ביטוי סגור

במתמטיקה, ביטוי או נוסחה **סגורים** או **בעלי תבנית סגורה** הם ביטויים או נוסחאות המורכבים מקבועים, משתנים ופונקציות הנחשבות בסיסיות. ומחוברים על ידי פעולות אריתמטיות ( +, −, ×, / וחזקות שלמות) והרכבת פונקציות. בדרך כלל, הפונקציות הבסיסיות המותרות לשימוש בביטוי סגור הן שורשים, מעריכים, לוגריתם ופונקציות טריגונומטריות. עם זאת, קבוצת הפונקציות הבסיסיות תלויה בהקשר. לדוגמה, אם מכלילים גם שורש פולינום בפונקציות הבסיסיות, הפונקציות בעלי ביטוי סגור יקראו פונקציות אלמנטריות .

**בעיית הביטוי הסגור** מתעוררת כאשר מוצגים כלים חדשים להגדרת עצמים מתמטיים, כגון גבולות, טורים ואינטגרלים: בהינתן עצם המוגדר בכלים כגון אלו, הבעיה הטבעית היא למצוא, אם אפשר, ביטוי סגור של עצם זה. כלומר, ביטוי העצם במונחים הקודמים להגדרתו הוא.

## דוגמה: שורשי פולינומים
הנוסחה הריבועית

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

היא צורה סגורה של הפתרונות למשוואה הריבועית הכללית ax^2+bx+c=0

באופן כללי יותר במשוואות אלגבריות, פתרון סגור הוא פתרון שביטויו בצורה סגורה כולל רק שורשים ופעולות שדה (+, -, \times ,/). למעשה, תורת השדות מראה שאם לפתרון של משוואה אלגברית יש צורה סגורה הכוללת פונקציות מעריכיות, לוגריתמים או פונקציות טריגונומטריות, אז יש לו גם צורה סגורה שאינה כוללת פונקציות אלה. &#x5B; *<span title="This claim needs references to reliable sources. (August 2023)">[[תבנית:דרוש מקור|דרוש מקור]]</span>*&#x5D;

ישנם ביטויים סגורים כאלה לפתרונות של משוואות ממעלה שלישית ומשוואות ממעלה רביעית. גודלם של הביטויים גודל משמעותית כמעלת המשוואה, מה שמצמצם את התועלת בהם.

במשוואות ממעלות גבוהות יותר, משפט אבל-רופיני קובע שישנן משוואות שפתרונותיהן לא ניתנים לביטוי על ידי שורשים, ולכן אין להן צורות סגורות. דוגמה פשוטה לכך היא המשוואה x^5-x-1=0. תורת גלואה מעניקה שיטה אלגוריתמית המסייעת לקבוע האם ניתן לפתור משוואה אלגברית מסוימת באמצעות רדיקלים.

## אינטגרל סימבולי
אינטגרציה אנליטית עוסקת בעיקר בחיפוש צורות סגורות של פונקציות קדומות של פונקציות המוגדרות על ידי ביטויים סגורים. בהקשר זה, הפונקציות הבסיסיות המשמשות להגדרת צורות סגורות הן בדרך כלל לוגריתמים, פונקציות מעריכיות, ושורשי פונקציות. פונקציות בעלות צורה סגורה עבור פונקציות בסיסיות אלו נקראות פונקציות אלמנטריות וכוללות את הפונקציות הטריגונומטריות, הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות, הפונקציות ההיפרבוליות והפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות.

הבעיה הבסיסית של האינטגרציה האנליטית היא להחליט בהינתן פונקציה אלמנטרית המצוינת על ידי ביטוי סגור, האם הפונקציה הקדומה שלה היא פונקציה אלמנטרית, ובמידה והתשובה חיובית, למצוא ביטוי סגור עבורה.

עבור פונקציות רציונליות, כלומר, עבור שברים של שני פולינומים. פונקציות קדומות אינן תמיד שברים רציונליים, אלא תמיד פונקציות אלמנטריות שיכולות לכלול גם לוגריתמים ושורשים. עובדה הניתנת להוכחה באמצעות פירוק לשברים חלקיים. הצורך בלוגריתמים ושורשי פונקציות מודגם על ידי הנוסחה

\int\frac{f(x)}{g(x)}\,dx=\sum_{\alpha \in \operatorname{Roots}(g(x))} \frac{f(\alpha)}{g'(\alpha)}\ln(x-\alpha),

אשר תקפה אם f ו g הם פולינומים זרים כך ש g הוא פולינום ללא ריבועים ו \deg f .

## הגדרות חלופיות
שינוי קבוצת הפונקציות הבסיסיות כך שיכללו בהן פונקציות נוספות יכול לשנות את קבוצת המשוואות בעלי פתרונות סגורים. פונקציות התפלגות רבות אינן בעלות ביטוי סגור, אלא אם כן מחשיבים פונקציות מיוחדות כמו פונקציית השגיאה או פונקציית גמא כבסיסיות. ניתן לפתור משוואה ממעלה חמישית אם פונקציות היפרגיאומטריות כלליות נכללות, אם כי הפתרון יהיה מסובך מדי מבחינה אלגברית מכדי להיות שימושי. עבור יישומים ממוחשבים רבים, יהיה זה סביר להניח שפונקציית גמא ופונקציות מיוחדות אחרות הן בסיסיות מכיוון שמימוש מספרי שלהם זמין באופן נרחב כיום.

## ביטוי אנליטי
מונח נרדף לביטוי סגור  אך השימוש בו שנוי במחלוקת. ולא ברור כמה השימוש בו נפוץ.

## השוואה בין סיווגים שונים של ביטויים מתמטיים
הביטויים הסגורים אינם כוללים טורים אינסופיים או שברים משולבים אינסופיים; הם גם לא כוללים אינטגרלים או גבולות. אכן, לפי משפט הקירוב של ויירשטראס, כל פונקציה רציפה על קטע היחידה ניתן לבטא כגבול של פולינומים, כך שכל מחלקת פונקציות המכילה פולינומים וסגורה תחת גבול תכלול בהכרח את כל הפונקציות הרציפות.

באופן דומה, משוואה או מערכת משוואות נחשבת **כבעלת פתרון סגור** אם ורק אם לפחות פתרון אחד שלה ניתן לבטא כביטוי סגור. ונאמר כי יש לה **פתרון אנליטי** אם ורק אם לפחות פתרון אחד שלה ניתן לבטא כביטוי אנליטי. קיימת הבחנה עדינה בין "פונקציה סגורה" ל"מספר סגור" בדיון על "פתרון סגור", הנדון ב- . פתרון סגור או אנליטי מכונה לעיתים **פתרון מפורש** (בניגוד למשוואה סתומה).

## התמודדות עם ביטויים לא סגורים

### טרנספורמציה של ביטוי לא סגור לביטוי סגור
הביטוי: f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x}{2^n} אינו סגור מכיוון שהסכום מורכב ממספר אינסופי של פעולות אלמנטריות. עם זאת, על ידי סיכום טור הנדסי ניתן לבטא אותו באופן סגור:  f(x) = 2x.

### תורת גלואה הדיפרנציאלית
אינטגרל של ביטוי סגור יתכן וניתן לבטאו כביטוי סגור, ויתכן שלא. מחקר זה מכונה תורת גלואה הדיפרנציאלית כאנלוגיה לתורת גלואה האלגברית.

המשפט הבסיסי של תורת גלואה הדיפרנציאלית הוא **[[משפט ליוביל (אלגברה דיפרנציאלית)|משפט ליוביל]]**, תוצאת מחקרו של ז'וזף ליוביל בשנות ה-30 וה-40 של המאה ה-19.

דוגמה סטנדרטית לפונקציה אלמנטרית שהפונקציה הקדומה שלה אינה בעלת ביטוי סגור היא: e^{-x^2} שאחת מן הפונקציה הקדומות שלה היא (עד לקבוע הכפל), פונקציית השגיאה : \operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^x e^{-t^2} \, dt.

### מידול מתמטי וסימולציה ממוחשבת
משוואות או מערכות מורכבות מדי לפתרונות סגורים או אנליטיים ניתנות לעיתים קרובות לניתוח באמצעות מודלים מתמטיים וסימולציות מחשב (לדוגמה בפיזיקה, ראו  ).

## חישובים מספריים
למטרת חישובים מספריים, בדרך כלל אין צורך בפתרון סגור, מכיוון שניתן לחשב ביעילות גבולות ואינטגרלים רבים. ישנם משוואות שלהם אין פתרון בצורה סגורה, כגון אלו המייצגות את בעיית שלושת הגופים או מודל הודג'קין-האקסלי . לכן, חישובם של המצבים העתידיים של מערכות אלו נעשה באופן נומרי.

## המרה מצורות נומריות
ישנם תוכנות המנסות למצוא ביטויים סגורים עבור ערכים מספריים, כולל RIES,  במייפל,  SymPy , Plouffe's Inverter , ומחשבון סימבולי הפוך  .

## לקריאה נוספת

* 
* 
* 

## קישורים חיצוניים

* Closed-form continuous-time neural networks

## הערות שוליים

## ביאורים

*
קטגוריה:אלגברה
קטגוריה:דפים עם תרגומים שלא נסקרו