אופטיקה לא ליניארית

**אופטיקה לא ליניארית** (באנגלית: **NLO - NonLinear Optics**) היא תחום באופטיקה, אלקטרואופטיקה ופוטוניקה המתאר את ההתנהגות של אור כאשר הוא עובר בחומר *לא-ליניארי,* כלומר, בחומר שבו צפיפות הקיטוב מגיבה בצורה לא-ליניארית עם השדה האלקטרומגנטי. אי-ליניאריות זאת מתגלה בעיקר בדרך כלל רק בעוצמות גבוהות מאוד של אור (בשדה חשמלי של מעל 108 V/m), כמו בלייזר. באופטיקה לא-ליניארית, עקרון הסופרפוזיציה של גלי אור לא תקף יותר.

תחום האופטיקה הלא-ליניארית הוא חלק מתחום רחב יותר העוסק ביחסי הגומלין בין חומר ובין אור או קרינה אלקטרומגנטית העוברים בחומר. כאשר עוצמת האור העובר בחומר נמוכה יחסית, תגובת החומר למעבר האור יחסית לעוצמת האור או לחזקה הראשונה של עוצמת האור וזהו התחום הליניארי. לעומת זאת, כאשר עוצמת האור גבוהה יחסית, תגובת החומר כוללת מרכיבים משמעותיים המתכונתיים לחזקות גבוהות יותר של עוצמת האור, למשל לריבוע עוצמת האור, וזהו התחום הלא-ליניארי.

תחום האופטיקה הלא-ליניארית צמח עם פיתוח הלייזרים, כאשר היה אפשר להחדיר לחומרים מתאימים אלומות לייזר פולסיות בהספקים רגעיים גבוהים. האפקטים הלא ליניאריים באים לידי ביטוי רצוי בהכפלת תדר של לייזרים, למשל, ולביטוי לא רצוי בהפרעה לתקשורת סיבים אופטית.

## מבוא
כאשר שדה אלקטרומגנטי נע בתווך חומרי, בניגוד לריק, הוא עלול להגיב עם המטענים בחומר. האטומים והמולקולות בחומר הם נייטרליים, אך כאשר הם מרגישים את השדה החשמלי של האור, המטען השלילי בהם נמשך לצד אחד והמטען החיובי לצד שני, דבר שיוצר דיפולים חשמליים בחומר. הקשר בין חוזק וכמות הדיפול בחומר באזור מסוים נתון על ידי וקטור הפולריזציה (הקיטוב) \vec{P} שהוא פונקציה של וקטור השדה \vec{E}.

באופטיקה ליניארית, השדה החשמלי נמוך ובקירוב טוב שדה הקיטוב תלוי בשדה החשמלי באופן ליניארי (כלומר ביחס ישר):

:
{\mathbf P}=\varepsilon_0\chi{\mathbf E}


כאשר השדה החשמלי נהיה חזק מידי, הקירוב לא תקף וצריך להסתכל על האיברים הבאים בטור הטיילור של \vec{P}(\vec{E}):

:P(t) \propto \chi^{(1)} E(t) + \chi^{(2)} E^2(t) + \chi^{(3)} E^3(t) + \cdots.

כאשר דיפול חשמלי משנה את כיוונו בצורה מחזורית בזמן, הוא קורן קרינה אלקטרומגנטית בתדירות שבה הוא מתנודד. באופטיקה ליניארית, הדיפולים (המתוארים על ידי הפולריזציה) מתנהגים ביחס ישר לשדה החשמלי של האור, ולכן הקרינה הנפלטת זהה לאור שנכנס. לעומת זאת, באופטיקה לא ליניארית, האיברים הבאים בפיתוח גם הם משפיעים על התנודדות הדיפולים בחומר, דבר שמשפיע על הקרינה שנפלטת מהם.

תופעה זו היא הבסיס לכל התופעות באופטיקה לא ליניארית - השדה החשמלי עצמו משפיע בצורה לא ליניארית על הקרינה שקורנים הדיפולים.

בצורה יותר מתמטית, בעוד שבאופטיקה ליניארית המשוואה שמתארת את התקדמות השדה החשמלי בתדר מסוים \omega היא משוואת הגלים:

\nabla^2 E+\frac{\omega^2 n^2}{c^2}E=0

באופטיקה לא ליניארית מקבלים משוואת גלים שהפולריזציה הלא ליניארית מתפקדת בה כמקור ליצירת גלים:

\nabla^2 E+\frac{\omega^2 n^2}{c^2}E=-\frac{\omega^2}{\varepsilon_0 c^2}P^{NL}

כאשר P^{NL} הוא הרכיב הלא ליניארי של הפולריזציה שמתנודד בתדר \omega. בתור מקור, הפולריזציה הלא ליניארית יכולה לשנות את האמפליטודה של השדה (עבור שדה בעל מספר גל k ותדר \omega, האמפליטודה (המשרעת) היא המספר A, שיקיים E=Ae^{i(kz-\omega t)}). האמפליטודה משתנה לפי המשוואה:

\frac{dA}{dz} e^{ikz} = \frac{i\omega^2}{2k\varepsilon_0 c^2}P^{NL}

## ערבוב שלושה תדרים
חלק מהתהליכים הלא ליניאריים נשענים על כך ששדות בתדרים מסוימים יוצרים פולריזציה לא ליניארית בתדרים אחרים - דבר שגורם ליצירת שדות בתדרים אלו. לדוגמה, בחומר עם אי ליניאריות מסוג \chi^{(2)}, כאשר נכנס לתווך כזה שדה בתדר מסוים: E=E_0 \cos \omega t הפולריזציה הנוצרת היא: P^{NL}= \varepsilon_0 \chi^{(2)}E^2=\varepsilon_0 \chi^{(2)}E_0^2 \cos^2 \omega t=
\varepsilon_0 \chi^{(2)} \frac{E_0^2}{2} (\cos (2\omega t) + 1)
, כלומר קיים רכיב לפולריזציה הלא ליניארית בתדר 2\omega, ולכן החומר יקרון בתדר הכפול.

בתהליכי ערבוב שלושה תדרים, חומר עם אי ליניאריות מסוג \chi^{(2)} מאפשר מעבר אנרגיה בין שלושה תדרים: שני תדרים נמוכים \omega_1 ,\omega_2  וסכומם \omega_3=\omega_1+\omega_2. באופן כללי, השינוי בעוצמה בשלושת התדרים האלו, I_1,I_2,I_3 מקיים את יחסי מנלי-רו (Manley-Rowe):

\frac{d}{dz}\left ( \frac{I_1}{\omega_1} \right ) = \frac{d}{dz}\left ( \frac{I_2}{\omega_2} \right ) = - \frac{d}{dz}\left ( \frac{I_3}{\omega_3} \right )

כאשר ציר z הוא הציר בו מתקדם האור לאורך הגביש. ניתן להתייחס ליחסים אלו כשימור אנרגיה של פוטונים: העוצמה מתארת את כמות האנרגיה ליחידת זמן, ולכן היא פרופורציונלית למספר הפוטונים שמגיעים ליחידת זמן כפול האנרגיה של פוטון אחד I\propto N\cdot \hbar \omega ולכן \frac{I}{\omega}\propto N. לכן, יחסי מנלי רו בעצם אומרים ש- \frac{d}{dz} N_1 = \frac{d}{dz} N_2 = -\frac{d}{dz}N_3 - זה הגיוני משום שכאשר נוצר פוטון עם אנרגיה \hbar \omega_3 = \hbar (\omega_1 + \omega_2 ) הוא תמיד יבוא על חשבון פוטון אחד בשני התדרים הנמוכים. לעומת זאת כשפוטון בתדר הגבוה "מתפרק", הוא יצור פוטון אחד בכל אחד מהתדרים הנמוכים.

משום שערבוב של שלושה תדרים קשור ל\chi^{(2)}, כל האפקטים הנגזרים ממנו יכולים להעשות בחומרים מסוימים בעלי חוסר סימטריה - שהרי פולריזציה ריבועית בשדה גוררת שעבור שדה חיובי ושלילי נקבל פולריזציה לא ליניארית באותו כיוון, דבר שמערב שבירת סימטריה.

להלן כמה תהליכים ידועים שנעשים באמצעות ערבוב שלושה תדרים:

### יצירת סכום התדרים - Sum Frequency Generation
כאשר נכנסים שדות בתדרים \omega_1 ,\omega_2 לחומר, הם יכולים ליצור אור בתדר של סכומם. כאשר אחד התדרים הנמוכים חזק משמעותית, האנרגיה בחומר תיתנודד בין התדר הנמוך השני לבין התדר הגבוה בצורה מחזורית.

### יצירת הפרש התדרים - Difference Frequency Generation
כאשר נכנסים שדות בתדרים \omega_3 ,\omega_2 לחומר, הם יכולים ליצור אור בתדר \omega_1=\omega_3-\omega_2. אם מתקיים שעוצמת התדר הגבוה גדול משמעותית מעוצמת התדר הנמוך, כלומר, I(\omega_3)>> I(\omega_2), בנוסף להיווצרות עוצמה ב\omega_1, העוצמה ב- \omega_2 עולה אקספוננציאלית - כלומר תהליך זה יכול לשמש גם כמגבר לתדרים קיימים ולא רק ליצירת חדשים. היתרון במגבר זה הוא שאין צורך במולקולות עם פס בליעה בתדר הרלוונטי בשביל פליטה מאולצת. מגברים מסוג זה נקראים Optical Parametric Amplifier.

### יצירת הרמוניה שנייה - Second Harmonic Generation
שמאל|ממוזער|250px|תיאור סכמטיSHG היא מקרה פרטי של SFG, בו שני התדרים \omega_1,\omega_2 שווים זה לזה, כלומר - כאשר תדר אחד לחומר הוא יכול לעשות אינטראקציה לא ליניארית עם עצמו וליצור את התדר הכפול לו. לתהליך זה קיימים שימושים רבים, כמו המרת אורך הגל של לייזר Nd:YAG מתחום האינפרה האדום (1064nm), שלא נראה לעין האנושית, לאורך גל קצר פי 2 (ולכן תדר כפול) - 532nm, אורך הגל של רוב הלייזרים הירוקים החזקים.

שמאל|ממוזער|250px|תהליך SHG

## תיאום פאזה
### תיאור אינטואיטיבי
הפולריזציה הלא ליניארית בתדר מסוים משמשת כמקור לצמיחה של האמפליטודה באותו תדר. כאשר הפולריזציה והאמפליטודה באותה פאזה, משמעות הדבר היא שהאמפליטודה תגדל, אך כאשר הם בפאזה הפוכה - הפולריזציה מוסיפה "שינוי שלילי" לאמפליטודה ולכן הורסת אותה. כאשר בחומר יש נפיצה, האמפליטודה והפולריזציה הלא ליניארית מקבלים פאזה שונה ככל שמתקדמים בחומר, ולכן תהליך שמתחיל מצמיחה של אמפליטודה אחרי מספיק מרחק יכול לגרום להריסתה. לדוגמה, עבור תהליך SFG, כאשר יש תיאום פאזה מלא (כלומר השדה בתדר \omega_3 והפולריזציה הלא ליניארית בתדר זה לא צוברים פאזה יחסית ביניהם), האמפליטודה בתדר זה גדלה ליניארית וככל שהגביש יותר ארוך כך יצא יותר. אבל, כאשר אין תיאום פאזה, באיזשהו שלב הפולריזציה הלא ליניארית תתחיל להרוס את האמפליטודה עד שמגיעה חזרה לאפס ואז התהליך חוזר על עצמו. כלומר, במקרה של חוסר תיאום פאזה, יש חסם עליון לכמה אנרגיה יכולה לצאת בתדר הגבוה - ללא תלות באורך הגביש.

### תיאור מתמטי
ניקח לדוגמה את תהליך הSFG. כאמור, הפולריזציה הלא ליניארית בתדר \omega_3כאשר נכנסים 2 שדות אופטיים לחומר: E=A_1 e^{i(k_1 z-\omega_1 t)} + A_2 e^{i(k_2 z - \omega_2 t)} +c.c. יכולה להיווצר מהאיבר המעורב כאשר מעלים בריבוע:

P^{NL} (\omega_3) =\varepsilon_0 \chi^{(2)} 2E(\omega_1) E(\omega_2) =
2\varepsilon_0 \chi^{(2)} A_1A_2 e^{i(k_1+k_2)z} 

ולכן לפי משוואת הגלים הלא ליניארית שנכתבה במבוא,

\frac{dA_3}{dz} e^{ik_3z} = \frac{i\omega_3^2}{2k_3\varepsilon_0 c^2}P^{NL}(\omega_3) =
\frac{i\omega_3^2\chi^{(2)} }{k_3 c^2} A_1 A_2 e^{i(k_1+k_2) z}

\frac{dA_3}{dz} = \frac{i\omega_3^2\chi^{(2)} }{k_3 c^2} A_1 A_2 e^{i(k_1+k_2-k_3) z}

אם \Delta k=k_1+k_2-k_3 = 0 האקספוננט הוא 1 ופתרון המשוואה יתן לנו יעילות מקסימלית בהעברת האנרגיה לA_3. אך אם לא, קיים שלב בו \Delta k z = \pi  ובנקודה הזו הפולריזציה מתחילה לתת תרומה שלילית לאמפליטודה ולהרוס אותה, לכן, יעילות המרת האנרגיה לתדר הגבוה חסומה. ככל שחוסר תיאום הפאזה יותר מובהק (\Delta k רחוק יותר מאפס) כך התהליך מתהפך ואפילו במקרה המקסימלי, פחות אנרגיה מצליחה לעבור. נסכם שעבור תיאום פאזה מלא מתקיים התנאי k_1+k_2 = k_3. תנאי זה אולי נראה טריוויאלי, אך ההפך הוא הנכון. בגלל מקדם השבירה השונה בין תדר לתדר, כלומר בגלל הקשר k=\frac{n\omega}{c}, צריך שיתקיים לתיאום פאזה n_1 \omega_1 + n_2 \omega_2 = n_3 \omega_3  או במילים אחרות, n_1 \omega_1 + n_2 \omega_2 = n_3 (\omega_1 + \omega_2). ברוב החומרים הדיספרסיה היא נורמלית, כלומר מקדם השבירה עולה עם התדר ולכן n_3>n_2, n_1 ומכאן שקשר זה ברוב החומרים הוא בלתי אפשרי, משום שאגף ימין בוודאות גדול מאגף שמאל.

### פתרונות
קיימים שני פתרונות עיקריים להתגברות על בעיית חוסר תיאום הפאזה (phase mismatch) - שימוש בחומרים אנאיזוטרופיים ו"קוואזי תיאום פאזה" (Quasi Phase Matching). בתהליך הראשון, משתמשים בחומרים בהם מקדם השבירה תלוי קיטוב.

במקרה זה, ניתן להשתמש בשני שדות בתדרים נמוכים בצירים שמקדם השבירה בהם גבוה, וליצור את התדר הגבוה בציר בו מקדם השבירה נמוך יותר. כך, למרות הדיספרסיה הנורמלית, ניתן להגיע לתיאום פאזה מלא.

בתהליך השני, בונים את הגביש כך שכל פעם ש- \Delta k z  מגיע לכפולה שלמה של \pi  הופכים את כיוון הגביש, וכך מקבלים \chi^{(2)} שלילי כאשר האקספוננט שלילי (מה שמשאיר את אגף ימין חיובי) ו\chi^{(2)}  חיובי כאשר האקספוננט חיובי. היתרון בתהליך זה הוא שכבר אין חסם עליון לאנרגיה המקסימלית שאפשר להוציא בתדר הגבוה, אך היעילות עדיין נמוכה מהמצב של תיאום פאזה אמיתי.

שני פתרונות אלו מתאימים לשלשת תדרים מסוימת, ולכן, לרוב לא ייווצר תהליך DFG בין שני התדרים הנמוכים או SFG בין התדר הגבוה ואחד התדרים האחרים, משום שאלו ייצרו תדרים נוספים שלא נמצאים בשלושת התדרים שאליהם תוכנן הגביש להגיע לתיאום פאזה.

## אפקט קר
כאשר עוצמת האור גבוהה מספיק, ניתן למדוד שינויים במקדם השבירה של החומר. לרוב ניתן לראות תלות ליניארית בין מקדם השבירה לעוצמת האור: n(I)=n_0+n_2 I כאשר n_0 הוא מקדם השבירה של החומר בעוצמות נמוכות. הערכים האופייניים לn_2 הם לרוב בסדרי הגודל של 10^{-14} \sim 10^{-16} \left [ \frac{cm^2}{W}\right ]  (חוץ מבנסיבות תרמיות או בליעה מתרווה), ולכן תופעה זו נצפית יותר בפולסים, בהם ההספק הרגעי מגיע לערכים גבוהים מספיק כדי שהאפקט הזה יהיה משמעותי.

אפקט קר הוא אפקט שנובע מפולריזציה לא ליניארית ב-\chi^{(3)}, ולכן מתרחש בכל החומרים ולא רק בחומרים שוברי סימטריה (בדומה ל-\chi^{(2)}). בצורה יותר כללית, אפקט זה יכול לגרום לקרן אור חזקה לשנות את מקדם השבירה שהיא עצמה חווה (Self Phase Modulation - SPM) או לשנות את מקדם השבירה שמרגישה קרן אור אחרת שעוברת בתווך (Cross Phase Modulation - XPM).

### מיקוד עצמי
עדשה עם ציר אופטי במקביל לציר z נותנת פאזה לשדה חשמלי E(x,y) e^{ikz} באופן הבא: E(x,y)e^{ikz} \cdot e^{-i\frac{k}{2f} (x^2+y^2)} - כלומר פאזה ריבועית ביחס למרחק מהציר האופטי. כאשר אור מתקדם מרחק d בתווך עם מקדם שבירה n, הוא צובר פאזה של e^{iknd}, לכן, רוב העדשות פועלות על ידי שינוי d באופן ריבועי במרחק. כלומר, דואגים שככל שמתרחקים מהציר האופטי השדה יעבור מרחק שונה בתוך הזכוכית, דבר שנותן לעדשות את צורתן הכדורית. עם זאת, ניתן ליצור את אותו אפקט עם d קבוע, כמו במקרה של חלון, אבל עם n משתנה באופן ריבועי במרחק. רוב התווכים הם תווכים שנוצרים בצורה הומוגנית, כלומר, עם מקדם שבירה אחיד. עם זאת, כאשר מגיעה קרן עגולה שחזקה יותר במרכז וחלשה יותר בצדדים, אפקט קר יכול לגרום שהמרכז יראה מקדם שבירה שונה מאשר הצדדים, דבר שיכול לגרום לאור לחוות אפקט של עדשה ולהתמקד כתוצאה מאפקט קר שהוא עצמו יוצר.

## ראו גם
*פיזור ראמאן
*פיזור ברילואן

## לקריאה נוספת
* Robert W. Boyd, Nonlinear optics, Second edition, Academic press, (2003)

## קישורים חיצוניים

* 

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:אופטיקה