מגוון (תורת החבורות)

בתורת החבורות, **מגוון** הוא משפחה של חבורות, הסגורה ביחס לתת-חבורות, לתמונות הומומורפיות ולמכפלה ישרה (לאו דווקא סופית). כל מגוון מוגדר על ידי מערכת של זהויות, ולכן חקר המגוונים השונים שקול להבנת מערכות של זהויות. 

סריג המגוונים הוא סריג מודולרי.

## דוגמאות

אוסף החבורות האבליות \mathcal{A} הוא מגוון, המוגדר על ידי הזהות  [x_1,x_2]=1. אוסף החבורות המקיים את הזהות x^n=1 הוא מגוון ברנסייד \mathcal{B}_n. אוסף החבורות הנילפוטנטיות ממחלקה c לכל היותר הוא מגוון, המוגדר על ידי הקומוטטור המרובה באורך המתאים. גם אוסף החבורות הפתירות ממחלקה c לכל היותר הוא מגוון. עם זאת אוסף כל החבורות הנילפוטנטיות אינו מגוון (מכפלה של חבורות נילפוטנטיות שהמחלקה שלהן אינה חסומה, אינה נילפוטנטית).

לכל חבורה G, המגוון הקטן ביותר המכיל את G מסומן ב-VarG. לדוגמה, המגוון הנוצר על ידי החבורה הסימטרית S_3 מוגדר על ידי הזהויות x^6 = [x^2,y^2] = 1, והמגוון הנוצר על ידי חבורת הקווטרניונים מסדר 8 מוגדר על ידי הזהויות x^4=1, [x,[y,z]]=1. החבורה הדיהדרלית מסדר 8 יוצרת את אותו מגוון.

כל זהות של חבורה סופית מאקספוננט e שקולה לזהויות x^e = 1, w = 1 כאשר w מכפלה של קומוטטורים.

## מכפלה ופירוק
המכפלה AB של מגוונים A,B מוגדרת כאוסף ההרחבות של חבורה מ-B בחבורה מ-A (כלומר כאוסף החבורות G עם תת-חבורה נורמלית N מ-A, עם מנה G/N השייכת ל-B). כל מגוון של חבורות, מלבד המגוונים הטריוויאליים (זה שכולל רק את החבורה הטריוויאלית וזה הכולל את כל החבורות) ניתן לפירוק באופן יחיד כמכפלה של מגוונים אי-פריקים.

מכפלה AB נוצרת על ידי חבורה סופית אם ורק אם האקספוננטים של A ו-B זרים, A נילפוטנטי ו-V אבלי; ומכפלה ABC לעולם אינה נוצרת על ידי חבורה סופית (Smelkin, 1964).

## בסיס סופי
קבוצת זהויות המגדירה מגוון, נקראת **בסיס** של המגוון הזה. אחת השאלות היסודיות על מגוון של חבורות היא האם יש לו בסיס סופי. למגוון הנוצר על ידי חבורה סופית תמיד יש בסיס סופי (משפט Oates-Powell), והוא קטן (ראו להלן). הדוגמאות הראשונות למגוונים שאין להם בסיס סופי ניתנו ב-1969 (על ידי Olshanski, Adyan, Voghan-Lee, בשיטות שונות). דוגמה פשוטה יותר ניתנה ב-1973 (על ידי Bryant ו-Kleinman): אוסף הזהויות \ (x_1^2\cdots x_n^2)^4 מגדיר מגוון, \mathcal{B}_4\mathcal{B}_2, שאין לו בסיס סופי (לעומת זאת אם n,m זרים אז \mathcal{B}_n\mathcal{B}_m מוגדר לפי הזהות  (x^my^m)^n). בשפה של חבורות מנוקדות (היינו עם יחס 0-ארי), יש חבורה סופית עם קבוע, היוצרת מגוון שאינו בעל בסיס סופי (Bryant, 1982).

מגוון הוא **קטן** אם הוא מכיל רק מספר סופי של תת-מגוונים. יש רצף של מגווני חבורות המכילים 3 תת-מגוונים.

חבורות למחצה מתנהגות אחרת מבחינה זו. Perkins (ב-1969) הראה שלמגוון הנוצר על ידי מונויד Brandt (יחידות המטריצות בגודל 2 על 2, עם האפס והיחידה) אין בסיס סופי (זהו מונויד בגודל 6; אברהם טרכטמן הוכיח שכל מגוון הנוצר על ידי חבורה למחצה בגודל 5 הוא בעל בסיס סופי)

## מלים חיוביות
זהות של חבורות נכתבת באמצעות כפל והפכי. אבל יש זהויות שאפשר לכתוב גם באופן חיובי, כזהות של חבורה למחצה. למשל, הזהות xyx^{-1}y^{-1}=1 שקולה לזהות xy=yx. יש מגוונים שאפשר להציג באמצעות מלים חיוביות, ויש כאלה שלא: Neumann-Taylor (1963) הראו שאפשר להציג את המגוון של חבורות נילפוטנטיות ממחלקה נתונה באמצעות זהות חיובית אחת. מאידך, Lewin-Lewin (1969) הראו שבמגוון המקיים זהות חיובית, כל חבורה פתירה נוצרת סופית היא נילפוטנטית-מעל-סופית; בפרט, המגוון של חבורות פתירות ממחלקה קבועה אינו ניתן להצגה באמצעות זהויות חיוביות.

## ראו גם
* מגוון (אלגברה אוניברסלית)

## לקריאה נוספת

* Variety of Groups באנציקלופדיה המקוונת של המתמטיקה.

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת החבורות
קטגוריה:אלגברה