משפט השאריות הסיני

**משפט השאריות הסיני** הוא שמם של מספר משפטים בתורת המספרים ובתורת החוגים, הקשורים זה לזה. בצורתו הבסיסית והמקורית המשפט עוסק במערכת של משוואות מודולריות ומבטיח קיום של פתרון למערכת תחת תנאים מסוימים.

מקורו של המשפט בספר מהמאה ה-3 של המתמטיקאי הסיני סן-צו, ומכאן שמו. המשפט פורסם פעם נוספת ב על ידי מתמטיקאי סיני נוסף, צ'ין ג'יו-האו.

## המשפט עבור משוואות מודולריות
יהיו n_1,\ldots,n_k מספרים טבעיים זרים בזוגות (כלומר המחלק המשותף המקסימלי של כל שניים מהם הוא 1).
יהיו a_1,\ldots,a_k מספרים שלמים כאשר 0\le a_i\le n_i-1. אזי למערכת המשוואות
:x\equiv a_i\!\!\!\!\pmod{\!n_i}\quad:i=1,\ldots,k
קיים פתרון יחיד מודולו n=n_1\cdots n_k.

בניסוח אחר, מופשט יותר, המשפט קובע שהחוג \Z/(n_1\cdots n_k)\Z איזומורפי למכפלה הישרה של החוגים \Z/n_1\Z\times\cdots\times\Z/n_k\Z.

### הוכחה
רעיון ההוכחה הוא למצוא בסיס בו מודולו n_i הם 1 ומודולו n_j (כאשר i\ne j) הם 0. תוצאות אלה בונות בסיס למרחב הפתרונות, והפתרון המבוקש הוא צירוף ליניארי של איברי בסיס עם המקדמים החופשיים במשוואות המודולריות.

נגדיר N_i=\frac{n}{n_i} ואז מתקיים כי n_i,N_i זרים (מאחר ש-n_i זר לכל גורם במכפלה N_i). לכן לקונגרואנציה הליניארית N_ix\equiv1\!\!\!\!\pmod{\!n_i} קיים פתרון יחיד x_i.
:\begin{align}&N_ix_i\equiv1\!\!\!\!\pmod{\!n_i}\\&N_ix_i\equiv0\!\!\!\!\pmod{\!n_j}\quad:i\ne j\end{align}
בנינו בסיס למערכת המשוואות. נסכם בעזרת הדלתא של קרונקר: 
:\begin{align}N_ix_i\equiv\delta_{ij}\!\!\!\!\pmod{\!n_j}\\x=\sum_{i\,=\,1}^ka_iN_ix_i\equiv\sum_{i\,=\,1}^ka_i\delta_{ij}\equiv a_j\!\!\!\!\pmod{\!n_j}\end{align}   

לסיום, יהי y פתרון אחר. אזי לכל i מתקיים כי n_i\mid(x-y) ומאחר שכל ה-n_i זרים נובע שגם n\mid(x-y), ומכאן ששני הפתרונות שקולים מודולו n.

בכך הסתיימה ההוכחה, שמציגה גם אלגוריתם מהיר לפתרון מערכת קונגרואנציות. \blacksquare

### דוגמה
נפתור את מערכת המשוואות הבאה:
:\begin{matrix}\color{blue}x\equiv1\!\pmod{\!3}\\\color{blue}x\equiv2\!\pmod{\!4}\\\color{blue}x\equiv3\!\pmod{\!5}\\\\N_1=4\cdot5=20\\N_2=3\cdot5=15\\N_3=3\cdot4=12\\\\N_1x_1=20\cdot2=40\equiv1\!\pmod{\!3}\\N_2x_2=15\cdot3=45\equiv1\!\pmod{\!4}\\N_3x_3=12\cdot3=36\equiv1\!\pmod{\!5}\\\\x=1\cdot20\cdot2+2\cdot15\cdot3+3\cdot12\cdot3=238\equiv58\!\pmod{\!60}\end{matrix}
נוודא שזהו אכן פתרון:
:\begin{matrix}58\equiv1\!\pmod{\!3}\\58\equiv2\!\pmod{\!4}\\58\equiv3\!\pmod{\!5}\end{matrix}

### מסקנה: האיזומורפיזם בין החוגים
מסקנה של המשפט היא כי \Z/(n_1\cdots n_k)\Z\cong\Z/n_1\Z\times\cdots\times\Z/n_k\Z.

יהי x\in\Z/(n_1\cdots n_k)\Z, אפשר לשכן אותו ב-\Z/n_1\Z\times\cdots\times\Z/n_k\Z על ידי
:x\mapsto(x\bmod n_1,\ldots,x\bmod n_k)
ובכיוון ההפוך, יהי (a_1,\ldots,a_k)\in\Z/n_1\Z\oplus\cdots\oplus\Z/n_k\Z. לפי משפט השאריות הסיני קיים x\in\Z/(n_1\cdots n_k)\Z כך שמתקיים \forall j=1,\ldots,k:x\equiv a_j\pmod{n_j}, ולכן נתאים
:(a_1,\ldots,a_k)\mapsto x
כאשר x הוא זה שמתקבל ממשפט השאריות הסיני והוא יחיד עד כדי מודולו n=n_1\cdots n_k.

שתי ההתאמות הללו הן הומומורפיזמים הופכיים אחד של השני ולכן מגדירות איזומורפיזם בין שני החוגים.

## גרסה כללית
יהי R חוג עם יחידה (לאו דווקא קומוטטיבי). נניח כי האידיאלים I_1,\ldots,I_k זרים בזוגות (או "מקסימליים הדדית"), כלומר I_i+I_j=R לכל i\ne j. אז חוג המנה R/(I_1\cap\cdots\cap I_k) איזומורפי, לפי ההטלה הטבעית, לסכום הישר של החוגים R/I_1\oplus\cdots\oplus R/I_k. בפרט, אם R קומוטטיבי והאידיאלים I_1,\ldots,I_k כולם אידיאלים מקסימליים ושונים זה מזה, אז R/(I_1\cap\cdots\cap I_k) הוא מכפלה ישרה של שדות.

## קישורים חיצוניים
*משפט השאריות הסיני באתר howMath 
*
*
*
*

שאריות הסיני
קטגוריה:תורת החוגים
שאריות הסיני
קטגוריה:חשבון מודולרי