תבנית ריבועית

במתמטיקה, **תבנית ריבועית** היא תבנית מהצורה Q(x) = b(x,x), כאשר b היא תבנית ביליניארית; במילים אחרות, תבנית ריבועית היא פולינום בכמה משתנים שכל האיברים בו הם מדרגה 2. לדוגמה, x^2+8xy-4xz+5z^2 היא תבנית ריבועית אבל הפונקציה  x^2+yx+3x לא, משום שהאיבר האחרון, 3x הוא מדרגה 1. תבניות ריבועיות מופיעות בהקשרים אלגבריים (בחקר מהן התבניות, עד כדי איזומורפיזם), גאומטריים (איזו צורה מתארת המשוואה x^2+8xy-4xz+5z^2 = 1) ואריתמטיים (האם יש פתרונות שלמים למשוואה x^2+8xy-4xz+5z^2 = 3), והן מהוות נושא למחקר פורה.

## הגדרה
יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F. **[[תבנית ביליניארית]]** היא פונקציה b \colon V \times V \to F המהווה העתקה ליניארית בכל אחד מהרכיבים שלה. (V,b) נקרא **מרחב ביליניארי**. התבנית היא **סימטרית** אם  b(x,y)=b(y,x) לכל x,y \in V.

**תבנית ריבועית** היא פונקציה המתקבלת מההצבה Q(x) = b(x,x) בתבנית ביליניארית b. תבנית כזו היא פולינום הומוגני מדרגה 2. מספר המשתנים בתבנית הוא הממד של V, הקרוי גם ה**ממד** של התבנית. צורתה הכללית היא q(x_1,...,x_n)=\sum_{i,j}{a_{i,j}x_ix_j}, עם a_{i,j} \in F. הזוג (V,q) נקרא **מרחב ריבועי**.

אומרים ששני מרחבים ריבועיים הם **[[איזומטריה|איזומטריים]]** אם קיים איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים, המשמר את התבנית.

## תבניות ריבועיות וביליניאריות

במאפיין שונה מ-2, כל תבנית ריבועית מושרית מתבנית ביליניארית סימטרית. גם ההפך נכון, כלומר כל תבנית ביליניארית סימטרית מוגדרת על ידי תבנית ריבועית, לפי **הזהות הפולרית** b(x,y)=\frac{1}{2} (q(x+y)-q(x)-q(y)). מזהות זו נובע כי התבנית הבילינארת הסימטרית המשרה את התבנית הריבועית היא יחידה. במאפיין 2 הקשר מעט יותר מסובך, והקורא שאינו מעוניין במקרה זה יכול לדלג על שאר הסעיף.

נקבע מרחב וקטורי מעל שדה ממאפיין כלשהו. נסמן ב-\mathrm{Bil} את מרחב התבניות הביליניאריות. כל תבנית ביליניארית b, לאו דווקא סימטרית, משרה כאמור תבנית ריבועית, לפי q_b(x) = b(x,x), וכל תבנית ריבועית מתקבלת באופן כזה. תבנית ביליניארית המקיימת b(x,x) = 0 נקראת **תבנית מתחלפת** (alternating); את מרחב התבניות המתחלפות מסמנים ב-\mathrm{Alt}. יש התאמה חד-חד-ערכית על בין מרחב התבניות הריבועיות \mathrm{Quad}, לבין מרחב המנה \mathrm{Bil}/\mathrm{Alt}. מאידך, כל תבנית ריבועית מגדירה תבנית ביליניארית סימטרית b_q(x,y) = q(x+y)-q(x)-q(y); זוהי העתקה מ-\mathrm{Quad} אל \mathrm{Sym} (מרחב התבניות הסימטריות), וההרכבה היא b_{q_b}(x,y) = b(x,y)+b(y,x).

במאפיין שונה מ-2, תבנית היא מתחלפת אם ורק אם היא אנטי-סימטרית; אפשר לפרק \operatorname{Bil} = \operatorname{Sym} \oplus \operatorname{Alt}, וכך מתקבלת התאמה בין תבניות ריבועיות לתבניות ביליניאריות סימטריות; .

לעומת זאת במאפיין 2, מתקיים פירוק אחר לגמרי: \operatorname{Sym} = \operatorname{Alt} \oplus \operatorname{Diag} (כאשר \mathrm{Diag} הוא מרחב התבניות האלכסוניות), המאפשר להציג תבנית ריבועית באופן יחיד דרך תבנית ביליניארית משולשית. מכיוון שבמאפיין 2 מתקיים b_{q_b}(x,x) = 2b(x,x)=0, התבנית b_q היא תמיד מתחלפת. הגרעין של ההתאמה \operatorname{Quad} \to \operatorname{Alt} המוגדרת לפי q \mapsto b_q הוא אוסף המטריצות האלכסוניות.

## מטריצות והצורה האלכסונית
לאחר שקובעים למרחב הווקטורי V בסיס B, כל תבנית *ביליניארית* אפשר לייצג באופן יחיד על ידי מטריצה ריבועית, לפי הנוסחה b(x,y)=[x]_B^tM[y]_B. בחירת בסיס שונה תוביל למטריצה מייצגת חופפת. לכן, מיון תבניות ביליניאריות עד כדי איזומורפיזם, שקול למיון של מטריצות עד כדי חפיפה. התבנית סימטרית אם ורק אם המטריצה סימטרית.

במאפיין שונה מ-2 כל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה אלכסונית, ולכן כל תבנית ריבועית אפשר להציג ב**צורה אלכסונית** : q(x_1,...,x_n)=a_1x_1^2+...+a_nx_n^2, אותה מסמנים q=\langle a_1,...,a_n \rangle.

מעל הממשיים, המעבר לצורה אלכסונית קובע את סימן סילבסטר של התבנית, השווה למספר המקדמים החיוביים פחות מספר המקדמים השליליים. הסימן קובע את הגאומטריה של המשטח q=0, ואת ההתנהגות של התבנית בסביבת האפס. אם כל הסימנים באלכסון שווים, התבנית חיובית לחלוטין או שלילית לחלוטין. עובדה זו מאפשרת למיין נקודות קיצון של פונקציות בכמה משתנים: סוג הנקודה נקבע על ידי התבנית הריבועית שמשרות הנגזרות השניות (מטריצת הסיאן). אם הנגזרת השנייה בנקודה קריטית היא חיובית לחלוטין, זוהי נקודת מינימום; ואם הנגזרת השנייה שלילית לחלוטין, זוהי נקודת מקסימום.

## הרדיקל
תהי b תבנית ביליניארית סימטרית, U \subseteq V תת-מרחב. נסמן U^{\perp}=\{x \in V:b(x,u)=0, \forall u \in U\}, זהו **המרחב הניצב** ל-U **ביחס ל-** b. ה**רדיקל** של התבנית הוא \operatorname{rad}(V)=V^{\perp}=\{x \in V| b(x,v)=0, \forall x \in V\}. אומרים ש-b **רגולרית** אם יש לה רדיקל טריוויאלי - \operatorname{rad}(V)={0}, ואז המרחב (V,b) נקרא **[[מרחב רגולרי]]**. תבנית ביליניארית היא רגולרית אם ורק אם המטריצה המייצגת היא הפיכה.

הרדיקל של תבנית ריבועית q מוגדר לפי \operatorname{rad}(q) = \{x \in \operatorname{rad}(b_q) : q(x) = 0\}. במאפיין שונה מ-2, הרדיקל של תבנית ריבועית הוא הרדיקל של התבנית הביליניארית הסימטרית המייצגת אותה. במאפיין 2 בהחלט ייתכן ש-\operatorname{rad}(q) \subset \operatorname{rad}(b_q). תבנית ריבועית q היא **רגולרית** אם ורק אם הרדיקל שלה הוא אפס. במאפיין שונה מ-2, תכונה זו שקולה לכך שהמטריצה המייצגת הפיכה.

בכל מרחב ריבועי יש תת-מרחב רגולרי מקסימלי, שהוא גם איזומורפי למרחב המנה המתקבל מחילוק ברדיקל. אפיון זה מוביל לחקירה של מרחבים ריבועיים רגולריים.

## איזוטרופיות ומרחב היפרבולי

יהי (V,q) מרחב ריבועי רגולרי. וקטור v \in V נקרא **איזוטרופי** אם q(v)=0. תת-מרחב U \subseteq V נקרא **מרחב איזוטרופי** (לחלוטין) אם כל u \in U איזוטרופי. מרחב בו אין וקטור איזוטרופי נקרא **אנאיזוטרופי**. לדוגמה, מעל הממשיים (או כל שדה סדור אחר), התבנית q(x_1,...,x_n)=x_1^2+...+x_n^2 היא אנאיזוטרופית.

המרחב הדו-ממדי עם התבנית הריבועית \ q(x_1,x_2) = x_1x_2 נקרא **המישור ההיפרבולי** (במאפיין שונה מ-2, אפשר להציג אותו גם בצורה q(x_1,x_2) = x_1^2-x_2^2). סכום ישר של עותקים של המישור ההיפרבולי נקרא **מרחב היפרבולי**.

הממד של תת-מרחב איזוטרופי של V הוא לכל היותר חצי הממד של V; במאפיין שונה מ-2, אם יש ל-V תת-מרחב איזוטרופי שממדו חצי הממד של V, אז V מרחב היפרבולי. במאפיין שונה מ-2, המישור ההיפרבולי הוא המישור האיזוטרופי הרגולרי היחיד, וכל מרחב איזוטרופי מכיל עותק (איזומורפי) של מרחב היפרבולי.

## המבנה של מרחב ריבועי

כל תבנית ריבועית (מממד סופי, בכל מאפיין) אפשר לפרק באופן יחיד לסכום ישר של שלושה חלקים: המרכיב הרדיקלי שהוא תבנית האפס, מרחב היפרבולי, ומרחב אנאיזוטרופי. התבנית היא רגולרית אם ורק אם המרכיב הרדיקלי שלה טריוויאלי. פירוק זה הוא הבסיס לבנייה של חוג ויט; **אינדקס ויט** של התבנית הוא מחצית הממד של המרכיב ההיפרבולי.

כל תבנית ריבועית אנאיזוטרופית אפשר לפרק לסכום ישר [a_1,b_1] \perp \cdots \perp [a_t,b_t] \perp \langle c_1,\dots,c_s\rangle, כאשר [a,b] מייצג את התבנית הריבועית הדו-ממדית q(x_1,x_2) = ax_1^2+x_1x_2+bx_2^2 ו-\langle c_1,\dots,c_s\rangle הוא החלק האלכסוני. במאפיין שונה מ-2 אפשר להניח ש-t = 0. תבנית רגולרית, הנשארת רגולרית לאחר כל הרחבת סקלרים, נקראת **לא-מנוונת**. במאפיין שונה מ-2 כל תבנית רגולרית אינה מנוונת; במאפיין 2, התבנית אינה מנוונת אם ורק אם אפשר להציג אותה כסכום של מרחב היפרבולי ומרחב אנאיזוטרופי שבו s = 0 או s = 1.

## ראו גם
* תבנית ביליניארית
* חוג ויט
* תבנית פיסטר
* תבנית קילינג, שהיא תבנית ריבועית הקשורה לאלגברת לי, ומאפשרת לקבוע האם האלגברה פשוטה למחצה.

## לקריאה נוספת
* The Algebraic and Geometric Theory of Quadratic Forms, E. Elman, N. Karpenko and A. Merkurjev, AMS Coll Pub 56, 2008.
* עוזי וישנה, מבוא לתבניות ריבועיות, 2014.

## קישורים חיצוניים

* 
* 

קטגוריה:פולינומים
קטגוריה:אלגברה ליניארית
קטגוריה:תבניות ריבועיות