פונקציית קדלג

במתמטיקה, **פונקציית קדלג** או **càdlàg** (ראשי תיבות מצרפתית: continue à droite limite à gauche) היא פונקציה המוגדרת על המספרים הממשיים (או תת-קבוצה שלהם) ובכל נקודה בתחום ההגדרה הפונקציה רציפה מימין ויש לה גבול משמאל. פונקציות קדלג חשובות במחקר של תהליכים סטוכסטיים שיש בהם קפיצות, בניגוד לתנועה בראונית, שיש לה נתיבים רציפים. אוסף פונקציות הקדלג עבור תחום נתון ידוע כ**מרחב סקורוקוד**.

## הגדרה
[שמאל|ממוזער| [פונקציית התפלגות|פונקציות התפלגות מצטברות הן דוגמאות לפונקציות càdlàg.]]
שמאל|ממוזער| דוגמה לפונקציית התפלגות מצטברת עם קבוצה אינסופית בת מניה של נקודות אי-רציפות

נתון מרחב מטרי (M, d), ו-E \subseteq \mathbb{R}. הפונקציה f:E \to M נקראת **פונקציית קדלג** אם, לכל t \in E,
* הגבול השמאלי f(t-) := \lim_{s \to t^{-}}f(s) קיים;
* הגבול הימני f(t+) := \lim_{s \to t^{+}}f(s) קיים ושווה ל- f(t).

כלומר, f היא רציפה מימין עם גבול משמאל.

## דוגמאות
* כל הפונקציות הרציפות על תת-קבוצה של המספרים הממשיים הן פונקציות קדלג על אותה תת-קבוצה.
* כתוצאה מהגדרתן, כל פונקציות ההתפלגות המצטברות הן פונקציות קדלג.
* הנגזרת מימין f^\prime_+ של כל פונקציה קמורה f המוגדרת על קטע פתוח, היא פונקציית קדלג מונוטונית עולה.

## מרחב סקורוקוד
קבוצת כל הפונקציות הקדלג מ - E ל - M תסומן לעיתים קרובות על ידי \mathbb{D}(E:M) (או בפשטות \mathbb{D}) ונקרא **מרחב סקורוקוד** על שם המתמטיקאי האוקראיני אנטולי סקורוקוד. ניתן להתאים למרחב סקורוקוד את הטופולוגיה הבאה:

לשם הפשטות, נבחר E = [0, T] ו M = \mathbb{R}^n - ראו את בלינגסלי לבנייה כללית יותר.

נגדיר \Lambda כקבוצת כל הפונקציות החד-חד-ערכיות ועל, רציפות ומונוטוניות ממש מ- E לעצמה. נגדיר

: 
 \| f \| := \sup_{t \in E} | f(t) |
 

כנורמה האחידה של פונקציות על E. נגדיר את **[[מטריקה|מטריקת]] סקורוקוד** \sigma עַל \mathbb{D} על ידי

: 
 \sigma (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} \max \{ \| \lambda - I \|, \| f - g \circ \lambda \| \}
 

כאשר I: E \to E היא פונקציית הזהות.

ניתן להראות שמטריקת סקורוקוד הוא אכן מטריקה. הטופולוגיה \Sigma הנוצרת באמצעות \sigma נקראת **הטופולוגיה של סקורוקוד** על \mathbb{D}.

מטריקה שקולה,

: 
 d (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} (\| \lambda - I \|+ \| f - g \circ \lambda \|)
 

הוגדרה באופן בלתי תלוי בתורת הבקרה לניתוח של מערכות מיתוג.

### מאפייני מרחב סקורוקוד
#### הכללה של הטופולוגיה האחידה
המרחב C של פונקציות רציפות על E הוא תת-מרחב של \mathbb{D}. הטופולוגיה של סקורוקוד ביחס ל-C עולה בקנה אחד עם הטופולוגיה האחידה שם.

#### שלמות
ניתן להראות שלמרות ש - \mathbb{D} אינו מרחב שלם ביחס למטריקת סקורוקוד \sigma, יש מטריקה שקולה מבחינה טופולוגית \sigma_0 שעבורה \mathbb{D} הוא שלם.

#### ספרביליות
המרחב \mathbb{D} הוא מרחב ספרבילי גם עבור \sigma וגם עבור \sigma_0. לכן, מרחב סקורוקוד הוא מרחב פולני.

#### הדיקות
לכל F \subseteq E, נגדיר
: 
 w_{f} (F) := \sup_{s, t \in F} | f(s) - f(t) |
 .

ועבור \delta > 0, נגדיר

: 
 \varpi'_{f} (\delta) := \inf_{\Pi} \max_{1 \leq i \leq k} w_{f} ([t_{i - 1}, t_{i}))
 .

שבו האינפימום עובר על כל החלוקות \Pi = \{0 = t_0 , עם \min_i(t_i - t_{i+1}) > \delta. ההגדרה הזו מתאימה גם עבור f שאינה קדלג וניתן להראות כי f היא קדלג אם ורק אם \lim_{\delta \to 0} \varpi'_{f} (\delta) = 0.

על ידי יישום של משפט ארצלה-אסקולי, אפשר להראות שסדרה (\mu_n)_{n=1,2,\dots} של מידות הסתברות במרחב סקורוקוד \mathbb{D} היא הדוקה אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:

: 
 \lim_{a \to \infty} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n}\big( \{ f \in \mathbb{D} \;|\; \| f \| \geq a \} \big) = 0
 ,

ו-

: 
 \lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n}\big( \{ f \in \mathbb{D} \;|\; \varpi'_{f} (\delta) \geq \varepsilon \} \big) = 0\text{ for all }\varepsilon > 0
 .

#### מבנה אלגברי וטופולוגי
תחת הטופולוגיה של סקורוקוד וסכום (נקודתי) של פונקציות, \mathbb{D} איננה חבורה טופולוגית, כפי שניתן לראות בדוגמה הבאה:

נתונים  E=[0,2)  קטע חצי פתוח ו- f_n = \chi_{[1-1/n,2)} \in \mathbb{D} להיות סדרה של פונקציות מציינות. למרות העובדה ש- f_n \rightarrow \chi_{[1,2)}  בטופולוגיה של סקורוקוד, הסדרה  f_n - \chi_{[1,2)}  לא מתכנסת ל-0.

## לקריאה נוספת

* 
* 


## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:תהליכים סטוכסטיים