זנק הידראולי

[שמאל|ממוזער|250px|דוגמה קלאסית לזנק היא מעגל המים 'המזנק' סביב זרם המים, ומבטא את המעבר מזרימה סדורה ורגועה ([זרימה למינרית|למינרית) לזרימה גועשת (טורבולנטית).]]
[שמאל|ממוזער|250px|זרם מים ביציאה ממחליף החום ב[תחנת הכוח רדינג בתל אביב]]
**זנק הידראולי** (באנגלית: **Hydraulic Jump**), הוא תופעה המתרחשת בזרימה בתעלות פתוחות כאשר גובה הזורם עולה באופן פתאומי (מזנק) ללא שינוי גאומטרי בממדי התעלה. חלק מחידתיות התופעה נעוצה בהפסדי האנרגיה (דיסיפציה) העוברת למערבולות המתפתחות בזרימה, ובהן מומרת האנרגיה הקינטית להפסדים של אנרגיית חום. אופי הזרימה נקבע באמצעות מספר פראוד המבטא את היחס בין מהירות התקדמות הזורם לבין מהירות גל הכובד:  F_r=\frac{v} { \sqrt{gh} }  ומסווג לשלושה תחומי זרימה;
על-קריטית ( F_r>1  ), 
קריטית ( F_r=1 )
ותת קריטית ( F_r).

קיים דמיון רב בין תופעת הזנק בנוזלים ובין תופעת גל הלם בזרימה דחיסה במובן של השינוי הפתאומי ואי הרציפות הנוצרת בתווך החומרי, ובמובן של חזית הגל המתקדמת ששונה משמעותית בלחץ ובצפיפותה. על כן, בשל הפסדי האנרגיה הרבים החלים במערכת, נהוג לחשב את שינויי המערכת לפי שימור תנע תוך שימוש בנפח בקרה מבודד, ולא לפי משוואת שימור אנרגיה רגילה.

## הסבר אינטואיטיבי לתופעה

כאשר זורם במהירות גבוהה מספיק (מעל מהירות קריטית מסוימת) זולג לתוך אזור שמאפשר רק מהירות זרימה נמוכה יותר,  שינוי פתאומי מתחולל בגובה פני הזורם.
הנוזל הזורם במהירות מאט בפתאומיות ומגדיל את גובהו, ובכך ממיר חלק מהאנרגיה הקינטית ההתחלתית של הזורם לגידול באנרגיה הפוטנציאלית שלו, יחד עם כמות מסוימת של אנרגיה שאובדת באופן בלתי הפיך לחום דרך טורבולנציה.

תופעה זו מתרחשת למשל בתעלה בעלת תחתית עם שיפוע משתנה, בה במורד הזרם, כוחות החיכוך והצמיגות מכריחים את הזרימה להיות איטית, אך במעלה זרם היכן שהשיפוע גבוה יותר, מהירות הזרימה היא על-קריטית. כגון בסרטון למעלה, בו נראה הזנק ההידראולי ביציאה ממחליף החום ברדינג, היכן שתחתית התעלה משנה את שיפועה. או בתמונה בהמשך הערך בו נצפה הזנק ההידראולי מים אחרי מפל.

בעבור מהירויות זרימה התחלתיות שאינן משמעותית מעל המהירות הקריטית, המעבר מופיע כגל נייח קטן על פני המים. כשמהירות הזרימה ההתחלתית גדלה עוד יותר, המעבר נעשה פתאומי יותר, עד אשר במהירויות גבוהות מספיק, חזית המעבר נשברת ומתערבלת בחזרה על עצמה. כאשר זה קורה, הקפיצה יכולה להיות מלווה בטורבולנציה אלימה, ערבוב של האוויר והמים המופיע כתצורות של בועות במים, גלי שטח (אדוות - גלי מתח פנים), וגלי מים.

## סיווג
[שמאל|ממוזער|300px|זנק הידראולי נע, או נחשול גאות, כפי שנצפה ב[מפרץ קוק באלסקה. ניתן לראות בתמונה את האזור הטורבולנטי מקדימה לקיר המים, בדומה לטורבולנציה המתקיימת באזור המעבר בזנק ההידראולי הנייח.]]
ישנן שתי תופעות עיקריות בהם מתגלמת תופעת הזנק ההידראולי, ומבחינה היסטורית נעשה שימוש בטרמינולוגיה שונה לכל תופעה. אף על פי כן, המכניזמים מאחורי כל תופעה דומים, ושתי התופעות הן פשוט וריאציות אחת של השנייה הנצפות ממערכת ייחוס שונה, ולכן אותן טכניקות אנליטיות משמשות לניתוח שלהן.

שני הסוגים הם:

* **הזנק ההידראולי הנייח** - מים הזורמים במהירות הופכים בקפיצה נייחת למים הזורמים באיטיות.
* **הזנק ההידראולי הנע** - שנקרא גם נחשול גאות (אף שתופעת הגאות והשפל אינה הגורם היחידי המחולל אותו) - קיר של מים שנע ביחד עם הזרם. אם עוברים למערכת הייחוס של הקיר, התופעה נראית כזנק ההידראולי הנייח. למעשה, התקדמות גל צונאמי באוקיינוס הפתוח נעשית כמו הזנק ההידראולי הנע (מתחת לגל, הים כולו נמצא בתנועה אופקית), וניתן להיעזר באותם כלים אנליטיים המשמשים לניתוח הזנק ההידראולי כדי להסיק שמהירות התקדמות הצונאמי באוקיינוס בעומק H היא v = \sqrt .

## ניתוח מתמטי של התופעה בזרימה בתעלות - חיזוי גובה הקפיצה
גודל הקפיצה בגובה המים בזנק הידראולי בתעלות נגזר מיישום משוואות הרציפות ומשוואות שימור התנע לזרימה אי-דחיסה בעלת חתך משתנה (גובה הזורם משתנה).

ממוזער|400px|left|המחשה של התנהגות הזרימה בזנק הידראולי.
### יישום עקרון הרציפות

במכניקת הזורמים, עקרון הרציפות הוא ניסוח שקול לשימור המסה. בהינתן משטח סגור התוחם במלואו זורם, הזורם זורם לתוך הנפח שלו בחלק מהמשטח והחוצה מהמשטח בחלק אחר ממנו, אך סך הזרימה אליו היא אפס, שכן צפיפות הזורם קבועה. במקרה של תעלה מלבנית, השוויון בין שטף הזרימה פנימה (\rho v_0 h_0L) והחוצה (\rho v_1 h_1L) אל אזור המעבר (האזור בו גובה הזורם משתנה) מניב:

: v_0 h_0L = v_1 h_1L = q או v_1 = v_0 {h_0 \over h_1} 

כאשר \rho היא צפיפות הזורם, v_0 ו-v_1 הם המהירויות האופקיות הממוצעות של פרודות הזורם משני צידי הזנק ההידראולי, L הוא רוחב התעלה, ו-h_0 ו-h_1 עומק המים משני צידיו.

### שינוי שטף התנע

כדי להבין כיצד מהירות הזורם משתנה משני צידי הקפיצה, נביט בעמודות מים משני צידי הזנק. המתקף שעמודת מים יוצרת שווה למכפלת משך הזמן באינטגרל על הכוח ההידרוסטטי שהיא יוצרת בכל העומקים. הכוח ההידרוסטטי הוא מכפלת הלחץ בשטח החתך  dA = L dh, כאשר הלחץ ההידרוסטטי בעמוד מאזן את הכבידה ומקיים p=\rho gh . כלומר:

J = T \cdot \int p dA =  TL\rho g\cdot\int_{0}^{h}hdh = \fracTL\rho gh^2.

בסיטואציה של זנק הידראולי בתעלה מלבנית, הזורם מאבד תנע בקצב קבוע ששווה להפרש בין סך הכוחות ההידרוסטטיים משני צידיו, כאשר קצב איבוד התנע מיוצג על ידי מכפלת ספיקת הזרימה בהפרש המהירויות משני צידיו. מתמטית, קשר זה מניב משוואה נוספת:

 \rho v_0^2h_0 + {1 \over 2} \rho gh_0^2 = \rho v_1^2h_1 + {1 \over 2} \rho gh_1^2..

כעת, אם נחלק את שני האגפים ב-\rho וניעזר בתוצאה של משוואת הרציפות, נקבל את הביטוי:

 v_0^2 \left(h_0-{h_0^2 \over h_1}\right) + {g \over 2} (h_0^2 - h_1^2)=0. 

שלאחר מספר מניפולציות אלגבריות הופך ל-:

 {1 \over 2} {h_1 \over h_0}\left({h_1 \over h_0} + 1\right) - Fr^2 = 0, .

כאשר  Fr^2={v_0^2 \over gh_0} . כאן Fr הוא מספר פראוד חסר הממדים, המקשר בין כוחות גרביטציוניים לכוחות אינרציה בזרימה. פתירת המשוואה הריבועית הזאת מניבה:

 {h_1 \over h_0} =\frac{-1 \pm{\sqrt{1+{\frac{8v_0^2}{gh_0}}}}}{2} .

האפשרויות השליליות אינן מציגות פתרונות פיזיקליים בעלי משמעות, לכן:
ממוזער|300px|שמאל| 
 {h_1 \over h_0} =\frac{-1 +{\sqrt{1+{\frac{8v_0^2}{gh_0}}}}}{2}  
 {h_1 \over h_0} =\frac{2}, 

קשר זה ידוע כ**משוואת Bélanger**. ניתן לראות כי קיימים שלושה סוגי פתרונות:

* כאשר  \frac{v_0^2}{gh_0} = 1, אז  {h_1 \over h_0} = 1  (כלומר אין קפיצה).
* כאשר  \frac{v_0^2}{gh_0} , אז  {h_1 \over h_0}  (כלומר יש קפיצה שלילית בגובה. אף על פי שמשוואות הרציפות והתנע מאפשרות פתרון כזה, הוא לא ייתכן פיזיקלית - מבחינה אנרגטית שטף האנרגיה היוצאת גדול משטף האנרגיה הנכנס. ניתן להסביר זאת ישירות גם מבלי להשתמש במשוואות, כתוצא ישיר של תהליכי השחיקה הטורבולנטיים הבלתי-הפיכים. כלומר, אם קפיצה שלילית הייתה יכולה להתקיים, ניתן היה להפוך את כיוון הזרימה ולקבל ששטף האנרגיה לתוך אזור הזנק גדול משטף האנרגיה החוצה מהזנק).
* כאשר  \frac{v_0^2}{gh_0} > 1, אז  {h_1 \over h_0} > 1  (כלומר יש קפיצה חיובית בגובה).

לסיכום, זנק הידראולי ייתכן רק אם מהירות הזורם היא על-קריטית, כאשר  \ Fr > 1, כלומר כאשר מהירות הזורם עולה על מהירות גל הכבידה בעומק כזה של הזורם. תנאי זה שקול לאמירה שמהירות הזורם לפני הזנק היא על-קריטית ואחרי הזנק היא תת-קריטית.

### קצב השחיקה האנרגטית בזנק הידראולי

קצב אובדן האנרגיה שווה לספיקה המסית של התעלה Q_M כפול השינוי הממוצע באנרגיה הסגולית (אנרגיה ליחידת מסה) הכוללת (קינטית + פוטנציאלית + הידרוסטטית). אם נסתכל בנפח מים הפרוש לרוחב התעלה בעל עובי \ell ומסה כוללת m=\rho L h \ell  לפני הזנק. נראה שאחרי הזנק, הוא מתכווץ ברוחב ומתרחב בגובה. מרכז המסה של העמוד עולה מגובה של  \frac{h_0}{2} לגובה של  \frac{h_1}{2}, לכן האנרגיה הפוטנציאלית של העמוד גדלה ב- m\frac ., הלחץ ההידרוסטטי אוצר אנרגיה הידרוסטטית המקיימת E=\int_V p dV= \rho g\ell L \int_0^h h dh = \rho g \ell L h \frac{h}{2}, לכן האנרגיה ההידרוסטטית גדלה גם היא ב- m\frac . לעומת זאת, האנרגיה הקינטית של העמוד קטנה ב-:
 \frac m\left(v_0^2 - v_1^2\right) = \frac mv_0^2\left(1 - \frac \right) . לפיכך קצב השחיקה נתון בביטוי:

 \frac{\Delta E}{\Delta T} =  Q_M \left[\frac v_0^2\left(1 - \frac \right) - g(h_1 - h_0)\right] = g\cdot Q_M  \frac{(h_1-h_0)^3}{4h_0h_1}

## ניתוח מתמטי של הסיבות לזנק הידראולי
עד כה הראנו מהן תוצאות הזנק ההידראולי, כעת נפנה להדגים את הגורמים לזנק הידראולי באמצעות ניתוח פשטני של שתי דוגמאות בהן הוא מופיע.

### נחשול גאות
בדו-מימד, משוואות הזרימה במים רדודים בתנאים בהם כוח קוריוליס וכוחות הצמיגות זניחים הן:

\begin{align}
\partial_t u + u \cdot\partial_x u + g \cdot\partial_x h &= 0 \\
\partial_t h + u \cdot\partial_x h + h \cdot\partial_x u &= 0
\end{align}

כאשר h הוא גובה פני המים ו-u המהירות האופקית שלהם, ושני המשתנים האלה תלויים בזמן ובמקום. נגדיר c=\sqrt{gh}, באמצעות מניפולציות אלגבריות ניתן להראות שמשוואות הזרימה נותנות:

\begin{align}
\left[\partial_t + (u+c) \cdot \partial_x \right] (u+2c) &= 0 \\
\left[\partial_t + (u-c) \cdot \partial_x \right] (u-2c) &= 0
\end{align}

בצורה זו נוח להבין את המשוואות באמצעות שיטת הקרקטריסטיקות, ומשמעותן היא שהגדלים u\pm2c  קבועים לאורך עקומות עליהן \frac{dx}{dt}= u\pm c. 

נתבונן כעת במצב מופשט, בו מערכת דו-ממדית נמצאת במנוחה כאשר מהירות הזרימה היא 0 וגובה המים הוא h_0 ומהירות הגל היא c_0 = \sqrt{gh_0}. נניח כעת שבזמן t=0 הקצה השמאלי של הזורם מתחיל להאיץ באופן קבוע, כך שמהירותו היא u=at. המערכת עבור x>c_0 t נמצאת במנוחה. בסביבה של נקודה זו, מניתוח הקרקטריסטיקה השלילית נקבל ש-u-2c = -2c_0 ולכן לאורך הקרקטריסטיקה החיובית \partial_t u + (3u/2 + c_0) \partial_x u = 0 כלומר u = f(x-(3u/2+c_0)t) עבור פונקציה כלשהי f. באמצעות תנאי השפה לפיו u=at בנקודה x=\frac{1}{2}at^2 ניתן למצוא את הפונקציה f ולקבל ש:

c = c_0 -\frac{1}{4} (c_0-3at/2) +\frac{1}{4} \sqrt{(c_0-3at/2)^2 -4a(x-c_0t)} עבור x. מכאן קל לקבל:

\partial_x c =-\frac{a}{2} \left[ (c_0-3at/2)^2 -4a(x-c_0t) \right]^{-1/2} ובפרט  \partial_x c אינסופי בנקודה t_c= \frac{2c_0}{3a}; x=c_0t . כלומר בנקודה זו הקפיצה בגובה היא אינסופית, בנקודה זו מתחיל זנק הידראולי והמשוואות הדיפרנציאליות כבר לא מתארות את הזרימה. במקומן הקפיצה מאופיינת לפי התנאים של הזנק ההידראולי.

המצב המופשט המובא כאן יכול לתאר היווצרות נחשול גאות, כאשר מסתכלים על הזרימה במערכת הייחוס של הנהר, ומתייחסים לכוח הגאות ככוח קבוע שפועל על שפך הנהר (הכוח של הגאות על הנהר עצמו זניח, רק בנקודה בה הנהר נשפך לים גדול הגאות רלוונטית).

### זנק הידראולי בכיור
הזנק ההידראולי בכיור, כפי שמודגם באיור בראשית הדף, מתאפיין בכך שבאזור סביב לזרם מהברז הזרימה נמוכה ומהירה, וברדיוס מסוים מסביב לנקודה זו מתבצעת קפיצה הידראולית, והזרימה נעשית גבוהה ואיטית. המשוואות שמתארות את הזרימה מסובכות, וכוללות חיכוך של הזורם עם הכיור, השפעה של מתח הפנים של הנוזל, והשפעת הכבידה. התוצאה של משוואות אלו עם תנאי השפה של הזרימה נותן:

\partial_r u_s = \frac{-u_s r h \frac{dp}{dr}+\gamma u_s + \frac{1}{2}\rho gh^2u_s - \tau r u_s}{\left(C_2- \frac{\gamma}{\rho u_s^2 h} - \frac{gh}{2u_s^2} \right)\rho u_s^2 hr}

כאשר u_s הוא מאפיין של המהירות הרדיאלית, C_2\approx0.48, p הוא הלחץ, \gamma מתח הפנים, ו-\tau מתאר את החיכוך עם הכיור. 

פתרון זה נעשה אינסופי בנקודה בה We^{-1} + Fr^{-2} = 1 כאשר We = \frac{C_2 \rho u_s h}{\gamma} הוא מספר ובר בבעיה, ו-Fr = \sqrt{\frac{2C_2u_s^2}{gh}} הוא מספר פראוד של הבעיה. בנקודה זו יתקיים זנק הידראולי.

## יישומים תעשייתיים

200px|left|ממוזער|שחיקת אנרגיה מכוונת באמצעות זנק הידראולי. באיור ניתן לראות את הקפיצה בגובה המים לאחר שזרמו במורד הגבעה.

בהנדסת מים, זנק הידראולי יזום הוא הדרך הנפוצה ביותר "לבזבז" את האנרגיה של זרימה מהירה של מים. זנק הידראולי שמתוכנן היטב יכול לבזבז עד 60% - 70% מהאנרגיה של הזרימה, ובכך להגביל את הנזק שנגרם למבנים העומדים בדרכה של הזרימה. ספרות מדעית ענפה פותחה לסוג זה של הנדסה.

## ראו גם

* גל הלם
* נחשול גאות 

## הערות שוליים

## קישורים חיצוניים

קטגוריה:הידרודינמיקה