מכפלת ואליס

במתמטיקה, **מכפלת ואליס** לחישוב פאי, הנקראת על שם ג'ון ואליס שגילה אותה בשנת 1655, היא הנוסחה הבאה:
: 
\prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1}\right) = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}

בשנת 2015 הפיזיקאי קארל ריצ'רד האיגן (Carl Richard Hagen) הוכיח כי יש קשר בין מכפלת ואליס לחישוב מודל בוהר של אטום חמצן.

## הוכחה
### הוכחה על בסיס מכפלת אוילר לפונקציית סינוס
:\frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)

נציב *x* =π/2:
:\begin{align}
  \Rightarrow\frac{2}{\pi} &= \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{4n^2}\right) \\
  \Rightarrow\frac{\pi}{2} &= \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4n^2}{4n^2 - 1}\right) \\
                           &= \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1}\right) = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots
\end{align}

### הוכחה על בסיס [[אינטגרציה (מתמטיקה)|אינטגרציה]]
נגדיר:
:I(n) = \int_0^\pi \sin^nxdx
נבצע אינטגרציה בחלקים:
:\begin{align}
    u &= \sin^{n-1}x \\
  \Rightarrow du &= (n-1) \sin^{n-2}x \cos x dx \\
     dv &= \sin x dx \\
   \Rightarrow v &= -\cos x
\end{align}

:\begin{align}
 \Rightarrow I(n) &=  \int_0^\pi \sin^nxdx=\int_0^\pi u dv = uv |_{x=0}^{x=\pi}-\int_0^\pi v du \\
  {} &= -\sin^{n-1}x\cos x |_{x=0}^{x=\pi} - \int_0^\pi - \cos x(n-1) \sin^{n-2}x \cos x dx \\
  {} &= 0 - (n-1) \int_0^\pi -\cos^2x \sin^{n-2}x dx, n > 1 \\
  {} &= (n - 1) \int_0^\pi (1-\sin^2 x) \sin^{n-2}x dx \\
  {} &= (n - 1) \int_0^\pi \sin^{n-2}x dx - (n - 1) \int_0^\pi \sin^{n}x dx \\
 {} &= (n - 1) I(n-2)-(n-1) I(n) \\
 {} &= \frac{n-1}{n} I(n-2) \\
 \Rightarrow \frac{I(n)}{I(n-2)}\\
                  &= \frac{n-1}{n} 
 \Rightarrow \frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}\\
                  &=\frac{2n+1}{2n}
\end{align}
נשתמש במשוואה פונקציונלית הזו בדרך הבאה:
:\begin{align}
 I(0)  &= \int_0^\pi dx = x|_0^\pi = \pi \\
 I(1)  &= \int_0^\pi \sin xdx = -\cos x|_0^\pi = (-\cos \pi)-(-\cos 0) = -(-1)-(-1) = 2 \\
 I(2n) &= \int_0^\pi \sin^{2n}xdx = \frac{2n-1}{2n}I(2n-2) = \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2}I(2n-4) \\
\end{align}
נחזור על התהליך ונראה כי:
:=\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \frac{2n-5}{2n-4} \cdot \cdots \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} I(0)=\pi \prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k}

:I(2n+1)=\int_0^\pi \sin^{2n+1}xdx=\frac{2n}{2n+1}I(2n-1)=\frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1}I(2n-3)
נחזור על התהליך ונראה כי:
:=\frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1} \cdot \frac{2n-4}{2n-3} \cdot \cdots \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} I(1)=2 \prod_{k=1}^n \frac{2k}{2k+1}

:\sin^{2n+1}x \le \sin^{2n}x \le \sin^{2n-1}x, 0 \le x \le \pi
:\Rightarrow I(2n+1) \le I(2n) \le I(2n-1)
:\Rightarrow 1 \le \frac{I(2n)}{I(2n+1)} \le \frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}=\frac{2n+1}{2n}, (מהתוצאות הנ"ל)
ניתן לראות על פי כלל הסנדוויץ' כי:
:\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{I(2n)}{I(2n+1)}=1

:\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{I(2n)}{I(2n+1)}=\frac{\pi}{2} \lim_{n\rightarrow\infty} \prod_{k=1}^n \left(\frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k+1}{2k}\right)=1
:\Rightarrow \frac{\pi}{2}=\prod_{k=1}^\infty \left(\frac{2k}{2k-1} \cdot \frac{2k}{2k+1}\right)=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \cdots

## קישורים חיצוניים
* 

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:פאי