מטריצת בלוקים

באלגברה ליניארית, **מטריצת בלוקים** היא מטריצה שחולקה למספר חלקים שגם הם מטריצות. מטריצת בלוקים היא צורת כתיבה נוחה וחסכונית של מטריצות, שבאה לידי ביטוי במקומות רבים באלגברה ליניארית, כדוגמת צורת ז'ורדן וצורה רציונלית.

## דוגמה
את המטריצה A=\begin{pmatrix} 1 & -9 & 2 & 2 \\ 4 & \pi & -1.5 & e \\ 0 & 4 & 3 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & -8 \end{pmatrix} אפשר לכתוב בצורה 
A=\begin{pmatrix} B & C \\ D & E \end{pmatrix}, כאשר
 B=\begin{pmatrix} 1 & -9 \\ 4 & \pi \end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1.5 & e \end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix},\quad E=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -8 \end{pmatrix}.

הבלוקים אינם חייבים להיות ריבועיים.

## פעולות על מטריצות בלוקים
בהינתן שתי מטריצות וחלוקתן לבלוקים, אם החלוקה מקיימת תנאים מסוימים ניתן לבצע את פעולות הכפל בסקלר, החיבור וכפל המטריצות על תתי המטריצות.

***[[כפל בסקלר]]** - כאן אין כל דרישה על המטריצות. בהינתן מטריצת בלוקים, הכפל שלה בסקלר כלשהו הוא כפל הבלוקים באותו הסקלר, כלומר:
c\cdot \begin{pmatrix} { X }_{ 11 } & \cdots & { X }_{ 1n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ { X }_{ m1 } & \cdots & { X }_{ mn } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { c\cdot X }_{ 11 } & \cdots & { c\cdot X }_{ 1n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ { c\cdot X }_{ m1 } & \cdots & { c\cdot X }_{ mn } \end{pmatrix}

***חיבור -** בהינתן שתי מטריצות עם אותה חלוקה לבלוקים, החיבור הוא בלוק בלוק, כלומר:
\begin{pmatrix} { X }_{ 11 } & \cdots & { X }_{ 1n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ { X }_{ m1 } & \cdots & { X }_{ mn } \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} { Y }_{ 11 } & \cdots & { Y }_{ 1n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ { Y }_{ m1 } & \cdots & { Y }_{ mn } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { X }_{ 11 }+{ Y }_{ 11 } & \cdots & { X }_{ 1n }+{ Y }_{ 1n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ { X }_{ m1 }+{ Y }_{ m1 } & \cdots & { X }_{ mn }+{ Y }_{ mn } \end{pmatrix}

***כפל -** בהינתן שתי מטריצות וחלוקה שלהן, כך שמוגדר הכפל בין כל הבלוקים המתאימים, ניתן להתייחס לבלוקים כאל איברים של מטריצות ולהכפיל כרגיל, כלומר:\begin{pmatrix} { X }_{ 11 } &
 \cdots & { X }_{ 1t } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ { X }_{ m1 } & \cdots & { X }_{ mt } \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} { Y }_{ 11 } & \cdots & { Y }_{ 1n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ { Y }_{ t1 } & \cdots & { Y }_{ tn } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sum _{ s=1 }^{ t }{ { X }_{ 1s }{ Y }_{ s1 } } & \cdots & { \sum _{ s=1 }^{ t }{ { X }_{ 1s }{ Y }_{ sn } } } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum _{ s=1 }^{ t }{ { X }_{ ms }{ Y }_{ s1 } } & \cdots & \sum _{ s=1 }^{ t }{ { X }_{ ms }{ Y }_{ sn } } \end{pmatrix}
***שחלוף -** בהינתן מטריצת בלוקים U המורכבת מm\times n בלוקים מסדר זהה, נסמן את הבלוק הij של U בu_{ij} (כלומר U=[u_{ij}]). אז U^t=[u_{ji}^t].
בנייה זו נותנת דרך נוחה להתעסק עם צורות שונות של מטריצות, בעיקר בהוכחות שונות בלכסון מטריצות וצורות ג'ורדן.

אם הבלוק השמאלי-עליון הפיך, אפשר לחשב את הדטרמיננטה דרך הפירוק לבלוקים: \det\begin{pmatrix} A& B\\ C & D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D-CA^{-1}B); ואם המטריצה הפיכה, אפשר לחשב כך גם את ההפכי: \begin{pmatrix} A& B\\ C & D\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1}(1+BP^{-1}CA^{-1})& -A^{-1}BP^{-1}\\ -P^{-1}CA^{-1} & P^{-1}\end{pmatrix}, כאשר P = D-CA^{-1}B.

## ראו גם
*מטריצת בלוקים אלכסונית
*צורת ג'ורדן
*צורה רציונלית

## קישורים חיצוניים
* 

מטריצת בלוקים