בעיית וארינג

בתורת המספרים, **בעיית וארינג** שואלת האם לכל מספר טבעי k קיים חסם עליון s על מספר החזקות ה-k-יות של מספרים טבעיים, הנדרשות כדי להציג כל מספר טבעי. את הבעיה הציע בשנת 1770 אדוארד וארינג.

הילברט הוכיח שאכן כך הדבר בשנת 1909. על כן אפשר להגדיר פונקציה g(k), כך שכל מספר טבעי אפשר להציג כסכום של g(k) חזקות k-יות, אבל לא כסכום של פחות מכך. חישוב פשוט מראה שכדי להציג את המספר 7 דרושים 4 ריבועים, עבור 23 דרושים 9 מספרים בחזקה השלישית, וכדי להציג את 79 דרושים 19 מספרים בחזקה הרביעית. אלו הם חסמים תחתונים על g(k) עבור k=2,3,4 בהתאמה. 

משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' אומר שניתן להציג כל מספר טבעי כסכום של לכל היותר ארבעה ריבועים; מכיוון ש-7 דורש ארבעה ריבועים, הרי נובע מכך כי g(2)=4. ההשערה של משפט זה הוצעה בשנת 1640 על ידי פרמה.

במהלך השנים נקבעו חסמים נוספים, בשימוש בטכניקות מתוחכמות ומסובכות יותר ויותר. לדוגמה, ליוביל הראה כי g(4) הוא לכל היותר 53. הארדי וליטלווד הראו שכל מספר גדול מספיק הוא סכום של לכל היותר 19 מספרים בחזקה הרביעית.

ויפריך וקמפנר הראו כי g(3)=9 בעבודתם בין השנים 1909 עד 1912. בשנת 1986 הוכיחו בלאסוברמיאן, דרס, ודשויירז כי g(4)=19. ג'נגרון הראה כי g(5)=37 בשנת 1964. פילאי הוכיח כי g(6)=73 בשנת 1940.

במהלך שנות ה-50, הוכיח יורי ליניק את קיום g(k) בכלים אלמנטריים תוך שימוש בצפיפות שנירלמן. 

כל הערכים של g ידועים כיום, הודות לעבודתם של דיקסון, פילאי, רבגנדיי וניבן. הנוסחה שלהם היא:
g(k)=\left\lfloor1.5^k\right\rfloor+2^k-2 לכל k\ge6, כאשר \lfloor x\rfloor הוא הערך השלם של x, שהוא המספר השלם הגדול ביותר שאינו עולה על x. הנוסחה בעצם יותר מסובכת כי במקרה ש-1.5^k-\left\lfloor1.5^k\right\rfloor>1-0.75^k אזי הנוסחה ל-g(k) שונה, אמנם עד עכשיו לא מצאו אף מספר k\ge6 כזה, ונבדקו כל המספרים שהם קטנים מ-471600000, וידוע שיש ככל האפשר מספר סופי של יוצאי דופן כאלה.

ערכי g(k) הראשונים הם:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223 ,8384, 16673, 33203, 66190, 132055, ...

בעיה דומה, אבל קשה בהרבה, שואלת מהו המספר הקטן ביותר G(k) של חזקות-k הדרוש להצגת כל המספרים פרט למספר סופי של יוצאי דופן (או בניסוח שקול: המספר הקטן ביותר הדרוש כדי להציג כל מספר גדול מספיק). זוהי "בעיית וארינג החלשה". ברור כי G(k)\le g(k). שלא כמו בפונקציה g(k), מספרים בעייתיים כגון 23 או 79 אינם מסייעים בהערכה של G(k), והערכים המדויקים של פונקציה זו אינם ידועים (פרט ל-G(2)=g(2)=4 שנובע מעבודתם של לגראנז' וגאוס, שאפיינו את כל המספרים שאפשר להציג בשלושה ריבועים, ו-G(4)=16 שהוכח על ידי דוונפורט בשנת 1939). עבור חזקות שלישיות ידוע רק כי 4\le G(3)\le7 (נכון ל-2025). 

עוד פונקציה דומה נקראת G^+(k) (G_1(k) בעבודות של וולי), שהיא המספר הקטן ביותר של חזקות-k הדרוש להצגת כמעט כל המספרים (כלומר, שהיחס בין מספר יוצאי הדופן שקטנים מ-n ובין n יתכנס ל-0 כאשר n ילך ויגדל). ברור כי G^+(k)\le G(k). נכון ל-2006 ידוע 5 ערכים מדויקים של פונקציה זו בנוסף ל-G^+(2)=g(2)=4, והם 
:G^+(3)=4,G^+(4)=15,G^+(8)=32,G^+(16)=64,G^+(32)=128

## חזקות עד כדי סימן
וריאציה של בעיית וארינג שואלת עבור k קבוע, מהו המספר s הקטן ביותר כך שלכל מספר יש הצגה בצורה \pm n_1^k\pm\cdots\pm n_s^k. את המספר הזה מסמנים v(k). ידוע כי v(2)=3, אך הערך המדויק של הפונקציה אינו יודע בשום מקרה אחר. למשל, 4\le v(3)\le5: כל מספר אפשר להציג כסכום של 5 חזקות שלישיות (של מספרים שלמים, לאו דווקא חיוביים), ולא ידוע האם די ב-4 חזקות.

## הכללות
בעיית וארינג חלה לכל חוג: עבור k קבוע, מהו המספר המקסימלי (אם קיים כזה) של חזקות-k שסכומן יכול להציג כל איבר שהוא, א-פריורי, סכום של מספר כלשהו של חזקות-k. 

עבור חוגי פולינומים \mathbb{C}[x_0,\dots,x_n] נחקרה הגרסה ההומוגנית: עבור k ו-d נתונים, כמה חזקות-k של תבניות הומוגניות מדרגה d נדרשות כדי להציג כל תבנית הומוגנית מדרגה kd. משערים שהמספר המינימלי עבור n=1 הוא k (לכל d), ובעיה זו פתורה עבור k=2. בעיית וארינג החלשה בהקשר זה פתורה עבור d=1 לכל n ו-k  (Alexander-Hirschowitz, 1980).

## קישורים חיצוניים
*
*הוכחתו של יורי ליניק: https://www.maths.lancs.ac.uk/~jameson/warlin.pdf.
*Hardy and Wright, פרקים XX ו-XXI.
*

קטגוריה:תורת המספרים
קטגוריה:תורת המספרים האדיטיבית
קטגוריה:בעיות נודעות במתמטיקה
קטגוריה:דויד הילברט
קטגוריה:בעיות פתוחות בתורת המספרים