נוסחת לייבניץ לדטרמיננטות

**נוסחת לייבניץ לדטרמיננטות** היא נוסחה באלגברה המבטאת את הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית באמצעות תמורות של איברי המטריצה. היא נקראת על שם המתמטיקאי והפילוסוף גוטפריד וילהלם לייבניץ.

אם *A* היא מטריצה מסדר *n*×*n*, אז אם נסמן ב-*a**i*,*j* את האיבר בשורה ה-*i* ובעמודה ה-*j*, הנוסחה היא:

:\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i), i},

כאשר sgn היא פונקציית הסימן של התמורות בחבורת התמורות *S**n*, והיא מחזירה 1+ אם התמורה זוגית (כלומר אם היא מתקבלת מתמורת הזהות על ידי מספר זוגי של חילופים) ו-1- אם התמורה אי-זוגית. ויזואלית ניתן לדמות את הנוסחה כסכום מסומן של כל המכפלות האפשריות של *n* מאיברי המטריצה כאשר הם נבחרים כך שאין שניים באותה עמודה או שורה.

נוסחה זו היא הביטוי המתמטי היחיד המקבל כמשתנים את *n**2* איברי המטריצה, ומהווה תבנית מולטי-ליניארית (הווה אומר, ליניארית בכל אחד מאיברי המטריצה), מתחלפת (אנטי-סימטרית) ומנורמלת. זו הגרסה הסגורה להגדרה הרקורסיבית של הדטרמיננטה באמצעות פיתוח למינורים לפי שורה או עמודה מסוימת.

את כמה מהתכונות הבסיסיות של הדטרמיננטה, כגון התאפסותה עבור מטריצה תלויית-שורות, ניתן להסביר כתוצא ישיר של הגדרה זו, וכפועל יוצא של הצורה המתמטית של הנוסחה. למשל, אם שתיים משורות המטריצה הריבועית זהות (עד כדי כפל בסקלר), אז מאנטי-סימטריות הדטרמיננטה נובע שאם נחליף בין השורות הזהות ערך הדטרמיננטה ישתנה מ- det(A) ל--det(A); אולם המטריצה נותרה אותו דבר (החלפנו שורות זהות), וכיוון שהמספר היחידי ששווה לנגדי של עצמו הוא 0 נובעת התאפסות הדטרמיננטה. בנימה דומה, כלל קרמר נובע ישירות ממולטי-ליניאריות הדטרמיננטה.

חישוב ישיר של הדטרמיננטה על פי נוסחת לייבניץ דורש באופן כללי \Omega(n! \cdot n) פעולות בשדה; זה מאוד לא יעיל בעבור מטריצות גדולות. בעזרת דירוג מטריצות ניתן להוריד זאת ל-(O(*n*3, זאת שכן הדטרמיננטה של מטריצה משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי שלה, ואת הדטרמיננטה המקורית ניתן לשחזר באמצעות "זכירת" הפעולות האלמנטריות שביצענו עד כה אשר שינו את ערכה.

## ניסוח פורמלי והוכחה
**משפט.**
קיימת פונקציה יחידה
: F : M_n (\mathbb K) \rightarrow \mathbb K 

אשר היא מתחלפת, מולטי-ליניארית ביחס לעמודות ושורות המטריצה, ומנורמלת כך ש-F(I) = 1.

**הוכחה.**

**יחידות:** תהי F פונקציה כזאת, ותהי A = (a_i^j)_{i = 1, \dots, n}^{j = 1, \dots, n} מטריצה מסדר n \times n. נקרא ל-A^j העמודה ה-j של A, כלומר A^j = (a_i^j)_{i = 1, \dots, n}, כך ש-A = \left(A^1, \dots, A^n\right)..

בנוסף, תהי E^k העמודה ה-k של מטריצת הזהות.

כעת נרשום את כל אחת מהעמודות A^j במונחי העמודות E^k, כלומר

:A^j = \sum_{k = 1}^n a_k^j E^k.

כיוון ש-F היא מולטי-ליניארית, מקבלים:

:
\begin{align}
F(A)& = F\left(\sum_{k_1 = 1}^n a_{k_1}^1 E^{k_1}, \dots, \sum_{k_n = 1}^n a_{k_n}^n E^{k_n}\right)\\
& = \sum_{k_1, \dots, k_n = 1}^n \left(\prod_{i = 1}^n a_{k_i}^i\right) F\left(E^{k_1}, \dots, E^{k_n}\right).
\end{align}


כיוון ש-*F* מתחלפת, כל איבר עם אינדקסים חוזרים הוא 0. הסכום לפיכך מוגבל ל-n-יות עם אינדקסים לא חוזרים, או במילים אחרות תמורות:

:F(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \left(\prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i\right) F(E^{\sigma(1)}, \dots, E^{\sigma(n)}).

כיוון ש-*F* מתחלפת, העמודות E ניתנות לשחלוף עד אשר המטריצה הופכת למטריצת הזהות (הדבר שקול לכפל במטריצת תמורה). פונקציית הסימן \sgn(\sigma) מוגדרת כך שתמנה את מספר חילופי העמודות הנחוצים ותביא לשינוי הסימן. לבסוף מקבלים:

:
\begin{align}
F(A)& = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \left(\prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i\right) F(I)\\
& = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i
\end{align}


שכן F(I) מוגדרת כשווה ל-1.

לפיכך אף פונקציה אחרת חוץ מזו המוגדרת על ידי נוסחת לייבניץ יכולה להיות מולטי-ליניארית, מתחלפת ומנורמלת כך ש-F\left(I\right)=1.

**קיום**: כעת נראה ש-F, כאשר F היא הפונקציה שמוגדרת של ידי נוסחת לייבניץ, היא בעלת שלוש תכונות.

מולטי-ליניארית:
:
\begin{align}
F(A^1, \dots, cA^j, \dots) & = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) ca_{\sigma(j)}^j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\\
& = c \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) a_{\sigma(j)}^j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\\
&=c F(A^1, \dots, A^j, \dots)\\
\\
F(A^1, \dots, b+A^j, \dots) & = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma)\left(b_{\sigma(j)} + a_{\sigma(j)}^j\right)\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\\
& = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma)
\left( \left(b_{\sigma(j)}\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\right) + \left(a_{\sigma(j)}^j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\right)\right)\\
& = \left(\sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) b_{\sigma(j)}\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\right)
 + \left(\sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i\right)\\
&= F(A^1, \dots, b, \dots) + F(A^1, \dots, A^j, \dots)\\
\\
\end{align}


מתחלפת:
:
\begin{align}
F(\dots, A^{j_1}, \dots, A^{j_2}, \dots)
& = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \left(\prod_{i = 1, i \neq j_1, i\neq j_2}^n a_{\sigma(i)}^i\right) a_{\sigma(j_1)}^{j_1} a_{\sigma(j_2)}^{j_2}\\
\end{align}


לכל \sigma \in S_n תהי \sigma' ה-n-יה השווה ל-\sigma עם האינדקסים j_1 ו-j_2 מוחלפים.

:
\begin{align}
F(A) & = \sum_{\sigma\in S_{n},\sigma(j_{1})

לכן אם A^{j_1} = A^{j_2} אז F(\dots, A^{j_1}, \dots, A^{j_2}, \dots)=0.

לסיום, נקבל F(I)=1:

:
\begin{align}\\
F(I) & = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n I^i_{\sigma(i)}\\
& = \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n I^i_{\sigma(i)}\qquad\text{where }\sigma = (1, 2, \ldots, n). \text{ For other choices of }\sigma, I^i_{\sigma(i)}=0.\\
& = \prod_{i = 1}^n I_{i}^i\\
& = 1
\end{align}


לפיכך הפונקציות המולטי-ליניאריות ומתחלפות היחידות עם F(I)=1 מוגבלות לצורה הפונקציונלית המוגדרת על ידי נוסחת לייבניץ, שלמעשה מקיימת את שלושת התנאים הללו.

## ראו גם
* דטרמיננטה
* כלל קרמר

קטגוריה:דטרמיננטות