משפט דה מואבר-לפלס

[250px|ממוזער|שמאל|בתוך מערכת שבה התאים מתמלאים בהתאם ל[התפלגות בינומית (כגון "מכונת גלטון" של פרנסיס גלטון, המוצגת כאן), עבור מספר מספיק של ניסויים (השורות של המסמרים, שכל אחת מהן גורמת ל"גרגיר" נופל לנטות שמאלה או ימינה), מתקבלת צורה המייצגת את התפלגות ההסתברות של k הצלחות מתוך n ניסיונות (ראו בתחתית התרשים). צורה זו מתאימה בקירוב להתפלגות גאוסית בעלת תוחלת np ושונות np(1−p), בהנחה שהניסויים בלתי תלויים ושכל הצלחה מתרחשת בהסתברות p.]]  

[250px|ממוזער|שמאל|נניח שאנו מטילים קבוצה של n [מטבע|מטבעות מספר רב מאוד של פעמים וסופרים את מספר הפעמים שהתקבל "עץ". מספר הפעמים שיצא "עץ" בכל הטלה, המסומן ב-k, נע בין 0 ל-n בציר האופקי, בעוד הציר האנכי מייצג את התדירות היחסית של התוצאה k פעמים "עץ". גובה כל נקודה בתרשים משקף את ההסתברות להופעת k הצלחות בהטלת n מטבעות (המתוארת על ידי התפלגות בינומית עם n ניסיונות). על פי משפט דה-מואבר-לפלס, כאשר n גדל, הצורה של ההתפלגות הבדידה מתכנסת לעקומה הגאוסית הרציפה של התפלגות נורמלית.]]  
**משפט דה-מואבר-לפלס** (באנגלית: **De Moivre–Laplace theorem**) הוא מקרה פרטי של משפט הגבול המרכזי, הקובע כי ניתן להשתמש בהתפלגות נורמלית כקירוב להתפלגות בינומית תחת תנאים מסוימים. בפרט, המשפט מראה כי פונקציית ההסתברות של מספר ההצלחות בסדרה של n ניסויי ברנולי בלתי תלויים, שכל אחד מהם בעל הסתברות הצלחה p, מתכנסת לפונקציית הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית עם תוחלת np וסטיית תקן \sqrt{np(1-p)}, כאשר n גדול ובהנחה ש-p אינו 0 או 1.

המשפט הופיע במהדורה השנייה של הספר "The Doctrine of Chances" מאת אברהם דה-מואבר, שפורסם בשנת 1738. דה-מואבר חקר את התפלגות מספר הפעמים שיצא "עץ" כאשר מטילים מטבע 3600 פעמים, והראה שההתפלגות מתקרבת לנורמלית. 

קירוב זה הוא אחד הדרכים לקבל את הגאוסיאן המשמש כבסיס להתפלגות הנורמלית בעזרת גבול. 

משפט דה-מואבר-לפלס הוא מקרה פרטי של משפט הגבול המרכזי, מאחר שניתן להתייחס לתהליך ברנולי כאל דגימה בלתי תלויה של משתנים אקראיים מהתפלגות דיסקרטית בינארית בעלת ערכים 0 ו-1. ההתפלגות הבינומית מתארת את מספר ההצלחות, ומשפט הגבול המרכזי קובע כי כאשר n גדול מספיק, התפלגות ממוצע המדגם תהיה בקירוב נורמלית. במקרה זה, מאחר ששכיחות ההצלחות שווה לממוצע המדגם, ההתפלגות הבינומית המנורמלת והתפלגות הממוצעים מתלכדות, והתוצאה היא ההתכנסות להתפלגות נורמלית.

## ניסוח פורמלי
כאשר n גדול, עבור ערכים של k המקיימים k = np + O(\sqrt{npq}), מתקיים הקירוב האסימפטוטי הבא לפונקציית ההסתברות של ההתפלגות הבינומית:


P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \approx \frac{1}{\sqrt{2 \pi npq}} \exp\left( -\frac{(k-np)^2}{2npq} \right),


כאשר p+q=1 ו-p, q > 0.  

במובן אסימפטוטי, יחס ההסתברויות בין אגף שמאל לאגף ימין שואף ל-1.
## תקציר ההוכחה

ההוכחה מבוססת על קירוב הביטוי באגף שמאל של משפט דה-מואבר-לפלס לאגף ימין בשלושה שלבים עיקריים.

#### שלב ראשון: שימוש בנוסחת סטרלינג
לפי נוסחת סטרלינג, עבור n גדול, העצרת מקורבת על ידי:


n! \sim \sqrt{2 \pi n} \cdot n^n e^{-n}


באמצעות קירוב זה, מתקבל ביטוי מקורב להסתברות הבינומית:


{n \choose k} p^k q^{n-k} \simeq \sqrt{\frac{n}{2\pi k\left(n-k\right)}}\left(\frac{np}{k}\right)^k\left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k}


#### שלב שני: שימוש בקירוב <math>k/n \to p</math>
משימוש בקירוב:


\frac{k}{n} \to p, \quad \frac{n-k}{n} \to q,


נקבל:


{n \choose k} p^k q^{n-k} \simeq \frac{1}{\sqrt {2\pi npq}}\left(\frac{np}{k}\right)^{k} \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k}, \quad p+q=1.


#### שלב שלישי: הצגת הביטוי כאקספוננט ופיתוח טיילור
לאחר ניסוח מחדש של הביטוי באמצעות פונקציה מעריכית, ושימוש בקירוב טיילור ללוגריתם:


\ln(1+x) \simeq x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots.


מתקבל לאחר הצבה ופיתוח:


{n \choose k} p^k q^{n-k} \simeq \frac{1}{\sqrt {2\pi npq}} e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}


כל המעברים בסימן \simeq הם במובן אסימפטוטי, כלומר כאשר n \to \infty, היחס בין אגפי השוויונות מתכנס ל-1, בדיוק כפי שמופיע בניסוח המשפט.

## יישומים
### קירוב נורמלי לחישובי הסתברות
משפט דה-מואבר-לפלס מספק כלי לחישוב מקורב של הסתברויות בינומיות כאשר n גדול, במקום לבצע חישובים ישירים עם מקדמים בינומיים. עבור ערכים גדולים של n, נהוג להשתמש בתיקון רציפות:


P(a \leq X \leq b) \approx P\left(a - 0.5 \leq Y \leq b + 0.5\right),


כאשר Y \sim N(np, np(1-p)) היא ההתפלגות הנורמלית המקורבת.

### דוגמאות מעשיות
[ממוזער|250px|שמאל|[תיבת גלטון המשמשת להדגמת המשפט]]
* בהסקה סטטיסטית, כאשר מודדים משתנה בעל התפלגות בינומית במדגם גדול (כגון שיעור הצבעה בבחירות), ההתפלגות בקירוב נורמלית, דבר שמאפשר לבצע בדיקות סטטיסטיות כגון מבחני Z למדגמים גדולים.
* בתורת התורים ובקרת איכות, כאשר מנתחים מספר תקלות או הצלחות במערכת גדולה.
* בתיבת גלטון – הדגמה ויזואלית למשפט, בה כדורים נופלים במסלול בינומי ומתפלגים בסופו של דבר בקירוב נורמלי.

## הדגמה מספרית

נניח שמטילים מטבע הוגן (כלומר, הסתברות הצלחה p = 0.5) מספר רב של פעמים, למשל  n = 3600  הטלות, ומתעניינים בהתפלגות מספר הפעמים שיצא "עץ".

לפי משפט דה-מואבר-לפלס, המשתנה המקרי X המתאר את מספר הפעמים שיצא "עץ" מתפלג בקירוב נורמלית עם תוחלת ושונות:


E[X] = np = 3600 \cdot 0.5 = 1800,



\operatorname{Var}(X) = np(1-p) = 3600 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 900.


מכאן שסטיית התקן היא:


\sigma = \sqrt{900} = 30.


נחשב כעת את ההסתברות שמספר ה"עצים" יהיה בטווח של שלוש סטיות תקן סביב התוחלת, כלומר בטווח [1710, 1890]:


P(1710 \leq X \leq 1890).


לאחר נירמול ההתפלגות הבינומית להתפלגות נורמלית תקנית, מתקבל:


P\left( \frac{1710 - 1800}{30} \leq Z \leq \frac{1890 - 1800}{30} \right) = P(-3 \leq Z \leq 3).


לפי טבלאות ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית:


P(-3 \leq Z \leq 3) \approx 0.9973.


מכאן שההסתברות שמספר הפעמים שיצא "עץ" יהיה בטווח של שלוש סטיות תקן סביב התוחלת היא כ-99.73%, בהתאם לכלל שלושת סטיות התקן בהתפלגות נורמלית.

## ראו גם
* משפט הגבול המרכזי
* משפט הגבול של פואסון
* התפלגות נורמלית

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

דה מואבר-לפלס
דה מואבר-לפלס