מדידת אורך קשת

ממוזער|מדידת אורך הקשת כפי שנעשתה לראשונה על ידי אֵרָטוֹסְתֶנֶס.
בגאודזיה, המונח **מדידת אורך הקשת** (באנגלית: **Arc measurement**), שלעיתים נקראת גם **מדידת המעלה** (בגרמנית: **Gradmessung**), מתייחס לתהליך שבו נמדד רדיוס כדור הארץ, שממנו ניתן להקיש גם את היקף כדור הארץ. ביותר דיוק, זהו התהליך החותר לקבוע את רדיוס העקמומיות המקומי של צורת כדור הארץ באמצעות השוואת קווי הרוחב (ולפעמים גם קווי האורך) של שני מיקומים ארציים אשר המרחק הגאוגרפי ביניהם ידוע. ההליך הנפוץ ביותר מערב רק את קווי הרוחב האסטרונומיים ואורך קשת מרידיאן ולפיכך נקרא "מדידת קשת המרידיאן"; וריאנטים אחרים של השיטה עשויים לערב רק קווי אורך אסטרונומיים, או את שתי הקואורדינטות הגאוגרפיות. מבחינה היסטורית, מסעי משלחות מדעיות למדידת אורך הקשת באירופה קדמו להיווסדה של האגודה הבין-לאומית לגאודזיה (*IAG*). כיום, השיטות ההיסטוריות מוחלפות על ידי רשתות גאודזיות וגאודזיה לווינית.

## היסטוריה
המדידה המוקדמת ביותר של אורך הקשת נערכה על ידי אֵרָטוֹסְתֶנֶס (240 לפנה"ס) מתוך הנחת מוצא שצורת הארץ היא כשל פני כדור והתבססה על המיקומים הארציים של הערים אלכסנדריה ואסואן (הנמצאות בשטחי מצרים של ימינו). מדידתו של אֵרָטוֹסְתֶנֶס הצליחה לקבוע את רדיוס כדור הארץ והיקפו בדיוק מפתיע. בתחילת המאה ה-8, המלומד הסיני Yi Xing ביצע מדידה דומה.

הפיזיולוג הצרפתי ז'אן פרנל מדד את אורך הקשת בשנת 1528. הגאודזיסט ההולנדי וילברורד סנל חזר על הניסוי בסביבות שנת 1620 עבור הערים אלקמאר וברגן אופ זום, ובאמצעות מכשירים גיאודזיים מודרניים יותר (הטריאנגולציה של סנל).

לאחר שאייזק ניוטון הראה תאורטית שבשל סיבוב כדור הארץ נכון יותר למדל אותו כספרואיד פחוס מאשר ככדור מושלם, ברור היה שרדיוס העקמומיות של כדור הארץ משתנה מנקודה לנקודה, ולכן משלחות למדידת אורך הקשת שאפו לקבוע את הפחיסות של כדור הארץ הספרואידי באמצעות מדידת אורכי הקשתות בין נקודות ציון בקווי רוחב גאוגרפיים שונים. הראשונה שבהן הייתה המשלחת הגיאודזית הצרפתית, אשר משימת מדידת אורך הקשת הופקדה בידיה על ידי האקדמיה הצרפתית למדעים. המשלחות פעלו בשנים 1735–1738, וערכו מדידות בלפלנד (מופרטואי ושותפיו) ובפרו (פייר בוגה ושותפיו).

שטרובה מדד רשת בקרה גיאודזית באמצעות טריאנגולציה בין הים הארקטי והים השחור, הנקראת כיום הקשת הגאודזית של שטרובה.

### רשימה כרונולוגית
[ממוזער|מדידת אורך קשת בדיונית שתוארה על ידי [ז'ול ורן בספרו הרפתקאות שלושה רוסים ושלושה אנגלים באפריקה החמה (1872).]]
זוהי רשימה כרונולוגית חלקית של מדידות קשת:
* מדידת הקשת של ארטוסתנס (230 לפנה"ס)
* מדידת הקשת של פוסידוניוס (100 לפנה"ס)
* מדידת הקשת של אל-מאמון (827 לספירה)
* מדידת הקשת של פרנל (1528)
* הסקר הגאודזי של סנל (1617)
* מדידת הקשת של נורווד (1633–1635)
* מדידת הקשת של ריצ'ולי וגרימלדי (1658)
* מדידת הקשת של פיקאר (1669)
* המשלחת הגאודזית הצרפתית ללפלנד (1736–1737)
* המשלחת הגאודזית הצרפתית לקו המשווה (1735–1739)
* מדידת הקשת של בושקוביץ (1750–1751)
* מדידת הקשת של דה לאקאי (1752)
* המיפוי הטריגונומטרי של בריטניה הגדולה (1791–1853)
* מדידת קשת המרידיאן של דלאמבר (1792–1798)
* המיפוי הטריגונומטרי הגדול של הודו (1802–1841)
* מדידת הקשת של אראגו וביו (1806–1809)
* הקשת הגאודזית של שטרובה (1816–1855)
* הסקר הגאודזי של גאוס (1821–1825)
* מדידת הקשת של מקלאר (1841–1848)
* המשלחת השוודית-רוסית למדידת אורך קשת המרידיאן (1899–1902)
* מדידת הקשת של הופפנר (1921)

## מונחים ונוסחאות רלוונטיים
ממוזער|left|300px|באיור מוצגות שתי הגדרות שונות לקו רוחב: קו הרוחב הגאוצנטרי וקו הרוחב הגאוגרפי. ההגדרה הראשונה הייתה מתאימה לחישובים גאודזיים אילו הארץ הייתה כדור מושלם, ואילו השנייה והמדויקת יותר מתאימה למודל הארץ כספרואיד.
נניח שקווי הרוחב האסטרונומיים של שתי נקודות הקצה, \phi_s ו-\phi_f, ידועים; אלו ניתנים לקביעה משיטות של אסטרוגיאודזיה, הכרוכות במדידת המרחק הזוויתי מהאופק של מספר גבוה דיו של כוכבים. אז, רדיוס העקמומיות המקומי האמפירי של חתך מרידיאני של כדור הארץ ניתן לקביעה מהנוסחה:

:R = \frac{\mathit{\Delta}'}{\vert\phi_s - \phi_f\vert}

כאשר קווי הרוחב נתונים ברדיאנים ו-\mathit{\Delta}' הוא אורך הקשת לאורך פני הים הממוצעים.

עבור מודל הארץ כספרואיד פחוס, רדיוס העקמומיות המקומי של חתך מרידיאני בקו רוחב גאוגרפי \varphi הוא:

:M(\varphi)=\frac{(ab)^2}{\big((a\cos\varphi)^2+(b\sin\varphi)^2\big)^\frac32}
=\frac{a(1-e^2)}{(1-e^2\sin^2\varphi)^\frac32}
\,

כאשר a הוא הרדיוס המשווני של הארץ, ו-e היא האקסצנטריות של האליפסה שסיבובה יוצר את הארץ הספרואידית, אשר קשורה לפחיסות f דרך הנוסחה f=1-(1-e^2)^{1/2}. הערך האמפירי העדכני ביותר של פחיסות כדור הארץ הוא f\approx\frac{1}{298.25}.

היסטורית, המרחק בין שני מיקומים נקבע בדרגת דיוק נמוכה באמצעות אודומטריה.

## הרחבות
ממוזער|left|380px|מדידות קשת בהן נעשה שימוש במודל צורת הארץ של קלארק (1858).
מדידות קשת נוספות, ברצועות רוחביות שונות, מאפשרות לקבוע את פחיסות כדור הארץ. בסל עיבד את התוצאות של כמה מדידות קשת כדי לחשב את אליפסואיד בסל (1841) המפורסם. אלכסנדר רוז קלארק (1858) שילב בין מרבית מדידות הקשת שהיו ידועות בתקופתו כדי להגדיר אליפסואיד ייחוס חדש.

## ראו גם
* גאודזיה

## ביאורים

קטגוריה:מדידה
קטגוריה:קרטוגרפיה