זרימת ריילי

**זרימת ריילי** מתייחסת לזרימה לא אדיאבטית בתוך צינור בעל שטח חתך קבוע כאשר מתחשבים בהוספה וסילוק חום. במקרים רבים קיימת התחשבות בדחיסות הזורם, אם כי מודל זרימת ריילי חל גם עבור זורם בלתי דחיס. עבור מודל זה שטח החתך נשאר קבוע ללא הוספת מסה בתוך הצינור. בשל הוספת החום וכתוצאה משימור אנרגיה, בניגוד לזרימת פאנו, טמפרטורת הסטגנציה  משתנה. הוספת החום גורמת למפל בלחץ הסטגנציה, הידוע כאפקט ריילי וקריטי לתכנון מערכות בערה. הוספת חום גורמת למספר מאך עבור זרימה תת-קולית וגם עבור זרימה על-קולית להתקרב למהירות קולית (מספר מאך) M=1, ולגרום לזרימה חנוקה. לעומת זאת, סילוק חום גורמת למספר מאך התת-קולי לרדת ולמספר מאך העל-קולי לעלות לאורך הצינור. ניתן לראות כי עבור זורמים אידיאלים האנטרופיה המקסימלית נוצרת ב-M=1. זרימת ריילי נקראת על שמו של ג'ון ויליאם סטראט ריילי.

## תאוריה
מודל זרימת ריילי מתחיל עם משוואה דיפרנציאלית המתייחסת לשינוי במספר מאך עם השינוי בטמפרטורת סטגנציה, T0. המשוואת הדיפרנציאלי מוצגת למטה.
:\ \frac{dM^2}{M^2} = \frac{1 + \gamma M^2}{1 - M^2}\left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2\right)\frac{dT_0}{T_0}
פתרון המשוואה הדיפרנציאלית מוביל ליחס המוצג למטה, בו *T0 היא טמפרטורת הסטגנציה במיקום צוואר הצינור אשר דרוש לחנק של הזורם.
:\ \frac{T_0}{T_0^*} = \frac{2\left(\gamma + 1\right)M^2}{\left(1 + \gamma M^2\right)^2}\left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2\right) 
ערכים אלה משמעותיים בעיצוב של מערכות בעירה. לדוגמה, אם בתא בעירה סילוני יש טמפרטורה מרבית של T0* = 2000 K, אזי T0 ומספר מאך בכניסה לתא הבעירה חייבים להיבחר לפי מדידות, אחרת לא תהיה חניקה של הזורם, אשר יגביל את שיעור הספיקה המסית של האוויר לתוך המנוע ויפחית את הדחף.
למודל זרימת ריילי, שינוי הממדים ביחס אנטרופיה מוצג למטה.
:\ \Delta S = \frac{\Delta s}{c_p} = ln\left[M^2\left(\frac{\gamma + 1}{1 + \gamma M^2}\right)^\frac{\gamma + 1}{\gamma}\right] 
מהמשוואה הקודמת ניתן להציג קו ריילי של השתנות האנטרופיה האל-ממדית כפונקציה של מספר מאך, אולם היחס בין האנתלפיה האל-ממדית לאנטרופיה נמצא בשימוש רב יותר. האנתלפיה האל-ממדית כפונקציה של מספר מאך מוצגת למטה, כאשר היא מבטאת את היחס בין האנתלפיה במקום מסוים לאנתלפית חניקה. עבור גז אידיאלי יחס זה שווה ליחס הטמפרטורות התואמות כאשר cp הוא קיבול חום בלחץ קבוע.
:\begin{align}
H &= \frac{h}{h^*} = \frac{c_pT}{c_pT^*} = \frac{T}{T^*} \\
\frac{T}{T^*} &= \left[\frac{\left(\gamma + 1\right)M}{1 + \gamma M^2}\right]^2
\end{align} 
ממוזער|500px|'''איור 1:''' קו ריילי על צירי H-ΔS האל-ממדיים.
מהמשוואות הנ"ל ניתן לבנות גרף (איור 1) של אנתלפיה אל-ממדית H ואנטרופיה אל-ממדית ΔS כאשר מספר מאך M הוא משתנה חופשי. איור 1 מראה כי חימום **יגדיל** את מספר מאך התת-קולי במעלה הזרם למהירות קולית M=1 עד לחניקה של הזורם, בניגוד למספר מאך על-קולי אשר בתוספת חום במעלה הזרם **יקטן** למהירות קולית M=1 עד לחניקה של הזורם. קירור יבצע פעולה הפוכה עבור כל אחד משני המקרים. מודל זרימת ריילי משיג אנטרופיה מקסימלית עבור M=1.

## יחסים נוספים בזרימת ריילי

בזרימת ריילי שטח החתך והספיקה המסית נשארים קבועים לאורך הזרימה.
:\begin{align}
A &= A^* = \mbox{constant} \\
\dot{m} &= \dot{m}^* = \mbox{constant} \\
\end{align} 
פתרון המשוואות הדפרנציאליות מניב יחסים של תכונות נוספות בזרימת ריילי ביחס לנקודת החניקה אשר מסומנת בסימון *, כגון: לחץ, צפיפות, טמפרטורה, מהירות, ולחץ סטגנציה, כפי שמוצג למטה בהתאמה. באיור 2 ניתן לראות את השתנות הערכים במקרים השונים.
:\begin{align}
\frac{p}{p^*} &= \frac{\gamma + 1}{1 + \gamma M^2} \\
\frac{\rho}{\rho^*} &= \frac{1 + \gamma M^2}{\left(\gamma + 1\right)M^2} \\
\frac{T}{T^*} &= \frac{\left(\gamma + 1\right)^2M^2}{\left(1 + \gamma M^2\right)^2} \\
\frac{V}{V^*} &= \frac{\left(\gamma + 1\right)M^2}{1 + \gamma M^2} \\
\frac{p_0}{p_0^*} &= \frac{\gamma + 1}{1 + \gamma M^2}\left[\left(\frac{2}{\gamma + 1}\right)\left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2\right)\right]^\frac{\gamma}{\gamma - 1}
\end{align} 
## יישומים
ממוזער|500px|'''איור 2:''' תרשים הצטלבות של פאנו וריילי.

למודל זרימת ריילי שימושים אנליטיים רבים, בעיקר במנועי סילון, מכיוון שבדרך כלל תא הבעירה בעל שטח חתך קבוע, כמו כן תוספת הדלק זניחה כך שניתן להתייחס לזרימה כבעלת ספיקה קבועה. תכונות אלו הופכות את מודל זרימה ריילי ישים עבור תוספת חום בזרימה דרך תא בעירה.
יצירתם גל הלם בתוך תא הבעירה כתוצאה מחניקה של הזורם מאוד לא רצויה מפני שיכולה לגרום לירידה בספיקה המסית ובכך לירידה בדחף. לכן מודל זרימת ריילי קריטי לתכנון התחלתי של הגאומטריה וטמפרטורת הבעירה של המנוע.
מודל זרימה ריילי נמצא גם בשימוש נרחב במודל זרימה פאנו. שני מודלים אלה מצטלבים בנקודות על גרף האנתלפיה-אנטרופיה וגרף מספר מאך-אנטרופיה דבר המשמעותי למגוון שימושים. עם זאת, ערכי האנטרופיה עבור כל מודל אינם שווים במצב הקולי M=1. הנגזרת של האנטרופיה מתאפסת ב M=1 בשני המודלים, אך מההצהרה הקודמת ניתן להבין כי השינוי באנטרופיה מאותה נקודה שרירותית עד לנקודה הקולית M=1 שונה עבור המודלים של פאנו וריילי. אם נתונים ערכים התחלתיים של אנטרופיה Si ומספר מאך Mi, משוואה חדשה של אנטרופיה אל-ממדית כפונקציה של מספר מאך מתקבלת עבור כל מודל. משוואה זו מוצגת למטה עבור מודל זרימה פאנו וריילי, בהתאמה.

:\begin{align}
\Delta S_F &= \frac{s - s_i}{c_p} = ln\left[\left(\frac{M}{M_i}\right)^\frac{\gamma - 1}{\gamma}\left(\frac{1 + \frac{\gamma - 1}{2}M_i^2}{1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2}\right)^\frac{\gamma + 1}{2\gamma}\right] \\
\Delta S_R &= \frac{s - s_i}{c_p} = ln\left[\left(\frac{M}{M_i}\right)^2\left(\frac{1 + \gamma M_i^2}{1 + \gamma M^2}\right)^\frac{\gamma + 1}{\gamma}\right]
\end{align} 
איור 3 מציג את הצטלבות קווי ריילי ופאנו עבור תנאי התחלה Si=0 Mi=3 נקודת ההצטלבות מחושבת באמצעות השוואת משוואות האנטרופיה האל ממדיות החדשות אחת עם השנייה:

:\ \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}M_i^2\right)\left[\frac{M_i^2}{\left(1 + \gamma M_i^2\right)^2}\right] = \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2\right)\left[\frac{M^2}{\left(1 + \gamma M^2\right)^2}\right] 
ההצטלבות נוצרת במספר המאך הראשוני ובמספר המאך שלאחר גל הלם מאונך. עבור איור 2, הערכים הם M=3 ו-M=0.4752, ואת היחסים נוספים בזרימת ריילי לאלו ניתן למצוא בטבלאות עבור גל הלם ניצב או בפתירת המשוואות מעלה. זורם נתון בשטח חתך קבוע יכול להחליף בין שני המודלים, פאנו וריילי, בנקודות ההצטלבות.

## ראו גם

*מכניקת הזורמים
*זרימה דחיסה
*תהליך תרמודינמי
*אנטרופיה
*מספר מאך
## לקריאה נוספת

* 
* 
* 
* 

קטגוריה:מכניקת הזורמים