בעיית הזווית המקסימלית של רגיומונטנוס

במתמטיקה, **בעיית הזווית המקסימלית של רגיומונטנוס** היא בעיית אופטימיזציה מפורסמת שהוצגה על ידי המתמטיקאי הגרמני יוהנס מילר (הידוע גם בשם רג'ומונטנוס) במאה ה-15. הבעיה היא כדלקמן:
שמאל|ממוזער|550x550 פיקסלים|שתי הנקודות בגובה העיניים הן מיקומים אפשריים של עינו של הצופה.

: ציור תלוי על קיר. בהינתן הגבהים של החלק העליון והתחתון של הציור מעל גובה עיני הצופה, כמה רחוק מהקיר צריך הצופה לעמוד על מנת למקסם את הזווית הנוצרת על ידי הציור, ואיזה קודקוד נמצא בעין הצופה?

אם הצופה עומד קרוב מדי לקיר או רחוק מדי ממנו, הזווית קטנה; איפשהו בין לבין היא גדולה ככל הניתן.

אותה גישה חלה על מציאת המקום האופטימלי לבעיטת כדור ברוגבי. לצורך העניין, אין צורך שהתמונה תיתלה במאונך לקו גובה העיניים של הצופה.

## פתרון באמצעות גאומטריה אלמנטרית
שמאל|ממוזער|550x550 פיקסלים
ישנו עיגול ייחודי העובר דרך החלק העליון והתחתון של הציור ומשיק לקו גובה העיניים. לפי גאומטריה אלמנטרית, אם מיקום הצופה היה נע לאורך המעגל, הזווית הנוצרת על ידי הציור הייתה נשארת קבועה (זווית היקפית). כל המיקומים על קו גובה העיניים, למעט נקודת ההשקה, נמצאים מחוץ למעגל, ולכן הזווית הנוצרת על ידי הציור מנקודות אלה קטנה יותר.

ניתן לבנות את נקודת ההשקה על ידי השלבים הבאים:
* שקף את הנקודה התחתונה של הציור על פני קו גובה העיניים.
* שרטט קטע בין נקודה משוקפת זו לנקודה העליונה של הציור.
* שרטט את המעגל שקוטרו הוא קטע זה.
* נקודת המשיק היא אחת משתי הנקודות שבהן המעגל חוצה את הקו בגובה העיניים (זו שנמצאת מול התמונה).

ניתן להראות כי אלגוריתם זה מאפשר שרטוט נכון של נקודת ההשקה באמצעות חזקה של נקודה כדי להראות שהמרחק מהקיר לנקודת ההשקה הוא הממוצע הגאומטרי של גבהי החלק העליון והתחתון של הציור. באופן שקול, לריבוע שאורך צלעותיו הוא הממוצע הגאומטרי של גבהי החלק העליון והתחתון של הציור שטח זהה למלבן שאורך צלעו הארוכה הוא כגובה החלק העליון של הציור ואורך צלעו הקצרה הוא כגובה החלק התחתון של הציור. לפיכך, שרטוט מעגל העובר דרך הנקודה העליונה של הציור ודרך הנקודה התחתונה המשוקפת של הציור, כאשר שתי נקודות אלו אנטיפודיות, ומשיק לקו גובה העיניים, מתאפשר לפי טענה 14 בספר השני של "יסודות" של אוקלידס, המתארת כיצד לבנות ריבוע עם שטח זהה לשטח של צורה מלבנית נתונה.

## פתרון באמצעות חשבון אינפיניטסימלי
כיום, בעיה זו ידועה באופן נרחב משום שהיא מופיעה כתרגיל בספרי לימוד רבים בקורסי חשבון אינפיניטסימלי 1.

נגדיר

: *a* = גובה תחתית הציור מעל קו גובה העיניים;
: *b* = גובה החלק העליון של הציור מעל קו גובה העיניים;
: *x* = מרחק הצופה מהקיר;
: *&#x3B1;* = זווית הגובה של תחתית הציור, במבט מנקודת הצופה;
: *&#x3B2;* = זווית הגובה של ראש הציור, במבט מנקודת הצופה.

הזווית שאנו מבקשים למקסם היא *&#x3B2; &#x2212; &#x3B1;* . המשיק של הזווית גדל ככל שהזווית גדלה; לכן די למקסם

 \tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan\beta - \tan\alpha}{1 + \tan\beta\tan\alpha} = \frac{\dfrac{b}{x} - \dfrac{a}{x}}{1 + \dfrac{b}{x}\cdot\dfrac{a}{x}} = (b-a)\frac{x}{x^2 + ab}. 

ומכיוון ש b-a הוא קבוע חיובי, מספיק רק למקסם את הגורם השני במכפלה לעיל. לאחר גזירה נקבל

 {d \over dx}\left(\frac{x}{x^2 + ab}\right) = \frac{ab - x^2}{(x^2 + ab)^2} \qquad \begin{cases} {} > 0 & \text{if } 0 \le x  \sqrt{ab\,{}}. \end{cases} 

ועל כן הזווית גדלה ככל ש-x נע בין 0 ל ab**√** וקטנה ככל ש-x גדל מ ab**√**. לפיכך הזווית מקסימלית כאשר x = ab**√**, כלומר הממוצע הגאומטרי של a ו-b.

## פתרון באמצעות אלגברה

הראנו כי מספיק למקסם את הביטוי

:  \frac{x}{x^2 + ab}. 

זה שווה ערך *למזעור* הביטוי ההופכי:

:  \frac{x^2 + ab}{x} = x + \frac{ab}{x}. 

הביטוי לעיל שקול ל

:  \left( \sqrt{x} - \sqrt\frac{ab}{x}\, \right)^2 + 2\sqrt{ab\,{}}.
 

ערכו של ביטוי זה מינימלי כאשר *x* = √ ab .

## קישורים חיצוניים

## הערות שוליים

קטגוריה:בעיות נודעות במתמטיקה
קטגוריה:היסטוריה של המתמטיקה
קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי
קטגוריה:מעגל
קטגוריה:טריגונומטריה