משפט פרובניוס (תורת החבורות)

**משפט פרובניוס** בתורת החבורות, אומר שלכל מחלק d של הסדר של חבורה G, מספר האיברים בחבורה הפותרים את המשוואה x^d = 1 מתחלק ב-d. המשפט נקרא ע"ש פרדיננד גאורג פרובניוס שהוכיח אותו בשנת 1895.

## ניסוח המשפט
תהי G חבורה ויהי d מחלק של הסדר |G|. נסמן ב A_d = \{ x \in G \mid x^d = e \} את אוסף האיברים מסדר המחלק את d. אזי d \mid|A_d|.

## הוכחה
נעזר בעובדה הבאה מתורת החבורות:

כל איבר מסדר nm, כאשר n,m זרים, אפשר לפרק בצורה x=yz כאשר zy=yz =x, o(y) = n, o(z) = m (למעשה אפשר לבחור את y,z להיות חזקות של x).

נעזר גם בלמה הבאה:

**למה:** לכל n אם A_n לא ריקה אז \phi(n) \mid |A_n| כאשר \phi היא פונקציית אוילר. בנוסף אם d \mid |G| מהצורה d = p^{\alpha}s כאשר p^{\alpha+1} \mid |G|,(p,s) = 1 ואם A = A_{dp}\setminus A_{d} אז A ריקה או ש \phi(p^{\alpha+1}) \mid |A|.

**הוכחה**: נתבונן ביחס השקילות הבא: x \equiv y \iff \langle x \rangle = \langle y \rangle, כלומר הם יוצרים אותה תת-חבורה. מתקיים x \equiv x^t \iff (t,o(x)) = 1. לכן מס' האיברים במחלקת השקילות של x הוא \phi(o(x)). מקבלים ש A_n איחוד של מחלקות שקילות של איברים מסדר n ונקבל ש \phi(n) \mid |A_n|. נרשום את A בצורה הבאה: A = \{ x \in G \mid o(x) = p^{\alpha+1}s_1,\,s_1 \mid s\}. אם A אינה ריקה נקבל שA = \bigcup_{s_1 \mid s}\bigcup_{o(x_i)=p^{\alpha+1}s_1} [x] כאשר [x] מסמן את המחלקה של x. כל אחת מהחלקות המשתתפות באיחוד מתחלקת ב \phi(p^{\alpha+1}s_1) = \phi(p^{\alpha+1}) \phi(s_1). ונקבל את הדרוש.

**הוכחת המשפט:**

יהו d \mid n:=|G|. ההוכחה באינדוקציה כפולה על n,d. מקרה הבסיס n=1 או d=n טריוויאליים. נניח שהוכחנו לכל חבורה קטנה יותר ולכל מחלק גדול יותר של החבורה נראה נכונות עבור d,n: יהי p \mid \tfrac{d}, d = p^{\alpha}s,(s,p) = 1. תהי A = A_{dp}\setminus A_{d}. מתקיים |A_d| = |A_{dp}| - |A|.

מאינדוקציה נקבל כי dp \mid |A_{dp}| ולכן מספיק להראות ש d \mid |A|. אם A ריקה זה ברור. נניח ש-A אינה ריקה. מהלמה p^{\alpha}(p-1) = \phi(p^{\alpha+1}) \mid |A| ולכן מספיק להראות ש s \mid |A|. נרשוםA = \{ x \in G \mid o(x) = p^{\alpha+1}s_1,s1 \mid s\} ומהעובדה שצוטטה לעיל נקבל שלכל x ב-A ישנם y,z כך ש x = yz=zy, o(y) = p^{\alpha+1}, z^s = e. נסמן ב C(a) = C(\langle a \rangle) את המרכז של a וב \operatorname{conj}(a) את מחלקת הצמידות של a. עבור a ב G נגדיר S_a = \{ab \mid b^{s} = e,b \in C(a)\},S_{\operatorname{conj}(a)} = \bigcup_{x \in \operatorname{conj}(a)} S_x. מקבלים ש A = \bigcup_{o(a) = p^{\alpha+1}} S_a. נראה שזהו איחוד זר. אכן יהיו o(a) = o(a_1) = p^{\alpha+1}, ab=ba=b_1a_1 = a_1b_1,b^s = b_1^s=1. נקבל ש a^s = a^sb^s = (ab)^s = (a_1b_1)^s = a_1^sb_1^s = a_1^s. כיוון שo(a) = o(a_1) = p^{\alpha+1} וכן (s,p) = 1נקבל ש a=a_1 והראנו שהאיחוד זר. לכן מספיק להראות ש s \mid |S_{\operatorname{conj}(a)}| לכל a מסדר p^{\alpha + 1}. נשים לב שהעתקה \Phi \colon S_a \to S_{x^{-1}ax}, ab \to x^{-1}axx^{-1}bx היא התאמה חח"ע ועל ולכן |S_{\operatorname{conj}(a)}| = |\operatorname{conj}(a)||S_a|. יהי k = |C(a)/\langle a \rangle|, m = (s,k). ההתאמה ab \to b \langle a \rangle היא התאמה חח"ע ועל מ S_a ל \{ y \in C(a)/ \langle a \rangle \mid y^s = e\} = \{ y \in C(a)/ \langle a \rangle \mid y^m = e\}. כיוון ש-km \mid |\{ y \in C(a)/ \langle a \rangle \mid y^m = e\}| = |S_a| ולכן |S_a| = cm. ממשפט מסלול מייצב נקבל ש |\operatorname{conj}(a)| = \tfrac  ולכן |S_{\operatorname{conj}(a)}| = |\operatorname{conj}(a)||S_a| = \tfrac = \tfrac{ncm}{kp^{\alpha+1}}. כיוון שגם k וגם s מחלקים את n נקבל שגם הכפולה המשותפת המינימלית שלהם \operatorname{lcm}(k,s) = \tfrac{ks}{m} מחלקת את n. לכן s מחלק את  \tfrac{ncm}{k}. מכיוון ש (s,p) = 1 נקבל ש s \mid |S_{\operatorname{conj}(a)}| וסיימנו.

## שימושים
1) משפט פרובניוס מאפשר להראות שחבורות רבות אינן פשוטות ואפילו לתאר את המבנה שלהם.

**מסקנה 1**: תהי G חבורה כך ש |G| = \prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i} ו p_i סדרה עולה. נניח שכל תת חבורה p סילו היא ציקלית. במקרה כזה תת-חבורת p_r
 סילו היא נורמלית ב G ובנוסף G חבורה פתירה. בפרט אם  |G|חופשית מריבועיים אז היא פתירה ותת חבורת p_r
 סילו שלה היא נורמלית.

**הוכחה**: נוכיח באינדוקציה על d ש d =|A_d| עבור d \mid |G| כך ש d = p_k^{\beta_k} \prod_{i=k+1}^r p_i^{\alpha_i} 1 \leq k \leq r, \beta_k \leq \alpha_k. המקרה של d = |G| ברור. נניח שהראנו לכל מחלק d' מהצורה לעיל הגדול מ d, ונוכיח כעת עבור d. יהי p המחלק הראשוני הגדול ביותר של \tfrac{d}. תהיA = A_{dp}/A_d. כיוון שחבורות p סילו ציקליות, A לא ריקה. מהנחת האינדוקציה |A_{dp}| = dp. ממשפט פרובניוס קיים 1 \leq t  כך ש |A_d| = dt. מהלמה בהוכחת משפט פרובניוס נקבל ש p - 1 \mid dp - dt = d(p-t) מהצורה של d כל מחלק של d הוא לפחות p ולכן (p-1,d) = 1 לכן p - 1 \mid (p-t) ולכן t=1. קיבלנו לכן ש d =|A_d| עבור d מהצורה הנ"ל. בפרט עבור d = p_r^{\alpha_r}נקבל ש |A_{p_r^{\alpha_r}}| = p_r^{\alpha_r} ונקבל שתת-חבורת ה p_r
 סילו N יחידה ולכן נורמלית. מאינדוקציה N,G / N פתירות ונקבל את הדרוש. ה"בפרט" נובע מכך שכל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית.

באופן דומה מוכיחים את המסקנה הנוספת הבאה:

**מסקנה 2**: לכל n קיימת חבורה בגודל n שאינה ציקלית אמ"מ (n,\phi(n)) \neq 1.

2) על ידי חישוב |A_d| בחבורות ספציפיות ניתן לקבל זהויות בתורת המספרים. למשל לכל ראשוני p ולכל p \leq n  על ידי חישוב |A_p| בחבורה הסימטרית S_n ניתן להראות כי מתקיים:\sum_{k=1}^{\left\lfloor \tfrac{n}{p} \right\rfloor} \tfrac{n!}{p^kk!(n-pk)!} \equiv - 1\pmod{p}.

## תוצאות נוספות
* גרסה כללית יותר (הול 1959 משפט 9.1.1) היא שאם C היא מחלקת צמידות עם h איברים אזי מספר האיברים k כך ש k^n נמצא ב C מתחלק ב (hn,|G|).
* פרובניוס שיער שאם d \mid |G| ו d =|A_d| אז A_d\vartriangleleft G, תת-חבורה נורמלית של G. ההשערה הוכחה בשנת 1991 תוך שימוש במשפט המיון לחבורות סופיות פשוטות לאחר עבודה רבה.

## ראו גם
* משפטי סילו

## קישורים חיצוניים
* הוכחת המשפט ושימושים

## הערות שוליים

2019 06
קטגוריה:תורת החבורות
קטגוריה:משפטים בתורת החבורות