פונקציית פון מנגולד

בתורת המספרים, **פונקציית פון מנגולד** היא פונקציה אריתמטית בעלת מגוון שימושים, כגון בהוכחת משפט המספרים הראשוניים ובניסוח השערת רימן. הפונקציה היא מעין גרסה ממושקלת של ההפונקציה המציינת של קבוצת המספרים הראשוניים. הפונקציה מוגדרת על קבוצת הטבעיים ומתאפסת על מספרים שאינם חזקות של ראשוניים.

חקר פונקציית פון מנגולד מהווה חוליה מקשרת בין פונקציית זטה של רימן ובין חקר התפלגות המספרים הראשוניים.

הפונקציה נקראת על שם המתמטיקאי הגרמני האנס פון מנגולד.

## סימונים
בערך זה נסמן ב-\mathbb{N}, \mathbb{R} ו-\mathbb{C} את קבוצת המספרים הטבעיים (בערך זה אנחנו מניחים שהמספרים הטבעיים לא כוללים את המספר 0), המספרים הממשיים והמספרים המרוכבים בהתאמה.

הפונקציה \ln היא פונקציית הלוגריתם הטבעי ו-\lfloor\cdot\rfloor היא פונקציית הערך השלם.

## הגדרה
מגדירים את הפונקציה \Lambda:\mathbb{N}\to\mathbb{R} כך שלכל n\in \mathbb{N}:

\Lambda(n):=\begin{cases}
\ln(p) & \text{if }n=p^k\text{, }p\text{ is prime, }k\in \N \\
0 & \text{else}
\end{cases}

כלומר, אם n היא חזקה של מספר ראשוני, \Lambda(n) היא הלוגריתם הטבעי של המספר הראשוני הזה. אחרת, \Lambda(n) הוא 0.

\Lambda נקראת **פונקציית פון מנגולד**.

## תכונות כלליות

### אריתמטיקה
\Lambda אינה פונקציה כפלית. כך לדוגמה, \Lambda(2)=\ln(2) ו-\Lambda(3)=\ln(3), אבל \Lambda(6)=0.

בנוסף, \Lambda אינה פונקציה חיבורית. כך לדוגמה, \Lambda(4)=\ln(2) ו-\Lambda(3)=\ln(3), אבל \Lambda(7)=\ln(7)\ne\ln(3)+\ln(2).

### היפוך מביוס
לכל n\in \mathbb{N} מתקיים ש:

\ln(n)=\sum_{d|n}{\Lambda(d)}

לכן לפי נוסחת ההיפוך של מביוס מתקיים:

\Lambda(n)=\sum_{d|n}{\mu(d)\ln\left(\frac{n}{d}\right)}=-\sum_{d|n}{\mu(d)\ln(d)}

כאשר השוויון הימני נובע מתכונות אריתמטיות של פונקציות הלוגריתם ומכך ש-\sum_{d|n}{\mu(d)}=0 לכל n\ge 2.

### נוסחת לז'נדר הלוגריתמית
נוסחת לז'נדר קובעת כי לכל מספר טבעי n\in \mathbb{N} מתקיים ש:

n!=\prod_{p\le n}{p^{a_p}},\quad a_p:=\sum_{k=1}^\infty{\left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor}

(בנוסחה זו p עובר רק על מספרים ראשוניים).

אם לוקחים לוגריתם על שני הצדדים מתקבלת הנוסחה:

\ln (n!)=\sum_{k=1}^\infty\sum_{p\le n}{\ln p \left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor}=\sum_{p^k\le n}{\ln p \left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor}=\sum_{m=1}^n{\Lambda(m) \left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor}

## קשר לפונקציית זטא של רימן
ניתן להוכיח כי מתקיים הקשר הבא לפונקציית זטא של רימן:

\ln(\zeta(s))=\sum_{n=2}^\infty{\frac{\Lambda(n)}{\ln(n)n^s}}\quad ,\Re(s)>1

על ידי גזירת שני האגפים מתקבל כי הנגזרת הלוגריתמית  של פונקציית זטא של רימן בתחום \Re(s)>1 היא:

\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=2}^\infty{\frac{\Lambda(n)}{n^s}}

## קשר לפונקציית צ'בישב
עבור x\in \mathbb{R} מגדירים את הפונקציה:

\psi(x):=\sum_{n\le x}{\Lambda (n)}

פונקציה זו נקראת **[[פונקציית צ'בישב]] השנייה**.

ניתן להשתמש בפונקציה זו כדי להוכיח את משפט המספרים הראשוניים, זאת על על-ידי כך שמוכיחים כי \lim_{x\to \infty}{\frac{x}}=0 ו-\lim_{x\to \infty}{\frac{\psi(x)}{x}}=1.

בנוסף, על-ידי שימוש בקשר שתואר לעיל לפונקציית זטא של רימן, ניתן להוכיח כי:

\psi(x)=x-\ln(2\pi)-\sum_{\rho\in\mathbb{C}}{v_\rho(\zeta)\frac{x^\rho}{\rho}},

כאשר v_\rho(\zeta) הוא הריבוי של \rho כאפס של \zeta.  אם \zeta(\rho)\neq 0 אז הריבוי הוא 0. בפועל משערים שהריבוי לעולם לא עולה על 1 כך שהסכום המתקבל הוא סכום  לפי האפסים של זטא.

נוסחה זו נקראת הנוסחה המפורשת של רימן פון מנגולד.

## קישורים חיצוניים
* 
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:פונקציות אריתמטיות