משפט הצפיפות הכללי

באלגברה, **משפט הצפיפות הכללי** (General density theorem) הוא משפט על מודולים פשוטים למחצה ו**ההצגה הרגולרית** מעליהם. ממשפט זה נובע **משפט הצפיפות של ג'ייקובסון**, אשר בעזרתו מוכיחים את משפט ודרברן-ארטין.

## הקדמה
יהי מודול שמאלי _R M מעל חוג R. יהי T=\operatorname{End}(_R M) חוג האנדומורפיזמים של M, כמודול שמאלי מעל R. אזי M הוא מודול ימני מעל T לפי הפעולה x \cdot S = S(x), ולמעשה הוא מהווה בי-מודול, שמאלי מעל R וימני מעל T.

יהי \hat{R}=\operatorname{End}(M_T), חוג האנדומורפיזמים מעל M בתור מודול ימני מעל T=\operatorname{End}(M), ונגדיר \phi:R \to \hat{R} על ידי a \mapsto [x \mapsto ax]. זהו הומומורפיזם בין חוגים, בעל גרעין \ker \phi = \operatorname{Ann}(_R M)=\{a \in R : aM=0\}, המאפס של _R M, ולכן מהווה שיכון כאשר המודול נאמן.

תת חוג R_0 \subseteq \hat{R} נקרא **<math>n</math>-צפוף** ב-\hat{R} אם לכל \phi \in \hat{R} ולכל x_1, \dots ,x_n \in _R M _T קיים \phi_0 \in R_0 כך ש-\phi(x_i)=\phi_0(x_i)=a_0x_i. מונח זה באמת מתאר צפיפות במובן הטופולוגי - ניתן להגדיר טופולוגיה על \hat{R}, בעלת תת-בסיס המורכב מהקבוצות B(\varphi,x) = \{\psi \in \hat{R}: \psi(x)=\varphi(x)\}. נובע ש-R_0 \subseteq \hat{R} הוא **<math>n</math>-צפוף** לכל n אם ורק אם הוא צפוף במובן הטופולוגי.

## ניסוח
יהי _R M מודול פשוט למחצה. אז תמונת R ב-\hat{R} צפופה.

כלומר: לכל \phi \in \hat{R} ולכל x_1, \dots ,x_n \in R קיים a \in R כך ש-\phi(x_i)=ax_i.

## הוכחה
ניעזר בלמה:

**למה**: נניח ש-M=N \oplus N', אז לכל \varphi \in R מתקיים \varphi(N) \subseteq N.

*הוכחת הלמה*: ידוע כי כאשר M=N \oplus N' קיים אידמפוטנט e \in T כך ש-\operatorname{Im}(e)=N. לכן, מתקיים \varphi(e(x)) = \varphi(xe)=\varphi(x)e=e(\varphi(x)) \in \operatorname{Im}(e)=N .

כעת, נוכיח את ש-\phi(R) היא 1-צפופה ב-\hat{R}. לכל x \in M, נביט ב-N=Rx; לפי הלמה:\varphi(x)\in \phi(Rx) \subseteq Rx, כלומר קיים a \in R כך ש-\varphi(x)=ax, כדרוש.

לכל n אחר, נפעיל את המקרה הקודם עבור M^n, עבורו M^{n} \cong M_n(T), חוג מטריצות מעל T. לפי המקרה n=1, תמונת R היא 1-צפופה ב-\hat{R}^n = \operatorname{End}(M^n_{T^n}). כעת נגדיר \varphi^n=\varphi \oplus \dots \oplus \varphi; מתקיים \phi^n \in \hat{R}^n, ולכן לפי החלק n=1 יש a \in R כך ש-\varphi^n(\bar{x})=a\bar{x}, כלומר \varphi(x_i)=ax_i, כדרוש.

## משפט הצפיפות של ג'ייקובסון
מקרה פרטי וחשוב של משפט הצפיפות הכללי הוא משפט הצפיפות של ג'ייקובסון (Jacobson density theorem), על שם המתמטיקאי נתן ג'ייקובסון.

יהי _R M מודול פשוט ונאמן, ונסמן D=\operatorname{End}(_R M). אזי לכל y_1,\dots,y_n \in M_D ולכל x_1,\dots,x_n \in M_D בלתי תלויים מעל D, קיים a \in R כך ש-ax_i=y_i.

### הוכחה
M פשוט ולכן פשוט למחצה, ולפי הלמה של שור D חוג עם חילוק. לכן, ניתן להשלים את x_1,\dots,x_n לבסיס. נגדיר \varphi \in \operatorname{End}(M_D) על ידי \varphi(x_i) = y_i ולכל איבר בסיס אחר אפס. כעת נפעיל את משפט הצפיפות הכללי, ונקבל שקיים a \in R כך ש-ax_i=y_i, כדרוש.

### מסקנות
משפט הצפיפות של ג'ייקובסון הוא משפט חשוב בתורת המבנה של חוגים לא קומוטטיביים.

כמסקנה מידית, נקבל כי אם  \operatorname{dim}(D) , אז R \cong M_n(D). האיזומורפיזם נתון, בעזרת משפט הצפיפות, כך: נקבע בסיס x_1, \dots , x_n עבור D. לכל a \in R מתאימים את ההעתקה \sum{x_i d_i} \mapsto \sum{a x_i d_i}; מיפוי זה מוגדר היטב, חד-חד ערכי (כי M נאמן), ועל בגלל משפט הצפיפות - לכל מטריצה (או בשקילות אנדומורפיזם מעל D) הפעולה על הבסיס (הסופי) נקבעת על ידי כפל משמאל באיבר כלשהו a.

משפט ודרברן-ארטין, הקובע את המבנה של חוגים ארטיניים פשוטים, נובע מהמסקנה לעיל כמעט ישירות.

## ראו גם
*משפט ודרברן-ארטין

צפיפות
צפיפות