מרחב אחיד

במתמטיקה, ובפרט בטופולוגיה, **מרחב אחיד** הוא קבוצת נקודות עם מבנה שמגדיר עליה טופולוגיה ובנוסף דרך להשוות קירבה בין נקודות באזורים שונים של המרחב. במרחבים אחידים ניתן להשוות קירבה בין נקודות שונות במרחב מבלי להגדיר באופן מספרי מרחק בין נקודות. הדבר מאפשר להגדיר מושגים כגון רציפות במידה שווה ושלמות באופן מופשט.

המושג נהגה לראשונה על-ידי המתמטיקאי אנדרה וייל בשנת 1937.

## מבוא ומוטיבציה
הדרך הטבעית להגדיר מרחקים בין נקודות במרחב כלשהו הוא על-ידי שימוש במטריקה. כך, עבור מרחב X כלשהו אפשר להגדיר פונקציית מרחק d\colon X\times X\to \mathbb{R} שמקיימת את התכונות המצופות ממרחק (מרחק 0 אם ורק אם הנקודות זהות, סימטריות ואי-שוויון המשולש).

עם זאת, ישנו צורך לנתח את הגאומטריה של מרחבים מסוימים ללא התייחסות למרחקים בין נקודות. כדי לענות על צורך זה מגדירים על המרחב טופולוגיה המורכבת מקבוצת הקבוצות הפתוחות על המרחב. אוסף קבוצות פתוחות אלו מספיק כדי לדון במושגים כמו התכנסות ורציפות שלא באופן הקלאסי על-ידי חישוב גבולות. כך ניתן לתאר מבנים גאומטריים כדוגמת הספירה, טבעת מביוס, הטורוס ובקבוק קליין ללא צורך בהגדרת מרחק כלל.

על אף שבמקרים רבים המבנה הטופולוגי מספיק כדי לתאר באופן מלא את המרחב, הטופולוגיה אינה מסוגלת לספק השוואה בין קרבה של נקודות כלשהן. כך למשל, הטופולוגיה מספיקה כדי לתאר שסדרה כלשהי \left\{x_i\right\}_{i=1}^\infty מתכנסת ל-x, אך היא לא מסוגלת לתאר שהסדרה הנ"ל מתכנסת מהר יותר מאשר סדרה אחרת \left\{y_i\right\}_{i=1}^\infty.

כדי לענות על הצורך הזה יש להגדיר על המרחב מבנה אחידות. מבנה זה מסוגל לנסח מתמטית טענות כגון "הנקודה x_1 קרובה לנקודה y_1 באותו סדר גודל כפי ש-x_2 קרובה ל-y_2", זאת מבלי להגדיר מרחק כלל.

מטריקה על מרחב מגדירה מבנה אחיד עליו. מבנה אחיד על מרחב מגדיר טופולוגיה עליו. באופן דומה, העתקה בין מרחבים מטריים ששומרת את המטריקה (העתקות כאלה נקראות איזומטריות) גם שומרת את המבנה האחיד (העתקות כאלה נקראות העתקות רציפות במידה שווה). כך גם העתקה ששומרת את המבנה האחיד שומרת גם את הטופולוגיה (העתקות כאלה נקראות העתקות רציפות).

## סימונים
בהינתן קבוצה כלשהי X נסמן ב-\mathcal{P}(X) את קבוצת תתי-הקבוצות של X.

כמו כן, עבור יחסים U,V \subseteq X\times X נסמן:

U\circ V:=\left\{(x,z)\mid \exist y\in X: (x,y) \in U \land (y,z)\in V \right\}

U^{-1}:=\left\{(x,y)\mid (y,x)\in U\right\}

כמו כן, נסמן ב-\Delta_X \subseteq X\times X את יחס הזהות על X (נקרא גם האלכסון של X), כלומר:

\Delta_X:=\left\{(x,x)\mid x\in X\right\}

## הגדרה מתמטית
בהינתן קבוצה כלשהי X הקבוצה \mathfrak{A}\subseteq \mathcal{P}(X\times X) תקרא **מבנה אחידות על <math>X</math>** אם ורק אם היא מקיימת את כל האקסיומות הבאות:

# \mathfrak{A} איננה ריקה, כלומר \mathfrak{A}\ne\emptyset.
# לכל U\in \mathfrak{A} מתקיים ש-\Delta_X \subseteq U
# לכל U,V\in \mathfrak{A} מתקיים ש-U\cap V\in \mathfrak{A}
# לכל U\in \mathfrak{A} ולכל U\subseteq V\subseteq X\times X מתקיים ש-V\in \mathfrak{A}
# לכל U\in \mathfrak{A} מתקיים ש-U^{-1}\in \mathfrak{A}
# **אקסיומת החציה:** לכל U\in \mathfrak{A} קיים V\in \mathfrak{A} כך ש-V\circ V\subseteq U

קבוצה U\in \mathfrak{A} כלשהי תקרא **פמליה**. במקרה זה, אם (x,y)\in U מגדירים כי **<math>x</math> ו-<math>y</math> הן <math>U</math>-קרובות**. הזוג הסדור (X,\mathfrak{A}) יקרא **מרחב אחיד** או **מרחב אחידות**.

ניתן לראות כי מבנה האחידות \mathfrak{A} הוא אוסף של יחסים. האקסיומה הראשונה קובעת כי מבנה האחידות איננו ריק. האקסיומה השנייה קובעת כי תחת כל פמליה, כל נקודה קרובה לעצמה. האקסיומות השלישית והרביעית הופכות את \mathfrak{A} למסנן לפי יחס ההכלה \subseteq, ובתוך כך מגדירות שחיתוך סופי של פמליות הוא פמליה בעצמו ושכל יחס על X שמכיל פמליה הוא פמליה בעצמו. האקסיומה החמישית מוודאת כי אם x קרובה ל-y תחת פמליה כלשהי, אז ישנה פמליה אחרת שבה y קרובה ל-x. האקסיומה השישית והאחרונה קובעת כי לכל פמליה יש פמליה שהיא "לכל היותר חצי ממנה".

פמליה U\in \mathfrak{A} תקרא **פמליה סימטרית** אם ורק אם U=U^{-1}. ניתן לראות כי מבנה האחידות לא מבטיח שכל הפמליות סימטריות.
## מבנה אחיד מושרה על תת-קבוצה
בהינתן מרחב אחיד X ותת-קבוצה Y\sub X אפשר להגדיר מבנה אחיד על Y שנקרא המבנה המושרה מ- X באופן הבא: נסמן ב- \mathfrak U_X את המבנה האחיד על X. לכל פמליה U\in \mathfrak U_X מגדירים U_Y:=U\cap Y\times Y. אוסף היחסים על Y שמתקבלים כך הם הפמליות ב-Y. באופן פורמלי, המבנה האחיד המושרה על Y מוגדר על ידי:
\mathfrak U_Y :=\{U_Y|U\in\mathfrak U_X\}

## בסיס
מאחר ש-\mathfrak{A} הוא מסנן, ניתן למצוא עבורו בסיס. קבוצה \mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{A} תקרא **בסיס של <math>\mathfrak{A}</math>** אם ורק אם היא מקיימת את התנאים הבאים:

# לכל U,V\in \mathfrak{B} מתקיים ש-U\cap V\in \mathfrak{B}
# לכל U\in \mathfrak{A} קיים V\in \mathfrak{B} כך ש-V\subseteq U

מאחר שלכל מסנן כללי יש בסיס, גם למבנה אחידות יש בסיס.

קבוצה \mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{A} תקרא **בסיס סימטרי של <math>\mathfrak{A}</math>** אם כל הפמליות בה סימטריות. ניתן להוכיח כי לכל מרחב אחיד לא רק שיש בסיס, אלא קיים בסיס סימטרי. זאת נעשה על-ידי לקיחת בסיס כלשהו \mathfrak{B} לכל פמליה U\in \mathfrak{B} ידוע כי U^{-1}\in \mathfrak{A} ולכן גם U\cap U^{-1}\in \mathfrak{A}. ניתן להיווכח כי U\cap U^{-1} היא פמליה סימטרית. מגדירים את הקבוצה:

\mathfrak{B}':=\left\{U\cap U^{-1}\mid U\in \mathfrak{B}\right\}

ניתן להוכיח כי הקבוצה \mathfrak{B}' היא בסיס, ולכן בסיס סימטרי.

## קשר למרחבים טופולוגים

### טופולוגיה מושרית
בהינתן מרחב אחיד (X,\mathfrak{A}), פמליה U\in \mathfrak{A} ואיבר x\in X כלשהו, מגדירים:

U[x]:=\left\{y\in X\mid (x,y)\in U\right\}

מגדירים כי קבוצה A\subseteq X היא **פתוחה לפי מבנה האחידות <math>\mathfrak{A}</math>** אם ורק אם לכל x\in A קיימת פמליה U\in \mathfrak{A} כך ש-U[x]\subseteq A.

מגדירים \tau:=\left\{ U \subseteq X\mid U \text{ is open according to }\mathfrak{A} \right\}. כלומר, \tau היא קבוצת כל הקבוצות הפתוחות לפי **<math>\mathfrak{A}</math>**. על כן, ניתן להוכיח כי \tau היא טופולוגיה, וטופולוגיה זו נקראת **הטופולוגיה המושרית של <math>\mathfrak{A}</math>**.

יש להדגיש כי באופן כללי הקבוצות מהצורה U[x] כאשר x היא נקודה ב-X ו-U פמליה אינן קבוצות פתוחות בהכרח לפי הטופולוגיה המושרית. עם זאת, ניתן להוכיח כי כל U[x] מכילה קבוצה פתוחה שמכילה את x. בכך U[x] למעשה סביבה של x לפי הטופולוגיה המושרית.

יתרה מכך, ניתן להוכיח כי \mathcal{N}(x)=\left\{U[x]\mid U\in \mathcal{A}\right\}, כאשר \mathcal{N}(x) היא מערכת הסביבות של x לפי הטופולוגיה המושרית.

### מרחב בר-אחידות
בהינתן מרחב טופולוגי (X,\tau), אומרים כי המרחב **בר-אחידות** אם ורק אם קיים מבנה אחידות \mathfrak{A} על X כך ש-\tau היא הטופולוגיה המושרית ממנו. בעוד שלכל מבנה אחידות יש טופולוגיה מושרית אחת, לכל טופולוגיה ייתכנו מספרת מבני אחידות מותאמים.

עבור מרחב טופולוגי (X,\tau) בר-אחידות, התכונות הבאות שקולות:

# המרחב הוא מרחב קולמוגורוב
# המרחב הוא מרחב האוסדורף
# המרחב הוא מרחב טיכונוף
# עבור כל מבנה אחידות מותאם \mathfrak{A}, החיתוך של כל הפמליות ב-\mathfrak{A} הוא יחס הזהות \Delta_X

עבור התנאי השקול מספר 4, חשוב להדגיש כי העובדה שחיתוך על הפמליות במבנה האחידות הוא יחס הזהות \Delta_X אינו מעיד על כך שיחס הזהות הוא איבר במבנה האחידות, זאת מכיוון שמבנה האחידות הוא סגור לחיתוך סופי של פמליות, אך יכול להכיל (ולרוב אף מכיל) מספר אינסופי של פמליות. במילים אחרות, המסנן \mathfrak{A} אינו בהכרח מסנן ראשי.

## כיסוי אחיד
בהינתן קבוצה X, כיסוי שלה \mathcal{C} וקבוצה כלשהי A\subseteq X מגדירים את **הכוכב של <math>A</math> לפי <math>\mathcal{C}</math> באופן הבא**:

\operatorname{st}(A,\mathcal{C}):=\bigcup{\left\{U\in \mathcal{C}\mid A\cap U\ne \emptyset\right\}}

כלומר, הכוכב של A הוא איחוד כל האיברים בכיסוי שנחתכים עם A.

בהינתן שני כיסויים שונים של X, \mathcal{C}_1 ו-\mathcal{C}_2, מגדירים כי **<math>\mathcal{C}_2</math> הוא [[עידון-כוכב]] של <math>\mathcal{C}_1</math>** אם ורק אם לכל U\in \mathcal{C}_2 קיים V\in \mathcal{C}_1 כך ש-\operatorname{st}(U,\mathcal{C}_2)\subseteq V, ומסמנים \mathcal{C}_2 . המשמעות של עידון-כוכב היא שעבור כל קבוצה ב-\mathcal{C}_2, כל הקבוצות ב-\mathcal{C}_2 שנחתכות איתה מוכלות כולן בתוך קבוצה יחידה מתוך \mathcal{C}_1. מכאן נובע כי עידון כוכב הוא למעשה גרסה חזקה יותר של עידון סטנדרטי, ועל כן כל עידון-כוכב הוא גם עידון.

בהינתן קבוצה כלשהי X ואוסף של כיסויים \mathfrak{C}\subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)), הקבוצה \mathfrak{C} תקרא **כיסוי אחיד של <math>X</math>** אם ורק אם היא מקיימת את התנאים הבאים:

# הכיסוי הטריוויאלי נמצא ב-\mathfrak{C}, כלומר \left\{X\right\}\in \mathfrak{C}
# לכל כיסוי \mathcal{C}_1\in \mathfrak{C} קיים כיסוי \mathcal{C}_2\in \mathfrak{C} כך ש-\mathcal{C}_2 
# לכל זוג כיסויים \mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2\in \mathfrak{C} קיים כיסוי \mathcal{C}_3\in \mathfrak{C} כך ש-\mathcal{C}_3  ו-\mathcal{C}_3 .

תנאים 2 ו-3 הופכים כל כיסוי אחיד למסנן ביחס ליחס הסדר החלקי \le^* (כאשר \mathcal{C}_2 \le^* \mathcal{C}_1 משמעו ש-\mathcal{C}_2  או \mathcal{C}_2 = \mathcal{C}_1)

ישנה התאמה בין כיסויים אחידים של קבוצה כלשהי **<math>X</math>** ומבני אחידות של X. כלומר, מכל מבנה אחידות ניתן ליצור כיסוי אחיד ולהפך. על כן, ניתן להשתמש בכיסוי אחיד כהגדרה אלטרנטיבית למרחב אחיד.

### בניית מבנה אחידות מכיסוי אחיד
בהינתן קבוצה X וכיסוי אחיד \mathfrak{C}, לכל כיסוי \mathcal{C}\in \mathfrak{C} מגדירים את הפמליה הבאה:

U_\mathcal{C}:=\left\{(x,y)\in X\times X\mid \exists U\in \mathcal{C}\colon x\in U \and y\in U\right\}

מגדירים את הקבוצה \mathfrak{B}:=\left\{U_\mathcal{C}\mid \mathcal{C}\in\mathfrak{C}\right\} ומשתמשים בה כבסיס לבניית מסנן \mathfrak{A}. ניתן להוכיח כי \mathfrak{A} הוא מבנה אחידות. יש להדגיש כי אקסיומת החציה של \mathfrak{A} (אקסיומה 6 לעיל) מתקיימת בזכות העובדה שלכל כיסוי ב-\mathfrak{C} יש עידון-כוכבי. העידון הכוכבי בעצם מאפשר לחצות את הפמליה.

### בניית כיסוי אחיד ממבנה אחידות
בהינתן מרחב אחיד (X,\mathfrak{A}), לכל פמליה U\in \mathfrak{A} מגדירים את הכיסוי הבא:

\mathcal{C}_U:=\left\{U[x]\mid x\in X\right\}

מגדירים את הקבוצה \mathfrak{C}:=\left\{\mathcal{C}_U\mid U\in \mathfrak{A}\right\}. ניתן להוכיח כי \mathfrak{C} הוא כיסוי אחיד של X.

## רציפות במידה שווה

בהינתן שני מרחבים אחידים (X,\mathfrak{A}) ו-(Y,\mathfrak{B}), פונקציה f\colon X\to Y תקרא **פונקציה רציפה במידה שווה** אם ורק אם לכל פמליה V\in \mathfrak{B} קיימת פמליה U\in \mathfrak{A} כך שלכל (x,y)\in U מתקיים ש-(f(x), f(y))\in V.

כל פונקציה רציפה במידה שווה בין מרחבים אחידים היא פונקציה רציפה ביחס לטופולוגיות המושרות שלהם.

במקרה שבו שני המרחבים הם מרחבים מטריים ומבני האחידות נגזרים מתוך המטריקות (ראו פרק דוגמאות), הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה של פונקציה רציפה במידה שווה של מרחבים מטריים.

אם f היא פונקציה הפיכה כך שגם f וגם f^{-1} הן רצפות רציפה במידה שווה, אז f היא איזומרפיזם של מרחבים אחידים **איזומרפיזם מ-<math>X</math> ל-<math>Y</math>.** במקרה כזה אומרים ש-X ו-Y הם מרחבים אחידים איזומרפיים.
f תקרא **שיכון אחיד של <math>X</math> ב-<math>Y</math>**. אם היא איזומרפיזם לתמונה שלה (כשהמבנה האחיד על התמונה הוא המבנה האחיד המושרה מ- Y).

## שלמות

אחד השימושים המרכזיים של מרחבים אחידים הוא כדי להרחיב את מונח השלמות של מרחבים מטריים. בתוך כך, המרחב האחיד מאפשר להרחיב את המונח סדרת קושי בשתי דרכים: על-ידי רשת קושי ועל-ידי מסנן קושי.

### רשת קושי
בהינתן מרחב אחיד (X,\mathfrak{A}) ורשת כלשהי f:D\to X (כאשר D היא קבוצה מכוונת), הרשת f תקרא **רשת קושי לפי <math>\mathfrak{A}</math>** אם ורק אם לכל פמליה U\in \mathfrak{A} קיים a\in D כך שלכל b,c>a מתקיים ש-(f(b),f(c))\in U.

באופן דומה, בהינתן רשת כלשהי f:D\to X (לאו דווקא קושי) ונקודה כלשהי x\in A, נאמר כי הרשת **<math>f</math> מתכנסת ל-<math>x</math> לפי <math>\mathfrak{A}</math>** לכל פמליה U\in \mathfrak{A} קיים a\in D כך שלכל b>a מתקיים ש-(f(b),x)\in U. ניתן להוכיח כי אם (X,\mathfrak{A}) הוא מרחב האוסדורף לפי הטופולוגיה המושרית, אז כל רשת מתכנסת לכל היותר לנקודה אחת בלבד.

### מסנן קושי
בהינתן מרחב אחיד (X,\mathfrak{A}) ומסנן \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X) (לפי יחס ההכלה \subseteq), המסנן \mathcal{F} ייקרא **מסנן קושי לפי <math>\mathfrak{A}</math>** אם ורק אם לכל פמליה U\in \mathfrak{A} קיימת קבוצה F\in \mathcal{F} כך ש-F\times F\subseteq U.

באופן דומה, בהינתן מסנן כלשהו \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X) (לאו דווקא קושי) ונקודה x\in X, מגדירים שהמסנן **<math>\mathcal{F}</math> מתכנס ל-<math>x</math> לפי <math>\mathfrak{A}</math>** אם ורק אם לכל פמליה U\in \mathfrak{A} מתקיים ש-U[x]\in \mathcal{F}. ניתן להוכיח כי אם (X,\mathfrak{A}) הוא מרחב האוסדורף לפי הטופולוגיה המושרית, אז כל מסנן מתכנס לכל היותר לנקודה אחת בלבד.

### הגדרת מרחב אחיד שלם
בהינתן מרחב אחיד (X,\mathfrak{A}), נאמר כי X הוא **מרחב שלם** אם ורק אם הוא מקיים את אחד התנאים השקולים הבאים:

# כל רשת קושי מתכנסת.
# כל מסנן קושי מתכנס.

הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה של שלמות במובן של מרחבים מטריים כאשר המרחב האחיד נבנה מהמטריקה (ראו פרק דוגמאות).

ניתן להוכיח כי בהינתן מרחב אחיד כלשהו (X,\mathfrak{A}), קבוצה צפופה (לפי המטריקה המושרית מן האחידות) D\subseteq X ומרחב אחיד שלם (Y,\mathfrak{B}), לכל שיכון אחיד f:D\to Y קיימת הרחבה f':X\to Y כך ש-f' היא פונקציה רציפה במידה שווה ולכל x\in D מתקיים ש-f'(x)=f(x).

## דוגמאות
### מרחבים טריוויאלים
בהינתן קבוצה כלשהי X עם מבנה האחידות \left\{X\times X\right\}, מתקבל מרחב אחיד שבו כל הנקודות הן באותה פמליה. מרחב זה שקול למרחב הטופולוגי עם הטופולוגיה הטריוויאלית \left\{\emptyset, X\right\}.

### מרחב מטרי

בהינתן מרחב מטרי (X,d), לכל מספר ממשי חיובי r>0 מגדירים את הפמליה:

U_r:=\left\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)

משתמשים בבסיס \left\{U_r\right\}_{r>0} כדי להגדיר מבנה אחידות \mathfrak{A}. מבנה אחידות זה הוא **מבנה האחידות המושרה מהמטריקה**. ניתן להוכיח כי מושגים כגון שלמות ורציפות במידה שווה כפי שהוגדרו למרחבים אחידים מתלכדים עם ההגדרות למרחבים מטרים כאשר משתמשים במבנה האחידות המושרה מהמטריקה.

### חבורה טופולוגית

בהינתן חבורה טופולוגית (G,\tau), לכל סביבה של איבר היחידה U מגדירים את הפמליה \left\{(x,y)\in G\times G\mid xy^{-1}\in U\right\}. ניתן להוכיח כי קבוצת כל פמליות אלו היא מבנה אחידות. מבנה אחידות זה נקרא **מבנה האחידות הימני**, זאת מכיוון שהפונקציה x\mapsto xa, כאשר a\in G קבוע, היא פונקציה רציפה במידה שווה מהמרחב G לעצמו לפי מבנה אחידות זה. ניתן להוכיח כי מבנה האחידות הימני הוא מבנה האחידות המותאם ל-\tau היחיד שבו תכונה זו מתקיימת.

באופן דומה מגדירים את **מבנה האחידות השמאלי**.

עבור חבורות כלליות, מבנה האחידות הימנית ומבנה האחידות השמאלית אינם בהכרח זהים. עם זאת, הטופולוגיה המושרית משניהם היא הטופולוגיה המקורית \tau. ניתן להוכיח כי שני מבני האחידות זהים אם ורק אם החבורה היא חבורה אבלית.

### מרחב וקטורי טופולוגי

בהינתן מרחב וקטורי טופולוגי (V,\tau) הוא בהכרח חבורה טופולוגית ביחס לפעולת החיבור שלו, ולכן ניתן להגדיר עליו מבנה אחידות כפי שהוגדר לעיל. מבנה זה איננו ימני או שמאלי מכיוון שפעולת החיבור קומוטטיבית.

למבנה האחידות על מרחבים וקטורים טופולוגים חשיבות רבה. כך למשל מגדירים את מרחב פרשה להיות מרחב וקטורי טופולוגי קמור מקומית, מטריזבילי ושלם ביחס למבנה האחידות הנ"ל. למרחבי פרשה חשיבות רבה מכיוון שהם מהווים הכללה למרחבי בנך.

## ראו גם
* מרחב מטרי שלם
* פונקציה רציפה במידה שווה

## הערות שוליים

קטגוריה:טופולוגיה
קטגוריה:מרחבים טופולוגיים