סריג שלם

במתמטיקה, ובפרט בתורת הסדר, **סריג שלם** הוא קבוצה סדורה שבה לכל תת-קבוצה קיים אינפימום וסופרמום. הדבר מאפשר להגדיר מצרף ומפגש לכל תת-קבוצה שהיא בתוך הקבוצה הסדורה.

תכונה חשובה ומרכזית של סריגים שלמים היא שלכל קבוצה סדורה קיים שיכון סדר ממנה לסריג שלם. בכך ניתן לראות במחלקת הסריגים השלמים כמחלקה שמאגדת בתוכה מידע על כל הקבוצות הסדורות.

## הגדרה פורמלית
קבוצה סדורה (L,\le) תקרא **סריג שלם** אם ורק אם לכל A\subseteq L:

# קיים מצרף (סופרמום) אשר מסמנים ב-\bigvee A.
# קיים מפגש (אינפימום) אשר מסמנים ב-\bigwedge A.

אם L מקיימת רק את תנאי 1, היא תקרא **[[סריג-למחצה עליון שלם]]**. אם L מקיימת רק את תנאי 2, היא תקרא **[[סריג-למחצה תחתון שלם]]**.

## תכונות

* כל סריג שלם הוא סריג, ובפרט סריג חסום.
* כל סריג-למחצה עליון (תחתון) שלם עם איבר קטן (גדול) ביותר הוא סריג שלם.
* בפרט, כל קבוצה סדורה היטב וחסומה מלעיל היא סריג שלם.
* כל סריג סופי הוא סריג שלם.
* כל קבוצה סדורה שאיזומורפית סדר לסריג שלם היא סריג שלם בעצמה. יתרה מזאת, ניתן להראות שהאיזומורפיזם בין שתי הקבוצות משמר מצרף ומפגש.

## דוגמאות

* בהינתן קבוצה כלשהי A, קבוצה החזקה שלה \mathcal{P}(A) סדורה לפי יחס ההכלה \subseteq. קבוצה זו היא סריג שלם מכיוון שלכל P\subseteq \mathcal{P}(A) הסופרמום שלה הוא \bigcup P והאינפימום שלה הוא \bigcap P.
* בהינתן מרחב וקטורי V, מסמנים ב-\mathcal{L} את אוסף כל תתי-המרחבים שלו. ניתן להראות כי \mathcal{L} הוא קבוצה סדורה לפי יחס ההכלה \subseteq. זהו סריג שלם מכיוון שלכל קבוצת מרחבים וקטוריים \{V_\alpha\}_{\alpha\in I}\subseteq \mathcal{L} הסופרמום שלה הוא \sum_{\alpha\in I}V_\alpha והאינפימום שלה הוא \bigcap_{\alpha\in I}V_\alpha.
* מסתכלים על קבוצת המספרים הטבעיים ביחד עם המספר אפס \N\cup\{0\} ומסדרים אותם לפי היחס "מחלק את" |. לכל תת-קבוצה סופית או אינסופית קיים אינפימום שהוא המחלק המשותף המקסימלי של הקבוצה. לכל קבוצה סופית קיים סופרמום שהוא הכפולה המשותפת המינימלית. לכל קבוצה אינסופית אין כפולה משותפת מינימלית במובן הרגיל של המונח, ולכן הסופרמום שלהם הוא 0 (מכיוון שהוא מתחלק בכל מספר אבל לא מחלק שום מספר. מכל זה, \N\cup\{0\} היא סריג שלם לפי היחס |.

## תוצאות חשובות

### השלמת דדקינד-מקניל
כאמור לעיל, ניתן לשכן כל קבוצה סדורה בתוך סריג שלם. שיכון זה נקרא **[[השלמת דדקינד-מקניל]]**  והוא הוכח לראשונה על-ידי המתמטיקאי הולברוק מאן מקניל בשנת 1937.

יהי קבוצה סדורה (P,\le). לכל קבוצה A\subseteq P, מגדירים:

A^\operatorname{ub}:=\{x\in P\mid\forall y\in A,y\le x\},\quad A^\operatorname{lb}:=\{x\in P\mid\forall y\in A,x\le y\}

מגדירים את הקבוצה \mathcal{L}:=\left\{C\subseteq P\mid \left(C^\operatorname{ub}\right)^\operatorname{lb} = C\right\}. ניתן להוכיח כי \mathcal{L} עם יחס הסדר \subseteq היא סריג שלם וש-P משוכנת סדר בו. יתרה מזאת, ניתן להוכיח כי אם \mathcal{L}' הוא סריג שלם כך ש-P משוכן סדר בו, אז בהכרח \mathcal{L} משוכן סדר בו. כלומר, \mathcal{L} הוא הסריג השלם המינימלי כך ש-P משוכן סדר בו.

### משפט קנסטר-טרסקי
בהינתן פונקציה כלשהי מקבוצה לעצמה, ניתן לשאול עבור אילו ערכים הקלט של הפונקציה שווה לפלט שלה. ערכים אלו נקראים נקודות שבת ויש להם חשיבות רבה במגוון תחומים במתמטיקה.

בהינתן סריג שלם (L,\le) ופונקציה מונוטונית f\colon L\to L, משפט קנסטר-טרסקי  קובע שלפונקציה זו יש לפחות נקודת שבת אחת, ושכל נקודות השבת של הפונקציה מהוות סריג שלם בעצמן לפי היחס \le. מסקנה חשובה ממשפט זה היא שלפונקציה f יש בהכרח נקודת שבת קטנה ביותר וגדולה ביותר, זאת מכיוון שקבוצת נקודות השבת היא סריג שלם וכל סריג שלם הוא בהכרח חסום.

## ראו גם

* התאמת גלואה

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת הסדר