אלגברת ז'ורדן ריבועית

במתמטיקה, **אלגברת ז'ורדן ריבועית** היא מבנה אלגברי, המכליל את אלגברת ז'ורדן. יתרונו בכך שאפשר להגדיר אותו מעל חוג כלשהו, וכך לפתח את תורת המבנה גם כאשר 2 אינו הפיך בחוג הבסיס.

## הגדרה
יהי k חוג קומוטטיבי. **אלגברת ז'ורדן ריבועית** מעל k היא מודול J, עם העתקה U {\,:\,} J \rightarrow \operatorname{End}_k(J) (שמסמנים \,U_x = U(x)) ואיבר מיוחד 1\in J, כך שמתקיימות האקסיומות הבאות מעל כל הרחבת סקלרים של J:
# ראשית, U היא **העתקה ריבועית**; כלומר, \,U_{\alpha x} = \alpha^2 U_x, ו-\,U_{x,y} = U_{x+y}-U_x-U_y היא תבנית ביליניארית; 
# שנית, \,U_1 = {\bf{1}}; 
# ושלישית, מתקיימות **הזהות היסודית** \,U_{U_xy} = U_xU_yU_x, 
# והזהות \,U_xV_{y,x} = V_{x,y}U_x כאשר \,V_{x,y}z = U_{x,z}y.

באלגברת ז'ורדן ריבועית מסמנים \,\{xyz\} = U_{x,z}y; זו תבנית טריליניארית, סימטרית להחלפת המשתנים החיצוניים. מן הזהויות נובע שהפעולה \,x \circ y = \{x1y\} = \{xy1\} = \{1xy\} היא ביליניארית וקומוטטיבית. מנקודת המבט של התבנית הטריליניארית, \, U_{x,y}, V_{x,y} הן פעולות של האלגברה על עצמה, ובכך הן מכלילות את אלגברת האופרטורים המופיעה בכל סיטואציה לא אסוציאטיבית.

### הקשר לאלגברות ז'ורדן
כאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, כל אלגברת ז'ורדן ריבועית מגדירה אלגברת ז'ורדן לפי הפעולה \, xy = \frac{1}{2}x \circ y; ולהפך, כל אלגברת ז'ורדן מגדירה אלגברת ז'ורדן ריבועית על ידי \, U_x = 2L_x^2 - L_{x^2} (כאשר \,L_xy = xy), ואז \,\{xyz\} = 2(x(zy)+z(xy)-(xz)y) (בפרט, אם A אלגברה אסוציאטיבית, אז באלגברת ז'ורדן שהיא מגדירה מתקיים \, U_xy = xyx). זהויות אלו הפוכות זו לזו, ומראות שכאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, התאוריה של אלגברות ז'ורדן ריבועיות מתלכדת עם זו של אלגברות ז'ורדן.

### דוגמאות
אם A אלגברה אלטרנטיבית מעל k, ההגדרה \, U_xy = xyx הופכת את A לאלגברת ז'ורדן ריבועית, שאותה מסמנים ב-A^+. תת-אלגברה של אלגברה כזו (כאשר A אסוציאטיבי) היא **מיוחדת**; כל אלגברת ז'ורדן ריבועית שאינה מיוחדת היא **יוצאת דופן**.

## איברים, אידיאלים ומנות
איבר x הוא **הפיך** אם הפונקציה \, U_x המתאימה לו הפיכה. האיבר המקיים \, x^{-1} = U_x^{-1}(x) הוא **ההפכי** של x, ומתקיים \, U_x^{-1} = U_{x^{-1}}. אלגברה שבה כל האיברים (פרט ל-0) הפיכים היא **אלגברת ז'ורדן ריבועית עם חילוק**. באלגברה \, A^+ איבר הוא הפיך במובן של אלגברות ז'ורדן אם ורק אם הוא הפיך כאיבר של A; בפרט \, A^+ אלגברת ז'ורדן ריבועית עם חילוק אם ורק אם A אלגברה עם חילוק.

תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל חוג קומוטיבי k. תת-מודול I מעל k הוא אידיאל אם \, U_IJ, U_J I \subseteq I. אם I אידיאל אז אפשר להגדיר את אלגברת המנה J/I. האלגברה **פשוטה** אם אין לה אידיאלים, ו**פשוטה לחלוטין** אם היא נותרת פשוטה אחרי כל הרחבת סקלרים. המרכז של אלגברה פשוטה הוא שדה. (בממד סופי ומעל שדה ממאפיין שונה מ-2, אלגברה היא פשוטה לחלוטין אם ורק אם היא פשוטה מרכזית). 

## האיזוטופים וחבורת המבנה

תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית, ויהי p איבר הפיך. אז J עם איבר היחידה \, p^{-1} והפעולות \, U^{(p)}_x = U_x U_p, גם היא אלגברת ז'ורדן ריבועית, **איזוטופית** לאלגברה המקורית, המסומנת ב-\, J^{(p)}. (אלגברות איזוטופיות אינן בהכרח איזומורפיות, אבל יש להן אותם איברים הפיכים). לפי סימון זה, אם p,q הפיכים אז \, (J^{(p)})^{(q)} = J^{(U_pq)}. 

אוסף האיזומורפיזמים מ-J לאיזוטופים שלו נקרא **חבורת המבנה** של J. לכל האיזוטופים של J יש אותה חבורת מבנה, וחבורה זו פועלת על האיזוטופים לפי \, g : J^{(p)} \mapsto J^{(gp)} כאשר \, gp = (g(p^{-1})^{-1} (כאן ההפכי מחושב ב-\, J). אוסף ההעתקות ההפיכות \, U_x יוצר תת-חבורה הנקראת **חבורת המבנה הפנימית**, וגם חבורה זו היא אותה חבורה לכל האיזוטופים. חבורת המבנה, וחבורת המבנה הפנימית, הן אינווריאנטים של מחלקת האיזוטופיה. חבורת המבנה הפנימית היא תת-חבורה נורמלית של חבורת המבנה. 

קטגוריה:אלגברה לא אסוציאטיבית