מבחן F

**מבחן F** הוא כל מבחן סטטיסטי אשר בו סטטיסטי המבחן הוא בעל התפלגות F תחת השערת האפס.
השם של המבחן נקבע על ידי הסטטיסטיקאי ג'ורג' ואדל סנדקור , כמחווה לרונלד פישר.

## דוגמאות למבחן F
להלן מספר דוגמאות נפוצות שבהן משתמשים במבחני F.
* בחינת ההיפותזה שהתוחלות של אוכלוסיות המתפלגות נורמלית, בעלות אותה סטיית תקן הן שוות. זהו מבחן ה-F הנפוץ ביותר, והוא מהווה חלק חשוב במבחני אנובה.
* בחינת ההיפותזה שמודל רגרסיה מוצע מתאים באופן טוב לנתונים.

## דוגמה להשוואה בין שונויות
יהיו X_1,...,X_n \sim N(\mu_1, \sigma^2_1) ו-Y_1,...,Y_m \sim N(\mu_2, \sigma^2_2) שני מדגמים, כך שהשונויות והתוחלות שלהם אינן ידועות.
נניח שאנו רוצים לבדוק האם השונויות זהות או שונות. נגדיר את ההשערות שלנו:
H_0: \sigma^2_1 = \sigma^2_2
H_1: \sigma^2_1 \neq \sigma^2_2

כדי לבחון את ההשערות ולקבוע מתי לדחות את השערת האפס נבנה מבחן יחס נראות מוכלל. נגדיר את אומדי הנראות המקסימלית:
\hat \mu_1 = \bar X, \quad \hat \sigma^2_1 = \frac{1}{n} \sum (X_i-\bar X)^2 
 \hat \mu_2 = \bar Y, \quad \hat \sigma^2_2 = \frac{1}{m} \sum (Y_i-\bar Y)^2

פונקציית הנראות עבור האומדים הללו מקיימת: L(\hat \mu_1, \hat \mu_2, \hat \sigma_1, \hat \sigma_2) = \left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\hat \sigma_1}\right)^n e^{-\frac{n}{2}} \left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\hat \sigma_2}\right)^m e^{-\frac{m}{2}}

תחת השערת האפס, מתקיים שהשונויות שוות, נסמנן \hat \sigma^2_0 = \frac{\sum (X_i-\bar X)^2+\sum (Y_i-\bar Y)^2}{n+m}. כעת, פונקציית הנראות תחת השערת האפס היא:
L(\hat \mu_1, \hat \mu_2, \hat \sigma_0) = \left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\hat \sigma_0}\right)^{n+m} e^{-\frac{n+m}{2}}

משני חישובים אלה נקבל שפונקציית יחס הנראות היא:
\lambda (X,Y) = \frac{L(\hat \mu_1, \hat \mu_2, \hat \sigma_1, \hat \sigma_2)}{L(\hat \mu_1, \hat \mu_2, \hat \sigma_0)} = \left(\frac{\hat \sigma^2_1}{\hat \sigma^2_0}\right)^{\frac{n}{2}}\left(\frac{\hat \sigma^2_2}{\hat \sigma^2_0}\right)^{\frac{m}{2}}
ואם נציב בביטוי את הנתונים ונפשט נקבל:

\lambda(X,Y) = \left(\left(1+\frac{\sum (Y_i-\bar Y)^2}{\sum (X_i-\bar X)^2}\right)\frac{n+m}{n}\right)^{-\frac{n}{2}} \left(\left(1+\frac{\sum (X_i-\bar X)^2}{\sum (Y_i-\bar Y)^2}\right)\frac{n+m}{m}\right)^{-\frac{m}{2}}

כעת, נביט בסטטיסטי T(X,Y) = \frac{\sum (Y_i-\bar Y)^2}{\sum (X_i-\bar X)^2}. נשים לב שגם כאשר ביטוי זה שואף ל-0 וגם כאשר הוא שואף לאינסוף, \lambda(X,Y) שואפת לאינסוף. לכן, מבחן יחס נראות מוכלל יהיה מהצורה:

נדחה את השערת האפס אם T(X,Y) > C_1 או T(X,Y) , כאשר רמת הביטחון מקיימת
\alpha = P\left(\{T(X,Y)C_1\}\right).

כעת, נשים לב לתכונות הבאות: \frac{\sum (Y_i-\bar Y)^2 / (m-1)}{\sum (X_i-\bar X)^2 / (n-1)} = \frac{S^2_Y}{S^2_X} \sim \frac{\chi^2_{m-1} / (m-1)}{\chi^2_{n-1} / (n-1)} = F_{m-1,n-1}

לכן, נעדיף להשתמש בסטטיסטי T'(X,Y) = \frac{\sum (Y_i-\bar Y)^2 / (m-1)}{\sum (X_i-\bar X)^2 / (n-1)}.
כדי לקבל אותו, נחלק ב-n-1, m-1 את המקומות הרלוונטיים בפונקציית יחס הנראות. עדיין יתקיים שכשהסטטיסטי החדש שואף לאינסוף או ל-0, כך גם פונקציית יחס הנראות. לכן נקבל את אותו מבחן יחס נראות מוכלל רק עם ערכי C שונים:

נדחה את השערת האפס אם T'(X,Y) > C^*_1 או T'(X,Y)  כאשר רמת הביטחון מקיימת \alpha = P(T'(X,Y)C^*_1).

ולמעשה נוכל למצוא את ערכי ה-C לפי התפלגות F : C^*_1 = F_{m-1,n-1 ; 1-\frac{\alpha}{2}}, C^*_2 = F_{m-1,n-1 ; \frac{\alpha}{2}}

## ראו גם
* מבחן t

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:מבחנים סטטיסטיים