הלמה של פקטה

במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, **הלמה של פקטה** היא למה העוסקת בגבול של סדרות תת-חיבוריות. הלמה מספקת הערכה לקצב הגידול הליניארי של סדרות מסוג זה.

הלמה נקראת על-שם המתמטיקאי ההונגרי-ישראלי מיכאל פקטה שהוכיח אותה בשנת 1923.

## נוסח המשפט

בערך זה נסמן ב-\N את קבוצת המספרים הטבעיים. קבוצה זו לא תכלול את המספר 0.

סדרה של מספרים ממשיים \left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty תקרא **סדרה תת-חיבורית** אם ורק אם לכל m,n\in\N מתקיים ש:

: a_{n+m}\le a_n+a_m

ה**למה של פקטה** קובעת שלכל סדרה תת-חיבורית מתקיים ש:

: \lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}

כלומר, הסדרה \frac{a_n}{n} שואפת לאינפימום שלה. יש לשים לב שאינפימום זה יכול להיות -\infty.

## הוכחה
כדי להוכיח שהגבול קיים ומתכנס לאינפימום, מספיק להוכיח כי:

: \inf_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}\le \liminf_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}} \le \limsup_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}} \le \inf_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}

כאשר \liminf ו-\limsup הם הגבול התחתון והגבול העליון בהתאמה. שני אי-השוויונות השמאליים נכונים תמיד, לכן יש להוכיח אך ורק את אי-השוויון הימני \limsup_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}} \le \inf_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}.

משום שהסדרה תת-חיבורית, אפשר להוכיח באינדוקציה שלכל m,n,l,k\in\N מתקיים ש:

: a_{nl+mk}\le na_l+ma_k

מגדירים a_0=0 ואז נוסחה זו נכונה גם כאשר אחד מהרכיבים m,n,l,k הוא 0 ובפרט a_{n\ell} \le n a_\ell.

כעת, מקבעים q\in\N כלשהו. לכל n\in\N קיימים m\in\N ו-0\le r\le q-1 כך ש-n=mq+r. לכן, לפי אי-השוויון לעיל:

: a_n\le ma_q+a_r

מגדירים C_q=\max(a_0,a_1,\dots,a_{q-1}). ערך זה תמיד מוגדר היטב מכיוון שזהו מקסימום של קבוצה סופית. מחלקים את אי-השוויון לעיל ב-n ומקבלים:

: \frac{a_n}{n}\le \frac{ma_q+a_r}{n}=\frac{ma_q}{n}+\frac{a_r}{n}\le \frac{ma_q}{mq}+\frac{C_q}{n}=\frac{a_q}{q}+\frac{C_q}{n}

משאיפים את n\to\infty ומקבלים ש-\limsup_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}} \le \frac{a_q}{q}. מאחר ש-q נבחר שרירותית, הדבר נכון לכל q, משמע \limsup_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}} \le \inf_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}.

מכל זה \lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}.

**מ.ש.ל.**

## דוגמאות
### שורש ריבועי
מגדירים סדרה \left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty כך שלכל n\in\N:

: a_n:=n+\sqrt{n}

אפשר להוכיח כי הסדרה תת-חיבורית, זאת מכיוון שלכל n,m\in\N:

: a_{n+m}=n+m+\sqrt{n+m}\le n+m+\sqrt{n} +\sqrt{m}=a_n+a_m

ואכן:

: \lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{n+\sqrt{n}}{n}}=1

### ערך שלם
יהי 0 כלשהו. מגדירים סדרה \left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty כך שלכל n\in\N:

: a_n:=\lceil cn\rceil

כאשר \lceil\cdot\rceil היא פונקציית התקרה. אפשר להוכיח כי הסדרה תת-חיבורית, זאת מכיוון שלכל n,m\in\N:

: a_{n+m}=\lceil c(n+m)\rceil=\lceil cn+cm\rceil\le \lceil cn\rceil + \lceil cm\rceil=a_n+a_m

ואכן:

: \lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{\lceil cn\rceil}{n}}=c

## מסקנות
### סדרות על-חיבוריות
סדרה של מספרים ממשיים \left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty תקרא **סדרה על-חיבורית** אם ורק אם לכל m,n\in\N מתקיים ש:

: a_{n+m}\ge a_n+a_m

באמצעות הלמה של פקטה אפשר להוכיח כי לכל סדרה על-חיבורית מתקיים ש:

: \lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}}=\sup_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}

כלומר, הסדרה \frac{a_n}{n} שואפת לסופרמום שלה. בדומה למקרה התת-חיבורי, סופרמום זה יכול להיות \infty.

הוכחת מסקנה זו מתבצעת על-ידי השימוש בלמה של פקטה על הסדרה b_n:=-a_n.

### סדרות תת-כפליות
סדרה של מספרים ממשיים \left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty תקרא **סדרה תת-כפלית** אם ורק אם לכל m,n\in\N מתקיים ש:

: a_{n+m}\le a_na_m

באמצעות הלמה של פקטה אפשר להוכיח כי לכל סדרה תת-כפלית שאיבריה חיוביים מתקיים ש:

: \lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{a_n}}=\inf_{n\in\N}{\sqrt[n]{a_n}}

הוכחת מסקנה זו מתבצעת על-ידי שימוש בלמה של פקטה על הסדרה b_n:=\ln a_n כאשר \ln היא פונקציית הלוגריתם הטבעי.

יש לשים לב שבגלל שהלמה של פקטה לסדרות תת-כפליות עוסקת בסדרות חיוביות, האינפימום בהכרח סופי והוא גדול או שווה ל-0. לעובדה זו ישנם שימושים משמעותיים, למשל:
* לכל טור חזקות שהערכים המוחלטים של המקדמים שלו מהווים סדרה תת-כפלית יש רדיוס התכנסות גדול מ-0 (משפט קושי-אדמר)
* לכל סריג קיים קבוע קשירות  המצביע על קצב הגידול של מספר ההילוכים הנמנעים-עצמיים  האפשריים.

### סדרה כמעט תת-חיבורית
תהי סדרה של מספרים ממשיים \left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty שעבורה קיים C\in\R כך לכל m,n\in\N מתקיים ש:

: a_{n+m}\le a_n+a_m + C

סדרה זו תקרה **סדרה כמעט תת-חיבורית**. אזי, מתקיים ש:

: \lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{a_n + C}{n}}

#### הוכחה
מגדירים סדרה חדשה b_n:=a_n+C. ניתן להוכיח כי היא תת-חיבורית:

: b_{n+m}=a_{n+m}+C\le a_n+a_m + C + C=b_n+b_m

לכן:

: \lim_{n\to\infty}{\frac{b_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{b_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{a_n + C}{n}}

ומצד שני \left|\frac{b_n}{n}-\frac{a_n}{n}\right|=\frac{C}{n}\to 0, משמע שהגבול של שתי הסדרות הללו זהה. לכן:

: \lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{a_n + C}{n}}

**מ.ש.ל.**

## הערות שוליים

קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי