משפט שטיינהאוס

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, **משפט שטיינהאוס** קובע שקבוצת ההפרשים של קבוצה ממידה גדולה מאפס לפי מידת לבג, מכילה סביבה פתוחה של 0.

המשפט הוכח לראשונה על-ידי המתמטיקאי הוגו שטיינהאוס בשנת 1920. גרסה של המשפט למידת האר כללית הוכחה על-ידי אנדרה וייל בשנת 1941.

## סימונים
בערך זה נסמן ב-\N, \Z וב-\R את קבוצת המספרים הטבעיים, השלמים והממשיים בהתאמה.

כמו כן, נסמן ב-\mu את מידת לבג וב-\mu_d את מידת לבג ה-d ממדית עבור d\in\N כלשהו.

לכל h\in\R^n ולכל A,B\subseteq \R^n מסמנים:

A+h:=\left\{a+h \mid a\in A\right\}

A-B:=\left\{a-b \mid a\in A, b\in B\right\}

A+B:=\left\{a+b \mid a\in A, b\in B\right\}

לבסוף, נסמן ב-\triangle את פעולת ההפרש הסימטרי בין קבוצות.

## נוסח המשפט
יהי d\in\N ותהי קבוצה מדידה A\subseteq \R^d כך ש-\mu_d(A)>0.

אזי, A-A מכילה סביבה פתוחה של וקטור האפס.

## הוכחה
לצורך פשטות נוכיח את המקרה שבו d=1. ההוכחה ל-d כללי דומה, אך דורשת כמה שלבים נוספים.

### למה: רציפות מידת לבג להזזות
תהי A\subseteq \R קבוצה מדידה לפי לבג וקומפקטית. אזי:

\lim_{h\to 0}\mu(A\triangle(A+h))=0

#### הוכחה
יהי קטע פתוח כלשהו I=(a,b)\subseteq \R. אזי, לכל |h| מתקיים ש:

\mu(I\triangle(I+h))=\mu((a,a+h)\cup(b,b+h))=2h.

לכן, \lim_{h\to 0}\mu(I\triangle(I+h))=\lim_{h\to 0}2h=0

באופן דומה, אפשר להראות שאם קבוצה K היא איחוד סופי של קטעים פתוחים, אז \lim_{h\to 0}\mu(K\triangle(K+h))=0

כעת, יהי \epsilon >0 כלשהו. מאחר ש-A מדידה וקומפקטית, קיימת קבוצה K שהיא איחוד סופי של קטעים פתוחים כך ש-\mu(A\triangle K). בנוסף, מאחר ש-\lim_{h\to 0}\mu(K\triangle(K+h))=0, קיים \delta >0 כך שלכל |h| מתקיים ש-\mu(K\triangle(K+h)). לבסוף, מאחר שמידת לבג אינווריאנטית להזזות, \mu((A+h)\triangle(K+h))=\mu(A\triangle K). מחברים את כל אלו ומקבלים שלכל |h|:

\mu(A\triangle(A+h))\le \mu(A\triangle K)+\mu(K\triangle(K+h)) + \mu((K+h)\triangle(A+h))

**מ.ש.ל.**

### משפט שטיינהאוס לקבוצות קומפקטיות
מניחים שהקבוצה A ממשפט שטיינהאוס היא קבוצה קומפקטית. מגדירים \epsilon=\mu(A)>0. לכן, לפי הלמה לעיל, קיים \delta >0 כך שלכל |h| מתקיים ש-\mu(A\triangle(A+h))\le \mu(A). מצד שני:

\mu(A\triangle(A+h))=\mu(A)+\mu(A+h) - 2\mu(A\cap(A+h))=2\mu(A)-2\mu(A\cap(A+h)).

מציבים באי-השוויון לעיל ומעבירים אגפים כדי לקבל ש-\mu(A\cap(A+h))\ge \frac{1}{2}\mu(A)>0. בפרט, A\cap(A+h)\ne\emptyset.

יהי |h| כלשהו. לכן קיים x\in A\cap(A+h). כלומר, x\in A וגם x\in A + h, מה שאומר ש-x-h\in A.מכל זה:

h=x-(x-h)\in A - A.

הדבר נכון לכל |h|, משמע ש-(-\delta,\delta)\subseteq A - A, וזוהי קבוצה פתוחה שמכילה את 0.

**מ.ש.ל.**

### משפט שטיינהאוס לקבוצות כלליות
כעת מניחים שהקבוצה A ממשפט שטיינהאוס היא קבוצה מדידה כללית (לאו דווקא קומפקטית).

מחלקים את הישר \R לקטעים חצי פתוחים [n,n+1) כאשר n\in\Z. כעת:

A=A\cap\R=\bigcup_{n\in\Z}A\cap[n,n+1)

משום ש-\mu(A)>0, בהכרח קיים n_0\in\Z כך ש-\mu(A\cap[n_0,n_0+1))>0. מגדירים B:=A\cap[n_0,n_0+1). זוהי קבוצה קומפקטית.

לכן, לפי משפט שטיינהאוס לקבוצות קומפקטיות שהוכח לעיל, קיימת קבוצה פתוחה U שמכילה את הראשית כך ש-U\subseteq B-B. ניתן להראות כי B-B\subseteq A-A, לכן U\subseteq A-A כנדרש.

**מ.ש.ל.**

## מסקנות והכללות
### סכום של קבוצות ממידה חיובית
יהי d\in\N ותהי זוג קבוצות מדידות A,B\subseteq \R^d כך ש-\mu_d(A)>0 ו-\mu_d(B)>0.

אזי, הפנים של A+B אינו ריק.

### משפט שטיינהאוס למידת האר כללית
תהי חבורה קומפקטית מקומית G עם מידת האר שמאלית \mu_H. כמו כן, תהי קבוצה A\subseteq G שעבורה \mu_H(A)>0. מגדירים:

B:=AA^{-1}=\left\{ab^{-1}\mid a,b\in A\right\}

אזי, B מכילה סביבה פתוחה של איבר היחידה.

## הערות שוליים

קטגוריה:משפטים בתורת המידה