טריגונומטריה ספירית

שמאל|250px
**טריגנומטריה ספֵירִית** היא ענף של הגאומטריה הספירית הדן במצולעים (בעיקר משולשים) המצויים על מעטפת כדורית.
הטריגונומטריה הספירית עוסקת ביחסים שבין הזוויות השונות המגדירות מצולע:
* הזוויות שבין צלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות A,B,C או \alpha , \beta , \gamma \,).
* הזוויות שבין מרכז הכדור לצלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות a' , b' , c' \,).
:(הערה: מהנוסחה לחישוב היקף מעגל מתקבל כי : a'=\tfrac a R ,b'=\tfrac b R , c'=\tfrac c R \, ).

ניתן לפתח את התורה על בסיס הטריגנומטריה האוקלידית ובהנחה כי נתון רדיוס הכדור (למשל, רדיוס כדור הארץ הוא כ-6400 ק"מ).

## משפטים
שמאל|250px
המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים  מקבילים בטריגונומטריה הספירית:

### משפט פיתגורס
משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם \ a ו-\ b, ואורך היתר הוא \ c, אז \ a^2+b^2=c^2.
בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא:
 \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\,\cos \left(\frac{b}{R}\right) .

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה \cos {\alpha} \, לטור מקלורן: \cos \alpha =1 - \frac {\alpha^2} 2 + ...  
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים:
\left ( 1 - \frac {c^2} {2R^2} + ...\right )= \left ( 1 - \frac {a^2} {2R^2} + ...\right )\cdot \left ( 1 - \frac {b^2} {2R^2} + ...\right ) .
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם 2R^2 \,, מקבלים כאשר רדיוס הכדור \,R \to \infin את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית: a^2+b^2=c^2 \,.

**הוכחת המשפט:**

את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא:
הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X.
במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן:
B(R,0,0) \,  ,
C(R \cos (a'),R \sin (a'),0) \,, 
A(R cos (a') \cos (b') ,R \sin (a') \cos (b'),R \sin (b')) \,.

את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא:
\cos (c')= \frac {OA \cdot OB} {\| OA \| \| OB \|}=\cos (a') \cos (b').

הצבת השוויונות: a'=\tfrac a R ,b'=\tfrac b R , c'=\tfrac c R \, במשוואה האחרונה מניבה את המשפט: 
 \cos \left(\tfrac{c}{R}\right)=\cos \left(\tfrac{a}{R}\right)\,\cos \left(\tfrac{b}{R}\right) .

הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה \gamma = 90^0.

### משפט הסינוסים
משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן \ a, b, c והזוויות שמולן הן \ \alpha, \beta, \gamma בהתאמה,  מתקיים: {a \over \sin \alpha}={b \over \sin \beta}={c \over \sin \gamma}.

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא: \frac{\sin \tfrac a R}{\sin \alpha}=\frac{\sin \tfrac b R}{\sin \beta}=\frac{\sin \tfrac c R}{\sin \gamma} .

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה   \sin{\alpha} \, 
לטור מקלורן: \sin \alpha =\alpha+ ...\,.

כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור \,R \to \infin  : \frac{\tfrac a R +...}{\sin \alpha}=\frac{\tfrac b R +...}{\sin \beta}=\frac{\tfrac c R +...}{\sin \gamma}.

לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית:{a \over \sin \alpha}={b \over \sin \beta}={c \over \sin \gamma}.

**הוכחת המשפט:**

האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D.
האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה.

אזי AF \perp OC, AE \perp OB וגם \angle {AED}=\beta, \angle {AFC}=\gamma .

במשולש AED מתקיים: \sin {\beta}=\tfrac {AD} {AE} 
ובמשולש AFD מתקיים: \sin {\gamma}=\tfrac {AD} {AF}
ולכן \frac {\sin \beta} {\sin \gamma} = \frac {AF} {AE}.

במשולש AOE מתקיים: \sin {c'}=\tfrac {AE} R 
ובמשולש AOF מתקיים: \sin {b'}=\tfrac {AF} R .

לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים:
\frac {\sin \beta} {\sin \gamma} = \frac {\sin {b'}} {\sin {c'}},
כלומר:\frac {\sin \beta} {\sin \gamma} = \frac {\sin {\frac b R}} {\sin {\frac c R}}.

### משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן \ a, b, c והזוויות שמולן הן \ \alpha, \beta, \gamma בהתאמה,  מתקיים: \ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא:
\, \cos \frac c R = \cos \frac a R \cdot \cos \frac b R + \sin \frac a R \cdot \sin \frac b R \cdot \cos \gamma.

(עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי: \, \cos \gamma = - \cos \alpha \cdot \cos \beta  + \sin \alpha \cdot \sin \beta  \cdot \cos \frac c R).

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות \cos{\alpha} , \sin{\alpha} \, לטור מקלורן:  \cos \alpha =1 - \frac {\alpha^2} 2 + ..., \sin \alpha =\alpha+ ...\,.

כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים:
\left ( 1 - \frac {c^2} {2R^2} + ...\right )= \left ( 1 - \frac {a^2} {2R^2} + ...\right )\cdot \left ( 1 - \frac {b^2} {2R^2} + ...\right )+\left (\frac {a \cdot b} {R^2} \cdot \cos {\gamma} + ...\right ) .

לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם 2R^2 \,, מקבלים כאשר רדיוס הכדור \,R \to \infin את משפט הקוסינוסים בגרסתו האוקלידית: \ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma.

## זהויות

## קישורים חיצוניים

* 
* 

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:טריגונומטריה
קטגוריה:גאומטריה לא אוקלידית
קטגוריה:משולש