התאמת גלואה (תורת הסדר)

[alt=התאמת גלואה מקטע סגור לקטע חצי-סגור|ממוזער|התאמת גלואה בין ה[קטע סגור|קטע הסגור ([0,1],\le) לקטע החצי-פתוח ([0,1),\ge), כאשר f(x):=\frac{1}{2}x (בצהוב) ו-g(y):=\min(2y,1) (בגווני ירוק)]]
במתמטיקה, ובפרט בתורת הסדר, **התאמת גלואה** היא התאמה בין שתי קבוצות סדורות, באמצעות מציאת שתי פונקציות מכל קבוצה סדורה לאחרת, כך שניתן להמיר באמצעותן אי-שוויון בקבוצה אחת לאי-שוויון בקבוצה האחרת. התאמת גלואה מהווה גרסה חלשה לאיזומורפיזם סדר.

ההתאמה נקראת על-שם המתמטיקאי הצרפתי אווריסט גלואה, שכן המשפט היסודי של תורת גלואה מציג דוגמה ספציפית להתאמת גלואה. המונח הוגדר לראשונה על-ידי המתמטיקאי האמריקני גארט בירקהוף בשנת 1940.

## סימונים מתמטיים
בערך זה נסמן ב-\N, \Z ו-\R את קבוצת המספרים הטבעיים, השלמים והממשיים בהתאמה.

כמו כן, לכל קבוצה A נסמן ב-\mathcal{P}(A) את קבוצת החזקה שלה.

עבור שתי פונקציות f,g נסמן ב-f\circ g את ההרכבה שלהן.

## הגדרה מתמטית
יהי זוג קבוצות סדורות (P,\le_P) ו-(Q,\le_Q) וזוג פונקציות f\colon P\to Q ו-g\colon Q\to P. אזי, הזוג (f,g) ייקרא **התאמת גלואה מ-<math>P</math> ל-<math>Q</math>** אם ורק אם לכל a\in P ו-b\in Q מתקיים ש-b\le_Q f(a) אם ורק אם a\le_P g(b).

## דוגמאות
ממוזער|התאמת גלואה בין <math>(\N\cup\{0\},\le)</math> ל-<math>(\N\cup\{0\},\ge)</math>, כאשר <math>f(n):=2n</math> (בירוק) ו-<math>g(n):=\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor</math> (בכתום)|טקסט=התאמת גלואה מהמספרים הטבעיים ואפס לעצמם
* מקבעים m\in\N כלשהו. לכל n\in\N\cup\{0\} מגדירים f(n)=mn ו-g(n):=\lfloor n/m \rfloor (\lfloor\cdot\rfloor היא פונקציית הערך השלם). אזי, (f,g) היא התאמת גלואה מ-(\N\cup\{0\},\le) ל-(\N\cup\{0\},\ge) (ראו תרשים).
* לכל 0\le x\le 1 מגדירים f(x):=\frac{1}{2}x ולכל 0\le y מגדירים g(y):=\min(1,2y). אזי, (f,g) היא התאמת גלואה מהקטע הסגור ([0,1],\le) לקטע החצי-פתוח ([0,1),\ge) (ראו תרשים לצד פסקת הפתיחה).
* מסמנים ב-\overline{\R} את הישר הממשי המורחב. לכל A\subseteq \overline{\R} מגדירים f(A):=\sup A ולכל x\in\overline{\R} מגדירים g(x):=[-\infty,x]. אזי, (f,g) היא התאמת גלואה מ-(\mathcal{P}(\overline{\R}),\subseteq) ל-(\overline{\R},\ge).
* תהי קבוצה כלשהי X ו-U\subseteq X כלשהו. מגדירים פונקציות f,g\colon \mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X) כך שלכל Y\subseteq X מתקיים ש-f(Y):=Y\cup U ו-g(Y)=Y \setminus U. אזי, (f,g) היא התאמת גלואה מ-(\mathcal{P}(X),\subseteq) לעצמו.
* תהנה שתי קבוצות X,Y ופונקציה \alpha\colon X\to Y. לכל T\subseteq X מגדירים \alpha(T):=\{\alpha(x)\mid x\in T\}. באופן דומה, לכל U\subseteq Y מגדירים \alpha^{-1}(U):=\{x\in X\mid \alpha(x)\in U\}. אזי, (\alpha,\alpha^{-1}) היא התאמת גלואה מ-(\mathcal{P}(X),\subseteq) ל-(\mathcal{P}(Y),\supseteq).
* יהי מרחב טופולוגי כלשהו T. מסמנים ב-\mathcal{O} וב-\mathcal{C} את אוסף הקבוצות הפתוחות והסגורות ב-T בהתאמה. אזי, (\operatorname{cl},\operatorname{int}) (פונקציות הסגור והפנים) היא התאמת גלואה מ-(\mathcal{O},\subseteq) ל-(\mathcal{C},\supseteq).
* מגדירים C:=C([0,1],\R) להיות אוסף הפונקציות הרציפות מהקטע הסגור [0,1] ל-\R. לכל f\in C ולכל 0\le x\le 1 מגדירים (T(f))(x)=1-f(1-x). אזי, (T,T) היא התאמת גלואה מ-(C,\le) לעצמו.
* נתון מרחב מטרי כלשהו (M,d) ומספר ממשי r>0. לכל A\subseteq M מגדירים f(A):=\{x\in M\mid d(x,A)\ge r\}אזי, (f,f) היא התאמת גלואה מ-(\mathcal{P}(M),\subseteq) לעצמו.
* יהי סריג-למחצה עליון שלם (L,\le). לכל A\subseteq L מגדירים f(A):=\bigvee A ולכל l\in L מגדירים g(l):=\{x\in L|x\le l\}. אזי, (f,g) היא התאמת גלואה מ-(\mathcal{P}(L),\supseteq) ל-(L,\le).
* תהי אלגברת הייטינג  כלשהי H. מקבעים a\in H כלשהו. לכל x\in H מגדירים f(x):=x\to b. אזי, (f,f) היא התאמת גלואה מ-(H,\le) לעצמו.
* תהי קבוצה סדורה (P,\le). לכל A\subseteq P מגדירים A^\operatorname{ub}:=\{x\in P\mid\forall y\in A,y\le x\} ו-A^\operatorname{lb}:=\{x\in P\mid\forall y\in A,x\le y\}. אזי, (\cdot^\operatorname{ub},\cdot^\operatorname{lb}) היא התאמת גלואה מ-(\mathcal{P}(P),\subseteq) לעצמו.
* יהי מרחב וקטורי V מעל שדה \mathbb{K} והמרחב הדואלי שלו V^*. לכל A\subseteq V מגדירים f(A):=\{\varphi\in V^*\mid\forall v\in A,\varphi(v)=0\}. באופן דומה, לכל B\subseteq V^* מגדירים g(B):=\{v\in V\mid\forall \varphi\in B,\varphi(v)=0\}. אזי, (f,g) היא התאמת גלואה מ-(\mathcal{P}(V),\subseteq) ל-(\mathcal{P}(V^*),\subseteq).
* יהי E/F הרחבת שדה כלשהי. מגדירים \mathcal{F}:=\{K\mid E\subseteq K\subseteq F\} להיות אוסף כל השדות בין F ל-E. באופן דומה, מגדירים \mathcal{G}:=\{H\mid H\le \operatorname{Aut}(E/F)\} להיות אוסף כל תתי-הקבוצות של קבוצות האוטומורפיזמים בין E לעצמו שמשמרים את F. לכל K\in\mathcal{F} מגדירים f(K)=\operatorname{Aut}(E/K). לכל H\in\mathcal{G} מגדירים g(H):=E^H=\{x\in E\mid \forall \sigma\in H, \sigma(x)=x\}. אזי, (f,g) היא התאמת גלואה מ-(\mathcal{F},\subseteq) ל-(\mathcal{G},\subseteq).

## תכונות
יהי זוג קבוצות סדורות (P,\le_P) ו-(Q,\le_Q) וביניהן התאמת גלואה (f,g). אזי:

# (g,f) היא התאמת גלואה מ-(Q,\le_Q) ל-(P,\le_P)
# הפונקציה g\circ f היא פונקציה מרחיבה. כלומר, לכל x\in P מתקיים ש-x\le_P g(f(x)).
# באופן זהה, הפונקציה f\circ g היא פונקציה מרחיבה. כלומר, לכל x\in Q מתקיים ש-x\le_Q g(f(x)).
# f ו-g שתיהן פונקציות הופכות סדר.
# f\circ g ו-g\circ f הן פונקציות שומרות סדר.
# f\circ g\circ f=f ו-g\circ f\circ g=g.
# f הופכת סופרמום. כלומר, אם A\subseteq P ו-s\in P הוא הסופרמום של A, בהכרח f(s) הוא האינפימום של f(A).
# באופן זהה, g הופכת סופרמום. כלומר, אם A\subseteq Q ו-s \in Q הוא הסופרמום של A, בהכרח g(s) הוא האינפימום של g(A).
# אם ל-P קיים איבר גדול ביותר, ל-Q קיים איבר קטן ביותר.
# באופן זהה, אם ל-Q קיים איבר גדול ביותר, ל-P קיים איבר קטן ביותר.

## יחידות
יהי זוג קבוצות סדורות (P,\le_P) ו-(Q,\le_Q) וביניהן התאמת גלואה (f,g). אזי:

# לכל x\in P מתקיים ש-f(x)=\sup\{y\in Q\mid x\le g(y)\}
# לכל x\in Q מתקיים ש-g(x)=\sup\{y\in P\mid x\le f(y)\}

המשמעות של תכונות אלו היא שכל איבר בהתאמת גלואה מגדיר את האיבר השני שלו באופן חד-חד-ערכי.

### הוכחה
יהי x\in P. מסתכלים על הקבוצה A=\{y\in Q\mid y\le f(x)\}. זהו הסגור מטה של f(x) ולכן הסופרמום שלו הוא בהכרח f(x). משמע:

f(x)=\sup\{y\in Q\mid y\le f(x)\}=\sup\{y\in Q\mid x\le g(y)\}

כאשר המעבר האחרון מתבצע באמצעות ההגדרה של התאמת גלואה. בכך מוכיחים את הטענה הראשונה. הוכחת הטענה השנייה דומה.

**מ.ש.ל.**

## קשר לאיזומורפיזם סדר
ממוזער|התאמת גלואה בין <math>P:=\{0,1\}</math> ו-<math>Q:=\{0\}</math>|טקסט=
בהינתן זוג קבוצות סדורות (P,\le_P) ו-(Q,\le_Q) ואיזומורפיזם סדר \varphi\colon P\to Q, הזוג (\varphi,\varphi^{-1}) הוא התאמת גלואה מ-(P,\le_P) ל-(Q,\ge_Q).

נשאלת השאלה: האם בהינתן זוג קבוצות סדורות (P,\le_P) ו-(Q,\le_Q) והתאמות גלואה (f,g) מ-P ל-Q, האם אפשר להשתמש בה כדי לבנות איזומורפיזם סדר?

התשובה שלילית, כפי שאפשר לראות בתרשים המצורף. בתרשים זה משווים בין P:=\{0,1\} שמסודרת ביחס \le לבין Q:=\{0\} שמסודרת ביחס הטריוויאלי. מגדירים f\colon P\to Q כך ש-f(a):=0 לכל a=0,1. באופן דומה מגדירים g\colon Q\to P כך ש-g(0):=1. 

ניתן להראות כי (f,g) היא התאמת גלואה מ-P ל-Q, אך שתי הקבוצות אינן איזומורפיות סדר מכיוון שאין להן את אותו מספר איברים. 

## קשר לאופרטור סגור

יהי זוג קבוצות סדורות (P,\le_P) ו-(Q,\le_Q) וביניהן התאמת גלואה (f,g). מהאמור לעיל מתקיים ש-f\circ g\circ f=f. מרכיבים על שני הצדדים את הפונקציה g ומקבלים ש-g\circ f\circ g\circ f=g\circ f. כלומר, g\circ f היא פונקציה אידמפוטנטית. כלומר, g\circ f היא פונקציה מרחיבה, אידמפוטנטית ושומרת סדר, משמע שהיא אופרטור סגור על P. בצורה דומה ניתן להוכיח שגם f\circ g היא אופרטור סגור על Q.

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת הסדר
קטגוריה:אווריסט גלואה