פולינומי צ'בישב

מסגרת|<span style="color:red;background-color:lightgrey;">T<sub>1</sub></span>, <span style="color:blue;background-color:lightgrey;">T<sub>2</sub></span>, <span style="color:green;background-color:lightgrey;">T<sub>3</sub></span>, <span style="color:yellow;background-color:lightgrey;">T<sub>4</sub></span>, <span style="color:grey;background-color:lightgrey;">T<sub>5</sub></span>

המונח **פולינומי צ'בישב** (על שם המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב) מתייחס לשתי סדרות של פולינומים בעלי מקדמים שלמים: פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון T_0(x),T_1(x),\ldots, ופולינומי צ'בישב מהסוג השני U_0(x),U_1(x),\ldots, המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן p(x) מקיים את האי-שוויון \max_{-1\le x\le1}|p(x)|\ge2^{1-n}, והפולינומים 2^{1-n}T_n(x) הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון.

## סימונים ומוסכמות
בערך זה נסמן ב-\mathbb{N} את קבוצת המספרים הטבעיים החל מ-1, וכן נסמן \mathbb{N}_0:=\mathbb{N}\cup\left\{0\right\}, כלומר קבוצת המספרים הטבעיים ואפס.

כמו כן, נסמן ב-\mathbb{Z}, \mathbb{Q},  \mathbb{R} ו-\mathbb{C} את קבוצות המספרים השלמים, הרציונליים, הממשיים והמרוכבים בהתאמה.

לבסוף, כלל הפונקציות הטריגונומטריות בערך זה מחושבות ברדיאנים.

## מבוא ומוטיבציה
באמצעות זהויות טריגונומטריות ניתן להוכיח כי לכל מספר טבעי k\in\mathbb{N} ולכל זווית ממשית \theta\in\mathbb{R} מתקיימות הזהויות הבאות:

\cos((k+1)\theta)=\cos(k\theta+\theta)=\cos(k\theta)\cos\theta-\sin(k\theta)\sin\theta

\cos((k-1)\theta)=\cos(k\theta-\theta)=\cos(k\theta)\cos\theta+\sin(k\theta)\sin\theta

על-ידי סכימת שתי המשוואות והעברת אגפים מתקבל כי:

\cos((k+1)\theta)=2\cos(k\theta)\cos\theta-\cos((k-1)\theta)

זהות זו, ביחד עם העובדה כי \cos(0\cdot\theta)=1 מעידה על כך שכל פונקציה מהצורה \cos(n\theta) עבור n\in\mathbb{N} ניתנת לחישוב כצירוף ליניארי של חזקות של \cos\theta.

כלומר, לכל n\in\mathbb{N} קיים פולינום במקדמים שלמים T_n(x)\in \mathbb{Z}[x] כך שלכל \theta\in\mathbb{R} מתקיים השוויון T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta).

פולינומים אלו נקראים **פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון**.

באופן זהה, בעקבות הזהות \sin((k+1)\theta)=2\sin(k\theta)\cos\theta-\sin((k-1)\theta), ניתן להוכיח כי לכל n\in\mathbb{N} קיים פולינום במקדמים שלמים U_n(x)\in \mathbb{Z}[x] כך שמתקיים שלכל \theta\in\mathbb{R} השוויון U_n(\cos(\theta))\sin\theta=\sin((n+1)\theta).

פולינומים אלו נקראים **פולינומי צ'בישב מהסוג השני**.

## הגדרה ותכונות יסוד של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון
אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta), שבגללה T_n(x+x^{-1})=x^n+x^{-n} לכל x. לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית: 
:\begin{align}T_0(x)&=1\\T_1(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x)\end{align}
מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה-n-י היא n.

מן ההגדרה נובע כיT_n(T_m(x))=T_{nm}(x)

באינדוקציה (מעל המרוכבים) אפשר להוכיח את הנוסחה
:T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2}=\sum_{k\,=\,0}^{\lfloor0.5n\rfloor}\binom{n}{2k}(x^2-1)^kx^{n-2k}
ולקבל את הפונקציה היוצרת 
:\sum_{n\,=\,0}^\infty T_n(x)t^n=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}
מתקיים גם השוויון T_n(x)=1+n^2(x-1)\prod_{k\,=\,1}^{n-1}\left(1+\frac{x-1}{2\sin\!\bigl(\frac{k\pi}{n}\bigr)^2}\right).

פולינומי צ'בישב \{T_n\}_{n=0}^\infty מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת \langle f_1,f_2\rangle=\int\limits_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}f_1(x)f_2(x)dx.

## הגדרה של פולינומי צ'בישב מהסוג השני
כמו לפולינומי צ'בישב מהסוג הראשון, גם לפולינומי צ'בישב מהסוג השני ישנן מספר הגדרות שקולות. ניתן להגדיר את סדרת פולינומים זו בעזרת נוסחא טריגונומטרית
U_n(\cos \theta) \sin \theta = \sin\big((n + 1)\theta\big)

בנוסף, קיימת נוסחת הנסיגה הבאה:
\begin{align}
U_0(x) & = 1 \\
U_1(x) & = 2 x \\
U_{n+1}(x) & = 2 x\,U_n(x) - U_{n-1}(x).
\end{align}
אפשר לשים לב שנוסחאות הנסיגה של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון והשני זהות, למעט ההבדל ש 
 U_1(x) = 2x  ולעומת זאת,  T_1(x) = x .

## רשימת פולינומי צ'בישב הראשונים
להלן רשימת פולינומי צ'בישב הראשונים משני הסוגים:

## תכונות וזהויות

### זוגיות ואי-זוגיות
לכל מספר טבעי n\in\mathbb{N} ולכל מספר ממשי x\in\mathbb{R} מתקיים ש:

T_n(-x)=(-1)^nT_n(x)

U_n(-x)=(-1)^nU_n(x)

כלומר, פולינומי צ'בישב הם פונקציות זוגיות עבור n זוגי ואי-זוגיות עבור n אי-זוגי.

### זהויות טריגונומטריות והיפרובוליות
לכל n\in\mathbb{N} ולכל \theta\in\mathbb{R} פולינומי צ'בישב מקיימים את הזהויות הטריגונומטריות:

T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta)

U_n(\cos(\theta))\sin\theta=\sin((n+1)\theta)

על-ידי החלפת \theta ב-i\theta ניתן להוכיח כי מתקיימות הזהויות הבאות עבור הפונקציות ההיפרבוליות:

T_n(\cosh(\theta))=\cosh(n\theta)

U_n(\cosh(\theta))\sinh\theta=\sinh((n+1)\theta)

### נגזרות
הנגזרות של פולינומי צ'בישב מקיימות את הזהויות הבאות:

\frac{dT_n(x)}{dx}=nU_{n-1}(x)

\frac{dU_n(x)}{dx}=\frac{(n+1)T_{n+1}(x)-xU_n(x)}{x^2-1}

## ערכים מיוחדים

### ערכים ידועים
ניתן להוכיח כי לכל n\in\mathbb{N}, הפולינומים T_n(x) ו-U_n(x) מקבלים את הערכים הבאים:

### שורשים
באמצעות הזהות הטריגונומטרית T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta), ובעקבות כך שהשורשים של פונקציית הקוסינוס \cos\theta הם מהצורה \theta = \frac{\pi}{2}+\pi k לכל k\in \mathbb{Z}, עולה כי השורשים של הפולינום T_n(x) הם x_k:=\cos\left(\frac{1+2k}{2n}\cdot \pi\right) עבור k=0,1,2,\dots,n-1. לפי המשפט היסודי של האלגברה, לכל פולינום מדרגה n יש בדיוק n שורשים, ולכן אלו הם בדיוק כל השורשים של הפולינום T_n(x).

באופן דומה, מאחר שמתקיימת הזהות הטריגונומטרית U_n(\cos(\theta))\sin\theta=\sin((n+1)\theta), ובעקבות כך שהשורשים של פונקציית הקוסינוס \sin\theta הם מהצורה \theta = \pi k לכל k\in \mathbb{Z}, עולה כי השורשים של הפולינום U_n(x) הם x_k:=\cos\left(\frac{k}{n+1}\cdot \pi\right) עבור k=1,2,\dots,n. גם כאן מדובר בכל השורשים של הפולינום U_n(x).

### ערכי קיצון
באמצעות העובדה כי \frac{dT_n(x)}{dx}=nU_{n-1}(x), ערכי הקיצון של הפולינום T_n(x) נמצאים ב-x_k:=\cos\left(\frac{k}{n}\cdot \pi\right) עבור k=1,2,\dots,n-1. בנקודות אלו T_n(x_k)=(-1)^k. אם מוסיפים לכך ש-T_n(1)=1 וש-T_n(-1)=(-1)^n עולה כי בתחום -1\le x\le 1, כל פולינומי צ'בישב חסומים בין -1 ל-1.

## השלכות ל[[בנייה בסרגל ובמחוגה|בניות גאומטריות]]
מכך שמעלת T_n היא n נובע כי \cos(\theta) פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה \Q[\cos(n\theta)], ובפרט הממד \bigl[\Q[\cos(\theta)]:\Q[\cos(n\theta)]\bigr]\le n. אם בוחרים \theta=\frac{\pi}{2n} מתקבל T_n(\cos(\theta))=0, ולעיתים קרובות T_n הוא הפולינום המינימלי של \cos\left(\frac{\pi}{2n}\right).

## שימושים

### הוכחת אלגבריות של ערכי פונקציות טריגונומטריות
בהינתן מספר רציונלי r\in\mathbb{Q} ניתן להשתמש בפולינומי צ'בישב כדי להוכיח ש-\alpha:=\cos(r\pi) הוא מספר אלגברי. מאחר ש-r רציונלי, קיימים p\in \mathbb{Z}, q\in\mathbb{N} כך ש-r=\frac{p}{q}. לכן:

T_{2q}(\alpha)=T_{2q}\left(\cos\left(\frac{p}{q}\pi\right)\right)=\cos\left(2q\cdot \frac{p}{q}\pi\right)=\cos(2p\pi)=1

משמע ש-\alpha הוא שורש של הפולינום T_{2q}(x)-1, ולכן הוא אלגברי.

ניתן להשתמש בשיטות דומות כדי להוכיח כי \sin(r\pi) ו-\tan(r\pi) אף הם אלגברים.

## ראו גם
*מסנני צ'בישב
*Chebfun

## קישורים חיצוניים

קטגוריה:פולינומים
קטגוריה:פונקציות אורתוגונליות