חבורת הייזנברג

בתורת החבורות, **חבורת הייזנברג** היא חבורה מעל חוג חילופי, הבנויה מהמטריצות המשולשיות העליונות בגודל 3 \times 3, עם אחדות באלכסון, יחד עם פעולת כפל מטריצות.

החבורה נקראת כך על שמו של הפיזיקאי הגרמני ורנר הייזנברג. לחבורה קשרים חשובים למכניקה קוונטית, ובעזרתה ניתן לנסח את משפט סטון-פון נוימן בשפה של תורת ההצגות. מעל שדות סופיים, מהווה חבורת הייזנברג חבורת-p בעלת תכונות מעניינות, ועוזרת בחקר תכונות של חבורות-p.

## הגדרה
יהי R חוג חילופי. **חבורת הייזנברג** (מממד 3) מעל החוג R היא החבורה שאיבריה הם המטריצות: \begin{pmatrix}
1 & a & c\\ 
0 & 1 &b \\ 
0 &0  &1 
\end{pmatrix}, כאשר a,b,c \in R. הפעולה בחבורה היא כפל מטריצות, ואיבר היחידה שלה הוא מטריצת היחידה. המבנה הנתון אכן מהווה חבורה, שכן הוא סגור לכפל: \begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 1 & a' & c'\\
 0 & 1 & b'\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 1 & a+a' & c+c'+ab'\\
 0 & 1 & b+b'\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\,

ולכל איבר יש איבר הפיך (ללא הדרישה שהאיברים a,b,c \in R יהיו הפיכים בעצמם):\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}^{-1}=
\begin{pmatrix}
 1 & -a & ab-c\\
 0 & 1 & -b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\,.

**חבורת הייזנברג מסדר <math>2n+1</math>** היא: H_{2n+1}(R) = \Bigg\{\begin{pmatrix}
1 & a_1 & a_2 & \cdots & \cdots & a_{n+1} \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & a_{n+2} \\ 
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 & a_{2n+1} \\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}\ \Bigg|\ a_1,\dots,a_{2n+1}\in R\Bigg\}.

## דוגמאות
### חבורת הייזנברג הממשית
כאשר החוג R הוא שדה המספרים הממשיים \mathbb{R}, מתקבלת חבורת הייזנברג הממשית, או חבורת הייזנברג הרציפה.

במקרה זה, מתקבלת חבורת לי נילפוטנטית מסדר 3. לפי משפט סטון-פון נוימן, לחבורה זו יש הצגה יחידה עליה המרכז פועל כמו קרקטר.

### חבורת הייזנברג הבדידה
כאשר החוג R הוא חוג המספרים השלמים \mathbb{Z}, מתקבלת חבורת הייזנברג הדיסקרטית. זוהי חבורה נילפוטנטית חופשית ממחלקה 2, ונוצרת על ידי:x=\begin{pmatrix}
 1 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix},\ \ y=\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 1\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

לחבורה הייצוג הבא:  , כאשר x,y הם כדלעיל ו-z=xyx^{-1}y^{-1}=\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 1\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}.

במקרה זה, האיבר z יוצר את המרכז של החברה, וכל איבר שלה ניתן לכתוב מהצורה\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}=y^bz^cx^a\,.

בתור חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית, לחבורת הייזנברג הדיסקרטית גידול פולינומי וממד גלפנד-קירילוב שלה הוא 4. מתברר כי ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית, טור הילברט של חבורת הייזנברג הוא פונקציה רציונלית (היינו, מנה של שני פולינומים במקדמים שלמים). תופעה זו, המכונה 'פאן-רציונליות', הוכחה על ידי דוצ'ין ושפירו.

### מעל שדה סופי
חבורת הייזנברג מעל השדה הסופי \mathbb{Z}_{p} היא מסדר p^{3} ומאקספוננט p. ניתן לתאר אותה על ידי היחסים הבאים:

 z=[x,y],\   x^p=y^p=z^p=1,\  [x,z]=e,\  [y,z]=e 

חבורות אלו הן חבורות מאוד מיוחדות - חבורת-p בה המרכז C איזומורפי ל-\mathbb{Z}_p וחבורת המנה G/C היא אבלית וכל איבר לא טריוויאלי בה הוא מסדר p.

במקרה של p=2, מתקבלת החבורה הדיהדרלית D_4.

## אלגברת לי המתאימה
לחבורת הייזנברג הממשית ניתן להתאים את אלגברת לי המכילה את המטריצות הבאות:

\begin{pmatrix}
 0 & a & b\\
 0 & 0 & c\\
 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix},

עם הבסיס הבא:

X=\begin{pmatrix}
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix};\quad
Y=\begin{pmatrix}
 0 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix};\quad
Z=\begin{pmatrix}
 0 & 0 & 1\\
 0 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}


איברי הבסיס מקיימים את היחסים הבאים, המזכירים את יחסי החילוף הקנוניים במכניקה קוונטית:

[X,Y]=Z;\quad [X,Z]=0;\quad [Y,Z]=0

ההתאמה בין אלגברת לי לחבורת הייזנברג, בעזרת פונקציית האקספוננט, היא הפיכה.
## קישורים חיצוניים
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת החבורות
קטגוריה:חבורות לי