תורת ההפרעות (מכניקת הקוונטים)

**תורת ההפרעות** (בתרגומים ישנים מכונה גם **טרידה**) היא שיטה לפתרון מקורב של בעיות במכניקת הקוונטים, על ידי שימוש בתורת ההפרעות המתמטית. עיקר השיטה הוא הפרדת הבעיה הפיזיקלית לשתי תתי-בעיות:

# בעיה עיקרית שפתרונותיה ידועים מראש, אם בצורה אנליטית ואם בצורה מקורבת - זוהי בעיית הבסיס.
# בעיה נוספת בעלת ערכים עצמיים קטנים ביחס לבעיית הבסיס - זוהי ההפרעה.

על פי השיטה ניתן להרכיב את הפתרונות של הבעיה הכללית (כולל ההפרעה) באמצעות סופרפוזיציה של פתרונות של בעיית הבסיס.

## מבוא

במסגרת תורת ההפרעות ניתן לנתח מערכות פיזיקלית עם המילטוניאן מהצורה:

\hat{H}=\hat{H}_0+\lambda\hat{V}

כך ש-\lambda\ll1 ול-\hat{H}_0 אוסף מצבים עצמיים בדידים |n^{(0)}\rang עם אנרגיות עצמיות E_n^{(0)}. על פי השיטה ניתן למצוא אנרגיות עצמיות ומצבים עצמיים של ההמילטוניאן הכללי \hat{H} באמצעות הפתרונות הידועים של \hat{H}_0. פתרונות אלו יהיו מהצורה:

|n\rang=|n^{(0)}\rang+\lambda|n^{(1)}\rang+\lambda^2|n^{(2)}\rang+\dots

עם אנרגיות עצמיות מתאימות מהצורה:

E_n=E_n^{(0)}+\lambda E_n^{(1)}+\lambda^2 E_n^{(2)}+\dots

האיברים E_n^{(k)} ו-|n^{(k)}\rang נקראים התיקון מסדר k לאנרגיה ולמצב העצמי בהתאמה.

בעיות מתחום תורת ההפרעות ניתן לחלק לשני סוגים:
* **תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן**: זהו המקרה בו ההפרעה \hat{V} בעלת תלות מרחבית בלבד ואינה תלויה בזמן. במקרה זה ישנו שימור אנרגיה ועל כן ניתן לפתור את הבעיה כפתרון בעיית ערכים עצמיים.
* **תורת ההפרעות שתלויה בזמן**: זהו המקרה בו ההפרעה תלויה במרחב ובזמן, כלומר \hat{V}\equiv \hat{V}(t). במקרה זה האנרגיה אינה נשמרת ולמעשה הפתרון מיוצג על-ידי מעברים משתנים בזמן בין המצבים העצמיים של בעיית הבסיס.

את תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן פיתח ארווין שרדינגר ב-1926 כהמשך ישיר לעבודתו על משוואת שרדינגר. את תורת ההפרעות התלויה בזמן פיתח פול דיראק.

## תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן
### ללא ניוון
כאשר פתרונות בעיית הבסיס הם ללא ניוון, ניתן לחשב את התיקון מסדר ראשון ושני לאנרגיה באופן הבא:

 E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle 

E_n^{(2)} = \sum_{k \ne n} \frac{|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle|^2} {E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} 

את התיקון למצב העצמי מסדר ראשון ניתן לחשב באמצעות:

 |n^{(1)}\rang = \sum_{k \ne n} \frac{\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} |k^{(0)}\rang 

פתרונות אלו נכונים אך ורק במידה ואין ניוון. במקרה ויש ניוון המכנה בתיקון מסדר שני לאנרגיה ומסדר ראשון למצב מתאפס וישנה חלוקה באפס. במקרה זה נדרשת שיטה אחרת.

### עם ניוון
במקרה שבו ישנו ניוון, ניתן להניח כי המצבים העצמיים של אותה אנרגיה עצמית מתערבבים זה עם זה בלבד, זאת בהינתן הפרעה קטנה. כלומר, התיקון למצבים העצמיים יהיה סופרפוזיציה של מצבים בעלי אנרגיה עצמית זהה.

עבור אוסף מצבים עצמיים |1\rang,|2\rang,\dots,|k\rang בעלי אותה אנרגיה עצמית E_n בבעיית הבסיס, ניתן לצמצם את ההפרעה \hat{V} למרחב הנפרס על ידי מצבים אלו ולהציג אותה בייצוג מטריצי:

V=\left(\begin{matrix}
V_{11} & V_{12} & \dots &V_{1k} \\
V_{21} & V_{22} & \dots & V_{2k} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
V_{k1} & V_{k2} & \dots & V_{kk}
\end{matrix}\right)

כך ש:

V_{ij}=\lang i|\hat{V}|j\rang

עבור וקטור עצמי (\alpha_1,\dots,\alpha_k) וערך עצמי מתאים \Delta E של המטריצה V, מתקבל מצב עצמי ואנרגיה עצמית מתוקנים כך שהאנרגיה המתוקנת היא E + \lambda\Delta E והמצב המתוקן הוא:

|\psi\rang=\sum_{i=1}^k{\alpha_i|i\rang}

ובכך ניתן לקבל k מצבים עצמיים מתוקנים עם אנרגיות מתוקנות.

### דוגמאות
#### אלקטרונים כמעט חופשיים בגביש חד-ממדי
ניתן לתאר גביש חד־ממדי כמערכת עם המילטוניאן מהצורה H=\frac{p^2}{2m}+V, כאשר V הוא הפרעה מחזורית עם מחזור מאורך a. כלומר, לכל x\in\mathbb{R} מתקיים V(x+a)=V(x). במקרה זה ההמילטוניאן הבלתי מופרע הוא \frac{p^2}{2m} והמצבים העצמיים שלו הם האלקטרונים החופשיים |k\rang עם האנרגיות E_k=\frac{\hbar^2k^2}{2m} כאשר k\in\mathbb{R} הוא מספר הגל.

ניתן לתאר את הפוטנציאל המחזורי באמצעות טור פורייה:

V(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}{\tilde{V}_ne^{nKx}} כאשר K=\frac{2\pi}{a} ו-\tilde{V}_{-n}=\tilde{V}_n^* (זאת מכיוון ש-V חייב להיות הרמיטי)

מאחר שהוספת קבוע להמילטוניאן שקול להזזת פאזה, מה שאינו משנה את סטטיסטיקת מיקום האלקטרונים, ניתן להניח בלי הגבלת הכלליות כי \tilde{V}_0=0.

בבעיית הבסיס אין ניוון באנרגיה, לכן בעזרת תורת ההפרעות מתקבל כי התיקון הראשון לאנרגיה מתאפס והתיקון השני לאנרגיה הוא:

E_k^{(2)}=\sum_{0\ne n\in\mathbb{Z}}{\frac, כלומר:

# על המערכת לדגום מחזורים רבים של ההפרעה. תנאי זה נובע מרוחב עקומת התהודה.
# התנאי השני נובע מדרישת תקפות הפיתוח של תוה"פ, ש \ |c_f|^2 \ll 1. בשביל שיהיה t מספיק גדול שעבורו התנאי הראשון יתמלא, על ההפרעה להיות קטנה מאוד מהפרש האנרגיות, כלומר: \ |V_{fb}| \ll \hbar \omega_{fb} = E_f - E_b.

## קישורים חיצוניים
* 
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:אופטימיזציה רציפה
קטגוריה:מכניקת הקוונטים