מערכת לורנץ

[ממוזער|דוגמה למסלול במרחב הפאזה של [מושך|מושך לורנץ עם הנתונים בהם השתמש לורנץ במחקרו הראשוני]]
**מערכת לורנץ** היא מערכת דינמית קלאסית תלת־ממדית, המתוארת באמצעות שלוש משוואות דפרנציאליות רגילות. היא פותחה לראשונה על ידי המטאורולוג אדוארד לורנץ ומתארת התנהגות כאוטית של תנועת נוזל הנתון לחימום. מערכת לורנץ מפורסמת עקב ההתנהגות הכאוטית של חלק מפתרונותיה, כתלות בתנאי ההתחלה והפרמטרים שלה המכונים **[[מושך|מושכי לורנץ]]**.

מערכת לורנץ היא דטרמיניסטית - אין בה רעשים או מקריות. למראות זאת הדינמיקה שלה תלויה בבחירת הפרמטרים ותנאי ההתחלה. בטווחים מסוימים של פרמטרים המערכת צפויה, והמסלולים מתכנסים לנקודות שיווי משקל קבועות או למסלולים מחזוריים פשוטים. לעומת זאת, בטווחי פרמטרים אחרים המערכת נעשית כאוטית: הפתרונות אינם מתייצבים אלא מתארים מבנה דמוי פרפר הקרוי "המושך של לורנץ", תופעה המזוהה בציבור עם אפקט הפרפר. במערכת זו, הבדלים זעירים בתנאי ההתחלה גדלים באופן מעריכי, והופכים חיזוי ארוך־טווח לבלתי אפשרי מבחינה מעשית.

ההבנה של רגישות מערכת לורנץ לתנאי התחלה הובילה לשינוי בגישה של חוקרים לבעיות הנובעות ממערכות פיזיקליות או מערכות דינמאיות אחרות שתנאי ההתחלה בהן אינם ידועים במדויק, או אינם יכולים להינתן במדויק. כך לדוגמה, הביטוי הפופולרי של אפקט הפרפר מייצג מקרה בו משק כנפי פרפר עשוי ליצור שינויים קטנים באטמוספירה שבסופו של דבר יגרמו להופעת סופת טורנדו.  מדענים הגיעו למסקנה כי חיזוי מזג האוויר לטווח ארוך (מעל שבועיים) הוא בעייתי מאוד, גם אם המודל דטרמיניסטי ומדויק וגם אם מבוצעות מדידות רבות.  

המשמעות העמוקה של הבנה זו היא שניסיון לגזור פתרון מדויק של מערכת פיזיקלית דינמית לאורך זמן נידון מראש לכישלון, גם בקני מידה גדולים בהם אפקטים קוונטיים אינם משמעותיים.

מערכת לורנץ מייצגת דוגמה קלאסית למערכת כאוטית דטרמיניסטית. היא הביאה לפיתוח תורת האטרקטורים (תורת המושכים), תורת המערכות הדינמיות והבנה של כאוס דטרמיניסטי. המערכת מהווה גם דוגמה כיצד  מערכות פשוטות עם שלוש משוואות בלבד יכולות להפיק התנהגות מורכבת מאוד. 
## הגדרה
בשנת 1963, יצר המטאורולוג אדוארד לורנץ מודל מתמטי מופשט של הולכת החום באטמוספירה הנגזר מקירוב הציפה של בוסינסק.

המודל מתייחס לאטמוספירה כשכבת נוזל דליל דו־ממדית, המחוממת בצורה אחידה על השפה התחתונה, ומקוררת בצורה אחידה משפתה העליונה.

המודל יוצר מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות הכוללת שלוש משוואות:

\begin{align}
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} &= \sigma (y - x) \\[6pt]
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} &= x (\rho - z) - y \\[6pt]
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} &= x y - \beta z
\end{align}

כאשר x הוא קצב הולכת החום, y הוא השינוי בטמפרטורה בציר האופקי וz הוא השינוי בטמפרטורה בציר האנכי.

הפרמטר \sigma פרופורציוני למספר פרנטל של האטמוספירה, \beta לממדים הפיזיים של המערכת ו\rho למספר ריילי של האטמוספירה.

זוהי מערכת משוואות תלת-ממדית, דטרמיניסטית ולא ליניארית, אשר אין בפתרון שלה שום אלמנט רנדומלי.

## אנליזה
ממוזער|המושך המוזר של לורנץ
לורנץ השתמש בגדלים המדידים \sigma=10,\quad \beta=\frac{8}{3},\quad\rho=28 לתיאור המערכת המטאורולוגית, וקיבל כי למערכת פתרונות שמתנהגים בצורה כאוטית עבור ערכים אלו.

כמעט כל הפתרונות של מערכת לורנץ עם הפרמטרים הנ"ל משתייכים לסט בעל שלוש נקודות שבת שנקרא **מושך לורנץ**. מושך לורנץ הוא מושך מוזר, כלומר מושך בעל מבנה פרקטלי עם מימד האוסדורף של 2.06\pm0.01.

אף שהמשוואות המגדירות את מושך לורנץ הן פשוטות, הוכחת היותו מושך מוזר אינה קלה בכלל, ולמעשה היא הבעיה ה-14 מבעיות שמייל, ונפתרה רק בשנת 2002 על ידי המתמטיקאי האוסטרלי וורוויק טאקר, על ידי הוכחה באמצעות מחשב.

בפשטות, עבור \rho מתקבלת נקודת שבת יציבה יחידה בראשית x=y=z=0 והיא מהווה מושך גלובלי אשר כל המסלולים מתכנסים אליו. משמעות נקודה זו היא שאין כלל הולכת חום בנוזל.

בנקודה \rho=1 מתרחש פיצול קלשון, המוסיף שתי נקודות קריטיות בנקודות (\sqrt{\beta(\rho+1)},\sqrt{\beta(\rho+1)},\rho-1)\quad;\quad(-\sqrt{\beta(\rho+1)},-\sqrt{\beta(\rho+1)},\rho-1) , אשר משמעותן היא הולכת חום בקצב אחיד אופקית ואנכית. נקודות אלה יציבות אם ורק אם \rho. מכיוון שחומרים פיזיקליים הם בעלי ערכי \rho>0, נקבל דרישה מחייבת כי \sigma>\beta+1.


### סימולציית MATLAB

```matlab
% Solve over time interval [0,100] with initial conditions [1,1,1]
% ''f'' is set of differential equations
% ''a'' is array containing x, y, and z variables
% ''t'' is time variable

sigma = 10;
beta = 8/3;
rho = 28;
f = @(t,a) [-sigma*a(1) + sigma*a(2); rho*a(1) - a(2) - a(1)*a(3); -beta*a(3) + a(1)*a(2)];
[t,a] = ode45(f,[0 100],[1 1 1]); % Runge-Kutta 4th/5th order ODE solver
plot3(a(:,1),a(:,2),a(:,3))
```

## ראו גם
* אפקט הפרפר
* תרמודינמיקה לא בשיווי משקל
* מושך

## קישורים חיצוניים

* 

## הערות שוליים

קטגוריה:מתמטיקה שימושית
קטגוריה:תורת הכאוס
קטגוריה:הוכחה באמצעות מחשב