מצבים קוהרנטיים

ממוזער|טקסט=תמונה המתארת גרף השוואה בין שלושה מצבים קוהרנטיים נמדדים, של רעש קוונטי|תמונה המתארת גרף השוואה בין שלושה מצבים קוהרנטיים נמדדים, של רעש קוונטי
בפיזיקה, **מצבים קוהרנטיים** הם מצבים קוונטיים של מתנדים הרמוניים אשר התנהגותם בזמן דומה להתנהגות הקלאסית של המערכת (כאשר זו מוגדרת). דמיון זה מתבטא בכך שערכי התצפית (התוחלת) של המיקום והתנע משתנים בזמן בדיוק כמו התנע והמקום של מתנד הרמוני קלאסי, כלומר הם מתנהגים באופן מחזורי בזמן בדומה למטוטלת פשוטה. 
למצבים קוהרנטיים ישנה חשיבות רבה בתיאור של מערכות קוונטיות, ותכונות האור של לייזרים. בנוסף לכך, הם מהווים מרכיב בסיסי בבנייה של תורת השדות הקוונטית המתארת מערכות מרובות חלקיקים.

מצבים קוהרנטיים, באופן כללי, הם הכללות של המצבים הקוהרנטיים של מתנד הרמוני פשוט. לכן מרבית הדיון במאמר זה יתמקד במקרה זה, ורק בסופו ייסקרו ההכללות ומשמעויותיהן.

סופרפוזיציה של מצבים קוהרנטיים מכונה מצב חתול, על-שם החתול של שרדינגר, שנמצא בסופרפוזיציה קוונטית של שני מצבים קלאסיים מקרוסקופיים.

## הגדרה פורמלית ובניית המצבים
### הגדרה
מצבים קוהרנטיים הם המצבים העצמיים של אופרטור ההשמדה (נקרא גם אופרטור ההורדה, החיסול, ההריסה; ראה אופרטורי סולם בערך מתנד הרמוני קוונטי). כדי להסביר את מהות הגדרה זו נתמקד במקרה הפשוט של מתנד הרמוני קוונטי בממד אחד המתואר על ידי ההמילטוניאן:
\ H= \frac{p^2}{2 m} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2
כאשר \ \omega היא התדירות העצמית של המתנד, \ x הוא אופרטור המיקום של החלקיק ו- \ p אופרטור התנע. אופרטורי ההשמדה והיצירה (אופרטורי הסולם) של בעיה מוגדרים להיות:

\begin{matrix}
a &=& \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {i \over m \omega} p \right) \\
a^{\dagger} &=& \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x - {i \over m \omega} p \right)
\end{matrix}
כאשר \ a הוא אופרטור ההשמדה (או אופרטור הורדה) ו- \ a^{\dagger}  הוא אופרטור היצירה (או אופרטור העלאה). 

מצב קוהרנטי \ |z \rangle (בכתיב דיראק) הוא מצב המקיים:
a |z \rangle = z|z \rangle
כאשר \ z הוא מספר מרוכב שרירותי.

### הצגה בבסיס המספר
אפשר למצוא מההגדרה הזאת את ההצגה של המצב הקוהרנטי  |z\rangle  בבסיס המספר  \{ |n\rangle \}_{n=0}^\infty :
נכתוב
 |z \rangle = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n|n \rangle
נפעיל את אופרטור ההורדה: 
 a|z \rangle = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n a|n \rangle = \sum_{n=1}^\infty \alpha_n \sqrt{n} |n-1\rangle
על ידי החלפת אינדקסים נקבל
 a|z \rangle = \sum_{n=0}^\infty \alpha_{n+1} \sqrt{n+1} |n\rangle
ולפי הגדרה זה צריך להיות שווה ל-  z|z\rangle  ולכן צריך להתקיים בהכרח  z\cdot \alpha_n = \sqrt{n+1} \alpha_{n+1} . נקבל את יחס הרקורסיה 
 \alpha_{n+1}=\frac{z}{\sqrt{n+1}} \alpha_n
לכן בהינתן \alpha_0 אפשר לראות שהאיבר הכללי נתון ע"י
 \alpha_{n}=\frac{z^n}{\sqrt{n!}} \alpha_0
כעת, בשביל נרמול נדרוש ש-  \sum_{n=0}^\infty |\alpha_n|^2 = 1. כלומר
 |\alpha_0|^2 \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{|z^2|^n}{n!} =1 \Rightarrow |\alpha_0|^2\cdot e^ =1 \Rightarrow |\alpha_0|=e^{-\frac{|z|^2}{2}}
לסיום, משום שהפאזה הגלובלית לא משנה להגדרת המצב, נבחר את \alpha_0 להיות ממשי ונקבל
 |z\rangle = e^{-\frac{|z|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\sqrt{n!}} |n\rangle 
### בניה של מצבים קוהרנטיים
מההגדרה שלמעלה נובע כי מצב קוהרנטי מתואר על ידי:
\ |z\rangle = e^{-\frac{|z|^2}{2}}e^{ z a^\dagger} |0 \rangle
כאשר \ |0\rangle הוא מצב היסוד (כלומר המצב בעל האנרגיה הנמוכה ביותר) של המתנד ההרמוני. ניתן להוכיח פתרון זה על ידי השימוש בתכונות אופרטורי היצירה וההשמדה:
\ a |n \rangle = \sqrt{n} |n-1\rangle
\ a^\dagger |n \rangle = \sqrt{n+1} |n+1\rangle
כאשר \ |n\rangle הוא המצב המתאר את הרמה ה-n-ית של המתנד.

אפשרות אחרת היא לבנות את המצבים הקוהרנטיים על ידי פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית המגדירה אותם. אופרטור התנע בהצגת המקום הוא \ p=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} ולכן מהגדרת המצבים הקוהרנטיים נובע שהם מקיימים את המשוואה:
\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {\hbar \over m \omega}\frac{\partial}{\partial x}\right)\psi_z(x)=z \psi_z(x)
פתרון משוואה זו הוא:
\ \psi_z(x)= \left( \frac{\hbar \pi}{m \omega} \right)^{\frac{1}{4}}e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar}(x-\bar{x})^2+\frac{i}{\hbar} x \bar{p}}
כאשר 
z = \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\bar{x} + {i \over m \omega} \bar{p} \right)

## הדינמיקה של מצבים קוהרנטיים
המצבים הקוהרנטיים אינם מצבים עצמיים של המערכת, ולכן הם משתנים בזמן. מצבים אלו
מאופיינים על ידי שני מספרים: החלק הממשי והחלק הדמיוני של המספר המרוכב \ z, שהוא הערך העצמי של אופרטור ההשמדה. מספרים אלו מגדירים את ערכי התוחלת של המקום והתנע של המצב הקוהרנטי:
\bar{x}= \langle z|x|z \rangle=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \langle z|a+a^\dagger|z\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} (z+z^*) = \sqrt{\frac{2\hbar}{m\omega}} \operatorname{Re}(z) 
\bar{p}= \langle z|p|z \rangle=\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}\frac{1}{i}\langle z | a-a^\dagger |z\rangle = \sqrt{2\hbar m \omega} \operatorname{Im}(z)
כמו כן, אם לדוגמה נניח שפונקציית הגל ברגע t=0 היא מצב קוהרנטי  |z\rangle  כאשר  z=|z|e^{i\theta} , יעניין אותנו לראות מה קורה בזמן:
|\psi\rangle (t) = e^{-\frac{|z|^2}{2}} \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\sqrt{n!}} e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}|n\rangle
האנרגיה של המצב |n\rangle  היא  \hbar \omega (n+\frac{1}{2})  ולכן 
|\psi\rangle (t) = e^{-\frac{|z|^2}{2}} \cdot e^{-i\frac{\omega}{2}t} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z\cdot e^{-i\omega t})^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle
אך נשים לב שזה בדיוק המצב הקוהרנטי |z\cdot e^{-i\omega t} \rangle (עד כדי פאזה גלובלית שלא משנה את המצב, e^{-i\frac{\omega}{2} t}  ). משום שהחלק הממשי של z הוא המיקום הממוצע והחלק המדומה שלו הוא התנע הממוצע, יוצא שב"מרחב הפאזה" של המיקום והתנע הממוצעים המערכת מתנהגת ממש כמו שהייתה מתנהגת במרחב הפאזה באוסילטור הרמוני קלאסי. בגלל התכונה הזאת ותכונות נוספות ניתן לאמר שהמצבים הקוהרנטיים הם המצבים הכי דומים בהתנהגותם לאוסילטורים קלאסיים.

## יחס אי-ודאות של מצבים קוהרנטיים
מצבים קוהרנטיים הם חבילות גלים בעלי יחס אי-הוודאות המינימלי האפשרי:
\ \Delta p \Delta x=\frac{\hbar}{2}
כאשר \ \Delta x ו- \ \Delta p הם אי הודאויות במיקום ובתנע של החלקיק, בהתאמה.

## הכללות
מצבים קוהרנטיים ניתנים להכללה במספר אופנים:

* הכללה למערכת המכילה מספר גדול של מתנדים הרמוניים המצומדים זה לזה (למשל תנודות גלי קול בגביש)
* הכללה לתורת השדות הקוונטית בוזונית שם אופרטורי היצירה וההשמדה הם אופרטורים שיוצרים ומשמידים חלקיקים בנקודות כלשהן במרחב (או במרחב התנע).
* הכללה לתורת שדות פרמיונית שם יש להשתמש באלגברה גרסמנית לצורך התיאור של מצבים קוהרנטיים
* הכללה של מצבים קוהרנטיים עבור הדינמיקה של ספין.

## ראו גם
* מתנד הרמוני קוונטי
* תורת השדות הקוונטית

## קישורים חיצוניים

* עופר מגד, אמנות הרכבת המצבים הקוהרנטיים, בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"

קטגוריה:מכניקת הקוונטים