חוק צ'יילד-לאנגמיור

באלקטרוניקה של שפופרות ריק, **חוק צ'יילד-לאנגמיור** (באנגלית: Child–Langmuir law) מתאר את הזרם העובר בין הקתודה לאנודה של שפופרת ריק כפונקציה של המתח החשמלי ביניהן. החוק קובע שהזרם העובר מצוי ביחס ישר לחזקה ה-*3/2* של המתח בין הלוחות וביחס הפוך לריבוע המרחק ביניהם. החוק נקרא על שם הפיזיקאים האמריקאים  ואירווינג לאנגמיור.

מבחינה רעיונית, החוק מתאר את האופן שבו מגבילה השפעת נוכחותו של "מטען מרחבי" בסמוך לקתודה את הזרם המועבר לאנודה: תאורטית, הזרם העובר בשפופרת צריך להיות שווה לזרם הפליטה התרמיונית כפי שמתואר על ידי חוק ריצ'רדסון, המייצג את המטען הזמין הנפלט ליחידת זמן. בפועל, זרם הפליטה שכפי שנחזה על ידי חוק ריצ'רדסון גדול בכמה סדרי גודל מאשר זה שנמדד בניסוי. ההסבר לכך הוא שרוב האלקטרונים הנפלטים מהקתודה מובלים בחזרה אליה על ידי דחיה של ענן האלקטרונים הנוצר ממש בסמוך אליה על ידי הצטברות של אלקטרונים שנפלטו.

## ניסוח החוק
עבור אלקטרונים, צפיפות הזרם *J* (הנמדדת ביחידות אמפר למטר רבוע) היא:

:J = \frac{ I }{ S } =\frac{4 \varepsilon_0}{9}\sqrt{\frac{2e}{m_\mathrm{e}}} \frac{V_0^{3/2}}{d^2}

כאשר I הוא הזרם העובר ו-*S* הוא שטח הלוחות; e ו-m_\mathrm{e} הם מטען ומסת האלקטרון, V_0 הוא המתח בין הלוחות ו-d המרחק ביניהם.

## גזירת החוק
בגזירת החוק מניחים את ההנחות הפיזיקליות הבאות:
* האלקטרונים נעים באופן בליסטי בין לוחות האלקטרודות (ללא פיזור).
* האלקטרונים במשטח הקתודה הם בעלי מהירות אפסית.
* האלקטרודות שטוחות, מקבילות ומתייחסים אליהם בתור משטחים אינסופיים שווי פוטנציאל.
* מצב המערכת הוא יציב - מתח האנודה נשאר קבוע לזמן מספיק ארוך עד להתייצבות זרם האנודה.

הנחות אלו ממירות בעיה תלת-ממדית מורכבת לבעיה חד־ממדית, ולכן הן מאפשרות לפתח משוואה דיפרנציאלית רגילה עבור הפוטנציאל החשמלי V(x) בכל נקודה כפונקציה של המרחק *x* של הנקודה מהקתודה. ממשוואת שימור האנרגיה עולה שמהירות האלקטרונים *u* מקיימת:

:\frac{1}{2}m_\mathrm{e}u(x)^2 = eV(x)\implies u(x)=\sqrt{\frac{2eV(x)}{m_\mathrm{e}}}

הנחת היציבות של המערכת גוררת שכיוון וגודל צפיפות הזרם J(x) אחידים במרחב, כך שאין הצטברות משתנה בזמן של מטען מרחבי בנקודה מסוימת. תחת הנחה זאת, ניתן לרשום את צפיפות הזרם באופן הבא:
:J(x)=\rho(x)u(x)=\text{const}\implies \rho(x)=\frac{J}{\sqrt{\frac{2eV(x)}{m_\mathrm{e}}}}

מצד שני, משוואת פואסון מאפשרת לקשר בין הפוטנציאל החשמלי V(x) לצפיפות המטען המרחבי \rho(x):

:\nabla^2 V = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\implies \frac{d^2V}{dx^2} = \frac{\rho(x)}{\varepsilon_0}

ואם נציב את התוצאה הקודמת במשוואה האחרונה נקבל את המשוואה הדיפרנציאלית:
:\frac{d^2V}{dx^2}=\frac{J}{\varepsilon_0\sqrt{\frac{2eV(x)}{m_\mathrm{e}}}}

זוהי משוואה דיפרנציאלית לא ליניארית מסדר שני. כדי לפתור אותה נכפול את שני האגפים ב-\frac{dV}{dx} ונקבל:

:\frac{d^2V}{dx^2}\frac{dV}{dx}=\frac{J \frac{dV}{dx}}{\varepsilon_0\sqrt{\frac{2eV(x)}{m_\mathrm{e}}}}

ניתן לרשום משוואה זאת גם באופן הבא:

:\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\frac{dV}{dx})^2=\frac{2J\sqrt{\frac{m_\mathrm{e}}{2e}}}{\varepsilon_0}\frac{d\sqrt{V}}{dx}

ואם נבצע אינטגרציה בשני האגפים נקבל:

:\frac{1}{2}(\frac{dV}{dx})^2= \frac{2J\sqrt{\frac{m_\mathrm{e}}{2e}}}{\varepsilon_0}\sqrt{V}\implies \frac{dV}{dx} =( \frac{4J\sqrt{\frac{m_\mathrm{e}}{2e}}}{\varepsilon_0})^{\frac{1}{2}}V^{\frac{1}{4}}

וזאת כבר משוואה דיפרנציאלית שניתן לפתור באמצעות הפרדת משתנים:

:\frac{dV}{V^{\frac{1}{4}}}=(\frac{4J\sqrt{\frac{m_\mathrm{e}}{2e}}}{\varepsilon_0})^{\frac{1}{2}}dx\implies V(x)= Ax^{\frac{4}{3}}

כאשר מתנאי השפה - שהם V(x=0)=0 ו-V(x=d)=V_0 - נובע שהקבוע A שווה ל- \frac{V_0}{d^{\frac{4}{3}}}. מצד שני, מאינטגרציה של שני האגפים נובע גם שהקבוע A הוא:
:A = (\frac{3}{4}(\frac{4J\sqrt{\frac{m_\mathrm{e}}{2e}}}{\varepsilon_0})^{\frac{1}{2}})^{\frac{4}{3}}=\frac{(3/2)^{\frac{4}{3}}(\frac{m_\mathrm{e}}{2e})^{\frac{1}{3}}}{\varepsilon_0^{\frac{2}{3}}}J^{\frac{2}{3}}

והשוואה בין שני הביטויים שהתקבלו עבור A נותנת את חוק צ'יילד-לאנגמיור:

:J=(\frac{A}{((3/2)^{\frac{4}{3}}(\frac{m_\mathrm{e}}{2e})^{\frac{1}{3}})/\varepsilon_0^{\frac{2}{3}}})^{\frac{3}{2}}=(\frac{(V_0/d^{\frac{4}{3}})}{((3/2)^{\frac{4}{3}}(\frac{m_\mathrm{e}}{2e})^{\frac{1}{3}})/\varepsilon_0^{\frac{2}{3}}})^{\frac{3}{2}}=\frac{4 \varepsilon_0}{9}\sqrt{\frac{2e}{m_\mathrm{e}}} \frac{V_0^{3/2}}{d^2}

## ראו גם
* מטען מרחבי
* פליטה תרמיונית

קטגוריה:אלקטרוניקה