רמה של שדה

בתורת השדות, ה**רמה של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]** F, המסומנת s(F), היא המספר הקטן ביותר \ell כך ש--1 הוא סכום של \ell ריבועים. לפי משפט ארטין-שרייר, שדה הוא ניתן לסידור אם ורק אם הרמה שלו אינסופית. חישוב הרמה של שדה הוא בדרך כלל בעיה אריתמטית קשה.

## הגדרה
יהי \mathbb{F} שדה.  ה**אורך** של כל a \in \mathbb{F} הוא המספר המינימלי \ell עבורו a הוא סכום של \ell ריבועים. אם אין מספר כזה, נאמר שהאורך הוא אינסופי. ה**רמה** של השדה היא האורך של -1, ומסמנים אותה s(\mathbb{F})

אלברט פיסטר הוכיח שהרמה של שדה היא או אינסוף או חזקה של 2. לכל חזקת 2 אכן קיים שדה שזו הרמה שלו, לפי המשפט הבא של פיסטר:

**משפט** (Pfister): שדה הפונקציות הרציונליות של היריעה הפרויקטיבית האלגברית הנתונה על ידי המשוואה x_0^2+...+x_{2n}^2=0 הוא מרמה 
s(\mathbb{F})=2^n.

שדות מסוג זה היו הדוגמאות הראשונות לשדות מרמה שגדולה מ-4, ובמובן מסוים הם השדות היחידים מרמה גדולה מ-4 הידועים עד היום. 

## דוגמאות
* משפט ארטין-שרייר קובע כי שדה הוא ניתן לסידור אם ורק אם -1 איננו סכום של ריבועים, כלומר הרמה שלו אינסופית.
* הרמה של שדה סופי מסדר n היא 1 אם n=1(\bmod4) ו-2 אם n=3(\bmod4).
* הרמה של שדה מספרים מהצורה \mathbb{Q}[\sqrt{-d}] כאשר d מספר טבעי שהוא סכום של שלושה ריבועים היא 4.
* האורך של סכום ריבועים בשדה גלובלי הוא לכל היותר 4, ולכן הרמה היא 1,2 או 4 או אינסוף.
* מתקיים s(\mathbb{F})=s(\mathbb{F}(t))=s(\mathbb{F}((t))).
* אם הרמה של שדה לא ממשי היא 2^r, אז חוג ויט W(\mathbb{F}) הוא בעל פיתול 2^{r+1}.
* הרמה של הרחבה לא-ממשית סופית של \mathbb{R}((x_1,\dots,x_n)) היא לכל היותר 2^{n-1}. 

## רמה ביחס לתבנית ריבועית
יהי \mathbb{F} שדה ו-q תבנית ריבועית מעל \mathbb{F}. ה**רמה של השדה ביחס לתבנית** היא המספר המינימלי \ell עבורו -1 הוא סכום של \ell ערכים של q, כלומר -1 = q(x_1)+...+q(x_l) (ואינסוף אם אין ערכים כאלה). הרמה של השדה היא הרמה ביחס לתבנית q(x)=x^2, והאורך של איבר a הוא הרמה ביחס לתבנית q(x)=a^{-1}x^2. את הרמה ביחס לתבנית נסמן s_q(\mathbb{F}).

מתקיימות התכונות הבסיסיות הבאות:
* 1 \le s_q(\mathbb{F}) \le s(\mathbb{F})+1.
* אם \mathbb{K} / \mathbb{F} הרחבת שדות אז s_q(\mathbb{F}) \ge s_q(\mathbb{K}), לכל תבנית משדה הבסיס. 
* אם ההרחבה לעיל מממד אי-זוגי, אז יש שוויון - s_q(\mathbb{F}) = s_q(\mathbb{K})
* בדומה לרמה הרגילה, אם \mathbb{K}/\mathbb{F} הרחבה טרנסצנדנטית אז s_q(\mathbb{F})=s_q(\mathbb{K})=s_q(\mathbb{K}((t))).

אם \mathbb{K} / \mathbb{F} הרחבת שדות ריבועית, ונניח \mathbb{K}=\mathbb{F}[\sqrt{a}], אז מתקיים s(K)=s_{\langle 1,-a \rangle}(\mathbb{F})=s_{\langle \langle a \rangle \rangle}(\mathbb{F}), כאשר \langle \langle \cdot \rangle \rangle  היא תבנית פיסטר. 

ביתר כלליות, אם Q=(a,b)_2 אלגברת קווטרניונים מעל \mathbb{F} אז s(Q)=s_{\langle \langle a,b \rangle \rangle}(\mathbb{F}).

אם \phi תבנית פיסטר אז s_\phi(\mathbb{F}) הוא או אינסוף או חזקת 2. במקרה של הרחבת שדות ריבועית \mathbb{K} / \mathbb{F} עם  \mathbb{K}=\mathbb{F}[\sqrt{a}], אז \ell _\phi(-a) \le 2 s_\phi(\mathbb{K}).

## שאלת הרמה
**שאלת הרמה** (The level question) שואלת האם קיים שדה בעל מספר מחלקות ריבועים q(\mathbb{F})=|\mathbb{F}^{\times}/\mathbb{F}^{\times^2}| סופי, שהרמה שלו 4 . שאלה זו נשארה פתוחה עד היום. בכל זאת, ישנן מספר תוצאות משניות (למקור ראו בקריאה נוספת).

**משפט** (Djokovic): אם \mathbb{F} שדה בעל רמה 8 \le s  אז מתקיים:

q(\mathbb{F}) \ge 2 \sum_{i=1}^{s/2} \frac{1}{s-i+2} \cdot {s}

עבור s=8,16 מתקבלות תוצאות טובות יותר:

**משפט**:
* אם s(\mathbb{F}) = 8 אז q(\mathbb{F}) \ge 2^9.
* אם s(\mathbb{F}) = 16 אז q(\mathbb{F}) \ge 2^{15}.

## ראו גם
*משפט ארטין-שרייר

## לקריאה נוספת

* Level of a field and the number of square classes, Dragomir Ž. Djoković, 1974
* On the Number of Square Classes of a Field of Finite Level, Karim Johannes Becher, 2011
* Sums of values represented by a quadratic form, G. Berhuy, N. Grenier-Boley, M. G. Mahmoudi, 2011


קטגוריה:תורת השדות
קטגוריה:תבניות ריבועיות
קטגוריה:שדות סדורים