מרחב פולרי

בגאומטריה, **מרחב פולרי** הוא גאומטריית חילה קבוצתית של נקודות וישרים, שבה כל נקודה שמחוץ לישר מחוברת או לנקודה אחת על הישר או לכולן (נקודות הן **מחוברות** אם עובר דרכן ישר משותף); ועל כל ישר יש לפחות שלוש נקודות. למרחב פולרי יש תת-מרחבים מקסימליים, שהם מרחבים פרויקטיביים. המרחבים האלו קשורים בשרשראות, כדוגמת החדרים בבניין. 

אחת הדוגמאות העיקריות למרחב פולרי מתקבלת מתבנית ריבועית המוגדרת על מרחב פרויקטיבי מעל שדה: אוסף הנקודות המאפסות את התבנית, יחד עם הישרים המאפסים אותה, מהווים מרחב פולרי. משפט המיון של ז'אק טיץ (ראו להלן) הוא אחד ההישגים החשובים בגאומטריה במאה ה-20.

## הגדרה

גאומטריה של נקודות וישרים היא **מרחב ליניארי חלקי** אם דרך כל שתי נקודות עובר לכל היותר ישר אחד, ועל כל ישר יש לפחות שתי נקודות. שתי נקודות הן **מחוברות** אם עובר דרכן ישר משותף (במרחב ליניארי כל שתי נקודות מחוברות). 

גאומטריה קבוצתית של נקודות וישרים נקרא **מרחב פולרי** אם נקודה שמחוץ לישר מחוברת או לנקודה יחידה על הישר, או לכל הנקודות שעליו; ועל כל ישר יש לפחות שלוש נקודות (אם מניחים במקום זה שעל כל ישר יש לפחות שתי נקודות, זהו **מרחב פולרי מוכלל**). מרחב פולרי הוא **מנוון** אם יש בו נקודה המחוברת לכל שאר הנקודות.

מרחב פולרי הוא **עבה** אם כל תת-מרחב מקו-ממד 1 מוכל בלפחות 3 תת-מרחבים מקסימליים, ו**דק** אחרת (זו ההגדרה גם עבור בניינים).

## תת-מרחבים

קבוצת נקודות במרחב פולרי היא **תת-מרחב** אם כל שתי נקודות בה מחוברות, והיא מכילה כל ישר העובר דרך שתי נקודות שלה. כל תת-קבוצה של נקודות המחוברות זו לזו, יוצרת תת-מרחב (השווה לחיתוך תת-המרחבים המכילים אותה). כל מרחב פולרי לא מנוון הוא מרחב ליניארי חלקי.

ה**דרגה** של מרחב פולרי היא האורך המקסימלי של שרשרת תת-מרחבים לא ריקים (ביחס להכלה). מרחב פולרי מוכלל לא מנוון מדרגה 2 נקרא **מלבן מוכלל** (את אלו אפשר לתאר אקסיומטית כמרחבים ליניארים חלקיים שבהם כל נקודה שמחוץ לישר מחוברת לנקודה יחידה שעליו, ודרך כל נקודה עוברים לפחות שני ישרים). נניח ש-S מרחב פולרי מדרגה סופית. לכל תת-מרחב יש תת-מרחב מקסימלי זר לו. כל תת-מרחב מהווה חיתוך של שני תת-מרחבים מקסימליים. 

תת-מרחב (אמיתי) של מרחב פולרי S נקרא **על-מישור פרויקטיבי**, אם הוא חותך כל ישר של S. נסמן ב-\ p^{\perp} את קבוצת הנקודות המחוברות ל-p. לכל תת-מרחב U שלא כל הנקודות בו מחוברות ל-p, החיתוך \ U_p = U \cap p^{\perp} הוא על-מישור פרויקטיבי של U. אם בנוסף לזה U תת-מרחב מקסימלי של S, אז גם תת-המרחב \ \langle U_p,p\rangle הוא מקסימלי (והוא כולל את הנקודות שעל הישרים דרך p, שיש להם לפחות נקודה אחת ב-\ U_p). כל תת-מרחב של מרחב פולרי שיש בו לפחות שני ישרים, הוא מרחב פרויקטיבי (זה **משפט Buekenhout**, המכליל משפט דומה למרחבים מדרגה סופית שהוכיחו Buekenhout ו-Shult). משפט זה מכניס את מושג הממד של מרחבים פרויקטיבים לתאוריה של מרחבים פולריים.

## הגדרה באמצעות תת-מרחבים

**משפט Buekenhout-Shult** מתאר את מבנה תת-המרחבים של מרחב פולרי S מדרגה סופית n, כדלקמן: 
# כל תת-מרחב מקסימלי המכיל לפחות שני ישרים הוא מרחב פרויקטיבי מממד n-1;
# חיתוך של שני תת-מרחבים הוא תת-מרחב; 
# לכל נקודה p מחוץ לתת-מרחב מקסימלי U, יש תת-מרחב מקסימלי יחיד W העובר דרך p כך שהחיתוך שלו עם U הוא מממד n-2 (החיתוך כולל בדיוק את הנקודות של U המחוברות ל-p); 
# יש שני תת-מרחבים מקסימליים זרים.

למעשה, ארבע תכונות אלו הרכיבו את ההגדרה המקורית של ז'אק טיץ. אכן, טיץ הגדיר מרחב פולרי כגאומטריה קבוצתית עם אובייקטים מטיפוסים 0,1,\dots,n-1 (הקרויים נקודה, ישר,... על-מישור, בהתאמה), המקיימת את ארבע האקסיומות הבאות: 
# הגאומטריה השאריתית בכל על-מישור היא מרחב פרויקטיבי מממד n-1; 
# החיתוך של כל שני אובייקטים הוא אובייקט;
# לכל נקודה p מחוץ לעל-מישור U יש על-מישור יחיד דרך הנקודה כך שהחיתוך שלו עם U הוא אובייקט מממד n-2, והוא כולל את הנקודות של U המחוברות ל-p;
# יש שני על-מישורים זרים.

בכל מרחב כזה, הגאומטריה של הנקודות והישרים היא מרחב פולרי. במילים אחרות, ההגדרה האקסיומטית לפי נקודות וישרים שקולה לזו של טיץ על ארבע התכונות של תת-מרחבים.

## מיון המרחבים הפולריים

כל מרחב פולרי עבה ולא מנוון, מדרגה 2 ומעלה, הוא בניין מטיפוס \mathsf{C}_n, שבו החדרים הם תת-המרחבים המקסימליים. בשפה זו של בניינים אפשר להגדיר את **תנאי מופן** (Moufang) (לכל שורש בכל דירה, יש חבורה המקבעת את התאים השייכים לשורש, ולכל קיר על השפה של השורש פועלת טרנזיטיבית על החדרים המכילים את הקיר הזה ושאינם שייכים לשורש; **שורש** הוא מעין מחצית דירה, הכוללת את כל החדרים בדירה שמעבר אחד של קיר). מרחב המקיים את תנאי מופן נקרא **מרחב מופן**.

משפט המיון של טיץ קובע שכל מרחב פולרי עבה ולא מנוון, מדרגה 3 ומעלה, הוא **מרחב מופן**, השייך לאחד הטיפוסים הבאים:
* מרחב פולרי **סימפלקטי**, המוגדר על ידי תבנית ביליניארית מתחלפת (alternating) לא מנוונת מעל שדה.
* מרחב פולרי **הרמיטי**, המוגדר על ידי תבנית הרמיטית (או סקיו-הרמיטית) ביחס לאינוולוציה על אלגברת חילוק.
* מרחב פולרי **אורתוגונלי**, המוגדר על ידי תבנית ריבועית לא מנוונת (או, במאפיין 2, פסאודו-ריבועית), מעל אלגברת חילוק.
* בדרגה 3 בלבד, **מרחב אוקטוניוני** מטיפוס \mathsf{F}_4 המוגדר מעל אלגברת אוקטוניונים.
שלושת הטיפוסים הקלאסיים מוגדרים גם בדרגה 2. המיון של מרחבים פולריים מדרגה 2, הנקראים **מרובעים מוכללים** (Generalied Quadrangles), אינו שלם, שכן קיימים מישורים רבים שאינם מקיימים את תנאי מופן.

## ראו גם
* מערכת חילה

קטגוריה:גאומטריה