הצדקה ומוטיבציה למשוואת שרדינגר

משוואת שרדינגר היא משוואה קוונטית המתארת את הדינמיקה בין חלקיקים לא יחסותיים. טיעונים תאורטיים וגילויים ניסויים סיפקו מוטיבציה לגילוי וחקירת המשוואה וסיפקו טיעונים להצדקתה. המוטיבציה הבסיסית מתחילה מפוטונים, שהם חלקיקים יחסותיים , עם דינמיקה המתוארת על ידי משוואות מקסוול.

## מוטיבציה – גלים אלקטרומגנטיים קלאסיים
### טבע האור

החלקיק הקוונטי של האור נקרא פוטון. כפי שהתבהר על ידי פיזיקאים לאורך הדורות, לאור יש אופי גלי, אך גם טבע חלקיקי. במילים אחרות, האור יכול להיראות כעשוי מפוטונים (חלקיקים) בניסויים מסוימים ולהתנהג כמו גלים (גל אלקטרומגנטי) בניסויים אחרים. הדינמיקה של גלים אלקטרומגנטיים קלאסיים מתוארת במלואה על ידי משוואות מקסוול, המהוות את התיאור הקלאסי של האלקטרודינמיקה. בהיעדר מקורות שדה (מטענים וזרמים), ניתן לפתח ממשוואות מקסוול משוואות גלים עבור השדה החשמלי והמגנטי. אם כן, משוואות מקסוול מתארות, בין היתר, את התכונות דמויות הגל של האור. כאשר אור "קלאסי" (קוהרנטי או תרמי) נופל על סרט צילום או חיישן CCD, מספר ה"פגיעות" או ה"נקודות על סרט הצילום" הממוצע, ליחידת שטח ויחידת זמן, פרופורציונלי בערך לריבוע גודל השדה האלקטרומגנטי של האור. באופן אנלוגי ושקול, לשם מציאת צפיפות הפגיעות ניתן להגדיר "פונקציית גל" לחלקיק כך שצפיפות ההסתברות למדידה (לפגיעה) מתקבלת מריבוע הערך המוחלט של פונקציית הגל. בניגוד לשדות אלקטרומגנטיים, פונקציות גל קוונטיות הן מרוכבות (לעיתים קרובות נעשה שימוש במספרים מרוכבים על מנת לייצג שדות אלקטרומגנטים מטעמי נוחות, אך למעשה השדות הם ממשיים. לעומת זאת, פונקציות הגל הן מרוכבות באמת).

משוואות מקסוול היו ידועות כבר בסוף המאה התשע־עשרה, כך שמשוואות הדינמיקה הגלית של האור היו ידועות הרבה לפני גילוי הפוטון. דבר זה אינו נכון לגבי חלקיקים אחרים, דוגמת האלקטרון. אינטראקציית האור עם אטומים היא זו שהעלתה את ההשערה שגם לאלקטרונים יש אופי הן חלקיקי והן גלי. המכניקה הניוטונית, המתארת עצמים מיקרוסקופיים כגופים קשיחים, לא הצליחה לתאר עצמים קטנים מאוד כמו אלקטרונים. כדי להבין את חוקי הדינמיקה של עצמים בעלי מסה, כגון אלקטרונים, נעזרו בחשיבה אבדוקטיבית, כלומר בהסקה להסבר הטוב ביותר שבנמצא. כך משוואת הגל האלקטרומגנטי, המשוואה שתיארה את הדינמיקה של האור, שימשה אב טיפוס לגילוי משוואת שרדינגר, המשוואה המתארת את הדינמיקה הדואלית של חלקיקים לא־יחסותיים בעלי מסה.

### גלים סינוסואידיים מישוריים
#### משוואת גלים אלקטרומגנטיים
משוואת הגלים האלקטרומגנטיים מתארת את התפשטותם של גלים אלקטרומגנטיים בתווך או בריק. הצורה ההומוגנית של המשוואה, כשהיא כתובה במונחים של השדה החשמלי \vec E או השדה המגנטי \vec B, מקבלת את הצורה:

:  \nabla^2 \vec{E} \ - \ { 1 \over c^2 } {\partial^2 \vec{E} \over \partial t^2} \ \ = \ \ 0

או

:  \nabla^2 \vec{B} \ - \ { 1 \over c^2 } {\partial^2 \vec{B} \over \partial t^2} \ \ = \ \ 0

כאשר *c* היא מהירות האור. מהירות האור בריק מוחלט היא 299,792,458 מטר לשנייה.

הקשר בין השדה המגנטי לשדה החשמלי מתואר באמצעות חוק פאראדיי (ביחידות cgs):

:  \vec\nabla \times \vec{E} = - {1 \over c}\frac{ \partial \vec{B}} {\partial t}  .

#### פתרון גל־מישורי למשוואת הגלים האלקטרומגנטיים
הפתרון הסינוסואידי המישורי לגלים אלקטרומגנטיים הנעים בכיוון החיובי של ציר z (ביחידות cgs וביחידות SI) הוא, עבור השדה החשמלי: \vec{E} ( \vec{r}, t ) = \left| \vec{E} \right| \operatorname{Re} \left \{ |\zeta \rangle e^{i \left ( kz - \omega t \right )} \right \} \equiv \left| \vec{E} \right| \operatorname{Re} \left \{ |\phi \rangle \right \} 
שמאל|ממוזער|350x350 פיקסלים| ניתן לדמיין קרינה אלקטרומגנטית כגל רוחבי מתנודד המתפשט בשדות החשמלי והמגנטי. איור זה מציג גל מקוטב ליניארי מישור המתפשט משמאל לימין.
ועבור השדה המגנטי: \vec{B} ( \vec{r}, t ) = \hat { {z} } \times \vec{E} ( \mathbf{r}, t ) כאשר *k* הוא מספר הגל,  \omega = ck היא התדירות הזוויתית של הגל ו־ c  היא מהירות האור. הכובעים מעל הווקטורים מציינים שהם וקטורי יחידה בכיוונים x, y ו־z בהתאמה. | \vec{E} |  הוא משרעת הגל.

בהקשר של גלים אלקטרומגנטיים קלאסיים, |\zeta \rangle המוגדר כך:
: |\zeta \rangle \equiv \begin{pmatrix} \zeta_x \\ \zeta_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) e^{i \alpha_x} \\ \sin(\theta) e^{i \alpha_y} \end{pmatrix} ,
הוא וקטור ג'ונס  במישור ה־xy, כשהוא מוצג בסימון ברה־קט של פול דיראק, אשר משמש בדרך כלל בהקשר קוונטי. הבחירה להשתמש כאן בסימון קוונטי מגיעה מציפייה לפרשנות אנלוגית של וקטור ג'ונס כווקטור מצב קוונטי בהמשך. הזוויות  \alpha_x\; ,\theta\;  ו־ \alpha_y  הן הזווית שיוצר השדה החשמלי עם ציר ה־x, ושתי זוויות המופע (לעיתים נקראות בקיצור "מופעים" או "פאזות") ההתחלתיות של הגל, בהתאמה.

הגודל  |\phi \rangle = e^{i \left ( kz - \omega t \right )} |\zeta \rangle  הוא וקטור המצב של הגל. הוא מתאר את קיטוב הגל ואת הגורם המרחבי והגורם הזמני של הגל. וקטור המצב של אלומת אור קוהרנטית ו"עמומה" (כלומר כזו שמספר הפוטונים הממוצע שלה ליחידת נפח קטן בהרבה מ־1) שקול בקירוב למצב הקוונטי של פוטון בודד.

### אנרגיה, תנע ותנע זוויתי של גלים אלקטרומגנטיים
#### צפיפות אנרגיה של גלים אלקטרומגנטיים קלאסיים
##### אנרגיה בגל מישורי
האנרגיה ליחידת נפח בשדות אלקטרומגנטיים קלאסיים היא (ביחידות cgs):

:  \mathcal{E}_c = \frac{1}{8\pi} \left [ \vec{E}^2( \vec{r}, t ) + \vec{B}^2( \vec{r}, t ) \right ]  .

עבור גל מישורי, לאחר המרה לסימון מרוכב (ומכאן חלוקה בפקטור 2), נקבל:

:  \mathcal{E}_c = \frac{\mid \vec{E} \mid^2}{8\pi} 

כאשר האנרגיה נמדדת על פני אורך גל שלם.

##### החלק היחסי של האנרגיה עבור כל רכיב
האנרגיה של רכיב ה־x של הגל המישורי (בהנחת קיטוב ליניארי) שווה

:  f_x = \frac{ \mid \vec{E} \mid^2 \cos^2\theta }{ \mid \vec{E} \mid^2 } = \phi_x^*\phi_x 

אפשר בקלות לקבל ביטוי דומה (עם סינוס במקום קוסינוס) עבור רכיב ה־y.

וסכום החלקים של שני הרכיבים מקיים:

:  \phi_x^*\phi_x + \phi_y^*\phi_y = \langle \phi  | \phi\rangle = 1 .

#### צפיפות התנע של גלים אלקטרומגנטיים קלאסיים
צפיפות התנע ניתנת על ידי וקטור פוינטינג:

:  \vec{ \mathcal{P}} = {1 \over 4\pi c } \vec{E}( \vec{r}, t ) \times \vec{B}( \vec{r}, t ) .

עבור גל מישורי סינוסואידי שנע בכיוון z, כיוון התנע גם הוא בכיוון החיובי של ציור ה־z וגודלו יחסי לצפיפות האנרגיה:

:  \mathcal{P} c = \mathcal{E}_c .

כשצפיפות התנע נמדדת בממוצע על פני אורך גל שלם.

#### צפיפות התנע הזוויתי של גלים אלקטרומגנטים קלאסיים
צפיפות התנע הזוויתי היא

:  \vec { \mathcal{L} } = \vec{r} \times \vec { \mathcal{P} } = {1 \over 4\pi c } \vec{r} \times \left [ \vec{E}( \vec{r}, t ) \times \vec{B}( \vec{r}, t ) \right ] .

עבור גל מישורי סינוסואידי התנע הזוויתי הוא בכיוון z וניתן על ידי (כשעברנו לסימון מרוכב)

:  \mathcal{L} = { {\mid \vec{E} \mid^2} \over {8\pi\omega} } \left ( \mid \langle R  | \phi\rangle \mid^2 - \mid \langle L  | \phi\rangle \mid^2 \right ) = { 1 \over \omega } \mathcal{E}_c \left ( \mid \phi_R \mid^2 - \mid \phi_L \mid^2 \right ) 

כאשר שוב, גם כאן, הצפיפות הממוצעת נמדדת על פני אורך גל שלם. וכן מוגדרים וקטורי יחידה של קוטבים מעגליים, ימיני ושמאלי:

:  |R\rangle \equiv {1 \over \sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} 

:  |L\rangle \equiv {1 \over \sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} .

### אופרטורים אוּניטריים ושימור אנרגיה

גל יכול לעבור התמרה, למשל, על ידי מעבר דרך גביש שבירה כפולה או דרך חריצים בסריג עקיפה. אנו יכולים להגדיר את התמרת המצב מהמצב בזמן t למצב בזמן  (t + \tau) כ־

:  | \phi (t + \tau) \rangle = \hat{U}(\tau) | \phi (t) \rangle .

כדי לשמור על שימור האנרגיה של הגל שאנו דורשים:

:  \langle \phi (t + \tau)| \phi (t + \tau) \rangle = \langle \phi(t) | \hat{U}^{\dagger}(\tau) \hat{U}(\tau) | \phi(t) \rangle = \langle \phi(t) | \phi(t) \rangle = 1 

כאשר  \hat{U}^{\dagger} , הצמוד של  \hat{U} , הוא שחלוף המצמוד המורכב של המטריצה המייצגת.

משום כך (מהשוויון האמצעי) אופרטור שיוצר התמרה משמרת אנרגיה חייב לקיים:

:  \hat{U}^{\dagger} \hat{U} = I 

כאשר  I  הוא אופרטור הזהות והאופרטור  \hat{U}  נקרא אופרטור אוניטרי. כלומר האוניטריות הכרחית בכדי להבטיח שימור אנרגיה בהתמרות מצב.

### אופרטורים הרמיטיים ושימור אנרגיה

אם  \tau  גודל אינפיטיסימלי ממשי  dt , אז ההמרה האוניטרית קרובה מאוד למטריצת הזהות (המצב הסופי קרוב מאוד למצב ההתחלתי) וניתן לכתוב אותה כך:
:  \hat{U} \approx I - i\hat{H}\tau 

ואת ההתמרה הצמודה על ידי:
:  \hat{U}^{\dagger} \approx I + i\hat{H}^{\dagger}\tau .

הגורם  i  מוסף מטעמי נוחות (שכן יכולנו לבלוע אותו לתוך H). תחת מוסכמה זו, אפשר להראות כי שימור אנרגיה מחייב את H להיות אופרטור הרמיטי וכי H קשור לאנרגיה של חלקיק.

שימור האנרגיה מחייב:
:  I = \hat{U}^{\dagger} \hat{U} \approx \left ( I + i\hat{H}^{\dagger}\tau \right ) \left ( I - i\hat{H}\tau \right ) \approx I + i\hat{H}^{\dagger}\tau - i\hat{H}\tau + \hat{H}^\dagger \hat{H} \tau^2 .

מאחר ש־\tau אינפיניטסימלי, ניתן להזניח את  \tau^2 בייחס \tau, כלומר להשמיט את האיבר האחרון. ויתר על כן, אם *H* שווה לצמוד שלו:

:  \hat{H} = \hat{H}^{\dagger},

נקבל "זהות" ( I \approx I), ומכאן נובע:
:  \hat{U}^{\dagger} \hat{U} = I .
כך שהאנרגיה אכן נשמרת (עבור העתקה אינפיניטסימלית בזמן  \tau= dt\, ).

אופרטורים השווים לצמוד שלהם נקראים הרמיטיים.

ההעתקה האינפיניטסימלית של מצב קיטוב היא:
:  |\phi (t+dt) \rangle - |\phi (t) \rangle = -i\hat{H} dt |\phi (t)\rangle  .

לפיכך, שימור אנרגיה מחייב התמרה אינפיניטסימלית של מצב קיטוב המתרחשות באמצעות הפעלת אופרטור הרמיטי. בעוד שגזרנו זאת בצורה קלאסית, הרעיון של אופרטור הרמיטי שיוצר התמרה אינפיניטסימלית משמרת אנרגיה מהווה בסיס חשוב למכניקת הקוונטים. הגזירה של משוואת שרדינגר נובעת ישירות ממושג זה.

## אנלוגיה קוונטית לאלקטרודינמיקה הקלאסית
הדיון והפיתוח עד כה היה קלאסי לחלוטין. עם זאת, הפיתוח המכני־קוונטי עבור חלקיקים אנלוגי ועוקב אחר הפיתוח ממשוואות מקסוול עבור האלקטרודינמיקה. זוהי עדות חזקה לכלליות של משוואות מקסוול, שניתן להפוך את פיתוח מהן לקוונטי כמעט רק בעזרת שינויי פרשנות לגדלים הקלאסי.
תחילה, האנלוגיה ל"ווקטורי המצב" הקלאסיים  \vert\phi\rangle, בתיאור הקלאסי, הם וקטורי מצב קוונטיים בתיאור הפוטונים. בסעיפים הבאים נראה את ההנלוגיות עבור גדלים אחרים.

### אנרגיה, תנע ותנע זוויתי של פוטונים
#### אנרגיה
הפרשנות המחודשת הזו, מימיה המוקדמים של התורה הקוונטית, התבססה על הניסויים של מקס פלאנק ועל הפרשנות של אלברט איינשטיין לאותם הניסויים, על־פיה קרינה אלקטרומגנטית מורכבת ממנות אנרגיה ("קוונטות") בגודל ידוע (שלא מתפצלות, נוצרות או נעלמות חוץ מכשהן נפלטות או נבלעות בחומר), המכונות פוטונים. האנרגיה של כל מנה מתכוּנתית לתדירות הזוויתית של הגל לפי הייחס \epsilon = \hbar\omega כאשר  \hbar  הוא גודל שנקבע בניסוי ומכונה קבוע פלאנק המצומצם.

כלומר, האנרגיה העצורה בשדה האלקטרומגנטי של  N  פוטונים בקופסה בעלת נפח  V  (בהזנחת אנרגיית האפס) היא N\hbar\omega וצפיפות האנרגיה שווה {N \hbar \omega \over V}. ניתן לקשר את האנרגיה של פוטון לשדות קלאסיים באמצעות עקרון ההתאמה הקובע, כי עבור מספר רב של פוטונים, החישוב הקוונטי והקלאסי חייבים להתכנס לערך זהה. לפיכך, עבור  N  גדול מאוד, צפיפות האנרגיה הקוונטית חייבת להיות זהה לצפיפות האנרגיה הקלאסית {N \hbar \omega \over V} = \mathcal{E}_c = \frac{\left|\vec{E} \right|^2}{8\pi}. אז במצב קוהרנטי המספר הממוצע של פוטונים בתיבה הוא N = \frac{V}{8\pi \hbar \omega} \left| \vec{E} \right|^2.

#### תנע
עקרון ההתאמה קובע גם את התנע והתנע הזוויתי של הפוטון. צפיפות התנע היא \mathcal{P}_c = {N \hbar \omega \over cV} = {N \hbar k \over V}  מה שמרמז שהתנע של פוטון יחיד הוא \hbar k (או באופן שקול:  h \over \lambda  ).

#### תנע זוויתי וספין
באופן דומה, עבור התנע הזוויתי \mathcal{L} = { 1 \over \omega } \mathcal{E}_c \left ( \left| \psi_R \right|^2 - \left| \psi_L \right|^2 \right ) = { \hbar \over V } \left ( \left|\psi_R \right|^2 - \left| \psi_L \right|^2 \right )מה שמרמז שהתנע הזוויתי של פוטון יחיד שווה l_z = \hbar \left ( \left| \psi_R \right|^2 - \left| \psi_L \right|^2 \right ).הפרשנות הקוונטית של ביטוי זה היא שלפוטון יש הסתברות של  \left|\psi_R \right|^2  להיות בעל תנע זוויתי השווה  \hbar  והסתברות של  \left| \psi_L \right|^2  להיות בעל תנע זוויתי  -\hbar . כך שאנו יכולים לחשוב על התנע הזוויתי של הפוטון, כמו גם על האנרגיה, כמקוונטט. ועובדה זו אכן אומתה בניסוי – אכן נצפו רק פוטונים בעלי תנע זוויתית של  \pm \hbar  .

##### אופרטור ספין
הספין של הפוטון מוגדר כמקדם של  \hbar  בחישוב התנע הזוויתי. לפוטון יש ספין שערכו 1 אם הוא נמצא במצב  | R \rangle  וספין שערכו -1 אם הוא נמצא במצב  | L \rangle . אופרטור הספין מוגדר כמכפלה החיצונית \hat{S} \equiv |R\rangle \langle R | - |L\rangle \langle L | = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} .הווקטורים העצמיים של אופרטור הספין הם  |R\rangle  ו־ |L\rangle  עם ערכים עצמיים 1 ו־-1, בהתאמה.

כמו כן, התוחלת של מדידת ספין של פוטון שווה \langle \psi |\hat{S} |\psi\rangle = \left|\psi_R \right|^2 - \left| \psi_L \right|^2. האופרטור S קשור לתנע הזוויתי, שהוא גודל הניתן למדידה. הערכים העצמיים של האופרטור הם הערכים שייתכן כי יתקבלו בדידה על ידי ניסוי. קביעה זו נכונה עבור מומנטום זוויתי, אבל גם באופן כללי, עבור כל גודל נצפה (כלומר גודל פיזיקלי שניתן למדוד).

### הסתברות עבור פוטון בודד
ישנן שתי דרכים בהן ניתן להביע בפרשנות הסתברותית את התנהגות הפוטונים; ניתן להשתמש בהסתברות ככלי לחשב את המספר המסתבר של פוטונים במצב מסוים, או לחלופין ניתן להשתמש בהסתברות ככלי לחישוב הסבירות של פוטון בודד להיות במצב מסוים. ההסבר הראשון נראה כמפר את שימור האנרגיה. דיראק מסביר זאת בהקשר של ניסוי שני הסדקים:

הסבר זה מיושן במובן מסוים, או אפילו ארכאי. יהיה נכון יותר לומר כי הפירוש ההסתברותי הראשון (מספר הפוטונים המסתבר שיאכלסו מצב) חל על אור תרמי או על אור קוהרנטי (ראה אופטיקה קוונטית), והפירוש השני אפשרי למצב פוק של פוטון בודד. אך לעצם עניינו, ההקבלה למשוואת שדינגר (שכאמור נוגעת לחלקיקים מסיביים לא ייחסותיים), הפרשנות השנייה היא אנלוגיה מתבקשת.

#### משרעת ההסתברות
ההסתברות של פוטון להיות במצב קיטוב מסוים תלויה בשדות כפי שחושבו על ידי משוואות מקסוול הקלאסיות: פונקציית המצב של הפוטון מתכונתית לשדה, צפיפות ההסתברות היא ריבועית ערך השדות (וכתוצאה מכך היא גם ריבוע הערך המוחלט של המצב הקוונטי של הפוטון). על כן, אפשר לומר באנלוגיה, שבמכניקת הקוונטים פונקציית המצב או משרעת ההסתברות של חלקיק בודד מכילות את מידע ההסתברות הבסיסי. באופן כללי, הכללים להרכבת משרעות הסתברות נראים מאוד כמו הכללים הקלאסיים להרכבת הסתברויות: (מתוך "Baym" לקריאה נוספת)

## גלי דה־ברויי
[שמאל|ממוזער|318x318 פיקסלים| לואי דה־ברויי. דה־ברויי קיבל את [פרס נובל לפיזיקה בשנת 1929 על זיהויו של גלים עם חלקיקים.]]
בשנת 1923 התייחס לואי דה־ברויי לשאלה האם כל החלקיקים הם בעלי אופי שָׁנוּי – גם בעלי תכונות גליות וגם בעלי תכונות חלקיקיות – בדומה לפוטון. פוטונים שונים מחלקיקים רבים אחרים בכך שהם חסרי מסה ונעים במהירות האור. בפרט, שאל דה־ברויי, האם חלקיק שיש לו אופי גלי־חלקיקי שכזה עולה בקנה אחד עם שתי התרומות הגדולות של איינשטיין משנת 1905, תורת היחסות הפרטית והקוונטיזציה של אנרגיה ותנע ובאופן עקבי. התשובה לכך התבררה כחיובית. האופי הגל־חלקיק של אלקטרונים נצפה בניסוי כבר בשנת 1927, שנתיים לאחר גילוי משוואת שרדינגר ובניסויים רבים מאוד מאז.

### השערת דה־ברויי
דה־ברויי הניח שלכל חלקיק יש ביטוי גם כחלקיק וגם כגל, כך שהתדירות הזוויתית,  \omega , ומספר גל,  k , "של הגל" קשורים לאנרגיה E ולתנע p "של החלקיק", על ידי: E = \hbar \omega  p = \hbar k.בכך השאלת העקביות הכללית הצטמצמה לשאלה: האם כל צופה שהוא, בכל מערכת ייחוס אינרציאלית, יסכים על פאזת הגל. אם כן, אז תיאור הקוונטי דמוי גל של חלקיקים עשוי להתאים לתורת היחסות הפרטית.

#### מערכת המנוחה
תחילה נסתכל על מערכת המנוחה של החלקיק. במערכת זו, הקשר בין התדירות הזוויתית והאנרגיה תיתן על ידי E_0 = mc^2 = \hbar \omega_0 והקשר בין מספר הגל לתנע על ידי p_0 = 0 = \hbar k_0 כאשר *m* היא מסת (המנוחה) החלקיק.

זה מתאר גל בעל אורך גל ומהירות מופע אינסופיים v_{\phi} = {\omega_0 \over k_0 }. הגל עשוי להיכתב כמתכונתי לפונקציה הזמנית \cos(\omega_0 t).מצד שני, זהו גם פתרון מתנד הרמוני פשוט, עליו ניתן לחשוב כמעין "שעון" במסגרת המנוחה של החלקיק. אפשר בקלות לדמיין שעון ה"מתקתק" באותו תדר שבו הגל מתנודד, למשל בכל פעם שהרכיב הזמני לעיל שווה ל־1. התדירות המשותפת מאפשרת לנו גם לסנכרן את מופעי הגל והשעון. כלומר לתזמן אותם כך שזמן ה־0, זמן ההתחלה, של השעון והגל, שווים.

#### מערכת הצופה
הוצג כי מופע הגל במערכת הצופה זהה למופע הגל במערכת החלקיק, על כן גם השעונים בשתי המערכות זהים. ישנה, אם כך, עקביות של שתי נקודות המבט – הגלית והחלקיקית – בתורת היחסות הפרטית.

##### מופע השעון של הצופה
במערכת הצופה הנע במהירות יחסית v בייחס לחלקיק, "שעון החלקיק" צפוי לתקתק בתדירות \omega_c = {\omega_0 \over \gamma} כאשר \gamma = {1 \over \sqrt{1-{v^2 \over c^2} } } הוא גורם לורנץ המתאר את התארכות הזמן של שעון החלקיק כפי שהיא נצפת על ידי הצופה.

המופע של שעון הצופה הוא \omega_c t = {\omega_0 \over \gamma} ( \gamma t_0 ) = \omega_0 t_0 כש־ t_0  הוא זמן שנמדד במערכת החלקיק. כלומר שני השעונים, שעון הצופה ושעון החלקיק, "מסכימים" על המופע.

##### מופע גל של הצופה
במערכת הצופה התדירות ומספר הגל של הגל נתונים על ידי E = \gamma m_o c^2 = \hbar \omega = \gamma \hbar \omega_o וכן \vec{p} = \gamma m_o \vec{v} = \hbar \vec{k} = \frac{\gamma \hbar \omega_o \vec{v}}{c^2} עם מהירות מופע v_{\phi} = {\omega \over k} = {E \over p} = {c^2 \over v} .המופע של הגל במערכת הצופה הוא \omega t - k x = \omega t - {\omega \over v_{\phi}} vt = \omega t \left ( 1- {v^2 \over c^2} \right ) = {\omega t \over \gamma^2} = {1 \over \gamma^2}{\gamma m_oc^2 \over \hbar} (\gamma t_o ) = \omega_o t_o = \omega_c t .המופע של הגל במערכת הצופה זהה למופע במערכת החלקיק, באותו אופן שמופעי השעונים בערכת החלקיק ובמערכת הצופה זהים. נקודת המבט הגלים של חלקיקים תואמת אפוא את תורת היחסות הפרטית.

למעשה, אנו יודעים כעת שניתן לכתוב את היחסים הללו בצורה תמציתית באמצעות הסימון ה־4־וקטורי, כמקובל ביחסות פרטית.

ארבעת ה־4־וקטורים הרלוונטיים הם:
* ארבע־המאורע/המקום  \mathbf{X} = (ct,\vec{x})
* ארבע־מהירויות  \mathbf{U} = \gamma (c,\vec{u})
* ארבע־תנע  \mathbf{P} = \left(\frac{E}{c},\vec{p}\right)
* ארבע־וקטור־גל  \mathbf{K} = \left(\frac{\omega}{c},\vec{k}\right) = \left(\frac{\omega}{c}, \frac{\omega}{v_\phi} \hat{n}\right)

היחסים בין ה־4־וקטורים הם כדלקמן:
*  \mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d\tau}
*  \mathbf{P} = \hbar \mathbf{K} = m_o \mathbf{U}
* \mathbf{K} = \left(\frac{m_o}{\hbar}\right) \mathbf{U} = \left(\frac{\omega_o}{c^2}\right)\mathbf{U}

המופע של הגל הוא השמורה (אינווריאנט) הייחסותי:\mathbf{K}\cdot\mathbf{X} = \omega t - \vec{k} \cdot \vec{x} = \omega_o t_o = \omega_o \tau 

## אטום בוהר
[שמאל|ממוזער|352x352 פיקסלים| [נילס בוהר. בשנת 1922 הוענק פרס נובל לפיזיקה לנילס בוהר על תרומתו להבנת מכניקת הקוונטים.]]

### חוסר ההתאמה של התצפית עם פיזיקה קלאסית
השערת דה־ברויי עזרה לפתור בעיות בולטות בפיזיקה האטומית. הפיזיקה הקלאסית לא הצליחה להסביר את ההתנהגות הנצפית של אלקטרונים באטומים. ובפרט, אלקטרונים מואצים פולטים קרינה אלקטרומגנטית לפי נוסחת לרמור (באנגלית). לכן אלקטרונים המקיפים את הגרעין צריכים לאבד אנרגיה לקרינה ולקרוס לתוך הגרעין. תופעה זו לא נצפית, שכן האטומים יציבים בטווחי זמן ארוכים בסדרי גודל ממה שחוזה נוסחת לרמור הקלאסית.

בנוסף לכך, נודע כי אטומים מעוררים פולטים קרינה בתדרים בדידים. איינשטיין השתמש בעובדה זו כדי לפרש את מנות אור עם אנרגיה בדידה, למעשה, כחלקיקים "אמיתיים". אולם אם החלקיקים ה"אמיתיים" הללו נפלטים מאטומים במנות אנרגיה בדידות, חייבים החלקיקים הפולטים אותם, קרי האלקטרונים, לשנות את האנרגיה שלהם במנות אנרגיה בדידות גם הם? אין שום תופעה מוכרת במכניקה הניוטונית שמסביר התנהגות שכזו.

השערת דה־ברויי עזרה להסביר את התופעות הללו בכך שהגבילה את המצבים ה"מותרים" עבור כל אלקטרון הסובב באטום, רק לאותם המצבים המאפשרים גלים עומדים הקשורים לאותו האלקטרון.

### סדרת בלמר
סדרת בלמר מציגה את התדרים של אור היכולים להיפלט מאטום מימן מעורר:

:  \hbar \omega_n = R \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2}\right) \quad n=3,4,5,\dots

כאשר R ידוע בתור קבוע רידברג ושווה ל־13.6 אלקטרון־וולט.

### הנחות היסוד של מודל בוהר
מודל בוהר, שהוצג ב־1913, היה ניסיון לספק בסיס תאורטי לסדרת בלמר. הנחות המודל הן:

# האלקטרונים הסובבים את הגרעין באטום קיימים במסלולים מעגליים בעלי אנרגיות מקוונטטות בדידות. כלומר, לא כל מסלול אפשרי אלא רק מסלולים מסוימים (הנקראים גם אורביטלים).
# חוקי המכניקה הקלאסית אינם חלים כאשר אלקטרונים עושים קפיצה ממסלול מותר אחד לאחר.
# כאשר אלקטרון מבצע קפיצה ממסלול אחד למשנהו, הפרש האנרגיה נפלט (או מסופק) על ידי קוונטה אחת של אור (הנקראת פוטון) עם אנרגיה השווה להפרש האנרגיה בין שני האורביטלים.
# המסלולים המותרים הם אלו עם ערכים (בדידים) של תנע זוויתי מסלולי, *L*, לפי המשוואה: L = n \hbarכאשר n = 1,2,3,... נקרא המספר הקוונטי העיקרי.

### השלכות המודל של בוהר
התנאי לתנועה במסלול מעגלי הוא שהכוח הצנטריפוגלי מאזן את כוח המשיכה של האלקטרון לגרעין:

:  {mv^2 \over r } =  

כש־e הוא המטען האלקטרון (או הפרוטון) בערך מוחלט.

והאנרגיה של האלקטרון הסובב היא

:  E = {1 \over 2} m v^2 - {{e_M}^2 \over r} = -{1\over 2} {{e_M}^2\over r} 

כנובע מהביטוי להכוח הצנטריפוגלי.

מההנחה על התנע הזוויתי של מודל בוהר נובע כי

:  L = mvr = n \hbar 

ושבשילוב עם הביטוי להכוח הצנטריפוגלי, רדיוס המסלול ניתן על ידי

:  r= {n^2 \hbar^2 \over m {e_M}^2 }.

מכך, וממשוואת האנרגיה, משתמע

:  E_n = -{1\over 2} {{e_M}^2\over r} = -{1\over 2} \left ( {m{e_M}^4\over \hbar^2} \right ) {1\over n^2} .

וקיבלנו שההבדל בין שתי רמות האנרגיה משחזר את סדרת בלמר.

### תרומתו של דה־ברויי למודל בוהר
הנחות המודל של בוהר משחזרות את התוצאות שצופה סדרת בלמר. אולם הנחות הבוהר עצמן אינן מבוססות על שום תיאוריה כללית יותר. מדוע, למשל, המסלולים המותרים צריכים להיות תלויים בתנע הזוויתי? השערת דה־ברויי מספקת תובנה מסוימת.

אם נניח שלאלקטרון יש תנע הנתון על ידי

:  p = mv = \hbar k 

לפי ההנחה של השערת דה ברויי, אז התנע הזוויתי ניתן על ידי

:  L = mvr = \hbar k r = \hbar \left ( {2\pi \over \lambda} \right ) r 

כאשר  \lambda  הוא אורך־הגל של גל האלקטרון.

אם באטום מותרים רק גלי־אלקטרון־עומדים, אז רק מסלולים שהיקפם שווה לכפולה שלמה של אורך־הגל מותרים:

:  \lambda = {2 \pi r \over n} .

מכך נובע שלמסלולים מותרים יש תנע זוויתי

:  L = n\hbar 

שזו ההנחה הרביעית של בוהר.

ההנחות הראשונה והשנייה נובעות מכך גם הן. וההנחה השלישית נובעת משימור אנרגיה, שדה־ברויי הראה שתואמת את פרשנות הגלית של חלקיקים.

### צורך במשוואות דינמיות
הבעיה עם יישום של השערת דה־ברויי על אטום בוהר היא שכפינו פתרון של גל מישורי, אשר בר־תוקף בחלל הריק, למצב שבו יש פוטנציאל משיכה חזק. עדיין לא גילינו את המשוואה הדינמית הכללית לגלי אלקטרונים ולהתפתחותם בהשפעת כוחות. משוואת שרדינגר היא ההכללה היישירה להשערת דה־ברויי והדינמיקה של הפוטון.

## משוואת שרדינגר
### האנלוגיה עם הדינמיקה של הפוטון
הדינמיקה של פוטון נתונה על ידי

:  |\phi (t+dt) \rangle - |\phi (t) \rangle = - i\hat{H} dt |\phi (t)\rangle 

כאשר H הוא אופרטור הרמיטי שנקבע על ידי משוואות מקסוול. ההרמיטיות של האופרטור מבטיחה כי האנרגיה נשמרת.

ארווין שרדינגר הניח שהדינמיקה של חלקיקים מסיביים פועלת באותה הצורה כמו דינמיקת הפוטונים שומרת האנרגיה.

:  |\psi (t+dt) \rangle - |\psi (t) \rangle = - i\hat{H} dt |\psi (t)\rangle 

כאשר  |\psi (t) \rangle  הוא וקטור־המצב של החלקיק ו־H הוא כעת אופרטור הרמיטי לא ידוע שיש לקבוע.

### וקטור מצב עבור חלקיקים
במקום מצבי קיטוב, כפי שהיה לנו במקרה הפוטון, שרדינגר הניח שווקטור המצב של חלקיקים תלוי במיקום החלקיק. אם נניח כי חלקיק חי במרחב חד־ממדי, אז הוא חילק את הציר של המרחב למספר אינסופי של מקטעים קטנים באורך  \lambda  והִקְצָה רכיב של וקטור־המצב לכל מקטע

:  |\psi (t)\rangle \equiv \begin{pmatrix} \vdots \\ \psi_{j-1}(t) \\ \psi_j(t) \\ \psi_{j+1}(t) \\ \vdots \end{pmatrix} .

הציון התחתי j מזהה את המקטע.

### מטריצת ומשרעת המעבר
ניתן לכתוב את משוואת המעבר בצורת מטריצה כך

:  \psi_j(t+dt)^{ } - \psi_j(t) = -i \sum_k^{ } H_{jk} \, dt \, \psi_k(t)  .

תנאי ההרמיטיות דורש כי

:  H_{jk} = H^*_{kj} .

שרדינגר הניח שבמהלך מקטע זמן איפיניטיסמלי אחד, dt, ההסתברות יכולה "לזלוג" רק למקטעים אינפיטיסמליים סמוכים במרחב. במילים אחרות, כל הרכיבים של H הם אפס למעט מעברים בין מקטעים שכנים:

:  H_{j \pm 1, j}^{ } \ne 0 ,

או ממקטעים לעצמם:

:  H_{j, j}^{ } \ne 0 .

יתרה מכך, בהנחה שהמרחב אחיד, במובן זה שכל המעברים לימין שווים

:  H_{j + 1, j}^{ } = H_{j, j - 1}^{ } \equiv H_R .

וכן כל המעברים לשמאל גם הם שווים

:  H_{j - 1, j}^{ } = H_{j, j + 1}^{ } \equiv H_L .

משוואת המעבר הופכת

:  i{\partial \psi_j(t) \over \partial t} = H_{L} \psi_{j+1}(t) - H_{R} \psi_{j}(t) + H_{R} \psi_{j-1}(t) - H_{L} \psi_{j}(t) + H_{jj} \psi_{j}(t) .

האיבר הראשון באגף ימין מייצג את התנועה של משרעת ההסתברות לתוך מקטע j מהמקטע שמימינו. האיבר השני מייצג זליגה של הסתברות ממקטע j ימינה. האיבר השלישי מייצג מעבר של הסתברות לתוך מקטע j משמאל. והאיבר הרביעי מייצג מעבר ממקטע j לשמאל. האיבר האחרון מייצג כל שינוי מופע במשרעת ההסתברות במקטע j עם עצמו.

אם נפתח את משרעת ההסתברות לסדר שני של מקטעים בגודל  \lambda , ונניח שהמרחב הוא איזוטרופי, כלומר  H_R =H_L \equiv H_0 , משוואת המעבר מצטמצמת ל־

:  i{\partial \psi_j(t) \over \partial t} = H_{0} { \lambda^2 } { \partial^2 \psi_{j}(t) \over \partial x^2 } + H_{jj} \psi_{j}(t) .

### משוואת שרדינגר בחד־ממד
ממוזער|350x350 פיקסלים| צפיפויות ההסתברות של האלקטרון עבור מספרים קוונטיים שונים באטום המימן.
משוואת המעבר חייבת להיות עקבית עם השערת דה־ברויי. במרחב הריק משרעת ההסתברות של גל דה־ברויי מתכונתית ל־

:  \exp \left [ i\left ( k x - \omega t \right ) \right ] 

כאשר

:  E = \hbar \omega = {p^2 \over 2m } = {\hbar^2 k^2 \over 2m } 

בגבול הלא יחסותי.

פתרון דה־ברויי עבור מרחב ריק הוא פתרון למשוואת המעבר אם דורשים

:  H_0 \lambda^2 = - { \hbar \over 2m } 

וכן

:  H_{jj}^{ } = 0^{ }  .

ניתן לזהות את איבר הנגזרת לפי זמן במשוואת המעבר עם האנרגיה של גל דה־ברויי. וכן, ניתן לזהות את האיבר הנגזרת המרחבית עם האנרגיה הקינטית. זה מצביע על כך איבר המכיל את  H_{jj}  מתכונתי לאנרגיה הפוטנציאלית. ומכך מובעת משוואת שרדינגר:

:  i\hbar {\partial \psi (x, t) \over \partial t} = -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{\partial^2 \psi (x, t)}{\partial x^2} + U(x) \psi (x, t) 

כאשר U היא האנרגיה הפוטנציאלית הקלאסית, ומתקיים

:  \psi (x, t) \equiv {1\over \sqrt{\lambda} } \psi_j (t) 

וכן

:  1 = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^* (x, t) \psi (x, t) dx .

### משוואת שרדינגר בתלת־ממד
בתלת מימד, בעזרת פיתוח דומה, הופכת משוואת שרדינגר ל:

:  -\frac{\hbar^2}{2 m} { \nabla^2 \psi} + U \psi = i\hbar {\partial \over \partial t} \psi 

### אטום מימן
הפתרון לאטום המימן מתאר גלים עומדים של אנרגיה שניתנים בדיוק על ידי סדרת בלמר. זה היה אימות ואישוש חזק של משוואת שרדינגר ושל ההתנהגות הגלית של החומר.

## ראו גם
* מושגי יסוד של מכניקת הקוונטים
* היסטוריה של מכניקת הקוונטים
* תדירות זוויתית
* משוואת דיראק
* אינטגרלי מסלולי
* האפקט הפוטואלקטרי
* קיטוב פוטון
* אלקטרודינמיקה קוונטית
* הקשר בין משוואת שרדינגר לניסוח האינטגרלי מסלולי של מכניקת הקוונטים
* ניסוי שטרן־גרלך
* דואליות גל־חלקיק

## לקריאה נוספת
* 
* 
* 

## הערות שוליים

קטגוריה:מכניקת הקוונטים
קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות