איזומורפיזם סדר

[טקסט=שתי קבוצות איזומורפיות-סדר|ממוזער|300x300 פיקסלים|משמאל, קבוצת ה[מחלק|מחלקים הטבעיים של המספר 30; מימין, קבוצת החזקה של הקבוצה \{x,y,z\}. ניתן לראות שמבנה הסדר של שתי הקבוצות זהה, ולכן הן איזומורפיות סדר זו לזו]]
במתמטיקה, ובפרט בתורת הסדר, **איזומורפיזם סדר** הוא פונקציה חד-חד-ערכית ועל בין שתי קבוצות סדורות כך שהפונקציה עצמה והפונקציה ההפוכה לה, שתיהן מונוטוניות. 

איזומורפיזם סדר בין שתי קבוצות סדורות מאפשר לציין ששתי הקבוצות הן הלכה למעשה "אותו הדבר" מנקודת מבט של תורת סדר. בצורה זו אפשר להגדיר לכל קבוצה סדורה את טיפוס הסדר שלה, שהוא אוסף כל הקבוצות במחלקת הקבוצות הסדורות שאיזומורפיות לה.

## סימונים
בערך זה נסמן ב-\Q ו-\R את קבוצת המספרים הרציונליים והממשיים בהתאמה.

## הגדרה
יהי שתי קבוצות סדורות (P,\le_P) -(Q,\le_Q) ופונקציה \varphi \colon P\to Q. אזי, \varphi תקרא **איזומורפיזם סדר בין** P ל-Q אם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים:

# \varphi מונוטונית: לכל p_1,p_2\in P המקיימים p_1\le p_2 מתקיים גם ש-\varphi(p_1)\le\varphi(p_2).
# \varphi חד-חד-ערכית ועל, ועל כן הפיכה.
# \varphi^{-1} מונוטונית: לכל p_1,p_2\in P המקיימים \varphi(p_1)\le\varphi(p_2), בהכרח מתקיים גם ש-p_1\le p_2.

באופן שקול \varphi היא איזומורפיזם סדר אם ורק אם היא שיכון סדר שהוא גם פונקציה על.

איזומורפיזם סדר מקבוצה סדורה לעצמה (P=Q) נקרא **אוטומורפיזם סדר**.

## תכונות

* כל איזומורפיזם סדר הוא בפרט גם שיכון סדר. ההפך לא בהכרח נכון.
* ייתכנו שתי קבוצות שיש מכל אחת לשנייה שיכון סדר, אך השתיים אינן איזומורפיות.
* אם \varphi היא איזומורפיזם סדר מ-P ל-Q ו-a,b\in P, אזי a\le_P b אם ורק אם \varphi(a)\le_Q \varphi(b).
* אם \varphi היא איזומורפיזם סדר מ-P ל-Q ו-a,b\in P, אזי a ו-b הם ברי-השוואה ב-P אם ורק אם \varphi(a) ו-\varphi(b) הם ברי השוואה ב-Q.
* אם \varphi היא איזומורפיזם סדר מ-P ל-Q ו-a\in P, אזי:
** a הוא איבר מינימלי (מקסימלי) אם ורק אם \varphi(a) הוא איבר מינימלי (מקסימלי).
** a הוא איבר קטן ביותר (גדול ביותר) אם ורק אם \varphi(a) הוא איבר קטן ביותר (גדול ביותר).
* אם \varphi היא איזומורפיזם סדר מ-P ל-Q ו-A\subseteq P, אזי:
** A היא שרשרת אם ורק אם \varphi(A) היא שרשרת.
** A חסומה מלמעלה (מלמטה) ב-P אם ורק אם \varphi(A) חסומה מלמעלה (מלמטה) ב-Q.
** ל-A קיים סופרמום (אינפימום) ב-P אם ורק אם ל-\varphi(A) קיים סופרמום (אינפימום) ב-Q.
** A קבוצה צפופה ב-P אם ורק אם \varphi(A) קבוצה סדורה צפופה ב-Q.
* אם \varphi היא איזומורפיזם סדר מ-P ל-Q, A\subseteq P ו-B:=\varphi(A), אז \varphi_

פונקציה זו היא מונוטונית ממש ורציפה, ולכן היא גם חד-חד-ערכית. בנוסף, ניתן להוכיח כי היא הפיכה ושלכל y\in(-1,1):

\varphi^{-1}(y)=\frac{y}{1-|y|}

משני אלה עולה כי \varphi היא איזומורפיזם סדר, מה שאומר ש-\R ו-(-1,1) איזומורפים זה לזה. חשוב לציין כי לא קיים איזומורפיזם בין \R לקטע הסגור [-1,1], מכיוון שהאחרון הוא קבוצה חסומה בעוד הראשון אינו. איזומופיזם שומר חסמים, ולכן השניים לא יכולים להיות איזומורפיים.

בהינתן קטע פתוח (a,b) הפונקציה \vartheta:(-1,1)\to(a,b) כאשר \vartheta(x):=a + \frac{(x+1)(b-a)}{2}, גם היא איזומורפיזם סדר. לכן, \vartheta\circ\varphi אף הוא איזומורפיזם סדר. מכאן נובע ש-\R איזומורפי סדר לכל קטע פתוח.

## טיפוס סדר

אם מסתכלים על מחלקת כל הקבוצות הסדורות, ניתן לראות כי:

* פונקציית הזהות מקבוצה סדורה לעצמה היא אוטומורפיזם סדר.
* אם \varphi_1 היא איזומורפיזם סדר מ-P ל-Q, ו-\varphi_2 היא איזומורפיזם סדר מ-Q ל-R, אז ההרכבה שלהן \varphi_2\circ\varphi_1 היא איזומורפיזם סדר מ-P ל-R.
* אם \varphi היא איזומורפיזם סדר מ-P ל-Q, אז \varphi^{-1} היא איזומורפיזם סדר מ-Q ל-P.

משלושת אלו עולה כי היחס "איזומורפי סדר ל" הוא יחס שקילות על מחלקה זו. כלומר, ניתן לחלק את המחלקה למחלקות שקילות כך שכל הקבוצות הסדורות שאיזומורפיות אחת לשנייה נמצאות באותה מחלקה. על מחלקת שקילות שכזו נקראת **טיפוס סדר** והיא מייצגת את אוסף כל הקבוצות הסדורות ש"מתנהגות אותו הדבר".

בהינתן קבוצות סדורות מאותו טיפוס סדר (קריא, איזומורפיות) ניתן לבחור מהן נציג אחד ולחקור אותו באופן פרטני, ובכך לגלות מידע רלוונטי על כל המחלקה כולה.

## תוצאות חשובות

### סדר טוב ומספרים סודרים
קבוצה סדורה היטב היא קבוצה שבה לכל תת-קבוצה קיים איבר קטן ביותר. סוג חשוב של קבוצות סדורות היטב בתורת הקבוצות האקסיומטית הוא מספר סודר. מספר סודר מוגדר בתור קבוצה שמקיימת את התנאים הבאים:

* כל האיברים בו הם קבוצות.
* אחד האיברים בו הוא הקבוצה הריקה.
* אם איבר כלשהו שייך לקבוצה שהיא איבר בו, גם איבר זה הוא איבר בו.
* הוא קבוצה סדורה היטב לפי יחס השייכות \in.

ניתן להוכיח כי כל קבוצה סדורה היטב איזומורפית סדר למספר סודר כלשהו. בנוסף, ניתן להוכיח כי אם זוג מספרים סודרים איזומורפים זה לזה, הם בהכרח שווים. משני אלו ניתן לראות כי בכל טיפוס סדר (קריא, מחלקת שקילות לאיזומורפיזם סדר) של קבוצה סדורה היטב, קיים מספר סודר והוא יחיד. לכן, אפשר להשתמש במספר סודר זה כנציג של טיפוס הסדר.

### משפט האיזומורפיזם של קנטור
משפט האיזומורפיזם של קנטור  דן בשאלה כיצד ניתן לסווג קבוצות סדורות צפופות. על פי המשפט, כל קבוצה סדורה בת-מנייה עם יחס סדר מלא שהיא צפופה בעצמה ואין לה איבר קטן ביותר או איבר גדול ביותר, בהכרח איזומורפית סדר ל-\Q. משמעות הדבר שכל התכונות הללו של קבוצה סדורה יחדיו, מגדירות את קבוצת המספרים הרציונליים באופן מלא.

מסקנה מיידית של משפט זה היא שכל קבוצה סדורה בת מנייה שסדורה בסדר מלא בהכרח משוכנת סדר בתוך \Q. כלומר, \Q מכילה בתוכה את כל הקבוצות בנות המנייה שסדורות בסדר מלא.

שתי תוצאות אלו מראות על חשיבותם של המספרים הרציונליים בהבנת ההתנהגות של קבוצות סדורות אינסופיות.

### משפט ההצגה של בירקהוף
אחד מסוגי הקבוצות הסדורות החשובים ביותר בתורת הסדר הוא הסריגים. סריגים מהווים מגוון רחב של קבוצות סדורות, ביניהן המספרים הטבעיים עם יחס החילוק, וכלה באלגברה בוליאנית שמאפשרת לנסח תורות בלוגיקה מתמטית. אחת הדוגמאות החשובות ביותר לסריג הוא קבוצת החזקה עם יחס ההכלה. קבוצה זו היא סריג שלם שהוא גם פילוגי (דיסטריבוטיבי) ביחס לפעולות החיתוך והאיחוד. נשאלת השאלה, אילו קבוצות סדורות מתנהגות כמו קבוצת החזקה (קריא, איזומורפים לה) או לתתי-קבוצות סדורות שלה שסגורות לחיתוך ואיחוד.

משפט ההצגה של בירקהוף  מראה שכל סריג סופי פילוגי הוא איזומורפי לתת-קבוצה של קבוצת חזקה כלשהי כאשר פעולת המצרף שקולה לאיחוד ופעולת המפגש שקולה לחיתוך. תוצאת המשך חשובה לא פחות היא שכל סריג פילוג איזומורפי סדר לחוג של קבוצות.

## ראו גם

* התאמת גלואה (תורת הסדר)

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת הסדר