משפט הקטגוריה של בר

**משפט הקטגוריה של בר** (Baire) הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית ובטופולוגיה קבוצתית. המשפט קובע כי כל מרחב מטרי שלם וכל מרחב רגולרי קומפקטי מקומית הם מרחבי בר.

המשפט מהווה בסיס מרכזי להוכחת משפטים חשובים אחרים, ביניהם משפט ההעתקה הפתוחה, משפט הגרף הסגור ומשפט בנך-שטיינהאוס. המשפט מוכיח כי המרחבים \mathbb{R}^n הם מרחבי בר עם הטופולוגיה הסטנדרטית.

המשפט הוכח לראשונה בשנת 1899 על-ידי המתמטיקאי הצרפתי רנה-לואי בר.

## מונחים בסיסיים
בהינתן מרחב טופולוגי X וטופולוגיה \mathcal{T}:
* קבוצה N\subseteq X תקרא קבוצה דלילה אם ורק אם לכל קבוצה פתוחה לא ריקה U\in \mathcal{T} קיימת תת-קבוצה פתוחה לא ריקה \mathcal{T}\ni V\subseteq U כך ש-N\cap V=\emptyset . לחלופין, הפנים של הסגור של N ריק.
* קבוצה A\subseteq X תקרא קבוצה מקטגוריה ראשונה אם ורק אם היא יכולה להכתב כאיחוד בן מניה של קבוצות דלילות.
* המרחב X כולו ייקרא מרחב בר אם ורק אם לכל תת-קבוצה A\subseteq X מקטגוריה ראשונה יש פנים ריק.

באופן כללי קבוצה מקטגוריה ראשונה אינה בהכרח דלילה. כך לדוגמה, המספרים הרציונליים הם קבוצה מקטגוריה ראשונה (כאיחוד בן מנייה של יחידונים, שהם דלילים), והפנים של הסגור שלהם הוא כל הישר הממשי.

## ניסוח המשפט
למשפט שני ניסוחים:

**משפט בר הראשון:** יהי X מרחב מטרי שלם. אזי, X הוא מרחב בר.

**משפט בר השני: יהי <math>X</math>** מרחב רגולרי קומפקטי מקומית. אזי X הוא מרחב בר. הדבר נכון בפרט כאשר **<math>X</math>** הוא מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית.

## תקציר הוכחת המשפט
נתון מרחב טופולוגי X וטופולוגיה \mathcal{T} העונה לתנאים של אחד המשפטים לעיל. כמו כן, נתונה קבוצה מקטגוריה ראשונה A\subseteq X. כדי להוכיח ש-X הוא מרחב בר, יש להוכיח כי הפנים של A ריק. מספיק להוכיח כי לכל קבוצה פתוחה U\in \mathcal{T} קיימת נקודה שאינה ב-A, כלומר U\cap A^\complement \neq \emptyset.

כיוון ש-A קבוצה מקטגוריה ראשונה, ניתן להגדיר A=\bigcup A_n כאשר A_n קבוצות דלילות. בונים סדרה של קבוצות קומפקטיות \{B_n\}_{n=1}^\infty כך שלכל n\in\mathbb{N}:
# \operatorname{Int}(B_n) (הפנים של B_n) לא ריק, ולכן גם B_n לא ריק.
# B_n\subseteq U\cap A_n ^\complement 
# B_{n+1}\subset\operatorname{Int}(B_n).

יש לשים לב כי בשתי גרסאות המשפט מובטח כי כל קבוצה קומפקטית היא סגורה, לכן B_n קבוצות סגורות. כאשר מדובר במרחב מטרי, B_n נבנים בעזרת כדורים סגורים. במקרה של מרחב טופולוגי קומפקטי מקומית, בונים את B_n על-ידי לקיחת סביבה קומפקטית לאיבר כלשהו מ-B_{n-1} העומדת בתנאים.

כעת מגדירים B:=\bigcap_{n=1}^\infty{B_n}. יש להוכיח כי B אינו ריק. מניחים בשלילה כי B קבוצה ריקה. לכן משפחת המשלימים \{ B_n^\complement \}_{n=2}^\infty היא כיסוי פתוח של B_1. בגלל הקומפקטיות של B_1 קיים תת-כיסוי סופי. ניתן להסיק מכך כי קיים n\ge 2 כך ש-B_1\subseteq B_n^\complement. מצד שני \emptyset\ne B_n\subset B_1, וזו סתירה.

מכיוון ש-B אינו ריק, קיים x\in B. לכל n\in\mathbb{N} מתקיים x\in B\subseteq B_n\subseteq U\cap A_n^\complement. לכן:

x\in U\cap\bigcap_{n=1}^\infty{A_n^\complement}=U\cap\left(\bigcup_{n=1}^\infty{A_n}\right)^\complement=U\cap A^\complement

משמע U\cap A^c \neq \emptyset, ובכך מוכיחים את המשפט. **מ.ש.ל.**

## מסקנות מן המשפט
* במרחב הפונקציות הרציפות עם מטריקת המקסימום, אוסף הפונקציות הגזירות בנקודה אחת לפחות הוא קבוצה מקטגוריה ראשונה. מכאן, כמעט כל הפונקציות הרציפות אינן גזירות אפילו בנקודה אחת. יש לשים לב שהמשפט אינו קונסטרוקטיבי, דהיינו, הוא אינו מראה כיצד בונים פונקציה כזו. דוגמה ראשונה לפונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה ניתנה על ידי ויירשטראס בשנת 1872.
* כאמור, ניתן להסיק ממשפט הקטגוריה של בר מספר משפטים חשובים באנליזה פונקציולית, ביניהם משפט ההעתקה הפתוחה, משפט הגרף הסגור ומשפט בנך-שטיינהאוס.
* קבוצת הנקודות הרציונליות על הישר הממשי אינה קבוצת G_\delta (קבוצה הניתנת להצגה כחיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות).
* אין פונקציה שרציפה בכל נקודה רציונלית ואינה רציפה באף נקודה אי-רציונליות (פונקציית רימן מקיימת את המקרה ההפוך).
* סדרת פונקציות רציפות שמתכנסת נקודתית מתכנסת לפונקציה רציפה כמעט בכל מקום (אינה רציפה בקבוצה מקטגוריה ראשונה).

## הערות שוליים

קטגוריה של בר
קטגוריה של בר