הצבר האיזוברי-איזואנתלפי

**ה[[צבר (פיזיקה סטטיסטית)|צבר]] [[תהליך איזואנתלפי|האיזואנתלפי]]-[[תהליך איזוברי|איזוברי]]** הוא אחד מהצברים הבסיסיים של הפיזיקה הסטטיסטית. באופן שקול לצבר המיקרוקנוני בו האנרגיה, הנפח ומספר החלקיקים הם הפרמטרים התרמודינמיים הבלתי-תלויים (ולרוב גם קבועים), באנסמבל הזה אנחנו לוקחים את הפרמטרים הבלתי-תלויים להיות האנתלפיה (H), הלחץ (P) ומספר החלקיקים (N). על כן הצבר הזה מכונה לעיתים NPH. זהו הצבר הבסיסי ביותר עבור מערכת שנתונה בלחץ קבוע, אך כמעט שאינו מוזכר בספרות המקצועית. השימוש העיקרי בצבר זה הוא לביצוע סימולציות של מערכות תרמודינמיות בלחץ קבוע.

## המודל התאורטי - תכונות ומאפיינים של הצבר
ממוזער|Illustration of an isoenthalpic-isobaric system|טקסט=ניתן לבנות מודל פשוט שמתאים לצבר הנ"ל, על ידי צימוד של המערכת לאמבט נפח הנשמר בלחץ קבוע, באמצעות בוכנה אדיאבטית (שאינה מאפשרת מעבר חום).

נתבונן בדיפרנציאל של האנתלפיה

dH = dU + pdV + Vdp = (dq + dw) + pdV + Vdp = dq + Vdp

כיוון שהבוכנה אדיאבטית והאמבט שומר על הלחץ קבוע, אנו מוצאים כי dH=dq=dp=0, ולכן המערכת היא איזואנתלפית.

### נפח הפאזה
ההמילטוניאן של המערכת נתון על ידי

\mathcal{H}=\mathcal{H}(q_i,p_i,x_w,p_w,V,N)=H+PV

כאשר qi, pi הם קואורדינטות המקום והתנע של החלקיקים השונים, xw ו־pw הם המקום והתנע של הבוכנה, V נפח המערכת וN מספר החלקיקים הכולל. H היא האנתלפיה של המערכת ו- P הלחץ באמבט. את נפח הפאזה נקבל על ידי אינטגרציה על כל מרחב הפאזה של המערכת, ולאחר חלוקה במספר הפרמוטציות (זו מבטיחה לנו אקסטנסיביות של האנטרופיה).

\Phi(H,P,N)=\frac{1}{N!}\int_{\mathcal{H}\, \leq\, H-PV}dqdpdx_{w}dp_{w}

כאשר חסר כפל בקבוע מסוים אשר אינו ישפיע על הגדלים הפיזיקליים, ולכן הוא הושמט. במערכת מקרוסקופית ניתן להזניח את התלות של ההמילטוניאן בdpw, ונוכל גם להחליף את dxw בdV.

\Phi(H,P,N)=\frac{1}{N!}\int_{\mathcal{H}(q,p,V,N)\, \leq\, H-PV}dqdpdV

לנוחות נגדיר את אלמנט מרחב הפאזה d\tau=dqdpdV וניתן לרשום את נפח הפאזה בצורה מעט יותר קומפקטית באמצעות פונקציית מדרגה (Heaviside)

\Phi(H,P,N)=\frac{1}{N!}\int{\Theta[\mathcal{H}-(H-PV)]d\tau}

### [[צפיפות המצבים]] ו[[צפיפות הסתברות|צפיפות ההסתברות]]
את צפיפות המצבים נוכל לקבל בפשטות כנגזרת של נפח הפאזה

\omega(H,P,N)=\Bigl(\frac{\partial\Phi}{\partial H}\Bigr)_{P,N}=\frac{1}{N!}\int{\delta[\mathcal{H}-(H-PV)]d\tau}

כאשר הצגנו את פונקציית דלתא של דיראק.

ההסתברות להימצא בטווח אנרגיות H-PV\leq\mathcal{H}, מוגדרת במרחב הפאזה כך

W(q,p,V)=\frac{1}{\omega \delta H}=\frac{\delta[\mathcal{H}-(H-PV)]}{\omega}

במקרה הזה הסימון δH מתייחס לווריאציה (שינוי אינפיניטסימלי) באנתלפיה ולא לדלתא של דיראק.

כעת ניתן להשתמש בצפיפות ההסתברות על מנת לחשב ערכי תוחלת של גדלים פיזיקליים. עבור פונקציה כללית f התוחלת תהיה

\bar{f}=\int{Wfd\tau}=\frac{1}{\omega}\int{f\delta[\mathcal{H}-(H-PV)]d\tau}
=\frac{1}{\omega}\Bigl(\frac{\partial}{\partial H}\int{f\Theta[\mathcal{H}-(H-PV)]d\tau}\Bigr)_{P,N}

דוגמה פשוטה תהיה חישוב של תוחלת האנרגיה (ההמילטוניאן). מתקבלת ישר ההגדרה של האנתלפיה \bar{E}=H-P\bar{V} עם ההבדל היחיד שהאנרגיה והנפח הם גדלים ממוצעים ואינם פרמטרים נשלטים של המערכת.

### משפט החלוקה השווה
באופן שקול לצבר המיקרוקנוני ניתן לקבל

\langle x_j \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial x_k}\rangle = \frac{\Phi}{\omega}\delta_{jk}

ועבור המילטוניאן של גז אידיאלי נמצא את הגדרת הטמפרטורה באנסמבל NPH

k_B T=\frac{\Phi}{\omega}

כאשר T הטמפרטורה ו־k_B הוא קבוע בולצמן.

### המשפט האדיאבטי
נניח כי ההמילטוניאן תלוי כעת בפרמטר נוסף a. הכוח המוכלל שקשור לפרמטר הזה יהיה \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial a}. חישוב ממוצע האנסמבל של הכוח המוכלל ייתן לנו

\langle \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial a}\rangle
=-\frac{1}{\omega}\Bigl(\frac{\partial\Phi}{\partial a}\Bigr)_{H,P,N}=\Bigl(\frac{\partial H}{\partial a}\Bigr)_{\Phi,P,N}

### הקשר בין המכניקה הסטטיסטית לתרמודינמיקה
ניתן להשתמש בנפח הפאזה (פונקציית החלוקה למעשה) על מנת לקבל את האנטרופיה של המערכת.

S (H,P,N)=k_B \ln{\Phi(H,P,N)}

ובאמצעות זהויות תרמודינמיות ניתן למצוא גדלים שונים.

## גדלים תרמודינמיים ופלקטואציות סטטיסטיות
מלבד הפרמטרים הבלתי תלויים (מספר החלקיקים, הלחץ והאנתלפיה), שאר הגדלים התרמודינמיים מוגדרים באופן סטטיסטי, וערכם איננו קבוע. את מידת השינוי אנחנו מגדירים באמצעות השונות.

(\Delta f)^2=\langle (f-\bar f)^2\rangle=\langle f^2 \rangle - \langle f \rangle ^2

כאשר את הממוצעים השונים ניתן לחשב כפי שפורט קודם.

גדלים תרמודינמיים חשובים שניתן למצוא הם:
* נפח

\langle V\rangle=\frac{1}{\omega}\Bigl(\frac{\partial \chi}{\partial H}\Bigr)_{P} \quad ;
\quad \langle V^2 \rangle=-\frac{1}{\omega}\Bigl( \frac{\partial \chi}{\partial P} \Bigr)_H \quad ; \quad
(\Delta V)^2=\langle V^2 \rangle - \langle V \rangle ^2 כאשר הפונקציה \chi מוגדרת כך:

\chi(H,P) = \frac{1}{N!}\int{V \cdot\Theta[\mathcal{H}-(H-PV)]d\tau} באמצעות קשרי מקסוול ותכונות של נגזרות חלקיות, ניתן לקבל הצגה נוספת של השונות של הנפח

(\Delta V)^2=-\frac{1}{\omega}\Bigl( \frac{\partial\chi}{\partial P} \Bigr)_S
* אנרגיה

(\Delta E)^2=P^2 \cdot (\Delta V)^2
* אנרגיה קינטית (הפיתוח נכון כאשר האנרגיה הפוטנציאלית אינה תלויה במסת החלקיק)

(\Delta K)^2 = \frac{3}{2}N(k_B T)^2\Bigl[1-\frac{3Nk_B}{2C_P}\Bigr]

## [[גז אידיאלי]]
### גז אידיאלי קלאסי חופשי
ההמילטוניאן

\mathcal{H} = \sum_i{\frac{p_i^2}{2m}}

נפח הפאזה

\Phi(N,P,H) = \frac{(2\pi m)^\frac{3N}{2}}{[N!(\frac{3N}{2})!]}\int_0^\frac{H}{P}
{V^N (H-PV)^\frac{3N}{2}dV}
= \frac{(2 \pi m)^\frac{3N}{2}}{\Bigl( \frac{5N}{2}+1 \Bigr)!}\frac{H^{\frac{5N}{2}+1}}{P^{N+1}}

משוואת המצב של הגז האידיאלי באנסמבל האיזואנתלפי-איזובארי היא

PV=(N+1)k_BT

בגבול התרמודינמי, N\gg1, ולכן בעצם מתקבלת משוואת המצב הרגילה של גז אידיאלי קלאסי.

## הערות שוליים

קטגוריה:פיזיקה סטטיסטית