מידה מרוכבת

בתורת המידה, **מידה מרוכבת** היא פונקציית מידה שערכיה מרוכבים. פורמלית, מידה מרוכבת על מרחב מדיד \left(X,\mathcal{M}\right) היא פונקציה \mu : \mathcal{M} \to \mathbb{C} שהיא סיגמא-אדיטיבית, כלומר \mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu\left(E_{n}\right) לכל סדרה E_1, E_2, \dots של קבוצות זרות בזוגות השייכות ל-\mathcal{M}. בפרט כל טור \sum_{n=1}^{\infty}\mu\left(E_{n}\right) כזה מתכנס ולמעשה אף מתכנס בהחלט.

לא כל מידה חיובית היא מידה מרוכבת, משום שלמידות חיוביות מרשים לקבל את הערך \infty, ואילו ממידה מרוכבת דורשים שכל הערכים יהיו מספרים. למעשה, מידה מרוכבת תמיד חסומה (על ידי מידת המרחב כולו).

## תכונות של מידה מרוכבת

יהי \left(X,\mathcal{M}\right) מרחב מדיד ותהי \mu מידה מרוכבת עליו.

הסיגמא-אדיטיביות גוררת את העובדה הפשוטה \mu (\varnothing) = 0 וזו בתורה גוררת אדיטיביות סופית:  \,\mu(A\cup B) = \mu(A)+\mu(B) לכל שתי קבוצות זרות A,B.

כפי שמתקיים עבור מידות חיוביות, \mu היא רציפה מלמטה: אם E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq\cdots היא סדרה עולה של קבוצות מדידות, אז מתקיים \mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{i}\right)=\lim_{n\to\infty}\mu\left(E_{n}\right). בדומה לזה, \mu היא רציפה מלמעלה: אם E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq\cdots היא סדרה יורדת של קבוצות מדידות, אז מתקיים \mu\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}\right)=\lim_{n\to\infty}\mu\left(E_{n}\right).

האיחוד של סדרת קבוצות מדידות (וזרות בזוגות) E_1, E_2, \dots אינו תלוי בסדר האיברים, ולכן לכל הטורים המתקבלים מ-\sum_{n=1}^{\infty}\mu\left(E_{n}\right) על ידי סידור מחדש, יש אותו סכום. משפט סטנדרטי אומר שבמקרה זה הטור מתכנס בהחלט.

## מידת ההשתנות הכוללת

תהי E קבוצה מדידה ונגדיר פונקציה חדשה על \mathcal{M} על ידי \left|\mu\right|\left(E\right) = \sup\sum_{n=1}^{\infty}\left|\mu\left(E_{n}\right)\right|, כאשר הסופרמום נלקח על פני כל החלוקות האפשריות של E לסדרה של קבוצות מדידות E_1, E_2, \dots (ניתן לקחת את הסופרמום רק על פני כל החלוקות שבהן E_n = \varnothing לכל n טבעי פרט למספר סופי של קבוצות בסדרה ולקבל הגדרה שקולה).

ניתן להראות ש-\left|\mu\right| היא מידה חיובית ונהוג לכנות אותה **מידת ההשתנות הכוללת** (או **מידת הערך המוחלט**). למידה זו יש מספר תכונות מעניינות. ראשית כל, המידה המרוכבת \mu נשלטת על ידי \left|\mu\right|, כלומר \left|\mu\left(E\right)\right|\le\left|\mu\right|\left(E\right) לכל E מדידה. כמו כן, ברור כי \left|\mu\right| היא המידה החיובית המינימלית שלה תכונה זו. התכונה המפתיעה ביותר היא ש-\left|\mu\right| היא תמיד מידה סופית, כלומר \left|\mu\right|\left(X\right). מכאן בפרט מקבלים שערכי המידה \mu שייכים כולם לעיגול הסגור ב-\mathbb{C} שמרכזו בראשית ורדיוסו \left|\mu\right|\left(X\right).

## אינטגרציה ביחס למידה מרוכבת

תהי \mu מידה מרוכבת. באמצעות משפט רדון-ניקודים ניתן להוכיח שקיימת פונקציה מרוכבת מדידה h המקיימת \left|h\left(x\right)\right|=1 לכל x \in X כך ש-\mu\left(E\right)=\int_{E}h \, d\left|\mu\right| לכל E מדידה. h זו היא הפונקציה היחידה שמקיימת תכונה זו, אם אנו מסכימים שלא להבדיל בין פונקציות שנבדלות בערכיהן רק על קבוצה ממידה \mu אפס. במצב זה מסמנים d\mu=hd\left|\mu\right| ואומרים שזהו פירוק פולרי של המידה \mu (באנלוגיה לפירוק הפולרי של מספר מרוכב). כעת בהתבסס על בניית אינטגרל לבג עבור מידות חיוביות ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה מרוכבת מדידה f ביחס ל-\mu באופן הבא: \int_{X}f \, d\mu=\int_{X}fh \, d\left|\mu\right|.

בגישה אחרת, תחילה רושמים \mu=\mu_{1}+i\mu_{2}, כאשר \mu_{1} היא החלק הממשי של \mu ו-\mu_{2} היא החלק המדומה של \mu. אז \mu_{1} ו-\mu_{2} הן מידות מרוכבות המחזירות ערכים ממשיים בלבד. באמצעות פירוק האן-ז'ורדן ניתן לרשום \mu_{1}=\mu_{1}^{+}-\mu_{1}^{-} ו-\mu_{2}=\mu_{2}^{+}-\mu_{2}^{-}, כאשר \mu_{1}^{+},\mu_{1}^{-},\mu_{2}^{+},\mu_{2}^{-} הן מידות חיוביות סופיות מסוימות. כעת ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה ממשית מדידה f ביחס ל-\mu באופן הבא:

:\int_X \! f \, d\mu = \left(\int_X \! f \, d\mu_1^+ - \int_X \! f \, d\mu_1^-\right) + i \left(\int_X \! f \, d\mu_2^+ - \int_X \! f \, d\mu_2^-\right) 

כל עוד הביטוי באגף ימין מוגדר היטב, כלומר לא נתקלים בהפרש מהצורה \infty-\infty. כעת עבור f מרוכבת מדידה מגדירים באופן טבעי

\int_{X}f \, d\mu=\int_{X}\mathrm{Re}\left(f\right) \, d\mu+i\int_{X}\mathrm{Im}\left(f\right) \, d\mu.

שתי הגדרות אלה ל-\int_{X}f \, d\mu הן שקולות. האינטגרל ביחס למידה מרוכבת מקיים את כל התכונות הרגילות של אינטגרל לבג, לרבות ליניאריות האינטגרל ומשפטי ההתכנסות הידועים.

## רגולריות של מידה מרוכבת

כעת נניח ש-X איננה סתם קבוצה, אלא מרחב טופולוגי, ונניח ש-\mathcal{M} היא הסיגמא-אלגברה של בורל המתאימה ל-X. בדומה למקרה של מידה חיובית, במקרה זה אנו אומרים ש-\mu היא מידת בורל. \mu נקראת מידת בורל רגולרית אם היא מידת בורל והמידה החיובית \left|\mu\right| היא רגולרית.

אחד מהשימושים החשובים של מידות מרוכבות מתבטא במשפט ההצגה של ריס ל-C_{0}^{*}\left(X\right). המרחב C_{0}\left(X\right) מורכב מכל הפונקציות f:X\to\mathbb{C} שהן רציפות ומתאפסות באינסוף, כלומר לכל \varepsilon > 0 קיימת תת-קבוצה קומפקטית K \subseteq X שמחוצה לה ערכי הפונקציה f קטנים בערכם המוחלט מ-\varepsilon. זהו מרחב נורמי, כאשר פעולות החיבור והכפל בסקלר מוגדרות נקודתית והנורמה היא נורמת הסופרמום, קרי \left\Vert f\right\Vert =\sup_{x\in X}\left|f\left(x\right)\right|. המרחב הדואלי שלו, C_{0}^{*}\left(X\right), מורכב מכל הפונקציונלים הליניאריים הרציפים \Phi: C_{0}\left(X\right)\to\mathbb{C}.

כעת נניח ש-X הוא מרחב טופולוגי האוסדורף וקומפקטי מקומית. בהינתן מידת בורל מרוכבת רגולרית \mu על X, ההעתקה f\mapsto\int_{X}f \, d\mu מגדירה פונקציונל ליניארי רציף על C_{0}\left(X\right). משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל ליניארי רציף על מרחב זה ניתן להצגה בצורה שכזו. באופן יותר פורמלי, הוא אומר שעבור כל פונקציונל ליניארי רציף \Phi:C_{0}\left(X\right)\to\mathbb{C}, קיימת מידת בורל מרוכבת רגולרית \mu על X כך ש-\Phi\left(f\right)=\int_{X}f \, d\mu לכל f\in C_{0}\left(X\right), כלומר \Phi מיוצג כאופרטור אינטגרציה ביחס למידה המרוכבת \mu. המידה \mu המתאימה ל-\Phi מקיימת בנוסף את השוויון \left\Vert \Phi\right\Vert =\left|\mu\right|\left(X\right).

## מרחב כל המידות המרוכבות

אם \left(X,\mathcal{M}\right) הוא מרחב מדיד, אוסף כל המידות המרוכבות עליו מהווה מרחב וקטורי מעל \mathbb{C} תחת פעולות חיבור וכפל בסקלר נקודתיות, כלומר \left(\mu+\lambda\right)\left(E\right)=\mu\left(E\right)+\lambda\left(E\right) ו-\left(c\mu\right)\left(E\right)=c\mu\left(E\right) לכל שתי מידות מרוכבות \mu,\lambda ולכל סקלר קומפלקסי c. ההעתקה \left\Vert \mu\right\Vert =\left|\mu\right|\left(X\right) מגדירה נורמה על מרחב זה והופכת אותו למרחב בנך, אשר לעיתים מסומן \mathbf{M}\left(X\right). אם X הוא מרחב טופולוגי האוסדורף וקומפקטי מקומית ו-\mathcal{M} היא אלגברת בורל שלו, אוסף כל המידות המרוכבות הרגולריות עליו הוא תת-מרחב סגור של \mathbf{M}\left(X\right) ולמעשה משפט ההצגה של ריס אומר שתת-מרחב זה הוא איזומורפי (במובן של איזומטריה ליניארית) ל-C_{0}^{*}\left(X\right).

## ראו גם

* מידה חיובית
* מידה מסומנת
* משפט ההצגה של ריס

קטגוריה:תורת המידה