מטריקת שוורצשילד

במסגרת תורת היחסות הכללית **מטריקת שוורצשילד** היא פתרון של משוואות השדה של איינשטיין המתארות את שדה הכבידה של התפלגות חומר, המעמיד תיאור של שדה הכבידה מחוץ להתפלגות חומר בעלת סימטריה כדורית. כמו כן, פתרון זה משמש לתיאור שדה הכבידה בתוך חורים שחורים נטולי מטען חשמלי ותנע זוויתי.

פתרון זה פורסם בשנת 1916 על ידי הפיזיקאי היהודי-גרמני, קרל שוורצשילד, והיה לפתרון המדויק הראשון למשוואות השדה של איינשטיין.

## מטריקת שוורצשילד
בקואורדינטות שוורצשילד, האינטרוול ds^2 עבור מטריקת שוורצשילד הוא:

ds^2=-(1-\frac{2mG}{rc^2})dt^2+\frac{dr^2}{1-\frac{2mG}{rc^2}}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)

כאשר:
* **c** היא מהירות האור.
* **m** היא מסת המקור.
* **G** קבוע הכבידה.
* ** הקואורדינטה t** מייצגת את הזמן שנמדד על ידי שעון הנמצא במרחק אינסופי מהמקור, בתחום בו המרחב-זמן בקירוב שטוח.
* **הקואורדינטה r** מייצגת את מנת היקפו של כדור שהמקור במרכזו עם 2\pi (קואורדינטה זו **אינה** מייצגת את המרחק מהראשית).
* **הקואורדינטה <math>\theta</math>** מייצגת את הזווית שבין הווקטור לציר z (בדומה לקו רוחב), כאשר בזווית אפס הווקטור פונה כלפי מעלה. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 לפאי ביחידות של רדיאנים.
* **הקואורדינטה <math>\phi</math>** היא זווית אזימוטלית: היא מייצגת את הזווית שבין ההיטל של הווקטור על מישור x-y לבין ציר x. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 ל-2\pi ביחידות של רדיאנים.

## היסטוריה
בשנת 1916, מעט יותר מחודש לאחר שפרסם אלברט איינשטיין את תורת היחסות הכללית, פרסם קרל שוורצשילד מאמר בו מתואר פתרון מדויק שהוא מצא, בעודו משרת בצבא הגרמני בעת מלחמת העולם הראשונה. היה זה הפתרון המדויק הראשון למשוואות השדה של איינשטיין והוא היווה פריצת דרך משמעותית בהבנה של מושגי יסוד בתורת היחסות הכללית, כפי שהיא מוכרת כיום. זמן קצר לאחר פרסום מאמר זה, הלך קרל שוורצשילד לעולמו. 

נדרשה תקופה ממושכת על-מנת להפיג את הבלבול שהתעורר בעקבות גילוי נקודות הסינגולריות במטריקת שוורצשילד ובפתרונות שנמצאו לאחר מכן למשוואות איינשטיין. אמנם במהרה הובן כי הסינגולריות ב-r=0 היא אכן סינגולריות של עקמומיות, אך נדרש מאמץ רב להתהוות ההבנה כי הסינגולריות ברדיוס שוורצשילד, r_s=\frac{2mG}{c^2}, היא סינגולריות קואורדינטית שניתנת להסרה על ידי החלפת מערכת קואורדינטות, וכי משטח זה מהווה אופק אירועים של חור-שחור. בשנת 1924, מצא ארתור אדינגטון טרנספורמציית קואורדינטות מקואורדינטות שוורצשילד לקואורדינטות אדינגטון-פינקלשטיין אשר הראתה שמקור הסינגולריות ברדיוס שוורצשילד הוא בבחירת מערכת הקואורדינטות. בשנת 1939, הראה הווארד פרסי רוברטסון שצופה בנפילה חופשית במטריקת שוורצשילד יחצה את רדיוס שוורצשילד בזמן עצמי סופי, אף-על-פי שיידרש זמן אינסופי כפי שנמדד על ידי הקואורדינטה **t**.

בשנת 1950, הציג ג'ון לייטון סינג' את ההמשכה האנליטית המקסימלית של מטריקת שוורצשילד ובכך הראה שוב את הרגולריות של רדיוס שוורצשילד ואת העובדה שרדיוס זה מהווה את אופק האירועים של חור-שחור. עשור אחריו, בשנת 1960, הגיע מרטין קרוסקל לתוצאה דומה. 

בשנות ה-60 של המאה ה-20, התבסס השימוש בכלים של גאומטריה דיפרנציאלית בתורת היחסות הכללית, ובעקבות כך זוקקה באופן סופי ההבנה כי רדיוס שוורצשילד אינו מהווה נקודה סינגולרית פיזיקלית, אלא אופק אירועים של חור-שחור.

## רקע
מכאן והלאה, לשם הקיצור, המשוואות מוצגות ביחידות טבעיות, בהן c = G = 1.

תורת היחסות הכללית של איינשטיין מתארת את שדה הכבידה שנוצר כתוצאה מהתפלגות חומר וכיצד שדה הכבידה הזה משפיע על תנועת החומר וחוזר חלילה. במסגרת התורה, שדה הכבידה אינו כוח פיזיקלי כשאר הכוחות, אלא הוא מבוטא על ידי עקמומיות ביריעת המרחב-זמן. תנועת חלקיקים במרחב-זמן עקום בהיעדר כוחות חיצוניים (למשל כוחות אלקטרומגנטיים) היא לאורך גאודזיות, שהן הכללת מושג הקו הישר ליריעה בעלת עקמומיות. התפלגות התוכן החומרי, אשר מבוטאת באמצעות טנזור תנע-אנרגיה, מכתיבה את הגאומטריה של המרחב-זמן דרך משוואות השדה של איינשטיין, שבצורה קומפקטית ניתנות לרישום באופן הבא:

(1) G_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu}

באגף שמאל נמצא טנזור איינשטיין ובאגף ימין טנזור התנע-אנרגיה מוכפל בקבוע.

בריק, משוואות איינשטיין מצטמצמות למערכת המשוואות הסגורה: R_{\mu \nu}=0, כאשר R_{\mu \nu} הוא טנזור ריצ'י. בנוכחות חומר, לעומת זאת, משוואות השדה של איינשטיין אינן מהוות מערכת סגורה, ולשם הסגירות נחוצות גם משוואות החומר המתאימות, למשל, משוואות מקסוול בנוכחות שדות אלקטרומגנטיים או משוואת קליין-גורדון בנוכחות שדה סקלרי.

בשנת 1916, חודש לאחר פרסום משוואות השדה של איינשטיין, פרסם קרל שוורצשילד את הפתרון המדויק למשוואות השדה של איינשטיין בסימטריה כדורית בריק. שדה כבידה בעל סימטריה כדורית מתקבל כתוצאה מכל התפלגות חומר בעלת סימטריה כדורית ושתנועתו שומרת על הסימטריה. למשל, ניתן לחשוב על כדור סטטי או כוכב בעל תנועות פעימה כדוריות. 

תוך שימוש בקואורדינטות הכדוריות (r,\theta,\phi), האינטרוול הכללי ביותר שמתאים למקרה של סימטריה כדורית היא:

(2) ds^2=g_{TT}dT^2+g_{RR}dR^2+g_{R,T}dRdT+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)

מהשרירותיות בבחירת מערכת קואורדינטות בתורת היחסות הכללית נובע כי ניתן לבצע כל טרנספורמציית קואורדינטות שתשמר את הסימטריה הכדורית. נוח להשתמש בבחירה של הילברט ולעבור לקואורדינטות חדשות t=t(T,R) ו-r_1(R,T), כך ש- r_{1}(R,T)=r ו-g_{rt}=0. בדרישה זו הותרנו חופש כיול שיורי לטרנספורמציות t\mapsto\Tau(t), מכיוון שהתאפסות g_{rt} גוררת את התאפסות g_{r\Tau} על ידי משוואות הטרנספורמציה g_{r\Tau}=g_{rt}\Tau_{,t}. האינטרוול המתקבל הוא:

(3) ds^2=g_{tt}(r,t)dt^2+g_{rr}(r,t)dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)

נבחר להניח כי g_{rr}>0 ו-g_{tt}, כלומר ש-r הוא קואורדינטה מרחבית ו-t קואורדינטה זמנית. תחת הנחה זו, נוח לסמן: g_{rr}=e^\lambda  ו-g_{tt}=-e^\nu כאשר \lambda ו-\nu הן פונקציות כלשהן של r ו-t. הביטוי הבא לאינטרוול מתקבל:

(4) ds^2=-e^\nu dt^2+e^\lambda dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)

עבור המטריקה המתאימה לאינטרוול זה, משוואות השדה של איינשטיין בריק הן:

(5) e^{-\lambda}(r\nu_r+1)-1=0

(6) e^{-\lambda}(1-r\lambda_r)-1=0

(7) e^{-\lambda}\dot{\lambda}=0

(8) e^{-\lambda}(\nu_{rr}+{\nu_r^2 \over 2}+{\nu_r-\lambda_r \over r}-{\lambda_r\nu_r\over 2})-e^{-\nu}(\lambda_{tt}+{\lambda_t^2\over 2}-{\lambda_t\nu_t\over 2})=0

משוואה (8) נובעת ממשוואות (5) ו-(6). ממשוואה (7) ניתן להסיק מיידית כי \lambda=\lambda(r). נחסר את משוואה (6) ממשוואה (5) ונקבל: e^{-\lambda}r(\nu_r+\lambda_r)=0, כלומר (\nu+\lambda)_r=0, על-כן: \nu=f(t)-\lambda(r) כאשר f היא פונקציה של t בלבד. כזכור, נותר עוד חופש כיול שיורי, על-כן נבצע טרנספורמציה t\mapsto\Tau(t) שמקיימת את התנאי: {d\Tau \over dt}=e^(\dot{r}^2-E^2)+{L^2 \over r^2}

לכן המשוואה הרדיאלית היא:

\dot{r}^2=E^2-U_{\mathrm{effective}} כאשר הפוטנציאל האפקטיבי הוא U_{\mathrm{effective}}(r)=(1-{2m \over r})(1+{L^2 \over r^2}).

נפתח את הסוגריים בביטוי לפוטניאל האפקטיבי ונקבל: U_{\mathrm{effective}}(r)=1-{2m \over r}+{L^2 \over r^2}-{\color{Red}{2mL^2 \over r^3}}, כאשר האיבר האחרון המופיע באדום אינו מופיע בתורה הניוטונית. הבדל זה מוביל לכך שבשונה מהתורה הניוטונית בה ישנו מסלול מעגלי יציב בלבד, בפתרון שוורצשילד קיים בנוסף גם מסלול מעגלי בלתי-יציב. כמו כן, חלקיק בעל תנע-זוויתי כלשהו, יכול עבור אנרגיה מספיק גדולה להגיע ל-r=0. בנוסף, ישנה נקיפה של מסלולים אליפטיים, כפי שהודגם עבור כוכב חמה.

## גאודזיות דמויות-אור במרחב-זמן שוורצשילד
כאשר אנו עוסקים בגאודזיות דמויות-אור, במקום זמן-עצמי ישנו פרמטר אפיני \lambda, כלומר מסלול הפוטון מתואר על ידי: x^\alpha=x^\alpha(\lambda). הווקטור המשיק למסלול זה הוא: k^\alpha={dx^\alpha \over d\lambda}. נורמת וקטור דמוי-אור היא אפס, כלומר מתקיים: g_{\mu \nu}k^{\mu}k^{\nu}=0. כעת הגדלים הנשמרים, היינו התנעים הצמודים, הם: k_{\phi}=L, k_t=E. באופן דומה לפיתוח עבור גאודזיות דמויות-זמן נקבל את המשוואה הרדיאלית מדרישת הנרמול:

0=g_{\mu \nu}k^{\mu}k^{\nu}=g_{rr}\dot{r}^2+g^{tt}E^2+g^{\phi \phi}L^2={1 \over 1-{2m \over r}}(\dot{r}^2-E^2)+{L^2 \over r^2} 

לכן המשוואה הרדיאלית היא: \dot{r}^2=E^2-U_{\mathrm{effective}}(r) כאשר  U_{\mathrm{effective}}=(1-{2m \over r}){L^2 \over r^2}.

שוב נקבל דיאגרמת אנרגיה שממנה ניתן ללמוד שלפוטון קיים מסלול מעגלי בלתי יציב ב-r=3m.

## בעיית הסינגולריות ברדיוס שוורצשילד
מהתבוננות באינטרוול שקיבלנו בפתרון שוורצשילד: ds^2=-(1-{2m \over r})dt^2+{dr^2 \over (1-{2m \over r})}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2) ניתן להיווכח כי ישנם שני ערכי r עבורם המטריקה סינגולרית: ב-r=0 וב-r=2m, כלומר רדיוס שוורצשילד. 
די מהר נתחוור כי הסינגולריות ב-r=0 היא סינגולריות של עקמומיות. אולם נדרש זמן רב על-מנת לעמוד על טיבה של הסינגולריות ברדיוס שוורצשילד. התברר שבבחירה מתאימה של מערכת קואורדינטות חדשה, המטריקה המתקבלת רגולרית ברדיוס שוורצשילד. 

הרגולריזציה של האופק, אדינגטון-פינקלשטיין, קרוסקל-זקרס.

## דיאגרמת קרוסקל

## דיאגרמת פנרוז
דיאגרמת פנרוז, הקרויה על-שם הפיזיקאי והמתמטיקאי הבריטי, רוג'ר פנרוז, היא הצגה קונפורמית דו-ממדית של המרחב-זמן. היא משמרת את המבנה הסיבתי של המרחב-זמן ומבצעת קומפקטיפיקציה כך שהמרחב-זמן האינסופי ממופה לתחום הסופי של הדיאגרמה. דיאגרמת פנרוז עבור מרחב-זמן שוורצשילד מתקבלת באופן פשוט מדיאגרמת קרוסקל.

## עקמומיות סינגולרית

## ראו גם
* פתרון רייזנר-נורדסטרום
* פתרון קר-ניומן

## לקריאה נוספת

* Misner, C. W.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A. (1970). Gravitation. W.H. Freeman. Chapters 31 and 32. 
* Stehphen Hawking and George Ellis, "The Large-Scale Structure of Spactime
* Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1951). The Classical Theory of Fields. Course of Theoretical Physics 2 (4th Revised English ed.). Pergamon Press. Chapter 12. 
* Weinberg, S. (1972). Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. John Wiley & Sons. Chapter 8. 

## קישורים חיצוניים
* סיכומי הרצאות על של שון קרול בנושא פתרון שוורצשילד וחורים שחורים, באתר של קרול 

קטגוריה:תורת היחסות הכללית