התפלגות t

\ 
| מצטברת = \begin{matrix}
     \ \frac{\ 1\ }{ 2 } + x\ \Gamma \left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right) \times \\[0.5em]
     \frac{\ { {}_{2}F_1 }\!\left(\ \frac{\ 1\ }{ 2 },\ \frac{\ \nu+1\ }{ 2 };\ \frac{ 3 }{\ 2\ };\ 
           -\frac{~ x^2\ }{ \nu }\ \right)\ }
     {\ \sqrt{\pi\nu}\ \Gamma \left(\frac{\ \nu\ }{ 2 }\right)\ }\ ,
     \end{matrix}
| תוחלת = \ 0\  עבור \ \nu > 1\ , אחרת לא מוגדרת
| סטיית תקן =
| חציון = \ 0\ 
| שכיח = \ 0\ 
| שונות = \textstyle\ \frac{ \nu }{\ \nu-2\ }\  עבור \ \nu > 2 , \infty עבור \ 1 , אחרת לא מוגדרת
| אנטרופיה = \ \begin{matrix}
         \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \left[\ \psi \left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right)
               - \psi \left(\frac{\ \nu\ }{ 2 } \right)\ \right] \\[0.5em]
+ \ln \left[ \sqrt{\nu\ }\ {\mathrm B} \left(\ \frac{\ \nu\ }{ 2 },\ \frac{\ 1\ }{ 2 }\ \right)\right]\ {\scriptstyle\text{(nats)}}\ 
\end{matrix}
| אופיינית = \textstyle\frac{\ \left(\ \sqrt{\nu\ }\ |t|\ \right)^{\nu/2}\ K_{\nu/2}\left(\ \sqrt{\nu\ }\ |t|\ \right)\ }{\ \Gamma(\nu/2)\ 2^{\nu/2 - 1}\ }  עבור  \nu > 0 

| צידוד = \ 0\  עבור \ \nu > 3\ , אחרת לא מוגדר
| גבנוניות = \textstyle\ \frac{ 6 }{\ \nu-4\ } עבור \ \nu > 4\,, \infty עבור \ 2 , אחרת לא מוגדר
}}
בתורת ההסתברות, **התפלגות ''t'' של סטודנט** (**Student's ''t''-distribution**), או בפשטות **התפלגות ''t***, היא משפחה של [[התפלגות|התפלגויות]] רציפות שמהווה הכללה של ה[[התפלגות נורמלית|התפלגות הנורמלית]]. כמו ההתפלגות הנורמלית, התפלגות t היא סימטרית סביב אפס, ובעלת צורה דמוית פעמון, אך יש לה [[זנב עבה]]. מסת ההסתברות בזנבות נשלט על ידי הפרמטר <math>\nu</math>. כאשר <math>\nu = 1</math> התפלגות *t* ההיא [[התפלגות קושי]], שהזנבות שלה "עבים". עבור <math>\nu \rightarrow \infty</math> ההתפלגות שואפת להתפלגות הנורמלית <math>\ \mathcal{N}(0,1) \,</math> שהזנבות שלה "דקים" מאוד.

ההתפלגות מתארת את הערכים הצפויים למדגם מתוך אוכלוסייה המתפלגת נורמלית, כאשר <span style="color: ColorName;">השונות של האוכלוסייה אינה ידועה</span>. התפלגות *t* היא הבסיס ל[[מבחן t]], המשמש לבדיקת [[מובהקות סטטיסטית|מובהקות]] ההפרש בין הממוצעים של שני מדגמים של אוכלוסייה וכן ל[[רגרסיה (סטטיסטיקה)|ניתוח רגרסיה ליניארית]].

== היסטוריה ==
בסטטיסטיקה, התפלגות *t* נגזרה לראשונה כ[[הסתברות פוסטריורית]] ב-1876 על ידי המתמטיקאים הגרמנים הלמרט ולורות'.

בספרות האנגלית, ההתפלגות קיבלה שמה מהמאמר של [[ויליאם גוסט]] מ-1908 בכתב העת *Biometrika * תחת השם הבדוי "סטודנט". גוסט עבד באותו זמן כ[[כימאי]] ב[[מבשלת בירה|מבשלת הבירה]] של [[גינס (בירה)|גינס]] ב[[דבלין]], [[אירלנד]] והתעניין בבעיות של דגימות קטנות. למשל, התכונות הכימיות של שעורה בדגימות שגודלן קטן. המאמר של גוסט מתייחס להתפלגות כ"התפלגות התדירות של [[סטיית תקן|סטיות תקן]] של דגימות שנלקחו מאוכלוסייה נורמלית". העבודה התפרסמה בזכות עבודתו של [[רונלד פישר]], שכינה את ההתפלגות "התפלגות סטודנט" וייצג את ערך המבחן באות *t*.

אחת הגרסאות לשימוש בשם הבדוי בפרסום המאמר היא שהמעסיק של גוסט, העדיף שהצוות ישתמש בשמות עט בפרסום מאמרים מדעיים במקום בשמם האמיתי ולכן גוסט בשם הבדוי "סטודנט". גרסה אחרת היא ש[[גינס (בירה)|גינס]] לא רצו שהמתחרים שלהם ידעו שהם משתמשים במבחן *t* כדי לקבוע את איכות חומר הגלם.

== הגדרה ==
=== פונקציית הצפיפות ===
[[פונקציית צפיפות ההסתברות]] של התפלגות t היא:
:<math>f(t) = \frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{t^2}{\nu} \right)^{-(\frac{\nu+1}{2})}\!</math>

כאשר <math>\nu</math> הוא מספר [[דרגות חופש (סטטיסטיקה)|דרגות החופש]] ו-<math>\Gamma</math> היא [[פונקציית גמא]].

אלטרנטיבית ניתן לכתוב

<math> f(t)\ =\ \frac{ 1 }{\ \sqrt{\nu\ }\ {\mathrm B}\!\left( \frac{\ 1\ }{ 2 },\ \frac{\ \nu\ }{ 2 }\right)\ } \; \left(\ 1 + \frac{\ t^2\ }{ \nu }\ \right)^{-(\nu+1)/2}\ ,</math>

כאשר <math>\ {\mathrm B}\ </math>היא [[פונקציית בטא]]. בפרט כאשר <math>\ \nu\ </math>הוא [[מספר שלם]] מתקבל:

כאשר<math>\ \nu > 1\ </math> וזוגי,
: <math>\ \frac{\ \Gamma\!\left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 }\right)\ }{\ \sqrt{\pi\ \nu\ }\; \Gamma\!\left( \frac{\ \nu\ }{ 2 }\right)\ }\ =\ \frac{ 1 }{\ 2 \sqrt{\nu\ }\ }\ \cdot\ \frac{\ (\nu - 1)\cdot(\nu -3)\cdots 5 \cdot 3\ }{\ (\nu -2)\cdot(\nu -4) \cdots 4 \cdot 2\ } ~.</math>

כאשר<math>\ \nu > 1\ </math> ואי-זוגי,

: <math>\ \frac{\ \Gamma\!\left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right)\ }{\ \sqrt{\pi\ \nu\ }\ \Gamma\!\left( \frac{\ \nu\ }{ 2 } \right)}\ =\  \frac{ 1 }{\ \pi \sqrt{\nu\ }\ }\ \cdot\ \frac{(\nu -1)\cdot(\nu -3)\cdots 4 \cdot 2\ }{\ (\nu -2)\cdot(\nu -4)\cdots 5 \cdot 3\ } ~.</math>
פונקציית צפיפות ההסתברות היא סימטרית, וצורתה הכללית דומה לצורת הפעמון של משתנה מתפלג נורמלית עם ממוצע 0 ושונות 1, אלא שהיא מעט נמוכה ורחבה יותר. ככל שגדל מספר דרגות החופש, התפלגות *t* מתקרבת להתפלגות נורמלית עם ממוצע 0 ושונות 1. מסיבה זו <math>\nu</math> ידוע גם בתור פרמטר הנורמליות.

האיורים הבאים מציגים את פונקציית הצפיפות של התפלגות *t* עבור ערכי <math>\nu</math> הולכים וגדלים. ההתפלגות הנורמלית מוצגת כקו כחול להשוואה. שימו לב שהתפלגות *t* (קו אדום) מתקרבת להתפלגות הנורמלית כאשר <math>\nu</math> עולה.



=== פונקציית הצפיפות המצטברת ===
ניתן לכתוב את פונקציית הצפיפות המצטברת בעזרת <math>I</math>, [[פונקציית בטא#פונקציית בטא הלא שלמה|פונקציית בטא הלא שלמה]] הרגולרית. עבור <math> t > 0 </math>

:<math>F(t) = \int_{-\infty}^t\ f(u)\ \operatorname{d}u ~=~ 1 - \frac{1}{2} I_{x(t)}\!\left( \frac{\ \nu\ }{ 2 },\ \frac{\ 1\ }{ 2 } \right)\ ,</math>

כאשר
:<math>x(t) = \frac{ \nu }{\ t^2+\nu\ } ~.</math>

ביטוי אחר שתקף למקרה <math>\ t^2 < \nu\ ,</math>:

:<math>\int_{-\infty}^t f(u)\ \operatorname{d}u ~=~ \frac{1}{2} + t\ \frac{\ \Gamma\!\left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right)\ }{\ \sqrt{\pi\ \nu\ }\ \Gamma\!\left( \frac{ \nu }{\ 2\ }\right)\ } \ {}_{2}F_1\!\left(\ \frac{1}{2}, \frac{\ \nu+1\ }{2}\ ; \frac{ 3 }{\ 2\ }\ ;\ -\frac{~ t^2\ }{ \nu }\ \right)\ ,</math>

כאשר  <math>\ {}_{2}F_1(\ ,\ ;\ ;\ )\ </math> הוא [[מקרה פרטי]] של [[פונקציה היפרגאומטרית|הפונקציה ההיפרגאומטרית]].

== מומנטים ==
עבור <math>\nu > 1 </math> המומנטים של התפלגות t הם

:<math>\operatorname{\mathbb E}\left\{\ T^k\ \right\} = \begin{cases}
\quad 0 & k \text{ odd }, \quad 0 < k < \nu\, \\ {} \\
\frac{1}{\ \sqrt{\pi\ }\ \Gamma\left(\frac{\ \nu\ }{ 2 }\right)}\ \left[\ \Gamma\!\left(\frac{\ k + 1\ }{ 2 }\right)\ \Gamma\!\left(\frac{\ \nu - k\ }{ 2 }\right)\ \nu^{\frac{\ k\ }{ 2 }}\ \right] & k \text{ even }, \quad 0 < k < \nu ~.\\
\end{cases}</math>

מומנטים מסדר<math>\ \nu\ </math>או מסדר גבוה יותר אינם קיימים.

עבור k זוגי ניתן לפשט את האיבר ל <math>\ 0 < k < \nu\,</math> באמצעות התכונות של [[פונקציית גמא]]

:<math>\operatorname{\mathbb E}\left\{\ T^k\ \right\} = \nu^{ \frac{\ k\ }{ 2 } }\ \prod_{j=1}^{k/2}\ \frac{~ 2j - 1 ~}{ \nu - 2j } \qquad k \text{ even}, \quad 0 < k < \nu ~</math>

*'תוחלת, שונות, צידוד, גבנוניות*'

עבור התפלגות *t* עם<math>\ \nu\ </math>דרגות חופש:
* ה[[תוחלת]] היא <math>\ 0\ </math> עבור <math>\ \nu > 1\ </math>.
* ה[[שונות]] היא <math>\ \frac{ \nu }{\ \nu-2\ }\ </math> עבור אחרת השונות אינה מוגדרת.
* ה[[צידוד]] הוא 0 עבור <math>\ \nu > 3\ </math>, אחרת הצידוד אינו מוגדר.
* ה[[גבנוניות (סטטיסטיקה)|גבנוניות]] היא <math>\ \frac{ 6 }{\ \nu - 4\ }\ </math> עבור <math>\ \nu > 4 </math>,  <math>\infty</math> עבור <math>4\geq\nu > 2</math>, אחרת הגבנוניות אינה מוגדרת.

== כיצד נוצרת התפלגות *t* ==
=== התפלגות של משתנה מקרי ===
ניתן להגדיר את התפלגות *t* עם<math>\ \nu\ </math>דרגות חופש באמצעות משתנה מקרי *T*

<math>T=\frac{Z}{\sqrt{V/\nu}} = Z \sqrt{\frac{\nu}{V}},</math>

כאשר Z הוא [[משתנה מקרי]] מתפלג נורמלית עם תוחלת אפס ושונות 1, V משתנה מקרית עם [[התפלגות כי בריבוע]] עם<math>\ \nu\ </math>דרגות חופש ו-Z ו-V הם [[אי-תלות (הסתברות)|בלתי תלויים]].

=== דגימה של התפלגות *t'' ===
התפלגות t עשויה להתקבל באמצעות דגימה של משתנה מקרי נורמלי. יהיו \ x_1, \ldots, x_n \sim {\mathcal N}(\mu, \sigma^2)דגימות בלתי תלויות ושוות התפלגות מתוך התפלגות נורמלית עם תוחלת \mu ושונות \ \sigma^2 . ממוצע המדגם ואומד חסר הטיה לשונות נתונים על ידי
: 
\begin{align}
 \bar{x} &= \frac{\ x_1+\cdots+x_n\ }{ n }\ , \\[5pt]
 s^2     &= \frac{ 1 }{\ n-1\ }\ \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 ~.
\end{align}


הסטטיסטי   t = \frac{\bar{x} - \mu}{\ \sqrt{s^2/n\ }\ } \sim t_{n-1}   יהיה בעל התפלגות t  עם  n - 1\  דרגות חופש.

## קישורים חיצוניים

* 

## הערות שוליים

t