אפקט הקרום

[ממוזער|left|הפילוג של זרם חשמלי בחתך רוחב של מוליך גלילי; עוצמת הזרם מומחשת באמצעות כהות הצבע. בעבור [זרם חילופין, צפיפות הזרם דועכת מעריכית מפני השטח כלפי פנים. עומק הקרום, δ, מוגדר כעומק שבו צפיפות הזרם פוחתת ל-1/e (בערך 37%) מערכה על השפה; הוא תלוי בתדירות של הזרם ובתכונות המגנטיות והחשמליות של המוליך.]]
בתורת האלקטרומגנטיות, **אפקט הקרום** (באנגלית: **Skin effect**) הוא הנטייה של זרמי חילופין (*AC*) להיות מפולגים בתוך המוליך הנושא אותם באופן כזה שצפיפות הזרם החשמלי היא גבוהה ביותר בסמוך לפני השטח של המוליך, ופוחתת עם הגידול בעומק בתוך המוליך. הזרם החשמלי נע בעיקר ב"קרום" של המוליך, בתוך שכבה דקה שממוקמת בין פני השטח שלו למפלס מסוים, שרוחבה מכונה **עומק הקרום**.

קיים יחס הפוך בין תדירות זרם החילופין לבין עובי שכבת ה"קרום" כך שככל שתדירות זרם החילופין עולה, כך הופכת שכבת ה"קרום" לדקה יותר. כלומר, ככל שעולה תדירות זרם החילופין כך הולך וקטן שטח החתך של המוליך שדרכו מתקדם רוב הזרם.
לכן, במוליך בעובי נתון, ההתנגדות החשמלית האפקטיבית גדלה עם תדירות זרם החילופין המועבר דרכו.

כמקרי קצה ניתן לבחון מצב בו תדירות זרם החילופין היא 0 ומקרה בו התדירות היא אינסופית:
* כאשר תדירות זרם החילופין היא 0 – זהו מצב של זרם ישר. במצב זה לא קיים "קרום" וההולכה מתבצעת באופן אחיד לכל עומק החתך במוליך, כך שהתנגדות המוליך היא הקטנה ביותר.
* כאשר תדירות זרם החילופין היא אינסופית – זהו מצב תאורטי שבו ה"קרום" דק כל-כך כך שלמעשה הוא איננו קיים ולא מתאפשרת הולכה. במצב זה התנגדות המוליך היא אינסופית.

בצורה מעט פשטנית ניתן לומר שהתופעה נגרמת על ידי זרמי מערבולת מנוגדים המושרים על ידי השדה המגנטי המשתנה הנגרם כתוצאה מזרם החילופין. לדוגמה, בזרם חילופין בתדירות 60 הרץ הזורם בנחושת, עומק הקרום הוא בערך 8.5 מילימטר. בתדירויות גבוהות יותר עומק הקרום קטן בהרבה.

מכיוון שהמשוואות המתארות חדירת גל אלקטרומגנטי לתווך מוליך זהות לאלו שמתארות את פילוג השדה החשמלי עבור זרם חילופין בקו תמסורת (את שני המקרים מתארות משוואות מקסוול בתווך בעל מוליכות), לעיתים קרובות מתייחסים במינוח מאוחד לשני המקרים, ולכן מתארים את התנהגות זרם החילופין באפקט הקרום באמצעות מושגים מתורת הגלים.

## סיבת האפקט
ממוזער|אפקט הקרום נגרם עקב זרמי הערבולת (הנגרמים כתוצאה משדה מגנטי משתנה) המקזזים את הזרימה במרכז המוליך.
מוליכים, שמיוצרים בדרך כלל בצורה של תילים, יכולים לשמש כדי לממסר אנרגיה או אותות חשמליים באמצעות זרם חילופין הזורם דרכם. נושאי המטען החשמלי שמרכיבים את הזרם הזה, כמעט תמיד אלקטרונים, מונעים על ידי שדה חשמלי. זרם חילופין בתוך המוליך יוצר שדה מגנטי משתנה בתוך ומחוץ למוליך; כאשר צפיפות הזרם במוליך משתנה, השדה המגנטי הנלווה אליו גם משתנה. לפי חוק פאראדיי השינוי בשדה המגנטי הזה יוצר בתורו שדה חשמלי שמתנגד לשינוי בצפיפות הזרם. השדה החשמלי המנוגד הזה מכונה "כוח אלקטרו מניע מנוגד" (*back EMF*). הכוח האלקטרומניע המנוגד הוא חזק ביותר במרכז המוליך, ולכן מקזז את השדה החשמלי החיצוני במידה הרבה ביותר במרכזו. באיור משמאל מתוארים קווי השדה המגנטי על ידי המעגלים הכחולים, ו"זרמי המערבולת" המושרים על ידי השדה החשמלי הנגרם משינוי השדה המגנטי מיוצגים על ידי המעגלים האדומים. מנקודת מבט שקולה ניתן לומר שהשדה המגנטי המשתנה יוצר שדה חשמלי ערבולי, מה שבא לידי ביטוי בגרדיאנט רדיאלי של השדה החשמלי.

זרם חילופין עשוי גם להיות מושרה במוליך עקב שדה מגנטי חיצוני המשתנה בזמן, בהתאם לחוק ההשראה. גל אלקטרומגנטי הפוגע במוליך כזה יפיק בדרך כלל זרם כזה; זה מסביר את ההחזרה של גלים אלקטרומגנטיים ממתכות.

ללא קשר לכוח המניע, צפיפות הזרם תהיה גבוהה ביותר על שפת המוליך, עם עוצמה מופחתת בפנים המוליך. הדעיכה בעוצמת הזרם נקראת **אפקט הקרום**, ו**עומק הקרום** הוא מדד לעומק שבו צפיפות הזרם קטנה פי e מערכו בסמוך לפני השטח. מעל 98% מהזרם יזרום בשכבה חיצונית שעוביה 4 פעמים עומק הקרום. התנהגות זאת שונה מזאת של זרם ישר אשר בדרך כלל מתפלג בצורה אחידה על פני חתך הרוחב של התיל.

האפקט תואר לראשונה במאמר של הוראס לם (Horace Lamb) מ-1883 עבור המקרה של מוליכים כדוריים, וב-1885 הוכלל למוליכים מכל צורה שהיא על ידי אוליבר הביסייד. לאפקט הקרום יש השלכות מעשיות בניתוח ותכנון של מעגלים חשמליים בתדרי רדיו ומיקרו, כמו גם קווי תמסורת ואנטנות. הוא חשוב גם בתדירויות בעלות ערכים של 50–60 הרץ - טווח התואם את התדירות הסטנדרטית ברשתות אספקות חשמל. אף על פי שהמונח "אפקט הקרום" מקושר ליישומים שקשורים בתמסורת של זרמים חשמליים, "עומק הקרום" מתאר גם את הדעיכה המעריכית של שדות חשמליים ומגנטיים, כמו גם את צפיפות הזרמים המושרים, בתוך חומר בו פוגע גל אלקטרומגנטי מישורי בזווית ישרה. עבור שימושים אלו, לפעמים נקרא עומק הקרום בשם **עומק החדירה**.

## פיתוח מתמטי
### משוואת הזרם בתיל גלילי
ניתן לגזור משוואה דיפרנציאלית חלקית לצפיפות הזרם J(r,t) לפי המרחק r מציר התיל והזמן t בעזרת חוק אמפר וחוק פאראדיי.

נתייחס כעת לצפיפות הזרם ולשדה המגנטי B(r,t). עבור מסלול מעגלי שהמישור עליו הוא נח מאונך לציר ה־z (בקואורדינטות גליליות), לפי חוק אמפר המתוקן מתקיים:

:\oint_{\partial S}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu I+\mu\varepsilon\frac{d\Phi_E}{dt}

ניתן לפתח את אגף ימין:
:\begin{align}\mu I+\mu\varepsilon\frac{d\Phi_E}{dt}&=& \iint_{S}\left(\mu\vec{J}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right)\cdot d\vec{S}\\ & = &
\iint_{S}\left(\mu\vec{J}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right)\cdot rdrd\varphi \\ & = &
\int_{r}\left(\mu\vec{J}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right)\cdot2\pi r\ dr
\end{align}

כמו כן, ניתן לפתח את אגף שמאל:
:\oint_{\partial S}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\oint_{\partial S}\vec{B}\cdot rd\vec{\varphi}=\oint_{\partial S} B_\varphi(r) rd\varphi=2\pi r\cdot B_\varphi(r)

ולכן לפי חוק אמפר המתוקן:
:2\pi r\cdot B_\varphi(r)=\int_{r}\left(\mu\vec{J}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right)\cdot2\pi r\ dr

לאחר גזירת שני האגפים לפי r, יתקבל:
:2\pi \frac{\partial(B_\varphi r)}{\partial r}=\left(\mu\vec{J}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right)\cdot2\pi r

ומכאן:
:\mu\vec{J}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial(B_\varphi r)}{\partial r}

האיבר \varepsilon\frac{\partial E}{\partial t} נקרא צפיפות זרם ההעתקה, והוא זניח כאשר תדירות זרם החילופין קטנה. בטקסטים רבים על אפקט הקרום מזניחים איבר זה, דבר שמפשט מאוד את החישובים, אולם כאן ניצמד לפיתוח הכללי ביותר.

ניתן לפתח את הנגזרת באגף ימין בהתאם לכלל לייבניץ ולקבל:

:\mu \left(J(r,t)+\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t}\right) = \frac + \frac

כעת נגזור את המשוואה הדיפרנציאלית לשדה המגנטי שהתקבלה לפי הזמן t ויתקבל:
:\mu \left(\frac{\partial J}{\partial t}+\varepsilon\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}\right) = \frac + \frac

לפי חוק פאראדיי, השדה החשמלי המושרה על ידי השינויים בשדה המגנטי מקיים:

:\frac = -\frac = \frac

כאשר y=R-r הוא העומק מתחת לפני השטח של המוליך. לפיכך ניתן להחליף את המשוואה הדיפרנציאלית האחרונה במשוואה:
:\mu \left(\frac{\partial J}{\partial t}+\varepsilon\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}\right) = \frac + \frac

לפי חוק אוהם הזרם החופשי  J(r,t) מקיים:
:\rho J(r,t) = E_{\text{total}}(r,t)=E(r,t)

כאשר \rho היא מקדם ההתנגדות החשמלית ו- E_{total}(r,t)  הוא השדה החשמלי הכולל (סכום השדה האלקטרו מניע והשדה המושרה המנוגד).
שילוב כל המשוואות מאפשר לגזור את המשוואה הדיפרנציאלית החלקית הבאה:

:\frac  + \frac \frac  = \frac\left(\frac  + \rho\varepsilon\frac \right)

### פתרון המשוואה
#### תיל מישורי
כדי לפתור את המשוואה, נניח תחילה שעובי שכבת הקרום \delta קטן בכמה סדרי גודל מרדיוס התיל R. ההנחה הזאת שקולה להנחה שהתיל מישורי, ומסומנת ב-y\ll R (כך שגליליות התיל אינה משמעותית).

לפי הנחה זאת מותר להזניח את האיבר השני באגף שמאל (אם הנחה זאת אינה תקפה הפתרונות מורכבים יותר ומערבים פונקציות בסל), ולכן המשוואה הדיפרנציאלית החלקית המתקבלת היא:

:\frac {\partial^2 J}{\partial r^2} = \frac\left(\frac  + \rho\varepsilon\frac \right)

המשוואה הזאת היא משוואת הגלים (עם איבר אי-הומוגני) ולכן הפתרונות למשוואה הדיפרנציאלית הם מהצורה:
: J(r,t) = J_S e^{i(\omega t - kr)} 

כאשר  J_S  הוא הערך המקסימלי של הזרם על שפת המוליך (בעומק אפס), k הוא מספר הגל, ו-\omega היא התדירות של זרם החילופין ( i = \sqrt  הוא היחידה המדומה).

הצבת הפתרון במשוואה הדיפרנציאלית לזרם מניבה את יחס הנפיצה המרוכב:
: k^2=\mu\epsilon \omega^2-\frac{\mu}{\rho}i\omega 
החלק הממשי של מספר הגל (שנרשמו  k=k_r+i\kappa ) מייצג את התדירות המרחבית של הגל (מכיוון שהתדירות \omega קבועה עבור גל נתון, החלק הממשי של מספר הגל קובע את מהירות התקדמותו בתווך המוליך) ואילו החלק המדומה מייצג את הדעיכה של הגל בתווך המוליך. מהוצאת שורש ריבועי מאגף ימין (תוך לקיחת הענף המתאים שלו) ופישוט הביטויים מקבלים את הנוסחאות הבאות לחלק הממשי והמדומה של k:
:k_r=k_0\sqrt{\frac{\sqrt{1+(\rho\epsilon\omega)^2}+\rho\epsilon\omega}{2\rho\epsilon\omega}}
:\kappa=-k_0\sqrt{\frac{\sqrt{1+(\rho\epsilon\omega)^2}-\rho\epsilon\omega}{2\rho\epsilon\omega}}

כאשר  k_0 =\frac{\omega}{c} = \sqrt{\epsilon\mu}\omega הוא מספר הגל בריק. ניתן לראות שבגבול התדירויות הנמוכות (\omega\ll {1 \over \rho \varepsilon}) החלק הממשי של מספר הגל מקיים:
:k_r\approx \frac{k_0}{\sqrt{2\rho\varepsilon \omega}}\implies c'=\frac{\omega}{k_r}=\sqrt{2\rho\varepsilon \omega}c\ll c
כאשר c' היא מהירות התקדמות הגל האלקטרומגנטי בתווך המוליך. כפי שניתן לראות מהנוסחה, אורך הגל במוליך קצר בהרבה מאורך הגל בריק, או באופן שקול, מהירות המופע במוליך איטית בהרבה ממהירות האור בריק. לדוגמה, לגל רדיו בתדר 1 מגה הרץ יש אורך גל בריק של בערך 300  מטרים, בעוד שבנחושת, אורך הגל מצטמצם לכדי 0.5  מילימטרים ולמהירות מופע של 500  מטרים לשנייה בלבד. כתוצאה מחוק סנל וממהירות המופע המזערית במוליך, כל גל אלקטרומגנטי הנכנס למוליך, אפילו בזווית פגיעה גבוהה, יישבר בכיוון הניצב לפני השטח של המוליך.

לעומת זאת, בגבול התדירויות הגבוהות (\omega\gg {1 \over \rho \varepsilon}) מתקיים:
:k_r\approx k_0\implies c'\approx c
תוצאה זו תואמת את האינטואיציה שבעבור תדרים גבוהים במיוחד המוליכות של התווך אינה משמעותית בהפחתת מהירות הגל, כי הזרם החשמלי המתפתח בתוכו אינו מצליח "להגיב" לשדה האלקטרומגנטי המתנודד במהירות; לכן, רק המקדם הדיאלקטרי היחסי והפרמביליות המגנטית היחסית של המוליך מצמצמים את מהירות הגל.
ממוזער|200px|גלים אלקטרומגנטיים במוליך לא רק מונחתים אקספוננציאלית (שכן האנרגיה שלהם נשחקת כתוצאה מיצירת זרמים חשמליים), אלא שהשדה החשמלי והמגנטי אינם באותה פאזה יותר.
היבט חשוב נוסף של הפתרון לחדירת גל למוליך הוא העובדה שבשונה מגל אלקטרומגנטי בתווך דיאלקטרי, שם השדה החשמלי והמגנטי שלו מתואמים ומצויים באותה פאזה, במוליך נוצר הפרש פאזה בין השדה החשמלי והמגנטי. ניחוש מושכל של פתרון מהצורה B(r,t) = B_S e^{i\omega t}e^{-i kr}e^{i\phi} עבור החלק המגנטי של הגל, כאשר \phi הפאזה של השדה המגנטי ביחס לשדה החשמלי, מאפשר, בעזרת שימוש בפתרון שהתקבל עבור צפיפות הזרם, להגיע למסקנה שמתקיים הקשר:
:ike^{i\phi} = \frac{\mu}{\rho}(1+i\rho\epsilon\omega)\frac{E_S}{B_S}
הפאזה היחסית מתקבלת אז מהשוואת הארגומנטים של המספרים המרוכבים משני האגפים; הצבת  k=k_r+i\kappa  מאפשרת להגיע לנוסחה:
: \arg\left(\frac{i(k_r+i\kappa)}{1+i\rho\epsilon\omega}\right)=\arg(e^{-i\phi})
ממנה עולה שהפאזה היחסית היא:
:\phi=\tan^{-1}\left(\frac{k_r+\kappa\rho\epsilon\omega}{\kappa-k_r\rho\epsilon\omega}\right)
בפרט, בגבול התדירויות הנמוכות עולה שטנגנס הפאזה היחסית נתון על ידי היחס בין החלק הממשי לחלק המדומה של מספר הגל:
\mathbb{tan}\phi\approx \frac{k_r}{\kappa}
ומכאן שבעבור מוליכים טובים (לגביהם קירוב התדירויות הנמוכות תקף ברוב התדרים המעשיים) הפרש הפאזה בין השדה החשמלי והמגנטי הוא בקירוב טוב מאוד *45* מעלות (שכן החלק והממשי והמדומה של k משתווים בגבול זה).
#### עומק הקרום
עומק הקרום  \delta  מוגדר להיות העומק שבו משרעת הגל דועכת ל-(1/e) מערכה על פני השטח, או באופן שקול כאשר מתקיים:
:\kappa\delta=1\implies \delta=\frac{1}{\kappa}

מהצבת הביטוי שנמצא ל-\kappa ניתן לפיכך לבטא את עומק הקרום האופייני \delta כפונקציה של התדירות, הפרמאביליות המגנטית בחומר, המקדם הדיאלקטרי, וההתנגדות החשמלית הסגולית:
:\delta= \sqrt{ \frac{\, 2\rho \,}{\omega\mu }
\left (\sqrt{1 + \left({\rho\omega\varepsilon}\right)^2 \,}
+ \rho\omega\varepsilon \right) \,}
בתדירויות שנמוכות בהרבה מ-{1 \over \rho \varepsilon} הגודל שבתוך הרדיקל הימני קרוב לאחד, והנוסחה לעומק הקרום מקבלת את הצורה הנוחה יותר:

:\delta=\sqrt{\frac{\, 2\rho \,}{\omega\mu} \,} ~.

נוסחה זאת תקפה בתדירויות שרחוקות מתדירויות תהודה אטומיות או מולקולריות טבעיות של החומר ממנו עשוי המוליך (תדירויות עבורן ל-\varepsilon יש חלק מדומה גדול, מה שמוביל לתהודות חזקות) ונמוכות בהרבה מתדירות הפלזמה \omega_p (התלויה בצפיפות האלקטרונים החופשיים במוליך) ומההופכי של משך הזמן הממוצע בין התנגשויות \tau_c של אלקטרוני ההולכה. אילולא התנאי \omega \ll 1/\tau_c יתקיים, אז יתקבל בו מצב השדה האלקטרו מניע החיצוני משתנה משמעותית בפרק הזמן שבין התנגשות להתנגשות; כיוון שהפרמטר הקבוע הוא המהלך החופשי הממוצע של אלקטרון נובע איפה שפרק הזמן בין התנגשות להתנגשות יתארך משמעותית ולכן, על פי מודל דרודה, המוליכות הסגולית תגדל משמעותית (במילים אחרות, תתקבל תלות של \rho בעצמו בתדירות). במוליכים טובים כמו מתכות כל התנאים הללו מתקיימים לפחות עד לתחום תדירויות גלי המיקרו, מה שמצדיק את הנוסחה. לדוגמה, במקרה של נחושת, הנוסחה תהיה תקפה עד לתדירויות של 10^{18} הרץ.

אף על פי כן, במוליכים "גרועים", ובתדירויות גבוהות מספיק, הרדיקל הימני גדל. בתדירויות גבוהות בהרבה מ-{1 \over \rho \varepsilon}, עומק הקרום שואף לערך האסימפטוטי:
:\delta \approx {2 \rho} \sqrt{\frac{\, \varepsilon \,}{ \mu }\,} ~.
חריגה זאת מן ההתנהגות הנפוצה יותר מתרחשת רק עבור חומרים בעלי מוליכות נמוכה מאוד ובתדירויות כאלו שאורך הגל בריק לא גדול בהרבה מעומק הקרום עצמו. לדוגמה, סיליקון לא מאולח הוא מוליך גרוע ויש לו עומק קרום של בערך 40  מטרים בתדירות של 100kHz (אורך גל 3 קילומטרים). אם מגדילים את התדירות אל תוך תחום המגה-הרץ, עומק הקרום שלו לעולם אינו יורד מתחת לערך האסימפטוטי של 11  מטרים. המסקנה היא שבעבור מוליכים מוצקים גרועים, כמו סיליקון לא מאולח, אפקט הקרום לא צריך להילקח בחשבון במרבית החישובים המעשיים, במובן שאין תלות של ההתנגדות בתדירות זרם החילופין.

#### תיל גלילי
כאשר עומק הקרום לא קטן בהשוואה לרדיוס התיל, צפיפות הזרם ניתנת לתיאור במונחי פונקציות בסל. נראה זאת - בהנחת תדירויות נמוכות מספיק מותר להזניח את איבר זרם ההעתקה, כך שמשוואת הזרם בתיל גלילי מקבלת את הצורה:
:\frac  + \frac \frac  = \frac\left(\frac \right)

משוואה זאת היא משוואת החום בקואורדינטות גליליות הנתונה לתנאי שפה מחזוריים בזמן, כלומר היא מקיימת:
:\mathbb{Re}(J(r,t)) = J(r,t=0)\mathbb{cos}\omega t

ממוזער|300px|גרפים של צפיפות הזרם בתיל גלילי כפונקציה של המרחק מצירו: הציר האופקי הוא המיקום בתוך התיל כך שהקצה הימני והשמאלי מייצגים את פני השטח שלו, בעוד שהציר האנכי מייצג את צפיפות הזרם. המספרים על כל עקום הם היחס בין עומק הקרום לרדיוס התיל. העקום עם סימן האינסוף מתייחס למקרה של תדירות אפס (זרם ישר), שבו הזרם קבוע בתוך חתך התיל. כל העקומים מנורמלים כך שצפיפות הזרם בפני השטח היא זהה.
נתאר את התלות הזמנית של צפיפות הזרם דרך הצגתה המרוכבת, J(r,t) = J(r,t=0)e^{i\omega t}. שימוש בעובדה ש- \frac{\partial J}{\partial t} = i\omega J מאפשר להביא את המשוואה לצורה הבאה:
: r^2\frac +r\frac -\frac{i\mu \omega}{\rho}r^2J=0

זוהי משוואת בסל מרוכבת, שפתרונה הוא פונקציית בסל מרוכבת:
: \mathbf{J}(r) = \mathbf{J}(R) \frac{ J_0(k r) }{ J_0(k R) }

כאשר:

-  r  הוא המרחק מציר התיל הגלילי,

-  R  הוא רדיוס התיל,

-  \mathbf{J}(r) הוא פאזור צפיפות הזרם במרחק *r* מציר התיל,

-  \mathbf{J}(R)  הוא פאזור צפיפות הזרם בפני השטח של התיל,

-  J_0  היא פונקציית בסל מהסוג הראשון, מסדר 0,

-  k = \sqrt{ \frac { -i \omega \mu } { \rho } } = \frac { 1-i } { \delta }  הוא מספר הגל המרוכב במוליך.

מכיוון ש- k  מרוכב, פונקציות בסל גם הן מרוכבות. המשרעת והפאזה של צפיפות הזרם משתנות עם העומק.

## ראו גם
* זרמי פוקו

## קישורים חיצוניים

* 

## הערות שוליים

קטגוריה:אלקטרומגנטיות