יחס נפיצה

[ממוזער|[נפיצה|נפיצת אור על ידי מנסרה משולשת]]
בפיזיקה, **יחס [[נפיצה]]** (או **יחס דיספרסיה**) הוא הקשר המתמטי בין התדירות הזוויתית של גל  \omega לווקטור הגל \vec{k} או מספר הגל k, כלומר: הפונקציה  \omega (k). יחס הנפיצה נקבע על ידי משוואת הגלים המתארת את התופעה הפיזיקלית. לעיתים מכונה כך גם הקשר בין האנרגיה E של המערכת לתנע \vec{p} שלה. במכניקת הקוונטים, מכניקה סטטיסטית ובפיזיקה של מצב מוצק לפעמים מדברים גם על יחס נפיצה בין האנרגיה לווקטור הגל. כיוון שמתקיים הקשר E = \hbar \omega, ההגדרות שקולות עד כדי פקטור כפלי של קבוע פיזיקלי.

## דוגמאות ליחסי נפיצה
### חלקיק חופשי קלאסי
עבור חלקיק חופשי יחס הנפיצה הוא:
:E = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{p^{2}}{2m} = \frac{\hbar^{2} k^2}{2m} 
כלומר: האנרגיה תלויה בתנע בצורה ריבועית.

למערכות מורכבות יותר יהיה יחס נפיצה מורכב יותר או שונה.

### חלקיק חופשי יחסותי
עבור חלקיק יחסותי בעל מסה שונה מאפס, יחס הנפיצה הוא  E = \sqrt{ c^2 p^2 + m^2 c^4 }. יחס זה מתקבל מהגדרת 4-וקטור התנע (שרכיבו הזמני הוא האנרגיה) וגם ממשוואת קליין-גורדון.

### אופטיקה ופוטונים
עבור גל אלקטרומגנטי בריק, האנרגיה פרופורציונלית לתדירות (E = \hbar \omega) והתנע פרופורציוני לווקטור הגל (\vec{p} = \hbar \vec{k}). במקרה זה, יחס הנפיצה הוא ליניארי:

: \omega = c | \vec{k} | = ck 
כאשר הסתמכנו על יחס הנפיצה היחסותי לפוטון, חלקיק חסר מסה, E = c p.

ניתן להסיק את מהירות הגל באמצעות יחס הנפיצה:
: v = \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{\partial \omega}{\partial k} = c.
וזוהי מהירות האור.

השם יחס נפיצה בא במקור מאופטיקה, בה מתקיימת תופעה של נפיצה בתווך אופטי: מהירות הגל תלויה באורך הגל (\lambda = 2 \pi / k), כלומר: יחס הנפיצה איננו ליניארי. תופעה זו מתרחשת כאשר האור עובר בתווך ולו מקדם שבירה לא קבוע התלוי באורך הגל או כאשר האור עובר דרך תווך לא-אחיד כגון מוליך גלים. במקרה זה, חזית הגל תימרח בזמן וכך פולס צר יהפך לפולס ארוך, כלומר: ינפץ. בחומרים אלה, הגודל \frac{\partial \omega}{\partial k} ידוע כמהירות חבורה ומאפיין את התקדמות השיא או המידע שנושא הגל, ולה ערך שונה ממהירות הפאזה.

### מצב מוצק
כאשר חוקרים מוצקים, מחקר יחס הנפיצה של אלקטרונים הוא בעל חשיבות גדולה. משמעות המחזוריות של הגביש היא שעבור תנע נתון, ישנן הרבה רמות אנרגיה אפשריות, ושייתכן שמספר אנרגיות לא יהיו אפשריות עבור כל תנע. האוסף של כל האנרגיות האפשריות והתנעים האפשריים ידוע כמבנה פסים של החומר. תכונות מבנה הפסים קובעות האם החומר מוליך או מבודד.

### פונונים
ממוזער|יחס נפיצה של פונונים אקוסטיים ואופטיים בשרשרת אטומים חד־ממדית.
יחס הנפיצה של פונונים גם הוא חשוב ולא-טריוויאלי. רוב המערכות מאפשרות קיום של שני פסים נפרדים עבור יחס הנפיצה של פונונים. פונונים בפס החוצה את ראשית הצירים נקראים פונונים אקוסטיים והענף ביחס הנפיצה נקרא הענף האקוסטי, ואילו הענפים האחרים נקראים ענפים אופטיים.

לדוגמה: גלי קול בגביש מקיימים את יחס הנפיצה הבא:
: \omega=2\Omega\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|
עבור  ka מתקבל יחס נפיצה ליניארי לפי הקירוב הפראקסיאלי:
: \omega=\Omega\ a k = v k
כאשר המהירות v = \Omega a היא מהירות הקול בחומר.

פונון עם יחס נפיצה ליניארי נקרא גל קול.

### גלי פני מים
:\omega^2=\left(gk+ \frac{ \sigma k^3}{\rho} \right) \tanh (kh)

כאשר g הוא קבוע הגרביטציה, h הוא עומק הנוזל, \rho היא צפיפות הנוזל, ו-\sigma הוא מתח הפנים.

### גלבו
בגלבו (מוליך גלים) מלבני, אופן התנודה TE01:
: \omega=\frac{k \cdot c}{ \sqrt{1-\left( k_c/k \right) ^2}}
כאשר k_c=\frac{\pi}{a} הוא מספר הגל הנמוך ביותר שיכול להתקיים בגלבו, a הוא רוחב הגלבו ו-c היא מהירות האור בריק.

## הסקת תכונות פיזיקליות
תכונות פיזיקליות רבות של המערכת, כגון מהירות, ניתן להרחיב למערכות אחרות אם הן מבוטאות במונחים של יחס נפיצה. במערכת מכנית קלאסית, המהירות ניתנת להגדרה כ:
: v = \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{p}{m}
(זוהי בעצם אחת ממשוואות המילטון: \dot{r} = \frac{\partial H}{\partial p}).

עבור גז אידיאלי (גז קלאסי, גז פרמי או גז בוזה) D-ממדי בעל יחס נפיצה E \sim |\vec{k}|^\sigma מתקיים הקשר הבא בין הלחץ P, הנפח V והאנרגיה U:
: PV = \frac{\sigma}{D} U

כך למשל,
* עבור גז אידיאלי קלאסי תלת-ממדי D=3 ו-\sigma=2 מקבלים : PV = \frac{2}{3} U = NK_bT (משוואת המצב של גז אידיאלי) כאשר השתמשנו בקשר U = (3/2)NK_bT.
* עבור קרינת גוף שחור או קרינת פוטונים תרמית D=3 ו-\sigma=1 ומקבלים: PV = \frac{1}{3} U.

## ראו גם
* נפיצה
* מהירות חבורה
* גל

## קישורים חיצוניים

* 

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:גלים
קטגוריה:אופטיקה