סופר-משימה

**סוּפּר-משימה** או **משימת-על** (באנגלית: **supertask**) היא קבוצה בת מנייה של פעולות המתרחשות באופו סדרתי (בזו אחר זו) בטווח זמן סופי. סופר-משימה נקראת **היפר-משימה** (באנגלית: **hypertask**) כאשר מספר הפעולות אינו בן מנייה. היפר-משימה הכוללת משימה אחת עבור כל מספר סודר נקראת אולטרה-משימה (באנגלית: **ultratask**). המונח "supertask" נטבע על ידי הפילוסוף ג'יימס פ. תומסון, שהגה את המנורה של תומסון. המונח "היפר-משימה" מקורו במאמר של מקלארק וריד הנושא שם זה.

## היסטוריה
### זנון

#### תנועה
מקור העניין בסופר-משימות מיוחס בדרך כלל לזנון מאלאה, שבפרדוקסים שהציג טען שתנועה אינה אפשרית. הוא טען כדלקמן: נניח ש"הנע" לכאורה שלנו, נקרא לו אכילס, רוצה לנוע מ-A ל-B. כדי להשיג זאת עליו לעבור חצי מהמרחק מ-A ל-B. כדי להגיע מנקודת האמצע של AB ל-B, אכילס חייב לעבור חצי מהמרחק הזה, וכן הלאה וכן הלאה. לא משנה כמה פעמים הוא מבצע אחת ממשימות "המעבר" הללו, נותרה לו עוד אחת לעשות לפני שהוא מגיע ל-B. מכאן נובע, לדברי זנון, שתנועה (מעבר בזמן סופי של מרחק שאינו אפס) היא סופר-משימה. זנון טוען עוד שסופר-משימות אינן אפשריות (כיצד ניתן להשלים רצף זה אם עבור כל מעבר יש עוד אחד שיבוא?). מכאן נובע שתנועה אינה אפשרית. טיעונו של זנון לובש את הצורה הבאה:

#תנועה היא סופר-משימה, משום שהשלמת תנועה על פני כל מרחק קבוע כרוכה במספר אינסופי של צעדים
#סופר-משימות הן בלתי אפשריות
#לכן, תנועה היא בלתי אפשרית
רוב הפילוסופים שלאחריו דחו את מסקנתו הנועזת של זנון לטובת השכל הישר. במקום זאת, הם הופכים את הטיעון ומקבלים אותו כהוכחה באמצעות סתירה שבה האפשרות של תנועה נלקחת כמובנת מאליה. הם מקבלים את האפשרות של תנועה ומיישמים מודוס טולנס (קונטרה פוזיטיב) על טיעונו של זנון כדי להגיע למסקנה שתנועה אינה סופר-משימה או שלא כל סופר-משימות הן בלתי אפשריות.

#### אכילס והצב
זנון דן גם ברעיון שהוא מכנה "אכילס והצב". נניח שאכילס הוא הרץ המהיר ביותר, ונע במהירות של 1 מטר לשנייה. אכילס רודף אחרי צב, בעל חיים הידוע באיטיותו, שנע במהירות של 0.1 מטר לשנייה. עם זאת, הצב מתחיל 0.9 מטרים לפני אכילס. השכל הישר קובע שאכילס ישיג את הצב לאחר שנייה אחת בדיוק, אך זנון טוען שזה לא המקרה. במקום זאת, הוא מציע שאכילס חייב להגיע באופן בלתי נמנע לנקודה שממנה התחיל הצב, אך עד שיגיע לכך, הצב כבר יעבור לנקודה אחרת. זה נמשך, ובכל פעם שאכילס יגיע לנקודה שבה היה הצב, הצב יגיע לנקודה חדשה שאכילס יצטרך להשיג; בעוד שהוא מתחיל בפער של 0.9 מטרים, הפער הופך ל-0.09 מטרים נוספים, אחר כך 0.009 מטרים, וכן הלאה, ללא סוף. בעוד שמרחקים אלה ילכו ויקטנו, הם יישארו סופיים, בעוד שהמרדף של אכילס אחר הצב יהפוך למשימה בלתי נגמרת. פרשנויות רבות הועלו על פרדוקס זה; רבים טוענים שהוא מוצא פרצה בשכל הישר.

### ג'יימס פ. תומסון

ג'יימס פ. תומסון האמין שתנועה איננה סופר-משימת, והוא הכחיש בתוקף שסופר-משימות אפשריות. הוא בחן מנורה שיכולה להיות דולקת או כבויה. בזמן t = 0 המנורה כבויה, והיא נדלקת ב-t = 1/2; לאחר מכן, המנורה נדלקת לאחר המתנה של מחצית הזמן בשינוי הקודם. תומסון שואל מהו המצב ב-t = 1, כאשר המתג הודלק אינסוף פעמים. הוא טוען שהוא לא יכול להיות דולק מכיוון שמעולם לא היה זמן שבו הוא לא כבה לאחר מכן, ולהפך, ומגיע לסתירה. הוא מסיק שסופר-משימות הן בלתי אפשריות.

### פול בנאסרף
פול בנאסרף האמין שסופר-משימות הן לפחות אפשריות מבחינה לוגית, למרות הסתירה לכאורה של תומסון. בנאסרף מסכים עם תומסון שהניסוי שתיאר אינו קובע את מצב המנורה ב-t = 1. עם זאת, הוא חולק על תומסון שהוא יכול להפיק מכך סתירה, מכיוון שמצב המנורה ב-t = 1 לא יכול להיקבע מבחינה לוגית על ידי המצבים הקודמים.

### ספרות מודרנית
רוב הספרות המודרנית מגיעה מממשיכי דרכו של בנאסרף, אלו המקבלים בשתיקה את האפשרות של סופר-משימות. פילוסופים הדוחים את היתכנותן נוטים לא לדחות אותן מטעמים כמו של תומסון, אלא משום שיש להם ספקות לגבי מושג האינסוף עצמו. כמובן שיש יוצאים מן הכלל. לדוגמה, מקלפלין טוען כי המנורה של תומסון אינה עקבית אם היא מנתחת באמצעות , בעיה של אנליזה ממשית.

#### פילוסופיה של המתמטיקה
אם סופר-משימות אפשריות, אזי האמת או השקר של טענות לא ידועות של תורת המספרים, כמו השערת גולדבך, או אפילו טענות בלתי ניתנות להכרעה, ניתנות לקביעה בפרק זמן סופי על ידי חיפוש בכוח גס בקבוצת כל המספרים הטבעיים. עם זאת, הדבר יהיה בסתירה לתזת צ'רץ'-טיורינג. יש הטוענים שזה מהווה בעיה עבור האינטואיציוניזם, שכן האינטואיציוניסט חייב להבחין בין דברים שלא ניתן להוכיח בפועל (משום שהם ארוכים מדי או מסובכים מדי; לדוגמה "הסקה מוזרה" של בולוס) אך בכל זאת נחשבים "ניתנים להוכחה", לבין אלה שניתן להוכיח בכוח גס אינסופי במובן הנ"ל.

#### היתכנות פיזיקלית
יש הטוענים כי המנורה של תומסון בלתי אפשרית פיזיקלית מכיוון שהיא חייבת לכלול חלקים הנעים במהירויות גבוהות ממהירות האור (למשל, מתג המנורה). אדולף גרונבאום הציע שהמנורה יכולה לכלול רצועת חוט אשר, כאשר היא מורמת, משבשת את המעגל ומכבה את המנורה; רצועה זו יכולה להיות מורמת מרחק קטן יותר בכל פעם שהמנורה צריכה להיות כבויה, ובכך שומרת על מהירות קבועה. עם זאת, תכנון כזה בסופו של דבר ייכשל, שכן בסופו של דבר המרחק בין המגעים יהיה כה קטן עד שיאפשר לאלקטרונים לקפוץ מעל הפער, מה שימנע את שבירת המעגל כלל. ובכל זאת, כדי שאדם או כל מכשיר אחר יוכלו לתפוס או לפעול על מצב המנורה, יש לבצע מדידה כלשהי, לדוגמה, האור מהמנורה יצטרך להגיע לעין או לחיישן. כל מדידה כזו תיקח מסגרת זמן קבועה, לא משנה כמה קטנה, ולכן, בשלב מסוים מדידת המצב תהיה בלתי אפשרית. מכיוון שלא ניתן לקבוע את המצב ב-t=1 אפילו באופן עקרוני, אין משמעות לדבר על כך שהמנורה דולקת או כבויה.

הוצעו משימות-על אפשריות פיזיקליות אחרות. בהצעה אחת, אדם אחד (או ישות) סופר כלפי מעלה מ-1, תוך פרק זמן אינסופי, בעוד שאדם אחר צופה בכך ממסגרת ייחוס שבה זה מתרחש במרחב זמן סופי. עבור המונה, זו אינה סופר-משימה, אך עבור הצופה, היא כן (זה יכול תאורטית להתרחש עקב התארכות הזמן, למשל אם הצופה היה נופל לתוך חור שחור תוך כדי צפייה במונה שמיקומו קבוע יחסית לסינגולריות).

גוסטבו א. רומרו במאמר "קריסת הסופר-משימות" טוען שכל ניסיון לבצע סופר-משימה יביא להיווצרות חור שחור, מה שהופך את הסופר-משימות לבלתי אפשריות פיזיקלית.

#### סופר מכונות טיורינג

השפעתן של סופר-משימות על מדעי המחשב התאורטיים הובילה לכמה עבודות חדשות ומעניינות, למשל מאמרם המקינס ולואיס - "מכונת טיורינג בזמן אינסופי".

## סופר-משימות בולטות
### הפרדוקס של רוס-ליטלווד
נניח שיש צנצנת המסוגלת להכיל מספר אינסופי של גולות, ולצידה אוסף אינסופי של גולות המסומנות 1, 2, 3 וכן הלאה. בזמן t = 0, גולות 1 עד 10 מונחות בצנצנת וגולה 1 מוצאת החוצה. בזמן t = 0.5, גולות 11 עד 20 מונחות בצנצנת וגולה 2 מוצאת החוצה; בזמן t = 0.75, גולות 21 עד 30 מונחות בצנצנת וגולה 3 מוצאת החוצה; ובאופן כללי בזמן t = 1 − 0.5n, גולות 10n + 1 עד 10n + 10 מונחות בצנצנת וגולה n + 1 מוצאת החוצה. כמה גולות יש בצנצנת בזמן t = 1?

טיעון אחד קובע שצריכות להיות אינסוף גולות בצנצנת, מכיוון שבכל שלב לפני t = 1 מספר הגולות גדל מהשלב הקודם ועושה זאת ללא הגבלה. טיעון שני, לעומת זאת, מראה שהצנצנת ריקה. נתבונן בטיעון הבא: אם הצנצנת אינה ריקה, אז חייבת להיות גולה בצנצנת. נניח שהגולה הזו מסומנת במספר n. אבל בזמן t = 1 − 0.5n-1, הגולה ה-n הוצאה, ולכן גולה n לא יכולה להיות בצנצנת. זוהי סתירה, ולכן הצנצנת חייבת להיות ריקה. הפרדוקס הוא בהצגת שני טיעונים שנראים נכונים עם מסקנות הפוכות לחלוטין.

### הפרדוקס של בנרדט
ישנה התעניינות רבה ב"פרדוקס האלים" של ג'יי. איי. בנרדט : אדם יוצא מנקודה α למסע באורך מייל, אך יש אינסוף אלים שכל אחד מהם, מבלי שאחרים ידעו, מתכוון לחסום אותו. אחד מהם יקים מחסום כדי לעצור את התקדמותו אם יגיע לנקודת חצי המייל, שני - אם יגיע לנקודת רבע המייל, שלישי - אם יגיע לנקודת שמינית המייל, וכן הלאה עד אינסוף. לכן הוא אפילו לא יכול להתחיל, כי לא משנה כמה קצר יהיה המרחק שירצה לעבור, הוא כבר ייעצר על ידי מחסום. אך במקרה כזה שום מחסום לא יקום, כך שאין דבר שימנע ממנו לצאת לדרך. הוא נאלץ להישאר במקום בו הוא נמצא רק בגלל כוונותיהם הלא ממומשות של האלים.

### פרדוקס מלאך המוות
בהשראת הפרדוקס של בנרדט בנוגע לסדרה אינסופית של מתנקשים,[13] דייוויד צ'אלמרס מתאר את פרדוקס מלאך המוות:
:ישנם מספר בן מנייה של מלאכי מוות, אחד לכל מספר שלם חיובי. מלאך המוות 1 נוטה להרוג אותך בחרמשו בשעה 13:00, אם ורק אם אתה עדיין בחיים (אחרת החרמש שלו נשאר ללא תנועה לכל אורך הדרך), בתהליך שנמשך 30 דקות בערך. מלאך המוות 2 נוטה להרוג אותך בחרמשו בשעה 12:30, אם ורק אם אתה עדיין בחיים, בתהליך שנמשך 15 דקות בערך. מלאך המוות 3 נוטה להרוג אותך בחרמשו בשעה 12:15, וכן הלאה. אתה עדיין בחיים רגע לפני 12:00, אתה יכול למות רק באמצעות תנועת חרמש של מלאך המוות, וכשאתה מת אתה נשאר מת. על פניו, מצב זה נראה מתקבל על הדעת - כל מלאך מוות נראה מתקבל על הדעת באופן אינדיבידואלי ומהותי, ונראה סביר לשלב פרטים שונים עם תכונות מהותיות שונות למצב אחד. אך מעט מחשבה מגלה שהמצב כפי שתואר סותר. אני לא יכול לשרוד עד שום רגע אחרי 12 בצהריים (מלאך מוות היה תופס אותי ראשון), אבל אני לא יכול להיהרג (כדי שמלאך מוות n יהרוג אותי, הייתי חייב לשרוד את מלאך המוות n+1, וזה בלתי אפשרי).

הפרדוקס צבר חשיבות בפילוסופיה באמצעות השימוש בו בטיעון על עבר סופי, ובכך יש בו רלוונטיות לטיעון הקוסמולוגי של כלאם .

### מכונת העל של דייוויס
המכונה, שהוצעה על ידי א. בריאן דייוויס , יכולה, בתוך חצי שעה, ליצור העתק מדויק של עצמה, בגודל חצי מגודלה ובמהירות שכפול כפולה. העתק זה ייצור בתורו גרסה מהירה אף יותר של עצמו עם אותם מפרטים, וכתוצאה מכך תסתיים משימת-על לאחר שעה. אם, בנוסף, המכונות יוצרות קישור תקשורת בין מכונת האם למכונת הצאצא, שמניב רוחב פס מהיר יותר ויותר, והמכונות מסוגלות לבצע חשבון פשוט, ניתן להשתמש במכונות כדי לבצע הוכחות בכוח גס של השערות לא ידועות. עם זאת, דייוויס מציין גם שבשל תכונות בסיסיות של היקום האמיתי, כגון מכניקת הקוונטים, רעש ג'ונסון ותורת האינפורמציה, לא ניתן לבנות את המכונה שלו בפועל.

## הערות שוליים

קטגוריה:לוגיקה