ממוצע מוכלל

במתמטיקה, **ממוצע מוכלל** (נקרא גם **ממוצע חזקות**, או **ממוצע הולדר** על שם המתמטיקאי אוטו הולדר), הוא משפחה של ממוצעים אשר מכלילה את הממוצעים הפיתגוריים (ממוצע חשבוני, ממוצע הנדסי וממוצע הרמוני) וכן ממוצעים נוספים כגון שורש ממוצע הריבועים.

## הגדרה מתמטית
בהינתן מספר טבעי n \in \mathbb{N}, אוסף מספרים חיוביים \bar{x}=(x_1,\dots,x_n) ומספר ממשי p\ne 0, **הממוצע המוכלל של <math>\bar{x}</math> מדרגה <math>p</math>** מוגדר להיות:

M_p(\bar{x}) := \left(\frac{\sum_{i=1}^n{x_i^p}}{n}\right)^{\frac{1}{p}}

באופן דומה, בהינתן משקולות \bar{w}=(w_1\dots,w_n), **הממוצע המשוקלל של <math>\bar{x}</math> מדרגה <math>p</math> עם המשקולות <math>\bar{w}</math>** מוגדר להיות:

M_{p,\bar{w}}(\bar{x}) := \left(\frac{\sum_{i=1}^n{w_ix_i^p}}{\sum_{i=1}^n{w_i}}\right)^{\frac{1}{p}}

שתי ההגדרות מתלכדות עבור המשקולות האחידות \bar{w}=(1/n,\dots,1/n)

## תכונות
הממוצע המוכלל מקיים את התכונות הבאות:
* **חסימות** - עבור כל \bar{x}=(x_1,\dots,x_n) מתקיים \min(\bar{x})\le M_p(\bar{x}) \le \max(\bar{x}). כלומר, הממוצע המוכלל חסום בין האיבר המינימלי למקסימלי ב-\bar{x}.
* **סימטריות** - עבור כל \bar{x}=(x_1,\dots,x_n) ו-\sigma:\{1,\dots,n\}\to \{1,\dots,n\} תמורה כלשהי, מתקיים כי M_p(x_1,\dots,x_n)=M_p(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)}). כלומר, הפונקציה M_p סימטרית לסדר איברים.
* **הומוגניות** - עבור כל \bar{x}=(x_1,\dots,x_n) ו-\alpha>0 כלשהו, ניתן להוכיח כי M_p(\alpha x_1,\dots, \alpha x_n)=\alpha M_p(x_1,\dots, x_n). כלומר, M_p היא פונקציה הומוגנית.
* **ערך בשוויון איברים** - עבור x>0 מתקיים כי M_p(x,x,\dots,x) = x. כלומר, הממוצע של איברים זהים הוא האיבר עצמו.
* **מונוטוניות באיברים** - עבור \bar{x}=(x_1,\dots,x_n) ו-\bar{y}=(y_1,\dots,y_n) כך ש-x_i \le y_i לכל 1\le i\le n, מתקיים כי M_p(\bar{x})\le M_p(\bar{y}). כלומר, הממוצע עולה כאשר הערכים עולים.
* **מונוטוניות לפי** p - עבור \bar{x}=(x_1,\dots,x_n) כלשהו ו-p_1 \le p_2 מתקיים כי M_{p_1}(\bar{x})\le M_{p_2}(\bar{x}). כלומר, הממוצע עולה ככל שהדרגה שלו עולה. זוהי גרסה כללית של אי שוויון הממוצעים.
* **קיבוציות** - עבור n,m\in \mathbb{N}, \bar{x}=(x_{11},x_{12},\dots,x_{ij},\dots,x_{nm}) ו-y_i=M_p(x_{i1},\dots,x_{im}) לכל 1\le i\le n, מתקיים M_p(y_1,\dots,y_n)=M_p(\bar{x}). כלומר, ניתן לחשב את הממוצע המוכלל בשלבים על-ידי שימוש בקיבוץ איברים לקבוצות שוות גודל.
* **רציפות לפי ערכים** - עבור \bar{x}=(x_1,\dots,x_n) כלשהו מתקיים כי \lim_{\bar{y}\to\bar{x}}{M_p(\bar{y})}=M_p(\bar{x}). כלומר, הפונקציה M_p רציפה ב-n ממדים.
* **רציפות לפי <math>p</math>** - עבור \bar{x}=(x_1,\dots,x_n) ו-p\ne 0 כלשהם מתקיים כי \lim_{p'\to p}{M_{p'}(\bar{x})}=M_p(\bar{x}). כלומר, הממוצע המוכלל רציף לפי הפרמטר p.
כלל התכונות (למעט סימטריות) נכונות גם עבור המקרה המשוקלל.

## מקרים פרטיים
### p שואף לאינסוף
ניתן להוכיח כי \lim_{p\to \infty}{M_p(\bar{x})}=\max(\bar{x}). כלומר, הממוצע המוכלל שואף לערך המקסימלי ככל ש-p שואף לאינסוף. על כן נהוג להגדיר M_\infty(\bar{x}):=\max(\bar{x}).

#### הוכחה
מניחים בלי הגבלת הכלליות כי x_1 > x_2\ge \dots \ge x_n. מסמנים:

M =\lim_{p\to\infty}{M_p(\bar{x})}
= \lim_{p\to\infty}{\left(\frac{\sum_{i=1}^n{x_i^p}}{n}\right)^{\frac{1}{p}}}

מבצעים את פונקציית הלוגריתם על שני הסעיפים ומשתמשים בכלל לופיטל כדי לקבל:

\begin{align}
\ln(M)
= \lim_{p\to\infty}{\frac{\ln\left(\sum_{i=1}^n{x_i^p}\right)-\ln(n)}{p}} \\
= \lim_{p\to\infty}{\frac{\sum_{i=1}^n{\ln(x_i)x_i^p}}{\sum_{i=1}^n{x_i^p}}} \\
= \lim_{p\to\infty}{\frac{\ln(x_1)x_1^p+\sum_{i=2}^n{\ln(x_i)x_i^p}}{x_1^p+\sum_{i=2}^n{x_i^p}}} \\
= \lim_{p\to\infty}{\frac{\ln(x_1)+\sum_{i=2}^n{\ln(x_i)\overbrace{\left(x_i/x_1\right)^p}^{\to 0}}}{1+\sum_{i=2}^n{\underbrace{\left(x_i/x_1\right)^p}_{\to 0}}}} \\
=\ln(x_1)
\end{align}

על ידי הפעלת פונקציית האקספוננט על שני הסעיפים מקבלים:

\lim_{p\to\infty}{M_p(\bar{x})}= M =x_1

*מש"ל*.

### p=2
במקרה שבו p=2 מתקבל כי:

M_2(\bar{x}) = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n{x_i^2}}{n}}

זהו שורש ממוצע הריבועים.

### p=1
במקרה שבו p=1 מתקבל כי:

M_1(\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^n{x_i}}{n}

זהו הממוצע החשבוני.

### p=0
על אף שהממוצע המוכלל אינו מוגדר עבור p=0, ניתן להוכיח כי \lim_{p\to 0}{M_p(x_1,\dots,x_n)}=\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}, וזה הממוצע ההנדסי. על כן, טבעי להגדיר את הממוצע המוכלל ב-p=0 להיות הממוצע ההנדסי.

#### הוכחה
מסמנים:

M =\lim_{p\to 0}{M_p(\bar{x})}
= \lim_{p\to 0}{\left(\frac{\sum_{i=1}^n{x_i^p}}{n}\right)^{\frac{1}{p}}}

מבצעים את פונקציית הלוגריתם על שני הסעיפים ומשתמשים בכלל לופיטל כדי לקבל:

\begin{align}
\ln(M)
= \lim_{p\to 0}{\frac{\ln\left(\sum_{i=1}^n{x_i^p}\right)-\ln(n)}{p}} \\
= \lim_{p\to 0}{\frac{\sum_{i=1}^n{\ln(x_i)x_i^p}}{\sum_{i=1}^n{x_i^p}}} \\
= \frac{\sum_{i=1}^n{\ln(x_i)}}{\sum_{i=1}^n{1}} \\
= \ln\left(\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\right) \\
\end{align}

על ידי הפעלת פונקציית האקפוננט על שני הסעיפים מקבלים:

\lim_{p\to 0}{M_p(x_1,\dots,x_n)}=M=\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}

### p=-1
במקרה שבו p=-1 מתקבל כי:

M_{-1}(\bar{x}) = \frac{n}{\sum_{i=1}^n{\frac{1}{x_i}}}

זהו הממוצע ההרמוני.

### p שואף למינוס אינסוף
ניתן להוכיח כי \lim_{p\to -\infty}{M_p(\bar{x})}=\min(\bar{x}). כלומר, הממוצע המוכלל שואף לערך המינימלי ככל ש-p שואף למינוס אינסוף. על כן נהוג להגדיר M_{ -\infty }(\bar{x}) := \min(\bar{x}).

#### הוכחה
ניתן להראות כי:

\begin{align}
\lim_{p\to-\infty}{M_p(x_1,\dots,x_n)}
= \frac{1}{\lim_{p\to \infty}{M_p(1/x_1,\dots,1/x_n)}} \\
= \frac{1}{\max(1/x_1,\dots,1/x_n)} \\
=\min(x_1,\dots,x_n)
\end{align}

*מש"ל*.

## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:ממוצעים