מספר p-אדי

בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, **מספר p-אדי** הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני p, שהוא סופי בצד החזקות השליליות p^{-N}, ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר p, וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה.

## תכונות
במספר p-אדי, שצורתו הכללית
:a_{-N}p^{-N}+\cdots+a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots
עשויים המקדמים a_{-N},\ldots,a_0,a_1,a_2,\ldots להיות מספרים שלמים כלשהם. אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח 0\le a_i\le p-1, והצגה זו היא יחידה. על כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים.

מבין מספרים ה-p-אדיים, **השלמים ה-p-אדיים** הם הביטויים a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots, שבהם אין חזקות שליליות של p.

## מרחק בין שני מספרים
בין מספרים ה-p-אדיים a,b מגדירים מרחק לפי חזקת p הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש – ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר.

באופן פורמלי, אם a=a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots אזי |a|_p=p^{-k}, כאשר k=\min\{n\in\N:a_n\ne0\}. כמו כן מגדירים |0|_p=0. המטריקה היא d(a,b)=|a-b|_p.

תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים a_np^n הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה 1,p,p^2,\ldots שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה 1,p^{-1},p^{-2},\ldots היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת.

## הצגת מספר שלילי
לפי ההגדרה, המקדמים 0\le a_i\le p-1 בהצגה כטור חזקות הם חיוביים, ולכאורה אי אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p-אדיים. אך ההפך הוא הנכון.

לדוגמה: יהי p=3 ונתבונן במספר
:\ldots222=2\cdot1+2\cdot3+2\cdot3^2+\cdots
נחבר לו את המספר 1, ונקבל
:\begin{array}{r}\ldots\stackrel{1}{2}\stackrel{1}{2}\stackrel{}{2}\\ ^{+}\ldots001\\\hline\ldots000\end{array}
שכן 1+2=3 ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם 1+2=3 ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה. בסופו של דבר מקבלים:
:\ldots222+1=0 
ולכן -1=\,\ldots222=2\cdot1+2\cdot3+2\cdot3^2+\cdots

במקרה הכללי מתקיים כי -1=\sum_{n\,=\,0}^\infty(p-1)p^n. אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של p=3 אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגדלות של p מתכנס במטריקה ה-p-אדית). כאן a_0=p-1,q=p ולכן
:S=\frac{a_0}{1-q}=\frac{p-1}{1-p}=-1
כעת, כל מספר שלילי m ניתן להציג כמכפלה של ההצגה ה-p-אדית של |m| בהצגה ה-p-אדית של -1.

## הצגת מספר רציונלי
כל מספר רציונלי ניתן להציג באופן יחיד בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהפך: מספר p-אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית). לדוגמה, בשדה המספרים ה-5-אדיים, 
:\frac{2}{3}=4+1\cdot5+3\cdot5^2+1\cdot5^3+3\cdot5^4+\cdots
אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור S=1+5^2+5^4+5^6+\cdots מתכנס, וסכומו על פי הנוסחה הידועה לסיכום טורים הנדסיים S=\frac{1}{1-5^2}=-\frac{1}{24}. לכן הסכום לעיל מתכנס ל- 4+5\cdot S+ 3\cdot5^2\cdot S=4-\frac{80}{24}=\frac{2}{3}.

השבר המצומצם \frac{a}{b} הוא שלם p-אדי, אם ורק אם p אינו מחלק את המכנה b. למספרים שלמים רבים יש שורש p-אדי. למשל,
:\sqrt{7}=1+3+3^2+2\cdot3^4+2\cdot3^7+3^8+\cdots
(ביטוי זה אינו מחזורי). כאשר p\ne2, ו-a הוא מספר שלם זר ל-p ללא גורמים ריבועיים שלמים, יש ל-a שורש p-אדי אם ורק אם a הוא שארית ריבועית מודולו p. בין המספרים ה-p-אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מאחר שלמספר השלילי 1-p^3 תמיד יש שורש p-אדי.

חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.

## הגישה האלגברית
ניתן להגדיר מספר p-אדי כסדרה הבאה:
:x=(\ldots,x_n,\ldots,x_1)=(x_n)_{n=1}^\infty
כך שלכל n\ge1 מתקיים x_n\in\Z/p^n\Z (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו p). כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:
*הם מקיימים \forall n\le m:x_n=x_m\ \text{mod}\ p^n 
*או באופן שקול, המעבר מ-x_n ל-x_{n-1} נעשה על ידי x+p^n\mapsto x+p^{n-1}.
נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי. עבור p ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים \Z_p. אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא:
*חיבור: x+y=(\ldots,x_n,\ldots,x_1)+(\ldots,y_n,\ldots,y_1)=(\ldots,x_n+y_n,\ldots,x_1+y_1)
*כפל: x\cdot y=(\ldots,x_n,\ldots,x_1)\cdot(\ldots,y_n,\ldots,y_1)=(\ldots,x_ny_n,\ldots,x_1y_1)
למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: x_n+y_n,x_n\cdot y_n\in\Z/p^n\Z). 
זהו חוג עם אפס 0=(\ldots,0,0,0) ויחידה 1=(\ldots,1,1,1). יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה. שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן \Q_p.

גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה-p-אדיים באמצעות הלמה של הנזל.

### מעבר בין ההצגה כטור חזקות להצגה כגבול הפוך
נתון p ראשוני, ונרשום שלם p-אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך:
:(\ldots,x_n,\ldots,x_1)=a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots
כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא:
:x_{n+1}=\sum_{k\,=\,0}^na_kp^k
בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא:
:
\begin{array}{rcl}a_0&=&x_1\\a_1&=&\dfrac{x_2-x_1}{p}\\a_2&=&\dfrac{x_3-x_2}{p^2}\\a_3&=&
\dfrac{x_4-x_3}{p^3}\\&\vdots&\\a_n&=&\dfrac{x_{n+1}-x_n}{p^n}\\&\vdots&\end{array}
או בנוסחה מפורשת: 
:a_n=\frac{x_{n+1}-x_n}{p^n}=x_{n+1}\ \text{div}\ p^n
כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל 8\ \text{div}\ 3=(2+3\cdot2)\ \text{div}\ 3=2).

## שדה המספרים וחוג השלמים ה-p-אדיים
קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה שדה, הנקרא שדה המספרים ה-p-אדיים. אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב-\Z_p, מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים. לשדה המספרים ה-p-אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח כי למשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות p-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעיתים קרובות משימה קלה בהרבה.

כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר p^n. אוסף ההעתקות הרציפות מ-\Z_p למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה \Z[1/p]/\Z=\cup_{n\,=\,1}^\infty p^{-n}\Z/\Z.

## ראו גם
*שדה המספרים ה-p-אדיים

## קישורים חיצוניים

*
*
*אנדרו בייקר, הרצאות בקורס על מבוא למספרים p-אדים, אוניברסיטת גלאזגו, סקוטלנד, 2011
*

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:תורת המספרים
קטגוריה:שיטות ספירה