לוקליזציה (תורת החוגים)

בתורת החוגים, **לוקליזציה** (לעיתים רחוקות מכונה בעברית **מיקום**) היא שיטה להוספת איברים הפיכים לחוג. בהינתן חוג R ותת קבוצה של איברי החוג, S, רוצים לבנות חוג חדש R^* והעתקת חוגים מ-*<math>R</math>* ל-*<math>R^*</math>* כך שכל אחד מאיברי *<math>S</math>* יעבור תחת תמונת העתקה זו לאיבר הפיך ב-*<math>R^*</math>*. יתר על כן, דורשים כי *<math>R^*</math>* יהיה החוג ה"כללי ביותר" המקיים תכונה זאת. בשפה של תורת הקטגוריות אומרים ש-**R* הוא פתרון לבעיה אוניברסלית מתאימה. לוקליזציה כזו נהוג לסמן על ידי \,S^{-1}R, או אם \,S= R-\mathfrak{p}, כאשר \mathfrak{p} הוא אידיאל ראשוני, על ידי \,R_\mathfrak{p}.

## בנייה עבור חוגים קומוטטיביים

יהי R חוג קומוטטיבי, ותהי תת-קבוצה S ללא האפס וסגורה כפלית, כלומר, אם a,b \in S אז a \cdot b \in S, וכמו כן נניח כי \,1 \in S. על הקבוצה \,R \times S נחשוב כעל קבוצת שברים \,\frac{r}{s}. נגדיר יחס שקילות על קבוצה זו, על ידי (r_1,s_1) \sim  (r_2,s_2) אם קיים \,t \in S כך ש \,t(r_1s_2-r_2s_1)=0 \in R. אם *R* תחום שלמות דרישה זו שקולה ל- \,r_1s_2-r_2s_1=0, בדיוק כמו בשוויון של שברים רגילים. איבר האפס בחוג יהיה \frac { 0 }{ 1 }  ואיבר היחידה יהיה \frac { 1 }{ 1 } . (חוגים בלי יחידה, ניתן להגדיר את היחידה והאפס למשל כך - \frac { 0 }{ s } ,\frac { s }{ s } , עם s \in S).

על קבוצת המנה \,R \times S / \sim  נגדיר פעולות חיבור וכפל על ידי:
: \,\frac{r_1}{s_1}+\frac{r_2}{s_2} = \frac{r_1s_2+r_2s_1}{s_1s_2} \qquad \qquad \frac{r_1}{s_1}\cdot\frac{r_2}{s_2} = \frac{r_1r_2}{s_1s_2}.

על ידי חישוב ניתן לוודא שבדרך זו, קבוצת המנה, המסומנת ב \,S^{-1}R מקבלת מבנה של חוג, הנקרא הלוקליזציה של S.

ההעתקה \phi \colon R \to S^{-1}R הנתונה על ידי \phi(r) = \frac{r}{1} היא הומומורפיזם של חוגים, השולח כל איבר ב-*S* לאיבר הפיך.

## כלליות ומינימליות
אחת התכונות המעניינות של החוג שהוגדר היא שהוא החוג ה'מינימלי' בעל תכונת ההפיכות. כלומר, אם קיים חוג R' אחר עם מונומורפיזם \varphi :R\rightarrow R'  וכך שתמונות איברי S הפיכים ב R', אז בהכרח קיים מונומורפיזם \psi :{ S }^{ -1 }R\rightarrow R'. כך ש- \varphi =\psi \circ \phi , כאשר \phi הוגדרה לעיל. 

**הוכחה**: נגדיר ישירות את \psi :{ S }^{ -1 }R\rightarrow R' על פי הכלל: \psi\left(\frac{r}{s}\right) = \varphi(r) \varphi(s)^{-1}. קל לבדוק כי הוא מוגדר היטב, מהווה מונומורפיזם חוגים, והדיאגרמה אכן קומוטטיבית -
\psi \circ \phi(r) = \psi(\phi(r)) = \psi\left(\frac{r}{1}\right) = \varphi(r){\varphi(1)}^{-1} = \varphi(r).

פירוש הטענה הוא שאם כבר הגענו ל"הרחבה" של החוג בה איברי S הפיכים, אז בהכרח עברנו בדרך בחוג השברים { S }^{ -1 }R. יחס זה מאפשר ליצור דיאגרמה קומוטטיבית בין החוגים R,{ S }^{ -1 }R,R', ולמעשה אומר שבנינו הוא אובייקט אוניברסלי, ולכן גם יחיד עד כדי איזומורפיזם.

## מבנה כחוג
הלוקליזציה מקבלת בירושה תכונות של חוג הבסיס.

ראשית, אם I \le R אידיאל, גם S^{-1}I \le S^{-1}R אידיאל. בכיוון ההפוך, אם J \le S^{-1}R אידיאל, אז J=S^{-1}A עבור A = \left\{ a \in R : \frac{a}{1} \in J \right\}. כלומר, יש התאמה בין אידיאלים של החוג לאידיאלים של הלוקליזציה. למעשה, ההתאמה חזקה יותר - נשים לב שאם I \le R אידיאל ו-S \cap I \neq \phi, אז S^{-1}I=S^{-1}R (כי יש בו איבר הפיך).

אם R חוג נותרי או ארטיני, כך גם S^{-1}R. 

ישנה גם התאמה מלאה בין הספקטרום של חוג לזה של הלוקליזציה שלו - מתקיים J \in \operatorname{Spec}(S^{-1}R)  אם ורק אם A = \left\{ a \in R : \frac{a}{1} \in J \right\} \in \operatorname{Spec}(R). אם נשכח מכל האידיאלים שחותכים את S, נקבל שיש התאמה חד-חד-ערכית \{ A \in \operatorname{Spec}(R) : A \cap S= \phi \} \leftrightarrow \operatorname{Spec}(S^{-1}R).

התוצאה החשובה ביותר היא שהחוג S^{-1}R הוא חוג מקומי - חוג בו יש אידיאל מקסימלי יחיד. במקרה הזה, קבוצת כל האיברים הלא הפיכים מהווה אידיאל מקסימלי יחיד. לכן גם סכום של אי-הפיכים הוא לא הפיך.

במקרה שבו S=R-\mathfrak{p} עם אידיאל ראשוני \mathfrak{p}, מתקבל החוג R_{\mathfrak{p}}=(R-{\mathfrak{p}})^{-1}R. האידיאל המקסימלי הוא \mathfrak{p}R_\mathfrak{p}=S^{-1}\mathfrak{p}.

## דוגמאות
* יהי *<math>R</math>* תחום שלמות, ותהי \,S = R-\{0\}. במקרה זה \,S^{-1}R הוא שדה השברים של *R*.
* אם *<math>R</math>* תחום שלמות עם יחידה, אז שדה השברים של R[x] (חוג הפולינומים) מכיל עותק של { (R-\{ 0\} ) }^{ -1 }R, ושווה לשדה השברים של ({ (R-\{ 0\} ) }^{ -1 }R)[x].
* אם R=\mathbb{Z} ו-S=\mathbb{Z}-p\mathbb{Z} כאשר p ראשוני, נקבל כי S^{-1}R= \left\{ \frac{a}{b}:p \nmid b \right\}, והאידיאל המקסימלי שלו הוא \mathfrak{p} R_{\mathfrak{p}} = \left\{\frac{a}{b}:p \nmid b , p \mid a\right\}.
* אם R חוג שלם מעל C (כלומר, כל איבר של R הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ-C) אז S^{-1}R שלם מעל S^{-1}C לכל S \subseteq C כנ"ל.

## ראו גם
* חוג השברים הקלאסי
* תנאי אור
* חוג מקומי

## קישורים חיצוניים
* 

קטגוריה:תורת החוגים
קטגוריה:אלגברה קומוטטיבית