ממד (גאומטריה אלגברית)

בגאומטריה אלגברית, ה**ממד** הוא פונקציה המתאימה לכל יריעה אלגברית מספר שלם ואי שלילי המתאר את מספר דרגות החופש של היריעה; למשל יריעה מממד אפס היא אוסף סופי של נקודות, ממד של עקום הוא אחד ואילו הממד של היריעה האפינית - \mathbb{A}^n והיריעה הפרויקטיבית - \mathbb{P}^n הוא - n . מושג הממד קיים גם בסכימות ומבנים כלליים יותר של הגאומטריה האלגברית.

ניתן להגדיר את הממד באופן אקסיומטי על ידי שלוש הנחות המשקפות את התכונות הטבעיות שעל הממד לקיים. הנחות אלו יחד עם התכונות של יריעה אלגברית גוררות את יחידות הממד. קיומו של הממד מוכח על ידי בנייה מפורשת של פונקציית ממד, למשל ממד קרול, דרגת טרנסצנדנטיות וממד הילברט.

## הגדרה אקסיומטית
תהי X יריעה אלגברית מעל שדה \mathbb{K}, לשם הפשטות נניח ש - \mathbb{K} סגור אלגברית. הממד הוא פונקציה מהיריעות האלגבריות אל המספרים השלמים האי שליליים - \text{dim} \{\text{Algebraic Varities}\}\rightarrow \mathbb{N}\cup\{0\}, המקיימת את התכונות הבאות:
# לכל כיסוי פתוח של X על ידי יריעות אפיניות X=\cup_{i=1}^nX_i מתקיים \text{dim}(X)=max \{\text{dim}(X)_{i=1}^n\} .
# \text{dim}({\mathbb{A}}^n)=n .
# אם \nu:X\twoheadrightarrow Y הוא מורפיזם סופי (finite morphism) בין יריעות אלגבריות ועל, אז מתקיים \text{dim}(X)=\text{dim}(Y) .

ממשפט שבלה (ראה להלן) נובע שניתן להחליף את האקסיומה השלישית בהנחה אינטואיטיבית יותר -

3'. אם \nu:X\twoheadrightarrow Y הוא מורפיזם עם סיבים סופיים בין יריעות אלגבריות ועל, אז מתקיים \text{dim}(X)=\text{dim}(Y) .

מכיוון שהנחה זאת חזקה יותר, מקשה על הוכחת הקיום של פונקציית הממד, ואין בה צורך כדי להגדיר את הממד ביחידות נוח יותר להשתמש בהנחה 3.

## יחידות
לכל שתי פונקציות ממד \text{dim}_1  ו-\text{dim}_2  ולכל יריעה אלגברית X מתקיים \text{dim}_1(X)=\text{dim}_2(X) . בשל תכונה מספר 1, הנקראת גם מקומיות, מספיק להוכיח יחידות עבור יריעות אפיניות. ממשפט הנורמליזציה של נתר נובע כי כל יריעה אפינית X מממד n ניתן להעתיק סופית ועל \mathbb{A}^n
, כלומר קיימת \nu:X\twoheadrightarrow \mathbb{A}^n העתקה סופית ועל. מתכונה מספר 3 נובע כי \text{dim}_1(X)=\text{dim}_1(\mathbb{A}^n)  וגם \text{dim}_2(X)=\text{dim}_2(\mathbb{A}^n)  יחד עם תכונה 2 נובעת יחידות הממד - \text{dim}_1(X)=\text{dim}_1(\mathbb{A}^n)=n=\text{dim}_2(\mathbb{A}^n)=\text{dim}_2(X) .

## הגדרות מפורשות
נביא כמה דוגמאות מפורשות לבניית פונקציית ממד המקיימת את התכונות הנ"ל. כל אחת מהדוגמאות מספקת הוכחת קיום.

### ממד קרול

ממד קרול של מרחב טופולוגי X הוא אורך השרשרת הארוכה ביותר של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות המוכלות ב-X פחות אחת:\text{dim}_{Kr}\left(X\right) :=max_{n\in\mathbb{N}}\left\{ Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{n}\subset X|Z_{i}\neq\emptyset\,\,\text{irreducible}\right\} . 

הגדרה זו מתאימה גם לגאומטריה אלגברית מאחר שכל יריעה אלגברית היא בפרט מרחב טופולוגי. נוכיח כי פונקציית ממד קרול עונה על שלוש התכונות הנדרשות לממד של יריעה אלגברית:
# נניח X יריעה אלגברית כך ש - X=\cup_{i=1}^nX_i כיסוי פתוח של יריעות אפיניות ונניח כי \text{dim}_{Kr}\left(X\right)=n , כלומר קיימת שרשרת מאורך מקסימלי של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקותZ_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{n}\subset X . מאחר ש- X=\cup_{i=1}^nX_i קיים  1\leq i \leq n כך ש -X_{i}\cap Z_{n}\neq\emptyset אז Z_{0}\cap X_{i}\subsetneq Z_{1}\cap X_{i}\subsetneq...\subsetneq Z_{n}\cap X_{i}\subset X_{i} היא שרשרת של קבוצות סגורות לא ריקות ואי פריקות ב - X_{i}, אז מתקיים \dim_{Kr}\left(X_{i}\right)\geq\dim_{Kr}\left(X\right). מאחר לכל X_{1\leq i\leq n} וכל שרשרת U_{0}\subsetneq U_{1}.....\subsetneq U_{n}\subset X_{i} של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב - X_{i} ניתן להרים לשרשרת כנ"ל ב X - \overline{U_{0}}\subsetneq\overline{U_{1}}.....\subsetneq\overline{U_{n}}\subset X, נובע כי \dim_{Kr}X\geq max\left\{ \dim_{Kr}\left(X_{i}\right)\right\} _{i=1}^{n}. ביחד עם אי השוויון הקודם נקבל \dim_{Kr}X=max\left\{ \dim_{Kr}\left(X_{i}\right)\right\} _{i=1}^{n}.
# נסמן \mathbb{A}^{n}=\left\{ \left(x_{1},...,x_{n}\right)\right\} ונגדיר Z_{i}:= \{ x\in\mathbb{A}^{n}|x_{i+1}=....=x_{n}=0\}, מאחר שלכל i מתקיים Z_{i}\cong \mathbb{A}^{i}  אז Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{n}=\mathbb{A}^{n} היא שרשרת עולה ממש של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות, לכן, \dim_{Kr}\left(\mathbb{A}^{n}\right)\geq n . כעת נניח כי Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{p}\subset\mathbb{A}^{n} היא שרשרת עולה ממש של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות. מאחר ש-Z_{p-1} מוכלת ממש ב - \mathbb{A}^n וסגורה קיימת פונקציה רגולרית g\in\mathbb{K}\left[x_{1},...x_{n}\right] כך ש Z_{p-1}\subset \mathcal{V}\left(g\right), מוכלת בקבוצת האפסים של הפונקציה g המסומנת על ידי 
\mathcal{V}\left(g\right). ממסקנה ממשפט הנורמליזציה של נתר נובע כי ניתן למצוא מורפיזם על וסופי \nu:Z_{p-1}\twoheadrightarrow\mathbb{A}^{n-1}, מ-3 נקבל כי \dim_{Kr}Z_{p-1}=n-1 ומכאן \dim_{Kr}\left(\mathbb{A}^{n}\right)=n.
# נניח \nu:X\twoheadrightarrow Y הוא מורפיזם סופי ועל בין יריעות אלגבריות. נניח כי Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{p}\subset X. היא שרשרת עולה של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב-X, נסמן W_{i}=\nu\left(Z_{i}\right) אז W_{0}\subset W_{1}.....\subset W_{p}\subset Y היא שרשרת של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות בY, מאחר ש-\nu הוא מורפיזם סופי ניתן להוכיח כי זוהי שרשרת עולה W_{0}\subsetneq W_{1}.....\subsetneq W_{p}\subset Y לכן \dim_{Kr}\left(X\right)\geq\dim_{Kr}\left(Y\right). לחלופין, תהא W_{0}\subsetneq W_{1}.....\subsetneq W_{p}\subset Y שרשרת כנ"ל נרצה למצוא שרשרת מתאימה ב-X. נפרק לרכיבי אי פריקות את תת-היריעה \nu^{-1}\left(W_{p}\right)=K_{1}\cup....\cup K_{i} נשים לב שמאחר \nu על מתקיים W_{p}=\nu\left(K_{1}\right)\cup....\cup\nu\left(K_{i}\right) ומאחר ו-W_{p} אי פריקה קיים j כך ש W_{p}=\nu\left(K_{j}\right). נסמן Z_{p}:=K_{j} אז \nu:Z_{p}\rightarrow K_{j} הוא מורפיזם על וסופי בין תת-יריעות בלתי פריקות, על ידי אינדוקציה על p ניתן להשלים את Z_{p} לשרשרת עולה Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{p-1}\subsetneq Z_{p}\subset X של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב-X, ונקבל \dim_{Kr}\left(X\right)\leq\dim_{Kr}\left(Y\right). ביחד עם אי השוויון הקודם נקבל \dim_{Kr}\left(X\right)=\dim_{Kr}\left(Y\right). 

### דרגת טרנסצנדנטיות

יהיו \mathbb{K}, \mathbb{L} שדות כך ש-\mathbb{L} הוא הרחבת שדה של \mathbb{K}. העוצמה המקסימלית של תת-קבוצה בלתי תלויה אלגברית ב-\mathbb{L} מעל \mathbb{K} נקראת דרגת הטרנסצנדנטיות של \mathbb{L} מעל \mathbb{K} ומסומנת על ידי trans.deg\,_{\mathbb{K}}\left(\mathbb{L}\right).

תהי X יריעה אלגברית ו-\left\{ X_{i}\right\} _{i=1}^{m} רכיבי האי פריקות שלה, כלומר X=\cup_{i=1}^{n}X_{i}. נגדיר \dim\,_{tr}\left(X\right) =max\left\{ trans.deg\,_{\mathbb{K}}\left(\mathbb{K}\left(X_{i}\right)\right)\right\} _{i=1}^{m} כאשר \mathbb{K}\left(X_{i}\right) הוא שדה הפונקציות של היריעה האי פריקה X_{i}. ניתן להוכיח שפונקציית הממד המוגדרת באמצעות דרגת הטרנסצנדנטיות של שדות הפונקציות של תתי היריעות הבלתי פריקות מקיימת את שלוש התכונות הנדרשות לממד של יריעה אלגברית.

### ממד הילברט

## תכונות של ממד
יריעה אלגברית נקראת שוות ממד אם כל רכיבי אי הפריקות שלה הם בעלי אותו הממד. 

### תכונות כלליות
# תהי X יריעה אלגברית ותהי U\subset X קבוצה פתוחה וצפופה בX, אז \dim\left(U\right)=\dim\left(X\right).
# יהי \nu:X\rightarrow Y מורפיזם דומיננטי בין יריעות אלגבריות, אז \dim\left(X\right)\geq\dim\left(Y\right).

### משפט האידיאל הראשי

משפט האידיאל הראשי קובע כי עבור יריעה אלגברית אי פריקה X - לכל f פונקציה רגולרית על X: 0\neq f\in \mathcal{O}\left(X\right) בלתי הפיכה הקבוצה \left\{ x\in X|f\left(x\right)=0\right\} היא יריעה שוות ממד, מממד \dim X-1. בפרט, עבור g\in\mathbb{K}\left[x_{1},...x_{n}\right] פולינום לא קבוע ב-n
 משתנים, ממד היריעה המוגדרת על ידי קבוצת האפסים של g הוא \dim \mathcal{V}\left(g\right)=n-1.

### משפט שבלה

יהי \nu:X\rightarrow Y  מורפיזם בין יריעות אלגבריות, אז - 
# הפונקציה \dim\left(\nu^{-1}\left(y\right)\right) מקיימת כי הקבוצה \left\{ y\in Y|\dim\left(\nu^{-1}\left(y\right)\right)\geq n\right\}  פתוחה לכל n\in\mathbb{N} טבעי. 
# אם בנוסף X אי פריק אז לכל Y מתקיים \dim\left(\nu^{-1}\left(y\right)\right)\geq\dim\left(X\right)-\dim\overline{\nu\left(X\right)} . 
מסקנה ממשפט שבלה - יהי \nu:X\rightarrow Y מורפיזם דומיננטי בין יריעות אלגבריות כך שממד הסיבים קבוע, כלומר קיים n\in\mathbb{N} כך שלכל y\in Y מתקיים \dim\left(\nu^{-1}\left(y\right)\right)=n אז \dim\left(X\right)=n+\dim\left(Y\right).

## חלקות של יריעה אלגברית
תהי X יריעה אלגברית, נגדיר לכל x\in X את הממד המקומי ב-x להיות הממד המקסימלי של כל רכיבי אי הפריקות של X המכילים את הנקודה x:

\dim_{x}X: =max\left\{ \dim\left(C\right)|C\subset X\,\,is\,\,irreducible,\,x\in C\right\} . 

יריעה אלגברית X נקראת חלקה בנקודה x\in X אם \dim\left(T_{x}X\right)=\dim_{x}X, כאשר T_{x}X הוא המרחב הווקטורי המשיק זריצקי ליריעה X בנקודה x והממד שלו הוא הממד הליניארי. באופן כללי מתקיים בכל נקודה על היריעה \dim\left(T_{x}X\right)\geq\dim_{x}X.

## דוגמאות לחישוב ממד
; חישוב הממד של היריעה האפינית X=\mathcal{V}\left(y^{2}-x^{3}\right)
תהי X=\mathcal{V}\left(y^{2}-x^{3}\right) היריעה האפינית ב-\mathbb{A}^2
. נשים לב שמאחר ו-X מוגדרת על ידי משוואה אחת ו-\text{dim}({\mathbb{A}}^2)=2  נקבל כי \text{dim}(X)=1 . בנוסף, מאחר ש- (y^2-x^3)\in\mathbb{K}[x,y] הוא פולינום אי פריק, גם X הוא יריעה אי פריקה. דרך נוספת לחשב את ממד X היא בעזרת מורפיזם בירציונלי: נגדיר מפה \phi:\mathbb{A}^{1}\rightarrow X
 על ידי t\mapsto\left(t^{2},t^{3}\right)
 זוהי מפה בי רציונלית עם המפה ההפוכה \phi^{-1}|_{U_{X}}\left(x,y\right)=y/x
 כאשר U_{X}=\left\{ \left(x,y\right)\in X|x\neq0\right\}
 היא הקבוצה הפתוחה והצפופה ב-X אשר איזומורפית לקבוצה הפתוחה והצפופה ב- \mathbb{A}^1
U:=\phi^{-1}\left(U_{X}\right)
. ונקבל 1=\dim\mathbb{A}^{1}=\dim U=\dim U_{X}=\dim X
.

; חישוב הממד של היריעה האפינית X=\mathcal{V}\left(xy\right)
תהי X=\mathcal{V}\left(xy\right) היריעה האפינית ב-\mathbb{A}^2
. נשים לב שמאחר ו-X מוגדרת על ידי משוואה אחת ו-\text{dim}({\mathbb{A}}^2)=2  נקבל כי \text{dim}(X)=1 . בנוסף, מאחר שרכיבי הפריקות של הפולינום(y^2-x^3)\in\mathbb{K}[x,y] הם x,y נקבל בהתאמה את רכיבי אי הפריקות של X הם X=\mathcal{V}\left(y\right)\cup \mathcal{V}\left(x\right)
 ונשים לב שחוג הפונקציות הרגולריות על \mathcal{V}\left(y\right)
, המסומן ב-\mathbb{K}\left[\mathcal{V}\left(y\right)\right]
 איזומורפי לחוג הפולינומים במשתנה אחד \mathbb{K}\left[x\right]
, כלומר \mathbb{K}\left[\mathcal{V}\left(y\right)\right]\simeq\mathbb{K}\left[x\right]
 ובאופן דומה \mathbb{K}\left[\mathcal{V}\left(x\right)\right]\simeq\mathbb{K}\left[y\right]
. בפרט, דרגת הטרנצסדנטיות של שדה השברים \mathbb{K}\left(x\right)
 היא 1, ניתן למשל לבחור את המונום \left\{ x\right\}
 כאיבר בלתי תלוי אלגברית מעל \mathbb{K}
, באופן דומה דרגת הטרנצסדנטיות של שדה השברים \mathbb{K}\left(y\right)
 היא 1. על ידי שימוש בממד קרול נקבל באופן שקול לחישוב הקודם - \dim_{tr}\left(X\right)=1
.

; חישוב הממד של הגרסמניאן Gr(k,n)
תהיי X=GL (n,\mathbb{K}) היריעה המוגדרת על ידי החבורה הליניארית הכללית, על מנת לחשב את הממד של יריעת גרסמן  Y=Gr(k,n) נבנה מורפיזם על \nu:X\twoheadrightarrow Y באופן הבא - יהי L\in Gr(k,n) מרחב וקטורי k ממדי, כל מטריצה x\in X תעבור תחת המפה \nu למרחב הליניארי הנפרש על ידי הפעולה של x על המרחב L, כלומר \nu (x)=xL . נשים לב ש-\nu על, משום שכל שני תתי מרחבים ליניאריים מממד זהה צמודים על ידי מטריצת מעבר בסיס (כלומר איבר ב- X=GL (n,\mathbb{K})). 

ניתן לזהות את L עם אוסף הווקטורים מממד - n עם n-k קואורדינטות אחרונות שוות לאפס, כלומר L\simeq\mathbb{K}^k\subset\mathbb{K}^n
. לכן לכל x\in X מתקיים x.L=L  אם״ם x.L\subseteq L , אוסף המטריצות בX המקיים תנאי זה הוא המטריצות מהצורה \bigl( \begin{smallmatrix} A & B \\ 0_{mat} & C \end{smallmatrix} \bigr) כאשר 0_{mat} הוא מטריצת אפס מממד k\times(n-k). מכאן נקבל שלכל y\in Y מתקיים \dim\left(\nu^{-1}\left(y\right)\right)=\dim (GL(n,\mathbb{K}))-k\times(n-k), ממסקנה ממשפט שבלה נקבל כי \dim (GL(n,\mathbb{K})=\dim (Gr(k,n)+\dim (GL(n,\mathbb{K})-k\times(n-k)) כלומר\dim (Gr(k,n)=k\times(n-k)).

## לקריאה נוספת
#G.Kempf (1993), *Algebraic Varieties*, chapter 2.5 - Dimension

## קישורים חיצוניים
# Andreas Gathmann - Algebraic Geometry

קטגוריה:גאומטריה אלגברית