בניית המספרים הממשיים

במתמטיקה, ישנן דרכים שונות להגדיר מהו שדה המספרים הממשיים, רובן משתמשות בקיום שדה המספרים הרציונליים. לא כל הבניות מובילות בסופו של התהליך אל אותה הקבוצה, אך העיקר הוא האיזומורפיזם בין המבנים הנוצרים בכל אחת מהבניות; כלומר, בכל הבניות מגיעים לשדה סדור שלם שהוא גם ארכימדי. בכל הבניות מגיעים גם לקבוצה בעלת אותה עוצמה. משמעות הבנייה היא יצירת קבוצה שמוגדרות עליה שתי פעולות (כפל וחיבור), ויחס סדר מלא (חזק או חלש) אשר מקיימת מספר אקסיומות (שיתוארו להלן).

## היסטוריה
במשך מאות שנים, מספר ממשי היה מספר שמייצג אורך של קטע, לאחר שהוסיפו לו כיוון (כלומר הוא יכול להיות גם שלילי). לאחר שהגאומטריה תוארה באמצעים אלגבריים, הובן שיש פה בעיה של הגדרה מעגלית: השדה הממשי מוגדר באמצעות גאומטריה, והגאומטריה מוגדרת באמצעות השדה הממשי. לכן, ב־1872, פרסם גאורג קנטור את דרכו לבניית השדה הממשי מתוך השדה הרציונלי, כשהוא עושה שימוש בסדרות קושי של מספרים רציונליים. מעט מאוחר יותר באותה שנה פרסם ריכרד דדקינד את הגדרתו שלו, העושה שימוש בחתכי דדקינד. מאז פורסמו עוד הרבה מאוד בניות, וחלקן מובאות בערך זה.

## אקסיומות
המטרה של כל הבניות זהה: יש ליצור קבוצה \R, שעליה מוגדרות פעולות \cdot,+ ויחס סדר \le (או ), כך שמתקיימות האקסיומות הבאות:
# (\R,+,\cdot) הוא שדה.
# (\R,\le) היא קבוצה סדורה בסדר מלא.
# כשדה, \R הוא שדה סדור שלם ביחס הסדר \le, כלומר:
#* \forall x\le y\forall z\in\R:x+z\le y+z
#* \forall x\le y\forall z\ge0:xz\le yz
#* לכל תת־קבוצה לא־ריקה S\subseteq\R וַחסומה מלמעלה יש חסם עליון: קיים M\in\R כך שלכל x\in S מתקיים x\le M, וכל y\in\R שעבורו לכל x\in S מתקיים x\le y, מקיים M\le y.
אם הסדר המוגדר הוא חזק (), אז יש להחליף כל מופע של \le באקסיומות ב, למעט האקסיומה האחרונה, בה יש להשתמש ביחס הסדר החזק x\le y\Leftrightarrow x. ניתן לראות כי כל מודל ביחס חזק  הוא גם מודל ביחס החלש המוגדר כמו קודם, וכן כל מודל ביחס \le הוא גם מודל ביחס החזק x.

## בנייה
### סדרות קושי של מספרים רציונליים
בנייה זו של קנטור מסתמכת על העובדה האינטואיטיבית לפיה גם ללא הגדרה של מספרים ממשיים, מתקיים שכל מספר ממשי הוא גבול של סדרת מספרים רציונליים. נוכל אם כן להגדיר את המספר להיות סדרה זו. מכיוון שיש כמה סדרות המתכנסות למספר הממשי, נגדיר את המספר להיות קבוצת הסדרות המתכנסות אליו. נגדיר לשם כך יחס שקילות על קבוצת הסדרות שיש להם פוטנציאל להתכנס (אף שאינן מתכנסות, שכן בשדה הרציונלי יש "חורים"), הלוא הם סדרות קושי.

תהי R קבוצת כל סדרות קושי ב-\mathbb{Q}, כלומר קבוצת כל הסדרות של מספרים רציונליים \{x_n\}_{n=1}^\infty כך שלכל \varepsilon>0 (רציונלי) קיים N טבעי כך שלכל זוג טבעיים m,n>N מתקיים |x_m-x_n|.

נאמר ששתי סדרות שכאלו שקולות אם ורק אם ההפרש ביניהן שואף לאפס, כלומר הסדרות \{x_n\}_{n=1}^\infty ו-\{y_n\}_{n=1}^\infty שקולות אם ורק אם לכל \varepsilon>0 (רציונלי) קיים N טבעי כך שלכל n>N טבעי מתקיים |x_n-y_n|.

נראה כי הגדרה זו אכן מגדירה יחס שקילות:
* רפלקסיביות: לכל סדרה \{x_n\}^\infty_{n=1}, לכל \varepsilon>0 ולכל n, מתקיים |x_n-x_n|=0.
* סימטריות: |x_n-y_n|=|y_n-x_n| ולכן אם האחד קטן מ-\varepsilon גם השני קטן ממנו.
* טרנזיטיביות: יהי \{x_n\}^\infty_{n=1}\sim\{y_n\}^\infty_{n=1}, ו- \{y_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n\}^\infty_{n=1}. יהי \varepsilon>0 קיימים N_1,N_2 כך שלכל n>N_1 מתקיים |x_n-y_n| ולכל n>N_2 מתקיים |y_n-z_n|. נבחר N=\max\{N_1,N_2\} ונקבל לכל n>N: |x_n-z_n|=|x_n-y_n+y_n-z_n|\le|x_n-y_n|+|y_n-z_n| (על פי אי-שוויון המשולש), לכן \{x_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n\}^\infty_{n=1}.
קבוצת המנה (אוסף כל מחלקות השקילות) של יחס שקילות זה תסומן \mathbb{R} - זהו שדה המספרים הממשיים.

את המספרים הרציונליים נזהה בממשיים על ידי מחלקות השקילות המתאימות, עבור רציונלי q מחלקת השקילות המתאימה היא מחלקת השקילות של הסדרה הקבועה \{q\}_{n=1}^\infty.

את פעולות החיבור והכפל נגדיר איבר איבר, באופן הבא:

[\{x_n\}_{n=1}^\infty]+[\{y_n\}_{n=1}^\infty]:=[\{x_n+y_n\}_{n=1}^\infty]

[\{x_n\}_{n=1}^\infty]\cdot[\{y_n\}_{n=1}^\infty]:=[\{x_n\cdot y_n\}_{n=1}^\infty]

נראה כי ההגדרות לא תלויות בבחירת הנציגים:
יהו \{x_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n\}^\infty_{n=1},\{y_n\}^\infty_{n=1}\sim\{w_n\}^\infty_{n=1}. יש להוכיח כי \{x_n+y_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n+w_n\}^\infty_{n=1}, ו- \{x_n\cdot y_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n\cdot w_n\}^\infty_{n=1}.
* חיבור: יהי \varepsilon>0. קיימים N_1,N_2 כך שלכל n>N_1 מתקיים |x_n-z_n| ולכל n>N_2 מתקיים |y_n-w_n|. נבחר N=\max\{N_1,N_2\} ונקבל לכל n>N:
:|x_n+y_n-z_n-w_n|\le|x_n-z_n|+|y_n-w_n|
* כפל: כל סדרת קושי היא חסומה, לכן יהי A המקסימום בין החסמים של \{y_n\}^\infty_{n=1},\{z_n\}^\infty_{n=1}, כלומר לכל n מתקיים |y_n| וכן |z_n|. קיימים N_1,N_2 כך שלכל n>N_1 מתקיים |x_n-z_n| ולכל n>N_2 מתקיים |y_n-w_n|. נבחר N=\max\{N_1,N_2\} ונקבל לכל n>N:
:|x_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|=|x_{n}y_{n}-z_{n}y_{n}+z_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|\le|y_{n}||x_{n}-z_{n}|+|z_{n}||y_{n}-w_{n}|
נראה כי תחת הפעולות הנ"ל, הקבוצה \R היא שדה:
* תכונות החיבור:
# סגירות: יהי \varepsilon>0. קיימים N_1,N_2 כך שלכל n_1,n_2>N_1 מתקיים |x_{n_1}-x_{n_2}|, ולכל n_1,n_2>N_2 מתקיים |y_{n_1}-y_{n_2}|. נבחר N=\max\{N_1,N_2\} ונקבל לכל n_1,n_2>N: |(x_{n_1}+y_{n_1})-(x_{n_2}+y_{n_2})|\le|x_{n_1}-x_{n_2}|+|y_{n_1}-y_{n_2}|.
# תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות, קיום איבר האפס וקיום האיבר הנגדי נובעות מידית מתכונות אלו בשדה \Q, כאשר מגדירים 0=[\{0\}^\infty_{n=1}], וכן -[\{x_n\}^\infty_{n=1}]=[\{-x_n\}^\infty_{n=1}].
* תכונות הכפל:
# סגירות: יהי \varepsilon>0. נשתמש שוב בכך שכל סדרת קושי היא חסומה ונסמן בA את המקסימום מבין החסמים של הסדרות. קיימים N_1,N_2 כך שלכל n_1,n_2>N_1 מתקיים |x_{n_1}-x_{n_2}| ולכל n_1,n_2>N_2 מתקיים |y_{n_1}-y_{n_2}|. נסמן N=\max\{N_1,N_2\} ונקבל לכל n_1,n_2>N: |x_{n_1}y_{n_1}-x_{n_2}y_{n_2}|=|x_{n_1}y_{n_1}-x_{n_2}y_{n_1}+x_{n_2}y_{n_1}-x_{n_2}y_{n_2}|\le|y_{n_1}||x_{n_1}-x_{n_2}|+|x_{n_2}||y_{n_1}-y_{n_2}|.
# תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות וקיום איבר היחידה נובעות מתכונות אלו בשדה \Q, כאשר מגדירים 1=[\{1\}^\infty_{n=1}].
# קיום איבר הופכי: נראה קודם כל כי אם ב\{x_n\}^\infty_{n=1} יש אינסוף אפסים, אז היא שקולה לאיבר האפס: מכיוון שיש אינסוף אפסים, אז לכל N קיים n>N כך שx_n=0. יהי \varepsilon>0. קיים N כך שלכל n_1,n_2>N מתקיים |x_{n_1}-x_{n_2}|. יהי n_0>N כך ש-x_{n_0}=0. לכל n>N מתקיים |x_n-0|=|x_n-x_{n_0}|, לכן \{x_n\}^\infty_{n=1}\sim0. כלומר יש להוכיח את קיום האיבר ההופכי רק עבור סדרות שאין בהם אינסוף אפסים. מכיוון שאין אינסוף אפסים, אז יהי N כך שלכל n>N מתקיים x_n\not=0. נסמן ב\{x_n'\}^\infty_{n=1} את הסדרה המוגדרת על פי x'_n=\begin{cases}x_n && n>N\\
1 && n\leq N\end{cases}. ברור ש-\{x'_n\}^\infty_{n=1}\sim\{x_n\}^\infty_{n=1}, וכן שכל איברי הסדרה \{x'_n\}^\infty_{n=1} שונים מאפס, לכן ניתן להניח כי x_n\ne0 לכל n\in\N. נגדיר [\{x_n\}^\infty_{n=1}]^{-1}=[\{x_n^{-1}\}^\infty_{n=1}]. נרצה להראות כי זוהי סדרת קושי: נניח בשלילה שלכל B>0 ולכל N\in\N קיים n>N כך ש-|x_n|. אז בהינתן \varepsilon>0, קיים N כך שלכל n_1,n_2>N מתקיים |x_{n_1}-x_{n_2}|. בנוסף מההנחה קיים n_0>N כך ש|x_{n_0}|. לכן, לכל n>N מתקיים |x_n-0|\le|x_n-x_{n_0}|+|x_{n_0}|, כלומר \{x_n\}^\infty_{n=1}\sim0, בניגוד לכך ש-[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\ne0. לכן קיימים B>0,N\in\N כך ש|x_n|>B לכל n>N. נגדיר A=\min\{|x_1|,|x_2|,...,|x_N|,B\} ונקבל A>0 (כי מתקיים x_n\ne0\Rightarrow|x_n|>0, וכן B>0), וכן |x_n|>A לכל n\in\N. כעת יהי \varepsilon>0. קיים N\in\N כך שלכל n_1,n_2>N מתקיים |x_{n_1}-x_{n_2}|, לכן לכל n_1,n_2>N מתקיים |x_{n_1}^{-1}-x_{n_2}^{-1}|=\frac. כלומר [\{x_n\}^\infty_{n=1}]^{-1} היא סדרת קושי, וקל לראות [\{x_n\}^\infty_{n=1}]^{-1}\cdot[\{x_n\}^\infty_{n=1}]=1.
* דיסטריבוטיביות: נובע מהדיסטריבוטיביות ב-\Q.
בנוסף, את הסדר על סדרות קושי ב-\mathbb{Q} נגדיר כך: [\{x_n\}_{n=1}^\infty]  אם ורק אם קיים r>0 וקיים N טבעי כך שלכל n>N טבעי מתקיים x_n .

נראה כי ההגדרה לא תלויה בנציגים:

נניח ש-\{x_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n\}^\infty_{n=1},\{y_n\}^\infty_{n=1}\sim\{w_n\}^\infty_{n=1} וכן שקיימים r>0(r\in\mathbb{Q}),N\in \mathbb{N} כך שלכל n>N מתקיים x_n. במקרה זה קיימים N_1,N_2 כך שלכל n>N_1 מתקיים |x_n-z_n| (או בנוסח אחר: x_n-\frac{r}{2}), ולכל n>N_2 מתקיים |y_n-w_n| (או בנוסח אחר: w_n-\frac{r}{4}). נבחר N'=\max\{N_1,N_2\} ונקבל לכל n>N': z_n.

נראה כי זהו אכן יחס סדר חזק:
* אנטי-רפלקסיביות: לכל r>0 ולכל \{x_n\}^\infty_{n=1}, מתקיים x_n-r ולכן לא מתקיים x_n, כלומר [\{x_n\}^\infty_{n=1}]\not.
* טרנזיטיביות: יהיו r_1,r_2>0, וכן N_1,N_2 כך שלכל n>N_1 מתקיים x_n, ולכל n>N_2 מתקיים y_n. אז נבחר N=\max\{N_1,N_2\},r=r_1+r_2 ונקבל לכל n>N: x_n.
* השוואה: נניח שמתקיים [\{x_n\}^\infty_{n=1}]\not. אז לכל r>0 ולכל N, קיים n>N כך ש-x_n\geq y_n-r וכן y_n\geq x_n-r. בנוסח אחר נאמר כי |x_n-y_n|\leq r. יהי \varepsilon>0. קיימים N_1,N_1 כך שלכל n_1,n_2>N_1 מתקיים |x_{n_1}-x_{n_2}|, ולכל n_1,n_2>N_2 מתקיים |y_{n_1}-y_{n_2}|. נסמן N=\max\{N_1,N_2\}. קיים n_0>N כך שמתקיים |x_{n_0}-y_{n_0}|\leq\frac\varepsilon3. לכל n>N מתקיים |x_{n_0}-y_n|\le|x_{n_0}-y_{n_0}|+|y_{n_0}-y_n|. לכן לכל n>N מתקיים |x_n-y_n|\le|x_n-x_{n_0}|+|x_{n_0}-y_n|, ולכן [\{x_n\}^\infty_{n=1}]=[\{y_n\}^\infty_{n=1}].
נראה כי ההגדרות הנ"ל הופכות את השדה לשדה סדור:

נניח כי [\{x_n\}^\infty_{n=1}]:
* לכל n>N מתקיים x_n ולכן גם x_n+z_n ובסה"כ [\{x_n\}^\infty_{n=1}]+[\{z_n\}^\infty_{n=1}].
* נניח בנוסף כי [\{z_n\}^\infty_{n=1}]>0 (כזכור, 0 הוא מחלקת השקילות [\{0\}^\infty_{n=1}]). לכל n>N_1, מתקיים z_n-r_1>0\Rightarrow z_n>r_1\Rightarrow-z_n (ובפרט z_n>0), ולכל n>N_2 מתקיים x_n. נבחר N=\max\{N_1,N_2\} ונקבל לכל n>N: x_nz_n. לכן [\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{z_n\}^\infty_{n=1}].
העובדה היחידה החסרה לנו היא השלמות, כלומר שלכל תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל קיים סופרמום (חסם מלעיל קטן ביותר). נוכיח עובדה זו:תהי S תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל על ידי u. נגדיר u_1 כמספר רציונלי כלשהו הגדול מ-u (ולכן הוא בעצמו חסם מלעיל). מכיוון ש-S אינה ריקה, קיים מספר רציונלי l_1 שקטן יותר מלפחות אחד מאיברי S. כעת נמשיך ונגדיר את שתי הסדרות באופן הבא: אם a_n=\frac{u_n+l_n}{2} חסם מלעיל אז u_{n+1}=a_n ו-l_{n+1}=l_n, אם הוא אינו חסם מלעיל אז l_{n+1}=a_n ו-u_{n+1}=u_n.
קל להראות כי שתי הסדרות הנ"ל הן סדרות קושי, והסדרות שקולות. נסמן את מחלקת השקילות שלהן ב-r. קל להראות באינדוקציה כי לכל n טבעי u_n חסם מלעיל ל-S בעוד ש-l_n לא, מעובדה זו נובע כי r חסם מלעיל (לפי הגדרת הסדר שהוצגה קודם), נראה כי גם נובע שהוא סופרמום, כלומר החסם מלעיל הקטן ביותר. נניח כי t מקיים t , אז קיים n_0 טבעי עבורו t , ומכיוון ש-\{l_n\}_{n=1}^\infty מונוטונית עולה נקבל כי לכל n\geq n_0 גם מתקיים t , אך ראינו כבר ש-l_n אינו חסם מלעיל ולכן t שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלעיל.

### חתכי דדקינד
בנייה זו של ריכרד דדקינד מסתמכת על תכונה אחרת אף שקולה: כל מספר ממשי הוא סופרמום של קבוצה של רציונלים, לכן נגדיר אותו להיות קבוצה זו.

חתך דדקינד של מספרים רציונליים הוא קבוצה A המקיימת:
* \empty\subset A\subset\mathbb Q
* לכל x\in A וגם y, מתקיים y\in A
* לA אין מקסימום: לא קיים x\in A כך שלכל y\in A מתקיים y\leq x.

לכל מספר רציונלי q, החתך \{x:x הוא החתך המייצג את q.

עבור מספרים שאינם רציונליים יש צורך למצוא חתך מתאים. למשל עבור \sqrt2 יתאים החתך \{x:x, ועבור e=2.71... (מספר אוילר) יתאים החתך \left\{x:\exist n\in\mathbb{N},x.

את קבוצת חתכי דדקינד נסמן \R - שדה המספרים הממשיים.

נגדיר יחס סדר על השדה: A\leq B\Leftrightarrow A\subseteq B.

נגדיר פעולות על השדה:
* **חיבור**: A+B=\{x+y|x\in A\land y\in B\}.
את הכפל נגדיר מאוחר יותר, לאחר שנראה את תכונות החיבור:
# סגירות: A,B\not=\empty\Rightarrow\exist x\in A,y\in B\Rightarrow \exist z=x+y\in A+B\Rightarrow A+B\not=\empty. יהי M_1,M_2\in\Q כך שלכל x\in A,y\in B מתקיים x. נגדיר M=M_1+M_2 ולכן לכל z\in A+B מתקיים z=x+y, לכן A+B\not=\Q. יהי x\in A+B,y. אז קיימים a\in A,b\in B כך ש-x=a+b. נקבל w:=x-y=a+b-y>0. מכך שA,B הם חתכים נקבל ש-\alpha:=a-\frac w2\in A\land\beta:=b-\frac w2\in B. אז מתקיים y=x-w=\alpha+\beta\in A+B. לכל x\in A קיים a\in A כך ש-x, וכן לגבי B. יהי z=x+y\in A+B. אז קיימים a>x,b>y בקבוצות A,B בהתאמה. מתקיים c:=a+b\in A+B, וכן c>z, לכן לA+B אין מקסימום. לכן A+B הוא חתך.
# תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות וקיום איבר האפס נובעות מידית מתכונות אלו בשדה \Q, כאשר מגדירים 0=\{q\in\Q|q.
# קיום איבר נגדי: נגדיר את -A=\{x-y|x. נראה שמתקיים A+(-A)=0: יהי a\in A+(-A). אז קיימים x\in A,y כך ש-x+y-z=a. מתקיים z>x, ולכן a=x+y-z. לכן A+(-A)\subseteq0. יהי a\in0, אז מתקיים a. הקבוצה A
 היא חתך ולכן חסומה מלעיל. יהי M\in \Q,M>0 כך שלכל x\in A מתקיים x. יהי x ונגדיר z=-x>M, כלומר y\in A^c, וכן נגדיר y=a. מתקיים x+y-z=2x+y. קיבלנו ייצוג של a כ- a=x+y-z\land x\in A\land y, לכן a\in A+(-A). בסה"כ קיבלנו A+(-A)=0.
כעת נגדיר את הכפל:
* עבור A,B\ge0, נגדיר A\cdot B=\{x\cdot y|x\in A\setminus0\land y\in B\setminus0\}\cup0. אם לפחות אחד מהחתכים A,B הוא שלילי, נגדיר A\cdot B=-(A\cdot-B)=-(-A\cdot B)=-A\cdot-B.
כעת נראה שמתקיימות תכונות הכפל בשדה:
# סגירות: נראה זאת כאשר A,B\ge0. שאר המקרים נובעים ממקרה זה. 0\subseteq A+B\Rightarrow A+B\not=\empty. נגדיר את M_1,M_2 כמו קודם, ונשים לב שהם חיוביים. נגדיר M=M_1\cdot M_2. לכל 0 מתקיים z=xy. עבור z\le0 שוב מתקיים z. לכן AB\not=\Q. נניח כי 0. אז קיימים a\in A\setminus0,b\in B\setminus0 כך ש-x=ab. מתקיים w:=\frac xy>1. נגדיר \alpha=\frac aw אז מתקיים y=\alpha\cdot b\in A\cdot B. לכל x\in A קיים a\in A כך ש-x, וכן לגבי B. יהי z=xy\in AB.אז קיימים a>x,b>y בקבוצות A,B בהתאמה. מתקיים c:=ab\in AB וכן c>z, לכן לAB אין מקסימום. לכן AB הוא חתך.
# תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות וקיום איבר היחידה נובעות מידית מקיום תכונות אלו בשדה \Q, כאשר מגדירים 1=\{q\in\Q|q.
# קיום איבר הופכי: נגדיר \forall A\ge0:A^{-1}=\left\{\frac xy\Bigg|x. יהי x\in A\cdot A^{-1} כאשר A\ge0. אז קיימים a\in A\setminus0,b כך שx=\frac{ab}{c}. מכיוון שa, נקבל x=b\cdot\frac ac, לכן x\in1.
* דיסטריבוטיביות: נראה זאת עבור A\ge0\land B+C\ge0: על פי ההגדרה, A(B+C)=\{x(y+z)|x\in A\setminus0\land y\in B\land z\in C\land y+z\ge0\}\cup0=(\{xy|x\in A\setminus0\land y\in B\setminus0\}\cup0)+(\{xz|x\in A\setminus0\land z\in C\setminus0\}\cup0)=AB+AC.
נראה כי יחס הסדר שהגדרנו על השדה, A\le B\Leftrightarrow A\subseteq B, הוא אכן יחס סדר חלש:
מכיוון שהיחס \subseteq הוא יחס סדר חלקי חלש על כל אוסף של קבוצות, עלינו להוכיח רק את תכונת ההשוואה: יהו A,B\in\R, ונניח כי A\not\subseteq B, כלומר קיים a\in A כך שa\not\in B. יהי x\in B. לא ייתכן כי x\ge a, כי אז יתקיים a\in B. לכן x, ומכיוון שA חתך נקבל x\in A. לכן B\subseteq A.
נראה כי השדה הוא שדה סדור:
* איזוטוניות ביחס לחיבור: A\le B\Rightarrow \forall x\in A:x\in B\Rightarrow\forall x\in A\land y\in C:x\in B\land y\in C\Rightarrow\forall z=x+y\in A+C,z\in B+C\Rightarrow A+C\le B+C.
* איזוטוניות ביחס לכפל: יהי C\ge0, ונניח כי 0\le A\le B. לכן 0\subseteq A\subseteq B\Rightarrow \forall x\in A\setminus0,x\in B\setminus0\Rightarrow \forall x\in A\setminus0\land z\in C\setminus0,x\in B\setminus0\land z\in C\setminus0\Rightarrow \forall z=xy\in AC,z\in BC\Rightarrow AC\le BC.
נראה כי השדה הוא שדה סדור שלם: תהי S\subseteq\R קבוצה לא ריקה וחסומה של מספרים ממשיים, ונגדיר M=\bigcup_{A\in S}A. נראה כי M הוא מספר ממשי, כלומר חתך של מספרים רציונלים:
* S\not=\empty\Rightarrow \exist A\in S\Rightarrow A\subseteq M. מכיוון שA לא ריקה, גם M לא ריקה. מכיוון שS חסומה, קיים N כך שלכל A\in S מתקיים A\le N, כלומר A\subseteq N. לכן M\subseteq N\subset\Q.
* יהי x\in M, ויהי y. אז קיים A\in S כך שx\in A. לכן y\in A, כלומר y\in M.
* יהי x\in M. אז קיים A\in S כך שx\in A. מכיוון שA חתך, קיים y>x כך שy\in A. לכן y\in M.
נראה כי חתך זה הוא הסופרמום של הקבוצה S: \forall A\in S,A\subseteq \bigcup_{B\in S}B\Rightarrow \forall A\in S,A\le M. לכן M הוא חסם מלעיל. יהי N חסם מלעיל של S. יהי x\in M. קיים A\in S כך שx\in A. מכיוון שA\subseteq N, נקבל x\in N. לכן M\le N. לכן M הוא החסם העליון הקטן ביותר של S.
### קוואזי-הומומורפיזמים של חוג השלמים
כל מספר ממשי \alpha\in\R ניתן לייצג על ידי קירוב רציונלי על פי \lim_{n\to\infty}\frac{\lfloor n\alpha\rfloor}{n}=\alpha. מספיק לדבר על הפונקציה f(n)=\lfloor n\alpha\rfloor. תכונה מעניינת של פונקציה זו היא שמתקיים f(n+m)\approx f(n)+f(m), במובן שיתואר להלן. אם נדבר על אוסף כל הפונקציות המקיימות תכונה זו, נראה שניתן לייצג כל מספר ממשי באמצעות כמה פונקציות כאלו.

בניה זו מדלגת על הרציונלים, ומגדירה את הממשיים הישר מתוך חוג המספרים השלמים.

נאמר כי פונקציה f:\Z\to\Z היא **קוואזי-הומומורפיזם**, אם קיים k\in\N כך שלכל n,m\in\Z מתקיים |f(m+n)-f(m)-f(n)|\le k. הקבוע k יכונה **קבוע-האדיטיביות** של f.

ניתן להוכיח באינדוקציה כי מתקיים |f(mn)-mf(n)|\le(|m|+1)k, ולכן גם |mf(n)-nf(m)|\le(|m|+|n|+2)k (מתכונה זו נובע כי \left\{\frac{f(n)}{n}\right\}^\infty_{n=1} היא סדרת קושי, המתכנסת ל\alpha. ניתן לראות כאן דמיון לבנייה של קנטור).

את קבוצת כל הקוואזי-הימומורפיזמים בחוג השלמים נסמן \mathrm{qh}(\Z,\Z). נגדיר יחס שקילות על \mathrm{qh}(\Z,\Z): f(n)\sim g(n) אם ורק אם קיים k\in\N כך ש|f(n)-g(n)|\le k לכל n\in\Z (למעשה, אם נחזור לדבר על סדרות הקושי, המשמעות היא ש\left\{\frac{f(n)}{n}\right\}^\infty_{n=1}\sim\left\{\frac{g(n)}{n}\right\}^\infty_{n=1} במובן שתואר בבנייה של קנטור).
נראה כי זהו אכן יחס שקילות:
* רפלקסיביות: \forall n\in\Z,|f(n)-f(n)|=0\le0
* סימטריה: \forall n\in\Z,|f(n)-g(n)|\le k\Rightarrow \forall n\in\Z,|g(n)-f(n)|\le k
* טרנזיטיביות: \forall n\in\Z,|f(n)-g(n)|\le k_1\land |g(n)-h(n)|\le k_2\Rightarrow \forall n\in\Z,|f(n)-h(n)|\le|f(n)-g(n)|+|g(n)-h(n)|\le k_1+k_2
את קבוצת המנה \mathrm{qu}(\Z,\Z)/\sim נסמן \R - יצרנו את קבוצת הממשיים.
לכל מספר רציונלי q אפשר להתאים את המחלקה של הפונקציה \, f_q(n) = \lfloor qn \rfloor; זהו אכן קוואזי-הומומורפיזם. במקרה של מספר שלם מתקבלת הפונקציה f_m(n)=mn.

נגדיר פעולות על הקבוצה:
* חיבור: החיבור הרגיל של פונקציות, כלומר (f+g)(n)=f(n)+g(n). נחבר מחלקות שקילות באמצעות חיבור נציגים.
* כפל: הרכבת פונקציית, כלומר (f\cdot g)(n)=(f\circ g)(n)=f(g(n)). נכפול מחלקות שקילות באמצעות כפל נציגים.
נראה כי ההגדרות לא תלויות בנציגים: יהו f\sim h,g\sim p כאשר k_1 מקיים |f(n)-h(n)|\le k_1, וk_2 מקיים את התכונה לגבי g,p.
* חיבור: |f(n)+g(n)-h(n)-p(n)|\le k_1+k_2, לכן f+g\sim h+p.
* כפל: f(g(n))-h(p(n))=f(g(n)-p(n)+p(n))-h(p(n)). מתקיים g(n)-p(n)\le k_2, לכן הביטוי f(g(n)-p(n)+p(n)) חסום בסביבה כלשהי של f(p(n)), כלומר קיימים k',k*</math> כך ש<math>f(p(n))+k'\le f(g(n)-p(n)+p(n))\le f(p(n))+k*. לכן k_2+k'\le f(g(n)-p(n)+p(n))-f(p(n))+f(p(n))-h(p(n))=f(g(n))-h(p(n))\le k_2+k*</math>. כלומר <math>|f(g(n))-h(p(n))|\le K</math> עבור <math>K\in\Z</math> כלשהו.
נראה כי הפעולות הפוכות את הקבוצה לשדה:
* תכונות החיבור:
# סגירות: <math>|f(n+m)-f(n)-f(m)|\le k_1\land |g(n+m)-g(n)-g(m)|\le k_2\Rightarrow|(f+g)(n+m)-(f+g)(n)-(f+g)(m)|\le k_1+k_2</math>.
# תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות, קיום איבר האפס והאיבר הנגדי נובעות מידית מקיום תכונות אלו בחוג <math>\Z</math>, כאשר מגדירים <math>0(n)=0</math> ו-<math>0=[0]</math>, וכן <math>(-f)(n)=-f(n)</math> ו-<math>-[f]=[-f]</math>.
* תכונות הכפל:
# סגירות: נגדיר <math>d_f(m,n)=f(m+n)-f(m)-f(n)</math>. כעת מתקיים <math>\begin{align}f(g(m+n))-f(g(m))-f(g(n))&=f(g(m)+g(n)+d_g(m,n))-f(g(m))-f(g(n))\\&=f(g(n)+d_g(m,n))+d_f(g(m),g(n)+d_g(m,n))-f(g(n))\\&=f(d_g(m,n))+d_f(g(n),d_g(m,n))+d_f(g(m),g(n)+d_g(m,n))\end{align}</math>. מכיוון ש<math>d_f,d_g</math> הם פונקציות חסומות, והפונקציה <math>f</math> חסומה על [[קבוצה סופית]] (כי תמונת קבוצה סופית היא סופית, ובפרט חסומה), הביטוי כולו חסום.
# תכונות האסוציאטיביות וקיום איבר היחידה נובעות מידית מקיום תכונות אלו לכל קבוצה של פונקציות, כאשר מגדירים <math>1=[I]</math> (<math>I</math> היא [[פונקציית הזהות]] ב<math>\Z</math>)
# קומוטטיביות: אם נציב <math>m=g(n)</math> באי-שוויון <math>|nf(m)-mf(n)|\le(|m|+|n|+2)k</math>, נקבל <math>|n(fg)(n)-f(n)g(n)|\le(|n|+|g(n)|+2)k_1</math>, ולכן גם <math>|n(gf)(n)-f(n)g(n)|\le(|n|+|f(n)|+2)k</math>. לכן מתקיים <math>|n|\cdot|(fg)(n)-(gf)(n)|\le(2|n|+|f(n)|+|g(n)|+4)k</math> כאשר <math>k=\max\{k_1,k_2\}</math>. נשים לב שמתקיים <math>|f(n)|\le|f(n\cdot1)-n\cdot f(1)|+|n||f(1)|\le(|n|+1)k+|n||f(1)|\le|n|(2k+|f(1)|):=k'|n|</math>, לכן <math>|n|\cdot|(fg)(n)-(gf)(n)|\le(2|n|+|n|k'+|n|k'+4)k\le|n|(6+2k')k:=k*|n|, לכן |(fg)(n)-(gf)(n)|\le k*</math>. בכל זאת הנחנו כי <math>4\le 4|n|</math>, מה שמתקיים רק עבור <math>n\not=0</math>. לכן נגדיר <math>K=\max\{k*,|(fg)(0)-(gf)(0)|\}, ונקבל |(fg)(n)-(gf)(n)|\le K. קיבלנו fg\sim gf, כלומר [f][g]=[g][f].
לפני שניגש להוכיח את תכונת ההפיכות, נגדיר **חיוביות** של קוואזי-הומומורפיזם: f חיובית אם"ם קיים k\in\Z כך שלכל n\in\N, f(n)\ge k. ברור שאם f חיובית וg\sim f, אז g חיובית (במובן של סדרות קושי, המשמעות היא ש\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n}\ge0, מה שמסתדר מצוין עם העובדה שהסדרה מתכנסת למספר אותו הפונקציה מייצגת). לכן ניתן לדבר על חיוביות של [f], כחיוביות של f. נראה כי אם f לא חיובית, אז -f חיובית: כל קוואזי-הומומורפיזם שקול לקוואזי-הומומורפיזם המקיים f(0)=0, לכן מספיק להוכיח רק לגבי אלו המקיימים f(0)=0: נניח בשלילה שגם f וגם -f לא חיוביות. אז לכל k קיים r\in\N כך שf(r)>k, וקיים s כך ש-f(s)>k, כלומר f(s). f קוואזי הומומורפיזם, לכן קיים k\in\N כך שלכל n,m\in\Z מתקיים |f(n+m)-f(n)-f(m)|\le k. יהי r המספר הטבעי המינימלי שעבורו f(r)>k, ויהי s\in\N המספר הטבעי המינימלי שעבורו f(s). בבירור r,s>0, וכן r\not=s. אם r>s, אז 0, ומהמינימליות של r נקבל f(s-r)\le k, ולכן f(r)-f(r-s)-f(s)>k-k+k=k, בסתירה לכך שf קוואזי-הומומורפיזם. אם s>r, אז 0, ומהמינימליות של s נקבל f(r-s)\ge -k, ולכן f(s)-f(s-r)-f(r), שוב בסתירה לכך שf קוואזי-הומומורפיזם. לכן תמיד אם f לא חיובית, -f חיובית.
# קיום איבר הופכי: אם [f]\not=0 חיובית, נגדיר g(n)=\min\{m\in\N|f(m)\ge n\}. נראה שמתקיים [f][g]=1: f(g(n))\ge n, לכן f(g(n))-n\ge0. מכיוון שf היא קוואזי-הומומורפיזם, נקבל f(g(n))-f(g(n)-1)-f(1)\le k. מכיוון שf(g(n)-1)>n (על פי ההגדרה), נקבל f(g(n))-n\le k+f(1). קיבלנו 0\le f(g(n))-n\le k+f(1), לכן קיים K\in\N כך ש|f(g(n))-I(n)|\le K. קיבלנו fg\sim I. לכן g=f^{-1}. אם f לא חיובית, נגדיר [f]^{-1}=-[-f]^{-1}.
* דיסטריבוטיביות: |f(g(n)+h(n))-f(g(n))-f(h(n))|\le k, לכן |(f(g+h))(n)-(fg+fh)(n)|\le k, כלומר f(g+h)\sim fg+fh.
נגדיר יחס סדר על השדה: [f]\le [g] אם ורק אם g-f חיובית. נראה כי ההגדרה לא תלויה בנציגים: נניח כי |f(n)-h(n)|\le k_1\ \ ,\ \ |g(n)-p(n)|\le k_2\ \ ,\ \ g(n)-f(n)\ge k_3. אז מתקיים p(n)-h(n)=p(n)-g(n)+g(n)-h(n)\ge-|p(n)-g(n)|+g(n)-f(n)+f(n)-h(n)\ge-k_2+k_3-|f(n)-h(n)|\ge-k_2+k_3-k_1. מעתה נוכל לדבר פשוט על f\le g, במקום [f]\le[g].

נראה כי זהו אכן יחס סדר מלא חלש:
* רפלקסיביות: f(n)-f(n)=0\ge0, לכן f\le f.
* אנטי-סימטריה: עלינו להראות כי אם f-g,g-f חיוביות, אז f\sim g. מספיק שנראה כי אם f,-f חיוביות, אז f\sim 0. נניח כי f(n)\ge k_1\ \ ,\ \ -f(n)\ge k_2 לכל n\in\N. אז מתקיים -k_2\le f(n)\le k_1, ואם נסמן k'=\max\{|k_1|,|k_2|\}, נקבל |f(n)|\le k לכל n\in\N. כעת עלינו להראות כי קיים k*</math> כך ש<math>|f(-n)|\le k* לכל n\in\N, ואז על ידי סימון K=\max\{k',k*\}</math> נקבל <math>|f(n)-0|\le K</math> לכל <math>n\in\Z</math>. קיים <math>k\in\Z</math> כך ש<math>|f(m+n)-f(m)-f(n)|\le k</math>, לכן <math>|f(-n)|\le|f(-n)+f(n)-f(0)|+|f(n)|+|f(0)|\le k+k'+|f(0)|:=k*.
* טרנזיטיביות: נניח כי g(n)-f(n)\ge k_1\ \ ,\ \ h(n)-g(n)\ge k_2 לכל n\in\N. אז לכל n\in\N מתקיים h(n)-f(n)=h(n)-g(n)+g(n)-f(n)\ge k_1+k_2, לכן f\le h.
נראה כי השדה הוא שדה סדור:
* איזוטוניות ביחס לחיבור: אם g-f חיובית, אז גם (g+h)-(f+h)=g-f חיובית, כלומר f+h\le g+h.
* איזוטוניות ביחס לכפל: מספיק שנראה כי אם f,g חיוביות, אז fg חיובית. נניח כי f(n)\ge k_1\ \ ,\ \ g(n)\ge k_2 לכל n\in\N. אם נגדיר h(n)=g(n)-k_2 נקבל שh\sim g, לכן מספיק שנראה כי fh חיובית. לכל n\in\N מתקיים h(n)=g(n)-k_2\ge0, כלומר h(n)\in\N, לכן (fh)(n)=f(h(n))\ge k_1.
לפני שנוכיח את שלמות השדה, נוכיח כי ניתן להגדיר את פונקציית הערך השלם על \R: יהי [f]\in\R כאשר קבוע האדיטיביות של f הוא k. מתקיים |1\cdot f(n)-n\cdot f(1)|\le2k, כלומר |f(n)|\le2k+|n||f(1)|\le(2k+|f(1)|)|n|:=m|n|. קיבלנו כי -mn\le f(n)\le mn לכל n\in\N, כלומר -m\le[f]\le m (במילים אחרות, \R ארכימדי). קיבלנו כי הקבוצה A:=\{n\in\Z|-m\le n\le[f]\} חסומה ולא ריקה, לכן ניתן להגדיר \lfloor[f]\rfloor=\max A. קל לראות שמתקיימות כל תכונות פונקציית הערך השלם.
כעת נוכיח כי השדה הוא שלם: תהי S\subseteq\R תת-קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל על ידי X. אם לS יש מקסימום, אז הוא האינפימום שלה. לכן נניח שלכל x\in S קיים y\in S כך שx. נגדיר f(n)=\begin{cases}\max\{\lfloor nx\rfloor|x\in S\}&n\ge0\\-f(-n)&\mathrm{else}\end{cases}.

נראה כי f היא קוואזי-הומומורפיזם: לכל n\in\N קיים x_n\in S כך שf(n)=\lfloor nx_n\rfloor, ואז לכל x\in S מתקיים \lfloor nx\rfloor\le \lfloor nx_n\rfloor. יהו m,n\in\N, ונגדיר x=\max\{x_n,x_m,x_{n+m}\}. מתקיים \lfloor nx_n\rfloor=\lfloor nx\rfloor\ ,\ \lfloor mx_m\rfloor=\lfloor mx\rfloor\ ,\ \lfloor (n+m)x_{n+m}\rfloor=\lfloor nx+mx\rfloor, כלומר f(n+m)-f(n)-f(m)=\lfloor nx+mx\rfloor-\lfloor nx\rfloor-\lfloor mx\rfloor. מתקיים 0\le nx-\lfloor nx\rfloor, לכן 0\le nx+mx-\lfloor nx\rfloor-\lfloor mx\rfloor. אם נפעיל את פונקציית הערך השלם על אי-השוויון, נקבל 0\le \lfloor nx+mx\rfloor-\lfloor nx\rfloor-\lfloor mx\rfloor, כלומר 0\le f(n+m)-f(n)-f(m). אם m,n, נקבל |f(m+n)-f(m)-f(n)|=|f(-m)+f(-n)-f(-m-n)|\le2. במקרה השלישי נוכל להניח כי m\ge0,n. אם m+n\le0, נגדיר a=m\ ,\ b=-m-n. אם m+n>0, נגדיר a=n+m\ ,\ b=-n. בשני המקרים מתקיים a,b\ge0, וכן |f(m+n)-f(m)-f(n)|=|-f(b)-f(a)+f(a+b)|\le2 במקרה הראשון, ו|f(m+n)-f(m)-f(n)|=|f(a)-f(a+b)+f(b)|\le2.

נגדיר s=[f]. נוכיח כי s הוא סופרמום: יהי x\in S. הנחנו כי לקבוצה S אין מקסימום, לכן יהי x. קל להשתכנע ש-\Q צפופה ב-\R, לכן קיימים M\in\Z,N\in\N כך שx. לכל n טבעי מתקיים f(Nn)=\max\{\lfloor Nnx\rfloor|x\in S\}\ge\lfloor Nny\rfloor\ge\lfloor Nn\frac{M}{N}\rfloor=\lfloor Mn\rfloor=Mn. נובע מכך בקלות שsN=[f]N=[n\mapsto f(Nn)]\ge[n\mapsto Mn]=M, לכן s\ge\frac{M}{N}>x, כלומר s חסם מלעיל של S.

כעת יהי y חסם מלעיל, ונניח בשלילה שy: שוב קיימים M\in\Z,N\in\N כך שy, כלומר Ny. מתקיים (sN)(n)=f(Nn), וכן M(n)=Mn, לכן מכך שM נקבל שעבור אינסוף ערכי n טבעיים, מתקיים f(Nn)>Mn. מצד שני, מתקיים f(Nn)=\lfloor Nnx\rfloor עבור x\in S כלשהו. מכיוון שNnx\le nNy, נקבל f(nN)=\lfloor Nnx\rfloor\le\lfloor Mn\rfloor=Nn, בסתירה לכך שf(Nn)>Mn. לכן s=\sup S.
### בניות נוספות
* שדה המספרים הסוריאליסטיים מכיל עותק של כל שדה סדור. מכך נובע שיש בו גם עותק של הממשיים. למעשה, ניתן להגדיר את שדה המספרים הממשיים כתת-השדה הארכימדי המקסימלי של שדה המספרים הסוריאליסטיים.
* כל מספר ממשי ניתן לייצג באמצעות שבר משולב אינסופי. כך, אם השבר המשולב המייצג מספר ממשי \alpha\in\R הוא a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2+\frac1{a_3+\cdots}}}, נוכל להגדיר את המספר \alpha להיות הסדרה (a_0,a_1,a_2,a_3,...). לכן \R תוכל להיות מוגדרת כאוסף האיברים \alpha\in\Z\times(\N^+)^\N, כאשר \N^+=\N\cup\{\omega\}, המקיימים שאם n ו\alpha_n=\omega, אז a_m=\omega. (הרעיון הוא שנגדיר \frac a\omega=0 לכל a\in\Z, ולכן גם שבר משולב סופי המייצג מספר רציונלי יוכל להפוך לשבר אינסופי, שמנקודה כלשהי והלאה כל האיברים בו הם \omega)
* את אי-השלמות של שדה הרציונליים ניתן לבטא בכך שהוא אינו מקיים את משפט החיתוך של קנטור, כלומר קיימות סדרות יורדות של קטעים לא ריקים \{[a_n,b_n]\}^\infty_{n=1} המקיימות \lim_{n\to\infty}|b_n-a_n|=0, אך למרות זאת \bigcap^\infty_{n=1}[a_n,b_n]=\emptyset. ניתן להגדיר את הממשיים כאוסף כל הסדרות האלו, תחת יחס שקילות מתאים.

## שקילות
כל שני מודלים של המספרים הממשיים (כלומר קבוצה עם פעולות וסדר המקיימת את האקסיומות לעיל) הם איזומורפיים, כלומר אם (\R_1,+_1,\cdot_1,\le_1),(\R_2,+_2,\cdot_2,\le_2) הם מודלים של המערכת, אז קיימת פונקציה f:\R_1\to\R_2 חד חד ערכית ועל כך שמתקיים:
* f(x+_1y)=f(x)+_2f(y)
* f(x\cdot_1y)=f(x)\cdot_2f(y)
* x\le_1y\Leftrightarrow f(x)\le_2f(y)
פונקציה מסוג זה נקראת **איזומורפיזם**.
### הוכחה
נקדים במעט תכונות הנכונות לכל מודל (\R,+,\cdot,\le) של המערכת:

בהינתן A,B\subseteq\R, נגדיר A+B=\{x+y|x\in A\land y\in B\}. אז מתקיים \sup(A+B)=\sup A+\sup B: נסמן s_A=\sup A,s_B=\sup B. אז לכל x\in A,y\in B מתקיים x\le s_A,y\le s_B, לכן x+y\le s_A+s_B, כלומר s_A+s_B חסם מלעיל של A+B. כעת נראה כי הוא החסם מלעיל הקטן ביותר: נניח בשלילה שM הוא חסם מלעיל. נגדיר \varepsilon=s_A+s_B-M>0. אז M=s_A+s_B-\varepsilon. מתקיים s_A-\frac\varepsilon2, לכן s_A-\frac\varepsilon2 אינו חסם מלעיל של A, כלומר קיים x\in A כך שs_A-\frac\varepsilon2. באותה דרך קיים y\in B כך שs_B-\frac\varepsilon2. לכן x+y>s_A+s_B-\varepsilon=M, בסתירה לכך שM חסם מלעיל של A+B. לכן \sup(A+B)=s_A+s_B=\sup A+\sup B.

השדה \R הוא ארכימדי, כלומר לכל x\in\R קיים n\in\N כך ש n>x. נראה זאת: נניח בשלילה שקיים X\in\R כך שלכל n\in\N מתקיים n\le X. אז הקבוצה \N חסומה מלעיל על ידי X, ולכן על פי תכונת השלמות (האקסיומה האחרונה) יש לה סופרמום, שיסומן s. לכן לכל n\in \N מתקיים n\le s ומכך שn+1\in\N נקבל גם n+1\le s, כלומר n\le s-1. כלומר s-1 הוא חסם מלעיל של \N. מהגדרת הסופרמום כחסם מלעיל הקטן ביותר נקבל s\le s-1. מתכונות הסדר נוכל לחסר s ולקבל 0\le-1. לכן ניתן לכפול ב-1 מבלי לשנות את הסדר (כפל במספר חיובי הוא שומר סדר, ראו באקסיומות), ונקבל 0=0\cdot-1\le-1\cdot-1=1, ואם נחסר 1 משני אגפי המשוואה נקבל -1\le0. היחס \le הוא יחס סדר חזק, לכן 0=-1, ולכן 1=0, בסתירה לכך שבהגדרת השדה דורשים 0\neq1.

כעת נגדיר את פונקציית הערך השלם על \R. למעשה ניתן להגדיר באותה דרך על כל שדה ארכימדי (\mathbb A,+,\cdot,\le): יהי x\in\mathbb A. מתכונות הארכימדיות נובע כי קיים n\in\N כך ש|x| (כאשר |x|=\max\{x,-x\}), כלומר -n. לכן הקבוצה \{m\in\Z|-n\le m\le x\} חסומה מלעיל על ידי n ומלרע על ידי -n, וכקבוצה חסומה של מספרים שלמים, היא סופית. לכן יש לה מקסימום, שיסומן \lfloor x\rfloor. זהו המספר השלם המקסימלי שאינו גדול מx. (כי כל איבר בקבוצה \{m\in\Z|m\le x\} הוא בקבוצה \{m\in\Z|-n\le m\le x\}, או קטן מ-n, ובשני המקרים מתקיים n\le\lfloor x\rfloor). נשים לב שמתקיים \lfloor x\rfloor\le x (החלק השמאלי נובע ממהגדרה, והימני מכך שאם \lfloor x\rfloor+1\le x, אז \lfloor x\rfloor+1\in\{n\in\Z|n\le x\}, ולכן \lfloor x\rfloor+1\le \lfloor x\rfloor).

כעת נראה כי \Q צפופה ב\R. גם תכונה זו נכונה לכל שדה ארכימדי \mathbb A: יהו x,y\in\mathbb A,x. אז מתקיים y-x>0. מהארכימדיות קיים n\in\N כך ש\frac1{y-x}, כלומר ny-nx>1, או במילים אחרות nx+1. נגדיר m=\lfloor nx\rfloor+1. אז מתקיים m>nx, וכן m=\lfloor nx\rfloor+1\le nx+1, כלומר nx, ולכן x.

לכל מודל (\R,+,\cdot,\le) ולכל תת-קבוצה חסומה ולא ריקה \empty\neq S\subseteq\R, נסמן ב\sup_\R S את הסופרמום של S ב\R (שקיים על פי אקסיומת השלמות). בנוסף, לכל x\in\R נסמן C_x=\{q\in\Q|q. נשים לב שקבוצה זו תמיד חסומה (על ידי x) ולא ריקה.

כעת ניגש להוכיח את השקילות בין שני מודלים (\R_1,+_1,\cdot_1,\le_1),(\R_2,+_2,\cdot_2,\le_2): נגדיר f:\R_1\to\R_2 על פי f(x)=\sup_{\R_2}C_x. נראה כי זו פונקציה חד-חד-ערכית ועל: נגדיר g:\R_2\to\R_1 על פי g(x)=\sup_{\R_1}C_x. נראה שמתקיים g\circ f=I_{\R_1},f\circ g=I_{\R_2}: לכל x\in\R_1 מתקיים g(f(x))=\sup_{\R_1}C_{f(x)}=\sup_{\R_1}C_{\sup_{\R_2}C_x}. לכל q\in C_{\sup_{\R_2}C_x} מתקיים q, כלומר q אינו חסם מלעיל של C_x, ולכן קיים p\in C_x כך שq. מההגדרה של C_x נקבל p, ולכן q, כלומר q. לכן x חסם מלעיל של C_{\sup_{\R_2}C_x}. כעת נראה שהוא חסם עליון: נניח בשלילה כי y הוא חסם של
C_{\sup_{\R_2}C_x}. אז מהצפיפות של \Q ב\R_1 נקבל שקיים q\in\Q כך שy. מכך שq נקבל q\in C_x, לכן q, כלומר q\in C_{\sup_{\R_2}C_x}, ומכיוון שy הוא חסם מלעיל של C_{\sup_{\R_2}C_x}, נקבל q\le_1 y, בסתירה לכך שy. לכן x=\sup_{\R_1}C_{\sup_{\R_2}C_x}=g(f(x)). באותה דרך מתקיים f(g(x))=x לכל x\in\R_2. לכן g\circ f=I_{\R_1},f\circ g=I_{\R_2}, כלומר g=f^{-1}, ובפרט f פונקציה הפיכה, ולכן חד-חד-ערכית ועל.

כדי להראות כי f(x+_1y)=f(x)+_2f(y), נוכיח קודם כל כי בכל מודל \R מתקיים C_{x+y}=C_x+C_y:=\{p+q|p\in C_x\land q\in C_y\}: יהי p+q\in C_x+C_y. אז p. לכן p+q, כלומר p+q\in C_{x+y}. יהי q\in C_{x+y}. אז x+y-q>0, ומצפיפות הרציונליים בממשיים נקבל שקיים p\in\Q כך ש-0. בפרט p>0, כלומר x-p, לכן קיים r\in\Q כך ש-x-p. נגדיר s=q-r. אז s=q-r, וכן q=q-r+r=s+r, לכן q\in C_x+C_y. לכן מתקיים f(x+_1y)=\sup_{\R_2}C_{x+_1y}=\sup_{\R_2}(C_x+C_y)=\sup_{\R_2}C_x+_2\sup_{\R_2}C_y=f(x)+_2f(y).

כעת נראה כי f(x\cdot_1y)=f(x)\cdot_2f(y): לכל מודל \R ולכל x\ge0, נסמן P_x=C_x\setminus C_0. קל לראות כי \sup P_x=\sup C_x. כעת לכל x,y\ge0, נראה כי מתקיים P_{xy}=P_xP_y:=\{pq|p\in P_x\land q\in P_y\}. אם pq\in P_xP_y, אז 0\le p, לכן 0\le pq. כלומר P_xP_y\subseteq P_{xy}. אם 0\le p, אז 0\le p, לכן \frac py, ומצפיפות הרציונלים נקבל שקיים q\in\Q כך ש\frac py. נגדיר r=\frac pq. אז r, וכן q, וגם p=q\frac pq=qr, לכן p\in P_xP_y. כלומר P_{xy}=P_xP_y. יהי pq\in P_{xy}. אז p\in P_x,q\in P_y, לכן p\le_2\sup_{\R_2}P_x=f(x),q\le_2\sup_{\R_2}P_y=f(y), כלומר pq\le_2 f(x)\cdot_2f(y). לכן f(x)\cdot_2f(y) חסם מלעיל של P_{xy}. כעת יהי 0\le_2s. אז \frac{f(x)\cdot_2f(y)}{s}>_21, לכן s':=\sqrt\frac{f(x)\cdot_2f(y)}{2}>_21, כלומר \frac{f(x)}{s'}, לכן \frac{f(x)}{s'},\frac{f(y)}{s'} שניהם אינם חסמים מלעיל של P_x,P_y בהתאמה, לכן קיימים p\in P_x,q\in P_y כך ש\frac{f(x)}{s'}, לכן s=\frac{f(x)\cdot_2f(y)}{\frac{f(x)\cdot_2f(y)}{s}}=\frac{f(x)\cdot_2f(y)}{s'\cdot_2s'}=\frac{f(x)}{s'}\cdot_2\frac{f(y)}{s'}, כלומר s אינו חסם עליון של P_{xy} (כי pq\in P_xP_y=P_{xy}), לכן f(x)\cdot_2f(y) הוא החסם מלעיל הקטן ביותר של P_{xy}, כלומר f(x)\cdot_2f(y)=\sup_{\R_2}P_{xy}=f(x\cdot_1y). אם x,y, אז מתכונות בסיסיות של הומומורפיזמים של חבורות, נקבל f(-x)=-f(x), לכן f(x\cdot_1y)=f(-x\cdot_1-y)=f(-x)\cdot_2f(-y)=f(x)\cdot_2f(y). אם x (או ההפך, באותה דרך), נקבל f(x\cdot_1y)=f(-(-x)\cdot_1y)=-f(-x\cdot_1y)=-f(-x)\cdot_2f(y)=f(x)\cdot_2f(y).

כעת נראה כי מתקיים x\le_1y\Leftrightarrow f(x)\le_2f(y): מתכונת החד-חד-ערכית נקבל כי x=y\Leftrightarrow f(x)=f(y), לכן מספיק להוכיח כי x. נניח כי x. אז מהצפיפות נקבל שקיים q\in\Q כך שx. לכן q\in C_y\setminus C_x. כלומר q. כעת נניח בשלילה q. אז q אינו חסם מלעיל של C_x, כלומר קיים p כך שq. לכן q, בסתירה להגדרת q. לכן f(x)\le_2q. כעת נניח כי f(x). נניח בשלילה x\ge_1y. אז מתקיימת אחת מהאפשרויות x=y\ \ ,\ \ x>_1y, כלומר f(x)=f(y)\ \ ,\ \ f(x)>_2f(y), בסתירה לכך שf(x). לכן x.

למעשה, בהינתן שדה ארכימדי \mathbb A, הפונקציה f(x)=\sup_{\R}C_x היא שיכון של \mathbb A לתוך \R.

## הערות שוליים

קטגוריה:מספרים ממשיים