תורת הקבוצות – מונחים

* **[[תורת הקבוצות]]**: ענף במתמטיקה העוסק בתכונותיהן של קבוצות, ומשמש כבסיס לאקסיומטיזציה של המתמטיקה.
** **[[תורת הקבוצות הנאיבית]]**: ניסוח אינטואיטיבי של הרעיונות היסודיים של תורת הקבוצות, כפי שהתפתחה במשך השנים. 
** **[[תורת הקבוצות האקסיומטית]]**: גרסה פורמלית, בעלת ביסוס אקסיומטי מוצק, של תורת הקבוצות, שפותחה כדי למנוע סתירות ופרדוקסים כדוגמת הפרדוקס של ראסל. 

* **[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]]**: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. 

* **[[תת קבוצה]]**: קבוצה B היא **תת קבוצה** של הקבוצה A אם כל איבר של B שייך גם ל-A. נסמן זאת בצורה: B\subseteq A.

* **[[הקבוצה הריקה]]**: קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן \emptyset (שמקורו באות הנורווגית "&Oslash;" ) או בצורה {}. 
***[[יחידון]]** (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.
* **[[פעולה בינארית|פעולות]] על קבוצות**:
****[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]]**: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד. איחוד מסומן בדרך כלל כך: A\cup B.
*** הפעולה איחוד היא קומוטטיבית (חילופית) ואסוציאטיבית (קיבוצית).
** **[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]]**: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך. חיתוך מסומן בדרך כלל כך: A\cap B. 
***הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
**** מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C) ו-A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)
****[[הפרש קבוצות|הפרש]]**: ההפרש בין A ל־B הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־A ולא שייכים ל־B.
***פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
****[[הפרש סימטרי]]**: ההפרש הסימטרי של הקבוצות A ו-B הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי A שלא שייכים ל-B וכל איברי B שלא שייכים ל־A - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
***הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
** **[[מכפלה קרטזית]]**: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A,B היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאיברם הראשון שייך ל-A והשני שייך ל-B. ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
*** הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
** **[[בחירה (מתמטיקה)|בחירה]]**
***[[קבוצות זרות]]**: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
* **[[קבוצה אינסופית]]**: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.

* **[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]]**: מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר איבריה. עוצמה של קבוצה A תסומן  \left|A\right| .
**'''<math>\aleph_0</math> (אָלֶף אֶפֶס)''': עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים.
** <math>\aleph</math> או <math>\mathfrak{c}</math>: עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, נקראת גם עוצמת הרצף.

* **[[השערת הרצף]]**: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין **<math>\aleph_0</math>** ו-**<math>\aleph</math>**, זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZFC).

* **[[קבוצה בת מנייה]]**: קבוצה סופית או אינסופית שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים (אלף אפס). 
* **[[קבוצה שאינה בת מנייה]]**: קבוצה שעוצמתה גדולה מאלף אפס ולכן לא ניתן לספור את כל איבריה.
* **[[קבוצת החזקה]]**: קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה A תסומן \mathcal{P}(A).

* **[[יחס (תורת הקבוצות)|יחס]] (בינארי)**: קבוצה שמכילה זוגות סדורים, כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - A, והאיבר השני בא מקבוצה נוספת - B (לא בהכרח שונה מ-A). בכתיב פורמלי: קבוצה R תיקרא יחס מ-A ל-B אם \!\,R\subseteq A\times B.
****[[פונקציה]]**: יחס בו לכל איבר של A קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו.
*****[[פונקציה חד-חד ערכית]]**: פונקציה \!\,f:X\rarr Y  תקרא **חד-חד ערכית** (חח"ע) אם לכל y בטווח Y קיים לכל היותר *<math>x</math>* אחד בתחום X המקיים \!\,f(x)=y.
*****[[פונקציה על]]**: פונקציה \!\,f:X\rarr Y  תקרא **על** אם לכל *<math>y</math>* בטווח *<math>Y</math>* קיים לפחות *<math>x</math>* אחד בתחום *<math>X</math>* המקיים \!\,f(x)=y.
*****[[פונקציה הפיכה]]**: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל y קיים x יחיד כך ש-f(x)=y (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
** **[[יחס שקילות]]**: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה A המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
** **[[סדר חלקי]]**: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי סימטריות וטרנזיטיביות.
*** **[[סדר מלא]]**: סדר מלא הוא **סדר חלקי** בו כל שני איברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
**** **[[סדר טוב]]**: סדר טוב הוא **סדר מלא** בו לכל תת-קבוצה יש איבר מינימלי.
*** שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).

* **[[חזקה (מתמטיקה)#תורת הקבוצות|קבוצת כל הפונקציות]]** מקבוצה A לקבוצה B: קבוצה המסומנת B^A והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה A אל תוך הקבוצה B.

* **[[הפרדוקס של ראסל]]**: פרדוקס שהראה שתורת הקבוצות הנאיבית מכילה סתירות, והוביל לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.

***[[ייחוס (תורת הקבוצות)|ייחוס]]** של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.

* **משפטים:**
****[[משפט קנטור (לקבוצת החזקה)]]**: משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. המשפט קובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת התת-קבוצות שלה.
****[[האלכסון של קנטור]]**: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
****[[משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין]]**: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה A לקבוצה B, וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה B לקבוצה A, אז שתי הקבוצות שקולות.

*
קטגוריה:מונחונים