מרחב אפיני

במתמטיקה, ובפרט באלגברה, **מרחב אפיני** הוא מבנה גאומטרי אשר מכליל את המושג המרחב האוקלידי בכך שהוא מקיים את התכונות של מרחב אוקלידי מבלי להגדיר מושגים כגון מרחק וגודל זוויות, אך תוך שימור תכונת היחסיות בין אורכי קטעים.

המרחב האפיני בנוי מאוסף נקודות ומרחב וקטורי המייצג את הכיוונים בין הנקודות השונות במרחב. כך למשל, אפשר להגיד שהכיוון מנקודה a לנקודה b הוא אותו כיוון כמו מנקודה c לנקודה d אם אותו וקטור \vec{v} מייצג תנועה מנקודה a ל-b (קרי, b=a+\vec{v}) ומנקודה c ל-d (קרי, d=c+\vec{v}). באופן דומה, המרחב האפיני מאפשר להגדיר מונחים כגון ישרים מקבילים בעזרת טרמינולוגיה מעולם האלגברה הליניארית.

בנוסף, במרחב האפיני לא קיימת ראשית צירים כמו במקרה של מרחב וקטורי, אלא כל נקודה במרחב יכולה לשמש כראשית צירים. תכונה זו עומדת בניגוד למרחב הווקטורי, בו נקודה אחת מזוהה כראשית הצירים וכל שאר הנקודות מיוצגות כווקטורים היוצאים ממנה.

## סימונים
בערך זה נסמן ב-A ו-B קבוצות של נקודות.

נסמן ב-F שדה כלשהו, כאשר לרוב F=\mathbb{R}, שהוא שדה הממשיים. נסמן ב-0 ו-1 את איבר האפס ואיבר היחידה של השדה F בהתאמה.

נסמן ב-\vec{A} ו-\vec{B} מרחבים וקטוריים מעל F.

נסמן את פעולת החיבור + הן כפעולת החיבור בין הווקטורים במרחב הווקטורי והן כפעולה בין נקודה לווקטור במרחב האפיני. ההבדל בין שתי הפעולות יהיה תלוי בהקשר.

נסמן ב-0 את וקטור האפס במרחבים וקטורים, כאשר נבדיל בין איבר האפס ב-F לווקטור האפס במרחב הווקטורי על פי ההקשר.

## מוטיבציה
מרחבים וקטוריים כמו אלו מהצורה \mathbb{R}^n יכולים לשמש לתיאור מרחב פיזי מנקודת מבטו של צופה אשר נמצא בראשית הצירים. בתוך כך, תתי-מרחבים וקטורים באותו מרחב יכולים לתאר שדה ראייה מצומצם יותר בתוך אותו מרחב. כך למשל, בתוך המרחב התלת־ממדי \mathbb{R}^3, תת-המרחב V:=\left\{(x,y,z)\mid x,y,z\in \mathbb{R},2x+3y+7z=0\right\} מתאר מישור בתוך אותו מרחב, אשר עובר כמובן דרך ראשית הצירים (0,0,0) גם כן.
טקסט=מישור משיק לספרה תלת-ממדית|ממוזער|מישור משיק לספירה תלת-ממדית. אף מישור כזה לא עובר דרך ראשית הצירים במקרה שראשית הצירים מתלכדת עם מרכז הספרה, ולכן אינו יכול להיות מתואר באופן מלא על-ידי מרחב וקטורי.
עם זאת, מרחבים וקטורים מוגבלים במבנים שאותם הם יכולים לתאר מכיוון שהם מתארים אך ורק מרחבים מנקודת מבטו של צופה בראשית הצירים. מאידך, הם אינם מאפשרים לתאר תתי-מרחבים אשר אינם עוברים דרך ראשית הצירים.

כך למשל, מרחב וקטורי לבדו לא יכול לתאר מישור משיק ליריעה, מכיוון שייתכן שאותו מישור לא עובר דרך ראשית הצירים במרחב כפי שהוגדרה עבור היריעה. די להסתכל במקרה של ספירה תלת-ממדית שמרכזה בראשית הצירים כדי לראות שאף אחד מהמישורים המשיקים לה לא עובר דרך ראשית הצירים, ולכן לא יכול להיות מתואר באופן מלא על-ידי מרחב וקטורי.

לשם כך, במקום להתייחס למרחב הווקטורי בלבד, במרחב האפיני מצרפים להגדרה גם את קבוצת הנקודות במרחב. באופן זה, המרחב הווקטורי משמש כדי לתאר את הכיוונים השונים בין הנקודות במרחב אך לא את המרחב כולו. בכך המרחב האפיני "שוכח" שישנה ראשית למרחב הווקטורי ומאפשר לכל נקודה במרחב לשמש כראשית.

יתרון נוסף של שימוש במרחב אפיני הוא שהוא מצליח לתאר מרחב אוקלידי מבלי להתייחס למונחים כגון "אורך" ו"זווית". בכך המרחב האפיני יכול לתאר מבנים מתמטיים מורכבים ומופשטים יותר.

## הגדרה מתמטית
בהינתן קבוצת נקודות A, מרחב וקטורי \vec{A} מעל F, ופעולה +:A\times \vec{A}\to A, הזוג הסדור (A,\vec{A}) ייקרא **מרחב אפיני** אם ורק אם הוא מקיים את התנאים הבאים:

# לכל נקודה a\in A מתקיים ש-a+0=a
# אסוציאטיביות: לכל a\in A ו-\vec{u}, \vec{v} \in \vec{A} מתקיים ש-(a+\vec{u})+\vec{v}=a+(\vec{u}+\vec{v}).
# לכל זוג נקודות a,b\in A קיים וקטור יחיד \vec{v} \in \vec{A} כך ש-a+\vec{v}=b. מסמנים את וקטור זה ב-b-a או ב-\vec{ab}

תנאי 3 שקול לכך שבהינתן נקודה כלשהי a\in A, ההעתקה \vec{v} \mapsto a+\vec{v} מ-\vec{A} ל-A היא העתקה הפיכה.

## תכונות אלגבריות
בהינתן מרחב אפיני (A,\vec{A}), קבוצת נקודות a,b,c,d\in A ווקטור \vec{v} \in \vec{A}, מתקיימים השוויונים הבאים:

* b-a=-(a-b)
* (b-a)+(c-d)=(c-a)+(b-d)
* (b-a)+(c-b)=c-a
* **תכונת המקבילית**: אם b-a=d-c אז בהכרח c-a=d-b
* (a+\vec{v})-b=(a-b)+\vec{v}
* a-(b+\vec{v})=(a-b)-\vec{v}

## מרכז כובד
בהינתן מרחב אפיני (A,\vec{A}), מספר טבעי n\in\mathbb{N}, אוסף נקודות a_1,\dots,a_n\in A ואוסף סקלרים \lambda_1,\dots,\lambda_n\in F המקיימים \sum_{i=1}^n{\lambda_1}=1, ניתן להוכיח שלכל זוג נקודות o_1,o_2\in A כלשהן מתקיים השוויון:

o_1+\sum_{i=1}^n{\lambda_i (a_i-o_1)}=o_2+\sum_{i=1}^n{\lambda_i (a_i-o_2)}

בשל כך, עבור o\in A כלשהו ניתן להגדיר את הנקודה o+\sum_{i=1}^n{\lambda_i (a_i-o)} להיות **מרכז הכובד של <math>\{a_i\}</math>** **לפי <math>\{\lambda_i\}</math>**. כאמור, נקודה זו אינה תלויה בבחירה של o. נהוג לסמן נקודה זו בסימון \sum_{i=1}^n{\lambda_i a_i}.

באופן שקול, מרכז הכובד של \{a_i\} לפי \{\lambda_i\} הוא הנקודה x\in A כך שמתקיים \sum_{i=1}^n{\lambda_i(a_i-x)}=0. ניתן להוכיח כי x זה קיים תמיד וכי הוא יחיד.

## תת-מרחב אפיני
בהינתן מרחב אפיני (A,\vec{A}), תת-מרחב וקטורי \vec{B}\subseteq \vec{A} ונקודה b\in A, ניתן להגדיר את הקבוצה:

b+\vec{B}:=\{b+\vec{v}\mid \vec{v}\in\vec{B} \}

קבוצה B\subseteq A תקרא **תת-מרחב אפיני של <math>A</math>** אם ורק אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים:

* קבוצת הווקטורים \vec{B}:=\{a-b\mid a,b\in B\} מהווה תת-מרחב וקטורי של \vec{A}
* קיים תת-מרחב וקטורי \vec{B}\subseteq \vec{A} כך שלכל b\in B מתקיים ש-B=b+\vec{B}
* קיים תת-מרחב וקטורי \vec{B}\subseteq \vec{A} ו-b\in B כלשהו כך ש-B=b+\vec{B}
* לכל מספר טבעי n\in\mathbb{N}, אוסף נקודות b_1,\dots,b_n\in B ואוסף סקלרים \lambda_1,\dots,\lambda_n\in F המקיימים \sum_{i=1}^n{\lambda_1}=1, מתקיים שמרכז הכובד \sum_{i=1}^n{\lambda_i b_i} שייך גם הוא ל-B. כלומר, B סגור ללקיחת מרכז כובד.
עבור כל התנאים לעיל, המרחב (B,\vec{B}) הוא מרחב אפיני בפני עצמו ביחס לפעולת החיבור בין נקודה לווקטור כפי שהוגדרה עבור המרחב (A,\vec{A}).

ניתן להוכיח כי כל חיתוך (סופי או אינסופי) של תת-מרחבים אפינים הוא תת-מרחב אפיני בפני עצמו.

## קבוצה פורסת, בסיס וממד
בהינתן מרחב אפיני (A,\vec{A}) וקבוצה X\subseteq A, מגדירים \text{Span}(X)\subseteq A להיות חיתוך כל תת-המרחבים האפינים של A המכילים את X. קבוצה זו היא תת-מרחב אפיני של A בעצמה המכילה את X והיא נקראת **תת-המרחב האפיני הנפרס על-ידי <math>X</math>**.

אם \text{Span}(X) = A, הקבוצה X תקרא **קבוצה פורסת** **של** A. ניתן להוכיח כי X קבוצה פורסת של A אם ורק אם הקבוצה \left\{a-b\mid a,b\in X\right\} היא קבוצה פורסת של \vec{A} במונחים של אלגברה ליניארית.

אם X היא קבוצה פורסת מינימלית (כלומר, שכל תת-קבוצה שלה איננה פורסת), X תקרא **בסיס אפיני של <math>A</math>**. ניתן להוכיח כי העוצמה של כל הבסיסים של A שווה, בדומה למרחבים וקטוריים.

הממד של מרחב אפיני מוגדר להיות הממד של המרחב הווקטורי שלו. אם הממד של מרחב אפיני הוא d ו-X היא בסיס אפיני של המרחב, אזי |X|=d+1 . כלומר, נדרשות d+1 נקודות כדי לפרוס את המרחב: נקודה אחת כראשית ו-d נקודות שמגדירות וקטורים בלתי-תלויים מאותה ראשית.

## העתקה אפינית

בהינתן זוג מרחבים אפינים (A,\vec{A}) ו-(B,\vec{B}) מעל אותו שדה F, העתקה f:A\to B תקרא **העתקה אפינית** אם ורק אם היא מקיימת את אחד התנאים השקולים הבאים:

# קיימת העתקה ליניארית \vec{f}:\vec{A}\to\vec{B} כך שלכל a\in A ו-\vec{v} \in \vec{A} מתקיים ש-f(a+\vec{v})=f(a)+\vec{f}(\vec{v})
# f משמרת מרכז כובד. כלומר, לכל מספר טבעי n\in\mathbb{N}, אוסף נקודות a_1,\dots,a_n\in A ואוסף סקלרים \lambda_1,\dots,\lambda_n\in F המקיימים \sum_{i=1}^n{\lambda_1}=1, מתקיים ש:
f\left(\sum_{i=1}^n{\lambda_i a_i}\right)=\sum_{i=1}^n{\lambda_i f(a_i)}

ניתן להוכיח כי לכל העתקה אפינית, \vec{f} כפי שהוגדרה לעיל מוגדרת היטב ויחידה.

החשיבות של העתקה אפינית היא שהיא משמרת תכונות כגון קו-ליניאריות, ישרים מקבילים, וכו'. תכונה זו באה לידי ביטוי בכך שלכל a,b,c,d\in A המקיימים a-b=c-d מתקיים גם ש-f(a)-f(b)=f(c)-f(d).

במקרה שבו התחום והטווח של העתקה אפינית f הם אותו המרחב A, f תקרא **[[אנדומורפיזם]]**.

שני מרחבים אפיניים יקראו **מרחבים איזומורפיים** אם ורק אם קיימת העתקה אפינית הפיכה מהאחד לשני.

באופן דומה למרחב וקטורי, שני מרחבים אפינים איזומורפיים הם בהכרח שווי-ממד.

## קואורדינטות
ניתן להשתמש במבנה של המרחב האפיני כדי להגדיר מערכת קואורדינטות על המרחב. מערכות קואורדינטות מאפשרות להגדיר באופן אלגברי כל נקודה ספציפית במרחב.

בהינתן מרחב אפיני (A,\vec{A}) מממד סופי n\in \mathbb{N}, ישנם שני סוגים של מערכות קואורדינטות טבעיות למרחב זה:

### קואורדינטות בריצנטריות

בהינתן בסיס אפיני x_0,x_1,\dots,x_n\in A, ניתן להוכיח שלכל נקודה x\in A קיימים \lambda_0,\lambda_1,\dots,\lambda_n\in F יחידים כך ש-\sum_{i=0}^n{\lambda_1}=1 ו-x=\sum_{i=0}^n{\lambda_i x_i}. הווקטור (\lambda_0,\lambda_1,\dots,\lambda_n) יקרא **הקואורדינטות הבריצנטריות של <math>x</math> ביחס ל-<math>\{x_i\}</math>**.

בהינתן שני בסיסים אפינים (x_0,\dots,x_n) ו-(x_0',\dots,x_n') של המרחב, מעבר קואורדינטות בריצנטריות בין מערכת אחת לשנייה מתבצע על-ידי כפל במטריצה. כלומר, קיימת מטריצה M\in F^{(n+1)\times (n+1)} כך שלכל x\in A כלשהו שעבורו הקואודינטות הבריצנטיות שלו ביחס ל-\{x_i\} הן \lambda=(\lambda_0,\dots,\lambda_n)^T וביחס ל-\{x_i'\} הן \lambda'=(\lambda_0',\dots,\lambda_n')^T, מתקיים ש-\lambda'=M\cdot\lambda. ניתן להראות שבמקרה זה, לכל 0 \le i \le n:

x_i=M_{0i}x'_0+\dots+M_{ni}x'_n

מסיבה זו, ניתן להראות שסכום האיברים של M בכל עמודה שווה ל-1.

### קואורדינטות אפיניות
בהינתן נקודה p_0\in A ובסיס וקטורי \vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n\in\vec{A}, ניתן להוכיח כי לכל נקודה x\in A קיימים \lambda_1,\dots,\lambda_n\in F יחידים כך ש-x=p_0+\sum_{i=1}^n{\lambda_i \vec{v}_i}. הווקטור **<math>(p_0,\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n)</math>** יקרא **מערכת אפינית**, והווקטור (\lambda_1,\dots,\lambda_n) יקרא **הקואורדינטות האפיניות של <math>x</math> ביחס ל-<math>(p_0,\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n)</math>**. יש לשים לב כי במקרה של קואורדינטות אפיניות לא נדרש כי סכום הקואורדינטות יהיה שווה ל-1, בניגוד לקואורדינטות הבריצנטריות.

בהינתן שתי מערכות אפיניות **<math>(p_0,\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n)</math>** ו-**<math>(p_0',\vec{v}_1',\dots,\vec{v}_n')</math>**, מעבר קואורדינטות אפיניות בין מערכת אחת לשנייה מתבצע על-ידי כפל מטריצה וחיבור בווקטור הסתה. כלומר, קיימת מטריצה M\in F^{n\times n} ווקטור עמודה b\in F^n כך שלכל x\in A כלשהו שעבורו הקואודינטות האפיניות שלו ביחס ל-**<math>(p_0,\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n)</math>** הן \lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)^T וביחס ל-**<math>(p_0',\vec{v}_1',\dots,\vec{v}_n')</math>** הן \lambda'=(\lambda_1',\dots,\lambda_n')^T, מתקיים ש-\lambda'=M\cdot\lambda+b.

ניתן להראות כי:

p_0=p_0'+b_0\vec{v}_0'+\dots+b_n \vec{v}_n'

וכי לכל 1 \le i \le n:

v_i=M_{i0}\vec{v}_0'+\dots+M_{in}\vec{v}_n' 

## מרחבים וקטוריים כמרחבים אפינים

ניתן לבנות מכל מרחב וקטורי מרחב אפיני על-ידי זיהוי הווקטורים שבו כנקודות. כלומר, בהינתן מרחב וקטורי V, הזוג הסדור (V,V) יכול להתפרש כמרחב אפיני, כאשר פעולת החיבור של וקטור לנקודה היא פעולת החיבור בין שני וקטורים.

בהינתן מרחב אפיני כללי כלשהו (A,\vec{A}), ניתן להוכיח כי הוא איזומורפי למרחב האפיני (\vec{A},\vec{A}) על ידי קביעת נקודה a\in A כלשהי והגדרת הפונקציה f:A\to \vec{A} כך שלכל x\in A מתקיים ש-f(x)=x-a. ניתן להוכיח כי f היא העתקה אפינית הפיכה, ולכן שני המרחבים איזומורפים.

## מרחבים אפינים מממד סופי
בהינתן שדה F ומספר טבעי n\in\mathbb{N}, אפשר להפריד בין שני סוגים של n-יות על F:

* F^n שהוא מרחב וקטורי מעל F עם פעולת חיבור איבר-איבר וכפל בסקלר.
* \mathbb{A}^n(F) שהוא מרחב של n-יות סדורות של F שבהן אנו "שוכחים" שמדובר באיברי שדה ולא מגדירים פעולות חיבור וכפל בסקלר. כאשר F ברור מההקשר נהוג לסמן את המרחב הזה בתור \mathbb{A}^n.

באופן דומה למרחב הווקטורי שהוזכר לעיל, ניתן להגדיר מרחב אפיני (\mathbb{A}^n,F^n) שבו \mathbb{A}^n הוא מרחב הנקודות ו-F^n הוא מרחב הווקטורים שבין הנקודות. מרחב זה יקרא **המרחב האפיני ה-<math>n</math> ממדי מעל <math>F</math>.**

ניתן להוכיח שכל מרחב אפיני (A,\vec{A}) מעל F מממד סופי n\in\mathbb{N} איזומורפי ל-(\mathbb{A}^n,F^n). האיזומורפיזם מ-(A,\vec{A}) ל-(\mathbb{A}^n,F^n) מתבצע על-ידי לקיחת מערכת אפינית **<math>(p_0,\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n)</math> **כלשהי של (A,\vec{A}) והעתקת כל x\in A לקואורדינטות האפיניות שלו (\lambda_1,\dots,\lambda_n). ניתן להוכיח כי העתקה זו היא העתקה אפינית הפיכה.

## קשר למבנים מתמטיים אחרים

### מרחב אוקלידי

כאמור, מרחב אפיני הוא למעשה מרחב אוקלידי ללא הגדרה של אורך ושל גודל זווית. ניתן להגדיר מונחים אלו על-ידי הגדרה של מכפלה פנימית על המרחב הווקטורי. בהינתן מרחב אפיני (A,\vec{A}) ומכפלה פנימית \left \langle \cdot,\cdot \right \rangle על \vec{A}, ניתן להגדיר את המרחק בין זוג נקודות a,b\in A כך ש-d(a,b):=\left\Vert a - b \right\Vert, כאשר \left\Vert\cdot\right\Vert היא הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית. באופן זהה ניתן להשתמש באי-שוויון קושי-שוורץ כדי להגדיר זווית בין שני וקטורים.

### גאומטריה אפינית

בהינתן מרחב אפיני (A,\vec{A}), נקודה a\in A ווקטור \vec{v} \in \vec{A}, ניתן להגדיר:

l_a(\vec{v}):=\left\{a+\lambda \vec{v}\mid \lambda \in F\right\}

הקבוצה l_a(\vec{v}) היא בעצם הישר העובר דרך a בכיוון \vec{v}. על-ידי הגדרת:

* P:=A
* L:=\left\{ l_a(\vec{v})\mid a\in A, \vec{v}\in \vec{A}\right\}
* יחס I\in P\times L כך ש-pIl אם ורק אם p\in l

השלישייה הסדורה (P,L,I) היא מערכת חילה המתארת גאומטריה אפינית, כאשר יחס ההקבלה \sim מוגדר כך ש-l_1,l_2\in L מקייםl_1\sim l_2 אם ורק אם קיימים a,b\in A ו-\vec{v} \in \vec{A} כך ש-l_1=l_a(\vec{v}) ו-l_2=l_b(\vec{v}).

בצורה זו ניתן לבנות מכל מרחב אפיני גאומטריה אפינית. ההפך אינו בהכרח נכון.

### יריעה אלגברית אפינית

בהינתן שדה סגור אלגברית F ומספר טבעי n\in\mathbb{N}, מסמנים ב-F[x_1,\dots,x_n] את מרחב הפולינומים ב-n משתנים מעל F. אם בוחרים קבוצה כלשהי של פולינומים S\subseteq F[x_1,\dots,x_n], ניתן להגדיר את קבוצת האפסים של S על ידי:

V(S):=\left\{x\in\mathbb{A}^n\mid\forall f\in S, f(x)=0\right\}

כאשר כזכור \mathbb{A}^n מייצג מרחב של n-יות סדורות של F ללא מבנה של מרחב וקטורי.

קבוצה מהצורה V(S) עבור S\subseteq F[x_1,\dots,x_n] כלשהי תקרא **[[יריעה אלגברית אפינית]]**.

יריעות אלגבריות אפיניות הן אחד המבנים המרכזיים הנחקרים במסגרת גאומטריה אלגברית. במסגרת תחום זה נחקרים התכונות הגאומטריות של יריעות אלו.

כך למשל, כל ספירה n-ממדית ברדיוס R היא יריעה אלגברית אפינית מכיוון שהיא ניתנת לתיאור כקבוצת האפסים של הפולינום f(x_1,\dots,x_n)=x_1^2+\dots+x_n^2-R^2.

המרחב האפיני \mathbb{A}^n עצמו מהווה את הדוגמה הבסיסית ביותר של יריעה אלגברית אפינית.

## דוגמאות

* כל מרחב אוקלידי הוא גם מרחב אפיני.
* כל מרחב וקטורי V יכול להחשב גם כמרחב אפיני אם מזהים את הווקטורים שבו גם כנקודות.
* בהינתן מרחב וקטורי V, תת-מרחב וקטורי U\subseteq V ונקודה a\in V (לאו דווקא ב-U), הזוג הסדור (a+U,U) הוא מרחב אפיני.
* בהינתן יריעה חלקה M ונקודה p\in M, המרחב המשיק T_pM הוא מרחב אפיני.
* בהינתן המרחב הווקטורי C^n(\mathbb{R}) (מרחב הפונקציות הגזירות והרציפות n פעמים), אופרטור ליניארי L ופונקציה g(x)\in C^n(\mathbb{R}), הקבוצה \left\{y\in C^n(\mathbb{R})\mid L[y]=g(x)\right\} היא תת-מרחב אפיני של C^n(\mathbb{R}). המשמעות היא שבהינתן משוואה דיפרנציאלית ליניארית שאינה הומוגנית, מרחב הפתרונות הוא בעצם מרחב אפיני.

## ראו גם

* מרחב אוקלידי
* מרחב וקטורי
* מישור אפיני
* גאומטריה אפינית

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:גאומטריה
קטגוריה:אלגברה
קטגוריה:מבנים אלגבריים
קטגוריה:מרחב (מתמטיקה)