פנטציה

[ממוזער| שלושת הערכים הראשונים של הביטוי ''x'' [5]2. הערך של 3[5]2 הוא בערך 7.626 × 10 <sup>12</sup> ; ערכים עבור ''x'' גבוה יותר, כגון 4[5]2, שזה בערך 2.361 × 10 <sup>8.072 × 10 <sup>153</sup></sup> גדולים מדי מכדי להופיע בגרף.](https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Pentation.jpg)
במתמטיקה, **פנטציה** (או **היפר-5** ) היא ההיפר-פעולה הבאה אחרי הטטרציה ולפני ההקסציה. היא מוגדרת כטטרציה חוזרת, בדיוק כפי שטטרציה היא חזקה חוזרת זוהי פעולה בינארית המוגדרת עם שני מספרים *a* ו-*b*, כאשר עושים *a* בטטרציית עצמו *b* פעמים. לדוגמה, שימוש בסימון היפר-פעולות עבור פנטציה וטטרציה, 2[5]3 פירושו 2 בטטרציית עצמו פעמיים, או 2[4](2[4]2) . לאחר מכן ניתן לצמצם זאת ל 2[4](2^2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65,536.

## אֶטִימוֹלוֹגִיָה
את המילה "פנטציה" טבע ראובן גודשטיין ב-1947 כהלחם מילים פנטה (חמש) ואיטרציה. זה חלק מתוכנית השמות הכללית שלו עבור היפר-פעולות. 

## סימון
אין הסכמה לגבי הסימון של פנטציה; ישנן דרכים רבות ושונות לכתוב את פעולת הפנטציה. עם זאת, חלקם נפוצים יותר מאחרים, ולחלקם יתרונות או חסרונות ברורים בהשוואה לאחרים.
* אפשר לכתוב פנטציה, כמו שכותבים היפר-פעולות פעולות אחרות, למשל: a[5]b = a בטטרצית a כך שכמות הפעמים שיש a בתרגיל הזה שווה ל-b, והחמש בסוגריים המסולסלות מסמן שזה פנטציה.
* בסימון החץ למעלה, a[5]b מיוצג כ a \uparrow \uparrow \uparrow b אוֹ a \uparrow^{3}b . בסימון זה, a\uparrow b מייצג חזקה ו-a\uparrow \uparrow b מייצג טטרציה. ניתן להתאים את הפעולה בקלות לחזקה וטטרציה על ידי שינוי כמות החצים.
* בסימון חץ משורשר, a[5]b = a\rightarrow b\rightarrow 3 . 
* סימון מוצע נוסף הוא {_{b}a}, אם כי זה לא ניתבה לפעולות היפר-ניתוח גבוהות יותר. 

## דוגמאות
ניתן לקבל את ערכי פונקציית הפנטציה גם מהערכים בשורה הרביעית בטבלת הערכים של גרסה של פונקציית אקרמן: אם A(n,m) מוגדר על ידי הישנות אקרמן A(m-1,A(m,n-1)) עם התנאים ההתחלתיים A(1,n)=an ו A(m,1)=a, לאחר מכן a[5]b=A(4,b) . 

כמו טטרציה, פעולת הבסיס שלו, פנטציה לא הורחבה לגבהים שאינם שלמים, pentation a[5]b מוגדר כרגע רק עבור ערכים שלמים של *a* ו- *b* שבהם *a* > 0 ו- *b* ≥ −2, ועוד כמה ערכי מספר שלמים *שעשויים* להיות מוגדרים באופן ייחודי. כמו בכל פעולות יתר מסדר 3 ( אקספונציה ) ומעלה, לפנטציה יש את המקרים הטריוויאליים (זהויות) הבאים שמתקיימים עבור כל הערכים של *a* ו- *b* בתחום שלו:
* 1[5]b = 1
* a[5]1 = a
* a[5]2 = a[4]a
* a[5]0 = 1
* a[5](-1) = 0
* a[5](-2) = -1
* a[5](b+1) = a[4](a[5]b)

מלבד המקרים הטריוויאליים המוצגים לעיל, פנטציה מייצרת מספרים גדולים מאוד במהירות רבה, כך שיש רק מקרים בודדים שאינם טריוויאליים המייצרים מספרים שניתן לכתוב בסימון קונבנציונלי, כפי שמודגם להלן:
* 2[5]2 = 2[4]2 = 2^2 = 4
* 2[5]3 = 2[4](2[5]2) = 2[4](2[4]2) = 2[4]4 = 2^{2^{2^2}} = 2^{2^4} = 2^{16} = 65,536
* 2[5]4 = 2[4](2[5]3) = 2[4](2[4](2[4]2)) = 2[4](2[4]4) = 2[4]65,536 = 2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}} \mbox{ (a power tower of height 65,536) } \approx \exp_{10}^{65,533}(4.29508) (מוצג כאן בתווי אקספוננציאלי חוזר מכיוון שהוא גדול מדי מכדי להיכתב בסימון קונבנציונלי. הערה  \exp_{10}(n) = 10^n  )
* 2[5]5 = 2[4](2[5]4) = 2[4](2[4](2[4](2[4]2))) = 2[4](2[4](2[4]4)) = 2[4](2[4]65,536) = 2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}} \mbox{ (a power tower of height 2[4]65,536) }
* 3[5]2 = 3[4]3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7,625,597,484,987
* 3[5]3 = 3[4](3[5]2) = 3[4](3[4]3) = 3[4]7,625,597,484,987 = 3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}} \mbox{ (a power tower of height 7,625,597,484,987) } \approx \exp_{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)
* 3[5]4 = 3[4](3[5]3) = 3[4](3[4](3[4]3)) = 3[4](3[4]7,625,597,484,987) = 3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}} \mbox{ (a power tower of height 3[4]7,625,597,484,987) }
* 4[5]2 = 4[4]4 = 4^{4^{4^4}} = 4^{4^{256}} \approx \exp_{10}^3(2.19) (מספר עם יותר מ-10 153 ספרות)
* 5[5]2 = 5[4]5 = 5^{5^{5^{5^5}}} = 5^{5^{5^{3125}}} \approx \exp_{10}^4(3.33928) (מספר עם יותר מ-10 10 2184 ספרות)

## ראו גם
* פונקציית אקרמן
* מספרים גדולים
* המספר של גרהם

## הערות שוליים

קטגוריה:מספרים גדולים