משפט ההתמדה של סילבסטר

באלגברה ליניארית, **משפט ההתמדה של [[ג'יימס ג'וזף סילבסטר|סילבסטר]]** קובע  שסימנם של המקדמים בתבנית ריבועית אלכסונית מעל הממשיים אינו תלוי בבסיס שבו היא מתוארת. מבחינה גאומטרית, המשפט מתבטא בכך שהטיפוס של צורה המוגדרת על ידי תבנית ריבועית (כגון: אליפסה, פרבולה או היפרבולה) אינו משתנה כשמסובבים, מותחים או משקפים את המרחב שבו היא מוגדרת.

## מבוא

אחד השימושים הנאים של תורת המטריצות הוא לתיאור ולטיפול בתבניות ריבועיות, שהן פונקציות כדוגמת \ f(x,y,z)=4x^2-5y^2+z^2+8xy-2xz. (נניח מעתה שהמאפיין של שדה הבסיס שונה מ-2). פונקציות כאלה אפשר לייצג על ידי מטריצה בצורה \ f(v)=v^{T}Av כאשר A היא מטריצה סימטרית, והווקטור הוא \ v=(x,y,z). בייצוג כזה, החלפה ליניארית של המשתנים שקולה להחלפת המטריצה A במטריצה \ P^{T}AP כאשר P מטריצה הפיכה.

כל מטריצה מן הצורה \ P^{T}AP (כאשר P הפיכה) "חופפת" למטריצה A, והגדרה זו קובעת יחס שקילות בין מטריצות, הנקרא יחס החפיפה. לדוגמה, סידור מחדש של השורות ושל העמודות של A (באותו אופן) מהווה חפיפה, המתארת החלפת משתנים. אפשר לסכם ולומר שמטריצות המצויות באותה מחלקת חפיפה מייצגות, עקרונית, את אותה תבנית ריבועית. 

אפשר להוכיח שכל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה אלכסונית; באופן דומה, אפשר להביא כל תבנית ריבועית לצורה אלכסונית, ללא גורמים מהצורה \ xy, שאותה קל יותר לנתח. לדוגמה, הצבת המשתנים \ x'=x+y-z/4, y'=y-z/9, z'=z מביאה את התבנית f לצורה \ f(x',y',z')=4(x')^2-9(y')^2+\frac{31}{36}(z')^2.

כאשר נתונה תבנית אלכסונית, אפשר לבצע בה החלפת משתנים של מתיחה וכיווץ, כלומר, מן הצורה \ x\mapsto cx. החלפה כזו מכפילה את המקדם של \ x^2 בתבנית בסקלר \ c^2. 

כאשר מדובר בתבנית שמקדמיה הם מספרים ממשיים, כל מספר שקול, עד כדי ריבוע, לאחד מבין המספרים \ +1,-1,0, ולכן אפשר להביא את התבנית לצורה שקולה, שאלו מקדמיה. לדוגמה, את התבנית f אפשר להעביר לצורה \ f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2-x_3^2. באופן דומה, כל תבנית ריבועית ממשית (בת n משתנים) שקולה לתבנית אלכסונית מן הצורה \ x_1^2+\dots+x_k^2-x_{k+1}^2-\dots-x_{k+s}^2. 

משפט יעקובי מספק שיטה חישובית למציאת הצורה האלכסונית, שממנה אפשר להסיק גם על המבנה והתכונות של מטריצות חיוביות ומטריצות בעלות תכונות קרובות.

## משפט סילבסטר

הצגנו הצבה המביאה את התבנית f לצורה אלכסונית שבה הסימנים הם \ +,+,-. לכאורה, ייתכן שהצבה אחרת תביא את אותה תבנית לצורה אלכסונית אחרת, שבה המקדמים הם \ +,-,-. משפט סילבסטר מבטיח שהדבר בלתי אפשרי.

**משפט סילבסטר**: אם f היא תבנית ריבועית ב- n משתנים מעל הממשיים, אז היא שקולה לתבנית אלכסונית אחת ויחידה מן הצורה \ x_1^2+\dots+x_k^2-x_{k+1}^2-\dots-x_{k+s}^2. במילים אחרות, כל מטריצה סימטרית ממשית חופפת למטריצה אלכסונית אחת ויחידה שבה אברי האלכסון הם 0, 1 או 1- (עד-כדי סדר). 

המספר k+s נקרא "דרגת התבנית", והמספר k-s הוא "**סימן סילבסטר** של התבנית" (או של המטריצה המייצגת שלה).

## שימושים ב[[גאומטריה]]

חתכי חרוט, גופי הסיבוב שלהם, והכללות מממד גבוה, מתוארים כולם על ידי תבניות ריבועיות ומשוואות מן הצורה \ f(x,y,z)=1. משפט סילבסטר מראה שאפשר במקרה כזה להביא את התבנית הריבועית לצורה אלכסונית ולמיין את התבניות על-פי מספר הסימנים החיוביים והשליליים. לדוגמה: במרחב התלת-ממדי, כל משוואה הומוגנית מן הצורה הנזכרת לעיל אפשר להביא (על ידי שינוי בסיס, כלומר סיבוב, מתיחה ושיקוף) לאחת מבין הצורות הבאות: \ x^2+y^2+z^2=1 (כדור),  \ x^2+y^2-z^2=1 (היפרבולואיד חד-יריעתי), \ x^2-y^2-z^2=1 (היפרבולואיד דו-יריעתי), \ x^2+y^2+z^2=-1 או \ x^2+y^2=-1 או \ x^2=-1 (קבוצה ריקה), \ x^2+y^2=1 (גליל), \ x^2-y^2=1 (יריעה היפרבולית לא קשירה), \ x^2=1 (זוג מישורים מקבילים), \ x^2+y^2+z^2=0 (נקודה),  \ x^2+y^2-z^2=0 (חרוט כפול), \ x^2+y^2=0 (ישר), \ x^2=0 (מישור) או \ x^2-y^2=0 (זוג מישורים נחתכים).

במעט יותר מאמץ אפשר לטפל גם ביריעות ריבועיות לא הומוגניות, כדוגמת \ x^2+2yz+4z=1. בדרך כלל, הזזה של המרחב מאפשרת להביא את היריעה המתוארת על ידי משוואה לא הומוגנית, לצורה הומוגנית.

## הוכחת המשפט

נניח ש- \ A,A' שתי מטריצות אלכסוניות מעל הממשיים, ושהן חופפות זו לזו, כלומר, קיימת מטריצה הפיכה T כך ש-\ A' = T^{tr} A T. אפשר להניח שאברי האלכסון בכל אחת מן המטריצות מסודרים - החיוביים קודמים לכל האחרים. נסמן ב- \ k,k' את מספר המקדמים החיוביים בשני האלכסונים. מנקודת המבט של תבניות ריבועיות, אפשר לנסח הנחה זו כך: קיים בסיס \ v_1,\dots,v_n כך ש- \ v_i^{tr}A v_i>0 עבור \ i\leq k, ו- \ v_i^{tr} A v_i \leq 0 אחרת; וכך גם עבור \ A', בשינויים המתחייבים. 

נסמן ב- \ P את המרחב הנפרש על ידי \ v_1,\dots,v_k, וב- \ ,N את המרחב הנפרש על ידי n-k הווקטורים האחרים בבסיס המתאים ל- A. באופן דומה, נגדיר \ P',N' עבור המטריצה \ A'. קל לראות שכל וקטור שונה מאפס במרחב \ P מקיים \ x^{tr}Ax>0, בעוד שלכל וקטור במרחב \ N' מתקיים \ x^{tr}T^{tr}ATx=x^{tr}A'x\leq 0. לכן, לכל וקטור y במרחב \ T(N') מתקיים \ y^{tr}Ay\leq 0. הוכחנו שהמרחבים מוכרחים להיחתך טריוויאלית: \ P\cap T(N'). לכן סכומם הוא סכום ישר, והממדים מקיימים 
\ n-\dim(N)+\dim(N') = \dim(P)+\dim(N') = \dim(P+N') \leq n; לכן \ n-k=\dim(N) \geq \dim(N')=n-k'. 
אבל טענה זו נכונה גם בחילופי התפקידים, ולכן \ k=k'. באופן דומה גם \ s=s'.

## ראו גם
* תבנית ריבועית
* גופי סיבוב של חתכי חרוט
* אלגברה ליניארית
*ג'יימס ג'וזף סילבסטר

## קישורים חיצוניים
* 

התמדה של סיליבסטר
התמדה של סיליבסטר
התמדה של סיליבסטר