צפיפות (תורת המספרים)

תורת המספרים עוסקת בין השאר בקבוצות אינסופיות של מספרים טבעיים, ובהשוואה ביניהן. למשל, "מובן מאליו" שיש "יותר" מספרים זוגיים, מאשר מספרים ריבועיים; בקבוצת המספרים הטבעיים שעד מיליון יש חצי-מיליון מספרים זוגיים, ורק אלף מספרים ריבועיים (המילה "יותר" נתונה במירכאות משום שלשתי הקבוצות עוצמה זהה, \aleph_0). טיפול מתמטי מסודר בשאלות כאלה נעשה בעזרת מושג ה**צפיפות**, שאפשר להגדיר בכמה דרכים.

ההגדרה הפשוטה ביותר היא של **צפיפות טבעית**:
תהי A קבוצת מספרים טבעיים. את הרישות שלה מסמנים A(n)=A\cap\{1,\ldots,n\}. העוצמה של הרישא מקיימת 0\le|A(n)|\le n, וההשוואה בין הקבוצה A לקבוצת כל המספרים נעשית דרך הסדרה \frac{n}. הגבול של סדרה זו (אם הוא קיים) נקרא בשם "הצפיפות הטבעית של הסדרה". צפיפות זו (אם קיימת) היא בהכרח מספר בין 0 ל-1. אם הגבול אינו קיים, אין לקבוצה צפיפות טבעית. במקרה זה אפשר להשתמש בגבול העליון ובגבול התחתון של הסדרה שקיימים תמיד, לתיאור הצפיפות; אולם מערכי גבולות אלה קשה יותר להסיק על תכונות הקבוצה.

בתורת המספרים האנליטית שכיחה יותר צפיפות דיריכלה, המכלילה את הצפיפות הטבעית: אם לקבוצה יש צפיפות טבעית, אז יש לה גם צפיפות דיריכלה, והן שוות. בתורת המספרים האדיטיבית נעזרים במושג אחר של צפיפות, הנקרא צפיפות שנירלמן.

### צפיפות עליונה וצפיפות תחתונה
תהי A תת-קבוצה של קבוצת המספרים הטבעיים \N=\{1,2,\ldots\}.
לכל n\in\N נגדיר A(n)=A\cap\{1,\ldots,n\}, ו-0\le|A(n)|\le n הוא מספר האיברים של A.

נגדיר **צפיפות עליונה** של A:
:\overline{d}(A)=\limsup_{n\to\infty}\frac{n}
כאשר lim sup הוא גבול עליון.

נגדיר **צפיפות תחתונה** של A:   
:\underline{d}(A)=\liminf_{n\to\infty}\frac{n}
כאשר lim inf הוא גבול תחתון. לקבוצה A יש צפיפות d(A) כאשר \underline{d}(A)=\overline{d}(A), ובמקרה זה d(A) שווה לערך משותף זה.

ניתן לנסח הגדרה זו באופן הבא:
:d(A)=\lim_{n\to\infty}\frac{n}
כאשר גבול זה קיים.

## תכונות
נסמן את הצפיפות של קבוצה A ב-d(A). מתקיימות התכונות הבאות:
*לכל קבוצה סופית F של מספרים טבעיים מתקיים d(F)=0.
*אם d(A) קיים לקבוצה מסוימת A ו-A^c מסמן את המשלים שלה ב-\N, מתקיים d(A^c)=1-d(A).
**מסקנה: אם F\sub\N היא קבוצה סופית (כולל המקרה F=\empty), מתקיים d(\N\setminus F)=1.
*אם קיימים d(A),d(B),d(A\cup B), אז מתקיים
:\max\bigl\{d(A),d(B)\bigr\}\le d(A\cup B)\le\min\bigl\{d(A)+d(B),1\bigr\}

## דוגמאות
*אם A=\{n^2:n\in\N\} היא קבוצת כל המספרים הריבועיים, אז d(A)=0.
*אם A=\{2n:n\in\N\} היא קבוצת כל המספרים הזוגיים, אז d(A)=0.5. באופן דומה, לכל סדרה חשבונית A=\{an+b:n\in\N\} נקבל d(A)=\tfrac{1}{a}.
*לסדרה P של כל המספרים הראשוניים נקבל לפי משפט המספרים הראשוניים כי d(P)=0.
*לקבוצת המספרים השופעים יש צפיפות גדולה מ-0. מרק דלגליז (Marc Deléglise) הראה ב-1998 שהצפיפות של קבוצה זו היא בין 0.2474 ל-0.2480.
*הקבוצה 
:A=\bigcup_{n=0}^\infty\left\{2^{2n},\ldots,2^{2n+1}-1\right\} 
:של המספרים שהייצוג הבינארי שלהם כולל מספר אי-זוגי של ספרות היא דוגמה לקבוצה שאין לה צפיפות טבעית, משום שהצפיפות העליונה שלה היא
:\overline{d}(A)=\lim_{m\to\infty}\frac{1+2^2+\cdots+2^{2m}}{2^{2m+1}-1}=\lim_{m\to\infty}\frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}=\frac23
:ואילו הצפיפות התחתונה שלה היא:
::\underline{d}(A)=\lim_{m\to\infty}\frac{1+2^2+\cdots+2^{2m}}{2^{2m+2}-1}=\lim_{m\to\infty}\frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}=\frac13
*לקבוצת המספרים שהייצוג העשרוני שלהם מתחיל בספרה 1 אין צפיפות טבעית: הצפיפות התחתונה היא 1/9 והצפיפות העליונה היא 5/9. (ראו: חוק בנפורד.)

## הערות שוליים

קטגוריה:תורת המספרים