מודל השכר היעיל, שפירו-שטיגליץ

בתחום של כלכלת עבודה, **התאוריה של שפירו ושטיגליץ בנושא "שכר יעיל"** היא תאוריה כלכלית של שכר ואבטלה בשיווי משקל בשוק העבודה. התאוריה מספקת תיאור טכני שמסביר למה השכר לא צפוי לרדת ומדוע מתרחשת תופעה של אבטלה בלתי רצויה. תאוריה זו פותחה לראשונה על ידי קארל שפירו וג'וזף שטיגליץ.

## מבוא
במצב של תעסוקה מלאה, אם עובד מפוטר מעבודתו, הוא מוצא עבודה חדשה במהירות. בנסיבות אלה הוא אינו צריך להשקיע מאמץ בעבודה. לכן, תעסוקה מלאה גורמת לעובד להתחמק ממאמץ בתנאי שהוא מרוצה מהתבטלות בעבודה. ההתחמקות ממאמץ מביאה לירידה ביעילות החברה ולכן החברה צריכה להציע לעובדיה שכר גבוה יותר כדי למנוע זאת. כאשר חברה אחת תעלה את שכרה, כל החברות יעלו גם הן את שכרן ואז יתקבל מצב בו מניעת ההתחמקות מעלה את השכר הממוצע ומקטינה את התעסוקה. לכן, השכר הנומינלי נוטה להיות קשיח. בשיווי משקל כל החברות משלמות את אותו השכר שהוא גבוה מהשכר המקובל בשוק, והאבטלה גורמת לעובד לחשוש מאובדן עבודה ובכך האבטלה הופכת לכלי לחינוך וליצירת משמעת אצל העובד.  אדם מובטל לא יוכל לשכנע את המעסיק שהוא מוכן לעבוד בשכר נמוך משכר של שיווי משקל משום שהמעסיק חושש שהעובד יתחמק ממאמץ לאחר שיקבל את העבודה. כתוצאה מכך, האבטלה שלו הופכת להיות לא רצויה.

## תנאי לאי-התחמקות
ההנחה היא כי התועלת של העובד היא פונקציה של השכר w ושל המאמץ e ולכן: u(w,e)=w-e. בנוסף, העובדים מביאים את פונקציית התועלת שלהם למקסימום עם שיעור ריבית r. 
b זו ההסתברות, עבור יחידת זמן, שעובד יפוטר מעבודתו. 
Vu היא התועלת הצפויה של פרט מובטל לאורך זמן.  לאחר מכן אנו מוצאים את ערך התעסוקה באמצעות אינטרוול קצר [0, T]:
: V_{e} = wT + e^{ -rT } [ bTV_{u} + (1-bT) V_{e}      ]   \; , 
בגלל שהעובד פוטר או המשיך לעבוד במהלך הזמן. הפונקציה האקספונציאלית (פונקציה מעריכית) מופיעה כי ההזדמנות של פיטורין בתוך האינטרוול היא פעם אחת והתפלגות פואסון משמשת לשיעור ריבית/היוון. בשל האינטרוול הקצר מעריכים את הפונקציה האספונציאלית על ידי 1-rT
: V_{e} = wT + (1-rT) [ bTV_{u} + (1-bT) V_{e}      ]   \; , 
מחישוב תשואה פשוט נקבל:
: V_{e} = \frac{wT+bTV_{u} - rbT^{2} V_{u } }{rT+bT-rbT^{2}}   \;  ,
: \lim_{t \rightarrow 0} V_{e} = \frac{w + b V_{u } }{r+b}  \; .  
לאחר מכן מוצאים את משוואת הערך הבסיסית של העובד:
: rV_{e} = w + b( V_{u} - V_{e } )   \; .  
לעובד שלא מתחמק ממאמץ המשוואה היא:
: r V_{e,N} = w - e + b(V_{u} - V_{e,N} ) \; ,  
ולעובד שכן מתחמק ממאמץ:
: r V_{e,S } = w + (b+q) ( V_{u} - V_{e,S} )  \; , 
כאשר q היא ההסתברות של עובד להיתפס מתחמק ולהיות מפוטר אנחנו רואים ש:
: V_{e,N} = \frac{w-e+bV_{u } }{ r+b}   \; ,  
: V_{e,S} = \frac{w+ (b+q) V_{u } }{r+b+q}  \; . 
התנאי  V_{e,S}   נקרא תנאי האי-התחמקות ממאמץ שמבוטא כ:
: \hat{w} = r V_{u} + \frac{ e (r+b+q ) }{q} 
כאשר  \hat{w}  הוא השכר הקריטי. העובד יעבוד קשה (יתאמץ) אם ורק אם התנאי ירצה אותו. לכן אם העובדים יקבלו שכר משמעותית גבוה, התנאי יתקיים והם לא יתחמקו ממאמץ. מהתנאי אנחנו לומדים ש:
* כשהשכר הקריטי עולה, העובדים מפגינים יותר מאמץ
* כשהשכר הקריטי עולה, התועלת הצפויה לאורך זמן של המובטלים עולה. 
* כשהשכר הקריטי עולה, ההסתברות להיתפס כמתחמק ממאמץ יורדת. 
* כשהשכר הקריטי עולה, שיעור ריבית עולה.

## שיווי משקל בשוק
 a  היא ההסתברות להשיג עבודה עבור יחידת זמן נתונה. בשיווי משקל, הכניסה למעגל האבטלה חייבת להיות שווה ליציאה ממעגל האבטלה. לכן ההסתברות היא :
: a = \frac{bL}{N-L}  \;  , 
כאשר  L  זו התעסוקה המצטברת ו- N  זה סך הכל היצע העובדים. במציאות, מוצע לעובד שכר המינימום שלו  \overline{w}  או שהשכר מוצע בהתאם לחוק. 
לכן, התנאי לאי התחמקות הופך להיות:
: \overline{w} + e + \frac{e(a+b+r)}{q} = \hat{w}   
ונקרא לו תנאי אי ההתחמקות המצטבר. שתי התשואות האלו :
: e + \overline{w} + \frac{e}{q} (  \frac{b}{u} + r ) 
שיעור האבטלה הוא:  u = \frac{N-L}{N} .
אילוץ זה מצביעה על כך שתמיד במצב של תעסוקה מלאה תהיה התחמקות ממאמץ. העובד יודע שגם אם יפוטר הוא ימצא בקלות ובמהירות עבודה חדשה. 

פונקציית היצור המצטברת  F(L)  היא פונקציה של כוח העבודה היעיל.
הביקוש של החברה לעובדים ניתן על ידי השוואת עלות העסקת עובד נוסף לתוצר השולי של העבודה. עלות זו מורכבת משכר ומדמי אבטלה עתידיים. כעת, נתייחס למצב שבו  \overline{w} = 0  ,.
לכן, יש לנו: :  \hat{w} =  \frac{d F(L) }{d L}  \quad .  
בשיווי משקל,  F'(L)= \hat{w} = w^{* } , כאשר  w^{* }  הוא השכר בשיווי משקל. 
התנאי לשיווי משקל הוא:
: F'(L) =  \hat{w} =  e + \frac{e}{q} ( \frac{b}{u} + r  ) = e \left(  1 +  \frac{r + b + a }{q}   \right)  \;    \; .  

תנאי זה מצביע על הדברים הבאים:
* בצד הביקוש - אם המעסיק ישלם פחות מ- w^{* } , העובד עלול להתחמק ממאמץ (שיפחית את היעילות שלו). כתוצאה מכך, השכר לא צפוי לרדת וזה מנגנון מיקרוסקופי של קשיחות נומינלית. השכר לא יכול לרדת כך שהוא יכול לייצב את רמת התעסוקה ולכן האבטלה חייבת לגדול במהלך המיתון. 
* בצד ההיצע - פרטים חסרי עבודה רוצים לעבוד בשכר  w^{* } , או נמוך יותר. בשכר שזה לא יוכלו להבטיח שלא יתחמקו ממאמץ. כתוצאה מכך, נוצרת אבטלה לא רצויה.

## כללי ביטחון תעסוקתי
רמת התעסוקה משתנה על-פי כללים הקשורים לביטחון תעסוקתי. נחשוב על חברה שמורכבת ממעסיק ומעובדים זהים. לאחר מכן, נניח שרווח החברה הוא פונקציה של רמת התעסוקה N, השכר הנמוך  W = \frac{L}{p}    ורמת הפיקוח M שנבחרת על ידי המעסיק. 
: \pi = g(N) - \frac{NL}{p} - NM   ,     
כאשר (g(N זו פונקציית הייצור, L זה ערך של הפנאי כתוצאה מהתחמקות, ו-p זו ההסתברות שעובד ייתפס שהוא מתחמק ממאמץ ויפוטר.
נניח שלפונקציית הייצור יש גבול עליון והנגזרת השנייה שלה ביחס ל- N היא שלילית. הנגזרת הראשונה היא חיובית. ההנחה שלפונקציה יש גבול עליון זו הנחה סבירה במונחים של פרודקטיביות. 
נחשוב למשל על פונקציה כזו של זמן :
: f(t) = 1 - e^{-t}  .  
ברור כי הנגזרת הראשונה היא חיובית והנגזרת השנייה היא שלילית.
R היא מידת הקושי לפטר עובד שנתפס מתחמק. p היא פונקציה של שניהם - R ו-M. הנגזרת הראשונה והנגזרת השנייה של הרווח ביחס ל-N:
: \frac{\partial \pi}{\partial N} = \frac{\partial g}{\partial N} - \frac{L}{p}    .      
: \frac{\partial^{2} \pi}{\partial N^{2} } = \frac{\partial^{2} g(N) }{ \partial N^{2 }}   . 
התנאי להשגת מקסימום רווח הוא  \frac{\partial \pi}{\partial N} = 0 , ולכן יש לנו : : \frac{\partial g(N) }{\partial N} = \frac{L}{p} + M   . 
מה שמבדיל בין שני הצדדים ביחס ל-R נותן לנו:
: \frac{\partial^{2} g(N) }{\partial N^{2} }  \frac{ \partial N}{\partial R} = - \frac{L }{p}  \frac{\partial p}{\partial R}  .   

מסתבר ש-  \frac{\partial N}{\partial R}   היא שלילית. כלומר, קשה יותר לפטר עובד שמתחמק כאשר רמת התעסוקה נמוכה יותר.

## הערות שוליים

קטגוריה:מקרו-כלכלה