דגימת חסר

[שמאל|ממוזער|255x255 פיקסלים| איור 1: שני הגרפים העליונים מתארים התמרות פורייה של שתי פונקציות שונות המפיקות את אותן תוצאות כאשר הן נדגמות בקצב מסוים. פונקציית פס הבסיס (baseband) נדגמת בתדר גבוה יותר מ[תדר נייקוויסט שלה, ופונקציית הפס (bandpass) נדגמת בחסר, מה שממיר אותה למעשה לפס הבסיס. הגרפים התחתונים מציינים כיצד תוצאות ספקטריות זהות נוצרות מעותקים הנוצרים בתהליך הדגימה.]]
שמאל|ממוזער|255x255 פיקסלים| גרף של תדרי דגימה (ציר y) לעומת תדר הקיטעון הגבוה (ציר x) עבור פס ברוחב 1; האזורים האפורים הם שילובים "מותרים", במובן זה שהתדרים בתוך הרצועה נשארים אינם חופפים כתוצאה מקיפול תדרים . האזורים האפורים הכהים יותר תואמים לדגימת חסר עבור הערך המרבי של ''n'' במשוואות של סעיף זה (ראו למטה).
בעיבוד אותות, **דגימת חֶסֶר** או **תת־דגימה** () היא טכניקה שבה נדגם אות פס (bandpass signal) בתדר דגימה הנמוך מתדר נייקוויסט המתאים לו (פעמיים תדר הקיטעון העליון), שנחשב בדרך כלל הכרחי למניעת קיפול תדרים (aliasing) – אך האות עדיין ניתן לשחזור מלא.

כאשר מתבצעת דגימת חֶסר של אות פס, אם לא ידוע מה טווח התדרים של האות המקורי, לא ניתן להבחין בין הדגימות של העותקים  המוסטים לתדרים נמוכים, לבין דגימות של האות המקורי, שתדריו גבוהים יותר. דגימה כזו ידועה גם כדגימת פס, דגימה הרמונית, דגימת IF (תדר ביניים) והמרה ישירה של IF לדיגיטלי (direct IF-to-digital conversion).

## תיאור
התמרות פורייה של פונקציות ממשיות הן סימטריות סביב ציר התדר (0 הרץ). לאחר דגימה, רק סיכום מחזורי  של התמרת פורייה (הנקרא התמרת פורייה בזמן בדיד – DTFT) עדיין אפשרי. העותקים המוזזים בתדר של ההמרה המקורית נקראים באנגלית *aliases*. היסט התדר בין עותקים סמוכים הוא תדר הדגימה, המסומן ב־f_s. כאשר העותקים לא חופפים זה לזה ספקטרית, ניתן לשחזר מהדגימות את התמרה פורייה של האות המקורי וממנה את האות המקורי (או גרסה שלו שהוסטה בתדר, אם יש צורך בכך). הגרפים הראשון והשלישי באיור 1 מתארים ספקטרום של אות פס לפני דגימה בתדר דגימה ואחריה, שמביאה לכך שהעותקים נפרדים לחלוטין, כלומר שאין חפיפה ביניהם.

הגרף השני באיור 1 מתאר את פרופיל התדר של פונקציית פס המאכלסת את הפס (A,A+B) (כחול מוצל) ואת תמונת הראי שלה (בז' מוצלל). התנאי לתדר דגימה שלא מעוות את האות הוא שהעותקים של שתי הרצועות אינם חופפים כאשר הם מוזזים בכל כפולה שלמה כלשהי של f_s.

הגרף הרביעי מתאר את התוצאה הספקטרית של דגימה בתדר זהה לפונקציית פס הבסיס. התדר נבחר הוא המנה הקטנה ביותר של A בחלוקה במספר שלם (f_s=A/n) וגם עומד בתנאי נייקוויסט של פס הבסיס (f_s>2B). כתוצאה מכך, פונקציית הפס הומרה למעשה לפס בסיס.

כל שאר התדרים המונעים חפיפה של עותקים ניתנים על ידי תנאים כלליים יותר אלה, כאשר A ו־A+B מוחלפים ב־f_L וב־f_H, בהתאמה:

: \frac{2 f_H}{n} \le f_s \le \frac{2 f_L}{n - 1}, עבור כל n שלם המקיים:
: 1 \le n \le \left\lfloor \frac{f_H}{f_H-f_L} \right\rfloor

ה־n הגבוה ביותר שעבורו מתקיים התנאי מוביל לתדר הדגימה הנמוך ביותר האפשרי עבורו האות לא מתעוות.

אותות חשובים מסוג זה כוללים אות תדר ביניים (IF), אות תדר רדיו (RF) והערוצים הבודדים של בנק מסננים .

אם n>1, אז התנאים מביאים ל**דגימת חֶסר**, כלומר שימוש בתדר דגימה הנמוך מתדר נייקוויסט (2f_H). במקרה של תדר דגימה נתון, נוסחאות פשוטות יותר עבור האילוצים על הפס הספקטרי של האות ניתנות להלן.
שמאל|ממוזער|255x255 פיקסלים|הספקטרום של פס הרדיו FM (88–108 מגה-הרץ) והעותק שלה בפס הבסיס תחת דגימה של 44 מגה-הרץ (<math>n=5</math>). נדרש מסנן לביטול קיפול תדרים (anti-alias filter) די הדוק לפס הרדיו FM, ואין מקום לתחנות בערוצי הרחבה קרובים כמו 87.9 מגה־הרץ ללא קיפול תדרים.
שמאל|ממוזער|255x255 פיקסלים|ספקטרום של פס הרדיו FM (88-108 מגה-הרץ) והעותק שלו בפס הבסיס תחת דגימה של 56 מגה-הרץ (<math>n=4</math>), מראה מקום בשפע לתדרים החורגים מעט מהפס. תמונת פס הבסיס היא הפוכת־תדרים במקרה זה (n זוגי).

## דוגמה – רדיו FM
בארצות הברית, רדיו FM פועל על פס התדרים מ־f_L=88 \ \text{MHz} ועד f_H=108 \ \text{MHz}. רוחב הפס ניתן על ידי:

:  W = f_H - f_L = 108 \ \mathrm{MHz} - 88 \ \mathrm{MHz} = 20 \ \mathrm{MHz}

תנאי הדגימה מתקיימים עבור:
: 1 \le n \le 5 = \lfloor 5.4 \rfloor = \left\lfloor { 108 \ \mathrm{MHz} \over 20 \ \mathrm{MHz} } \right\rfloor

לכן n יכול להיות 1, 2, 3, 4 או 5.

עבור n=5 יתקבל תחום תדרי הדגימה הנמוכים ביותר: 43.2\ \mathrm{MHz}. זהו תרחיש של דגימת חסר; במקרה זה, ספקטרום האותות הוא בין פי 2 לפי 2.5 מתדר הדגימה (גבוה מ-86.4-88 מגה-הרץ אך נמוך מ-108–110 מגה-הרץ).

ערך נמוך יותר של n גם יוביל לתדר דגימה שימושי. לדוגמה, באמצעות n=4, ספקטרום פס ה-FM מתאים בקלות בין פי 1.5 לפי 2 מתדר הדגימה, משום שתדר הדגימה הוא בערך 56 מגה-הרץ (כפולות של תדר נייקוויסט הן 28, 56, 84, 112 וכו'). ראו איורים משמאל.

בעת דגימת חסר של אות בעולם האמיתי, מעגל הדגימה חייב להיות מהיר מספיק כדי לדגום את התדר הגבוה ביותר באות שבו מעוניינים. תאורטית, כל דגימה צריכה להידגם במרווח קצר לאין שיעור, אבל דבר זה אינו מעשי. במקום זאת, דגימת האות צריכה להתבצע במרווח קצר מספיק כדי שתוכל לייצג את הערך הרגעי של התדר הגבוה ביותר של האות. המשמעות היא שבדוגמה של רדיו FM לעיל, מעגל הדגימה חייב להיות מסוגל לדגום אות בתדר של 108 מגה-הרץ ולא בתדר של 43.2 מגה-הרץ. לפיכך, אמנם תדר הדגימה עשוי להיות רק מעט יותר מ-43.2 מגה-הרץ, אך רוחב הפס של קלט המערכת חייב להיות לפחות 108 מגה-הרץ. באופן דומה, דיוק תזמון הדגימה או אי הוודאות במִפתח של הדוגם (לעיתים קרובות הממיר האנלוגי לדיגיטלי), חייבים להיות מתאימים לתדרים הנדגמים ב־108 מגה־הרץ, ולא לתדר הדגימה, הנמוך יותר.

אם משפט הדגימה מתפרש כמי שדורש פי שניים מהתדר הגבוה ביותר, אזי יש להניח שתדר הדגימה הנדרש גדול מ**תדר נייקוויסט** – 216 מגה-הרץ. אמנם תדר של 216 מגה-הרץ מקיים את תנאי נייקוויסט, אך הוא יגרום לדגימת יתר (Oversampling).

אם דוגמים פס עם תדרים המתאימים ל־n>1, אזי נדרש מסנן מעביר פס (BPF) עבור המסנן לביטול קיפול תדרים, במקום מסנן מעביר נמוכים (LPF).

## שחזור ישיר
כפי שראינו, התנאי עבור פס הבסיס הרגיל לדגימה הניתנת לשחזור הוא ש־X(f)=0 מחוץ לקטע \left(-\frac12f_\mathrm{s},\frac12f_\mathrm{s}\right), ופונקציית האינטרפולציה המשחזרת (התגובה להלם של מסנן מעביר נמוכים) היא \operatorname{sinc} \left(t/T\right).

עבור דגימת חסר, התנאי עבור הפס הוא שיתקיים X(f)=0 מחוץ לאיחוד של פסי תדר חיוביים ושליליים פתוחים:

: 
 \left(-\frac{n}2f_\mathrm{s},-\frac{n-1}2f_\mathrm{s}\right)
 \cup\left(\frac{n-1}2f_\mathrm{s},\frac{n}2f_\mathrm{s}\right)
 
עבור n שלם חיובי כלשהו, שכולל את מצב פס הבסיס הרגיל כמקרה n=1 (תנאי נייקוויסט).

ניתן לשחזר ישירות את האות, כלומר לקיחת האות המקורי ולא עותק האות המוזז לפס בסיס, על ידי שימוש במסנן מעביר פס. פונקציית האינטרפולציה המתאימה, מסנן מעביר פס, ניתנת על ידי הפרש של תגובות להלם של מסננים מעבירי נמוכים:

: h(t)=n\operatorname{sinc} \left(\frac{nt}T\right) - (n-1)\operatorname{sinc} \left( \frac{(n-1)t}T \right) .

ניתן להעביר את האות הדגום אף במסנן צר יותר, ועדיין לשחזר את האות באופן מושלם. לאחר מעבר במסנן זה יתקיים X(f)=0 מחוץ לאיחוד של פסי תדר חיוביים ושליליים סגורים:
: \left[-f_H,-f_L\right]\cup\left[f_L,f_H\right]

פונקציית האינטרפולציה המתאימה היא מסנן מעביר פס הניתן על ידי מכפלה של תגובה להלם של מסנן מעביר נמוכים עם קוסינוס (שתי פונקציות דלתא בתחום התדר):
: h\left(t\right)=T_s\mathrm{sinc}\left(\left(f_H-f_L\right)t\right)\cdot \cos{\left(2\pi\left(\frac{f_H+f_L}{2}\right)t\right)}

אף על פי שניתן לשחזר כך את האות המקורי ישירות מהאות הדגום, בדרך כלל זוהי לא המטרה באותות IF או RF שנדגמו. במקום זאת, ניתן להתייחס לרצף הדגימה כדגימות רגילות של האות המוזז לפס בסיס קרוב, ומיצוי האפנון (demodulation) הדיגיטלי יכול להמשיך על בסיס זה, תוך זיהוי של שיקוף הספקטרום כאשר n זוגי.

הכללות נוספות של דגימת חסר עבור מקרים של אותות עם פסים מרובים הן אפשריות, ואף אותות על פני תחומים רב-ממדיים (מרחב או מרחב-זמן). הכללות כאלו עובדו בפירוט על ידי המתמטיקאי הסלובקי איגור קלובאנק .

## ראו גם
* משפט הדגימה של נייקוויסט-שאנון
* תדר נייקוויסט

## הערות שוליים

קטגוריה:עיבוד אותות