עקרון הארדי-ויינברג

**עקרון הארדי-ויינברג**, הידוע גם כ**שיווי משקל הארדי-ויינברג**, הוא מודל מתמטי יסודי בביולוגיה מודרנית המתאר מיקרו-אבולוציה על דרך השלילה באוכלוסייה המתרבה באופן זוויגי. כלומר, הוא מציג את התנאים העקרוניים בהם תדירויות האללים באוכלוסייה יישארו קבועים מדור לדור.
המודל פותח ב-1908 במקביל על ידי המתמטיקאי האנגלי גודפרי הרולד הארדי והרופא הגרמני וילהלם ויינברג באופן בלתי תלוי זה בזה. 

המודל הניח את היסודות לתחום הנקרא גנטיקה של אוכלוסיות, והיווה בסיס למודלים מורכבים ומציאותיים יותר של אבולוציה. על אף פשטותו הרבה, מודל זה הצביע על כוחות נוספים על הברירה הטבעית המניעים את האבולוציה הביולוגית: מוטציה, סחיפה גנטית, זרימת גנים ורבייה בלתי-אקראית. בכך המודל סלל את הדרך למיזוג רעיונותיהם של צ'ארלס דרווין וגרגור מנדל מאוחר יותר לכדי תורת האבולוציה המודרנית (הסינתזה המודרנית). 

## מידול מיקרו-אבולוציה
ההגדרה של אבולוציה היא **השינוי הגנטי באוכלוסייה של אורגניזמים לאורך דורות**.
בגנטיקה מתייחסים לאוכלוסייה כ**מאגר גנטי** (gene pool) – מושג מקביל המתייחס לאוסף האללים המצויים באוכלוסייה אקולוגית שפרטיה מקיימים יחסי רבייה זה עם זה. מכאן נגזרת ההגדרה לאבולוציה בפרספקטיבה של גנטיקה של אוכלוסיות: **השינוי בתדירויות ה[[אלל|אללים]] של מאגר גנטי  לאורך דורות**.
לכן, כדי למדל אבולוציה יש לתאר את המעבר של חומר גנטי בין שלבי חיים דומים מדור לדור תוך כדי הנחת הנחות לגבי המבנה הגנטי הקובע את התכונה שבה מתמקדים, מנגנון ייצור הגמטות (היחידות הבסיסיות של מטען תורשתי), מנגנון איחוד הגמטות (כלומר, הזדווגות) ואופן גזירת הפנוטיפ (התכונה הנצפית של האורגניזם) מתוך הגנוטיפ שלו (המטען הגנטי שנוצר מצירוף הגמטות ההוריות).

כמו כל מודל במדע, תפקידו של מודל זה לפשט את המורכבות הרבה שבעטיה אנו מתקשים להבין את המציאות. פישוט זה נעשה על ידי הנחות שהופכות את המודל בהכרח ללא-מציאותי, אך מאפשרות לזקק מרכיבים עקרוניים הפועלים במציאות. כדי להבין מודל באמת, חשוב להיות ערים להנחות שהונחו. לפעמים, ובעיקר במודלים על דרך השלילה כמו מודל הארדי-ויינברג, ההישג המדעי נובע דווקא מבחינתן של ההנחות ושל התרחישים הנובעים מביטולן.

## הנחות המודל
להלן ההנחות שהונחו במודל. לא נתייחס כאן לכולן, אך ההנחות ה**מודגשות** הן החשובות להבנת המשמעות העיקרית של המודל לגבי תהליך האבולוציה, בעיקר לאור העובדה שהן לרוב אינן מתקיימות בטבע.

### המבנה הגנטי של התכונה הנחקרת
:* התכונה הנחקרת מתבססת על לוקוס אחד בכרומוזום אוטוזומלי.
:* מופעי התכונה נגזרים מצירוף של שני אללים בתוך לוקוס זה.
:* **לא מתרחשות [[מוטציה|מוטציות]] בלוקוס זה.**

### מנגנון ייצור ה[[גמטות]]
:* הגמטות נוצרות במיוזה רגילה ותוצריה נקבעים על פי החוק הראשון של מנדל (חלוקה שווה).
:* אין השפעות אימהיות או אבהיות על התורשה. האם והאב זהים בתפקידם התורשתי.

### מנגנון איחוד הגמטות
:* **מאגר גנטי סגור. כלומר, בני האוכלוסייה אינם בקשר רבייתי עם בני אוכלוסייה אחרת.**
:* הארדי הניח שבני האוכלוסייה חד ביתיים, כלומר כל פרט הוא גם זכר וגם נקבה ויכול להפרות את עצמו. ויינברג הניח שהזוויגים נפרדים אך עדיין בעלי תפקוד תורשתי זהה, וכן שתדירויות הגנוטיפים זהות בין הזכרים והנקבות.
:* **רבייה אקראית. כלומר, הסיכוי לזיווג של שני גנוטיפים הוא מכפלת התדירויות שלהם.**
:* **גודל האוכלוסייה (מספר הפרטים שבה) הוא אינסופי (הנחה לצורך פשטות מתמטית).**
:* דורות נפרדים ללא חפיפה. כלומר, דור נולד, מתרבה ומת לפני שהדור הבא מתרבה, כמו בצמחים חד-שנתיים (הנחה לצורך פשטות מתמטית). 

### גזירת ה[[פנוטיפ]] מה[[גנוטיפ]]
:* **הפנוטיפים הנגזרים מכל הגנוטיפים האפשריים זהים מבחינת שרידתם, יכולתם להזדווג ופוריותם כלומר, אין [[ברירה טבעית]] במערכת.**

## פיתוח המודל
כאמור, המודל פותח במקביל ובאופן בלתי תלוי על ידי הארדי ועל ידי ויינברג.

### הפיתוח של הארדי
שמאל|ממוזער|550px|איור מס' 1: סכימה גרפית של מודל הארדי-ויינברג
נסמן את שני האללים האפשריים בלוקוס כ- a ו- A. מכאן הגנוטיפים האפשריים באוכלוסייה הם: AA, Aa, aa.

סט התדירויות של שלושת הגנוטיפים הללו (GAA, GAa, Gaa) מתאר את כלל הפרטים ב**אוכלוסייה הבוגרת** (ראו שורה ראשונה באיור 1).

כלל הגמטות שנוצרות באוכלוסייה זאת היא ה**מאגר הגנטי** (ראו שורה שנייה באיור 1). גמטה יכולה להיות או מסוג A או מסוג a. התדירויות של שני טיפוסי הגמטות האלה (או **תדירות האללים במאגר הגנטי**) נקבעות הן על ידי התדירויות של הגנוטיפים של ההורים והן על ידי לפי החוק הראשון של מנדל. 
נסמן את התדירות של A באות p, ואת התדירות של a באות q.

לפי הנחותיו של הארדי לגבי אופן ההזדווגות, צאצא נוצר מאיחודן של שתי גמטות שנבחרות מהמאגר הגנטי באופן אקראי ובלתי-תלוי. כך ניתן לקבוע את התדירות של כל גנוטיפ ב**אוכלוסיית הצאצאים** (ראו שורה שלישית באיור 1) על ידי מכפלת התדירויות של הגמטות המרכיבות אותו. הסימון 'G מציין את התדירות של גנוטיפ באוכלוסיית הצאצאים:

::::G'_{AA} = p^2

::::G'_{Aa} = 2pq

::::G'_{aa} = q^2

מפאת ההנחה שאין ברירה טבעית, אותן תדירויות של גנוטיפים של צאצאים מגיעות לבגרות (ולכן אין שינוי בין השורה השלישית והרביעית באיור 1). כעת הצאצאים בגרו ומוכנים לתרום גמטות להעמדת הדור השלישי. 

נסמן את המאגר הגנטי של הדור השני (שורה חמישית באיור 1) בתדירויות האללים 'p ו-'q, ולאחר הפעלת החוק הראשון של מנדל, כמו בתחילת התהליך, נראה ש- p'=p וכן q'=q. שכן:

p' = p^2+\frac{1}{2}(2pq) = p^2 + pq = p(p+q) = p(p+1-p) = p

כלומר, אין שינוי בתדירויות האללים בין המאגר הגנטי של הדור הראשון לבין המאגר הגנטי של הדור השני. על פי הגדרת האבולוציה (השינוי בתדירויות האללים של מאגר גנטי  לאורך דורות) **לא מתרחשת אבולוציה במודל זה, ויחסי התדירויות של הגנוטיפים לעולם יישארו: p<sup>2</sup>, 2pq, q<sup>2</sup>**.

מערך זה של תדירויות גנוטיפים יציב נקרא **שיווי משקל הארדי-ויינברג**. אין שום הנחה לגבי תדירויות הגנוטיפים של הדור הראשון במודל זה, והתדירויות ההתחלתיות (GAA, GAa, Gaa) אינן בהכרח שוות לסופיות (G'AA, G'Aa, G'aa). משמעות הדבר היא שתחת ההנחות שהונחו כל אוכלוסייה תגיע לשיווי משקל הארדי-ויינברג **לאחר דור אחד של רבייה אקראית** ולא תתרחש בה יותר אבולוציה. איור 2 מתאר את תדירויות הגנוטיפים בשיווי משקל הארדי-ויינברג כפונקציות של תדירויות האללים באוכלוסייה.
שמאל|ממוזער|350px|איור מס' 2: תדירויות הגנוטיפים בשיווי משקל הארדי-ויינברג כפונקציות של תדירויות האללים באוכלוסייה

### הפיתוח של [[וילהלם ויינברג|ויינברג]]
ויינברג פיתח המודל שלו באופן דומה, למעט מנגנון איחוד הגמטות (הזדווגות). ויינברג לא הניח שבני האוכלוסייה חד ביתיים, כלומר שכל פרט הוא גם זכר וגם נקבה ויכול להפרות את עצמו. הוא הניח שהזוויגים נפרדים ומבחינתו המשמעות של רבייה אקראית היא שההסתברות ששני גנוטיפים יזדווגו הוא מכפלת התדירויות שלהם. הנחה סמויה נוספת במודל שלו היא שתדירויות הגנוטיפים זהות בין הזכרים והנקבות. הנחה סמויה זאת אינה נדרשת בגישה של הארדי, אך התוצאות של שלב זה (התפלגויות הגנוטיפים של הצאצאים) זהות בשני המודלים.

## חשיבות ומסקנות המודל
מודל פשוט זה היווה עמוד תווך מרכזי בהתפתחות תחום הגנטיקה בתחילת המאה העשרים. זמן קצר לאחר שפרסומיו של מנדל לגבי אופן התורשה התגלו על ידי הקהילה המדעית החל ויכוח בין תומכיו ומתנגדיו של מנדל. מודל הארדי-ויינברג הכריע את הוויכוח סופית לטובת מנדל.

חשוב מכך, המודל קידם את ההבנה של תהליך האבולוציה. בבסיס המודל עומדות חמש הנחות חשובות שאינן מתקיימות בטבע ברוב המקרים:

* **העדר [[מוטציה|מוטציות]].**
* **מאגר גנטי סגור, או העדר [[זרימת גנים]].**
* **רבייה אקראית.**
* **גודל אוכלוסייה אינסופי.**
* **אין [[ברירה טבעית]].**

ביטולן של כל אחת מהנחות אלה מובילות לתדירויות גנוטיפים השונים מאלה המקיימים את שיווי משקל הארדי ויינברג ולקיום תהליך של אבולוציה מדור לדור. כך מוכח באופן מתמטי שכל אחד מהגורמים הבאים מניע אבולוציה באוכלוסייה: מוטציות, זרימת גנים על ידי נדידת פרטים בין אוכלוסיות פתוחות, רבייה בלתי-אקראית, גודל אוכלוסייה סופי ובעיקר אוכלוסיות קטנות המביאים לסחף גנטי, וקיומה של ברירה טבעית על הפנוטיפים של הפרטים.
המודל שימש בסיס לבניית מודלים מורכבים ומציאותיים יותר שביטלו את אחת או יותר מההנחות הנ"ל, כמו גם את ההנחה החשובה של לוקוס בודד. התפתחויות אלה סללו את הדרך לכדי פיתוחה של תורת האבולוציה המודרנית (הסינתזה המודרנית) במהלך המחצית הראשונה של המאה העשרים.

בנוסף להתפתחויות מדעיות אלה, מודל זה והרחבותיו משמשים עד היום בגנטיקה רפואית, בייעוץ גנטי ובניתוח של התפוצה והדינמיקה של מחלות בעלות מרכיב תורשתי.

## הפרת ההנחות המונעות אבולוציה

## הרחבת המודל לשני [[לוקוס (גנטיקה)|לוקוסים]]

## קישורים חיצוניים

* 

## הערות שוליים

קטגוריה:גנטיקה
קטגוריה:אבולוציה
קטגוריה:ביולוגיה מתמטית