובית** מסדר k כאשר הדרישה f(\alpha\mathbf{v})=\alpha^kf(\mathbf{v}) צריכה להתקיים רק עבור \alpha>0 חיובי, ו-k יכול להיות כל מספר מרוכב. 

כמו כן, במקרה שבו F הוא שדה הממשיים או המרוכבים, מגדירים **פונקציה הומוגנית בהחלט** מסדר k אם מתקיים f(\alpha\mathbf{v})=|\alpha|^kf(\mathbf{v}) לכל \alpha\in F.

## דוגמאות
### העתקות ליניאריות
כל העתקה ליניארית f:V\to W היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הליניאריות: f(\alpha\mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{v}) לכל \alpha\in F ולכל v\in V.

### פולינומים הומוגניים
כל מונום (חד-איבר) ב-n משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית f:F^n\to F. לדוגמה, שטח של ריבוע S(a)=a^2 הוא מונום הומוגני f:\R\to\R מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר S(ca)=c^2a^2=c^2S(a).

סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר מהווה פולינום הומוגני. לדוגמה: x^5+2x^3y^2+9xy^4 הוא פולינום הומוגני מסדר 5.

### פונקציות רציונליות
הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת.

כלומר אם f פולינום הומוגני מסדר m ו-g פולינום הומוגני מסדר n, אזי \frac{f}{g} היא פונקציה הומוגנית מסדר m-n בכל הנקודות חוץ מבשורשים של g.

פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון \frac{x^2+y^2+z^2}{(x+2y+3z)^2}, מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.

### פונקציה תת-ליניארית ונורמה-למחצה
כל פונקציה תת-ליניארית היא בהחלט הומוגנית חיובית מסדר 1, זאת על פי הגדרתה. לעומת זאת, כל נורמה-למחצה (ובפרט כל נורמה) היא הומוגנית בהחלט מסדר 1.

## פונקציות הומגניות חלקיות
לעיתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית E_k(m,v)=\frac{1}{2}mv^2 היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית E_k(m,cv)=\frac{1}{2}mc^2v^2, לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים E_k(cm,v)=\frac{1}{2}cmv^2.

במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנותרו בחומר לאחר פרק זמן t נתון על ידי N(N_0,t,\tau)=N_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}, ובעוד שמתקיים N(cN_0,t,\tau)=cN(N_0,t,\tau), קרי N היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור N_0, היא אינה הומוגנית במשתנים האחרים.

## משפט אוילר לפונקציות הומוגניות
תהי f:\R^n\to\R פונקציה חלקה אזי f הומוגנית חיובית מסדר k אם ורק אם:
:\mathbf{x}\cdot\nabla f(\mathbf{x})=\sum_{i\,=\,1}^nx_i\frac{\part f}{\part x_i}=kf(\mathbf{x}) 

### הוכחה
\Larr: תהי f:\R^n\to\R פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר k. אזי f(a\mathbf{x})=a^{k}f(\mathbf{x}). נגזור את שני האגפים לפי a ונקבל
:\frac{df(a\mathbf{x})}{da}=\mathbf{x}\cdot\nabla f(a\mathbf{x})=ka^{k-1}f(\mathbf{x})
מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת לכל a, נציב a=1 ונקבל \mathbf{x}\cdot\nabla f(\mathbf{x})=kf(\mathbf{x}) .

\Rarr: תהי f:\R^n\to\R פונקציה חלקה המקיימת \mathbf{x}\cdot\nabla f(\mathbf{x})=kf(\mathbf{x}) לכל \mathbf{x}.

נבחר \mathbf{x} כלשהו ונגדיר g(a)=a^{-k}f(a\mathbf{x}). כעת:
:\frac{dg}{da}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf{x})+a^{-k}\mathbf{x}\cdot\nabla f(a \mathbf{x})
נציב a\mathbf{x}\cdot\nabla f(a \mathbf{x})=kf(a\mathbf{x}) ונקבל
:\frac{dg}{da}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf{x})+a^{-k}\frac{kf(a\mathbf{x})}{a}=0
לכן g היא פונקציה קבועה.

נשים לב כי g(1)=f(\mathbf{x}), לכן לכל a>0 מתקיים g(a)=f(\mathbf{x}). כלומר f(a\mathbf{x})=a^kf(\mathbf{x})

### תוצאה
עבור פונקציה f:\R^n\to\R גזירה והומוגנית חיובית מסדר k נקבל כי \frac{\part f}{\part x_i} היא הומוגנית מסדר k-1. כלומר:
:\frac{\part f}{\part x_i}\bigg|_{cx}=c^{k-1}\frac{\part f}{\part x_i}\bigg|_x
תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי x_i. שכן על פי משפט אוילר:
:\mathbf{x}\cdot\nabla f(\mathbf{x})=kf(\mathbf{x})
נגזור לפי x_i ונקבל
:\frac{\part(\mathbf{x}\cdot\nabla f(\mathbf{x}))}{\part x_i}=\frac{\part f}{\part x_i}+\mathbf{x}\cdot\nabla\frac{\part f}{\part x_i}=k\frac{\part f}{\part x_i}
ולכן
: \mathbf{x} \cdot \nabla \frac{\part f}{\part x_i}=(k-1)\frac{\part f}{\part x_i}
הפעלת הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.

## קישורים חיצוניים
*

## הערות שוליים

הומוגנית