קטגוריות של תורות

בלוגיקה מתמטית, אומרים שתורה T היא **קטגורית** אם כל המודלים שלה איזומורפיים. במקרה כזה, ניתן לומר שהמודל M של התורה היחיד עד כדי איזומורפיזם, מגדיר אותה.

בלוגיקה מסדר ראשון, תורה קטגורית היא בהכרח בעלת מודלים סופיים בלבד. זו מסקנה ישירה ממשפט לוונהיים-סקולם, שכן אם היה לה מודל אינסופי, אז היה לה מודל מכל עוצמה אינסופית (עם זאת, בלוגיקות מסדר גבוה יותר, ייתכנו תורות קטגוריות בעלות מודלים אינסופיים: למשל לאקסיומות פיאנו מסדר שני יש מודל אחד עד כדי איזומורפיזם, והוא \mathbb{N}). בנוסף, תורה קטגורית היא בהכרח שלמה (אך ההפך לא נכון; יש למשל תורות שלמות בעלות מודלים אינסופיים). זאת כי איזומורפיזם גורר שקילות אלמנטרית, ולכן כל שני מודלים של התורה שקולים אלמנטרית, וזאת אם ורק אם היא שלמה.

ניתן הגדרה עדינה יותר: אומרים שתורה T היא **<math>\kappa</math>-קטגורית** אם כל המודלים שלה מעוצמה \kappa איזומורפיים.

## שימוש ב-<math>\kappa</math>-קטגוריות ככלי להוכחת שלמות של תורות
פעמים רבות, נוח להוכיח שלמות של תורות באמצעות \kappa-קטגוריות. זה נובע מהמשפט הבא: 
**משפט**: תהי \kappa עוצמה כלשהי, לפחות כעוצמת השפה. אם תורה T היא \kappa-קטגורית, וכל מודל שלה הוא אינסופי, אז T שלמה.

**הוכחה**: נניח בשלילה ש-T לא שלמה. אז קיים פסוק \alpha כך ש-T \nvdash \alpha וגם T \nvdash \neg\alpha. מכך ש-T \nvdash \alpha נובע ש-T,\alpha עקבית (חסרת סתירה), ולכן ממשפט השלמות קיים מודל M' \vDash T,\alpha. מההנחה מודל זה אינסופי, ולכן ממשפט לוונהיים-סקולם יש מודל M \vDash T,\alpha מעוצמה \kappa. באופן דומה, מ-T \nvdash \neg\alpha נקבל שיש מודל N \vDash T,\neg\alpha מעוצמה \kappa. אז בפרט M,N מודלים ל-T, אבל הם לא איזומורפיים כי הם לא שקולים אלמנטרית: M \vDash \alpha אך N \vDash \neg\alpha ולכן N \nvDash \alpha. קיבלנו סתירה להנחה ש-T היא \kappa-קטגורית.

## דוגמאות
* ניקח שפה עם סימן השוויון = ושלושה סימני קבועים c_1,c_2,c_3. ניקח תורה עם האקסיומות הבאות:  \exists x_1\, \exists x_2\, \exists x_3\, \neg(x_1 = x_2) \wedge \neg(x_1 = x_3) \wedge \neg(x_2 = x_3) \wedge \forall y\, (y = x_1 \vee y = x_2 \vee y = x_3)  \neg(c_1 = c_2) \wedge \neg(c_1 = c_2) \wedge \neg(c_2 = c_3)   זו תורה קטגורית, כי בכל מודל M שלה יש שלושה איברים בדיוק (מהאקסיומה הראשונה), והם פירושי הקבועים c_1^M, c_2^M, c_3^M, ששונים זה מזה (מהאקסיומה השנייה).
* אם בדוגמה הקודמת היינו מוותרים על האקסיומה השנייה, אז התורה לא הייתה קטגורית, כי קיים מודל בו כל סימני הקבועים מתאימים לאותו איבר, למשל (כלומר c_1^M = c_2^M = c_3^M).
* ניקח הפעם שפה עם סימן השוויון =, ועם סימני קבועים c_1,c_2,c_3,\dots. ניקח את התורה הבאה:  T = \{\neg(c_i = c_j) \mid i \neq j\}. אז כל מודל M של T אינסופי, כי יש בו אינסוף איברים שונים שהם פירושי הקבועים c_i^M. נבחין כי T לא \aleph_0-קטגורית: הרי נוכל לקחת מודל M שלה המכיל את פירושי הקבועים בלבד, ומודל M' המכיל איבר נוסף, ואז אין איזומורפיזם ביניהם (כי איזומורפיזם שומר על קבועים). אמנם, נבחין ש-T היא \kappa-קטגורית לכל \kappa > \aleph_0: בהינתן שני מודלים מעוצמה \kappa, נוכל להתאים את פירושי הקבועים זה לזה (כלומר להתאים c_i^M \mapsto c_i^{M'}), ואת יתר \kappa האיברים להתאים על ידי איזומורפיזם של קבוצות, שמתאים גם כאיזומורפיזם של מודלים כי אין יחסים עליהם יש לשמור ביחס אליהם. מהמשפט לעיל נקבל כי T שלמה.
* נעיין בתורת המספרים עם פונקציית העוקב בלבד. נטען שהיא שלמה, ונראה זאת בעזרת המשפט שלעיל. אכן, כל מודל שלה אינסופי, שכן הוא מכיל עותק של \mathbb{N}, וכן מספר עותקים כלשהו של \mathbb{Z}. ברור שהיא לא \aleph_0-קטגורית, כי יש לה מודל המכיל עותק של \mathbb{N} בלבד, ומודל אחר שמכיל בנוסף עותק של \mathbb{Z}, ומודלים אלו לא איזומורפיים. אבל היא כן \kappa-קטגורית לכל \kappa > \aleph_0, כי בהינתן שני מודלים מעוצמה \kappa, נוכל להתאים בין העותקים של \mathbb{N} שבהם, וכן בין \kappa העותקים של \mathbb{Z} שיש בכל אחד מהם. מכאן שזו תורה שלמה.
* תורת הסדר המלא הצפוף בלי קצוות היא שלמה, שכן כל מודל שלה אינסופי, וניתן להראות שהיא \aleph_0-קטגורית, על ידי בניית התאמה בין שני סדרים צפופים בני-מנייה.
* תורת המרחבים הווקטוריים מעל שדה \mathbb{F} כלשהו בן מנייה היא שלמה. היא לא \aleph_0-קטגורית כי למשל \mathbb{F},\mathbb{F}^2 לא איזומורפיים, כי הם לא מאותו מימד מעל \mathbb{F}: הראשון ממימד 1 ואילו השני ממימד 2. אמנם, לכל \kappa > \aleph_0 התורה כן \kappa-קטגורית. מכיוון שאיבר כללי במרחב הוא צירוף ליניארי סופי של איברי בסיס, נובע שכל מרחב וקטורי מעוצמה \kappa הוא ממימד \kappa מעל \mathbb{F}, ולכן יש איזומורפיזם בין כל שני מרחבים וקטוריים מעוצמה \kappa.
* תורת השדות הסגורים אלגברית ממציין כלשהו היא שלמה. זאת כי כל שדה סגור אלגברית הוא אינסופי (הרי בהינתן שדה \mathbb{F} = \{a_1,\dots,a_n\} סופי, הפולינום p(x) = 1 + \prod_{i=1}^n (x-a_i) מקיים p(a_i) = 1 לכל 1 \leq i \leq n ואזי אין לו שורש בשדה, ומכאן ש-\mathbb{F} לא סגור אלגברית). בנוסף, לפי משפט, בהינתן עוצמה \kappa > \aleph_0 ומאפיין כלשהו, יש רק שדה סגור אלגברי אחד מעוצמה וממאפיין אלו עד כדי איזומורפיזם. לכן התורה היא \kappa-קטגורית לכל \kappa > \aleph_0, ונובע כי היא שלמה.

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:לוגיקה מתמטית