יציבות במובן ליאפונוב

**יציבות במובן ליאפונוב** מתייחסת ליציבות של משוואות דיפרנציאליות עבור מערכת דינמיות. התאוריה הבסיסית מתייחסת ליציבות של נקודת שיווי משקל (נש"מ) של המערכת \dot{x} = f(x), כלומר מערכת ללא כניסה חיצונית. ניתוח היציבות מבוסס על "פונקציית אנרגיה" חיובית של המערכת V(x), אשר ערכה יורד עם הזמן לאורך מסלולי המערכת. פונקציה כזאת תקרא "פונקציית ליאפונוב".

## היסטוריה
המונח יציבות במובן ליאפונוב נקראת על שמו של המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר ליאפונוב אשר פרסם את ספרו *הבעיה הכללית של יציבות בתנועה* בשנת 1892. ליאפונוב היה הראשון שלקח בחשבון את כך שדרושה התאמה מסוימת עבור מערכת לא ליניארית על מנת שיהיה ניתן להשתמש בתאורית היציבות של מערכות ליניאריות עבורה. דבר זה נעשה על ידי ליניאריזציה של המערכת בסביבת הנש"מ. עבודתו שתחילה פורסמה ברוסית ולאחר מכן תורגמה לצרפתית זכתה למעט תשומת לב לאורך שנים רבות. השינוי החל בתקופת המלחמה הקרה כאשר השיטה המכונה "השיטה העקיפה של ליאפונוב" נמצאה בעלת ערך רב עבור יציבות של מערכות ניווט אוויריות אשר בדרך כלל אינן ליניאריות בצורה חזקה ולא ניתנות לפתרון באמצעות שיטות אחרות.

## יציבות מקומית של נקודת שיווי משקל
נניח שהמערכת היא n ממדית וללא כניסה חיצונית \dot{x} = f(x), x \in \mathcal{R}^n.

**נש"מ-נקודת שיווי משקל (equilibrium point):** הנש"מ של המערכת \dot{x} = f(x) מוגדרת כנקודה הנמצאת במישור המצב x_e \in \mathcal{R}^n ומקיימת את האילוץ f(x_e)=0. עבור מערכת לא ליניארית יכול להיות מספר כלשהו (כולל 0) של נש"מ.

**יציבות במובן ליאפונוב: **הנש"מ x_e תקרא יציבה במובן ליאפונוב אם:

\forall R>0 \ \exists r>0: ||x(0)-x_e||0

משמעות הביטוי המתמטי במילים פשוטות הוא שעל מסלול המערכת x(t) להישאר "בקרבת הנש"מ" אך לא בהכרח להתכנס אליה. הגדרה זו היא הגדרת היציבות החלשה ביותר. נש"מ שאיננה יציבה על פי הגדרה זו תקרא בלתי יציבה (Unstable).

**יציבות אסימפטוטית: **הנש"מ x_e תוגדר כיציבה אסימפטוטית אם:
# היא יציבה במובן ליאפונוב
# ||x(0)-x_e||
במילים פשוטות המערכת **יציבה אסימפטוטית** אם מסלול המערכת יציב במובן ליאפונוב ובנוסף לכך המסלול מתכנס בסוף התהליך לנש"מ.

### השיטה הישירה של ליאפונוב
נניח כמקודם שהמערכת היא n ממדית וללא כניסה חיצונית \dot{x} = f(x), x \in \mathcal{R}^n ובעלת הנש"מ x_e.

לשם הפשטות נניח כי x_e=0, ניתן להראות שההכללה לנש"מ x_e נעשית בפשטות יחסית על ידי הזזת קואורדינטות, דוגמה לכך ניתן למצוא בספר Nonlinear system. נניח המערכת f(x) רציפה

\forall x \ni L |f(x)-f(y)|

נניח פונקציה V(x) (תסומן כפונקציית ליאפונוב) אשר גזירה ברציפות בכל התחום הדרוש.

**הגדרת נגזרת לאורך מסלול המערכת:**

נגדיר: \dot V(x)=\frac{d}{dt}V(x(t))\mid _{x(t)=x} , כאשר x(t) מסלול כלשהו של המערכת \dot{x} = f(x).

זוהי הנגזרת של הפונקציה V(x(t)) אשר מחושבת בנקודה x(t)=x.

על ידי השימוש בנוסחת הגזירה עבור הרכב פונקציות נקבל לבסוף את הביטוי הבא:

\dot V(x)=\frac{dV(x)}{dx}\cdot f(x)=\begin{bmatrix}\frac{dV}{dx_1}, \cdots , \frac{dV}{dx_n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} f_1(x) \\ \vdots \\ f_n(x) \end{bmatrix} \equiv \sum_{i=1}^n \frac{dV(x)}{dx_i} f_i(x)

\dot V(x) היא פונקציה של המצב x ולא של הזמן t. פונקציה זו מוגדרת כ: הנגזרת של V לאורך מסלולי המערכת השונים.

**משפט - יציבות מקומית**

תהי x_e=0 הנש"מ של המערכת \dot x=f(x).

תהי C סביבה פתוחה כלשהי של הראשית
# נניח כי V:C\to \mathcal{R}^n גזירה ברציפות ב C ומקיימת:
## V(0)=0, V(x)>0 עבור x\ne 0.
## \dot V(x) \le 0 .
אזי x_e הנה נש"מ **יציבה (**במובן ליאפונוב).
# אם במקום \dot V(x) \le0 מתקיים \dot V(x) עבור x\ne 0.
אזי x_e הנה נש"מ **יציבה אסימפטוטית**.

את ההוכחה המלאה למשפט ניתן למצוא בספר Nonlinear system

ניתן לראות בפונקציית ליאפונוב מעין "פונקציית אנרגיה" של המערכת, אם כי אין בהכרח קשר לאנרגיה הפיזיקלית.

הקושי העיקרי בשיטת ליאפונוב הוא במציאת פונקציית ליאפונוב מתאימה.

**דוגמה:**

\dot x=f(x) =
\begin{cases}
\dot x_1=x_1(x_1^2+x_2^2-2)-x_1x_2^2 \\
\dot x_2=x_1^2x_2+x_2(x_1^2+x_2^2-2)
\end{cases}

נבחר את פונקציית ליאפונוב V(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2

ניתן לראות כי V(0)=0 וכי V(x)>0 עבור כל x \ne 0

כמו כן: \dot V(x)=2x_1f_1(x)+2x_2f_2(x)=
2(x_1^2+x_2^2)(x_1^2+x_2^2-2)

לכן \dot V(x) עבור כל ערך הנמצא התחום (x_1^2+x_2^2) ומכאן כי הנש"מ של המערכת x_e=0 יציבה אסימפטוטית.

**קיום פונקציית ליאפונוב**

אחת מן השאלות העולות האם עבור כל נש"מ יציבה (אסימפטוטית) ניתן למצוא פונקציית ליאפונוב?

התשובה לשאלה זאת היא חיובית, אולם הבעיה העיקרית שההוכחה של עובדה זו אינה קונסטרוקטיבית, כלומר שההוכחה אינה מראה כיצד ניתן למצוא פונקציה זו.

### ליניאריזציה מקומית (השיטה העקיפה של ליאפונוב)
ניתן לקבוע יציבות מקומית של נש"מ המערכת באמצעות ליניאריזציה של המערכת סביב לנש"מ. שיטה זו ידועה גם בשם "השיטה העקיפה של ליאפונוב"

נתבונן במערכת הליניארית \dot x=Ax בעלת הנש"מ x_e=0. עבור המערכת מתקיים המשפט הבא:
* הנש"מ של המערכת \dot x=Ax יציבה אסימפטוטית **אם ורק אם **Re(\lambda_i) עבור כל i.
הערה: את ההוכחה עצמה ניתן למצוא בספרות
**הסבר: **ניקח את המערכת \dot x=f(x), בעלת הנש"מ x_e כלומר f(x_e)=0. כמו כן נניח שהמערכת f(x) היא בעלת נגזרות רציפות בסביבת הנש"מ.

מכיוון ש f(x_e)=0, אזי פיתוח טור טיילור מסדר ראשון של המערכת מסביב לנש"מ נותן:

f(x)=A(x-x_e) + higher \quad powers \quad of (x-x_e)

כאשר A={\frac{df}{dx}} \mid_{x=x_e} =
\begin{bmatrix}
\frac{df_1}{dx_1} & ,\cdots, & \frac{df_1}{dx_n} \\ \vdots &\ddots & \vdots \\
\frac{df_n}{dx_1} & ,\cdots, & \frac{df_n}{dx_n} \end{bmatrix}_{x=x_e}

כלומר שA היא מטריצת היעקוביאן של המערכת בנש"מ x_e.

משפט: \lambda_1,...,\lambda_n הם הערכים העצמים של מטריצה A
* הנש"מ x_e **יציבה אסימפטוטית **אם  Re(\lambda_i) עבור כל i.
* הנש"מ x_e **בלתי יציבה **אם  Re(\lambda_i)>0 עבור i כלשהו.
* במקרה גבולי בו ** **Re(\lambda_i)=0 עבור i כלשהו (בעוד כל השאר שליליים), לא ניתן לקבוע יציבות באמצעות שיטה זו.

## יציבות גלובלית ואגן משיכה
### יציבות גלובלית
בחלקים הקודמים הגדרות היציבות היו בעלות אופי מקומי, כלומר אפיינו את התנהגות המערכת בסביבת הנש"מ.

בחלק זה תוגדר יציבות המערכת המתקיימות עבור כל תנאי ההתחלה.

הנש"מ x_e תוגדר כיציבה אסימפטוטית גלובלית אם ההתכנסות x(t) \to x_e  מובטחת עבור כל תנאי ההתחלה בתחום x(0) \in \mathcal{R}^n.

**משפט יציבות גלובלית**

נניח כי V(x) מוגדרת על \mathcal{R}^n ובעלת נגזרות רציפות בכל התחום ומקיימת:
# V(0)=0, V(x)>0 עבור כל x \ne 0.
# \dot V(x) עבור כל x \ne 0.
# V(x) \to \infty כאשר ||x|| \to \infty.
אזי הנש"מ x_e **יציבה אסימפטוטית גלובלית.**

הערות:
* נש"מ יציבה גלובלית היא יחידה.
* במערכת ליניארית יציבות גלובלית מתלכדת עם יציבות מקומית.
**דוגמה:**

\dot x=f(x) =
\begin{cases}
\dot x_1=x_2=x_1(x_1^2+x_2^2) \\
\dot x_2=-x_1-x_2(x_1^2+x_2^2)
\end{cases}

נבדוק את פונקציית ליאפונוב הבאה: V(x)=x_1^2+x_2^2

\Rightarrow \dot V(x)=2x_1f_1(x)+2x_2f_2(x)=-2(x_1^2+x_2^2)^2

ניתן לראות שמתקיימים תנאי המשפט והנש"מ x_e=0 יציבה אסימפטוטית גלובלית.

### אגן משיכה
גם במקרה בו הנש"מ של המערכת אינה יציבה באופן גלובלי ישנה חשיבות להערכת "אגן המשיכה" שלה. כלומר מהן אוסף הנקודות במרחב מהן קיימת התכנסות לנש"מ זו.

**הגדרה: **תהי x_e נש"מ. **אגן המשיכה **של x_e היא הקבוצה המקסימלית \Omega כך ש:

x(0) \in \Omega גוררת  lim_{t \to \infty}x(t)=x_e כל תת-קבוצה של \Omega תקרא **אגן משיכה** של x_e.

**משפט: אגן משיכה של נש"מ יציבה**

נניח כי בסביבה כלשהי של הראשית (C) מתקיימים תנאי משפט ליאפונוב ליציבות אסימפטוטית (מקומית).

יהי a>0 (רצוי גדול ככל האפשר) כך שמתקיים: \Omega_a:=\left\{ x:\mathcal{R}^n:V(x)

אזי \Omega_a היא אגן המשיכה של הנש"מ x_e.

**דוגמה:**

ניקח את הדוגמה שהוצגה קודם:

\dot x=f(x) =
\begin{cases}
\dot x_1=x_1(x_1^2+x_2^2-2)-x_1x_2^2 \\
\dot x_2=x_1^2x_2+x_2(x_1^2+x_2^2-2)
\end{cases}

פונקציית ליאפונוב היא V(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2 כאשר הנגזרת היא \dot V(x)=2(x_1^2+x_2^2)(x_1^2+x_2^2-2).

תנאי המשפט מתקיימים עבור \Omega_a=C=\left\{ x:||x|| ולכן זהו תחום המשיכה של הנש"מ x_e=0.

## יציבות אקספוננציאלית
ההגדרות עבור יציבות המערכת עד כה הוצגו ללא כל דרישה לגבי קצב התכנסות המערכת לנש"מ. בפרק זה יוגדר קצב התכנסות אקספוננציאלי.

**הגדרה: **הנש"מ x_e היא יציבה אקספוננציאלית אם קיימים מספרים A_0, \lambda>0 כך שעבור r>0 כלשהו ועבור x(0) המקיים ||x(0)-x_e|| נקבל: ||x(t)-x_e||\le A_0||x(0)-x_e||e^{\lambda t},\quad t>0

הנש"מ x_e היא יציבה אקספוננציאלית גלובלית אם החסם האקספוננציאלי על x(t) מתקיים לכל x(0) \in \mathcal{R}^n

דוגמה:

\dot x=-x

x(t)=x(0)e^{-t}

|x(t)|=|x(0)|e^{-t}

ניתן לראות שההתכנסות לנש"מ המערכת יציבה אקספוננציאלית.

הערה: ניתן להראות כי במערכת ליניארית, יציבות אסימפטוטית גוררת יציבות אקספוננציאלית.

**משפט: יציבות אקספוננציאלית**
* תהיי פונקציית ליאפונוב V(x) גזירה ורציפה בסביבה C של הראשית. נניח כי קיימים קבועים חיובים C_1 ו-\alpha כך ש: c_1||x||^\alpha \le V(x) \le c_2||x||^\alpha, \quad ||\dot V(x)|| \le -c_3||x||^\alpha  עבור כל x \in C אזי הנש"מ x_e היא יציבה אקספוננציאלית.
* אם הנ"ל מתקיים עבור כל x \in \mathcal{R}^n אזי הנש"מ **יציבה אקספוננציאלית גלובלית**.

## פונקציית ליאפונוב למערכות ליניאריות
ניקח את המערכת הליניארית \dot x=Ax. נניח שהמערכת בראשית יציבה אסימפטוטית, כלומר Re(\lambda_i(A)).

עבור המערכת הנ"ל קיימות מספר שיטות למציאת פונקציית ליאפונוב.

### תבניות ריבועיות ומטריצות חיוביות
תהי P מטריצה סימטרית בגודל n \times n

המטריצה P מגדירה תבנית ריבועית בווקטור המשתנים - x, כלומר f(x)=x^TPx=\sum_{i,j=1}^n P_{i,j}x_ix_j. כל תבנית ריבועית ניתן להגדיר באמצעות מטריצה סימטרית P=P^T.

ננסה למצוא את פונקציית ליאפונוב עבור המערכת הליניארית \dot x=Ax באמצעות הפונקציה הבאה V(x)=x^TPx. עבור קבלת V(x)>0 נדרוש שמטריצת P תהיה מוגדרת כסימטרית וחיובית P>0.

עבור התנאי השני נחשב את \dot V.

\dot V(x)=\frac{dv}{dx}\cdot f(x)=(x^TP+x^TP^T)Ax=x^T(A^TP+PA)x.

נסמן A^TP+PA=-Q אזי \dot V(x)=-x^TQx ועל מנת לקיים את התנאי (\dot V \le 0) נדרוש Q>0. ניתן לראות שהמטרה היא מציאת P>0 שיבטיח Q>0.

### משוואות ליאפונוב
נניח שהמערכת A יציבה כלומר Re(\lambda_i(A)) עבור כל i.

תהיי Q>0 כלשהי, נתבונן במשוואה:

(*) \quad A^TP+PA=-Q

אזי:
# למשוואה זו פתרון P סימטרי יחיד.
# פתרון זה הוא חיובי (P>0).
# פתרון (P>0) קיים אם ורק אם A יציבה.
המשוואה (*) נקראת משוואת ליאפונוב. ניתן לראות כי זוהי משוואה ליניארית באיברי המטריצה P.

**סיכום:**

על מנת למצוא פונקציית ליאפונוב עבור מערכת הליניארית \dot x=Ax נעשה את השלבים הבאים:
# נבחר מטריצה כלשהי Q>0.
# נפתור את משוואת ליאפונוב  A^TP+PA=-Q, נקבל פתרון אם ורק אם A יציבה.
# נבחר V(x)=x^TPx. פונקציה זו מקיימת V(x)>0 וכן את \dot V(x)=-x^TQx עבור x \ne 0 .
**דוגמה:**

נתונה המערכת הבאה \dot x=Ax=\begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -8 & -12 \end{bmatrix}x

נבחר Q=I ונקבל את פונקציית ליאפונוב הבאה A^TP+PA=-I

\begin{bmatrix} 0 & -8 \\ 4 & -12 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} p_1 & p_3 \\ p_3 & p_2 \end{bmatrix}+
\begin{bmatrix} p_1 & p_3 \\ p_3 & p_2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -8 & -12 \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}

מפתרון המערכת נקבל ש: p_3=\frac{1}{16}, p_2=\frac{1}{16}, p_1=\frac{5}{16} כלומר ש P=\frac{1}{16}\begin{bmatrix} 5& 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}>0 והמערכת יציבה.

## מציאת פונקציית ליאפונוב עבור מערכות לא-ליניאריות
כנכתב מקודם הקושי העיקרי הוא מציאת פונקציית ליאפונוב עבור המערכת הלא ליניארית \dot x=f(x). לא קיימת שיטה כללית שהצלחתה מובטחת. בפרק זה יתוארו מספר שיטות אפשריות.

### פונקציות ריבועיות - quadratic Lyapunov function
נקודת התחלה אפשרית היא התבנית הריבועית V(x)=x^TPx כאשר P>0 (מוגדרת כמטריצה חיובית). בפרט ניתן להתחיל מהמקרה האלכסוני: V(x)=\sum \alpha_i x_i^2, \quad \alpha_i>0. דרוש לבדוק האם P מקיימת את האילוץ הבא \dot V(x)=2x^TPf(x). דרך אחת למציאת P מתאימה היא באמצעות לינארזיציה. עבור \left|A=\frac{df}{dx}\right|_{x=0}

נגדיר Q>0 ונבחר P כך ש A^TP+PA=-Q.

גישה זו תצליח תמיד כאשר Aיציבה (כלומר שהמערכת יציבה אסימפטוטית בסביבת הנש"מ) אולם היא אינה בהכרח מביאה לאגן משיכה מיטבי.

### שיטת קרקובסקי - Krasovskii method
בגרסה הבסיסית הפונקציה המוצעת היא t V(x)=f(x)^Tf(x). נגדיר A=\frac{df(x)}{dx} , \quad F(x)=A(x)+A(x)^T

הטענה הבסיסית היא כי אם F(0) בסביבת הראשית, אזי V(x) היא פונקציית ליאפונוב וx_e היא יציבה אסימפטוטית.

יתרה מזאת, אם F(x) ב"כדור" המקיף את הראשית, אזי כדור זה הוא אגן המשיכה של הראשית.

בכלליות יותר ניתן להשתמש גם במטריצה P>0 כך ש F(x)=A(x)P+PA(x)^T בסביבת הראשית.

### הסתמכות על שיקולים פיסקאליים
לעיתים ניתן לגזור פונקציית ליאפונוב מתוך "הבנה פיזיקלית" של הבעיה, דוגמה בולטת היא פונקציית אנרגיה במערכות מכניות.

**דוגמה: מערכת מטוטלת**

ניקח בתור דוגמה מטוטלת בעלת חיכוך ויסקוזי B>0 . הפרמטרים m,l
 מתארים את אורך הזרוע והמסה בהתאמה והפרמטר g
 מתאר את כוח המשיכה.

משוואות התנועה של המערכת הן:

\begin{matrix}
x_1=\theta  \\
x_2=\dot \theta
\end{matrix}\ \to \ 
\begin{matrix}
\dot{x_1}=x_2 \\
\dot{x_2}=-\frac{g}{l}\sin x_1-\frac{B}{m}x_2
\end{matrix}


את פונקציית ליאפונוב נבחר משיקולים פיזיקליים כפונקציית האנרגיה (המנורמלת):

V(x)=\frac{1}{ml^2}(E_p+E_k)=\frac{g}{l}(1-\cos x_1)+\frac{x_2^2}{2},(\ge0)


מכאן נקבל ש:

\dot V(x)=\frac{dv}{dx_1}f1(x)+\frac{dv}{dx_2}f2(x)=\frac{g}{l}\sin (x_1)x_2+x_2(-\frac{g}{l} \sin (x_1)- \frac{B}{m}x_2)=-\frac{B}{m}x_2^2\le0


ניתן לראות שהמערכת יציבה במובן ליאפונוב.

## יציבות זמן בדיד
עד חלק זה הוצגה התאוריה עבור מערכות רציפות בזמן. ניתן לפתח תוצאות דומות גם

למערכות בזמן בדיד, כאשר הפרטים הטכניים פה לרוב פשוטים יותר.

נתבונן במערכת מצב בזמן בדיד:

x_{k+1}=f(x_k), \quad k\ge0

גם במקרה זה נחפש פונקציית ליאפונוב V(x) המקבלת מינימום בנש"מ x_e=0 ויורדת עבור מסלולי המערכת השונים.

הדרישה הראשונה זהה לזמן רציף
* V(0)=0, V(x)>0 עבור x\ne 0.
לעומת זאת הדרישה השנייה משתנה ל:
* V(x_{k+1})-V(x_k))=V(f(x_k))-V(x_k))=\Delta V(x_k)
במילים אחרות החלפנו את הדרישה \dot V (x) \le 0 בדרישה \Delta V(x) \le 0

יש לציין כי משוואות ליאפונוב למערכות ליניאריות בזמן רציף  A^TP+PA=-Q מוחלפת בזמן בדיד עם המשוואה הבאה  A^TPA-P=-Q.

## לקריאה נוספת
* Hassan K.Khalil, Nonlinear system Third edition, Prentice Hall, 2002
* Nonlinear Systems, Analysis, Stabilty and control, Shankar Sastry, Springer,1992

## קישורים חיצוניים
* תורת הבקרה/שיטת ליאפונוב בויקספר
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות
קטגוריה:מערכות דינמיות