פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי

שמאל|ממוזער|פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי <math>?(x)</math>
**פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי** היא פונקציה ממשית בעלת מספר תכונות מעניינות ולא-שגרתיות, ומהווה גורם עניין בתחומים כמו אנליזה מתמטית, תורת המידה ותורת הפרקטלים. את הפונקציה מסמנים על ידי ?(x);  השם והסימון הנ"ל ניתנו לפונקציה בגלל התכונות הלא-שגרתיות ולא-מובנות שלה.

הפונקציה הוגדרה על ידי הרמן מינקובסקי בשנת 1904; היא נחקרה על ידי מספר מתמטיקאים, בהם ארנאוד דנג'וי, שהראה בשנת 1938 כיצד מעבירה הפונקציה מספרים ריבועיים אל מספרים רציונליים.

## הגדרה
הפונקציה מוגדרת בנפרד על המספרים הרציונליים ועל המספרים האי-רציונליים.

עבור מספר רציונלי נתון, מביטים בפיתוח שלו לשבר משולב סופי [a_0;a_1,a_2,...,a_n], ומגדירים

?(x) = a_0 + 2\sum_{i=1}^{n}{\frac{(-1)^{i-1}}{2^{a_1 + \dots + a_i}}}

עבור מספר אי-רציונלי, מביטים בפיתוח שלו לשבר משולב אינסופי [a_0;a_1,a_2,...,], ומגדירים

?(x) = a_0 + 2\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{i-1}}{2^{a_1 + \dots + a_i}}}

הפונקציה אכן מוגדרת לכל מספר אי-רציונלי, כפי שניתן להוכיח בעזרת מבחן לייבניץ.

## הסבר אינטואיטיבי
מאחורי ההגדרה לעיל ישנו הסבר אינטואיטיבי, אשר בליבתו מסתתרת המרה בין דרכי תצוגה של מספרים ממשיים (בדומה לפונקציית קנטור, הממירה בין בסיסים).

בהינתן מספר כלשהו בין 0 ל-1, ניתן להסתכל על הייצוג הבינארי האינסופי שלו, המתפרש לסדרה של אפסים ואחדות. על אותה סדרה ניתן גם להסתכל בתור השבר המשולב [a_0; a_1,...,a_n,...], כאשר המספרים הטבעיים a_i הם מספר האפסים והאחדות הרצופים על פי הסדר.

לדוגמה: נביט בסדרה הבינארית 00100100100100100.... הייצוג הבינארי שלה הוא המספר \frac{2}{7}; הייצוג שלה לפי שבר משולב הוא [0;2,1,2,1,2,1,...], ששווה ל-\frac{\sqrt{3}-1}{2}.

אם כן, פונקציית סימן השאלה מתאימה בין מספר המיוצג באופן של שבר משולב למספר הבינארי בעל אותו הייצוג. בפרט, על פי הדוגמה מתקיים ?(\frac{\sqrt{3}-1}{2}) = \frac{2}{7}.

## תכונות
עבור שני שברים מצומצמים \frac{p}{q} ו- \frac{r}{s} כך ש-|ps-rq|=1, מתקיים: .

?\left(\frac{p+r}{q+s}\right) = \frac12 \left(?\bigg(\frac pq\bigg) + {}?\bigg(\frac rs\bigg)\right)

בעזרת נוסחה זו ניתן לחשב את פונקציית סימן השאלה עבור כל מספר רציונלי.

פונקציית סימן השאלה היא פונקציה אי-זוגית, רציפה ועולה חזק, אך איננה רציפה בהחלט. היא גם פונקציה סינגולרית.

הפונקציה ממפה מספרים רציונליים אל מספרים די-אדיים רציונליים (כלומר מהצורה המצומצמת \frac{x}{2^y}), ומספרים ריבועיים (שורשים של משוואות ריבועיות) אי-רציונליים אל מספרים רציונליים לא די-אדיים בהכרח; מעבר לכך, היא מתאימה באופן מלא בין מספרים ריבועיים למספרים רציונליים. עבור x אי-רציונלי, ?(x) הוא או אלגברי מדרגה גדולה מ-2, או טרנסצנדנטי.

מתקיים ?(x+1) = ?(x) + 1 ועל כן הפונקציה ?(x) - x היא מחזורית בעלת מחזור 1.

מרכז|הפונקציה <math>?(x) - x</math>

## הפונקציה ההופכית - פונקציית הקופסה של קונוויי
היות שהפונקציה עולה חזק, הרי שהיא חד-חד-ערכית, ועל כן הפיכה. ההופכית שלה היא פונקציית הקופסה של קונוויי, שהתגלתה באופן בלתי תלוי על ידי ג'ון הורטון קונוויי. הסימון המקובל עבורה הוא קופסה סביב x, והיא שווה ל-?^{-1}(x).

ניתן לחשב את הפונקציה על ידי מציאת הפיתוח הבינארי של המספר \frac{\{x\}}{2} = \frac{x-\lfloor x \rfloor}{2}, ולאחר מכן לבצע את ההתאמה כמתואר לעיל ולקבל את השבר המשולב [a_0; a_1, a_2, \dots], כאשר a_0 = \lfloor x \rfloor.

## ראו גם
*פונקציה סינגולרית
*פונקציית הקופסה של קונוויי

## לקריאה נוספת
* Arnaud Denjoy, On the real function of Minkowski.
* LINAS VEPŠTAS, On the Minkowski Measure
* R. SALEM, On some singular monotonic functions what are strictly increasing

## קישורים חיצוניים

* 

קטגוריה:תורת המידה
קטגוריה:פרקטלים
קטגוריה:פונקציות פתולוגיות