סגור אלגברי של שדה סופי

במתמטיקה שדות שהם סגור אלגברי של שדה סופי משחקים תפקיד חשוב בהבנת שדות ממאפיין חיובי ובגאומטריה אלגברית אריתמטית. סגורים אלגבריים של שדות סופיים מאותו המאפיין הם איזומורפיים. לכן די לחקור את הסגור האלגברי של השדה הסופי  עבור כל p ראשוני. שדה זה (שהוא יחיד עד כדי איזומרפיזם לא קאנוני) מסומן ב- 
\bar \mathbb F_p. אם q=p^n אז אפשר לסמן  את אותו השדה גם ב -
\bar \mathbb F_q.
כמו כן, לפעמים מסמנים שדה זה ב- GF(p^\infty)  באנלוגיה עם הסימון GF(p^n)  עבור שדות סופיים (נקראים גם שדות גלואה)
## בנייה
ככול סגור אלגברי, ניתן לבנות את \bar\mathbb F_p באמצעות הבנייה הכללית של סגור אלגברי. אולם בנייה זו איננה מפורשת ומשתמשת באקסיומת הבחירה. אולם, במקרה זה ישנן בניות מפורשות יותר שלא משתמשות באקסיומת הבחירה. לדוגמה, ניתן לבחור שיכון של \mathbb F_{p^{n!}} לתוך \mathbb F_{p^{(n+1)!}} לכול n ואז להגדיר את \bar\mathbb F_p  בתור איחוד עולה:
\bar\mathbb F_p:=\bigcup_{n=1}^\infty\mathbb F_{p^{n!}}.
גם בנייה זו דורשת איסוף בחירות, הן השיכונים הנ"ל והן הבנייה עצמה של השדה הסופי \mathbb F_{p^{n!}}  דורשת בחירה מסוימת, אולם לא קשה לבצע בחירות אלה באופן אחיד (אם כי שרירותי למדי) גם ללא שימוש באקסיומת הבחירה.

את הסדרה n! אפשר להחליף בכל סדרה של מספרים טבעיים כך שכל איבר בסדרה מחלק את האיבר העוקב לו, וכך שכל מספר טבעי מחלק את אחד מאברי הסדרה.

## תכונות
השדה \bar \mathbb F_p הוא שדה סגור אלגברית ממאפיין p. ככזה הוא שקול סדר ראשון לכל שדה סגור אלגברית ממאפיין p. יתר על כן, השדה \bar \mathbb F_p  הוא הקטן ביותר בין השדות הסגורים אלגברית ממאפיין p. זאת במובן שעבור כל שדה F סגור אלגברית ממאפיין p קיים שיכון מ \bar \mathbb F_p ל-F. שיכון זה אינו קאנוני, אך תמונתו מוגדרת באופן יחיד. 

חבורת האוטומורפיזמים של \bar \mathbb F_p היא חבורת גלואה האבסולוטית של  \mathbb F_p.
זו איזומרפית לחבורה \hat \Z - ההשלמה הפרו-סופית  של \Z. 

תתי השדות של \bar \mathbb F_p הם בדיוק ההרחבות האלגבריות של  \mathbb F_p. בפרט הן כולן הרחבות גאלוה של  \mathbb F_p וכולם שדות מושלמים. הם כולם גם איחודים של שדות סופיים.

## שימושים
### דוגמה טיפוסית לשדה סגור אלגברית ממאפין  <math>p</math>
כיוון ש - \bar \mathbb F_p שקול סדר ראשון לכל שדה סגור אלגברית ממאפין p, כל טענה מסדר ראשון שמוכיחים בשבילו תקפה עבור כל שדה סגור אלגברית ממאפין  p.

מאידך,  \bar \mathbb F_p פשוט יותר משאר השדות האלה, למשל כיוון שהוא איחוד של שדות סופיים. זה מאפשר להוכיח טענות מסוימות עבורו ביותר קלות, ולהסיק אותם לשדות אחרים. לעיתים ניתן להרחיב הסקה זו לשדות שאינם סגורים אלגברית ואף שדות ממאפינים אחרים, לעיתים ניתן להרחיב שיטה זו אף לטענות שאינן מסדר ראשון. 

דוגמה קלאסית לשימוש בשיטה זו היא משפט אקס-גרותנדיק.
### כאמצעי לחקר שדות סופיים
באופן כללי, אחת הדרכים המקובלות לחקור שאלות ואובייקטים מעל שדה k היא לחקור את אותם האבייקטים מעל הסגור האלגברי שלו (למעשה יש צורך בסגור הספרבילי, אך לשדות מושלמים זה אותו הדבר) ביחד עם פעולת חבורת גלואה עליהם.
במקרה שהשדה k הוא \bar \mathbb F_p שיטה זו הופכת ליעילה אף יותר משתי סיבות:
* חבורת גלואה נוצרת על יד אוטומורפיזם אחד (בתור חבורה פרו-סופית). אוטומורפיזם זה נקרא אוטומורפיזם פרובניוס והוא מהווה העלאה בחזקת p.
*אוטומורפיזם פרובניוס הוא פולינום מהשדה לעצמו - זאת אומרת שניתן להביע אותו בעזרת פעולות השדה ויש לו משמעות עבור כל אלגברה מעל השדה.

היתרון השני שימושי במיוחד בגאומטריה אלגברית. הוא מאפשר להגדיר את הפרובניוס הגאומטרי. עבור כל יריעה X המוגדרת  מעל  \mathbb F_p ניתן להגדיר יריעה X_{\bar \mathbb F_p} המוגדרת על ידי אותן המשוואות, אך מעל  \bar\mathbb F_p. הפרובניוס הגאומטרי הוא אנדומרפיזם של  X_{\bar \mathbb F_p}. עבור יריעה אפינית ניתן להגדיר אנדומרפיזם זה על ידי העלאה בחזקת  p את כל אחת מהקואורדינטות המתארות את הנקודה. קל להרחיב הגדרה זו להגדרה כללית.

בניה זאת ייחודית להרחבה \bar \mathbb F_p/ \mathbb F_p ואין לה אנלוגיה להרחבה כללית \bar k/k.
זאת בשונה מהפרובניוס האריתמטי שגם הוא פועל על היריעה X_{\bar \mathbb F_p}, אך הוא אינו מורפיזם המוגדר מעל השדה \bar \mathbb F_p אלא רק מורפיזם המוגדר מעל \mathbb F_p.

בשונה מהפרובניוס האריתמטי, הפרובניוס הגאמטרי אינו אוטומורפיזם. עם זאת, הוא פועל כאוטומורפיזם על קבוצת הנקודות X(\bar\mathbb F_p).

ניתן להשתמש בפרבניוס הגאומטרי על מנת לחקור את קבוצת הנקודות X(\mathbb F_p) באופן הבא: קבוצה זו היא קבוצת נקודות השבת של הפרובניוס הגאומטרי. רעיון זה עומד בבסיסן של השערות וייל (והוכחתן) ושל נוסחת גרותנדיק-ליפשיץ. ניתן להתאים רעיון זה לכל שדה סופי על ידי החלפת אנדומורפיזם פרבניוס בחזקה שלו (שגם נקראת לעיתים אנדומורפיזם פרבניוס).

## קישורים חיצוניים
* https://planetmath.org/algebraicclosureofafinitefield
## הערות שוליים

קטגוריה:תורת השדות
קטגוריה:מבנים אלגבריים יחידאים
קטגוריה:תורת המספרים