טלפורטציה קוונטית

**טלפורטציה קוונטית** או **הִתְעַתְּקוּת קוונטית** היא פרוטוקול שמאפשר העברת מצב קוונטי לא ידוע בין שני משתמשים מבלי להעביר את הנשא הפיזי של המצב הקוונטי (פוטון, או אטום). הפרוטוקול זקוק למשאב של מצבים שזורים המפולגים בין המשתמשים וכן לערוץ תקשורת קלאסית. טלפורטציה נתגלתה ב-1993 בעבודה של בנט, ברסרד, קרפו, גוזה, פרס ווטרס שנסחו את פרוטוקול הטלפורטציה עבור קיוביטים. שנה לאחר מכן, ניסח לב וידמן הרחבה של הפרוטוקול למצבים רציפים. טלפורטציה הוא אחד הפרוטוקולים החשובים בתורת האינפורמציה הקוונטית. טלפורטציה קוונטית אינה מעבירה אנרגיה או חומר ואינה מאפשרת העברת מידע במהירות גבוהה ממהירות האור. היא שימושית בתקשורת קוונטית ובחישוביות קוונטית.

בשנת 1997 הדגימו הקבוצות של סנדו פופסקו ואנטון זיילינגר טלפורטציה של קיוביטים

במאי 2010, קבוצת מדענים בסין, הדגימה בניסוי טלפורטציה קוונטית למרחק 16 קילומטר, בדיוק ממוצע של 89%.

במאי 2012, קבוצת מדענים דיווחה על מרחק שיא של 143 ק"מ בניסוי שנערך באיים הקנריים. ניסוי זה טרם אומת על ידי מחקרים נוספים.

ביולי 2017 מדענים סיניים לראשונה ביצעו ניסוי כזה בין כדור הארץ למסלול המקיף את כדור הארץ.

## תיאור הבעיה

בתהליך מעורבים שני שחקנים אליס (A) ובוב (B) המקושרים ביניהם על ידי ערוץ תקשורת קלאסי שמאפשר להם להחליף אינפורמציה קלאסית אבל לא מאפשר להם להחליף מערכות קוונטיות. אליס ובוב חולקים מערכת קוונטית של חלקיקים שזורים. לאליס יש בנוסף מערכת קוונטית במצב קוונטי ידוע. אליס רוצה להעתיק את המצב הקוונטי הלא ידוע של המערכת הקוונטית שלה אל מערכת קוונטית זהה שנמצאת בחזקתו של בוב מבלי שהם יחליפו ביניהם את המערכות באופן פיזי.

### האתגר
* אליס לא יכולה למדוד את המצב הקוונטי של המערכת שלה: מדידה של מצב קוונטי לא ידוע מכינה את המערכת במצב חדש ולא נותנת מידע שלם על המצב המקורי.
* אי אפשר להעביר מידע שלם על מצב קוונטי בעזרת מספר סופי של סיביות קלאסיות: מצב קוונטי כללי הוא וקטור במרחב הילברט. למשל מצב של קיוביט מתואר על ידי נקודה על פני כדור ולכן מתואר על ידי שתי קואורדינטות ממשיות. תיאור של מספר ממשי כללי דורש אין סוף סיביות.

### הפתרון
אליס ובוב נעזרים במשאב קוונטי של שזירות: הם חולקים ביניהם מצב שזור מקסימלי של מערכות קוונטיות זהות. על ידי מדידה מתאימה של שתי המערכות שבחזקתה של אליס היא מכינה ממרחק את המערכת של בוב. תוצאת המדידה של אליס מועברת לבוב בתקשורת קלאסית וקובעת את הטרנספורמציה האוניטרית שמאפשרת לבוב לשחזר את המצב הלא ידוע המקורי של אליס.

## תיאור התהליך
בידיה של אליס מצוי קיוביט במצב לא ידוע |\psi\rangle אותו היא מעוניינת להשרות על הקיוביט של בוב. הקיוביט יכול להיות מתואר כ: |\psi\rangle_C = \alpha |0\rangle_C + \beta|1\rangle_C
האינדקס C מתייחס לקיוביט המקורי (original).

הפרוטוקול דורש שאליס ובוב יחלקו מצב שזור, למשל אחד מארבעת מצבי בל.

:|\Phi^\pm\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |0\rangle_{B} \pm |1\rangle_A \otimes |1\rangle_{B}),
:|\Psi^\pm\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |1\rangle_{B} \pm |1\rangle_A \otimes |0\rangle_{B}),
:.

אליס מחזיקה את אחד מהחלקיקים בצמד, ובוב את השני. האינדקסים A ו-B במצב השזור מתייחסים לחלקיק שאצל אליס ובוב בהתאמה. בדוגמה שלהלן אליס ובוב חולקים את המצב |\Phi^+\rangle.

כאמור אליס מחזיקה את שני החלקיקים, C, שאותו היא רוצה להעביר, ואת A, חלקה במצב השזור. בידי בוב נמצא החלקיק B. מערכת שלושת החלקיקים כולה מתוארת על ידי

:|\psi_C\rangle \otimes |\Phi^+\rangle = (\alpha |0\rangle_C + \beta|1\rangle_C) \otimes \left(\frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |0\rangle_{B} + |1\rangle_A \otimes |1\rangle_{B})\right) 

על ידי שימוש בזהויות הבאות:

:|0\rangle \otimes |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\Phi^+\rangle + |\Phi^-\rangle),

:|0\rangle \otimes |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\Psi^+\rangle + |\Psi^-\rangle),

:|1\rangle \otimes |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\Psi^+\rangle - |\Psi^-\rangle),

:|1\rangle \otimes |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\Phi^+\rangle - |\Phi^-\rangle).

ניתן לרשום את המצב התלת חלקיקי כ:
:
\frac{1}{2} (\ |\Phi^+\rangle_{AC} \otimes (\alpha |0\rangle_B + \beta|1\rangle_B)\ +\ |\Phi^-\rangle_{AC} \otimes (\alpha |0\rangle_B - \beta|1\rangle_B)\ +\ |\Psi^+\rangle_{AC} \otimes (\beta |0\rangle_B + \alpha|1\rangle_B)\ +
:
\ + |\Psi^-\rangle_{AC} \otimes (-\beta |0\rangle_B + \alpha|1\rangle_B)\ ).


עד כה לא ערכנו שום שינוי או מניפולציה על הקיוביטים, רק רשמנו את המצב בבסיס שונה.
כעת אליס תמדוד את שני הקיוביטים שאצלה בבסיס בל. מדידה זו תתחיל את תהליך הטלפורטציה.
כפי שעולה מצורת הרישום הזאת, עריכת המדידה תגרום למצב לקרוס לאחד מארבעת המצבים שווי ההסתברות הבאים:
*|\Phi^+\rangle_{AC} \otimes (\alpha |0\rangle_B + \beta|1\rangle_B)
*|\Phi^-\rangle_{AC} \otimes (\alpha |0\rangle_B - \beta|1\rangle_B)
*|\Psi^+\rangle_{AC} \otimes (\beta |0\rangle_B + \alpha|1\rangle_B)
*|\Psi^-\rangle_{AC} \otimes (-\beta |0\rangle_B + \alpha|1\rangle_B)

שני הקיוביטים של אליס שזורים כעת, והשזירה בין המצב של אליס לזה של בוב נפרמה. החלקיק של בוב הוא עכשיו באחד המצבים המתוארים לעיל. שימו לב שהקיוביט של בוב נמצא במצב הדומה למצב שאליס ניסתה לשלוח לו. כמו כן אליס כבר יודעת בדיוק את המצב של כל שלושת החלקיקים - המדידה במצבי בל שערכה אומרת בדיוק באיזה מצב המערכת נמצאת. כעת, כל שעליה לעשות הוא לשדר שני ביטים קלאסיים לבוב לומר לו באיזה מארבעת המקרים המערכת נמצאת.

כאשר בוב יקבל את המסר הקלאסי הוא ידע באיזה מהמצבים המערכת שלו נמצאת, ובהתאם הוא יפעיל את אחת מהפעולות האוניטריות על הקיוביט שלו:
* אם אליס שידרה כי המערכת שלה במצב |\Phi^+\rangle_{AC} בוב יודע כי הקיוביט שבידיו במצב הרצוי, והוא אינו צריך לעשות דבר (או: עליו להפעיל את אופרטור הזהות).
* אם אליס שידרה כי מערכת שלה במצב |\Phi^-\rangle_{AC}, בוב יפעיל על החלקיק שלו את האופרטור שנתון על ידי מטריצת פאולי

:\sigma_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}

כדי לשחזר את המצב המשודר.
* אם אליס שידרה כי המערכת שלה במצב |\Psi^+\rangle_{AC} בוב יפעיל את האופרטור

:\sigma_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}
* ואם אליס שידרה כי בידיה המצב |\Psi^-\rangle_{AC} בוב יפעיל את האופרטור

: i \sigma_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}.
בכך הושלמה הטלפורטציה.

## טלפורטציה כזהות מתמטית
הטלפורטציה של קיוביט מגולמת בזהות מתמטית פשוטה עבור מערכת של שלושה קיוביטים מתוכם שני קיוביטים הם של אליס, וקיוביט יחיד של בוב. נסמן ב |\beta_\mu\rangle את ארבעת מצבי הבסיס של בל, \mu=0,1,2,3. ונסמן ב |\psi\rangle קיוביט יחיד במצב כלשהו. הקיוביט הראשון של אליס נמצא במצב |\psi\rangle_A. הקיוביט השני של אליס שזור עם הקיוביט היחיד של בוב במצב בל |\beta_\mu\rangle_{AB}. הזהות המתמטית של טלפורטציה היא

|\psi\rangle_A\otimes|\beta_\mu\rangle_{AB}=\frac 1 2 \sum_\nu |\beta_\nu\rangle_{AA}\otimes U_{\mu\nu}|\psi\rangle_B

כאשר U_{\mu\nu} טרנספורמציה אוניטרית של קיוביט יחיד. בצד שמאל של המשואה מצב בל |\beta_\mu\rangle_{AB} מערב קיוביט של אליס עם קיוביט של בוב, ובצד ימין מצב בל |\beta_\nu\rangle_{AA} מערב את שני הקיוביטים של אליס. באופן דומה, בצד שמאל |\psi\rangle_A הוא מצב הקיוביט של אליס, ובצד ימין |\psi\rangle_B הוא אותו מצב אבל של הקיוביט של בוב.

הטרנספורמציה U_{\mu\nu} תלויה בבחירה של בסיס בל. עבור הבחירה הסטנדרטית

|\beta_{0,3}\rangle=\frac{|00\rangle \pm |11\rangle}{\sqrt 2}, \quad |\beta_{1,2}\rangle=\frac{|01\rangle \pm |10\rangle}{\sqrt 2}

U_{\mu\nu} הן (עד כדי כפל בסקלר) מטריצות פאולי. במקרה שאליס ובוב חולקים את מצב בל |\beta_0\rangle_{AB} מתקיים

U_{0\nu}=\sigma_\nu~\text{for}~\nu=0,1,3,~\text{while}~U_{02}= i\,\sigma_2

כאשר \sigma_\nu הן ארבעת מטריצות פאולי הסטנדרטיות

\sigma_0=\left(\begin{matrix} 1&0\\ 0&1\end{matrix}\right), \quad \sigma_1=\left(\begin{matrix} 0&1\\ 1&0\end{matrix}\right),\quad \sigma_2=\left(\begin{matrix}0 &-i\\ i&0\end{matrix}\right),\quad\sigma_3=\left(\begin{matrix} 1&0\\ 0&-1\end{matrix}\right)

### פירוש פיזיקאלי של הזהות
צד שמאל של הזהות מתאר את שלושת הקיוביטים בתחילת הפרוטוקול. המצב השזור שאליס ובוב חולקים, |\beta_\mu\rangle_{AB}, הוא מצב ידוע, ולכן \mu ידוע לאליס ולבוב. צד ימין מאפשר לזהות את המצב של הקיוביט של בוב בעקבות המדידה של אליס. בהתאם לפרוטוקול, אליס מודדת את שני הקיוביטים שלה באותו בסיס בל. תוצאת המדידה אקראית, ובהסתברות שווה היא מוצאת את אחד ממצבי בל |\beta_\alpha\rangle_{AA} כאשר \alpha\in 0,1,2,3. מדידה זו של אליס מכינה את שלושת הקיוביטים במצב

|\beta_\alpha\rangle_{AA}\otimes U_{\mu\alpha}|\psi\rangle_B

לאחר המדידה המערכות של אליס ובוב נפרדו, ואינן שזורות זו בזו. במיוחד, הקיוביט של בוב אינו שזור עם אף קיוביט של אליס ונמצא במצב U_{\mu\alpha}|\psi\rangle_B. כאשר אליס מעדכנת, בתקשורת קלאסית, את בוב לגבי תוצאת המדידה \alpha, בוב יודע איזו טרנספורמציה אוניטרית U_{\mu\alpha}^\dagger עליו להפעיל על הקיוביט שלו כדי לשחזר את המצב |\psi\rangle_B על הקיוביט שלו. כיוון ש \alpha\in 0,1,2,3 אליס צריכה להעביר לבוב שני ביטים קלאסים.

## קישורים חיצוניים

* הרצאה (17 דקות בעברית) על טלפורטציה קוונטית באתר של מכון דילר לקוונטים (YouTube)
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:מידע
קטגוריה:חישוב קוונטי
קטגוריה:טכנולוגיות מידע