צירוף קמור

[שמאל|ממוזער| בהינתן שלוש נקודות במישור, <math>x_1, x_2, x_3</math>, כפי שמוצג באיור, ניתן לבטא את הנקודה <math>P</math> כצירוף קמור של שלוש הנקודות, ואילו את <math>Q</math> לא ניתן לבטא כך.(לעומת זאת, <math>Q</math> היא דווקא '''כן''' [צירוף אפיני|צירוף '''אפיני''' של שלוש הנקודות, שכן הסגור האפיני שלהן הוא כל המישור.)]]
[ממוזער|צירוף קמור של שתי נקודות <math> v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> במרחב וקטורי דו־ממדי <math>\mathbb{R}^2</math>, מונפש ב[גאוגברה בצורה  K(t) := (1-t)\cdot v_1 + t \cdot v_2, כאשר t \in [0,1]]]
[ממוזער| צירוף קמור של שתי פונקציות כווקטורים במרחב וקטורי של פונקציות – מומחש בתוכנת גאוגברה על הקטע <math>[a,b]=[-4,7]</math>.פונקציה אחת (בירוק) היא הפולינום <math>f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math>, והפונקציה האחרת (בכחול) היא הפונקציה הטריגונומטרית <math>g(x):= 2\cos(x) + 1</math> – שתיהן מוגדרות על הקטע <math>[a,b]</math>.הצירוף הקמור <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g</math> שֶׁל <math>f</math> ו-<math>g</math> משורטט בצבע אדום.](https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Convex_combination_1_ord_functions_with_geogebra.gif)

בגאומטריה קמורה ובמרחבים וקטוריים, **צירוף קמור** הוא צירוף ליניארי של נקודות (שיכולות להיות וקטורים, סקלרים או באופן כללי יותר נקודות במרחב אפיני) כאשר כל המקדמים אי-שליליים וסכומם הוא 1. במילים אחרות, הפעולה שווה לממוצע משוקלל רגיל, אלא שנדרש שהמשקלים יהיו מבוטאים כחלק היחסי של כל משקל מ-1.

פורמלית, בהינתן מספר סופי של נקודות x_1, x_2, \dots, x_n במרחב וקטורי ממשי, צירוף קמור של הנקודות האלה הוא כל נקודה u שניתן לבטא בצורה

u = \alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n

כאשר לכל i, מתקיים ש-\alpha_i הוא מספר ממשי אי-שלילי (\alpha_i\ge 0 ) וכן \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n=1.

לדוגמה, כל צירוף קמור של שתי נקודות נמצא על הקטע המחבר ביניהן.

קבוצה נקראת קמורה אם היא מכילה את כל הצירופים הקמורים של הנקודות שלה. הקמוֹר של קבוצת נקודות נתונה הוא בדיוק קבוצת כל הצירופים הקמורים שלהם.

במרחבים וקטוריים, קיימות תת-קבוצות של המרחב שאינן סגורות תחת צירופים ליניאריים, אבל כן סגורות תחת צירופים קמורים. לדוגמה, הקטע [0,1] הוא קמור, אך תחת צירופים ליניאריים, הוא יוצר את הישר הממשי. דוגמה נוספת לכך היא קבוצה של התפלגויות הסתברות, שכן צירופים ליניאריים כלליים של התפלגויות אינם דווקא אי-שליליים או אפיניים (כלומר, בעלי מידה אחת).

## אובייקטים אחרים
* באופן דומה, ניתן להגדיר משתנה מקרי X שהוא צירוף קמור של משתנים מקריים Y_i, עם מקדמים \alpha_i כמו לעיל. במקרה זה, פונקציית התפלגות ההסתברות של X היא ממוצע משוקלל של התפלגויות ההסתברות המרכיבות שלו – המכונה לעיתים קרובות התפלגות תערובת (סופית):
*: F_{X}(x) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i F_{Y_i}(x)

## מבנים קשורים
* צירוף חרוטי (conical combination) הוא צירוף ליניארי עם מקדמים אי-שליליים. כאשר נקודה x יש להשתמש כמקור הייחוס להגדרת וקטורי תזוזה, אם כן x הוא צירוף קמור של n נקודות x_1, x_2, \dots, x_n אם ורק אם תזוזה אפס היא שילוב חרוטי לא טריוויאלי שלהם n וקטורי תזוזה בהתאמה ביחס ל x .
* ממוצע משוקלל זהה מבחינה תפקודית לצירוף קמור, אך הם משתמשים בסימון שונה. המקדמים (המשקולות) בממוצע משוקלל אינם נדרשים להיסכם ל-1; במקום זאת, הצירוף הליניארי המשוקלל מחולק במפורש בסכום המשקולות.
* צירוף אפיני הוא כמו צירוף קמור, אבל המקדמים אינם נדרשים להיות אי-שליליים. לפיכך, צירופים אפיניים מוגדרים במרחבים וקטוריים מעל כל שדה, ולא רק מעל שדות סדורים.

## ראו גם
* סגור אפיני
* משפט קרתאודורי (אנליזה קמורה)
* סימפלקס
* קואורדינטות בריצנטריות

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:קמירות
קטגוריה:אנליזה מתמטית