משפט בלוך

שמאל|ממוזער|250px|סכימה של החלק הממשי של גל בלוך בממד אחד
[שמאל|ממוזער|250px|גל בלוך שְווה פוטנציאל בסריג [צורן (סיליקון)]]
בפיזיקת המצב המוצק, **משפט בלוך** הוא משפט המאפיין את פונקציית הגל של חלקיק בפוטנציאל מחזורי, דוגמת אלקטרון הנע בגביש מחזורי. פונקציות גל אלו מכונות **גלי בלוך** או **פונקציות בלוך**.

המשפט קרוי על שם הפיזיקאי פליקס בלוך שפרסם אותו בשנת 1928.

למשפט שימושים וחשיבות רבה בפיזיקת המצב המוצק, לדוגמה לגבי מבנה הפסים במתכות.

## ניסוח מתמטי
למשפט מספר ניסוחים שקולים.

### ניסוח ראשון
אם  V(\vec r)  הוא פוטנציאל מחזורי של סריג כלשהו, כלומר מתקיים  V(\vec r+\vec R) = V(\vec r)  עבור כל וקטור הזזה סריגית  \vec R , אזי ניתן לכתוב את הפתרונות למשוואת שרדינגר עבור האלקטרונים בסריג כך:
(\vec{r}) = e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} u_{\vec{k}}(\vec{r})
|ריווח תא = 6
|מסגרת = 1}}

כאשר לפונקציה  u  יש את אותה המחזוריות של הסריג, כלומר לכל  \vec r  בסריג ולכל הזזה סריגית  \vec R  מתקיים u_{\vec{k}}(\vec{r} + \vec{R}) = u_{\vec{k}}(\vec{r}).

פונקציות גל אלו הן פונקציות עצמיות של ההמילטוניאן  \mathcal{H} = \frac{\vec p^2}{2m} + V(\vec r)  עבור האלקטרונים.

### ניסוח שני
בהינתן המילטוניאן כנ"ל, קיים וקטור  \vec k , כך שהפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן מקיימות:

לכל הזזה סריגית  \vec R .

## הוכחה
המליטוניאן עבור קירוב אלקטרונים לא-תלויים :
: \mathcal{H} = \frac{\vec p^2}{2m} + V(\vec r) .

נגדיר וקטור סריג:
:\vec R \equiv n_1 \vec a_1 + n_2 \vec a_2 + n_3 \vec a_3
כאשר \vec a_2, \vec a_1 ו־\vec a_3 הם וקטורי סריג פרימיטיביים (n_1, n_2, n_3 \in \mathbb{Z}).

נגדיר אופרטורי הזזה בווקטור סריג עבור  \vec R  כלשהו כמוגדר לעיל:
: T_{\vec R} f(\vec r) \equiv f(\vec r + \vec R) .

מכיוון שהפוטנציאל שמור (invariant) להזזה בווקטור סריג (כלומר מתקיים  V(\vec r+\vec R) = V(\vec r)  עבור כל  \vec R  כמוגדר לעיל), אז גם ההמילטוניאן שמור להזזה בווקטור סריג.

ניתן להראות שההמילטוניאן חילופי עם אופרטורי הזזה בווקטור סריג  T_{\vec R}:
:T_{\vec{R}}(H(\vec{r})\psi(\vec{r}))=H(\vec{r}+\vec{R})\psi(\vec{r}+\vec{R})=H(\vec{r})\psi(\vec{r}+\vec{R})=H(\vec{r})T_{\vec{R}}\psi(\vec{r})
כלומר הקומוטטור של ההמילטוניאן וּוקטור סריג כלשהו שווה לאפס: [H,T_{\vec R}] = 0.

כמו כן, אופרטורי ההזזה הנ"ל חילופיים זה עם זה. לפיכך ניתן למצוא פונקציות עצמיות משותפות להמילטוניאן ולאופרטורי ההזזה, כלומר ניתן לבחור את הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כך שיקיימו:
:\begin{cases}
H \psi_n (\vec r) = E_n \psi_n (\vec r) \\
T_{\vec R} \psi_n (\vec r) = C(\vec R) \psi_n (\vec r)
\end{cases}

מכיוון שהזזה ב- \vec R_2  ואחריה הזזה ב- \vec R_1  שקולה להזזה ב- \vec R_1 + \vec R_2 , מתקיים:
:C(\vec R_1 + \vec R_2) \psi (\vec r) = T_{\vec R_1 + \vec R_2} \psi (\vec r) = T_{\vec R_1} T_{\vec R_2} \psi (\vec r) = C(\vec R_1) C(\vec R_2) \psi (\vec r)
ולכן:  C(\vec R_1 + \vec R_2) = C(\vec R_1) C(\vec R_2) 

הפונקציה היחידה בעלת תכונה זו היא אקספוננט, ולכן:
: C(\vec R) = e^{i\vec k \cdot \vec R} .
לסיום:
: \psi (\vec r+\vec R)=T_{\vec R} \psi(\vec r) = C(\vec R)\psi(\vec r) = e^{i\vec k \cdot \vec R} \psi(\vec r) 
כלומר:

וזה הניסוח השני של המשפט.

בנוסף להוכחה שהוצגה כאן, קיימות הוכחות אחרות, בהן בונים באופן מפורש את הפונקציות העצמיות.

### גזירת הניסוח הראשון
נכפיל את שני האגפים ב־e^{-i\vec k \cdot (\vec r + \vec R)}:
: \psi (\vec r+\vec R)e^{-i\vec k \cdot (\vec r + \vec R)} = e^{i\vec k \cdot \vec R} \psi(\vec r)e^{-i\vec k \cdot (\vec r + \vec R)} = e^{i\vec k \cdot \vec R} \psi(\vec r)e^{-i\vec k \cdot \vec r}e^{-i\vec k \cdot \vec R} = \psi(\vec r)e^{-i\vec k \cdot \vec r}
נגדיר:
:u(\vec r) \equiv \psi(\vec r)e^{-i\vec k \cdot \vec r}
ולכן:
:\psi (\vec r+\vec R)e^{-i\vec k \cdot (\vec r + \vec R)} = \psi(\vec r)e^{-i\vec k \cdot \vec r} \Rightarrow u(\vec r + \vec R) = u(\vec r)
כלומר הפונקציה u(\vec r) היא פונקציה מחזורית והמחזוריות שלה זהה למחזוריות הסריג.

לפי ההגדרה של u(\vec r) נקבל:

מ.ש.ל

## לקריאה נוספת

* Felix Bloch, "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern," Z. Physik 52, 555-600 (1928).
* Ashcroft and Mermin, Solid state physics (chapter 8)


## הערות שוליים

קטגוריה:פיזיקה של חומר מעובה
קטגוריה:מכניקת הקוונטים
בלוך