מסנן מתואם

בעיבוד אותות, **מסנן מתואם** (באנגלית: **matched filter**) הוא מסנן ליניארי המשמש לזיהוי תבנית ידועה בתוך אות או שדה נתונים מורעש, בין אם מדובר באות בזמן, בתמונה במרחב, או בנתונים רב־ממדיים אחרים. עקרון הפעולה של המסנן המתואם מבוסס על השוואת אות או תבנית ידועה באמצעות קונבולוציה או מתאם צולב  המאפשרים לזהות את נוכחות התבנית באות ואת מיקומה בו בדיוק מרבי. המסנן המתואם הוא המסנן הליניארי האופטימלי למקסום יחס האות לרעש (SNR) בנוכחות רעש אקראי, ובפרט רעש לבן.

מסננים מתואמים מיושמים במגוון תחומים. בעיבוד אותות בזמן הם נמצאים במערכות מכ"ם, שבהן נשלח אות בתבנית ידועה, ומנסים לאתר רכיבים התואמים לאות המשודר באות המוחזר. דוגמה בולטת לכך היא טכניקת דחיסת פולס, שבה התגובה להלם של המסנן מתואמת לפולסי הקלט, מה שמאפשר שיפור בהפרדה בתחום הזמן. בעיבוד תמונה ובמדידות מרחביות, מסננים מתואמים דו־ממדיים או רב־ממדיים משמשים לשיפור יחס האות לרעש ולאיתור תבניות ידועות בתמונותף כגון בתצפיות רנטגן וביישומים מדעיים נוספים, כמו סייסמולוגיה ואסטרונומיית גלי כבידה.

מבחינה מתמטית, המסנן המתואם מבצע קונבולוציה של האות הלא ידוע עם גרסה מהופכת, בזמן או במרחב, ומצומדת של התבנית הידועה. סינון מתואם נחשב גם לטכניקת מיצוי אפנון (demodulation) המבוססת על מסננים ליניאריים  לשם מקסום יחס האות לרעש. לעיתים נקרא המסנן המתואם גם **קורלטור**, ובמקור היה מוכר בשם **מסנן נורת**' (North Filter).

## הסבר
כאשר אות מידע עובר בערוץ, נוסף לו רעש. כאשר האות המורעש נקלט במקלט, יש צורך לפענח את האות, כלומר לקבוע מהו האות המקורי על פי האות הנקלט. במשדר הועבר המידע דרך מסנן בעל תגובה להלם p(t) ובמקלט ידועה צורת הגל אשר מייצג המסנן. על ידי בדיקת המתאם הצולב (קרוס-קורלציה) בין האות הנקלט לתבנית p(t) ניתן לקבוע אם ברגע נתון האות הנקלט אכן מכיל את המידע המיוצג בתבנית.

מתאם צולב (קרוס־קורלציה) בין שני אותות הוא מדד להתאמה בין האותות. מוצא המסנן המתואם הוא המתאם הצולב בין האות הנקלט x(t) לצורת הגל הבסיסית p(t):

:R_{xp} = \operatorname E\left[x(t)p^*(t-\tau) \right]

העברת אות x(t) במסנן h(t) מיוצגת מתמטית באמצעות קונבולוציה, שמשקפת בזמן את התגובה להלם של המסנן בו מעבירים את האות. כדי לבצע פעולת מתאם צולב בין האות הנקלט x(t) לתבנית p(t), מגדירים את המסנן המתואם כשיקוף בזמן והצמדה של התבנית p(t), כלומר המסנן המתואם הוא:

ומתקבלת הנוסחה למתאם הצולב לעיל.

לעיתים מוגדר המסנן המתואם כך:

הגדרה זו משמשת במקום h(t)=p^*(-t) כדי ששיא הפלט של המסנן המתואם יופיע ברגע t=T, בסוף תחום האות, דבר שנוח לתזמון הגילוי.

## דוגמאות
### מסנן מתואם במערכות תקשורת ספרתיות
מסנן מתואם נמצא בשימוש גם במערכות תקשורת ספרתיות בהקשר של מידע בינארי הנשלח מהמשדר למקלט דרך ערוץ רועש, המסנן המתואם יכול לזהות את הפולסים המועברים באות הרועש שהתקבל.
קובץ:Matched_Filter_Total_System.jpg

לדוגמה, נניח שרוצים לשלוח את הרצף "0101100100" מקודד בקוד קו  NRZ  דרך ערוץ כלשהו.

סדרת ערכים בינאריים מקודדת בקוד קו NRZ מתוארת על ידי פולסי יחידה (פונקציות מלבן מוזזות), כאשר כל ערך פולס כזה ממושקל על ידי 1+ אם הביט הוא "1" ועל ידי 1- אם הביט הוא "0". באופן פורמלי, הייצוג המתמטי עבור הפולס ה-k^\mathrm{th} הוא:

:a_k = \begin{cases} +1, & \mbox{if bit } k \mbox{ is 1}, \\ -1, & \mbox{if bit } k \mbox{ is 0}, \end{cases} 

ניתן לייצג את אות המידע M(t) כסכום פולסי יחידה מוזזים:

:M(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_k \cdot \Pi \left( \frac{t-kT}{T} \right) 

כאשר T הוא האורך של ביט בודד באות המשודר.

לכן האות שישדר המשדר הוא:

400x400 פיקסלים

אם נמדל את הערוץ הרועש כ-AWGN (רעש גאוסי לבן חיבורי), אז האות שיתקבל במקלט עבור יחס אות-לרעש של 3dB למשל, יכול להיראות כך:

400x400 פיקסלים

באות המורעש קשה להבחין באופן ברור ברצף המידע המועבר. אם יחס האות-לרעש יהיה קטן יותר ההבחנה תהיה קשה יותר. אם המקלט דוגם את האות ברגעי הדגימה המתאימים, ייתכן מאוד שהאות הדגום יהיה שונה מאות המידע המקורי.

כדי להגדיל את יחס האות-לרעש מעבירים את האות שהתקבל דרך מסנן מתואם. התגובה להלם של המסנן המתואם האידיאלי לכך (בהנחה שהרעש לבן) היא היפוך בציר הזמן והצמדה של התבנית שאת נוכחותה מחפשים. בדוגמה לעיל, המסנן צריך להיות מתואם לפולס NRZ. מכיוון שהתבנית (הפולס) סימטרית וממשית אז ההיפוך והצימוד של h(t) הוא פשוט h(t). לכן התגובה להלם של המסנן המתואם בדוגמה צריכה להיות h(t).

לאחר קונבולוציה של המסנן המתואם עם אות המידע שנקלט, יתקבל האות המסונן M_\mathrm{filtered}(t):

:M_\mathrm{filtered}(t) = M(t) * h(t)

שנראה כך:

400x400 פיקסלים

כעת בטוח יותר לדגום את האות ברגעי הדגימה המתאימים ולהשוות דגימות אלו למתח הסף ולשחזר את הרצף הבינארי המבוקש:

400x400 פיקסלים

### מסנן מתואם במערכות איכון
מסננים מתואמים נמצאים גם בשימוש רב במערכות איכון כגון מערכות מכ"ם ומערכות סונאר. בין היתר לצורכי ניווט, גילוי, מדידת טווחים ועוד. למשל, כאשר רוצים למדוד את המרחק לעצם כלשהו, שולחים אות סינוסי בתדר 1Hz לכיוון העצם, והאות שמקבלים בחזרה הוא אות מורעש ומוסט פאזה. ולכן כדי למצוא את המרחק לעצם מבצעים קורלציה לאות המתקבל עם המסנן המתואם, והאות במוצא המסנן יהיה ברור יותר למתח הסף. ועל ידי חישוב פשוט של משך זמן חזרת האות ניתן להעריך את המרחק לעצם.

## ראו גם
* משפט הדגימה של נייקוויסט-שאנון

## קישורים חיצוניים

* https://www.youtube.com/watch?v=voh0UmXp_B4

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:עיבוד אותות
קטגוריה:תקשורת