שיטת הקרקטריסטיקות

במתמטיקה, **שיטת הקרקטריסטיקות** (באנגלית: **Method of characteristics**) היא שיטה לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות. בדרך כלל היא מיושמת לפתרון משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, אך ניתן להשתמש בה כדי לפתור גם משוואות דיפרנציאליות היפרבוליות ופרבוליות, שהן משוואות דיפרנציאליות חלקיות מסדר שני. הרעיון המרכזי של השיטה הוא למצוא **עקומים אופייניים** (המכונים "קרקטריסטיקות") אשר המשוואה מתנהגת לאורכם כמשוואה דיפרנציאלית רגילה (כלומר כמשוואה דיפרנציאלית במשתנה יחיד) ולכן יכולה להיפתר בקלות רבה יותר, ומתוך הפתרונות הללו לבנות את הפתרון הכללי למשוואה המקורית. במסגרת השיטה, הופכים את המשוואה הדיפרנציאלית החלקית המקורית למערכת שקולה של משוואות דיפרנציאליות רגילות שפתרונן מאפשר למצוא את אותם קווים אופייניים. יחד עם תנאי שפה מתאימים, התהליך מאפשר לבנות פתרון פרטי מתאים.

## קרקטריסטיקות של משוואות דיפרנציאליות חלקיות מסדר ראשון
בעבור מד"ח מסדר ראשון, שיטת הקרקטריסטיקות מגלה את העקומים האופייניים שלאורכם המד"ח הופכת למד"ר. מרגע שהמד"ר נמצאה, אז ניתן לפתור אותה לאורך העקום האופייני. למען הפשטות, נגביל את הדיון למקרה של פונקציה של שני משתנים בלתי תלויים *x* ו-*y*. נתייחס למד"ח מהצורה:

:a(x,y,z) \frac{\partial z}{\partial x}+b(x,y,z) \frac{\partial z}{\partial y}=c(x,y,z).

נניח לרגע שהפתרון *z* ידוע, ונתייחס לגרף המשטח *z(x,y)* ב-**R**3. וקטור הנורמל למשטח הזה נתון על ידי

:\left(\frac{\partial z}{\partial x}(x,y),\frac{\partial z}{\partial y}(x,y),-1\right).\,

כתוצאה, המד"ח שברצוננו לפתור שקולה לטענה הגאומטרית שהשדה הווקטורי

:(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\,

משיק לפני המשטח *z(x,y)* בכל נקודה, שכן על פני המשטח המכפלה הסקלרית של כל אחד מווקטורי השדה עם וקטור הנורמל המתאים היא אפס. במילים אחרות, משטח הפתרון חייב להיות איחוד של קווי שדה של השדה הווקטורי הזה. אם נצא מנקודה התחלתית מסוימת p_0=(x_0,y_0,z_0) ונתקדם בכיוון קו השדה בתוך המישור המשיק לגרף הפונקציה אז נקבל התפתחות של *z* אשר תלויה בפרמטר יחיד t, שהוא אורך קו השדה. היטלי קווי השדה (המרחביים) הללו על מישור *xy* הם העקומים האופייניים המבוקשים, וניתן למצוא אותם על ידי פתרון המשוואות האופייניות:

:
\begin{align}
\frac{dx}{dt}&=a(x,y,z),\\[8pt]
\frac{dy}{dt}&=b(x,y,z),\\[8pt]
\frac{dz}{dt}&=c(x,y,z).
\end{align}


וזוהי כאמור מערכת של משוואות דיפרנציאליות רגילות. צורה נוספת של מערכת זאת היא משוואות לגראנז'-שארפט:

:\frac{dx}{a(x,y,z)} = \frac{dy}{b(x,y,z)} = \frac{dz}{c(x,y,z)} .

### דוגמה
כדוגמה, נתייחס למקרה פרטי של משוואת ההסעה-דיפוזיה, אשר מייצגת באופן כללי מעבר של חומר ממקום למקום הנעשה על ידי שילוב של הסעה ודיפוזיה. כאן נתייחס להסעה בלבד ללא דיפוזיה, ולמקרה של שינוי ריכוז חומר הנישא על גבי זורם שלו שדה מהירות אחיד במרחב ובזמן. במקרה כזה, המשוואה מקבלת את הצורה:

:a \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial t} = 0

כאשר a הוא קבוע (המייצג את מהירות הזורם) ו-u היא פונקציה של x ו-t המייצגת את ריכוז החומר המובל. נרצה להמיר מד"ח מסדר ראשון זו למד"ר לאורך הקרקטריסטיקות המתאימות, דהיינו לקבל משוואה מהצורה:

: \frac{d}{ds}u(x(s), t(s)) = F(u, x(s), t(s)) ,

כאשר (x(s),t(s)) הוא עקומה אופיינית. ראשית, נרשום את הנגזרת

:\frac{d}{ds}u(x(s), t(s)) = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dx}{ds} + \frac{\partial u}{\partial t} \frac{dt}{ds}

דרך כלל השרשרת. כעת, אם נרשום  \frac{dx}{ds} = a ו-\frac{dt}{ds} = 1 נקבל

: a \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial t} 

וזהו האגף השמאלי של המד"ח עמה התחלנו. לכן

:\frac{d}{ds}u = a \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial t} = 0.

לכן, לאורך העקום האופייני (x(s), t(s)), המד"ח המקורית הופכת למד"ר u_s = F(u, x(s), t(s)) = 0. פירוש הדבר הוא שלאורך העקום האופייני, הפתרון הוא קבוע. לכן, u(x_s, t_s) = u(x_0, 0) כאשר הנקודות (x_s, t_s)\, ו-(x_0, 0) נמצאות על אותו עקום אופייני. לפיכך, כדי לקבוע את הפתרון הכללי, מספיק למצוא את העקומים האופייניים באמצעות פתרון מערכת המד"ר האופייניות:
* \frac{dt}{ds} = 1, כך שבהנחת t(0)=0 נקבל t=s,
* \frac{dx}{ds} = a, כך שבהנחת x(0)=x_0 נקבל x=as+x_0=at+x_0,
* \frac{du}{ds} = 0 כך שבהנחת u(0)=f(x_0) נקבל u(x(t), t)=f(x_0)=f(x-at).

במקרה זה, העקומים האופייניים הם קווים ישרים עם שיפוע a, והערך של u נשאר קבוע לאורך כל ישר אופייני כזה. נשים לב שהפתרון מייצג גל נוסע במהירות הזורם a; זה לא מפתיע, שכן מראש הנחנו שאין שום מנגנונים שתורמים לפיזור החומר המובל פרט להסעה שלו על ידי הזרימה.

### דוגמה נוספת
נתייחס כעת למקרה פרטי מורכב יותר של משוואת ההסעה-דיפוזיה, הנוגע לפיזור חומר הנישא על גבי זרימה סולנואידית דו-ממדית מסוימת, אך ללא דיפוזיה. מאחר שהדיברגנץ של שדה כזה מתאפס, מזהויות של אנליזה וקטורית נובע שבמקרה כזה המשוואה מקבלת את הצורה:

: \frac{\partial u}{\partial t} + \mathbf{\vec{v}} \cdot \nabla u=0. 

ניקח כדוגמה את השדה הסולנואידי המעגלי \mathbf{\vec{v}} = \omega y\hat{x}-\omega x\hat{y}. המד"ח מקבלת לפיכך את הצורה:

: \frac{\partial u}{\partial t} +\omega y\frac{\partial u}{\partial x} - \omega x\frac{\partial u}{\partial y} = 0. 

נשים לב תחילה שמכיוון ש-*u* הוא פונקציה של שלושה משתנים (*x,y,t*), את משפחת העקומים האופייניים מאפיינים כעת שני פרמטרים: הפתרון הכללי יהיה מהצורה

:u(x,y,t) = f(\eta(x,y,t),\lambda(x,y,t))

ועקום אופייני מסוים שלאורכו ערכה של *f* קבוע יהיה החיתוך של שני המשטחים \eta = c_1 ו-\lambda = c_2 (כאן c_1,c_2 הם שני קבועים). כדי למצוא את הפונקציות \eta(x,y,t),\lambda(x,y,t) נרשום:

:a(x,y,t)=\omega y, b(x,y,t) = -\omega x, c(x,y,t) = 1

נפעיל את משוואת לגראנז'-שארפט ונקבל:

:\frac{dx}{\omega y} = \frac{dy}{-\omega x} = \frac{dt}{1}

פתרון המד"ר הנובעת מהשוויון הראשון \frac{dx}{\omega y} = \frac{dy}{-\omega x} הוא x^2+y^2=c_1. הצבת הפתרון בשוויון השני גוררת:

:\frac{dx}{\omega y} = \frac{dt}{1}\implies t = \int \frac{dx}{\omega\sqrt} = \frac{1}{\omega}\mathbb{sin}^{-1}(\frac{x}{c_1})+c_2\implies t- \frac{1}{\omega}\mathbb{sin}^{-1}(\frac{x}{c_1})= c_2

מכיוון שנרצה להציג את הפתרון הכללי בצורה "נקייה" וללא הקבועים c_1,c_2 עדיף לרשום את פונקציית הסינוס ההפוכה בתור ארקטנגנס מתאים:

:c_2=t- \frac{1}{\omega}\mathbb{sin}^{-1}(\frac{x}{c_1}) = t-(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{\omega}\mathbb{tan}^{-1}(\frac{y}{x}))

ולפיכך הפתרון הכללי למד"ח המקורית הוא:

:u(x,y,t) = f(\eta(x,y,t),\lambda(x,y,t)) = f(x^2+y^2, t + \frac{1}{\omega}\mathbb{tan}^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{\pi}{2})

בגלל הסימטריה הגלילית של הבעיה, מבט בפתרון דרך קואורדינטות גליליות \rho,\theta,t מסייע בהבנה איכותית של הקרקטריסטיקות והפתרון הכללי:

:u(\rho,\theta,t)= f(\rho^2, t + \frac{1}{\omega}\theta - \frac{\pi}{2})

מאחר ש-\rho^2 = c_1 מייצג גליל המקביל לציר הזמן *t*, החיתוך שלו עם \lambda(\rho,\theta,t) = t + \frac{1}{\omega}\theta - \frac{\pi}{2} מייצג למעשה סליל המוטבע על מעטפת הגליל הזה. כלומר, העקומים האופייניים של המד"ח הם סלילים מרחביים שעליהם ערך *f* קבוע.

## קרקטריסטיקות של משוואות דיפרנציאליות חלקיות מסדר שני

המד"ח הכללית מסדר שני ובשני משתנים היא בעלת הצורה:

:A u_{tt} + 2 B u_{tx} + C u_{xx} + D u_x + E u_t + F u=0

אם נסתכל במטריצת מקדמי הנגזרות הגבוהות

: M=
  \begin{pmatrix} 
    A & B \\ 
    B & C
  \end{pmatrix} 


אז, באנלוגיה למיון הקלאסי של חתכי החרוט, המשוואה תיקרא אליפטית אם \mathrm{det} \, (M )= AC -B^2 >0, פרבולית אם \mathrm{det} \, (M)=0 והיפרבולית אם  \det \, (M) . דוגמה טיפוסית למשוואה אליפטית זוהי משוואת לפלס, למשוואה פרבולית זוהי משוואת החום, ולמשוואה היפרבולית זוהי משוואת הגלים.

דוגמה למד"ח שמפגינה התנהגות אליפטית, פרבולית והיפרבולית באזורים שונים במישור *xy* היא *משוואת אוילר-טריקומי*:

:
u_{xx}+xu_{yy}=0. \,


משוואה זו היא אליפטית בחצי המישור הימני *x>0*, פרבולית לאורך הציר האנכי *x=0* והיפרבולית בחצי המישור השמאלי *x<0*. הקרקטריסטיקות שלה מקיימים את הקשר:

: x\,dx^2+dy^2=0, \, 

אשר אינטגרציה שלו נותנת

: y\pm\frac{2}{3}(-x)^{3/2}=C,

כאשר *C* הוא קבוע אינטגרציה. הקרקטריסטיקות כוללות לפיכך שתי משפחות של פרבולות חצי-מעוקבות, עם נקודות חוד במיקומים שונים לאורך הציר האנכי *x=0* (מיקום אשר נקבע לפי ערך הקבוע *C*).

## ראו גם
* משוואה דיפרנציאלית חלקית

## לקריאה נוספת
* Demidov, S. S. (1982). "The study of partial differential equations of the first order in the 18th and 19th centuries". Archive for History of Exact Sciences. 26 (4). Springer Science and Business Media LLC: 325–350.
* Sarra, Scott (2003), "The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws", Journal of Online Mathematics and Its Applications

## קישורים חיצוניים
* Prof. Scott Sarra tutorial on Method of Characteristics
* Prof. Alan Hood tutorial on Method of Characteristics

קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות