אנליזה של אלגוריתמים

**אנליזה (ניתוח) של אלגוריתמים** הוא תחום במדעי המחשב, העוסק בגילוי מאפיינים שונים באלגוריתמים, וסיווג רמת החיסכון שלהם במשאבים, כלומר קביעת כמות המשאבים הנדרשים עבור ביצועו.

בדרך-כלל, יעילותו של אלגוריתם תלויה במספר הצעדים (זמן המורכבות) ובשטח האחסון (מורכבות אחסון) הנדרשים.

המונח "ניתוח אלגוריתמים" נטבע על ידי דונלד קונת'. ניתוח אלגוריתמים הוא חלק חשוב של תאוריה רחבה יותר הנקראת תורת הסיבוכיות,אשר מספקת הערכות תאורטיות לכמות המשאבים הדרושים לכל אלגוריתם הפותר בעיה חישובית נתונה. הערכות אלו מספקות תובנות חשובות באשר לחיפוש אחר אלגוריתמים יעילים יותר ויותר.

בניתוח תאורטי של אלגוריתמים, נהוג להעריך את המורכבות שלהם במובן אסימפטוטי. כלומר, להעריך את מורכבות האלגוריתם עבור קלט שרירותי גדול. סימון O גדולה [O], סימון אומגה גדול [\Omega] וסימון טטא גדול [\Theta] משמשים למטרה זו. למשל, חיפוש בינארי הוא חיפוש האמור לרוץ מספר צעדים, יחסי ללוגריתם של אורך הרשימה הממוינת שבה מתבצע החיפוש, או ב- O(log(n)), ב"זמן לוגריתמי".

ממד יעילות מדיוק (לא אסימפטוטי) ניתן לחישוב במקרים מסוימים אך בדרך כלל הוא דורש הנחות מסוימות לגבי יישום מסוים של האלגוריתם, הנקרא מודל של מחשוב. מודל של מחשוב עשוי להיות מוגדר במונחים של מחשב אבסטרקטי, למשל, מכונת טיורינג, או על ידי הנחה כי פעולות מסוימות מבוצעות ביחידת זמן.

לדוגמה, אם ברשימה הממוינת עליה אנו מריצים חיפוש בינארי יש *n* אלמנטים, ואנחנו יכולים להבטיח כי כל בדיקה של אלמנט ברשימה יכולה להתבצע תוך יחידת זמן, אז צריך לכל היותר log2 *n* + 1 יחידות זמן להחזיר תשובה.

## דגמי עלויות
הערכות יעילות זמן תלויות במה אנו מגדירים להיות צעד. כדי שניתוח האלגוריתם יתאים בצורה שימושית לזמן הביצוע בפועל, הזמן הנדרש כדי לבצע צעד חייב להיות חסום מלעיל על ידי קבוע. יש להיות זהיר בנקודה זו, למשל, כמה אנליזות זמנים סופרות חיבור של שני מספרים בתור צעד אחד. הנחה לא יכולה להיות מובטחת בתנאים מסוימים או בהקשרים מסוימים. לדוגמה, אם המספרים המעורבים בחישוב גדולים מאוד, במקרה זה לא ניתן להניח כי הזמן הנדרש על ידי פעולת חיבור יחידה הוא קבוע כלשהו.

יש שני מודלי חישוב עליות המשומשים בצורה נרחבת:
* **מודל מחיר אחיד**, נקרא גם **מדד עלות-אחיד** (וריאציות דומות), מקצה קבוע עלות לכל פעולת מכונה, ללא קשר לגודל של המספרים מעורבים.
* **מודל עלות לוגריתמי**, נקרא גם **מדד עלות-לוגריתמי** (וריאציות דומות), מקצה עלות כל פעולת מכונה באופן יחסי למספר הביטים המעורבים.
האחרון הוא יותר מסורבל לשימוש, לכן נעשה בו שימוש רק בעת הצורך, למשל בניתוח של אלגוריתמים מסוג דיוק-שרירותי אריתמטי, כמו אלה המשמשים בקריפטוגרפיה.

נקודת מפתח אשר נוטים להתעלם ממנה לעיתים קרובות היא שחסמים תחתונים שפורסמו לבעיות לעיתים קרובות חושבו על מודל מחשוב אשר מוגבל יותר מאשר סט הפעולות שניתן להשתמש בו בפועל, ולכן יש אלגוריתמים מהירים יותר מאלה שניתן לדמיין בצורה נאיבית.

## ניתוח זמן ריצה
250px|ממוזער|השוואת סיבוכיות
ניתוח זמן ריצה הוא סיווג תאורטי שמעריך וצופה את הגידול בזמן הריצה של אלגוריתם ככל שגודל הקלט שלו (לרוב מסומן כ-n) גדל. יעילות זמן ריצה היא נושא בעל חשיבות גבוהה במדעי המחשב: תוכנה יכולה לקחת שניות שעות או אפילו שנים כדי לסיים ביצוע, דבר שתלוי על איזה אלגוריתם היא מיישמת (ראו גם ניתוח ביצועים, כלומר הניתוח של זמן ריצה בצורה פרקטית).

### החסרונות של אמות מידה אמפיריות
כיוון שאלגוריתמים הם תלויי פלטפורמה (כלומר, אלגוריתם נתון יכול להיות מיושם בשפת תכנות שרירותית במחשב שרירותי ועל מערכת ההפעלה שרירותית), יש חסרונות משמעותיים לשימוש בגישה אמפירית למדידת הביצועים היחסיים של סט נתון של אלגוריתמים.

ניתן לקחת כדוגמה תוכנה המחפשת ערך מסוים רשימה ממוינת בגודל *n*. נניח שתכנה זו הושמה על מחשב א', מחשב חדיש עם חומרה מרמה גבוהה, תוך שימוש באלגוריתם חיפוש ליניארי, ועל מחשב ב', אשר איטי בהרבה מן המחשב הקודם, באמצעות אלגוריתם חיפוש בינארי. בוחן ביצועים על שני המחשבים המריצים את התוכנה בהתאמה עשוי לקבל את הממצאים הבאים:

בהתבסס על ערכים אלה, זה ניתן לקפוץ למסקנה כי על **מחשב א**' פועל אלגוריתם יעיל בהרבה מיעילות של האלגוריתם של **מחשב ב**'. עם זאת, אם נגדיל את גודל הקלט בצורה מספקת, מסקנה זו הוא מוכחת להיות שגיאה:

מחשב א', מריץ את תוכנת החיפוש הליניארי, ומראה קצב גידול ליניארי. זמן הריצה של התוכנה הוא בעל יחס ישיר לגודל הקלט שלה. הכפלת גודל הקלט מכפיל את זמן הריצה, הכפלה פי ארבעה של גודל הקלט מכפילה פי ארבעה את זמן הריצה וכו' . מצד שני, מחשב ב', מריץ תוכנת חיפוש בינארי, ומראה קצב גידול לוגריתמי. הכפלת גודל הקלט פי ארבעה מגדיל את זמן הריצה על ידי  בלבד (בדוגמה זו, 50,000 ns). אף על פי שמחשב א' מהיר יותר, מאשר מחשב ב'. מחשב ב' יתגבר על מחשב א' באופן בלתי נמנע ביעילות זמן ריצה מפני שהאלגוריתם שהוא מריץ בעל קצב גידול נמוך בהרבה.

### רמות של קצב גידול
באופן לא רשמי, ניתן לומר כי אלגוריתם מציג צמיחה בשיעור מסדר גודל של פונקציות מתמטיות אם עבור קלט מסוים בגודל *n*, פונקציה f(n) כפול קבוע חיובי מספקת את החסם העליון או הגבול של זמן הריצה של האלגוריתם. במילים אחרות, עבור גודל קלט *n* אשר גדול יותר מ-*n*0 וקבוע c, זמן הריצה של אלגוריתם לעולם לא יהיה גדול מאשר c\times f(n). ביטוי זה מיוצג לעיתים קרובות על ידי סימון O גדולה. לדוגמה, כיוון שזמן הריצה של מיון הכנסה גדל בצורה מרובעת כמו שלה הקלט גדל, ההכנסה סוג יכול להיות אמר להיות של סדר *O*(*n*2).

סימון O גדולה הוא דרך נוחה כדי לבטא את התרחיש הגרוע ביותר עבור אלגוריתם נתון, אף על פי שזה יכול לשמש גם כדי להביע את המקרה הממוצע &#x2014; לדוגמה, התרחיש הגרוע ביותר עבור quicksort הוא *O*(*n*2), אבל זמן הריצה עבור המקרה הממוצע הוא *O*(*n*&#x20;log&#x20;*n*).

### רמות אמפיריות של קצב גידול
תחת ההנחה שזמן הביצוע עוקב אחר כלל הכוח,t \approx k*n^a, ניתן למצוא את המקדם על ידי לקיחת מדידות אמפיריות של זמן ריצה \{t_1, t_2\} על נקודות בעלות גודל בעייתי \{n_1, n_2\} וחישוב t_2/t_1 = (n_2/n_1)^a כך a = \log(t_2/t_1) / \log(n_2/n_1). במילים אחרות, זה מודד את השיפוע של קו אמפירי על log-log plot של זמן הביצוע לעומת גודל הבעיה, בנקודת גודל כלשהי. אם רמת הצמיחה אכן מלווה את כלל הכוח (אזי הקו על log-log-plot אכן קו ישר), הערך האמפירי של *a* יישאר קבוע בטווחים שונים, ואם לא, הוא ישתנה (ואז הקו הוא קו מעוגל) - אבל זה עדיין יכול לשמש להשוואה של כל שני אלגוריתמים נתונים בהתחשבות בהתנהגות של *רמות קצב גידול מקומיות אמפיריות*. ובהחלה על הטבלה מלעיל:

קל לראות כי האלגוריתם הראשון מראה קצב גידול ליניארי אשר בבירור עוקב אחרי כלל הכוח. הערכים האמפיריים עבור השני הולכים ופוחתים במהירות, מה שרומז כי האלגוריתם השני עוקב אחרי חוק אחר של קצב גידול ובכל מקרה יש לו רמות קצב גידול מקומיות הרבה יותר נמוכות (אשר עדיין משתפרות), באופן אמפירי, מאשר לאלגוריתם הראשון.

### הערכת סיבוכיות זמן ריצה
את מורכבות זמן הריצה למקרה הגרוע ביותר של אלגוריתם נתון ניתן לעיתים להעריך על ידי בחינת המבנה של האלגוריתם ולקיחת מספר הנחות מפשטות. נתבונן ב-pseudocode הבא:

```pascal
(* get a positive integer from input *)
if n > 10
 write 'This might take a while...'
for i = 1 to n
 for j = 1 to i
 write i * j
write 'Done!'
```

מחשב נתון ייקח כמות הזמן בדידה לביצוע כל הפקודות המעורבות עם ביצוע האלגוריתם הזה. כמות הזמן המסוימת כדי לבצע פקודה נתונה ישתנו בהתאם לפקודה אשר מתבצעת, ועל פי איך המחשב מבצע אותה, אבל על מחשב רגיל, כמות זמן זו היא דטרמיניסטית (המקרה שונה במקרה של מחשב קוונטי). נניח כי הפעולות שבוצעו בשלב 1 נחשבות צורכות זמן *T*1, אלה שבשלב 2 צורכות זמן *T*2, וכך הלאה.

באלגוריתם לעיל, שלבים 1, 2 ו-7 ירוצו פעם אחת בלבד. עבור הערכה של המקרה הגרוע ביותר, יש להניח כי שלב 3 יורץ גם הוא. לפיכך, הסכום הכולל של זמן כדי להריץ את צעדים 1–3 וצעד 7 הוא:
:T_1 + T_2 + T_3 + T_7. \,
את הלולאות בשלבים 4, 5 ו-6 יותר מסובך להעריך. החיצונית בשלב 4 תרוץ (*n* + 1)
פעמים (שימו לב כי צעד נוסף נדרש כדי לסיים את ללולאה, ולכן 1 + n ולא n ריצות), אשר יצרכו *T*4(*n* + 1) זמן. הלולאה הפנימית, לעומת זאת, נשלטת על ידי הערך של i, אשר נע מ-1 עד *i*. במעבר הראשון דרך הלולאה החיצונית. j. נע מ-1 ל-1: הלולאה הפנימית רצה פעם אחת, אז הרצת הלולאה הפנימית (שלב 6) צורכת *T*6, והלולאה הפנימית (שלב 5) צורכת 2*T*5. זמן. במעבר הבא דרך הלולאה החיצונית. j. נע מ-1 ל-2: לולאה הפנימית רצה פעמיים, אז הרצת הלולאה הפנימית (שלב 6) צורכת 2*T*6, והלולאה הפנימית (שלב 5) צורכת 3*T*5 זמן.

בסך הכל, כל הזמן הנדרש כדי להפעיל את הלולאה הפנימית יכול לבוא לידי ביטוי כהתקדמות אריתמטית:
:T_6 + 2T_6 + 3T_6 + \cdots + (n-1) T_6 + n T_6
אשר יכול להתווסף כפקטור כך
1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) + n = \frac{n(n+1)}{2}
את הסך כל הזמן הנדרש כדי להפעיל את הלולאה החיצונית ניתן להעריך באופן דומה:
:\begin{align}
& 2T_5 + 3T_5 + 4T_5 + \cdots + (n-1) T_5 + n T_5 + (n + 1) T_5\\
=\ &T_5 + 2T_5 + 3T_5 + 4T_5 + \cdots + (n-1)T_5 + nT_5 + (n+1)T_5 - T_5
\end{align}
אשר יכול להתווסף כפקטור כך
:\begin{align}
& T_5 \left[ 1+2+3+\cdots + (n-1) + n + (n + 1) \right] - T_5 \\
=& \left[ \frac{1}{2} (n^2 + n) \right] T_5 + (n + 1)T_5 - T_5 \\
=& T_5 \left[ \frac{1}{2} (n^2 + n) \right] + n T_5 \\
=& \left[ \frac{1}{2} (n^2 + 3n) \right] T_5
\end{align}
לכן, סה"כ זמן ריצה עבור אלגוריתם זה הוא:
:f(n) = T_1 + T_2 + T_3 + T_7 + (n + 1)T_4 + \left[ \frac{1}{2} (n^2 + n) \right] T_6 + \left[ \frac{1}{2} (n^2+3n) \right] T_5 
אשר יורד עד כדי
:f(n) = \left[ \frac{1}{2} (n^2 + n) \right] T_6 + \left[ \frac{1}{2} (n^2 + 3n) \right] T_5 + (n + 1)T_4 + T_1 + T_2 + T_3 + T_7

ככלל אצבע, ניתן להניח שהסדר הגבוה ביותר בכל פונקציה שולט בקצב הצמיחה, ובכך מגדיר את סדר זמן הריצה. בדוגמה זו, n^2 הוא הסדר הגבוה ביותר, אז ניתן להסיק כי f(n) = O(n2). באופן רשמי, זה יכול להיות מוכח, כדלקמן:Prove that \left[ \frac{1}{2} (n^2 + n) \right] T_6 + \left[ \frac{1}{2} (n^2 + 3n) \right] T_5 + (n + 1)T_4 + T_1 + T_2 + T_3 + T_7 \le cn^2,\ n \ge n_0

\begin{align}
&\left[ \frac{1}{2} (n^2 + n) \right] T_6 + \left[ \frac{1}{2} (n^2 + 3n) \right] T_5 + (n + 1)T_4 + T_1 + T_2 + T_3 + T_7\\
\le &(n^2 + n)T_6 + (n^2 + 3n)T_5 + (n + 1)T_4 + T_1 + T_2 + T_3 + T_7 \ (\text{for } n \ge 0)
\end{align}

Let *k* be a constant greater than or equal to [*T*1..*T*7]

\begin{align}
&T_6(n^2 + n) + T_5(n^2 + 3n) + (n + 1)T_4 + T_1 + T_2 + T_3 + T_7 \le k(n^2 + n) + k(n^2 + 3n) + kn + 5k\\
= &2kn^2 + 5kn + 5k \le 2kn^2 + 5kn^2 + 5kn^2 \ (\text{for } n \ge 1) = 12kn^2
\end{align}

Therefore \left[ \frac{1}{2} (n^2 + n) \right] T_6 + \left[ \frac{1}{2} (n^2 + 3n) \right] T_5 + (n + 1)T_4 + T_1 + T_2 + T_3 + T_7 \le cn^2, n \ge n_0 \text{ for } c = 12k, n_0 = 1
גישה יותר אלגנטית לניתוח אלגוריתם זה תהיה להכריז כי [*T*1..*T*7] כל אחד שווים יחידת זמן אחת, במערכת של יחידות שנבחרו, כך שיחידה אחת הוא גדול או שווה לזמן בפועל פעמים של שלבים אלה. כלומר שזמן הריצה של האלגוריתם מחושב כדלקמן:4+\sum_{i=1}^n i\leq 4+\sum_{i=1}^n n=4+n^2\leq5n^2 \ (\text{for } n \ge 1) =O(n^2).

### ניתוח קצב גידול של משאבים אחרים
ניתן להשתמש במתודולוגיה של ניתוח זמן ריצה לחישוב וחיזוי של קצבי הגידול של משאבים אחרים כגון צריכת זיכרון. כדוגמה, נתבונן ב־pseudocode אשר מנהל וממקם מחדש את השימוש בזיכרון על ידי תכנה, בהתבסס על הגודל של הקובץ אשר התכנה מנהלת:
 **while** (*file still open*) **let** n = *size of file* **for** *every 100,000 kilobytes of increase in file size* *double the amount of memory reserved*
במקרה הזה, ככל שגודל הקובץ n גדל, הזיכרון נצרך בקצב גידול מעריכי, אשר מסדר O(2n). זה מאוד מהיר ורוב הסיכויים קצב גידול לא ניתן לניהול של שימוש משאבי זיכרון.

## רלוונטיות
החשיבות של ניתוח אלגוריתמים נובעת מהעובדה ששימוש מכוון או לא מכוון באלגוריתם לא יעיל יכול לפגוע בצורה משמעותית בביצועי מערכת. ביישומים שרגישים לזמן, אלגוריתם שלוקח יותר מדי זמן כדי לרוץ יכול למסור תוצאות מיושנות או חסרות תועלת. אלגוריתם לא יעיל יכול גם בסופו לצרוך כמות לא אקונומית של כוח מחשוב או אחסון על מנת לרוץ, מה שיגרום לו להיות חסר תועלת.

## גורמים קבועים
אנליזה של אלגוריתמים בדרך כלל מתמקדת בביצועים אסימפטוטיים, במיוחד ברמה הבסיסית, אבל ביישומים מעשיים גורמים קבועים הם חשובים, ונתונים בעולם האמיתי תמיד מוגבלים בגודל בפועל. הגבול הוא בדרך כלל בגודל של זיכרון השמיש, אז על מערכות של 32 סיביות 232 = 4 GiB (או יותר אם מזיכרון מקוטע), ובמערכות של-64 סיביות 264 = 16 EiB. לפיכך תחת גודל מוגבל, סדר הגודל (זמן או מקום) יכול להיות מוחלף על ידי גורם קבוע, ובמובן זה כל האלגוריתמים המעשיים הם O(1) עבור קבוע מספיק גדול, או גודל נתונים קטן מספיק.

פרשנות זו היא יעילה בעיקר עבור פונקציות הגדלות לאט מאוד: (בינארית) הלוגריתם החוזר (log*) הוא פחות מ-5 לכל כמות נתונים מעשית (265536 ביטים); (בינארי) log-log (log log *n*) הוא פחות מ-6 לכמעט כל כמות נתונים מעשית (264 סיביות); ובינארית (log (log *n*) הוא פחות מ-64 לכמעט כל כמות נתונים מעשית (264 סיביות). אלגוריתם עם מורכבות שאינה קבועה עשוי בכל זאת להיות יותר יעיל מאשר אלגוריתם קבוע על נתונים פרקטיים אם החסם העליות של הזמן הקבוע יוצר תוצאה קבועה גדולה יותר לדוגמה יכול להיות K > k \log \log n כל עוד K/k > 6 ו-n .

עבור כמות גדולה של מידע לא ניתן להתעלם מגורמים ליניאריים או ריבועיים, אבל עבור כמויות קטנות של מידע אלגוריתם לא יעיל אסימפטוטית להיות יעיל יותר. זה במיוחד בשימוש במקרה של אלגוריתמים היברידיים, כמו Timsort, אשר משתמש באלגוריתם לא יעיל אסימפטוטית (כאן במיון מיזוג, עם מורכבות הזמן n \log n), אבל מחליף לאלגוריתם יעיל אסימפטוטית (כאן מיון החדרה, עם מורכבות הזמן n^2) עבור כמות נתונים קטנה, כיוון שהאלגוריתם הפשוט יותר הוא מהיר יותר על כמות קטנה של נתונים.

## ראו גם
* ניתוח לשיעורין
* O גדול
* תורת מורכבות חישובית
* תיאורמת מאסטר
* אנליזה נומרית
* פולינום זמן
* מדרגיות
* מורכבות זמן

## לקריאה נוספת


* 
* 
* 
* 
* 



## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:סיבוכיות חישובית