נוסחת בתה

**נוסחת בתה** או **נוסחת בתה-בלוך** מתארת את אובדן האנרגיה הממוצע ליחידת מרחק של חלקיקים טעונים קלים (פרוטונים, חלקיקי אלפא, יונים אטומיים) החוצים תווך חומרי (במינוח מדויק, הנוסחה מתארת את כוח העצירה של התווך). בעבור אלקטרונים אובדן האנרגיה מתנהג בצורה שונה אודות למסה הקטנה שלהם (המצריכה תיקונים יחסותיים), כשבנוסף לכך המסה הקטנה שלהם פירושה שהם חווים תאוצות גדולות יותר ולכן גם מאבדים הרבה יותר אנרגיה דרך קרינת בלימה, כך שהביטוי המתאר את אובדן האנרגיה מכיל איברים נוספים המתחשבים באפקט הקרינתי. חלקיקים טעונים מהירים הנעים דרך חומר מקיימים אינטראקציה עם האלקטרונים של האטומים בחומר. אינטראקציה זאת מעוררת או מייננת את האטומים, מה שמוביל לאובדן אנרגיה של החלקיק הנע.

תקפותה של נוסחת בתה הוכחה תאורטית וניסיונית עבור מנעד רחב מאוד של מהירויות, החל ממהירויות לא יחסותיות ועד למהירויות אולטרה-יחסותיות. עם זאת, היא אינה תקפה עבור מהירויות נמוכות מדי, כאלו שבהן האנרגיה הקינטית של החלקיק הנע היא ברת-השוואה לאנרגיית העירור הממוצעת *I*, ומשום שאז החלקיק אינו מסוגל כמעט לעורר/ליינן אטומים בדרכו וההנחות עליהן מבוסס החישוב כולו קורסות.

נוסחה קלאסית לא-יחסותית לתיאור אובדן האנרגיה נמצאה על ידי נילס בוהר ב-1913 (תיאור חלקי של עקרונות הפיתוח של בוהר מובא בהמשך הערך). גרסה קוונטית לא-יחסותית של הנוסחה נמצאה על ידי הנס בתה ב-1930, והגרסה הקוונטית היחסותית (מוראית למטה) נמצאה על ידו ב-1932.

## הנוסחה
ממוזער|left|400px|כוח העצירה המופעל על פרוטונים על ידי אלומיניום כפונקציה של אנרגיית הפרוטונים. באיור מוצג גרף של נוסחת בתה בלי (באדום) ועם (בכחול) תיקונים. הנקודות מייצגות נתונים ניסיוניים.
בעבור חלקיק בעל מהירות *v*, מטען *z* (ביחידות של מטען האלקטרון), ואנרגיה *E*, הנע מרחק *x* לתוך מטרה עם צפיפות מספרית של אלקטרונים *n* ואנרגיית עירור ממוצעת *I* (להסבר ראו למטה), הגרסה היחסותית של הנוסחה היא (במערכת היחידות SI):
:- \left\langle\frac{dE}{dx}\right\rangle = \frac{4 \pi}{m_e c^2} \cdot \frac{nz^2}{\beta^2} \cdot \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \cdot \left[\ln \left(\frac{2m_e c^2 \beta^2}{I \cdot (1-\beta^2)}\right) - \beta^2\right]

כאשר *c* היא מהירות האור, *ε*0 הוא המקדם הדיאלקטרי של הריק, \beta = \frac{v}{c} , ו-*e* ו-*m<sub>e</sub>* הם מטען האלקטרון ומסת המנוחה שלו בהתאמה.

צפיפות האלקטרונים הנפחית *n* של החומר ניתנת לחישוב בנוסחה

:n=\frac{N_{A}\cdot Z\cdot\rho}{A\cdot M_{u}}\,,

כאשר *ρ* היא צפיפות התווך, *Z* המספר האטומי שלו, *A* המסה האטומית היחסית שלו, *N<sub>A</sub>* הוא מספר אבוגדרו ו-*M<sub>u</sub>* קבוע המסה המולרי.

בעבור אנרגיות נמוכות ומהירויות לא יחסותיות, כלומר כאשר *β* - \frac{dE}{dx} = \frac{4 \pi nz^2}{m_e v^2}
\cdot \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2
\cdot \left[\ln \left(\frac{2m_e v^2 }{I}\right)\right].

ניתן לראות שבאנרגיות נמוכות, אובדן האנרגיה לפי נוסחת בתה פוחת בקירוב כמו *v*−2 עם העלייה באנרגיה. עובדה זאת ניתן להסביר אינטואיטיבית בכך שחלקיקים איטיים חשים את הכוח החשמלי של אלקטרונים באטומים למשך זמן ארוך יותר, כך שהמתקף שהם מפעילים גדול יותר.
### אנרגיית העירור הממוצעת
[300px|ממוזער|אנרגיית העירור הממוצעת ''I'' של אטומים, בתלות במספר האטומי ''Z'', מחולקת ב-''Z'', ביחידות [אלקטרון וולט.]]
בתאוריה של בתה, התווך החומרי מאופיין באופן מלא על ידי מספר יחיד, שהוא אנרגיית העירור הממוצעת *I*. ב-1933, פליקס בלוך הראה שאנרגיית העירור הממוצעת של אטומים ניתנת לקירוב על ידי:

: I = (10~\mathrm{eV}) \cdot Z

כאשר *Z* המספר האטומי של האטומים של החומר. אם קירוב זה מוכנס לנוסחת בתה, אז הביטוי המתקבל נקרא *נוסחת בתה-בלוך*. מכיוון שכיום ישנן בספרות המדעית טבלאות מדויקות של *I* כפונקציה של *Z*, השימוש בטבלאות כאלה יניב תוצאות טובות יותר מאשר נוסחת בתה-בלוך.

האיור משמאל מציג ערכים מנורמלים של *I*, הלקוחים מתוך טבלה. השיאים והעמקים בתרשים מובילים בהתאמה לעמקים ושיאים בכוח העצירה. תנודות אלו מכונות "תנודות-*Z<sub>2</sub>*" או "*מבנה-Z<sub>2</sub>*" (כאשר *Z<sub>2</sub>* = *Z* משמעו המספר האטומי של המטרה).

## המנגנון הפיזיקלי וגזירה (חלקית) של הנוסחה

חלקיק טעון מהיר החולף דרך חומר מעורר ומיינן מספר רב של אטומים בדרכו; לכל אחד מתהליכי העירור (התואמים למעבר בין רמות אנרגיה אלקטרוניות) והיינון האפשריים ישנו חתך פעולה והסתברות משלו, כך שחישוב קוונטי מדויק של האנרגיה שמאבד החלקיק בממוצע כרוך בהכרח בסכימה אינסופית על כל מצבי העירור האפשריים (זהו סכום בדיד) או באינטגרציה (סכום רציף) על מצבי היינון האפשריים (בשיקולים אלו אכן נעשה שימוש בתאוריית בתה-בלוך המקורית).

עם זאת, ניתוח מתמטי קלאסי, המבוסס על התאוריה של פיזור רתרפורד, מסייע מאוד להבנת חלק ממאפייני הנוסחה, ואף מאפשר לקבל במדויק את המקדם של הלוגריתם בנוסחה. בפיזור רתרפורד, חלקיק טעון קל יחסית (בהשוואה לחלקיק המטרה, המשמש כמרכז פיזור) מפוזר קולומבית בהשפעת הכוח החשמלי בין החלקיק לגרעין המטרה. המידה בה נרתע חלקיק המטרה בהתנגשות אלסטית (רתיעה זאת נמדדת באנרגיה הקינטית של חלקיק המטרה בסיום ההתנגשות, שכן מניחים שהוא נייח בתחילתה) יחסית הפוך למסתו m - שכן התנע  \Delta p המועבר אליו תלוי רק באינטראקציה החשמלית (שתלויה במטעני החלקיקים ולא במסותיהם) כך ששינוי האנרגיה הקינטית שלו (שהוא גם האנרגיה שמאבד החלקיק הפוגע) הוא  \Delta E =\frac{(\Delta p)^2}{2m}.

עובדות אלו מסבירות מדוע עיקר האנרגיה שהחלקיק מאבד בעוברו בתווך נגרמת מאינטראקציה שלו עם האלקטרונים בקליפות האטומים (מה שמסביר למה מסת האלקטרון m_e – ולא מסת גרעיני האטומים – היא שמופיעה בנוסחת בתה) – גרעין האטום כבד אלפי מונים מהאלקטרונים, כך שבגלל התלות ההפוכה במסת חלקיק המטרה נובע שהחלקיק מאט בעיקר כתוצאה מהאינטראקציה שלו עם האלקטרונים. בעזרת חישוב אינטגרל המתקף-תנע שמעביר החלקיק הפוגע לחלקיק המטרה (האלקטרון), ניתן להראות שהאלקטרון נרתע באנרגיה קינטית שערכה:
:\Delta E = \frac{1}{2m_e}(\frac{2Kze^2}{bv})^2=\frac{2z^2}{m_e v^2 b^2}(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0})^2

כאשר v מהירות החלקיק הפוגע ו-b הוא פרמטר הפגיעה. זוהי האנרגיה שמאבד החלקיק בהתנגשות יחידה; אף על פי כן, האינטראקציה האלקטרומגנטית היא ארוכת-טווח, מה שאומר שבכל רגע נתון החלקיק מוסר אנרגיות לאלקטרונים רבים. ניתן לדמות את המרחב שמסביב למסלול החלקיק כמורכב מאינסוף פרוסות גליליות ברדיוס *b* ועובי *db* ; אובדן האנרגיה הממוצע ליחידת מרחק *x* יתקבל אז מסכימה של האנרגיה \Delta E שנמסרת לאלקטרונים בכל אחת מהפרוסות הללו, או מאינטגרציה לפי *b* של מכפלת הצפיפות האלקטרונית הנפחית *n*, בנפח הפרוסה (2\pi b)db x, באנרגיה שנמסרת לכל אחד מהאלקטרונים, כלומר:
: - \frac{dE}{dx} = \int_{b_{min}}^{b_{max}} n \Delta E(b) 2\pi b db = n \int_{b_{min}}^{b_{max}} \frac{2z^2 (2\pi b)}{m_e v^2 b^2}(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0})^2 db = (\frac{4\pi n z^2}{m_e v^2})(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0})^2\int_{b_{min}}^{b_{max}}\frac{db}{b} = (\frac{4\pi n z^2}{m_e v^2})(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0})^2 \mathbb{ln}(\frac{b_{max}}{b_{min}}) 

(חילקנו כאן בגובה הגליל *x*). קיבלנו איפה ביטוי מהצורה A\cdot \mathbb{ln}(\frac{b_{max}}{b_{min}}), התואם לצורה הפונקציונלית של נוסחת בתה, וגם המקדם *A* של הלוגריתם זהה. ניתן לראות שהכרחי לקבוע גבולות b_{min},b_{max} לטווח האינטראקציה של החלקיק, אחרת האינטגרל יתבדר. מכיוון שהאינטראקציה החשמלית נחלשת עם המרחק, ברור שבמרחק גדול מספיק האנרגיה שנמסרת לכל אלקטרון תהיה ברת השוואה ואף קטנה יותר מאנרגיית העירור הממוצעת *I*, כך שהעובדה שהאלקטרונים נמצאים במצב קשור משחקת תפקיד (במכניקת הקוונטים, חלקיק קשור יכול לקבל אנרגיה רק במנות בדידות). הגבול העליון של האינטגרל חייב לפיכך להיות יחסי הפוך לאנרגיית העירור הממוצעת *I*, שכן ככל שהיא קטנה יותר כך טווח האינטראקציה המייננת גדול יותר. שיקולים אלו מסבירים מדוע נוסחת בתה היא מהצורה

:- \frac{dE}{dx} =(\frac{4\pi n z^2}{m_e v^2})(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0})^2 \mathbb{ln}(\frac{B}{I}) 

כאשר *B* קבוע כלשהו בעל יחידות של אנרגיה.

## קישורים חיצוניים

* The Straggling function. Energy Loss Distribution of charged particles
* Original Publication: Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie in "Annalen der Physik", Vol. 397 (1930) 325 -400
* Passage of charged particles through matter, with a graph
* Stopping power for protons and alpha particles
* Stopping Power graphs and data
* Recent numerical solutions


## הערות שוליים

קטגוריה:פיזיקה גרעינית