סימון דיראק

**סימון דיראק** (או **כתיב דיראק** או **סימון בְּרָה-קֵט**) הוא הסימון הסטנדרטי לתיאור מצבים קוונטים במכניקת הקוונטים, אף על פי שאפשר להשתמש בסימון זה לציון וקטורים במרחב וקטורי מופשט ואף פונקציונלים. שמו של הסימון הוא מעין "התחכמות לשונית" של ממציאו פול דיראק: מכפלה פנימית של שני מצבים, הנקראת באנגלית "בְּרָקֵט" (bracket) ומסומנת על ידי \langle\phi|\psi\rangle מכילה למעשה חלק שמאלי \langle\phi|, אשר נקרא "בְּרָה" (bra) וחלק ימני |\psi\rangle הנקרא "קֵט" (ket).

## מבוא אינטואיטיבי
סימון דיראק בא לתאר את הפורמליזם המתמטי של מכניקת הקוונטים, בה המערכת נמצאת במצב קוונטי שהוא סופרפוזיציה קוונטית של מצבים עצמיים של גודל מדיד (המיוצג על ידי אופרטור הרמיטי). לכל גודל מדיד מתאים סט של מצבים עצמיים המייצגים את הערכים שאפשר למדוד.

סימון דיראק מסייע לחשב את ההסתברות למדוד ערך a של אופרטור A כאשר המערכת נמצאת במצב קוונטי | \psi \rang. בסימון דיראק מדידה (או הטלה) מיוצגת על ידי מכפלה פנימית \lang a | \psi \rang כאשר ריבוע הערך המוחלט שלה נותן את ההסתברות. בכתיב מתמטי: \mbox{Prob} \left( A=a \right) = \left| \lang a | \psi \rang \right| ^2 . הערך a הוא מצב עצמי של האופרטור A המקיים A | a \rang = a | a \rang (כאשר ה-a מחוץ ל"קט" הוא סקלר). סימון דיראק אומר שאפשר לחשב את הסיכוי למדידת הערך a במצב | \psi \rang על ידי הטלת המצב | \psi \rang על המצב העצמי | a \rang.

בסיס המקום (או בסיס המרחב) מורכב ממצבים עצמיים | \vec{r} \rang שכל אחד מהם מייצג חלקיק שפונקציית הגל שלו מרוכזת במקום מסוים \vec{r}. כאשר מטילים עליו, נהוג לסמן \lang \vec{r} | \psi \rang = \psi(\vec{r}) ולקרוא לביטוי \psi(\vec{r}) **[[פונקציית הגל]]** של החלקיק.

## ברה וקט
במכניקת הקוונטים, המצב של מערכת פיזיקלית מזוהה על ידי וקטור במרחב הילברט מרוכב H. כל וקטור במרחב זה נקרא "קט" ונכתב בצורה |\psi\rangle, כאשר \psi מייצג קט מסוים.

לכל קט |\psi\rangle קיים ברה דואלי אשר מצוין על ידי \langle\psi| שהוא למעשה פונקציונל ליניארי מ-H ל-\mathbb{C} בהתאם להגדרה הקאנונית: \langle\psi|\rho\rangle = ( |\psi\rangle, |\rho\rangle ) לכל ה"קטים" |\rho\rangle כאשר \langle\ |\ \rangle מייצג את המכפלה הפנימית המוגדרת על מרחב הילברט. סימון זה מקבל את הצדקתו בזכות משפט ההצגה של ריס, הקובע כי מרחב הילברט והמרחב הדואלי שלו איזומורפיים ואיזומטריים. לפיכך, לכל ברה מתאים קט אחד בלבד ולהפך.

למעשה, סימון דיראק יכול לשמש, באופן זהה, מרחבים וקטוריים, גם אם אלו אינם מרחבי הילברט. בכל מרחב בנך אפשר לציין את הווקטורים באמצעות קט ואת הפונקציונלים הליניארים באמצעות ברה. למעשה, מעל כל מרחב וקטורי, אשר לא מוגדרת עליו טופולוגיה, אפשר לסמן את הווקטורים והפונקציונלים הליניאריים באמצעות ברה וקט. במקרים יותר כלליים אלו של מרחבים בלי מכפלה פנימית, ל"ברקט" אין את המשמעות של מכפלה פנימית.

הצמדתו של ה"ברה" \langle\phi| ל"קט" |\psi\rangle מניבה מספר מרוכב, המסומן על ידי \langle\phi|\psi\rangle.

במכניקת הקוונטים זוכה סימון זה לפירוש כמשרעת ההסתברות שהמצב \psi יקרוס אל המצב \phi.

## תכונות
מאחר שמדובר במרחב הילברט שהוא בפרט מרחב וקטורי, המכפלה הפנימית וההצמדה ההרמיטית מקיימות את התכונות הבאות:
* בי-ליניאריות בשני משתנים:
:\langle\phi| \; ( c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle ) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle 
:  \langle c_1 \phi_1 + c_2 \phi_2| \; \psi\rangle = c_1^* \langle\phi_1|\psi\rangle + c_2^* \langle\phi_2|\psi\rangle 
* הצמוד הדואלי של c_1|\psi_1\rangle+c_2|\psi_2\rangle  הוא c_1^*\langle \psi_1| +c_2^*\langle \psi_2| 
* כמו בכל מרחב מכפלה פנימית אחר מתקיים: \langle\phi|\psi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^*

## אופרטורים ליניאריים

אם \hat A:H\rightarrow H הוא אופרטור ליניארי, אפשר להפעיל את האופרטור \hat A על וקטור קט כך: \hat A|\psi\rangle. לאופרטורים ליניארים יש חשיבות גדולה במכניקת הקוונטים, בין השאר מכיוון שכל גודל פיזיקלי מדיד (כדוגמת אנרגיה או תנע זוויתי) מיוצג על ידי אופרטור ליניארי הרמיטי, כלומר מתקיים: \hat A=\hat A^\dagger, כאשר הסימן \dagger נקרא "דאגר" (בעברית: צלבון), ומייצג צמוד הרמיטי של אופרטור נתון.

אופרטורים הרמיטיים יכולים לפעול גם על ברה, על ידי הפונקציונל (\langle\phi|\hat A) \; |\psi\rangle = \langle\phi| \; (\hat A|\psi\rangle), ונהוג לסמן פונקציונל כזה בצורה \langle\phi|A|\psi\rangle.

עבור אופרטורים לא הרמיטיים, מקובל הסימון:
:# \lang \phi | \hat{A} | \psi \rang = \lang \phi | \hat{A} \psi \rang
:# \lang \phi | \hat{A^\dagger} | \psi \rang = \lang \hat{A} \phi | \psi \rang

דרך נוחה אחרת להגדיר אופרטורים ליניאריים על המרחב H היא על ידי מכפלה חיצונית: עבור ברה \langle\phi| וקט |\psi\rangle מוגדר אופרטור על ידי המכפלה החיצונית \hat{P} = |\psi\rang \lang \phi| , כך שלכל קט |\rho\rangle,
 \hat{P}|\rho\rangle = |\psi\rangle\langle\phi|\rho\rangle = \langle\phi|\rho\rangle\cdot|\psi\rangle
כלומר, אחרי הפעלת האופרטור, המכפלה הפנימית \langle\phi|\rho\rangle תהיה המקדם של הקט |\psi\rangle.

שימוש מרכזי בהגדרה זו הוא בהצגת אופרטור הטלה; כאשר נתון וקטור \langle\phi| בעל נורמה 1 (כלומר: \langle\phi|\phi\rangle=1), האופרטור  |\phi\rang \lang \phi|  מבצע הטלה אורתוגונלית לתוך תת-המרחב הנפרש על ידי  |\phi\rang.

בנוסף, בהינתן בסיס שלם \{|\psi_i\rangle\}_i, ניתן להציג כל אופרטור \hat{A} כסכום איברים,
\hat{A}=\sum_{i,j}a_{ij}|\psi_i\rangle\langle\psi_j|
כך שהמקדמים מקיימים a_{ij}=\langle\psi_i|\hat{A}|\psi_j\rangle, והם נקראים "איברי המטריצה של \hat{A}". בפרט, אם המקדמים a_{ij} הם הדלתא של קרונקר (\delta_{ij}), האופרטור הוא אופרטור היחידה, ומסמנים: \hat{1}=\sum_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|

## הצגה במושגים של ברה וקט
במכניקת הקוונטים לעיתים קרובות יותר נוח לעבוד עם הטלות של מצבים וקטורים לתוך בסיס מסוים, מאשר עם הווקטורים עצמם. הסיבה לכך היא שההיטלים הם מספרים מרוכבים, אשר אפשר לנסח במונחים של משוואה דיפרנציאלית חלקית (דוגמה לכך אפשר לראות בפיתוח המצבים העצמיים של משוואת שרדינגר).

לדוגמה, מרחב הילברט של חלקיק נקודתי בעל ספין אפס נפרש על ידי בסיס המקום \lbrace|\mathbf{x}\rangle\rbrace כאשר הסימון \mathbf{x} מייצג סט של וקטורי בסיס. אם נתחיל על קט כלשהו |\psi\rangle במרחב הילברט, ניתן לאפיינו באמצעות פונקציה סקלרית של \mathbf{x} הידועה בשם פונקציית הגל: \psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x}|\psi\rang
תחת הצגה זאת נהוג להגדיר אופרטור ליניארי הפועל על פונקציות גל במונחים של אופרטורים ליניאריים הפועלים על קטים על ידי A \psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x}|A|\psi\rang

אף על פי שהאופרטור A הנמצא בצד שמאל של המשוואה מסומן בצורה זהה לזאת של האופרטור A בצד ימין, יש להבין כי מדובר בשתי ישויות מתמטיות שונות; בעוד הראשונה פועלת על פונקציות גל, השנייה פועלת על קטים, כלומר על וקטורים במרחב הילברט.

לדוגמה, אמנם לאופרטור התנע p יש, באופן תאורטי, את הצורה הבאה: \mathbf{p} \psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x} |\mathbf{p}|\psi\rang = - i \hbar \nabla \psi(x) 
אין זה בלתי-סביר להיתקל גם בכתיבה מהצורה:  - i \hbar \nabla |\psi\rang

אפשר לומר כי זהו "שימוש חורג", למרות השימוש הנפוץ בו. במקרה זה יש לחשוב על האופרטור הדיפרנציאלי כאופרטור ליניארי מופשט במרחב הילברט הפועל על קטים ומקבל את משמעותו הדיפרנציאלית רק כאשר מתורגם הווקטור לפונקציית הגל בבסיס המקום.

## מרחבי מכפלה
### מבוא והגדרות
כאשר יש מספר מצבים קוונטים המאפיינים את המערכת, התיאור המתמטי הפורמלי שלה הוא למעשה מכפלה טנזורית (מכפלה חיצונית) של הקטים ממרחבי הילברט. לרוב משתמשים במרחבי מכפלה כאשר יש מספר חלקיקים בבעיה.

שני מרחבי הילברט, V ו-W, יכולים ליצור מרחב הילברט שלישי V \otimes W בעזרת מכפלה טנזורית. במכניקת הקוונטים, מרחב זה משמש לתיאור מערכות מורכבות. אם מערכת מורכבת משתי מערכות שנסמנן ב-V ו-W בהתאמה, אז כל המערכת תתואר על ידי המכפלה הטנזורית של שני המרחבים (יוצא מן הכלל לכך הוא המצב בו שתי תתי-המערכות מתארות חלקיקים זהים. במקרה זה העניין מסובך יותר).

אם |\psi\rangle הוא קט במרחב V ו-|\phi\rangle הוא קט במרחב W, אזי המכפלה הטנזורית של שני הקטים תהיה הקט V \otimes W. נהוג לרשום ביטוי זה גם כ-|\psi\rangle|\phi\rangle או כ-|\psi\rangle \otimes |\phi\rangle או לחלופין כ-|\psi \phi\rangle

### דוגמה כללית
נניח שיש 2 חלקיקים בעלי מסה זהה עם ההמילטוניאן:
: H = \frac{p_1^2}{2m} + \frac{p_2^2}{2m} + V(\vec{r_1}) + V(\vec{r_2})
לכל אחד יהיה סט מצבים עצמיים | n \rang \in \mathbb{H} כאשר \mathbb{H}  הוא מרחב הילברט שנפרש על ידי המצבים העצמיים של ההמילטוניאן H = \frac{p^2}{2m} + V(\vec{r}).

את התיאור של המצב הקוונטי של 2 החלקיקים נתאר באמצעות קט השייך למרחב המכפלה | \psi \rang \in \mathbb{H} \otimes \mathbb{H}, קט כזה יהיה מהצורה | \psi \rang = | n \rang _1 \otimes | k \rang _2 = | n \rang _1 | k \rang _2 כאשר בכתיבת קטים נהוג להשמיט את סימן המכפלה הטנזורית.

### סימטריות ביחס להחלפת חלקיקים
נהוג להגדיר אופרטור החלפת חלקיקים. עבור חלקיקים הוא מוגדר כך:
: P_{21}| n \rang _1 | k \rang _2 = | k \rang _1 | n \rang _2

עבור N חלקיקים מגדירים באופן דומה אופרטור פרמוטציה (תמורה) שמסדר מחדש את האינדקסים של N החלקיקים. חילוף (כלומר, אופרטור החלפת חלקיקים) הוא מקרה פרטי של פרמוטציה. למעשה, כל פרמוטציה ניתנת להצגה כהרכבה של חילופים.

ניתן לומר שפונקציית הגל (ליתר דיוק, המצב הקוונטי) **סימטרית להחלפת חלקיקים** אם P_{21} |\psi \rang = | \psi \rang.

לדוגמה, פונקציית הגל
: | \psi_s \rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( | n \rang _1 | k \rang _2 + | k \rang _1 | n \rang _2 \right) 
היא סימטרית להחלפת חלקיקים שכן P_{21} \left( | n \rang _1 | k \rang _2 + | k \rang _1 | n \rang _2 \right) = | k \rang _1 | n \rang _2 + | n \rang _1 | k \rang _2 = | n \rang _1 | k \rang _2 + | k \rang _1 | n \rang _2 .

באותו אופן, נאמר שפונקציית הגל **אנטי-סימטרית להחלפת חלקיקים** אם P_{21} |\psi \rang = - | \psi \rang.

להגדרות ותכונות אלה יש חשיבות רבה כאשר מדובר במערכת של חלקיקים זהים. ניתוח פיזיקלי מתקדם (תורת שדות) ותוצאות של ניסויים הראו שניתן לסווג את כל החלקיקים בטבע על פי התנהגותם כאשר יש מערכת של זוג חלקיקים זהים:
* פרמיונים – חלקיקים שפונקציית הגל שלהם היא אנטי-סימטרית, והם מקיימים את עקרון האיסור של פאולי: שני פרמיונים לא יכולים להיות באותו מצב קוונטי בעת ובעונה אחת.
* בוזונים – חלקיקים שפונקציית הגל שלהם היא סימטרית, ועשויים לאכלס את אותו המצב הקוונטי בו־זמנית.

### החלפת ספין ומיקום
עבור חלקיק בעל ספין שאינו אפס, ניתן להציג את מרחב הילברט כמכפלה של מרחב מיקום \mathbb{H} ומרחב ספין \mathbb{S}. לפיכך, אופרטור ההחלפה של חלקיקים יהיה מכפלת ההחלפות בשני המרחבים. אם נסמן את המרחב בו פועל האופרטור באינדקס עליון, יתקיים P_{21}^{\mathbb{S}\times\mathbb{H}}\mid s_1s_2\rangle \mid nk\rangle=P_{21}^\mathbb{S}\mid s_1s_2\rangle\otimes P_{21}^\mathbb{H}\mid nk\rangle=\mid s_2s_1\rangle\mid kn \rangle, ובהכללה לצירופים ליניאריים. לכן אם מעוניינים שמכפלת מצב ספין s ומצב מיקום \psi תהיה סימטרית להחלפה, צריך שגם מצב המיקום וגם מצב הספין יהיו סימטריים או ששניהם יהיו אנטי-סימטריים. אם מעוניינים שמכפלתם תהיה אנטי-סימטרית, אז הספין צריך להיות סימטרי והמיקום צריך להיות אנטי-סימטרי, או להפך.

### דוגמה פרטית למרחב מכפלה
הדוגמה הנפוצה ביותר לשימוש במרחב מכפלה היא מצב EPR שמופיע בגרסת דייוויד בוהם לפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן, מצב זה מתואר באופן מתמטי על ידי
: | \mbox{EPR} \rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( | \uparrow \rang _1 | \downarrow \rang _2 - | \downarrow \rang _1 | \uparrow \rang _2 \right)
כאשר הקט השמאלי יותר מייצג את הספין של חלקיק מספר 1 (כיוון החץ מציין את כיוון הספין) והקט הימני יותר מייצג את הספין של חלקיק מספר 2.

מצב זה הוא מצב שזור של אנטי-קורלציה מוחלטת; בכל כיוון שמודדים ספין, הספין של חלקיק 2 יהיה הפוך לזה של חלקיק 1. לדוגמה, אם מודדים ל-1 ספין מעלה, אזי ל־2 יימדד בהכרח ספין מטה, ואם מודדים ל-1 ספין מטה, אז ל־2 יימדד בהכרח ספין מעלה.

## קישורים חיצוניים

*סימני דיראק, סיכום של הרצאותיו של פרופסור אלכס גרסטן 
* 

קטגוריה:מכניקת הקוונטים
קטגוריה:חישוב קוונטי