פונקציות זוגיות ואי-זוגיות

**פונקציות זוגיות ואי-זוגיות** הן פונקציות ממשיות בעלות סימטריה מוגדרת ביחס לישר \ x=0 (כלומר לציר ה-Y).

## מקור השם
המונח "פונקציה זוגית" נטבע על ידי לאונרד אוילר, ומופיע לראשונה בספרו שיצא ב-1727, והשימוש הראשון הידוע במונח "פונקציה אי-זוגית" הוא בספר של תומאס לייבורן שיצא ב-1814. הסברה המקובלת היא שהכינויים "זוגי" ו"אי-זוגי" נובעים מהעובדה שהפונקציה f(x)=x^n היא פונקציה זוגית כאשר n זוגי ופונקציה אי-זוגית כאשר n אי-זוגי.

## פונקציה זוגית
**הגדרה:** ערכה זהה עבור כל מספר בתחום ההגדרה ועבור המספר הנגדי לו, כלומר \ f(x)=f(-x).

**סימטריה:** כל פונקציה זוגית היא סימטרית ביחס לציר ה-Y.

**דוגמאות** של פונקציות זוגיות:

קובץ:Constant function.svg|\ f(x)=a  פונקציה קבועה
קובץ:Function x^2.svg|\ f(x)=x^2 פרבולה בעלת קודקוד בנקודה (0,0)
קובץ:Cos.svg|\ f(x)=\cos(x) קוסינוס
קובץ:Absolute value.svg|\ f(x)=|x| ערך מוחלט


## פונקציה אי-זוגית
**הגדרה:** ערכה עבור כל מספר בתחום ההגדרה הוא המספר הנגדי של ערכה עבור המספר הנגדי לו, כלומר \ f(-x)=-f(x).

**סימטריה:** כל פונקציה אי-זוגית היא אנטי-סימטרית ביחס לציר ה-X (כלומר יש לה סימטריית סיבוב של 180^\circ סביב לראשית).

**דוגמאות** של פונקציות אי-זוגיות:

קובץ:Function-x.svg|\ f(x)=x פונקציה ליניארית שעוברת דרך הנקודה (0,0)
קובץ:Function-x3.svg|\ f(x)=x^3 חזקה ממעלה שלישית עם נקודת פיתול בנקודה (0,0)
קובץ:Sin.svg|\ f(x)=\sin(x) סינוס
קובץ:Rectangular hyperbola.svg|f(x)={1\over x}  מספר הופכי


## פונקציה כללית
ניתן לייצג כל פונקציה באמצעות סכום של פונקציה זוגית ואי זוגית: \ f(x)=f_{\text{even}}(x)+f_{\text{odd}}(x)

:וזאת כאשר: f_{\text{even}}(x) = {f(x) + f(-x) \over 2} ו f_{\text{odd}}(x) = {f(x) - f(-x) \over 2}

יצוג זה הוא יחיד. מכאן נובע שמרחב הפונקציות כולן מהווה סכום ישר של מרחבי הפונקציות הזוגיות והאי-זוגיות (כשחיבור וכפל בסקלר מוגדרים נקודתית).

לפעמים, עבור פונקציות מרוכבות, הפונקציה הזוגיות והאי זוגית מיוצגים בהתאמה באופן הבא:
f_{\text{even}}(x) = {f(x) + f^*(-x) \over 2} ו-f_{\text{odd}}(x) = {f(x) - f^*(-x) \over 2} 
או:
f_{\text{even}}(x) = f_{\text{even}}^*(-x)  ו-f_{\text{odd}}(x) =- f_{\text{odd}}^*(-x) 

בצורת כתיבה זאת ניתן להוכיח בקלות רבה תכונות של התמרת פורייה.

## תכונות
***[[סכום]] פונקציות:**
**סכום של פונקציות זוגיות הוא פונקציה זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות זוגיות ובפתוח של פונקציה זוגית מ-L^1 לטור פורייה יופיעו רק איברי הקוסינוס).
**סכום של פונקציות אי-זוגיות הוא פונקציה אי-זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית אי-זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות אי-זוגיות ובפתוח של פונקציה אי-זוגית מ-L^1 לטור פורייה יופיעו רק איברי הסינוס).
***[[מכפלה|מכפלת]] פונקציות:**
**מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
**מכפלה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
**מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.
* **[[חילוק|חלוקת]] פונקציות:**
** מנה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
** מנה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
** מנה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.
באופן כללי כל מכפלה הכוללת פונקציות זוגיות ולא זוגיות בלבד (הפונקציה x^{-1} היא לא זוגית), הפונקציות הזוגיות משמרות את הזוגיות, והזוגיות תלויה האם מספר הפונקציות האי זוגיות זוגי או לא זוגי.
***[[הרכבת פונקציות]]:**
**הרכבה הכוללת פונקציות זוגיות ולא כוללת פונקציות כלליות היא פונקציה זוגית.
**הרכבה של פונקציות אי-זוגיות היא פונקציה אי-זוגית.
**הרכבה של כל פונקציה עם פונקציה זוגית היא זוגית, אך הרכבה של פונקציה זוגית על פונקציה כללית אינה בהכרח זוגית.
***[[נגזרת|גזירת פונקציה]]:**
**נגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי-זוגית (אם אינה אפס).
**נגזרת של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
**נגזרת של פונקציה כללית היא פונקציה כללית או זוגית.
**הוכחה**:הגדרת הנגזרת בנקודה x_0, היא הגבול \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0).

ניתן להגדיר את \Delta x כ-x-{x_0} ואת \Delta y כ-f(x)-f(x_0)

כעת נציב בגבול: \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. נראה שאם נחליף את הסימן של x ושל x_0 נקבל לפונקציה זוגית, \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{(-x)-(-x_0)} כלומר שסימן הגבול התחלף. ולפונקציה אי זוגית נקבל, \lim_{x\to x_0}\frac{(-f(x))-(-f(x_0))}{(-x)-(-x_0)} כלומר שסימן הגבול נשמר.
***[[אינטגרל]] של פונקציה:**
**כל פונקציה קדומה של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
**לפונקציה זוגית יש פונקציה קדומה אחת שהיא אי-זוגית - הפונקציה שבה המקדם החופשי שווה ל-0. שאר הפונקציות הקדומות הן כלליות.
**האינטגרל המסוים של פונקציה אי-זוגית בתחום סימטרי שווה לאפס.
**האינטגרל המסוים של פונקציה זוגית בתחום סימטרי שווה לפעמיים האינטגרל בחצי התחום הסימטרי.
***תכונת האפס**: כל פונקציה אי זוגית המוגדרת ורציפה בנקודה x=0 חייבת לקיים \ f(0)=0.

## קישורים חיצוניים

## הערות שוליים

זוגיות ואי-זוגיות
קטגוריה:סימטריה במתמטיקה