ספירלת תאודורוס

ממוזער|הספירלה של תאודורס עד לאיבר השבעה עשר.
במתמטיקה, **ספירלת תאודורס** היא ספירלה בדידה הנוצרת על ידי בניית שרשרת של משולשים ישרי-זווית כאשר הניצב של כל משולש הוא היתר של המשולש שלפניו.

הספירלה נקראת על שמו של המתמטיקאי תאודורוס מקירנה  שחי ביוון העתיקה בשנת 450 לפנה"ס.

## בניית הספירלה
בניית הספירלה של תאודורס מתחילה במשולש שווה-שוקיים וישר-זווית שכל אחת מצלעותיו באורך 1. מורידים אנך באורך 1 ליתר ומותחים יתר חדש מקצה האנך לקודקוד הנגדי לו. לאחר מכן, מורידים אנך נוסף באורך 1 ליתר החדש ומותחים ממנו יתר נוסף לקודקוד הנגדי. ממשיכים בבניה זו עד לאינסוף.

ניתן להראות כי הספירלה מסיימת את הקפתה הראשונה כאשר n=18.

## תכונות הספירלה
ממוזער|משולש לדוגמה מתוך המשולשים הבונים את ספירלת תאודורוס

### משולש הספירלה
אורכו של היתר ה-n-י של הספירלה הוא r_n = \sqrt{n+1}.

הזווית המתווספת עם המשולש ה-n-י היא בגודל \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right), זאת מכיוון שניצב אחד הוא מגודל 1 והניצב השני הוא היתר הקודם שאורכו \sqrt{n}. על כן, הזווית הכוללת של הספירלה עד המשולש ה-n-י (ביחס לבסיס המשולש הראשון) היא:

\varphi_n=\sum_{k=1}^n{\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)}

### אינסופיות הספירלה
על אף שהביטוי \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) שואף לאפס ככל ש-n שואפת לאינסוף, ניתן להראות כי הסכום \varphi_n שואף לאינסוף. כלומר, הספירלה אינסופית ומכסה את עצמה אינסוף פעמים.

יתרה מכך, באופן אסימפטוטי, ניתן להראות כי \varphi_n=2\sqrt{n}+C+O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) כאשר הזווית \varphi_n נמדדת ברדיאנים, C=-2.1577... שהוא מספר קבוע, ו-O(\cdot) הוא סימון O גדולה.

#### הוכחה
על ידי שימוש בנוסחת הסכימה של אבל מקבלים ש:

\begin{align}
\varphi_n=\sum_{k=1}^n{\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)}
=n\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)+\int_1^n{\frac{\lfloor u\rfloor}{2\sqrt{u}(u+1)}du} \\
=n\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)+\int_1^n{\frac{u-\{u\}}{2\sqrt{u}(u+1)}du} \\
=n\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)+\int_1^n{\frac{\sqrt{u}}{2(u+1)}du}-\int_1^n{\frac{\{u\}}{2\sqrt{u}(u+1)}du} \\
=n\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)+\int_1^n{\frac{\sqrt{u}}{2(u+1)}du}-\int_1^\infty{\frac{\{u\}}{2\sqrt{u}(u+1)}du}+\int_n^\infty{\frac{\{u\}}{2\sqrt{u}(u+1)}du}
\end{align}

כאשר \lfloor x \rfloor היא פונקציית הערך השלם ו-\{x\}=x-\lfloor x\rfloor היא פונקציית החלק השברי.

נמצא ביטויים סגורים לכל הביטויים המופיעים למטה.

קירוב טור טיילור לפונקצייה \arctan(x) מראה ש-\arctan{x}=x+O(x^3) עבור x קטן דיו. לכן מתקבל ש:

n\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\sqrt{n}+O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)

בנוסף, על-ידי שימוש בכך שלכל x\ne 0 מתקיים ש-\arctan(x)=\frac{\pi}{2}-\arctan\left(\frac{1}{x}\right), מקבלים ש:

\begin{align}
\int_1^n{\frac{\sqrt{u}}{2(1+u)}du}=\left[\sqrt{x}-\arctan(\sqrt{x})\right]^n_1 
=\sqrt{n}-\arctan(\sqrt{n})-1+\frac{\pi}{4} \\
=\sqrt{n}-1-\frac{\pi}{4}+\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) =\sqrt{n}-1-\frac{\pi}{4}+O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)
\end{align}

ניתן להראות כי האינטגרל האינסופי הראשון מתכנס לקבוע, מכיוון ש:

\begin{align}
0

והאינטגרל האינסופי האחרון מקיים:

\begin{align}
\int_n^\infty{\frac{\{u\}}{2\sqrt{u}(1+u)}du}\le\int_n^\infty{\frac{1}{2\sqrt{u}(1+u)}du}\le \int_n^\infty{\frac{1}{2u^{3/2}}du}=\left[u^{-1/2}\right]^\infty_n=\frac{1}{\sqrt{n}}
\end{align}

לכן, על-ידי קביעת הקבוע C:=-1-\frac{\pi}{4}-\int_1^\infty{\frac{\{u\}}{2\sqrt{u}(1+u)}du} והצבת כל הביטויים לעיל, מקבלים ש:

\varphi_n=2\sqrt{n}+C+O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)

כנדרש.

**מ.ש.ל.**

## שיכון במישור המרוכב
ניתן לשכן את ספירלת תאודורוס במישור המרוכב על-ידי שימוש בנוסחת אוילר:

z_n:=r_n e^{i\varphi_n}

על-ידי הצבה של r_n=\sqrt{n+1} ו-\varphi_n=\sum_{k=1}^n{\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)} מקבלים ש:

z_n=\prod_{k=1}^n{\left(1+\frac{i}{\sqrt{k}}\right)}

### הוכחה
באופן כללי, לכל a,b>0 מתקיים ש:

e^{i\arctan\left(\frac{b}{a}\right)}=\frac{a+bi}{\sqrt{a^2+b^2}}

לכן:

\begin{align}
z_n=r_n e^{i\varphi_n}=\sqrt{n+1}e^{i\sum_{k=1}^n{\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)}} 
=\sqrt{n+1}\prod_{k=1}^n{e^{i\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)}} \\
=\sqrt{n+1}\prod_{k=1}^n{\frac{\sqrt{k}+i}{\sqrt{k+1}}} 
=\sqrt{n+1}\prod_{k=1}^n{\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\left(1+\frac{i}{\sqrt{k}}\right)}
=\prod_{k=1}^n{\left(1+\frac{i}{\sqrt{k}}\right)}
\end{align}

כאשר השוויון האחרון נובע מצמצום טור טלסקופי.

**מ.ש.ל.**

## גרסה רציפה
ממוזער|המשכה אנליטית של הפונקציה <math>T(x)</math>
באמצעות השיכון של ספירלת תאודורוס במישור המרוכב, ניתן לבנות גרסה רציפה של הספירלה במישור זה:

T(x):=\prod_{k=1}^\infty{\frac{1+\frac{i}{\sqrt{k}}}{1+\frac{i}{\sqrt{k+x}}}}\quad -1

ניתן להראות כי:

# \lim_{x\to -1}{T(x)}=0
# T(0)=1
# לכל n שלם אי-שלילי מתקיים ש-T(n)=z_{n+1}. במקרה זה, מרבית איברי המכפלה האינסופית מתבטלים בטור טלסקופי ונשאר רק הביטוי הסופי שהוצג בפרק הקודם.

ניתן לבצע המשכה אנליטית ולהכליל את הפונקציה T(x) עבור x. עבור מקרה זה מתקבל כי לכל n טבעי:

|T(-n)|=\sqrt{n-1}

## הספירלה כפתרון של משוואה פונקציונלית
ניתן להוכיח כי הפונקציה T(x) היא הפתרון היחיד של המשוואה הפונקציונלית:

f(x+1)=\left(1+\frac{i}{\sqrt{x+1}}\right)f(x)

עם תנאי ההתחלה f(0)=1 שהיא מונוטונית בערך המוחלט שלה ובארגומנט שלה.

## קשר לספירלת ארכימדס

על ידי שימוש בעובדה כי r_n = \sqrt{n+1} וכי באופן אסימפטוטי \varphi_n=2\sqrt{n}+C (C=-2.1577..., כפי שהוגדר לעיל), ניתן להוכיח כי ספירלת תאודורוס שואפת באופן אסימפטוטי לספירלת ארכימדס:

r=\frac{1}{2}\varphi-\frac{C}{2}

מכיוון שהענפים של ספירלת ארכימדס זו נמצאים במרחק קבוע של \pi זה מזה, משמעות ההתכנסות של ספירלת תאודורוס לספירלת ארכימדס היא כי המרחק בין כל שני ענפים של הספירלה שואף ל-\pi אף כן.

## בניית שורשים ריבועיים באמצעות סרגל ומחוגה

ממוזער|ספירלת תאודורוס עד המשולש ה-110
מספרים ניתנים לבנייה הם מספרים שניתן ליצור קטע באורכם באמצעות שימוש בסרגל ומחוגה ובהינתן קטע באורך 1. ספירלת תאודורס מוכיחה כי כל השורשים הריבועיים של המספרים הטבעיים הם מספרים ניתנים לבנייה.

ספירלת תאודורוס כולה ניתנת לבנייה באמצעות סרגל ומחוגה. עובדה זו נובעת מכיוון ש-1 הוא מספר ניתן לבנייה (שהרי ממנו מתחילים), וכל אנך באורך 1 ממשולשי הספירלה ניתן ליצור באמצעות חיתוך שני מעגלים (באופן כללי, לכל ישר, אם \alpha מספר ניתן לבנייה, אז מכל נקודה על הישר ניתן לבנות אנך לישר שאורכו \alpha).

מאחר שכל היתרים של משולשי הספירלה הם מהצורה \sqrt{n} עבור n-ים טבעיים, כל השורשים הריבועיים של המספרים הטבעיים ניתנים לבנייה.

## קישורים חיצוניים

* 

## הערות שוליים

קטגוריה:ספירלות