מצב קוונטי

**מצב קוונטי** הוא אוסף פרמטרים של מערכת במכניקת הקוונטים. ישנן מספר דרכים מתמטיות ליצג מצב קוונטי, כשנפוצות ביותר הן פונקציית גל, וקטור מצב ומטריצת צפיפות, ומספר דרכים לרשום אותו כשהדרך הנפוצה ביותר היא סימון דיראק: | \psi \rangle. עקב התכונות הייחודיות של מכניקת הקוונטים, מצב של מערכת קוונטית שונה מבחינות רבות ממערכת קלאסית. לדוגמה, עקרון הסופרפוזיציה הקוונטית קובע שמצב קוונטי יכול להיות צירוף של מספר מצבים קוונטיים אחרים בו-זמנית.

## משמעות המושג
המצב הקוונטי נותן תיאור מלא של כל המשתנים הדינמיים של מערכת, כשכל האפיונים הקבועים שלה נתונים. לדוגמה, המצב של חלקיק יתאר את מיקומו ואת התנע שלו בהנחה שמסתו ידועה. במכניקת הקוונטים כל מידע (על המשתנים הדינמיים) נמצא במצב הקוונטי, אך ידיעת המצב אינה בהכרח מאפשרת ליחס ערך ודאי למשתנים אלו, בשל עקרון האי-ודאות. קביעה זו נובעת מהתיאור של מכניקת הקוונטים את המציאות. בתיאור זה משתנה של מערכת יכול להיות בסופרפוזיציה של ערכים ואין משמעות הדבר שיש לו את אחד הערכים אך הוא לא ידוע. לדוגמה חלקיק הנמצא בסופרפוזיציה של מיקומים שונים אינו שקול לחלקיק הנמצא באחד מהמיקומים אך איננו יודעים באיזה.

### מדידות

מצב קוונטי משמש לניבוי והסבר של תופעות פיזיקליות רבות הנצפות בניסויים. הקשר בין המצב לתוצאות המדידות נתון על ידי חוק בורן, שנותן את ההסתברות לתוצאה מסוימת לפי המצב הקוונטי. כלומר, אם משתנה כלשהו נמצא בסופרפוזיציה של ערכים שונים, לא ניתן לדעת מה יהיה הערך שיתקבל כשהוא ימדד, אלא רק את הסיכוי לקבל כל ערך. מכך גם נובע שלא ניתן למדוד את המצב הקוונטי ישירות, כלומר, אין דרך לחלץ את כל המידע על מצבה של מערכת בודדת.

### משתנים חבויים

טִבעה החדשני של מכניקת הקוונטים הניע פיזיקאים לחשוב שקיים מידע נוסף שאינו נכלל במצב הקוונטי. סוג זה של מידע נקרא משתנים חבויים. ההנחה היא שישנו תיאור בסיסי יותר של המערכת באמצעות משתנים אחרים האומר מהו המצב האמיתי וממנו יהיה ניתן להסיק בוודאות את תוצאות כל מדידה. בגישה זאת, המצב הקוונטי הוא רק תיאור אפקטיבי הנובע מכך שאיננו יודעים את המשתנים החבויים ואת החוקים המנחים אותם. בעקבות משפט בל התברר שכדי שמשתנים חבויים יתאימו לתורת הקוונטים הם אינם יכולים לקיים את עקרון המקומיות.

## הצגה וסימונים
כדי לתאר מערכת צריך אוסף מספרים לפי כמות דרגות החופש של המערכת, כך שכל אוסף כזה יכול לייצג את המצב הקוונטי. דוגמאות לאוספים כאלו המסודרים במבנה מתמטי הן וקטור מצב, פונקציית גל, מטריצת צפיפות, שתי הזוויות של כדור בלוך או שני מספרים, m ו-l, המציינים את התנע הזוויתי.

פעמים רבות כתיבת המספרים, גם בצורת משתנים או וקטור, היא מסורבלת ואינה תורמת להבנת הרעיון או החישוב הנידונים ולכן סימון דיראק, המיצג מצב קוונטי כללי ללא פרטים שאינם נחוצים, הוא שימושי למדי. סימון זה גם תואם את הפורמליזם הנפוץ של מכניקת הקוונטים.

## מצבי בסיס
ניתן לבטא כל מצב קוונטי |\psi\rangle כצירוף ליניארי (סופרפוזיציה) של מצבי בסיס
|k_i\rangle
:| \psi \rangle = \sum_i c_i | k_i \rangle
כאשר  c_i הם הקבועים המייצגים את המשרעת (האמפליטודה), וריבוע הערך המוחלט של האמפליטודה, \left | c_j \right | ^2 הוא ההסתברות שבמדידה בבסיס |k_i\rangle המערכת תימצא במצב k_j.

תנאי הנירמול של פונציית הגל מכתיב שסך ההסתברויות יהיה שווה 1:
:\sum_i \left | c_i \right | ^2 = 1.

בסיס פשוט להבנה הוא הבסיס העולה מחקר מתנדים הרמוניים קוונטיים. במערכת זו לכל מצב בסיס |n\rangle יש אנרגיה
: E_n = \hbar \omega \left(n + {\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}}\right).

את שאר מצבי הבסיס ניתן לקבל על ידי אופרטורי יצירה והשמדה  (מסומנים כ־\hat{a}^\dagger ו־\hat{a}, בהתאמה):
:a^{\dagger}|n\rangle=c_{n,n+1}|n+1\rangle, \quad a|n\rangle=c_{n,n-1}|n-1\rangle 
כאשר  c_{n,n\pm 1} הם קבועים המשמשים לנירמול.

## מצבים עצמיים
מצב עצמי הוא מצב של המערכת שאינו משתנה תחת הפעלת אופרטור מסוים. בניסוח אלגברי, מצב עצמי הוא וקטור עצמי של האופרטור. המצבים העצמיים של אופרטור הרמיטי מהווים בסיס שלם, כך שאפשר לפרוס כל מצב של המערכת בעזרת צירוף ליניארי שלהם.

### הגדרה פורמלית
בהינתן אופרטור \hat A, המצב |\psi\rang \neq 0 יקרא מצב עצמי של \hat A אם קיים מספר מרוכב  \lambda כך ש:
:\hat A| \psi\rang = \lambda |\psi \rang

המספר המרוכב  \lambda נקרא ערך עצמי של \hat A.

עבור אופרטור הרמיטי מתקיים כי הערכים עצמיים  \lambda_i ממשיים וכל המצבים העצמיים |i\rang של האופרטור ההרמיטי מהווים בסיס אורתונורמלי ושלם.

### דוגמאות
משוואת שרדינגר היא משוואה שבאמצעותה ניתן למצוא את המצבים העצמיים של אופרטור האנרגיה (ההמילטוניאן). פתרונות המשוואה הם המצבים העצמיים של ההמילטוניאן, והם מצבים שאינם משתנים בזמן, כלומר מצבים יציבים, והערכים העצמיים של האופרטור הם ספקטרום האנרגיה של מצבי המערכת.

דוגמה אחרת היא אופרטור מדידת התנע הזוויתי. המצבים העצמיים שלו הם הפתרונות של מצבים שאינם משתנים לאחר סיבוב, כלומר מצבים בעלי סימטריה כדורית, ונקראים הרמוניות ספריות (כדוריות).

במודל אטום המימן, האורביטלים (הקליפות האלקטרוניות) הם מצבים עצמיים של ההמילטוניאן ושל אופרטור התנע הזוויתי (מכיוון שהוא איזוטרופי, כלומר סימטרי לסיבובים).

## מצבים טהורים ומעורבים
מצב טהור הוא מצב שניתן לתיאור כווקטור יחיד או כסכום של וקטורי בסיס. מצב מעורב הוא מצב המורכב מהתפלגות סטטיסטית של מצבים טהורים, כלומר מצב שאינו סופרפוזיציה של מצבי בסיס, אלא שהוא אחד מתוך התפלגות סטטיסטית של מצבים.

התוחלת  \langle a \rangle של גודל מדיד  A עבור מערכת במצב טהור  |\psi\rangle ניתן על ידי

\langle a \rangle = \langle \psi | A | \psi \rangle = \sum_i a_i \langle \psi | \alpha_i \rangle \langle \alpha_i | \psi \rangle = \sum_i a_i | \langle \alpha_i | \psi \rangle |^2 = \sum_i a_i P(\alpha_i)

כאשר  |\alpha_i\rangle הם מצבים עצמיים של האופרטור  A, ו- P(\alpha_i) היא ההסתברות שבמדידת מערכת במצב  | \psi \rangle, תוצאת המדידה תהא  a_i  והמערכת תהא במצב
 |\alpha_i\rangle.

כדי לתאר התפלגות סטטיסטית של מצבים טהורים, כלומר מצב מעורב, יש להשתמש במטריצת צפיפות,  \rho. בכך מורחבת מכניקה קוונטית למכניקה סטטיסטית קוונטית. מטריצת צפיפות מוגדרת כך:

\ \rho = \sum_s p_s | \psi_s \rangle \langle \psi_s |

כאשר  p_s הוא שבר של כל צבר במצב  |\psi_s\rangle. הממוצע מעל הצבר של מדידת הגודל
A על המערכת במצב מעורב הוא:

\left [ A \right ] = \langle \overline{A} \rangle = \sum_s p_s \langle \psi_s | A | \psi_s \rangle = \sum_s \sum_i p_s a_i | \langle \alpha_i | \psi_s \rangle |^2 = tr(\rho A)

מתרחשים כאן שני סוגי ממוצעים – האחד הוא הממוצע מעל הבסיס הווקטורי של המצבים הטהורים, והשני הוא הממוצע הסטטיסטי מעל הצבר של המצבים הטהורים.

## ראו גם
* מכניקה קוונטית
* מתנד הרמוני קוונטי
* סימון דיראק
* בסיס אורתונורמלי
* פונקציית גל
* אמפליטודה
* מטריצת צפיפות
* קיוביט

## קישורים חיצוניים
* Eigenstates and eigenvalues in Quantum Mechanics: An intermediate level course, Prof. Richard Fitzpatrick, University of Texas, Austin
* [הרצאה של [אהרון או'קונל]]

## הערות שוליים

קטגוריה:מכניקת הקוונטים