משפט כריך החזיר

**משפט כריך החזיר** (אנגלית: **Ham sandwich theorem**) הוא משפט בעל שימושים בטופולוגיה, קומבינטוריקה ותורת המידה.

המשפט נוסח על ידי הוגו שטיינהאוס והוכח על ידי סטפן בנך.

שמו של המשפט מגיע מהניסוח הציורי הבא: "ישנו כריך עם בשר חזיר (ham sandwich) במרחב ה-d ממדי בעל d מילויים שונים. אז ניתן לחתוך אותו בסכין ישרה כך שכל אחד מהמילויים מתחלק שווה בשווה בין הצדדים". עבור d=2 הוא לעיתים מכונה "משפט הפנקייק". שמות נוספים הם "משפט הלחם, חזיר וגבינה" ( bread and cheese and ham) ו"משפט סטון-טוקי".

## נוסח פורמלי
יהיו A_1,...A_d קבוצות במרחב ה־d ממדי \mathbb{R}^d מנפח סופי.

בהינתן על מישור H מהצורה H=\{x\in\mathbb{R}^d:x\cdot u\}, נגדיר H^+=\{x:x\cdot u>0\},H^-=\{x:x\cdot u (יש לשים לב שהגדרות אלה שרירותיות ותלויות בבחירת u; עם זאת, המשפט סימטרי ביחס אליהן, אז זה בסדר).

המשפט קובע שקיים על-מישור H מממד d-1 כך שלכל i, הנפח של הקבוצות A_i\cap H^+,A_i\cap H^- זהה.

## הוכחה למקרה d=2
[ממוזער|הדגמה באמצעות מפת [בריטניה ואירלנד. כל ישר סגול חותך את השטח הסגול לשניים (מכיוון אחר), וכל ישר ירוק חותך את השטח הירוק. הישר השחור חותך את שניהם יחדיו.]]
במקרה d=2 אפשר להוכיח באופן הבא: יהיו A,B קבוצות במישור עם נפח סופי. אז לכל כיוון של ישר, אם מרימים אותו מספיק יהיה מצד אחד יותר מחצי מ-A, ואם מורידים אותו מספיק, יהיה באותו צד פחות מחצי. ממשפט ערך הביניים יש הזזה בה כל צד הוא בדיוק חצי.

כעת נבחר כיוון שרירותי כלשהו, נמצא את ההזזה בה הוא חותך את A לשני חלקים שווים, ונבדוק מה הוא עושה ל-B. אם הוא חותך אותה לחלקים שווים, סיימנו. אם לא, נתחיל לסובב אותו ותוך כדי נזיז אותו כדי שימשיך לחתוך את A לשני חלקים שווים. אחרי סיבוב של 180 מעלות, נקבל את אותו ישר שהתחלנו ממנו אך חלקי B נמצאים בצדדים ההפוכים (כלומר אם קוראים לאחד הצדדים שרירותית "מעל הישר" ולשני "מתחת", אז אחרי הסיבוב מה שהיה מעל הישר כעת מתחתיו וההפך).

אם נגדיר את הפוקנציה f לקבל כיוון ולהחזיר את \mu(B\cap H^+)-\mu(B\cap H^-) (כאשר \mu היא פונקציית השטח ו-H^+, H^- הם חצאי המישור הנקבעים על ידי H), נקבל ש-f חיובית בנקודת ההתחלה ושלילית בנקודת הסוף. יתרה מכך, ניתן לבחור את ההזזות כך ש-f תהיה רציפה (זאת טענה ברורה אינטואיטיבית אך מעצבנת להוכחה טכנית ועל כן נוהגים להוכיח אותה ב"קל לראות"). לכן, ממשפט ערך הביניים יש נקודה בה היא מתאפסת, ואז \mu(B\cap H^+)=\mu(B\cap H^-). כמו כן מההגדרה גם \mu(A\cap H^+)=\mu(A\cap H^-) כרצוי.

## הוכחה למקרה הכללי
בהינתן כיוון u (כלומר וקטור u \in\mathbb{R}^d כך ש-||u||=1, נסמן ב-H_u את העל מישור שמאונך לו (פורמלית, H_u^+=\{x \in \mathbb{R}^d:x\cdot u=0\}) כמו כן, H_u^+=\{x \in \mathbb{R}^d:x\cdot u>0\}, H_u^-=\{x \in \mathbb{R}^d:x\cdot u. ניתן לראות שH_u=H_{-u} וכן H^-_u=H^+_{-u} (כלומר, היפוך הווקטור משמר את H אך מחליף את צדדיו).

נגדיר פונקציה f:S^d \to \mathbb{R}^d (כאשר S^d זאת הספירה ה-d ממדית) בצורה הבאה: ראשית לכל 1\le i \le d נגדיר f_i(u)=\mu(A\cap H_u^+)-\mu(A\cap H_u^-). כעת נגדיר f(u)=(f_1(u),...,f_d(u)). אז f רציפה, וכן f(u)=-u (משום שהוא מחליף בין H^+ ל-H^-. ממשפט בורסק אולם יש u שבו f(u)=0, ואז H_u הוא העל מישור הרצוי.

## הכללות
באופן כללי יותר, אם \mu_1,...\mu_d מידות בורל במרחב ה-d ממדי כך ש-\mu_i(\mathbb{R}^d) סופי לכל i וכן \mu_i(H)=0 לכל היפר מישור H, אז קיים היפר מישור H כך שלכל i, מתקיים \mu_i(H^+)=\mu_i(H^-).

הכללה אחרת היא החלפת המישור ביריעה אלגברית. אם p פולינום ב-d משתנים מדרגה עד k, נגדיר H_p^+=\{x:p(x)>0\},H_p^-=\{x:p(x). אז עבור N=\binom{d+k}{d} - 1, לכל \mu_1,...\mu_N סופיות ו-0 על קבוצות זניחות יש פולינום p כך ש-\mu_i(H^+_p)=\mu_i(H^-_p).

## משפט כריך החזיר הדיסקרטי
ממוזער|הקו מחלק את הנקודות האדומות ואת הכחולות (שאינן על הקו) לחלקים שווים.
משפט כריך החזיר מניח רציפות ועל כן לא תקף כלשונו לקבוצות דיסקרטיות. אך קיימות למשפט גם גרסאות עבור קבוצות סופיות:

אם A_1,...,A_d קבוצות סופיות במרחב ה־d ממדי, יש על מישור שכך שמספר הנקודות בכל חצי מישור זהה.

כמו כן, אם \bigcup_i A_i במצב כללי (אין d+1 נקודות על אותו על מישור) אז יש על מישור כך שמכל צד יש בדיוק \lfloor \frac{A_i}{2} \rfloor נקודות.

## קישורים חיצוניים
* 

קטגוריה:משפטים בתורת המידה
קטגוריה:משפטים בקומבינטוריקה
קטגוריה:חזיר