קדם-מידה

בתורת המידה, **קדם-מידה** (באנגלית: **Pre-measure**) היא פונקציה שהיא "כמעט" פונקציית מידה, במובן זה שמשפחת הקבוצות שהיא מודדת אינה מהווה סיגמא-אלגברה.

חשיבותה של קדם-מידה היא שכאשר היא מוגדרת על משפחת קבוצות המקיימת תכונות מסוימות, אז היא יכולה להתרחב לכדי פונקציית מידה על סיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי משפחת הקבוצות הזו, לעיתים אף באופן יחיד. תכונה חשובה זו מכונה **משפט ההרחבה**, שלו שתי גרסאות: גרסת קרתאודורי עבור קדם-מידה המוגדרת על חוג למחצה של קבוצות, וגרסת האן-קולמוגורוב עבור קדם-מידה המוגדרת על אלגברה של קבוצות.

שיטה זו של בניית מידה על ידי בניית קדם-מידה היא חשובה ויסודית בתורת המידה, וכך למשל יש לה תפקיד מרכזי בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים.

## הגדרה

תהי X קבוצה, ותהי \mathcal{S} אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות מעל X.

פונקציה \mu_0 : \mathcal{S} \to \mathbb{R}_+ נקראת **קדם מידה**, אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:
# \mu_0 \left( \emptyset \right) = 0
# אם A = A_1 \cup A_2 \cup \dots  איחוד  סופי או בן-מניה של קבוצות זרות בזוגות מתוך \mathcal{S}, המקיים גם כי A \in \mathcal{S}, אז\mu_0 \left( A \right) = \mu_0 \left( A_1 \right) + \mu_0 \left( A_2 \right) + \dots

הסיבה לסימון \mu_0 היא כי קדם-מידה מיועדת להפוך למידה, כפי שמראה משפט ההרחבה, אותה מסמנים בדרך כלל \mu.

## משפט ההרחבה

נסמן ב-\sigma \left( \mathcal{S} \right) את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות \mathcal{S}. לכל קדם-מידה \mu_0 : \mathcal{S} \to \mathbb{R}_+, קיימת מידה \mu : \sigma \left( \mathcal{S} \right) \to \mathbb{R}_+ המרחיבה את \mu_0. כלומר, לכל A \in \mathcal{S} מתקיים \mu \left( A \right) = \mu_0 \left( A \right).

כמו כן, במצב בו \mu_0 היא סיגמא-סופית, אז \mu יחידה. במצב זה, כמובן גם \mu היא סיגמא-סופית.

ניתן להבחין כי אין כל הבדל בין אם קדם המידה מוגדרת על חוג למחצה של קבוצות או על חוג של קבוצות הנוצר על-ידה, שכן חוג של קבוצות הנוצר על ידי חוג למחצה של קבוצות הוא בדיוק אוסף כל האיחודים הסופיים של קבוצות זרות בזוגות מהחוג למחצה. לכן מאדיטיביות של קדם-מידה, היא מתרחבת באופן יחיד לכדי קדם-מידה על החוג הנוצר.

הגרסה של משפט ההרחבה עבור חוג למחצה של קבוצות נקראת **משפט ההרחבה של קרתאודורי** על-שם המתמטיקאי היווני-גרמני קונסטנטין קרתיאודורי. הגרסה של משפט ההרחבה עבור אלגברה של קבוצות נקראת **משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב**, על-שמם של המתמטיקאי האוסטרי האנס האן והמתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.

### אי היחידות של ההרחבה

כאמור במשפט, היחידות מובטחת רק כאשר המרחב הוא סיגמא-סופי ביחס לקדם המידה הנתונה. כאשר דרישה זו לא מתקיימת, אפילו אם המרחב כן סיגמא-סופי ביחס למידה המרחיבה, היחידות אינה מובטחת. להלן דוגמה לכך.

נתבונן במרחב X = \mathbb{Q} \cap \left[ 0,1 \right], ותהי \mathcal{S} האלגברה של קבוצות הנוצרת על ידי הקטעים החצי-פתוחים במרחב, מהצורה \left[ a,b \right).

נתבונן בקדם-מידה טריוויאלית על \mathcal{S} המקיימת \mu_0 \left( \left[ a,b \right) \right) = \infty לכל קטע. כמו כן נגדיר על הסיגמא-אלגברה \sigma \left( \mathcal{S} \right) מידה \mu \left( A \right) = \left| A \right| ועוד מידה \nu \left( A \right) = 2 \cdot \left| A \right|, כאשר \left| A \right| הוא הגודל של הקבוצה A, והוא \infty בכל מצב בו הקבוצה אינה סופית.

אלו שתי מידות שמקבלות ערכים שונים על כל קבוצה סופית של \sigma \left( \mathcal{S} \right) (יש קבוצות סופיות בסיגמא-אלגברה זו), וכמו כן ברור ששתיהן מרחיבות את הקדם-מידה \mu_0, שכן כל קטע \left[ a,b \right) במרחב מכיל אינסוף איברים, ולכן \mu \left( \left[ a,b \right) \right) = \nu \left( \left[ a,b \right) \right) = \infty.

### בניית מידת לבג

היישום החשוב ביותר של משפט ההרחבה הוא בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים. בבנייה זו מתחילים מהחוג למחצה או האלגברה הנוצרים על ידי \mathcal{S} = \left\{ \left( a,b \right] : a, כאשר b יכול להיות גם אינסופי, ומגדירים עליו קדם-מידה להיות הנפח, כלומר \mu_0 \left( \left( a,b \right] \right) = b-a. כאשר מדובר בקטע אינסופי, ערכה של הקדם-מידה יהיה \infty. ממשפט ההרחבה נובע שקיימת מידה על \sigma \left( \mathcal{S} \right) המרחיבה את \mu_0. מידה זו מכונה "מידת בורל".

מידת לבג עצמה מתקבלת על ידי עוד הרחבה של מידת בורל, המוגדרת על סיגמא-אלגברה גדולה יותר המכילה את \sigma \left( \mathcal{S} \right).

כפי שנובע מהחלק הנוסף של משפט ההרחבה, היות שהמספרים הממשיים מהווים מרחב מדיד סיגמא-סופי ביחס לקדם-מידת הנפח, הרי שמידת לבג היא המידה היחידה על סיגמא-אלגברת בורל, שמקיימת את התכונה האינטואיטיבית שמידתו של כל קטע \left( a,b \right] היא האורך שלו, b-a.

## לקריאה נוספת


* Real Analysis, H. L. Royden, 1963, 219-224


## קישורים חיצוניים
* 

* משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, באתר PlanetMath
* משפט ההרחבה של קרתאודורי באתר PlanetMath
* Outer measures, pre-measures, and product measures בבלוג "What's new"
* An alternate approach to the Carathéodory extension theorem בבלוג "What's new"

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת המידה
משפט ההרחבה