משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות

ממוזער|סקיצת ההעתקה ליניארית בין מרחבים וקטוריים, עם תיאור הגרעין והתמונה**משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות** (ידוע גם כ**משפט הממד השני**, **משפט הממדים השני**, ו**משפט הדרגה והאפסות**) הוא משפט באלגברה ליניארית העוסק בשוויון עבור העתקה ליניארית בין ממד התחום לבין ממד תמונת וגרעין ההעתקה הליניארית.

בכתיב מתמטי: יהיו U ו-V מרחבים וקטורים מעל שדה F. נגדיר את f להיות העתקה ליניארית, f:U\rightarrow V, אזי  \dim_F Im(f) + \dim_F \ker(f) = \dim_F U.

## הוכחת המשפט
### אסטרטגיה
נבחר בסיסים שמכילים מספר וקטורים מסומן כללי עבור התמונה וכך גם עבור הגרעין, ונראה שמקורות הווקטורים בבסיס התמונה מצורפים יחד עם וקטורי הבסיס של הגרעין מהווים בסיס עבור התחום. מכך, ינבע שסכום מספר הווקטורים בבסיס של הגרעין ומספר הווקטורים בבסיס התמונה (שזה אותו מספר הווקטורים שהם המקורות) שווה למספר הווקטורים בתחום. מכאן ינבע כי סכום ממד התמונה וממד הגרעין שווה לממד התחום של העתקה ליניארית, כנדרש.
### הוכחה
#### בחירת סדרות וקטורים מתאימות
נקח את u_1,...,u_k להיות הבסיס של גרעין ההעתקה, ואת v_1,...,v_m להיות הבסיס של תמונת ההעתקה. מכאן, ממד הגרעין הוא k וממד התמונה הוא m. נשים לב לכך שלכל וקטור בתמונה יש מקור מהתחום, כלומר ניתן לרשום את v_1,...,v_m כך: f(w_1),...,f(w_m), (כאשר w_1,\dots,w_m וקטורים ב-U). צריך להוכיח שממד התחום הוא m+k. נעשה זאת על ידי הוכחה כי סדרת וקטורים w_1,...,w_m,u_1,...,u_k מהווה בסיס של התחום U.

#### הוכחה כי סדרת הווקטורים פורשת את המרחב <math>U</math>
נראה כי Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)=U. תחילה, נראה כי Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)\subseteq U: כל וקטור בסדרת הווקטורים w_1,...,w_m,u_1,...,u_k מוכל ב-U בפני עצמו (שכן הגרעין הוא קבוצת וקטורים מהתחום, וגם המקורות של התמונה הם קבוצת וקטורים מהתחום), ולכן Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)\subseteq U. 
כעת, נראה כי Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)\supseteq U: נקח וקטור כללי מ-U ונסמנו u. נתבונן בהצגה היחידה של f(u) על ידי בסיס התמונה: f(u) = a_1\cdot v_1+...+a_m\cdot v_m. כעת, נתבונן בווקטור u-(a_1\cdot w_1+...+a_m\cdot w_m) \in U (ששייך ל-U, מכיוון ש-U הוא תת-מרחב וקטורי, ולכן סגור לחיבור ולכפל בסקלר). נפעיל את ההעתקה f על הווקטור בו אנו מתבוננים ונראה שהואיל ו-f היא העתקה ליניארית, כלומר משמרת חיבור וכפל בסקלר, מתקיים: 

f(u-(a_1\cdot w_1+...+a_m\cdot w_m)) = f(u) -(a_1\cdot f(w_1)+...+a_m\cdot f(w_m)) =  a_1\cdot v_1+...+a_m\cdot v_m - (a_1\cdot v_1+...+a_m\cdot v_m) = 0

לכן נובע ש-u-(a_1\cdot w_1+...+a_m\cdot w_m)  \in \ker(f), ולכן יש לו ייצוג על ידי צירוף וקטורי בסיס הגרעין: u-(a_1\cdot w_1+...+a_m\cdot w_m) =  b_1\cdot u_1+...+b_k\cdot u_kולאחר העברת אגפים נקבל את הייצוג של u על ידי צירוף הווקטורים w_1,...,w_m,u_1,...,u_k:

u = a_1\cdot w_1+...+a_m\cdot w_m + b_1\cdot u_1+...+b_k\cdot u_k

ולכן, Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)\supseteq U. קיבלנו הכלה דו כיוונית ומכאן Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)=U.

#### הוכחה כי סדרת הווקטורים בלתי תלויים ליניארית
כדי להוכיח אי-תלות ליניארית נניח שעבור הסקלרים c_1,...,c_m,s_1,...,s_k הצירוף הליניארי של הווקטורים w_1,...,w_m,u_1,...,u_k מביא לאפס המרחב הווקטורי. צריך להוכיח כי c_1=...=c_m=s_1=...=s_k=0_F (תנאי שקול לאי תלות ליניארית). לפי הנחה זו: c_1w_1+...+c_mw_m+s_1u_1+...+s_ku_k = 0_U 
נפעיל על השוויון את ההעתקה הליניארית f: 
f(c_1w_1+...+c_mw_m+s_1u_1+...+s_ku_k) = c_1f(w_1)+...+c_mf(w_m) + 0 + ...+ 0 = c_1v_1+...+c_mv_m = 0
(הווקטורים של בסיס הגרעין שייכים לגרעין ולכן הפעלת ההעתקה עליהם מביאה לאפס.וכל העתקה ליניארית על וקטור האפס שווה ל-0). ואם כן מכיוון ש-v_1,...,v_m בסיס של התמונה, אזי המקדמים c_1,...,c_m הם אפסים (מכיוון שהווקטורים v_1,...,v_m בלתי תלויים ליניארית). ואז, נחזור לביטוי המקורי ונקבל 0\cdot w_1+...+0\cdot w_m+s_1u_1+...+s_ku_k = 0_U ומאותם שיקולים של היות u_1,...,u_k בסיס, נובע ש-s_1,...,s_k אפסים. ולכן כל הסקלרים המקדמים הם בהכרח 0, ולכן קיבלנו ש-w_1,...,w_m,u_1,...,u_k בלתי תלוים ליניארית, כנדרש.

#### סיכום
הראנו ש-w_1,...,w_m,u_1,...,u_k סדרת וקטורים בלתי תלויה ליניארית שפורשת את U ולכן הם מהווים בסיס עבור U. אם כן, נשים לב שממדו של U הוא m+k. נזכור כי בתחילת ההוכחה הגדרנו את ממד התמונה להיות m וממד הגרעין להיות k, אזי לפיכך נקבל: 
\dim_F Im(f) + \dim_F \ker(f) = \dim_FU
שזה מה שצריך להוכיח.

## קישורים חיצוניים
* Chris Fama, MP274 Lecture Notes 1991, numbertheory
* 

קטגוריה:משפטים באלגברה ליניארית