התפלגות רב-נורמלית

e^{-( \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol\mu)^\mathrm{T} \boldsymbol\Sigma^{-1}(\mathbf{x} - \boldsymbol\mu) )}
| תוחלת = \boldsymbol\mu
| מצטברת =
| חציון =
| שכיח = \boldsymbol\mu
| שונות = \ \Sigma
| אנטרופיה = \frac{k}{2} \log \mathord\left( 2\pi \mathrm{e} \right) + \frac{1}{2} \log | \boldsymbol\Sigma| 
| מומנטים = \exp\!\Big( \boldsymbol\mu^\mathrm{T} \mathbf{t} + \tfrac{1}{2} \mathbf{t}^\mathrm{T} \boldsymbol\Sigma \mathbf{t}\Big)
| אופיינית =\exp\!\Big( i\boldsymbol\mu^\mathrm{T} \mathbf{t} - \tfrac{1}{2} \mathbf{t}^\mathrm{T} \boldsymbol\Sigma \mathbf{t}\Big)
}}
בתורת ההסתברות, **התפלגות רב-נורמלית**, או **התפלגות גאוסיאנית רב-ממדית** (באנגלית: **Multivariate normal distribution**) היא הכללה של התפלגות נורמלית למשתנים מקריים רב-ממדיים. היא מוגדרת בתור וקטור משתנים מקריים, שכל צירוף ליניארי שלו מתפלג נורמלית. ישנה גם הגדרה (כללית יותר) בשפה של פונקציות אופייניות (הקובעת את המשתנה).

להתפלגות רב-נורמלית מספר שימושים, כגון הוכחת טענות על התפלגות הממוצע וסטיית התקן של משתנים מקריים שווי התפלגות נורמלית; טענות אלו שימושיות במיוחד בסטטיסטיקה. ניתן גם לנסח את משפט הגבול המרכזי בגרסה רב-ממדית בעזרת התפלגות רב-נורמלית.

## הגדרה
יהי X=(X_1, \dots ,X_n) וקטור משתנים מקריים ממשיים. נאמר ש-X **מתפלג רב-נורמלית** (או **גאוסיאנית**) אם לכל a_1,\dots,a_n \in \mathbb{R} המשתנה המקרי (החד־ממדי) \langle \bar{a}, \bar{X} \rangle=a_1 X_1 + \dots +a_n X_n מתפלג נורמלית, כלומר קיימים \mu,\sigma (תלויים ב-a_i) כך ש-\langle \bar{a}, \bar{X} \rangle \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2).

אם X משתנה רב-נורמלי, מסמנים X \sim \mathcal{N}(\bar{\mu},\Sigma). \bar{\mu} הוא וקטור התוחלות, כלומר
: \boldsymbol\mu = \operatorname{E}[\mathbf{X}] = ( \operatorname{E}[X_1], \operatorname{E}[X_2], \ldots, \operatorname{E}[X_k] ) ^ \mathrm{T} 

ו-\Sigma היא מטריצת השונות משותפת:
: \Sigma_{i,j} = \operatorname{E} [(X_i - \mu_i)( X_j - \mu_j)] = \operatorname{Cov}[X_i, X_j] 
כאשר 1 \le i,j \le k.

## תכונות
### הפונקציה האופיינית
ניתן לאפיין את המשתנים המקריים הגאוסיאניים בעזרת הפונקציה האופיינית שלהם: וקטור משתנים מקריים הוא גאוסיאני אם ורק אם הוא בעל פונקציה אופיינית:

: \varphi_\mathbf{X}(\mathbf{u}) = \exp\Big( i\mathbf{u}^\mathrm{T}\boldsymbol\mu - \tfrac{1}{2}\mathbf{u}^\mathrm{T}\boldsymbol\Sigma \mathbf{u} \Big)
כאשר מטריצה השונות \Sigma היא חיובית.

בפרט, נובע שהמשתנים המקריים בלתי מתואמים אם ורק אם הם בלתי תלויים (מה שאינו נכון באופן כללי).

### לכסון
לכל משתנה מקרי רב-נורמלי X קיימים משתנה מקרי Y ומטריצה אורתוגונלית A כך ש-X=\bar{\mu} + YA, כאשר Y_i \sim \mathcal{N}(0,\lambda_i) ו-\lambda_i הם הערכים עצמיים של \Sigma (מטריצת השונויות המשותפות).

בכיוון ההפוך, לכל משתנה מקרי רב-נורמלי X ולכל מטריצה אורתוגונלית A, המשתנה המקרי AX גם הוא רב נורמלי: Y \sim \mathcal{N}(A \mu, \Sigma).

כדי להוכיח משפט זה, יש להפעיל לכסון אורתוגונלי על \Sigma (בפרט, המטריצה A נבחרת להיות המטריצה המלכסנת).

### פונקציית צפיפות
כאשר מטריצת השונות \Sigma איננה מטריצה סינגולרית - כלומר כל ערכיה העצמיים \lambda_i  שונים מאפס, למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות, הנתונה על ידי הנוסחה:
:f_{X}(\bar{x}) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}| \Sigma|}}e^{-\frac{1}{2}({\bar{x}}-{\bar{\mu}})^T{\Sigma}^{-1}({\bar{x}}-{\bar{\mu})}} = \frac{1}{\sqrt}e^{-\frac{1}{2}({\bar{x}}-{\bar{\mu}})^T{\Sigma}^{-1}({\bar{x}}-{\bar{\mu})}}.

כאשר | \cdot|=\det(\cdot) מסמן דטרמיננטה.

### התפלגויות שוליות
למציאת ההתפלגות השולית של משתנים מקריים המתפלגים רב-נורמלית, מספיק להשמיט את המשתנים הלא-רלוונטיים (המשתנים שיש לבצע עליהם אינטגרציה) מווקטור התוחלת \boldsymbol\mu וממטריצת השונות \boldsymbol\Sigma. ההוכחה לכך נובעת מההגדרה של ההתפלגות הרב-נורמלית ומאלגברה ליניארית.
#### דוגמה
יהי \mathbf X = [X_1, X_2, X_3] וקטור מקרי רב-נורמלי עם וקטור תוחלת  \boldsymbol\mu = [\mu_1, \mu_2, \mu_3] ומטריצת שונות  \boldsymbol\Sigma. ההתפלגות השולית של \mathbf X' = [X_1, X_3] היא התפלגות רב-נורמלית עם וקטור תוחלת  \boldsymbol\mu ' = [\mu_1, \mu_3] ומטריצת שונות
 \boldsymbol\Sigma' =
\begin{bmatrix}
\boldsymbol\Sigma_{11} & \boldsymbol\Sigma_{13} \\
\boldsymbol\Sigma_{31} & \boldsymbol\Sigma_{33}
\end{bmatrix}
.

## התפלגות רב-נורמלית סינגולרית
בדרך כלל מניחים כי מטריצת השונויות \Sigma איננה מטריצה סינגולרית. כאמור, במקרה זה למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות.

עם זאת, כאשר מורידים את ההנחה האחרונה (כלומר, יש ערכים עצמיים אפס), מתקבל **משתנה מקרי רב-נורמלי סינגולרי**. ההגדרה בעזרת הפונקציה האופיינית היא כללית יותר (כלומר, תקפה גם במקרה הסינגולרי). במקרה זה **אין פונקציית צפיפות** (ביחס למידת לבג) - ערכיה של פונקציית הצפיפות ייקבעו על ידי פחות מ-n משתנים, ואינטגרל של פונקציה כזו הוא אפס ולא 1, כנדרש מפונקציית צפיפות.

בכל זאת, ניתן להגדיר מידות אחרות (על תת-מרחב \operatorname{rank}(\Sigma)-ממדי של \mathbb{R}^n) ואז מוגדרת פונקציית צפיפות עבור משתנה מקרי ביחס למידה החדשה.

## יישומים
אם X_1,X_2,\dots משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים N(0,1), נסמן \bar{X}_n = \frac{X_1+\dots +X_n}{n} ו-S_n=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\bar{X}_n)^{2}}. אז מתקיים:
:\bar{X}_n/\sqrt{\frac{S_n}{n}} \sim t_{n-1}, כלומר מתפלג סטודנט עם n-1 דרגות חופש.

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

רב-נורמלית