טטרציה

ממוזער|390x390 פיקסלים|גרף הפונקציה <math>^xe</math>
במתמטיקה, **טֶטְרָצְיָה** (באנגלית: **Tetration** או **Hyper-4**) היא פעולה, המתבצעת בין שני מספרים: ה"**בסיס**" וה"**גובה**". טטרציה מסמנים בסימון a\uparrow\uparrow b או ^ba כאשר a הוא הבסיס ו-b הוא הגובה. בצורתה הבסיסית ביותר, שבה הבסיס הוא מספר ממשי והגובה הוא מספר טבעי, טטרציה מהווה קיצור של מגדל חזקות מחזורי; כלומר - הטטרציה ה-b־ית של a היא החזקה החוזרת של b גורמים השווים כולם ל-a: a\uparrow\uparrow b = {}^ba = \underbrace{a^{a^{a^{a^{ \cdots ^a}}}}}_b

ניתן גם להגדיר טטרציה רקורסיבית באופן הבא:

: ^ba = \begin{cases} 1, & \text{if }b=0 \\ a^{^{b-1}a}, & \text{if }b>0 \end{cases}

## מבוא
ארבעת ההיפר-פעולות הראשונות מוצגות מטה, כשטטרציה נחשבת להיפר-פעולה הרביעית. הפעולה האונארית עקיבה , המוגדרת כ-a'=a+1 נחשבת להיפר-פעולה האפס.

# חיבור:a+b=a+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{b\text{ times}}
# כפל:a\times b=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{b\text{ times}}
# חזקה:a^b=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{b\text{ times}}
# טטרציה:^ba = \underbrace{a^{a^{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot ^a}}}}}}}_{b \text{ times}}

יש לשים לב כי החזקה אינה פעולה אסוציאטיבית וכי היא מחושבת מלמעלה למטה. כלומר, {3^5}^7 משמעותו 3^{(5^7)} ולא {(3^5)}^7.

## תכונות

* כיוון שחזקה אינה פעולה קומוטטיבית, כך גם טטרציה אינה קומוטטיבית: הטענות ^a(^bx) = {}^{ab}x ו ^axy = {}^ax^a{}y אינן נכונות ברוב המקרים.
* בנוסף, טטרציה גם אינה פעולה אסוציאטיבית. כלומר, הטענה ^{({^a}b)}c = {}^{^a}(^bc) אינה נכונה ברוב המקרים. כיווניות החישוב הנכונה היא מלמעלה למטה.
* בדומה לחזקה, מתקיים כי ^0x = 1 ו ^1x = x
* מההגדרה הרקורסיבית של טטרציה מתקבלת התכונה הבאה: ^ax = x^{(^{a-1} x)}
* ממהגדרה למעלה נובע כי: (^ba)^{(^ca)} = (^{c+1}a)^{(^{b-1}a)} מה שמאפשר את החלפת המשתנים b ו-c במשוואות. ההוכחה לתכונה זו היא:

 \left(\cos{\frac{\pi a}{2}} + i \sin{\frac{\pi a}{2}}\right)

ולכן ניתן להגדיר בצורה רקורסיבית את ^{n+1}i = a'+b'i באמצעות ^ni = a+bi:

: \begin{align}
  a' &= e^{-\frac{1}{2}{\pi b}} \cos{\frac{\pi a}{2}} \\[2pt]
  b' &= e^{-\frac{1}{2}{\pi b}} \sin{\frac{\pi a}{2}}
\end{align}

### הכללת הגובה

#### גובה אינסופי
ממוזער|ערכי הגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infin} {}^nx</math>, שמתכנס רק עבור <math>e^{-e} \leq x \leq e^{\frac{1}{e}}</math>
ניתן להכליל את הטטרציה לגבהים אינסופיים. כלומר, עבור בסיס x כלשהו, קיים הגבול \lim_{n\rightarrow\infin} {}^nx. זאת כיוון שבטווח מסוים של בסיסים, הטטרציה מתכנסת למספר סופי כש-n שואף לאינסוף.

לדוגמה, \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} מתכנס ל-2, ולכן ניתן לומר כי הוא שווה ל-2.

את מגמת ההתקרבות לגבול 2 ניתן לראות גם על ידי חישוב גובה קטן:

: \begin{align}
  \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.414}}}}}
    &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.63}}}} \\
    &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.76}}} \\
    &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.84}} \\
    &\approx \sqrt{2}^{1.89} \\
    &\approx 1.93
\end{align}

לאונרד אוילר הראה כי באופן כללי, מגדל החזקות האינסופי x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}\!\! מתכנס עבור e^{-e} \leq x \leq e^{\frac{1}{e}}.

#### גובה שלילי שלם
באמצעות ההגדרה הרקורסיבית של טטרציה:

: {^{k+1}a} = a^{\left({^{k}a}\right)},

ניתן למצוא את {}^{-1}a:

: ^{k}a = \log_a \left(^{k+1}a\right);

אם במקום k נציב  נקבל:

: {}^{-1}a = \log_{a} \left({}^0 a\right) = \log_a 1 = 0

ערכים שליליים הקטנים מ לא ניתן להגדיר באופן זה, אם נציב  במקום k באותה משוואה אז נקבל:

: {}^{-2}a = \log_{a} \left( {}^{-1}a \right) = \log_a 0

וזהו מספר שאינו מוגדר.

## פעולות הופכיות
לחזקה קיימות שתי פעולות הופכיות: השורש והלוגריתם. באופן אנלוגי, גם לטטרציה שתי פעולות הופכיות: ה**סופר-שורש** וה**סופר-לוגריתם**. (למעשה, לכל ההיפר-פעולות הגדולות מ-2 יש שתי פעולות הופכיות אנלוגיות). שתי פעולות אלו כמו הטטרציה אינן פעולות אלמנטריות.

### סופר-שורש
הסופר-שורש היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הבסיס: אם ^ny = x אז y הוא הסופר-שורש ה-n־י של x, והוא יסומן בצורה y = \sqrt[n]{x}_s

לדוגמה, אם ^42 = 2^{2^{2^{2}}} = 65,536 אז 2 הוא הסופר-שורש הרביעי של 65,536 (2 = \sqrt[4]{65,536}_s).

#### סופר-שורש ריבועי
ממוזער|גרף הפונקציה <math>y=\sqrt{x}_s</math>
הסופר-שורש השני נקרא סופר-שורש ריבועי, והוא מסומן בצורה \sqrt[2]{x}_s, או בפשטות \sqrt{x}_s.

הסופר-שורש הריבועי הוא למעשה הפונקציה ההופכית לפונקציה x^x, וניתן להציגו באמצעות פונקציית אומגה :

: \sqrt{x}_s = e^{W(\ln{x})} = \frac{\ln{x}}{W(\ln{x})}

### סופר-לוגריתם
הסופר-לוגריתם היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הגובה: אם ^yn = x אז y הוא הסופר-לוגריתם מבסיס n של x, והוא יסומן בצורה y = \text{slog}_n{x}. פונקציה זו מוגדרת עבור כל n > 1.

#### תכונות

* \text{slog}_b(b^x) = \text{slog}_b(x) + 1
* \text{slog}_b1 = 0
* \text{slog}_b(x) = \text{slog}_b(\log_b{(x)}) + 1
* לכל x ממשי מתקיים \text{slog}_b(x) > -2

## ראו גם
* היפר-פעולות
* מספרים גדולים
* לוגריתם חוזר

## קישורים חיצוניים

* 

## הערות שוליים

קטגוריה:אלגברה