המשוואה הקינטית של לנדאו

בתאוריה הקינטית של הגזים, **המשוואה הקינטית של לנדאו** היא משוואת טרנספורט, המתארת חלקיקים טעונים בגבול הדליל המבצעים התנגשויות קולון בפלזמה.

המשוואה פורסמה על ידי לב לנדאו ב-1936 כתיקון למשוואת בולצמן עבור אינטראקציית קולון. בשילוב עם משוואת ולסוב, המשוואה נותנת את האבולוציה בזמן של המערכת, ולכן מהווה מודל קינטי חשוב בתורת הפלזמה.

## סקירה
### הגדרה
עבור פונקציית התפלגות של חלקיק אחד, f(v, t), המשוואה נתונה על-ידי:

\frac{\partial f}{\partial t} = B \frac{\partial}{\partial v_i}(\int_{\mathbb{R^3}}dw \frac{(u^2 \delta_{ij}-u_iu_j)}{u^3}(\frac{\partial}{\partial v_j} - \frac{\partial}{\partial w_j})f(v)f(w))


u=v-w

צד ימין של המשוואה ידוע כ-Landau collision integral (בהקבלה ל־Boltzmann collision integral).

הקבוע B מתקבל על-ידי אינטגרציה על הפוטנציאל התוך-מולקולרי U(r):

B = \frac{1}{8 \pi}\int^{\infin}_0dr r^3 \hat{U}(r)^2

\hat{U}(|k|)=\int_{\mathbb{R^3}}dxU(|x|)e^{ikx}

יש לשים לב כי עבור הרבה פוטנציאלים תוך-מולקולריים (דוגמה נפוצה היא כאשר U(r) \propto \frac{1}{r^n}) הביטוי עבור B מתבדר. לנדאו מתמודד עם בעיה זו על-ידי קטיעת האינטגרל עבור זוויות קטנות וגדולות.

### שימושים
המשוואה בנמצאת בשימוש למידול של פלזמה במכניקה סטטיסטית ופיזיקת חלקיקים. לכן, נעשה בה שימוש נרחב במחקר של פלזמה בכורים תרמו-גרעיניים. 

המשוואה ותכונותיה נחקרו לעומק על-ידי אלכסנדר בובילב.

## פיתוחים
הפיתוח הראשון של משוואה נתון במאמר המקורי של לנדאו כאשר הרעיון הוא כדלקמן:

נתבונן בגז הומוגני במרחב המורכב ממסות נקודתיות המתוארת על-ידי *<math>f(v, t)</math>*. נבחר פוטנציאל \hat{U_{ij}} = U_{ij} exp(\frac{-r_{ij}}{r_D}) כך ש-U_{ij} פוטנציאל קולון, U_{ij}=\frac{e_i e_j}, ו-r_D הוא רדיוס דביי. נציב את הפוטנציאל \hat{U_{ij}} בתוך איבר ההתנגשות במשוואת בולצמן ונפתור עבור האיבר האסימפטוטי הראשי בגבול r_D \rightarrow \infin.

הפיתוח הפורמלי הראשון מתוך היררכיית BBGKY פורסם לראשונה ב-1946 על-ידי ניקולאי בוגוליובוב. 

## משוואת פוקר-פלאנק-לנדאו
ב-1957, המשוואה פותחה בנפרד על-ידי מרשל רוזנבלות. נפתור את משוואת פוקר פלאנק תחת חוק ריבוע ההפכים לקבלת:

\frac{1}{4 \pi L} \frac{\partial f_i}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial v_{\alpha}} (-f_i \frac{\partial h_i}{\partial v_{\alpha}}+\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial v_{\beta}}(f_i \frac{\partial^2 g_i}{\partial v_{\alpha} \partial v_{\beta}}))

כאשר h_i, g_i ידועים כ**פוטנציאלי רוזנבלות**:

h_i = \sum^n_{j=1} K_{ij} \int dw \frac{f_i(w, t)}


g_i = \sum^n_{j=1} K_{ij} \frac{m_j}{m_i} \int dw \frac{f_i(w, t)}

for K_{ij} = \frac{e_i^2e_j^2}{m_i m_j}, i=1,2,...,n

צורת פוקר-פלאנק של המשוואה נמצאת בשימוש בעיקר לטובת נוחות בחישובים נומריים.

## גרסה יחסותית
תיקון יחסותי של המשוואה פורסמה על-ידי גרש בודקר וספרטק בלייב ב-1956. 

עבור חלקיקים יחסותיים בעלי תנע p = (p^1, p^2, p^3) \in \mathbb{R}^3 ואנרגיה p^0 = \sqrt{1+|p|^2}, המשוואה מקיימת:

\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial p_i}\int_{\mathbb{R}^3} dq \Phi^{ij}(p,\ q)[h(q)\frac{\partial}{\partial p_j}g(p)-\frac{\partial}{\partial q_j}h(q)g(p)]

כאשר הקרנל נתון על-ידי \Phi^{ij}= \Alpha(p, q)S^{ij}(p, q) כך שמתקיים:

\Alpha=\frac{\left(\rho_-+1\right)^2}{p^0q^0}\left(\rho_+\rho_-\right)^{-\frac{-3}{2}}

S^{ij}=\rho_+\rho_-\delta_{ij}-\left(p_i-q_i\right)\left(p_j-q_j\right)+\rho_-\left(p_iq_j+p_jq_i\right)

\rho_{\pm}=p^0q^0-pq\pm1

גרסה יחסותית למשוואה נחוצה שכן חלקיקים בפלזמה חמה מסוגלים להגיע למהירות הקרובות למהירות האור.

## ראו גם
* משוואת בולצמן
* משוואת ולסוב

## הערות שוליים

קטגוריה:פיזיקת הפלזמה