השערת קתה

**השערת קֶתֶה** היא השערה מפורסמת בתורת החוגים העוסקת באידיאלים ניליים. את ההשערה העלה המתמטיקאי האוסטרי גוטפריד קתה (Gottfried Köthe; 1989-1905) ב-1930; אף על פי שהיא פתורה בכמה מקרים חשובים, ההשערה עדיין פתוחה באופן כללי.

## השערת קתה
300px|ממוזער|שמאל|תכונות של חוג R ושל חוג הפולינומים מעליו (ראו הסבר בגוף הטקסט).
השערת קתה שואלת האם בכל חוג (אסוציאטיבי):
* האידיאל הדו-צדדי הנוצר על ידי אידיאל שמאלי נילי, הוא בעצמו נילי.

השערה זו שקולה לכל אחת מההשערות הבאות:
* הסכום של שני אידיאלים שמאליים ניליים הוא נילי.
* אם בחוג אין אידיאל נילי (דו-צדדי), אז אין בו אידיאל נילי חד-צדדי.
* לכל חוג *<math>R</math>* מתקיים N(R) = \overline{N}(R), כאשר N(R) הוא סכום האידיאלים הניליים (=הרדיקל הנילי העליון) ו-\overline{N}(R) הוא סכום האידיאלים השמאליים הניליים (=רדיקל קתה).
* לכל חוג נילי, גם חוג המטריצות \operatorname{M}_2(R) נילי.
* לכל חוג נילי *<math>R</math>*, חוג הפולינומים R[x] קוואזי-הפיך (כלומר שווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו; ידוע שחוג הפולינומים של חוג נילי שווה לרדיקל בראון-מק'קוי של עצמו).
* אם \operatorname{J}(R[x])=0 אז \overline{N}(R)=0.
*אם *<math>R</math>* חוג נילי אז R[x] איננו פרימיטיבי.

השקילות לניסוח האחרון נובעת ממשפט של Smoktunowicz, לפיו אידיאלים פרימיטיביים בחוגי פולינומים מעל חוגים ניליים הם הומוגניים. עם זאת, יצוין כי קיים חוג *<math>R</math>* השווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו, אך חוג הפולינומים מעליו פרימיטיבי.
בדיאגרמה משמאל, השערת קתה (בגרסה "אם *<math>R</math>* נילי אז חוג הפולינומים מעליו נילי"), עם תוצאות קרובות. הרדיקלים המופיעים בדיאגרמה הם הרדיקל של ג'ייקובסון, רדיקל Behrnes השווה לחיתוך הגרעינים של הומומורפיזמים לחוגים עם אידמפוטנט, ורדיקל בראון-מקוי. החץ בירוק: השערת קתה. החצים המרוסקים מתארים גרירות טריוויאליות. החצים בכחול, משפטים (מלמעלה למטה: תוצאות של עמיצור, של Beidar-Fong-Puczylowsi 2001 ושל סמוקטונוביץ' 1999). החצים באדום: גרירות שאינן נכונות (הבניה של חוג נילי שחוג הפולינומים מעליו אינו נילי היא של סמוקטונוביץ' 2000).

הגרסה הלא-אסוציאטיבית של השערת קתה אינה נכונה: באלגברה הלא-אסוציאטיבית הנוצרת על ידי שני איברים *<math>x,y</math>* תחת היחסים: *<math>xy=y,yx=x,x^2=y^2=0</math>*, האיברים *<math>x</math>* ו-*<math>y</math>* יוצרים אידיאלים שמאליים ניליים, אך סכומם אינו נילי.

## מקרים שבהם ההשערה מתקיימת

השערת קתה מתקיימת בחוג *<math>R</math>* אם לכל אידיאל נילי שמאלי *<math>L</math>*, האידיאל הדו-צדדי *<math>L+LR</math>* הוא נילי. השערת קתה מתקיימת בחוגים מהמהחלקות הבאות:
* בחוגים נתריים (לפי משפט הופקינס-לויצקי: בחוג נתרי, כל אידיאל חד-צדדי נילי הוא נילפוטנטי).
* בכל חוג עם זהויות \overline{N}(R) = \operatorname{Nil}_*(R) (בחוג עם זהויות הנוצר סופית מעל חוג קומוטטיבי נתרי, אפילו \operatorname{Jac}(R) = \operatorname{Nil}_*(R), משפט Razmyslov-Kemer-Braun).
* בחוגים שבהם רדיקל ג'ייקובסון נילי (משום שכל אידיאל שמאלי נילי מוכל ברדיקל ג'ייקובסון). תכונה זו מתקיימת במקרים הבאים (שאת כולם הוכיח עמיצור):
** באלגברה אלגברית מעל שדה;
** באלגברה *<math>R</math>* שממדה מעל *<math>F</math>* קטן ממש מהעוצמה של *<math>F</math>*;
** בחוג R[x] אם *<math>R</math>* היא אלגברה מעל שדה שאינו בן-מניה (בהקשר זה מעל כל שדה בן-בניה, יש אלגברה נילית *<math>R</math>* כך ש-\operatorname{J}(R[x])=R[x] אינו נילי; סמוקטונוביץ', 2000).
* באלגברה מונומיאלית נוצרת סופית (משום שרדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי מקומית, Beidar and Fong, 1998).

לפי משפט של עמיצור, רדיקל ג'ייקובסון של כל חוג  R[x] הוא מהצורה  I[x] כאשר *<math>I</math>* אידיאל נילי. מכאן שאם *<math>R</math>* הוא חוג שאין בו אידיאלים ניליים, אז  \operatorname{J}(R[x])=0.

## מקורות

* On some results related to Koethe's conjecture, A. Smoktunowicz, Serdica Math J 27 (2000), 159--170.
* The Concise Handbook of Algebra, C.18.
*A. Smoktunoicz, Primitive Ideals in Polynomial Rings over Nil Rings. Algebras and Representation Theory, March 2005, Volume 8, Issue 1, pp 69-73

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת החוגים
קטגוריה:בעיות פתוחות באלגברה