טרנספורמציית סטילטיס

במתמטיקה, ובפרט בתורת ההסתברות ובאנליזה מרוכבת, **טרנספורמציית סטילטיס** (Stieltjes transformation), או **התמרת סטילטיס** של מידת הסתברות \mu על הישר הממשי עם תומך I היא הפונקציה המרוכבת S_{\mu}\colon \mathbb{C} \backslash I \to \mathbb{C} המוגדרת על ידי

S_{\mu}(z)=\int_{\mathbb{R}}{\frac{1\,}{x-z}d\mu(x)}.

בפרט, ניתן לראות כי S_{\mu} מוגדרת היטב בחצי המישור העליון והתחתון של המישור המרוכב.

ההתמרה קרויה על שם המתמטיקאי ההולנדי תומאס יוהנס סטילטיס (Thomas Joannes Stieltjes) אשר הציגה לראשונה ב-1894.

להתמרת סטילטיס שימושים שונים במתמטיקה, כאשר העיקרי שבהם הוא בתורת המטריצות האקראיות ובפרט בניתוח התפלגות הערכים העצמיים של מטריצות אקראיות.

## תכונות

### סימטריה
לכל z \in \mathbb{C} מתקיים כי   \overline{S_{\mu}(z)} = S_{\mu}(\overline{z} ). לכן, לרוב מספיק לנתח את התנהגות טרנספומצית סטילטיס בחצי המישור המרוכב העליון.

### נגזרות
על פי כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל, ניתן לראות כי -

\forall n \in \mathbb{N} \quad S_{\mu}^{(n)}(z) = \int_I{\frac{n!}{(x-z)^{n+1}}d \mu(x) }

בפרט, ניתן לחסום את הנגזרות בעזרת החלק המדומה של  z -

\forall n \in \mathbb{N} \quad |S_{\mu}^{(n)}(z) |\leq \int_I{\frac{n!  }{|x-z|^{n+1}}d\mu (x)} \leq \frac{n!}{|Im(z)|^{(n+1)}}.

### אנליטיות, פיתוח לטור חזקות ומומנטים
כפי שראינו, טרנספורמציית סטילטיס S_{\mu} היא פונקציה חלקה, ובנוסף, מהחסמים לעיל ניתן להסיק כי היא פונקציה אנליטית בתחום הגדרתה \mathbb{C} \backslash I .

תחת ההנחה כי ל-\mu קיימים מומנטים מכל סדר (למשל אם ל-\mu תומך חסום), נוכל לפתח את טור טיילור של S_{\mu} ולקבל-

S_{\mu}(z)=\int_{\mathbb{R}}{\frac{1\,}{x-z}d\mu(x)}=-\frac{1}{z}\int_{\mathbb{R}}\frac{1}{1-\frac{x}{z }}d\mu(x)=-\frac{1}{z}\int_{\mathbb{R} }\sum_{n=0}^{\infty}{\left( \frac{x}{z} \right) ^n}d\mu(x)=-\sum_{n=0}^{\infty}{z^{-(n+1)}\int_{\mathbb{R} }x^nd\mu(x)} 

לכן, אם X משתנה מקרי בעל התפלגות \mu, נקבל כי -

S_{\mu}(z)=-\sum_{n=0}^{\infty}{z^{-(n+1)} \mathbb{E}[X^n ]}כלומר, המקדמים של תור החזקות הם המומנטים של X.

### ניתוח החלק המדומה
אם נכתוב עבור z \in \mathbb{C}, z = a + ib נקבל כי -

Im(S_{\mu}(z)) = \int_{\mathbb{R}}{Im \left( \frac{1}{t-z} \right) d\mu(t) } = \int_{\mathbb{R}}{Im \left( \frac{\overline{t-z} }{(t-z)(\overline{t-z})} \right) d\mu(t) } = \int_{\mathbb{R}}{ \frac{b }{(t-a)^2+b^2}d\mu(t) } 

בפרט, מאגף ימין ניתן לראות כי S_{\mu} ממפה את חצי המישור המרוכב העליון לעצמו, ולכן, בשילוב עם כך ש S_{\mu} אנליטית, נסיק כי היא פונקצית הרגלוץ.

## נוסחת ההיפוך של סטילטיס
תחת תנאים מסוימים ניתן לשחזר את המידה \mu מטרנספורמציית סטילטיס המתאימה S_{\mu} בעזרת תוצאה חשובה הנקראת נוסחת ההיפוך של סטילטיס.

לדוגמה, אם פונקציית ההתפלגות המצטברת של \mu רציפה בקטע [a,b] \subset \mathbb{R} אזי  

\frac{1}{\pi}\int_a^b Im(S_{\mu}(x+ i\epsilon )) d x \longrightarrow \mu([a,b]) כאשר \epsilon \to 0^+. 

מתכונת הסימטריה המרוכבת המצוינת לעיל ניתן לשכתב תוצאה זו ולכתוב 

\frac{S_{\mu}(\cdot + i\epsilon ) - S_{\mu}(\cdot - i\epsilon )}{2\pi i} \longrightarrow \muכאשר \epsilon \to 0^+ .

### הוכחה
מניתוח החלק המרוכב של S_{\mu} המופיע בפרק התכונות נקבל כי - 

\frac{1}{\pi}\int_a^b Im(S_{\mu}(x+ i\epsilon )) d x = \frac{1}{\pi}\int_a^b \int_{\mathbb{R}}{ \frac{\epsilon }{(t -x)^2+\epsilon ^2}d\mu(t) } d x = \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\pi} \int_a^b { \frac{\epsilon }{(t -x)^2+\epsilon ^2}dx d\mu(t) }

=\int_{\mathbb{R}}{\frac{1}{\pi} \left[ \arctan ( \epsilon ^{-1}(b-t) ) - \arctan ( \epsilon ^{-1}(b-t) ) \right] d\mu(t) } \quad \xrightarrow[\epsilon \to 0^+]{}_{(*)} \int_{\mathbb{R}} \mathbf{1}_{[a,b]}(t) d\mu(t) = \mu([a, b] ) 

כאשר המעבר (*) נובע ממשפט ההתכנסות הנשלטת.

### מסקנה - שחזור פונקציית הצפיפות
מנוסחת ההיפוך של סטילטיס נוכל להסיק כי אם Im(S_{\mu}(z)) רציפה בנקודה z = x + 0  \cdot i אז נגזרת רדון-ניקודים של \mu קיימת בנקודה ונתונה על ידי - 

\frac{1}{\pi}Im(S_{\mu}(x)). 

## משפט הרציפות של סטילטיס
נוסחת ההיפוך של סטילטיס מבטיחה לנו שתחת תנאים מתאימים, טרנספורמציית סטילטיס S_{\mu} קובעת ביחידות את המידה \mu. משפט הרציפות של סטליטיס מכליל תוצאה זו ומאפשר לנו לנתח את ההתנהגות הגבולית של סדרת מידות על ידי ניתוח הגבול של התמרות סטילטיס המתאימות.

### ניסוח פורמלי
יהיו \{ \mu_n \}_{n \in \mathbb{N}}  מידות הסתברות *מקריות* מעל הישר הממשי ותהא \mu מידת הסתברות.

אז, התנאים הבאים מתקיימים:

* \mu_n \xrightarrow[{n \to \infty}]{\mathcal{w}}\mu  כמעט תמיד אם ורק אם S_{\mu_n} \xrightarrow[{n \to \infty}]{} S_{\mu}    כמעט תמיד בחצי המישור המרוכב העליון.

* \mu_n \xrightarrow[{n \to \infty}]{\mathcal{w}} \mu  בהסתברות אם ורק אם S_{\mu_n} \xrightarrow[{n \to \infty}]{} S_{\mu}    בהסתברות בחצי המישור המרוכב העליון

* \mu_n \xrightarrow[{n \to \infty}]{\mathcal{w}} \mu  בתוחלת אם ורק אם S_{\mu_n} \xrightarrow[{n \to \infty}]{} S_{\mu}    בתוחלת בחצי המישור המרוכב העליון.

## שימושים בתורת המטריצות האקראיות

בעזרת משפט הרציפות של סטילטיס ניתן להוכיח את חוק חצי המעגל של ויגנר.

גרסה בסיסית של חוק זה קובעת כי עבור מטריצות אקראיות, ממשיות וסימטריות  M_n \in \mathbb{R}^{n \times n}  המקיימות:

# ל  M_n  כניסות בלתי תלויות ושוות התפלוגת.
#ל  (M_n)_{i j}  תוחלת 0 ושונות 1 לכל  i,j \in [n]  .
#ל  (M_n)_{i j}  מומנטים מכל סדר לכל  i,j \in [n] .

ההתפלגות הספקטרלית האמפירית (ESD) של  M_n , המוגדרת להיות  \mu_{M_n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \delta_{\lambda_i(M_n)}  כאשר  \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \ldots \leq \lambda_n  הם הערכים העצמיים של  M_n , מתכנסת בתוחלת להתפלגות חצי המעגל של ויגנר. כלומר - 

\ \lim_{n\rightarrow \infty}P( \lambda (M_n) 

למשפט זה הכללות שונות אשר מבטיחות התכנסות כמעט תמיד תחת הנחות מקלות.

### סקיצה להוכחה
התמרת סטילטיס של המטריצה המנורמלת  \mu_{\frac{1}{\sqrt{n}}M_n}   היא S_{\frac{1}{\sqrt{n}}M_n}(z)=\frac{1}{n} tr{\left(\frac{1}{\sqrt{n}}M_n-zI\right)}^ {-1}.

ההתמרה של התפלגות חצי המעגל של וויגנר, S_{\mu_{sc}}  נתונה על ידי -S_{\mu_{sc}}(z)=\frac{\sqrt{z^2-4} - z}{2} 

לכן, על פי משפט הרציפות של סטילטיס, על מנת להוכיח את המשפט די להראות כי לכל z \in \mathbb{C} בחצי המישור המרוכב העליון מתקיים כי -

S_{\frac{1}{\sqrt{n}}M_n} (z) \xrightarrow[n\to \infty]{} S_{\mu_{sc}}(z). הוכחה מלאה ניתן למצוא בקישור המצורף.

## ראו גם

* מטריצה אקראית
* התפלגות חצי המעגל של ויגנר
* התפלגות טרייסי-וידום
* התפלגות מרצ'נקו-פסטור

## קישורים חיצוניים

* Z. D. Bai  ,Convergence Rate of Expected Spectral Distributions of Large Random Matrices, 1993
* Terence Tao, Topics in random matrix theory, 2012
* Roland Speicher, , 2020
* Song Mei, Random Matrices and Stieltjes Transforms, 2021

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת ההסתברות