אלגברה מדורגת

במתמטיקה, **אלגברה מדורגת** היא אלגברה (אסוציאטיבית או לא אסוציאטיבית), שיש לה מבנה נוסף, הנקרא **דירוג**. מבנים כאלה שכיחים בגאומטריה אלגברית, בתורת החוגים, באלגברה הומולוגית ובקומבינטוריקה.

## מושגי יסוד

אלגברה מדורגת היא אלגברה A שיש לה פירוק לסכום ישר A = A_0 \oplus A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots של מרחבים וקטוריים, באופן שמתיישב עם פעולת הכפל: A_n A_m \subseteq A_{n+m}. כל אחד מן המרכיבים A_n נקרא **מרכיב הומוגני**, והאיברים של המרכיבים האלה הם **איברים הומוגניים**. כל איבר של האלגברה אפשר לפרק לסכום (סופי) של איברים הומוגניים מדרגות שונות. ה**דרגה** של איבר הומוגני ב- A_n היא n. את ההנחה על פעולת הכפל אפשר לכתוב כך: \deg(ab) = \deg(a)+\deg(b) לכל שני איברים הומוגניים a,b. 

מחלקות מסוימות בתורת החוגים אפשר להכליל למקרה המדורג, אם מגבילים את הדרישות לאיברים הומוגניים. כך למשל, אלגברה מדורגת קומוטטיבית שבה כל האיברים ההומוגניים הפיכים היא **שדה מדורג**.

### דוגמאות

הדוגמה המוכרת ביותר לאלגברה מדורגת היא אלגברת הפולינומים מעל השדה, A = F[x]. האלגברה הזו מתפרקת לסכום ישר A = \bigoplus_{n=0}^{\infty} F x^n, כאשר Fx^n = \{\alpha x^n \mid \alpha \in F \} הוא אוסף המונומים ממעלה n. פונקציית הדרגה מתאימה לפונקציית המעלה המוכרת, לפחות עבור איברים הומוגניים: \deg(\alpha x^n) = n. 

את התיאור הזה אפשר להכליל לאלגברות פולינומים בכמה משתנים:  A = F[x_1,\dots,x_k] מדורגת למרכיבים, כאשר A_n הוא המרחב של כל הפולינומים ההומוגניים ממעלה (כוללת) n; למשל, כאשר k=2, A_3 = F x_1^3+Fx_1^2x_2+Fx_1x_2^2+Fx_2^3. כמקודם, הדירוג מבוסס על העובדה שאם f,g שני פולינומים הומוגניים, אז הדרגה של המכפלה fg שווה לסכום המעלות. באופן כללי יותר, אפשר לקבוע לכל משתנה "משקל" אחר; למשל, אפשר לדרג את A=F[x,y] באופן שהדרגה של x היא 2, והדרגה של y היא 3 (הדרגה של כל מונום מחושבת לפי הנחות אלה: \deg(x^iy^j) = 2i+3j). הדרגות היסודיות משנות את הדירוג, וכעת הוא A = F \oplus 0 \oplus F x \oplus Fy \oplus Fx^2 \oplus Fxy \oplus (Fx^3+Fy^2) \oplus \cdots.

אלגברה חופשית (בכל יריעה של אלגברות שהזהויות המגדירות אותה הן הומוגניות) ניתנת לדירוג טבעי, בדומה לזה של פולינומים.

כל אלגברה A אפשר לדרג **דירוג טריוויאלי**, אם בוחרים A_0 = A ו-A_n = 0 לכל n>0. דירוג כזה אינו מוסיף מידע על האלגברה, אבל הוא מראה שהתאוריה של אלגברות מדורגות מכילה, במובן מסוים, את התאוריה הכללית של אלגברות.

אלגברה נקראת **מדורגת באופן סופי** (finitely graded) אם הממד של כל רכיב הומוגני הוא סופי. אלגברה מדורגת נקראת **קשירה** אם הממד של הרכיב ההומוגני המתאים לאבר הטריוויאלי הוא חד-ממדי.

## דירוג על-פי מונואיד כללי

בהגדרה שניתנה לעיל, האינדקסים של המרכיבים ההומוגניים הם המספרים הטבעיים, והדרגה מתאימה לחיבור של מספרים טבעיים. באופן כללי יותר, אפשר להגדיר **אלגברה מדורגת ביחס ל-<math>M</math>**, כאשר **<math>M</math>** הוא מונואיד (בדרך-כלל דורשים שיהיה קומוטטיבי), כאלגברה המתפרקת לסכום ישר A = \oplus_{g \in M} A_g, כאשר A_g A_h \subseteq A_{g+h} בהתאם לפעולת החיבור במונואיד. 

המקרים החשובים ביותר הם דירוג ביחס למספרים הטבעיים, דירוג ביחס ל- A = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} (אלו נקראות בדרך-כלל סופר-אלגברות), ודירוג ביחס לחבורת המספרים השלמים.

הנחות נוספות על המונויד משפיעות על התאוריה של האלגברות המדורגות לפיו. בפרט, יש הבדלים תאורטיים בין דירוג ביחס לחבורה לדירוג ביחס למונויד סדור. 

## דירוג ביחס לחבורה
בדירוג ביחס לחבורה **<math>G</math>** מבחינים בין כמה סוגים: האלגברה **מדורגת חזק** (strongly graded) אם A_g A_h = A_{g+h} (שוויון, ולא הכלה סתם); האלגברה נקראת מכפלה משולבת אם כל מרכיב הומוגני כולל איבר הפיך; הדירוג נקרא **עדין** אם המימד של מרכיב הומוגני הוא 0 או 1 (אם כל הממדים 1, האלגברה מוכרחה להיות מכפלה משולבת).  

לדוגמה, כל אלגברת חבורה F[G] מדורגת באופן עדין ביחס לחבורה המתאימה. 

אידיאל **<math>I</math>** של אלגברה מדורגת הוא **אידיאל הומוגני**, אם הוא מתפרק לסכום ישר I = \oplus (I \cap A_n); במילים אחרות, הוא נוצר על ידי איברים הומוגניים. במקרה כזה, גם חוג המנה A/I הוא מדורג, A/I = \oplus A_n/(I \cap A_n). לכל אידיאל ניתן להגדיר את **הליבה ההומוגנית** שלו בתור סכום האידיאלים ההומוגניים המוכלים בו, או באופן שקול בתור האידיאל ההומוגני המקסימלי המוכל בו.
האידיאל ההומוגני P נקרא ראשוני אם לכל שני אידיאלים מדורגים I,J מתקיים I \subseteq P או J\subseteq P אם IJ\subseteq P. אוסף האידיאלים הראשוניים המדורגים של החוג Spec^{gr}(R) הוא הספקטרום הראשוני של החוג, ומסמנים rad^{gr}(R) = \cap{Spec^{gr}(R)} - הרדיקל הראשוני המדורג. החוג נקרא **מדורג ראשוני למחצה** אם rad^{gr}(R)=0, וכמו במקרה הלא מדורג, זה קורה אם ורק אם אין לו אידיאלים מדורגים נילפוטנטיים.

משפט של Bahturin-Sehgal-Zaicev מאפיין את כל הדירוגים האפשריים של אלגברה פשוטה מממד סופי ביחס לחבורה סופית.

## מודול מדורג
**מודול מדורג** שמאלי מעל חוג מדורג R = \oplus_{g \in G}{R_g}, הוא מודול מהצורה M= \oplus_{x \in G} {M_x}, כך שכל M_x היא תת-חבורה של M, ו-R_g \cdot M_x \subseteq M_{gx}. איברי תתי החבורות M_x נקראים איברים הומוגניים. תת-מודול N \le_\ell M הוא **תת-מודול מדורג** אם מתקיים N= \oplus_{x \in G} {N \cap M_x}, ובמקרה זה על מודול המנה מוגדר מבנה מדורג לפי (M/N)_x = (M_x+N)/N. **הומומורפיזם מודולים מדורגים** M=\oplus_{x \in G} {M_x} \to N=\oplus_{x \in G} {N_x} הוא הומומורפיזם מודולים כך שמתקיים f(M_x) \subseteq N_x.

מודולים מדורגים שמאליים וההומומורפיזמים שלהם יוצרים את הקטגוריה של המודולים המדורגים השמאליים. בקטגוריה זו ניתן להגדיר מונחים מקבילים לתורת המודולים הרגילה, כמו סכום ישר, תת-מודול גדול, מודול פרויקטיבי, מודול אינג'קטיבי וכו'. כאשר מתעלמים ממבנה הדירוג הם עדיין נשארים כאלה. ישנן תכונות שנשמרות באופן מלא כששוכחים מהדירוג, כמו היותו של תת-מודול גדול, או היותו מחובר ישר.

מודול מדורג הוא **פשוט** אם אין לו תת-מודולים מדורגים פרט לטריוויאליים, ו**פשוט למחצה** אם הוא סכום ישר של פשוטים. תת-מודול מדורג N \le_\ell M הוא **מקסימלי** אם M/N הוא מדורג פשוט. התשתית (אלגברה) של מודול מדורג היא סכום תתי המודולים המדורגים הפשוטים שלו, ומסומנת soc^{gr}(M). היא שווה לחיתוך כל תת-המודולים הגדולים, ומתקיים soc(M) \subseteq soc^{gr}(M). כל מודול פשוט איזומורפי לתת-מודול מדורג של מודול מדורג כלשהו (מעל אותו החוג עם דירוג סופי). 

רדיקל ג'ייקובסון של מודול-מדורג, המסומן J^{gr}(M), הוא חיתוך כל תתי-המודולים המדורגים המקסימליים. מתקיימת למת נקאימה בגרסה המדורגת - אם M מודול מדורג שמאלי נוצר סופית, אז J^{gr}(M)M \neq M. אם M=R מודול מעל עצמו, מתקיים J^{gr}(R) \subseteq J(R), וכן J(R)^ \subseteq J^{gr}(R).

## לקריאה נוספת

***Methods of Graded Rings**, Constantin Nastasescu & Freddy van Oystaeyen, 2004


## קישורים חיצוניים
* 

קטגוריה:מבנים אלגבריים