מערכת דינקין

**מערכת דינקין** היא משפחה של קבוצות המקיימת תכונות סגירות מסוימות. מערכות אלו נקראות על שמו של המתמטיקאי הרוסי יוג'ין דינקין.

משפט π−λ קובע קשר בין מערכות דינקין לבין סיגמא-אלגברות, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט המחלקה המונוטונית.

## הגדרות

תהי X קבוצה.
* משפחה של תת-קבוצות \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X) נקראת **מערכת-π**, אם לכל A,B \in \mathcal{E} מתקיים A \cap B \in \mathcal{E}.
* משפחה של תת-קבוצות \mathcal{L} \subseteq \mathcal{P}(X) נקראת **מערכת-λ** (או **מערכת דינקין**), אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים:
*# X \in \mathcal{L}
*# לכל A,B \in \mathcal{L} המקיימות A \subseteq B, מתקיים B \setminus A \in \mathcal{L}.
*# לכל סדרה \left\{A_i\right\}_{i=1}^{\infty} \subseteq \mathcal{L} המקיימת A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq ..., מתקיים כי \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i \in \mathcal{L}.

יחד, התכונות האלה מרכיבות את המושג סיגמא אלגברה: משפחה של תת-קבוצות היא סיגמא-אלגברה, אם ורק אם היא גם מערכת-π וגם מערכת-λ. 

תהי P \subseteq \mathcal{P}(X) משפחה כלשהי של תתי-קבוצות.
* נסמן את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי P להיות \sigma(P). זהו חיתוך כל הסיגמא-אלגבראות המכילות את P.
* נסמן את המערכת-λ הנוצרת על ידי P להיות \lambda(P). זהו חיתוך כל המערכות-λ המכילות את P.

## משפט π−λ

**משפט:** תהי X קבוצה ותהי \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X) מערכת-π. אזי \sigma(\mathcal{E}) = \lambda(\mathcal{E}).

נשים לב שכל סיגמא-אלגברה היא בפרט גם מערכת-λ, ולכן ברור כי לכל משפחה של תתי-קבוצות P \subset \mathcal{P}(X) מתקיים \lambda(P) \subset \sigma(P). משפט π−λ מוסיף כי אם P היא מערכת-π, אז \lambda(P) היא למעשה סיגמא-אלגברה.

### הוכחה

* נראה כי \lambda(\mathcal{E}) סגורה לחיתוך. 
*:**למה:** לכל E \in \mathcal{E} נגדיר \mathcal{L}_E= \left\{ A \subseteq X | A \cap E \in \lambda(\mathcal{E}) \right\}. אזי \mathcal{L}_E היא מערכת-λ המכילה את \mathcal{E}.
*:**הוכחת הלמה:** ברור כי \mathcal{E} \subseteq \mathcal{L}_0. נראה כי היא מערכת-λ.
*: ברור כי X \in \mathcal{L}_E. יהיו A,B \in \mathcal{L}_E המקיימות A \subseteq B. מתקיים כי E \cap (B \setminus A) = (E \cap B) \setminus (E \cap A), וזהו הפרש של שתי קבוצות השייכות ל-\lambda(\mathcal{E}), לכן B \setminus A \in \mathcal{L}_E. בהינתן סדרה \left\{A_i\right\}_{i=1}^{\infty} \subseteq \mathcal{L}_E העולה ביחס להכלה, אז ברור כי E \cap (\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) = \bigcup_{i=1}^{\infty}(E \cap A_i), לכן \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i \in \mathcal{L}_E.
*:**מסקנה:** \lambda(\mathcal{E}) סגורה לחיתוכים סופיים.
*:**הוכחת המסקנה:** מהלמה נובע שלכל E \in \lambda(\mathcal{E}) מתקיים כי \mathcal{L}_E היא מערכת-λ המכילה את E, לכן נובע כי \lambda(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{L}_E.
*:יהיו A,B \in \lambda(\mathcal{E}). נגדיר \mathcal{L}_A = \left\{B \subseteq X | B \cap A \in \lambda(\mathcal{E}) \right\}. באופן דומה להוכחת הלמה ניתן להראות כי \mathcal{L}_A היא מערכת-λ המכילה את \mathcal{E}, ומכך נובע כמו קודם כי \lambda(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{L}_A, כלומר לכל B \in \lambda(\mathcal{E}) מתקיים A \cap B \in \lambda(\mathcal{E}).

* נסיק כי \lambda(\mathcal{E}) היא סיגמא-אלגברה.
*:סגירות למשלים: תהי A \in \lambda(\mathcal{E}). מהיות \lambda(\mathcal{E}) מערכת-λ נובע כי X \in \lambda(\mathcal{E}), ולכן גם A^{\complement} = X \setminus A \in \lambda(\mathcal{E}).
*:סיגמא אדיטיביות: תהי \left\{A_i\right\}_{i=1}^{\infty} \subseteq \lambda(\mathcal{E}). נציג \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i = \bigcup_{N=1}^{\infty}\bigcup_{i=1}^{N}A_i, וברור כי הסדרה \left\{\bigcup_{i=1}^{N}A_i \right\}_{N=1}^{\infty} עולה ביחס להכלה, ולכן \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i \in \lambda(\mathcal{E}).

## שימוש יסודי

משפט π−λ מספק כלי חזק לזיהוי של מידות ולאפיונן. מידה היא **סיגמא-סופית** אם המרחב מהווה איחוד בן-מניה של קבוצות בעלות מידה סופית.

**טענה:** תהי \mathcal{E} מערכת-π על מרחב X, ויהי  (X, \,\sigma(\mathcal{E})) המרחב המדיד הנוצר על-ידה. תהי \mu מידה סיגמא-סופית על המרחב הזה כך שקיימת לפחות קבוצה אחת E \in \mathcal{E} המקיימת \mu(E) . אזי המידה \mu נקבעת ביחידות על כל \sigma(\mathcal{E}), על-פי ערכיה על  \mathcal{E}.

בפרט למשל עבור המרחב \mathbb{R}^n יחד עם סיגמא-אלגברת בורל שלו, מידה נקבעת באופן יחיד באמצעות ערכיה על התיבות. כלומר, קיימת מידה יחידה \mu על \mathbb{R}^n שמקיימת:

\mu([a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \times ... \times [a_n,b_n])=(b_1-a_1)\cdot(b_2-a_2)\cdot...\cdot(b_n-a_n)

לכל a_i \leq b_i \in \mathbb{R} עבור 1 \leq i \leq n.

**הוכחה:** יהיו \mu_1, \mu_2 זוג מידות המזדהות על המערכת-π \mathcal{E}. נקבע E \in \mathcal{E} המקיימת \mu_1(E) . נסמן \mathcal{L}_E= \left\{ A \in \sigma \left( \mathcal{E} \right) | \mu_1 (A \cap E) = \mu_2 (A \cap E) \right\}. ניתן להראות כי זו מערכת-λ המכילה את \mathcal{E}, ולכן ממשפט π−λ נובע כי היא מכילה את \lambda(\mathcal{E}) = \sigma(\mathcal{E}). כעת השוויון הכללי לקבוצה מדידה כלשהי F \in \sigma(\mathcal{E}) נובע מסיגמא-אדיטיביות ומרציפות המידות, תוך שימוש בשרשרת המכסה את המרחב:

\mu_1(F) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu_1(F \cap E_i) = \lim_{i \to \infty} \mu_1 (F \cap E_i) = \lim_{i \to \infty} \mu_2(F \cap E_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu_2(F \cap E_i) = \mu_2(F)


קטגוריה:תורת ההסתברות
קטגוריה:תורת המידה
קטגוריה:משפחות של תת-קבוצות