משפט נקודת השבת של קאקוטאני

באנליזה פונקציונלית, **משפט נקודת השבת של קאקוטאני**, הנקרא על שם המתמטיקאי שיזואו קאקוטאני (Shizuo Kakutani), אומר כי במרחב קמור מקומית לפעולה רציפה של חבורת העתקות אפיניות על קבוצה קומפקטית קמורה יש נקודת שבת.

## ניסוח המשפט
יהי X מרחב וקטורי קמור מקומית ותהי K \subset X קבוצה קמורה קומפקטית. תהי G  חבורה ביחס להרכבה של העתקות אפיניות מ-K ל-K. נניח שההעתקות רציפות במידה אחידה, כלומר לכל סביבה W של אפס קיימת סביבה V של אפס כך שלכל T \in G, x,y \in K אם x-y \in V אז Tx-Ty \in W. אז לכל העתקות שב-G  יש נקודת שבת משותפת ב-K.

## הוכחה
נעזר בלמה הטופולוגית הבאה:

**למה:** יהיו A,B מרחבים טופולוגיים כך ש-B קומפקטי. תהי \pi: A \times B \to A ההטלה הטבעית ו-E \subset A \times B. נניח ש p \in \overline{\pi (A)} אז קיימת נקודה q \in B כך ש (p,q) \in \overline E.

**הוכחה:** נניח שלא. לכן לכל q \in B קיימות סביבות q \in W_q וכן p \in V_q כך ש-(V_q \times W_q) \cap E = \emptyset . מהקומפקטיות של B ישנן \{q_i\}_ {1 \leq i \leq n} כך ש-B = \cup_{i=1}^n W_{q_i}. לכן עבור p \in \cap_{i=1}^n V_i :=V נקבל ש-V \cap E = \emptyset סתירה לכך ש-p \in \overline{\pi (A)}.

**המשך הוכחה**: תהי \Omega אוסף כל תתי הקבוצות H \subset K הקמורות, קומפקטיות ולא ריקות המקיימות T(H) \subset H לכל T \in G. כיוון ש-K \in \Omega נקבל כי \Omega \neq \emptyset. כמו כן אם \{H_i\}_{i \in I} \subset \Omega אז גם החיתוך \cap_{i \in I} H_i נמצא ב-\Omega (הוא לא ריק מקומפקטיות). מהלמה של צורן נקבל שיש ב-\Omega איבר מינימלי Q. אם נראה ש-Q מכילה נקודה בודדת נסיים. נניח שלא. לכן קיימות x,y \in Q, x-y \not\in W עבור W סביבה של 0. תהי V הסביבה המתאימה ל-W מתנאי הרציפות במידה אחידה. אם יש T \in G כך ש-Tx -Ty \in V אז נקבל  x-y = T^{-1}(Tx) - T^{-1}(Ty) \in W (קיימות העתקות הופכיות כיוון ש-G  חבורה) סתירה. לכן לכל T \in G, Tx -Ty \not \in V. תהי z = \tfrac{x+y}{2}. מקמירות z \in Q. נתבונן במסלול של z  תחת הפעולה של G , G(z) = \{Tz|T \in G\}. זוהי קבוצה G  אינווריינטית ולכן גם K_0 = \overline{G(z)} וגם K_1 = \overline{conv(K_0)} קבוצות G  אינווריינטיות. K_1 קבוצה קמורה, קומפקטית לא ריקה ו-G  אינווריינטית המוכלת ב-Q. ממינימליות Q נקבל ש-K_1 = Q. ממשפט קריין-מילמן קיימת נקודה p  קיצונית של הקבוצה Q. p \in K_0. נתבונן בקבוצה הבאה E = \{(Tx,Ty,Tz)|T \in G\}. כיוון ש-p \in K_0 = \overline{G(z)} וכן Q \times Q קומפקטית נקבל מהלמה שיש נקודה x',y' \in Q כך ש-(x',y',p) \in \overline{E}. כיוון ש-2Tz = Tx + Ty \forall T \in G, נקבל ש-2p = x'+y' ומהקיצוניות של p  נקבל ש- x'=y'. אבל לכל T \in G, Tx -Ty \not \in V ולכן x' - y' \not \in V\ni 0 סתירה. קיבלנו סתירה ולכן Q מכילה רק נקודה אחת וסיימנו.￼

## שימושים
משפט נקודת השבת מאפשר להוכיח את הקיום של מידת האר.

## תוצאות נוספות
* משפט נקודת השבת של קאקוטאני-מרקוב: יהיו X  מרחב וקטורי טופולוגי ו-K \subset X קמורה קומפקטית ולא ריקה. נניח \mathcal{F} קבוצה של העתקות אפיניות **מתחלפות** (S\circ T=T\circ S \forall S,T \in \mathcal{F}) מ-K  ל-K . אז יש ל-\mathcal{F} נקודת שבת משותפת. המשפט משמש להוכיח נוסח של משפט האן-בנך שבו מוסיפים גם דרישה של אינווריינטיות ביחס לקבוצה כזאת של העתקות.
* ישנו משפט נוסף הנקרא משפט נקודת השבת של קאקוטאני המתייחס בעיקר למרחבים מממד סופי: תהי K \subset \mathbb{R}^n קבוצה קומפקטית קמורה ולא ריקה. תהי \phi : K \to P(K) פונקציה עם גרף סגור וכן נניח שלכל x \in K, \phi(x) קבוצה קמורה לא ריקה. אז יש ל-\phi נקודת שבת, כלומר קיימת נקודה a \in K כך ש a \in \phi(a). המשפט שימושי לתורת המשחקים ולכלכלה בכך שהוא מאפשר להוכיח קיום של "מצבים יציבים": למשל קיום שיווי משקל נאש, משפט המינימקס וכו'.

## לקריאה נוספת
* וולטר רודין, **אנליזה פונקציונלית**, 1973, Tata MacGraw-HiIl

## קישורים חיצוניים
* משפט נקודת השבת של קאקוטאני, באתר Wolfram
* סקירה של משפט נק' השבת של קאקוטאני באתר Springer (המאמר בתשלום)

## הערות שוליים

2019 06
קטגוריה:משפטים באנליזה פונקציונלית
קטגוריה:משפטי נקודת שבת
קטגוריה:משפטים באנליזה