אלגברת לי

**אלגברת לי** (נקראת על שם סופוס לי) היא מבנה אלגברי אשר בין שימושיו העיקריים חקירת עצמים גאומטריים כגון חבורות לי ויריעות גזירות, כמו גם חבורות-p. זוהי הדוגמה החשובה ביותר לאלגברה לא אסוציאטיבית.

## הגדרה
אלגברת לי היא מרחב וקטורי V מעל שדה \mathbb{F}  (בדרך כלל, שדה הממשיים או שדה המרוכבים) ביחד עם פעולה ביליניארית  [\cdot, \cdot] : V \times V \rightarrow V  הנקראת "סוגרי לי"  (Lie bracket), המקיימת את התכונות הבאות:
#[x,x]=0 לכל x ב-V.
#[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0 לכל x, y, z ב-V ("זהות יעקובי").

מהתכונה הראשונה (בצירוף הפילוג של סוגרי לי מעל פעולת חיבור הווקטורים) נובע כי סוגרי לי הם אנטי-סימטריים, כלומר [x,y]=-[y,x] לכל x,y ב-V. האנטי-סימטריות  גוררת את התכונה הראשונה, בתנאי שהמאפיין של \mathbb{F}  אינו 2.

המכפלה המוצגת על ידי סוגרי לי אינה אסוציאטיבית, כלומר: [x,[y,z]]\ne[x,y],z]</math>, אלא אם האלגברה נילפוטנטית מסדר שני, דהיינו <math>[x,y,z=0 לכל x,y,z.

### המבנה הבסיסי
כמו בתחומים אחרים באלגברה, **[[הומומורפיזם]]** של אלגברות לי f:L\to  L' הוא העתקה ליניארית ששומרת על הפעולה, כלומר f([x,y])=[f(x),f(y)]. **תת-אלגברת לי** היא תת-מרחב וקטורי שהוא סגור ביחס לפעולה. **אידיאל** של אלגברת לי L הוא תת-מרחב וקטורי J המקיים [x,y]\in J לכל x\in L,\ y\in J. התמונה של כל הומומורפיזם היא תת-אלגברת לי. הגרעין של כל הומומורפיזם הוא אידיאל. אלגברת לי L שאין בה אידיאלים פרט ל-\{0\} ו-L, נקראת **פשוטה** אם \operatorname{dim}L>1.

## דוגמאות
# אלגברת לי קומוטטיבית: כל מרחב וקטורי V הופך באופן טריוויאלי לאלגברת לי עם סוגרי לי השווים זהותית 0 (\forall v,w : \ [v,w]=0).
# המרחב הווקטורי \mathbb{R}^3 עם המכפלה הווקטורית הוא אלגברת לי.
# בהינתן אלגברה אסוציאטיבית A עם פעולת כפל * אפשר להגדיר אלגברת לי עם הפעולה [x,y]=x*y-y*x (פעולה הידועה בשם "קומוטטור"). 
# מרחב השדות הווקטורים החלקים על יריעה גזירה מהווה אלגברת לי מממד אינסופי ביחס לפעולה שנוח מאוד לתאר כשמפרשים את שדות הווקטורים כאופרטורי גזירה על אוסף הפונקציות החלקות. בשפה זאת, הפעולה מתאימה לזוג שדות ווקטורים X,Y את השדה הווקטורי [X,Y] המגדיר את האופרטור f\mapsto X(Y(f))-Y(X(f)).

## הצגה של אלגברת לי
תהי L אלגברת לי. הצגה של L היא מרחב וקטורי V יחד עם העתקה ביליניארית
 L\times V\to V,\ x\in L,v\in V\mapsto xv המקיימת את התנאי [x,y]v=x(yv)-y(xv).
במילים אחרות, הצגה של L במרחב וקטורי V ניתנת על-ידי הומומורפיזם של אלגבראות לי L\to\operatorname{End}(V),
כאשר מבנה של אלגברת לי על \operatorname{End}(V) ניתנת על-ידי קומוטטור של אופרטורים.

### ההצגה המצורפת

על האלגברה L מגדירים את **הפעולה המצורפת** של איבר x, לפי \operatorname{ad}_x(y) = [x,y]. זוהי פונקציה \operatorname{ad} : L \rightarrow \operatorname{End}(L), המהווה (לפי זהות יעקובי) הומומורפיזם של אלגברות לי.

## אלגברת לי של חבורת לי

אלגברת לי של חבורת לי מתקבלת על ידי לקיחת המרחב המשיק של איבר היחידה: \mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G) = T_e G. כל וקטור משיק X\in\mathfrak{g} מגדיר באופן יחיד את שדה הווקטורים על החבורה G האינוואריאנטי ביחס לפעולה של G על עצמה מצד שמאל. אוסף שדות הווקטורים האינוואריאנטיים סגור ביחס לסוגרי לי של שדות הווקטורים; זה מגדיר את הסוגריים על \mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G). בניה זו מגדירה פונקטור מקטגוריה של חבורות לי לזאת של אלגבראות לי. ישנן חבורות לי שונות עם אותה אלגברת לי. כך למשל, אלגברת לי \mathfrak{so}_n מתאימה לחבורות לי \mathrm{SO}_n, \mathrm{O}_n ו-\mathrm{Spin}_n. עם זאת, לכל אלגברת לי ממשית בעלת ממד סופי מתאימה חבורת לי יחידה שהיא פשוטת קשר.

## הקשר לאלגבראות אסוציאטיביות
### המעטפת האסוציאטיבית
אם (A,\cdot) אלגברה אסוציאטיבית, אפשר להגדיר בה פעולה חדשה על ידי [x,y] = x\cdot y - y \cdot x, והאלגברה המתקבלת, בעלת המבנה החיבורי של A והמבנה הכפלי שמגדירה הפעולה החדשה, היא תמיד אלגברת לי, שאותה מסמנים ב-A^{-}. כל אלגברת לי L ניתנת לשיכון באלגברת מהצורה A^{-} (משפט פואנקרה-בירקהוף-וויט). אם L מממד סופי, קיימת A כזו מממד סופי אף היא (Ado במאפיין אפס, Iwasawa במאפיין חיובי); אלגברה כזאת נקראת **מעטפת אסוציאטיבית** של L. לכל אלגברת לי L קיימת מעטפת אסוציאטיבית אוניברסלית, U(L). המעטפת האוניברסלית היא תחום אינסוף-ממדי המשוכן בחוג עם חילוק, וכאשר L מממד סופי (בתור מרחב וקטורי) אז U(L) בעלת ממד גלפנד-קירילוב השווה לממד של L. קטגוריה של מודולים מעל אלגברת לי L שקולה
לקטגוריה של מודולים שמאליים מעל U(L).

באופן כללי יותר, לכל אלגברה לא אסוציאטיבית A אפשר להגדיר פעולת 'סוגרי לי' באותו אופן, אולם לא תמיד תתקבל אלגברת לי; אלגברה A שהאלגברה המתקבלת ממנה היא אלגברת לי, נקראת Lie admissible. מחלקה זו מוגדרת על ידי זהות חלשה ביותר של האסוציאטור: \sum_{\sigma \in S_3} \sgn(\sigma)(x_{\sigma 1}, x_{\sigma 2}, x_{\sigma 3}) = 0. במאפיין שונה מ-2, משפחת האלגברות שהן גם Lie admissible וגם מקיימות את הזהות הגמישה מאופיינת על ידי הזהות (x,y,z)=(y,x,z)+(x,z,y), שממנה נובע (x,y,z)+(y,z,x)+(z,x,y)=0.

### מעטפת פואסון
אלגברת פואסון היא אלגברה קומוטטיבית המצוידת במבנה פואסון, שהוא סוגריים \{\cdot,\cdot\} המהווים סוגרי לי, ולכל x\in L ההעתקה \{x,-\} מהווה דריבציה; במילים אחרות, לכל x,y,z מתקיים \{x,yz\}=\{x,y\}z+y\{x,z\}.

לכל אלגברת לי (L,[\cdot,\cdot]) ניתן להתאים מעטפת פואסון, שהמבנה שלה כאלגברה קומוטטטיבית היא האלגברה הסימטרית של L, כלומר אלגברת פולינומים במשתנים פורמליים המתאימים לאיברי בסיס של L, ומבנה הפואסון מושרה על ידי \{x,y\}=[x,y] לכל שני איברי בסיס x,y\in L.

## המבנה של אלגברות לי סוף-ממדיות
תורת המבנה של אלגברות לי ידועה בעקבות עבודות של אלי קרטן ואחרים. לאלגברת לי מממד סופי יש רדיקל פתיר (אידיאל פתיר מקסימלי), ומודולו הרדיקל האלגברה **פשוטה למחצה**, ומתפרקת לסכום ישר של אלגברות לי פשוטות.

לכל אלגברת לי פשוטה למחצה L קיימת **[[תת-אלגברת קרטן]]** H, שהיא תת-אלגברה קומוטטיבית מקסימלית וכך שכל איבר שלה פועל על L כאופרטור פשוט למחצה. העתקה ליניארית \lambda:H\to\mathbb{F} השונה מ-0 נקראת *שורש* אם המרחב L_\lambda = \left\{ x \in L \mid \forall a \in H : \mathrm{ad}_a(x)=[a,x] = \lambda(a)x \right\} אינו אפס.
קבוצת השורשים \Delta סופית והיא מביאה לפירוק של L לסכום ישר L = L_0\oplus\bigoplus_{\lambda \in \Delta} L_{\lambda}. בפירוק זה  H=L_0.

על קבוצת השורשים ביחס לתת-אלגברת קרטן H של L אפשר לחשוב כקבוצה של וקטורים במרחב הדואלי H^*, שהוא מרחב מכפלה פנימית ביחס לתבנית קילינג של L. באופן כזה, מקיימת קבוצת השורשים מספר אקסיומות גאומטריות, ובראשן העובדה שהיא סגורה לשיקוף ביחס לכל אחד מן האיברים שלה (ראה מערכת שורשים). מאקסיומות אלה נובע, למשל, שהזווית בין שני שורשים *פשוטים* יכולה להיות ישרה או קהה. את הזוויות האלה אפשר לקודד ב**[[מטריצת קרטן]]**, שממנה אפשר לשחזר את לוח הכפל של L כולה. את אלגברת לי אפשר לתאר גם באמצעות **[[דיאגרמת דינקין|דיאגרמות דינקין]]** המקודדות את המבנה של **[[מערכת שורשים|מערכת השורשים]]** של האלגברה.

התכונות המיוחדות למטריצות קרטן מאפשרות למיין את כל האלגברות הפשוטות מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין 0: ישנן ארבע משפחות אינסופיות A_n,B_n,C_n,D_n, ועוד חמש אלגברות 'ספורדיות': G_2,F_4,E_6,E_7,E_8. מיון דומה מופיע גם בתחומים אחרים של המתמטיקה: חבורות קוקסטר, חבורות סופיות פשוטות, טיפוסי סינגולריות בגאומטריה אלגברית, ועוד.

### הכללות
תורת המבנה בממד סופי חלה במקרים רבים גם כאשר L מממד אינסופי, כאשר H היא אלגברת קרטן. מודול V שהוא סכום ישר (על פני השורשים) של מרכיבי המשקל V_{\lambda} = \{v : h\cdot v = \lambda(h)v\ (h \in H)\}, נקרא **מודול משקל** (weight module). מודול הוא **חסום באופן אחיד** אם מרכיבי המשקל בעלי ממד חסום, ומודול Harish-Chandra אם כולם מממד סופי. יש אלגברות לי חשובות שידוע המיון של כל מודולי Harish-Chandra מעליהם.

## הקשר לאלגברות ז'ורדן

תהי L אלגברת לי מעל חוג קומוטטיבי שבו 2,3 הפיכים. איבר a \in L שעבורו \, \operatorname{ad}_a^3 =0 נקרא **איבר ז'ורדן**. לכל איבר ז'ורדן ניתן לצייד את L בפעולה חדשה: x\bullet y = [x,a],y]</math>; נסמן ב-<math>\ L_a</math> את האלגברה <math>L=L/\operatorname{Ker}(\operatorname{ad}_a^{2})</math> עם הפעולה המושרית מ-<math>\bullet</math> על מנה זו. זוהי [אלגברת ז'ורדן, המקודדת חלק מן המידע הצפון ב-L. למשל, אם L אלגברת לי עם זהות פולינומית, אז גם \ L_aמקיימת זהות (ז'ורדן) פולינומית.

## ראו גם
* הכללות של אלגברות לי: אלגברת מלצב, אלגברת לייבניץ, אלגברת פואסון.

## קישורים חיצוניים
* 
* 

*
קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:אלגברה לא אסוציאטיבית
קטגוריה:חבורות לי