עקמומיות

שמאל|ממוזער|300px|גרפים אליפטיים המתאפיינים בעקמומיות שונה
באופן כללי, **עקמומיות** היא מידת הכפיפה וההתעקמות של דבר-מה. המונח עשוי להתייחס לישויות גאומטריות שונות, החל מקווים ועד למרחבים מממדים גבוהים, ולכן העקמומיות, מידת הסטייה מן המצב המוגדר כישר או שטוח, מוגדרת ומחושבת בצורות ושיטות שונות. עקמומיות עשויה להוות סקלר (גודל כמותי חסר כיוון) או וקטור - גודל המתאפיין בכיוון.

## עקמומיות של קו
העקמומיות של קו מוגדרת כגבול היחס בין הפרש זוויות השיפוע (המשיקים), בשתי נקודות סמוכות על העקום, לבין קטע הקו (הקשת) המחבר שתי נקודות אלו, כאשר זה שואף לאפס:

: q=\lim_{\Delta S\rightarrow 0} \frac{\Delta \alpha} {\Delta S}=\frac{d\alpha}{dS}

:בנוסחה זו, \Delta S הוא קטע הקו ו- \Delta \alpha הוא הפרש הזוויות.

[שמאל|ממוזער|250px|עקמומיות הקו בנקודה P שווה לערך ההפוך של [רדיוס העקמומיות r בנקודה זו.]]

ממשוואה זו נובע כי עקמומיות קו שקולה לנגזרת הזווית לפי אורך הקשת (q=\frac{d \alpha}{dS}).

אם משוואת הקו היא y = f(x) כי אז מתקיים עבור זווית שיפוע המשיק לעקום בנקודה כי y'(x) = \tan {\alpha}, ולכן העקמומיות היא:
: q=\frac{d \alpha}{dS}= \frac {y*}{(1 + y'^{\,2})^{3/2}}</math>

גודל זה שווה לערך ההפוך של [[רדיוס העקמומיות]] בנקודה (רדיוס המעגל האוסקולטורי - המעגל המתלכד עם העקום בנקודה). כלומר,
: <math>q=\frac{1}{R}</math>
ומכאן שרדיוס העקמומיות קטן ככל שהעקמומיות גדלה.

במקרה של קו ישר, העקמומיות שווה לאפס, שכן הנגזרת השנייה של y (<math>y*) מתאפסת. רדיוס העקמומיות במקרה זה הוא אינסופי.

## עקמומיות של משטח
### [[עקמומיות גאוס]]
*עקמומיות משטח* או *עקמומיות גאוס* בנקודה מסוימת מוגדרת כמכפלת שתי העקמומיות הראשיות של המשטח באותה נקודה - העקמומיות המקסימלית והמינימלית של הקווים הכלולים במשטח העוברים דרך אותה נקודה:
: Q=k_1\cdot k_2
כאשר k_1 ו- k_2 הם העקמומיות הראשיות

הקשר בין עקמומיות משטח ורדיוס העקמומיות בנקודה (R) הוא:

: Q=\frac{1}{R^2}
: R=\sqrt {\frac {1}{Q}}

במקרה של משטח כדורי, העקמומיות של כל מעגל גדול שווה לערך ההפוך של רדיוס המעגל (\frac{1}{r}) ולכן, שתי העקמומיות הראשיות בכל נקודה שוות ל-\frac{1}{r}, ועקמומיות המשטח, Q, שווה ל- \frac{1}{r^2}. בהתאמה, רדיוס העקמומיות על פני משטח כדורי שווה לרדיוס הכדור.

### עקמומיות ממוצעת
העקמומיות הממוצעת של משטח, בנקודה מסוימת, מוגדרת כממוצע העקמומיות הראשיות של המשטח באותה נקודה:

:H=\frac{k_1+k_2}{2}
כאשר k_1 ו- k_2 הם העקמומיות הראשיות.

העקמומיות הממוצעת של משטח כביטוי של הרדיוסים התואמים את העקמומיות הראשיות היא:
:H=\frac{R_1+R_2}{2{R_1}{R_2}}
כאשר R_1 ו- R_2 הם הרדיוסים התואמים את העקמומיות הראשיות.
הקשר בין העקמומיות הממוצעת של משטח ועקמומיות גאוס בנקודה (Q) נתון בנוסחה:

:H=\frac{R_1+R_2}{2}Q

### הובלה מקבילה

ניתן לחשב עקמומיות משטח בנקודה באמצעות העתקה מקבילה - כלומר, גרירה של וקטור לאורך לולאה ללא שינוי אורכו וכיוונו יחסית למרחב הנבדק. ההפרש הווקטורי בין הווקטור המקורי לווקטור המתקבל אחר הובלה בלולאה אינפיניטסימלית, פרופורציונלי לעקמומיות המשטח בנקודה, יחס המוגדר על ידי טנזור העקמומיות של רימן (ראו להלן), המשמש גם למדידת עקמומיות של מרחבים מממדים גבוהים יותר, כגון המרחב-זמן הארבע ממדי.

## עקמומיות שלילית וחיובית
[ממוזער|שמאל|200px|[נקודת אוכף על גרף הפונקציה \,z=x^2-y^2 (באדום). פני המשטח מתעקלים מעלה מן הנקודה בעקמומיות חיובית ומטה ממנה בעקמומיות שלילית.]]
ניתן להבחין בין כיוון ההתעקלות של עקומות באמצעות סימונם. כאשר, עקמומיות חיובית (k>0) מציינת התעקלות כלפי מעלה (רדיוס העקמומיות בנקודה מכון כלפי מעלה), ועקמומיות שלילית (k\pi R^2 וסכום הזוויות במשולש הוא \pi רדיאנים; עבור משטח המתאפיין בעקמומיות פנימית נקבל תוצאות שונות, המעידות על סטייתו מהמצב השטוח, ובאמצעותן נוכל להעריך את עקמומיותו. ביצוע מדידות מעין אלו בנקודות שונות של המשטח תאפשר שרטוט של מפת עקמומיותו.

## עקמומיות אמיתית ועקמומיות מדומה
עקמומיות מדומה, להבדיל מעקמומיות אמיתית, היא עקמומיות שניתן לסלקה, באמצעות טרנספורמציה מתאימה, מבלי לשנות את תכונות המרחב. משטח גלילי ומשטח חרוטי הם דוגמאות למשטחים בעלי עקמומיות מדומה, שניתן לפרשם למישור מבלי לשנות את תכונותיהם. משטח כדורי לעומת זאת הוא משטח בעל עקמומיות אמיתית ופרישתו תייצר מתיחות וחיתוכים. 
עקמומיותו של משטח היא מדומה אם *בכל* נקודה על פניו ניתן למצוא לפחות כיוון אחד שבו קיים קו ישר הכלול במשטח עצמו. קווים מעין אלו מציינים למעשה את קיומו של כיוון או מספר כיוונים שבהם העקמומיות במשטח היא אפס, ומעידים על האפשרות לסלק את העקמומיות באמצעות טרנספורמציה למערכת ייצוג שטוחה. אם בכל נקודה על פני משטח בעל עקמומיות מדומה, נבנה מערכת מקומית שטוחה (מישור מקומי המשיק למשטח בנקודה), ניתן יהיה לחבר את כלל המערכות השטוחות שנבנו לאורך קו שכזה לכדי מערכת שטוחה אחת, נעדרת עקמומיות.

בהתייחס למרחבים מממדים שונים, מרחב שרכיבי הטנזור שלו קבועים הוא מרחב שטוח או בעל עקמומיות מדומה. ומרחב שחלק או כל רכיבי הטנזור שלו הם משתנים תלויים הוא מרחב בעל עקמומיות אמיתית.

## קישורים חיצוניים

* 
* 




קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית