מילה (תורת החבורות)

בתורת החבורות **מילה** היא רצף של אותיות מתוך אלף-בית נתון, או האותיות ההפוכות להן. למשל, אם האלף-בית כולל את *x*, *y* ו-*z*, אז xyyx^{-1}zzzx^{-1} היא מילה. הצבה של איברים בחבורה G במקום אותיות האלף-בית מגדירה הצבה בכל מילה. מילים ממלאות תפקיד חשוב בתורת ההצגות ובתורת החבורות החופשיות, והן מושאי לימוד מרכזיים בתורת החבורות הקומבינטורית.

## הגדרות
תהא *G* חבורה, ו- *S* תת-קבוצה של *G.* **מילה ב- ''S*** היא כל ביטוי מהצורה
: <math>s_1^{\varepsilon_1} s_2^{\varepsilon_2} \cdots s_n^{\varepsilon_n}</math>
*כאשר* s<sub>1</sub>,...,*sn* איברים ב-*S*, הנקראים *'יוצרים**, וכל ''ε<sub>i</sub>'' הוא ±1. המספר ''n'' ידוע **כאורך** המילה.

כל מילה ב- ''S'' מייצגת איבר ב-''G'', כלומר את מכפלת הביטוי. על פי מוסכמה, [[איבר יחידה|איבר היחידה]] יכול להיות מיוצג על ידי **המילה הריקה**, שהיא המילה הייחודית באורך אפס.

== מוסכמות כתיבה ==
בכתיבת מילים, מקובל להשתמש בסימון [[חזקה (מתמטיקה)|אקספוננציאלי]] על מנת לקצר את כתיבת המילה. למשל, המילה

: <math>x x y^{-1} z y z z z x^{-1} x^{-1} \,</math>

יכולה להיכתב בתור

: <math>x^2 y^{-1} z y z^3 x^{-2}. \,</math>

הביטוי הנ"ל אינו מילה בפני עצמו &#x2014; הוא פשוט סימון קצר יותר למילה המקורית.

כאשר עוסקים במילים ארוכות, זה יכול להיות מועיל להשתמש בקו-עליון כדי לציין איברים הופכיים ב-''S'' . באמצעות סימון קו-על, המילה לעיל תיכתב באופן הבא:

: <math>x^2\overline{y}zyz^3\overline{x}^2. \,</math>

== מילים מצומצמות ==
ניתן לפשט כל מילה שבה יוצר מופיע לצד ההופכי שלו (''xx''<sup>−1</sup> או ''x'' <sup>−1</sup>''x'') על ידי השמטת זוג התווים המיותר:

: <math>y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow\;\;y^{-1}zy.</math>

פעולה זו ידועה בשם **צמצום** של המילה, ואין היא משנה את האיבר בקבוצה המיוצג על ידי המילה. ניתן לחשוב על צמצומים כיחסים (מוגדרים להלן) הנובעים מ[[חבורה (מבנה אלגברי)|אקסיומות החבורה]].

**מילה מצומצמת** היא מילה שלא מכילה זוגות של איברים אשר ניתן לצמצם. ניתן לפשט כל מילה למילה מצומצמת על ידי ביצוע רצף של צמצומים:

: <math>xzy^{-1}xx^{-1}yz^{-1}zz^{-1}yz\;\;\longrightarrow\;\;xyz.</math>

התוצאה אינה תלויה בסדר בו מבוצעים הצמצומים.

מילה **מצומצמת באופן מחזורי** [[אם ורק אם]] כל תמורה מחזורית של המילה נותנת מילה מצומצמת.

== פעולות על מילים ==
**המכפלה** של שתי מילים מתקבלת על ידי שרשור:

: <math>\left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right) = xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y.</math>

גם אם שתי המילים מצומצמות, ייתכן שהמכפלה לא מצומצמת.

**המילה ההופכית** של מילה מסוימת מתקבלת על ידי לקיחת האיבר ההופכי של כל יוצר, והיפוך סדר ההופעה שלהם:

: <math>\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}.</math>

ניתן לצמצם את המכפלה של מילה עם המילה ההופכית שלה למילה הריקה:

: <math>zy^{-1}x^{-1}y \; y^{-1}xyz^{-1} = 1.</math>

ניתן להעביר יוצר מההתחלה לסוף של מילה על ידי [[מחלקת צמידות|הצמדה]] :

: <math>x^{-1}\left(xy^{-1}z^{-1}yz\right)x = y^{-1}z^{-1}yzx.</math>

== קבוצה יוצרת של חבורה ==
תת-קבוצה ''S'' של קבוצה ''G'' נקראת **קבוצה יוצרת** אם כל איבר ב-''G'' ניתן ליצוג על ידי מילה ב-''S.''

כאשר ''S'' אינה קבוצה יוצרת של ''G'', קבוצת האיברים המיוצגת על ידי מילים ב-''S'' היא [[תת-חבורה]] של ''G'', המכונה **תת-החבורה של *G* הנוצרת על ידי *S*** ומסומנת בדרך כלל <math>\langle S\rangle</math>. זוהי תת-החבורה הקטנה ביותר של ''G'' המכילה את האלמנטים של ''S.''

== תבניות נורמליות ==
**תבנית נורמלית** עבור קבוצה ''G'' עם הנוצרת על ידי ''S'' היא בחירה של מילה מצומצמת אחת ב-''S'' עבור כל איבר ב-''G.'' לְדוּגמָה:
* המילים 1, ''i'', ''j'', ''ij'' הן תבנית נורמלית ל[[חבורת הארבעה של קליין]] עם  ו-1 מיוצג על ידי המילה הריקה (איבר היחידה של החבורה).
* המילים 1, ''r'', ''r'' <sup>2</sup>, ..., ''r <sup>n-1</sup>'', ''s'', ''sr'', ..., ''sr <sup>n-1</sup>'' הם תבנית נורמלית ל[[חבורה דיהדרלית|חבורה הדיהדרלית]] Dih<sub>''n''</sub> עם  ו-1 שוב מיוצג על ידי המילה הריקה.
* קבוצת המילים מהצורה ''x<sup>m</sup>y<sup>n</sup>'' עבור ''m,n''∈**Z** הם תבנית נורמלית למכפלה הישירה של [[חבורה ציקלית|החבורות הציקליות]] ⟨x⟩ ו-⟨y⟩ עם .
* קבוצת המילים המצומצמות ב-''S'' הן התבנית הנורמלית הייחודית לחבורה החופשית על ''S.''

== יחסים והצגות ==
''תהא S'' קבוצה יוצרת עבור חבורה ''G'', **יחס** הוא זוג מילים ב-''S'' המייצגות את אותו אלמנט ב-''G.'' יחסים נכתבים בדרך כלל כמשוואות, למשל <math>x^{-1} y x = y^2.\,</math>. קבוצה <math>\mathcal{R}</math> של יחסים **מגדירים *את G*** אם כל יחס ב- ''G'' נובע לוגית מהיחסים ב-<math>\mathcal{R}</math> ומתוך [[חבורה (מבנה אלגברי)|אקסיומות החבורה]]. **הצגה** של ''G'' היא זוג <math>\langle S \mid \mathcal{R}\rangle</math>, עבור ''S קבוצה יוצרת של'' ''G'' ו-<math>\mathcal{R}</math> היא קבוצה מגדירה של יחסים.

לדוגמה, ניתן להגדיר את [[חבורת הארבעה של קליין]] על ידי ההצגה

: <math>\langle i,j \mid i^2 = 1,\,j^2 = 1,\,ij=ji\rangle.</math>

כאשר 1 מציין את המילה הריקה, המייצגת את איבר היחידה.

== חבורות חופשיות ==
תהא ''S'' קבוצה כלשהי, **הקבוצה החופשית על *S**' היא הקבוצה המיוצגת על ידי <math>\langle S\mid\;\rangle</math>. כלומר, הקבוצה החופשית על *S* היא הקבוצה הנוצרת על ידי האלמנטים של *S*, ללא יחסים נוספים. כל איבר בחבורה החופשית יכול להיכתב באופן ייחודי כמילה מצומצמת ב-*S.''

## ראו גם
* בעיה מילולית (מתמטיקה)
* בעיית המילה בחבורות

## לקריאה נוספת

* .
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת החבורות
קטגוריה:תורת החבורות הקומבינטורית