פונקציה ליניארית

במתמטיקה, המונח **פונקציה ליניארית** מתייחס לשני מושגים שונים אך קשורים:

* בחדו"א ובגאומטריה אנליטית, **פונקציה ליניארית** (או **פונקציה קווית)** היא פונקציה שהגרף שלה הוא קו ישר לא אנכי.
* באלגברה ליניארית, אנליזה מתמטית ובאנליזה פונקציונלית, **פונקציה ליניארית** היא העתקה ליניארית.

## פונקציה ליניארית (כפולינום)
300px|ממוזער|גרפים של שלוש פונקציות ליניאריות. לאדומה ולכחולה יש שיפוע זהה (a), בעוד לאדומה ולירוקה יש נקודת חיתוך ציר y זהה (b)בחדו״א, גאומטריה אנליטית ותחומים קרובים, **פונקציה ליניארית** היא פולינום מדרגה 1 (או פחות, לרבות פולינום האפס).

פונקציה ליניארית היא פונקציה מהצורה f(x) = ax + b, כאשר a ו- b הם קבועים, לרוב מספרים ממשיים. 

הגרף של פונקציה ליניארית עם משתנה יחיד הוא ישר לא אנכי החותך את ציר ה-y בדיוק פעם אחת בנקודה (x,y)=(0,b).

a נקרא ה**[[שיפוע]]** של הישר, ו־b **נקודת החיתוך** עם ציר ה־y.

* אם *<math>a\neq 0</math>* אז הגרף הוא ישר לא אופקי החותך את ציר ה-x בדיוק פעם אחת בנקודה (x,y)=(-\tfrac{b}{a},0). הערך x=-\tfrac{b}{a} הוא פתרון המשוואה *<math>f(x)=0</math>*, הנקרא גם השורש של *<math>f(x)</math>*. 
** אם *<math>a>0</math>* אז שיפוע הגרף הוא חיובי והגרף **עולה**. 
** אם *<math>a<0</math>* אז שיפוע הגרף הוא שלילי והגרף **יורד**.

* אם *<math>a=0</math>*  אז זוהי פונקציה קבועה ונחשבת לפונקציה ליניארית, שכן היא פולינום מדרגה אפס או פולינום האפס, והגרף שלה הוא קו ישר אופקי.

אם *<math>b=0</math>*, אז הפונקציה הליניארית נקראת **הומוגנית**, והגרף שלה חותך את ראשית הצירים. במקרה זה, אם *<math>a>0</math>* פונקציה כזו מתארת יחס ישר בין x ל- y=f(x), ואם *<math>a<0</math>*, יחס הפוך ביניהם.

אם a=1 ו- b=0 אז f(x) = ax + b היא פונקציית הזהות.

ניתן להכליל את ההגדרה עבור מספר k  כלשהו של משתנים, עבור פונקציה מהצורה f(x_1, \ldots, x_k), הנוסחה הכללית היא

: f(x_1, \ldots, x_k) = b + a_1 x_1 + \cdots + a_k x_k 

והגרף שלה הוא היפר-מישור מממד k .

### מציאת משוואת ישר: צורות שיפוע-חיתוך, נקודה-שיפוע ושתי נקודות
פונקציה ליניארית נתונה f(x) ניתנת לכתיבה במספר צורות המציגות את תכונותיה השונות. הפשוטה ביותר היא *שיפוע-חיתוך*:

: f(x)= ax+b,

ממנה ניתן לראות מיד את השיפוע a ואת הערך ההתחלתי f(0)=b, שהוא נקודת החיתוך עם ציר ה-y של הגרף y=f(x).

בהינתן שיפוע a וערך ידוע אחד f(x_0)=y_0, נכתוב את הפונקציה בצורת *נקודה-שיפוע*:

: f(x) = a(x{-}x_0)+y_0.

זהו ישר y=f(x) בעל שיפוע a העובר דרך הנקודה (x_0,y_0).

צורה נוספת, בהינתן שתי נקודות f(x_0)=y_0 ו-f(x_1)=y_1. מחשבים את השיפוע a=\tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0} ומציבים אותו בצורה של שיפוע-חיתוך:

: f(x) = \tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x{-}x_0) + y_0.

הגרף שלה y=f(x) הוא הישר היחיד העובר דרך הנקודות (x_0,y_0), (x_1,y_1). ניתן גם לכתוב את המשוואה y=f(x) בצורה המדגישה את קבוע השיפוע:

: \frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}.

### דוגמאות לפונקציה ליניארית
גוף הנע במהירות קבועה v, ניתן לראות את הדרך שלו x (משתנה תלוי) כפונקציה ליניארית של הזמן t (משתנה בלתי תלוי) כאשר x_0 הוא המיקום ההתחלתי: x=vt+x_0.

ניתן לראות מעלות פרנהייט כפונקציה של מעלות צלזיוס כך F = \frac{9}{5} \, C + 32.

### קשר למשוואות ליניאריות
בהינתן משוואה ליניארית בשני משתנים Ax+By=C, אם נתון ש- B\neq 0, ניתן לפתור משוואה זו עבור y , ולקבל: 
: y = -\tfrac{A}{B}x +\tfrac{C}{B}=ax+b. כאשר מסמנים a=-\tfrac{A}{B} ו-b=\tfrac{C}{B}. 

כלומר, ניתן להתייחס ל-*<math>y</math>* כמשתנה תלוי (פלט) המתקבל מהמשתנה הבלתי תלוי (קלט) x  באמצעות פונקציה ליניארית: y = f(x) = ax+b. במישור הקואורדינטות *<math>xy </math>*, הערכים האפשריים של (x,y) יוצרים קו, הגרף של הפונקציה f(x).

אמנם אם במשוואה B=0, הישר המתקבל x=\tfrac{C}{A} הוא אנכי, ולא ניתן לכתוב אותו כ-y=f(x), ואינו גרף של פונקציה.

## פונקציה ליניארית (כהעתקה ליניארית)

באלגברה ליניארית מגדירים פונקציה ליניארית (הנקראת גם **[[העתקה ליניארית]]**) בין מרחבים וקטוריים כפונקציה שמקיימת את שני התנאים הבאים:
* אדיטיביות: \!\, f(x+y)=f(x)+f(y)
* הומוגניות מסדר 1: \!\, f(\alpha x)=\alpha f(x)

כאשר x ו-y וקטורים במרחב ו-\!\ \alpha  מייצג קבוע בשדה סקלרי כלשהו (למשל, שדה המספרים הממשיים), שמעליו מוגדרים המרחבים הווקטוריים. במילים אחרות, פונקציה ליניארית שומרת על חיבור וקטורי וכפל בסקלר.

### קשר בין פונקציה ליניארית (העתקה) לפונקציה ליניארית (פולינום)
בהינתן פונקציה ליניארית (העתקה) f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} (אשר מההגדרה מקיימת אדיטיביות והומוגניות), אזי קיים a\in\mathbb{R} כך ש- f(x)=ax, כלומר היא גם ליניארית (כפולינום).

## ראו גם
* העתקה ליניארית
* משוואה ליניארית (ובפרט הפרק על משוואות המתארות קווים ישרים)
* יחס ישר
* ישר

## לקריאה נוספת

* גיל אלון, **מתמטיקה קדם אקדמית**: האוניברסיטה הפתוחה, 2024

## קישורים חיצוניים

* 
## הערות שוליים

קטגוריה:פונקציות מתמטיות