המשפט היסודי של תורת גלואה

במתמטיקה, **המשפט היסודי של תורת גלואה** הוא המשפט הבסיסי ביותר בדבר הרחבת שדות מממד סופי. למשפט שני חלקים – הראשון קובע מתי הרחבה היא הרחבת גלואה, והשני קושר בין שני אובייקטים אלגבריים שונים: חבורות ושדות. במשפט זה בא לידי ביטוי הרעיון הבסיסי של תורת גלואה.

בהינתן שדה F ושדה E שמכיל אותו, אומרים כי E/F היא הרחבת שדות, וניתן להתאים לה חבורה שאבריה הם האוטומורפיזמים של השדה E שמשמרים את F. חבורה זו מכונה **[[חבורת גלואה]]** של ההרחבה.

החלק הראשון של המשפט קובע מתי ההרחבה היא **[[הרחבת גלואה]]**, והחלק השני מאפשר להפיק מידע על המבנה של ההרחבה מתוך מבנה חבורת גלואה של ההרחבה.

## ניסוח פורמלי
תהא E/F הרחבת שדות מממד סופי. נסמן בתור G(E/F) = \operatorname{Gal}(E/F) את חבורת גלואה של E/F.

### המשפט הראשון
התנאים הבאים שקולים:
* ההרחבה היא הרחבת גלואה (הרחבה ספרבילית ונורמלית).
* שדה השבת של E תחת חבורה כלשהי הוא F.
* E שדה פיצול של פולינום ספרבילי עם מקדמים מ-F.

התנאי השני למעשה חזק יותר, זאת לפי משפט של אמיל ארטין: אם E^G=F אז בהכרח G=G(E/F).

התנאי השני קובע כי לכל איבר שאיננו בשדה הבסיס, קיים אוטומורפיזם שלא משאיר אותו במקום – זוהי אחת הדרכים (האחרות) לחשוב על הרחבת גלואה, ובהקשרים מסוימים היא אף מוגדרת כך.

### המשפט השני
קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל בין שדות הביניים של ההרחבה E/F ותתי-החבורות של החבורה \operatorname{Gal}(E/F), הנקראת **התאמת גלואה** ומוגדרת כך:
* (בכיוון הראשון) לכל שדה ביניים F\subseteq K\subseteq E מותאמת תת-החבורה G(E/K) – אוסף האוטומורפיזמים של E שמשמרים את K.
* (בכיוון השני) לכל תת-חבורה H\subseteq G(E/F) מותאם שדה השבת של כל אברי H אותו נסמן E^H = \{ x \in E \mid \forall \sigma \in H : \sigma(x)=x \} (ומתקיים F \subseteq E^H \subseteq E).
שתי ההתאמות לעיל הפכיות אחת לשנייה.

התאמת גלואה מקיימת את התכונות הבאות:
*ההתאמה היא הופכת סדר, כלומר אם F\subseteq K_1\subseteq K_2\subseteq E אז G(E/K_2)\subseteq G(E/K_1).
*ההתאמה הופכת חיתוך ויצירה: אם K_i הוא שדה הביניים המתאים לתת-החבורה H_i אזי G(E/K_1 \cap K_2) = \langle H_1, H_2 \rangle (כאן \langle H_1, H_2 \rangle היא תת-החבורה הנוצרת על ידי H_1 ו-H_2) וכן G(E/K_1K_2) = H_1 \cap H_2.
*דרגת ההרחבה זהה לסדר החבורה: \left[E:K\right]=|G(E/K)| לכל F\subseteq K\subseteq E.
*עבור שדה ביניים K, K/F היא הרחבה נורמלית (ולכן גלואה) אם ורק אם G(E/K) היא תת-חבורה נורמלית של G(E/F) . במקרה זה מתקיים G(E/F)/G(E/K)\cong G(K/F), כלומר חבורת גלואה של K/F איזומורפית לחבורת המנה של G(E/F) על ידי G(E/K).

## דוגמה
נתבונן בפולינום f(x)=x^3-2 מעל \mathbb{Q}. אם נסמן \sqrt[3]{2}=\theta ו-\omega=e^{i\frac{2\pi}{3}} (שורש יחידה מסדר 3) אז שורשי הפולינום הם \theta, \theta\omega, \theta\omega^2. לכן ניתן לראות כי שדה הפיצול של הפולינום הוא \mathbb{Q}(\theta,\omega).

נסמן F=\mathbb{Q} ו-E=\mathbb{Q}(\theta,\omega).

ידוע כי כל אוטומורפיזם של E שמשמר את F מבצע תמורה של שורשי f(x), ומכיוון שישנם שלושה שורשים, חבורת גלואה G(E/F) היא תת-חבורה של החבורה הסימטרית S_3.

ניתן להוכיח כי [E:F]=6 ולכן על פי המשפט היסודי |G(E/F)|=6, ולכן בהכרח G(E/F)=S_3.

לחבורה הסימטרית S_3 שלוש תת-חבורות מסדר 2, ועל פי המשפט היסודי הן מתאימות להרחבות E/F(\theta),E/F(\theta\omega),E/F(\theta\omega^2). תת-חבורות אלו אינן נורמליות ולכן ההרחבות F(\theta)/F, F(\theta\omega)/F, F(\theta\omega^2)/F אינן גלואה.

כמו כן לחבורה הסימטרית S_3 תת-חבורה אחת מסדר 3 – חבורת התמורות הזוגיות. לתת-חבורה זו מתאימה ההרחבה E/F(\omega) ומכיוון שזוהי תת-חבורה נורמלית, ההרחבה F(\omega)/F היא הרחבת גלואה עם חבורת גלואה מסדר 2 (קיימת רק חבורה אחת שכזו).

## משפט גלואה האינסופי
התאמת גלואה איננה נשארת נכונה כאשר הרחבת השדות איננה מממד סופי – לא לכל תת-חבורה מתאימה הרחבת ביניים. בכל זאת, המבנה של הרחבה אינסופית ידוע ומכליל את המקרה הסופי.

ראשית, יש להבין מהי חבורת גלואה במקרה האינסופי. נניח כי נתונה הרחבת שדות K/k, ונניח כי N/M/L/k הוא מגדל הרחבות **סופיות** המוכלות ב-K. בהתאם למשפט במקרה הסופי, ישנו אפימורפיזם \phi_{ML}:\operatorname{Gal}(M/k) \to \operatorname{Gal}(L/k), ומתקיים \phi_{NL} = \phi_{ML} \circ \phi_{NM}. לכן, המערכת (\operatorname{Gal}(L/k),\phi_{ML}) עבור כל הרחבות גלואה היא מערכת פרויקטיבית, ולכן מוגדרת חבורת הגבול ההפוך שלה \varprojlim{\operatorname{Gal}(L/k)}. למעשה זוהי חבורה טופולוגית, מצוידת בטופולוגיה הפרו-סופית, כאשר על כל חבורה סופית נתונה הטופולוגיה הדיסקרטית. מתקיים:

**משפט**: \operatorname{Gal}(K/k) \cong \varprojlim{\operatorname{Gal}(L/k)}. בפרט, החבורה היא פרו-סופית.

כעת, ננסח את ההכללה של משפט גלואה.

**משפט**: בהינתן הרחבת גלואה K/k, ישנה התאמה מלאה (כמו במקרה הסופי) בין תתי-הרחבות לבין תתי-חבורות **סגורות** של {\operatorname{Gal}(K/k)}, ומתקיימות אותן הטענות כמו במשפט הרגיל.

המשפט מכליל את המקרה הסופי, שכן אז הטופולוגיה דיסקרטית וכל תת-חבורה ממילא סגורה. בניגוד למקרה הסופי, התאוריה במקרה האינסופי שונה ועשירה יותר: בכל הרחבה אינסופית קיימת תת-חבורה לא סגורה (למשל בת מנייה), ולכן לא מתאים לה שדה.

ניתן לתת ניסוחים נוספים למשפט גלואה האינסופי, באמצעות אלגברת Étale וניסוח אחר באמצעות כיסוי גלואה.

### דוגמאות
* יהי \mathbb{F}_p השדה הסופי מסדר p, ויהי {\mathbb{F}_p}_s סגור ספרבילי שלו. היות שקיים שדה סופי יחיד מכל סדר p^n והוא בעל חבורת גלואה \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}, חבורת גלואה האינסופית היא חבורת ההשלמה הפרו-סופית של השלמים, כלומר \operatorname{Gal}({\mathbb{F}_p}_s/\mathbb{F}_p) \cong \hat{\mathbb{Z}}.
* חבורת גלואה של הרחבת כל השורשים ה-\{p^n\}_{n \in \mathbb{N}} פרימיטיביים היא \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty})/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}_p^{\times}, חבורת השלמים ה-p-אדיים, וחבורת גלואה של הרחבת כל השורשים הפרימיטיביים היא \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\mu)/\mathbb{Q}) \cong \hat{\mathbb{Z}}^{\times}.
* תת-החבורה \mathbb{Z} \le \hat{\mathbb{Z}} היא בת מנייה ולכן לא סגורה, ולכן למשל בדוגמה הראשונה לא מתאים לה שדה ביניים.

## קישורים חיצוניים

* 

תורת גלואה
קטגוריה:תורת גלואה