תבנית פיסטר

במתמטיקה, **תבנית פיסטר** (**Pfister form**) היא תבנית ריבועית הנתונה על ידי מכפלת מספר סופי של תבניות בעלות צורה אלכסונית \langle 1,-a\rangle . כך מתקבלת תבנית מממד חזקת 2, שיש לה תפקיד מרכזי בחקר המרחבים הריבועיים והמבנה שלהם.

תבניות פיסטר יוצרות בחוג ויט את האידיאלים I^n(F), ולכן יוצרות את המנות I^n(F)/I^{n+1}(F), ומתקשרות דרכן ל-תורת K של חוגים.

תבניות פיסטר יוצרות את אידיאל הפיתול בחוג ויט. התבניות מממד נמוך מופיעות גם כנורמות באלגברות הרכבה.

## הגדרה
יהי F שדה ממאפיין שאינו 2.

עבור a \in F^{\times}, התבנית הריבועית בעלת הצורה האלכסונית \langle 1,-a\rangle  נקראת **תבנית פיסטר מסדר ראשון**, ומסומנת \langle \langle a \rangle \rangle . **תבנית פיסטר מסדר <math>n</math>** היא מכפלה טנזורית של n תבניות מסדר ראשון, כלומר מהצורה \langle \langle a_1,...,a_n\rangle \rangle =\langle \langle a_1\rangle \rangle \otimes ... \otimes \langle \langle a_n \rangle \rangle, עבור a_i \in F.

התבנית מהצורה \langle \langle 1,..,1 \rangle \rangle  היא מרחב היפרבולי.

## תכונות ומבנה
לתבניות פיסטר תכונות שימושיות רבות, המראות עד כמה חשוב המבנה שלהן.

### תכונות
ראשית, מתקיימת "כמעט אדטיביות", כלומר \langle \langle a \rangle \rangle \perp \langle \langle b \rangle \rangle \cong \langle \langle ab \rangle \rangle \perp \langle \langle a,b \rangle \rangle. תכונה זו מראה כי הדיסקרימיננטה היא הומומורפיזם של חבורות disc: I / I^2 \rightarrow F ^ \times / F ^ {\times^2}. בפרט, מתקיים disc(\langle \langle a \rangle \rangle)=a ו-disc(\langle \langle a_1,a_2,...,a_n \rangle \rangle))=1 לכל n \ge 2.

באופן כללי, תבניות פיסטר מסדר n יוצרות (כחבורה אדיטיבית) את האידיאלים I^n (F), משום שכל תבנית מסדר 2 ניתן לכתוב כתבנית פיסטר \langle a,b \rangle = \langle 1,\frac{b}{a} \rangle= \langle \langle \frac{-b}{a} \rangle \rangle.

התבנית \langle \langle -1,...,-1 \rangle \rangle היא סכום של ריבועים; משפט הורוויץ קובע כי תבנית כאלו הן כפליות אם ורק אם ממדן הוא 1,2,4,8. בממד 2, כל התבניות הכפליות הן תבניות פיסטר ורק הן.

### מבנה
נציג מספר משפטי מפתח חשובים על תבניות פיסטר המובילים למסקנות מעניינות.

**משפט** - תהי \phi תבנית פיסטר, אז ניתן לכתוב \phi = \langle 1 \rangle \perp \phi '. אז מתקיים \langle \langle a \rangle \rangle  | \phi אם ורק אם -a מתקבל כערך של \phi '.

כמסקנה מקבלים:

*משפט*: אם תבנית פיסטר איזוטרופית, אז היא היפרבולית.

המשפט הבא מראה כי אוסף הערכים שמקבלת תבנית פיסטר סגור למכפלה.

**משפט** - נסמן ב-D(q) את אוסף הערכים שהתבנית מקבלת, וב-G(q) את החבורה G(q)= \{t \in F^\times : \langle t \rangle \otimes q \cong q \}. אם q= \phi תבנית פיסטר מתקיים G(q)=D(q).

כ*מסקנה*, נובע כי אם \phi תבנית פיסטר אז D(\phi) סגורה לכפל . תכונה זו נקראת **תכונת הכפליות של תבניות פיסטר**.

**משפט**: התכונות הבאות שקולות:
* q היא תבנית פיסטר.
* לכל הרחבת שדות \mathbb{K} / F, אוסף הערכים של התבנית מעל ההרחבה, המסומן D_\mathbb{K}(q), הוא חבורה.
* q(\lambda_1,...,\lambda_n) \in G_{F(\lambda_1,...,\lambda_n)}(q).

המשפט הבא נותן מידע על הממד של תבניות.

**משפט**: הממד של תבנית לא היפרבולית ב-I^n(F) הוא לפחות 2^n. אם הוא שווה ל-2^n, התבנית היא בהכרח תבנית פיסטר.

**מסקנה**: \cap_{n \in \mathbb{N}} I^n(F)=\{0\}

## הקשר לתורת K
לתבנית פיסטר קשר הדוק לתורת K.

הן מספקות העתקה f_n : K_n(F) \rightarrow I^n(F) / I^{n+1}(F), הנתונה על ידי f_n(a_1,...,a_n)=\langle \langle a_1,...,a_n \rangle \rangle .

לפי השערת מילנור, ההעתקה המהווה אפימורפיזם, ובעלת גרעין 2K_{n}({F}), ולכן מתקבל איזומורפיזם k_n(F) \cong I^n(F) / I^{n+1}(F), כאשר k_n(F)=K_n(F) / 2K_n(F).

## ראו גם
* תבנית ריבועית
* חוג ויט
* משפט הורוויץ
* רמה של שדה

## לקריאה נוספת
* עוזי וישנה, מבוא לתבניות ריבועיות, 2014.

פיסטר