ניתוח רשתות חשמליות

בהנדסת חשמל ואלקטרוניקה, מעגל חשמלי, או רשת חשמלית, הוא אוסף של רכיבים אלקטרוניים המחוברים זה לזה. **ניתוח רשתות חשמליות** הוא תהליך של מציאת המתחים על פני כל רכיבי המעגל והזרמים דרכם. באמצעות שני גדלים אלו ניתן לחשב את אופן הפעולה של כל רכיב, ומשם את פעולת המעגל כולו.

ישנן טכניקות רבות לחישוב ערכים אלה. ברוב המקרים, הטכניקות מניחות רכיבים ליניאריים, כלומר שהקשר בין המתח לזרם בהם הוא בעל יחס ישר. ברכיבים שאינם כאלה, מספר השיטות מצומצם יותר, ובמקרים מסוימים כמו דיודה וטרנזיסטור מחפשים נקודות עבודה שבהם הרכיבים מתנהגים באופן ליניארי.

## מונחים
* **[[רכיב אלקטרוני]]** – התקן בעל שני הדקים או יותר שאליהם, או מהם, יכול לזרום זרם חשמלי.
* **[[צומת חשמלי|צומת]]** – נקודה שבה מחוברים הדקים של שני רכיבים או יותר. נקודות אלה הם המקומות בהם זרם יכול להתפצל בין הענפים, וכך לקבל ערכים שונים בכל ענף.
* **ענף** – רכיב המחבר בין שני צמתים. יכול להיות גם תיל מוליך חסר התנגדות חשמלית.
* **לולאה** – קבוצת ענפים שסוגרת את עצמה, בצורת "לולאה" שלמה.
* **חוג** – לולאה מינימלית, כך שאין בתוכה לולאה אחרת.
* **[[עכבה חשמלית|עכבה]]** – הרכיב הליניארי הפשוט ביותר הוא נגד. הפשטות שבו מובילה אותנו להגדיר קשר ליניארי דומה גם עבור רכיבים אחרים, כמו קבל או סליל השראה. הגדרה זו נכונה במעגל שעובד בזרם חילופין בעל תדר קבוע, ומאפשרת לנו להתייחס אל כל הרכיבים האלה כנגדים בעלי ערך קבוע, כך שהניתוח יכול להיות פשוט ביותר.

## מעגלים שקולים
שמאל|255x255 פיקסלים
שיטה שימושית בניתוח רשתות היא לפשט את הרשת על ידי צמצום מספר הרכיבים. ניתן לעשות זאת על ידי החלפת רכיבים פיזיים ברכיבים רעיוניים אחרים בעלי אותה השפעה.

דרך נפוצה לקבל מעגל שקול, שמפחיתה באופן מיידי את מספר הרכיבים, היא חיבור רכיבים בטור ובמקביל. בהתחשב במונח העכבה שהגדרנו, אפשר גם לחבר רכיבים שונים כמו קבל עם נגד.

דרך אחרת היא לשנות את המעגל לצורה שבה ניתן לצמצם את הרכיבים בניתוח מאוחר יותר. לדוגמה, ניתן להפוך מחולל מתח למחולל זרם באמצעות משפט נורטון על מנת שיהיה ניתן לשלב מאוחר יותר את ההתנגדות הפנימית של המחולל עם עומס עכבה מקבילי.

מעגל התנגדותי הוא מעגל המכיל רק נגדים, מקורות זרם אידיאליים ומקורות מתח אידיאליים. אם המקורות הם מקורות מתח ישר או זרם ישר (DC), התוצאה נקראת "מעגל זרם ישר". אם המקורות הם מקורות מתח חילופין או זרם חילופין (AC), אז ניתן להשתמש באותם עקרונות על הפאזורים של המתח והזרם, יחד עם העכבות של הרכיבים.

שני מעגלים נחשבים **שקולים** ביחס לזוג הדקים אם המתח על פני ההדקים והזרם דרכם עבור רשת אחת נמצאים בדיוק באותו קשר כמו המתח והזרם בהדקי הרשת השנייה. בתמונה משמאל, אִם V_2=V_1 גורר I_2=I_1 עבור כל הערכים (הממשיים) V_1, אז ביחס להדקים  ו-, מעגל 1 ומעגל 2 שקולים.

עבור מעגלים מורכבים יותר בעלי מספר גבוה יותר של הדקים בכניסה וביציאה, כדי להגדיר מעגל שקול יש צורך לקבל שוויון כזה בין כל שני הדקים.

### חיבור בטור ובמקביל

כאמור, ניתן להפחית את מספר הרכיבים ברשת על ידי חיבור של הרכיבים בטור או במקביל. בהכללה לכל סוגי הרכיבים הליניאריים, זה יהיה חיבור עכבות בטור או במקביל.
* עכבות בטור: Z_\mathrm{eq} = Z_1 + Z_2 + \,\cdots\, + Z_n .
* עכבות במקביל: \frac{1}{Z_\mathrm{eq}} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + \,\cdots\, + \frac{1}{Z_n} .
* הנוסחה למעלה פשוטה יותר עבור שתי עכבות במקביל בלבד: Z_\mathrm{eq} = \frac{Z_1Z_2}{Z_1 + Z_2} .

### התמרת כוכב משולש
left|ממוזער|300px|המעגל החשמלי בתצורת כוכב ובתצורת משולש.
התמרת כוכב משולש היא שיטה להמיר מעגל חשמלי למעגל בעל שלושה הדקים. כאשר שלושה רכיבים מחוברים לאותו צומת ואף אחד מהם לא משמש כמקור אז הצומת מתבטל על ידי הפיכת העכבות. על מנת שתתקבל שקילות, העכבה החשמלית בין כל זוג הדקים חייבת להיות זהה לשני המעגלים (לפני ההתמרה ואחרי ההתמרה). התאוריה שמאחורי שיטה זו פורסמה על ידי ארתור אדווין קינלי (אנגלית: Arthur Edwin Kennelly) בשנת 1899 בשיטה זו נעשה שימוש נרחב בעיקר בניתוח מעגלים תלת-פאזיים.

### המרה של מקורות זרם ומתח

[ממוזער|380px|[מקור מתח מעשי עם התנגדות טורית, ומקור זרם מעשי שקול בעל התנגדות מקבילית]]
מקור מתח או מקור זרם מעשי, כלומר לא אידיאלי, הוא מקור בעל עכבה פנימית (שנובעת מבזבוז אנרגיה של המקור עצמו). מקור מעשי יכול להיות מיוצג כמקור אידיאלי בתוספת העכבה, כאשר עבור מקור מתח העכבה הפנימית מחוברת בטור, ועבור מקור זרם העכבה הפנימית מחוברת במקביל.

שתי צורות אלו הן שקולות ויש נוסחת המרה ביניהם. בתמונה משמאל, אם שתי הרשתות שקולות ביחס להדקים ab, אז המתח V והזרם I חייבים להיות זהים עבור שתי הרשתות. לכן,
: V_\mathrm{s} = RI_\mathrm{s}\,\! או I_\mathrm{s} = \frac{V_\mathrm{s}}{R}

משפט נורטון קובע שלא רק ששתי הצורות שקולות, אלא **כל** רשת ליניארית בעלת שני הדקים ניתנת לצמצום למקור זרם אידיאלי ועכבה מקבילית.

משפט תבנין קובע כי כל רשת ליניארית בעלת שני הדקים ניתנת לצמצום למקור מתח אידיאלי בתוספת עכבה טורית.

## רשתות פשוטות
ניתן לנתח רשתות פשוטות באופן פשוט, ללא צורך להיכנס לגישות שיטתיות יותר.

### מחלק מתח

בהינתן n עכבות (המייצגות רכיבים) המחוברות בטור, המתח V_i על פני כל עכבה Z_i הוא

: V_i = Z_iI = \left( \frac{Z_i}{Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n} \right)V
לכל i = 1,2,...,n. כאשר V המתח הכולל שמתחלק בין כולם, I הזרם הכולל ששווה בכולם (לפי חוקי קירכהוף).

### מחלק זרם

בהינתן n אדמיטנסים מחוברים במקביל (ההופכי של עכבה, מקביל למוליכות חשמלית), המתח V_i על פני כל אדמיטנס Y_i הוא

: I_i = Y_iV = \left( \frac{Y_i}{Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n} \right)I

כאשר הפעם הזרם I הוא המתחלק בין הרכיבים, והמתח V זהה בכולם.

מקרה מיוחד: מחלק זרם של שני רכיבים מקבילים:
: I_1 = \left( \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \right)I
: I_2 = \left( \frac{Z_1}{Z_1 + Z_2} \right)I

עבור כל זרם קיבלנו תלות במונה בעכבה של הרכיב השני.

## שיטת מתחי צמתים
בשיטת מתחי צמתים, מתייחסים אל מתחי הצמתים כאל המשתנים הלא ידועים, ופותרים את המעגל בנקודות אלו. תחילה יש לבחור צומת ייחוס שבה המתח מתאפס V_0 = 0. עבור כל הצמתים למעט צומת הייחוס, מתח הצומת מוגדר כנפילת המתח מהצומת לצומת הייחוס. לכן, ישנם N-1 מתחי צמתים נעלמים עבור מעגל עם N צמתים, V_1, V_2, \dots, V_{N-1}.

מה שקורה מאחורי הקלעים בשיטה זאת, הוא שימוש בחוק הזרמים של קירכהוף (KCL) על N-1 צמתים כדי לקבל N-1 משוואות ליניאריות בלתי תלויות. משוואות שנוצרות עם חוק הזרמים של קירכהוף משתמשות בזרמים הנכנסים ויוצאים מהצמתים, ובמקרה שלנו זרמים אלה אינם ידועים. לכן לפני פתרון המשוואות יש צורך לבטא את הזרמים באמצעות הנעלמים (מתחי הצמתים). עבור רכיבים ליניאריים (כגון נגדים וקבלים), קבלת ביטוי הזרם לכל ענף במונחים של מתחי הצמתים היא פשוטה מאוד. למשל עבור זרם שיוצא מצומת V_1 לצומת V_2, וביניהם יש נגד בעל ערך R_1, הזרם ביניהם ניתן לביטוי כ-I = \frac{V_1 - V_2}{R_1}.

אלגוריתם העבודה בשיטה זו:
# מספור כל הצמתים במעגל.
# בחירת צומת שתשמש כנקודת ייחוס. לעיתים במעגל מוגדרת הארקה, והבחירה הטבעית לנקודת ייחוס תהיה צומת זו, אך זו לא חובה.
# הגדרת משתנה מתח מכל צומת אחרת עד לצומת הייחוס. יש להגדיר משתני מתח אלה כעלייה במתח ביחס לצומת הייחוס.
# כתיבת משוואת קירכהוף לזרמים עבור כל צומת מלבד הייחוס.
# ביטוי של הזרמים כפונקציה של משתני המתח.
# פתרון מערכת המשוואות המתקבלת. ניתן לפתור מערכת זו בדרכים שונות, ולצורך פיתוח אלגוריתם מובנה במחשב אפשר להגדיר מטריצת מקדמים ולדרג אותה.

## שיטת זרמי חוגים
כאמור, חוג הוא לולאה שאינה מכילה לולאה פנימית. באופן דומה לצורת העבודה של שיטת מתחי צמתים, ניתן להגדיר גם את שיטת זרמי חוגים, כאשר הנעלמים בשיטה זו הם הזרמים בחוגים השונים, והמתחים מבוטאים באמצעותם.

האלגוריתם כאן דומה:
# מספור של החוגים במעגל. סימון זרם החוג כנעלם.
# כתיבת משוואת חוק קירכהוף למתחים (KVL) עבור כל חוג שהזרם שלו אינו ידוע.
# פתרון מערכת המשוואות המתקבלת.

ניתן להשתמש בזרמי חוגים רק עם רשתות שניתן לצייר כרשת מישורית, כלומר, ללא רכיבים שחוצים אחד את השני.  בשיטה זו אין צורך לבחור ייחוס משום שגם ככה מספר החוגים קטן ב-1 ממספר הצמתים.

## סופרפוזיציה

בשיטה זו, מחושבת ההשפעה של כל מקור מתח או זרם בנפרד, ולבסוף סכימה שלהם היא הפתרון המלא. בשיטה זו מסירים את כל המקורות מלבד זה הנבחן, ובמקומם מציבים קצר חשמלי במקום מקור מתח, או נתק חשמלי במקום מקור זרם. הזרם הכולל דרך או המתח הכולל על פני ענף מסוים מחושב לאחר מכן על ידי סיכום כל הזרמים או המתחים הבודדים.

ישנה הנחה בסיסית לשיטה זו שהזרם או המתח הכוללים הם סופרפוזיציה ליניארית של חלקיו. לכן, לא ניתן להשתמש בשיטה אם קיימים רכיבים לא ליניאריים.  כמו כן, לא ניתן להשתמש בסופרפוזיציה של חזקות כדי למצוא את סך ההספק הנצרך על ידי אלמנטים, אפילו במעגלים ליניאריים. ההספק משתנה בהתאם לריבוע המתח או הזרם הכולל, וריבוע הסכום אינו שווה בדרך כלל לסכום הריבועים. ניתן למצוא את סך ההספק באלמנט על ידי יישום סופרפוזיציה על המתחים והזרם באופן עצמאי, ולאחר מכן חישוב ההספק מהמתח והזרם הכוללים.

סופרפוזיציה היא אולי השיטה הפשוטה ביותר מבחינה מושגית, אך מובילה במהירות למספר רב של משוואות ושילובי עכבות מבולגנים ככל שהרשת גדלה.

## פונקציית תמסורת

פונקציית תמסורת מבטאת את הקשר בין קלט לפלט של רשת. ברשתות שכוללות נגדים בלבד, הפונקציה תחזיר מספר ממשי פשוט או ביטוי שמצטמצם למספר ממשי, מכיוון שרשתות נגדים מיוצגות על ידי מערכת של משוואות אלגבריות. לעומת זאת, במקרה הכללי של רשתות ליניאריות, הכוללות למשל קבלים וסלילים, הרשת מיוצגת על ידי מערכת של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות.

בניתוח רשתות, במקום להשתמש במשוואות הדיפרנציאליות ישירות, מקובל לבצע תחילה התמרת לפלס עליהן ולאחר מכן לבטא את התוצאה במונחים של פרמטר לפלס s, שבדרך כלל הוא מרוכב. זו התמרה שמעבירה אותנו לעבוד במרחב התדר, שם הגדלים של העכבה פשוטים יותר. עבודה ישירה עם המשוואות נקראת עבודה במרחב הזמן מכיוון שהתוצאות מבוטאות כגדלים משתנים בזמן.

עבור רכיב בעל שני הדקים, פונקציית התמסורת היא הקשר בין הזרם המוכנס להתקן לבין המתח המתקבל עליו. לפיכך, לפונקציית ההעברה, Z(s), יהיו יחידות של עכבה, אוהם. עבור שלושת הרכיבים הפסיביים הנמצאים ברשתות חשמל, פונקציות ההעברה הן:

עבור רשת שעליה מופעלים רק אותות זרם חילופין קבועים, s מוחלף ב-j\omega ומתקבלים הערכים המוכרים יותר:

פונקציות תמסורת בדרך כלל מסומנות ב-H(s). לרוב באלקטרוניקה, פונקציית תמסורת מוגדרת כיחס בין מתח המוצא למתח הכניסה:H(j\omega)=\frac{V_{out}}{V_{in}}

הקונספט של פונקציית תמסורת יכול לשמש לניתוח רשתות בצורה של קופסה שחורה. ניתן לאפיין לחלוטין את התנהגות הרשת מבלי לציין שום דבר על המבנה הפנימי אלא באמצעות ארבע פונקציות תמסורת בלבד. מקובל לבטא את ארבעת הפרמטרים כמטריצה: 
\begin{bmatrix}
 V_1 \\
 V_0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 z(j\omega)_{11} & z(j\omega)_{12} \\
 z(j\omega)_{21} & z(j\omega)_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
 I_1 \\
 I_0
\end{bmatrix}


## ראו גם
* מעגל חשמלי
* חוקי קירכהוף
* משפט תבנין

## קישורים חיצוניים

* הרצאות פיינמן על פיזיקה כרך ב' פרק 22: מעגלי זרם חילופין

## הערות שוליים

קטגוריה:הנדסת חשמל
קטגוריה:מעגלים חשמליים