מבחני התכנסות לסדרות

במתמטיקה, **מבחני התכנסות לסדרות** מהווים כלים לבדיקה אם סדרה מתכנסת או מתבדרת. סדרות, והתכנסות סדרות בפרט, מהווים בסיס וכלים לנושאים רבים במתמטיקה, במיוחד בחשבון אינפיניטסימלי.

## הגדרת התכנסות וסימונים
### סימונים
גבול של סדרה מסומן כך:
* \lim_{n \to \infty}a_n=L
וניתן לסמן אותו גם בצורה המקוצרת:
* \ a_n\to L
כאשר:
* lim - הוא קיצור של המילה הלועזית Limit שפירושה "גבול".
* בסימון \!\, a_n, האות a הוא סימן המציין את הסדרה שהאיבר שייך אליה, ו-n הוא אינדקס, המציין את מספרו הסידורי של האיבר בסדרה.
* \infty מסמל את מושג האינסוף.
* הסימן \to מסמל שאיפה של הביטוי המצוין בתחילת החץ לזה שבסופו. כך ש n \to \infty מציין ש- n שואף לאינסוף.
* L מייצג את המספר שאליו הולכים ומתקרבים איברי הסדרה ככל ש -n גדל

### הגדרת התכנסות
ממוזער|250px|ייצוג גרפי של סביבת הנקודה a על ישר המספרים. המרחק של כל מספר אשר נמצא בסביבה מנקודה a קטן מרדיוס הסביבה, המיוצג על ידי ε ויכול להיות קטן כרצוננו.
[ממוזער|250px|על גבי [הישר הממשי המרחק בין שני מספרים מוגדר כערך המוחלט של ההפרש שלהם]]
כמו שציינו קודם, \ a_n\to L 
*סדרה נקראת מתכנסת אם רק אם L הוא מספר ממשי שונה מאינסוף 
*סדרה נקראת מתבדרת אם ורק אם L = \plusmn\infty 
בפרט, הגדרה רגורוזית להתכנסות היא: 

:**הגדרה**: תהא \left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty סדרה של מספרים ממשיים. נאמר על הסדרה שהיא **מתכנסת** למספר הממשי \!\,L, או ש-\ L הוא **הגבול** של הסדרה, ונסמן זאת \lim_{n \to \infty}a_n=L או בקיצור \ a_n\to L אם לכל מספר ממשי \ \varepsilon > 0 (קטן כרצוננו) קיים מספר טבעי \ N_0 כך שלכל \ n המקיים \ n>N_{0} מתקיים \left|a_n-L\right| .

צורת כתיבה נוספת:
:: L = \lim_{n \to \infty} a_n
::\Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0\;, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n>N ,\left|a_n-L\right| 

## מבחן המנה להתכנסות סדרות
;משפט
תהי \{a_n\}_{n=1}^\infty סדרה חיובית, נסמן \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n_{+1}}}{a_n}=L .
*אם L אז \lim_{n\to\infty}a_n=0 .
*אם L>1 אז \lim_{n\to\infty}a_n=\infty .

;הוכחה
*מקרה א': L
:בדומה למבחן המנה של ד'אלמבר, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה.
:ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן המנה לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L, אז המבחן קובע כי הטור \sum\limits_{n=1}^\infty a_n מתכנס, אז לפי תנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי גבול הסדרה הוא אפס: \lim_{n\to\infty}a_n=0.
:\blacksquare
*מקרה ב': L>1\ ,\ L=\infty
:נבחר מספר r המקיים L>r>1 . כיוון ש־L>1, קיים k\in\N כך שלכל n\ge k מתקיים \frac{a_{n+1}}{a_n}>r, או באופן שקול: a_{n+1}>a_n\cdot r לכל n\ge k .
:נציב את n להיות k,k+1,k+2 וכו' באי־שוויון זה ונקבל:
\begin{matrix}a_{k+1}>a_k\cdot r\\a_{k+2}>a_{k+1}\cdot r>a_k\cdot r^2\\a_{k+3}>a_{k+2}\cdot r>a_k\cdot r^3\end{matrix}
:באופן כללי, ניתן לקבל באינדוקציה כי a_{k+m}>a_k\cdot r^m לכל m\ge1 .
:\Big\{a_k\cdot r^m\Big\}_{m=1}^\infty היא סדרה הנדסית עם מנה r>1 ולכן היא שואפת לאינסוף. לכן מאי־השוויון לעיל נובע כי \Big\{a_{k+m}\Big\}_{m=1}^\infty שואפת לאינסוף.
:לכן \lim_{n\to\infty}a_n=\infty .
:\blacksquare

## מבחן השורש לסדרות
נשים לב שמבחן השורש חזק יותר ממבחן המנה, כלומר ישנם מקרים בהם הגבול במבחן המנה לא יהיה קיים והגבול במבחן השורש יהיה קיים. אבל לפי משפט, אם הגבול של מנת האיברים קיים \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L . אזי הוא שווה לגבול ממבחן השורש, כלומר \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L .

;משפט
תהי \{a_n\}_{n=1}^\infty סדרה חיובית. נסמן \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L .
*אם L אז \lim_{n\to\infty}a_n=0 .
*אם L=\infty ,L>1 אז \lim_{n\to\infty}a_n=\infty .

;הוכחה
*מקרה א': L
:בדומה למבחן השורש של קושי, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה.
:ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן השורש לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L, אז המבחן קובע כי הטור \sum\limits_{n=1}^\infty a_n מתכנס,
:וכיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס, נקבל \lim_{n\to\infty}a_n=0 .
:\blacksquare
*מקרה ב': L>1\ ,\ L=\infty
:נבחר מספר r המקיים L>r>1 . כיוון ש־L>1 קיים N\in\N כך שלכל n\ge N מתקיים \sqrt[n]{a_n}>r, או באופן שקול: a_n>r^n לכל n\ge N .
:\{r^n\}_{n=1}^\infty היא סדרה הנדסית עם מנה r>1 ולכן שואפת לאינסוף. מאי־השוויון לעיל נובע כי \{a_n\}_{N=1}^\infty שואפת לאינסוף.
:לכן \lim_{n\to\infty}a_n=\infty .
:\blacksquare
 
## אפיון התכנסות לפי קושי

**תנאי קושי** הוא אפיון שקול לסדרה מתכנסת. סדרה המקיימת את תנאי קושי היא סדרה שהמרחק בין כל שני איברים שגדולים מאינדקס כלשהו, קטן כרצוננו. ניתן לשים לב שאף על פי שסדרה המקיימת את תנאי קושי בהכרח מתכנסת לגבול סופי, בהגדרה הפורמלית של תנאי קושי לא מופיע כלל ערך הגבול אליו הסדרה מתכנסת, ומכאן גם חשיבותו של אפיון זה: הוא מספק את האפשרות לקבוע האם סדרה מתכנסת מבלי להתייחס לגבול אליו היא מתכנסת, בניגוד להגדרת הגבול שמחייבת התייחסות לערך הגבול.

:**הגדרה**: תהי \{a_n\}_{n=1}^\infty סדרת מספרים ממשיים. הסדרה מקיימת את תנאי קושי אם לכל \varepsilon>0 קיים אינדקס N כך שלכל m,n>N מתקיים |a_m-a_n| .

### משפט קושי לסדרות
הסדרה \{a_n\}_{n=1}^\infty מתכנסת (לגבול סופי) אם ורק אם היא סדרת קושי.

;הוכחה
נוכיח את הכיוון הראשון.

נניח כי \lim_{n\to\infty}a_n=L . יהי \varepsilon>0 . לכן קיים אינדקס N כך שלכל n>N מתקיים |a_n-L| .

נבחר מספרים m,n>N ונקבל לפי אי-שוויון המשולש כי:
|a_m-a_n|=\Big|a_m-L+L-a_n\Big|\le|a_m-L|+|a_n-L|
אזי הסדרה היא סדרת קושי.

\blacksquare

נוכיח את הכיוון השני.

נניח כי \{a_n\}_{n=1}^\infty היא סדרת קושי. ראשית, נוכיח כי היא חסומה. כיוון שהיא סדרת קושי, קיים אינדקס N כך שלכל m,n>N מתקיים |a_m-a_n| . אזי לכל n>N מתקיים a_N-\varepsilon אז הסדרה חסומה בקטע (N,\infty) . בקטע [1,N] יש לסדרה רק מספר סופי של איברים ולכן היא חסומה שם. לפיכך, הסדרה חסומה בכל אינדקס.

על פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת, לכן לסדרה \{a_n\}_{n=1}^\infty יש תת־סדרה מתכנסת \{a_{m_k}\}_{n=1}^\infty. נסמן L=\lim_{n\to\infty}a_{m_k} ונוכיח ש־\{a_n\}_{n=1}^\infty מתכנסת ל־L.

יהי \varepsilon>0. ראשית, מהתכנסות a_{m_k} נקבל כי קיים K טבעי כך שלכל k>K  מתקיים |a_{m_k}-L|. שנית, מהיות הסדרה סדרת קושי, קיים אינדקס N כך שלכל m,n> N מתקיים |a_n-a_m|. נסמן k_0=\max\left\{K+1,N+1\right\}, אז  k_0\ge K+1>K ולכן |a_{m_{k_0}}-L|. בנוסף, סדרת האנדקסים m_k מוגדרת כסדרה עולה של טבעיים וניתן להוכיח באינדוקציה (ראה למת עזר) שלכל k טבעי מתקיים m_k \ge k, ובפרט m_{k_0} \ge k_0 \ge N+1>N ולכן לכל n> N מתקיים |a_n-a_{m_{k_0}}|. מכאן לכל n\ge N מתקיים:
|a_n-L|=\Big|a_n-a_{m_{k_0}}+a_{m_{k_0}}-L\Big|\le|a_n-a_{m_{k_0}}|+|a_{m_{k_0}}-L|
לכן \lim_{n\to\infty}a_n=L .

\blacksquare

## התכנסות לפי [[כלל הסנדוויץ']]
**כלל הסנדוויץ**' הוא משפט שימושי לחישוב גבולות בחשבון אינפיניטסימלי. לפי הכלל, אם ניתן לחסום סדרה (או פונקציה) שגבולה אינו ידוע, בין שתי סדרות (או פונקציות) אחרות שגבולותיהן ידועים ושווים זה לזה, אז לסדרה (או לפונקציה) החסומה יש גבול, והוא שווה לגבול הסדרות (או הפונקציות) החוסמות.

בניסוח מתמטי: אם a_n,b_n,c_n סדרות המקיימות:
:a_n\le c_n\le b_n\ ,\ \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=L
אז גם לסדרה c_n קיים גבול, \lim_{n\to\infty}c_n=L .

כלל דומה תקף למקרה האינסופי. אם ניתן לחסום מלמטה סדרה (או פונקציה) על ידי סדרה (או פונקציה) השואפת לאינסוף, אז גם הסדרה המקורית שואפת לאינסוף.

;הוכחה
יהי \varepsilon>0 . נרצה למצוא מספר טבעי N כך שלכל n>N יתקיים |c_n-L| .

קיים N_1 כך שלכל n>N_1 מתקיים L-\varepsilon .

קיים N_2 כך שלכל n>N_2 מתקיים L-\varepsilon .

נסמן N=\max\{N_1,N_2\} . מהנתון מתקיים a_n\le c_n\le b_n, לכן
:לכל n>N מתקיים L-\varepsilon
לכן L-\varepsilon .

כלומר \lim_{n\to\infty}c_n=L .

\blacksquare

## התכנסות סדרה לפי תת־הסדרות שלה
### הגדרת תת־סדרה
תהי \{a_n\}_{n=1}^\infty סדרה כלשהי, ותהי \{n_k\}_{k=1}^\infty סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים. אז הסדרה \{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty נקראת תת־סדרה של \{a_n\}_{n=1}^\infty .

### התכנסות סדרה לפי תת־סדרות
;משפט
תהי \{a_n\}_{n=1}^\infty סדרה. a_n\to L אם ורק אם כל תת־סדרה של \{a_n\} מתכנסת ל־L .

;הוכחה
נניח כי a_n\to L . אזי לכל \varepsilon>0 קיים N\in\N כך שלכל n\ge N מתקיים |a_n-L| . ניקח תת־סדרה שרירותית \{a_{n_k}\} ונראה כי היא מתכנסת ל־L . מתקיים n_k\ge k (הוכחה לכך מובאת בסוף העמוד), אזי עבור k\ge N מתקיים כי n_k\ge N ולכן נקבל כי |a_{n_k}-L| . לכן a_{n_k}\to L .

כדי להוכיח את הכיוון ההפוך, נשים לב כי \{a_n\} היא תת־סדרה של עצמה שמתכנסת ל־L ולכן זה טריוויאלי שמתקיים a_n\to L .

;למת עזר
תהי \{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty תת־סדרה של \{a_n\}_{n=1}^\infty . אזי n_k\ge k לכל k\in\N .

;הוכחה
נוכיח באינדוקציה. בבירור n_1\ge1 . נניח כי n_{k-1}\ge k-1 ונוכיח כי n_k\ge k . נשים לב כי \{n_k\} סדרה מונוטונית עולה ממש (בבניית תת־סדרה, איננו לוקחים איברים מהסדרה המקורית בסדר הפוך לסדר בו הם הופיעו ואיננו לוקחים אבר כלשהו יותר מפעם אחת), לכן n_k>n_{k-1}\ge k-1 . כלומר n_k>k-1 ולכן n_k \ge k .

## משפט שטולץ לסדרות
;משפט (שטולץ / שטולץ־צ'זארו)
תהי \{x_n\}_{n=1}^\infty סדרה כלשהי, ותהי \{y_n\}_{n=1}^\infty סדרה מונוטונית עולה ממש ומקיימת y_n\to\infty .

אם \lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=L במובן הרחב, אזי גם \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=L .

;הוכחה
לפי הגדרת הגבול, לכל \varepsilon>0 קיים N\in\N כך שלכל n>N מתקיים:
L-\varepsilon
y_n מונוטונית עולה ממש, לכן y_{n+1}>y_n או y_{n+1}-y_n>0 וניתן להכפיל בו את אי־השוויון. נקבל:
:(L-\varepsilon)({y_{n+1}-y_n})
יהי K\in\N המקיים K>N . סכימת אי־השוויון לעיל תיתן לנו את אי־השוויון הבא:
:\begin{matrix}\displaystyle(L-\varepsilon)\sum\limits_{i=N}^K(y_{i+1}-y_i)
נחלק את אי־השוויון ב־y_{K+1}>0 ונקבל:
\begin{matrix}(L-\varepsilon)\left(1-\dfrac{y_N}{y_{K+1}}\right)
y_n\to\infty, לכן קיים M\in\N המקיים M\ge K כך שיתקיים:
L-\varepsilon
לכן \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=L .

\blacksquare

הערה: כפי שניתן לראות בבירור מההוכחה, מספיק שהסדרה y_n תהיה חיובית ומונוטונית החל מאיבר מסוים בה ולאו דווקא מהאיבר הראשון שלה.

## התכנסות סדרת הממוצעים
תהי \{a_n\}_{n=1}^\infty סדרה המתכנסת לגבול סופי L . אזי גם הסדרות הבאות מתכנסות לגבול L :
#סדרת הממוצעים החשבונית: A_n=\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}=\frac1{n}\sum\limits_{k=1}^n a_k
#סדרת הממוצעים ההנדסית: G_n=\sqrt[n]{a_1\times\cdots\times a_n}=\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^n a_k} אם a_n>0 לכל n
#סדרת הממוצעים ההרמונית: H_n=\dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}}=\frac{n}{\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}} אלא אם כן L=0 והסדרה אינה שוות סימן

;הוכחה
תחילה נוכיח את הטענה הראשונה. נשתמש במשפט שטולץ. ברור כי \{n\}_{n=1}^\infty היא סדרה חיובית, מונוטונית עולה ממש ומתכנסת במובן הרחב לאינסוף. מתקיים:
\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}a_k-\sum\limits_{k=1}^n a_k}{(n+1)-n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{1}=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=L
אזי A_n=\frac1n\sum_{k=1}^n a_k\to L כדרוש.

\blacksquare

כעת נוכיח את הטענה השלישית.

אם L\ne0 אז הטענה נכונה טריוויאלית על־פי מה שהרגע הוכחנו. אם a_n\to L נקבל כי \frac{1}{a_n}\to\frac1L ואז כיוון ש־H_n=\frac{n}{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{a_k}}=\left({\frac1n\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{a_k}}\right)^{-1} ובתוך הסוגריים סדרת הממוצעים החשבונית של \frac{1}{a_n} נקבל מהטענה הראשונה כי H_n\to\left(\frac1L\right)^{-1}=L .

\blacksquare

המקרה הפרטי L=0 הוא בעייתי. עבורו, הטענה אינה נכונה באופן כללי ודוגמה פשוטה לכך היא הסדרה המוגדרת לפי a_n=\frac{(-1)^n}{n} . עבור סדרות שוות סימן (כלומר, סדרות שבהן קיים N\in\N כך שלכל n\ge N אברי הסדרה הם כולם בעלי אותו הסימן), מובטח כי \left\{\frac{1}{a_n}\right\} מתכנסת ל־\infty או ל־-\infty . עובדה זו מאפשרת להראות את נכונות הטענה על־פי נימוק דומה למקרה בו L\ne0 .

נותר לנו כעת רק להוכיח כי G_n\to L אם a_n>0 לכל n . זאת ניתן להוכיח ישירות באמצעות שימוש בטענות שהוכחנו עד כה ואי־שוויון הממוצעים אשר נכון עבור סדרות חיוביות:
:L\larr H_n\le G_n\le A_n\to L
לכן על־פי כלל הסנדוויץ' גם G_n\to L ובזאת הושלמה ההוכחה.

\blacksquare

הערה: נזכיר כי הטענה על הממוצע ההרמוני אינה נכונה באופן כללי עבור L=0 אך כאן a_n>0 לכל n, לכן הטענה נכונה במקרה זה כיוון שהסדרה שוות סימן.

#### הוכחה חלופית עבור התכנסות סדרת הממוצעים החשבונית
ההוכחה הבאה מראה כי סדרת הממוצעים החשבונית מתכנסת לגבול הסדרה המקורית באמצעות הגדרת הגבול בלבד.

יהי \varepsilon>0 . a_n\to L, לכן קיים K\in\N כך שלכל n\ge K מתקיים |a_n-L| .

כעת נסתכל על תת־סדרת האיברים עד K, כלומר: a_1,\ldots,a_{K-1},a_K . כיוון ש־K קבוע (ערכו נקבע על פי אפסילון), תת־סדרה זו היא סופית ולכן סכום אבריה הוא מספר סופי ולכן מתקיים: \frac1n\sum\limits_{k=1}^Ka_k\ \xrightarrow{n\to\infty}\ 0 . אזי קיים N_1\in\N כך שלכל n\ge N_1 מתקיים \left|\frac1n\sum\limits_{k=1}^K a_k\right| .

כעת ניגש לטפל באיברים שנמצאים אחרי K, כלומר a_{K+1},\ldots,a_{n-1},a_n (נשים לב שזהו אינו מספר סופי של איברים). כל אחד מאיברים אלו מקיים |a_k-L| לכל K+1\le k\le n טבעי. נסמן N_2=\left\lceil\frac{4K}{\varepsilon}|L|\right\rceil ונשים לב שהדבר גורר כי לכל n\ge N_2 מתקיים \frac{K}{n}|L| . אזי,
:\begin{matrix}\displaystyle\left|\frac1n\sum_{k=K+1}^na_k-L\right|=\left|\frac1n\sum_{k=K+1}^na_k-\frac{nL}{n}\right|=\dfrac1n\left|\sum\limits_{k=K+1}^n(a_k-L)+(-KL)\right|\ {\color{red}\le}\ \dfrac1n\left(\bigg|\sum\limits_{k=K+1}^n(a_k-L)\bigg|+K|L|\right)\\\displaystyle{\color{red}\le}\ \dfrac1n\left[\sum\limits_{k=K+1}^n|a_k-L|+K|L|\right]=\dfrac1n\sum_{k=K+1}^n|a_k-L|+\dfrac{K}{n}|L|
נסכם: נסמן N=\max\{K,N_1,N_2\} ונקבל כי לכל n\ge N מתקיים:
:\left|\frac1n\sum_{k=1}^n a_k-L\right|=\left|\frac1n\sum_{k=1}^Ka_k+\frac1n\sum_{m=K+1}^na_m-L\right|\ {\color{red}\le}\ \left|\frac1n\sum_{k=1}^Ka_k\right|+\left|\frac1n\sum_{m=K+1}^na_m-L\right|\ {\color{red}
אזי A_n=\frac1n\sum\limits_{k=1}^n a_k\to L כדרוש.

\blacksquare

## ראו גם
* חשבון אינפיניטסימלי
* מבחני התכנסות לטורים
* גבול של סדרה
* סדרת קושי

קטגוריה:משפטים באנליזה
קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי
קטגוריה:סדרות מתמטיות
קטגוריה:אנליזה מתמטית