דיאגרמת סמית

250px|שמאל|ממוזער|דיאגרמת סמית עבור עכבות, ללא סימונים
**דיאגרמת סמית** היא כלי עזר גרפי המשמש בהנדסת חשמל לפתרון בעיות הנוגעות לקווי תמסורת ותיאום עכבות. הדיאגרמה הומצאה בידי פיליפ ה. סמית ב-1939 עת שעבד במעבדות בל. הדיאגרמה היא כלי שימושי ונפוץ עד היום, על אף שכיום תוכנת מחשב יכולה לבצע את אותן המטלות בקלות. דיאגרמת סמית מקשרת בין גדלים שונים, כגון עכבה חשמלית, מתירות (אדמיטנס), מקדם החזרה, יחס גלים עומדים (SWR) ועוד.

## סקירה
דיאגרמת סמית היא שרטוט במישור המרוכב של מקדם ההחזרה \Gamma, כאשר הציר האופקי מתאר את הרכיב הממשי של מקדם ההחזרה והציר האנכי את הרכיב המרוכב שלו. הגדלים הרלוונטיים עבור הדיאגרמה בדרך כלל מנורמלים לפי גודל אופייני של המערכת (למשל לפי עכבת קו התמסורת):
:\bar{z}=\frac{Z(z)}{Z_0}

כאשר Z(z) היא העכבה בנקודה z, Z_0 היא עכבת קו התמסורת ו-\bar{z} היא העכבה המנורמלת.

באופן זה ניתן באמצעות כפל פשוט לעבור מהגודל שמציגה הדיאגרמה לגודל הרלוונטי עבור המערכת. מקדם ההחזרה \Gamma אינו מנורמל מכיוון שהוא גודל מרוכב חסר יחידות שמקיים |\Gamma|.

הסימונים ההיקפיים בקצוות הדיאגרמה הם סקלות של זוויות ושל אורך גל. הזווית מייצגת את המופע (הפאזה) של מקדם ההחזרה. השימוש העיקרי של סקלת אורך הגל הוא בפתרון בעיות במערכות מפולגות. זהו המרחק הנמדד על קו התמסורת לכיוון המקור או לכיוון העומס, ביחידות של אורך הגל הרלוונטי לבעיה \lambda (סיבוב שלם מייצג תנועה של חצי אורך גל על קו התמסורת). הליכה על הציר ההיקפי עם כיוון השעון מסמנת בדיקה של המרחק לכיוון המקור, והליכה נגד כיוון השעון מסמנת בדיקה של המרחק לכיוון העומס.

מכיוון שהעכבות והמתירויות תלויות בתדירות הגל האלקטרומגנטי, ניתן להשתמש בדיאגרמת סמית בשביל לפתור את הבעיה עבור תדירות אחת בכל פעם. עבור יישומים קצרי סרט פתרון זה מספיק בשביל לספק את המטרות לרוב חבילת הגלים, אולם ביישומים עם סרט רחב נוצר צורך לפתור את הבעיה עבור מספר תדרים ולאחר מכן לחבר את התוצאות, דבר אשר מפחית את הדיוק של הפתרון.

## רקע מתמטי
[ממוזער|500px|דוגמה לקריאה של דיאגרמת סמית. גל מתקדם לאורך קו תמסורת בעל עכבה אופיינית <math>Z_0</math>, אשר בסופו עומס בעל [עכבה חשמלית|עכבה Z_L, כאשר העכבה המנורמלת היא z=Z_L/Z_0. הגל מוחזר עם מקדם החזרה \Gamma, וכל נקודה על הדיאגרמה מייצגת בעת ובעונה אחת גם את הערך של \Gamma (השרטוט מצד ימין למטה) וגם את ערכו של z באמצעות הקשר z=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}.]]

### הגדרות והנחות
קו תמסורת מורכב לרוב משני מוליכים המחוברים בכל קצה להדקים, וביניהם חומר דיאלקטרי. בתוך קו התמסורת מתקיימת משוואת הגלים עבור השדה החשמלי ועבור השדה המגנטי, ולכן קיים עבורו פתרון של גל נסוג וגל מתקדם. לאופן המולך קיטוב TEM, וניתן לתת למתח ולזרם פתרון בצורה של גל נסוג וגל מתקדם:

:V(z)=V_+e^{-jkz} + V_-e^{jkz}

:I(z)=\frac{V_+}{Z_0}e^{-jkz} - \frac{V_-}{Z_0}e^{jkz}

מידע נוסף על פיתוח זה ניתן לקרוא תחת משוואות הטלגרפיה.

עבור העכבה האופיינית Z_0 והמתירות האופיינית Y_0=\frac{1}{Z_0}, ניתן להגדיר לכל עכבה Z(z) ומתירות Y(z) במערכת גודל מנורמל:

:\bar{z}=\frac{Z}{Z_0}, \bar{y}=\frac{Y}{Y_0}

מקדם ההחזרה מוגדר בתור היחס בין הגל הנסוג לגל המתקדם. נגדיר כי העומס נמצא בנקודה z=0, ואז מקדם ההחזרה של העומס יהיה:

:\Gamma(z=0) \equiv \Gamma_L = \frac{V_-e^{jk\cdot0}}{V_+e^{-jk\cdot0}}=\frac{V_-}{V_+}

כך ניתן להגדיר באמצעות הגודל \Gamma_L את מקדם ההחזרה לכל z עד כדי הבדל מופע:

:\Gamma(z) = \frac{V_-e^{jkz}}{V_+e^{-jkz}}=\Gamma_Le^{2jkz}

עבור גל מתקיים k=\frac{2\pi}{\lambda}, כך שעם תלות באורך הגל מתקבל \Gamma(z) =\Gamma_Le^{j\frac{4\pi}{\lambda}z}, גודל בעל מחזוריות של \frac{\lambda}{2}.

העכבה מוגדרת בתור היחס בין המתח לזרם, כלומר:
:Z(z)\equiv\frac{V(z)}{I(z)}

באמצעות הביטויים למתח ולזרם, הגדלים שמצאנו לעיל נותנים לנו ביטוי לעכבה בכל נקודה כתלות במקדם ההחזרה בנקודה זו:

:Z(z)=\frac{V(z)}{I(z}=\frac{V_+e^{-jkz}+V_-e^{jkz}}{\frac{V_+}{Z_0}e^{-jkz}-\frac{V_-}{Z_0}e^{jkz}} = Z_0\frac{V_+(e^{-jkz}+\Gamma_Le^{jkz})}{V_+(e^{-jkz}-\Gamma_L-e^{jkz})}=Z_0\frac{1+\Gamma(z)}{1-\Gamma(z)}

או באמצעות עכבה מנורמלת: \bar{z}=\frac{1+\Gamma(z)}{1-\Gamma(z)}. למעשה, \bar{z} ו-\Gamma(z) קשורות באמצעות העתקת מוביוס.

בשימוש בדיאגרמת סמית מניחים כי אין איבודים בתוך קו התמסורת, כלומר k הוא גודל ממשי.

### דיאגרמת סמית עבור עכבות
ניתן לכתוב את מקדם ההחזרה בצורה: \Gamma(z) =\Gamma_Le^{2jkz}=\Gamma_r(z)+j\Gamma_i(z), ובאופן דומה את העכבה המנורמלת בתור:
:\bar{z}=z_r(z)+jz_i(z)

כך מהביטוי שלעיל עבור \bar{z} מתקבל:

:z_r+jz_i=\frac{1+\Gamma_r+j\Gamma_i}{1-\Gamma_r-j\Gamma_i}

אפשר מהשוואת חלק מדומה וחלק ממשי לפתור ולקבל שתי משפחות של מעגלים:

:\left (\Gamma_r - \frac{z_r}{1+z_r}\right)^2+\Gamma_i^2=\left(\frac{1}{1+z_r}\right)^2

:\left(\Gamma_r-1\right)^2+\left(\Gamma_i-\frac{1}{z_i}\right)^2=\left(\frac{1}{z_i}\right)^2

התוצאה המתקבלת היא ש-z_r, החלק הממשי של העכבה המנורמלת, נמצא על מעגל בעל רדיוס \frac{1}{z_r+1} שמרכזו בנקודה \left(\Gamma_r=\frac{z_r}{z_r+1},\Gamma_i=0\right), בעוד z_i, החלק המדומה של העכבה המנורמלת, נמצא על מעגל ברדיוס \frac{1} שמרכזו בנקודה \left(\Gamma_r=1,\Gamma_i=\frac{1}{z_i}\right). דוגמאות למעגלים כאלה ניתן לראות בדיאגרמה שלעיל.

החצי העליון של המישור מייצג חלק מדומה חיובי, כלומר התנהגות השראותית, והחלק התחתון של המישור מייצג חלק מדומה שלילי, כלומר התנהגות קיבולית.

;מקרים פרטיים חשובים
* עבור נתק (מעגל פתוח), z\to\infty. עבור הרכיב הממשי מתקבל מעגל ברדיוס 0 (נקודה) שמרכזו ב-(1,0). זהו מצב של החזרה מלאה, ואכן מתקבל בהתאם \Gamma=1.
* עבור קצר, z=0. הנקודה המתאימה תהיה החיתוך בין המעגל שמייצג חלק ממשי 0 לבין זה שמייצג חלק מרוכב 0 (מקרה עבורו המיפוי הוא לקו ישר). חיתוך זה מתקבל בנקודה \Gamma=-1, כצפוי עבור קצר.

### המעבר לדיאגרמה של מתירויות
דיאגרמת סמית עבור מתירויות (דיאגרמת Y) בנויה באופן דומה לזו של העכבות. המתירות המנורמלת הופכית לעכבה המנורמלת:

:\bar{y}=\frac{1}{\bar{z}}

מכך נובע:

:\bar{y}=\frac{1-\Gamma}{1+\Gamma} \Rightarrow \Gamma=\frac{1-\bar{y}}{1+\bar{y}}

דיאגרמת סמית למתירויות נראית כמו זו עבור עכבות, אבל הסקלה מסובבת ב-180^\circ. לאחר השינוי החלק העליון של המישור מייצג התנהגות קיבולית והחלק התחתון מייצג התנהגות השראתית.

## שימושים
### מציאת עכבות באמצעות מקדם ההחזר
ממוזער|דוגמה של נקודות המשורטטות על דיאגרמת סמית לעכבות
על מנת לסמן את מקדם ההחזרה \Gamma=0.63 \angle 60^\circ בדיאגרמת סמית, צריך למתוח קו ישר העובר בראשית הצירים, כך שהזווית בינו לבין הציר הממשי הוא 60 מעלות. ניתן להיעזר בסקלה של הזוויות על מנת למצוא זווית זו. המעגל החיצוני של הדיאגרמה, שהוא פנים הסקלות, מייצג |\Gamma|=1. אם רדיוס המעגל החיצוני בדיאגרמה הוא 100 מ"מ, לדוגמה, יש למתוח קו מראשית הצירים שאורכו 63 מ"מ, משום שגודל מקדם ההחזרה הוא 0.63 מהרדיוס החיצוני. נקודה זו מסומנת בשרטוט משמאל בתור P_1.

כדי למצוא את העכבה שנקודה מייצגת, מוצאים בנפרד את החלק הממשי שלה ואת החלק המדומה שלה. עבור החלק הממשי, יש לעקוב אחר המעגל הסגור שמרכזו בצד ימין של הדיאגרמה. נקודת החיתוך שלו עם הציר האופקי היא \Re\bar{z}=0.8. עבור החלק המדומה, יש לעקוב אחר המעגל הפתוח עד הנקודה בה הוא פוגע בהיקף הדיאגרמה שהיא \Im\bar{z}=1.4. לפיכך העכבה המנורמלת המתאימה היא \bar{z}=0.8+j1.4.

בקובץ שמשמאל מסומנות מספר נקודות המסוכמות בטבלה שלהלן.

### שימוש בעכבות ובמתירויות במקביל
ממוזער|ערכים של מקדם החזרה המשורטטים על דיאגרמת סמית לעכבות והערכים המקבילים עבור מתירויות
בפתרון בעיות של תיאום קווי תמסורת, עולה במקרה רבים צורך לעבוד עם מתירויות ועם עכבות במקביל. ניתן להשתמש בדיאגרמה כפולה, המייצגת גם עכבות וגם מתירויות, אולם ניתן גם להשתמש בדיאגרמה אחת כדי להציג את אחותה. המתירות המנורמלת מיוצגת על ידי נקודה שנמצאת על אותו המעגל עליו נמצאת העכבה המנורמלת אבל במרחק של 180^\circ (מדובר במעגל שמרכזו בראשית הצירים ומייצג את \Gamma). באופן זה, המתירות המתאימה לעכבה המסומנת בנקודה P_1 מהדוגמה הקודמת, היא הנקודה Q_1, המייצגת את המתירות המנורמלת \bar{y}=0.3-j0.54.

באותו אופן ניתן לראות כי הנקודה P_{10} מייצגת את העכבה המנורמלת \bar{z}=0.1+j0.22, אשר מתאימה למתירות \bar{y}=1.8-j3.9 (מופיעה בתור Q_{10} בשרטוט).

### תיאום קווי תמסורת
בקווי תמסורת לעיתים יש לבצע תיאום עכבות – השוואת עכבת קו התמסורת ועכבת העומס כדי למנוע החזרות מהעומס, משום שהחזרות עלולות לפגוע במקור. כפי שהוצג ברקע המתמטי, מקדם ההחזר \Gamma(z) הוא בעל מחזוריות של \lambda / 2, כלומר עבור מעגל שרדיוסו |\Gamma_L| תנועה על היקף המעגל שקולה לתנועה לכיוון העומס או לכיוון המקור. לכן גם תנועה זו יכולה להיות שקולה להארכה או לקיצור של קו התמסורת. מסיבה זו המעגל החיצוני של דיאגרמת סמית מכויל באורכי גל.

בדוגמה הבאה מוצג מקרה בו ניתן לתאם את המעגל עבור עומס בעל רכיב התנגדותי ורכיב השראותי.

ממוזער|דיאגרמת סמית עבור בעיית תיאום קווי תמסורת

נניח שיש קו תמסורת מלא אוויר ללא הפסדים, בעל עכבה אופיינית Z_0=50\Omega, אשר דרכו מועבר זרם בתדר של 800 מגה־הרץ, ובסופו נגד (R=17.5\Omega) וסליל (L=6.5nH) המחוברים בטור. עכבת הסליל היא Z=j\omega L=j2\pi fL=j32.7\Omega, ולכן העכבה הכוללת של העומס היא:
:Z_L=17.5+j32.7\Omega

בנרמול לפי העכבה האופיינית של קו התמסורת, יתקבל:
:\bar{z}_L=\frac{Z_L}{Z_0}=0.35+j0.65.

נקודה זו מופיעה על דיאגרמת סמית שמשמאל בתור P_{20}.

נראה שתי אפשרויות לתיאום העכבות במקרה זה:

#### באמצעות תוספת קבל בטור
על ידי הוספת קבל בטור לעומס. מכיוון שהתווך הוא תווך ללא הפסדים, שורטט דרך נקודה זו מעגל בו הגודל של מקדם ההחזרה, |\Gamma|, קבוע – רדיוס המעגל. הקו בין ראשית הצירים לנקודה זו חותך את הסקלה של אורך גל בנקודה L_1=0.098\lambda.

ניתן להתקדם על המעגל שרדיוסו |\Gamma| בכיוון השעון (לכיוון המקור) עד שהחלק הממשי של העכבה – ההתנגדות – יהיה שווה לאחד (נקודה P_{21}). הקו בין ראשית הצירים לנקודה זו חותך את הסקלה של אורך גל בנקודה L_2=0.177\lambda. כלומר צריך להתרחק מהעומס למרחק של:
:d=0.177\lambda-0.098\lambda=0.079\lambda

מכיוון שקו התמסורת מבודד באוויר אורך הגל שתדירותו 800 מגה־הרץ היא כמו בריק ולכן הנוסחה עבור אורך הגל היא:
:\lambda=\frac{c}{f}

כאשר c היא מהירות האור בריק ו־f היא תדירות הגל בהרץ. לפיכך אורך הגל הוא \lambda =375 \ \text{mm}, ולכן המרחק המתאים מהעומס, בו צריך לחבר עכבה נוספת, הוא d= 29.6 \ \text{mm}.

במרחק זה מהעומס, העכבה המנורמלת היא:
:z_{P21} = 1.00 + j1.52\,

העכבה שצריך להוסיף לעומס בטור על מנת שהעכבה הכוללת תהיה שווה ("מתואמת") לעכבת קו התמסורת Z_0, היא:
:z_{match} = - j (1.52)

דיאגרמת סמית מייצגת עכבה מנורמלת ולכן:
:z_{match} = - j 1.52 = \frac{-j}{\omega C_m Z_0} = \frac{-j}{2 \pi f C_m Z_0}

ולכן קיבול הקבל שיש להוסיף בטור על מנת שהעכבות יהיו שוות ("מתואמות") הוא:
:C_m=\frac{1}{z_{match}\omega Z_0} = \frac{1}{z_{match} \ 2 \pi f \ Z_0}=\frac{1}{1.52 \cdot 2 \pi \cdot 8\cdot 10^8\cdot 50}=2.6 \ \mathrm{pF}

לסיכום, על מנת לתאם את העכבות בקו תמסורת זה, עבור זרם בתדירות של 800 מגה־הרץ, יש לחבר במרחק של 29.6 \ \text{mm} מהעומס קבל שקיבולו 2.6 \ \mathrm{pF}, כשהקבל מחובר בטור לקו התמסורת.

#### באמצעות גדם קצר

## לקריאה נוספת

* David M. Pozar, **Microwave Engineering**, Wiley; 4 edition, 2011, pp.48-72. 


## קישורים חיצוניים

קטגוריה:הנדסת חשמל
קטגוריה:כלי חישוב