ממוצע סטולרסקי

במתמטיקה, **ממוצע סטולרסקי** הוא גודל מתמטי אשר מתאר את הממוצע של שני מספרים חיוביים. ממוצע זה מאחד את הגדרותיהם של הממוצע החשבוני, הממוצע ההנדסי והממוצע הלוגריתמי.

בהינתן שני מספרים חיוביים a ו-b ומספר ממשי p\ne 0, 1, **ממוצע סטולרסקי מחזקה <math>p</math>** מוגדר להיות:

S_p(a,b):=\begin{cases} a & \text{if }a=b \\ \left(\frac{a^p-b^p}{p(a-b)}\right)^\frac{1}{p-1} & \text{otherwise}\end{cases}

ממוצע סטולרסקי נוסח לראשונה על-ידי קנת' סטולרסקי בשנת 1975.

## מוטיבציה
משפט הערך הממוצע של לגרנז' קובע כי בהינתן שני מספרים ממשיים a ופונקציה f:[a,b]\to\mathbb{R} רציפה בקטע הסגור [a,b] וגזירה בקטע הפתוח (a,b), אזי קיים a כך ש:

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

אם הנגזרת f' היא פונקציה חד-חד-ערכית, c זה הוא יחיד וניתן להתייחס אליו כממוצע של a ו-b לפי הפונקציה f.

ממוצע סטולרסקי מחזקה p מתקבל מקביעת f(x)=x^p.

## תכונות

### סימטריות
ממוצע סטולרסקי הוא סימטרי:

S_p(a,b)=\left(\frac{a^p-b^p}{p(a-b)}\right)^\frac{1}{p-1}=\left(\frac{-1}{-1}\cdot\frac{a^p-b^p}{p(a-b)}\right)^\frac{1}{p-1}=\left(\frac{b^p-a^p}{p(b-a)}\right)^\frac{1}{p-1}=S_p(b,a)

### מונוטוניות
ניתן להוכיח כי ממוצע סטולרסקי עולה מונוטונית בשני משתנים. כלומר, בהינתן a_1\le a_2 ו-b_1\le b_2 ניתן להוכיח כי S_p(a_1,b_1)\le S_p(a_2,b_2)

### הומוגניות
ממוצע סטולרסקי הוא הומוגני. כלומר, לכל a ו-b ולכל מקדם \alpha>0:

S_p(\alpha a,\alpha b)=\left(\frac{(\alpha a)^p-(\alpha b)^p}{p(\alpha a-\alpha b)}\right)^\frac{1}{p-1}
=\left(\alpha^{p-1}\frac{a^p-b^p}{p(a-b)}\right)^\frac{1}{p-1}=\alpha\left(\frac{a^p-b^p}{p(a-b)}\right)^\frac{1}{p-1}
=\alpha S_p(a,b)

### רציפות
ממוצע סטולרסקי S_p(x,y) הוא רציף בשני משתנים. בנקודות שבהן x\ne y הרציפות נובעת מכך שממוצע סטולרסקי הוא הרכבה של פעולות אלמנטריות (חזקה, כפל, חיסור וכו') שכולן רציפות. עבור הנקודות שבהן x=y ניתן להיעזר בגבול:

\lim_{x\to y}{\frac{x^p-y^p}{x-y}}=py^{p-1}

כדי לקבל ש:

\lim_{x\to y}{S_p(x,y)}=\lim_{x\to y}{\left(\frac{x^p-y^p}{p(x-y)}\right)^\frac{1}{p-1}}
=\left(\frac{py^{p-1}}{p}\right)^\frac{1}{p-1}=y=S_p(y,y)

## מקרים פרטיים

### p שואף לאינסוף
ניתן להוכיח כי לכל שני מספרים חיוביים a ו-b מתקיים:

\lim_{p\to\infty}{S_p(a,b)}=\max(a,b)

כלומר, שהגבול של ממוצע סטולרסקי כאשר p\to\infty שואף למקסימום של a ו-b. על כן ניתן להגדיר כי S_\infty(a,b):=\max(a,b)

### p=2
במקרה שבו p=2 מתקבל:

S_2(a,b)=\left(\frac{a^2-b^2}{2(a-b)}\right)^\frac{1}{2-1}=\frac{(a-b)(a+b)}{2(a-b)}=\frac{a+b}{2}

זהו למעשה הממוצע החשבוני.

### p=1
על אף שממוצע סטולרסקי אינו מוגדר ישירות עבור p=1, ניתן למצוא אותו באמצעות גבול. ניתן להוכיח כי:

\lim_{p\to 1}{S_p(a,b)}=\frac{1}{e}\sqrt[a-b]{\frac{a^a}{b^b}}

ממוצע זה הוא הממוצע הזהותי. על כן, ניתן להגדיר כי S_1 היא פונקציית הממוצע הזהותי.

#### הוכחה
מגדירים:

L=\lim_{p\to 1}{S_p(a,b)}=\lim_{p\to 1}{\left(\frac{a^p-b^p}{p(a-b)}\right)^\frac{1}{p-1}}

על ידי הפעלת פונקציית הלוגריתם על שני אגפי המשוואה ושימוש בכלל לופיטל מתקבל:

\ln L=\lim_{p\to 1}{\frac{\ln(a^p-b^p)-\ln(p)-\ln(a-b)}{p-1}}
=\lim_{p\to 1}{\frac{\ln a \cdot a^p-\ln b \cdot b^p}{a^p-b^p}-\frac{1}{p}}=\frac{a\ln a-b\ln b}{a-b}-1

על ידי הפעלת פונקציית האקספוננט על שני האגפים מתקבל:

\lim_{p\to 1}{S_p(a,b)}=L=\exp\left(\frac{a\ln a-b\ln b}{a-b}-1\right)=\frac{1}{e}\sqrt[a-b]{\frac{a^a}{b^b}}

*מש"ל*.

### p=0
גם במקרה p=0 ניתן להגדיר את ממוצע סטולרסקי על-ידי מציאת גבול. ניתן להוכיח כי:

\lim_{p\to 0}{S_p(a,b)}=\frac{a-b}{\ln a - \ln b}

ממוצע זה הוא הממוצע הלוגריתמי. על כן, ניתן להגדיר כי S_0 היא פונקציית הממוצע הלוגריתמי.

#### הוכחה
על ידי שימוש בכלל לופיטל ניתן להוכיח כי:

\lim_{p\to 0}{\frac{a^p-b^p}{p}}=\lim_{p\to 0}{\left(\ln a\cdot a^p-\ln b\cdot b^p\right)}=\ln a-\ln b

לכן:

\lim_{p\to 0}{S_p(a,b)}=\lim_{p\to 0}{\left(\frac{a^p-b^p}{p(a-b)}\right)^\frac{1}{p-1}}
=\left(\frac{\ln a-\ln b}{a-b}\right)^\frac{1}{0-1}=\frac{a-b}{\ln a - \ln b}

*מש"ל*.

### p=-1
במקרה שבו p=-1 מתקבל:

S_{-1}(a,b)=\left(\frac{a^{-1}-b^{-1}}{-1\cdot(a-b)}\right)^\frac{1}{-1-1}
=\left(\frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}{-1\cdot(a-b)}\right)^{-\frac{1}{2}}
=\left(\frac{\frac{b-a}{ab}}{-1\cdot(a-b)}\right)^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{ab}

זהו למעשה הממוצע הגאומטרי.

### p שואף למינוס אינסוף
ניתן להוכיח כי לכל שני מספרים חיוביים a ו-b מתקיים:

\lim_{p\to-\infty}{S_p(a,b)}=\min(a,b)

כלומר, שהגבול של ממוצע סטולרסקי כאשר p\to-\infty שואף למינימום של a ו-b. על כן ניתן להגדיר כי S_{-\infty} (a,b):=\min(a,b)

## קישורים חיצוניים
* 

* 

## הערות שוליים

קטגוריה:ממוצעים