סריג (מבנה סדור)

בתורת הקבוצות, **סריג** הוא קבוצה עם יחס סדר חלקי, שבו לכל קבוצה בת שני איברים a ,b יש אינפימום וסופרמום. 

ייחודם של סריגים בכך שיש להם שתי הגדרות שקולות: אחת באמצעות יחס סדר, ככתוב למעלה, והשנייה הגדרה אלגברית (ראו למטה). תכונה זו מאפשרת לחקור סריגים בשתי הדרכים. 

סריגים מופיעים בתחומים רבים במתמטיקה כגון תורת הקבוצות, תורת המספרים, טופולוגיה, אלגברה, גאומטריה ועוד. 
__תוכן__

## הגדרות פורמליות

### הגדרה באמצעות סדר חלקי
תהי קבוצה סדורה (L,\le). אזי L תקרא **סריג** אם ורק אם לכל זוג איברים a,b\in L יש אינפימום וסופרמום. כלומר:

# קיים s\in L כך ש-a\le s וגם b\le s ולכל t\in L כל ש-a\le t וגם b\le t מתקיים בהכרח ש-s\le t.
# קיים i\in L כך ש-i\le a וגם i\le b ולכל j\in L כל ש-j\le a וגם j\le b מתקיים בהכרח ש-j\le i.

### הגדרה באמצעות פעולות אלגבריות
תהי קבוצה L ועליה שתי פעולות בינאריות \wedge\colon L\times L\to L ו-\vee\colon L\times L\to L. אזי (L,\wedge,\vee) תקרא **סריג** אם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים:

# אסוציאטיביות: לכל a,b,c\in L מתקיים ש-(a\wedge b)\wedge c=a\wedge(b\wedge c) ו-(a\vee b)\vee c=a\vee(b\vee c).
# קומוטטיביות: לכל a,b\in L מתקיים ש-a\wedge b=b\wedge a ו-a\vee b=b\vee a.
# אידמפוטנטיות: לכל a\in L מתקיים ש-a\wedge a=a ו-a\vee a=a.
# בליעה: לכל a,b\in L מתקיים ש-(a\wedge b)\vee a=a ו-(a\vee b)\wedge a=a.

ניתן לקראות כי הפעולות \wedge ו-\vee זהות זו לזו ואין הבדל מהותי ביניהן (כלומר, אפשר להחליף את הסימנים ביניהם והתכונות לעיל תשארנה אותו הדבר). עם זאת, לרוב \wedge קרויה **מפגש** (meet) ו-\vee קרויה **מצרף** (join).

### שקילות ההגדרות
שתי ההגדרות לעיל לסריג שקולות זו לזו, וניתן להגדיר את האחת מן האחרת.

אם (L,\le) סריג לפי ההגדרה הראשונה, לכל a,b\in L אפשר להגדיר a\wedge b:=\inf\{a, b\} ו-a\vee b:=\sup\{a, b\}. שתי פעולות אלו מוגדרות היטב לפי ההגדרה באמצעות סדר חלקי לסריג, וכן הן מקיימות את ארבעת האקסיומות בהגדרה האלגברית.

מצד שני, אם (L,\wedge,\vee) הוא סריג לפי ההגדרה האלגברית, לכל a,b\in L, התנאים הבאים שקולים:

# a\wedge b = a
# a\vee b = b

מסמנים a\le b אם a ו-b מקיימים את אחד התנאים השקולים הללו. ניתן להוכיח כי \le הוא יחס סדר חלקי על L וכי לכל זוג איברים a,b\in L קיים אינפימום (a\wedge b) וסופרמום (a\vee b).

כאשר רוצים להתייחס לסריג באופן שמכבד את שתי ההגדרות, אפשר לסמנו ב-(L,\wedge,\vee,\le).

## דוגמאות


Image:Hasse diagram of powerset of 3.svg|**תרשים 1:** סריג של תת-הקבוצות של \{x, y, z\} עם יחס הכלה (תורת הקבוצות). השם "סריג" נובע מצורת דיאגרמת הסה המתארת מבנה זה.
File:Lattice of the divisibility of 60.svg|**תרשים 2:** סריג המחלקים של 60 עם יחס מחלק.
File:Lattice of partitions of an order 4 set.svg|**תרשים 3:** סריג החלוקות של \{1, 2, 3, 4\}  עם יחס "עידון חלוקה".
File:Nat num.svg|**תרשים 4:** סריג מספרים טבעיים עם יחס \,\leq.
File:N-Quadrat, gedreht.svg|**תרשים 5:** סריג זוגות של מספרים שלמים, מסודרים בגודל לפי רכיבים.


* בדוגמה 1, לכל שני תת-קבוצות A, B \subset U יש אינפימום A \wedge B = A \cap B וסופרמום A \vee B = A \cup B.
* בדוגמה 2, לכל שני מספרים יש אינפימום והוא המחלק המשותף הגדול ביותר (gcd) וסופרמום שהוא הכפולה המשותפת הקטנה ביותר (lcm).
* בדוגמה 4, לכל a, b \in \mathbb{Z} האינפימום הוא A \wedge B = \inf \{ a ,b \} = \min\{a,b\} והסופרמום הוא A \vee B = \sup\{a,b\} = \max\{a,b\}.
* בדוגמה 5, יחס הסדר הוא (x_1, y_1) \le (x_2, y_2) \iff x_1 \le x_2 , y_1 \le y_2 ואז האינפימום הוא (x_\inf, y_\inf) = \left(\min\{x_1, x_2\}, \min\{y_1, y_2\}\right) וסופרמום (x_\sup, y_\sup) = \left(\max\{x_1, x_2\}, \max\{y_1, y_2\}\right).

## תכונות

* כל קבוצה סדורה בסדר מלא היא סריג.
* הסדר הדואלי של סריג הוא סריג בעצמו.
* כל סכום סודרי של סריגים הוא סריג.
* כל מכפלה לקסיקוגרפית של סריגים היא סריג.
* כל מכפלה ישרה של סריגים היא סריג.

## תת-סריג
טקסט=דוגמה ודוגמה נגדית לתת-סריג|ממוזער|שתי תתי-קבוצות של סריג המחלקים הטבעיים של 30: הקבוצה משמאל היא תת-סריג (בכחול), בעוד הקבוצה מימין אינה תת-סריג (בצהוב), למרות שהסדר המושרה בשתיהן הוא של סריג.
יהי סריג (L,\wedge,\vee,\le) ותהי תת-קבוצה M\subseteq L. M תקרא **תת-סריג של** L אם ורק אם היא סגורה למפגש ומצרף. כלומר, לכל a,b\in M מתקיים ש-a\wedge b\in M ו-a\vee b\in M.

כל תת-קבוצה של קבוצה סדורה היא סדורה בעצמה לפי הסדר המושרה. עם זאת, לא כל תת-קבוצה של סריג היא תת-סריג, גם אם הסדר המושרה עליה הוא סדר של סריג (ראו תרשים לדוגמה).

## הומומורפיזמים
יהי זוג סריגים (L,\wedge_L,\vee_L) ו-(M,\wedge_M,\vee_M). פונקציה \varphi\colon L\to M תקרא **[[הומומורפיזם]] של סריגים** אם ורק אם לכל a,b\in L מתקיים ש-\varphi(a\wedge_L b)=\varphi(a)\wedge_M \varphi(b) ו-\varphi(a\vee_L b)=\varphi(a)\vee_M \varphi(b). כל הומומורפיזם של סריגים הוא בהכרח שיכון סדר לפי הסדרים הרלוונטיים בין שני הסדרים.

הפונקציה \varphi\colon L\to M תקרא **איזומורפיזם של סריגים** אם ורק אם היא הומומורפיזם של סריגים שהוא גם פונקציה חד-חד ערכית ועל. ניתן להוכיח שאם L היא סריג ו-\varphi היא איזומורפיזם סדר, אז גם M סריג ולכן \varphi היא איזומורפיזם של סריגים.

## סריגים שלמים

בסריג אפשר להגדיר מצרף ומפגש של כל קבוצה סופית. אם לכל קבוצה יש אינפימום וסופרמום הסריג נקרא **שלם**. כל סריג שלם הוא **חסום**: יש בו איבר קטן ביותר (הסופרמום של הקבוצה הריקה), ואיבר גדול ביותר (האינפימום שלה). סריג תת-הקבוצות של X הוא סריג שלם; לא כל אלגברה בוליאנית היא שלמה. הסריג שמגדיר יחס סדר מלא הוא שלם, אם ורק אם הסדר וההפכי לו שניהם יחסי סדר טובים.

## סריגים למחצה

בהינתן קבוצה סדורה (P,\le), P תקרא **[[סריג-למחצה עליון]]** אם ורק אם לכל זוג איברים קיים סופרמום. P תקרא **[[סריג-למחצה תחתון]]** אם ורק אם לכל זוג איברים קיים סופרמום. ניתן לראות כי P היא סריג אם ורק אם היא גם סריג-למחצה עליון וגם סריג-למחצה תחתון.

לסריגים-למחצה, בדומה לסריגים, קיימת הגדרה אלגברית שקולה:

בהינתן קבוצה P ופעולה בינארית \bullet\colon P\times P \to P, P תקרא סריג-למחצה אם ורק אם הפעולה \bullet מקיימת את התנאים הבאים:

#אסוציאטיביות: לכל a,b,c\in L מתקיים ש-(a\bullet b)\bullet c=a\bullet(b\bullet c)
# קומוטטיביות: לכל a,b\in L מתקיים ש-a\bullet b=b\bullet a.
# אידמפוטנטיות: לכל a\in L מתקיים ש-a\bullet a=a.

גם כאן, אפשר לבנות את שתי ההגדרות אחת מן השניה:

בהינתן הסדר החלקי של הסריג-למחצה, ניתן לבנות ממנו את הפעולה האלגברית על-ידי a\bullet b:=\sup\{a,b\}.

מצד שני, בהינתן הסריג-למחצה האלגברי, ניתן להגדיר ממנו את יחס הסדר החלקי כך שלכל a,b\in P מתקיים ש-a\le b אם ורק אם a\bullet b = b.

יש לשים לב שבהגדרה האלגברית של סריג-למחצה אין הבדל בין סריג-למחצה עליון לסריג-למחצה תחתון.

## סריגים מודולריים

בכל סריג, אם a \leq b, אז לכל c מתקיים a \vee (c \wedge b) \leq (a \vee c) \wedge b. אם זהו תמיד שוויון, הסריג נקרא **מודולרי**. המודולריות משותפת לסריגים חשובים רבים, כגון סריג תת-החבורות הנורמליות של חבורה, או סריג תת-המודולים של מודול. 

בסריג מודולרי, לכל a,b, הפונקציות x \mapsto x \wedge a ו-y \mapsto y \vee b הן איזומורפיזמים הפוכים זה לזה של הקטעים [a \wedge b, a] ו-[b, a \vee b]. 

אומרים שאיבר a בקבוצה סדורה מכסה את האיבר b, אם b, ולא קיים b. אם המצרף עם x שומר על היחס "מכסה או שווה" (ובאופן שקול: אם a\vee b מכסה את b כל אימת ש-a מכסה את a \wedge b), אז הסריג נקרא **מודולרי-למחצה עליון**. אם המפגש עם x שומר על היחס "מכסה או שווה", אז הסריג הוא **מודולרי-למחצה תחתון**. כל סריג מודולרי הוא גם מודולרי למחצה עליון ותחתון. ולהפך: אם אין בסריג שרשראות אינסופיות, והוא מודולרי-למחצה עליון ותחתון, אז הוא מודולרי.

כאשר אין בסריג שרשראות אינסופיות, מן המודולריות למחצה (מאחד הטיפוסים) נובע שכל השרשראות המקסימליות מ-a ל-b הן באותו אורך. אם a\leq b, אפשר להגדיר את המרחק d(a,b) כארכה של השרשרת הקצרה ביותר מ-a ל-b. סריג הוא מודולרי-למחצה עליון, אם ורק אם d(a\wedge b,a) \geq d(b,a\vee b) לכל a ו-b; ומודולרי אם ורק אם d(a\wedge b,a) = d(b,a\vee b) לכל a ו-b. אם לסריג יש איבר מינימלי 0 והמרחק מ-0 תמיד סופי, אז פונקציית הגובה h(x) = d(0,x) מקיימת h(a\vee b)+h(a \wedge b) = h(a)+h(b) אם ורק אם הסריג מודולרי.

## ראו גם

* סריג חופשי
* דיאגרמת הסה

## לקריאה נוספת

## קישורים חיצוניים

* 
* 

קטגוריה:תורת הסדר
קטגוריה:קבוצות סדורות