E=mc²

[שמאל|ממוזער|250px|הנוסחה מוצגת על גבי בניין [טאיפיי 101 לכבוד פתיחת שנת הפיזיקה העולמית, 2005]]
שמאל|ממוזער|200px|בול דואר ישראלי עם דמותו של איינשטיין ונוסחתו
**E=mc<sup>2</sup>** (לעיתים נקראת **נוסחת איינשטיין**), היא נוסחה נודעת מתחום הפיזיקה שניסח אלברט איינשטיין. הנוסחה קובעת עיקרון כללי של **שקילות המסה והאנרגיה**, ומעבר לכך היא מספקת גם **יחס המרה מדויק** בין המסה (**m**) של עצם נתון לבין האנרגיה (**E**) שלו: האנרגיה שווה למסה כפול מהירות האור (**c**) בריבוע.

השלכות הנוסחה נרחבות. השלכה ראשונה היא עצם העיקרון הכללי החדשני – על אודות שקילותן של מסה ואנרגיה – שהוא בעל משמעות פיזיקלית עצומה וערער את התפיסה בת מאות השנים של טיב קשר האנרגיה למסה במכניקה הקלאסית. השלכה נוספת היא גודל יחס השקילות הנחשף בנוסחה – שהוא למעשה יחס גבוה מאוד (בהיות c המהירות הכי גבוהה בטבע) – ומעיד על עוצמת האנרגיה שאפשר פוטנציאלית לשחרר אפילו ממסה קטנה, כפי שאכן התממש בהיתוך ובביקוע הגרעיניים (שהתגלו כעשרים שנה אחרי הגילוי התאורטי של הנוסחה עצמה). היא גם הובילה בסופו של דבר להגיית תורת היחסות הכללית.

הנוסחה התפרסמה לציבור הרחב בעיקר משום שהובילה לפיתוח פצצת האטום. כיום היא נחשבת לאחת מן הנוסחאות החשובות והמפורסמות ביותר מתחום הפיזיקה, ומהווה סמל לתרבות ומדע.

## המשמעות המעשית של הנוסחה
בפיזיקה, הגודל "מסה" הוא גודל שמתאר שתי תכונות: כמה גוף מתנגד לתאוצה וכמה הוא מושך דברים אחרים אליו לפי כוח הכבידה. משמעות הנוסחה היא שככל שגוף צובר יותר אנרגיה, המסה שלו תשתנה בהתאם. לדוגמה, כדי לפרק אטום מימן לפרוטון ואלקטרון נפרדים זה מזה (לא קשורים), צריך להשקיע אנרגיה. לפי הנוסחה, ניתן להסיק שמערכת שמכילה פרוטון ואלקטרון שנפרדים זה מזה היא מסיבית יותר ממערכת שמכילה אטום מימן אחד, זאת על אף שבשתי המערכות יש אותם חלקיקים בדיוק. במקרה הזה, לפי הנוסחה, השינוי במסה יהיה בסדר גודל של 10^{-35} קילוגרם, קטן פי 100,000 ממסת האלקטרון – ולכן בחיי היום יום האפקט הזה זניח וקשה מאוד למדידה. עם זאת, במאיצי חלקיקים שבהם מהירות ואנרגיית החלקיקים גבוהה מאד, העלייה במסה היא משמעותית וניתנת למדידה.

ניתן לתאר זאת גם בכיוון ההפוך: כדי ליצור חומר במסה \mathbb{m}, צריך להשקיע אנרגיה בסך \mathbb{mc^2} (דבר שניכר בתופעות כמו יצירת זוגות).

על פי הנוסחה, כמות האנרגיה המקסימלית שניתן להפיק מעצם זהה למסת העצם כפול מהירות האור בריבוע. אפילו למסות קטנות יחסית, ערכה של אנרגיית המנוחה גבוה מאוד.

## תוקף הנוסחה
נוסחת איינשטיין, שלמעשה קובעת בין השאר - כי נכונה לפחות בחינה אחת של שקילות המסה והאנרגיה - כלומר כי **כל מסה** היא אנרגיה, תקפה לפחות **לכל** העצמים **הנחים** בעלי מסה (שאינם נושאים אפוא אנרגיה קינטית); בעוד שתיקוף נוסחת איינשטיין גם לעצמים אשר **נעים** (כלומר אשר נושאים אנרגיה קינטית) כדי לקבוע בין השאר - כי נכונה גם הבחינה הנגדית של השקילות - כלומר כי גם **כל אנרגיה** היא מסה, תלוי בהגדרת המסה המופיעה בנוסחת איינשטיין, כפי שיפורט בפיסקה הבאה (וכן בשני תת-הפרקים הבאים).

בפיזיקה המודרנית, אנרגיית המנוחה E_0 של עצם נתון (כלומר אנרגיית העצם שנצפית מבעד למסגרת ייחוס שמבעדה העצם נצפה נח) - כמו גם מסת המנוחה m_0 שלו (כלומר מסת העצם שנצפית מבעד למסגרת ייחוס שמבעדה העצם נצפה נח) - הן , ולגבי שתיהן תקפה גם הצורה E_0=m_0c^2 של נוסחת איינשטיין. כמו כן: הואיל ובדרך כלל נוסחת איינשטיין מיושמת על עצם שנצפה **נח** מבעד למסגרת הייחוס של הצופים בעצם, כשאז מבעדה האנרגיה היחסותית E שלו היא אפוא גם אנרגיית המנוחה E_0 שלו, הרי שמבעד למסגרת ייחוס זו הצורה הנ"ל של נוסחת איינשטיין תוכל גם להיכתב E=m_0c^2 (כפי שיורחב על כך יותר בפיסקה האחרונה של תת-הפרק הסמוך). ואולם, הואיל והאנרגיה היחסותית E - כמו גם המסה היחסותית - אינן אינווריאנטיות, לכן מנקודת מבט של מסגרת ייחוס אחרת - העצם עשוי להיות בתנועה - כך שתשתנה האנרגיה היחסותית שלו שכבר לא תוכל אפוא להתלכד עם אנרגיית המנוחה E_0 שלו, ואז הנוסחה E=m_0c^2 כבר לא תחול לגבי מסגרת ייחוס אחרת זו, ואז כדי לאפיין את האנרגיה היחסותית E יש להשתמש בנוסחאות אחרות - למשל בנוסחה E = \gamma m_0c^2 (כאשר \gamma מסמן את הגורם  \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}  אם v מסמן את מהירות העצם שקטנה ממהירות האור c) - ולמשל בנוסחת מינקובסקי (שהיא למעשה ה"נורמה" של וקטור ה־4־תנע במרחב מינקובסקי): E = \sqrt{p^2c^2+m_0^2c^4} (כאשר p מסמן את התנע היחסותי של העצם: (p=\gamma m_0v. בשני תת-הפרקים הבאים מובאות עבור עצמים נעים, עוד צורות תקפות - וחלקן אף יותר פשוטות - של נוסחת איינשטיין, אם כי תקפותן תלויה במובנו של הסימן .m

### תוקף נוסחת איינשטיין אם m מסמן מסה יחסותית
בתורת היחסות התאורטית, מקובל לסמן ב-m את "המסה היחסותית" של עצם נתון, שלמעשה קשורה אל מסת המנוחה m_0 שלו לפי היחס: m = \frac{m_0}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}} , כאשר v מסמן את מהירות העצם (כולל אפשרות של מהירות אפס) - ובלבד שהיא **קטנה** ממהירות האור c.
:
לפי פירוש זה של ,m ניתן להגיע-ריגורוזית לנוסחת איינשטיין E = mc^2 עבור כל עצם - נח או נע (שאיטי מהאור) - בדרך יותר קצרה ופשוטה מזו שבה נקט איינשטיין, אם למשל משתמשים - הן ביחס הנ"ל שבין המסה היחסותית לבין מסת המנוחה - והן בהגדרת התנע p=mv שהנו למעשה התנע היחסותי (שהרי הוא מוגדר לפי המסה היחסותית m), וכך מסיקים-אלגברית לגבי כל עצם בעל: הן מסת מנוחה m_0 והן מסה יחסותית m והן מהירות v והן תנע יחסותי p:
:
:m^2c^4=\frac{m_0^2c^4}{1-v^2/c^2}=\frac{(0)+m_0^2c^4}{1-v^2/c^2}=\frac{(m_0^2v^2c^2-m_0^2v^2c^2) + m_0^2c^4}{1-v^2/c^2}=
:\frac{m_0^2v^2c^2 + (m_0^2c^4-m_0^2v^2c^2)}{1-v^2/c^2}=\frac{m_0^2v^2c^2}{1-v^2/c^2} + \frac{m_0^2c^4-m_0^2v^2c^2}{1-v^2/c^2}=
:m^2v^2c^2 + \frac{m_0^2c^4(1-v^2/c^2)}{1-v^2/c^2}=p^2c^2 + m_0^2c^4
:
לסיכום: לגבי העצם הנ"ל, ,m^2c^4=p^2c^2 + m_0^2c^4 ולכן ,mc^2=\sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^4} ולכן אם האנרגיה היחסותית שלו היא E הרי, שמתקבל כי אם ורק אם נכונה **נוסחת איינשטיין** E = mc^2 אז נכונה **נוסחת מינקובסקי** ,E = \sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^4} כלומר שמתקבל כי **שתי הנוסחאות שקולות** זו לזו.
:
ואולם מבחינה היסטורית, נוסחת איינשטיין - היותר פשוטה - קדמה: מינקובסקי עצמו (שלמעשה לא רצה להזכיר את המסה היחסותית וגם לא את המהירות), יכל "להמציא" את וקטור ה־4־תנע - בעל הנורמה המוגדרת בנוסחה הנ"ל של מינקובסקי, רק **אחרי** שהוא התוודע לנוסחת איינשטיין - ולא קודם לכן.
:
אם מניחים את נוסחת מינקובסקי, אז מוכחת אפוא נוסחת איינשטיין E = m c^2  במובנה הכללי ביותר, שמתייחס אפוא לכל עצם - נח או נע (לאט מהאור) - בעל אנרגיה יחסותית E ובעל מסה יחסותית .m
:
אם נציב כעת v=0 בנוסחה ,m = \frac{m_0}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}  נקבל כי m=m_0 כלומר כי בזמן מנוחה דהיינו במהירות v=0 הכמות של מסת המנוחה שווה לכמות המסה היחסותית, וניתן אז לכתוב אפוא את נוסחת איינשטיין E = mc^2 בתור .E = m_0c^2 במילים אחרות: כאשר התנע היחסותי p הוא אפס - ולכן גם המהירות v היא אפס - כלומר במקרה מיוחד שבו העצם נח, נקבל E = m_0c^2. זהו המקרה היחיד שבו נוסחת איינשטיין יכולה להיכתב בצורה E = m_0c^2. אך לגבי כל מהירות שרירותית כלשהי של העצם שאינה בהכרח מאופסת, אם לא נרצה להזכיר אותה בנוסחה אז נצטרך להזכיר - או את התנע היחסותי p של העצם על ידי נוסחת מינקובסקי - או את המסה היחסותית m של העצם על ידי נוסחת איינשטיין .E = mc^2 למעשה אין הבדל עקרוני בין נוסחת איינשטיין הכללית הזו לבין הנוסחה הפרטית ,E = m_0c^2 מלבד שהאחרונה תקפה רק לגבי המהירות :v=0 אזי, תוך שימוש בזהות - שבין המסה היחסותית m של העצם הנח - לבין מסת המנוחה m_0 שלו, נוסחת איינשטיין הכללית E = mc^2  תוכל להיכתב בצורה הפרטית ,E = m_0c^2 שאינה חלה אפוא על עצמים שנעים באף מהירות - אלא אם כן היא אפס כלומר אם הם נחים, משום שהמסה m_0 שכאן היא רק עבור v=0.

### תוקף נוסחת איינשטיין אם m מסמן מסת מנוחה
שלא כמו בתורת היחסות התאורטית, חקר החלקיקים היסודיים כמעט שאינו משתמש במסה יחסותית - שבמקומה הוא מסמן ב־m רק את מסת המנוחה, ולכן בו נוסחת איינשטיין E = mc^2 תוכל לתאר רק את האנרגיה היחסותית של עצם נח. בעוד שנוסחת האנרגיה היחסותית E של עצם בעל מהירות שרירותית כלשהי (כולל אפשרות של מהירות אפס) תנוסח, או בצורה E = \gamma mc^2 (כאשר \gamma מסמן את הגורם  \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}  אם v מסמן את מהירות העצם שקטנה ממהירות האור c), או בנוסחת מינקובסקי E = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} (כאשר p מסמן את התנע היחסותי של העצם: (p=\gamma mv.
:
שימוש מגביל כזה בסימן m כמסמן את מסת המנוחה בלבד - ולכן תוך הגבלת תוקף נוסחת איינשטיין E = mc^2 אל המקרה של מהירות אפס בלבד, מגביל אפוא את הנוסחה הזו למקרה של תנע אפס בלבד. מה שמאפשר אפוא להגיע אליה ריגורוזית בדרך יותר קצרה ופשוטה מזו שבה נקט איינשטיין - אם למשל בנוסחת מינקובסקי מציבים p=0 לתנע.
:
למרות שפרשנות מגבילה זו לסימן m רווחת בחקר-החלקיקים היסודיים, המשכו של ערך זה נמנע ממנה - כדי לאפשר את ההבחנה בין שני סוגי המסות - לצורך הבהירות, ולכן ישתמש - ב־m כדי לסמן את המסה היחסותית - וב־m_0 כדי לסמן את מסת המנוחה.

### התוקף המקורב של הנוסחה הקלאסית, במהירויות שנמוכות מאוד יחסית למהירות האור
מכיוון שאנרגיה המנוחה היא m0c², וסך האנרגיה היא אנרגיה קינטית ועוד אנרגיית המנוחה, אזי האנרגיה הקינטית היחסותית מבוטאת על ידי

::  E_\mathrm{kinetic} = E_\mathrm{total} - E_\mathrm{rest} = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = \left(\gamma - 1 \right) m_0 c^2

ובמהירויות הנמוכות מאוד יחסית למהירות האור (v \ll c) מתאים ביטוי זה לנוסחה הקלאסית של אנרגיה קינטית.

::  E_\mathrm{kinetic}^\mathrm{Classical}= \frac{1}{2} m_0 v^2 .

ניתן להראות ש־ E_\mathrm{kinetic}^\mathrm{Classical} \approx E_\mathrm{kinetic}  על ידי הרחבת \gamma תוך שימוש בטורי טיילור.

::\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} = \left(1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2 \right)^{-1/2} \approx 1+ \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2.

הצבה מחדש בנוסחה המקורית תתן:

::  E_\mathrm{kinetic} \approx \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 m_0 c^2 =\frac{1}{2} m_0 v^2 = E_\mathrm{kinetic}^\mathrm{Classical},

מכאן, שבאנרגיות נמוכות הנוסחה הקלאסית לאנרגיה קינטית הוא קירוב של האנרגיה הקינטית היחסותית. אולם תורת היחסות מוסיפה עוד אנרגיה שלא הוגדרה קודם - אנרגיית המנוחה, שיש לגוף מעצם קיום המסה שלו. איינשטיין הראה כבר כי המכניקה הקלאסית שגויה במצבים של מהירויות גבוהות או של כבידה חזקה. אולם עבור המקרים שנדונו בעת פיתוח המכניקה הקלאסית, ושרלוונטיים ברוב המוחלט של חיי היום יום, המכניקה הקלאסית היא קירוב טוב של המכניקה היחסותית.

## לידת הנוסחה
### תרומות קודמות
איינשטיין פרסם את המאמר שבו הודיע על תגליתו בשנת 1905, אך שורשי התגלית נעוצים בהנחות שונות, שמקורן שנים רבות קודם לכן. איינשטיין לא היה היחיד שקשר אנרגיה למסה, אבל היה הראשון שהציג זאת כחלק מתאוריה רחבה ויותר מכך, הסיק את הנוסחה מתוך ההנחות של תאוריה זו.

ניתן לחלק את תיאור פיתוח הנוסחה לפי גורמיה:
*E = Energy (אנרגיה)
*m = Mass (מסה)
*c = Celeritas (מהירות האור, מקור המילה בלטינית)

#### E – [[אנרגיה]] ו-m – [[מסה]]
אחת מהנחות הבסיס שעליהן נשענת הנוסחה היא, שאנרגיה אינה יכולה להיווצר או להיעלם, אלא רק להחליף צורה – הנחה שמהווה את חוק שימור האנרגיה, הקובע שכמות האנרגיה במערכת סגורה היא קבועה ואינה מסוגלת להיעלם או להיווצר, ואת החוק הראשון של התרמודינמיקה שמרחיב את חוק שימור האנרגיה ומחיל אותו גם על אנרגיה בצורת חום. משום כך, האנרגיה העודפת - שתוזרם למערכת - ושלא תוכל להמשיך לתפקד כאנרגיה קינטית, לא תוכל להיעלם; לכן היא תיאלץ, בסופו של דבר, להפוך לדבר אחר: איינשטיין טען שהדבר האחר הוא מסה.

בדומה לאנרגיה, הנחת בסיס חשובה נוספת לתיאוריה היא חוק שימור החומר, הקובע שחומר אינו יכול להיווצר או להיעלם בתוך מערכת סגורה, אלא רק לשנות את צורתו.
לפני מחקרו של איינשטיין, עמדו שני חוקי השימור הללו בפני עצמם. E=mc² חיברה ביניהם: לא רק שאנרגיה יכולה להפוך לאנרגיה בצורה אחרת וחומר יכול להפוך לחומר בצורה אחרת, אלא שאנרגיה יכולה להפוך לחומר, וחומר יכול להפוך לאנרגיה. תגלית זו הפכה את שני חוקי השימור הללו לבלתי מדויקים, ובמקומם נוסח חוק מאוחד שנקרא "חוק שימור האנרגיה-מסה", שקובע כי בכל תהליך שהוא סכום האנרגיות והמסות של הגופים והמערכות המשתתפים בתהליך נשאר קבוע.

#### c – [[מהירות האור]]
הנחת בסיס חשובה נוספת, שביסס איינשטיין בתורת היחסות הפרטית, היא שמהירות האור בריק היא הגבול העליון למהירות שבה יכולים חלקיק או אנרגיה לנוע. לכן, כאשר כמות האנרגיה שמוכנסת למערכת מאיצה את המהירות קרוב למהירות האור, היא אינה יכולה להמשיך בהאצת המהירות, ובהתאם לחוק שימור האנרגיה גם לא תוכל להיעלם, ולכן תהפוך למסה.

#### <math>^2</math> – [[חזקה של שתיים|בריבוע]]
אייזק ניוטון טען, שהמושג הבסיסי במכניקה הוא **תנע** המערכת הנתונה, שהוגדר על ידי ניוטון בתור מכפלת מסת המערכת במהירותה, כלומר P=mv. לדוגמה, אם גוף במשקל 6 קילוגרמים ינוע במהירות של 10 קמ"ש, הוא יאצור 60 יחידות תנע. הפיזיקאי גוטפריד לייבניץ, לעומת זאת, התנגד לדעתו של ניוטון וסבר, שהמושג החשוב במכניקה הוא לא התנע P אלא **האנרגיה הקינטית** E, שמקיימת לדעת לייבניץ את המשוואה E=mv^2. אך מסקנותיו היו תאורטיות בלבד והוא לא הצליח להוכיחן.

בתחילת המאה השמונה עשרה חקרה המדענית אמילי די שאטלה, יחד עם הפילוסוף וולטר, את הנוסחאות של ניוטון ולייבניץ. די שאטלה הסכימה עם האופן שלפיו הגדיר לייבניץ את האנרגיה הקינטית, אך לא יכלה לקבל את ההגדרה ללא הוכחות מעשיות. לבסוף מצאה את ההוכחות בניסויים של החוקר ההולנדי וילם סחרווסנדה, שעסקו במדידת נפילה חופשית אל קרקע רכה. הניסויים תמכו באופן חד משמעי במשוואה של לייבניץ (אם כי בלי להתנגש עם משוואת ניוטון שכאמור לא עסקה באנרגיה אלא בתנע); לדוגמה, כאשר הופלו אל משטח רך שני כדורים באותו משקל שאחד מהם נע במהירות גדולה פי שלושה, הכדור שמהירותו גבוהה יותר שקע פי 9 עמוק יותר בקרקע, ולא פי 3.

כך הגיעה די שאטלה באופן אמפירי, אל דעתו התאורטית של לייבניץ ש־E=mv^2. משוואה זו תאמה את הרעיון הכללי המונח בנוסחת איינשטיין, משום שקבעה שהאנרגיה מתייחסת למהירות בריבוע, אך היא התייחסה לאנרגיה הקינטית בלבד ולא לאנרגיה שאצורה במסת החומר.

### פרסום המאמר
ב־27 בספטמבר 1905 שלח איינשטיין לשנתון הפיזיקה מאמר בן כ־30 עמודים בשם "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" ("על האלקטרודינמיקה של גופים נעים"), בו שטח את מסקנותיו לגבי תורת היחסות. מספר שבועות לאחר מכן הוא הגיע למסקנה נוספת הנובעת מתורת היחסות, ומיהר לשלוח לעיתון תוספת של שלושה עמודים למאמר, בשם *"Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?"* ("האם ההתמדה של גוף תלויה בתכולת האנרגיה שלו?"). בתוספת זו פורסמה לראשונה נוסחתו המפורסמת. מאמר זה הוא אחד מהמאמרים הידועים כיום כמאמרי שנת הפלאות שלו.
שמאל|ממוזער|250px|הנוסחה כפי שפורסמה על ידי איינשטיין ב-1905, כתובה בכתב ידו
איינשטיין לא ניסח במאמר נוסחה זו בדיוק כפי שהיא מנוסחת כיום; בסמלים שבהם השתמש איינשטיין הנוסחה נראתה כך - L=mv^2 (כשהאות *L* מייצגת אנרגיה במקום *E*, ו-*v* מייצגת את מהירות האור). במאמר נכתב:  קרינה היא במקרה זה אנרגיה קינטית, והמסה היא מושג המסה כפי שהיה בשימוש באותה תקופה, מה שקרוי כיום מסת מנוחה או מסה אינווריאנטית. באותה תקופה הייתה קביעה זו השערה תאורטית שלא הוכחה בניסויים.

לאחר שנים העתיק איינשטיין את מאמר היחסות המקורי שלו בכתב ידו, כדי למכור אותו במכירה פומבית. תוך כדי כתיבה הוא שאל את מזכירתו, שהכתיבה לו את המאמר, "זה מה שאמרתי?" היא השיבה בחיוב. "הייתי יכול לומר את זה בצורה הרבה יותר פשוטה", הוא אמר.

### קבלה ראשונית
בתחילה התאוריה התקבלה בפקפוק רב, ואף בבוז, בקרב הפיזיקאים. הפיזיקאי זוכה פרס נובל, ארנסט רתרפורד, אמר על הנושא בכנס מדעי בלונדון:  כאשר ניסה איינשטיין להתקבל כמרצה באוניברסיטת ברן הוא צירף למכתבו את מאמר היחסות שלו, אך נדחה. הפרופסור טירינג מאוניברסיטת וינה אמר כי 

בשלב זה גם איינשטיין עצמו לא היה בטוח לחלוטין במסקנותיו. הוא הודה בפני ידידו, קונרד הביכט: 

הניסוי הראשון שהוכיח לבסוף את התאוריה של איינשטיין התבצע ב־1932. הפיזיקאים ג'ון קוקרופט וארנסט וולטון מאוניברסיטת קיימברידג' הצליחו להאיץ גרעיני מימן, עד שפגעו בגרעינים של ליתיום. בהתנגשות נוצרו שני גרעינים של הליום (חלקיקי α, המכילים שני פרוטונים ושני נייטרונים), אשר נעו במהירות גבוהה בכיוונים הפוכים. סכום המסות של הפרוטון וגרעין הליתיום הוא יותר גדול מן המסה של שני חלקיקי α. המסה שהלכה לאיבוד בתהליך הזה הפכה לאנרגיה הקינטית של שני חלקיקי α. כך אישר ניסוי זה את התופעה של הפיכת מסה לאנרגיה, והוכיח שהמאזן הכמותי בין שתיהן נקבע על ידי הנוסחה E=mc^2.

### פיתוחים אלטרנטיביים של הנוסחה
במהלך חייו, איינשטיין פרסם גזירות רבות של נוסחת שקילות המסה-אנרגיה, שמבוססות על ניסויי מחשבה בעלי עקרונות שונים, ומבארות אותה מנקודות מבט שונות. ב-1946, איינשטיין פרסם שני מאמרים על שקילות המסה והאנרגיה: "גזירה אלמנטרית של השקילות בין מסה ואנרגיה", ו-"E=mc^2: הבעיה הדחופה ביותר של זמננו". בראשון מבין המאמרים הללו, איינשטיין הציג טיעון מחשבתי פשוט יחסית - שהוא עצמו וריאציה להוכחה שנתן ב-1905 - המדגים מדוע המסה האינרציאלית של גוף משתנה בשיעור \Delta M=\Delta E/c^2 כאשר תכולת האנרגיה שלו משתנה בשיעור \Delta E. במאמרו, איינשטיין עיבד את טיעונו כך שיעשה שימוש מינימלי ברעיונות של הפיזיקה המודרנית, ולמעשה טיעונו לא השתמש כלל בטרנספורמציות לורנץ אלא רק בחוק שימור התנע ובנוסחה הקלאסית (הלא יחסותית) לאברציה הכוכבית של אור.

טיעונו היה כזה. גוף בעל מסה M המצוי במנוחה במערכת המעבדה, פולט ברגע מסוים שני פוטונים בעלי תנעים שווים בגודלם (שנסמנו p_{\gamma}) בכיוונים הפוכים: אחד נפלט מעלה והשני מטה. כעת, נניח שאותו התהליך נצפה במערכת הייחוס של צופה הנע שמאלה במהירות קטנה v (לא יחסותית), כך שמנקודת מבטו של הצופה הגוף נע ימינה במהירות v. בעוד שבמערכת המעבדה פליטת הפוטונים בכיוון האנכי אינה מלווה בשינוי תנע אופקי של הגוף (כי הפוטונים נושאים רק תנע אנכי, וגם השקול שלו מתאפס), במערכת הצופה הנע פליטת הפוטונים כן מלווה בשינוי תנע אופקי של הגוף, כי הפוטונים נושאים עמם תנע אופקי בשיעור כולל של 2p_{\gamma}(v/c). כך נובע מחוק האברציה הכוכבית, המראה כי קרני האור המייצגות את הפוטונים מתקדמות בזוויות \theta \approx v/c ביחס לאנך. במערכת המעבדה, הגוף אינו משנה את מהירותו, וכך גם צריך להיות במערכת הצופה הנע; לפיכך במערכת הצופה הגוף נע ימינה במהירות v לפני ואחרי פליטת הפוטונים. כיוון שהטיעון מראה שהתנע האופקי של הגוף (המכוון ימינה) חייב לקטון בשיעור 2p_{\gamma}(v/c) על מנת שחוק שימור התנע יתקיים, בעוד שמהירות הגוף לא יכולה להשתנות, הגודל המדיד היחיד שיכול (וחייב) להשתנות הוא המסה האינרציאלית M, שכעת תקבל ערך קטן יותר m. פורמלית, מתקיים:
:(M-m)v=2p_{\gamma}(v/c)\implies \Delta M = M-m = 2p_{\gamma}/c.
האנרגיה שנשאו עימם הפוטונים היא \Delta E = 2p_{\gamma}c, כך שמקבלים \Delta M=\Delta E/c^2. בגרסה אחרת של גזירה זאת איינשטיין לא השתמש במושג הפוטון, ובמקומו נעזר במושג של לחץ הקרינה שמפעילים גלים אלקטרומגנטיים כדי לתאר את האינטראקציה בין הגוף לקרני האור; מפיתוח מתוך תורת האלקטרומגנטיות של מקסוול עולה ששטף האנרגיה J (הספק ליחידת שטח) של קרינה אלקטרומגנטית הנבלעת בגוף קשור ללחץ הקרינתי P_{rad} שהיא מפעילה עליו דרך הנוסחה J=P_{rad}c. בגרסה זאת הפוטונים נבלעים בגוף במקום להיפלט ממנו. בכל אופן, הרעיון הסמוי בניסוי מחשבה זה הוא ההשוואה למערכת ייחוס שבה התנע הכולל של הפוטונים מתאפס (בפיתוח זה למעשה מתחילים ממערכת ייחוס כזו, כלומר פועלים בסדר הפוך), כך שנכונות הטיעון במקרה הכללי נובעת מההנחה שתמיד קיימת מערכת ייחוס כזו - זו אכן תמיד קיימת, ומכונה מערכת מרכז התנע (בגבול של מהירויות לא יחסותיות מערכת זו מתלכדת עם מערכת מרכז המסה). 
   
וריאציה על טיעונו של איינשטיין ניתנה על ידי הפיזיקאי האמריקני פריץ רוהרליך ב-1990, ובה הצופה נע על אותו ציר שבו מתקדמים הפוטונים הנפלטים מהגוף הנייח במערכת המעבדה. במקרה זה, שני הפוטונים הנפלטים עוברים הסחת דופלר לאדום ולכחול, כך שבמערכת הצופה הנע הם נושאים עמם תנע אנכי כולל שונה מאפס, ופליטתם מלווה בשינוי תנע אנכי של הגוף. בדומה לטיעונו של איינשטיין, גם כאן שינוי התנע חייב לנבוע מתוך שינוי המסה של הגוף, וחישוב מפורט באמצעות נוסחאות הסחת דופלר מאשר שמסתו של הגוף פוחתת בשיעור \Delta E/c^2.

## השלכות
### השלכות תאורטיות
#### ערעור המכניקה הקלאסית

הנוסחה ערערה חלק מהעקרונות שהתקבלו קודם לכן על ידי הקהילה המדעית, כגון אחת ההנחות של המכניקה הקלאסית של ניוטון, לפיה לגוף במנוחה אין אנרגיה. על פי הנוסחה של איינשטיין, לעומת זאת, לגוף במנוחה יש אנרגיה – בצורת מסה.

למרות זאת, המכניקה הניוטונית יכולה להתקיים במצבים מסוימים ללא סתירה ל-E=mc². המכניקה הניוטונית התייחסה למצבים פשוטים ויומיומיים, שהתנועה בהם הייתה כה איטית ביחס למהירות האור עד שהיה אפשר להתעלם ממנה. כך הצליחה להסביר היבטים שונים בהנדסה ובפיזיקה, מלבד הנושאים העוסקים בחקר האטומים וגרמי השמיים. לכן, המכניקה הניוטונית ניתנת לשימוש לגבי תופעות מסוימות, אך ההשקפה הכללית שלה מוטעית; ניוטון האמין כי המרחב והזמן הם ישויות פיזיקליות "מוחלטות" - קבועות ויציבות לחלוטין, וקביעה זו הייתה בסיס מרכזי לתאוריות שלו. אך כיום, לאחר תורת היחסות, נחשבים עקרונותיו של ניוטון כמקרה פרטי מתוך מערכת רחבה יותר.

#### מקור אנרגיית הכוכבים

לאחר פרסום הנוסחה וקבלתה, מדענים רבים ניסו להסביר באמצעותה את מקור האנרגיה של השמש; ההבנה שאנרגיה רבה כל כך עשויה להיות אצורה במסה קטנה כל כך, אפשרה להבין את מקור האנרגיה של השמש ושאר הכוכבים ביקום. אך עד אז הניסויים הוכיחו את יעילות הנוסחה בחומרים רדיואקטיביים בלבד, ולא נמצאו שום עקבות של חומרים רדיואקטיביים על השמש. בתחילת המאה ה-20, הדעה הרווחת הייתה שהשמש עשויה מ-66% ברזל טהור. מתכות רדיואקטיביות פולטות אנרגיה בקלות משום שהאטומים שלהם לא יציבים ומתפרקים במהירות. ברזל, לעומת זאת, הוא יסוד יציב במיוחד. אילו השמש הייתה עשויה מברזל היא לא הייתה מסוגלת לפלוט אנרגיה רבה כל כך במשך זמן רב.

בשנת 1925 הצליחה ססיליה פיין לפתור את הבעיה. היא קראה את קווי הספקטרוסקופ בצורה אחרת, והגיעה למסקנה שהשמש מורכבת בעיקר ממימן, ומכילה גם מעט הליום. על פני כדור הארץ אטומי מימן לא נוטים להתפרק באופן טבעי, משום שהם לא נתונים ללחץ גבוה. אך כשהם נמצאים במרכזה של השמש, תחת לחץ גדול, גרעיני המימן עשויים להילחץ ולהיצמד זה לזה עד שבמשך הזמן יתמזגו ויהפכו לאטומי הליום.

מסתו של אטום מימן אחד היא 1 גרם למול. לכן, מסתם של ארבעה אטומי מימן נפרדים היא 4 גרם למול. אך כאשר ארבעה אטומי מימן מתאחדים לאטום הליום אחד, הוא ישקול 3.971 גרם למול. 0.7 האחוזים הנותרים צצים כאנרגיה ונפלטים מהשמש בצורת אור, בדיוק על פי הנוסחה. זוהי כמות זעירה, אך השמש גדולה מספיק כדי לספק לכדור הארץ חום ואור. בכל שנייה הופכת השמש 4,000,000 טונות מימן לאנרגיה טהורה. תהליך זה נקרא היתוך גרעיני.

#### גילוי הביקוע הגרעיני

בשנת 1938 הוביל אוטו האן סדרת ניסויים שבמהלכם הוזרמו נייטרונים מואטים אל תוך חלקיקי אורניום, בציפייה ליצירת יסוד חדש - כבד יותר מן האורניום. אך למרות המשאבים הרבים שהושקעו בניסוי, החוקרים לא הצליחו לזהות חומר חדש. האן גילה שהאורניום למעשה התפרק לבריום, אך הוא לא הבין כיצד הזרמת הנייטרונים גרמה לכך. הוא דיווח על תוצאותיו כך: 

האן ביקש את עזרתה של הפיזיקאית ליזה מייטנר, ששהתה בשוודיה, והיא נענתה לבקשתו וניסתה לפתור את הבעיה יחד עם אחיינה, הפיזיקאי אוטו פריש. פריש תיאר זאת כך:

לפי חישוביהם, המטען החשמלי של הפרוטונים בתוך הגרעין מנה כ-200 MeV - כמות אנרגיה עצומה. פריש תיאר את ההתרגשות שאחזה בהם:
 כאשר הנייטרונים פגעו בגרעיני אורניום, הם החלו להתנודד ולהתארך כמו טיפות נוזל. עיוות הצורה עשוי להוריד את עוצמת הכוח הגרעיני החזק שמלכד את הגרעין, ואז כוח הדחייה החשמלית יכול לפרק את הגרעין וליצור חומר חדש תוך פליטת אנרגיה רבה.

כך התגלה רעיון הביקוע הגרעיני, שהיווה את הבסיס לפיתוחה של פצצת הביקוע הגרעיני מאוחר יותר.

#### פיתוח תורת היחסות הכללית

פוטון הוא "חלקיק" של אור, ונוסחת איינשטיין מעניקה לו מסה זעירה. אם כל גוף בעל מסה מושפע מכוח הכבידה, אזי פוטונים אמורים גם הם להיות מושפעים ממנו. אם כוח הכבידה משנה את מסלול הגופים וגורם לסטייה במסלולם כאשר הם עוברים בסמוך לגוף מסיבי, אזי הגוף המסיבי צריך לשנות את מסלולו של פוטון. אם כוח הכבידה גורם לגופים לאבד אנרגיה כאשר הם נמלטים מהשפעתו של גוף מסיבי, אז פוטון צריך לאבד אנרגיה כאשר הוא עוזב גוף מסיבי. תובנות אלה הובילו את איינשטיין להישגו הגדול ביותר: תורת היחסות הכללית, שעוסקת בכוח הכבידה והשפעותיו.

#### מחקר על חורים שחורים

בשנת 1930 הגה סוברהמניאן צ'נדראסקאר תאוריה יוצאת דופן בנוגע לאופן פעולתם של חורים שחורים: על פי E=mc², כוכב גדול ודחוס שיהפוך את מלאי המסה שלו לאנרגיה במשך זמן ארוך מספיק ייאלץ בסופו של דבר לאבד את המסה המרכזית שלו, וליבתו הריקה תהיה נתונה בלחץ עצום. לפי אותה תאוריה, הלחץ, שהוא סוג של אנרגיה, שווה לכמות של מסה. הכבידה של שריד הכוכב תתעצם בשל המסה הזו, אך תפעל כלפי פנים הכוכב והלחץ יגבר עוד יותר. תוספת הלחץ תתנהג שוב כתוספת מסה והכבידה תתעצם עוד ועוד, עד היווצרות חור שחור בעל כוח משיכה עצום.

תאוריה זו תפסה מקום חשוב בתפיסה המודרנית של חורים שחורים, וזיכתה את צ'נדראסקאר בפרס נובל שנים רבות לאחר מכן.

### שימושים מעשיים
#### פצצת האטום
[ממוזער|כריכת המגזין "[טיים (מגזין)|טיים" עם ציור של איינשטיין, כשברקע פצצת האטום והנוסחה.]]

הנוסחה הייתה הכרחית לפיתוח פצצת האטום, משום שאופן פעולתה של הפצצה מתבסס על תהליך הביקוע הגרעיני. בנוסף למעורבותו של איינשטיין בפיתוח הרקע התאורטי לבניית הפצצה, שמו נקשר אליה משום שתמך בפיתוחה על ידי ארצות הברית בחתימתו על מכתב איינשטיין-סילארד וכך גרם להטלת הפצצה על הירושימה ונגסאקי, על אף שלא השתתף באופן אישי בפרויקט מנהטן. מעורבותו בפיתוח המעשי של הפצצה הדגישה גם את הקשר המדעי בין E=mc² לפצצת האטום.

איינשטיין עצמו המעיט בחשיבות תרומתו המדעית לפיתוח הפצצה. בשנת 1955 כתב להיסטוריון צרפתי:

#### מכשור רפואי

בבתי חולים הנוסחה משמשת בקביעות במכשירים שונים לאבחון וטיפול רפואי. טיפול רדיותרפיה, למשל, פועל באמצעות כמויות זעירות של חומרים רדיואקטיביים המכוונים אל הגידולים. כשגרעיני החומר הרדיואקטיבי הלא יציבים מתפרקים, נעלמת לכאורה מסה; האנרגיה הנוצרת מכוונת בעוצמה שדי בה להרוס את הגידול.

טכניקת ההדמיה הרפואית טומוגרפיית פליטת פוזיטרונים מתבססת גם היא על התאוריה של איינשטיין. חומר רדיואקטיבי מוזרק לדמם של הנבדקים ומתפרק שם במהירות. עקבות האנרגיה הנובעת מן המסה הנהרסת מתועדים ביוצאם מן הגוף, וכך מתאפשר דימות מדויק של זרימת הדם או ספיגת תרופות בגוף.

#### יישומים נוספים
[שמאל|ממוזער|250px|עובדי [אוניית מלחמה|ספינת הקרב האמריקאית הראשונה שהונעה באנרגיה גרעינית יוצרים את צורת הנוסחה על הסיפון, 18 ביוני 1964.]]
הנוסחה באה לידי שימוש גם במכשירים יומיומיים שונים. למשל: גלאי עשן סטנדרטי מכיל בדרך כלל כמות קטנה של אמריציום. הגלאי משתמש באנרגיה שהוא שואב מן האמריציום, לפי הנוסחה, וכך מייצר במשך שנים קרן טעונה רגישה לעשן.

מדינות רבות משתמשות ברעיון הפקת האנרגיה ממסה (על ידי ביקוע גרעיני) על מנת להפיק אנרגיה חשמלית. בצרפת, לדוגמה, 75% מהאנרגיה החשמלית מגיעים ממקור זה, שידידותי לסביבה יותר מאשר שריפת פחם ומאפשר הפקת אנרגיה רבה ממסה קטנה יחסית.

הנעה גרעינית משמשת גם צוללות גרעיניות, ומספקת למנוע הצוללות אנרגיה מספיקה לשייט ארוך במהירות גבוהה יחסית, מבלי לעלות אל פני המים לעיתים קרובות כדי לספק חמצן למנוע.

### השפעה תרבותית
[שמאל|ממוזער|200px|עטיפת האלבום [E=MC² (אלבום)|E=mc² מאת מריה קארי]]
הנוסחה נחשבת כיום לאחת הנוסחאות המפורסמות ביותר מתחום הפיזיקה, ומסמלת תרבות ומדע. היא מזוהה מאוד עם אלברט איינשטיין ומופיעה פעמים רבות יחד עם דמותו. היא מודפסת על בגדים, בפרסומות למוצרים מסחריים, על שטרות ומטבעות, ומדינות רבות הנפיקו בול שעליו דמותו של איינשטיין יחד עם הנוסחה.

בשנת 2008 פרסמה הזמרת-יוצרת האמריקאית מריה קארי אלבום מוזיקה בשם E=mc², כפרפרזה על הנוסחה.

בשנת 1985 פרסמה להקת Big Audio Dynamite סינגל בשם E=mc² כסינגל מוביל לאלבום הבכורה שלהם, This Is Big Audio Dynamite.
בשנת 1979 פרסם המפיק האיטלקי ג'ורג'ו מורודר אלבום אולפן בשם E=mc².

לכבוד שנת הפיזיקה העולמית הועלתה בלונדון יצירת מחול בשם Constant Speed מאת הכוריאוגרף הלונדוני מרק בודווין, המתמקדת בנוסחה E=mc² ובתנועה הבראונית, שבוצעה למוזיקה של פרנץ להאר ויצירות נוספות מהתקופה.

## לקריאה נוספת
*דייוויד בודאניס, **E=mc<sup>2</sup>: סיפורה של התגלית הגדולה בהיסטוריה**, תרגם מאנגלית: יניב פרקש, בהוצאת כתר, 2002
* רוברט פ' קריז, **המשוואות הגדולות – פריצות דרך במדע מפיתגורס עד הייזנברג**, כתר ספרים, 2008, עמ' 161–190

## קישורים חיצוניים

*
* יום הולדת מאה שמח ל־E=mc² של אלברט איינשטיין, BBC 
*על האלקטרודינמיקה של גופים נעים - המאמר המקורי 
* האם ההתמדה של גוף תלויה בתכולת האנרגיה שלו? - המאמר המקורי 
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת היחסות הפרטית
קטגוריה:אנרגיה
קטגוריה:משוואות