אנליזת גלים חלקיים

במכניקת הקוונטים, **אנליזת גלים חלקיים** (באנגלית: Partial-wave analysis) היא שיטה לפתרון בעיות פיזור הנעזרת בפירוק הגל הפוגע לרכיבים בעלי תנע זוויתי מוגדר (רכיבים אלו מכונים "גלים חלקיים" ומהווים מצבים עצמיים של אופרטור התנע הזוויתי) וחישוב הפיזור של כל רכיב באמצעות הכפפתו לתנאי שפה מתאימים. שיטה זאת תקפה רק עבור פיזורים מפוטנציאל מרכזי, משום שרק כך התנע הזוויתי נשמר וניתן להתייחס למצבים מוגדרים שלו.

אנליזת גלים חלקיים שימושית במיוחד בעבור תיאור פיזור של חלקיקים בעלי אנרגיה נמוכה שכן במקרה כזה עיקר הפיזור נגרם לרכיבים בעלי תנע זוויתי נמוך (כך שמספיקים כמה איברים בלבד בטור האינסופי), וזאת משום שאם גל חלקי מסוים מתאר מצב בעל מספר קוונטי זוויתי גבוה \ell אז הפוטנציאל האפקטיבי המקושר אליו מכיל גם (בנוסף לפוטנציאל המפזר) תרומה משמעותית של איבר דחייה צנטריפוגלי, שהוא \frac{\hbar^2\ell(\ell+1)}{2mr^2}. חלקיקים בעלי אנרגיה נמוכה החשים את המחסום הצנטריפוגלי אינם מסוגלים לחצות אותו וכתוצאה מכך אינם מצליחים להתקרב דיו לטווח ההשפעה של הפוטנציאל המפזר, כך שהגלים החלקיים המתאימים חווים פיזור זניח. 

באנרגיות גבוהות יותר, נעשה שימוש בשיטה חלופית המבוססת על קירוב בורן.

## היסטוריה
שיטת הגלים החלקיים, יחד עם העקרונות והזהויות המתמטיות שעומדות בבסיסה, פותחו לראשונה על ידי לורד ריילי במאמר על אקוסטיקה מ-1872, "חקירת ההפרעה שגורם מכשול כדורי לגלי קול". במאמרו זה ריילי ניסה לתאר את הפיזור שגורמת ספירה קשיחה או רכה ברדיוס R לחזיתות גלים אקוסטיים מישוריות הפוגעות בה, ומופיעה בו זהות ריילי לייצוג של גל מישורי כסכום אינסופי של גלים כדוריים.

בין היתר, ריילי הצביע על כך שבגבול של אורכי גל ארוכים מאוד ביחס לרדיוס הספירה הפיזור על ידי הספירה גורם בעיקר להיווצרות גלים אקוסטיים בעלי סימטריה כדורית מושלמת (כלומר בעלי \ell=0); הסבר אינטואיטיבי לכך הוא שבגבול \lambda/R>>1 הפאזה של הגל בחלקים שונים של המכשול הכדורי כמעט זהה, ולכן המכשול חווה לחץ אחיד מכל הכיוונים ובתורו מפיק גלים בעלי סימטריה כדורית. ככל שהיחס \lambda/R נעשה קטן יותר, הבדלי הפאזה של חזית הגל הפוגעת בנקודות שונות של המכשול נעשים גדולים יותר, ככה שהגל האקוסטי מעורר אופני תנודה גבוהים יותר של הספירה, המיוצגים על ידי איבר דיפולי, קוואדרופולי וכו' (התואמים לערכי \ell גבוהים יותר). אופני תנודה אלו מיוצגים על ידי הרמוניות ספריות גבוהות יותר, שמתמטית מתוארות על ידי פולינומי לז'נדר של קוסינוס הזווית \theta שבין הכיוון ממנו מגיע הגל לכיוון המבוקש. 

במהלך המאה ה-20, השיטה הפכה לשימושית ביותר בפיזיקה קוונטית ופיזיקה גרעינית, ככלי מרכזי לניתוח ניסויי פיזור: למשל, מדידות חתכי פעולה דיפרנציאליים לפיזור של נויטרונים מאפשרות לקבוע הזזות פאזה (כפי שיוסבר בהמשך הערך) וללמוד מהן על טווח וחוזק האינטראקציה הגרעינית של גרעיני אטומים שונים.

## הקדמה: תורת הפיזור
עבור אלומה חזקה ויציבה של חלקיקים המתפזרת מפוטנציאל מרכזי קצר טווח V(r) מתקבל שבמרחקים גדולים r \to \infty החלקיקים מתנהגים כחלקיקים חופשיים. האלומה הנכנסת מיוצגת כגל מישורי מיושר \exp(ikz) הנוסע לאורך ציר ה-*z*  - מכיוון שהאלומה הפוגעת "מופעלת" למשך פרק זמן ארוך בהשוואה למשך האינטראקציה של החלקיקים עם הפוטנציאל המפזר, ניתן להניח מצב עמיד של פונקציית הגל ולהתעלם מן העובדה שלחלקיק ספציפי יש מיקום מוגדר (חלקיק בודד מיוצג על ידי חבילת גלים). פירוש הדבר הוא שיש לפתור את משוואת שרדינגר הסטציונרית עבור פונקציית הגל \Psi(\mathbf r) המייצגת את אלומת החלקיקים:
: \left[-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(r)\right] \Psi(\mathbf r) = E\Psi(\mathbf r).
ממוזער|שמאל|400px|תיאור סכמטי של חזית פונקציית גל מישורית הנתקלת בפוטנציאל מרכזי מפזר.
נבצע ניחוש מושכל:
:\Psi(\mathbf r) = \Psi_0(\mathbf r) + \Psi_\text{s}(\mathbf r),
כאשר \Psi_0(\mathbf r) \propto \exp(ikz) הוא הגל המישורי הנכנס, ו-\Psi_\text{s}(\mathbf r) הוא החלק המפוזר המתאבך עם פונקציית הגל המקורית.

זוהי הצורה האסימפטוטית של \Psi_\text{s}(\mathbf r) שמהווה מוקד עניין, מכיוון שתצפיות בסמוך למרכז הפיזור (למשל גרעין אטום) אינן מעשיות, וגילוי החלקיקים נעשה בפועל במרחק רב מהראשית. במרחקים גדולים, החלקיקים מתנהגים בדומה לחלקיקים חופשיים, ולכן \Psi_\text{s}(\mathbf r) צריך להיות פתרון למשוואת שרדינגר החופשית. בעבור פוטנציאל מרכזי, הפתרונות הללו צריכים להיות גלים כדוריים מתבדרים (מתרחקים מהראשית), המתנהגים כמו \Psi_\text{s}(\mathbf r) \propto \exp(ikr) / r בעבור מרחקים גדולים. לכן נהוג להציג את הצורה האסימפטוטית של הגל המפוזר כ-:
: \Psi_\text{s}(\mathbf r) \to f(\theta, k) \frac{\exp(ikr)}{r},
כאשר f(\theta, k) מכונה משרעת פיזור, אשר במקרה זה היא תלויה רק בזווית הפולרית \theta ובאנרגיה של החלקיקים המרכיבים את האלומה. זה מניב את הביטוי הבא עבור פונקציית הגל הכוללת:
: \Psi(\mathbf r) \to \Psi^{(+)}(\mathbf r) = \exp(ikz) + f(\theta, k) \frac{\exp(ikr)}{r}.

## פיתוח לגלים חלקיים
במקרה של פוטנציאל מרכזי V(\mathbf r) = V(r), פונקציית הגל המתפזרת ניתנת לפיתוח לטור של הרמוניות ספריות, אשר הופכות לפולינומי לז'נדר בגלל הסימטריה האזימוטלית (אין תלות ב-\phi):
: \Psi(\mathbf r) = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{u_\ell(r)}{r} P_\ell(\cos\theta).
בבעיית פיזור סטנדרטית, מניחים שהאלומה הנכנסת היא גל מישורי בעל מספר גל  , אשר ניתן לפירוק לגלים חלקיים באמצעות הפיתוח של גל מישורי לטור של מכפלות של פונקציות בסל כדוריות ופולינומי לז'נדר (**[[פיתוח ריילי|נוסחת ריילי]]**):
:\psi_\text{in}(\mathbf r) = e^{ikz} = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell j_\ell(kr) P_\ell(\cos \theta).
הנחנו כאן מערכת קואורדינטות כדוריות שבה ציר ה-*z* מקביל לכיוון האלומה. החלק הרדיאלי של פונקציית גל זו מורכב מפונקציית בסל הכדורית, אותה ניתן לכתוב מחדש כסכום שתי פונקציות הנקל כדוריות:
:j_\ell(kr) = \frac{1}{2} \left(h_\ell^{(1)}(kr) + h_\ell^{(2)}(kr)\right).
לצורת כתיבה זאת יש משמעות פיזיקלית: *h<sub>ℓ</sub>*(2) מתנהג אסימפטוטית (בעבור *r* גדול) כמו *i*−(*ℓ*+1)*e<sup>ikr</sup>*/(*kr*) ולפיכך הוא יוצא ממרכז הפיזור (גל מתבדר), בעוד ש-*h<sub>ℓ</sub>*(1) מתנהג כמו *i**ℓ*+1*e<sup>−ikr</sup>*/(*kr*) ולפיכך הוא גל מתכנס. הגל הנכנס אינו מושפע מהפיזור, בעוד שהגל היוצא מושפע בפקטור שמתואר על ידי "מטריצת ''S'' לגלים חלקיים" *S<sub>ℓ</sub>*:
:\frac{u_\ell(r)}{r} \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \frac{i^\ell k}{\sqrt{2 \pi}} \left(h_\ell^{(1)}(k r) + S_\ell h_\ell^{(2)}(k r)\right),
כאשר *u<sub>ℓ</sub>*(*r*)/*r* הוא החלק הרדיאלי של פונקציית הגל. הסחת הפאזה בפיזור *δ<sub>ℓ</sub>* מוגדרת כמחצית הפאזה של *S<sub>ℓ</sub>*:
: S_\ell = e^{2 i \delta_\ell}.
אם שטף החלקיקים אינו הולך לאיבוד, *S<sub>ℓ</sub>*|= 1| ולכן הסחת הפאזה היא ממשית. זהו תמיד המקרה אלא אם הפוטנציאל המפזר מתואר כבעל רכיב מדומה - בתיאור כזה נעשה שימוש במודלים פנומנולוגיים הלוקחים בחשבון היתכנות של בליעה של החלקיקים הפוגעים או יצירה של חלקיקים חדשים. הסחת הפאזה מחושבת בנפרד לכל גל חלקי ונקבעת על פי תנאי שפה של רציפות וגזירות פונקציית הגל בשפת הפוטנציאל, המאפשרים "לתפור" את הפתרון בתוך תחומי השפעת הפוטנציאל המפזר עם הפתרון מחוצה לו. באופן כללי, הסחת הפאזה חיובית כאשר הפוטנציאל האפקטיבי מושך ושלילית כאשר הוא דוחה.

החסרת *ψ*in מניבה את פונקציית הגל היוצא ממרכז הפיזור:
:\psi_\text{out}(\mathbf r) \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell \frac{S_\ell - 1}{2} h_\ell^{(2)}(k r) P_\ell(\cos \theta).
ואם עושים שימוש בהתנהגות האסימפטוטית של פונקציות הנקל כדוריות, מקבלים
: \psi_\text{out}(\mathbf r) \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \frac{e^{i k r}}{r} \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \frac{S_\ell - 1}{2 i k} P_\ell(\cos \theta).
מכיוון שמשרעת הפיזור *f*(*θ*, *k*) מוגדרת מתוך
: \psi_\text{out}(\mathbf r) \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \frac{e^{i k r}}{r} f(\theta, k),
נובע ש-
:f(\theta, k) = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \frac{S_\ell - 1}{2 i k} P_\ell(\cos \theta) = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \frac{e^{i \delta_\ell} \sin\delta_\ell}{k} P_\ell(\cos \theta),
ולפיכך חתך הפעולה הדיפרנציאלי ניתן על ידי:
: \frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta, k)|^2 = \frac{1}{k^2} \left| \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1) e^{i\delta_\ell} \sin \delta_\ell P_\ell(\cos \theta) \right|^2.
וחתך הפעולה הכולל מתקבל ישירות מאינטגרציה זוויתית של חתך הפעולה הדיפרנציאלי, אשר בשילוב עם האורתונורמליות של פולינומי לז'נדר (מתקיים \int_{\Omega}P_n(\mathbb{cos}\theta) P_m(\mathbb{cos}\theta)\mathbb{sin}\theta d\theta=\frac{2}{2n+1}\delta_{mn}) מניבה את התוצאה האלגנטית הבאה:
:\sigma=\frac{4\pi}{k^2}\sum_{\ell=0}^{\infty}(2\ell+1)\mathbb{sin}^2\delta_{\ell}
עבור חלקיקים בעלי אנרגיה נמוכה מאוד, רק הגל החלקי בעל \ell=0 - המייצג גלים מתכנסים ויוצאים בעלי סימטריה כדורית (גלי *s*) - הוא דומיננטי. מן המשוואה האחרונה נובעת התוצאה השימושית הבאה עבור חתך הפעולה הכולל של פיזורים כאלה:
:\sigma(k)=\frac{4\pi}{k^2}\mathbb{sin}^2\delta_0
למשל, עבור בור פוטנציאל סופי כדורי, כלומר פוטנציאל מהצורה V(r)=V_0 בעבור r ו-V(r)=0 בכל מקום אחר, מתנאי הרציפות והגזירות של פונקציית הגל ב-r=R נובע שהסחת הפאזה \delta_0 מקיימת:
:\mathbb{tan}(kR+\delta_0)=\frac{k}{q}\mathbb{tan}(qR)
כאשר k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}},q=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}} הם מספרי הגל מחוץ לתחום הפוטנציאל ובתוכו, בהתאמה. מניתוח המשוואה האחרונה עולה כי קיימים אינסוף ערכים של מספר הגל k עבורם הסחת הפאזה \delta_0 מתאפסת - מצבים כאלו מכונים **מצבים רזוננטיים** ועבורם חתך הפעולה הכולל מתאפס (מרכז הפיזור מתנהג כבעל שטח חתך אפקטיבי אפס) ואין פיזור כלל. נקודות מינימום אלו בחתך הפעולה מתקבלות בערכים מסוימים של kR, או באופן שקול עבור יחסים מסוימים של אורך גל דה ברולי \lambda של חלקיקי החומר ורדיוס המפזר R; לתאוריה של פיזורים רזוננטיים יש הקבלה קלאסית בדמות פיזור מיי של גלים אלקטרומגנטיים ממפזרים כדוריים בעלי רדיוס בר השוואה לאורך הגל.

## קישורים חיצוניים
* Partial Wave Analysis for Dummies
* Partial Wave Analysis of Scattering

## ביאורים

## הערות שוליים

קטגוריה:מכניקת הקוונטים