תת-חבורה נורמלית

באלגברה, **תת חבורה נורמלית** היא תת-חבורה הסגורה תחת פעולת ההצמדה באיברי החבורה החיצונית. חשיבותן העיקרית של תת-חבורות נורמליות היא בכך שניתן להשתמש בהן כדי ליצור חבורת מנה, וכך לפרק את החבורה לשני מרכיבים: התת-חבורה הנורמלית, והמנה ביחס אליה. הרכבת החבורה בחזרה משני מרכיבים אלה נקראת הרחבה של חבורות.

## הגדרה
תהא G חבורה ותהא N\le G תת-חבורה שלה. לכל איבר g\in G, הקבוצה g^{-1}Ng=\bigl\{g^{-1}xg:x\in N\bigr\} היא ה"הצמדה" של N על ידי g. אם לכל איבר g מתקיים g^{-1}Ng\sube N, אזי N היא **תת-חבורה נורמלית** של G, ומסמנים N\trianglelefteq G. אם בנוסף N\ne G אזי מסמנים N\vartriangleleft G.

### הגדרה באמצעות מחלקות
קבוצה מהצורה Ng=\{xg:x\in N\} או gN=\{gx:x\in N\} נקראת "מחלקה" (ימנית או שמאלית, בהתאמה), או "קוסט" של N. התת-חבורה N נורמלית אם ורק אם לכל g\in G  מתקיים gN=Ng. במקרה כזה, לכל g\in G ולכל n_1\in N קיים n_2\in N עבורם gn_1=n_2g.

מכאן גם רואים ישירות כי בחבורה קומוטטיבית כל תת-חבורה היא נורמלית, כי לכל g\in G ולכל n\in N מתקיים ng=gn.

## תת-חבורות נורמליות וחבורות מנה
בהינתן חבורה G ותת-חבורה N\le G, חבורת המנה G/N מוגדרת היטב אם ורק אם N\trianglelefteq G. הסיבה לכך היא שהנורמליות היא הדרישה השקולה לכך שכפל נציגי המחלקות השונים יהיה מוגדר היטב:
תהי H תת-חבורה של G ויהיו g_1,g_2\in G. אנו רוצים שהכפל בין המחלקות יהיה מוגדר היטב באמצעות נציגים, כלומר (g_1H)(g_2H)=g_1g_2H.
נוכיח זאת: יהיו g_1,g_2\in G איברים כלשהם. השוויון (g_1H)(g_2H)=g_1g_2H מתקיים רק אם קיימים h_1,h_2,h_3\in H עבורם g_1h_1g_2h_2=g_1g_2h_3, ובאמצעות אלגברה נקבל h_1g_2=g_2h_3h_2^{-1}, ואם נסמן g=g_2\in G,\ n_1=h_1,\ n_2=h_3h_2^{-1}\in H נקבל n_1g=gn_2 לכל g\in G וקיום תנאי זה אומר כי H היא חבורה נורמלית.

ניתן להראות כי גרעין של הומומורפיזם שתחומו G הוא תמיד תת-חבורה נורמלית של G. יותר מכך, ניתן להראות גם כי כל תת-חבורה נורמלית של G היא גרעין של הומומורפיזם כלשהו שתחומו G.

## נורמליזטור
אם G חבורה ו-H תת-חבורה, ה**[[מנרמל]]** (או: ה**נורמליזטור**) של H ב-G הוא התת-חבורה N_G(H)=\{x\in G:xHx^{-1}=H\}. זוהי התת-חבורה הגדולה ביותר של G שבתוכה H נורמלית. המְרכז של H, C_G(H) =\bigl\{x\in G:\forall h\in H,xhx^{-1}=h\bigr\}, בוודאי מוכל בנורמליזטור, ואף מתקיים C_G(H)\trianglelefteq G. האינדקס של הנורמליזטור ב-G שווה למספר תת-החבורות השונות מהצורה xHx^{-1} (היינו, התת-חבורות הצמודות ל-H).

## ליבה של חבורה
אם H \leq G תת-חבורה (שאינה בהכרח נורמלית), **הליבה** של H מוגדרת כחיתוך כל תת-החבורות הצמודות לה:
:\text{Core}_G(H)=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}.
זאת תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב-H (ראו גם העידון של משפט קיילי). מכיוון שבחישוב החיתוך די לקחת נציג אחד g מכל מחלקה ימנית של H, אם H תת-חבורה מאינדקס סופי, אזי הליבה שלה היא חיתוך של מספר סופי של חבורות צמודות. מכאן נובע שכל תת-חבורה מאינדקס סופי מכילה גם תת-חבורה נורמלית מאינדקס סופי.

## חבורות פשוטות
חבורה G  אשר התת-חבורות הנורמליות היחידות שלה הן G עצמה ו-\{e\} נקראת **[[חבורה פשוטה]]**. לחבורות פשוטות חשיבות רבה, שכן הן מהוות את "אבני הבנייה" הבסיסיות של כל החבורות הסופיות, בצורה דומה לזו שבה המספרים הראשוניים מהווים אבני בנייה של המספרים הטבעיים.

## תת-חבורות אופייניות
תת-חבורה נורמלית של G היא, כאמור, תת-חבורה הנשמרת תחת פעולת ההצמדה בכל איבר של G. סוג חזק במיוחד של תת-חבורה כזו נקרא **תת-חבורה אופיינית** (או **קרקטריסטית**): זאת תת-חבורה הנשמרת תחת כל אוטומורפיזם של G (ולא רק אוטומורפיזם פנימי). באופן כללי, תת-חבורות כאלה מתקבלות מהפעלת שיקולים מבניים (שאינם תלויים בהצגה מסוימת של G ). לדוגמה, המרכז של G הוא תת-חבורה אופיינית. גם תת-חבורת הקומוטטורים והאיברים האחרים של הסדרה המרכזית היורדת והסדרה המרכזית העולה הם תת-חבורות אופייניות.

לתכונת האופייניות יש יתרון בולט על-פני נורמליות: זוהי תכונה טרנזיטיבית. אם A תת-חבורה נורמלית של B ו-B נורמלית (ואפילו אופיינית) של C, אז A עשויה שלא להיות תת-חבורה נורמלית של C. לעומת זאת, אם A אופיינית ב-B, אז התכונות של B עוברות בירושה ל-A: אם B נורמלית ב-C אז כך גם A, ואם B אופיינית ב-C אז כך גם A.

## תת-חבורות תת-נורמליות
אם קיימת שרשרת של תת-חבורות G_t\le\cdots\le G_1\le G כך שכל G_{i+1}\trianglelefteq G_i, אזי אומרים כי G_t תת-חבורה **תת-נורמלית** של G. לדוגמה, כל תת-חבורה של חבורת p סופית היא תת-נורמלית. לכל חבורה H אפשר לבנות את השרשרת
:H\sube N_G(H)\sube N_G(N_G(H))\sube N_G(N_G(N_G(H)))\sube\cdots
בחבורות סופיות, השרשרת נעצרת כאשר מתקבל שוויון בפעם הראשונה; H תת-נורמלית אם ורק אם שרשרת הנורמליזטורים מגיעה לחבורה G. חבורה היא **כמעט תת-נורמלית** אם יש שרשרת כנ"ל, שבה כל צעד הוא או סופי או נורמלי.

## חיתוך טריוויאלי
אם החיתוך של תת-חבורה עם כל תת-חבורה צמודה לה הוא טריוויאלי, אומרים שיש לה "חיתוך טריוויאלי"; תכונה זו נמצאת בקוטב המנוגד לנורמליות. חבורה שכל תת-החבורות שלה הן בעלות חיתוך טריוויאלי נקראת "חבורה בעלת חיתוך טריוויאלי", או חבורת TI .

תת-חבורה H של G נקראת מלנורמלית אם כל הצמדה שלה על ידי איבר שאיננו שייך ל-H נחתכת עם H רק באיבר היחידה. זהו טיפוס קיצוני של תת-חבורה עם חיתוך טריוויאלי.

## דוגמאות
*בכל חבורה אבלית כל תת-חבורה היא נורמלית.
*A_n תת-חבורה נורמלית של S_n, כאשר S_n היא החבורה הסימטרית מסדר n ואילו A_n היא חבורת התמורות הזוגיות מסדר n.
*החבורה הציקלית שנוצרת על ידי הסיבוב ב-\tfrac{2\pi}{n} היא תת-חבורה נורמלית של החבורה הדיהדרלית מסדר n.
*את שתי הדוגמאות האחרונות ניתן להכליל: כל תת-חבורה מאינדקס 2 היא נורמלית. זאת מכיוון שאם [G:N]=2, אז לכל g\notin H, הן gH והן Hg הם המחלקה הלא-טריוויאלית היחיד של H.
*עבור n\ge5 אין ל-S_n תת-חבורות נורמליות פרט ל-A_n.

## קישורים חיצוניים
*

## הערות שוליים

קטגוריה:אלגברה
קטגוריה:תורת החבורות