הטלה איזומטרית

ממוזער|צורות תלת-ממדיות בהטלה איזומטרית. המידות השחורות הן האורכים האמיתיים כפי שנמצאים בהטלה אורתוגרפית. המידות האדומות משמשות בעת ציור בשיטת הציור האיזומטרי. אותן צורות תלת-ממדיות המצוירות בהטלה איזומטרית ייראו קטנות יותר; הטלה איזומטרית תציג את דפנות האובייקט מקוצרות, בכ-80%
**הטלה איזומטרית** (באנגלית: **Isometric projection**) היא שיטה לייצוג חזותי של עצמים תלת-ממדיים על גבי דו-ממד בשרטוט טכני, שרטוט אדריכלי והנדסי. הטלה איוזמטרית היא הסוג הנפוץ ביותר של הטלה אקסונומטרית שבה שלושת צירי הקואורדינטות נראים מקוצרים באותה מידה והזווית בין שניים מהם היא 120 מעלות.

## רקע
ממוזער|המחשת סוגי הטלות. מימין לשמאל: הטלות פרספקטיביות לסוגיהן, הטלות אלכסוניות, הטלות אקסונומטריות, ופריסות|ימין
המונח איזומטריה מגיע מיוונית שפירושו "מידה שווה", ומשקף את העובדה שקנה מידה לאורך כל ציר של ההטלה זהה, בניגוד לצורות אחרות של הטלה גרפית, כמו פרספקטיבה והטלות אקסונמטריות אחרות.

המונח איזומטרי משמש לעיתים בטעות כדי להתייחס להטלה אקסונומטרית באופן כללי. עם זאת, ישנם למעשה שלושה סוגים של הטלות אקסונומטריות: איזומטריות, דימטריות וטרימטריות.

ניתן לקבל תצוגה איזומטרית של אובייקט על ידי בחירת כיוון הצפייה כך שהזוויות בין צירי *x*, *y* ו- *z* יהיו כולן זהות, או 120°. לדוגמה, עם קובייה, זה נעשה על ידי הצבה ישרה של פאה אחת ולאחר מכן, הקובייה מסובבת ב-±45° סביב הציר האנכי, ולאחר מכן סיבוב של כ-35.264° סביב הציר האופקי. בקובייה (ראו תמונה), היקף הציור הדו-ממדי המתקבל הוא משושה רגיל מושלם. כל הקווים השחורים באורך שווה וכל פאות הקובייה הן באותו שטח, באופן כזה ניתן לשרטט איזומטריה של קובייה על ידי קווי עזר או מעל נייר שרטוט וכדומה ללא צורך בחישוב הזווית.

באופן דומה, ניתן לקבל תצוגה איזומטרית בסצנה תלת-ממדית. החל מהמצלמה מוצבת במקביל לרצפה ומיושרת לצירי הקואורדינטות, היא מסובבת תחילה אופקית (סביב הציר האנכי) ב-±45°, ולאחר מכן ב-35.264° סביב הציר האופקי.

## מתמטיקה
ישנם שמונה כיוונים שונים לקבלת תצוגה איזומטרית, תלוי לאיזה אוקטנט הצופה מסתכל. ניתן לכתוב מתמטית את הטרנספורמציה האיזומטרית מנקודה *ax*  במרחב תלת-ממדי לנקודה *bx*  במרחב דו-ממדי כשמסתכלים לתוך האוקטנט הראשון בעזרת מטריצות סיבוב כך: 
\begin{bmatrix}
 \mathbf{c}_x \\
 \mathbf{c}_y \\
 \mathbf{c}_z \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & {\cos\alpha} & {\sin\alpha} \\
 0 & { - \sin\alpha} & {\cos\alpha} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 {\cos\beta } & 0 & { - \sin\beta } \\
 0 & 1 & 0 \\
 {\sin\beta } & 0 & {\cos\beta } \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 \mathbf{a}_x \\
 \mathbf{a}_y \\
 \mathbf{a}_z \\
\end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}
 \sqrt{3} & 0 & -\sqrt{3} \\
 1 & 2 & 1 \\
 \sqrt{2} & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 \mathbf{a}_x \\
 \mathbf{a}_y \\
 \mathbf{a}_z \\
\end{bmatrix}


כאשר *α* = arcsin(tan 30°) ≈ 35.264° ו- *β* = 45°. כפי שהוסבר לעיל, זהו סיבוב סביב הציר האנכי (כאן *y* ) באמצעות *β*, ולאחר מכן סיבוב סביב הציר האופקי (כאן *x* ) באמצעות *α* . לאחר מכן מתבצעת הטלה אורתוגרפית למישור *xy* : 
\begin{bmatrix}
 \mathbf{b}_x \\
 \mathbf{b}_y \\
 0 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 \mathbf{c}_x \\
 \mathbf{c}_y \\
 \mathbf{c}_z \\
\end{bmatrix}


## היסטוריה
ממוזער|154x154 פיקסלים|ציור איזומטרי של מכונה
מושג האיזומטריה, אשר גובש לראשונה על ידי פרופסור ויליאם פאריש (1759–1837)  התקיים בצורה אמפירית גסה במשך מאות שנים. לדברי החוקר יאן קריקה מאמצע המאה ה-19, איזומטריה הפכה ל"כלי יקר ערך עבור מהנדסים, וזמן קצר לאחר מכן אקסונומטריה ואיזומטריה שולבו בתוכנית הלימודים לאדריכלות באירופה ובארצות הברית".

## במשחקי וידאו ואמנות פיקסלים
גרפיקה איזומטרית משמשת במשחקי וידאו ובאמנות פיקסלים המשתמשים בהטלה מקבילה, אך מטים את הזווית של נקודת המבט כדי לחשוף היבטים של הסביבה שאחרת לא היו נראים מנקודת מבט מלמעלה למטה או מהצד, ובכך מייצרת אפקט תלת-ממדי. למרות השם, גרפיקה ממוחשבת איזומטרית אינה בהכרח איזומטרית באמת - כלומר, צירי ,  ו-  אינם בהכרח מכוונים זה לזה בזווית של 120°. במקום זאת, נעשה שימוש במגוון זוויות, כאשר הטלה דימטרית ויחס פיקסלים של 2:1 הן הנפוצות ביותר.

הקרנה איזומטרית, שהייתה נפוצה בעבר, הפכה פחות נפוצה עם הופעתן של מערכות גרפיקה תלת-ממדיות חזקות יותר, וככל שמשחקי וידאו החלו להתמקד יותר באקשן ובדמויות בודדות. עם זאת, משחקי וידאו המשתמשים בהקרנה איזומטרי חוו בשנים האחרונות פריחה מחודשת בסצנת המשחק אינדי.

## קישורים חיצוניים

* 

## הערות שוליים

קטגוריה:גאומטריה
קטגוריה:שרטוט טכני