אופרטור סגור (קבוצות סדורות)

במתמטיקה, ובפרט בתורת הסדר, **אופרטור סְגוֹר** הוא פונקציה מקבוצה סדורה לעצמה שהיא מרחיבה, שומרת סדר ואידמפוטנטית. אופרטורי סגור מהווים הכללה למגוון של תופעות מתמטיות בתחומים שונים כגון טופולוגיה, גאומטריה, אלגברה ליניארית, ואחרים.

## הגדרה מתמטית
תהי קבוצה סדורה (P,\le) ופונקציה c\colon P\to P. אזי c תקרא **אופרטור סְגוֹר** אם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים:

# הרחבה: לכל x\in P מתקיים ש-x\le c(x).
# שמירת סדר: לכל x,y\in P כך ש-x\le y מתקיים ש-c(x)\le c(y).
# אידמפוטנטיות: לכל x\in P מתקיים ש-c(c(x))= c(x).

איבר a\in P שמקיים a\in\operatorname{Im}(c) נקרא **איבר סגור לפי <math>c</math>**.

## דוגמאות
טקסט=הדגמת הקמור של מצולע|ממוזער|פעולת הקמור במרחב אוקלידי היא אופרטור סגור. באיור, המצולע המקורי צבוע בצהוב והקמור שלו בעל קווים אדומים.
טקסט=פעולת סיבוב של מצולע|ממוזער|דוגמה של הפעולה <math>\operatorname{rot}</math> במרחב הדו-ממדי <math>\R^2</math>.

בערך זה נסמן ב-\N, \R ו-\C את קבוצת המספרים הטבעיים, הממשיים והמרוכבים בהתאמה. 
עבור קבוצה A כלשהי, נסמן ב-\mathcal{P}(A) את קבוצת החזקה שלה.
בהינתן שתי פונקציות f,g נסמן ב-f\circ g את פעולת ההרכבה שלהן.

* בהינתן קבוצה סדורה (P,\le), פונקציית הזהות \operatorname{id} היא אופרטור סגור על (P,\le).
* בהינתן קבוצה סדורה (P,\le):
** פונקציית הסגור מעלה \uparrow היא אופרטור סגור על (\mathcal{P}(P),\subseteq).
** פונקציית הסגור מטה \downarrow היא אופרטור סגור על (\mathcal{P}(P),\subseteq).
* בהינתן (\R,\le):
** לכל r\in \R מסמנים ב- |r| את פונקציית הערך המוחלט. פונקציה זו היא אופרטור סגור על (\R,\le).
** לכל r\in \R מסמנים ב- \lceil r\rceil את פונקציית התקרה. פונקציה זו היא אופרטור סגור על (\R,\le).
* בהינתן (\N,|), כלומר קבוצת המספרים הטבעיים עם היחס "מחלק את", ומקבעים m\in\N כלשהו. מגדירים פונקציה c\colon\N\to\N כך שלכל n\in\N מתקיים ש-c(n)=\operatorname{lcm}(n,m), כאשר \operatorname{lcm} הוא פעולת הכפולה המשותפת המינימלית. אזי c הוא אופרטור סגור על (\N,|).
* מסתכלים על המרחב הווקטורי \R^n. אזי:
** לכל A\subseteq \R^n מגדירים \operatorname{sym}(A):=A\cup(-A). אזי \operatorname{sym} הוא אופרטור סגור על (\mathcal{P}(\R^n),\subseteq).
** לכל A\subseteq \R^n מגדירים \operatorname{rot}(A):=\{Mv\mid v\in A, M\in\R^{n\times n},\det(M)=1\}. אזי, \operatorname{rot} הוא אופרטור סגור על (\mathcal{P}(\R^n),\subseteq).
* מסתכלים על המרחב הווקטורי \C^n. לכל A\subseteq \R^n מגדירים \operatorname{bal}(A):=\{\alpha v\mid v\in A, \alpha\in\C,|\alpha|\le 1\}. אזי, \operatorname{bal} הוא אופרטור סגור על (\mathcal{P}(\C^n),\subseteq) (ראו קבוצה מאוזנת).
* בהינתן מרחב וקטורי V, לכל A\subseteq V מסמנים ב-\operatorname{span}(A) את המרחב הווקטורי הנפרש על-ידי A. אזי, \operatorname{span} הוא אופרטור סגור על (\mathcal{P}(V),\subseteq).
* יהי מרחב אוקלידי n ממדי \mathbb{E}^n. לכל קבוצה של נקודות A\subseteq \mathbb{E}^n מסמנים ב-\operatorname{conv}(A) את הקמור של A. אזי \operatorname{conv} הוא אופרטור סגור על (\mathcal{P}(\mathbb{E}^n),\subseteq).
* בהינתן קבוצה כלשהי X עם טופולוגיה \tau, לכל A\subseteq X מסמנים ב-\operatorname{cl}(A) את הסגור של A. אזי, \operatorname{cl} הוא אופרטור סגור על (\mathcal{P}(X),\subseteq).
* בהינתן קבוצה כלשהי X, בוחרים U\subseteq X כלשהו. מגדירים c\colon\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X) כך שלכל A\subseteq X מתקיים ש-c(A):=A\cup U. אזי, c הוא אופרטור סגור על (\mathcal{P}(X),\subseteq).
* בהינתן חבורה כלשהי G, לכל A\subseteq G מסמנים ב-\left\langle A \right\rangle את החבורה הנוצרת על-ידי איברי A. אזי, \left\langle \cdot \right\rangle הוא אופרטור סגור על (\mathcal{P}(G),\subseteq).
* תהי G חבורה הפועלת  על קבוצה X. האופרטור c\colon\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X) המוגדר כך שc(A) הוא איחוד המסלולים החותכים את A הוא אופרטור סגור.
* בהינתן אלגברת הייטינג  כלשהי (H,\le,0,1,\to) מגדירים לכל a\in H את c(a):=\neg\neg a כאשר \neg הוא פעולת הפסאודו-משלים. אזי, c היא אופרטור סגור על (H,\le).

## תכונות
### תכונות כלליות
בהינתן קבוצה סדורה חלקית (P,\le) ואופרטור סגור c:P\to P:
* בהכרח מתקיים ש-\operatorname{Fix}(c)=\operatorname{Im}(c). כלומר, התמונה של c שווה לאוסף נקודות השבת שלה.
* לכל x,y\in P, אם x\le y\le c(x) בהכרח מתקיים ש-c(x)=c(y).
* אם z\in P הוא איבר מקסימלי אז c(z)=z.

### קיום אופרטור סגור
בהינתן קבוצה סדורה חלקית (P,\le) וקבוצה C\subseteq P, התנאים הבאים שקולים:

# קיימת פונקציה c:P\to P כך ש-c הוא אופרטור סגור וגם \operatorname{Im}(c)=C.
# לכל x\in P, לקבוצה C_{x\le}=\{y\in C\mid x\le y\} קיים איבר קטן ביותר.

#### הוכחה
2\Leftarrow 1: יהי x\in P. בהכרח מתקיים ש-x\le c(x), לכן c(x)\in C_{x\le}. לכל y\in C_{x\le} מתקיים ש-x\le y, וממונוטוניות מתקיים ש-c(x)\le c(y)=y. מכל זה c(x) הוא האיבר הקטן ביותר ב-C_{x\le}.

2\Rightarrow 1: מגדירים c:P\to P כך שלכל x\in P מתקיים ש-c(x):=\min(C_{x\le}). לפי ההגדרה בהכרח x\le c(x). לכל x,y\in P המקיימים x\le y אפשר להוכיח כי C_{y\le}\subseteq C_{x\le} לכן בהכרח c(x)=\min(C_{x\le})\le \min(C_{y\le})=c(y). כדי להוכיח אידמפוטנטיות מספיק לזהות ש-c(x) הוא תמיד איבר ב-C, לכן הוא האיבר הקטן ביותר שגדול מעצמו, כלומר c(c(x))= c(x). מאחר שלכל z\in C מתקיים ש-c(z)=z, אפשר לראות כי \operatorname{Im}(c)=C.

**מ.ש.ל.**

### הרכבת אופרטורים סגורים
בהינתן קבוצה סדורה חלקית (P,\le) ושני אופרטורים סגורים c_1,c_2:P\to P מתחלפים (כלומר c_1\circ c_2 =c_2\circ c_1). אזי, c_1\circ c_2 הוא אופרטור סגור בעצמו.

#### הוכחה
הרכבה של פונקציות מרחיבות היא תמיד מרחיבה, והרכבה של פונקציות שומרות סדר היא תמיד שומרת סדר (כאן אין צורך בהתחלפות). אכן:

**הרחבה**: יהי x\in P. מכיוון ש-c_2 מרחיבה, בהכרח x\le c_2(x). בנוסף, מכיוון ש-c_1 מרחיבה, c_2(x)\le c_1(c_2(x))=c_1\circ c_2(x). לכן, לפי טרנזיטיביות x\le c_1\circ c_2(x).

**שמירת סדר**: יהי x,y\in P כך ש-x\le y. מכיוון ש-c_2 שומרת סדר, בהכרח c_2(x)\le c_2(y). בנוסף, מכיוון ש-c_1 שומרת סדר, c_1\circ c_2(x)=c_1(c_2(x))\le c_1(c_2(y))=c_1\circ c_2(y).

**אידמפוטנטיות**: 
\begin{align} (c_1\circ c_2)\circ(c_1\circ c_2)=c_1\circ c_2\circ c_1\circ c_2 
=c_1\circ c_1\circ c_2\circ c_2 
= c_1 \circ c_2\end{align}

כאשר המעבר השני נעשה באמצעות ההתחלפות, והשלישי באמצעות האידמפוטנטיות של c_1 ו-c_2. 
**מ.ש.ל.**

### הפעלת אופרטור סגור על מפגש ומצרף
בהינתן קבוצה סדורה חלקית (P,\le) ואופרטור סגור c\colon P\to P:
* אם P היא סריג-למחצה תחתון, לכל x,y\in P מתקיים ש-c(x\and y)=c(x)\and c(y).
* אם P היא סריג-למחצה תחתון שלם, לכל A\subseteq P מתקיים ש-c\left(\bigwedge A\right)=\bigwedge c(A).
* אם P היא סריג-למחצה עליון, לכל x,y\in P מתקיים ש-c(x\or y)=c(c(x)\or c(y)).
* אם P היא סריג-למחצה עליון שלם, לכל A\subseteq P מתקיים ש-c\left(\bigvee A\right)=c\left(\bigvee c(A)\right).

ניתן להבחין מהאמור לעיל שאם P היא סריג-למחצה תחתון (עליון) אז גם C:=\operatorname{Im}(c) היא סריג-למחצה תחתון (עליון). באופן דומה, אם P היא סריג-למחצה תחתון (עליון) שלם אז גם C היא סריג-למחצה תחתון (עליון) שלם. בפרט, אם P היא סריג (שלם) אז גם C הוא סריג (שלם).

עם זאת, קיים הבדל מהותי בין מפגש למצרף בנוגע לשמירת פעולות אלו במעבר מ-P ל-C: לכל A\subseteq C ניתן לראות כי \bigwedge_P A =\bigwedge_C A. עם זאת, \bigvee^P A \le\bigvee^C A, כלומר הם לא בהכרח שווים. השוויון המתקיים הוא c\left(\bigvee^P A\right) =\bigvee^C A.

## אופרטור סגור כפעולת סגור של טופולוגיה
נתונה קבוצה כלשהי X ופונקציה c\colon\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X) שהיא אופרטור סגור על (\mathcal{P}(X),\subseteq). נשאלת השאלה, האם קיימת טופולוגיה \tau על X כך ש-c הוא פונקציית הסגור שלה, כלומר ש-\tau=\{U\subseteq X\mid X\setminus U\in \operatorname{Im}(c)\}.

באופן כללי, אופרטור סגור אינו בהכרח יכול לשמש כפונקציית סגור של טופולוגיה. הסיבה לכך היא שבטופולוגיה, איחוד סופי של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה. עם זאת, עבור אופרטור סגור כללי הדבר איננו מובטח, שכן כפי שהוצג למעלה פעולת המצרף (שהיא פעולת האיחוד במקרה של קבוצות) אינה בהכרח סגורה לקבוצות סגורות.
ממוזער|קמור של איחוד קבוצות. בצהוב מסומנים המצולעים המקוריים, באדום מסומנים הקמורים של כל מצולע בנפרד, ובכחול השטח שנוסף לקמור של איחוד הקבוצות. כל השטח הצבוע יחדיו הוא הקמור של איחוד המצולעים הצהובים.
דוגמה לכך היא פעולת הקמור במרחב אוקלידי. כאשר מחשבים את הקמור של איחוד של קבוצות, ייתכן שקמור זה יוסיף נקודות שאינן בקמור של כל קבוצה בנפרד. כלומר, יהיה שטח שיהיה בקמור של האיחוד שלא יהיה בקמור של כל אחת מהקבוצות (ראו איור להמחשה).

כדי שהאופרטור c יוכל לשמש כפונקציית הסגור של טופולוגיה כלשהי, הוא חייב לקיים את ארבעת אקסיומות הסגירות של קורטובסקי :

# c(\emptyset)=\emptyset
# הרחבה: לכל A\subseteq X מתקיים ש-A\subseteq c(A)
# לכל A,B\subseteq X מתקיים ש-c(A\cup B)=c(A)\cup c(B) (זו גרסה חזקה של שמירת הסדר).
# אידמפוטנטיות: לכל A\subseteq X מתקיים ש-c(c(A))= c(A)

כל פונקציה שמקיימת את אקסיומות קורטובסקי היא בהכרח אופרטור סגור, אך ההפך אינו נכון.

## אופרטור סגור והתאמת גלואה
נתונות שתי קבוצות סדורות חלקית (P,\le_P) ו-(Q,\le_Q) ושתי פונקציות f\colon P\to Q ו-g\colon Q\to P. אזי:
* הזוג הסדור (f,g) ייקרא התאמת גלואה  מונוטוני אם ורק אם לכל a\in P, b\in Q מתקיים ש-f(a)\le b \Longleftrightarrow a\le g(b).
* הזוג הסדור (f,g) ייקרא התאמת גלואה אנטיטונית אם ורק אם לכל a\in P, b\in Q מתקיים ש-b\le f(a) \Longleftrightarrow a\le g(b).

ניתן להוכיח כי אם (f,g) הוא התאמת גלואה מונוטונית אז g\circ f הוא אופרטור סגור על (P,\le_P) ו-f\circ g הוא אופרטור פנים (ראו למטה) על (Q,\le_Q). באופן דומה, ניתן להוכיח כי אם (f,g) הוא התאמת גלואה אנטיטונית אז g\circ f הוא אופרטור סגור על (P,\le_P) ו-f\circ g הוא אופרטור סגור על (Q,\le_Q).

נשאלת השאלה, בהינתן קבוצה סדורה חלקית (P,\le) ואופרטור סגור c\colon P\to P, האם קיימת קבוצה סדורה (Q,\le_Q) ושתי פונקציות f\colon P\to Q ו-g\colon Q\to P כך ש-(f,g) הוא התאמת גלואה מונוטונית ו-c=g\circ f.

ניתן להוכיח שהתשובה חיובית. מסמנים ב-C:=\operatorname{Im}(c) ומסתכלים על הקבוצה (C,\le) (כלומר, הקבוצה C עם אותו יחס סדר של P). מסתכלים על הזוג הסדור (c,\operatorname{id}_C). ניתן להוכיח כי לכל a\in P, b\in C מתקיים ש-c(a)\le b \Longleftrightarrow a\le \operatorname{id}_C(b)=b.

לכן, (c,\operatorname{id}_C) הוא התאמת גלואה מונוטונית ו-c=\operatorname{id}_C\circ c.

## אופרטור פנים
תהי קבוצה סדורה (P,\le) ופונקציה i\colon P\to P. אזי i תקרא **אופרטור פנים** אם ורק אם מתקיים התנאים הבאים:
# כיווץ: לכל x\in P מתקיים ש-i(x)\le x.
# שמירת סדר: לכל x,y\in P כך ש-x\le y מתקיים ש-i(x)\le i(y).
# אידמפוטנטיות: לכל x\in P מתקיים ש-i(i(x))= i(x).
ניתן לראות כי אופרטור פנים זהה לאופרטור סגור פרט לכך שהוא מכווץ במקום להרחיב. כלומר, אופרטור פנים של (P,\le) אינו אלא אופרטור סגור של (P,\ge). מסיבה זו, במקורות מסוימים הוא נקרא **אופרטור סגור דואלי**.

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת הסדר