חוג מנה

במתמטיקה, **חוג מנה** הוא בניה בתורת החוגים הדומה לבניה של חבורות מנה בתורת החבורות. בהינתן חוג R ואידיאל דו-צדדי I, ב-R בונים את חוג המנה R/I. מבחינה אינטואיטיבית, R/I מתקבל מ-R על ידי איפוס של כל איברי I.

## בניית חוג המנה
בהינתן חוג R ואידיאל דו-צדדי I, ניתן להגדיר יחס שקילות \sim על R על ידי: a \sim b אם ורק אם b-a \in I, ואומרים כי a שקול ל-b מודולו I.
מחלקת השקילות של איבר a ב-R נתונה על ידי: [a] = a + I = \{a+r:r\in I\}. מחלקה זו נקראת **מחלקת השקילות של <math>a</math> מודולו <math>I</math>**.
את אוסף מחלקות השקילות מסמנים ב-R/I. קבוצה זו הופכת לחוג, חוג המנה R מודולו I על ידי הפעולות:

:[a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b]
:[a] \cdot [b] = (a+I) \cdot (b+I) = a\cdot b + I = [a\cdot b]


מתכונת הבליעה של אידיאל דו-צדדי נובע כי פעולות אלה מוגדרות היטב (כלומר – הן אינן תלויות בנציגים אשר נבחרים למחלקות השקילות). איבר האפס של R/I מוגדר להיות [0] = 0 + I = I ואיבר היחידה (ביחס לכפל) מוגדר להיות [1] = 1 + I. ביחס לפעולות ואיברים אלו, R/I הוא חוג.
ההעתקה \rho:R\rightarrow R/I המוגדרת על ידי \rho(x) = [x] = x+I היא הומומורפיזם של חוגים, ומההגדרה של R/I נובע כי זהו הומומורפיזם על.

## תכונות
* אם R הוא חוג חילופי, ו-I הוא אידיאל ב-R, אז גם R/I הוא חוג חילופי; ייתכן כי R/I הוא חילופי בעוד ש-R אינו.

* הגרעין של ההעתקה הטבעית \rho:R\rightarrow R/I שווה ל-I. כיוון שהגרעין של הומומורפיזם של חוגים הוא תמיד אידיאל (דו-צדדי), ניתן לומר כי אידיאלים הם בדיוק גרעינים של הומומורפיזמים. ביתר כלליות, ההומומורפיזמים המוגדרים על חוג המנה R/I שקולים להומומורפיזמים של חוגים המוגדרים על R ואשר מתאפסים על I. ליתר דיוק, בהינתן אידיאל דו-צדדי I בחוג R והומומורפיזם של חוגים f:R\rightarrow S אשר גרעינו מכיל את I, קיים הומומורפיזם יחיד g:R/I \rightarrow S כך ש-g\circ \rho = f. ההעתקה g מוגדרת על ידי הכלל g([a]) = f(a).

* כמסקנה מכך מתקבל משפט האיזומורפיזם עבור חוגים: כל הומומורפיזם של חוגים f:R\rightarrow S משרה איזומורפיזם בין חוג המנה R/\ker(f) לתמונה Im(f).

* בחוג חילופי R מתקיים שאידיאל I הוא ראשוני אם ורק אם חוג המנה R/I הוא תחום שלמות. יתר על כן, I הוא אידיאל מקסימלי אם ורק אם R/I הוא חוג פשוט, ובמקרה הקומוטטיבי זה שקול להיותו שדה.

* באמצעות ההעתקה הטבעית מ-R ל-R/I ניתן להוכיח כי ישנם קשרים רבים בין האידיאלים בחוגים אלו: ישנה התאמה חד-חד-ערכית בין האידיאלים ב-R המכילים את I לבין האידיאלים של R/I. יתר על כן, אם J הוא אידיאל ב-R המכיל את I, ו-J/I היא התמונה שלו ב-R/I, אז חוגי המנה R/J ו-(R/I)/(J/I) איזומורפיים. ולכן מתקיים ש-J ראשוני/מקסימלי אם ורק אם J/I מקסימלי/ראשוני.

## דוגמאות
* הדוגמאות הקיצוניות ביותר של חוגי מנה מתקבלות מה"אידיאלים הקיצוניים ביותר" בחוג – אידיאל האפס והחוג כולו. לכל חוג R מתקיים R/\{0\}\cong R ו-R/R \cong \{0\}. עובדות אלו מתאימות לכלל האצבע לפיו ככל שהאידיאל I "גדול יותר" כך החוג R/I "קטן יותר".

* בחוג המספרים השלמים \mathbb{Z}, נסמן בn\mathbb{Z} את האידיאל המכיל את כל הכפולות של מספר שלם נתון n. עבור x,y \in \mathbb{Z} מתקיים x-y \in n\mathbb{Z} אם ורק אם ל-x,y יש אותה שארית חלוקה ב-n. לכן, חוג המנה \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} מכיל n איברים – מחלקות השקילות תחת יחס החלוקה: \{[0],[1],\dots,[n-1]\}. מבנה זה מקבל מבנה של חוג המנה מפעולות החיבור והכפל במספרים השלמים, והופך לחוג בפני עצמו – זהו חוג בסיסי במתמטיקה.

* בחוג הפולינומים מעל שדה המספרים הממשיים \mathbb{R}[x], יהי I=\langle x^2+1\rangle, האידיאל המכיל את כל הכפולות של הפולינום x^2+1. חוג המנה \mathbb{R}[x] / \langle x^2+1\rangle איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים. הסיבה לכך היא שהמחלקה של האיבר [x] מקיימת ש-[x]^2 + [1] = [x^2+1] = [0], ולכן *[x]* הוא שורש ריבועי של מינוס אחד.

* באופן יותר כללי, חוגי מנה משמשים לבניית שדות הרחבה. נניח כי K הוא שדה וכי f הוא פולינום אי פריק ב-K[x]. המנה L=K[x]/ \langle f\rangle  היא שדה המכיל את K ושהאיבר [x] שבו מקיים שהפולינום המינימלי שלו מעל K שווה ל-f.

* שימוש חשוב בדוגמה האחרונה מתעורר בבעיית הבניה של שדות סופיים. לדוגמה, עבור F_3 = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, השדה בעל 3 איברים, הפולינום f(x) = x^2+1 הוא אי-פריק מעל F_3 (שכן אין לו שורשים), וניתן לבנות את חוג המנה F_3[x]/\langle f\rangle . זהו שדה עם 3^2=9 איברים. כל שדה סופי ניתן לבניה בדרך זו תוך שימוש בשדות מסדר ראשוני ופולינום אי פריק מכל מעלה.

* חוגי הקואורדינטות של יריעות אלגבריות מהווים דוגמה חשובה לחוגי מנה המופיעה בגאומטריה אלגברית. לדוגמה, עבור היריעה V=\{(x,y):x^2=y^3\} \subseteq \mathbb{R}^2, ניתן לזהות את חוג הפונקציות הפולינומיות על היריעה עם חוג המנה \mathbb{R}[x,y]/(x^2-y^3), וזהו חוג הקואורדינטות של V. ניתן ללמוד על הגאומטריה של V על ידי חקירה של חוג זה.

* נניח כי M היא יריעה דיפרנציאלית וכי p היא נקודה על M. בחוג R=C^{\infty}(M) – חוג הפונקציות החלקות על M, יהי I האידיאל של הפונקציות החלקות אשר מתאפסות בסביבה כלשהי של p. חוג המנה R/I נקרא חוג הנבטים של M ב-p. באמצעות חוג זה ניתן ללמוד על הגאומטריה של M קרוב ל-p.

## ראו גם
* משפט השאריות הסיני

## קישורים חיצוניים
* 

קטגוריה:תורת החוגים