קרל פרידריך גאוס

**יוהאן קרל פרידריך גָאוּס** (בגרמנית: **Johann Carl Friedrich Gauß** , 30 באפריל 1777 – 23 בפברואר 1855) היה מתמטיקאי, פיזיקאי ואסטרונום גרמני, מגדולי המתמטיקאים של כל הזמנים.

גאוס תרם רבות בתחומי האלגברה, תורת המספרים, אנליזה מתמטית, סטטיסטיקה, גאומטריה דיפרנציאלית, גאודזיה, תורת הכבידה, תורת החשמל והמגנטיות, אסטרונומיה, אופטיקה ועוד. המגנום אופוס שלו, "**[[מחקרים אריתמטיים]]**" (Disquisitiones Arithmeticae), נחשב ליצירה המכוננת של תורת המספרים המודרנית, ונודעה לה השפעה כבירה על התפתחות הדיסציפלינות המתמטיות הטהורות בשתי המאות שחלפו מאז פרסומה.

גאוס מכונה לעיתים קרובות בספרות המתמטית "**נסיך המתמטיקאים**" ו"גדול המתמטיקאים מאז ימי קדם", זאת בשל השפעתו יוצאת הדופן על תחומים רבים במתמטיקה ובמדע.

## ביוגרפיה
[200 px|שמאל|ממוזער|פסל של גאוס בעיר הולדתו, [בראונשווייג]]
גאוס נולד בבראונשווייג שבסקסוניה התחתונה כבן יחיד למשפחת פועלים ענייה. אימו מעולם לא תיעדה את תאריך הלידה שלו, אולם זכרה שהוא נולד ביום רביעי, שמונה ימים לפני חג העלייה, שהוא עצמו מתרחש 39 ימים אחרי חג הפסחא. גאוס פתר מאוחר יותר את חידת תאריך לידתו בקונטקסט של מציאת תאריך חג הפסחא, ופיתח שיטות לחשב את מועדי החג בעבר ובעתיד.

גאוס היה ילד פלא. הוא עצמו סיפר כי עמד על סוד הפעולות האריתמטיות עוד בטרם ידע לדבר. קיימים סיפורים רבים על גאונותו כילד, רובם נחשבים לאגדות. אחד מהם, המובא בספרו של אריק טמפל בל, Men of Mathematics, מספר כי עוד בטרם מלאו לו שלוש שנים, נתגלה להוריו כישרונו המתמטי הייחודי: אביו עסק בהכנת גיליון השכר השבועי של הפועלים שבהשגחתו וביצע במשך מספר דקות את החישובים המסובכים. כאשר סיים את החישוב, אמר לו בנו שנפלה טעות בחישוב, ונקב בתוצאה שחישב בראשו. סיפור מפורסם אחר מבית הספר היסודי מספר כי מורהו של גאוס ביקש להעסיק את תלמידי הכיתה בתרגיל שלפתרונו הייתה דרושה שעה ארוכה. התרגיל היה לחבר את המספרים מ-1 עד 100. מספר שניות לאחר שהתרגיל הוצג לתלמידים, גאוס, שהיה באותה עת בן 7 שנים בלבד, הניח את לוח-היד שהיה נהוג באותם ימים, קרא "!Lieget se" ("הנה זה מונח", בניב המקומי) ונקב בתוצאה: 5,050. בדיעבד התברר כי הוא גילה את הנוסחה לטור חשבוני סופי מבלי להיות מודע לכך: הוא הבחין שסכום האיבר הראשון והאחרון זהה לסכום האיבר השני והלפני האחרון וכן הלאה (1 + 100, 2 + 99, ..., 50 + 51). כלומר כדי למצוא את הפתרון לתרגיל יש להכפיל 101 במספר הזוגות (ששווה למחצית של מספר איברי הסדרה), וכך מתקבל הפתרון (5,050=101X50).

אביו של גאוס, שהיה חסר השכלה ואב קשוח, רצה כי בנו ימשיך בדרכו ויהיה לבנאי, ולכן התנגד להמשך לימודיו של בנו. אך אמו הכירה בגאונותו של בנה ותמכה בהמשך לימודיו. מורהו ביטנר הכיר אף הוא בגאונותו של גאוס והסב אליו את תשומת לבו של הדוכס מבראונשווייג, קרל וילהלם פרדיננד. הדוכס אכן נתן את תמיכתו וחסותו בהמשך לימודיו התיכוניים והאוניברסיטאיים של גאוס.

### תחילת דרכו
גאוס קיבל מלגה מהדוכס, ובשנים 1792 עד 1795 למד ב-Collegium Carolinum (לימים האוניברסיטה הטכנית בבראונשווייג). משם המשיך ללימודים גבוהים באוניברסיטת גטינגן, שם למד עד 1798. בעודו באוניברסיטה, גילה מחדש באופן בלתי תלוי מספר מושגים ומשפטים חשובים: משפט הבינום המוכלל, הממוצע האריתמטי-גאומטרי, ומשפט ההדדיות הריבועית. הפריצה שלו התרחשה ב-1796, כאשר הראה באמצעות הרעיון של הרחבת שדות שכל מצולע משוכלל שמספר צלעותיו הוא מספר פרמה (ועקב כך כל מכפלה של מספר פרמה בחזקה של 2), ניתן לבנייה בסרגל ובמחוגה. תגלית זו הייתה ההתקדמות המשמעותית הראשונה בנושא בניות בסרגל ובמחוגה זה למעלה מ-2,000 שנה: בעיות בנייה העסיקו מתמטיקאים עוד מימי יוון העתיקה, והייתה להן חשיבות רבה בהתפתחות האלגברה; בזכות האנליזה המעמיקה של פולינומים ציקלוטומיים, הן פתחו שערים לתאוריות מתמטיות עמוקות כמו תורת גלואה. תגלית זו היוותה נקודת מפנה בחייו של גאוס, מכיוון שהניעה אותו לבחור במתמטיקה כקריירה ולא בבלשנות, שבה התעניין באותה עת. כחובב בלשנות נלהב שלט גאוס בשפות רבות: גרמנית, יוונית, לטינית, צרפתית, אנגלית ודנית.

1796 הייתה השנה הפרודוקטיבית ביותר עבור גאוס ותורת המספרים. ב-30 במרץ הוא גילה כי מצולע משוכלל בן 17 צלעות ניתן לבנייה בסרגל ומחוגה. גאוס היה גאה מאוד בתגליתו, ואף ביקש שייחרט על מצבתו מצולע משוכלל בן 17 צלעות. הוא פיתח את האריתמטיקה המודולרית, כלי בעל יכולת הפשטה ניכרת בתיאור מניפולציות בתורת המספרים. ב-8 באפריל 1796 היה הראשון שהוכיח את משפט ההדדיות הריבועית, משפט עמוק וכללי המאפשר למתמטיקאים לקבוע קיום פתירות של כל משוואה ריבועית באריתמטיקה מודולרית. גאוס כינה אותו בשם "משפט הזהב", ועדות לחיבה שרחש לו היא שפרסם שש הוכחות שונות שלו במהלך חייו (שתיים נוספות פרי עטו פורסמו לאחר מותו). משפט המספרים הראשוניים, אשר שוער ב-31 במאי, נותן הבנה טובה כיצד מתפלגים המספרים הראשוניים בין המספרים הטבעיים. ב-10 ביולי גאוס גילה שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של שלושה מספרים משולשים לכל היותר, ותיעד את התגלית בהערה מפורסמת ביומנו: "אאורקה! ∆ + ∆ + ∆ = num". ב-1 באוקטובר הוא גילה תוצאה על מספר הפתרונות של פולינום בעל מקדמים השייכים לשדה סופי, שהובילה להשערות וייל 150 שנה מאוחר יותר.

### שנות הביניים
שמאל|ממוזער|העמוד הראשי של מחקרים אריתמטיים*
בעבודת הדוקטורט שלו משנת [[1799]], "הוכחה חדשה לכך שכל פולינום במשתנה אחד ניתן לפרק כמכפלה של גורמים ממשיים מן המעלה הראשונה והשנייה", סיפק גאוס הוכחה מבריקה של [[המשפט היסודי של האלגברה]], משפט חשוב שממנו נובע כי לכל [[פולינום]] ממעלה n יש בדיוק n [[שורש (של פונקציה)|שורשים]] [[מספר מרוכב|מרוכבים]]. עבודת הדוקטורט שלו הכילה ביקורת וסקירה מקיפה של ניסיונות הוכחה קודמים של המשפט, שנעשו על ידי [[לאונרד אוילר|אוילר]], [[ז'וזף לואי לגראנז'|לגראנז']] ו[[ז'אן לה רון ד'אלמבר|ד'אלמבר]], והיא הייתה העבודה הראשונה שהצביעה על הפגם הבסיסי בהוכחות קודמות אלו של משפט זה. ההוכחה שלו הכילה טיעון מקורי, [[טופולוגיה אלגברית|טופולוגי]] במהותו, והגישה הכללית שנקט בהוכחה הייתה מקורית. באופן אירוני, גם ההוכחה של גאוס לא הייתה שלמה, והיה בה פער לוגי, בשל שימוש "מובלע" ב[[משפט העקום של ז'ורדן]], ולפיכך היא אינה קבילה בסטנדרטים מודרניים. גאוס זיהה את החלל בהוכחתו, ובמרוצת חייו סיפק עוד שלוש הוכחות שונות של תוצאה זו; שתיים נוספות ב-[[1816]] (האחת אלגברית באופיה והשנייה אנליטית), והאחרונה שבהן ב-[[1849]], הנחשבת לדקדקנית ביותר מביניהן, לפי הסטנדרטים של היום. מאמציו להוכיח את המשפט היסודי הסירו לחלוטין את הספקות לגבי תקפותם של המספרים המרוכבים.

ב-[[1801]] פרסם גאוס את יצירת המופת הגדולה ביותר שלו: "[[מחקרים אריתמטיים]]" (Disquisitiones Arithmeticae), שאת כתיבתה השלים עוד ב-[[1798]], אך החליט לפרסמה רק שלוש שנים מאוחר יותר. ביצירה זו הציג גאוס לראשונה כלי חדש לתיאור בעיות בתורת המספרים - [[חשבון מודולרי|אריתמטיקה מודולרית]], הוכיח לראשונה את [[משפט ההדדיות הריבועית]], יצר את תורת ה[[תבנית ריבועית|תבניות הריבועיות]], ויצר תאוריה של [[בנייה בסרגל ובמחוגה]] (שעל פיה הוכיח כי המצולע המשוכלל בן 17 צלעות ניתן לבנייה). הניתוח שגאוס נתן בספרו לתורת התבניות הריבועיות היה מעמיק במיוחד, ומלא ברעיונות ובמושגים חדשים. האופן שבו ניתח בעיות והקונספציה החדשה שהציג בספר היוו מקור השראה למתמטיקאים במשך דורות רבים אחרי פרסומו. כך, למשל, ניתוחו של גאוס את בעיות הבנייה בסרגל ומחוגה הכיל חלק מהאלמנטים הרעיוניים של [[תורת גלואה]], וספר זה היווה מקור השראה לגלואה.

באותה שנה גילה ה[[אסטרונום]] ה[[איטלקי]] [[ג'וזפה פיאצי]] את ה[[אסטרואיד]] [[קרס (כוכב לכת ננסי)|קרס]]. אולם פיאצי היה יכול לעקוב אחריו רק למשך מספר חודשים בלבד, וחלק מסלולו שבו הצליח לצפות היווה רק 3 מעלות ב[[שמי הלילה]]. לאחר מכן נעלם קרס באופן זמני מאחורי ההילה של השמש. מספר חודשים מאוחר יותר, כאשר קרס היה אמור להופיע שוב, לא היה פיאצי מסוגל לאתר אותו מחדש: הכלים המתמטיים של התקופה לא היו מסוגלים לבצע חיזוי של מיקום האסטרואיד על פי מידע כל-כך זעום, שכן 3 מעלות מהווים פחות מ-1% ממסלולו של האסטרואיד.

גאוס, שהיה אז בן 23, שמע על הבעיה והחליט לנסות ולחזות את מיקומו של האסטרואיד. לאחר שלושה חודשים של עבודה מאומצת, הצליח גאוס לחזות את הזמן (דצמבר 1801) ואת המקום שבו יופיע האסטרואיד קרס שוב. ואכן, שנה לאחר שנראה בפעם הראשונה, הופיע קרס מחדש בזמן ובמקום שגאוס חזה. התחזית למיקום התבררה כמדויקת בדרגה של חצי-מעלה כאשר האסטרואיד נצפה על ידי הברון [[פרנץ פון זאך]] ב-31 בדצמבר 1801 בעיר [[גותה]], ויממה מאוחר יותר על ידי [[היינריך אולברס]] ב[[ברמן]]. ההישג הביא לגאוס תהילה והכרה מיידית גדולה, והוביל לכך שהוצעה לו משרה כפרופסור ל[[אסטרונומיה]] וכמנהל מצפה הכוכבים של [[אוניברסיטת גטינגן]]. העובדה שהחיזוי היה כה מדויק, חרף מגבלות הכלים המתמטיים בני אותו זמן, זעזעה את הקהילה המדעית באותה תקופה. זאך כתב כי "בלעדי העבודה האינטליגנטית והחישובים של גאוס ייתכן כי לעולם לא היינו מוצאים מחדש את קרס שוב". בשלב זה בחייו עדיין נתמך גאוס במלגה שניתנה לו מטעם הדוכס מבראונשווייג ולא נזקק לעבודה. אולם עם מותו של הדוכס ב-[[1807]], החליט לקבל את המשרה שהוצעה לו והחזיק בה עד יום מותו.

השיטה של גאוס הייתה כרוכה בקביעת [[חתך חרוט]] במרחב בהינתן ה[[מוקד (גאומטריה)|מוקד]] שלו (השמש), וחיתוך החרוט עם 3 ישרים נתונים (קווי ראייה מכדור הארץ לקרס, כשכדור הארץ עצמו נע במסלול אליפטי), ובהינתן הזמן שנדרש לקרס לעבור את הקשתות המותוות בין ישרים אלו (אשר מהם ניתן לחשב את אורך הקשתות באמצעות [[חוקי קפלר#החוק השני|החוק השני של קפלר]]). בעיה זו מובילה למשוואה ממעלה שמינית, שפתרון אחד שלה, מסלול כדור הארץ, ידוע. הפתרון שמחפשים מופרד אז מ-6 האחרים בהתבסס על התנאים הפיזיקליים. בעבודה זו גאוס השתמש בשיטות קירוב מעמיקות שיצר במיוחד לצורך מטרה זו.

שיטה אחת כזו הייתה [[טרנספורם פוריה מהיר]] (Fast Fourier Transform). בעוד שיטה זו מיוחסת בדרך כלל למאמר משנת [[1965]] של המתמטיקאים ג'יימס קולי וג'ון טוקי, גאוס פיתח אותה כשיטת אינטרפולציה טריגונומטרית. המאמר שלו, Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata, פורסם רק לאחר מותו בכרך השלישי של אוסף העבודות שלו. עבודה זו אף חוזה את ההצגה הראשונה של [[ז'וזף פורייה]] על הנושא בשנת [[1807]].

[[קובץ:Normal distribution pdf.png|ימין|ממוזער|300px|התפלגויות נורמליות שונות בסטטיסטיקה]]

גילוי האסטרואיד [[קרס (כוכב לכת ננסי)|קרס]] על ידי פיאצי הוביל את גאוס לעבודתו המונומנטלית על התאוריה של תנועת אסטרואידים המושפעים מגופים גדולים, אותה פרסם בשנת [[1809]] בשם "[[תאוריה של תנועת הגופים השמימיים בחתכי חרוט סביב השמש]]". בעבודה זו הוא כיסה, איחד וייעל את המתמטיקה של חיזוי המסלולים של [[המאה ה-18]] עד כדי כך שהיא נחשבת לאבן פינה בתולדות האסטרונומיה החישובית. החיבור הציג את [[קבוע הכבידה הגאוסי]], והכיל יישום מעמיק וממצה של [[שיטת הריבועים הפחותים]] אותה המציא, שיטה אשר משתמשים בה בכל ענפי המדעים המדויקים כדי להקטין למינימום את ההשפעה של [[שגיאת מדידה|שגיאות המדידה]]. באמצעות הגדרת ה[[התפלגות נורמלית|התפלגות הנורמלית]] של שגיאות, הוכיח גאוס בחיבורו את שיטתו שלו (ראו גם: [[סטטיסטיקת גאוס-מרקוב]]). ההתפלגות הנורמלית, שנחשבת להתפלגות החשובה ביותר ב[[סטטיסטיקה]] ומיושמת בתחומי חיים רבים ובכל תחומי ה[[מדע]], נקראת מאז בשם "פעמון גאוס" או "גאוסיאן". שיטה זו תוארה קודם לכן על ידי [[אדריאן-מארי לז'נדר|לז'נדר]] ב-[[1805]] אך גאוס טען כי הוא השתמש בה כבר ב-[[1795]].

בין השנים [[1812]] ל-[[1818]], השנים הראשונות לאחר חזרתו לגטינגן, היה לגאוס פרץ נוסף של רעיונות יצירתיים בתחומים שונים במתמטיקה, ובעקבותיו פרסם מספר רב של מאמרים בולטים, בהם מאמרו משנת 1813 בו מצא באופן אנליטי טהור את המשיכה שיוצר [[אליפסואיד]] בכל נקודה במרחב, מאמרו "חקירות כלליות חדשות על הטור האינסופי" שפתח את העידן ה[[ריגורוזיות|ריגורוזי]] של ה[[אנליזה מתמטית|אנליזה המתמטית]] והיה הדיון השיטתי הראשון על טורים היפרגאומטריים וההצגה של ה[[פונקציה היפרגאומטרית|פונקציה ההיפרגאומטרית]], מאמרו "שיטה חדשה לחישוב ערכי אינטגרלים על ידי קירוב" - חיבור על שיטה חדשה ל[[אינטגרציה נומרית]], מאמרו "קביעת הדיוק של תצפיות" ובו דיון ב[[אמידה|אמדים סטטיסטיים]], וכן מאמרו פורץ הדרך באסטרונומיה תאורטית משנת 1818 בו הוכיח שה[[פרטורבציה (אסטרונומיה)|פרטורבציה]] המסלולית הנגרמת על ידי גוף מסיבי לגוף קטן שקולה לפרטורבציה אשר הייתה נגרמת על ידי טבעת מסה אליפטית ש[[צפיפות החומר|צפיפות]]ה בכל נקודה פרופורציונלית למסת הכוכב ויחסית הפוך למהירותו באותה נקודה (עבודתו על הפרטורבציות במסלולו של [[פאלאס (אסטרואיד)|פאלאס]] הובילה אותו למשפט זה).

ב-[[1818]] החליט גאוס לנצל את יכולותיו החישוביות לשימוש מעשי והוביל [[סקר]] [[גאודזיה|גאודזי]] של [[ממלכת הנובר]], וקישר לסקרים דניים מקבילים. כדי לקדם את הסקר המציא גאוס את ה[[הליוטרופ (מכשיר)|הליוטרופ]], מכשיר העושה שימוש במראה כדי להחזיר את אור השמש על פני מרחקים גדולים במטרה לסמן ולמדוד מרחקים של עמדות. מחקריו בגאודזיה העמידו יסודות חדשים למדע הגאודזיה, ותרמו לנושאים רבים: יישומים מתמטיים כגון התאוריה המתמטית של [[מסילה גאודזית|קווים גאודטיים]] על משטח עקום, תיאור הצורה של כדור הארץ (בין היתר טבע את המונח "[[גאואיד]]") והסבר לאי רגולציות שלה, הכנת מפות מדויקות יותר של אזורים שונים, שיטות אינטרפולציה טריגונומטרית ועוד.

הסקר של הנובר עורר בגאוס עניין ב[[גאומטריה דיפרנציאלית]], תחום במתמטיקה הדן ב[[משטח (טופולוגיה)|משטחים]] ובעקומות. בין השאר יצר בתחום זה מושג מרכזי המתאר עקמומיות של משטחים, וקרוי על שמו [[עקמומיות גאוס]]. ב-[[1827]], גאוס גילה וניסח משפט מתמטי חשוב ביותר בתחום זה ([[Theorema Egregium]]), המקשר בין הרעיון של עקמומיות משטח לגאומטריה של הצורות המתקיימות עליו, כלומר לזוויות ולמרחקים הנמדדים על פני המשטח ולהבדל בין תוצאות המדידות על פני המשטח לבין אלו הנקבעות ב[[גאומטריה אוקלידית]]. המשפט ביסס את החשיבות היסודית שיש לעקמומיות גאוס בגאומטריה דיפרנציאלית. הוא פרסם משפט זה ואת מכלול התאוריה שלו על משטחים עקומים בחיבורו מאותה שנה "*'חקירות כלליות על משטחים עקומים**", שהוא יצירתו המרכזית בתחום זה. גאוס ניסח והוכיח גם את המשפט הידוע כ[[משפט גאוס-בונה]], המקשר בין הגאומטריה של משטח ל[[טופולוגיה]] שלו, משפט בעל חשיבות בהנחת יסודות הטופולוגיה.

[[קובץ:Bendixen - Carl Friedrich Gauß, 1828.jpg|שמאל|ממוזער|250px|קרל פרידריך גאוס, 1828]]
ב-[[1820]] החל מתמטיקאי הונגרי בשם [[יאנוש בויאי]], בנו של [[פרקש בויאי]] שהיה חבר טוב של גאוס, ליצור את התאוריה שלו לגבי [[גאומטריה לא-אוקלידית]], ופרסם תוצאות לגביה ב-[[1832]]. תוצאות אלו הביאו ל[[פרדיגמה|שינוי פרדיגמה]] משמעותי בהבנה של תחום הגאומטריה, שכן הן שחררו מתמטיקאים מהאמונה המוטעית שרק באמצעות [[גאומטריה אוקלידית|מערכת האקסיומות של אוקלידס]] ניתן לבנות גאומטריה [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]] ונטולת סתירות פנימיות. מאוחר יותר טען גאוס שהוא הגיע בעצמו לתוצאות שפרסם בויאי לפניו אבל לא פרסמן מעולם; הוא כתב לפרקש בויאי: "לשבח עבודה זו יהיה זה למעשה לשבח את עצמי. שכן כל תכולת העבודה... מתלכד כמעט במדויק עם ההרהורים המתמטיים שלי עצמי אשר העסיקו אותי במהלך שלושים או שלושים וחמש השנים האחרונות". הוא אכן הגיע לתוצאות אלו, כפי שניתן ללמוד ממכתבו ל[[פרנץ אדולף טאורינוס]] בשנת [[1824]], אך סירב לפרסמן מחשש לזעם ההמונים ("מוג לב במקצת" כינה אותו בשל כך מדען המחשב [[אדסחר דייקסטרה]]).

=== שנותיו האחרונות ===
אחרי 1828 החל להסתמן כיוון חדש בעבודתו של גאוס, והוא החל לחקור בעיקר בעיות בפיזיקה תאורטית. הפירות הראשונים שהניב מחקר זה היו מאמרו על מכניקה משנת [[1829]]: "על ניסוח יסודי חדש של המכניקה", בו ניסח מחדש את [[מכניקה קלאסית|המכניקה הקלאסית]] באמצעות עיקרון חדש ב[[חשבון וריאציות]] ([[עקרון האילוץ המינימלי של גאוס]]), ומאמרו משנת [[1830]] על [[נימיות]]: "עקרונות כלליים של תאוריית הצורה של נוזלים בשיווי משקל", בו דן ב[[נוזל]]ים במצב שיווי משקל וסיפק בסיס ריגורוזי חדש לתחום. בתקופה זו החל גם להתעניין ב[[קריסטלוגרפיה]], והגיע למספר תוצאות חשובות; הוא הציע מערכת סימון קריסטלוגרפית שהייתה למעשה שקולה למערכת [[אינדקס מילר]]. בהשראת מחקרו הקריסטלוגרפי, פתר גאוס את בעיית "אריזת הכדורים האופטימלית" - הוכחת [[השערת קפלר]] - במקרה של מארז [[סריג (גאומטריה)|סריגי]] (lattice) רגולרי (אי-האפשרות של אריזות לא רגולריות צפופות יותר לא הוכחה עד 1998).

ב-[[1831]] החל גאוס בשיתוף פעולה עם הפיזיקאי [[וילהלם אדוארד ובר|וילהלם ובר]]. שיתוף פעולה זה היה פורה ביותר והוביל לידע חדש בתאוריה של ה[[אלקטרומגנטיות]], כגון ייצוג של יחידה מגנטית במונחים של [[מסה]], [[אורך]] ו[[זמן]], וכן גילוי [[חוקי קירכהוף]]. ובר וגאוס הגיעו לתגליות רבות בנוגע ל[[חשמל סטטי]], תרמי, וזה הנובע מחיכוך, אך לא פרסמו אותן, בעיקר משום שמחקרם התמקד במגנטיות ארצית. גאוס עצמו ניסח את [[חוק גאוס]] ב[[אלקטרוסטטיקה]] (שמהווה מקרה פרטי של [[משפט גאוס]] ב[[אנליזה וקטורית]]), אחד החוקים הבסיסיים והחשובים ביותר בתחום זה, וכן את חוק גאוס במגנטיות. ב-[[1833]] תכננו גאוס וובר את ה[[טלגרף]] האלקטרומגנטי הראשון, באורך 3 קילומטר, שקישר את מצפה הכוכבים אל מכון הפיזיקה בתוך [[אוניברסיטת גטינגן]]. גאוס וובר עמדו מיד על חשיבות המצאתם להתפתחות התעשייתית בעולם, וובר התנבא כי "הטלגרף יעשה לעולם את מה ש[[מערכת העצבים]] עושה לגוף האנושי". המעבדה של גאוס וובר הייתה אחראית על פיתוח מספר אמצעי מדידה בתחום האלקטרומגנטיות, ובין היתר הם המציאו את ה[[מגנטומטר]] הראשון. באמצעות המגנטומטר שהמציא, מדד גאוס ב-[[1835]] לראשונה את עוצמת השדה המגנטי של [[כדור הארץ]]. כמו כן פיקח גאוס על בנייתו של מתקן מגנטי במצפה הכוכבים, ויחד עם ובר ייסד את "המועדון המגנטי" (''magnetischer Verein''), אשר תמך במדידות של [[השדה המגנטי של כדור הארץ]] באזורים שונים.
[[קובץ:A magnetometer used by Carl Friedrich Gauss, from Gerlach und F. Traumüller, 1899.png|ממוזער|300px|left|המגנטומטר של גאוס וובר.]]
כחלק מפרויקט זה פיתח גאוס שיטה למדידת העוצמה האופקית של [[שדה מגנטי]], שיטה אשר היוותה למעשה את התאוריה המתמטית להפרדה בין המקור הפנימי (ה[[גלעין כדור הארץ|גלעין]] וה[[קרום כדור הארץ|קרום]]) לבין המקור החיצוני (ה[[מגנטוספירה]]) של השדה המגנטי של כדור הארץ. באחד ממאמריו על התאוריה המגנטית שלו יישם גאוס את התאוריה המתמטית שלו והמידע הניסויי הרב שצבר על השדה המגנטי של כדור הארץ, וכך פילסה את עצמה תגלית עולמית כאשר גאוס יכול היה, לראשונה בהיסטוריה, להצביע על המיקום המדויק של [[קוטב מגנטי|הקטבים המגנטיים]] של כדור הארץ, נושא שריתק ימאים מאז ימי קדם. מספר שנים קודם לכן, ב-1831, איתר מגלה הארצות הבריטי [[ג'יימס קלארק רוס]] לראשונה באופן מקורב את הקוטב המגנטי הצפוני. תוצאות חישוביו של גאוס הצביעו על אותו אזור גאוגרפי, וסטו כ-3 מעלות ו-30 [[דקת קשת|דקות קשת]] מהמיקום האמיתי, מה שהוכיח את אמינות התאוריה. פעילותו הענפה של המועדון המגנטי במדידת השדה המגנטי הארצי הניבה את ה"אטלס המגנטי" הראשון של כדור הארץ, שיצא לאור בפרסום משותף של גאוס וובר משנת 1840.

ב-1840 פרסם גאוס את חיבורו המשפיע ''Dioptrische Untersuchungen'', שבו תיאר את האנליזה השיטתית הראשונה של היווצרות דמויות תחת [[הקירוב הפראקסיאלי]] ([[אופטיקה גאוסיאנית]]). בין התוצאות הרבות בחיבור, הוכיח גאוס כי מערכת אופטית ניתנת לאפיון באמצעות 6 [[נקודות קרדינליות|הנקודות הקרדינליות]] שלה, גזר את [[נוסחת לוטשי העדשות|נוסחת העדשות הגאוסיאנית]], טיפל לראשונה באופן מתמטי ב[[עדשה עבה|עדשות עבות]], והראה שההדמיה של מערכות אופטיות סימטריות מסוימות ניתנת לביטוי כפיתוח לטור שבו האיבר הראשון מספק את ההתנהגות הסטיגמטית האידיאלית, והאיברים מסדרים גבוהים יותר מתארים את ה[[אברציה אופטית|אברציות]]. בסיסי ככל שהוא נראה היום, חיבור זה עסק בנושאים רבים שלא הובנו היטב לפני פרסומו, לפחות לא באופן מתמטי מדויק, ומסיבה זו בדיוק הוא כונה לפעמים "עבודתו המדעית החשובה ביותר". גאוס פעל גם במישור הפרקטי של האופטיקה, חקר את הבעיה של בניית אופטיקה עם עיוותים מינימליים, ושיפר את התכנון של [[טלסקופ]]ים ומכשירים אופטיים אחרים. לפועלו של גאוס בתחום האופטיקה במרוצת השנים הייתה השפעה ראויה לציון על התפתחות התעשייה האופטית בגרמניה.

אחרי 1840 הלכה והצטמצמה בהדרגה פעילותו המדעית של גאוס. הוא עסק בבעיות מתמטיות בעלות חשיבות משתנה; מספר פאזלים [[קומבינטוריקה|קומבינטוריים]] (בהם [[חידת שמונה המלכות]]), בעיות מתמטיות מרכזיות מסוימות ועוד. הוא המשיך לעסוק בבעיות בפיזיקה תאורטית ובפיזיקה ניסויית, ונותר פעיל מאוד באסטרונומיה תצפיתית; הוא המשיך לעשות תצפיות וחישובים אסטרונומיים, והמשיך במחקרו על מגנטיות כדור הארץ. מחקריו המתמטיים והפיזיקליים עסקו ב[[גבול (מתמטיקה)|התכנסות]] של טורים, [[אקטואריה|מתמטיקה אקטוארית]], בעיות מכניות הקשורות ב[[סיבוב כדור הארץ]] (בהמשך למחקריהם של לגראנז', [[פלאנה]], [[פטר אנדריאס הנסן|הנסן]] ו[[קלאוזן]]), בשיפורים ל[[מטוטלת פוקו]] ועוד. בתקופה זו גאוס אימץ תחביב חדש של איסוף עיתונים וכל סוג שהוא של חדשות פיננסיות. הוא נודע כמשקיע חכם, וממשלות רבות ברחבי אירופה אף הציעו לו להיות שר אוצר. הספקולציות הפיננסיות שלו עזרו לו להשיג הכנסה שנתית הגבוהה פי 200 מהמשכורת השנתית שלו. ב-1851 ביסס בפעם האחרונה אוסף חדש של עקרונות מדעיים, הפעם במתמטיקה אקטוארית, שעסקו בתאוריות מתמטיות של [[ביטוח]]ים ו[[קרן פנסיה|קרנות פנסיה]].

ב-1854 בחר גאוס את הנושא להרצאה המפורסמת של תלמידו [[ברנהרד רימן]], "על ההיפותזה העומדת ביסודות הגאומטריה". בדרך חזרה לביתו מהרצאתו של רימן, סיפר ובר שגאוס היה נרגש ומלא שבחים על ההרצאה.

גאוס נפטר בשנת [[1855]] (כחודשיים לפני יום הולדתו ה-78), בגטינגן, שם אף נקבר. מוחו של גאוס לא נקבר עמו אלא נמסר למחקר מדעי; נמצא כי משקלו 1,492 גרם ושטחו הצֶרֶבְּרָלִי 219,588 סמ"ר. נמצאה גם רמת פיתולים גבוהה במיוחד, ממצא שהוצע בתחילת המאה ה-20 כהסבר לגאונות שלו.

לאחר מותו של גאוס נמצא בביתו [[היומן של גאוס|יומן]] שניהל בין השנים [[1796]] ו-[[1814]], ובו רשם את תגליותיו בצורה מדויקת, כשהוא מקפיד לרשום את תאריך הגילוי וההוכחה של כל אחת מהן. רובן לא פורסמו עד מותו. נמצא כי היומן מכיל 146 תוצאות, שחלק מהן התגלו והוכחו על ידי מתמטיקאים אחרים שנים רבות לאחר מכן. עובדת היותו של יומן זה מסמך מתמטי-ביוגרפי משנות הפריצה של גאוס, הפכה אותו לימים לאחד המסמכים החשובים בהיסטוריה של המתמטיקה, ולחלון הצצה מרתק לתקופת קו התפר בין המתמטיקה של [[המאה ה-18]] והמתמטיקה של [[המאה ה-19]].

=== מוניטין לאחר המוות ===
[[קובץ:Grave of Carl Friedrich Gauß at Albani-Friedhof Göttingen 2017 02.jpg|ממוזער|320px|left|קברו של גאוס בבית הקברות אלבני בגטינגן, גרמניה.]]
גאוס הוא דוגמה בולטת ל[[גאון|אישיות גאונית]] אשר מעמדה בעולם המתמטיקה והמדע אף גבר לאחר מותה. כל תיאור של רוחב ועומק היריעה של עבודתו המדעית של גאוס אינו יכול לתת תמונה הולמת של הישגיו ללא התייחסות לכמות הגדולה של הכתבים הלא מפורסמים שנמצאו ב[[עיזבון מקצועי|עיזבונו]]. בעיני חלק מבני דורו, טענותיו התדירות של גאוס לזכות ראשונים שלו סביב נושאים מתמטיים רבים, נתפסו לעיתים קרובות כאמירות יהירות. כך היה בעימות עם [[אדריאן-מארי לז'נדר]] סביב [[שיטת הריבועים הפחותים]], כך עם [[נילס הנריק אבל|אבל]] ו[[קרל גוסטב יעקב יעקובי|יעקובי]] סביב [[פונקציה אליפטית|תורת הפונקציות האליפטיות]], כך עם יאנוש בולאי סביב ה[[גאומטריה היפרבולית|גאומטריה ההיפרבולית]], וכך בכמה מקרים נוספים. עם זאת, במרבית המקרים התברר בסופו של דבר שגאוס אכן הקדים את זמנו, כפי שעולה מכתביו הנרחבים, שנוגעים כמעט בכל תחום מתמטי שהתקיים בזמנו.

בין אלו, ראויים לציון מיוחד כתביו על [[אנליזה מתמטית]], שכוללים את חיבורו על הממוצע האריתמטי גאומטרי, ואת כתביו על פונקציות אליפטיות והתיאורים השונים שלהן - חיבורים אלו מכסים חלק גדול מעבודתם של אבל ויעקובי ובמקרים מסוימים אף מכילים תוצאות שאינן מופיעות בכתביהם. בהשוואה לנושאים אחרים לגביהם לעיתים קרובות נתגלעה מחלוקת עם בני תקופתו של גאוס סביב זכות הקדימות על גילויים (בין היתר עקב טענותיו של גאוס עצמו), חיבוריו אלו היו כתובים בצורה מוגמרת ומלוטשת בהרבה, והשפעתם נמשכה הלכה למעשה גם בעשורים הראשונים שלאחר מותו של גאוס, דרך עבודתם של [[פליקס קליין]] ומתמטיקאים נוספים על [[תבנית מודולרית|פונקציות מודולריות]].

גם בכתביו בתורת המספרים זוהו תגליות רבות, אם כי במקרה זה הגילוי של כתביו הלא מפורסמים היה פחות דרמטי שכן במרוצת השנים גאוס כן פרסם את מרבית ממצאיו החשובים בתחום הזה. בהקשר זה, ראויים לציון מיוחד צמד חיבוריו (הלא מפורסמים) מ-1834 ו-1837 על היישום של שיטות אנליטיות מעמיקות לקביעת החוקיות האסימפטוטית של מספר המחלקות של [[תבנית ריבועית בינארית|תבניות ריבועיות בינאריות]] ([[נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה]]); תוצאות אלו, העומדות ביסודה של תורת המספרים האנליטית, ככל הנראה היו מוכרות לו כמה עשורים קודם לכן, כפי שעולה מכמה תוצאות שהופיעו ב"[[מחקרים אריתמטיים]]" (1801), או ממכתבו לדיריכלה מ-1828. בעלי חשיבות מיוחדת הם גם כתביו על הפירוש הגאומטרי של תוצאות בתורת המספרים, או על המתודולוגיה של עבודתו האריתמטית.

בהשוואה לכתביו בתחומים מתמטיים אלו, כתביו על יסודות הגאומטריה ו[[גאומטריה לא אוקלידית]] הם בעלי אופי מקוטע בהרבה, ולא ניתן לראות בהם סימוכין וביסוס מלא לטענות של גאוס כי (כפי שכתב ל[[יאנוש בולאי]]) עבודתו של בולאי מתלכדת במדויק עם הרהוריו שלו עצמו במהלך 30 השנים האחרונות. גם בכתביו והתכתבויותיו על [[מערכות מספרים]] היפר-מרוכבים (ה[[אלגברת קווטרניונים|קווטרניונים]] של [[ויליאם רואן המילטון]]) המצב דומה, אם כי ניכר שאלו היו מעט בשלים יותר מאשר כתביו על גאומטריה לא אוקלידית. עם זאת, העובדה שנתגלתה לאחר מותו, כי גאוס עצמו התייחס לנושא הגאומטריות החלופיות במלוא הרצינות, שכנעה את העולם המתמטי להתייחס בכובד ראש להישגיהם של בולאי ו[[לובצ'בסקי]], שבאותה עת עדיין נתפסו אזוטריים ולא קנו לעצמם אחיזה משמעותית מספיק. מכיוון ששמו של גאוס "עזר" לקדם את תגליותיהם של בולאי ולובצ'בסקי, נתקבעה לעיתים קרובות נטייה לייחס לו תפקיד מרכזי ביצירת הגאומטריה הלא אוקלידית במקביל לשניים האחרים, באופן לא פרופורציונלי לתפקיד האמיתי שמילא. היטיב לבטא זאת המתמטיקאי וההיסטוריון ג'רמי גריי , לפיו גאוס ראוי יותר להיקרא מגלה של הגאומטריות החלופיות מאשר יוצר שלהן.

גם במהלך המאה ה-20 לא פג העניין בו, ונתגלו מחדש היבטים נוספים של עבודתו; כך היה המקרה עם האלגוריתם של [[התמרת פורייה מהירה]], עם הטכניקות של שיטות ריבועים פחותים רקורסיביות, או עם התפתחויות בתורת המספרים ששפכו אור על כמה מתגליותיו האריתמטיות העמוקות יותר. לסיכום, הכמות העצומה של תגליות בפרסומיו ובכתביו הלא מפורסמים קיבעו את מעמדו כדמות מרכזית ב[[היסטוריה של המתמטיקה]], אשר ללימוד עבודתה יש ערך פדגוגי מוסף מעבר לעניין מתמטי או מדעי גרידא.

== השקפות דתיות ==
גאוס היה [[לותרניזם|לותרן]] [[פרוטסטנטים|פרוטסטנט]], וחבר בכנסיית סנט אוונס שבגטינגן. עדות לאמונה העמוקה של גאוס ברלוונטיות האמונה באלוהים מגיעה מתגובתו לאחר שפתר בעיה שטרדה את מנוחתו במשך זמן רב: "בסופו של דבר הצלחתי – לא על ידי מאמציי הגדולים, אלא בידי חסד האל". אחד הביוגרפים שלו G. Waldo Dunnington מתאר את השקפותיו הדתיות של גאוס במילים הבאות:



Dunnington ממשיך ומציג את ההשקפות הדתיות של גאוס בכותבו:



גאוס הצהיר שהוא האמין אמונה איתנה בחיי [[העולם הבא]], וראה רוחניות כמשהו החשוב באופן מהותי לבני אנוש. הוא צוטט פעם: "העולם יהיה חסר תכלית, והבריאה כולה אבסורד, ללא חיי אלמוות". אף על פי כן, Dunnington קובע שגאוס לא האמין בכל ה[[דוגמה|דוגמאות]] ה[[נצרות|נוצריות]], ולא ניתן לפרש את האמונה שלו כשייכת למסורת הנוצרית. האמונה שלו הייתה קרובה יותר לאמונה ה[[בודהיזם|בודהיסטית]] מאשר לאמונה הנוצרית, שכן הוא הביע אמונה מסוימת ב[[גלגול נשמות]] (בהתכתבות עם אולברס בנוגע לגאומטריה הלא אוקלידית הוא כתב: "...אולי בגלגול אחר נזכה לפלח במבטינו את טיבו של המרחב..." ) והאמין יותר במסע של למידה שעוברת הנשמה בעולם מאשר ב[[גן עדן]] נצחי.

== משפחה ==
גאוס נישא לראשונה ב-9 באוקטובר [[1805]] ליוהאנה אוסטהוף. לזוג נולדו שלושה ילדים: יוזף (1806–1873), וילהלמינה (1808–1846) ולואי (1809–1810). אולם, אושר זה לא נמשך זמן רב ונקטע על ידי שרשרת של אירועים טרגיים: ב-[[1808]] נפטר אביו של גאוס ושנה לאחר מכן נפטרה אשתו בלידת הבן לואי, שנפטר אף הוא זמן קצר לאחר מכן. אירועים אלו השפיעו קשות על גאוס והוא שקע בדיכאון עמוק. בעודו מטפל בשני ילדים קטנים, החליט גאוס להינשא שנית כשנה לאחר מכן לאחת מחברותיה של אשתו, פרידריקה וילהלמינה ואלדק (אשר כונתה מינה). נולדו להם שלושה ילדים: אויגן (1811–1896), וילהלם (1813–1879) ותרזה (1816–1864). מינה סבלה ממחלות רבות ונפטרה ב-[[1831]]. בתו תרזה השתלטה על [[אחזקת הבית]] ודאגה לכל מחסורו של גאוס עד מותו. אימו של גאוס אף היא חייתה עמו בביתו מ-[[1817]] עד מותה ב-[[1839]].

גאוס התעמת עם ילדיו על רקע בחירת מקצועם: הוא לא העריך אותם כמתמטיקאים ולא רצה שיעסקו בתחום, מחשש שיכתימו את שם המשפחה. העימות הקשה ביותר היה עם בנו אויגן אשר גאוס בחר עבורו במקצוע המשפטים, אך אויגן העדיף להתרכז בלימודי שפות אותם לא הסכים אביו לממן. לבסוף היגרו שני בניו של גאוס, אויגן ווילהלם, למיזורי שבארצות הברית. מבין כל ילדיו הייתה וילהלמינה היחידה שנחשבה בעלת כישרון מתמטי קרוב לשל אביה.

== הישגיו של גאוס ==
=== אלגברה ===
==== המשפט היסודי של האלגברה ====
[[קובץ:Gauss doctoral dissertation.png |שמאל|ממוזער|200px|איור מתוך עבודת הדוקטורט של גאוס (1799), שעשתה שימוש בטיעונים טופולוגיים הנוגעים לענפים של עקומים אלגבריים.]]
בעבודת ה[[דוקטורט]] שלו משנת [[1799]], ''Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse'' (הוכחה חדשה לכך שכל פולינום במשתנה אחד ניתן לפרק כמכפלה של גורמים ממשיים מן המעלה הראשונה והשנייה) סיפק גאוס הוכחה מבריקה של [[המשפט היסודי של האלגברה]], משפט ממנו נובע כי לכל [[פולינום]] ממעלה n יש בדיוק n [[שורש (של פונקציה)|שורשים]] [[מספר מרוכב|מרוכבים]]. עבודת הדוקטורט שלו הכילה ביקורת וסקירה מקיפה של ניסיונות הוכחה קודמים של המשפט, שננקטו על ידי [[לאונרד אוילר|אוילר]], [[ז'וזף לואי לגראנז'|לגראנז']] ו[[ז'אן לה רון ד'אלמבר|ד'אלמבר]], והיא הייתה העבודה הראשונה שהצביעה על הפגם הבסיסי בהוכחות קודמות של המשפט. הגישה הכללית של ההוכחה שלו הייתה גאומטרית מטבעה, והכילה טיעון מקורי, אשר ליבתו מבוססת על אבחנות [[טופולוגיה אלגברית|טופולוגיות]] במהותן; גאוס מנתח בה לעומק כיצד פועלת ההעתקה הפולינומית <math>p(z): \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> על המישור המרוכב. באופן אירוני, גם ההוכחה של גאוס לא הייתה שלמה והיה בה פער לוגי, שכן גאוס הניח בה מספר הנחות על ענפים של [[עקום אלגברי|עקומים אלגבריים]] אשר למעשה עשו שימוש "מובלע" ב[[משפט העקום של ז'ורדן|משפט עקומת ז'ורדן]]; הוכחה זו התבססה על טענה לא מוכחת שעקום אלגברי הנכנס לדיסקה נתונה חייב לצאת ממנה בסופו של דבר, ולפיכך היא לא קבילה בסטנדרטים מודרניים.

גאוס זיהה את החלל בהוכחתו ובמרוצת חייו סיפק עוד שלוש הוכחות שונות של תוצאה זו; שתיים נוספות ב-[[1816]] (האחת אלגברית באופייה והשנייה אנליטית), והאחרונה שבהן ב-[[1849]]. את ההוכחה השנייה האלגברית שלו ניתן להבין לעומק רק תוך שימוש בהמשגה המאוחרת יותר של [[תורת גלואה]]; הרעיון המרכזי שלה הוא להיעזר בתכונות אלגבריות של [[פולינום סימטרי|הפונקציות הסימטריות]] כדי לגזור [[משוואה דיפרנציאלית]] הקושרת בין הפולינום ההתחלתי וה[[דיסקרימיננטה]] שלו. בדרך זו מוכיחים את הקיום של [[שדה פיצול]] המוכל ב[[שדה המספרים המרוכבים]]. ההוכחה השלישית האנליטית שלו מבוססת על הצבות אינטגרליות מורכבות ועל שימוש במושגים כדוגמת [[אינדקס ליפוף|אינדקס הליפוף]], ומניחה באופן סמוי את משפט אינטגרל קושי.

ההוכחה הרביעית והאחרונה שלו, שהוצגה במסגרת אירוע חגיגי שנערך כהוקרה לקריירה יוצאת הדופן של גאוס, דומה באופיה להוכחה הראשונה שלו, אולם היא מעמיקה את הטיפול הטופולוגי במשפט. על אף שבסופו של יום הטיעון הטופולוגי עדיין נותר רחוק מלהיות שלם, [[אלכסנדר מרקוביץ' אוסטרובסקי|אלכסנדר אוסטרובסקי]] הראה ב-1920, לאור התפתחויות תקופתיות ב[[טופולוגיה קבוצתית]], שרעיונו של גאוס להתייחס לתחומים במישור המרוכב במקום להתמקד בעקומות ז'ורדן התוחמות אותם, כלומר בשונה ממה שעשה בהוכחתו הראשונה, הוא צעד בעל חשיבות משמעותית. אוסטרובסקי הראה שלמעשה, על בסיס זה ניתן להפיק הוכחה ריגורוזית לחלוטין למשפט, והעיר שהדבר מאשרר את קביעתו של גאוס ש-: "מהותית, תוכנו של הטיעון כולו משתייך לתאוריה אבסטרקטית של גדלים שהם בלתי תלויים במרחב", ואשר מושא המחקר שלה הוא "פעולות רציפות על גדלים קשירים". בהשוואה להוכחה שלו מ-1799, הפעם גאוס דן באופן זהיר יותר במקרה של [[ריבוי אלגברי|שורשים מרובים]] והראה שכל השורשים נוצרים באופן שתיאר. בנוסף, הוא הקדיש את חלקו השני של המאמר לחישוב נומרי של פתרונותיהן של משוואות אלגבריות, תוך שהוא משפר את הטכניקות הידועות לפתרון [[טרינום|משוואות טרינומיות]]. מאמציו להוכיח את המשפט היסודי לאורך השנים הסירו לחלוטין את הספקות לגבי תקפותם של המספרים המרוכבים.

==== מערכות אלגבריות מורחבות ====
גאוס תרם גם תרומה מסוימת לתאוריה של [[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]] מתקדמים, וייתכן כי גילה בשנת 1819 את [[אלגברת הקווטרניונים של המילטון|אלגברת הקווטרניונים]], המיוחסת בדרך כלל ל[[ויליאם רואן המילטון]] (אשר גילה אותה ב-1843). באותה שנה הציג גאוס במאמר קצר בשם "**סיבובי המרחב**" את הסיבוב הכללי (של קו ישר דרך הראשית במרחב תלת-ממדי) בעזרת ה[[מטריצה אורתוגונלית|מטריצה האורתוגונלית]]:

<math>\begin{pmatrix} a^2+b^2-c^2-d^2 & 2(bc-ad) & 2(bd + ac) \\
 2(bc+ad) & a^2+c^2-b^2-d^2 & 2(cd - ab) \\
 2(bd-ac) & 2(cd+ab) & a^2+d^2-b^2-c^2 \end{pmatrix}.</math>

כאשר a,b,c,d הם רביעיית מספרים שמקיימים <math>a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1</math>. בדרך זו בנה גאוס שיטה לייצוג אלגברי של גאומטריית סיבובים תלת-ממדית. בהמשך המאמר ציין גאוס כי ה[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] של שתי פעולות סיבוב כאלו ([[כפל מטריצות|הכפלת המטריצות]]) מיוצגת על ידי מטריצה מאותו סוג, עם מקדמים <math>(a,b,c,d)\cdot (\alpha,\beta,\gamma,\delta) = (A,B,C,D)</math> כאשר A,B,C,D הם ביטויים ביליניאריים מסוימים באותיות האחרות. הביטוי להכפלה של שתי רביעיות מספרים שקול למעשה לכלל הכפל של הקווטרניונים. גאוס ציין בהמשך המאמר את תכונת ה[[פעולה קומוטטיבית|אי-קומוטטיביות]] של כפל קווטרניונים, בחן תכונות אריתמטיות שלהם, ודן בקשר בין קווטרניונים למשולשים ספיריים. במקום אחר בכתביו הוא הבחין בהתנהגות "קווטרניונית" ב[[זוג סדור|זוגות סדורים]] של מספרים מרוכבים, האנלוגית להתנהגות "המרוכבת" של זוגות מספרים ממשיים כפי שבאה לביטוי ב[[סכום של שני ריבועים|זהות דיופנטוס]] (בכך הקדים במידה מסוימת את [[בניית קיילי-דיקסון]]). הוא הראה שחוקי הכפל של הקווטרניונים צומחים מתוך חוקי הכפל של מספרים מרוכבים באמצעות הזהות הבאה:<math> (|u_1|^2 + |v_1|^2)\cdot (|u_2|^2 + |v_2|^2) = (|u_1u_2 - v_1\bar v_2|)^2+(|u_1v_2 + v_1\bar u_2|)^2 </math>, כאשר <math>u_1,u_2,v_1,v_2</math> הם מספרים מרוכבים, והקו העליון מסמל את [[צמוד מרוכב|הצמוד המרוכב]].

אלו היו רעיונות מהפכניים הן מבחינה קונספטואלית והן מבחינה גאומטרית-אינטואיטיבית, שכן אף על פי שכללי הכפל של הקווטרניונים היו מובלעים כבר ב[[משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'|זהות סכום ארבעת הריבועים של אוילר]] מ-1748, גאוס הדגים את השימושיות שלהם בכך שעשה את הקישור הלא טריוויאלי בין אלגברה ארבע-ממדית לסיבובים תלת-ממדיים – זאת באמצעות פרמטריזציה של סיבובים דרך פונקציות טריגונומטריות של חצאי-זוויות הסיבוב ([[נוסחת אוילר-רודריגס|פרמטרי רודריגס]]). ייתכן כי גאוס התוודע בהדרגה לתיאור האלגברי של סיבובים מרחביים דרך עבודתו הנרחבת על טריגונומטריה כדורית ויישומיה באסטרונומיה, במסגרתה נאלץ לטפל בבעיות רבות המערבות סיבובים מרחביים. מבחינה קונספטואלית, מחקרים אלו, שלא התפרסמו בזמנו, מייצגים את ההתבוננות המעמיקה הראשונה בנושא ה[[עקביות (לוגיקה)|עקביות]] של מערכות אלגבריות מורחבות.

גאוס הבין את חשיבותם של ממצאים אלה, וכתב במאמרו על הרחבת האריתמטיקה למספרים מרוכבים (מ-1831) כי "המחבר שמר לעצמו... את התשובה לשאלה מדוע היחסים בין הקואורדינטות שמציינות מרחבים מממד גבוה משניים לא ניתנים לטיפול כמותי במסגרת של אריתמטיקה אוניברסלית", והבטיח תשובה לשאלה במאמר עתידי, אך זה מעולם לא הופיע. במילים אחרות גאוס טען שלא תיתכן [[אלגברה]] (מעל [[מספר ממשי|הממשיים]]) של [[וקטור (אלגברה)|וקטורים]] תלת-ממדיים במובן השגור של המושג "אלגברה". [[הרמן הנקל]] () הוכיח לראשונה ב-1867 שכל מערכת מספרים היפר-מרוכבים לא יכולה לקיים את כל חוקי האלגברה, ובך אישש את הטענה של גאוס, שהוא עצמו מעולם לא סיפק לה הוכחה. בשל האופן המעורפל שבו ניסח גאוס את טענתו, היא הייתה נתונה לפרשנויות שונות מידי מתמטיקאים שבאו אחריו; מן ההקשר בו כתב הערה זאת - הרחבה שיטתית של האריתמטיקה ותכונותיה הבסיסיות אל המרוכבים - סבר [[קרל ויירשטראס|ויירשטראס]] שתובנת המפתח של גאוס הייתה שכל מערכת מספרים תלת-ממדית (מספרים מהצורה <math>x+yi+zj</math>) צריכה לכלול גם [[מחלק אפס|מחלקי אפס]] ולכן לא יכולה לקיים את כל חוקי האלגברה. לעומתו הציע [[ריכרד דדקינד]] השערה מעט מורכבת יותר, לפיה הטיעון של גאוס התבסס על עבודתו הקודמת על חלוקת המעגל. עם כל זאת, הייחוס של גילוי הקווטרניונים לגאוס שנוי במחלוקת כי לא ברור עד כמה בשלות מבחינה מתמטית פורמלית היו תוצאות אלו שלו; הוא מעולם לא טען כי גילה את הקווטרניונים, ובוודאי הוא לא פיתח את הנושא והפיץ אותו באופן אפקטיבי כמו המילטון בספרו הארוך "קווטרניונים" (1863).

=== תורת המספרים ===
ה-[[מחקרים אריתמטיים|Disquisitiones Arithmeticae]] של גאוס נחשב ל[[יצירת מופת]] שכוננה את [[תורת המספרים]] המודרנית. גאוס הנהיג בה לראשונה את הסימון ≡ לקונגרואנציות והציג באופן שיטתי תוצאות קודמות בתורת המספרים באמצעות [[חשבון מודולרי|אריתמטיקה מודולרית]], הוכיח את [[משפט ההדדיות הריבועית]], יצר את תורת ה[[תבנית ריבועית|תבניות הריבועיות]] (שבאמצעותה הוכיח, כתוצאה אחת מני רבות, שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של לכל היותר 3 [[מספר משולשי|מספרים משולשיים]], ואף קבע את מספר הדרכים שמספר כלשהו ניתן להצגה כזאת), ניסח את בעיית מספר המחלקות (Class number problem) – השערה מרחיקת לכת שהייתה לה השפעה רבה על התפתחות תורת המספרים, והציג את פתרון בעיית ה[[בנייה בסרגל ובמחוגה]] של מצולעים משוכללים.
[[קובץ:01-Siebzehneck-Richmond.svg|שמאל|210px|ממוזער|באמצעות התאוריה שלו על [[שורשי יחידה|שורשי היחידה]], גאוס הראה שמצולע משוכלל בעל 17 צלעות ניתן לבנייה בסרגל ומחוגה.]]
ה-Disquisitiones Arithmeticae היה נקודת ההתחלה בעבור מתמטיקאים במאה ה-19 שהתמחו בתורת המספרים. הוא שימש כמקור בלתי נדלה של רעיונות מתמטיים, שחלקם הופיעו בו באופן מפורש. אחרים הופיעו בו בצורה בוסרית, ובישרו את הופעתם של רעיונות מתמטיים מתקדמים. ההתעמקות בספר בידי מתמטיקאים שונים הובילה לתאוריות מתמטיות שונות כמו [[תורת גלואה]] על פתרון משוואות אלגבריות, תאוריית ה[[אידיאל (אלגברה)|אידיאלים]] של [[ריכרד דדקינד|דדקינד]], ויישומים מתמטיים שונים כמו סוגים של [[מבחן ראשוניות|מבחני ראשוניות]]. כהדגמה של ההשפעה של מחקרים אריתמטיים על פיתוח תורת גלואה, נציין שגאוס הביא בספרו בנייה אלגברית מפורשת למצולע המשוכלל בעל ה-17 צלעות, המתקבלת מהצגת [[קוסינוס]] הזווית במצולע כזה על ידי סדרה של [[הוצאת שורש ריבועי|שורשים ריבועיים]]:
:<math>\begin{align}16\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)=&-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\end{align}</math>
הדרך בה הגיע לתוצאה הזאת (שהוא תיאר בפרק השביעי של מחקרים אריתמטיים) מעידה על הבנה עמוקה של [[חבורת גלואה]] של [[הרחבת שדות|הרחבות השדה]] הריבועיות, המקודדת את הקשרים המתמטיים הללו.

הפרק השביעי של מחקרים אריתמטיים כולל גם את אחת התוצאות המרחיקות לכת ביותר שלו; במאמר 358 הוא נתן חסם למספר הפתרונות לקונגרואנציה מסוימת ממעלה שלישית (בשפה מודרנית הוא מנה נקודות שלמות על [[עקום אליפטי]]), במה שנודע כמקרה הלא-טריוויאלי הראשון של [[משפט הסה וייל]], אשר ניתן לפרש אותו גם כמקרה הלא-טריוויאלי הראשון של [[השערת רימן]] מעל [[שדה סופי|שדות סופיים]]. [[אנדרה וייל]] ציין כי תוצאה זו ביחד עם תוצאות נוספות בכתביו הלא מפורסמים של גאוס הובילה אותו לנסח את [[השערות וייל]]; במיוחד הערה 146 מ[[היומן של גאוס|יומנו של גאוס]] מכילה אלמנטים רעיוניים רבים של הגישה המודרנית לבעיות מסוג זה, ולכן היא נתפסת לעיתים קרובות כקדימון להתפתחות מרחיקת הלכת שעברה תורת המספרים במאה ה-20, במהלכה נוצרו הן התשתית ל[[גאומטריה אלגברית|גאומטריה האלגברית]] המודרנית והן הכלים לתקוף בעיות אריתמטיות הנוגעות לספירת נקודות רציונליות על [[יריעה אלגברית|יריעות אלגבריות]] כלליות. גאוס הוכיח גם את [[נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה|נוסחת מספר המחלקה הראשונה]], בעבור שדות ריבועיים, זמן רב לפני פרסום הנוסחה בידי [[יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה|דיריכלה]]; את התוצאות הראשונות שלו בנוגע להערכות אסימפטוטיות של [[מספר מחלקה (תבניות ריבועיות)|מספרי מחלקה]] הוא פרסם במאמרים 301-302 בפרק החמישי של ספרו, ומאוחר יותר חקר באופן לא גמור את השימוש בטורים דמויי [[פונקציית זטא]] כדי לחשב מספרי מחלקה. מיד לאחר מכן, במאמרים 303–304, הוא ניסח גם סדרה של השערות מרחיקות לכת (Gauss's class number problems), שחלקן ממשיכות להעסיק מתמטיקאים עד עצם היום הזה.

בהקשר זה של הפן האנליטי יותר של עבודתו בתורת המספרים, גאוס הכיר גם את הטכניקות המתמטיות הקריטיות להוכחת [[משפט ארבעת הריבועים של יעקובי]]: הזהות המציגה את החזקה הרביעית של פונקציית תטא כ[[טור למברט]], אשר מהווה למעשה את [[חלק הארי]] בהוכחת המשפט (שכן ממנה ניתן לדלות מידע אריתמטי על [[פונקציית סכום הריבועים]] <math>r_4(n)</math>), מופיעה באחד מכתביו הלא מפורסמים על [[פונקציה אליפטית|פונקציות אליפטיות]], כשלצידה מופיעה הערה על הצגת מספר כסכום של ארבעה ריבועים. המשפט הזה זכור ב[[היסטוריה של האריתמטיקה|היסטוריה של תורת המספרים]] כדוגמה הראשונה של שימוש בתיאוריה של פונקציות אליפטיות להוכחת תוצאה בתורת המספרים. במקרה זה המחלוקת אינה האם הוא הכיר את טכניקות ההוכחה של המשפט, אלא האם הוא עשה את ה[[דדוקציה]] הספציפית של הנוסחה המפורשת של יעקובי מהזהויות שגזר (הנוסחה של יעקובי לא מופיעה בכתביו באופן מפורש), אף על פי שזה סביר למדי, שכן זו נובעת בנקל מעבודתו.

אחד החלקים העמוקים והטכניים ביותר בכל "מחקרים אריתמטיים" הוא החלק שבו בונה גאוס את חוק ההרכבה של [[תבנית ריבועית בינארית|תבניות ריבועיות בינאריות]] – אותו הוא מציג במאמרים 234–244 של הפרק החמישי של ספרו. "הרכבה" של תבניות ריבועיות בינאריות היא פעולה מתמטית שמקבלת שתי תבניות ריבועיות בינאריות <math>f_1,f_2</math> ומחזירה תבנית שלישית כזאת <math>f_3= f_1\circ f_2</math> באופן כזה שאוסף המספרים המיוצגים על ידי התבנית <math>f_3</math> (כתבנית מעל השלמים) מורכב ממכפלות כל זוגות השלמים (''n'',''m'') כאשר ''n'' הוא מספר שמיוצג על ידי <math>f_1</math> ו-''m'' מיוצג על ידי <math>f_2</math>. למשל, ההרכבה של התבניות <math>4u^2 + 3uv + 5v^2</math> והתבנית <math>3r^2 + rs + 6s^2</math> היא התבנית <math> 2x^2 + xy + 9y^2</math>, כאשר ''x'' ו-''y'' מחושבים כך: <math>x = ur-3us-2vr-3vs, y = ur + us + vr - vs</math>. גאוס הוכיח שהרכבה כזאת תמיד ניתנת לביצוע: תחילה הראה שניתן תמיד להרכיב תבניות ריבועיות בינאריות מאותה דיסקרימיננטה ''D'', ולאחר מכן הרחיב את הגדרת חוק ההרכבה, באופן המאפשר להרכיב אף תבניות לא פרימיטיביות ובעלות דיסקרימיננטה שונה. תהליך הבנייה המדויק של פעולת ההרכבה - במסגרתו מראה גאוס כי היא [[קומוטטיביות|קומוטטיבית]] ו[[אסוציאטיביות|אסוציאטיבית]] - חשף מבנה אריתמטי פתלתל העומד ביסוד תורת התבניות הריבועיות הבינאריות, ולמעשה הדגים שאוסף מחלקות השקילות של תבניות ריבועיות בינאריות מדיסקרימיננטה ''D'' מהווה [[חבורה אבלית]] סופית ביחס לפעולת ההרכבה; חבורה זו נקראה בהמשך המאה ה-19 בשם "חבורת המחלקות" <math>\mathbb{Cl}(D)</math>. חוק ההרכבה שלו עמד בליבה של התאוריה החישובית של תבניות ריבועיות במשך מאתיים שנה, וההכללה הראשונה שלו לתבניות מסדר שלישי ורביעי ניתנה בסדרת מאמרים מ-2004 של זוכה [[מדליית פילדס]] [[מנג'ול בהרגבה]].

ב-1816, ככל הנראה זמן קצר לאחר ש[[היינריך וילהלם אולברס|אולברס]] ניסה לעודדו להתחרות על פרס שהציעה האקדמיה הצרפתית על הוכחת [[המשפט האחרון של פרמה]], גאוס הוכיח את המקרים n = 3 ו-n = 5 של המשפט. גאוס פיתח הוכחה אלטרנטיבית אלגנטית למקרה n = 3 של המשפט האחרון, שהייתה בהירה יותר מההוכחה שניתנה על ידי אוילר. באמצעות פיתוח שיטתי של תכונות ה[[שדה ציקלוטומי|שדה הציקלוטומי]] השלישי <math> Q(\zeta_3)</math> (כאשר <math> \zeta_3 = e^{2\pi i/3}</math>) ו[[נסיגה אינסופית|שיטת הנסיגה האינסופית]] של אוילר ו[[פייר דה-פרמה|פרמה]], הוא הוכיח את אי הפתירות של המשוואה <math>x^3 + y^3 + z^3 = 0</math> במספרים שלמים מרוכבים; אף על פי שהתוצאה שלו הייתה כללית יותר, ההוכחה נתגלתה כברורה ופשוטה יותר מאשר במקרה הממשי. אף על פי שההוכחה שלו מובילה לאסטרטגיה שמצליחה בעבור ערכים אחרים של n, הוא מעולם לא העסיק את עצמו עם המשפט באופן שיטתי משום שלא החשיב את ההתמקדות בו למועילה במיוחד לעתיד ענף תורת המספרים, וכתוצאה בחר לא לפרסם את הוכחותיו למקרים אלו. מנקודת מבט עכשווית, ניתן לקשור הוכחותיו אלו עם ניסיונותיו למצוא חוקי הדדיות מסדרים גבוהים יותר, משום ששני הנושאים מטופלים בבהירות רבה יותר דרך המסגרת האלגברית המורחבת של שדות ציקלוטומיים. ואכן, באותו מקום בכתביו הוא זיהה במפורש כמה תכונות חשובות של איברים בשדות ציקלוטומיים מסדר ראשוני <math>p</math>, כמו ההגדרה של [[נורמה (אלגברה)|הנורמה האלגברית]] של איבר בשדה כזה (כפי שניתנה מאוחר יותר על ידי [[ארנסט קומר]]), והעובדה שכל ה[[יחידה ציקלוטומית|יחידות הציקלוטומיות]]  מתקבלות כמכפלות של מספרים מהצורה <math>(\zeta^{\alpha} - \zeta^{\beta})/(\zeta^{\gamma}-\zeta^{\delta})</math> (כאשר <math>\zeta^p = 1,\zeta\ne 1</math>).

נקודות ראויות לציון אחרות בעבודתו של גאוס בתורת המספרים כוללות את הפרק השמיני הלא מפורסם של מחקרים אריתמטיים (שגאוס לא השלימו), שתוצריו המובהקים הם תאוריה שיטתית של המבנה של שדות סופיים, והגילוי של ההוכחה השביעית והשמינית שלו לחוק ההדדיות הריבועית. בחיבור זה תקף גאוס את הבעיה של קונגרואנציות ממעלה שרירותית מודולו מספר ראשוני <math>p</math> וביסס כלים חשובים כדי לגשת לבעיות מהסוג הזה. בין היתר, גאוס חוקר את המבנה של שדות סופיים דרך [[הומומורפיזם פרובניוס|אוטומורפיזם פרובניוס]], ונעזר ב[[נוסחת ההיפוך של מביוס]] כדי "לספור" את מספר ה[[פולינום אי פריק|פולינומים האי-פריקים]] ממעלה ''n'' מעל שדה סופי (GF(''p'' מודולו ''p''. בחלקו האחרון של החיבור גאוס דן בהכללות אפשריות של חקירות אלו, ומוכיח גרסה מוקדמת של [[למת הנזל]] - תוצאה יסודית המאפשרת להרים תופעות מודולריות ביחס למספר ראשוני ''p'' לכדי חזקות הולכות וגדלות <math>p^k</math> של אותו ראשוני. נקודת המבט בה נקט בחיבור קרובה לזו שננקטה מאוחר יותר על ידי [[אווריסט גלואה]] ו[[ריכרד דדקינד]], כך שפרסומיהם "ייתרו" חיבור זה, אולם הוא עדיין נותר חשוב לצורך התחקות אחר שורשי הרעיונות המתמטיים של גאוס. ישנן ראיות שגאוס היה מודע חלקית לתפקיד הטכני המרכזי של למת הנזל בהתרת בעיות אריתמטיות מודרניות, כפי שעולה מהערות אחדות ביומנו או מן המניע שלו להוכחת [[הלמה של גאוס (פולינומים)|למת גאוס על פולינומים]]. בתחילת המאה ה-20 הציג [[קורט הנזל]] את [[שדה המספרים ה-p-אדיים]] ובכך שפך אור על חקירות אלו, והציבן במסגרת מושגית שהפכה עד מהרה לאחד הכלים החשובים בתורת המספרים המודרנית.

[[קובץ:Gaussian integer lattice.svg|ממוזער|250px|מספרים שלמים של גאוס כנקודות סריג במישור המרוכב.]]

מבין עבודותיו המפורסמות בתורת המספרים, מאמריו שהוזכרו מקודם על חוק ההדדיות מסדר דו-ריבועי שניים בחשיבותם רק ל-"מחקרים אריתמטיים". בכך שהרחיב באופן שיטתי את מושא המחקר של תורת המספרים ל[[שדה המספרים המרוכבים|שדה המרוכבים]], גאוס עשה את הקפיצה הקונספטואלית המשמעותית שאפשרה את כינון [[תורת המספרים האלגברית]]. מאמריו אלו הנהיגו לראשונה את השימוש ב[[חוג השלמים של גאוס]] (כולל את השימוש בראשוניי גאוס) וטיפלו בתכונות האריתמטיות שלו - תחת ההרחבה הזאת, מספרים שהם ראשוניים באריתמטיקה הרגילה כבר אינם כאלה יותר בחוג גאוס, שכן למשל: <math>5 = (1 + 2i)(1 - 2i)</math> כך ש-5 אינו ראשוני בחוג זה.

גאוס הראה הלכה למעשה כי חוג השלמים המרוכבים מהווה [[תחום פריקות יחידה]]; הווה אומר, כל מספר בחוג זה ניתן לפירוק לראשוני גאוס באופן יחידי, באופן אנלוגי ל[[המשפט היסודי של האריתמטיקה|משפט היסודי של האריתמטיקה]]. לאחר מכן הוא מבסס את חשיבות חוג זה לחקר חוקי הדדיות מסדרים גבוהים, תוך הכללת רבים ממונחי המפתח של תורת המספרים האלמנטרית; למשל, הוא הוכיח את המשפטים האנלוגיים ל[[המשפט הקטן של פרמה|משפט הקטן של פרמה]] ול[[הלמה של גאוס (תורת המספרים)|למה של גאוס]]. במאמר גאוס ניסח את חוק ההדדיות מסדר דו-ריבועי בצורה הבאה:

עבור שני מספרים ראשוניים גאוסיאניים (כלומר החוק מנוסח למספרים מרוכבים) <math>\pi</math> ו-<math>\sigma</math> מתקיים:

<math>(\frac{\pi}{\sigma})_4 (\frac{\sigma}{\pi})_4 = (-1)^</math>

כאשר <math>N(a + bi) = a^2 + b^2</math> הוא ריבוע ה[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] של המספר המרוכב, ו-<math>(\frac{\pi}{\sigma})_4</math> הוא [[סימן שארית החזקה]]
 מסדר רביעי של <math>\pi</math> ביחס ל-<math>\sigma</math>, מעין הכללה של [[סימן לז'נדר]] שערכיה האפשריים הם שורשי יחידה מסדר רביעי. לאחר הניסוח של חוק ההדדיות מסדר דו-ריבועי, גאוס מוכיח במאמרו כמה מקרים פרטיים שלו; לדוגמה, בראשון מבין המאמרים הללו, הוא הוכיח את ההשערה של אוילר שהמספר 2 הוא שארית דו-ריבועית של מספר ראשוני (''p'' &equiv; 1 (mod 4 [[אם ורק אם]] ''p'' = ''a''<sup>2</sup> + 64''b''<sup>2</sup>. באשר להוכחה מלאה של החוק, לא ברור כיצד הוכיח אותו לראשונה; גאוס טען כי מצא את ההוכחות למשפטים הכלליים של הדדיות ממעלה שלישית ורביעית בסביבות 1814, לאחר מאמצים רבים, אך מאמריו מ-1828 ו-1832 לא הכילו הוכחה מלאה. בפרסום שלו (מ-1818) שמכיל את ההוכחה החמישית והשישית שלו לחוק ההדדיות הריבועית, הוא טען שהטכניקות של ההוכחות האלו ([[סכום גאוס ריבועי|סכומי גאוס]] ולמת גאוס) יכולות להיות מיושמות להוכחת משפטי הדדיות כלליים יותר. הוכחה ציקלוטומית המבוססת על סכומי גאוס ממעלה רביעית אכן נמצאה בכתביו הלא מפורסמים; אף על פי כן, ייתכן כי היא נכתבה לאחר פרסום ההוכחה של [[פרדיננד אייזנשטיין|אייזנשטיין]], אשר התבססה על שיטות דומות. כתביו הלא מפורסמים כן מכילים תרומה מקורית אחת לחוק ההדדיות ממעלה רביעית; בעוד שמרבית ההוכחות שניתנו לחוק החל מ-1850 ועד היום הן פשוט וריאציות על ההוכחות שאייזנשטיין נתן במקור, גאוס הותיר אחריו הוכחה גאומטרית השונה בטיבה מזו שאייזנשטיין נתן. הוכחתו של גאוס התבססה על טכניקות מקוריות ביותר המערבות ספירת נקודות סריג בתוך צורות גאומטריות מסוימות, ולפיכך היא קרובה יותר מבחינה רעיונית לשיטות מתחום הגאומטריה של מספרים מאשר להוכחות האנליטיות של אייזנשטיין.

ללא קשר לזהות בעל הקרדיט על ההוכחה הראשונה, המאמרים הללו זכורים בשל העושר והעומק של החקירות האריתמטיות שבאו בעקבותיהם – ההצגה של חוג השלמים הגאוסיאנים והטיפול המפורט בתכונות האריתמטיות שלו הציבה את הנושא בחזית המחקר על תורת המספרים וחוקי הדדיות, ובתוך מספר שנים שחלפו מאז פרסום המאמר הופיעו הוכחות שונות של חוקי ההדדיות מסדר שלישי ורביעי, שפורסמו על ידי אייזנשטיין, [[קרל גוסטב יעקב יעקובי|יעקובי]], ו[[יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה|דיריכלה]]. המאמר זכור גם כנקודת ציון מבחינת האופן שבו הוא שינה את תפיסתם של מתמטיקאים את המספרים המרוכבים, שעד אז נחשבו ל"פיקציות מטאפיזיות" בלבד; הוא משופע בדוגמאות ל"טענות אריתמטיות שמנצנצות בבהירות רבה יותר במסגרת האריתמטיקה המורחבת" (במילותיו של גאוס) ומכיל את אחד השימושים הרשמיים הראשונים בוויזואליזציה של המספרים המרוכבים כנקודות ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]] (ככל הנראה גאוס השתמש בתיאור המספרים המרוכבים כנקודות במישור עוד לפני עבודת הדוקטורט שלו, אך פרסמו רק ב-1831).

גם עבודתו על חוק ההדדיות מסדר שלישי ראויה לציון, ובהערה למאמרו על חוג השלמים המרוכבים הוא ציין כי את המשפט ניתן להוכיח בדומה להדדיות ממעלה רביעית, באמצעות פיתוח האריתמטיקה ב[[חוג השלמים של אייזנשטיין]]. הוכחה לחוק ההדדיות ממעלה שלישית נמצאה בכתביו; היא מבוססת על ההוכחה השישית שלו לחוק ההדדיות הריבועית, ומכילה כ[[למה (מתמטיקה)|למה]] את הטענה שחוג השלמים של אייזנשטיין הוא [[חוג אוקלידי|אוקלידי]] ולכן גם תחום פריקות יחידה. בעת שניסה לבסס תשתית אריתמטית לחוק ההדדיות מסדר שלישי, גאוס החל לחקור גם [[תבנית מעוקבת|תבניות מעוקבות]], ובמספר הערות מ-1808 הוא חקר את אוסף הפתרונות השלמים של ה[[משוואה דיופנטית|משוואה הדיופנטית]] <math>x^3 + ny^3 + n^2z^3 - 3nxyz = 1</math>, ואפיין את כל המספרים הראשוניים המיוצגים על ידי התבנית הזאת כאלו שעבורם ''n'' הוא שארית מעוקבת. אגף שמאל הוא הנורמה של המספר <math>x+ \nu y + \nu^2z</math> בשדה המעוקב הנוצר על ידי סיפוח <math>\nu = n^{1/3}</math>, כך שמשמעות הפתרון היא למעשה איתור ה"יחידות" – איברים מ[[נורמה (אלגברה)|נורמה]] 1, בשדה הנתון. בכתביו נמצאה טבלה של הפתרונות היסודיים  למשוואה זאת עבור ערכים רבים של <math>n</math> בין 2 ל-37; בעיית חישוב הפתרון היסודי של משוואה זאת (שניתן לחשוב עליה כעל האנלוג המעוקב של [[משוואת פל]]) היא סבוכה ומוליכה ל[[מספרים גדולים]] כבר עבור ערכים קטנים של <math>n</math>, כך שלא ברור כיצד גאוס בנה טבלה זו. בכל אופן, הפתירות של משוואה דיופנטית זאת כמו גם העובדה שכל הפתרונות שלה מתקבלים כחזקות של פתרון יסודי יחיד הם מקרה פרטי של [[משפט היחידות של דיריכלה]] (שכאמור לעיל הגיע לממצאיו באופן בלתי תלוי).

[[קובץ:Prime number theorem absolute error.svg|ימין|270px|ממוזער|אחת הבעיות שתעתעו בגאוס במהלך חייו הייתה נושא התפלגותם של המספרים ראשוניים. גאוס חיפש חוקים המושלים במופעים של המספרים הראשוניים "בגדול", ולא במיקום המספר הראשוני הבא.]]
לכמה מההשערות שלו בנוגע לתורת המספרים הייתה השפעה רבה, אף שברוב המקרים הוא לא הניח יסודות מוצקים כיצד להוכיח אותן. ההשערה של גאוס את [[משפט המספרים הראשוניים]], אותו הוא גילה על בסיס חישובים מספריים אמפיריים מקיפים (גאוס ערך טבלה של כל המספרים הראשוניים עד ל-3 מיליון), נתנה הבנה טובה כיצד מתפלגים המספרים הראשוניים ברמת המקרו. למעשה, הוא שיער יותר מכך; בכתב לא מפורסם שלו תחת הכותרת "חוקים אסימפטוטיים של אריתמטיקה" הוא העלה על הכתב כמה תוצאות שמכלילות את משפט המספרים הראשוניים; הוא שיער שבאופן אסימפטוטי, מספר המספרים שקטנים מ-<math>a</math> להם 2 גורמים ראשוניים הוא: <math>\frac  </math>, וכן שיער השערה כללית יותר לגבי ההתפלגות האסימפטוטית של [[מספר כמעט ראשוני|מספרים k-כמעט ראשוניים]]. את התוצאות הללו הוא גזר תחת ההנחה שמשפט המספרים הראשוניים נכון; על סמך הנחה זו הוא חישב באמצעות שיטות מתוחכמות את חוקי ההתפלגות של המספרים הכמעט ראשוניים (ב-1901 בנה [[אדמונד לנדאו]] את ה[[מתודולוגיה]] שלו מחדש). מאוחר יותר הוא עידן את ההשערה שלו על צפיפות המספרים הראשוניים וטען כי <math>1/\log x</math> היא תדירות ההופעה של המספרים הראשוניים "בסביבות" המספר x ולאו דווקא התדירות הממוצעת בתוך קבוצת המספרים הטבעיים מ-1 עד x, מה שמוביל ישירות לקירוב של [[פונקציית האינטגרל הלוגריתמי]] <math>\ \operatorname{Li}(x) = \int_2^x \frac{1}{\ln t} dt</math> (מכתב לאנקה, 1849).

=== אסטרונומיה ===
[[קובץ:CERES AND PALLAS.gif|שמאל|300px|ממוזער|תרשים של גאוס (משנת 1802) של ממדיהם היחסיים של מסלוליהם של [[קרס (כוכב לכת ננסי)|קרס]] ופאלאס.]]
פעילותו הראשונה של גאוס בתחום האסטרונומיה נעשתה בשנת 1799, במסגרת הסיוע שהעניק לקרטוגרף הפרוסי קרל לודוויג פון לקוק אשר הוביל באותה עת [[גאודזיה|מיפוי טריגונומטרי]] של אזור [[וסטפאליה]], מיפוי במהלכו נעשה שימוש נרחב בשיטת קביעת המיקום הגאוגרפי בעזרת מיקומם הנצפה של גרמי השמיים. כדי להגביר את הדיוק של המיפוי הגאודזי, גאוס פיתח אוסף נוסחאות מדויקות מהן ניתן לקבוע את ה[[פרלקסה]] של [[הירח]] כפי שהיא ניכרת לצופה בכדור הארץ עבור כל רגע ומיקום גאוצנטרי של הצופה הארצי, בהינתן רק הפרטים העדכניים של מיקום הירח. גאוס דיווח על ממצאיו אלו במכתבו ללקוק, שציין בדיווחיו ש"חישוביו של גאוס היו לו לעזר רב בחלק האסטרונומי של המיפוי", ועודדו ליצור קשר עם פרנץ פון זאך שניהל באותו זמן את מצפה הכוכבים ב[[גותה]].

ניסיונו הראשוני של גאוס להיכנס לעולם האסטרונומיה היה בהתאם למסורת המאה ה-18, כך שהוא ניסה לנסח תאוריה של תנועת הירח – הבעיה המרכזית במכניקה השמיימית של אותה עת – שתהיה יעילה ומדויקת יותר מהתאוריות הקודמות. ניסיונו זה נעשה בעקבות בעיית הפרס שהציעה האקדמיה בפריז ב-1800, שדרשה חישוב מדויק יותר של [[אלמנך (ניווט)|טבלאות נתוני מיקום ירחיים]] על בסיס תאוריה אמינה יותר. עבודתו בתחום, חיבור לא גמור בעל חמישה פרקים תחת הכותרת "**תאוריה של תנועת הירח**", פורסמה רק לאחר מותו. המשוואות היסודיות שהוא גזר עשו שימוש בקו האורך הירחי כמשתנה הבלתי תלוי (ולא בזמן), ולפיכך הן דומות לאלו של [[אלכסיס קלרו|קלרו]] ו[[ז'אן לה רון ד'אלמבר|ד'אלמבר]], וממשיכות את קו המחשבה שלהן. התאוריה שלו מתיישבת בהיבטים רבים עם זאת של [[פלאנה]] מ-1832; חישוביו של גאוס על הפרטורבציות הירחיות הרוחביות (הפלקטואציות ב[[נטיית מסלול|נטייה]] של מסלול הירח) תאמו את התיאור של פלאנה במדויק. בו בזמן שגאוס עמל על חיבורו זה, הכרך השלישי של ספרו של [[פייר-סימון לפלס|לפלס]] "מכניקה שמיימית", שהעפיל ברוחב יריעתו בהרבה על חיבורו הבוסרי, כבר הופיע, וכן סדרת מאמרים של אסטרונומים אחרים ששחזרו רבים מהפרטים של התאוריה שלו שכנעו אותו לא להמשיך את כתיבת חיבורו. הידיעה החדשותית מ-1801 בדבר העצם השמיימי החדש שנתגלה (ה[[אסטרואיד]] קרס) סיפקה לו הזדמנות פז שונה בטיבה להטביע את חותמו בעולם האסטרונומי, מה שהניע אותו לשנות את מוקד מחקרו.

עבודתו של גאוס על אסטרונומיה חישובית, "**תאוריה של תנועת הגופים השמימיים בחתכי חרוט סביב השמש**", עוסקת בקביעת מסלולם של גרמי שמיים (אסטרואידים, שביטים וכו') משלוש תצפיות גאוצנטריות: בהיעדר יכולת למדוד ישירות את המרחק אל הגרם השמיימי, זהו מספר התצפיות המינימלי המאפשר חישוב של ששת [[אלמנטי מסלול|אלמנטי המסלול]] שלו. בספר גאוס מפתח את האלגוריתם השלם הראשון לחיזוי מסלול של עצם שמיימי משלוש תצפיות גאוצנטריות; הוא מכיל פתרון יעיל מבחינה חישובית לבעיית למברט  באסטרודינמיקה, והוא מפורסם בשל האינטגרציה של שיטות מתמטיות שונות בו: שיטות סטטיסטיות (כולל ההצגה של "[[שיטת הריבועים הפחותים]]") לעידון איטרטיבי של המסלול המחושב, גאומטריות (בעיקר מ[[טריגונומטריה כדורית]]) ואסטרונומיות שונות. הספר זכה לפרסום רב גם בשל הצלחתו במישור הדידקטי – בעבור קוראיו הוא שימש כמעין מדריך שיטתי לאסטרונומיה עכשווית, והציג תהליך מתמטי ברור ונוח לשימוש ידני – ומסיבות אלו בדיוק היה נגיש לא רק למיטב האסטרונומים, והפך לרפרנס מרכזי בכמה העשורים שלאחר מכן. עוד בטרם פרסום הספר, גאוס נעזר בשיטות דומות כדי לסייע באיתור כל שלושת האסטרואידים הבאים שנתגלו: פאלאס, [[יונו (אסטרואיד)|יונו]], ו[[וסטה (אסטרואיד)|וסטה]]. ההצלחה החוזרת ונשנית הדגימה את יכולות השיטה שלו.

הישג משמעותי לא פחות של גאוס באסטרונומיה היה עבודתו על חישוב מסלולו של [[פאלאס (אסטרואיד)|פאלאס]], שחולף בסמוך ל[[צדק (כוכב לכת)|צדק]] ולכן חווה פרטורבציות משמעותיות, וכמו כן חווה הפרעות כבידתיות משמעותיות גם מ[[שבתאי]], כך שמסלולו רחוק מלהיות קפלרי (אליפטי). למעשה, בשנים 1810–1818 התמה הדומיננטית ביותר של עבודתו האסטרונומית הייתה חישוב מדויק ככל האפשר של מסלולו הלא-סדיר של פאלאס. בכתביו הלא מפורסמים ניתן למצוא קטעים מתמטיים ארוכים המתארים את הטכניקות שפיתח. אחד הכתבים האלה הוא מאמרו הארוך בצרפתית "הצגה של שיטה חדשנית לחישוב הפרעות פלנטריות יחד עם יישום לחישוב כמותי של הפרעות התנועה של פאלאס"
, שהוא חיבר ב-1812 לתחרות של [[האקדמיה הצרפתית למדעים]], ושלא פורסם בימי חייו. לאחר מאמצים אדירים, גאוס ויתר על השלמת המשימה הזאת, כשהגיע למסקנה שהיא גוזלת חלק ניכר מזמנו. מה שמנע ממנו להשיג הסבר מספק לתנועתו של פאלאס היה, לדעת אסטרונומים מודרניים, שהוא ערך את חישוביו עד לסדר שלישי בלבד, במקום להמשיך את הפיתוח עד לסדר חמישי. העורך של עבודתו האסטרונומית של גאוס, האסטרונום Martin Brendel, ציין ב-1906 שבעבודתו על פאלאס "גאוס כמעט השלים לבדו משימה אדירה, שאפילו כיום אסטרונומים נרתעים מאוד מלגשת אליה". בימינו בעיות כאלו נפתרות כמעט באופן בלעדי על ידי סימולציות ממוחשבות מורכבות המדמות את השינוי במסלולי אסטרואידים כתוצאה מהאפקט הכבידתי של כוכבי הלכת המסיביים במערכת השמש.

עם זאת, במאמרו מ-1818 על חישוב הפרטורבציות של פאלאס, "קביעה של המשיכה שכוכב לכת יפעיל בנקודה שרירותית נתונה, אם המסה שלו הייתה מפולגת באופן רציף לאורך מסלולו ובפרופורציה לזמן שלוקח לו לעבור את חלקי מסלולו", גאוס פיתח כלי מתמטי שנקרא שיטת הטבעת האליפטית (elliptic ring method) המאפשר לחשב בסדר ראשון את הפרטורבציה הממוצעת בפרקי זמן ארוכים (פרטורבציה סקולרית), שצדק יוצר במסלולו של פאלאס. המאמר הזה הוא גם המאמר היחיד שפורסם בחייו בו גאוס פרסם חלק מעבודתו על [[ממוצע אריתמטי-גאומטרי|הממוצע האריתמטי גאומטרי]]. לקראת סוף המאה ה-19, האסטרונום האמריקני ג'ורג' ויליאם היל  עיבד את "שיטת המיצוע" של גאוס כך שתתאים יותר לשימוש אסטרונומי, וב-1881 יישם אותה ישירות לבעיית ההפרעות הסקולריות שיוצר כוכב הלכת [[נוגה]] במסלולו של [[כוכב חמה]].

בניגוד להישגים כבירים אלו, שאר עבודתו האסטרונומית של גאוס מייצג, לדעת בני זמנו, מה שהיה בעיקר "בזבוז" של כישרונו; עבודתו האחרת עסקה בעיקר באסטרונומיה תצפיתית ובהיבטים מעשיים שונים כגון שכלול המכשור האסטרונומי של מצפה הכוכבים בגטינגן, תחומים שבהם גאוניותו המתמטית באה פחות לידי ביטוי. עם זאת, גם מחקרים מעשיים אלו הניבו תרומות תאורטיות אחדות לאסטרונומיה, שכללו חישובים של טבלאות [[אברציה כוכבית|אברציה]] ונוטציה (ב-1808). מ-1819 ואילך פצח גאוס במחקר שיטתי של התנועה הכוללת של [[מערכת השמש]] במרחב הגלקטי; דרך התכתבויותיו הענפות הוא היה בין הראשונים לפתח שיטות להעריך את התנועה השמשית במונחי ה[[תנועה עצמית|תנועות העצמיות]] של כוכבי השבת המרוחקים יותר.

=== אנליזה מתמטית ===
==== פונקציות אליפטיות, טורים היפרגאומטריים, תבניות מודולריות ====
[[קובץ:ModularGroup-FundamentalDomain.svg|ממוזער|340px|שמאל|כשחקר את [[פעולת חבורה|פעולת]] [[החבורה המודולרית]] על חצי המישור העליון, גאוס זיהה במפורש את המושג החשוב של [[תחום יסודי]] של חבורה זו, אשר ניתן לרצף בעזרת עותקיו את כל חצי המישור העליון. כתביו מכילים אף איור שמציג ריצוף של דיסק היחידה על ידי רשת של משולשים "עקומים" (האיור כאן מתייחס למודל שונה, זה של חצי המישור העליון).]]
אחד הגילויים העצמאים הראשונים של גאוס היה מושג הממוצע האריתמטי-גאומטרי (AGM) של שני מספרים ממשיים חיוביים; המחקר השיטתי שערך על הממוצע הזה הוביל אותו לגלות עולם מתמטי עשיר אשר (במילותיו של גאוס עצמו) "כמות האמיתות שניתן לגלות בו גדולה לאין שיעור מאשר זו שהפונקציות הרגילות אוצרות בחובן". הוא גילה את הקשר שלו ל[[אינטגרל אליפטי|אינטגרלים אליפטיים]] בשנים 1798–1799, דרך הטרנספורמציה שגילה באופן עצמאי הנקראת [[טרנספורמציית לנדן]] , ובהערה מיומנו גילה את הקשר שלו ליחס המכונה כיום "[[קבוע גאוס]]", תוצאה שהוא התנבא שהיא "בוודאות תפתח תחום חדש לגמרי של אנליזה". כתביו על אנליזה מתמטית מכילים עושר אדיר של תגליות מתמטיות, ורבות מן התוצאות במאמרים אלה הן בין התוצאות מרחיקות הראות ביותר של גאוס, אשר הייתה להן השפעה לא מבוטלת על התפתחות המתמטיקה בשלהי המאה ה-19, כאשר מתמטיקאים אחרים נתוודעו להישגיו דרך הפרסום ההדרגתי של כתביו הלא מפורסמים.

כתבים אלו הראו שעוד לפני סיום [[העשור הראשון של המאה ה-19]], גאוס הכיר רבות מהתוצאות שהופיעו לראשונה בחיבורו המהפכני של [[קרל גוסטב יעקב יעקובי]] מ-1829 "''Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum''". חקירתו השיטתית את [[למניסקטה|עקומת הלמניסקטה]] הובילה אותו לגילוי של [[פונקציה אליפטית|פונקציות אליפטיות]], אשר תכונתן היסודית היא שהן מהוות פונקציות בעלות שני [[פונקציה מחזורית|מחזור]]ים בלתי תלויים <math>\omega_1,\omega_2</math> מעל ''R''. בהקשר זה, הוא רשם גם את הדוגמאות הראשונות ל[[טור אייזנשטיין|טורי אייזנשטיין]], שלהם קשר טבעי לפונקציות אליפטיות. במסגרת תוצאה אחרת שלו מאותן שנים, הוא גילה את ההצגה המפורסמת של [[ויירשטראס]] של משתנה האינטגרציה ''x'' שבאינטגרלים אליפטיים מ[[גנוס (טופולוגיה)|גנוס]] 1 כמנה של שתי [[פונקציה שלמה|הפונקציות השלמות]] שכונו על ידי ויירשטראס <math>Al_1(u),Al_0(u)</math> (כאשר ''u'' הוא ערך האינטגרל האליפטי). [[משפט המספרים המחומשים]] של אוילר, יחד עם חקירותיו האחרות שהוזכרו, הובילו אותו לגילוי של תוצאות רבות על [[פונקציית תטא|פונקציות תטא]], וב-1808 ל"רגע שיא" שבו גילה והוכיח את [[זהות המכפלה המשולשת של יעקובי]] - שכוללת את המשפט של אוילר כמקרה פרטי ושממנה נובעות תוצאות רבות על פונקציות תטא. כמו כן, בכתביו מ-1808 מופיעות המשוואות המתארות טרנספורמציות מודולריות מסדר 3,5,7 של פונקציות אליפטיות.

כמה קטעים מתמטיים בכתבים אלה מעידים שגאוס הכיר היטב את היסודות של התאוריה שתושלם בסופו של דבר בעבודתם של [[פליקס קליין]] ו-Robert Fricke על [[תבנית מודולרית|פונקציות מודולריות]]. אין זה מקרי, שכן קליין ו-Fricke היו מעורבים מאוד בפרסום הכתבים של גאוס וחקרו את התוצאות של גאוס מקרוב. למשל, קליין מציין בספרו על התפתחות המתמטיקה במאה ה-19 כי האינווריאנט j של עקומים אליפטיים ([[הקבוע האבסולוטי של קליין]]; זוהי תבנית מודולרית ממשקל אפס), מן המושגים המרכזיים בתאוריה של תבניות אלו, הוצג לראשונה על ידי גאוס, אשר כינה אותו "Summatorische Function". גאוס הציגו בהקשר של מחקרו על הממוצע האריתמטי-גאומטרי של זוג מספרים מרוכבים – נושא שגאוס החשיבו כדרך הטבעית ביותר להתוודע ל"תמונה המודולרית" – ושבמסגרתו ביסס תוצאה עמוקה ביותר על היצירה של אינסוף הערכים השונים של הממוצע משני ערכים "פשוטים ביותר" שלו. כתביו מכילים אף מספר איורים שמראים כי הוא היה מודע לצד הגאומטרי של התאוריה; אחת התוצאות המשמעותיות שלו, שמתקשרת גם לעבודתם של מתמטיקאים מאוחרים יותר על מודלים של גאומטריה לא אוקלידית, היא הגילוי של [[ריצוף של המישור|ריצוף]] של [[מודל הדיסק של פואנקרה]] על ידי משולשים "שווי צלעות" עם זוויות שכולן שוות <math>\pi/4</math>.

גאוס בחייו פרסם כמעט מאום ממה שהשיג על תורת הפונקציות האליפטיות, אולם הוא כן פרסם מאמר שחשף מעט מהרעיונות שלו בנוגע ל[[עצם מתמטי]] קשור – [[פונקציה היפרגאומטרית|הפונקציה ההיפרגאומטרית]]. במאמר "חקירות כלליות חדשות על הטור האינסופי" מ-1813, הוא סיפק את הטיפול השיטתי הראשון בפונקציה ההיפרגאומטרית <math>F(\alpha,\beta,\gamma,x)</math> הכללית, והראה שרבות מהפונקציות המוכרות באותה עת, כדוגמת ה[[פונקציה אלמנטרית|פונקציות האלמנטריות]] ופונקציות מיוחדות מסוימות, הן מקרה פרטי של הפונקציה ההיפרגאומטרית. בכך הוא המשיך את התוכנית האנליטית השיטתית של אוילר ו[[יוהאן פרידריך פפאף]], שפרסמו לפניו מחקרים (מצומצמים למדי) שעסקו בטור ההיפרגאומטרי. המאמר קושר גם בין [[שבר משולב|שברים משולבים]] עם ערכים מרוכבים ל[[חילוק|מנות]] של פונקציות היפרגאומטריות, ומכיל תוצאות על פונקציות טרנסצנדנטיות כמו [[פונקציית גמא]] ו[[פונקציית דיגמא|פונקציית הדיגמא]]; אחת התוצאות העמוקות ביותר בו, שלה גם הקשרים אריתמטיים מעניינים, היא "משפט הדיגמא של גאוס", המאפשר לבטא את פונקציית הדיגמא עבור כל הארגומנטים הרציונליים <math>\psi(p/q)</math> באמצעות [[קבוע אוילר-מסקרוני]] ופונקציות אלמנטריות בלבד. מלבד התגליות שבחיבור, הייתה לו חשיבות רבה גם להתפתחות המתמטיקה ה[[ריגורוזיות|ריגורוזית]], שכן תואר בו מעיין מודל לחקר [[סדרה מתכנסת|התכנסות]] של טורים. בחלקו השני הלא מפורסם של המאמר - "**קביעה של הטור המייצג משוואה דיפרנציאלית מסוימת מסדר שני**", גאוס הרחיב את [[תחום ההגדרה]] של הפונקציה ההיפרגאומטרית, ודן בהתנהגות שלה בכל המישור המרוכב. כדי לעשות זאת הוא נקט בגישה שונה, וחקר פונקציות היפרגאומטריות לא באמצעות הצבת ערכי פרמטרים שונים בטור ההיפרגאומטרי שמייצג אותן, אלא דרך אפיונן כפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית היסודית שהן מקיימות:

<math>z(1-z)\frac {d^2w}{dz^2} + \left[c-(a+b+1)z \right] \frac {dw}{dz} - ab\,w = 0</math>.

מיד לאחר ההצגה של המשוואה הדיפרנציאלית, גאוס בוחן את המבנה האנליטי המורכב של הפונקציה ומפתח ישירות מהמשוואה תכונות של הפונקציה כגון ערכיה בנקודות מיוחדות מסוימות וטרנספורמציות שונות שלה; אף על פי שלא זיהה במפורש את המושג של נקודת סינגולריות רגולרית של משוואה דיפרנציאלית, הוא מצא פיתוחים לטורים של שני הפתרונות הבלתי תלויים של המשוואה ההיפרגאומטרית ב[[סביבה (מתמטיקה)|סביבת]] כל אחת משלוש נקודות ה[[סינגולריות (מתמטיקה)|סינגולריות]] שלה (הממוקמות ב-<math>z = 0,1,\infty</math>). בעקבות ניתוח של תכונה [[פרדוקס]]לית של טרנספורמציה ממעלה שנייה של הפונקציה ההיפרגאומטרית אותה גילה, גאוס מעלה לראשונה את בעיית ה[[מונודרומיה]] (monodromy) - הנוגעת להתנהגות ה[[פונקציה רב-ערכית|רב-ערכית]] של הפונקציה ההיפרגאומטרית כאשר ממשיכים אותה אנליטית. [[ארנסט קומר]] גילה ב-1836 את מרבית התוצאות שבחלק זה, מה שבמובנים רבים ייתר אותו.

החקירות האנליטיות של גאוס על הפונקציה ההיפרגאומטרית החלו במובנים רבים את פריחת תת-ענף הספרות המתמטית ששמות בולטים מהעשורים הבאים כמו ארנסט קומר, [[ברנהרד רימן]], [[הרמן שוורץ]] ו[[לזרוס פוקס]] היו כה מעורבים בפיתוחו. סוד ההשפעה שלהן טמון בכך שהן רמזו על קשר אינטימי בין [[תורת החבורות]] לתאוריה האיכותית של משוואות דיפרנציאליות במישור המרוכב; כיוון שגאוס הראה שניתן לקבל פתרון אחד של המשוואה ההיפרגאומטרית מפתרון אחר באמצעות הפעלת טרנספורמציה מתאימה על <math>F(\alpha,\beta,\gamma,x)</math>, הדבר רמז על כך שהיחסים הפנימיים בין כל הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית ניתנים לקידוד בעזרת [[פעולת חבורה]] של טרנספורמציות. במאמרו המפורסם מ-1857, רימן תיאר את ההתנהגות ה"גלובלית" של הפונקציה דרך הבנייה של מטריצת המונודרומיה שלה והצגת הטרנספורמציות הליניאריות הקשורות בה; הגישה הקונספטואלית של רימן הביאה לבשלות את הנושא, ואפשרה לגזור את כל התכונות הידועות של הפונקציה ההיפרגאומטרית בעזרת כמות מועטה בהרבה של חישובים אלגבריים, תוך התייחסות גם למקרה הכללי יותר של מיקום שרירותי של נקודות הסינגולריות. מושא החקירות הללו הוכנס בסופו של דבר למסגרת עם ניסוח [[23 הבעיות של הילברט|הבעיה ה-21 של הילברט]] (בעיית רימן-הילברט), שדורשת להוכיח קיום של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות עם חבורת מונודרומיה נתונה.

==== יסודות האנליזה המרוכבת ====
עדות נוספת להבנתו של גאוס את הנושא של היסודות הרעיוניים של [[אנליזה מרוכבת|האנליזה המרוכבת]] היא מכתבו ל[[פרידריך בסל]] מ-1811, שזכור כמסמך הראשון שבו מופיעה הקביעה של "המשפט היסודי של פונקציות של משתנה מרוכב" - [[משפט האינטגרל של קושי]] (כ-15 שנה לפני עבודתו היסודית של [[אוגוסטן לואי קושי]] בתחום), שקובע שה[[אינטגרל קווי|אינטגרל הקווי]] של [[פונקציה מרוכבת]] [[פונקציה הולומורפית|הולומורפית]] לאורך מסלול סגור שווה לאפס (כל עוד התחום אינו מכיל נקודות סינגולריות) - ובשל ההבנה שהוא הציג על הרב-ערכיות של פונקציות מרוכבות מסביב לנקודות סינגולריות. במכתבו מסביר גאוס את הרב-ערכיות של פונקציית ה[[לוגריתם]] <math>\mathbb{log}(z) </math> כתוצאה של אינטגרציה קווית במישור המרוכב של הפונקציה <math>\frac </math> לאורך קונטור מעגלי מסביב לנקודת הסינגולריות שלה ב-''z = 0'', תוך זיהוי נכון של ערך השארית <math>2\pi i</math> שמתווספת בכל מחזור אינטגרציה (דוגמה זאת למעשה שופכת אור על [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר באנליזה מרוכבת]]). במקום אחר בכתביו הוא כתב כי: "ידיעה מלאה של טבעה של פונקציה אנליטית חייבת לכלול גם הבנה של התנהגותה בעבור ערכים מדומים של הארגומנט שלה. לעיתים קרובות האחרונה היא חיונית אפילו בעבור הערכה נאותה של התנהגות הפונקציה בעבור ארגומנט ממשי.". מילים אלו מתכתבות במידת מה עם אחד ההישגים המרכזיים של תורת הפונקציות המרוכבות במאה ה-19 - התרתם של אינטגרלים ממשיים סבוכים באמצעות כלים מאנליזה מרוכבת.

ב-1805, במסגרת מחקריו האסטרונומיים הלא מפורסמים על פתרון [[משוואת קפלר]], גאוס נתן ביטוי אסימפטוטי למקדמי [[טור פורייה|הטור הטריגונומטרי]] המייצג את ההפרש בין האנומליה האמיתית והממוצעת. כחלק ממחקרו זה גילה גם את תופעת [[גבול לפלס]] , תופעה במסגרתה הטור הטריגונומטרי הנידון מתבדר בעבור ערכי [[אקסצנטריות (מתמטיקה)|אקסצנטריות]] הגדולים מערך קריטי מסוים (כשני עשורים לפני עבודתו הבלתי תלויה של לפלס בנושא). ממצאיו על ההתנהגות האסימפטוטית של מקדמי הטור הטריגונומטרי תאמו את הנוסחה שנמצאה על ידי יעקובי ב-1849, אולם הדרך בה הגיע אליה הייתה לאין ערוך קצרה יותר. כדי "לפצח" את התנהגות המקדמים, גאוס הפעיל טרנספורמציה מדומה מסוימת. אף שלא הסביר את הרעיון מאחורי ההצבה, מתמטיקאים מאוחרים יותר הראו כי בחירת הצורה המדויקת של הטרנספורמציה מרמזת על שימוש סמוי ב[[משפט השאריות|נוסחת השאריות]] על אינטגרציה במישור המרוכב, כך שניתן לראות בפתרונו לבעיה אסטרונומית זו את אחד היישומים של רעיונותיו על יסודות האנליזה המרוכבת. בערוב ימיו הביע גאוס בפני שומאכר (במספר מכתבים מ-1850) את רצונו לכתוב חיבור על ההתכנסות של טורים טריגונומטריים, אשר יכלול גם את ההקשרים ל"דוקטרינה של גדלים מרוכבים".

עם כל זאת, כל מה שהשיג בנושא נתגלה רק לאחר מותו, וגאוס לא לקח בחלק בבנייה בפועל של תורת הפונקציות המרוכבות; זו נעשתה באופן שיטתי וישיר על ידי קושי, [[נילס הנריק אבל|אבל]], יעקובי, [[ז'וזף ליוביל|ליוביל]], רימן ואחרים.

==== העתקות קונפורמיות ====
[[קובץ:Conformal map.svg|שמאל|200px|ממוזער|העתקה קונפורמית. במאמרו מ-1823 גאוס גילה את השקילות בין קונפורמיות להולומורפיות.]]
מנקודת מבט מתמטית מודרנית, עבודתו של גאוס על [[העתקה קונפורמית|העתקות קונפורמיות]] קשורה בקשר הדוק לרעיונותיו על יסודות האנליזה המרוכבת. הפרסום המרכזי שלו בהקשר זה הוא מאמרו זוכה הפרס של האקדמיה הדנית למדעים משנת 1823, "פתרון כללי לבעיה של מיפוי משטח אחד על משטח אחר כך שהשניים יהיו דומים זה לזה בחלקיהם הקטנים ביותר", שבו עסק בפן המתמטי הטהור של התורה של מיפויים קונפורמיים. מטרתו המוצהרת של המאמר הייתה קביעת הפונקציות שמעתיקות את פני השטח של משטח כללי כלשהו אל פני השטח של משטח אחר באופן משמר-זוויות, וגאוס במכוון התייחס להעתקות אלו בתור פונקציות מרוכבות. תחילה הוא חוקר את המקרה של העתקה ממישור למישור, ובהתייחס אליו מציג את הטענה החשובה שהעתקה היא קונפורמית [[אם ורק אם]] היא [[פונקציה הולומורפית|הולומורפית]] או אנטי-הולומורפית; כלומר [[פונקציה אנליטית|אנליטית]] במובן המרוכב. מיד לאחר מכן הוא חוקר את המבנה המרוכב שמשרה המטריקה של משטחים עקומים, ונעזר בבנייה זו כדי לגזור קריטריון קונפורמיות כללי בין שני משטחים. תוך כדי כך הוא נעזר באופן לא מפורש בכלי אנליטי חזק שרלוונטי לבעיה של מיפוי משטחים עקומים - [[משוואת בלטרמי]], שהיא [[משוואה דיפרנציאלית חלקית]] שמקיימות העתקות מרוכבות בין משטחים, אשר ניתן לחשוב עליה כעל הכללה של [[משוואות קושי-רימן]] למשטחים בעלי [[עקמומיות]] שונה מאפס. הוא עשה בה שימוש כדי להוכיח קיום מקומי של [[קואורדינטות איזותרמיות]] על משטח עם [[מטריקה]] אנליטית רימנית. בהמשך מאמרו הדגים את המשפט שלו למקרים של מיפוי קונפורמי של משטח שרירותי על גבי מישור, חרוט וכדור, וסיים בדיון במיפוי קונפורמי של משטח על גבי אליפסואיד סיבוב. ראויה לציון העובדה שרימן העריך במיוחד את מאמרו זה של גאוס על העתקות קונפורמיות, שכן הוא קרא אותו ביסודיות רבה והתייחס אליו במפורש בעבודת הדוקטורט הזכורה שלו מ-1851, אשר יצרה בסיס גאומטרי אוניברסלי לתורה של פונקציות מרוכבות בדמותם של [[משטח רימן|משטחי רימן]].

כמו בתחומי עיסוק רבים של גאוס, חלקה הלא מפורסם של עבודתו על מיפויים קונפורמיים מרשים אף יותר ממה שפרסם בחייו. השיא של עבודתו בנושא עסק בבעיה של בניית העתקה קונפורמית במישור המרוכב מפנים האליפסה ל[[מעגל היחידה|עיגול היחידה]] הפתוח – בשונה מהבעיה של מיפוי חלקה החיצוני של ה[[אליפסה]] (תחום המישור שאינו נמצא בתוכה) לעיגול היחידה, בה ניתן לבנות את ההעתקה בקלות יחסית בעזרת התמרת [[ניקולאי ז'וקובסקי|ז'וקובסקי]], במקרה זה הפתרון קשה בהרבה ומערב פונקציות אליפטיות. במספר קטעים מתמטיים המתוארכים ל-1839 הוא חקר את הבעיה ותיעד את פתרונו; ממצאיו תאמו את הנוסחה שנמצאה הרבה מאוחר יותר על ידי [[הרמן שוורץ|הרמן אמדאוס שוורץ]]. הפתרון שמצא מעיד גם שהיה מודע לזיקה בין תורת המיפויים הקונפורמיים לתורת הפוטנציאל, שכן כדי למצאו הוא התבסס הן על עבודתו המוקדמת על אינטגרלים אליפטיים ופונקציות תטא והן על רעיונותיו מתורת הפוטנציאל – רעיונות אשר גיבש בתקופה שקדמה לפתרונו זה – תקופה בה חקירות פיזיקליות על פוטנציאלים היו במוקד עיסוקיו.

==== [[אנליזה ממשית]] ====
תגלית נוספת שלו מנושא אחר לגמרי היא [[התפלגות גאוס-קוזמין]], שמופיעה בהערה 113 ב[[היומן של גאוס|יומנו]]. התגלית העמוקה הזאת מתארת את השכיחות האסימפטוטית של מספרים טבעיים בפיתוח ל[[שבר משולב#התנהגות כמעט תמיד|שבר משולב]] של [[משתנה מקרי]] המתפלג באופן אחיד בקטע (0,1). גאוס כתב כי:

<math> \lim_{n \to \infty} P(\lambda^n\le x) = \frac  , 0\le x < 1</math>

כאשר <math>\lambda(x) = \frac   - [\frac  ]</math> ו-<math> [x]</math> מסמלת את [[פונקציית הרצפה]]. במכתב ללפלס מ-1812 גאוס דיווח לו על ממצא זה, ואף הציע לו לעסוק בבעיה ההסתברותית של הערכת גורם השגיאה בחוק האסימפטוטי שלו. גאוס כתב כי יש לו הוכחה בהירה לעובדה הזאת, אולם רק בשנת 1928 הצליח קוזמין לבנות אותה מחדש, שאף נתן חסם על קצב ההתכנסות – ובכך ענה על השאלה שהעלה גאוס. ההערה הזו מרשימה במיוחד לאור העובדה שהיא נכתבה יותר ממאה שנים לפני שכלים מודרניים "חזקים" כמו [[תורת המידה]] ו[[התורה הארגודית]] נוצרו, וכיוון שגאוס לא הותיר הרבה מסמכים הנוגעים לחוק הזה, לא ברור כיצד הוא הגיע לתוצאה זו.

=== גאודזיה ===
[[קובץ:MercTranEll.png|שמאל|300px|ממוזער|בעבודתו הגאודטית עסק גאוס בפיתוח טכניקות קרטוגרפיות שונות; באיור מוצגת מפה מישורית של הארץ האליפסואידית.]]
מתוך עבודתו על הסקר הגאודזי של הנובר צמחו מספר עבודות תאורטיות, שהבולטות שבהן כללו מאמר אחד מ-1828 בו סיכם את רעיונותיו על [[מודל הארץ ככדור|צורת כדור הארץ]], המאמר "מדידת הפרש קווי הרוחב בין אלטונה וגטינגן" (1828) שנעשה בו שימוש מיומן ב[[רגרסיה ליניארית]], והחשוב מכל הוא ספרו "מחקרים על היסודות של גאודזיה גבוהה" (1843 ו-1846) שפורסם בשני חלקים והתבסס על המיפוי הקונפורמי של האליפסואיד ל[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]]. שתי העבודות היו בעלות השפעה אדירה על התפתחות הגיאודזיה, הן מהצד התאורטי והן מהצד המעשי.

הכרך הראשון של ספרו על גאודזיה עוסק בבעיה ה[[קרטוגרפיה|קרטוגרפית]] של בניית [[העתקה קונפורמית|העתקות קונפורמיות]] של אליפסואיד לכדור, לנוחיות שימושם של גאודזיסטים. כיוון שגאוס כבר הראה שלא ניתן למפות אליפסואיד לכדור בלי עיוותים, השיטה שלו התבססה על מיפוי אזורים קטנים של האליפסואיד לאזורים כדוריים באופן כזה שהעיוות יהיה מינימלי, תוך התאמת הפרמטרים של ההעתקה מחדש בכל [[קו רוחב]] של האליפסואיד. הטכניקות בהן גאוס השתמש היו מ[[אנליזה מרוכבת]] וטריגונומטריה ספירית. הכרך הראשון מסתיים במספר בעיות הקשורות במשולשים כדוריים. הכרך השני של ספרו מוקדש לפתרון של בעיות דומות אלא שהפעם הן מתייחסות למשולשים על אליפסואיד. בעזרת ערכים ממוצעים של קווי רוחב ו[[אזימוט]] גאוס גזר שש נוסחאות אשר פותרות את הבעיה באופן מכני באמצעות שימוש בטבלאות נומריות שחישב בעצמו. הטכניקות שתיאר היו בשימוש נרחב על ידי גאודזיסטים עד סוף המאה ה-19. ספר זה ביחד עם כתבים אחרים שנמצאו בעזבונו, היווה את הבסיס להעתקת Gauss-Kruger שהתפתחה בשנת 1912, וזכתה למעמד איתן כבסיס לפיתוח כל הרשתות הטופוגרפיות המתחשבות בצורה האליפסואידית של כדור הארץ, ומשום כך אומצה במהלך המאה ה-20 ככלי מיפוי בסקלה גלובלית על ידי מדינות רבות.

=== סטטיסטיקה ===
הטיפול בתצפיות עם שגיאות העסיק את גאוס לראשונה בשנים 1794–1795. מאוחר יותר, עבודתו על בעיות אסטרונומיות אילצה את גאוס בעל כורחו להתעסק עם בעיות סטטיסטיות הקשורות במזעור השפעת שגיאות המדידה על תוצאות החיזוי של תהליכי חישוב אסטרונומיים. בספרו על [[אסטרונומיה]] מ-1809, גאוס תיאר לראשונה באופן מלא את ה[[התפלגות נורמלית|התפלגות הנורמלית]]. גאוס בספרו תיאר את [[שיטת הריבועים הפחותים]] ושיטת [[אמידת נראות מרבית]], שתיהן שיטות יסודיות ביותר המשמשות רבות בסטטיסטיקה, ועשה בהן שימוש על מנת לנתח נתוני מדידות אסטרונומיות שלעיתים סתרו זו את זו. כדי לאמוד את השגיאה של המדידות, גאוס בחר להניח כי הממוצע האריתמטי הוא הערך שממזער את שגיאת המדידה. כלומר, המדידה שמרחקה מן הממוצע האריתמטי הוא המזערי, היא בהסתברות גבוהה הקרובה ביותר לערכים האמתיים. תחת הנחה זו הוא חישב ומצא כי ההתפלגות הנורמלית מתארת את שגיאת המדידה, וסיפק נוסחה של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.
[[קובץ:Linear regression.svg|שמאל|260px|ממוזער|"שיטת הריבועים הפחותים" של גאוס מאפשרת לאמוד את הקשר המתמטי של משתנה תלוי במשתנה בלתי תלוי.]]
מאוחר יותר, גאוס עשה שימוש בכלים הסטטיסטיים שפיתח במסגרת המדידות הגאודטיות שביצע, ואחת מתרומותיו לגאודזיה הניסויית היא זיהוי ה[[שגיאה שיטתית|שגיאות השיטתיות]] העיקריות במדידת זוויות, כשלאחר מכן הוא הציע אמצעים להעלים את השפעתן. ענף הגאודזיה והמדידה של צורת כדור הארץ היה אזור נוח במיוחד ליישום הכלים החדשים של הסטטיסטיקה אותם פיתח, וזהו היה התחום אשר בו מצא גאוס את אחד היישומים הפוריים והעשירים ביותר של שיטת הריבועים הפחותים שלו, וכתוצאה הוא פרסם את חיבורו "תאוריה של תחשיב התצפיות המושפע באופן מינימלי משגיאות", שפורסם בשלושה חלקים במהלך השנים 1823–1826 ובו דן בקלקולוס התצפיות באופן מעמיק. בחיבור זה גאוס פרסם הצדקה חדשה ואיתנה יותר לשיטת הריבועים הפחותים; הוא הוכיח ששיטת הריבועים הפחותים מניבה את ה[[אומד חסר הטיה|אומד חסר ההטיה]] הליניארי הטוב ביותר, במובן שה[[שונות]] שלו היא הנמוכה ביותר מבין כל האומדים הליניאריים חסרי ההטיה. תוצאה יסודית זאת, שנחשבת לאבן הפינה באנליזה המודרנית של רגרסיה, נודעה כ[[משפט גאוס-מרקוב]].

בחיבור זה, שהיה לא מוכר יחסית בעולם דובר האנגלית במהלך המאה שלאחר פרסומו, ישנם פיתוחים רבים מעניינים מאוד: גאוס הציג והוכיח את [[אי-שוויון גאוס]] (שהוא [[אי-שוויון צ'בישב|אי-שוויון מטיפוס צ'בישב]]), כמו גם אי שוויון על [[מומנט (הסתברות)|מומנטים]] מסדר רביעי של שגיאות (Gauss-Winkler inequallity). במאמרים 38–40 של החיבור, גאוס גזר חסם עליון ותחתון לתחום הערכים בו עשויה להימצא השונות של אומדן השונות המדגמית. מאוחר יותר, המתמטיקאי הרוסי [[אנדריי קולמוגורוב]] גילה שהחסם התחתון של גאוס שגוי, וב-1947 פרסם נוסחה מתוקנת. באותו חיבור גאוס גם הציג תהליכים איטרטיביים (שתוארו על ידי דדקינד), ופיתח שיטות ריבועים פחותים רקורסיביות  אשר נתגלו מחדש רק ב-1950 על ידי Plackett, כך שהם נחקרו לראשונה לעומק רק לאחרונה.

במאמרו מ-1816 על הדיוק של אומדים סטטיסטיים, גאוס העריך את הדיוק של אומדים של הנעלמים של [[מערכת משוואות ליניאריות]], ושל פונקציות ליניאריות של אלו. הוא הוכיח בו שבעבור סדרת שגיאות מפולגת נורמלית <math>e_i</math>, המדד לדיוק <math>h = \frac </math> נאמד בצורה הטובה ביותר על ידי
<math>(e_1^2 + e_2^2 + \cdots + e_n^2)</math> מאשר על ידי
<math>(\left\vert e_1 \right\vert^k + \left\vert e_2 \right\vert^k + \cdots + \left\vert e_n \right\vert^k)</math> בעבור ''k'' שונה מ-2.

זה היה בקונטקסט של עבודתו הנרחבת בעיבוד סטטיסטי של תוצאות מדידות וחישובים אסטרונומיים וגאודטיים שהוא פיתח את הטכניקות הרבות ב[[אלגברה ליניארית]] הנושאות את שמו; הכמויות העצומות של נתונים איתן נאלץ לעבוד כדרך קבע הובילו באופן טבעי ל[[משוואה ליניארית|משוואות ליניאריות]] בנעלמים רבים. בין היתר הציג במאמר 182 של ספרו על אסטרונומיה מ-1809 את [[תהליך גרם-שמידט]], ופירק באמצעותו מטריצה ''A'' למכפלת [[מטריצה אורתוגונלית]] ''Q'' ו[[מטריצה משולשית]] עליונה ''R'' – שיטה שנקראת כיום [[פירוק QR]]. בנספח לחיבורו מ-1823 על סטטיסטיקה, הוא תיאר את [[פירוק שולסקי]].

את העיסוק של גאוס ב[[אקטואריה|מתמטיקה אקטוארית]] ניתן לפרש כאחד היישומים של עבודתו בסטטיסטיקה. במשך מספר שנים הוא ניהל את [[קרן פנסיה|קרנות הפנסיה]] של אלמנות הפרופסורים באוניברסיטת גטינגן, ונעזר בנתוני תמותה מפורטים כדי לבצע את החישובים שלו. התוצרים של פרויקט זה - מספר מאמרים מ-1845 שעוסקים בהיבטים שונים של [[מתמטיקה פיננסית]], היוו הדגמה מופתית ליישום של [[תורת ההסתברות]] לאנליזה של בעיות כלכליות.

=== יסודות הגאומטריה; גאומטריות לא אוקלידיות ===
על אף טענותיו של גאוס, שאלת היקף הקרדיט הניתן לו על גילוי ה[[גאומטריה לא-אוקלידית|גאומטריות הלא אוקלידיות]] נתונה למחלוקת בקרב [[היסטוריה של המתמטיקה|היסטוריוני המתמטיקה]], מחלוקת שחריפה יותר מבכל תחום אחר בו הוא עסק. קשה מאוד להכריע בשאלה עד כמה חזה גאוס את תגליותיהם המאוחרות יותר של בולאי ולובצ'בסקי כי הוא לא כתב שום תיעוד שיטתי של רעיונותיו לפני 1831, ונחוצה בנייה מחדש של תהליך החשיבה שלו על פי נקודת המבט המתמטית המודרנית והמסמכים המעטים שיש בשנים שקדמו ל-1831. היסטוריונים נטו לשייך את "ההרהורים המתמטיים" שלו לשלוש תקופות שונות: תקופת "הגישושים" הראשונית בשנים 1792–1813, התקופה הבשלה יותר רעיונית שבשנים 1813–1831, וזו שמ-1832 (כשנתוודע לראשונה להישגיו של בולאי) ואילך עד מותו.

==== השנים 1792–1813 ====
גאוס היה הראשון להגיע לרעיון שניתן לוותר על אקסיומת המקבילים ולקבל בכך גאומטריות שונות בתכלית מהגאומטריה האוקלידית. לפי זיכרונותיו, הוא החל להרהר לראשונה על תקפות [[אקסיומת המקבילים]] ב-1792, והגיע למסקנה שדרוש כיוון שונה מזה שנקטו הגאומטרנים במאות השנים האחרונות. בעקבות מסקנה זו הוא החל לתהות מה קורה כאשר האקסיומה החמישית מוחלפת באקסיומה אחרת: "דרך כל נקודה מחוץ לישר נתון עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה". את תקופת הגישושים הראשונית אפיינה חקירה [[גאומטריה סינתטית|סינתטית]] של תכונות הגאומטריה ההיפותטית בה האקסיומה החמישית אינה מתקיימת; הכלים בהם נעזר היו בעיקר [[בנייה (גאומטריה)|בניות גאומטריות]] האנלוגיות לאלו של ה[[גאומטריה אוקלידית|גאומטריה האוקלידית]], שאפשרו לו להגיע למסקנות יסודיות על תכונות הגאומטריה החלופית. את תקופה זאת אפיין אי ביטחון בתקפות הגאומטריה החדשה, עקב ההשלכות הפילוסופיות של הוויתור על האקסיומה החמישית, שעמדו בניגוד גמור לעמדה הרווחת בחוגים המתמטיים והפילוסופיים באותה עת.

מתוארכים לתקופה זאת מספר כתבים קצרים בעלי אופי מעט היסטורי, המהווים סקירה של ה[[כשל לוגי|כשלים הלוגיים]] בניסיונותיהם הקודמים של גאומטרנים לגזור את אקסיומת המקבילים מהאקסיומות האחרות.

==== תקופת הביניים (1813–1831) ====
[[קובץ:Pseudosphere.png|שמאל|250px|ממוזער|ה"[[פסאודוספירה]]" היא הדוגמה הראשונה למשטח עם עקמומיות שלילית קבועה.]]
ניתן לתארך את תחילת התקופה השנייה בערך לשנה 1813, שכן במספר מכתבים בשנים 1813–1819 הוא טען שבנה את הגאומטריה החדשה ושהוא "יכול לפתור כל בעיה בגאומטריה החלופית כאשר הקבוע המאפיין אותה נתון". בתקופה זאת הוא החל לפתח את ה[[טריגונומטריה]] ההיפרבולית והשתכנע שמתקיימים בגאומטריה החלופית כללים טריגונומטריים האנלוגיים לאלו של ה[[גאומטריה ספירית|גאומטריה הכדורית]]. הוא חשף מספר תוצאות משמעותיות על הגאומטריה החדשה במכתביו; הבולטות ביותר שבהן הן במכתבו לגרלינג משנת 1819, בו נתן נוסחה לחישוב החסם על השטח המרבי של משולש ב[[גאומטריה היפרבולית]] בעלת עקמומיות שלילית קבועה לפי גובהו של ה[[משולש אידיאלי|משולש האידיאלי]] המתאים <math>\pi C^2/(\log (1 + \sqrt ))^2 </math> (כש-C הוא ה[[גובה (גאומטריה)|גובה]] של המשולש, שנקרא גם הקבוע של Schweikart), ומכתבו לשומאכר משנת 1831, שהתוצאה הבולטת שלו היא מתן נוסחה להיקף מעגל בגאומטריה היפרבולית לפי הקבוע ''k'' שמאפיין אותה
<math>\pi k (e^{\frac } - e^{-\frac})</math> (שניתן לרשמה גם בעזרת [[פונקציות היפרבוליות|סינוס היפרבולי]] כך: <math>2\pi k \sinh \frac{r}{k}</math>). לממצא האחרון היו השלכות מעניינות ביותר, שכן לפי הנוסחה שבו עולה שבגאומטריה החדשה מתקיים שבעבור רדיוסים גדולים בהשוואה לקבוע האופייני ''k'' ההיקף גדל מעריכית עם הרדיוס.

כתבים אחרים שלו מהתקופה מכילים אזכור של משוואות ה[[פסאודוספירה]] (משטח אותו מכנה גאוס "הנגדי של הספירה") – הדוגמה הראשונה למשטח עם עקמומיות שלילית קבועה. במכתב אחר הוא אף הביע דעתו על ההשלכות של הנושא וטען שייתכן שהטבע הגאומטרי של המרחב הפיזי הוא לא-אוקלידי, ושניתן להכריע בשאלה זאת באמצעם [[אמפיריציזם|אמפיריים]] (הוא הצהיר שהגאומטריה הלא אוקלידית היא [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]] אולם הפרמטר היסודי שמאפיין אותה אינו ניתן לקביעה [[אפריורי]]ת).

בשלהי תקופה זאת, גאוס הביע באחד ממכתביו את רצונו להעלות על הכתב כמה מרעיונותיו בדבר הגאומטריה החלופית, משום "שלא רצה שרעיונותיו אלו ייעלמו עמו". בכתב לא מפורסם קצר משנת 1831 שכותרתו "התאוריה של קווים מקבילים", המהווה את ניסיונו הראשון לתעד שיטתית את עבודתו, הוא כמעט הגיע להגדרה מוצקה של מושג ההורוצייקל("מעגל גבולי"), אחד ממושגי המפתח בבניית הגאומטריה ההיפרבולית; ככל הנראה האבחנה המוקדמת ביותר של גאוס אשר מתקרבת להמשגה של המעגל הגבולי מופיעה במכתבו משנת 1804 לוולפגנג בולאי (אביו של יאנוש בולאי), שם גאוס מתייחס להיתכנות של מצולע שווה-צלעות ושווה זוויות אשר מתבדר בכיוון מסוים - במילים אחרות, גאוס מציין שבגאומטריה החלופית ייתכן מצולע "משוכלל" שלעולם לא נסגר על עצמו (מצולע כזה נקרא כיום מצולע הורוציקלי).

גם החיבור הקצרצר "התאוריה של הקו הישר והמישור" מתוארך לתקופה זאת, ובו תקף גאוס את מושג המישור כלא מבוסס מספיק, וטען כי הוא אינו מושג יסודי אלא מושג נגזר.

==== 1832 ואילך ====
התקופה השלישית מתוארכת להתוודעות שלו למכתבו של יאנוש בולאי מ-1832; מכתבו של בולאי הפתיע אותו מאוד ועורר בו את הצורך לתבוע זכות ראשונים. בתגובה למכתב זה של בולאי, גאוס שלח בפעם הראשונה הוכחות ולא רק תוצאות, ובאופן ספציפי שלח הוכחה [[גאומטריה סינתטית|סינתטית]] מקורית לטענה שהגרעון הזוויתי של משולש בגאומטריה היפרבולית פרופורציונלי לשטח שלו, המתבססת על פירוק משולש אסימפטוטי (דהיינו משולש שסכום זוויותיו אפס מעלות) למשולשים קטנים יותר. במכתב שלו גאוס טבע גם את המונחים "הורוצייקל" (באנגלית horocycle), "הורוספירה" (באנגלית horosphere), ו"[[היפר-מעגל (גאומטריה)|עקום שווה מרחק]]" (המהווה הכללה של ישר מקביל לישר נתון). לרעיונות אלו יהיה משקל חשוב בעתיד התחום – בפיתוח [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודלים]] שונים של הגאומטריה ההיפרבולית.

אולם תוצאות אלו היו תוצאות מבודדות בלבד, ועבודתו של גאוס בשנים 1790–1832 חסרה את הנפח והשיטתיות שבעבודתם של [[לובצ'בסקי]] ובולאי. הפיתוח השיטתי הראשון של תוצאותיו מופיע בכמה כתבים לא מפורסמים שלו שרובם מתוארכים לאחרי 1840, זמן קצר לאחר הפרסום של לובצ'בסקי; באחד מהם מקיש גאוס את הקשרים המטריים בין צלעותיהם של משולשים סופיים (לא [[אינפיניטסימל]]יים) בגאומטריה היפרבולית בצורה אקסיומטית. ייתכן שגאוס ידע על תוצאות אלו זמן רב קודם לכן, והחליט לרשמן באופן שיטתי רק לאחר הפרסומים של בולאי ולובצ'בסקי, אך נושא זה נתון לספקולציות בקרב היסטוריונים. אין ספק שהחל משנת 1840, הוא נמנה עם המתמטיקאים הספורים בעולם שהבינו לעומק ופיתחו את הגאומטריות החדשות, אולם המחלוקת כאן היא באשר לנושא זכות הקדימות על הגילוי.

במאמר העדכני (מ-2012) "?What did Gauss read in the Appendix", מציעים המחברים תזה היסטורית מסקרנת לפיה אחת הסיבות שגאוס התמהמה בפיתוח שיטתי של ממצאיו היא שהוא אימץ את התוכנית האנליטית של [[יוהאן היינריך למברט|למברט]] לבניית הגאומטריה החלופית; הוא היה נחוש למצוא משטח רגולרי עם עקמומיות שלילית קבועה (הפסאודוספירה אינה משטח רגולרי), באנלוגיה מלאה לכך שה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] הדו-ממדית <math>\mathbb{S}^2</math> היא המקום "הטבעי" לחקר הגאומטריה הכדורית. תוכנית זו הגיעה בסופו של דבר לסיום עקר, שכן [[דויד הילברט|הילברט]] הוכיח ב-1901 שלא קיים שיכון מלא של המישור ההיפרבולי במרחב תלת-ממדי.

השיא של עבודתו של גאוס בגאומטריה לא-אוקלידית עסק בחישוב התכולה (נפח) של ה[[ארבעון]] ב[[מרחב היפרבולי]] תלת-ממדי; עוד במכתבו מ-1832 ליאנוש בולאי גאוס המליץ לו לעסוק בבעיה של חישוב נפח הארבעון בגאומטריה החדשה שפיתח, וציין כי בשונה מהמקרה של שטח משולשים במישור, לא ניתן לקבל ביטוי מתמטי פשוט לנפח הארבעון. בכתביו של גאוס נמצאו מספר תוצאות בנוגע לבעיה הזאת; קטע קצר (באורך חצי עמוד) בכתביו תחת הכותרת "cubirung der tetraeder" ("נפח הארבעון") מראה כי עוד ב-1832 גאוס ידע את התשובה לשאלה זאת. בקטע זה גאוס העלה על הכתב מספר נוסחאות שקושרות בין השינויים ב[[זווית דיהדרלית|זוויות הדיהדרליות]] וזוויות הפאות של [[סימפלקס אורתוסכמטי|ארבעון אורתוסכמטי]] (שכל פאותיו הן [[משולש ישר-זווית|משולשים ישרי זווית]] היפרבוליים) ל[[דיפרנציאל (מתמטיקה)|דיפרנציאל]] הנפח שלו (ייתכן והכיר את [[נוסחת שלפלי]] על נפח [[פאון|פאונ]]ים). עבודה זאת, שדומה לה ביצע בולאי בשנות ה-1830 ולובצ'בסקי בשנות ה-1840, פתחה פתח לתחום מחקר פורה מאוד מאז ועד היום; נפח גופים במרחבים לא-אוקלידיים מממד גבוה מ-2. בפרט, הבעיה של נפח הארבעון הכללי מוליכה למתמטיקה סבוכה ביותר, ונפתרה לראשונה רק לאחרונה.

=== גאומטריה דיפרנציאלית ===
[[קובץ:Hyperbolic triangle.svg|ממוזער|250px|שמאל|המשפט האלגנטי ב[[גאומטריה היפרבולית]]; משולש על פני משטח בצורת [[אוכף]]. עקמומיות המשטח שלילית ולכן [[סכום הזוויות במשולש]] קטן מ-180 מעלות.]]
הסקר של הנובר עורר בגאוס עניין ב[[גאומטריה דיפרנציאלית]], תחום במתמטיקה הדן ב[[משטח (טופולוגיה)|משטחים]] ועקומות. בין השאר, גאוס יצר את המושג של [[עקמומיות גאוס]] של משטחים, שהיא המושג המרכזי שהכניס לתחום. ב-[[1827]], גאוס ניסח משפט מתמטי חשוב ביותר בתחום זה – "[[תיאורמה אגרגיום|המשפט הנהדר]]", אשר הראה שעקמומיות גאוס היא [[שמורה (מתמטיקה)|שמורה פנימית]] של משטחים, והמשפט ביסס את החשיבות היסודית שיש לעקמומיות גאוס בגאומטריה דיפרנציאלית. הוא פרסם משפט זה ואת מכלול התאוריה שלו על משטחים עקומים בחיבורו מאותה שנה "חקירות כלליות אודות משטחים עקומים", שהוא יצירתו המרכזית בתחום זה.

תרומתו של חיבור זה לגאומטריה דיפרנציאלית הייתה מהפכנית משום שאפשרה בראשונה לחקור משטחים עקומים מנקודות מבט פנימית, כלומר מנקודת המבט של ישות דו-ממדית המקובעת לפני המשטח. למעט אולי [[לאונרד אוילר|אוילר]] ו[[גספאר מונז'|מונז']], גאוס היה הראשון שחקר משטחים מנקודת מבט פנימית ולא באמצעות הצגתם האנליטית בלבד. הוא מציג כמה רעיונות מהפכניים שיהפכו למרכזיים בתאוריה של [[הגאומטריה הפנימית של משטחים]] - הוא פותח ברעיון של [[קואורדינטות עקומות]] ובהצגת [[התבנית היסודית הראשונה]] ו[[התבנית היסודית השנייה|השנייה]]. רעיונות אלו אפשרו לו להרחיב את מושג ה[[מטריקה]] לגאומטריות נוספות (לא בהכרח אוקלידיות). בהמשך החיבור גאוס פורס סדרה של הגדרות שקולות לעקמומיות משטח, תחילה בעזרת [[מיפוי גאוס]], ולאחר מכן באמצעות הכפלת [[עקמומיות ראשיות|העקמומיות הראשיות]] של המשטח בנקודה, ומוכיח את שקילות ההגדרות בחיבור עצמו. המתודולוגיה של החיבור - תחילה הבעת המידע המטרי באופן ממצה ולאחר מכן היקשים מרחיקי לכת על עקמומיות וגאומטריית המשטח - הייתה כאבן יסוד בפיתוח ה[[גאומטריה רימנית|גאומטריה הרימנית]] שביסוד [[תורת היחסות הכללית]] בה המושגים של מרחק ועקמומיות מתגלמים במטריקה וב[[טנזור|טנזור המטרי]], בהתאמה.

אף על פי ש"המשפט הנהדר" הראה שניתן למדוד את העקמומיות ישירות מפנים המשטח, הוא לא הצביע על דרך קונקרטית לחשבה. למטרה זו בדיוק נועד משפט חשוב מאוד נוסף מהחיבור - אותו כינה גאוס "[[Theorema Elegantissimum|המשפט האלגנטי]]" - אשר קשר את עקמומיות המשטח לסכום הזוויות של הצורות המתקיימות עליו ולהבדל בין תוצאת הסכום לבין זו הנקבעת ב[[גאומטריה אוקלידית]]. המשפט קובע בצורה ישירה למדי שהמגרעת הזוויתית של משולש שווה לאינטגרל על [[עקמומיות גאוס|עקמומיות]] המשטח בתחום המשולש. את חלקו האחרון של החיבור מקדיש גאוס למשפטי השוואה בין תכונות [[מטריקה|מטריות]] וזוויתיות של משולשים במישור לאלו של משולשים על משטח עקום; גאוס חקר כיצד מתפלגת המגרעת הזוויתית של משולש גיאודזי בין קודקודיו בהשוואה למשולש ייחוס מישורי בעל אותן אורכי צלעות. באמצעות פיתוחים סבוכים לטורים של פונקציות המוגדרות ב[[קואורדינטות נורמליות|קואורדינטות גאודזיות פולריות]] על המשטח, מצא גאוס הכללה של [[משפט לז'נדר על משולשים כדוריים]] למשולשים גיאודזיים על משטח שרירותי. חישוביו אלו אפשרו לו להראות שזוויותיו של משולש גיאודזי "קטן מספיק" סוטות מאלו של משולש מישורי בעל אותן צלעות באופן שתלוי רק בערכי עקמומיות המשטח בפינות המשולש.  

הכללה זו של משפט לז'נדר היא במובן מסוים תוצאה "מפתיעה" נוספת של גאוס בגאומטריה דיפרנציאלית, שכן היא מראה שאין זה משנה כיצד משתנה עקמומיות המשטח בפנים המשולש (היא עשויה למשל לקבל ערכים קטנים מאוד בתוכו אך גדולים מאוד בקודקודי המשולש), עבור משטח בעל עקמומיות גאוס רציפה פילוג המגרעת הזוויתית תלוי בסדר ראשון רק בערכי עקמומיות המשטח בקודקודי המשולש. על אף שהיבט זה של עבודתו של גאוס בתחום צמח ככל הנראה מתוך עבודתו המעשית כגאודזיסט, לחישוביו אלו יש משמעות תאורטית רבה מעבר ליישומים גאודזיים מעשיים. היסטוריונים אחדים הראו לאחרונה באופן משכנע שרעיונות ותחשיבים דומים מונחים בלב הצגת מושג העקמומיות של [[יריעה רימנית|יריעות רימניות]] מממד כללי, ונטען גם כי רימן הציג מונח זה לאחר שביצע חישובים מפורטים שמטרתם להכליל את הרעיונות של גאוס על "עיוות גאודזי" לממדים גבוהים יותר (המונח "עיוות גיאודזי" מתייחס לסטיות המדידה המתקבלות כשמשווים משולשים גיאודזיים כלליים למשולשים מישוריים). ב-1841 שב גאוס לעסוק במשפט לז'נדר למשולשים כדוריים, ופרסם ב[[אוגוסט לאופולד קרל|כתב העת המתמטי של קרל]] מאמר ובו הוכחה אלמנטרית קצרצרה למשפט, שניחנה בבהירות ופשטות רבה.

על אף שחיבורו על משטחים עקומים מ-1828 מתייחס בהרחבה לקווים גאודזיים, ההמשגה המשלימה והחשובה של [[עקמומיות גאודזית]] נעדרת כליל מחיבורו. במהלך התקופה שקדמה לפרסום חיבורו זה (בשנים 1825–1827), גאוס הכליל באחד מכתביו הלא מפורסמים חלק מהתוצאות שבחיבור כדי לכלול גם את המקרה של קווים שאינם [[מסילה גאודזית|ישר בגאומטריה הנתונה]], וכך הגדיר את המושג הכללי של עקמומיות גיאודזית. תחילה נתן לעקמומיות הגיאודזית הגדרה גאומטרית חיצונית, ולאחר מכן הראה שבדומה לעקמומיות גאוס, גם גודל זה הוא אינווריאנט פנימי של המשטח עליו הוא מוגדר; הווה אומר, אם מעוותים את המשטח על ידי [[איזומטריה|טרנספורמציה איזומטרית]], העקמומיות הגיאודזית בכל נקודה על העקום נשארת זהה - בפרט, עקומים גאודזיים נשארים כאלה לאחר העיוות. [[פרדיננד מיינדינג]] גילה והוכיח באופן בלתי תלוי את התוצאה האחרונה כזמן קצר לאחר פרסומו של גאוס, ופרסם את ממצאיו ב-1830. בחלקו האחרון של כתב היד, גאוס מוכיח קשר בין ה[[אינטגרל קווי|אינטגרל הקווי]] של העקמומיות הגיאודזית לאורך לולאה סגורה לבין ה[[אינטגרל משטחי|אינטגרל המשטחי]] על עקמומיות גאוס בחלק המשטח התחום על ידי הלולאה. התוצאות המופיעות בכתב היד הלא מפורסם של גאוס על העקמומיות הגיאודזית הן לפיכך הליבה הרעיונית לא רק של [[Theorema Elegantissimum|המשפט שלו על העקמומיות הכוללת]] ו[[סכום הזוויות במשולש]], אלא אף של ההכללה של משפט זה למקרה ששפת המשולש אינה מורכבת מצלעות גיאודזיות בלבד, שנתגלתה והוכחה על ידי פייר אוסיאן בונה ב-1848 וידועה כ[[משפט גאוס-בונה]]. 

ככל הנראה מפני שרצה רק להבליט את חשיבות הגאומטריה הפנימית של משטחים, גאוס לא כלל בחיבורו כמה תוצאות חשובות ביותר שעוסקות בהיבטים שמעבר לה. בחיבור לא מפורסם שלו מ-1822 תחת הכותרת "מצב חקירותיי על הטרנספורמציה של משטחים", גאוס העלה על הכתב באופן שיטתי קשרים דיפרנציאליים רבים, וכפועל יוצא גילה לא רק את משוואת גאוס שממנה נובע התיאורמה אגרגיום, אלא אף את שתי המשוואות הידועות בספרות המתמטית בשם [[משוואות קודאצי-מיינרדי]]. הוא אף הדגיש את שתי המשוואות הללו עם [[סמלים אסטרונומיים|הסמל האסטרונומי]] ☉ בעבור השמש, ככל הנראה כסימן לתוצאות הראויות לציון מיוחד. משוואות אלו מגלמות תנאי לעקביות ה[[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] של משטח (הניכר רק למתבונן במשטח מחוץ לו) עם הגאומטריה הפנימית שלו, ולכן יש להן חשיבות מיוחדת בכך שהן משלימות את משוואת גאוס. יחד עם משוואת גאוס הן קובעות [[אינטגרביליות|תנאי אינטגרביליות]] למשטחים, ולמעשה מהוות את החלק העיקרי בהוכחת המשפט היסודי של תורת המשטחים , הקובע שאם ששת מקדמי התבנית היסודית הראשונה והשנייה מקיימים את מערכת המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות הזאת אז קיים משטח שאלו הן תבניותיו היסודיות והשיכון שלו ב-<math>\mathbb{R}^3</math> יחידי עד כדי הזזה וסיבוב.

==== התיאורמה אגרגיום ====
ה"משפט הנהדר" של גאוס הוא אולי גולת הכותרת של עבודתו בגאומטריה דיפרנציאלית. המשפט מראה שעל אף שההגדרה הראשונית של עקמומיות גאוס עושה שימוש ישיר באופן שבו המשטח נח במרחב, היא נשמרת גם כאשר מעקמים או מפתלים אותו. לכן המשפט מראה שעקמומיות גאוס, שהיא תכונה תלת־ממדית מובהקת (לפחות לכאורה), אינה תלויה בשיכון של המשטח במרחב, אלא שהיא תכונה פנימית של המשטח, וניתנת לחישוב מנקודת מבט דו־ממדית על ידי ביצוע מדידות על גבי המשטח עצמו; למשל מדידת סכום זוויות של משולשים על המשטח. בהדגמת התכונות ה"שמורות", כלומר בלתי תלויות, של שיכון המשטחים במרחב התלת־ממדי, הוא סלל את הדרך למושג ה[[יריעה]], היא [[מרחב (מתמטיקה)|מרחב מתמטי]] מופשט העומד בזכות עצמו, ללא קשר לשיכון שלו במרחב בממד גבוה יותר. מעבר לחשיבותו המתמטית המכוננת, למשפט היו גם השלכות פילוסופיות בדמות דחיית הטענה של [[עמנואל קאנט]] על הטבע ה[[אפריורי]] של הגאומטריה האוקלידית.

=== טופולוגיה ===
[[קובץ:3D-Link.PNG|שמאל|ממוזער|200px|האינטגרל של גאוס הוא אמצעי אנליטי לחישוב אינדקס השזירה, שהוא אינווריאנט מספרי שמייצג את דרגת השזירה של שני עקומים סגורים במרחב תלת-ממדי.]]
אחד ההיבטים הידועים פחות של עבודתו של גאוס הוא שהוא היה גם חלוץ מוקדם של ענף ה[[טופולוגיה]], או כפי שנקראה בזמנו, ''Geometria situs''. ההוכחה הראשונה שלו את המשפט היסודי של האלגברה ב-1799 כללה טיעון טופולוגי במהותו; חמישים שנה מאוחר יותר, הוא שב ופיתח את הטיעון הטופולוגי בהוכחה האחרונה שלו למשפט זה (מ-1849). אחד המסמכים משנותיו המוקדמות ביותר מתאר רשימה של [[תורת הקשרים|קשר]]ים אותה הכין ב-1794.

ב-1804, בהקשר של חקירותיו באסטרונומיה, עסק גאוס לכאורה בשאלה פרקטית - קביעת התחום השמיימי שבו שביטים ואסטרואידים עשויים להופיע - אותו הוא מכנה "''Zodiacus''". בפתרון הבעיה גאוס הצביע על 3 מקרים אפשריים: כאשר המרחק המינימלי של השביט גדול מהמרחק המקסימלי של כדור הארץ מהשמש, ההפך, והמקרה השלישי הוא כאשר מסלול כדור הארץ ומסלול השביט [[שזר (תורת הקשרים)|שזורים]] זה בזה. במקרים הראשון והשני חישב גאוס את ה-''zodiacus'', ואילו במקרה השלישי הוא כותב כי מסיבות טופולוגיות התחום השמיימי הוא הספירה כולה. ב-1848 גאוס שב לבעיית ה-''zodiacus'' ופרסם מאמר קצרצר על התחום השמיימי שבו עשוי להופיע האסטרואיד החדש שנתגלה, [[אייריס 7|אייריס]]; במאמר הוא מרחיב את הדיון האיכותי בחישוב ה-zodiacus''.

מאוחר יותר, חקירותיו על גאומטריה דיפרנציאלית ויסודות הגאומטריה "תדלקו" מחדש את העניין שלו בטופולוגיה: ניסיונותיו להגדיר "שטח מכוון" (oriented area) הובילו אותו לגרסה ראשונית של מושג ה[[אוריינטציה (מתמטיקה)|אוריינטציה]] של משטחים. נושא האוריינטציה מופיע שוב בהתכתבויותיו מ-1846, שם במסגרת דיון על הכיווניות של [[בורג|ברגים]] עולה הנושא של הבחנה בין [[כלל יד ימין|מערכות צירים ימניות]] לשמאליות. ממכתביו של גאוס בשנים 1820–1830 עולה שהוא השקיע מחשבה רבה על נושאים בעלי זיקה ל-''Geometria situs'', ושהוא נעשה מודע בהדרגה לקשיים [[סמנטיקה|סמנטיים]] בתחום זה; במכתב לשומאכר מ-1825 שבו דיווח על ניסיונותיו להכליל את חקירותיו על משטחים עקומים לכיוונים חדשים, הוא כתב: "...(בחקירות הללו) יש להתחקות אחר כל השורשים של העץ עד קצותיהם, וכמה מהניסיונות הללו לקחו לי שבועות של חשיבה מאומצת. חלק ניכר מהחקירות הללו הוא בעל זיקה ל-''Geometria situs'', תחום כמעט לא מעובד עד עכשיו".

קטעים בכתביו מאותה תקופה מגלים שהוא ניסה לסווג ''tract figures'', שהן עקומות מישוריות סגורות בעלות מספר סופי של נקודות כפולות. כדי לעשות זאת הוא פיתח סכמה סימבולית, המכונה [[קוד גאוס]], שבמובן מסוים מקודדת את התכונות של עקומה נתונה. בעזרת שיטת סימון זו הוא הכין באותן שנים רשימה של מילות גאוס עבור עקומות עם מספר צמתים שאינו עולה על חמש. ב-1844 הוא ניסח השערה מסוימת על מילות גאוס המייצגות [[גרף מישורי|גרפים מישוריים]], אשר הוכחה רק בתחילת המאה ה-20 - בין היתר על ידי הטופולוגיסט הנודע [[מקס דן]], שפיתח אלגוריתם לזיהוי מילות גאוס מישוריות. הערותיו ותוצאותיו של גאוס בנושא קובצו ברשימה קצרה יחסית בכרך השמיני של ה[[נכלאס]] שלו.

גאוס הרים תרומה יוצאת מן הכלל ל[[תורת הקשרים]], כאשר ב-1833, בהקשר של חקירותיו באלקטרומגנטיות, הגדיר את **אינדקס השזירה** (linking number) של שני עקומים סגורים במרחב ופיתח נוסחה לחשבו בעזרת אינטגרל כפול מתאים (Gauss's linking integral):

<math> link (\gamma_1,\gamma_2) = \frac \oint_{\gamma_1}\oint_{\gamma_2}
\frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|^3}
\cdot (d\mathbf{r}_1 \times d\mathbf{r}_2) </math>

לא ידוע מה הוביל אותו לכתוב את נוסחת האינטגרל שלו, ומשערים שהבעיה הספציפית אותה פתר עסקה בחישוב העבודה הדרושה כדי להזיז [[מונופול מגנטי]] בחוזק מסוים לאורך מסלול סגור בשדה המגנטי המופק על ידי לולאת זרם מסוימת; פתרונה הראה שערכה הוא למעשה אינווריאנט טופולוגי, מדד לדרגת השזירה של מסלול המונופול ולולאת הזרם. בכך גאוס סיפק לראשונה תיאור אנליטי לתופעה טופולוגית. באותה הערה קצרה גאוס גם מלין על ההתקדמות המעטה שנעשתה בתחום: "על ה-''geometria situs'', ש[[לייבניץ]] הרחיק לראות, ואשר רק צמד גאומטרנים (אוילר ו[[אלכסנדר ונדרמונד|ונדרמונד]]) זכו למבט חטוף בו, אנו יודעים, כעבור מאה וחמישים שנים, כמעט דבר. בעיה מרכזית של ה-''geometria situs'' תהיה למנות את מספר הליפופים של שני עקומים סגורים או אינסופיים אחד מסביב לשני". 

מחברותיו של גאוס מאותה תקופה מכילות מספר רישומים מעניינים, שמעידים שהוא היה בין הראשונים שחקרו גם תופעות טופולוגיות נוספות: באחת ממחברותיו בשנים 1820-1830 מופיע תרשים של צמה (braid) בעלת ארבעה גדילים, שאת המבנה הטופולוגי שלה ניסה לתאר באמצעות טבלת מעקב אחר גדילי הצמה, אשר איבריה הם שלמים מרוכבים. טבלה מרוכבת זאת תיעדה את ה[[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]] וחצאי-הליפופים (half-twists) של גדילי הצמה כאשר מתקדמים מהצטלבות גדילים אחת לזו הבאה אחריה. על אף שגאוס ניסה ככל הנראה לאפיין צמות מנקודת המבט של שקילות צמות ולא של [[תורת החבורות]], שיטת הסימון שלו והדיון המילולי שלו בתכונות הצמה קרובים מאוד רעיונית ל[[ייצוג של חבורה|הצגת]] ארטין של [[חבורת הצמות]] (שניתנה על ידי [[אמיל ארטין]] ב-1926). בעמוד אחר מתוך מחברותיו מופיע תרשים של מארג (tangle), שפשרו עדייו לא מובן היטב; עבור המקרה המסוים בו עסק, גאוס פיתח נוסחה לקשר בין אורך הסיב היוצר את האריג לשטח הכולל של האריג, אך לא ברור כיצד איור זה מתקשר לשאר רעיונותיו הטופולוגיים.

בשנותיו האחרונות הוא נטה להערכה רבה של תחום הטופולוגיה ההולך ומתגבש והאמין כי התחום טומן בחובו התפתחויות עתידיות משמעותיות, אך השפעתו הייתה בעיקר במתן גירוי ראשוני בעל פה ל[[אוגוסט פרדיננד מביוס|מביוס]], [[יוהאן בנדיקט ליסטינג|ליסטינג]] ורימן לפתח את התחום. למשל, מביוס התייחס במפורש להרצאה בעל פה שניתנה על ידי גאוס בה הוא הדגים תכונות של משטח לו הוא קרא "טבעת כפולה": על פי הפרשנות המתמטית המודרנית, בהרצאתו רמז גאוס למביוס שהמשטח שהדגים היה שקול טופולוגית ל[[טורוס]] מנוקב, ושהטורוס המנוקב אינו [[תחום פשוט קשר|פשוט קשר]]. דיווח זה של מביוס עקבי עם קטע מכתביו של גאוס, המתוארך ל-1840, אשר תיאר בקווים כלליים תיאוריה של דרגת ה[[קשירות מסילתית|קשירות המסילתית]] של משטחים.

=== אנליזה נומרית ===
בעבודתו היומיומית גאוס נעזר לעיתים קרובות ב[[אלגוריתם|אלגוריתמ]]ים יעילים כדי לפשט את עבודתו. כיוון שלעיתים קרובות הוא נעזר בעדות מספרית אמפירית כדי למצוא חוקיות מתמטית בתחומי המחקר שלו (למשל במקרה של [[משפט המספרים הראשוניים]]), השימוש באלגוריתמים יעילים היה חיוני עבורו. בהקשר זה, גאוס עשה תרומות רבות ל[[אנליזה נומרית]] והמציא אלגוריתמים מתמטיים רבים. ב-1814 הוא פרסם את מאמרו הארוך יחסית על [[אינטגרציה נומרית]] "שיטה חדשה לחישוב ערכי אינטגרלים על ידי קירוב", בו תיאר את [[תרבוע גאוסיאני|שיטת התרבוע הגאוסיאני]] (Gaussian quadrature). המאמר היווה השראה עבור חוקרים רבים בתחום להמשיך לפתח את הכלים של האינטגרציה הנומרית.

במכתב לתלמידו גרלינג מ-1823 הוא תרם תרומה מוקדמת חשובה לאלגברה ליניארית נומרית, כאשר תיאר תהליך פתרון של מערכת משוואות ליניאריות מסדר 4X4 באמצעות גרסה של [[שיטת גאוס-זיידל]] - [[שיטה איטרטיבית]] לפתרון "לא ישיר" של מערכות ליניאריות, שבמקרים מסוימים מתכנסת מהר יותר לפתרון מאשר [[דירוג מטריצות|השיטה הישירה]]. הוא טען במכתב שהשיטה הלא ישירה תובענית פחות מבחינה חישובית, ו"שניתן להשתמש בה במצב של חצי-שינה, או במהלך חשיבה על דברים אחרים", והמליץ עליה על פני השיטה הישירה במקרים של מערכות מסדר שלישי ומעלה.

בהקשר של עבודתו האסטרונומית, גאוס פיתח במאמרו הארוך "שיטה חדשה לטיפול בתאוריית האינטרפולציה" מ-1805 את הגרסה המוקדמת ביותר של ה-FFT (אלגוריתם ה-Fast Fourier Transform) - [[התמרת פורייה מהירה]], שתואר כ"אלגוריתם הנומרי החשוב ביותר של זמננו". הוא נעזר באלגוריתם זה כדי לעשות [[אינטרפולציה]] על מסלוליהם של פאלאס ו[[יונו (אסטרואיד)|יונו]]. למעשה, האלגוריתם שלו דומה לאלגוריתם הגנרי של ה-FFT ומתייחס למקרה כללי יותר מאשר בגרסה הידועה כ-radix 2; במאמר 28 של חיבורו זה הוא הדגים את פעולת האלגוריתם שלו למקרה של פאלאס, בו מתקבלת סדרה בעלת [[מספר פריק]] (<math> N = p\cdot q</math>) של ערכים השונה מחזקה של שתיים (במקרה של פאלאס התקבלה סדרה בעלת 12 ערכים). מבחינה היסטורית, חיבור זה לא היה חסר השפעה, שכן עותקים ספורים שלו הגיעו למכריו של גאוס ולמתמטיקאים נוספים במהלך המאה ה-19.

בהקשר של חקירותיו על הממוצע האריתמטי גאומטרי, הוא המציא את [[אלגוריתם גאוס-לז'נדר]], שיצר (יחד עם תרומות של חוקרים רבים אחרים) את הבסיס לכמה מהאלגוריתמים המהירים ביותר לחישוב [[פאי]]. הישגים אחרים שלו כוללים פיתוח אלגוריתם יעיל לחישוב [[לוגריתם|לוגריתמ]]ים, המבוסס על הממוצע האריתמטי גאומטרי. כמו כן, גאוס פרסם טבלאות לוגריתמים שיחד עם עבודתו של Z. Leonelli יצרו את הבסיס למערכת המספרים הנקראת כיום LNS - או Logarithmic number system. עבודתו בתחום הוקרה בכך שקראו לטכניקות מסוימות לחישוב לוגריתמים בשם "[[לוגריתם גאוסיאני|לוגריתמים גאוסיאניים]]".

=== כרונולוגיה מתמטית ===
כמה מעבודותיו המתמטיות של גאוס הוקדשו ל[[כרונולוגיה]], תחום העוסק בפיתוח אלגוריתמים יעילים לניתוח [[לוח השנה]] ואשר נגזרים ממנו יישומים מיידיים לחיזוי מועדם של חגים מסוימים. בין עבודותיו אלו ראויים לציון מיוחד מאמרו מ-1800 על קביעת תאריך חג הפסחא לפי [[הלוח היוליאני]] ו[[הלוח הגרגוריאני|הגרגוריאני]] - שבו התהליך הציקלי המפרך של חישוב מועד חג הפסחא מוחלף בתהליך אנליטי לגמרי, והנוסחה של גאוס לקביעת היום בשבוע המתאים לתאריך קלנדרי מסוים (עבודתו האחרונה נתפרסמה רק ב-1927). גאוס ראה באלגוריתמים אלו הדגמה של עקרונות "האריתמטיקה הגבוהה" שפיתח, ואזכור לבעיות קלנדריות אף מופיע במאמר 36 בפרק השני של "מחקרים אריתמטיים", בהקשר של הבעיה של פתרון מערכות של ''n'' קונגרואנציות ליניאריות ב-''n'' משתנים. במילים אחרות, בליבם של האלגוריתמים הללו עומד פתרון [[משוואה דיופנטית|משוואות דיופנטיות]] ליניאריות מסוימות וכן ידע אסטרונומי על מופעי גרמי השמיים, וגאוס אף כתב בפתיח למאמרו על חג הפסחא כי: "מטרתו של חיבור זה אינה לדון בהליך הרגיל של קביעת מועד הפסחא, אשר ניתן למצאו בכל ספר על כרונולוגיה מתמטית ולהבינו בקלות יחסית בהינתן היכרות בסיסית עם מונחים כמו מספר זהב, אפקט, ירח פסחא, מחזור שמשי... אלא לתת, באופן בלתי תלוי בקונספציות הללו, פתרון אנליטי לחלוטין, המבוסס אך ורק על פעולות החשבון הבסיסיות ביותר."

=== הישגים מתמטיים אחרים ===
עבודתו של גאוס לא רק התניעה התפתחות של תאוריות מתמטיות גדולות, אלא שהוא היה גם המחבר של נישות רבות במתמטיקה, במיוחד בגאומטריה אלמנטרית ובאלגברה. בעיסוקו גם בתחומים אלה, עזר להפיץ את הרעיונות המתמטיים החדשים של התקופה; באמצעות הדגמה כיצד הם "מאירים" ומקצרים את הדרך בפתרון בעיות מסוימות. בהקשר זה, גאוס השתמש במספרים מרוכבים במסגרת עבודתו על [[פרספקטיבה]] ו[[גאומטריה פרויקטיבית]] - בכתב קצר "היטלי הקוביה" הוא ניסח את [[הטלה אורתוגרפית#המשפט היסודי של האקסונומטריה|המשפט היסודי של אקסונומטריה נורמלית]], העונה על השאלה כיצד לשרטט בצורה מיטבית [[קובייה]] תלת־ממדית על גבי מישור דו־ממדי, באמצעות שימוש במספרים מרוכבים. [[משפט גאוס-לוקאס]], תוצאה בסיסית על מיקום שורשי פולינום במישור המרוכב, הוא דוגמה נוספת לנישה בעבודתו על מספרים מרוכבים. כמו כן, חלק מכתביו הלא מפורסמים מגלים שהוא היה הראשון להבין את החשיבות של המישור המרוכב המורחב על ידי נקודת האינסוף <math>C\cup (\infty)</math> (זהו [[מרחב פרויקטיבי מרוכב|המרחב הפרויקטיבי המרוכב]] <math>\mathbb{CP1}</math>, הידוע יותר בשם [[הספירה של רימן]]); גאוס מצא ב-1819 שכל סיבוב של ה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] הדו-ממדית ניתן לביטוי על ידי טרנספורמציה מרוכבת מהצורה: <math>z \mapsto \frac }</math>, כאשר <math>a,b \in \mathbb{C}</math> ומקיימים <math>|a|^2+|b|^2 = 1</math>. הטרנספורמציה הזאת, שהיא בעצם [[העתקת מביוס]] [[מטריצה אוניטרית|אוניטרית]], מתייחסת ל[[הטלה סטריאוגרפית|הטלה הסטריאוגרפית]] של הספירה אל המישור המרוכב - הטלה שמאפשרת להתאים מספר מרוכב לכל נקודה על הספירה.

דרך התכתבויותיו וכתביו הלא מפורסמים, לגאוס הייתה תרומה מסוימת להתחדשות של ענף [[גאומטריה סינתטית|הגאומטריה הסינתטית]] במאה ה-19, שהתפתחותו נזנחה במאה הקודמת (עקב ההתפתחות המטאורית של האנליזה); תחום זה התפתח מאוד בעשורים הראשונים של מאה זו, בעיקר דרך עבודותיהם של גאומטרנים כ[[יאקוב שטיינר]], [[יוליוס פלוקר]], von Staudt, [[אוגוסט פרדיננד מביוס|מביוס]] ואחרים. בכתב לא מפורסם קצרצר "המעגל" מ-1840 גאוס היה הראשון להתייחס למושגים החשובים של צמדי נקודות הרמוניים (harmonic pairs) ו[[יחס כפול|היחס הכפול]] בהקשר המודרני של רביעיית נקודות במנח כללי במישור המרוכב. בין היתר, מציין גאוס שארבע נקודות מצויות על מעגל אם ורק אם היחס הכפול שלהם ממשי, ש[[אינוורסיה (גאומטריה)|היפוכן]] של שלוש נקודות ביחס לנקודה רביעית על המעגל שהן מגדירות מצויות על ישר אחד (שלשה קולינארית), ובאופן כללי יותר שמעגלים מועתקים למעגלים תחת טרנספורמציות מביוס. הישגים שלו בגאומטריה אלמנטרית כוללים את פתרונו מ-1810 לבעיית הבנייה המפורשת של האליפסה בעלת השטח הגדול ביותר החסומה במרובע נתון (גם כן תוך שימוש במספרים מרוכבים) ואת התוצאה הנגזרת מפתרונו - משפט Bodenmiller על [[מרובע שלם|מרובעים שלמים]], הצגת טכניקה משופרת לפתרון הבעיה הגאומטרית של קביעת המעגל המשיק לשלושה מעגלים נתונים - [[בעיית אפולוניוס]], וגזירת תוצאות מעניינות כמו [[מחומש#תוצאות ידועות על מחומשים|נוסחת גאוס לחישוב שטח מחומשים]] - תוצאה מפתיעה ב[[טרנספורמציה אפינית|גאומטריה אפינית]].

הוא תרם רבות גם ל[[גאומטריה כדורית]], הן מההקשרים האסטרונומיים (הוא תרם לפרקטיקה של [[התמצאות באמצעות גרמי שמיים|ניווט בעזרת כוכבים]] והשתמש בטכניקות מטריגונומטריה ספירית כדי לפתור בעיות ניווטיות שונות) והן מההקשרים הגאומטריים שלה. ידועות בהקשר זה הנוסחאות המכונות "אנלוגיות גאוס-[[ז'אן-בטיסט ז'וזף דלאמבר|דלאמבר]]-[[קרל מולביידה|מולביידה]]", שפורסמו במסגרת ספרו מ-1809 על חישוב מסלולים באסטרונומיה. בהקשר זה של עבודתו של גאומטריה כדורית, גאוס חקר לעומק את הסיבה לתופעה המתמטית ש[[ג'ון נייפייר]] כינה "[[Pentagramma mirificum]]" - הקשורה בתכונותיו המופלאות של [[פנטגרם]] כדורי מסוים. במהלך חייו גאוס שב לנושא זה פעמים רבות והסביר את התופעה על כל רבדיה הגאומטריים, האלגבריים והאנליטיים; בפרט, ב-1843 הוא ניסח והוכיח
מספר משפטים המקשרים בין פונקציות אליפטיות, מחומשי נייפייר על פני הספירה הדו-ממדית ומחומשי פונסלה במישור.

כמה מההתכתבויות שלו בשנותיו המאוחרות יותר עסקו לעיתים קרובות בבעיות מתמטיות מינוריות יחסית, למשל בנושא של [[ריבוע לטיני|ריבועים לטיניים]], או בהתכתבות מ-1836 עם שומאכר בה הוא עסק ב[[בעיית העץ של שטיינר]]. במספר מכתבים לגרלינג ב-1844 גאוס הביע חוסר סיפוק מהעובדה שהתהליך הידוע היחיד להוכיח שוויון [[נפח]]ים של [[פאון]] כלשהו עם תמונת ה[[מראה|ראי]] שלו מתבסס על [[שיטת המיצוי]], ושיער שלא ניתן להוכיח שוויון נפחים של [[ארבעון|ארבעונים]] באמצעות פירוק למספר סופי של מרכיבים חופפים. ההתכתבות הזאת בין גאוס לגרלינג הייתה אחת המוטיבציות לניסוח [[הבעיה השלישית של הילברט]].

=== פיזיקה ===
==== אלקטרומגנטיות ====
גאוס ניסח את [[חוק גאוס]] ב[[אלקטרוסטטיקה]] (שמהווה מקרה פרטי של [[משפט גאוס]] ב[[אנליזה וקטורית]]), אחד החוקים הבסיסיים והחשובים ביותר בתחום זה, כמו גם את חוק גאוס במגנטיות. ב-1833 הוא גילה את [[חוקי קירכהוף]] על מעגלים מסועפים, ומאוחר יותר ביסס את העיקרון של ייצור [[חום (פיזיקה)|חום]] מינימלי (principle of minimum heat), שגם הוא נתגלה באופן בלתי תלוי על ידי [[גוסטב קירכהוף]] (ב-1848). הוא יישם את העקרונות הללו כשניתח כמה קונפיגורציות מעניינות של [[מעגל חשמלי|מעגלים חשמליים]]. בנוסף, גאוס נתן הוכחה ניסויית מדויקת של הזהות של אפקטים חשמליים הנגרמים על ידי חיכוך לאלו שנגרמים על ידי זרמים גלוואניים וכוחות תרמואלקטריים. באותה שנה הוא וובר תיעלו את הידע הניסויי והתאורטי שלהם בתחום כדי להגיע להישג טכנולוגי מעשי; לבנות את הדגם הראשון של ה[[טלגרף]] החשמלי - מעיין התקן תקשורת פרימיטיבי לשליחת מסרים באמצעות פולסים חשמליים בתיל. גאוס שילב בין מכשיר המולטיפליקטור של שוויגר ל[[מגנטומטר]] שלו כדי לבנות מכשיר רגיש יותר; ה[[גלוונומטר]]. כדי להפוך את כיוון הזרם החשמלי, הוא בנה [[קומוטטור (אלקטרוניקה)|קומוטטור]] משלו. כתוצאה, הוא היה מסוגל להניע מחט מרוחקת בכיוון שהגדיר הקומוטטור בקצה השני של הקו. את האלפבית שלהם הם קודדו באמצעות [[בסיס בינארי|קוד בינארי]]. מאוחר יותר הם פיתחו דגם יעיל יותר, שאפשר קצב העברת נתונים גבוה יותר (אם כי עדיין נמוך משמעותית מזה של הדגמים המסחריים הראשונים).

מוקד העניין המרכזי של גאוס בחקר האלקטרומגנטיות היה חקר חוקי ה[[אינדוקציה]] ([[השראה אלקטרומגנטית]]), והוא גילה במחקריו תוצאות ניסוייות ותאורטיות רבות בתחום. למשל, באמצעות טרנספורמציות מסוימות על [[משוואת הכוח של אמפר|משוואת אמפר]] לכוח בין אלמנטי זרם, הוא גילה את [[פוטנציאל וקטורי|פונקציית הפוטנציאל הווקטורי]] ב-1835 (מושג זה הוצג לראשונה רק ב-1845, על ידי פרנץ ארנסט ניומן), ונעזר בו כדי לתת ניסוח כמותי ל[[חוק פאראדיי]]; הוא מצא שהכוח האלקטרומוטורי המושרה שווה לקצב השינוי של הפונקציה הזאת. במסגרת מחקריו ה"חישוביים" יותר של תופעת ההשראה, הוא אף מצא ביטוי מתמטי מפורש ל[[השראות|השראות העצמית]] של כמה קונפיגורציות לא טריוויאליות; למשל, הוא חישב קירוב מסדר ראשון להשראותה העצמית של לולאה מעגלית יחידה כפונקציה של רדיוס הלולאה ''r'' ורדיוס התיל (המעגלי) ''a'' ממנו היא הורכבה. לתוצאה זו חשיבות שחורגת מתחום האלקטרומגנטיות, זאת בשל הקשר שלה לתיאור המתמטי של התופעה של [[טבעת מערבולת]] ב[[מכניקת הזורמים]], אשר המשוואות המתארות אותה דומות במבניהן. כתביו אינם מכילים פיתוח מפורט של תוצאה זו, אך עולה מהם כי הוא ביטא את [[פוטנציאל וקטורי מגנטי|הפוטנציאל הווקטורי המגנטי]] <math>\vec{A}</math> בתוך חתך התיל ובסמוך לו תחת ההנחה של צפיפות זרם אחידה, מה שאפשר לו לחשב את ההשראות העצמית. מטרתו של גאוס הייתה למצוא, תחת קירוב ראשון, את הצורה של [[סליל השראה]] סופי המביאה למקסימום את השראותו העצמית הכוללת, כאשר רדיוס החתך המעגלי והאורך הכולל של התיל שמרכיב אותו נתונים, והתוצאה שלו צוטטה על ידי [[ג'יימס קלארק מקסוול]] בחיבורו הקלאסי על חשמל ומגנטיות.

מנקודת המבט של מדע בסיסי, השיא של עבודתו של גאוס ב[[אלקטרומגנטיות]] עסק ב[[אלקטרודינמיקה]], ובעוצמה של כוחות אלקטרודינמיים. ב-1835, עלה במחשבתו הרעיון שהאינטראקציה האלקטרומגנטית בין שני [[מטען חשמלי|מטענים]] מתקדמת במרחב במהירות סופית, ושהיא עשויה להיות תלויית מהירות-יחסית בין המטענים. הוא ניסה למצוא חוק שיאחד את האלקטרוסטטיקה עם מדע האלקטרודינמיקה והמגנטיות, ובמסגרת חיפושיו אחר חוק יסודי כזה העלה על הכתב משוואה שהתיימרה לתאר את האינטראקציה האלקטרומגנטית הכללית - חוק האלקטרודינמיקה שניסח מהווה הכללה של [[חוק קולון]] למטענים נעים:

<math>F = \frac{q_1q_2}{r^2}(1 + k\cdot (r\ddot r - r\cdot\ddot r - \frac{1}{2}\dot r^2)) = \frac{q_1q_2}{r^2}(1 + k\cdot (u^2 - \frac{3}{2}\dot r^2))</math>.

כש-r הוא המרחק הסקלרי, <math>r</math> הוא וקטור המרחק, <math>q_1</math> ו-<math>q_2</math> הם ערכי המטענים ו-<math>\sqrt </math> היא מהירות התקדמות האינטראקציה (ששווה ל[[מהירות האור]], כפי שמקסוול הראה מאוחר יותר). תובנות אלו, שאותם כאמור גאוס ניסה לתמצת במשוואה אחת, באו בהמשך ישיר לשנים של הרהורים פיזיקליים על טבע האינטראקציה האלקטרומגנטית. כפי שגאוס עצמו הבחין, משוואת האלקטרודינמיקה שנתן מפרה את [[חוק שימור האנרגיה]] בעבור תנועות כלליות (תנועות מואצות), ולכן העיר נכונה כי הנוסחה צריכה להסביר גם את האפקטים של השראה אלקטרומגנטית.

10 שנים מאוחר יותר, ובר התוודע לעבודה זאת של גאוס (שלא פורסמה), והכליל את משוואות האלקטרודינמיקה של גאוס גם למקרה של מטענים מואצים, כדי לכלול את האפקט של השראה אלקטרומגנטית. למעשה, תמונת גאוס-וובר של האלקטרודינמיקה הייתה הבסיס למחקרים תאורטיים בתחום עד אשר הוחלפה על ידי [[משוואות מקסוול]] השימושיות יותר. על אף שאינה נכונה מנקודת מבט מודרנית, תמונת גאוס-וובר טמנה בחובה את הזרעים הרעיוניים של חלק מההתפתחויות המאוחרות יותר בתחום; כך למשל, הרעיון של פוטנציאל מעוכב רמז למעשה על האפשרות שהשדה האלקטרומגנטי הוא במידה מסוימת ישות עצמאית ונפרדת מהמטענים שיצרו אותו. מבחינה היסטורית, בשל ההסתייגות של מקסוול, יוצר התאוריה האלקטרומגנטית המודרנית, מן התאוריה של גאוס וובר, נזנחה הגישה שלהם כליל מטקסטים לימודיים בתחום מאז ועד היום, שכן לגישה של מקסוול מעמד בלתי מעורער בקונצנזוס המדעי. הבדל מהותי אחד בין התאוריות הוא שבתמונת מקסוול [[חוק שימור התנע]] תקף רק כאשר מסתכלים על המערכת המורחבת של החלקיקים והשדות האלקטרומגנטיים יחד (כלומר התנע של החלקיקים לא בהכרח נשמר), בעוד שבתמונת גאוס-וובר התנע הכולל של החלקיקים תמיד נשמר. עם זאת, [[קרל שוורצשילד]] פרסם מאמר ב-1903 המתאר בפירוט כיצד ניתן לפתח את הגישה של גאוס וובר לכדי תאוריה עקבית חלופית.

====גאומגנטיות ====
[[קובץ:Magnetic Total Intensity North Hemisphere 2000.png|שמאל|ממוזער|250px|עבודתו של גאוס הובילה ליצירת האטלס המגנטי הראשון של כדור הארץ - מעיין מפה המכילה מידע על עוצמת השדה המגנטי וה[[נטייה מגנטית|נטייה המגנטית]] בכל נקודה על כדור הארץ.]]
גאוס פיקח על בנייתו של מתקן מגנטי במצפה הכוכבים, ויחד עם ובר ייסד את magnetischer Verein ("המועדון המגנטי") אשר תמך במדידות של השדה המגנטי של כדור הארץ באזורים שונים, והניב את "האטלס המגנטי" הראשון של כדור הארץ. תרומותיו לגאומגנטיות מרוכזות בשני מאמרים חשובים ומשלימים אחד לשני: "**צמצום חוזק הכוח המגנטי של כדור הארץ למדידות אבסולוטיות**" (1832) ו"**תאוריה כללית של מגנטיות כדור הארץ**" (1839). המאמר הראשון עסק בהיבטים האמפיריים של מדע הגאומגנטיות: הוא תיאר מערכים ניסויים למדידת העוצמה והכיוון של שדה מגנטי, הסביר את עקרונות הפעולה של ה[[מגנטומטר]]ים השונים שפיתחו הוא וובר, ועוד.

המאמר השני עסק בעקרונות התאורטיים של תיאור השדה המגנטי של כדור הארץ: גאוס נעזר בכלי המתמטי שהומצא כמה עשורים קודם לכן על ידי [[פייר-סימון לפלס]], ה[[הרמוניות ספריות|הרמוניות הספריות]], כדי לייצג את [[השדה המגנטי של כדור הארץ]]. באמצעות שימוש בכלים המתמטיים של ההרמוניות הספריות ושיטת הריבועים הפחותים שלו, גאוס הצליח להוכיח כי מקור השדה המגנטי של כדור הארץ הוא פנימי, והתאוריה המתמטית שלו אפשרה להפריד בין המקור הפנימי (הגלעין והקרום) והחיצוני (מגנטוספירה) של השדה המגנטי של כדור הארץ, ולחשב איזה חלק של השדה נתרם על ידי הגלעין. חישוביו הצביעו מיד על כך שעיקר השדה המגנטי של כדור הארץ הוא [[דיפול|שדה דיפולי]]; זאת הייתה התקדמות חשובה, שכן באותה תקופה היו עדיין מדענים שהאמינו בקיומם של ארבעה קטבים מגנטיים לכדור הארץ. בסיום המאמר, גאוס אף הצליח להצביע על המיקום המדויק של שני הקטבים המגנטיים של כדור הארץ משיקולים תאורטיים.

==== תורת הפוטנציאל ====
עבודתו בתחום הגאומגנטיות הובילה אותו לעסוק באופן שיטתי בתחום מתמטי טהור שיונק רבות מהפיזיקה אולם מהווה ענף מתמטי העומד בזכות עצמו - תורת הפוטנציאל (potential theory). נושא זה העסיקו לראשונה במאמרו מ-1813 על [[כוח המשיכה]] שיוצרים אליפסואידים הומוגניים, שהיווה מרכיב חשוב בהתגבשות הרעיונות שלו על תורת הפוטנציאל. מאז ש[[אייזק ניוטון]] הוכיח תאורטית שכדור הארץ וכוכבים אחרים בעלי [[סיבוב עצמי של כוכב|סיבוב עצמי]] לובשים צורה לא-כדורית, בעיית קביעת [[כבידה|המשיכה הכבידתית]] של אליפסואידים קנתה לה חשיבות ראשונה במעלה באסטרונומיה תאורטית. במאמרו, גאוס סיפק לראשונה פתרון מתמטי סגור למשיכה הכבידתית שיוצר אליפסואיד הומוגני בכל נקודה במרחב: הן במרחב שמחוצה לו, והן בחלקו הפנימי. בעיה זאת הותקפה במאה ה-18 על ידי אנליסטים מפורסמים כדוגמת [[קולין מקלורן|מקלורן]], [[פייר-סימון לפלס|לפלס]] ו[[ז'וזף-לואי לגראנז'|לגראנז']], אבל פתרונותיהם לא טיפלו בבעיה במלואה או שהתבססו על פיתוחים של פונקציית המשיכה לטורים אינסופיים (המערבים הרמוניות ספריות) המתכנסים לאט מדי. לעומת זאת, במאמרו הראה גאוס שחישוב משיכת האליפסואיד בנקודה חיצונית נתונה שקול לפתרון שתי בעיות, שהראשונה שבהן היא מציאת אליפסואיד החולק מוקדים משותפים עם האליפסואיד המקורי (Confocal ellipsoid) ועובר דרך הנקודה הנתונה (זוהי דוגמה מוקדמת לבניה של [[קואורדינטות אליפסואידיות]] ), ואילו השנייה היא קביעת המשיכה של האליפסואיד החדש בפני השטח שלו. באמצעות פתרון שתי הבעיות הוא מצא ביטוי לשדה הכבידתי שיוצר אליפסואיד תלת-צירי כללי, אשר מערב אינטגרלים אליפטיים, כאשר בסיום המאמר הוא מדגיש שבמקרה ה[[ספרואיד]]י (אליפסואיד דו-צירי) האינטגרל המתקבל פתיר בעזרת פונקציות אלמנטריות ומביא נוסחאות מדויקות למקרה זה.

כמה עשורים מאוחר יותר, במאמרו "טענות כלליות בנוגע לכוחות משיכה ודחייה המשתנים בהתאם להיפוך ריבוע המרחק" משנת 1840, אשר סיים את פעילותו המחקרית בפיזיקה תאורטית, הוא סיפק את הטיפול השיטתי הראשון בתורת הפוטנציאל - תחום במתמטיקה העוסק בחקר פונקציות שמקיימות את [[משוואת לפלס]] (ונקראות [[פונקציה הרמונית|פונקציות הרמוניות]]), אשר צמח מתוך בעיות פיזיקליות ב[[אלקטרוסטטיקה]] ותורת ה[[כבידה]] והוכיח חשיבות עצומה בעבודותיו בפיזיקה של גאוס. במאמר גאוס טבע את המונח "פוטנציאל", והראה שעל אף המקור הפיזיקלי השונה של תופעות שונות, התיאור המתמטי שלהם נשען על גוף זהה של משפטים מתמטיים. הוא סיפק בסיס ריגורוזי חדש לתורת הפוטנציאל, ופיתח את התחום משמעותית מעבר להתקדמויות שנעשו על ידי דמויות מפתח קודמות. במאמר גאוס סיפק הוכחה [[ריגורוזי]]ת ראשונה ל[[משוואת פואסון]] <math> \nabla^2 \phi = - 4 \pi K \rho \; </math> המתארת את הפוטנציאל החשמלי גם במרחב שאינו ריק ממטענים (בניגוד למשוואת לפלס). הוא הציג כלים כלליים חדשים ב[[אנליזה וקטורית]] כמו [[משפט גאוס|משפט הדיברגנץ של גאוס]] ו[[משפט גרין]], יחד עם משפטים מקוריים חשובים לאפיון פונקציות הרמוניות כגון [[משפט הערך הממוצע של גאוס]], משפט ההדדיות של גרין (Green's reciprocity theorem) ו[[עקרון המקסימום (תורת הפוטנציאל)|עקרון המקסימום]]. משפט חשוב מאוד אחד במאמר היה שגוי, אולם הכיל את ניצני הרעיונות של שיטת ה-sweeping (נקראת גם Bayalage method) המרכזית לתורת הפוטנציאל המודרנית. אחד העקרונות החשובים שגאוס זיהה במאמר הוא [[עקרון דיריכלה (תורת הפוטנציאל)|עקרון דיריכלה]], עקרון היוריסטי חשוב שגאוס לא נתן לו הוכחה (הצדקה לעקרון ניתנה רק במאה ה-20, על ידי [[דויד הילברט]]), אבל שהפך לעקרון מנחה בעבודות רבות מאוחרות יותר בתורת הפוטנציאל.

==== מכניקה ====
[[קובץ:Turm der St. Michaeliskirche Hamburg.jpg|שמאל|ממוזער|150px|מגדל בעיר [[המבורג]] בו בנזנברג ערך ניסויים בהפלת כדורים מראשו. תוצאות הניסויים תאמו באופן מדויק את התחזיות של גאוס ולפלס.]]
גאוס תרם גם תרומות אחדות לבעיות מ[[מכניקה קלאסית]]. ב-1803, גאוס התחרה עם לפלס בנוגע לפתרון הבעיה של חישוב הסטייה האופקית של גוף המופל ממגדל בגובה h. שניהם עסקו בבעיה בהקשר של מתן הוכחה אמפירית ל[[סיבוב כדור הארץ]]. גאוס ולפלס הגיעו לאותה נוסחה להסטה האופקית, במה שהפך לאנליזה התלת-ממדית הראשונה של תנועה ממערכת ייחוס מסתובבת, שנעשתה כ-30 שנה לפני עבודתו של [[גספאר גוסטב קוריוליס]] על [[כוח מדומה|כוחות מדומים]] במערכת מסתובבת (ביניהם [[כוח קוריוליס]]). גאוס פרסם את ממצאיו במאמרו "משוואות יסודיות לתיאור התנועה של גופים כבדים על כדור הארץ המסתובב", כשאחת המסקנות הנגזרות מן המשוואות הייתה הנוסחה להיסט האופקי ''d'':

<math> d = \frac{2}{3}\omega \mathbb{cos} (\theta) \sqrt  </math>

כאשר <math>\omega</math> היא המהירות הזוויתית של סיבוב כדור הארץ ו-<math>\theta</math> הוא קו הרוחב. הנוסחה אפשרה לשניהם לחזות סטייה אופקית של 8.8mm עבור הפלה ממגדל בגובה של 90 מטר בקו הרוחב בו נעשה הניסוי, כאשר הערך שנמדד בפועל על ידי הנסיין יוהאן פרידריך בנזנברג (שערך ניסויים בהפלת כדורים) היה 8.5mm. ב-1837 יישם [[סימאון דני פואסון|פואסון]] את המשוואות היסודיות של גאוס כדי להסביר את הסטייה ה[[בליסטיקה|בליסטית]] של פגזים, ומאוחר יותר הן שימשו לניתוח תנועת המשקולות של [[מטוטלת פוקו|מטוטלות פוקו]].

זמן קצר לאחר ש[[לאון פוקו]] הדגים את סיבוב כדור הארץ באמצעות [[מטוטלת פוקו|ניסוי המטוטלת המפורסם שלו]] ב-1851, גרלינג פנה אל גאוס בבקשה להסברים נוספים. פנייה זו המריצה את גאוס לתכנן התקן חדש להדגמת סיבוב כדור הארץ עם מטוטלת קצרה בהרבה מאשר זו ששימשה את פוקו בניסוי המקורי שלו. במשך שנתיים עמל גאוס על תכנון ההתקן, עד שדיווח לבסוף במכתב ל[[אלכסנדר פון הומבולדט]] מ-1853 כי בניית ההתקן הושלמה. הוא מתואר בהתכתבויות של גאוס וגרלינג, וובר ערך מספר ניסויים עמו ב-1853; לפי הפרטים המופיעים שם עולה כי אורך המטוטלת של ההתקן היה כ-1.5 מטר, הפחתה משמעותית בהשוואה למטוטלות פוקו קודמות, שאורכן נע בין 30 ל-60 מטרים. הממציא האיטלקי איגנציו פורו (חי בשנים 1801–1875) הציע הצעות דומות בנוגע להקטנת הגודל של המטוטלת, וב-1878 [[האיקה קמרלינג אונס]] בנה מטוטלת פוקו תוך שהוא מתבסס על ההצעות של גאוס ופורו ועל רעיונותיו המקוריים שלו עצמו, והשיג תוצאות טובות מאוד איתה.

גאוס עשה תרומה תאורטית למכניקה קלאסית דרך [[עקרון האילוץ המינימלי של גאוס|עקרון האילוץ המינימלי שלו]], שאפשר לתת ניסוח [[חשבון וריאציות|וריאציוני]] נוסף של המכניקה הקלאסית, ניסוח המאחד סטטיקה ודינמיקה. העיקרון מקביל לניסוחים קודמים של [[מכניקה אנליטית]] ומספק נקודת מבט נוספת עליהם, וכן דומה ברוחו ל[[עקרון הפעולה המינימלית|עקרון הפעולה המינימלית של המילטון]], שהופיע מאוחר יותר. בערוב ימיו שקד גאוס על הכללת העיקרון שלו ממאמרו מ-1829 מ[[אילוצים הולונומים]] לאילוצים לא-הולונומים, ובהרצאותיו בשנים 1850/51 חקר בעיה מתחום [[גאומטריה חישובית|הגאומטריה החישובית]] שעסקה במציאת המרחק הקצר ביותר בין תחום ב[[מרחב אוקלידי]] ''n''-ממדי המוגדר על ידי משוואות ואי-שוויונות ליניאריים לנקודה מסוימת במרחב, ותיאר תהליך אלגוריתמי לפתרונה. ב-1853 אחד מתלמידיו של גאוס, [[אוגוסט ריטר]], כתב את עבודת הדוקטורט שלו "על העיקרון של אילוץ מינימלי" בהנחייתו של גאוס, אשר עסקה בפירוט ביישום והכללת העיקרון שתואר קודם על ידי גאוס לאילוצים לא-הולונומים, ובאופן כללי יותר בגאומטריזציה של המכניקה. בעבודה זאת ניכר החותם שהטביעו בריטר הרצאותיו של גאוס בשנים אלו, שעסקו בהרחבה במושג החדשני דאז של מרחבים אוקלידיים רב-ממדיים; בימיו האחרונים גאוס הרהר רבות ב"דוקטרינה של יריעות רב-ממדיות", הן מהקשרים גאומטריים והן מהקשרים נוספים.

כמה מדענים מאוחרים יותר התייחסו לעקרון של גאוס בהרחבה ויישמו אותו לפתרון בעיות מכניות מסוימות; כך למשל, [[היינריך הרץ]] מצא ב-1894 ניסוח שקול שלו ("עקרון העקמומיות המינימלית של הרץ"), אשר ביטא ביתר בהירות את הקשר בין עקרונות אקסטרמליים לגאומטריה דיפרנציאלית. העיקרון גם מעורר עניין עכשווי מסוים כי אחד היישומים הטבעיים שלו הוא ב[[יעילות אלגוריתמית|חישוב יעיל]] של התנועה המורכבת של מערכות מכניות הנתונות לאילוצי תנועה רבים (למשל, זרועות [[רובוט]]יות מרובות [[מפרק]]ים); כיוון שהעיקרון מצביע כי בעיות של דינמיקה מאולצת ניתנות לפתרון בעזרת שיטת הריבועים הפחותים (בדומה לפתרון בעיות סטטיסטיות), הוא מאפשר לרתום את הכלים החזקים של הרגרסיה והאלגברה הליניארית כדי לתאר את הדינמיקה שלהן.

==== קפילריות ====

בחיבורו החשוב על [[קפילריות]] מ-1831 "עקרונות כלליים של תאוריית הצורה של נוזלים בשיווי משקל", גאוס עסק בבעיית שיווי המשקל של נוזלים מנקודת מבט שונה משל קודמיו [[תומאס יאנג]] ופייר-סימון לפלס. חיבור זה בא בהמשך ישיר לחיבורו המהולל של לפלס על קפילריות (מ-1806), אשר תיאר ביסודיות מופתיות ובדייקנות מתמטית שפע של תופעות ותצורות נימיות בקונפיגורציות פיזיות שונות (צורות שונות של כלי הקיבול המכיל את הנוזל), אך חרף זאת היה חסר [[ריגורוזיות]] מתמטית. למעשה, כל התוצאות הפיזיקליות בחיבורו של גאוס הן לא חדשות אלא אודות ליאנג ולפלס, ותרומתו הייחודית היא בכך שהעניק לתחום בסיס מדעי "איתן" יותר וחופשי מהיפותזות. החיבור מפורסם בשל הביקורת שלו כלפי השיטות של יאנג ולפלס, שביססו את פיתוחיהם על היפותזות לא מבוססות על אופי כוחות המשיכה הבין-מולקולריים של הנוזל, ובפרט על גזירת [[משוואת יאנג-לפלס]]. בחיבור הוא נקט בגישה "[[אנרגיה|אנרגטית]]", המשיג את חוזק ה[[קוהזיה]] וה[[אדהזיה]] במונחי אנרגיה לשטח, וגזר את משוואת יאנג לפלס ואת הנוסחה ל[[זווית מגע|זווית ההרטבה]] (הממלאת את תפקיד [[תנאי שפה|תנאי השפה]] בבעיות קפילריות) מנקודת מבט וריאציונית, באופן שפתח צוהר ליישומים תאורטיים מתקדמים יותר. בעקבות גאוס, עקרונות וריאציוניים הפכו בהדרגה לבסיס לגישה האנרגטית המודרנית לחקר הקפילריות.

מבחינה מתמטית גרידא, החיבור מהווה נקודת ציון בהתפתחות [[חשבון וריאציות|חשבון הווריאציות]]; היסטוריון המתמטיקה [[אייזיק טודהאנטר]] מציין בספרו על התפתחות תחום זה שחיבור זה מכיל את הדוגמה הראשונה לפתרון בעיה המערבת וריאציה של [[אינטגרל כפול]] כאשר גבולות האינטגרציה בעצמם משתנים - הבעיה בחיבור כרוכה בהבאה למינימום של הביטוי הבא לאנרגיה הכוללת:

<math>W = \frac\iint(z^2 - g^2(x,y))dx dy + (\alpha^2 - 2\beta^2)\iint\sqrtdx dy + \alpha^2\iint(z -g(x,y))dx dy</math>

האיבר הראשון מייצג את האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית של הנוזל, השני את אנרגיית מתח הפנים והשלישי את האנרגיה אודות לאינטראקציית נוזל-מוצק (אדהזיה). כמסקנות מיידיות מן התאוריה שלו גאוס גוזר את הנוסחה לטיפוס [[נימיות|נימי]] של נוזל במעלה צינור (חוק ג'ורין), כמו גם את המשוואה של פני השטח של נוזל בצינור בעל סימטריה גלילית. גאוס חוקר בחיבור מזווית מתמטית גם את תצורות פני הנוזל המתקבלות בכלי קיבול בעלי צורה מורכבת ולא פשוטה. בכך שהחיבור פרץ דרך בטיפול בבעיות וריאציוניות עם משתנים מרובים, הוא תרם בעקיפין גם לחקר המושג המתמטי החשוב של [[משטח מינימלי]] - שכן משוואת יאנג לפלס משקפת את העובדה שמשטח היציבות הוא משטח מינימלי בעל [[עקמומיות ממוצעת]] קבועה - ולראיה תוך זמן קצר חלה פריחה מדעית בחקר הקפילריות ונושאים קרובים מנקודת מבט וריאציונית, כפי שמעידה הרשימה הארוכה של החוקרים שתרמו לתחומים אלה. המתמטיקאי Oscar Bolza, שכתב חיבור על תרומותיו של גאוס לחשבון וריאציות, ציין שבכך שבמאמרו גאוס טיפל בבעיות וריאציוניות המערבות אינטגרלים רב-ממדיים, הוא "שבר את הצוואר הקשיח של ענף חשבון הווריאציות".

==== קריסטלוגרפיה ====
[[קובץ:Kepler conjecture 2.jpg|שמאל|120px|ממוזער|גאוס פירש מחדש את התוצאות של Seeber במונחים של צפיפות ממוצעת של אריזות כדורים.]]
אחד היישומים היותר ראויים לציון ומרחיקי לכת של עבודתו של גאוס בתורת המספרים היה השימוש ב[[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]] לפתרון בעיות [[קריסטלוגרפיה|קריסטלוגרפיות]]. ב"[[מחקרים אריתמטיים]]" גאוס נתן פיתוח כמעט שלם של התורה של [[תבנית ריבועית בינארית|תבניות ריבועיות בינאריות]] והחל גם לפתח בצורה מרחיקת לכת את התורה של [[תבניות ריבועיות טרנריות]] (ternary quadratic forms); דהיינו תבניות שהן ריבועיות בשלושה משתנים. אחת הדרכים בהן גאוס יישם את התורה של תבניות טרנריות, אשר הופיעה עוד במחקרים אריתמטיים, הייתה קביעת מספר ההצגות של מספר טבעי כסכום של שלושה ריבועים. אולם, נכון ל-1801, התורה של תבניות טרנריות הייתה רחוקה מהשלמה.

בשנים 1830–1831 השלים הפיזיקאי והמתמטיקאי הגרמני Ludwig August Seeber את התורה של תבניות טרנריות בהתאם למתווה שהציג גאוס במחקרים אריתמטיים. Seeber פרסם חיבור ארוך שמתאר את תוצאותיו על הרדוקציה של תבניות טרנריות חיוביות, אולם למרות התוצאות המרשימות שבחיבור, הוא לא הוכיח את התוצאה האחרונה והמרכזית של החיבור, וזו נשארה בגדר השערה. בסיכום שכתב גאוס על חיבורו של Seeber הוא שיבח את ממצאיו, פישט רבים מטיעוניו הסבוכים, ונתן הוכחה של ההשערה המרכזית של החיבור. ההיבט המעניין של הסיכום לא היה ההוכחה בלבד אלא הפרשנות המפתיעה שנתן גאוס - גאוס ציין שההשערה של Seeber שקולה לטענה שהאריזה הצפופה ביותר של כדורים המסודרים בצורה מחזורית היא זו ש[[יוהאנס קפלר]] תיאר ב-1611; כלומר שהתוצאה שלהם מוכיחה כבדרך אגב את [[השערת קפלר]] במקרה של מארז סריגי.

בהוכחה גאוס לראשונה פירש תבניות ריבועיות כ[[סריג (גאומטריה)|סריג]]ים במרחב; כלומר לכל תבנית ריבועית בינארית מתאים סריג יחיד במישור, ובדומה לכך לכל תבנית ריבועית טרנרית מתאים סריג יחיד במרחב. בסיום ההוכחה הוא אף נתן המחשה גאומטרית יפה למשפט: "נפח ה[[מקבילון]] היסודי של סריג מרחבי אשר כל צלעותיו קצרות יותר מכל אלכסוני הפאות ואלכסוני המקבילון, הוא גדול או שווה לפעמיים נפח התיבה בעלת צלעות זהות לזו של המקבילון". החסם התחתון הזה מושג כאשר המקבילון היסודי הוא תא יחידה של סריג קובי ממורכז-פאה - ולכן זו האריזה הצפופה ביותר. בכך חישב גאוס למעשה את ערכו של [[קבוע הרמיט]] במקרה התלת-ממדי. קריטריון ההשוואה בין אורכי צלעות המקבילון לאורכי אלכסוניו (כלומר שכל הצלעות קצרות מכל האלכסונים) מתאר למעשה סריגים שמתאימים לתבניות ריבועיות שעברו רדוקציה (reduced quadratic forms), הגם שאלו למעשה היחידים שרלוונטיים לבעיית אריזת הכדורים האופטימלית, ומכאן נובע הקשר בין הפן האריתמטי של תבניות ריבועיות בשלושה משתנים לבין התאוריה של סריגים ב-<math>\mathbb{R}^3</math>.

הקישור שיצר גאוס בין תבניות ריבועיות לסריגים הכווין מאוד את המחקר המתמטי העתידי על תבניות ריבועיות ב-n משתנים. [[שארל הרמיט]] ו[[הרמן מינקובסקי]], שני מתמטיקאים שתרמו רבות להכללת התאוריה של תבניות ריבועיות, נעזרו רבות באנלוגיה הזאת.

==== אופטיקה ====

[[קובץ:Gauss' Heliotrope.jpg|שמאל|250px|ממוזער|ההליוטרופ של גאוס (משנת 1822).]]
ב-1817 גאוס פרסם מאמר מקורי שמתאר את [[עינית גאוס]] (Gauss eyepiece) שהמציא, שהייתה עדשה-כפולה שתוכננה כך שתפחית את ה[[אברציה כרומטית|אברציה הכרומטית]]. כמה מממצאיו במאמר זה נמנים עם תרומותיו היותר מעמיקות לאופטיקה; במאמר הוא טיפל באופן תאורטי בבעיית הכרומטיות וגזר את רדיוסי העקמומיות של העדשות ו[[מקדם שבירה|מקדמי השבירה]] שלהן הנדרשים כדי למזער את הכרומטיות. עבודתו זו לא הייתה חסרת השפעה, וכמה עשורים מאוחרים יותר בנה [[קרל אוגוסט פון שטיינהייל]] עינית בהתאם למתווה של גאוס. כמה שנים מאוחר יותר, במסגרת ה[[טריאנגולציה]] של ממלכת הנובר, גאוס פיתח את ה[[הליוטרופ (מכשיר)|הליוטרופ]], מכשיר אופטי העושה שימוש במראה כדי להחזיר אור שמש על פני מרחקים גדולים במטרה לסמן ולמדוד מרחקים של עמדות. בהקשר זה גאוס חקר גם את ה[[שבירה אטמוספירית|שבירה האטמוספירית]] של קרני אור במטרה לשפר את הדיוק של המכשיר שלו (ובעקבות כך את מדידות הגובה שנערכו בסקר הגיאודזי שהוביל).

במכתבו מ-1831 לאסטרונום היינריך וילהלם ברנדס, עסק גאוס בכמה בעיות אופטיות לא סטנדרטיות (בראי התקופה): במכתבו סיפק גאוס תוצאות הנוגעות בגודלו של [[עיגול הטשטוש]] במערכות אופטיות ובפילוג [[עוצמת הארה|עוצמת האור]] הנופל בתוכו. מטרת מכתבו של גאוס הייתה להבהיר לברנדס כמה נקודות לא ברורות בנוגע לעדשה הכפולה האכרומטית שלו (שבו דן כאמור ב-1817). מכתבו זה הוא אחת מתרומותיו היחידות שאינן נוגעות במישרין לתיאוריה האופטית הקלאסית, שכן היא עסקה דווקא בהיבטים מתקדמים יותר כגון [[אברציה כדורית|אברציות כדוריות]]
.

ראויה לציון גם תרומה קטנה שעשה גאוס לתחום ה[[פוטומטריה]] של כוכבים ב-1829; באותה תקופה לא הייתה קיימת שיטה אמינה לקבוע באופן מדויק את ה[[בהירות נראית|בהירות הנראית]] של כוכבים שונים. גאוס יזם באותה שנה תחרות מטעם אוניברסיטת גטינגן שנושאה הוא בניית פוטומטר אמין, והציע סוג של [[פוטומטר השוואתי]]; המכשיר שהציע היה מסוגל "לכוונן" את עוצמת האור הנצפית מכל כוכב, עד אשר הכוכב היה שווה בבהירותו לכוכב ידוע - כאשר שוויון הבהירויות צריך היה להיקבע ויזואלית על ידי העין. לאחר מכן ניתן לקבוע את יחס הבהירויות המקורי בעזרת ידיעת התאוריה המתמטית של הגברת המערכת האופטית. תלמידו של גאוס, גרלינג, השתתף בתחרות עם [[פוטומטר]] שנבנה על פי העקרונות שתיאר גאוס, וזכה בציון לשבח.

בין התכתבויותיו של גאוס בשנים 1813–1846 מפוזרות תוצאות רבות באופטיקה שנחשבות לאלמנטריות למדי בימינו. אף על פי כן, יש לזכור שנושאים אלו עדיין לא הובנו היטב על ידי הפיזיקאים של התקופה. הן עסקו בתכונות הכלליות של מסלול קרני אור ב[[טלסקופ]]ים, כמו הגדלה, בהירות, התאמה לעיניים [[קוצר ראייה|קצרות-ראי]] ועוד. ניתן לאמר איפה שתרומתו המרכזית של גאוס ל[[אופטיקה גאומטרית]] היא הפשטות והאלגנטיות שהעניק לתחום - באמצעות הבהרת מושגי יסוד אופטיים שונים, הוא נתן תמריץ חזק לפיתוח התחום, הן במישור התאורטי והן במישור המעשי. חיבורו הקלאסי מ-1840 של גאוס על אופטיקה, "חקירות דיופטריות", בא בהמשך ישיר ל"דיופטריקה" של אוילר, שהייתה העבודה המקיפה ביותר שנכתבה על אופטיקה גאומטרית עד לזמנו של גאוס. חיבורו של גאוס אמנם לא מכיל תוצאות חדשות רבות בהשוואה לקודמו אוילר, אולם מצטיין בפשטות אלגוריתמית ובבהירות רבה יותר. ראשית, גאוס התחיל ממושגי יסוד שלא הוגדרו והוצגו כהלכה לפניו, כגון [[מוקד (אופטיקה)|נקודת מוקד]] ומרחק מוקד, [[נקודות קרדינליות]], הגברה (magnification) וכו'. בכך הוא היה הראשון שהציב את עבודותיהם של קודמיו במסגרת מושגית נוחה. שנית, גאוס נתן פן מעשי לחקירות האופטיות התאורטיות שקדמו לו בכך שטיפל לראשונה בעדשות בעלות עובי שרירותי (שכן כל עדשה מציאותית היא בעלת עובי סופי), והראה כיצד לטפל במערכות המורכבות מכמה מראות ועדשות באמצעות החלפתן במערכת מצומצמת.

==== מטרולוגיה ====
ההתפתחויות המדעיות והטכנולוגיות שהמאה ה-19 הביאה עמה היו שלובות בד בבד עם שכלול תהליכי [[מדידה]] ו[[ייצור]], ובכך הבליטו את הצורך ההולך וגובר בסטנדרטיזציה של אמות מידה, שכן באותה עת היו מקובלות [[יחידת מידה|יחידות מידה]] שונות באזורים גאוגרפיים שונים. כתוצאה, נדרשה עבודה רבה לתיאום בין יחידות המידה השונות, שהוליכה בסופו של דבר לרפורמות [[מטרולוגיה|מטרולוגיות]] משמעותיות באמצע מאה זו. בהקשר זה, גאוס מונה ב-1828 ליושב ראש הדירקטוריון למידות ומשקלים של ממלכת הנובר. במסגרת תפקידו הוא תיאר סטנדרטים מטרולוגים - מעין מערכים או תהליכים ניסויים המגדירים יחידת מידה של גודל פיזי מסוים - לאורכים ומידות אחרות. גאוס עצמו נטל חלק בהליכי השקילה והמדידה המפרכים, וסיפק הוראות מפורטות לביצוע של ההליכים המכניים הללו. בהתכתבות עם שומאכר, שגם עסק בתחום זה, הוא תיאר רעיונות חדשים ל[[מאזניים|מאזני שקילה]] בעלי דיוק גבוה. בבניית מכשירי המדידה המדויקים בהם עשה שימוש הוא נעזר רבות ב[[מכונאי]] המחונן מוריץ מאיירשטיין (Moritz Meyerstein); השילוב בין איכות המכשור שבנה מאיירשטיין לתהליכי המדידה הדקדקניים של גאוס הוביל את השניים לרמת דיוק גבוהה מאוד, כשלפי הצהרתו של גאוס הם יכלו למדוד באופן אמין משקלים של שבריר ה[[מיליגרם]]. גאוס הגיש את הדוחות המסכמים שלו על ה[[רגל (יחידת מידה)|רגל]] וה[[ליברה|פאונד]] ההנובריות לממשלה ב-1841. לעבודתו זאת הייתה יותר מחשיבות אזורית בלבד, שכן הוראת חוק ממשלתית מ-1836 קישרה בין אמות המידה ההנובריות לאנגליות.

== אישיות ==
גאוס היה דתי אדוק ואדם שמרן. הוא תמך ב[[מונרכיה]] של [[בית ולף]], והתנגד ל[[נפוליאון]], אותו ראה כצמיחתה של מהפכה מסוכנת. כמו כן היה [[פרפקציוניסט]] נלהב ומסור לעבודתו. לפי [[אייזק אסימוב]], גאוס הופרע פעם באמצע תהליך פתרון בעיה וסופר לו שאשתו גססה. נטען כי תשובתו של גאוס הייתה: "תגיד לה לחכות רגע עד שאסיים". אנקדוטה זו נידונה בקצרה בביוגרפיה של גאוס שנכתבה על ידי וולדו דונינגטון: "''Gauss, Titan of Science''", ובה נטען כי זהו סיפור מפוקפק.

המוטו האישי של גאוס היה "pauca sed matura" - "מעט, אך בשל". בהתאם לכך הוא התמיד בסירובו לפרסם עבודות אותן לא החשיב למושלמות ומעל לכל ביקורת, והעדיף ללטש עבודות גמורות שוב ושוב. מחקר של יומניו הפרטיים חושף כי למעשה הוא גילה מושגים ומשפטים מתמטיים רבים שנים ואף עשורים לפני שנתגלו באופן בלתי תלוי על ידי אחרים. [[היסטוריון]] המתמטיקה הידוע [[אריק טמפל בל]] העריך שאם גאוס היה מפרסם את כל תגליותיו בזמנו, המתמטיקה הייתה מתקדמת בלמעלה מ-50 שנה.

גאוס היה ידוע ביכולתו המדהימה לחישוב בעל פה. כאשר נשאל איך הצליח לחזות את מסלולו של קרס בכזו דייקנות הוא ענה: "השתמשתי בלוגריתמים". השואל רצה לדעת איך הוא מסוגל לשלוף במהירות כל כך הרבה מספרים גדולים מהסתכלות בטבלאות, גאוס ענה: "להסתכל בהם? אני פשוט מחשב אותם בראש".

יחסיו של גאוס עם מתמטיקאים אחרים היו נתונים לביקורת: לעיתים נדירות, אם בכלל, שיתף פעולה עם מתמטיקאים אחרים ונחשב למרוחק ומסוגר על ידי רבים. נאמר עליו שהוא נכח אך ורק בכינוס מדעי אחד, שהתקיים ב[[ברלין]] ב-[[1828]]. גאוס סירב בדרך כלל להציג את האינטואיציה שמאחורי ההוכחות שלו, שהיו לעיתים קרובות אלגנטיות מאוד. גישה זו מוסברת במלואה אך בקצרה על ידי גאוס עצמו ביצירתו "Disquisitiones Arithmeticae", בה הוא מכריז כי על הדרך לפתרון הבעיה להיות תמציתית. כמו כן נטען כי גאוס לא תמך במתמטיקאים הצעירים שהמשיכו בעקבותיו. אף על פי שלימד מספר תלמידים, היה ידוע בשנאתו להוראה. למרות זאת, כמה מתלמידיו נעשו למתמטיקאים רבי השפעה, ביניהם [[ריכרד דדקינד]], [[ברנהרד רימן]] ו[[פרידריך בסל]]. גאוס אף ניהל [[חליפת מכתבים]] ארוכת שנים עם [[סופי ז'רמן]] והמליץ עליה לשם קבלת [[תואר כבוד]] מאוניברסיטת גטינגן.

כתחביבים עסק גאוס ותרם ל[[קריסטלוגרפיה]], [[ביוסטטיסטיקה]], [[אקטואריה|מדע אקטוארי]] וכן התעניין ב[[מינרלוגיה]] ו[[בוטניקה]]. הוא שימר את חיבתו הרבה ללמידת שפות חדשות גם בשנותיו המאוחרות יותר, ובגיל 62 פצח בלימוד עצמי שיטתי של [[רוסית|השפה הרוסית]], קרוב לוודאי שבמטרה להיות מסוגל לקרוא את עבודותיו של [[ניקולאי לובצ'בסקי|לובצ'בסקי]] על [[גאומטריה לא-אוקלידית|גאומטריה לא אוקלידית]] בשפת המקור שלהן. הוא נודע בשל נטייתו לתיעוד ואספנות של עובדות מספריות אמפיריות בעלות חשיבות משתנה; לאחר מותו נמצאו בביתו מחברות עם רישומים שונים ומשונים כגון ההכנסות הכספיות החודשיות של חברת הרכבות בהנובר או מספר הסערות החשמליות שהתחוללו באזור מגוריו בכל שנה. בבעלותו הייתה ספרייה אישית ענפה שהכילה יותר מ-6000 כרכים בנושאים מגוונים; הוא היה סקרן לקרוא בספרות העולם, ויצירות הספרות האהובות עליו היו אלו של הסופר הבריטי סר [[וולטר סקוט]].

[[תחום עניין]] מעט יוצא דופן מבחינת פועלו של גאוס, הוא חקר האפשרות של [[חיים מחוץ לכדור הארץ|קיום צורות חיים נבונות מחוץ ל]][[כדור הארץ]]. הוא היה הראשון שהעלה רעיון להעביר מסר אופטי ליצורים חוצניים (על תקשורת רדיו לא דובר אז, שכן היה זה הרבה לפני גילוי גלי הרדיו): לנטוע ב[[מדבר סהרה]] שטח מוריק בן מאות קמ"ר בצורה של תרשים [[משפט פיתגורס]], ואם יבחינו בו יצורים חוצניים, יבינו כי לא נוצר במקרה אלא על ידי יצורים תבוניים אחרים וייצרו קשר עם בני האדם באופן כלשהו.

== הנצחת שמו ==
* עשרות מושגים במתמטיקה
**ראו [[:קטגוריה: קרל פרידריך גאוס]]
* מערכת ה[[יחידות cgs]] המכונה לעיתים "המערכת הגאוסיאנית"
**[[גאוס (יחידת מידה)]]
* תמונתו ועקומת ההתפלגות הנורמלית הופיעו על שטר גרמני בן עשרה [[מארק גרמני|מארק]]
* [[פרס קרל פרידריך גאוס]] למתמטיקה
* מכתש גאוס – [[מכתש פגיעה|מכתש]] על [[הירח]]
* [[אסטרואיד]] 1001 Gaussia
* הספינה ששימשה ב-[[1901]] את המשלחת הגרמנית הראשונה ל[[אנטארקטיקה]] נקראה גאוס
* [[הר גאוס (ארץ קייזר וילהלם השני)|הר גאוס]] המכונה גם "גאוסברג", [[הר געש כבוי]] ב[[ארץ קייזר וילהלם השני]] שבאנטארקטיקה
* [[הר גאוס (ארץ ויקטוריה)]] - הר ב[[רכס קירקווד (אנטארקטיקה)|רכס קירקווד]] ב[[ארץ ויקטוריה]] שבאנטארקטיקה
* [[מגדל גאוס]], [[מגדל תצפית]] בגרמניה
* "אגודת גאוס" (Gauss society) נוסדה ב-1964 כדי לקדם שיתוף פעולה מחקרי על חייו ועבודתו כמו גם על אישים עימם התכתב בדרך קבע. האגודה עורכת מאז הקמתה את השנתון "Communications of the Gauss Society", ובו מתפרסמים מאמרים המתמקדים בהיבטים ידועים פחות של עבודתו.
* מחקריו של גאוס ופגישתו עם [[אלכסנדר פון הומבולדט]] תוארו, בין השאר, בספרו של הסופר הגרמני דניאל קלמן "[[מודדים את העולם]]", שיצא בעברית בשנת 2009.
* ב-30 באפריל 2018, לכבוד יום הולדתו ה-241 של גאוס, דמותו וסיפור חייו קיבלו במה במסגרת ה"דודל" של גוגל, במדינות רבות, כולל ישראל.

== פרסומים נבחרים ==
===מתמטיקה ואסטרונומיה===
* 1799:  (עבודת דוקטורט על המשפט היסודי של האלגברה, אוניברסיטת [[הלמשטדט]]) [https://edoc.hu-berlin.de/handle/18452/732 Original book]
* 1816:  [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0003_2NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B268%2C269%5D%2C%22view%22%3A%22info%22%7D Original]
* 1816:  [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0003_2NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B296%5D%2C%22view%22%3A%22info%22%7D Original]
* 1850:   [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN250442582_0004?tify=%7B%22pages%22%3A%5B287%5D%2C%22view%22%3A%22info%22%7D Original] (הרצאה מ-1849)
**  (German)
* 1800:  [https://zs.thulb.uni-jena.de/receive/jportal_jpvolume_00201970 Original]
* 1801: 
**  (translated from the [https://www.science.org/doi/10.1126/science.154.3749.642.b second German edition, Göttingen 1860])
* 1802:  [https://zs.thulb.uni-jena.de/rsc/viewer/jportal_derivate_00237503/Monatlich_Correspondenz_130168688_5_1802_0444%20.tif Original]
* 1804:  [https://zs.thulb.uni-jena.de/rsc/viewer/jportal_derivate_00240854/Monatliche_Correspondenz_130168688_10_0175.tif Original] (on the Zodiacus)
* 1808:  [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0016_1NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B498%2C499%5D%2C%22view%22%3A%22info%22%7D Original] (מציג לראשונה את [[הלמה של גאוס (תורת המספרים)|הלמה של גאוס]], ונעזר בה במסגרת ההוכחה השלישית לחוק ההדדיות הריבועית)
* 1808: 
* 1809:  [https://gutenberg.beic.it/webclient/DeliveryManager?pid=12217180 Original book]
** 
* 1811:  [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0001_2NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B170%2C171%5D%2C%22view%22%3A%22info%22%7D Original] (from 1810) (על מסלולו של פאלאס)
* 1811:   [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0001_2NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B194%2C195%5D%2C%22view%22%3A%22info%22%7D Original] (from 1808) (קביעת הסימן של [[סכום גאוס ריבועי]], ומתן הוכחה רביעית לחוק ההדדיות הריבועית)
* 1813:  [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0002_2NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B227%5D%2C%22pan%22%3A%7B%22x%22%3A0.559%2C%22y%22%3A0.496%7D%2C%22view%22%3A%22info%22%2C%22zoom%22%3A0.456%7D Original] (על הפונקציה ההיפרגאומטרית, מכיל את השבר המשולב של גאוס)
* 1816:  [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0003_2NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B200%2C201%5D%2C%22view%22%3A%22info%22%7D Original] (from 1814)
* 1818:  [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0004_2NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B262%2C263%5D%2C%22view%22%3A%22info%22%7D Original] (from 1817) (הוכחה חמישית ושישית לחוק ההדדיות הריבועית)
* 1818:  [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0004_2NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B281%5D%2C%22pan%22%3A%7B%22x%22%3A0.499%2C%22y%22%3A0.677%7D%2C%22view%22%3A%22info%22%2C%22zoom%22%3A0.434%7D Original] (מאמר על שיטת הטבעת האליפטית באסטרונומיה תאורטית. מכיל את ההתייחסות היחידה של גאוס לעבודתו - הלא מפורסמת ברובה - על האלגוריתם של [[ממוצע אריתמטי-גאומטרי|הממוצע האריתמטי-גאומטרי]])
* 1823:   [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0005_2NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B276%5D%2C%22view%22%3A%22info%22%7D Original] (from 1821)
* 1823:  [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0005_2NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B306%5D%2C%22pan%22%3A%7B%22x%22%3A0.413%2C%22y%22%3A0.66%7D%2C%22view%22%3A%22info%22%2C%22zoom%22%3A0.413%7D Original]
* 1825:  (מאמרו זוכה פרס האקדמיה הדנית מ-1822, על מיפויים קונפורמיים)
* 1828:  [https://books.google.de/books?id=tIg_AAAAcAAJ&pg=PA04&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Original book]
* 1828:  (from 1826)
**  (שלושה חיבורים המבססים את שיטת הריבועים הפחותים)
* 1828:   [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0006_2NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B312%2C313%5D%2C%22view%22%3A%22info%22%7D Original] (from 1827)
** 
* 1828:  [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0006_2NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B241%5D%2C%22view%22%3A%22info%22%7D Original] (from 1825)
* 1832:  [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0007_2NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B273%5D%2C%22view%22%3A%22info%22%7D Original] (from 1831) (מציג את [[חוג השלמים של גאוס]], מנסח (ללא הוכחה) את חוק ההדדיות הדו-ריבועית, ומוכיח את החוק המשלים עבור ''i+1'')
* 1845:  [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN250442582_0002 Original] (from 1843)
* 1847:  [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN250442582_0003 Original] (from 1846)
* 1903: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN236018647?tify=%7B%22pages%22%3A%5B516%5D%2C%22pan%22%3A%7B%22x%22%3A0.452%2C%22y%22%3A0.567%7D%2C%22view%22%3A%22info%22%2C%22zoom%22%3A0.946%7D Wissenschaftliches Tagebuch] () [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/DE-611-HS-3382323 Original book] (from 1847, on the Zodiacus)
** 

===פיזיקה===
* 1804: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN236006339?tify=%7B%22pages%22%3A%5B503%5D%2C%22pan%22%3A%7B%22x%22%3A0.468%2C%22y%22%3A0.479%7D%2C%22view%22%3A%22info%22%2C%22zoom%22%3A0.609%7D Fundamentalgleichungen für die Bewegung schwerer Körper auf der Erde] ( in original book:  [https://www.digitale-sammlungen.de/de/view/bsb10060427?page=392,393 Original])(נספח שהוסיף גאוס לספרו זה של בנזנברג, שבו עסק גאוס בבעיית הנפילה החופשית של גופים על כדור הארץ המסתובב)
* 1813:  [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0002_2NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B318%5D%2C%22pan%22%3A%7B%22x%22%3A0.539%2C%22y%22%3A0.64%7D%2C%22view%22%3A%22info%22%2C%22zoom%22%3A0.456%7D Original] (מכיל פתרון חדש לבעיית קביעת המשיכה הכבידתית של אליפסואיד הומוגני; מכיל בין היתר את [[משפט גאוס]] באנליזה וקטורית)
* 1817: 
* 1829: 
* 1830:  [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0007_2NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B223%5D%2C%22view%22%3A%22info%22%7D Original] (from 1829)
* 1841:   [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN35283028X_0008_2NS?tify=%7B%22pages%22%3A%5B198%5D%2C%22pan%22%3A%7B%22x%22%3A0.569%2C%22y%22%3A0.65%7D%2C%22view%22%3A%22info%22%2C%22zoom%22%3A0.449%7D Original] (from 1832)
** [http://21sci-tech.com/translations/gaussMagnetic.pdf The Intensity of the Earth's Magnetic Force Reduced to Absolute Measurement.] Translated by Susan P. Johnson.
* 1836: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN236006339?tify=%7B%22pages%22%3A%5B320%5D%2C%22pan%22%3A%7B%22x%22%3A0.412%2C%22y%22%3A0.459%7D%2C%22view%22%3A%22info%22%2C%22zoom%22%3A0.73%7D Erdmagnetismus und Magnetometer] (Original book: )
* 1840: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN236006339?tify=%7B%22pages%22%3A%5B200%5D%2C%22pan%22%3A%7B%22x%22%3A0.332%2C%22y%22%3A0.772%7D%2C%22view%22%3A%22info%22%2C%22zoom%22%3A0.73%7D Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte] (Original book: 
* 1843:  [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN250442582_0001?tify=%7B%22pages%22%3A%5B548%2C549%5D%2C%22view%22%3A%22info%22%7D Original] (from 1840)

== מקורות ==
* 
* 
* 
*  First edition: 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

==ראו גם==
* [[רשימת כתבי גאוס]]
* [[ציר זמן של המהפכה התעשייתית השנייה#טלגרף|ציר זמן של המהפכה התעשייתית השנייה]]

== לקריאה נוספת ==
<div class="mw-content-ltr">
* Gauss, Carl Friedrich (1965). Disquisitiones Arithmeticae, tr. Arthur A. Clarke, Yale University Press. .
* Dunnington, G. Waldo. (June 2003). Carl Friedrich Gauss: Titan of Science. The Mathematical Association of America. .
* Hall, T. (1970). Carl Friedrich Gauss: A Biography. Cambridge, MA: MIT Press. .
* Asimov, I. (1972). Biographical Encyclopedia of Science and Technology; the Lives and Achievements of 1195 Great Scientists from Ancient Times to the Present, Chronologically Arranged.. New York: Doubleday.
* Simmons, J. (1996). The Giant Book of Scientists: The 100 Greatest Minds of All Time. Sydney: The Book Company.
</div>

==קישורים חיצוניים==


* [[בנו ארבל]], **מתמטיקאים ואירועים גדולים בתולדות המתמטיקה''', מכון מופ"ת, 2009, הפרק "יוהן קרל פרידריך גאוס", עמ' 95–107
* לירן זיידמן, נסיך המתמטיקאים, הידען, 8 באוגוסט 2009
* 
* The Sesquicentennial of the Birth of Gauss (ארכיון האינטרנט)
* מתמטיקאי המילניום, מאת Juergen Schmidhuber
* 
* 
* 

## הערות שוליים

*
קטגוריה:אישים שעל שמם יחידות מידה
קטגוריה:אסטרונומים גרמנים
קטגוריה:אסטרונומים שעל שמם כוכב לכת מינורי
קטגוריה:בוגרי אוניברסיטת גטינגן
קטגוריה:זוכי מדליית קופלי
קטגוריה:זוכי פרס לאלנד
קטגוריה:חברי האקדמיה המלכותית השוודית למדעים
קטגוריה:חוקרי תורת המספרים
קטגוריה:ילדי פלא במתמטיקה
קטגוריה:מתמטיקאים גרמנים במאה ה-18
קטגוריה:מתמטיקאים גרמנים במאה ה-19
קטגוריה:מתמטיקאים שעל שמם כוכב לכת מינורי
קטגוריה:סגל אוניברסיטת גטינגן
קטגוריה:פיזיקאים גרמנים
קטגוריה:חברי האקדמיה למדעים ולאמנויות של גטינגן
קטגוריה:גרמנים שנולדו ב-1777
קטגוריה:גרמנים שנפטרו ב-1855