מבנה פסים

בפיזיקה של מצב מוצק, **מבנה פסים** של מוצק מתאר את תחומי האנרגיה המותרים עבור האלקטרונים בגביש. מכיוון שאורך הגל של האלקטרון הוא מסדר גודל של המרחק בין יוני הגביש המחזורי, מתרחשת תופעה של עקיפה שממנה נובע מבנה הפסים. מבנה הפסים של החומר משפיע על המאפיינים החשמליים והאופטיים של החומר.

## מדוע קיימים פסים
באטום בודד, מאכלסים האלקטרונים רמות בדידות של אנרגיה הנקראות אורביטלים. כאשר מספר אטומים מצטרפים יחד למולקולה, מספר דרגות החופש של האלקטרונים גדל ואטומים חולקים רמות משותפות. מספר הרמות המולקולריות פרופורציונלי למספר האטומים. בגביש מספר האטומים הוא מסדר גודל של 10^{20} לסמ"ק או יותר, ולכן מספר הרמות גדל באופן משמעותי. ההפרש בין הרמות קטן עד כדי כך שהוא מסדר גודל של אנרגיה האופיינית לאינטראקציה בין האלקטרונים לפונונים, ולאי הוודאות באנרגיה על פי עקרון אי הוודאות של הייזנברג, עבור טווחי זמן ארוכים מספיק. כתוצאה מכך ניתן למעשה להתייחס לרמות האנרגיה כאל פס רציף. עם זאת, בתחומי אנרגיה מסוימים לא נוצרות רמות אנרגיה חדשות כלל, ללא תלות במספר האטומים המתווספים למבנה. בתחומים אלו אין לאלקטרון הנמצא בגביש מצבים מותרים. הוא איננו יכול להיות בעל אנרגיה בערכים מתחומים אלו, ולכן בתחומים אלו מתקבל פער אסור.

## מתכות, מוליכים למחצה ומבודדים
שמאל|ממוזער|300px|דיאגרמה פשטנית של פסי האנרגיה המאוכלסים הגבוהים הממחישה את ההבדל בין מבודד (מימין) למוליך למחצה (במרכז) ולמתכת
לכל מוצק יש מספר רב של פסי אנרגיה, המופרדים בפערים אסורים. עם זאת, מרובם מתעלמים, מכיוון שהאנרגיה שלהם מספיק גבוהה כך שבאופן מעשי אלקטרון המגיע לאנרגיה כזו בורח מהמוצק.

רוחב הפסים תלוי בתכונות אטומי הסריג, ומשתנה עם העלייה באנרגיה. כמו כן לעיתים פסים מותרים חופפים ומתקבל פס רחב יחיד.

במתכת, הפס המאוכלס הגבוה ביותר מלא באופן חלקי באלקטרונים ללא תלות בטמפרטורה, ולכן למתכות מוליכות חשמלית גבוהה.

במוליך למחצה או מבודד הפס המאוכלס הגבוה ביותר נקרא פס הערכיות, באנלוגיה לאלקטרוני ערכיות באטום בודד, ובטמפרטורת האפס המוחלט הוא מלא לחלוטין באלקטרונים. אלקטרונים הנמצאים בפס הערכיות לא יכולים ליצור הולכה בחומר מכיוון שכדי להניע אותם על ידי מתח יש צורך להוסיף להם אנרגיה (באנלוגיה למודל קלאסי - האלקטרון נע במרחב ולכן מתווספת לו אנרגיה קינטית), מה שלא אפשרי בגלל שכל רמות האנרגיה הגבוהות יותר כבר מאוכלסות. ניתן ליצור הולכה רק אם עוברים לפס גבוה יותר, שהוא כבר אינו מאוכלס במלואו. הפס הנמוך ביותר שאינו מאוכלס במלואו (בטמפרטורת האפס המוחלט) נקרא לכן "פס ההולכה". כאשר הפוטנציאל הכימי נמצא בתוך פער אנרגיה אסור (כמו במוליך למחצה) נהוג לסמן את האנרגיה המקסימלית בפס הערכיות כ-E_v  ואת האנרגיה המינימלית של פס ההולכה כ-E_c.

ההבדל היחיד בין מוליך למחצה לבין מבודד הוא בגודל הפער האסור בין רמת הערכיות לרמת ההולכה. באופן גס נהוג לסווג חומרים בעלי פער של עד 4eV כמוליכים למחצה. אנרגיה תרמית היא אחד המנגנונים העיקריים לעירור אלקטרונים לרמת ההולכה, ולכן קיימת תלות חזקה של מוליכות מוליך למחצה בטמפרטורה. מבנה הפסים של מוליך למחצה מנוצל בהתקנים אלקטרוניים רבים. על ידי אילוח ביסודות מתאימים ניתן לשנות את מאפייני החומר, וליצור דיודות, טרנזיסטורים, תאים סולריים וכדומה.

מבנה הפסים אופייני לגבישים, אך קיים גם בקווזי גבישים ובמוצקים אמורפיים. בחומרים אלו הטיפול המתמטי מסובך בהרבה, ולכן המחקר התאורטי התמקד בגבישים.

## מודלים פיזיקליים
ישנם מודלים פיזיקליים רבים שניתן לתאר באמצעותם את מבנה הפסים, ולכמת את רוחב הפסים, את גודל הפער האסור, ואת המוליכות החשמלית של הסריג. כל מודל מניח הנחות שונות על החומר ועל מהות הקשר בין גרעין האטום לאלקטרונים שלו, ומתבסס על קירובים אחרים, וכתוצאה מכך מפתח את החישובים בצורה שונה. לא כל מודל נכון לכל חומר, למשל מודל האלקטרונים הכמעט-חופשיים מתאר מתכות באופן מאוד טוב, אך נותן תוצאות שגויות עבור מבודדים, ומודל הקשר ההדוק מתאר טוב מבודדים ולא מתכות.
### מודל האלקטרון החופשי
מודל האלקטרון החופשי הוא המודל הפשוט ביותר לאלקטרונים בגביש. המודל מניח שאלקטרון שנמצא בגביש אינו קשור ליון מסוים אלא לגז אלקטרונים שאופף את היונים. כמו בגז אידיאלי, מזניחים את האינטראקציות בין האלקטרונים עצמם (אך לא מאותן סיבות). שדה הפוטנציאל שנובע מיוני הגביש מתבטא בשימוש במסה אפקטיבית השונה ממסת האלקטרון הרגילה. לאור ההנחות הללו כל אלקטרון בגביש הוא למעשה חלקיק בבור פוטנציאל אינסופי. כל שנותר כדי למצוא את רמות האנרגיה המותרות הוא לפתור את משוואת שרדינגר.

צפיפות המצבים המתקבלת בפסים גבוהה מאוד. הצפיפות משתנה כפונקציה של האנרגיה וערכה אפס בקצוות הפס ומקסימום במרכזו. בשלושה ממדים נתונה הצפיפות על ידי

::
D(\epsilon)= \frac{V}{2\pi^2}\left(\frac {2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}  \epsilon^{1/2}


אף על פי שסך כל המצבים האפשריים לאכלוס הוא באופן תאורטי אינסופי, הרי שמספר האלקטרונים הוא סופי. ההסתברות לאכלוס מצב מסוים כפונקציה של הטמפרטורה נתונה על ידי סטטיסטיקת פרמי דיראק:

:f(E) = \frac{1}{1 + e^{\frac{E-E_F}{kT}}}

כאשר k הוא קבוע בולצמן, T הטמפרטורה, E_F אנרגיית פרמי.

### מודל האלקטרון הכמעט-חופשיים

המודל לוקח בחשבון שדה פוטנציאל מחזורי הנובע מסידור היונים שפועל על האלקטרון. האינטראקציות בין האלקטרונים עדיין נחשבות זניחות. פתרון משוואת שרדינגר עבור פוטנציאל זה הוא פונקציית הגל של בלוך:
:\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})

כאשר k הוא וקטור הגל, n הוא מספר הרמה. וקטור הגל מקבל ערכים בתוך אזור ברילואן הראשון (תא פרימיטיבי בסריג ההופכי), והוא מחזורי בהוספת וקטור סריג הופכי.

אנרגיית האלקטרון היא פונקציה של k. חומרים בעלי פער ישיר, כמו גליום ארסניד, הם חומרים שבהם המינימום של האנרגיה בפס ההולכה מתקבל עבור אותו ערך של k בו מתקבל המקסימום של האנרגיה בפס הערכיות. חומרים בהם לא מתקיים תנאי זה נקראים חומרים בעלי פער בלתי ישיר.
לחומרים בעלי פער ישיר יש יתרון משמעותי בשימושים אופטיים.

### מודל הקשר ההדוק

מודל הקשר ההדוק הוא מודל במכניקת הקוונטים שמתאר את תכונותיהם של אלקטרונים הכבולים בחוזקה אל האטומים שאליהם הם שייכים בחומר מוצק. השפעתם של פוטנציאלים ומצבים אחרים בסביבת האלקטרון - זניחה. ההנחה הבסיסית היא שאלקטרון קשור לגרעין האטום שלו באופן הדוק ומנותק מהאטומים האחרים בסריג, אולם יש הסתברות מסוימת שיבצע "קפיצה" (hopping) לאטום שכן.

מתמטית, פונקציית הגל היא צירוף ליניארי של האורביטלים השונים של כל אטומי הסריג. כל המצבים האלה אורתוגונליים זה לזה. כתוצאה מהנחות אלה ניתן לכתוב את ההמילטוניאן של האלקטרון בצורת מטריצה שרוב ערכיה הם אפסים, מכיוון שההנחה היא שאלקטרון יקפוץ רק לאטומים שכנים ולא לרחוקים יותר. בגישה זו ניתן לבצע חישובים באמצעות כלים של אלגברה ליניארית.

ישנם עוד מודלים רבים שפותחו לצורכי הפשטה וזיהוי תופעות חדשות (כמו קירוב הסריג הריק , מודל קרוניג-פני ) או לצורכי הגדלת הדיוק (למשל מודלים המשלבים אינטראקציה בין האלקטרונים באמצעות פתרון בעיה n-גופית, או אפקטים קוונטיים כמו אינטראקציית שחלוף).

## ראו גם

* HOMO ו-LUMO
* פס הולכה
* פס ערכיות

## לקריאה נוספת

* *Solid State Physics*, by Neil Ashcroft and N. David Mermin, 
* *Introduction to Solid State Physics* by Charles Kittel, 


## קישורים חיצוניים

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
*
קטגוריה:פיזיקה של חומר מעובה