פולינום הומוגני

במתמטיקה, ובפרט באלגברה, **פולינום הומוגני** הוא פולינום שהוא גם פונקציה הומוגנית.

לפולינומים מסוג זה חשיבות רבה, במיוחד בתחום של גאומטריה אלגברית, זאת מכיוון שהם משמשים לתיאור יריעות אלגבריות פרויקטיביות באמצעות קואורדינטות הומוגניות.

## הגדרה
בהינתן חוג חילופי R, מספרים טבעיים n,m,d\in \mathbb{N} ופולינום f\in R[x_1,\dots,x_n] מהצורה

f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^m{a_i x_1^{d_{i1}} x_2^{d_{i2}}\cdots x_n^{d_{in}}}

f ייקרא **פולינום הומוגני מדרגה** d אם ורק אם הוא מקיים את אחד התנאים השקולים הבאים:

# f היא פונקציה הומוגנית מדרגה d. כלומר, לכל t,x_1,\dots,x_n\in R מתקיים ש-f(tx_1,\dots,tx_n)=t^df(x_1,\dots,x_n).
# לכל 1\le i\le m מתקיים ש-d_{i1}+\dots+d_{in}=d. כלומר, הדרגה של כל מונום מאיברי הפולינום היא d.

ניתן לראות מהתנאי השני שכל פולינום הומוגני מדרגה d, הדרגה שלו עצמו היא בהכרח d במובן של דרגת פולינום.

לעיתים פולינומים הומוגניים נקראים גם **תבנית פולינומית**.

## דוגמאות

הפולינום p(x,y,z) = xy + yz + xz הוא פולינום הומוגני מדרגה 2 שכן:
: p(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = \lambda^2 xy + \lambda^2 yz + \lambda^2 xz = \lambda^2 \cdot (xy + yz + xz) = \lambda^2 p(x,y,z).

נסתכל על הפולינום  p(x_1, x_2, x_3) = 42 x_1^3 + 11 x_2^2 x_3 . זהו פולינום הומוגני מדרגה 3 שכן:
: p(\lambda x_1, \lambda x_2, \lambda x_3) = 42 (\lambda x_1)^3 + 11 (\lambda x_2)^2 \lambda x_3 = \lambda^3 42 x_1^3 + \lambda^3 11x_2^2 x_3 = \lambda^3 \cdot (42 x_1^3 + 11 x_2^2 x_3) = \lambda^3 p(x_1, x_2, x_3).
הפולינום p(x,y)=7x^2y+3 הוא לא פולינום הומוגני, זאת מכיוון שישנו איבר חופשי בפולינום שלא מאפשר יחסיות בין \lambda לבין ערך הפולינום.

## תכונות

# כל פונקציה קבועה היא פולינום הומוגני מדרגה 0.
# כל מונום הוא פולינום הומוגני.
# אם דרגת פולינום הומוגני d היא זוגית, הפולינום הוא פונקציה זוגית. מנגד, אם d אי-זוגי, הפולינום הוא פונקציה אי-זוגית.
# סכום פולינומים הומוגניים מדרגה d הוא פולינום הומוגני מדרגה d.
# מכפלת פולינום הומוגני מדרגה d בסקלר היא פולינום הומוגני מדרגה d.
# מתוך שתי התכונות הקודמות עולה כי אוסף הפולינומים ההומוגנים ב-n משתנים מעל חוג R מדרגה d מהווה מרחב וקטורי מעל R. מסמנים מרחב וקטורי זה ב-R^d_H[x_1,\dots,x_n].
# אם f_1,f_2 הם פולינומים הומוגניים ב-n משתנים מעל חוג R מדרגות d_1,d_2 בהתאמה, הפולינום f_1\cdot f_2 הוא פולינום הומוגני מדרגה d_1+d_2.
# אם f פולינום הומוגני מעל R ופולינום g מחלק את f, אז בהכרח g פולינום הומוגני.

## קשר בין פולינומים הומוגניים ופולינומיים כלליים
בהינתן שדה R וזוג מספרים טבעיים n,d\in \mathbb{N}, מסמנים את מרחב הפולינומים ב-n משתנים מעל R ומדרגה d בתור R^d[x_1,\dots,x_n]. זהו מרחב וקטורי מעל R.

באופן דומה מסמנים את מרחב הפולינומים ההומוגניים ב-n משתנים מעל R ומדרגה d בתור R^d_H[x_1,\dots,x_n]. זהו גם מרחב וקטורי מעל R.

ניתן להוכיח שהמרחבים R^d[x_1,\dots,x_n] ו-R^d_H[x_1,\dots,x_n,x_{n+1}] הם מרחבים איזומורפיים. כלומר, כל פולינום כללי ניתן להמיר לפולינום הומוגני על-ידי הוספת משתנה אחד.

איזומורפיזם זה \varphi\colon R^d[x_1,\dots,x_n]\to R^d_H[x_1,\dots,x_n,x_{n+1}] הוא כך שלכל f\in R^d[x_1,\dots,x_n] ולכל x_1,\dots,x_n,x_{n+1}\in R:

(\varphi(f))(x_1,\dots,x_n,x_{n+1}):=x_{n+1}^d f\left(\frac{x_1}{x_{n+1}},\dots,\frac{x_n}{x_{n+1}}\right)

\varphi(f)
 היא בהכרח פולינום מכיוון שכל ה-x_{n+1}
 שבמכנה מצטמצמים עם ה-x_{n+1}^d
 שמוכפל בפולינום כולו. בנוסף, ניתן לראות כי לכל t\in R מתקיים ש:

\begin{align}
(\varphi(f))(tx_1,\dots,tx_n,tx_{n+1}) & = \left(tx_{n+1}\right)^d f\left(\frac{tx_1}{tx_{n+1}},\dots,\frac{tx_n}{tx_{n+1}}\right) \\
& =t^dx_{n+1}^d f\left(\frac{x_1}{x_{n+1}},\dots,\frac{x_n}{x_{n+1}}\right) \\
& =t^d(\varphi(f))(x_1,\dots,x_n,x_{n+1})
\end{align}


משמע, \varphi(f)
 הוא אכן פולינום הומוגני מדרגה d
, כנדרש.

ניתן לשחזר את הפונקציה המקורית f
 מתוך \varphi(f)
 על ידי הצבת x_{n+1}=1
:

(\varphi(f))(x_1,\dots,x_n,1)=1^d f\left(\frac{x_1}{1},\dots,\frac{x_n}{1}\right)=f(x_1,\dots,x_n).

### דוגמה
בהינתן הפולינום הכללי:

f(x,y,z)=5x^5y^2+12xz^3+3

זהו פולינום לא הומוגני מדרגה 7. ניתן להשתמש ב-\varphi כדי ליצור פולינום חדש g:=\varphi(f). הפולינום g הוא פולינום הומוגני מדרגה 7 ב-4 משתנים, ונוסחתו המפורשת היא:

\begin{align}
g(x,y,z,t)=(\varphi(f))(x,y,z,t) \\
=t^7f\left(\frac{x}{t},\frac{y}{t},\frac{z}{t}\right) \\
=t^7\left(5\left(\frac{x}{t}\right)^5\left(\frac{y}{t}\right)^2+12\left(\frac{x}{t}\right)\left(\frac{z}{t}\right)^3+3\right) \\
=5x^5y^2+12xz^3t^3+3t^7
\end{align}

ניתן לראות כי זהו פולינום הומוגני מדרגה 7 מכיוון וסכום החזקות בכל מונום הוא 7.

## יריעות אלגבריות פרויקטיביות

בהינתן שדה R, זוג מספרים טבעיים n,d\in \mathbb{N} ופולינום הומוגני f מעל R ב-n משתנים ומדרגה d, ניתן לשים לב כי לכל \lambda,x_1,\dots,x_n\in R מתקיים ש:

f(x_1,\dots,x_n)=0 \iff f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)=0

בהינתן מרחב פרויקטיבי P מממד n-1, הקואורדינטות ההומוגניות [x_1:\dots:x_n] מייצגות את אותה הנקודה כמו [\lambda x_1:\dots:\lambda x_n]. כלומר, במרחב זה התאפסות הפולינום f בנקודה מסוימת לא תלויה בבחירת הנציג עבור הקואורדינטות ההומוגניות שלה, זאת על אף שהערך של f בנקודות אחרות עלול להיות תלוי בבחירה בנציג.

עבור קבוצה S\subseteq R_H[x_1,\dots,x_n] מסמנים: \mathcal{V}(S):=\left\{(x_1,\dots,x_n)\in R^n\mid \forall f\in S, f(x_1,\dots,x_n)=0\right\}. קבוצת הנקודות שהקואורדינטות ההומגניות שלהן מהוות קבוצה מהצורה \mathcal{V}(S) נקראת יריעה אלגברית פרויקטיבית. יריעות אלו נחקרות במסגרת הגאומטריה האלגברית, ובפרט גאומטריה פרויקטיבית.

לדוגמה, אוסף הנקודות במרחב הפרויקטיבי ה-n ממדי הממשי שהקואורדינטות ההומוגניות שלהן מאפסות את הפולינום ההומוגני x_1^2+\dots+x_n^2-x_{n+1}^2 הומיאומורפי לספירה  n-1  ממדית.

כל מרחב אפיני n ממדי ניתן להמיר למרחב פרויקטיבי n ממדי על ידי הוספת מרחב פרויקטיבי n-1 ממדי באינסוף. כאשר מבצעים את מעבר זה, כל יריעה אפינית הופכת ליריעה פרויקטיבית על-ידי המרת כל פולינום כללי לפולינום הומוגני באמצעות הפונקציה \varphi שהוגדרה לעיל. כלומר, היריעה האפינית \mathcal{V}(S) במרחב האפיני הופכת ליריעה הפרויקטיבית \mathcal{V}(\varphi(S))  במרחב הפרויקטיבי.

## ראו גם
* פונקציה הומוגנית
* קואורדינטות הומוגניות

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:אלגברה
קטגוריה:גאומטריה אלגברית