חוק האפס-אחד של קולמוגורוב

**חוק האפס-אחד של קולמוגורוב** הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות שהוכיח המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב. המשפט מתאר מאורעות המכונים "מאורעות זנב", שהסתברותם יכולה להיות 0 או 1 בלבד.

באופן לא לגמרי פורמלי, "מאורע זנב" הוא מאורע שניתן לתיאור על ידי אוסף בן-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, מבלי שהוא תלוי באף קבוצה סופית של משתנים מקריים מתוך האוסף. כל מאורע כזה, קובע חוק האפס-אחד, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.

מאורעות זנב מתוארים בדרך-כלל כמאורעות גבוליים. כך למשל, באופן לחלוטין לא פורמלי, מאורע מהסוג של "הסכום האינסופי של סדרת משתנים מקריים מסוימת - מתכנס למספר סופי" הוא מאורע שאינו תלוי כמובן באף קבוצה סופית מתוך סדרת המשתנים המקריים, ולכן הוא מאורע זנב. דוגמה פורמלית למאורע זנב כזה מובאת בהמשך.

## ניסוח המשפט

**נוסח ראשון**: יהי (X,\mathcal{F}, \mathbb{P}) מרחב הסתברות, ותהי \left\{X_i\right\}_{i=1}^{\infty} קבוצה בת-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים.,...,A_{i_{k}}, מתקיים כי \mathbb{P}\left(X_{i_{1}} \in A_{i_{1}},...,X_{i_{k}} \in A_{i_{k}}\right) = \mathbb{P}\left(X_{i_{1}} \in A_{i_{1}}\right)\cdot...\cdot\mathbb{P}\left(X_{i_{k}} \in A_{i_{k}}\right).}}

נגדיר "מאורע זנב" A \in \mathcal{F} להיות מאורע שהסתברותו אינה תלויה באף קבוצה סופית מתוך \left\{X_i\right\}_{i=1}^{\infty}.,...,X_{i_{k}}, מתקיים כי \mathbb{P}\left(A \mid X_{i_{1}},...,X_{i_{k}} \right) = \mathbb{P}\left(A\right).}}

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע זנב A, מתקיים \mathbb{P}\left(A\right) = 0 או \mathbb{P}\left(A\right) = 1.

**נוסח שני**: יהי (X,\mathcal{F}, \mathbb{P}) מרחב הסתברות, ותהי \left\{F_i\right\}_{i=1}^{\infty} קבוצה בת-מנייה של סיגמא אלגבראות שהן כולן מוכלות ב-\mathcal{F} ובלתי-תלויות. \in F_{i_{1}},...,A_{i_{k}} \in F_{i_{k}}, מתקיים כי \mathbb{P}\left(A_{i_{1}}\cap...\cap A_{i_{k}}\right) = \mathbb{P}\left(A_{i_{1}}\right)\cdot...\cdot\mathbb{P}\left(A_{i_{k}}\right).}}

עבור n=0,1,2,..., נגדיר \mathcal{T}_n = \sigma\left(\bigcup_{i=n}^{\infty}F_i\right), ונתבונן ב**סיגמא-אלגברת הזנב**, \mathcal{T} = \bigcap_{n=1}^{\infty}\mathcal{T}_n. מאורעות \mathcal{T} מכונים "מאורעות זנב".

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע A \in \mathcal{T} מתקיים \mathbb{P}\left(A\right) = 0 או \mathbb{P}\left(A\right) = 1.

הנוסח הראשון אינטואיטיבי יותר, והוא מתקבל כמקרה פרטי של הנוסח השני, על ידי לקיחת F_{i} = \sigma \left(X_{i}\right), כלומר F_i היא הסיגמא-אלגברה המינימלית שביחס אליה X_i מדיד.

### הוכחה

המשפט נובע באופן מיידי מחוק האפס-אחד של לוי. עם זאת נציג כאן הוכחה ישירה שלו.

**למה**: תהי \mathcal{A} אלגברה של קבוצות על X. תהי \mathcal{F} = \sigma\left(\mathcal{A}\right).

אזי לכל A \in \mathcal{F}, לכל \epsilon > 0 קיימת B \in \mathcal{A}, כך שמתקיים \mathbb{P}\left(A\triangle B\right) .

**הוכחה בקצרה**: ניתן להראות שמשפחת כל הקבוצות המקיימות את התכונה שבלמה מהווה סיגמא-אלגברה, ומשפחה זו בבירור מכילה את \mathcal{A}, ולכן היא מכילה את \mathcal{F}.

נפנה כעת להוכחת חוק האפס-אחד.

עבור n = 1,2,3,... נגדיר \mathcal{G}_n = \sigma\left(F_1,...,F_{n-1}\right), ונגדיר \mathcal{G} = \bigcup_{n=1}^{\infty}\mathcal{G}_n. נשים לב כי \mathcal{G} היא איחוד של סדרה עולה של אלגבראות, ולכן היא אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי מתקיים \mathcal{T}_1 = \sigma\left(\mathcal{G}\right).

בהינתן מאורע A \in \mathcal{T}, מהלמה נובע כי לכל \epsilon > 0 יש מאורע B \in \mathcal{G} שעבורו מתקיים \mathbb{P}\left(A \triangle B\right) , כלומר \mathbb{P}\left(A\right) - \epsilon .

יהי N שעבורו B \in \mathcal{G}_N. נשים לב כי A \in \mathcal{T} \subset \mathcal{T}_{N+1}, ולכן A,B בלתי-תלויות, ונקבל בסיכום כי \mathbb{P}\left(A\right) - \epsilon .

אבל \epsilon שרירותי, ולכן נובע כי \mathbb{P}\left(A\right) = \mathbb{P}\left(A\right)^2, כלומר \mathbb{P}\left(A\right) = 0 או \mathbb{P}\left(A\right) = 1.

## דוגמאות

נתבונן במרחב  X = \left\{0,1\right\}^{\mathbb{N}}, עם הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הצילינדרים, כלומר על ידי קבוצות מהצורה  C\left(a,n\right) = \left\{ \mathbf{x} \in X \mid x_n = a\right\} (כאשר x_n הוא הקואורדינטה ה-n של \mathbf{x}), עבור a \in \left\{0,1\right\} כלשהו.

נגדיר מידה על מרחב זה באמצעות \mathbb{P}\left(C\left(a,n\right)\right) = \frac{1}{2} לכל a ולכל n. ממשפט ההרחבה של קרתאודורי נובע כי הגדרת המידה על הקבוצות היוצרות מתרחבת להגדרתה על כל הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידיהן.

עבור i=1,2,3,... נגדיר F_i = \sigma\left(C\left(0,i\right)\right), ובהתאם נגדיר משתנים-מקריים X_{i}\left(\mathbf{x}\right) = \frac{x_i}{i}.

אזי ניתן להראות כי המאורעות הבאים הם מאורעות זנב:
* \left\{\mathbf{x} \in X \mid \sum_{i=1}^{\infty}X_{i}\left(\mathbf{x}\right) 
* \left\{\mathbf{x} \in X \mid \lim_{i \to \infty}X_{i}\left(\mathbf{x}\right) \mbox{exists} \right\}
* \left\{\mathbf{x} \in X \mid \limsup_{i \to \infty}X_{i}\left(\mathbf{x}\right)  לאיזשהו c \in \mathbb{R}

### היארעות-תדירה והקשר ללמה השנייה של בורל-קנטלי

באופן כללי יותר, אם \left\{A_i\right\}_{i=1}^{\infty} אוסף של מאורעות כלשהם, אז המאורע \left\{\text{infinitely many of the } A_i \text{ occur} \right\} = \limsup_{i}\left(A_i\right) = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{i=n}^{\infty}A_i הוא מאורע זנב שלהם. לכן אם המאורעות בלתי-תלויים, אז ההסתברות למאורע זה היא 0 או 1.

הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי במקרה שבו המאורעות בלתי-תלויים וגם הטור \sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_i\right) מתבדר לאינסוף, אז ההסתברות מתבררת להיות \mathbb{P}\left(\limsup_{i\to\infty}A_i\right) = 1.

## לקריאה נוספת

* אנדריי קולמוגורוב, **[https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/kolmogorov_foundations.pdf Foundations of the Theory of Probability]**, 1933, הנספח (היחיד), "Zero-or-one law in the theory of probability"

## הערות שוליים

קטגוריה:חוקי אפס-אחד