נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)

**נוסחת אוילר** היא נוסחה יסודית באנליזה מרוכבת, הקושרת את הפונקציה המעריכית הטבעית המרוכבת לפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס. הנוסחה נקראת על-שמו של לאונרד אוילר.

הנוסחה קובעת כי: \ e^{i \theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta}  לכל \ \theta ממשי, כאשר e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו-i הוא היחידה המדומה. את \cos{\theta} + i \sin{\theta}  יש הנוהגים לסמן בצורה המקוצרת <math>\ cis{\theta} </math>.

לנוסחה שימושים רבים, בין היתר היא מסייעת בפתרון משוואות דפרנציאליות ליניאריות עם מקדמים קבועים, שלהן יישומים רבים בפיזיקה ובהנדסה.

## זהות אוילר

כאשר מציבים בנוסחה את \ \pi  כערכה של הזווית \ \theta , מתקבל:
\ e^{i \pi} = -1 או \ e^{i \pi}+1 = 0 ,
תוצאה הקרויה זהות אוילר ומקשרת בצורה פשוטה בין 5 קבועים מתמטיים בסיסיים.

## הקשר להצגה קוטבית
ממוזער|200px|הצגה גאומטרית של נוסחת אוילר
בהינתן מספר מרוכב z השונה מאפס, ניתן למתוח קטע l במישור המרוכב בין ראשית הצירים לנקודה z. האורך של l, r, מכונה הערך המוחלט של z, ואילו הזווית (ברדיאנים) בין הכיוון החיובי של הציר הממשי ל-l (נגד כיוון השעון), \theta, מכונה הארגומנט של z. הזוג (r,\theta) מכונה ההצגה הקוטבית של z.

אם נציג את z בצורה z = x+iy, אז x ו-y הם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית שיתרו הוא l. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות מתקיים x = r\cos \theta ו-y = r\sin \theta. לכן לפי נוסחת אוילר:
:z = x+iy = r(\cos \theta+i\sin\theta) = re^{i\theta}

הצגה זו של מספר מרוכב נוחה לשימוש במקרים רבים. למשל כאשר כופלים אותם: z_1\cdot z_2 = r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}.

מסקנה מיידית מהצגה זו היא משפט דה-מואבר הקובע כי \ (\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx) ל-n טבעי ו-x ממשי. לפי נוסחת אוילר זהו פשוט השוויון (e^{ix})^n = e^{i(nx)}.

## משמעות אלגברית
מנוסחת אוילר נובע שההעתקה \ f(x) = e^{ix} = \cos x +i \sin x היא הומומורפיזם של חבורות מן הישר הממשי כחבורה ביחס לפעולת החיבור, אל מעגל היחידה במישור המרוכב כחבורה ביחס לפעולת הכפל. זהו אפימורפיזם שאיננו איזומורפיזם שכן f(x) = f(x+2\pi).

הגרעין של f הוא הקבוצה 2\pi\mathbb{Z} ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון מעגל היחידה איזומורפי ל-\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, או אחרי נרמול \mathbb{R}/\mathbb{Z}.

## הוכחות
קיימות מספר הוכחות לנוסחה, שמתבססות על ההגדרה של פונקציית האקספוננט המרוכבת לפי טור טיילור של הפונקציה הממשית או כפונקציה המקיימת את התכונות הידועות של הפונקציה הממשית.

### באמצעות טור טיילור
זוהי הוכחה של נוסחת אוילר באמצעות פיתוח טור טיילור וכן העובדות הבסיסיות אודות החזקות של \ i:

: \begin{align}
i^{4n} &{}= 1, \quad &
i^{4n+1} &{}= i, \quad &
i^{4n+2} &{}= -1, \quad &
i^{4n+3} &{}= -i
\end{align}

לכל n שלם. אפשר לבטא את הפונקציות **הממשיות** \ e^{x}, \ \cos(x) ו-\ \sin(x) באמצעות פיתוח טור טיילור שלהן סביב 0:

:  \begin{align}
 e^x &{}= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
 \cos x &{}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
 \sin x &{}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots.
\end{align}

עבור מספרים מרוכבים נגדיר את הפונקציות האלה באמצעות הטורים הללו, על ידי החלפת המספר הממשי \ x במספר המדומה \ i\theta (כאשר \ \thetaעצמו ממשי).

לפי הגדרה זאת אפשר לראות ש:

: \begin{align}
 e^{i\theta} &{}= 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} + \frac{(i\theta)^6}{6!} + \frac{(i\theta)^7}{7!} + \frac{(i\theta)^8}{8!} + \cdots \\
 &{}= 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i \theta^5}{5!} - \frac{\theta^6}{6!} - \frac{i\theta^7}{7!} + \frac{\theta^8}{8!} + \cdots \\
 &{}= \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \frac{\theta^8}{8!} - \cdots \right) + i\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \right) \\
 &{}= \cos \theta + i\sin \theta
\end{align}

(החלפת סדר האיברים מוצדקת משום שכל הטורים מתכנסים בהחלט).

### באמצעות [[חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי|חשבון דיפרנציאלי]]
נגדיר את הפונקציה \ f(x), במשתנה ממשי \ x, בתור:

:  f(x) = (\cos x + i\sin x)\cdot e^{-ix} \ 

הנגזרת של *(f*(x, לפי חוק המכפלה, היא:

:\begin{align}
 \frac{d}{dx}f(x) &{}= (\cos x + i\sin x)\cdot\frac{d}{dx}e^{-ix} + \frac{d}{dx}(\cos x + i\sin x)\cdot e^{-ix} \\
 &{}= (\cos x + i\sin x)(-i e^{-ix}) + (-\sin x + i\cos x)\cdot e^{-ix} \\
 &{}= (-i\cos x - i^2\sin x)\cdot e^{-ix} + (-\sin x + i\cos x)\cdot e^{-ix} \quad \quad \quad (i^2=-1) \\
 &{}= (-i\cos x + \sin x - \sin x + i\cos x)\cdot e^{-ix} \\
 &{}= 0
\end{align} 

לכן, \ f(x) חייבת להיות פונקציה קבועה ביחס ל-\ x. משום ש-\ f(0) ידוע, הקבוע ש- \ f(x) שווה אליו עבור כל \ x ממשי גם ידוע. כלומר:

:(\cos x + i\sin x)\cdot e^{-ix} = f(x) = f(0) = (\cos 0 + i\sin 0)\cdot e^0 = 1 \,.

על ידי הכפלת שני הצדדים ב-\ e^{ix} ושימוש בשוויון

:  (\cos x + i\sin x)\cdot e^{-ix} \cdot e^{ix} = 1 \cdot e^{ix}\, 

נקבל כי:

: e^{ix} = \cos x + i \sin x \ .
## הכללות
ניתן להכליל את נוסחת אוילר מהמספרים המרוכבים אל הקווטרניונים על ידי הנוסחה \exp (x r) = \cos x + r \sin x \ , כאשר r הוא נקודה על כדור היחידה התלת-ממדי במרחב הקווטרניונים ה-4 ממדי הנקרא ורסור.
## קישורים חיצוניים

* 
* 
* 
* 

אוילר
אוילר
קטגוריה:לאונרד אוילר
קטגוריה:הוכחות
קטגוריה:e (קבוע מתמטי)