מכפלה סקלרית

**מכפלה סקלרית** היא פעולה על שני וקטורים מהמרחב האוקלידי \mathbb{R}^n שמחזירה סקלר (ומכאן שמה). המכפלה הסקלרית מהווה מכפלה פנימית במרחב האוקלידי.

## הגדרה פורמלית
המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים \vec \alpha , \vec \beta, מסומנת על ידי \vec \alpha \cdot \vec \beta (יש ספרים המשתמשים בנקודת כפל עבה יותר, ולכן באנגלית מכפלה זו נקראת **Dot product**).

כשם שניתן לתאר וקטור במרחב באמצעות סדרת קואורדינטות או באמצעות אורכו וכיוונו, כך גם קיימות שתי הגדרות (שקולות) למכפלה הסקלרית המשתמשות במאפיינים אלה.

### ההגדרה הגאומטרית
שמאל|ממוזער|150px
יהיו שני וקטורים \vec \alpha,\vec \beta. מכפלתם הסקלרית שווה למכפלת אורכיהם (להכללת מונח האורך, עיינו בערך נורמה) וקוסינוס הזווית שביניהם. בסימנים:
:\vec \alpha\cdot\vec \beta=\|\mathbf{\alpha}\|\|\mathbf{\beta}\|\cos (\alpha , \beta ).

בניגוד לזווית בין ישרים, שאינה יכולה לעלות על 90 מעלות, הזווית בין וקטורים יכולה גם להיות קהה ואז המכפלה הסקלרית תהיה שלילית.

### ההגדרה האלגברית
במרחב וקטורי העמודה/שורה יהיו שני וקטורים מהצורה –
:\vec \alpha=(a_1, ..., a_n)
:\vec \beta=(b_1, ..., b_n)
מכפלתם הסקלרית תוגדר על ידי
:\lang \alpha ,\beta \rang = a_{1}b_{1} + \dots + a_{n}b_{n}

הגדרה זו כללית יותר מההגדרה הגאומטרית, כיוון שניתן להכלילה לממדים גדולים מ-3, שם מושג ה**זווית** בין הווקטורים טעון הגדרה. למעשה ניתן להגדיר זווית בעזרת המכפלה הפנימית. כיוון שאי שוויון קושי-שוורץ מבטיח כי בכל ממד מתקיים 
\left| \vec \alpha \cdot \vec \beta \right| \le \left| \vec \alpha  \right|\cdot \left| \vec \beta \right|, ניתן להגדיר

\cos \theta \,\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\, \frac{\vec \alpha \cdot \vec \beta}.

תמיד ישנה זווית המקיימת משוואה זו, כיוון שהמנה תמיד קטנה או שווה בערכה המוחלט ל-1.

במקרה הפרטי של קואורדינטות קרטזיות במרחב תלת־ממדי, המכפלה הסקלרית נתונה על ידי
:\left( \alpha_x \hat{x} + \alpha_y \hat{y} + \alpha_z \hat{z} \right) \cdot \left( \beta_x \hat{x} + \beta_y \hat{y} + \beta_z \hat{z} \right) = \alpha_x \beta_x + \alpha_y \beta_y + \alpha_z \beta_z 
נוסחה זו נכונה עבור כל בסיס אורתונורמלי.

## תכונות ומאפיינים

המכפלה הסקלרית היא ביליניארית (כלומר, \vec A \cdot (\vec B +\vec C) = \vec A \cdot \vec B + \vec A \cdot \vec C  ולכל סקלר t, (t\vec A) \cdot \vec B = t(\vec A \cdot \vec B) ) סימטרית (כלומר \vec A \cdot \vec B = \vec B \cdot \vec A ).

מכפלה סקלרית של שני וקטורים היא 0 אם ורק אם הם ניצבים זה לזה, כיוון ש-\cos 90^\circ =0. ההכללה של תכונה זו במרחבי מכפלה פנימית כלליים היא האורתוגונליות (ביוונית, אורתוגונלי משמעו ניצב). כאשר המכפלה הפנימית בין שני וקטורים מתאפסת, הם נקראים וקטורים **אורתוגונליים**, או **ניצבים**.

## משמעות

מכפלה סקלרית של וקטור מסוים בווקטור יחידה נותנת את ההטלה של הווקטור המסוים על אותו כיוון: ההיטל של וקטור \vec{B} על \hat{A} נתון על ידי \mbox{Projection} = ( \hat{A} \cdot \vec{B} ) \hat{A} כאשר ה"כובע" מסמן וקטור יחידה.

## שימושים

בפיזיקה, עבודה של כוח קבוע שווה למכפלה הסקלרית של הכוח בהעתק.

בתוכנה, ניתן לבדוק כמה קרובים שני וקטורים נורמלים (באורך 1) להצביע לאותו הכיוון לפי המכפלה הסקלרית שלהם.

## ראו גם
* מרחב וקטורי
* מכפלה פנימית (הכללה של מכפלה סקלרית)
* מכפלה וקטורית (מכפלה מסוג שונה ב-\mathbb{R}^3)
* מכפלה מעורבת (מכפלה סקלרית של וקטור במכפלה וקטורית של שני וקטורים אחרים).
* דיברגנץ

## קישורים חיצוניים

* 

קטגוריה:אלגברה ליניארית
קטגוריה:אנליזה וקטורית
קטגוריה:כפל