סינוס (טריגונומטריה)

[שמאל|ממוזער|250px|[גרף של פונקציה|גרף הפונקציה סינוס]]

**סינוס** (מסומן ב- \sin) היא פונקציה טריגונומטרית בסיסית, המתאימה לכל זווית מספר ממשי בין (1-) ל-1. הרחבות שונות של הפונקציה משמשות במגוון תחומים, כגון הגדרות שונות באנליזה (ובפרט באנליזה מרוכבת). הפונקציה שימושית מאוד בפיזיקה, בהנדסת חשמל ובתחומי מדע והנדסה אחרים. גרף הפונקציה משמש בפיזיקה לתיאור גל.

## הגדרות
### הגדרה גאומטרית
שמאל|ממוזער|150px|במשולש זה, סינוס הזווית A שווה <math>\frac{a}{c}</math>
בהגדרתה הבסיסית ביותר, הערך של פונקציית הסינוס בזווית נתונה היא היחס בין הניצב שמול הזווית לבין היתר במשולש ישר-זווית. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 לבין 90 מעלות (או \frac{\pi}{2} רדיאנים), כלומר לזווית ישרה. משולשים עם זוויות זהות הם משולשים דומים, ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הסינוס של כל זווית מוגדר היטב.

### הרחבה
שמאל|ממוזער|250px|הגדרת הסינוס של מספר כלשהו <math>\ \theta</math>
במעגל היחידה ניתן להסתכל על רדיוס הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-y, כלומר שיעור ה-y של הנקודה (x,y).
עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס, לכל מספר ממשי: הסינוס של מספר כלשהו \ \theta הוא שיעור ה-y של הנקודה על מעגל היחידה, שהזווית בין הרדיוס הנמתח אליה לבין ציר ה-x הוא \ \theta (ברדיאנים).
מרכז|מסגרת|אנימציה המדגימה חישוב ערך הסינוס לפי מעגל היחידה

### טור טיילור
כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס באמצעות טור טיילור:
: \sin x = \ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}

ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של סינוס, על ידי גזירה חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע קירוב סינוס לזוויות קטנות: \sin x \approx x, וזאת מכיוון שכאשר x קטן, החזקה השלישית שלו וכל החזקות הגבוהות יותר הן זניחות.

הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס גם למספרים מרוכבים. באמצעות נוסחת אוילר אפשר לקבל הגדרות נוספות לסינוס:
:\ \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} 
וכן,
: \sin z = \frac{\sinh \left( i z\right) }{i} (ראו פונקציה היפרבולית)

### הגדרות נוספות
מלבד דרכים חשובות אלו, ישנן דרכים נוספות להגדיר את פונקציית הסינוס.

ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס גם באמצעות שבר משולב:
: \sin x =
\cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2\cdot3-x^2 +
\cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5-x^2 +
\cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7-x^2 + \ddots}}}}.

שבר זה מתקבל מטור טיילור שלעיל.

דרך נוספת היא בעזרת מכפלה אינסופית:
:\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)

מכפלה זו היא המפתח לפתרונו של אוילר לבעיית בזל.

## תכונות
* פונקציית הסינוס היא אי-זוגית, דהיינו: \sin (-x) = -\sin (x).
* פונקציית הסינוס הממשית היא מחזורית, בעלת מחזור של 2\pi. זאת משום שבייצוג של מעגל היחידה, סיבוב של 2\pi מחזיר את הנקודה P לנקודת המוצא.
* פונקציית הסינוס רציפה, גזירה ואינטגרבילית לכל x.
* לפונקציה יש אינסוף נקודות קיצון מהצורה: x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k (מקסימום) ו-x = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi k (מינימום), כאשר k מספר שלם. הערך בנקודות המקסימום הוא 1, ובנקודות המינימום ().
* לפונקציה יש אינסוף שורשים מהצורה: x =\pi k, כאשר k מספר שלם. אלו כל השורשים של הפונקציה במישור המרוכב.
* התמונה של פונקציית הסינוס הממשית היא: [-1,1].
** נובע מכך כי פונקציית הסינוס הממשית חסומה בכל תחום ההגדרה שלה, \mathbb{R}.

## נגזרת
הנגזרת של פונקציית הסינוס היא פונקציית הקוסינוס:
:{d \over dx} \sin x = \cos x

### הוכחה בעזרת הגבול של sin(x)/x
לפי הגדרתה, הנגזרת בנקודה x_0 שווה לגבול:
:\lim_{x \to x_0} \frac{\sin x - \sin x_0}{x - x_0}
על פי הזהות הטריגונומטרית:
\sin \theta - \sin \varphi = 2 \cos\left({\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi\over 2}\right) \;  
נקבל:
:\lim_{x \to x_0} \frac{\sin x - \sin x_0}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{ 2 \cos\left({x + x_0 \over 2}\right) \sin\left({x - x_0 \over 2}\right) \;}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0}\frac{\sin\left({x - x_0 \over 2}\right) \;}{\frac{x - x_0}{2} }\cdot\cos\left({x + x_0 \over 2}\right) \;
נשתמש בגבול הטריוויאלי: \ \lim_{x \to x_0}{x - x_0 \over 2} = 0, בגבול המפורסם: \lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t}=1 וברציפות הפונקציות כדי לקבל:
:\lim_{x \to x_0}\frac{\sin\left({x - x_0 \over 2}\right) \;}{\frac{x - x_0}{2} }\cdot\cos\left({x + x_0 \over 2}\right) \; =\lim_{x \to x_0} 1 \cdot \cos\left({x + x_0 \over 2}\right) \; = \cos\left({2x_0 \over 2}\right) \; = \cos x_0.

**מש"ל.**

בעזרת כלל השרשרת ניתן לקבל שהנגזרת של קוסינוס היא מינוס סינוס, ועל כן הנגזרת הרביעית של סינוס שווה לפונקציית הסינוס עצמה. כך מוצגת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית:

פונקציית הסינוס היא פתרון המשוואה \ f*(x) = - f(x)</math> כאשר <math>\ f(0) = 0</math> ו-<math>\ f'(0) = 1</math>.

ה[[פונקציה קדומה|פונקציה הקדומה]] של הסינוס היא מינוס קוסינוס: <math>\int \sin x \,dx = -\cos x+C</math>

אפשר גם לגזור את הסינוס באמצעות הנגזרת של הפונקציה ההפוכה ארכסינוס, שהיא שווה ל<math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> על ידי שימוש בכלל לנגזרת פונקציה הפוכה. אמנם את הנגזרת של הארכסינוס מקובל להוכיח בדרך כלל באמצעות הנגזרת של סינוס, ואם רוצים לגזור את הארכסינוס בנפרד צריך להשתמש באינטגרל וב[[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|משפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]].

=== הוכחה בעזרת טורי חזקות ===
את פונקציות הסינוס והקוסינוס ניתן להגדיר כפתרונות של המשוואות הדיפרנציאליות <math>y_1'=y_2, y_2'=-y_1</math> עם תנאי ההתחלה <math>y_1(0)=0, y_2(0)=1</math>. הגדרה שכזו מובילה להצגת הפונקציות באמצעות [[טור מקלורין|טורי מקלורין]]:

<math>\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>

<math>\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}</math>

מכיוון שפעולת הגזירה היא [[אופרטור ליניארי]], גזירה של הטור המציג את פונקציית הסינוס תוביל לטור זהה לזה המגדיר את פונקציית הקוסינוס.

<math>(\sin(x))'=\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\Bigr)'=\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{(-1)^n(x^{2n+1})'}{(2n+1)!}
=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!}=
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}=\cos(x)</math>

הגדרת הפונקציות והוכחת הנגזרת בצורה כזו, פותרות את ה[[הסבר מעגלי|מעגליות]] של השימוש ב[[כלל לופיטל]] כדי להוכיח את [[הגבול של sin(x)/x]], אך דורשות הוכחה דומה כדי להראות כי הפונקציות האלו יכולות לשמש בחישובי [[טריגונומטריה]].

==ערכים==
[[קובץ:Unit circle angles.svg|שמאל|ממוזער|450px|ערכי הפונקציה לזוויות שונות על מעגל היחידה]]
להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זוויות נפוצות:

sup>1

==זהויות==

* פונקציית הסינוס מקיימת: <math>\ \sin(-\theta) = -\sin\theta</math> וכן <math>\ \sin(\pi - \theta) = \sin \theta</math>
* בעזרת פונקציית הסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): <math>\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} </math> *',** <math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} </math> **,** <math>\cot\theta = {\sqrt{1 - \sin^2\theta} \over \sin \theta} </math> **,** <math>\csc\theta = {1 \over \sin \theta} </math> **,** <math>\sec\theta = {1 \over \sqrt{1 - \sin^2\theta}} </math>
* סכום זוויות: <math>\sin(\theta \pm \varphi) = \sin \theta \cos \varphi \pm \cos \theta \sin \varphi</math>
* זווית כפולה: <math>\ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta </math> **,** <math>\ \sin 3\theta = 3 \sin \theta- 4 \sin^3\theta</math> ובאופן כללי <math>\sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)</math>
* חצי זווית: <math>\sin \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}</math>
* סכום סינוסים: <math>\sin \theta + \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta + \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)</math> **,** <math>\sin \theta - \sin \varphi = 2 \cos\left({\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi\over 2}\right) \; </math>

==הפונקציה ההפוכה==
[[קובץ:Arcsine.svg|שמאל|ממוזער|200px|גרף פונקציית הארכסינוס]]
ה[[פונקציה הפוכה|פונקציה ההפוכה]] לפונקציית הסינוס נקראת **ארקסינוס''' ומסומנת  \ \arcsin  או  \ \sin^{-1} . הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע
\ [-1 ,1], וכיוון שפונקציית הסינוס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים \ [-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2}]. הנגזרת שלה היא {d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}.

## משפט הסינוסים

משפט הסינוסים הוא משפט הקובע את הקשר בין צלעות המשולש וזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הסינוס:
:{a \over \sin \alpha}={b \over \sin \beta}={c \over \sin \gamma}=2R
כאשר הזוויות  \alpha,\beta,\gamma  נמצאות מול הצלעות a, b, c בהתאמה, ו-R הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

## קישורים חיצוניים

* 
* טריגוקליק - אתר עזר לפתרון בעיות בסינוס, קוסינוס וטנגנס

## הערות שוליים

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:פונקציות טריגונומטריות