התפלגות זטא

{\zeta(s)}
| תוחלת = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}~\textrm{for}~s>2
| סטיית תקן =
| חציון =
| שכיח = 1\,
| שונות = \frac{\zeta(s)\zeta(s-2) - \zeta(s-1)^2}{\zeta(s)^2}~\textrm{for}~s>3
| אנטרופיה = \sum_{k=1}^\infty\frac{1/k^s}{\zeta(s)}\log (k^s \zeta(s)).\,\!
| מומנטים = לא מוגדרת
| אופיינית = \frac{\operatorname{Li}_s(e^{it})}{\zeta(s)}
| צידוד =
| גבנוניות =
}}
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, **התפלגות זטא** היא התפלגות הסתברות בדידה. אם *X* הוא משתנה אקראי המתפלג זטא עם פרמטר *s*, אז ההסתברות ש- *X* מקבל את הערך השלם החיובי *k* נתונה על ידי פונקציית ההסתברות

: f_s(k) = \frac{k^{-s}}{\zeta(s)} 

כאשר *ζ* ( *s* ) היא פונקציית זטא של רימן (שאינה מוגדרת עבור *s* = 1).

פונקציית זטא של רימן היא סכום כל האיברים k^{-s} עבור מספר שלם חיובי *k. פונקציה זו נראית* כגורם נירמול של התפלגות Zipf . המונחים "התפלגות Zipf" ו"התפלגות זטא" משמשים לעיתים קרובות לסירוגין. אבל בעוד שהתפלגות זטא היא התפלגות הסתברות בפני עצמה, היא אינה קשורה לחוק Zipf עם אותו מעריך.

## הגדרה
התפלגות זטא מוגדרת עבור מספרים שלמים חיוביים k \geq 1, ופונקציית ההסתברותית שלה נתונה על ידי

:  P(x=k) = \frac 1 {\zeta(s)} k^{-s} 

כאשר s>1 הוא הפרמטר, ו \zeta(s) היא פונקציית הזטה של רימן.

פונקציית ההתפלגות המצטברת נתונה על ידי

: P(x \leq k) = \frac{H_{k,s}}{\zeta(s)} ,

כאשר H_{k,s} הוא המספר ההרמוני המוכלל

: H_{k,s} = \sum_{i=1}^k \frac 1 {i^s}.

## מומנטים
המומנט הגולמי ה- *n* מוגדר כערך התוחלת של *X**n* :

: m_n = E(X^n) = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{s-n}}

הטור מימין היא רק ייצוג של פונקציית זטא של רימן, אבל היא מתכנסת רק כאשר s-n גדול מ 1. כלומר:

: m_n =
\begin{cases}
\zeta(s-n)/\zeta(s) & \text{for } n 

היחס בין פונקציות זטא מוגדר היטב, אפילו עבור *n* &#x3E; *ס* &#x2212; 1 מכיוון שניתן לבצע המשכה אנליטית של הייצוג של פונקציית זטא כטור.

### תוחלת, שונות, צידוד, גבנוניות
* תוחלת: \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} (מוגדרת עבור s>2).
* שונות: \frac{\zeta(s)\zeta(s-2) - \zeta(s-1)^2}{\zeta(s)^2} (מוגדרת עבור s>3).
* צידוד: \frac{\zeta(s - 3) \zeta^2(s) - 3 \zeta(s - 1) \zeta(s - 2) \zeta(s) + 2 \zeta^3(s - 1)} {\zeta(s - 2) \zeta(s) - \zeta^2(s - 1)^{ 3 / 2 }} (מוגדר עבור s>4).
* גבנוניות: \frac{\zeta(s - 4) \zeta^3(s) - 4 \zeta(s - 1) \zeta(s - 3) \zeta^2(s) + 6 \zeta^2(s - 1) \zeta(s - 2) \zeta(s) - 3 \zeta^4(s - 1)} {\left[\zeta(s - 2) \zeta(s) - \zeta^2(s - 1)\right]^2} (מוגדרת עבור s>5).

### פונקציה יוצרת מומנטים
הפונקציה יוצרת מומנטים מוגדרת כ

: M(t;s) = E(e^{tX}) = \frac{1}{\zeta(s)} \sum_{k=1}^\infty \frac{e^{tk}}{k^s}

הטור היא למעשה ההגדרה של הפולילוגריתם, תקף עבור e^t כך ש

: M(t;s) = \frac{\operatorname{Li}_s(e^t)}{\zeta(s)}\text{ for }t

מכיוון שביטוי זה לא מתכנס בקטע פתוח המכיל את  t=0, הפונקציה יוצרת מומנטים לא קיימת.

## המקרה ''s'' = 1
*ζ* (1) הוא אינסופי כסדרה ההרמונית, ולכן אין משמעות למקרה *s* = 1. עם זאת, אם *A* היא קבוצה כלשהי של מספרים שלמים חיוביים בעלת צפיפות, כלומר אם הגבול

: \lim_{n\to\infty}\frac{N(A,n)}{n}

קיים, כאשר *N*(*A*, *n*), מספר האיברים של *A* הקטנים או שווה ל *n*, אז

: \lim_{s\to 1^+}P(X\in A)\,

שווה לצפיפות זו.

הגבול האחרון יכול להתקיים גם במקרים מסוימים שבהם ל-*A* אין צפיפות. לדוגמה, אם *A* הוא קבוצת כל המספרים השלמים החיוביים שהספרה הראשונה שלהם היא *d*, אזי ל-*A* אין צפיפות, אבל למרות זאת הגבול השני שניתן לעיל קיים, והוא פרופורציוני ל

: \log(d+1) - \log(d) = \log\left(1+\frac{1}{d}\right)

שהוא חוק בנפורד.

## ראו גם
* התפלגות קושי
* התפלגות פארטו
* חוק זיף

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

זטא