התפלגות נורמלית מוכללת

**ההתפלגות הנורמלית המוכללת** (**GND**; מכונה גם **התפלגות גאוסיינית המוכללת** – **GGD**) כוללת שתי משפחות של התפלגויות הסתברות רציפות על הישר הממשי. בשתי המשפחות מתווסף פרמטר צורה להתפלגות הנורמלית. באחת מהן מתווסף פרמטר סקלה, ופונקציית הצפיפות סימטרית. באחרת, מתווסף פרמטר צידוד, ופונקציית הצפיפות של התפלגויות במשפחה זו אינו בהכרח וסימטרית.

בערך זה נתייחס ל**התפלגות הנורמלית המוכללת הסימטרית**

**ההתפלגות הנורמלית המוכללת הסימטרית**, המכונה גם **התפלגות חזקה מעריכית**, היא משפחה פרמטרית של התפלגויות סימטריות. המשפחה כוללת את ההתפלגויות הנורמלית התפלגות לפלס, וכמקרה גבולי את כל ההתפלגויות האחידות הרציפות באינטרוולים חסומים על הישר הממשי.

משפחה זו כוללת את ההתפלגות הנורמלית כאשר \textstyle\beta=2 (עם תוחלת \textstyle\mu ושונות \textstyle \frac{\alpha^2}{2}) ואת התפלגות לפלס כאשר \textstyle\beta=1. כאשר \textstyle\beta\rightarrow\infty, הצפיפות מתכנסת נקודתית לצפיפות אחידה בקטע \textstyle (\mu-\alpha,\mu+\alpha) .

משפחה זו מאפשרת זנבות עבים מהזה של ההתפלגות הנורמלית (כאשר \beta ) או דקים יותר (כאשר \beta>2 ). זוהי דרך שימושית לאפיין רצף של צפיפויות פלטיקורטיות סימטריות, שלהן שייכת מההתפלגות הנורמלית (\textstyle\beta=2) לצפיפות אחידה (\textstyle\beta=\infty), ורצף של צפיפויות סימטריות, לפטוקורטיות הנפרשות מהתפלגות לפלס ( \textstyle\beta=1 ) לצפיפות הרגילה ( \textstyle\beta=2 ). פרמטר הצורה \beta שולט גם על ערך השכיח בנוסף לזנבות.

### הערכת פרמטרים
חקרו גישות של אומדן פרמטרים באמצעות נראות מקסימלית ושיטת המומנטים. אין נוסחה סגורה לאומדנים ויש לחשב אותם נומרית. הוצעו גם אומדנים שאינם דורשים חישוב נומרי.

לפונקציית הנראות של ההתפלגות הנורמלית המוכללת אינסוף נגזרות רציפות (כלומר היא שייכת למחלקהC^\infty של פונקציות חלקות) רק אם \textstyle\beta הוא מספר חיובי. אחרת, לפונקציה יש \textstyle\lfloor \beta \rfloor נגזרות רציפות. כתוצאה מכך, התוצאות הסטנדרטיות לעקביות ולנורמליות אסימפטוטית של אומדני נראות מקסימלית של \beta חל רק עבור \textstyle\beta\ge 2.

#### אומד נראות מקסימלית
ניתן להתאים את ההתפלגות הנורמלית המוכללת באמצעות שיטת נראות מקסימלית מקורבת. \mu מאותחל למומנט הראשון של המדגם m_1, ו-\textstyle\beta מוערך על ידי שימוש בתהליך איטרטיבי של ניוטון-רפסון, gם אתחול \textstyle\beta=\textstyle\beta_0,

: \beta _0 = \frac{m_1}{\sqrt{m_2}},

כאשר

: m_1={1 \over N} \sum_{i=1}^N |x_i|,

הוא מומנט הראשון של הערכים המוחלטים ו m_2 הוא המומנט השני. האיטרציה היא

: \beta_{i+1} = \beta_{i} - \frac{g(\beta _{i})}{g'(\beta_{i})} ,

כאשר

: g(\beta)= 1 + \frac{\psi(1/\beta)}{\beta} - \frac{\sum_{i=1}^{N} |x_i-\mu|^\beta \log|x_i-\mu| }{\sum_{i=1}^{N} |x_i-\mu|^\beta} + \frac{\log( \frac{\beta}{N} \sum_{i=1}^{N} |x_i-\mu|^\beta)}{\beta} ,

ו

: 
\begin{align}
g'(\beta) = {} & -\frac{\psi(1/\beta)}{\beta^2} - \frac{\psi'(1/\beta)}{\beta^3} + \frac{1}{\beta^2} - \frac{\sum_{i=1}^N |x_i-\mu|^\beta (\log|x_i-\mu|)^2}{\sum_{i=1}^N |x_i-\mu|^\beta} \\[6pt]
& {} + \frac{\left(\sum_{i=1}^N |x_i-\mu|^\beta \log|x_i-\mu|\right)^2}{\left(\sum_{i=1}^N |x_i-\mu|^\beta \right)^2} + \frac{\sum_{i=1}^N |x_i-\mu|^\beta \log|x_i-\mu|}{\beta \sum_{i=1}^N |x_i-\mu|^\beta} \\[6pt]
& {} - \frac{\log\left(\frac{\beta}{N} \sum_{i=1}^N |x_i-\mu|^\beta \right)}{\beta^2},
\end{align}


וכאשר \psi ו \psi' הם פונקציית הדיגמה ופונקציית הטריגמא.

בהינתן ערך של \textstyle\beta, אפשר לאמוד את \mu על ידי מציאת המינימום של

:  \min_\mu = \sum_{i=1}^{N} |x_i-\mu|^\beta

לבסוֹף אומדים את \textstyle\alpha על ידי

: \alpha = \left( \frac{\beta}{N} \sum_{i=1}^N|x_i-\mu|^\beta\right)^{1/\beta} .

עֲבוּר \beta \leq 1, חציון הוא אומדן מתאים יותר של \mu . כאשר יש אומדן ל \mu, ניתן לאמוד את \beta ו \alpha כמתואר לעיל.

### יישומים
ההתפלגות הנורמלית המוכללת הסימטרית שימושית במודלים שבהם יש חשיבות לריכוז הערכים סביב הממוצע והתנהגות הזנב. ניתן להשתמש במשפחות התפלגויות אחרות אם ההתמקדות היא בסטיות אחרות מהנורמליות. אם חשוב לבדוק את הסימטריה של ההתפלגות, ניתן להשתמש במשפחה הנורמלית המוכללת הלא סימטרית. אם התנהגות הזנב היא העניין העיקרי, ניתן להשתמש במשפחת התפלגות t, שמתכנס להתפלגות הנורמלית כאשר מספר דרגות החופש שואף לאינסוף. להתפלגות t, שלא כמו התפלגות נורמלית מוכללת, זנב עבה יותר מבלי לייצר חוד בראשית הצירים.

### מאפיינים
#### מומנטים
יהי  X_\beta  משתנה מקרים בעל התפלגות נורמלית מוכללת עם תוחלת אפס, פרמטר צורה  \beta  ופרמטר קנה מידה  \alpha . המומנטים של  X_\beta  קיימים וסופיים עבור כל k גדול מ-1. עבור כל מספר שלם אי-שלילי, המומנטים המרכזיים הם

: 
 \operatorname{E}\left[X^k_\beta\right] =
 \begin{cases}
 0 & \text{if }k\text{ is odd,} \\
 \alpha^{k} \Gamma \left( \frac{k+1}{\beta} \right) \Big/ \, \Gamma \left( \frac{1}{\beta} \right) & \text{if }k\text{ is even.}
 \end{cases}
 

## הערות שוליים

נורמלית מוכללת