אינטגרל גאוסיאני

**אינטגרל גאוסיאני** הוא אינטגרל מסוים על פונקציית צפיפות של התפלגות נורמלית, כלומר:
\ \int \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{ (x - \mu)^2 }{2 \sigma^2}} \,\mathrm{d}x
והכללותיו. באופן עקרוני, החלק הלא טריוויאלי באינטגרל זה הוא האינטגרל:
\ \int e^{-x^2} \,\mathrm{d}x
וברגע שיודעים לפתור אותו קל לפתור גם את האינטגרל הכללי יותר שמופיע למעלה.

אינטגרל זה מופיע בתחומים רבים במתמטיקה ופיזיקה (בהם התפלגות נורמלית, התפלגות מקסוול-בולצמן, פונקציית השגיאה, אינטגרלי מסלול, אוסצילטור הרמוני קוונטי ועוד) וניתן לחשבו במדויק בהנחה שגבולות האינטגרציה הם אינסופיים (אינטגרל לא אמיתי). האינטגרל קרוי על שם המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס.

## גאוסיאן במשתנה אחד
הנוסחה הכללית עבור גאוסיאן במשתנה אחד היא כדלהלן:
\ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2 - bx - c}\, \mathrm{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2 - 4ac}{4a}} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp{\left(\frac{b^2 - 4ac}{4a}\right)}, \quad a > 0  

### הוכחת הנוסחה
את הנוסחה מוכיחים בשלושה שלבים:
# מחשבים את \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,\mathrm{d}x
# מחשבים את  \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x באמצעות החלפת משתנים.
# מחשבים את \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2 - bx - c}\, \mathrm{d}x באמצעות השלמה לריבוע.

#### שלב 1
קודם נראה שהאינטגרל מתכנס:
\begin{align}
0 
שכן עבור | x | > 1 מתקיים e^{-x^2}  והאינטגרלים \int_1^{\infty} x e^{-x^2} \mathrm{d}x = \left[ -\frac{e^{-x^2}}{2} \right]_1^{\infty} = \frac{e^{-1}}{2} = \frac{1}{2e} והמקביל לו מתכנסים.

שנית, נציב I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,\mathrm{d}x, נכפול את \ I באותו אינטגרל:
 I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,\mathrm{d}x \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2}\,\mathrm{d}y .

מחוקי אינטגרל כפול (משפט פוביני) וכפל אקספוננטים מקבלים ש
\ I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)}\,\mathrm{d}x \, \mathrm{d}y.
נשים לב שזוהי אינטגרציה על כל המישור \ x-y. נבצע החלפת משתנים לתיאור האינטגרציה בקואורדינטות קוטביות \ r, \phi
כאשר \ r^2 = x^2 + y^2
ו-\ \phi היא הזווית בין \ r לציר ה-\ x.

את אלמנט הנפח האינפיניטסימלי מחשבים באמצעות היעקוביאן של הטרנספורמציה \ \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = r \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\phi, ומקבלים ש-\ I^2 =  \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \,\mathrm{d}r  \,\mathrm{d}\phi.

את החלק הזוויתי קל לחשב, שכן האינטגרנד לא תלוי בזווית. מקבלים ש-\ I^2 = \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \,\mathrm{d}r \int_{0}^{2 \pi}\, \mathrm{d}\phi =
2 \pi \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \,\mathrm{d}r =  \pi \int_{0}^{\infty}e^{-r^2} 2r \,\mathrm{d}r .
כעת נשים לב ש-\ (r^2)' = 2r, ולכן \ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} e^{-r^2} = -e^{-r^2} 2r , ולכן  \ I^2 = \pi \left[ -e^{-r^2} \right]_{0}^{\infty} = \pi ( 0 - (-1)) = \pi.

לוקחים שורש ריבועי חיובי (כי האינטגרנד חיובי), ומקבלים \ I = \sqrt{\pi}
או לסיכום:
I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \,\mathrm{d} x = \sqrt{\pi}

#### שלב 2
מבצעים את החלפת המשתנים הבאה: \ y^2 = a x^2 \ , \ y = \sqrt{a} x \ , \ \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{a}} 

ואז:  \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\, \mathrm{d}y = \sqrt{\frac{\pi}{a}} 

#### שלב 3
ההשלמה לריבוע:
: \ -a x^2 - b x - c = -a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{b^2}{4a} - c
האינטגרציה על הריבוע נותנת \ \sqrt{\pi / a} ואילו הגורם הקבוע באקספוננט כופל אותו.

### הערות נוספות
יש לציין שהפונקציה עליה מחושב האינטגרל היא פונקציה זוגית ולכן
:\ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, \mathrm{d}x = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^2}\, \mathrm{d}x 

ניתן לחשב את האינטגרל גם כאשר האינטגרנד נכפל בחזקה של \ x, 
:\begin{align}
&\int_0^\infty x^{2n}  e^{-x^2/a^2}\,\mathrm{d}x
  &&= \sqrt{\pi} \frac{(2n)!}{n!} \left(\frac{a}{2}\right)^{2n+1} \\
&\int_0^\infty x^{2n+1}e^{-x^2/a^2}\,\mathrm{d}x
  &&= \frac{n!}{2} a^{2n+2}
\end{align}

## אינטגרל גאוסיאני במספר משתנים
אינטגרל של n משתנים בתבנית ביליניארית:
:
\int \exp\left( - \frac 1 2 A_{ij} x^i x^j \right) \,\mathrm{d}^nx
=
\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}}

כאשר A היא מטריצה סימטרית חיובית לחלוטין.

## אינטגרל גאוסיאני עם מקדם מדומה
כאשר המקדם של x^2 הוא \pm i = \sqrt{-1} עדיין אפשר לחשב את האינטגרל. השיטה הנכונה היא לבצע זאת באמצעות מסילה במישור המרוכב. מקבלים:
*\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ix^2} \,\mathrm{d}x = (1-i) \sqrt{ \frac{\pi}{2} }
*\int_{-\infty}^{\infty} e^{+ix^2} \,\mathrm{d}x = (1+i) \sqrt{ \frac{\pi}{2} }

## קישורים חיצוניים
* סרטון עם פתרון של אינטגרל גאוסיאני בעברית מאת אלון סלע
* 
*  

גאוסיאני
קטגוריה:קרל פרידריך גאוס